HARVARD UNIVERSITY. LIBRARY OF THE MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOULOGY. \kA Len | MÉMOIRES id j | SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE. MAR 1897 Nec temere, nec timide. | DEUXIÈME SÉRIE. TOME XIX. DEPOTS : __ LONDRES, . PARIS, BERLIN, chez Wicuams et Nonçare, chez Hermann, libraire, chez Farepzinper u. Sobn, Henrietta Str., 14. rue de la Sorbonne, 8. Caristrasse, 11. . BRUXELLES, HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE. Rue de Louvain, 112. ee ï : «a k ©? JANVIER 1897. ER K?® à PL MAR © 1897 MÉMOIRES SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE. MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES : DE LIEGE. a —————pa Nec lemere, nec timide. DEUXIÈME SÉRIE. TOME XIX. DEPOTS : LONDRES , PARIS: BERLIN , chez Wirriams et NoRGaTE, chez Hermann, libraire, chez Faiepranper u. Sohn, Henrietta Str., 14. rue de Ja Sorbonne, 8. Caristrasse, 11. BRUXELLES, HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE. Rue de Louvain, 119. JANVIER 1897. MAR 20 1897 TABLE DES MÉMOIRES CONTENUS DANS LE TOME XIX. . Catalogue de la Flore algologique de la Suisse; par É. De Wildeman. . Élatérides nouveaux (sixième fascicule); par E. Candèze. . La Géométrie euclidienne sans le postulatum d'Euclide; par J. Delbœuf. . Quelques propriétés du triangle; par L. Collette. . Contribution à l'anatomie des Renonculacées (le genre Delphinium); par C. Lenfant. LISTE DES MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ AU 1% JANVIER 1897 — 4-— Bureau. Président, M. E. Cannèze. Vice-Président, DRE TE) Secrétaire général, » LE PAIGE. Trésorier-Bibliothécaire, » 3. Deruvrs. Membres effectifs. 1842 Sezys Lonccaawps (baron E. be), membre de l'Académie royale de Belgique. 1853 CanDËze, E., membre de l’Académie royale de Belgique, à Glain par Liége. 1855 DEWALQUE, G., professeur à l’université de Liége, membre de l’Académie royale de Belgique. 1860 Gizzow, À., professeur à l’université. 1370 1871 1874 1875 1878 1880 1881 1884 1885 1837 ( vm) Masius, V., professeur à l’université, membre de l'Aca- démie royale de Belgique. VanLaR, C., professeur à l’université, correspondant de l’Académie royale de Belgique. Van BENEDEN, Éd., professeur à l’université, membre de l’Académie royale de Belgique. Firker, Ad., chargé de cours à l’université, ingénieur en chef au corps des mines. SWAEN, À., professeur à l'université. LE PAIGE, C., professeur à l’université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. NEUBERG, J., professeur à l’université, correspondant de l’Académie royale de Belgique. FrairontT, J., professeur à l’université, correspondant de l’Académie royale de Belgique. Deruyrs, J., professeur à l’université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. Ronkar, Ém., professeur à l’université. Uracus, P., répétiteur à l’université. Gravis, À., professeur à l'université. LonesT, M., chargé de cours à l’université. Deruyrts, Fr., docteur en sciences, chargé de cours à l'uni- versité. De HEEN, P., professeur à l’université, membre de l’Académie royale de Belgique. 1890 Beaupain, Jd., docteur en sciences, ingénieur au corps des mines. 1853 1855 1863 1865 1866 1867 1869 1870 1871 1872 1875 1875 Membres correspondants. I. — Sciences physiques et mathématiques. BÈre, Em., industriel, à Bruxelles. Liais, ancien directeur de l'Observatoire impérial de Rio de Janeiro, maire de Cherbourg. Gossacr, membre de la Société chimique, à Londres. Hueuey, professeur, à Strasbourg. DE Cozner »'Huarr, conseiller d'État, à Luxembourg. DaussE, ingénieur en chef des ponts et chaussées, à Paris. Fou, F., directeur de l'Observatoire royal de Bruxelles. LEDENT, professeur au collège communal de Verviers. BarNarD, président de l'École des mines, à New-York. Marié Davy, directeur de l'Observatoire météorologique de Montsouris. ScHLôMILCH, professeur d'analyse à l'École polytechnique de Dresde. BERTRAND, J. L. F., membre de l'Institut, à Paris. ImMSCHENETSKI, membre de l'Académie, à Saint-Petersbourg. Henry, L., professeur à l’université de Louvain. DuRÉGE, professeur à l’université de Prague. Masrers, MaxweLz T., membre de la Société royale, à Londres. LE BouLENGÉ, P., général. VALLÈS, inspecteur honoraire des ponts et chaussées, à Paris. GAR1IBALDI, professeur à l’université de Gènes. KaniTz, D'° Aug., professeur à l’université de Klausen- bourg. HermITE, Ch., membre de l'Institut, à Paris. Dargoux, G., membre de l’Institut, à Paris. Mansion, P., professeur à l’université de Gand. 1375 1876 1877 1879 1880 1881 1882 1883 1885 (x) MicnaELis, O., captain, chief of Ordnance, à Saint-Paul, Minn., département de Dakota (États-Unis). DEwaLque, Fr., professeur à l’université de Louvain. Bazrour, Th. G. H., membre de la Société royale, à Londres. TissanDiER, Gaston, rédacteur du journal l& Nature, à Paris. SYLVESTER, J. J., professeur à l’université d'Oxford. Czu8er, professeur, à Prague. CREMoNA, Luigi, directeur de l’École d'application, à Rome. STUDNICKA, F., professeur de mathématiques à l’université de Prague. Van DER MENSBRUGGHE, Gustave, professeur à l’université de Gand. DE Tizy, J., général, membre de l’Académie royale de Belgique, à Bruxelles. SÉBERT, colonel d'artillerie de la marine française, à Paris. ANGoT, À., attaché au bureau central météorologique de France, à Paris. WiEDEMmANN, G., professeur à l’université de Leipzig. Konzrauscx, directeur de l'Institut physique de Wurz- bourg. Quixeke, professeur de physique, à Heidelberg. Guiscarpi, professeur à l’université de Naples. LaIsanT, C.-A., député, à Paris. Becrram, professeur à l’université de Pavie. MascarT, membre de l'Institut, à Paris. Bouniakxowski, membre de l’Académie des sciences, à Saint-Pétersbourg. Bretruor, N., professeur à l’université de Louvain. Mirrac-LerFLer, G., professeur à l’université de Stock- holm. Gouës Teixeira, F., ancien professeur à l’université de Coïmbre. Scxur, Fréd., professeur à l’université de Dorpat. PIGQUET, répétiteur à l'Ecole polytechnique, à Paris. 1885 1837 1888 1852 1855 1854 1855 1859 1864 1865 (x) pe LonccHamrs (Gohierre), professeur au lycée Charle- magne, à Paris. Vanècer, J. S., professeur, à Jicin (Bohème). Cesiro, E., professeur à l’université, à Naples. Wazras, L., professeur à l'Académie de Lausanne. GuccrA, docteur en sciences, à Palerme. WuLLnER, professeur à l'École polytechnique d’Aix- la-Chapelle. Paazzow, directeur de l'École technique de Berlin. Ocacne (Maurice n°), ingénieur des ponts et chaussées, à Paris. II. — Sciences naturelles. ETTINGSHAUSEN (baron Constantin von), membre de l’Académie des sciences de Vienne, à Graz. WATERHOUSE, Ch., conservateur au Musée Britannique, à Londres. KÔLLIKER (VON), professeur à l’université de Wurzbourg. Drouer, H., naturaliste, à Dijon. Lucas, H., aide-naturaliste au Muséum d'histoire naturelle, à Paris. BLancaaRp , E., membre de l’Institut, à Paris. GEinirz, H. B., professeur à l’École polytechnique, à Dresde. Beyricx, professeur à l’université de Berlin. Taomson, J., membre de la Société entomologique de France, à Paris. BRÜNER DE WATTEVILLE, directeur général des télégra- phes, à Vienne. Le Jouis, archiviste perpétuel de la Société des sciences naturelles de Cherbourg. HamiLToN, membre de la Société géologique de Londres. DE BorRE, A., ancien conservateur au Musée royal d'histoire naturelle, de Bruxelles. (CET) 1866 Ronrieuez, directeur du Musée zoologique de Guaté- mala. 1867 GosseLer, J., professeur à la faculté des sciences de Lille. Raposzrorrski, président de la Société entomologique de Saint-Pétersbourg. 1869 Simox, E., naturaliste, à Paris. 1870 TraurscHoL», professeur, à Carlsruhe Mazaise, C., professeur émérite à l’Institut agronomique de Gembloux. 1871 Van Hooren, docteur en sciences, à Tongres. Tuomson, James, vice-président de la Société géologique de Glasgow. CapELLINI (commandeur G.), professeur de géologie à l’université de Bologne. 1873 CLos, directeur du Jardin des Plantes, à Toulouse. Haz, James, paléontologiste de l'État, à Albany. Wuirney, J. D., géologue de l'État, directeur du Geolo- gical Survey de Californie. GLaziou, botaniste, directeur des Jardins impériaux à Rio de Janeiro. De Carvazno (Pedro Alphonso), docteur en médecine, directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio de Janeiro. Moreno, F. P., paléontologiste, à Buenos-Ayres. ARESCHOUG, professeur adjoint à l’université de Lund. 1874 GEGENBAUER, professeur à l’université de Heidelberg. Hickez, professeur à l’université de léna. WaLDeyEer, professeur à l’université de Berlin. WinkLer, D. C. J., conservateur du Musée de Harlem. 1875 Emer, professeur à l’université de Tubingue. DE LA VALETTE SAINT-GEORGE, professeur à l’université de Bonn. Ray-Lankesrer, professeur à l’université de Londres. PackarD, professeur à l’université de Salem. FLEemmie, W., professeur à l’université de Kiel. PLaTeau, F., professeur à l'université de Gand. 1870 1377 1378 1379 1881 1885 1884 ( x ) Bazrour, 1. B., professeur de botanique à l’université, à Oxford. Mac LacaLan, Rob., membre de la Société entomologique, à Londres. HertwiG, R., professeur à l’université de Munich. STRASBURGER, professeur à l’université de Bonn. BRONGNIART, Charles , à Paris. WerrTEergy, professeur à l’université de Cincinnati. Bozivar, L., professeur, à Madrid. RiTSEMA, conservateur au Musée royal d'histoire naturelle, à Leyde. RenarD, Alphonse, professeur à l’université de Gand. Key, AxeL, professeur à l’École de médecine de Stockholm. RerTzius, G., professeur à l'École de médecine de Stockholm. TaRaAMELLI, professeur à l’université de Pavie. GESTRO , D' R., conservateur au Musée d'histoire naturelle de Gênes. SALVADORI (comte Th.), professeur à l’université de Turin. Huzz, Edward, directeur du Geological Survey d'Irlande. SANDBERGER, Fridolin, professeur à l’université de Wurz- bourg. TRINCHESE, professeur à l’université de Naples. LISTE DES SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC. AVEC LESQUELLES LA SOCIÉTÉ DES SCIENCES DE LIÉGE échange ses publications. —%<=— BELGIQUE. Bruxelles. — Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Observatoire royal. Société entomologique de Belgique. Société malacologique de Belgique. Société royale belge de géographie. Sociélé belge de microscopie. Musée royal d'histoire naturelle. Liége. — Sociélé géologique. Mons. Société des sciences, des lettres et des beaux-arts du Hainaut. 5 Gand. — Maihesis, directeur : P. Mansion, professeur à l’université. ALLEMAGNE. Berlin. — Xünigliche Akademie der Wissenschaften. Deutsche geologische Gesellschaft. Entomologischer Verein. Jahrbuch über die Fortschritte der Maihematik, directeur : M. Laure (Kurfürstenstr. 459). Naturhistorischer Verein der Preussischen Rheinlande und Westphalens. Bonn. ? ( XVI ) Breslau. Schlesische Gesellschaft für vaterländische Cullur. Colmar. — Sociélé d'histoire naturelle. Erlansen. Physikalisch-medicinische Societäl. Francfort. schaft. Fribourg. Senckenbergische nalurwissenschaftliche Gesell- Vaturforschende Gesellschaft. Giessem. — Oberhessische Gesellschaft für Natur-und Heilkunde. Gôrlitz. — Nalurforschende Gesellschaft. Oberlausilzische Gesellschaft der Wissenschaften. Gôttingue. — Xünigliche Gesellschaft der Wissenschaften und Georg-Auqgust-Universilät. Halle. Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thü- ringen. Naturforschende Gesellschaft. Kaiserliche Leopoldinisch-Cuarolinische Deutsche Akademie der Natur/orscher. Kiel. — Vaturwissenschaftlicher Verein. Kônigshers. Künigliche physikalisch-ükonomische Gesell- schaft. Landshué. — Polanischer Verein. Leipzig. — Vatur/orschende Gesellschaft. Metz. — Académie des lettres, sciences, arts et agriculture. Munich. — Xônigliche bayerische Akudemie der Wissenschaften. Kôünigliche Sternwarte. Muuster. — West/älischer Provincial-Verein für Wissenschaften und Kunst. Offenbach. — Offenbacher Verein für Naturkunde. Stettin. — £ntomologischer Verein. Stuttgart. Verein für vaterländische Naturkunde in Wür- temberg. Wiesbaden. — Vassauischer Verein für Naturkunde. Wurzhourg. — Physikalisch-medicinische Gesellschaft in Würz- burg. Zwickau. — Verein für Naturkunde. ( xvI1 ) AUTRICHE-HONGRIE. Agram. — Académie Sudo-Slave des sciences. Cracovie. — Académie des sciences. Hermannstadt. — Siebenbürgischer Verein für Naturwissen- schaften. Innspruck. — Vaturwissenschaftlich-medicinischer Verein. Prague. — Xüniglich bühmische Gesellschaft der Wissenschaften. Kaiserlich-Künigliche Sternwarte. Ceske Akademie Cisare Frantiska Josepha. Trieste. — Soctiéla adriatica di Scienzi naturali. Vienne. — Kaiserliche Akademie der Wissenschaften. Kaiserlich-Künigliche zoologisch-botanische Gesellschaft. Kaiïserlich-Künigliche geologische Reichsanstalt. Monatshefte für Mathematik und Physik, rédacteurs : MM. EscaericH et GEGENBAUER, professeurs à l’université. ESPAGNE. Madrid. — Real Academia de Ciencias. FRANCE. Société d'agriculture, sciences et arts. Agen. Béziers. — Société d'étude des sciences naturelles. Bordeaux. — Académie des sciences, belles-lettres et arts. Société linnéenne. Sociélé des sciences physiques et naturelles. Caen. — Société linnéenne de Normandie. Cherbourg. — Société des sciences naturelles. Dijon. — Académie des sciences. Lille. — Société des sciences, de l’agriculture et des arts. Lyon. — Académie des sciences. Société d'agriculture. Société linnéenne. Universite. Marseille. — f'acullé des Sciences. ( xvin) Montpellier. — Académie des sciences el lettres. Naney. — Sociélé des sciences (ancienne Société des sciences natu- relles de Strasbourg). Nantes. — Société des sciences naturelles de l’Ouest de La France. Paris. Société Philomatique. Muséum d'histoire naturelle. Société des amis des sciences naturelles. Académie des sciences. Rouen. Académie des sciences. Societé des sciences physiques et naturelles. Toulouse. Troyes. Sociélé académique de l’Aube. GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE. Dublin. — Royal Irish Academy. Royal Society. Édimbourg. Geological Society. Glasgow. — Geological Society. Natural history Society. Philosophical Society. Londres. — Geological Society. Linnean Society. Royal Society. Manchester. Litterary and philosophical Society. ITALIE. Bologne. — Accademia delle Scienze. Catane. Accademia gioenia di scienze naturali. Florence. — /nsiitul supérieur. Gênes. Modène. Osservatorio dellu R. Universita. Societa dei naturalisti. Naples. — Societa Reale. Palerme. — /siituto tecnico. Sociela di scienze naturali e economiche. Circolo matematico. (-xXixX ) Pise. — Societu di scienze naturali. Nuovo Cimento, rédacteurs : MM. FeLici, BATELLI et VOLTERRA. Rome. — Reale Accademia dei Lincer. Accademia pontificia de’ Nuovr Lincer. R. Comitato geologico d'Italiu. LUXEMBOURG. Luxembourg. — /nstilut royal grand-ducal, section des sciences naturelles et mathématiques. NÉERLANDE. Amsterdam. — Xoninklijke Academie van wetenschappen. Société mathématique. Delft. — £Lcole polytechnique. Harlem. — Société hollandaise des sciences. Musée Teyler. Rotterdam. — Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke wijsbegeerte. PORTUGAL. Coïmbre. — Journal des sciences mathématiques et astrono- miques, rédacteur : M. GomÈs TEIXEIRA. Lishonne. — Académie des sciences. RUSSIE. Helsingfors. — Société des sciences de Finlande. Kazan. — Société physico-mathématique. Juriew. — Universile. Moscou. — Société impériale des naturalistes. Saint-Pétershourg. — Académie impériale des sciences. Archives des sciences biologiques. Société d’archéologie et de numismatique. Société entomologique. (xx) SUÉDE ET NORVÈGE. Bergen. — Museum. Christiania. — Kongelige Frederiks Universitet. Stavanger. — Museum. Stockholm. — Académie royale des sciences. Nordist medicinskt Arkiv, directeur : D' AxEL KEY. Entomologiska fôreningen, 94, Drottninggatan. Acta mathematica, rédacteur : M. Mirrac-LerrLen. DANEMARK. Copenhague. — Tidskrift for Mathematik : D' IT. G. ZEUTHEN, professeur à l’université. Académie royale des sciences. SUISSE. Berne. — Vaturforschende Gesellschaft. Société helvétique des sciences naturelles. Neuchâtel. — Societé des sciences naturelles. Schaffhouse. — Vaturforschende Gesellschaft. Zurich. — Vaturforschende Gesellschaft. AMÉRIQUE. ÉTATS-UNIS. American Association for advancement of sciences. Austin. — Texas Academy of sciences. Baltimore. — American Journal of mathematics. Johns Hopkins” University.) Boston. — American Academy of arts and sciences. Society of natural History. Ben) Cambridge. — Museum of comparative zoologiqy. Madison. — Wisconsin Academy of sciences, lellers and arts. New-Haven. — Connecticut Academy of arts and sciences. New-York. — Acadeniy of sciences. Museum of natural history. Philadelphie. — Academy of natural sciences. American philosophical Sociely. Wagner Free Institule of sciences. Portland. — Vatural History Sociely. Rochester. —— Academy of sciences. Saint-Louis, Mo. — Botanical Garden. Salem. —- Essex Institute. Peabody Academy of sciences. San-Franeisco. — Californian Academy of sciences. Washington. — Srnithsonian Inslitulion. CANADA. Ottawa. — Geological Survey of Canada. Commission de géologie et d’histoire naturelle du Canuda. Toronto. — Canadian Instilute. CHILI. Santiago. — Société scientifique du Chili. MEXIQUE. Mexico. — Société Antonio Alzate. Observatoire météorologique central. Tacubaya. — Observatoire national. RÉPUBLIQUE ARGENTINE. Buenos-Ayres. — Universidad. (xx) ASIE. INDES ANGLAISES. Calcutta. — Asialic Society of Bengal. INDES HOLLANDAISES. Batavia. Koninklijke naluurkundige vereeniging in Neder- landsch Indië. AUSTRALIE. Australian Association [or advancement of science. Adelaïde. Hobhart-Town. Royal Society of South Australia. Tasmanian Society of natural sciences. Melbourne. — Observatoire. Sydney. — Linnean Society. Royal Society of New South Wales. CATALOGUE “DE LA EURE ALROLOGQUE DE LA SUISSE PAR ËÉ. DE WILDEMAN DOCTEUR EN SCIENCES NATURELLES ATTACHÉ AU JARDIN BOTANIQUE DE BRUXELLES SECRÉTAIRE DE LA SOCIÉTÉ BELGE DE MICROSCOPIE INTRODUCTION Peu de botanistes se sont occupés de rechercher les Algues de la Suisse. Ce pays, si varié au point de vue géographico-physique, possède probablement une flore algologique tout aussi variée que sa flore phanérogamique. Les espèces d’Algues que l’on y a trouvées jusqu’à ce jour et dont nous donnons ici le relevé d’après un grand nombre de travaux, montrent suffisamment la richesse de la Suisse. Et cepen- dant si l'on parcourt un peu la dispersion de ces espèces, on s'aperçoit que bien des régions n'ont pas fourni de matériaux. Dans les travaux les plus importants qui ont paru sur la flore algologique de la Suisse, nous trouvons plusieurs espèces signa- lées jusqu'à ce jour uniquement dans ce pays; parmi ces espèces, il en est même certaines qui n'ont plus été retrouvées depuis que les auteurs les ont fait connaitre. Les travaux de Perty et de Nägeli, qui sont parmi les pre- mières et les plus importantes contributions à la connaissance de la dispersion des Algues suisses, n'embrassent en général qu'une faible partie du territoire. Nägeli a surtout exploré les environs de Zurich; Perty, ceux de Berne. Perty n’a pas étudié uniquement la flore, il s’est aussi occupé de la faune. Il à réuni dans son mémoire : Zur Kenntniss klein- ster Lebensformen, des données sur tous les groupes d’orga- nismes que l’on peut rencontrer dans les eaux douces. Le travail de Nägeli : Einzelliger Algen, contient la description d'un grand nombre de genres et d'espèces; ses recherches sont restées classiques. En dehors de ce qu'il a publié lui-même, nous trouvons dans les travaux de Kützing de nombreuses don- nées relatives à la flore suisse; beaucoup d'espèces nouvelles ont (2) , ’ été créées par Nägeli et publiées par lui dans le Species À lgarum. Ehrenberg a aussi contribué à la connaissance de la dispersion des Algues dans ce pays; ses recherches ont surtout porté sur les Diatomées, et particulièrement sur celles des hauts sommets. Récemment, M. Schmidle a publié sur les Algues de l’Ober- land bernois, un petit travail qui contient la description de formes nouvelles, et pour la science et pour la Suisse. L'auteur a eu l'occasion de visiter quelques localités non encore ou du moins très sommairement explorées. Il a ainsi pu revoir le Rodoëssa grimseliana Pert., décrit et figuré pour la première fois par Perty dans le mémoire dont nous parlions plus haut. Depuis la publication de la description, en 1852, cette espèce n'avait plus été observée. M. Schmidle, qui l'a retrouvée, ne peut lui assigner un habitat exact. Ce dernier point aurait cependant été des plus importants; en cffet, l’Algue a été vue par Perty au Grimsel et M. Schmidle a fait des récoltes dans la même localité; il se pourrait dès lors fort bien que l'espèce füt propre à cette région. Mais ce ne sont pas là les seuls travaux qui ont été publiés sur les Algues de la Suisse, il faut ajouter encore les recherches de Brügger, les données de l'Exsiccala de Wartmann et Schenk, celles des À {gen de Rabenhorst et de quelques autres collecteurs. Quant-à la région française de la Suisse, on ne possède que peu de données, sauf pour les Diatomées. Pour ces dernières, il existe le travail de M. Brun, professeur à Genève, qui a réuni la description et la dispersion de toutés les espèces observées dans la partie française de la Suisse, dans les Alpes et le Jura. Mal- heureusement la délimitation de cette région ne nous parait pas facile à saisir, de sorte qu’il est malaisé de comprendre la dis- persion de certaines espèces. Pour les autres Algues, les travaux sur les environs de Genève ne sont pas nombreux, on ne peut guère citer que les recherches de Vaucher et celles de Théobald. Ce dernier a publié en 1855-54, dans les Comptes rendus de la Société Hallérienne de éenève, un travail peu connu dont le titre n’est pas relevé dans la revue bibliographique qui précède le volume 1 du Sylloge de De-Toni. (5) Les Characées de Suisse, qui sont loin d’être connues, ont été étudiées par Braun et par M. Müller Arg., directeur du Jardin botanique de Genève. Nous ne pouvons dans cette courte introduction passer en revue et discuter le mérite des différents travaux qui ont paru sur cette flore, cela nous conduirait trop en dehors du cadre que nous nous sommes tracé. Pendant le courant de l’été 1894, nous avons eu l’occasion de faire quelques récoltes algologiques en Suisse. Un séjour à Genève nous a fourni l'occasion de visiter quelques marais des environs; nous avons pu récolter dans les marais de Choulex, situés entre la chaine des Voirons et la côte de Cologny et dans ceux qui s'étendent entre Veyrier et Troinex, le long de la fron- tière française sur le territoire suisse. Quelques récoltes ont encore pu être faites dans les mares de Pinchat (près Genève); enfin, des matériaux ramassés dans les marécages de la Trélasse - (Dôle) m'ont été communiqués par MM. Chodat et Huber. Profitant de l'exeursion organisée par les Sociétés de botanique de France et de Suisse en Valais, jai récolté des Algues au Simplon (environs de l’Hospice) et au Grand Saint-Bernard. Les récoltes de cette dernière localité ont été faites en partie sur le territoire italien, mais il n°y a guère moyen de séparer les espèces que l’on trouve dans un voisinage si rapproché. Les limites de la Suisse et de l'ltalie sont très peu naturelles, aussi est-il fort probable que les mêmes espèces se trouvent répandues égale- ment dans les fossés et flaques d’eau qui avoisinent le petit lac du Grand Saint-Bernard. C’est pourquoi je considérerai toutes les espèces que j'ai récoltées comme appartenant à la flore algo- logique de la Suisse. Je me proposais primitivement de publier une simple liste des espèces que j'avais eu l’occasion de rencontrer, en indiquant d’une manière spéciale celles qui n’avaient pas encore été signa- lées. Mais cette dernière indication a exigé beaucoup de recher- ches et il m'a semblé que publier le catalogue complet, aussi complet du moins qu’il m'a été possible de le constituer, aurait pu avoir son utilité. (6) C'est pourquoi j'ai réuni dans cette énumération non seule- ment les données relatives aux Algues vertes, sur lesquelles j'avais porté plus spécialement mon attention, mais encore les indica- tions des Cyanophycées, des Diatomées, des Floridées et même celles que l’on possède sur les Péridinées, les Euglénoïdes, que beaucoup d'auteurs elassent parmi les Algues. Nous avons compulsé le Sylloge de De-Toni et nous avons, en général, suivi cet auteur dans sa classification. Nous renvoyons le lecteur au Sylloge chaque fois que faire se peut, car nous ne pouvions, sous peine d’allonger trop considérablement cette liste déjà très étendue, donner toute la synonymie des espèces relevées dans cette florule. Il se pourra que des erreurs de synonymie aient été commises par nous, et cela particulièrement chez les Dia- tomées ; on nous excusera, je l'espère, en songeant aux difficultés que l’on rencontre lorsqu'on doit assimiler aux espèces actuelles celles que l’on trouve renseignées dans les auteurs antérieurs. De crainte d’allonger trop notre liste, nous n’avons pas voulu donner, quoique cela aurait pu être intéressant, la distribution géographique, en dehors de la Suisse, des espèces que nous signalons. Un grand nombre des espèces que nous citons n’ont pas été signalées par De-Toni comme appartenant à la flore suisse; d’un autre côté, plusieurs espèces, dont la distribution est donnée dans le Sylloge par une rubrique générale, communes ou répandues dans toute l’Europe, n’ont pas, à ma connaissance, été indiquées en Suisse. Ces indications générales sont d’ailleurs très souvent fautives; nous sommes encore loin de connaître d’une manière suffisante la dispersion des Algues pour pouvoir certifier que telle ou telle espèce se rencontrera dans toutes les régions de l'Europe. Nous avons suivi pour les Cyanophycées homocystées et hété- rocystées les travaux de MM. Bornet et Flahault et de M. Gomont. Pour les autres groupes de Cyanophycées, nous avons suivi la Flora Europæa algarum de Rabenhorst, le seul travail général qui comprenne ces Algues. Nous avons exclu de ce catalogue les Bactéries, quoique ce C7) soit parmi les Algues que ces micro-organismes doivent venir se ranger. Les Bactéries des eaux douces de la Suisse sont d’ailleurs, de même que celles de presque toutes nos régions, encore fort mal connues. Outre les données imprimées que nous avons relevées dans un grand nombre de travaux (voyez bibliographie), nous avons extrait des Éxsiccata de Rabenhorst, de Wartmann et Schenk, Wittrock et Nordstedt, etc., les renseignements qui se rappor- taient à la flore suisse. L’Herbier cryptogamique du Muséum de Paris nous a également fourni d'assez nombreuses indications. Nous ne voulons pas tirer de conclusions de l'exposé qui suit, elles ne pourraient d’ailleurs être durables, car parmi les espèces que nous signalons un grand nombre seront probablement à rayer définitivement de cette flore et à supprimer comme espèces de la liste générale des Algues. Il n'est done pas même utile de donner le nombre total des espèces relevées, car ce nombre ne peut servir de point de com- paraison. Il devra être considérablement diminué et, d'un autre côté, sans aucun doute augmenté, car on est bien loin de con- naitre toutes les espèces que l'on peut rencontrer dans les marais alpins, si riches en organismes inférieurs. Nous avons voulu uniquement réunir en un tout les renseignements épars sur la dispersion des Algues en Suisse. Notre énumération sera probablement très incomplète, quel- ques travaux qui nous sont connus n'ont pu être consultés; d’un autre côté, il est à supposer que des RÉTSACRNNENE disséminés nous sont restés inconnus. IL serait intéressant de dresser pour chaque pays des listes aussi complètes que possible des Algues qui y ont été signalées. C'est, pensons nous, le seul moyen d'arriver à connaitre mieux qu'on ne la connait actuellement la dispersion de ces végétaux ; les données fournies par le Sylloge sont très incomplètes, et bien loin de nous présenter la dispersion exacte des espèces. C'est pour nous un devoir très agréable de remercier ici tous ceux qui nous ont aidé dans la rédaction de ce travail, soit en (8) nous fournissant des matériaux d'étude, soit en nous commu- piquant des renseignements bibliographiques. Nos remerciements s'adressent tout particulièrement à M. Autran, conservateur à l'Herbier Boissier (Chambésy, Genève), qui a mis à notre disposition les riches collections de M. Barbey-Boissier, à qui nous présentons également nos remerciements. M. Van Tieghem, professeur au Muséum d'histoire naturelle de Paris, et M. Hariot, préparateur au même Institut, nous per- mettrons de les remercier également ici. Nous avons pu, grâce à ces Messieurs, extraire du riche Herbier cryptogamique du Muséum les renseignements qui se rapportaient à la Suisse. Nous n'oublierons pas non plus M. le D' R. Chodat, professeur à l'Université de Genève, dans le laboratoire duquel nous avons commencé nos recherches sur la flore algologique de la Suisse. Bruxelles, janvier 1895. PESTE It JOLIE CATALOGUE \ LR DE LA \ HUORE AIGOLGIOUE DE LA SUIS CYANOPHYCEZÆ. CALOTHRIX Ag. (1824). 4. — C. adscendens (Näg.) Born. et Flah. ; Rév. Nost. hétér., I, p. 3065. Grand Saint-Bernard (Nob.). 2. — €. parietina Thur.; Born. et FLan., Rév. Nosit. hétér., p. 366; Kürz., Spec., p. 327 et 328. Zurich (Näg.); près de Zurich (CramEr in W. et Scx., loc. cit., n° 143). - Species dubia. Mastichonema paradoxum Kütz.; BRÜüGGER, Bund. Algen, p- 265. Statzer See (Brügger). DICHOTHRIX Zanard. (1858). 4. — D. gypsophila Born. et Flah.; Rév. Nosi. hétér., p. 377; Kürz., Spec., p. 329; Rex., loc. cit., pp. 232, 234. Environs de Saint-Gall (WarTmann in W. et W., loc. cit., n°“ 857 et 858); ? (Braun) ; Zurich (Katzen See) (Näg.); sables d’Aire (TaéoBaL», loc. cit., p. T1); Saint-Gall (WarT- MANN in RBn., Agen, n° 816). 2. — D. Orsiniana Born. et Flah.; Ré. Nost. hétér., p. 3176; Kürz., Spec., p. 330. Schaffhouse (Näg. in Herb. Thuret). (10) RIVULARIA (Roth.) Ag. (1824). fl. — R. Biasolettiana Menegh.; Born. et FLAH., loc. cit., Il, p. 352. Près de Couvet (Neuchâtel) (Buznxeim in RB., Algen, n° 651). 2. — R. hæmatites Ag.; Euactis calcivora Br.; Born. et FLAH., Rév. Nost. hétér., 1, p. 350 ; Kürz., Spec., p. 339 ; RBx., loc. cit., pp. 214, 216, 217. Lac de Neuchâtel (Braun, Hepp); signalé dans la même localité par Desor in Bull. Soc. sc. nat. de Neuchâtel, t. VU, 1868, p. 68; près de Diessenhofen (ScHexx in W!. et Scx., loc. cit., n° 44); environs de Saint- Gall (WaRTMANN in W. et W., loc. cit., n° 855); près de Berne (Fiscxer in W. et W., loc. cit., n° 759; lac de Zurich (Näg.); Couvet (Burn- HEIM in RB4., loc. cit., p. 217); lac de Morat (Forel); Zurich (Braun in Herb. Mus. Paris); Concise (lac de Neuchâtel) (Hepp in Re4., Agen, n° 680) ; Sihlwalde (canton de Zurich) (CRAMER in RBu., Agen, n° 555, 993). Savoie. — Grande Gorge (Salève) (THÉOBALD, loc. cit., p.12). 8. — R. minutula Born. et Flah.; Rév. Nost. hétér., p. 548; BrüGGEr, Bund. Alg., p. 264. Saint-Maurice (Haute-Engadine) (Näg. in Herb. Hepp). 4. — R. rufescens Born. et Flah.; Rév. Nost. hétér., IL, p.349; Kürz., Spec., p. 895; BRÜGGER, Bund. Alg., p. 264. Près de Trins (Killias in Brügger); Zurich, Neuchâtel (Braun in Herb. Mus. Paris); Helvetia (Näg.). Species dubiæ. Dasyactis torfacea Näg. in Kürz., Spec., p. 895; Rpx., loc. cil. D 212- Zurich (Näg., Hepp); « propre » Brügg. in Helvetia (A. GEHEEB in RBH., loc. cit.). ; Euactis chrysocoma Kiütz. : BrüGGEr, Bund. Alg., p. 264. Bergün (Albula) (Hepp in BrüGGeRr. loc. cil.). (112) Euactis rufescens Näg. in Kürz., Spec., p. 342. Lac de Zurich (Näg.). Euactis Shuttleworthiana Braun in Kürz., Spec., p. 895; Ren., loc. cit., p. 214. Près de Berne (Shuttleworth). Physactis gelatinosa Näg. in Kürz., Spec., p. 333. Près de Zurich (Näg.). GLOEOTRICHIA Ag. (1842). 4. — G. natans Rbh.; Born. et FLan., loc. cit., IL, p. 3170. Katzen See (Zurich) (Cramer in W. et Scm., loc. cit., n° 347); Saint-Gali (WarTMANN in RBH., Agen, n° 1095). 2. — 6. Pisum Thuret; Born. et FLax., Rév. Nost. hétér., IT, p. 366. Zurich (Katzen See) (Winter in W. et W., loc. cit., ne 758, et in Wirre. et Norpsr., Exsice., n° 381). Savoie. — Crevin (TaéoBaLn, loc. cit., p. 11). HAPALOSIPHON Näg. (1849). 4. — H. pumilus Kirchner; Born. et FLax., loc. cit., NL, p. 61; Reu., loc. cit., p. 283. Helvetia (RBH., loc. cit.). STIGONEMA Ag. (1824). 4. — S. Crameri Brügger, Bund. Alg., p. 267; Bonn. et FLAH., loc. cit., p. 18; Rex, loc. cit., p. 288. Statzer See (Brüccer in W. et ScH., loc. cüt., n° 440). 2.— S. hormoides Born. et Flah.; Ré. Nost. hétér., IX, p. 68. Helvetia (RBH., Agen). 3. — S. informe Kütz.: Born. et Fian., loc. cit , p. 15; KÜüTz., Spec., pp. 317, 318; RBn., loc. cit., p. 294. Gottlieben (Thurgovie) (Dô£z et ScHaarr in W. et SCH., loc. cit., n° 345); Zurich (Näg.); Grand Saint-Bernard (Nob.). (12) 4. — S. minutum Hassall; Born. et FLan., loc. cit., ELLE, p. 72; Kürz., Spec., p. 1316. Près de Zurich (Näg.). 3. — S. ocellatum Thuret; Born. et FLan., Rév. Nost. hétér., IT, p. 69. Herb. Grunow; Katzen See (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scx., loc. cit., n° 138); Berne, Zurich (BRAUN in Herb. Mus. Paris); près de Liestal (Hepp in RBx., Algen, n° 853). 6. — #. panniforme (Ag.) Born. et Flah.; doc. cit., LL, p. 7: KürTz., Spec., p. 316. | 2 « In alpibus helveticis » (Kütz.). ; 7. — S. turfaceum Cooke; Born. et FLan., loc. cit., p. T4. Environs de Saint-Gall (Warrmanx in W. et W., loc. cit., n° 846); Simplon (Nob.). se S. — S. crustaceum Ag.; Born. et FLAH., Rév. Nost. hétér., III, p. 106; Kürz., Spec., p. 308. Helvetia (Braun) ; Helvetia (Näg.). ré — var, incrustans Born. et Flah.; Rév. Nost. hétér., HE, p. 107. (Näg.); Zurich (Here in Rex., Algen, n° 594); Thalweil (Zurich) (CramEr in W. et Scx., loc. cit., n° 543). 3. — S. densum Born. ; Born. et FLan., Rév. Nost. hétér., HIT, p. 109; Kürz., Spec., p. 894. Saint-Aubin (lac de Neuchâtel) (Braun in Herb. Mus. Paris). 10. — S. figuratum Ac.; Born. et FLax., Rév. Nost. hétér., ILE, p. 101. Chute du Rhin à Schaffhouse (Braun); Thurgovie (Itzig- sohn); Gottlieben (DGLL et ScHaarr in W. et Sc., loc. cit., n° 545); Küssnachter Tobel (Zurich) (WarTmanN in W. et W., loc. cit., n° 859); pied du Rigi (CRAMER in RBx., Algen, n° 542); Sitterbrücke près Saint-Gall (WVARTMANN (15) in RBx., loc. cit., n° 1097); Rifferschweil (Hepp in Rex., loc. cit., n° 669). Savoie. — Salève (Grande Gorge) (THÉOBALD, loc. cit., PT 11. — S. Hofmanni Ag.; Born. et FLan., Rev. Nost. hétér., IT, p. 97; Brüccer, Bund. Algen, p. 267. Helvetia (Braun in Bonn. et FLaH., loc. cit.); près de Tardisbrücke (Théobald in Herb. Hepp, BRüGGER, loc. cit.); Neuchâtel (Hepp in RBx., Algen, n° 695). 412. — S. lignicola Näg. in Kürz., Spec., p. 894; Reu., F1. Eur. Alg., IE, p. 258; Born. et FLau., loc. cit., LL, p. 111. Zurich (Näg.). 413. S. myochrons A2.; Borx.et FLan., Rév. Nost. hétér., LI, p. 104; Kürz., Spec., p. 309; Brüccer, Bund. Algen, p. 266. Braun; Zurich (Näg.); Schaffhouse (ScHeNx in W. et W., loc. cit., n° 861); environs de Saint-Gall (WARTMANN in W. et Scx., loc. cit., n° 41, 42); près Flawyl (Saini- Gall (WaRTMANN, loc. cit., n° 860); Staubbach (Kütz.); -Trinser Cresta See (Brügger); Trinser Mühlen (Killias); Zug (Herp in Reu., Agen, n° 595); Zurich (Hepp in Reu., loc. cit., n° 597; Horgen (Zurich) CRAMER in Rex., loc. cit., n° 556); Rifferschweil (Herr in Reu., loc. eit., n° 696); Zurich, Neuchâtel, Saint-Aubin (Braun in Herb. Mus. Paris); Riethauschen (WarTuann in RBx., loc. cit., n° 1098). 44. — S. naïdeum Kütz.; Spec., p. 307; Born. et FLax., loc. cit., LL, p. 111. « In Helvetia » (Kütz.). 415. — S. nigrescens Kütz.; Spec., p. 303; Born. et FLan., loc cit., HIT, p.112: Zurich (Näg.). 16. — S. ocellatwm Lyngb.; Born. et FLax., Rév. Nost. hétér., IL, p. 95 ; KÜrz., Spec., p. 503. Braun; près de Zurich (Näg.); Altstetten (Rheinthal), Tôssthal (Früx in St. Gall. nat. Gesellsch., 1884-85, p. 145). ( 14) Species dubiæ. S. tenuissimum Näg. in KÜTz., Spec., p. 895. Zurich (Näg.). S. taricense £ rigidum Kütz.; Spec., p. 306; Born. et FLaH., loc cit; A p412 Chute du Rhin (Schaffhouse) (Näg.). HASSALLIA Berkeley (1845). 4. — H. byssoidea Hassall forma lignicola Born. et Flah. ; Rév. Nost. hétér., UI, p. 116; Re., loc. cit., p. 258. Près de Zurich (Hepp). SCYTONEMA Ag. (1824). 4. — S. alatum Borzi; Born. et FLan., Rev. Nost. hétér., I, p. 110; Brüccer, Bund. Algen, p. 265. (Braun); près de Pfäfers (Saint-Gall) (WarTuANN in W. et Sc, loc. cit., n° 242); Saint-Aubin (lac de Neuchâtel) (Harz in W. et W., loc. cit., n° 757); Flinser See (KizLias in BrüGcer, loc. cit.); Sihlwalde bei Horgen (Zurich) (CRANER in RBx., Algen, n° 553); Erlenbach (Zurich) (HePr in Reu., loc. cit., n° 593); Engelberg (CRrAMER in Rex., loc. eit., n° 869); Riethauschen (WarTMANN in RBH., loc. cit., n° 1098). — var. inconspicuum Braun. Zurich (Braun in Herb. Mus. Paris). — var. condensata Braun. Zurich, Saint-Aubin (Braun in Herb. Mus. Paris). 2. — $S. allochroum Kütz. Savoie. — La Caille, Grande Gorge (Salève) (THéoBALD, loC=iCi pub). — — f$frhenanum Kütz.; Spec., p. 304. Chute du Rhin (Schaffhouse) (Näg.). (15) 3. — S. ambhiguum Kütz.; Born. et FLan., Rév. Nost. hétér., IL, p. 100; Kürz., Spec., p. 894 (1). Jardin botanique de Zurich (Hepp in W. et Scu., loc. cit., n° 39, et in RBu., Algen, n° 108); Zurich (Näg.); Zurich (Hepp in RBH., Algen, n° 596). 4. — S. chrysochlorum Kuütz. Saint-Gall (WaRTMANN in W. et Scx., loc. cit., n° 240 et in RBx., Agen, n° 1096). ? æ. — S. cincinnatum Thuret; Born. et FLan., Ré. Nost. hétér., IT, p. 89. Helvétia (Braun in Born. et FLAH., loc. cil.). 6. — S. coalitum Näig.; Kürz.., Spec., p. 308; Bons. et FLAH., loc. cit., LEE, p. 111. Chute du Rhin (Schaffhouse) (Näg.). 7%. — S. crassum Näg.; Born. et FLau., Rév. Nost. hétér., LIT, p. 109; Kürz., Spec., p. 894. Saint-Aubin (Braun); Zurich (NAc. et Braun in Herb. Mus. Paris). TOLYPOTHRIX Kütz. (1843). 4. — T. distorta Kütz.; Borx. et FLan., loc. cit., p. 119. Chancy (TaéoBaLp, loc. cit., p. 11); Grand Saint-Bernard (Nob.); Niederteusen (Saint-Gall) (WarTmanx in RBH., Alg., n° 768); Simplon, marais de Choulex, Simplon (Nob.). 2. — T. intricata Näs.; Born. et FLan., loc. cit., p. 125; Kürz., Spec., p. 314 ; RBu., loc. cit., p. 280. Merishauser Thal près Schaffhouse (Scenx in W. et Scx., loc. cit., n° 638); près de Zurich (Näg.). (:) D’après une note récente de M. Gomont (Journ. de bot. de Morat, 18%, p. 49), cette espèce doit s'appeler Fischerella ambigua (Kütz.) Gomont. (Note ajoutée pendant l'impression.) (16) 3. — T. lanata Wartm. ; Born. et FLa., Rev. Nost. hétér., LA, p. 120. Niederteusen (Appenzell) (Warrmanx in W. et Scu., Loc. cil., n° 142). 