HARVARD UNIVERSITY.

LIBRARY

OF THE

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY.

.
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JUL

MÉMOIRES
SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES
DE LIÈGE.

Nec temere, nec timide.

DEUXIÈME SÉRIE.

TOME XVI.

DÉPOTS :
LONDRES , PARIS; BERLIN ;
chez Wicruws et Nonçare, chez Rorer, libraire, chez Frisnrinpen u, Sohn,
lienriotta Ntr., 14. ruée Hautefeuille, 104, _Carlstresse, 11.
BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES,
DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.

Rue de Louvain, 108.

—

| AVRIL 1890.

MÉMOIRES

SOCIÊTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÈGE.

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MÉMOIRES

SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES
DE LIÈGE.

Nec temere, nec timide.

DEUXIÈME SÉRIE.

TOME XVI.

DÉPOTS :
LONDRES , PARIS , BERLIN ,
chez Wivrams et NorçaTe, chez Rorer, libraire, chez Fnriepcinpen u, Sohn,
Henrietta Str., 14. rue llautefeuille, 10i, Carlstrasse, 11.
BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES,
DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.

Rue de Louvain, 108.

AVRIL 1890.

TABLE

MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME XVI.

1. Intégration des équations de la mécanique; par J. Graindorge.

2 Sur la droite et le cercle d’Euler; par A. Gob.

3. Sur les cercles de Neuberg; par A. Gob.

4. Répertoire alphabétique des noms spécifiques admis ou proposés
dans la sous-famille des Libellulines avec indications biblio-
graphiques, iconographiques et géographiques; par Alfred
Preudhomme de Borre.

5. Sur les figures affinement variables; par J. Neuberg.

6. Expériences sur l'intensité relatives des harmoniques dans les
timbres de la voix faites au laboratoire de physique de FUni-
versité de Liège; par F. V. Dwelshauwers, en collaboratiou
avec F. Deruvts, sous la direction de M. Pérard.

7. Remarques sur une transformation quadratique birationnelle réci-
proque; par M. d'Ocagne.

8. Remarque sur une transformation quadratique ; par J. Neuberz

9. La flore mycologique de la Belgique. — 2 supplément comprenant
les Sphæropsideæ — Melancolinez — Hyphomycetes, addition
de 850 espèces à la flore de 1880 et 250 figures représentant
les genres; par le D° E. Lambotte.

LISTE

DES

MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ

AU 1* AVRIL 1890.

Pureau.

Président, M. Gravis.
Vice-Président, » UBacxs

Secrétaire général, » LE PAIGE.
Trésorier, » NEUBERG.

Bibliothécaire, » FRAIPONT.

Membres effectifs.

1842 SeLys LonccHamps (baron E. pe), membre de l’Académie
royale des sciences, des lettres et des beaux-
arts de Belgique.

1844 KUPFFERSCHLAEGER, Îs., professeur émérite à l’université
de Liège.

1853 CanDÈëze, E., membre de l’Académie des sciences, des
lettres et des beaux-arts de Belgique, à Glain
par Liège.

1855

1855

( vin ) |

Pique, A., ancien professeur de mathématiques à l'athénée
de Liège (Flémalle-Grande).

DEWALQUE , G., professeur de minéralogie, de géologie et
de paléontologie à l'université de Liège.

1856 CarTaran, C. E., professeur émérite à l’université de Liège.

1860

1861
1865

GiLLON, A., professeur de métallurgie à l'université de
Liège.

Perar», L., professeur de physique à l'université de Liège.

Foie, F., directeur de l'Observatoire royal de Bruxelles.

1868 GRAINDORGE, L. A. J., professeur à l'université de Liège.

1870

1871

1874
1875

13738

1879
1880
1881
1884

1885
1887

Masius, V., professeur de pathologie et de clinique à l’uni-
versité de Liège.

VanLaR, C., professeur de pathologie et de thérapeutique
à l’université de Liège.

Van BENEDEN, Éd., professeur de zoologie, de physiologie
et d'anatomie comparées à l’université de Liège.

Firker, Ad., chargé de cours à l’université de Liège.

SpriNG, W., professeur de chimie à l’université de Liège.

SWAEN , À., professeur d'anatomie à l'université de Liège”

LE PAIGE, Constantin, professeur de géométrie supérieure
à l'université de Liège.

JORISSEN, À., docteur en sciences, à Liège.

NEuBERG, J., professeur à l’université de Liège.

FraïPonT, J., professeur à l'université de Liège.

Deruyrs, J., docteur en sciences, chargé de cours à l'uni-
versité.

Rowkar, Ém., chargé de cours à l'université.

Usacas, P., répétiteur à l'École des mines.

GrAvis, A., professeur de botanique à l’université de Liège.

Lonesr, M., assistant de géologie à l’université de Liège.

Forir, H., répétiteur à l'École des mines.

Deruyrs, Fr., docteur en sciences.

LamBorTE, Er., docteur en médecine, à Verviers.

De HEen, P., chargé de cours à l’université de Liège.

(IX)

Membres correspondants.

I. — Sciences physiques et mathématiques.

1842 Laçuesse, directeur divisionnaire honoraire des mines,
à Tournai.
1845 Sras, J. S., membre de l’Académie royale des sciences,
des lettres et des beaux-arts de Belgique, à
Bruxelles.
STEICHEN, membre de l’Académie, à Bruxelles.
1844 LEconTE, ancien professeur de mathématiques supé-
rieures, à Bruxelles.
1845 Maus, inspecteur général des ponts et chaussées, à Bruxelles.
1847 De Cuyrer, A. C., professeur émérite à l'université de
Liège, à Bruxelles.
1852 ErTriNGsHAusEN (baron Constantin von), membre de
l'Académie des sciences de Vienne, à Graz.
1853 BÈère, Em., industriel, à Bruxelles.
1854 Perrina, professeur de physique, à Prague (Bohème).
DuTREux , receveur général, à Luxembourg.
WEBER, professeur de physique à l’université de Gottingue
(Prusse).
1855 Lrais, ancien directeur de l'Observatoire impérial de Rio
de Janeiro, maire de Cherbourg.
TcHÉBYCHEFF, P., membre de l’Académie des sciences, à
Saint-Pétershourg.
1858 CaLieny (marquis be), correspondant de l’Institut, à Ver-
sailles (France).
1863 Gossace, membre de la Société chimique, à Londres.
1865 Hueuewy, professeur, à Strasbourg.
TERSSEN, général d'artillerie, à Anvers.
De Cozner D’HuarT, conseiller d'État, à Luxembourg.
Dausse, ingénieur en chef des ponts et chaussées, à Paris.
1866 Lepenr, professeur au collége communal de Verviers.

(x)

1867 Barnaro, président de l'École des mines, à New-York

(États-Unis).
BoncompaGni (prince Balthasar), à Rome.
Hezmnozrz (von), professeur de physique, à Berlin.

1869 Marré Davy, directeur de l'Observatoire météorologique

de Montsouris.
SCHLÔMILCH, professeur d'analyse à l'Ecole polytechnique
de Dresde.

1870 BERTRAND, J. L. F., membre de l'Institut, à Paris.
1871 'ImscaenErsk1, membre de l'Académie, à S'-Petersbourg.

Hexey, L., professeur à l’université de Louvain.

DurÉGE, professeur à l’université de Prague (Bohème).

MasrTers, MaxweLz T., membre de la Société royale,
à Londres.

LE BouLENGé, P., colonel d'artillerie.

1872 VaLLÈs, inspecteur honoraire des ponts et chaussées,

à Paris.
GaRIBALDI, professeur à l’université de Gênes (Italie).
Kanirz, D' Aug., professeur à l’université de Klausen-
bourg (Hongrie).

1875 Bates, H., membre de la Société royale de Londres.

HermitTE, Ch., membre de l'Institut, à Paris.
DarBoux, G., membre de l'Institut, à Paris.

187% WinkLer, D. C. J., conservateur du Musée de Harlem

(Néerlande).
Van RYSSELBERGHE, aide à l'Observatoire royal, à Bruxelles.

1875 Mansion, P., professeur à l’université de Gand.

MicHagLiS, O., captain, chief of Ordnance, à Saint-Paul,
Minn., département de Dakota (États-Unis).

DEWALQUE, Fr., professeur à l’université de Louvain.

Marie, M., examinateur à l'École polytechnique, à Paris.

MarTHieEu, Em., membre de l'Académie des sciences
(Nancy).

1876 Bazrour, Th. G. H., membre de la Société royale, à

Londres,

1877. TissanDiEer, Gaston, rédacteur du journal la Nature, à Paris.

(xt)

1879 Syzvester, J. J., professeur à l’université d'Oxford.

Czuser, professeur, à Prague.

1880 Cremona, Luigi, directeur de l'École d'application, à

1881

1882

1883

Rome. ;

Wevr, Ém., professeur à l’université de Vienne (Autriche).

IBANEZ, général, directeur de l'Institut cartographique, à
Madrid.

STupnièKka, F., professeur de mathématiques à l’université
de Prague.

Van DER MENSBRUGGE, Gustave, professeur à l’université
de Gand.

LiAGRE, général , secrétaire perpétuel de l’Académie royale
des sciences, etc., à Bruxelles.

DE Tizzy, J., colonel, membre de l'Académie de Belgique,
à Bruxelles.

Bonxer, Ossian, membre de l’Institut, à Paris.

SÉBERT, colonel d'artillerie de la marine française, à Paris.

ANGOT, À., attaché au bureau central météorologique de
France, à Paris.

WiEDEMANN, G., professeur à l’université de Leipzig.

PLANTÉ, G., à Paris.

KoxLrauscH, directeur de l'Institut physique de Wurz-
bourg.

Quincke, professeur de physique, à Heidelberg.

GiorDaANo, inspecteur du corps des mines, à Rome.

Guiscarpi, professeur à l’université de Naples.

LaisanT, C. A., député, à Paris.

BELTRAMI, professeur à l’université de Pavie.

MascarT, membre de l’Institut, à Paris.

Bounraxowski, membre de l’Académie des sciences, à
Saint-Pétersbourg.

BretTHor, N., professeur à l’université de Louvain.

Mirrac-LErFFLEr, G., professeur à l’université de Stock-
holm.

GomÈs TeixEiRA, F., ancien professeur à l’université de
Coïmbre.

1884

1885

1887

1888

1842
1845

1845

1848
1852

1855

( xn1 )

BigrENs DE Haaw, D., professeur à l’université de Leide.

GERONO, C., rédacteur des Nouvelles Annales de mathé-
matiques, à Paris.

SCHUR, Fréd., professeur à l'université de Dorpat.

Picquer, répétiteur à l'École polytechnique, à Paris.

DE LonGcHamps (Gohierre), professeur au lycée Charle-
magne, à Paris.

VanEGER, J. S., professeur, à Jicin (Bohème).

CEsaro, E., professeur à l’université, à Palerme.

Wazras, L., professeur à l'Académie de Lausanne.

MENABREA, marquis de Val-Dora, ambassadeur de
S. M. le roi d'Italie, à Paris.

Gucci, docteur en sciences, à Palerme.

Casey, J., professeur à l’université catholique de Dublin.

WüLLner, professeur à l'École polytechnique d'Aix-
la-Chapelle.

PaaLzow, directeur de l’École technique de Berlin.

OcacxE (Maurice D’), ingénieur des ponts et chaussées,
à Cherbourg (France).

II. — Sciences naturelles.

Van BENEDEN, J. P., professeur à l’université de Louvain.

KEYSERLING (comte A. pe), membre de l'Académie des
sciences de Saint-Pétersbourg.

HAGEN, professeur à l’université de Cambridge ( États-
Unis).

KLIPSTEIN (VON), professeur à l’université de Giessen.

Dana, J. D., professeur de géologie et d'histoire naturelle,
à New-Haven (États-Unis).

Wesrwoon, professeur de zoologie à l'université d'Oxford
(Angleterre).

WATERHOUSE, Conservateur au Musée Britannique, à
Londres.

( x )

1854 KôLuixer (von), professeur à l’université de Wurzbourg
(Bavière).
DrouET, H., naturaliste, à Charleville (France).
STAMMER , docteur en médecine, à Dusseldorf (Prusse).
ERLENMEYER, docteur en médecine, à Neuwied (Prusse).
Lucas, H., aide-naturakiste au Muséum d'histoire naturelle,
à Paris.
BLancHarD, E., membre de l’Institut, à Paris.
1855 Geurrz, H.B., professeur à l'École polytechnique, à Dresde.
1859 MarsEeuL (abbé DE), entomologiste, à Paris.
Beyrica, professeur à l’université de Berlin.
Marcou, J., géologue, États-Unis.
1860 Du Boïs-Reymon», professeur à l’université de Berlin.
BrüucKkE, professeur à l’université de Vienne.
1862 Caspary, professeur de botanique à l’université de Kônigs-
berg (Prusse).
1864 THomson, J., membre de la Société entomologique de
France, à Paris.
Durieu DE MAISONNEUVE, directeur du Jardin Botanique,
à Bordeaux (France).
BRUNER DE WATTEVILLE, directeur général des télégra-
phes, à Vienne.
1865 Zeis, conservateur au Muséum royal d'histoire naturelle,
à Dresde.
Le Jouis, archiviste perpétuel de la Société des sciences
naturelles de Cherbourg (France).
HamiLTon, membre de la Société géologique de Londres.
DE BorRE, A., ancien conservateur au Musée royal
d'histoire naturelle, à Bruxelles.
1866 RopriGuEz, directeur du Musée zoologique de Guatémala.
1867 GossELET, J., professeur à la faculté des sciences de Lille
(France).
RaposzkoFrski, président de la Société entomologique de
Saint-Pétersbourg.
1869 Simon, E., naturaliste, à Paris.
1870 TrauTscHoLD, professeur, à Breslau.

1870

1871

1875

1874

1875

( xIvV )

MaLaise, C., professeur à l'Institut agronomique de Gem-
bloux.

Van HoorEn, docteur en sciences, à Tongres.

MüLLer (baron von), botaniste du gouvernement, à Mel-
bourne (Australie).

Taomson, James, vice-président de la Société géologique
de Glasgow.

CaPELLINI (commandeur G.), professeur de géologie à
l’université de Bologne.

CLos, directeur du Jardin des Plantes, à Toulouse.

Hazz, James, paléontologiste de l'État, à Albany (États-
Unis).

Wire, J. D., géologue de l'État, directeur du Geolo-
gical Survey de Californie (États-Unis).

GLaziou, botaniste, directeur des Jardins impériaux à Rio
de Janeiro.

Lapiszao NeTTo, botaniste, directeur du Musée de Rio
de Janeiro.

DE Carvazno (Pedro Alphonso), docteur en médecine,
directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio
de Janeiro.

BureisTer , H., directeur du Musée national de Buenos-
Ayres.

Moreno, F. P., paléontologiste, à Buenos-Ayres.

ARESCHOUG, professeur adjoint à l'université de Lund
(Suëde.)

GEGENBAUER, professeur à l’université de Heidelberg.

HickeL, professeur à l'université de léna.

WaLDEYER, professeur à l’université de Berlin.

Huxcey, professeur à l’école des mines, à Londres.

Emer, professeur à l’université de Tubingue.

DE LA VALETTE SAINT-GEORGE, professeur à l'université
de Bonn.

Ray-LankesTER, professeur à l’université de Londres.

PackarD, professeur à l'université de Salem (États-Unis).

FLemmnwe, W., professeur à l’université de Kiel.

À RS
ARR gi

1875

1876

1377

1878

1879

1881

1883

1834

(xv )

PLaTEAU, F., professeur à l’université de Gand.

Rômer, F., professeur à l'université de Breslau.

SAPORTA (Gaston marquis DE), correspondant de l'Institut
de France, à Aix (France).

Bazrour, 1. B., professeur de botanique à l’université,
à Oxford.

Mac LacaLan, Rob., membre de la Société entomologique,
à Londres.

HerrwiG, R., professeur à l’université de Munich.

STRASBURGER, professeur à l’université de Bonn.

BronGniarT, Charles, à Paris.

WETTERBY, professeur à l’université de Cincinnati.

Bouivar, L., professeur, à Madrid.

RitsEmA, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle,
à Leyde.

RENarD, Alphonse, professeur à l’université de Gand.

KEY, AXEL, professeur à l'École de médecine de Stockholm:

Rerzus, G., professeur à l'École de médecine de Stockholm.

MENEGHINI, professeur à l'université de Pise.

TARAMELLI, professeur à l’université de Pavie.

GEsTRo, D' R., conservateur au Musée d'histoire naturelle
de Gênes.

SALVADORI (comte Th.), professeur à l’université de Turin.

Huzz, Edward, directeur du Geological Survey d'Irlande.

SANDBERGER, Fridolin, professeur à l’université de Wurz-
bourg.

TRINCHESE, professeur à l’université de Naples.

LISTE

DES

SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC.

AVEC LESQUELLES
LA SOCIÉTÉ DES SCIENCES DE LIÈGE

échange ses publications.

2 —

BELGIQUE.

Bruxelles. — Académie royale des sciences, des lettres et des
beaux-arts de Belgique.
Observatoire royal.
Société entomologique de Belgique. :
Société malacologique de Belgique.
Société royale belge de géographie.
Société belge de microscopie.
Musée royal d'histoire naturelle.
Liège. — Société géologique.
Mons. — Sociélé des sciences, des lettres et des beaux-arts du
Hainaut.

Gand. — Mathesis, directeur : P. MansioNw, professeur à l’université.

ALLEMAGNE.

Berlin. — Xünigliche Akademie der Wissenschaften.
Deutsche Geologische Gesellschaft.
Entomologischer Verein.
Zeitschrift für die gesammten Naturwissenschaften.

Bonn. — Vaturhistorischer Verein der Preussischen Rheinlande
und Westphalens.

( xvun )

Breslau. — Schlesische Gesellschaft für vaterländische Cultur.
Colmar. — Sociélé d'histoire naturelle.

Erlangen. — Physikalisch-medicinische Societät.

Francfort.
schaft.
Fribourg. — Vaturforschende Gesellschaft.
Giessem. — Oberhessische Gesellschaft für Natur- und Heilkunde.
Gôrlitz. — Nalurforschende Gesellschaft.
Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften.
Gôttingue. — Xünigliche Gesellschaft der Wissenschaften und
Georg-August-Universilät.

Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thiü-
ringen.

Naturforschende Gesellschaft.

Kaiserliche Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie
der Naturforscher. ’

Senckenbergische naturwissenschaftliche Gesell-

Halle.

Kiel. — Vaturwissenschaftlicher Verein.

Kônigsherg. — Xünigliche physikalisch-ükonomische Gesell-
schaft. |

Landshut. — Botanischer Verein.

Naturforschende Gesellschaft.

Metz. — Académie des lettres, sciences, arts et agriculture.

Munich. — AXüniglich Bayerische Akudemie der Wissenschaften.

Kôünigliche Sternwarte.

Munster. — West/ülischer Provincial-Verein für Wissenschaften

und Kunst.

Ofenbach.
Stettin.

Stuttgart. Verein für vaterländische Naturkunde in Wür-
temberq.

Wiesbaden.

Leipzig.

Offenbacher Verein für Naturkunde.

Entomologischer Verein.

Nassauischer Verein für Naturkunde.

Wurzbourg.

Physikalisch-medicinische Gesellschaft in Würz-
burg.

Zwickau. — Verein für Naturkunde.

(Pxre; |

AUTRICHE-HONGRIE

Hermannstadt.
schaften.

Siebenbürgischer Verein für Naturwissen-

Innspruck. — Vaturwissenschaftlich-medicinischer Verein.

Prague. — Xüniglich bühmische Gesellschaft der Wissenschaften
Kaiserlich-Künigliche Sternwarte.

Vienne. — Xaiserliche Akademie der Wissenschaften.
Kaiserlich-Künigliche zoologisch-botanische Gesellschaft.
Kaiïserlich-Künigliche geologische Reichsanstalt.

Agram. — Académie Sudo-Slave des sciences.

ESPAGNE.

Madrid. Real Academia de Ciencias.

FRANCE.

Béziers. — Société d'étude des sciences naturelles.

Bordeaux.

Académie des sciences, belles-lettres et arts.
Société linnéenne.
Société des sciences physiques et naturelles.

Caen. — Sociélé linnéenne de Normandie.
Cherbourg. — Société des sciences naturelles.
Dijon. — Académie des sciences.

Lille. — Société des sciences, de l’agriculture et des arts
Lyon. — Académie des sciences.

Société d’agriculture.
Société linnéenne.
Montpellier. — Académie des sciences et lettres.

Naney.

Société des sciences (ancienne Société des sciences natu-
relles de Strasbourg).

Paris. — Société géologique de France.
Société Philomatique.
Muséum d'histoire naturelle.

(xx )

Rouen. — Société des amis des sciences naturelles.
Académie des sciences.
Toulouse. — Académie des sciences.
Societé des sciences physiques et naturelles.
Troyes.

Société académique de l’Aube.
Agen.

Société d'agriculture, sciences et arts.

GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE

Dublin. — Royal Irish Academy.
Royal Society.

Édimbourg. — Geological Society.

Londres. — Geological Society.
Linnean Society.
Royal Society.

Glasgow. — Geological Society.
Natural history Society.
Philosophical Society.

Manchester. — Literary and philosophical Society.

ITALIE.

Bologne. — Accademia delle Scienze.

Catane. — Accademix gioenia di scienze naturali.
Gênes. — Osservatorio dellu R. Universita.
Modène. — Societa dei naturalisti.

Naples. — Societa Reale.

Palerme, — /stituto tecnico.

Societa di scienze naturali e economiche.
Circolo matematico.

Pise. — Societa di scienze naturali.

Rome.

Bullettino di bibliografia delle scienze matematiche.
publié par le prince B. BoncompaGni.

Reale Accademia dei Lincei.

Accademia pontificia de” Nuovi Lincei.

R. Comitalo geologico d'Italia.

( XXI )

LUXEMBOURG.

Luxembourg. — /nstitut royal grand-ducal, section des sciences
naturelles et mathématiques.

NÉERLANDE.

Amsterdam. — Xoninklijke Academie van wetenschappen.

Harlem. — Société hollandaise des sciences.
Musée Teyler.

Rotterdam. — Zalaafsch Genootschap der proefondervindelijke
wijsbegeerte.

Delft. — École polytechnique.

PORTUGAL.

Coïimbre.

Journal des sciences mathématiques et astrono-
miques, rédacteur : M. Gomès TeIXEIRA.

Lisbonne. — Académie des sciences.

RUSSIE.

Helsingfors. — Société des sciences de Finlande.

Moscou.

Société impériale des naturalistes.

Saint-Pétershourg. — Académie impériale des sciences.
Société d'archéologie et de numismatique.
Société entomologique.
Société impériale de minéralogie.

SUÉDE ET NORWÉGE.

Bergen. — Museum.
Christiania. — Xongelige Frederiks Universilet.
Stockholm. — Académie royale des sciences.
Nordist medicinskt Arkiv, directeur : D' AxeL Key.
Entomologiska [üreningen.
Acta mathematica, rédacteur : M. MiTrAG-LEFFLER.

( xx )

DANEMARK.

Copenhague. — Tidskrift for Mathematik : D' H. G. ZeuTHEN,
professeur à l’université.
Académie royule des sciences.

SUISSE.
Berne. — Valurforschende Gesellschaft.
Société helvétique des sciences naturelles.

Neuchâtel. — Societé des sciences naturelles.
Schafhouse.

Naturforschende Gesellschaft.
AMERIQUE.
ÉTATS-UNIS.

American Association {or advancement of sciences.

Baltimore. — American Journal of mathematics.(Johns Hopkins
University.)
Boston.

American Academy of arts and sciences.
Society of natural History.

Cambridge. — Museum of comparative z0ology.
Columbus.
Madison.

Ohio State agricultural Society.

Wisconsin Academy of sciences, letters and arts.
New-Haven. — Connecticut Academy of arts and sciences.
Newport. — Orleans County Society of natural sciences.
New-York. — Academy of sciences.

Philadelphie. — Academy of natural sciences.

American philosophical Society.
Wagner Free Institute of sciences.

Portland. — Vatural History Society.

Salem. The American Naturalist.
Essex Institute.

Peabody Academy of sciences.
San-Franeisco. — Californian Academy of sciences.

Washington. — Snithsonian Institution.

( XXI )

GUATÉMALA.

Guatémala. — Sociedad economica.

MEXIQUE.

Mexico. — Société Antonio Alzate.
Observatoire météorologique central.

Tacubhaya. — Observatoire national.

RÉPUBLIQUE ARGENTINE.
Buenos-Ayres. — Universidad.
ASIE.
INDES ANGLAISES.

Calcutta. — Asiatic Society of Bengal.

INDES HOLLANDAISES.

Batavia. — Æoninklijke natuurkundige vereeniging in Neder-

landsch Indiëé.

AUSTRALIE.

Hobart-Town. — Tasmanian Society of natural sciences.

Melbourne. — Observatoire.
Sydney. — Linnean Society.
Royal Society of New South Wales.

INTÉGRATION

DES

ÉQUATIONS DE LA MÉCANIQUE

PAR

J. GRAINDORGE,

UR SPÉCIAL EN SCIENCES PHYSICO-MATHÉMATIQUES,

,

PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÈGE.

INTRODUCTION.

Le but que je me suis proposé dans ce travail est de pré-
senter un ensemble des recherches les plus importantes sur
l’intégration des équations de la Mécanique. Ces travaux qui
sont dus à Lagrange, Poisson, Hamilton, Jacobi, Donkin,
Bertrand, Liouville, etc., sont disséminés dans diverses revues
périodiques. J’en ai déjà fait connaître quelques-uns dans un
Mémoire publié en 1871 : j'aurai l’occasion de reproduire ici
une partie de ce Mémoire en lui donnant plus de développe-
ments.

Aucun ouvrage n’a encore été publié jusqu'ici sur cette
matière. Cependant ces théories ont pris une telle extension
qu'il est nécessaire pour ceux qui désirent les étudier et les
approfondir d’avoir un guide qui les dispense de faire un
nombre considérable de recherches. Aussi, j'espère que le tra-
vail actuel pourra rendre quelques services.

LE, EN

é
\

»

4

FR

TABLE DES MATIÈRES.

INTRODUCTION st rem Sn di eee Mer Rene ca 04 Lret-t' PRE SR

XVI.
XVII.
XVI.

XIX.
XX.
XXI.
XXI.

XXII
XXIV.

ERRATA .

Formules de Lagrange. — Équations canoniques . .
Méthode de M. Émile Mathieu .

Principe d'Hamilton ;
Équation différentielle pastidlie PH

- Généralisation de la théorie précédente .

Théorème sur les déterminants fonctionnels.

Théorème de Jacobi

Fonction caractéristique d'Hamilton

Applications. . . . .

Théorème de M. Darboux

Théorème de M. Mayer

Théorème de M. Liouville Shah nr

Mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un
point fre, LT ae

Travaux de M. Donkin ee late

Nouvelle démonstration du théorème de Jacobi.

Hormules:de JaoDi. NP a Omer PEU, nu

Théorèmes de M. Donkin RE

Extension des méthodes d’Hamilton au cas où les liaisons
sont des fonctions du temps . . . . . . .

Théorèmes de Lagrange et de Poisson

Théorèmes de M. Bertrand .

Travaux de Bour . . ie ; : É

Variation des constantes nbneae. due 1 ro leres
de mécanique

Formules de perturbations . Nr a

Formules de perturbations pour le mouvement de
DANSE AUS 0 ee En re

INTÉGRATION

DES

ÉQUATIONS DE LA MÉCANIQUE

ES

I.
Formules de Lagrange. — Équations canoniques.

4. On sait qu’en appliquant le théorème de d’Alembert au

mouvement d’un système matériel, on oblient l'équation :
2
DUT ( dx, LE dy: + _ k ia) = Ÿ(Xor: + Yoy: + Zdz)),

en désignant par #», la masse d’un point du système, x;, y,, z, les
coordonnées de ce point à la fin du temps £, X,, Y,, Z;les com-
posantes de la force P, qui agit sur ce point, dx,, dy;, dz, les
projections sur les axes du déplacement virtuel do; de ce point.
Les déplacements dx;, dy;, dz; doivent être compatibles avec les
liaisons du système à l’instant considéré.

C’est l'équation générale de la dynamique : on l’appelle
l'équation de Lagrange.

2. Dans le cas où il existe une fonction de force U, c’est-à-dire
une fonction telle que l’on ait:
dU dU dU

X;, — —; Ni— » Z, = — ?
dT; dy; dZ;

il vient :

dU dU dU
> (X dx; + Yidy, + Liz) = > ( dX; + — dY; hs —= NA = dU,

0x dY:

(2)

et l'équation de Lagrange devient alors :

d? d'y; d’z,
Dm, (e dx; + EL dy; + pr 7 — QU,
C

3. Il est évident que, même dans le cas où il n’y a pas de
fonction de force, on peut toujours écrire l’équation de Lagrange
sous la forme symbolique :

ÿ dx, Yi d’z; :
DAT PT dX; + PT dy: + PT = OU, (1)
mais il faut bien observer que dans cette équation, U n’a de
signification que si la fonction de force existe, c’est-à-dire si

> (X;dx; + Ydy; UF Z,dz;)

est une différentielle exacte d’une fonction U. Dans le cas
général où il n’existe pas de fonction de force, OU sera une
nolation abrégée employée pour représenter l'expression

D (Kôri + Yoy: + Z0;);
en d'autres termes, dans ce cas, U seul ne représentera rien.

&. L’équation (1) a été obtenue en supposant le système
rapporté à des coordonnées rectangulaires. Supposons main-
tenant qu'aux coordonnées x,, y, Z,, on substitue d’autres
variables q4, 423 + de, liées à x, y, z, d’une manière quelconque,
mais de telle sorte cependant que l’on puisse toujours exprimer
r,, Yi, 7, en fonction de q3, q:, .… q, : les vartables q3, ga, ... Qu,
ne sont pas nécessairement au nombre de 3n, comme les coor-
données x;, 7, z,. Il est même préférable, dans la plupart des
cas, de prendre le nombre Æ <3n, de telle manière que, par
le choix même de ces variables nouvelles, les équations de
condition soient satisfaites d’elles-mêmes.

Ainsi, par exemple, supposons un point assujetti à demeurer
sur une sphère :

+v+r= 7),

(3)

on pourra choisir deux variables nouvelles 44, ge, définies par
les équations

x = r Sin Qi COS Ge,

y = T SIN Qi COS Ge,

= Tr Sin %s

et il est évident que, par ce choix de deux nouvelles variables,
la liaison sera satisfaite d'elle-même.

Ainsi encore, dans le cas d’un point eue ru à demeurer sur
l’ellipsoïde :

si l’on pose :
x —= 4 Sin gi COS Q,

y = b sin q, cos q:,

3 = C Sin Q3,
la liaison sera satisfaite d’elle-même.

En général, si l’on a m équations de liaisons, les 3n coor-
données peuvent être exprimées au moyen de 5n — m d’entre
elles, ou au moyen de 3n — m variables nouvelles. +

Si nous désignons par 4, Qo,...Qr, CCS on — m — k nouvelles
quantités, elles doivent être telles que si l’on exprime x,, y, z,
au moyen de ces quantités, et si l’on substitue les valeurs
des x;, y;, z; ainsi obtenues dans les équations de condition :

>

RAT ON ET et

les premiers membres de ces équations s’annulent identiquement,
c'est-à-dire que l'on aura identiquement :

L, (qi as ve x) 0: L, (qi; a gr) =
sans qu’il existe aucune relation entre les variables q.

3. Cela posé, substituons aux variables x;, y, z;les k variables
nouvelles q,, q:»,...q, (le nombre k étant pour le moment

(4)

tout à fait quelconque), liées aux premières par des équations
telles que

x = (6, is Ua Qi);
nous aurons, en désignant par 2%, qi, G:, ... qi, des dérivées
de x;, Qi, QG». qL par rapport à £:

2, = Y{1, Qis Yes ve Gus Gus Gas ve Qu)
6. Avant de faire la substitution, nous allons d’abord trans-
former l'équation (1).
A cet effet, posons :

SAC

1
D Ym(x +YÈ + 27);

d’où :
1T DR SR LT
ur —= M;T; , dy! ——= LULEUFE + m;z; .

‘ i € i i

el, par suite,

oT
d'x; dx, dx! 1
M, — = M — = etc.
de ‘dt dt ?
L’équation (1) devient alors :
oT ù oT
d = ni =
y FAR dy z # >
OL; OU; + 03; |—= | ®
TX PTE, dt F

On peut mettre le premier membre de celte équation sous
la forme suivante :

: a a A
D ox, + — dy + — 02,
dt é Fo PTE

oT oT oT |
T d.ox, dTd.dy, 0Td. =)

+ — +
dx; dt dy; dt dz; di

d ù |
A A A
= — — ÀL, + — dy; + 92;
’ , ’ s ’ ,
[A dT; LU i i
Y oT SP ’ ; set
7. 12 x! OX; + — OV; + 5 07; | *

(5)
Or, de la formule

1
T—=- dmi(x + y? + 2°),
5 Dm + it + 2)

il résulte que T est une fonction des x’, y’, z:; on a donc:

et, par suite, l'équation (2) devient :

si ES D di) OT = OÙ 5
PA Ste APTE ER RE) ges vie (5)

z. Cette équation (3) n’est qu’une transformée de l'équa-
tion (1} toujours en coordonnées rectangulaires. Nous allons
maintenant introduire les variables Qq, et chercher séparément
ce que deviennent les trois termes de l’équation (3) lorsque l’on
remplace les x,, y;, z; par les q.

Or, T est une fonction de x, y;, z;; mais, æ;, y,, z, élant des
fonctions de #, q1,... qu, il en résulte que x’, y;, z; sont des
fonctions de f, qi... Qu» Qi. gx, données par les formules

dl #3q
ù ù
EU Er
Y; = —
He D di (4)
D, 2,
= —+d — 4!
ee 2 59.1 |

par conséquent, T sera une fonction de q,...44, ns... Qu, et
nous aurons :

ù

oT
=> vi L + Ÿ dq%

D'autre part, on à :

dq,

dx; * dy; i " w
rame Me dus = — 0, (), (5)

(‘) On ne doit pas, dans ces formules, tenir compte du terme en #,

(6)
et, par suite,

oT oT oT

ÿ — dx; + — dy; + — 02,
dx dy; ” dZ;
oT FE oT dyi oT 92;

= > 25 + = —=) 049,
dx", 4. dy! dqs dZ; dq,
D'ailleurs, des équations (4) on tire :

ds DA | ys DU . 0Z dZ;
= — = —— ) ——

D 0 0 WG M

d'où :

|

= oT ox: oT 0; dT oz;
Ÿ(——

dx; dq, T4 dy! dq, ART 4 Eee Bron > A

Mais on a aussi, en général, en remplaçant x,, y, z, par leurs
valeurs en fonction de q,...q,, et les Ôx,, dy,, dz, par les
vaieurs (D) :

QU — > (Xidx, + Y,9y; + Z;7z;)

Dre LE) = 2

= qs DAME

en posant :

ol } oT
— — 3q,— D — 5q = D Qoq. 6

Se dq! VE Don 25 °q Ÿ Q5 (6)

Mais, on a
oT

HAT d PT 4! )
+ = 32 (To) = 3 ù ee,
nds ra dq, ‘4e “di a+: 0

puisque t doit rester constant dans les différentiations relatives à la carac-
téristique d, les déplacements étant compatibles avec les liaisons.

(7)

et l'équation (6) peut être mise sous la forme suivante :

oT
3 ay D À Qi,
ms dt dq:
ou bien :
oT
5 FPE À à Fr
> NP TRIURE 9q, = 0. (7)

s. Jusqu'ici nous n’avons fait aucune hypothèse sur les
variables q, que nous avons supposées en nombre quelconque.
Supposons maintenant que les variations 0q soient arbitraires,
ce qui arrivera lorsqu'il n’existe pas de relations entre les
variables q, c'est-à-dire lorsque le nombre k sera le plus
petit possible (&k— 3n — m); les coefficients de ces variations
seront nuls séparément, et l'équation (7) se décomposera en
k équations de la forme

oT
Ré de !
PAT NA Pari (8)

s pouvant avoir les valeurs 1, 2, ... k.

Si, au contraire, il existe des relations entre les variables q,
c'est-à-dire si & > 5n — m, ces liaisons seront exprimées par des
équations de condition. On fera alors usage de l’équation (7),
et l’on traitera la question de la même manière que dans le cas
des variables x;, y;, z;; par exemple, on emploiera la méthode
des mulliplicateurs.

Les formules (7) et (8) sont dues à Lagrange.

(‘) M. Bertrand a donné une autre démonstration de ces formules (Méca-
nique analytique de Lagrange, t. 1, p. 409). Voir aussi la démonstration
de Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, pp. 64 et 65.

(8)

9. Lorsqu'il existe une fonction de force U, en y introduisant
les variables qy,... qu, On a :

oU
den FT HUE

l’équation (7) devient alors :

oT \
ad 2 OT LIU
pra rEtELS
dt 049, ds
et les équations (8) nous donnent :

oT

$ M ATOT VOD

ER À (9)

10. Les équations (9) qui ont lieu seulement dans le cas où
il existe une fonction de force, sont du second ordre. Elles ne
sont pas faciles à intégrer dans la plupart des cas; mais on peut
les simplifier, en introduisant de nouvelles variables. A cet effet,
on fait usage d’une transformation imaginée par Poisson et par
Hamilton, ce qui réduira les équations à d'autres ne contenant
que des dérivées du premier ordre, mais dont le nombre sera
double.

Pour effectuer la transformation, nous supposerons que les
liaisons sont indépendantes du temps, de sorte que les variables
x, Y:, 3, S'eXpriment en fonction des g, au moyen d'équalions
ne renfermant pas explicitement le temps £.

Nous aurons ainsi :

ÙT; dY; dZ.
’ LP" | gt ip Ag CET
= —g, =D g, = —g;
gs qs

D À

par conséquent, x!, y;, z; sont des fonctions homogènes et du
premier degré de gq;,qg:,...q.. Mais alors il est évident que
la fonction

1
T== Sm(r + y + 2),
2 mx + y + x)

(9)

sera une fonction homogène et du second degré de q,q;, ...q,
dont les coefficients seront des fonctions connues de q1, q», .….. qu.
Cela établi, posons avec Poisson :

oT
v

= Ps (10)

et nous aurons, au lieu de l’équation (9), les deux équations
suivantes :

dp. NT + U)

TRE dq,

oT (1)
gore

Mais ce n'est pas la forme définitive des équations du mou-
vement : les équations (11) subiront encore une autre transfor-
mation que nous ferons connaître plus loin.

41. Remarque. — Nous pouvons cependant déjà déduire des
équations (11) un résultat remarquable (”) :

PROPRIÉTÉ. — Si l’on peut choisir les variables q de telle
manière que l’une des variables q, n'entre pas dans la fonction
de force U, et si, en outre, la fonction T ne renferme pas la
variable q, elle-même, mais sa dérivée q!, il en résultera une
intégrale du système d'équations différentielles (11).

Cette intégrale sera :
oT

[2
8

p, = const. ou :

— COnst.

4

En effet, puisque, par hypothèse, T et U ne renferment pas
la variable q,, on a:

AT + U)
dqs
par suite,
dp, Ê
dE 0, oubien: p,== const.

(*) Jacomr, Vorlesungen über Dynamik, p. 66.

(10)

12. Ce cas se présente dans le problème du mouvement d’un
point materiel attiré vers un centre fixe.
En effet, si le centre est pris pour origine, on a les formules
x —= r cos g Sin 6,
y=Trsinysiné,
z = 7r COS 8,
en désignant par r le rayon vecteur, 8 l'angle qu'il fait avec
l’axe des z, et + l'angle que sa projection sur le plan des xy fait

avec l’axe des x.
Si l’on pose, pour abréger :

on aura, puisqu'il ne s’agit que d’un seul point matériel :

1
3 m(r"° + 76" + r° sin? 8. °°).

Ir = = m(x?+y"+z?) =

Comme on le voit, la fonction T ne renferme pas la variable ©,
mais elle renferme sa dérivée o’.
D'autre part, la fonction de force étant :

174
U=-;
Tr
elle ne renferme pas la variable o.

On a donc :

— — mr° sin 0.9 = const.,

ou bien, en faisant entrer le facteur m dans la constante,
l'équation
r° sin°0,.$" == const.,

sera une Intégrale du problème,

Or, il est facile de s'assurer que cette équation n’est autre que

(11)
l'intégrale des aires dans le plan des xy. En effet, des formules :

x = Tr COS y Sin 8,

y =Trsin?sin 6,

on tire :
Br
x
d’où :
9 xYy — yx' XYy — Yyx"
COS a? r'sin’4 cos’s
ou bien :
DAT EU |
dan r°sin?6

par conséquent, l'équation
r*sin* 06.» — const.,
est équivalente à l'équation
xy — yx = const.,
ce qui est l'intégrale des aires dans le plan des xy.

13. Reprenons maintenant les équations (11):

(71 QU À RÉAL 1
di gs V3qs
Li Li 11
ne (41)
Ps 54

Dans la première de ces équations les variables indépendantes
sont les q et les g’; proposons-nous de la transformer en prenant
pour variables nouvelles les q et les p.

La fonction T étant une fonction homogène du second degré
des g', dont les coefficients dépendent des gq, il résulte de la
seconde des équations (11) que les p sont des fonctions homo-

gènes et linéaires des gq'.
En vertu de la définition des p, on aura donc k équations de
la forme

Pi = 5;,

æ, élant une fonction linéaire de q;, .… q:.

(12)

Si l'on résout ces équations par rapport à 4, Us 200 Gis OU
obtient k équations de la forme

gi =K,;,

K; étant une fonction linéaire de p4, ps, .… px, dont les coefficients
dépendent des q.

Observons que, par le changement de variables, n ne change
pas, puisque U, qui renferme seulement q;, q, .. qi, est indé-
pendant de q,, q:,... qi, et, par suite de py, Pa, ... p,. AU COn-
traire _ ‘changera. En effet, T est une fonction de q3, qa, +... Qu,
Qis G2se.. Qu, et par rapport à ces dernières, T est homogène
et du second degré; si, au lieu des g', nous introduisons les p,
au moyen des équations linéaires g; —K;, T deviendra une
fonction de q3, ... q:, Pr, ... p,; elle sera homogène et du second
degré par rapport aux p, et elle aura changé relativement aux q,
puisque les coeflicients des K;, que nous introduisons à la place
des q', renferment des q.

Par conséquent, si l’on prend la dérivée partielle de T par
rapport à q, dans la nouvelle hypothèse, celle dérivée ne sera
pas la même que dans la première hypothèse. |

Pour distinguer, nous désignerons par (5), (#) les quotients
différentiels de T, considérée comme fonction de q1,.…. qu, Pas Pas
et par Ts comme ci-dessus, les quotients différentiels de T,
considérée comme fonction de q4, Qas +. Gus Qi Gas + Qx3 11 résulle
de ce que nous venons de dire que D et (5) auront des
valeurs différentes. *

Proposons-nous maintenant de trouver par quoi l’on doit
remplacer D dans les formules (11), lorsque T deviendra fonc-
tion de py,... Pas Us + Que

Nous avons, en vertu du théorème des fonctions homogènes :

nn
r r ’

ù
IP se :s pe 4: Hé *),
5 qi vu +- + sg; 4 0

(*) Dans cette formule et dans les suivantes, T est considéré comme
fonction des q et des q’.

(15)

ou bien :
2T = pig + pags + ++ + Digi

formule que l’on peut écrire sous la forme suivante :
T = piqi + pags + ce + paie —T.
Prenant la différentielle totale des deux membres, on à :

AT = pidqi + padqs + + + pidqgx
+ qidpi + qeps + + + qidqu

dT oT
— — dy —— dy; —.. — —d
qi qi 14 VE qu
dE ;
on sd — — dq,,

ou bien, en réduisant en vertu de la deuxième équation (11):

AT = qidp, + qudps + + + gidps

T étant loujours considéré comme une fonction des g et des q'.
Mais, si nous introduisons dans T, au lieu des q'’, les quan-
tités p, au moyen des équations

h qi re K;,
T devient une fonction des p et des q, et l’on a:
. oT oT
dT — Ÿ (Je + Ÿ ( dq.;

par conséquent,

(14)

Cette équation devant être identique, on a:

Si, maintenant, nous remplaçons e dans la première des
équations (11), il vient :

dp, oU ue |

FT dq dq,
et alors les équations (11) peuvent être remplacées par les
suivantes :
dp, __dU F)
dt, gl
q q (12)
Fe dq, É
HT 0 dp,

44. Si l’on compare la seconde de ces équations (12) avec
la seconde des équations (11)
oT
nm 4, ,
on en conclut qu'il existe entre les quantités g' et p une sorte
de réciprocité.

15. Afin de donner aux équations (12) une forme plus simple,

posons :
H—T—U,
nous aurons :

le

(15)

Mais, comme nous l'avons déjà remarqué, U ne renferme
PAS Pis Pas + P,3 Par conséquent,

dU
cle
dp,
d'autre part,
_ as dU
VAT A

puisque U ne renferme que les q, et par suite, ne change pas
quand on remplace les q' en fonction des p.

On a donc :
=) dU
39.) Val 39

RE

et les équations (12) deviennent :

_ Comme, dans ces dernières équations, il est évident que p et q
sont les variables, on peut supprimer les parenthèses et écrire
ces équations sous la forme suivante :

dp; oH
TARA

45
dg; oH (ei

dans lesquelles H = T — U.

On a autant d'équations semblables à celles-ci qu'il ya de
variables p et q.
C’est Hamilton qui a donné la forme (13) aux équations du

(16)

mouvement (‘). Elles s'appellent les équations canoniques du
mouvement, où système hamillonien.

La fonction H — T— U a reçu de Jacobi ie nom de fonction
caractéristique (”).

16. Remarque. — Il est facile de retrouver au moyen des
équations (13) le principe des forces vives. En effet, il résulte
de ces équations (13) que la fonction H reste constante pendant
toule la durée du mouvement.

Pour démontrer cette propriété, il suffit de prouver que l’on a :

Or, la fonction H étant, par hypothèse, une fonction de
Gus eee Gus Pas ee Ps Qui ne renferme pas explicitement le temps (""”),

on à :
ot dy, 2H dp, Jp).

mb | di op, d

Mais, si l'on multiplie les équations (13) respectivement
par SE et %, et si l'on retranche, il vient :
dH dp; dH dg;

A ei
op; dt og; dt
Donc, en faisant la somme pour toutes les valeurs de à
depuis i = 1, jusque i —#, on a:

dH d dH d
5 É _ Sr 7) = (0,
dg; dt op, dt
el, par suile,

(‘) On a general method in dynamics (PaiLosopaicaL TRANSACTIONS,
1834 et 1855); Jacomr, Vorlesungen über Dynamik.

(**) Vorlesungen über Dynamik, p. 70.

(*) En effet, la fonction de force U ne renfermant pas, par hypothèse,
explicitement le temps, il en est de même de la fonction H = T — U,

(17)

Par conséquent, on à :
H — const.

pendant toute la durée du mouvement.
D'ailleurs, on a posé :
H —T—U;
par conséquent, l’équation H = const. nous donne :
T FES U — 1 Pre Un,
ou bien :
T—T = U—UÙ,,
l'indice O indiquant que l’on a fait t— 19 dans T et U.

Or, T est la demi-somme des forces vives du système, et U
la fonction de force : il en résulte que la dernière formule n’est
autre que l'expression du théorème des forces vives.

27. Remarque. — Puisque l’on a H— const. pendant toute
la durée du mouvement, on en conclut que l'équation

H — const.

est une intégrale des équations canoniques (*) (13).

48. Dans le cas où il n’y a pas de fonction de force, on doit
remplacer ns dans les équations (11) par l'expression
s ‘

ORNE |
dt dp, (14)
dp, dT Q (
does dqi 4 |

(‘) On appelle intégrale des équations canoniques une équation telle
que Ê = «, jouissant de cette propriété que l'on a identiquement a — 0,
en vertu des équations canoniques.

2

(18 )

49. Les équations canoniques (13) sont au nombre de 2k; ce
sont des équations différentielles ordinaires. La fonction H ne
renferme pas explicitement le temps. C’est la forme à laquelle
on peut ramener les équations d’un problème de mécanique
auquel le principe des forces vives est applicable. En les inté-
grant, on obtient 2k intégrales distinctes, contenant 2k constantes
arbitraires. Ces 2k équations serviront à délerminer p4, Pas «… Ps
Q1s 2» + Qi, en fonction de t et des 2k constantes arbitraires.

20. Application. — Proposons-nous d'appliquer les équa-
tions (13) au cas où les variables q;, ga, .… 41, Sont précisément
les coordonnées x;, y;, z;, Ce qui arrivera lorsqu'il n’y aura pas
d'équations de liaisons. Le système est alors un système de
n points matériels entièrement libres.

Dans ce cas, on a :

1
T=- mi(x;* À Aa}
à (x + y + zx)

On en tire :
TEMT
Pi = 54 = eu m;x! ;
d’autre part,
oT oT
ne
dU + oÙ
qi
ES UUNT
pe mx) he
dU
— 0.
Par suite, on a :
oH dU
qd
dH

(19)
et les équations (13) nous donnent :

d(mix;) _ dU

TRUE ot;

dx; ;

— = %;

dt €

ou bien :

dx! dÙ

m; SE TR à
dt T;

das»

dt j

dx, oÙ
PTE
de même, on a :
dy, DU d'z, dU
SC) CA de

On retrouve donc ainsi les équations ordinaires du mouvement
du point m#, libre.

If.

Méthode de M. Émile Mathieu.

24. On peut obtenir les équations d'Hamilton sans faire
usage des équations de Lagrange. La méthode directe que nous
allons faire connaître est due à M. Émile Mathieu (‘).

Reprenons l’équation

d'y; d’z;

dr,
Dul— du, + Toy + TE de) = OU, , (1)

(") Journal de Liouville, 2° série, t. XIX.

(20 )

en supposant qu'il existe une fonction de force U, et soient
L=0 :L=0 LEE (2)
les équations qui expriment les liaisons du système.

Supposons que ces équations, ainsi que la fonction de force U,
ne renferment pas explicilement le temps t, et posons, comme
précédemment :

dx; di NE 2e

L4

RP Re

=%;
nous aurons pour FR de la demi-force vive :

— 5 Dm + + 41) G)

et l'équation (1) devient :

dx! . dy: L dz; . ] Le
D m; Æ OT; + dt WE a 7 dt 0%] —= U.
Or, de l’équation (5) on tire : |

dx, dé
DT = 2 mr + + 293 3m fre + y Us 4e).

Cette même équation (3) nous donne aussi :

ro r

— ÿ MAÂLIIL, + Y0y; + 7,92)

3 LU , ,d2:
= m,| HIT + ya FT +48)

En soustrayant ces deux dernières équations, il vient :
dx, .dy dz;\
IT — 3 m (x i Hs Trés
2m He ag)
D | ap + )
FE ULR T; FRE a ETS Zi ZE ;
* Ré TP AI EE
par suile, on 2 :

sw 1 .dr, dy, , dZ,; 4%; dy; 3%)
Da de + 4%) Dm (ee + ve 50€

dx; . dy; dz; ;
a Dm, ri + y, + — 2) =0T — oU,

(21)
ou bien, en posant T — U—H,

dx. dy. d=
D 1: Ans NP Qu… =)
hui ve dt TR dt x " dt

ENRES) NT (xidx + you, + 222) — 5H.

Si maintenant nous représentons les coordonnées x, y,, z, par
la lettre Q affectée des indices 1, 2, 5, … Sn, et les quantités
mx, MY, M,z;, Correspondantes par la lettre P affectée des
mêmes indices, la dernière équation devient :

dQ, dQ; ee
) P ER == —, LEE] e = "2
(RS EE re 2
d
7. PA + PQ, + + + Ps 0Qu.) — H. (4)

Or, au moyen des » équations (2), on peut réduire le nombre
des variables Q à 5n — m; en d'autres termes, on peut expri-
mer les 5x variables Q en fonction de 5n — m nouvelles
variables, de telle manière que les équations (2) soient identique-
ment satisfaites.

Désignons par gs, ga, … q, CeS on — m— k nouvelles variables,
et choisissons des variables p,, en même temps que les Q,, et
qui satisfassent à l'équation :

PadQu + Page + ve + paiqe = PQ + PQ + + + PQ. (À)

Si l'on prend les variations virtuelles égales à celles que
subissent effectivement les variables Q, et Q, pendant le temps dt,
ce que l'on peut faire, puisque nous avons supposé que les liai-
sons et la fonction U ne renferment pas explicitement le temps,
l'équation (5) nous donne :

du 4, np dQ.

+ — — in (6)
RP ‘ dt “cb (@)

— — (Pidqu + ++ + pag) = A,

à dq: +) d
ee + + la

(22)

ou bien, en effectuant les opérations indiquées, et supprimant
les termes qui se détruisent :

dq: x dp, dp,

dq dx dp: dp,
I 0) — dq, — «+ — d
æ re TS ARCS de 1
0H dH dH ù

= — dqi + + — dk — dpi + + — 0dp,
dq ù k

Comme il n’existe aucune équation de condition entre les nou-
velles variables, nous aurons, en égalant les coefficients des
mêmes variations dans les deux membres, les équations suivantes
au nombre de 24 :

dqi dH
FANANRE
ÿ (9
dp; dH
PRET)

Ce sont les équations d’'Hamilton.

22. Passons maintenant à la détermination des variables p.
Dans l’équation (5) les variations dq sont indépendantes; cette
équation nous donne donc pour la définition de p, la formule

à 0,
Ps = P, 0, LE P, …
04 dqs dqs

(9)

pour les valeurs de s égales à 1, 2, … k.

Cette formule (9) nous permet de passer des variables de
l'équation (4) à celles de l’équation (7) ou des équations (8).
Mais, si nous avons égard aux significations particulières des P
et des Q, cette équation (9) nous donne :

, 0X; , Yi ME? NE
p= jm CÉRPPREEI (9°)

(25)

Or, en désignant par qi, q:, … q:, les dérivées de q4, ga, «… q: par
rapport à £, on a, en observant que les équations de condition
ne renferment pas explicitement le temps :

SP PRE PEER Ce EP do)
XL =— = — + — + ce + — e
| ï di q, q2 sq *?
d'où :
ML AT;
qd
de même,

dY;s dY, DZ; dZ,
— = —; : ;
09e dqs UE ds

par conséquent, il vient :

dx! dy! DZ! dE
pme eyes). (11)
09 “09 “qu 1!

Il résulte de cette dernière formule que l’on aura la quan-
tité p,, en exprimant T en fonction des variables q, et de leurs
dérivées Q', et en prenant la dérivée de T par rapport à q..

Mais, dans les équations (8), la fonction H—T—U doit
être exprimée en fonction des variables p,, q,. On doit donc
exprimer T en fonction de ces mêmes variables.

+ Or, la formule (11) nous donne kÆ équations linéaires par
rapport à qi, ,...q Si l’on tire de ces équations les valeurs
de q:,...q, en fonction des p;, q;, et si l'on remplace dans
équation

2T = piqi + pags + ++ + Pak

qui résulte de l’équation (6), nous aurons T en fonction des
variables p,, q;, et nous pourrons former les équations (8).
On voit donc que la formule

oT
Pen =?

Tor
résulte de la forme particulière des quantités P et Q, puisque
pour passer de l'équation (9) à l’équation (9), nous avons
remplacé P et Q, par mx’ et x.

(24)

23. Remarque. — La démonstration de M. Émile Mathieu
est plus simple que la démonstration ordinaire. Elle a aussi
l'avantage de remplacer l’équation (1) par l'équation (4) qui est
beaucoup plus générale.

24. Nous venons de voir que l’équation :

oT

= Tr
dqs

Ps

résulte de la forme particulière des quantités P et Q, puisque,
pour la démonstration de cette formule, nous avons remplacé Q
par x, y, z, et P par mx’, my', mz'.

Or, M. Mathieu a démontré que cette formule a lieu toutes
les fois que la fonction H se compose d’une fonction — U ne
renfermant que les variables Q, et d’une fonction T homogène
et du second degré par rapport aux variables P, cette fonction T
pouvant contenir les variables Q d’une manière quelconque.

En effet, la fonction T étant homogène et du second degré
par rapport aux quantités P, on à :

2T = P, — + 9 — + + P,, —

Mais l'équation (4) peut être mise sous la forme :

1 1Q, 1Q

«a 0P, + Qu, + ee. + : _. Ps

dt dt dt
dP, 50 dP, 50 dP;, 30 T == JU
QE CR PCT A TIR RES

Or, nous supposons qu'il existe des relations entre les
variables Q; mais il n’en existe pas entre les variables P. Par
conséquent, les variations dP sont indépendantes. D'ailleurs,
T étant une fonction des P,, Q,, et U ne renfermant pas les P,,
nous aurons, en égalant les coeflicients des dP, dans les deux
membres, les équations :

oT
dP,

7 RAS ONE à DINAN
*e Q;, pe Qu

Le
LA
Qi »P, dP,

(25 )
par conséquent, il vient :
2T = PQ + PQ + + + P,,0s,.

Mais, en vertu de l'équation (6), qui a lieu dans le cas actuel
comme précédemment (‘), on a:

PQ + PQ + + + PQ, = piqi + Pags + ve + Paqus
par conséquent,

2T = piqi + Pas + ve + Pie)
d'où :

20T — padqi + padgs + 2 + Page + GP + QuPa + ee + QUIPee

D'ailleurs, la première des équations (8) nous donne :

par suite,

Mac ANT oT
20T = pidqi +». + Paig + A dpi + + + Hour
Or, en supposant T exprimée en fonction des q;, p;, on a :

sr oT : oT È es : Bal ç
ON es AA CN EE :
dpi fe dpk Pa dq Se dGk: <;

et, en retranchant cette équation de la précédente, il vient :
; s oT oT
OT = pidqi + + + P49qx — 7 da — + — Sa. dx.
Mais, T étant considérée comme une fonction des q,, q', on a :
ST Se ie ne SE
Nos Les tue LR His Qx;
(*) Toutes les équations jusque (8) ont lieu sans qu'il soit nécessaire

de particulariser P et Q.

(**) Nous désignons par (D la dérivée par rapport à q; de la fonction T,

supposée exprimée en fonction des p;, q:.

(26)

en égalant les deux valeurs de ÔT, il vient :

oT
re

et l’on voit que cette équation a lieu indépendamment de la
forme particulière des Q,, P,, c’est-à-dire que pour obtenir cette
équation nous n’avons pas, comme précédemment, remplacé
les À, par x, y;, z;, et les P, par mx, m;y;, m;z!.

25. Remarque I. — L’équation résultant de l'égalité des
deux expressions de ÔT, nous montre que l’on à :

El oT
dgs)
(T) étant la dérivée partielle de T considérée comme fonction

des q;, p;, tandis que _ est la dérivée partielle de T considérée
comme fonction des Gs q; (n° 43).

26. Remarque II. — Nous pouvons encore observer que
l'équation (7) présente certains avantages sur les équations (8).
D'abord, l’équation (7) est applicable dans le cas où il n’y a
pas de fonclion de force, tandis que les équations (8) exigent
l’existence d'une fonction de force. En effet, pour obtenir les
équations (8), on doit remplacer dans (7) 9H par la valeur

H oH oH oH”
+ — pu,
qi dPk

ce qui n’est possible que si l’on a H—T—U, c’est-à-dire s’il
existe une fonction de force U.

Lorsqu'il n'existe pas de fonction de force, l'équation (7)
subsistera encore, pourvu que l’on convienne que dans cette
équation on ail :

SH — OT — AU,

expression dans laquelle dU n’est plus une différentielle exacte
d'une fonction des æ,, y;, z;, mais une notation pour représenter
l'expression (n° 3)

À (Xox: + Yi9yi + 2:32),

(27)
X,, Y,, Z, étant les composantes des forces. Mais, dans ce cas, OU
n'étant plus une différentielle exacte, on ne pourra plus écrire :

PEL S H, M, M,
SCREE HO CEEE HART S CNP CNAUE
DONS MT PAMPAQET To moe

et, par conséquent, on ne pourra plus déduire de (7) les équa-
lions (8).

Proposons-nous de trouver par quoi l'on devra, dans le cas
actuel, remplacer les équations (8). A cet effet, observons que,
si l'on remplace les variables Q,, c’est-à-dire x,, y;, z; par les
variables qy, a» +. Qu, il vient :

dU = Gidqi + G2:d92 SMOUIS Gags

et, en substituant dans le second membre de l’équation (7), on a,
pour ce second membre :
T

su oT ; oT 5 oT 8 ù À
LR PEACE NES R—— Re
dqi pi dx 1 dpi P dPx a

— G9q1 — Grade — ++ — G9q: ;

l'équation (7) devient alors la suivante :

Top + + . ape du — + — di
a
UT dqr pa dk
— Gdq1 — G2dg2 — ++ — Gidgr,

et, en égalant les coefficients des mêmes variables dans les deux
membres, on obtient les équations :

da TRUE |

dt dp; (15)
dp, oT |

— = —— + G,.

dt di

Ce sont les équations qui remplaceront les équations (5) dans
le cas où il n’y a pas de fonction de force (n° 48).

( 28 )

27. L'équation (7) présente un autre avantage sur les équa-
tions (8) : c’est qu'elle a encore lieu, même dans le cas où les
variables q, satisferaient à des équations de condition.

En effet, considérons m' des équations (2), m' étant plus petit
que m, ce nombre m' pouvant être nul. On pourra exprimer les
variables Q au moyen de 5n — m' variables que nous dési-
gnerons Par 4, Ja, ++. x, EN posant k = 5n — m', de manière
que ces expressions des variables À satisfassent identiquement
aux m' équations :

L, —= 0, L, — 0, …… L,, —= 0.

En substituant ces expressions dans les »— m' équations (2)
qui n'ont pas été employées, nous aurons m» — m' équations
de condilion entre les q..

En posant alors :

Pad + Padge + ve + Padqu = P10Q + + + P:,dQ,,, (14)
on parviendra comme précédemment à l'équation :

d d d d
TE + ee + _ dPx — “A 5q — 1 — “qu — 0H 00e)

mais, cette fois, les variations dq,, 0p, ne sont plus indépen-
dantes, et, par conséquent, or ne pourra plus déduire de cette
équalion (7) les équations (8).

Les variables p, sont encore déterminées par l’équation :

oT
D, = — :
Ps
En effet, les variations dg n'étant plus indépendantes dans
l'équation (14), on ne pourra pas déduire de cette équation
la suivante :

ù dQsu
Ps — P, 0 + ee + P:, Q .
N/A dqs
Cependant, on pourra poser comme définition de p, :
ù ù dQ;, F
P, Fra P, Qi p, © SN prete P;, G } (15)

+
dq, ds N/A

(29)

On aura ainsi k équations, pour s — 1, 2, .. k, et ces
k équations entraîneront comme conséquence l’équation (14).
D'ailleurs, l'équation (15) nous donnera, comme précédemment,

oT
Par q; ÿ
Mais il est bon d'observer que, dans le cas actuel, l'équation (14)
est la conséquence de l’équation (15), tandis que, dans le cas
précédent, l'équation (9) était la conséquence de l'équation (5).

28. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les
liaisons sont indépendantes du temps, ainsi que la fonction U,
ce qui nous a permis de remplacer les déplacements virtuels
par les déplacements effectifs. Lorsque les liaisons renfermeront
explicitement le temps, cette opération ne sera plus possible,
el nous ne pourrons plus déduire l’équation (6) de l'équation (5).
Nous allons voir comment on doit, dans ce cas, modifier
l'analyse qui précède.

Observons d’abord que les équations de liaisons équivalent
aux équations qui expriment les 3x variables Q en fonction
des 3n — m — k variables q, et qui actuellement renferment
le temps :

Q; = 0(1, is To ve x);
Q: — 0(t, is T2 qu),

En éliminant 4, ge, ... q, entre ces 5n équations, on obtien-
drait un système de #” équations équivalent aux » équations
de liaisons données.

Or, les variations dQ de l'équation (5) s’obtiennent en faisant
varier Q4, Qas ++. x, Mais { restant constant (‘).

On à donc:

(*) C'est ce qui résulte du principe des vitesses virtuelles.

( 50 )

mais, d'autre part, si l’on désigne 6! la dérivée partielle de 8, par
rapport à {, il vient :

dQ, y ANNE EP 6, ,
—— i + ——— i + — + 0 + —— ,
dt di q dqa : NA ELE

mais, les variations 0g étant arbitraires, nous pourrons poser :
ds — qsdt,
pour toutes les valeurs de s égales à 1, 2, ...kÆ.

Nous aurons alors :

dQ, |
00, = | —= — 6; | dt
o (4.
Par suite, l’équation
Padqu + + + du = P0Q + + + P,,0Qs, (5)

nous donnera :

dq dqx dQ, dQ;,
End + ae + ee + P;, À

Pise
L'équation (4) devient alors la suivante :

dqr d
d (p EU He + Pa 2) — a \Pr9: + ce + D409i)

= JU = (P,8, + PAU + PL),
ou bien :

d de d
E) (p 2 He + Py ") — a Pa + ee + Padq:)

= XH — P,4, > P,6, VS 7e P;n05n) -

On déduira de là, en effectuant les opérations du premier
membre, comme nous l’avons fait pour obtenir l’équation (7),
une équation qui conservera la même forme que (7), pourvu que
l’on change H en:

H aa pe ris) P,& — 110 — Psnô5, »

(31)

Il en résulte donc que les équations d’Hamilton (8) subsisteront
dans le cas actuel, pourvu que l’on y fasse le même changement.
Quant aux variables p, elles seront données par les équations
oT
M »q
comme précédemment.

HIT.

Principe d’'Hamilton.

29. Le principe d'Hamilton peut être énoncé de la manière
suivante (*) :

Soient T la demi-somme des forces vives des différents points
du système, OÙ l'expression du travail virtuel des forces exté-
rieures, On aura :

[er +sva 0 (1)

(to et t désignant deux époques données), pour tous les dépla-

cements compalibles avec les liaisons du système, pourvu que

l’on donne les positions iniliales et finales du système, ou que

l’on suppose nuls les déplacements relatifs aux époques t, et 1.
On exprime quelquefois ce principe par la formule :

à fx + vo.

Mais, la première formule est plus générale; car, lorsqu'il
n’y a pas de fonction de force, U n’a aucun sens.

Le principe d'Hamilton se distingue de celui de la moindre
action, en ce que, dans ce principe, U peut renfermer expli-
citement le temps, ce qui n’a pas lieu pour celui de la moindre
action. En effet, le principe de la moindre action exige que le

(*) Jacosi, Vorlesungen über Dynamik, p. 58.

(32)

théorème des forces vives existe, et ce théorème des forces vives

permet d'éliminer le temps. Or, le théorème des forces vives n’a

lieu que si U ne renferme pas explicitement le temps.
Considérons le premier membre de l'équation (1) :

. GT + JU)dt.

to

Nous aurons :
1 « ’ LA !
1 9Tdt Fa LDY ma + y + zi*)dt
Ÿ 1 ŸDomiriox, + yidy, + 292: )dt

fo | , dx: 0! doy: ’ = lt
m, | x! de, = + 2, — |
è AE EN GE PU

— ) MAa OL, + YidY: + 2:02)

ns “ ÿ MAT OL, + Yi dy; + 2:02).

Intégrons entre les limites #, et t, en observant que les
positions de tous les points étant données à l'instant initial
et à l'instant final, 0x, dy,, dz, sont nuls aux deux limites; par
conséquent, le terme en dehors du signe f° est nul aux limites,
et il vient :

|

f. (OT + SUjdt — fr {OU —Ÿ mx dx: + yi0y; + 2,02) | dt,

to

ou bien, en remplaçant dU par sa valeur :

JU = > (Xdx; Cu no Ydy; a Z;2z,),
on a :

L GT + oUyAt

OL lo
F1 1. DXar: + Ydy:+ 292) — Ÿ m{xidx, + yi0y; + 2; d2,) Le (2)

d'x d? d'z
=f. Ds-m)ane (rm) (2 me) x (de

(55)

Or, si dx,, dy,, dz, sont des déplacements compatibles avec les
liaisons du système, le second membre est nul en vertu des
équations du mouvement, et l’on a :

f (OT + JU)dt = 0. (3)
fo

30. Remarque I. — Il est facile de déduire de l’équation
d'Hamilton les équations de Lagrange sous la forme qui nous
a conduit aux équations canoniques (n° 7).

En effet, supposons qu’aux coordonnées x;, y,, z;, on substitue
d’autres variables q4, q2:... gx, et introduisons ce changement
de variables dans la formule (3).

D'abord, T qui était primitivement une fonction des x;, y, z;
deviendra, par la substitution, une fonction des g, et des g;,
el nous aurons :

d'autre part, on à :
OU = YXor, + You: + Liz) = Ÿ Qui.

Par conséquent, la formule (3) nous donne :
oT oT
ve > qi + FE di + Qt dt = 0. (4)
Mais, en intégrant par parties, on à :

D oT
(EEE
oT d.d oT dq:
Joue fe RÉEL EE qi — 1 il dqidt;
dq; dt dq! € dt

d’où, en intégrant entre les limites £, et t, et observant que les
variations 0gq, sont toutes nulles aux deux limites :

(34)

On a donc, en substituant dans l'équation (4) :

oT
fu ARR NT
— — - DE EAN}
S NA TE di (aq
do
et, par suite,
HS DT
d. 7 ST
Nat qi
Là ä us Q: | 9q;, = 0

C'est la formule de Lagrange que nous avons trouvée précé-
demment (n° %).

31. Remarque II. — Le principe d'Hamilton, comme celui
de la moindre action, ne fournit qu’une propriété du mouve-
ment; il ne donne pas d’intégrale du problème.

32. Remarque III. — Le théorème d'Hamilton est distinet
de celui de la moindre action. L'intégrale dont la variation est
nulle, dans ce nouveau principe, diffère seulement, comme nous
le verrons plus loin, de celle de la moindre action, dans le cas
où le principe de la moindre action a lieu, par l’addition d’un
terme proportionnel au temps. Mais, les conditions sous lesquelles
la variation est nulle sont ici complètement changées, et le
temps du trajet qui, dans le principe de la moindre action, ne
jouait aucun rôle, est actuellement une des données de la ques-
tion, tandis que la constante des forces vives qui était donnée
alors, ne l’est plus dans le nouveau principe.

Si l’on applique, par exemple, les deux théorèmes au mouve-
ment elliptique d’une planète, dans le premier (celui de Ja
moindre action) le chemin réellement parcouru est comparé à
tous les chemins possibles, ayant les mêmes extrémités, et pour
lesquels la vitesse en chaque point est exprimée par l'intégrale
des forces vives; dans le second, ce chemin est comparé à tous
les chemins parcourus d’une manière arbitraire sous la seule
condition que la durée du trajet ait une valeur donnée.

( 55,)

IV.

Équation différentielle partielle d’ Hamilton.

33. Le principe d’'Hamilton nous apprend que, s’il existe
une fonction de forces U, et si l’on donne les valeurs initiales
et finales des coordonnées, c’est-à-dire si les positions extrêmes
du système restent fixes, la variation de l’intégrale

0 UE,

lo

doit s’annuler en vertu des équations du mouvement (n° 29).

Supposons maintenant que les positions initiales et finales
ne Soient pas fixes ("); alors les variations dg; ne sont pas nulles
pour lés limites & et €. Nous allons voir que si l’on développe
la variation

> f (T + Ujdt,

lo

il n’y a que la partie de cette variation; située sous le signe / qui
soit nulle, en vertu des équations canoniques. Cette variation
ne renfermera donc aucun signe /, ou, ce qui est la même
chose, la variation de T + U sera une différentielle exacte.
Nous pourrons même supposer, dans la démonstration, que
la fonction de force U renferme explicitement le temps.
Supposons les 5n coordonnées x, y;, 7; exprimées en fonction
des 5n — m—k variables nouvelles q;, go, 4, de manière
que les » équations de liaisons soient identiquement satisfaites.

Posons :
T+U—», et vf sd;

to

(") Jacosr, Vorlcsungen über Dynamik, p. 145.

(56)

nous aurons, puisque œ est une fonction de qy, Qo, .… Qu,
dis Use. gr, en prenant la variation de o, sans faire varier !,

ù ù

? 3y
gi

Par suite, si £ est la variable indépendante,

PES D gr
fe fa # Dé + [ 3E dq;dt.

Or, en intégrant par parties, on a :

LE
à de d.0q; ds "24!
dq' dg, dt dq ; dt

si l’on intègre entre les limites {, et #, et si l’on désigne par un
indice supérieur 0 les valeurs correspondant à la limite infé-
rieure to, il vient :

10

Mais, la fonction U ne renferme pas les g;, puisque l'on a :

U= fonct.{(t, Qu -. qu).
Par conséquent,

AC dan mn (1)

2
|<
24

(T +0) : »Ts QU:

RTS
dq;

dq; g; . qi

(57)

done, la quantité sous le signe /”se réduit à :

oT

0T D dq!
Dee

dqi dq: dt

Or, en vertu des équations différentielles du mouvement de
Lagrange (n° 9), tous les termes de cette somme sont nuls sépa-
rément, puisque £—3n — m : par conséquent, l'intégrale dispa-
raît, et il vient :
t dp dp |
EE) eu = D — 94, — —
De à 2 dq: 1 2 LE og:

— Ÿ pd: — Ÿ p;0q?.

34. Dans l’hypothèse précédente (n° 29), on donnait les posi-
tions initiales et finales, c’est-à-dire les valeurs initiales et finales
des Q,, et, par suite, 0q? — 0, dq; — 0, et l’on obtenait :

= f edt = 0;

lo

c’est le principe d’Hamilton.

lo

Dans le cas actuel, les positions extrêmes étant arbitraires,
les 9q; ne sont pas nuls aux limites, et, par suite, on a :

N = D poqi— D po! (2)
et le second membre n’est pas nul.

D'ailleurs, lorsque les positions extrêmes sont données, les
variations 9q, sont nulles aux limites {, et #, et les constantes
arbitraires introduites par l'intégration sont complètement déter-
minées par les positions extrêmes des points du système,
lesquelles sont. données. Au contraire, si les positions extrêmes
sont arbitraires, les q,, q:, et, par suite, les p, qui sont liés
aux 9; par l'équation (1), sont des fonctions de #, et des 2%
constantes arbitraires. La fonction

al
\ = edt,

d'

(58)

est donc aussi une fonction de ft, et de ces 24 constantes arbi-
traires.

Les 09, sont uniquement les variations des q, provenant des
variations des 24 constantes arbitraires.

La formule (2) donne la variation de V, provenant des varia-
lions des constantes arbitraires.

Cette formule (2) démontre la proposition énoncée plus haut,
que la variation de T + UÙ est une différentielle exacte. Obser-
vons que si l’on ne considérait pas £ comme variable HAS
on devrait ajouter au second membre de (2), le terme ? V9.

35. L'expression que nous venons de trouver pour la varia-
tion de V, va nous conduire à des résultats importants. En effet,
les intégrales des équations du mouvement, au nombre de 24,
renferment les 2% quantités q;, p;, le temps f, et les 2k constantes
arbitraires. On peut donc exprimer les variables q,, p;, au
nombre de 2k, et, par conséquent, aussi © en fonction de !
et des 24 constantes d'intégration, et, par une quadrature,
on aura V en fonction de £ et de ces 24 constantes d’inté-
gration.

Mais, le choix des quantités qui forment les 24 constantes
est arbitraire. Si l’on prend, par exemple, les 24 valeurs
initiales q;, p?, on aura V exprimée en fonction de £, qg;, ps. Mais
les 2% + 1 variables £, q;, p,, et les 2k constantes q°, p! forment
un système de 4k + 1 quantités reliées les unes aux autres
par 24 relations qui sont les équations intégrales. On peut donc,
au moyen de ces 24 relations, exprimer 2k quantités en fonction
des 2% + 1 autres. Supposons, par exemple, que l’on exprime
les 24 quantités p,, p°, en fonction des 24 + 1 quantités 4, g,, qi,
el substituons les valeurs des p°, ainsi obtenues, dans la fonc-
tion V, qui, d’après ce que nous avons dit plus haut, est déjà
exprimée en fonction de t, q, p?. Nous en déduirons la valeur de

et eut,

to

en fonction de £, q;, qi.

(59)

Cela posé, si nous prenons la variation de V ainsi exprimée,
sans faire varier t, il vient:
dV dV

dq: — 34
an A Da

NV —= Y
dd

En comparant les deux expressions de dV, on obtient les
équations :
dV doV
Né 10 — Z= — RE , 3
AE pi (5)

HÉITAUESS A

Ces équations (3) qui donnent p, et p? en fonction de 4, q;, q4,
peuvent donc'remplacer les 24 équations qui relient les 4k + 1
quantités 4, q;, qi, Ps, ps. Elles sont, par conséquent, équivalentes
aux 24 équations intégrales : il sera évidemment facile de les
former lorsque la fonction V sera connue en fonction de !, q;, q°.

36. Il est facile de s'assurer que la fonction V satisfait à une
équation différentielle partielle du premier ordre que nous allons
obtenir. |

A cet effet, reprenons la formule :

Ve ‘A pdt,
%

qui définit la fonction V. On en tire :

dV
dt

o ==
Or, { est contenu dans V d’abord explicitement, et, en outre,

implicitement, puisque V est fonction de ns Yes. xs Qui SOnL
des fonctions de £. On a donc l'équation :

à laquelle doit satisfaire identiquement la fonction V.

(40)

Mais, en vertu de (3), cette équation nous donne :

dV
pas + pq,
ou bien :
JV
it Dpt? 0 (4)
Si maintenant l'on pose :
= Ÿ pi —», (5)
l’équation (4) devient :
dV
F + y = 0. (6)

Telle est l'équation à laquelle doit satisfaire la fonction V.
Or, cette équation est une équation aux dérivées partielles du
premier ordre en NV.

En effet, les quantités g! et les p, que nous avons introduites
en posant :

;
a ()
forment deux systèmes de quantités qui peuvent être exprimées
les unes en fonction des autres, et, en outre, en même temps
en fonclion de t, q,.

Il résulte de cette liaison entre les g' et les p, qu’une expression
quelconque donnée des 34 + 1 quantités t, q,, q;, p:, peut être
exprimée, ou bien en fonction des 2k + 1 quantités £, q;, q;, ou
bien en fonction des 2k + 1 quantités t, qg,, p.. C’est ce qui
arrivera précisément pour la fonction y.

En effet, en vertu de (5), 4 est une fonction des 34 + 1
quantités 4, q,, q: et p;. Par conséquent, d’après ce que nous
venons de dire, on pourra exprimer 4 en fonction des quan-
lités 4, q,, p,, et, si l’on remplace, en vertu de la première des
équations (3), les p, par les quotients différentiels partiels il
en résultera que 4 sera exprimée en fonction de £, q;, D. L’équa-
tion (6) devient alors :

P; —

EN 0e Th ire QE

dv VV V À
k SR à 0. (7)

(#19

C'est léquation différentielle partielle d’Hamilton à laquelle
satisfait la fonction

considérée comme fonction de £, q,, qg?. Cette fonction V renferme
donc 4 constantes arbitraires; si l’on augmente V d’une nouvelle
constante additive, elle satisfera encore à l'équation (7), et nous
aurons ainsi une solution renfermant £ + 1 constantes arbi-
traires, c’est-à-dire une solution complète.

L'intégration des équations canoniques donne donc une
solution complète de l'équation aux dérivées partielles du
premier ordre (7).

37. Inversement, si l’on pouvait obtenir cette expression
de V, on aurait, en vertu des équations canoniques,

aV dV

VA ET
et les secondes de ces équations, au nombre de k, seraient les
intégrales finies du problème.

Nous trouvons ainsi une liaison entre les deux problèmes de
l'intégration des équations de la mécanique, et de l'intégration
des équations différentielles partielles du premier ordre.

Tout ce que nous venons de dire serait encore vrai, si la
fonction 9, au lieu d’être égale à T + U, désigne une fonction
quelconque des quantités £, q;, g: : c’est ce que nous verrons
dans le chapitre suivant.

3s. Remarque. — Dans les problèmes de mécanique, la
fonction Ÿ prend une forme très simple. Pour trouver cette
forme, reprenons l’équation

o— pq —#,

et remplaçons 9 par sa valeur T +U, U désignant une fonction
des q, seulement, ne renfermant pas explicitement le temps,
et T une fonction homogène et du second degré des gq;.

On a d’ailleurs :

d? )T
Di ES PRE
: dqi dq:
d'où :
oT
> Piq: > qi sg: Lie
par suite,

ÿ—9T — (T + U)=T —U=H.

L’équation aux dérivées partielles est alors :

+ H = 0,

Ü

et l’on a le théorème suivant :
39. THÉORÈME. — Soient :

oT
HT OU pete
4:

?

et supposons que H soit exprimée en fonction des p,, q;; les
équations différentielles du mouvement sont alors :

dq; dH
MER

dp, 0H ]
TENUE 4

Considérons le mouvement pendant l'intervalle de ty at, et
introduisons comme constantes arbitraires dans les intégrales
les valeurs initiales p}, q;.

5. ; dv ,
Si l’on remplace ensuite dans H les p, par x CA posant :

on obtient l'équation différentielle partielle du premier ordre :

AY]
)

— + H— 0,

Le

(45 )

qui définit la fonction V en fonction des variables 1, q;. Formons

maintenant l’intégrale
ji (T + Ujdt,

to

dans laquelle T +U est, en vertu des intégrales des équations du
mouvement, une simple fonction de t et des 2k constantes q°, p°,
el exprimons le résullat de la quadrature en fonction de 1, q; et des
k constantes arbitraires q}, en remplaçant les p; par leurs valeurs
tirées des intégrales des équations du mouvement. La valeur ainsi
obtenue de l’intégrale

V = f (T + Ujdt,

est une solution complète de l’équation différentielle partielle :

dV
— + H =
dÉ

N:

Généralisation de la théorie précédente.

40. On peut étendre tous les raisonnements que nous venons
de faire dans le cas d’un problème de mécanique, au cas où la
fonction 9 serait une fonction quelconque de t, q,, g;; en d’autres
termes, nous allons actuellement considérer l’intégrale

at

} dt,

À
Le
to

dans laquelle + n’est pas égale à T +U (‘).

On trouve, dans ce cas, pour la variation de l'intégrale :

f

| £
it 0
de d \° Le :
d eût — Fra Per 0 3 ne
VA #0 > dd dq > () dq: UE S x dqidt

to Lo

(") Jacorr, Vorlesungen über Dynamik, p. 148.

(44)

Si, dans ce développement de la variation de l'intégrale, on
égale à zéro la quantité qui se trouve sous le signe /, les équa-
tions que l’on obtiendra sont celles qui, dans l'hypothèse actuelle,
remplacent les équations du mouvement de Lagrange.

Ces équations ont pour type :

do
d'Æ
UE ?
+22, (a)
dt 4;
et il vient :
{
dp de \°
0) ed = 3 — 94, — bi 94% -
js 2e l > dq; Le

lo

Nous nous proposons actuellement, pour rendre l’analogie des
deux problèmes plus complète, de mettre les équations diffé-
rentielles (A) sous la même forme qu'Hamilton a donnée aux
équations du mouvement, c’est-à-dire la forme canonique. Dans
ce but, de même que précédemment (n° #3), on a remplacé
les q; par les p,, en posant p, =D nous remplacerons dans le
cas actuel, les q; par les p,, en posant :

On a ainsi k équations qui permettent de calculer les q; en fonc-
lion des p, et des q..
Introduisons maintenant la fonction

ee © pig: Er de
et opérons comme ci-dessus.
Nous aurons pour la variation de % :
dp — > PÈYE + à qiIpi — d?,
et, en remplaçant dp par sa valeur, & étant considérée comme
une fonction des q, et des q; :

do
d = Ÿ dq: + Ÿ

1 RON LC

(45)

ce dernier terme devant figurer dans dy, lorsqu'on laisse la
variable indépendante arbitraire, il vient :

. : d? F ’ dg
dy — À p5q; 54 > qidp: — > PHARE 2 5 Er '
à: ds
= San 3 ég — à

Or, la fonction 4, par sa définition, est une fonction des 5k + 1
quantités 4, q;, p;, Q;; mais, à cause de la formule

on peut exprimer les q: en fonction des p,, et devient une
fonction de t, g;, p;, et en prenant la variation de 4 ainsi expri-
mée, On 2 :

dY dY d

en renfermant dans ce cas les quotients différentiels entre
parenthèses pour les distinguer. Nous aurons donc en égalant
les deux valeurs de d4 :

dy do à d: )
pl 0dq; dq; d dy

Or, en égalant à zéro la quantité sous le signe /, nous avons
obtenu les équations différentielles ayant pour type :

d?
ROME AR

dt N/A /

(A)
cette équation se transforme en la suivante :

dp; d
dut dg;

et, par suite, en ayant égard à la deuxième équation (1), on a :

dp; ()
dt ua dq;

( 46 ) .
D'autre part, la première des équations (1) nous donne :
dq; » (2)
KE dP;

Nous aurons donc pour les équations différentielles du pro-

blème :
dp, dœ\ !
ne D) Fe
ARE |
dt dp;l |

équations analogues à celles d'Hamilton (n° #5).

Or, l’intégration de ces équations nous fournira, en posant,
comme précédemment :
et
Le f pdt,
“

Ù

une solution de l’équation différentielle partielle du premier ordre :

dV
— + ÿ —= 0.

En effet, la variation de lintégrale V devient, en vertu des
équations canoniques (A) (”) :

; dV
ON Ÿ P:9q: — > pd + er d,

ce dernier terme devant entrer dans OU, lorsqu'on laisse la
variable indépendante indéterminée.

Mais, en vertu des équations différentielles du problème, on
obtient 24% équations intégrales renfermant #4, q,, q; et 2%k
constantes arbitraires; par conséquent, les g, et les q;, et, par
suite, les q, et les p, sont des fonctions de t£ et des 24 constantes.

(‘) En effet, en vertu des équations canoniques (A), le terme sous le
signe / dans le second membre de d9V est nul, et, par conséquent, 4V se

réduit à la partie en dehors du signe /.

(47)

Il en sera donc de même de 9, et, par suite, de V qui sera une
fonction de £ et des 24 constantes. Prenons pour ces 2% constantes
les 24 valeurs initiales q;, p; alors o, et par conséquent, V sont
des fonctions de £ et des 24 constantes 9°, p;. Les 2k équations
intégrales renferment donc les 4k + 1 quantités #, q;, p;, q°, p°;
on peut, par conséquent, déterminer les 24 quantités p,, p!,
en fonction des 24+1 quantités q,, q; et f, et, par suite, V pourra
être exprimée en fonction de #, q;, q;, et l’on aura :

qui sont évidemment équivalentes aux 24 équations intégrales.

u
\' 1° ed,
- vs k

dv doV DATA
QE MANERE A 25

Mais, à cause de :

On à :

puisque V est une fonction de { et des g, qui sont des fonctions
de 1.

Par conséquent, la fonction V doit satisfaire identiquement
à l’équation :
dV
= D.Q — 2 = 0,
ot PES ll 4, T
ou bien :
dV
— + ÿ —=0,

oL

en posant :
LR ÿ Piqi — ?;

(48)

et l’on verra, comme dans le chapitre précédent, que si l’on rem-
place dans 4, exprimée en fonction de t, g;, p;, les p, par les
quotients différentiels partiels D» on obtiendra l’équation diffé-
rentielle partielle du premier ordre :

doV | dV 2

— + Y|É, Qi, as + Que — + 0:
dl + # | 11283 dqi dx

[e

à laquelle satisfait la fonction
t
— FL edt,
to
considérée comme fonction de t, q;, qg°, et nous aurons le théo-
rème suivant qui est dû à Jacobi :

41. THÉORÈME. — Soit o une fonction quelconque donnée
de L,q;,q;, et remplaçons les quotients différentiels q; par les
nouvelles variables p,, définies par les équations :

posons ensuile :
\ ’
PE » Pigi — ?;

el exprimons la fonction 4 au moyen des variables p;, q; et 1.

Les équations différentielles ordinaires :

dq; dY \

CE 2 | 1} (B)
dp; dy

PHARE

rendent nulle la partie de la variation

18
f ed,

10

siluée sous le signe f.

(‘) Nous supprimons ici les crochets qui sont devenus inutiles, puisque
nous n'avons plus de distinction à faire.

(49)

Désignons en outre par pi, q; les valeurs des 2k variables p;,
q; pour t — to, el introduisons ces quantités au lieu des con-
stantes arbitraires dans les intégrales du système (B). Posons

ensuile :

dV
et

et nous aurons l'équation différentielle partielle du premier ordre :

dV :
— + y —=
ot Ÿ é

qui définit V en fonction de t et des q..

Si maintenant l’on forme l'intégrale :

t at dp
V— a= f Lie
J* ns 1

@ élant, en vertu des intégrales, une fonction de 1, et des 2k
constantes q;, p;, et si l’on exprime le résultat de la quadrature
en fonction de t, q;, qi, la valeur ainsi obtenue pour V est une
solution de l’équation différentielle partielle :

42. Remarque I. — La formule qui relie les fonctions ® et Ÿ
établit entre elles une sorte de réciprocité. +
En effet, nous avons posé :
of
HE > qi dq Et
o étant une fonction de #, q;, q:.

Or, au moyen de la relation :

on peut exprimer les g; en fonction des p,, et, par conséquent,
‘ obtenir Ÿ en fonction de t, q;, p..
4

( 50))

Donc, pour une fonction ® de t, q;, q;, on peut obtenir une
fonction de t, q;, p;.
Mais, on a aussi :
9
= Sn 20 EN n, ER
ni > AVE ? si Î dp d,
4 élant une fonction de #, p,, q:.

Or, au moyen de la relation :
dp

(; == — »

d dpi
on peut exprimer les p; en fonction des q;, et, par conséquent,
obtenir + en fonction de £, q;, qi.

Il résulte de là que l’on peut, en vertu de la formule
Ÿ — > pig: EU

pour chaque fonction ® de #, q;, g;, trouver une fonction 4 de
t,Q:, p:; et, réciproquement, pour chaque fonction 4 de 4, q;, ps,
trouver une fonction o de 4, q;, qi.

43. Remarque II. — La solution trouvée de l'équation diffé-

rentielle partielle :

dV

5 + Ÿ — 0,
renferme, comme nous l'avons vu, les constantes arbitraires
dis gas … gx. Comme la fonction 4 ne renferme pas la fonction V
elle-même, on peut ajouter à cette solution une constante
additive, et le résultat satisfera encore à l'équation différen-
tielle partielle. Nous aurons ainsi une solution renfermant
k+ 1 constantes arbitraires, c’est-à-dire une solution complète
de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre : celte
solution renfermera autant de constantes arbitraires qu'il y a
de variables indépendantes dans l'équation différentielle partielle.

44. Remarque III. — De même que l'intégration des équa-
tions canoniques du mouvement, ou des équations différen-

(51)

tielles (B), fournit une solution complète de l'équation différen-

tielle partielle :
dV

cu + Ÿ — 0,
de même, réciproquement, on peut, au moyen de celte solution
complète supposée connue, former les intégrales des équations
différentielles (B).
En effet, ces intégrales sont, comme nous l'avons vu (n° 40),
équivalentes aux équations :

Pis — = — pi; (2)

ei nous avons ainsi les intégrales exprimées par les quotients
différentiels d’une même fonction V.

Observons ici que les équations différentielles du problème
étaient exprimées par les quotients différentiels d'une même
fonction H, dans le cas.de la mécanique (n° #8), ou d’une même
fonction 4 dans le cas plus général (n° 40).

Cette fonction V a reçu d’Hamilton le nom de fonction prin-
cipale.

La deuxième des équations (2) :

dV

— — p°
q Pis

donne les intégrales finies du problème.

La première de ces équations (2) :

dV

di Pi

donne les quantités p, ou q; en fonction de #, et des g,, avec
k constantes arbitraires qi. C’est le système des intégrales pre-
mières.

45. Nous verrons plus loin qu’il n’est pas absolument néces-
saire que les k constantes contenues dans V soient les valeurs

(52)

initiales qg° : mais, si l’on connaît une solution complète V quel-
conque de l’équation différentielle partielle :

dV 0

— + —

; Ÿ ,
les constantes étant quelconques, les intégrales des équations
canoniques pourront toujours être exprimées par les quotients
différentiels partiels de cette fonction V par rapport aux con-
stantes qui y sont contenues. C’est le théorème de Jacobi que
nous verrons dans la suile.

46. Hamilton définissait la fonction V au moyen de deux
équations différentielles partielles, l'équation :
av
ae + Ÿ = 0,
el une autre (:).
Mais, Jacobi a démontré que cette deuxième équation ne sert
à rien pour la solution, et d’ailleurs elle peut se déduire de la
première. L'introduction de cette deuxième équation n’apporte-
rait aucune simplification à la solution du problème. En effet,
la fonction V devrait alors satisfaire à deux équations différen-
tielles partielles simultanées. Or, le problème de la recherche
d’une solution commune à deux équations différentielles par-
tielles simultanées n’est pas plus simple que celui de la recherche
d’une solution complète d’une seule équation différentielle par-
tielle.

47. Pour démontrer que la deuxième équation différentielle
partielle d'Hamilton peut se déduire de la première, Jacobi fait
usage du théorème suivant :

THÉORÈME. — Soit un système de n équations différentielles
ordinaires entre les n+1 variables t, x,, … X,3 soient X4, X:, … Xe

les valeurs des variables à l’origine t, du temps, et supposons

(") Philosophical Transactions, 1854 et 1855.

(55)

que l’on ait satisfait au système des équations différentielles
ordinaires proposées par le système d’équations intégrales :

TS AU EME Da 0er 30 La)
Lo — fa(é, Lo» x, Eu …. 2%),

(4)

L} = {,(t, lo» Le fs ……. as)

Si l’on remplace dans ce système les variables 1, x,,..x,,
par leurs valeurs iniliales lo, X{, X2, … X% el réciproquement,
je dis que l’on obtient un système équivalent d’équations intégrales.

Ce théorème dispense de faire le travail ennuyeux de l’élimi-
nation, et il permet d’exprimer facilement les équations inté-
grales résolues par rapport aux constantes arbitraires de la
manière suivante :

nn Jilo, L, Lis Lao a)

ne — flo LRO EE LME AP

(B)
Ra Li lesAl AN Ci las)
Démonstration. — Soit le système d’équations intégrales :
En alt; ous rs ce siœ),
Eat qu des es a), (C)

. . . . .

X,—= F,(E, His op eo.) a)

satisfaisant aux équations différentielles données; il en résulte
entre les valeurs initiales le même système d’équations, savoir :

Allo; His Hay vs an)
Li — F(to His Has æ,), (D)

a, =F,(t; A Las os a).

Le système (A) résulte évidemment de l'élimination de «,, 9, ….o,,
entre (C) et (D). Or, ces deux derniers systèmes se transfor-
ment l’un dans l’autre, si l'on change t en t,, et en même

(54)

lemps x, en x, ï2 EN %X+, .… %, EN 2; par conséquent, on doit
pouvoir faire ce changement dans (A), et l’on obtient alors (B)
qui est donc équivalent à (A).

as. Voyons maintenant ce que devient la fonction V, quand
on change les variables en leurs valeurs initiales.

Supposons que les équations de la mécanique (n° 45), ou les
équations différentielles plus générales (n° 40), soient intégrées
par le système :

qu = Et, roi Os fs ls Pi dit, oi, a, CA
Ë

(L, His À + a), Pr = sil, Hs gs vs as),

Qu == EL, Lys gs op Lx), Pr = Sul, Lys Ags ve ax).
Si l’on remplace £ par sa valeur initiale {,, on a:

0
qi = Ei(lo, Uys Has ve) ak); Pi = w(lo, js ay vs Œok)s

0
{3 = Elo, Œiy Ua vs Ga) Pa = Gilos @i, Ge, au),

: 0 ù
= Elo Uyy Has vs ak)» pe = Gallo, Œys Los 9 ax).

Cela posé, considérons l'intégrale :

st
vf edt,

lo

o étant une fonction de t, qy, as se Qxs Pas Pas + Pis QUI, Après
l'introduction des valeurs de qi, Qa » + Qs Pis Pas + Pa, déduites
des équations intégrales précédentes, devient une fonction de
l, ou, &, … &y. On a donc, d’après cela :

[ edt= v(t, His as dax),

el, par suite :

«t
V — [ ed = 4(1, Ayo Ag vs ax) — Do; Lis 99 «3 ax).

to

La quantité V ainsi déterminée sera, d'après ce que nous

(55)
avons vu (n° 40) une solution complète de l’équalion différen-
tielle partielle :
— + y — 0
d Ÿ )
pourvu que l’on élimine les constantes «,, &9, …. dy, au moyen
des 2k équations ci-dessus pour qi, 423 + rs Qis Us ve he
Mais, de ces 24 équations, une moitié se transforme dans
l’autre, si l’on change t en t,, et les quantités a, en g°. Done,
chacune des quantilés &,, ca, … ax, Sera exprimée en fonclion
de t, to, As Ua» ce xs As U2 «… Mr, de Manière qu’elle reste inva-
riable, si l’on change t en ts, q; en q;.
Par ce changement, la fonction :

V = d(f, a) Gus es ok) — (los Gi Ga LORS
. se change en la suivante :

D(los Giy Ma, os Gr) — D(É, Ajy Dos ve :k)s
c'est-à-dire en — V.

49. Dans tout ce qui précède, nous n’avons fait aucune
hypothèse sur les équations différentielles. Supposons mainte-
nant, pour obtenir le cas considéré par Hamilton, que © ne ren-
ferme pas explicitement la variable t. C’est le cas de la méca-
nique, lorsque t n'entre pas dans la fonclion de force U, ni, par
suite, dans la fonction ÿ—H=T -—- U; alors £ n'entre dans les
équations différentielles du mouvement que par sa différentielle.

Ces équations peuvent être mises sous la forme suivante :

dt: dq;: dq:::.: dqu: dpi: dps: +: dpx
NS LE dp db 2

D . —
.. —— — — , — — . 5

ds dPa dPx dgi NE dgk

En faisant abstraction de dt et 1, on élimine complètement
le temps, et l’on a le système :
dq: dq2: 2: dqu: dpi: dps ee: dpi
D 4 dd D te dy
dPi Ÿ Per “ps du dq» | dgk

(56)

par l'intégration de ce système on exprimera toutes les variables
en fonction de l’une d’entre elles, g, par exemple.

On peut déterminer cette dernière en fonction du temps par
l'équation :

dt 1
dqi %°
dp
d’où :
d
dt = ——
dY
P
et, en intégrant,
ad
d
pe ue ss LM
dy
qi

En résolvant cette dernière équation par rapport à g,,0on a
cette variable en fonction de 4 —1,. Mais, toutes les variables
élant déjà exprimées en fonction de q, , elles dépendent toutes
de la différence £ — t,. Donc, la fonction V renfermera aussi
ces deux quantités t et {, par leur différence t — t = 0.

On à donc:

— == —— == —

Mais, si l’on change {, qi, a, … q, en leurs valeurs dy
los Dis 23 + x, N Se transforme en — V, 8 en — 6, et Ÿ ne
change pas.

Si l’on désigne par d,, la valeur dans laquelle 4 se transforme

lorsque les quantités q; et p, = — a, Se changent en ( et pi — ue
l'équation :
o dV dV
= d— —
d Re

se transforme en la suivante :

0 dV dV
EE Se

Or, l’équation :

est la deuxième équation d’Hamilton, et l’on voit qu’elle se |
déduit de la première par le changement des variables en leurs |
valeurs initiales.

VI.
Théorème sur les déterminants fonctionnels.

50. Avant d'aller plus loin, nous devons démontrer un théo-
rème dû à Jacobi sur les déterminants fonctionnels, et dont
nous ferons souvent usage.

Soient fi, fa, … f,, n fonctions des n variables x,, x2, … 2,

fi = ea(ti , Lay œ),

fe = vx, Los +, La)

RACE ben .…. Lu}, |

et soit le déterminant fonctionnel :

DEEE
Mets
R= | 5x, 0m

Ki %

dX, ÔX, dX

Il est facile de démontrer que, si le déterminant R est iden-
tiquement nul, les fonctions qui entrent dans sa formation ne
sont pas indépendantes les unes des autres; une ou plusieurs
d’entre elles peuvent s’exprimer au moyen des autres (”).

(*) Jacosr, Vorlesungen über Dynamik, p. 102.

( 58 )

De l’une des équations contenant x,, par exemple Ja pre-
mière, tirons la valeur de x, en fonction de f,, xs, … æ,, et
substituons dans une des autres équations renfermant x,, x,
par exemple la seconde : nous aurons /, en fonction de
lis La, X5, … æ,. Cette équation nous donnera x, en fonction
de fi, fa, %s, … æ,, el alors nous aurons /; en fonction de
(is les Xs, 2, et ainsi de suite.

Nous pouvons donc considérer :

f, comme une fonction de x,, x, …, x,,

f2 » » VAE Er CA

fs » 2 ie ñ Tags vs À,

fe re 7 fe ‘ …. DL Ths
et nous aurons :
fi = #i(x, Las x)
Pr — g(fi, Los &:}
a fais Le Er .… dre) À

4 a - He) TT Xi; es me}

L2 L . L . L L .

Il est évident que l’on retrouvera les valeurs primitives de
fifa. fs, en 2%, ta, … æ,, Si l'on remplace successivement

dans les seconds membres fi, f,, … par leurs valeurs déduites

des équations qui précèdent celle que l’on considère.
Nous aurons donc, en différentiant :

d/ dpi /. dYi d/: dY; d/i- dY;
— = — — + _— + re. = .
dry d/ dry d/2 dTk d/i-4 dry T4

Observons que ; ce est la dérivée partielle par rapport à x, de
(=, PMR A comme fonction de fifa, Last ti
c'est-à-dire dans la deuxième hypothèse, tandis que : de est la
dérivée partielle par rapport à x, de f, —9,, C0 ln, comme
fonction de x,, x, .… x,, C'est-à-dire dans la première hypothèse.

(59)
On tire de à :

dYi D df d4 df2 di dfi-s € di

— = — — — 0 © — — 00 — ——

drk d/1074 d/20r, dis dXe de

Cette équation nous donne successivement :

Dh ns à due fi di. fi
— = , == — ) ne = — {
ni TR Par Rs AU RE

dY9 dY2 df\ d/2

— =—— — + — — ,

dT, d/ dr! dTy

puisque A ne renferme pas explicitement la variable x, .

De même,
NE dŸs of dY3 dfa 0/3

— = — — — — — — =

dx fi dr dd dm ù

et ainsi de suite.

Elle nous donne aussi :

dYa dYa d;1 VE
dTo dfi dXe dE
de of Of
dT; dfi dXs dXs
et ainsi de suite ;
dY3 a dY3 d/fi ds df2 Pa d/: PR
DT fm Rd 0 <

puisque ; ne contient pas explicitement la variable x.

On a aussi :

d3 ds d/ ds dfa dfs
. = 9
DL 3 df1 2X3 Ddfa 0X3 dx

et ainsi de suite.

( 60 )

Il résulte de là que, si nous écrivons le déterminant :

ù
SE A D AD TEEN
dx:
ù ù
Dig es 0
do dXe
dhy Da dYs
LÉ RE ET ON:
Ts dXs dXz

0
Dj Ann I AO
d£, dx, dE, x,

nous pourrons le considérer comme le produit du déterminant :

1 0 AN 0

d:
se ds À 0 0
df1
dYz dY
dfi df2 ,

par le déterminant fonctionnel :

dX, dXy VX: dx,
R— | 0X: dXa dXo dLe

A oh

dx. 0x. dx. dx

n

(61)

Or, le premier de ces trois déterminants se réduit à son

premier lerme
dd dpe dd,
dX: dTe dx

el le second est égal à l'unité.

On a donc :
qu au de d,
=— Re (A)
0x: da dx,

Cela posé, si le déterminant fonctionnel R des fonctions
far les … f, est identiquement nul, la formule (A) nous permet
de démontrer que les fonctions f ne sont pas indépendantes les
unes des autres.

En effet, si R — 0, il faut que l’un des facteurs :

s’'annule identiquement.

Mais, les n — 1 premiers facteurs sont, en général, différents
de zéro, puisque, par hypothèse, 4, contient explicitement «1,
JA contient x, etc. 11 faut donc que ce soit le dernier facteur de
qui s’annule identiquement, c’est-à-dire que, par suite des A
stitutions successives que l’on a faites, la dernière fonction %,
ou /, ne doit plus renfermer x, explicitement, et peut, par
conséquent, s'exprimer au moyen de fi, f2, … f,_, Seulement.
Il s'ensuit donc que, si R—0, il doit exister entre /,, fa, …. fs_1, fs
une relation indépendante de x,, xo, … %,.

Cependant, il peut aussi se faire que, par suite des substitu-
tions en question, aucune des fonctions 4, d,_1, … d,_,, ne
renferme explicitement x,, %,_1, … —%,4. Il est évident que,
dans ce cas, l’on aura identiquement :

) Me TE
2 Ÿ og = Ÿ qe (B)
co dXh1 dX 4

(62)

et alors chacune des fonctions Geo Ynlas see Des OU fire
s'exprime au moyen de fi, fa, .… f,_1_ Seulement.

Réciproquement, si les fonctions f;, f,, … f, ne sont pas
indépendantes les unes des autres, si, par exemple, l’une d’entre
elles /,, ou plusieurs d’entre elles f,, f,_1, … f,_;, peuvent être
exprimées au moyen des fonctions restantes, c’est-à-dire f, en
fonction de fi, fe, … f,, ou bien f,,f,,… f,, en fonction
de fi, fa, +. fn-x1, alors la première des égalités (B), ou toutes
ces égalités (B) auront lieu, et, par suite, le déterminant R sera
identiquement nul.

VII.
Théorème de Jacobi.

51. Nous avons vu (n° 44) que la connaissance des intégrales
du système d'équations différentielles ordinaires :

dq; dŸ

ea
dp; dp
FAR,

nous a permis de trouver par une quadrature une solution com-
plète de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre :

dV
à + y = 0.

Nous allons maintenant démontrer le théorème inverse, et
faire voir comment, au moyen de l'équation aux dérivées par-
tielles du premier ordre, on peut, par de simples différentiations,
trouver les intégrales des équations différentielles ordinaires.

THÉORÈME. — Soit :

— +y=0,
TRE (1)

(65)

‘une équation différentielle partielle du premier ordre, qui ne
renferme pas la fonction V, la fonction Ÿ élant une fonction
de Qi, Jar ve Ans Pis Pas + Pas t, dans laquelle :

dV

PISE qi

Supposons que l’on connaisse une solution complète quel-
conque V de celte équation différentielle partielle, c’est-à-dire
une solulion qui, outre la constante ajoulée,. renferme n con-
slantes arbitraires 1, 2, … a,. Si l’on pose :

nt Nr ne @

Bi , Bo, … B, étant de nouvelles constantes arbitraires, ces équa-
tions, jointes aux suivantes :
doV dV dV

NET ty TI POEN mont) PE 5
dqi Pi: dq2 Pa: VA [L ( )

seront les intégrales du système d’équations différentielles ordi-
naires dont le type est :

da; d

dl Pi (4)
dp; nano

HT ge

pour toules les valeurs de i égales à 4,2, … n.

Pour démontrer ce théorème, observons d’abord que, si l’on
remplace dans l’équation (1) V par la solution complète suppo-
sée connue, le premier membre de cette équation deviendra
une fonction identiquement nulle des quantités qi, qu, .… qs,
a, Go, &,, t. Par suite, les dérivées de ce premier membre,
prises par rapport aux q; Ou aux «,, sont idenligquement nulles.

Cela posé, nous allons démontrer que les équations (4) sont
des conséquences des équations (2) et (3). Nous démontrerons
d'abord que des équations (2) on peut déduire la première moitié

(64)

des équations (4). A cet effet, nous différentierons complètement
les équations (2) par rapport à {, el nous aurons :

>V V dq: V du YV dq, |

+ — + — Ho. + — —=0Ù,
da dl d40qi dt d410Qa dt d0q, dt
dV ®V dq: YV dg YV dg,

+ — + — +os+ — —=0,
ddl dadqi dt dada dt da0q, dt (5)
dV dV du VV dq: YV dq, 0

+ — + à
da dt da qu dt d2, 042 dE da, 04, dt

Il suffirait de résoudre ces équations linéaires par rapport

d d

à 4%, st …#, et de montrer que les valeurs obtenues
: 2 DŸ dY_

sont identiques à ETHONET ME RO TT

Mais, on peut nie cette identité très facilement,
sans résoudre les équations (5), si l’on parvient à reconnaître

que les quantités “ : ne Le D d’une part, et les quantités
note d'autre part, satisfont à un même système

d'équations linéäires.

A cet effet, différentions partiellement l'équation (1) par rap-
port aux constantes a, «&, …. æ,, en observant que, parmi les
quantités t, get pd qui entrent dans je il n’y a que les p,
qui renferment les Édhstintes ou, Go, … @,. En différentiant
partiellement par rapport à «,, il vient :

d°V dÿ dpi dY dPe dÿ dp,

- — — + —— ++ — —— —=0;
da; dpi da dP: da; dp, da,

mais, en vertu de la relation :

dV
Pr —
qu
on à :
dPa dV
dt dada

Par suite, l'équation précédente devient :
d'V dy DV dy DV dp dV
+- + — + se +
da, dp dia; dPe N/PLA dp, N'ARLA

Ve

(65)

En donnant successivement à à les valeurs 1, 2, n, on en
déduit un système de n équations js Or, ce système
ne diffère de (3) qu’en ce que les quantités % sont remplacées

dt
par 5 . On en conclut donc :

Pour obtenir la seconde moitié des équations (4), nous
nous servirons de la seconde moitié des équations intégrales,
c'est-à-dire des équations :

dV

er

En différentiant par rapport à #, il vient :

dp; YV YV_ dqu YV_ da,
— = + + ce + — .
dt qi dqùqu dt pq, dt

Or, on a : Rs
dV L dQe dPr.
dq:dqx 167 dq; dq; 4

par conséquent,

dpi d°V REr AD dp, dqn
dt dgaùt dq; dt qi dt

Mais, en vertu de la première moitié des équations (4), on a:

dqu dg,
AD LUN dope
donc,
dp,; dV dpi d dPe d4 dp, à
CAE GR RC Re A EL
dt dqit dq: dpa dqi dPa di p,

D'autre part, en différentiant l’équation (1) partiellement par
rapport à q,, il vient, puisque 4 renferme q;, d’abord explicite-
ment’, et implicitement par les p,:

V dp 0 dg 0 dY 0p ù
DRAP ORPI OS PRE ONE er ON es EP (7)

dqidt dp; dq: dP2 dq; dp, dqi d4:

à

(66)

Retranchant l’équation (7) de l’équation (6), il vient :

ce qui démontre la seconde moitié des équations (4), et le
théorème de Jacobi est démontré. |

On voit, par la démonstration précédente, que les n constantes
qui entrent dans V peuvent être arbitraires : il n’est donc pas
nécessaire de prendre pour ces constantes les valeurs initiales

Ds Gens due

52. Remarque. — Nous avons conclu de l'identité des deux
systèmes qui définissent SE: el E, que ces quantités sont égales.
Nous ne pouvons tirer cette conclusion que si ces quantités ont
des valeurs finies et déterminées ; or, cela a loujours lieu pour
un système d'équations linéaires, dès que ces équations ne sont
pas incompatibles, ou dès que l’une ou plusieurs d’entre elles
ne sont pas la conséquence des autres. Dans le premier cas, les
valeurs des quantités sont infinies; dans le second cas, elles
sont indéterminées. Ces cas d'exception, dans lesquels notre
démonstration cesse d’avoir lieu, se présentent lorsque le déter-
minaut R des équations linéaires est nul (pourvu que les coefli-
cients de ces équations restent finis, ce que nous supposons
toujours).

Or, ce déterminant est :

d°V d°V dV

dadqi dedge dadg,

dV dV dV
R= | Judg /degs: dog, |

>V d°V >V

da, dqr dx, de D da,0qn

que l’on peut écrire, en adoptant la notation de Jacobi :

dV

Le

da dt da,

RES É : A
2 gi dq2 )q,

»

ou bien :
ER EN aN dV
HT TPE 34,
dd da, dt dæ,

Or, c’est un déterminant fonctionnel, et nous allons démontrer
qu'il ne peut être nul.

En effet, si le déterminant R est nul, il résulte de la première
expression de R que les quantités D Je re me considérées
comme des fonctions de qy, Qa, .… Qn, ne seraient pas indépen-
dantes les unes des autres, c’est-à-dire qu’il devrait exister une
relation entre de à DE ee Se Go Gas ee @,, d, laquelle ne ren-
fermerait pas Qi, Ga … Qn (n° 80). De la deuxième expres-
sion de R, il résulte qu’il devrait exister une relation entre

DV DV d
ane Far, Qi Us ve Qu» t, laquelle ne renfermerait pas

His Los .… An,

n

On aurait donc ainsi une équation de la forme :

oV dV |

r(s, PE 2 QE PE qi fig Q,

c’est-à-dire une équation différentielle partielle du premier ordre,
à laquelle devrait FDSQUE la solution V supposée, et cette
équation ne renferme pas = . Mais, cela est impossible, si V est
une solution complète de l'équation différentielle partielle :

En effet, pour qu’une expression :
V—/f(}, ns Jesse no Lis Lay ve. da) y;

satisfasse à la condition d’être uné solution complète, on doit se
servir, pour éliminer les n + 1 constantes a, &, … «,, y de
toutes les n + 1 équations

no AR EN à oV Rad
où ape dqi ve dgi DANIE mg

( 68 )

ter V dv dv
Or, s’il existe entre + Su quo is 2 + ns L, UNE rela-

tion qui ne renferme pas les «,, «2, … #,, el qui ne contienne

pas dt , C'est-à-dire une équation de la forme :
F( oV dV | ô
{, is J2o ve In qi er VA ci!

il en résulte que pour éliminer les constantes &,, &3, … @,, 7,
on n’a pas fait usage de l’une des équations, à savoir de
l'équation :

a à

SENTE,

Si l’une des équations est superflue, et si, par conséquent,
les n autres :

sont seules nécessaires pour éliminer les constantes &,,@2, … &,,
il en résultera que l’une de ces constantes reste indéterminée,
c’est-à-dire que nous pourrons lui donner une valeur parti-
culière, En effet, entre n équations on ne peut éliminer,
en général, que n —1 quantités. Cette constante est donc
superflue, et, par conséquent, la fonction / ne renferme que
n — 1 constantes.
Par suite, la fonction :
V=f+y,

ne renferme, y compris y, que x constantes arbitraires. Elle ne
peut donc être une solution complète de l'équation :

dV
ET + Vert,

mais, elle est une solution de l'équation :
F = 0.

Or, cette dernière conclusion est contraire à notre hypothèse
qui était que :
V— ‘à RP d

(69)

est une solution de l’équation :

et de l'équation :

Donc, le déterminant R ne peut être nul, et, par suite, de
l'identité des deux systèmes linéaires, on a pu conclure que
l’on a :

53. Application. — Nous terminerons ce chapitre, en appli-
quant la théorie précédente au mouvement d’un système libre
de n points matériels.

On doit d’abord calculer l’expression :

y =T—U,

qui entre dans les équations différentielles d'Hamilton, en fonc-

Lion de £, q;, p:.
. Or, ici les q; sont les 3n coordonnées rectangulaires x;, y,, z..

On a donc :
1 19 14 LA
T = 5 > m,(x;° + UP + 211);
par suite,

Les p étant ici égaux à m,x!, my, m,z;, on devra dans l'équation
== = Ü;

remplacer les x!, y;, z: (c’est-à-dire les q') par 2, et l'on aura Y
en fonction de 9, p; et f.

Mais, pour avoir l'équation différentielle partielle, on devra
poser :

par conséquent,

et, par suile,
RE [E = dV\? dV\?
Ads PRE PR
2m; \z; dY; dZ;
On a donc l'équation différentielle partielle :
dV 1 l dV\? DV qe
NE a 2 () 4 e à F) | PS

U étant une fonction des coordonnées x;, y;, z;.

Telle est l'équation différentielle partielle du premier ordre,
de la solution de laquelle dépend l'intégration des équations
différentielles du mouvement d’un système libre, lorsqu'il existe
une fonction de force U, qui, outre les coordonnées, peut encore
contenir explicitement le temps.

Si l’on peut déterminer une solution complète de cette équa-
tion, c’est-à-dire une solution qui, outre la constante additive,
renferme 5n constantes &,, «,, … «,, alors les équations :

dV
[el

— = Pis
da;

pour i— 1, 2, 5n, seront les intégrales du mouvement.

Les équations du mouvement pourront être mises sous la
forme :

pouri1,2,...n.

Quant aux intégrales premières, elles sont dunnées par les
équations :

(3,2

VIIL.
Fonction caractéristique d’Hamilton.

54. Nous avons vu, dans le cas d’un problème de mécanique
auquel le principe des forces vives est applicable, que, T étant
la demi-somme des forces vives, et U la fonction de force ne
renfermant pas explicitement le temps, l'équation des forces vives :

T—U—H— const. = h,
est une intégrale du problème (n° 47).

Nous savons aussi que, dans ce cas, l'équation différentielle
partielle du premier ordre, à laquelle satisfait la fonction V, est :

av, dV JW OV
__— = — N 23 os. ST? 0 — eut nr ps ù I
v Ca (2 " +T (as qe je qi ) U(qi; 2 1) 0 ( )
ou bien :

oV H | dV …

M1 ds VIE as fn PA 4. —

Outre la fonction principale V, Hamilton considère une autre
fonction S définie par l'équation :

S=V + H(t— 1). (2)
Cette fonction $ jouit de propriétés analogues à celles de la fonc-

tion V, et elle peut être substituée à cette dernière avec avantage.

53. Nous allons d’abord démontrer que la fonction S ne ren-
ferme pas explicitement le temps.
En effet, de la formule (2) on tire :

Or, lorsqu'il existe une fonction de force indépendante du temps,
on à :

par suite,

et, par conséquent, S ne renferme pas explicitement le temps.

56. Ceci posé, prenons la variation de S, nous aurons :

DS —0V + (t — h)0H + Hot,
d’où, en remplaçant dV par sa valeur :

OV = Pidqi + Page + ce + D,0Qn %
ù
— pi0Qi — pa9q3 — — pion + A ot,

et observant que :
dV

Er
il vient :
08 = p19q1 pu P:29 2 LEE Pr0q

— pag} — phrqi — …. — phogi + (E — 4) 0H.

Si donc on considère S comme une fonction de q;, … q,,
qi, …… q, et de H ("), après avoir éliminé le temps { au moyen
de l'équation H—T—U, on aura les 2n+1 équations suivantes :

re Se 7 y Dre
2 0 )S 0 dS . dS
ge ns AT TUE #4 ag Ps 5 —=t—t,

lesquelles donneront la solution du problème, lorsque la fonc-
tion S sera connue.

Or, il est facile de voir que la fonction S satisfait à une
équation différentielle partielle plus simple que celle à laquelle
satisfait la fonction V.

(‘) La fonction S = V + H({ — f,), mise sous cette forme, paraît ren-
fermer explicitement le temps. Nous avons démontré qu'elle ne le contient
pas. Si donc on veut la considérer comme une fonction des q;, 4° et de H,
on devra éliminer { au moyen de l'équation H =T — U,

(75)
En effet, on a l'équation :
1 ATEN d

dans laquelle T est une fonction de q,,.… q,, pi, .… p,, et, en
remplaçant p, par ER on a l’équation :

. dS dS | U Fan 5)

qu … > qu .. 4, — (Q1 “.. {na = Hi. (5

Or, cette équation différentielle partielle du premier ordre, qui
ne renferme pas la fonction inconnue S, est plus simple que la
précédente (1).

57. Propriété. — La fonction S n’est autre que l'intégrale

définie :
t
sf. OT'dt;

lo

que l’on considère dans le principe de la moindre action.

En effet, on à :
SN HE):

t
v= f (T + U)dt;
par conséquent,

S =. (T+U)dt+H(t—kt).

or,

Puisque H reste constante pendant toute la durée du mouve-
ment, On aura :

s— f mæuds fu fr + U + ma,

to

et, en remplaçant H par sa valeur T — U,

Ant
ess f Tdt.

ta

(74)

On voit donc que la fonction principale d’Hamilton :

vf (T + U)dt,
10

ne diffère de la fonction S que l’on considère dans le principe
de la moindre action que par l'addition d’un terme proportionnel

au temps (n° 32).
S = f 2Tdt ,
lo

La fonction :
a reçu d'Hamilton le nom de fonction caractéristique. Elle satis-
fait à l’équation différentielle partielle (3).

5s. Il est facile de s'assurer que le théorème de Jacobi (n° 34)
peut être modifié de la manière suivante quand il existe une
fonction de force ne renfermant pas explicitement le temps :

THÉORÈME. — Si la fonction de force. U ne renferme pas
explicitement le temps, de telle manière que le principe des
forces vives ait lieu, et si l’on remplace dans l’intégrale des forces

vives :
T—U—h, (h étant une constante)

laquelle est une des intégrales du problème, les quantités p,

par E on formera l'équation différentielle partielle :

r | JS 2$ = U L
(9 PSE CON PO or Ye) 1 0 (4 … q,) = A.
lis Je Qns VAE va (gis Gas +. Qh)

Si l’on connaît une solution complète quelconque S de cette
équation, c’est-à-dire une solution qui, outre la constante additive,
renferme les n — 1 constantes arbitraires &, 42, … æ,_1, les
intégrales du problème seront :

dS dS dS
— = $, —— 9, —6,,

dx, dt da 1

|

=t— lo,

ù

=

l

e

Bis Bas B,_13 to étant de nouvelles constantes.

(78)
Les intégrales premières élant :

dS * dS dS

— = Mis ——= Pete — =,

4h Pi» 343 Pa; 9. Ph
nous aurons les 2n intégrales du problème, et les constantes
seront :

is Ua ne Ln—4 9 h,

Bio Ba Le Bu le

En effet, on sait que la fonction V est une solution complète
de l’équation différentielle partielle :

Le (a 25 ++. In ps —U(gi qq) =0. (4)
Posons V—S— ht, S ne renfermant pas explicitement le
temps. Il est évident que S étant connue, on en déduira V en
retranchant At de S.
Cherchons donc l’équation à laquelle saisfait la fonction S.
À cet effet, nous allons transformer l’équation (4). On à :

par conséquent, l’équation (4) se transforme en la suivante :

dS dS
— h + 4h [as 2» Ce UPE qu … _ — U(q:; UÉE Let fn) —— 0, (5)

équalion qui devra être vérifiée par la fonction S.

Si donc, on connaît une solution S de cette équation (5), on
en déduira une solution V de (4) en retranchant ht de S.

Or, d’après le théorème de Jacobi, on sait que, si l’on connaît
une solution V de (4), les intégrales des équations du mouve-
ment sont données par les équations (n° 31) :

dV
ere

da ;

(76)

Les intégrales des équations du mouvement sont donc données
par les équations :

ÛS — ht) USE ht) KS — ht)
Ye — D rl = fo, + PEAR
AS — ht)
Ts los
dh
ou bien :

dS )S 8 dS dS | ; ;
dautlt VÉDal ÉE EE n—1> TE "FE F0:

Par conséquent, ces dernières équations sont bien les intégrales
des équations du mouvement.

59. Remarque I. — Dans le cas d’un système libre, on a,
en coordonnées rectangulaires, l'équation différentielle partielle :

| | dS \? dS \? dS \?
2 [() RO]

60. Remarque II. — La fonction caractéristique d'Hamilton :

s = 1 OTdt,
lo

peut encore être mise sous une forme différente.

En effet, puisque T est une fonction homogène et du second
degré des g;, on à :

dT oT oT
QT = — qi + — + + — Qu;
qi dq2 dQn
d’où :
2T = piqi + pis + + + pq
dgi dq: dq,
PL ER) aus LE er
Par suite,

S = f 2Tdt — VAUT + pds + + + p,dq,).

lo

Observons ici que l'expression p;dq, + + + p,dq, doit être

(77)
une différentielle exacte, puisque l'intégrale du second membre
doit se réduire à une fonction de { seulement.

61. Remarque III. — Hamilton considère encore une autre
fonction qui jouit de propriétés analogues à celles des fonc-
tions V et S. Cette fonction est définie par l'équation :

Q— Ne Das) de

dans laquelle H —T — U.
Or, H étant une fonction des q;, p;, on a :

H dH H 0) PARA
MEME CEE CPE pie AE Op,
9Q =. dq q, dps p, ll
ne SHELL oH
= De _ + ir

dq; oH
PATES
dp, dH
FN

nous donnent :

t da; 3 Pi (q:9p.)
Dir SE
— Ÿ (gp; — qop!).

Si donc on considère la fonction Q comme une fonction des
2n quantités p,, p}, nous aurons les 2x équations :

dQ
di ——= pe

Q
VE SES p}

qui seront les intégrales des équations canoniques, et qui résou-
dront la question lorsque la fonction Q sera connue.

(78)

IX.
Applications.

62. Mouvement d’un point matériel attiré vers un centre
fixe, par une force dont l’intensité varie en raison inverse du
carré de la distance, le mouvement élant rapporté à deux axes
rectangulaires.

Les équations du mouvement sont, en prenant le centre fixe
pour origine, et en supposant la masse du point égale à l’unité,

dx px
PTE on
d'y Hy
dE "TT rh

étant la masse du centre d’action. Nous supposons que l’action
de l’unité de masse sur l’unité de masse à l’unité de distance
est égale à l'unité.
La fonction de force est :
UE
&

Comme il n’y a pas d'équations de liaisons, les q, sont les varia-
bles x et y. La demi-force vive est donnée par la formule :

1
T 19 (x + y");

or, On à :
Te LR

= — —
dx” dy
par conséquent (n° 40),
PD=T, Ps=Y,
el, par suite,
1
Tes Pi P).

C'est la fonction T exprimée en fonction de p,, Pa, Qu, ga:

(79)

La fonction de force U étant indépendante du temps, l'équa-
tion différentielle partielle de laquelle dépend la solution du

problème est (n° 58) :
| T — U — h,

‘
nue “He on remplacera p,, pa, par ; _ , — , C'est-à-dire

par ©, Ÿ. Nous aurons donc l'équation :

ne y"
1 Ê ë) 72
Le = + — ——— h, 5
2 | dx dy | r

dont il faudra trouver une solution complète.
On simplifie la question en changeant de variables, et posant :
ZT—TCOSe, Y—rsin?,
r et œ étant les nouvelles variables indépendantes.

Or, des équations précédentes on tire :

ï

ge drC Bi FT 4 1),
X
et, par conséquent,

SDS dr . JS D TS . y )S

2 = — EE — — —

dE HORS AE POSE LOT dr T°) 9

DS Sr DS dy yIS xdS
a ——
dy 7 dY do dy AREOTNENTR

L’équation aux dérivées partielles est alors :

1 Ce) 1 1] Le
_ —| + — | — = - + h,
2 [-\r Tr? Vo r

et nous aurons à déterminer une solution complète renfermant,
outre la constante additive, une constante arbitraire (n° 58).
Pour intégrer cette équation, nous observerons que S peut
être considérée comme la somme de deux fonctions d’une seule
variable chacune, savoir une fonction de r et une fonction de +.

( 80 )
Nous poserons donc :

S=R + 9,

R étant une fonction de r, et ® une fonction de +, et nous
aurons, en désignant par R' et ®' les dérivées de R et ® respec-
tivement par rapport à r elo:

| |
“ LE +] = +.

On peut satisfaire à cette équation en posant :

4

su
| 1
—R2 _ = — + hi:
2 *:

d’où l’on tire :
+ = V2,
, 2
RS dit Lu

et, en intégrant,

v— Ja Va V2,

par conséquent, l'expression :

s— far \/a+ #7 #2 + y,

sera une solution complète de l'équation aux dérivées partielles.

Les intégrales du problème seront alors (n° 58):

dS

— = k,

2

ds
——l+g,

k et g étant deux nouvelles constantes.

( 81 )

Nous aurons donc pour ces intégrales :

63. Mouvement d’un point matériel attiré vers un centre fixe
par une force agissant en raison inverse du carré de la distance,
le mouvement élant rapporté à trois axes rectangulaires.

Désignons par x, y, z les coordonnées du point attiré, dont
nous supposons la masse égale à l’unité, l’origine étant au centre
fixe, par / l'attraction exercée par l'unité de masse sur l’unité
de masse à l’unilé de distance, et par y la masse du centre
d'action. Les équations différentielles du mouvement sont :

(A ES 12 5
Sur
La ENT CUPREES
Fr = Non 49
dt° r°
d°z [az

Observons que les équations du mouvement auront la même
forme, si nous supposons le centre mobile, comme cela arrive
dans le cas du mouvement relatif d’une planète unique autour
du soleil, en tenant compte de l’action de la planète sur le soleil.

6

(82)

Dans ce cas, comme on sait, x est la somme des masses M et m
du soleil et de la planète (”).
La fonction de force est :

Comme il n’y a pas d'équations de liaisons, les q, sont les varia-
bles x, y, z. La demi-force vive est donnée par la formule :

1
T — 3e” + YF +2 (as
or, On à :
oT RUE" AMEN LE 4 a
— —= FT — — 1 — —=Z
dx’ ; dy J 3 dz’ ,

par conséquent (n° 40),

Dix, Ps—=Y, Ps—t;
et, par suile,

F—

DES

= (pi + ps + pi).

C’est la fonction T exprimée en fonetion de p4, Ps, Ps; Q1s Jar Us

La fonction de force U étant indépendante du temps, l'équation
différentielle partielle de laquelle dépend la solution du problème
est (n° 58) :

T—U—#,

ù ,
dans laquelle on remplacera p;, Pa, Ps par ee. ; de —- , C'est-

38:28. 08
à-dire par, 5 5 Nous aurons donc l'équation :

4 FhS\? dS\? dS\?
J-D-0)-É
2 | (dx dy dZ v

équation dont il faudra trouver une solution complète, renfer-
mant deux constantes arbitraires, outre la constante additive
(n° 58).

D'ailleurs, si nous posons :

1
H,=T—U—- = (x” + Y° +2 le,
2 r

(*) Voir Cours de mécanique analytique, théorie des forces centrales.