4. — A. penicillata Thuret; Born. et FLan., Rév. Nost. hétér., III, p. 1923; Kürz., Spec., pp. 306, 314; RBn., loc. cit., pp. 252, 256. Lac de Zurich (Näg.); Sihlwald (Zurich) et Tellenplatte (lac des Quatre-Cantons) (Cramer in W. et Scx., loc. cit., p. 239, a, b); Schaffhouse (Näg.); entre Veyrier et Troinex (Nob.); Neuchâtel (Braun in Herb. Mus. Paris); lac de Zurich (Herr in Rex, Algen, n° 996). me HS hum must St ét . — T. tenuis Kütz.; Born. et FLax., Rév. Nost. hétér., WE, à p- 122; Rpu., loc. cit., p. 276. (PL Saint-Gall (WarTManx in RBu., Algen, n° 769); Berne (Braun in Herb. Mus. Paris). DIPLOCOLON Näg. (1822). %. — D. Meppii Näg.; Born. et FLan., Rév. Nost. hétér., LE, p. 199; RBK., loc. cit, p. 246. Près de Baden am Stein (Argovie) (Herp in W. et Scx., loc. cit., n° 43, et in Rex., Algen, n° 468). NOSTOC Vaucher (1805). 4. — N. commune Vauch.; loc. cit., pp. 223, 226; Born. et FLan., Rév. Nost. hétér., IN, p. 203 ; Kürz., Spec., pp. 298, 301, 302; Rpu., loc. cit., p. 170, 175. Zurich (Braun, Näg.) ; près Zurich (WARTMANN in RB4., Alg. Eur., n° 644); Hinter-Wäggithal (Warrmann in W. et Scx., loc. cit., n° 238, a), Schwyz (Mawz in W. et Scx., loc. ji cil., b); Oberhornalp (Berne) (Fischer) et Lohn (Schaft- house) (Scnenx in W. et W., loc. cit., n° 637); Grand Saconnex près Genève (Nob.); environs de Genève (Vau- cher); Helvetia (SCHLEICHER in RBH., loc. cit.); Saint- (17) Gothard, Zermatt, Tête noire (RBH., loc. cit, p. 115); environs de Genève (THéoBaLn, loc. cit.); Küssnachter Tobel (Zurich) (Warruanx in Reu., Algen, n° 644); Aclens (Corboz). 2. — N. Killiasii Cramer; BRÜGGER, Bund. Algen, p. 262; Ren., F1. Eur. Alg., IE, p. 181. Trinser See (Killias). 3. — N. Linckia Bornet var. crispulum Born. et Flah.; Rév. Nost. hétér., IV, p. 193. Helvetia (BRAUN ex Born. et FLan., loc. cit.); Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). 4. — N. macrosporum Menegh.; Born. et FLan., Rév. Nost. hétér., WI, p. 209 ; BrüGcer, Bund. Alg., p. 261. Helvetia (Hauck); Trinser See (Brügger). 5. — N. Margaritaceum Kütz.; BRÜGGER, Bund. Alg., p. 262. Près de Riethäuslein (Saint-Gall) (WarTmanN in W.et W., loc. cit., n° 853) ; Trinser See (Brügger). 6. — N. microscopicum Carm.; Born. et FLan., loc. cit., IV, p. 210; BrüGcEr, Bund. Alg., p. 264. Helvetia (A. Braun); Riethäuslein (Saint-Gall) (Warr- MANN in W. et W., loc. cit., n° 852, et in RBx., Agen, n° 1098); entre Siebnen et Vorder-Wäggi (Schwyz) (Brüc- Er in W. et W., loc. cit., n° 844); Trinser See (Brügger). Savoie. — La Caille (THÉoBALD, loc. cit., p. 71). 3. — N. muscorum ÀAg.; Born. et FLAH., loc. cit., p. 200. Savoie. — Salève (THÉOBALD, loc. cit., p. 71). 8. — N. rhæticum q. ecalcareum Brügger; Bund. Algen, p. 262. « Bei Steinsberg » (Unter-Engadin) (Papon). — — D. graniticum Brügger; loc. cit. Entre Riedhoven et Zalez (Churwalden) (Brügger). 2 (18 ) 9. — N. sphæricum Vauch.; Hist. des Conferves d'eau douce, p. 223; Born. et FLan., Rév. Nost. hétér., IV, p. 208. Helvetia (BRAUN in Born. et FLAH., loc. cit.); environs de Genève (Vaucher). 10. — N. verrucosum Vauch.;/oc. cil., p. 295; Born. et FLau., Rév. Nost. hétér., IN, p. 216. Helvetia (A. Braun); ? Gottlieben (Thurgovie) (ScHAAFF in W. et Scu., loc. cit., n° 141); Mühlethal près de Schaff- house (ScaExk in W. et Scx., loc. cit., n° 346); Zweibrücker Tobel (Saint-Gall) (WarTuanx in W. et Scn., loc. cit., n° 40, et in RB., Algen, n° 1091); environs de Genève (Vaucher). Savoie. — Salève (Grande Gorge), Thoiry, Saint-Genis (TaéoBaL», loc. cit., p. 71). ANABÆNA Bory (1822). 1. — A. debilis Kütz.; Ren., F1. Eur. Alg., Il, p. 198; Box. et FLaAr., loc. cit., IV, p. 238. Zurich (Näg.). 2. — A. oscillarioïdes Bory; Born. et FLan., loc. cit., IV, p. 233. Helvetia (RBH., Agen). 8. — A. variabilis Kütz.; Born. et FLau., loc. cil., p. 226. Zweibrücker Tobel (Saint-Gall) (WarTuann in W. et W., loc. cil., n° 854). Obs. — MM. Forel et Braun ont signalé dans le lac de Genève les Anabæna flos-aquæ et circinalis. Les indications ne sont pas suffi- santes pour que l’on puisse indiquer l'espèce à laquelle se rapportent ces deux plantes. NODULARIA Mertens (1822). 1. — N. Harveyana Thur.; Born. et FLan., loc. cit. IV, p. 243; Spermosira turicensis Cramer, Ren., Algen, n° 994; RBn., FI. Eur. Alg., I, p. 185. . Près de Zurich (CramER in W. et Scx., loc. cit., n° 439, et in RBu., Algen, n° 994). gi ni mé rm a a fa te mt fi (19) CYLINDROSPERMUM Kütz. (1843). 1. — C. stagnale (Kütz.) Born. et Flah.; Rév. Nost. hétér., p- 250. Zweibrücker Tobel (Saint-Gall) (WarTMann in W.et Scu., loc. cit., n° 140). SCHIZOTHRIX Kütz. (1843). 1. — S. calcicola (Ag.) Gomont, Monographie des Oscillaires, p. 45. Lac de Morat (Forel). 2. — S. coriacca (Kütz.) Gomont; Monographie des Oscillaires, p. 47, pl. VILF, fig. 6-7; Kürz., Spec., p. 267. Pied du Rütli (Zurich) (HeppP in Rex., A/gen, n° 671); Helvetia (Näg.); lac de Neuchâtel (Braun ex Herb. Mus. Paris). S. fasciculata Gomont; Loc. cit, p. 36, pl. VL, fig. 1-3. Près de Zurich (Näg.) ; Helvetia (Braun in Herb. Thuret) ; lac de Neuchâtel (BRAUN in Herb. Mus. Paris). 4. — S. Friesii (Ag.) Gomont; loc. cit., p. 54, pl. IX, fig. 1-2; Rsu., loc. cit., p. 158. Helvetia (ReH., Algen). S. lateritia (Kütz.) Gomont; Loc. cit. p. 46, pl. VIIT, fig. 4-5; RBx., loc. cit., p. 194. Zurich (Näg., Braun), lac de Neuchâtel (Braux in RBu., Algen). >. 6. — S. Muellcri Näg.; Gomonr, loc. cit., p. 59, pl. X, fig. 5-7; Kürz., Spec., 320; Rou., loc. cit., p. 269. Langnau près de Zurich (Näg., Hepp). 7 — S. pulvinata (Kütz.) Gomont,; loc. cit., p. 36; Kürz., Spec., p. 343; RBu., loc. cit., p. 223. Helvetia (Näg.); Riethäuslein (Saint-Gall) (WARTMANN in ( 20 ) W. et W., loc. cit., n° 856); Zurich (Braux in Herb. Mus. Paris). 8. — S. rubella Gomont; Monog. Osc., p. 38, pl. VE, fig. 4-5. Lac de Neuchâtel (Braun in Herb. Thuret). 9. — S. vaginata (Näg.) Gomont; loc. cit., p. 40 ; Kürz., Spec. Alg., p. 273. S Helvetia (NAc. ex Gomonr, loc. cit.). 410. — S. violacea Cramer. Gottlieben (DLL et ScHaarr in W. et Sc., loc. cit., n° 545). Species dubiæ. Hypheothrix calcarea Näg. in Kürz., Spec., p. 268; Gomonr, loc. cit., p. 65. Zurich (Braun in Herb. Mus. Paris), Katzen See (Näg.). H. Bremiana Näg.; Kürz., Spet., p. 343; GomonT, Loc. cit., p. 66. Zurich (Näg.). H. fonticola Näg. in KüTz., loc. cit., p. 893; Gomonr, loc. cit., p. 66. Zurich (Näg.). H. Hegetschweïileri Näg. in KÜTz., loc. cit., p. 893; Gomonr, loc. cit., p. 66. Helvetia (Näg.). H. tenuissima Rbh.; loc. cit., pp. 75, 292; Gomonr, Loc. cit., D'FOT: Helvetia (RBH., loc. cit.). H. variegata Näg. in KÜrz., loc. cil., p. 893; Gomonr, loc. cit., p. 67. Zurich (Näg.). H. Zenkeri £ viridis Kütz.; Spec., p. 893. Zurich (Näg.). (21) Inactis crustacea Kütz. ; Spec., p.273; GononT, Monog. Osc., p. 6. Près de Zurich (Näg.); entre Barr et Sihlbrücke (Cra- MER in W. et Scx., loc. cit., n° 139). Inomeria granulosa Näg. in Kürz., Spec., p. 345; Gomonr, loc. cit., p. 66; Ren., loc. cit., p. 224. Zurich (Näg.). HYDROCOLEUM Kütz. (1843). 1. — H. Bremii Näg. in Kürz., Spec., p. 892; Gomonr, loc. cit., p. 83; Rex, F1. Eur. Alg., p. 151. Helvetia (Näg.). 2. — H. helveticum Näg. in KürTz., Spec., p. 892; Gomonr, loc. cit., p. 83; RBH., loc. cit., p. 152. Helvetia (Näg.). 3. -— H. oligotrichum À. Br.; Gouonr, Loc. cit., p.83; RBH., loc. cit., p. 294. Près de Bâle (Braun ex Herb. Mus. Paris). MICROCOLEUS Desm. (1823). 1. — M. subtorulosus Gomont; Loc. cit., p. 99, XIV, fig. 14 et 15. Saint-Gall (WarTmanx in W. et W., loc. cit., n° 849). 2. — M. vaginatus (Vauch.) Gomont; loc. cit., p. 93, XIX, fig. 12; Vaucxe, loc. cil., p. 200. Environs de Genève (Vaucher). SYMPLOCA Kütz. (1843). f. — S. dubia (Näg.). Gomont; Loc. cit., p. 135. Près de Zurich (Näg.); près de Stocken (FiscHer in W. et Scx., loc. cit., p. 438); Zweibrücker Tobel (Saint-Gall) (WarTuanx in W. et W., loc. cit., n° 850); Zurich (Braun (22) in Herb. Mus. Paris); Erlenbach (Hepp in RBH., Agen, p. 593). 2. — S. lacustre Kütz.; Spec., p. 893; Gomonr, loc. cit., p. 137. Lac de Zurich (Näg.) 3. — S. muscorum Gomont; loc. cit., p. 130; Kürz., Spec., p. 250. Louèche (Kützing); Veyrier (THéoBap, loc. cit., p. 10). LYNGBYA Ag. (1824). f. — L. ærugineo-cærulea Kütz.; Gomontr, Monog. Osc., p. 160. Genève (TH£oBALD, loc. cit., p. TO). 2. — L. æstuarii Liebman ; Gomonr, loc. cit., p. 147. Environs de Saint-Gall (WarTmanx in W. et W., loc. cit., n° 851). | 3. — L. rivularis Näg. in Kürz., Spec., p. 893; Gomonr, loc. cit.,.p. A2; RBH., loc. cil., p. 1406! Helvetia (Näg.). 4. L. versicolor (Wartmann) Gomont; loc. cit., p. 167, pl. IV, fig. 4, 5; Reu., oc. cit., p. 117. Saint-Gall (Wartmanx in W. et Scu.. loc. cit., n° 38, et in Rex., Algen, n° 1090). PHORMIDIUM Kütz. (1843). 4. — P. æruginosum Näg. in KüTz., Spec., p. 254; Gomowr, loc. cit., p. 210. Zurich (Näg.). 2. — P. autumnale (Ag.) Gomont; loc. cit., p. 207; BRÜGGER, Bund. Algq., p. 261. Mammern (Thurgovie) (Scaexk in W. et W., loc. cit., n° 848); près de Coire (Kizras in BRÜGGER, loc. cit.); Neuenburg (Herr in RBH., Algen, n° 729). Savoie. — Etrembières (THÉoBALD, loc. cit., p. TO). 2 es a PS (25 ) 3 — P. Boryanum Kütz.; Gomonr, loc. cit., p. 210. Entre Crevin et Veyrier (THÉ£oBaLp, loc. cit., p. 10). 4. — P. cano-viride Näg. in Kürz., Spec., p. 252; Gomonr, loc. cit., p. 211. Près de Zurich (Näg.); Schaffhouse (Braun in Herb. Mus. Paris). 5. — P. favosum (Bory) Gomont; loc. cit., p. 200, pl. V, fig. 14, 15. Zermatt (De Not.). 6. —_ P. foliaceum Cramer. Schloss Castel près Constance (Thurgovie) (CRAMER in W. et Scn., loc. cit., n° 541). 7. — P. fusco-cuteum Näg. in Kürz., Spec., p. 252; GoMoNr, loc. cit., p. 211; Rex, loc. cit., p. 199. Zurich (Näg.). 8. — P. inerusétatum (Näg.) Gomont,; loc. cit., p. 190. — — var. cataractarum (Näg.) Gomont,; loc. cit. Près de Zurich (NAc., Braun in Herb. Mus. Paris). 9. — P. lacustre Näc. in Kürz., Spec., p. 255: Gomonr, loc. cit., p. 211; RBx., loc. cit., p. 124. Katzen See (Näg.); près de Liestal (Hepp). 10. — P. lividum Näg. in Kürz., Spec., p. 892; GomonT, loc. cit., p. 211; Rex., loc. cil., p. 131. Zurich (Näg.). 11. — P. membranaceum É inæquale Kütz.; Spec. Alg., p. 253; Gomonr, loc. cit., p. 211; Rem, loc. cit., p. 121. Près de Liestal (Hepp in W. et Scm., loc. cit., n° 237). 42. —_ P. papyraceum Gomont; loc. cit., p. 193; KüTz., Spec., p. 259. Helvetia (Näg.); Chancy, dans l’Aire (THéoBaLp, loc. cit., p. T0). (24) 13. — P. Retzii (Ag.) Gomont; Monog. Osc., p. 195, pl. V, fig. 6-9; RBx., F1. Eur. Alg., IL, p. 118. Environs de Schaffhouse (ScHENk in W. et Scu., loc. cit., n° 549 :. — — Î, fasciculata. — — f. rupestris (Ph. rupestris Kütz.). Helvetia (Stizenberger); Liestal (Herr in RBu., Agen, n° 599). #4. — P. rupestre var. tingens Näg. in Kürz., Spec., p. 255; Gomonwr, loc. cit., p. 252; Rex., loc. cil., p. 193. Helvetia (Näg.); Zurich (Braun ex Herb. Mus. Paris). 15. — P. subfuscum Kütz.; Gomonr, loc. cit. p. 202, pl. V, fig. 17-20. — — var. x (Oscillatoria subfusca Ag.). — — var. $ Joannianwue (Kütz.) Gomont; loc. cit. Zermatt (Gomonr, loc. cit.); Veyrier, Fort de l'Écluse, Valserine, Etrembières (THéoBaLn, loc. cit., p. T0). 16. — P. tinctorium £ Nægelianuam Kütz.; Spec., p. 255; Gonmonr, loc. cit., p 212. Helvetia (Näg.). 17. — P. toficola Gomont; loc. cit., p. 191, pl. IV, fig. 28-30. Albisrieden près de Zurich (Näg.). 18. — P. tyrolense Kütz.; Spec., p. 255; Gomonr, loc. cit., p. 212: Zurich (Näg.). 19. — P. uncinatum Gomont; loc. cit., p. 204. Savoie. — Étrembières (TH£oBaLp, loc. cil., p. 10). 20. — P. umbilicatuan (Näg.) Gomont; loc. Cl. Ip MODE Kürz., Spec., p. 895. Près de Zurich (A. Braun ex Herb. Mus. Paris); Hel- velia (NAG. ex KürTz., loc. cit.). (25 ) ®4. — P. valderianum (Delp.) Gomont; Monog. Osc., p.187, pi. IV, fig. 20, Hypheothrix coriacea Richter in Hauc et Ricuter, Phykotheca univ., n° 29. « Per vallem Bielensem » (KRIEGER in HAucx, loc. cit.). 22. — P. valesiacum Kütz.; Spec., p. 251; Gomonr, loc. cit., D. 212: Louèche (KüTz., loc. cit.). OSCILLATORIA Vaucher (1803). 4. — ©. Adansonii Vaucher; Hist. des Conferves d’eau douce, p. 194; GouonT, Monog. Osc., p. 256. Environs de Genève (Vaucher). 2. — O. fusca Vaucher; loc. cit., p. 197; Gomonr, loc. cit., p. 258. Environs de Genève (Vaucher). 3. — ©. Iævigata Vauch.; loc. cit., p. 197; Gomonr, loc. cit., p. 258. : Environs de Genève (Vaucher). 4. — ©. limosa Ag.; Gouonr, loc. cit., p. 230; RBn., loc. cil., p. 111. | Helvetia (RBx., loc. cit.). 0. rip Kütz.; Spec., p. 244; Gomowr, loc. cit., p. 238, pl. VE, fig. 22 et 93; Reun., loc. cit., p. 107. Près de Berne (KürTz., loc. cil.). PA 6. — ©. Killiasäi Brügger (sub. Oscillaria). Val Sinistra près Sins (Engadine) (KiLLIAS in W. et Sck., loc. cit., n° 636). 7. — ©. Kuetzingiana Näg. in Kürz., Spec., p. 238; GoMoNT, loc. cit., p. 258; Brüccer, Bund. Alg., p. 259. Près de Zurich (Näg.) ; Amden (Wallensee). ( 26 ) S. — ©. nigra Vaucher; loc. cit., p. 192; GomonT, Monog. Osc., p. 258. | Environs de Genève (Vaucher); lac de Genève (BRAUN in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 22). — — var. rufescens Kütz.; Spec., p. 892; Gomonr, loc. cit., p. 259. Zurich (Näg.). 9. — ©. ornata Kütz.; Gomonr, loc. cit., p. 234. Savoie. — La Caille (THÉOBALD, loc. cit., p. 70). 10. — ©. parictina Vauch.; loc. cit., p. 196; Gomonr,; loc. cit., p. 259. Environs de Genève (Vaucher). #1. — ©. princeps Vauch.; Gomowr, Loc. cit., p. 226, pl. VE, fig. 9; VAUCHER, loc. cit., p. 90. Crevin (Vaucher). 42. — O. prolifiea (Grev.) Gomont; Loc. cit., p. 225. Lac de Morat (Mougeot et Chaillet, Herb. Thuret). 413. —_ @. rubescens DC.; Gomonr, loc. cit., p. 224, pl. VE, fig. 6, 7; Rem, loc. cit., Il, p. 106; Kürz., Spec., p. 244. Lac de Morat (Mougeot et Chaillet, Herb. Thuret); lac de Neuchâtel et de Morat (in Herb. Mus. Paris). 44. — ©. subfusea Vaucher; loc. cit., p. 193; Gomonr, Loc. cit, p. 59; Ran., loc. cit., [, p. 100. Dans le Rhône (Vaucher). — — b. purpurascens Brügger; Bund. Alq., p.259; Gomonr, loc. cit., p. 299; RBH., loc. cit. Près d’Arosa (Plessurthal, Grisons) (Brügger). 85. — ©. terebriformis Ag.; Gomonr, loc. cil,, p. 254. Savoie. — La Caille (THéoBaLp, loc. cit., p. T0). 46. — ©. viridis Vaucher; Loc. cit., p. 195; Gomonr, loc. cil., p. 260. Environs de Genève (Vaucher). MST TETE A4 Gt (27) Species dubiæ. ©. amphibia Ag. Savoie. — Bains de La Caille, dans l’eau sulfureuse (THÉoBALD, loc. cit., p. T0). ©. tenuis Ag. var. sordida Kg. Savoie. — Bossey (TméoBALb, loc. cit., p. TO). ARTHROSPIRA Stiz. (1852). 4. — A. Jenneri (Hass.) Stiz.; Gomonr, Monog. Osc., p. 267. Saint-Gall (Warrmann in W. et Scx., loc. cil., n° 37). SPIRULINA Turpin (1827). 4. — S. subsalsa OErsted; Gomonr, Loc. cit., p. 273, pl. VIE, fig. 32; Re., loc. cit., IT, p. 92. Katzen See près de Zurich (CrameR et BRüGGER in Ren., Algen, et in W. et Scu., loc. cit., n° 136). CHROOCOCCUS Näg. (1849). 4. — C. carneolatus Braun. Neuchâtel « in rupibus et lacuum » (Braux in Herb. Mus. Paris). 2. — C. helveticus Näg.; Einz. Algen, p. 46, t. L, À, fig. 3; Ren., F1. Eur. Alg., I, p. 31; Brüccer, Bund. Alg., p. 215. Lucerne (Näg.); près de Saint-Gall (Watan in W. et Winr., loc. cit., n° 846); Lax (Oberland) et Statz (Haute- Engadine (Brügger). 3. — C. macrococeus Rbh.; /oc. cit., p. 83. — — var. aureus (Kütz.) Rbh.; loc. ci. Entre Siebnen et Vorder-Wäggi (Schwyz)(Brüçcer in W. et W., loc. cit., n° 844). ( 28 ) 4. — C. minor Näg.; Einz. Algen, p. 41, t. I, À, fig. 4; Ren., F1. Eur. Alq., U, p. 30; Brüccer, Bund. Alg., p. 246. Près de Celerina (Statzer See) (Brügger). | 5. — ©. pallidus Näg.; loc. cit., p. 4, t. 1, À, fig. 2; Reu., Ë loc. cit., p. 33; Bnüccer, Bund. Alg., p. 246. $ Zurich (Näg.); près de Sitterbrücke (environs de Saint- Gall) (WarTuanx in W. et W., loc. cit., n° 843); Statzer See £. (Brügger), Riethauschen (Saint-Gall) (WaRTuAN* in RBx., ë Algen, p. 1081); Rehalp (Zurich) (Winter in Wirre. et Norpsr., Exæsice., n° 400). 6. — ©. rufescens (Bréb.) (Näg.); Ron., FL. Eur. Alg., , | P- SS : à Près de Sitterbrücke (environs de Saint-Gall) ( WARTMANN in W. et Winr., loc. cit., n° 843); Riethauschen (Saint-Gall) (WaRTMANN in RBH., Algen, n° 1081). 2. — C. turgidus (Kütz.) Näg.; loc. cit., p. 46; Reu., loc. cit, p- 32; BrüGGEr, Bund. Alg., p. 246. TES Katzen See (Cramer et BrücGer in W. et Sc., loc. cit., n° 136); Flinser Cauma See (Alpes Rhétiques) (BRÜG&ER in W. et Sch., Loc. cit., n° 343); Trinser See, Flinser See, Laxer See (Vorderrheinthal) et Statzer See (Engadine) (Brügger), près de Zurich (Wartmann in Rex., Algen, n° 6314). 8. — C. turicensis (Näg.); Einz. Alg., p. 46; Rgu., loc. cit, | p. 33. - Zurich (Näg.). GLOEOCAPSA (Kütz.) Näg. (1849). 4. — G. atrata Kütz.; Nic., Eïinz. Alq., p. 50, t. I, fig. 1; Reu., Fl. Eur. Alg., Il, p. 35; Kürz., Spec., p. 219. Nägeli ne signale pas de localité; Zurich (Brau in Herb. Mus. Paris). (29) 2. — G. alpina Näg.; RBn., Fl. Eur. Alg., IL, p. 40; Eïinz. Alg-#p. 51, th fis--6: Engelberg (CRAMER in RBu., Agen, n° 869).2 — — var. saxicola Rbh.; loc. cit. Entre Siebnen et Vorder-Wäggi (Schwyz) (BRüGGER in W. et W., loc. cit., n° 844); environs de Saint-Gall (Warr- manx in W. et Scn., loc. cit., n° 345, et in Rex., Agen, n° 813). 3. — G. ambhigua Näg.; Kürz., Spec., p. 220. Helvetia (Näg.). — — var. rivularis Näg. : KÜürz., loc. cit., p. 291. Helvetia (Näg.). — — var. fuscolatea Näg.; loc. cit., p. 50, t. 1, F, fig. 3; RBH., loc. cit., p. 45; Kürz., Spec., p. 224. Zurich (Näg.) — — var. violacea Näg.; loc. cit., fig. 4; RBu., loc. cit., p. 41. Zurich (Näg.); près de Saint-Gall (WaRTMANN in W. et W., loc. cit., n° 846). — — var. pellacida Näg.; loc. cit.; RBH., loc. cit., p. 42. Zurich (Näg.). 4. — G. caldariorum Rbh.; Loc. CU SDS: Zurich (Rbh.). 5. — G. coracina Kütz.; RBn., loc. cit., p. 35. - Saint-Gall (WarTMANN in W. et Scx., loc. cit., n° 35, et in RBx., Algen, n° 814). — —- var. placentaris Kütz.; RBH., loc. cit. | Helvetia (RBx., loc. cit.). G. dermochroa Näg.; loc. cit., p. 51; RBx., loc. cil., p. 46; Kürz., Spec., p. 224. Zurich (Näg.). G. (30 ) 2. — G. dubia Wartm.; Ren., F1. Eur. Alg., U, p. 45. Saint-Gall (WarTuanx in RBu., A/gen, n° 1092). 8. — G. geminata (Näs.) Kütz.; RBu., loc. cit., p. 38. Parmi d’autres Algues (Näg.). 9. — G. janthina Näg.; Einz. Algen. p. 51, t. 1, F, fig. 5; Res, loc. cil., p. 41; Kürz., Spec., p. 220. Sans indication de localité (Näg.). 10. — G. Kuctzingiana Näs.; loc. cit., p. 51; RBH., loc. cil., p- 46; Kürz., Spec., p. 224. Zurich (Näg.); Küssnachter Tobel (Zurich) (WaARTMANN in W. et Scu., loc. cit., n° 133, et in Reu., Algen, n° 630). 11. G. magma (Bréb.) Kütz.; Näc., Einz. Alg., fig. 2; Rex., loc. cit., p. 42; Kürtz., Spec., p. 221; BRÜGGER, Bund. Alg., p. 248. Zurich (Näg.); passage du Saint-Gothard près de Gôsche- nen (Uri) (CrAMER in W. et Scu., loc. cit., n° 235). — — var. pellucida Näg.; loc. cit. Zurich (Näg.). 12. — G. nigrescens Näg.; Rpu., loc. cit., p. 40; BRÜGGER, Bund. Alg., p. 2417. Près de Saint-Gall (WarrTmann in W. et Scx., loc. cil., n° 345); Engclberg (CramEr in RBx., Aîgen, n° 869); Küss- nacht (Zurich) (WarTuann in Rsu., Algen, n° 629). 13. — G. polydermatica Kütz.; RBn., loc. cit., p. 31. Lac Léman (Forez in Microorg. pélagiques, loc. cit.). 14. &. punetata Näg.; loc. cit., p. 51, t. I, F, fig. 6. Zurich (Näg.). 15. — G. scopulorum Nüäg.; Einz. Alg., p. 51; RBu., loc. cit., p. 40; Kürz., Spec., p. 220. Chute du Rhin (Schaffhouse); Zurich (Näg.). (51) 16. — G. versicolor Näg.; Kürz., Spec., p. 220; Rex., loc. Gil, p. AT- Helvetia (Näg.). APHANOCAPSA Näg. (1849). 1. A. montana Cramer; RBH., F1. Eur. Alg., Il, p. 50. — — var. macrocoeca Cramer; RBx., loc. cil.; BrücGer, Bund. Alg., p. 244. _ Trinser See (Grisons) (Brüccer vide W. et Scu., loc. cit., n° 134). — — var. micrococca Cramer; RBx., loc. cit. Gabris (Appenzell) (Warrmann in W. et Scx., loc. cit., n° 134); Rigi (Cramer in W. et Scn., loc. cit.); Rigi (BRüc- GER, [OC. Cil.). 2. — A. rivularis Rbh.; loc. cit., p. 49. Près de Thoune (Rbh.). 3. — A. virescens Rbh.; À. parietina Näg., loc. cit., p. 52, t. 1, B, fig. 1; Rex, loc. cit., p. 48. Schaffhouse (Näg.) ANACYSTIS Menegh. (1836). 4. — A. parasitica Kütz.; Reu., F1. Eur. Alg., IX, p. 52. | Sur Cladophora crispata à Châtelaine (THÉoBALD, oc. cit, p'09) POLYCISTIS Kütz. (1845). 4. — P. frma (Bréb. et Lenorm.) Rbh. ; F1. Eur. Alg., I, p. 53. Entre Einsiedeln et Etzel (Schwyz) (Harz in W. et W., loc. cit., n° 845). 2. — P. piscinalis Brügger , Bund. Alg., p. 249; RpBx., loc. cit., p. 94. Laxer See (Brügger). (2) CLATHROCYSTIS Henfrey (1856). 4e 4. — C. æruginosa (Kütz.) Henfrey; Reu., F1. Eur. Alg., HE, p. 04. Lac de Morat (Forel). COELOSPHÆRIUM Näg. (1849). 4. — C. Kuctzingianum Nûâg.; Eïnz. Alg., p. 54, t. L C; Reu., loc. cit., p. 55; Kürz., Spec., p. 209. Zurich (Näg.). GOMPHOSPHÆRIA Kütz. (1836). 1. — G. aponina Kütz.; RBu., F1. Eur. Alg., Il, p. 56. Entre Einsiedeln et Etzel (Schwyz) (Harz in W. et W., loc. cit., n° 845). MERISMOPEDIA Meyen (1839). £. — M. glauca (Ehr.) Näg.; Einz. Alg., p. 55, i. [, D, fig. 1; Rsu., loc. cit., p. 56. Zurich (Näg.); Katzen See (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 137); entre Veyrier et Troinex, Grand Saint-Bernard (Nob.). k M. hyalina Kütz.; NAc., loc. cit., p. 56; Kürz., Spec., p. 471. Sans indication de localité (Näg.). 3. — M. punctata Mevyen ; Kürz., Spec., p. 472; Reu., FI. Eur. Alq., I, p. 57; M. Kuetzingii Näg.; loc. cit., p. 55, t. E, fig. D, 1, c. Zurich (Näg.); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 21). bone acte nie pus Erin oNé loc sas RO TT Re (35) TETRAPEDIA Reinsch (1867). 4. — T. Reinschiana Archer; CookEe, Brit. Fresh-wat. Alg., p. 216. Grand Saint-Bernard (Nob.). SYNECHOCOCCUS Näg. (1849). 1. — S. æruginosus Näg.; Einz. Alg., p. 56, t. I, E, fig. 1; RBx., Fl. Eur. Alg., U, p. 59. Lucerne (Näg.). 2. — S. clongatus Näg.; loc. cit., p. 56, t. I, E, fig. CE Rex., loc. cit., p. 59. Zurich (Katzen See) (Näg.). 8. — S. parvulus Näg.; oc. cit., fig. 3; RBu., loc. cit., p. 59. Zurich (Näg.). GLOEOTHECE Näg. (1849). 1. — G. confluens Näg.; Einz. Alg., p. 58, t. I, G, fig. 1; Rsu., F1. Eur. Alg., Il, p. 60. Lucerne (Näg.). 2. — G. cystifera Rbh.; loc. cit., p. 61; NäAc., loc. cil., p. 5T, Fo Ghe:s) Zurich (Näg.); Riethauschen (Saint-Gall) (WARTMANN in Rex., Agen, n° 1098). 3. — @. fuscolutea Näg.; loc. cit., p. 58; Rex., loc. cit., p. 62. Zurich (Näg.). — — var. holochroa Kütz.; Spec. Alg., p. 224. Zurich (Näg.); Zweibrücker Tobel près de Saint-Gall (WartTuanx in W. et W., loc. cit., n° 847). 5 3 (54) . — G. linearis Näg.; Einz. Alg., fig. 2; RBu., loc. cit., p. 60. Zug (Näg.). . — G. rupestris (Lyngb.) Bornet. Près de Saint-Gall (WartTmann in W. et W., Loc. cit. n° 846). APHANOTHECE Näg. (4849). . — A. microscopica Näg.; loc. cit., p. 59, t. I, H; Reu., FI. Eur. Alg., p. 63. Zurich (Näg.). . — A. Nægelii Wartm.; RBH., loc. cit., p. 65. Zweibrücker Tobel (Saint-Gall) (WaARTMANx in W. et SCH., loc. cit., n° 86, et in RBu., Agen, n° 1093). . — A. pallida (Kütz.) Rbh. ; loc. cit., p. 64. — — var. micrococea Brügger; Bund. Alg., p. 245. Statzer See (Brügger). . — A. saxicola Näg.; loc. cit., p. 60, t. I, H, 2; ReBx., loc. . cit., p. 63. Zurich (Näg.). HYDROCOCCUS Kütz. (1833). . — H. lacustris Brügger; Bund. Alg., p. 249. Laxer See (Vorderrheinthal) (Brügger). (35) CHLOROPHYCEZÆ. NITELLA (Ag.) Br. (14847) (1). #. — N. capitata Braun, MüLLer, Les Characées genevoises, p. 49. Crevin (Reuter); Bernet, Versoix (Rome). — — Î. zonata Müller; loc. eit., p. 50. Morges (Foul). — — f. incrustata Müller; Loc. cit. Versoix (Müller). 2. — N. fascieulata Braun; Schweiz. Charen, p. 11. — — robusta Braun; loc. cit., p. 12. Michelfelden (Bâle) (Preisswerk). 2. — N. flexilis Ag.; MÜLLER, loc. cit., p. 1; BRAUN, loc. cit. Entre Morges et Saint-Prex (Schleicher, Charpentier). 4. — N. gracilis Ag. ; MÜLLER, loc. cit., p. 52. — — maxima Müll.; oc. cit., p. 53. Marais de la Pallanterie, près du marais de Rouelbeau (Rome, Bernet). (4) Dans la rédaction de cette famille, nous avons suivi le travail de M. Müller (Bull. Soc. bot. de Genève, 1881); nous avons intercalé, quand cela se pouvait, les données de Braun et de Migula (in RABENHORST, Krypt. Flora von Deutschland, etc., Bd. V). Nous renvoyons au travail de M. Müller pour la bibliographie antérieure. Les Characées suisses demandent une revision sérieuse. A consulter aussi l’Exsiccata des Characées européennes. ( 36 ) 3. — N. intricata Braun; Schweiz. Charen, p. 11; MüLLER, loc. cit., p. 56. Carrefour de la Paumière, Crevin (Reuter); Frontenex (Rome); près Genève (Paiche). — — tenuis Müller; loc. cit., p. 56. Thonon (Puget). 6. — N. hyalina Kütz.; MÜLLER, Loc. cil., p. 94. Pierrettes (Lausanne) (Muret); bord du lac de Genève (Saint-Sulpice) (Charpentier); Genthod, Versoix (Reuter, Bernet); Bellerive (Paiche); Zurich, lac de Constance (Nägeli); Lausanne (marais de Vidi) (Dusy in Rex., A/gen, n° 419). 2. — N. muceronata Küt1z.; MüLLER, loc. cit., p. 52. Entre Aigle et Roche (Charpentier); lac de Constance (Jack). — — flabellata (Rchb.) MüLLEeR, loc. cit. Kreuzlingen (Thurgovie) (Leiner). 8. N. opaca Ag.; MÜLLER, loc. cil., p. 50. Onnens, Couvet (Val de Travers), Crevin, Pinchat, Petit- Lancy, Villette, dans le Rhône, Genthod, Puplinge (MrquLa in Characeen, loc. cit., p. 127). — — Ï. heteromorpha Migula; loc. cit., p. 131. Val de Travers (MiçuLa, loc. cit.). — — conglomerata Braun; MüLLer, loc. cit., p. 90. Crevin (Reuter);, sur Pinchat (Bernet); Petit-Lancy (Ducommun, Rome); Villette (Reuter, Rome); Sionnet (Paiche); Rhône (jonction) (Reuter); Genthod (Rapin) Bellerive (Paiche); Saintrier (Puget). — — f, munda Braun ; MÈLLER, loc. cit., p. 51. Meyrin (Paiche); Veyrier (Arve) (Bernet); Puplinge (Rome). è (157) 3%. — N. prolifera Braun; MüLzer, loc. cit., p. 55. Entre le Chapeau et la Paumière (Rome); Meyrin (Paiche). 410. — N. syncarpa Br.; MüLLer, loc. cit., p. 48. Versoix, marais de Gaillard (Reuter); Vernaz (Müller) ; Bellerive, Genthod (Paiche); Vézenaz (Reuter, Bernet, Rome); Zurich (Cramer in Herb. Mus. Paris). — — f. inerustata Müll.; loc. cit., p. 49. Versoix (Reuter, Bernet);, Genthod (Paiche). — — lacustris Braun. Pierrettes (Lausanne) (Muret). — — capituligera Braun; MüLLER, loc. cit. Bellerive (Paiche). — — f. incrustata Müller; loc. cit. Bellerive (Paiche); Versoix (Rome). Obs. — La dispersion de cette espèce et de ses variétés n’est pas clairement indiquée dans Braun, Schweiz. Charen, page 8. Nous ne donnerons donc que les indications fournies par Müller. 41. — N. tenuissima Kütz.; MÜLLER, loc. cit., p. 53; Braun, Schweiz. Charen, loc. cit., p. 10. Crevin (Bernet); lac de Morat (Guthnieck); Greiffen See (Nägeli); près de Bâle (Preisswerk). CHARA (Ag.) Braun (1835). 4. — C. aspera Willd.; Braun, loc. cit., p. 20; MÜüLLER, loc. cil., p. 81. Wirdenberger See (HEuscHER in Ber. über die Thätigk. d. St. Gallisch. nat. Gesellsch., 1890-91, p. 345); Thalalp See, Semtiser See, Seealp See (AsPER et HEUSCHER, loc. cit.); Berne (Kützing); Villeneuve (Gay); Lausanne (Herb. Deles- sert); Wallis (Reichenbach); lac Majeur (Rbh.); lac de ( 38 ) Neuchâtel (Onnens, Corcelette, Cortaillod) (Braun); lac de la Brevine (Lesquereux). — — dasyacantha Braun; loc. cit., p. 21; MüLLER, loc. cit. Pinchat, entre Versoix et Coppet (Bernet); Versoix (Reu- ter, Fauconnet, Bernet). — — genuina Müller; loc. cit., p. 8. Pinchat, entre Bellevue et Versoix (Rome); entre Pin- chat et Bossey, entre la Belotte et Bellerive (Müller). — — subinermis Kütz.; MüLLER, loc. cit., p. 88. Environs de Genève (Reuter); étang des Cropettes, près de Versoix (Rome); marais de Divonne (Calloni);, embou- chure de la Hermance (Müller); Reignier (Puget). — — longispina Kütz.; MÜLLER, loc. cit., p. 88. Entre Veny et Massillon, entre la Belotte et Bellerive (Müller). — — curta Braun; MüLLer, loc. cit., p. 89. Lac de Neuchâtel. 2. — C. ceratophylla Wallr.; MüLLer, loc. cit., p. 60. Braun, loc. cit., signale C. ceratophylla macroteles et macroplila 6 incrustans (Ch. tomentosa Kütz.) dans le lac de Morat (Gay), lac de Zurich (Heer, Nägeli, Bremi), lac de Neuchâtel (BRAUN in Herb. Mus. Paris); Schaffhouse (Rôssler). — — macrantha Müller; loc. cit., p. 60. Morges (Forel). Obs. — M. Müller attribue comme synonyme à cette variété le Ch. tomentosa Kütz. — — maceroptila Kütz.; MüLLER, loc. cit., p. 61. Cologny, rade de Genève (Rome); Belotte (Müller); Morges (Forel). ( 59 ) .__— — macroteles Braun; loc. cit., p. 19; MüLer, loc. cit., p. 61. Lac de Genève près Genève (Bernet); Cologny (Rome). — — intermedia Müller; loc. cit. Veyrier (Bernet); Versoix, Cologny (Rome); Katzen See (Zurich). — — transiens Müller; loc. cit. Morges (Forel). He microptila Braun; loc. cit., p. 19. Morges (Forel). — — heteromalla Braun; MüLLER, loc. cit. Genthod (Reuter). 8. — Ch. coentraria Braun; loc. cil., p. 15; MüLLER, loc. cit., p. 64. — — hispidula Braun; loc. cit., p. 16; MüLcer, loc. cit. Dübendorf (Zurich); Katzen See (Heer);, Schwamen- dingen (Zurich) (Bremi); près de Berne (Braun). — — gymnoteles Müller; loc. cit., p. 65. Sionnet (Rome). — — capillaris Müller; loc. cit. Entre la Belotte et Bellerive (Müller). — — tenella Müller; loc. cit., p. 66. Divonne (Müller). — — micracantha Müller; loc. cit. Cologny (Rome). — — genuina Müller; BRAUN, Loc. cit., p. 15. Berne (Braun). — — suhinermis Müller; loc. cil., p.67. Valais (Müller). ( 40 ) — :— elongata Müller; loc. cit., p. 67. Cologny, rade de Genève (Rome); Pagnis (Bernet) Rhône (Genève) (Paiche, Rome); Sierne (Bernet). — — macroteles Müller; loc. cit. Vézenaz, à l'embouchure de la Hermance, marais du Rouelbeau, Saint-Genis (Müller); Bellerive (Rome, Paiche); Versoix (Fauconnet, Rome). — — Paicheana Müller; loc. cil., p. 68. Bellerive (Paiche); Veyrier (Rome). — — counectens Müller; Loc. cit. Bellerive (Rome). — — moniliformis Braun; Loc. cil., p. 16; MüLLER, loc. cit. Lac de Morat (Gay); lac de Neuchâtel, Onnens (Braun). — — abbhreviata Müller; loc. cit., p. 69. Bellerive (Rome). — — jubata Müller; loc. cit., p. 69. Lac de Joux (Forel). 4. — €. fœtida Braun; MüLLer, loc. cit., p. T0. Moosseedorf See (Steck). nr var. crassicaulis SE dRee f. brachyphylla. « In Vallesia » (BULNHEIM in Herb. Mus. Paris). — — clausa Braun; MüLLer, loc. cit., p. T1. La Plaine, marais de Divonne (Müller). — — subhexpansa Braun; MÜüLLER, loc. cit., p. 71. Massillon, Pinchat, dans l’Arve-sous-Gaillard (Müller). — — subdivergens Müller; loc. cit., p. 72. Veyrier (Rome). (7 ©) — — tenuispina Müller; loc. cit., p. 72. Marais de Divonne (Müller). — — gracilis Müller; loc. cit. Thoiry (Müller). — — minutula Müller; loc. cit., p. 73. Vésenaz (Müller). — — debhilis Müller; loc. cit. Marais de la Trélasse à la Dôle (Calloni). — — montana Braun; MüLLER, loc. cit., p. 14. Dans lAire, Vevyrier (Fauconnet); Bossey, pied du Salève, Hermance, marais du Sergy, près de Saint-Genis (Müller). — — submontana Müller; loc. cit., p. T4. Moulins Fabri (Müller); Annemasse (Calloni). — — Ilongibracteata Rbh.; MüLier, loc. cit., p. 75. Près de La Plaine, Gaillard, près d'Hermance, entre la Métairie et Noyon, au pied du Jura, Thoiry, Sergy, Saint- Genis, marais de Divonne (Müller); Pinchat, bois du Ven- geron (Bernet); Grande Gorge (Salève); Plongeon (Rome); Genthod (Fauconnet). — — elegantula Braun; MëLLer, loc. cit, p. 16. Veyrier (Müller). NE — — semicorticata Müller; loc. cit. Veyrier, Bossey, Hermance (Müller); lac de Genève (Bernet). — — divergens Braun; MüLLER, loc. cit., p. 76. Lancy (Reuter); Petit-Lancy, Veyrier (Bernet); carpière de Saint-Georges (Paiche); Plan-des-Ouates, Troinex (Fau- connet);, Veyrier (Rome); Filinge (Reuter); embouchure de la Hermance (Müller) ; Versoix, Coppet (Bernet). (42) — — f. munda Müller; loc. cit., p. T1. Carpière de Saint-Georges (Paiche). — — Jlaxior Braun; MüLLer, loc. cit., p. 71. Lac de Genève (Genève), Petit-Lancy (Bernet);, près de La Plaine (Müller); bois de la Bâtie (Rome). — — filiformis Müller; loc. ct., p. TT. Sergy, Saint-Genis (Müller). — — expansa Braun, MÜüLLER, Loc. cit., p. 78. Vernaz, Cologny, Meyrin (Müller). — — fÎ. munda; MüLLER, loc. cil. Étang de Saint-Georges (Paiche). — — vulgaris Müller; Loc. cit. Près de La Plaine (Müller). — — hbrachyphylloides Müller; loc. cit., p. 79. Pied du Salève (Reuter); Crevin (Fauconnet). — — Reuteri Müller; loc. cit. Gaillard (Reuter); Veyrier (Rome). — — crassicaulis Müller; loc. cil. Valais (Müller). — — refracta Braun, MüLLer, loc. cit., p. 80. Entre Gaillard et Étrembières (Müller). — — BRBomeana Müller; loc. cit. Étrembières (Rome). — — contraceta Braun; MüLcer, loc. cit., p. 81. Près de Gaillard (Müller). — — rigidula Müller; loc. cit. Bossey, marais de Sergy, sur Saint-Genis (Muller). ( 43) — — squarrosa Müller; loc. cit. Entre Étrembières et Gaillard (Müller). — — cCollabens Müller; loc. cit., p. 82. Bossey, Veyrier (Müller); Veyrier (Rome). — — asperrima Müller; loc. cit., p. 83. Marais de Sergy, sur Saint-Genis (Müller). 3. — C. fragilis Desv. ; BRAUN, loc. cit., p. 21; MüLLER, loc. cit. p. 89. Rheinfelden (AMaxn in FavraT, Contributions à la flore cryptogamique de la Suisse [ Bu. Soc. vAUD. SC. NAT. t. XX, p. 29); Bâle (Nees); Schaffhouse (Rôssler); environs de Zurich (Heer, Bremi); Flims (Heer); environs de Berne (Shuttleworth); lac de Neuchâtel (Godet); lac de Plambuit près Ollon (Charpentier); Vevey, Lausanne, Genève (Gay). — — Virgata Kütz.; BRAUN, loc. cit., p. 21; MüLLER, loc. cit., p. 90. ? Katzen See (ALEFELD v. BRAUN, loc. cit). — — Bernetiana Müller; loc. cit. Crevin (Reuter); Pinchat, Genève (Bernet). — — lÎlongibracteata Braun; loc. cit., p. 21; MüLLer, loc. cit. Meyrin (Paiche); Pinchat (Müller); Malagnon (Rome); Châtelaine (Pittard). — — ‘Capiilacea (Thuill.) Müller; Loc. cit., p. 91. Nord de la Suisse. — — tenuissima Müller; Loc. cit., p. 91. Pinchat, Coppet (Bernet); Petit-Lancy (Fauconnet). — — fulerata Müller; loc. cit., p. 91. Pinchat (Bernet). Cu) — — elongata Kütz., MüLLer, loc. cit., p. 99. Petit-Lancy (Reuter); Meyrin (Paiche); dans le Rhône (Genève) (Paiche); rade de Genève (Rome); lac de Genève, Versoix (Bernet); Vernaz (Müller); Frontenex (Rome); Rouelbeau (Rome); marais de Divonne (Vaucher). | — — genuina Müller; loc. cit. Champel (Reuter); Pinchat, Coppet (Bernet); Thonon (Puget); Sionnet, marais de Divonne (Müller). — — leptalea Müller; Loc. cit. Mares de Massillon (Bernet). — — brachyphylla Braun; MüLLer, loc. cit., p. 98. Mares de Massillon (Bernet). — — delicatula Braun; MüLLer, loc. cit., p. 93. Versoix (Fauconnet). 6. — C. hispida (L.) Braun; loc. cit., p. 17; MüLLER, loc. cit., à p. 83: Hohenems (Custer); lac de Zurich (Bremi); Katzen See, lac de Thoune, Brienz et Louèche (Rbh.); Lancy près Bex (Charpentier); Roche (Thomas); entre Viége et Susten (Goulet); Genève (Perleb); Vevey (Haller); lac de Neuchâtel (BRAUN, loc. cit., p. 18). — — mnmormalis Müller; loc. cit., p. 84. Crevin (Rome, Bernet); Veyrier (Reuter, Bernet); Cor- sier (Reuter); Sionnex (Rome, Romieux, Paiche); Rouel- beau (Müller). — — micrantha Braun; loc. cil., p.18; MüLLer, loc. cil., p. 85. Choulex (Rome, Paiche); Sionnex (Müller). . — — crassicaulis Braun; Müller; loc. cit. Sionnex (Rome, Bernet); Roche (Thomas). (45) — — gymnoteles Braun, MüLLER, loc. cit. Crevin (Reuter). — — rudis Müller; loc. cit., p.86. Cologny (Müller); embouchure de la Versoix (Reuter); étang de Versoix (Fauconnet, Rome); Genthod, Châtelaine (Fauconnet); Filinge (Reuter). —_ — pulverulenta Müller; loc. cit., p. 86. Sierne (Bernet). — — rigida Müller; loc. cit., p. 87. Veyrier (Müller). "3. — C. intermedia Braun; MüLeer, loc. cit., p. 63. — — aculeolata Braun; MÜLLER, loc. cit. Greiffen See (Brügger). S. — C. montana Schleicher. Helvetia (ScHLEICHER in Herb. Mus. Paris). 9. — C. polyacantha Braun; MüLLer, loc. cit., p. 63. Entre La Souste et Suire (Valais) (Bulnheim). 10. — €. strigosa Braun; Loc. cit., p. 16. ? Lac de Genève (Ducros in Braun, loc. cit.). 44. -— €. tenuispina Braun; MüLcer, loc. cit., p. 89. Jura neuchäâtelois. . < COLEOCHÆTE Bréb. (1844). 4. — C. seutata Bréb.; DEe-Toni, Syll. Alg., I, p. 9. Marais de Pinchat (Genève) (Nob.). BULBOCHÆTE Ag. (1817). f. — B. crassa Pringsh., De-Toni, loc. cit., p. 22, BRÜGGER, Bund. Alg., p. 284. Statzer See (Brüugger). A NN 2 2 ( 46 ) 2. — B. insignis Pringsh.; DE-Toni, Syll. Alg., I, p. 28. Zurich (Katzen See) (CRaMER in W. et Scu., loc. cit., n° 443). 3. — B. mirabilis Wittr.; DE-Toni, loc. cit., p. 24. Grand Saint-Bernard (Nob.). 4. — B. rectangularis Witir.; DE-Toni, loc. cit., p. 29. Pinchat (Nob.). 5. — B. setigera (Roth.) Ag.; DE-Toni, Loc. cit., p. 20. Pinchat (Nob.); Moosseedorf See (Steck). 6. — B. varians Wittr.; De-Toni, loc. cit., p. 26; ScHMipLe, Eïinz. Algen a. d. Berner Alpen, p. 93. Petit-Scheideck (Schmidle). OEDOGONIUM Link (1820). 4. — ©. capillare Kütz.; Spec. Alg., p. 368. — — var. natans Kütz.; loc. cit.; VaucHer, Hist. des Conf. d'eau douce, p. 130. Environs de Genève (Vaucher). 2. — ©. cryptoporum var. vulgare Wittr.; DE-Toni, Loc. cil., p. 39. | Sur Pinchat (Nob.). 3. — ©. delicatulum Kütz.; DEe-Toni, loc. cit., p. 82. Genève, en passant du Seujet à Saint-Jean, sous un égout (TaéopaLn in C. R. Soc. Hallérienne, 1853-1854, p. 73). 4. — ©. dubium Link; THÉoBALD, loc. cit., p. 72. Savoie. — La Caille (Théobald). 5. — ©. fasciatum (Hass.) Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 85. Loix (THÉOBALD, loc. cit., p. 72. 6. — ©. grande Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 74. Zurich (Katzen See) (Nic. in Haucx et RICHTER, Phyk., n° 574). ( 47 ) 9. — ©. Pringsheimii Cramer; DE-Toni, Syll. Alg., |, p. 71. Zurich (Cramer in RBx., Algen, n° 190). 8. — ©. Rothii Hass. Près dé Schwerzenbach (Zurich) (BrüeceR in W. et Scx., loc. cit., n° 344). 9. — ©. scutatum Kütz.; Syec., p. 365; DE-Toni, loc. cit., p. 88. Zurich (Näg.). 10. — ©. vesicatum Link; Kürz., Spec., p. 365; VAUCHER, Hist. des Conf. d'eau douce, p. 132. Environs de Genève (Vaucher). MONOSTROMA Thuret (1854). 4. — M. bullosum (Roth.) Wittr.; DE-Tonr, Syll. Alg., E, 00 Helvetia (Ag.). SCHIZOGONIUM Kütz. (1843). 4. — S. Boryanum Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 154. Helvetia (ex DE-Tont, loc. cit.). 2. — S. crispum (Lightfoot) Gay; loc. cit., p. 86; Kürz., Spec., p. 349; BRÜGGER, loc. cit., p. 215. Helvetia (Näg.); Hinterrhein (Rheinwald) (Killias) ; Davos (Brügger); St. Maria in Münster (Théobald) (BRÜGGER, loc. cit.). 3. — S. murale Kütz. ; Gay, Loc. cit., p. 81; Kürz., Spec., p. 348. Environs de Saint-Gall (Warrmann, loc. cit., n° 145); environs de Genève (THÉoBaLn, loc. cit., p. 12); près de Zurich (Näc. et Here in Rex, Algen, n° 817). (48) HORMISCIA Fries (1833). f. — H. æqualis (Kütz.) Rbh.; De-Toni, loc. cit., p. 165. Savoie. — La Caille, source des Moulins, Salève, aux Pitons, dans la source près du chalet, Etrembières (Taéo- BALD, Loc. cit.). — France. — Gex (TaéoBaLn, loc. cit.). 