( 85)

les équations du mouvement peuvent être mises sous la forme
suivante (‘) :

LAN RE) à CAE 2 oH,
aout de lo
dy oi dy: dH,
Fe met
CE OO à PONT 2 oH,
Caen SUN ne

Pour simplifier la solution de la question, nous emploierons les
coordonnées polaires, et nous poserons :

x =7#rsin0 cosy,
y =rsin£siny,
z = ? COS 6.

Posons encore :

dr ; de 6 de

Lire le 0

A TT EE
el nous aurons pour l'expression de la force vive :
QT = 7° + 0° + 7° sin? 6.6"?;
c'est la fonction T exprimée en fonction des q et des q'.

Nous aurons donc :

(*) En observant que l’on a :

FLE oT NT —U)_ ob,

SE = ——— =—,
dx" dx’ dx

et

(84)
par conséquent (n° 40),
D=T, Par, ps=7r sin" 0.6;

et il vient alors :

C’est la fonction T exprimée en fonction de p4, Pa, Ps, G4s Gas Ge

L’équation différentielle partielle du problème est donc :

LI ISNL AE AATIS il dS \?
21 \r r* \26 r* sin” 6 \d? r

el nous aurons à trouver une solution complète de cette équa-
tion (2), renfermant, outre la constante addilive, deux constantes
arbitraires (n° 38).

Pour intégrer cette équation (2), nous observerons que S peut
être considérée comme la somme de trois fonctions d’une seule
variable chacune, savoir une fonction de r, une fonction de 8,
et une fonction de o.

Nous poserons donc :

S=R +0 +#,

et nous aurons, en désignant par R’, @', d' les dérivées de R, 0, ®
respectivement par rapport à r, 8, ©:

l
1 [® + — 9° +
Fe

2

D] (a
— 2" |—=—+h.
r° Sin 8 r

On peut satisfaire à celle équation en posant :

(#5)

Ces équations ne contenant chacune qu’une seule variable, on
en tire :
DEP:

MÉVY 8,
eu
sf Vu 2h — © dr;

par conséquent, l'expression :

EP Vu se.
[VERS 2h — À dr +» (3)

sera une solution complète de l'équation (2).

Les intégrales premières du problème sont alors (n° 58) :

dr 2
es,
dt 7
Fi e
d 1R0S g
aie r* sin” 6 2? 7 résine
Les intégrales finies sont :
CPR
De
>S I
39 A (5)
dS
ni

b', g' et + élant trois nouvelles constantes arbitraires.

(86)

Observons, en passant, que la fonction S donnée par l'équa-
tion (3) étant connue, on pourrait revenir aux variables x, y, z,
et alors les intégrales (4) pourront être remplacées par les sui-

vantes :
dx, 98: Adi 08" 14008

— == —) —— = —

dE 59 LT i00 SES bee

Les équations (5) nous donnent :

û d9
: J sin” 8
D pas NET ——?
Vr- q
d sin’8
; dr 6
r' bds
b'= — a ——— + —— \;,
2/, b° 3
Ve he \/5-25
ro r CR sin* 8
Lu dr
L+T— F .
2/, b°
r r

ro

Il est facile de trouver la signification des constantes.

La constante À n’est autre que la constante des forces vives,
b est la constante des aires dans le plan de l'orbite, et g la con-
stante des aires dans le plan des xy.

On a, en effet,

dx DS Sr 2S28 2S à
— = = — — + — —:

+
dt dx ‘ rx 60% dp dx
Or, des formules :

TRUE A PRE y
r=Va + y +2, go, cos8= -
x r

on tire :

dr Le

———— Sin 4Cosy,

dx l

2.4 y i ;

— = — = SIn 6 Sin w,

dy r

ùr z

— — -— COS 6,

dZ 1

d? y sin
Æ — © = — ———— )

dx x + y r sin 8

d? GE cos

| — ,

dy x +y rsiné

d0 zX COS 8 COS »

— === ps: 2 |

dx r° sin 4 r

dy r
d0 sin 4
JA + ?

Par conséquent,

dx 2[u (Ps
— —= sin 4 COS + eh Ah — —
dt r r°

cos 8 cos q° q Sin
dE 1/5 EI dure) Re
Tr sin? 8 r sin 8

di dfu b°
Ne 2h — —
dt r 14

C / à
cos 8 sin / COS ?
UE PT EEes
{ sin” 4

(fa Tr sin 4
dz V fu RS g
— —= COS 8 SAC) TERMES ARR AE ETS
dt r r: r V STI

Élevant au carré et ajoutant, on a :

dx\° dy\° daN OT
+ + — — + 2%;

de dt dt r

( 88 )

c'est l’équation des forces vives ; en faisant {—0, cette équation
détermine la constante À en fonction de la vitesse initiale et de
la distance initiale du point matériel au centre fixe.

D'autre part, il est facile de voir que l’on à :

ou dx
OX AdEN TS

On en conclut que g est la constante des aires dans le plan
des xy ou bien le double de la vilesse aréolaire en projection sur
le plan des xy.

On trouve de même :

dz L VAS À
tue — = — sin? b? — Sn

dx dz k Vo 9° cs
Z — —X— — COS — qsin :
dt dt ; sin? 9 J'EN
Élevant au carré et ajoutant, il vient :
| dy = | dz 24) dx =
db — — — —— ——
dt 1% At FT ET RAR dt : dt

2
q
sin” 4

= g° + b— + g° cotg* 8 = LÀ.

Or, le premier membre est le carré du double de l’aire dans
le plan de l'orbite, ou le carré du double de la vitesse aréolaire
dans le plan de l'orbite. Par conséquent, la constante b est la
constante des aires dans le plan de l'orbite, ou le double de la
vilesse aréolaire dans le plan de l'orbite.

On peut encore dire que la constante b est l’axe du plan
invariable, et g la projection de cet axe sur la normale au plan
des xy, c’est-à-dire sur la normale à un plan fixe sur lequel on
compte les longitudes.

Il résulte de là que, si à est l’inclinaison de l’orbite sur le
plan fixe des xy, on a:

g —=b cos i.

(89)

Avant de passer à la recherche de la signification des con-
stantes r, d’, g', nous allons déterminer les limites inférieures r;
et 8, des intégrales qui entrent dans la fonction S.

Nous prendrons pour ces limites inférieures les valeurs de r
et 0 qui annulent les radicaux : il résulte évidemment des deux
dernières formules (A) que ces valeurs de r et 8 sont celles pour
lesquelles on a : dr — 0, dû — 0, c’est-à-dire les valeurs pour
lesquelles r et 0 sont minimums.

Nous aurons donc pour déterminer la limite inférieure de r,
l’équation :

ou bien :
— b° + Qfur + 2hr° — 0.

Or, en désignant par 2a et e le grand axe et l’excentricité de
l'orbite elliptique, on a :

fu LE pa -
PAT. 24, FT nn A
ou bien :
fu É
— — —= 24, — — al — 6°) — :
n fi ( ET

p étant le demi-paramètre.

Ces deux dernières équations déterminent les constantes À
et b en fonction de a et de e.
La limite inférieure r, de r est donc donnée par la formule :

Tr, = af — ec).

Quant à la limite inférieure 0, de 0, elle est déterminée par
l'équation :

de laquelle on üre :

sin =?

8 est l’angle que le rayon vecteur r fait avec l’axe des z. |

(90)
D'ailleurs, en vertu de la formule :

g—=bcosi,
on a :

: É Ë mA
sin 4 —Cos?, ou bien: SET — 1.

Passons maintenant à la recherche de la signification des
constantes g', b' et t.
Pour trouver la signification de g', prenons l'intégrale :

?p dé

g —?— Poe ete

do
et faisons dans cette équation :

l'intégrale du second membre est nulle ("), et l’on a :
g = #0
en désignant par o, la valeur de © correspondant à 6 — 4.

Or, w est l’angle de l’axe des x avec la projection du rayon
vecteur qui fait le plus petit angle 8, avec l’axe des z. Mais,
l’inelinaison de ce rayon vecteur sur le plan des xy est la même
que celle de l'orbite : il est donc perpendiculaire à la trace de
l'orbite sur le plan des xy (c’est la ligne de plus grande pente
de l'orbite); par conséquent, sa projection sur le plan des xy
est perpendiculaire à cette trace. Donc, l'angle de cette pro-
jection avec Ox est égal à 7, augmenté de l’angle de la trace
avec Ox, c'est-à-dire 5 plus la longitude du nœud de l'orbite.

On a donc, en désignant par « la longitude du nœud ascen-
dant de l'orbite :

(*) Puisque les limites de l'intégrale sont égales.

(920)

Observons encore que l'équation :

0 dé
; sin* 4
Frs
2
VA Det
% sin” 6
nous donne :
ir CNEIptE LS
g —=?+
VE g°— g°cotg 6 g° — g° cotg” 6
ou bien :

tgo \Ÿ
g =? + are sin 7"? -
V4 — 9° ]8
Or, de la formule :

q
sin CA pe
on tire :
cos on, = Vb— y s
b
et, par suite,
b° NS
cotg 05 — “2,
g
Par conséquent, |
cotg 8 T
=? + RD T de ER —
Vu g° 2
ou bien encore :
cotg 8
g = ? — arc cos Hire a
b? — g°

Pour trouver la signification de la constante b', nous pren-
drons l’équation :

ro

(92)
Si, dans cette équation, on fait :
r=r= al — e),

la seconde intégrale sera évidemment nulle, et il vient :

JE

Dans cette dernière formule, la limite inférieure 0, est la valeur
minimum de 6, c’est-à-dire 5 — à, et.la limite supérieure 8 est
la valeur de 8 correspondant au rayon vecteur r, — «(il — e),
c'est-à-dire au rayon vecteur du périhélie.

D'ailleurs, si l’on remplace g par sa valeur :

sin? 8

g—bcosi,
il vient :

; 8 sin 0d9 5 sin od8 os 8\°
b — TRE TE a | AL cos bo
V/sin?9—cosi V'sin?i—cos’s sin ?

[1
[A A

On a donc :
0S 6 cos
. — arc cos

b' — arc cos —
sin ? sin ?

Or, à cause de la relation 4, — 5 — à, on à :

cos 4 — Sin 1;

par conséquent,
cos 8

b'— are cos — ;
sin ?
d'où l’on tire :
cos 8 — sin À cos b’.

Cherchons à interpréter ce résultat, en ayant soin de remar-
quer que, dans cette formule, 8 est l’angle que fait avec Oz
le rayon vecteur mené du point O au périhélie. Imaginons une
sphère ayant son centre à l’origine, et soient NP et NK les

(95)

intersections de cette sphère avec le plan de l'orbite et le plan
des «y, N le nœud et P le périhélie (fig. 1).

Du point P menons l'arc PK perpen-
diculaire à NK, c’est-à-dire au plan
des xy. Il est évident que l’are PK
est le complément de l'angle que fait
avec l'axe Oz le rayon vecteur mené
du point O au périhélie, c’est-à-dire
le complément de l’angle 0 de la for-
Fig. 1. mule ci-dessus.

On à donc :

Or, le triangle sphérique PNK nous donne :
sin PK — sin NP. sin i,
ou bien :

cos 8 — sin NP. sin 2.

Comparant cette formule avec la précédente, on à :
== — NP.
2

Donc, la constante D’ est le complément de la distance angulaire
du périhélie au nœud.

Enfin, pour trouver la signification de la constante 7, faisons
r= To = 4a(l — e) dans la dernière équation :

Fe dr
PT — ——_— 1)
L?
€ ro VE + 2h re
U Là

nous aurons : |
= — 7.

Donc, la constante — + représente le lemps du passage de la
planète au périhélie.

(94)
64. Mouvenient d’un point matériel pesant sur une sphère.

Prenons pour axes la verticale dirigée dans le sens de la
pesanteur et deux horizontales menées par le centre de la sphère.
Les coordonnées du point M sont (fig. 2) :

x—0Q, y—=PQ, z— MP.

Fig. 2.

Remplaçons ces coordonnées par des variables q,, ga, telles
que l’équation de condition soit vérifiée.
Soient :

qi = AOR, 42: = MOR,
et supposons le rayon de la sphère égal à l'unité. Nous aurons :

x — COS Qs COS Gi,
Y = COS Ge SN Gi;

z = Sin qe.

Si nous supposons la masse du point égale à l'unité, nous aurons
pour la fonction de force :

U = gz= g sin qs;

d’ailleurs, la demi-force vive T est donnée par la formule :

1
Tæ(e + y" +2).

(93)

Or, on a :
x! — — COS 2 SiN Qi, Qi — SIN Ga COS Gi. U2)
y —= COS Q2 COS Qi. Qi — SIN 2 SIN Gi. 2»
RE COS. es

d'où il vient pour la fonction T exprimée en fonction des q et
des q':

1 y ,
= = (c0S* g2. Qi + 2).

On en tire :
oT oT de
RE — — — COS Yo SIN Yo + Qi;
qi , dqs Qe SIN 9e - Q1
oT î oT r
EUR COS qe qa , 4: UÊE
On a d’ailleurs :
oU à
— —— = (}j COS
gi da J .

Par conséquent, les équations de Lagrange (n° 9) :

oT
Ro NUE OU
dt dg; mer

nous donnent pour les équations du mouvement :

d(cos°* q2:. q:)
di

dq: r2

ne + COS 42 SIN Ua: Qi — J COS se.

0,

De la première on üre :
gi: COS Ge: = C;

d’où, en substituant dans la seconde, il vient :

dq: :

—— + sin 4e.
dt Le

— cos 239
COS” Qo ce

(9%)

ou bien :
c* sin g4

d'q:
dE TR 08 2

En intégrant, on a :

da.\? 2
(= — 2q sin ge cl

dt COS* qe Hé:
d’où :
d
dt — Fe
c°
2q si — :
g SIN 2 be q

C’est l'équation que l’on obtient par la méthode ordinaire.

Appliquons maintenant le théorème de Jacobi, et, à cet effet,
reprenons l’expression :

1
T — : (COS? 2. qi + qé);

et posons :
Ten M/S !
D = g, COS 42 .Q1;
oT ;
P2 TR 2;
d’où :
CRETE Pi
ir COS? Ga
= Ps

Par conséquent,
ee)
= = | —_——— + ;
2 \cos* q: 2
C'est la fonction T exprimée en fonction de p,, Pa, Qi, Qe.

La fonction de force ne renfermant pas explicitement le temps,
l'équation différentielle partielle de laquelle dépend la solution
du problème est (n° 58) :

T = SX

(97)

S
dans laquelle on remplacera p1, pa, par A
donne l'équation :

1 Ë | | Ë f ; ’
pa + — | — —— =—
2 cos” 2 \0qi 2 \q: BE de

)S .
2q3 ? ce qui nous

dont il faudra trouver une solution complète, renfermant, outre
la constante additive, une constante arbitraire.
D'ailleurs, si nous posons :

 2
n=T—u—; | Fu 2 p?) — g sin q,
2

nous aurons :

dH 0H pisin q

— = — = —— — g COS Ye;
dq {2 Cos°q

0H oH

eo nn a DAS

dp | cos? 2 Da

et les équations du mouvement pourront être mises sous
la forme :

dqi pi dq2

dpi 0, LR OP PRE
dt dt COS° Qo

Pour intégrer l’équalion aux dérivées partielles, nous obser-
verons que S peut être considérée comme la somme de deux
fonctions d’une seule variable chacune, savoir une fonction
de q, et une fonction de qa.

Posons donc :
S — Q rs Q,

et nous aurons, en désignant par Q;, Q: les dérivées de Q;, Q@
respectivement par rapport à qi, Qo :

1 il :
gag TS QE
2

(98 )

On peut satisfaire à cette équation, en posant :
9 ! = pb,

1 jet |
en SA mn ALL

d’où l’on tire, puisque ces équations ne renferment chacune
qu'une seule variable :

Q = qi V’28,

28
G— fün V/2 + 2g sin PTE ME

S° a

Par conséquent, l’expression :

ps RCE Te or
S—q; V’26 + fa V'a+ 2g sin qu + Y,
T 2

sera une solution complète de l’équation aux dérivées partielles.

Les intégrales du problème seront alors :

dS
aan
26
28 Pris
” NE &
ou bien :
ME RU ds
28 28
COS? Q2 V 2h + 2g sin ga — ——

COS” 43

Fe Var da:
28 È
2h + 2
V3 à + 2g sin gs — ER

(99 )

65. Mouvement d’un point matériel alliré par deux centres
fixes en raison inverse des carrés des distances, le point se mou-
vant dans un plan passant par les deux centres.

Prenons le centre O pour origine de deux axes rectangulaires,
et soient a, b les coordonnées du second centre de Le point
mobile m est attiré vers le centre O par une force + , CL par le
centre C par une force ©, en posant On — q, el Eu — Jo.

La fonction de force est donc :

La demi-somme des forces vives T a pour valeur :
|
T == 2 (x? + y"):

4

Cherchons à exprimer T en fonction des variables qi, qe,
et de leurs dérivées q;, g. On a :

d+y = (c— a) + (y —b) = q%;

d’où :
nr y ue (GT ahai+ (y =) y" = gags.
On en tire :
23 MEL tm 2 D LL LA Em

ay — bx À ay — bx
Par conséquent,
gp! Aer + qigèqr — gages 1yly — 0) + x(m— a),
2 (ay — bx) :
or, si nous désignons par / la distance OC, on à :
2 [y(y — b) + x(x — a)]= 2" + 2y° — 2ax — by = qf + Qi — PF,
et, par suile,

g LH + Gigi — quqagiqu (gi + qà — E)
2 LA°

?

( 100 )

puisque l’on à :
2A — ay — bx,

A étant l’aire du triangle OCm.

Mais, on a aussi :

|
A; (0: + qe + l)(qu + qe —1)(qi + l— qs) (ga + L — qi)

1
= je Li — (qi + gi — li;
d’où :
hqigs — (qi + q — lŸ
C’est la valeur de T en fonction de qi, qe, 41, Qa-

Si nous PpOSODS :
se ÈTE oT
# VA STE dQ2
nous aurons :
gigi — (gi + qi —l)
fi Aqiqgs — (qi + gl)

P:

En représentant le dénominateur par D, il vient :

D
Dp,giq + — qiq:(qi + gs — À)

PT ai + ET)
D

Dp.qigé + 2 qua(gt + gi — l)

QE —

kgigs — qiqu(qi + gi —

ou bien, en observant que D — 4gigi — (gi + gi —lŸ est facteur
commun aux deux termes, et divisant par gigi; :

’ P: 2 2 2
= + + — l :
on (gi + qi — l)
FE } Pi 2 2 9
2 + P2 (qi + q3 _—_" l ).

2qiq2

(101)

Substituant ces valeurs dans T, nous aurons T en fonction
de Pys Pas Qi D:

1
a [ot à pee BG + in |

La fonction de force U ne renfermant pas explicitement le
temps, l'équation de laquelle dépend la solution du problème est:

T—U—h,
en remplaçant dans T les quantités p,, p+, respectivement par
D De On obtient ainsi l'équation aux dérivées partielles :
13S \? f3S\* 5S 25 — À?
Fe) + = + — er =| + 2h. (A)
dqi da dqi da UEUE qi q

Remarque. — On peut obtenir cette équation de la manière
suivante :
L’équation T — U — À nous donne, en coordonnées rectan-

gulaires :
2 S 2
16 + (©) 1 PRES + h, (B)
2 [| \dx dy di

Qi, ga étant des fonctions de x et de y.

Transformons cette équation de manière à prendre qi, Qa
pour variables indépendantes. Nous aurons :

28 _2S 2q 28 2 x2S x—a)s
— +

— = — —

+
em dqi dx dq2 dX Qi dQi de da

2 25 2% 2 2%: y y—bas
ee
0 y y A ga qs

et en substituant dans l’équation précédente (B), on trouve
facilement l'équation (A).

Il s’agit maintenant de trouver une solution complète de
l’équation (A), renfermant une constante arbitraire, outre la
constante additive.

(402 )

Or, on peut la mettre sous la forme suivante :

nf} HS Sesn 1e

= 21192 3 2 AT YO ;
posons :
on U+p=f, G—q=g,
où :

)S _2s Je, S y dS 28
à

Sr sris—,
dqi METT VAL YU Ÿ 0
39?" 105S Se Sig 23 à.

mm 0
L’équation (C) nous donne alors la suivante :

(pe (©

Pour trouver une solution de cette équation, nous poserons
S—F+6G, F et G étant deux fonctions respectivement de
f et g, qui seront déterminées par les équations :

: )S h h.,
J+ +e-# (0) nf ft 5 495 EE

hf?
(Po — PRE (eu + 0) [ + : + 6,

h
(CE — 9°) G°= (ue — pu)g — à g— B;

el nous aurons :

ee
4 LE BORIS PE
F7 MCE

PEAU CE
(Ra 4)9 Te

+ ARE -mmres me pen OU

Les intégrales du me sont in

et l’on voit que la solution dépend des fonctions elliptiques.

(105 )

X.
Théorème de M. Darboux.

66. Le premier théorème de Jacobi (n° 44) peut s’énoncer
de la manière suivante :
Étant donnée l’équation :

dV dV dV
AA li TE .… x nan LM MITTES

— 0, 1
dqi dk SL

ù Y Dr
remplaçons dans la fonction H les 5 par p;, et inlégrons le
système des 2k équations différentielles ordinaires :

dqg; dW dp, ‘H
D OP ns RP 6 ue 2 (2)

L'intégration de ces équalions (2) nous donnera les varia-
bles p;, q; en fonction de t et des valeurs iniliales p}, qi des p;, q;
pour 1 — lo.

Formons ensuite l’intégrale :

= f a= f Dar Hi) “fn, 1 dt.
b 5

Nous pourrons exprimer V en AA de tet des 2k quan-

lités qi, pr; mais des K formules qui donnent qi, , … Qr, on

EE 0 0 G 0 0

peut lirer D;, Des pe, en fonclion de L, Qu, Œas us is av Qes
et par suile exprimer V en fonction des 2k+1 quantilés :

EX EN Que Qui Qiness des

La fonction V ainsi obtenue sera une intégrale, contenant
k constantes arbitraires q\, qd, … qr, de l’équation aux dérivées
partielles (1), et alors, les intégrales du système (2) pourront
étre mises sous la forme :

(404)

La démonstration de Jacobi repose sur la considération sui-
vante :

Supposons que l’on fasse varier infiniment peu les valeurs des
constantes qui figurent dans les expressions des p, et des g;;
la variation de V, considérée comme fonction de ces arbitraires,
est donnée par la formule :

ON DT —— Ÿ pr «
Or, si l’on exprime V en fonction des q; et q;, on a aussi :

dV >
ds 2m Ur Le

De ces deux formules on déduit la suivante :

oV V
Ÿ ê pi) dq: + > Fe + pe]agt = 0,

dq;
de laquelle Jacobi conclut les équations :

oV dV
dqi dqi

Pi»

Mais, comme l’a remarqué M. Mayer, cette conclusion n’est
exacte que si les variations dq, et dg; sont indépendantes les
unes des autres, comme le sont les dg? et les dp!. Cherchons
donc quelle est la condition qui doit être vérifiée pour que
cela ait lieu, c’est-à-dire pour que le théorème de Jacobi soit
applicable.

On a :

qi= (Et, qi, pis

ar suite, si les da, sont indépendants des 29°, il vient :
1 Ji Î q ?

dqi dq 9,0

dq:
Mi = — dpi + — dPs + ve + — Ôpé,

dpi dps dpi

OUTRE RER À

(105 )

Mais, les dp° sont indépendants les uns des autres, ce qui ne
peut avoir lieu que si le déterminant des coefficients :

est différent de zéro.

Mais, si R est différent de zéro, les qg; s’exprimeront en fonc-
tion des p? sans qu'il exisle aucune équation de condition entre
les q, (n° 50). Donc, si R est différent de zéro, il n’existe aucune
équation de condition entre les q;, et par conséquent les dg, sont
indépendants les uns des autres.

Donc, la condition pour que les dq, soient indépendants les
uns des autres et indépendants des dq°, est que le déterminant R
soit différent de zéro.

D'ailleurs, les p? peuvent être exprimés en fonction de #,
des q, et des q°. Or, si l’on reprend les équations (2), les 24 con-
stantes arbitraires des intégrales de ces équations pourront être
exprimées en fonction des q° et des p}; mais, les p; étant exprimés
en fonction de #, q; el q°, il en résulte que les 2k constantes
d'intégration peuvent être exprimées en fonction de #, q; et qi.

C'est ce qui arrivera lorsque la fonction H est telle que le

déterminant :
R' = > ]
dP1dp1 dPa0Pa dPxdPx

est différent de zéro. Car, en posant :

YH YH ’H

dH dH
CL el … — = 4,
On 312 :

HN ue
dPr dPe dPk
Or, si R’ est différent de zéro, les f, s’exprimeront en fonction
des p;, sans qu’il existe aucune relation entre les j, : ces fonc-
tions f, sont donc indépendantes les unes des autres (n° 50).
Par conséquent, les équations :

= f\; De .…. gi fr;

(106 )

ou, ce qui est la même chose, les équations :

dqi 4H dqx dH
dé" am Vide ape

sont compatibles, et serviront à déterminer les p, en fonction
de £, Qus + es Qi, g. On en déduira donc pour les p, des
expressions de la forme :

P:= fonct. (t, qu; + Qu is .… qu)

par conséquent, 2 est une fonction du second ordre, et les
équations canoniques (2) nous donneront k équations du second
ordre entre £, qu, «… Que

Mais, ces k équations du second ordre nous donneront k inté-
grales renfermant 2% constantes arbitraires, c’est-à-dire des
relations entre t, q,, … q, el les 2% constantes arbitraires.
On pourra donc, en faisant t—1, dans ces k intégrales, en
déduire k relations entre les 2k constantes arbitraires et q{, .… q2.
Nous aurons ainsi 24 équations entre les 24 constantes, les g;
et les q;, el, par suite, nous pourrons déterminer ces 2k con-
stantes arbitraires en fonction de #, g,, gi. Done, si R’ est diffé-
rent de zéro, on peut déterminer les 24 constantes d'intégration
en fonction de #, Q;, qi:

Au contraire, si R'= 0, les fonctions j, ne sont pas indépen-
dantes les unes des autres, c'est-à-dire qu'il existera entre les
fonctions f, une ou plusieurs relations indépendantes des p..
On pourra donc éliminer un certain nombre des p, entre les
équalions :

M=hs pfff,

et l’on obtiendra ainsi entre #, q,,q; un certain nombre de rela-
tions sans constantes arbitraires. Il en résultera, par conséquent,
que les expressions des q, ne renfermeront plus 24 constantes
arbitraires.

Ainsi donc, la condition pour que les g, et les g; soient indé-
pendants les uns des autres, et, par conséquent, les dg; et les dg;,
est que le déterminant R' soit différent de zéro. Si R'=0,

(107 )

les q, et les g° ne sont pas indépendants les uns des autres,
et alors on ne peut plus écrire les 2k équations :

dV dV
14: —= Pi

— — — p°
A Pis

et, par conséquent, la méthode de Jacobi est en défaut.

M. Mayer a remplacé cette méthode par une autre qui ne pré-
sente pas les mêmes objections, et que nous exposerons plus loin.

67. Mais, M. Darboux (‘) a montré qu’en faisant subir une
modification à la méthode de Jacobi, on peut la rendre appli-
cable dans tous les cas.

Supposons que l’on ait intégré les équations :

dq; 0H dy; oH

dt op; r'UTUE VA | @)

c’est-à-dire que l’on ait trouvé 2k relations entre les quan-
HIS qd P:, 0: EU Die

Supposons que » de ces relations puissent s'exprimer indé-
pendamment des p,, pi, et soient :

Fi(Es Qus ve Qrs Qis ee 95) — 0, |
F(E, is. Uk Tue qi) = 0, (5)
FE quete Us D PAREN r ETT( (A |

ces n équations.

On peut, de ces n équations, tirer les valeurs de » des quan-
Lités qg?, par exemple q°, … q,, et l'on aura :

F, == fi(e, UE … xs Qu .. q3) —. gi —0,
Fr [ae Jus ce ns us ar q+) = q3 — 0, &)

F,— fuft, Us ne Qrs agro see Qt) — M = 0.

(*) Comptes rendus, 18 janvier 1875, p. 160.

(108)

Alors les 24 quantités q,, g; ne peuvent plus être considérées
comme indépendantes les unes des autres, n d’entre elles pou-
vant être exprimées en fonction des autres.

Considérons maintenant, comme dans la méthode de Jacobi,

l'intégrale :
V = f Œ pig — H) dt,
‘

et exprimons la fonction V en fonction des q,, g;. Nous aurons,
comme dans la méthode de Jacobi :

OV = Ÿ pq; — D piiq,
el

2V dV
den PR *) sq
d’où l’on tire, comme précédemment :
dV | È |
— — D; ] 0: + — + p}] 069$ — 0. 5
> pions 3 (5x + pi) 89 (5)
Or, les dg, et dg; n'étant pas indépendants, on ne peut pas

égaler les coefficients à zéro. Mais on a, entre ces varialions,
les n relations :

dF, dE, dF, {

— d — dqx + —IË + ee + — 0 —=0,
qi 1 qu (7 q en 5 x

dE, dF, ] 150
FE Fo Ro D L
dF dF dF

—9 E 4; 7190 — dq} —
AL CE Ts Qx + TS Lies + 5g q% :

par conséquent, en désignant par 2,, À, … à, des multiplicateurs,
et raisonnant comme d'ordinaire, il viendra :

dV Le LIRE s
ARE re EE ôgit L , (6)
dV dF,
— ++ + A — = 0 (7)
dQ; dq: dqi

(109 )

Ces équations, au nombre de 2%, jointes aux équations (4),
permettront de déterminer les 2k + n quantités :

qi» QU des pi … ph) Pi» QU Pr
en fonction des 2k quantités :

is ce xs dau ETS q% A1; Aa ee De

Elles donneront donc les intégrales des équations (2).

Or, ces 24 quantités en fonction desquelles toutes les autres
sont déterminées sont indépendantes les unes des autres ;
par conséquent, il ne peut exister aucune relation entre ces
2k quantités, et, par suite, toule relation où elles entreront
seules devra êlre identiquement salis/faite.

Cela posé, suivons pas à pas la marche de Jacobi. Nous aurons :

dV dqi de dqx
— = = ..

TANT ET MI FTP
Or,
dV VV dq dV dq,
= = — — — He + — — 0
dt D dq dt dqx dt
Par suite,
dV dV da: dV dqr dqi dq
Éd RL VINS (DE PE ui

Remplaçant les = par leurs valeurs déduites de l'équation (6) :

>V dF, >,
— = ?; — li — ve — À, ,
dq; d4; QUE
on a, en supprimant les termes semblables :
dV de dqi dF, “)
t gi dt du di
e EE RARE PE =
qi dt dqx dt
dF
og di dgx dt

(110)

ou bien :

D Sue d : PR

{ — — H(4,q;, pi).
qi di gx dl (9 pi).

Or, de l'équation :

Fe (E, Qusee. Qes Dos Auto ve Qi) = 0,
on tire :
QI + Fe dqs + ce + DFœ dgiie
dt 0g: dt ge dt

Par suite, le coefficient de À, est égal à — dE, et l’on a :
VE
ACTOR x Xx — + H(f, qi, pr) —0.
dt =, D'or

Si maintenant nous remplaçons dans H, p, par sa valeur (6) :

dV dF, dF,
Pi — + ); RS 2}
dQi dg; d4:
il viendra :

dV dF, dFo dF,
A4— + À ++), —
dE dÉ ù dt

H C À FA |

+ 5 + == FE A — | =
° q u 1 dqi Y1 ,

ou bien, si l’on observe que les dérivées de F, qui entrent dans
celte équation sont précisément les mêmes que celles de f, :

dV ù df. d |
RS RQ» eh HER ES
dt dt dt dt | x
dV fi df, (8)

+ H (qu + lu — + à, —]|=0. |

dqi dGi dq; l

Actuellement, si l’on imagine qu'au moyen des équations (4)
on ait éliminé de la fonction V les quantités qi, … qg%, l'équa-
tion (8) a lieu entre les 2k arbitraires

us see Gus Qntas ve Ye A ae À pe

(1H)

Il en résulte, d’après ce que nous avons dit plus haut, que
cette équation (8) sera identiquement satisfaile.

Or, si l’on considère À, , … À, comme des constantes, l’équa-
tion (8) exprime que la fonction :

V + fi + Xfo + ee + 1, f,,

satisfait à l'équation aux dérivées partielles :

dV dV

— + H ir 4 == {18
dQ

elle sera, par conséquent, une intégrale de cette équation,
et nous aurons le théorème suivant qui est dû à M. Darboux :

THÉORÈME. — Étant données les équations différentielles

ordinaires :
dq: 0H dp, dH

2

TETE DA dt dq:
supposons qu’on les ait intégrées, et que des intégrales on puisse
déduire n relations distinctes, el n seulement, entre les varia-

bles qi, qu, … q, et leurs valeurs initiales. On meltra ces rela-
tions sous la forme :

Bis Ji as + ro OMR ENT
F, at is Ja - - Us Qao .… q%) TE q2 — ï

F, = f,(t, is Ts «ee Uk Quai; Le q%) — q% 11;

et l’on calculera l’intégrale :

AAA dqu |
V — 1 SL AE Ù
714 (oi re UN LT H} dt

Cette intégrale pourra toujours s'exprimer en fonction des
variables qi, 23 «+. rs Quaus + x. Celle expression de V étant
obtenue, les intégrales générales du système des équalions diffé-
rentielles pourront êlre mises sous la forme :

dV dF, dF, >,
Dir VA} — + 2 RE + 1e + À, at)
dq di 4: dqi
5 dV >F, dF >,
RE Lette or Burt Er nn cart

dqi di QE qi

(112)

el, en outre, la fonction :
V+ fi + fit + af

dans laquelle À,, À, … 2, sont des constantes arbilraires, sera
une intégrale de l’équation différentielle partielle :

dV

— + H+ 0,

dE

DV
où l’on a remplacé dans H, p; par >.

XL.
Théorème de M. Mayer.

@s. Soit H(f, qu, … qe, Pa, … p,) une fonction donnée des
2k+ 1 variables t, q;, p;, et soient données entre ces variables
les 24 équations différentielles ordinaires :

dq; MH dp, 0H
Gp (D

Supposons que l’on ait intégré complètement ces 2k équa-
tions; on aura ainsi 2k intégrales renfermant 24 constantes
arbitraires. Exprimons ces 24 constantes en fonction des valeurs
initiales q;, p;, que prennent les variables g;, p;, pour la valeur
choisie arbitrairement t, de t.

Nous aurons ainsi les équations :

gi = fonet. (4, to, qi, Qas ce hs Pis ce Dé)
p; = fonct. (f, 45, qi, Q2s + Q, Pis se Da).
Nous les représenterons par :
q= (qi),
Pi = [Pij,

où les [g,] et les [p,] sont des fonctions déterminées de +, 4,
di, pi, telles que, pour t— 1,, elles se réduisent respectivement
à qi et ps.

(2)

(113)

Nous emploierons dorénavant les crochets pour indiquer les
résultats que l’on obtient en remplaçant p,, g; par les valeurs (2).
Il est d’abord évident que le déterminant :

Re 2 vil le) a)

4 3Q gs dqk
qui, pour {= {, se réduit à l’unité, ne peut jamais être nul.
Il en résulte donc que les équations :
[al = 9o (5)

sont compatibles, et, par suite, en les résolvant par rapport aux
k quantités g;, on en déduira les valeurs de ces k quantités.
Cela établi, posons :

V= Ÿ on! spi. (4)

i=1 ù Pi
et calculons la fonction V en fonction de :
{, los UE OL UE Pi: CUC pr:
ce qui se fera évidemment au moyen des équations (2).

Nous aurons donc, en vertu des notations adoptées :

VS gp + ee 5 [pi] el = [Hi]

Désignons par c une quelconque des constantes q, p?, et nous
aurons, en différentiant par rapport à c :

dV ù Le ce) 0H : |
Or, on a :

Do [E]-ug)- 3 PE ee [El 11

Mais [H] n’est autre que la fonction primitive H dans laquelle
8

(4)

(114)

on a remplacé les p,, g;, en fonction des p}, g;; nous aurons

donc
SR IHEMHED

par conséquent,

AS
ET
nl el enleE

D'autre part, en vertu des équations (1), on à :

dH ue d[p.]
dqi qe dt

" _o dfgl_ d gl.
ù dt

ù de dt

t

par suite,

PSN E

d Va]

En intégrant entre les limites # et #, il vient, pour le second
dV
terme du second membre de = :

PDC ÉECICETE d >

to lo

QE ! se \Lpd dl _ pi),

dc "dc |

(*) On doit, dans le second membre de cette formule, renfermer toutes
les quantités entre crochets, puisque ce second membre doit comme [H]}
être exprimé en fonction des q?, p?.

(115)

en observant que, pour {=={5, [p;] et[q,] se réduisent, par hypo-
thèse, à p° et q.
On a donc enfin :

= DIE + 3m pi |

dc

Or, si, dans cette Me formule, on fait c— Q°, il vient :

1 2e

ou bien :

Si, dans la même formule, on fait c — p?, on obtient :

D'autre part, si dans la fonction V, exprimée en fonction de
L, los Qi ce Qhs Dis + Da, On remplace les q° par leurs valeurs
tirées des équations (5), elle devient une fonction de £, 45, Qi, «+ Qu
Pi, pr, que nous pouvons représenter par (V). Il est d’ailleurs
évident que la fonction (V) se réduit inversement à la fonction V
primitive, si l’on remplace dans (V) les quantités q,, … q, par
leurs valeurs (3), c’est-à-dire par :

qi = [oi]:
Par suite, on a, en appliquant le théorème des fonctions de

fonctions :

dqi | dqz
oV d(V AV) | Ag
LE 7 k > El] [ad
dp op dqi À 0p

(*) Les crochets des seconds membres indiquent que ces seconds mem-
bres doivent être FRAIS comme les seconds membres des valeurs trou-
vées plus haut pour

D , ==. en fonction des pi ’ qi ©

(116)

OV. 3V
En comparant ces valeurs de :%, _ avec les valeurs trouvées

plus haut, on en conclut que l’on doit avoir identiquement :

d(V) A qi]
rer à
"o(V) 1 gi] d(V) = k
eme des à

pour r = 1, 2, .… k.

Les équations (5), au nombre de k, sont linéaires et homogènes
par rapport aux k quantités :

d(V)
| dq: nE 2

or, le déterminant des coeflicients de ces équations est différent
de zéro, d’après ce que nous avons vu précédemment; par
conséquent, le système des équations (5) ne peut exister que si

l’on a séparément :
d(V
Rp |+0: G)

dq;

pour ii 1,2,..%#.

Le système des équations (6) nous donne alors :

ee | — 4 —=0, (8)

dp

pour r —14, 2, &.
Il résulte de là que les solutions complètes :
VE EL [q.] ’ | (2)
pi = [pi], |

des équations (1) doivent satisfaire identiquement aux 24 équa-
Lions :

Lee
dq: 19
9
D if

dp;

(417)

En effet, les expressions (7) et (8) doivent être des identités,
c’est-à-dire que, par la substitution dans les équations (9) des
solutions complètes (2), ces équations (9) doivent devenir les
identités (7) et (8).

Les équations (9) ne sont pas elles-mêmes des identités :
en effet, puisque (V) est une fonction de #, 45, qi, +. Qu, Di, D,
il en résulte que les premiers membres des équations (9) ne
renferment ni les p,, ni les q/, et comme les seconds membres
ne renferment que les p; et les q;, il s'ensuit que les équations (9)
ne sont pas des identités; elles ne le deviennent que par la sub-
stitution des p, et des q; tirées des équations (2).

Ces équations (9) sont donc équivalentes aux équations (2),
et, par conséquent, ce sont des intégrales des équations (1).
D'ailleurs, le nombre de ces équations est 2k, et elles renfer-
ment 24 constantes arbitraires q{, … qe, pi, … p*; enfin, aucune
de ces équations (9) ne peut être une conséquence des autres;
car, dans chacune d'elles, il entre une quantité p, ou g; qui ne
se trouve pas dans les autres.

Il s’ensuit donc que les équations (9) forment un système
d’intégrales complètes des équations (1).

Cherchons maintenant l'équation différentielle partielle à
laquelle satisfait la fonction (V).

A cet effet, de même que tantôt nous avons trouvé et 5
de deux manières différentes, nous allons former - de deux
manières différentes.

De l'équation (4') on tire :

av dH
Es Le

d'autre part, si l’on substitue dans (V) à la place de q,, … q,,
leurs valeurs (3), cette fonction devient V. Par conséquent, nous
aurons, en vertu du théorème des fonctions de fonctions :

dV [a(v) AV)] d[g;]
mule de | el pe

(118)

ou bien, à cause de la première équation (9) et de la première
équation (1) :

dv \4 AV) 0H

au af

En comparant les deux valeurs de 2 on obtient l'identité :

AV) |

c’est-à-dire que, par la substitution dans l’équation :

d(V) !
+ H=0, (41)
des solutions complètes :
JE Lil,
2
Pi = [pi], À

cette équation (11) doit devenir l'identité (10).

On conclut de là que les solutions complètes (2) des équa-
tions (1) doivent satisfaire identiquement à l'équation (11). Or,
les solntions complètes (2) des équations (1) sont équivalentes
aux équations (9).

Donc, si (V) est connue, les équations (9) satisferont à
l'équation :

PARLE ul
Ne en

Il s'ensuit que, si, dans cette dernière équation, on remplace

les p, par se, en vertu de la première des équations (9), on

aura l'équation différentielle partielle suivante :

d(V d(V; d(V
x Ca Ê FRS Ru ï, 2) 9. (12)

Le

à laquelle doit satisfaire la fonction (V).

Or, si, à cette fonction (V) qui satisfait à (12), on ajoute une
constante addilive, on aura une solution complète de cette

(119)

équation (Ra): En effet, cette solution renferme k constantes
arbitraires p{, … p}, et ces constantes ne pasens a être éli-
minées entre les quotients différentiels partiels 20) TA QE ar ? car
alors une des k premières équations (9) serait une conséquence
des autres, ce qui est impossible. Nous aurons donc le théorème

suivant qui est dû à M. Mayer (") :
THÉORÈME. — Étant donnée l'équation différentielle partielle :
un as Que] =0, (A)
ot q
on remplace dans la fonction H, les © r par p;, et l’on forme les

2k équations différentielles draPatr es

dqg; dH dp, dH
a NE ed @)
Pi ü dq:
On intègre ce système, et l’on exprime les 2k constantes d’inté-
gralion en fonclion des valeurs iniliales p;, q? des p,, q; pour
t— t,. On substilue ces solutions dans l'expression :

dH
Dre

et l’on détermine l'intégrale :

en fonction de t, t;, q;, di

Cela posé, si de la fonction V on élimine les qd; au moyen des
valeurs des q, tirées des intégrales des équations (B), la fonction
résullante (V) sera une fonction de 1, Qu ++ Qu, DesiDe

La fonction :
V = (V) + const.

(*) Mathematische Annalen, t. LI.

(120 )

sera une solulion complète de l'équation differentielle par-
tielle (A), et les 2k équations :

AV) AV)
ee di 0
dq; dp,

Sur UE

seront les intégrales complètes du système (B) (‘).

XII.

Théorème de M. Liouville.

69. Nous allons d’abord démontrer un théorème de
M. Donkin (”) dont on fait un fréquent usage dans les théories
de l'intégration des équations canoniques, et de l'intégration
des équations différentielles partielles du premier ordre.

Ce théorème exige l'emploi de notations nouvelles intro-
duites par Poisson, et par M. Donkin, et que nous devons faire
connaitre.

Si l’on suppose que x et 5 sont des fonctions des quantités
Pas Pas ce Puy Gis es ns ON doit à Poisson la notation sui-
vante (”””):

oz 08 dx dB
&9=$( RQ + &)
A Voqi op dpi 0q.

M. Donkin ("), de son côté, a introduit une notation symbo-
lique pour représenter la quantité entre parenthèses.
Il pose :

(") On peut encore consulter sur cette question une Note de M. Bertrand,
insérée dans les Comptes rendus du 20 mars 1876, p. 641.

(”*) Philosophical Transactions, 1854, p. 85.

(***) Mémoire sur la variation des constantes arbitraires (JouRNAL DE L'ÉcoLE
POLYTECHNIQUE, 19° Cahier, p. 281).

(**) Philosophical Transactions, 1854, p. 72.

(12 )

et l’on à ainsi :
i=n dx, 6)

) te 2 (qi, pi)

70. Cela posé, supposons que l’on ait n équations :
di = pis os +. ns Pis Pas +. pi):

a; = p;(q1, as +) ns Pis Pas +. Pubs

dans lesquelles a,, a,, … a, sont des constantes arbitraires, les
1 2 n

fonctions des seconds membres pouvant renfermer des quantités

quelconques autres que les a;.

Ces équations pourront servir à déterminer p,, Pa, «+ Pys EN
fonction de q;, q:, … q,, et des constantes, et nous nous pro-
posons de démontrer que la condition d’intégrabilité de l’expres-
sion :

Padqr + padqa + + + p,dq,,
c’est-à-dire :
VA dPk

»

n’est autre que :
(a, ax) — 0, ou (gs 84) = 0.
En effet, si dans l’expression :

Au — pulQir as +, Ans Pis Pas Pah

on remplace p,, p:, … p, par leurs valeurs en fonction de
Gus es ve Qu dis Ass ve y ON aura une identité; par suite, en
différentiant par rapport à q,, il vient :

d&y day dPi dy d
RU SUR LAN RPC Pa

di Pa fi dp, dqu

de même,
da, day dpi day dp,
+ — — ++ —

QE dPi Qi û dp, dqi

(12)

Multipliant la première par © =, la seconde par = — , et retran-
chant, ou trouve :

da, 2, da, da, ER de Ja, de, =):

qe pe pe qe ps op Sp Pl
ou bien, d’après la notation de M. Donkin,
Xa,, a,) =. = + JP Xa,, a,) S
Nq:> PJ qi Ass Pr
Faisons la somme des expressions analogues que l’on obtien-
drait en donnant à : les PT 1,2, n; le coeflicient de _
étant le même que celui de , Pris en signe contraire, sa.
aurons :
< . - Nan» @)
da, a,)— Y se 1
(,a)=2 2 = ESS (1)
De cette formule on conclut déjà que la condition nécessaire
pour avoir :

a _ 3.
dqg; 2:
er aps les valeurs de r et k égales à 1, 2, … n, c'est que
les = 2 équations :
(az, a;) — 0,

soient vérifiées pour les mêmes valeurs de z et ».

Pour démontrer que cette condition est suffisante, maltiplions
les deux membres de l'équation (1) par =. et faisons la
somme pour toutes les valeurs de et » égales à 4,2, ….n.
Il viendra :

Fe , Xp,, p.)
2 2 (az; a,) Xe, a,)

; (2)
TP. 2) 2%, dp;\ Xa,, a,)
FSSERT JÈ-2) ee 0.
A4 74 Kay, &) À À ra Xp; pi)
Le coefficient de ee est évidemment :
Ss 5! Pr _E7) ee 2). (3)
FA Ars da, 24, da] \2p; ps ps 4

|
Ê
[
1
4

Phi) mb. à ns dis di so HAS dés.

(425)

Il est facile de simplifier ce coefficient. En effet, puisque p,
et p, sont des fonctions de a,, a,, … 4, , On 2 :

à P à > Y x 4
2p dp, da; dp, da dp, da,
“en _- Pr RE am.
dp:. da, 2p; da Dp; da,, dp;
ù dp, da, p, dGs dp,. da
EU 2 ee mt PQ 2 Qu
dpe 244 pe d43 Pr da, pe
ù dp, da, dp, da dp, da
AU LR et) LE
dp; Ja, 2p; da: 2p; da,, dp
2p, 2p, da dp, das dp, da,
= — + — — + + —
dPs day dPe 23 pr da, dpr

La somme double (3) est une somme de produits de deux
déterminants. En appliquant les règles de la multiplication et
de l'addition des déterminants, on trouve que cette somme
double se réduit au déterminant suivant :

2p; dPe ee. 2p. 2p, 2p, 2p. = P.; P:)

D) 5 dP; 2Pe dpe dpi p:, Pi)
dp; dPr |

L'équation (2) se réduit donc à la suivante :

; Si A) ——— Pr. pa) de Es pa _ Mu
Fer = ce Xa,, a) T2, Éi IQ 2g;

Mais, on voit facilement que, si l’on EE le second terme,
il n'y a que le coefficient de #°— ?#* qui ne pot pas nul, et il
se réduit à l'unité. En effet, le cucticient de > e s'obtient

en faisant i — r, k —s, ce qui nous donne pour ce coefficient :

puisque :

(12% )

Il est évident que si # et k sont différents de r et s, par

exemple i = r', k — 5", le coefficient de :

dPer dPyr
dQ sr VA
sera nul.
Nous aurons donc :
LS A(p,, p.) [dp, dp,
usa 2) Pr) Lo
NU A) ds dq,

BEA v=i

ou bien, en remplaçant les lettres r et s par à et k:

RE D(Pi, Pa) di a
i (Ga he EE El
== d(Au a,) dqk di

Il résulte de cette dernière formule que si l’on a :

(ay &) = 0,

pour toutes les valeurs de y: et » égales à 1,2, ... n, on aura :

pour toutes les valeurs de à et k égales à 1, 2, … n.

71. On en conclut le théorème suivant :

3 Q —4 ” .
THÉORÈME. — Si les =? équations :

(au, a) —0,

sont vérifiées identiquement, les valeurs de p,, p»,
fonction de qi, 2, .… q,, déduites des n équations :

n—= ds Pa Ayo ?Pn —A,;

satisfont à la condition :
Ds Ma

dQ& di

+ DS ER

(135)

en d’autres lermes, ce sont les quotients différentiels d’une
fonction de q,, q:, … q,, et l'expression :

Pdqi + padqs + +++ + p,dq,,
est une différentielle exacte.

2. Ce théorème étant démontré, revenons au problème de
l'intégration des équations canoniques :

da: dH !

ET EAN

dp; dH (4)
COR

H étant une fonction de qu, qe, «…. Qu, Pi, Pa, .… p,, ne renfer-
mant pas explicitement £.
Nous avons vu (n° 4%) que l’intégrale des forces vives :

H—h#;
est une intégrale de ces équations.
73. Ceci rappelé, démontrons le théorème suivant :

THÉORÈME DE M. Liouvice. — Si, par un moyen quelconque,
on parvient à trouver n — 1 autres intégrales des équations (4),

savoir :
Pi Us Pa Us, . Puy —= Uni;

el si les premiers membres de ces équations sont des fonctions
de Qi, Qe , + Ans Pas Pas ee Pas 6 contenant pas explicitement le
temps, et satisfaisant à la condilion :

(CA gx) EF 0,

pour loutes les valeurs de i et k égales à 1, 2, … n, le problème
sera résolu.
Il suffira de résoudre les n équations :

H — h, gi —= QU; a — 2) .… Pn-1 = Uni; (à)

(126 )

par rapport & p,, P:, … P., ef de substituer ces valeurs dans
Fexpression :

AV" =pudq + padq2 + + + p.dq, —(H)dt, (6)
laguelle est alors une différentielle exacte. On intégrera cette
expression, et l’on obtiendra les n autres intégrales du problème

en égalant à des constantes les dérivées de la fonction V', prises
par rapport aux n premières constantes.

Il est d’abord facile de voir que l'expression :
pad, + pags + + + p,dq. — (H)dt,

est une différentielle exacte, lorsque l’on substitue à p,, ps, … p.,
leurs valeurs tirées des équations (2); en d’autres termes, que
les conditions :

sont vérifiées, (H) désignant le résultat de la substitution de
Pas P2s P, da0S H.
Nous avons vu (n° 74) que la condition :

(a: = 0,
équivaut à la condition d’intégrabilité :
PR uee,
2% 24;
Il nous reste donc à démontrer que l’on à aussi :

PES):

PL 4 2q;

Or, les quantités p,, p., … p, ayant été déterminées en fonc-
tion de q,, 4:, … q, et des constantes, au moyen des équations (5),
le premier membre de l'équation H — h, qui est l’une de ces
équations (5), devient, par la substitution de ces valeurs, iden-

(427 )

tiquement égal à la constante k: par conséquent, on 2 iden-
tiquement :

(H)—2,
et, par suite,

XH)

—— — 46.

2q;

D'autre part, p, ne renfermant pas explicitement le temps,
on 2 identiquement :

P:_o,
»
et la seconde condition d'intégrabilité :
cn à
M 2:
est sausfaite.
En intégrant l'expression (6), on 2 :
V'—= VV — bé, (7)
V désignant l'intégrale de l'expression :

Palq, + pig: + — + p.de..
Cela po, les n autres intégrales du problème sont données
par les équauons :

2V” 2V |
— = — —=%.
a la |
| M 2
ES RE Re
Et ù
2V” 2V

= — Est
2e, « 2e,
2V” 2
Use | |

æ,æ, … &, étant des constantes arbitraires.

Il suffit pour s'en assurer de démontrer que les dérivées
totales par rapport à 4 de ces équations se rédukent Kentque-
ment à zéro en vertu des équauons (4)

( 198 )

Or, en désignant par : un quelconque des nombres 1,2,...
nous aurons :

d di h ai d 7”
du adqu da; dq,
dt dqi dt 04, dt

dV N 2V
_ dm... ds
a, dt a, dt

ù ù dH ) d(H
EL CP _ 1)

D, PDT Nine 0 TR
Mais, comme (H) est identiquement égal à k, il en résulte que
l'on a :
dV
d.—
da;

dt

—=0,

Si maintenant nous prenons la dérivée totale par rapport à 4
de la dernière des équations (8) :

NN Y
DRINDR EN ;

nous verrons que cette dérivée est aussi identiquement nulle,
en vertu des équations (4). En effet, on a :

dV’ oV oV dV
d.— d\——1!I LE je
dh dh dh da dh dq,
et) ME A re NN ne ==
dt dt gi dt 4, dt
dV dV
ET °5a dq
qi VE n nñ
Es 2, ee RE
* dh dt TAN dh dt
dH op, dH op,
save dpa dh p, dh
d(H
he LL re
dA

La seconde partie du théorème est donc démontrée.

( 129 )

74. Remarque I. — Il n'est même pas nécessaire de déter-
miner la fonction V, donnée par l'équation :

V = fo + Patlqe + ++ + p,dq,). (9)

En effet, si l’on prend la dérivée par rapport à a, de l'équa-
tion :
dp; 0p;

|

dqr dg:
il vient :
dy; dPy
AU De
UT dq
0 y at dU y
ou bien :
dn: dPz
Pi LP
dy dl y
— = © (10)
dqr d4;

Par suite, on pourra remplacer les x équations (8) par les
suivantes dont les premiers membres sont, en vertu de (10), des
différentielles exactes :

253. Remarque II. — Il est facile d'obtenir l'équation aux

dérivées partielles à laquelle doit satisfaire la fonction V', définie
par l’équation :

dN'= pdq, + pedq: +++ p,dq, — Mdt,
9

(150 )

ou la fonction V définie par l'équation :

AN = pidq: + padqs + + + p,dq,.

En effet, les valeurs de p,, pe, … p,, déduiles des équations (à),
sont celles qui vérifient identiquement les équations :
dV’ dV' dV' dV’

Ro VAR Es .… Ali PE

par conséquent, la fonction V' doit réduire à une identité l’équa-
lion aux dérivées partielles du premier ordre :

DV MO NT 2

ù
A A 01
Y ee ler 3 5 WA

LA

ou bien, la fonetion V doit vérifier l'équation aux dérivées par-
tielles du premier ordre :

— h.

de VO V —

qu, ( PACE: PS ne A F

76. Application. — Comme application du théorème de
M. Liouville, reprenons le problème du mouvement d’un point
malériel attiré vers un centre fixe en raison inverse du carré

de la distance.
Les équations du mouvement sont :

d’x px
do
dy by

L'intégrale des forces vives est :

I ! 12 le
HSE sn qus

On a donc :

RUN : ER e-
3 EE + , — —= 7 ,

da dx ”

dH RE: uy
; = 7 , — =

(151)

Par suite, les équations du mouvement peuvent êlre mises
sous la forme canonique :

de 0H dx’ 0H
dt dr ie
dus HN dy oH
dr dy" CRETE TT dy

Ces équations renferment quatre fonctions inconnues x, y,
x’, y de la variable £. Nous devons donc chercher, outre l’inté-
grale des forces vives, une aulre intégrale ne renfermant pas

explicitement le temps.
Or, celie intégrale est fournie par le principe des aires, qui

nous donne l’équation :
p—=Xy — Yx = a.
On vérifie facilement que la condition :
(H, ;)— 0
est satisfaite; en effet, on a :

JE den da COM dat ads

AO ne ns Et 7 ,
dX dx dx dx dy dy d1 dy
x EE]
= ——.y—xy + —.x+yax = 0.
T° C C T

De ces deux intégrales H et o, nous pouvons tirer les valeurs
de x’ et y’ qui rendent l'expression x'dx + y'dy une difléren-
tielle exacte. Nous aurons :

(152)
par suile, on à :

ru xdy — ydx D sn V2 (a Fe 2 r° 200
SLI MEET F

° Tr

d’où, en intégrant,

Ê y dr
V=aarctg=Æ+ —
ΠUNE r

Les deux autres intégrales du problème sont :

p) F\ 2
21h+-)r — a.
r

dV y > odr
— = AFC 12 Æ PTS ARS l

k et g étant deux nouvelles constantes.

Ce sont les intégrales que nous avons trouvées précédemment
(n° 62) : la première est l’équation de la trajectoire, la seconde
donne la relation entre le rayon vecteur et le temps.

XI.

Mouvement de rotation d’un corps solide autour
d’un point fixe.

77. Soient l'origine des coordonnées au point fixe, 6, 7,4
lrois axes fixes rectangulaires, x, y, z les axes principaux du
corps pour le point fixe, À, B, C les moments d'inertie princi-
paux, p, q, r les vitesses angulaires autour des axes principaux.

Soient © l'angle que fait l'axe OË avec l'intersection OA des
plans xy et 6n, L l'angle de cette intersection OA avec l'axe Or,
0 l'angle des deux plans (fig. 3).

( 155 )
Nous aurons pour la somme des forces vives :
2T = Ap° + Bq° + Cr”.

Or, la vitesse angulaire de la rotation peut être considérée
comme la résultante de trois

te rotations p, q, r autour des
2
À axes x, Y, z, où comme Ja
/ résultante de trois rotations
dont les vitesses angulaires
È sont :
/
/ é gs { le OA
PE — aulour 7 ‘
ns k un ee d à
A6 Bt 4 ae SN CE À
D — autour de OË,
40 dE
7%

dy
— autour de OZ,
Fig. 3. dt

et l’on a les formules suivantes :

p = cos#.6" + sin ÿ sin 0.#",

q —=—sin%.06 + cos y sin4.»’, (1)
r — 4%" + co50.»",
en posant :
; da : dy : d5
NE nr

Ha D —= = 0 — —:
di dt dl

En remplaçant p, q,r par ces valeurs (1) dans l'expression
de T, nous aurons T en fonction des variables &, b, 8 et de leurs
dérivées @', 4”, 0’.

Si nous posons maintenant d’après Poisson (”) (n° 40) :

oT oT oT

) EL d— ,

dy" PA NA

(*) Mémoire sur la variation des constantes arbitraires (JouRNAL DE L'ÉCOLE
POLYTECHNIQUE, 15° Cahier).

(154)

nous aurons, puisque 4’ n’entre pas dans p et q :

de même, +’ entrant dans p, q, r, il vient :
oT oT ) T ) oT or
’ Ê ; AE . RE
d? dp d? dq d? dr d?
— Ap sin 8 sin y + Bq sin 4 cos y + Cr cos 0,

et, comme 8’ n’entre pas dans r, on a :

oT oT oT à
0" po )q

; u — $ COS 8
Ap sin ÿ + Bq cos ÿ = ———,
sin 6

Ap cos — Bq sin ÿ — v.

On en tire :
sin Ÿ
Ap = (u — 5 cos 6) — + U COS #,
sin 8
cos Ÿ L (2)
Ba = (u — 5 cos 8) — — vsin:
re pe LÉ |
Cr = 5. |
Par suite,
1 sin y ?
QT = — | (u — 5 cos 8) —— + vcos
A [ Er 0 1
1 9 cos , = 5)
+ — [(u —5scos - — » sin L:
B sin 9 Ÿ
1
+ —5!,
f

Si nous remplaçons dans le second membre de cette équation
s,u,v par DE 5 | Le , ét si nous désignons par U la fonction
de force, et par À la constante des forces vives, le problème
sera ramené à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles

du premier ordre (n° 38) :

4 “- doV | sin Ÿ dV «le
— [[— — — cos 0) — + -— COS Y
À | \d» dY sin d0

AE OV TV cos dV . 2
+ — [ — — COS Û | — — sin Ÿ (4)
B | Lo dy sin 9 d0
4 [oV
C \oy

H=T —U :

dy 0H dd: 0H ds dH
HT ds PTE du dt D.
ds 0H du dH dv 0H
RENE Side EE

28. La solution du problème se simplifie lorsque la fonction
de force U est nulle, c’est-à-dire lorsque le corps, soumis à une
impulsion momentanée, est abondonné à lui-même.

En effet, si l’on désigne (fig. 3) par a, b, c les cosinus des
angles que l’axe des x fait avec les axes Ë, 7, 6, a’, b', c' les
cosinus relatifs à l’axe des y, et a”, b”, c” les cosinus relatifs
à l’axe des z, nous aurons, pour les équations de la conservation
des aires :

Ap.a + Bq.a' + Cr.a”"—x, |
Ap.b + Bq.b' + Cr.b"—6, (5)
Ap.c + Bq c' + Cr.c"—7, \
Ap, Bq, Cr étant les sommes des moments des quantités de
mouvement relatives aux axes principaux x, y, z, c’est-à-dire
les aires décrites dans chacun des trois plans coordonnés Ox, y, z.

(156 )
Or, les formules d’Euler nous donnent :
& = COS # COS Ÿ — Sin + Sin COS 6,

b = sin cos y + cos ? sin # cos 9,

c —=sinysin 4,
a — — cos » sin ÿ — Sin COS » COS 4,
b'— — sin : sin y + cos; cos 4 cos 8,
c' — cosy sin86,

«= sin psin4,
b''—= — cos » sin 6,

c'= cos 8.

Les équations (5) prendront la forme suivante :

sin è
Ù COS g — —— (u COS 1—S) = x,

sin 9
COS : 6
v Sin ? + — L (u cos 5 — s) = 6, G)
u = y. |

En faisant la somme des carrés, et posant :

on a :

Cette équation, étant une combinaison des équations (6), peut
remplacer l’une de ces équations : elle sera une des intégrales
du problème. D'ailleurs, l'intégrale des forces vives H — À est
aussi une intégrale du problème.

( 137 )

Nous pourrons donc prendre pour intégrales du problème
les trois équations :

(LE
u c0$ 0 — s)
v° cie u? a HR = k?,
sin” 4
1 sin ÿ j?
9h —— Ù COS Ÿ + (u —S COS 6) —
À | sin 0 (7)
| c COS D l
+ —{—vsing + (u — S COS 8) - —
B sin 6 |
1 9 *
+ —s"(").
An)

Il est facile de voir que ces trois intégrales satisfont aux

conditions :
(y; h) = 0, (h, k) —= 0, (k, ) — 0.

Nous pourrons donc appliquer le théorème de M. Liouville
(n° #3). Les équations (7) serviront à déterminer u, v, s en
fonelion de 8, +, d; nous pourrons alors déterminer la fonction V
par une simple intégration, el nous aurons :

V = f (sdy + ud? + vd).

(‘) Il est d’ailleurs évident (n° ##) que l'équation :

u —= consl.,

est une intégrale du problème.

En effet, si l'on exprimait T en fonction de », #, 8, +’, #", #”, au moyen
des formules (1), T ne renfermerait pas la variable +, mais elle renferme-
rait sa dérivée +’. D'ailleurs, la fonction de force U étant nulle, elle ne
contient pas la variable +. Par conséquent, l'équation :

ou bien :
u = consl.,

est une intégrale du problème.

(158 )

Les trois autres intégrales du problème seront données par
les équations :

dV

5h = | lo
dV

Te male ©

doV

NE de;

los 1, & élant des constantes arbitraires.

Nous aurons donc les trois intégrales :
10s du dv
— dy + de + dé) it ;
sé ( ART PRET a
[ds du dv
Jus tasta)=,
y dy dy
le L du L dv 6)
CU EE (0) — "x; -
dk ? dk dk

Les équations (7) ne peuvent, en général, être résolues par
rapport à #, v, s. Car, l'élimination de s et de u conduit à une
équation du quatrième degré en v.

Mais, si l’on suppose B— A, la difficulté disparaît, et les
équations (7) nous donnent :

U—= y,
à Litbes
$— —(k* — 2Ah),
C—A (8)
1 !
= —— (RH — un — $ + Qus cos 6 — À cos* 6).
sin 8 .

29. La théorie précédente est applicable au mouvement de
rotation de la terre autour de son centre de gravité. En effet,
on sait qu'un corps solide libre dans l’espace tourne autour de
son centre de gravité comme si ce point était fixe. Alors À, B, C
seront les moments d'inertie principaux de la terre.

(139)

Soit OZ l’axe polaire dirigé vers le pôle nord, la rotation
s’effectuant des x vers les y. Le plan &n est l'écliptique fixe,
l'axe des À l’origine des longitudes, 0 l’obliquité, + la longitude
de l’équinoxe du printemps (point vernal), 4 l'ascension droite
de l'axe des x.

Soient à linclinaison du plan invariable (plan du maximum

a
2

>

Échplique pique fe
Ne

\

tr
Fig. 4

des aires) sur l’écliptique fixe, 7 l’inclinaison de l’équateur sur
le plan invariable, que l’on appelle aussi plan principal (fig. 4).
Dans le cas de la terre, A ne diffère presque pas de B, 0 ne
diffère guère de #, et j esl toujours très pelit. Nous supposerons
que C est le plus grand moment d'inertie.
Il est évident, à cause de :

= ++),
que k est la somme des aires sur le plan invariable.
En outre, dans l’équation :
u—=Y,

y est la somme des aires sur le plan des &n, c’est-à-dire sur le
plan de lécliptique.
Enfin, la formule :
SIC"

nous donne la somme des aires sur le plan des xy, c’est-à-dire
sur l'équateur.

( 140 )

On a donc, en vertu des théorèmes sur les projections :
y —= k cos 1,
s —k cos},

et l’on pourra remplacer y et s par ces valeurs dans les équa-
tions (8), ? et j étant supposés constants.
On a ainsi les équations suivantes :

u —9—"#{:cos1,
#—\WKc087,
1
Ù — — (1 — cos i — cos?) + 2 cos à cos j cos 4 — cos’é),

sin 6
dans lesquelles les constantes seront k, cos à el cos 7.
Nous aurons alors :

V = k{(y cos j + y? cost) + f vds

— (y cos j + + cos à) + JE

sin 8
en posant :

1
Q = (1 — cos*i — cos*j + 2 cos à cos j cos 6 — cos*8}.

Lorsque nous aurons déterminé l'intégrale es nous

pourrons trouver les trois dernières intégrales du problème.
On peut prendre pour éléments normaux, c'est-à-dire pour
les trois constantes arbitraires :

h,cosi et cos).

On appelle éléments normaux les quantités y, k, k qui satis-
font aux conditions :

(y, h)=0, (k, k)—0, (y, A —0;

toute combinaison de ces trois éléments forme aussi des élé-
ments normaux.

(141)

Il est facile de s'assurer que k est une fonction des éléments 4,
cos à et cos 7 : en effet, l'équation :

C
À (4 — 2Ah) = k° cosy,

nous donne :

à 2ACh
pe (9)
C MEET (C Ho A) COS}

Lorsque la fonction V sera connue, les intégrales du problème
seront données par les équations :
dV dV dV

Rp que = 9%, =
dh d. C0 ? d. COS }

TD

a, B, t étant de nouvelles constantes que l’on appelle les éléments
conjugués respectivement à cos ?, cos 7 et h.

84. Cherchons maintenant l'intégrale / ST qui entre dans V.
On a :

2

Qd5 = 6de 1 — cos"? — cos”; + 2 cost cos cos 4 — cos? 8

sin 8 ACT
ou bien :

Qup nee. sin éd 1 4 (cos j — cos ©)” fa) 4 (cos j + COS NE

sing. Q 2 1—0cose 2 AÂ1+0cos8

Nous aurons donc à calculer les trois intégrales suivantes :

1e f sin 416
V4 — cos'i — cos*j + 2 cos à cos j cos 6 — cos* 8

En posant cos 0 — u, cette intégrale se ramène à la suivante :

— du u — COS COS }
© Q—_—_——__————— — AC COS ————
J V'sin*é sin] — (u — cos à cos j) SIN ? SIN }

COS 6 — COS à COS }

== arc COS D ———.
SIN ? Sin }

(142)

. 7 sin 645
À (1— cos8) V1 — cost i— cos*j + 2 cos i cosj cos — cos’ 4

En posant 1 — cos 0 — z, cette intégrale se ramène à la sui-
vante :

dz
ee
COS } — COS 1) 2
PRÉC" Ecc L ARE 1—-(1 — cos à cos ) |
z Z

ou bien, en posant 1

— dv
2m RE
Je V Je + | Ë cos ? a ie ARR 2

COS j — COS ? ( COS] — COS

ou bien encore, en posant :

.. 1—cosicosj | — cos à cos7\?
D COS 7 — COS À) — ————— 1 no
R cos ] — cos? COS] — COS?

il vient :
Ve — di
(cos — cos »VA — À

1 v(cos] — cost) — 1 + cosi cos}
QC COS ———
FOSTER V/ (1 — cos à cosj) — (cosj — cos i}*

(cos } — cos 1) | S
——— — | + cos 1 cos
1 1 — cos 8

te LC COS re com
COS } — COS? sin ? sin }

LS f. sin 4d0
6) ——_ ——_] —— " ——]— Z
J (1 + cos6)V/1— cost — cos? + 2 cos à cos cos0 —cos*8

En opérant de la même manière que pour la précédente, on
trouve que cette intégrale se réduit à :

(cos y + cos 1) LA EPS
——————— — | — cos? cos
il 1 + cos 8
— © ——— QC COS ———— ——————
COS j + COS sin ? Sin }

( 145)

On a donc :
Qdo COS Ü — COS à COS }
- = ADO COSI =
sin 6 sin # sin }
cos) — cost) FA
Co Re
1 Le : 1 — cos 8
— — (COS ? — COS 2) Arc COS ———— 10
9 J sin ? sin) (10)
COS) + COS) À
SE ) — 1-cos2cos)
1 1 +cos8

ds (cosj + cosi) arc cos +K,

sin sin}
K étant une fonction arbitraire de h, à, j.

s2. On peut simplifier cette expression de l'intégrale par la
considération du triangle sphérique abc. En effet, en désignant
par 6, 1,9 les trois côtés opposés aux angles x — 0, à, j, nous
aurons :

COS À — COS 7 COS 4 |
cos [== ——

sin } Sin 9
COS j — COS ? COS 6 ) (11)
COS = ———— ;
sin 4 sin 9

COS 8 — COS À COS j — Sin à Sin 7 COS 6.
On ture de cette dernière :

COS 5 — COS ? COS j
nn ae see 2e num CUS O.
sin # sin j

D'autre part, on a dans un triangle sphérique, en désignant
par «, 8, y les angles, et par a, b, c les côtés opposés :

(cos « + cos B)

> — 1 — cos » cos £

4 — cos y

COS (a + D) = ——— ;
sin & sin f

(cos « — cos 6)
— 2 + À — cos x cos £
4 + cos y
cos (a — D) =
sin « sin 6

( 144 )

Pour appliquer ces formules au triangle abc, on doit poser :

œ —}, B—=i, y —=7T—6,
a—J, b—1, c =;
par suite,
COS y —= — COS 0.
On a alors :

(cos j — cos 1}? More
——— — | + cos ? cos}

14 — cos 4
SERRE — — cos (1 — J),
Sin ? Sin }
(cos j + cos i} ; À
——__—— — À — cos ? cos]
À + cos 6
— — cos (I + J).
SIN ? SIN 7

Par conséquent,

Qdë
A — — arc COS (— cos ©)
sin 4

1
a (cos j — eos à) are cos ( — cos (I — 3)

+ 3 (C05J + COS 1) are COS (cos (l + J)) + K (12)

I S
= 7r—®— = (cosÿ— cos i) ir

(—J)}
fl

nr
2

(cos j + cost) (1 + J) + K.

83. Dans la suite des calculs que nous venons de faire, nous
avons conservé au radical le signe +. En réalité, nous aurions
dù prendre le signe Æ. Il nous reste à examiner maintenant
quel est celui des deux signes que nous devons adopter.

Mais, avant de faire cette discussion, nous devons observer
que l’on peut encore donner aux expressions de u, v, s que nous
avons trouvées précédemment (n° 7%), savoir :

u — Ap sin 6 sin 4 + Bq sin 0 cos 4 + Cr cos 6,
v = Ap cos y — Bgq sin #,

S — Cr,

(145)

une forme remarquable qui nous sera utile dans quelques instants
pour la discussion du signe de (.

On a, en effet,
v — Ap cos ÿ — Bq sin y

—= À cos 4 (cos .8’+ sin y sin 8.+’)

+ B sin y (sin .6"— cos y sin 6.4")

= À cos” 4.0"+ B sin° y.0’+ (A — B) sin y cos y sin 6.v (15)
À + cos 2 1 — cos 2 A —B
sr es B.' rs Ne sin 2 sin0.9"
2 2 2
en
— cn ;
: : {9° cos 2y + $’ sin 2y sin 6};
os Cr = C(y'+ +” cos 0); (14)

u = Ap sin 8 sin ÿ + Bg sin 8 cos ÿ + Cr cos 6
— À sin 6 sin g(cos y .6"+ sin y sin 6 .c’)
+ B sin 8 cos ÿ(— sing 0’+ cosysin6.:")
+ C cos 6(4+ +” cos 6)
— A6 sin y cos y sin 6 — B6’ sin y cos y sin 6 + A£'sin*6 sin?
+ B;' sin°0 cos” y + C cos 8(y’+ + cos 0)

LE TMS ÿ (15)
= sin 0 .p — sin” 0 cos 29 .+

2

2

+ sin 24 sin 6.6"+ C cos 6(4'+ ’ cos 6)
A+B ,, FRA

Dors sin* 0 + C cos 8(4'+ +’ cos 6)

LES 0(8" sin 24 — +" cos 2y sin 6).

2

Cela posé, revenons à la discussion du signe de Q. A cet
effet, observons d’abord que, d’après l'hypothèse que nous avons
admise, k est une quantité positive, puisque c’est une aire.

D'autre part, la formule (13) nous donne, en y faisant À — B

v — A6.

Par conséquent, v a le même signe que ©’.
10

(146)
Or, de la formule :
COS 0 —= COS À COS ÿ — sin À sin j COS ®,

où l’on suppose, comme dans la figure 4, que les angles à et 7
sont tous les deux aigus, il résulte évidemment que 6 est com-
pris entre à — j el à + j, puisque cos 6 est compris entre + 1
et — 1, En effet, pour cos 6 — + 1, on a :

cos 9 — cos ? cos) — sin À sin } == COS (i + j),

et pour cos 8 — — 1, on à :
COS Ô == COS à COS + Sin ? sin } — Cos (1 — }).

Or, 0 étant compris entre i— j et à + j, il en résulte, puisque
i et j sont aigus, que sin 0 est Loujours posilif.
Par suite, dans l'expression de »:

le radical Q aura le même signe que v. Donc, Q aura le signe +
ou le signe —, suivant que 0’ sera positif ou négatif, c’est-à-dire
suivant que 0 croit ou décroil.

Or, si nous reprenons la formule :

COS Ÿ — COS À COS 7 — Sin À sin j COS ®,

nous en concluons que @ décroit ou croit, suivant que @ est
compris entre Ô et 7, ou non.

En effet, lorsque @ augmente de 0 à 7 :

1° De 6 —0, à 6—7, cos E diminue; donc cos0 augmente,
et, par conséquent, 0 diminue ;

% De 6 —75,à 0 — 7, cos 6 est négatif, et il augmente en
valeur numérique; donc cos 0 augmente encore, et, par suite,
0 diminue.

Il résulte de là que, dans le cas de la figure, puisque @ est <x,
0 décroil; par suite, 0’ est négatif, et, par conséquent, Q sera
négatif, Donc, dans ce cas, le radical doit avoir le signe —.

(147)
Nous aurons donc alors :

de COS? — COS?
SR En
sin 0 2

COS j + COS à

EL

On peut choisir la quantité arbitraire K, de manière à détruire
la partie constante, et l’on aura :

CU s es ee COS j + COS hr
sin 6 2 2 (16)
— ® — J cos à — I cos.
Par conséquent,
V = k(y cos j + # cos à) + k(@ — J cos à — I cos j)
Fi RS (17)
= k{(? — 3) cos à + (y — I) cos j + Of.
Les intégrales du problème sont alors :
dV dV dV

EE ie Je
dh 7 Deosi ” cos) F

?

84. Pour former les premiers membres de ces équations
nous devons remarquer que I, J,@ ne renferment pas h; k con-
tient k et cos 7, et ne renferme pas cos à :

On a donc, en vertu de l'équation :

2ACR
et nm nee Q)
C — (C — A) cos* 7
LE AC
SR NC —(C — A)cos’j"
d’où :
dk k
vh 2h
D'autre part,
dk
DCOSÈ
dk 2ACh(C — A) cos j

dcosÿ }C—(C—A)costj|*

( 148 )

d’où
dk 2ACR(C — A)cosj _ (C— A) cos
ù cos 7 A 4A°C°h° ns 2ACA
k. ——
£*
On a donc :

dV

dh

dk
[Ce — ne 1 (y —T) cos 7 + e[S
L

et la première intégrale du problème est :

t—t9—=— Ÿ(3 —J) cos i + (y — I) cos + 8}.

2h \(

On a aussi, pour les deux autres intégrales :

dV ol dI NC)
Fu — =— k(g — 3) — k cost -— k cos j + k À
ù COS ) COS ? ù COS? cos ?

et
dV ME d 29
== —— k(y — 1) — k cost - — k cos j -+ À :
ù COS 7 à COS 7 à COS 7 ù COS 7
dk

+ {(p — 9) cos i + (2 —T) cos) + 0}

ù COS 7

Afin de transformer ces deux dernières intégrales, nous avons
besoin de certaines formules que nous allons faire connaître.
De la formule :

cos a — cos b cos c + sin b sin c cos x,

on tire, en considérant les côtés comme des fonctions des
angles «, Ê, y :

\ da L db e dc
— sin a — — sin b cos € — cos b sin €
ù cos B ù cos B ù cos
\ dc s db
+ sin b cos € Cos x + cos b sin € cos « — ;
ù cos £ ù cos &
’ «
d’où
L da Ê :
sin a — (sin b cos c — sin ccos b cos à)
ù cos £ ù cos 5

+ (sin € cos b — sin b cos c cos a)
+

(149)

Or, on à :

sin b cos c — sin c cos b cos « — sin a cos y,

sin ç cos b — sin b cos c cos « = sin a cos £.
En effet, de la formule :

cotg c sin b = cos b cos x + sin « cotg y,
on re :
ù à sin & C0SY .
cos c sin b == cos b cos à sin € + ————— sin c;
sin y
mais, On à :
sin & sin € î
——— — sin &,
sin y
donc :

cos ç sin db — cos b cos « sin c + sin a cos y;

donc, enfin,

da db dc
— C0S Y + Cos -
ù cos Ê ù COS ù COS f
De même,
da db dc
— COS y — + cos B : (18)
d COS y ù COS y d COS 7
En vertu de ces formules, on à :
0 2e 18 el
-— COS ? = + COS) _
ù COS L ù COS? ù COS t (1 9)
0 dJ En) TE de
= cos À - + cos) =.
ù COS } ù COS } dCOS-7 0e)
Les trois intégrales du problème sont donc :
= or Î(? —J) cos à + (y — I) cosj + 0},
Lt
a=k(? —J), (20)
C— A)/ cos j
|

ch ? — Jjcosi+(s-— I)cosj +0}, |

dont la dernière peut être mise sous la forme suivante :

B= k(y —1) + pers k? cosj.(t— t;).

On en tire :
J=° |
LE 07
p C à
RE RE En fr nl Ces
Ÿ n TE k cos j . (1 — 15),
2h ;
T — lo) = (7 — JF) cos ? + (4 — I) cos) + (21)
== cos à + (y—l)cosj + ©
Lee is j <) 4 ?j.(1— t) +9
nn te un cos”j . (£ — t5)+0.

La dernière nous donne successivement :

a COSi + B COS j 2h F :)
= — ——— +(l—h ==) res
E + ( + ( C cos]
a COS à + B cos j { 2ACh + (C—A)kcos"j
seaie fre “2e CDR]
k { AC
| ; (22)
æ COS ? + Ê COS j ut ee
a —
k ” AC
aæcosi + BCcosj À
a + (0 — Ni);
k a )

Les trois équations :

à J si
ñ pr
I I 5
= Fi kcosj.(t— to),
aæcosi+Bcosj À
=> — —_———————————— — ,([— 1 ,
4 k tbe” Fa

forment une solution normale du problème.

(151)

La dernière nous donne, en la combinant avec la formule :

COS 0 — Cos à COS j — sin ? sin j cos 8,

EUR LATE: k æ COS à + B cos j

COS 8 — COS ? COS ) — SIN ? SIN j COS x (E — to) — een
[A

équation qui nous fait connaître © en fonction explicite de 4,

et comme I et J sont donnés en fonction explicite de 8, par les

formules :
COS À — COS j COS 0

cos | —

sin } Sin 6
COS j — COS À COS Ô
COS 7
Sin ? SIN 0
il s'ensuit que les trois variables 6, ©, L peuvent être déterminées
en fonction explicite du temps £.
L’équation :
we

exprine que le plan invariable coupe le plan de lécliptique
suivant une droile fixe, dont la longitude est . En effet, on a
(fig. 4) :

oO = 07 — ay =? — J.

85. Remarque. — 11 est facile de trouver les trois intégrales
précédentes par un moyen plus simple.
En effet, de la formule :
Qd3

sin à

V= ke cos i + y cos j) -

on tire les trois intégrales du problème :

À RES )da
= LoEe 2 ]= 1 (A)

d D2h sin 6
LE k(: + fe COS Ü — COS À ds) on. (B)
ù cos À Q sin 6
oV (C — A}A5 cos j |
= —— g.C08 à + y ens j —— |
ù cos j 2ACh sin 6

}
ô —
» k(s F SRE COS t COS COS } RE 4 |

Q sin 6 NES

(182)

On peut facilement éliminer 2 entre (A) et (C), et il vient :
COS À COS 0 — COS } BB C—A

———— À6 = — —— ke t— 1e): (D

+ [ Q sin s E ac OT

en éliminant + entre (A) et (B), on a :

en b f sin 449 2h Fu COS À
+ = — =: — ,»
04 a ER Q sin 9 Q k ù k

et, en combinant celte dernière équation avec (D), on a :

‘sin 64 k a COS À + B COS

no ere (E)

Nous pouvons prendre les équations (B), (D) et (E) pour les
trois intégrales du problème.
Si maintenant nous reprenons la formule :

COS À — COS j COS 4
cos I SE
sin j sin 9
nous en (Irons :

AY sin j sin” 4 cos j — (cos à — cos j cos 8) sin j cos 4

— sin = Re
de sin” j sin? 4
COS j — COS à COS 4
RE:
sin j sin° 9
d’où :
COS ? COS 4 — COS j

sin Ï sin 7 sin” 9

Or, on a :

Sin”) Sin 0 — ( COS ? — COS } COS 4
sin — V1 Er es VE CRRT

sin” j sin° 6

V1 — cos° i — cos j + 2 cos i cos j cos 9 — cos” 0

sin j sin 9 É
donc,

sin I sin j sin 8 = — Q,
puisque À est négatif.

Donc enfin,
COS à COS Ê — COS
Ro Eee

Q sin 8

— I =

(155)

de même,
COS j COS 4 — cos à
— À = —————— 48,
Q sin 8
sin 6d0
d® — .

Les formules (B), (D), me deviennent alors :

Ne k cos j .(t— to) =+— f à,

( a COS i + B cos j
(1) —— © — :
T0) ; [ae

= I

Pour déterminer les limites, nous supposerons que l’on prenne
pour limite inférieure de 8 une valeur qui vérifie l’équation Q—0,
c'est-à-dire :

(cos 8 — cos à cos j)} — sin” à sin° j — 0;
or, on salisfait à cette équation en posant :

= + j;,
ce qui nous donne :

NE RE E 0)

et alors les équations précédentes deviennent :

—— » — J,

Lu

2 LL

ét) k cos j. (t— ty) = y — 1,
k a COS? + Bcosÿ

AVE k

Ce sont les formules que nous avons trouvées précédemment
par un calcul beaucoup plus long.

Nous ferons cependant observer que la première méthode
nous permet de déterminer la fonction V, ce qui ne fait pas la
méthode actuelle,

(154)

XIV.
Travaux de M. Donkin.

s6. Désignons par X une fonction de q,, 3, … q, (‘), et sup-
posons p,, p,, … p, définies par les équations :

oX dX doX
, - En lee 7) (1)

de telle sorte que l’on ait les conditions :

=. @)
dYk Gi d4i

Nous allons démontrer que, si l’on tire des équations (1) les

valeurs de q;, q:, … q,, en fonction de p,, ps, … p,, On aura la
relation :

En effet, si l’on remplace dans les seconds membres des
équations (1), qi, +, … 9,, par leurs valeurs en fonction de
Pis Pas P,, CeS équations deviennent des identités, et si l’on
prend les dérivées par rapport à p,, il vient :

ER ARE LIN a 2 a RMLANE Da
di dP; dQ2 dp; dIn dPi
dp; dQ dD; dQ» dp; dq,

js Pr OR CRT nr En
di dpi dge dp; d4n dPi

(‘) Philosophicat Transactions, 1854, p. 75; Report of the British Asso-
ciation for the Advancement of Science, 1857, p. 52.

dus-

ou bien, en vertu des équations (2) :

dp, d dPo do dp, à
PR OL MELLE Eee LCL

A ds dpi di dpi dqi Di

,

pi du da dp, d
EE LE LR RL

dqi dp; d4; dp; di ù ds

multipliant ces équations respectivement par :

dqi da VE ùq,
JP dPr dPr dPx
et ajoutant, on trouve :
di dx u
nn (5)
Pa dP;

Puisque entre q;, q, il existe cette relation (3) analogue à la
relation (2), on en conclut le théorème suivant :

THÉORÈME. — Si l’on déduit des équations (1) les quantités
Qi» es ce Us en fonclion de P,, P:, … p,, les expressions ainsi
obtenues seront les coefficients différentiels d’une fonction Y de
Pas Par + Ps et l’on aura :

)Y dY dY
UT = — doc = — : 4
ER tre AN Lo (4)

87. Il est facile de trouver la relation qui existe entre les
fonctions X et Y.

En effet, les équations (1) et (4) nous donnent :

dX = pidqi + pedqs + + + p,dq,,
= qidps + qups + + + q,dp,;
d’où :
d(X ae Y) TS d(pigi mer ÈVE 2 PAU DE > Pan)»
ou bien, en intégrant et en négligeant la constante ajoutée :

X + Y = piqi + Pigr + ee + p,que (à)

(156 )
La valeur de Y est donc :
Y= —(X) + (qips + (gps + + + (q,)p,; (6)

les crochets indiquant que X, 4, q,, sont exprimées en fonc-
tion de p,, ps, .… p,; par conséquent, Ÿ sera exprimée en fonc-
tion de ces quantités seulement.

ss. Si la fonction X, outre les variables q,, ge, … q,, renferme
encore explicitement une autre quantité quelconque p, il en sera
évidemment de même des expressions (q;), (g:), … (qu).

En effet, si X renferme p, il en est de même de À pee 5
par conséquent, si des équations (1) :

on tire (qi), (+), .… (q,), c’est-à-dire les valeurs de q,, … q,, en
fonction de p,, p:, … p,, ces quantités (g;) renfermeront aussi p.

Nous aurons donc, en observant que (X) est la valeur de X,
dans laquelle on remplace q,, q:, … q, en fonction de p,,p:, .….p,,p,

d(X) oX oX (qi) dX 0(q,)
= — + — He + — —
dp 0p dq{1 dp q, dp
oX ù d!
= — + pi AN EUR CLS DE: (qu),
dp p °p

Si nous différentions l’équation (6) par rapport à p, qui y est
contenue explicitement, il vient :

dY )(X) (qi) (qn)

— = — — + = ER Loc ee —:

dp op dp " àp
et, à cause de l’équation précédente, on a :

DY dX
— + ——=0. (7)
dp dp

89. Supposons maintenant que X renferme explicitement,

(157)

oulre les n variables q,, qe, … q,, une autre variable #, et n con-
stantes a,, a, … a,, C’est-à-dire que l’on ait :

X — fonct. ({, Qu, as Qns Gi Aa n. A).

Supposons de plus que les n équations :

dX doX oX
— 0}. 0, Qt -= b,, (8)

da 03 du

soient suffisantes pour déterminer a,, &,… a,, en fonction de

by, O2, On, Qu, Qu ee Que
SI NOUS pOSONS :

dX oX dX

n, — , ! 2 == , .… Fe ——
P dqi UE ï QU

(9)

et si nous résolvons ces équations par rapport à qi, es «… Qu»
les a, restant constantes, nous verrons, comme précédemment
(n° 86), que les q; sont les dérivées par rapport aux p, d’une
fonction :

— fonct. (f, Pi, De, … D, di, Ge, … a),
et l’on a :
dY dY dY

= —) VITE OP
0p,

(10)

D'ailleurs, dans cette transformation, les a, sont analogues à la
quantité p (n° SS), et nous aurons, en vertu de la formule (7) :

dY dX
— + —=\| ;
da; da;
d’où
dY doX
RE (11)
da, dd;

on tire les valeurs de a,, a,, … a,, en fonction de b,, b,, … b
nous aurons, de la même manière que ci-dessus (n° 83) :

X, == —(X) + (a,)b, + (as) be + + + (a,)b

n

les crochets indiquant que X, a,, a,, … a,, Sont exprimées en
fonction de b,, b,, … b,, qi, a, … q,. On a donc :

X, = Tonchullsiqs Gas des Us Dares

et l’on voit que l’on passe de X à X,, en exprimant les a, en
fonction des b,, et en conservant les qg,, de même que l'on passe
(n° s9) de X à Y en exprimant les g; en fonction des p,, et en
conservant les a. Dans cette transformation les a,, b, jouent
le rôle des q;, p, de tantôt (n° 89) et les q; le rôle des a,.

Il s'ensuit que l’on aura :

b
b, — d;; (1 2)
de même que l’on a (n° S9) :
dY
PILE (10)

D'ailleurs, puisque les q; jouent ici le rôle des a, (n° 89),
c'est-à-dire de p (n° ss), on a, d’après la formule (7) :

dX, oX
+ — —=
di di
d'où :
ND oX a
EE — — = — ); : à
dq; d4; ] )

On a aussi, en vertu de la formule (7) :

+ #4 oX
Er =N TRE it (14)
dt dt

91. Considérons la fonction X, :

X, == fonc. (t, qis Qas ce Qu Dis Uxs ve D),

el les équations :

Si, de ces dernières, on tire les g, en fonction des p,, les b,
restant constantes, nous aurons la fonction :

Y, == fonct- (ft. D, Das cs Das Dis Vas se D),

Or, les fonctions X, et Y, sont analogues aux fonctions X et Y
(n° 89) à la condition de remplacer p, par — p,, et a; par b,.
Nous aurons donc, en vertu des formules (10) et (11) :

le (15)
et
dY, 1x
td Ne

= — 4}, (16)

92. Cela posé, les 2n équations (8) et (9), savoir :

oX oX
TS b,, re

du; , dq;

nous permettent de déterminer les 2n variables q,, g,..4,,
Pas Pas ve P,, en fonction des 2n constantes a,, a, … a, b,, b,, … b,,
et de t, ou réciproquement, les 2n constantes en fonction de
us as ve Ans Pas Pas ve Pr et £.

Dans le premier cas, les variables p,, q; sont données expli-
cilement en fonction de la variable {, que nous pouvons consi-
dérer comme indépendante ; dans le second cas, elles sont don-
nées implicitement en fonction de £.

93. 1l résulte de ce qui précède que nous pourrons, dans la
suite, faire l’une des quatre hypothèses suivantes :

1° Les 2n variables p,, q;, sont exprimées en fonction de
“D, t;

2° Les 2n constantes a,, b,, sont exprimées en fonction de
Pis Gil;

( 160 )

5° Les n variables p, sont exprimées en fonction des n varia-
bles q;, des n constantes a,, et de {, comme dans :

dX
PES da;

4 Les n constantes b, sont exprimées en fonction des n varia-
bles q,, des n constantes a,, et de {, comme dans :

doX
CAMES v

XV:
Nouvelle démonstration du théorème de Jacobi.

94. Voyons maintenant comment l'on peut obtenir le théo-
rème de Jacobi, en se basant sur les théorèmes qui précèdent.
Soit (Z) une fonction de qi, q:, qu, &i, @&:, … 4,, t définie
par l'équation :
dX

Ve

et désignons par Z le résultat que l’on obtient en remplaçant
dans (2), a,,a,,…… a, par leurs valeurs en fonction des variables,
tirées des équations :

(161)

exprime le résultat de l'élimination des constantes a,, b entre

les équations :
dX
= Pis

e (2)

dd;
et leurs dérivées par rapport à £.

En d’autres termes, les équations (1) forment un système
d'équations différentielles simultanées du premier ordre dont
les équations (2) sont les intégrales.

En effet, si l’on différentie l'équation :

totalement par rapport à £, il vient :

YX YX da: YX dq,
+ — + +
dajjl daÿq; dt dap)q, dl

Mais, on a :

dX ù É) dp;.

dapq; dv \dq) da,

par suite, l'équation précédente devient :

SX ps dqh dp, dq, :
Æ — — + + — — (; 3
dat da; dt da, dl É (5)
les quantités Eu, Je, … Sont prises en considérant p,, Ps, .…. p,,
comme des fonctions de a,, &, .…. &,, Qi, as. q, (n° 98, 5°).
Or, (Z) étant une fonction de qi, gs, .…. Qu, is Ge @, À,
définie par l'équation :

pes (®
ol
On à :
(2) dX
du dat

11

(162 )

et l'équation (3) nous donne :

d(Z dp, d ù
(2) A ag APPIE ANS
dd; da; dt da; dt

Multipliant par : = ,» € faisant la somme depuis i — 1, jusque
in, il vient :

d(Z) da d(Z) da: d(Z) da,

4 dp dd> dp; da, dp;
ele
4, 0p; d@ dp; da, dp;} dt

dPs da dP3 da dp; da, \ dq:
2 1 2 2 2 n 2
En Dee à
ddi dp; dGz dp de
dp; 4 ÔP; de op; da,\ dg;
va É SENS PL Ven da
di dp; dU3 dp; du, dp;
0D, 4 OP, de )p, da, \ do
+ (ee P RE ge EE Pn In ,
da; dp;j d@& dp; da, dp;l dt

Or, tous les coefficients du second membre sont nuls, excepté
celui de 5 - qui est égal à l'unité. Quant au premier membre,
il est a à 7, si l'on observe que Z est le résultat que l’on
obtient en since dans (Z) les constantes a,, a;, … a,, par
leurs valeurs en fonction des variables (n° 98, 2°), de sorte
que Z est une fonction des variables seulement.

On a donc :

dZ dq;

=.)

Dp, dt

ou bien, en remplaçant la lettre j par la lettre à :

= (5)

équation qui ne renferme pas les constantes.

nn —-

(165 )

On a aussi, en considérant p, comme une fonction de
l, Un L Q2) QUE] (2 (n° 93, 9°) E

db; "3m. 0 00 d 2p, d
Ps Pr (Rae PPS Pi ET

— — +
di 0 dqi dt 04, dt

Or, on a :

dp; { : ù
dl qi di dt og, dt

ou bien, à cause de l'équation (5) :

dp; d(Z) op; d2Z dp; dZ
—© = — — + — — .… — —— 3;
dt dQi di Di In y

ou bien encore, en vertu des équations (2) :

dp; AZ) op, dZ 0, dZ
DE TN Ode Vo ot ST op:

Mais, puisque (Z) n’est autre que Z où l'on a remplacé
Pas Pos « p, par leurs valeurs (n° 93, 5°), on a :

07) 0 op.

— +. L— .
NA d4i dPr dQi dp, di

Par suite, il vient :
dp; dZ

do gi

(6)

équation qui ne renferme pas les constantes.

(164)

Le système des 2n équations (5) et (6) exprime donc le résultat
de l'élimination des 2n constantes entre les équations :
dX
— = Pi,
dg;
X @)
— = b,,
da;
et leurs quotients différentiels par rapport à £. Ces équations (2)
sont donc les intégrales des équations (5) et (6).
D'ailleurs, la fonction Z sera définie par l'équation :

Z = — Ù
dE

ox étant le quotient différentiel partiel de X par rapport à #,
et les crochets indiquant que dans ce quotient différentiel, on a
remplacé les constantes a,, a,, … a,, par leurs valeurs en fonc-
tion des variables, déduites des équations :

o0X

N/A

Li:

XVI.

Formules de Jacobi.

95. Nous venons de voir (n° #4) que les équations :

dX dX b
+; 1 À , — —= Ù;,
d4; P: dd; ! LA

donnent la solution des équations canoniques. Elles sont équi-
valentes aux équations :

Qj = pi(Qas ce Ans Pas oo Dis L))
b; —= ÿ; (ga ee Jns Pas ee Pus t).

Ces équations peuvent être considérées comme exprimant les

(165)

9n variables qi, qe, + Qu, Pas Pas» P,, en fonction des 2n con-
stantes a,, b, et de t, ou bien les 2n constantes a,, b, en fonction
des 2n variables p,, q; et de t.

Il est facile de démontrer les relations suivantes qui ont été
énoncées pour la première fois par Jacobi (*) :

dqh db; dr da;
ARNO TIENNE"
dx db, ps da,
OT ER dqu

Ps q, étant deux variables correspondantes, et a;, b, deux con-
stantes correspondantes.
Pour démontrer la première de ces relations, reprenons
l'équation :
dX

19

dont le premier membre est une fonction de q, q:, … qs,
Gi As ve @, t. Les quantités q,, q:, … q, peuvent être considé-
rées comme des fonctions de f, a,, a, … a,, bi, b:, … b,, déduites
des n équations :

Si l’on suppose qi, 4, … q,, remplacées par leurs valeurs,
l'équation :
dX

)a,

i9

devient une identité, et sa dérivée prise par rapport à a; sera
nulle. Nous aurons donc :

dx SX 0 de)
qi — ..e - Ta

+ = (0.
dada; da); da; dadq, da;

(*) Jacogr, Vorlesungen über Dynamik, pp. 395 et suivantes.

(166)

Remplaçant 3 ; par b;, CR par p,, il vient :

20 2Pr SE PT NE DEEE
da; da; da; da; da; da; da
équation qui a lieu pour toutes les valeurs de à — 1, 2,
Dans celle équation vu se appris l'hypothèse 4° (n° 93),
AU en vertu de la formule b; THÈTÉ. b; est une fonction de
. dPy Pa
» es M5 Ses arr + S€ RROAENUA ‘l'hypothèse 5° (n° 93),
Fe en vertu de la formule p, — Nr L est une fonction de
gi g
l, qi, &; enfin, das ? Ja » SE FADRYFIENL à l’hypothèse 1° (n° #3),
puisque, en vertu de l'équation b,—;,;, g; est une fonction de
L'M500
Multipliant l'équation précédente par SE se rapportant à
l'hypothèse 2° (n° 93), et faisant la somme pour toutes les
valeurs de #, les indices 7 et k restant les mêmes, le premier

terme du premier membre sera :

He LE — ——= —: (n° 893, æ)
di dPk da, dpk dP4

Dans le second terme, le coeflicient de u ï est :

dpi d& F3 # dp, da, EE dpi e
dy dPk da, dPk dr

Tous les autres coefficients sont également nuls, excepté le
coefficient de je , qui sera :

dPx ddr * FE dP4x UPS dPk Le
day Pr da, dP4 dPx
On a donc :
db, da
mc = 0,
dPa da;
ou bien :
db d9k

(167)

ce qui est la première formule de Jacobi. Le premier membre
se rapporte à l'hypothèse 2° (n° 93), le second membre à l’hypo-
thèse 1° (n° 93).
Si nous opérons de la même manière sur les équations (10)

et (11) (n° 89) :

)Y dY

p En a — b;,
nous obtiendrons évidemment un résultat qui se déduit du pré-
cédent en changeant p en Q, et réciproquement, et en changeant
le signe de b. Nous aurons donc :

c’est la deuxième formule de Jacobi.

De même, les équations (12) et (13) (n° 90) :

nous donnent, en changeant dans la première formule le signe
de p, et en changeant a en b, et réciproquement :

da; dqr

dPx db,

c’est la troisième formule de Jacobi.

Enfin, les équations (15) et (16) (n° 94) :

nous donnent, en changeant dans la troisième formule le signe
de a, et en changeant p en q, et réciproquement :
4; dPr

c’est la quatrième formule de Jacobi.

(168 )

La démonstration que nous venons de donner est due à
M. Donkin (‘). La démonstration de Jacobi est différente (”).
Remarque. — Dans les équations :

dq; V0
dt Y ù »
(A)
dp; nu dZ
da di

les premiers membres se rapportent à l'hypothèse 1° (n° #3);
les seconds membres à l'hypothèse 2° (n° 93).
Mais les équations :

oX
di A
doX
= b,,
da;

renferment a,, b;, exactement de la même manière que p,, q..
Il est donc évident que les raisonnements qui nous ont conduits
aux équations (A), nous conduiront aux suivantes (""”) :

da; y AM

dt 7 db,

db; dZ (B)
Are VE |

Dans les premiers membres, a,, b; se rapportent à l'hypothèse 2°
(n° 93), el sont exprimées en fonction de q;, p,, et t; les seconds
membres se rapportent à l'hypothèse 1° (n° 93).

Observons que, dans les équations (B), Z est la fonction Z
des équations (A) dans laquelle on remplace p,, Q; par leurs
valeurs en fonction des a,, b,.

(‘) Philosophical Transactions, 1854, p.79; Report of the British Asso-
cialion for the À dvancement of Science, 1857, p. 55.

(*) Vorlesungen über Dynamik, pp. 595 et suivantes.

°°) Philosophical Transactions, 1855, p. 505.

( 169)

X VIE.
Théorèmes de M. Donkin.

96. THÉORÈME [. — Si p et q désignent deux des variables
P:, qi, et si l’on suppose ces variables p et q exprimées en fonc-
tion des 2n constantes a, b,, et de t, nous aurons :

5 0 _ Gr) | +:

suivant que p el q sont conjuguées ou non (‘).

En effet, si q; est une fonction des 2n constantes et de 4,
et si l’on remplace les constantes par leurs valeurs (n° #3, 2°),
en fonction de qi, Q2s +. Quy Pis Pas ee Pus l, ON obtient une
équation identique. Par suite, si l’on différentie par rapport
à q;, qe El De, il vient :

5 da; 04; db. dq;

J

d4;: da. dq; db.
0—Y ue BEM PRE “je
3 da; 2qx db; dqu

=) rue.
4 Va; op db; dpxl”

on trouvera des équations analogues, si l’on opère de la même
manière Sur p,.

Or, si nous appliquons aux six équations ainsi obtenues les
formules de Jacobi (n° #5), en éliminant les dérivées de a; et b,,
nous aurons pour la première :

di " a è

j da; db; db; da; d(a;, b)

dq: Pi di dpi dPis Q;
1-3 q EN es (pis q;)

(*) On dit que p et q sont conjuguées, lorsqu'elles sont de la forme p;, q;;
elles ne sont pas conjuguées, si elles sont de la forme p;, qu.

(170 )

Par conséquent, on à :

1 D Re ES RE
+ d(u;, bn re Pt PT TOR
et
SL LÉTEE DAT APT Ne
+ d(a;, b;) ne Léa 1 NE

On trouvera de la même manière que la deuxième équation
nous donne :

Y Xp; q)

Dr ml POUr pP—= 4; 4 = Gi

J dj, 0;

et la troisième nous donne :

S Xp, q)

+ d(a;, b)

—0, pour p—=4;, q =,

et ainsi de suite.

Pour démontrer la deuxième partie du théorème, il suffira
d'éliminer, au moyen des formules de Jacobi (n° #3), les déri-
vées de q;.

La première formule nous donne :

RP RCE
j dp; di dP; dQ;:

Pis Qi)
On a donc :
d(a,, b;)
V2 = +4, pour p=pm;/q— Qu
+ XP; 9) EE CC
et
d(a;, b;)
ST —1 OUT P—4;, { =D.
2 p, 4) » D RTE

On trouve, de même, au moyen de la deuxième formule :
d(a;, b)
——— = 0, our ni J;,, = x;
5 XP; 9) SA AT |

et ainsi de suite,

(171 )

97. THÉORÈME IL. — Si h et k sont deux quelconques des
constantes normales (*) a;, b;, et si nous supposons ces quantilés
exprimées en fonction des p;, q, et de L, nous aurons :

S Ah, k) Es Ÿ UP; 5) A
5 UP» Gi) 3 Xh, k) 0,
suivant que h et k sont conjuguées ou non (”).

En effet, si nous supposons a;, b, exprimées en fonction des
variables q;, p; et de t (n° #æ, 2°), et si nous remplacons Îles
variables par leurs valeurs en fonction des a;, b, et de t
(n° #3, 1°), on obtient des identités. Par suite, si l’on différentie
par rapport à a,, la valeur de a;, par exemple, il vient :

da; dQ; da; dp;
5 \og; da; dp; da;

ou bien, en remplaçant les dérivées des q et des p, au moyen
des formules de Jacobi (n° #3) :

da; db, . da; db, d(a;, b,)
“= D pe RE ie ee D ‘
i dq; dp; dp; dq; p j

Par conséquent, on à :

> _ D = EU pourra, SE 10;;
1 J2 1]

dk, k)
5 KP; q;)
De même, on trouverait :
d(h, k)
5 UP; Gi)

et ainsi de suite.

et

A

= — À, pour hk = b,, ET;

— 0 pour Id, 16 0;,

(‘) Nous donnons le nom de constantes normales aux constantes 4,,
Ayy ve Ans 033 03» +. by, Obtenues en appliquant les méthodes précédentes
à l'intégration des équations canoniques.

(**) On dit que h et k sont conjuguées, lorsqu'elles sont de la forme a;, b;;
elles ne sont pas conjuguées, si elles sont de la forme a;, b4.

(172 )

Pour démontrer la deuxième partie du théorème, il suffit de
remplacer les dérivées de a; au moyen des formules de Jacobi
(n° #5), et l’on trouve facilement :

D(P;» G;) AA En
+. d(h,K) :

suivant que À et k sont conjuguées ou non.

98. Il résulte du second théorème que l’on a, en employant
la notation de Poisson (n° 69) :

(a, b) = —(b;, a)—=—1,
(&,b;)—0, (a,a)—0, (b,, b.) = 0;
d’ailleurs, on à identiquement :
(a, a)—0, (b,,b)— 0.
En d’autres termes, on à :

A
} UE
(k, k) 0,

suivant que À et k sont conjuguées ou non.

99. Désignons maintenant par f, g deux fonctions des
2n constantes normales a,, b,, et soient :

= AUTRE ds, ee a, » b, , ba, . b,),
Log yaris At, 6; 002)

Si l’on suppose a,, a, … a,, b,, b,, … b,, remplacées par leurs
valeurs en fonction des 2n variables et de t (n° #8, 2°), alors f
et g deviendront des fonctions des variables (”), et si l'on désigne
par k, k deux quelconques des constantes a,, b,, il vient :

AH) s g) Xh, k)
A(Pi, Gi) 0h, k) d(p:, q)

(‘) f'et g seront des intégrales des équations canoniques.

( 175 )

la sommation se rapportant à L, k el s'étendant à toutes les
combinaisons binaires des constantes.
Il est facile de vérifier cette formule : en effet, on a :
Ag) _W 39 _ 0 1g

= — — —— — — 0

pig) Pi dqi dqi dpi

Or, on a évidemment :

df . àf de “of db, ‘df,0a. df db,
ne ol 0 ne +
de da p; bp; Du dp; db, dp:
AO Dm RO ODA Le of db,
es + RME

+ +,
dq: da dqi big da dq; de 0:
elc.,

et il est facile d’en conclure la formule ci-dessus.

Si maintenant nous faisons la somme par rapport à #, il vient :

A AB 9) }
—G9=))- GNT

la somme se rapportant à k, k comme ci-dessus.
Mais, à cause des formules de Donkin (n° 9%), on a :
REA
à moins que À, k ne soient conjuguées, et alors on a :

(EDS ET
Par suite,

Es >x = 1

d(a;

formule que l’on peut écrire sous la forme suivante :

Die re On ar

dq: dp: dpi: 0, da; db; db, da;

L'expression du second membre étant une fonction des con-

(174)

stantes a,;, b, seulement, l’équation précédente nous donne le
théorème suivant :

THÉORÈME. — St

[= e(Qi 25 + ns Pis Pas ve Ps t),
9 = D(qis Gas + Ans Pis Pas ve Pns Ÿ)s

sont deux intégrales des équations simultanées :

dg; dZ dp, Z
dt ms dt dq,
l'expression :
df og of. dg
pp=3És Ru)
dQi dP dpi di
est constante, c’est-à-dire que si l’on remplace p,, q; par leurs
valeurs en fonction des constantes et de t, l'expression (f, g) se
réduil à une fonction des constantes arbitraires, ne renfermant
pas le temps t.

À VILLE.

Extension des méthodes d’'Hamilton au cas où les liaisons
sont des fonctions du temps.

4100. Les recherches d'Hamilton exigeaient que la fonction
H — T — U fût indépendante du temps, la fonction T étant
une fonction homogène et du second degré de q;, gs, .… qu
Nous allons voir maintenant que la fonction T peut renfermer
explicitement le temps £ (‘), sans que l’on ait rien à modifier
aux théories précédentes. Il en résultera donc que ces théories
s’appliqueront à un problème auquel l'intégrale des forces vives
n’est pas applicable.

(*) Doxxix, Philosophical Transactions, 1854.

(175 )

Reprenons l'équation du mouvement (n° 9) :

oT
"og OT OU ”
al dr qe (A)

U étant une fonction de q,, 42, … q,, qui peut renfermer expli-
citement le Lemps, mais non les q;:.
Nous avons vu qu’en posant (n° 40) :

oT

Por

on peut ramener les n équations (A) à un système de 2n équa-
tions du premier ordre (n° #3). Mais la démonstration que nous
avons donnée précédemment exige que T soit une fonction
homogène et du second ordre des q:.

On peut traiter la question de la manière suivante, sans faire
aucune hypothèse sur la forme de la fonction T.

Posons, à cet effet,
T+U— VW;

nous aurons, puisque U ne renferme pas les q; :

oT W

di 0
oT dU oW
RE — 5
dQi dq: dqi

l’équation (A) devient :
)W
04 dW
TOM Ê
0 di
Posons :

JW .

mt À 4100

dq:

gi est remplacé par q'.

(176)

el considérons la fonction :
Z = —{(W) + pig) + pags) + + + p,(quh (C)

dans laquelle nous supposons (W), (q:), … (g;), exprimées en

fonction de qi, qe, + Qus Pis Pas ve Pa ().
Nous aurons, en appliquant les formules (4), (6) et (7) (n° s6,
s7 et ss), dans lesquelles nous devrons remplacer gq, par g;,

et p par g;(”):

Le x % (D)
)W dZ
di gr

dp; dZ
FE (E)
dt d4i

Les équations (D) et (E) ont donc la même forme que les équa-
Lions canoniques, c’est-à-dire qu’elles sont de la forme :

rad: dZ
5 dt Fe, dp;
YA UE dZ
PRE me: Sen
dt dqi

Il en résulte qu'il n’y aura pas de restriction à faire en ce qui
concerne la forme de la fonction T.

#02. Remarque. — Dans le cas particulier où T est une
fonction homogène et du second degré de qi, gs, … q,, On a :

2T = piqi + Pas + ce + PQ
d’où :
Z=—(T+U)+2T=T—-U.

(”) Les q; jouent ici le rôle que jouait la quantité p dans la formule (7)
(n° SS).

(”*) Cela résulte de la comparaison de la formule (C) avec la formule (6)
(n° S7).

(177)

#02. Considérons maintenant le système de 2n équations
différentielles simultanées du premier ordre :

da dZ

dt VA

dp; dZ (1)
FLAT

Z étant une fonction de q,, … q,, pi, .… p,, L.
Une intégrale de ce système est une équation :
DT

dans laquelle « est une constante, et U une fonction de #, q,, p;,
telle que la dérivée totale _ soit nulle en vertu des équations (1).
Cherchons la condition à laquelle doit satisfaire la fonction U

pour être une intégrale. On a :

dU oÙU = dg; doU .
— = — + > — — + — — /:
di dt dq; dt dp, dt

On a donc, en posant = — 0, et ayant égard aux équations (1) :

oU È dZ dU =
= — + Ÿ nn ,
ot di Pi dr di
ou bien :
dU
+ + (U,2)—0. (2)

Toute fonction U satisfaisant à cette équation (2), donnera,
en l’égalant à une constante, une intégrale du système (1).

103. Remarque. — Il est facile de voir que l'équation
— const., ne sera une intégrale des équations (1) que si lu
fonction Z ne renferme pas explicitement le temps.
En effet, si Z — const. est une intégrale, la fonction Z doit
vérifier l’équation (2), et nous aurons :
dZ

— Z,Z)= 0.
+ (2,2)

(178)

Or, (Z, Z) est identiquement nulle; par conséquent, on devrait
avoir :

c’est-à-dire que Z ne devrait pas renfermer explicitement le
temps £.

On conclut de là que, dans le cas où Z est une fonction du
temps, l'équation Z — const. n’est pas une intégrale des équa-
tions (1).

404. THÉORÈME DE M. LiOUviLLE. — Si, par un moyen
quelconque, on peut déterminer n intégrales du système (1) :

Pa y pe — os» Qn — Ans (5)
renfermant n constantes arbitraires, et satisfaisant aux 2 t
condilions :

(pis x) = 0, ou (a;, ax) = 0, (4)

pour les valeurs 1,2, n de ï et de k, on pourra facilement
obtenir les n autres intégrales.

A cet effet, on déduira des n équations (3), les valeurs de
Pis Pas se Pas en fonciion de qu, q: .… Qu, 4, 4, t, etoiles
substituera dans l'expression :

aN — pidqi + ee + p,dq, TT (Z)dt, (5)

laquelle sera une différentielle exacte, (Z) désignant comme pré-
cédemment le résullat que l’on obtient en substituant dans Z les
valeurs de p,, … p,, tirées des équations (3), de sorte que (Z) est
une fonclion de qi, .… An, A, .… à, t.

En intégrant l'expression (D), on obtient la fonction V, et alors
les n autres intégrales du système (1) s’obtiennent en égalant à
des constantes les dérivées de la fonction V, prises par rapport
aux constantes a,, .… à,.

Demonstration. — 1° L'expression :

pdqi + + + p,dq, — (Z)dt,

h .

(17979
est une différentielle exacte. En effet, d’après ce que nous avons
vu (n° 30), la condition :
(a;, üx) — 0,

n’est autre que la condition d’intégrabilité :

de l’expression :
padqi + + + p,dq,.

Il nous reste à prouver que l’on a :

— = — —.

d(Z) 0Z 22 ip, dZ dpi Z p,
— — + — — + — — +

SE
dq; dq; dpi qi dP2 dgi dp, dqi
ou bien, en ayant égard aux équations (1) et aux conditions
d’intégrabilité (6) :

de, don de, Un

NN ar LN ardo iVdb àg: dt dq, M)

Mais, d'autre part, comme, en vertu des équations (3), p, est

une fonction de t{,q,,… q,, on a:

dD;. dpt Dp,d dD;
Pr ARE Le èpe de

dt dt oq\ di dq, dt

On a donc:
V = f (pidq: + Padqs + + + p,dq, — (2) di) + y, (8)

7 étant une constante arbitraire.

( 180 )

Cette fonction V nous donne les équations :
= Ps = — (2), (9)

dont les n premières sont évidemment équivalentes aux équa-
tions (3), c’est-à-dire que les valeurs de p,, … p,, déduites de
ces équations, sont les mêmes que celles que l’on tire des équa-
tions (3). La dernière est une identité.

% Les n autres intégrales du problème sont données par les
équalions :

(10)

Il suffit de démontrer que leurs dérivées totales par rapport
à 4 sont nulles, en vertu des équations (1).

Or, on a :
doV dV hA'4 dV
d.— d — d — d —
da ; dd; da; dq da, dq,
== — 0. —- —— —
dt ot dq\ dt dq, dt
>V >V dv É
ROAD °3q, d
_— + (£ Ft + °°. +- In Fes
da; da; dt da; dt

Si l’on tient compte des équations (1) et (9), il vient :

I dV
Ts NZ) 2Z )Z ap,
= + — — Ho + — —:
dt da; dpi DA; dp, d4;

Mais (Z) n’est autre que Z dans laquelle on a remplacé p,, … p,,
en fonction de gi, q,, &,… a,, t; et d’ailleurs, Z ne renferme
pas explicitement les a;.
Nous aurons donc :
d(Z) 2Z op,
= — +

DZ ùp,,.

da; dpi da; dp, d4;

par conséquent,

Il en résulte donc que :

dV
—— const. — b;,
da;
est une intégrale des équations (1) pour toutes les valeurs
de à égales à 1, 2, … n. Par suite, les équations (9) et (10) :
dV V

D; — — b,
dq: Pi da 19

forment la solution complète du problème ().

105. Remarque. — On pourrait résoudre le problème beau-
coup plus simplement, même sans connaître les n premières
intégrales, si l’on parvenait, par un moyen quelconque, à déter-
miner la fonction V. Les 2n intégrales seraient données par les
2n équations :

dont les x premières sont équivalentes aux équations (3).

Or, cette fonction V peut être trouvée comme une intégrale
complète d’une certaine équation aux dérivées partielles du pre-
mier ordre.

En effet, d’après ce que nous avons vu, l'équation :

doit être identiquement vérifiée par la fonction V.

(*) Ce théorème a été communiqué, en 1855, par M. Liouville au Bureau
des longitudes (Journal de Liouville, t. XX, p. 157); Connaissance des temps,
1853; Donkin, Philosophical Transactions, 1854, p. 85; IMscneNETsKY,
Mémoire sur l’intégralion des équations aux dérivées partielles, pp. 161 ss.

(182 )

Dans cette équation, (Z) n’est autre que la fonction Z dans
laquelle on aurait remplacé p,,… p,, par leurs valeurs tirées des
équations :

Pi == Us CE Pn = 0,
à PAS, , DV dv
Mais ces valeurs sont équivalentes à HN Ou
Par conséquent, (Z) n’est autre que Z dans laquelle on aurait
remplacé p,, p;, … p,, par les valeurs de D a D. Il en
1 n

résulle donc que la fonction V, renfermant n constantes arbi-
traires, doit rendre identique le premier membre de l'équation :

dV dV oV
M rfaunege 20
dt dqi )q,

Par conséquent, V doit être une solution complète de cette
équation aux dérivées partielles du premier ordre non linéaire.
Cette équation est facile à former, puisqu'il suffit de remplacer
dans la fonction Z ou F, les quantités p,, p,, … p,, par les quo-

: PPRAUNART dV
tients différentiels TROT

406. Nous venons de voir que la fonction V qui donne les
intégrales du système canonique au moyen des équations :

est une solution complète de l’équation aux dérivées partielles :

dV dV dV

RTL F (, REA Fa si —) = (0. (114)
Il est facile de démontrer que toute solution complète , quelle

qu’elle soit, de cette équation aux dérivées partielles, satisfait

à la question, c’est-à-dire que, si l’on connaît une solution com-

plète quelconque V de cette équation, les intégrales du système

canonique sont exprimées par les équations (”) :

() Doxkix, Philosophical Transactions, 1854.

NT NS

(185)

Supposons, en effet, celte solution complète V connue, et
posons :

dV
Rae
l’équation (11) devient :
dV
2H F(E, us ee Uno Pis P;) = 0. (12)

Différentiant par rapport à q,, il vient :

: dV
D NE NE F
dq dqi dpi dgi dP» dQi
Or, on à :
dV doV
d— )—
dl AO dpi.
ANTON MAUR
d’ailleurs :
pa
dQx 04:
Par suite, l'équation (13) nous donne :
00; VoP DR 0p, dF op; ;
IS a er PR A ac (1#)
dt dq:; dPi dqi dp, UPS
d'autre part, on à :
NES À dp:
CREME ER ONE ANRT ACÈRE (5)

ST qe di dq, dt
Ajoutant (14) et (15), on trouve :

dpi A PU op, Ê _ dp, EE dF |
— + — —= — — — — + ce + — — — .
dt dqg; oqi\dt dp, dq, \ dt dp,

Par conséquent, les x équations :

dq; àF Mag
—— —, pour i— SE CP
dt dp; P ‘ DA

(184)
dans lesquelles :
La doV
it 4: ,

renferment comme conséquences les » équations :

————, pour ?—1, 2, .n

sont des conséquences des équations :

dV

da;

b;.

Or, si nous prenons la dérivée totale de l'équation :

doV
= b;,
du;
par rapport à {, nous trouvons :
dV V dq V dg,
= SF — He. + - —— = Ù;
dat dadq; dt dadq, dt

d'autre part, en différentiant l’équation (12) par rapport à a,,

il vient, en ayant égard aux équations pi:
DV ALT dF °V
Hi De — 0.
dal dp, daÿdgi ùp, dadq,

De ces deux dernières équations on déduit la suivante :

d'V Ê . dV Ê =
" dt Pa

…—0
dt dpi k c

laquelle nous donne n équations analogues.

(185)

Or, de ces n équations on conclut que l’on a les n relations :

ou bien que le déterminant des n? quantités :
dV

d —

d°V dgk

aq da;

?

est nul. Mais cette dernière condition exprimerait (n° 50) qu'il
existe entre les _ une relation indépendante de a,, … a,,

c’est-à-dire que l’on peut éliminer les n constantes a,, … a, , des
n équations :

ce qui est contraire à l’hypothèse que V est une solution com-
plète de l’équation (11) (”).

Donc, si V est une solution complète quelconque de l’équa-
tion (11), les équations :

PL == b;,
da;
jointes aux équalions :
dV
; 54: nr

renferment comme conséquences les équations :

(‘) En effet, on sait que si V est une solution complète, elle renfermera,
outre la constante additive, x constantes arbitraires a,, … &,, telles que
l'on ne puisse les éliminer toutes entre les n + À équations obtenues en
différentiant V par rapport à q, +. Qn, {, sans faire usage de toutes ces
équations (n° 3®).

(186 )

et celles-ci renferment encore les équations :

dp; dF
MT
dans lesquelles :
dV
Fr 4 ,

Donc, si l’on peut trouver une intégrale complète quelconque
de l’équation (11), la question sera résolue, et l’on aura les
2n intégrales du problème par de simples différentiations.

407. Cas particulier. — Lorsque Z ne renferme pas expli-
citement le temps t, l'équation Z — h est, comme on sait
(n° 403), une des intégrales du système (1).

On peut alors supposer que l’équation Z — À est une des
n intégrales données, au moyen desquelles on définit la fonction
principale V, de manière que :

hu, Mise Us
soient Îles x constantes arbitraires. Cela étant, si les conditions :
(a;, a)—0, (h;,a)=0,
sont satisfaites, nous aurons identiquement :
(2 =,

puisque Z doit se réduire à À, quand on y remplace p,, p,, …p,,
par leurs valeurs tirées des n intégrales (”).
L’équation :

AN = pdqi + psdqs + + + p,dq, — (Z)dt,

(") (Z) est le résultat que l’on obtient en remplaçant dans Z les quan-
tités p,, Pas + Ph, par leurs valeurs tirées des n équations #,=a,, … Z=h.
Or, si dans l’une quelconque de ces équations, par exemple Z = À, on rem-
place p,, p,,… p,, par leurs valeurs, cette équation devient une identité;
donc, (2) est identiquement égal à A.

( 187 )
nous donne alors :

AV = pidq + padqs + ++ + p,dq, — hdt
d'où :
V——ht+,,

Y étant une fonction ne renfermant pas explicitement le temps;
en effet, Z ne renfermant pas explicitement le temps, il en sera
de même de p,, Po, «… p,.

La solution du problème se simplifie alors de ja manière
suivante :

Les 2n équations :

dV oV

LS PARA
dq: Fe da te

sont remplacées par d’autres que nous allons chercher.

De l’équation :

V——h+y,
on tire :
aVUL Id

par suite, les n premières intégrales peuvent être remplacées
par les n équations :

Les n intégrales restantes, qui sont données, en général, par
les équations :

dV dV 6
=" te {—1,2,..n—1),

tr étant la constante conjuguée à , deviennent, en PApAREL V
par sa valeur :

Ÿ à À
A ee Ur (ê—=1,2,..n —1).

(188)

Quant à la fonction 4, il est facile de voir qu'elle satisfait
à l'équation différentielle partielle :

dans laquelle :
F(qi3 Gas «+ Qns Pis Pas ve Pn)s

est la valeur de Z en fonction des 2n variables p,, q..

Cette équation différentielle partielle se déduit facilement de
l'équation (11). En effet, de l'équation :

— — ht + Y,
on Lire :

>V

FT

DV dy

qi 04

Par conséquent, l'équation (11) se transforme, dans le cas actuel,
en la suivante :

—h+r (qu 2» +. ns ——? 4; TL

ou bien :

F La, O0 ÉAOEU srer Jn iee CC

Le cas particulier que nous venons d'examiner se présente
lorsque l'intégrale des forces vives existe. L’équation Z = h est
alors l'intégrale des forces vives, et k est la constante des
forces vives.

108. Remarque I. — Comme nous l’avons vu précédemment
(n° #8), lorsque les intégrales des équations canoniques sont :

dV dV
— = Pis —
da,

A b,,

( 189)
si l’on met ces équations sous la forme :

(RE CAUTE QE In Pi: AC Ph t),

= AUTRE ns Pas Ph L),
on à :
(a, b)= — 1, (a, b,) = 0,

J

(b;, a) = + 1, cte.

Nous appellerons un système de 2n intégrales pour lesquelles
ces conditions sont remplies, une solution normale, ou un sys-
tème d’intégrales normales. Les 2n constantes arbitraires con-
tenues dans un tel système seront appelées éléments normaux.
Une paire a,, b, s'appelle des éléments conjugués (n° 9%).

Dans le cas considéré en dernier lieu, où Z ne renferme pas
explicitement le temps #, k et r sont des éléments conjugués,
ces lettres étant employées au lieu de a et b uniquement pour
des raisons particulières.

409. Remarque II. — 11 faut encore observer ici que les
2n intégrales des équations canoniques (1) peuvent être obte-
nues sous une autre forme que :

dV oV
Re HN i9
et alors, si les équations :

ep (ani ao Quoi la> Das Dust)
DNS qe en Ds Dis Das D, 4),

sont deux intégrales obtenues par un moyen quelconque, c’est-
à-dire sans employer les théorèmes de M. Liouville et de
M. Donkin, on n'aura plus :

(&, Bj—=—+1 ou —0.

Mais il est facile de s’assurer, comme nous le verrons plus loin,
que l’on aura, en vertu des équations canoniques :

(æ, B) = const.,

( 190 )

de sorte que, si (æ«, B) est une fonction de q, qu, … q,,
Pis Pos P,, t, On obliendra, en posant :

(x, B) = const.,
une nouvelle intégrale des équations (1).

Si l’on a identiquement (x, B) — const., alors les intégrales «
et B sont des intégrales qui ne diffèrent des intégrales normales
que par un multiplicateur. Nous reviendrons d’ailleurs sur ce
point dans les chapitres suivants.

XIX.
Théorèmes de Lagrange et de Poisson.

4110. Reprenons les équations canoniques :

dg; dH

de on

dp; dH (1)
h = — 39: ,

dans lesquelles :

= fu Qus te GPS si PER

Les intégrales de ces équations au nombre de 2n, contiennent
On constantes, æ,, a, … a, (1, (2, … B2,. On peut résoudre ces
équations intégrales par rapport aux variables p,, g;, en fonction
des à, 5, et de t, ou bien par rapport aux constantes *;, F;, en
fonction des p,, g; et de 4.

THÉORÈME DE LAGRANGE. — Les intégrales étant résolues par
rapport aux variables p;, q;, on a la relation :

dpi d dp, d dp, dg, dp,, dq,
RE RE RS LEE

(191 }
ou bien, en employant la notation de M. Donkin (n° 69) :

= d(Pi, Qi)
ii d(x, 6)

Cette relation peut s’écrire sous la forme symbolique :

— Const.

[«, B] = const.

Démonstration. — Considérons la fonction H, et supposons
que l’on y remplace les variables q,, p,, en fonction de t et des
2n constantes, parmi lesquelles se trouvent « et $ : cela posé,
la démonstration du théorème de Lagrange repose sur l'identité :

Y'H YH
6 fe

dH nee LE FN dH 2).
di dx Sn, da

On a :

ou bien, en vertu des équations canoniques (4) :

dH dp;:dq; da: ;
eu
par suite,
. ce qi dpi Ÿq
YH _ dt\6/5a dt 3228
DD 4 UN | Jo.
a)8 a d ue dp; dq; d'P;
dt \og dt dadp

On trouve de la même manière :

Dre un

Y’H 28 dt 328
Ba À : Ÿp,
Fa ÉPÉFEÉES

dB dt dxdÿ

En égalant ces deux expressions, il vient :
| d ne Ja, d IX 122 dp; |
_ dB MAT he

CRE)

(192 )

Or, cette dernière équation n’est autre que :

d
dt Lx, 6] —0;
par conséquent, on a :
[x, 6] = const.
et le théorème de Lagrange est démontré.

Remarque. — Dans le cas particulier où « et £ sont des con-
stantes normales a,, b;, nous avons vu (n° 9%) que l’on a :

[x, B] = HA
0,

suivant que « el sont conjuguées ou non.

444. THÉORÈME DE Poisson. — La démonstration du théo-
rème de Poisson repose sur deux lemmes que nous allons faire
connaître :

LEmue I. — Si l’on désigne par o, 4 deux fonctions quel-
conques des variables t, qi, .… Q,, Pas - PA, et st l’on prend la
dérivée partielle de l'expression (6, ) par rapport à l’une quel-
conque de ces variables que nous désignerons par Ë, on a :

En effet, de la formule :

dp D de
> D= | ET RER NT }

dqi dpi dpi dq;
on tire :

D 4 POLE (pu de d Dp 4 |
ne A qe op qu opoé poEg op: 0qË)

(*) Donxin, Philosophical Transactions, 1854, p. 92; ImScHENETSKY, pp. DS
et suivantes.

Or.

9 ù fr)
QE 09; LE]

Par conséquent,

ù F) dY ù F) dp

d(?, y) S dq dË dp, dp, dÉ dq e | |
_ d : d D (* a) CIE
L qu ps DE) ps og, VE

C’est la formule énoncée.

LEmME Il. — Sio,4,0 sont trois fonctions quelconques des
variables 1, qi, .… q,, Pas «+ PA, On à la relation :

CID) EACHCO)EACIOP)E,

En effet, le premier membre nous donne, en le développant :

D qi dpi di di qi dpi dpi dq:

de d(Y,6) dp (ÿ,6) CHA. D(8,9) dy (4,9)

d2 ; È | | 6 | | d
+ ts Dpa 4 Ccu KT #23
dq: ( \9p; dp; dp;
nn 8 d? dY ( 0 d?
= D mule srl (00 an AO 2 | Tec
NE dpr dpi p | )q; 4;
29 ( /d9 dy d9 ([d» dY
+ MAPS Tite Area 4
dqit \op: dpi dpil \9q; dYi |

Or, il est facile de voir que tous les termes se détruisent deux
à deux. Ainsi, par exemple, dans le premier terme on trouve
des expressions de la forme :

d? d'Y 09 d'y 03 dY 0°8 da)
_— ——
dq: (dp9qx dPr da Pr dUx dx dPid pk dPrx dPd Ta )
Les deux premiers (PRE de la parenthèse sont détruits le

premier par un terme de : — (8 SE) le second par un terme

15

(194)

Ce, DA E les deux derniers termes sont détruits respective-
ment par un terme de (se) et par un terme de w mp).

On peut résumer ce qui précède en remarquant que l’expres-
sion proposée étant développée, chaque terme se compose d’un
coefficient différentiel du second ordre de l’une des trois fonc-
tions ®, Ÿ, 0, multiplié par un coefficient différentiel du premier
ordre de chacune des deux autres. Par exemple, les termes où

o est différentié deux fois sont de la forme :

do D 06 de. 14/20: dp 00

dqDPz dx Pi DQÔQ Vi Ve VPaPe 0Qi 0h
k pouvant être égal à :; chacun de ces termes provient du second
et du troisième terme de l'expression proposée.

Or, on voit facilement que, pour chaque terme provenant du
second terme, il y a un terme semblable en signe contraire pro-
venant du troisième terme. |

Le même raisonnement s'appliquant aux Lermes dans lesquels
y et 0 sont différentiés deux fois, l'expression proposée sera
identiquement nulle, et la formule est démontrée.

Rappelons encore que si l’on pose :

a — p(l, is se Qns Pis ce Pa);
B=— g(t, Qis Ans Pis Pr)

on a, en vertu de la notation de Poisson (n° 69) :

(œ, a) = 0, (B, 6) = 0, (x, B)— —(B, a),
(— a, 8) — — (a, B).

Rappelons aussi que, si # est une fonction de £, q,, … q,,
Pis ce Ph NOUS AUTODS :

du du du dg; du dp,
22 D, + ’

FE VOS og: dt op, dt

ou bien, en ayant égard aux équations canoniques (1) :

dqi dpi dp; dq;

du du y È dH du à du
+
dt

De es ÉR EE
dt" St + (u, H). (2)

art. bn di er db à d'à

(195)
Cela posé, on a le théorème suivant :

TuéorÈèmE. — Soient a, B deux intégrales quelconques (‘) du
système canonique, contenant chacune une constante, et résolues
par rapport à ces conslanles :

a = (ft, Qi; ns Pis ve Pa)»

B— DT, Qus ve Qus Pis ee Pa),
l'expression :

sera constante pendant toute la durée du mouvement ().
Pour démontrer ce théorème, il suffit de prouver que l’on à :

d(a , 8)

SG;

dt
en vertu des équations canoniques.

Or, on a, en remplaçant w par («, f) dans la formule (2) :
d(æ, 6) nes dx, 6) __ fdæ d6
an (pu) (O8) + (af) + (te, 89)

Mais nous avons vu que, si «, Ê sont des intégrales des équa-
tions canoniques, on a (n° 402) :

da
+ (, H) — 0,

6
FFE (B, H) — 0.

(*) Pour abréger, nous appelons intégrale «, l'intégrale :

æ— P(l, Qis «ns Pis se Pr

(**) Mécanique analytique de Lagrange, t. 1, note 7; Jacomr, Vorlesungen
über Dynamik, pp. 421 et 426; Donxin, Philosophical Transactions, 1854,
p. 95.

(196)

Par conséquent,

d(z,
. 2 — (as 1), 8) — (a (8,1) + (6), H)

= ((H, 2), 8) + (6, H), a) + ((a, 8) H).

Or, le dernier membre de cette formule est identiquement
nul; par conséquent,

d (ce, PURE

dt

’

el, par suite,

(x, 6) — const.,
ce qui démontre le théorème de Poisson.

#12. Ainsi donc, en résumé, si æ, sont deux intégrales
des équations canoniques, on a toujours :

(æ, 8) = const.

Mais, cette équation peut avoir lieu : 1° ou bien identique-
ment; 2° ou bien non identiquement.

1° L'expression («, B) peut être identiquement nulle, ou elle
peut se réduire identiquement à une constante déterminée, et
l’on peut toujours faire en sorte que cette constante soit l'unité :
il suffit pour cela de multiplier ou diviser l’une des intégrales «, Ê
par un facteur convenable.

Si «, $ sont deux intégrales normales, nous avons vu que
(«, B) est égale à l'unité ou à zéro, suivant que « et f sont con-
Jjuguées ou non (n° #3).

2 Si l'équation (x, B) — const. n’est pas identiquement
satisfaite, c’est-à-dire si elle n’a lieu qu’en vertu des équations
canoniques, alors la constante du second membre sera une
constante arbitraire, et l'équation :

(x, B) —=const.,

sera, comme nous le verrons dans la suite, une intégrale des
équations canoniques. Mais il peut ici se présenter deux cas :
Premier cas : Ou bien la fonction (x, f) peut être seulement

ne À ed nd nd im

(197)

une combinaison des seconds membres des intégrales x et G,
et alors l’équation :
(x, B) = const.,

n’est pas une intégrale nouvelle, mais seulement une combi-
naison des deux intégrales « et .

Second cas : Ou bien la fonction (x, É) est une fonction de
L, Qus ce Qns Pas ee P,, indépendante de & et G, et alors l'équation :

(æ, 6) — const.,

est une nouvelle intégrale qui ne résulte pas d’une combinaison
des deux autres.

Dans ce dernier cas seulement, le théorème de Poisson
permet de trouver une nouvelle intégrale, lorsque l’on en
connaît deux.

413. Soient &,,a,,.… «,, m intégrales quelconques, et soient
f, g deux fonctions de c,, c, … 4, de manière que /, g soient
aussi deux intégrales. Il est facile de démontrer que l’on a :

HER;

da; a)
la somme s'étendant à toutes les combinaisons binaires des
m constantes &,, &, … «
En effet, on a :

df dg df 2g\
(B9= > o NE sh

m°

Or,

d/ df da df das df da,
ERP ARE == + ce + — ?
dq; dax dq: do qi a, 4:
d/ d/ dæy df dt df da
a — — — +: + ?
dp; day dP; dt> DD; dAn dP
) dg da dQ dt dg dx
LA = ch at + LA — + + J = ?
dq; dx, dqi do dq; dx d4
y] dg da dg de ùg dx

(198 )

En substituant et réduisant, il vient :

(/, q)
(B 9) = $ ee 5) (x, vw). (3)
D’après cela, si k,, k&, … k,, sont m fonctions, telles que f, g,
des m constantes &,, &,..a«,, NOUS aurons pour une paire de
ces fonctions :

(ui, 2), (4)

la somme se rapportant aux combinaisons binaires de, ,4,, 2,
c'est-à-dire aux indices 2 et 7.

#14. Nous pouvons déduire de là les équations inverses que
l’on obtient en considérant à, ,,,… «, comme des fonctions
de k,, k.,… k,. Nous trouverons ces équations inverses en rai-
sonnant de la même manière que ci-dessus, ou bien en multi-
pliant l'équation (4) par ÿ ee a , et faisant la somme par rapport
à p, q. Nous aurons :

(a a)= > — TE (k,, k), (5)

la somme se rapportant aux combinaisons binaires de k,,k:,...k,..

Cette réciproque serait en défaut dans le cas où les équations
qui expriment k,, k,, … k,, en fonction de &,,« ,.… «,, ne sont
pas indépendantes les unes des autres, hypothèse que nous
excluons, en supposant que 4,, k,, … k, sont m intégrales
distinctes.

115. Les formules que nous venons de trouver conduisent
aux conséquences suivantes :

1° Sifest une fonction donnée de «,, &, … æ,, la détermi-
nation d'une autre fonction g, telle que l’on ait {f, g)—0, dépend
de l'intégration d’une équation aux dérivées partielles linéaire
du premier ordre ().

(*) Nous reviendrons plus loin sur cette propriété.

(199)

2 11 est impossible que l’on ait (k;, k) —0, pour toutes les
combinaisons binaires de k,, k,, … k,, à moins que l’on n'ait

(,, «;)—0, pour toutes les combinaisons binaires de 4,, &,, .…. a.

116. Comme exemple de la première de ces conséquences,
considérons un cas qui se présente dans beaucoup de questions
de dynamique.

Soient «,, &, a; trois intégrales telles que l’on ait :

(te, 0) — dj; (as a) —= 9 9 (a, %) — 4.
et soit proposé de trouver une fonction g de «,, &, «;, telle que
l’on ait :
(ci, 9) = (1

En faisant /—«,, dans la formule (3), il vient, en ayant égard
aux formules précédentes :

Ue, ae Me, ) )
(a, us). + (CP) œ + rh. 27 ra
(ou ; Go) NCZF Ce) V(%33 1) do das

Par conséquent, la condition («,, 9) —0 nous donne l’équation
aux dérivées partielles linéaire du premier ordre :

de laquelle on tire :
Qi y (os Re a),

Y étant une fonction arbitraire qui peut aussi contenir à, d’une
manière arbitraire.

417. Remarque. — Il est facile de voir que si l'on pose :
[= ploi + où + 5),

on aura identiquement :
(69) = 0,

quelle que soit la fonction g de &,, «,, as.

( 200 )

On a, en effet,

df àg àf àg
(,9= 22e )e
d4, VA das da
df dg df dg
+ — — — — — 0,
d 49 d43 VA d49
of g df 09
#4 |— — — — — de
d7; NA d4; d43
Or,
f of ù
Dé D DEEE Qi RES
de da 43

par conséquent, tous les termes du second membre se détruisent
deux à deux, et l’on à :

(4 g)= 0
quelle que soit la fonction arbitraire g de &,, «, #3.

118. Cas particulier. — Si les constantes c,, «,, … sont des
éléments normaux, nous aurons, en les désignant par @,, a,,.….a,,
RES 1e

(/, g)
(g9=—Ÿ TR

f, g désignant deux fonctions quelconques des éléments nor-
maux, ou deux intégrales quelconques (n° 98).
Si, dans cette dernière formule, on fait f — a,, on trouve :

og
(a, q) SE EG 50?
si l’on suppose f = b,, il vient
à
(b;, q) — 0, ;
219. Remarque 1. — Dans le cas où l’intégrale des forces

vives existe, nous pouvons supposer que la constante des forces
vives À est un des éléments. On sait que l'élément conjugué
à hest + (n° #08), et que 4 n'entre explicitement dans aucune

|
|
|

( 201 )

des intégrales, excepté une seule, c’est l’intégrale conjuguée à b,
qui est :
doV

T=—t+ —:
dh

Si done g est une intégrale quelconque ne renfermant pas 4
explicitement, elle ne peut pas contenir +, puisque toute com-
binaison des intégrales normales qui renfermerait la constante 7,
devrait la renfermer sous la forme {+ +.

Or, pour chaque intégrale de cette espèce, nous aurons, en

vertu de la formule (a,, g) — cs

dq
ETES

Mais, g ne contenant pas + explicitement, on a :

d
NS
ùr
par conséquent,
(h, g) = 0.

Si, au contraire, g renferme explicitement le temps, elle le
contient sous la forme # + +, et l’on a :

et, par suile,
(k, g) = — 1.

120. Remarque II. — Il est facile de conclure du théorème
de Poisson que, si l’intégrale des aires a lieu par rapport à deux
des plans coordonnés, elle a aussi lieu par rapport au troisième
plan.

En effet, en posant :

dx ù dy J dz
RIT IE

&
-
D |
—
an
D"

(202)

on a pour deux de ces intégrales :
J'y — yx')dm = à,

S'\uz' — 2°) dm = 6.
Or, l'équation :
(x, 6) = const.
nous donne :
J'x' — xz’) dm = const.

ce qui est la troisième intégrale des aires.

XX.
Theorèmes de M. Bertrand.

121. Poisson n’avait tiré aucune conséquence de son théo-
rème. C’est Jacobi qui, trente ans après la découverte de Poisson,
a le premier signalé l’utilité de ce théorème qu'il considère
comme le plus important du calcul intégral (*). « Cependant,
» dit-il, on le croirait complètement inconnu; car, on ne le
» trouve dans aucun Traité de mécanique, ni dans aucun
» ouvrage sur l'intégration des équations différentielles. »
Jacobi n'hésite pas à en conclure que probablement personne,
ni Lagrange, ni Poisson lui-même, n’en a soupçonné l’impor-
tance.

Le théorème de Poisson conduisit Jacobi au théorème suivant :

THÉORÈME DE JAcoBi. — Dans tout problème de mecanique
auquel s'applique le principe des forces vives, si l’on connait
deux intégrales autres que celle des forces vives, on pourra
trouver toutes les intégrales restantes, sans aucune nouvelle

intégralion.

Nous avons démontré le théorème de Poisson étendu au cas

(*) Jacorr, Nova methodus (Journaz DE CReLLE, t. LX, pp. 45 et 46);
Comptes rendus, Paris, 1840; Journal de Liouville, t. V, p. 550.

( 205 )

général des équations canoniques, en supposant que H est une
(bncuon del, qi, Qu: Dis + Ds.

Il est facile d’en déduire le théorème de Jacobi.

En effet, puisque, en vertu du théorème de Poisson, (x, B) est
constante pendant toute la durée du mouvement, il en résulte
que cette quantité égalée à une constante arbitraire est une
troisième intégrale du système proposé.

Il paraîtrait donc, et c’est en cela que consiste le théorème
de Jacobi (”), qu’il suffit de connaître deux intégrales d’un pro-
blème de mécanique, ou, en général, d’un système canonique,
pour avoir la solution complète par une série de différentiations
seulement.

En effet, («, B) étant une fonction de qi, … qu, Pis pt,
si on l’égale à une constante arbitraire, l'équation :

(æ, 6) 95
sera une Intégrale du système.

En appliquant de nouveau le théorème, nous aurons une
nouvelle intégrale :

Fe (7) = 0,
et ainsi de suile.

422. Mais l'examen approfondi de cette question a montré
à M. Bertrand (”) que la méthode d'intégration fondée sur le
théorème de Poisson est loin d’avoir l’importance que Jacobi
lui avait attribuée d’abord. Les cas où ce théorème conduit à une
nouvelle intégrale sont plus rares que ceux où il n’alleint pas
ce but.

Quelquefois aucune des combinaisons deux à deux par le
théorème de Poisson, des intégrales qui forment la solution
complète, ne donne une intégrale nouvelle; dans d'autres cas,
une partie de ces intégrales combinées deux à deux ne donne

(‘) Nova methodus, p. 45.
(**) Journal de Liouville, t. XVIT; IuscHenETskY, p. 182.

( 204 )

pas d’intégrale nouvelle. M. Bertrand, profitant des cas d’excep-
tion, a imaginé une méthode spéciale d'intégration des équations
canoniques. Il a reconnu que, dans ces cas d’exception, il est
souvent possible de trouver un nombre plus ou moins grand
d'intégrales nouvelles au moyen des intégrales déjà connues.
Si l’on parvient ainsi à connaître la moitié des intégrales, on
peut, comme nous l’avons vu (n° 404), en appliquant le théo-
rème de M. Liouville, compléter la solution du problème au
moyen d’une fonction V qui donnera toutes les autres intégrales.

123. Comme nous l'avons vu (n° 442), les deux intégrales

données :
a = Const, 6 — const.

ne conduisent pas à une nouvelle intégrale par l’application du
théorème de Poisson :

1° Lorsque l'expression (x, ) se réduit identiquement à une
constante numérique quelconque, laquelle peut être nulle;

2 Lorsque l’expression (x, B) se réduit à une fonction de «
et de $, en sorte que l'expression :

(x, 6) = const.
est une combinaison algébrique des intégrales « et £.

124. Ainsi, par exemple, si dans les équations canoniques
la fonction H ne renferme pas explicitement le temps t, on sait
(n° #7) que l'équation :

H — const.,
est une intégrale de ces équations.

Il est facile de voir que, si l’on prend cette intégrale pour
l'intégrale «, toute autre intégrale, combinée avec elle par la
formule de Poisson, donnera un résultat illusoire.

En effet, soit d’abord :

B— ?(Qus + us Pis ee Pi)

une autre intégrale quelconque ne renfermant pas explicitement
le temps.

( 205 )
En écrivant que $ est une intégrale des équations canoniques,

c’est-à-dire que l’on a :
dB

ou bien :
Ë dH 26 D»
DRE No
or, cette équation n’est autre que :
(8, H) = 0.
Si l'intégrale f renferme explicitement le temps, et si l’on a :

B=t = PICTE Ans Pas ve Pa)

la fonction 4 ne renfermant pas explicitement le temps, nous
aurons :

18 36 08 dq; dB op,
ur isa)

TT PA COMENT

Or, si nous écrivons que f est une intégrale des équations
canoniques, c’est-à-dire que l’on à :

26
— —= il
d fs
l'équation :
08 dH 03 0H
ES er
dqi dpi Pi di
ou bien :

1 + (8, H)}=0,

(B, H)=— 1.

d’où :

( 206 )

Ainsi donc, dans le cas où H ne renferme pas explicitement
le temps t, il est impossible de former une nouvelle intégrale
par la formule de Poisson appliquée à deux intégrales dont l’une
serait H — const.

C’est ce qui arrivera, en particulier, lorsque l’une des deux
intégrales «, Ê sera l'intégrale des forces vives. Nous aurons le
théorème suivant :

THéORÈME. — Toute intégrale combinée avec celle des forces
vives donne à l’équation de Poisson une forme illusoire.

125. Le théorème de Poisson peut, comme nous venons de
le dire, conduire de deux manières différentes à un résultat
illusoire. Il peut arriver : ou bien que l'équation de Poisson se
réduise à une identité, telle que 0 —0, ou 1 —1, ou bien
qu’elle donne une intégrale qui soit une combinaison de celles
dont on l’a déduite.

M. Bertrand a démontré (") que ces deux cas se rattachent

l’un à l’autre; il en conclut, par conséquent, que, pour les étu-

dier, il suffit de considérer les intégrales qui, combinées avec
une intégrale donnée, donnent à l'expression de Poisson une
valeur identiquement constante. Il indique ensuite le moyen
de trouver l’une de ces intégrales lorsque l’autre est connue,
et il prouve qu’il en existe toujours.

126. Voici le théorème qui permet de rattacher l’un à l’autre
les deux cas d’exception :

THÉORÈME. — Si a—ç, B—4 sont deux intégrales d’un
même problème, telles que (x, Ê) est une fonction de x et de fi,
il existe toujours une fonction de « et de Ê, qui, égalée à une
constante y, donnera une intégrale telle que (x, y) soit identique-
ment égale à l’unité.

En effet, on a, par définition :

dx dY dx 2!
Se | 71

(*) Journal de Liouville, t; XVII, p. 595.

nés Éd nd ds

( 207 )

or, y étant une fonction de « et de F, on à :

dy dy dx dy d6
—=—— + — —
di dx dq; dB dq;

par suite, en réduisant,

(x, y) —=(«, f)

dy
5
Si donc (x, 6) est une fonction de « et de 6, on pourra déter-

miner y par l’équation différentielle partielle :

Sd
(a, 6) = 1,

Le

laquelle nous donne l’équation différentielle ordinaire :

Par conséquent, on peut toujours faire en sorte que :
(2%) Ur
Ce théorème peut être généralisé de la manière suivante :

227. THÉORÈME. — Si a —p, Ê— 4 sont deux intégrales
d’un même problème, et si, en les combinant par la formule de
Poisson, on trouve une troisième intégrale :

(æ, B)=7,
puis une quatrième :

(æ, Y) — d,
puis une cinquième :

(&æ, d) = €,

el ainsi de suile; si l’on arrive enfin à une intégrale :

(œ, #) — &,

( 208 )

telle que l’on ail :
GC F{x, 8, y, .… #) (),

il existe toujours une ou plusieurs intégrales de la forme .
E — CZ Br Ys 50)
qui, combinées avec «, donnent identiquement :
(x, Él=0,; mou (x, 6)="1.
Pour démontrer ce théorème, considérons l’expression :
Sn 1 ue 7

et remplaçons les dérivées de £ par leurs valeurs obtenues en
considérant £ comme une fonction composée; nous aurons,
après quelques réductions :

dE dË dÉ
COECODEECRRERENCEE
dB 0Y dy
dE dE dË
Mag TRES

Si maintenant on veut déterminer & de manière que l’on ait :
(a, Ë) = 0, ou (æ, Ë) = 1,

on devra intégrer l'une des deux équations linéaires aux dérivées
partielles suivantes :

DÉ dE à
V— + È— ++ F(z, Ps 7 ….#)—=0,
2 dy Le
ou bien :
dE 06 dE
= Ed —+. + F(x«, d4 9’; #) ——= i,
8 à L

(*) Il est évident que l’on doit arriver à une intégrale & jouissant de cette
propriété d'être une fonction des précédentes; car, la suite des intégrales
distinctes ne peut pas se continuer indéfiniment, puisque le nombre total
des intégrales des équations canoniques est limité.

( 209 )

dont les intégrales satisferont à l’une ou à l’autre des conditions
précédentes.

Donc, les intégrales des systèmes d'équations simultanées
ordinaires :

dÿ dy do dy dE
DANONE AREA LT de
dé dy di mu dy dE
EPS à ECTS RTE B, y, A ANAUON

nous donneront les intégrales générales des équations linéaires

ci-dessus. Or, si l’équation en Ë renferme k variables indépen-

dantes, son intégrale générale sera une fonction arbitraire de

k — 1 fonctions distinctes, et elle contiendra, par conséquent,

k — 1 intégrales distinctes satisfaisant à la condition énoncée.
On conclut de là le théorème suivant :

428. Tuéorème. — Une intégrale étant donnée, il y en a
une ou plusieurs autres qui, combinées avec celle-ci, conduisent
à des équations identiques.

Soit :

a pÜqis Qu Pis + pi)

une intégrale donnée d’un problème de mécanique.
Si l’on prend une seconde intégrale du même problème :
B == Y(qus «Qu; Pis + Pa)
et si on la combine avec «, on formera l'expression (x, B).

Si cette expression est identiquement constante, le théorème
est démontré; sinon l’expression :

(æ, 8) = 4 ,
sera une nouvelle intégrale.

On formera alors l'expression (&, y), laquelle sera identique-
ment constante ou non : si («, y) est constante, la proposition
est démontrée, sinon l’on posera («, y) — d, équation qui sera
une nouvelle intégrale, et ainsi de suite.

14

(210 )

En continuant ainsi, on arrivera à une fonction & qui est :

1° Ou bien une constante, et la proposition est démontrée,
puisque la fonction précédente satisfait à la condition énoncée;

2° Ou bien une fonction des précédentes (”) : dans ce cas,
comme on sait (n° 42%), en formant une fonction & convenable
des intégrales successivement obtenues, on aura une intégrale
qui, combinée avec «, donnera un résultat identique. On a même
vu (n° 42%) que l’on peut obtenir plusieurs intégrales distinctes
les unes des autres, telles que l’on ait:

(HN) 0 4 our El.

Nous avons vu (n° 424) que l'intégrale des forces vives
donne toujours un résultat identique, quelle que soit l’intégrale
avec laquelle on la combine. Combinée avec une intégrale & ne
contenant pas explicitement le temps, elle donne (&, H)—0;
et combinée avec une intégrale renfermant exphcitementle temps,
elle donne (x, H) = — 1.

On pourrait se demander si l'intégrale £ dont nous venons
de démontrer l'existence, et telle que l’on ait :

(GEO NM IAE) EE

n’est pas ou l'intégrale des forces vives, ou une fonction de cette
dernière.

Le théorème suivant prouve que l'intégrale des forces vives
n’est pas la seule qui remplisse cette condition, ce qui d’ailleurs
est déjà évident, puisqu'il existe un grand nombre de fonctions E.

429. ThéORÈME. — Quelle que soit une intégrale donnée :

U— p(qi .… PE Pi +. Ph

il existe toujours au moins une autre intégrale À, qui n’est ni
léquation des forces vives, ni une fonction de celle-ci, et qui,
combinée avec x, donne un résultat illusoire :

(a, 2) 0 ou” (ea) =

(‘) Car les intégrales distinctes sont en nombre limité.

(211)

Soit B une intégrale quelconque différente de celle des forces

vives :
B=—= p(Qus is as Pas = D)

d’après ce que nous avons vu (n° 42%), si, en combinant « avec fi,
puis avec les intégrales résultantes, on arrive, après k opérations,
à une intégrale rentrant dans les précédentes, la fonction qui,
combinée avec «, donne un résultat illusoire, est déterminée par
une équation aux dérivées partielles à Æ variables indépendantes.
Cette fonction aura, par conséquent, 4 — 1 formes différentes.

Pour £—1, c’est-à-dire si le cas se présente après une seule
opération, l'intégrale Sera une combinaison de « et de 6; par
suite, elle est différente de celle des forces vives.

Pour k — 2, nous aurons :

(a, 6) =,
(œ, 9°) — {C2 B, ‘à

or, si l’on cherche par la méthode indiquée ci-dessus (n° 42%),
une intégrale dx, 6, y) qui, combinée avec «, donne un résultat
identique :

(ed) ou (a ui 0,

cette intégrale sera ou non celle des forces vives.

Si cette intégrale 4 est précisément l’équation des forces vives,
nous aurons :
Ÿ (x, CE y) — H,
d’où l’on tire :
D C(æ, B, H).

Considérons maintenant une fonction Ex, 6, H) qui, évidem-
ment, sera une intégrale; nous aurons :

MAR QUE dE Π,
OS Fr ET en Er EL A 7

(*) Puisque (x, H) — 0.

(212)

Cela posé, si l’on détermine £ par la condition que l’on ait la

relation :

dË
C (a, B, ET À

la fonction E ainsi déterminée satisfera à la condition proposée :
(4,5) =1;

de plus, elle sera distincte de celle des forces vives qui donnerait :
(, H)= 0,

puisque « ne contient pas explicitement le temps.

Ayant examiné le cas où l’on suppose k— 2, supposons qu'en
combinant « avec B, puis avec les intégrales y, 9, … que l’on
obtient successivement, on trouve une intégrale e pour laquelle

on ail :
(me) = 1,

cette intégrale € sera évidemment différente de celle des forces
vives, et la proposition sera encore démontrée.
Si, au contraire, on trouve :

(«,e) = 0,

el que € soit précisément l'intégrale des forces vives, ou une
fonction IT{(H) de cette intégrale, on aura, en désignant par d
l'intégrale qui, dans la série des opérations, précède immédiate-

ment €
(e,8) =e = 01 (H).

Or, il est évident que si, au lieu de l'intégrale 8, que nous
avons prise pour point de départ, on avait pris nr , toutes les
intégrales successivement obtenues auraient été divisées par I(H),

et l’on aura eu :
( )
ty ———|—=1,
n(H)

de sorte que Lf est une intégrale distincte de celle des forces

vives, et qui, combinée avec «, donne un résultat identique.

nn

(215 )
Des théorèmes précédents, M. Bertrand déduit celui-ci :

430. THÉORÈME. — Quelle que soit une intégrale donnée à,
on peut toujours compléter la solution du problème en y adjoi-
gnant d’autres intégrales f,, B;, … ._,, lesquelles, combinées
avec à, donnent à l’équation de Poisson une fornie identique :

(ce, Bi) = 1, (a, Ba) = 0, .. (x, Ban 1) = 0.

Comme nous l'avons vu par le théorème précédent, quelle que
soit l'intégrale «, il existe toujours une fonction f,, telle que :

(x, cn) — À,

Nous devons maintenant démontrer qu’il existe 2n — 2 inté-
grales distinctes de « et de f,, qui, combinées avec «, donnent
(a, P) = 0.

Désignons par y le nombre des intégrales satisfaisant à cette
condition, f,, … B,,,, et supposons que l’on ait +1<2n—1.
Il existera évidemment alors d’autres intégrales indépendantes
de celles-là , ainsi que de « et de G,.

Si 6,42 est une de ces intégrales, nous aurons :

(a, Bus) = Buts

B,13 étant, par hypothèse, différent de zéro. Je dis que f,,, sera
aussi différent de l’unité; car, sans cela, des équations :

(@, Bus) = 1, et (Bi) —1,

on déduirait évidemment :

(as Buse — B,) = 0;

d’où il résulterait que B,,, — , serait une fonction de £,,
B,,…. Bu, el, par suite, que P,,, ne serait pas une nouvelle
intégrale. Par conséquent, B,.; est différent de l'unité.

Puisque B..; est différent de zéro et de l'unité, posons :

(2 Bus) = ue

(a, Bars) = Bugs, ete.

(214)

Nous finirons évidemment par trouver une intégrale £ qui
sera identiquement constante, ou bien une fonction des précé-
dentes.

Soil :

Bari = Fc, Buse, Burss ve Bus),

celle intégrale.

Cela posé, désignons par 7 une fonction des intégrales à, B,,,2,
Biuss Bu etiposonse

y =56(x, Bugs + Bu+i-1) ,
nous aurons :

(en EL AU Ce, 84
XV = a, +2 + (x 11.43 + ce + de, pi —1
JBu+2 dPu+5 dpi 1
g ds 8, dS 8 ds
er nl CE mu OS ,
Vus ï LR dpi
ou bien :
dT mr 5
(x Y) = B ‘HU RUEL + £ LT OO © F (x B +2 bp re) .
| obus TB Me
Si l’on pose :
(œ y) Te 0,

on a l'équation différentielle partielle :

dS ns

Buy ia FT Buy Tee ARE F (x ; Bus s + Bari)
+ Lo

= 0,
me Û

qui pourra servir à déterminer la fonction # ou 7 en fonction de :

dy Butor Puyss « Buyi

Or, 7 sera une intégrale nouvelle; car, sans cela, 7 serait une
fonction des intégrales primitives «, B,, … ,,,, et l’on aurait
une relation telle que :

V = f(s Bis ve Bu) 3
mais, y satisfaisant à l'équation :

(x, y) rs 0,

(25)

on aurait :

(a, f)— 0,

et, par conséquent, il existerait une relation entre les intégrales

a, B,, B2, … B,,1, Ce qui est contraire à l’hypothèse que toutes
les intégrales :

a, Bis Ba: .…. Byu-+1»

sont différentes entre elles.

Nous avons done fait une hypothèse impossible en supposant
+1 <Qn—1. Par conséquent, u+1—2n—1, et le théorème
est démontré.

434. Les théories précédentes peuvent done être résumées
de la manière suivante :

THÉORÈME. — Étant donnée une intégrale «, autre que celle
des forces vives, et indépendante du temps, la solution du pro-
blème se composera :

4° De 2n —2 intégrales comprenant à, qui sont indépendantes
du temps, et telles que, combinées avec à, elles donnent :

(æ x) = 0,
À étant l’une quelconque d’entre elles ;

2 D'une autre intégrale p., également indépendante du temps,
et telle que :
(æ, ue) = 1 ;

3° D’une intégrale y de la forme :

Lie AUTE … Qns Pise Pa) En Î,
telle que :

(eu) == 0:

4132. Remarque I. — Si l'on se rappelle la définition que
nous avons donnée des intégrales conjuguées (n° #37), on verra
que les deux intégrales « et p qui nous donnent :

l CYAN
sont conjuguées.

(26)

On verra aussi que l’intégrale » qui contient le temps, est le
conjuguée de l'intégrale des forces vives. En effet, on aura,
comme il est facile de s’en assurer :

(4, Hess ft:

133. Remarque II. — Pour appliquer la théorie de M. Ber-
trand, il faut connaître une intégrale «, et alors on a à déter-
miner 2n — À intégrales satisfaisant à l'équation différentielle
partielle linéaire du premier ordre :

(«,))—0, ou (x 2)= 1, (A)
À étant la fonction inconnue.
Mais la fonction À doit aussi satisfaire à l’équation :
(4, H)=—= 0: (B)
Si donc on peut intégrer l’équation (B), il suffira de chercher,

parmi les solutions de (B), celles qui satisfont à l'équation (A);

sinon, on aura à chercher les solutions communes aux équa-
tions (A) et (B).

134. Nous avons vu (n° 430) qu’une intégrale « étant donnée,
on peut compléter la solution du problème au moyen des inté-
grales P,, B:, … (2, ;, qui, combinées avec «, donnent toutes
à la formule de Poisson une forme identique.

Il ne faut cependant pas en conclure que toutes les intégrales
du problème soient dans le même cas.

Soit, par exemple, l'intégrale la plus générale :

y —= f(x, Bis Ba .… Ban_1)

nous aurons :
d4 d4 d#
dy = (4 == 9 ee + (x n
(a, #) = (a, fi) B, (æ, ETS (a; Ban 4 na
dy d#
= ( DNA EME
dB
Par suite, l'expression (x, ») ne sera identiquement constante
02 : A
que si ©? est constant lui-même.

dB:

"del

(217 )

Il en résulte que toutes les intégrales n, en nombre infini,
provenant de la combinaison de «, P,, B;, … B,,,, donneront
un résultat identiquement nul, si on les combine avec &.
Au contraire, les intégrales qui contiennent f, peuvent conduire
à des résultats non identiques.

135. Comme application de la méthode de M. Bertrand,
nous reprendrons le problème du mouvement d’un point maté-
riel attiré vers un centre fixe par une force en raison inverse
du carré de la distance.

Les équations du mouvement étant:

dx DENT 16 px

De OMR

CE DEL À by “
GS ADN NE |

le principe des aires nous donne l'intégrale :
XY— YX' = CONSI. = «. (2)
Cherchons une seconde intégrale :
B—v(x, ya, yt) (3)
satisfaisant à l’une des conditions :
(=D hou (a) = "1:

Nous aurons les deux équations différentielles partielles
linéaires :
DENON op + 2

CRD) LE PES airs Lt p
CAE AE AT ? 9)
ù ù ù ù
Porn EE CETTE (5)
dx" dx dy dy

Pour intégrer la première, nous devons intégrer le système
d'équations simultanées ordinaires :

( 218 )
on trouve facilement que les quatre intégrales de ce système sont :
B=m, +ÿ=0, 2°+ "= 05, 2X + yy =,
et, par conséquent, l'intégrale la plus générale de l'équation (4)
est:
B= EG + y}, à + y, ax + yy'),
ou bien, si le temps £ doit y figurer :
B—=t+ F(x° + y, °° + y", xx” + yy').

On verra de même que l'intégration de l’équation (5) se
ramène à l'intégration du système d’équations différentielles
ordinaires :

dx dx dy" dy dB
CA
on en Lire :
dx di dx’ ANNE À
= 1 —— == — = — — —= ,
dB 4? d£ ? dB Fa dB &

d'où l’on déduit les intégrales :
x — A cos(B + K), y =A sin(6 + k),
x'= A'cos(6 + k'), y’== A’sin (8 + k”),

A,A',k,k' étant des constantes arbitraires. Ces dernières nous
donnent :

+ —=b, x+y—b, xx + yy —bs,
y
are tg=—8—b,.
2% É &
L'intégrale la plus générale de l’équation (5) est, par conséquent :
y 2 2 12 2 , sd
B= arc tg = + Fia*+ y", x'°+ y", xx + yy'),
x
ou bien, si £ doit figurer dans l'intégrale,

y RETEL | ? 12 12 ’ ’
B=t+arctg- + Fix + y, +9", xx + yy)
x

(219 )
Si maintenant nous posons :
DHY—=U, LHY =UV, LC + YY —=W,
ces deux systèmes d’intégrales pourront s’écrire :

B— Fu, v, w),

B—t+F{u, v, w), (6)
ou bien :

B = arc te? + Fu, v, w),
x

(7)

1
B=—=t+ arc 87 + Fu, v, w).

436. Il nous reste maintenant à déterminer quelles sont les
intégrales du problème comprises dans les formes (6) et (7).
Pour cela, nous devons exprimer que les dérivées totales par
rapport à £ sont nulles, en vertu des équations du mouvement.

Considérons d’abord la première équation (6) :

BE, (va):
Le d8
La condition © — 0, nous donne :

PR LHAROOEU TES dB dy"

- — + — 0 (8)
dx dt dy dt dx dt dy dt
Or, on a
dB dE où oF dv dE dw dF dF
== ——+—— + — —— 2x — + ZX — >;
dx du dx dU dX dw dx du dw
de même :
dB dF dF
ir die OR om
dy du dw
dB ,dF dF
= —= 0 re
dx’ dv w
dE dF dF
= = 2y' — + y —

( 220 )
Substituant dans l’équation (8), et ayant égard aux équations (1),
il vient :

dF dF
2 + (o—H) LR

— = 0,

du r° dv dw

r°

ou bien, en remplaçant r par sa valeur en fonction de w :

dF Quw dF dF
Où —— = — + v— Le — —
du : dv - dw
u u

Or, l'intégration de cette équation différentielle partielle se
ramène à l'intégration du système ordinaire :

fe ot dw dF
2w 2uw Li L: 0 ”
HAS Sr
uw uw

on en déduit les équations suivantes :

et
dE —0, pu ‘du + dv—0, Quwdw — vdu + udv,

dont les intégrales sont :

1
Fc, v—Quu ?—c, uv—w = c".

RSI

— de = 248,

Par suite, la valeur générale de Ê est :
ou bien :
9

à RE
ee 12 12 Lt ’ AC]
snfrer, es)

Cette intégrale n’est autre qu’une combinaison de l'intégrale
des forces vives et de l'intégrale des aires; par conséquent, elle
ne peut former une nouvelle intégrale du problème.

Si nous prenons maintenant la seconde équation (6) :

B—t+ Fu, v, w),

( 221 )
et si nous exprimons qu'elle est une intégrale, nous trouvons

l’équation suivante :

dF du dv dw /

Eu | QuW Fra
TOME nue

7e u?

du —: 2
ren v—Quu *—C, UV—W — 0,
d’où l’on tire :
— du
dF — ,

2 Van + 21e + Quu :|

et, en intégrant,
du

D AV meme: + C5.
3 = C+Uu Fes Dors

Par suite, la valeur générale de Ê est :

du æ

JR a — 1.9 | U — 2UU
1
2 à

V — GQ+u (a + QJuu ©

En égalant la fonction arbitraire © à zéro, et remplaçant w

1
2, uv —w°) ;

par r?, on trouve :
dr
D, (9)
V-5-*
UE — TE DC Ci
Tr r

c’est l'équation qui détermine le temps en fonction du rayon

veclieur.

( 222 )

Cherchons maintenant si le problème admet des intégrales
de la forme :

1
B = arc 8° + Fu, v, w).

La condition dE — 0, nous donne :

Va de. dy dB dx" 3% dy

— — — — —

dx dt dy dt Tx dt dy" dt

Or, on a :
RD ar ur
dx u du dw
DB NEC dF, Fi
— — — — —)
dy U du dw
8 àF, >,
— — 2x — —
dx" dv w
28 Fi dF,
dy 100 du

Par suite, en substituant, et ayant égard aux équations (1) :

xy — x" dF: 2x dF, (x: ‘) dF,
————— + pp — — — SE = te — = 0,
Fe + Le + ( xx" RE +{x + y" ne

ou bien, en introduisant les quantités u, v, w :

V'uv — w° dF, 2ZuwoF, u \oF,
——— + 20 — — + [0
u du 5 dv

La fonction F, est donc déterminée par l'intégration du sys-
1ème ordinaire suivant :
div ide dv dw
V'uv—uw 2W 2uWw

u

(223 )

on en Lire :
1
U—Quu ?— 0, UT —W — 0,
du udF,
24 V'uv — w
On a donc :
uv — w
dr, = — du,
Quiw
ou bien :
V’cdu
dF, ET PE re +)
1
au V Qu + 2uUu* — C
Par suite,

V’edu —: à
A lu — pu ACT EST À
2u We + Qué — C2

En égalant à zéro la fonction arbitraire o,, et remplaçant «
par r?, il vient :
{ V'c;dr
B — arc ee , (10)
X

a

c’est précisément l'équation de la trajectoire.

Il est facile de voir que la quatrième intégrale (7) :
6
B=t+ arctg— + Fi(u,v, w),
X

n’est autre qu’une combinaison des intégrales (9) et (10), et
par conséquent, elle ne fournit pas une nouvelle solution du
problème.

Les intégrales (9) et (10), jointes à celle des aires et à celle
des forces vives donnent la solution complète du problème.

437. La marche que nous avons suivie est la suivante :
Après avoir trouvé une intégrale autre que celle des forces

( 224 )

vives, nous en obtenons une troisième, qui contient le temps,
par la condition que, combinée avec la première, elle donne à
l'équation de Poisson la forme 0 — 0; puis, nous trouvons une
quatrième intégrale, ne renfermant pas explicitement le temps,
et qui complète la solution, en exprimant que l'équation de
Poisson se réduit à 1 —1.

Il est facile de démontrer que cette marche sera toujours
la même, lorsqu'il s’agira du mouvement d’un point dans un
plan, ou, plus généralement, toutes les fois que les coordonnées
des points du système peuvent être exprimées en fonction de deux
variables indépendantes. Nous allons donc démontrer que, dans
le cas d’un tel problème, connaissant l'intégrale des forces vives
et une intégrale «, il sera impossible d’en trouver une autre £,
distincte des deux premières, ne renfermant pas explicitement
le temps, et telle que l’on ait (x, 5) — 0; mais, il y en a une
autre telle que l’on ait (x, f)—1. Au contraire, on peut tou-
jours trouver une intégrale renfermant explicitement le temps,
et telle que l'on ait («, 8) = 0.

Soient, en effet,

AE On LE MAT O0

LE (1)
dq2 él dH dp: 12 dH
dt dps dt dq:

les équations différentielles du mouvement.

Soient H — k, l'intégrale des forces vives, et :

(Qi Yes Pas Pa) — «;,

une deuxième intégrale. Cherchons s’il existe une troisième

intégrale :
y(q, 2» Pis p2) = B;

qui, combinée avec la seconde o— «, donne à l’équation de
Poisson la forme 0 — 0.

(225 )

En écrivant que la condition (x, B) — 0 est satisfaite, on a :

da DB dx d da D da
EU een AN AE 2 Le (2)
dqi dpi dpi dg: da dPa dPa dQa
en outre, si est une intégrale des équations (11), il vient,
en supposant qu’elle ne contienne pas le Lemps :

0H 06 H 8 OH dH B
+

Se at ne it (45)
dupe Pr Pi
enfin, l'identité (6, 6) — 0, nous donne :
8 2 8 ) 18 8 )
BU US MES
di Pi Pr Qi ds a Pr ds
Si l’on considère les quantités me Es SE S, comme des

inconnues, les équations (12), (13) et (14) seront des équations
du premier degré par rapport à ces inconnues, pourvu que,
dans l’équation (14), on regarde les coefficients comme égaux
aux ineonnues elles-mêmes. Ces équations feront connaître les
rapports :

BB 2 0 PP

pi di ps du ds

Or, ces équations seront aussi vérifiées, si l’on remplace les
dB dB dB. dB d&œ da dæ da pp»

dérivées Sp? ps? 5? Jus» Par les dérivées SA dns None *V2a ()
Il est, en effet, facile de voir que, par cette transformation , la
première TE devient identique, la deuxième exprimera
que « est une intégrale des équations (11), cette intégrale ne
renfermant pas le temps, et la troisième devient la première (12).
Il résulte de là que les nouvelles quantités ont les mêmes

rapports que les premières; par suite, on a :

6 d6 dB dB
dpi dPe at dqi da

dæ dœ da da

dp; ùd 2 dq: da

(‘) Bien entendu, la substitution ne doit pas être faite dans les coeflicients
de l’équation (14).
15

( 226 )

De cette suite de rapports égaux on conclut que $ doit être une
fonction de «, et, par conséquent, l’équation :

6 — const.,

supposée indépendante du temps, ne sera pas une intégrale
nouvelle.

138. Le raisonnement que nous venons de faire serait en
défaut, si l’une des équations (12), (13) et (14) rentrait dans les
autres, c’est-à-dire si ces trois équations se réduisaient à deux.
Or, on aurait alors, d’après la théorie des équations du premier
degré, des relations de la forme suivante (°) :

ù ù dH
is. — M se +N—,
dqi dq: dqi
dB n7 dH
——M—= + N =")
dpi dP: dpi
ù d dH
és — M s + N mt
UE dq2 dQ2
dB dx dH
— = — + — ")
dPa dPe dPe

M et N étant des fonctions quelconques de p,, Pa, Qy, Qo-

Or, de ces équations on tire, en les multipliant par dgq,, dps,
da, dp4 et ajoutant :
dé = Mda + NdH.

Par conséquent, G doit être une fonction de « et de H, c'est-
à-dire que cette intégrale $ doit encore rentrer dans celles que
l’on avait déjà.

139. Cela posé, observons que le problème ne comporte que

(‘) On obtient ces équations, en multipliant les équations (12), (45)et (44)
respectivement par M, N, — 1, et ajoutant. Si les trois équations se rédui-
sent à deux, l'équation résultante devra être une identité, et les coeflicients
devront être nuls séparément.

( 227 )

quatre intégrales distinctes : une qui renferme explicitement le
temps, et trois qui ne le renferment pas explicitement. Il y a
donc trois intégrales distinctes, el pas davantage, qui sont indé-
pendantes du temps. Or, de ce que nous venons de voir, il résulte
que, parmi ces trois intégrales distinctes, il y en a nécessaire-
ment qui ne donnent pas (‘) à l’équation de Poisson la forme
identique 0 — 0. Mais nous allons voir qu'il y en a nécessaire-
ment une qui donne à l’équation de Poisson la forme 1—1.
Soit donc y une des intégrales qui ne donne pas :

(x, 2) EE 0,

(æ, y) du d,

el soit :

9 étant une constante numérique ou non.

Si d est une constante numérique, nous pourrons multiplier
ou diviser y par une constante, de façon que l’on ait d—1,
et il est ainsi prouvé qu’il existe une intégrale qui, combinée
avec «, donne à l'équation de Poisson la forme 1—1.

Si d n’est pas une constante numérique, l’équation :

d — const.,

est une intégrale indépendante du temps. Cette intégrale est
évidemment une fonction des trois intégrales précédentes
en effet, puisqu'il y a seulement trois intégrales distinctes, qui
ne renferment pas explicitement le temps, toute intégrale nou-
velle ne contenant pas ?, sera une fonction des trois autres.
Nous aurons donc :

(a, Y)= 5x, y, h).

Ceci établi, posons :
= {(e; 7, h),

£ sera une intégrale des équations proposées.

(‘) Puisque, connaissant l'intégrale des forces vives et une autre &, il n'y
en a plus d’autre indépendante du temps qui donne (x, 8) = 0.

Or, on à :

(a, E)= (x; D + (x, NT.

et, comme (x, h) = 0, il vient :

à df
(x, ) = (æ, PE = 6{(a, y) h) 2
dy dy
Si donc nous posons :
ù
wa, y, ml — À,
dy

cetle équation nous permettra de déterminer la forme de la
fonction & qui, combinée avec l’intégrale «, donne à l’équation
de Poisson la forme identique 1 — 1, et la proposition est
démontrée.

440. Il nous reste à prouver maintenant qu'il existe une
intégrale de la forme :
414 F(qi, ss Pas Pah
qui, combinée avec «, donne à l’équation de Poisson la forme
0 — 0, c’est-à-dire telle que l’on ait :
(x 0:

A cet effet, considérons l'une quelconque des intégrales dans
lesquelles figure le temps, par exemple :

El + F(g:; fes Pi Ps),

et combinons cette intégrale & avec «. Nous aurons l'expres-
sion (4, e), qui ne renfermera pas le temps.

Or, cette expression («, €) sera zéro, et le théorème sera
démontré, ou une constante numérique, ou une intégrale
nouvelle.

Dans ces deux derniers cas, nous pouvons poser :

(a, e)—=N(x, B, h);

car, toute intégrale indépendante du temps [c’est le cas pour (x, €)],

( 229 )

peut être considérée comme une combinaison des trois inté-
grales a, 5, .

Dans le cas où (x, s) est une constante numérique, la fonc-
tion II se réduira à une constante.

Cela posé, nous pouvons ajouter au second membre de l’inté-
grale e une fonction quelconque de (x, 6, h), et nous formons
ainsi une intégrale nouvelle :

a—t+ Fi, qe pas ps) + (le, 6, h)=e + f(x, B, h).

Nous aurons évidemment :

Or, on a
es Des dE + (es DE le De D:
par conséquent,
of

(e, a) = (ee) + (2, 52

et, comme (x, ) — 1, il vient :

L
> €) = (X AE
x, &4)= (x, €) 55
Or, si l’on détermine la fonction f par la condition que l’on ait :
d
(x, €) + as 0,
26
on aura :
(x, €) —= 0

De l'équation :

on tire :

d’où :
df = — (x, €) dB = —1(x 6, h) dB ;

on aura donc l'expression de f en fonction de «, 8, h, par une
quadrature.

( 230 )

En adoptant cette expression de /, l'intégrale :,, combinée
avec «, donne à l’expression de Poisson la forme identique 0—0.

441. Il est facile de voir qu’il n’existe pas d’intégrale nou-
velle, contenant explicitement le temps, qui donne à l'expression
de Poisson la forme 1— 1.

En effet, l'équation :

(a, &) = (x, €) + .
P

nous donne, en faisant (x, &,) — 1, l'équation :
sf
I(x, 8, h) +- ' —41,
6

d’où l’on üre l’équation différentielle ordinaire :

dB 1 df
A TA UE EU
et, en intégrant,

f=6—/fn(e,8,h)d8.

On voit donc que l'intégrale qui, combinée avec «, donnerait
à l’équation de Poisson la forme 1 — 1, est une combinaison
des intégrales précédentes : elle est une combinaison de la pré-
cédente avec É.

XXI.

Travaux de Bour.

442. Avant d'exposer les travaux de Bour, rappelons le
théorème de M. Bertrand (n° 484) duquel il résulte que la solu-
tion complète d’un problème de mécanique peut être formée de
2n intégrales du genre suivant :

1° L'intégrale des forces vives « = H ;

2% Une intégrale qui contient le temps 8 —G—1;

3° 2n — 2 autres intégrales, indépendantes du temps, «,

( 231 })

Gay ans) & étant une intégrale quelconque indépendante du
temps, et autre que celle des forces vives.

Ces diverses intégrales doivent donner, d’après le théorème
de M. Bertrand :

(æ , “) = 2 (æ, G) FT 0, (a , a) F 0,

la dernière équation pour toutes les valeurs de à égales à 3,
4, …2n — 2, c'est-à-dire pour + différent de 2.
D’après ce que nous savons, les intégrales «,, æ,

QE) an 2 9
doivent satisfaire à l’équation aux dérivées partielles :
* [OH à dH 0
RE E }=0, (1)
1 \0Qi dpi dr di

ou bien :
(4, €) EE 0,

laquelle est aussi vérifiée par 6 — H, et dont la solution la plus
générale est donc :

EP a ati)

Au contraire, pour &—G, le premier membre de l'équation (1)
se réduit à l’unité, c’est-à-dire que l’on a :

(H,G)— 1.

Il est évident, d’après ce que nous venons de voir, que l’équa-
tion aux dérivées partielles (1), qui est linéaire, peut remplacer
les équations canoniques.

Les travaux de Bour (*) consistent à montrer comment on
peut abaisser l’ordre de cette équation :

(H, ê) FT 0, (1)
quand on en connaît une ou plusieurs intégrales.

443. Examinons d’abord le cas ou l’on ne connaît que l’inté-

grale des forces vives :
H— h.

(‘) Mémoires des Savants étrangers, t. XIV.

( 232 )

On se servira de cette intégrale pour éliminer l’une des
inconoues, par exemple p,, qui sera exprimée en fonction
de H, qi, Qu, Qu, Pas Pas P,_13 il S’ensuit qu’une fonction
quelconque de q,, Qu, .…. Qu, Pas Pas. P,, deviendra une fonction
de H, qu, qe, + Qu: Pas Pas .… p,_. C’est ce qui arrivera pour la
fonction &.

Or, si nous distinguons par un accent les dérivées prises dans
la nouvelle hypothèse, nous aurons :

DIU AN AE OP TAN
Ps Pi OP, Pi
M ES PU du}
dq; di ph dqi

D'autre part, si nous remplaçons dans l'équation :

H — ,

p, par sa valeur, cette équation devient une identité; par con-
séquent, On a :
0H oH op,
| ———

Pi Pa s]
}
|

(2)
0H doH op,

= + — = (.

QE dpy di

Donc, oH

A TO TE ANA ct
——. — —+- ——— ——

pe Pi Pad Pi Pa VE

p,

2H
d d'E dd pp, dE dE qi
YEN di dy di Fe dqi 4 p, H

Pa

Remplaçant dans l'équation (1), il est facile de voir que les
termes qui renferment de se détruisent deux à deux, et il reste :

dH DE 0H 0% dH 0 3H DJ'E
us Fate ‘én me ‘us +

+
di Pi da Ùqu dQn Pn ÙPn IQ

— — — — ===
.

Si nous FRE les deux membres par — en , €t Si nous
observons que D est nulle, puisque les dérivées affectées d’un
accent se rapportent à l’expression de &£ ne renfermant plus p,,

il vient, en vertu des équations (2) :

dp, dE dp, d'E dp, LS d'6
+ : — +
Qu Pa Pa dgs pe. 1Quu dq,

c’est-à-dire,

= 0) HR dp, d
1 \dg; dp; dpi dq: dq
ou bien, en supprimant les accents qui sont devenus inutiles :
dp, d dp, d )
DÉPE qu (3)
dqi Pi dpi 4: qn
En appliquant les mêmes calculs à l’équation :
(H, G)= 1,
il vient :
+ s (7 GNT, = = dG 1
dgi Ps Ps 0 a M
dp,
et, en observant que l’on a :
D
5H
dp,
on obtient l’équation :
dp, dG G G )
See LE se (4)
dqi dis dpi di 4, dH

L’équation (3) a les mêmes intégrales que l’équation (1), à
l’exception de celle des forces vives H = h. C’est cette équa-
tion (3) qu’il faudra intégrer lorsque l'intégrale des forces vives
sera seule connue.

444. Supposons ensuite qu’outre l'intégrale des forces vives :

H — h,

( 254 )
on connaisse une autre intégrale :
a pifqus Gas + ns Pis Pas ee Pr):
Si l’on exprime qu’une fonction :
GC [qu es Qu Pis Pas + Pa)»
donne identiquement (théorème de M. Bertrand) :
(ci, E) 0,

nous aurons une équation de la même forme que l'équation (1) :
[da da À
(4, DD ÈS ©) = 0. (5)
1 \dgi dp dPi dQ:
Cette équation est vérifiée par :
C4; A3, As + Aon_e) H, G,
mais elle n’est pas vérifiée par :
. C— "3,
puisque l’on a :
(a , 43) —= 1:

Cela résulte du théorème que nous avons énoncé ci-dessus
(n° 442), en vertu duquel on a :

(æ « C7) nr Fa
(œu, «)—0, (pour i — 1, 3, 4, … 2n — 2.)
(æ, G) = 0,

(«1 , : H) = 0.

Or, l'équation (5) étant vérifiée par £ — H, on pourra lui faire
subir la même transformation qu’à l’équation (1). Il arrivera ainsi
que cette opération qui a pour but d’enlever la solution connue
£ — H, conduira à deux équations différentes, suivant que £ sera
égal à G, où à l’une quelconque des autres intégrales de l’équa-
tion (5). |

[l résultera donc de là que, si l’on prend la deuxième forme,

die ut ou …

(235 )

c’est-à-dire celle qui correspond aux intégrales autres que G,
on aura éliminé l’intégrale inconnue 5 —G, la seule qui ne
vérifie pas l'équation (1).

Pour transformer l’équation (5), on devra opérer comme nous
l’avons fait pour transformer l’équation (1), c’est-à-dire que l’on

ù .
devra remplacer dans (5) = etc., par les valeurs suivantes :

dH
ù > NA) » D 24.
LE PER SP A 20 M LR AR (OR

di qi pq qi Pa
PA

elc.

Nous aurons ainsi :

n—1 , ’ ’ ! ’ , ’ ’
dard NUE Mar D CHALS/@ dE
- 1 TRNERMRERES RE

TE dq; dP; dpi dqi q, dy , dQn

YA

D, Die d'a) 0H É da OH à
+ —— — — — + | — — — —

DH [A pi og dq op Pr VQn dUn Va

dp,

dax,

dp, Met DH de H ve HS 2H)
LUE

0H [A4 gop opog/ Vi, op, op, 04,
P,
day DC

op, dp, € (0H OH Ho
+ by (en E
a) 1\0q; dP; ps di
dp,
Or, les termes de la dernière somme se détruisent deux à deux ;
en outre, puisque, comme nous l’avons dit précédemment , les

( 236 )

. ! , .
dérivées Lu, Ne sont nulles, les termes qui contiennent ces
dérivées sont nuls, et il nous reste l'équation :

n—1 d'a D'E d'a d't
As
Cu ©) 2 di dpi dPi dq;

d6

dp, 5 Ê d'a 0H . AL EC
É oh 1 VOD; dqi NE dp; 2, 4h

WP,

day

dp, Ë Ê D'E OHODE oH | 0

DER ON ET te a ES
0H

dqi dpi dp; dq 1 Pr dr
dy

sd
(l

ou bien :

dq; dpi dP; qi

5 (5 0e ver ee
Pa LT \0Qi dpi ps di 2h
ù ne 0 d' ù d” )'
dPa LT Qi dpi dpi dqil 0q,

: 2 à NSEre
Mais, le coefficient de _ , C'est-à-dire,

ee É D'EuV de _

(æ; t) = n

1/00, d'a p, d'a d'&
x [2 D LE _ RAD
1 ùq,

dQ5 Ps Pi q;
est identiquement nul, puisque «, est une intégrale de l’équa-
tion (3).

Quant au coefficient de Le, lequel est :
n

OP, 70e d'e
y (Ps Le Ps =) qe
1 \)gi dpi dpi: di )q
il est nul, en vertu de l'équation (3), lorsque £ représente une
quelconque des quantités :

Ays Ass + Aan_e;

( 257 )

au contraire, lorsque & = G, il résulte de l'équation (4), que ce
coefficient sera égal à — Je.

Par conséquent, dans le cas où 5 =— G, le dernier terme de
(y, €) sera :

Il résulte donc de là que la transformation de l’équation ()
nous conduit à la forme suivante :

n—i Le d'E d'a, se ,
4 \aqi ps dpi dqi
lorsque & représente l’une des intégrales :

His go ve Aon_9 3

tandis que, si & est égal à G, la transformation nous conduit
à la forme :
Lie Le dG d'u = d'œ

ds pi pl M

En supprimant les accents, ces deux équations deviennent :

1

"A dos DC day dG
en SANT CPR AIT ET ENCE SR

ds dpi dp: dq:

pOur — @, Ag, .. Oon_o;

0 (6)

———— ()

as fe 2G da — da

gi dq dp:dgi H
On trouverait de même que l'intégrale a, satisfait à l’équation :
"oi a 9 day d
D) (8)
1 \dgi dpi dP; dq;

L’équation (6) est tout à fait semblable à l'équation (1), et elle
aura pour intégrales :

Lis Ass» Aon_2)
qui sont des intégrales du problème, et qui donnent :

(æ di) = (0.

( 258 )

L'équation (6) contient deux termes de moins que l’équa-
tion (1); elle a, comme on voit, les mêmes intégrales que l’équa-
tion (1), sauf «, et H. Cette équation (6) est déduite de l’équa-
tion (5), el l’on voit qu’en éliminant l'intégrale 6 —H, on a aussi
éliminé l’intégrale 6 == G , c’est-à-dire la conjuguée de H.

En résumé donc, l'équation :

(H,t)— 0, (1)
est vérifiée par :
Hg di, ai, 2:

Connaissant, outre l'intégrale des forces vives H— A, une
autre intégrale «, on cherche à déterminer une équation plus
simple que l'équation (1). On détermine une équation, qui est
l'équation (6), laquelle a la même forme que l’équation (1), mais
qui a deux termes de moins, et qui a pour intégrales :

js Ags se. Aon_9:.

En d’autres termes, la connaissance de l'intégrale «, nous
permet de déterminer une nouvelle équation à laquelle satisfont
les intégrales &;, … «, ,. La connaissance de «, permet d’éli-
miner sa conjuguée &,, qui n’est pas une intégrale de l'équation
réduite, et la question est ramenée à intégrer une équation plus
simple que (1).

445. Soit « une intégrale de l'équation (6). On peut concevoir
que l’on complète (théorème de M. Bertrand) la solution du pro-
blème au moyen de l'intégrale «,, et d'intégrales &,, «5, … a»,
qui, avec «;, forment 2n — 53 intégrales de (6), et telles que
l’on ail :

(æs, x) = 0,
pour ë — D, 6, … 2n — 2, mais que l’on ait :

(a; a) = À.
De plus, on aura :
(a &) = 0,
pour à = 5, 4, 5, … 2n — 2, puisque toutes ces intégrales satis-
font à l'équation (5).

( 239 )
Cela admis, au moyen de l'intégrale :

Ë CT e(H, IE UE A ns P15 P2; es Del:
On tire :

Dai = [EL &j; Que Iso ee Ans Pis Das .e. Pn-2).

Si l’on substitue cette valeur dans c,, et si l’on calcule les
coefficients de l’équation :

(9)

qui à deux termes de moins que l’équation (6) et qui aura pour
q q q q P

intégrales :
Xg3 Ass ee Aon_9;

c'est-à-dire que l’on a éliminé en même temps les intégrales
APE
L'intégrale a, satisfait à l'équation :

ds 0 das d
= Lg x 2) =, (10)

À Voqi op dpi 39:
analogue à l'équation (8), mais qui a deux termes de moins.

L’équation (9) a donc les mêmes intégrales que l’équation (6),
sauf à, et «,.

(240 )

146. On peut, comme on voit, au moyen de chaque intégrale
connue, diminuer de deux unités le nombre des termes, et le
nombre des variables. Cette diminution provient de ce que
chaque intégrale connue permet d’éliminer sa conjuguée, qui est
étrangère à l'équation réduite.

On peut ainsi de proche en proche (du moins en théorie)
obtenir une série d'équations analogues à (1), (6), (9), etc., et
l’on parvient ainsi à mettre la solution du problème sous la forme
de 2n intégrales conjuguées deux à deux :

FPE 4 PA

DS Bb

n°?

telles que l’on ait :
(a;, b;) = Î, (a;, ai) Fe 0, (a, bi) — (0.

#47. Voici maintenant comment on doit transformer les
intégrales du problème, telles qu’elles sont immédiatement obte-
nues (*), pour obtenir des solutions des équations (1), (6), (9), etc.

Si l’on connaît une intégrale quelconque £,, indépendante du
temps, on peut poser «, — f,, et rien n'empêche de supposer
que les autres intégrales, qui sont inconnues, forment un système
du genre de celles dont le théorème de M. Bertrand démontre
la possibilité.

On calculera au moyen de l’équation «, — f, les coefficients
de l’équation (6) qui a pour intégrales :

His AG ce Aou 9.

Supposons maintenant que l’on connaisse encore une seconde
intégrale du problème f,, aussi indépendante du temps; cette
intégrale B,, quoiqu’étant une intégrale du problème, peut fort
bien n'être pas une intégrale &, et, par conséquent, on ne peut

(‘) En général, les intégrales obtenues par un procédé quelconque ne
seront pas des intégrales x, c’est-à-dire ne seront pas des intégrales telles
que l’on ait (x;, œy) = 0,

|
+
©
à
î
L
À
L

PTT.

ht iirdés" 4aLi end deb lo die

TL ET TT PE Ie ET

ST

PONT

Li, osé où rt 7

(241 )

pas poser, en général, B; == «,. On ne pourra le faire, comme
nous allons le voir, que si l’on a identiquement :

(Bu; Be) = (as Be) = 0.

Pour continuer l’abaissement, lorsque l’on connaîtra cette
seconde intégrale B,, on formera la quantité (B,, 6), et il peut
se présenter trois Cas :

1° Si l’on a identiquement (6,, 6) — 0, on peut poser :

As — Ba
et l'on formera l'équation (9) qui a deux termes de moins que
l'équation (6);

2 Si (6,, f2) est une constante numérique que l’on peut tou-
jours supposer égale à l’unité, alors B, est la conjuguée de £,,
el ne peut pas servir à continuer labaissement : en effet, la
méthode qui a conduit à l'équation (6) consistait à éliminer de
la solution l’intégrale conjuguée de «,, qui est alors étrangère
à l'équation réduite;

3° Si(B,, B)— 6; est une fonction de p,, ps, … p,, Qi, Qu, + Qn
celte fonction, égalée à une constante, est une nouvelle intégrale
du problème.

On formera les expressions :

(Bi; B5) = Bis (Bis Bo) — Ps
jusqu’à ce que l’on obtienne une fonction :
(Bas Be) = Bi = (M; Bis Bas + Br),
c’est-à-dire qui soit fonction des précédentes et de H.
On cherchera alors une fonction :
S(H, Bi, Br, … Bi),

(Bi; 5) = 0,
et l’on trouvera l’équation différentielle partielle linéaire :

telle que l’on ait :

ds ds s dœ
= a _— Ho + ——
Bs d8 Be 8 k dB

16

(242)

Cette équation nous permettra de trouver £ — 3 intégrales
du problème, fonctions de B,, G,, … f,, et de H, et dont l’une
quelconque peut être prise pour l’intégrale «;. Les autres satis-
font à l’équation (6), et pourront être employées pour l’abaisse-
ment de cette équation, de la même manière que les premières
ont servi à l’abaissement de (1).

448. Nous avons vu comment au moyen des intégrales qui
sont connues, on peut abaisser l’ordre de l’équation aux dérivées
partielles du problème. Cette ressource épuisée, nous allons voir
l’usage que l’on peut faire des équations réduites pour continuer
l'intégration.

Si, par exemple, on ne connaît pas d'autre intégrale que «,,
on appliquera à l’équation (6) la méthode qui nous a servi à
former l’équation (3), c’est-à-dire que l’on éliminera p,_,, expri-
mée en fonction de æ«, H, qu, qe, ... Qu, Pis Pas ce Due.

On opérera de la même manière sur les équations (7) et (8),
et l’on aura ainsi :

F2 HODEs DC 0D, 1 db dC
ne em «u)
1 \ dqi Op; dpi dqi dn-1
ee das ns DD 4 = day Ps dPne1 À (12)
1 dqi dP: dP: dq: dUn-1 da |
|
2 op, 1 dG dp, 1 dG dG dD, 4 D
SE mu, 6 mm (5
1\ 0: dp: dP; 4; dYn_1 da 0H |
Or, il est facile de voir que l’on a :
dPh-à da SAUT dPr 1e
do “OH

En effet, de l’équation :

s a = (H, Pis Pos *'" Pn-1s Yi Ts ve (AE
on tire :

Pn1 = AC H, p;, Peas ve Pn-2s is Tas ve An)

Mais, si l’on remplace dans le second membre de cette der-

(245)

nière équalion «, par sa valeur en fonction de p,, ps, … pi,
Qus 2» + ns H, On obliendra une identité.
En différenliant cette identité par rapport à H, il vient :

dPn -1 dPn-1 dx
No — =
dH day dH

L’équation (15) se réduit donc à la suivante :

(14)

n° _ dG dPa_1 ss dG dPy_

dqi dpi dpi; di dQu-1 TR dH

Nous pouvons encore transformer les équations (3) et (4), en
remplaçant la variable p,_, en fonction de «,, et l'équation (3)
nous donnera deux équations différentes, suivant que & sera égal
à &, ou à une autre quelconque des quantités &;, @,, … œn_o ().

On obtiendra ainsi trois équations analogues à (11), (12)
et (14) avec cette différence que p,., et q,_, seront remplacés
par p, et q,, et l’on aura :

SR ee mi
1 dqi QE dP; dq; 09» }
LE dp, dX9 dp, =| do dp,

= = = — — =— — ) 16
2 és dp; dp; dq; ùq, da,
n—2 _ dG dp, dG dp, 17)
> dqi dp; ÿ; dp; 04; dqy FA dH

Or, il résulte des raisonnements précédents que l'équation (3)
a les mêmes intégrales que (1), sauf H; l'équation (11) a les
mêmes intégrales que (6), sauf «,; l'équation (15) a les mêmes
intégrales que (3), sauf a, et «.

L’équation (1) ayant pour intégrales :

ki His Any se Aon_9s

(*) Dans cette transformation, p,_1, v, et «, joueront le même rôle que p,,,
H ct G dans la transformation de l'équation (5).

( 244 )
il en résulte que (3) aura pour intégrales :
Lis Ugo Ugo ve Hong
L’équation (6) ayant pour intégrales :
yo Ass Ags eo nn. 93
l'équation (11) aura pour intégrales :

Uss gs or longe

Enfin, l'équation (15) aura pour intégrales :
Ugo gs ve lon_9.

Les équations (11) et (15) admettent donc toutes les deux
pour intégrales «;, &,, … &, +. Ces fonctions, élant au nombre
de 2n — 4, forment la solution complète de chacune de ces
équations, et toutes sont des intégrales du problème. Cependant,
comme g, est considérée comme constante dans l'intégration
de (11), et q,, dans l'intégration de (15), il s'ensuit qu’une inté-
grale de la première, par exemple, ne satisfait pas nécessaire-
ment au problème (*).

En d’autres termes, toutes les intégrales du problème :

LED) LT …. Jon;

satisfont aux équations (11) et (15). Mais il n’en résulte pas
réciproquement que toute solution de (11) ou de (15) est une
intégrale du problème.

En effet, supposons que l’on connaisse :

Ass js + Lana
qui sont des intégrales du problème, et, par conséquent, de (11).

Si l’on pose :
== V(xs, Ugs ve Lon-9 An)»

(‘) Ainsi, q,= const. est une intégrale de (14), et q,-1 = const. une inté-
grale de (15), et ces deux intégrales ne sont pas des solutions du problème,

(245 )

Y étant une fonction arbitraire, cette équation ne sera plus une
intégrale du problème, et cependant elle sera encore une inté-
grale de (11).

Il résulte de là que l’on ne peut pas remplacer purement et
simplement l'équation (3) par les équations (11) et (15), puisque
ces dernières admettent des solutions étrangères au problème,
quoique l’on puisse former leur intégrale générale uniquement
avec les intégrales de (1) et (3).

Nous pouvons remarquer que les intégrales du problème sont
les seules intégrales communes aux équations (11) et (15).

449. Nous allons maintenant montrer quelle est la marche
à suivre pour résoudre la question.
Supposons que l’on connaisse les deux intégrales :

H = (di; CE .. Qno Pi» P2 CA LA)
y = /fi(qi, es «Un: Pis Pos « 0)

Résolvons ces deux équations par rapport à p, et p,_,, et cal-
culons les coefficients des équations :

n°2 d ta dE d Le dE dC

neue es on (11)
1 | dg: op; dpi Ùq; dQn-1

ET DD A FAN DE NA
re enr (15)
1 dqi dp; dp; 04; dq,

Cela posé, cherchons à intégrer l’une de ces équations.

Soit €, une intégrale de la première, par exemple ; rempla-
çons € par &, dans la seconde (15). Si le premier membre est
identiquement nul, 6, sera une intégrale du problème.

Si le premier membre de (15) n’est pas identiquement nul,
soit Z, le résultat de la substitution. Je dis que Z, — const. sera
une nouvelle intégrale de (11). En effet, d’après la théorie des
équations différentielles partielles linéaires, &, doit être de la
forme :

Gi —= g(ts; Ag vo Aon—9» An).

(26 )

Si nous remplaçons & par cette valeur dans l'équation (15),

nous aurons à remplacer SE se, etc., par les valeurs suivantes :
d61 di da dCi done
— =— — Ho + ——— 2]
dp; da dp; dgn-2 dpi
dy dE d4s des done
— = — — Ho + »
qi dA3 dqi dans dQ;
dE, di das di dxon-2 de
= Son! <= = .
ùq, da dq, done ÙdUn dy

Substituant dans le premier membre de (15), il vient :

pe | 5 (eme 2
1 )q

dt di dp; dp; dqi

AIO Pi CT dp, d da
mes FE —
day [1 \0g: dpi dp; dq: dy

Na = dp, dan 2 dp, dX2n —2 dAgn-2
De +
dton-9 1 dqi dpP; dp; qi dq,

De

+
NA
Or, tous les coefficients du second membre sont nuls, puisque
As» y … A _s SON des intégrales de (15), et il vient :
dt
Z; — = ù
dqn
Mais, = sera une fonction de &,, @,, .…. do 2 ns puisque #,
est une RAT de ces quantités. Par suite, jet ou Z, est une
intégrale de l'équation (11). Cette intégrale en Re d'autres,
soit par une nouvelle application du théorème, c’est-à-dire en
remplaçant dans (15) € par Z,, soit par la combinaison de Z, |

avec €, pour former la fonction de Poisson : |
|

(£ [E] Z;). }.

à

Nous aurons ainsi une série d’intégrales distinctes de l'équaz
:

)

i

k

(247 )

tion (14), dont le nombre sera limité au plus tard lorsqu'elles
formeront la solution complète de (11).

Nous pouvons donc considérer ces intégrales de l'équation (11)
comme formant un système canonique partiel :

is Ua; … (UE

PÉORIE FRRRREN PR
c’est-à-dire tel que l’on ait :
(a;, b;) = 1, (a;, D) = 0, (a, dr) = 0,

pour des valeurs des indices comprises entre 1 et k, le nombre k
pouvant d’ailleurs être égal ou inférieur à n — 2.

Cela posé, si nous remplaçons successivement dans (15), 6 par
a, bi, @, b,, … à, b,, nous cbtiendrons des résultats qui seront
des fonctions de ces mêmes quantités seulement et de q,; sans
cela, d’après ce que nous venons de voir, ces résultats fourni-
raient de nouvelles intégrales de (41), ce qui n’est pas possible,
puisque nous avons épuisé ce procédé qui nous à fourni les
intégrales a,, b,, … a,, bi.

Désignons ces résullats respectivement par A,, B,, A,, B,, …
Cela posé, je dis qu’il existe 24 intégrales du problème qui sont
des fonctions des variables a et b, et de q,; en effet, si nous
substituons dans (15) :

= #(u, bi, @, be, a, Le, Anh,

et si nous exprimons que le résultat est nul, il est facile de voir
que l’on a :
dE de de de dt

da, s db, #i BE ; dux CA ; dk 0q,

Or, cette équation différentielle partielle admet 2% intégrales.
Ces 2k intégrales sont des intégrales du problème : en effet,
elles satisfont à l’équation (15); en outre, elles sont des fonctions
des variables a et b et de q,, done, elles satisfont aussi à l’équa-

( 248 )

tion (11). Ce sont donc des intégrales communes à (11) et (15),
et, par conséquent, des intégrales du problème.

150. Il est facile de s'assurer que l’équation (18) a précisé-
ment la même forme que les équations (3), (11) et (15), c’est-
à-dire que l’on a (n° 451) :

dL dL
A. —; B,—= — —;

t
e dd,

L étant une fonction de a,, a,, … a, b,, b,, … b, que l’on déter-
mine par une quadrature.
L’équation (18) prend alors la forme suivante :

1e dE dE 2 d6

— = D = —— + ——
04h

db, da, da, db, En (19)

1

Cette dernière équation n’admet plus d’intégrale étrangère

au problème : elle est, au plus, de l’ordre n — 2, c’est-à-dire

du même ordre que les équations (11) et (15). Elle peut être

d'un ordre inférieur, suivant la valeur de k, c’est-à-dire que

l'intégrale &,, étrangère au problème, permettra d’abaisser son
degré.

451. Proposons-nous maintenant de démontrer que l'on a :

à cet effet, nous allons prouver que l’on à :

dA, DA

ANRT A

En différentiant par rapport à q, l'équation :

dd; da dus dd
qu, a)= 3 ( UE, Are le

al: 2 qi ps pi dq
il vient :
É d'A da) d'@ | (= d'a, da 4 (20)
À —————…. ——— —— — —— — ——_— — — . -
dgi pi pi QG NI VndPi Pi VndGi

|
|

( 249 )

Or, A, étant le résultat que l’on obtient en remplaçant € par a,
dans l’équation (15), il s'ensuit que À, est définie par l’équation :

CERTA Vars
d91 Pi dPa ÙQi dn2 dPn-2 dPn-2 Vn-2 4,

D, da, dp, REX 0p, dy “ Pr di À dd,

du dp, da dp,
1 qui qi 0 ph

On obtiendrait de la même manière les dérivées :

da d°Qe

? ,
dq,dP; 04,04;

en opérant sur l'équation qui définit A,, c’est-à-dire sur le
résultat de la substitution de a, à la place de & dans l’équa-
tion (15).

Substituant dans l’équation (20), on a :

(a, A2) Æ (az ; Ai).

En effet, il est facile de voir que, par cette substitution, il ne
reste que les premiers termes des dérivées ne et a éic.,
tous les autres termes se détruisant. Ainsi, si nous cherchons
d’abord ce qui multiplie une des dérivées secondes de p, , par

exemple Je SE , nous trouvons dans le premier membre :

dd das dA 1

dqi dpi dqi pi

( 250 )

et dans le second membre les mêmes termes avec les mêmes
signes.

Si nous cherchons ensuite le coefficient d’une dérivée première
de p,, par exemple le coefficient de de, nous trouverons que
ce coefficient est, en faisant passer tous les termes dans le pre-
mier membre :

Le d°@> da 4 dd d°@ d43 =
4 qi PAP Pi: dPi di dqP: di dpi

Or, cette expression est précisément la dérivée par rapport à p,
de (a,, a) : cette somme est donc nulle, puisque (a,, a;) est
identiquement nulle. Par suite, l'équation (20) se réduit à :

(CE A;) = (as, Ai). (21)
Mais, À, étant une fonction de a,, b , … a, bs, q,, On a:

dA; dA» dAe
&, À) = (&, &)— + (au, b)— += —;
( 1 2) ( 1 &) a, ( 1 ) 5b, 5,
puisque tous les coefficients sont nuls, excepté (a,, b,) qui est
égal à l’unité (n° 449).
De même, on a :
à
(as, A)= =;

par conséquent, l’équation (21) nous donne :

As DA,

db, db,
On aurait de même :

A, )B,

db, da,

le signe — provenant de ce que, si l’on a (a,, b,) —1, on a
(b, ; (1) — — 1. .
152. Remarque. — Nous avons supposé que les variables a

et b formaient un système canonique; mais, ce système peut
être incomplet, Si la variable a,, par exemple, n’a pas de con-

ne en à de DE Se

lines fist

( 251 )

juguée, c’est-à-dire si l’on s’était trouvé arrêté avant d'obtenir b,,
on aurait pour tout indice #, compris entre À et k — 1 :

(ar, a) = 0, (a, b;) = 0.

On en déduirait, par la méthode qui précède :

c’est-à-dire que À, serait une fonction de a, et de q, seulement.

L’équation (19) devient alors :

Cat _ d6 dL . d€ dé
— + ——0,

+
#1 \0b, da; da; db, dr 0,
La
et l’on en obtiendrait une intégrale en intégrant l'équation du
premier ordre :
dE

+ — — 0.
dy à

À,

453. Quand on connaîtra la moitié des intégrales du pro-
blème, les équations telles que (11) et (15) deviendront illusoires.
Il ne nous restera plus alors à trouver que des intégrales conju-
guées, lesquelles seront données par les équations (4), (12), (14),
(16), (17), etc., qui se réduisent à :

ù LE) Jp, dA3 dn- 1
da da, Ur A da
dG AMC. © dPn-1
VAR C. OC OPICEONSET SN

Les sommes ont disparu, puisque la connaissance de n — 1
intégrales autres que celle des forces vives a fait disparaître
successivement un nombre de termes égal à 2{n—1)—2n — 2.

Des équations qui précèdent, on tire :

dpi

ù
das = — | ls dq») ?

VE
qi + — ds + +
day d&

dx

expression qui est une différentielle exacte.

( 252)

On peut donc calculer les intégrales conjuguées par les équa-
tions suivantes :

, ù
a—— f pe dqi + + Pe dg,), |
t dx du,

__ fl eu)

AUS es PS das dq)» (22)
228 1 WT dy |
— Th. É dq: + EH dq, |

Mais, ces équations peuvent être mises sous une forme plus
simple; en effet, nous avons supposé identiquement nulles les

quantités telles que :
(as 45) = 0, ®

qui résultent de la combinaison deux à deux des intégrales
di, Æss Ass ee Œm_se Or, M. Liouville a démontré (n° 34) que,
dans ces conditions, l’expression :

Pidqi + padqs + ++ + p,dq,,

est toujours la différentielle exacte d’une fonction de q,, ga, … q,(°).
Donc, en désignant par V celte intégrale, on pourra écrire les
intégrales (22) sous la forme suivante :

dv V dv
Qi LS NT GR PES PER (25).

dt das dH
154. Remarque I. — Ce résultat est d’ailleurs conforme au
théorème de M. Liouville (n° 738). En effet, d’après ce théorème,
on sail que, connaissant la moitié des intégrales du problème,
satisfaisant à la condition (x,, «,) — 0, on peut tirer des inté-

grales connues les valeurs de p,, p,, … p,; la quantité :

pPidqi + psdqs + +. + p,dq,,
est la différentielle exacte d’une fonction V.

(*) En effet, 4,, 43, as œ»,-5, H forment la moitié des intégrales du
problème.

(255 )

Les intégrales qui complètent la solution du problème sont
alors données par les équations :
dV dV dV
raie ET NUE CE . de
155. Remarque II. — Nous avons supposé jusqu'ici que le
principe des forces vives était applicable, c’est-à-dire que la
quantité H ne renfermait pas explicitement le temps : c’est ce
que Bour avait supposé dans son mémoire. Mais M. Liouville (*)
a fait remarquer que la théorie de Bour s'étend au cas où l’on
considère les équations canoniques, abstraction faite de la dyna-
mique, c'est-à-dire lorsque H est une (EGHOR de did,
Pi Ba, rh Da
En effet, l’équation qui exprime que « est une RES des
équations canoniques, c’est-à-dire que la dérivée totale % 7 Est
nulle, en vertu des équations canoniques, est :

da dH dæ dH =
— 0

D ei

dq; dp; dP; dq:

Or, cette équation a précisément la même forme que les équa-
tions (3), (11), (15), (19), …

Toutes les équations sont ramenées à un type uniforme,
H et £ jouent ici le même rôle que deux variables conju-
guées ps, qi.

Si H est indépendant du ne t, le problème admet pour
intégrale H— const., de même qu'il admettrait pour intégrale
p; = const, si H était indépendant de g,.

(*) Journal de Liouville, t. XX, p. 156; Rapport de M. Liouville.

XXII.

Variation des constantes arbitraires dans les problèmes
de mécanique.

456. Supposons que la fonction H puisse être décomposée
en deux fonctions H, et Q, de sorte que les équations à intégrer :

dq: dH
ne | (1)
dp; FA dH
CNET
deviennent :

dq: 0H, àQ

de 5 + db;

dy, dE D (2)

PTE

Supposons que les équations canoniques :

dgi dH,
CA :
up, dH, (5)
de

puissent être intégrées, et soient o,, 4, … 2,,, les constantes
d'intégration, telles que l’on ait :

mp (tigres Ge PE 5 Pi) (4)

La fonction Q est, en général, très petite par rapport à H, :
on l’appelle fonction perturbatrice. Les équations (2) s'appellent
les équations du mouvement troublé; les équations (3) sont les
équalions du mouvement non troublé. Dans la plupart des cas,
la fonction Q ne dépend que des positions des points mobiles,
c’est-à-dire des variables g,; elle est indépendante des p..

(255 )

Nous considérerons le cas général où la fonction Q dépend
des p,, qg; et de t.

Nous supposerons que les intégrales des équations (2) aient
la même forme (4) que les intégrales des équations (3); mais
nous supposerons que les «, qui étaient constantes dans les inté-
grales des équations (3), c’est-à-dire dans le mouvement non
troublé, deviennent des fonctions de £ dans les intégrales du
mouvement troublé (2). Ainsi, d’après cela, les dérivées de p,, q;
par rapport à {, en considérant les «, comme des constantes,
salisfont aux équations (3), tandis que les dérivées, prises en
considérant les «, comme des fonctions de f, salisfont aux équa-
tions (2).

457. Nous nous proposons de déterminer à quelles fonctions
de t'il faut égaler les a; pour satisfaire aux équations (2).

Nous allons d’abord démontrer une formule due à Lagrange
et dont nous aurons à faire usage.

Des 2n équations (4) :

a = p((, Qis Pi),
on tire :

Pi= y(t, a) ; |

VE UAUA CAE \

Mais, les équations (2) nous donnent :

dp;, di dP;

D'ailleurs, des équations-(5) on tire, en considérant les «;
comme des variables, fonctions de 1 :

dg; dq: dqi day
DE LE > er
par suite,

dQ q:; > dq; dax dH,
—+- .
day dt dp;

( 256 )

Or, ue est la dérivée de q, par rapport à £, que l’on obtien-
drait cu 'eonsidérant les «;, comme des constantes : c’est donc la
dérivée de q; qui satisfait aux équations (3), et l’on a, par con-
séquent, en ayant égard à ces équations (3) :

1Q di dur
pi À de dt?
de même,
1Q dp; day
PA NET

D'ailleurs, puisque Q est une fonction des p,, q,, lesquelles
sont des fonctions des &;, on a :

1Q ne 0p, dQ 2
— — — — + — — |;

dx dp; dx dq; da

d’où, en remplaçant © © par leurs valeurs, il vient :

072
10 S cu dp; dpi à das
ae dede dde) dt

et, en posant (n° 440) :
à [dq: ps dps 6
FA EE" É CN 2e)
da dæ d2k dx

on à la formule :

—— 2 po (6)

C'est la formule de Lagrange : le signe Y se rapporte à l’in-
dice k, tandis que « est un élément déterminé.

158. PROPRIÉTÉ. — Il est facile de démontrer que l'expres-
sion [o,, «] est une fonction des éléments seulement, c’est-à-dire
qu’elle ne renferme pas explicitement le temps.

Le Lo à « »-

( 257 )

On a donc à démontrer que l’on à :

d[ ar. a] 22

d

0.

A cet effet, reprenons l'expression :

D HAE

day, dx

[ae a] =

da, da

en

dax dx dog dx

On a évidemment :

M er A
[as a] = 3
œ
dqi dq9
D Fo eur en
dæ
7
_ par conséquent,
(» Te dQ2 F4
d[cx, x] ÿ k LE LT
SIP AT dad
UT dq2
> (p QUE 2
dx da
dat

On a d’ailleurs :

dq dH,
qi =— a == =. ]

dp; dH,

dE 1.7 00:

ES

( 258 )
par suite,
dqi ds Me)
ù —- a —— Le
( day N day Pa day
dt
Rae
di dax ds do dq, do
dqi dq2 “|
+ (+ LEP M Par,
dH, dH, dH,
dpi ù dp,
— —— +
a day day Ga Pa day
[oH, à dH, ) dH, )
ee EE
dQ1 d%y dQ2 da dq, d%%
dH, dH, dH,
PRE ip, n
= _ + Da Eu + + D, _
k k #
Æ dpi dH, dp» dH, |
dpi dx dPo day dp, dax
È dpi OH pe dH, pe]
— — — —+- —— —— — —
dpi dax dDa da dp, da
dH, ) ds dH, 0
-Êr.e que. = de)
di da dQe dax dq, dax
N dH, dH, =
à dpi ‘ dP: " ë NZ dH,
NE day day
dH, dH, dH,
d [Pi — + Pa + ee + p, — H,
dpi dPe ù n

dt

( 259 )

Si l’on différentie de nouveau par rapport à «, on obtient une
expression dans laquelle on peut changer «, et « l’une dans
l’autre. On a donc :

ù dc

> (pa Len, de)
day dk day

dadt

ù dQ: ù

3? (pi + ni À + + Ph ei
ù dæ da

# dat

par suite, le second membre de l’équation (7) est identiquement
nul, et l’on a :
d[æ, a] es

0
ot j

ce qui démontre la propriété énoncée.

459. Remarque I. — On peut encore démontrer la propriété
précédente d’une autre manière. A cet effet, nous ferons usage
d’une formule qu'il est facile de vérifier.

Soient p,, q;, des fonctions des trois variables &, 6,4, il est
facile devoir que l’on a identiquement :

Le, 8] 8,1 A)

= + +
dt dæ dB

Pour appliquer cette formule au cas actuel, supposons que les
quantités q;, p, soient des fonctions telles que l’on ait :

d4; dH,
dt dp; =.
dpi oH, 6)
Arr

; : 0H, 0H _ r
lorsque l’on remplace dans les expressions 3", =, les quantités
p et q par leurs valeurs en fonction de à, f, { et des autres

éléments.

( 260 )

Cela posé, on a :

(e, q = RAR Sete
Bd : 0 2p Bat Por
dQ1 0H ps 0H, qe 0H, op: dH,

26 4: dB op: dB dqe dB dPe

de même,

par conséquent,
[8,14] ft,
(0 Je,
dæ dB

Par suite, en vertu de l’identité précédente, on à :

dr, À _

,
dE

ce qui est la propriété énoncée.

160. Remarque II. — Si &, 6,7 sont trois éléments arbi-
traires, et si l’on remplace t par y dans l’identité ci-dessus, on a
la relation :

dx, 6 ù ù a
Le. 61. AB] nd,
dy dæ dB

461. Proposons-nous maintenant de trouver l’expression
des Le c’est-à-dire les valeurs que l’on obtiendrait en résol-
vant les équations (6) par rapport aux LE,

Des équations (4) :

È RE ol, is Pi);
on Lire :
dx da dx dq; dx dp,
ns + D (+ ep),
dt ot dq; dt op, dt

h dqi dp, .
ou bien, en remplaçant %, 7, par leurs valeurs (2) :

— = — + — ——_——— ee
dt \

dx dx y Ë AH, +Q) dx d(H, + "|

( 261 )
ou bien encore, d’après la notation de Poisson (n° 69) :

dx da H à
72 pr 1 + )ke

Or, si l’on suppose Q — 0, x est une intégrale des équa-

tions (3), et l’on a :

Ca
FE ,

ou bien :

Par suite, en soustrayant, il vient :

dx

DORE” Q):
dt (es 0p

en développant le second membre, on a :

da e A dx _
dt di dpi dP; d4:
et, si l’on remplace à par leurs valeurs :
1n DO day es
pr da M
a 1Q da
dq day 0q,
il vient :
da dQ
—— D — (x, a). 8)
di > | ° x) (

Cette formule est due à Poisson. Elle permet de déterminer
dy ; y + An, EN fonction de t ; le signe Z se rapporte à l’indice k.

(*) C'est la formule que noûs avons trouvée précédemment (n° 402).
(‘*) & étant considérée comme une fonction des x, lesquelles sont des
fonctions des p;, q;.

( 262 )

162. PROPRIÉTÉ. — Il est facile de s'assurer que Les coeffi-
cients (x, ,) sont de simples fonctions des éléments seulement,
c’est-à-dire qu’ils ne renferment pas explicitement le temps.

On a donc à démontrer que l’on a :

A cet effet, reprenons l’expression :

dx day dx =

Ce

qui nous donne :

(9)

Or,

TAN 20 EEE De PORT À da dy
dl 24 os ma ;
M dqt ar qu Ù dQPu

d’ailleurs, les équations (3) du mouvement non troublé nous
donnent :

dr dH,
NA Ta
dPyr dH,
SORT
par conséquent,
à da
| dqi dx k=n dx dH, dx _
—— — + ————© © — ————— —— ,
dt dqidt kr=1 dd xr dPxr dd Par dQyr

, da
pes
dp; dx = d'« 0H, dx =)
— — -+- + CS ES mme .
dt dpadl = PDQu dr dP Par dr

( 263 )

D’autre part, on à :
dx
jt + (x, H,) — 0,

ou bien :

dx ‘©" {dax 0H, dx dH,

er Ÿ LME MORE rEe

ol kr=1 dur dPyr dP gr dr

Différentions cette équation successivement par

à q;, p;, il viendra :

940 rr dPr d4idP kr dqr
SES Es dH, da d’H,
+

dx dH, do dH4
— Rret

dur dQDPr dPrr à d: 7

k1—1

= E

el
EN 7 Hi dax dH,
2e =
dPE gr PDG Pe dPdPyr qu

+

k=n ue >H, dx YH, |
dar DD: Pr dPr dPd4 kr

kr—1

rapport

Retranchant ces deux équations respectivement des deux

précédentes, on a les deux équations :
dx
D ed LM
6 AI ÿ dx d'H, dx DH, |
=. + — ?
dYxr dGd Pr dPrr dqdw

D =
da
D
DH Es dx d'H, dx H, |
ARR, dote pure .
dQxr dP;dPar dDrr dPdGxr

dt kr—1

Multiplions la première par . la seconde par

DE el
dqi

retranchons, puis faisons la somme par rapport à l’indice à.

Nous aurons ainsi la valeur de l’expression :

( 264 )

Or, il est évident, puisque les indices : et k' doivent recevoir
toutes les valeurs 1, 2, … n, que l’on obtiendra la même valeur
pour l'expression :

| ù
co [dx dg dx _dp,

pp, À dq; à

i=AÂ

Par conséquent, le second membre de l'équation (9) est iden-
tiquement nul, et l’on à :

dx, ax) 2 0,
dt

ce qui démontre la propriété énoncée.

163. Remarque I. — Cette propriété résulte d’ailleurs de ce
que les équations (8) peuvent être obtenues par la résolution
des équations (6). Il est évident que si les coefficients [x«, «| ne
renferment pas explicitement le temps, il en sera de même des
coefficients (x, o).

164. Remarque II. — Remarquons aussi que les formules
perturbatrices de Lagrange et de Poisson (6) et (8) ne changent
pas, si la fonction H,, outre les q,, p,, renferme explicitement
le temps. Dans ce cas encore, les expressions [«, «,] et (&, «)
sont des fonctions des éléments seulement.

165. Si le système est tout à fait libre, et si l’on prend pour
les variables g, les coordonnées rectangulaires elles-mêmes, alors
les qg, sont les x;, y,, z, et les p, sont égaux à mx, my}, mx.

Il est évident que, dans ce cas, les expressions :

YH,

dpdPx

L

sont nulles ; les expressions :

"'H,

dpap,

tie te sr ae EE PT ”

( 265 )

sont aussi nulles, excepté pour k'— : : dans ce dernier cas, ces
dernières se réduisent à . Mais alors la formule :

: da
dp; = da d'H, dæ d’H, |
——— — —— _ —— - — — ,
ot = due VPdPer Ver WG:
nous donne :
dx
Ds
dx, dx
MN TA
de même,
da
dy: We da
dl dy;
da
D Feu
dZ; dx
EN DZ,

Ces trois dernières formules ont été trouvées par Lagrange.
On en déduit que, si une intégrale (c’est-à-dire une fonction de t
et des 6n quantités x,, y;, z,, x, y;, z;, égalée à une constante
arbitraire, sans que cette expression contienne d’autres con-
stantes arbitraires) renferme une coordonnée, elle devra aussi
renfermer le quotient différentiel de cette coordonnée par rap-
port au temps (”).

Réciproquement, si la dérivée d’une coordonnée par rapport
au temps n’entre pas dans l'intégrale, ou y entre seulement au
premier degré, multipliée par une constante, la coordonnée cor-
respondante n’entrera pas dans l'intégrale.

En effet, si « ne contient pas x’, on a :

dæ

(‘) Jacosi, Vorlesungen über Dynamik, p. 425.

( 266 )

et si « contient x’ au premier degré, multipliée par une con-

stante, on a :
da

— — const. ;
dx’ É
donc, dans les deux cas,
/ dx
dx”
du ee
par suite,
da
RE à
dx

el, par conséquent, « ne contient pas la coordonnée x.

166. Observons encore que, si le théorème des forces vives
est applicable, F sera toujours une simple fonction des éléments
seulement. En effet, dans ce cas, la solution du problème se
compose de 2n — 1 équations avec 2n — 1 constantes arbi-
traires entre les 2n quantités q,, p,, ne renfermant pas le temps 4,
et une 2n° équation qui donne t ++ exprimé en fonction des
Gi, P:, la quantité + étant la 2n° constante arbitraire.

Si donc x est une des 2n — 1 premières constantes arbitraires,
on aura :

= — 0
d
Sia=— t, On a:
da
+ RER PP Rue | :
ot
en effet, de l’équation :
( ER f\qi Pi),
on déduit :
dr

par conséquent,

|
|
L
|

( 267)

XXII.
Formules de perturbations.

167. Nous avons vu (n° 458 et 462) que les expressions
[æ, 5] et (x, B) ne renferment pas explicitement le temps.
Il s'ensuit qu’elles ne changent pas, lorsque l’on y fait 1 — 0,
et que l’on remplace les variables p,, q;, par leurs valeurs
pour { — 0.

Si donc on désigne par c,, b,, les valeurs de q,, p;, pour t=—0,
on aura :

dc db, dc dba dc, db, |
RES M he (U 2)
dx dB dax dB dx dB
e dy dc db: dc, _
|| SÈURES EE co BE =)
6 dx dB dx dB ùdx (1)
Du DB Da 08 da dB |
de db de, db dc, db,
É Be 06 da :
— — —— —+ + — — |:
db, dCy pers dc, db, DIR |

Il résulte de ces deux dernières formules que, si l’on prend
pour éléments «, G, les quantités c,, b, elles-mêmes, on aura,
pour à et k différents :

(cs b]= 0,0 (cb);
tandis que, pour k — à, on a :

La, bi] = —[h, co] = 1,
(c;, b) = — (bc

Dans ce cas, chacune des formules (6) et (8) {n° 257 et 161),

nel x
5 2
da 5 )Q
—— Ÿ (2,6) —

( 268 )

nous donne les équations suivantes :

dc, 0Q db, de)

PT TANT NE A

des 00 db; de)

PRET LE DR @
den on 40: )Q

me NO M

Ces équations (2) forment un système analogue au système
canonique.

168. Remarque I. — Si dans les formules (1), on fait —6;,

il vient :
dc; : da
[æ b;] = — (æ b;) == —

da ? dc,
si l’on y fait B—c,, on a :

db, da
Lu, &] = Sr (ec RES
169. Remarque II. — Si l’on prend pour les q, les coordon-
nées rectangulaires, et si l’on désigne par a,, b,, c,, a, b;, €;
les valeurs initiales de x,, y;, z,, x, y;, z:, les équations précé-
dentes nous donnent :

dau, da da 0
M——=—, M——=——,
dt da; de da;
db, da db; Ne
M, — —= — M, — = — —
'EXU di db,”
de, dQ de! dQ
m ; os) (net Pere A; ae es (ee em
(MEN TH dt dc,

Ces formules ont lieu même dans le cas où la fonction Q
renferme les p,, c’est-à-dire les x, y;, z;

120. La théorie que nous venons d'exposer nous permet

ait ant nt.

( 269 )

d'obtenir les éléments en fonction du temps de la manière
suivante : :

Exprimons Q, au moyen des formules du mouvement non
troublé, en fonction des éléments b,, … b,,c,, … ©,; remplaçons
ensuite les quantités b,, b,, … b, par les expressions :

WoW W
dc; * dCo “a de, 4

el formons l’équativn aux dérivées partielles :

dW
— + A —
dl

Si West une solution complète de cette équation, renfermant,
outre la constante addilive, n constantes arbitraires o,, à, … a

n?

les équations :

)W oW
—= D . —= (es
dc, dc,
dW 2W
d&y F4 L 4 da, Fe

dans lesquelles É,, :, … B, sont de nouvelles constantes arbi-
traires, sont les intégrales qui détermineront les éléments
variables.

221. Nous avons vu (n° 467) que, si l'on choisit comme
éléments les valeurs initiales des quantités q,, p,, les équations
différentielles qui déterminent ces éléments prennent, dans tous
les problèmes de mécanique auxquels le principe des forces
vives est applicable, une forme simple analogue aux équations
canoniques.

Or, les valeurs initiales des p,, q, ne forment pas le seul sys-
tème d’éléments dont les équations différentielles ont la forme
canonique. Nous nous proposons de voir comment l’on pourra
tronver les différents systèmes d'éléments pour tout problème
de mécanique auquel le principe des forces vives est applicable.

( 270 )

Cette question se résout par le théorème suivant, qui est de la
plus grande importance dans la théorie de la variation des con-
stantes arbitraires.

172. TaéorÈme. — Soit H, une fonction de t et des quan-
tités q;, pi, et soient :

dqi = dH,
de
dp, ds oH,
AT qi

les équations différentielles du problème non troublé, desquelles
on déduit les équations différentielles du problème troublé, en
remplaçant H, par H, + Q, Q étant une fonction quelconque des
9n quantités q;, p;, et de L.

Soit W une solution complète de l'équation :

2W

[012

+ H, 0,

dans laquelle les p, qui entrent dans H,, ont été remplacés
Soient a, a, … ,, les n constantes arbitraires qui, outre la
constante additive, sont contenues dans W, et soient :

dW 2W dW
ur —= pi , da +" #9 a lepe VA — Bus

les intégrales du problème non troublé, B,, B,, … fi, étant de
nouvelles constantes arbitraires.
Si, au moyen de ces équations et des équations :

)W 2W dW
—= pa" à — D9s .… 2 n9
qi 2. dqa / YA P

on exprime la fonction perturbatrice Q en fonction de t, et des
éléments o;, B,, et si l’on considère dans le problème troublé ces

RS... nt dés.

(271)

éléments comme variables, on a, pour déterminer ces éléments
les équations différentielles :

da, 1Q dé, da
PORTES de 4
da d9 1 \df : 30
PR GE ei) (5)

da do dB, -210 |

n

dt d6, dt da. |

Dans les formules précédentes (n° 46%) les constantes à des
intégrales du problème non troublé étaient les valeurs initiales
des g;, et les constantes f élaient les valeurs initiales des p,
changées de signe. Dans ce cas, le théorème que nous venons
d’énoncer donne les formules (2) que nous avons obtenues
(n° 267%), et dans lesquelles les valeurs initiales c,, b, des g; et p,,
sont considérées comme les éléments troublés.

Pour démontrer le théorème actuel, nous conviendrons de
renfermer entre parenthèses les dérivées partielles de W consi-
dérée comme fonction de t et des 2n constantes x, 5, et d'écrire
ces dérivées sans parenthèses, lorsque W est considérée comme
une fonction de t, des n quantités g, et des n quantités o,.

On à donc, d’après cela :

2

an dW._ 2W 4 JW 04,
— = — + — + ee + —— —
day dqi day ùgq, da,
_ d2W 9q: dW 24,
= +... + ="
dPx OUR dPx WP dPx
ou bien, en vertu des intégrales du problème non troublé, qui

ont aussi lieu sans altération pour le problème troublé, avec cette
différence que les éléments y sont considérés comme variables,

day

>W do. dqs 4.
| D EE Le pe dE -opaoe
day n7 day day
:
M dq4 NE 29%
I AE ON Che See ET
d6, dGk PA d5k

( 272 )

Or, si , B désignent deux quelconques des 2n constantes
arbitraires, on a :
dqs D dQ2 D dq, d

LM D PP TETE

Ql = —

Le, #1 dx DB da Dax dB
hrs es
x 28 da 08 Da 08

ù ù ù
(n° si a Ps, 1 Der à _
nr dax da
== E 6 PR LENS
ù ù ù
Ver El
26 26 7
Né da.

Faisons maintenant les trois hypothèses :

A — X;; B— 4,
L— Lis B— Lx,
a — B;, B—f4,

les éléments »,, B; ayant la signification indiquée dans l’énoncé
du théorème.

Nous aurons, en observant que les termes provenant de la
différentiation double de W, se détruisent :

Luis] 0, [Bi B]=0, Le, Bi] = 0;
mais, pour £— à, On à :
Las, Bi] = — [Bis x] = —

Par conséquent, pour Ê — 2,, l'expression [+, 5] est nulle,
excepté dans le cas où à — £,, et alors elle est égale à l’unité :

[B:, %] = 1.

D'autre part, pour Ê = f,, l'expression [+, 5] est nulle, excepté

pour &« = à,, el alors elle est égale à — 1 :

Lo, 8] = — Î

«

(275)

La formule de Lagrange (n° 25%):

nous donnera, en remplaçant successivement « par les 2n élé-
ments, les 2n équations différentielles :

1Q dB;

dd ;
dQ da; 6)
M de

et le théorème est démontré.

423. Remarque. — D'après la formule de Poisson (n° 264),
on à :

da )Q
nue (x, B) VE

par conséquent, si l’on remplace sous le signe Y successivement
B par les 2n éléments, il résulte des équations précédentes (3)
que, si l’on prend pour les éléments les constantes arbitraires
4, P; du théorème ci-dessus (n° #72), on aura les équations
identiques :

(2;, 0x) = 0, (Gi, Bx) A 0, (æi, Ba) F5 0,
tandis que, pour k —i, on à :
(a, B:\ NT (Bi; a) —— 1.

Les formules que nous venons de trouver sont d’une grande
importance dans la théorie de la variation des constantes arbi-
traires, et dans l'intégration des équations différentielles du
problème troublé,
Tout système analogue d'éléments s'appelle système cano-
nique.
18

(274 )

134. ProPRIÉTÉs. — Les fonctions de Poisson (a,, a,) dans
lesquelles a;, a, sont deux éléments ou deux constantes arbi-
traires, jouissent encore de plusieurs propriétés remarquables.

1° Elles sont indépendantes du choix des variables q, c’est-
à-dire qu’elles restent invariables, quelles que soient les posi-
tions des points matériels que l’on prend pour les variables q,
pourvu que la signification des éléments n’en soit pas changée;

2 Elles dépendent simplement des deux éléments a,, &,
de sorte que la valeur de l’expression (a;, a,) reste la même,
quelles que soient les constantes arbitraires choisies pour les
autres éléments.

Pour démontrer la première propriété, remarquons que,
d’après la formule de Poisson (n° 464), les quotients diffé-
rentiels des éléments variables sont égaux à des fonctions
linéaires des dérivées partielles de la fonction perturbatrice Q,
prises par rapport à ces éléments, et la fonction (a;, a,) est
le coefficient de _ dans l'expression de LE Pour former ces
dérivées, on doit exprimer Q en fonction des éléments et de £,
et l'expression ainsi obtenue est complètement indépendante
des fonctions des coordonnées des points du système que l'on a
choisies pour les variables q.

La fonction Q peut être une fonction arbitraire de t et des
2n quantités q;, p;, laquelle peut, d’après cela, être une fonction
arbitraire de t et des 2n éléments.

Les fonctions (a,, a,) sont enfin tout à fait indépendantes de
la fonction perturbatrice Q, et sont simplement déterminées
par les formules du mouvement non troublé.

Supposons que, par un choix des variables q, on ait trouvé :

da, A )Q # )Q A )Q k
— = À, — + A; — +... + A,
dt ‘a ‘da ”* Ass

el que, par un autre choix, on ait :

da, 10 Ne dQ

—" = B, —
dt da, das dan

CN
Le]
1
QC

7

on en déduira :

1Q

LME A
( 1 1 da ( 2 2) da; aa Ze ( 2n B;,) de,

= 0,
A,, B,, … A.,, B,, étant des fonctions de t et des éléments
Qi, Q3; LE] one

Comme, dans cette dernière équation, Q peut être une fonc-
tion quelconque de ces mêmes quantités, on doit avoir :

A; == By, As — B:, … AS = b: (4)

Comme les A,, B; sont déterminés uniquement par les for-
mules du mouvement non troublé, et que ces formules du
mouvement non troublé n’établissent aucune relation entre
Gis A, sv An Ct t, C'est-à-dire entre les constantes arbitraires
et le temps £, il s'ensuit que les équations précédentes (4) doivent
être des identités; et, par suite, les coefficients À; sont indépen-
dants du choix des variables Q..

Il est bon d’observer que, dans la démonstration précédente,
nous n’avons pas eu à faire usage de la propriété que les coefñ-
cients À, sont indépendants du temps.

La seconde propriété des fonctions (a;, a,) résulte immédiate-
ment de la formule :

dd; day da; ddy dd; day
(a, a) = — — +

— — —- .… + — —
gi dpi dQ2 dPa )q, dp,

= day da; da da; _
a EE .
dpi ÙQi dPe dQ2 dPy dQn

Cette formule nous apprend que pour obtenir (a;, a), il suffit
de connaître les expressions de a;, a, en fonction de #, q,, p;,
par conséquent, de connaître seulement deux intégrales du
mouvement non troublé. On n’a donc pas besoin de connaître
quelles sont les constantes arbitraires, ou les combinaisons de
ces constantes que l’on choisit pour les autres éléments, c’est-

(276 )

à-dire quelles sont les fonctions de £, q,, p;, qui, égalées à des
constantes arbitraires, en vertu des intégrales du problème non
troublé, sont prises pour les 2n — 2 autres des quantités
Qi, y dy. Îl n’est pas nécessaire non plus d’avoir trouvé les
autres intégrales du problème non troublé pour obtenir la valeur
de (a;, &). Mais, si l'on veut exprimer (a,, a,) en fonction des
constantes arbitraires seulement, il faudra connaître les autres
intégrales.

175. Les fonctions de Lagrange [a,, a,] jouissent aussi de
la première propriété que nous avons démontrée pour les fonc-
tions de Poisson, c’est-à-dire qu’elles ne changent pas de valeur
quelles que soient les fonctions des coordonnées que l’on prend
pour les variables indépendantes q,, q, … q.

Cela résulte évidemment de ce que les formules de pertur-
bations de Lagrange et de Poisson peuvent être déduites les unes
des autres par la résolution de 2n équations linéaires. Les fonc-
tions [a;, a,] et (a;, a) peuvent donc être exprimées les unes
en fonction des autres; par conséquent, si les valeurs des unes
sont indépendantes du choix des variables g,, il en sera de même
des autres.

Remarque. — On pourrait d’ailleurs démontrer directement
celle propriété en raisonnant comme nous l'avons fait pour les
fonctions (a,, a,) de Poisson (n° 474).

1236. PROPRIÉTÉ. — Les quotients différentiels partiels de la
fonction perturbatrice satisfaisant aux formules de Lagrange,
ne peuvent êlre exprimés que d’une seule manière en fonction
linéaire des quotients différentiels des constantes, par des équa-
tions dont les coefficients sont indépendants du temps.

Supposons que les quotients différentiels du premier ordre
des q, restent invariables, soit que l’on considère dans leurs .
expressions en fonction des éléments et du temps, les éléments
comme constants où comme variables.

(277)

Nous aurons donc entre les éléments et le temps les x équa-
tions suivantes :

di di dd

NL da, + le das + + + I das, = 0,

da, da don

dq de dq2

2 da, + mue das + + + dus = 0,
day d@» don (à)
dq dq, q,

— da, + “43 das “a day, = 0.

day Ua don

Or, en ayant égard à ces équations, on peut démontrer que
l’on ne peut avoir deux équations :

1Q ; da, = da, c das,

2 LE LE PONT

A dE ON de ART
Let

ne) da, das das,

— — D — D a .… D n ,

D a DE eat

dans lesquelles les D, soient différents des C,, si l’on ajoute la
condition que les C; et les D, doivent être simplement des fonc-
tions des éléments a, a, … a, ne renfermant pas le temps,
propriété qui a été démontrée (n° 458) pour les [a,, a].

Si nous pOsONs :

C, a D, = E,, C — D; me E;, .… C, ET D:, = E,,,

nous aurons à démontrer que des # équations différentielles (5),
on ne peut pas tirer une équalion différentielle :

E,da, SE E,da: APA QUE E,, don Fes 0, à (6)

dans laquelle les coefficients E, ne renferment pas le temps ?,
mais sont des fonctions de a,, a, … a, Seulement.

Or, en général, on obtient une équation de la forme (6),
au moyen des x équations différentielles (5), en multipliant
ces équations respectivement par n facteurs N,, N,,…. N,, qui

( 278 )

peuvent être des fonctions quelconques de a,, a,, … à, 1,
et ajoutant.

On a alors :
Ù ù
E, — N, à + N me so + hf Th »
dd, 4; da,
ù ù d0
Din LRN He + N, In,
dA3 da dU2
à à 4,
DEN, JON RESTES
dr LEM dA3»

Pour que les seconds membres de ces équations ne contien-
nent pas le temps #, on doit avoir les 2n équations suivantes :

di da; d&;
à ù 4,
PEN DEN M Eee
dA dA d&
dq/ dq! 4! (7)
M Re CAN ot CORP In,
UE do dA2
ON 4 Ne Nr
dr dan dr
d ù ùqn
+ N, ee BE 2 L ee + N, 1 ?
don dy dan |

» dqi dQ2 q
t— — = — Ts = —
A EE CPE
FR Pere ser Ne ae
dt dt dt

Mais, des 2x équations (7) on peut éliminer les 2n facteurs
N,,N,N,N,,.…N,, N,, et l’on obtient une équation différen-

(279 )

tielle entre les quotients différentiels partiels de q,, qe, «. q,,
dis Es q, par rapport à a,, a, … a,,. Cette équation dont le
premier membre est un déterminant fonctionnel nous apprend
(n° 50) que, entre les quantités q,, ga, «…. Qus Qis Qu, Qu, il existe
une relation indépendante des a,, &, .… a;,, mais qui peul cepen-
dant renfermer la quantité £.

Si l’on remplace qi, q:, … q, par leurs valeurs (3) (n° 156) :

“A
A

on obtient une équation entre les quantités g;, p, et t, sans
constante arbitraire, laquelle équation résulterait des intégrales
complètes du problème non troublé. Mais cela est impossible :
car, on ne pourrait obtenir une telle équation au moyen des
équations différentielles du problème non troublé, que par une
intégration, et cette intégration devrait introduire une constante
arbitraire.

Remarque. — Si, considérant les a; comme variables, l’on
pose les fonctions q, , q:, … q, égales à des constantes arbitraires,
et si l’on suppose en outre que £ est aussi une constante arbi-
traire, on conclut de ce qui précède le théorème suivant :

THÉORÈME. — Soient 2n variables a,, a,, … a,,, et soit l’équa-
tion différentielle :

E,da, + Esdas + + + E,das, = 0;
supposons celle équation intégrée par un système de n équations :
= fe Ca In = Cu

dans lesquelles c,, ©, .… ©, sont des constantes arbitraires qui
n’entrent pas dans les fonctions qi, a, ++. Qu.

Si ces fonctions renferment une constante arbilraire t, tout
à fait indépendante de c,, C,, … ©,, tl doil exister une relation
entre les 2n quantités :

dqi NE qn
Rte et va Ÿ

( 280 )

277. PROPRIÉTÉ. — Les quotients différentiels des constantes
dans les formules de perturbations de Poisson, ne peuvent étre
exprimés que d’une seule manière par une fonction linéaire des
dérivées partielles de la fonction perturbatrice Q, dont les coefji-
cients sont indépendants du temps.

Nous allons démontrer que, même dans le cas ordinaire,
où la fonction Q ne renferme pas les p,, on ne peut pas obtenir
les deux équations :

da; Ne Ne) 1Q
= À, — + À; — + + : VS ,
dt dd; da dr
da, dQ B 0 ; Ne)
— — =, + — Ho hp ——
dt ‘a, * da réa

dans lesquelles les A,, B, sont différents, si l’on ajoute la con-
dition que les coefficients soient simplement des fonctions des a,,
ne renfermant pas £.

Puisque Q peut être une fonction quelconque de a,,&,.…. 4%, £,
telle que, par la substitution des expressions de a,, &, … @,,
en fonction de q,, Qu, « Qu, Pis Pas ve Pur t, leS p, disparaissent
d'elles-mêmes, on peut considérer Q comme une fonction de
Gi, Ags ve @,, t Salisfaisant aux équations :

A da; 0 de 2Q de,

— —+——+e+ — = 0,

JA Pi dAz PP dan dPi

dQ da, dQ d@s dN da,

_— + — —+Hie + = |

dd; dPe ds ù 2 dy dPe (8)
A Da, NN de dQ dus,

— — + + 0 + — =

dd; dP, da dp, d An VPn

Si l’on pose :

A, PE B, = F,, À, HE & B, — F,, …. Ass . EF B,, — Fans

( 281 )

nous aurons à démontrer que des x équations différentielles (8),
on ne peut pas tirer une équation différentielle :

ne No Ne

F, plie F, ——— 0), (9)

du; dd dr

dans laquelle les F; soient simplement des fonctions des a,,
ne renfermant pas t£.

Or, on obtient une équation de la forme (9), au moyen des
équations (8), en multipliant ces dernières par des mulliplica-
teurs k,, k,, … k,, qui peuvent être des fonctions des a, et de 4,
et ajoutant. Nous aurons ainsi les 2n équations :

da du Ÿ du
F, —= k, He + LE a + 0 + 5 : ,
Pi dPe da
da dG da
ET PRO tee 10
dp, dP2 p, (10)
, dy don da
PURE RES RC AP CCE CAR PR
dpi dP2 Pn |

Imaginons q,, 4, … q, exprimées en fonction de a,, … @,, {,
et différentions ces expressions par rapport à p,, … p,, nous
aurons, pour chaque q; les n équations :

Re ON a FE LÉ TRACE à
da Pa JA D dAzn DD
| PEN UN VE (11)
RE AA OU a 0 à Pa LL
dd, 2P, de dp, don Ph
Multipliant les équations (11) respectivement par 2,2%, 2%,
ultipliant les équations (11) resp PAT D Dust 2 ans

et ajoutant, en ayant égard aux équations (10), il vient :

dq: dq: dqi
F, + F, 7 ++ PE, 1
day dA2 don

= 0. (19)

Or, si, comme on le suppose, F,, F,, … F,, sont des fonctions
de a,, a, … a, Seulement, ne renfermant pas {, on obtient,

en différentiant la dernière équation par rapport à £, et faisant

( 282 )

i— 1,2, n, les 2n équations suivantes :

LL

. dqi ùG
F, 2 + 2 os + Fe L = 0,
da; dd ds
ù ù ù
FREE RpiEReRers
dy dA don
ù n ù n nl ù n
p, 7 CLS A q —
da da der
qi qi 4:
CAPLORPE OR CR A OR NE
da; da dan
gs dq: dqs
Fe FL Pis pe ÉRRRE
da, da dan
dq, A
F, 1 + ALLIE + EF cl. —3 ().
dd dG dr

Mais, de ces 2n équations il résulte : ou bien que les F;
doivent être nuls séparément, ou bien que le déterminant des
coeflicients est nul.

Or, si ce déterminant est nul, il existe (n° 50) entre les
quantités q,, q; et t une relation ne renfermant pas les a,; mais
une telle équation serait une intégrale du problème non troublé,
sans constante arbitraire, ce qui est impossible.

On doit donc avoir :

FF. —"#F, —=0,

ou bien :

A, = B,, As — B;,

ce qui démontre la propriété énoncée.

XXIV.

Formules de perturbations pour le mouvement
d’une planète.

478. Considérons un système matériel soumis à des forces
données, et supposons que l’on ait formé les équations différen-
tielles et les intégrales du mouvement.

Si, à un instant quelconque du mouvement, des forces d’im-
pulsion viennent à agir sur le système, après cet instant, les
équations différentielles du mouvement seront encore les mêmes:
les valeurs des constantes d'intégration seules auront changé
dans les intégrales.

Pour obtenir les valeurs nouvelles des constantes, il faudra
calculer la vitesse de chaque point provenant des impulsions,
et, d’après les positions de ces points à l’instant où ces impul-
sions agissent, et leurs vitesses modifiées par les impulsions,
on pourra déterminer les valeurs nouvelles des constantes
arbitraires.

Si un système matériel est soliicité par des forces perturba-
trices , on peut imaginer que l’on remplace ces forces perturba-
trices par des impulsions infiniment petites agissant pendant
chaque instant.

Au commencement de chaque instant, les positions des points
seront les mêmes que s’il n’y avait pas d’impulsions pendant cet
instant, les vitesses seront aussi les mêmes, les accélérations
seules seront changées. Les constantes arbitraires varient de
quantités infiniment petites à la fin de chaque instant, et, par
conséquent, deviennent des quantités variables.

On conclut de là que les formules qui donnent les positions
des points matériels, et les composantes de leurs vitesses reste-
ront les mêmes que s’il n’y avait pas de forces perturbatrices;
mais, les constantes arbitraires contenues dans ces formules
seront changées en quantités variables.

Dans le cas d’un point matériel attiré par un centre fixe, et

(284 )

soumis à d’autres forces perturbatrices, les éléments de l'orbite
qui formaient les constantes arbitraires du problème deviendront
variables.

À chaque instant l’ellipse variable aura pour foyer le centre
d'attraction, elle passera par le point attiré et sera tangente
à la trajectoire du point matériel.

179. Supposons donc que le point matériel soit non seule-
ment sollicité par le centre fixe, mais encore par d’autres actions,
et que la fonction de force soit augmentée de —Q; nous aurons
pour les équations différentielles du mouvement troublé :

dt) HE 0
SF EME died
dt r dx

2
La ON A
dt? T° y

0,

d'z . fuz. 90
— + — + — —= 0 .
dÛ "1 oz
Les équations du mouvement non troublé ont été mises sous
la forme (n° 63) :

dx M, dx’ dH,
TRE AMNRNTT AGENTS
dy dH dy dH,
Ds 0 dr PT
dz dH, dz' dH,
BE Ge di Var

dans lesquelles nous avons posé :
H, — T _— U ,

U étant la fonction de force E, et T la demi-force vive du
point matériel.
Les équations du mouvement troublé pourront être mises

( 285 )

sous la même forme que celles du mouvement non troublé,
pourvu que la fonction de force U soit augmentée de — Q.
Si nous posons alors :

H=T—U+0—H, + 0,

les équations du mouvement troublé seront :

dx dH dx’ oH
AN CU
dy dH dy’ H
TRE AN TOUT A
dz 0H dz' oH
FN CNET EAN

Si nous considérons les équations du mouvement non troublé,
nous avons vu qu’en désignant par S la solution complète de
l'équation différentielle partielle de laquelle dépend la solution
du problème, et par k, b, g les trois constantes arbitraires ren-
fermées dans S, les intégrales du mouvement seront données
par les trois équations :

MAN ANRrT or:
tr, «, élant trois autres constantes arbitraires.

Comme nous l'avons vu (n° 68), 4 est la constante des forces
vives, à l'axe du plan invariable, g la projection de cet axe sur
la normale au plan fixe sur lequel on compte les longitudes,
a la longitude du nœud de la planète, 6 la distance angulaire
du périhélie au nœud, — + le temps du passage de la planète
au périhélie.

Dans le cas du mouvement troublé, les intégrales auront la
même forme que pour le mouvement non troublé, mais on devra
considérer comme variables les six éléments 4, g, b, «, É, r.

( 286 )

D’après la théorie générale, les valeurs de ces quantités seront
données par les formules suivantes :

dh 00 dr 00
DU br 2 MER
dg 0Q dax on
dt re da ! dt rm dg
db ne) dB a
A0 REX Vo

4180. On peut remplacer les six équations précédentes par
l'équation :
dh dg db dr j d

(4 4
du — — 06 + — dh + — 09 +
ï SE TC

d

LE 6.
dt
Or, en désignant par f l'attraction de l’unité de masse sur

l'unité de masse à l’unité de distance, par 2a le grand axe de
l'orbite, par e l’excentricité et à l’inclinaison de l'orbite sur le

plan fixe, on a :
h— D b = V fua(1 — €), g—=bcosi.
a

Nous allons substituer aux quantités 4, b, g, les quantités a, e, à.
En différentiant les formules précédentes, on a :

in — È da,

db — le (1 — €*)da — 2aede À
2b

We : ES
dg = Le (1 — e*) cos i da — Qae cos ide} — bsini di.
On en déduit trois équations analogues en remplaçant la

caractéristique d par d. Cela posé, remplaçons dans l'expression
de 0Q les quantités :

dh, db, dg, dh, db et og,

( 287 )

par ces valeurs, nous aurons :

Reed Te :
du — CRCITS GTA (6 co 17 — ane cos D |
CD fe da de}
Rp PRE 2 —_ __9ge —
+bsini x nu — QE nt

Ro le
ar 2%

ATEN

LT 1e (4 — 6?) da — Qaede}.
2b

re = AE cos | (1— 6°) da — 2aede} — b sin si]

Mais, on a aussi, Q étant exprimé en fonction des quantités

PE COUMIONCAI CE

Ne) )Q )Q 1Q 1Q
dQ = — da + — de + — dÙ + — ÙT + — dx Se
du de d dx d6
En égalant les coefficients des variations da, de, … dans les
seconds membres, on a les équations suivantes :
10 fade fu fe,
1 — — 1

a 2% re À yes « cn! qn)
10 [uae dx fuae de
TA Sen Pen de Ur D
de DÉS Le TE erairs @)
10 d
= —bsiniT (5)
Ne) fu da
= (4)
dr 2a? dt
20 ‘CO CONS 7 du fuae de
ie Pet) cost à de to
ed Te do Ter d (5)
ne) le € , da frae de ;
UN 4720 LE CEE : di G)

( 288 )

On en tire :
da 2a° dN
—_=—— —; (7)
dt [e dr
dax 1 Ne
PRE Ve AR (8)
ge V' fua(i — e?) sin à °!
de a{i—e)dn V1 —e a
EE ç)
dt [ue dt V [pa .e 8
d 1 Ne) cos À è
NN re D (10)
di V/ fual(i — e*) sin à % V/fual1 — e*) sin à
l 1—e* )Q co Ne)
SL TE PE
di Vfua.e % Vfua(i —e)sini
A Re Re (19)
dt. {x a [ue de

Les éléments a,e,i,æ, B et + étant supposés varier très peu,
si on les regarde comme constants dans les seconds membres
de ces dernières équations, el si l’on considère t, qui entre dans Q,
comme seule variable, on pourra calculer ces quantités avec une
grande approximation péndant un temps assez considérable
à l’aide des quadratures indiquées dans ces équations.

181. On peut remplacer la dernière formule (12), qui donne +,
par une autre d’une grande utilité. A cet effet, on remplacera

la quantité + par l’anomalie moyenne :

A=n(t+rt),
dans laquelle :

n = Vu “ae

ion
.

Observons que + n'entre dans © que par À qui le renferme.

( 289 )

Or, si l'on remplace + par À, a entrera dans Q par n qui le ren-.

ferme, et nous aurons :

ne
da + — de + — dù + — JÀ +
de dt dÀ

ë
da
. )Q Pie
Nous désignons par (5) la dérivée de Q
supposant constant À, qui renferme a.
Or, de la formule :
1—n(t+ 7),

on tire :
JA — nôr + (t + rjon

dn
= nt + (f + Tr) — da.
da

a
— da +
dx

2

par rapport à a, en

D'où, en remplaçant 9à dans l’équation précédente, et égalant
les coefficients de da et dr dans les deux membres, il vient :

10 10
— = Ni —
dr dÀ
10 be) 10 dn
—=|—| ++) — —;
da da )1 da
mais, d’autre part, on à :
dx dr (e Es da
—=N+N— + (+ r)— —:
dt dt da dt
Des formules précédentes, il résulte que l’on a :
da 2a* 0 Qa'n 00
A te re (13)
dt fu dr fu dà
dr 2a3Q a(i—e)d0
= = — — + ————— —
dt fu a [ve de
9a° fdQ 2a° 20 on ai —e) d0
= —{—) + —(t+m—— + ———— —,
fu Va [ue dÀ da [we de

19

( 290 )

d’où l’on tire :

dA 2a°n _ 2an )Q dn

— = 1 — |— — (t+r)— —

dt fu Va [a dÀ da
an(i — e*) 10 on an DA

He —_——© ——H+r)— —"—;
[ue de da fu DA
ou bien :

da Dan fe) an(i — e?) 20

——"N —|(— | + —— —,

dt fu \ia [ue de

ou bien encore, en ayant égard à la formule :

PL
nur
il vient :
1
dA 2 fdQ Le "00
a = = em (14)
dt V'fe ul VTuu.e

Les formules (13) et (14) peuvent remplacer les formules (7)
et (12).

ERRATA.
P 160, li 3 lieu d id li SE
a igne à, au leu de : = —— , NSez : = —.
ge » LB Pi da; Pi 7
V h14
—— — — 6, — b; = on , —_— b; =
gi Jai

SU Et

LA DROITE ET LE CERCLE D'EULER

PROFESSEUR AGRÈGÉ DE L'ENSKIGNEMENT MOYEN.

SUR

LA DROITE ET LE CERCLE D'EULER.

4. Soit un triangle quelconque T = ABC. Les pieds des hau-
teurs sont les sommets d’un triangle T = A'B'C’, appelé triangle
orthique ; les tangentes menées par A, B, C au cercle ABC sont
les sommets d’un triangle T” = A”B”C”, appelé triangle tan-
gentiel. Désignons par H l’orthocentre de T, par O le centre du
cercle circonserit à T, par O’ le centre du cercle circonserit à T'
(cercle d’Euler).