2. — MH. subtilis (Kütz.); DE-Tont, loc. cit., p. 160. — — var. variabilis (Kütz.) Kirchner; DE-Tont, Loc. Gil pA101 Près de Samaden (BrüGcer, loc. cit., pp. 274, 281). Savoie. — Pied du Petit Salève, Crevin (THéoBaLp, loc. cil:,p. 12). — — var. tenerrima (Kütz.) Kirchner; DE-Toni, loc. cit. Près de Wiedikon (Zurich) (Brüccer in W. et Scx., loc. cit., n° 447). Fe Savoie. — Salève au Coin, La Caille (TaéoBaup, loc. cit., p. 12): H. tenuis (Kütz.) De-Toni; loc. cit., p. 165; BRÜGGER, Bund. Alq., p. 274. Amden am Wallen See (BRüGcEr, loc. cit., et in W. et Scu., loc. cit., n° 144). 4. — H. zomata (Web. et Mohr) Aresch var. valida (Näg.) Rbh.; Ulothrix valida Näg.; De-Toni, loc. cit., p. 165; Borce, Ueber die Rhizoidenbildung bei einigen Chlorophyceen, p. 51. Près de Zurich (Nägeli et Cramer); lac de Genève (Mëzzer Are. in W. et Sca., loc. cil., n° 243); environs de Bâle (Borge). — — var. rigidula (Kütz.) Hansg.; DeE-Tontr, loc. cit., p. 164. Saint-Gall (Warrmanx in W. et Scu., loc. cit., n° 441). — — var. inæqualis (Kütz.) Rbh.; De-Toni, loc. cit., p. 163; Ulothrix inœqualis var. incrustata Brugger. Alpes Rhétiques près de l'Hôtel Bernina (Haute-Enga- À + ci È È t 49 ) dine (Brüccer in W. et Scn., Loc. cit., n° 441): Wormser- joch (Ümbrail) et Bruggershus (Churwalden) (BrüGcer, loc. cit., p. 214) ; Ginguis (Jura) (TaéoBau, loc. cit., p.169). Obs. — Des deux localités citées par Brügger, la première cor- respond à la var. alpina Brügger (loc. cit.), la seconde à la var. fontana Brügger (loc. cit.). Species dubiæ. ? Ulothrix Nægelii Kütz.; THÉOBALD, loc. cit., p. 72. | Villette dans la See (THÉOBALD, loc. cit.). U. turfosa Cramer; in W. et Scn., loc. cit., p. 546. Entre Gais et Stoss (Appenzell) (WaRTMANN, loc. cit.). U. rorida Thuret; Borce, Rhisoid. Chlorophyceen, p. 54. Environs de Bâle (Borge). HORMOSPORA Bréb. (1840). 4. — H. mutabilis Näg.; Einz. Alg., p. 78, t. IL, B; De-Ton, Syll. Alg., I, p. 172. _ Zurich (Näg.); Katzen See (Zurich) (Cramer et BRÜGGER in W. et Scx., loc. cit., n° 137). 2. — H. plena Bréb. in KüTz.; DE-Toni, loc. cit., p. 173. Loex (THÉoBALD, loc. cit.). HERPOSTEIRON Näg. (1849). 2 — H. Braumii Näg.; Huser, Confribulions à la connaissance des Chœætophoracées, p. 287. Pinchat (Nob.). 2. — H. confervicolum Näg.; DE-Tonr, loc. cit., p. 181; KÜüTz., Spec., p. 424. Zurich (Näg.). CSS ( 50 ) _ CHÆTOSPHÆRIDIUM Klebahn (1893). #. — €. Pringsheimii Klebahn; Jahrbuch f. wissensch. Bot., Bd. XXV, p. 268, pl. IV. Pinchat, entre Veyrier et Troinex, Grand Saint-Bernard (Nob.). CHÆTOPHORA Schrank (1789). 1. — €. Cornu-Damæ (Roth) Ag.; DE-Toni, loc. cit., p. 186; VaucHEeR, Hist. Conf., p. 116. Gourze (Corboz); environs de Genève (Vaucher); entre Veyrier et Troinex, Choulex (Nob.). — — var. genuina De-Toni; Loc. cit., p. 187. Nonnenkloster près de Saint-Gall (WarTMaxN in W. et Winr., loc. cit., n° 874); Moosseedorf See (Steck). — — var. polyelados Kütz.; DE-Tonr, loc. cit.; BRÜc- GER, Bund. Alg., p. 2173. Trinser See (Brügger). - 2. — C. elegans (Roth) Ag.; DE-Toni, loc. cil., p. 183. Marais de Troinex, Crevin, Grand-Piton (Taéopao, loc. cit., p. 76); Grand Saint-Bernard (Nob.). 3. — C. pisiformis (Roth) Ag.; DEe-Toni, loc. cit., p. 182; VaucxeRr, loc. cil., p. 117. Près de Saint-Gall (WarTuann in W. et Winr., loc. cil., ‘n° 873); environs de Genève (Vaucher); Saint-Cerques (Jura); Châtelaine (Ta£oBaLp, loc. cil., p. T6). 4. — €. radians Kütz. var. rhætica Brügger; in W. et Scu., loc. cit., n° 550. Champagna (Haute-Engadine, Alpes rhétiques) (Brüc- GER, loc. cil.). (51) 5. — €. tubereulosa (Roth) Hook; DE-Toni, loc. cit., p. 184; BRÜGGER, Bund. Alg., p. 273. Peter und Paul (Saint-Gall) (WaRrTMANN in W. et Scu., loc. cit., n° 50): Champagna près de Samaden (Haute- Engadine) (Brüccer in W. et Sc., loc. cit., n° 547); Laxer See (Brügger). Savoie. — Près de la Pierre-aux-Fées, Grande Gorge (Salève), entre Veyrier et Etrembières (THÉoBaLD, loc. cit., p. 76). DRAPARNALDIA Bory (1808). #, — D. glomerata (Vauch.) Ag.; DE-Toni, loc. cit., p. 192; VAucHER, loc. cit., p. 114; BoRce, loc. cit., p. 49. Environs de Genève (Vauch.); Loex, Troinex (Tuéo- BALD, /0c. cit., p. 15); dans la Senoge (Corboz); environs de Bâle (Borge). — — var. acuta Ag.; DE-Toni, loc. cit. Thoiry (Ta£oBaL», loc. cit.). 2. — D. plumosa (Vauch.) Ag.; DE-Toni, loc. cit., p. 190; VAUCHER, loc. cit., p. 113. - Saint-Gall (WaRTMANN in W. et Scn., loc. cit., n° 146); environs de Genève (Vaucher). STIGEOCLONIUM Kütz. (1843). 4. — S. insigne Näg.; in Plans. physiol. Untersuch., p. 36. Brem, Birmensdorf (Argovie). 2. — S. protensuwm (Dillw.) Kütz.; De-Toni, loc. cit., p. 199. — — var. subspinosum(Kütz.)Rbh.; De-Tonr, loc. cit. Savoie. — Sources au-dessus d’Archamp, vers les Pitons (THéoBaLo, loc. cit., p. T2). 3. — S. subsecundum Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 201; KÜTz., Spec., p. 352. Fontaine sulfureuse d’Aarziel près de Berne (Kuütz.). (52) 4. — S. tenue (Ag.) Rbh. — — var. Ilubrieum (Dillw.) Rbh.; DEe-Tont, loc. cit., D 10e Dans une fontaine en montant à la Faucille (TaéogaLD, loc. cit., p. 12). 3. — S. variabile Näg.; Kürz., Spec., p. 352; DE-Tont1, Loc. cit., p. 196. Zurich (Näg.). CHÆTONEMA Nowak (1876). 1. — €. irregulare Now.; DE-Toni, loc. cit., p. 208. Parmi les filaments de Batrachospermum, entre Veyrier et Troinex (Nob.). CONFERVA L. (1737). 4. — C. affänis Kütz.; Spec. Alg., p. 370. Saint-Gall (WarTuanx in W. et Winr., loc. cit., n° 868). Savoie. — Salève, Florissant (TH£oBALD, loc. cit., p.13). 2. — €. bomhyceina (Ag.) Lagerh.; DE-Toni, loc. cit., p. 216; VAUCHER, loc. cit., pp. 81 et 133. Saint-Gall (Warruanx in W. et Sc., loc. cit., n° 147); environs de Genève (Vauch.); environs de Genève (Txéo- BALD, loc. cil., p. 13); Simplon (Nob.); Aclens (Corboz). 3. — €. scrohbiculorum Ag.; Kürz., Spec., p. 375; DE-Toni, loc. cit., p: 223. Helvetia (Näg.). 4. — €. utriculosa Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 217. Zurich (Nic. in Hauck et RicaTer, Phyk., n° 575, B). dt es Ed 0 (55) MICROSPORA Thuret (1850). 4. — M. floccosa (Vauch.) Thur.; VAUCHER, loc. cit., p. 131; DE-Toni, loc. cit., p. 296. Environs de Genève (Vauch.). Savoie. — La Caille, le Coin, Thoiry (TaéoBaLp, loc. cit., bp 19) 2. — M. ? punetalis (Dillw.) Rbh.; De-Toni, loc. cit., p. 230. TRENTEPOBLIA Mart. (1817). f.— T. abietina (Flot.) Hansg.; DE-Tonr, Loc. cit., p. 237; | Harior, Notes sur le genre Trentepohlia Mart. (JouRNAL DE BOTANIQUE DE Moror, 1890). Saint-Gall (WarTuaAnx in W. et ScH,, loc. cit., n° 149). 2. — T. aurea (L.) Martius; DE-Toni, loc. cit., p. 236. Rheinfelden (Amann in FavraT, Contributions à la flore crypt. de la Suisse [Buzz. Soc. vaun. sc. narT., XXI, p. 291); environs de Lausanne (SCHNETZLER in Bull. Soc. vaud. sc. nat., XVII, p. 13); Suisse (ScaLelcHER in HARIOT, loc. cût. ; Pregny, sur les murs près du lac de Genève (Nob.); Val d'Illier, route des Trois Torrents, Aclens (Corboz). Savoie. — Grand-Salève (TH£oBALDp, loc. cit., p. 15). Obs. — Cette espèce est commune sur les rochers du Grand- Salève, elle ne parait d’ailleurs pas rare en Suisse. — — var. alpina Kütz.; Spec., p. 427; DE-Toni, loc. cil., p. 237. Helvetia (Kütz.). Obs. — Cette variété n’est pas reprise par M. Hariot dans sa revision monographique du genre Trentepohlia in JOURNAL DE BOTANIQUE DE Moror, 1889-1890. Ce n’est probablement qu’une forme du polymorphe T. aurea. + odorata (Wigg.) Wittr.; T. umbrina (Kütz.) Born.; Harior, loc. cit. Entre Pully et Belmont (ScHNETZLER, Bull. Soc. vaud. ( D4 ) sc. nat., 1882, p. 3); près du Katzen See (Zurich) (WiNTER in Wirir. et Norpsr., Eæsice., n° 915); environs de Genève (Nob.). Chroolepus cœruleuam Näg. in Kürz., Spec., p. 425. Chute du Rhin (Schaffhouse) (Näg.). GONGROSIRA Kütz. (1843). . — G. viridis Kuütz.; DE-Toni, loc. cil., p. 254. Route de Bâle (Amann in FavraT, Contributions à la flore crypt. de la Suisse [Bue. Soc. vauv. sc. Nar., XXI, p. 29). CHLOROTYLUM Kütz. (1843). . — €. mammesnmiforme (Balbis) Kuütz.; DE-Tox, loc. cit., p. 256; Kürz., Spec., p. 432. Zurich (Näg.); Einsiedeln (NÂc. in Haucx et RICHTER, Phyk., n° 537). MICROTHAMMON Näg. (1849). . — M. Kuetzinugianum Näâg.; DE-Toni, loc. cit., p. 257; Kürz., Spec., p. 352. Zurich (Näg.); marais de la Trélasse (Nob.) CLADOPHORA Kütz. (1843). . — €. callicoma Ag.; DE-Toni, Loc. cit., p. 297. Schaffhouse (ScuExk in VW. et ScH., loc. cit., n° 45). . — C. canalicularis (Roth.) Küiz. ; De-Toxi, Loc. cit., p.299. — — var. Kuetzingiaua (Grun.) Rbh.; DE-Ton, loc. cit. Collonges-sous-Salève, Saint-Gingolph (THÉéoBaL», loc. aile, p:13). RP RTS LE (55) 3. — C. crispata (Roth.) Kütz.; DEe-Tont, loc. cit., p. 291. C. Châtelaine, Montalègre, etc. (THÉoBALD, loc. cit., p.13). — — var. vitrea (Kütz.) Rbh.; DEe-Toni, loc. cit., p. 298. — — f, funiformis Grun. Près Rorschach (Saint-Gall) (WarTmanx in W. et Winr., loc. cit., n° 870). 4. — C. fracta (Dillw.) Kütz.; Conferva fracta Näg.; Einz. Alg., p. 69. | Zurich (Näg.); Villette (THéoBaLn, loc. ci, p. 73). — — var. amphibia Brügger; in W. et Scx., loc. cit., n° 442. Près de Tiefenbrunnen (Zurich) (BrücGER, loc. cit.). ET . — C. glomerata (L.) Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 295. Dans le Rhône et les ruisseaux à cours rapide (THÉOBALD, loc. cit., p. 13); Rheinfelden (Amann in FavraT, Contribut. à la flore crypt. de la Suisse [ Buzz. Soc. VAUD. DES sc. NAT., XXI, p. 291). 6. — C. gossypina (Drap.) Kütz.; DE-Tont, oc. cil., p. 289. — — f. breviartieulata Rbh. Zurich (Katzen See) (Nic. in Haucx et RicutEer, Phyk., n° 514). — — fÎ neiardiuunts Rbh. Zurich (NAc. in Haucx et RicHTER, loc. cit., n° 575, B). 7. — C. insignis (Ag.) Kütz.; De-Tont, loc. cit, p. 294. — — f. rivularis (Vauch.) Rbh.; Vaucxer, loc. cit., p. 129; De-Tont, loc. cit. Environs de Genève (Vauch.. 8. — C. intricata Cramer. Engelberg (Cramer in RBH., Agen, n° 814). ( 26 ) 9. C. Lipeclons Kütz.; De-Tont, loc. cit., p. 291. Près Elm (Glarus) (Brüccer in W. et Winr., loc. cit., n° 869): Villette (THÉOBALD, loc. cit., p. 13). 10. — C. sauteri (Nees) Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 841. Lac Majeur (Daldini). BOTRYDIUM Wallr. (1815). B. granulatum (L.) Grev.; DE-Tont, loc. cit., p. 529. Savoie. — Etrembières (TH£oBaLp, loc. cit., p. T5). VAUCHERIA De C. (1803). 4. — V. aversa Hass.; DE-Toni, Loc. cit., p. 396. Genève (THÉoBALD, loc. cit., p. TD). 2e V. bursata Ag.; VAuCcHERr, Loc. cit., p. 25; KüTz., Spec., p. 489. Environs de Genève (Vauch.). 3. — V. clavata Ag.; KüTz., Spec., p. 489. C. environs de Genève (Ta£éoBaALp, loc. cit., p. T5). 4. — V. cruciata (Vauch.) DC.; DE-Tont, loc. cit., p. 407; Ectosperma cruciata Vauch., Hist. Conf., p. 30, n° 6, t. II, fig. 6. VE Entre Genève et Versoix (Vauch.). | 1 À E - ? 2 5. — NX. De Baryana Wor.; DE-Toni, loc. cit., p. 402. Montreux (Woronix in Bof. Zeit., 1880, p. 495). 6. — V. geminata (Vauch.) DC.; DE-Toni, Loc. cit., p. 399; NAc., Einz. Alg., p. 82; Vaucxe, loc. cit., p. 29. eat Sd a À D à et 2 LE mo Zurich (Näg.); Berne (Fiscuer in W. et Scx., loc. cit., n° 640); environs de Genève (VAUCHER et THÉOBALD, Loc. GE, n-#10): PP ET D dés dé d'Géné hiieirlaid-2é Éd. 10, 81. 42. (57) — — var. racemosa Walz; V, racemosa Näg.; Einx. Alg., p. 82; VAUCHER, loc. cit., p. 32. Aclens (Corboz); Zurich (Näg.); environs de Genève (Vauch.) + — V. hamata (Vauch.) Lyngb.; DE-Tont, loc. cit., p. 1100; VAUCHER, loc. cil., p. 26; Kürz., Spec., p. 488. Environs de Genève (Vauch.); Aiïre (THÉOBALL, loc. cit., p. 76). — V. multicornis (Vauch.) DC.; De-Toni, loc. cit., p. 407; VAUCHER, loc. cit., p. 33. Environs de Genève (Vauch.). . — V. ornithocephala Ag.; DE-Toni, loc. cit., p. 397. Saint-Gall (Warrmanx in W. et Scx., loc. cit., n° 49, et in RBu., Agen, n° 1100). — V. repens Hass.; RBu., loc. cit., IL, p. 268: KÜürz., Spec., p. 481. Helvetia (Näg.). — NV. sessilis (Vauch.) DC.; Vaucner, loc. cit., pp. 28, 31 et 34; De-Toni, Loc. cit., p. 398. Environs de Genève (Vauch.); Versoix (THÉOBALD oc. cit., p. T6). — ? V. terrestris Lyngb.; DEe-Toni, loc. cit., p. 401; VAUCHER, loc. cit., p. 21. 13. Environs de Genève (Vaucx. et THéoBaLn, loc. cit., p. T6). — V. tuberosa À. Br.; De-Toni, loc. cit., p. 406; Kürz., Spec., p. 896. Grandson, lac de Zurich (A. Braun). VOLVOX (L. 1758) Ehr. (1830). 4. — V. aureus Ebr.; DE-Toni, loc. cil., p. 536. Wenigerweiher (Saint-Gall), Werdenberger See (HEu- SCHER in St. Gall. naturw. Gesellsch., 1890-1891). ( 58 ) 2. — V. glohator (L.) Ehr.; DE-Toni, loc. cit., p. 536; PERTY, 1OC-2CiL- Der TT. Egelmoos (Perty). PANDORINA Bory (1824). 41. — P. morum (Müll.) Bory; DE-Tont, Syll. Alg., KL, p. 539; CaopaT, Mat. pour servir à l'hist. des Protococcoïidées in BuL. DE L'HERBIER Bossier, Il, p. 597. Genève (Chodat) ; port de Morges (Forez, Bull. Soc. vaut. des sc. nat., 1886, p. xxiv);, Grand Saint-Bernard (Nob.); Gumligermoos, Guttannen, Saint-Gall (Perty). GONIUM Müll. (1773). 1. — G. helveticum Perty; Kleinste Lebensf., p. 176, t. XI, fig. 6, À, D. Environs de Berne (Perty). 2. &. pectorale Müll.; DE-Toni, loc. cit., p. 541; CHopar, loc. cit., p. 995. Genève (Chodat). 3. — G. sociale (Dujard.) Warm.; DE-Toni, loc. cit., p. 541; CHODAT, loc. cit., p. 997. Genève (Chodat). 4. — G. punetatuen Ehr.; Perty, loc. cit., p. 178. Berne (Perty). CHLAMYDOMONAS Ehr. (1833). 1. — €. intcrmedius Chodat; Mat. pour servir à l'hist. des Protococcoidées in BuLL. DE L'HERBIER BolssiER, IL, p. 590. Laboratoire de botanique systématique de l’Université de Genève (Chodat). 2. — C. pulvisculus (Müll.) Ehr.; DE-Toni, Loc. cit., p. 549. Route de Bâle (Amanx in FavraT, Contribut., loc. cit.). (59) PHACOTUS Perty (1852). 1. — P. lenticularis (Ehr.) Stein; Perty, loc. cit., p. 163; DE-Toni, loc. cit., p. 516. Berne, lac de Neuchâtel, lac de Zurich (Perty). SPONDYLOMORUM Ehr. (1848). 1. — S. quaternarium Ehr.; DEe-Ton, Syll. Alg., I, p. 543; PERD 0 Net, p.119; Berne, Engstlen, lac de Zurich, Landeron, Solothurn, Saint-Gothard, Grimsel, Lugano (Perty). HÆMATOCOCCUS Ag. (1823). £. — H. lacustris (Girod.) Rastaf.; DE-Tont, loc. cit., p. 552. Saint-Gall (Wartuanx in W. et ScH., loc. cit., n° 34); Säntis (Appenzell) (Tscaupr in W. et Scn., loc. cit., n° 635), indiqué dans cette dernière citation à Glarnisch, Tôdi, Jungfrau, Sidelhorn : Vangeron, Perte du Rhône, Salève (TuéoBaLp, loc. cit., p. 69); lac de Genève (Brun et Forel); Neuenburg (Herr in Rgu., Algen, n° 815); Simplon (Delé- glise) (Conn in RBn., loc. cit., n° 1141); glacier du Rhône (Ehrenberg); Côte-aux-Fées (Bécuin in Bull. Soc. sc. nat. de Neuchâtel, VII, 1865, p. 211); Vy ou MonrT, JEANNETS, PiacEs (voyez même publication). Voyez aussi PERTY, loc. cit., p. 90. HYDRODICTYON Roth (1800). 2. — H. reticulatumm (L.) Lagerh.; De-Tont, loc. cit., p. 562; VAUCHER, loc. cit., p. 88. Environs de Genève (Vauch.); fossés de Neuve vers la Coulouvrenière (Reuter); vers le bas des Tranchées (Ans- pach, Reuter) (Tn£oBaup, loc. cit., p. T5); fossés de Rive (Reurer in Soc. Hallérienne, 1853-1854, p. 99); Zollikon (lac de Zurich) (WarTuann in RBu., Agen, n° 660). Obs. — Les habitations des environs de Genève sont toutes détruites. cr (60) SORASTRUM Kuütz. (1845). S. spinulosum Näg.; Einz. Alg., p. 99, t. V, fig. D; DE-Ton1, Syll. Alg., I, p. 568; Kürz., Spec., p. 195. Zurich (Näg.). Sphærastrum Hirtum Perty; K7. Lebensf., p. 211. Lac de Bienne (Perty). ui # % À | ê à ; S. Pictum Meyen; Perry, loc. cit., p. 211. . Mettlengut (Perty). À COELASTRUM Näg. (1849). 4. — C. cubicum Näg.; Eïinz. Alg., p. 98, t. V, C, fig. 2, DE-Toni, loc. cit., p. 5170; KürTz., Spec., p. 195. Zurich (Näg.); Katzen See (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER ë in W. et Scu., loc. cit., n° 136, 137). 2. — C. sphæricum Näg.; Einz. Alg., p. 98, t. V, €, fig. 1; DE-Toni, Syll. Alg., [, p. 570; Kürz., Spec., p. 195; BRÜGGER, Bund. Alg., p. 271. Zurich (Näg.); Katzen See (CramER in RBx., Agen, n° 1951); Katzen See (Zurich) (Cramer in W. et Scx., loc. cit., n° 33); entre Samaden et Bevers (Brügger). SCENEDESMUS Meyen (1829). 4. — S. falcatus Chod.; Nuova Notarisia, 1895, p. 86, Sele- nastrum acuminatum Lagerh. Parc de l’Ariana (Genève) (Chodat). 2. — S. variabilis De W.; in Notarisia, 1893, p. 99. — — var. ecornis Franzé, DE W., loc. cit.; NAc., loc. CH SD. 01 Laxer See (Brüccer, Bund. Alg., p. 271); Katzen See (Zurich) (Brüccer in W. et Scn., loc. cit., n° 349, et CRa- ( 61) MER, loc. cit., n° 30), Saggaus, Saint-Gall (ZELLER in RBu., Algen, n° 788); Berne, lac de Morat, Appenzell, lac de Zurich, Saint-Gothard, mont Bigorrio (Perty). — — var. cornutus Franzé; DE W., loc. cit., p. 100; Näc., loc. cit., p. 91. Kaizen See (CramEr in Rsex., Algen, n° 1252); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 199); Trinser See, Puschlaver See (BRÜGGER, loc. cit., p. 27); environs de Berne, Solothurn, Zurich, Lugano (Perty); Pinchat, Grand Saint-Bernard, Trélasse, Simplon, Choulex (Nob.). 2. — S. obliquus (Turp.) Kütz.; DE W., loc. cit., p. 103; Brüccer, Bund. Alg., p. 271; Nac., loc. cit., p. 92. Entre Samaden et Bevers (Haute-Engadine) (BRrüGGEr in W. et Scx., loc. cit., n° 344); Katzen See (Zurich) (CRAMER in W. et Scx., loc. cit., n° 30, et in RBH., Algen, n° 4952); Trinser See, entre Samaden et Bevers (Brügger); Berne, Aarau, Egelmoos, Muncher Buch See (Perty)) Genève (Nob.). PEDIASTRUM Reinsch (1816). 1. — P. angulosum (Ehr.) Menegh.; DE-Toni, loc. cit., p. 518. Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). 2. — P. biradiatum Meyen; PErTy, loc. cü., p. 211; DE-Tonir, loc. cit., p. 582. Berne, lac de Zurich, Grimsel, Rosenlaui, Lugano (Perty). 3. — P. Boryanum (Turp.) Menegh.; NAc., Einz. Alg., p. %5, t. V, B, fig. 1; De-Toni,-loc. cit, p. 516. Sans indication de localité (NAc., loc. cit.); Grand Saint- Bernard, Simplon, marais de la Trélasse (Nob.); Moossee- dorf See (Steck); Genève (Caonar et Huger in Rech. exp. sur P. Boryanum). (62) — — var. granulatum (Kütz.) Braun; DE-Toni, doc. it, p. 5717; Perry, loc. cit., p. 211; BRÜGGER, Bund. Alg., p.27. Berne, Solothurn, Grimsel, Todten See, lac de Zurich, Saint-Gothard, Lugano (Perty); Statzer See (Brigser), marais de la Trélasse (Nob.) 4. — P. Braunii Wartm.; DE-Toni, loc. cil., p. 583; BRÜG&ER, Bund. Alg., p. 271. St. Moritz (Engadine) (Warrmann in W. et SCH., loc. cit., n° 39). ; 5. — P. duplex Meven; DE-Toni, loc. cit., p. 598; PErTy, loc. TRI CAE RE Gumligermoos (Perty). — — var. brachylohium Br.; DE-Tonr, loc. cit., p- 580; PERTY, loc. cit., p. 210. Ostermundigen (Perty). — — var. asperuma Br.; DE-Toni, loc. cil., p. 579. Katzen See (Zurich) (Cramer et BRüGGER in W. et Scu., lo cit n°56) 6. — P. glanduliferum Bennett; Freshw. Alq.of S.W. Survey in JOURN. or THE R. mic. Soc., 1899, p. 7. Simplon (Nob.). Obs. — Cette très jolie forme, qui paraît constituer une espèce, n’était pas très commune dans nos récoltes. Les figures 5 à 7 de la planche qui accompagne la notice de M. Bennett montrent assez bien l’aspect sous lequel se présentaient les échantillons observés par nous. Les points de jonction du prolongement n'étaient cepen- dant pas aussi angulaires que ne le figure M. Bennett. La cellule possédait une membrane granuleuse; les prolongements étaient lisses incolores, à extrémité capitée, et mesuraient 12 px environ de longueur. 7. — P. integrum Näo.; Einz. Alg., p. 986, t. V, B. fig. 4, a-n; De-Toni, Syll. Alg., 1, p. 573; Kürz., Spec., p. 193. Près de Zurich (Näg.). ces re na RME CE ESS (65 ) — — fÎ. genuina glabra Rac.; SCHMIDLE, Einz. Alg. aus den Berner Alpen, p. 92; De-Toni, Loc. cil., p. 573. Vallée du Hasli (Schmidle). 8. — P. obtusangulum Perty; K/. Lebensf., p. 211. Egelmoos (Perty). 9. — P. tetras (Ehr.) Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 581; Brüc- GER,-Bund. Alg., p. 271. Entre Samaden et Bevers (Haute-Engadine) (BrücGEr in W. et Scu., loc. cit., n° 344); Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). 10. — P. tricornutum Borge; Chloroph. fr. Norska Fin- marken, p. 4, pl., fig. 3. Marais de la Trélasse, Grand Saint-Bernard (Nob.). 11. — P. vagusn Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 581. Katzen See (Zurich) (CramER et BRüGGER in W. et Scx., loc. cit., n° 138). HARIOTINA Dang. (Chodat et Huber emend. 1895). 41. — H. reticulata Dang.; Le Botaniste, 1"° sér., 1889; Cnopar et HuBer in Session extr. de la Soc. bot. de France. 1894, P. CXLII. Genève (École de médecine) (Caopar, loc. cit.). MISCHOCOCCUS Näg. (1849). 1. — M. confervicola Näg.; Fins. Alg., p. 892, t. Il, D: DE-Toni, loc. cit., p. 587. — —. var. gemminatus Näg.; loc. cit. Zurich (Näg.). — — var. isomines Näg.; loc. cit. Zurich (Näg.). Obs. — Ces deux variétés ne sont pas reprises par De-Toni, elles ne méritent d’ailleurs pas d’être conservées, même comme formes. (64) OPHIOCYTIUM Näg. (1849). 4. — ©. cochleare (Eichw.) Br.; O. apiculatum Näg.; Einxz. Alg., p. 89, t. IV, 4, fig. 2; Scamibce, Eïinz. Alg., p. 93; DE-Tont, Syll. Alg., I, p. 591. Zurich (Näg.); Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle); Pinchat, entre Veyrier et Troinex, Trélasse, Grand Saint- Bernard, Simplon, Choulex (Nob.). 2. — O. majus Näg.; Eïinz. Alg., p. 89, t. IV, 4, fig. 2; De- Toni, Loc. cit., p. 590. Zurich (Näg.). 3. — ©. parvulum (Perty) A. Braun; PERTY, XI. Lebensf., p. 215, pl. XVI, fig. 6. Berne, Todten See, Bättenalp, Saint-Gothard (Perty). Obs. — Ces trois espèces, ainsi que l'O. circinatum Wolle, sont sans aucun doute à réunir sous un même nom. Les caractères diffé- rentiels qui résident dans la présence ou l’absence d’un pédicelle et dans l’épaisseur de la cellule ne sont d’aucune valeur. Quant aux espèces créées récemment, nous ne pouvons les examiner ici; nous reviendrons prochainement sur ce genre. RAPHIDIUM Kütz. (1845). 2. — R. Braunii Näg.; DE-Toni, loc. cit., p. 594; Caopar, Mal. pour servir à l'hist. des Protococcoïdées, loc. cit., p. 608. Mares de Pinchat près Genève (Chodat). 2. — R. convolutum (Corda) Reinsch; DE-Toni, loc. cit., p. 594. Zurich, Lugano, Saint-Gothard (Näg.). 3. — R. polymorphum Fres.; DE-Toni, loc. cit., p. 592. — — var. falcatwæm (Corda) Rbh.; DE-Toni, loc. cit., p. 593; Perry, loc. cit., p. 212. + Sur Pinchat, Choulex (Nob.); Berne (Perty). (65) — — var. fusiforme (Corda) Rbh.; R. fasciculatum Näg., Einz. Alg., p. 82, t. IV, C, 1; DE-Toni, loc. cit., p. 593: Brüccer, Bund. Alg., p. 270; PERTyY, loc. cit., p. 2192. Choulex (Nob.); cité par Nägeli, sans indication de loca- lité; Katzen See (Zurich) (Cravwer et BRÜGGER in W. et Scx., loc. cit., n° 136); Flimser Cauma See (Alpes rhétiques) (BrüGGEr in W. et ScH., loc. cit., n° 343); Grand Saint- Bernard, Simplon (Nob.); Berne, Zurich, Saint-Gothard, - Mont Bigorrio, Stockhorn (Perty). Obs. — Ces deux variétés, de même que celles que l’on trouve relevées dans le Sylloge, sont des formes de cette très variable : espèce. Ces soi-disant variétés se rencontrent en général mélangées dans une même récolte. ACTINASTRUM Lagerh. (1882). #1. — A. Hantzschii Lagerh.; DE-Toni, loc. cit., p. 597. Parc de l’Ariana (Genève) (Cnoar in Nuova Notarisia, 1895, p. 86). SELENASTRUM Reinsch. (1867). 1. S. Bibrajanum Reinsch; Raphidium minutum Näg., Einz. Aig., p. 83, t. IV, C, fig. 2; Perry, loc. cit., p. 212. Zurich (Näg.); Saint-Gothard, Lugano (Perty). TETRAEDRON Kütz. (1845). 4. — T. caudatum (Corda) Hansg.; Polyedrium pentagonum Reinsch. Pare de lAriana (Genève) (CHopar in Muova Notarisia, 1895, p. 86). 2. — T. enorme (Ralfs) Hansg.; DE-Toni, loc. cit., p. 608. Helvetia ? 8. — T. lobulatum (Näc.) Hansg.; Polyedrium lobulatum Näg., Eînz. Alg., p. 84, t. IV, B, fig. 4; Kürz., Spec., p. 169. Zurich (Näg.) d) ( 66 ) 4. — T. regulare Kütz.; Polyedrium tetraedricum Näg., Einz. Air, p. 84, t. IN, B; fig. 3; "Kürz., :Spec., p.16952PERLY, loc. cit., p. 207. Zurich (Näg.) ; Saint-Gothard (Perty). — — var. tetracanthum Näg. in Kürz., Spec., p.169. Zurich (Näg.). 5. — T. tetragonum (Näg.) Hansg.; NAg., Einz. Alg., p. 84, t. IV, B, fig. 2; DE-Tonr, Syll. Alg., p. 609; Kürz., Spec., p. 169. Zurich (Näg.). 6. — T. trigonum (Näg.) Hansg.; NÂG., Kinz. Alg., p. 84, t. IV, B, fig. 1; DE-Toni, Syll. Alg., p. 598; Brüccer, Bund. Alg., p. 270; Kürz., Spec., p. 169. Zurich (Näg.); Statzer See (Brügger). REINSCHIELLA. 4. — R. Iunula (Reinsch) De-Toni; loc. cit., p. 613; SCHMIDLE, Eïinz. Alg., p. 93. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle). CERASTERIAS Reinsch (1867). 4. — ©. longispina (Perty) Reinsch; DE-Toni, loc. cit., p. 615; Perry, loc. cit., p. 210. Belp (Perty). EREMOSPHÆRA De Bary (1858). 4. — E. viridis De Bary; DE-Toni, Loc. cit., p. 616. Katzen See (Zurich) (Cramer et BrüGcer in W. et Scu., loc. cit., n° 187); Grand Saint-Bernard, marais de la Tré- lasse (Nob.). UT UE Re 2 sie 2e a no if AS fa) (267) CHLOROSPHÆRA Chodat (1894). %. — €. muralis Chod.; Mat. pour l’hist. des Protococcoïdées, loc. cit., p. 610. Eaux Vives à Genève (Chodat). PLEURASTRUM Chodat (1894). 4. — P. insigne Chodat, loc. cil., p. 615. Carouge (Chodat). | CHARACIUM Braun (1849). 4. — ©. Braunii Brügg.:; DE-Toni, Syll. Alg., 1, p. 627; Brüc- GER, Bund. Alg., p. 272. Entre Bevers et Samaden (Brüccer in W. et Scx., loc. cit., n° 544). 2. — ©. Nægelii Br.; NAc., Einz. Alg., p. 86, t. LE, D; De-Toni, loc. cit., p.022. Zurich (Näg.). RODOESSA Perty (1852). 4. — R. grimscelina Perty; DE-Toni, loc. cit., p. 629; PERTY, loc, p.210, XVI fs. 1: Rex, Voc-"cit., DEL -p: 91. Grimsel (Perty). Obs. — M. Schmidle a eu la bonne fortune de retrouver cette curieuse espèce, qui n’avait plus été signalée depuis sa découverte. Malheureusement il ne peut indiquer l'habitat exact de l’espèce. SCHIZOCHLAMYS Braun (1849). 4. — S. gelatinosa À. Br.; De-Toni, loc. cit., p. 644. Simplon (Nob.). ( 68 ) PALMODACTYLON Näg. (1849). 4. — P. simplex Näüg.; Eînz. Alg., p. 70, t. Il, B, fig. 2; DE-Toni, Syll. Alg., 1, p. 644. Zurich, Einsiedeln (Näg.). 2. — P. subramosum Näg.: Einz. Alg., p. 70, t. IL, B, fig. 3; De-Ton1, Syll. Alg., X, p. 644. Zurich (Näg.); Grand Saint-Bernard (Nob.). 3. — P. varium Näg.; Fins. Alg., p. 10, t. Il, B, fig. 1; DE-Toni, Syll. Alg., [, p. 644; Kürz., Spec., p. 234. Zurich (Näg.). Obs. — Ces trois espèces ne peuvent fort probablement pas être considérées, même comme variétés ; les formes sous lesquelles elles se présentent, sont sans doute des stades de développement d’une seule et même Algue. - APIOCYSTIS Näg. (1849). 4. DE-Tontr, Syll. Alg., I, p. 645 ; Kürz., Spec., p. 208. Zurich (Näg.). — — var. linearis Nâg.; loc. cit., t. Il, À, fig. 2. Zurich (Näg.). : TETRASPORA Link (1809). 4. — T. bullosa (Roth) Ag.; DE-Toni, loc. cit., p. 648; Vaucx., loc. cit., p. 245. Biber près Bibern (Schaffhouse) (ScHenx in W, et Scx., loc. cit., n° 539); environs de Genève (Vauch.). 2. — T. explanata Ag. — — var. natans (Kütz.) Hansg.; DE-Tonr, loc. cût., p. 648. Près de Saint-Gall (WarTMAnN in W. et WinrT., loc. cit, n° 862). ; A. Brauniana Näg.; Einz. Alg., p. 69, t. LL, À, fig. 1; PNR RE ON PES OR EE SR ET PS 2 y PARLE (69) — — var. rubescens Rbh.; DE-Toni, loc. cit., p. 650. Saint-Gall (WarTuann in W. et Winr., loc. cit., n° 863). Æ. -T. gelatinosa (Vauch.) Desv.; VaucHER, loc. cit., p. 244; DE-Toni, loc. cit., p: 649. Environs de Genève (Vauch.). Es 3. — T. ulvacea Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 648. Plaine des Rocailles (T£oBaLp, loc. cit., p. 69). : EXOCOCCUS Näg. (1847). 1. —E, ovatus Näg.; Algensyst., p. 470; Reun., loc. cit., II, DoJL. Près de Zurich (Näg.). GEMINELLA Turp. (1828). f. — G. interrupta (Turp.) Lagerh.; Hormospora minor Näg., Eïinz. Alg., p. 78, t. IU, B; DE-Toni, Loc. cit., p. 655. Zurich (Näg.). STAUROGENIA Kütz. (1849). 4. — S. rectangularis (Näg.) Braun; DE-Toni, loc. cit., p. 655. Zurich (Näg.). OOCARDIUM Näg. (1849). 1. — ©. stratum Näg.; Eins. Alg., p. 16, t. II, A; De-Tow, loc. cit., p. 658; Kürz., Spec., p. 196. | Zurich (Näg.). ( 70 ) DICTYOSPHÆRIUM Näg. (1849). 4. — D. Ehrenbergianum Näg.; Einz. Alg., p. T4, t. I, E; DE-Ton1, Syl. Alg., I, p. 660. Zurich (Näg.); entre Samaden et Bevers (Haute-Enga- dine) (BRüGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 344); parc de l’Ariana (Genève) (CHopar in Nuova Notarisia, 1895, p. 86). NEPHROCYTIUM Näg. (1849). 4. — N. Agardhianum Näg.; Einz. Alg., p. 80, t. IIL, C; DE-Toni, Syll. Alg., p. 663. Zurich (Näg.). 2. — N. Nægelii Grun.; N. Agardhianum B majus Näg., Ein. Alg., p. 80, t. IL, €, fig. 4, k, p; De-Toni, loc. cit., p. 661. Zurich (Näg.); marais de la Trélasse (Chodat et Huber). LAGERHEIMIA Chodat (1895). 4. — L. genevensis Chodat; Nuova Notarisia, 1895, pp. 88 à 90, e, fig. Parc de l’Ariana (Genève) (Chodat). GLOEOCYSTIS Näg. (1849). 4. — G. rupestris (Lyngb.) Rbh.; DE-Tont, loc. cit., p. 669. Route de Lyon (Genève) (TaéoBaLn, loc. cit., p. 69). 2. — G. vesiculosa Näg.,; Einz. Alg., p.66, t. IV, F; De-Tont, loc. cit., p. 668. Zurich (Näg.); Jardin botanique de Zurich (Heep in Rex., Algen, n° 107 a). UROCOCCUS Hass. (1895). 6. — U. insignis Hass. ; Kürz., Spec., p. 202; DE-Tont, loc. cit., p. 673. Helvetia (Näg.). CAE) BOTRYOCOCCUS Kütz. (1849). 4. — B. Braunii Kütz.; DE-Toxi, loc. cit., p. 674. Lac de Neuchâtel (Braun). PALMELLA Lyngb. (1819). 4. — P. miniata Leibl.; De-Toni, Loc. cit., p. 680. — — var. æqualis Näüg.; Einz. Alg., p. 67, t. IV, D, fig. 2. _ Zurich (Näg.). .; NAc., Einz. Alg., p. 67, t. IV, D, fig. 1; DE-Toni, Syll. Alq., 1, p. 678. Zurich (Näg.). 3. — P. parietina Näg. in Kürz., Spec., p. 212. Chute du Rhin (Schaffhouse) (Näg.). 3: DE-Toni, loc. cit., p. 679. Environs de Lausanne (Schnetzler). DACTYLOCOCCUS Näg. (1849). 1. — D. infusionum Näg.; Einz. Alg., p. 85, t. H, F; DE-Toni, loc. cit., p. 685. Zurich (Näg.). Obs. — D’après M. Chodat, cette Algue appartient au cycle d’évo- lution d’un Scenedesmus. STICHOCOCCUS (Näg. 1849) Gay. 1. — S. bacillaris Näg.; Einz. Alg., p. 71, t. IV, G, fig. d; DE-Tonr, Syll. Alg., p. 687. Zurich (Näg.). — — var. major (Näg.) Rbh.; Nac., Eînz. Alg., p. TT, t. IV, fig. 2. Zurich (Näg.). (72) — — var. minor (Näg.) Rbh.; NAc., loc. cit. . Zurich (Näg.). 2. — S. flaceidus (Kütz.) Gay; Recherches sur le développement et la classification des Algues vertes, p. 79. Liestal (Herp in W. et W., loc. cit., n° 872. GOLENKINIA Chodat (1894). 4. — G. radiata Chodat; Journ. de Botanique de Morot, 1894, p. 305, pl. LIL. | Parc de l’Ariana (Genève) (Chodat). PLEUROCOCCUS Menegh. (1842). 4. — P. angulosus (Corda) Menegh.; DE-Toni, Loc. cit., p. 691. Lac Léman (Forel). 2. P. aurco-viridis (Kütz.) Rbh. ; De-Toni, loc. cit., p. 689. Helvetia (Näg.). 3. — P. dissectus (Kütz.) Näg.; Einz. Alg., p. 65, t. IV, fig. 3. Zurich (Näs.). 4, — P. roseo-persicinus (Kütz.) Rbh.; Loc. cit., LL, p. 28: BRüGGEr, Bund. Alg., p. 210. Flimser Cauma See (Brüccer in W. et Scx., loc. cit., n° 343); lac Léman (Forez in BRuN, loc. cit., p. 31). 5. — P. rufescens (Kütz.) Bréb.; KürTz., loc. cit., p. 202; DE-Toni, Loc. cit., p. 691. Helvetia (Näg.). 6. — P. vulgaris Menegh.; Nac., Einz. Alg., p. 65; DE-Toni, Syll. Alg., I, p. 658. ; Nägeli n'indique pas de localité; Genève (Chodat); entre Lausanne et Chavigny (CHAvANNE in Bull. Soc. vaud. sc. nat., XV, pp. v et 227), Zurich (Cramer); entre Weggis et Schwyz (Manz); Saint-Gall (WarruanN in W. et Scx., loc: cu m8 "ab; 0); rés SC ÉEAET (75) PALMELLOCOCCUS Chodat (1894). 4. — P. miniatus (Kütz.) Chodat; Mat. pour servir à l'hist. des Protococcoïdées in Buzz. HERB. Bolssier, Il, p. 599. _ Jardin botanique de Genève (Chodat). PROTOCOCCUS Ag. (1824). 1. — P. botryoides (Kütz.) Kirchn.; Kürz., Spec., p. 207; DE-Toni, loc. cit., p. 103. Près de Zurich (Näg.). P. elongatus Näs. in Kürz., Spec., p. 197. Helvetia (Näg.). 2e 8. Rp, fuligineus Lenorm.; DE-Toni, Lo. p. 705. Helvetia (cfr. DE-Toni, oc. cit.). 4. — P. globosus Näg. in Kürz., Spec., p. 200. Helvetia (Näg.). 3. — P. glomeratus Ag. ; De-Toai, Loc. cit., p. 101. Savoie. — La Caille, Valserine (Tx£oBaLp, loc. cit., p.69). 6. P. Orsini Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 705. Entre Einsiedeln et Etzel (Harz in W. et W., loc. cit., n° 845). % P. pallidus Näg. in Kürz., Spec., p. 201. Près de Zurich (Näg.). 8. — P. viridis Ag.; Cystococcus humicola Näg.; Einz. Alg., p. 85, t. LL, Z; DE-Toni, Syll. Alg., I, p. 700. Zurich (Näg.); environs de Genève (TaéoBaLp, loc. cit., p. 69). .MOUGEOTIA Ag. (1824). 1. — M. capucina (Bory) Ag.; De-Toni, Loc. cif., p. 12; Kürz., Spec., p. 436. Helvetia (Kuütz.). ( 74) %. — M. genuflexa (Dillw.) Ag.; DE-Toni, loc. cit., p. 716; VaucHER, loc. cit., p. 19; Kürz., Spec., p. 433. Environs de Genève (Vauch.); La Caille, Pitons, Col- longes-sous-Salève, Genthod (THÉoBaLp, loc. cit., p. 13); entre Veyrier et Troinex, marais de la Trélasse, Choulex (Nob.); Klein-Hüningen (Bâle) (BoRGr, loc. cit.). — — var. elongata (Kütz.) Reinsch; DE-Toni, Loc. cit., p. 717. Saint-Gall (WaRTuann in W. et ScH., loc. cit., n° 46); Greiffen See près Fallanden (Zurich) (Brücc. in W. et Scx., loc. cit., n° 348). 8. — M. gracilis Kütz.; Spec., p. 434. Florissant, Châtelaine, Troinex (THÉOBALD, Loc. cit., p. 13). — — fradicans Kütz. Près de Saint-Georges (Saint-Gall) (WarTMANN in RBH., Algen, n° 939). 4. — M. parvula Hass.; DE-Toni, loc. cit., p. 714. Près de Schwerzenbach (Zurich) (BRüGGER in W. et ScH., loc. cit., n° 444); Simplon (Nob.); Neuchâtel (BRAUN in Herb. Mus. Paris). — — var. anguasta (Hass.) Kirchn.; De-Toni, loc. cit. Grand Saint-Bernard (Nob.). 5. — M. quadrata (Hass.) Witir. — — helveticum Brügger. Près de Schwerzenbach (Zurich) (BrüGcer in W. et Scu., loc. cit., n° 444). 6. — M. scalaris Hass.; De-Toxi, loc. cit., p. 712. Saint-Gall (Zweïbrücker Tobel) (WarTmanx in W. et Sc, loc. cit., n° 47); Liestal (Borce, loc. cit., p. 40). Savoie. — La Caille (Genève) (THÉoBaLn, loc. cit., p. 13). encens - 7-22 (75) ZYGOGONIUM Kütz. (1849). 4. — Z. æquale Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 739. Savoie. — Sous la Grande Gorge (Salève) (THÉoBALD, loc. cit., p. 15). 2. — Z. ericetorum (Kütz.) Hansg.; De-Toni, loc. cit., p. 137. Simplon (Nob.). 8. — 7. frigidum Brüugger. Kaltbrunn près de Samaden (Haute-Engadine, Alpes rhétiques) (Brücéer in W. et ScH., loc. cit., n° 449). 4. — 7. insigne Brügger. Katzen See (Zurich) (Brüccer in W. et Scx., loc. cil., n° 449). 5. —— Z. pectinatum (Vauch.) Ag.; Conjugata pectinata Vauch., Hist. des Conf., p. 71, t. VII, fig. 4; DE-Tonr, Syll. Alg., I, p. 736. Environs de Genève (Vauch.) (THÉoBALD, loc. cit., p. 15). — — var. decussatum (Vauch.) Kirchn.; Conjugata decussata Vauch.., loc. cit., p. 76, t. VIE, fig. 6; DE-Toni, loc. cit., p. 137; Kürz., Spec., p. 446. Marais de Bossey (Vauch.); Concise (Braun in Herb. Mus. Paris). ZYGNEMA Ag. (1824). 4. — Z. affine Kütz.; DE-Tont, Syll. Alg., 1, p. 132. Schatfhouse (Näg.); Chambésy (TaéoBaLp, loc. cit., p.14); Schuenthal (Liestal) (Hepp in Rex., Agen, n° 639). — — 6 periodicum Hepp. Lac de Zurich (Hepp in Reu., Agen, n° 672). 2. — Z, crassum Kütz.; DE-Tonr, Syll. Alg., 1, p. 741. Sans localité; « in alpibus » (Kütz.). (2762) 3. — Z. cruciatum (Vauch.) Ag.; De-Toni, loc. cit., p. 733; PL Vaucer, loc. cit., p. 16; Brüccer, Bund. Alg., p. 279. Environs de Genève (Vauch.); Lax (Brügger);, Aire, Chêne, Pitons (Tafkogazp, loc. cit., p. 74); Bâle (Braun in Herb. Mus. Paris). . — Z. lutesecens Kütz.; De-Toni, loc. cit., p. 141. Plaine des Rocailles, Genthod (Ta£oBaLp, loc. cit., p. 14). . — Z. nivale Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 14; KÜTZ., Spec., p. 447. Sans localité « in rivulis glacialibus alpium » (Kütz.); près de Saint-Maurice (Here in Reu., Agen, n° 614). . — Z. stellinum (Vauch.) Ag.; DE-Toni, loc. cit., p. 730; Vauca., loc. cit., p. 15; Brüccer, Bund. Aig., p. 259. Katzen See (Zurich) (Brüccer in W. et Scx., loc. cit., n° 449); près de Wiedikon (Zurich) (BrüGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 447); Amden (Wallen See) (Brügger); environs de Genève (Vauch.); Bois des Chèvres (Genève) (THÉOBALD, loc. cit., p. T4). — — var. Vauceherii (Ag.) Kirchn.; DE-Toni, oc. cit., p. 731; VAUCHER, loc. cit., p.-13; Kürz., loc. cit., p. 445. Klonthaler See (Glarus) (BrüccGer in W. et Winr., Loc. cit., n° 760); environs de Genève (Vauch.); Helvetia (Näg.); Crevin, Versoix (THéoBan, loc. cil., p. 74); Schaenthal (Liestal) (Herr in Re., Agen, n° 639 et 673). — — var. tenue (Kütz.) Kirchn.; DE-Toni, Loc. cit, p. 131. Schaffhouse (ZELLER in RBH., Algen, n° 674); Simplon (Nob.). Savoie. — La Caille, source des Moulins, bois de Crauves (THÉoBALD, loc. cit.). — — var. subtile (Kütz.) Kirchn.; De-Tont, oc. cit. Savoie. — Archamp (TuéoBaLv, loc. cit., p. T4). PRIS PP PTE ES TT (ERP) SPIROGYRA Link (1820). 4. — S. adnata (Vauch,) Kütz.; DE-Tonr, loc. cit., p. 163 ; VaucuER, loc. cit., p. 10. Environs de Genève (Vauch.); Genève, Châtelaine, Gex (TaéoBaLn, loc. cit., p. T4). 2. — S. affinis (Hass.) Petit; De-Tont, loc. cit., p. 158. Helvetia (Kütz.). / 8. — S. alpina Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. TT1. _ Eaux glaciaires (Hausmann?). Savoie. — Sur le Salève, Crevin (Tuéos., loc. cit., p. T4). 4. — $. areta (Ag.) Kütz.; DE-ToNi, loc. cit., p. 144. Savoie. — Loex, Collonges-sous-Salève (THéoBaLn, loc. cit., p. 74). — — var. catenæformis (Hass.) Kirchn.; DE-Toni, cit., p. 744. Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). — — var. torulosa (Kütz.) Rbh.; De-Toni, loc. cit., p. 745. . Châtelaine, Aire, Bellegarde (THéoBaALp, loc. cit., p. 13). — — var. nodosa (Kütz.) Rbh.; DE-Toni, Loc. cit. Savoie. — Perte du Rhône (THéoBaLn, loc. cit., p. 14). — — var. ulotrichoides (Kütz.) Hansg.; De-Tont, loc. cit. | Archamp, à l'embouchure de la Versoix (THéos., loc. cit.). 5. — S. hellis (Hass.) Crouan; De-Tont, loc. cit., p. 162. Bonstetten (Zurich) (Brüccer in W, et ScH., loc. cit., n° 446). 6. — S. communis (Hass.) Kütz.; De-Tont, loc. cit., p. 747. Près de Wiedikon (Zurich) (Brüccer in W. et Scx., loc. cit., n° 447). (78 ) 7. — S. condensata (Vauch.) Kütz.; Conjugata condensata Vauch., Hist. des Conf., p. 67, t. V, fig. 2; De-Toni, loc. cit., p. 747; Kürz., Spec., p. 440. Dans le Rhône (Genève) (Vauch.). — — var. inæqualis Brügger. Alpes rhétiques (Champagna près de Samaden, Haute- Engadine) (Brüccer in W. et Scu., loc. cit., n° 547). 8. — S. crassa Kütz.; DE-Toni, Syll. Alg., 1, p. 757. — — var. Heeriana (Näg.) Rbh.; De-Toni, loc. cit., | p. 758; Kürz., Spec., p. 158. Helvetia (Näg.). — — var. elongata Brügger. Entre Ebikon et Gislikon (Lucerne) (BRüGGER in W. et ScH., loc. cil., n° 548). 8. — S. decimina (Müll.) Kütz.; De-Toni, loc. cil., p. 149. C. C. (Ta£orap, loc. cit., p. 14); Choulex (Nob.). 410. — S. densa Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 762. Près de Saint-Gall (WartTuanx in W. et Winr., loc. cit., n° 866). 