Les triangles T’ et T” sont, évidemment, homothétiques. Les
points H,0 en sont des points homologues, car ce sont les centres
des cercles inscrits (cercles exinscrits, lorsque T est obtusangle);
donc HO passe par le centre d’homothétie. D’où le théorème :

Les droites A’A”, B'B”, C'C” qui joignent les sommets homo-
logues du triangle orthique et du triangle tangentiel d’un triangle
donné ABC, concourent en un même point P de la droite d'Euler
de ABC.

Pour préciser la position de P, observons que

PH HA’ 9R cos B cos C

— => = — = —————— — 9 cos A cos B cos C.
PO" OA7 R sec A

Les coordonnées normales de H cet 0 étant (2R cos B cos C, …),
(R cos À, …), celles de P seront

2R cos B cos C—R cos À. 2cos À cos BcosC 2R cos B cos C sin? A

= ——————_—_—_—_————
À — 9 cos A cos B cos C cos’A+ cos’ B+cosC ?

(4)
elles sont donc proportionnelles aux quantités

sin’ A sin’B sin?C

] 2 d
cos À cos B cos C

On conclut, de ces expressions, que le centre d’homothélie des
triangles T', T”, et l’anticomplémentaire À du point de Lemoine
de T sont deux points inverses par rapport à T.

Nous croyons utile de rappeler que A est le centre de perspec-
tive du triangle T, et du triangle qui a pour sommets les pieds
des hauteurs du triangle formé par les milieux des côtés de T ().

2. Le centre O’ du cercie A'B'C'a pour homologue le centre 0”
du cercle A”B”C”. O' étant situé sur HO, on peut énoncer le
théorème suivant :

Le centre du cercle circonscrit au triangle tangentiel d’un
triangle donné T, est situé sur la droite d'Euler deT.

La position du point O” sur la droite HO résulte des égalités

PH PO PO’—PH HO’

PO PO” PO”—PO 00”
d’où

HO’

Gone 7 DONS A COS CONS

Si l’on considère T” comme étant le triangle fondamental, les
résultats trouvés, après un changement de notations, peuvent
être énoncés ainsi :

Soit I le centre de l’un des cercles touchant les trois côtés d’un
triangle T, et soit t le triangle qui a pour sommets les points de
contact de ces côtés. O étant le centre du cercle circonscrit à T,
le triangle T et le triangle orthique de t sont perspectifs, et le
centre de perspective (‘”) est situé sur la droite OT; le centre

() Voir Mathesis, t. VII, p. 105.
(‘*) Les coordonnées normales de ce point sont tg + A, tg + B, tg + C
ou tg + À, cotg £ B, cotg : C, …

(5)

du cercle des neuf points de t est situé sur la même droite OI.
OI étant la droite d’Euler de t contient également le centre
de gravité de ce triangle (*).

8. Les hauteurs de T rencontrent la circonférence circon-
scrite en trois nouveaux points A’, B'”’, C’”’, sommets d’un
triangle T’”’ qui est homothétique au triangle tangentiel T”. Les
points H et O étant des points homologues de T” et T'”, on
voit que les droites A'’’A", B'"B”, C'’'C” concourent en un même
point P' de la droite d’Euler de ABC.

On trouve aisément

PH, 2H4
— —= — == 4 cos À cos B cos C,
P'O OA"
d’où les coordonnées normales de P’, à un facteur de proportion-
nalité près,

cos 2A cos2B cos 2C

? L1 Le
cos À cos B cos C

Au moyen de ces coordonnées, on vérifie facilement que P’
est le centre perspectif de T, et du triangle orthique du triangle
orthique de T.

Considérant dans la figure précédente T’’’ comme étant le
triangle fondamental, on peut, après un changement de nota-
tions, énoncer le théorème suivant :

Par les points de rencontre des bissectrices intérieures d’un
triangle acutangle T avec la circonférence circonscrite, on mène
à celle-ci des tangentes. On obtient ainsi un triangle T,. En opé-
rant de la même facon sur T,, on obtient un nouveau triangle T:,
et ainsi de suile. Les centres des cercles circonscrits aux trian-
gles T, T,, T,, … et les centres d’homothéthie de deux quel-
conques de ces triangles sont sur une même droite.

(‘) Comparer Neuserc, Educational Times, Question 9386, et Math.
élém. (Journaz De Lonccramps, 1888, p. 25).

(6)

a. Soient «, 5, y, les milieux des côtés BC, CA, AB du
triangle T = ABC. Supposons que

Ox rencontre CA en x’, ABenz’';
O8 » ABen£’, BCen£'';
O> » BCen>', CAeny'.

O sera, évidemment, l’orthocentre de chacun des triangles AB'}",
By'a”, Ca’P”.

AO est perpendiculaire à B'y"; soit «, le point d'intersection
de ces droites. Désignons par m, n, p, les milieux de B'y”, Ay”,
A". Les points «, 8,7, m, n, p, appartiennent au cercle d'Euler
du triangle Af'y”.

Soumettons la figure à une inversion en prenant pour pôle le
point À, pour module la quantité

AB. Ay'’ — Ay . AB — AO. Aa,.

Les points $, y, «, n, p, auront pour inverses les points y”, F,
0, C, B. Donc:

La circonférence qui passe par deux sommets B, C, d'un
triangle ABC et par le centre O du cercle ABC, rencontre les
cotés AB, AC aux mêmes points que les médiatrices (*) de AC,
AB (”).

BC et f'y" étant antiparallèles par rapport à l'angle BAC,
Am est une symédiane du triangle ABC, et, par suite, passe par le
point A”, pôle de BC par rapport au cercle ABC. On voit faci-
lement que A” est situé sur la circonférence OBC. OA" étant
un diamètre, la projection A, de O sur la symédiane AA" appar-
tient à la même circonférence, c’est l'inverse de m; on sail
que A, est un sommet du deuxième triangle de Brocard de T.

Les circonférences «67, OCB sont également des figures

(‘) Les médiatrices d’un triangle sont les perpendiculaires élevées aux
milieux des côtés.
(‘*) La démonstration directe de ce théorème se fait sans difficulté.

(7)

homothétiques par rapport au point À, le rapport de similitude
étant égal à :. De là, on peut conclure que la circonférence BOC
passe par les symétriques de A par rapport aux milieux des
droites By", Of", Oy”; le premier de ces points est A”, de sorte
que A"B'Ay" est un parallélogramme.

5. Le milieu de AA, est un point de la circonférence mnp;
c'est aussi un sommet du deuxième triangle de Brocard de ABy.
Mais G, y, sont les pieds de deux hauteurs de Af'y'; donc, si
l’on considère AB'y” comme étant le triangle fondamental, on
peut énoncer le théorème suivant :

Soient A’, B' C' les pieds des hauteurs d’un triangle ABC. Le
cercle d'Euler de ce triangle passe par un sommet du second
triangle de Brocard de chacun des triangles AB'C', BC'A', CA'B,
HB'C', HC'A', HA'B', AA'C', AA'B', …

Ce qui fait douze nouveaux points de ce cercle.

Pour trouver les neuf derniers points, on observe que les
triangles HBC, HCA, HAB ont même cercle d’Euler que le
triangle ABC.

6. La circonférence OBC est aussi l’inverse de la droite BC,
le cercle d’inversion étant le cercle circonscrit à ABC. Cette
remarque conduit aux relations

R° = Oa’. Ox”’ = Of’. 08” = 07’. 07" (1)
R'— OA, . OA, = OB, . OB; = OC, . 0'C;, (2)

où A», B, C sont les sommets du second triangle de Brocard
de ABC, et A;, B;, C; les points de rencontre de OA:, OB:, OC
avec BC, CA, AB. Les relations (1) résultent aussi de ce que les
triangles OB£”, OB'B sont équiangles ; les autres, de ce que le
cercle de Brocard passe par A, Ba, C2 et a pour inverse la droite
de Lemoine A; B, C:.

)L| 1014008

“

PRE

LES CERCLES DE NEUBERG

PROFESSEUR AGRÉGÉ DE L'ENSEIGNEMENT MOYEN.

SUR

LES CERCLES DE NEUBERG.

Bibliographie.

J. NeuserG, Mathesis, 1889, pp. 94, 157 et 186.
Journal de Mathématiques élémentaires, 1882, p. 24,
et 1886, p. 75.
J. Casey, À Treatise on Analytical Geometry, 1885, pp. 75, 107,
1920, 248, 256, 258, 259, 526.
A Sequel to Euclid, 4° édition, 1886, pp. 207, 208,
215, 214.
M'Cay, Transactions of the Royal Irish Academy, vol. XVI,
pp. 453-470.
E. Vicarié, Journal de Mathématiques élémentaires, 1887, pp. 121,
145, 169.
SimMoNs, Companion to Weekly Papers by J. Milne, 15388.

#. Soit un triangle ABC. Sur BC comme base, du même
côté que À, construisons des triangles de même angle de Bro-
card V que ABC (triangles équibrocardiens avec ABC); le lieu
des sommets est la circonférence (N,) représentée par léqua-
tion

5
SE ON Tai) Ste (1)

les axes étant BC et la perpendiculaire au milieu de BC. Ce
lieu à reçu le nom de Cercle de Neuberg, du nom du géomètre

(#)

qui, le premier, en a fait mention. Nous en désignerons le centre
par N,, le rayon par p..

Si l’on prend pour base commune des triangles équibrocar-
diens avec ABC, soit le côté BC, soit le côté CA, on obtient
deux autres cercles de Neuberg (N,), (N,).

Soient A’, B', C' les milieux des côtés ABC, O le centre et R
le rayon du cercle circonserit. De l'équation (1), on déduit
immédiatement les propriétés suivantes :

1 1 1
a) AN, 5 DE0s V, B'N= 3 0 e0t V, CN. = cc; (2)
; 1
angle BN,C — CN,A — AN,B—9V, angle CBN, 3710 Le

1 1 — — | RES
be, =-aV co V—3, =-bV'ootûV—3, p,—=-cV'cot V—3.
FT 9 as 2

_

c) Les tangentes menées de B et C au cercle (N,) sont égales
à BC. Autrement dit, le cercle (N,) coupe orthogonalement les
cercles décrits des points B, C comme centres, avec un rayon
égal à BC.

Cette remarque conduit à l'équation du cercle (N,) en coor-
données baryeentriques :

ay +2) (x + y +2) — (ayz + b'zx + c'xy) = 0; (3)
car, dans l’équation générale
(eP, + yP, + 2P.) (x + y +2) — (ayz + b'zx + C'xy) = 0,

les coefficients P,, P,, P, sont égaux aux puissances des sommets
du triangle de référence par rapport au cercle.

2. Les égalités (2) donnent

1 1
ON, = A°N, — A'O — a V — cot À) — 2 a(cot B + cot C)

2 sinBsinC 4S

(5)

On en conclut

ON, ON, ON,
+ —— + — = cotV,
a b c

ON,.ON,.ON,— R;,
a. ON,N, —b*. ON N, = c°. ON,N,. (4)

La dernière relation montre que O est le centre de gravité
des points N,, N,, N,, chargés de masses inversement propor-
tionnelles à a?, b?, c?, de sorte que ON,, par exemple, divise N,N,
dans le rapport b2, e?.

Soient A,,B,, C; les sommets du premier triangle de Brocard.
On sait que les droites AA,, BB,, CC; concourent en un même
point D, ayant pour coordonnées barycentriques _. " 5: En
combinant cette propriété avec l'interprétation géométrique des
égalités (4), on voit que les points qui divisent les droites AN, ,
BN,, CN,, DO dans un même rapport sont tels que le quatrième
point est le centre de gravité des trois autres chargés de masses
inversement proportionnelles à a?, b?, €?.

Un théorème analogue s'applique, d’une part aux droites AN,,
BN,, CN,, Q'O, d’autre part aux droites AN,, BN,, CN,, Q0;
Q désigne ici le point rétrograde, Q' le point direct de Brocard
du triangle ABC.

8. On peut trouver immédiatement six points de la circonfé-
rence (N,). En effet, construisons les angles CBE, BCF égaux
à BAC et silués du même côté de BC que A; soient E, F les
points de rencontre de BE avec AC, et de CF avec AB. Les
triangles BEC, CBF, équiangles avec ABC, ont même angle de
Brocard V. Donc, les points A, E, F et leurs symétriques ©, £, @
par rapport à la droite A'O sont situés sur la circonférence (N,).

Le groupe de ces six points jouit de propriétés très intéres-
santes qui ont été signalées par M. Neuberg. Pour l'énoncé et la
démonstration de ces propositions, nous nous contentons de
renvoyer le lecteur à la Note de M. Vigarié.

Nous ferons cependant une remarque nouvelle, qui nous sera

(6)

utile dans la suite. De l'égalité des angles CBE, BAC, on déduit
que la circonférence ABE touche BC en B.

Appelons cercles adjoints (Beikreise) les cercles qui passent
par les extrémités d’un côté du triangle ABC et touchent un
autre côté. Tel est, par exemple, le cercle qui passe par À, B et
touche BC en B ; nous le désignons par la notation cercle adjoint
(AB). Le cercle adjoint (BA) passe par B, A et touche en A
le côté AC.

La remarque faite ci-dessus peut être énoncée ainsi : Les
cercles adjoints (AB), (AC) rencontrent AC et AB en deux points
du cercle (N,).

Rappelons que les cercles adjoints (AB), (BC), (CA) se ren-
contrent au point Q, que les trois autres cercles se rencontrent
en Q’, que les deux cercles (BA), (CA) passent par le sommet A,
du deuxième triangle de Brocard.

4. Soient «BC, PCA, yAB trois triangles directement sem-
blables. Les droites Aa, B5, Cy ne concourent en un mème
point que dans les deux cas suivants:

1° Les triangles «BC, … sont isoscèles. Alors le point d’inter-
section des droites A, B$, Cy parcourt une hyperbole équila-
tère F, appelée hyperbole de Kiepert (°).

2 Les triangles &BC, … sont équibrocardiens avec ABC.
Dans ce cas, les droites Az, BB, Cy sont parallèles, et les points
a, Ë, y ont pour lieu géométrique, respectivement, les cercles
(N), (M), (9.

Le premier cas a été signalé par M. Kiepert, le second par
M. Neuberg. Nous ne nous arrêtons pas à la démonstration de
ces propositions, mais nous allons en indiquer quelques consé-
quences.

Soient (»,, 74), (n,,#;), (n., n!) les points de rencontre des

(‘) Les propriétés de cette conique ont été étudiées par MM. Brocard
(Journal de Mathématiques spéciales, 1884, pp. 197-209, et 1885, pp. 42,
50, 58, 76, 104, 125), Neuberg (ibidem, 1886, p. 75) et M'Cay (Mathesis,
1887, pp. 208-220).

ENT Ne

(7)

cercles (N,), (N,); (N.), respectivement, avec les médiatrices
de BC, CA, AB. Les deux groupes (n,, n,, n,), (ni, n;, n!) sont
les sommets de deux groupes de trois triangles semblables
construits sur les côtés BC, CA, AB; comme ces triangles sont
isoscèles et équibrocardiens avec ABC, les droites An,, Bn,, Cn, se
rencontrent sur l’hyperbole de Kiepert et sont parallèles entre
elles; donc elles sont parallèles à une asymptote de cette courbe.
De même, les droites An, Bn;, On; sont parallèles à la seconde
asymptote.

Les points (N,, N,, N,), (A;, B;, C;) sont les sommets de deux
groupes de triangles semblables isoscèles construits sur BC, CA,
AB, dont les angles à la base N,BC, A,BC sont complémentaires.
Donc : 1° Les droites AN,, BN,, CN,se rencontrent en un point N
(point de Tarry) de et sont perpendiculaires aux côtés corres-
pondants du triangle A;,B,C,;; 2° les droites AA,, BB,, CC;
concourent en un point D de F'et sont perpendiculaires aux côtés
du triangle NN,N, ().

D’après un théorème connu, les parallèles aux côtés du
triangle A,B,C, menées par À, B, C, concourent au point de
Steiner R. ; autrement dit :

Les tangentes menées par À, B, C, respectivement aux cercles
(N.), (N;), (N.) se rencontrent au point de Steiner ().

5. Nous allons retrouver l’une des propositions précédentes
et parvenir à quelques nouveaux théorèmes, en soumeltant la
figure à une transformation par rayons vecteurs réciproques.

D'abord, si l’on prend le sommet À pour pôle d’inversion el

(‘) Cette Remarque n’a pas été faite explicitement dans le beau Mémoire
de M’Cay sur l’hyperbole F, auquel nous empruntons le principe sur lequel
elle repose (voir Mathesis, 1887, p. 216). M. Neuberg a donné une démon-
stration très simple de ce principe, dans une Note qui accompagne le travail
de M. Cay. Il résulte de cette Note que

ANS —1B,C, cot V, AA; —/N;NcteV;

donc les côtés du triangle N,N,N, sont à la fois perpendiculaires et propor-
tionnels aux droites AA,, BB,, CC,.

(8)

que B;, C, désignent les inverses des sommets B, C, le cercle (N,)
se transforme en la droite de Lemoine du triangle AB;C, et les
transformés des cercles (N,), (N.) sont deux cercles de Neuberg de
ce triangle.

Pour simplifier la transformation, adoptons comme module de
transformation le produit AB. AC; alors les triangles ABC,
AC;B, sont symétriquement égaux. On a va ($ &) que le cercle
(N.) passe par le point « situé sur le cercle ABC, et par les
points E, F situés sur les cercles adjoints (AB), (AC). Done
l'inverse du cercle (N,) passe par les points de rencontre de
B;C, AC, AB, respectivement avec les tangentes menées par
A, B,, C. On démontre, d’une manière semblable, la seconde
partie du théorème.

La droite AN, est donc perpendiculaire à la droite de Lemoime
du triangle AB,C,. Mais les droites homologues des triangles ABC,
AC,B, sont symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle
BAC ; par conséquent, AN, est conjuguée isogonale avec une
parallèle menée par A à la droite OK (K est Le point de Lemoine
de ABC) du triangle ABC, ce qui démontre de nouveau que
AN, passe par le point de Tarry.

6. Les tangentes en B, A, C, aux cercles (N,), (N,), N.)
d’après ce qu’on a vu ci-dessus, passent au point de Steiner. Appli-
quons cette propriété au triangle ABC, pour la transformer par
inversion, le pôle de la transformation étant placé en A. Nous
aurons le théorème suivant :

Dans tout triangle ABC, le cercle mené par A et touchant en B
la droite BR, le cercle mené par B et touchant en C la dvoite CR,
se coupent en un point M du côté BC; la droite AM est parallèle
à la droite de Lemoine de ABC.

Les centres des cercles dont il est question dans ce théorème,
sont à l'intersection de ON, avec BN et de ON, avec CN; la droite
qui joint ces points est donc perpendiculaire au milieu de AM.

On peut, de même, transformer par inversion la propriété
que les droites AN,, BN,, CN, se coupent en un point N du
cercle ABC.

(9)

7. Cherchons le centre radical des cercles de Neuberg.

Les parallèles menées par A,B, C aux côtés opposés du triangle
ABC déterminent un triangle A,B,C,, appelé anticomplémen-
taire de ABC.

Le point C, est le centre radical des trois cercles (N,), (N,),
(0) (‘); car les droites C,A, C,B sont les axes radicaux des deux
premiers cercles comparés au troisième.

L'axe radical des cercles (N,), (N,) est donc la perpendiculaire
abaissée de C, sur la droite N, N,; cet axe est donc parallèle à la
droite CD ($ 4). Par suite, le centre radical des trois cercles de
Neuberg est l’anticomplémentaire D, de D.

Une démonstration analytique de ce théorème se déduit très
simplement de l’équation (3).

La figure DOD,Q' est un parallélogramme. En effet, le centre
de gravité G de ABC est aussi le centre de gravité du triangle
DO” (”); D, est situé sur la droite DG, et GD, — 2DG.

s. Cherchons encore l’axe radical d’un cercle de Neuberg et
d’un sommet du triangle fondamental.

L’axe radical du cercle (N,) et du point A est la droite AR
passant par le point de Steiner. Celui du cercle (N,) et du som-
met B est la droite CQ' menée par le point Q’ de Brocard; car
C est un point d’égale puissance et CQ' est perpendiculaire
à BN,. Enfin, l’axe radical de (N,) et de C est la droite CQ.

De là résultent les théorèmes suivants :

1° Le centre radical des sommets B, C et du cercle (N.) est le
sommet À, du premier triangle de Brocard, de sorte que
A,B AN AM AIN, — p;, égalité que l’on peut vérifier
immédiatement.

(‘) (0) désigne le cercle circonscerit au triangle ABC.

(‘*) Au Congrès de Rouen (Association française pour l’avancement des
sciences, 1885), M. Brocard a démontré que le milieu S de Q9’ est sur GD
et que DG — 268, de sorte que S est le complémentaire de D.

Les expressions des coordonnées barycentriques des points D, Q, 0°
conduisent facilement au même théorème.

(10)

2 Le centre radical du sommet A et des cercles (N,), (N.) est
l’inverse triangulaire du point À,;

5° Le cercle décrit de Q' comme centre avec le rayon Q'B
coupe orthogonalement le cercle (N,).

Ces propositions déterminent plusieurs points remarquables
situés sur la droite A,D,, axe radical des cercles (N,), (N,), (N.),
à savoir :

Le pied de la symédiane AK, l'inverse de A,, les points de
rencontre de CR avec AQ’, de BR avec AQ, de la droite de
Lemoine avec la conjuguée isogonale de AD, (voir $ 5).

9. Cercles de similitude des cercles de Neuberg. Désignons
T,, T' les centres de similitude des cercles (N,), (N.), et par (N°) le
cercle décrit sur la distance T,, T! comme diamètre. La circon-
férence (N;) est la circonférence de similitude de (N,), (N,); elle
a même axe radical avec chacune de celles-ci, et est le lieu des
points d’où on les voit sous un même angle.

Les points T,, T! sont situés sur les bissectrices intérieure
et extérieure de l’angle BAC; car les droites AN,, AN, sont
également inclinées sur AC, AB, et sont dans le rapport
AC: AB — p, :p.

Il résulte de là que la circonférence (N') passe par le som-
met À. Elle passe aussi par le centre de similitude A, de deux
figures semblables construites sur CA et AB. Son second point
de rencontre avec la circonférence ABC appartient à la médiane
du triangle ABC; car le sommet A, du triangle anticomplémen-
taire, intersection des axes radicaux des cercles (0) et (N,),
(0) et (N,), est sur l’axe radical des cercles (0) et (N:).

Considérons maintenant les trois cercles de similitude (N'),
(N;), (N°) du groupe (N,), (N,), (N.). Ils se coupent en deux points
U, U' d’où l’on voit les trois cercles de Neuberg sous le même
angle. Ils ont donc un même axe radical UU’ passant par le
centre radical D, de (N,), (N;), (N.). Comme ils coupent orthogo-
nalement le cercle mené par les centres des cercles de Neuberg,
UU’ passe par le centre du cercle N,N,N.. Cette droite passe
aussi par l'intersection G des droites AA,, BB,, CC,, axes radi-

(11)

caux du cercle (0) combiné, successivement, avec les trois cercles
de similitude. Enfin, observons que G est le centre de gravité
des points N,, N,, N,, qui se correspondent dans les figures
semblables construites sur BC, CA, AB. En résumé :

La droite GD est la droite d'Euler du triangle NoN,N, et con-
tient les deux points d’où l’on voit les trois cercles de Neuberg
sous un même angle.

46. Revenons à la transformation par rayons vecteurs réci-
proques, indiquée au $ 3. Le pôle d'inversion étant en A et la
puissance égale à bc, le cercle (N,) se transforme en la droite de
Lemoine du triangle AB;C,. Or, cette droite est l’axe radical du
cercle ABC; et du cercle de Brocard de ABC. Le premier de
ces cercles ayant pour inverse la droite BC, celle-ci doit être
l’axe radical du cercle (N,) et de l'inverse du cercle de Brocard
de AB,C, Ce dernier passe par le centre O’ du cercle ABC;
AO’ est perpendiculaire à BC, et le point diamétralement opposé
à À a pour inverse un point de la droite BC, inverse du cercle
ABC. Il résulte de là que linverse de O' est symétrique de A
par rapport à BC. Par conséquent :

Le cercle (v,) symétrique du cercle (N,) par rapport à BC, et
le cercle symétrique du cercle de Brocard par rapport à la
bissectrice de l’angle BAC sont deux figures inverses l’une de
Pautre, le pôle d’inversion élant en À et la puissance égale
à bc.

Soient »,, »,, v, les symétriques de N,, N,, N,, respectivement,
par rapport à BC, CA, AB, et soit Z le milieu de OK (centre du
cercle de Brocard). D’après ce qui précède, les droites Av, , AZ
sont conjuguées isogonales par rapport à l'angle ABC; donc :

Les droites Ay,, By,, Cv, se coupent au point L', inverse du
centre Z du cercle de Brocard {").

41. Les notations restant les mêmes, la figure AN uN, est
un parallélogramme. Nous avions vérifié celle proposition au

(*) Théorème connu. Voir Mathesis, 1887, p. 210.

(12)

moyen des coordonnées normales des points N,, »,, N,. M. Neu-

berg nous a fait remarquer qu’elle peut être généralisée en ces
termes :

Sur les côtés d’un triangle ABC, on construit six triangles
isoscèles semblables, quelconques; soient N,, N,, N, les sommets
de ceux de ces triangles qui sont tournés vers l’intérieur de ABC,
elv,, n, v les sommets des trois autres. Les figures ANyN,,
AN, … sont des parallélogrammes. |

Voici la démonstration géométrique proposée par ce mathé-
maticien : Si A’, B', C’ sont les milieux des côtés de ABC, la
droite Cy, est la résultante de CC’ et C'y,; mais CC' est la résul-
tante de CB’ et CA’, Cr. est celle de B'N,, A'N, (‘), done C. est
la résultante de CB", B'N,, CA', A'N, ou celle de CN,, CN,.

Les deux triples de droites (AN, , BN,, CN,), (Av,, Bv,, Cv)
déterminent deux points N, » de l’hyperbole de Kiepert ; La droite

LES

Ny passe par le point de Lemoine (”).

«2. La première partie du théorème du 5° suggère une
généralisation des cercles de Neuberg.

Soient d une droite quelconque du plan ABC; d,, d,, d,, les
symétriques de d par rapport aux bissectrices intérieures du
triangle ABC. L’inverse de d,, si l'on prend pour pôle d’inver-
sion le sommet A et pour module le produit AB . AC, est une
circonférence (M,) passant par A. Soient (M,), (M) les circon-
férences qui se déduisent par un procédé analogue des droites
d,,d.. Les cordes que déterminent dans les trois cercles (M,),
(M,), (M) respectivement les angles A, B, C du triangle ABC,
sont parallèles à d.

Si l'on prend pour d la droite de Lemoine de ABC, les cercles
(M,), (M,), (M) deviennent les cercles de Neuberg.

() A'N,, BN;, C>, sont perpendiculaires et proportionnelles aux côtés
du triangle ABC.

(**) Théorème dû à M. Lemoine (Congrès de Grenoble, 1885). Voir aussi
le Mémoire de M'Cay, Wathesis, 1887, p. 215.

(15)

Adoptons pour d la droite représentée en coordonnées nor-
males par l’équation
x y z
++ —-—0;
a B y

c’est la polaire trilinéaire du point T(«, B, y).
Le cercle (M,) aura pour équation

5 (By + y2) (ax + by + cz) — (ayz + bzx + cxy) — 0.

Les coordonnées du centre radical des trois cercles (M,), (M)
(M) sont

1 È 1 1 | 1 FC 1 1 | 1 L 1 1 \

ab on à) Ba pl tp
Les tangentes menées à ces cercles, respectivement, par À, B,C,
concourent en un point R' de la circonférence ABC; R' est l’in-
verse du point à l'infini sur d.

On démontre aisément les théorèmes suivants analogues aux
théorèmes démontrés antérieurement pour les cercles de Neuberg:

Les droites AM,, AM, sont isogonales, les cercles M, et M,
sont vus de À sous le même angle, et le produit des tangentes
menées de A à ces cercles est égal à bc. Les points d’où l’on voit
les cerles M,, M,, M, sous le même angle, le centre du cercle
MMM. et l'inverse triangulaire de T sont en ligne droite.

L

43. Prenons pour T le centre I du cercle inscrit. Alors le
cercle (M,) coupe AB et AC en deux points situés, respective-
ment, sur les cercles décrits de B et C comme centres avec BC
pour rayon. Les cercles (M,), (M,), (M) ont pour rayon commun
V’R(R — 9r); leur centre radical se confond avec le centre du
“cercle inscrit à ABC; les tangentes en A, B, C concourent au
point de la circonférence ABC qui à pour coordonnées normales

1 1 1

L 2

?
b— c c—a A0

enfin, les droites AM,, AM, sont égales et isogonales.

(CAM

Nous avons obtenu la valeur du rayon de (M,) par le calcul.
M. Neuberg nous en communique la démonstration suivante :

Les bissectrices AT, BIT, CT rencontrent la circonférence (0)
aux sommets d’un triangle LMN dont ces droites sont les hau-
teurs. Il suit de là que trois forces représentées par OL, OM, ON
ont une résultante représentée par OI. Si, maintenant, nous
prenons sur BA, CA les longueurs BP — CQ — BC, la droite PQ
est la résultante des trois droites PB, BC, CQ, égales entre elles
et perpendiculaires, respectivement, à ON, OL, OM; donc PQ
est également perpendiculaire à OI, et

no — ue = 2 sin À.

OI OL
On conclut de là que OT est égal au rayon du cercle circonserit
au triangle APQ.

Le même géomètre observe que, si l’on prend sur les prolon-
gements de AB, AC des longueurs BP’ et CQ' égales à BC, les
rayons des cercles circonscrits aux triangles AP'Q', APQ', AP'Q
sont égaux aux droites joignant O aux centres L,, [,, I des cercles
circonscrits à ABC et que les bases P'Q', PQ’, P'Q sont perpen-
diculaires aux droites OI, , OI,, OI...

#4. Lorsque la base BC est fixe et l'angle de Brocard V
constant, le sommet À, d'après ce que nous avons vu, décrit un
cercle (N,). Considérons les cercles (N,) des triangles variables
ABC. L'angle ACN, et le rapport CA : CN, étant constants, le
point N, décrit une circonférence; il est facile de voir que N,
décrit la même ligne. L’enveloppe de (M,) est la podaire de B
par rapport à cette circonférence; c’est done un limaçon de
Pascal dont le point double est en A.

Transformons ce résultat par inversion en plaçant le pôle
en B. On verra que la droite de Lemoine de tous les triangles
équibrocardiens construits sur BC, enveloppe une conique ayant
B et C pour foyers.

te > —

RÉPERTOIRE ALPHABÉTIQUE

NOMS SPÉCIFIQUES ADMIS OU PROPOSÉS

DANS LA

SOUS-FAMILLE ns LIBELLULINES

AVEC INDICATIONS BIBLIOGRAPHIQUES, ICONOGRAPHIQUES
ET GÉOGRAPHIQUES

PAR

Alfred PREUDHOMME DE BORRE,

Conservateur au Musée royal d’histoire naturelle de Belgique,
Membre de plusieurs Sociétés savantes.

AVANT-PROPOS.

Ce travail a été entrepris à l’occasion du classement que
j'avais à faire des Libellulines du Musée royal de Belgique,
dont les spécimens avaient été déterminés par l'autorité la plus
compétente, notre savant compatriote, M. de Selys Longchamps.

J'avais, dans le cours des années précédentes, classé les
Cordulines, les Gomphines et les Caloptérygines, travail que
rendait très aisé l'existence des beaux Synopsis monographiques
de notre éminent maître sur ces divers groupes d'Odonates.

Pour les Libellulines, le Synopsis correspondant n’est pas
encore fait. Malheureusement, si j’en crois M. de Selys Long-
champs lui-même, il ne se fera pas, par lui du moins, qui craint
d'aborder, dans ce travail, fort ardu d’ailleurs, une œuvre que
son âge ne lui permettrait pas d'achever. Certes, la verte, vigou-
reuse et active vieillesse de notre vénérable doyen de l’ento-
mologie belge est de nature.à faire espérer à tous de lui voir
atteindre et dépasser les années de son illustre beau-père, le
géologue d’Omalius; mais il est juste de remarquer qu’il est
plus que septuagénaire, et engagé dans plusieurs grands travaux,
ce qui ne permet pas de l’importuner de sollicitations pour le
faire revenir sur sa résolution.

Si elle est définitive, tous ceux qui s'occupent d’Odonates
dans le monde entier, le déploreront avec moi profondément.

Pour en revenir aux Libellulines, je me suis donc trouvé
forcé, pour les classer, de me baser sur le dernier travail général

(72

l'énumération publiée en 1868 par M. le D' Braucr (Verhandl.
zool.-bot. Ges. Wien, XVIN), qui est d’ailleurs resté un assez
bon travail, quoiqu'il laisse en dehors, sans parler de ce qui
est postérieur, bien des espèces, surtout parmi celles qui sont
nommées dans les collections, sans avoir leur description publiée.

Je n'avais pas seulement à classer des Libellulines, j'avais à
en dresser un Catalogue manuscrit. Or le D' Brauer se borne
à l’énumération des espèces de chacun de ses genres et à l’indi-
cation de la patrie. Cela ne me suffisait pas; il aurait fallu
y trouver, comme dans les Catalogues du D' Hagen (!) pour les
espèces américaines seulement, les indications bibliographiques.
J'ai donc dû faire la patiente et soigneuse recherche de cette
bibliographie et de la synonymie pour loutes les espèces de
l’Ancien-Continent, et reprendre, pour les espèces du Nouveau-
Continent, les données recueillies par M. Hagen.

Pour réunir les sources de mon Catalogue administratif,
je me trouvais avoir fait un travail de compilation qui me sem-
blait pouvoir être très utile, non seulement à moi-même, mais
à tous ceux qui s'occupent d'Odonates; ce que j'ai été très heu-
reux de voir confirmer par M. de Selys Longchamps, qui m'a
engagé à persister dans le dessein que j'avais de le présenter
à publier.

Ces sortes de Catalogues sont, de l’avis de tous, extrêmement
utiles partout, et indispensables surtout là où un travail mono-
graphique au niveau de la science actuelle est encore à faire.

L'essentiel est qu’ils soient élaborés avec une patience et une

(*) Synopsis of the Neuroptera of North America, with a list of the South
American species, Washington, 1861 (Smirusonian MiSCELLANEOUS COLLEC-
TIONS). — Synopsis of the Odonata of America |Proceer. Boston Soc. 0F

Nar. History, XVII (1875)].

(5)
attention extrêmes, et j'ai cherché à ne pas faillir à cette
condition.

Je n’avais pas d’ailleurs à compulser une littérature aussi
complexe que j’eusse dû le faire pour d’autres ordres d'insectes.
Comme on peut le voir dans la liste, la description des espèces
est ici le fait d’un très petit nombre d'auteurs.

Nous avons d’abord les anciens, ceux qui, dans des ouvrages
généraux, comme Linné, Fabricius, de Geer et quelques autres
de la même époque, embrassaient l’entomologie lout entière.
Ils ont connu relativement peu d'espèces d’Odonates et en ont
sans doute parfois confondu plusieurs sous un même nom,
ce que leurs successeurs ont eu à débrouiller.

L’odonatologie a eu ensuite un moyen âge, où nous trouvons
encore bien peu de noms à citer comme descripteurs d’espèces
nouvelles : un Belge, Vanderlinden, Boyer de Fonscolombe,
Toussaint de Charpentier, Rambur, Burmeister. Notre éminent
confrère, M. de Selys Longchamps, a aussi débuté dans cette
période, ainsi que son ancien collaborateur, le D' Hagen.
On peut considérer la période moyen âge de la science des
Odonates comme venant se clôturer avec la première moitié
du siècle, dans la Revue des Odonates d'Europe de ces deux
auteurs, publiée en 1850, dans les Mémoires de la Société royale
des sciences de Liège (1° série, VI). J'ai cru inutile d’énumérer
ici tous les ouvrages qui s’y rapportent, car on les trouvera cités
et analysés dans la Préface de cette importante Revue.

Quant aux temps modernes de l’odonatologie, ils se résument
dans les travaux d’un triumvirat composé de MM. de Selys,
Hagen et Brauer. Bien peu d’autres entomologistes ont concouru
dans ces dernières années à la description des Libellulines avec
ces trois savants et c’est dans leurs publications que se trouvent
presque exclusivement les matériaux les plus récents de cette

C6)

monographie qu'il eût été si désirable de voir paraître le plus
tôt possible.

On voit que mon travail était fort simplifié par ces circon-
stances.

J'y énumère, par ordre alphabétique, les espèces du genre
Libellula, avec l'extension qu’il avait à l’époque où Rambur,,
entreprenant son Histoire des Névroptères (1842) en démem-
brait les genres Zyxomma, Palpopleura, Polyneura (aujourd'hui
Neurothemis Br.), Acisoma, Nannophya, Uracis et Diastatops.
Ainsi compris, il répond à l’ensemble desdits genres, des Libel-
lula actuelles et des nouveaux genres démembrés ensuite, la
plupart par Hagen et Brauer, ensemble qui constitue la
SOUS-FAMILLE DES LIBELLULINES, l’une des deux divisions de
la famille des Libellulines.

Pour chaque espèce, j'ai indiqué au moins une citation de
description, souvent celle d’une figure, l'habitat géographique
et enfin le genre récent où l’espèce est classée, non pas évi-
demment par moi, qui n'aurais pas cette présomption, mais par
les auteurs faisant autorité (secundum Hagen, comme je le dis,
par exemple). Ceux-ci ne sont pas du reste toujours d'accord,
et la limitation desdits genres paraît être la difficulté la plus
considérable avec laquelle aura à se mesurer le monographe futur.
Il est bien entendu que la responsabilité de cette attribution
incombe, lorsque je ne l'ai pas expressément indiquée de la
manière que je viens de dire, à l’auteur de la description citée,
ou de la publication du nom ën litt., sans description.

Il est quelques anciennes espèces pour lesquelles je n'ai pas
trouvé d'autorité récente leur assignant une place dans un genre
actuel. Ce que j'exprime par : (Libellulinar. gen. ?).

Je n’ai pas invoqué d'autorité spéciale pour l’assignation aux
genres Libellula, Diplax, Leucorhinia, etc., de nos espèces com-

(rée

munes d'Europe. Tout le monde est d’accord en cela, et il n’y a
pas lieu d’en rendre personne plus spécialement responsable.
Au besoin, on pourrait dire que c’est M. de Selys qui fait pour
cela autorité.

Un nombre relativement considérable de noms-synonymes ont
été énumérés à leur rang alphabétique, en caractères italiques,
avec indication de la synonymie. Je m’empresse de déclarer que
je n’y ai d’autre mérite que de l'avoir puisée dans les ouvrages
des autorités en Odonates, citées plus haut.

Ce n’est pas pour les Lépidoptères, pour les Coléoptères,
pour des groupes auxquels il y a abondance de spécialistes des-
cripteurs que j'aurais donné rang parmi les espèces décrites
à d’autres qui ne le sont pas encore, bien qu'ayant reçu un nom.
Là, c’eût été consacrer le chaos. Lei, au contraire, je le pouvais
el je le devais, car le triumvirat Selys-Hagen-Brauer a une
autorilé tellement incontestée dans la science que les noms
proposés par l’un ou l’autre de ces trois auteurs, même avant
description (in litteris, par conséquent), ont déjà une notoriété
telle que leur omission dans un Catalogue comme celui-ci serait
une lacune fort regrettable. On remarquera que la plupart des
Libellulines de l’Amérique méridionale sont ainsi nommées sans
description.

J'avais d’abord compris dans ma liste un certain nombre
d'espèces fossiles, indiquées par Brauer (Verh. zool.-bot. Ges.,
1868, p. 738), et je comptais en rechercher d’autres dans les
ouvrages paléontologiques. Après réflexion, j'y ai renoncé.
Mon opinion est que l'attribution à un genre, ou même à une
famille d'insectes vivants, des vestiges souvent fort peu déchif-
frables des insectes fossiles, a un caractère un peu trop aléatoire.
En réalité, les groupes que nous avons fondés pour les insectes
vivants seulement, peuvent-ils servir aussi simplement à classer

(8)

les fossiles? Si, à travers les temps, l’évolution s’est faite dans
les caractères spécifiques des êtres, pourquoi se figurerait-on
que les caractères génériques et supérieurs seraient restés
immuables de leur côté? Cela n’est pas logique. Donc, rigou-
reusement, nos classifications, telles que nous les avons établies,
ne sont adaptées qu’aux vivants, auxquels elles ne s'appliquent
même pas toujours si facilement. Laissons les paléontologistes
classer leurs morts de leur côté, au moins provisoirement.
Il est déjà parfois très téméraire d'affirmer qu’une empreinte est
celle d’un Orthoptère ou d’un Névroptère; il l’est bien davan-
tage de dire que c’est une Libellula où une Cordulia. J'ai renoncé
donc à cette complication de mon travail.

J’ai fait de mon mieux et consciencieusement pour le rendre
le moins imparfait possible. Il n’est guère probable cependant
qu'il ne s’y trouve pas quelques lacunes, quelques erreurs même.
J’en sollicite la correction. Le travail m'a été à moi-même d’une
grande utilité; j'espère qu'il le sera à d’autres.

5 juillet 1888.

abbreviata Rambur, Hist. des Névropt., 119 (g. Ery-
throdiplax sec. Hagen) .

abdominalis Ramb., ibid., 57 (g. Tramea sec. Brauer).

abjecta Ramb., ibid., 85 (

abnormis Brauer, Verh.

g. Diplax sec. Brauer) .

z.-b. Ges. Wien, XVIII, 170
(g. Onychothemis) E ‘
acigastra Selys, Mitth. Zool. Mus. Dresden, HI, 509

(g. Lyriothemis)
acula Say = vesiculosa Fabr.
adelpha Selys, Mitth. Z. Mus. Dresd., WI, 316 (g. Tri-
themis).
adusta Hoffmans , ?n lit. — fulva Muller.
advena Sel., C. R. Soc. Ent. Belg., 1878, p. LxIv (

themis) .

g. Uro-

æqualis Hagen, Syn. Neur. N. Am., 167 (g. Dythemis).

affinis Ramb., A. Névr., 94. — Selys, in Pollen, Rech. s.
L. f. de Madag., Ins., 16 (g. Trithemis sec. Brauer) .

affinis Brittinger, in litt. — vulgata L.

Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 814

(g Trithemis) .

africana Brauer,

agricola Hagen, in lill. (g. Diplax).

albicauda Brauer, Verh. 3.-b. Ges. Wien, XV, 905
— albistyla Selys var. à LES :

albifrons Burmeisier, Handb. d. Entom., Il, p. 11, 851.
— Sel., Rev. Odon., 59 (g. Leucorhinia)

albifrons Charpentier, Libell. europ., 14, pl. XI, f. 5
(g. Diplax) FAUSTRES DROLE

albifrons Sel., Bull. Ac. Belg., 1840. Aer H. Névr.
— Caudalis Charp.

albipuncta Ramb., H. Névr, 95. — Selys, in Pollen,

Rech. s. !. f. de Mad., Ins. (g. Trithemis sec. Brauer).

Cayenne.
Antilles.
Colombie, Cuba.

Philippines.

Thibet.

Philippines.

Catalogne.

Cuba, Mexique.

Madagascar.

Sierra-Leone.
Bahia.
Shanghaï.

Europe sept.

Géorgie, Missouri.

Sénégal.

(10)

albistyla Sel, Rev. Zool., 1847. — Rev. Odon., 13
(g. Libella)
aliena Sel., Mitth. Zool. Mus. Dresd., WI, 505 (g. Uro-
themis). RE HAN ER dt He
Amanda Hag., Syn. Neur. N. Amer., 185 (g. Leuco-
rhinia sec. Brauer, Diplax soc! Hagen)
Mitth. Zoo. Mus. Dresd.,

(g. Rhyothemis) . . . . .

Amaryllis Sel. III, 299

ambigqua Ramb. = rubicundula Say.
Proc. Boston Soc., XVIII
(g. Diplax) . . … ,

ambusta Hagen, (1875), 81

americana Linné, Syst. Na. II, 904 (g. Palpopleura
sec. Brauer, Zenithoptera sec. Bates)

Amphithea Sel., in lit. (g. Uracis sec. Brauer) .

ampullacea Schneider, Stett. Ent. Zeil., 1845, 110. —

Sel., Rev. Od., 288

Anacharis Hag., in litt. (g. Rhyothemis sec. Brauer).

— Sabina Drury.
analis Burm. = flavescens Fabr.
anceps Schneider, Stett. Ent. Zeit., 1845, 111. — Sel.
Rev. Odon., 291 (g. Libella) . :
angelina Sel., Ann. Soc. Ent Belg., XXVIL, 99 (g. Li-
bellula). “re : A 5, 4
angustipennis Ramb., 4. Névr., 65 (g. Libellula
sec. Brauer).
angustipennis Steph. = sanguinea Muller.
angustiventris Ramb., H. Névr., 59 (g. Libella?
sec. Brauer)
annulata Pal. de Beauv., /ns. Afr. et. Amér., 58. —
Ramb., 4. Névr., 78 (g. Mesothemis sec. Brauer).
anpulosa Sel. in lilt. (g. Mesothemis sec. Hagen) .
Verh. 3.-b. Ges. Wien, XV, 504

(g. Erythrodiplax).

anomala Brauer,

apicalis Ramb,, 4. Névr., 127 — fluctuans Fabr.
race, sec. Selys . « DCE ECRIRE

apicalis Guér.-Mén., Voy. de la Coquille, 1ns., 194

(Libeliulinar. gen?) 141 TR ER.

apicalis Hagen, in Lit. = Phryne Perty.

Europe mér., Asie occid., Japon.

N.-Guinée,
Géorgie, N.-Jersey.

Menado.

Cuba.

Brésil.

Para.

Halmabheira.

Asie-Mineure.

Yokohama.

Cuba.

Sénégal.

Brésil.

Brésil, Guyane

Brésil.

Java.

Amboine.

Ce)

apicalis Brauer, Novara Exped., Neuropt. = ceyla-

nica Brauer.
Apollina Sel., in litt — credula Hagen.
appendiculata Sel., in litt. (g. Libella ? sec. Brauer) . Vénézuela.
arabica Hagen, in lilt. (g. Lepthemis) an = ? Sabina

RTURNVAD SEC ABTAUEL AMEN UE NC EME ATANIENSYrIeE
Argo Hagen, Stett. Ent. Z., XXX, 268 (g. Tramea). . Rio Janeiro.
armeniaca Sel, Ann. Soc. Ent. Belg., XXVIHII, 56 et

MX 55 ADIpiIAx) EEE Ter EMEA NET ArTmeNIe.
Arria Drury = variegafa L.
arteriosa Burm., Handb. II, 11, 850. — Lucas, Expl. Alq.

pl. [, f. 6 (conjuncta Sel.) (g. Trithemis sec. Brauer). Afrique.

ascalaphoïdes Ramb., 4. Névr., 29 (g Acisoma) . . Madagascar.
assignata Selys, Rev. et Mag. Zool., 1872, 177 (g. Uro-

ÉDeMIS) EN AU AN EN QUES MER TE Madagascar:
assimilata Uhier, Proc. Ac. Phil., 1857, 88 (g. Diplax

PAT ASE CRE NT ET Etats Unis:

assimilata Hagen — decisa Hag.
atripes Hagen, Hayden’s Rep., 1875, 588 (g. Diplax) . Yellowstone.
Attala Sel, Ins. Cuba, 445. — Hagen, Syn. Neur.

N. Amer , 92 (3. Mesothemis sec. Hagen) . . . . Mexique, Antilles.
attenuata Erichs, Voy. Schomb., IL, 585. — Hag. Stett.

Ent. Z., XXX, 265 (g. Dythemis sec. Brauer,

Lepthemis sec. Hagen) . . . . . . . . Colombie, Guyane, Brésil.
auranliaca Buchecker = flaveola L.
aurea Scop. = flaveola L.
auripennis Burm., Hand., I, 11, 861 (g Libellula

Een Ne UN EN x es -Étals=Unis, (Antilles:
Aurora Burm., tbid., 859. — Brauer, Verh z.-b. G. Wien,

MVL 470 (& Trithemis). "1. 11004 , Manille
australis Hagen, Stett. Ent. Z.,XXVIII, 229 (g. Tramea). Cuba.
australis Brauer, Verh. 3.-b. Ges. Wien, XV, 502

(g. Nannodythemis) . : Sidney.
Axillena Westwood, Duncan’s Introd., 292, pl. XXIX,
f. 1. — Drury, Exot. Ins., 11, 96, pl. 47, f. 1 (g Libel-
lula sec. Hagen) . + . . . . . . . . . Géorgie, Floride, Louisiane.

azurea Ramb., 4. Névr., 68 (g. Libella sec. Brauer). . Madagascar.

(12)

baccha Selys, Ann. S. Ent. Belg., XX VIII, 29 (g. Diplax). Chine.
bælica Ramb. = nitidinervis Selys.
barbara Sel., Expl. Alq., n° 6, pl. I, f. 2. — Rev. Od., 506.
— chrysostigma Burm.
basalis Burm., Zandb.,11,1,852 (g. Tramea sec. Brauer). Brésil.
basalis Say, Journ. Acad. Phil., VII, 25 (g. Libellula
sec. Hagen) 225000 0 DEMO 21 CSS SES
basalis Steph. = sanguinea Muller.
basalis Sel., in Sagra, Ins. Cuba, 4M = abdominalis
Ramb.
basilaris Pal. de Beauv. ns. Afr. et Amér. Névr., pl. II,
n° 3. — Ramb. 4. Névr., 55 (g. Tramea sec. Brauer). Sénégal, Madagascar.
bella Uhler, Proc. Ac. Phil., 1857, 87. — Hagen, Stett.

Ent. Z., XXIV, 575 (g. Nannothemis sec. Hagen). . États-Unis, Canada.
bella Hagen, in litt. (g. Perithemis). . . . . . . Para.
Berenice Drury, Eæot. Ent., 1, 118, pl. 48, f. 3. — Ramb.

H. Névr., 88 (g. Diplax sec. Hagen) . . . . . États-Uuis.
biappendiculata Sel., Mitth. Z. Mus. Dresd., II, 307

(g: Calothemis):". 42... 4 re Botte

bicolor Erichs., Voy. Schomb., IT, 585. — Te Stett.

Ent. Z , XXX, 265 (g. Erythemis). . . . . Brésil, Guyave, N.-Grenade.
bifasciata Fabr. = pulchella Drury.
biguttata Donovan — cœrulescens Fabr.
bilineata Hagen, in litt. (g. Dythemis). . . . . . Brésil.
bimaculata Steph = fulva Muller var.
binotata Ramb., H. Névor., 56 (g. Tramea sec. Brauer). Brésil.
bipunctata Brauer, f’erh. 3.-b Ges. Wien, XV, 505

(RG Diblat}. 545% ele Lee + + + + . Taïu, N.-Calédonie:
biserialis Sel., Ann. Mus. Genova, XIV, RES RE

dinalis Sel, var, Met M RTC TOINEGUuRE
bisignata Brauer, Verh. 3.-b. Ges. Wien, XVIII, 175

(g. Urothemis): : 1... 2147 300 00e SPRTIPRRRES
bispina Hagen, in litt. (g. Brachydiplax) . . . . . Morotai, Halmaheira.
bistigma Uhler = quadrupla Say.
bivittata Ramb., 4. Névr., 75. — Selys, Mitth. Z. Mus.

Dresd., 1, 506 (g. Calothemis) . . . . . . . Malacca.
Blackburni Mac Lachlan, Ann a. Mag. Nat. H. ser. V,

XI1,229 (8. Lepthemis) :,.: 4. 0 07/8 ROMANE

(15)

Bolivari Sel., An. Soc. Esp. Hist. nat., XI, 14
(g. Diplacina)

borealis Hagen, in litt. (g. Leucorhinia) .

brachialis Pal. de Beauv., /ns. d'Afr. et d'Amér., pl. II,
f. 5. — Ramb., 4. Névr., 62 (g. Libella sec. Brauer).

bramina Guér.-Mén., Voy. de la Coquille, Ins., 195
(Libellulin. gen. ?). DUO LE LE

braminea Fabr., Ent. syst. Suppl., 284. — Ramb,
H. Névr., 126 (g. Orthemis sec. Brauer).

brasiliana Brauer, 7erh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 812
(g. Tramea) . Ar MOT:

Braueri Selys, An. Soc. Esp. Hist. nat., XI, 15
(g. Diplacina)

Braueri Kaup., in litt. = Roseubergi Brauer.

Bremii Ramb. — trinacria Selys.

brevipennis Ramb., H. Névr., 114 (g. Diplacina
sec. Brauer). £ DE ro NT ET NT REV

brevistyla Brauer, Verh. z3.-b. Ges. Wien, XV, 978
(g. Tramea) Ch FES UNS FU LEE

brunnea Fonscol., Ann. Soc. Ent. France, NI, 141. —

Sel., Rev. Od., 18 (g. Libella)

cæsia Ramb., A. Névr., 95 (g. Trithemis sec. Brauer) .

caffra Burm., Handb., Il, n, 856 (g. Orthemis sec.
Brauer) .

caledonica Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XV, 505
(g. Libella).

Camilla Ramb. = Eponina Drury.

cancellata Linn., Syst. Nat.,Il, 902. — Sel., Rev. Od., 12.
— Charp., Lib. eur., Tab. V (g. Libella).

cancellata Muller — scotica Don.

Libella) .

cardinalis Erichs., Voy.Schomb., IL, 585 (g. DRE

carcerata Hag., in litt. (g.

sec. Brauer). AAC T
Il, 904. — Drury, Ex. Ins., I,

Il, n, 832

Carolina Linn., S. Nat.,
117, PI. 48, f. 1. — Burm., Æandb,,
(g. Tramea) .

Philippines.

Amérique anglaise.

Afrique.

N.-Irlande.

Indes orientales.

Brésil

Philippines.

Melbourne.

Europe.

Bombay.

Natal.

N.-Calédonie.

Europe, Asie sep1., Algérie.

Panama, Guyane, Para.

Amér. du Nord, Amér, centrale.

(14)

carolina Sel., in Sagra, Ins. Cuba, 440 = onusta Hagen.

castanea Burm., Handb., H, 1, 854 (g. Diplax sec. Hag.).

catenata Hagen, in litt. (g. Dythemis) .

Catharina Sel, in lilt. (g. Diplax).

caudalis Charp., Lib. eur., 89, Tab. 44 et 47, f. 16. —
Sel., Rev. Od., 62 (g. Leucorhinia)

Celæno Sel, in Sagra, Ins. Cub., 454 (g. Macrothemis
sec. Hagen) . IR METRE NME ee

z.-b. Ges. Wien, XVII, 11 =
palliata Ramb., var. .

chalcoptilon Brauer, Zbid., XVII,

chalybea Brauer, /bid., XVIII, 175 (g. Brachydiplax).

chinensis De Geer, Mém., II, 556, pl. 26, f. 1. — Burm.,
Handb., I, n, 852 (g.

chlora Ramb. — Domitia Drury.

chloropleura Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XV, 504

ceylanica Brauer Vera.

Tramea sec. Brauer) .

(g. Erythrodiplax).
Chrysis Hagen, in litt. (g. CES
chrysoptera Selys, Ann. Soc. Ent. Belg., XXVII, 95
(g. Diplax). FALL AE
chrysostigma Burm., Handb, II, 11, 857. — Mac Lachl.,
Journ. Linn. Soc. Zool., XVI, 177 (g. Lepthemis
sec. Brauer).
cireumeincta Hagen, in litt. (g. Palpopleura)
citrina Hag., Stett. Ent. Z., XXVIU, 218 (g.

clathrata Ramb. = trinacria Sel.

Cleis Brauer, Verh. 3.-b. Ges. Wien, XVIII, 181
(g. Lyriothemis)
Clelia Selys, Mitth. Zool. Mus. Dresden, I, 515

g. Libella).
Cloë Hagen, in litt. (g. Perithemis) .
Clymene Hagen, in lit. (g. Uracis) .
coarctata Ramb., 4. Névr., 61 (g. Libella sec. Brauer).
coccinea Charp. = erythræa Brullé.
cœlebs Sundev., in litl. = scotica Don.
cœrulans Ramb. = simplicicollis Say.

cœrulea Brullé — cœrulescens Fabr.

25 (g. Rhyothemis).

Tholymis).

Bahia.
Minas Geraes.
Brésil.

Europe moyenne.
Antilles.
Ceylan.

I. Samoa.
Philippines.

Indes orient., Chine, Caroline, Virginie.

Chili.

I. Pelew.

Terr. Washington.

Ténérilfe,

Brésil.

Cuba, Panama, Para.

Philippines.

Menado,
Brésil.
Pernambuco.

1. Maurice.

blé, de

(15)

cœrulescens Fabr., Ent. syst. Suppl., 285. — Sel., Rev.
Od., 22. — Charp., Lib. europ., t. VI (g. Libella).
cœrulescens Sel., Mon. Libell., 58. — Ramb., H. Névr.,

Eur

65 — brunnea Fonscol.

cognata Ramb., H. Névr., M (g. Rhyothemis sec.
Brauer) . PE A PCR TE PR NE

collocata Hagen, Syn. Neur. N. Amer., 171 (g. Meso-
themis).

columba Hagen, in litt. (g. Dythemis) .

columbiana Selys, in litt.(g. Macrothemis) .

commixta Selys, Ann. Soc. Ent. Belg., XXNIII, 58
(g. Diplax).

communimacula Ramb. = feralis Burm.

communis Ramb,, A. Névr., 95 (g. Erythrodiplax
sec. Hagen). IN ENT RAS

composita Hagen, Hayden’s Report, 1872, 728 (g. Libel-
Jula sec. Hagen, 1875) .

concinna Ramb., 4. Névr, 120 (g. Diplacina sec.
Brauer) .

confusa Ramb., Ibid. 155, pl. 5, f 5 (g. Palpopleura).

confusa Uhler — pulchella Drury.

congener Ramb., 4. Névr.,70 (g. Orthemis sec. Brauer).

conjuncta Ramb. — rufinervis Burm.

conjuncla Selys = arteriosa Burm.

connata Burm., Handb., Il, 1, 855 (g. Erythrodiplax
sec. Brauer).

conspurcata Fabr. = fulva Muller.

constricta Selys, in litt. (g. Dythemis) . .

contaminata Fabr, Ent. Syst. II, 582. — Burm.,
Handb., 11, 1, 859. — Rambur, 4. Névr., 99 (g. Bra-
chythemis sec. Brauer) .

contracta Ramb., 4. Névr., 60 (Libellulinar. gen.?) .

contusa Hagen, in litt. (g. Erythrodiplax sec. Brauer,
Diplax sec. Hagen).

Cophysa Kollar, in litt. (g. Tramea sec. Hagen) .

Cora Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 20 (g. Macro-
diplax).

mérid,, Asie mineure, Algérie,

. Madagascar, Amboine.

Texas, Californie.
Vénézuéla.

Colombie.

Inde septentr.

Chili.

Yellowstone.

I. Maurice.

Madagascar.

Ceylan, Philippines.

Chili.

Brésil.

Inde, Philippines.

Madagascar, Maurice.

Brésil, Vénézuéla.

Brésil.

Ceram, Philippines.

(16)

corallina Brauer = plebeja Ramb.
cordofana Brauer, in lit. ? (g. Libella). . . . . . Afrique orientale,
cordulegastra Selys, Ann. Soc. Ent. Belq., XXNII, 139
(g. Diplax). RAR Une Th: Amur, Chine.
coronata Brauer, Verh. 3.-b. G. Wien, XVI, 565
(g ‘Orthemis). "4 .,. 1, % 4. .:4,. 04.1 Céran
coronata Selys, in Poll. et Van Dam, Rech s. la f. de
Mad. Ins. 17 (g. Libellula) . . . . . . . . Madagascar.

corrupta Hagen, Syn. Neur. N. Amer., 171 (g. Meso-

themis sec. Brauer, Diplax sec. Hagen). . . États-Unis, N-Est de l'Asie.

costalis Ramb., 4. Névr., 59 (Libellulinar. gen.?). . . Amérique septentr.

costifera Hagen, Syn. Neur. N. Amer. 175 (g. Diplax). Maine, Massachus., N.-York.

crapula Hagen, in litt. (g. Rhyothemis). . . . . . N.-Hollande.
credula Hagen, Syn. Neur. N. Amer., 184 (g. Diplax). St-Thomas, Brésil.
crocea Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 813 «
(g. Tramea) . : 1
croceipennis Sel., Ann. Soc. Ent. Belg. XI, Lxvun

(g. Libellula). . . . . . . . . . Californie, Mexique, Guatemala.

croceola Sel., Zbid., XXVIT, 94 (g. Diplax). . . . . Japon.
cruentata Hagen, in litt. (g. Crocothemis sec. Brauer). Célèbes.
cubensis Scudder, Proc. Boston Soc., XI, 295 (g. Ery-

Éhémis Sec Drauer) Mer UE SE CENT Pi PAST CODE
cultriformis Hagen, in litt. (g. Lepthemis) . . . . Brésil.
cupida Hagen, in litt. (g. Libella sec. Brauer). . . . Angola.

cyanea Fabr. — quadrupla Say.
cyanifrons Hagen, in litt. (g. Diplax) . . . . . . Brésil.
eyenos Selys, Rev. Zool., 1847. — Rev. Odon., 17

= brunnea Fonscol. var. . . . . . . . . . (Corse.
Cydippe Hag., in litt. (g. Dythemis). . . . . . . Brésil.
cyprica Hag , in litt. (Libellulinar. gen.?) . . . . . Chypre.

debilis Hagen, Syn. Neur. N. Amer., 168 (g. Dythemis). Cuba.
decisa Hagen, Hayden's Rep., 1875, 588 (g. Diplax). . Colorado, Dakota.
decolorata Selys, Ann. Soc. Ent. Belg., XXVIII, 55

= vulgata L. var. »
decora Brauer, Verh. 3.-b. Ges. Wien, XVI, 567 et XVII,

15:=;palliata Ramb.var. 6.0.0 TAMEODOME

Philippines, Célèbes.

. Arménie, Anatol., Mésopot., Perse.

(17)

degener Sel, Ann. Mus. Gen, XIV, 296 (g. Neuro-

RM M Te end 42 PLU Dr A AT Oral et
Delesserti Selys, Mitth. Z. Mus. Dresd., III, 514

OADIDelA) De Te APN . + . Cochinchine, Neelgherries
denticauda Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 501

(MBrachydiplax) MR CL. Ne AA NEGUuINEES

denticulata Pal. de Beauv. = marginata Fabr.
deplanata Ramb,, 4. Névr.,75 /g.Libellula sec.Hagen). Géorgie, Pennsylvanie.
depressa Linné, S. Nat., II, 902. — Selys, Rev. Od , 8. —

Charp., Lib. eur, tab. IV (g. Libellula) . . . . . Europe, Asie mineure.
depressa Latr. = cancellata L.
depressiuscula Sel., Rev. Zool., 1841, 244. — Rev.

Odon., 50 (g. Diplax) . . . . Europe moyenne et mérid., Asie septentr.
Desjardinsi Sel, = Wrightii Sel.
dicrota Hag., Proc. Bost. Soc., 1875, 75 (g. Dythemis). Cuba, Mexique.
dicrota Hag., Syn. Neur. N. Amer., 166 — didyma Sel.
didyma Selys, in Sagra, Ins. Cuba, 455 (g. Dythemis

SÉCMHAE CR) RS ee Me NS UT R UHA
didyma Hag., Syn. Neur. N. Amer., 165 = dicrota Hag.
difficilis Sel., Ann. Mus. Gen., XIV, 501 (g. Agriono-

Riera) RAT AU RU - ArCipelima aise
dimidiata Linné, S. Nat., Il, 908. — Burm., Handb., II,

ASH (STDIASEATODS) AE 0 0 0 NC Surinam:
diplax Brauer, Verh. 3.-b. G. Wien, XVII, 18 = oculata

Fabr. var.

discolor Burm., Handb., Il, 11, 856 (g. Grthemis
sec. Hagen). . . . . . Floride, Texas, Mexique, Antilles, Amér. mérid.
dispar Sel , Ann. Soc. Ent. Belq., XXVII, 107 = Phaon
SPA AU ARR DEA OUEN EE OR RE AP ER TA D ON:
dispar Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVIT, 815 ,
(MR DyYotheMIS) "MUNIE TER Er TE Viti:
disparata Ramb. = hemibyalina J. Desjardins.
distincta Ramb. = arteriosa Burm.
distinguenda Ramb., A. Névr., 81 (g. Erythrodiplae
SECAHAGEN) |: 00e ee ie : Le . . . (Cayenne,
divisa Selys, Millth. Zool, Mus. Dresden, ur 502
(ePepthemis) #0... Eee Le NET RE RE OO Menad0;
9

Li

(18)

Domitia Drury, Exot. Ent., U, 95, pl. 45, f. 4. — Burm.,

Handb , 11, n, 855, — Ramb., H. Névr., 124 (g. Peri-

themis sec. Hagen) . . . . . . . . . . . Amér. du Nord, Antilles.
Donovani Leach. = cœrulescens Fabr.
dorsalis Ramb., 4. Névr., 89 (Libellulin. gen.?) . . . Cap de B.-Espér.
dubia Vanderl, Monogr., 16. — Sel., Rev. Odon., 50

(g Leucorhinia) . . . . . « . . +. . ..Europecentr.etsene
dubia Ramb. = cærulescens Fabr.
Duivenbodei Brauer, Verh. 3.-b, Ges. Wien, XVI, 569

(g. Microthemis) . . . . . . . Philipp, Célèbes, Halmab., N.-Guin.

Edwardsi Selys, Expl. Algér., 1, 124, pl. I, f. 3. —
Rev. Od., 515 (g Urothemis) . . ... . . . . Algérie.

effrenata Hag., ên litt. (g. Diplax) . . . . . . . Brésil.
elata Sel., Ann. S. Ent. Belg., XV, 27 et XXVII, 94 =
pedemontana All. var. . . . . anti es A SA TIOID

elegans Guér.-Mén, Voy. de la Coqu. Ins., 194, pl. 10,

{.5. — Ramb., Z. Névr., 127. — Brauer, Verh. z.-b.

Ges. Wien, XVII, 114 (g. Neurothemis) . Amboine, Céram, N.-Guinée.
elegantissima Sel., Ann. S. Ent. Belg., XXVII, 141, et

XXXL a1(8 Eyriothemis) "Me NC OICRITE
Elisa Hag, Syn. Neur. N. Amer., 182 (g Leucorhinia

sec. Brauer, Celithemis sec. Hagen) . . . . . . États-Unis, Canada.
Eponina Drury, Ex. Ent., I, 96, pl. 47, f. 2. — Burm.,

Handb., 11, 1, 853. — Ramb., 4. Névr., 45 (g. Celi-

themis sec. Brauer et Hagen) . . . . . . . Amér. septentr Cuba,
equestris Fabr., Ent. Syst., 11, 579. — Burm., Handb.,

Il, 11, 855. — Drury, Exot. Ent., Il, 95, pl. 46, f. 5

(Tullia) (g. Neurothemis sec. Brauer) . . . . . Madras.
ervotica Sel., Ann. S. Ent. Belg., XXVII, 90 (g. Diplax). Japon, Chine.
erratica Erichs., Voy. Schomb., HI, 584(Libellulin.gen.?). Guyane.
erythræa Brullé, Exp. Morée, WI, Ent. 102, pl. 52, f. 4.

— Sel., Rev. Od., 24 (g. Crocothemis) . . . . . Europe mérid.
erythræa Brauer, Verh. Z.-b. Ges. Wien, XVII, 814

(g. Trithémis) L'ENCRE TS NC PRICES
erythronevra Schneider = Fonscolombii Sel.
Euphrosyne De Haan, in litt. = Phyllis Sulzer,

(19)

Milth. Z. Mus. Dresd., WI, 298 (g. Tra-

mea). . .

Euryale Sel.

Eurybia Sel., tbid. (g. Tramea) ., . . . . . .
exhausta Hag., in litt. (g. Dythemis) .

exigua Hag., in litt. (g. Nannophya sec. Brauer)

Mitth. Z. M. Dresd., II, 309 = pulcher-

rima Brauer.

exsudans Sel.,

extensa Hag., in litt., (g. Lepthemis) .

extranea Hag., in litt. — crocea Brauer.

exul Sel., Ann. S. Ent. Belg., XXVII, 96 (g. Diplax).

exusta Say, Journ. Acad. Phil., VIN, 29 (g. Libellula
Sec Hagen): Le

exusta Hagen, in litt. (g. Diplax) .

exœusta Sundev., ?n lilt. = albifrons Burm.

fallax Eversm. = albifrons Burm. et caudalis Charp.

fallax Burm. = umbrata L.

familiaris Hag., in litt. (g. Diplax) RENAN

famula Frichs., Voy. Schomb., HI, 584 (g. Diplax
sec. Hagen). c : ; ;

fasciata Linné, S. Nat, II, 905. — Burm., Handb., II, u,
854. — Ramb., 4. Névr., 154 (g. Palpopleura) .

fasciolata Ramb., H. Névr., 69 (g. Libella sec. Brauer).

fastigiata Burm., Handb., IL, 11, 850 (g. Uracis sec.
Brauer) . = A

fastigiata Sel, Ann. s. Ent. Hi XXVII, 91 = erotica
Sel., var. A ReN PRE TRE

Fausta Sel., in litt. (g. Diplax).

Faustina Sel., in litt. (g. Diplax) .

fenestrata Hagen = dimidiata L.

fenestrina Ramb., 4. Névr., 40 (Libellulinar. gen.?).

feralis Burm, ÆZandb., I,

sec. Brauer).

1, 855 (g. Neurothemis

ferrugaria Ramb., H. Névr., 82 ” bellulinar. gen.?).
ferruginata Fabr. = ? erythræa Brullé.
ferruginea Ramb. — erythræa Brullé.

ferruginea Fabr., Ent. syst., I, 580 — Servilia Drury.

Menado, Java.
Menado.
Cuba.

Célèbes, Halmaheira.

Brésil.
Afrique australe.

États-Unis, Canada.
Brésil.

Bahia.
Guyane.

Brésil, Surinam.

Cap de Bonne Espér.
Bahia.
Japon.

Brésil.
Brésil.

Moluques, Sumatra.
Cap de Bonne-Espér.

(20)

ferruginea Fabr., Syst. Entom., 495. — Spec. Ins., 1, 525

— discolor Burm.
ferruginea Hagen — rubrinervis Sel.
fervida Erichs. = ochracea Burm.
festa Sel., Ann. Mus. Gen., XIV, 500 (g. Agrionoptera). Queensland.
festiva Ramb., 4. Névr., 92 (g Trithemis sec. Brauer). Bombay,
flaveola Linné, S. Nat., Il, 901. — Sel., Rev Od., 55. —

Charp., Lib. eur., t. IX (g. Diplax). . . . . . . Europe, Asie sept.
[laveola Fonscol. — Fonscolombii Selys.
flaveolata Curtis = flaveola L.
flaveolata L. — seotica Donov.
flavescens Fabr, Ent. syst. Suppl., 285 (g. Pantala). Zone torride des deux mondes.
flavescens Fischer = flaveola L.

Flavia Sel, in lit. = basalis Burm.

flavicans Ramb. — umbrata L.

flavicosta Hagen, in litt. (g. Diplax) . . . . . . . San Diego.

Qavida Ramb., A. Névr, 58 (g. Libellula sec. Hagen). Texas, Yellowstone, Montana,
flavidorsis Eversm., in litt. — ? pectoralis Charp.

flavilatera Hag., in litt. (g. Diplax) . . . . . . . Brésil.

flavipennis Sel, in Pollen et Van Dam, Rech. s. la f. d.

Mad. 1ns., 16 = hæmatina Ramb. var. . . . . Madagascar.
flavistyla Ramb., 4. Névr., 117. — Selys, Rev. Od., 512.

— Explor. Alq., pl. I, f.7 (g. Diplacina sec. Brauer). Afrique, Asie min.
flavostigma Buchecker = ? depressiusecula Sel.
fluctuans Fabr., Ent. syst., 11, 26. — Burm., Handb.,

IL, 11, 855. — Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 16

(g. Neurofthemis) . NE Java, Célèbes.
Fonscolombii Sel., Mon. Libell., 49. — Rev. Odon., 57.

— Rambur, 4. Névr., 102 (g. Diplax) . Europe moy. et mérid., Asie mineure, Afrique,
forensis Hag., Syn. Neur. N. Amer., 154 (g. Libel-

lula) 4.41. 20. Del LME ECS MG RIONNIE MATOS
fraterna Hag., Proc. Boston Soc., XV, 575 (g. Diplax) . Cuba.
frequens Sel., Ann. S. Ent. Belg., XXVII,95 (g. Diplax). Japon.
Friedrichsdaliensis Muller = fulva Muller.
frigida Hag., ên litt. (g. Leucorhinia) . . . . .. États-Unis, Canada.
frontalis Burm., Handb., II, 11, 857 (g. Dythemis

aec.. Hagen)... 7 1 10 MOMIE ARE EURE

(21)

frumenti Muller = cancellata L.

frumenti Villers = albistyla Sel,

fugax Hagen, Syn. Neur.N. Amer., 165 (g. Dythemis). Texas.
fugax Harris = fulva Muller, ,
fuliginea Ramb. — obsecura Fabr.

fuliginosa Sel., Ann. S. Ent. Belg., XXNVII,88 (g. Rhyo-

LT) LR APE PE PE RE RP ERREUR Ur $ Japon.
fulva Muller, Act Curios., II (1767), 122. — Sel., Rev.

Odon., 9, — Charp., Libell. eur., Il (conspurcata)

(g Libellula\. Europe.

Fulvia Donov., Ins. of China, pl. 46. Burm., Handb., Il, n1,
855. — Ramb., 4. Névr.,129 = Sophronia Drury . Chine.
funerea Hagen, Syn. Neur. N.Amer., 158 (g.Libellula). Mexique, Panama.
furcata Hagen, ibid., 169 (g. Erythemis) . . . Cuba, Mexique, Bahia.
fusca Ramb., 4. Névr., 78 (g. Erythrodiplax sec.
Re SN me a Ar UE AU Er 0 Cavennes
fuscofasciata Blanchard — umbrata L.
fuscopalliata Sel, Ann. S. Ent. Belg., XXXI, 25
(GErithemis)0 27 04 7, NX .1 41 Mésopotamie.

geminata Ramb., 4. Névr. 90 (g. Trithemis sec.

BAT) ME MEME EP MAN ENTER Ed Indes orientales:
Genei Ramb. — depressiuscula Sel.
gerula Hag., in litt.(g. Dythemis). . . . . . . . Brésil
gibba Fabr. — Sabina Drury.
gigantea Brauer, Verh 3.-b. Ges. Wien, XVII, 8(g. Neu-

MOUDEMIS) RU PU Ne MERE EE M AmhOiNne, GélÈebes:
gilva Hag., in litt. (g. Diplax) . . . et Golombre:
glacialis Hag., ên litt, (g. Leucorhinia). . . . . . États-Unis, Canada.
glauca Brauer, Verh. 3%.-b. Ges. Wien, XV, 1012

(oLibella) 4 4:14 . 0 4 4. L.. < Ceylan, Moluques, Malaisie.
glauca Hoffmans , in litt. — cœrulescens Fabr.
globulata Muller. = ? vulgata L.
gonypennis Buchecker — ? rubicunda L. ou dubia Vanderl.
gracilis Sel., Ann. S. Ent. Belg., XXXI, 15(g.Libellula). Perse, Mésopotamie.
gracilis Brauer, Sitz.-Ber. Ak. Wiss. Wien, LXXVNIII,

195 (g Microthemis). ,. . . . . . . . . . Bornéo.

(22)

graphiptera Ramb, 4. Névr., 45 (g. Rhyothemis

sec, Brauer). ‘NUE TS CEE ECRIRE
Gundlachi Scudder = simplicicollis Say.
guttata Erichs., Voy. Schomb., HI, 581 (g Uracis

sec, Brater). F2 204 Lalero ne eee nos PS M IDTETE

hæmatina Ramb., 4. Névr., 84 (pro parte). — Sel., Rev.

Od., 27 (g. Trithemis sec. Brauer). . . . . . . Maurice, Bourbon.
hϾmatina Ramb., ibid. (pro parte) = rubrinervis Sel.
hæmatodes Burm., Handb., Il, 1, 849 (g. Erythemis

secs Branel}:%. & Cu: 2 MAUR ERP RE SNERRENRS
hæmatodes Mus Berol , in lit. = rubrinervis Sel.
hæmatogastra Burm., Handb., II, u, 857 (g. Lepthemis

Sec. Brauer).… .' . 2 5 à à . 0 (Géorgie, SUP
Harpedone Roemer = pedemontana Allioni.
HellmanniEversm.=albifrons Burm.etcaudalis Charp.
helvetica Buchecker = cancellata L.
hemichlora Burm., Handb, 1, n1, 849 (g. Dythemis

SeCABrater)e AE are RENE NORTON ER EESEIR
hemihyalina J. Desjardins, Ann. Soc. Ent. France, 1855,

Ball. 1v (g. Rhyothemis sec. Brauer). . . Afrique, Madagascar, Maurice.
herbida Hagen, in litt. (g. Lepthemis) . . . . . . Cuba.
histrio Burm., Handb , I, 1,849 —Berenice Drury var. New-York.
Hova Ramb., 4. Névr., 92 (g. Onychothemis? sec.

Brauer) . Madagascar.
hudsonica Sel. Rev. Odon., 55 (g. Leucorhinia). . . Saskatchewan, N.-Cronswick.
hyalina Kirby, Proc. Zoul. Soc., 1886, 526, pl. 52, f 5, 6

(g LibeMaÿ ti og pas en ne 0e SON POS

hybrida Ramb. = meridionalis Sel.
Hymenæa Say, Journ. Acad. Philad., VII, 19 (g. Pan-

tala sec. Hagen) . . à: : . . . . . . Etats-Unis, Cuba, Mexique.
hypomelas Selys, Ann. Soc. Ent. Per XXVIIT,

(8: Diplas) TS AN CERN SM ROGERS

icterica Hagen, in litt. (g. Dythemis) . . . . . . Brésil.
illota Hag., Syn. Neur. N. Amer., 172 (g. Mesothemis

sec Brauer, Diplax sec. Hagen) . Mexique, ouest des États-Unis, Vancouver, Kamtschatka.

(25 )

imbuta Burm., Handb., 11, 11, 850. — Ramb,, 4, Névr.,

\

pl. Il, f. 5 (quadra) (g. Uracis) . . . . . . Colombie, Surinam, Bahia.

imbuta Say, Journ. Acad. Phil, VII, 32 (g. Diplax
sec. Hagen). AE :

imitans Sel., Ann. Soc. Ent. Belg., XXX, czxxix et
XXXI, 56 (g. Diplax)

immaculata Brauer, ên litt.? (g. Mesothemis)

imperatrix Sel, Ann. Soc. Ent. Belg., XXXI, 55
(g. Rhyothemis).

incerta Ramb., 7. Névr., 54 (g. Tramea sec. Brauer) .

incerta Brauer — palliata Ramb. var.

incesta Hag., Syn. Neur. N. Amer., 155 (g. Libellula).

incompta Ramb. — distinguenda Ramb.

incrassata Hag.. in litt. (g. Dythemis) .

indica Fabr., Ent. syst, 11,576. — Burm., Handb , 11, 1,
855 (Libellulin, gen.?)

indigna Hag., în litt. (g. Diplax) .

inermis Sel , in litt. — prodita Hag.

infamis Hag ,ën litt.(g. Dythemis) .

infernalis Brauer — festiva Rambur.

inflata Sel. — panorpoides Ramb. var.

infumata Ramb,, 4. Névr., 74 (g. Uracis).

infuscata Sel., Ann. S. Ent. Belg., XX VII,90 (2. Diplax).

infuscata Eversm. = rubicunda L.

inuominata Brauer, Verh. 3.-b. Ges. Wien, XVII, 17 =

oculata Fabr. var.

inquinata Ramb., H. Névr., 86 (g. Crocothemis sec.

Brauer) . Re DNCe x Mb
insignata Sel., Rev. et Mag. de Zool., 1872 (g. Uro-
themis). 2
insignis Ramb., 4. Névr., 195 (g. Agrionoptera sec.
Brauer) .
insignis Brauer = sexlineata Selys.
insignis Brittinger, in litt. — Fonscolombii Selys.
insularis Hag., Syn. Neur. N. Amer., 146 (g Tramea).
insularis Scudder = abdominalis Ramb.
intacta Hag., Syn. Neur. N. Amer., 179 (g. Leuco-

rhinia) .

Maryland.

Pékin, Amur.

Vénézuéla.

I. Loo Choo.
?

Caroline.

Cuba.

Iudes orientales.

Brésil.

Bresil.

Algérie,

Brésil.

Japon, Chine.

N -Guinée, Céram.

Madagascar.

Borneo

Java, Amboine

Cuba, Haïti, Floride.

États-Unis, Canada.

(24)

intermedia Ramb, Z. Névr., 91 (g. Trithemis

Brauer) . : >
intermedia Rudow, Giebel Zeütschr., sér. 3, II, 242
(verisimiliter species jam descripla)

intermedia Hansem., in litt. = cancellata L.

interna Hag., in litt. (g. Diplax) . . . EN
interrogata Sel, Mitth. Z. Mus. Dresd., II, 51
(g. Agrionoptera) .

te

inversa Hag., ên litt. (g. Diplax) E
Iphigenia Hag., Stett. Ent. Z.XXVIII, 250 (g. Tramea).
Iris Hag. — Domitia Drury var.

ris Sel. in litt., — Attala Selys.

Verh. z.-b. Ges.
185 (g. Tetrathemis). . . ,

irregularis Brauer, Wien, XVI,

irrorata Hag., in litl. (g. Uracis) . . . . . .

japonica Ubhler, Proc. Acad. Philad., 1858 (?) — Sel.
Ann. S. Ent. Belg., XXVII, 100 (g. Libella).

jucunda Ramb., Z. Névr., 154 (g. Palpopleura).

Julia Uhler — exusta Say.

Juliana Sel., in lilt. (g. Diplax)

Justina Sel., Ins. Cuba, 450 = ochracea Burm.

Justiniana Sel. ibid., 450 (g. Diplax)

Justiniana Hag, — ambusta Hagen.

Künckeli Selys, Ann. Soc. Ent. Belg., XXVII, 59
(B-Diplax)s 2 ALES EEE

lacerata Hagen, Syn. Neur. N. Amer., 145 (g. Tramea).

Laïs Perty, Del. an. artic., 195, t. 95, f. 2. — Ramb,
H. Névr., 115 (g. Perithemis sec. Hagen) .

lateralis Burm., Handb., 11, 1, 850 (Libellulinar. gen. ?)
lafimacula Sel., in litt. (g. Diplax)

lavata Hag., in litl. (g. Erythemis)

Leda Say = Lydia Drury et Axillena Westwood.
Lefebvrei Ramb. = flavistyla Ramb.

Leontina Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XV, 505

g. Erythrodiplax).

Bombay.
Allemagne.
États-Unis, Canada.
N.-Guinée.

Brésil,

N.-Grenade.

Moluques, Philipp.
Bahia.

Japon.
Cap de B.-Espér.
Brésil .

Cuba.

Amur.

États-Unis, Mexique.
Amérique mérid.
Comores.

Brésil.

Vénézuéla.

Chili.

(25)

lepida Hag., ên lilt. (g. Dythemis). . . . . . . . Brésil
leptoptera Sel. in Pollen et Van Dam, Rech. 5. la f. de
Madag. Ins., 19 (g. Tetrathemis). . . . . . . Moluques.
leptura Burm., Handb., I, 11, 858 (g. Lepthemis
DRAM de Ne LA el AN SAT UNS At 2 ConIdres,
leucorhinus Charp.—dubia Vanderl. et albifrons Burm.
leucosticta Burm. = unifasciata Oliv.
leucozona Imhoff, in lilt. — caudalis Charp.
Lewisi Selys, Ann. Soc. Ent. Belg., XXVII, 96 (g. Lyrio-

ROIS) AE MO OA ULE PLAN En DIRES PEER TA non,

lineata Fabr., Ent. Syst., I, 575. — Ramb., 4. Névr.,
191(Ribellubinar, gen?) 4: 02e : Indes.

lineata Brauer, Sitz.-Ber. Kais. Ak. Wiss. Wien, LXX VII,
201 (g. Agrionoptera). . . . . . . . Philippines, Malacca, Sumatra.

lineolata Charp. — cancellata L.

lineostignma Sel, Ann. Soc. Ent. Belg, XXX, 170
CSAPADEDIA) RENE TE EN EU TR RE RENE EC UTPékIN,

Liriope Hag., in litt. (g. Dythemis) . . . . . . . Brésil.

Loewi Brauer, Verh. 3.-t. Ges. Wien, XNI, 565

(eMBranren) PEU MS NE RENE A EVE rule CÉTIM.
longicauda Brauer, #bid., XVII, 812 (g. Tramea). . . Brésil.
longipennis Burm., Handb., 11, 11, 850 (g. Pachydiplax

RARNRAUeN) RUE vel Ten LOS Er MESIQUE.
longipes Hagen, Syn. Neur. N. Amer., 169 (g. Ery-

HERLIS) EUR TL RE NME OC re te Lan Brésil:

longipes Hagen, ibid. (pro parte) = cubensis Scudder.
longitudinalis Sel, Matth. Z. Mus. Dresd., NI, 312

(g. Agrionoptera). . . . . . . . . . . . N.-Guinée
Lorquini Selys, in Pollen et Van Dam, Rech. s. la f. d.

Madag. Ins., 19. — Mitth. Z. Mus. Dresd., WI, 516

(g. Nannophlebia). . . . . . . . . . . . Moluques.
Lucia Drury, Exot. Ent., 11, 92, pl. 45, f. 1. — Ramb.

H. Névr., 151 (g. Palpopleura). . . . . . . . Benin.
Luciana Sel., in litt. (g. Diplax) . . . . . . . . Brésil.

Lucilla Ramb. — Eponina Drury.
luctuosa Burm. — basalis Say.
luteola Hansem., in litt. — flaveola L.

(26 )

luzonica Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVIII, 169
(g. Libella). PRO ARE
Lycoris Sel., Rev. et Mag. Zool., 1872, 176 (g. Uro-
themis). PERLES PORTA ere 1 NE FE
Lydia Drury, Exot. Ent., éd. 1, I, 85, pl. 47, f. 1. —

Ramb,, 4. Névr., 55 (g. Libellula sec. Hagen et
Brauer) . Ar EU OV POSE
Lydia Drury, Ex. Ent., 1, 116, pl. 47, f. 4. = trima-

culata De Geer.

macrocephala Sel. = striolata Charp.

macrostigma Ramb. = discolor Burm.

maculala Harris — quadrimaculata L.

maculala Ramb. — semifasciata Burm.

maculiventris Ramb.— simplicicollis Say.

maculosa Hagen, Syn. Neur. N. Amer., 187 (g. Nanno-
themis) . t :

madagascariensis Ramb., Z. Névr., 56 (g. Orthemis
sec. Brauer). A TT RER Vents

madida Hagen, Syn. N. Amer., 174 (g. Diplax) .

magnificata Sel, Mitth. Z. Mus. Dresd., NI, 511
(g. Lyriothemis) CE

manadensis Boisduv., Voy. Astrol. Ent., 5, pl. XII. —

Rambur., H. Névr., 198 (g. Neurothemis). .

Philippines.

Madagascar ?

Amérique du Nord.

Géorgie.

Madagascar.

Etats-Un., Vancouver

Malacca.

Sénégal ?

Marcella Hag, Stett. Ent.Z., XXVII, 227 (g. Tramea). Cuba, Mexique, N.-Grenade, Brésil,

Marchali Ramb., Z. Névr.,62(g. Trithemis sec Brauer).

Marcia Drury, Ex. Ent., I, 95, pl. 45,f. 5. — Ramb.,
Æ. Névr., 42 (g. Rhyothemis sec. Brauer). . . .

marginata Fabr, Ent. syst, 11, 580. — Burm., Zandb,
I, u, 861. — Ramb., Z. Vévr., 151 (g. Palpopleura).

marginala De Geer = dimidiata L

marginala Pal. de Beauv. = Portia Drury.

Maria Sel., Mitth. Z. Mus. Dresd., I, 505 (g. Brachy-
diplax) .

marmorata Hag., in litt. (g. Macrothemis)

Marnois Brauer, in litt.? (g. Trithemis)

mauriciana Ramb., 4H. Névr, 54 (g. Tramea sec.

Brauer) .

Ile Maurice.

Inde,

Benin, Natal.

Célèbes, Bornéo.
Brésil.
Afrique.

[.-Maurice.

(27)

Medea Hag., in litt. (g. Rhyothemis sec. Brauer). . . Halmaheira.
Melania Sel., Ann. Soc. Ent. Belg., XXVII, 105 (g. Li-

DER) OR tee TL UE ta Nat NaDon:
melanosticta Herr.-Sch., in litt. — scotica Donov.
melanostigma Eversm.—dubia Vanderl. rubicunda L.

et pectoralis Charp.
melanostoma Sundev., èn lilt., = pectoralis Charp.
mendax Hag., Syn. Neur.N.Amer., 164 (g. Dythemis). Texas.
Merida Sel. = vibex Hag.
meridionalis Sel., Rev. Zool., 1841, 245. — Rev. Od., 59

(g. Diplax) . . . . . . Eur.temp et méridion., Algérie, Asie mineure.
mesoleuca Imhoff, in litt. — caudalis Charp.
metallica Brauer, Sitz.-Ber. K. Akad. Wiss. Wien

LXX VII, 199 (g. Orthemis) . . . . . . . . . Malacca, Bornéo.
Metella Sel. — Domitia Drury.
Meyeri Sel, Mitth. Z. Mus. Dresd , III, 508 (g. Calo-

(DCE FOIE LU T'APACESR CRE RE SAT ANT RARE On CE DRE AN GuInEE:
micans Hag. — pygmæa Brauer.
minuseula Ramb., Z. Névr ,115(g.Diplax sec. Hagen). Amérique septentr.
Mithra Sel, = Attala Selys.
morio Schneider = flavistyla Ramb.

Murcia Fabr. — Marcia Drury.

musiva Hag., in litt. (g, Dythemis) . . . . . . . Brésil.
Mysis Sel., Mitth. Z. Mus. Dresd., III, 511 (g. Agrio-
HODLELA)EN eu CRIS ANT EUR ONE TER MTS):

næva Hag., Syn. Neur. N. Amer., 167 (g. Dythemis) . Cuba.
nana Brauer, Verh. Zz.-b. Ges. Wien, XVIIT, 174
(CMDIDIACINA) ERP CT CPE LE CR Philippines:
nebulosa Fabr., Ent.syst. ll, 579 (g. Diplax sec. Brauer). Bengale, Ceylan.
neglecta Ramb. — pruinosa Burm.
nicobarica Brauer, Verh. 3.-b. Ges. Wien, XV, 978
(gAgrionoptera)s 0% 08 6 5%, ROMTAINICONAr.
nicobarica Brauer, ibid., XVII, 12 (g. Neurothemis) . I. Nicobar, Singapore.
nigra Vanderlinden, Monogr., 16 — Selys, Rev. Od , 65
(gUrothemis),. 0, M LM MUR M iTtalie méridionale!
nigra Charp. = scotica Don.

nigricans Ramb., Z. Névr., 97 (g Diplax sec. Hagen). Buenos-Ayres.

(28 )

nigricula Eversm. = scotica Don.

nigrifemur Sel., Ann. Soc, Ent. Belg., XXVIN, 55
= striolata Charp. var. Verte

nigrilabris Sel, Mitth. Z. Mus. Dresden, II, 304
(g. Urothémis)?. 29e DR AM MM NEC

Madère, Canaries.

nigripes Charp. = sanguinea Muller.
nigrostigma Buchecker — ? sanguinea Muller.
nitidinervis Sel., Rev. Zool., 1841, 245. — Expl. Alq.,

IL, pl 1, f. 4. — Rev. Odon., 15 (g. Libella). Sicile, Algérie, Espagne mérid.
nodisticta Hag., Syn.Neur.N.Amer., 151 (g. Libellula). Mexique, Montana.
notata Fabr., Ent. syst., II, 579. — Ramb., 4. Névr., 125

(Libellulinar-gen.?). "NL LORS RS POITIERS
nubecula Ramb., 4. Névr.,122(g. Dythemis sec. Hagen). Brésil.

nudicollis Hag. = meridionalis Selys.

obesa Hag., in lilt (g. Diplax) . . . . . . . . . Brésil
oblita Ramb., Z. Névr., 195 (g. Erythemis sec. Brauer). Australie.
obseura Fabr., Ent. syst., Il, 377. — Burm., Zandb. II,

11, 854 (g. Diastatops). . . . . . . . . . . Bahia.
obseura Ramb., 7. Névr, 64 (Libellulin. gen? — an

SPC NSEQUE A) EN LE EE Pre IQUes
obseura Brauer, ên litt.? (g. Rhyothemis) . . . . . Amboine,
obsoleta Ramb., Z. Névr., 85 = hæmatina Ramb. var. Madagascar.
obtrusa Hag., Syn. Neur. N. Amer , 177 (g. Diplax) . Etats-Unis, Canada.
obtusa Albarda, Midden-Sumatra, IV, v, 1, pl. I, f. 1, 2

(8 Zyxomma) .. 4. Os te. SSP
ochracea Burm., Handb., I, 11, 854 (g. Diplax sec.

Hagen) .. . . . . . . = . . . Brésil, Colombie, Mexique, Cuba:
ochracea Scudder = fraterna Hagen.
oculata Fabr., Ent. syst., I, 536. — Ramb., /. Névr.,

125 (g. Neurothemis sec. Brauer). . . . . . . Céram,Australie sept.
oculata Brauer, Sitz.-Ber. Ak. Wiss. Wien, LXXVII,
194 (8. Neophlebla) 5 1.010410 00-00 TRE

odiosa Hag., Syn. Neur. N. Amer., 152 (g. Libellula). Texas.
oligoneura Brauer, Verh. Z.-b. Ges. Wien, XVII, 976

(&-Neurothemis) 75:72 NEA RE RE RE MOD LOIR
Olympia Fonscol. = cœrulescens Fabr.

(29 )

Olympia Brullé = chrysostigma Burm.

onusta Hag, Syn. Neur. N. Am, 144 (g. Tramea). Texas, Floride, Antilles, Mexique.
opalina Charp. — cœrulescens Fabr.

opalizans Charp., in litt. — brunnea Fonscol.

orientalis Sel., Ann. Soc. Ent. Belg., XXVNII, 140

(SMDIPIax) 1:02. DURINENe . + . Indes, Chine.
orientalis Sel., Ann. Soc. Ent. Belg. XXXI, de Leu-
CORRE) NAME SN NES TERRE LATE LT aDON.

ornata Ramb., Z. Névr.,96 (g. Leucorhinia sec. Brauer,
Diplax sec. Hagen) . . . . . . . . . . . . Amérique septentr.
ornata Brittinger = caudalis Charp.
osculans Hagen, in lit. (g. Diplax) . . . . . . . Brésil.
ovata Hagen, in litt. (g. Uracis). . . . . . . . . Brésil.

pachygastra Sel. Mitth. Z. Mus. Dresd., NI, 510
(g. Lyriothemis) . . . . . . . . . Shanghaï.
pacifica Kirby, Ann. a. Mag. Nat. Hist., 5e sér., XII, 455
RME PROS NN A A ed RU Tongataba
palatina Herr.-Sch , in litt. = scotica Don.
pallens Klug, in lit. = erythræa Brullé.
palliata Ramb., AH. Névr., 129. — Brauer, Verh. z.-b.
Ges. Wien, XVII, 10 (g. Neurothemis) . . . . Sumatra, Célèbes, Céram.
pallida Pal. de Beauvois = Tillarga Fabr.
pallidistigma Steph. = scotica Don.
pallipes Hagen, Hayden’s Rep., 1875, 589 (g. Diplax). Colorado, Texas,
panorpoïdes Ramb., 4. Névr., 28, pl. 2, f. 2. — Selys,
Rev. Od., 516. — Expl. Alg., pl. IN, f. 4 (g. Acisoma). Algérie, Asie mineure, Malaisie,
papuensis Sel., Ann. Mus. Gen., XIV, 505. — insignis
RAD VAR MU De M OR A EE RS UN Guinée.
parvula Muller = ? dubia Vanderl.
parvoula Ramb. = flavistyla Ramb.
paucinervis Hag., in litt. (g. Macrodiplax) . . . . Java.
pectoralis Charp., Hor. entom., 46. — Sel., Rev. Od., 56.
— Charp., Lib. europ., t. XII (g. Leucorhinia) . . Europe tempérée.
pectoralis Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 19
(g. Agrionoptera) . . . . . . : . . . . . (Céram,l. Viti
pedemontana Allioni, Act. Soc. sc. Taurin, 1762-65. —

( 30 )

Sel., Rev. Od., 28. — Charp., Libell. eur., tab. VIII

(g. Diplax). . . . . . . . Europe moyenne, Sibérie, Asie centrale.

pertinax Hagen, Syn. Neur.N. Amer., 166 (g. Dythemis).
peruviana Ramb., H. Névr., 81. — Selys, Rev. Odon.
(g. Erythemis sec: Briudrh ii : De LAN PR
petalura Brauer, Verh. z.-bot. Ges. Wien, XV, 506
(g. Libella). 42400 En Jr An DUT

petiolata Ramb., 4. Névr., 27, pl. 2, f. 1 (g. Zyxomma).

phalerata Uhler = trivialis Rambur.

Phaon Sel., Ann. S.' Ent. Belg., XXVII, 106 (g. Tri-
REMISE A Lee costs CU ICONE

Phryne Perty, Del. an. art., etc., t. 25, f. 5 (g. Nanno-
themis sec. Brauer).

Phryne Ramb. — didyma Sel.

Phyllis Sulzer, Abgek. Gesch. d. Ins., t. 24, f. 2. —
Ramb., 4. Névr., 42. — Burm. Handb., II, nu, 855
(g. Rhyothemis sec. Brauer)

picta Hag., ên litt. (g. Lepthemis). . . . . . . .

platyptera Sel., Mitth.Z. Mus. Dresd., 1,516 (g. Tetra-
themis).

platyura Sundev., in litt. = caudalis Charp.

plebeja Burm., Handb., Il, 1, 856 (Libellulin. gen.?).

plebeja Ramb., 4. Névr., 107 (g. Erythrodiplax sec.
Brauer) . NL RRQ 5 2

pleurosticta Burm., Handb., II, 11, 849 (g. Macro-
themis sec. Hagen) .

pleurosticta Hag. — Celeno Sel.

plumbea Uhler, Proc. Acad. Phil., 1857, 87 (g. Libel-
lula sec. Hagen) . ro Us Nes

Plutonia Sel., Ann. Soc. Ent. Belg., XXVII, 89, = fuli-
ginosa Sel. var. .

Poeyi Scudder — didyma Sel.

Polleni Sel., in Poll. et Van Dam, Rech. s. la [. d. Mad.
Ins., 18, pl. I, f. A (g. Neophlebia) .

polysticta Burm., Handb., Il., 856 = ? superba Hagen .

pontica Sel, Ann. S. Ent. Belg., XXXI, 12, — fulva

Mull. var.

Mexique.

Pérou.

Hong-Kong.

Java, Célèbes, Bombay.

Japon, Chine.

Brésil.

Java.

Brésil ?? ou Afrique ?

Bengale.

Amérique du Sud

Chili.

Brésil.

États-Unis.

Japon.

Madagascar.

Asie mineure, Syrie.

Prise

(51)

Portia Drury, Ex. Ent., 11, 96, pl. 47, f. 5. — Ramb,

H. Névr., 150 (g. Palpopleura) . . . . . . . Sierra-Leone.
postica Hag., in lité. (g. Diplax) . . . . . . . . Brésil.
præcox Hag., Syn. Neur. N. Amer., 164 (g. Dythemis). Mexique.
prænubila Newm.=— quadrimaculata L. var.
pretiosa Sel., Mitth. Z. Mus. Dresd., NI, 299 (g. Rhyo-

NES) PNR AU TUE ATEN, 1.1.2 Ternates
Priapea Sel. ibid., 510 (g. Lyriothemis) . . . . . Singapore.
prodita Hag., in lit. (g Nannothemis). . . . . . Brésil.
Proserpina Sel. Mitth. Z. Mus. Dresd., 514 (g. Tri-

DRESSÉ EE le ler, dhika t xMoluques:
proxima Hag., in litt. (g. Leucorhinia). . . . . . États-Unis.
pruinans Sel., Mitth. Z. Mus. Dresd., WI, 508 (g. Orchi-

ÉREMIS) US ME OR SU etre 27e Mec Danka:

pruinosa Burm., Handb., II, n, 858. — Brauer, Verh.
z.-b. Ges. Wien., XV, 1015 (g. Libella) . . . Inde, Chine, Java, Philipp.
pruinosa Kaup., in litt. — Duivenbodei Brauer.
Pseudosophronia Brauer, Verh. 3.-b. Ges. Wien,
VIA Voculata Fabr- var MON NICE
pulchella Drury, Exot. Ent. I, 119, pl. 48, f. 5. —
Ramb., Z. Névr., 54 (g. Libellula sec. Hagen), . . États-Unis, Canada.
pulchella Burm. — Amanda Hag.
pulcherrima Brauer, Sitz.-Ber. K. Ak. d. Wiss. Wien,
LXXVII, 198 (g. Orchithemis). . . . . . . . Malacca.
pulla Burm., Zandb., 11, n, 855 (g. Diplax sec. Brauer). Surinam.
pullata Burm., tbid., 854. — Ramb., Z. Névr., 156,
pl. 5, f.4(g. Diastatops) . . . . . . .

Céram, Chine?

pygmæa Ramb , Z Névr., 27, pl. 2, f.1(g. Nannophya). Malacca, Amboine.
pygmæa Brauer, V’erh. z3.-b. Ges. Wien, XVII, 297
tetRhyothemis) His. ED A Ne Guinée:

quadra Ramb., H. Névr., 51, pl. 2, f. 5. = imbuta Burm.
quadrifasciata Donov. — fulva Muller.
quadrimaculata Linné, S. Nat., II, 901. — Sel., Rev.
Od., 7. — Charpent., Lib. europ., t. II (g. Libellula). Europe, Sibérie.
quadripunctata Fabr. = quadrimaculata L.

quadrivittata Hag., in litt. (g. Tramea sec. Brauer). Célèbes, Amboine.

(52)

quadrupla Say, Journ. Ac. Philad., VIIT, 25 (g. Libel-

lula sec. Hagen) . . . Ass 27. ei LRO ENT II TU ON ETALENEES
quatuornotata Brauer, Verh. pe Ges. Wien, XVII,

298 (g. Agrionoptera) . . . . . . . . . . Menado.

Ramburi Sel, Rev. Zool., 1847. — Expl. Alq., pl. I, f. 7.

— Rev. Odon., 20 (g. Libella). Sardaigne, Sicile, Algérie, Candie, Égypte.
Ramburi Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien., XVI, 568 =

palliata Ramb. var. . . . . . IEEE NICÉrANe
Ransonneti Brauer, tbid., XV, 1009. — Sel., Ann. S. E.

Bèlg., XXXI, 20 (g. Libella) . . . :. . . . . . Sinaï

rapax Hag , in lite. (g. Dythemis). . . . . . . . Vénézuéla.
regia Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 24 (g. Rhyo-

themis). SR TT ce NES ER AOIE CONTRE
resplendens Sel., Müitth. Zool. Mus. Dresd., II, 500

(g. Rhyothemis). . . . . . Ê . + N.-Guinée, Batchian.
reticulata Kirby, Proc. Zool. Red à 1886, 528, pl. 55,

f. 8,9 (g. Crocothemis) . . . . . . . . . . Inde nord-ouest.

rhætica Buchecker = ? Fonscolombii Selys.
Roeseli Curtis — sanguinea Muller.
Rosenbergi Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVI, 564
(Rs Lranrea) EME UE Me TA AREANCERR RS
rubella Brullé — Fonscolombii Selys.
rubicunda Linné, S. Nat., 11, 902. — Sel., Rev. Od., 55
(g. Leucorhinia) . . . . . . . . . . . . Europe tempérée.
rubicunda Steph. = fulva Muller.
rubicunda Curtis — dubia Vanderl.
rubicunda Ramb. — pectoralis Charp.
rubicundula Say, Journ. Acad. Philad., VII, 26
(g. Diplax sec. Hagen) . . . . . . . États-Unis, Amérique anglaise.
rubiginosa Hoffmans., èn lilt. = fulva Muller.
rubra Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVIIL, 556 (g. Nan-
DOUIPINX),; 472 FASSENT IA ANNEES
rubra Fuessly — pedemontana Allioni.
rubra Muller — flaveola L.
rubrinervis Selys, Rev. Zoo!., 1841,244. — Expl. Alg.,

pl. I, 1. 5. — Rev. Odon., 26 (g. Trithemis). Sicile, Algérie, Sénégal, Syrie.

(55)

rubriventris Blanchard, Voy. de d’'Orb., 217, pl. 28, f. 4
(g. Erythemis sec. Brauer) . . . . . . . . . (Corrientes.
rufa Ramb., 4. Névr., 71 (g. Erythemis sec. Brauer). Java.
rufa Oliv., in lit. = erythræa Brullé.
ruficollis Hag. = Fonscolombii Selys.
ruficollis Charp. = striolata Charp.
rufinervis Burm., Handb, I, 11, 850 (g. Dythemis
SÉCABrAUer) I ET OL EE TR ET 1 Cuba; S=Domineue:
rufosiigma Newm. = sanguinea Muller.
ruralis Burm. = umbrata L.

Sabina Drury, Ex. Ent. I, pl. 48, f. 4. — Ramb,

H. Névr., 47 (g. Lepthemis sec. Brauer. Indes, Chine, archipel malais, Australie septentr,
Sallei Sel. — pertinax Hagen.
samoensis Brauer, Verh. 3.-b. Ges, Wien, XVII, 22

NAT AMER)E NUE UT NET US ANT ARter Salt US Samoa;
sanguinea Muller, Faun. Friedrichsd., n° 547. — Sel.

Rev. Odon., 51.— Expl. Alg., pl. f.5(g. Diplax). Eur. temp., Asie mineure, Algérie,
sanguinea Burm., Handb., II, 1, 858 (g. Urothemis

SECABLAUEL) A ES LE AU TIM ET ATMadras,
sanguinolenta Burm., Aandb., Il, 11, 859 (g. Croco-

Ihemis sec Brauer)s Ra Les 2 7 Cap de BFESpér:
sardoa Ramb., 4. Névr., 68. — Sel., Rev. Od., 16

— brunnea Fonscol., var. . . . UM PSaniaigne:
saturata Uhler, Proc. Acad. Philad., 1857, 88 à Libel-

lula sec. Hagen) . . . . . . . . . . Yellowstone, Montana, Arizona.
scotica Donov., Nat. Hist. of Bril. Ins., t. p. .—

Sel., Rev. Od., 48. — Charp., Lib. eur., t. XIT (nigra)

(g. Diplax). . . Eur. temp. et septentr., Asie septentr., Amérique boréale.
Selika Sel, in Pollen et Van Dam, Rech. 5. l. f. d. Mad.,

Ins., 16 (g. Trithemis). . . . . . . . . . . Madagascar.
semiaurea Hag., in lilt, (g. Nannothemis). . . . . Para.
semicincta Say, Journ. Acad, Philad., VIU, 27 (g.Diplax

Be Hagen) à (AL. 4 NE RE (CE UNE: ERA US
semifasciata Burm, Handb., II, 11, 862 (g. Libellula
SEC Hapen}i Tr SOUMET Ne RS Amérique da:Nord.

semivitrea Burm. = Portia Drury.

6]

(54)

separata Sel. = hemihyalina J. Desjard.
serva Fabr. = trimaculata De Geer.
Servilia Drury, Exot. Ent., I, 117, pl. 47, f. 6. — Ramb.,

H. Névr.,80 (g. Crocothemis sec. Brauer). Indes orientales, Chine, Australie.

sexlineata Sel., Ann. Mus. Genov., XIV, 504 (g. Agrio-

noptera) 0:74 URSS NEC en EMA IA GE
sexmaculata Fabr., Ent. syst., Il, 581. — Burm., Handb.,

I, 11, 860. — Ramb., A. Névr., 126 (g. Palpopleura). Chine.
sibirica Gmelin = pedemontana Allioni.
sicula Hag. = striolata Charp.
signata Ramb., 4. Névr., 117 (Libellulinar. gen.?). . . ?
similata Ramb., 4H Névr., 56 (g. Tramea sec. Brauer). Calcutta.
similis Sel, Ann. Mus. Gen., XIV, 503 = insignis

Ramb., var. : . . ... . . . . - . Halmaheira, Ternate /Ampome

simplex Ramb., 4. Vévr., 121 (g. Tramea sec. Brauer). Cuba.
simplex Hag. = Marcella Sel.
simplicicollis Say, Journ. Ac. Philad., VIII, 28 (g. Meso-

thermis'séc Hagen)e LAINE PIE IEEE États-Unis, Mexique, Cuba.

simulans Sel., Ann. Mus. Gen, XIV, 500 (g. Agrio-
noptera) Vo Fee eu Fes el apte er AMAlACTENTERRES
sinensis Sel., Ann. Soc. Ent. Belg., XXVII, 140

(MDI NT (0 Ce RE RTE LT EIRE
sinuata Fabr. = Portia Drury.
smaragdina Sel., Mitth. Z. Mus. Dresd., WI, 520. —

Ann. Mus. Gen., XIV, 506 (g. Diplacina ?). . . . N.-Guinée.
Snelleni Sel., ibid., 299 (g. Rhyothemis) . . . . . Célèbes.
sobrina Ramb, 4. Névr., 114 (g. Diplax sec. Brauer). Brésil.
socia Ramb. = longipennis Burm.

Sophronia Drury, £x. Ent. Il, 97, pl. 47, f. 4. — Ramb.

H, Névr., 198. — Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien,

XVII, 9 (g. Neurothemis) . . . . .. . . .. -, Chine
soror Ramb., 4. Névr., 82 (g. Trithemis sec. Brauer). ?
soror Brauer = adelpha Sel.

Sparshalli Curtis = flavescens Fabr.
speciosa Ubler, Proc. 4cad. Phil., 1858 (?) = albistyla
SEL VAR: 118 Mer re de at EN DUAL

speclabilis Brittinger, in lit. — depressiuseula Selys.

PUS PO Te | Lin he

À se

desde © à à dde Gt dd de à ‘

ne...

( 35 )

specularis Hag. — cubensis Scudder.

splendida Ramb., A. Névr., 45 (g. Rhyothemis sec.
RUE) LME NT EU AO MC hiTe

stemmalis Burm., Zandb., Il, 11, 857 (g. Libella sec.

ÉTAT) EM MN ae Vies let AU IIIe Maurice
sterilis Hag., ên litt. (3. Dythemis) . . . . . . . Amérique méridion.
stictica Burm., Handb., II, 1, 850 (g. Trithemis sec.

BAUER EE MR a AU MN AIDER AA ANataL
stigmatizans Fabr., Ent. syst, Il, 575. — Ramb.,

A. Névr., 195 — oculata Fabr. var. . . . . . N.-Hollande.

striolata Charp., Libell. eur., 78, t. X, f, 2. — Sel., Rev.
Odon., 40. — Expl. Alg., pl. HE, f. 2(g. Diplax). Eur, oceid, et mérid., Alg., Asie min,
stylata Ramb., H. Névr., 57 (g. Tramea sec. Brauer). Célèbes, Bombay.
subbinotata Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 811

Rene) Girl EE 37 RTÉSN.
subfasciata Burm. — umbrata L.
subfasciolata Brauer, Verh. 3.-b. Ges.. Wien, XV, 506

(eibella)n "et 2€ 110 5 . . . . Cap de B.-Espérance.
subornata Hagen, Syn. Neur. N. Amer., 149 ne Libel-

AA nn à «15 on) SIA OL Texas, N-Mexique;Sän Diego!
subphyllis Sel, An. Soc. Esp. Hist. nat., XI, 9 —

Phyllis Sulzer var. . . : EME MP HT iIppines

subpruinosa Kirby, Proc. Zool. Soc., 1886, 526, pl. 55,

PE DIE) 6 tnt) nat s + . . . Inde nord-ouest.
superba Hagen, Syn. Neur. N. Amer., 148 (g. Ery-

ÉRCOdIDIaR) NES COMTE IE UE 0 Mexique:
sylvatica Hansem., in lit. — scotica Don.
sylvicola Hag., in litt. = albifrons Burm.

tabida Hagen, in litt. (g. Dythemis). . . . . . . Bahia.
tæniolata Schneider, Stett. Ent. Z., 1845, 111. — Sel.,

Rev. Odon., 290 (g. Libella). . . . . . .'. . Rhodes.
tenera Say — Domitia Drury.
tenerrima Buchecker = ? scotica Don.
tenuicincla Say-— Domitia Drury.
tenuis Hag., an litt. (g. Macrothemis) . . . . . . Brésil.

terminalis Burm. = flavescens Fabr.

( 36)

ternaria Say — quadrimaculata L. et semifasciata

Burm.
tessellata Burm., Zandb., II, 1, 849 (g. Dythemis
sec. Brauer), SN EAN IE RE NUAORATEART AI CIRTENRS

tessellata Ramb. = sterilis Hag.
testacea Burm., Zandb., 11, 11, 859 (g. Libella sec.

Brauer) 10e . . + . Java, Bornéo,Philipp.

tetra Ramb., Z. Névr., 119 (g. CR sec. Brauer). I. Maurice.
Thaïis Hag., ên lilt. (g. Perithemis) . . . . . . . Amazone.
thoracantha Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 299.

— Sel., Mitth. Z. Mus. Dresd., II, 502 (g. Brachy-

diplax). . . . . . . . . . . . N.-Guinée, Céram, Halmabheira.

Tillarga Fab, Ent. syst. Suppl, 285. — Ramb.
H, Névr., 59. — Burm., Zandb. Il, 11, 852. — Pal. de
Beauv., /ns.d'Afr. et Am., pl.2(pallida) (g. Tholymis

secs Brauer) 2 in ae el RM LT ES A ME IR eS DAC RER

tincta Ramb., Z, Névr., 135 (g. Diastatops) . . . . Brésil, Guyane.
transmarina Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 21

(@, Eramea)#" 5.20. . I. Viti, Samoa.
triangularis Sel., Mitt. Z. Mus. Dresd., III, 514 Gi! Li-
bella) F4 ion ON LARIOS LOS SR QT TERRES

triedra Muller = ? albifrons Burm.
trimaculata De Geer, Zns., II, 556, t. 26, f. 25. —

Burm., Handb., II, 11, 861. — Ramb., Z. Névr., 52. —

Drury, Ex. Ent., I, 116, pl. 47, f, 4 (Lydia) (g. Libel-

Iula sec Hagen)" Lee MR NL . . . . Amérique du Nord.
trinacria Sel., Rev. Zool., 1841, 244. — Rev. Od., 4. —

Ramb., Z. Wévr., pl. 5, f. 1 (Bremii) (g. Lepthemis). Égypte, Sénégal, Sicile,
tripartila Burm. = umbrafa L.
triquetra Hoffmanns., in litt. — cœrulescens Fabr.
trivialis Ramb., Æ. Mévr., 115 (g. Diplax sec.

Brauer) . . . Java, Philippines, Japon, Ceylan, Bombay, N.-Guin., Seych.

trivirgata Mus. Berol., én lite. (Libellulinar. gen.?) . . ?
truncatula Ramb. = longipennis Burm.

Tullia Drury — equestris Fabr.

typographa Hag., in litt. (g. Dythemis). . . . . . Chili.

De. nds

FT DS TR TN eee PS ENV EN TIENNENOI TI

(872

umbrata Linn., S. Nat., II, 905. — Burm , Zandb , Il, u,
856. — De Geer, Wém., IT, t. 26, f. 4 (unifasciata)

(g. Erythrodiplax sec. Brauer) . . . . . . . Brésil, Surinam.
unicolor Sel. Milth. Z. Mus Dresd., 111, 501 — ocu-
TRAME BLE VAT 21108 AMEN EEE MT A LE GÉIÈDeS,

unifasciata Oliv. (in op. ?) — Ramb., Z. Wévr., 108

(g. Trithemis sec. Brauer) . . . . . . . Algérie, Égypte, Sénégal.
unifasciata De Geer — umbrata L.
uniformis Sel., Ann. S. Ent. Belg., XXVII, 92 et

XVIII 221(2 2DipDlax) EM EU CN M Japon.
unimaculata De Geer, Mém., HI, pl. 26, f. 5. — Burm,

ÆHandb., Il, 11, 855. — Ramb., Æ. Mévr., 111

(enDiplax sec. Brauer). :. 4,101. m0 Brésil, Surinam:

vacua Hag., Stett. Ent. Z., XXNIII, 91 (g. Diplax). . . Saskatchewan.
vacua Hag., ta lit. (g. so sec. Brauer). . +. Java.
variegata Linné, S. Nat., Il, 903. — Ramb., H. Névr.,

44. — Drury, Ex. Ent. 11, 94, pl. 46, f. 1 (g. Rhyo-

themis sec. Brauer) . . . . . ins . | Indes, Chine.
variegata Fabr, Ent. sysl., I[, 382 k be

RARE MR MED MRQ NUS MANN LE nor BORN:
variegata Muller = ? striolata Charp.
velox Hag., Syn. Neur. N. Amer., 163 (g. Dythemis). Texas.
venosa Burm., Handb, II, 11, 848 (g. Diplax sec. Brauer). Bahia.
verbenata Hag. — Attala Sel.
veronensis Steph , in lilt. = striolata Charp.
veronensis Curtis = vulgata L.
veronensis Charp. = scotica Don.
versicolor Fabr. — pulchella Drury.
vesiculosa Fabr., Ent. syst., 11, 577. — Burm., ÆZandb.,

IL, 11, 857. — Ramb., 4. Névr., 50 (g. Lepthemis

sec. Brauer). : . . PLEIN ENT: 01 Bresil Antilles:
vestita Ramb., 4. Névr., 132 3,f. 2 (g. Palpopleura). Madagascar.
vibex Hag., Syn. Neur. N. Amer., 159 (g. Libellula)}. . Mexique.
vibrans Fabr., Ent. syst., IL, 380. — Ramb., ÆZ. Wévr.,

126 (Libellulinar. gen.?). . . . . SP OTEEN M
vicina Hag., Syn. Neur. N. Amer , 175 Fe DE . États-Unis, Canada

(58 )

victoria Fourcroy = flaveola L.

vidua Sel., Mitth. Z. Mus. Dresd., I, 500 (g. Libellula). Menado.

vilis Ramb., A. Névr.,, 98 (g. Diplax sec. Brauer), . . Buenos-Ayres.
villosovittata Brauer, Verh. z -b. Ges. Wien, XVIH,167

(8. Libella), . . . . . . . . . . . Amboine, N.-Guinée, Cap York.

vinosa Scudder = rufinervis Burm.

violacea De Geer = fasciata Fabr.

virginia Ramb. = chinensis De Geer.

virgula Sel., Ann. S. Ent. Belg., XXNIII, 44 = illota

Hag. var. . , ... . . . . . . . . Mexique, Amérique centrale.

viridula Pal. de Beauv. — flavescens Fabr.

vitellina Brauer, Verh. z.-b. Ges. Wien, XVII, 184
(g{Rhyothemis). 44 !5 oi La MON CRM Pelle

vulgata Linné, S, Wat., II, 901. — Sel., Rev. Od., 45. —

Charp., Lib. europ., t. XI (g. Diplax) . . Europe centr. et septentr., Sibérie,

vulgata Selys, Mon. Libell., 50 — striolata Charp.
vulgata Scopoli = cœrulescens Fabr.

vulgatissima Hansem., in lil. = sanguinea Muller.
WrightiiSelys, Ann.S. Ent. Belg., XH1,96 (g. Libellula). Seychelles.
Zephyra Selys in litt. (g. Macrothemis). . . . . . Brésil.

zonata Burm., Handb., I, 11, 859. — Selys, Ann. S. Ent.
Belg , XX VII, 97 (g. Libellula) . . . . . . . . Chine, Japon.

SEE

LES FIGURES AFFINEMENT VARIABLES;

PAR

M. J. NEUBERG,

’UNIVERSITÉ DE LIÈGE

SUR

LES FIGURES AFFINEMENT VARIABLES.

1. Soit M le centre de gravité de trois points M,, M, M;
chargés, respectivement, des masses m,,Mm3, m;. Supposons que
les points M,, M, M; décrivent, simultanément, les lignes
A,B,, A2B», A;B3, situées dans un même plan; M décrira, dans le
même temps, une ligne AB. Le système des points M, M,,M,,M;,
à chaque instant du mouvement est, suivant une expression
employée par Euler et par Môbius, affine à lui-même, et on
peut lui adjoindre de nouveaux points en considérant les
centres de gravité d’autres masses attachées aux points mobiles
M,, M, M3.

Soit O un point fixe du plan A,B,A,B. Le rayon vecteur OM,
en tournant autour de O dans un certain sens, engendre une
aire posilive; lorsqu'il tourne en sens contraire, il engendre une
aire négative; lorsqu'il tourne, tantôt dans un sens, tantôt dans
l’autre, la somme algébrique des aires qu’il aura engendrées
suecessivement, sera ce que nous appellerons aire déterminée
par le mobile M. Dans certains cas, cette aire est nulle.

Rapportons la figure à deux axes rectangulaires OX, OY.
Soient (x4, ya); (2, Ya), (rs, Ys), (x, y) les coordonnées des points
M,, M, M;, M; nous les regardons comme des fonclions du
temps t. On sait que

MX + Mal + Mas

————— ———————————

Mi + Mo + Ms

MY + Mia + Maÿs

M + Ma + Ms

(C4)

Désignons par S, S;, Sa, S; les aires déterminées par les vec-
teurs OM, OM,, OM, , OM; pendant le temps !; — /, du mouve-
ment. Nous aurons

24S — (xdy — ydx)
max, +) (nudy, +2) — (my +) (mile, +2) À (2)

(m, + m3 + m3)

Le numérateur de la dernière fraction est une fonction du
second degré en m,,m,,m;. Les coefficients de m?, m3, m% sont
égaux à 24S,, 24S,, 24S;. Celui de mm, peut prendre la
forme

— (ts — &+) d{ys — y) + (y — V2) dix, — x3)

+ ady, — Yidxs + xedys -— y:dx2.

Appelons aire relative déterminée par le segment M,M:, l'aire
S,;2 que détermine une droite ON; égale et parallèle à M,M,;
les coordonnées de N; étant égales à 3 — x,, y — y, 0n a

24S;a — (%e — x) d(ys so Un = (y — y») d(x: nr x),

et le coefficient de m,m, est égal à 2{4S, + dS3 — dSy2). En
intégrant les deux membres de (2) entre les limites 4, et to, on
obtient la formule

(ma, + mas + MS = (mm, + ms + m;) (mS, + mS, + msS5) }

(5)

— (memsS25 + mms; + Mons ,s), \
déjà signalée par M. Leudesdorf (voir Messenger, t. VII, p. 11).

2. Représentons par g{(m) le second membre de cette égalité,
et considérons m,, m2, m3; Comme élant les coordonnées bary-
centriques de M par rapport au triangle de référence M,M,M;.

Nous remarquons d’abord que le lieu des points M qui, pen-
dant le mouvement du triangle M,M,\;, de la position A,AsÂ;
à la position B,B,B;, déterminent une aire nulle, est la conique,
réelle ou imaginaire, ayant pour équation g{m) = 0.

es dt LS 2, ns à

NT:

dr»

(5)

Pour abréger le langage, nous désignons cette courbe par la
lettre o.

Les points situés à l'infini sur o sont définis par les équa-
tions

M +Mo+ M —=0, MmmSs + MMS + MMSy = 0.

On conclut de là que la conique des aires nulles appartient
au genre ellipse, hyperbole ou parabole, suivant que la quantité

Sos + Si + Sie — 2So5 yo — 2S51Sie — PS jo Sy
est négative, posilive ou nulle.

La forme de l'équation (3) montre que les points M qui déter-
minent des aîres égales, sont silués sur une conique concentrique
et homothélique à la conique des aires nulles.

Les coordonnées (u, Le, p;) du centre p: de l: conique y résui-
tent des équations

dy(u) dy(u) dy(x)

PARENTS 78 dus

Soient 9, 9’ les distances des points M et u à la polaire de M
par rapport à +; si l'on suppose m,+mMa+mM;=4 +2 +u;— 1,
on trouve aisément

dy(m) d?(m)
dd = dm": Y
A7 AN ie dim,

dm) & de
A NP NE vs (),
ue (LT PR
Il résulte de là que
d:d—k;(m),

k élant une constante, indépendante de M. Par conséquent :

L’aire déterminée par un point M d’une figure affinement
variable, est proportionnelle au quotient des perpendiculaires
abaissées de ce point et du centre de la conique des aires nulles,
sur la polaire de M par rapport à cette conique.

(6

3. Pour définir le système affinement variable, nous pouvons
choisir trois points quelconques du système. Prenons pour ces
points les sommets d’un triangle M,M,M; autopolaire par rap-
port à la conique 9. Les coefficients des rectangles mm, mom,
mm, dans la fonction q(m), devront être nuls. Par conséquent

Si+ Si = Sy, S2+Ss—= Sas S5s+ Si = Su, (4)

(nm, + ma + m3) S — mis, + mis, + MmSS;. (5)

On peut prendre arbitrairement le sommet M, du triangle
conjugué ; les sommets M,, M; sont deux points conjugués d’une
certaine involution ayant pour support la polaire de M,. Combi-
pant celle remarque avec les relations (4), on arrive à la propo-
silion suivante :

“Si l’on considère une figure affinement variable, on peut
trouver une infinilé de couples de points M, , M; tels, que l’aire
relative déterminée par le segment MM; entre deux posilions
données de la figure, soit égale à la somme des aires délerminées
par les points M,, M;. À chacun de ces couples, on peut adjoindre
un troisième point M,, tel que les couples M,M:, M,M; jouissent
de la même propriélé que le couple M,M;.

Plus généralement, prenons pour M,M,M; un triangle auto-
polaire par rapport à une conique dont tous les points détermi-
nent une aire donnée S. L'équation (3) représente une telle
courbe; en exprimant que les rectangles mimo, mom, Msn Y
manquent, on trouve

2S—S, + S3 — Sie = Sa + Ss — Sos = S5 + Si — Su,
(ani + m3 + mi)S = 2miS,.

De là, on couclut le théorème suivant :

Dans le mouvement d’une figure affinement variable, d’une
première position à une autre, il existe une infinité de triangles
MMM; tels, que l’excès de la somme des aires déterminées par
deux sommets sur l'aire relative déterminée par le côte corres-
pondant, a une valeur constante 2S. Tous ces triangles sont

Te

CF)

conjugués par rapport à une conique fixe, et les points de cette
conique déterminent une aire égale à S. L’équation de la courbe,
en coordonnées barycentriques, est

Xmi{S — S,) — 0.
Pour l'équation (3), nous pourrons également écrire :
(m, + m+ m3) (S — S") = o(m) — (m, + m: + ms)S". (6)

Le deuxième membre de cette égalité étant égalé à zéro
représente la conique dont tous les points déterminent l’aire S'.
Si MMM; est un triangle autopolaire par rapport à cette
courbe, on a, d’après ce qu’on vient de voir,

2 = Si + Se — Sie = So + S3 — Sos = S3 + Si — Su,
et l'équation (6) se réduit à
(m, + ma + m3} (S —S') = MAS, — S') + miS: — S') + mi(S; — S').
Nous ne nous arrêtons pas à l’interpréter géométriquement.

4. La conique des aires nulles peut se réduire à une droite.
Cette circonstance se présente lorsque Sa — Sos — S51 = 0;
alors la formule (3) devient

(ms + me + Ms)S = MS, + m8: + Mm;S;.
33

Le lieu des points qui déterminent une aire nulle, est la droite
représentée par
NS: + MS: + MS; = 0.

Tous les points d’une droite parallèle à la précédente déter-
minent une même aire; cette aire est proportionnelle à la dis-
tance des deux droites.

5. Supposons maintenant que le triangle M,M,M; se déplace
en restant toujours semblable à lui-même. Ses trois côtés, à
chaque instant, ont même vitesse angulaire, et les extrémités de

(8)

trois droites ON,, ON,, ON; constamment égales el parallèles
à MM;, M;M,, MM décrivent des courbes homothétiques.
Par conséquent, les aires Sy, S23, S3y Sont proportionnelles
à M,M,, MM, MM. Si donc &;, &, a; sont les longueurs des
côtés du triangle A,A2A;, on peut écrire

(ma, + Me + MS) S = (mm, + Me + Ms) (MS: + MS: + MS)

— k{afmam; + aim, + aimims),

k étant une constante. Or, la circonférence M,M,M; a pour
équation en coordonnées barycentriques

Mes + AMEN + UMyMe = 0;
donc l’équation

1 :
k 2m,È2m,S, == Zaim;m; ==10

représente également une circonférence, et si l'on suppose
Em, — 1, le premier membre est égal à la puissance de cette
circonférence par rapport au point (m4, m2, m;). Nous déduisons
de là le théorème suivant :

Lorsqu'une figure plane se meut en restant toujours semblable
à elle-même, l'aire déterminée par l’un de ses points est propor-
tionnelle à la puissance de ce point par rapport à une circon-
férence fixe; lous les points qui délerminent la même aire
appartiennent à une même circonférence.

C’est là une généralisation d’un théorème connu. Pour l’his-
torique de ce théorème et les conséquences, nous renvoyons le
lecteur à deux articles intéressants, dus à M. Liguine et à M. Dar-
boux (Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques,

t. 11, 2° série, pp. 506-333, 353-556).

6. Considérons maintenant n points M,, M,,…, M,, chargés
des masses m3, Ma, .…, M, el décrivant, dans le même plan, les
courbes A,B,, AB, …, A,B,; leur centre de gravité M décrit
une courbe déterminée AB. En adoptant des notations ana-

C0)
logues à celles qui ont déjà été employées, on trouve la relation

(m,--m++m, ŸS = (m,+ m4 +m,) (nn Si+mSit +m,s,) |

(6)

— (in MS se + MaMsSos +»). \
Menons les droites ON,,, OC,,, OD,, respectivement égales et
parallèles aux droites M,M,, A,A,, B,B.. Si nous faisons parcourir
aux points M,, M:, …, avec des vitesses uniformes, les droites
A,B,, A,B;, …, les points M, Ni, Nos, … décrivent uniformément
les droites AB, C;2Dy9, CosD9s, … Donc en désignant par T, T,,

T,, les aires des triangles OAB, OA,B,, OC,,D.., on peut écrire

(nimes 4m, JT = (nitmettm,) (nTe+meT + +, T,) )

( (7)
— (mimTe + MMM T 25 + v…) ]

La démonstration directe de cette égalité n’offre aucune diffi-
culté. En effel, si (œ, B), (æ, B), …, (y, 9); (71, da), … sont les
coordonnées des points À, A,,.…, B, B,,.….,ona

Zm,x, 2m,
ZEmB, 2m,

1

Un mat + m,)

L

et le dernier déterminant est une fonction du second degré en
Mi, Mo, .…, dans laquelle les coefficients de m?, mim;, … ont
pour valeurs 2T,, AT, + T, — T,:),

Revenons au cas où les trajectoires des points M,, M3, … sont
quelconques. En soustrayant l’une de l’autre les égalités (6) et (7),
et en posant

S— T — U, S; DE T, = U,, QLEE) Syo — Ty = Us, LOL
nous aurons la formule

(m,+m,+..+m,)Ù—=(m+m+...+m,) (nl, +mU:+e +m U,) | (8)
— (mime + Mam;Uss ++). \

La signification des quantités U, U,, …, U,2, … est très simple.

Au premier abord, on peut dire que ce sont les aires comprises

entre les arcs de courbe AB, A,B,, …, C,2D,2, … et leurs cordes.

(10)

Mais pour mieux préciser, nous dirons que ce sont les aires
engendrées par les rayons AM, A,M,,.., C,9N,2, .… entre la posi-
tion initiale et la position finale du système mobile.
L'égalité (8) peut être démontrée directement. Les coordon-
nées de A étant
Zma, 2m,b,
Em, : En

’

celles de M par rapport à des axes AX’, AY’ parallèles à OX, OY,

seront ï
Zm,x, 2m a, Zmi(x, sr #1) 2mi(y, as Gi) L

AT ME 2m, Ÿm,
d’où :
Zmi(x, — »,) Zmdx, | |
Emi(y; — B) Emdy, |’

2(m, + mm +. + m,)dU —

le dernier déterminant peut être développé et les coefficients des
rectangles 22,92, Mm9M;,… peuvent être transformés comme il a
été indiqué déjà plusieurs fois. Une intégration entre les limites
lo et !, conduit ensuite à la formule (8).

Les quantités Sa, Sos, .…, Tia, T5, … étant indépendantes de
la position particulière de l’origine O, on déduit, des formules (6)
et (7), que les expressions

MS +MSs+. +msS,

— ,

My + My ++ M,

MT, + MT. + m,T,

— es

LORS Ses ft | LP

ne varient pas avec la position de O.

77. Conservant les notations précédentes et posant

Mi+ Mit +M, = — M,

on à
MX + Ml + Mols ++ MT, = 0, (9)
MY + MY + Mae + + MY, = 0, (10)

M + Mu + Mate + M, = 0. (1)

CA}

Le système des points M, M,, M2. …, M,, chargés respective-
ment des masses m, M, Ma, …, m,, COnStitue ce que l’on a
appelé un système indifférent.

D’après les égalités (9) et (10), on peut écrire

Zmx ZEmdx
Z2my 2mdy

?

Y

les sommes s'étendant aux indices O, 1, 2, …, n. Développant
ce déterminant et intégrant, on trouve

Zm2mS — Emm, Sy = 0,
ou simplement, à cause de (11),
SImmiSu — 0. (12)

Donc lorsqu'un système indifférent de masses se meut d’une
manière quelconque dans un même plan, la somme de tous les
produits de deux masses quelconques du système, mullipliés par
l'aire relative engendrée par la droite qui les joint, est identique-
ment nulle.

On peut mettre l'égalité (12) sous la forme

i— m) (MiSo 2e mSo +... + M2S02) == Z2mimSy,

la somme £ étant étendue à toutes les combinaisons des indices
1,2, …, n, pris deux à deux. Cette formule établit une relation
entre les aires relalives engendrées par les droites joignant, deux
à deux, les masses d’un système mobile dans un même plan, et
les aires relatives engendrées par les droites joignant ces points
à leur centre de gravité.

8. Prenons » — 5, et supposons le triangle M,M,M; de forme
invariable. Les aires Sos, Sie, … Sont alors proportionnelles aux
carrés des droites MM,, M,M, …., et les masses m, m, , ma, m;
sont proportionnelles aux aires

MMM, —MMM, MMM, — MMM. (13)

(12)
L’équation (12), dans ce cas, équivaut à celle-ci :
2 + MMM, . MMM . MM, — 0.

Désignons par R, R;, R,, R;les rayons des cercles circonscrits
aux triangles M,M,M;, MM;M, M;MM,, MMM, ces rayons ayant
les mêmes signes que les termes correspondants de la ligne (13).
Nous pouvons alors écrire

MM, . MML(RR, + RR;) + MM. MM(RR, + RR:)
+ MM; . MM (RR; = 1 R,R;) = 0,

Lorsque le quadrilatère MM,M,M; est inscriptible à un cercle,
on retrouve un Théorème de Ptolémée.

EXPÉRIENCES

SUR

L'INTENSITÉ RELATIVE DES HARMONIQUES

DANS LES TIMBRES DE LA VOIX,
FAITES
AU LABORATOIRE DE PHYSIQUE DE L'UNIVERSITÉ DE LIÈGE
PAR
M. F. V. DWELSHAUVERS,
EN COLLABORATION

sis M. F. DERUYTS, sous la direction de M. PÉRARD.

EXPÉRIENCES

SUR

L'INTENSITÉ RELATIVE DES HARMONIQUES

DANS LES TIMBRES DE LA VOIX,
FAITES

AU LABORATOIRE DE PHYSIQUE DE L'UNIVERSITE DE LIÈGE.

Les premiers essais, commencés dans le mois d’octobre 1888,
au laboratoire de physique du doctorat, ont été dirigés comme
suil :

On a cherché à produire les voyelles et les combinaisons de

voyelles :
, CRE ONUIU, OUT EU

au moyen de l’appareil de Helmholtz, composé de diapasons
vibrant suivant les harmoniques d’un son donné et munis de
résonnateurs appropriés, appareil antérieurement exécuté par
M. Koenig (").

Les dix diapasons dont se compose cet appareil sont accordés
sur les notes suivantes :

No 9 5 10

Not. musicale. a ——
Not. française. %, Ut; Sol, Ut, Mi, Sol, Sib., Ut, Re, Mi,
Not. adoptée . CAC ES AC AB AGE BE ANCELMRAP ARE

(‘) Hezmuozrz, Théorie physiologique de la Musique, trad. fr., chap. VI,
et Suppl, VII.

(4)

On voit que notre notation s'approche de la notation alle-
mande. La notation française se trouve inscrite sur l’instrument
même. Le moteur est à l'unisson de Co.

L'addition des deux harmoniques D, et E, a eu une grande
influence sur certains de nos essais. Ces harmoniques étaient
absents de l'appareil employé d’abord par M. Helmholtz, et c’est
dans cette circonstance que réside en partie l'intérêt de nos
expériences.

Dans nos premiers essais, nous avons voulu, pour éviter l’in-
fluence des préventions, faire des combinaisons quelconques des
harmoniques, et tàcher de déterminer à quelle voyelle, simple ou
composée, se rapportait le mieux chaque combinaison. Mais
aucune des personnes de l’assistance n’a pu, d’une façon satis-
faisante, pénétrer la confusion qui régnait dans ces combinaisons
faites au hasard.

Nous avons reconnu que le manque de guide était la cause
de cet échec, et nous avons recherché la direction nécessaire dans
un travail analytique préalable.

Nos analyses ont été faites au moyen des résonnateurs corres-
pondant aux capsules manométriques de M. Koenig (") et dont
les flammes de gaz étaient observées par la méthode des miroirs
tournants. Cet appareil, composé de huit résonnateurs, est
accordé suivant les notes Co, C3, G;, C:, Es, G,, B, et C3. Il
manque donc des deux harmoniques D, et E; que nous avons
reconnus importants dans la suite.

Pour faire les expériences, je me plaçais en face de l’appareil
et, avec ma voix de basse, J'attaquais fortement C;. Deux obser-
vateurs, M. Pérard et mon ami M. Fr. Deruyts, ont bien voulu
noter l’état des flammes pendant la tenue des sons, l’un étant

() Wüzzner, 4° éd. I, p. 726, fig. 262.

(5)

chargé des quatre flammes inférieures, l’autre des quatre
flammes supérieures. Les résultats ont élé exprimés par un
coefficient donné au juger et proportionnel à l’ampleur plus ou
moins grande des vibrations des flammes, c’est-à-dire à la lon-
gueur des dents ou franges des bandes lumineuses vues dans les
miroirs tournants.

Nous avons deux remarques à faire sur celte façon d’ob-
server :

1° Une voix de basse attaquant C;, chante dans le registre
supérieur, qualifié de voir mixte, par opposition à la voix de
poitrine, qui ne s'étend généralement que jusqu’à B,, soit un
ton plus bas que C2. Il serait intéressant de faire les mêmes
analyses sur une voix de ténor, pour laquelle le changement
de registre se trouve vers FE, c’est-à-dire que C, serait attaqué
en poitrine;

2° Les coefficients marqués à la vue des flammes sont de sim-
ples qualifications approximatives, des renseignements pour
opérer eusuite sur l'appareil d'Helmholtz.

Voici les résultats moyens obtenus :

us ? Ce Gz CG E, G . Cs
CE 1 5 i 5 2 2 1 2
é fl 4 1 2 1 2 1 l
i 1 5 1 2 0 0 0 1
où: 2 5 1 | 5 5 2 1 2
u . 1 4 1 CHEN 1 1 1
Te 2 4 2 4 2 1 1 1
ou. 1 3 2 1 2 0 1 1

D'après ce tableau, on voit que presque tous les hui! harmo-
niques de l'instrument concourent en général à la formation du

(6)

timbre d’une voyelle et que les différences ne proviennent que
des différences d’intensités des divers harmoniques. Chose
remarquable, le son fondamental a donné toujours un résultat
très faible, ce qui nous force à admettre que ce qui frappe le
plus dans la voix, ce sont les harmoniques et non la note chantée.
Comme l'addition d’harmoniques supérieurs a pour effet de
rendre le timbre plus mordant, comme on le verra plus loin, et
que la voix parlée est,en général, bien plus mordante que la voix
chantée, employée dans ces expériences, nous sommes induits à
croire que ce qui empêche de bien distinguer les notes sur
lesquelles notre discours est parlé, c'est non seulement que ces
notes ne font pas en général partie de la gamme chromatique,
mais encore que l'intensité du son fondamental est peu appré-
ciable en présence de celle des harmoniques et surtout des har-
moniques supérieurs. Nous croyons cette observation nouvelle
el nous nous réservons d’en tirer certaines conclusions relatives
à l'étude du chant.

Les résultats précédents sont ceux qui nous ont guidé dans la
suite de nos premières expériences. |

L'importance de l’intensité des harmoniques étant rendue
évidente, nous avons voulu déterminer d’une manière fixe la
puissance relative des divers harmoniques employés dans l'appa-
reil de Helmholtz. A cet effet, nous nous sommes servi des
résonnaleurs correspondant aux diapasons, en laissant toujours
leurs ouvertures complètement découvertes, mais en réglant les
distances des résonnateurs aux diapasons. Nous avons adapté
aux planchettes qui supportent les résonnateurs de petites règles,
divisées en millimètres, et dont le zéro correspond à la position
la plus rapprochée possible, position qui est, du reste, arbitraire
et qui dépend seulement de la construction de l'appareil. En
mesurant ainsi les distances des résonnateurs aux .diapasons,
préparés à l'obtention d’un certain effet, on a des points de
repère fixes pour l’intensité de chaque son.

(7)

Voici les différents résultats obtenus :

DISTANCES DES RÉSONNATEURS AUX DIAPASONS.

CONSONNANCES
ENTENDUES.

© ©

19
O1 ©

eu ou 0.

LD =
©

©z
© ©

e (muet).

QU ©

c

—

é.

1
2
5
4
>
6
7
8
9

1.

4 Ce
BARS SSEES ES OS Le SES

AE QI EE
Be 8 1879 88e gts

© 1

D =
QE

>
©

Le signe © marque que l’on arrêtait le fonctionnement du
diapason en dérivant le courant.

Nous avons les remarques suivantes à faire sur ces résullats :

1. L'expérience n° 1 à donné un o faible, mais semblable
comme limbre à celui que comportent les mots : os, oslracisme,
porte, comme.

Remarquons l'intensité relativement considérable du 7° har-
monique dans celte combinaison.

2 et 5. Ces expériences présentent un intérêt particulier. Le
son fondamental étant étouffé et, au contraire, les harmoniques
inférieurs, jusque et y compris le 8°, sonnant fortement, sauf
le 7°, on obtient un 6-a très sombre, assez semblable à l’a du
mot affectation prononcé d’une manière très affectée, el à cer-
taines prononciations défectueuses du mot allemand Ja, se rap-
prochant de lo.

Si l’on fait entrer D, et E; ensemble dans la combinaison, et
aussi fort que possible, le timbre change et l’on entend un a bien
franc, comme dans partir, régal, fatal. Voilà donc la confirma-

(52)

tion de l'existence d'harmoniques supérieurs dans certaines
voyelles. Pour notre part personnelle, nous pensons que des
harmoniques plus élevés encore que le 10° entrent dans la com-
position de la plupart des timbres et surtout des timbres stri-
dents. Les 11°, 12°, 13°, 14° et 15° harmoniques seraient
peut-être indispensables pour produire un son perçant. Dans
le cas présent surtout, ils se trouveraient dans une région à
laquelle notre oreille semble particulièrement sensible.

4. L’ou normal comporte les 2° et 8° harmoniques fortement,
avec renforcement du son fondamental. Ainsi qu’on l’a déjà fait
remarquer, ou est la syllabe la plus pauvre en harmoniques, sur-
tout lorsqu'il est un peu sombre.

5. Le mot allemand Aôren marque le mieux la qualité de l’eu
que nous avons obtenu. Cette syllabe est caractérisée par les
3° et 6° harmoniques.

6. On remarque les analogies de eu et de e (muet). On passe
de l’un à l’autre en renforçant les 2° et 4° harmoniques, ainsi
qu’en diminuant le 6° et le 8°. On obtient ainsi l’e des mots de,
que. En somme, les harmoniques caractéristiques de cette
voyelle sont les 2°, 3° et 4°.

7. è semble une consonnance assez mal déterminée, tant dans
le langage que par les décompositions en harmoniques. L’addi-
tion d'harmoniques supérieurs serait peut-être utile pour rendre
ce timbre mordant. Les indications notées se rapportent à un é
un peu sombre, comme ceux de pére, maitre (par opposition à
pair, mettre).

8. Le son é comprend les harmoniques supérieurs plus forte-
ment donnés que les inférieurs. Ce fait semble se répéter dans
les voyelles dites fermées et trouver son explication dans les
résonnances buccales (") propres aux différentes voyelles, ainsi
que dans les positions de la bouche pour les prononcer.

9. On obtient à en isolant le 8° harmonique parmi les supé-
rieurs et en donnant faiblement les harmoniques inférieurs.

10. u s'obtient par le renforcement des harmoniques 2° et 4°.

(*) Vioucr, Cours de Physique, W, p. 299.

(9)

Remarques générales.

Nous avons pu, au moyen des repères numériques adoptés,
faire certaines comparaisons fructueuses sur l'intensité relative
des harmoniques dans les timbres de la voix. La question nous
semblerait résolue si l’on parvenait à exprimer par une mesure
certaine l’intensité des sons. On pourrait prendre pour base de
cette mesure le travail nécessaire pour obtenir un son d'intensité
donnée, c’est-à-dire pour faire vibrer avec une certaine intensité
l'air atmosphérique à une pression donnée ("). Ce travail acous-
tique pourrait être ensuite exprimé en unités de chaleur, comme
on à coutume de le faire pour un travail mécanique quel-
conque. Pour unité de travail acoustique, on prendrait alors
l’intensilé sonore correspondant à une fraction suffisamment
petite de calorie.

C’est vers ce but que les tentatives doivent être à présent
dirigées. Les distances des résonnateurs indiquant des repères
pour l’intensité des sons, si cette intensité était exprimée en
nombre, on pourrait reproduire toujours un timbre connu par
ses harmoniques, ce qui complèterait l’étude du timbre.

Les harmoniques 9 et 10 n’ont été employés que pour la
voyelle a, quoique nous en ayions parlé au sujet de é; nous
croyons qu’ils entrent, ainsi que les supérieurs, dans maintes
autres voyelles. La question reste ouverte et sera résolue peut-
être en surmontant quelques difficultés expérimentales.

Nous croyons qu’il serait avantageux d’accorder la fondamen-
tale plus bas que C2, par exemple sur C, ou B,, comme l'avait
fait M. Helmholtz. Ce qui nous ferait préférer B,, c’est que les
résonnances buccales, pour la plupart des voyelles, sont appro-
chantes de B,, B,, etc. (”).

(‘) Vioze, loc. cit., p. 291.
(*) Inem, ibid., p. 299.

(10)

L’analyseur, composé du même nombre de résonnateurs que
l’autre appareil, et par exemple de 14 ou 15, serait d’ailleurs
accordé au même ton. Enfin, les analyses seraient faites sur un
grand nombre de voix. Dans le cas où l’on choisirait B,, ces voix
seraient forcément des basses-tailles; dans le cas de B,, on
pourrait prendre indifféramment des basses, des ténors et même
des altos (voix graves de femmes).

Nous espérons pouvoir étudier d’une façon approfondie cer-
taines parties de ces questions.

Liège, 6 décembre 1888.

st

REMARQUES

SUR UNE

TRANSFORMATION QUADRATIQUE
BIRATIONNELLE RÉCIPROQUE

PAR

M. d'OCAGNE,

INGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSSÉES.

REMARQUES

SUR UNE

TRANSFORMATION QUADRATIQUE

BIRATIONNELLE RÉCIPROQUE.

1. La transformation que nous avons en vue est la suivante :

A chaque point M du plan on fait correspondre un point M'
tel que le segment MM" soit vu de deux points fixes À et B sous
des angles droits.

On peut généraliser cette transformation de diverses manières,
par exemple en supposant les angles MAM' et MBM' constants
sans être droits. Nous avons, pour cette dernière transformation,
fait connaitre (”) la façon dont sont liées la normale en un point
d’une courbe et la normale au point correspondant de la trans-
formée. Mais celle transformation généralisée n’est plus réci-

proque (”).

2. Voici une manière de généraliser la transformation
ci-dessus définie en conservant la propriété de la réciprocité :

Remarquons d’abord que la délinition peut être ainsi
énoncée :

Le transformé M' de M est le point diamétralement opposé au
point M dans le cercle passant par les points M, A et B.

(*) Journ. de Math. spéc., 1888, p. 202.
(**) C’est par inadvertance que le mot réciproque figure dans Ie titre de
la Note citée. Ce mot n’est d’ailleurs pas prononcé dans le corps de la Note.

(4)

3. Dès lors, la généralisation dont nous voulons parler s’offre
d'elle-même par application de la méthode homographique et la
définition à laquelle on est conduit est la suivante :

Étant donnés, dans un plan, quatre points fixes À, B, C, D,
on prend un point M quelconque et, par ces cinq points, on fait
- passer une conique a; la droile, qui joint le point M au pôle de
CD relativement à s, coupe cette conique en un second point M’
qui est pris pour transformé de M.

4. Pour déduire les propriétés de cette transformation de
celles de la transformation définie au n° 2, il est bon de mettre
celles-ci sous une forme qui se prête aisément à l’application de
la méthode homographique.

Par exemple, la liaison géométrique entre deux normales
correspondantes, dont nous avons parlé plus haut, se prêterait
mal à cette application, mais on peut y substituer la relation
entre les tangentes, que nous allons établir ici.

Les points M et M’ étant diamétralement opposés dans le
cercle €, on voit bien aisément que l’on a, en prenant pour axe
des x la droite AB, pour axe des y la perpendiculaire élevée en
son milieu O, désignant par (x, y), (x’, y’) les coordonnées des
points M et M’, et posant AB — 2a,

dé a0, (1)
xx + yy + a — 0. (2)
De ces équations on déduit immédiatement

dy’ l
ya +r=y te,

égalité qui prouve que la perpendiculaire abaissée de M' sur la
tangente en M à une courbe décrite par ce point et la perpendi-
culaire abaissée de M sur la tangente en M’ à la transformée de
celle courbe, se coupent sur la droite AB.

Résultat qui peut encore s'énoncer ainsi :
Si les tangentes en M et en M' à deux courbes transformées

‘
A:
L

(5)

l’une de l’autre coupent le cercle € respectivement aux points T
et T', les droites MT’ et M'T se coupent sur la droite AB.

Ayant mis la relation entre les tangentes MT et M'T’ sous
cette forme, il suffit de remplacer dans cet énoncé le cercle c
par la conique co de la définition du n° 3 pour avoir le mode de
liaison des tangentes dans la transformation généralisée.

5. Comme autre exemple de généralisation, étudions les
transformées de droites.
Dans la transformation du n° 2, on voit qu’à la droite

Ax + By + C—0
correspond la conique

Bx° — Axy + Cy — Ba° = 0.

Donc, à une droite quelconque correspond une conique
passant par les points À et B et ayant une asymptote perpendi-
culaire à AB.

On voit, en outre, bien aisément que les asymptotes de cette
conique sont, en appelant | le point où la droite d donnée
coupe AB et [’ le symétrique de 1 par rapport au milieu de AB,
la perpendiculaire élevée à d en I et la perpendiculaire élevée
à AB en |’.

Transformant ces résultats par homographie, en remarquant
que deux droites rectangulaires sont conjuguées harmoniques
par rapport aux droiles isotropes issues de leur point de con-
cours, on à les propositions suivantes :

Dans la transformation du n° 8, la transformée d’une droite d
est une conique £ passant par trois points fixes, qui sont les
points À, B et le point F, conjugué harmonique, par rapport
à C et D, du point E où AB coupe CD. En outre, si J'est le point
où la droite d coupe CD, I le point où la droite d coupe AB, O le
conjugué harmonique de E par rapport à A et B, l’ le conjugué
harmonique de [ par rapport à O et E, la conique k coupe la
droite CD en uu second point H, qui est le conjugué harmo-
nique de J par rapport à C et D, et les tangentes à la conique k
en Fet en H sont les droites FL et HI.

(6)

6. La définition du n° 2 a encore l'avantage de se prêter à
une extension à la géométrie de l’espace. Elle conduit, en effet,
immédiatement à la transformation suivante :

On prend pour transformé du point M le point M' diamétra-
lement opposé au premier dans la sphère s passant par le point
M et un cercle fixe TV donne dans l’espace.

Prenons pour plan des xy le plan du cercle F, pour axe des z
la perpendiculaire élevée à ce plan par le centre O de ce cércle.
Appelant (x, y, z) les coordonnées du point M, (x', y’, z') celles
du point M’, on voit bien aisément que

LE 0 (5)
YEN 9; (4)
xx" + yy + 22 + = 0, (5)

a étant le rayon du cercle T.

Pour plus de simplicité dans le langage, nous admettrons dans
ce qui suit que le plan 20y soit pris pour plan horizontal,
Oz étant par suite vertical.

Les équations (3) et (4) expriment que les projections horizon-
tales de deux courbes transformées l’une de l’autre sont symé-
triques par rapport au point O.

Par suile, si une courbe est tracée sur un cylindre vertical
dont la base ait le point O pour centre, la transformée de celte
courbe se trouve aussi sur ce cylindre.

‘7. Supposons que le point M décrive une courbe quel-
conque px; le point M' décrit la courbe transformée y’. Cher-
chons comment sont liées les tangentes correspondantes des
courbes x et u’.

La différentiation des équations (3), (4) et (5) donne

dx + dx'=— 0, (6)
dy + dy — 0, (7)

adx" + x'dx + ydy + y'dy + zdz' + z'dz — 0, (8)

CG)

Les équations (6) et (7) montrent que Les projections horizon-
lales) des tangentes correspondantes sont parallèles, ce qui était
bien évident après ce que nous avons dit au numéro précédent.

Pour interpréter l'équation (8), remarquons que l'orientation
des axes Ox et Oy étant quelconque dans le plan du cercle F,
nous pouvons prendre l’axe Oy parallèle aux projections des
tangentes correspondantes sur le plan de ce cercle. Dans ces
conditions, on a, pour la position considérée, dx — 0, dx' —0,
et l’équation (8) devient

ydy'" + y'dy + zdz' + z'dz — 0. (8')

De cette équation et de (7) on tire

égalité qui montre que si, par les projections m et m' des points
M et M' sur le plan z0y qui vient d’être défini, on abaisse des
perpendiculaires sur les projections des tangentes en ces points,
ces perpendiculaires se coupent sur l’axe Oy.

Les résultats précédents peuvent encore s'énoncer ainsi :

Soient, aux points correspondants M et M' de deux courbes
gauches transformées l’une de l’autre, MT et M'T' les tangentes,
qui coupent la sphère s respectivement aux points T et T': 1° les
tangentes MT et M'T" sont parallèles à un même plan vertical v;
2 la droite d’intersection des plans menés par MT' et M'T
perpendiculairement à v, se trouve dans le plan du cercle T.

8. Supposons maintenant qu’au lieu de faire décrire au
point M une courbe gauche, on lui fasse décrire une surface.
Pour déduire du plan tangent 7 au point M le plan tangent 7’
au point M’, il suffira de déduire de deux tangentes quelconques
MT et MT, contenues dans le plan x les tangentes correspon-
dantes M'T' et M'T, par l'emploi du théorème précédent.

Il sera généralement avantageux de prendre pour MT et MT,
les intersections du plan 7 par le plan vertical passant par MM’,
et par le plan tangent en M à la sphère s, parce qu’alors d’une

(8)

part MT" et M'T, toutes deux contenues dans le plan vertical de
MM’, se coupent sur l'intersection de ce plan et du plan du
cercle l', de l’autre, MT, et M'T, sont parallèles.

9. Nous généraliserons cette transformation comme nous
avons fait de celle du plan. Nous aurons ainsi la suivante :

On donne dans l’espace deux coniques V et À provenant de
l'intersection d’une même quadrique par les plans y et d; par
ces coniques et par le point M, on fail passer une quadrique 2
et on prend le point d’intersection M’ de cette quadrique et de la
droite qui joint le point M au pôle du plan d relativement à la
quadrique. Le point M' est le transformé du point M.

10. Voyons comment sont liées les tangentes aux points M
et M’ correspondants de deux courbes transformées l’une de
l’autre.

Pour cela rappelons que si le plan P' est perpendiculaire au
plan P et que, par une transformation homographique on fasse
correspondre à ces plans les plans P, et P’, le cercle de l’infini
du premier espace étant transformé en une conique A du second,
située dans un plan 9, le plan P! passe par le pôle relativement
à À de la droite d’intersection des plans P, et 0.

Par application de cette remarque, on transforme le théorème
du n° ‘7 de la manière suivante :

Soient MT et M'T' les tangentes correspondantes, qui coupent
la quadrique Ÿ respectivement aux points T et T'; soit en outre Q
Le pôle relativement à À de la droite d’intersection © des plans y
et à : 1° les tangentes MT et M'T' rencontrent le plan d en des
points t el +’ qui sont en ligne droile avec Q ; 2° si X est le pôle
relativement à À de la droite 77’ (point qui se trouve nécessaire-
ment sur &), la droite d'intersectlion des plans menés par le
point X et respectivement par les droites MT' et M'T, se trouve
dans le plan 7.

11. Supposons maintenant que le point M décrive une sur-
face dont x soit le plan tangent, x’ étant le plan tangent à la
surface transformée, au point M’ correspondant.

(9)

Par transformation de la construction indiquée au n° 8, on
voit que si les intersections MT et M'T’ des plans x et x’ avec
le plan MM'Q coupent la quadrique Z aux points T et T', les
droites MT" et M'T se coupent sur l'intersection des plans MM’'Q
et 7, et que les intersections des plans x et x’ respectivement
avec les plans tangents à £ en M et en M’ se rencontrent dans
le plan 0.

12. Nous pouvons, au moyen de ce qui a été dit au n° 5,
étudier les transformées de plans dans la transformation dont
nous nous occupons ici.

Tout d’abord, il est bien clair, puisque la transformation est
quadratique, que ces transformées sont des quadriques; mais,
comme trois conditions déterminent un plan et qu'il en faut
neuf pour déterminer une quadrique, ces quadriques transfor-
-mées de plans devront satisfaire à six conditions communes que
nous allons rechercher.

Pour cela, prenons le pôle O de la droite w par rapport au
cercle let coupons le plan p donné qu’il s’agit de transformer
par des plans contenant tous la droite OQ. Chacun de ces plans
coupera le plan p et sa transformée q suivant une droite d et une
conique k; celle-ci sera, suivant le mode du n° 5, la transformée
de la droite d. Done, si A et B sont les points d’intersection du
plan auxiliaire choisi avec la conique T, C et D ses intersections
avec la conique A, la conique k passe par les points À et B, et
aussi par le point Q, qui, étant le pôle de la droite © par rapport
à À, se trouve être le conjugué harmonique par rapport à C et D
du point E où le plan auxiliaire ABCD rencontre w.

Lorsque ce plan auxiliaire varie, le point Q reste fixe, les
points À et B décrivent la conique l'; donc la quadrique qg passe
par le point @ et par la conique F', et voilà justement les six con-
ditions cherchées.

Ainsi :

Toutes les quadriques transformées de plans passent par la
conique Let par le pôle Q, relativement à la conique À, de la
droîte d’intersection des plans y et à contenant les coniques V'et À.

(10)

Cherchons maintenant, pour un plan p particulier, à déter-
miner complètement la quadrique transformée q. Revenons pour
cela à la coupe faite par le plan auxiliaire ABCD.

La conique Æ passe, avons-nous vu au n° 5, par le conjugué
harmonique H relativement à C et D du point J où la droite d
rencontre la droite CD. De plus I étant le point où cette droite
rencontre la droite AB, l' le conjugué harmonique de I par
rapport à O et E, la tangente en H à la conique k est la
droite Of.

Lorsqu'on fait varier le plan auxiliaire ABCD, le point J
décrit la droite d'intersection du plan p et du plan 9; donc le
point H décrit une conique 9’ qui passe évidemment par le
point Q et qui constitue l'intersection de la quadrique q pe
le plan 0.

En outre, le point I décrit la droite d’intersection du plan pet
du plan y. Soient U et V les points où celte droile coupe la
conique T. Si les droites OU et OV rencontrent cette conique
aux points U' et V’, il est bien évident que le lieu du point l'est
la droite U'V'. Par suite, le plan tangent en Q à la ee q
contient la droite U'V'.

La quadrique q, passant par les coniques y et à, et ayant pour
plan tangent au point Q le plan QU'V', est complètement déter-
minée.

13. Remarquons, pour terminer, que toutes les considéra-
tions qui précèdent peuvent être étendues à l’hyperespace où la
transformation analogue à celles des n° 2 et 6 est définie par les
relations

nt
z + z' —0,
t+tl'=0,

ax + yy +22 ++ Et + uu + à = 0,

Mais nous n’insisterons pas sur ce sujet.

REMARQUES

SUR UNE

TRANSFORMATION QUADRATIQUE

PAR

M. J. NEUBERG,

PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE LIÈGE.

REMARQUES

SUR UNE

TRANSFORMATION QUADRATIQUE.

Soient a et a’, b et &’ les côtés de deux angles de grandeur
constante, situés dans un même plan et mobiles autour de leurs
sommets À, B.

Si l’on fait passer les côtés a, b par un point donné M et
qu’alors les côtés a', b' se coupent au point M', nous pouvons
considérer les points M, M' comme des éléments homologues de
deux figures y, .

La transformation ainsi définie (‘) vient d'être étudiée par
M. d'Ocagne (Mémoires de la Société royale des Sciences de
Liège, 1. XVI). Nous allons présenter quelques nouveaux déve-
loppements sur le même sujet.

1. Soient y, p' deux courbes décrites simultanément par les
points M, M'; désignons par d, d' les tangentes à ces lignes,
par n, n' les normales. Supposons connue la droite d, et cher-
chons la ligne d' en appliquant la méthode de Roberval. Pour
simplifier les constructions, nous faisons tourner toutes les
vitesses d’un angle droit autour de leurs points d'application.

(‘) Stciner s’en est servi pour étudier les faisceaux de coniques (voir
STEINER-SCHRÔTER, Théorie des sections coniques, chap. III); il la qualifiait
plaisammient de machine à vapeur. Nous avons emprunté à l’éminent géo-
mètre une partie des SÉRURP RS ‘contenus dans les $$ 2 et 3- de
notre Note... AS

(4)

La vitesse de M étant représentée par un segment quelconque
MN de la normale n, menons NP, NQ perpendiculaires à MA,
MB; les vitesses de circulation de M autour des pôles A, B
seront MP, MQ.

Les droites AM et AM’, BM et BM' ayant même vitesse angu-
laire, nous obtenons les vitesses de circulation de M' relatives
aux mêmes pôles, en menant PP’, QQ' parallèles à MM’. Si,
maintenant, les perpendiculaires élevées en P’ sur AM’, en Q
sur BM' se rencontrent en N', M'N' est la vitesse de M’ et la
normale n' est dirigée suivant M'N7.

Soient N,, N, les points de rencontre de n avec les perpendi-
culaires élevées en A sur MA, en B sur MB ; nous appellerons les
droites MN,, MN, les normales polaires de u. Soient aussi

h/
1:

(5)
M'N!, M'N; les normales polaires de p’. Des proportions

MN MP MP M
MN, MA MA MN
MN MQ MQ MN’
MN, MB MB MN
on déduit
MN, MN,

SR Re Pre pe 1
M'N, M'N; (1)

égalité qu’on peut tirer immédiatement des formules de
M. Mannheim.

Donc les normales polaires de x! relatives aux pôles A, B
sont dans le même rapport que celles de p..

Appelons N,, N\' les points situés à l'infini sur n, n';la propor-
tion (1) peut prendre la forme

(MANN) = (M'NCNEN;).

Donc, si l'on projette les deux quaternes MNQN,N,, M'NNQN°
à partir de deux points qui sont en ligne droite avec deux points
homologues de ces quaternes, on oblient deux faisceaux
perspeclifs.

Par exemple, les points de rencontre des couples de droites
(M'N,, MN), (M'N,, MN;), (M'N,, MN) sont en ligne droite. Dans
le cas général, ce résultat ne peut servir à construire la ligne n'.
Mais, lorsque les angles aa’, bb' sont droits, il renferme cette
élégante proposition due à M. d'Ocagne : Les perpendiculaires
abaissées de M sur d', et de M’ sur d se coupent sur la ligne des
pôles AB; d’où un procédé pour déterminer n’.

On obtient un résultat qui est pratique dans tous les cas, en
projelant les deux quaternes à partir des points situés à l'infini
sur AN,, AN’, ce qui conduit au théorème suivant : les perpen-
diculaires menées par M et N, sur MA rencontrent, respective-
ment, les perpendiculaires menées par M' et N; sur M'A, en deux
points qui sont en ligne droile avec A (*).

(") Comparer l’article de M. d’Ocagne dans le Journal de Math. spéc.,
1888, p. 202.

(6)

2. Lorsque le point M se meut sur une droite quelconque d,
les rayons AM, BM engendrent deux faisceaux homographiques
(a), (6); les droites AM’, BM’ sont des rayons homologues de
deux faisceaux (a'), (b'), égaux aux précédents. Par conséquent,
le point M’ engendre, en général, une conique A (‘). La trans-
formation que nous étudions ici est donc quadratique (”).
Cherchons-en les éléments principaux.

(‘) Ce théorème a été donné par Newton sous le titre de Description
urganique des coniques.

(”*) Pour les transformations quadratiques, le lecteur peut consulter un
article de M. Hirst dans les Nouvelles Annales, 1866, p. 213, ou un exposé
de la théorie par M. Servais dans Mathesis, t. VII et VIII.

(#9

Les rayons a’, b’ coïncident, et le point M’ devient indéterminé,
lorsque M se confond avec le sommet C d’un triangle CAB, dont
les angles à la base sont égaux aux angles mobiles aa’, bb'. De
même, si M est un point quelconque de la droite AB, M’ se con-
fond avec le symétrique C' de C par rapport à AB. Plasons M
en A; alors le rayon a est indéterminé, et b coïncide avec BA;
par suite, M’ est un point quelconque de la droite BC.

Il ressort de là que les points À, B, C sont des points de y dont
les éléments correspondants sont un point quelconque des droites
BC, C'A, AB; de même, aux sommets du triangle ABC’, consi-
dérés comme appartenant à ®w', correspondent, dans +, les côtés
opposés du triangle ABC. ABC et ABC’ sont donc les triangles
principaux de la transformation.

Une droite quelconque d rencontre AC, BC, AB en trois
points D, E, F dont les homologues sont B, A, C'; donc la
conique À’, transformée de d, est circonsérite au triangle prin-
cipal ABC’. On sait que la tangente en B est la position du
rayon b’ qui correspond à a' confondu avec AB; cette droite,
que nous désignons par BG, fait done avec BD l'angle bb", De
même, la tangente AG menée en A fait avec AË l'angle aa’.

Par analogie, la tangente en C' à A’ est la transformée de la
droite CF; c'est ce qu'on peut confirmer par un raisonnement
direct. D'abord, lorsque les rayons a, b se coupent constaminent
sur la droite CF, les faisceaux projectifs correspondants (a), (b')
ont le rayon uni AB; ils sont donc perspectifs et le point M'
décrit une droite passant par C', homologue de F. Ensuite, si
l’on considère un point M mobile sur la droite DEF, les quatre
droites AM, CM, AM’, C'M'se correspondent dans quatre faisceaux
projectifs ; la tangente en C’ à A’ correspond au rayon AM’ con-
fondu avec AC’, ce qui fait coïncider AM avec AB, M avec F,
CM avec CF.

‘On vient de voir que toute droite CF menée par C a pour
transformée une droïte menée par C'; nous faisons ici abstrac-
tion de la droite AB qui correspond au point C de CF. De même,
on peut dire que.toute droite a ou b, menée par À ou B dans la
figure y, a pour transformée le rayon correspondant a’ ou L’ du
faisceau (a') ou (b').

(8)

3. Pour que les points M, M’ coïncident, les droites AM,
BM doivent être des rayons doubles des faisceaux projectifs
égaux (a) et (a'), (b) et (b'). Soient w, w' les points cycliques du
plan ABC. Notre transformation a deux points doubles en ©, «
et deux autres points doubles à l'intersection des couples Aw et
Bo’, Aw’ et Bo.

La droite de l’infini passant par les points doubles w, w', sa
transformée est une conique passant par les mêmes points.
Donc cette droite, étant considérée dans l’une des figures 9, g',
correspond, dans l’autre figure, à la circonférence ABC ou à la
circonférence ABC (‘). Désignons les cercles circonscrits aux
triangles principaux par £ et Z.

Supposons qu’une droite d rencontre Z en deux points réels
Ï, J. La conique correspondante A’ sera une hyperbole dont les
asymptotes font avec les droites AI, AJ un angle égal à aa'; car,
lorsque a et b coïncident avec AT, BI (ou avec AJ, BJ), les rayons
a’, L’ sont parallèles entre eux. En particulier, les diamètres de Z
se transforment en des hyperboles équilatères. Si la corde 1J
se déplace dans la circonférence È en conservant une longueur
constante, l'angle des asymptotes de l'hyperbole correspon-
dante A’ reste invariable. On énonce ce résultat sous une forme
plus générale en disant que toutes les droites enveloppant un
cercle concentrique avec X, se transforment en des coniques
semblables. Pour que les coniques A' aient un axe de symétrie,
de direction constante, la bissectrice de l'angle IAJ doit être
fixe ; donc la droite d doit avoir une direction constante.

La tangente en un point I de X se transforme en une parabole
dont des diamètres sont parallèles au rayon a’ qui correspond
à a confondu avec Al.

4. Soil à trouver la tangente d’ au point M’ de la conique A’,

transformée de la droite donnée d. Nous indiquons ici deux

(*) C'est ce qu'on peut voir directement : lorsque les rayons a et b sont
parallèles, les rayons a’ et b’ font un angle constant.

+

BY)

solutions de ce problème (‘); le lecteur en trouvera une troisième
au $ 6.

[. On sait déterminer les tangentes AG, BG aux points À, B
de la courbe. Soient K, L les points de rencontre des couples de
droites AG et BM', BG et AM’; la droite KL coupe AB en un
point appartenant à la tangente cherchée. En effet, le triangle
inscrit ABM'et le triangle circonserit correspondant ont pour
axe d’homologie la droite KL.

IT. Le faisceau (d) des droites menées par M est homogra-
phique avec le faisceau (d') des tangentes menées par M' aux
coniques correspondantes.

Or, on connaît deux ternes homologues M (ABC), M'(ABC');
dès lors, on peut déterminer facilement deux rayons homologues
quelconques d, d’. On coupe, par exemple, les deux faisceaux
par les droites BA, BC’, ce qui donne deux ponctuelles perspec-
tives; si CM rencontre AB en Z, que C’Z rencontre AM' en U,
U est le centre de perspective des deux ponctuelles, et les points
d'intersection de d avec AB, de d'avec BC, sont en ligne droite
avec U.

5. Les triangles principaux ABC, ABC étant égaux, on peut
les superposer, ce qui rend les figures ®, o’ involutives. Notre
transformation est ainsi ramenée à une inversion trilinéaire : le
point M et le symétrique M” de M' par rapport à AB sont des
points inverses (conjugués isogonaux) par rapport au triangle À BC.

Ce résultat aurait pu nous dispenser de quelques détails donnés
ci-dessus ; mais nous avons préféré appliquer complètement la
théorie générale des transformations quadratiques à un exemple
bien choisi.

6. Passons au cas particulier où les angles aa', bb’ sont
droits. La transformation devient involutive ; les points C, C' se
transportent à l’infini dans la direction perpendiculaire à AB.

(*) La droite d peut être la tangente en un point donné M d’une courbe v ;
alors d’ est la tangente au point correspondant M” de la transformée de la
courbe pu.

(10)

La construction de la tangente, que nous avons donnée ci-
dessus, d'après M. d’Ocagne, pour ce cas particulier, peut égale-
ment se déduire de la seconde méthode donnée au $ 4. En effet,
les perpendiculaires abaissées de M’ sur les rayons du faisceau (d)
et celles qui sont menées de M sur les rayons du faisceau (d'}
forment deux nouveaux faisceaux projectifs, qui sont même
perspectifs ; car trois couples de rayons homologues se coupent
sur la droite AB, à savoir ceux qui correspondent aux ternes
M(ABC), M'(ABC'). Donc si d et d' sont les tangentes à deux
courbes décrites simultanément par les points M et M’, les perpen-
diculaires abaissées de M et M’, respectivement sur d’ et d se
coupent sur AB ; autrement dit, l’orthocentre du triangle formé
par d, d' et MM’ est situé sur AB.

D’autres solutions du problème de la tangente résultent du
pentagone de Pascal. On sait que dans tout pentagone simple
12545 inscrit à une conique, les points d’intersection des couples
de côtés (12, 45), (25, 51) et le point de rencontre du côté 34
avec la tangente menée au sommet 1 sont situés en ligne droite.
Appliquons ce théorème à la conique A’, transformée de la
droite d. Cette courbe est une hyperbole ayant deux points C',Q
à l'infini dans les directions perpendiculaires à AB et d.

Considérant le pentagone simple M'C'ABQ, on voit que les
perpendiculaires menées par À et M' sur AB, sont rencontrées
par les perpendiculaires menées par M' et B sur d, en deux
points qui sont en ligne droite avec le point où la tangente d’
coupe AB.

Le pentagone M'AC'QB fournit cette autre construction :
Marquez le point d’intersection X de M'B avec la perpendiculaire
menée en À sur AB, ainsi que le point de rencontre Y de M'A
avec la perpendiculaire abaiïssée de B sur d; la tangente cherchée
est parallèle à la droite XY.

Si dans cette nouvelle solution on intervertit les rôles des
points M, M’, on trouve la règle suivante: Menez sur AB la
perpendiculaire AZ, qui rencontre BM en Z; tirez par Z une
parallèle à d, qui rencontre AM en U; la droite BU est D
diculaire à la tangente menée par M’ à A.

bits,

CALE

‘7. La transformation traitée dans le paragraphe précédent se
ramène facilement à une inversion quadrique de Hirst.

En effet, soit M, l’orthocentre du triangle ABM; les points
M' et M, sont symétriques par rapport au milieu de AB. Dési-
gnons par AA', BB', Mm les hauteurs du triangle ABM; les
points A’, B' se meuvent sur la circonférence F qui a pour
diamètre AB. La droite MM, passe donc par un point fixe C,
situé à l'infini sur la direction perpendiculaire à AB, et les
points M, M, sont conjugués par rapport à F.

La seconde méthode exposée au $ 5 conduit à une élégante
construction de la tangente, due à M. de Longchamps (Wiskun-
dige Opgaven, deel IE, p.303). Le faisceau (d) des droites menées
par M, et le faisceau (d,) des tangentes menées par M, à leurs
transformées sont perspectifs; car ils ont un rayon uni MM, ;
il résulte de là que les tangentes menées par M et M, à deux
courbes homologues qui passent en ces points, se coupent sur la
droite A'B', qui joint les pieds des hauteurs AA', BB’.

Plus généralement, soient M, M, deux points conjugués par
rapport à une conique fixe F, et situés -en ligne droite avec un
point fixe C. Ces points se correspondent dans une transforma-
tion de Hirst, ayant pour pôle principal C, pour conique double F.
Soient A, B les points de contact des tangentes menées de C
à [. Le faisceau des droites menées par M est projectif avec
celui des tangentes menées par M, à leurs transformées; soient
d, d deux rayons homologues quelconques de ces faisceaux. La
droite MM, est un rayon uni; donc les droites d, d, se coupent
sur une droite fixe {; on détermine celle-ci au moyen des deux
couples de rayons homologues AM et BM,, AM, et BM.

Voici une autre démonstration de ce résultat. Soient, sur deux
courbes homologues, M et N, M, et N, des couples de points
homologues ; désignons par V le point de rencontre des droites
MN, MAN, et par W celui des droites MN,, M,N. D’après un
théorème connu, les points V, W sont également conjugués
harmoniques par rapport à F. Lorsque N et N, tendent à se
confondre avec M et M,, la limite du point W est le point w,
conjugué harmonique de C par rapport à MM,, car le faisceau

(12)

V(CWMM,) est harmonique. Il résulte de là que les tangentes
en M et M, se coupent sur la polaire £ du point w par rapport
ar

8. Revenons au cas où M, est l’orthocentre du triangle
ABM; alors C est à l'infini, son conjugué harmonique par rapport
à MM, est le milieu du segment MM,, point qui a pour polaire
par rapport à F la droite B'C.

Soient, dans la même figure, N, N, deux points infiniment
voisins de M, M,, sur deux courbes correspondantes passant par
M, M,. On voit que les arcs correspondants MN, M,N, ont même
projection mn sur AB. Mais, si p, ©, y sont le rayon vecteur,
l’angle polaire et la normale polaire de M par rapport au pôle A,
et pi, @, v, les mêmes éléments relatifs au point M, et au
pôle B, on a pour les ares infinitésimaux MN, MN;

ds — vde, ds, = vd,

d’où, à cause de do — do,, ds : ds, — »:v,. I résulte de là que
les normales polaires », »,, ont des projections égales sur la
droite MM,. Ce qui donne une nouvelle solution du problème
de la tangente (").

9. Pour étendre à l’espace la transformation exposée au $ 7,
M. d’Ocagne considère comme points correspondants les extré-
mités M, M’ de tout diamètre d’une sphère (variable) passant par
un cercle fixe F. Si M, est le symétrique de M’ par rapport au
centre de F, il est facile de voir que les points M, M, sont sur
une même perpendiculaire au plan de F, et qu'ils sont conjugués
harmoniques par rapport à la sphère qui a pour grand cerele F.
Nous sommes ainsi ramenés à une transformation de Hirst dans
l'espace.

(*) Pour une autre explication de cette solution, voir Mathesis, t. VIN,
p. 118.

LA

FLORE MYCOLOGIQUE DE LA BELGIQUE.

DEUXIÈME SUPPLÉMENT
COMPRENANT LES
SPHÆROPSIDEZ — MELANCONIER — HYPHOMYCETES,
ADDITION DE 850 ESPÈCES A LA FLORE DE 1880

ET 250 FIGURES REPRÉSENTANT LES GENRES,
PAR

le D' E. LAMBOTTE.

PRÉLIMINAIRES.

D'une part, la découverte des organes de fécondation sur le
mycelilum des Erysiphe, Eurotium, Penicillium, Sordaria,
Ascobolus, Peziza, d’autre part, le même mycelium pouvant
produire à la fois des filaments asexués, porteurs de spores,
et des filaments sexués, nous ont déterminés à admettre ces
deux genres de propagation dans les familles des PYRÉNOMYCÈTES
et des AscomycèTes. Nous sommes prêts à modifier nos vues, si
de nouveaux travaux nous démontrent que nous avons fait
fausse route.

La spore proprement dite ou des thèques, en tombant sur un
milieu convenable, germe et produit un mycelium conidien.
Celui-ci renferme deux sortes de filaments : 1° des filaments
fertiles, asexués, porteurs de conidies; on pourrait les appeler des
filaments délateurs; 2 des filaments sexués, cachés (femelles),
produisant, après conjugation, la forme périthèce.

La présence du mycelium spermogonien est souvent évidente;
celui-ci complète, par conjugation avec le mycelium femelle, la
structure du périthèce et le rend ascomycète. Ce cas se présente
surtout quand le champignon se développe sur un substratum
assez ferme (feuilles, bois, tiges, etc.).

Comme le mycelium conidien, le mycelium spermogonien se
compose de filaments asexués, porteurs de spores, et de filaments
sexués, cachés, mdles, appelés, après conjugation avec le myce-
lium conidien à produire les asques dans le périthèce.

(4)

Dans beaucoup de pyrénomycètes, à substratum assez ferme,
les éléments conidiens, spermogoniens, pyenidiens, ascophores
sont rassemblés en une seule masse, ou bien ces éléments sont
réunis à de courtes distances.

Il est quelquefois difficile de distinguer les conidies des sper-
mogonies ou des stylospores; pour nous, les conidies sont
dépourvues de toute apparence de conceptacle.

Le mycelium conidien des SPHÆRIACEZ est surtout représenté
par les familles Phæo-hyphomyceteæ (Dematieæ), Phæo-stilbeæ,
Phæo-toruleæ à évolution surtout excentrique, ei par la famille
Melanconieæ à évolution plutôt concentrique.

Le mycelium conidien des HypocracEÆ est surtout formé de
hyphes des familles Hyalo-hyphomyceteæ (mucedineæ), Hyalo-
stilbeæ, Hyalo-toruleæ et de la famille des Tubercularieæ à évo-
lution concentrique.

Le mycelium spermogonien des SPHÆRIACEÆ appartient
surtout à la famille des Sphæropsideæ à spores surtout hyalines.
Le mycelium pycnidien représente particulièrement les plantes à
spores obscures de cette même famille. Les pycnides ressemblent,
à part la thèque qui n’existe pas, assez bien au type ascophore,
et n’indiquent probablement qu’un état très proche de l'appareil
parfait.

L'étude morphologique du mycelium des plantes qui fait
l’objet de cet ouvrage a été assez négligée à cause des grandes
difficultés qu'elle présente. Peut-être qu’en soumettant la partie
végétative de ces champignons à un système particulier de colo-
ration, à l’instar des schizomycètes, parviendra-t-on à mieux en
éclairer le champ.

Verviers, le 45 février 1888.
E. LAMBOTTE.

TABLEAUX

INDIQUANT

LES DIFFÉRENTS ÉTATS PAR OÙ PASSE LA SPORE
PROPREMENT DITE AVANT DE PRODUIRE LE CHAMPIGNON
PARFAIT ET LA SPORE PROPREMENT DITE.

(6)

Périthèces couverts, chauves, texture membraneuse,

noire.
| PHOMATOSPORA
SPHÆRELLEZÆ.
LÆSTADLE .
AmerOSpOræ SPHÆRIEÆ PHYSALOSPORA
ANTHOSTOMELLA .
GNOMONIEZÆ . GNOMONIELLA .
(Eugnomania) . ( GNOMONIA .
EPICYMATIA .
rs SPHÆRELLA.
Didymosporæ ET CE
| | DIDYMELLA . =
\ SPHÆRIEÆ. À DpyMosPHÆRIÀ |
CLYPEOSPHÆRIA .
| PLEOSPOREZÆ. } LEPTOSPHÆRIA
Phragmosporæ
METASPHÆRIA .
{
| SPHÆRELLEZÆ:. } SPHÆRULINA
Dictyosporæ .| PLEOSPOREZÆ. | PLEOSPORA.

SPILÆRIACEÆ SIMPLES.

TORULEEÆ.

Coniosporium.

Fusidium.

Torula.

Coniosporium

Sporodesmium.
Clasterosporium.

Mycelium eonidien

» Trinacrium,

DEL
=

HYPHOMYCETEÆ

\Cercospora.
. JOvularia .
Ramularia.

L "

. "2

IPericonia,
Macrosporium
Polydesmus

* \Cladosporiu

Helminthospo:
Brachysporiu

°4

=!

Macrosporiun
Alternaria.
Helminthosp
Stemphylium.

(7)

TEXTURE MEMBRANEUSE.

STILBEÆ. Tubercularieæ, | MELANCONIEÆ-

SPHÆROPSIDEÆ — SPHÆROIDEÆ.

Spermogonies

Organe femelle. Organes mâles

OR

Phoma.
Phyllosticta
Asteroma.

. .

te
D 0 0 7 7 | 'Comiothyrium.

Seploria .

Phoma

A CO NO. | Glæosporium:

A 0e ©: & Marsonià .

Phyllosticta.
Ascochyta
° } Septoria.
\ Asteroma.

| Isariopsis.

| ‘Graphiothecium.

.|[Phoma.

Phoma-aposphæria.
Septoria.
Phyllosticta.
Ascochyta.
Coniothyrium.

Melanconium.

Septoria.
Ascochyta.

|

Phoma.
. 4 Seploria.
( Ascochyla.

| Phoma.

— Pycnides.

.|Harknessia.

.|Diplodia.
.|Diplodia.

Hendersonia .

Hendersonia.

Hendersonia,
Diplodina.
Camarosporium.

LEPTOSTROMACEE
Excipulaceæ,

Leptothyrium.

Leptothyrium.

Discosia.

Discosia.

Melasmia.

Leptothyrium.

‘Piggotia.

vr

(8)
* SPHÆRIACEÆ SIMPLES."
TORULEÆ. HYPHOMYCETEÆ.
Périthèces couverts, chauves, texture membraneuse, Wycélinl conidiett
noire (suite).
PLEOSPOREZÆ. .| DiLopHiA . . . . | Mastigosporium ,. |. . . . .
Scolecosporæ.{GNOMONIEÆ . .| LINOSPORA. . . . |. . . . . .
OPHIOBOLEZÆ . OPHIOBOLUS . . . |. . 0. +

Périthèces couverts, poilus, texture membraneuse.

Didymosporæ.|VENTURIEÆ . . VENTURIA . . . .

Dictyosporæ .|PYRENOPHOREZÆ. | PYRENOPHORA . . Dendryphium .…

SPÆRIACEÆ SIMPLES

Périthèces superficiels, chauves.

Didymosporæ.' lMELANOPSAMMA. . |. . .. . 000 Fuckelina.
ren .\ MELANOMMA . . . | Clasterosporium . Helminthosporit
Dictyosporæ . TEICHOSPORA. . . | Torula. . . . .

| CERATOSTOMELLA. |. . . . .
Amerosporæ . ‘|

CERATOSTOMEÆ.{ CERATOSTOMA . . |. . . . . . NUS
Dietyosporæ A |

CERATOSPHÆRIA . |. . . . . UE

Dictyosporæ .|CAPNODIEÆ. . .| CapNoDiuM. . . . | Coniothecium . .

Périthèces superficiels, poilus. |

TRICHOSPHEÆRIÀ :. |5.47, RE «00
Sporotrichum.
ROSELLEUA. . | Toruia 0 k RE
Amerosporæ .| LASIOSPHÆRIEÆ. Stachylidium
. Sporodum.
Caærontor !. 5 : |. 5021000 Myxotrichum.

BOMMERELLA. . . | Oospora. |

Æ CN)

LEXTURE MEMBRANEUSE.

ELES ;
# STILBEÆ. Tubercularieæ. | MELANCONIEEÆ. SPHÆROPSIDEÆ — SPHÆROIDEÆ. | nn
x Spermogonies :
rgane femelle. Organes mâles | Pycnides.
0 |. . . . .« … || Dilophospora.
{
cl. Glæosporium.|| Phoma.
Hi: 2 1 EN ÉMERNI ANSE . . - + + . | Phoma-septoria . | Hendersonia.
: : : Septoria.
sraphiothecium .|. . . . . Marsonia . . At nte
( Phoma.

ON" [2 BR Met ee Le) e;ll ele, 6 + ei" 0.6 | Vermicularia.
IHARBONNEUX.

L c Phoma.

Dee, «0e cle TOME oryneum . Coniothyrium.

| PRO man ca { Diplodia. ;
- . Steganosporium .} Coniothyrium. | Hendersonia.
0 Sphæronema.

à à MONO RE Sphæronema.

0. |. . . . 1 ler CRE REINE Sphæronema.

(Dumortiera).

|. . . . . + « - || Apiosporium . . | Hendersonia.
NS Pyrenochæta.

|... à. Coniothyrium.

Périthèces superficiels poilus (suite).

LASIOSPHÆRIA .

Phragmosporæ| LASIOSPHÆRIEÆ.! CHÆTOSPHÆRIA. .

(Suite )
PLEOSPHÆRIA .

Périthèces couverts.

|| Phragmosporæ | MASSARIA . .

MASSARIEÆ . MASSARINA

| PLEOMASSARIA

|| Didymosporæ. MASSARIELLA. . .

Dictyosporæ . | DITOPELLEÆ. | KARSTENULA

| LAN AST CRU ET ICS
EUTYPELLA .
| VALSEÆ . . k
Euvalseæ VALSELLA .
Ga LE
DIATRYPE

DIATRYPEÆ .

Allantosporæ. EuTyPA . .

EUTYPEÆ

CRYPTOSPHÆRIA .
CRYPTOSPHÆRELLA.

CALOSPHÆRIEZ. | CALOSPHÆRIA .

| DIATRYPELLA. . .

CRYPTOVALSA . .

CORONOPHORA . .

|

SPHÆRIACEÆ SIMPLES;

TORULEÆ. | HYPHOMYCETEÆ,

Mycelium eonidien 2 =

Acrotheca . . . :

Cordana. |

Cladotrichum,

Acrotheca,

D. 20e: la TER Periconia.
Helminthosporium.
Dendryphium. -

Acrihees

SPHÆRIACEZÆ

RE 10
}

s1 «el CARRE 4

. Trichosporium 1

à

s4 à VER ° +

je . + " . «
Cylindrioïde. , . | Acrocylindrioiden
Conidies 5 p: long. | ,

(11)

CHARBONNEUX.
> LEPTOSTROMACEE
| STILBEÆ. Tubercularieæ.| MELANCONIEÆ- SPHÆROPSIDEÆ — SPHÆROIDEÆ. | Excipulaceæ .
{ Spermogonies :
Drgane femelle. } Organes mâles | Pycnides.
à Sphæronema.
PRADA 0e 0 0,0. ee, à Sphæronemella.
ne ne ere , || Pyrenochæta.
Melanconium Macrodiplodia.
Stilbospora . pute
. ... . . . |. . . . {Steganosporium . || Pyrenochæta PENDEFSONE
Seiridium. Sphæropsis.
Scolecosporium Chætodiplodia.
CAN QU 1. 12. Rhabdospora:
A es Re rc PTOStNeNnIUM.
D: NE ee ee IDiplodia:
NN | COMATOSDOrIUM:
ZOMPOSES.
‘ 1 Cytispora.
Harpographium.| . . . Næmaspora . | Ceuthospora.
RTA Cytispora.
LÉO IESS Ne NON EENNRES ERP | Evtosporina.

D. à: Les ss AIN Gytispora.

D no. Me Cr liibertella

pe | Cytispora.
|

Libertella. * ! CYtosporina.

0 . | Libertella.
D Le Un Cytosporina.

D. | à . 5.7. ]-CytoSporoïdes,
0 ee oO SSSR ER Cylosporina.

A © © nt 0 er | Geuthosporoïdes:
Conidies 8 = 1

(12)

TORULEÆ. HYPHOMYCETEÆ.

Mycelium conidien =:
Périthèces couverts suite).

Scolecotrichum .

! CUCURBITARIEÆ.| HezminrnospnæniA. | Dicoccoïdes. . .

MELOGRAMMEZÆ. | BOTRYOSPHÆRIA . |.) . OO

CUCURBITARIEÆ. | GIBERRIDEA 0. 10 10 VO

CUCURBITARIA . . | Sporodesmium. . |. . . . . . ©

Amerosporæ.

VALSEÆ . . . | CRYPTOSPORELLA. |. . . . . . OO

Melanconideæ

TRINITEZÆ :- !: | LANTROSTOMS, 2.1." 1.200 « LL RER

CUCURBITARIEÆ || GIBBERA: 0. | Ce NON

MELANCONIELLA RE

VALSEÆ . . MELANCONIS . NE RE ON |

Melanconideæ .

Didymosporæ. HERCOSPORA. . .

DIXPORTHE LE Ce ERA

MATISARTA 50/20 MIE OMR ESS A AR

| OTTHIAT "22 2) TOUR

PSEUDOVALSA:. . |... 4 0 OO

VALSEÆ "1.7.

Melanconideeæ .

THYRIDARIA JF AIM RUN USE

Phragmosporæ.

MELOGRAMMEZÆ. | MELANoOrS . . / . |... . IS

Dictyosporæ. | VALSEÆ . à. . | FENESTRLLA. . . |. + RO .
Melanconideæ

Scolecosporæ. | VALSEÆ . . CRYPTOSPORA : | + Fee le
Melanconideæ.

Phæosporæ. XYLARIEÆ . HYPOXYLON sa UT Oosporatoïdes. . … + SE

NUMMULARIA

(15)

COMPOSES.
LEPTOSTROMACEZ
STILBEÆ. |Tuberculariee.| MELANCONIEÆ. SPHÆROPSIOEÆ — SPHÆROIDEÆ. fxcipulacez,

Spermogonies

Organe femelle. Organes mâles

— Pyenides.
|

Haplosporellatoïdes.

Phomatoïdes.
* | Dothiorella.

Cryptosporium.
Marsonia.
. . . | | . | Fusicoccum. . . | Harknessia.
Næmaspora.

Melanconium.
Steganosporium, Cytispora
Stilbospora .
Asterosporium ?

2 a 6 Ci MUIEN RENE Ho Cytosporoïdes.

LAPOOAP TORRES AURA T Cytosporoïdes . . | Rabenhorstia.
Myxosporium.( Phoma, . . . 0 IRDiscella
13 ESPN DT re QURUSICOCCUME
Libertella. Dothiorella.
RE NI Conothyrium:

RO ER Ce LPhOMA TS M Diplodia.

Stiloospora Cory-

neum,
D IN CR Et Hendersonta:
Stesanosporium.
Cryptosporium.
Phoma . . . . | Diplodia.
. . . 0 L . . . . . . . . 0 . . L1 Coniothyrium.
Lu", InGytisporella:

O0 0 4 18001 Ceuthospora.. . | Diplodia.

Coryneum phrag- || Phoma . . . . . Diplodia, Hendersonia.
SUCAONEARAE EMA. Mot Chum Comarosporium.

PE ET INGyLiISpOra EN lIComarosporinm.

2, TEMNE "3 GATE . « + . | Cryptosporium.

ne 2.12 “IN Phomatoiïdes

ŒLR

Vué 2 x

SPHÆRIACEÆ SI

j ERYSIPHEÆ .

Amerosporæ .

PERISPORIEÆ.
| SPHÆRELLEZÆ.,.
P;ce:

Didymosporæ. |
Amerosporæ. ;

Didymosporæ.
NECTRIEÆ .

re

Dictyosporæ .

Didymosporæ. ss
. HYPONECTRIEÆ.

| Amerosporæ,.
| Didymosporæ.) HYPOCREEÆ .
| Scolecosporæ.

Scolecosporæ.) TORRUBIEÆ .

TORULEÆ. HYPHOMYCETEÆ.

Mycelium conidien =

ERYSPHES. . . . [Oïdium.. .°. . me Re
(Aou
APIOSPORIUM. . Gyroceras.
Torula.
ANERTAT 0 Rene |S porodesmium.
ETROTIEON 6% UNE NE 00 Aspergillus.
ASCOSPORA . else ee SN 4
ASTERINA . 0. |... 4
Famie II : HYPQ
NECTRIELLA . . 4. 0 Nec
ELEUTHEROMYCES. | +. 0 2 ONE é
MELANOSPORANS EMI EAN EE +! a0e ONE
NECTRIAMGUE ETS RARES Verticillium . , …
SPHÆROSTILBE . . |... . . . . . |...
p|
CALONECTRIA. à . |. 0. OO J!
GIBERELLA EL "5114 SUR CPE YU Fe
PLEONECTRIA: ME ER le RTS D
/Trichoderma ,
Trichotecium.
Sepedonium. ê
Asterophora. 4
? *e Mycogone . , .
HYPOMYCES: : 161. MR RES EERS Vérticillium , |
Dactylium.
Diplocadium.
Botrytis.
Monosporium.
POLYSTIGMAS 3 CT ON TEUR +. LORS
HR OGEEL | Verticillium.
POUR à ee EE Fo
EPICHLOE 22, 2 SC 5 NE

CLAVICEPS. . . . |O0Snoræ. SO
GORDYCKPE 50 Ne POSE A

2
+
\

(15)
EEE

PLES, INCOMPLETS.

LEPTOSTROMACEZ
MELANCONIEÆ. SPHÆROPSIDEÆ — SPHIEROIDEUE. Halte

STILBEÆ. era

Spermogonies

Organe femelle. Organes mâles

— Pyenides. |
|

RE 0. à ….. IF'Connues.
0. 0... = || Astéroma:
a ee de Chætophoma.

CRACEÆ De Not.

Tubercularia,
Volutella.
° )Hymenula
\ (psilonia).

Zythia.

Isaria.
Stysanus.

Tubereularia,
[losporium,

* /Selenosporium
fusarium,

Sphæronemella.
Phomopsis-Dendrophoma.
Prosthemium,

| Microcera
*. fusarium.
Ë (rusisporium.

j . |Microcera Glæosporium.||. . . . . . . . .|Stagonopsis.

\ Fusarium ;
*}Selenosporiumn. +... + + .[Phoma. . . . . . Hendersonia

. |Tubercularia,

.|Libertella.

. .|[Sphacelia.

{ Sphacelia
* ‘| fusarium.

(16)

{
Amerosporæ. |
PHYLLACHOREÆ
SCHIRRHIA. .

DAC bo A

Sr eus AULOGRAPHIEÆ. SCHIZOTHYRIUM.

Scolecosporæ. | LOPHODERMIE

Amerosporæ . |

PHÆCIDICE COccoMYCESs .

| RHYTISMA .

|

Scolecosporæ.

CENANGIUM

Amerosporæ. | DERMATEÆ.
TROCHILA .

Dictyosporæ .| PATELLARIEZÆ. | DOTHIORA . .

Amerosporæ. | BULGARIEÆ . | CALLORU Se

MOLLISIEÆ. À Pen
Amerosporæ. | tamnaria.

|! PHYLLACHORA . .

EURYACHORA. . .
DOTHIDELLA . . .

| PLOWRIGHTIA . ;
Phragmosporæ| RHOPOGRAPHEZÆ.| RHOPOGRAPHUS. .

AULOGRAPHUM . .

Phragmosporæ| HYSTERIEÆ 4 DICHÆNA . . . .

Æ | HYPODERMA . . .
‘| LOPHODERMIUM. .

PHACIDIUM. . . .

Peziza (Oy athicula).

Pseudopeziza . .
SUBICULEÆ . | Tapezia. . . ..

TORULEÆ.

4
te 2 gts: ve él

HYPHOMYCETEÆ.

Mycelium conidien =

Fusidium .

sc. ©." "+, "6 VOIE

SORT DRT MEIN 7

ol Lei (A, CPROCGRRSS

se ne) nUSN Se

2

Famizce III :

Fusicladium.

« + «PASSION |
Polythrincium. |
Hadotrichum. 2:04
Hadotrichum. |

FamiLe IV |

, 2° PEER |
PRICES DS EE de |
. : USE
FaMiLL ;
FAMILLE
FAMILLE

Polyactis . . . |

Sarcopodium. |

(17)

Tubercularieæ,

MELANCONIEÆ.

STILBEÆ.

Organe femelle. Spermogonies

Organes mâles x Pyenides. |

DOTHIDEACEZÆ.
Septoria.
Due re à flot Seb tolé MST one
Placosphaeria
3 FCO NEMI PRE G'ÉORÉPOTRE RS Placosphaeria.

(Dothiorella .« .« . .|Hendersonula.

ART DE ER la)|lle ls lie © el dé e je + se |(Podosporium).
Meet ele : RO Mr Ne ENV R Atll R an oeece1|LENTOSLTOMA
HYSTERIACEÆ.
Mr cl: : : : : : CAE ADP Labrella.
= 0 10 101 VéNRRRRS OPSN E TEEN] PRE EE NES pe MORER EE SERRES Leptostroma.
OR Tee Hendersonia Psilospora.
= 20106 CRM EME REC Sepiorn 02 ie, 02 -)Eeplostranma:
lee... Le . NE LT RAT ETES ILE piOstroma:
IPHACIDIACEÆ.
Septoria. FRERES
a ln le 4e 0 Doi orella, SAS clean | et ne DD :
os os ae 8 NN EME PARENT ER RS PAS EEE Leptothyrium,
ee el Su RS RSR ETS
D, fphgronema. (ea
Take Re Microspera. . Doltichiza.
: ANR SE able < * |Glocosporium,
: L'ERNCOPNRREE : . . . «+ + . ISphæronema . . | 05 oO NUE Ro . Doltichiza,
BULGARIACEZÆ.
Dacrymycella. |
__ ETS Cylindrocolla,
PEZIZACEÆ.
2 Sphaeridium
RENE Fusarium
M eu he Re net Ce OR TR NE Peas El eee . Protostegia,

SPHÆROPSIDEÆ — SPHÆROIDEE. |

LEPTOSTROMACEZ
Excipulaceæ,

Piggolia.

(18)

Tableaux comparatifs des Familles et des genres, montrant leurs aflinités, et leurs

Hyaleæ.

PHOMA.

A CRUE
MER lB>—1

PHILLOSTICTA.

mi =
FAIRE ES
ma, /# - la

SPHÆRONEMA.

MI ee
QU UP EE |
ma, 4 <—

ASTEROMA.
mi. 1/5 ><

DIPLODINA,
Mi
fl 1
ma. /# -— :

ASCOCHYTA,
mi. 1; s
SANS jan
ma. /4 12
. DARLUCA.
m1, N'RRCERS RS
| ma, /4

SPHÆROIDEÆ.
07,

147

Phææ,

CONIOTHYRIUM.
mi. 1/,> — 1

HARKNESSIA,
ma, 1/,

SPHÆROPSIS.

ma. 1/3 > — 1}s

DIPLODIA.
mL , a4/

ma. /? x 12

MACRODIPLODIA.

ma. 15 <<

DIPLODIELLA.
Mi, y

ma, 4< 47/4

différents états, depuis l'état le av

NECTRIOIDEÆ. LEPTOSTROMACEÆ,
Hyaleæ. Phææ Hyaleæ Phææ |
A. PÉRITHÈCES
I. PÉRITHÈCES
a) Conidies
Subsphæroïdes.
ZYTHIA. LEPTOTHYRIUM. PIROSTOMA.
: x :
_Phomopsis. M, 4, 4 mi.4â—1<
mi. 4 ! ma.
ma da <= ha >
= SACIDIUM,
LIBERTIELLA. mi. 1/4 > —41
mi. 1/9 €
PIGGOTIA.
mi. 1/2 >
SPHÆRONÆMELLA.
mi. 1/5 <— 1
ROUMEGUERIELLA.
ma. À
Hysteroides.
LEPTOSTROMA.
mL 1”
ma. la <—1
LABRELLA.
mi, 1/4 > — 1/3
PSEUDODIPLODIA.
mi. 5/4 <<

|

:

(19)

passages de l’un dans l’autre, ou plutôt faisant voir les séries naturelles de leurs
primitif jusqu'à l'état parfait.

EXCIPULACEÆ. MELANCONIEXÆ. TUBERCULARIEÆ.
————_—_—ZpZEZEZLE LL ————pZpZpZpELEL ET —
Hyaleæ. Phææ. Hyaleæ, Phææ. Hyaleæ. Phææ.

SIMPLES.
CHAUVES.
solitaires.
Subsphæroïdes. |
DOTHICHIZA. MYXOSPORIUM. MELANCONIUM. | TUBERCULARIA.| STRUMELLA.
È mi. mi. :
mi. 1/4 <— 1 mn a A | ne a —A4 <<] mi. a <—1

EXCIPULA. GLOEOSPORIUM, DENDRODOCHIUM
mi, NET heS mi. Fe PT mi, DR
ma. /4 4 ma. /# ; ma. /#

DISGULA. ÆGERITA, EPICOCCUM.
mi. 4 a? MAC DEEE PR
NE Sat ma. Ve ST 1 | ma. V4

CATINULA. HAINESIA. HYMENULA. HYMENOPSsIs.

ma. {/, mi. ! — 1}, mi. =, [mi

> CSL ES ae lala Ses
PHYLLOEDIA.
CE AMEROSPORE.
ILLOSPORIUN. STRUMELLA.
mi. “ 3
na ed mi TS
TUBERCULINA. | EPIDOCHIUM,
mi. À mi. 5/, — 1
MYROPYxIS.
mi. À
Hysteroides,
PSILOSPORA.
ma. 1/2 << —5/;
SPORONEMA.

mi. 1/4 >

DISCELLA. MARSONIA. DIDYMOSPORIUM.

mi. mi, ; mi.

ne HR vas et le

DIDYMOSPORE.

SPHÆROIDEÆ.
RTE

Hyaleæ. Phææ.

ACTINONEMA.
ma. 1), €
TIAROSPORA.
ma. 5/4, €
CYSTOTRICHA.

STAGONOSPORA. | HENDERSONIA.
< mie,
ma Va a ar Ma = )à

PROSTHEMIUM.
ma, 43 >— 14 <
CAMAROSPORIUM.
ma. 19 <—5/y
MICROPERA.
ma. 1/4, €
SEPTORIA.
ma. 1/3 €

SIROCOCCUS.
mi. 1/4 >—1

( 20 )

NECTRIOIDEÆ.

RS

Hyaleæ.

CHIATOSPORA.

Phææ,

LEPTOSTROMACEÆ.

Hyaleæ. Phææ.

Subsphæroïdes.

. Discosia.
m1,

Te a <— >

ENTOMOSPORIUM.
(morthiera).
ma. 5/4 €

ACTINOTHYRIUM.
ma. 1/4 <

Hysteroïdes.

Leptostromella,
ma, 1/4 a

b) Conidies en

(21)

EXCIPULACEÆ. MELANCONIEÆ. TUBERCULARIEÆ,.
—
Hyaleæ. Phææ, Hyaleæ. Phææ. Hyaleæ. Phææ.

BR EN EEE

DIDYMOSPORE.
Subsphæroïdes.
STILBOSPORA, FUSARIUM.
ma, 1h € ma. 1/3 << à 1/2
CORYNEUM. PIONNOTES. EXOSPORIUM.
ma 4/4 Ce na, Ma € — Ha] Va Ha D pa AGMOSPORA.
PESTALOZZIA. MICROCERA.
ma 1/3 <— 1/5 ma. 1/4 €
BACTRIDIUM,
ma. 1/4 <
SCOLECOSPORIUM. |
ma. 1/4 << |
PROSTHEMIELLA. | ASTEROSPORIUM.
ma. 1, ma 1) — 5/3 < STAUROSPORÆ..
TT [SrecanosPorIun. | dE
mi, OSPORE.
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PROTOSTEGIA. CRYPTOSPORIUM.
ma, 1/4 << ma. 1/4 <<
CYLINDROSPORIUM.
ma 1/4 < SCOLECOSPORE.
chaînettes.
Hysteroïdes.
SCHIZOTHYRELLA. HYPODERMIUM. THYRSIDIUM. ÎCYLINDROCOLLA.
ma. #4 —1/3> be mi. À. mi. 4/à <—14>
BLENNORIA. SPHÆRIDIUM. AMEROSPORE.
na mi. 4/4 <—1/4>
AGYRIELLA,
mi. 14 >
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de DIDYNOSPORE.

SPHÆROIDEÆ.

—

Hyaleæ,

VERMICULARIA.
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mi. 1/4 € —A

DOTHIORELLA.
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RABENHORSTIA.
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PLACOSPHÆRIA.
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CYTOSPORELLA.
mi. 1/5 > —1

CYTOSPORA.
mi.

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CYTOSPORINA.
ma. 1/4 <
DILOPHOSPORA.

mi. 1/4 <— 1/3
FUCKELIA.
mi. {2 >

Phææ.

CHÆTOMELLA.
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1
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CHÆTODIPLODIA.

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HAPLOSPORELLA.
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DICHOMERA.

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ma, 2>—1

(22)

NECTRIOIDEÆ. LEPTOSTROMACEÆ.
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Hyaleæ. Phææ Hyalcæ. Phææ,
IT. PÉRITHÈCES
B. PÉRITHÈCES
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POLYSTIGMINA.
ma, 1/4 <

POILUS.

AMEROSPORIUM.
mi.
ma. rl
DINEMASPORIUM.

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COMPOSÉS.

Hyaleæ.

ma.

LIBERTELLA.
ma. 14 €

NÆMOSPORA.
mi. 1/, €

COLLETOTRICHUM.
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TUBERCULARIEÆ.

Hyaleæ. Phææ.

PERIOLA. CHÆTOSTROMA.
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mi. 1/, > A 1/3 — 4
VorureLLa. | Myrormecuw, ( ANÉROSPORE.
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DIDYMOSPORE.

SPHACELIA.
mi. 1} > —1

|
AMEROSPORE.

SCOLECOSPORE.

DICTYOSPORE.

| DIDYMOSPORE.

SPHÆROPSIDEÆ.

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Hyaleæ.

HYPOMYCES.
Phoma.
Sphæronema,

HYPOMYCES,
Phyllosticta.
Septoria.

Placosphæria.

CAPNODIUM.

Phyllosticta.
Ascochyta.
Septoria.
Asteroma.

HYPOMYCES.

Cytosporina.

Phææ.

Diplodia.

Coniothyrium.

STILBEÆ.

, — mm

Hyaleæ.

Stilbum.
mi. 1/3 > —1

(24)

Phææ,

Isariopsis.
mi. |
Mn a <— 13 <
Graphiothecium.

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Graphium.
mi. 4

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HYPHOMYCETEÆ.
se ; s
Hyaleæ. Phææ.
CEPHALOSPORIEÆ. PERICONIEÆ,
Trichoderma. Periconia.
mi. 1 mi. 1/3 > —1
Fuckelina.
mi, 5/4 — 1
Acrotheca.
mi,
ma. 1/4 >
Cordana.
MONACROSPORIEÆ, MONOTOSPOREÆ.
Trichothecium. Hadrotrichum.
ma. 1/, — 5), < mi. 5, 2e
Trinacrium. ma. 3/4 —1
ma. 1/4 € Passalora.
ma. 14 <—>
Polythrincium.
ma. 1, >
Fusicladium.
mi.
ms Va #50
‘ Triposporium.
ma. 1/4 - 1/2
RAMULARIEÆ, CERCOSPOREÆ.
Ovularia. Cercospora.
mi, y, ma. 1/4 — 3
1 . 4 3
ma. /? Bd».

Ramularia,

SPOROTRICHEÆ.
Sepedonium.
mi, =,
ma, 4 <—1
Asterophora.
mi. 1
ma.
Mycogone.
ma. 5/3 << —1
Sporotrichum.
mi, 1/3 € —1

TRICHOSPORIEÆ.

Trichosporium.
ii, 1/9 >—1

HYPHOMYCETEÆ. TORULEÆ. TORULEÆ.

SR — , D a
Hyaleæ. Phææ. Hyalcæ. Phææ. Hyaleæ Phææ
CEPHALOSPORIEÆ. PERICONIEÆ. CHROMOSPORIEÆ.| CONIOSPORIEÆ. | CHROMOSPORIEÆ. | CONIOSPORIEÆ.

Haplotrichum. Camptoum. Coniosporium. | Chromosporium.
mi. 1/9 — 1 ma. 1/9 € mi, Ent mi. , 1
Coëmansiella. Acrothecium. ma. /4 ma. 2—
mi. 1/9 mi , ur, Helicomyces. Dicoccum.
Cephalothecium. | ma. B>—ik> ma, 1/, 1 MIE LAS
mi. 1/9 — 1 Stachybotrys. a Te
mi. 1/9 > —1

GONATOBOTRYTEZÆ.

Gonatobotrys.

“LETTRE

ma.
Nematozgonium.

ma. 5/2 <<
Physospora.
mi.
ma. <— 1
Arthrobotrys.
ma. 5/4

MONACROSPORIEÆ.

Acremonium.
mi. 1/9 <— 1.
Didymopsis.

mi
+4
ma, 1 <
Monacrosporium.

ma. 1/2 €

RAMULARIEÆ,
. Didymaria.
mi. :
mA. > 2 <
Cercosporella.

ma {/;, <

SPOROTRICHEÆ.
Hyphoderma,
mi. À

ARTHRINIEÆ.
Gonatobotryum.
mi. °/, >
Goniosporium,
mi. À
Arthrinium.

M >

MONOTOSPOREÆ.
Mystrosporium.
ina. fa >> — fo >
Stemphylium.
ma 1 > —1
Naplicadium.
ma. 1/9 €
Monotospora.

mi.
1 =
ma. >

CERCOSPOREÆ.
Heterosporium.

Ma. Jo L<— >

TRICHOSPORIEÆ
Zygodesmus.
mi. À
Rhinocladium.
mi. 5/4 > —1
Cladorrhinum.
mi. À

SPHÆROPSIDEXÆ.

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Hyaleæ.

Dothiorella.

Fusicoccum.

Phoma,

Sphæronema.
Phyllosticta.

Septoria,
Ascochyta.

CHÆTOMIUM,

EUROTIUM.

| Phææ,.

|

Haploporella. ;

Hendersonia. (.

Hyaleæ.

HYPHOMYCETEÆ.

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Hyaleæ. Phææ.

HELMINTHOSPORIEÆ.
Scolecotrichum.

Die 4 >— 18 >
Cladotrichum.
ma 4 <—A1<
DIPLOCOCCIUM.
mi. 1/9 >
DENDRYPHIUM.
ma, 1/, >
Cladosporium.
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Helminthosporium.

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Brachyosporium.

ma. 14, >=

Macrosporium.
ma. 1/4 <— 5 <
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mi. F
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Polydesmus.

ma, 1 TEE

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MYXOTRICHEÆ
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SPORODEÆ,
Dematium.

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ASPERGILLEÆ,

Aspergillus.
mi. 1/9 >—1

HYPHOMYCETEÆ. TORULEÆ,.
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Hyaleæ. Phææ. Phææ,
HELMINTHOSPORIEÆ.! CHROMOSPORIEÆ.| CONIOSPORIEÆ.
Helicosporium, |Cryptocoryneum
ma. 1/4 < | ma. 1/4 <
RS | Sporodesmium.
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‘| Clasterosporium
| ma, 1/4 — la >
TORULEÆ.
| Torula.
Mastigosporium.
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CHLORIDIEÆ.
Mesobotrys
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Chætopsis.
mi 1/9 €
MYXOTRICHEÆ.
Bolacotricha.
mi 1
SARCOPODIEÆ.
Helicotrichum.
ma. {4 <
Botryotrichum.
mi. À
SPOROCHISMEÆ.
Sporochisma,
Ma. 1/3 €
ASPERGILLEÆ. OOSPOREÆ. OOSPOREÆ,
Sterigmatocystis. Monilia.
mi. À Fe
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M. 2 mi.
1 —
Gliocladium. el SC

mi. 1/9

SPHÆROPSIDEÆ.

RC _—

Hyaleæ.

CAPNODIUM.

ERYSIPHES.
APIOSPORIUM.

Coniothyrium.
Pyrenochæta.

TUBERCULARIEÆ.

Tubercularia,
Ilosporium.
Hymenula,
Fusarium.
Microcera.
Sphacelia.

HYPOMYCES.

PEZIZACEÆ, l
SCLEROTINIA. (°

Phææ.

Volutella.

| STILBEÆ,

(28 )

Hyaleæ. Phææ.

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Stilbum-
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ma. 1/3 €

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Pilacre.

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Ceratium.

mi. 5/4 — À

Coremium.

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mi. 1/5 > —1

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Monosporium,

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HYPHOMYCETEÆX.

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Hyaleæ. Phææ,

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Dendryphium.
ma. 1/4 << — 1/2 <
CLADOSPORIEÆ.
Cladotrichum.

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VERTICILLIEÆ, VERTICILLIEÆ.

Stachylidium.
mi, 1/3 > —4

Acrostalagmus
Mi. 19 > <

Verticillium.
mi, 1/4 > —1
Dactylium.
ma, 1/5 <
Diplocadium.
ma, 1/2 > <
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Botrytis.

— 54 <

Botrutis.

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HYPHOMYCETEÆ.

TORULEÆ.

Hormiactis.

ma, 1e — 1/32

HAPLARIEZÆ.
Acladium.
mi 5/3 — 1
Haplaria.
mi. 5/1 — 1

VERTICILLIEÆ.

Pachybasium.
mi. 5/4

Acrocylindrium.

mi. 1j << — >
Mucrosporium,
mi. 19 > <
BOTRYTIDEÆ.

Botryosporium.
ma, 5/, << — 1
Martensella.

ma. 1/, €

HAPLOGRAPHIEÆ.
Haplographium.
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CLADOSPORIEÆ.
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mi.
ma, 42 — 1

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VIRGARIEÆ.
Virgaria.
mi. 1/9 > —1
Oospora.

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Fusidium.

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Monilia.

TORULEÆ.

Torula.
mi.
Hormiscium.

mi.
ma. 1
Gyroceras.

mi. 1 >—1

Torula.

CONIOTHECIEÆ.
Coniothecium.
mi. ,

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Geotrichum.

mi. 5/a << —À

Septocylindrium.| CONIOTHECIEZÆ.
ma, 1/4, <

Echinobotryum.
mi. 1/9

Dictyosporium.

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TORULEÆ.

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4

2

FLORE MYCOLOGIQUE DE LA BELGIQUE.

SPHÆROPSIDEÆ, Lev.

Périthèces sans thèques.

Face I : SPHÆRIOÏDEÆ, Sacc.

Périthèces noirs, membraneux, subcoriaces, charbonneux, ni dimidiés,
ni excipuliformes.
PÉRITHÈCES SIMPLES, ÉPARPILLÉS.

Groupe I (Périthèces séparés, chauves).

Sous-FamiLcE I : PHOMEZÆ ou HYALOSPORÆ.

GENRE : PHOMA.

Ostiole en papille, pas de tache.

Sous-genre : EUPHOMA.

Phoma sous-cutané, à basides courtes, monospores.

(32)

A. MICROSPORA (MICROPHOMA).
1-1% u. longueur,

Spores botuliformes-allantoïdes, bacillaires, cylindriques ou subcylin-
driques, fusoïdes.
Comme largeur le t/, de la longueur.
Spores oblongues-ellipsoïdes, oblongues-ovoïdes.
Comme largeur entre le !/, et la 1/, de la longueur.
Spores oblongues-ovées ou ellipsoïdes.
Comme largeur la 1/, de la longueur.
Spores elliptiques, ovoïdes.
Comme largeur entre la !/, et les 5/, de la longueur.
Spores ovales.
Comme largeur les 5/, de la longueur.
Spores sphéroïdes-elliptiques, sphéroïdes-ovales, sphéroïdes.
Comme largeur entre les 5/, et la presque longueur.
Spores sphériques.

Comme largeur la dimension de la longueur.

* PLANTES LIGNEUSES DICOTYLÉDONÉES.
+ Microsp. Sp.'/, > à 1}, >, rarem. < à, > <à1 Fe
a) Ramicoles.

Phoma Myricæ, Karst.

2 u. diam. ou 3 — 2.

Périthèces rassemblés, difformes par compression, érumpents; spores
sphéroïdes ou ellipsoïdes-sphéroïdes.
Sur rameaux de Myrica gale. Z. arg. sablon.

Phoma Vitis, Bon.
3-3 1/9 — 1-2,
Périthèces épars, petits, ponctiformes, se déprimant ; ostioles coniques,
perforant l'épiderme; spores ovales-elliptiques.
Sarments de Vitis- Vinifera. Z. arg. sablon.

(19)

Phoma Dulcamarina, Sacc.

8 — 2? (goutt. 1).

Périthèces rassemblés, ponctiformes, quelquefois confluents, presque
émergents; spores elliptiques, subarrondies. Spermogonie de Diaporthe
dulcamara.

Sur tiges de Solanum dulcamara. Z. arg. sablon.

Phoma Fuckelii, Sacc.

3-4 — 3);,; basides 2 — 1.
Spermogonie de Cœlosphæria Fuckelii. Périthèces globuleux; spores
botuliformes. Issus d’une couche proligère et jaunâtre.
Sur les rameaux du Robinia pseudacacia.

Phoma Minima, Schulz et Sacc.

4-3 1. long. (goutt. 2).
Périthèces lâächement rassemblés, érumpents, obtus; spores cylindracées.
Sur les rameaux de fraxinus excelsior. Z. arg. sablon.

Phoma Tamaricella, Sacc.

4 — 3/,;; basides presque nulles.
Périthèces à papilles érumpentes; spores cylindriques.
La variété Calluna sur rameaux de Calluna. Z. arden.

Phoma Crepini, Speg.
4 — 1 (goutt. 2).
Spermogonie du Cenançgium populinum. Périthèces touffus, roux, érum-
pents, papillés; spores ordinairement botuliformes.
Sur les rameaux du Populus fastigiata. Z. arden. et arg. sabl.

Phoma Enteroleuca, Sacc.

4 —1 1); pas de basides.

Périthèces amoncelés, érumpents, à peine papillés; noyau blanc; spores
oblongues-ellipsoïdes.

Sur les rameaux de Pirus et de Syringa. Z. arden.

( 54 )

Phoma Cratægi, Sacc.
4 — fÎ 1/9.
Périthèces irréguliers subglobuleux; noyau blanc; spores oblongues-
ellipsoïdes. Spermogonie d'Otthia cratægi.
Sur rameaux de Cratæqus oxyacantha. Z. arden.

Phoma Protracta, Sacc.

4 — 13/,; basides 25 — 1 1/9.

Spermogonie de Cucurbitaria protracla, Fckl. Périthèces amoncelés en
lignes subparallèles, érumpents, papillés; spores oblongues-ovoïdes.

Sur rameaux d’Acer campestre. Z. arden.

Phoma Piceana, Karst. :
5 — 1.

Périthèces épars, demi-érumpents, subastomes, points très petits; spores
botuliformes.
Sur les rameaux morts de Picea excelsa. Z. arg. sabl.

Phoma Bignoniæ, Sacc., Bom. et Rouss.

4 — 2 1-3.
L
Périthèces épars, petits, à papilles érumpentes; spores irrégulièrement
ovoides.
Sur rameaux morts de Bignonia radicans. Z. arg. sabl.

Phoma Foveolaris, Sacc.

6 — 3 (goutt. 2).

Spermogonie de Diaporthe Laschü, Nick. Périthèces rassemblés, innés,
déprimés-concaves à fosseltes; spores oblongues-ovées.

Sur rameaux d'Evonymus europœus. Z. arden.

Phoma Mixta, B. et C.

6 1. mêlées à des soies filiformes recourbées au sommet, 18 . long.
Périthèces en pustules, sous-corticales, libres tardivement; spores fusoïdes,
apiculées.
Sur rameaux de Liriodendrum tulipifera. Z. arg. sablon.

(55)

Phoma Libertiana, Spesg.

6-6 1} — 3 (gout. 2).

Spermogonie de Cenangium pinastrum. Périthèces rassemblés, érumpents,
roux, papillés, se déprimant; spores oblongues-ovées.

Sur rameaux d’Abies. Z. arden.

Phoma Siliquastri, Sacc.
67—2-21).

Spermogonie de Diuporthe. Périthèces densément rassemblés, à peine
érumpents, se déprimant, gris; spores oblongues-subfusoïdes.
Sur rameaux du Cercis siliquastrum. Z. arg. sabl.

Phoma Rudis, Sacc.

6-7 — 2 1} (goutt. 2); basides 25 — 1 1).

Spermogonie Diaporthe rudis, Nitsck. Périthèces rassemblés, érumpents,
se déprimant; spores oblongues-ellipsoïdes.

Sur rameaux de Cytisus laburnum. Z. arden.

Phoma Salicina, (West.) Sacc.

6-7 — 2-2 !); basides même longueur.

Spermogonie de Diaporthe. Périthèces rassemblés, sous-cutanés, se dépri-
mant; spores oblongucs-ellipsoïdes.
Sur rameaux de Salix. Z. arg. sabl. et arden.

Phoma Revellens, Sacc.

6-7 — 3 (goutt. 2).

Spermogonie de Diaporthe revellens. Périthèces sous-cutanés, érumpents,
rassemblés, se déprimant; spores oblongues.
Sur le fruit du Corylus avellana. Z. calc. Mai.

Phoma Oblonga, Desm.

6-7 — 3 (goutt. 2).

Spermogonie de Diaporthe eres, Nits. Périthèces oblongs, épars, cou-
verts par l’'épiderme gercé, à pores; noyau cendré; spores oblongues-ovées.
Sur rameaux d'Ulmus. Z. arden.

(56)

Phoma Calluna, nobis.

6-7 — 3-4 (goutt. 2).

Périthèces, à papilles érumpentes, rassemblés; spores oblongues-ovées.
Sur rameaux d’£rica. Z. arden.

Phoma Cincrescens, Sacc.

6-8 — 2 !}, (goutt. 2).
Spermogonie Diaporthe cinerescens, Sacc. Périthèces rassemblés, sous-

cutanés, se déprimant, noir-olive; spores oblongues-ellipsoides.
Sur rameaux de licus carica. Z. arg. sablon. et arden.

Phoma Ryckholtii, Sacc.

6-8 — 2 !) (goutt. 2).

Spermogonie de Diaporthe Ryckholtii, nobis.
Sur Symphoria.

Phoma Grossulariæ, Schulz.

6-9 L. (à peine des basides).

Périthèces rassemblés, couverts, s'ouvrant obtusément au sommet, se
déprimant; spores oblongues.
Rameaux du ÆRibes grossulariæ. Z. cale.

Phoma Velata, Mich.

(40-412—2 1)). Var. minor, 7-7 1/9 —2 (gtt. 2); basides 10-14—1.
Spermogonie de Diaporthe. Périthèces demi-couverts, épiderme déchiré,
sombre olive; spores subeylindriques.
Sur rameaux de Tilia europæa. Z. arg. sablon.

Phoma Palina, (Fr.) Sacc.

2-8 1. (goutt. 2); basides longues.
Périthèces épars, coniques-tronqués, rugueux, érumpents puis sublibres,
perforés d’un pore; spores fusoïdes

Sur branches de Salix vitellina. Z. arg. sablon

YE)

Phoma Controversa, Nits.

2-8 — 2-2 1) (goutt. 2); basides courbées 12 — 1.

Spermogonie de Diaporthe. Périthèces rassemblés, presque couverts,
gris à l’intérieur ; spores subecylindriques.

Sur rameaux de fraxinus excelsior. Z. arg. sablon.

Phoma Alnea, (Nits.) Sacc.

2-8 —21)-3; basides 20 — 1.

Spermogonie de Diaporthe alnea, Fekl. Périthèces rassemblés, sous-
cutanés, déprimés, gris-noir.

Sur rameaux d’'A/nus glutinosa. Z. arden. et calc. Mai.

Phoma Coronillæ, West.

2-8 — 3 (goutt. 2); basides 20 — 1 1).

Spermogonie du Diaporthe coronillæ, Sacc.

Phoma Coneglanensis, Sacc.

2-5 — 3 (goutt. 2); basides 15 — 3.
Périthèces sous-cutanés, rassemblés, oblongs; spores oblongues-fusoïdes.
Sur rameaux de marronnier. Z. arg. sablon.

Phoma Stictica, B. Br.

2-8 — 3-3 1), (soutt. 2).
Spermogonie de Diaporthe retecta, Fckl. Périthèces subépars, couverts
par l’épiderme longitudinalement déchiré; spores oblongues-ellipsoïdes.
Sur rameaux de Buœus sempervirens. Z. arg. sablon.

Phoma Crustosa, Sacc., Bom. et Rouss.

2-9 — 3 1) (goutt. 2).
Spermogonie de Diaporthe crustosa. Périthèces nombreux, ponetiformes,
couverts de l’'épiderme noirci, ayant un pore; spores ovales-acuminées.
Sur tronc et rameaux de l’/lex aquifolia. Z. arg. sablon.

(58)

Phoma Sorbariæ, Sacc.

2-9 — 2 1}, (goutt. 2); basides 17-20 — 1.

Spermogonie de Diaporthe sorbariæ, Nits. Périthèces rassemblés, sous-
cutanés, se déprimant; spores oblongues-ellipsoïdes.
Sur rameaux de Spiræa sorbifolia. Z. arden.

Phoma Oppilata, (Fr.) Sacc.

7-10 1, (goutt. 2).

Périthèces épars, érumpents, unis, subastomes : ostioles subgercés ; spores
fusoïdes.
Sur jeunes rameaux de Botula alba. Z. arg. sablon.

Phoma Inæqualis, Speg.

7-10 — 2-3 (goutt. 2).

Spermogonie Diaporthe inæqualis, Nits. l'érithèces sculptés dans le bois,
couverts par l'écorce, circonscrits par une ligne en forme de strome; spores
fusoïdes, à côtés inégaux.

Sur rameaux d'Ulex. Z. arden.

Phoma Pull, Sacc. (Hederæ, Fckl.)

8 — ? (goutt. 2); basides 15-16 — 1.

Spermogonie de Diaporthe pulla, Nits. Périthèces rassemblés, couverts
par l’épiderme noirci, déprimés; spores subcylindriques.
Sur rameaux de Aedera helix. Z. arden.

Phoma Sordida, Sacc.

8-10 — 2-2 1) (goutt. 2); basides 27 — 1.
Spermogonie de Diaporthe sordida. Périthèces subrassemblés, sous-cuta-
nés, érumpents, se déprimant; spores oblongues-fusoïdes.

Sur rameaux du charme. Z. arg. sablon.

(59)

Phoma Corni, Fckl.

S-10 — 2-3 (goutt. 2); basides 25 — 1.

Spermogonie de Diaporthe corni, Fckl. Périthèces épars, érumpents,
papillés, épiderme noircei ; spores subeylindriques, courbées.
Sur rameaux de Cornus sanguinea et alba. Z. cale.

Phoma Incarcerata, (Nits.) Sacc.

8 — ? (goutt. 2); basides 20 — 1.

Spermogonie de Diuporthe incarcerata (B. et Br.). Périthèces rassemblés,
petits, se déprimant, sous-cutanés; spores fusoïdes.
Sur tiges de Rosa canina et pomifera. Z. arg. sablon. et arden.

Phoma Sarothamni, Sacc.

S-12 — 2? (goutt. 2); basides crochues 30 — 1.

Spermogonie de Diaporthe sarothamni, Auerswd. Périthèces érumpents,
se déprimant; spores subeylindriques.
Sur rameau de Sarothamnus scoparius. Z. arden. et arg. sablon.

Phoma Syringina., Sacc.
8 — 3 (goutt. 2).

Spermogonie de Diaporthe nodosa. Périthèces épars, petits, sous-épider-
miques ; spores oblongues-lancéolées.
Sur rameaux de Syringa vulgaris. Z. arg. sablon.

Phoma Cryptica, Nits.

8 — 8 (goutt. 2); basides 33 — 1.

Spermogonie de Diaporthe cryptica, Nits. Périthèces rassemblés, sous-
cutanés, gris-noir, se déprimant; spores oblongues-ellipsoïdes.
Sur rameaux de Lonicera. Z. arden.

Phoma Sambhueina, Sacc.

8-10 — 3 (goutt. 2); basides 15 — 1.

Spermogonie de Diaporthe. Périthèces rassemblés, gris-sombre brun,
se déprimant, couverts au début; spores oblongues-fusoïdes.
Sur rameaux de Sambucus nigra. Z. arg. sablon.

( 40 )

Phoma Sambucella, Sacc.

— 3-4 (goutt. A

Spermogonie de Diaporthe spiculosa, A. el S. Périthèces rassemblés,

s

érumpents, se déprimant; spores oblongues-ovoïdes.

Sur rameaux de Sambucus. Z. arden.

Phoma Phillipsiana, Sacc. et Roum.

483-3 — 53? 4 — 3-3 1L? 1 noyau.
Périthèces lâchement rassemblés, se déprimant, subcoriaces, émergents,
spores globuleuses-ellipsoides.

Sur rameaux de l’A/nus. Z. arden.

Phoma Fraxinea, Sacc.
8 — 4 (goutt. 2).
Périthèces rassemblés, érumpents, se deprimant, perlorés, d’un ocre
sombre brun; spores oblongues-ovées.

Sur rameaux de Fraxinus ornus. Z. arden.

Phoma Robergeana, Sacc.

L ©

9 — 2; basides 25-30 — 1 1/9.

Périthèces rassemblés, sous-cutanés, érumpents, se déprimant, à peine
perforés ; spores courbées.

Sur rameaux de S/aphylea pinnata. Z. arg. sablon.

Phorna Putator, Sacc.

9-10 — 2 1) (goutt. 2); basides 8 — 1 1/9.

Spermogonie de Diaporthe. Périthèces rassemblés, perforés, sous-cuta-
nés, se déprimant; spores subcylindriques.

Sur rameaux de Populus. Z. arden.

Phoma Pithya, Sacc.

9-11 — 21-38 1) (goutt. 2).
Spermogonie de Diaporthe pithyæ, Sace. Périthèces épars, demi-érum-
pents, à peine papillés, fuligineux; spores fusoïdes.

Sur rameaux de pin sylvestre. Z. arden. et arg. sablon.

(44)

Phoma Padina, Sacc.
9-11 —= 8.

Spermogonie de Diaporthe decorticans, (Lib.) Sacc. Périthèces épars,
presque couverts, lenticulaires ; spores oblongues-ellipsoïdes,
Sur rameaux de Prunus padus.. Z. arden. et arg. sablon.

Phoma Ramealis, Desm.

10 — ? 1-3 (goutt. 2).

Périthèces très rapprochés, petits, innés, couverts, noir-opaque; ostioles
papillés, noyau blanc; spores oblongues-obtuses.
Sur rameaux d'Evonymus europœus. Z. tale.

Phoma opulifolïia, Cooke.

10 — 2 1) (goutt. 2).

Périthèces rassemblés, se déprimant, ponctiformes, couverts par l’épi-
derme légèrement élevé; spores lancéolées, aiguës.
Sur rameaux du Spiræa opulifolia. Z. arg. sablon.

Phoma @ncostoma, Thüm.

410 — 2? (goutt. 2); longues basides.

Spermogonie de Diaporthe oncostoma. Périthèces rassemblés, subinégau x,
couverts, se déprimant, noir-olive; spores cylindriques.

Sur rameaux de Robinia pseudacacia. Z. arden.

Phoma Depressa, Sacc. (Sphæropsis, Lev.)

10 — 2 1)-3 (goutt. 2); basides 20-28 — 1 1,9.

Phoma Juglandina, (Fckl.) Sacc.

10-12 — 3-4 (goutt. 2); basides 25 — 1-1 1/9.

Périthèces se déprimant, couverts, noir-gris; spores fusoïdes.
Sur rameaux de Juglans regia. Z. arg. sablon.

(#2)

Phoma Pustulata, Sacc.

10-13 — 3 !); basides 14 u. en crochets.

Spermogonie de Diaporthe pustulala. Périthèces rassemblés, se dépri-
mant, érumpents, entourés de plusieurs zones noires; spores oblongues-
ellipsoïdes.

Sur rameaux d’Acer pseudoplat. Z. arden.

Phoma Mülleri, Cooke.

10-12 — 3 (goutt. 2).

Périthèces épars, ponctiformes, couverts; ostioles courts, perforant; spores
étroitement ellipsoïdes.
Sur les sarments des ronces. Z. arg. sablon.

Hhoma Ericæ, Sacc.

42-14 — 6-7, nobis; basides 12-15 — 1 1/9.

Périthèces érumpents, déprimés, papillés, laissant comme trace une tache
noire subcireulaire dans la matrice; spores oblongues-ovées.
Sur tronc d'£rica vulgaris. Z. arden.

Phoma Diplodioïdes, Sacc.

42-15 — 3-3 !)L; basides très courtes.

Périthèces ordinairement épars, sous-cutanés, érumpents, coniques,
papillés; spores fusoïdes, obtusiuscules.
Sur rameaux de marronnier. Z. arg. sablon.

ESPÈCES INCERTAINES.

Phoma Radula, B. Br.
Gouttes 2.

Périthèces coniques, érumpents, donnant un aspect rude à la matrice;
spores oblongues-ellipsoïdes (fusoïdes).
Sur rameaux de platane. Z. arden.

(45 )°

Phoma Planiuseula, Sacc. (Depressa, B. Br.)

Gouttes 2.

Périthèces faux, déprimés, épars, en pustules perforées, placés dans un
strome olive; spores fusoïdes.
Sur rameaux d'Ulmus et du Robinia pseudacacia. Z. arden.

Phoma Mutica, (B. Br.) Sacc.
Sphæropsis mulica, B. Br.
Périthèces érumpents, globuleux, plus ou moins cespiteux, noir-luisant;

spores ellipsoïdes, très petites, hyalines.
Sur rameaux d’Alnus glutinosa. Z. arg. sablon.

b) Foliicoles el fruclicoles.
TMicrosp. Sp a rrarem ae
Phoma Aucubæ, West.

5 — 2 1); spores oblongues-ovées.

Phoma Lineolata, Desm.
5-2 Lu. long.

Phoma Glandicola, Desm.
6-7 — 1 %/;-2; basides 20-2.

Périthèces rassemblés, érumpents, entourés par l’épiderme déchiré;
ostioles à peine marqués; spores oblongues-ellipsoides.
Sur glands de chêne. Z arg. sablon.

Phoma Strobiligena, Desm.

6-8 — 3; spores oblongues-ovées.

Phoma Samarorum, Desm.
# 1. long.

(4)

Phoma Magnusii, Sacc., Bom. et Rouss.

6-7 — 2 1) (goutt. 9).

Périthèces épars, lenticulaires, nombreux, couverts; ostioles papilli-
formes érumpents; spores oblongues-ellipsoïdes.
Sur les feuilles de Phœnix dactylifera. Z. arg. sablon.

Phoma Cirratula, Desm.

2 1/9 — 2 1) (goutt. 2).

Périthèces assez grands, rapprochés, s’aflaissant; noyau expulsé en
cirrhe ; spores oblongues-ellipsoïdes.

Sur les feuilles languissantes de Daphne. Z. arg. sablon.

Phoma Occulta, Sacc.
7 — 3 (goutt. 2).

Spermogonie de Diaporthe occulta. Périthèces pustuleux, nichant dans
un strome limité de noir, souvant par gerçures; noyau gris; spores
oblongues-ovoiïdes.

Sur les écailles de cônes d’A bies. Z. arden.

Phoma Acicola, (Lev.) Sacc. (Sphæropsis acicola, Lev.).

7 — 4.

Périthèces assez grands, érumpents, ruguleux, entourés de l’épiderme;
noyau blanc; spores oblongues-ovées.
Sur les feuilles de pin sylvestre. Z. arden.

Phoma Petiolorum, Desm.

2-8 — 3 (goutt. 2); basides 20-93 — 1.

Périthèces épars, papillés, couverts; noyau blanc; spores fusoïd es. Sper-

mogonie de Pleospora petiolorum, Fekl.

Sur les pétioles de Robinia pseudacacia. Z. arg. sablon.

Phoma Deflectens, Sacc., Bom. et Rouss.

7-12 — 2-3 (goutt. 2); basides 10-12 — 1 1/9.
Périthèces groupés à la base des feuilles, irréguliers et déprimés, perçant
l'épiderme dressé autour d'eux; spores allantoïdes.

Sur feuilles mortes d’Araucaria imbricata. Z. arg. sablon. Hiver.

(45)

Phoma Leptidea, (Fr.) Sacc. (Sphæria Leptidea, Fr.).

S — 2.

Périthèces rassemblés, convexes, s’affaissant, couverts, perforés-ombi-
liqués; spores botuliformes.

Sur les feuilles de Vaccinium vilis idæa. Z. arden.

Phoma Pterophila, (Nits.) Fckl.

— 3 (goutt. 2).

Périthèces assez grands, rassemblés, se déprimant, perforés; spores
oblongues-ellipsoïdes.
Sur les samares de Fraxinus eæcelsior. Z. arg. sablon.

Phoma Gloriosa, Sacc.

8 — 3 (goutt. 2); hasides 15 — 2; courbées.

Périthèces rassemblés cà et là, couverts, se déprimant, entourés d’une
ligne noire et tortueuse; spores oblongues-ellipsoïdes.
Sur feuilles pourrissantes d’'Yucca gloriosa. Z. arg. sablon.

Phoma Epiphylla, (Lev.) Sacc. (Sphæropsis epiphylla, Lev.).

8-10 — 2? (goutt. 2).

Périthèces épars, petits, s’affaissant, luisants, couverts, proéminents;
noyau blane-gris; pores assez grands et irrégulièrement ouverts; spores
subcylindriques. Pycnide de Phacidium lauro-cerasi?

Sur les feuilles de Prunus lauro-cerasus, de Rhamnus alaternus.
Z. arg. sablon.

Phoma Leucostigma, Sacc.

10-12 — 3-4 (goutt. 2).

Périthèces épars, proéminents, innés; ostioles blancs et perforés; spores
oblongues-ellipsoides.
Sur les feuilles de Buxus. Z. arden.

(46)

Phoma Conorum, Sacc.

10-14 — 2-2 5/, (goutt. 1); basides 24 — 1.

Spermogonie de Diaporthe conorum. Périthèces rassemblés, érumpents,
se déprimant, subastomes; noyau gris; spores fusoïdes.
Sur les écailles de cônes d’Abies. Z. arden.

Phoma. Querei, Sacc. (Sphæropsis querci, nobis).

12 — 6.

Phoma Geniculata, (B. et Br.) Sacc. (Sphæropsis geniculata,
B. et Br.).

x

Basides attachées à angle obtus-oblique, 4-5 fois la longueur
des spores.

Périthèces à ostioles coniques et proéminents; spores cylindracées,
courbées.
Sur les feuilles de Pinus strobus. Z. arg. sablon.

Phoma Ocellata, (Lev.) Sacc. (Sphæropsis ocellata, Lev.).
Périthèces épars, couverts; ostioles proéminents ct perforés, blancs;
spores oblongues-linéaires.
Sur les nervures de feuilles de chêne. Z. arg. sablon.
Phoma Strobi, (B. et Br.) Sacc. (Sphæropsis Strobi, B. et Br.).
Périthèces petits, s'affaissant; spores linéaires, oblongues, 6-7 fois plus

longues que larges.
Sur les feuilles de Pinus strobus.

(47)

** PLANTES HERBACÉES DICOTYLÉDONÉES.

a) Caulicoles.

T Micros. Sp. 1,2 4 he aremr ea
Phoma Errabunda, Desm.

8-4 — 1 {); spores oblongues-ovoides.

Phoma Brassicæ, Thüm.
3-4 —1 14-2.

Périthèces assez gros, rassemblés, phissés, superficiels, d’un brun noir;
spores oblongues-ovées.
Sur les tiges de choux. Z. arden. (Libert).

Phoma Anethi, Sacc. (Sphæria anethi, Pers.).

4 L. long ; spores ovées-cylindracées.

Phoma Silvatica, Sacc.
4 — 1 (goutt. 2).

Périthèces ordinairement oblongs, rassemblés, sous-cutanés, proéminents;
spores cylindriques.
Tiges mortes de Melampyrum silvaticum. Z. arden. Hiver.

Phoma Acuta, Fckl.

[4

4 = 1 1) (goutt. 2).

Spermogonie de Pleospora acuta, Fckl. Périthèces assez grands, se dénu-
dant; ostioles conoïdes-aigus; spores oblongues-ovoïdes.
Sur tiges d'ortie. Z. arden. et arg. sablon.

Phoma Longissima, West.

4-6 — 1 !L-? ; spores oblongues-ellipsoïdes.

(48)

Phoma Urticæ, Schulz.
4-6 — ?,

Périthèces rassemblés, cachés ou subsuperficiels, se déprimant, ouverts
par pore; spores oblongues-cylindriques.
Sur tiges d’'Urtica dioica. Z. arg. sablon.

Phoma Lingam, Desm. (Tode).

5 1. long. (goutt. 2).

Périthèces rassemblés, difformes, s’affaissant, rugueux; ostioles rudes,
se détachant; spores oblongues.
Sur les tiges de choux. Z. arden.

Phoma Ruborum, West.

5-6 — 1; spores botuliformes.

Phoma Oleracea, Sacc.

5-6 — 2 (goutt. 2).

Périthèces épars, se déprimant, papillés; spores cylindracées, un peu
rétrécies au milieu.

Sur tiges de choux. Z. arden.

Phoma Complanata, Tod.

5-6 — ? (goutt. 2).

Périthèces érumpents, assez gros, papillés, comprimés-ombiliqués, non-
fuligineux ; spores botuliformes.

Surtout sur tiges d'ombillifères. Z. arg. sablon.

Phoma Melæna (Fr.) Mont. et Dur.

5-6 — 3. Forma Silenes. Z. calc. et arden.

Phoma Exigua, Desm.
5-7 long. 1.

(49 )

Phoma Thalictrina, Sacc.

6-7 — 3-3 1), (goutt. 2).

Périthèces rassemblés, sous-cutanés, globuleux-vblongs ; spores oblongues-
ovées. Spermogonie de Diaporthe.
Sur tiges de Thalictrum glaucum. Z. arg. sablon.

Phoma Herbarum, West. (1).

6-11 — 3-4, spores oblongues-ovées.

Périthèces globuleux-déprimés, papillés.

Phoma Ebulina, Sacc.

6-12 p. long. (goutt. 2).

Périthèces globuleux, couverts, subastomes; noyau blanc; spores ovoïdes-
oblongues. Dans le Phoma ebuli, Schuiz, les spores ont 1 1/,-2 ‘/, u. long.
et sont ovées.

Sur tiges de Sambucus ebulus. Z. arg. sablon.

Phoma Subordinaria, Desm.

2 p. long (goutt. 2).

Spermogonie de Diaporthe adunca (Desm.).

Phoma Nebulosa, (Pers.) Mont.

2-8 — 1 35/;-2. Forma Althæa.

(t) Mes études sur la germination des spores se sont faites particulièrement sur le
Phoma herbarum elle Pleospora herbarum,

En hiver, les tiges herbacées permettent de suivre, au microscope et à la loupe, le
Mycelium conidien qui développe les spermogonies et les périthèces thécaspores; en outre
les micro-organismes, étrangers aux préparations, se développent plus lentement à cette
saison.

Nous nous sommes servis de l'infusion filtrée de la plante nourricière. Deux molecules
de cire, placées entre le porte-objet et la lamelle, permettent à l'air de circuler entre les
ilots liquides ménagés, par cette disposition. Comme étuve, nous avons employé la cloche
en verre avec éponges humides.

( 50 )

Phoma Venenosa, Sacc.
3— 21.
Périthèces rassemblés. noircissant l’épiderme, oblongs; spores oblongues-

cllipsoïdes.
Sur tiges de Datura stramonium. Z. arden.

Phoma Striæformis, Dur, et Mont. :

2-S—% 1/-38 (goutt. 4); longuem. stipitées. Sur la var. Hysteriola.
Périthèces subrassemblés en séries, érumpents, ovoïdes, avec ostioles
ou perforés; spores oblongues-ellipsoïdes.
Sur rameaux déjetés de Sambucus nigra. La variété HMysteriola, Sacc. sur

Dipsacus silvestris. Z. cale. Avril.

Phoma Durandiana, Sacc.

7-9 — 2-3 (goutt. 2).
Spermogonie de Diaporthe maculosa, Saec. Périthèces rassemblés, dépri-
més, épiderme ponctué-noir, spores oblongues-fusoïdes.

Sur tiges de Rumex. Z. arden.

Phoma Malvæcenarum, West.

2-10 — 2 1-3 (goutt. 2).

Phoma Fœniculina, Sacc.

8 — 3 (goutt. 2); basides 20 — 1.

Spermogonie de Diaporthe. Périthèces rassemblés, globuleux-oblongs;
spores oblongues-ellipsoïdes.

Sur tiges de Angelica, Heracleum (Libert).Z. arden.

Phoma Lirellata, Sacc.
8-10 — 2-2 1.
Périthèces rassemblés souveat en séries, bien comprimés, érumpents,
à peine papillés; spores fusoïdes.
Sur les tiges de Pœonia, Matricaria, Lythrum. Z. arden.

à

(51)

Phoma Vulgaris, Sacc.
8-10 — 2 /:-3.

Périthèces rassemblés, à pores, globuleux-lenticulaires, couverts; spores
oblongues-réniformes.
Sur tiges de Clematis vitalba. Z. arden.

Phoma Achilleæ, Sacc.

9-10 — 2 1-3 1} (goutt. 2; basides 26 — 1 crochues.

Spermogonie de Diaporthe orthoceras, f. Achilleæ! Périthèces rassemblés,
oblongs; spores oblongues-ellipsoïdes.
Sur tiges mortes d'Achillea millefolium. Z. arden. et marit.

Phoma Albicans, Rob. et Desm.
10 y. long.
Spermogonie de Pleospora atbicans.

Phoma Lavateræ, West.

40 — 2 1); spores fusoïdes.

Phoma Dentariæ, (WVest.) Sacc. {Zythia dentariæ, West.)

(Acospora dentariæ, Fekl.).

10 — >; spores cylindracées.

Phoma Spirææ, Desm.

10 — 3 (goutt. 2).

Périthèces perforés, suborbiculaires, soulevant l’épiderme; spores
oblongues-ellipsoïdes.
Sur les tiges de Spirææ. Z. arg. sablon.

Phoma Atriplicina, West.

410 — 5 (goutt. 2); spores oblongues-ovées.

(52)

Phoma Phaseoli, Desm.

10-12 p. long (goutt. 2).

Phoma Eryngii, Sacc.
12-13 — 3.

Péritheces papillés, couverts ; ostioles à peine émergents; spores fusoïdes
cylindracées, légèrement resserrées au milieu.
Sur tiges d'£ryngium. Z. arden.

Phoma Epilobii, Preuss.

Périthèces d'un noir de poix, celluleux, à sommet souvent déprimé et
à noyau blanc, sur taches arrondics et difformes, uniformes; spores subfu-
siformes, avec gouttes huileuses.

Sur tiges mortes d'Epilobium angustifolium. Z. cale.

Phoma Picea, (Pers.) Sacc.

Spermogonie de Diaporthe picea. Périthèces épars, subdéprimés, cachés,
couleur de poix, allongés, inégaux, astomes, puis ouverts.
Sur tiges d’Æelleborus fœlidus. Z. cale.

b) Foliicoles et fructicoles.
+ Microsp. Sp. ], > à Sp. ‘/, > rarem. € à 5}, ><.
Phoma Siliquæ, Sacc.
4 — 1.

Périthèces rassemblés, érumpents, conoïdes; spores subeylindriques.
Sur siliques de Cheiranthus cheirus. Z. arden.

Phoma Siliquastrum, Desm.

5 1. (goutt. 2).

Périthèces rassemblés, d'un brun noir, à pores, avec taches oblongues
d’un brun olive; spores fusoides.

Sur les siliques et pédoncules de choux. Z. cale.

(55)

Phoma Filaginis, West.

5 =— 1,3.

Phoma Leguminum, West.
> —? 1/9.

Phoma Punctiformis, Desm.
5-7 pu. long.

Périthèces épars, papillés, puis perforés, nombreux, convexes, couverts,
d’un noir brunâtre; à cirrhe grisâtre; spores oblongues inégales.
Sur les feuilles de Lychnis chalcedonica.

Phoma Saxifragarum, West.

G-3 —?2 1/9 (goutt. D},

Phoma Effusa, Rob.
219 — 21).

Périthèces épiphylles, subrassemblés, ponctiformes, couverts; ostioles
papillés, érumpents, quelquefois entourés d’un halo blanc; spores oblongues.
Sur feuilles mortes d’Hclleborus fœtidus. Z. cale.

Phoma Cuceurhitacearuam, (Fr.) Sacc. (Sphæria

cucurbitacearum, Fr.).

2 1)o = 3

Phoma Vincetoxicei, West.
2 1J9-8 — 3-4.

Phoma Siliquarum, Sacc.
S — &.

Périthèces rassemblés lâchement, se déprimant, papillés ; spores oblongues-
ellipsoïdes.
Sur les siliques de choux. Z. arden.

Phoma Subvelata, Sacc.

8-9 — 2-2 1}, (goutt. 2); basides 30 — 1.

Périthèces rassemblés, largement perforés, globuleux-lenticulaires; spores
botuliformes légèrement resserrées au milieu.

Sur l’épicarpe de Cucurbita. Z. arg. sablon.

( 5% )

Phoma Westendorpii, Tosq.

10 — 3; spores oblongues-ellipsoides.

Fhoma Deusta, Fckl.

410 — 2; spores cylindracées.

Phoma Decorticans, De Not.

10 — 2-2 1) goutt. 2).
Périthèces rassemblés, se déprimant, papillés, épiderme se laissant aller

en miettes; spores cylindracées.
Sur l'écorce du fruit du Cucumis. Z. arg. sablon.

ESPÈCES INCERTAINES.
Phoma Ammophilæ, Dur. et Mont.

Périthèces très nombreux, émergents, très petits, placés sur des taches
grises; spores ?
Sur les chaumes d'Ammophila arenaria. Z. arg. sablon.

Phoma Podagrariæ, West., Bull. Acad., Brux. 1852, II,
p. 116.

Sur Agopodium podagraria. Z. arg. sablon.

*4## PLANTES MONOCOTYLÉDONÉES.
+ Microsp. Sp.', >à'L,>rrem<àa2<& ,

Phoma Phormii, (Cooke' Sacc. (Coniothyrium phormium,
Cooke).
4-3.
Périthèces rassemblés, demi-immergés, allongés avec fissures; spores

ovales.
Sur les feuilles de Phormium tenax. Jardin botanique de Bruxelles.

(55)

Phoma Nitida, Rob.
> L.
Périthèces épiphylles, épars, petits, luisants, couverts de l’épiderme se
gerçant; ostioles papilliformes; spores subovoïdes.
Sur chaumes d'Ammophila arenaria. Z. marit.

Phoma Aliicola, Sacc.
5-2 (goutt. 9).

Périthèces rassemblés, perforés, devenant superficiels, très petits, d'un
noir intense; spores oblongues ovoïdes.
Sur tiges d’Allium. Z. arden.

Phoma Liliacearum, West., 5; Not., p. 20.

2 1/9 = 1-2 (goutt. 9).

Périthèces ovoïdes-oblongs, déposés en séries le long des fibres; ostioles
poriformes; spores ovoides.
Sur les pédoncules d’Hemerocallis fulva. Z. arg. sablon.

B. MACROSPORA (MACROPHOMA), Sacc., Berl. et Vogl.
SR ei
* PLANTES LIGNEUSES DICOTYLÉDONÉES.
a) Ramicoles.

Phoma Corylina, Thüm.
13-18 — 8-10.
Périthèces rassemblés, érumpents et proéminents, se déprimart, d’un
noir opaque; spores elliptiques; épispore subépaissi.
Sur les rameaux arides de Corylus avellana. Z. arden.

Phoma Scheidweileri. \Vest. {Sphæropsis).

24-30 — 12-14, spores oblongues-ovées.

Phoma Laburni, West. (Sphæropsis).

20-30 — 13-14; spores ellipsoides.

( 06 )

Phoma Fraxinicola, nobis.
24 — 10-12.

Périthèces rassemblés ou groupés, sous-culanés; noyau blanc; spores
ellipsoïdes.
Sur écorce de frêne. Z. arden. Hiver.

Phoma Rosicola, nobis.
24-28 — 12.

Mêmes caractères que le Fraxinicola.
Sur écorce de Rosa canina. Z. arden. Hiver.

‘Phoma Hyalina, (B. et C.) Sacc.

26-32 L. long.
Périthèces couverts par l’épiderme soulevé en pustule; spores elliptiques.
Rameaux de Viburnum opulus. Z. arg. sablon.

Phoma Ampelopsidis, (C. et E.) Sacc. (Sphæropsis).

30-35 — 12.

Périthèces rassemblés, couverts, papillés, à écorce élevée; spores
oblongues-ellipsoïdes.

Sur les rameaux d’Ampelopsis quinque foliæ (vigne vierge). Partout.

b) Fotiicoles et fructicoles.
Phoma Ilieis, Desm.

12-15 — 3; spores cylindracées.

Phoma Nitidula, Sacc., Bom. et Rouss.

Macrophoma nitens, Berl. et Vogl.
12-60 — 2.
Périthèces rassemblés, très luisants, subsuperficiels, à peine papillés;
spores bacillaires.
Sur glands de chêne. Z. arg. sablon.

(57 )

Phoma Vineæ, Sacc. (Sphæropsis).

45-18 Lu. long; spores oblongues-ellipsoïdes.

Phoma Mirbelii, Sacc. (Sphæropsis).

45-18 — 8-9; spores elliptiques.

Phoma Candollei, Sacc. (Sphæropsis).

35 — 12; spores oblongues-ovoïdes.

Phoma Cylindrospora, Sacc. (Sphæropsis).

20-25 — 2-3; basides 15-16 — 1 1J,-2.

Périthèces couverts, perforés, s’affaissant; spores bacillaires.

Phoma Fimicola, Sacc. (Sphæropsis).

20-30 — 43-14; spores oblongues-ovées.

** PLANTES MONOCOTYLÉDONÉES.
Phoma Depressula, Sacc., Bom. et Rouss.

45-16 — 4 !},; basides simples, courtes, monospores.

Périthèces nombreux, couverts, sous-épiderme noirei et luisant, peu sail-
lants, s'ouvrant par pore; spores subclaviformes, granuleuses.
Sur les feuilles de Scirpus cϾspitulosus. Z. arg. sablon.

Phoma Caricina, Thüm.
20-22 — 10.

L
Périthèces rassemblés, ponctiformes, d’un noir glauque; des pores;
spores oblongues-ovées ; épispore subépaissi.
Sur les chaumes morts du jonc. Z. arden.

( 58 )

Sous-genre : APOSPHÆRIA.

+ Microsp. Sp.'[, > al, >< rarem. 1 >.

Phoma superficiel où à base incrustée dans le bois ou dans la partie dure
de l'écorce; basides fines.

(Phoma) Aposphæria Stigmospora, Sacc.

4-1,5 1. globuleuses; basides 7-9 — 1,3.

Périthèces ordinairement rassemblés, subsuperficiels, courtement papillés;
spores très nombreuses.
Sur les rameaux de Calluna vulgaris. Z. arden. et arg. sablon.

(Phoma) Aposphæria Oxystoma. Sacc.
=—\A"

Périthèces rassemblés, subsuperficiels, coniques, papillés aigus, luisants;
spores subcylindriques.
Sur bois. Z. arden.

(Phoma) Aposphæria Fuscidula, Sacc.

3-4 — 4 {/9-2 (goutt. 2).
Périthèces rassemblés, à base enfoncée dans le bois, conoïdes, papillés ;
spores oblongues-ovées. Spermogonie de Melanomma fuscidulum, Sacc.
Sur rameaux de Sambucus nigra. Z. arden.

(Phoma) Aposphæria Labens, Sacc.

4 — 1; basides 8 — 1.

Périthèces rassemblés, superficiels, membraneux, noir fuligineux, à peine
papillés, s’affaissant, excavés; spores botuliformes.
Sur bois de Robinia pseudacacia, de Cratægus. Z. arden.

(Phoma) Aposphæria Pulviseula, Sacc.

4-4 1/9 — 4 1/,-2 ; basides 5-8 — 9.
A Z ?
Périthèces rassemblés, subsuperficiels, fuligincux, papillés; spores
oblongucs-ellipsoïdes. Spermogonie de Melanomma pulviscula.
Sur bois et écorce dure de saule. Z. arden.

(59)

(Phoma) Aposphæria Pinea, Sac.
—

Périthèces densement rassemblés, superficiels, à peine papillés, d’un
noir très intense; spores cylindracées.
Sur bois pourri de pin sylvestre. Z. arden.

(Phoma) Aposphæria Densiuseula, Sacc.

D — 2.

Périthèces densement rassemblés, coniques et variés; spores oblongues-
ovoïdes.

Sur troncs décortiqués de choux. Z. arden.

(Phoma) Aposphæria Consors, Schulz.
5-6 |.

Périthèces, se déprimant, päles à l’intérieur, superficiels, petits; spores
ellipsoïdes.

Sur rameaux d’'Ulmus suberosa. Z. arden.

(Phoma) Aposphæria Aïllantella, Sacc.

5-6 — 1 !}; basides à peine marquées.