41. — S. elongata (Berk.) Kütz.; De-Toni, loc. cit., p. TT). * Katzen See (Zurich) (Craner et Brüccsr in W. et Scx., loc rc n459); 12. — S. fluviatilis Hilse; De-Toni, loc. cit., p. 762. Dans la Birse (Borce, loc. cit., p. 9). 13. — S. Grevilleana (Hass.) Kütz.; DE-Tonr, Loc. cit., p. 169. Grand Saint-Bernard (Nob.). — — var. elongata Cramer. Près de Zollikon (Zurich) Crawer et BRüG5ER in W. et Scx., loc. cit., n° 550); Dübendorf (Zurich) BRÜGGER in W. et Scx., loc. cit., n° 445). (79 ) 14. — S, infata (Vauch.) Rbh.; Conjugata inflata Vauch., Hisf. des Conf., p. 65, t. V, fig. 3; De-Toxi, loc. cit., p. 166; Kürz., Spec., p. 139. Allschwl (Bâle) (Borcr, loc. cit., p. 30); environs de Genève (Vauch.); Aire (THéoBaLp, loc. cil., p. 13); marais de la Trélasse, Choulex (Nob.). 45. — S. insignis (Hass.) Kütz.; De-Tonr, loc. cit., p. 172. Chemin d’Aire (TuéoBaLD, loc. cit., p. 74). 16. — S. irregularis Nàäg.; De-Toni, loc. cit., p. 154; Kürz., Spec., p. 440. Helvetia (Näg.). 43. — 5. jugalis (Dillw.). Kütz.; De-Toni, Loc. cit., p. 1751. Entre Wiedikon et Albisrieden (Zurich) (Brüccer in W. et Scu., loc. cit., n° 549); environs de Wiedikon (Zurich) (Brüceer in W. et Scu., loc. eit., n° 447). 13. S. longata (Vauch.)\ Kütz.); Conjugata longata Vauch., Hist. des Conf., p. 11, t. VI, fig. 1; Brüccer, Bund. Alg., p. 259. Katzen See (Zurich) (Crauer et Brücceer in W. et Scu., loc. cit., n° 136), Amden (Wallen See) (Brügger); environs de Genève (Vauch.); Aire, Crevin, Bellegarde (THÉOBALD, loc. cit:, p. 13) ; Grand Saint-Bernard (Nob.). — — var. elongata Rbh.; DE-Toni, Syll. Alg., I, p. 148. Katzen See (Zurich) (CrauER et BRÜGGER in W. et Scu., loc. eit., n° 135); entre Wiedikon et Albisrieden (Zurich) (Brüccer in W. et Sc., loc. cit., n° 549). 19. — S. majuscula Kütz.; De-Toni, loc. cit., p. 156; Kürz., Spec., p. 441. Helvetia (Näg.); Morschwyl (Saint-Gall) (WARTMANN in W. et Scx., loc. cit., n° 48); Saint-Gall (WarTuaNN in RBu., Algen, n° 1099). 20. — S. mirabilis (Hass.) Kütz.; DE-Tont, loc. cit., p. 159. Dübendorf (Zurich) (BrüGcer in W. et Scu., loc. cit., n° 445); Katzen See (WarTuann in Herb. Mus. Paris). (80 ) 21. —S. nitida (Dillw.) Link; VaucHen, loc. cit., p. 64; De-Toni, Loc. cit., p. 151. Environs de Genève (Vauch.); Châtelaine, etc. (THéo- BALD, Loc. cit. p. 14). 23. — S. porticalis (Müll.) Cleve; DE-Toni, loc. cit., p. 743; Brüccer, Bund. Alg., pp. 259 et 279; VAucHER, loc. cit., p. 66. Amden (Wallen See) (BRÜGGER in W. et ScH., loc. cit., n° 144); près de Zollikon (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scn., loc. cit., n° 350); environs de Genève (Vaucaer et THéoBaLp, loc. cit., p. 13); Lax (Brüugger). — — var. Juergensii (Kütz.) Kirchn.; De-Tonr, loc. cit., p. 144. Châtelaine, Florissant, Loex (THéoBaLn, loc. cit., p. 14); marais de la Trélasse (Nob.). — — var. alpina Brüugger. Alpes rhétiques près de Saint-Raineri (Wormserjoch, Umbrail) (Brüccer in W. et Scn., loc. cit., n° 246). — — var. inæqualis Näs. Près de Berne (Fiscaer in W, et Scu., loc. cit., n° 349): entre Wiedikon et Albisrieden (Zurich' BRüGGErR in W. et Scu., loc. cit., n° 549); Bonstetten (Zurich) (BRÜGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 446); environs de Wiedikon (Zurich) (BrüccEr in W. et Scx., loc. cil., n° 447); Belle- garde, perte du Rhône, Promenthoux (TnéoBaLn, loc. cit., p. T3), 23. — S. setiformis (Roth) Kütz.; De-Tont, Loc. cit:, p. 152. Environs de Wiedikon (Zurich) (Brüccer in W. et ScH., loc. cit., n° 752); Choulex (Nob.). — — var. elongata Brügger. Bonstetten (Zurich) (Brüccer in W. et Scx., loc. cit., n° 446); entre Wiedikon et Albisrieden (Zurich) (BRÜGGER in W. et Scu., loc. cil., n° 549); près de Zollikon (Zurich) (CrameR et BrüGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 641). (81) 24. — S. stagnalis Hilse; DE-Toni, loc. cit., p. 155. Archamp (THéoBaLp, loc. cit., p. 74). 25. — S. tenuissima (Hass.) Kütz. — — var. Nægelii (Kütz.) Petit; De-Toni, Loc. cit., p. 766; Kürz., Spec., p. 437. Dübendorf (Zurich) (Brücerr in W. et Scn., loc. cil., n° 445); Helvetia (Kürz., loc. cit.). 26. — S. Theobaldi Kütz.; Spec., p. 438. Aire (THÉOBALD, loc. cit.). 25. — S. varians (Hass.) Kütz.; DE-Tonr, loc. cit., p. 746. Choulex (Nob.). 28. — S. Webheri Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 768. Petit-Saconnex, Montbrillant, Florissant (THÉOBALD, loc. cit., p. 74); Choulex (Nob.). + SIROGONIUM Kütz. (1893). 1. — S. sticticaum (Engl. Bot.) Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 776. Près de Mamimern (Thurgovie) (ScHEnk in W. et Wixr., loc. cit., n° 867). HYALOTHECA Ehr. (1840). 1. — H. dissiliens (Sm.) Bréb.; Same, Einz. Alg., p. 93; DE-Tont, loc. cit., p. 185. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle); Katzen See (Zurich) (CrAMER in W. et Scx., loc. cit., n°s 31 et 135); Simplon, marais de la Trélasse, Choulex (Nob.). 2. — H. mucosa (Mert.) Erh.; De-Tont, loc. cit., p. 187. Près de Schwerzenbach (Zurich) (Brècéeer in W. et Sc, loc. cit., n° 444); Katzen See (Cramer in RB., Agen, n° 14235); Katzen See (Zurich) (CrauEer et BRÜGGER in W. et ScH., loc. cit, n° 136); Simplon (Nob.). 6 (82) DESMIDIUM Ag. (1824). 4. — D. aptogonium Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 781. Katzen See (Zurich) (Cramer et BRüGGER in W. et Sca., loc. cit., n° 136). 2. — D. cylindrieum Grev.; DE-Toni, loc. cit., p. 183 ; PERTY, loc. cit. p 211: Mont_Bigorrio (Perty). D. Swartzii Ag.; DE-Toni, loc. cit.; p. 180; SCHMIDLE, Eïinz. Alg., p. 93; NAc., Eïinz. Alg., p. 131, t. VIIT, D. Zurich (Näg.); Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle); bois de la Bâtie (Genève) (MüLer in W. et ScH., loc. cit, n° 1432); sur Pinchat, marais de la Trélasse, Choulex(Nob.); environs de Berne, lac de Zurich, Grimsel, Faulhorn, Appenzell, Guttannen, Mont Bigorrio (Perty). 3. — — var. Brebissonii Kütz.; DE-Toni, Loc. cit. Katzen See (Zurich) (CraumEer et Brüccer in W. et ScH., loc. cit., n° 136). — — var. Ralfsii Rbh.; De-Toni, Loc. cit. Katzen See (Zurich) (CrAmER et BRÜGGER, loc. cit. SPHÆROZOSMA Corda (1855). 1. — S. depressum Rbh ; DE-Toni, loc. cit., p. 192; SCHMIDLE, Eïinz. Alq., p. 87. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). 2. —S. PAT Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 790. Pinchat (Nob.). ; 3. — S. vertebratum (Bréb.) Ralfs; DE-Toni, oc. cit., p. 189. Katzen See (Zurich) (Cramer et Brücéer in W. et Scu., loc. cit., n° 136). ( 85 ) MESOTÆNIUM Näg. (1849). 4. — M. Braunii De By; DE-Toni, loc. cit., p. 811. Zurich (Hepr in RBx., A/gen, n° 691). Savoie. — Bois près des Pitons (Taéog., loc. cit., p. 69). ; DE-Toni, loc. cit., p. 811; SCHMIDLE, Einz. Alg., p. 81. Zurich (Näs->; col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). — — var. exiguuwm Hanss.; Prodrom. Algeñfl. Bühm., [l, p. 248; ScamiLe, Einz. Alg., p. 81. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). 3. — M. violascens De By; DE-Toni, loc. cil., p. 812. Saint-Gall (WarTuanx in W. et Winr., loc. cit., n° 865). Species dubiæ. Palmoglæœa dimorpha Kuütz. Jardin botanique de Zurich (Herp in RBx., Agen, n° 707b); près de Grandson (Braun in Herb. Mus. Paris). P. macrococca 5 nigrescens Cramer. Rifferschwyl (Zurich) (Herr in Rgu., loc. cit., n° 692). SPIROTÆNIA Bréb. (1848). Æ. —S. bryophyla (Bréb.) Rbh.; De-Tont, Loc. cit, p. 808. Helvetia (ex DE-Tonr, loc. cil.). CYLINDROCYSTIS Menegh. (1838). #4. — €. crassa De By; De-Tonr, loc. cil., p. 816. Savoie. — Bains de la Caille (TaéoBaup, loc. cit., p. T0). ( 8%) CLOSTERIUM Nitzsch (1817). 4. — C. acerosum (Schrank) Ehr.; DE-Towt, loc. cit., p. 824; Perty, K1. Lebensf., p. 206. Hirslandermühle près de Zurich (Crawer in W. et Scx., loc. cit., n° 131); entre Samaden et Bevers (Haute-Enga- dine) (Brüçcer in W. et Scn., loc. cit., n° 344); Stettlen, environs de Berne, lac de Genève, lac de Neuchitel, Murten, Rosenlaui (Perty); Wenigerweiher, Werden- berger See (Heucxer in Sf. Gall. nat. Gesellsch., 1890-91). 2. — C. acuminatum Kütz.; DE-Toni, Loc. cit., p. 840. Près de Schwerzenbach (Zurich) (BrüGGer in W. et ScH., loc. cit., n° 44%). 3. — C. acutum (Lyngb.) Bréb.; Perry, K{. Lebensf., p. 206; De-Toni, loc. cit., p. 836. Murigraben (Perty); entre Veyrier et Troinex, Simplon, Choulex (Nob.). 4. €. angustatum Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 821. Katzen See (Zurich) (CrAMER et BRüÜGGER in W.-et ScH., loc. cit., n° 137); canton Schwyz (Cramer in RBH., Algen, n° 546). 3. — C. Ceratium Perty; loc. cit., p. 206); DE-Toni, loc. cit., p. 831. Grimsel, Saint-Gothard (Perty). 6. — C. Dianæ Ehr.; DE-Toni, loc. cil., p. 838; Perry, loc. cit.. p. 206. Près de Schwerzenbach (Zurich) (BrücGER in W. et Scx., loc. cit., n° 444); Grimsel, Saint-Gothard, Mont Bigorrio (Perty). 7. — C. Ehrenhergië Menegh.; DE-Toni, loc. cit., p. 844; PERTY, Loc. cit. Hirslandermühle (Zurich) (CramEr in W. et Scx., loc. cit., n° 131); Berne (Perty). 40. #1. 12. 13. - 14. A5. 46. ( 85 ) . — ©. intermedium Ralfs; DE-Tont, loc. cit., p. 834. Marais de la Trélasse (Nob.). . — ©. juncidum Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 820. Katzen See (Zurich) (Cramer et Brüccer in W. et Scx., loc. cit., n° 138); canton Schwyz (Cranwer in RBH., Agen, n° 546). — €. Leïbleïinii Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 846. Grand Saint-Bernard, Simplon, Choulex (Nob.). — €. Linea Perty; K1. Lebensf., p. 206, t. XVI, fig. 20; DE-Tont, loc. cit., p. 854. Environs de Berne, Lugano, Mont Bigorrio (Perty). — C. Iunula (Müller) Nitzsch; Perry, K!. Lebensf., p. 206; DE-Tont, loc. cit., p. 831. « Durch die ganze Schweiz, in die Alpen, Grimselhospiz, Saint-Gothard, Bachalp See » (Perty). — €. monilifevum Ehr.; NAc., Einz. Alg., p.106, t. VI, C, fig. 1; DE-Toni, Loc. cit., p. 845; Perry, loc. cit., p. 206. Zurich (Näg.); Appenzell, Mont Bigorrio, Grimsel, Saint-Gothard, Simplon, Riederen (Pertv). — ©. parvulum Näg.; Einz. Alg., p.106, t. VI, C, fig. 2; De-Toni, loc. cit., p. 841; Perry, K!. Lebensf., p. 206. Zurich (Näg.); Katzen See (Zurich) (CRaMER et BRÜGGER in W. et Scx., loc. cil., n° 188) ; environs de Berne, Thoune, lac de Zurich (Perty). — C. Pritchardiananum Arch.; DE-Toni, loc. cit., p. 830. Simplon (Nob.). — C. trace Ebr.; Perry, K1. Lebensf., p.207; DE-Ton, loc. cit., p. 851. Berne (Perty); Simplon, Choulex (Nob.). 417. 48. 49. (86) — €. setaceum Ebr.; Perry, AT. Lebensf., p.207; De-Tonr, loc. cit., p. 851. Grimsel, Stettlen (Perty). — €. striolatum Ebhr.; DE-Toni, loc. cit., p. 826. Bois de la Bâtie (Genève) (MüLLer in W. et Scn., loc. cit., n° 1432); Schwyz (Cramer in RBH., Agen, n° 546). — — var. umidum Rbh.; DE-Toni, Loc. cit., p. 827; SCHMIDLE, Einz. Alg., p. 87. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). — C. Venus Kütz.; PERtY, KI. Lebensf., p. 206; DE-Toni, 106: Ci pAOT Egelmoos (Perty); près de Schwerzenbach (Zurich} (BrüGGer in W. et Sc, loc. cit., n° 44%). PENIUM Bréb. (1848). . — P. clostcrioides var. minus Heimerl. ; SCHMIDLE, Eïnz. Alg., p. 89: Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). . — P. digitus (Ehr.) Bréb.; Closterium digitus Ehr.; NaAc., Eïinz. Alg., p.-108, t. VI, D, C; DE-Toxi, loc. cit., p. 860. Zurich, Einsiedeln (Näg.); Katzen See (Zurich) (CRAMER et Brüccer in W. et Scx., loc. eit., n° 860); Grand Saint-. Bernard, marais de la Trélasse, Simplon (Nob.); La Bré- vine (BuLNHEIN in RBH., Algen, n° 1786). . — P. lamellosum Bréb.; ScHMipLe, Æinz. Alg., p. 89; Perry, loc. cit., p. 207; DE-Toni, loc. cit., p. 864.. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle); environs de Berne, Walkringen, Appenzell, Lugano, Guttannen et Todten See, Simplon, Saint-Gothard (Perty). . — P. Iatiusculum Periy; K!. Lebensf., p. 207, t. XVI, fig. 18, 19; De-Toni, Syll. Alg., 1, p. 856. Près de Guttannen et Grimsel (Perty). La ( 87 ) 5. — P. margaritaceum (Ehr.) Bréb.; Perry, 1. Lebensf., p- 207; DE-Toni, loc. cit., p. 855. Entre Guttannen et Todten See (Perty); marais de la Trélasse, Grand Saint-Bernard (Nob.). 6. — P. Nægelii Bréb.; Netrium digitus Näg., Einz. Alq., p. 108; t. VI, D; DE-Tonr, Syll. Alq., I, p. 861; Scie, Eïinz. Alg., p. 93. Zurich (Näg.); Petit-Scheideck (2,069 m.} (Schmidle). 3. — P. navicula Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 861. = Marais de la Trélasse, Simplon (Nob.). 8. — P. oblongum De Bary; DE-Toni, loc. cil., p. 864. Katzen See (Zurich) (Cramer et BRüGGER in W. et Scn., loc nl 9. — P. polymorphum f. alpicola Heimerl. ; P. polymor- phum Perty, KI. Lebensf., p. 207, t. XVI, fig. 15, De-Tont, Syll. Alg., 1, p. 859; ScamipLe, Einx. Alq., p. 87. Guttannen et Sidelhorn, Engstlen, Saint-Gothard (Perty); col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). — — var. Lundellii Schmidle; Einz. Alg., p. 89; P. polymorphum Lundell. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). TETMEMORUS Ralfs (1845). 4. — T. Brebissonii (Menegh.) Ralfs; PERTY, loc. cit., p. 207; … DE-Toni, Loc. cil., p. 866. Guttannen à Todten See (Perty). 2. — T. granulatus (Bréb.) Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 867. Schwyz (Cramer in RB4., A/g., n° 546); Simplon (Nob.). 3. — T. levis Ralfs; De-Toni, loc. cit., p. 868; ScHMIDLE, Einz. Alg., p. 89. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle); Simplon (Nob.); environs de Zurich (Winter in Wirrr. et Norpst., Exsicc., n° 4717), (88) DOCIDIUM Bréb. (1841). 4. — D. Baculumm Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 872. Katzen See (Zurich) (CraMER et BRÜGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 136). 2. — D. ? lineare (Näg.) Kütz.; Spec. Alg., p. 169. Près de Zurich (Näg.). DISPHINCTIUM Näg. (1849). 1. — D. anceps (Lund.) Hanso.; DE-Tont, loc. cit., p. 895. Marais de la Trélasse (Nob.). 2. — D. annulatumm Näg.; Einz. Alg., p.111, t. VI, F; DE-Toni, Syll. Alg., 1, p. S8T. | Zurich (Näg.); Katzen See (Zurich) (CkAMER et BRÜGGER in W. et Sc, loc. cit., n° 137); Simplon (Nob.). 3. — D. connatum (Bréb.) De Bary; D. Meneghianum Näg., Einz. Alg., p. 119, t. VE, G, fig. 2; De-Tont, oc. cit., p. 884; PERD NW0C. Ci ps 200: Zurich (Näg.); Katzen See (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 136); marais de la Trélasse (Nob.); Belp (Perty). 4. — D. cueurbita (Bréb.) Reinsch ; DE-Toni, loc. cit., p. 881; SCHMILLE, Einz. Alg., p. 89; KüTz., Spec., p. 167. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle); près de Zurich (Näg.); Saint-Bernard, Simplon (Nob.). — — forma Schmidle; loc. cit., p. 89. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). 5. — 2. curtum Reinsch; DE-Toxi, loc. cit., p. 878; SCHMIDLE, Einz. Alg., p. 94; Perry, loc. cit., p. 2017. Grindelwald (1080 m.) (Schmidle); Guttannen à Grimsel (Perty). ( 89 ) — — var. Regelianum (Näg.) Hansg.; D. Regelianum Näc., Einz. Alg., p. 110, t. VI, Æ; DE-Toni, loc. cit., p. 878. Lucerne (Näg.). 6. — D. cylindrus (Ehr.) Näg.; Einz. Alg., p. 111; De-Toni, loc. cit., p. 188. Cité sans localité par Nägeli (/oc. cit.). 5%. — D. quadratuan (Ralfs?}Hansg.; DE-Toni, loc. cit., p.882. Simplon (Nob.). S. — D. Ralfsii (Kütz.) Hansg.; DE-Toni, loc. cit., p. 888; SCHMIDLE, Einz. Alg., p. 92. = Vallée de Hasli (868 m.) (Schmidle); Simplon (Nob.). °— — var. kexagonum Schmidle; loc. cit., p. 92. Vallée de Hasli (868 m.) (Schmidle). 9. — D. speciosum (Lundell) Hansg. var. simplex Nordst. f. minor Wille; ScHmibre, Einz. 41lq., p. 92. Vallée de Hasli (868 m.) (Schmidle). — — var. Schmidle; Einz. Alq., p. 94. Grindelwald (1080 m.) (Schmidle). 40. — D. tumens (Nordst.) Hansg.; SCHMIDLE, Æinz. Aig., p. 94. Grindelwald (1080 m.) (Schmidle). #4. — D. Willoi Schmidle; Einz. Alg., p. 94, pl., fig. 2. Grindelwald (1080 m.) (Schmidle). PLEUROTÆNIUM Näg. (1849). 1. — P. Ehrenkergii ? Delp.; ScambLe, Einz. Alg., p. 93. Peut-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle). 2. — P. nodulosum (Bréb.) De Bary; DE-Tonr, loc. cit., p. 900. Pinchat, marais de la Trélasse, Choulex (Nob.). (90 ) 3. — P. Trabeeula (Ehr.) Näg.; Einz. Alg., p. 104, t. VI, À; DE-Toxi, loc. cit., p. 895; Perry, loc. cit., p. 207. Zurich (Näg.); ? Katzen See (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 136); Muncher Buch See, Berne, lac de Zurich, Solothurn, Grimsel, Saint-Gothard, Lugano (Perty). 4. — P. truncatum (Bréb.) Näg.; De-Toni, Loc. cit., p. 897. Katzen See (Zurich) (CramER et BRrücGERr in W. et Scx., loc. cit., n° 136, 137); entre Samaden et Bevers (BRÜGGER in W. et ScH., loc. cit., n° 344). PLEUROTÆNIOPSIS Lund. (1871). £. — P. cucumis (Corda) Lagerh ; Euastrum rupestre Näg., Einz. Alg., p. 119, t. VIF, À, fig. 6; De-Tonr, loc: cit., p. 940; PERTY, loc. cit., p. 208. Katzen See (Zurich) (CrAmER et BRüGGER in W. et Scx., loc. cit., n° 137); Grand Saint-Bernard (Nob.); lac de Brienz (Perty). — -- var. Melvetiea Nordst.; Wirrr. et Nonpsr., Ag. aquæ dulc. exsiec., n° 378; Bot. Notiser, 1880, p. 120; DE-Toxi, Loc. cit. — — f. trigona De-Toni; Syll. Alg., loc. cit. Près de Zurich (Winter). 2. — P. De Baryi (Arch.) Lund. var. inflatum Klebs; SCHMIDLE, Einz. Alg., p. 93. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle). 3. — P. ovalis (Ralfs) Lund.; Perry, K/. Lebensf., p. 208, t. XVI, fig. 14; De-Tonr, Syll. Alg. I, p. 912. Entre Guitannen et Grimsel, Mont Bigorrio (Perty). 4. — P. striolatum (Näg.) Lund.; Disphinctium striolatum Näg., Einz. Alg., p. 112, t. VI, G, fig. 1; De-Tonr, Loc. cit., p. 908. Zurich (Näg.). (RE) XANTHIDIUM Ehr. (1833). 4. — X. armatum Bréb.; PERTYy, loc. cit., p. 211; DE-Toni, be ci:, DJ: Belp, Walkringen, Grimsel, Lugano (Perty). X. bigorrianum Perty; loc. cit., p. 209; DE-Toni, Loc. cit., p. 918. Mont Bigorrio (Perty). 3. — X. cristatum Bréb.; De-Toni, loc. cit., p. 925. Katzen See (Zurich) (CRAMER et Brüccer in W. et SCH., loc. cit., n° 136). 4. — X. fasciculatum Ehr.; DE-Tonr, loc. cit., p. 918; PERTY, loc. cit., p. 209. Katzen See (Zurich) (Cramer et Brüccer in W. et Scu , loc. cit., n° 136); Simplon (Nob.); Belp, Berne, Lugano (Perty). COSMARIUM Corda (1835). 4. — C. alpinum Rac. var. helvetieum Schmidle; Einz. . Alq., p. 89. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). 2. — C. amænum Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 988. Zurich (Hepp). 3. — C. angulatum Perty: loc. cit., p. 208; DE-Toni, Loc. cit., p. 1017. Belp (Perty). 4. — C. ansatum (Ehr.) Kütz. ; DE-Tont, loc. cit., p. 949; PErTY, loc. cit., p. 208. Marais de la Trélasse (Nob.); Murigraben, de Guttannen à Grimsel, Saint-Gothard (Perty). (92) 3. — ©. Botrytis (Bory) Menegh.; ÆEuastrum Botrytis Näg., Einz. Alg., p. 119, t. VIL, À, fig. 3; DE-Toni, Loc. cit., p. 979; ScHMipLe, EÆinz. Alg., p. 92; Perry, loc. cit., p. 208. Zurich (Näg.); entre Samaden et Bevers (BRÜGGER in W. et Sc, loc. cit., n° 344); vallée du Hasli (868 m.) (Schmidle); Saint-Gall (WarTuanx in W. et Scu., loc. cit., n° 437); environs de Berne (Perty), Moosseedorf See (Steck) ; envi- rons de Saint-Gall (HEuSc&ER in Sf. Gall. naturw. Gesellsch., 1890-1891, p. 351); lac de Genève (Forel) (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 19); Simplon, Pinchat, entre Veyrier et Troinex, marais de la Trélasse, Choulex (Nob.); Zurich (Cramer in RBH., Algen, n° 787). 6. — C. Broomei Thwaites; DEe-Toxi, loc. cit., p. 1026. Marais de la Trélasse, Grand Saint-Bernard, Choulex (Nob.). 3. — ©. cœlatum Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 100. Simplon (Nob.). S. — C. conspersum Ralfs; DE-Tons, loc. cit., p. 997. Simplon (Nob.). 9. — C. crenatum Ralfs; DE-Toni, Syll. Alg., 1, p. 941: PERTY 10c- cu.. p.209: Berne (Perty); Grand Saint-Bernard, marais de la Tré- lasse (Nob.). — — var, subcrenatum (Perty) Lund:, SCHMIDLE, Eïinz. Alg., p. 92; DE-Toni, loc. cit. Vallée du Hasli (868 m.) (Schmidle). 410. — C. delicatulum Perty; loc. cit., p. 208; DE-Ton, Loc. cit., p. 1055. Sanetsch (Perty). 11. — C. depressuim (Näg.) Lund. ; Euastrum( T'etracanthium) depressum Näg., Eînz. Alg., p. 114, t. VIL, €, fig. 2; De-Tonr, loc. cit., p. 940; Perry, loc. cit., p. 209. Zurich (Näg.);, Katzen See (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER in W. et ScH., loc. cit., n° 136); Saint-Gothard (Perty). (95 ) 412. — C. emarginatum (Perty) Rbh.; Euastrum emarginatum Perty, K!. Lebensf., p. 209, t. VIE, fig. 8; DE-Toni, Loc. cit., p. 1004. Saint-Gothard (Perty). 43. — C. granutue Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 931. Simplon, Pinchat (Nob.). 44. —_ C. holmiense var. integrun Lund.; SCHMIDLE, Ærn£. Alg., p. 95. Grindelwald (1080 m.) (Schmidle). €. homalodermum Nordst. Grand Saint-Bernard (Nob.). 15. 46. — C. leve Rbh.; DE-Toni, loc. cit., p. 934. Grand Saint-Bernard (Nob.). 17. — C. margaretiferum (Turp.) Ehr.; Euastrum marga- reliferum Näg., p. 119, t. VIT, À, fig. 2; De-Toni, Loc. cil., p- 979. Zurich (Näg.); Katzen See (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scu., loc. cil., n° 136), Flimser Cauma See (Alpes rhétiques) (Brüccer in W. et Sc, loc. cil., n° 348); entre Samaden et Bevers (BRüGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 344); Pinchat, Simplon (Nob.); Berne, Solothurn, Weissenstein, Zurich, Appenzell, Rosenlaui, Stockhorn, Guttannen, Grimsel, Todten See, Wallis, Sanetsch, Faulhorn, Lugano (Perty). 48. — C. Meneghinii Bréb.; Euastrum crenulatum Näg., Einz. Age bp 120 NI A fe 1e DEToNr oc cu" pe 931; Perry, loc. cit., p. 208. Zurich (Näg.); Katzen See (Craner et BRÜGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 137); Grand Saint-Bernard, Pinchat (Nob.); Belp (Perty). 419. — C. Nægelianum Bréb.; Euastrum (Cosmarium) crenatum Näg., Einz. Alg., p. 190, t. VIT, À, fig. 8; De-Tont, Loc. cit., p. 942. Zurich (Näg.). (9%) 30. — C. obsoletum (Hantzsch) Reinsch; DE-Tont, Loc. cit., p. 974. Entre Einsiedeln et Etzel (Schwvz) (Harz in W. et W., loc. cit., n° 845). 24. — C. ochtodes Nordst.; DE-Tont, loc. cit., p. 992. Grand Saint-Bernard (Nob.). — — fÎ. amæbo-granulosa Schmidle; Æinz. Alg., Vallée du Hasli (868 m.) (Schmidle). 22. — C. ornatissimum Schmidle; Æinz. Alg., p. 90. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). 23. — C. ornatum Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 1095; SCHMIDLE, Eïînz. Alg., p. 90; Perry, loc. cit., p. 208. | Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle); environs de Berne, Saint-Gothard. 24. — C. Phascolus Bréb.; DE-Toni, Syll. Alg., 1, p. 1001. Entre Einsiedeln et Etzel (Schwyz) (Harz in W. et W., loc. cit., n° 845). 23. — C. polygonum Näg.; Einz. Alg., p. 120, t. VIE, À, fig. 9; De-Toni, loc. cit., p. 949. Zurich (Näg.). F 26. — C. portianum var. orthostichum Schmidle; in Ber. der deutsch. bot. Gesellsch., 1894; Scamipce, Eînz. Alg., p. 93. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle). 23. — €. protractum (Näg.) Arch.; Æuastrum protractum Näg., Einz. Alg., p. 119, t. VIE, À, fig. 4; DE-Toni, loc. cit., p. 1028. Zurich (Näg.). | 28. — C. punctulatum Bréb. forma; SCHMIDLE, Eïinz. Algq., p:192- | Vallée du Hasli (868 m.) (Schmidle). ( 95 ): 29. — C. pyramidatum Bréb.; DE-Tont, oc. cit., p. 969. Marais de la Trélasse (Nob.). 30. — C. Regnesii Reinsch; De-Tont, loc. cit., p. 961. Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). C. reniforme Arch.; DEe-Toni, De Gi, D 1982: SCHMIDLE, Einz. Alg., p. 96. Grindelwald (1080 m.) (Schmidle). 31. 32. — C. retusum (Perty) Rbh.; De-Toni, loc. cit., p. 1003 ; PErty, loc. cil., p. 208. Simplon (Perty). 33. — C. subhotrytis Schmidle; Cosm. Botrylis var. tumidum Wolle; Scamipze, Einz. Alg., p. 93. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle). 34. — €. subcostatum Nordst. et Witir.; De-Toni, Loc. cit., p- 1028; SCHMIDLE, Einz. Alg., p. 94. Petit-Scheileck (2,069 m.) (Schmidle). 33. — C. suberenatum var. divaricatum Wille; SCHMIDLE, Eïinz. Alg., p. 94. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle). 36. — ©. suborthogonum forma Gutwinsk.; Mat. fl. Galici, p. 26, fig. 16; ScamibLe, Eïînz. Alq., p. 95. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle). 32. — C. subreinsehii Schmidle; Æznz. Alq., p. 90. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). — — var. Boldiana Schmidle; Eine. Alg., p. 90. - Simplon (Nob.). 38. — C. subtholiforme Racib.; DE-Toni, loc. cit., p. 990; SCHMIDLE, Einz. Alg., p. 93. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle). 39. 40. AA. 4. 43. A4. (96) €. tetragonum (Näg.) Arch.; NAc., Einz. Alg., p. 119, t. VII, À, flg. 5; De-Toni, loc. cit., p. 950. Zurich (Näg.). — C. tetraophthalmum (Kütz.) Bréb. — — var. rupestre Näg.; DE-Toni, loc. cit., p. 982; Kürz., Spec., p.175. Près de Sitterbrücke (environs de Saint-Gall) (WARTMANN in W. et Winr., loc. cit., n° 843); Riethauschen (Saint- Gall) (Warruann, loc. cil., n° 126); Glatt-Tobel (Flawyl, Toggenbourg) (WarTMANx, loc. cil., n° 436); près de Zurich (Näg.); Riethauschen (Saint-Gall) (WarTMANN in RB., Algen, n° 1081); près de Zurich (WARTMANN in RBH., loc. cit., n° 631b). — €. tinctum Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 942. Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). | — €. truncatellam (Perty) Rbh.; PERTY, loc. cit., p. 209; DE-Toni, loc. cil., p. 1017. 5 « Lago di Muzzano » (Perty). — €. undulatum Corda; De-Toni, loc. cit., p. 972. Simplon, Grand Saint-Bernard, marais de la Trélasse, Pinchat, Choulex (Nob.). — €. Ungerianum (Näg.) Arch.; Euastrum Ungerianum Näg., Einz. Alg., p. 120, t. VIL, À, fig. 10; De-Tonr, loc. cit., p. 893; PErTyY, loc. cil., p. 209. Zurich (Näg.). ARTHRODESMUS Ebr. (1836). . — A. convergens Ehr.; Euastrum convergens Näg., Ein. Alg., p.114, t. VIL, C, fig. 1; Perry, loc. cit., p. 209; De-Toni, loc. cit., p. 1058. Indiqué sans localité par Nägeli, Katzen See (Zurich) (Craner et BrücGer in W. et Scx., loc. cit., n° 137); marais de la Trélasse (Chodat); Saint-Gothard, Gonten (Appen- zell) (Perty). (97) 2. — À. octocornis Ehr.; DE-Tont, loc. cit., p. 1063; Perry, loc. cit., p. 208. Saint-Gothard (Perty). EUASTRUM Ebhr. (1831). 4. — E. affine Ralfs; RABENHoRsT, Flor. Eur. Alg., II, p. 182: DE-Toni, loc. cit., p. 1091. Helvetia (RABENH., loc. cit.). 2. — E. ansatum Ralfs; NAc., Einz. Alg., p. 199, t. VIT, D, fig. 3; DE-Toni, loc. cil., p. 1096; SCHMIDLE, Einz. 1lq., p. 94. Zurich (Näg.); Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle); marais de la Trélasse, Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). 3. E. binaie (Turp.) Ralfs; Zuastrum dubium Näg., Einz. Alg., p. 122, t. VIL, D, fig. 2; De-Toni, loc. cit., p. 1084; PerrTy, loc. cit., pp. 208, 209. Saint-Gothard (Perty); Zurich (Näg.); Grand Saint-Ber- nard, Simplon (Nob.); marais de la Trélasse (Chodat). — — var. insulare Wittr.; DE-Toni, loc. cit., p. 1085. Grand Saint-Bernard (Nob.). 4. — EF. cuneatum Jenn.; DE-Toni, loc. cit., p, 1096. Katzen See (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scu., lot cu n°7195); 5. — E. denticulatum (Kirchner) Gay; DE-Toni, loc. cit., p. 1106. Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). 6. — E. didelta Ralfs; DE-Ton, Syl. Alg., 1, p. 1093; SCHMIDLE, Æinz. Alg., p. 91; PERTY, loc. cit., p. 208. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle); Simplon, Grand Saint-Bernard, marais de la Trélasse (Nob.); Schwyz (CRAMER in Reu., Agen, n° 546); Mont Bigorrio (Perty). 1 10. 11. 412, (98 ) — — var. sinuatum Gay; DE-Toni, loc. cit.; SCHNILLE, Loc. cit. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). . — E. elegans(Bréb.)Kütz.; E.bidentatum Näg., Einz. Alg., p- 122, t. VI, D, fig. 1; De-Tont, Syll. Alg., p. 1101; BRÜGGER, doc. cit., p. 217; Perry, loc. cit., pp. 208, 209; DE WiLpEwAN, Obs. critiques sur quelques espèces de la famille des Desmidiées in Mén. Soc. BELGE DE Microscorte, p. 94. Zurich (Näg.); Katzen See (Zurich) (CramER et BRÜGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 136); Motta (Bernina) (Brügger); Saint-Gothard, Simplon, Lugano (Perty); marais de la Trélasse, Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). . — E. elegantulum Perty; K/. Lebensf., p. 208, t. XVI, HS STE NDESTONT 106 tcp 10e Lugano (Perty) . — E. geminatum Bréb.; E. Hassallianum Näg., Kinz. Alg., p. 121, t. VII, B; DE-Toni, loc. cit., p. 1070. Zurich (Näg.); Simplon (Nob.). — E, mênuéwum Focke; Perry, loc. cit., p. 209. Environs de Berne, Solothurn, de Guttannen à Grimsel (Perty). — E. oblongum (Grev.) Ralfs; De-Toni, loc. cit., p. 1086. Grand Saint-Bernard, Simplon, marais de la Trélasse (Nob.); de Guttannen à Grimsel, Simplon, Saint-Gothard, Lugano (Perty). — — var. oblongiforme (Cramer) Rbh.; DEe-Toni, loc. cit., p. 1086; BRÜGGER, loc. cit., p. 207. Katzen See (Zurich).(CramER et BRÜGGER in W. et SCH., loc. cit., n° 137; Motta (Bernina) (Brügger). — E. subammænuwm Schmidle in Ber. der deutsch. bot. Gesellsch., 1894; Scumipce, Einz. Alg., p. 94. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle). ( 99) 413. — HE. verrucosum Ehr.; SCHMIDLE, Einz. Alg., P. 94 ; BrüGcer, loc. cit., p. 287; Perry, loc. cit., p. 208; De-Tonr, loc. cit., p. 1066. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle); Motta (Bernina) (Brügger); Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.); de Guttannen à Grimsel, Saint-Gothard, Simplon, Lugano (Perty). _ MICRASTERIAS Ag. (1827). 4. — M. crenata Ralfs. La Brévine (Neuchâtel) (Burn. in Reu., Algen, n° 1785). EE. erux-smoclitensis (Ehr.) Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 1113: Perry, loc. cit., p. 208. Entre Einsiedeln et Etzel (Schwyz) (Harz in W. et W., loc. cit., n° 845); Katzen Sce (Zurich) CraMER et BRÜGGER in W. et Scn., loc. cit., n° 137); marais de la Trélasse (Nob.); Gumligermoos (Perty). 2. 3. — M. decemdentata Näg.; Einz. Alg., p. 193, t. VI, H, fig. 2, De-Toni, loc. cil., p. 1116. Einsiedeln (Näg.). 4. — M. oscitans Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 1110. La Brévine (Neuchâtel) (Buznx. in ReH., Agen, n° 1786). — — var. pinmadifida (Kütz.) Rbh.; Euastrum didyma- canthum Näg., Einz. Alq., p. 198, t. VI, AH, tig. 1 DE-Toni, lo ACU DAMES RER, ac tcil ep 200: Zurich (Näg.); Katzen See (Zurich) (CrauERr et BRÜGGER in W. et Scn., loc. cit, n® 136 et 137); Ostermundigen (Perty). 5. — M. papillifera Bréb.; De-Tont, loc. cit., p. 1132. Grand Saint-Bernard, Simplon, marais de la Trélasse . (Nob.); Schwvz (Cramer in RBn., Algen, n° 546). 6. — RE. rotata (Grev.) Ralfs; DE-Tont, loc. cit., p. 1126. Marais de la Trélasse (Nob.). ( 100 ) 7. — M. truncata (Corda) Bréb.; Euastrum Rota Ehr.; Nac., Ein2. Alg., p.124, 1. VI, H, fig. 4; De-Toni, loc. cit, p. 1115; Perry, loc. cit., p. 207. Einsiedeln, Zurich (Näg.); Katzen See (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scx., loc. cit., n° 137); marais de la Trélasse (Nob.); Walkringen, Berne, Grimsel, Saint-Gothard, Mont Bigorrio (Perty). — — var. quadragies-cuspidata (Corda) Hansg.; Euastrum semiradiatum Kütz.; NAc., Eïinz. Alg., p. 195, t. VI, A, fig. 3; De-Toni, loc. cit., p. 1115. Einsiedeln (Näg.). 8. — M. tunicata Cramer in RBH., Agen, n° 540. Schwyz (Cramer). STAURASTRUM Meyen (1829). 4. — S. alternans Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 1193. Grand Saint-Bernard, Simplon, Choulex (Nob.). 2. — S. arcuatum Nordst. var. vasta Schmidle; Ein. Alg., p. 94, fig. 7. Petit-Scheideck (2,069 m.) (Schmidle). 3. — S. aristiferum Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 1141. Katzen See (Zurich) (Cramer). 4. — S. asperum Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 1175. Grand Saint-Bernard (Nob.). 5. — S. asperum (Phycastrum) Perty; loc. cit., p. 210; cfr. DE-Toni, loc. cit., p. 1175. Saint-Gothard (Perty). 6. — S. avieula Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 1155. Les Verrières (BuznxeiIn in RBH., Algen, n° 1782). 7. — S. hbienneanum var. ellipticwm Wille; DE-Toni, loc. cit., p. 1197; Scamipe, Einz. Alg., p. 91. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). CAT 8. 9. 10. 12. 13. 14. ( 101 ) — S. bifidum (Ehr.) Bréb.; Perry, loc. cit., p. 210; DE-Toni, loc. cit., p. 1198. | Helvetia (Näg.); Egelmoos (Perty). — S. brachyatum Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 1202; Perty, loc. cit., p. 210. Helvetia (Näg.); Mont Bigorrio (Perty). — $. Bulnheimianum Rbh.; For. Eur. Alq., I, p. 205; DE-Tonr, Syll. Alg., L. p. 1162. Les Verrières (BuLNHEIN in RBH., A/gen, n° 1781). — S. convergens (Perty) Rbh.; Phycastrum convergens Perty, K!. Lebensf., fig. 34, p. 210; De-Toni, loc. cit., p.1143. Mont Simplon (Perty). — S. cristatum (Näg.) Arch.; Phycastrum cristatum Näg., Eïins. Alg., p.127, t. VIE, C, fig. 4; De-Toxi, Loc. cit., p. 1148; Perty, loc. cit., p. 210. Zurich (Näg.), Monts Saint-Gothard et Bigorrio près de Lugano (Perty). — $S. cuspidatum Bréb.; Phycastrum {Amblyactinium) spinulosum Näg., Einz. Alg., p.126, t. VILL, 4, fig. 2; DE-Tont, loc. cit., p. 114- Zurich (Näg.); Katzen See (Crauer et BRüGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 138); Simplon (Nob.). — — Var. majus. Flimser Cauma See (Alpes rhétiques) (BrüGGer in W. et SCH., loc. cit., n° 343). — S. cryptocerum Bréb.; De-Toni, loc cit., p. 1207. Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). — S. dejectum Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 1137. Katzen See (Zurich) (CRAuNER et BrèGcER in W. et Scn., loc. cit., n° 136); Grand Saint-Bernard, Choulex (Nob.). 16. ( 102 ) S. denticulatum (Näg.) Arch.; Phycastrum denticu- latum Näg., Einz. Alg., p. 128, t. VIE, C, fig. 3; De-Toni, toc. cit., p. 1163; PerTy, loc. ci, p. 210: | Zurich (Näg.); Gumligermoos, Lugano (Perty). 13. — S. dilatatum Ebhr.; Phycastrum crenulatum Näg., Einz. 18. 19. 2e. 21. 22. Alg., p. 199, t. VILLE, B; De-Tonr, loc. cit., p. 11935 Peray, loc. cit., p. 210. Zurich (Näg.); Simplon, Grand Saint-Bernard (Nob.); Berne, Todten See (Perty). — — var. triradintunm. Flimser Cauma See (Brüceer in W. et Scx., loc. cit., n° 343). — S. echinatumm Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 1171. — — var. Pecten (Perty) Rbh.; Perry, loc. ci. p. 210; DE-Toni, loc. cit. « Lago di Muzzano » (Perty). -— S. Ehrenbergianuan (Näg.) Arch.; Phycastrum Ehren- bergianum Näg., Einz. Alg., p. 198; De-Tonxt, loc. cit., p. 1154. Zurich (Näg.): S. furcigeruan Bréb.; DE-Tont, loc. cit., p. 1294. Saint-Gall (WartTuanx in W. et Scu., loc. cit., n° 437). S. granulosum Ralfs; PErry, K/. Lebensf., p. 209; t. XVI, fig. 28; ScumiDLe, Eins. Alg., p. 91. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle); Berne, de Gut- tannen au Todten See, Urserenthal, Faulhorn, Appenzell (Perty). — S. hexaccruuan (Ebr.) Wittr.; Phycastrum Ralfsi Näg., Eïinz. Alg., p. 195, t. VILL, b, ex parte; P. crenulatum « tri- radiatum Näg., loc. cit., p. 129; Perry, loc. cit., p. 210. Zurich (Näg.); marais de la Trélasse (Nob.); Belp,. Saint-Gothard (Perty). 23. 24. ès. 2%. 28. 29. 30. ( 105 ) — S. hirsutum (Ehr.) Bréb.; De-Tont, loc. cit, p. 1168: PerTy, loc. cit, p. 209. Katzen See (Zurich) (CRaAuER et BrücGeer in W. et Scx., loc. cit., n° 137); Grand Saint-Bernard (Nob.); Todten See (Pertv). — $. insigne Lundell; De-Tonr, oc. cit., p. 1187. Grand Saint-Bernard, Simplon (Nob.). — S. margaritaceum Ebr. var. alpinum Schmidle; Einz. Alg., p. 91, fig. ÿ. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). . —S. Meriani Reinsch; DE-Toni, loc. cit., p. 1192. Grand Saint-Bernard (Nob.). — — forma Schmidle; Einz. Alg., p. 91. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). — S. muricatum Bréb.; Scauibre, Einz. Alg., p. 91. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle). — S. muticuem Bréb.; Perry, loc. cit., p. 210; DE-Tont, locteit. = p: LATT. Helvetia (Näg.); Muncher Buch See (Perty). — — var. depressum (Näo.) Boldt; DE-Tonr, Loc. Gp A PERRY loc. Gt. p- 210: Zurich (Näg.); Ostermundigen (Perty). — S. orbicualare (Ehr.) Ralfs; De-Tont, loc. cit., p. 1180; PEr1y, loc. cit, p. 209. Grand Saint-Bernard, marais de la Trélasse, Simplon, _Choulex (Nob.); Muncher Buch See (Perty). — S. paradoxum Meyen; PERTY, loc. cit., p. 210; De-Tont, lo6 cit p.121 Gumligermoos, lago di Muzzano, Mont Bigorrio, Saint- Gothard (Perty). 31. 32. 33. 34. 335. 36. 37. 38. ( 104 ) — S. pilosum (Näg.) Arch., Ras um pilosum Näg., Eïinz. Alg., p.126, t. VIIT, À, fe À ; De-Toni, loc. cit., p. 1166. Zurich (Näg.). —_ S. polymorphum Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 1208. Grand Saint-Bernard (Nob.). — S. polytrichum Periy; K/. Lebensf., p. 219, t. XVI, fig. 24; De-Tont, Syll. Alg., I, p. 1169. Près de Walkringen (Perty). — S. punetulatum Bréb.; Scamipce, Kinz. Alg., p. 91. Col du Grimsel (2,200 m.) (Schmidle); marais de la Trélasse(Chodat); Grand Saint-Bernard, Simplon, Choulex (Nob.). É — — var. Kjellmanni Wille f. trigona media . Schmidle; Einz. Alg., p. 96. Grindelwald (1080 m.) (Schmidle). — S. quadrangulare Bréb.; DE-Toni, loc. cit., p. 1199. La Brévine (Neuchâtel) (Buznx. in Rsu., Algen, n° 1786). — S. spongiosum Bréb. var. Griffithsianum (Näg.) Lagerh.; Phycastrum Griffithsianum Näg., Einz. Alg., p. 198, t. VIH, C;-Peurx, loc. cp. 210. Zurich (Näg.); Grand Saint-Bernard, Simplon DE ): Lugano (Perty). — S. striolatum (Näg.) “ie Phycastrum striolatum Näg., Einz. Alg., p. 126, t. VIIL, 4, fig. 3; De-Tont, loc. cit., p. 1188. Zurich (Näg.). : DE-Toni, loc. cit., p. 1232. Katzen See (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scx., loccit- n°4956)! ; De-Toni, Loc. cit., p. 1218. Katzen See (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scx., loc. cit., n°s 136 et 138). (105 ) Species dubiæ. | Phycastrum ciliatospinosum Perty; loc. cit., p. 210. Egelmoos (Perty). P. tricorne Kütz.; PERTy, loc. cit. p. 209; vide DE-Toni, loc. cit., p. 1206. Environs de Berne, Saint-Gothard, Appenzell (Perty). NAVICULA Bory (1826). 4. — N. atomus (Kütz) Grun.; Synedra atomus Näg. in Kürz., Spec., p. 40; DE-Toni, Sy. Alg., I, p. 166. Helvetia (Näg.). 2 —N. ambigua Ebr.; Brun, Diatomées des Alpes, etc., p. 67, t. VIL, fig. 23; De-Toni, Loc. cit., p. 137. Assez fréquente, lacs et eaux stagnantes (Brun). 3. N. amphisbæna Bory; BRun, loc. cit., p. 72, t. VII, fig. 17; De-Toni, loc. cit., p. 144; Perty, KL. Lebensf., p. 204. Cà et là dans les eaux limoneuses ou dormantes (Brun); « durch die ganze Schweiz, am Faulhorn, Grimsel » (Perty); Rosenlauigletscher (Ehrenberg). &. N. appendiculata (Ag.) Kütz.; Brun, loc. cit., p. 69, t. VIL, fig. 27; DE-Toni, loc. cit., p. 28; Perry, Xl. Lebensf., p. 204. C. dans les eaux stagnantes (Brun); Belp (Perty); Mont Rosa (Ehrenb.). - — — var. exülis Grun.; BRUN, loc. cit., fig. 33; DE-Toni, doc. cit. Mélangée au type (Brun). 5. — N. Bacillum Ehr.; BRuNn, Loc. cit., p. 71, t. VIL, fig. 9; DE-Toni, loc. cit., p. 160. Eaux vives et stagnantes de la plaine. C. dans les lacs alpins. Zermatt, Evolène (Brun). ( 106 ) N. binodis Ehr.; Brun, loc. cil., p. 68, t. VIT, fig. 18; De-Toni, Loc. cit., p. 165. R. Çà et là sur la mousse et dans les tourbières (Brun). 