Périthèces rassemblés, se déprimant, subsuperficiels, à peine papillés;
spores allantoïdes.
Sur bois pourri de chêne. Z. arden.

(Phoma) Aposphæria Fibricola, Sacc.
6 1.
Périthèces disposés d’après les fibres; taches indéterminées; spores
ovoïdes ou subellipsoïdes, verdâtres,
Sur bois de peuplier. Z. arg. sablon.

(Phoma) Aposphæria Hyppophaes, nobis.

6 — 1-1 1); basides 24 y.

Périthèces lâchement rassemblés, à peine visibles à l'œil nu, ne présen-
tant rien de particulier; spores allantoïdes.
Sur bois d’Ayppophaes. Z. marit.

( 60 )

(Phoma) Aposphæria Prillieuxiana, Sacc.

6—21/0-3.

Périthèces densement rassemblés, coniques, obtusément papillés, super-
ficiels, assez gros; spores oblongues-ellipsoïdes.
Sur bois pourri de vigne. Z. arden.

(Phoma) Aposphæria Calathiseus, (Corda.) Sacc.

(Sphæronema, Corda).
6-7 pu. long.

Périthèces rassemblés, très petits, membraneux, luisants, superficiels,
sombre brun; spores oblongues.
Sur les débris de bois de hêtre. Z. arg. sablon.

(Phoma) Aposphæria Papillula, Sacc.

G-S — 2.

Périthèces rassemblés, distinctement papillés, globuleux; spores allan-
toïdes.
Sur le bois. pourri. Z. arden.

(Phoma) Aposphæria Pomi, Schulz.

6-8 — 2-3 (goutt. 1-3).

Périthèces densement rassemblés, superficiels, perforés, entourés de
hyphes fuligineuses, filiformes, septées ; spores oblongues-ovées.
Sur épicarpe de pommes desséchées. Z. arg. sablon.

(Phoma) Aposphæria Seriata, (Pers.) Sacc.
(Sphæria seriata, Pers.).
Périthèces ruguleux, déprimés, papillés, rassemblés en séries allongées;

spores petites, oblongues.
Sur bois mou de chêne. Z. arden.

(61)

Sous-genre : DENDROPHOMA.
+ Microsp. Sp. ‘/; >.

Phoma ou Aposphæria à basides verticillées, aciculaires, rameuses.

(Phoma) Dendrophoma Valsispora, Penz.

8-3 1/9 — 1/9-1 ; basides 15-18 — 1-1 4}.

Périthèces à ostioles proéminents, épars sur des taches, couverts, d'un
brun noirâtre; spores botuliformes.
La variété Ramulicola sur rameaux de saule. Z. arden.

(Phoma) Dendrophoma Pleurospora, Sacc.

4-4 1) — 1-1 1) ; basides 30-50 — 2 1/9-3 1/9.

Périthèces épars, coniques, perforés, fuligineux pâle; spores cylindracées.
Sur rameaux divers. Z. arden.

(Phoma) Dendrophoma Pruinosa, (Fr.) Sacc.

3-7 — 1/01.

Périthèces rassemblés, déprimés, couverts, gris-pruineux; ostioles érum-
pents sous forme de bulles; spores allantoïdes.
Sur rameaux de frène. Z. arden. et arg. sablon.

(Phoma) Apos-dendrophoma Therryana, Sacc.

3 — 1; basides 925 — 1.

Périthèces rassemblés, superficiels, inégaux, à peine papillés; spores
oblongues-ovoïdes.

Sur le bois de chêne et de peuplier. Z. arden. et arg. sablon.

(Phoma) Apos-dendrophoma Pulvis-pyrius, Sacc.

3-4 — 0,7; basides 18-25 — 1.

Périthèces subdéprimés, à peine papillés, subirréguliers; spores cylin-
dracées.

Sur le bois et écorce du poirier, de l’aune, du charme, du chène, du
robinier. Z. arden.

(62)

Sous-FAMILLE II : CONIOTHYREZÆ ou PHÆOSPORÆ.

Périthèces sous-cutanés, érumpents.

GENRE : SPHÆROPSIS.
Microsp. Sp. 1], > à > <.

Périthèces assez gros, subcharbonneux; spores bien stipitées.

Sphærop. Subglohosa, Cke.

10-12 . diam.

Périthèces finissant par émerger, fendant en long la cuticule, en forme
de petits sillons; spores brunes, subglobuleuses.
Sur chaume de Bambusa. Bruxelles. Z. arg. sablon.

Sphærop. Saccardiana, (Speg.) Sacc.
Diplodia Saccardiana, Speg.

12-14 — 5-6 (1 striée longitudin.).

Périthèces rassemblés, finissant par devenir libres, disposés en lignes,
perforés d’un petit ostiole, noirs; spores elliptiques, obtuses, continues,
puis présentant une strie longitudinale, ct s'ouvrant à cette strie, d’un olive
fuligineux pâle.

Sur rameaux déjetés de Sarothamnus scoparius. Z. arg. sablon.

Macrosp. Saus enduit. Sp. ‘}, >.

Sphærop. Malorum, Peck.
25 — 10-11.
Périthèces érumpents, entourés de l’épiderme déchiré, coniques, aplatis,
perforés; spores oblongues, fuligineuses.
Sur des pommes tombées. Z arg. sablon.

Sphærop. Visei, (Sollm.) Sacc.

Ceuthospora Visei, Sollm.
40-50 — 25-30.

(65)

Macrosp. Avec enduit. Sp. ‘/, >.

Sphærop. Ulmi, Sacc. et Roum.
Pycnide de Massaria ulmi.

60-70 — 14; avec enduit hyalin.

Périthèces massarioïdes, innés dans l'écorce, rassemblés; spores oblon-
gues-fusoïdes, fuligineuses.
Sur l'écorce de l’orme. Z. arden.

GENRE : CONIOTHYRIUM, Cda.

Microsp: SpA OA

Périthèces très petits, submembraneux; spores à peine stipitées.

Conio. Fœdans, Sacc.

2-3 Lu. diam. ou 4 — 38 (goutt. 1).

Périthèces rassemblés, nichés dans l’écorce, noirs; texture parenchyma-
teuse, d’un olive fuligineux; ostioles petils, imprimés; spores hyalines et
courtement stipitées au début, puis olives et salissant l’épiderme.

Sur rameaux de charme. Z. arden.

Conio. Fuckelii, Sacc.
Spermogonie de Leptosphæria Coniothyrii.

2,4-5 — 2-3 !).

Périthèces épars, hypodermiques, très noirs; ostioles à peine proémi-
nents; spores olivacées ou fuligineuses, très nombreuses.

Sur rameaux de Rubus Z. arden., calc. et arg. sablon.

Conio. Conoïdeum, Sacc.

3 1/9 ==; 1/9 (goutt. 4}:

Périthèces épars, hémisphériques-conoïdes, devenant érumpents-super--
ficiels, noirs; spores jaunâtres.

Sur tiges sèches d’Urtica dioica. Z. arg sablon.

(64)

Conio. Insitivum, Sacc.

4 1/9="8 = 2 1/9-4.

Périthèces réunis en paquets conoïdes, couverts, souvent difformes, très
noirs; spores oblongues-ovées ou réniformes, d'un olive fuligineux avec
basides très courtes.

Sur rameaux de Robinia. Z. arg. sablon. Sur Prunus. Z. arden.

Conio. Vagabundum, Sacc.

Spermogonie Leptosphæria. Vagabunda.
4 —11).

Périthèces immergés, sphéroïdes ou subanguleux, noirs à l'intérieur;
spores olivacées, oblongues.
Sur rameaux de Cornus sanquinea. Z. arg. sablon.

Conio. Fuscidulum, Sacc.

Spermogonie de Melanomma fuscidulum, Sacc.

4-5 — 2-3 1} (goutt. 1).

Périthèces rassemblés, nichant et sortant des fibres ligneuses, globuleux,
noirs; spores olivacées.
Sur rameaux décortiqués de Sambucus nigra. Z. arden. et arg. sablon.

Conio. Concentricum, (Desm.) Sacc.

Papularia Concentrica (Desm.).

4-5 — 3-4 (goutt. 1).

Conio. Crepinianum, Sacc.
5 — 3.
Périthèces globuleux-coniques, à base implantée sur la partie super-
ficielle et ligneuse de la plante; spores ovées, elliptiques, d'un olive fuli-
gineux.

Sur tige pourrie de Brassica Z. arden. et arg. sablon. Hiver (Libert).

( 65 )

Conio. Sarothamni, (lhüm.) Sacc.

5 1/9-7 — 3-3 1}.

Périthèces rassemblés, couverts, puis libres, s’aplatissant, noirs; spores
ovées ou ovoïdes, sombre brun dilué.
Sur gousses desséchées de Sarothamnus scoparius. Z. arg. sablon.

Conio. Olivaceum, Bon.
B-8 — 2-5.

Périthèces épars, couverts, puis érumpents, globuleux; ostioles à papilles;
spores elliptiques, oblongues, sans goutte, d’un brun olive.
Sur rameaux morts de Sambucus racemosa. Z. arg. sablon.

Conio. Ribis, nobis.
G-S — 4.

Périthèces sous-épidermiques, perforés, noirs, globuleux-déprimés; spores
elliptiques-oblongues, sans goutte, olivâtres.
Sur rameaux de Ribis grossularia. Z. arden.

Conio. Hedera, (Desm.) Sacc.

6-8 — 4 1/,-6 (goutt. 1-2).

Périthèces couverts et noircissant l'épiderme, lenticulaires, assez gros;
spores subglobuleuses, souvent subanguleuses, d’un sombre olivacé.
Sur rameaux et feuilles de Hedera helix. Z. arg. sablon.

Conio. Conorum, Sacc.

4-9 — 5 1/9 G 1/9 (goutt. 4).

Périthèces rassemblés, innés, érumpents, globuleux, perforés; spores
globuleuses-ellipsoïdes, d’un ochracé fuligineux.
Sur écailles de cônes d’Abies. Z. ardeu. (Libert).

( 66 )

SOUS-FAMILLE LIL : DIPLODINEZÆ ou HYALODIDYMÆ.

Périthèces innés, érumpents, ou subsuperficiels.

GENRE : DIPLODINA, West.

Périthèces papillés, pas de taches; spores mutiques; basides monospores.

Macros. Sp. 4}, a <<

Diplodin. Salicis, West.
15 — 3 1/9.

Diplodin. Truncata, (Lev.) Sacc.

Diplodin. Acerum, Sacc. et Br.

12-16 — 4-4 1/9.

Périthèces innés, érumpents, couverts par l’épiderme brisé; spores
oblongues-fusiformes, souvent resserrées à la cloison.
Sur rameaux d'Acer pseudo-platanus. Z. arg. sablon.

Diplodin. Graminea, Sacc.
15-16 — 5-7.

Périthèces globuleux-conoïdes, érumpents, rassemblés souvent en
séries 2-4; spores oblongues, resserrées-didymes, les loges se séparent

quelquefois.
Sur feuilles de graminées. Z. arg. sablon.

Micros. Sp. /4 <.

Diplodin. Galii, (Niess.) Sacc.

7-8 — 4-5 (goutt. 2).

Périthèces épars, subglobuleux, érumpents; spores ovées, resserrées
Sur tiges mortes de Galium mollugo. Z. calc.

(67)

Diplodin. Conformis, Sacc., Bom. et Rouss.

2-12—21,-3.

Perithèces épars, globuleux, érumpents-subsuperficiels, brunätres, puis
noirs, à la fin affaissés ; ostioles courts, coniques; spores oblongues.
Sur tiges mortes de Resedu alba. Z. arg. sablon. Avril.

GENRE : ASCOCHYTA, Lib.
(Phyllosticta hyalodidymai.

Micros AAA
Asco. Buxina, Sacc. (Septoria Buxi, Belly)?
S—2 1/9.

Périthèces épars, ponctiformes; taches pâlissant, arides; spores ovées-
fusoides, non resserrées, olivacées.
Sur feuilles mortes de Buxus sempervirens. Z cale.

Aseo. Fibricola, Sacc. (Seploria cineraria, Mathieu)?

S-10 — 3.

Périthèces lenticulaires-ponctiformes, nichés entre les fibres corticales ;

taches presque nulles; spores cylindracées, courbées, obtusiuseules, sombre
olivacé.

Sur tiges de Cineraria marilima. Z. marit.

Asco. Elæagni, Sacc. (Septoria elæagni, Desm.)?

S-10 — 3 1-4.

Périthèces lenticulaires-ponctiformes, perforés; taches marginées d'’ocre;
spores fusoïdes, olivacées.

Sur feuilles de £læagnus angustifolium. Z. arg. sablon.

Aseo. Tenerrima, Sacc.
9-11 — 3-4.

Périthèces lenticulaires, perforés; texture aréolée très délicate ; taches
olivacées, marginées de brun; spores oblongues, arrondies, légèrement
resserrées au milieu, hyalines, à peine septées.

Sur feuilles de Lonicera tartarica. Z. arden. (Libert).

( 68 )

Asco. Viburni, Sacc.
10-12 — 3 1-4.

Périthèces lenticulaires, perforés; taches pâles, marginées d’un sombre
brunâtre et purpurin; spores ellipsoïdes-oblongues, arrondies, hyalines,
légèrement resserrées.

Sur feuilles de Viburnum opulus. Z. arden.

Asco. Lyeii, Sacc., Bom. et Rouss.
10-12 — 5.

Périthèces globuleux, très petits, épars; taches grisätres, marginées de
brun ; spores elliptiques, hyalines, légèrement resserrées.
Sur feuilles de Lycium barbarum. Z. arg. sablon.

Asco. Graminicola, Sacc.

10-12 — 4 (goutt. 2).

Périthèces lenticulaires, perforés; texture parenchy mateuse, fuligineuse;
taches päles; spores ovées-fusoides, hyalines, droites.

Sur feuilles de graminées. Z. cale.

Variété Ciliolata, Sacc., à spores à peine penicillées aux extrémités
18-20 = 5 :/,-4.

Sur feuilles de graminées. Z. arden.

Asco. Teretiusceula, Sacc.
10-14 — 2 1/9.

Périthèces innés, ponctiformes, perforés; pas de taches; spores cylin-
dracées, arrondies, hyalines.
Sur feuilles de Luzula. Z. arden. (Libert).

Asco. Fragariæ, Sacc.
12-15 — 3-4,

Périthèces devenant lenticulaires, largement perforés; texture paren-
chymateuse, subochracée; taches blanchâtres, stériles, marginées de noir
sanguin; spores oblongues-fusoïdes, droites, non resserrées, olivacées.

Sur feuilles de Fragaria vesca. Z. arg. sablon. ct arden.

7
k "

( 69 )

Macros. Sp. |, ><.

Asco. Pisi, Lib.
14-16 — 4-6.

Asco. Salicina, Sacc., Bom. et Rouss.

16-18 — 3 1h.

Périthèces globuleux, érumpents; taches grisâtres, très petites, marginées
de pourpre; spores cylindriques-arrondies, souvent légèrement courbées,
non resserrées, hyalines.

Sur feuilles de Salix caprea. Z. arg. sablon.

Asco. Feuilleauboïîsiana, Sacc.

18-20 — 2 1h.

Périthèces globuleux-lenticulaires, très petits; taches blanchâtres, stériles,
marginées de noir; spores oblongues-fusoïdes, oblusiuscules, hyalines,
légèrement resserrées au milieu.

Sur feuilles de Rubus. Z. arden.

Asco. Aquilegiæ, (Roum. et Pat.) Sacc.

Périthèces nombreux, ovoïdes, bruns, déprimés ct perforés au centre;
taches cendrées, marginées de brun; spores brunes, biloculaires, loges
inégales, courbées.

Sur feuilles d’Aquilegia vulgaris. Z. arden. (Libert).

Asco. Nymphææ, Pass.

Périthèces immergés, à peine proéminents sur des taches stériles, margi-
nées de jaune; spores oblongues-elliptiques, hyalines, simples.
Sur feuilles de Nymphæa alba. Z. arden.
GENRE : ACTINONEMA, Fr.
Macrosp. Sp. /, >.

Périthèces astomes, à la base des fibrilles rameuses, radiantes, arachnoïdes.

(70)

Actinon. Rosæ, (Lib.) Fr.

Asteroma Rosæ, Lib.
18-20 — 5.

Actinon. Cratægi, Pers.

Actinon. Padi, (D. C.) Fr.
Asteroma Padi, D. C.

GENRE : TEAROSPORA, Sacc. et March.
Macrosp. Sp. f/, >.

Périthèces peu papillés; texture noire; spores avec appendice dilaté en
chapeau à chaque extrémité.

Tiar. Westendorpii, Sacc. et March.

25 — 16-18; appendice 9-6 1. long.

Périthèces rassemblés, horizontalement elliptiques, couverts; ostioles
obtus; spores ellipsoïdes-rhomboïdes, septées, non resserrées.

Sur feuilles d'Ammophila arundinacea. Z. marit.

GENRE : DARLUCA, Cast.
Macrosp. Sp. ], > à 1 <.

Périthèces perforés, texture souvent bleuâtre; spores avec appendice
muqueux à chaque extrémité.

Darl. Filum, (Biv.) Cast.

15-18 — 3-4 (sept. 1).

Darl. Ammophila, Sacc., Bom. et Rouss.

30 — 25 (sept. 1).
Périthèces épars, sous-épidermiques, sphériques; ostioles papilliformes ;
spores ovales-fusoïdes, hyalines, avec mucron hyalin à chaque extrémité.
Sur feuilles sèches d'A mmophila arenaria, Z. marit.

7)

Sous-Famizze IV : DIPLODIEÆ ou PHÆODIDYMÆ.

* PÉRITHÈCES COUVERTS OU ÉRUMPENTS.

GENRE : DIPLODIA, Fr.

Microsp. Sp. |, > <.
Périthèces papillés.

Dipl. Microspora, B. et C.
G-7 — 3.
Périthèces épars; spores d’un brun pâle.
Sur rameaux de Viburnum opulifolium.

Dipl. Secalis, (Lib.) Speg et Roum.
6-8 — 3-4.
Périthèces tomenteux, sous-épidermiques; spores ovoiïdes, fuligineuses,
sortant en cirrhe.

Sur chaumes pourrissant du seigle. Z. arden.

Dipl. Perpusilla, Desm.
S-11 — 4.

Périthèces épars, excessivement petits, devenant superficiels; spores
elliptiques, légèrement resserrées, d'un sombre brun dilué; cellule supé-
rieure un peu plus forte.

Sur tiges desséchées de l‘æniculum officinale. Z. arden.

Dipl. Nartheeïi, Sacc., Bom. et Rouss.
D — 5-6.

Périthèces épars, subglobuleux, sous-épidermiques, proeminents, papillés;
spores elliptiques, non resserrées, brunes, très obtuses.
Sur hampes de Narthecium ossifragum. Z. arg. sablon.

Dipl. Microsporella, Sacc.
10-15 — 4-5.

Périthèces làächement rassemblés, couverts par l’épiderme tuméfié,
devenant demi-érumpents, globuleux, déprimés-papillés; noyau noir;
spores oblongues, à peine resserrées, ochracé fuligineux, sortant d’une
couche cellulaire, proligère et hyaline.

Sur rameaux de Corylus avelluna, d' Acer pseudoplatanus. Z. arg. sablon.

(72)

Var. Meliæ, Sacc.
10-12 — 5-6.

Sur rameaux de Melia azedarach. Z arden.

Dipl. Hedericola, Sacc. (Sphæria Hederæ, West. exs. n° 173).

10-12 — 5-6 (goutt. 2); basides 5-6 — 2.

Périthèces rassemblés, globuleux-déprimés, à peine papillés, couverts
par l’épiderme noirci; spores obovées, non resserrées, fuligineuses.

Sur feuilles mortes d’Hedera. Z. arg. sablon. et calc.

Dipl. Consors, B. et Br.
12-15 L.
Périthèces rassemblés, couverts par l’épiderme luisant, puis noircissant
et devenant blanchâtre vers l’ostiole perforant; spores ellipsoïdes-oblongues,

fuligineuses.
Sur feuilles de Prunus lawro-cerasus. Z. arg. sablon.

Dipl. Leguminis-Cytisi, Lev.
12-14 — 4.

Macrosp. Sp. ‘}, > <.
Dipl. Althææ, Speg.
16-20 — S-9.
Périthèces superficiels, hémisphériques-conoïdes; ostioles à papilles
acutiuseules; spores elliptiques, obtuses, à peine resserrées, fuligineuses.
Sur tiges mortes d'Althæa rosea. Z. arden.

Dipl. Palmarum, Rous. et Bom.

16-18 — 9-10 (goutt. 2).

Périthèces épars ou groupés, érumpents-superficiels, ruguleux, globuleux,
parfois déprimés; spores elliptiques, brunes, non resserrées.

Sur les fruits de Chamærops humilis. Jardin botanique de Bruxelles.

Dipl. Juniperi, West.
15-20 — S-10.

Dipl. Rubi, Fr.
18-20 — S-10.

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(75)

Dipl. Castaneæ, Sacc.
18-20 — 9-10.

Périthèces rassemblés, lignicoles, globuleux-papillés, devenant libres;
spores oblongues, resserrées, fuligineuses.

Var. Corlicola, subcouverte; sur écorce de Caslanea vesca. Z. arden. et
arg. sablon.

Dipl. Pruni, Fckl.

Pyenide d'Otthia Pruni.
18-22 — 8-10.

Périthèces réunis 5-8, relevant l’épiderme en pustule à fissure, globuleux,
papillés; spores oblongues, resserrées, sombre-brun.
Sur Prunus padus. Z. arden.

Dipl. Thujana, Peck.
18-23 . long.
Périthèces ruguleux ou substriés, subhémisphériques ou ellipsoïdes;

spores oblongues-ellipsoïdes, fuligineuses, légèrement resserrées.
Sur rameaux de Thuya orientalis. Z. arg. sablon. (20-25 = 10).

Dipl. Grossulariæ, Sacc. et Schulz.

18-26 — S-9.

Périthèces rassemblés, couverts de l’épiderme pustuleux, globulcux,
obtusiuscules au sommet; spores ovées-oblongues, didymes, resserrées,
fuligineuses.

Sur rameaux de groseillers. Z. arg. sablon.

Dipl. Ribis, Sacc.

Pycnide de Cucurbilaria Ribis, Niessl.
25 — 12.

Périthèces rassemblés, sous-cutanés, globuleux, papillés; spores stipitées,
longtemps continues puis resserrées, oblongues-ovées, fuligineuses.
Sur Ribes rubrum. Z. arg. sablon. Sur Ribes uva-crispa. Z. arden.

6

Ca)

Dipl. Profusa, De Not.

Pycnide de Cucurbitaria Elongata.

20 — 9-10 mûres.
22 — 10 longtemps continues.
Périthèces globuleux-déprimés, papilles, érumpents, rassemblés; spores
obovées, sombre-brun, peu resserrées.
Sur rameaux de Robinia pseudo-acaciu Z. arg. sablon.

Dipl. Subtecta, Fr. (D. Aceris, Fckl.).
20 — 10.

Périthèces globuleux-papillés, érumpents, rangés en séries linéaires;
spores ellipsoïdes-oblongues, fuligineuses
Sur rameaux d’Acer campestre. Z. cale. el arden.

Dipl. Carpini, Sacc.
Pycnide de Cucurbitaria Carpini, Sacc.

20 — 9-11.

Périthèces rassemblés, sous-épidermiques, globuleux, érumpents, papillés
obtusément ; spores oblongues-ovées, peu resserrées, fuligineuses.

Sur rameaux de charme. Z. arden.

Dipl. Siliquastri, West.

Dipl. Palmicola, Thüm.
20 — 10.

Périthèces nombreux, à la fin érumpents, subplans, quelquefois granuleux,
promptement évacués; spores oblongues-elliptiques, subaiguës, non res-
serrées, sombre-brun.

Sur noix de coco. Westend.

Dipl. KRhododendri, Bell.
20 — £0-11.

Dipl. Kerriæ, Berk.
20-22 — 5.

(75)

Dipl. Mamillana, Fr.

Dipl. Corni, West.
20-22 — 58.

Dipl. Catalpæ, Spesg.
20-22 — S-18.
Périthèces sous-épidermiques, puis érumpents, globuleux, papillés; spores
oblongues-ellipsoïdes, non resserrées, fuligineux olive.
Sur rameaux de Bignonia catalpa. Z. arg. sablon.

Dipli. Taxi, De Not.
20-22 — 10.

Dipl. Spiræina, Sacc.
Pyenide d’'Otthia Spirææ, Fekl.
20-22 — 10.
Périthèces subeutanés, érumpents, rassemblés, globuleux, à peine papillés;

spores ovées-oblongucs, peu resserrées, fuligineuses.
Sur rameaux de Spiræa salicifolia. Z. arden. (Libert.)

Dipl. Viticola, Desm.
20-22 — 10-12.

Dipli. Tecta, B. Br.
20-22 — 12-14.
Périthèces rassemblés, gonflant l’épiderme en bulles; spores oblongues,
longtemps continues, peu resserrées.
Sur Prunus lauro-cerasus. Z. arden. Forme Ramulicola.

Dipl. Tecomæ, Pass.
20-23 — 10.

Périthèces érumpents, subglobuleux, ruguleux, papillés, solitaires et
cespiteux; spores oblongues, non resserrées, d’un sombre brun de châtaigne.
Sur rameaux de Tecoma radicans. Z. arg. sablon.

Dipl. Hlicis, Fr.

Dipl. Aquifolia, West.
20-24 — 12-14.

(76)

Dipl. Ilicicola, Desm.
20-25 — 9-10. +

Dipl. Mutila, Fr.
20-24 — 7-9.

Dipl. Hypericina, Sacc.
20-25 — 15.

Périthèces épars, couverts, globuleux-déprimés, légèrement papillés;
texture parenchymateuse ; noyau blanc au début; spores ellipsoïdes, stipitées,
longtemps hyalines, puis fuligineuses.

Sur tiges d'Aypericum calycinum. Z. arg. sablon.

Dipl. Arundinacea, Dur. et Mont.

20-23 — 12-15; basides longues.

Périthèces innés, érumpents, globuleux-papillés, épars ou rassemblés, à
la fin dénudés; spores oblongues, sombre-brun, resserrées au milieu.
Sur les chaumes de l’Ammophila arenaria Z. marit.

Dipl. Rudis, Desm.
20-23 — 9-10.

Dipl. Herbarum, (Cda.) Lev.

20-25 — 9-12.

Périthèces rassemblés, érumpents, globuleux-oblongs, convexes, puis
déprimés; spores oblongues, légèrement resserrées, fuligineuses, pédicellées.
Sur tiges herbacées desséchées. Z. arg sablon.

Dipl. Ulicis, Sacc.

20-235 — 10-11 (goutt. 1-2); basides 5 — 1.
Périthèces rassemblés, puis érumpents, globuleux, à peine papillés;
spores ovoïdes, ellipsoïdes, obtusiuscules, d'un fuligineux olivacé.

Sur rameaux d’Ulex europœus. Z. arg. sablon.

Kb

Dipl. Padi, Brun.
22 — 8-10.
Périthèces épars, innés-érumpents; spores oblongues, arrondies, resser-
rées, fuligineuses, loge supérieure plus épaisse.
Sur rameaux de Prunus padus. Z. arg. sablon.

Dipl. Humuli, Fckl.
22 — 12.
Périthèces cespiteux ou solitaires, érampents, globuleux, ruguleux;

rostres courts, cylindracés; spores oblongues légèrement resserrées, d’un
fuligineux noir.

Sur tiges du houblon. Z. arg. sablon.

Dipl. Æsculi, Lev.
22-24 —S.

Dipl. Salicella, Sacc.
22-23 — 12.

Périthèces épars, proéminents, érumpents, globuleux, subpapillés; spores
oblongues, peu courbées, très noires.
Sur feuilles pourrissantes de Salix vitellina. Z. arg. sablon.

Dipl. Dulcamaræ, Fckl.
Pyenide de Cucurbitaria Dulcamara, Fr.

22-253 — 12-153.
Périthèces confluents, érumpents, disposés en séries, globuleux ou irré-

guliers, papillés; spores ovées ou oblongues, d'un sombre brun, resserrées.
Sur tiges mortes de Solanum dulcamara. Z. arden.

Dipl. Lilacis, West.
22-28 — S-10.

Dipl. Acicola, Sacc.
22-30 — 10-12.
Périthèces rassemblés, innés-érumpents, globuleux ; ostioles conoïdes;
spores ellipsoïdes, stipitées, longtemps continues, enfin fuligineuses.
Sur feuilles de Pinus silvestris. Z. arden.

(78)

Dipl. Populina, Fckl.
Pycenide de Otthia Populina.

23-25 — 12-13.

Périthèces rassemblés, érumpents par fissure d'épiderme, aplatis, assez
gros, papillés; spores oblongues, non resserrées.
Sur rameaux de Populus tremula. Z. arden.

Dipl. Juglandis, Fr.
Pyenide de Cucurbitaria Juglandis.
24 — 10-12.

Périthèces rassemblés globuleux-déprimés, enfin érumpents, perforés,

gris intérieurement; spores ovoïdes-oblongues, resserrées au milieu, fuli-
gineuses,

Sur rameaux de Juglans regia. Z. arden.

Dipl. Subsolitaria, (Schw.) Curr.
24 — 10.

Périthèces érumpents, subsolitaires; ostioles proéminents ; noyau blanc;
spores ellipsoïdes ou subpiriformes, faiblement septées, fuligineuscs.
Sur rameaux de Rhois. Z. arden.

Dipl. Frangulæ, Fck].

Pycnide de Cucurbilaria Rhamni.
24 — 10.

Périthèces cespiteux ou épars, érumpents, grandeur moyenne, globuleux,
papillés; spores oblongues, peu resserrées, sombre-brun.
Sur rameaux de Rhamnus frangula. Z. arg. sablon.

Dipl. Cratægi, West.
24 — S.

Dipl. Faginea, Fr.
24 — 12.

(79 )

Dipl. Lantanæ, Fckl.
24 —S.

Périthèces en petits tas de 8-10, assez grands, papillés, érumpents par les
fissures de l’écorce soulevée en pustule, chauves du dessus, subtilement
pileux du dessous; spores oblongues, sombre-brun.

Sur branches de Viburnum lantana. Z. arg. sablon.

Dipl. Sapinea, Fr.
24-26 — 12.

Périthèces rassemblés, érumpents, globuleux ; ostioles proéminents, papil-
liformes ; spores ellipsoïdes-oblongues, fuligineuses.

Sur écorce d’Abies; sur feuilles mortes d’Araucaria imbricata. Z. arg.
sablon.

Dipl. Magnoliæ, West.
24-2G — 10-11.
Dipi. Rosarum, Fr.

23 — 9.
Dipl. Mori, West.
25 —— 9-10.
Dipl. Pseudo-Diplodia, Fckl.
253 — 12.

Périthèces rassemblés, érumpents, salissant l’épiderme en couleur olive;
ostioles coniques; spores oblongues-ovées, ordinairement non septées,
sombre-brun.

Sur rameaux de Pyrus communis. Z. arg. sablon.

Dipl. Buxicola, Sacc.
25 — 12.

Périthèces rassemblés, devenant subsuperficiels par la chute de l'écorce,
?
papillés, très noirs; spores ovées-oblongues, resserrées, noir fuligineux.
Sur rameaux de Buxus sempervirens. Z. cale.

Dipl. Inquinans, West.
35 — 12-14.

Dipl. Scheidweileri, |West.) Sacc.

Sphæropsis Scheidweileri, West.

( 80 )

Dipl. Ampelina, Cooke.
25-28 — 12.

Périthèces subrassemblés, érumpents, puis libres, légèrement rugueux,
presque en forme de toupie; spores elliptiques, non resserrées, brunes,
Rameaux de vigne vierge. Partout.

Dipl. Ditior, Sacc.
23-30 — 10-12.

Périthèces rassemblés, érumpents, globuleux, papillés ; spores oblongues,
légèrement resserrées, fuligineuses.

o , Oo

Sur rameaux de Platanus orientalis. Z. arden.

Dipl. Ligustri, West.
26-28 — S-10.

Dipl. Conigena, Desm.
26-30 — 12-15.

Dipl. Sarothamni, C. et H.

27 — 12. Bom. et Rouss.
30 — 10. Sacc.

Périthèces déprimés, couverts, légèrement élevés, perforés; spores
allongées-elliptiques, obtuses, peu resserrées, sombre-brun.

Sur-rameaux de Sarothamnus scoparius. Z. arg. sablor.

Dipl. Loniceræ, Fckl.
Dipl. Jasmini, West.

Dipl. Ramulicola, Desm.
30 — 10 hyalin.
24 — 10 fuligin.
Périthèces innés, proéminents, petits, en grand nombre, se déprimant,
couverts; ostioles papillés; noyau blanc au début; spores ellipsoïdes,
resserrées, fuligineuses.

Sur rameaux de l’Evonymus europœæus. Z. arg. sablon.

(81)

Dipl. Evonymi, West.
30 — 10-12.
Dipl. Pinea, Desm.
35-10 — 16G-18.
Dipl. Pinea, Kx.
377 — 17.
Dipl. Caulicola. Fckl.

Périthèces. rassemblés, couverts, globuleux; ostioles cylindracés, très
courts, perforés et érumpents; spores oblongues.
Sur tiges mortes du T'anacetum vulqare. Z. arg. sablon.

Dipl. Coryli, Fckl.
Pycenide de Ofthia Coryli.

Périthèces épars, grands, globuleux, érumpents; ostioles globuleux-
papilliformes, très petits, perforés; spores oblongues, inégales, noircissant
l'épiderme.

Sur rameaux de Corylus avellana. Z. arg. sablon.

Dipl. Vulgaris, Lev.
Périthèces rassemblés, innés, couverts par l’épiderme gercé en étoile;

noyau blanc; ostioles proéminents.
Sur tiges herbacées. Z. arg. sablon.

GENRE : MACRODIPLODIA, Sacc.

Périthèces massaroïdes, perforés ; spores couvertes d’un enduit muqueux.

Macrosp. Sp. '}, <.

Macrodipl. Curreyi. Sacc. et Roum.

Pyenide de Massaria Curreyi.

60 — 18, basides 10 1. long.

Périthèces rassemblés, massarioïdes, globuleux, couverts; spores oblon-
gues, obtusiuscules, peu resserrées, fuligineuses.

Sur rameaux de Zilia europæa. Z. arden.

(82)

Macrodipl. Ulmi, Sacc.

Pycnide de Massaria Ulmi.
G4 — 26.

Périthèces nichés dans l'écorce supérieure; noyau d’un blanc sale;
spores oblongues-lancéolées.
Sur rameaux et planches d’orme. Z. arg. sablon.

** PÉRITHÈCES LIGNICOLES, SUBSUPERFICIELS.
GENRE : DIPLODIELLA, Karst.

Périthèces papillés, subcharbonneux.

J

Microsp. Sp. !/,

Diploe. Crustacea, Karst.
S-13 — 3-4.

Périthèces rassemblés, très serrés, en forme de croûte, superficiels,
subovoïdes et atténués du sommet, glabres ; spores ellipsoïdes, obtuses, peu
resserrées, légèrement sombre-brun.

Sur rameau décortiqué de sapin. Z. cale.

Sous-FAMILLE V : HENDERSONIEÆ ou PHRAGMOSPORÆ
et DICTYOSPORÆ.

Périthèces innés ou érumpents, quelquefois subsuperficiels.
PHRAGMOSPORÆ.
GENRE : HENDERSONIA, Berk. (PHÆOPHRAGMIÆ).
Microsp. Sp. ‘], > à a > <<:
Hend. Tecomæ, Sacc.

S-11 — 3 (sept. 5).
Périthèces couverts par l'épiderme épaissi et noirci, peu papillés; spores
ovées-oblongues, droites ou courbées, fuligineuses.

Sur rameaux de Tecoma radicans. Z. arg. sablon.

.

PA |

( 85 )

Hend. Rhododendri, Thüm.
8-12 — 4 (sept. 4).

Périthèces épars, épiphylles; taches irrégulières, stériles, sombre brun-
grisâtre, entourées d’une zone plus obscure; spores lancéolées-cylindriques,
droites, sombre-brun.

Sur feuilles mortes de RAododendron. Z. arg. sablon.

Hend. Diversispora, (Preuss.) Sacc.

9-12 — 3 (sept. 1, rarem. 2-4).

Périthèces rassemblés, subérumpents, très petits, subconiques, perforés ;
spores subfusiformes, légèrement sombre-brun.

Sur tiges de T'anacetum vulgare; Centaurea jacea. Z. caic.

Hend. Piricola, Sacc.
Pycnide de Leptosphæria lucillæ.
10 — 5 (sept. 2-3).

Périchèces globuleux-lenticulaires, épars, petits; taches anguleuses, de
blanches devenant cendrées ; spores ovoïdes, olivacées.

Sur feuilles vivantes du poirier. Z. arg. sablon. et arden.

Hend. Culmiseda, Sacc.

Hend. Culmicola, Cke.

40-11 — 3-4 (sept. 3), peu colorées. Bom. et Rouss.

Sur chaumes de l’Ammophila arenaria. Z. marit. avec Ascochyla perforans.

Hend. Sambuei, Müll.

10-12 — 3 (sept. 1-5).

Périthèces rassemblés, petits, papillés, devenant libres; spores oblongues-
fusoïdes, d’un olive fuligineux.

Sur rameaux de Sambucus nigra. Z. arg. sablon.

(84)

Hend. Sarmentorum, West.

10-12 — 4-5 (sept. 5).

Variété Sambuci (Sp. 12-14 = 6). Z. arden.

Hend. Hirta, Fr.

Pycnide de Massaria Hirtus, Cfr.

42-15 1. long. (sept. 3).

Périthèces couverts, déprimés, finement villeux, subirréguliers ; ostioles
érumpents; spores oblongues, brunes.
Sur rameaux morts de Sambucus racemosa.

Hend. Rubi, West.

12-18 — 5-6 {sepl. à).

Variété de Hend. sarmentorum. Périthèces papillés, érumpents; spores
à loge inférieure pellucide.
Sur sarments de Rubus fruticosus. Z. arg. sablon. et arden.

Hend. Solani, Karst.

12-22 —41)-6 1) (sept. 3-7).

Périthèces subrassemblés, érumpents, sphéroïdes; ostioles papillés; spores
oblongues, obtuses, droites ou flexueuses, fuligineux dilué.
Sur tiges sèches de Solanum dulcamara. Z. cale.

Hend. Decipiens, Thüm.

13-14 — 6-6 1) (sept. 3).

Périthèces rassemblés, arrondis ou oblongs, légèrement élevés, devenant
libres; spores nombreuses, longuement ovoïdes, obtuses, subdiaphanes,
d’un sombre brun dilué, sessiles, loges égales, sans noyau.

Sur branches mortes du Cornus mus. Z. arg. sablon.

(85)

Macros SD EP EN EEet
Hend. Henriquesiana, (Lib.) Sacc.

44-18 — 4-6 (sept. 3); basides 20-22 EL

Périthèces couverts, déprimés; spores fusoïdes, acutiuscules, droites,
d’un fuligineux de miel; loge inférieure hyaline.
Sur fruit pourrissant de Rosa villosa. Z. arden.

Forme d’'Hend. Pulchella, Sacc. Voir H. Pulchella.

15 — 6.
Hend. Fiedleri, West.

45-18 — 4-5 (sept. 3).

Hend. Foliorum, Fckl.

45 — 6-7 (sept. 3).

Périthèces faux, perforant l’épiderme d’un ostiole subconique, et le
tachant de noir; taches päles; spores oblongues, peu courbées, flaves, bien
pedicellées, loge ultime hyaline.

Sur feuilles de Pyrus malus. Z. arden.

Hend. Brunaudiana, Sacc.

45-20 — 5 (sept. 5); basides 8-11 1.

Périthèces fortement rassemblés, subcarbonacés; spores oblongues-
fusoïdes, obtusiuseules, peu courbées, légèrement resserrées, sombre-brun
dilué; loges ultimes subhyalines.

Sur tiges de grandes ombellifères. Z. arden. avec le Phoma herbarum.

Var. Detecta de Hend. Sambucei, Müll.

16-18 — 2-2 1) (sept. 3); olivacées.

Sur branches tombées de Sambucus nigra. Z. arg. sablon.

(86 )

Hend. Conspureata, Sacc., Bom. et Rouss.
Pycnide de Massaria Conspurcata.
18-45 — 3-10 (sept. 3'; basides 15-27 — 4.
Périthèces subglobuleux, toujours couverts dans l'écorce, à pores; spores

allongées, elliptiques, courbées, très irrégulières, granuleuses, fuligineuses.
Sur rameaux de Prunus padus avec Massaria conspurcala. Z. arg. sablon.

Hend. Loricata, Sacc.
Pyenide de Massaria Loricata.
22-28 — 15-16 (sept. 2-3), basides 10-15 — 2.
Périthèces rassemblés, érumpents, perforés; texture parenchymateuse,

fuligineuse; spores obpiriformes, arrondies, fuligineuses, gouttelées au début,
Sur rameaux cortiques du hêtre. Z. arden.

Hend. Occulta, (Lib.) Fr.

23 — 3 (sept. à).

Périthèces rassemblés, érumpents, perforés; spores cylindracées en
massue, droites ou courbées, d’un fuligineux olivacé; basides en faisceaux,
noduleuses.

Sur rameaux de Syringa. Z. arden.

Hend. Culmicola, Sacc.

28-32 — 4 (sept. 4-5).

Périthèces érumpents, globuleux-papillés, souvent par séries; spores
cylindracées, flaves.

Sur des graminées desséchées. Z. arg. sablon.

Hend. Pulchella, Sacc.

Hend. Saccardiana, Cooke.

30 — 6 (sept. 7-11).

Périthèces innés-proéminents, légèrement papillés; spores allongées-
fusoïdes, droites ou eourbées, jaunâtres puis plus sombres.

Forme #5 —6. Sur tiges mortes d'Urtica dioica et Galium mollugo.
Z. arden, el cale.

©

Hend. Crastophila, Sacc.

35 — >» lo (sept. 7-8).

Périthèces épars, érumpents, papillés; spores bacillaires-fusoïdes, arron-
dies, fuligineuses.
Sur chaumes de Phragmites communis. Z. arden.

Hend. Fusarioïdes, Sacc.

35-35 — 4-3 (sept. 3-D).

Périthèces érumpents-superficiels d’un épiderme blanchâtre, globuleux
ou subeupulaires, pas de papilles; spores fusiformes, subinégales, courbées,
sur basides rameuses et fourchues. d'un fuligineux olive, à loges ultimes
hyalines.

Sur rameaux morts de Aobinia pseudo-acacia. Z. arg. sablon.

Hend. Riparia, Sacc.

40-45 — 3 1-4 (sept. 6-7) (goutt. 7-8), basides 20-30 — 2-3.
Périthèces rassemblés, couverts, globuleux-lenticulaires; texture cellu-
leuse, lâche, d’un fuligineux ochracé; spores cylindracées, légèrement atté-
nuées, flaves, courbées.
Sur tiges de Phragmiles communis. Z. arg. sablon.

Hend. Desmazieri, Mont. (à trouver).
Pyenide de Massaria Platani, Ces.

40-45 — 20 (sept. 3, noyaux 4).

Périthèces immergés, adhérents et couverts, épais, globuleux-déprimés,
confluents, papillés puis perforés d’un pore central, gris à l’intérieur ; spores
obovées, brunes.

Sur rameaux de Platanus.

Hend. Ulmicola, Cooke.
Pyenide de Massaria Fœdans.

50 — 20 (sept. 3).

Périthèces assez grands, couverts, obtus; spores elliptiques, resserrées,
brunes.

Sur rameaux d’'Ulmus. Z arg. sablon.

( 88 )

Hend. Arundinis, Lib.
(Sept. 1-3.)
Périthèces immergés, épars, excessivement petits, villeux à la base;
ostioles ponctiformes ; spores oblongues, érumpentes en cirrhe, noires.
Sur chaume de Phragmites communis. Z. arden. (Libert.)

Hend. Vagans, Fckl. ,
(Sept. 3.)
Périthèces oblongs, érumpents; spores longuement stipitées, oblongues
elliptiques, flaves.
Sur rameaux de Prunus spinosa. Z. arg. sablon.

GENRE : PROSTHEMIUM, Kze. (PHÆOPHRAGMIÆ).
Prosthe. Betulinum, Kze.

40-30 — 15 (sept. 3-4); 2-4 réunies à la base.

GEXRE : STAGONOSPORA (HYALOPHRAGMIÆ),.
Macros. Sp. 1/4, > <.
Stagon. Vaccinii, nobis.

12-14 — 3 (goutt. 5-6); basides 28 p.

Périthèces érumpents, petits, subglobuleux, épars; spores cylindracées,
courbées, arrondies.

Sur feuilles de Oxycoccos palustris. Z. arden., 609 mètres. Mai.

Stagon. Luzulæ, West.) Sacc.

Henders Luzulæ, West.

42-14 — 2 1)-4 (goutt. 4).

Stagon. Lambhottinana, Sacc.

14-18 — 3-4 (sept. 3); basides 25-30 — 2.

Périthèces érumpents-subsuperficiels, globuleux, déprimés-pezizoïdes,
noir olive, Subastomes ; texture subprosenchymateuse; spores cylindracées,
courbées, arrondies.

Sur troncs et rameaux de Calluna vulgaris. Z. arden. et campinoise,

(89)

Stagon. Caulicola, (Desm.) Sacc.

Hend. Caulicola, Desm.

45 1. long. (sept. 2-3) (goutt. 2-3).

Stagon. Graminella, Sacc.

18-20 — 3-3 1} (goutt. 4-6).

Périthèces rassemblés, érumpents, globuleux-papillés; texture paren-
chymateuse, fuligineuse; spores cylindracées, obtuses.

Sur chaume de graminées. Z. arden.; et du Phragmites communis. Z. arg.
sablon.

Stagon. Turgida, Sacc. (B. Br.).

20 — 5 (sept. 3).

Périthèces assez proéminents, globuleux; spores courbées, obtuses.
Sur rameaux de frêne. Z. arg. sablon. Mai,

Stagon. Vexatula, Sacc.

35-38 — 4 1-5 (goutt. 5-7).
Périthèces rassemblés, innés-érumpents, globuleux-conoïdes, assez durs ;

spores cylindracées, arrondies.
Sur chaume de Phragmites communis. Z. arg. sablon,

Stagon. Allantella, Sacc.

85-45 — 4-5 (sept. 5-6) (goutt. 6-7).

Périthèces rassemblés, innés-érumpents, subglobuleux; spores cylin-
dracées, courbées, arrondies, en faisceaux.

Sur rameaux du noyer. Z. calc. et arden.

Stagon. Subseriata, (Desm.) Sacc.

Hender. Subseriata, Desm.

38-40 — 7 (sept. 3-6) (goutt. 6-8).

( 90 )

Stagon. Dolosa, Sacc.

60-70 — 10 (sept. à) (goutt. G).

Périthèces érumpents-superficiels, globuleux-papillés; spores fusoïdes,
droites ou courbées.

Sur chaume de Phragmites communis. Z. arden. (Libert.)

Stagon. Macrosperma, Sacc.

S3-95 — 12-14 (sept. 6-8).

Périthèces à peine érumpents, perforés, globuleux, déprimés; spores
fusoïdes-cylindracées, obtuses, légèrement courbées, à gouttes devenant
verdâtres.

Sur feuilles de graminées. Z. arden. (Libert.)

Stagon. Neglecta, (West.) Sacc.
Henders. Neglecta, West.

Stagon. Strobilina, (Curr.) Sacc.
Henders. Strobilina, Curr.
Périthèces rassemblés, irréguliers ; spores amygdaliformes, endochrome

bipartite.
Sur écailles arides des cônes de Pinus abies. Z. arg. sablon.

** DICTYOSPORÆ.
GENRE : CAMAROSPORIUM, Schulz. (PHÆODYCTIÆ).
Microsp. Sp. ‘là > < à 5}, > rare.
Camar. Polymorphum, (De Not.) Sacc.

10 —S8 (sept. murif. 3-4).

Périthèces épars, érumpents, papillés; spores ellipsoïdes, à peine resser-
rées, fuligineuses.

Sur sarments de chèvre-feuille, Z. arg. sablon.

(91)

Camar. Cruciatum, (Fckl.) Sacc.
Coniothyrium Cruciatum, Fck].
6-10 et plus . long. (sept. murif. 1-4).
Périthèces rassemblés, devenant sublibres, puis déprimés, papillés; spores

oblongues, arrondies, irrégulières, cloisons souvent en croix, sombre-brun.
Sur les branches d’orme et de saule. Z. arg. sablon., arden. et cale.

Camar. Rubicolum, Sacc.

12-14 — 6 (sept. murif. 3-4).

Périthèces épars, érumpents; spores oblongues-ovoïdes ou subanguleuses,
arrondies, non resserrées, fuligineuses.
Sur sarments de Rubus fruticosus. Z. cale.

Camar. Alpinum, Speg.
Macrostylospore de Cucurbitaria Spartii.
12-15 — 5-6 (sept. 3-4, longitud. 1).
Périthèces cespiteux, érumpents, papillés; texture parenchymateuse, très

dense, fuligineuse; spores ellipsoïdes, obtuses, d’un olive fuligineux.
Sur tiges de Sarothamnus scoparius. Z. arden. et cale.

Macrosp. Sp. 1, > € à 5], > rare.

Camar. Afline, Sacc., Bom. et Rouss.

42-24 L. subsphériques-murif.

Périthèces érumpents, épars, subglobuleux, papillés; spores subsphé-
riques, fuligineuses.

Sur tiges d’Artemisia vulgaris. Z. cale. et arden.

Camar. Robiniæ, (West.) Sacc.

Henders. Robiniæ, West.

15-16 — 7 (sept. murif. 6-8).

(92)

Camar. Propinquum, Sacc.

15-16 —S (sept. murif. 3).

Périthèces érumpents, rassemblés, papillés; noyau noir; spores ovées-
oblongues, non resserrées, fuligineuses; basides courtes, épaisses.

Sur rameaux de Salix vitellina. Z. arden.

Camar. Incrustans, Sacc.

45-17 — 8 (sept. murif. 3).

Périthèces nichés dans l’écorce, ordinairement épars, papillés, pachy-
dermateux; spores ovoïdes, à gouttes jaunâtres, continues d’abord, puis
fuligineuses opaques, à peine resserrées.

Sur rameaux de l’'Evonymus europœus. Z. cale.

Camar. Coronillæ, Sacc.

15-18 — 6-8 (sept. murif. 3-).

Périthèces épars ou rassemblés, érumpents, d'un noir olivacé, papillés,
enfin ombiliqués; spores oblongues, arrondies, droites ou courbées, rare-
ment resserrées, fuligineuses.

Variété Coluteæ, Sacc.
16-18 — 6-7 (sept. murif. 51.
Sur rameaux de Colutea. Z. arden.
Variété Siliquastri.

Sur rameaux de Cercis siliquastrum. Z. arg. sablon.

Camar. Xylostei, Sacc.

Macrostylospore de Didymosphæria Xylostei, Fekl.

18-20 —S8 (sept. murif. 3-).

Périthèces épars, nichés, puis sublibres, coniques-globuleux, à peine
papillés; spores oblongues-ovées, atténuées, resserrées, sombre-brun.

Sur rameaux de Lonicera æylosteum,

(95)

Camar. Salicinum, Sacc., Bom. et Rouss.

48-20 — S-10 (sept. murif. 3).
Périthèces érumpents, papillés, lâchement rassemblés; spores ellipsoïdes,
arrondies, resserrées, fuligineuses.

Sur rameaux décortiqués du saule en compagnie de Diplodia salicella.
Z. arg. sablon.

Camar. Pithyum, Sacc., Bom. et Rouss.

18-20 — 8-10 (sept. léger. murif. 3).
Périthèces subépars, globuleux-lenticulaires, couverts, perforés; spores

oblongues-elliptiques, non resserrées, fuligineuses.
Sur feuilles d’Araucaria imbricala. Z. arg. sablon.

Camar. Phragmitis, Brun.

18-22 — 2-8 (sept. 3 léger. murif.)

Périthèces épars, nombreux, couverts par l’épiderme peu noirci; ostioles
érumpents; spores oblongues, fuligineuses, resserrées.
Sur chaumes de Molinia cœrulea. Z. arg. sablon.

Camar. Picastrum, (Fr.) Sacc.

20 — 6-7 (sept. murif.).

Périthèces épars, elliptiques, coniques-déprimés, innés, ruguleux, ombi-
liqués; spores sombre-brun.
Sur rameaux de Pinus silvestris. Z. arden. et calc.

Camar. Sarmenticinm, Sacc.

22 — 12-14 (sept. murif. 3).

Périthèces épars, érumpents-superficiels, assez gros, atténués en ostioles
courtemént cylindracés; spores de globuleuses ellipsoïdes, souvent subco-
niques à la base, inégales, à peine resserrées, fuligineux-opaque; loges
ultimes plus pâles. L

Sur sarments d'Aedera helix. Z. cale.

(98)

Camar. Arenarium, Sacc., Bom. et Rouss.

24-36 — 10-14 (sept. murif. 7).

Périthèces épars, subglobuleux, érumpents, proéminents; spores oblon-
gues, subfusiformes, olivacées.

Sur chaume d’£lymus arenaria. Z. marit.

Camar. Quereus, Sacc.

25-28 — 8-10 (sept. murif. D).

Périthèces cespiteux, érumpents, papillés obtusément ; spores oblongues,
arrondies, non resserrées, fuligineuses.

Sur rameaux de chêne. Z. calc.

Camar. Laburni, Sacc.

Pycnide de Cucurbitaria Laburni.

30-32 — 9-10 (sept. murif. 7-9).
Périthèces rassemblés, peu papillés; noyau noir; spores oblongues,
arrondies, à peine resserrées, fuligineuses, courtement stipitées. |

Sur rameaux de Cytisus laburnum. Z. arg. sablon.

Sont compris dans les Camarosporium :
Hendersonia Pini, West.
Hendersonia Philadelphi, West.
Hendersonia Orcades, Dur. p

Staurosphæria Rosarum, West.

(95)

A. PÉRITHÈCES MEMBRANEUX OU SUBCHARBONNEUX.

SOUS-FANILLE VI : SEPTORIEZÆ ou SCOLECOSPORÆ,

* SCOLECOSPORÆ — PHRAGMOSPORÆ.
GENRE : SEPTORIA, Fr.

Macrosp. Sp. |, <.

Périthèces lâchement membraneux, perforés, complets, foliicoles, des
taches à la base.

Sept. Grossulariæ, (Lib.) West.

42-16 — 1 (goutt. 6-7).

Sept. Laburni, Passer.
12-20 — 2.

Périthèces aigus au sommet, épars; taches irrégulières, blanches, arides;
spores entières.
Sur feuilles languissantes de Cytisus laburnum. Z. arden.

Sept. Ligustri, Desm.
15 — 1.

Sept. Disseminata, Desm.
15-20 — 1 1).
Sept. Pæoniæ, (Bell: West.
45-20 — 1 1), (goutt. 4-7).
Sept. Phytemmatis, (Math.) Sacc.
15-20 — 3),.

Sept. Bellynckii, West.
15-20 — 11).

(96)

Sept. Antirrhini, Desm.

15-20 — 2 (goutt. 4-7).

Périthèces subproéminents, très nombreux, perforés; cirrhe blanc;
taches flaves; spores obtuses aux extrémités.
Sur tiges et feuilles d'Antérrhinum major. Z. arg. sablon.

Sept. Chenopodii, West.

45-20 — 7 (goutt. 6-10).

Sept. Hydrocotyles, Desm.

16-25 — 1-2 (goutt. 8-10).

Sept. Silenes, West.
13-20 — 2 1h.

Sept. Orchidearum, West.
18-22 — 1 (goutt. O-8).
Sept. Medicaginis, Rob.
20 — 3 (goutt. 7-9).
Sept. Daphnes, Desm.

20 y. long. (goutt. 2-4).
Sept. Anemones, Desm.
20-22 — 1-1 1) (goutt. 6-8).

Sept. Globulariæ, (Math.) Sacc.
20-24 — 1.

Sur Globularia vulgaris.

(97)

Sept. Evonymi, Rabh.
20-25 — 1 1h.

Périthèces en petit nombre, lenticulaires, perforés; spores à peine
septées; taches pâles, arides, à peine marginées.
Sur feuilles vivantes d'Evonymus europœus. Z. arg. sablon.

Sept. Effusa, Desm.

20-25 — 1 2/,-2 (goutt. 3-4).

Sept. Caprææ, West.

20-23 — 2 !}, (sept. 4) (goutt. 4).

Sept. Holci, Passer.

20-235 — 3 (sept. 3).

Périthèces excessivement petits; taches petites, grises, subarrondies,
spores à plasma opaque.

Sur tiges de Holcus mollis, Z. arden.

_ Sept. Chelidonii, Desm.
20-30 — 12.

Sept. Carthusianorum, West.

20-30 — 2 (goutt. 5-7).

Sept. Salicis, West.

22-253 — 1,7 (goutt.).

Sept. Erysimi, (Math.) Niessl.

24-34 — ? !}, (sept. 1-5).

Sept. Polygonorum, Desm.

25 — 14 (goutt. 4-5).

( 98 )

Sept. Heterochroa, Desm.
25 1. long.

Sept. Cheiranthi, Rob.

25 — 1 (goutt. 6-8).

Sept. Robiniæ, Desm.
25-28 — 21).

Sept. Digitalis, (Math.) Passer.

25-30 — 1 1) (goutt. pluri.).

Sept. Hepaticæ, Desm.

25-30 — 0,7 (goutt.).

Sept. Lactueæ, Pass.
25-30 — 1,7-2.
Périthèces épars; taches irrégulières, anguleuses, ferrugineuses; spores

entières.
Forme Chondrillæ. Z. arden.

Sept. Humuli, West.
25-35 — 1. |
Sept. Lavandulæ, Desm.
25-35 — 1-2.
Sept. Ficariæ, Desm.
25-35 — 1-1 !/,.

Sept. Lycoctoni, Speg.

25-385 — 1 1-2 (sept. pluri.).

Périthèces lächement serrés, couverts, lenticulaires, perforés; texture
parenchymateuse, fuligineuse; taches petites, irrégulières, blanches, avec
zones d’un sombre brun. :

Sur aconite. Z. arden.

(99)

Sept. Atriplicis, West.
25-35 — 4 1) (sept. 1-5).
Sept. Donacis, Pass.
25-35 — 2-21).

Périthèces épars ou sériés; taches petites, blanchâtres; spores entières.
Sur feuilles languissantes d’Arundo donax. Z. arden.

Sept. Scrophulariæ, (West.) Peck.
25-40 1. long.
Sept. Duchartrei, Crié ?
27-40 — 3 (sept. 3-7).
Sur feuilles vivantes de Vinca minor. Z. arg. sablon.
Sept. Scorodoniæ, (Math.) Pass.

28-36 — 1-1,3.

Spores continues.

À Sept. Carpophila, Sacc.
27-30 — 3.
Périthèces rassemblés, couverts, globuleux-déprimés, perforés; spores
fusiformes aiguës, continues.
Sur baies de Convallaria majalis. Z. arden.

Sept. Ralfsii, B. et Br.

30 11. (goutt. 6); nobis 12 — 8.
Périthèces subcutanés, relevés ; centre des pustules blanc; spores droites.
Sous l’épiderme de pomme pourrie et noircie. Z. cale.

Sept. Gei, Rob. et Desm.
30 — 11).

( 400 )

_ Sept. Spergulæ, West.

30 — 2-2 1/9.
Sept. Aucubæ, West.
30 — ?2 1/9.
Sept. Asphodelina, Sacc.
Sept. Asphodeli, West.
30 — 2 1).

Sept. Betulæ, (Lib.) West.
30-34 — 1 !.
Périthèces lenticulaires-ponctiformes; taches subcireulaires, petites, d'un
pâle ochracé; spores obtuses aux extrémités.
Sur feuilles de Betula alba. Z. arden.

Sept. Scleranthi, Desm.

30-33 Lu. long. (à goutt.).

Périthèces épars, proéminents-convexes, innés; ostioles coniques, exces-
sivement petits; spores linéaires, subarquées.

Sur tiges et feuilles de Scleranthus annuus. Z. arg. sablon.

Sept. Mespili, (Math.) Sacc.

30-35 — 1-1 !) (goutt. pluri.).

Périthèces ponctiformes; taches subochracées, variables, limitées de roux,
stériles. Z. arden.

Sept. Cerastii, Rob.
30-40 — 1.

Sept. Levisticei, West.
30-40 — 1-1,3.
Sept. Galeopsidis, West.
30-40 — 1-1 1.

Sept. Menyanthes, Desm.
30-40 — 1 |.

(101)

Sept. Ebuli, Desm.
30-10 — 1-1 1).

Sept. Stachydis, Rob.
30-40 — 1 !/-2.

Sept. Sii, Rob.

30-40 — 2 1} (goutt. 10-20).

Sept. Hederæ, Desm.
30-40 — 1-2.

Sept. Incondita, Desm.
30-40 — 3 (goutt. 3).
Sept. Castanicola, Desm.
30-410 — 4 !} (sept. 3).
Sept. Prismatocarpi, Desm.
30-40 — 1 1).
Sept. Legumimum, Desm.

30-45 — 3,7-4 (septées).

Sept. Dianthi, Desm.
30-43 — 4 (goutt. 4).
Sept. Hyperici, Desm.

30-50 y. (goutt. 8-16).

Sept. Vincetoxici, (Schub.) Auersw.

30-50 — 1-1 1).

(102)

Sept. Pruni, (Math.) Ellis?
30-50 — 2 (sept. 4-06).
Sept. Inulæ, (Math.) Sacc.
30-50 — 3-4 (sept. 1).
Sept. Agrimoniæ-Eupatoriæ, Bom. et Rouss.

30-54 — 2-2 !) (granuleuses,.
Périthèces nombreux; taches d’un brun pâle, plus ou moins régulières.
Sur les feuilles d'Agrimonia cupaloria. Z. cale. Juin.

Sept. Viciæ, West.
30-60 — 2 1} (goutt. pluri.).

Sept. Phacidioïdes, Desm.?

Sphæropsis miribelii, Lev.
33 — 10.

Sept. Mougeoti, Sacc.
35-10 — 1.
Périthèces ponctiformes-lenticulaires; taches amples flavescentes et sub-
olivacées au centre; spores filiformes.
Sur les feuilles des Hieracium. Z. arden.

Sept. Petroselini, Desm.
35-40 — 1-2 (6-10 goutt.).

Sept. Œnotheræ, West.
35-40 — 1 {-2 (goutt. pluri.).

Sept. Cornicola, Desm.

35-40 — 2-2 1) (sept. 2-4).

(105 )

Sept. Tiliæ, West.

35-40 — 2-2 1), (sept. 3-4).

Sept. Villarsiæ, Desm.
33-50 u. long.

Sept. Geranii, Rob. et Desm.

35-30 — 1 (sept.).

Sept. Convolvuli, Desm.

35-50 — 1 {} (goutt. 5-6).

Sept. Calystegiæ., West.

36-45 — 4-5 (sept. 3-).

Sept. Riparia, Passer.

37-57 — ? (goutt.).

Périthèces épars, subglobuleux, érumpents, entourés des débris de l’épi-
derme; spores filiformes.

Sur les feuilles du Carex riparia. Z. arg. sablon.

Sept. Senecionis, West.

40 — 1 1} (sept. 3-4).
Sept. Lamii, {(West.) Pass.
40 ph.

Sept. Pisi, West.
40 — 3-3,3.

Sept. Quercina, Desm.

40 — 1 !}-2 (goutt. pluri.).

( 104 )

Sept. Euphorhiæ, Desm.”?

40-45 — 2-2 !} (sept. 3-4).

Sept. Cruciatæ, Rob.
40-50 1. long.

Sept. Scahiosicola, Desm.

40-50 — 0,7-1 !} (sept. ou goutt. 5-6).

Sept. Verbenæ, Rob.

40-50 — 1-1 1) (goutt. pluri.).

Sept. Saponariæ, (D. C.) Savi. et Becc.

40-30 — 3 1/9-4 1/9 (goutt. 4-5).

Périthèces globuleux déprimés, d’un sombre brun; taches rondes ou
irrégulières; spores obtuses aux deux extrémités.

Sur feuilles de Saponaria officinalis. Z. arg. sablon.

Sept. Urticæ, Desm.

Sept. Salicicola, (Fr.) Sacc.

40-50 — 2 1/,-3 (sept. 3).

| 4

Périthèces épars, ponctiformes, convexes ; taches arrondies, laiteuses,
entourées de sombre brun; spores bacillaires, courhbées.
Sur feuilles de Salix cinerea, repens. Z. marit.

Scpt. Rubi, West.
40-553 — 1 1}, (sept. pluri.).

Sept. Ari, Desm.

42-50 — 2 1} (goutt. pluri.).

(105)

Sept. Heraclei, Desm.
45-50 — 3 9-4 (sept. 4) (goutt. 5).
Sept. Tormentillæ, Desm.

45-55 Lu. long.
Sept. Populi, Desm.

Sept. Dealbata, Lev.
45 — 3 (sept. 1).

Sept. Cannabis, (Lasch. West.) Sacc.

Sept. Cannabinæ, West.

45-55 — 2-2 !}, (sept. 3).

Sept. Pseudo-Platani, Rob.
45-553 — 3 (sept. 3).
Sept. Badhami, B. Br.
50 pu. (sept. 1-2).
Périthèces ici et la réunis en taches entourées de brun; spores variées,

en massues allongées, granuleuses.
Sur feuilles de vigne. Z. arg. sablon.

Sept. Bupleuri, Desm.
50 p. long. (sept. 3).
Sept. Ribhis, Desm.
50 . long. (sept. pluri.).
Sept. Lysimachiæ, West.
50 — 1 !), (sept. 4-6).

Sept. Epilobhii, West.
50 — 11).

( 106 )

Sept. Caricicola, Sacc.

50 — 4 (goutt. 7-8).

Périthèces ponctiformes; taches blanchâtres, variables, arides, marginées
largement en brun; sporés légèrement septées, d’un jaune très clair,
obtuses aux extrémités.

Sur feuilles de Careæx. Z. arden.

Sept. Lepidii, Desm.
50-60 1. long.

Sept. Dulcamaræ, Desm.

50-60 — 1,7 (sept. 3-4).
Sept. Stellariæ, Rob.
50-60 — 1.
Sept. Æseuli, (Lib.) West.

50-60 — 3-3 1) (sept. 3-4).

Sept. Bromi, Sacc.

50-60 — 2 (goutt. pluri.).
Périthèces copieux, globuleux-lenticulaires, perforés; taches pâles, à
peine marquées, allongées; spores filiformes, plus ou moins en massues.
Sur feuilles de Calamagrostis cpigeios. Z. arg. sablon.

Sept. Ranuneuli, West.

50-60 — 2 1) (goutt. 4-0).

Sept. Aquilina, Pass.

50-65 — 4 (goutt.).

Périthèces couverts, ressemblant à des points pellucides contre la lumière;
spores à articles serrés, une extrémité aiguë, l'autre arrondie, opaques,
hyalines.

Sur frondes sèches maculées de brun de Pteris aquilina. Z. arden.

( 107 )

Sept. Lychnidis, Desm.
50-70 — 2 1,-3.
Sept. Scillæ, West.

50-75 — 2,7 (sept. d-0).

Sept. Conigena, Sacc.

50-75 — 1 3/,-2 !)9 (goutt. pluri.).

Périthèces rassemblés, érumpents, s’aplatissant, astomes; texture paren-
chymateuse d'un olive sombre; spores sortant d'une couche proligère-
jaunâtre.

Sur cônes d’A bies excelsa. Z. arden.

Sept. Maianthemi, West.

50-70 — 3 (goutt. 6-9).

Sept. Junei, Desm.

50-80 — 3 (goutt. 12-20).

Sept. Napelli, Speg.

50-100 — 2-4 (sept. ou goutt.).

Périthèces excessivement petits, couverts, hémisphériques-lentiformes,
humides ils sont proéminents, secs ils sont affaissés en cupule, d'un noir
olive; ostioles petits, perforés; pas de taches ; texture parenchymateuse
d'un olivacé fuligineux ; spores cylindracées-filiformes.

Sur feuilles vivantes d'A conitum napellum. Z. arden.

Sept. Graminum, Desm.

55-75 — 1-11).

Sept. Dipsaci, West.
60 — 1.

Sept. Pastinacæ, West.

60 — 2 (goutt. pluri.).

( 108 )

Sept. Cratægi, iKickx) Desm.

60 — 1 1} (sept. et goutt.).

Sept. Piricola. Desm.
Sept. Piri, West.

60 — 3 1), (sept. 2) (goutt. multi.).

Sept. Caricinella, Sacc.

60-70 — 1 1} (goutt. 4-6).

Périthèces innés, globuleux-lenticulaires ; taches oblongues, blanchâtres,
marginées de roux ou de sombre brun; spores filiformes.
Sur feuilles de Carex depauperata. Z. arden. (Libert).

Sept. Scopariæ., West.

60-80 1. (goutt. et sept. 10-13).

Périthèces bruns, peu nombreux; spores atténuécs ; taches petites, sub-
circulaires, d'un pâle brun, marginées d’un noir gonflé.
Sur les fruits subvivants de Spartium scoparium. Z. arg. sablon.

Sept. Podagrariæ, Lasch.

20-80 — 3-4 (goutt. 6-7).

Sept. Clematidis, Rob. et Desm.

70-80 — 4 (sept. 4-6).

Périthèces très petits, innés, perforés, d’un pâle brun; taches d’un
sombre brun gris, circulaires ou anguleuses, marginécs de sombre brun;
spores obtuses aux extrémités.

Sur feuilles vivantes de Clematis vitalba. Z. arg. sablon.

Sept. Stellariæ-Nemorosæ, Roum.

20-90 — 35-45? ou (7-9 — 3 1/9-4 1/9)?
Périthèces distincts; taches allongées, limitées par les veinules des
feuilles; spores ovales.

Sur face supérieure des feuilles de Stellaria nemorum. Z. arden.

(109 )

Sept. Rosæ, Desm.
70-90 — 3 1-4.

Sept. Virgaureæ, Desm.
.-80 — 1 !).

Sept. Cytisi, Desm.

90-100 — 3 1} (sept. multi.).

Sept. Astragali, Desm.

120 — 3 (sept. 9-10).

Sept. Urens, Pass.
Périthèces épars, à peine visibles; spores longues, continues, droites.
Sur feuilles de Galium aparinum. Z. arden.
Sept. Alismæ, Bom. et Rouss.

Périthèces lenticulaires, à peine visibles ; spores cylindriques septées ou
plurigouttelées.
Sur feuilles d’Alisma plantago. Z. camp.

Sept. Menispora, B. et Br.

Périthèces couverts, ellipsoïdes; ostioles proéminents, érumpents; spores
très longues, courbées, aiguës, à plusieurs noyaux.
Sur feuilles de Zypha latifolia. Z. calc.

Sept. Siliquastri, Passer.

Périthèces ponctiformes-lenticulaires ; taches pâles, subcirculaires ; spores
longues, filiformes, flexueuses, subtoruleuses, continues et granuleuses.
Sur feuilles vivantes de Cercis siliquastrum. Walzin. Sept.

Sept. Stemmatea, (Fr.) Berk.

Périthèces globuleux, rassemblés; taches éparses, arrondies, blanches,
arides; spores?
Sur feuilles de Vaccinium vitis-ideæ. Z. arden.

(410)

Sept. Rosarum, West.

Sept. Rosæ B minor. West. et Wall. exs. n° 496.

Périthèces rares, demi-émergents, épiphylles; taches petites, arrondies,
éparses, pâles, marginées de pourpre; spores flexueuses, cylindriques,
obtuses, de 5-6 noyaux.

Sur les feuilles vivantes de Rosa pumila et Collina. Z. arg. sablon.

Sept. Kalmiæcola, (Schw.) Berk.
Kailmicæ, Math.

Périthèces concentriques, innés; taches blanches, orbiculaires, à marge
gonflée, et noircissant la feuille circonscrite ; spores septorioïdes.
Sur feuilles de Kalmia latifolia. Z. arg. sablon.

GENRE : PHLEOSPORA, Walir.
Macrosp. Sp. !/, <.

Périthèces faux ou incomplets, largement ouverts; la texture est celle de
la matrice modifiée; foliicoles ; à peine des taches.

Phleos. Aceris, (Lib.) Sacc.
22-28 — 5 (sept. 3).
Pas de périthèces proprement dits.
Phieos. Mori, (Lev.) Sacc.

40-530 — 4 (sept. 3) (goutt.).

Périthèces généralement peu distincts, innés. rassemblés; taches blan-
châtres, ou ochracées, entourées de brun; spores oblusiuscules.

Sur feuilles de murier, Z. arden.

Phleos. Ulmi, (Fr.) Wallr.

55 — 6 (sept. 4) (goutt.).

Périthèces délicats.

(11)

Phleos. Oxyacanthæ, (Künze.) Wallr.

20-80 — 6-8 (sept. 6-8).

GENRE : RHABDOSPORA, Mont.

Périthèces complets, papillés, rami-caulicoles.

Macrosp. Sp. ‘|, <.
Rhabhd. Ramealis, (Desm. et Rob.) Sacc.

15-25 — 1 (goutt. 5-7).

Rhabd. Inæqualis, Sacc. et Roum.

45-18 — 3; basides 20-40 — 21).

Périthèces rassemblés, érumpents, globuleux-déprimés, à peine papillés,
bien inégaux; spores fusoïdes. :

Sur l’écorce de Sorbus aucuparia Z. arden., arg. sablon.

Rhabd. Fusicoccoïdes., Sacc. et Roum.

16-18 = 8.

Périthèces érumpents, rassemblés, déprimés au sommet, d’un pâle ceracé
à l'intérieur; spores fusoïdes, courbées, continues.
Sur écorce de charme. Z. arden. (Libert .

Rhabd. Lebretoniana, Sacc. et Roum.

20-24 — 1 1/9.

Périthèces érumpents, proéminents, globuleux-inégaux, rassemblés, très
courtement papillés, subcoriaces; spores filiformes, continues, visiblement
crochues.

Sur rameaux avec écorce de Genisla. Z. arden. (Libert).

Rhabd. Salicella, (B. et Br.) Sacc.
Septoria Salicella, B. et Br.
30 L. (sept. 3).
Périthèces couverts par l’épiderme soulevé en pustule, subglobuleux;
spores fusiformes; cirrhe rougeâtre.

(112)

Rhabd. Notha, Sacc.
Spermogonie de Diaporthe Hystrix, (Tode) Sacc.

30 — 1, basides 9-11 — 1.

Périthèces érumpents, rassemblés ça et là en tas, déprimés-globuleux ;
spores filiformes-arquées.
Variété Coryli, Sacc.

30-35 — 0,7; basides plus longues; spores droites.

Sur rameaux de Corylus. Z. arden. (Libert).

Rhabd. Helleborina, Sacc.

30 — 1 >/; (goutt. 3-5).

Périthèces faux, subcouverts, devenant fauves; spores filiformes,
courbées, obtuses.

Sur tiges de Helleborus fœtidus. Z. cale.

Rhabd. Dipsacea, Sacc., Bom. et Rouss.

30-32 — 3-4 (goutt. pluri.)

Périthèces ponctiformes, couverts, mammillés; ostioles courts, érum-
pents; spores avec une fausse cloison, cylindracées, courbées.
Sur tiges mortes de Dipsacus silvestris. Z. cale.

Rhabd. Nebulosa, Desm.
Sept. Nebulosa, (Desm.) West.

30-40 y. long. (goutt. 10-15).

Variété Arnoseris, Sacc.

33-36 — 1, spores non guttulées, périthèces plus éloignés.

Spores non guttulées; périthèces plus éloignés.
Sur tiges mortes de l'Arnoseris minima. Z. arg. sablon.

(115)

Rhabd. Diaporthoïdes, Sacc.

32-38 — 2-3 (goutt. pluri.).

Périthèces rassemblés, subcouverts, globuleux-lenticulaires, fuligineux ;
spores fusoïdes, courbées.
Sur rameaux de saule. Z. cale.

Rhabd. Caprifolii, Sacc.

85 — 1 /, (40 — 2 nobis).

Périthèces ponctiformes, couverts au début; taches indéterminées, deve-
nant pâles, formant des petits rameaux délicats; spores filiformes, atténuées,
obscurement septées.

Sur sarments de Lonicera caprifolium. Z. arden.

Rhabd. Pleosporoïdes, Sacc.

38-50 — 1-3.

Périthèces épars, cladogènes, couverts, se déprimant; plus ou moins
papillés; texture celluleuse, fuligineuse; spores filiformes, uncinées, con-
tinues, droites ou courbées; pas de taches.

Variété Clinopodii.
44-45 — 2.
A la base des tiges de Clinopodium. Z. arden. Hiver.
Variété Galeopsidis.
36 — 3.

Aux nœuds des tiges de Galeopsis tetrahit. Z. arden. Hiver.

Rhabd. Cirsii, Karst.

45-52 — 1-1 !) (goutt. pluri.).

Périthèces rassemblés, subsuperficiels, arrondis-déprimés, même cupulés;
papilles quelquefois allongées; des hyphes peu nombreuses, d’un sombre
brun à la base; spores filiformes, atténuées.

Sur tiges de Cirsium lanceolatum. Z. arg. sablon.

(414)

Rhabd. Juglandis, (Schw.) Sacc.
Périthèces rassemblés, innés, à peine érumpents; spores bacillaires,

légèrement crochues au sommet,
Sur branches tombées du noyer. Z. arden. et cale.

Rhabd. Herbarum, (Pr.) Sacc.
Périthèces rassemblés, immergés, convexes; ostioles perforés; spores

allongées, à cloisons minces.
Sur tiges de Chrysanthemum leucanthemum. Z. arden.

** SCOLECOSPORÆ — AMEROSPORÆ.

GEXRE : PHLYCTÆNA, Mont.

Périthèces incomplets, s’ouvrant par fissures, assez grands, généralement
allongés ; rami-caulicoles.

Macrosp. Sp. 1], <.
Phlyct. Vagabunda, Desm.

18-25 p. (goutt. 7-9).

Phlyct. Phomatella, Sacc.
20 — | .

Périthèces rassemblés de près, couverts, à peine érumpents, subincom-
plets; spores filiformes-uncinées.

Variété Symphoricarpi Racemosæ, Sacc.
Spermogonie de Diaporthe Ryckholtii.

20-22 — 1; basides 8-10 — 1,

Sur rameaux de Symphoricarpus racemosa. Z. arg. sablon.

(115)

B. PÉRITHÈCES SUBSUBÉREUX, FAUX, SOUVENT FURFURACÉS.
Sous-Famizze VII : MICROPEREZÆ ou SCOLECOSPORÆ.

GENRE : MICROPERA, Lev.

Périthèces érumpents-superficiels, souvent touffus, généralement sub-
allongés, subinégaux.

Microp. Drupacearum, Lev.

50 — 3 (multiseptées).

Microp. Betulina, Sacc. et Roum.

18-20 — 3, basides 30-35 — 2-3,

Périthèces lächement rassemblés, globuleux, à peine érumpents; spores
fusoïdes, droites, obtuses.

Sur écorce de Betula. Z. arden. (Libert).

Microp. Sorbi, Sacc.
Pycnide de Cenangium inconstans, Fr.

15-16 — 1 3/;-2; basides 20-25 — 9 1).

Périthèces lâchement rassemblés, globuleux-déprimés, érumpents; spores

fusoïdes, courbées, aiguës, couche sporigère d’un sombre violacé.
Sur rameaux de Sorbus uucuparia Z. arden. et cale.

Groupe II (Périthèces séparés, soveux).
* PÉRITHÈCES ÉRUMPENTS OU SUBSUPERFICIELS.
SOUS-FAMILLE VIIL : VERMICULARIEZÆ ou HYALOSPORÆ.
GENRE : VERMICULARIA, Fr.

Périthèces perforés ou astomes; soies longues, nombreuses; basides
ordinairement simples.

(146)

Microsp. Sp. , > < à ‘], rare.

Vermic. Libertiana, Roum.
S-10 — 3.

Périthèces globuleux, érumpents, se déprimant légèrement; poils rigides,
bruns, irrégulièrement septés ; spores fusiformes, courbées.
Sur tiges de Pinus. Z. arden.

Vermice. Mercurialis, West.
21 — 2.

Vermic. Culmigena, Desm.
9-11 — 2 0-2.
Vermic. Geranii, West.
10 — 21.

Vermice. Chenopodii, West.
10 — 2 1).

Macrosp. Sp. ‘4 > <.

Vermic. Oblonga, Desm.
10-13 1. long.

Vermic. Trichella, Grey.
16-25 — 4-5.

Vermie. Compacta, Grev.
20 y. long.
Périthèces rassemblés-compactes, hispides; spores fusiformes-aiguês,
courbées, septées et à gouttes.
Sur tiges de Dahlia. Z. arden.

Vermic. Dematium, (Pers.) Fr.
20 — 4-5.

Formes : chærophylli, heraclei (macrospora), samaricolæ (frêne), pericly-
menti.

(147)

Vermic. Liliacearum, West.
20 — 5.

…. Formes : amaryllidis, scitlæ, ornilhogali, asphodeli, lilii, cliviæ (hedera et
magnolia), fridis, triglochinis.

Vermic. Herbarum, West.
20-22 — 3-4.

Formes : dianthi, Sedi.

Vermic. Orthospora, Sacc. et Roum.
22 — 4.

Périthèces érumpents-superficiels, globuleux-coniques; soies cuspidées;
spores cylindriques, subarrondies aux sommets, subdroites.
Sur tiges de Solanum tuberosum. Z. arden. (Libert).

Vermic. Schœnoprasi, Auersw.

25-28 — 3-4,

Périthèces rassemblés, érumpents, très noirs, coniques; poils épars,
fuligineux ; spores fusoïdes, courbées.
Sur feuilles de ciboule. Z. arg, sablon.

Vermic. Graminicola, West.

Vermic. Culmifraga, Fr.

Périthèces difformes, érumpents; soies serrées, droites, cloisonnées;
spores fusoïdes.
Sur chaume de Triticum vulgare. Z. arg. sablon.

Vermic. Circinans, Berk.

Périthèces disposés concentriquement, très petits, avec un mycelium
radié, articulé; soics rigides, longues ; taches orbiculaires; spores oblongues,
courbées, légèrement atténuées aux extrémités, à 2 ou plusieurs gouttes.

Sur tiges mortes des oignons. Z. arg. sablon.

(18)

Vermie. Colchiei, Fück.

Périthèces lächement rassemblés, ovés-coniques ou déprimés, poneti-
formes, penicillés très courtement au sommet; spores fusiformes, courbées,
uniseptées.

Sur feuilles de Colchicum autumnale. Z. arden.

GENRE : PYRENOCHÆTA, De Not.
Microsp. Sp. 'L, > €.

Pyrenoch. Luzulæ, West.) Sacc.
Vermicularia Luzula, West.

5 L.. globuleuses.

Pyrenoch. Hispidula, nobis.
Pycnide de Pleosphæria Hispidula, nobis.
> — f.

Pyrenoch. Rosæ, nobis.
5 — 1.
Périthèces superficiels, aplatis; ostioles papilliformes; quelques poils
raides, courts, disséminés; spores droites, continues, obtuses, hyalines.
Sur les tiges sèches de Rosa canina. Z. arden. Hiver.

** PÉRITHÈCES SUPERFICIELS.
Sous-FAMILLE IX : CHÆTOMELLEZÆ ou PHÆOSPORÆ.
GENRE : CHÆTOMELLA, Fckl.
Microsp. et Macrosp. Sp. ‘}, > à, > à, <.
Chætoëm. Atra, Fckl.

12-15 — 2-3 (goutt. 2); basides 60 — 1,

Périthèces superficiels, d’un noir olive, globuleux puis ombiliqués, même
subcupulaires, astomes; texture parenchymateuse-radiée; soies peu nom-
breuses; spores très copieuses, fusoïdes, olivacées.

Sur Carex. Z. arden. Sur chaume de Juncus. Z. arg. sablon.

(119)

Sous-FamizLe X : CHÆTODIPLODIEZÆ ou PHÆODIDYMÆ.
GENRE : CHÆTODIPLODIA, Karst.
Microsp. et Macrosp. Sp. ‘la > <.
Chætodipl. Lecardiana, Sacc. Bom. et Rouss.

24-25 — 12 hyalines.
49-22 — 14 brunes, épaisses.

Périthèces érumpents-superficiels, globuleux-coniques, d'un brun noi-
râtre; un ostiole; poils bruns, septés; spores ovales très obtuses.
Sur les pétioles de Vitis chantini, dans l’herbier de Lecard., n° 295.

LL:
PÉRITHÈCES COMPOSÉS.

À. Loges dans un strome valséen, verruciforme, globuleux, conique ct étalé.

s

SOUS-FAMILLE XI : CYTOSPOREZÆ.
AMEROSPORÆ — * ALLANTOSPORÆ.
GENRE : CYTOSPORA, Ehrenb. (Cytispora, Fr.).

Microsp. Sp. ‘{, >, courbées.

Cytos. Pithyophila, West.
8 1/93 — 1.

Cytos. Ribhis, Erenb.
Si ——-

Cytos. Pini, Fckl.
Cytos. Abietis, Sacc.

8-4 — 1, basides 12-16 1. long.

Cytos. Curreyi, Sacc.

3-5 — 1; basides 20-24 u.
Loges nombreuses disposées en rayons ou sans ordre dans un strome
orbiculaire ou ovale et conique tronqué, protubérant, latéralement adhé-

( 120 )

rent au périderme gercé en étoile, et armé de 1 à 3 papilles placées sur un
petit disque blanchâtre, et percées d’un pore très petit; spores cylindriques,
courbées.

Sur rameaux de Abies excelsa et Pinus silvestris. Z. arden,

Cytos. Leucosperma, P.
8 1/9-4 — 19-14.
Cytos. Pini, Desm.
Cytos. Pinicola, West.

4 — 1; basides 24 u.

Cytos. Rubescens, Fr.

4 bu. long.; basides 35-45 11.

Cytos. Chrysosperma. P.
4 — 1.
Cytos. Epixyla, Sacc.
4 — 1.
Loges nombreuses dans des stromes rassemblés, superficiels, globuleux,
inégaux ; spores allantoïdes.
Sur bois de chêne. Z. arden. (Libert.)

Cytos. Pustulata, Sacc. et Roum.

Spermogonie de Valsa Pustulata.
4-4 1/2 Fra 3/4.
Loges nombreuses à intérieur gris; stromes subcutanés-érumpents;
spores allantoïdes, courbées.
Sur rameaux de hêtre. Z. arden.

Cytos. Stenopora, Sacc.

Spermogonie de Valsa Stenopora.
4-3 — 1).
Loges à peine marquées; stromes rassemblés, subeutanés-érumpents,
coniques, gris; disque petit; spores allantoïdes, courbées.
Sur rameaux d'Alnus glutinosa. Z. arg. sablon.

(12 )

Cytos. Decorticans, Sacc.

Spermogonie de Valsa Decorticans.

4-3 — 1; basides 16 u.

Loges nombreuses; stromes coniques-tronqués; papille noire et ouverte
au centre d’un disque blanc; spores courbées.
Sur rameaux de hêtre et de charme.

Cytos. Ceratophora, Sacc.

Spermogonie de Valsa Ceratophora.

4-5 — 1; basides 20-50 1.

Loges nombreuses; stromes coniques-déprimés, érumpents, olivâtres à
l’intérieur; spores botuliformes.
Sur rameaux de Sorbus, Caslanea. Z. arden.

Cytos. Vitis, Mont.

Spermogonie de Valsa Vitis.
4-5 — 1.
Loges nombreuses; stromes à pulvérulence blanchâtre, émergeant légère-
ment de fissures longitudinales de l'écorce; col central, noir, perforé; spores
cylindriques, courbées.

Variété Macrospora, Sacc.
10 — 1 1/9 ,

Sur sarments de Vitis vinifera. Z. arden.

Cytos. Friesii, Sacc.

Spermogonie de Valsa Friesti, Nits.
4-5 — 1.

Stromes petits, coniques-tronqués, érumpents; disque gris noircissant;
papilles 1-92, très petites, perforées; spores cylindriques, courbées ; basides
courtes, peu rameuses.

Sur rameaux d’Abies pectinata.

(122)

Cytos. Pinastri, Fr. N'est-ce pas le Cytos. Friesii, Sacc.

5 — 1,3, basides 20-25 — 1.

Sur feuilles d'A bies et de Pinus.

Cytos. Cineta, Sacc.

Spermogonie de Valsa Cincta, Nits.
P :

4-9, souvent 6-8 — 1 1-2.
Loges dans un strome pustuleux, à pore unique ou pores plusieurs sur
un disque d'un blanc sale; spores cylindriques, courbées; cirrhe rougeûtre.

Sur rameaux de pruniers. (A découvrir.)

Cytos. Extensa, Sacc.

Spermogonie de Eutypella Extensa.

5 — 1; basides 15 — 1.
Pluriloges; stromes rassemblés, couverts, globuleux; disque à peine

érumpent; spores allantoïdes, courbées.
Sur rameaux de Rhamnus alpina. (A découvrir.)

Cytos. Leucostoma, (P.) Sacc.

5 — 1; basides 12 — 1.
Strome lenticulaire, érumpent; disque plan, couleur de neige; cirrhe

rougissant; spores botuliformes.
Sur rameaux de pruniers, cerisiers, Z. arg. sablon.

Cytos. Ocellata, Fckl. (FE. myc. belge, t. H, p. 374),

5 — 1.

Loges ovoïdes-subgélatineuses ; strome conique-plan, marginé d'un disque
hémisphérique et blane de neige, perforé d’un ostiole; cirrhe d’un noir
pourpre; spores botuliformes, basides verticellées.

Sur rameaux de Corylus avellana.

(125)

Cytos. Syringæ, Sacc.
Spermogonie de Valsa Syringæ.

5 — 1; basides 60 1.

Loges très serrécs; stromes petits, érumpents par de petites fissures
longitudinales du périderme; une ouverture sur un disque gris d’un sale
brunâtre; spores courbées.

Sur rameaux de Syringa vulgaris. Z. arg. sablon.

Cytos. Germanica, Sacc.
Spermogonie de Valsa Germanica.

5 —1 1); basides 20-24 1.

Loges nombreuses; stromes coniques-tronqués; papille très petite, per-
forée, sur un disque blanchâtre-cendré; spores courbées.
Sur rameaux du saule, du bouleau et du peuplier. (A découvrir.)

Cytos. Carphosperma, Fr.
5-6 1/9 — 1.

Cytos. Microstoma, Sacc.

Spermogonie de Valsa Microstoma.

5-6 — 1, basides 98 u.

Loges nombreuses disposées en rayons; slromes convexes, ovales-
arrondis ; pore sur petit disque; spores courbées.
Sur rameaux épais de pruniers. Z. arden.

Cytos. Salicis, (Cda.) Rabenh.

Spermogonie de Valsa Salicina.
5-6 — 1.

Loges confluentes, pâles ou grises ; stromes rassemblés, coniques, érum-
pents, disque d’un cendré sombre brun, émergent; cirrhe blanc; spores

courbées.
Sur rameaux de Salix alba. Z. arden.

(12% )

Cytos. Diatrypa, Sacc.

Spermogonie de Valsa Diatrypa.
6— 2.

Loges nombreuses, en cercle; stromes ordinairement à un pore sur un
disque blanchâtre; spores courbées; basides assez longues; cirrhe rougeâtre.
Sur rameaux d’Alnus glutinosa. Z. arg. sablon.

Cytos. Ambiens, Sacc.

Spermogonie de Valsa Ambiens.
6 — 1.

Stromes coniques-déprimés, rassemblés, érumpents, gris-noirâtre; disque
plus pâle; spores botuliformes.
Sur rameaux. Surtout sur le hêtre. Z. arden. et arg. sablon.

Cytos. Coronata, Hoffm.

Spermogonie de Valsa Coronata.

6 — 1.

Pluriloges; stromes aplatis; disque érumpent, entouré de l’épiderme
plissé en étoile, sale, pulvérulent; pore central, conique, noir, perforé; noyau
olivacé; spores courbées. (A découvrir.)

Cytos. Tumida, Libert.
— 11}.

Stromes érumpents, gonflés; spores courbées.
Sur rameaux pourris de chêne. Z. arden.

Cytos. Sepincola, Fckl.
Spermogonie de Valsa Sepincola.
6—11).

Loges labyrinthiformes; stromes coniques, nichant dans l'intérieur de
l'écorce, colorant l’épiderme en sombre brun; disque plan ou convexe,
orbiculaire, d'un blanc sale; pore commun; spores courbées. (A découvrir.)

A

(135)

Cytos. Fuckelii, Sacc.

Spermogonie de Valsa Fuckelii.
6—1 !h.

Pluriloges; stromes obconiques; pore commun, perforé, subrostré;
disque sale, convexe; noyau gris; spores courbées.
Sur rameaux de Corylis avellana. Z. arden.

Cytos. Massariana, Sacc.

Spermogonie de Valsa Massariana.
G-7 — {.

Pluriloges, très serrées; stromes à ouverture unique, sur un disque
blanchâtre, pulvérulent; spores subdroites. (A découvrir.)
Sur rameaux de Sorbus aucuparia.

Cytos. Juglandina, Sacc.

6-7 — 1, basides 10-15 — 1.

Pluriloges; stromes couverts par l’épiderme parfois gercé; spores droites.
Sur rameaux de Juglans regia. Z. arg. sablon.

Cytos. Nivea, Hoffm.
6-7 — 1 1-2.

Cytos. Platani, Fckl.
6-8 Lu. long.

Périthèces nombreux, allongés, gélatineux, noirs; pas de strome; cirrhe
blanc; spores allantoïdes.
Sur rameaux de Platanus occidentalis. Z. arg. sablon.

Cytos. Lauro-Cerasi, Fckl.

Spermogonie de Valsa Lauro-Cerasi, Tul.
6-8 — 1.
Strome conique, obtus; disque blanc; cirrhe rougissant, spores botuli-

formes ; basides rameuses-verticillées.
Sur feuilles mortes de Prunus lauro-cerasus. Z. arden. et arg. sablon.

(126 )

Cytos. Personata, Fr.

Spermogonie de Valsa Auerswaldii, Nits.
6-8 — 2.

Pluriloges; stromes coniques, tronqués ou subhémisphériques, pustu-
leux; pore conique sur un disque orbiculaire, blanchâtre; spores courbées;
cirrhe devenant rouge-hyacinthe.

Sur rameaux de fhamnus, Fagus, Betulus, Malus, Saliz. (A découvrir.)

Cytos. Foliicola, Lib.
7 = 1.

Cytos. Macilenta, Rob.
10-15 — 21).

Cytos. Incarnata, Fr.
12 1. long.

Cytos. Decipiens, Sacc.
Spermogonie de Anthostoma Decipiens.

Pluriloges; stromes couverts, dorés, généralement oblongs, arrangés en
séries; cirrhe rougeâtre ou doré; spores courbées.

Cytos. Acharii, Sacc.
Spermogonie d'Eutypa Achartüi, Nits.

Périthèces rassemblés, ovales-elliptiques ou suborbiculaires-convexes,
déprimés, renfermés dans des stromes étalés en long et en large; spores
courbées; cirrhe blanchâtre.

Sur rameaux de Fagus, Pseudoplatanus, Populus, Prunus, Carpinus.
(A découvrir.)

Cytos. Flavovirens, Sacc.
Spermogonie de Flavovirens, Tul.
Périthèces coniques, déprimés, à parois charnues, renfermés dans des
stromes; spores courbécs; cirrhe.
Cytos. Carbonacena, Fr.

Pluriloges; strome mince; disque blanchâtre; ostioles noirs, proéminents.
Sur rameaux morts d'Ulmus. Z. arden.

(127 )

Cytos. Oxyacanthæ, Rabenh.

10-12 loges dans un strome ; spores cylindriques, arrondies obtuses aux
extrémités, plus ou moins courbées.
Sur rameaux de Cratæqus oxyacantha. Z. arden.

Cytos. Hippophaës, Thüm.

Périthèces épars, grands, érumpents; stromes?; spores cylindracées,
droites, courtes.
Sur rameaux d'Hippophaë rhamnoïdes. Z. marit.

** SCOLECOSPORÆ.
a) Spores courbées.
GENRE : CYTOSPORINA, Sacc.
Macrosp. Sp. ‘/, < courbées.

Strome valséen, verruciforme ou étalé; ostioles variables.

Cytosporina Siliquastri, West.) Sacc.

15 —11).

Cytosporina Aspera, (Wallr.) Sacc.
Spermogonie de Diatripella Aspera.

18-20 — 1 !.

Pluriloges; stromes sous-cutanés, à peine perforants, subcireulaires;
spores légèrement courbes.
Cytosporina Cerviculata, Sacc.
Spermogonie d'Eutypella Cerviculata.

20-22 — 0,7.

( 128 )

Cytosporina Heteracantha, Sacc.
Spermogonie d’Eutypa Heteracantha.
20-25 — 1.

Une loge ou à peu près ; stromes couverts, élevant l’épiderme, globuleux,
pâles à l’intérieur, émettant du dessus des faisceaux d’hyphes; spores fili-
formes arquées.

Sur rameaux du noyer. Z. arg. sablon.

Cytosporina Stellulata, Sacc.
Spermogonie d’Eutypella Stellulata, Nits.
20-25 1. long.
Pluriloges, valsoïdes; stromes en forme de croûtes; spores filiformes

courbées; cirrhe doré.
Sur rameaux de l’orme. Z. arg. sablon.

Cytosporina Milliaria, Sacc.

Spermogonie d'Eutypa milliaria, Nits.
24 — 1.

Une loge; stromes ponctiformes, subglobuleux, pâles, nichés dans les
couches supérieures du bois; un pore ou fissure; spores filiformes, courbées.
Sur rameaux de hêtre. Z. arg. sablon.

Cytosporina Ludibunda, Sacc.

23-30 — 1 ; basides 15-20 — 2.

Pluriloges, dorées; stromes variés, sous-cutanés, limités de noir; spores
filiformes-crochues; cirrhe d’un rôse jaunâtre.

Sur rameaux de Prunus padus, d'Ulmus campestris. Z. arg. sablon.

Cytosporina Millepunetata, Sacc.
Spermogonie de Cryplosphæria Millepunctata.
40-48 — f.
Une loge ou à peu près; stromes petits, pâles, épars, sous-cutanés; spores

filiformes, courbées; cirrhe rose ou jaunâtre.

Sur rameaux de fraxinus excelsior. Z. arg. sablon.

(129 )

Cytosporina Rostrata, (West.) Sacc.

Dumortiera Rostrata, West.

b) Spores droites avec soies.

GENRE : DILOPHOSPORA, Desm.

Strome en croûte; périthèces perforés; spores cylindracées, avec un
pinceau de soies aux extrémités.
Dilophos. Graminis, Desm.

10 — 1,7-2,; soies (nombre 4-6) 4-5 — 1/9.

*** BACILLARES ou FUSOIDEÆ MAJUSCULÆ.

a) Spores fusoides surtoul.

GENRE : FUSICOCCUM, Cd.

Strome convexe ou conique, mou, érumpent.

PUMICrOSD Sp Ta
Fusic. Castaneum, Sacc.
Spermogonie de Diaporthe Castanea, (Tul.) Sacc.

61/9-8—2-2,5 ou 10-12— 2-2,5 (goutt. 2); basides 7-10 —11/2.

Des loges variées et plus pâles; stromes pulvinés, érumpents, roux;
spores fusoïdes, droites.
Sur rameaux de Castanea vesca. Z. arden.

Fusic. Glæœosporioïdes, Sacc. et Roum.

8-10 — 2? !).

Des loges fausses; stromes déprimés coniques, érumpenis, noirs, céracé
pâle à l’intérieur; spores fusoïdes, droites.

Sur rameaux de Betula. Z. arden. (Libert.)

(450 )

Fusic. Künzeanum, Sacc.

Spermogonie de Diaporthe Künzeana.

10-11 — 3 (goutt. 4).

Loges réunies en une; stromes conoïdes-déprimés, perforés au centre,
sous la cuticule; noyau jaunâtre; spores fusoïdes, droites ou courbes.
Sur rameaux de Carpinus betulus. Z. arden.

Fusic. Carpini, Sacc.

Spermogonie de Diaporthe Carpini.

12 — 3-4 (goutt. 2).

Fusic. Farlowianum, Sacc. et Roum.

12-14 — 2,3-3.

Pluriloges plus pâles; stromes assez grands, irrégulièrement globuleux,
devenant superficiels, noirs ; spores fusoïdes.
Sur le bois pourri, décortiqué. Z. arden.

Fusic. Ornellum, Sacc.

22-15 — 3 1-4; basides 15-20 — 9 1); paraphyses 80 — 3.
Loges 2-4; stromes coniques, érumpents, gris; spores fusoïdes, cour-

bées; basides sortant d’une couche ochracée.
Sur rameaux de Fraxinus ornus. Z. arden.

Fusic. Bacillare, Sacc. et Penz.
14-15 — 2.

Pluriloges fausses; stromes rassemblés, coniques, innés, assez gonflés,
noirs, gris intérieurement ; disque petit, blanc-furfuracé; spores bacillaires,
droites.

Sur rameaux de Pinus silvestris. Z. arg. Sablon.

(151)

17 Macrosp. Sp. '}, > Là'h €.
Fusic. Guttulatum, Sacc. et Roum.

14-16 — 2 1) igoutt. 4).

Pluriloges d'un noir olivacé; petites masses pulvinées, à peine érum-
pentes; spores fusoïdes, droites.
Sur rameaux de hêtre. Z. arden. (Libert.)

Fusic. Cinctum, Sacc. et Roum.
14-18 — 4.

Loges fausses ; stromes pulvinés, sous-cutanés, d’un noir olive, entourés
d’une zône olive, sous-cutanéc; disque ovale, plan, seul érumpent; spores
fusoïdes.

Sur rameaux de Caslanea. Z. arden. et arg. sablon.

Fusic. Lesourdeanum, Sacc. et Roum.
30 — S.

Loges fausses et variées; stromes coniques, d’un gris noir, à peine érum-
pents; spores fusoïdes, droites.
Sur rameaux de Corylus. Z. arden. (Libert.)

GENRE : PLACOSPHÆRIA, Sacc.

Strome étalé, ordinairement couvert, noir; spores pédicellées.

Microsp. Sp. 1}, > €.
Placos. Galii, Sacc.
Spermogonie de Mazzantia Galii, Mont.
S-10 — 2-3.

Loges 1-5, pâles; strome inné, convexe, oblong, noir, intérieurement
blanchâtre; ostiole proéminent; spores droites, oblongues-linéaires.
Sur tiges desséchées de Galium mollugo. Z. cale. et arden.

(132 )

Placos. Stellariæ, (Lib.) Sacc.

Euryachora Stellariæ, (Lib.) Fckl.
12-15 — 2.

Placos. Graminis, Sacc. et Roum.

25-28 — 5-6 (goutt. 2-3).
Stromes oblongs, aplatis, subinnés, noirs, luisants; spores subfusoïdes,
légèrement courbées.
Variété Anceps.
20-24 — 4 (goutt. À) (sept. 2).
Stromes sous-cutanés, maculiformes, couleur de poix; noyaux peu dis-

tincts; spores cylindracées-courbées.
Sur feuilles de graminées. Z. arden (Libert).

b) Spores bacillaires.
GENRE : CEUTHOSPORA, Greville.
Strome conique-tronqué, assez dur, carbonacé, érumpent; des ostioles.

=

Microsp. Sp. |, >.
Ceuthos. Lauri, Grev.
4-5 — 1-1 1h.
Macrosp. Sp. ‘|, <.

Ceuthos. Glandicola, Sacc. Bom. et Rouss.

15-17 — 11).
Stromes épars, à bases déprimces et coniques, subsuperficiels, noirs;
2 à 4 loges; texture celluleuse d’un roux obscur; spores fusoïdes, courbées.
Sur les glands morts du chêne Z. arg. sablon.

Ceuth. Phacidioïdes, Grev.

Périthèces 3-7 condensés; stromes épars, innés, déprimés, couleur de
poix; ostiole au centre d'un disque blanc-furfuracé, entouré de l'épiderme
déchiré; spores cylindracées, droites; cirrhe blanc.

Sur feuilles d’/lex. Z. arg. sablon.

(135)

**** HYALOSPORÆ.
GENRE : CYTOSPORELLA, Sacc.

Strome valséen ou verruqueux, subcoriace, érumpent.

Microsp. Sp. 1 > <.
Cytospella Mendax, Sacc. et Roum.

4-5 — 3 !)-4.

Pluriloges; stromes superficiels, épixyles, globuleux, inégaux, noirs;
spores globuleuses-ellipsoïdes.

Sur le bois de chêne. Z. arden.

M. Saccardo décrit dans ce genre les Cytospora scheidweilert, (West.),
Æscult, (West.), Sphærosperma, (West.) de notre flore.

GENRE : RABENHORSTIA, Fr.

Strome globuleux-tronqué, coriace-charbonneux, érumpent; spores pédi-
cellées.

Microsp. Sp. ‘4 < à Sp. 5], <.
Rabenkh. Rudis, Fr.

6-8 — 2-3 (goutt. 2).

Pluriloges labyrinthiformes ou à peu près une loge; stromes coniques-
hémisphériques, ou en forme de tour, érumpents, entourés par l’épiderme,
souvent couverts d’un villeux sombre brun, d’un noir fuligineux; noyau
rosé; spores oblongues-obtuses.

Sur rameaux de Cytisus laburnum. Z. arg. sablon. où il forme des croûtes
étalées, entourées de noir.

Rabenh. Tiliæ, Fr.

12-14—S8,; basides 60 — 1 1).

(154)

GENRE : FUCKELIA, Bon.

Strome globuleux, pulviné, à stipe court el épais, érumpent ; spores pédi-
cellées.

Microsp. Sp. ‘|, >.
Fück. Ribis, Bon.
Spermogonie de Cenangium Ribesti.

8 — 4 (goutt. 2, épaisses).

Pluriloges anguleuses; stromes subsphéroïdes, d’un fauve noirûtre,
rugueux, solides ; spores ovoïdes-oblongues.
Sur rameaux de groseillers. (A découvrir.)

DICTYOSPORÆ — PHÆODICTYÆ.
GENRE : DICHOMERA, Cooke.

Strome globuleux, pulviné, légèrement papillé, érumpent, subimmerge;
spores stipitées.

Microsp. et Macrosp. Sp. 1 > <.

Dichom. Rhamni, (West.) Sacc.

Staurosphæria Rhamni, West.

Dichom. Mutabilis, (B. Br.) Sacc.
Hendersonia Mutabilis, B. Br.

(Sept. 3-4, muriformesi.

Pluriloges; stromes déprimés, elliptiques, noirs, à peine érumpents;
spores oblongues, elliptiques.

Sur rameaux morts de Corylus avellana. Z. cale.

B. Des périlhèces touffus, quelquefois rassemblés en grappes, érumpents,

sur un strome basilaire, ou renfermés dans un strome verruciforme.

Sous-FamizcE XII : DOTHIORELLEZÆ.

HYALOSPORÆ.
GENRE : DOTHIORELLA, Sacc.

Spores ovoïdes ou oblongues, souvent stipitées; périthèces globuleux,
légèrement papilleux, coriaces-membraneux, érumpents; strome basilaire
ou strome pulviné,.

Microsp. Sp. 1, > La €
Dothella. Berengeriana, Sacc.
Spermogonie de Botryosphæria Berengeriana.
G — 1-2.

Périthèces globuleux-aplatis, botryosphéroïdes, blancs intérieurement;
spores cylindracées, obtuses.
Sur mürier. Z. arden.

Dothella. Fraxinea, Sacc. et Roum.
12 — 5.
Périthèces globuleux, cespiteux-érumpents, à peine papillés; noyau gris-

blanchâtre; spores oblongues-cllipsoïdes, obtuses.
Sur écorce de frêne. Z. arden. (Libert.)

Dothella. Latitans, (Fr.) Sacc.
12-13 — 2.
Loges blanches immergées dans un strome sombre-brun, couvert par

l'épiderme déchiré ; spores cylindracées, obtuses, droites.
Sur la face supérieure des feuilles de Vauccinium vitis-idæa. Z. camp.

( 156 )

Macrosp. Sp. "], > <a, <.
Dothella. Ribis, (Fckl.) Sacc.
Podosporium Ribis, Fckl.

Spermogonie de Diaporthe Strumella.
30 — 14.

Périthèces 1-6 nichés dans un strome de la grosseur d’une graine de
pavot, globuleux, perforés, formant des pustules bien proéminentes; spores
pédicellées, oblongues-ovées, souvent courbées, expulsées en une masse

blanche.
Sur les branches mortes de groseiller noir. Z. arg. sablon.

Dothella. Advena, Sacc.
Spermogonie de Botryosphæria Advena.

50 — 8-10; basides 30-35 — 1 1).

Aspect dothideacéen; périthèces globuleux, à peine papillés, érumpents,
blancs intérieurement ; spores allongées-fusoïdes, droites, nébuleuses.
Sur rameaux de chêne. Z. arden.

PHÆOCSPORÆ.

GENRE : HAPLOSPORELLA, Speg.

C'est presque le DBothiorella, Phæospora.

Périthèces érumpents, papillés, subcharbonneux; strome basilaire ou
verruciforme.

Microsp. et Macrosp. Sp. |, > € à 5/, >.
Haplospella. Cæspitosa, (B. et Br.) Sacc.
Diplodia Cæspitosa, B. et Br.

Périthèces globuleux, cespiteux, érumpents; ostiole papillé; spores
oblongues, flaves, entourées de mucus, continues.
Sur les sarments de lierre. Z. arg. sablon.

(157)

PHÆODIDYMÆ.
GENRE : BOTRYODIPLODIA, Sacc.

Périthèces rassemblés en grappe, membraneux-carbonacés, souvent
papillés, érumpents; strome basilaire.

Macrosp. Sp. [, >< à 5], €.
Botryodia. Fraxini, (Fr.) Sacc.

Diplodia Fraxini, Fr.

20-25 — 10.
Botryodia. Congesta, (Lev.) Sacc.

Diplodia Congesta, Lev.

26-28 — 10-12, basides 18-20 Lu.
Périthèces rassemblés, érumpents, entourés par l’épiderme déchiré;

ostioles proéminents; spores oblongues-ellipsoïdes devenant obscures, fuli-

gineuses.
Sur l'écorce de Juglans regia. Z. arg. sablon.

Botryodia. Scabrosa, (West). Sacc.
Diplodia Scabrosa, West.

Botryodia. Sphærioïdes, (Fr.) Sacc.
Dothiora Sphærioides, Fr.

Périthèces irrégulièrement anguleux, puis plans, noirs, blancs à l’inté-
rieur; spores diplodioïdes.
Sur rameaux de frêne Z. arg. sablon.

Botryodia. Pyrenophora, (Berk.) Sacc.

Dothiora Pyrenophara, Berck.

Érumpent; périthèces elliptiques, plans, déprimés, noirs, pâles intérieu-
rement; spores diplodioïdes, brunes.
Sur rameaux de Sorbus aucuparia. Z. arden.

10

( 138 )

Fame 11 : NECTRIOÏDEÆ, Sacc.

Périthèces et stromes charnus ou céracés, non noirs, de couleur agréable.

PÉRITHÈCES SIMPLES.

Groupe I |Périthèces séparés, chauves:.

Sous-FAMILLE I : ZYTHIEÆ ou HYALOSPORÆ.

Périthèces globuleux, subpapillés, érumpents ou subsuperficiels, épiphytes.

GENRE : ZVTHIEA, Fr.
Microsp. Sp. !/, > à Sp. 5), 2.
Zyth. Brassiecæ, Sacc. et Roum.
Spermogonie de Nectriella Keith.

10-11 — 2 1-3.
Périthèces densement rassemblés, superficiels, globuleux, couleur de miel
pâle; spores allongées, cylindracées.
Sur l'écorce intérieure de Brassica pourrissant. Z. arden. (Libert.)
Zyith. Aurantiaca, (Peck.) Sacc.

Sphæronema Aurantiacum, Peck.

7-10 L. long.;, 406 — 8 nobis.
Périthèces petits, superficiels, hémisphériques, oranges; spores ovoïdes.
renfermées d'un liquide jaunätre. (Noyau gélatineux.)
Sur branche de noisctier. Z. arden. Hiver.
Zyth. Mereurialis, (Lib.) Kickx.

Sphæronema Mercurialis, Lib.

Le. 7

(139 )

GENRE : SPHÆRONÆMELLA, Karst.

Périthèces superficiels; ostioles en rostre.

Microsp. Sp. |; >.

Sphæron. Mougeotii, (Fr.) Sacc.

Sphæronema Hederæ, Fekl.
3— 1:

Périthèces épars, érumpents, piriformes, roses, devenant pruineux;
ostioles à rostre obscur; spores allantoïdes.
Sur les sarments de lierre. Z. cale.

Sphæron. Flavo-Viridis, (Fckl.) Sacc.
Sphæronema Flavo-Viridis, Fckl.

GENRE : ROUMEGUERIELLA, Speg.

Périthèces sphériques, irrégulièrement déhiscents; spores très nom-
breuses, muriculées, globuleuses, renfermées dans un noyau muqueux.

Roumeg. Muricospora, Speg.
Eurotium Album, Lib.

20 y. globuleuses muriculées.

Périthèces sphériques, membraneux, d’un rose jaunâtre, fixés à la matrice
par un point central, irrégulièrement déhiscents; spores rassemblées dans
un noyau gélalineux, d’un jaune pâle.

Sur feuilles pourries. Z. arden.

GENRE : LIBERTIELLA, Spes.

Périthèces légèrement charnus, subsuperficiels; ostioles béants, cratéri-
formes, discolores; spores ovoïdes, unies.

Libert. Malmedyensis, Speg. et Roum.
5-6 — 2-2 1); basides 10 — 2.
Périthèces rassemblés, hypophylles, globuleux-coniques, blancs, d’un
sombre brun autour de l'ostiole largement ouvert, innés et villeux à la
base de la matrice, secs, s’affaissant en cupule ; gélatine sporuleuse blanche;

spores elliptiques, granuleuses.
Sur thalle de Peltigera polydactyla. Z. arden. (Libert.)

( 140 )

DIDYMOSPORÆ.

GENRE : PSEUDODIPLODIA, Karst.
Périthèces subsuperficiels, globuleux ou oblongs, charnus-céracés, large-
ment ouverts.
Pseudodipl. Ligniaria, Karst.
10-13 — 6-8 ; 12-14 — 4-5 nobis {goutt. 2) (sept. 1).
Périthèces plus ou moins rassemblés, subsuperficiels, orbiculaires ou
allongés, aplatis, rougeâtres, devenant noirs, d’abord clos, puis largement

ouverts; spores à peine resserrées, olivacées.
Sur le bois de vieilles branches de Aosa canina. Z. arden. Hiver.

PHRAGMOSPORÆ.
GENRE : CHIATOSPORA, Riess.

Périthèces sublentiformes; ostioles arrondis; spores divisées en X à
quatre rayons, inégaux, seplés et cylindracés.

Chiato. Parasitica, Riess.

Spor. 4 radiées 22-23 u. long. (sept. 4-6).

Périthèces lentiformes, flaves ou sombre-brun dilué; des basides fasci-
culées-septées; spores à rayons aigus ct inégau x.

Sur l’ostiole du Massaria pupula, et sur périthèces de Cucurbilaria

berberidis. Z. arg. sablon.

GENRE : STAGONOPSIS, Sacc.

Périthèces globuleux, érumpents ou subsuperficiels; spores oblongues.

Sp. 4 €:
Stagon. Virens, Sacc. et Mouton.
35-40 — 3 (noyaux cuboïdes 7-8) (sept.).
Périthèces épars, globuleux-déprimés, perforés; texture d’un vertagréable;

taches étalées verdâtres; spores longuement fusiformes, souvent courbées.
Sur tiges jeunes et herbacées. Z. cale.

(141 )

IE.

PÉRITHÈCES COMPOSÉES.
SCOLECOSPORÆ.

GENRE : POLYSTIGMINA, Sacc.

Strome convexe-plan, d’un rouge orange, avec loges nombreuses; spores
filiformes, continues, hyalines.

Polystig. Rubra, (Desm.) Sacc.
Sepioria Rubra, Desm.

Spermogonie de Polystigma Rubrum.

25-30 — 1-1 1} (goutt. 6-9).

Strome suborbiculaire, charnu, plan ou convexe, rouge, puis sombre;
loges très petites, nombreuses; ostioles ponctiformes; cirrhe blanc; spores
linéaires, courbces.

Sur les feuilles de Prunus spinosa. Z. calc. et arden.

Faire Il: LEPTOSTROMACEZÆ, Sacc.

je
PÉRITHÈCES SIMPLES.
Groupe I (Périthèces chauves).

A. Périthèces à ouverture non crevassée-allongée.

Sous-FAMILLE I : LEPTOTHYRIEÆ.

Périthèces subcirculaires en bouclier.

HYALOSPORÆ.

GENRE : LEPTOTHYRIUM, Kze. et Schm.

Périthèces disparaissant facilement, à structure parenchymateuse; à
peine des basides.

(142)

Microsp. Sp. 'L, Là}, > <.

Leptothy. Litigiosum, (Desm.) Sacc.

Leptostroma Litigiosum, Desm.
4-5 = 0, 7-1.

Leptothy. Castaneæ, (Spr.) Sacc.
Spermogonie de Coccomyces Dentalis.
5-6 — 0,7.

Périthèces subcirculaires ou anguleux, plans, noirs, luisants, petits ; spores
cylindracées.
Sur feuilles déjetées de Castanca vesca. Z. arden.

Leptothy. Vulgare, (Fr.) Sacc:

Leptostroma Vulgare, Fr.
7—11)-2.

Leptothy. Macrothecium, Fckl.

3-8 — 1 1/-2.

Périthèces épars, assez grands, astomes, noirs; spores cylindracées-
fusoïdes, courbées.
Sur feuilles de Lysimachia nummularia. Z. arg. sablon.

Leptothy. Libertianum, Thüm, Sacc.

7-8 — 6 1-7.

Périthèces disciformes, noirs, s'évanouissant; texture parenchymateuse;
spores ellipsoïdes. x
Sur feuilles languissantes de Prunus padus. (Libert.)

Leptothy. Quercinum, Lasch.
D— 11).
Périthèces subcireulaires ou anguleux, luisants, plans; texture à peine
radiée; spores bacillaires-naviculaires.
Sur feuilles déjetées de chêne. Z. arden.

(143)

Leptothy. Ptarmicæ, Sacc.

Labrella Ptarmicæ, Desm.

10 — G-7 (à plasma divisé en 2).

Leptothy. Lunariæ, Kze.
Spermogonie de Microthyrium Lunariæ.

10-12 — 2.

Périthèces petits, disciformes, noirs, luisants, à centre omboné, perforés
plus ou moins confluents; à texture radiée; spores fusoïdes, courbées.
Sur les tiges et siliques de Lunaria rediviva. (A découvrir.)

Macrosp. Sp. |, < à 1} <.
Leptothy. Subtectum, Sacc.

18-20 — ? 1/9-8 (goutt. 3-4).
Périthèces lächement rassemblés, couverts, noirs, luisants, subastomes;

texture parenchymateuse, fuligineuse; spores. subfusoïdes, courbées.
Sur feuilles de Luzula pilosa. Z. arg. sablon.

Leptothy. Periclymeni, (Desm.) Sacc.

Labrella Periclymeni, Desm.

25 — S-10 (goutt.).

Leptothy. Cytisi, Fckl.
26 — 2.

Périthèces oblongs ou orbiculaires, convexes puis plans, ruguleux, lui-
sants, d’un noir brun, faux; spores cylindracées, courbées.
Sur rameaux secs de Cytisus sagittulis. Z. arden.

Leptothy. Scorodoniæ, (Lib.) Sacc.
Leptostroma Scorodoniæ, Lib.

Périthèces subarrondis, inégaux, minces, unis, noirs, subconfluents,
disparaissant ; tache noire; spores très petites.
Sur tiges mortes de Teucrium scorodonia. Z. arg. sablon.

(1%)

GENRE : SACIDIUM, Ness.

Structure ponctuée non celluleuse,

Sp. 4 xt >
Saci. Ulmariæ, Sacc. et Roum.

4-5 1. rondes; 4 — 1/9 basides.

Périthèces rassemblés, subsuperficiels, astomes, d’un noir olivacé; spores
globuleuses, rosâtres, avec un noyau hyalin.
Sur face supérieure des feuilles de Spiræa ulmaria. Z. arden. (Libert.)

PHÆOSPORÆ.
GENRE : PIROSTOMA, Fr.
Périthèces à centre ombiliqué-perforé.

Pirost. Circinans, Fr.

Coniospor. Circinans, Fr.

12 p.. globuleuses.
SCOLECOSPORÆ.

GENRE : ACTINOTHYRIUM, Künze.

Périthèces subastomes, à marge bien frangée, rayonnante.

Actinothy. Graminis, Künze.

(145 )

Sous-FanILLE Il : DISCOSIEÆ.

Périthèces aplatis en disque ou en tache membraneuse.

HYALOSPORÆ.
GENRE : PIGGOTIA, B. Br.

Périthèces inégaux, membraneux, souvent disposés en étoile, couverts
au début; spores oblongues ou subcylindracées; basides en petites colonnes.

Pigg. Astroïdea, B. Br.

S-10 — 5-6 (goutt. 2-4).

PHRAGMOSPORÆ.

GENRE : DISCOSIA, Lib.

Périthèces subsuperficiels, astomes ou ostiolés, membraneux; spores
fusoïdes, ciliées.

Macrosp. Sp. |, <.
Disc. Artocreas, (Tode.) Fr.

14-22 — 2-3 !), (soies 10-15 1. long.) (sept. 3).

Disc. Deflectens, Sacc.

45-18 — 2 1} (soies obliques) (sept. 1-3).

Périthèces rassemblés sur des taches blanches, couverts, largement
ouverts; spores fusoïdes, courbées.
Sur feuilles de [lex aquifolia. Z. arg. sablon.

Disc. Clypeata, de Not.

16-17 b. long. (soies) (3 sept.).

( 146 )

Dise. Strobhilina, Lib.

18-20 b. long. (soies obliques) (3 sept.).

Périthèces subsuperficiels, en bouclier, unis, à centre très courtement
papillé-perforé; spores fusoïdes, droites.
Sur cônes d’Abies. Z. arden. (Libert.)

Dise. Alnea, (Pers.) Berk.

Forme de Doscosia Artocreas.

20 :. long. (soies) (3 sept.).

Sur feuilles languissantes d’Alnus glutinosa.

GENRE : ENTOMOSPORIUM, Ley.

Périthèces astomes ; spores tétramères, en croix, ciliées.

Marrosp. Sp. ‘ls <.
Entomosp. Maculatum, Lev.

18-20 — 12 (soies latérales) (3 sept.).

Périthèces aplatis, subastomes, épiphylles; spores à cellules latérales
déprimées; stipe filiforme 20 —°},.

Forme Domesticum, Sacc.
15 — 58.

Sur les feuilles de Mespilus germanica. Z. arden.

(447)

B. Périthèces s’ouvrant par gercures allongées.
Sous-Famizce IT : LEPTOSTROMEÆ.

HYALOSPORÆ.

GENRE : LEPTOSTROMA.

Périthèces subcharbonneux, lancéolés ou allongés, disparaissant souvent
assez vite.

Microsp. Sp. allantoïdes, !/, >.

Leptosma. Juncacearum, Sacc.

4-5 — 1), (goutt. 2); basides 10 — 1-1 1,9.

Périthèces plans, en bouclier, ovés; texture parenchymateuse, non
radiée; gercure à peine marquée ; spores fusoïdes.

Sur les feuilles mortes des Luzules. Z. arg. sablon. et arden.

Leptosma. Herbarum, (Fr.) Linck.

4-6— 1-1 1).

Périthèces confluents, plans, convexiuscules, lancéolés, couverts, sombre-
noir; gerçure à peine marquée, spores botuliformes.
Sur tiges de plantes herbacées. Z. arden.

Leptosma. Spirææ, Fr.
6 — 3/;-1.

Périthèces conglomérés-connés, difformes, rugueux, gris à l’intérieur,
enfin se désagrégeant, subhystéroïdes; spores courbées.
Sur tiges mortes de Spiræa ulmaria Z. arg. sablon.

Leptosma. Pinastri, Desm.
G-8S — 1/9-1.

Périthèces linéaires, parallèles, couverts; sporules cylindracées.
Sur feuilles de Pinus silvestris. Z. arg. sablon.

( 148 )

Leptosma.? Rubi, (Lib.) Speg. et Roum.
Cette espèce est plutôt un Phoma.

8-10 — 2 (pluri. goutt.).

Périthèces rassemblés, superficiellement innés, globuleux, s’affaissant en
cupules par la sécheresse; pores; texture parenchymateuse, noire; spores
cylindracées-arrondies aux extrémités, sortant d'une couche proligère
pachydermateuse.

Sur rameaux desséchés de Rubus. Z. arden. (Libert).

Leptosma.? Poæ, Lib.

Périthèces arrondis, unis, très plans, sous forme de substance céracée,
d’un sombre brun, se désagrégeant; spores globuleuses, hyalines, stipitées.
Sur Poa sudetica. Z. arden. (Libert.)
Leptosma.? Capreæ, Lib.

Leptostroma Herbarum, F. Salicis, Lk.

Périthèces? épars, arrondis ou ovés, luisants; pulpe blanche; spores
ovoïdes.
Sur rameaux secs de Salix caprea. Z. arden. (Libert.)

Leptosma. Filicinum, Fr.
Périthèces? allongés-difformes, unis, présentant une côte élevée, puis se
désagrégeant complètement.
Sur les stipes de Pteris. Z. arg. sablon.

GENRE : LABRELLA, Fr.

Périthèces innés, souvent faux, arrondis ou inégaux, résistants.

Labrel. Heraclei, (Lib.) Sacc.

Cheilaria Heraclei, Lib.

| irait D)

(149)

SCOLECOSPORÆ.

GENRE : LEPTOSTROMELLA, Sacc.

Périthèces devenant superficiels, subcharbonneux.

Macrosp. Sp. ‘|, <.
Leptosmella. Hysterioïdes, (Fr.) Sacc.

20-25 — 2 (pluri. goutt.).

Périthèces oblongs, variés, à centre épaissi, substrié, se désagrégeant;
spores cylindracées, courbées.
Sur les tiges de Pœonia. Z. arden.

Leptosmella. Junecina, (Fr.) Sacc.

Leptostroma Juncinum, Fr.

25-30 — 2? (goutt. pluri.).

Périthèces plans, allongés, en bouclier; gercures peu distinctes; spores
cylindracées, courbées.
Sur la Juncus conglomeratus. Z. arg. sablon.

Leptosmella. Septorioïdes, Sacc.
40-45 — 1.

Périthèces rassemblés en lignes paralléles, érumpents, oblongs, char-
bonneux; gerçures; spores légèrement courbées.
Sur feuilles sèches de graminées, Z. arden.

(150)

Lie
PÉRITHÈCES COMPOSÉS.

Sous-Famizce IV : MELASMIEÆ,.

HYALOSPOR Æ.
GENRE : MELASMIA, Lev.

Périthèces membraneux, plans, subastomes ou gercés; strome étalé,
noircissant, souvent phyllogène.

Sp. 4 > <à°ls 2:

Melas. Aviculariæ, West.
3-3 1} —1 10.

Melas. Acerina, Lev.
6-9 — 1.

Famizze IV : EXCIPULACEZÆ, Sacc.

Périthèces subsphéroïdes au début, puis cupulés, patellés ou hysteroïdes,

noirs.

PÉRITHÈCES SIMPLES.
Groupe I (Perithèces chauves).
A. Périthèces non hystéroïides ; texture celluleuse.

Sous-FAMILLE 1 : EXCIPULEÆ (Cupuliformes).

HYALOSPORÆ.
GENRE : EXCIPULA, Fr.

Périthèces excipuliformes ou cupulés, innés érompents ; texture celluleuse ;
ouverture orbiculaire; basides simples.

( 154 )

GENRE : DOTHICHIZA, Lib.

Périthèces subglobuleux, érumpents, fermés, puis ouverts irrégulière-
ment, subcupulés, texture ce'luleuse.

Microsp. Sp. !, < à Sp. > à Sp 1 <.
Dothich. Serbi, Lib.
3-4 — 1-1 !.

Périthèces rassemblés mais non confluents, nichés puis érumpents, clos,
ouverts, entourés régulièrement par l’épiderme déchiré, aplatis, arrondis
ou oblongs ; spores cylindriques, plus ou moins courbées.

Sur écorce de Sorbus acuparia. Z. arden. (Libert.)

Dothich. Padi, Sacc. et Roum.
Spermogonie de Cenangium Padi, Fr.

6— 1; basides 24-56 L.

Périthèces rassemblés, subsuperficiels, aplatis, puis pezizoïdes-déprimés,
subcoriaces; spores oblongues.
Sur rameaux avec écorce de Prunus padus. Z. arden. (Libert.)

Dothich. Passeriniana, Sacc. et Roum.

8-10 — 2-2 !); basides 40-50 — 2.

Périthèces cespileux-érumpents, s’affaissant en bouclier; spores cylin-
dracées, courbées.

Sur rameaux de Rhamnus aluternus. Z. arden. (Libert.)

Dothich. Ferruginosa, Sacc.
S — 4.

Périthèces rassemblés, érumpents, substipités, orbiculaires, plans et
ombiliqués, clos d’abord, puis déchirés; spores oblongues-ovées.
Sur rameaux de Pinus silvestris Z. arg. sablon.

Dothich. Populea, Sacc. et Br.

10-12 — S-10.

Périthèces rassemblés, érumpents, subcoriaces, globuleux-déprimés, puis
cupulés; spores globuleuscs, ellipsoïdes, légèrement apiculécs.

Sur rameaux morts de Populus nigra. Z arg. sablon.

(152 )

GENRE : CATINULA, Lev.

Périthèces subglobuleux ou cylindriques-cônés, membraneux-coriaces,
noirs, quelquefois disque agréablement coloré, largement ouverts, conca-
viuscules-cupulés; texture celluleuse.

Macrosp. Sp./, >.
Catin. Turgida, (Fr.) Desm.