3. — N. horealis (Ehr.) Kütz.; BRUN, loc. cit., p. 82, t. VILLE, fig. 11; DE-Toni, loc. cit., p. 20. Assez fréquente dans les Alpes granitiques (Brun); gla- cier du Rhône, Grindelwald, Rosenlauigletscher, Mont Rosa, Grossglockner (Ehrenb.). — — var. earaeeana (Ehr.) Brun, loc. cit.; DE-Toni, loc. cit. À. R. Mêmes localités (Brun). S. — N. Brebissonii Kütz.; Braun, loc. cit., p. 83, t. VIT, fig. 15; De-Toni, Loc. cit., p. 23. C. en plaine et jusque sur les sommets des Alpes (Brun). 9. N. eardinalis Ehr.; BRuN, loc. cit., p. 85, t. VIN, fig. 10b; DE-Toni, loc. cit., p. 12. Marais et tourbières du Jura (Brun). 406. N. erassula Näg.; KÜTrz., Spec. Alg., p. 890; DE-Toni, loc. cit., p. 171; Reu., Süsswasser Diatomaceen, p. 40. « In aquis dulcibus in Helvetia » (Näg.). N. cryptocephala Kütz.; Brun, loc. cit., p. TO, t. VII, fig. 24; De-Toni, loc. cit., p. 46; Perry, loc. cit., p. 204. C. dans toutes les eaux (Brun); Belp, Saint-Gothard, Simplon, Sanetsch (Perty). — — var. angustata Brun; loc. cil., p. 70. Assez fréquente. Quelquefois, mais rarement, mélée au type (Brun). 42. — N. cuspidata Kütz.; BruN, loc. cit., p. 66, t. VIE, fig. 6; DE-Toni, Loc. cit., p. 136; Perry, Loc. cit., n° 204. Peu répandue en plaine et montagne (Brun); Berne, Louèche, Guttannen et Grimsel, Lugano, Gerzen See (Perty). ( 107 ) — — var. alpestris Brun; loc. cit., fig. 65; De-Tonr, loc. cit., p. 137. Forme alpine (Brun). N. dicephala Ehr.; De-Toni, loc. cit., p. 7; Brun, loc. cit, p. 16, t. VIT, fig. 34; Perty, loc. cit., p. 204. Peu fréquent (lacs de la plaine) (Brun); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 31); Grimsel, Todten See (Pertv). 14. N. divergens (W. Sm.) Ralfs; Brun, loc. cit., p. 86; ls. 46. 17. 48. t. VILLE, fig. 10; De-Tonr, Loc. cit., p. 17. Grimsel, Saint-Gothard, Ferpècle (Brun). N. elliptica Kütz.; Brun, loc. cit., p. 77, t. VII, fig. 13; DE-Tont, loc. cit., p. 89; Bnrüecer, loc. cit., p. 287; PERTy, loc. cit.,.p. 205. C. jusque dans les hautes Alpes (Brun); côté sud du Lukmanier (Tessin) (CramER in W. et Scu., loc. cit., n° 233); Grandson (lac de Neuchâtel) (Früh); environs de Berne, Rosenlaui, Bättenalp, Sanetsch, Simplon, Oberstocken See (Perty). — — var. oblongella (Näg.) Van Heurck; Kürzixe, Spec. Alg., p. 890; De-Toni, loc. cit., p: 90; Reu., Suüsswasser Diatomaceen, p. 39. « In Helvetia » (Näg.). N. wma Kütz.; BRuN, loc. cit, p. 74, t. VIL, fig. 1; De-Toni, loc. cit., p. 155. Assez fréquente, eaux vives des Alpes granitiques (Brun). N. gibba Ehr.; Brun, loc. cit., p. 85, t. VIII, fig. 17; DE-Tont, loc. cit., p. 27; BRÜGGER, loc. cit., p. 287. Assez répandue, plaines et basses montagnes (Brun); Casaccia (Lukmanier) (Cramer). N- sibherula Kütz.; Bron, loc. cit., t. VI, fig. 11; DE-Toni, loc. cit., p. 148; Perry, loc. cit., p. 205. M. Brun n'indique pas de dispersion ; environs de Berne, dans l’Aar, Engstlen (Perty). 19. 21. 22. 23. ( 108 ) — N. gregaria Donk.; Brun, loc. cit., p. 70, t, IX, fig. 24; DE-Toni, loc. cit., p. 46. C. dans toutes les eaux (Brun). — N. Helvetiea J. Brun; in Le Diatomiste, Il, 1895, pl. XIV, fig. 1 et 2. Lac de Genève (Brun). — N. Heuñfleri Grun.; Brun, loc. cit., p.79, t. VIIL, fig. 8; DE-Toni, loc. cit., p. 40. C. sur le chaume, les tuiles; les pierres et les algues des sols argileux; la mousse des forêts (Alpes et Jura); les détritus des plages (Brun). — N. humerosa Bréb.; Brun, loc. cit., p. 75, t. VIT, fig. 36 a ; De-Toni, loc. cit., p. 127. | Bas-fonds des lacs Léman (Mauler) et de Lucerne (Melly). — N. inflata Kütz.; Brun, Loc. cit., p. 76, t. VIT, fig. 15; De-Toni, loc. cit., p. 149. A. R. Lacs, marais, tourbières de la plaine (Brun). — N. Eridis Ehr. var. affinis (Ehr.) Van Heurck; BRuN, loc: cit, p: 12; t. VII, -fig: 21:>DE-Ton1, loc cit: p4155; Eaux stagnantes de la plaine; R. en montagne, marais de Divonne, Porte de Scex, Roelbeau (Brun); Grindelwald, Mont Rosa, Grossglockner, glacier du Rhône (Ehrenberg). — — var. affänis (Ebr.) Van Heurck; Perty, loc. cit., p. 204; DE-Toni, loc. cit. Grimsel, Bättenalp, Faulhorn (Perty). — — var. amphirhynchus (Ehr.) De-Toni; loc. cit., p. 154; Brun, loc. cit., p: 72, i. VIE, fig. 20 et 22. Mélangée à la variété affinis (Brun); Stein (Schatfhouse) (v. Mandach). — — var. amphigomphus(Ehr.) Van Heurck; BRUN, loc. cit., p. 73, t. VI, fig. 13; DE-Toni, loc. cit., p. 154. R. en plaine, fréquente dans les Alpes granitiques (Brun) ; lac de Genève (Forel). es. 26. 2%. es. 29. 30:- 32. ( 109 } — N. Iævissima Kütz.; BRUN, loc. eit., p. 68, t. VII, fig. 32; De-Toxi, loc. cit., p. 164. C. Eaux dormantes (Brun). — N. laneeolata Küiz.; DE-Tont, loc. cit., p. 57; Perry, loc. cit., p. 204. Berne (Jardin botanique) (Perty). — — fÎ. minuta Rbh.; N. sempronia Perty, Kleinste Lebensf., p. 204, t. XVIL, fig. 8. Saint-Gothard, Simplon, Sanetsch (Perty). — N. lata Bréb.; Brun, loc. cit., p. 85, t. VIII, fig. 2%; De-Toni, loc. cit., p. 18. Région sous-alpine et alpine (Brun). — N. latiuseula Kütz.; BRUN, loc. cit , p. 73, t. VIL, fig. 37; DE-Tont, loc. cit., p. 145; Kürz., Bac., p. 93; PerTy, loc. cit., p. 204; Brüccer, loc. cit., p. 287; Kürz., Spec., p. 72. Lacs de Genève et de Lucerne (Brun); « bei Thun » (Kütz.); côté sud du Lukmanier (Tessin) (CRAMER in W. et ScH., loc. cit., n° 233); environs de Berne, Grimsel, Lugano, Oberwallis (Perty); Motta (Bernina) (Brügger). — N. leptosongyla Ehr.; Kürz., Bac., p. 99, t. IV, fig. 9. _« In Alpenbächen bei Thun » (Kütz.). — N. limosa Kütz.; BRUN, loc. cit., p. 13, t. VIL, fig. 19; DE-Tont, loc. cit., p. 148; RABExH., Süsswasser Diatomaceen, p. 39; Kürz., Spec., p. T1; PERTY, loc. cit., pp. 204 et 205. M. Brun n'indique pas de dispersion; Riederen, Belp, Sanetsch (Perty); Helvetia (Kütz.). — N. limpida Perty; K/. Lebensf., p. 204, t. XVII, fig. 9; DE-Toni, loc. cit., p. 189. Belp (Perty). Obs. — Seraiït, d’après M. Brun, N. rhynchocephalum. — N. major Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 10; Perry, loc. cit., p. 205; Brüceer, Bund. Alq., p. 288. Côté sud du Lukmanier (Tessin) (CrAmER in W. et Sc., (110) loc. cit., p. 233); Louèche, -Guttannen, Grimsel, Simplon, Sanetsch, Lugano (Perty); lac de Genève, Ermatingen (lac de Constance) (Forel); Schwyz (CrauEr in Reu., A/gen, n° 546). 33, — N. Mauleri Brun; loc. cit., p. T1, t. I, fig. 18; DE-Toni, loc. cit., p. 178. R. Lac de Genève (Brun). 34. — N. mesolepta Ebr.; Brun, loc. cit., p. 87, t. VIE, fig. 29; De-Toni, loc. cit., p. 32. Assez répandue, Jura et terrains calcaires (Brun). — — var. nodosa (Ehr.) Brun; loc. cit., p. 87, t. VIX, fig. 29 ; Perry, loc. cit., p. 205. Plaine et montagnes jurassiques (Brun); Ostermun- digen, Muncher Buch See (Perty). — — var. mivalis (Ehr.) Brun; loc. cit., p. ST, t. VIE, fig. 51; DE-Tont, loc. cit. Hautes Alpes granitiques, Nevés (Brun); Mont Rosa (Ebr.). — — var. iuterrupta W. Sm.?; BRüuN, loc. cil., t. NII, fig. 90. En plaine, rare en montagne (Brun). — — var. mesolepta W. Sm.; Brun, loc. cil., fig. 22, 0. En plaine, rare en montagne (Brun). 35. — N. mutica Kütz.; Brun, loc. cit., p. 71, t. VIL fig. 7; DE-Toni, loc. cit., p. 114. Petits ruisseaux et cascades des Alpes, À. R. dans la plaine (Brun); Mont Rosa, Ewigschneehorn (Ehrenberg). 36. — N. nobilis (Ehr.) Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 9; Brun, Diat. Alpes, p. 84, t. VILL, fig. 6. C. dans la plaine (Brun); Rosenlauigletscher (Ehrenb.). 32. — N. oblonga Kütz.; Brun, loc. cit., p. 89, fig. 3; DE-Tonr, loc. cit., p. 37; PERTy, loc. cil., p. 204. C. dans les marais de la plaine et du Jura, moins fré- (111) quente dans les Alpes (Brun); Berne et environs, Grimsel, (Perty) ; Saint-Gall (Warrmanx in RB4., A/gen, n° 1087). — — var. media Brüggcer; Bund. Alq., p. 288. Puschlaver See, Statzer See (Brügger). 38. N. oculata Bréb.; BRUN, loc. cit., p. 69, t. IV, fig. 49; t. VIL, fig. 10 et 26; De-Toni, loc. cit., p. 89. GC. C. sur la terre humide, les gazons, dans les fossés, sur les plages (Brun). 3%. — N. otrantina (Rbh.) Ralfs; DE-Toni, loc. cit., p. 188. Saint-Gall (Wartuanx in RBH., Algen, n° 1083. 40.— N. ovalis Näg.; Ren., Süsswasser Dialomaceen, p. 39; Kürz., Spec., p. 890. « In der Schweiz » (Rbh. ?). 41. — N. peregrina (Ehr.) Kütz.; DE-Tonr, loc. cit., p. 38. Saint-Gall (Wartuanx in Reu., Algen, n° 1087. A2. — N. placentula var. angliea (Ralfs) Grun.; BRuN, loc. cit., p. 14, t. VIL, fig. 14; DE-Toni, loc. cit, p. 56. Lacs, fossés des marais, peu fréquente (Brun). 43. N. pusilla W. Sm.; Brun, loc. cit., p. 75, t. IE, fig. 17, De-Toni, loc. cit., p. 129. A. R. Lacs, fossés des marais (Brun). — — var. alpestæis Brun; loc. cit, p. 75, t. VII, fig. 12; DE-Tont, Loc. cit. R. Lac de Genève (Brun). 44. — N. pygmæa Kuütz.; DE-Tont, Loc. cit., p. 97; BRuN, loc. CSD ONE AE fie 16; Gà et là dans la plaine et le Jura. Moleson, à la Brévine, Saint-Cergues (Brun); Val-de-Travers (Mauler). 43. — N. radiosa Kütz.; Brun, loc. cil., p. 78, t. VIIL, fig. 2; DE-Toni, loc. cit., p. 42; Perry, loc. cit., p. 204. C. C. dans toutes les eaux (Brun); environs de Berne (Perty). |! (112) — — var. aecuta (W. Sm.) Grun.; BRUN, loc. cit., fig. 24; DE-Toni, loc. cit. A. R. Mélée à l'espèce (Brun). 46. — N. Rotæana (Rbh.) Grun.; DE-Toni, loc. cit., p. 172. Helvetia (ex DE-Toni, Loc. cit.). . 43. — N. rhynchocephala Kütz.; BRUN, loc. cit., p.80, t. VII, . fig. 19; DE-Toni, loc. cit., p. 44; Perry, loc. cit., p. 204. C. C. dans toutes les eaux (Brun); Stettlen (Perty). — — var. genevensis Brun; loc. cit., p. 81. Lac de Genève (Brun). — — var. leptocephala (Rbh.) Brun; loc. cit., p.81, LA iS2297 Forme alpine et lacustre (Brun). 48. — N. serians (Bréb.) Kütz.; Brun, loc. cit., p. 65, t. VIF, fig. 2; DE-Toni, loc. cit., p. 140. A. R. Eaux stagnantes, marais, tourbières jurassiques (Brun). 49. — N. sphærophora Kütz.; Brun, loc. cit., p. 61, t. VII, fig. 16; De-Toni, Loc. cit., p. 140; Perry, loc. cit., p. 204. A. R. Eaux stagnantes de la plaine (Brun); Gumliger- moos (Perty). 50. — N. stauroptera Grun.; BRüN, loc. cit., p. 86, t. VIII, fig. 9; DE-Toni, loc. cit., p. 25. Eaux vives et stagnantes de la plaine et des montagnes calcaires (Brun). 51. — N. Tabellaria Kütz.; BRüuN, loc. cit., p. 86, t. IX, fig. 26; t. VIIL, fig. 28; De-Toni, loc. cit., p. 26; Kürz., Spec., p. 81. Assez rare dans la plaine et basses montagnes (Brun); «in rivulis Alpium Helvetiæ » (Kuütz.). 52. — N. tuscula Ehr.; Brun, loc. cit., p. 90, t. IX, fig. #4; DE-Toni, loc. cit., p. 113. R. Lacs et grandes eaux de la plaine (Brun). (113) 53. — N. viridis (Nitzsch) Kütz.; BRUN, loc. cit., p. 83, t. VIN, fig. à, De-Toni, loc. cut., p. 11; BRÜGGER, loc. cit., p. 9287; Perry, loc. cil., p. 205. CG. C. dans les eaux de la plaine, du Jura et des Alpes (Brun); près de Niederteusen (WarTMaANN in W. et ScH., Schweiz. Crypt., n° 537); « durch die ganze Schweiz » (Sidel- horn, Fibia, Saint-Gothard) (Perty); lac Léman (Forel); Stein (Schaffhouse) (v. Mandach); Grindelwald (Ehrenb.). — — var. hemiptera Brun; loc. cit., fig. 4. Alpine, ne descend dans la plaine qu’avec les torrents glacés (Brun). — — Var. acuminata Brun; loc. cil., fig. 16. R. Eaux tranquilles de la plaine (Brun). 54. — N. viridula Kuütz.; BRUN, loc. cit., p. 80, t. VIII, fig. 7; DE-Toni, loc. cit., p. 43; BRüGGER, Bund. Alg., p. 287; PERTY, loc. cit., p. 204. C. dans toutes les eaux (Brun); entre Horn et Rorschach (lac de Constance, Suisse) (WarTmann in W. et Scx., loc. cit., n° 341); Katzen See (Zurich) (CRAMER et BRÜGGER in W. et ScH., loc. cit., n° 136); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 31); Stein (Schaffhouse) (v. Man- dach); « durch die ganze Schweiz », Rabbenthal, Belp, Simplon (Perty); Haute-Engadine, Statzer See, La Rosa (Bernina) (Brügger); Mont Rosa, Grossglockner, Grindel- wald (Ehrenb.). DS. N. vulpina Kütz.; PerTy, loc. cit., p. 204; DE-Tonr, loc. Cap. A: Cudrefin (lac de Neuchâtel) (Perty). 56. — N. zellensis Grun.; DE-Toni, loc. cit., p. 34. Près de Meiringen (Thoune) (Rbh.). Pinnularia parallela Brun, in Diatomiste, I, pl. XIV, fig. 7. Lacs de Genève et de Zurich (Brun). (114) Diploneis lacus Lemani Brun; in Diatomiste, H, pl. XIV, fig. 4. Lacs de Genève et de Lucerne (Brun). — — “ar. gibbosa Brun, Loc. cit., fig. 3. Lacs de Genève et de Lucerne (Brun). D. Mauleri var. Foreli Brun; in Diatomiste, IL, pl. XIV, fig. à et 6. Lac Léman (Brun). Neidium affine var. rhodana Brun; in Dialomiste, I, pl. XIV, fig. 8-10. Lac de Genève, Rhône (Genève) (Brun). RHOICONEIS Grun. (1863). #. — R. trinodis (W. Sm.) Grun.; Brun, loc. cil., p. 68; DE-Toni, loc. cit., p. 199. R. Cà et là, eaux dormantes. STAURONEIS Ebr. (1843). 4. — S. anceps Ehr.; Brun, loc. cit., p. 89, t. IX, fig. 2; DE-Tonr, loc. cit., p. 211. Assez fréquente, plaine, Jura et Alpes (Brun). — — var. elliptica Brun; loc. cit., fig. 1. Mêlée au type (Brun). — — var. linearis (Kütz.) Rbh.; Brun, loc. cit., fig. 8; Perry, Kl. Lebensf., pp. 203 et 206, t. XVI, fig. 7?; DE-Tow1, loc. cit. R. Mêmes localités (Brun); environs de Berne, Saint- Gothard, Mont Fibia (Perty). — — gracilis (Rbh.) Brun; Loc. cit., fig. 2; DE-Toni, lac. cit. Sans indication de localité (Brun). GAS) 2. — S. Cohnii Hilse; BrüuN, Loc. cit., p. 91, t. IX, fig. 10 et 31. A. C. Étangs de la plaine (Brun). — — var. mênuta (Kütz.) Brun; loc. cit., p. 9L. R. Grands lacs (Brun). 3. — ? S. dilatata Ehr.; BRUN, loc. cit., p. 90, t. IX, fig. 9; DE-Toni, loc. cit., p. 209. Peu répandue, eaux de la plaine, du Jura et des Alpes (Brun). 4. — S. gracilis W. Sm.; Brun, loc. cit., p. 89, t. IX, fig. 6; DE-Tox1, loc. cit., p. 207. A. R. Eaux stagnantes (Brun). gi . — S. explicata Perty; loc. cit., p. 205. Todten See (Perty). 6. — S. Phœnicenteron (Nitzsch) Ehr.; BRUN, loc. cit., p. 88, t. IX, fig. 7; DE-Toni, loc. cit., p. 204; BRüGGER, loc. cit., p. 255 ; PERTY, loc. cit., p. 205. C. Eaux stagnantes, limoneuses ou ferrugineuses (Brun); côté sud du Lukmanier (CRAMER in W. et Scx., loc. cit., n° 233); Berne, lacs de Neuchâtel et de Zurich, Kander- steg, Grinsel, Faulhorn (Perty); Schwyz (CRAMER in Rex., Algen, n° 546). — — var. lanceolata (Kütz.) Brun, loc. cit., p. 89, t. IX, fig. 5. Mélangée au type (Brun). %. — S. platystoma (Ehr.) Kütz.; BRüN, loc. cil., p. 90, t. IX, fig. 3; Perry, KI. Lebensf., p. 205, t. XVII, fig. 11; De-Tont, loc. cit., p. 206; BrüccEr, loc. cit., p. 289. Grand Saint-Bernard, Zermatt, St. Moritz, Louèche. Plus rare dans la plaine (Brun); côté sud du Lukmanier (CramErR in W. et ScH., loc. cil., n° 233); Poschiavo See (Brügger); environs de Berne, Murten See, Faulhorn, Saint-Gothard, Lugano (Perty); Katzen See (CRaMER et Brüccer in W. et ScH., loc. cit., n° 136). (116) S. — S. truncata Rbh.; Brun, Loc. cit., p. 91, t. VIIT, fig. 14. A. R. Lacs de Genève, de Lausanne, de Neuchâtel et de Constance (Brun). PLEUROSTAURON Rbh. (1859). 4. — P. legumen (Ehr.) Rbh.; Brun, Loc. cit., p. 90, t. VIIT, fig. 26; De-Toni, Loc. cit., p. 222. A. R. Eaux stagnantes de la plaine et vallées jurassiques (Brun). AMPHIPLEURA Kütz. (1844). 1. — A. pellucida (Ehr.) Kütz.; Brun, loc. cit., p. 95, t. IV, fig. 30; DE-Toni, loc. cit., p. 227. C. Eaux stagnantes, marais, étangs, tourbières jusqu’à 1,500 mètres (Brun). PLEUROSIGMA W. Sm. (1853. 1. — P. acuminatum (Kütz.) Grun.; BRUN, loc. cit., p. 94; t. V, fig. 12; DE-Toni, Loc. cit., p. 252; PERTY, loc. cit., p. 205. À. C. Grandes eaux stagnantes jusqu’à 500 m. (Brun); Gumligermoos, Belp, Lugano (Perty). 2. — P. attenuatum (Kütz.) W. Sm.; BruN, Loc. cit., p. 95, t. V, fig. 13; De-Toni, loc. cit., p. 248; Perry, loc. cit., p. 205. A. C. jusque dans les hautes Alpes (Brun); Alldas (entre Zurich et Affoltern (Cramer et BRüGGER in W. et Scx., loc. cit., n° 199); Berne (Perty); lac de Genève (Forel); Grand- son (lac de Neuchâtel) (Früh). 3. — P. scalproides Rbh.; BRüN, loc. cil., p. 94, t. V, fig. 15; DE-Toni, loc. cit., p. 261. A. C. dans les eaux stagnantes ou siliceuses jusqu’à - 500 mètres d'altitude (Brun). (117) 4. — P. Spencerii (Quek.) W. Sm.; BRUN, loc. cit., p. 94, t. V, fig. 14; DE-Toni, loc. cit., p. 253. A. R. Porte de Scex, Roelbeau, Thônes, Troinex, Saxon (Brun). — — Var. eurvulum (Kütz.) Grun.; DE-Toni, Loc. cit., p. 255; PERTY, loc. cit., p. 205. Environs de Berne (Perty). COLLETONEMA Bréb. (1849). 1. — C. lacustre (Ag.) Kütz.; BRUN, Loc. cit., p. 81, t. VII, fig. 19; De-Tont, loc. cit., p. 275. A. R. Ruisseaux du Jura (Brun). FRUSTULIA Ag. (1824). 1. — F. negleeta (Thwait.) De-Toni; Loc. cit., p. 280; BRUN, ee Ci REA C. dans les eaux vives (Brun). — — var. acuminata Brun; loc. cit., p. 19. Forme spéciale au Jura (Brun). 2. — F. rhembhoides (Ehr.) De-Toni. — — var. saxoniea (Rbh.) De-Toni, loc. cit., p. 277; BRUN, loc. cit., p. 64. t. VIL, fig. 8 f. Çà et là, dans la plaine et jusque dans les hautes Alpes (Brun). 8. — F. viridula (Bréb.) De-Toni; loc. cit., p. 2178; BRüN, loc. cit., p. 65, t. VIL, fig. 4. À. R. Ruisseaux, grands lacs (Brun). 4. — F. vulgaris (Thwait) De-Toni; Loc. cit., p. 280; Brun, loc. cit., p. 66, t. VIL, fig. 95 et 8e. Assez fréquent, grands lacs et marais (Brun); Grandson (lac de Neuchâtel (Früh). ( 118 ) — — var. lacustris (Bruu) De-Toni; loc. cit.; Brun, loc. cit., t. VIII, fig. 20, | Lac de Genève (Brun). MASTOGLOIA Thwait. (1856). 4. — M. Grevillei W. Sm.; Ren., Flor. Eur. Alq., 1, p. 260; DE-Toxi, loc. cit., p. 315. « In Helvetia » (RBn., loc. cit.); lacs de la plaine, ruis- seaux des Alpes (Brun). 2. — M. Smithii Thwait.; Brun, Loc. cil., p. 92, t. VIN, fig. 28; De-Toni, loc. cit. p. 313. Lacs de la plaine, ruisseaux des Alpes (Brun); Haggen- berg (Schwyz) (Mawz in W. et Scu., Schweiz. Crypt., n° 538); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Suisse, 1884, p. 31). CYMBELLA Ag. (1830). 1. — C. abnormis Grun.; Bot. Centralbl., 1880, p. 249; De-Ton, loc. cil., p. 357. 2. — ©. affinis Kütz.; Brun, loc. cit, p. 61, t. LE, fig. 14; DE-Toxi, loc. cit., p. 352; Perry, loc. cit., p. 203. C. G. dans toutes les eaux (Brun); Simplon (Perty). 3. — C. alpina Grun.; Brun, loc. cit., p. 62, t. IL, fig. 7; DE-Toni, loc. cit., p. 354. Saint-Luc, Ferpècle, Saas im Grund (Brun). 4. — €. amphicephala Näg.; Kürz., Spec. Alg., p. 890; Brün, loc. cit., p. 60, t. LL, fig. 5 et 10; DE-Toni, Loc. cit., p. 880; Rou., Süsswasser Diatomaceen, p. 22. « In Helvetia » (Näg.); « Schweiz » (Rbh.); A. C. lacs alpins, ruisseaux (Brun); lac de Genève (Brux in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 31). — — Var. unipunetata Brun; in Diatomiste, U, DONIN no 1255) Lacs de Genève et de Côme (Brun). D. 10. (149) — C. capitata Brun, in Diatomiste, Il, pl. XIV, fig. 27° et 28. Lac Léman (Bouveret, Sciex, Genève) (Brun). — C. cistula (Hempr.) Kirchn.; BRüN, loc. cit., p. 58, t. ILE, fig. 18; DE-Toni, loc. cil., p. 365 ; PERTY, loc. cit., p. 208. Eaux stagnantes de la plaine À. R. (Brun); « durch die ganze Schwelz » (Perty). — — var. maculata (Kütz.) Grun.; PERTY, loc. cit.; DE-Toni, loc. cit. Grimsel (Perty); Saint-Gall (WarTuann in RBH., Agen, n° 803). — — var. gibbosa Brun; in Diatomiste, I, pl. XIV, fig. 27. Lac de Genève (Brun). . — €. euspidata Kütz.; Brun, loc. cit., p. 9, t. IL, fig. 6; DE-Tont, loc. cit., p. 350. Peu répandue dans la plaine et les Alpes, rare dans le Jura (Brun). . -— €. cymbhiformis (Kütz.) Bréb.; BRüuN, loc. cit., p. 57, t. IE, fig. 12; De-Toni, oc. cit., p. 363: Perty, loc. cit., p- 203: C. dans les lacs et eaux stagnantes de la plaine (Brun); Sidelhorn (Perty). . — ©. Ehrenbergii Kuütz.; BRUN, loc. cit., p. 59, t. LL, fig. 30; De-Tont, loc. cit., p. 349; Brüccer, loc. cil., p. 283; Perry, loc. cit., p. 1202. A. C. Lacs, eaux vives de la plaine, tourbières du Jura (Brun); Poschiavo See (Brüugger); Berne, Lugano (Perty); près de Sierre (glacier du Rhône) (Brun in Bull. Soc. belge de microscopie, 1818, p. LH). — C. gastroides Kütz.; C. maxima Näg. in Spec. Alg., p. 890; DE-Toni, Loc. cit., p. 361; BRÜGGER, loc. cil., pp. 283 et 284; Perry, loc. cit., p. 203. « In Helvetia » (Näg.); Flimser Cauma See (Alpes rhé- ( 120 ) tiques); près de Schwerzenbach (Zurich) (BrüGGERr in W. et ScH., Schweiz. Crypt., n° 343 et 444); Saint-Maurice (Haute-Engadine) (W. et Scu., loc. cil., n° 27); côté sud du Lukmanier (Tessin) (Cramer in W. et ScH., loc. cit., n° 233); entre Rorschach et Horn (lac de Constance, Suisse) (WaRTuanN in W. et Sc., loc. cit., n° 341); Statzer See (Brügger); Berne, Lugano, Oberalp, Simplon (Perty); Katzen See (CRaMER et BRüGGErR in W. et ScH., loc. cit., n° 136); Engadine (Waxrmanx in RBu., Algen, n° 1080). 11. — ©. glacialis Brun; in Diatomiste, Il, pl. XIV, fig. 29 et 30. Lacs de la plaine et des Alpes (Brun). 12. — C. gracilis (Ehr.) Kütz.; C. lœvis Näg.; RBn., Süsswasser Diatomaceen, p. 12. « In der Schweiz » (Näg.). 43. — C. helvetica Kütz.; BRUN, loc. cit., p.60, t. ET, fig. 3, 11; DE-Toxi, loc. cit., p. 366; PERTyY, loc. cit., p. 203. Fréquente jusque dans les neiges fondantes (Brun); Saint-Maurice (Haute-Engadine) (W. et Sc. loc. cit., n° 27, et Re., Algen, n° 1086); entre Rorschach et Horn (lac de Constance, Suisse) (WARTMaANx in W. et Sc., loc. cit., n° 341); Bättenalp, Rosenlaui, Grimsel, Simplon, Lugano (Perty); lacs de Neuchâtel, de Genève et de Constance (Forel); Stein (Schaffhouse) (v. Mandach). 414. — C. Iævis Näg.; DE-Toni, loc. cit., p. 352; Brun, loc. cit., p. 62; Kürz., Spec., p. 58. « In aquis dulcibus in Helvetia » (Näg.); lacs alpins (Brun); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 30). 453. — C. lanceolata (Ehr.) Kirchn.; Brun, loc. cit., p. 51, t. ILE, fig. 19; Cocconema Bremii Näg. in Kürz., Spec. Alg., p. 890 ; De-Toni, Loc. cit., p. 362; Perry, loc. cit., p. 208. « Ad saxa in fossis lente fluentibus in Helvetia » (Näg.); C. dans la plaine et la montagne (Brun); Solothurn, Weissenstein, Murten See, lacs de Brienz et de Neuchâtel (Perty) ; Grandson (lac de Neuchâtel) (Früh). (121 ) — — var. aspera (Ehr.) Brun; loc. cit., p. 57, t. IX, fig. 16; De-Toni, loc. cit., p. 363. Mélangée au type (Brun). 16. — C. leptoceras (Ehr.) Rbh.; Flor. Eur. Alg., E, p. 81; Kürz., Bac., p. 19, t. IL, fig. 68; De-Toni, loc. cit., p. 353; BRUN, loc. cit., p. 62. C. C. dans les étangs, marais, ruisseaux, tourbières (Brun); lac Léman, Ermatingen (lac de Constance) (Forel); Stein (Schaffhouse) (v. Mandach). 17. — C. truneata Rbh.; Brun, loc. cit., p. 58, t. III, fig. 2 et 189; De-Toni, loc. cit., p. 357. A. R. Eaux stagnantes de la plaine. Species dubiæ. Cocconema variabhile Cramer. Saint-Georges près de Saint-Gall (Warruanx in W.etScH., loc. cit., n° 28) et près de Zurich (Crauer in W. et Scu., n° 28, et in Ron , Agen, n° 1246). Obs. — Sous ce nom Cramer réunit les Cocconema cistula, C. cymbiforme et C. lanceolata. C. sibbum Ehr.; Perry, loc. cil., p. 208. « Durch die ganze Schweiz (Percy). ENCYONEMA Kütz. (1833). 1. — E. cæspitosum Kütz.; BRUN, loc. cit., p. 56, t. III, fig. 16; DE-Toni, loc. cit., p. 372. C. Lacs et eaux de la plaine et des montagnes (Brun). — — Var. pediculus (Ehr.) Brun; Loc. cit., p. 56, t. IL, fig. 13; De-Toni, loc. cit., p. 373; Perry, loc. cit. p. 202. C. dans les eaux chaudes et dormantes (Brun); Solo- thurn, Simplon, lac de Zurich (Perty). (C6122») 2. — E. graceile Rbh.; Brun, loc. cit., p. 62, t ILE, fig. 1; DE-Toxi, loc. cil., p. 3178; PERTY, loc. cit., p. 208. A. R. Marais, cascades des Alpes (Brun); Saint-Gothard Sanetsch (Perty). 3. — E. prostratum (Berk.) Ralfs; DE-Toni, oc. cit., p. 371; Beun, loc. cit., p. 55, t. IT, fig. 15, Perry, loc. cit, .p..203; KÜEZ- One. tp: 01S Peu commune, eaux stagnantes de la plaine (Brun); Mübhlegg près de Saint-Gall (Warrmann in W. et Sc., loc. cit., n° 29, et Rex., Algen, n° 1248); lac de Zurich (Perty); Helvetia (Näg.) ; Sihlwalde (CramEer in Rek., A/gen, n° 1247); Moosseedorf See (Steck). — —: var. alpinum Brügger; Bund. Alq., p. 284. Statzer See (Brügger). 4. — E. turgidum (Greg.) Grun.; BRUN, loc. cit., p. 60, t. ILE, fig. 4; DE-Toni, loc. cit., p. 372. C. dans les eaux vives et stagnantes (Brun). — — f.helvetica robustior. Lac de Zurich (Herp in Rex, Algen, n° 958). 5. — Æ. ventricosum (Ag.) Grun.; Brun, loc. cit., p. 56, t. IV, fig. 4; DE-Toni, Loc. cit., p. 373; BRÜGGER, loc. cit., p. 284; Perry, loc. cit., p. 203. C. Eaux chaudes et dormantes (Brun); entre Flawyl et Gossau (Saint-Gall), Saint-Gall (Wartuann in W. et ScH., loc. cit., n°% 334 et 531); Samaden (Brügger); Simplon, Sanetsch (Perty). AMPHORA Ehr. (1831). 1. — A. cofeæformis (As.) Kütz.; Perty, loc. cit., p. 204; DE-Toni, loc. cit., p. 389. Murten See, Erbach (lac de Constance). 2. — A. libyea Ehr.; DE-Toni, loc. cit., p. 384. Grindelwald (Ehrenb.). (195) 3. — A. ovalis (Bréb.) Kütz.; Brun, loc. cit., p. 53, t. I, fig. 6; De-Toni, loc. cit., p. 411; BRÜGGER, loc. cit., p. 286; PERTyY, loc cite, p- 206: Eaux stagnantes (Brun); côté sud du Lukmanier (Tessin) (CraNER in W. et Scx., loc. cit., n° 233); Poschiavo See (Brügger); Stein (Schaffhouse) (v. Mandach); « durch die ganze Schweiz (Faulhorn, Sanetsch, Stockhorn » (Perty); lacs de Zurich, de Genève, de Neuchâtel et de Constance (Forel); Schwyz (CRANER in RBH., Algen, n° 546). — — var. affänis (Kütz.) Van Heurck; BRüN, loc. cit., p. 4; De-Toxi, Loc. cit., p. 412. Mares, étangs de la plaine (Brun). — — var. pediculus (Kütz.)\ Van Heurck; Brun, Loc. cit., p. 94, t. IT, fig. 9; DeE-Toni, Loc. cit.; Perry, loc. cit., p. 203. A. C. dans la plaine, R. dans le Alpes (Brun); Berne, Urserenthal (Perty). GOMPHONEMA Ag: (1824). G. abbreviatum Ag.; BRüN, loc. cit., p. 36, t. VI, fig. 12; DE-Toni, loc. cit., p. 431. C. Eaux vives et stagnantes (plaine, Jura, Alpes) (Brun); Saint-Georges (Saint-Gall) (Warrmanx in W. et ScH., loc. cit., n° 148b); près de Zurich (CranERr in W. et Scu., loc. cit., n° 148 a). 2. — G. acwminatum Ebr.; BRüN, loc. cit., p. 39, t. VE, fig. #; DE-Tonr, loc. cit., p. 423; Perty, loc. cit., p. 204. C. Eaux stagnantes de la plaine (Brun), entre Rorschach et Horn (lac de Constance, Suisse) (Warrmanx in W.etSca., loc. cit., n° 841); Berne, Murten See, Faulhorn, Mont Bigorrio (Perty). — — var. coronatum (Ehr.) Rbh.; PEerty, loc. cit., p. 204; DE-Toni, loc. cit., p. 424. Environs de Berne, Murten See (Pertv). ( 124 ) — — var. Smithii Brügger; loc. cit., p. 285. Statzer See (Brügger). 3. — G. angustatum Kütz.; BRUN, loc. cit., p. 41; DE-Toni, loc. cit., p. 429. A. R. Eaux jurassiques et alpines et dans la plaine (Brun). 4. &. augur Ehr.; BRrüN, Loc. cit., p. 39, t. VI, fig. 18; Perry, Xl. Lebensf., p. 203, t. XVII, fig. 14; DE-Tont, Loc. cil., p. 424. Eaux stagnantes de la plaine et du Jura (Brun); « lago di Muzzano » près de Lugano (Perty). 3. — G. capitatum Ebr.; Brux, loc. cit., p. 37, t. VI, fig. 19; DE-Toni, loc. cit., p. 422; Perry, loc. cit., p. 203. C. Marais, tourbières, eaux limoneuses de la plaine (Brun); environs de Berne, lac de Zurich, Saint-Gothard, Lugano, Simplon (Perty); lac de Genève (Brun in Bull. Sue. bot. de Genève, 1884, p. 31). 6. — G. conetricéumm Ebr.; Bkun, loc. cit., p. 38, t. VL, fig. 1; DE-Toni, loc. cit., p. 421; Perry, loc. cit., p. 203. C. C. dans les eux tranquilles (Brun); Merishauser Thal près de Schatffhouse (ScHExk in W. et ScH., loc. cit., n° 638); entre Horn et Rorschach (lac de Constance, Suisse) (WaRr- MANN in W. et Scu., loc. cit., n° 421); Aarau, Appenzell, lacs de Zurich et de Constance, Lugano (Perty); Mont Rosa (Ehrenb.). 3. — G@. eygnus Ehr.; Brun, Loc. cit., p. 317, t. VE, fig. 7; DE-Toni, loc. cit. p. 427. Assez fréquente, surtout dans les hautes vallées des Alpes (Brun). S. — G. dichotomum Kütz.; BRUN, loc. cit., p. 36, t. VI, fig. 2 et 3; DE-Toni, Loc. cit., p. 426; Perry, loc. cit., p. 203. Eaux stagnantes de la plaine, moins fréquente dans les montagnes (Brun); Berne, Aarau, lacs de Zurich, de Bienne et de Genève, Appenzell, Lugano (Perty). 9. 10. 11. 12. 13. 14. (195 ) — — var. pulvinatum (Braun) De-Toni; RaBexn., Süssw. Diat., p. 58, t. VII, fig. 16; DE-Toni, loc. cit., p. 427. Sihlwalde près de Zurich (Braun). M. Brun n'indique pas de dispersion (loc. cit., p. 37); lac de Morat (Forel). — &. geminatum (Lyngb.) Ag.; Brun, loc. cit., p. 38, t. VI, fig. 9; De-Toni, Loc. cit., p. 420. Zermatt, Grand Saint-Bernard, Cormayeur (Brun). — G@. glacïale (Kütz.) Rbh.; Brun, loc. cit., p. 84, t. VI, fig. 14; Kürz., Spec., p. 62; DE-Toni, loc. cit., p. 434; Kürz., Bac., p. 83; PErRTyY, loc. cit., p. 203. Saas im Grund, Arolla, Chalets de Mémise, Evolène, Cape au Moine (Brun); « unter Conferven des Gletscher- wassers am Monte Rosa » (Kütz.); Grimsel, Sidelhorn, Faulhorn, Rosenlaui, Saint-Gothard, Simplon, Sanetsch (Perty); « in summis alpibus Helvetiæ » (Kütz.). — G. helveticum Brun, in Diatomiste, I, pl. XIV, fig. 17 et 18. Lacs alpins et eaux de la plaine (Brun). — — var. incurvata Brun; loc. cit., fig. 16. Mélangée au type (Brun). @G. intricatum Kütz.; BRUN, loc. cit., p. 40, t. VI, fig. 16, a, b, h, k; DE-Toni, loc. cit., p. 498. C. Eaux jurassiques et alpines, moins commune en plaine (Brun); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 31). — @&. longiceps Ehr.; RaBenx., F. Eur. Alq., I, p. 286; DE-Toni, loc. cit., p. 425. « In fossis, rivulis regionis montanæ et subalpinæ Hel- veticæ » (RABENH., loc. cit.) ; eaux stagnantes de la plaine et des montagnes (Brun). — @. olivaceum (Lyngb.) Kütz.; Brun, loc. cit., p. 40, t. VI, fig. 8; De-Toni, oc. cit., p. 433; Perry, loc. cit., p. 203; Kürz., Spec., p. 64. Helvetia (Näg.); C. dans la plaine (Brun); Küssnachter 16. 18. 19. (1%) Tobel (WanTManx in RerH., Agen, n° 1085); entre Riet- häuslein et Zweibrücker Tobel (Saint- Gall) (WARTMANN in W. et Scu., loc. cil., n° 837); Saint-Gothard, Riederen, Lugano (Perty). — — vulgare (Kütz.) Grun.; DE-Toni, loc. cit.; PERTY, loc. cit., p. 203; RaBenu., F1. Eur. Alg., 1, p. 285; BRüN, loc. cit., p. 34, t. IV, fig. 20, a-b. « In aquis dulcibus Helvetiæ » (RABENH., loc. cit.); A. C. jusque dans la région montagneuse inférieure (Brun); Simplon, Sanetsch (Perty). . — G. sarcophagus Greg.; BRUN, loc. cit., p. 35, t. VI, fig. 10; De-Tonr, loc. cit., p. 429. A. R. Eaux jurassiques et alpines (Brun). — G. stauroneiforme Grein.; DE-Tonr, loc. cit., p. 434. « In rivulis Helvetiæ » (DE-Toni, loc. cit.). . — G. subtile Ehr.; Brun, loc. cit., p. 35, t. VI, fig. 11-12; DE-Toni, loc. cil., p. 493. A. R. Eaux de la plaine et des Alpes (Brun). — G. tenellum Kütz.; BRUN, loc. cit., p. 35, t. VI, fig. 5. C. dans les eaux de la plaine et surtout dans le Jura (Brun). — — var. micropus (Kütz.) Brun; loc. cit., p. 55, LVL e12: Mélangée au type (Brun). — G. vibrio Ehr.; BRüuN, loc. cit., p. 31, t. VI, fig. 6; DE-Toni, loc. cit., p. 427. Peu fréquente, eaux stagnantes de la plaine et des hau- .teurs (Brun). RHOICOSPHENIA Grun. (1860). . — R. curvata (Kütz.) Grun.; BRüN, loc. cit., p. 41, 1. VE, fig. 24; DE-Tont, loc. cit., p. 437; PERTY, loc. cit., p. 203. Peu fréquente, plaine et basse région montagneuse (Brun); cité par Perty. 0427) COCCONEIS Ehr. (1833). 1. — C. helvetiea Brun; loc. cit., p. 32, t. IL, fig. 27; De-Tom, loc. cil., p. 444. Lacs de Genève, de Constance et de Wallenstadt, Atz- moos, Ferpècle, Zermatt (Brun). 2. — C. pediculus Ehr.; BRüuN, loc. cit., p. 31, t. LIL, fig. 29 ;. DE-Toxt, loc. cit., p. 452. C. Eaux stagnantes de la plaine; R. en montagne (Brun): Saint-Georges (Saint-Gall) (WarTuann in W. et Scn., loc. cit., n®% 148b et 336a); près de Zurich (CRAMErR in W. ct ScH., loc. cit., n° 148 a); Schnittweyerbach près de Thoune (Fiscuer in W. et Scu., loc. cit., n° 336b); Unter- walden (Engelberg) (Cramer in RBH., Agen, n° 867). 3. — C. placentula Ehr.; Brun, loc. cit., p. 31, t. IL fig. 23; De-Toni, loc. cit., p. 454; Perry, loc. cit., p. 202. C. Eaux stagnantes de la plaine et des montagnes (Brun); côté sud du Lukmanier (Tessin) (Cramer in W. et Sc., loc. cit., n° 233); Berne (Perty); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 31). — — var. lineata (Ehr.) Van Heurck; BRüN, loc. cit., p. 51; DE-Tont, loc. cit., p. 454; PerTy, loc. cit., p. 202. Fréquemment mêlée au type (Brun); Gemmi (Perty). — — var. costata Brun; loc. cit., p. 51. Rare et mêlée au type (Brun). 4. — C. salina (Kütz.) Rbh.; Brun, loc. cit., p.32, t. INT. fig. 28; DE-Tont, loc. cit., p. 453. Lac de Lucerne, Porte de Scex, Roelbeau (Brun). 5. — C. Thomasiana Brun, in Diatomiste, LL, pl. XIV, fig. 25. Lac Léman (Brun). — — var. elliptiea Brun; loc. cit., fig. 26. Lac Léman (Brun). ( 128 ) ACHNANTHES Bory (1822). 4. — A. delicatula (Kütz.) Grun.; Achnanthidium crypto- cephalum Näg. in Kürz., Spec. Alg., p. 890; RABENH., Süssw. Diat., p. 25; Brun, loc. cit., p. 29, t. IT, fig. 24. Helvetia (Näg.); C. dans la plaine et les Alpes (Brun); « in der Schweiz » (Rbh.). A. brevipes Ag.; PErTy, loc. cit., p. 202; DE-Toni, Loc. cit., p. 471. 2. Ostermundigen, Berne, Guttannen, Grimsel (Perty). 3. — A. exilis Kütz.; Brun, loc. cit., p. 28, t. III, fig. 29; De-Tont, Loc. cit., p. 483; Perry, loc. cit., p. 202; Kürz., Spec., p. 4. Helvetia (Näg.); C. dans la plaine et jusqu'aux hautes Alpes (Brun); environs de Berne (Perty). 4. — A. lanceolata (Bréb.) Grun.; DE-Toni, loc. cit., p. 486; Brun, loc. cit., p. 29, t. IIE, fig. 20. C. C. Eaux vives et stagnantes (Brun). 5. — A. microcephala (Kütz.) Grun.; DE-Tonr, loc. cit., p. 483. Lac Léman (Forel). 6. — A. minutissima Kuütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 484; Brun, loc. cit, p. 28,/t. Il, fig: 30: PErTyY, 100. Cie, p'202- ur Spec., p. 04. Helvetia (Näg.) ; dans la plaine et jusqu'aux hautes Alpes, moins fréquent que l’A. exilis (Brun); Merishauser Thal près Schaffhouse (Scuenx in W. et Scx., loc. cit., n° 638): Berne, Solothurn (Perty); près de Saint-Georges (Warr- MANN in Re., Agen, n° 939). (129) ACHNANTHIDIUM Kütz. (1844). 1. A. flexellum (Kuütz.) Bréb.; Brun, loc. cil., p. 29, t. HI, fig. 21; DE-Toni, loc. cit., p. 488; RaBENH., Süssw. Diat., p. 25, Kürz., Bac., p. 80; PErTy, loc. cit., p. 202; Kürz., Spec., p. 94. Très répandue dans les eaux de la plaine et des Alpes (Brun), « in der Schweiz » (Rbh.); « bei Thun » (Kütz.); Berne, Urserenthal, Simplon (Pertv). — — ‘ar. alpestris Brun; loc. cit., t. II, fig. 26; DE-Toxi, loc. cil., p. 489. A. C. Sources des Alpes et de la région montagneuse (Brun). Species dubia. Eunotia alpina Kutz.; Perry, loc. cil., p. 189; vide DE-Toni, loc. cit., p. 489. Berne, Bättenalp am Faulhorn, Sanetsch, Grimsel, Lu- gano (Perty). NITZSCHIA Hassali (1845). 1. — N. acicularis (Kütz.) W. Sm.; Brun, loc. cit., p. 109, t. V, fig. 29; De-Toni, loc. cit., p. 549; Perry, loc. cit., p. 201. Assez fréquente, fossés, eaux stagnantes (Brun); Gum- ligermoos (Berne) (Perty). 2. — N. aeuminata (W. Sm.) Grun.; Buun, Loc. cit., p. 103, t. IV, fig. 27; DE-Toni, loc. cit., p. 505. Fréquente, lacs et grandes eaux jusqu’à 2,000 mètres (Brun). 3. — N. angustata (W. Sm.) Grun.; BrüN, loc. cit., p. 105, t. IV, fig. 28; DE-Tont, loc. cit., p. 500. Fréquente, lacs et grandes eaux jusqu’à 2,000 mètres (Brun). 9 4. « 10. ( 450.) — N. Brebhissonii W. Sm.; BRU», loc. cit., p. 105, t. V, fig. 27; DE-Toni, loc. cit., p. 529. Cà et là dans la plaine et la montagne (Brun). . —N. communis Rbh.; Brun, loc. cit., p. 108, t. V, fig. 48: De-Toni, loc. cit., p. 542; Perry, loc. cit., pp. 201 et 202. A. KR. Fossés, parmi les mousses (Brun); Belp, Berne, Saint-Gothard (Perty). . — N. constricta (Greg.) Grun.; Brun, loc. cit., p. 106, t. V, fig. 46; De-Toni, loc. cil., p. 502. Cà et là dans les lacs de la plaine (Brun). . — N. denticula Grun.; BRUN, loc. cit., p. 112, t. ILE, fig. 34; De-Tonti, loc. cit., p. 518; Brüccer, Bund. Alg., pP'AHHEPERTY 06 cu p.199; Très répandue dans la plaine et les Alpes (Brun); Casaccia (Lukmanier) (Brügger); Berne, Belp (Perty). . — N. dissipata (Küiz.) Grun.; Perty, loc. cit., p. 201; DE-Toni, loc. cit., p. 527. Environs de Berne (Perty). . — N. frustulum (Kütz.) Grun.; Perry, loc. cit., p. 201; DE-Toni, loc. cit., p. 543. Berne (Jardin botanique) (Perty). — N. linearis (Ag.) W. Sm.; Brun, loc. cit., p. 107, t. V, fig. 26; DE-Toni, loc. cit., p. 535. : C. C. dans les eaux de la plaine (Brun); lac de Genève (Brux in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 30). — — var. tenuis (W. Sm.) Grun.; BRUN, loc. cit., fig. 25. Assez répandue, marais, fossés (Brun). 41.— N. minutissima W. Sm.; Brun, loc: cit., p. 108, t.W, fig. 20. Très répandue, fossés, mousse humide (Brun). (134 y 12. — N. palea (Kütz.) W. Sm.; BRUN, Loc. cit., p. 108, t. V, fig. 21-22; De-Toni, Loc. cit., p. 540 ; BRÜCGER, loc. cit., p. 289 ; Perry, loc. cit., p. 201. Dita C. C. dans la plaine et les Alpes (Brun); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, pp. 19 et 30); Saint-Gothard, Grimsel, Guttannen, Lugano, lac de Zurich (Perty). 13.— N. parvala W, Sm.: Brun, doc. cit. p. 107, t. V, fig. 19: DE-Toni, loc. cit., p. 515. Marais de Divonne, Katzen See (Zurich); Roelbeau, Porte de Scex (Brun). 84. — N. perpusilla Rbh.; 7. Eur. Alg., V, p. 159; De-Toni, loc. cit., p. 45. « In stagnis Helvetiæ » (RABENH., loc. cit.). 45. — N. sigma (Kütz.) W. Sm.; BRüN, loc. cil., p. 105, t. V, fig. 24; De-Toni, loc. cit., p. 531. Grands marais de la plaine, fossés du bas Jura, Katzen See (Zurich) (Berne). — — var. curvula (Ebr.?) Brun; loc. cil., p. 105; DE-Tox1, loc. cit. Mélangée au type (Brun). — — var. subeapitata Rbh.; Brun, loc. cit.; DE-Toni, loc. cit. Mélangée au type (Brun). 16. — N. sigmoidea (Nitzsch) W. Sm.; BRUN, loc. cit., p. 104, t. V, fig. 23; DE-Toni, loc. cit., p. 528 ; PERTY, loc. cil., p. 200; BrüGGER, Bund. Alg., p. 281. C. dans les eaux de la plaine et de la région sous-mon- tagneuse (Brun) ; Alldas (entre Zurich et Affoltern) (CRAMER et BRÜGGER in W. et ScH., loc. cit., n° 129); Poschiavo See (Brügger); environs de Berne, lac de Neuchâtel, Lugano (Perty); Ermatingen (lac de Constance) (Forel); Stein (Schaffhouse) (v. Mandach). (152 ) 27. — N. sinuata (W. Sm.) Grun.; BRUN, loc. cil., p. 141, t. Il, fig. 32; De-Toni, Loc. cit., p. 519. A. C. dans les Alpes; R. dans les lacs et les marais de la plaine (Brun). 18. — N. tabellaria Grun.; BRUN, loc. cit., p. 114, t. LL, fig. 31; DE-Toni, loc. cit., p. 519. A. R. Zinal, Zermatt, col du Bonhomme, lac de Lucerne, Engstlenalp (Brun). — — var. capitata Brun; loc. cit., fig. 31a. Mélangée au type (Brun). 19. — N. thermalis (Ehr.) Auersw.; BRUN, loc. cit., p. 106, t. V, fig. 17; De-Toni, loc. cit., p. 512; Perry, loc. cit., p. 201. A. C. Marais, tourbières, fossés (Brun); Belp (Perty). DENTICULA Kütz. (1844). 4. — D. constrieta (Ehr.) Kütz.; Perry, loc. cit., p. 199; DE-Toni, loc. cit., p. 560. Berne, Oberalp, lac de Neuchâtel (Perty). 2. — D. crassula Näg.; in Kütz., Spec. Alg., p. 839; De-Toni, loc. cit., p.558; RaBen., Süssw. Diat., p 33: Brun, loc. cit., D'AMSNTAINEMES: « In Helvetia » (Näg.); R. Lac de Genève, aux Avants, lacs de Tanerz et du Mont Rion, lac des Morts à la Gemmi (Brun). 