18-20 — 8-9 (goutt.); basides 16-18 — 3-4.

Sous-FAMILLE II : DISCULEÆ.

Périthèces en disques ou en patelles.

HYALOSPORÆ.
GENRE : DISCULA, Sacc.

Périthèces disciformes ou imparfaits, recouverts par l’épiderme; texture

celluleuse.
Microsp. et Macrosp. Sp ‘3 <.
Discla. Platani, (Peck.) Sacc.

S-14 — 3 1/0-6.
Périthèces érumpents, pâles, en petites pustules ; spores oblongues.
Sur rameaux de platane. Z. arden.

Discla. Platyspora, (B. Br.) Sacc.

30-353 — 12.

Périthèces petits, dégarnis du dessus, en pustules tuméfiées; spores
oblongues, granuleuses.

Sur rameaux de platane. Z. arden.

(155)

HYALODIDYMÆ.
GENRE : DISCELLA, B. Br.

Périthèces discoïdes ou patellés, couverts, souvent imparfaits; basides
simples.

Macrosp. Sp. ‘L >.

Discella Carhonacea, (Fr.) B. Br.

B. Périthèces hystéroides.
SOUS-FAMILLE IL : PSILOSPOREÆ,
HYALOSPORÆ.

GENRE : SPORONEMA, Desm.

Périthèces s’ouvrant par valses ; basides bacillaires, rameuses.

Micr'osp. Sp. ‘/, >.

Sporon. Phacidioïdes, Desm.
5 1. long.

GENRE : PSILOSPORA, Rabenh.

Périthèces oblongs ou inégaux, subbilabiés, rassemblés, membraneux,
charbonneux.

Macrosp. Sp. <.
Psilos. Faginea, Rabh.
Dichæna. Faginea, Fr.

18-20 — 14-15 (goutt.); basides 50-60 — 2.

Psilos. Quercus, Rabh.
Dichæna Quercina, Fr.

22-25 — S-10 (goutt. À)

(154)

SCOLECOSPORÆ.
GENRE : SCHIZOTHYRELLA, Thüm.

Périthèces subhémisphériques, clos, puis ouverts du centre à la circon-
férence par de petits lambeaux déchirés; noyau céracé, coloré.

Schizothy. Quereina, (Lib.) Thüm.

453 — 1 1) (sept. 3); loges 4 — 1 1/9.

Périthèces hypophylles, innés, hémisphériques, se déchirent en 4-6 lam-
beaux; texture fuligineuse, parenchymateuse; noyau d’un jaune rougeâtre;
spores filiformes, quelquefois réunies en chainettes très longues.

Sur les feuilles de chêne. Z. arden. Hiver. (Libert.)

Groupe II (Périthèces soyeux).
Sous-FamiILLE IV : AMEROSPORIEZÆ.

HYALOSPORÆ.
GENRE : AMEROSPORIUM, Spesg.
Périthèces cupulés; spores mutiques.
Amerosp. Macrotrichum, (B. et Br.) Sacc.
Sace. Excipula Macrotricha, B. Br.
Périthèces assez grands, grossièrement soyeux, à tunique interne se sépa-

rant facilement de la tunique externe; spores petites, lunulées.
Sur les tiges du genêt. Z. arg. sablon.

Amerosp. Carieum, (Lib.) Sacc.
Excipula Caricum, Lib.
Périthèces innés, épars, sphériques, ouverts en pezize; poils très longs;

spores fusiformes, droites, atténuées.
Sur feuilles de Carex. Z. arg. sablon. et arden.

(455)

GENRE : DINEMASPORIUM, Lev.

Spores aristées à chaque extrémité; périthèces cupulés.

Macrosp. Sp 1], > <.
Dinemas. Fimeti, Plowr. et Phill.

10 — 2-3 (soies 8 u. long.).

Périthèces subarrondis, superficiels, noirs; spores oblongues, une soie à
chaque extrémité arrondie.

Sur crottes de lièvre. Z. camp. 50 mètres ct arden. 600 mètres. Lapins
et lièvres vivant dans de vastes bruyères.

Dinemas. Dianthi, (West.) Oud.
Phyllosticta Dianthi, West. ?

14-16 — 3 !}, (soies courtes).

Périthèces nombreux, entourés de soies noires-cladosporoïdes, s’affais-
sant, noirs, couleur de paille du dessus; taches blanches subcireulaires
puis subconfluentes; spores obscurément septées, allongées.

Sur feuilles languissantes de Dianthus barbatus. Z. arg. sablon.

Dinemas. Hispidulum, (Schrad.) Sacc.

Peziza (nobis Trichopeziza) Hispidula, Schrad.
14-18 — 2-2,3 (soies courtes, obliques) (goutt. 3-4).
Dinemas. Graminum, Lev.

45 — 2 1)-3 (soies 15 pu. long. obliques).

Dinemas. Strigosum, (Fr.) Sacc.

Excipula Strigosa, Fr.

23-30 — 3-4 (soies 4-5 1. long.) (goutt.).

(156)

MELANCONIEÆ, Berk.

Pas de thèques, pas de périthèces.
Conidies rassemblées en tas sous-cutanés ; basides à peine marquées.

Groupe I (Petits tas chauves).

A. Spores solitaires.

Sous-FAMILLE 1 : GLOEOSPORIEZÆ ou HYALOSPORÆ.
ESPÈCES MOLLES, SUBTRÉMELLOÏDES, ÉRUMPENTES.
Microsp. Sp.'|, > à Sp.4, >.

GENRE : MYXOSPORIUM, Lk.

Petits tas longtemps couverts, couleur pâle, subcéracés.
Sur rameaux d'arbres.

Myxos. Tremulæ, Sacc. et Roum.
Myxos. Populi Tremulæ, (Lamb.) Sacc.
10 — 2 !).

Tas lâchement rassemblés, couleur succin; conidies fusoïdes-aiguës,
droites.
Sur rameaux de Populus tremula. Z. arden.

Myxos. Millardetianum, Sacc. et Roum.

10-11 — 31).

Tas globuleux, déprimés, rassemblés, entourés d'une ligne noire, couleur
succin ; conidies oblongues-fusoïdes, obtuses, droites.
Sur rameaux de Salixr. Z. arden. (Libert.)

Myxos. Salicellum, Sacc. et Roum.

10-12 — 2.

Tas pulvinés, rassemblés, proéminents, d'un blanc céracé; conidies
oblongues-cylindroïdes, obtuses, droites,
Sur rameaux de Salix. Z. arden. et arg. sablon.

(157)

Myxos. Rosæ, Fckl.
10-12 — 4.

Tas en pustules assez grandes, noires, atténuées en un ostiole conique,
obtus, perforé, noir, entourées par l’épiderme déchiré; gélatine fluxile,
grise; conidies oblongues-ovées, presque droites.

Sur rameaux séchés de Rosa canina. Z. arden.

Myxos. Deplanatum, (Lib.) Sacc.

10-14 — 3-4.

T'as circulaires, aplatis, sous-épidermiques, subolivacés, limités de noir;
conidies elliptiques, cylindracées, obtuses, droites, d’un hyalin légèrement
enfumé.

Surtout commun sur les branches mortes du charme; branches de
Corylus avellana. Z. arden. généralement en compagnie du Melanconium
bicolor. V. ramulorum.

Myxos. Marchandianum, Sacc. et Roum.

12-13 — 4.

Tas rassemblés, érumpents, d’un rose sale; conidies oblongues-ellip-
soïdes, arrondies.
Sur rameaux de Corylus. Z. arden.

Variété Quercinum.
12-14 — 53.

Tas d’un sombre brun à l'extérieur, d’un rose sale à l’intérieur.
Sur rameaux du chène. Z. arden. (Libert.)

Myxos. Salicinum, Sacc. et Roum.

12-14 — 4.

Tas rassemblés, disciformes, déprimés, couleur subsucein; conidies cour-
tement fusoïdes, inéquilatérales, obtusiuscules, granuleuses.
Sur rameaux de Salix. Z. arden.

(158)

Myxos. Populinum, Sacc.

13-15 — 10-11; basides 15-25 — 1 1/9.

Tas pulvinés, couverts par l'épiderme épaissi, couleur orange; conidies
cllipsoïdes, nébuleuses, hyalines, subapiculées à la base.
Sur rameaux de Populus. Z. arden.

Myxos. Prunicolum, Sacc. et Roum.
14 — 4.

Tas légèrement rassemblés, pulvinés, transversalement oblongs, proémi-
nents, ochracé-sombre; conidies oblongues-ellipsoïdes, arrondies.
Sur rameaux de Prunus. Z. arden.

MACTOSDISD a
Myxos. Carneum, Lib.

15-17 — 3 1/-4 1), (goutt. 2); basides 15 — 2 1/9-3.

Tas pulvinés, assez grands, subroses, érumpents et entourés par l’épi-
derme; conidies fusoïdes, obtuses, inéquilatérales.
Sur rameaux de hêtre. Z. arden.

9-11 — 2-3.

La forme Fraæini. Z. arden.

Myxos. Incarnatum, (Desm.) Bon.

Nemaspora Incarnata, Desm.

15-20 — 8-10; basides 20-24 — 2.

Myxos. Piri, Fckl.

20 — 10 (goutt. 1-2).

Tas devenant noirs, cirrhe globuliforme, blanc; conidies ovoiïdes.
Sur rameaux de Pirus communis. Z. arg. sablon.

(159)

Myxos. Laneeola, Sacc. et Roum.
20-22 — 4.

Tas rassemblés, pulvinés; disque pâle, à noyau subcharnu coloré de
sombre brun autour; conidies fusoïdes, aiguës, droites ou courbées, granu-
leuses.

Sur rameaux du chêne, du bouleau. Z. arden. (Libert.)

Myxos. Croceum, (Pers.) Link.

20-24 p. diam.

Myxos. Propinquum, Sacc., Bom. et Rouss.

25-36 — 10-12, basides 24 — 6.

Tas épars ou géminés, érumpents, déprimés au centre, grisätres ; conidies
ovales-oblongues, atténuées à la base, granuleuses.
Sur les troncs et rameaux d’/lex aquifolium. Z. arg. sablon.

Myxos. Mali, nobis.

Conidie de Tympanis Conspersa. Forme Mali.
26 —S.

Mêmes caractères que Myxos Juglandinum ; pulpe olivâtre.
Sur branches de pommier. Z. arden. Hiver.

Myxos. Juglandinum, nobis.

28-32 — 10-12.

Petits paquets rassemblés, nichés sous l’épiderme, se fendillant, subhé-
misphériques, d’un jaune ochracé; spores nébuleuses, hyalines.
Sur branches de noyer. Z. arden. Hiver.

Myxos. Album, (Fr.) Sacc.
28 — S-10.
Petits tas blanchâtres, nichés sous l’épiderme se fendillant; spores nébu-
leuses, hyalines.
Sur branches de Corylus. Z. arden. Hiver.

( 160 )

GENRE : GLŒOSPORIUM, Desm. et Mont.

Petits tas longtemps couverts, phyllogènes ou caulicoles, pâles parfois
sombres.

Microsp. Sp. :/, > < à Sp. 1 <.
Glæos. Alneum, West.

4-6 — 2-2 1); basides 8-10 — 1 1/,-2.

Glæos. Quercinum, West.
5-6— 21).

Glæos. Conigenum, Sacc. et Roum.

5-6 — 4; basides 15 — 3-3 1).

Tas érumpents par fissure du périderme, subolivacés; conidies subglo-
buleuses, subatténuées à la base.

Sur écailles de cônes d’Abies excelsa. Z. arden.

Glæos. Orni, Sacc.
2-8 — 3 (goutt. 2).

Tas subcirculaires, couverts par l'épiderme noirci; taches variées, sub-
ochracées, entourées de sombre brun; conidies oblongues, aiguës, légere-
ment resserrées au milieu.

Sur face supérieure de feuilles de Fraxinus orni. Z. arden.

Glæos. Paradoxum, Fckl.

8 — 5-6; basides 12-15 — 6.

Glæos. Ribis, (Lib.) Mont.
10 — 5-6.
Glæœos. Umbrinellum, B. et Br.

10-15 1. long. (goutt. 2).

Taches irrégulières, anguleuses, brunes ; conidies oblongues ; cirrhe pâle.
Sur feuilles déjetées de chêne.

(161 )

Glœos. Tremulæ, (Lib.) Pass.

Leptothyrium Tremulæ, Lib.

10-15 — 1,7-2; basides 5-6 1.

Tas ordinairement épars, couverts par l’épiderme noirci, aplatis, d’un
olive sombre, ruguleux, disparaissant par circoncision; taches oblongues
ou subeirculaires, cendrées, entourées de sombre brun ; sporidies botuli-
formes-fusoïdes, courbées.

Sur feuilles de Populus tremula. Z. arden.

Glæos. Carpini, Lib.) Desm.
10-13 — 1).

Glæos. Cylindrospermum, (Bonord.) Sacc.

Leptothyrium Cylindrospermum, Bonord.

10-15 — 2 1-3.

Glæos. Trunecatum, (Bonord.) Sacc.

12-13 — 2 1-3.

Tas érumpents, entourés par l’épiderme obscurei; disque pâle roux,
grossier; conidies cylindracées.
Sur feuilles de Vaccinium vitis-idæa. Z. arden.

Glæos. Haynaldianum, Sacc. et Roum.

12-15 — 2 1}3; basides 31-40 — 1 1).

Tas épars, émergents, proéminents, diseiformes, d’un rose sale; conidies
oblongues, cylindracées.

Sur feuilles de Magnolia grandiflora. Z. arden. (Libert).

Glæos. Rohergei, Desm.
12-15 — S-9.

Glæos. Betulsæ, (Lib.) Mont.
43-16 — 2.

(162)

Glæos. Platani, (Mont.) Oud.

14-15 — 5-6 (pluri. goutt.); basides 5-6 1.

Glæos. Coryli, (Desm.) Sacc.

14-15 — 6 (goutt. 2).

Tas proéminents, subrassemblés, innés, très petits, arrondis-oblongs, d’un
sombre brun pâle, puis bruns; taches ochracées; conidies oblongues,
arrondies.

Sur feuilles languissantes de Corylus avellana. Z. arden.

Macrosp. Sp. }, > à Sp. 'L > <.

Glæos. Affine, Sacc.
14-20 — 4-6.

Tas épars, couverts par l'épiderme noirci; cirrhose; taches variées,
blanchätres, stériles; conidies cylindracées-oblongues, arrondies, nébu-
leuses.

Sur les feuilles d’orchidées exotiques.

Glæos. Lindemuthianum, Sacc.

15-19 — 3 1-3 1/9; basides 45-55.

Tas d’un blanc sale, enflant l’épiderme en pustule, puis érumpents;
taches subarrondies, d’un sombre brun, stériles, au début entourées de
roux; conidies oblongues, droites ou courbées, arrondies, granuleuses.

Sur les gousses des haricots. Z. arg. sablon.

Glæos. Fagi, West.
Labrella Fagi (Desm.).

15-20 — 3-8 (goutt. 2-3).

Glæos. Helicis, (Desm.) Oud.

Cheilaria Helicis, Desm.

(165 )

Glæos. Asparagi, nobis.
16-20 — 4.

Tas à peine visibles, pâles, couronnés de sombre, sous-épidermiques,

subhémisphériques; spores cylindracées, courbées ou droites, hyalines,
granuleuses.

Sur les tiges mortes d’Asparagus. Z. arden. Hiver.

Glæos.? Aurantiacum, (Link.) Sacc.
Cryplosporium Aurantiacum, Uk.
Grumeaux protubérants, irrégulièrement confluents; conidies compactes,

courbées, hypophlævdes, de couleur orange.
Sur les tiges mortes du Vincetoxicum officinale. Z. cale.

Glæos. Concentricum, (Grev.) B. et Br.
Cylindrosporium Concentricum, Grev.

Tas blanchâtres, disposés concentriquement, subcuticulaires; conidies

cylindracées, courtes, copieuses, tronquées, continues, érumpentes en gru-
meaux.

Sur feuilles de Glechoma hedera, de Pulmonaria officinalis. Z. arden.

Glæos. Orbiculare, Berk. (Myxosporium Orbiculare, Berk.).

Tas confluents, formant des petites étendues orbiculaires avec un pore
commun; conidies oblongues, minces, d'un pâle vineux; cirrhe.
Sur les courges. Z. arg. sablon.

GENRE : HAINESIA, Ell. et Sacc.

Petits tas, vite érumpents, couleur agréable, subtrémelloïdes; phyl-
logènes.
Haïin. Rubi, (West.) Sacc.

Glæosporium? Rubi, West.
6-10 — 2-3 1h.

(164)

Sous-FaMizcE Il : MELANCONIEÆ ou PHÆOSPORÆ,.

Correspond aux Sphæropsis et Coniothyrium.

GENRE : MELANCONIUM.
Conidies de Melanconis et Melanconiella.

Noirs, subeutanés, érumpents avec cirrhe; conidies solitaires au sommet
des basides.

Microsp SpA aSp EE

Melancum. Parasiticum, West.
2 1/9-10 y.

Melancum, Sphærospermuin, (Pers.) Lk.

8-10 — G-7.

Melancum. RBamulorum, Cd.
Variété de MW. Bicoloris.

9-10 — 7-8 (goutt.).

Melancum. Sphæroïdeum, Lk.

10 — 6 (goutt. 1-9).

Melancum. Bicolor, Nees.

12 — 6 (goutt.)

Melancum. Sarothamni, Lib., Roum.

12 — 7 (goutt. 2).

Tas noirs, sous-cutanés, rassemblés, oblongs-convexes; conidies ellip-
soides.

Sur les branches de Sarothamnus scoparius. Z. arden. (Libert.)

(165)

Melancum. Stromaticum, Cda.

44-10 (goutt. 1-2.

Tas coniques, sous-cutanés, à strome blanchâtre; conidies obovées, à
tuniques épaisses, à bases subapiculées, granuleuses.
Sur rameaux du charme et du hêtre. Z. arden.

Macrosp. Sp. !, > ak <.

Melancum. Betulinum, Schm. et Kze.
Conidie de Melanconis Stilbostoma.

15-18 — G 1/9-8 1/9 (goutt. 4).

Tas subeutanés, coniques-discoïdes, noirs; conidies obovoïdes, avec
tuniques épaisses, subacutées du dessous.
Sur rameaux morts du bouleau. Z. arg. sablon.

Melancum. Juglandinum, Kze.
Melanconium Ovatum, Auct. p. p.

25 — 15 (granuleuses).

Melançeum. Magnum, (Grev.) Berk.

25-37 1. long.

Tas rassemblés, occupant finalement tout le tronc; conoïdes ovoïdes;
cirrhe.

Sur le tronc abattu de charme.

Melanecum. Desmazieri, (B. et Br.) Sacc.
Discella Desmazieri, B. B.

30-335 — 6-10 (goutt. 3); basides 50-60 — 1 1/9.

Melancum. Secalis, Lib.

Tas très petits, globuleux, érumpents par fissures de l’épiderme ; conidies
ovales, simples; cirrhe.

Sur chaume de seigle. Z. arden. (Libert.)

( 166 )

GENRE : THYRSIDIUM, Mont.

Thyrsid. Botryosporum, Mont.

Cheirospora Botryospora, Fr.
3—21)-3.

Sous-Famize [I : DIDYMOSPORIEÆ ou DIDYMOSPORÆ.
HYALODIDYMÆ.
GENRE : MARSONIA, Fisch.
Correspond aux Ascochyta, Glæosporium, Hyalodidymæ.

Tas couverts, pâles, biogènes, ordinairement foliicoles; conidies hyalines.

Microsp. et Macrosp. Sp. 1, > <. Sp. !/, >.

Mars. Truncatula, Sacc.

Ascochyta Aceris, Lib.

Mars. Populi, (Lib. Sacc.
Asteroma Labes, Berk.

Glæosporium Populi, Mont. (Lib.).

Mars. Castagnei, (Desm.) Sacc.
18-20 — 7-8.

Tas sur des taches orbiculaires, confluentes, brunes; conidies oblongues
en massue, courtement pedicellées ; cirrhe blanc de neige.
Sur feuilles languissantes de Populus alba. Z. arg sablon.

Mars. Juglandis, (Lib. Sacc.
Glæosporium Juglandis, (Lib.) Mont.

20-25 — 5.

(167 )

Mars. Potentillæ, (Desm.) Fisch.

Glæosporium Dryadearum, Desm.

20-25 — 7-9 (goutt. 4).

Tas lenticulaires, päles, couverts ; taches subcireulaires, sanguines ; coni-
dies oblonsues-fusoïdes, courbées en faulx, subrostrées du dessus.

Sur feuilles de potentilles. Partout.

PHÆODIDYMÆ.
GENRE : DIDYMOSPORIUM, Ness.

Tas noirs, érumpents, saprogènes.

Sp. ‘2 <-

Correspond au Diplodia.

Sous - FAMILLE IV : STILBOSPOREÆ ou PHRAGMOSPORÆ.
PHÆOPHRAGMIÆ.

GENRE : STILBOSPORA, Pers.
Correspond aux Hendersonia.

Tas noirs, non érumpents; conidies mutiques, noircissant l’épiderme par
leur prompte sortie.

Macrosp. Sp. Ja <.
Stilb. Angustata, Pers.
Conidie de Pseudovalsa Macrospora.

33-45-50 — 10-11 ; paraphyses 100-150 — 1-9 (3 septées).

( 168 )

GENRE : CORYNEUM, Nees.

Tas noirs, érumpents; conidies mutiques, ne se désagrégeant pas pour
salir.
Correspond aux Hendersonia.

Macrosp Sp. ], > < à la €

<<
Coryn. Microstictum, B. et Br.
15-17 — 5-6 1) (sept. 3); basides 20-25 — 1 1).
Tas couverts; strome à peine marqué; conidies subpiriformes ou
oblongues, obtusiuseules, loge extrême subhyaline, les autres loges couleur

miel.
Sur rameaux de Rosa, Rubus, Cratægus. Z. arden. et arg. sablon. Hiver.

Coryn. Notarisianum, Sacc.
Coryneum Disciforme, Cda.

43-50 1. long. (sept. 5-6).

Coryn. Umbonatum,. Nees.

42-50 — 16-18 (sept. D-8).

Variété Prunorum, Sacc.

40-45 — 16 (sept. 7-9).

Conidies non resserrées, d’un brun sombre ochré, apiculées, subhyalines
au sommet.

Sur rameaux de Prunus. Z. arden.

Coryn. Fusarioïdes, Sacc.

45 — 6 (sept. 7-8) (goutt. 7).

Tas rassemblés, érumpents, pulvinés, tuberculeux variés; conidies
fusoïdes en faulx, aiguës, comme enfumées; loges extrêmes hyalines.

Sur rameaux du noyer. Z. arden, et cale.

Se rapproche beaucoup de l'#endersonia Fusarioïdes, Sacc.

LA

( 169 )

Coryn. Disciforme, Kze.
Spermogonie de Pseudovalsa Lanciformis, Ces.

50-60 — 14 (sept. 9-7).

Tas disciformes, aplatis; conidies en massue, à noyaux cuboïdes; basides
filiformes; paraphyses.
Sur rameaux de tilleul, de chêne. Z. arg. sablon.

Coryn. Compactum, B. et Br.

50 — 18 (sept. 4-5).

Tas petits, couverts, puis nus; strome convexe; conidies largement fusi-
formes, pédicellées, légèrement obtuses avec noyaux en chainettes.
Sur branches d’orme. Z. arden. Hiver.

Coryn. Kunzei, Cd.

Coryneum Disciforme, Nees.

60-70 — 12-14 (sept. 6) (goutt. 7).

Variété Castaneæ, Sacc.

50-32 — 10-12 (sept. à).

Sur l'écorce de Castanea. Z. arden.

Coryn. Pulvinatum, Künze et Schm.

(Sept. 4-5); basides 75 1. long.

Tas arrondis, patellés, convexes, érumpents, entourés par l’épiderme;
_ conidies fusoïdes-oblongues, obtuses, légèrement resserrées, brunes.
Sur branches de Tüilia parvifolia. Z. arg. sablon.

12

(170)

GENRE : SCOLECOSPORIUM, |k.
Correspond aux Hendersonia.

Spermogonie de Massaria Macrosperma.

Noirs, érumpents; conidies courbées, rostrées, plus pâles au sommet qui
est mutique.

Scolecos. Fagi, Lib.

100-190 — 12-15 (goutt.) (sept. 7-12).

GENRE : ASTEROSPORIUM, Kunze.

Correspond aux Prosthemium.

Noirs, érumpents; conidies lobées ou disposées en étoile, mutiques.

Asteros. Hoffmanni, Kunze.

3 à 4 rayons de 253 — 46 (sept. 3); basides 35-45 — 2.

GENRE : PESTALOZZIA, De Not.

Se rapproche des Darluca (foliicoles surtout).

Noirs, érumpents; conidies à un ou plusieurs cils au sommet.

Macrosp. Sp. 4, > & à Sp. > <.
Pestaloz. Monochæta, Desm.

10 — 4 (4 loges, 2 hyalines, 2 sombres); rostre 5-6 uw. long, droit.

Tas noirs; taches variées, stériles; conidies fusoïdes avec stipe hyalin
18-20 p. long.

Variété Libertiana, Sacc.

45 — 4-5 (sept. 3); rostre 6 — 1/9, oblique.

Sur rameaux de Sambucus. Z. arden.

(171)

Pestaloz. Intermedia., Sacc., Bom. et Rouss.

43-15 — 4-5 (sept. 3), cil tortueux 13-21 11.; basides 24-29 y. long.

Tas cupuliformes, groupés, érumpents, par séries entre les fibres des
bois; conidies ellipsoïdes, loges extrêmes hyalines, loges médianes d’un
olivacé pellucide.

Sur vieux rameaux de Rosa pomifera. Z. calc.

Pestaloz. Truncata, Lev.

Pestalozzia Truncatula, (Cda.) Fckl.

16-17 — 9 (sept. 1) tronquée; cils 2-4.

Tas rassemblés, globuleux-déprimés, érumpents; conidies oblongues,
les deux moyennes plus grandes, cuboïdes, fuligineuses, gouttelées; les
deux extrêmes hyalines {rès minces (cils et baside filiforme).

Sur rameaux de Prunus. Z. arden. et arg. sablon.

Variété Lignicola, Cke.

Sur éclats de bois en compagnie de Lasiosphæria hispida. Z. arg. sablon.

Pestaloz. Guepini, Desm.
20 Lu. long. (sept. 3-4); cils 3-4.
Pestaloz. Conigena, Lev.

20-24 — 6-7 1}, (sept. 4; cils 3-4.

Pestaloz. Rosæ, West.

20-35 — 10 (sept. 3); cils 2-3.

Pestaloz. Castagnei. Desm.

22-25 pi. (sept. 4); cils 5.

(172)

Pestaloz. Funerea, Desm.

22-32 — 6-8 (sept. 6); cils 2-5 de 10-15—0,7-1 ; bas. 5-9—1-1 1/9.

Pestaloz. Calabæ, West.

30 — 10 (sept. 3); cils 2 de 10 x. long.

Pestaloz. Pezizoïdes, De Not.

33-40 — S-9 (sept. 6); cils 5-7.

Tas rassemblés ou épars, érumpents, disciformes, puis seutellés-pezi-
zoïdes; conidies fusoïdes, cinq loges, loges médianes sombre-brun, les deux
extrêmes hyalines; stipe 50-60 = 1 /,.

Sur sarments de vigne. Z. arden.

Pestaloz. Hypericina, Ces.
(3 sept); cils 2 à chaque extrémité.

Tas linéaires, s’ouvrant souvent par fissures; noyau pâle; conidies
courbes, pellucides.
Sur les tiges de l’Hypericum perforatum. Z. arg. sablon.

HYALOPHRAGMIÆ.

GENRE : PROSTHEMIELLA, Sacc.
Correspond au genre Prosthemium.

Érumpents, couleur agréable; conidies cylindracées, réunies en étoile à
la base.

Prosthella. Formosa, Sacc.

3-8 rayons; 40-453 — 4 (septées).

Tas convexes-pulvinés, longtemps couverts, noirs à la base, couleur or
agréable au disque; conidies souvent toruleuses, granuleuses,
Sur rameaux du hêtre. Z. arden. (Libert.)

(175)

Sous-FAMizzE V : STEGANOSPORIEZÆ ou DICTYOSPORÆ.
PHÆODIDY Æ.

GENRE : STEGANOSPORIUM, Cda.
Correspond au genre Camarosporium.

Noirs, érumpents; conidies solitaires; souvent des paraphyses.

Macrosp. Sp. ‘/, <.
Steganos. Cellulosum, Cda.

32-34 p. long. (5-7 sept.) (murif.).

Steganos. Piriforme, (Hoffm.) Cda.

35-40 — 13-18 (sept. 4-6) (1 sept. longitud. ou murif.); basides
40-50 — 2-3.

Steganos. Compactum, Sacc.

50 — 20 (sept. 3-6) (murif.).

Tas aplatis-pulvinés, compacts, à base emboîtée dans le bois; conidies
fasciculées, oblongues, ou en massue, resserrées aux cloisons, d’un fuligi-
neux couleur cannelle.

Sur rameaux morts d'orme. Z. arg. sablon.

Steganos. Muricatum, Bon.

(5-7 sept.) (murif.).

Tas couverts, ovoïdes, entourés d’un mycelium filamenteux; conidies
oblongues-ovoides, resserrées aux cloisons, terminées par une baside fili-
forme; cirrhe noir.

Sur rameaux du Betula. Z. arg. sablon.

(174)

Sous-FaMIiLeE VI: NEMOSPOREZÆ ou SCOLECO-ALLANTOSPORÆ

GENRE : CRYPTOSPORIUM, Cd.

Tient le milieu entre les Cytosporina et Fusicoccum pour
les ramicoles; correspond au Septoria-Phleospora pour
les foliicoles.

Gris ou noirs, érumpents, réguliers; conidies fusoïdes, courbées.
Sur les plantes pourries.

Cryptosp. Hysterioïdes, Cda.

6,2-6,8 1. long. (Fckl. sept. 1.).

Tas oblongs, érumpents, noirs; conidies oblongues, blanches, À — septées.
Bom. et Rouss.
Sur rameaux morts de saule. Z. arg. sablon.

Cryptosp. Epiphyllum, C. et Ellis.

28-40 — 4 (nobis sept. 3).

Tas en petites ‘pustules d'un jaune pâle; noyau hyalin; taches d’un
ochracé sombre; conidies fusoïdes, courbées en lune.

Sur feuilles de Castanea. Z. arden.

Cryptosp. Neesii, Cda.
50 — 5-6 (granuleuses).
Variété Betulinum, Sacc.

50 — 4-5.
Cryptosp. Coronatum, Fckl. (Voir F1. de Belg., t. H, p. 364.)

Conidie de Cryptosporella Populina (p. 363).

a",

(175 )

Cryptos. Nigrum, Bon.

Pustules petites, noires, avec un pore largement ouvert; taches sombre-
brun; conidies suboblongues, fusiformes, hyalines et subcourbées.
Sur feuilles mortes du noyer, avec le Marsonia juylandis. Z. arg. sablon.

Cryptos. Viride, Bonord.

Tas d'un sombre vert; pustules convexes, arrondies, à pore simple,
ouvert; conidies longues, fusiformes, obtusiuscules, pellucides, légèrement
verdâtres.

Sur feuilles d'Ægopodinm. Z. arden.

GENRE : CYLINDROSPORIUM, Ung.

Correspond aux Septoria.

Pâles, couverts, subétalés; conidies filiformes.
Sur feuilles.

Macrosp. Sp. 1], <.
Cylindrosp. Alismacearum, Sacc.
18-21 — 2 1) (Bom., Rouss.).

30 — 11/-2 (goutt.).

Tas punctiformes, subeutanés, érumpents; conidies bacillaires, sub-
courbées.
Sur les feuilles de l’Alisma nalans. Z. camp.

Cylindrosp. Niveum, B. et Br.

50 L. long. (1 sept.).

Taches nombreuses souvent confluentes, marginées de brun; conidies
blanches, oblongues, légèrement pédicellées.
Sur les feuilles vivantes de Caltha palustris. Z. arg. sablon.

(476 )

GENRE : LIBERTELLA, Desm.

Correspond aux Cytospora.

Agréables, difformes, érumpents avec cirrhe; conidies filiformes, longues,
courbées.

Sur plantes pourries.

Macrosp. Sp. |, <«

Libert. Acerina, West.
20-25 L.

Libert. Taleola, Sacc.

Conidie de Diaporthe Taleola.
20-30 — 4.

Tas suborbiculaires, plans, couleur de chataigne, charnus, rosés intérieu-
rement, rassemblés, souvent entourés par une ligne noire; conidies cylin-
dracées, aiguës, arquées.

Libert. Faginea, Desm.

Nœmospora Crocea, Pers.?
30-335 — ?.

Libert. Alba, Lib.

Libertella Macrospora, West.
40-60 — 5.

Libert. Betulina, Desm.

Spores un peu plus courtes que celles du Faginea.

GENRE : NÆMOSPORA, Pers.
Se rapporte aux Cytospora.
Agréables, difformes, longtemps couverts; conidies allantoïdes, courtes.
Sur plantes pourries.
Microsp. Sp. |, >.
Næmos. Microspora, Desm.

Conidie de Diatrype Stigma.

4-5 — 11); basides 24-28 — 1 1/9.

(177)

Næmos. Croceola, Sacc.
5-6 — 3/,-1.

Tas sous-cutanés, pulvinés, composés de plusieurs noyaux, d’un beau
jaune orange; conidies botuliformes; cirrhe succin; basides verticillées-
rameuses.

Sur rameaux de chêne, frêne. Z. arden,

Næmos. Populina, Pers.

Conidie de Vaisa Populina.
S—11).

Strome noirâtre, subeutané, conique-aplati; cirrhe flave ; conidies cylin-

dracées, courbées.
Sur rameaux de Populus nigra.

Næmos. Westendorpii, Sacc.

Libertella Microspora, West.
10 y. long.

Tas bullés, couverts par l’épiderme irrégulièrement crevassé, d’un
orange rouge; conidies filiformes, courbées.
Sur les rameaux du chêne. Z. arg sablon.

B. Spores en chaïnettes.

Sous-Famizze VI : HYPODERMIEZÆ ou HYALOSPORÆ.
GENRE : HYPODERMIUM, Lk.

Petits tas noirs, durs, hystéroïdes, sous-cutanés-érumpents; conidies sor-
tant d’une couche proligère celluleuse d'un sombre olivacé.

Macrosp. Sp. 'L >.

Hypoderm. Sparsum, Lk.
Schizoderma Sparsum, (Lk.) Duby.

Con. 40-20 — 6-8 (goutt. 4-6).

Petits tas érumpents, oblongs, pulvinés, noirs, entourés par l'épiderme ;
conidies ovées-oblongues, obtuses.
Sur feuilles de Pinus silvestris. Z. arden.

(178 )

Hypoderm. Sulcigenum, Lk.

Schixoderma Sulcigenum, Duby.

Con. 20 y. long.

Petits tas linéaires et oblongs, d’abord couverts par l’épiderme soulevé,
puis sombre-brun; ils remplissent les sillons de l’épiderme déchiré.
Sur feuilles vivantes de Pinus silvestris. Z. arg. sablon.

Hypoderm. Nervisequum, Lk.
Schizoderma Nervisequum, Duby.

Petits tas linéaires suivant les nervures des feuilles, couverts, puis érum-
pents; conidies ?
Sur feuilles de sapin. Z. arg. sablon.

GENRE : BLENNORIA, Fr.

Sombre brun, compacts, discoïdes, puccinoïdes ;. basides très rameuses,

dichotomes; conidies bacillaires, courtes, subhyalines.

D

Microsp. et Macrosp. Sp. |, > à 1, > <.
Blenn. Buxi, Fr.

Con. 12-15 — 21-38 (goutt. 2).

GENRE : AGYRIELLA, Sacc.

Petits tas gélatineux, noirs, pulvinés, indurés ; conidies acrogènes, cylin-
dracées, courtes; basides verticillées-rameuses; rameaux conidiophores en
tête.

Agyriel. Nitida, (Lib.) Sacc.

Agyrium Nilidum, Lib.
Con. 3-4 — 1j).
Petits tas luisants, déprimés, pulvinés, assez grands ; basides en faisceaux ;
conidies subeylindracées, courbées, d’un olive très dilué.
Sur les sarments de ronces. Z. arden.

(179)

PHÆOSPORÆ.
GENRE : THYRSIDIUM. (Voir page 166.)

Conidies globuleuses et oblongues en chaine et verticillées en tête, au
sommet des basides.

PHÆODIDYMÆ.
GENRE : BULLARIA, D. C.

Noirs, couverts; conidies réunies en chaîne par des isthmes hyalins.

Bull. Umbelliferarum, D. C.
Didymosporium Bullatum, Fr.

16-18 ;. long. (goutt. 2).

Groupe II (Petits tas, à marge soyeuse).
HYALOSPORÆ.
GENRE : COLLETOTRICHUM, Cda.

Noirs, érumpents, entourés de soies noires.

Macrosp. Sp. !;, > <.
Colletotri. Glœosporioïdes, Penz.

Con. 16-18 — 4-6; basides 18-95 — 4-5.

Tas épars, érumpents, déprimés, noirs; soies noires, peu septées; conidies
cylindriques, droites, granuleuses.
Sur feuilles de Rudbeckia laciniata. Z. arden. et arg. sablun.

Colletotri. Lineola, Cda.

Con. 23-38 — 3 1/,-4 (goutt. 3).

Pseudo-conceptacles, couverts de poils disposés par séries, cuspidés, plus
pâles au sommet; conidies fusoïdes, arquées, aiguës.

Sur les graminées. Z. arden.

( 180 )

HYPHOMYCÈTES.

Des spores et des hyphes plus ou moins distinctes.

Fame 1 : TFORULACEZÆ,

(Aspect de taches poudreuses ou farineuses.) Hyphes à peine distinctes
des spores.

HYALO-TORULACEÆ.

A. Conitdies libres.
SOUS-FAMILLE : CHROMOSPORIEÆ.
AMEROSPORÆ.

GENRE : CHROMOSPORIUM, Sacc.

Gymnosporium, Cda.

Hyphes subnulles; saprogènes.

Microsp. Sp. !L > à 5, >.
Chromos. Malvacearum, (West.) Sacc.

Con. 3 — 21).
HELICOSPORÆ.

Conidies roulées en spire, cylindracées, subseptées, hyalines ou légère-
ment colorées.

GENRE : HELICOMYCES, Lk.

Conidies tournées en spirale, subhyalines, à gouttes ou faussement septées.

Helicom. Roseus, Link.

Con. 160-180 — 6 igoutt. 14-20).

Hyphes noduleuses au sommet, sporigères; conidies vermiculaires, ar-
rondies, roses.

Sur bois de hêtre. Z. arg. sablon.

(181)

PHRAGMOSPORÆ.
GENRE : MASTIGOSPORIUM, Riess.

Hyphes stiptiformes, continues; souvent à conidies fusoïdes, 3 septées,
porteuses de soies au sommet et à la cloison ultime.

Mastigos. Album, Riess.

Con. 55 — 12 (sept. 3); trois cils 4 — 14.

Petites touffes blanches sur une tache d’un noir brunâtre; conidies
fusoïdes, avec stipe court.
Sur les feuilles d’Aira cæspilosa. Z. arden. (Libert).

B. Conidies catenulées.

SOUS-FANILLE : OOSPOREÆ.

SAPROGÈNES.
I. — CONIDIES DE GLOBULEUSES A FUSIFORMES.

AMEROSPORÆ.

GENRE : OOSPORA, Sacc.

Microsp. ‘], < à 1 < et Macrosp. !], >.
Spores subglobuleuses ou suboblongues.

Oos. Perpusilla, Sacc.
Con. 0.,7-1,3 He

Petites touffes blanches, confluentes ; conidies globuleuses, hyalines.
Sur le fumier des daims. Partout.

Oos. Virescens, (Lk.) Walir.

Con. 6-7 — 2 1-8.

( 182 }

Oos. Roseola, Sacc.
Con. 6-8 — 4-5.
Petites touffes, étalées, subroses, subpulvérulentes; conidies ovoïdes-
oblongues.

Variété Tele.
Con. 3 — 2.

Sur chiffons humides. Z. arden. (Libert)
Ooes. Crustacea, (Bull.) Sacc.
Torula Sporendonema, B. et Br.

Con. 6-8 p.. diam.

Oos. Trigonospora, March.

Con. 7,8-9 1. diam.

Petites touffes largement étalées, blanches; conidies très copieuses, quel-
quefois légèrement stipitées, hyalines, souvent en chaïnette.

Sur fumier de lapin. Z. arg. sablon.

Oos. Boseo-Flava, Sacc.

Con. 8-10 — 2 1-3 (goutt. 2).
Petites touffes étalées, subpulvérulentes, d'un rose jaune; conidies
oblongues, fusoïdes ; rameaux fertiles, dressés, continus 40-45 = 4-4}.
Sur feuille desséchée d'orchidée exotique. Bruxelles.

Oos. Grandiuseula, Sacc. et March.

Con. 42 1-14 — 7 1/9-10.
Petites touffes blanches, minces, étalées; conidies ovoïdes, tronquées.

Sur le fumier. Z. arg. sablon.

Oos. Inæqualis, (Cd.) Sacc.
Torula Inæqualis, Cd.

Con. 43 — 9 avec un hyle.

(185)

Oos. Sulphurea, (Preuss.) Sacc.

Petites touffes étalées, sulfureuses, arachnoïdes: conidies ovées, sulfu-
reuses.
Sur écorce pourrie. Z. arden.

Oos. Chrysosperma, (Cd.) Sacc.

Torula Chrysosperma, Cd.

Oos. Fasciculata. (Berk.) Sacc.

Oidium Fasciculatum, Berk.

Oos. Fulva, (Kze.) Sacc.

Oidium Fulvum, (Kze.) Lk.

Oos. Abhortifaciens, (Berk.) Sacc.

Oidium Abortifaciens, Kickx.

Oos. Ovalispora Berk.) Sacc.

Torula Ovalispora, Berk.

GENRE : FUSIDIUM, Lk.
Microsp. |, > < à}, < et Macrosp. |, <.
Conidies fusiformes.

Fusid. Parasiticum, West.
Con. 20 — 5.

Petites touffes, d’abord gélatineuses, puis subpulvérulentes, blanches.
Au sommet des stromes stériles de Xylaria cornuta. Z. arg. sablon.

Fusid. Sulphureum, (Schl.) Lk.

Conidies fusiformes, petites, courbées, assez épaisses.
Sur les tubercules pourris de pommes de terre. Z. arg. sablon.

(184 )

Fusid. Griseum, Lk.

Mycelium mince, évanescent; conidies droites, fusiformes, atténuées, pel-
lucides, sur une couche grise et mince.
Sur les feuilles de Quercus, tombées à terre. Z. arg. sablon.

GENRE : MONILIA, Pers.
Hyphes distinctement rameuses; conidies assez grandes, souvent en forme
de citron.

Microsp. et Macrosp. 5], < à 1 <.
Moni. Candicans, Sacc.

Con. 153 — 9-10.

Petites touffes floconneuses, d’un blane jaunâtre ; hyphes fertiles dressées,
articulées, vaguement rameuses du dessus; conidies légèrement jaunes.

Sur bois et écorces. Z. arden.

Moni. Aurea, (Lk.) Gmel.

Oidium Aureum, Lx.
Con. 206 — 12.

Moni. Fructigena, (Pers.) Sacc.
Oidium Fructigenum, Lk.

Con. 253 — 10-12.

Moni. Libertiana, Roumeg, n° 22, p. 107 (semble être
un Bispora).

Filaments étalés d’un noir olive, renflés à leur extrémité supérieure d’où
partent les chapelets acrosporiens; conidies ovoïdes, hyalines, puis enfu-
mécs; À — septées.

Sur les tiges pourrissantes du choux rouge. Z. arden. (Libert).

(185)

GENRE : GEOTRICHUM, Lk.

Conidies cylindriques ou cuboïdes; hyphes manifestes, septées.

Microsp. 5], < à 1.
Geotrich. Cinnamomeum, (Lib.) Sacc.
Trichothecium Cinnamomeum, Lib.

Con. 3-5 — 4 (goutt. 4).

Taches étalées, subvcloutées, couleur cannelle; hyphes 5'/,-4 p.; coni-
dies subcuboïdes.
Sur fragments de bois, de feuilles. Z. arden. (Libert.)

GENRE : CYLINDREUM, Bon.

Conidies bacillaires ; hyphes à peine manifestes.

Microsp. et Macrosp. |, > <.

Cylind. Luzulæ, (Lib.) Sacc.

Psilonia Luzulæ, (Lib.).
Con. 5-6 — 1.

Petits tas pulvinés, compacts, blancs; conidies cylindriques-tronquées.
Sur feuilles de Luzula maxima. Z. arden. ct arg. sablon.
Cylind. Flavo-Virens, (Ditm.) Bon.
Fusidium Flavovirens, Ditm.

Con. 14-15 — 3.

Cylind. Griseum, Bon.

Fusidium Griseum, Lk.
Con. 13-18 — 2.
13

( 186 )

Cylind. Elongatum, Bon.

Con. 13-18 — ? (goutt. 1 à chaque extrémité).

Petites touffes, lâches, blanches; chaincties flexucuses, cylindracées,
fusoïdes.
Sur feuilles pourries, surtout chêne, saule ct hêtre. Z, arden.
PHRAGMOSPORÆ.
GENRE : SEPTOCYLINDRIUM, Bon.

Macrosp. Ordinairement ‘/, €.

Septocylind. Bonordenii, Sacc.

Cylindrium Septatum, Bon.

Con. 30-40 — 4 ; à la fin (sept. 2-4).

BIOPHYLES.

AMEROSPORÆ.

GENRE : OIDEUM, Lk.
Microsp. |, > € à 1 et Macrosp. |, > Là, > <.
Oïd. Leucoconium, Desm.

Con. 20-30 — 13-16.

Petites touffes blanches, bien ctalées.
Sur les rosiers. Partout.

Oïd. Monilioiïides, Lk.
Con. 25-30 — 8-10.
Oïd. Tuckeri, Berk.

Con. 23-30 — 15-17.

(187 )

Oïd. Erysiphoiïdes, Fr.

Con. 30-40 — 13-20.

Larges touffes blanches indéterminées, d'un aspect rose.
Sur les feuilles des plantes de plusicurs familles. Partout.
PHÆO-TORULACEÆ.

A. Conidies libres, ou réunies à la base.

Sous-FAMILLE : CONIOSPORIEZÆ.
AMEROSPORÆ.

GENRE : CONIOSPORIUM, Lk.

Papularia, Fr.; Gymnosporium, Pers.

Conidies globuleuses, discoïdes, ou ovoïdes.

Microsp. et Macrosp. Sp. ’/, > à le plus souvent 1.

Conios. Buxi, West.

Con. 3-10 uv. long.

Petites touffes ctalécs, indéterminécs, érumpentes, d'un noir brun; coni-
dies globuleuses, puis ovoïdes ou piriformes.
Sur rameaux dejctés de buis Z. arg. sablon.

Conios. Rhizophilum, (Pr.) Sacc.

Con. 8-10 p. globuleuses.

Conios. Arundinis, (Cda.) Sacc.

Con. 8-12 y. diam. 4-6 p. épais (goutt. 1).

Petites touffes allongées, scriécs d'après les fibres de la tige; pseudo-
strome jaunâtre; conidics lenticulaires ou subanguleuses, noires.
Sur les chaumes du ’hragmiles communis. Z. arg. sablon.

(188 )

DIDYMOSPORÆ.

GENRE : DICOCCUM, Cda.

Hyphes simples très courtes.

Microsp et Macrosp. Sp. ‘}, > à 5, >.
Dicocc. Minutissimum, Cda.

Con. S-10 — 6 (sept. 1).
Touffes punctiformes, noires; conidies obovoïdes, d’un noir fuligineux.
Sur bois dénudé. Z. arden.

PHRAGMOSPORÆ.
GENRE : CLASTEROSPORIUM.

Conidies séparées, cylindriques; saprogènes.

Macrosp., général 1}, € quelquefois {/, > à {/, > <.
Clastcros. Opacum, (Cda.) Sacc.

Con. 15-40 1. (Sept. 3-5).
Étalé, très noir, opaque; conidies polymorphes, peu stipitées, resserrées
aux cloisons, brunes, puis noires; hypostroma jaunâtre.
Sur le bois pourri. Z. arg. sablon.

Clasteros. Gibbum, Sacc. Bom. et Rouss.

Con. 453 — 7-8 (sept. 2).
Étalé, mince, velouté, noir; conidies oblongues, arquées-gibbeuses, non

resserrécs, opaques.
Sur les feuilles d’Araucaria imbricata pourries. Z. arg. sablon.

Clasteros. Fungorum, Fr.) Sacc.

Epochnium Fungorum, Fr.

Con. 25-28 — 8 (sept. 3-4).

(189 )

_Clasteros. Bulhophilum, (West.) Sacc.

Sporidesmium Bulbophilum, West.

Con. 80 — 40 (sept. à).

Clasteros. Atrum,

Sporidesmium Atrum, Lk.

Con. 60-65 1. long. (sept. 3).

Clasteros. Eruca, Sacc. Bom. et Rouss.

Con. 63-70 — 11-14 (sept. 13-16).

Étalé, mince, subpulvérulent, noir; conidies fusoïdes-cylindracées, sou- .
vent courbées, très courtement stipitées, non resserrées, d’un noir fuligineux,
arrondies du sommet.

Sur le bois pourrissant de l’Ulmus. Z. arg. sablon.

Clasteros. Sparsum, (Fres.) Sacc.

Con. 400-200 uv. long. (sept. 12-13).

D'un noir brunâtre; conidies cylindracées fusoïdes, obtusiuscules, très
courtement stipitées, d’un brun pâle, resserrées-toruleuscs.

Sur tiges de l’Ur/ica dioica. Z. arg. sablon.

Clasteros. Hormiscioïdes, Sacc.
Sporidesmium Hormiscioides, Cda.

Con. 150-180 — 12-15 (sept. 35-45).

Étalé, velouté, noir; hyphes fertiles, ochracées 20-30 — 6; conidies
vermiculaires, septées, tortueuses, fuligineuses, article du sommet subenflé.
Sur rameaux de buis avec {elminthosporium macrocarpum.Z. arg. sablon.

Clasteros. Caulicolum, (Cda.) Sacc.

(Sept. 7-8.)
Etalé, noir; conidies subfasciculées, fusoïdes-cylindracées, fuligineuses,
légèrement resserrées.

Sur les tiges d’ombellifères avec l’Helminthosporium rhopaloïdes. Z. arg.
sablon.

( 490 )

Clasteros. Tenuissimum, (Nees.) Sacc.

(Sept. 3-d.)

Hyphes simples, très tenues, d’un noir olive; conidies rassemblées à la
base, lancéolécs en massue, olivacées.

Sur les tiges herbacées. Z. arg. sablon.

GENRE : CRYPTOCORYNEUM.

Conidies fasciculées de la base, cylindracées.

Macrosp. Sp. |, <.
Cryptocory. Fasciculatum, Fckl.-

Con. 76 — 2 (sept. 15).

Petites touffes planes, orbiculaires ou allongées, noires; conidies pali-
formes, non resserrées. È
Sur les rameaux morts du lilas, du frêne et du cornouiller. Z. arg. sablon.

DICTYOSPORÆ.

GENRE : SPORODESMIUM, Lk.

Chaines de conidies ne se détachant pas.

Macrosp. Sp. ‘!, > < généralement ‘}, € à 5, > <.
Sporodes. Trigoncilum, Sacc.

Con. 18-20 — 12-13 (muriforme).
Rassemblé, punctiforme, noir ; conidies subtrigones, avec angles 3-4—sep-
tés, apiculés, hyalins, le reste d'un fuligineux cendré, à stipe court.
Sur l’écorce d’Ailanthus. Z. arden.

Sporodes. Myrianum, Desm.

Con. 20-30 — 10-15 (muriforme).

bo

(19H)

Sporodes. Polymorphum, Cda.

Con. 40-50 — 25-30 (muriforme).

Petites touffes noires, étalées, pulvérulentes, conidies ovoïdes, anguleuses,
d’un noir brunâtre; sporophore court.
Sur bois. Z. arg. sablon.

Sporodes. Piriforme, Cda.

Con. 28-30 u. long. (loges 2-4).

Etalé, noir, espèce de croûte; conidies obovées, brunes; sporophore hya-
lin, court.

Sur une planche pourrie. Z. arg. sablon.

Sporod. Mclanopodum, (Ach.) B. Br.

Petites touffes amples, noires; conidies subglobulcuses, pluriseptées ;
sporophore variable.
Sur l'écorce de pommier. Z. arden.

B. Conidies empaquetées, de formes diverses, quelquefois disposées

en séries parallèles.

Sous-FAMILLE : CONIOTHECIEÆ.
AMEROSPORÆ.
GENRE : ECHINOBOTRYM, Cda.

Spores agglomérées d’une manière étoilée ou rameuse, ovoïdes-piriformes,
unies ou aspérulées. :

Microsp. Sp. ‘} >.
Echinobo. Atrum, Cda.

Con. 10-12 — 6-S.

Conidies obpiriformes, subrostellécs du dessus, muriculées, d’un sombre
brun, plus pâles du dessus, rassemblées en glomérules étoilées.
Sur le stipe de Stysanus. Z. arden. Sur crottes de lapin (Marchal).

(192)

DICTYOSPORÆ,

GENRE : CONIOTHECIUM, Cda.
Conidies empaquetées, généralement agglomérées (muriformes), quelque-

fois de formes diverses.

Surtout Microsp. de !}, > à 5, > à 1.

Coniothe. Conglutinatum, Cd.

Con. 4-3 11. diam.

Coniothe. Betulinum, Cd.

Con. 4-6 1. diam.

Conioethe. Epidermidis, Cd.

Con. 40 y. diam.

Petites touffes rassemblées, posées transversalement, érumpentes, noires;
conidies subglobuleuses, sombres, irrégulièrement conglobées.
Sur les jeunes rameaux de Sorbus aucuparia. Z. arg. sablon.

Coniothe. Helicoïideum, Sacc.

Con. 10-11 — 5.

Points noirs, confluents ; conidies polymorphes, ordinairement rassemblées
en sphère, fuligineuses.
Sur les feuilles de graminées. Z. arden. (Libert.)

Coniothe. Amentacearum, Cd.

Con. 13-24 u. diam.

Coniothe. Effusum, Cd.
Sporidermium Lepraria, Berk.
Con. 8-4 — 8-4.

Noir, largement étalé; conidies subglobuleuses, sombres, rassemblées en
globes irréguliers.
Sur le bois. Partout.

(195)

Coniothe. Toruloïdes, Cda.
Petits tas pulvinés, assez compacts; conidies agglomérées ou en chaînettes
variées, fuligincuses, subsphéroïdes.
Sur les rameaux décortliqués d’Abies eæcelsa. Z. cale.

GENRE : DICTYOSPORIUM, Cd.

Conidics ovoïdes ou cordiformes, formées de loges en chaïncttes, dispo-
sées parallèlement et ne se disjoignant pas.

Dictyos. Elegans, Cda.

Loges ou cellules 33-60 14. long.

Expixyle, noir, étalé, conidies en forme de langue; cellules jaunes, dia-
phanes, disposées en cinq séries, à parois assez épaisses, sombres.
Sur le bois pourri. Partout.
GENRE : SPELIRA, Cda.
Mêmes caractères que Dictyosporinm, sauf que les conidies se disjoignent.
Spcira Toruloïides. Cda.

Con. 50-60 — 9-7 (sept. 7) (goutt.); 6 à 7 séries de conidies
articulées; chaque article 8-9 1. diam.

C. Conidies réunies en chaënettes simples ou disposées par séries.
Sous-FAMiLLE : TORULEÆ.
AMEROSPORÆ.

GENRE : TORULA, Pers.

Conidies globuleuses ou ovoïdes, se séparant facilement.

Microsp. !|, > à 1.

I. EU-TORULA.
Conidies unies.

Torul. Graminis, Desm.

Con. 3-6 p. diam.

(19%)

Torul. Herbarum, Lk,

Con. 6-7 pu. diam.

Torul. Monilioïdes, Cd.

Con. 6-7 — 3-4.

Petites touffes noires; conidices ovoïdes, réunies en chainettes dressées.
Sur les rameaux et le bois pourri. Partout.
Torul. Antennata, Pers.

Con. 10-13 — 3-4 (goutt. 1-3).

Torul. Tenera, Lk.

Mycelium mince; chaines fragiles, noires; conidies globuleuses, inégales,
brunes.
Sur rameaux morts. Z. arg. sablon.

Toruil. Abbreviata, Cd.

Chaines de 3-4 spores.

Petites touffes confluentes; conidies globulenses, petites, d’un gris sombre.
Sur les feuilles du Carex pseudo-cyperus. Z. arg. sablon.

Torul. Cæsia, (Fuck.) Sacc.
Alysidium Cœsium, Fckl.
Petites touffes confluentes, bleues extéricurement, noires à l'intérieur;

conidies en chaines rameuses, ovées, sombre-brun à une goutte.
Sur les rameaux de Sambucus nigra. Z. arg. sablon.

Torul. Cylindrica, Berk.

Étalé, noir; conidies rassemblées par quatre entre des hyphes courtes,
égales, cylindriques.
Sur rameaux morts. Z. arg. sablon.

(195 )

Torul. Pulveracea, Cd.
Con. 10 — 4.

Petites touffes d'un noir olive, oblongues, parallèles, pulvérulentes, con-
fluentes; chaines rameuses ; conidies oblongues-ovoïdes, olivacées, d’un à
deux noyaux.

Sur une souche de frêne. Z. arg. sablon.

Torul. Rhododendri., Kz.

Hyphes penchées, fasciculées-rameuses, rameaux étalés; conidies globu-
leuses ou oblongues-globuleuses, sombre-brun.
Sur les tiges mortes du Rhodoäendrum. Z. arg. sablon.

Torul. Faginea, Fckl.

Étalé noir; hyphes peu rameuses, divisées en articles didymes; conidies
arrondies, uniguttulées, sombres.

Se rapproche du Torula compacta, Fckl; par les chainettes réunies en
séries; par les conidics réunies par quatre.

Sur hêtre et tiges de Rosa canina. Z. arden.

II. TRACHYTORA.
Conidies raboteuses.

Torul. Conglutinata, Cd.

Con. 8,6 x. diam.

Hyphes rampantes, rameuses, conglutinées; conidies globuleuses, rabo-
teuses par des points jaunes, puis sombre-brun, à noyau plus obscur.
Sur les racines de l’//elleborus fœtidus Z. cale.

Torul. Compniacensis, Richon.

Con. 8-10 1. diam. |

Petites touffes noires, épaisses, pulvérulentes, largement étalées, indéter-
minées; chaines simples ou peu rameuses, entremélées; conidies globu-
leuses, sombres, légèrement tuberculeuses.

Sur les murs humides. Z. arden.

( 196 )

GENRE : HORMISCIUM.

Conidies globuleuses-cuboïdes, se séparant difficilement.

Microsp. et Macrosp. 1.

Hormise. Hystcrioïdes, (Cda.) Sacc.
Torula Hysterioides, Cd.
Con. 4-5 — 4.

Petites touffes linéaires, souvent parallèles, noires; chaines dressées,
égales, serrées, jaunâtres; conidics. cylindracées-subcuboïdes.
Sur rameaux décortiqués. Z. arg. sablon.

Hormisc. Stilbosporum, (Cda.) Sacc.

Torula Stilbospora (Cd.).
Con. 2-8 1. diam.
Petites touffes érumpentes, pulvérulentes, allongées, confluentes, noires;
chaines simples ou rameuses, flexueuses; conidics subquadratées, connées,

brunes.
Sur bois de peuplier. Z. arg. sablon.

Hormise. Pithyophilum, (Nees.) Sacc.
Torula Pinophila, Chev.

Con. 48-20 y. diam.

Étalé, épais, noir, superdficiel; chaines vaguement rameuses; rameaux
atténués du dessus, légèrement courbés; conidies cuboïdes ou globuleuses,
cohérentes, fuligincuses.

Sur rameaux vivants de Pinus abies Z. Juras.

Hormise. Antiquum, (Cd.) Sacc.

Torula Antiqua, Cd.

Petites touffes étaléces, indéterminées, noires, pulvérulentes; hyphes
érumpentes et pénétrant le bois; conidies cuboïdes oblongues et ovales,
inégales, sombre-brun.

Sur le bois de Pinus silvestris. Z. cale. et arg. sablon.

TITRE

(197)

GENRE : GYROCERAS, Cd.
Se distingue de l’'Hormiscium par ses chaïînettes courbées.
Gyrocc. Plantaginis, (Cd.) Sacc. (F1. myc. Belg. t. II, p. 164).
Torula Plantaginis, Cd.

Con. 9-43 L. diam.; 40 — 5 (goutt. 1).

Hypophylle, étalé, indéterminé, tomentcux, noir; chaînes jointes en
faisceaux, recourbécs, simples ordinairement, d'un sombre brun; conidies
presque quadratées.

Sur les feuilles vivantes de Plantayo major. Z. juras. Partout.

DIDYMOSPORÆ.
GENRE : BISPORA, Cd.
Microsp. et Macrosp. !], > à 1}, <.
Bisp. Monilioïdes, Cd.

Con. 26-22 — 6-7 (sept. 1) (goutt. 9).

PHRAGMOSPORÆ,

GEXRE : SEPTONEMA, Cda.

Conidies pluriseptécs, allongées, en chaincettes.

Ordinairement Macrosp. 1], > < à 1, <.

Septon. Bisporoïdes, Sacc.

Con. 40 — 4; 15-20 — 4 (sept. 3-4).

Petites touffes noires, soyeuscs; conidies en chaînes longues et simples,
cylindracées-oblonguecs, obtuses, fuligincuses.

Sur le bois de Syringa vulgaris. Z. arg. sablon. Sur bois. Z. arden.

(198 )

Septon. Rude, Sacc.

Con. 40-53 — 10-142 (sept. 6-8).

Étalé, noir, velouté; conidies dressées, oblongues-fusoïdes, tronquées,
d’un noir fuligineux; chaines dressées, rigides.

Sur écorce de vicux noisetier. Z. arden.

Scpton. Strictum, Cd.

Con. 6 u. épaisses (3-5-10 sept.).
Étalé, noir; chaines dressées, serrées, simples; conidies oblongues,
obtuses, plus pâles supérieurement, inférieurement d'un sombre brunâtre.
Sur un rameau d'Acer campestre. Z. arg. sablon.

Septon. Hormiscium, Sacc.

Con. 40-50 — 12-14 (sept. 6-10).
Étalé, noir fuligincux, soyeux; conidies fusoïdes ou en massue, fuligi-
neusces ; chaînes 150 = 12-14 long.

Variété Angustius, Sacc.

Con. supérieures 7-8 — 4-3 (1-3 sept.).
Con. inférieures 3806-40 — 6-8 (sept. 7-8).

Sur de vicux rameaux de Prunus spinosa. Z. cale.

Famizze Il : HYPHOMYCETECEZÆ.
MUCEDINEÆ,
A. Conidies agglomérées en lèle au sommel de hyphes simples ou subsimples.
Sous-FamiLce : CEPHALOSPORIEÆ.
AMEROSPORÆ.

GENRE : TRICHODERMA, Pers.

Hyphes stériles compactes, couchées ; hyphes fertiles, deux à trois fides ;
conidies se désagrégeant facilement.

(199

Trichod. Lignorum, (Tode) Harz.
Trichoderma Viride, Pers.
Con. 3 p.. diam.
Trichod. Lateritio-Roseum, Lib.
Hémisphérique-pulviné, confluent, d'un rose rougeâtre, pâlissant; coni-
dies très petites, ovales.
Sur les tubercules pourris de Solanum luberosum. Z. arden. (Libert.)
DIDYMOSPORÆ.
GENRE : CEPHALOTHECIUM, Cda.

Cest le genre Trichothecium avec conidies agglomérées en têtes.

B. Conidies verticillées-pleurogènes, insérées sur des articles de hyphes

cà et là épaissis. Conidies agglomérées.
SOUS-FAMILLE : GONATOBOTRYTEZÆ.
AMEROSPORÆ.

GENRE : NEMATOGONIUM, Desm.

Caractères du Gonalobotrys, Cd. Il n’en diffère que par les
articles sporigènes qui sont unis au lieu d’être denticulés.
— Hyphes dressées.

Macrosp. Sp. 5]; <.

Nematogon. Aurantiaeum, Desm.

Con. 15 — 10.

Petites touffes, veloutées, étalées, d'un orange fauve; articles cylindracés-
gonflés, articles sporigènes-globuleux; conidies obovoïdes, plus aiguës à la
base, suboranges.

Sur écorces de peupliers. Z. arg. sablon.

( 200 )

Nematogon. Aureum, Berk.

Hyphes à quatre articles, courtes, en massue; conidies ellipsoïdes d’un

orange fauve.
Sur les branches de hêtre. Z. arg. sablon.

GENRE : GONATOBOTRYS, Cda.

Articles fertiles, globuleux, denticulés ct sporigènes; conidies subovoïdes,

continues.
Microsp. et Macrosp. ‘|, < à 5/, <.

Gonatoh. Simplex, Cda.
Con. 18 — 9.

Forma Althæœæ. Z. arden.

GENRE : PHYSOSPORA, Fr.
Caractères du Gonatobotrys, Cda.

Spores agréablement colorées, ct lyphes couchées.

Physosp. Rubiginosa, (Fr.) Sacc.
Sporotrichum Rubiginosum, Fr.

Con. 14-15 — 12-14.
Petites touffes, d'un velouté-laineux, d'un orange rubigineux agréable;
o D D )
hyphes rampantes d’où partent çà ct là des rameaux fertiles, avec vésieu!es
conidiophores denticulées; conidics globuleuscs, ellipsoïdes, rubigineuses,

à tunique assez épaisse.
Sur les pommes de terre gâtécs. Z. arg. sablon.

DIDYMOSPORÆ.
GENRE : ARTIIROBOTRYS, Cda.
Hyphes dressées; nœuds verruqueux; verrucs disposées en spirale.
Arthrob. Superba, Cda.
Con. 20-26 — 12-15 (sept. 1).
Variété Oligospora, (Fres.) Coem. Conidies 1-3 à chaque verticille,

Con. 23-27 — 14-17 (sept. 1).

Sur fumier et papier pourri. Z. arg. sablon.

( 201 )

C. Conidies solitaires, ou agglomérées latéralement, c’est-à-dire
spécialement sur des rameaux.

I, — CONIDIES ACROGÈNES. HYPHES SIMPLES.

Sous-FAMILLE : MONACROSPORIEZÆ.
AMEROSPORÆ.
GENRE : ACREMONIUM, Lk.

Hyphes subsimples, couchées; conidies hyalines, acrogènes et solitaires
au sommet de sporophores.

DIDYMOSPORÆ.

GENRE : TRICHOTHECIUM, Lk

Hyphes fertiles simples; conidies solitaires.

Trichothec. Roseum, (Pers.) Lk.

Dactylium Roseum, Berk.
12-18 — S-10. |
Petites touffes pulvinées, confluentes, veloutées, assez grosses, blanches,
puis roses; hyphes fertiles à sommet à peine épaissi; conidies piriformes,
légèrement resserrées, roses.
Sur les débris pourrissants. Partout.

GENRE : DIDYMOPSIS, Sacc. et March.

Hyphes courtes, hyalines, rampantes, subcontinues, montrant des sporo-
phores; conidies oblongues, en massue, hyalines.

Didymop. Perexigua, Sacc. et March.

3,3-3,6 1. partie supérieure.
Con. 41-12 — | pr Er ER
(2-2,5 p. partie inférieure.
Hyphes à peine visibles; sporophores très courts; conidies tronquées,
droites, hyalines.
Sur le sommet du Philocopra pleiospora, excréments de lièvre. Z. cale.

14

( 202 )

PHRAGMOSPORÆ,.

GENRE : MONACROSPORIUM, Oud.

Mêmes caractères que les Trichothecium.

Macrosp. Sp. {/, <.

Monacros. Subtile, Oud.

Con. 45-70 — 3-7 (sept. 7-19).

Hypbhes filiformes, hyalines, subcontinues ; conidies allongées, en massue,
solitaires, aiguës du dessous, arrondies du dessus.

Crottes de lièvre. Z. camp.

Monacros. Oxysporum, Sacc. et March.

Con. 96-105 — 9-10 1) (sept. 10-19).

Etalé, blanc, puis jaunâtre; hyphes septées à la base; conidies fusoides,

jaunâtres, aiguës aux deux extrémilés.
Sur les excréments de chenille. Z. arg. sablon.

STAUROSPORÆ.

GENRE : TRINACRIUM, Riess.

Hyphes filiformes, continues; conidies, trois radiées, à rayons cylin-
driques, deux à pluri-septées ; correspond au genre Triposporium des Dematei.

Trinac. Subtile, Riess.

Con. 25-30 — 3 1-4 (sept. 4-5); basides 20 — 2.

Très mince, épars, blane hyalin; conidies à rayons atténués, égaux, trois
radiées.

Sur Glonium lineare. Z. arg. sablon.

LÈ dé

( 205 )

IT. — CONIDIES ACRO-PLEUROGÈNES. HYPHES SUBSIMPLES.

+ ESPÈCES BIOGÈNES; SUR FEUILLES AVEC TACHES.
Correspondent aux Phyllosticta et aux Septoria.

Sous-FAMILLE : RAMULARIEÆ.

AMEROSPORÆ, par exception Didymosporæ.

GENRE : OVULARIA, Sacc.

Hyphes plus ou moins denticulées vers le sommet, spores rarement et
courtement en chainettes, rondes ou ovées.

Microsp. et Macrosp. de ‘/, > à 1.
Ovul. Sphæroïdea, Sacc.

Con. S-10 &. diam.; 8 — 7.

Petites touffes érumpentes, aplaties, veloutées, blanches; hyphes fascicu-
lées, tortueuses; conidies globuleuses ou ovées.
Sur les feuilles de Lotus corniculatus. Z. arg. sablon.

Ovul. Bulbigera, (Fckl.) Sacc.

Conidie de Spharella Pseudo-maculiformes.

Scolicotrichum Bulbigerum, Fekl.

Con. 9-44 1. diam.

Ovul. Deusta, Sacc.

Scolicotrichum. Deustum, Fckl.
Con. 12—4. : |
Petites touffes sur de larges taches noîrâtres, rassemblées, punctiformes,

roses; hyphes subsimples, conidifères au sommet; conidies lancéolées.
Sur les feuilles de Lathyrus pralensis. Z. arg. sablon.

( 204 )

Ovul. Bistortæ, (Fckl.) Sacc.
Ramularia Bistortæ (Fckl].).
Con. 12 — 6.

Petites touffes lâches, minces, blanches, sur une tache stérile; hyphes
fasciculées, flexueuses, subsimples; conidies oblongues-ovées.
Sur feuilles de Polygonum bistorta. Z. arg. sablon.

Ovul. Obliqua, (Cooke.) Oud.

Ovularia Obovata, Sacc. — Ramularia Obovata, Fckl.

Con. 18-28 — 9-12.

Taches subcireulaires, stériles, subochracées, marginées de couleur san-
guine; hyphes fasciculées, simples; conidies oblongues-ovées, souvent
obliques.

Sur feuilles de Rumex. Partout.

Ovul. Lamii, (Fckl.) Sacc.
Ramularia Lami, Fckl.
Con. 18 — 6.
Petites touffes minces, blanches; sur des taches subdiscolores; hyphes
fasciculées, simples; conidies elliptiques.
Sur feuilles de Lamium amplexicaule. Z. cale. et arden.

Ovul. Veronicæ, (Fckl.) Sacc.
Ramularia Veronica, Fekl.

Grandeur variable.

Petites touffes larges, blanc de neige; hyphes longues, rameuses ; conidies
cylindracées ou elliptiques, simples.
Sur les feuilles de véroniques. Z. arg. sablon.

( 205 )

DIDYMOSPORÆ,.
GENRE : DIDYMARIA, Cda.

Hyphes subsimples, conidies au sommet, et ovoïdes.

Microsp. surtout Macrosp. Sp. |, > à 1, > € à 3], €.

Didym. Ungeri, Cda.

Con. 20-23 — 5-10.

Taches subcirculaires légèrement ochracées; petites touffes blanches ;
hyphes subfasciculées, à peine denticulées; conidies solitaires, acrogènes,
ellipsoïdes-obovées, à peine resserrées.

Sur les feuilles de Ranunculus repens. Z. arg. sablon.

PHRAGMOSPORÆ.
GENRE : RAMULARIA, Ung.

H yphes subsimples, à sommet sporigère-denticulé; conidies cylindracées-
ovées. Petites touffes sur taches; hyphes ordinairement fasciculées; conidies
ordinairement 1 septées.

Microsp. généralement Macrosp. Sp 1], > < à 1, <.

Ram. Lactea, (Desm.) Sacc.

Ramularia Violæ, Fckl.
Con. S-10 — 2-3.

Taches subcirculaires, blanchâtres, marginées de sombre brun; hyphes
subtortueuses ; conidies fusoïdes ou cylindracées, obtusiuscules.
Sur les feuilles de Viola odorata. Z. arg. sablon.

Ram. Lampsanæ, (Desm.\ Sacc.
Fusidium Cylindricum, Fekl.

Con. 10-15 — 3 1-4.

Taches pälissant, puis arides; hyphes en petites touffes simples; conidies
fusoïdes-cylindracées, en chainettes.
Sur feuilles de Lampsana communis. Z. arg. sablon.

( 206 )

Ram. Cylindroïdes, Sacc.

Cylindrosporium Concentricum, Ung.

Con. 40-20 — 3-4 (goutt. 9).

Taches d'un ocre pâle, marginées de sombre brunâtre; hyphes fasciculées,
noduleuses ; conidies cylindracées, subtronquées, chainettes courtes.
Sur les feuilles de Pulmonaria officinalis. Z. arg. sablon.

Ram. Æquivoca, (Ces.) Sacc.

Con. 13-20 — 2-2 1J9.

Taches pâlissant, marginées de sombre brunâtre; hyphes denticu lées au
sommet, continues; conidies cylindracées-fusoïdes, chainettes courtes.

Sur les feuilles de Ranunculus auricomus. Z. arden,. et cale.

Ram. Destructiva, P]. et Phillip.

Con. 45 1. long.

Taches larges d’un brun roux; conidies couleur chair, chainettes courtes.
Petites touffes en rond, laissant à leur chute des arcoles excavées.
Sur feuilles de Myrica gale. Z. arg. sablon.

Ram. Urticæ, Ces.

Con. 13-20 — 3-3 (sept. 1).

Taches blanches devenant cendrées, non définies; hyphes lâchement
fasciculées, denticulées du dessus; conidies cylindracées-fusoïdes, apicu-
Ices, continues ou À septées, chainettes longues.

Sur feuilles Urtica dioica. Partout.

Ram. Adoxæ, (Rabenh.) Karst.

Con. 15-33 — 4-6 (sept. 1).
Petites touffes punctiformes, confluentes, blanches ou blanchâtres;
hyphes peu denticulées, d'un hyalin verdâtre; conidies fusoïdes-allongées

ou bacillaires, ordinairement simples.
Sur feuilles d'Adoæa, Z. arden. et arg. sablon.

( 207)

Ram. Ajugæ, (Niessl.) Sacc.
Fusidium Ajugæ, Niess].

Con. 15-20 — 4 (sept. 1).

Taches subcireulaires d’un ocre pâlissant; hyphes touffues, denticulées
du dessus; conidies cylindracées-fusoïdes, apiculées, chaînettes courtes.
Sur les feuilles d’Ajuga reptans. Z. arg. sablon.

Ram. Variabilis, Fckl.

Con. 15-22 — 3-4 (sept. 1).
Petites touffes blanches sur taches sombres verdissant ; hyphes fasciculées,
continues, flexueuses, dentées au sommet; conidies variables.
Sur feuilles de Digitalis purpurea. Z. arg. sablon.
Ram. Valerianæ, (Speg.) Sacc.
Cylindrosporium Valerianæ, Speg.
Con. 45-30 — 3-8 (sept. 1-3).

Grandes taches allongées ou arrondies, grises; hyphes granuleuses, irré-
gulièrement verticillées; conidies cylindracées ou elliptiques-allongées,
nébuleuses.

Sur les feuilles de Valeriana officinalis et dioïca. Z. arg. sablon.

Ram. Succisæ, Sacc.

Con. 18-25 — 2 1)-4 (sept. 1-3).
Taches subcirculaires, rouge pâle, marginées de noir sanguin; hyphes
subfasciculées; conidies cylindracées-fusoïdes, chainettes.
Sur feuilles de Scabiosa succisa. Z. arg. sablon. et arden.
Ram, Geranii, (West.) Fuckl.

Fusidium Gerani, West.

Con. 18-20 — 2 1-3 (sept. 1).

Variété Erodii, Sacc.; filaments rameux.

Con. 20-23 — 2-3 (sept. 5).

Sur les feuilles d’£rodium cicularium. Z. cale.

( 208 }

Ram. Taraxaci, Karst.

Con. 18-30 — 2-3.

Taches arrondies pâlissant, verdätres, marginées de pourpre; hyphes
en touffes, rameuses; conidies bacillaires, droites.
Sur les feuilles de T'araxacum officinale. Z. arg. sablon.

Ram. Coleosporii, Sacc.

Con. 20-235 — 4 (goutt.)

Toujours accompagné d'un Coleosporium; petites touffes rassemblées ;
hyphes fasciculées, ramuleuses du dessus; conidies cylindracées, brusque-
ment atténuées-tronquées.

Sur feuilles de Senecio silvaticus. Z. arg. sablon.

Ram. Pruinosa, Speg.

Con. 26-30 — 3-4 (sept. 1).

Taches ochracées, arrondies, puis occupant toute la feuille; petites touffes
très serrées, couvrant la tache comme d’une pruine blanche; hyphes de
1-5 dents au sommet; conidies cylindracées, arrondies.

Sur feuilles de Senecio jacobϾa. Z. arg. sablon.

Ram. Silvestris, Sacc.

Con. 20-30 — 2 1/, (sept. 1).

Petites touffes punctiformes, sur taches; hyphes très courtes, denticulées
du dessus; conidies cylindracées, fusoïdes.

Sur feuilles de Dipsacus silvestris. Z. arg. sablon.

Ram. Phyteumatis, Sacc. et Wint.

Con. 20-25 — 5: 40 — 5 (sept. 1).

Taches ochracées, marginées de sombre brunâtre; petites touffes blan-
châtres; hyphes fasciculées, dentieulées du haut, d'un hyalin enfumé;
conidies cylindracées-oblongues, obtuses.

Sur feuilles de Phyteuma spicalum. Z. cale. et arden.

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4

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( 209 )

Ram. Heracleï, (Oud.) Sacc.

Con. 22 — 7% (sept. 1); 23-30 — 4-5 (sept. 3).

Taches circulaires anguleuses, brunes, non définies; hyphes septulées,
légèrement noduleuses au sommet; conidies oblongues-fusoïdes.
Sur feuilles d'Æeracleum sphondylium. Z. arg. sablon.

Ram. Monticola, Speg.

Con. 25 — 3 (sept. 1).

Pas de taches; petites touffes compactes, blanches; hyphes fasciculées,
tortueuses, noueuses; conidies cylindracées, granuleuses.
Sur feuilles d'Aconitum lycoctonum. Z. cale.

Ram. Calcea, (Desm.) Ces.

Fusisporium Calceum, Desm.

Con. 253 — 3-3 1), (sept. 1).

Petites taches stériles, blanchâtres, marginées de sombre brunûtre;
hyphes fasciculées, légèrement denticulées; conidies cylindracées, obtusius-
cules ou apiculées.

Sur feuilles de Glechoma hederacea. Z. arg. sablon.

Ram. Sambucina, Sacc.

Con. 25-33 — 4-4 !) (sept. 1).

Taches petites, pâlissant, marginées de sombre brunâtre; hyphes fasci-
culées, peu noduleuses; conidies cylindracées-fusoïdes, chainettes.
Sur les feuilles de Sambucus nigra. Z. arg. sablon.

Ram. Gibhba, Fckl.
Con. (goutt. 3).

Petites touffes, punctiformes, rassemblées, blanches, sur taches jaunâtres,
ensuile hémisphériques-gonflées; hyphes simples; conidies fusiformes,
droites, de la longueur des hyphes.

Sur feuilles de Ranunculus repens Z. arg. sablon.

(210 )

Ram. Lysimachiæ, Thüm.

Petites toufles lâches, grises, sur taches orbiculaires d’un sombre
brunâtre; hyphes septées ; conidies variables d’ovoïdes à cylindracées.
Sur feuilles de Lysimachia vulgaris. Z. arg. sablon.

Ram. Farinosa, (Bon.) Sacc.

Hormodendrum Farinosum, Bon.

GENRE : CERCOSPORELLA, Sacc.

Caractères de Ramularia; conidies vermiculaires, filiformes.

Cercospella Cana, Sacc.

Con. 60-90 — 4-3 (sept. 3-4) (goutt.).

Petites touffes étalées, blanches avec taches; hyphes légèrement rameuses
du dessus; conidies cylindracées, presque en massue, courbées.

Sur les feuilles de l’£rigeron canadensis. Partout.

++ ESPÈCES SAPROGÈNES; HYPHES FERTILES, SUBSIMPLES; GÉNÉRALEMENT
PRÉDOMINANCE DES FILAMENTS STÉRILES, COUCHÉS.
SOUS-FAMILLE : SPOROTRICHEZÆ.
AMEROSPORÆ.
I. — SPORES LISSES.
GENRE : HYPHODERMA, Fr.

Hyphes courtes formant une couche subcrustacée-byssinée; conidies
acrogènes.
Hyphod. Roseum, (Pers.) Sacc.

Con. 7-8 . diam. (pluri. goutt.).

Petites touffes arrondies au début, puis aplaties ; croûte membranuleuse,
formée par une villosité des plus fines ; hyphes parallèlement serrées; coni-
dies globuleuses, roses.

Sur vieux bois. Z. arg. sablon.

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(211)

GENRE : SPOROTRICHUM, Lk.

Conidies acrogènes subsolitaires ; foules les hyphes couchées.

MICRO DIS DA) AN
Sporotrich. Geochroum, Desm.
Trichosporium Geochroum, Fr.

Con. 3-4 — 3-3 1/9 à

Sporotrich. Roseum, Lk.

Sporotrichum Ollare, Pers.

Con. 4-3 (goutt. 1).

Sporotrich. Aureum, Lk.

Sporotrichum Aurantiacum, Lk.

Con. 4-3 u. diam.

Sporotrich. Virescens, (Pers.) Lk.

Con. 4-6 L.

Sporotrich. Pulviniforme, Thum.

Con. 4 1/9-5 1/9 — 2-2 1/9 (goutt. De

Petites touffes pulvinées, denses, blanchâtres; rameaux souvent bifides
au sommet; conidies oblongues obtusiuseules.
Sur les feuilles pourries de Fagus. Z. arden. (Libert.)

Sporotrich. Scotophilum, Ehrenb.
Con. 5 1.

Sporotrich. Vellereum, Sacc.
Con. 8-9 — 4-3.

Petites touffes blanches, subbombycinées; conidies, sur des rameaux
disposés en épis, avec un stipe court, obovées, aiguës du dessous, hyalines.

(22)

Variété Flavum, Sacc.
Con. 7-8 — 5.

Aspect jaune; conidies flaves.
Sur des poils d'animaux. Z. arden.

Sporotrich. Merdarium, Ehrenb.
Con. 9-10 1.

Sporotrich. Byssinum, Lk.

Hyphes centrifuges, étalées vers le sommet, blanches, lâchement entre-
lacées en un hyphasme étalé et très mince; conidies globuleuses, blanches.
Sur les feuilles déjetées des arbres. Z. arden.

Sporotrich. Candidum, Lk.

Hyphes vagues, apprimées et lächement entrelacées en un hyphasme très
mince, s'étalant et blanc; conidies globuleuses, blanches.
Sur les troncs pourris. Z. arg. sablon.

Sporotrich. Croceum, Kze.

Hyphes légèrement rameuses, couleur safran, entrelacées en un hyphasme
assez épais ; conidies ovales, couleur safran, se montrant en grand nombre.
Sur tronc pourri. Z. arg. sablon.

Sporotrich. Griseum, Lk.

Hyphes très délicates, enchevètrées, étalées, formant, avec les conidies
globuleuses et interposées en grand nombre, un hyphasme gris et mince.
Sur tiges sèches, dans les lieux humides. Z. arg. sablon.

Sporotrich. Flavicans, Fr.

Trichosporium Flavicans, nobis.

Late.

Cu :

( 215 )

IT. — CONIDIES ÉCHINULÉES OU ÉTOILÉES TUBERCULEUSES.
ESPÈCES SAPROGÈNES.

GENRE : ASTEROPHORA, Ditm.

Hyphes làächement disposées; conidies étoilées-tuberculeuses.

Microsp. et Macrosp. 1.

Asteroph. Agaricicola, Cd.

Con. 18-24 y. diam.

Hyphes entrelacées peu rameuses; conidies globuleuses-ellipsoïdes, tuber-
culeuses, disposées en étoiles, devenant subalutacées.
Sur le Nyctalis asterophora. Z. arg. sablon.

GENRE : SEPEDONIUM, Lk.

Conidies globuleuses, muriculées.

Seped. Albo-Luteolum, Sacc. et Marsch.

Con. 5 1,9-6,2 1. diam.

Petites touffes d’un blanc de neige, puis jaunâtres, subpulvérulentes ;
hyphes rampantes, peu rameuses ; conidies au début obovoïdes, 2-4 gouttes,
puis globuleuses ou subovoïdes, jaunâtres, acrogènes.

Sur fumier de lièvre, de souris. Z. arg. sablon. et camp.

Seped. Chrysospermum, (Bull.) Fr.

Con. 24-16 1. diam.

Seped. Thelosporum, Sacc. et March.

Con. 33-60 1. diam.
+

Hyphes rampantes, peu rameuses ; conidies globuleâses, jaunes, à papilles
cylindracées ou ovoïdes, hyalines, 5-8 11. long, acrogènes au sommet vési-
culeux des rameaux.

Sur le fumier de souris. Z. arg. sablon.

(214)

DIDYMOSPORÆ.
GENRE : MYCOGONE.

Hyphes rameuses; rameaux sporigères courts, latéraux; conidies à loge
supérieure plus grande et souvent échinulée.

Macrosp. 5/,< à 1.

Mycog. Pezizæ, [Ch. Rich.) Sacc.
Asterophoræ Peziiæ, Cd.

Con. 453 u.. diam.

Petites touffes simulant une pruine blanche; hyphes à rameaux portant
souvent au sommet deux conidies en massue ou piriformes, blanches.
Sur le disque de Peziza hemisphærica. Z. arg. sablon.

Mycog. Anceps, Sacc.

Con. 20 u. diam. ; 30-33 — 20.

Petites touffes d'un ochracé olivé, veloutées, étalées; hyphes dichotomes
ou vaguement rameuses, flaves; conidies tantôt globuleuses, tantôt ovoïdes,
légèrement resserrées, et septées près de la base, suboranges.

Sur l’excrément humain.

Mycog. Cervina, Ditm.

Sepedonium Cervinum, (Ditm.) Fr.

Con. 35 — 20.
Mycog. Rosea, Lk.

Con. 35-40 — 25.

Etalé, rose, velouté; hyphes blanches, minces, entrelacées d'une manière
serrée ; conidies obovées, rougeätres, obtuses, loge inférieure plus courte,
plus pâle, loge supérieure aspérulée. A
Sur agarics pourris. Z. arg. sablon.

par; uit CP ae, |

LE:

(215)

+++ ESPÈCES SAPROGÈNES ; HYPHES FERTILES BIEN RAMEUSES
ET PRÉDOMINANTES.

Sous-FaMILE : BOTRYTIDEÆ,
AMEROSPORÆ.

GENRE : BOTRYOSPORIUM, Cda.

Sporophores-rameaux avec trois ou plusieurs épines; conidies en têtes, se
détachant vite.

Botryos. Pulchrum, Cda.

Petites touffes largement étalées, blanches, subfarineuses; hyphes simples
ou dichotomes; sporophores courts, étalés, avec cinq épines et cinq têtes
sphériques; conidies arrondies.

Sur des débris herbacés. Z. arg. sablon.

GENRE : BOTRYTIS, Michel.

Hypbhes fertiles dressées; des rameaux; conidies lächement rassemblées au
sommet.

Microsp. et Macrosp. 1, < à 5], >.
I. EU-BOTRYTIS.

Rameaux aigus au sommet.

Botryt. Lutescens, Sacc. et Roum.

Con. 8 — 2-2 1/, (goutt. 1).

Étalé, velouté, jaunâtre; hyphes fertiles 150 = 5, jaunâtres, simplement
fourchues; conidies insérées par de petites dents au sommet, ovées-globu-
leuses.

Sur les feuilles mortes de Fagus. Z. arden. (Libert).

Botryt. Densa, Ditm.

Petites touffes subarrondies, très blanches, formées par des hyphes très
délicates, densément entrelacées; hÿphes fertiles dressées, très rameuses;
conidies assez grandes, ovées.

Sur l’Hypnum repens. Z. arg. sablon.

(216 )

Botryt. Bicolor, (Lk.) Bonord.

Stachylidium Bicolor, Lk.

Hyphes étalées, très délicates, d’un gris devenant rougeàtre; hyphes fer-
tiles divisées au sommet; conidies ovoïdes, pellucides.
Sur les tiges de grandes herbes. Z. arg. sablon.

II. POLYACTIS.

Rameaux obtus au sommet.

Botryt. Vulgaris, Fr.

Con. 10-12 — 7-9.

Botryt. Racemosa, (Bull.) D. C.

Hyphes étalées, délicates, cendrées, les fertiles dressées, très rameuses;
conidies ovées-oblongues, blanches, puis cendrées, disposées le long des
rameaux en épis.

Sur les fruits pourris. Z. arg. sablon.

III. CRISTULARIA, Sace.

Rameaux en crête-crénelée ou digitée au sommet.

Botryt. Truncata, (Cooke) Sacc.

Polyactis Truncata, Cooke.
Con. 20 — 7%.

Petites touffes blanches; hyphes dichotomes répétées et densément
rameuses; rameaux ultimes subdigités; conidies oblongues, tronquées,
quelquefois tronquées-concaves, hyalines.

Sur les frondes de Filix pourrissant, Z. arg. sablon. (Bommer.)

OS OT

AL

(27)

GENRE : MONOSPORIUM, Bonord,

Rameaux fertiles dressés, dendroïdes répétés; conidies acrogènes,
solilaires.

Microsp. et Macrosp. Sp. > à 1.
Monosp. Corticolum, Bon.

Petites touffes assez épaisses, blanches; hyphes entrelacées rameuses,
formant un hyphasme densément tissé; conidies obovées, flaves, pluri-
gouttes.

Sur les écorces mortes de Juglans regia et sur Corticium de ces écorces.
Z. arden.

GENRE : MARTENSELEA, Coem.
Martens. Pectinata, Coem.

Con. 18 — 3, cylindracées-fusoïdes.
Chaîne de con. 6 — 2 1), ellipsoïdes.

III. — CONIDIES PLEUROGÈNES.
Sous-FAMILLE : HAPLARIEZÆ.
AMEROSPORZÆ.

GENRE : ACLADHEUR, Lk.

Hyphes fertiles, dressées, indivises; conidies globuleuses ou ovoïdes.

Aclad, Conspersum, Lk.
2 u. long.
Hyphes dressées, d’un jaune blanchâtre, rassemblées en petites touffes,
devenant confluentes; conidies ovales, hyalines, çà et là saupoudrant les
hyphes, puis disparaissant.
Sur le bois pourri. Z. arg. sablon.

15

(218 )

D. Conidies agglomérées ou solitaires sur des rameaux verticillés.
Sous-FamiLLE : VERTICILLIEÆ,.
a) Conidies agolomérées.
AMEROSPORÆ.
GENRE : ACROSTALAGMUS, Cd.

Microsp. |, > <.
Acrostal. Cinnabarinus, Cd.
Con. 3-4 — 1 !). |

PHRAGMOSPORÆ.

GENRE : MUCROSPORIUM, Preuss.

C'est le Dactylium avec conidies en tête.

Muecros. Sphærocephalum, (Berk.) Sacc.

Dactylium Sphærocephalum, Berk.
(Sept. 3).
Étalé, mince, blanc; hyphes septées, plus ou moins rameuses-ternées vers
le haut, petits rameaux à base épaissie; conidies 40-12 rassemblées en

têtes globuleuses, oblongues, courtement slipitées.
Sur des racines à demi-enterrées de Calluna vulgaris, dans une sapinière

sablonneuse. Z. arg. sablon.

b) Conidies solitaires.
AMEROSPORÆ,

GENRE : PACHYBASIUM, Sacc.

Petits rameaux sporofores, très courts et ultimes, en forme de bouteilles ;

rameaux du dessus stériles, recourbés.

(249 )

Pachyba. Hamatum, (Bon.) Sacc.

Petites toufles blanches, puis d’un gris verdâtre; hyphes fertiles ascen-
dantes, rameaux moyens verticillés-ramulcux, rameaux ultimes subternés;
conidies globuleuses-ellipsoïdes.

Variété Candidum, Sacc.
‘
Con. 3-4 — 4-11).

Sur feuilles de Quercus. Z. arden. (Libert.)

GENRE : VERTICILLIUM, Nees.

,

Conidies globuleuses ou ovoïdes, tombant vite, monospores.

Microsp. |, > à 1.
Verticil. Pyramidale, Bon.

Con. 8 1/9 p.. diam.

Petites touffes sublaineuses de blanches devenant jaunes; hyphes fertiles,
terminées en un sommet simple, long, stérile; rameaux ultimes courtement
fusoïdes; conidies sphériques solitairement acrogènes.

Sur les feuilles mortes de l’Æsculus hippocastaneum. Z. arg. sablon.

Verticil. Candelabrum, Bon.

Con. 4-4 1/9 — +.

Petites touffes veloutées, blanches, étendues par confluence; hyphes peu
rameuses du dessus; au sommet petits rameaux verticillés par trois, courts,
presque en massue; conidies ovoiïdes.

Sur Spartium scoparius. Z. arden.

Verticil. Lateritium, Berk.

Con. 4-6 — ? 1/9-8.

Hyphes et rameaux verticillés rassemblés en petites touffes veloutées-
laineuses, d’un rouge de brique; petits rameaux verticillés par trois et
quatre, à sommet aigu; conidies ellipsoïdes-oblongues, arrondies, rouges.

Sur bois, écorces. Z. arg. sablon. et arden.

( 220 )

Verticil. Epimyces, BP. et Br.

Con. 4-3 1. diam., puis & à & fois plus longues.

Étalé, blanc, assez compact, puis rose; hyphes subtrifides, petits
rameaux ternés où binés, atténués, allongés; conidies subglobuleuses, puis
allongées.

Sur Hydnotrya tulasnei. Z. arg. sablon.

Verticil. Candidulwum, Sacc.

Con. 5-6 — 1.,7-2.
Petites touffes blanches; hyphes plusieurs fois rameuses-verticillées ; petits
rameaux ternés, aigus du haut; conidies ovées-oblongues, inéquilatérales.
A terre dans les bois, sur diverses écorces pourrissantes. Z. arden.

Verticil. Buxé, (Lk.) Auersw.
Fusidium Buxi, Lk.

Con. 6-8 — 2-2 1) (goutt. 2).

Petites touffes étalées, subpulvérulentes, roses; hyphes deux fois verti-
cillées-ramuleuses du dessus; rameaux atténués du dessus; conidies
oblongues-fusoïdes, subroses.

Sur les feuilles de Buxus. Partout,

Verticil. Compactiusculum, Sacc.

Con. 8-10 — 1 {).

Petites touffes étalées, blanches, assez compactes; hyphes subternées,
aiguës du dessus; conidies cylindracées-oblongues.

Sur rameaux morts de rosier. Z. arg. sablon.

Verticil. Agaricinum, (Lk.) Cd.
Con. 12-13 — 4-6.

Vertieil. Nanum, B. et Br.

Petit, blanc; hyphes vaguement rameuses, à petits rameaux opposés ;
conidies ellipsoïdes.
Sur les poires pourries. Z. arg. sablon.
Verticil. Terrestre, (Pers.) Sacc.

Botrytis Terrestris, Pers.

cd dt eriers

bi.

(: 224)
Vertieil. Crassum, Bon.

Petites touffes d’un gris brun; hyphes dressées, 2 à 5 fois fourchues à la
base, umbrées; petits rameaux du dessus presque en massue 5-4 fois verti-
cillés ; conidies globuleuses, acrogènes, d’un blanc grisätre.

Sur une tige morte de Cypripedium. Z. arg. sablon.

Capitule entouré de mueus (Gliocephalum, Sacc.).

Vertieil. Strietum, Sacc. et March.

Con. 2,7-3 — 1,7-2.

Petites touffes blanches; hyphes dressées, terminées en une panicule
serrée, entourée au début d'un mueus hyalin; petits rameaux 6-8 verti-
cillés, verticilles sub 8, en panicule; conidies globuleuses-subanguleuses,
hyalines.

Sur le fumier de daim. Z. arg. sablon.

GENRE : ACROCYLINDRIUM, Bon.
Est le Verticillium Cylindrosporum.
Microsp. *|, > <.
Aerocylind. Copulatum, Bon.

Étalé, rose-rougcâtre ; hyphes dressées à rameaux 5-4 verticillés, aigus ;
conidies oblongues, puis cylindracées, d’un rose sale; mycelium formé par
des hyphes parallèlement fasciculées,

. Sur du tan. Z. arg. sablon.

DIDYMOSPORÆ.
GENRE : DIPLOCADIUM, Bon. (Verticillium Didymosporæ).
Macrosp. 1], > <.

Diplocad. Minus, Bon.

Con. 42-13 — 7-8 (sept. 1).

Petites touffes blanches, pulvérulentes, byssinées; petits rameaux 5 ver-
ticillés ; conidies obovées, légèrement resserrées, hyalines.
Sur les agarics pourrissants.

299
pa '

Diplocad. Penicillioïdes, Sacc.

Conidie de Hypomyces Aurantius.

Con. 16-18 — 8-10 (sept. 1).

Etalé, blanc; hyphes à rameaux vagues et dressés, ceux-ci verticillés-
ramuleux au sommet et oblus; conidies obovées, légèrement resserrées.
Sur l'hymenium de Polyporus fumosus. Z. arg. sablon.

PHRAGMOSPORÆ.
GENRE : DACTYLIUM, Nees. (Verticillium Phragmosporæ).

Saprophile; hyphes stériles rampantes; hyphes fertiles dressées, à rameaux
verticillés-répélés ou simplement rameux-verticillés; conidies oblongues,
2 à pluriseptées, acrogènes au sommet des rameaux, hyalines.

Dactyl. Dendroïdes, (Bull.) Fr.
Con. 26-32 — 10-13.
Dactyl. Macrosporum, (Ditm.) Fr.
Botrytis Macrospora, Ditm.

Hyphes arachnoïdes, lächement entrelacées, blanches, puis roses; les
fertiles subverticillées-rameuses au sommet; conidies subcylindriques,
oblongues, grandes.

Sur les feuilles de Quercus robor, entre les mousses. Z. arg. sablon.

E. Conidies réunies en chainettes.
a) Conidies ramassées en glomérules (tête) au sommet des hyphes.
Sous-FAMILLE : ASPERGILLEZÆ.
I. — HYPHES FERTILES A SOMMET ENFLÉ.
AMEROSPORÆ.
GENRE : ASPERGILLUS.

Basides nulles ou simples.

( 223 )

Microsp. !/, > à 1.
Asperg. Griseus, Lk.

Sporotrichum Fenestrale, Ditm. | LS 3
: Forme spéciale d’après Sacc.
Bissocladium Fenestrale, Lk. |

Con. 2 1/9-8 u. diam.

Asperg. Candidus, Lk.

Con. 2 1)-8 1. diam.

Hyphes rassemblées, simples, blanches, se terminant en vésicules globu-
leuses-ellipsoïdes au sommet; conidies globuleuses, blanches.

Asperg. Virens, Lk.
Con. 8 u. diam.

Asperg. Clavatus, Desm.
Con. 4 — 2-8.

Blanc sale; hyphes simples, enflées en massue au sommet; conidies
hyalines.

Sur substances gâtées. Z. arg. sablon.

Asperg. Flavus, Lk.
Con. 5-7 1. diam.

Asperg. Glaucus, (L.) Lk.

Con. 8-10 uw. diam.

Asperg. Macrosporus, Bon.

Petites touffes d’un vert cyanc; hyphes atténuées du bas, septées, avec

vésicule globuleuse unie; conidies globuleuses, assez grosses, d’un purpu-
rescent sale.

Sur la couenne d’un jambon. Z. arg. sablon.
Asperg. Roseus, Lk.

Hyphes simples; conidics globuleuses, petites, roses.
Sur papier, liège, tapis. Z. arden.

( 22% )

GENRE : STERIGMATOCYSTIS, Cram.

Basides à rameaux verticillés.

Microsp. 1.
Sterigmatoc. Nigra, V. Tiegh.

Con. 3,4-4,5 11. diam.

Hyphes à tunique épaisse, hyalines; capitules subglobuleuses, d'un noir
brunâtre; basides 40 |. longues, radiées; conidies globuleuses, verru-
culeuses, d’un sombre brun violacé.

Sur un agaric desséché avec le sclérote. Z. arg. sablon.

II. — HYPHES FERTILES NON RENFLÉES-VÉSICULEUSES AU SOMMET.
AMEROSPORÆ.

GENRE : PENICILLIUM, Lk.

Spores non réunies par du mucus.

Microsp. et Macrosp. Sp. /, > à 1.
Penicill Candidum, Lk.

Con. 2-3 1. diam.

Penicill. Glaucum, Lk.
Con. 4 pu. diam.

GENRE : GLIOCLADIUM, Cda.
Capitule des spores longtemps enveloppé de muens.

Glioclad. Penicillioïdes, Cda.

Con. 6 pu. long.

Petites touffes punctiformes, blanches; hyphes flexueuses, épaissies du
dessus, septées, pulvérulentes, blanches, rameaux opposés, petits rameaux

(225 )

€

verticillés, quaternes, serrés; tête globuleuse, blanche; conidies oblongues,
conglulinées par une couche gélatineuse, épaisse.
Sur l’hymenium de Slereum hirsutum. Z. arg. sablon.

b) Conidies acro-pleurogènes.
DIDYMOSPORÆ.

GENRE : HORMIACTES, Cd.

Hyphes fertiles, courtes, simples; chainettes simples, terminales ou
opposées.

Hormiac. Fimicola, Sacc. et March.

Con. 13-18 — 5-3,2 (sept. 1).
23-32 — > (sept. 2-3) (rare).

Petites touffes, blanc de neige; hyphes rampantes, vaguement rameuses,
peu septées ; conidies oblongues, aiguës, hyalines, granuleuses ou guttulées
au début; chainettes dressées ou subcouchées.

Sur le fumier du lièvre. Z. camp.

DEMATIEÆ.
A. Conidies solitaires.

a) Conidies rassemblées en glomérule (lêle) au sommet des hyphes

souvent simples.
Sous-FamiLe : PERICONIEZÆ.
AMEROSPORZÆ.
GENRE : CAMPT@UM, Lk.

Hyphes simples, pas de basides au sommet.

Camp. Curvatum (Kz. et Sch.) Lk.

Con. 18-20 — 7-8.

| d
( 226 )

GENRE : PERICONIA, Bon.

Hyphes simples; sommet simple ou brièvement ramuleux; conidies glo-
buleuses ou ovoïdes.

Microsp. Sp. 1, > à 1.
Peric. Pycnospora, Fres.

Con. 42-17 1. diam.

Hyphes stipitiformes, rassemblées ou subfasciculées, rigides, brunes ou
fuligineuses, simples, obtuses, plus pâles du haut; conidies sessiles, brunes,
muriculées.

Sur les tiges sèches d'Urtica. Z. arg. sablon. et arden., sur Pæonia.

Perie. Nigrella, (Berk.) Sacc.

Sporocybe Nigrella, Berk.
(Goutt. À).

Très petit, noir; hyphes simples 4-5 septées; tête globuleuse ; conidies
globuleuses, unies.
Sur les feuilles mortes d’Arcundo phragmites. Z. arg. sablon.
Peric. Alternata,. (Berk.) Sacc.

Sporocybe Alternata, Berk.

Petites touffes suborbiculaires d’un noir gris; hyphes septées, rameuses
alternativement; rameaux fertiles épaissis au sommet ; conidies oblongues,

subtronquées.
Sur du papier humide. Z. arg. sablon.

Peric. Atra, Cd.

Graphium Atrum, Cd.

GENRE : STACHYBOTRIS, Cd.

Hyphes couronnées de basidies hétérogènes.

Le.

( 227 )

Microsp. Sp.'}, > à 1.
Stachyh. Atra, Cd.
Con. 8-9 . long. (goutt. 2).

Petites touffes délicates, noires; hyphes dichotomes, rameuses, d’un olive
flave; rameaux fertiles dressés, plus pâles du dessus; basides dressées,
fusoïdes, subhyalines ; conidies ovées-ellipsoïdes, brunes.

Sur papier, dans les endroits humides. Z. arden. et arg. sablon.

PHRAGMOSPORÆ.

GENRE : ACROTHECIUM.
Hyphes simples.

Ordinairement Macrosp Sp. '/, > à 'kh > <.

Acrothec. Delicatulum, B.et Br.
Con. 41-47 y. long. (sept. 2-3).

Étalé, noir; hyphes à bases légèrement bulbilleuses; conidies sublinéaires,
courbées, hyalines, insérées près du sommet.
Sur des éclats de bois de Fagus. Z. arg. sablon.

Acrothec. Simplex, B. et Br.
Con. 13-17 — 5 (sept. 2-3).

Étalé, olive-sombre; hyphes simples, flexueuses, irrégulières, brunes;
conidies apiculées, en petit nombre, oblongues ou en massue, devenant
sombres.

Sur Urtica, feuilles d'Epilobium hirsutum en compagnie de Trichospæria
Etisæ-Mariæ. Z. arg sablon.

Acrothec. Tenehrosum, (Pr.) Sacc.

Con. 20-25 — 5-6 (sept. 3-5).

Petites touffés étendues; hyphes fertiles rassemblées, simples, à base
dilatée, pâles du dessus et en tête légèrement denticulée; conidies oblon-
gues, arrondies, courbées, légèrement sombres.

Variété A. Marchalii.
Con. 21-23 — 9-14 hyalines (sept. 4-5).

Sur fumier de lièvre. Z. arg. sablon.

( 298 )

.

b) Conidies verlicillées-agglomérées sur des articles épaissis de hyphes.

SOUS-FAMILLE : ARTHRINIEZÆ,
AMEROSPORÆ.

GENRE : GONIOSPORIEUM, Lk.

Hyphes fertiles dressées, noueuses, seplées ; conidies plus ou moins angu-

leuses, stipitées.

Gonios. Puccinioïdes, (K. ct S.) Lk.

Con. 40-14 y. diam.

Petites toufles arrondies, noires, rassemblées; hyphes bien noucuses,
hyalines, simples, souvent stériles du dessus et obtuses; conidies globuleuses-
cuboïdes, à gouttes, fuligineuses.

Sur les feuilles mortes de Carex. Z. arg. sablon.

GENRE : ARTHRINIUM, Kze.
Arthrin. Sporophileum, Kze.

Con. 9-14 y. long.

c) Conidies solitaires ou agglomérées sur rameaux.
I. — CONIDIES ACROGÈNES.

Sous-FamiILe : MONOTOSPOREÆ.

Correspond à la sous-famille Monacrosporieæ (Mucedineæ).

AMEROSPORÆ.
GENRE : MONOTOSPORA, Cda.

Hyphes fertiles, simples, séparées, assez longues, d’un sombre brunâtre;
conidies sombres, globuleuses ou suboblongues.

tn
PR TUUE Se dt dm er 2, ee 0 à

( 229 )

Monotos. Sphærocephala, PB. Br.

Con. 24-25 Lu. diam.

Étalé, dense, noir; hyphes fertiles, simples, dressées, 2-3 septées; conidies
plus ou moins globuleuses, souvent pourvues d’un hile, quelquefois à base
enflée.

Sur des branches de Faqus. Z. arg. sablon.

Monotos. Atra, (Corda.) Sacc.
Halysium Atrum, Cd.

Acladium Halysium, Bon.

Con. 20-314 p. long.

Petites touffes délicates, noires; hyphes fertiles, courtes, noires, semi-
pellucides, 5-6 articles; conidies jaunes, ovées, à base aiguë, avec un hile.
Sur le bois pourri. Z. arg. sablon.
GENRE : HADOTRICHUM, Fckl.
C’est le Monotospora avec les hyphes assez épaisses,
fasciculées à la base et courtes.

Hadotrich. Virescems, Sacc. et Roum.

Con. 42 1. diam.

Petites touffes punctiformes, rassemblées; taches oblongues, brunes;
conidies globuleuses, d’un fuligineux olivacé, unies; basides cylindracées,
30 — 10, sortant d’une couche cellulaire proligère.

Sur les feuilles de graminées. Z. arden. (Libert.)

DIDYMOSPORÆ.
GENRE : POLY THRINCIUM, Kze.
Polythrine. Frifolii, Kze.

Con. 26-24 — 9-12 (sept. 1).

( 250 )

GENRE : PASSALORA, Fr. et Mont.

Hyphes pluriseptées, longues, enchevêtrées; conidies oblongues.

Passal. Bacilligera, Fr. et M.

Con. 80-50 — 5-7 (sept. 1).

GENRE : FUSICLADIUM, Bonord.

Hyphes courtes, peu septées; conidies ovoïdes ou presque en massue.

Fusiclad. Depressum, (B. et Br.) Sacc.

Passalora Polythrincioïdes, Fekl.

Con. 50-55 — 7-8 (sept. 1).

Petites touffes anguleuses, d'un sombre brunâtre, composées de faisceaux
arrondis; hyphes simples, olivacées, 60-70 = 6-7 ; conidies fusoïdes, plus
ou moins en massue, courbées, olivacées, continues, puis resserrées à la
cloison,

Sur les feuilles des ombellifères. Z. arden.

Fusiclad. Dendriticum, (Wallr.) Fekl.

Cladosporium Dendriticum, Wallr.

Con. 30 — 7-9 (sept. 1).

Fusiclad. Pirinum, (Lib.) Fckl.
Helminthosporium Pirinum, Lib.

Fusicladium Virescens, Bon.

Con. 28-30 — 7-9 (goutt.)

Conidies ovées-fusoïdes, olivacées; hyphes courtes, cylindracées, denti-
culées au sommet.
Sur les feuilles de Pirus communis. Z. arden.

(251)

DICTYOSPORÆ.
GENRE : MYSTROSPORIUM, Cda.

Hyphes fertiles dressées, subsimples, rigides, assez courtes, septées,
sombres; conidies acrogènes, solitaires.

Macrosp. Sp. 4, > à!L > «.
Mystros. Piriforme, Desm.

Con. 45 — 18 (sept. murif. 3-4).

Noir, étalé, petit; sporophores cylindracés, peu septés, fuligineux, nais-
sant d’une base cellulaire et stromatique; conidies acrogènes, obpiriformes,
concolores.

Sur les feuilles et tiges d'Eryngium campestre. Z. marit.

Mystros. Atrichum, (Cda.) Sacc.
Helminthosporium Atrichum, Cda.
(Sept.-murif. 5-7.)
Petites touffes étalées, olivacées; hyphes très courtes, flexueuses, coni-
diophores; conidies subobovées, arrondies du dessus, et atténuces insensi-

blement en stipe court du dessous.
Sur les tiges de Dianthus barbatus.

GENRE : STEMPHYLEUM, Wallr.

Hyphes couchées ; conidies acrogènes sur les rameaux.

Macrosp. Sp. tj, > à 1.

Stemphyl. Alternariæ, (Cooke) Sacc.
Sporidesmium Alternariæ, Cooke.

Petites touffes irrégulières, luisautes, brunes; mycélium rameux, ram-
pant, peu septé, abondant; conidies irrégulières, ovées, subpiriformes ou
cylindracées, brunes, un à pluriseptées.

Sur du papier de tenture humide. Z. arg. sablon.

( 252 )

PHRAGMOSPORÆ.

GENRE : NAPELICADIUM, Thüm.

Hypbhes fertiles, courtes, molles, sur feuilles; conidies unies, acrogènes,
solitaires.

Naplicad. Arundinmacewm, (Cd.) Sacc.

Helminthosporium Arundinaceum, Cda.

Con. 40-453 — 18 (sept. 2).

STAUROSPORÆ.
GENRE : TRIPOSPORIUM, Cda.

Æripospo. Elegans, Cda.

Con. à rayons 48-30 1. long. (sept. 4-6).

II. — CONIDIES ACRO-PLEUROGÈNES.

Sous-FAMILLE : CERCOSPOREZÆ,.

Correspond à la sous-famille des Ramularieæ-Mucedineeæ.

PHRAGMOSPORÆ.

GENRE : METEROSPORKIUM, Klotzsch.

Hyphes molles, sur feuilles et tiges; conidies oblongues, échinulées.

Macrosp. |, > <.

Heterosp. Phragmitis. Sacc.
Cladosporium Phraägmitis, Opiz.
Con. 16-20 — 8-10 (sept. 1-2).
Hyphes tortueuses, fasciculées, d'un rouge fuligineux; conidies oblongues

d’un rouge fuligineux, granuleuses cxtérieurement,
Sur feuilles de Phragmites communis. Z. arg. sablon.

( 235 )

Heterosp. Variabile, Cooke.

Con. 20-50 — 7-10 (sept. 1-3).

Épiphylles érumpents, avec taches subeirculaires ou irrégulières; hyphes
fasciculées, flexueuses, noueuses, délicates; conidies échinulées.
Sur feuilles pourrissantes de Spinacia oleracea. Z. arg. sabl.

Heterosp. Echinulatum, (Berk.) Cooke.

Heterosporium Dianthi, Sacc.

Con. 40-453 — 15-16 (sept. 2-3).

Petites touffes rassemblées sur des taches d'un sombre brunâtre; hyphes
fasciculées sortant d’une base celluleuse et stromatique, flexueuses-noueuses
du dessus, fuligineuses; conidies cylindracées-oblongues, arrondies, aspe-
rulées, fuligineuses, légèrement resserrées.

Sur feuilles de Dianthus. Z. arden.

GENRE : CERCOSPORA, Fres.

Hyphes molles ; ordinairement biophiles; conidies vermiculaires, lisses.

Macrosp. Sp. '], < à], <.

Cercosp. Lilacis, (Desm.) Sacc.

Exosporium Lilacis, Desm.

Con. 13-25 y. long. (sept. 3-4).

Cercosp. Campi-Silii, Speg.

Con. 20-35 — 4-3 (sept. 2-3).

Taches circulaires-anguleuses, pâlissant à la partie supérieure, brunissant
à la partie inférieure; hyphes simples en touffes denses, olivacées, dressées
ou tortueuses, denticulées; conidies cylindracées-fusoïdes, à tunique épaisse,
comme légèrement enfumées.

Sur feuilles d’Impatiens noli tangere. Z. arden.

16

( 234 )

Cercosp. Lythri, (West.) Ness].
Cladosporium Lythri, West.

Con. 23-50 — 4 (sept. 1-5).

Cercosp. Majanthemi, Fuckl.

Con. 43-55 — 6 (sept. 4-6).

Petites touffes puncliformes, rassemblées-serrées, d’un vert cendré, sur
des taches stériles; hyphes dressées, continues, flexueuses, épaisses, sombre-
brun, multigouttes; conidies linéaires, d’un olive sombre brun, souvent
courbées,

Sur la face inférieure du Majanthemum bifolium. Z. arg. sablon.

Cercosp. Ferruginea, Fckl.

Con. 46-100 — 6-7 (sept. 3-7) (goutt.).

Petites touffes minces, largement étalées; hyphes très longues, rampantes,
rameuses, ferrugineuses; conidies variables, allongées en massue, souvent
courbées, à gouttes, d’un sombre brunâtre.

Sur face inférieure des feuilles de lArtemisia vulgaris. Z. arg. sablon.

Cercosp. Bellynekii, (West.) Sacc.
Cladosporium Bellynckii, West.

Con. 60-100 — 3-6 (sept. 3-8).

Cercosp. Depazeoïdes, (Desm.) Sacc.
Exosporium Depaxeoides, Desm.

Con. 76 — 3 (sept. 4-9).

Cercosp. Mercurialis, Pass.

Con. 70-80 — 4-6 (sept. 2-7).

Taches d’un blane argenté, arrondies, limitées de sombre brunâtre;
petites touffes rassemblées; hyphes fuligineuses, tortueuses, noduleuses,
courtes; conidies cylindracées-bacillaires, atténuées du dessus, à lunique
épaisse, hyalines.

Sur feuilles de Mercurialis. Z. arg. sablon. et arden,

(235)

Cercosp. Beticola, Sacc.

Con. 70-120 — 3 (densem. sept.).

Taches vagues, stériles, souvent entourées de roux; hyphes fasciculées,
cylindracées, nodulcuses au sommet, assez sombres; conidies aciculaires,
hyalines.

Sur les feuilles de Bela vulgaris. Z. arg. sablon.

Cercosp. Cheïiranthi, Sacc.

Con. 90-100 — 4-4 1}, (pluri. sept.).

Taches variées, blanchâtres, stériles; hyphes fasciculées, septées, fuligi-
neuses, ramuleuses; conidies bacillaires, fusoïdes, hyalines.
Sur les feuilles du Cheiranthus cheiri. Z. arden.

Cercosp. Resedæ, Fück.

Con. 100-140 — 2 1-3 (sept. 4-5).

Petites touffes punctiformes, rassemblées, grises, sur taches stériles;
hyphes rassemblées-serrées, très simples, subtortueuses du dessus, d’un
sombre brunâtre; conidies linéaires, légèrement en massue, hyalines.

Sur les feuilles du Reseda lutcola. Z. arg. sablon.

Cercosp. Lepidii, Peck.

Con. 150-200 — 20-23 (sept. 8-9).

Petites taches orbiculaires, subcendrées ou d'un gris noirâtre, souvent
alignées concentriquement; hyphes 1-5 fasciculées, pâles; conidies très
longues, atténuées du dessus, verdâtres.

Sur les feuilles de Lepidium campestre.

Cercosp. Malvarum, Sacc.

Con. 420-130 — 3 !/,-4.

Taches amphigènes, olivacées; petites touffes, punctiformes, olivacées;
hyphes rassemblées, septées, peu noduleuses, olivacées ; conidies filiformes
plus aiguës du dessus, légèrement courbées, hyalines.

Sur les feuilles de Malva moschata. Z. arden.

Cercosp. Fraxini, (D. C.) Sacc.

Exosporium Fraxini, (Fr.) Niessl.

(256 )

Sous-FAMILLE : TRICHOSPORIEZÆ.

Correspond à la sous-famille des Sporotricheæ-Mucedineæ.
AMEROSPORÆ.
GENRE : ZYGODESMUS, Cda.

Microsp. Sp. 1.

Zygodes. Fulvus, Sacc.
Con. 8 &. diam.

Petites touffes, couleur or fauve, étalées diversement; hyphes rameuses,
entrelacées, rampantes, subfuligineuses; conidies globuleuses, échinulées,
d’un jaune un peu sombre.

Sur les feuilles pourries. Z. arden.

Variété Olivascens.

Conidies subolivacées.
Sur bois pourri. Z. arden. (Libert.)

Zygodes. Fuseus, Cda.

Con. 9-11 1. diam.

GENRE : TRICHOSPORIUM, Fr.

Hyphes rampantes; conidies lisses, sombres, sans sporophores, insérées
sur les rameaux.

Microsp. 1 > à 1,

Trichos. Cerealis, (Thüm.) Sacc.
Sporotrichum Cerealis, Thüum.

Con. 8-4 u. diam. (goutt. 1 hyaline).

Étalé, sombre-brun; hyphes peu rameuses, sombres; conidies globuleuses,
d’un olive sombre brun.
Sur feuilles et chaume de Secale, Z. arden. (Libert.)

(237 )

Trichos. Olivatrum. Sacc.

Con. 8 1/9 p.. diam. (goutt. 1).

Étalé, noir, subpulvérulent; hyphes peu rameuses, sombres; conidies
insérées près de l'extrémité des rameaux, presque en épis, globuleuses,
d’un noir olivacé.

Sur papier et toile pourris. Z. arden.

Trichos. Crispulum, Sacc.
Con. 5-6 — 4.

Petites touffes apprimées, maculiformes, veloutées, d’un olivacé fuligi-
neux; hyphes fasciculées, souvent flexueuses, peu rameuses, fuligineuses ;

conidies obovoïdes, incolores, rassemblées vers l'extrémité des petits
rameaux.

Sur les rameaux pourris des rosiers. Z. arden.

Trichos. Nigricans, Sacc.

Con. 6 1-8 11. diam. (goutt. 1 plus pâle).

Étalé, noir, velouté ou pulvérulent; hyphes demi-couchées, anastomosées
à la base, simples ou fourchues du dessus et un peu enflées, fuligineuses;
conidies insérées vers le sommet, globuleuses, d’un noir fuligineux.

Sur le bois de hêtre pourrissant. Z. arg. sablon.

Trichos. Tabacinum, Sacc.

2on. 7-7 1/9 — 4-3,

Étalé largement, couleur tabac, pulvérulent; hyphes avec de petits
rameaux tortueux, noduleux ; conidies allongées, ellipsoïdes, à base légère-
ment aiguë, couleur de miel-tabac,

Sur le bois pourri. Z. arden.

Trichos. Fuscum, Lk.
Sporotrichum Fuscum, Lk.

Con. S-11 — 6-7.

Trichos. Brunneum, (Schenk.) Sacc.

Sporotrichum brunneum, Schenk.

Con. 40 p.. diam.

Brun; hyphes rameuses; conidies globuleuses, substipitées.
A l’intérieur d’un œuf conservé.

Trichos. Collæ, (Lk.) Sacc.
Sporotrichum Colle, Lk.

Collarium Melanospermum, Fr.

GENRE : RHINOCLADIUM, Sacc. et March.

Hyphes sombres, ascendantes; conidies d’un noir fuligineux, placées sur
des dents auxquelles elles sont longtemps adhérentes.

Rhinoclad. Coprogenum, Sacc. et March.

Con. 91-12 1. diam.
Étalé, soyeux-hérissé, noir; hyphes allongées, flexueuses , assez dures ;

conidies globuleuses, d’un noir fuligineux.
Sur le fumier de lapin. Z. arg. sablon.

GENRE : CLADORRHINUM, Sacc. et March.

Hyphes rampantes, vaguement rameuses, ce genre ne se distingue du

Rhinocladium que par les spores ou conidies hyalines.

Cladorrhi, Fecundissimum, Sacc. et March.

Con. 2,8-3,2 1. diam. ”
Petites touffes assez denses, subveloutées, d'un gris jaunâtre; hyphes
2 ? Dee D
rampantes, entrelacées, rameu$es, septées; conidies copieuses, globuleuses,
provenant de dents assez longues des hyphes.
Sur le fumier de sanglier. Z. arden.

( 259 )

SOUS-FAMILLE : HELMINTHOSPORIEZÆ.

Hyphes dressées surtout, subsimples, saprogènes.

DIDYMOSPORÆ.

GENRE : CLADOSPORIUM, Lk.

Conidies 0-5 septées; hyphes légèrement couchées, ramuleuses, olivacées ;
quelquefois des chainettes courtes. Conidies globuleuses au début, continues,
À à 5 septées.

Microsp. et Macrosp. 1], < à 'L > <.

=

Clados. Rhoïs, Arcang.

Con. 8-6 — 4 (sept. 1-3).

Hyphes fasciculées, raides, toruleuses, sombres; conidies cylindriques-
allongées.

Sur feuilles de rhois. Z. arden.

Clados. Herbaruwm, (Pers.) Lk.
(Sept. 1-5.)

Couche veloutée d’un olive plus ou moins foncé, due aux hyphes ras-
semblées ; hyphes dressées, peu rameuses, brunes ou olivacées; conidies
concolores, oblongues, ovoïdes, cylindracées, resserrées aux cloisons.

Sur toute espèce de végétal.

Variété Nigricans.

Couches noires, compactes. Z. arden.

Variété Fimicolum, March.

Con. 18-20 — 5-3 (sept. 1).

Hyphes couchées, flexueuses, noduleuses, olivacées; conidies ellipsoïdes,
d'un jaune brunâtre.

Sur fumier de souris et de rat. Z. arg. sablon.

( 240 )

Clados. Nodulosum, Cda.

Con. 13-16 1. épais (sept. 0-1).

Petites touffes oblongues, aiguës, d’un olive sombre, puis noires; hyphes
longues, flexueuses, incurvées au sommet, portant des rameaux en forme
de verrues ou de nœuds; conidies oblongues ou en forme de coin, concolores.

Sur les tiges d'Helianthus. Jardin botanique de Bruxelles.

Clados. Caricicolum, Cd.

Con. 48 p.. long. (sept. 2-3).

Petites touffes érumpentes, sériées, sombre-brun; hyphes concolores
à sommet blanc et acuminé ; conidies oblongues, d’un jaune päle.
Sur feuilles et chaumes des Carex. Z. arg. sablon.

Clados. Asteroma, Fckl.

Con. 32 — 6 (sept. 1-2).

Petites touffes au centre d’une tache sombre brun, disposées en séries
arborescentes d’un jaune verdàtre; hyphes très courtes ; conidies oblongues-
elliptiques, resserrées, à loges inégales, l'inférieure oblongue, acuminée
vers la base, jaunâtres.

Sur feuilles vivantes de Populus tremula. Z. arden.

Clados. Lignicolum, Cd.
(Polydymes.)

Petites touffes étalées, tomenteusces, noires; hyphes courtes, subsimples,
sombre-brun ; conidies petites, concolores.
Sur des souches, des éclats de bois. Z. arg. sablon.

Clados. Graminum, Cd.

Con. 16 — 6-8 (sept. 0 à polydymes).

Petites touffes irrégulières, minces, éparses, d’un gris sombre brun;
hyphes distinctes, dressées, simples, noduleuses-flexueuses, d’un sombre
brun; conidies concolores, arrondies ou oblongues,

Sur les feuilles et chaumes de Graminis et Carex. Partout.

Clados. Typharum, Desm.

Con. 20-22 — 8 (sept. 2-3).

(241 )

Clados. Fuligineum, Bon.
(Sept. 1).

Petites toufles fuligineuses ; hyphes dressées subsimples, noueuses,
genouillées et incurvées, d'un olive fuligineux; conidies oblongues, acu-
minées, uniseptées, se maintenant en chaines simples, terminales.

Sur les bolets desséchés. Z. arg. sablon.

Clados. Umbrinum, Fr.
Botrytis Pulvinata, Lx.

Petites touffes étalées, contiguës, minces, veloutées, ombrées; hyphes
plus ou moins rameuses, courbées ; conidies subglobuleuses, rassemblées
en glomérules.

Sur les champignons pourrissants. Z. arg. sablon.

Clados. Fasciculare, (Pers.) Fr.

Petites touffes subérumpentes; taches oblongues, cendrées; hyphes
flexueuses du sommet, subseptées, noires; conidies conglobées ou disposées
en séries plus pâles.

Sur les tiges de Lilium. Z. arden.

GENRE : SCOLECOTRICHUM, K. et S.

Cest le genre Fusicladium à spores acropleurogènes;
hyphes courtes.

Scolecotrich. Clavariaruwum, (Desm.) Sacc.

Helminthosporium Clavariarum, Desm.

Con. 15-20 — 8 (goutt. 2) (sept. 1-2).

Hyphes simples, courtes, dressées, rassemblées, noires, septées; conidies
oblongues, resserrées, pellucides ou opaques, loges souvent inégales.

Sur Clavaria cinerea. Z. arg. sablon.

Scolecotrich. Graminis, Fckl.

Con. 33-45 — 8-10 (sept. 1).

(242 )

PHRAGMOSPOR Æ.

GENRE : HELMINTHOSPORIUM, Lk.

Hyphes rigides, ordinairement epixyles; conidies allongées, pluriseptées,
rigides.

Macrosp 1 > RAM
Helminthos. Minutum, Schulz.
Con. 28 —S (sept. 4).
Maculiforme, noir, velouté; hyphes subfasciculées, fuligineuses, plus
pâles du dessus; conidies obovées-oblongues, fuligineuses, à base aiguë,

sommet arrondi.
Sur tronc carié de charme. Z. arden.,

Helminthos. Velutinum, Lk.
Con. 25-30 — 14-43 (sept. 3) (goutt. 3).

Helminthos. Gongrotrichum, Cd.

Con. 34-35 11. long. (sept. 7-8).

Petites touffes subétalées, noires; hyphes courbées, rigides, verruqueuses,
devenant d’un noir intense; conidies elliptiques, atténuées, sombres, pellu-
cides.

Sur rameaux de peuplier. Z. arg. sablon.
Helminthos. Apiculatum, Cd.
Con. 35-38 — 12 (sept. 6-8).
Helminthos. Fusiforme, Cda.

Con. 38-40 — 10-12 (sept. 7-9).

Étalé, soyeux-velouté, sombre-brun; hyphes tortueuses, plus pâles du
dessus, fuligineuses; conidies fusiformes, fuligineuses, souvent plus päles
aux extrémités.

Sur rameaux de chèvre-feuille. Z. arg. sablon.

Helminthos. Appendiculatum, Cd.

Con. 40-50 — 15-18 (sept. 6-7).

CT

(245)

Helminthos. Genistæ, Fr.

Con. 60-80 — 12-124 (sept. 7); 43-50 — 15 (sept. à).

Hyphes fasciculées, érumpentes d’un strome mince disposé en série;
conidies en massue, atténuées du dessous d’un fuligineux olivacé, non
resserrées.

Sur rameaux de Spartium scoparius. Z. arden. et arg. sablon.

Helminthos. Folliculatumm, Cda.

Con. 45-535 — 12 (sept. 6-7).

Petites touffes indéterminées, exiguës, tomenteuses; hyphes rameuses,
lâches, brunes, flexueuses; conidies très longues, folliculées, brunes,
à noyaux cuboïdes, plus pâles aux extrémités.