3. — D. elegans Kuütz.; BRUN, loc. cit., p. 114, t. I, fig: 37; DE-Toni, loc. cit., p. 557; PErty, loc. cit., p. 199. Cà et là, eaux alpines, R. en plaine (Brun); Riethauschen (Saint- Gall) (WarTuanx in W. et Scu., loc. cit., n° 196, et in Ragewu., Algen, n° 1081); Belp (Perty). 4. — D. frigida Kütz.; Brun, Loc. cit., p. 118, t. I, fig. 36; DEe-Toni, loc. cil., p. 559; RABENH., Suüssw. Dial., p. 33; Kürz., Bac., p. 43, et Spec., p- 11; Perry, loc. cil:,p°499° C. dans les lacs de la plaine et des Alpes jusqu’à 2,500 m. ( 133 ) (Brun) ; «in Bergwassern der Schweiz » (Rbh.); « in einer kalten Alpenquelle bei Thun » (Kütz.), Mammern (Thur- govie) (SCHENK in W. et WinrT., loc. cit., n° 842); lac de Zurich, Berne, Rosenlaui, Sanetsch, Saint-Gothard, Aarau (Perty). 5. — D. subtilissima Cramer; in W. et ScH., Loc. cit., n° 534, Entre Flawyl et Gossau (Saint-Gall) (Warru., loc. cit.) HANTZSCHIA Grun. (1880). #. — H. amphioxys (Ehr.) Grun.; BruN, loc. cit., p. 104, t. V, fig. 28; DE-Toni, loc. cit., p. 561; Perry, loc. cit., p. 198. C. Eaux stagnantes (Brun); Gumligermoos, Faulhorn, de Guttannen au Grimsel, Stockhorngipfel (Perty); Grin- delwald, Rosenlauigletscher, glacier du Rhône, Ewig- schneehorn, Mont Rosa (Ehrenb.). SURIRAYA Turp. (1828). ®. — S. alpina Perty; loc. cit., p. 200; DE-Toni, Loc. cit., p.598; BRÜGGER, loc. cit., p. 281. De Guttannen à Grimsel, Rosenlaui, Sanetsch, Trons (Perty). 2. — S. alpina Näg.; BrüGGER, Bund. Alg., p. 281. Entre Celerina et Statzer See (Brügger). Obs. — Si ces deux espèces sont à conserver, l’une d'elles doit naturellement changer de nom. #. — S. ambhigua Kütz.; Bac., p. 61; Spec., p. 35; RABENH., Süssw. Diat., p. 29. « In stehendem Wasser im Berner Oberlande bei Thun » (Kütz.). 4. — S. attenuata Näg.; in KüTz., Spec., p. 881. Helvetia (Näg.). (134 ) - 3. — S. hiseriata (Ehr.) Bréb.; Brun, loc.-cit., p. 99, t. II, fig. 3; €. IX, fig. 17; De-Toni, loc. cit., p. 567; PERTy, loc. eit., p. 201. HECREL Assez répandue en plaines et en montagnes (Brun); Berne, Guttannen, Grimsel, Todten See (Perty); lac de Genève (Forel). — — var. linearis W. Sm.; Brun, loc. cit., t. LU, fig. 9. A. C. Région sous-montagneuse (Brun). 6. — S. craticula Ehr.; Brun, loc. cit., t. VILL, fig. 30; DE-Tont, loc. cit., p. 598. | Roelbeau, Petit-Saconnex, Vallée de Sixt (Brun). 7. — S. gracilis Grun.; BRUN, loc. cit., p. 101, t. IV, fig. 29; cfr. DE-Toni, loc. cit., p. 598. Lac Léman à Morges (Forel); lac de Thoune (Spiess) (Brun). 8. — S. helvetica Brun; Loc. cit., p. 100, t. IE, fig. 4; t. IX, fig. 28; DE-Toni, loc. cit., p. 510; Brun in Diatomiste, t. I, pl. XIV, fig. 19 et 20. Saint-Luc, Ferpècle, Chanrion (Val de Bagues), Salvan et chute de la Salanche, Cantine de Proz (Grand Saint- Bernard), Haut Prarion, lacs de Genève et de Lucerne (Brun). 9. — S. norica Kütz.; BrüN, loc. cit., p. 101, t. [, fig. 16, 17; t. IX, fig. 30. Assez répandue, bas-fonds des lacs, marais (Brun). — — var. costata Brun; loc. cit., L. 1, fig. 16. Mélangée au type (Brun). 10. — S. ovalis Bréb.; RaBEenn., F1. Eur. Alg., 1, p. 51; De-Toni, Loc. cit., p. 519; Brun, loc. cit., p. 98, t. LE, fig. 6. A. R. Fossés, eaux peu profondes (Brun). (135) — — Var. angusta (Kütz.) Van Heurck; Brun, loc. cil., p. 100, t. IT, fig. 7; De-Tont, oc. cit., p. 580; PERTY, loc. eit., p. 201. À C. C. dans la plaine et les hautes vallées (Brun); près de Worb, Faulhorn, Mont Fibia (Perty). — — var. ovata (Kütz.) Van Heurck; Beuw, loc. cit.., p. 98, t. IL, fig. 2; De-Toni, loc. cit., p. 580. | Eaux vives et stagnantes de la plaine et jusque dans les hautes Alpes (Brun). — — var. minuta (Bréb.) Van Heurck; BRüN, loc. cit., fig. 1; De-Toni, loc. cit. ; PErTY, loc. cit., p. 201. C. C. (Brun); Gumligermoos, Sulgenbach, Simplon, Sanetsch (Perty). — — var. pinnata (W. Sm.) Van Heurck; Brun, Loc. cit., fig. 5; DE-Toni, loc. cit., p. 581. Assez fréquente (Brun). #4. — S. spiralis Kütz.; Brun, loc. cit., p. 109, t. I, fig. 45; DE-Toxt, loc. cit., p. 633. Assez répandue en montagne, R. en plaine (Brun); Bella Tola (Valais) (Brun in Bull. Soc. belge de microscopie, 1878, p. cLu). 412. — S. splendida (Ehr.) Kütz.; Brun, loc. cit., p. 99, t. LE, fig. 8, DE-Tonx, loc. cit., p. 511; Perry, loc. cit., p. 201; BRÜGGER, loc. cit., p. 281. Val de Travers (Mauler); Louèche, Porte de Scex, Stas Atzmoos (Brun); Berne (Perty); Poschiavo See (Brügger); Hirslandermühle (Zurich) (Crauer in W. et Scx., loc. cit., n° 131). 13. — S. striatula Turp.; Perry, Loc. cit., p. 201; De-Toni, loc. cit, p. 513. | Jardin botanique de Berne, Gumligermoos (Perty). (136 ) CYMATOPLEURA W. Sm. (1851). 2. --C. Brunit P. Petit: Brux in Diatomiste, 1. I, pl. XIV, fig. 24. R. Lac de Genève, lac Majeur (Brun). 2. — C. elliptica (Bréb.) W. Sm.; Brun, loc. cil., p. 96, t. I, fig. 8, t. IX, fig. 15, DE-Toni, Loc. cit., p. 598; Perry, K1. Lebensf., t. XVII, fig. 2 et 4B, pp. 200 et 201. A. R. Grands lacs, marais de la plaine (Brun); Berne (Perty); lacs Léman, de Neuchâtel ct de Constance (Forel) ; lac de Zurich (Imhof). — — var. ovata Grun.; Surirella ovum Näg., in Kürz., Spec. Alg., p. 889; DE-Toni, loc. cit., p. 599. « In Helvetia » (Näg.). — — var. constricta Grun.; BRUN, loc. cit., p. 97; De-Toni1, loc. cit., p. 599. Lac de Genève (Brun); lac de Neuchâtel (Mauler); lac de Zurich (Imhof). C. regula (Ehr.) Ralfs; Perry, loc. cit., p. 200 ; De-Toni, loc. cil., p. 600. Environs de Berne, lacs de Bienne et de Genève (Perty). 4. — €. solca (Bréb.) W. Sm.; Brun, loc. cit., p. 97, t. I, fig. 10; De-Toni, loc. cit., p. 599; Perry, loc. cit., p. 200. A. C. dans les eaux de la plaine (Brun); Alldas (entre Zurich et Affoltern) (Cramer et BrüeceR in W. et Scx., loc. eit., n° 499); Sanetsch, lacs de Zurich, de Brienz, de Neu- châtel et de Bienne (Perty); lacs Léman et de Constance (Forel); Stein (Schaffhouse) (v. Mandach). — — var. gracilis Grun.; Surirella heterocyma Näg., in Kürz., Spec. Alg., p. 889; De-Ton, loc. cit., p. 600. Helvetia (Näg.). — — var. apieulata Ralfs; Bkun, loc. cit., p.97, t. f, fig. 11. Mélangée au type (Brun). ( 437 ) CAMPYLODISCUS Ehr. (1840). 4. — C. hibernicus Ebr.; DE-Toni, loc. cit., p. 627; BRÜCGER, loc. cit., p. 280. Côté sud du Lukmanier (Tessin) (CRAMER in W. et SCH., loc. cit., n° 233); Le Prese près de Poschiavo (Brügger). CG. clypeus Ehr.?; DE-Toni, loc. cit., p. 615. Mont Rosa, Grossglockner (Ehrenb.). DIATOMA DC. (1803). £. — D. anceps (Ehr.) Kirchn.; BRüN, loc. cil., p. 115, t. AV, fig. 2, 6 et 7; DE-Toni, loc. cit., p. 637. Alpes et Jura, et çà et là dans la plaine (Brun). 2. — D. elongatum Ag.; Brun, loc. cit., p. 117, t. LV, fig. 16; DE-Toni, loc. cit., p. 636; Diatoma gracillimum Näg., in Kürz., Spec. Alg., p. 880; RABENH., Süssw. Diat., p. 35. « In Helvetia » (Näg.); Grandes eaux limpides (Brun); lac de Zurich (Hepp in RBH., Agen, n° 845, 704). — — var. mesoleptum (Kütz.) Grun.; BRUN, loc. cit., p. 118, t. IV, fig. 15; t. I, fig. 35c; Perry, loc. cit., p. 200. M. Brun ne donne pas de dispersion; Berne près de Selhofen (Perty). — — var. tenue (Ag.) Van Heurck; BRUN, loc. cil., p. 118, & IV, fig. 14, 15: t. ILL, fig. 35; De-Toni, Loc. cit., p. 636; Perry, loc. cit., p. 200; BRÜGGER, loc. cit., p. 278. A. C. dans la plaine et les montagnes (Brun); Berne, lacs de Brienz et de Neuchâtel, Saint-Gothard, Todten See (Perty); Laxer See (Brügger); Schaffhouse (ZELLER in ReH., Algen, n° 674). 3. — D. hiemale (Lyngb.) Heib.; BRuN, Loc. cit., p. 115, t. EV, fig. 2, 7; DE-Toni, loc. cit., p. 636; BRüGGER, loc. cit., p. 279. Espèce alpine et jurassique, abonde même jusqu’à 3,000 m. (€ 158 ) (Brun); Saint-Gothard, près de Lax (Brügger); près de Zermatt (Ehr.); lac Léman (Forel); Stein (Schaffhouse) (v. Mandach); Juliers (Grisons) (WarTmanx in W. et Scu., loc. cit., n° 338); Engelberg (Unterwalden) (CRAMER in RBH., Algen, n° 864) ; Mont Rosa (Ehrenb.). — — var. turgidulum (Ehr.) Grun.; BRun, loc. cit.; De-Tont, Loc. cit., p. 637; Kürz., Bac., p. 44; Spec., p. 12; Perry, loc. cit., p. 199; BrüGcen, loc. cit., p. 279. Mélangée au type (Brun); « in den herabfliessenden Gewässern des Rhonegletschers » (SHUTTLEWORTH in KüTz., loc. cit.). — — var. mesodon (Ebr.) Grun.; BRUN, loc. cit. ; DE-Ton, loc. cit.; Brüecer, loc. cit., p. 280; PErTy, Loc. cit., pt00! Mélangée au type (Brun); col de la Bernina (BRÜGGER in W. et Scn., loc. cit., n° 340); Kaltbrun près Samaden (Alpes rhétiques), Haute-Engadine (W. et ScH., loc. cit., n° 449); Saint-Gothard (Perty); Lax (Brügger); Guttaunen à Grimsel, Todten See, Sidelhorn, Faulhorn, Saint-Got- hard, Simplon, Oberalp (Perty); Saint-Gall (WARTMANN in RBu., Agen, n° 1084); Liestal (Herr in RBH., Algen, n° 703); Haudeck, Berne, Saint-Gothard, lac de Zurich (Perty) ; glacier du Rhône (Shuttleworth). 4. — D. pectinale Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 638. Dans l’Aar, Guttannen, Grimsel (Perty). 3. — D. vulgare Bory; BRUN, loc. cit., p. 116, t. IV, fig. 13; DE>Tont, loc. cit, p. 635; PERTY, L06- cit, pe 199: C. Lacs, fleuves, étangs (Brun); Gräppelen See (ASPER et HEUSCHER in Sf. Gall. nat. Gesellsch., 1887-88) ; lac de Genève (Brun, Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 30); Stein (Schaffhouse) (v. Mandach); Aarau, Lugano, Saint- Gothard, Sanetsch, Simplon, Weissenburg (Perty) ; lac de Zurich (Imhof). ( 139 ) — — var. Ehrenhergii (Kuütz.) Grun.; BRUN, Loc. cit, p. 117, t. IV, fig. 18; De-Tont, loc. eit., p. 635; Perry, loc. cit., p. 200. A. R. Lacs, fleuves, étangs (Brun); Simplon (Perty) ; Genève (Müller); entre Horn et Rorschach (lac de Con- stance, Suisse) (WarTMaANN in W. et Sc, loc. cit., n° 198 a et b); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, loc. cit.) ; lac de Zurich (Imhof). — — var. grande (W. Sm.) Grun.; BRUN, Loc. cit., DT Abonde dans l’Aar, la Reuss, le Rhône et les grands lacs (Brun). | MERIDION Ag. (1824). f. — M. circulare (Grev.) Ag.; Brun, loc. cit., p. 198, t. IX, fig. 11; De-Toni, loc. cit., p. 642 ; Perry, loc. cit., p. 199. C. Fossés, sources, filets d’eau (Brun); Kaltbrun près de Samaden (Alpes rhétiques, Haute-Engadine)(W. et Scx., loc. eit., n° 449); col de la Bernina (BrücGer in W. et Sc., loc. cit., n° 340); Laxer See, La Rosa (Bernina) (Brügger) ; Berne, Simplon, Sanetsch, Faulhorn, Grimsel, Sidelhorn, Weissenburg (Perty); Saint-Gall(Wanrrmanx in Ren., Agen, n° 1084); Ewigschneehorn (Ehr.). — — var. Zinckeni (Kütz.) Grun.; BRUN, loc. cit. ; DE-Toni, loc. cit., p. 603. Rare (Brun). 2. — M. constrictum Ralfs;, BRUN, loc. cit., p. 128, 1. IX, fig. 12; DE-Toni, loc. cit., p. 643. Fossés, ruisseaux. A. R. surtout dans le calcaire (Brun). (.440 ) ODONTIDIUM Kütz. (1844). 4. — ©. Harrisonil W. Sm.; BRUN, loc. cit., p. 119, t. IV, tig. 11; DE-Tont, loc. cit., p. 639; BrüGcer, loc. cit., p. 279. R. en plaine, fréquente dans la région alpine jusqu’à 2,500 mètres (Brun); côté sud du Lukmanier (Tessin) (CraER in W. et Scu., loc. cit., n° 233); Laxer See (Brüg.). — — var. mênéimuem Rbh.; F1. Eur. Alg., L, p. 119; De-Toni, loc. cil., p. 640; Kürz., Spec., p. 889. Helvetia (Näg.). 2. — ©. mutahile W. Sm.; DE-Toni, loc. cit., p. 639; Brun, loc. cit, p. 119, t. IV, fig. 8; Kürz., Bac., p. 45; Spec., p. 13. Freiberg (Kuütz.); très répandue, plaine et hautes val- lées (Brun); ? Grossglockner (Ehr.). SYNEDRA Ehr. (1830). 4. — S. acus Kütz.; Brun, loc. cit., p. 124, t. V, fig. 9; DE-Toni, loc. cit., p. 656; PERTY, loc. cil., p. 201; BRÜGGER, loc. cil., p. 281. C. en plaine et en montagne (Brun); environs de Berne, Solothurn, Aarau, Rorschach, Weissenstein, Lausanne, lac de Zurich (Perty); entre Samaden et Bevers (Brügger); lac Léman (Forel); Zurichhorn (WarTmanx in Reu., Agen, n° 693). var. subtilis (Kütz.) Brun; loc. cit., fig. 11. R. dans les mêmes endroits que le type (Brun). 2. — ? S. affinis Kütz. ; DE-Toni, loc. cit., p. 661; BRüN, loc. cit, p. 124, t. V, fig. 7. Lac de Zurich (Imhof); très répandue en plaine et en montagne (Brun); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 30). ( 141 ) 3. S. amphicephala Kütz.; Bac., p.64; DE-Toni, loc. GE p- 660; PErrTy, loc. cit., p. 201. « Bei Thun » (Kütz.); environs de Berne, Sanetsch (Pertv). | 4. — S. hiceps W. Sm.; Brun, loc. cit., p. 123, t. V, fig. 10. R.R. Une seule fois au marais de la porte de Scex (Brun). 3. — S. biceps Kütz.; RABENH., Süssw. Diat., p. 55. « Schweiz ». — — var. recta Kütz.; WaRTuANx et SCHENK, loc. cit., n° 2%6, 233, 334 et 341; vide DE-Tonr, loc. cit., p. 672; Brüecer, loc. cit., p. 282; PEnry, loc. cit., p. 202. Berne (Perty);, Samaden, La Rosa (Bernina) (Brügger); Saint-Gall (Warruaxx, loc. cil., n° 334); entre Rorschach et Horn (lac de Constance, Suisse) (WaRTMANN, loc. cil., n° 341); Hirslanden près de Zurich (CRauER in W. et Scu., loc. cit., n° 26); côté sud du Lukmanier (Tessin) (CRAMER in W. et ScH., loc. cit., n° 933). 6. — S. capitata Ebr.; Brun, loc. cit., p. 126, t. V, fig. 8; DE-Toni, loc. cil., p. 659; Perry, loc. cil., p. 202. A. C. Eaux stagnantes, marais de la plaine (Brun); Berne, Solothurn, Oberstocken See (Perty); Moosseedort See (Steck). ® 7. — S. Ehrenbergii Kütz.; PERTY, loc. cit., p. 202; De-Ton, loc. cit., p. 668. Gumligermoos (Perty). 8. — S. fameliea Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 660 ; Perry, loc. cil., p. 660. Jardin botanique de Berne, Belp, Simplon (Perty). — — var. capitata Näg.; in Kürz., Spec., p. 890. Helvetia (Näg.). 9. — S. pulchella (Ralfs) Kütz.; Perry, loc. cit., p. 202; De-Toni, loc. cit., p. 651. Environs de Berne (Perty). 10. 12. 13. 14. 15. (142) — S. pusilla Kütz.; PERTy, loc. cit., p. 2014 ; De-Tont, loc. cit., p. 668. Stettlen, Berne (Perty). — S. minutissima W. Sm.; DE-Toni, loc. cit., p. 652. Helvetia (?). — S. multifasciata Kütz.; Perry, loc. cit, p. 201. Lac de Morat, Grimsel (Perty). — S. radians Kütz.; BRUN, loc. cil., p. 124, t. V, fig. 6; DE-Toni, loc. cit., p. 657. À. R. Eaux stagnantes de la plaine (Brun). — S. subcapitata Wartm. et Sch.; loc. cit., n° 334; DE-Toni, Loc. cit., p. 670. Saint-Gall (WARTMANN, loc. cil.). — S. Ulna (Nitzsch) Ehr.; Brun, Loc. cit., p. 195, t. VE, fig. 20 et 24; De-Toni, loc. cit., p. 653; Perry, loc. cit., p.201. C. Eaux vives et stagnantes jusqu’à 2,000 mètres (Brun); Schatfhouse (ZELLER in RB., Algen, n° 674); près de Vogelinsegg (Appenzell) (WarTuanx in W. et Scu., loc. cit., n° 333); « durch die ganze Schweiz », Saint-Gothard, Grimsel (Perty); Zurich (Früh). — — var. splendens (Kütz.) Brun; Loc. cil., p. 126, t. NV, fig. 1; De-Toni, loc. cit. Commune, avec le type (Brun); Saint-Gall (WARTMANN in Ren., Algen, n° 1082). — — var. longissima (W. Sm.) Brun; loc. cit., fig. 8; De-Toni, loc. cit. Lac de Zurich (Imhof); R. eaux vives et stagnantes (Brun); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Suisse, 1884, p. 30). — — var. amphirhynchus (Ehr.) Grun.; Brun, loc. cit., t. IN, fig. 25; DE-Toni, loc. cit. C. comme le type (Brun). (445) — — var. æqualis Brun; loc. cit., t. V, fig. 2 et 3; Penry, Loc. cit., p. 201. C. Eaux stagnantes (Brun); Belp, lac de Bienne, Faul- horn (Perty). — — var. oxyrhynchus (Kütz.) Van Heurck; Brun, loc. cit., p. 195, t. IV, fig. 26; Perry, loc. cil., p. 201. R. Çà et là dans les eaux courantes, stagnantes, lacs (Brun) ; environs de Berne (Perty). 16. — S. Vaucheriæ Kütz.; BRUN, loc. cit., p. 198, 1. V, fig. 4; DE-Toni, loc. cit., p. 652; Perry, loc. cit., p. 201. C. C. Eaux stagnantes de la plaine (Brun); Berne (Perty). — — var. parvula (Kütz.) Rbh.; Brun, loc. cit., fig. 5; DE-Toni, loc. cit., p. 653 ; PERTY, Loc. cit. Mélangée au type (Brun); environs de Berne, lac de Zurich, près de Rorschach, Saint-Gothard, Sanetsch (Perty). — — var. fascieulata (Kütz.) Brun; loc. cit., p. 123. Mélée au type (Brun). 45. — S. Wartmanni Cramer; in WARTM. et SCHENK, Loc. cil., n° 335; DE-Tont, loc. cit., p. 670. Saint-Gall (WaRTMANN, loc. cit.). ASTERIONELLA Hass. (1855). 1. — A. formosa Hass.; Brun, loc. cit., p. 127, t. I, fig. 12; DE-Toni, loc. cit., p. 678. Laucet (Val de Bagnes), Zinal, çà et là dans le lac de Genève (au Boveret, à Crevin-sous-Salève) (Brun); Gräp- pelen See (AsPer et HEUSCHER in Ber. über die Thätigk. der St. Gall. naturw. Gesellsch., 1887-1888); lac de Genève (Forel); Oberer, Unterer und Mittlerer Murg See (AsPER et Heuscaer in St. Gall. naturw. Gesellsch., 1884-1885, p. 187); lac de Zurich (Imaor in MNotarisia, 1890, p. 999); Moosseedorf See (Steck). ( 144 ) FRAGILARIA Lyngb. (1819). 1. — F. capucina Desmaz.; BRüN, loc. cil., p. 120, t. IV, fig. 1; DE-Toni, loc. cit., p. 688; BRÜGGER, loc. cit., p. 278; PERTY, Loc Cp A99! C. dans toutes les eaux (Brun); Burg près de Saint-Gall (WarTMaNN in W. et Scn., loc. cit., n° 197), entre Horn et Rorschach (lac de Constance, Suisse) (WaRTManN in W. et Scu., loc. cil., n° 341); Amden (Wallen See) (Brügger) ; glacier du Rhône, Rosenlauigletscher, Mont Rosa (Ehr.); « durch die ganze Schweiz » (Perty); Stein (Schaffhouse) (v. Mandach). — — var. mesolepta Rbh.; Braun, loc. cit., p. 121, t. IV, fig. 1b; DE-Ton, Loc. cut. C. Mélangée au type (Brun). 2. F. construens (Ehr.) Grun.; Brun, loc. cit., p. 120, t. IV, tig. 9; DE-Toni, loc. cit., p. 688. R. Porte de Scex, Hahnemoos de la Lenck, marais de Divonne (Brun). — — var. binodis (Ebr.) Grun.; Brun, loc. cit., fig. 10; De-Toni, loc. cit.; BRüGGER, loc. cit., p. 2178. R. Eaux stagnantes et vaseuses (Brun); côté sud du Lukmanier (Tessin) (CramERr in W.et Scn., loc. cit., n° 233); Puschlaver See (Brügger). 3. — F. crotonensis (Edw.) Kitt.; Brun, loc. cit., p. 109, t. V, fig. 30; t. IX, fig. 27, De-Tont, loc. cit., p. 683. Cà et 1à, lac de Genève (Brun); lac de Zurich {Imhof). 4. — F. virescens Ralfs; Brun, loc. cit., p. 121, €. IV, fig. 12; DE-Toni, loc. cit., p. 681. R. dans la plaine et le Jura, assez fréquent dans les val- lées granitiques des Alpes (Brun); lac Léman, Ermatingen (lac de Constance) (Forel); Stein (Schaffhouse) (v. Man- dach). CROST Tr Nr PTE Le ( 145 ) DIATOMELLA Grev. (1855). 1. — D. Balfouriama Grev.; BRüN, loc. ct., p. 129, t. IX, fig. 18; De-Tont, Loc. cit. Engstlenalp (Mauler) ; Belalp, lac de Sils (Brun). TABELLARIA Ehr. (1839). #1. — T. fenestrata (Lyngb.) Kütz.; BRüN, loc. cit., p. 180, t. IX, fig. 13; De-Toni, loc. cit., p. 748; BrüGGcER, loc. cit., p. 289; Perry, loc. cit., p. 206. A. R. Lacs de la plaine, ruisseaux des lacs alpins (Brun); Katzen See (CRAMER et BRÜGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 136); Statzer See (Brügger); Guttannen, Lugano, lacs de Genève et de Zurich (Perty). 2. — #. floceulosa (Roth) Kütz.; BrüN, loc. cit., p. 180, t. IX, fig. 14; DE-Toni, loc. cit., p. 144; BRüÜGGER, loc. cit., p. 289; PERTY, loc. cit., p. 206. Assez fréquente, lacs de la plaine, marais, lacs alpins (Brun); Greiffen See près de Fallanden (Zurich) (BRÜGGER in W. et Scx., loc. cit., n° 339); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 30); Lax (Brügger); « durch die ganze Schweiz » (Perty); lac de Zurich (Iuaor in Notarisia, 1890, p. 999). — — var. ventricosa (Kütz.) Grun.; loc. cit., p. 130; DE-Toni, Loc. cit. Mélangée au type (Brun). — — Var. ambigua Brügger, Bund. Alg., p. 289: DE-Toni, loc. cit. Entre Celerina et la Statzer See (Haute-Engadine, Alpes rhétiques) (Brüccer in W. t ScH., loc. cit., n° 339). 10 ( 146 ) TETRACYCLUS Ralfs (1843). 4. — T. rupestris (Braun) Grun.; Brun, loc. cit., p. 181, t. IF, fig. 335; DE-Toni, loc. ci, p. 746. R. Engslenalp, Ferpècle, col de Voza (Brun). 2. — T. laeustris Ralfs; Brun, loc. cit., p. 131, t. VII, fig. 27; DE-Toni, loc. cil., p. 147. Saas im Grund, Ferpècle, Zinal, cantine de Proz (Grand Saint-Bernard). CYSTOPLEURA Bréb. (1849). 4. — €. Argus (Ebr.) Kunze; BRüN, loc. cit., p. 46, t. IL, fig. 40; DE-Toxt, loc. cit., p. 782. Eaux stagnantes de la plaine et des montagnes calcaires (Brun); Grandson (lac de Neuchâtel) (Früh); Mont Rosa, Rosenlauigletscher (Ehr.). — — var. Kongicornis (Ebr.) Grun.; Epithemia reti- culata Näg., in KürTz., Spec. Alg., p. 889; De-Toni, loc. cit., D. 183; PERRY, OC. 1Cit.,1p- 198: VKÜTZ-, PUCES fig. xvI. « In Helvetia » (Näg.); Simplon, Sanetsch, Murten See (Perty); « in stehenden Quellwassern des Berner Ober- landes, bei Thun » (Kütz.). — — var. alpestris (W. Sm.) Grun.; BRUN, loc. cit., p. 46, t. IL, fig. 11; DE-Toni, loc. cit., p. 783. Fréquente dans la plaine et les montagnes calcaires (Brun); Bella Tola (Valais) (Brun in Bull. Soc. belge de microscopie, 1818, p. CL). 2. — C. gibha (Ehr.) Kunze; Brun, loc. cit., p. 44, t. I, fig. 14; t. VI, fig. 7; De-Tonr, loc. cit., p. 180. C. dans la plaine et dans les Alpes jusqu’à 3,000 mètres (Brun); près de Saint-Gall (WarrTmanx in W. et Scx., loc. ( 147 ) cit., n° 331); « durch die ganze Schweiz » (Perty); Mont Rosa (Ehrenb.); près de Sierre (glacier du Rhône) (BRUN in Bull. Soc. belge de microscopie, 1878, p. cin). - — — var. Westermannii (Ehr.) Grun.; PERTY, loc. cit., p. 198; De-Toni, loc. cit., p. 118. « Bern, Reichenbach, auf dem Plateau des Belpberges, Lugano » (Perty). — — var. vertagus (Kütz.) Grun.; Perry, Loc. cit., p. 198; DE-Toni, loc. cit., p. 7119. Stettlen, Walperswyl, Lugano (Perty). — — var. parallela Grun.; DE-Toni, loc. cil., p. 180. Cà et là, mêlée au type (Brun). — — var. ventricosa (Ehr.) Grunr.; BRuN, loc. cit., p. 45, t. IL, fig. 15; De-Toxi, loc. cit., p. 181; BRÜGGER, loc. EU ND. 210: À. R. dans la plaine et les Alpes jusqu’à 3,000 mètres (Brun); Flimser Cauma See (Alpes rhétiques) (BRÜGGER in W. et Scn., loc. cit., n° 343). 3. — C. gibherula (Ehr.) Kunze; DE-Toni, loc. cil., p. 186. Rosenlauigletscher (Ehrenb.). 4. — ©. ocellata Bréb.; Brun, loc. cit., p. ÆT, t. Il, fig. 12; DE-Toni, loc. cit., p. 733. A. R. Plaine et montagnes (Brun). 5. — C. sorex (Kütz.) Kunze; BRrüN, loc. cit., p. 44, t. IL, fig. 18; DE-Toxi, loc. ci., p. 180. Eaux vives de la plaine et jusque dans la région alpine (Brun). 6. — €. turgida (Ehr.) Kunze; Brun, loc. cil., p. 43, t. I, fig. 17; DE-Toni, loc. cit., p. 111; BRÜGGER, loc. CU DAATIO PerTy, loc. cit., p. 198. C. C. Eaux stagnantes de la plaine et des Alpes (Brun); près de Sierre (glacier du Rhône) (Brun in Bull. Soc. belge (148) de microscopie, 1878, p. czu); Flimser Cauma See (Alpes rhétiques) (BRÜGGER in W. et Sc., loc. cil., n° 343); Stett- len, Lugano (Pertv); près de Saint-Gall (WarrmaNN in W. et ScH., loc. cit., n° 802). — — var. granualata (Ebr.) Brun; loc. cit., p. 44, t. LL, fig. 43 ; De-Tonxi, loc. cit, p. 718; Perry, loc. cit., p. 198. A. R. Mêmes localités que le type (Brun); lac de Genève (Perty); Saint-Gall (Warruanx in RBu., Algen, n° 1088). — — var.? zebwima (Ehbr.) Rbh.; De-Tonr, loc. cil., DOS Mont Rosa, glacier du Rhône (Ehrenb.). 7. — ©. zebra (Ehr.) Kunze; Brun, loc. cit., p. 45, t. IL, fig. 16; LOUIX, fie. 22: DE-Tonr, loc. Gil 1p. ASA "PERD NON p:105: C. en plaine, R. en montagne (Brun); côté sud du Luk- manier (Tessin) (CRraMER in W. et Scu., loc. cil., n° 233); Guttannen, Grimsel, Sidelhorn, Gerzen See, Solothurn, Simplon, Lugano, Saint-Gall, environs de Berne (Perty); Mont Rosa (Ehrenb.). — — var. intermedia Wartmann. Saint-Gall (Warrmanx in RBu., Algen, n° 1089). — — var. rhætica Brügger; Bund. Alg., p. 216. Statzer See (Brügger). — — var. saxoniea (Kütz.) Grun.; DE-Toni, loc. cit., p. 784. Lac Léman (Forel). Epithemia reeta Cramer; in WarrmM. et ScH., loc. cit., HPISS Près de Saint-Gall (WaRTMANN, loc. cit.). (149) EUNOTIA Ehr. (1837). 4. — Æ. alpina Kütz.; DE-Toni, Loc. cit., p.197; RABENH., Süssw. Dial tp A6 KGIz, Bac p 30 Spec- D: 0: « In den Alpen der Schweiz » (Rbh.); « in stehenden Alpengewässern des Berner Oberlandes » (Kütz.). 2. — E. arcus Ehr.; BRüN, loc. cit., p. 48, t. IL, fig. 20; DE-Toni, loc. cit., p. 190; BRÜGGER, loc. cit., p. 275; PERTY, loc. cit., p. 199. C. C. Eaux calcaires de la plaine et du Jura (Brun); Rosenlauigletscher, glacier du Rhône (Ebhrenb.); Simplon, Faulhorn, Rosenlaui, Grimsel, Saint-Gothard, Lugano (Perty); lac de Neuchâtel (Forel); Stein (Schaffhouse) (v. Mandach). — — var. eurtum Brun; loc. cit., p. 48. Assez fréquente dans les étangs et tourbières du Jura (Brun). 3. — E. hidens W. Sm. et Greg.; Bron, loc. cit., p. 50, t. II, fig. 21. Lacs de Genève et du Mont Rion (Brun). 4. —Æ. Diodon Ehr.; Brun, loc. cit., p. 50, t. IX, fig. 21; DE- Toni, loc. cit., p. 799. R. Lacs de la plaine et des Alpes, mêlée à E. bidens (Brun); Mont Rosa (Ehrenb.). 5. — E. gracilis (Ehr.) Rbh.; Brun, loc. cit., p.48, t. Il, fig. 24; De-Toni, Loc. cit., p. 191; PERTY, loc. cit., p. 198. Belalp (Brun); Grimsel (Perty). 6. — E. major (W. Sm.) Rbh.; Brun, loc. cit., p. 48, t. L, fig. 26; DE-Toni, loc. cit., p. 191. C. en montagne, R. en plaine (Brun). LE S. 9. 10. A1. fe. (150 ) — E. pectinalis (Dillw.) Rbh.; Brun, loc. cit., p. 49, t. I, fig. 22; De-Toni, loc. cit., p. 193; PERTyY, loc. cit., p. 198. C. Eaux siliceuses des Alpes, mollasses et aluvions de la plaine, R. dans le Jura (Brun); côté sud du Lukmanier (Tessin) (Cramer in W. et Sc., loc. cit., n° 233); Gum- ligermoos (Perty); Grandson (lac de Neuchâtel) (Fruh). — — var. minus (Kütz.) Brun; loc. cit., p. 49, t. LU, HEOE Cà et là, quelquefois abondamment mêlée au type (Brun). — — var. undulatum Brun; loc. cit., p. 49, t. LI, he 29 et Nine T9 Bonneville, Samoens, Toggenboursg, lac de Zoug (Brun). — E. polydentula Brun, loc. cit., p. 51, t. IF, fig. 27. La Noville, Montreux, au Moléson, Les Verrières (Brun). — Æ. robusta Ralfs; BRuN, loc. cit., p. 50, t. IL, fig. 20 ; DE-Tont, loc. cit., p. 802. Assez fréquent dans le Jura; R. dans les Alpes, Haut Prarion, Belalp, Hahnemoos de la Lenk, Engslenalp, Alpe Clenson (Brun). — Æ, Solcirolii (Kütz.) Rbh.; BRUN, loc. cit., p. 49, t. IF, to29; DE-LON, /06- cit pp. 193: Roelbeau, Saint-Cergues (Jura) (Brun). E. éridentula Ehr.; DE-Toni, loc. cit., p. 801. « Helvetia » (sec. DE-Tont, loc. cüt.). Æ. Triodon Ehr.; DE-Toni, loc. cit., p. 801 ; PERTY, Loc. cit., p. 198. Hospice du Grimsel, Todten See (Perty). Himantidium (Halcyonellæ) Perty; RABENx., Süssw. Dia pe 0 « In Halcyonella in der Schweiz ». (451) PSEUDOEUNOTIA Grun. (1865). 4. — P. alpina (Näg.) Grun.; DE-Toni, loc. cit., p. 808; RBH., Süssw. Diat., p. 54; Kürz., Spec., p. 843. « In aquis dulcibus Helvetiæ » (Näg.); entre Celerina et la Statzer See (Haute-Engadine, Alpes rhétiques) (BRüc- GER in W. et Scx., loc. cit., n° 339). 2. — P. arcuta (Näg.) Grun.; Synedra arcuata Näg., in Kürz., Spec. Alqg., p. 890; De-Tont, loc. cit., p. 809; RaBenx., Süssw. Diat., p. 54. « In Helvetia » (Näg.). 3. — P. Ilunaris (Ehr.) Grun.; BrüN, Loc. cil., t. IV, fig. 22; De-Toni, loc. cit., p. 808; Perry, loc. cit., p. 201. A. C. jusqu’à 2,500 mètres (Brun), Berne, Saint-Got- hard, Lugano (Perty). — — var. bilwmarës (Ehr.) Grun.; BRuN, loc. cit., fig. 23; DE-Tonr, loc. cit. Mélangée au type (Brun). 4. — P. subarcuata (Näg.) Grun.; Synedra subarcuata Näg., in Kürz., Spec. Algq., p. 43; RABExK., loc. cit. « In aquis dulcibus Helvetiæ » (Näg.). CERATONEIS Ehr. (1840). 4. — C. areus (Ehr.) Kütz.; Perry, K/. Lebensf., p. 205, t. XVIT, fig. 13; DE-Tont, loc. cit., p. 814; Brun, loc. cit., p. 59, t. I, hs. 22; PErty, loc. cit., p. 205; BRÜGGER, loc. cit, p. 286; Brun in Diatomiste, t. LE, pl. XIV, fig. 34 et 35. R. dans la plaine et le Jura, C. dans les Alpes jusqu'aux plus hauts sommets (Brun); entre Samaden et Bevers (Haute-Engadine) (BrücGEr in W. et Scx., loc. cit., n° 344); Simplon, Guttannen à Grimsel, Faulhorn, Saint-Gothard, Bolligen, Gemmi (Perty); La Rosa (Bernina) (Brügger). (152) Éd RE — — var. amphioxys (Rbh.) Brun; loc. cit., p. 592, t. LL, fig. 28; DE-Toni, Loc. cit., p. 814. Plus rare que le type (Atzmoos, Ferpècle, Arolla, aux Avents (Brun). — — var. Iævis Wartm. et Sch.; loc. cit., n° 814. Juliers (Warrmann, loc. cit.); col de la Bernina (BRÜGGER in W. et Scu., loc. cit., n° 340). RHIZOSOLENIA Ehr. (1843). 1. — R. eriensis Smith Î{. genevensis Brun; in Diatomiste, pl XIV, 8191-25; Lac de Côme (Barbô); lac de Genève (Brun). PYXIDICULA Ebr. (1833). F 4 1. — À. Nægelii Kütz.; Spec. Alg., p. 889: De-Tonr, loc. cit., | p. 1149. 4 « In Helvetia » (Näg.). e ACTINOCYCLUS Ehr. (1837). ÿ 4. — A. helveticus Brun; in Diatomiste, t. Il, pl. XIV, : fig. 13-16. Eaux tranquilles du Jura-Travers (Mauler). ; LYSIGONICM Link (1820). 41. — ? L. Juergensii (Ag.) Trev.; BRUN, loc. cit., p. 135; DE-Toni, loc. cit., p. 1330. A. R., dans la plaine, le Jura et les Alpes (Brun). 2. — EL. varians (Ag.) De-Toni; loc. cit., p. 1329; Brun, loc. CD AO PA MIS ME NPERTY OC CU: pp 200: C. dans la plaine, le Jura et les Alpes (Brun); près de Hirslanden (Zurich) (CRrAMER in W. et ScH., loc. cit., n° 232); Berne, Stettlen, Wallis, Lugano, Stockhorn (Perty); Grandson (lac de Neuchâtel) (Früh). UD S 0) MELOSIRA Ag. (1824). 4. — M. arenaria Moore; Brun, loc. cit., p. 136, t. I, fig. 2; DE-Toni, loc. cit., p. 1338; Perry, loc. cit., p. 200. A. R. Source des Avants, pied du Salève, forêt de Fang à Saint-Luc (Brun); Sulgenbach, Simplon (Perty); Bella Tola (Valais) (Brun in Bull. Soc. belge de microscopie, 1878, p. OLIt). 2. — M. catenata Brun, in Diatomiste, t. IT, pl. XIV, fig. 11 et 12. Lac de Genève (Brun). M. crenulata (Ehr.) Kütz.; De-Tonr, loc. cit., p. 1334; BRüN, loc. cit., p. 137; PERTY, loc. cit., p. 200. Thoune (Engelberg) (Brun); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 38); Berne, Gumligermoos, Rosenlaui (Perty); ? Mont Rosa (Ehrenb.). 3. — — var. Binderiana (Kütz.) Grun.; PERTY, loc. cit., p. 200; DE-Toni, loc. cit. Rosenlaui (Perty). var. Iævis (Ehr.) Grun.; DE-Toni, loc. cit. Mont Rosa, Rosenlauigletscher, Grossglockner, glacier du Rhône, Grindelwald (Ehrenb.). 4. — M. decussata (Ehbr.) Kütz.; De-Tont, loc. cit., p. 1344. Mont Rosa (Ehrenb.). 5. — M. distans (Ehr.) Kütz.; Brun, loc. cit., p. 135, t. E, fig. 3; De-Toni, loc. cit., p. 1333; Perry, loc. cit., p. 200. R. R. en plaine (Brun); Ober Kandersteg, Todten See (Perty);, Mont Rosa, Rosenlauigletscher (Ehrenb.). — — var. mâivalis (W. Sm.) Brun; loc. cit., fig. 4; DE-Toni, Loc. cit. Assez fréquente dans les hautes Alpes jusqu’à 3,000 m. (Brun). (154) 6. — M grauulata (Ebr.) Ralfs; Brun, loc. cit., p. 137, t. IX, fig. 25; DE-Toni, loc. cit., p. 1334. Ferpècle, Grimsel, Furca, Haut Prarion (Brun); Mont Rosa, Grossglockner, Rosenlauigletscher, glacier du Rhône, Ewigschneehorn, Grindelwald (Ehrenb.). 7. — M. orichalcea (Mert.) Kütz.; Brun, loc. cit., p. 187, t. I, fig. 9; t. IX, fig. 24; DE-Toni, loc. cit., p. 1349; Perry, oc. cit., p. 200. Zinal, Saint-Cergues (Jura), lac de Nantua (Brun); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 30); Berne (Perty). S. — M. Ræœseana Rbh.; Brun, Loc. cit., p. 136, t. I, fig. 5; DE-Toxi, Loc. cit., p. 1337. Praz-Rion de Bagnes, Allée Blanche, Saint-Maurice (Brun). CYCLOTELLA Kütz. (1833). 4. — €. comta Ehr. var. comensis Brun; in Buil. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 27. Lac de Genève (Brun, Forel). 2. — ©. KMuetzingiana Thw.; Brun, loc. cit., p. 139, t. I, fig. 13; DE-Toni, loc. cit., p. 1358. C. C. dans les eaux de la plaine et des lacs alpins jus- qu’à 2,500 mètres (Brun); Zurich (Früx in St. Gall. naturw. Geselisch., 1884-1885, p. 166); près de Sierre (glacier du Rhône) {Brun in Bull. Soc. belye de microscopie, 1818, P. CLI). 3. — C. Meneghiniana Kütz.; DE-Toni, loc. cit., p. 1354; BruN, loc. cil., p. 1834; BRÜGGER, loc. cil., p. 281; PERTy, Loc. cit., p. 200. Dans les eaux de la plaine et des lacs alpins (Brun); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 30); Rosenlaui (Perty); près de Samaden (Brügger). CR CE RE de de ES CE ce SC RS de dt de er Nos, 7! 2 GEAR LS VIE (155) 4. — ©. operculata (Ag.) Kütz.; Brun, loc. cit., p. 139, t. I, fig. 14, De-Tonr, loc. cit., p. 1354; Kürz., Bac., p. 50; Perry, loc. cit., p. 200; BRÜGGER, loc. cit., p. 280. A. C. Lacs, ruisseaux, marais, jusque 1,500 mètres (Brun), Zurich (Früh) ; Thoune (Kütz.); Saint-Gall(WarTm. in W. et Scx., loc. cil., n° 334); Zweibrücker Tobel (Saint- Gall) (Warrtuanx in W. et Scx., loc. cit., n° 130); côté sud du Lukmanier (Tessin) (Cramer in W. et Scn., loc. cit., n° 233); Mammern (Thurgovie) (ScHenk in W. et Scu., loc. cit., n° 842); lac Léman, Ermatingen (lac de Constance), lacs de Neuchâtel et de Zurich (Forel) ; Casaccia (Lukmanier) (Cramer); Laxer See (Brügger); lac de Zurich, Faulhorn, environs de Berne (Perty). Deere antiqua Brun; loc. cit., p. 138, t. I fig. 14n; DE-Toni, Loc. cit. 3 Lacs de Genève et de Lucerne (Brun). — — var. minutula (Kütz.) Brun; Loc. cit., fig. 7; DE-Toni, loc. cit. Marais de Roelbeau, de Divonne et de la Porte de Scex (Brun); lac de Genève (Brun in Bull. Soc. bot. de Genève, 1884, p. 30). 5. — ©. helvetiea Kübler; in Forez, Faune profonde du Léman (Buzc. Soc. vaup. DE sc. NAT., t. XIII, 1874-75). Lac de Constance, Ermatingen (lac de Constance) (Forel). EUGLENA Ehr. (1). fl. — HE. acus Ehr.; Perry, loc. cil., p. 166. Berne, Landeron, Kandersteg, Wallis (Perty). (1) Nous avons réuni, à partir de ce genre jusqu’au genre Hydrurus, des organismes inférieurs dont la place n’est pas encore complètement déter- minée dans la classification. Plusieurs d’entre eux sont rangés par les auteurs dans le groupe des Phéophycées. Nous n’aurons certainement pas relevées toutes les espèces signalées en Suisse, il nous eut, pour cela, fallu consulter ( 156 ) 2. — E. deses Ehr.; PERTy, loc. cit., p. 161. Berne, Thun, Walkringen, lac de Neuchâtel, Grimsel, Bättenalp (Perty). 3. — E. geniculata Duj.; Perry, loc. cit., p. 167. Stockhorn (Perty). 4. — E. mucronata Perty; loc. cit., p. 167. Louèche, Gumligermoos (Perty). 5%. — E. sanguinea Ehr.; Perry, loc. cit., p. 167. Berne, Saint-Gothard (Perty). 6. — E. Spirogyra Ebr.; PERTY, loc. cit., p. 161. Berne, Lugano (Perty). 2. — E. viridis Ebr.; Perry, Loc. cit.; De-Toni, Loc. cit., p. 107. « Durch die ganze Schweiz » (Perty). COLACIUM Ehr. 4. — €. stentorinum Ehr.; PERTY, Loc. cil., p. 168. Solothurn (Perty). 2. €. vesiculosum Ehr.; PERTy, loc. cit., p. 168. Environs de Berne (Perty). EUTREPTIA Perty (1859). 1. — E. viridis Perty,; loc. cil., p. 168. Gumligermoos, Muncher Buch See (Perty). sans doute un grand nombre de Revues zoologiques. Nous avons voulu sim- plement marquer la place de ce grand groupe d’êtres inférieurs. Nous serons très heureux de recevoir les observations de ceux qui se sont occupés un peu spécialement de la dispersion de ces organismes, dont la nature animale . est admise encore par plusieurs savants. O0) PHACUS Nitzsch. 4. — P. longicauda Duj.; PERTy, loc. cit., p. 164. Environs de Berne (Perty). 2. — P. pleuroneetes Nitzsch; PERTY, loc. cit., p. 164. « Nicht selten », Grimsel, Lugano (Perty). 3. — P. triqueter Perty; loc. cit., p. 164. Environs de Berne (Perty). — — var. hyalina Perty; loc. cit. Egelmoos (Perty). CRYPTOGLENA Ehr. (1834). 4. — C. nigra Ehr., KLeps, Flagellatenstudien, p. 355. Observé par Klebs. ASTASIA Dujardin (1841). 2. — A. curvata Klebs; loc. cit., p. 358. Observé par Klebs. 3. — A. hæmatodes Ehr.; PERTy, loc. cit., p. 167. Siders (Wallis), Gumligermoos, Riederen (Perty). 4. — À. infiata Duj.; KLess, loc. cit., p. 358. Observé par Klebs. 5. — A. margaretifera Schmarda; PERTy, loc. cit., p. 167; KLes, Loc. cit., p. 358. Berne, Walkringen, Todten See (Perty); observé égale- ment par Klebs. 6. — A. pusiila Ehr..; Perry, ORCH DAElIOIE Berne, lac de Lucerne (Fluelen); Giessbach, Grimsel, Saint-Gothard (Perty). ( 158 ) DISTIGMA Ebhr. (1832). 1. — D. proteus Ehr.; KLes, loc. cit., p. 359. Observé par Klebs. MENOIDIUM Perty (1852). 4. — M. incurvum (Fres.) Klebs; loc. cit., p. 360. Cité par Klebs. 2. — M. pellucidum Perty; loc. cit., p. 174; Kiess, loc. cit., p. 360. Egelmoos (Perty); cité aussi par Klebs. SPHENOMONAS Stein (1878). 4. — S. teres (Stein) Klebs; loc. cit., p. 361. Signalé par Klebs. EUGLENOPSIS Klebs (1892). 1. — E. vorax Klebs; loc. cit., p. 367. Signalé par Klebs. PERANEMA (Duj.) Stein (1878). 4. — P. trichophorum (Ehr.) Stein; KLess, loc. cit., p. 368; PERTY, loc. cit., p. 168. Cité par Klebs; Berne (Perty). URCEOLUS Mereschkowski (1887). U. cyclostomus (Stein) Meresch. ; KLeBs, loc. cit., p. 369. Signalé par Klebs. (159) HETERONEMA (Duj.) Stein (1878). 4. — H. aeus (Ehr.) Stein; KLegs, loc. cit., p. 371. Cité par Klebs. 2. — H. globuliferum Stein; PERrry, loc. cit., p. 168; KLeps, NPC AMD 2 Berne (Perty); cité aussi par Klebs. 8. — H. nebulosum (Duj.) Klebs; Perry, loc. cit., p. 169; KLeBs, loc. cit., p. 373. Environs de Berne (Perty); trouvé aussi par Klebs. 4. — H. spirale Klebs; loc. cit., p. 373. Trouvé par Klebs. DINEMA Perty (18592). f. — D. griseolum Perty; loc. cit., p. 169; Kzegs, Loc. cit., D. 919. Berne (Perty); trouvé dans une seule localité par Klebs. 2. — D. pusillum Perty; loc. cit., p. 169. Belp, Müncher Buch See (Perty). Zygoselmis inæqualis Perty; loc. cit., p. 169. Müncher Buch See (Periy). PETALOMONAS Stein (1878). 4. — P. abseïissa Duj.; KLes, loc. cit., p. 380. — — convergens Klebs; loc. cit., D. 381. — — parallela Klebs; loc. cit. — — deformis Klebs; loc. cit. Type et variétés observés par Klebs. ( 1460 ) 2. — P. inflexa Klebs; loc. cit., p. 382. — — typica Stein; KLezs, loc. cit. — — obliqua Klebs; Loc. cit. — — pellueida Klebs:; loc. cit. Type et variétés observés par Klebs. P. medioeanellata Stein; KLEBs, loc. cit., p. 381. — — typiea Stein; KLes, loc. cit., p. 882. — — angusta Klebs; loc. cit. — — Hata Klebs; Loc. cit. — — pusilla Klebs; loc. cit. Trouvés par Klebs, signalés comme A. C. 4. — P. sexlobata Klebs; loc. cit., p. 383. Observé par Klebs. 5. — P. Steinii Klebs; loc. cit., p. 381. — — Iata Seligo; KLeBs, loc. cil. — — triangularis Stein; KLEBS, loc. cit. Type et variétés observés par Klebs. ANISONEMA Dujardin (1841). 4. — A. acinus Duj.; KzeBs, loc. cit., p. 387; PERTY, loc. cit., p. 184. Observé par Klebs; Berne, Solothurn, Weissenstein, lac de Zurich (Perty). 2. — A. ovale Klebs; loc. cit., p. 386. — — Jlatumm Klebs; loc. cit. Type et variété, récoltés par Klebs. 3. — A. striatum Klebs; loc. cit., p. 386. Observé par Klebs. 4. — A. truncatum Stein; KLEBS, loc. cit., p. 388. Trouvé par Klebs. CRU PEN, us PR (161) . — A. variabile Klebs; loc. cit., p. 385. Cité par Klebs. ENTOSIPHON Stein (1878). 4. — E. obliquum Klebs; loc. cit., p. 390. Observé par Klebs. . — E. salcatum (Duj.) Stein; Kzess, loc. cit., p. 389; Perry, loc. cit., p. 164. Cité par Klebs; Berne, Lugano, lac de Zurich (Perty). VACUOLARIA Cienkowski (1870). . — V. vircseens Cienk.; KLEBs, loc. cil., p. 393. Récolté par Klebs. CHRYSAMOEBA Klebs (1892). . — C. radians Klebs; loc. cit., p. 407. Observé par Klebs. CRYPTOMONAS Perty (1852). . — ©. dubia Perty; loc. cil., p. 163. Trouvé une seule fois par Perty. . — €. polymorpha Perty; loc. cit., p. 163. Berne, Solothurn, Weissenstein, vallée du Rhône, Grimsel, Saint-Gothard, Lugano, lacs de Brienz, de Neu- châtel et d’Appenzell (Perty). CHROMULINA Cienk. (1870). . — C. flavicans (Ehr.) Bütschli; Kiegs, Flagellatenstudien, IL, p. 408. Indiqué par Klebs sans dispersion. A (162 ) . — C. ochracea (Ehr.) Bütschli; KLess, loc. cit., p. 409. Observé par Klebs (loc. cit.). . — C. ovalis Klebs; loc. cit. Observé par Klebs, loc. cit. . — €. RBosanoffii (Wor.) Bütschli, KLegs, loc. cit., p. 410. Observé par Klebs. OCHROMONAS Wysotzki. . — ©. erenata Klebs; loc. cit., p. 411. Observé par Klebs. . — ©. mutabilis Klebs; loc. cit., p. 411. Observé par Klebs. CHRYOCOCCUS Klebs (1892). . — C. rufescens Klebs; loc. cit., p. 413. OUbservé par Klebs. DINOBRYON Ehr. (1834). "0 divergens Imhof; Jahresber. nat. Gesellsch. Grau- bündens, 1885-86, p. 135. Thalalp See, Spannegg Sce, Unterer et Mittlerer Seewen See, Semtiser See (Asrer et HEUSCHER in Sf. Gall. naturw. Gesellsch., 1884-85, p. 187); lac de Lugano ({uuor in Mat. Gesellsch. Zürich, 1885, p. 375); Oberer Arosa See, Turler See (Imhof). . — D. clongatum I[Imhof; Jahresber. nat. Gesellsch. Grau- bündens, 1885-86, p. 135. Mittlerer Murg See, Semtiser See (AsPER et HEUSCHER, loc. cit., p. 187); Langen See (Iuuor, loc. cit., p. 380. ( 163 ) 3. — D. cylindricum [mhof; Zoo!l. Anzeiger, n° 155. Lac de Zurich (Iuor in Soc. helv. des sc. nat., 1889-90, p. 157). 4. — D. scrtularia Ehr.; KLes, loc. cit., p. 414; PERTY, KL. Lebensf. Berne, Saint-Gothard, Grimsel, lac de Zurich (Perty); observé par Klebs; Moosseedorf See (Steck); Partnun, Tilisana Garschina, Luner See (Zscuoxke in Nalturf. Ges. in Basel, Bd. IX, p. 189); Türler See (Imhof). — — var. alpinum Imhof; Zoo!. Anz., nos 241-949. Poschiavo (Imhof). D D. undulatum Klebs; loc. cit., p. 414. Observé par Klebs. 6. — D. utriculus (Ehr.) Klebs; loc. cit., p. 414. Observé par Klebs. HYMENOMONAS Stein (1864). 4. — H. roscola Stein, KLess, loc. cit., p. 415. Observé par Klcbs. MICROGLENA Ehr. (1838). 4. — M. punetifera Ehr.; KLeps, loc. cit., p. 416. Observé par Klebs. MALLOMONAS Perty (1852). 4. — M. Plosslii Perty; loc. cit., p. 171; Kzess, loc. cit., p.41T. Berne (Perty); observé par Klebs. (164 ) SYNURA Ehr. (1834). 1. — S. avella Ehr.; Perry, loc. cit., p. 176; KLess, loc. cit., p. 418. Berne, Ile Saint-Pierre (lac de Bienne), Handeck, Mont Bigorrio (Perty); observé par Klebs. SYNCRIPTA Ehr. (1834). 4. — S. volvox Ehr.; Perry, loc. cit., p. 177; KLess, loc. cit., p. 419. Berne (Perty); observé par Klebs. UROGLENA Ebr. (1838). 4. — U. volvox Ehr.; KLess, loc. cil., p. 419. Thalalp Sce, Oberer, Mittlerer et Unterer Murg See (Asrer et HEUSCHER, Loc. cit., p. 187). HEMIDINIUM Stein (1878). 4. — H. nasutum Stein; SCHILLING, Die Süsswasser-Peridineen in FLorA, 1891, p. 274. Signalé par Schilling. GYMNODINIUM Stein (1878). 1. — G. æruginosum Stein; SCHILLING, loc. cit., p. 216. Observé par Schilling. 2. — G. carinatum Schilling; loc. cil., p. 278. Neudorf (Schilling). 3. — G. hyalinum Schilling, loc. cit., p. 278. Jardin botanique de Bâle (Schilling). ( 165) 4. — G. palustre Schilling; loc. cit., p. 2717. Neudorf, Dornach (Schilling). 5. — G. paradoxum Schilling; loc. cit., p. 278. Neudorf (Schilling). 6. — G. pusillum Schilling; loc. cit., p. 278. Neudorf (Schilling). %. G. vorticella Stein; SCHILLING, loc. cit., p. 276. Récolté par Schilling. AMPHIDINIUM Clap. et Lachm. (1858). f. — A. lacustre Stein; SCHILLING, loc. cit., p. 281. Neudorf (Schilling). GLENODINIUM (Ehr.) Stein (1883). 4. — G. alpinum Perty; loc. cit., p. 161. Lugano (Perty). 2. — G. apiculatum Ehr.; PERTY, loc. cit. Berne (Perty). 3. — G. cinctum Ehr.; PÉNARD, loc. cit., p. 52; ScHiLuine, loc. cil., p. 282. Lac Léman (Pénard); assez répandu (Schilling). 4. — G. cornifax Schilling; loc. cil., p. 285. Neudorf (Schilling). 8. — G. girans Pénard; loc. cil., p. 53. Lac Léman (Pénard). 6. — G. gymnodinium Pénard; loc. cit., p. 54. Lac Léman (Pénard). 7je G. helvetiecum Pénard; loc. cit., p. 58. Lac Léman (Pénard). ( 166 ) 8. — G. mirabile Pénard,; loc. cil., p. 56. Lac Léman (Pénard). — — var. rufcscens Pénard; loc. cit., p. 51. Lac Léman (Pénard). &. neglectum Schilling; loc. cit., p. 284. Mélangé au G. uliginosum (Schilling). 410. — G. oculatumm Stcin; SCHILLING, loc. cil., p. 284. Neudorf (Schilling). 41. — G. pulvisculus Stein; SCHILLING, loc. cit., p. 285. Brennet (Schilling). 42. G. pusillum Pénard; loc. cit., p. 52. Lac Léman (Pénard). 13. — G. tabulatuan Ehr.; PEnry, Loc. cit., p. 161. Berne, Egelmoos, Appenzell, Mont Bigorrio (Perty). 44. — G. uliginosum Schilling; loc. cit., p. 283. Assez répandu (Schilling). 45. G. viride Pénard; loc. cit., p. 5. Lac Léman (Pénard). CERATIUM Schrank (1793). £. — €. cornutuan Clap. et Lachmann, PENarD, Les Péridi- niacées du Léman, p. 47; ScHiLcin6, loc. cit., p. 297. Lac Léman (Pénard); assez répandu (Schilling); Moos- seedorf See (Steck); Marsch ([mhof). 2. — C. hirundinella Müller; ScmiLuiné, loc. cit., p. 297; ? Perry, loc. cil., p. 161. Thalalp See, Unterer Murg See, Semtiser See, Mittlerer et Unterer Seewen See (Asrer et HEUSCHER, loc. cit., p.187); assez commun (Schilling); Berne, Walperswyl, Solothurn (Perty); Moosseedorf See (Steck); Langen See ({uxor in ( 167) Nat. Gesellsch. Zürich, A885, p. 380); Laxer See, Davoser See, Oberer et Unterer Arosa See, St. Moritz, Silvaplaner See, Lungern Sec, Seelisberg, Turler See, Campfer See, Silser See (Imhof). 3. — C. longicorne Perty; Imuor, Zoo!. Mittheil. in Nar. Ges. Züricx, 1885. : Lac de Lugano, Langen See (Imhof). 4. — €. macroceras Schrank; PÉNARD, loc. cit., p. 49; PERTY, loc. cit., p. 161. Lac Léman (Pénard): Egelmoos, Brienz (Perty). Obs. — Cette espèce est, d'après Schilling, synonyme de C. hirun- dinella. 3. — ©. reticulatum [mhof. Lac de Zurich (Imuor in Soc. helv. des sc. nat., 1889-90, p. 151). PERIDINIUM Ehr. (1832). 4. — P. apicualatum Pénard; loc. cit., p. 51. Lac Léman (Pénard). 2. — P. bipes Stein, SCHILLING, Loc. cil., p. 290. Mélangé au P. tabulalum et P. cinctum (Schilling). 3. — P. cinctum Ehr.; ScHiLLixe, loc. cil., p. 289; Perry, loc. Cp 102: Très répandu (Schilling); Gumligermoos (Perty). 4. — P, corpusculumi Perty; loc. cit.; p. 162. Egelmoos, Muncher Buch See (Perty). 5. — P. fuscumm Perty; loc. cil., p. 162. Gumligermoos, Muncher Buch See (Perty). 6. — P. minimum Schilling; loc. cit., p. 293. Très répandu (Schilling). ( 168 ) 7. — P. monadicum Perty;, loc. cil., p. 162. Saint-Gothard, Berne (Perty). S. — P. oculatum Perty; loc. cit., p. 162. Egelmoos, Gumligermoos (Perty). 9. — P. planulum Pertv; loc. cil., p. 162. Berne, Walkringen (Perty). 10. — P. pulvisculus Ehr.; PERTY, loc. cit., p. 162. Berne, Solothurn, Grnnsel, Saint-Gothard, Mont Bigorrio (Perty). 11. — P. quadridens Stein, SCHILLING, loc. cit., p. 291. Assez rare (Schilling). 12. — P. tabulatum Clap. et Lachm.; P£NARD, loc. cit., p. 50; SCHILLING, Loc. cil., p. 288. Lac Léman (Pénard); assez commune (Schilling); Da- voser See, Oberer Arosa See, Lungern See, Türler See. 13. — P. umbinatum Stein; SCHILLING, loc. cit., p. 292. Très répandu (Schilling). HYDRURUS Ag. (1824). 1. — H.olivacous Näg.; in KürzixG, Spec., p. 892; RABENg., loc. cit., p. 52. « In rivula Hegebach ad Turicum » (NAc. in Rex., Agen, n° 896); Thoirvy (TH£osaL», loc. cit., p. T0). 2. — H. ponicillatus Ag.; RABENH., loc. cit., LE, p. 50. Simplon (Nob.); observé par Klebs (Flagellatenstudien, loc. cil., p. 427. — — var. subramosus Wartm.; RABENH., loc. cilt., pro Zweibrücker Tobel et Saint-Gall (Wartmann in W. et Wint., loc. cit., n° 864); Riethäuslein (Warru. in R8g., Algen, n° 1094); Salvan (Valais) (Corboz). ( 169 ) — — var. irregularis (Kütz.) Rbh.; loc. cit., p. 50. Wäggithal (Schwyz) (WarTmanx in W. et ScH., loc. cit., n° 236). — — var. irregularis (Kütz.) Rbh. f. maero- coceus Cramer. Près de Schaffhouse (ScHEenk in W. et ScH., loc. cit., n° 540); indiqué à Churwalden et à Engelberg (Loc. cit.) ; Albula (Herr in Rpu., Algen, n° 699). — — var. parvulus (Näg.) Rbh.; loc. cit., p. 51; Kürz., Spec., p. 232. Chute du Rhin (Schaff house) (Näg.). — — var. Dueluzelii (Ag.) Rbh.; loc. cit., p. 51; BrüGGEr, Bund. Alq., p. 217. Kaltbrun près de Lax (Oberland) (Brügger); Engelberg (CRANER in RBH., Algen, n° 873). — — var. crystallophorus Schübl. f. vernalis : Brüccer, Bund. Alq., p. 269. Churwalden (Brügger); près de Liestal (Herp in RBx., Algen, n° 859). — — var. irresularis (Kütz.) Rbh. f. erassa Kütz.; BRüGGEr, Bund. Alg., p. 210. Albula (Hepp in BRüGGER, loc. cit.); Engelherg (CRAMER in RBx., loc. cit., n° 872). — — var. Vaucherii Ag.; RABENH., loc. cit., p. 51. Entre les Pitons et le Chable (TaéoBaLn, loc. cit., p. 10). 3. — H. sporochnoïides Kütz.; Spec., p. 232; VaucHER, loc. cit., p. 244. Environs de Genève (Vaucher); A. C. environs de Genève (THÉoBALD, loc. cit., p. T0). Obs. — Les différentes espèces et variétés citées plus haut appar- tiennent sans aucun doute à une seule et même espèce très variable. Les espèces et variétés créées nous paraissent des formes dues aux conditions de milieu. < 1148 (170 ) FLORIDE Æ. Ë PORPHYRIDIUM Näg. (1849). | ps 4. — P. eruentum (Ag.) Näg.; RaBenH., loc. cit., HE, p. 397. L Près de Constance (côté suisse) (KircHNER in W. et W., 1 n° 756), environs d’Avenches (Schnetzler); Rorschach (lac de Constance) (ZELLER in Ren., Agen, n° 1074). HILDENBRANDTIA Nardo (1845). 4. — H. rivularis (Liebm.) Ag.; RABenu., loc. cit., LL, p. 408. Dans une source, rive gauche de l’Aubonne près de la poudrière de La Vaux (Vionner in Bull. Soc. vaud. des sc. nat.). CHANTRANSIA Fries (1895). 4. — C. pygmæa Kütz.; RABENH., loc. cit., p. 408. Hagenbuch près de Saint-Gall (WarTuanx in W. et W., loc. cit., n° 8T5). BATRACHOSPERMUM Roth (1800). , 4. — B. moniliforme Roth; RABENH., loc. cit., p. 405; Vau- is CHER, loc. Cit., p. 112. Müdhlethal près de Schaffhouse (ScHEnk in W. et Scx., loc. cit., n° 248); route de Bâle (Amann in FavraT, Contri- butions, loc. cit.); environs de Genève (Vaucher); Troinex, La Caille, Thoiry (THÉoBaL», loc. cit.). — — var. alpinum Brügger. Entre Samaden et Bevers (Haute-Engadine) (BRÜGGER in W. et ScH., loc. cit., n° 450). — — var. atrum Harv.; RABENH., loc. cit., p. 406. Liestal (Herr in W. et Sca., loc. cit., n° 249, et in Rex., Algen, n° 905). - (171) LEMANEA Bory (1808). 4. — L. Daldinii Rbh.; For. Eur. Alg., U, p. 412. « Propre Locarnum in insalubrica Helvetica » (DALbiNi in Rex., Algen, n° 697. . — L. fiuviatilis Ag.; VAUCHER, loc. cit., p. 99. Environs de Genève (Vaucher); Troinex, vers Bossey (THéoBaLn, loc. cit., p. 16). ERRATA. Pages 19 et 13. — Les espèces signalées sous les nos 8 à 16, pages 12.et 15, et les deux espèces douteuses, page 14, doivent être placées dans le genre Scytonemu, page 14, auquel elles appartiennent. BIBLIOGRAPHIE (°)- AsPer et Heuscaer, Zur Naturgeschichte der Alpenscen (St. Galli- schen nalurw. Gesellsch., 1884-85, pp. 145-187). Bonce, Ucber die Rhizoidenbildung bei cinigen fadenformigen Chlo- rophyccen. Upsala, 1894. Bonner ct FLamauLT, Revision des Nostocacées hétérocystées (Annales des sc. nal., 7° sér., L III, IV, V, VII). Braun, Ucbersicht der schwcizcrischen Characcen, ein Beitrag zur Flora der Schweiz. Brüccer, Bundner Algen, beobachtet im Jahr 1862. Erster Bericht über das kleinste Leben der rhätischen Alpen. () Obs. — Nous avons, dans cette Bibliographie, réuni les travaux que nous avons pu consulier et dans lesquels sont consignés un certain nombre de renseignements sur la flore algologique suisse. Nous n'avons cependant pas fait mention de notes ne contenant que peu de données; on trouvera les renvois à ces travaux à la suite de la dispersion géo- graphique des espèces. Ce relevé est fort probablement encore très incomplet; il exis‘e sans aucun doute bien des renseignements épars sur la dispersion des Algues. En outre, certaines publications n'ont pu être consultées. Aussi rappellerons-nous ici, que le travail que nous avons entrepris a élé fait uniquement dans le but de donner une idée de la flore algologique d'un pays sans aucun doute fort riche en végétaux ce ce groupe. C'est aux botanistes suisses à compléter et à discuter les données réunies dans cette énumération. Nous aurons peut-être un jour l'occasion de reprendre l'étude de la dispersion des Algues suisses, aussi accepterons-nous avec reconnaissance les renseignements et les rectifications que l'on voudra bien nous commuñiquer. (174) Brun, Végétations pélagiques et microscopiques du lac de Genève au printemps de 188% (Soc. bot. de Genève, octobre 1884). — Diatomées des Alpes et du Jura ct de la région francaise des envi- rons de Genève. Genève et Paris, 1880. Cnopar, Matériaux pour servir à l’histoire des Protococcoïdécs (Bull. de l'Herb. Boissier, t. H, n° 9, 1894). — Sur le genre Lagerheïmia (Nuova Notarisia, sér. 6, 1895, p. 86). D 9 ( ) —— Golenkinia, genre nouveau de Protococcvïdées (Journal de bota- nique de Morot, 189%, n° 18). — Algues des environs de Genève (Archives des sc. phys. et nat. t XXXIL n° 12, 1894). Cuopar ct [uger, Recherches expérimentales sur le Pediastrum Boryanum (Bull. Soc. botanique suisse, livr. 5, 1895). — — Sur le développement de l’Æuriotina Dang. (Session extra- ordinaire de la Société de botanique de France en Suisse, P. CXLII). Crauer, Ucber Eatstehung und Paarung der Schwärmsporen von Ulothrix (Bot. Zeil., 1871, p. 76). EurenserG, Erste Mittheilung über das mikroskopische Leben der Alpen und Gletscher der Schweiz (4/0. Berl. Akud., 1849, p.287). — Ueber die auf den hôchsten Gipfeln der curopäischen Central- Alpen zahlreich, zum theil auch kräftüig lebenden mikroskopi- schen Organismen und über das kleinste Leben der baicrischen Kalk-Alpen (Mb. Berl. Akad.. 1855, p. 515). De-Ton, Sylloge algarum hucusque cognilarum, Vol. I ct If, Padoue. Forez, Flore pélagique (in Faune profonde du Léman (Bull. Soc. vaud. des sc. nat., t. XIV, 1875-76, p. 224). — Liste provisoire des espèces de la faune et flore profonde du Léman (in Faune profonde du Léman, loc. eil., p. 149-152). — Sur les galets sculptés des bords des lacs d’eau douce (Bull. Soc. vaud des sc. nat., t. XV, 1877-78, p. 27). (175) Frün, Zur Gcologie von St. Gallen und Thurgau (St. Gall. naturw. Gesellsch., 1884-85, p. 145). Gouonr, Monographie des Oscillariées (Annales des sc. nat , 7° série, t. XV ct XVI). Iunor, Studien über die Fauna hochalpiner Seen, insbesondere des Kantons Graubünden (Jahres-Bericht der nat. Gesellsch. Grau- bünden, n. f. XXX, 1885-86, p. 45). — Die Fortschritte in der Erforschung der Thierwelt der Seeen (Soc. helv. des sc. nat, 1889-90, p. 157). Iuuor (E.), Notizic sulle Diatomee pelagiche dei laghi in generale e su quelle dei laghi di Ginevia et di Zurigo in special modo (Vota- risia, 1890, p. 996). KLegs (G), Flagellatenstudien, 1, IL (Zeitschr. für wissenscha/ftl. Zool., Bd. LV, Heft 2 et 3, 1892). Küuzer, Diatomées (x Forez, Faune profonde du Léman) (Bull. Soc. vaudl. des sc. nat., t. XII, 1874-75, p. 126). Kürzie, Die kicselschaligen Bacillarien oder Diatomaceen. Nord- hausen, 1844. — Species Algarum. Lipsiæ, (549. MüLenr (Arg.), Les Characées genevoises (Bull. Soc. botunique de Genève, février 1881). Näceur, Bildung der Schwärmsporen bei Stigcoclonium insigne Näg. (NaGeut et Crauer, Pflunzenphysiologische Untersuchungen, p. 96). — Die neucrn Algensysteme und Versuch zur Begründung eines eigenen Systems der Algen und Florideen. Zurich, 1847. — Gattungen cinzelliger Algen, physiologisch und systematisch bearbeitet (Vouv. mémoires de lu Soc. helv. des sc. nat., Zurich). PÉNanp, Les Péridiniacées du Léman (Bull. Soc botanique de Genève, 1891, n° G). Penry, Zur Kenntniss kleinster Lebensformen. Bern, 1852. (176) RisenuorsT, Die Süsswasser-Diatomaceen. 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Tuéogaup (G.), Algues des environs de Genève (Comptes rendus de la Sociélé hallérienne de Genève, 1853-54). Vaucaer, Histoire des Conferves d’eau douce, suivi de l'Histoire des Tremelles et des Ulves d’eau douce. Genève, 1805. WarTuann et Scuenx, Schweizerische Kryplogamen, unter Mitwir- kung mehrerer Botaniker, gesammelt und herausgegcben von. Publication continuée par Wartmann et Winter. WoroniN, Vaucheriu De Baryana n. sp. (Bot. Zeit., 1880, p. 425). NE OS à CEE TABLE DES GENRES ET DES SYNONYMES. Achnanthes Borv . Achnantidium Kütz. . Actinastrum Lagerh. Actinocyelus Ehr. . . Amphidinium Clap. et La mann . Ce Amphipleura Kütz. Amphorn Ehr. Anabæna Bory . Anacystis Menegh. Anisonema Duj. Aphanocapsa Näg. Aphanothece Näg. Apiceystis Näg. Artlhirodesmus Ehr. Arthrospira Stiz. . Astasia Duj. . Asterionella Hass. Batrachospermum Roth. Botrydium Wallr. . Botryococeus Kütz. Bulbochæte Ag. Calothrix Ag. : Campyiodiseus Ehr. . Cerasterins Reinsch . Ceratium Schrank. Ceratoncis Ehr. Chætonema Nowak. Chætophora Schrank . Chætosphæridium Klcebh. . Chantransia Fries. Chara (Ag.) Braun . Characium Braun . Chlamydomonas Ehr. Chlorosphæra Chodat. Chlorotyluim Kütz. Chromulina Cienk. Chroococcus Näg. . Chroolepus cæruleum Näg. Chryocoecus Klebs. Chrysamæba Klebs Cladophora Kütz. . Clathrocystis Henfr. . Closterium Nitzsch. Coceconcis Ehr. . Cocconema spec. . Cœlastrum Näg. Cælosphicrium Näg. . Colacium Ehr. . Colcochæte Bréb. . Collctonema Bréb. Conferva L. . Conferva fracta Näg. Cosmarium Corda . Cryptogiena Ehr, . Cryptomonas Ehr. Cyclotella Kütz. Cylindrocystis Menegh. . Pages. 170 Cylindrospermum Kütz. . Cymatop'eura W.Sm. , Cymbella Ag. . . . . . Cystopieura Bréb. Dactylococcus Näg. Dasyaclis torfacea Nàg. Denticula Kütz. Desiwidium Ag. Diatoma DC. . BDiatomella Grev. . . . . Dichoikrix Zanard. , Dictyosphærium Nàg. BDinema Pertv Dinobryon Ehr. Dbiplocolon Näg. De Diploner sec RCE DisphincCtiuum Näg. Disphinctium Meneghinianum Näg. re — Regelianun Nas. Es — striolatum Näg. Distigma Lhr. Docidium Bréb. Droparnaldia Bory SH LE Eciosperma cruciata Vauch. . Encyonema Kütz. . . . . Entosiphon Stein . . . . Epithemia recta . . . . Epithemia reticulata Näg. Ercinmosphæra De Bary Euactis caleivora Br. Euactis chrysocoma Kütz. . — rufescens Näg. . . . . — Shuttleworthiana Br. . Euastrum Ehr.. . . . . Euastrum rupestre Näg. . EuglenatEhr: 0 Euglenopsis Klebs. Eunotia Ehr. . . . . . Eunotia alpina Kütz. . Eutreptia Perty. Exococcus Näg.. . . . . 158 191 161 148 146 66 10 10 11 11 97 90 159 158 149 129 156 69 Fragilaria Lyngb.. . . Frustulia A. Geminella Turp. . . . . Glenodinium (Ehr.) Stein . Glæocapsa (Kütz.) Näg. . . Glæocystis Nüg. . . . . Glæothece Nüc. &Glœotrichin Ag. RER Golcnkinia Chodat, MR Gomphonema Ag. . . . . Gomphosphæria Kütz. . . Gongrosira :Ütz. . . . . Gonium Müll. . . . . . Gymnodinmium Stein H:æmatococeus Àg. . . . Hantzschia Grun. . . . Hapalosiphon Nàg. . , Hariotina (Dans) Chodat et HUDELNE MIE EE Hassallia Berk.. . . . . Hemidimium Stein. . . . Herposteiron Näg. . . . Hcteronema Du). ST Hildembrandtia Nardo . . Himantidium Haleyoneliæ PGFIN. 2 4 ES RSR Hormiscia Kries . . . . Hormospora Dréb. Fëvalotheca Ehr. Hydrocacceus Kütz. Hydrodictyon Roth . . . Hydrocoleum Kütz. . . Bydrurus 0 Ce Hymenomonas Stein . . HNpheo tliiees pec RE Hypheothrix coriacea Richter. Inactis crustacca Kütz. . Inomeria granulosa Näg. . . Lagerheimin Chodat . . . Lemanca Bory . . Pages. 144 1 1 1 1 1 1 1T 65 93 58 64 33 1 ( 179 ) Pages. Lynghya Ag... . . … . . 92 Lysigonium Link 159 Mallomonns Perty. 163 Mastichonema paradoxum Kütz. 9 Mastogloia Thwaites 118 Melosira Ag. : 152 Mencoidium Perty 158 Meridion Ag. 139 Merismopedia Meyen. SES 32 Mesoiænium Näg.. . . . 69 Micrasterias (Ag.) Mencgh.. 99 Microcoicus Desm. . . . 21 Microglena Ehr. 163 Microspora Thurct. . . . 53 Microthammnion Näg. . . d4 Mischococcus Näg. . . . 63. Monestroma Thur. . . . 41 Mougcotia Ag. 73 Navicula Bory DS Al DES Neidium affine v. rhodana Brun. 114 Nephrocytium Näs. . . . 10 Nitella (Ag.) Braun. . . . 35 Nitzschin Hass. . . . . . Nodularia Mort. . . . . 18 NostocsDl re ii 16 @chromonns Wys.. . . . 102 Odontidium Kütz. . . . . 440 Oxdogonium Link. . . . 46 Oocardium Nüg. . . . . 69 Ophiocytium Nüg.. . . . 64 @scillatorla Vauch. . . . 95 Palmella Lyngb. GNMNDE TO qi Palmelloceceus Chodat . . 73 Palmodaetylon Näg. . . . 68 Paloma spec 2.00 108 Pandorina Bory . . . . 06 Pediastrum Reinsch . . . 61 Penium Bréb. . . . . . 86 Perancma (Duj.) Stein +. . Peridinium Ehr. . . . . Pctalomonas Stein. Phacotus Perty . Phacus Nitzsch Phormidium Kütz. Phycastrun espece Phyeastrum eiliatospinosum Perty — tricorne Kütz. Physactis gelatinosa Nag. . Pieurasteum Chodat . Pleurococeus Menegh. Pleurosigna W.Sm.. Picurostauronm Rbh.. Pleurofæriopsis Lund.. Plieurotænium Nag. Polycistis Kütz. . ° . Pages. 159 29 197 29 101 105 105 11 67 12 116 116 90 89 31 Polyedrium pentagonum Reinsch 65 — lobulatum Nàs. — tetraedricum Näg. . Porphyridium Nüo. Protococeus Ag. Pscudocunotia Grun. Pyxidicula Ehr. Eaphitium Kütz. . Bcinschiclla De-Toni. ERhizosolemia Lhr. EBhoiconeis Grun. . . . . HRhoïicosphenia Grun. . . &Bivularia (Roth) AGREE EE Eodocssa Perty . . . . . Scencdesmus Näg. ES Schizochlammys Braun. . . Schizogonium Kütz. . . . Schizothrix Külz. . . . . Scytonema Ag. . . . 14, Seytonema turicense frigidum KZ SRE: Sclicnastrum Reinsch. . . Sirogonium [ülz. . . . . Sorastrum Kütz. . . . . (!} Voir Errata. 65 19 12 (1) 114 65 81 Sphæruzosma Corda . Sphenomonas Stein Spirogyra Link. Spirotænia Bréb. . Spirulina Turp. Spondylomorum Ehr. Staurastrum Meyen . Staurogenia Kütz. Stauroneis Ehr. Stichococeus (Näg.) Gay . Stigcoclonium Kütz. Stigonema Ag. . Suriraya Turp. . Synceripta Ehr. . Synechoccus Näg. . Synedra Ehr. Synura Ebr. . Æabellaria Ehr. Tetmemorus Ralfs. Tetracyclus Ralfs . Tetraedron Kütz. Fetrapedia Reinsch (180 ) Pages. 82 158 17 83 97 29 100 69 114 71 o1 11 133 163 33 140 163 145 81 145 69 33 Tetraspora Link Tolypothrix Kütz. . Trentepohlia Martius. Trentepohlia umbrina (Kütz.) Born. . Ulothrix valida Näg. — inæqualis var. incrustata Brügger . Ulothrix spec. . : Urccolus Meresch. . Urococcus Hass. Uroglena Ehr. Vacuolaria Cienk . Vaucheria DC. . Volvox (L.) Ehr.. Xanthidium Ehr. Zygnema Ag. Zygogonum Kütz. . Pages. 68 15 D3 53 48 48 49 158 10 163 161 26 o1 91 15 15 ÉLATÉRIDES NOUVEAUX PAR Le D' E. CANDÈZE SIXIÈME FASCICULE AVANT-PROPOS. Depuis la publication du dernier catalogue, il y a moins de einq ans, on a fait connaitre plus de sept cents espèces d'É laté- rides, appartenant, pour le plus grand nombre, aux régions paléaretiques de l’ancien continent, au Japon, aux États-Unis, à l'Amérique centrale, à l'Australie et à la Nouvelle-Zélande. MM. Du Buysson, Schwarz, de Heyder, Reytien s'occupent particulièrement des premières. M. Lewis a consacré un Mémoire étendu aux Élatérides du Japon, dont il a décrit une centaine d'espèces nouvelles. La région des États-Unis est particulièrement travaillée par les Américains, qui s'occupent exclusivement de la faune de leur vaste pays. Les Élatérides de l'Amérique centrale sont, pour le moment, l’objet d’un travail considérable (!) dans lequel M. Champion relève toutes les espèces connues du Mexique et des autres républiques du grand isthme américain. J1 décrit et figure soi- gneusement presque toutes les espèces, dont beaucoup sont nou- velles. Enfin, MM. Blackburn et Broun dirigent leurs investigations (*) Biologia centr. Amer., t. HT, pp. 258 et suivantes (en cour de publi- cation). (20) vers la faune entomologique du Continent austral et de la Nou- velle-Zélande. Ce n’est donc que très exceptionnellement, et seulement pour quelques formes inédites nettement caractérisées, que j'ai, dans les pages suivantes, touché à ces pays. La majeure partie des Élatérides du présent fascicule provient de quelques parties du monde, riches en nouveautés, dont les espèces affluent tous les jours, en grand nombre, dans les collections européennes. Je citerai notamment l'Afrique intertropicale, l'Hindoustan, les iles Malaises et l'Amérique du Sud. Le champ est encore assez vaste. Décembre 1895. ÉLATÉRIDES NOUVEAUX. AGRYPNITES. AGRYPNUS. A. PONDERATUS. — Latus, robuslus, nigro-fuscus, opacus, tomento cervino vestitus; fronte longitrorsum excavata; protho- race subquadralo, granulose punciato, antice plagis pilosis duabus notalo; elytris dorso lenuiler, lateribus fortius punc- lalo-strialis, apice truncalo-emarginalis. Long. 56 mill., lat. 12 mill. Mindanao. Du groupe des fomentosus et bifoveatus, espèces des Philip- pines, mais distinct de toutes deux. Plus robuste que le premier, moins densément couvert de poils qui, en outre, sont d’un jaune moins clair, les taches pileuses du corselet plus grandes et sur- tout plus rondes. Il diffère du second par l’absence de fossette sur le disque du prothorax. Ce dernier est aussi plus granuleux. Je l’ai reçu de M. le D' Staudinger. A. ARIZONÆ. — Crassiusculus, niger, parum nilidus, breviter fulvo-cinereo pilosus; antennis brunneis, articulo tertio quarto longitudine æquali; prothorace latitudine paulo longiore, convexo, conferlim fortiter punctato, medio postice subliliter sulcato; elytris punctalo-strialis, dorso medio deplanatis; pedibus casta- neo-brunneis. Long. 22 mill., lat. 6 mill. Arizona; Tucson. (6) Les États-Unis du Sud possèdent deux espèces d’Agrypnus connues depuis longtemps, les À. Sallei et Schottii, tous deux déerits, il y a plus de quarante ans, par J. Le Conte. Ils avaient été recueillis par M. Schott, dans les parages du Rio Grande, ie premier abondamment, du second seulement un seul individu. Celui décrit ci-dessus est plus occidental; il diffère du Sallei par ses poils blancs et non bruns, son corps plus épais, ete., et du Schotti par les mêmes caractères et le prothorax plus long. Je n’en ai vu qu’un seul spécimen trouvé par M. Wickham et appartenant au Musée de Gênes. Nota. — L'insecte de Zanzibar, décrit par M. Fairmaire (Ann. Fr., 1887), sous le nom de Corymbites semicribosus, doit prendre rang dans le G. A grypnus, à la suite de l'A. antennatus, dont 1l a la taille, les longues antennes, la forme et la couleur. Il est seulement plus densément ponctué et conséquemment plus opaque; ses élytres sont sillonnées, tandis qu'elles ne le sont nullement chez l'antennatus. ADELOCERA. A. MONTICOLA. — Ferruginea, aureo-pilosa; prothorace latitu- dine longiore, basi apiceque æœqualiter angustalo, punctato, nec canaliculato, nec foveolato; elytris prothorace latioribus, dorso depressis, punctatis; subtus sulcis tarsalibus destitutus. Long. 14 mill., lat. 5 mill. Himalaya. Aspect de l’A. lepidoptera ; plus étroite du côté du prothorax, couverte de poils squamiformes dorés et non d’écailles, sans- mélange d'autres différemment colorées ; le corselet sans sillon médian ni impressions latérales; les élytres ponctuécs, sans stries, comme les espèces de la première section. Elle ne peut être confondue avec aucune de celles qui sont connues jusqu'ici. (Coll. Fleutiaux.) (Lt) DILOBITARSUS. D. corrosus. — Bajulus, squamulis aureis marmoratus, antennis nigris; prothorace latitudine paulo longicre, lateribus parallelis, disco inœquali, antice biluberculato; elytris thorace paulo latioribus, vage punclis fuscis, linealim dispositis, notalis, versus suluram dorso deplanatis. Long. 42 mill., lat. 5 mill. La Paz, en Bolivie. De la taille du petiginosus, entièrement rougeâtre clair, semé d’écailles dorées formant des marbrures par leur agglomération inégale; le prothorax bossué, présentant en avant deux petits tubercules. Je l’ai reçu de M. Staudinger. D. riium. — Angustissimus, cylindricus, brunneo-niger, flavo- pilosulus ; fronte flavo-bicornuta; antennis brunneis, basi rufes- cenlibus ; prothorace plus quam triplice latitudine longiore, postice sulcato; elytris latitudine thoracis, parallelis, punctatis. Long. 8 mill., lat. 5], mill. Gabon. Le genre Dilobitarsus, établi par Latreille pour une espèce de la Guyane, le D. bidens, n'a été composé pendant longtemps que d'espèces américaines. Plus tard, plusieurs espèces africaines sont venues sy adjoindre. Ces espèces se faisaient remarquer par une étroitesse de corps tout à fait extraordinaire, même pour les Élatérides. Celle-ci exagère encore cette étroitesse. Elle ressemble à un fragment de menue brindille, et ce n'est que par la loupe que l’on reconnait la place où doit se ranger cet insecte, remarquable par une gracilité qui dépasse encorc celle du D. mirificus, décrit récemment. Les élytres, qui n’ont pas deux fois la longueur du thorax, (8) parfaitement parallèles comme lui, sont d'un brun plus clair, et leur pubescence forme des maculatures par sa densité plus grande çà et là. HEMICLEUS. H. masuscuzus. — Opacus, brunneus, breviter pilosulus, prlosi- tate brunnea, sparsim cinerea, variegatus; prothorace latitudine longiore, basi apiceque æqualiter angustato, convexo et punclato; elytris dense punctatis et subsulcatis. + Long. 10 mill., lat. 5 mill. Sénégal. Le caractère du genre consiste dans la brièveté des sillons prosternaux qui reçoivent une moitié seulement des antennes, sans que celles-ci se replient pour y pénétrer, ainsi qu'on l’ob- serve chez tous les Lacon. Chez les Adelocera, où les antennes ne se replient pas pour se loger dans les sillons prosternaux, ceux-ci sont beaucoup plus longs. L'espèce actuelle est beaucoup plus grande que Île type de Cafrerie. LACON. L. Lineatus. — Obscure brunneus, parum nitidus, pallide squamulosus ; prothorace subquadralo, tumido, punctalo, angulis posticis fere rectis, apice acuminalis ; elytris parallelis, subcylin- dricis, serialim squamulosis; subtus sulcis quatuor bene definitrs. Long. 8 mill., lat. 2 ‘/, mill. Choa. Les élytres portent des lignes de points. Entre ces lignes se voient des séries d’écailles de couleur claire, alternativement dis- posées en lignes continues et en séries distantes. Les premières figurent des lignes blanches entre lesquelles se voient les autres. (9) L. cAnEscens. — Brunneus, scabrose et pallide squamulosus; prothorace longititudine haud latiore, disco transverse elevato, utrinque canescente, lateribus postice parallelis, crenulatis, antice subito intus flexis; elytris punctalo-striatis ; subtus metathorace sulcis tarsalibus destituto. Long. 7 mill., lat. 2 ‘,, mill. Ogoowé. Voisin de l’asper. Les squamules plus serrées sur les côtés du prothorax donnent à celui-ci un ton blanchätre latéralement. Le dessous est dépourvu de sillons tarsaux, au moins au méta- thorax; les flancs prothoraciques sont munis chacun d’une courte dépression qui en tient lieu. L. inrLarus. — Subcylindricus, crassus, fuscus, squamulosus, squamulis auralis nonnulis ornalus ; prothorace latitudini lon- giludine æquali, punciato, tumido, angulis posticis rectis ; elytris usque ad medium parallelis, sulcatis, punctatis, interstiliis sub- costatis ; subius sulcis tarsorum quatuor munilus. æ Long. 11 mill., lat. 5 ’/, mill. Mysore. A placer à la suite du melancholicus. L. DUPLEX. — Fuscus, o;acus, pube sordida brevi dense veslilus et setis erectis, cervinis, discrele sparsus; prothorace longitudine paulo laliore, basi apiceque angustalo, œqualiter convexo, forliler parum dense puncialo, angulis anticis promi- nulis, posticis divaricatis, truncatis ; elytris ante medium paulo latioribus, postice atlenuatis, punclato-substriatis; sublus sulcis quatuor profundis. Long. 11 mill, lat, 5 ‘/, mill. Sikkim. Il est du petit nombre de ceux qui présentent une pubescence (10) fine, courte, dense ct, en outre, des poils raides redressés, épars. Il se place à côté des L. lutosus, setulosus, etc., qui offrent la même particularité. Les quatre sillons tarsaux du dessous du corps sont très grands. L. ANATHESINUS, — Fuscus, confertim cinereo breviter pilosus; prothorace latitudini longitudine æquali, dorso parum æqualiter convexo, angulis posticis haud divaricatis, obtuse carinatis; elytris punctato-substriatis ; subius sulcis tarsalibus destilutus. Long. 15 mill., lat. 4 ‘}, mill. Chine. Caractérisé par son corselet régulièrement bombé en dessus, sans bosselures ni sillon. En l’examinant à la loupe, on remarque quelques points blanchâtres formés par des poils plus serrés. Il a tout à fait l'aspect de l’Anathesis laconoïdes. L. exiGuus. — Rufo-brunneus, fulvo-squamulosus; prothorace transverso, disco medio transverse elevatos elytris punctatis, striis destitutis ; sulcis tarsorum subtus nullis. Long. 1 5/, mill., lat. ?/; mill. lle Banguey. Le plus petit du genre. Sa place est parmi les espèces à ély- tres confusément ponctuées, sans traces de stries. Il est d’une couleur entièrement rougetre et couvert de squamules dorées peu serrées, à prothorax transversalement élevé au milicu; dépourvu de sillons tarsaux en dessous. L. Torresi. — Brunneus, pilis squamiformibus fulvis parum dense obductus ; prothorace longitudine latiore, convexo, confertim fortiter punctato, angulis posticis fere reclis; elytris thoracis latitudine, brevibus, striis grosse punctatis ; subius sulcis tarsa- libus anticis, impressis sed male definitis. Long. 15 mill., lat. 5 mill. Australie septentrionale ; cap York. Sul Ur du: 0) (11) Sans être luisant, ce Lacon n'est pas opaque comme la majo- rité des espèces australiennes. Il se fait remarquer par sa lar- geur relative. Sa place est à côté du L. assus. _ MERISTHUS. M. oRNATULUS. — Éerrugineus, opacus, asper, breviter fulvo- pilosus; prothorace tumido, medio nigricanie et canaliculalo ; elytris punctato-strialis, interstitiis granulosis, nigris, basi ferru- gineis, postice pallide biguttulatis. Long. 6 mill,, lat. 1 5/, mill. Bengale; Barwai. Il a la taille de l’indecorus, mais sa couleur ferrugineuse et les petits poils fauves qui le recouvrent le distinguent à pre- mière vue. M. LonGicouis. — Brunneus, subnitidus, squamulis pallidis sparsulus; prothorace rectangulariter latitudine longiore; elytris seriatim punciatis et squamulosis; metathorace crebre fortiterque punciato. Long. 5 !/, mill., lat. À mill, Bengale ; Barwai. Parmi les espèces de petite taille. Il est surtout caractérisé par son prothorax allongé, sa couleur brune sans taches et son aspect un peu luisant, alors que les Meristhus se font remarquer par une opacité ordinairement complète. M. ERINACEUS. — Brunneo-niger, opacus, pilis squamiformibus longiusculis, pallidis, discretius sparsutus; prothorace basi puncto albicanti piloso notato; elytris regulariter serialim pilis ereclis notalis, vage nigro el pallido maculatis. Long. 5 mill., lat, 1 !/, mlll. Bornéo septentrional ; Brunei ; Kina Balu. (12) Un peu plus grand que le M. scobinula, type du genre et bien distinct par les poils raides, redressés et surtout espacés qui le recouvrent ; ces poils sont, en outre, notablement plus longs que chez les autres espèces. Le caractère du genre est ici fort affaibli : c’est à peine si l’écusson est caréné. ALAITES. ALAUS. A. PULVEREUS. —- Drunneus, cinereo dense veslilus; fronte concava; antennis brevibus, brunneus; prothorace lalitudine longiore, subparallelo, æqualiter convexo, tenuissime punctato, margine antico versus medium bidentalo, angulis posticis paulo divaricatis, subcarinalis, margine poslico medio tuberculato; scutello brevi, convexo; elytris thoracis latitudine, sulcatis, sulcis puncialis; subtus concolor. Long. 28 mill., lat. 8 mill. Cafrerie. Voisin du mærens dont il a la taille et les principaux carac- tères. Sa couleur générale est cendrée avec quelques taches peu apparentes d'un brun clair, mais sans les taches de poils noirs qui caractérisent le mœærens. A. PARALLELUS. — Angustus, fuscus, cinereo-veslilus ; fronte triangulariler excavata ; prothorace lalitudine longiore, parallelo, disco elevato et longilrorsum medio sulcalo, angulis posticis brevibus, aculis, divaricalis, carinatis ; scutello subcordiformi, convexo ; elytris thoracis latitudine, parallelis, punctato-striatis, interstiliis imparibus primis paulo elevatioribus, apice singulatim rotundatis ; sublus concolor. Long. 20 mill., lat. 5 mill. Zanguebar intérieur. (15) A la suite du pulvereus. Bien reconnaissable à sa forme étroite, parallèle, et à son prothorax largement sillonné au milieu dans toute sa longueur. (Coll. Fleutiaux.) À. FAMULUS. — Subcylindricus, fusco-brunneus, cervino-vestitus ; antennis nigro-brunneis ; prothorace latitudine longiore, æœqualiter convexo, inæqualiler punctato, basi apiceque leviter angqustato, ançgulis poslicis lenuibus, divaricatis, aculis, vix carinalis; scutello oblongo ; elytris thoracis latitudine, ultra medium paral: lelis, angustis, sulcalis, sulcis punclatis, apice singulatim forliter emarginaiis, quadrispinosis, brunneo-maculalis. Long. 20 mill., lat. 6 '/, mill. Sierra-Leone. La forme subcylindrique, les élytres courtes, parallèles, forte- ment échancrées chacune, et conjointement quadriépineuses au bout. La couleur générale de la vestiture pileuse cst brun fauve avec quelques taches déchiquetées brun noiràtre. (Coll. Fleutiaux.) A. GRACILIS. — Angustus, elongatus, squamulis versicoloribus vestlilus; fronte excavata ; prothorace latitudine longiore, paral- lelo, medio longitrorsum celevato, angulis posticis gracilibus, divaricalis, subcarinatis; scutello oblongo, declivi; elytris striis fortiter punclalis, interstiliis ad apicem præsertim visibiliter inæqualibus, tertio basi elevato, apice emarginatis et spinosis. Long. 15 mill., lat. fere 4 mill. Sumatra. Distinct, par sa gracilité, de la plupart des Alaus, généralement assez épais. Sa vestiture est multicolore, c’est-à-dire variée de brun, de cendré, de noirâtre et de blanc, sans tache prononcée sur les côtés des élytres, où il s’en voit souvent. A placer après le Debyi. (14) A. SULAENSIS. — Niger, minus dense albosquamulosus, brunneo- maculatus: antennis brevibus, brunneis : prothorace latitudine longiore, subparallelo, inæqualiler punctato, angulis posticis diva - ricatis, carinalis, linea media leviter elevata; scutello concavo, subrotondo, antice bidentato; elytris punctato sulcalis, interstitiis inæqualiter elevatis, tertio basi carinato ; mesosterno V-formi, horizontali. ; Long. 50 mill., lat. 10 mill. Ile Sula, Moluques. Forme de l'appendiculatus, mais de couleur différente : les élytres ont de grandes taches formées par des écailles d’un brun rougeâtre, à bords déchiquetés. La conformation de la fossette mésosternale, qui est tout à fait horizontale, la forme arrondie, concave et bidentée de l'écusson, se retrouvent au même degré chez quelques autres Alaus, les A. appendiculatus et Vollenhoveni, également des Moluques, et d’autres de la Polynésie : Montraveli, farinosus, etc. L'établissement d'un genre à part pour ces différentes espèces se justifierait done parfaitement, s’il était possible de le limiter; mais là git la difficulté, la construction de la fossette mésoster- nale étant éminemment variable chez les À laus qui, d'autre part, constituent un groupe des plus naturels. A. QUADRIVITTATUS. — Crassiusculus, niger, squamulis albi- cantibus maculatus ; fronte excavata; prothorace reclangulariter latitudine longiore, lateribus grosse punctaio, villis quatuor albicanti-squamosis ornatos scutello oblongo; elytris puncis discrelis seriatis, apice late singulalim emarginatis; fossulæ mesosterni marginibus parallelis, longis. Long. 28 mill., lat. 9 mili. Moluques ; Bangkey. Espèce très reconnaissable aux quatre bandes blanchätres qui (bi) ornent le corselet. L'écusson est déclive et oblong; la fossette mésosternale longue avec ses bords tranchants et parallèles. (Coll. O. Schwarz.) A: LECTILIS. — Auscus, pilis squamiformibus brunneis albi- cantibusque eleganter et dense vestitus; prothorace laliludine paulo longiore, antice latiore et crassiore, angulis posticis diva- ricalis, carinatis; elytris punclato-strialis, interstitiis imparibus subelevatis, tertio basi tuberculato, apice haud emarginatis ; subtus brunneus. Long. 25 mill., lat. 8 mill. Nouvelle-Galles du Sud. Facies du prosectus. Les poils squamiformes qui le revêtent très densément sont blanes à la partie antérieure du corselet et sur le dos des élytres, avec une bande brune au milieu du pre- mier et une grande tache latérale médiane sur les secondes. Ailleurs, les teintes brune et blanche sont fondues. Je l'ai reçu de M. Staudinger. A. ALBATUS. — Zotus pilis albicantibus dense vestitus, protho- race antice dilatato, æqualiter convexo, margine antico utrinque post oculos linea brevi nigra; elytris striis destitutis, apice integris, versus basin breviler cristalis, ad marginem macula parva lunala nigra ; subtus pedibusque albicantibus. Long. 20 mill., lat. 6 mill. Australie septentrionale. Cette petite espèce, dont la teinte des téguments disparait com- plètement sous une épaisse vestiture blanchâtre, ne présente en fait de taches obscures qu'un trait oblique sur le corselet, der- rière les yeux, deux points dorsaux et deux petites taches sémi- lunaires au milieu du bord externe des élytres. (Coll. Fleutiaux.) (16) CHALCOLÉPIDIITES. SEMIOTUS. S. ANTENNALIS. — Angusto-elongatus, nitidus, glaber ; antennis articulis tribus primis rufo-testaceis, quintis sequentibus nigris, tribus apicalibus albidis: fronte nigra, bispinosa; prothorace longo, rufo, immaculato, disperse punctato; elylris seriatim punctulatis, apice spinosis, luleis, sutura margineque lale nigro- viltatis. Long. 13 mill., lat. 5 mill. Véragua. Cette petite et élégante espèce n’est pas la seule qui ait l'ex- trémité des antennes blanche. Cette particularité se voit aussi chez les S. zonatus et chontalenus, sans parler de certaines autres appartenant aux genres Eudactylus et Smilicerus. Celle-ci se distingue bien des deux espèces citées ci-dessus par son prothorax unicolore et les bandes noires des élytres. Elle ne figure pas dans la Biologia centrali americana. Je l'ai reçue tout récemment de M. Staudinger. S. BOLIVIENSIS. — Macer, niger, sordide parceque fulvo-pilo- sulus, fronte inermi; antennis nigris; prothorace constriclo, inæqualiler punclalo, angulis posticis divaricalis; elytris pro- thorace latioribus, parallelis, striis profundis rugose fortiter punctatis, interstitits convexis, apice emarginalis, juxla suluram late sordide testaceis: subtus pedibusque nigris. Long. 10 mill., lat. 2 ‘/, mill. _Bolivie. A placer parmi les Semiotus qui terminent le genre. Il se fait remarquer entre autres par la petitesse relative de son prothorax. ETS) CAMPSOSTERNUS. C. cyanivenTRISs. — Latus, viridis, minus nitidus, glaber ; antennis nigris; prothorace lato, plano, medio longitrorsum paulo elevato et violaceo tincto nilidioreque, utrinque sublilissime granulato, angulis posticis paulo divaricatis, marginibus incras- satis; scutello violaceo; elytris prothorace haud latioribus, crebre punciulatis, subtilissime vix visibiliter substrialis, apice mucro- nalis ; ventre pedisbusque nitide cyaneo-violaceis. Long. 20 mill., lat. 6 mill. Kina-Balu ; N.