Sur tiges de choux. Z. arden.

Helminthos. Rousselianum, Mont.

Con. 30 — 5 (sept. 3-b).

Hyphes rassemblées, noduleuses, d'un noir fuligineux, à base bulbeuse,
à sommet pellucide, oblong, épaissi; conidies fusiformes, hyalines, insé-
rées aux parois des hyphes.

Sur des éclats de bois avec Sporochisma mirabile. Z_ arg. sablon.

Helminthos. Inconspicuum, C. et Ell.

Con. 37-90 — 15-16 (sept. 3-8) Bom. et Rouss.
Con. 80-120 — 20 (sept. 3-5) (goutt. 4-6).

Étalé, très mince; hyphes noduleuses d'un brun pâle; conidies lancéolées,
à épispore mince.

Sur les épillets et les feuilles vivantes du Setaria viridis. Montaigle.

Helminthos. Macrocarpum, Grev.

Helm. Malmediense, Thüm.

Con. 60-80 — 15-18 acrog. (6-9 sept.).

Variété Caudatum. Z. arden.

; Con. S0-90 — 12.

(244)

Helminthos. Rhopaloïdes, Fres,

Con. 76 — 11-12; GO — 10-11 (sept. 9-12).

Étalé, velouté, d'un noir olive; hyphes fuligineuses, cylindracées; coni-
dies cylindracées en massue, obtuses, acrogènes, sombres, à extrémités
subhyalines.

Sur rameaux et éclats de bois. Z. arg. sablon. Sur tiges d’orties. Z. arden.

Helminthos. Tiliæ, Fr.

Con. SO — 42 (sept. 7); 60 — 15 (à faussem. sept.).
Étalé, lâchement touffu; conidies cylindracées, légèrement en massue,

faussement septées, fuligineuses; hyphes fasciculées, æquilongues, septées.
Sur rameaux du tilleul. Z. arg. sablon.

Helminthos. Acroleucum, Sacc., Bom. et Rouss.

Con. ordinair. 68-66 — 5 ; 39-163 — 3-7 (sept. 5-28).
Largement étalé, d’un noir velouté; hyphes parfois subnoduleuses, un peu
tortueuses, septées; conidies acrospores, olivacé pellucide, étroitement clavi-
formes et largement atténuées à la base, tronquées au sommet, terminées
par une verrue hyaline très caduque.
Sur les rameaux décortiqués de Sambucus nigra et du Syringa vulgaris.
Z. arg. sablon.

Helminthos. Turbinatum, B. et Br.

(Sept. 4-7.)

Touffes minces, étalées, veloutées; hyphes simples d’un brun pâle ;
conidies allongées-turbinées, bien brunes, subtronquées-apiculées au sommet,
apicule tombant ensuite.

Sur les rameaux morts. Z. arg. sablon.

(245)

GENRE : BRACHYSPORIUM, Sacc.

Division du genre Helminthosporium.

Diffère de l’Helminthosporium par les conoïdes-ovoïdes, 2-3 septées.

Macrosp. !/, > à 5], .
Brachys. Flexuosum, (Cd.) Sacc.

Con. S-16 1. (sept. 2-3).

Petites touffes linéaires, sombre-brun ; hyphes flexueuses, inégales, septées,
diaphanes, sombre-brun; conidies ovées-oblongues, jaunes, pellucides.
Sur des graminées et des Carex. Z. cale.

Brachys. Apicale, (B. et Br.) Sacc.
Helminthosporium Apicale, B. et Br.

Con. 47-18 vu. long. (sept. 3).

Hyphes simples, égales, atténuées du dessus; articles ultimes verrucu-
leux-conidiophores ; conidies ellipsoïdes, brunes, extrémités hyalines.
Sur des rameaux tombés. Z. arg. sablon.

Brachys. Oosporum, (Cd.) Sacc.
Helminthosporium Oosporum, Sacc.

Con. 48-20 p.. long. (sept. 3).

Petites touffes minces; hyphes éparses, d’un noir brun; conidies oblon-
gues-ovoides, d’un jaune brun, pellucides.
Sur des rameaux pourrissants. Z. arg. sablon.

Brachys. Ohovatum, (Berk.) Sacc.
Helminthosporium Obovatum, Berk.

Con. 23 — 13 (sept. 2).

Étalé, dense, velouté, noir; hyphes simples, subulées, à base légèrement
épaissie; conidies obovées-piriformes, apiculées, légèrement resserrées,
brunes, loge supérieure plus grande, arrondie, plus pâle.

Sur des rameaux et des éclats de bois. Z. arg. sablon.

U d APCTEN É:

( 246 )

Brachys. Coryneoïdeum, (De Not.) Sacc.

Helminthosporium Coryneoideum, De Not. |

Con. 23-28 — 15-16 (sept. 6-7). |

Hyphes fasciculées, rigides, fuligineuses ; conidies acrogènes, obovées,
subtronquées à la base, fuligineuses, les extrémités plus pâles. |

Variété Proliferum, Sacc., Bom. et Rouss. Le.

Con. 32-353 — 18 (plurisept.). D

Conidies ellipsoïdes, 5 loges, non resserrées, fuligineuses, surmontées
d’un article sphérique, uni, à une goutte, d'un ochre brun sombre, de
20 y. diam., se séparant promptement de la conidie.

Sur les tiges d'Urlica dioica. Z. arg. sablon.

Brachys. Fumosum, (E. M.) Sacc.

Helminthosporium Fumosum, Ell. et Mart.

Con. 23-30 — 10-12 (sept. 5).

Brachys. Biseptatum, Sacc. et Roum.

Con. 23-30 — 13 (sept. 2) (goutt. 3).

Petites touffes noires; -hyphes fasciculées, arrondies du dessus, d’un
fuligineux intense; conidies ellipsoïdes, arrondies, d’un fuligineux olive.
Sur les tiges pourries. Z. arden. (Libert.)

Brachys. Oligocarpum, (Cd.) Sacc.

Helminthosporium Oligocarpum, Cd.

Con. 30 1. long. (sept. 3).

Touffes petites, linéaires, subparallèles; hyphes flexueuses, fasciculées,
d’un noir brunâtre, très finement velues; articles subquadratés; conidies
ovées-oblongues, d'un jaune sombre brun, ornées au sommet d’un apieule
aigu.

Sur des rameaux pourrissants du hêtre. Z. arg. sablon.

( 247 )

Brachys. Stemphylioïdes, (Cda.) Sacc.
Helminthosporium Stemphylioides, Cd.
Con. 35-327 — 16-18 (5-6 sept.) (goutt. au milieu).
Petites touffes étalées, veloutées, noires; hyphes courtes, denses, pâles;
conidies terminales, solitaires, obovées; loges intermédiaires sombre-bru-

nâtre, binées, avec gouttes, les autres flaves ou subhyalines.
Sur vieux bois de Taxus baccata. Z. arg. sablon.

Brachys. Crepini West.) Sacc.
Helminthosporium Crepini, West.

Con. 50-60 — 17-20 (sept. 5).

DICTYOSPORÆ.
GENRE : MACROSPORIEUM, Fr.

Hyphes molles, dressées; conidies muriformes, oblongues, d’un sombre
brunûtre.

Macrosp. |, > <à5l, <.
Macrospor. Cladosporioïdes, Desm.

Con. 45-73 1. long. (sept. 2-3-10).

Macrospor. Frichellwuem, Arc. et Sacc.

Stemphylium Trichellum, Are. et Sacc.

Con. 30-35 — 48 (sept. murif. 4-5).

Petites touffes vermiculairiforme, sur des taches blanchâtres ct stériles;
hyphes fasciculées, cylindriques, septées, fuligineuses; conidies obovées,
acrogènes, fuligineuses, resserrécs.

Sur la face supérieure de l'Evonymus japonicus. Z. arden.

Macrospor. Hetcronemum, (Desm.) Sacc.

Con. 56-60 y. long. (sept. cellul. 3-7).

( 248 )

Macrospor. Brassicæ, Berk.

Con. 50-60 — 12-14 (sept. 5-11), quelquefois cloison longitud.
Con. 128 — 18.

Le Macrosporium Brassicæ, Berk., et l’Alternaria Brassiceæ,
(Berk.?) Sacc., sont pour moi une même espèce.

HELICOSPORÆ, Sacc.

GENRE : HELICOSPORIUM. Nees.
Hyphes fertiles dressées, sombres, avec des dents sporigères disposées

cà et là; conidies hélicoïdes, plurigouttes ou pluriseptées.

Macrosp. Sp. |, <.

Helicospor. Viride, (Cda.) Sacc.
Helicocoryne Viridis, Cda.

Con. 43-50 11. long. Spires 1-2 (sept. 4-6).

Petites touffes étalées, d’un olive vert, délicates ; hyphes simples, oliva-
cées, septées, dressées, hyalines du sommet; conidies hyalines.
Sur le bois mort du pin. Z. arg. sablon.

Helicospor. Vegetum, Nees.

Con. 45-63 — 1-1 1. Spires 2-3 (plurigouttes).

Helicospor. Pulvinatum, (Nees.) Fr.
Helocotrichum Pulvinatum, Nees.

Con. 76-80 y. long. Spires 2 1/,-3 (plurigouttes).

Petites touffes largement étalées, d'un blanc jaunâtre sale, puis plus
obscures ; hyphes rameuses; conidies hyalines.
Sur rameaux de frêne. Z. arg. sablon.

à à dt Sonde

AU. DD. | us a. :

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( 249 )

Helicospor. Lumbricoïdes, Sacc.

Con. 430 — 4. Spires 2-3 1}, (plurigouttes).

Étalé, maculiforme, d'un blanc grisâtre; hyphes rampantes, rameuses,
anastomosées, peu septées, d'un fuligineux dilué, à dents hyalines; conidies
vermiculaires, hyalines.

Sur les büches pourries du hêtre. Z. arg. sablon.

Helicospor. Mülleri, (Cda.) Sacc.
Helicoma Mülleri, Cda.
Con. 6-7 u. large (sept. 3-5).
Petites touffes largement étalées, tomenteuses, d’un noir olivacé; hyphes
fertiles fasciculées, connées, rigides, simples, rameuses ou denticulées au
sommet, septées, fuligineuses ou brunes; conidies vermiculaires, hélicoïdes,

hyalines.
Sur rameaux de hêtre. Z. arg. sablon.

Helicospor. Fuckelii, Fres.
Con. 40-15 y. large. Spires 2 1-3 continues.
Hyphes fertiles dressées ou courbées, septées, serrées, brunes, rameaux

courts, plus pâles du dessus; conidies hyalines, tours de spires assez serrés.
Sur strome d’£utypa lata. Z. arg. sablon.

Helicospor. Phæosporum, (Fres.) Sacc.
Helicoma Phæosporum, Fres.
Con. 44-16 x. large. Spires 2-2 1/, (sept. 5-12).
D'un brun olive; hyphes fertiles, sombres, courtes ; conidies d'un brun

noir, avec des appendices fusoïdes à la base, tours de spires serrés.
Sur écorce de peuplier. Z. arg. sablon.

AMEROSPORÆ.
GENRE : MENISPORA, Pers.

Hyphes fertiles, dressées, septées, sombres, rameuses, pellucides vers
le milieu; conidies fusoïdes en faulx, tout au plus faussement septées,
souvent sétigères.

Ce genre tient le milieu entre les acrogènes et les mesogènes.

17

( 250 )

Macrosp. Sp. ‘], > <.
Menisp. Ciliata, Cda.

Con. 16-17 pu. long. (cils 2).

Menisp. Libertiana, Sacc. et Roum.

Con. 20-23 — 5 (sept. 3) (goutt.) (cils 2).

Étalé, d’un bleu brunâtre sale et sombre; hyphes tortueuses, d’un olive
fuligineux ; rameaux courts vers 1e sommet; spores cylindracées, arrondies,
courbées, acro-pleurogènes sur des rameaux courts, hyalins, d’un brun
légèrement foncé, cils sur le côté.

Sur des fragments de bois pourri. Z. arden.

III. — CONIDIES MESOGÈNES.

C'est-à-dire conidies venant sur des rameaux tenant le milieu
de la hyphe fertile.

Sous-FAMILLE : CHLORIDIEZÆ.
AMEROSPORÆ.

GENRE : MESOBOTRYS, Sacc.

Hyphes dressées, sombre-bran, courtement ramuleuses vers le milieu;
conidies ovoides, hyalines.

Microsp. ‘|, > à 3], 2.

Mesobot. Fusca, (Cda.) Sacc.

Chætopsis Fusca, Cd.
Con. 5 L. long.

Hyphes atténuées du dessus, pellucides, d’un jaune sombre brunâtre,
petits rameaux ternés ou quaternés, posés régulièrement, obtus; conidies
ovées, blanches.

Variété Brachyclada, Sacc.
Con. 2-2 1,9 — 1.
Rameaux subcontinus, tortueux.
Sur le bois pourrissant. Z. arg. sablon.

( 251 )

GENRE : CHÆTOPSIS, Grev.

C'est le genre Mesobotrys avec conidies cylindracées, hyalines.

Chætop. Grisea, (Ehrenb.) Sacc.
Chœtops. Wauchii, Grev.

Hyphes rassemblées, d’un noir brunâtre, rigides, subulées, rameuses vers
le milieu; conidics oblongues, cylindracées, rassemblées en une masse grise.
Sur les troncs pourrissants des arbres. (A cherchér.)

IV. — CONIDIES PODOGÈNES.

C'est-à-dire conidies rassemblées à la base des hyphes ou venant
sur des rameaux de la base des hyphes.

Sous-FamiLLE : MYXOTRICHEÆ.
* SPORES AGGLOMÉRÉES A LA BASE DES HYPHES.
AMEROSPORÆ.
GENRE : BOLACOTRICHA, B. et Br.

Hyphes recourbées au sommet, simples; conidies brièvement pédicellées.

Bolacotri. Grisea, B. et Br.

Petites touffes grises, myxotrichoïdes ; hyphes épaissies du dessous,
recourbées du dessus; conidies globuleuses, granuleuses, rassemblées.
Sur les feuilles pourrissantes. Z. arg. sablon.

*
GENRE : MYXOTRICHUM, Kze.

Hyphes droites ou courbées, bien rameuses à lu base.

Microsp. Sp. 5], à 1.
Myxotrich. Chartarum, K7.
Con. 4 p.. diam.

Hyphes couchées, rameuses, divariquées, subsimples et uncinées du
dessus, formant de petites touffes d’un noir olive; conidies rassemblées au
sommet des rameaux de la base.

Sur le papier dans les endroits humides. Partout.

{ 252)

Myxotrich. Murorum, Kze.

Con. 8-4 pu. diam.

Hyphes droites au sommet, 1ameuses, dichotomes, entrelacées sous forme
de couche sombre; conidies globuleuses, hyalines, très serrées les unes
contre les autres.

Myxotrich. Coprogenum, Sacc.

Con. 8-3 1}, u. diam. souvent au nombre de 8.

Petites touffes d’un rose ochracé, pulvinées; hyphes à dichotomie répétée.

et rameuse; rameaux ultimes souvent courbés, granuleux, d’un ocre flave ;
conidies rassemblées au début dans une vésicule sphérique, souvent glo-
buleuses-déprimées.

Sur le fumier de souris. Z. arg. sablon.

Myxotrich. Cancellatum, Phill.

Con. & p. long.

Petites touffes cendrées, globuleuses; hyphes longues, subulées, simples,
noirâtres, formant vers la base un treillis rameux; conidies ellipsoïdes,
très petiles, subhyalines, renfermées dans le réseau.

Sur le bois humide dans les caves. Z. arden.

** SPORES SOLITAIRES A LA BASE DES HYPHES.

AMEROSPORÆ.

GENRE : BOTRYOTRICHUM, Sacc. et March.

Hyphes fertiles, hyalines, vaguement rameuses, portant à la base des
hyphes stériles, septées et subfuligineuses ; conidies sphéroïdes, hyalines.

Botryotrich. Piluliferum, Sacc. et March.

Con. 41-14 p.. diam.

Hyphes stériles, fasciculées, à bases enflées; conidies globuleuses, hyalines,
acrogènes aux rameaux des hyphes, hyalines, procumbentes et vaguement
rameuses.

Sur le fumier de lapin. Z. arg. sablon.

( 255 )

GENRE : HELICOTRICHUM, Nees.

Hyphes, dressées, simples, fuligincuses, arrondies du dessus; conidies
bacillaires, acrogènes, sur de courtes basides aux pieds des hyphes.

Helicotrich. Obscurum, (Cda.) Sacc.

Helicosporium Obscurum, Cda.
Con. 15 — 1.

Petites touffes subétalées, d’un sombre brun olive; hyphes dressées, peu
épaissies du dessous, très septées, noires, bien recourbées du dessus;
basides cylindracées-oblongues, courtes, d’un fuligineux clair; conidies
cylindriques, arrondies, hyalines, légèrement courbes.

Sur les rameaux déjetés et le bois, sur tige de Dipsacus. Z. arden.

V. — CONIDIES PLEUROGÈNES.
AMEROSPORÆ.

GENRE : VERGARIA, Nees.

[Correspond aux genres Haplaria et Acladium (Mucedineæ)|.

Hyphes simples ou fourchues; conidies globuleuses ou ovoïdes, fuligi-
neuses.

Microsp. !|, > à A.
Virgar. Coffeospora, Sacc., Bom. et Rouss.

Con. 10 — 3 (goutt. 2).

Etalés, veloutés-soyeux, noirs; byphes rigides, aiguës du dessus, peu
septées, fuligincuses, subsimples; conidies ovoïdes, planes, convexes (cofféi-
formes), fuligineuses.

Sur bois de hêtre pourrissant. Z. arg. sablon.

( 254 )

B. Conidies en chaînettes.

a) Conidies en tète au sommet des hyphes simples, non renflées ou légèrement
rameuses au sommet.

Sous-Famizze : HAPLOGRAPHIEÆ.

Correspond au genre Penicillium.
AMEROSPORÆ.

GENRE : HAPLOGRAPHIUM, PE. et Br.

Hyphes fertiles, simples, septées, sombres, ayant au sommet des rameaux
tantôt très courts, tantôt assez longs; conidies globuleuses ou subfusoïdes,
plus ou moins foncées.

Microsp. et Macrosp. |, > à 1.

Haplograph. Delicatum, B. et Br.

Con. 5 1. long.

Couche olivacée ; hyphes fertiles, noires, simples, rarement ramuleuses;
conidies oblongues en chainettes, rarement rameuses, formant une petite
tête olivacée.

Sur des éclats de bois. Z. arg. sablon.

PHRAGMOSPORÆ.
GENRE : DENDRYPHIUM, Walir.
I. — CONIDIES DISTINCTEMENT EN CHAINETTES.
Dendryphi. Comosum, Wallr.

Con 6 p. épais. (sept. 4-5).

Dendryphi. Fumosum, (Cda.) Fr.

(Sept. 10-12.)

( 255 )

II. — CONIDIES À PEINE EN CHAINETTES (Brachycladium, Cda.).

Dendryphi. Toruloïdes, (Fres.) Sacc.
Periconia Toruloïides, Fres.

Con. 20-23 — 6-7 (sept. à); hyphes 200-250 — S-11.

Étalé, velouté, d’un roux olivacé; hyphes septées, fuligineuses, avec des
rameaux au sommet très courts, oblus; conidies cylindracées, d’un fuligi-
neux olivacé, resserrées aux cloisons.

Sur tiges de Spiræa. Z. arden.

Dendryphi. Curtum, B. et Br.

Con. 20-23 — % 1/-2 (sept. 5-7); hyphes 130-180 — 3-7 1).
Étalé, mince, noircissant; hyphes cylindracées, septées, fuligineuses,
courtement ramuleuses au sommet; conidies cylindracées, resserrées aux
cloisons, fuligineuses.
Sur tiges d’orties. Partout.

Dendryphi. Ramosum, Cooke.

Con. 23 — 6-7 (sept. 3-5).

Étalé, noircissant; hyphes dressées, septées, à rameaux fourchus, allongés,
lâches; conidies droites, cylindracées, d’un fuligineux pâle.
Sur les tiges de Clarkia. Z. arg. sablon.

Dendryph. Penicillatum (Cda.) Fr.
(Sept. 3-4.)

b) Conidies acrogènes au sommet des hyphes ou drs rameaux.
Sous-FamILze : CLADOSPORIEÆ. .
AMEROSPORÆ.

GENRE : HORMODENDRUM, Bonord.

Hyphes septées, dressées, sombres, rameuses-dendroïdes; conidies glo-
buleuses où ovoïdes, continues, olivacées ou sombre-brun.

( 256 )

DIDYMOSPORÆ.
GENRE : CLADOTRICHUM, Cd.

Hyphes denses, rigides, dressées, rameuses, ca et là légèrement enflées ;
conidies didymes, sombres, en chainettes courtes.

Microsp. et Macrosp. 5[, Ze 1 Z.
I. — CONIDIES DISTINCTEMENT EN CHAINETTES.

Cladotrich. Triseptatum, B. et Br.
(Sept. 1, 2 cloisons supplémentaires.) ,

Largement étalé, noir, pulvéracé; hyphes fourchues, rameuses , articles
supérieurs enflés; conidies oblongues, obtuses, resserrées.
Sur des souches de frêne pourrissantes. Z. arg. sablon.

II. — CONIDIES SOLITAIRES.

Cladotrich. Nigrescens, (Lk.) Sacc.
Diplosporium Nigrescens, Lk.

.

GENRE : EPOCHNIUM, Lk.

Deux sortes de hyphes fertiles, les unes étalées, copieuses, formant un
tapis blanc et portant de petites conidies continues, hyalines; les autres
d'un sombre brun, portant des chaines de conidies didymes. Petites coni-
dies “|, >; grandes conidies ‘|, >.

GENRE : FUMAGO, Pers.

Hyphes couchées ; entremêlées, formant ordinairement une croûte noire
qui tombe, et se rassemblant en ganglions muriforhes; hyphes fertiles,
rameuses, dressées; conidies ovoides ou difformes 1-2 septées.

Fumago Vagans, Pers.
Cladosporium Fumago, Lk.

Con. 5-15 p. long. (de 0 à 2 septées).

Sur les feuilles vivantes des plantes fibreuses.

( 257 )

c) Conidies pleurogènes.
Sous-FamILe : SPORODEZÆ,

GENRE : DEMATIUM, Pers.

Voir genre Sporodum, Cd. (Fi. myc. belg.i

Demati. Hispidulum, (Pers.) Fr.
Dematium Graminum, Libert.
Sporodum Conopleoïdes, Cda.

. Exosporium Hispidulum, Lk.
Con. 40-14 H. diam.

d) Conidies endogènes.
GENRE : SPOROCHISMA, Berk.

Hyphes dressées, simples; conidies cylindracées, tronquées, septées,
sombres, réunies en chaïnettes dans les hyphes.

Macrosp. Sp. |, <.
Sporochi. Insigne, Sacc., Bom. et Rouss.

Con. 40-50 — 6-6 !}, (goutt. 10-14 septées.)

Étalé, soyeux-velouté, noir, varié de blanc (par les conidies); byphes
enflées vers le dessus, obscurément septées, fibrilleuses à la base, fuligi-
neuses ; conidies granuleuses au début, hyalines, non resserrées.

Sur le bois pourri. Z. arg. sablon.

Sporochi. Mirabile, Berk.

Con. 40-45 — 12 (sept. 3).

Étalé, noir, velouté-soyeux; hyphes simples, dressées, souvent brusque-
ment rétrécies vers la base, entremélécs de hyphes stériles, septées; coni-
dies non resserrées, fuligineuses, présentant souvent à chaque extrémité
un petit disque hyalin.

Sur une souche pourrie. Z.arg. sablon

( 258 )

Fame II : STILBEZÆ.

Hyphes fertiles, réunies en stipe, à sommet portant des conidies.

HYALOSTILBEÆ.
A. Conidies terminales formant tête.

I. — CONIDIES SOLITAIRES.

*

AMEROSPORÆ. d

+ CAPITULES NE S'ÉMIETTANT PAS ET COUVERTS DE MUCOSITÉ.
2

GENRE : STILBUM, Tode.

Strome monocéphale.
Microsp. Sp. ', > à 1.
Stilb. Vulgare, Tode.
Con. 8 — 5-6.
Stipes rassemblés, fibreux, glabres, atténués vers le dessus, d'abord
blanchâtres, puis jaunâtres; capitules globuleux, blanchâtres, puis jaunâtres;

conidies hyalines.
Sur les éclats de bois pourrissant. Z. arg. sablon.

Stilb. Villosum, (Bull.) Merat.

Con. 7-8 — 4-4 1/9 :

Blanc, isarioïde; tête subarrondie, turbinée; stipe assez épais, subvilleux,
jaunissant; conidies ovoïdes, hyalines.

Sur des excréments de poule. Z. arg. sablon.

Stilh. Erythrocephalum, Ditm.

Con. 4-6 — 2-3 1/9 .

Stilb. Tomentosum, Schr.

Stipes grêles, blanchâtres, tomenteux-glanduleux, sortant d'une base
byssoïde; capitules blanchâtres, opaques; conidies petites, globuleuses.
Sur des Trichia. Z. arg. sablon.

( 259 }

Stilb. Pellucidum, Schrad.

Épars; tête de turbinée devenant subarrondie, blanchâtre; stipe égal,
rigide, hyalin.
Sur le bois pourri, avec le Ceratostomrlla vestila. Z. arg. sablon.

++ CAPITULES NE S'ÉMIETTANT PAS, NON COUVERTS DE MUCOSITÉ.

GENRE : CHLICIOPODIUM, Cda.

Strome cylindracé en massue, compact, assez grand, agréablement coloré,
formé par des hyphes simples ou rameusës; stipe quelquefois rude ou soyeux;
conidies acrogènesshyalines.

Microsp. et Macrosp. Sp. |, < >.
Ciliciop. Tubercularioïdes, (Lib.) Sacc.
Ditiola Tubercularioides, Lib.
Con. 13-18 — 6-7.

Strome cylindracé, en massue, fasciculé, uni, rouge; conidies oblongues-
ellipsoïdes; sporophores filiformes, fourchus-répétés, hyalins, longs.
Sur l'écorce pourrissant de l’orme. Z. arden. (Libert.)
+++ CAPITULES S'ÉMIETTANT.
GENRE : PILACRE, Fr.
Pilac. Petersii, B. et C.

Con. 3 u. épais.

Stipe court, blanc; capitule assez gros; hyphes s’anastomosant à rameaux
tortueux ; conidies couleur tabac, sessiles, pleurogènes.
Sur le tronc du chêne, du hêtre Partout.
II. — CONIDIES EN CHAINES.
AMEROSPORÆ.
GENRE : COREMIUM, Lk.

C’est le genre Penicillium composé.

Strome cylindracé, à sommet en tête, conidiophore; conidies petites.

( 260 )

Corem. Glaucum, Fr.

Corem. Vulgare, Cd.
Con. 3-4 pu. diam.

Hypbhes fertiles, dressées, septécs, réunies en faisceaux et formant un stipe
blanc, rameuses au sommet; conidies subglobuleuses, pénicillées, formant
un capilu'e glaucescent.

Sur les fruits pourrissants. Partout.

Variété Fimicolum, March.

Capitule blanc, puis verdâtre. #
Sur le fumier d’éléphant. Z. arg. sablon. 2

B. Partie conidiophore formant cylindre ou massue.

AMEROSPORÆ

GENRE : ISARIA, Pers.

Isar. Farinosa, Fr.
Con. 2 L. diam.

Isar. Brachiata, (Batsch.) Schum.

Con. 8-4 — 1 1-2.

Isar. Umbrina. Pers.
Con. 3-6 — 2 1-8 1).

Isar. Felina, (D C.) Fr.

Cespiteux, allongés, filiformes, rameux, blancs, cortiqués par une couche
lâche, farineuse, conidifère; rameaux tantôt simples, tantôt divisés ou
pénicillés.

Sur le fumier de chat. Z. arg. sablon.

GENRE : CERATIUM, À. S.

Strome en massue simple ou rameuse, portant, à la partie superficielle,
des basides hétérogènes et monospores; conidies assez grandes, globuleuses,
hyalines. (Ce genre, mieux étudié, sera placé parmi les Myxomycetes.
Les conidies engendrent des amibes, des zoospores et un plasmodium.)

LTEFTPR

( 261 )

Cerat. Hydnoïdes, (Jacq.) À. et S.

Con. 10-12 — 8; 10 1. diam. (plurigouttes).

Strome cylindracé, simple ou peu rameux, blanc ou jaunâtre, quelquefois
subfasciculé, velouté par les basides (sporophores) courtes, étalées; conidies
ovoïdes, hyalines.

Sur le bois pourri; sur la sciure de bois. Z. arg. sablon.

PHRAGMOSPORÆ.

GENRE : ATRACTIUM, Lk.

Strome cylindracé, à sommet conidiophore en tête; conidies vermicu-
laires, en faulx, subhyalines, 2-pluriseptées.

Macrosp. Sp. "|, <.
Atrace. Flammum, B. ct Rav.
Con. 26-73 x. long. (sept. 4-6).

Stipe court; strome cylindracé, en massue, obtus, d’un rouge de flamme,
blanchâtre et pruineux du bas; conidies fusoïdes, courbées, aiguës, hyalines ;
sporophores longs, septés.

Sur les feuilles du hêtre. Z. arg. sablon.

PHÆOSTILBEÆ.
I. — CONIDIES SOLITAIRES.

AMEROSPORÆ.
GENRE : SPOROCYBE, Fr.

Stipe fibreux, sombre, rigide, formant au sommet un conidiophore en
tête globuleuse ou allongée; conidies d'un sombre brun, globuleuses ou
ellipsoïdes.

Microsp. Sp. }, > à 1.

Sporocy. Corticalis, (C. et P.) Sacc.

Con. 3 u. diam.

Epars, noir; stipe dressé, formé par des hyphes dressées ; tête subglobu-
leuse ; conidies globulecuses.
Sur écorce. Z. arden.

( 262 )

Sporocy. Byssoïdes, (Pers.) Bon.

Con. 4-6 — 3-4 (goutt. 1).

Sporocy. Rhopaloïdes. Sacc. et Roum.

Con. 8 — 3 1/0.

Lâchement rassemblé, noir, ayant la forme de soies; stipe cylindracé,
en massue, épaissi de la base, conidiophore du dessus, formé de hyphes
fuligineuses; conidies ovées, en massue, couleur olive,

Sur les feuilles de Cynosurus. Z. arden. (Libert.)

Sporocy. Berlesiana, Sacc. et Roum.

Con. 8-9 — 4 (goutt. 1).

Étalé, soyeux, d’un olive sombre brun; stipe cylindracé, rigide, à sommet
conidiophore en tête; conidies elliptiques-ovoïdes, fuligineuses.
Sur écorce ct rameaux pourrissants. Z. arden. (Libert.)

Sporocy. Atra, (Desm.) Sacc.

Graphium Atra, Desm.
Con. 10-12 k.

Sporocy. Calycioïdes, Fr.

Periconia Calycioides, (Fr.) Berk.

GENRE : GRAPHIUM, Cda.

Mêmes caractères que le genre Sporocybe, sauf les conidies
qui sont claires.

Graph. Rigidum, (Pers.) Sacc.
Stilbum Rigidum, Pers.
PHRAGMOSPORÆ,.

GENRE : ISARIOPSIS.

Grêle, sombre-brun, cylindracé, formé de hyphes lâches; conidies réunies
en tête ou en panicule.

oct a SlSés Lo.

( 265 )

Isariops. Carnea, Oud.

Con. 42 — 7% (sept. 1-2) (goutt. 2).

Stipe hyalin, puis couleur chair; conidies rassemblées sur les rameaux
hyalins, flexueux du sommet, elles sont continues d’abord, à gouttes épaisses.
Les feuilles présentent des taches noires, lancéolées.

Sur les feuilles de Lathyrus pratense. Z. arden.

Isariops. Albo-Rosella, [Desm.) Sacc.
Isariopsis Pusilla, Fres.
Stysanus Albo-Rosella, Desm.
Con. 20 — 7% (sept. 1).

Touffes étalées, de blanches devenant roses ; stipe simple, dressé, rose,
glabre du dessous, en massue du dessus; conidies cylindracées, oblongues
ou légèrement en massue, obtuses, subhyalines, à peine resserrées.

Sur les feuilles de Stellaria. Z. arden. et arg. sablon.

Isariops. Griscola, Sacc.

Con. 50-60 — 7-8 (sept. 1-5).

Faisceaux de stipes, densément rassemblés, sur des taches ochracées ;
sommets gris, en capitules; conidies, provenant des hyphes, épanouies
ou réfléchies au sommet, cylindracées-fusoïdes, courbées, grises, à peine
resserrées.

Sur les feuilles de Phaseolus vulgaris. Z. arden.

II. — CONIDIES EN CHAINETTES.

GENRE : STYXSANUS, Cda.

Stysan. Stemonites, (Pers.) Cda.
Con. S — 5.

GENRE : GRAPHIOTHECEUM, Fckl.

Hyphes formant stipe épaissi en périthèce à la base; conidies fusoïdes,
continues, hyalines au sommet des hyphes.

( 264 )

Graphiothec. Parasiticum, (Desm.) Sacc.

Stysanus Parasiticus, Desm.

Con. 3-7 1. long.

Très petits, subépars, simples ; stipe fibreux, grêle-subuleux, d’un noir
brunâtre, à base sphéroïde, à sommet cylindrique, blanc, couvert de coni-
dies; conidies ovoïdes.

Sur les feuilles languissantes ou pourries, surtout de Sorbus aria, Lonicera,
Ribes. Partout.

Graphiothec. Phyllogenum, (Desm.) Sacc.
Graphium Phyllogenum, Desm.

Con. 3-7 1/9 a. long.

Sur les feuilles mortes de Fragaria.

Graphiothece. Pusillum (Fckl.) Sacc.

Stysauus Pusillus, Fckl.
Con. 414 —S.

Famizze IV : TUBERCULARIEZÆ, Ehrenb.
Hyphes réunies en verrues, en globes, en disques, superficiels ou érum-

pents, céracés ou subgélatineux ; conidies naissant du sommet ou des côtés

des hyphes.
MUCEDINEÆ.

A. Sporodochies glabres ou glabrescentes.
I. — CONIDIES SOLITAIRES.
AMEROSPORÆ.

GENRE : TUBERCULARIA, Tode.

Sporodochies variables, surtout vermuformes, subcéracées; sporophores
filiformes, longs, simples où fourchus; conidies généralement pleurogènes.

ALL,
es

ca dits

( 265 })

Microsp. Sp. '], > à 1.

ŒTubercul. Pinophila, Cda.

Con. 8-8 1/9 p. long. :
Sphérique, blanc, superficiel ; strome faux; conidies ellipsoïdes, blanches,
pleines d’un noyau.
Sur troncs pourrissants d’Araucariu imbricata. Z. arg. sablon.

Tubereul. Volutella, Cd.
Con. 6-7 L.
Érumpent ou subimmergé, convexe ou disciforme, puis concave; stipe
blanchäâtre ; disque couleur chair, puis pâle; conidies oblongues, pellucides,
courbées; sporophores légèrement en massue.

Forme Spiræa.
Con. 6 — 2.

Sporophores souvent fourchus, denticulés ; conidies acro-pleurogènes.
Sur Spiræa ulmaria. Z. arden. (Libert.)

Tubercul. Vulgaris, Tode.
Tubercul. Robiniæ, Kickx.

Con. 6-S — 1 1/9-2.

Tubercul. Sarmentorum, Fr.

Con. 3-8 — 2-2 1).

Sporodochies petites, émergentes de l’épiderme fendu longitudinalement
en séries, rouges; conidies allantoïdces, hyalines.

Sur la vigne. Partout.

Tubercul. Rubi, Rabenh.

Con. 8-9 u. long.

Erumpent, en séries, couleur cinabre, puis sanguine; strome stipitiforme,
d’un ocre sombre, brunâtre, compact, tronqué, dilaté du dessus et couvert
d’une couche épaisse de conidies.

Sur sarments de Rubus fruticosus. Z. arg. sablon.

( 266 )

Tubercul. Minor, Lk.

Forme Castaneæ.
Con. S-9 — 3.

Tuberceul. Brassicæ, Lib.

Con. 8-10 — 1 1/9.
Sporodochies subsuperficielles, verruciformes, petites, rouges, unies;
conidies cylindracées, courbées; basides simples ou fourchues, denticulées,

pleurogènes.
Sur tige pourrie de Brassica. Z. arden.

Tubercul. Sambuci, Cda.

Érumpent, cinabre, assez grand; strome convexe, grumeleux, rouge
à l'extérieur, jaune à l'intérieur; conidies cinabres, oblongues, aiguës,
diaphanes.

Sur rameaux de Sambucus nigra. Z. arg. sablon.

Tubercul. Ciliata, Ditm.

Sporodochie pezizoïde, à base d’un sombre brun. émergente, à disque
convexe, rouge, sporophore, à marge ciliée.
Sur rameaux de Carpinus betulus et Prunus padus. Z. arg. sablon.

Tubercul. Floeccosa, Lk. (Tub. Velutipes, Nees.)

Sporodochies petites, immergées, globuleuses, noires à l’intérieur; couche
des conidies rouges ; flocons blancs entourant la sporodochie.
Sur écorce de l’orme. Z, arg. sablon.

( 267)

GENRE : DENDRODOCHIUM, Bon.

Se distingue du genre Tubercularia par les sporophores subverticillés-
rameux ct par les conidies acrogènes.

Microsp et Macrosp. Sp. ‘/, > < à 1.
Dendrodoch. Affine, Sacc.

Con. 3-5 — 2-2 1}, (goutt. 2.)
Sporodochies érumpentes, pulvinées-déprimées, rouges, petites; sporo-
phores fasciculés, 2-3 fourchus ; conidies subovoïdes, rose-hyalin.

Variété Epicarpicum.

Con. 5-6 — 3 (goutt. 2).
Sporophores septulés, 2-5 fides.
Sur l’épicarpe du Malus. Z. arden. (Libert.)

Dendrodoch. RBubellum, Sacc.

Con. 8-9 — 2-3.

Sporodochies pulvinées-planes, rassemblées, érumpentes, roses ; sporo-
phores 1-2 fourchus, aigus ; conidies oblongues, rose-hyalin.

Variété Brassicæ, Sacc.
Con. 6 — 3.

Sporophores bifides.
Sur tige de Brassica. Z. arden. (Libert.)

Variété Trifidum, Sacc.
Con. 7 — 4.

Sporophores trifides.
Sur l'écorce des rameaux. Z. arden.

Dendrodoch. Fusisporum, Sacc. et Roum.

Con. 12 — 2 1/9.

Sporodochies subsuperficiclles, pulvinées, roses; basides vaguement
rameuses ou fourchues, continues, en fascicules serrés; conidies fusoïdes-
aiguës, droites, hyalines.

Sur l'écorce de rameaux de Sambucus. Z. arden.

( 268 )

GENRE : TUBERCULINA, Sacc.

Sporodochie pardsite des Uredinei, pulvinée-plane, souvent violacéc;
spores globuleuses, acrogènes sur des sporophores épais, courts. simples
ou peu rameux.

Tuberculi. Persicina, (Ditm.) Sacc.

Tubercularia Persicina, Ditm.

Con. 7-8 1. diam.; 40 p.. diam.

Sporodochies déprimées-globuleuses, petites, disposées quelquefois en
cercle, d’un violet sombre brun, phyllogèénes; conidics d’un rose violacé,
unies; sporophores simples ou ramuleux, denticulés du dessus, subhyalins.

Sur feuilles d'Euphorbia, sur Æcidium. Z. arg. sablon.

GENRE : ELLOSPORIUM, Mart.

Conidies agglutinées en glomérules.

Illosp. Coccineum, Fr.

Glomérules de conidies 30 — 16.

XHllosp. Carneum, Fr.

Glomérul. 20-24 }1. diam.

Ilosp. Maculicolum, Sacc.

Con. S-12 — 4-6.

Taches de feuilles, arides, variables; sporodochies de globuleuses conoïdes,
rassemblées, superficielles, d'un rose pâle, verruculeuses; hyphes rameuses,
densément entrelacées, pluri-articulées, guitulées, légèrement roses; conidies
ovoïdes, continues, quelquefois faussement septées, d’un rose hyalin.

Sur les feuilles de Zerberis vulgaris. Z. arg. sablon.

( 269 )

GENRE : PHYLLOEDIA, Fr.
Sporodochies difformes, superficielles; conidies colorées, simples, à tuni-
que épaisse, nichées dans une gélatine subamorphe, colorée.
Phyllæd. Faginea, (Lib.) Sacc.
Illosporium Fagineum, Lib.
Con. 23-30 y. diam.

Étalé, difforme, rouge-orange, se brisant par la sécheresse en fragments
polygones; mucus matrical pâle, stratifié; conidies irrégulièrement rassem-
blées, subsphéroïdes, à épispore blanc-hyalin, à noyau granuleux, orange.

Sur les feuilles mortes de Fagus sylvatica. Z. arden.

Phyllæd. Punicea, (Lib.) Sacc.
Illosporium Puniceum, Lib.
Con. 40-50 y. diam.

Petit, libre, globulaire ; sporodochies subsolitaires, rouges, subcompactes;
muecus matrical granuleux, cinabre; conidies grandes, sphéroïdes, d'un
jaune verdâtre, épispore blane, stratifié ; noyau celluleux.

Sur les mousses. Z. arden.

GENRE : ÆGERITA, Pers.

Ægerit. Candida, Pers.
Ægerit. Perpusilla, Desm.

Con. 12-13 — 8-12.

GENRE : FUSICOLLA, Bon.

Sporodochies verruqueuses-lobulécs, subgélatineuses ; sporophores fili-
formes, rameux ; conidies cylindracées ou fusoïdes, acropleurogènes, hyalines.

Fusicol. Betæ, Bon.

Fusisporium Betæ, Desm.
Con. 48 — 4.

l'ulviné-lobé, subétalé, d’un rouge orange, trémelleux; sporophores
; 5 DC» ;

( 270 )

dichotomes, rameux, continus; conidies fusoïdes, aiguës, courbces, conti-
nues, d’un rose hyalin.
Sur la betterave. Z. arden.

GENRE : SPHACELIA, Lev.
Sporodochies subplanes, étalées, sur un hypostrome sclérotique ou céracé;
sporophores courts, bacillaires; conidies ovoïdes, acrogènes.
Sphacel. Segetum, Lev. (de l’ergot.)

Con. 4-6 — 2-3.

GENRE : HYMENULA, Fr.

Sporodochies disciformes; conidies acrogènes sur sporophores courts
et simples.

Microsp. et Macrosp. /, > < à1.
Hymenul. Pellicula, (Desm.) Sacc.
Psilonia Rubella, Lib.

Con. 3-6 — 1}, (goutt. 2).

Superficiel, oblong, confluent, d'un rose rouge, marge blanche, pelliculeuse;

conidics cylindracées, courbées.
Sur feuilles de Carex, Juncus, Scirpus. Z. arden. et arg. sablon.

Hymenul. Vulgaris, Fr.

Con. 5-6 — 1 !)-2.

Sporodochies subgélatineuses, peu élevées, oblongues ou polymorphes,
de couleur pâle blanche ou bleuâtre, noircissant par sécheresse; sporophores
dressés, serrés; conidies arrondies. obtuses, très nombreuses, achromes,
extrémités courbées.

Sur tiges pourrissantes d’Angelica, Solidago, Helianthus. Z. arg. sablon.

Hymenul. Rubella, Fr.

Con. & 1/9-6 1/9 — 1 1/9 (goutt. 2).
2 19 2 \S

NT

(27 )

Hymenul. Herbarum, Sacc. et Roum.
e
Con. 8-9—2-3

: Sporodochies rassemblées, superficielles, convexes-pulvinées, roses,
compactes, subbyssinées au début à la base; conidies cylindracées-fusoïdes,
droites, obluses, hyalines; basides bucillaires, subseptées, hyalines.

Sur tige pourri d’Ayosciamus. Z. arden. (Libert).

Hymenul. Macrospora, Sacc. et Roum.

Con. 16-18 — 6-7.

Sporodochics rassemblées, superficielles, convexes-pulvinées, rouges,
compactes, basides très courtes; conidies ovées-oblongues, subinégales,
tunique épaisse, hyalines.

Sur tige de Tropæoli. Z. arden. (Libert.)

GENRE : MYROPYXIES, Ces.
Spodochies cupulaires ; hyphes rameuses; conidies copieuses, formant
une masse adipeuse, subcornée par la sécheresse.

Myropy. Graminicola. Ces.

Läiteux d’abord, puis couleur de paille; sporodochies fixées par une base
punctiforme; marge ondulée; globule des conidies subadipeux, laiteux,
puis blanc sulfureux.

Sur les chaumes desséchés du Phalaris arundinacea. Z. arg. sablon.

PHRAGMOSPORÆ.
GENRE : BACTRIDIUM, Kze.
Sporodochies superficielles, convexes, hémisphériques; conidies oblon-
gues-cylindracées, longues, pluriseptées; basides eylindracées.
Macrosp. Sp. /, <.
Bactrid. Flavum, K. et S.

Con. 166-180 — 30-60 (6 sept.)

Sporodochies globuleuses-hémisphériques, couleur d'orange ; sporophores
assez longs; conidies subfusiformes en massue, d’un miel fauve.
Sur une souche bien pourrie. Z. arg. sablon.

(272 )

Bactrid. Helvellæ, B. et Br.

Cn. 060-635 1. long. (6-7 sept.). L

Sporodochies confluentes, microscopiques, subétalées; sporophores sub-
dressés, peu rameux; conidies en massue, hyalines.
Sur hymenium de Peziza. Z. arg. sablon.

GENRE : FUSARIUM, Lk.

Sporodochies pulvinées ou subétalées ; conidies fusoïdes ou en faulx,
acrogènes sur des sporophores rameux-verticillés.

I. EU-FUSARIUM.
Conidies septées.

A. Selenosporium, Cord.

Sporodochies compactes, figurées.

Macrosp. Sp. |, <.

Fusar. (Selenosporium) Minutissimum, (Desm.) Sacc.

Con. 20-40 — 3 (sept. 1).

Fusar. Sambueinum, Fckl.

Con. 24 — 6 (sept. 3). :

Fusar. (Selenos.) Cæruleum, (Lib.) Sacc.
Fusarium Violaceumi, Fckl.

Con. 24-30 — 5-6 (sept. 2-3).

Sporodochies largement étalées, d'un bleu violacé agréable; conidies
fusiformes.

Fusar. (Selenos.) Sarecochroum, (Desm.) Sacc.

Con. 28-40 — 4-6 (sept. 3-5).

(275 )

: Fusar. Heterosporum, Nees.
Con. 30-35 pu. long. (sept. 3-5).
Fusar. Brassicæ, Thüm.
Sclerotium Castaneum, Lib.

Con. 30-36 — 3-4 1}, (sept. 2) (goutt.).

Sporodochies verruciformes, densément agrégées, dures, superficielles,
d’un sombre brun opaque; conidies lunulées, aiguës; basides courtes.

Sur tiges pourries de Brassica oleracea. Z. arden. (Libert.)

| !
Variété Brassicæ, (Lib.) Cooke. Selenosporium Brassicæ, Lib.)

Con. (3-7 sept.)
: Étalé, couleur orange ; conidies fusiformes, courbées, aiguës.
Sur tiges de Brassica. Z. arden. ct arg. sablon.

Fusar. Lateritium, Nees.
Con. 80-40 — 4-3 (sept. 4-5).
Fusar. Roscum, Lk.

Con. 33-60 — 4 (sept. 3.).

Fusar. (Selenos.) Pyrochroum, (Desm.) Sacc.
Con. 35-40 — 3-3 (sept. 3-b).
Fusar. (Selenos.) Asperifoliorum, | West.) Sacc.
Con. 40 — 1-1 !} (sept. 6-9).

Fusar. (Selenos.) Herbarum, (Cda.) Fr.

Con. 36-45 — 3-4 (sept. 4-5).

Rassemblé, d’un rose carné, subctalé; strome d'un sombre brun, mou,

fibreux-celluleux, couvert d’une couche de conidies d'un rose carné;
conidies courbées, aiguës, pâles; basides presque en massue.
Sur les tiges sèches de Brassica Z. arden.

(274)

Fusar. Episphæriecum, (C. E.) Sacc. ,

Con. 406 — 4 (sept. 3-5) (plurigoutt.)
Trémelloïde, blanchâtre; conidies fusiformes, arquécs, aiguës.
Sur le strome d’Aypoxylon fuscum. Z. arg. sablon.

Fusar. Oxysporum, Schlecht.

Sporodochies convexes, subverruqueuses, roses, puis érumpentes, rugu-
leuses el confluentes; conidies courbées, très aiguës.

a] + . . . e
Variété Aurantiacum, Cd. (Fusisporium Aurantiacum, Lk,)
+ #
| À

Con. 40-55 — 3-3 (sept. 3-5).

Sporodochies larges, couleur orange; hyphes rampantes, rameuses-entre-
lacées; sporophores aciculaires-rameux; conidies en faulx, (rès aiguës,
d’un rose hyalin.

Sur l’épicarpe de Cucurbita Z. arg. sablon.

Fusar. Solani, (Mart.) Sacc.

Fusisporium Solani, Mart.

: D
Con. 40-60 — 3-8 (sept. 3-5).
Fusar. (Selenos.) Pallens, Nees.
Con. 530 — 4 19-53 (sept. 3-).
Fusar. Album, Sacc.
Con. 50-63 — 6-8 (sept. 3-5).
L

Sporodochies planes, oblongues, confluentes, superficielles , blanches ;
sporophores simples sortant en forme de pinceau d'une base courte et plus
épaisse; conidies acrogènes, botuliformes, courbées, arrondies, hyalines.

Sur rameaux de Ulmus cumpestris. Z. arg. sablon.

(275 )

B. Fusisporium, Lk.

Sporodochies étalées, lâches, byssinées.

Macrosp. Sp. |, €.
Fusar. (Fusis.) Zeæ, (West.) Sacc.

Con. 50 pu. long. (goutt.).

Fusar. (Fusis.) Incarnatum, (Desm..

Con. 83-43 — 3 1/-4 (sept. 3-7).

Fusar. (Fusis.) Kühnii, Fckl.

Con. 412 — 4 (sept. 1).

Sporodochies superficielles, oblongues, irrégulières, cornées, argillacées,
texture aréolée, à peine visibles sur un mycelium blane et étalé; conidies
tombées à la superficie des sporodochies, semi-lunaires, hyalines.

Sur rameaux de peuplier. Z. arden.

II. FUSAMEN.
Conidies non septécs.

Macrosp. Sp. |; <.

A. Selenospora, Sacc.

Sporodochies compactes, figurées.
+

Fusar. Equisetorum, (Lib.) Desm.

Hymenula Equiseti, Lib.
Con. 88 p. long.
Fusar. Parasiticum, West.
Con. 50 — 2.

“Ag Lin -86

( 276 )

B. Fusispora, Sacc.

Sporodochies étalées, lâches, byssinées.

Fusar. (Fusis.) Candidum, Lk.
Hyphes blanches, laineuses, serrées; conidies cylindracées, courtes,
concolores, obtuses.
Sur chatons tombés des amentacées. Z. arg. sablon.

III. LEPTOSPORIUM, Sace.

Conidies plus courtes, ovoïdes ou suboblongues, continues.

Microsp. Sp. 'L >.

Fusar. (Leptospor.) Subtectum, Rob.

Con. & pu. long. (goutt. 2).

GENRE : PIONNOTES, Fr.
Sporodochies gélatineuses, puis durcissant; pour le reste, mêmes carac-

tères que le genre lusarium.

Macrosp. ‘|, <.

D.

Pion. Rhizophila, (Cda.) Sacc.

Fusarium Rhizophilum, Cda.

Con. 80-40 — 4 (goutt.) (sept. 5).
Étalé, gélatineux, d’un rose rougeâtre ou couleur d'orange, épais; sporo-
phores filiformes entrelacés, blancs, puis carnés; conidies en faulx, aiguës.

Variété Betæ. Desm.

Con. 50-60 — 4-5 (sept. 3).

Sur tubercules de dabhlia et betterave. Partout.

( 277 )

GENRE : MICROCERA, Desm.
Se distingue du genre Fusarium par la sporodochie petite, conique,
en cornue ou en coussin, et le sporophore simplement rameux.
Macrosp. Sp. ‘|, <.
Microc. Coccophila, Desm.

Con. 70-100 — 4-5 (sept.).

II. — CONIDIES EN CHAINETTES.

AMEROSPORÆ.

GENRE : CYLINDROCOLLA, Bon.

Sporodochies verruciformes, inégales, trémelloïdes-succinées , agréable-
ment colorées ; sporophores rameux-répetés; conidies acrogènes, bacillaires-
tronquées.

Microsp. Sp. |, > <.
Cylindroc. Alba, Sacc. et Roum.

Con. 4-5 — 1.

Sporodochics verruciformes, variées, déprimées, blanches, sporophores
fasciculés, dichotomes, rameux; conidies cylindracées-tronquées, hyalines.
Sur feuilles de graminées. Z. arden. (Libert.)

Cylindroc. Urticæ, Pers.
Dacryomyces Urticæ, Cd.
Fusarium Tremelloides, Grev.

Con. 10 — 1-1 1J9.

(278 )

GENRE : SPHÆRIDIUM, Fres.
Sporodochies globulcuses, subfragiles, souvent à base très courtement
stipitée ; conidies cylindracées.
Microsp. Sp. 4 <.
Sphærid. Vitcllinum, Fres.

Con. 6-8 — 1-1,3.
L p
Sporodochies subglobuleuses, jaunes; stipe très court, blanchâtre; sporo-
phores fasciculés, bacillaires, simples ou légèrement rameux au sommet;

conidics cylindriques.
Sur le fumier de daim Z. arg. sablon.

Sphærid. Candidulum, Sacc. et Roum.

Con. 10-15 — 1 1)-2 1/;.

Sporodochies globuleuses, rassemblées, blanches ; sporophores. fasci-
culés, subrameux ; conidies bacillaires, tronquécs, hyalines.

Sur les écailles de cônes d'Abies. Z. arden. (Libert.)

Sphærid. Albellum, Sacc. et March.

Con. 12-14 1) — 1-1,2.

Sporodochies globulcuses-déprimées, blanches, légèrement stipitées ;.
sporophores simples ou rameux ; canidies bacillaires, hyalines, tronquées,
couvertes d'un mucus blanc.

Sur fumier de lièvre. Z. arg. sablon.

B. Sporodochies soyeuses.
AMEROSPORÆ.
GENRE : PERIOLA, Fries.
Sporodochies verruciformes, villeuses.

Periol. Tomentosa, Fr.

Con. 3 — 3 hyalines.

( 279 )

. GENRE F VOLUTELLA, Tode.

Sporodochies disciformes, à marge cilice.

Microsp. Sp ‘|, > <à1.
I. EU-VOLUTELLA.

Sporodochies substipitées.

Volutel. Ciliata, (A. S.) Fr.
Con. 5-7 — 2. |

Sporodochies substipitées, hémisphériques, d’un blanc carné; disque
P | ; q
proéminent, soies rares à la marge, longues, hyalines; sporophores simples,
légèrement rosés; conidies elliptiques, obluses, droites. hyalines.

Variété Stipitata, Sacc. Volutella Stipitata (Lib.).
Con. 3 — 2 1/9 (goutt. 2).
Pédicelle brunâtre; soies rigides.

Volutel. Pedicellata, (Preuss.) Sacc.

Rassemblé, pédicellé, blanc, puis sombre-brun ; sporodochies pulvinées,
surtout soyeuses à la base; soies subulées, septées, blanches; sporophores
filiformes; conidies oblongues, petites, hyalines; couvrant la sporodochie
d'une couche épaisse.

Sur les tiges mortes d'Epilobium hirsulum. Z. arg. sablon.

II. PSILONIA.

Sporodochies sessiles, à base plane.

Volutel. (Psi!.) Setosa, (Grev.) Berk.

Con. 1 &. diam.

Sporodochics sessiles, blanches, entourées par la masse de spores; soies
dressées, allongées, continues; conidics globuleuses.

Sur les tiges herbacées. Z. arg. sablon.

( 280 )

Volutel. Arundinis, Desm. .

Con. 5 1. long.

Sporodochics oblongues, denses, d’un rose pâle; soies simples, hyalines,
enchevêtrées en faisceaux ; conidies ovoïdes,

Sur chaumes de tiges herbacées. Z. arg. sablon.

Volutel. (Psil.) Festueæ, (Lib.) Sacc.

Con. 5-6 p. long.

Sporodochies sessiles, hémisphériques, laineuses, lâches, fugaces, d’un
blanc rose; soies subdistantes, dressées, simples, aiguës, hyalines; conidies
cylindracées, courbées, obtuses, d’un rose hyalin.

Volutel. Buxi, (Cda.) Berk.

Chœtostroma Buxi, Cda.
Con. 4106-11 — 3 1-4 1) (goutt. 2.
Variété Rusci.
Con. 9-10 — 3 1-4 (goutt. 2-3).

Sporodochies peu ciliées.
Sur feuilles de Ruscus. Z. calc.

Volutel. (Psil.) Gilva, (Pers.) Sacc.

Con. 40-13 — 1 1-2 1/9 (goutt. 2).

Volutel. (Psi.) Nivea, (Fr.) Sacc.

pe.

SE ..
pa 7.

D EE RER

à ( 281 )

DEMATIEÆ.
A. Sporodochies glabres ou glabrescentes.
AMEROSPORÆ.

GENRE : STRUMELLA, Sacc.

Sporodochies verruciformes, formées de hyphes rameuses et de conidies

inégales.

Microsp. |, <.
Strumel. Olivatra, Sacc.

Con. 10-15 — 6-7.

Sporodochies rassemblées, superficielles, globuleuses, formées de chaînes
de cellules noires; conidies cylindracécs-fusoïdes, variées, beaucoup de
courbées, réunies de différentes manières, d’un sombre brun olive.

Sur bois pourrissant. Z. arden.

GENRE : EPICOCCUM, Lk.
Epicoc. Neglectum, Desm.

Con. 42-16 pt. diam.

Epicoc. Purpurascens, Ehrenb.

Con. 16-22 . diam.

GENRE : EPIDOCHIEUM, Fr.
* BASIDES GLOBULEUSES OU EN MASSUE.

Epidoch. Atro-Virens, Fr.
Tremella Genistæ, Lib.

Næœmatelia Virescens, Cda.
Conid. 4=— 2?

Érumpent, disciforme, très petit, papillé, ruguleux, humide, d’un fuli-

19

#1

( 282 ) ,

gineux vert, sec devenant noir, rassemblé ou confluent; sporophores
filiformes, rameux, à sommets ellipsoïdes en massue.

Sur rameaux morts de Sarothamnus, d'Ulex europœus, Fraxinus, Rosa
canina. Z. arden. et arg. sablon.

** BASIDES SIMPLES OU ÉGALES.

Epidoch. Affine, Desm.

Immergé, épars, noir, humide, trémelleux, d’un fuligineux vert, sec
devenant opaque et subruguleux; sporodochies linéaires, parallèles, ras-
semblées en petites lâches ; sporophores simples; conidies très copieuses,
petites, globuleuses, hyalines.

Sur Carex vulpina. Z arden.

GENRE : HYMENOPSIS, Sacc.

Sporodochies scutellées-disciformes ou convexes, superficielles-érum-
pentes ou superficielles, noires; marge concolore; sporophores cylindracés;
conidies ovoides ou bacillaires.

Hymenop. Strobilina, (Lib.) Sacc.
Hymenula Strobilina, Lib. ;

Con. 4-53 — 2-21).

Sporodochies arrondies, aplaties, marginées, d'un noir glauque; coni-
dies oblongues, d’un pâle verdâtre.
Sur les cônes déjetés de pin silvestre, Z. arden.

PHRAGMOSPORÆ.

GENRE : EXOSPORIUM, Lk.

Sporodochies convexes, compactes; sporophores simples, densément
fasciculés, oblongs ou cylindracés, pluriseptés ; conidies acrogènes.

Macrosp. |, &.

Exosp. Tiliæ, Lk.

Con. 60-70 — 48 (sept. 8-10) (goutt. 9-11).

à LA cc

( 285 )

B. Sporodochies soyeuses.

GENRE : MYROTHECIUM, Tode.

Sporodochies seutellées ou disciformes, noires; marge ciliée, blanche;
cils hyalins, minces; conidies ovoïdes ou cylindracées; basidies bacillaires.

HicrospSp, 07/2
Myrothec. Inmumdatum, Tode.
M. Viride, Pers.
Con. 3-4 — 1 1/9-2.
Sporodochies disciformes, polymorphes; disque plan, d’un noir olive;
marge blanche; sporophores fasciculés, hyalins; conidies globuleuses-

ellipsoïides, olivacées.
Sur champignons pourris. Z. arg. sablon.

Myroih. Graminewm, Lib.

Con. 42-14 — 2 1-3.
Sporodochics orbiculaires ou allongées, noires; disque assez gonflé, noir;
cils dressés, hyalins au pourtour; sporophores à peu près nuls; conidies

cylindriques, acuminées, hyalines.
Sur feuilles pourrissantes de graminées. Z. arden. et arg. sablon.

GENRE : CHÆTOSTROMA, Cda.

Sporodochies disciformes ou pulvinées, noires entourées à la marge de
cils ou de soics noires; conidies ovoïdes ou subfusoïdes, rarement subglo-

buleuses, acrogènes, solitaires; sporophores bacillaires.

DS

Microsp. Sp. '/; > à 1.
Chætost. Atrum, Sacc.

Con. 11-13 — 2-23/, (goutt. 2).
Sporodochies globuleuses-pulvinées, olivacées puis très noires; soies
inégales, scplées, obtusiuscules ; conidics très copicuses, cylindracées-fusoïdes,
olivacées, acrogènes sur des sporophores courts, fasciculés.
Sur les chaumes et feuilles de graminées. Z. arden.

( 284-1 )

Suite au GENRE : PHOMA
DE LA

Sous-FAMILLE I : PHOMEZÆ ou HYALOSPORZÆ.

GENRE : SPHÆRONEMA, Fr.

Microsp. Sp. |, > < à} >.
Ostiole en rostre.

Sphæron. Fasciculatum, Mont.

Périthèces en forme de boutcille, à bases connées, à sommets divergents
noirs; globule livide, fugace.
Sur tronc de bouleau. Z. arden.

Sphæron. Cerasi, Lasch.

Périthèces courtement cylindriques, noirs; globule olive-sombre; spores
oblongucs.
Sur rameaux de Prunus cerasus. Z. arden.

Sphæron.?? Acicula, Sacc., Bom. et Rouss.

12-15 — 4-5 (goutt.).

Périthèces faux, rassemblés, superficiels, circulaires, tronqués au sommet,
noirs, placés à la superficie du bois blanchätre-pruincux; basides de
18-20 — 8-12 terminées en une vésicule en goutte; spores suballantoïdes,
plus aiguës du dessous.

Sur le bois pourri de Carpinus betulus. Z. arg. sablon.

: GENRE : PHYLLOSTICTA.

Texture lâche, cclluleuse; périthèces perforés, taches à la base.

** PLANTES LIGNEUSES DICOTYLÉDONÉES.
Microsp. Sp. ], > à 1}, 2.

Phyll. Platanoïdis, Sacc.
2-2 — 1/01.

Périthèces hypophylles, densément rassemblés, couverts, très petits,

de nié à it RS à a nn Sd Li de dé dé dé

( 284-n1 )
à texture parenchymateuse; ostioles manifestes ; taches à peine marquées;

spores bactériformes, arrondies, resserrées au milieu.
Sur feuilles d’Acer platanoïdes. Z. arg. sablon. et arden.

Phyll. Aucubæ, (Math.) Sacc.

2 1/9-8 —3/;-1.

Phyll. Æsculicola, Sacc.
A
Périthèces épiphylles, épars, punctiformes; taches irrégulières, blanches,
arides, à rebord sombre-brun; spores oblongues.
Sur feuilles d'Æsculus hippocastanus. Z. arden.

Phyll. Maculiformis, Sacc.
Spermogonie de Sphærella Maculiformis.
4 — 1.

Périthèces hypophylles, rassemblés en petits groupes, se déprimant,
perforés, formant des taches; spores cylindracées, courbées.
Sur feuilles languissantes de Castanea vesca. Z. arden.

Phyli. Hederæ, Sacc.
4 — 1.
Périthèces épiphylles, lenticulaires, perforés, densément et largement
rassemblés ; spores oblongues.
Sur feuilles d’Æedera helix. Z. arden.

Phyll. Pirina, Sacc.
4-3 — 2-2 1).
Périthèces épiphylles, punctiformes, lenticulaires, perforés; texture cel-
luleuse, ferrugineuse ; taches arides, blanches; spores ovoïdes.
Sur feuilles de Pirus communis. Z. arden.

Phyll. Betulina, Sacc.
Spermogonie de Sphærella Maculiformis, F. Betulæ.

4-6 — 1-1 1};.

Périthèces épiphylles, souvent rassemblés en taches, innés, proéminents,
lenticulaires; spores botuliformes, courbécs,
Sur feuilles de Betula alba.

( 28%-I11 )

Phyll. Symphoriella, Sacc.
4-G — 3.

Périthèces épars, lenticulaires, perforés; taches vagues, devenant sombres;
spores ellipsoïdes, d’un olive sombre.
Sur feuilles de Symphoricarpus. Z. arg. sablon.

Phyll. Arbuti, (Desm.) Sacc.

Cheilaria Arbuti, Desm.

5 1. long. (goutt. 2).

Phyll. Quercus-Ilicis. (Matth.) Sacc.
5 — 4.

Périthèces rassemblés, punctiformes, lenticulaires, couverts; taches arides,
blanches, limitées par une ligne noir rougeâtre; spores ellipsoïdes-oblongues,
jaunûtres.

Sur feuilles de Quercus ilex. Z. arg sablon.

Phyll. Fallax, Sacc.
5-6 — 3-3 1/,.

Périthèces épars sur des petites taches blanches, épiphylles, lenticulaires,
perforés; spores oblongues-ellipsoïdes, verdätres.
Sur feuilles d’Acer pseudoplatanus. Z. arden.

Phyll. Liriodendri, Thüm.
5-G — 3.

Périthèces épiphylles, rassemblés, demi-immergés; taches petites, grises,
orbiculaires; spores ellipsoïdes, arrondies.
Sur feuilles de Liriodendrum tutipifera. Partout, indiqué zone arg. sablon.

Phyll. Rihamni, West.
5-6 — 3-3 1/0.

Phyll, Sambuci, Desm.

5-7 1. long. (goutt. 2).

Phyll. Bignoniæ, West.

5-7 — ?2 1)-8 1/9 (goutt. 2).

“
( 284-IV )

Phyll. Rhamnicola, Desm.
6 pu. long.

Phyll. Hedericola, Dur. et Mont.

6 — 2 1) (goutt. 2).
Périthèces punctiformes, proéminents, perforés, épiphylles; taches blan-

châtres, arides, largement marginées de brun-sombre; spores oblongues.
Sur feuilles de Hedera helix. Z. arden.

Phyil. Thallina, Sacc., Bom. et Rouss.
6 — 3.
Périthèces nombreux, couverts, trés petits; taches blanches, luisantes,
bordées d’une zone pourprée; spores elliptiques.
Sur rameaux de Cornus sanguinea. Z. arg. sablon.

Phyll. Cytisi, Desm.
G — 3-4.

Phyll. Osteospora, Sacc.
G-7 — f.

Périthèces rassemblés par places, couverts, perforés; taches roussâtres;
spores bacillaires, épaissies aux extrémités.
Sur feuilles de Rhammus catharticus. Z. arg. sablon.

Phyll. Symphoricarpi, West.
6-7 — 2 ho.
Phyll. Ligustri, Sacc.
Spermogonie de Sphærella Ligustri, Desm.

6-7 — 2 1-3 (goutt. 2).

Périthèces épiphylles, lenticulaires, perforés; taches arides, pâles, limitées
de sombre brun; spores ovoïdes.
Sur feuilles de Ligustrum vulgare.

Phyll. Populorum, Sacc.

6-7 — 3 (goutt. 9).

Périthèces épiphylles, rassemblés, couverts, lenticulaires, largement
ouverts, de texture celluleuse et subochracée; spores oblongues souvent
courbées.

Sur feuilles de Populus balsamifera. Z. arden.

L]
( 284-v )

Phyll. Juglandis, (DC.) Sacc,

6-7 — 3-4 (goutt. 9).

Périthèces épiphylles, épars, lenticulaires, perforés ; taches vagues, arides,
blanchâtres, limitées sombre-brun; spores ovoïdes-oblongues.
Sur feuilles de Jugluns regia. Z. arg. sablon.

Phyll. Weigeliæ, Sacc.

G-8S — 3 (goutt. 2).

Périthèces épars, lenticulaires, perforés; texture parenchymateuse, noire;
taches blanches, arides; spores oblongues-cllipsoïdes, inégales.
Sur feuilles de Weigelia rosea. Z. arg. sablon,

Phyll. Coryli, West.
7-8 — 2-3 109.
Phyll. Cornicola, (DC.) Rabh.

Spermogonie de Laestadia Systema-Solare, Sacec.
2-9 — 3-4 (goutt. 2).
Périthèces lenticulaires, épiphylles; taches noir-sanguin, pâlissant au

centre; spores oblongues-ellipsoïdes, aiguës.
Sur feuilles de Cornus sanguinca. Z. arg. sablon.

Phyll. Quercus, Sacc.

2-9 — 2 1)9-4 (goutt. 1-2).
Périthèces lenticulaires, largement ouverts, d'un olive fuligineux ; taches
blanchâtres, stériles; spores ellipsoïdes.
Sur feuilles de Quercus robur. Z. arg. sablon.

Phyll. Acericola, C. et E.

8 — 5 (goutt. 2).

Périthèces épiphylles, punctiformes, disséminés; taches pâles, limitées de
pourpre; spores ovées.

Sur feuilles d’Acer. Z. arden.

( 284-vr )

Phyli. Syringæ, West.
8 — 3 (goutt. 2).

Phyll. Lauro-Cerasi, (Math.) Sacc.

8-10 — 3-4 (goutt. 2).

Périthèces punctiformes, proéminents, souvent disposés concentriquement,
d'un olive brun foncé; taches blanchâtres; spores oblongues-cylindracées,
arrondies aux extrémités.

Sur feuilles déjetées de Prunus lauro-cerasus. Z. arg. sablon.

Phyll. Westendorpii, Thüm.
Phyll. Berberidis, West.

9-11 — 5-5 1} (goutt. 93).

Phylil. Lauri, West.
10 — 3 (goutt. 2).

Phyll. Ulmi, West.
10 — 5 (goutt. 2).

Phyll. Sorbi, West.
10 — 5 (goutt. 2).

Phyil. Corni, West.
10 — 5.

Phyll. Vulgaris, Desm.
F. Loniceræ, West.

10-14 — 2 1}-3 1} (goutt. 2).

Phyll. Paviæ, Desm.

14-12 p. long. (goutt. 2).

MacrospiSp. "1,0 ra al

Phyll. Ribicola, (Fr.) Sacc.
15-17 1. long.
Périthèces nombreux, couverts de poils très longs, caducs(?); taches

larges, couleur de lait; spores oblongues, courbées.
Sur feuilles de Ribis. Z. arden.

( 284-vIL }

Phyll. Nerii, West.

15-18 — 5-6 (goutt. 9).

Phyll. Rhoïs, West.
60 — 3-5 (goutt. 2).

#** PLANTES HERBACÉES DICOTYLÉDONÉES.
MicroSD SD], 27 ASP LI

Phyll. Libertiana, Sacc. et March.
Coniosporium Violæ, Lib. Ascospora Violæ, nobis.

3-4 — 2-2 1/9. 4
Phyll. Saponariæ, Sacc.
a— 1h.

Périthèces épiphylles, très noirs, rassemblés densément en taches,
punctiformes, globuleux, proéminents, perforés; taches nulles ou à peine
marquées; spores cylindracées, droites.

Sur feuilles de Saponaria officinalis. Z. arg. sablon.

Phyll. Ulmariæ, Thüm.
8 1)-5 — 2-2 1).
Périthèces épiphylles, épars, hémisphériques, à la fin exsertes; taches
petites, irrégulières, blanches, arides, largement zonées de sombre brun ;

spores cylindriques, tronquées-arrondies.
Sur feuilles vivantes de Spiræa ulmaria. Z. arg. sablon.

Phyll. Helianthemi, Roum.
3 1/9 — 1.
Périthèces punctiformes; taches blanchâtres, petites, marginées, de cou-
leur vineuse; spores oblongues.
Sur feuilles d’Æelianthemum vulgare. Z. cale.

Phyll. Angelicæ, Sacc.
4-5 — 1.
Périthèces lenticulaires, perforés, à texture lâche, rassemblés en taches;
spores oblongucs.
Sur feuilles d’Angelica silvestris. Z. arden.

ris

( 284-vIr1 )

Phyll. Leucanthemi, Speg.
4-5 — 1 1).

Périthèces globuleux, proéminents, membraneux; texture parenchy-
mateuse, fuligineuse; taches circulaires, blanc-gris; spores elliptiques,
remplies de granulations.

Sur feuilles de Chrysanthemum leucanthemum. Z. arg. sablon.

Phyll. Asclepiadearum, West.

4 1/2-6 — 2 1J9-8.

Phyll. Plantaginis, (Math.) Sacc.
5 — ?.
Périthèces épars, devenant lenticulaires, perforés, punctiformes; taches
blanchâtres, arides ; spores oblongues, ovoïdes.
Sur feuilles de Plantago major. Z. arg. sablon.

Phyll. Fragaricola, Desm.
5 —11)-2.
Périthèces épars à distance, punctiformes; taches blanchâtres, arides,
marginées de rouge sanguin; spores oblongucs-ovoïdes.
Sur face supérieure de feuilles de lragaria vesca. Z. arg. sablon.

Phyll. Lutetiana, Sacc.
5 — 4.

Périthèces épars, punctiformes, perforés; taches d’un ocre pâle, arides,
limitées d’une bande étroite couleur de chataigne; spores ovoïdes.
Sur feuilles de Circœu lutetiana. Z. cale.

Phyll. Cirsii, Desm.

5-7 — 2 1-8 (goutt. 2).

Phyll. Lathyrina, Sacc.

Phyll. Lathyri, Math.?
D-7 — 2-3 1).

Périthèces membrancux, proéminents, perforés, d’un suligineux pâle;
taches difformes, d’un pâle ochracé, marginées d’un rebord ferrugineux;
spores oblongues-elliptiques.

Sur feuilles vivantes de Lathyrus silvestris. Z. arg. sablon.

( 284-1x )

Phyll. Betæ, Oud.
6 — 4-5 (goutt. 2).

Périthèces très petits, ouverts par pore, épars sur des taches décolorées;
noyaux gélatineux; spores ovoïdes.
Sur tiges de Beta vulgaris cultivée. Z. arden. Hiver.

Phyll. Digitatis, Bell.

7 — 21) (goutt. 2).

Phyil. Helleborella, Sacc.

Spermogonie de Sphærella Hermione, Sacc.

7 — 3 (goutt. 2).

Périthèces ordinairement épiphylles, lenticulaires, largement béants;
taches blanches, luisantes, arides, marginées de noir; spores oblongues-
ovoides.

Sur feuilles d’Æelleborus niger. Z. arg. sablon.

Phyll. Ajugæ, (Belly.) Sacc.

7-8 — 3 (goutt. 2).

Périthèces épars, globuleux, proéminents, perforés; texture parenchy-
mateuse, fuligineuse; taches d'un ochracé dilué, stériles, entourées de
couleur d’un sombre brun; spores ovées-ellipsoïdes.

Sur feuilles d'Ajuga reptans. Z. cale.

Phyll. Violæ, Desm.
10 p. long.

Phyll. Erysimi, West.

40 1. long. (goutt. 2).

Phyll. Cynaræ, West.
10 — 5,

Phyll. Thalictri, West.
10 — 5 (goutt. 2).

Phyll. Fabæ, West.
10 — 5 (goutt. 2).

«
L

“
on ah re mnt à cn

( 284-x )

Phyll. Ebuli, Sacc.
Ascochyta Ebuli, Fckl.

Périthèces rassemblés, formant des taches, pâlissant, coniques, sombre-
brun, blancs au sommet, spores cylindriques, simples, petites.
Sur feuilles languissantes de Sambucus cbulus. Z. arden.

*** PLANTES MONOCOTYLÉDONÉES.
Microsp. Sp. !}, >.
Phyil. Renouana, Sacc.
A2;

Périthèces lenticulaires-punctiformes; taches allongées, couleur cannelle,
à centre pâlissant; spores ovées-ellipsoïdes.
Sur feuilles de Typha. Z. arden.

Phyll. Ruscicola, Dur. et Mont.
7-8 — 31).

Phyli. Alismatis, Sacc.
S— 31.

Périthèces rassemblés, sublenticulaires; taches blanchâtres, stériles,
bordées de couleur fuligineuse; spores oblongues-ellipsoïdes.
Sur feuilles d’Alisma planlago. Z. arg. sablon.

Macrosp Sp. !}, € à Sp. ‘}, >.
Phyll. Cruenta, (Fr.) Ck.
14-16 — 5 1)-6 1/9.

Phyll. Donckelacri, West.

15 — 3 (2-3 goutt.).

Périthèces demi-innés, nombreux, perforés, subconcentriques; taches
hypophylles, subcirculaires, blanc-cendré, à marge subélevée et d’un
sombre roux; spores ovées-cylindracées.

Sur feuilles d’Oncidium. Z. arg. sablon.

( 284-X1 })

Phyll. Draconis, Berk.

Sur feuilles de Dracœna dracon. Z. arg. sablon.

GENRE : ASTEROMA, DC.

Fibrilles réticulées, souvent rayonnantes à la base des périthèces.

Aster. Bupleuri, Sacc.

Aster. Roumeguerei, J. Kunze.

Périthèces lenticulaires, très serrés, réunis par hyphes fuligineuses;
taches larges, couleur de poix.
Sur feuilles de Bupleurum falcatum. Z. arden.

Aster. Vernicosum, (DC.) Fckl.

Périthèces subconiques-proéminents, au centre de taches noires, luisantes,
radiées à la marge.
Sur tiges de Spiræa ulmaria. Z. arg. sablon.

Aster. Castanceæ, Desm.

Périthèces nombreux, épars, noirs, très petits; taches brunes; fibrilles
à peine visibles, rameuses ct rayonnantes du centre.
Sur feuilles de châtaigner. Z. arg. sablon.

Aster. Obscurum, Desm.

Périthèces à peine visibles; taches noires; fibrilles confuses, noir-brunâtre,
rameuses, rayonnantes.
Sur feuilles de Cornus sanguinea. Z. arden.

Aster. Vagans, Desm.

Périthèces épars, demi-émergents, globuleux, noirs; taches brunes, sèches
couleur cendrée; fibrilles articulées, rameuses, irrégulièrement rayonnantes,
bien séparées, une fois et demie plus longues que larges.

Forma : Fraæini, Tiliæ, Carpini, Opuli, Frangulæ. Z. arden.

Labbe. singes obioesdes. doc. (inst shénie tt e,

Le 28625.

LA VRP

smdunbhat. dt, de

un

( 234-xI1 )

Aster. Epilobii, Fr.

Périthèces épars, proéminents; taches uniformes, couleur de poix; pas
de fibrilles.

Sur tige d'Epilobium angustifolinum. Z. arg. sablon.

Aster. Dendriticum, Desm.

Périthèces à peine visibles, par séries; taches noires, arrondies; fibrilles
articulées, brunes, très rameuses, rayonnantes.

Sur feuilles de Viburnum opulum. Z. arg. sablon.

Aster. Populorum, Fckl. (Asteroma Populi, Desm.)
Périthèces rassemblés, hémisphériques, astomes, très noirs; fibrilles

excessivement minces, libres, radiantes, olivacées.
Sur feuilles de Populus tremula. Z. arden.

Aster. Orobi, Fckl.

Périthèces épars, en grand nombre; fibrilles sombre-brun, très délicates.
Sur feuilles subvivantes de l’Orobus tuberosus. Z. cale.

PAS DE. PÉRITHÈCE.
Aster. Ulmi, Klotzsch.
Taches brunes; fibrilles excessivement minces, bien rameuses, flexueuses,

subdichotomes, rayonnantes.
Sur feuilles de l’orme. Z. cale.

SPORES DISPOSÉES EN CHAINETTES.

GENRE : SIROCOCCUS, Preuss.

Périthèces généralement subastomes, érumpents ou superficicls, subchar-

bonneux; spores subglobulcuses, réunies en chainettes, et provenant de
basides filiformes.

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LAN : Ja la FES
PE 4 Siroc. Conorum, Sacc. et Roum.

: 2-2 11, pu. (goutt. 4); basides 20—2.
| Périthèces rassemblés, subsuperficiels, lenticulaires, aston
NE texture parenchymateuse, fuligineuse; spores globuleuses.

À. Sur cônes de pin. Z. arden. (Libert.)

j'a

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".

4

Tableau montrant l'Unité de mode de reproduction dans
le règne végétal et dans le règne animal.

Ê Vie végétative complète MST
CDIYREDONES. 1. avec organes sexuels et ? VERTEBRES.
graines ou embryons.

ACOTYLÉDONÉS-MYCELIOPHORL. ARTICULÉS.

| Vie végétative incomplète

à 10 L L à "VS : à
Blanc de champignon. . . | avec organes sexuels. Larve et chrysalide,

Champignon parfait : BAsi- ( Vie végétative complète

DIOMYCETES. { avec spores où œufs. Animal parfait,

ACOTYLÉDONÉS-MYCELIOPHORI. MOLLUSCO-RADIAIRES.

ÿ Vie végétative incomplète; }
QŸ et surtoul parasilisme. ÿ

Mycelium; appareil conidien, l |
spermogonien, etc. Reproduction par gemme. \ Polypes, scolex, etc.
Mycelium conidien, spermo- | If Méduse-acalephe, Proglot-
gonien, etc. l Reproduction par sexes. tis, etc.

Vie végétative complète

Animal parfait : Méduse,
avec spores ou œufs.

CASPORÉS, PHYCOMYCETES, Tænia

Champignon parfait : THÉ-
HYPODERMEI.

INFUSOIRES.
PLASMODIOPHORI. Vie végétative incomplète. SCHIZOMYCETES.
|
Plasmode . Souvent reproduction par !
a bipartition. |
Entre ne. Amibes et Il
Monères. Reproduction par sexes.
; Vie végétative complète
MYXOMYCETEÆ . a, avec spores ou œufs.

D Ce à

Acladium .
Conspersum, Lk.
Acremonium

Acrocylindrium .

Copulatum, Bon. .

Acrostalagmus .

Cinnabarinus, Cda,.
Acrothecium
Delicatulum, B. Br.
Simplex, B. Br...
Tenebrosum, Pr.
Actinonema
Cratægi, Pers.
Padi, Fr\..

Rosæ, Lib.
Actinothyrium
Graminis, Kze. .
Ægerita
Candida, Pers. .
Agyriella.
Nitida, Lib, .

Amerosporium .

Caricum, Lib.
Macrotrichum, Sacc.
Aposphæria.
Allautella, Sace.
Calathiscus, Cda. :
Consors, Schulz.
Densiuscula, Sacc..
Fibricola, Sacc.
Fuscidula, Sacc.
Hyppophaes, nobis.
Labens, Sacc. .

Oxystoma, Sacc.

Papillula, Sac.
Pinea, Sacc. .
Pomi, Schulz.
Prillieuxiana, Sacc.
Pulviscula, Sacc.

TABLE DES MATIÈRES.

144
144
269
269
178
AT8
154
154
154
D8
D9
60
d9
»9
99
D8
59
D8
d8
60

60
58

Seriata, Sacc.
Stigmospora, Sacc.
Arthrinium.
Sporophleum, Kze.
Arthrohotrys .

Superba, Cda. . . .

Ascochyta . .
Aquilegiæ, Roum. ,
Buxina, Sacc.
Elæagni, Sacc. .

Feuillauboisiana, Sacc.

Fibricola Sacc. .
Fragariæ, Sace. .
Graminicola, Sacc.
Lycii, Sacc. .
Nymphææ, Pass.
Pisi, Lib. .
Salicina, Sacc. .
Tenerrima, Sacc.
Teretiuscula, Sacc.
Viburni, Sacc.
Aspergillus .
Candidus, Lk.
Clavatus, Desm,
Flavus, Lk.
Glaucus, Lk. .
Griseus, Lk. .
Macrosporus, Bon..
Roseus, Lk, .
Virens, Lk.
Asteroma.
Bupleuri, Sacc..
Castaneæ, Desm. .

Dendriticum, Desm. .
* Epilobii, Fr...

Obseurum, Desm. .
Orobi, Fckl. .
Populorum, Fckl. .
Ulmi, Klotzch. .

20

Pages.
60
58

228
228
200
200

67

68

68
292
223
293
295
293
293
223
293
293

. 284-xI
. 284-XI
. 284-xI
. 284-x1I
. 284-x11
. 284-XI
. 284-x11
. 284-x11.
. 284-x11

Vagans, Desm. .
Vernicosum, De.
Asterophora
Agaricicola, Cda.

Bactridium .
Flavum, K.etS.
Helvellæ, B. Br.
Bispora
Monilioïdes, Cda.
Blennoria
Buxi, Fr. .
Bolacotricha
Grisea, B. Br,

Botryodiplodia .

Congesta, Lev. .
Fraxini, Fr. .
Pyrenophora, berk.
Scabrosa, West.
Sphærioïdes, Fr,

Botryosporium .

Pulchrum, Cda. .
Botryotrichum
Piluliferum, Sacc. .
Botrytis.

Camarosporium,
Affine, Sacc. .
Alpinum. Speg .
Arenarium, Sace.
Coronillæ, Saec,
Cruciatum, Sacc.
Incrustans, Sacc.
Laburni, Sacc. .
Oreades, Dur.
Philadelphi, West.
Phragmitis, Brun. .
Picastrum, Fr. .
Pini, West. .
Pithyum, Sacc. .

Polymorphum, Sacc. .

Propinquum, Sacc.
Quercus, Sacc. .

( 288 )

Pages.

284-x1
284-x1
213
243

271
271
272
197
197
178
178
251
251
137
437
137
437
437
437
245
A5
292
252
240)

Asterosporium
Hoffmanni, Kze.
Atractium
Flammum, B. et Rav.

Bicolor, Lk. .

Densa, Ditm.
Lutescens, Sacc.
Racemosa, Bull.
Truncata, Cooke.
Vulgaris, Fr.
Brachysporium .
Apicale, B. Br. .
Biseptatum, Sacc. .
Crepini, West. .

Coryneoïdeum, De Not. .

Flexuosum, Cda.
Fumosum, E. M.
Obovatum, Berk.
Oligocarpum, Cda.
Oosporum, Corda .

Stemphylioïdes, Cda. .

Bullaria .

Umbelliferarum, DC. .

Robiniæ, West...
Rosarum, West,
Rubicolum, Sacc. .
Salicinum, Sacc.

Sarmenticium, Sace. .

Xylostei, Sacc. .
Camptoum .
Curvatum, Kz et Sch.
Catinula .
Turgida, Fr. .

Cephalothecium.

Ceratium.
Hydnoïdes, Jacq.
Cercospora .
Bellynckii, West.
Beticola, Sacc. .
Campi-Silii, Speg. .

F4

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an À à à los nf dès

Cheiranthi, Sace.
Depazeoïdes, Desm. .
Ferruginea, Fckl. .
Fraxini, DC .
Lepidii, Peck.
Lilacis, Desm. .
Lythri, West.
Majanthemi, Fckl. .
Malvarum, Sacc.
Mercurialis, Pass. .
Resedæ, Fckl.
Cercosporella,
Cana, Sace. . .
Ceuthospora
Glandicola, Sacc. .
Lauri, Grev .
Phacidioïdes, Grey.
Chætodiplodia.
Lecardiana, Sacc. .
Chætomella.
Atra, Fckl.
Chætopsis.
Grisea, Ehrenberg .
Chætostroma .
Atrum, Sacc.
Chiatospora.
Parasitica, Riess. .
Chromosporium.

Malvacearum, West. .

Ciliciopodinum.

Tubercularioïdes, Lib.

Cladorrhinum
Fecundissimum, Sacc.
Cladosporium.
Asteroma, Fckl.
Caricicolum, Cda. .
Fasciculare, Pers. .
Fuligineum, Bon. .
Graminum, Cda.
Herbarum, Pers.
Lignicolum, Cda.
Nodulosum, Cda.
Rhois, Arcang. . .
Typharum, Desm. .
Umbrinum, Fr. .

Cladotrichum, Cda.

Nigrescens, Lk. .
Triseptatum, B. Br.
Clasterosporium

( 289 )

Pages.
235
234
234
235
235
233
234
93
235
234
235
210
210
132
432
132
132
119
419
118
118
2541
254
283
283
440
140

19 19 19
e CR
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[er]

Ro RO
=

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©
[#2]

Atrum, Lk. : .,
Bulbophilum, West.
Caulicolum, Cda.
Eruca, Sacc. .
Fungorum, Fr. .
Gibbum, Sacc. .
Hormiscioïdes, Sacc. .
Opacum, Cda. .
Sparsum, Fres. .
Tenuissinum, Nees.
Colletotrichum .
Glæosporioïdes, Penz.
Lineola, Cda.
Coniosporium
Arundinis, Cda.

Buxi, West. :
Rhizophilum, Pr. .
Coniothecium.
Amentacearum, Cda. .
Betulinum, Cda.
Conglutinatum, Cda. .
Effusum, Cda.

Epidermidis, Cda. . .
Helicoïdeum, Sacc. . .

Toruloïdes, Cda.
Coniothyrium.

Concentricum, Sacc. .

Conoïdeum, Sacc. .
Conorum, Sacc. .
Crepinianum, Sacc.
Foedans, Sacc. .
Fuckelii, Sacc. .
Fuscidulum, Sacc.
Hedera, Desm. .
Insitivum, Sacc.
Olivaceum, Bon.
Ribis, nobis .
Sarothamni, Sacc. .
Vagabundum, Sacc.
Coremium
Glaucum, Fr.
Coryneum
Disciforme, Kze.
Compactum, B. Br.
Fusarioïdes, Sacc. .
Kunzei, Cda. .
Microstictum, B. Br.
Notarisianum, Sacc. .
Pulvinatum, Kze. .

Umbonatum, Nees.
Cryptocoryneum
Fasciculatum, Fckl.
Cryptosporium .
Coronatum, Fckl, .

Epiphyllum, C. et Ellis .

Hysterioïdes, Cda. .
Neesii, Cda. .
Nigrum, Bon.
Viride, Bon. .
Cylindrium.
Elongatum, Bon.
Flavo-Virens, Ditm.
Griseum, Bon. .
Luzulæ, Lib. .
Cylindrocolla .
Alba, Sacc.

Urticæ, Pers.
Cylindrosporium
Alismacearum, Sacc. .
Niveum, B. Br. .
Cytospora.
Acharii, Sacc.
Ambiens, Sacc. . .
Carbonacea, Fr.
Carphosperma, Fr.
Ceratophora, Sacc. .
Chrysosperma, P. .
Cincta, Sacc.
Coronata, Hoffin.
Curreyi, Sacc.
Decipiens, Sacc.
Decorticans, Sacc. .
Diatrypa, Sace. .
Epixyla, Sacc.
Extensa, Sacc. .
Flavo-Virens, Sace,
Foliicola, Lib. .
Friesii, Sacc.
Fuckelii, Sace. .
Germanica, Sacc. .
Hippophaës, Thum.

( 290 )

Pages.

168
190
490
174
174
174
174
474
A75

Incarnata, West. . .
Juglandina, Sacc. .
Lauro-Cerasi, Fckl.
Leucosperma, Pers.
Leucostoma, Pers, .
Macilenta, Rob. ,. .
Massariana, Sacc. . .
Microstoma, Sacc. ,
Nivea, Hoffm. . . .
Ocellata, Fekl. . .
Oxyacanthæ, Rab. .
Personata, Fr, . .
Pinastri, Fr. .

Pini, Desm. .

Pini, Fckl.
Pithyophila, West...
Platani, Fckl.
Pustulata, Sacc. .
Ribis, Ehrenb. .
Rubescens, Fr. .
Salicis, Gda::.. "+
Sepincola, Fckl,
Stenopora, Sace.
Syringæ, Sacc. .
Tumida, Lib. . .
Vitis, Mont. .
Cytosporella. .
Æseuli, West.
Mendax, Sace. .
Scheidweileri, West. .
Sphærosperma, West. .
Cytosperina,
Aspera, Wallr. .
Cerviculata, Sacc. .
Heteracantha, Sacc.
Ludibunda, Sacc. .
Millepunctata, Sacc. .
Milliara, Sacc. .
Rostrata, West. .
Siliquastri, West. .
Stellutata, Sacc. . .

LPS

Dactylium
Dendroïdes, Bull, .

Macrosporum, Ditm. .

Darluea .
Ammophila, Sacc. .
Filum, Biv. .
Dbematium :
Hispidulum, Pers. .

Dbendrodochium .

Affine, Sace. .

Fusisporum, Sacc. . .

Rubellum, Sacc.
Dendrophoma

Pleurospora, Sacc. . .

Pruinosa, Fr.
Pulvis-pyrius, Sacc.
Therryana, Sacc.
Valsispora, Penz.
Dendryphium .
Comosum, Wallr. .
Curtum, B. Br. .
Fumosum, Cda.. .
Penicillatum, Cda. .
Ramosum, Cooke .
Toruloïdes, Fres. .
Dichomera. .
Mutabilis, B. Br.
Rhamni, West. .
Dicoccum

Minutissimum, Cda. .

Dictyosporium
Elegans, Cda. .
Dbidymaria
Ungeri, Cda. .
Didymopsis.
Perexigua, Sacc. .
Didymosporium
Dilophospora .
Graminis, Desm.
Dinemasporium
Dianthi, West. .
Fimeti, Plowr. .
Graminum, Lev.

Hispidulum, Schrad. .

Strigosum, Fr. .

Diplocadium .
Minus, Bon. .

Penicillioïdes, Sacc. .

Diplodia .
Acicola, Sacc.
Æsculi, Lev..
Althææ, Speg. .
Ampelina, Cooke
Arundinacea, D. et M.
Buxicola, Sacc. .
Carpini, Sac.
Castaneæ, Sacc.
Catalpæ, Speg. .
Caulicola, Fckl.
Conigena. Desm.
Consors, B. et Br. .
Coryli, Fckl. .
Cratægi, West. .
Ditior, Sacc. .
Dulcamaræ, Fckl. .
Evonymi, West.
Faginea, Fr. .
Frangulæ, Fckl.
Grossulariæ, Sacc.
Heridicola, Sacc.
Herbarum, Cda. .
Humuli, Fckl.
Hypericina, Sacc. .
llicicola, Desm.
Iicis, Fr. .
Inquinans, West. .
Jasmini, West. .
Juglandis, Fr.
Juniperi, West. .
Kerriæ, Berk.
Lantanæ, Fckl. .

Leguminis-Cytisi, Lev.

Ligustri, West. .
Lilacis, West.
Loniceræ, Fckl,
Magnoliæ, West.
Mamillana, Fr. .
Microporella, Sace.
Microspora, B. C. .
Mori, West. .

12

Mutila, Fr.

Narthecii, B. R.

Padi, Brun. .
Palmarum, B.R. .
Palmicola, Thum. .
Perpusilla, Desm. .
Pinea, Desm.

Pinea, Kx.

Populina, Fckl. .
Profusa, De Not.
Pruni, Fckl. . Je à
Pseudo-diplodia, Fckl.
Ramulicola, Desm.
Rhododendri, Beil.
Ribis, Sacc. .
Rosarum, Fr.

Rubi, Fr .

Rudis, Desm.
Salicella, Sacc. .
Sapinea, Fr. . £
Sarothamni, C. et H. .
Scheidweileri, West. .
Secalis, Roum. .
Siliquastri, West. .
Spiræina, Sacc. .
Subsolitarea, Schw
Subtecta, Fr.

Taxi, De Not.
Tecomæ, Pass. .
Tecta, B. Br.
Thujana, Peck, .
Ulicis, Sacc. .
Viticola, Desm. .

Echinobotryum . .

Atrum, Cda. . . .
Entomosporium.
Maculatum, Lev.
Epicoccum .
Neglectum, Desm. .

Purpurascens, Ehrenb. .

( 292 )

Pages,

76
71
71
72
74
71
81
81
78
14
73

491
491
446
146
281
281
281

L

Vulgaris, Lev.
Diplodiella .

Crustacea, Karst. .

Diplodina
Acerum, Sacc. .
Conformis, Sacc.
Gallii, Niess, .
Graminea, Sacc.
Salicis, West.
Truncata, Lev. .
Discella
Carbonacea, Fr.
Discosia .
Alnea. Pers, .
Artocreas, Tode.

Clypeata, De Not .

Deflectens, Sacc.
Strobilina, Lib. .
Discula.
Platani, Peck.

Platyspora, B. Br.

Dothichiza .

Ferruginosa, Sacc.

Padi, Sacc.

Passeriniana, Sacc.

Populea, Sacc. .
Sorbi, Lib.
Dothiorella .
Advena, Sacc.

Berengeriana, Sacc.

Fraxinea, Sacc. .
Latitans, Fr. .
Ribis, Fckl. ,

Epidochium.
Affine, Desm.
Atro-Virens, Fr.
Epochnium .
Excipula .
Exosporium
Tiliæ, Lk..

Pages.

Fuckelia .

Ribis, Bon.
Fumago

Vagans, Pers.
Fusarium

Album, Sacc.
Asperifoliorum, West.
Brassicæ, Thüm. .
Cæruleum, Lib. .
Candidum, Lk. .

Episphæricum, C. et E. .

Equisetorum. Lib. .
Herbarum, Cda.
Heterosporum, Nees ,
Incarnatum, Desm.
Kühnü, Fckl.
Lateritium, Nees
Minutissimum, Desm.
Oxysporum, Schlecht.
Pallens, Nees.
Parasiticum, West.
Pyrochroum, Desm. ,
Roseum, Lk. .
Sambucinum, Fekl.
Sarcochroum, Desm.
Solani, Mart.

Geotrichum.
Cinnamomeum, Lib. .
Gliocladium
Penicillioïdes, Cda.
GlϾosporium . .
Alneum, West. . . ,
Affine, Sacc. .
Asparagi, Nobis.
Aurantiacum, Sacc.
Betulæ, Mont.
Carpini, Desm. . . .
Concentricum, Grev. .
Conigenum, Sacc. .
Coryli, Desm.

Cylindrospermum, Sacc

485
485
294
224
160
160
162
163
163
161
161
163
460
162
161

Subtectum, Rob.

Leæ, West.
Fusicladium .
Dentriticum, Wallr.
Depressum, B. Br.
Pirinum, Lib.
Fusicoccum.
Bacillare, Sacc.
Carpini, Sacc.
Castaneum, Sacc. .
Cinctum, Sacc. .
Farlowianum, Sacc. .
Glæosporioïdes, Sacc.
Guttulatum, Sacc. .
Künzeanum, Sacc. .
Lesourdeanum, Sacc.
Ornellum, Sacc.
Fusicolla .

Betæ, Bon.
Fusidium.
Griseum, Lk.
Parasiticum, West.
Sulphureum, Schl.
Fusispora
Fusisporium .

Fagi, West. .
Haynaldianum, Sacc. .
Helicis, Desm. .

Lindemuthianum, Sacc. .

Orbiculare, Berk. .
Orni, Sacc.
Paradoxum, Fekl. .
Platani, Mont. .
Quercinum, West. .
Ribis, Lib.

Robergei, Desm.
Tremulæ, Pass.
Truncatum, Sacc. . .
Umbrinellum, B. Br. .
Gonatobotrys .

Pages.

276
275
230
230
230
230
129
430
430
129
131
430
129
431
430
431
130
269
269
183
18%
183
183
276
215

162
461
162
162
163
160
160
162
160
160
161
461
161
160
200

Simplex. Cda.
Goniosporium
Puccinioïdes, K.etsS. .
Graphiothecium
Parasiticum, Désm. . .
Phyllogenum, Desm. .

Hadotrichum . .
Virescens, Sacc.
Hainesia . CHE
RUDI West Ram Enr
Haplographium .
Delicatum, B.Br: ..
Haplosporella
Cæspitosa, B. Br. . : .
Helicomyces

Roscus, Lk. .
Helicosporium .
Fuckelii, Fres. .
Lumbricoïdes, Sacc. .
Mülleri, Cda.
Phæosporum, Fres.
Puiviuatum, Nees. .
Vegetum, Nees. . .
Viride, Cda. .
Helicotrichum
Obseurum, Cda. . .
Helminthosporium
Acroleucum, Sacc. . .
Apiculatum, Cda.
Appendiculatum, Cda.
Folliculatum, Cda . . .
Fusiforme, Cda, . .
Genistæ, Fr..
Gongrotrichum, Cda. .
Inconspicuum, C. et Ell.
Macrocarpum, Grev. .
Minutum, Schülz, .
Rhopaloïdes. Fres. . .
Rousselianum, Mont. .
Tiliæ, Fr.. :
Turbinatum, B. Br.
Velutinum, Lk. .
Hendersonia .
Arundinis, Lib. .
Brunaudiana, Sacc.

( 29% )

Pages.
200
298
298
263
264
26%

9243

ko à

19
D 4
Le

{

Pusilum, Fckl. . . .
Graphium . . .
Rigidum, Pers. . . .
Gyroceras . .
Plantaginis, Cda.

Conspurcata, Sacc.
Crastophila, Sacc. .
Culmicola, Sacc.
Culmiseda, Sace.
Decipiens, Thüm. .
Desmazieri, Mont. .
Diversispora, Sace.
Fiedleri, West. .
Foliorum, Fckl. .
Fusarioïdes, Sacc. .
Henriquesiana, Sacc. .
Hirta, Fr..

Toricata) SaCC. 0.20
Luzulæ, West. 3
Occulta; Lib. =...
Piricola, Sacc.
Pulchella, Sacc. :
Rhododendri, Thüm. .
Riparia, Sacc.

Rubi, West, .
Sambuci, Müll. .
Sarmentorum, West. .
Solani, Karst.
Tecomæ, Sacc. .
Ulmicola, Cooke.
Vagans, Fckl
Heterosporium
Echinulatum, Berk.
Phragmitis, Sacec. .
Variabile, Coocke. .
Hormiactis .
Fimicola, Sace. .
Hormiscium
Antiquum, Cda..
Hysterioïdes, Cda. .
Pithyophilum, Nees, ,
Stilbosporum, Cda.
Hormodendrum
Hymenopsis

Strobilina, Lib. .
Hymenula
Herbarum, Sace.
Macrospora, Sacc. .
Pellicula, Desm.
Rubella, Fr. .
Vulgaris, Fr..

Illosporium
Carneum, Fr
Coccineum, Fr..
Maculicolum, Sacc.
Isaria E
Brachiata, Batsch. .
Farinosa, Fr.

Labrella .
Heraclei, Lib.
Leptostroma .
Capreæ, Lib...
Filicinum, Fr. .
Herbarum, Linck. .

Juncacearum, Sacc. .

Pinastri, Desm. . .
Poæ, Lib. .

Rubi, Lib.
Spirææ, Fr. .

Leptostromella .

Hysterioïdes, Fr.

- Juncina, Fr. .

Septorioïdes, Sacc.
Leptothyriuen .
Castaneæ, Sacc.
Cytisi, Fekl. .

Macrodiplodia
Curreyi, Sacc.
Ulmi, Sacc.
Macrosporium
Brassicæ, Berk.

( 295 )
Pages.

282 Hyphoderma

270 Roseum, Pers. .

974 Hypodermium

271 Nervisequum, Lk. .

270 Sparsum, Lk.

270 Sulcigenum, Lk.

270

268 Felina, D. C..

268 Umbrina, Pers. .

268 Isiaropsis

268 Albo-Rosella, Desm. .

260 Carnea, Oud.

260 Griseola, Sacc. .

260

148 Libertianum, Thüm, .

148 Litigiosum, Sacc. .

147 Lunariæ, Kze.

148 Macrothecium, Fckl. .

148 Peryclemeni, Desm.

A4T Ptarmicæ, Sacc.

A47 Quercinum, Lasch .

447 Scorodoniæ, Lib, .

148 Subtectum, Sacc.

148 Vulgare, Fr. .

447 Libertella

149 Acerina, West. .

449 Alba, Lib...

149 Betulina, Desm.

149 Faginea, Desm...

4141 Taleola, Sace.

142 Libertiella . ÿ

143 Malmedyensis, Speg. .
81 Cladosporioïdes, Desm. .
81 Heteronemum, Desm.
82 Trichellum, Arc.

247 WMarsonia.

248 Castagnei, Desm. .

Pages.

210
210
ATT
AT8
477
178

260
260
262
263
263
263

142
142
148
142
143
143
142
143
143
142
476
176
176
176
476
176
139
139

247
247
247
166
166

Juglandis, Lib. .
Populi, Lib. .
Potentillæ, Desm. .
Truncatula, Sacc. .
Martensella
Pectinata, Coem.
Mastigosporium.
Album, Riess, , .
Melanconium.
Betulinum, Schm. .
Bicolor, Nees.
Desmazieri, B. Br.
Juglandinum, Kze.
Magnum, Grev..
Parasiticum, West.
Ramulorum, Cda. .
Sarothamni, Lib.
Secalis, Lib. .
Sphæroïdeum, LK..

Sphærospermum, Pers. .

Stromaticum, Cda.
Melasmia.
Acerina, Lev.
Aviculariæ, West, .
Menispora .
Ciliata, Cda. .
Libertiana, Sacc.
Mesohotrys .
Fusca, Cda. .
Microcera
Coccophila, Desm.
Micropera
Betulina, Sacc. .
Drupacearum, Lev.
Sorbi, Sacc. .

Monuacrosporium .

Oxysporum, Sacc. .
Subtile, Oud.
Monilia

Aurea, Lk,
Candicans, Sacc.
Fructigena, Pers. .
Libertiana, Roum. .
Monosporium.

( 296 )

Pages.
466
466
167
166
947
247
181
181
164
465
46%
465
465
4165
16%
164
164
165
164
16%
165
150
450
450
249
250
250
250
250
277
277
415
A5
415
115
202
202
22
18#
184
184
184
184
247

Corticolum, Bon,
Monotospora .
Atra, Cda,
Sphærocephala, B. Br.
Mucrosporium

Sphærocephalum, Berk. .

Mycogone
Anceps, Sacc.
Cervina, Ditm. .
Pezizæ, C. Rich.
Rosea, Lk.
Myropyxis
Graminicola, Ces. .
Myrothecium .
Gramineum, Lib. .
Inundatum, Tode ,
Mystrosporium .
Atrichum, Cda, .
Piriforme, Desm.
Myxosporium .
Album, Fr.
Carneum, Lib. .
Croceum, Lk.
Deplanatum, Lib. .
Incarnatum, Sace. .
Juglandinum, nobis .
Lanceola, Sacc.
Mali, nobis

Marchandianum, Sacec. .

Millardetianum, Sacc.
Piri, Fckl.
Populinum, Sacc. .
Propinquum, Sacc.
Prunicolum, Sacc. .
Rosæ, Fckl. .
Salicellum, Sacc. .
Salicinum, Sacc.
Tremulæ, Sacc. .
Myxotrichum .
Cancellatum, Phill,
Chartarum, Kz. .
Coprogenum, Sacc.
Murorum, Kze. .

Næmospora .
Croceola, Sacc, .
Microspora, Desm.
Populina, Pers. .
Westendorpii, Sacc.

Oïdium. . . .
Erysiphoïdes, Fr. .

Leucoconium, Desm, .

Monilioïdes, Lk.
Tuckeri, Berk, .
Oospora . . .

Abortifaciens, Berk. .
Chrysosperma, Cda. .

Crustacea, Bull.
Fasciculata, Berk. .
Fulva, Kze.
Grandiuscula, Sacc,
Inæqualis, Cda.
Ovalispora, Berk. .

Pachybhasium .
Hamatum, Bon.
Passalora

Bacilligera, Fr. et M. .

Penicillium.
Candidum, Lk. .
Glaucum, Lk.
Periconia
Alternata, Berk.
Atra, Cda.
Nigrella, Berk. .
Pycnospora, Fres. .
Periola.
Tomentosa, Fr. .
Pestalozzia.
Calabæ, West. .
Castagneï, Desm, .
Conigena, Lev. .

186
187
486
186
186
181
183
183
182
183
183
182
182
183

218
249
230
230
224
294
224
226
226
226
296
226
278
278
470
472
474
171

Naplicadium .

Arundinaceum, Cda. .
Nematogonium .
Aurantiacum, Desm, .

Aureum, Berk. .

Perpusilla, Sace.
Roseo-Flaya, Sacc.
Roseola, Sacc. .
Sulphurea, Preuss.

Trigonospora , March.

Virescens, Lk.
Ovularia .
Bistortæs £ exl. .
Bulbigera, Fckl.
Deusta, Sacc.
Lamii, Fckl. .
Obliqua, Cooke .
Sphæroïdea, Sacc,.
Veronicæ, Fckl.

Guepini, Desm. .
Intermedia, Sacc. .
Funerea, Desm.
Hypericina, Ces.
Monochæta, Desm.
Pezizoïdes, De Not.
Rosæ, West.
Truncata, Lev. .
Phleospora .
Aceris, Lib. .
Mori, Lev.
Oxyacanthæ, Kze. .
Ulmi, Fr. .
Phlyctæna .
Phomatella, Sacc. .
Vagabunda, Desm.
Phoma .
Achilleæ, Sace. .

Pages.

232
232
199
199
200

181
182
4182
183
182
181
203
204
302
203
204
204
203
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AT
471
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172
170
172
174
174
410
410
410
411
410
414
114
114

31

51

Acicola, Lev.
Acuta, Fckl. .
Albicans, Rob, .
Aliicola, Sacc. .
Alnea, Nits. .
Ammophilæ, Dur, .
Ampelopsidis, Sacc.
Anethi, Sacc.
Atriplicina, West, .
Aucubæ, West. .
Bignoniæ, Sacc.
Brassicæ, Thüm.
Calluna, nobis .
Candollei, Sacc.
Caricina, Thüm.
Cincrescens, Sacc.
Cirratula, Desm.
Complanatä, Tod, .

Coneglanensis, Sacc. .

Conorum, Sacc. .
Controversa, Nits. .
Corni, Fckl. .
Coronillæ, West.
Corylina, Thüm.
Cratægi, Sace. .
Crepini, Speg. .
Crustosa, Sacc. .
Cryptica, Nits. .

Cucurbitacearum, Fr.
Cylindrospora, Desm.
Decorticans, De Not. .

Deflectens, Sacc.
Dentariæ, West.
Depressa, Lev. .
Depressula, Sacc. .
Deusta, Fekl.
Diplodioïdes, Sacc.
Dulcamarina, Sacc.
Durandiana, Sace. .
Ebulina, Sacc. .
Effusa, Rob. .
Enteroleuca, Sacc.
Epilobii, Preuss.
Epiphylla, Sacc.
Ericæ, Sacc. .
Errabunda, Desm,
Eryngii, Sacc.
Exigua, Desm. .
Filaginis, West,

( 298 )

Pages.
4%

Fimicola, Sacc. .

Fœniculina, Pass. .

Foveolaris, Sacc.

Fraxinea, Sacc. .

Fraxinicola, nob.

Fuckelii, Sace, .

Geniculata, Sacc, .

Glandicola, Desm. .

Gloriosa, Sacc, .

Grossulariæ, Schulz à

Herbarum, West, . . .

Hyalina, Sacc.

Ilicis, Desm. .

Inæqualis, Speg.

Incarcerata, Sacc. .

Juglandina, Sacc. . . .

Laburni, West, .

Lavateræ, West.

Leguminum, West.

Leptidea, Fr. :

Leucostigma, Sacc. : . . . »

Libertiana, Speg. .

Liliacearum, West,

Lirellata, Sacc. . QUE =" -

linguam, TOd MORE RS

Lineolata, Desm.

Longissima, West. .

Magnusii, Sace. .

Malvacearum, West. .

Melæna, Mont. .

Minima, Sacc.

Mirbelii, Sacc. .

Mixta, B. et C.

Mülleri, Cke,. 4

Mutica, B. Br. . 43

Myricæ, Karst. . 32

Nebulosa, Pers. 49

Nitida, Rob, . bb]

Nitidula, Sacc, . 56

Oblonga, Desm. . . +: NES

Ocellata, Sacc.. 2} *. SRE
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4
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H
36
44

OCculta Sac ee
Oleracea, Sacc. . . k
Oncostoma; Thüm.' 6...
Oppilata, Sace. . PR do
Opulifolia, Cke. . . . . . .
Padina, Sacc.

Palina; Sa0ct ”"/S, A, MIRE
Petiolorum, Desm, . . .

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ci

Phaseoli, Desm.
Phillipsiana, Sacc,
Phormii, Sacc. .
Piceana, Karst..
Picea, Sacc. .
Pithya, Sacc.
Planiuscula, Saec. .
Podagrariæ, West.
Protracta, Sacc.
Pterophila, Nits.
Pulla, Sacc. .

Punctiformis, Desm. .

Pustulata, Sacc.
Putator, Sacc.
Querci, Sace.
Radula, B. Br. .
Ramealis, Desm.
Revellens, Sacc.
Robergeana, Sace. .
Rosicola, nobis.
Ruborum, West.
Rudis, Sacc. .
Ryckholtii, Sace.
Salicina, West, .
Sambucina, Sacc.
Samarorum, Desm.
Sambucella, Sacc. .
Sarothamni, Sacc. .

Saxifragarum, West. .
Scheidweileri, West. .

Siliquæ, Sacc. .
Siliquarum, Sacc. .

Siliquastri, Sacc.
Siliquastrum, Desm. .

Silvatica, Sacc. .
Sorbariæ, Sacc.
Sordida, Sacc. .
Spirææ, Desm. .
Stictica, B. Br. .

Striæformis, D. et M. .- .

Strobi, B. Br.

Strobiligena, Desm. .
Subordinaria, Desm. .

Subvelata, Sacc.
Syringina, Sacc. .
Tamaricella, Sacc.
Thalictrina, Sacc. .
Urticæ, Schulz.
Velata, Mich.

( 299 )

Pages.

Venenosa, Sacc.
Vincæ, Sacc.
Vincetoxici, West, .
Vitis, Bon.
Vulgaris, Sace. .

. Westendorpii, Tosq. .

Phyllædia
Faginea, Lib.
Punicea, Lib.
Phyllosticta.
Acericola, C. E..
Ajugæ, Bell. .
Æsculicola, Sacc. .
Alismatis, Sacc.
Angelicæ, Sacc.
Arbuti, Desm.

Asclepiadearum, West. .

Aucubæ, Sacc. .
Betæ, Oud.
Betulina, Sacc. .
Bignoniæ, West.
Cirsii, Desm.
Corni, West. .
Cornicola, DC. .
Coryli, West,
Cruenta, Kix.
Cynaræ, West. .
Cytisi. Desm.
Digitalis, Bell. .
Donckelaeri, West.
Draconis, Berk. .
Ebuli, Fckl. .
Erysimi, West. .
Fabæ, West...
Fallax, Sacc.
Fragaricola, Desm.
Hederæ, Sacc.
Hedericola, Dur.
Helianthemi, Roum. .
Helleborella, Sacc,
Juglandis, Sacec.
Lathyrina, Sacc.
Lauri, West, .
Lauro-Cerasi, Sacc.
Leucanthemi, Speg.
Libertiana, Sacc.
Ligustri, Sace. .
Liriodendri, Thüm.
Lutetiana, Sacc.

51
54
269
269
959
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284-vI
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984-1v
284-111
981-vIII

Maculiformis, Sacc.
Nerii, West. .
Osteospora, Sacc. .
Paviæ, Desm.
Plantaginis, Sacc. .
Platanoïdis, Sacc. .
Pirina, Sacc. .
Populorum, Sacc. .
Quereus, Sacc. .

Quercus-llicis, Sacc. .

Renouana, Lib. .
Rhamni, West. .
Rhamnicola, Desm.
KRhoïs, West. .
Ribicola, Fr..
Ruscicola, Dur. .
Sambuci, Desm.
Saponariæ, Sacc.
Sorbi, West. .

Symphoricarpi, West.

Symphoriella, Sacc.
Syringæ, West. .
Thalictri, West.
Thallina, Sacc. .
Ulmariæ, Thüm.
Ulmi, West. .
Violæ, Desm.
Vulgaris, Desm.
Weigeliæ, Sacc. .

Westendorpii, Thüm. .

Physospora. .

Rabenhorstia.
Rudis, Fr.

Tiliæ, Fr. .
Ramularia .
Adoxæ, Rab.
Æquivoca, Ces. .
Ajugæ, Niessl, .
Calcea, Desm. .
Coleosporii, Sacc. .
Cylindroïdes, Sacc.
Destructiva, PI...
Farinosa, Bon. .
Geranii, West. .
Gibba, Fekl. .

( 300 )

Pages.
9284-11
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284-IX
284-vI
284-V
284-VI

200

135
133
433
205
206
206
207
209
208
206
206
210
207
209

Rubiginosa, Fr. .
Piggotia .
Astroïdea, B. Br.
Pilaere .
Petersii, B. et C.
Pionnotes :
Rhizophila (Cda.) .
Pirostoma
Circinans, Fr.
Placosphæria .
Galii, sacc.
Graminis, Sacc.
Stellariæ, Lib. .
Polystigmina .
Rubra, Desm.
Polythrincium
Trifolii, Kze.
Prosthemiella.
Formosa, Sacc. .
Prosthemium .
Betulinum, Kze.

Pseudodiplodia .

Ligniaria, Karst.
Psilospora .
Faginea, Rabh. .
Quercus, Rabh..
Pyrenochæta .
Hispidula, nobis.
Luzulæ, West,
Rosæ, nobis .

Heraclei, Oud. .
Lactea, Desm.
Lampsanæ, Desm.
Lysimachiæ, Thüm.
Monticola, Speg.
Phyteumatis, Sacc.
Pruinosa, Speg.
Sambucina, Sacc. .
Silvestris, Sacc.
Succisæ, Sacc. .
Taraxaci, Karst.
Urticæ, Ces.
Valerianæ, Speg.
Variabilis, Fekl.

nn mot fat. à mile le 32h itarts de

Rhabdospora .
Caprifolii, Sacc.
Cirsii, Karst,
Diaporthoïdes, Sacc. .
Dipsacea, Sacc.
Fusicoccoïdes, Sacc. .
Helleborina, Sacc. .
Herbarum, Pr. .
Inæqualis, Sacc.
Juglandis, Schw.

Sacidium
Ulmariæ, Sacc.
Schizothyrella .
Quercina, Lib...
Scolecosporium
Fagi, Lib. .
Scolecotrichum.
Graminis, Fckl.
Clavariarum, Desm. .
Selenosporium .
Sepedonium .
Albo-Luteolum, Sacc.

Chrysospermum, Bull. .

Thelosporum, Sacc. .

Septocylindrium .

Bonordenii, Sacc.
Septonema.
Bisporoïdes, Sacc.
Hormiscium, Sacc. .
Rude, Sacc.
Strictum, Cd. .
Septoria.

Æsculi, West. .

Agrimoniæ-Eupatoriæ, B. R. .

Alismæ, B. R.
Anemones, Desm.
Antirrhini, Desm .
Aquilina, Pass.

Ari, Desm . :
Asphodelina, Sacc. .
Astragali, Desm. .
Atriplicis, West. .
Aucubæ, West,
Badhami, B. Br.s.
Bellynckii, West. .

( 301 )

Pages.
ai
113
4143
443
412

TT

1142
41%
411
414

144
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154
154
170

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972
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945
213
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186
186
497
197
198
198
198
95
406
402
109
96
96
406
104
100
409
99
400
405
95

Lebretoniana, Sacc.
Nebulosa, Desm.
Notha, Sacc. . ;
Pleosporoïdes, Sacc. .
Ramealis, Desm.
Salicella, B. Br.
Khinocladium
Coprogenum, Sacc.
Koumegueriella.
Muricospora, Speg.

Betulæ, Lib.
Bromi, Sacc.
Bupleuri, Desm
Calystegiæ, West.
Cannabis. Lasch. .
Caprææ, West.
Caricinella, Sacc.
Caricicola, Sacc. .
Carpophila, Sacc.

Carthusianorum, West. .

Castanicola, Desm.
Cerastii, Rob. .
Cheiranthi, Rob. .
Chelidonii, Desm.
Chenopodii, West.
Clematidis, Rob. .
Conigena, Sacc.
Convolvuli, Desm.
Cornicola, Desm.
Gratægi, Desm.
Cruciatæ, Rob.
Cytisi, Desmet.
Daphnes, Desm.
Dianthi, Deem.
Digitalis, Pass.
Dipsaci, West.
Disseminata, Desm. .
Donacis, Pass.
Duchartrei, Crié .
Dulcamaræ, Desm.
Ebuli, Desm. .
Effusa, Desm. .
Epilobii, West.
Erysimi, Niessl. .
Euphorbiæ, Desm.

Pages.

al
112
412
1143
411
A1
238
238
139
139

Evonymi, Rabh. .
Ficariæ, Desm, .
Galcopsidis, West. .
Gei, Rob.

Geranii, Rob. .
Globulariæ, Sacc.
Graminum, Desm, . .
Crossulariæ, West. .
Hederæ, Desm. . .
Hepaticæ, Desm. . .
Heraclei, Desm. .
Heterochroa. Desm.. .
Holci, Pass.

Humuli, West,
Hydrocotyles, Desm.
Hyperici, Desm. .
Incondita, Desm.. .
Iuulæ, Desm. .

Junc} Desmi. "0.17
Kalmiæcola, Berk. .
Laburni, Pass. .
Lactuçæ, Pass. 0.
Lamii. West. . . .
Lavandulæ, Desm.
Leguminum, Desm. .
Pepidii, DESM cut
Levistici, West. .
Ligustri, Desm.
Lychnidis, Desm. . .
Lycoctoni, Speg. .
Lysimachiæ, West.
Maianthemi, West. .
Medicaginis, Rob.
Menispora, B. Br.
Menyanthes, Desm .
Mespili. Sace. .
Mougeoti, Sacc.

Napelli, Speg..
OEnotheræ, West.
Orchidearum, West. .
Pæoniæ, West.
Pastinacæ, West, .
Phacidioïdes, Desm.
Phyteumatis, Sacc. . .
Petroseliui, Desm. . *
Piricola, Desm.

Pisi, West, .
Podograriæ, Lasch. .
Polygonorum, Desm.

( 502)

Pages.

Populi, Desm.

Pseudo-Platani, Rob. .
Prismatocarpi, Desm.

Pruni, Ellis. .… .
Quercina, Desm. .
Ranunculi, West...
Ralfsii, B. Br.
Ribis, Desm. .
Riparia, Pass. .
Robiniæ, Desm. .
Rosæ, Desm. . .
Rosarum, West. .
Rubi, West.
Salicicola, Fr. .
Salicis, West. .
Saponariæ, Savi. .

Scabiosicola, Desm. .

Scillæ, West.
Scleranthi, Desm.
Scopariæ, West.

Scrophulariæ, West. .

Scorodonmiæ, Pass.
Senecionis, West.
Sii, Rob.

Silenes, West. .
Siliquastri, Pass. .
Spergulæ, West. .
Stachydis, Rob. .
Stellariæ, Rob.

Stellariæ-Nemorosæ, Roum. .

Stemmatea, Fr.
Tiliæ, West,
Tormentillæ, Desm.

Urens, Pass.

Urticæ, Desm.
Verbenæ, Rob.
Viciæ, West.
Villarsiæ, Desm. .
Vincetoxici, Schub.
Virgaureæ, Desm.
Sirococcus. .
Conorum, Sacc.
Speira u
Toruloïdes, Cda, .
Sphacella .
Segetum, Lev. .
Sphæridium .
Albellum, Sace .

Candidulum, Sacc. .

Vitellinum, Fres .
Spæronema
Acicula, Sacc..
Cerasi, Lasch..
Fasciculatum, Mont...
Sphæronæmella
Flavo-Viridis, Fckl. .
Mougeotii, Fr. .
Sphæropsis
Maiorum, Peck.
Saccardiana, Speg.
Subglobosa, Cke..
Ulmi, Sacc.

Visci, Sollm. .
Sporoeyhe -

Atra, Desm.
Berlesiana, Sacc. .
_Byssoïdes, Pers. .
Calycioïdes, Fr. .
Corticalis, C. et P.
Rhopaloïdes, Sacc. .
Sporodesmium .
Melanopodum, Ach. .
Myrianum, Desm.
Piriforme, Cda.
Polymorphum, Cda. .
Trigonellum, Sacc. .
Sporonema
Phacidioïdes, Desm. .
Sporochisma.
Insigne, Sacc..
Mirabile, Berk.
Sporotrichum
Aureum, Lk.
Byssinum, Lk.
Candidum, Lk.
Croceum, Kze
Flavicans, Fr..
Geochroum, Desm. .
Griseum, Lk. .
Merdarium, Ehrenb.
Pulviniforme, Thum.
Roseum, Lk.

( 505 )

Pages.
278
284-I
284-1
284-1
284-1
439
139
139
62

Scotophilum, Ehrenb.
Vellereum, Sacc. .
Virescens, Pers. .
Stagonopsis :.
Virens, Sacc. .
Stagonospora
Allantella, Sacc. .
Caulicola, Desm. .
Dolosa, Sacc. .
Graminella, Sacc.
Lambottiana, Sacc. .
Luzulæ, West.
Macrosperma, Sacc. .
Neglecta, West.
Strobilina, Sacc. .
Subseriata, Desm.
Turgida, Sacc.
Vaccinii, nobis
Vexatula, West.
Staehybotris .
Atra, Cd.

Steganosporium .

Cellulosum, Cda. .
Compactum, Sacc.
Muricatum, Bon. .
Piriforme, Hoffm.
Stemphylium
Alternariæ, Cooke. .

Sterigmatocystis .

Nigra, V. Tieyh. .
Stilbospora
Angustata, Pers. .
Stilbum .

Erythrocephalum, Ditm

Pellucidum, Schrad.
Tomentosum, Schr. .
Villosum, Bull.
Vulgare, Tode.
Strumella .
Olivatra, Sacc.
Stysanus
Stomonites, Pers.

21

. 263

Pages.
911
241
211
1240
140

88
89
89
90
89
88
88
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90
90
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296
297
173
173
173
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167
258
258
259
258
258
258
281
281

263

( 504 )

Pages.
Thyrsidium . . . . . 166-179
Botryosporum, Mont. . . . . . 466
Tiarospora. . . . . . . . 10
Westendarpli Sa0c ME PRET)
Torulasts 22 L'eau 4108
Abbreyiata CA EEE ME ro AOZ
Antennafa Pers ter EU Car 0407
Cæsia, Fuck. . . A ne AO
Conglutinata, Cda. . , . . . . 495
Compniacensis, Richon. . . . . 495
Cylindrica Berk "2000000407
Fapginea, FCI. M0 CRIE MENU 405
Graminis Desm 0 MC EE 408
HerDaru mn LE Le STONE RES te TO
Momliordes ACdA METRE ANA UE
BUlVErACEAACAE NE M RAM EEE 10
Rhododendri, Kze. . . . . .-. 495
Hener, AL SU AE AR EM ee 7
Trichoderma. . . . . . . 198
Lateritio-Roseum, Lib . . . . . 499
Jagnorum, Tode "PRE 02199
Ærichosporium. . . : . . ‘36
Brunneum, Schenk.”. #11. 1.7." : 1938
Cerealis TOME ALL EL 1096
COR LE MER TEE AE NUS Da 0BR
Vermicularia : . . . . . 115
Chenopodii, West. _. . . 4: . . 446
GITCMANS BETA NE RER MIRE
COlChICi FUCK UMP ON D NT AUS
COMPAL LA COTE A 16
Culmifrage Fr CRE EN AT
Culmigena, Desm. . 1 . «. : 446
Dématium Pers. Me ER Ra Ab
Gerani- West AE AG
Graminicola, West. . . . .. . 417
Heérbaram, West Pere MAT
Libertiana, Roum. : .! 7 . . . 446
Liliacearum, West, 2 AIT
Mercurialis, Wést.. UML US UE
Oblonga, Desm.+ 1... #0 446
Orlhospora; Sacc "NN LT

Crispulum, Sacc.
Fuscum, Lk.
Nigricans, Sacc. .
Olivatrum, Sacc. .
Tabacinum, Sacc.
Trichothecium :
Roseum, Pers.
Trinacrium .
Subtile, Riess.
Triposporium
Elegans, Cda. .
Tubercularia.
Brassicæ, Lib.
Ciliata, Ditm. .
Floccosa, Lk. .
Minor, Lk. .
Pinophila, Cda.
Rubi, Rabenh.
Sambuci, Cda.
Sarmentorum, Fr.
Volutella, Cda.
Vulgaris, Tode.
Tuberculino .
Persicina, Ditm. .

Schœnoprasi, Auersw
Trichella, Grev.
Verticillium .
Agaricinum, Lk. .
Buxi, Lk.
Candelabrum, Bon. .
Candidulum, Sacc.

Compactiusculum, Sacc.

Crassum, Bon.
Epimyces, B. Br..
Lateritium, Berk..
Nanum, B. Br.
Pyramidale, Bon.
Strictum, Sacc.
Terrestre, Pers. .
Virgarlia

(505 )

Pages. g Pages.
Coffeospora, Sace.. : . & .1. . 958 Féstucæ, Lib. Se 7 171980
Volutelln . . . . . . . . 279 Gilva Pers eee EE re AIR
Arundinis, Desm, . . . . . . 980 Niveas Fragen PU ES)
Buxi, Cda. . . . ! PA in DU) Pedicellata, Preuss. , . . . . . 219
WAtaN AMIE S AQU PT 4h 015279 Setosa,/Grev ME MN NT ATELIER 27)

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Zygodesmus. . . . . . 236 Aurantiaca, Peck.. . . . . . . 138
Fulvus, Sacc, . Sr EE 1096 Brassicæ, Sacc. PATENT ef ASS
EUROS GA EN LL ENT 15 1996 Mercurialis, Lib... : . .. . - 438
Ævthia le e). L, D) 438

ERRATA.

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