-Bornéo. Cette belle espèce a la taille et la forme du Templetoni, mais elle est encore plus large. La couleur du prothorax est uniforme et la crête longitudinale qui le partage est moins prononcée. Le dessous du corps est remarquable par sa belle couleur d’un bleu violet intense, avec le pourtour vert. J'en ai vu plusieurs exemplaires, dont je suis redevable à M. Staudinger. C. meses. — Roseo-virens, haud nitidus, glaber; antennis nigris, basi viridibus; prothorace trapeziformi, plano, opaco, medio paulo nitidiore, angulis posticis haud carinatis: elytris thoracis latitudine, usque ad medium parallelis, deinde attenuatis, apice acuminalis punclalissèmis, sublus nilidior, concolor, apice rufescens, pedibus metallicis. Long. 50 mill., lat. 9 mill. Kina-Balu ; N.-Bornéo. Remarquable par son aspect mat, surtout dans les parties laté- rales du prothorax, où l’opacité est complète. Sa couleur est uni- formément d'un vert clair métallique, légèrement doré et rosé, formant comme une sorte de patine sur les téguments, sauf sur l'écusson qui est petit, plat, arrondi et d’un vert plus luisant. 2 (18) C. rLammeus. — Nitidissimus, splendide purpureo-micans, gla- berrimus; antennis nigris; prothorace trapezoïdeo, leviter con- vexo, disperse punctulato, angulis posticis vix carinatis ; elytris tenuiter reticulatis, punctulatis, serialim punctalis. Long. 25 mill., lat. 8 mill. Cochinchine. Fort voisin du C. igneus de la Malaisie; de même taille, à reflet rouge-pourpre très intense, plus prononcé et plus étendu, cette couleur se voyant sur le prothorax qui reste vert chez l'igneus. On le distinguera, en outre, par les angles du prothorax bien moins carénés et surtout par des lignes ponctuées sur les élytres qui font défaut chez l’igneus. Les impressions latérales du prothorax sont ici presque nulles, ce qui le rapproche du latiusculus. C. suzcaTus. — Crassus, œæneus, paru nitidus, fere glaber ; prothorace longitudine latiore, trapezoideo, dorso convexo, punc- tato, multiimpresso, angulis posticis divaricatis; elytris protho- race paulo latioribus, sulcatis, sulcis irregulariler punctato- impressis, interstiliis convexis ; sublus pedibusque obscuris. Long. 55 mill., lat. 12 mill. Bengale ; Barwai. Il a le corps plus épais, moins brillant que la généralité des Campsosternus ; ses élytres fortement sillonnées, surtout à la base, le rendent facilement reconnaissable. Obs. — Un genre remarquable des iles Viti, établi par Fair- maire qui l’a nommé Dioxypterus, a été primitivement placé à la suite des À phanobius. Si l’on examine le dessous du corps, on est frappé de la struc- ture du mésosternum, tout à fait conforme à celle si caractéris- tique des Chalcolépidütes, où les bords de sa fossette, élevés et horizontaux, se confondent sans trace de suture avec le méso- sternum. nina = réa tihtiétintinr in ft (19) Ajoutons à ce caractère essentiel la forme cambrée du corps, la terminaison biépineuse des élytres, qui rappelle les Semiotus : il devient dès lors évident que ce genre doit être ramené dans la même tribu que ces derniers, à la suite des Campsosternus qu'il représente en Océanie. On en connait jusqu'ici quatre espèces, toutes de taille moyenne et de couleurs variées. OXYNOPTÉRITES. OX YNOPTERUS. O. mice. — Niger, nitidus, brevissime obscuro-pilosulus ; antennis (S) nigris flabellatis, flabellis humeros elytrorum tan- tum aitingentibus ; proihorace transverso; elytris striis destitutis. Long. 52 mill., lat. 15 mill. Congo intérieur: Loulouaburg. Cette espèce est entièrement noire, ce qui la distingue au pre- mier abord des Leptophyllus Strachani et minor, qui sont tou- jours bruns. Mais la couleur n’est pas la seule différence. Lei les antennes du mäle, le seul sexe que je connaisse, sont notable- ment plus courtes que chez les espèces citées ci-dessus. Elles arrivent au plus au calus huméral des élytres. C’est là son carac- ‘ère le plus marqué. J'ai déjà dit ailleurs (Notes of Leyden Museum, VU, 121), en faisant connaitre l'Oxynopterus Harmseni, de Sumatra, que les deux genres Oxynopterus et Leptophyllus n'ont plus d’autre raison d'être séparés que celle qui réside dans leur distribution géographique : le premier est indien, le second africain. Quand ces genres ont été établis, la structure des antennes plus ou moins longuement flabellées à partir du troisième article, sem- blait les séparer visiblement, indépendamment de leur habitat. Mais depuis lors, l'O. Harmseni, qui a des antennes de Lepto- phyllus, et l'O. africanus, dont les antennes ne diffèrent pas de ( 20 ) celles des Oxynopterus, sont venus démontrer, sans doute pos- sible, qu'ils doivent être réunis en un seul genre, auquel j'attri- bue le dernier des noms ci-dessus, à cause de la désignation de la tribu et sans autre motif, car ils ont été établis en même temps par Hope. TÉTRALOBITES. TETRALOBUS. P. Dour Cand., Élat. nouv., fase. 5 (1881), p. 26. En faisant connaitre cette espèce, qui se distingue de toutes les autres du même genre par la longueur inusitée de son pro- thorax, je n'avais vu qu'un seul exemplaire femelle. Depuis, j'en ai reçu le mâle, qui s'en distingue, comme il fallait s'y attendre, par ses antennes flabellées et sa taille plus petite, sa longueur atteignant à peine 18 millimètres. DICRÉPIDIITES. PANTOLAMPERUS. P. niraBinis. — Cyaneus, nilidus, pubescens ; antennis nigris ; prothorace corallino, parum dense, grosse punctalo; elytris punctalo-striatis, interstitiis basi convexis; sublus cum pedibus rufis. Long. 45 mill., lat. 5 mill. Congo oriental; Moliro. Cette belle espèce est d’un bleu intense avec le corselet d'un rouge de corail, sans aucun reflet métallique. Le dessous, de même que les pattes, sont entièrement rouges, ce qui le distingue à première vue du Dohrni, où les dernières sont noires, avec les cuisses bleues. Lt mic dla ns tétnia édite né gp dns D ons: ee eme. (A) P. Prasonr. — Niger, parum nilidus, pilosus ; antennis crassis, nigris; prothorace latitudine haud longiore, crebre punctato, contexo, medio sulcato; elytris luleis, striatis, striis grosse brunneo-punctalis ; subtus pedibusque nigris. Long. 17 mill., lat. 5 ‘/, mill. Guinée; Achantis. Tous les Pantolamprus connus jusqu'ici se font remarquer par leur brillante couleur métallique, analogue à celle des Camp- sosternus. Celui-ci et le suivant, par exception, sont tout autre- ment colorés. Je l’ai reçu de M. le D' Plason, à qui je le dédie. P. uieneus. — Niger, opacus, pilosus; elytris ligneo colore, dense pubescentibus. Long. 15 mill., lat. 5 mill. Congo portugais. Un peu plus petit que le précédent. Les élytres d’un jaune obscur, leur pubescence beaucoup plus dense, soyeuse et de même couleur. PSEPHUS. I. Article 5 des antennes égal à 4. P. RUGULIPENNIS. — Aer, opacus, breviter pilosulus; antennis brunneo-ferrugineis, elongatis, articulo tertio quarto œquali; prothorace constricto, latitudine haud longiore, trapezoidali, fortiter et crebre punctato ; elytris thorace latioribus, elongatis, parallelis, striatis et rugosis ; pedibus brunneis. Long. 20 mill., lat. 5 mill. Kilimandjaro. Cette espèce qui, par ses antennes à troisième article aussi grand que le quatrième, se place à la suite des antennatus, (22) Mechowi et quelques autres en petit nombre et comme exception parmi les Psephus (qui ont en général le troisième article nota- blement plus petit que le quatrième), m'a été donné par M. Fair- maire sous le nom de Dicronychus rugulosipennis. Je lui conserve ce nom spécifique, pour le cas où il serait déjà signalé, afin de ne pas apporter de trouble dans la synonymie, mais en le repor- tant dans le genre Psephus où il doit se ranger. ; P. RADULA. — Brunneus, opacus, dense breviler pubescens ; fronte valde porrecta; antennis brevibus, articulo tertio quarto fere majore; prothorace latitudine vix longiore, crebre punctis umbilicatis notato, leviter sed distincte rufescente, angulis posticis retrorsum produclis, acute carinatis ; elytris striatis, rugulosis, marginibus, cum corpore subtus, epipleuris, pedibusque rufes- centibus. Long. 40 mill., lat. 4 ‘/, mill. Dar-es-Salam. Le troisième article des antennes est ici de même forme et presque plus grand que le suivant, ce qui range l'espèce dans la première section du genre, à côté de la précédente. P. uueiuicatus — Ferrugineus, parum nitidus, hirsute flavo- pilosus ; antennis articulo 5° quarto æquali; prothorace brunneo, a basi angustato, creberrime punctis umbilicatis notato, angulis posticis fortiter carinatis ; elytris a basi sensim altenualis, punc- talo-striatis. Long. 12 mill., lat. 5 mill. Congo; Boma, Chiloango. Forme de Melanotus. Caractérisé par ses antennes à troisième article semblable au quatrième, les larges points ombiliqués dont est couvert le prothorax, la couleur rougeâtre des élytres, etc. (Tschoffen.) Rd c ss (25 ) P. camPyLoines, — Castaneus, pubescens; antennis elongatis, articulo tertio, triangulari, quarto fere æœquali; prothorace _ constriclo, deplanato, punctato, longitudine lalitudini æquali ; elytris thorace latioribus, rugulosis, subtiliter strialis. Long. 11 mill., lat. 5 mill. San-Thomé. Mentionné, par Fairmaire, dans sa faune entomologique de San-Thomé comme Psephus athoides Cand., mais distinct de ce dernier par son corselet beaucoup plus petit, plus étroit, qui le fait ressembler à un Campylide. Le véritable P. athoides est de l’Angola. IL. Article 5 des antennes plus petit que 4. P. zamBianus. — Flavo-tlestaceus, parum nitidus, flavo-pilosus ; antennis arliculis 2 et 5 œæqualibus, parvis ; prothorace latitudini longiludine æquali, a basi angustato, confertim punctis umbili- calis notalo, vitta dorsali marginibusque lateralibus nigris ; ely- tris rugulosis, punctatio-strialis; subtus cum pedibus concoloribus. Long. 10 mill., lat. 5 mill. Congo ; Zambi. D'ane coloration jaune qui lui donne quelque ressemblance avec le P. Oberthuri ; il est beaucoup moins épais que ce dernier. P. uEBETATUuS. — Piceus, opacus, breviter griseo-pilosus ; antennis brunneis, articulis 2 et 5 parvis, æqualibus ; prothorace latitudini longitudine æquali, creberrime punctis umbilicatis notato, medio subsulcaio, basi rufescente; elytris rugosis, punc- talo-strialis, basi sanguineo-notatis; pedibus obscuris, tarsis brunneis. Long. 10 mill., lat. 8 mill. Congo; Boma. (24) Le rouge de la base du prothorax ct des élytres est plus ou moins vif. Il est caractérisé par une opacité plus forte encore que chez la plupart des autres espèces, qui sont cependant peu brillantes. P. ancGusTus. — Caslaneus, opacus, dense breviter fulvo- pilosulus; antennis articulis 2 et 3 parvis fere æqualibus ; pro- thorace latitudine paulo longiore, crebre punctato, angulis posticis parum distincte carinatis; elytris punclalo-striatis, interstiliis granulatis ; subtus pedibusque concoloribus. Long. 9 mill., lat. 2 ‘}, mill. Ogowé. Sans caractère tranché, si ce n’est sa couleur. À côté de P. correctus, mais plus étroit. P. neccecrus. — Nigro-brunneus, haud nitidus, inæqualiter pilosus; antennis articulo tertio quarto breviore, fuscis; pro- thorace latitudine sublongiore, rectangulari, crebre punctato, angulis posticis brevibus, obtuse carinalis, punclalo-striatlis, prothoracis vix latitudine, postice atlenualis; sublus pedibusque concoloribus. Long. 11 mill, lat. 5 mill. Gabon. Il se reconnaît facilement à sa pubescence rude et inégalement répartie, surtout sur le corselet où elle figure une sorte de V par suite de la plus grande densité des poils en certains endroits. P. Aspersus. — Fuscus, pilis duplicibus aspersus, minoribus brunneis, majoribus albis; antennis articulo tertio quarto bre- viore; prothorace latitudine paulo longiore, conico, æqualiter convexo, forliter punctalo, angulis postlicis retrorsum productis, carinatis ; elytris fortiler punctato striatis. Long. 15 mill., lat. 4 ‘/, mill. Gabon. RACE PEER %e > Per tkir (25) Ce Psephus se fait remarquer par la nature des poils qui le revêtent, les uns petits, peu visibles, leur couleur étant celle des téguments : les autres plus grands, plus dispersés, blancs, sau- poudrant le corps de cette couleur, Le dessous n'a que des poils blancs, plus longs et plus fins. P. iunirus. — Rufo-luteus, nilidus, parce cinereo-pilosulus ; fronte nigra; antennis nigris, articulis 2 et 3 parvis; prothorace trapezoïdeo, parum dense punctalo, marginibus angulisque pos- ticis nigris, his carinatis, divergentibus; scultello nigro; elytris puñclalo-strialis ; sublus cum pedibus nigris. Long. 8 mill., lat. 2 ‘/, mill. Bagamoio. Petite espèce à prothorax et élytres d’un jaune rougeûtre et d'aspect vernissé. P. conicicozLis. — Aer, opacus, breviter brunneo pilosulus ; fronte fortiler et confertissime punclata; antennis brunneis, articulis 2 et 5 minulis; prothorace conico, punclis umbilicatis confertissime obituclo, angulis poslicis aculis, carinalis; elytris substrialo-punctatis, intlerstitits plants, granulatis; pedibus brunneis. Long. 145 mill., lat. #4 mill- Bagamoïio. Remarquable par son prothorax conique; il m’a été donné, ainsi que le précédent, par M. Plason. P. cERvINUS. — Fuscus, dense cervino-pilosus; antennis arti- culo terlio quarlo minore; fronte antice biimpressa; prothorace latitudine paulo longiore, convexo, lateribus crebre et fortiter, dorso minus dense punclalo; elytris striis punclalis, interstiliis subconvexis. Long. 25 mill., lat. 7 mill. Dar-es-Salam. (26) Cette espèce, de grande taille, a quelque peu l'apparence du P. elimatus, ce qu’il doit à la densité de sa pubescence. Il a toutefois le front beaucoup moins avancé, et ses élytres sont fortement ponctuées-striées. P. sEvVERUS. — Aer, parum nitidus, nigro-pilosulus; antennis nigris, arliculo tertio triangulari, quarlo parum minore; pro- thorace trapezoideo, longitudine haud latiore, fortiter punctato, punctis laterum umbilicatis; elytris substrialis, granulatis. Long. 9 mill., lat. 25), mill. Côte des Somalis. Var. a. Prothorace lateribus sanguines. Var. 0. Prothorace toto sanguineo. J'en ai vu un grand nombre d'exemplaires que m'a obligeam- ment communiqués M. le D" Gestro. Il se place à côté du P. vulneratus. P. incauTus. — Brunneus, parum nitidus, dense brunneo- pubescens; antennis obscure brunneis, articulo tertio quario minore ; fronte rugose punclata; prothorace quadrato, crebre et rugose punclis umbilicatis conferto, angulis posticis obsolete carinalis ; elylris punctlalo-strialis, interslitiis rugulosis. Long. 10 mill., lat. fere 5 mill. 1. Balabak, au nord de Bornéo. Les Psephus indiens se distinguent en général par plus de brillant et une coloration plus variée que la masse des espèces africaines. Sous ce rapport celui-ci, de couleur uniformément brune et terne, fait exception à cette règle. CDONTONYCHUS (n. g.). Frons lata, subquadrata; lamina nasalis magna, cum labro fere confusa; os inferum; labrum subbilobatum, mandibulæ falcatæ ; palporum articulus ullimus linearis. A ed DR ie ne (27) Prosternum breve, lobo fere destitutum, suturis lateralibus excavalis. Fossula mesosterni parva, antice aperta. Laminæ coxales anguslæ, medio leviter dentatæ. Pedes haud longi, normales ; tarsi breves, articulis 2 et 3 lami- nalis ; unguiculi fissi. Ce genre a des rapports étroits avec les Psephus, les Tarsalqus et les Dicronychus. Il a le facies et les principaux caractères des premiers, le prosternum des seconds et les ongles des derniers, mais il diffère de tous les trois, dont il semble néanmoins constituer une forme très voisine. Je n’en connais que l’espêce suivante, dont deux exemplaires m'ont été soumis par M. O0. Schwarz. O. cranuzarTus. — Parallelus, brunneus, opacus; antennis articulo tertio triangulari, quarto æquali; prothorace sat parvo, punclis umbilicalis cribrato, angulis posticis carinatis; scutello triangulari; elytris subcylindricis, leviter striatis, interstitiis granulalis. Long. 19 mill., lat. 5 mill. Afrique centrale. Types dans la collection de M. Schwarz et dans la mienne. HETEROCREPIDIUS. H. masuscuLus. — Badio-testaceus, parum nitidus, pubescens ; prothorace latitudine minus longiore, tumido, fortiter punctato, punclis subumbilicatis, angulis posticis fortiler sed breviter cari- nalis; elytris latitudine thoracis baseos, parallelis, crassis, punclalo-striatis, interstitiis haud vel parum convexis, fortiter punctalis. Long. 12-15 mill., lat. 3 ‘/,-4 mill. Cauca. Il se distinguc par sa couleur uniforme d'un rougeûtre clair. (28) H. marGiNaTus. — Latiusculus, fusco-niger, subnitidus, griseo- pubescens; antennis crassis, nigris ; fronte lala, crebre punclata ; prothorace latitudini longitudine fere æquali, apice paulo angus- tato, subdepresso, crebre puncialo, angulis posticis parvis, apice ferrugineis ; elytris brevibus, striatis et granulatis, epipleuris et margine ferrugineis ; pedibus ferrugineis, tibiis latis. Long. 6 mill., lat. 2 mill. Parana. H corvinus. — Latiusculus, niger, subnitidus, nigro-pubescens ; antennis nigris, forliter serralis; prothorace longitudine latiore, antice angustato, grosse punclato; elytris parallelis, punctato- strialis, interstiliis convexis, punctatis; sublus concolor, margine elytrorum tarsisque ferruginetis. Long. 9 mill., lat. 5 mill. Montévidéo. : Voisin du précédent; plus grand, plus fortement ponetué, sa pubescence d'une autre couleur, etc. H. morio. — Fusco-niger, grosse et dense puberulus ; antennis crassis, obscuris; fronte impressa ; prothorace trapezoideo, longi- tudine paulo latiore, fortiter confertim punclalo, angulis posticis acule carinalis; elytris brevibus, strialis et granulatis ; sublus rufescens. Long. 7 ‘}, mill., lat. 2 mill. Amazones; Fonteboa. Le corselet a une tendance à passer au rougeûtre. Il se trou- vera certainement des variétés où cette couleur ira jusqu'au rouge. H. conrracrus. — Brunneus, opacus, griseo-pubescens ; anlennis crassis, longis, articulis 2 et 3 minimis, fere æqualibus ; fronte grosse punctata; prothorace quadrato, crebre punctato, angulis (29) posticis divaricatis; elytris prothorace latioribus, brevibus, fortiter punciato-strialis, ultra medium parallelis ; pedibus crassis. Long. 7 mill., lat. 2 ‘/, mill. Mysore. La troisième espèce de ce genre américain habitant les Indes orientales. Ainsi qu'il a été remarqué à propos de la première, les proportions des articles 2 et 5 des antennes amènent l’espèce au nombre des Heterocrepidius, plutôt que parmi les Spheno- merus dont, à cela près, elle est fort voisine. ANOPLISCHIUS. À. SEMIRUBER. — ÂViger, nitidus, pilosus; antennis brevibus, latiusculis, nigris ; fronte convexa, punctata; prothorace longi- tudine paulo latiore, discrete punctato, sanguineo ; elytris grosse et inegaliler seriatim punclatis; subtus niger, pedibus obscuris. Long. 8 mill., lat, 2 mill. Brésil ; Rio. La pubescence, redressée, est de la couleur des téguments. On le distinguera facilement des autres Anoplischius noirs à corselet rouge. A. GRISEOPILOSUS. — Crassus, niger, sat nilidus, pube sericea, grisea, vestilus; fronte reflexa, breviter marginala; antennis crassis, nigris ; prothorace conico, tumido, fortiler minus dense punctalo, basi breviler sulcato, angulis posticis parvis, vix carinalis; elytris thorace lativribus, cylindricis, ultra medium parallelis, punctato-striatis, intersiiliis convexis, punclalis ; sub- tus niger, nilidus, pedibus nigris. Long. 14 mill., lat. 4 1/, mill. Cauca. Du voisinage de l’anthracinus. J'en dois la connaissance à M. Schwarz. (50) A. INSOLITUS, — Depressus, lestaceus, nilidus, sparsim hirsutus ; antennis nigris, dimidio corporis longitudine; fronte nigra, antice breviter marginata et impressa ; prothorace parvo, depla- nato, vix punclulato, disco nigricanti, angulis posticis carinatis ; scutello obscuro; elytris strialis, striis punclis fusco-areolatis notato, apice parum attenualis ; sublus, thorace excepto, pedesque nigri. Long. 40 mill., lat. 2 */, mill. Bolivie ; La Paz. Bien que les antennes ne dépassent pas en longueur la moitié du corps, cette espèce peut être rangée dans la deuxième section du genre. Elle est très caractérisée par la brièveté de son corse- let, ses poils fauves, rares et hérissés, sa forme déprimée, peu atténuée en arrière, etc. J'en possède plusieurs exemplaires que je dois à M. Stau- dinger. SPILUS. S. nigricans. — Obscure rufescens, nitidus, fulvo-pubescens ; prothorace longitudine latiore, sparsim punctato; elytris a basi gradatim nigricantibus, punctato-substriatis ; sublus concolor. Long. 12 mill., lat. 3 ‘/, mill. Vénézuéla; Orinoco. La verticalité des bords de la fossette mésosternale est carac- téristique du genre Spilus. Sa couleur rougeâtre en avant, pas- sant graduellement au noir en arrière, aussi bien en dessous qu’en dessus, le fera facilement reconnaitre. ATRACTODES. À. CASTANEUS. — Castaneus, subnitidus, griseo-pubescens, pro- thorace brevi, conico, trapezoidali, deplanato, poslice leviter sulcato, punctato, angulis posticis distincte carinatis; elytris É (51) thoracis latitudine, punctatis et leviter punctato-striatis ; pedibus flavis. Long. 14 mill, lat. 4 !}, mill. Brésil ; Bahia. Il se rapproche beaucoup du conicicollis, mais ce dernier a les angles postérieurs du prothorax totalement privés de carènes, tandis qu'iei elles sont très bien marquées. Il est beaucoup plus poilu que le carinatus et d’une autre couleur. C'est le seul avec lequel ses angles carénés pourraient le faire confondre. EUDACTYLITES. MELANTHOIDES. M. partTitus. — Niger, parum nilidus, breviler pubescens ; fronte plana, porrecta, punctata ; antennis rufis ; prothorace lati- tudine longiore, basi apiceque angustato, depresso, confertim punclato, obsolete canaliculato, angulis posticis acute carinatis ; elytris depressis, punclalo-striatis, villa lala, rufo-ferruginea, extus ornalis ; Subtus niger, pedibus testacets. Long. 41 mill., lat. 5 mill. Tonkin. La suture des élytres est largement couverte de noir, comme chez le M. suturalis, dont, à cela près, il diffère beaucoup, notamment par la couleur noire du prothorax. M. BOMAENSIS. — Ferrugineo-brunneus, haud nitidus, brevis- sime cinereo-pilosulus ; fronte parum convexa, granulata ; pro- thorace latitudine longiore, apice paulo angustato, creberrime punclato, angulis posticis brevibus, haud divaricalis, breviter carinatis ; scutello quadrato ; elytris thoracis latitudine, brevibus, punctalo-siriuiis, interstitiès granulatis ; pedibus pallidis. Long. 6 mill., lat. { ?/, mill. Congo; Boma. (32) Il ressemble beaucoup au Melanthoides Gestroi, espèce de Zanzibar, retrouvée depuis au Gaben, mais bien distinct par les angles du prothorax qui sont ici beaucoup plus courts et nulle- ment divergents. Les élytres sont relativement plus courtes. Un exemplaire trouvé par M. Tschoffen. GLYPHEUS,. G. pecoraTus. — Niger, nilidus, parce pilis tenuissimis, longs, erectis, sparsulus ; fronte concava; prothorace longiludine paulo latiore, parce punclalo, margine antice angulisque posticis diva- ricalis, nigro; elytris thorace latioribus fortiler punctato-striatis, maculis quatuor magnis corallinis; pedibus nigris. Long. 40 mill., lat. 5 mill. Australie. La quatrième espèce du genre, bien distinete par sa coloration variée et brillante. (Coll. Fleutiaux.) Je ne connais pas le G. alpinus Blakb. Victoria. Celui-ci serait-il identique ? Quant au G. Lansbergei, il n'a qu'une tache sur chaque élytre. MONOCRÉPIDIITES. MONGCREPEIDIUS. M. puccicuzus. — MWiger, nilidus, brunneo-pubescens ; antennis brunneo-testaceis ; prothorace latitudine paulo longiore, profunde punclato, angulis posticis relrorsum productis, carinalis ; elytris brevibus, planiusculis, punclato-striatis ; pedibus flavis. Long. 5 mill., lat. 4 */, mill. Bengale; Barwai. Aspect d'un Drasterius indus ou sulcatulus, le prothorax toutefois plus allongé et, d’ailleurs, présentant le caractère prin- cipal du genre Monocrepidius, c'est-à-dire une lamelle au qua- trième article des tarses. (55) M. riruncuzus. — Depressus, fusco-brunneus, pubescens; pro- thorace latitudine longiore, parallelo, confertissime punctulato, angulis poslicis retrorsum produclis, acute carinatis; elytris thoractis latitudine, parallelis, depressis, punctato-striatis; pedibus pallidioribus. Long. 5 mill., lat. 4 '/, mill. Java. Petite espèce unicolore, à placer à la suite du prionurus; sans uaractères bien tranchés. M. EVANESCENS. — Fusco-niger, subnitidus, pubescens ; fronte æqualiter convexa et punclata; antennis obscuris, basi rufis; prothorace lalitudine longiore, subcylindrico, angulis posticis rufescentibus; elytris profunde punctato-striatis, prothorace haud duplo longioribus, dimidia parte antica rufescente, fascia media cinereo-pubescente ornalis ; pedibus flavis. Long. 5 mill., lat. 4 ‘/, mill. Kina-Balu ; ile Banguey; au nord de Bornéo. Cette jolie petite espèce est colorée de la même façon que les M. centralis, fasciatus et discoïdalis, c'est-à-dire que le milieu des élytres est traversé par une bande rougeâtre couverte de poils blancs. Elle est toutefois beaucoup plus petite; ses élytres sont ou rougeàtres dans leur partie antérieure, ou parfois entiè- rement noires. J’en ai vu un grand nombre d'exemplaires, communiqués par M. Staudinger. M. anpicoLa. — Flavus, pubescens; fronte nigra; antennis brunneis ; prothorace latitudine longiore, crebre inæqualiter punc- tato, vitia media nigro-brunnea, angulis posticis extus carina lenui nolalis ; elytris subdepressis, punclato-striatis, macula rec- tangulari communi basi, altera lacerata versus apicem, margi- 61 ( 54) neque externa nigro-brunneis; sublus obscurus, pedibus flavis. Long. 9 mill., lat. 2 5/, mill. Bolivie; La Paz; Chaco. À rapprocher du vespertinus. Il varie beaucoup suivant la grandeur ou la réduction des taches noires sur les élytres. J'en ai vu un grand nombre communiqué par M. Staudinger. ÆOLUS. Æ. quinarius. — Dilute luteo-aurantiacus, concoloriter pubes- cens ; oculis nigris; fronte fortiler punclata; prothorace latitu- dine paulo longiore, medio puncto nigro; scutello nigro; elytris punctato-striatis, puncto ante, fascia abbreviata ultra medium, nigris. Long. 7 mill., lat. À 5/, mill. Bahia. De la première section. Les cinq taches noires du prothorax et des élytres sont toutes très petites, les trois antérieures poncti- formes, les postérieures en fascies courtes. Tout le corps, y com- pris la tête, les antennes et les pattes, sont d'un jaune-orange clair. Æ. PALLIATUS. — Depressus, niger, griseo-pubescens ; antennis longiusculis, pallide brunneis; fronte nigra; prothorace latitu- dine longiore, crebre punctato, angulis posticis divaricaiis, rufis; elytris punctalo-strialis, interstilits rugulosis, dimidia parte antica rufa; pedibus rufis. Long. 6 mill., lat. À */, mill. Amérique méridionale. Je n'ai pas d'indication plus précise de la patrie. de le fais connaître néanmoins à cause de la coloration mi-partie de rouge et de noir des élytres qui le rend très reconnaissable. Il se range dans la seconde section. ( 55 ) Æ. DISTIGMA. — Niger, griseo-pubescens; antennis flavis; prothorace latitudine longiore, crebre punctato, angulis posticis longiusculis, apice extrorsum flexis ; elytris apice rufiss pedibus flavis. Long. 8 mill., lat. 2 ‘/, mill. Lagoa Santa; Minas Geraes. Fort voisin du Mannerheimi dont il ne diffère guère que par l’absence de tache au milieu des élytres. Il appartient à la deuxième section. Æ. uIBERALIS. — Ferrugineo-testaceus, pubescens; antennis brunneis; prothorace latitudine longiore, fortiter, minus dense punctaio, vilta media nigra; elytris fortiter punclato-striatis, macula suturali ad basin fasciaque ultra medium nigricantibus ; pedibus flavis. Long. 44 mill., lat. 5 mill. Paraguay. De taille au-dessus de la moyenne pour le genre; il est très voisin de l’Æ. nobilis. La couleur différente du protorax l’en distingue à première vue. ZÆ. VENTRICOSUS. — Crassiusculus, testaceo-luteus, pubescens ; antennis articulo primo excepto nigris; prothorace latitudine longiore, valide punctato, vitia lata media nigra notato ; elytris convexis, ultra medium parallelis, fortiter punctato-striatis, vitta brevi, suturali, communi, punclisque quatuor posticis nigris; subtus pedibusque concoloribus. Long. 12 mill., lat. 3 mill. Brésil. Se place à la suite du liberalis, parmi les grandes espèces de la deuxième section. (56) Æ. MACILENTUS. — Angustus, niger, nitidus, parce pubescens ; antennis brunneis; prothorace latitudine sesqui longiore, fortiter punclato; elytris depressis, .fortiter punetato-striatis, interstiliis convexis ; pedibus rufo-testaceis. Long. 45 mill., lat. 2 */; mill. Brésil. Du groupe des variolatus, trachypygus et brunneus ; se rap- proche du second, mais il est plus étroit, indépendamment d’autres caractères. HRETERODERES. H. pipcorricaus. — Brunneus, depressus, pubescens; pube magnitudine duplici; prothorace latitudine paulo longiore, angu- lis posticis valide carinatis; elytris punctato-striatis, intersti- tiis leviter convexis ; subtus nigricans, sericeus; pedibus flavis. Long. 12 mill., lat. 5 ‘/, mill. Abyssinie ; Alitiéna. Sa taille est grande pour le genre. Il a l'aspect soyeux et la couleur uniforme des grandes espèces de l'Inde. Sa pubescence consiste en un fin et très court duvet brun, qui lui communique sa teinte et sur lequel se détachent des poils un peu plus gros, régulièrement disséminés. Il m'a été donné par M. Thiéry. ÉLATÉRITES. DRASTERIUS. D. severus. — Niger, opacus, nigro-pubescens ; fronte æquali- ter convexa, rufa; antennis articulis tribus primis obscure rufis ; prothorace latitudini longitudine æquali, crebre, lateribus cre- (37) brèus et umbilicatim punctalo, lateribus sanguineo; elytris punc- tato-striatis, interstitiis granulalim punciatis. Long. 4 mill., lat. 4 '/, mill. Java. Cette espèce est généralement plus opaque que les autres Drasterius. Elle a été trouvée dans les environs de Buitenzorg par M. Pasteur. MEGAPENTHES. M. PERDITUS. — Brunneo-niger, opacus, leviter pubescens ; pro- thorace latitudine longiore, creberrime punctis minutis, umbili- catis, adsperso, angulis posticis retrorsum productis, brevibus, bicarinatis ; elytris brevibus, punctato-substriatis, interstitiis granulatis, basi rufo-guitulatis; antennis pedibusque testaceis. Long. 8 mill,, lat. 2 mill. Afrique occidentale ; Ogoowé. Les deux petites taches rouges du bord basilaire des élytres, indépendamment de sa couleur et de la forme des angles posté- rieurs du prothorax, lui donnent tout à fait l'aspect d’un petit M. bilæsus. Je dirai, à ce propos, que le M. bilæsus a été signalé comme glabre, dans la description qui en a été faite autrefois. Ce carac- tère est erroné et ne peut s'appliquer qu'aux individus frottés. Le Megapenthus bilæsus a, en effet, les poils fort caducs, mais les individus frais sont visiblement pubescents. ; M. BisTRiGATUs. — Minutus, ferrugineus, pubescens ; antennis brevibus, brunneis; prothorace brevi, subtilissime punctato, obscure maculato; elytris thorace latioribus, punclato-substriatis, ab humeris villa pallidiore, medium versus evanescente, vage nolalis. Long. 5 mill., lat. À mill. Ile de la Réunion. (38 ) Petite espèce ayant l'apparence d'un de nos Adrastus com- muns. La tache pâle qui, partant des épaules, s'étend en s’éva- nouissant jusqu’au milieu des élytres, est son caractère le plus saillant. M. ZaANziBARICUS. — Prunneus, parum nitidus, Fubescens ; antennis brevibus; prothorace latitudine paulo longiore, punctis umbilicatis crebre notato, angulis posticis exlus breviter carina- tis ; elytris thoracis latitudine, parallelis, punctato-striatis, inter- stiliis rugulosis; pedibus brunneo-testaceis. Long. 8 mill., lat. 4 ‘/, mill. Dar-es-Salam. Facies d’Agriotes, notamment de l'A. oblongicollis des États- Unis. M. uereronoxus. — Testaceus, breviter flavo-pubescens ; fronte nigrescente, medio longitrorsum carinatazs prothorace longitu- dine latiore, crebre sat fortiter punctalo, angulis posticis valde unicarinalis, nigro quadrimaculatis; elytris prothorace paulo angustioribus, brevibus, punctato-striatis, interstitis granulatis, apice integris. Longs. 6 mill., lat. 4 ‘/, mill. Singapore. Les quatre taches noires du prothorax sont situées dans Îa moitié antérieure de celui-ci et placées en une seule rangée transversale. M. LowcicoLLis. — Fusco-brunneus, subnitidus, parce albido- squamulosuss prothorace latitudine longiore, basi apiceque leviter angustalo, æœqualiter punctato; elytris serialim punctalis. Long. 4 mill., lat. 4 1}; mill. Bengale; Barwai. per PE So CEE (59) Son caractère essentiel réside dans la longueur du prothorax qui l'emporte visiblement sur sa largeur. Il est aussi beaucoup moins opaque que les autres espèces du même genre. M. ALTITUDINUM. — Elongalus, rufo-testaceus, opacus, pubes- cens ; prothorace latitudine longiore, parum dense punctalo, angu- lis posticis divaricatis, acute unicarinatiss elytris prothorace paulo latioribus, parallelis, punctato-strialis, interstitiis granu- latis, apice integris. Long. 12 mill., lat. 2 ‘/, mill. Java occidental. Sans caractères bien tranchés ; allongé, entièrement rougeûtre, opaque, à angles postérieurs du prothorax divergents et unica- rénés, les élytres parallèles et entières au bout. J'en ai vu un exemplaire pris par M. Frubstorfer, en août, sur le mont Gédé, à une altitude de 8,000 pieds. } M. cirGens. — Niger, parum nitidus, tenuiter pubescens ; fronte apice rufescentes prothorace latitudine paulo longiore, a basi arcuatim angustato, crebre punctalo, margine antico rufescente, angulis posticis flavis ; elytris flavescentibus, sutura margineque anguste nigris, punctalo-strialis; sublus cum epipleuris, nigris, pedibus flavis. Long. 6 mill., lat. 4 ’}, mill. Java ; Bornéo septentrional. Voisin du M. dorsalis. On l'en distinguera à la couleur du dessous du corps, qui est toujours noir, de même que les épi- pleures des élytres, tandis que ces parties sont d’un flave rou- geâtre chez le dorsalis. On ne le confondra pas non plus avec les tractibilis et infumatus de Sumatra, avec lesquels il a des rapports de taille et de couleur. M. inronmarus. — Sordide testaceus, elongatus, parum nitidus, pubescens; antennis obscuris; prothorace latitudine longiore, ( 40 ) æqualiter punctulato, vitlis quatuor obscurioribus vage notato, angulis posticis unicarinalis; elytris punctalo-striatis, apice emarginatis, basi excepla nigricantibus ; pedibus pallidis. Long. 8 mill., lat. 1 5}, mill. Java occid.; Toegoe. A placer dans le voisinage du confaminatus. Les bandes obscures du prothorax sont peu marquées et ne se distinguent de la couleur plus claire du fond qu'au moyen de la loupe. Par- fois elles s’élargissent et reduisent celle-ci à quatre lignes testa- cées faiblement indiquées. Je l’ai reçu de M. Pasteur. M. coaLescENs. — Testaceus, dense cinereo pubescens ; fronte convexa, fortiler punctatas prothorace latitudine longiore, paral- lelo, subcylindrico, dorso æquali, crebre punctato, medio longi- trorsum nigricante, angulis posticis bicarinatis: elytris protho- race vix lalioribus, tenuiter punctato-strialis, apice singulatim anguste emarginatis ; sublus pedibusque concoloribus. Long. 14 mill., lat. 5 '/, mill. Bornéo occidental ; Sintang. Peu différent du junceus dont il a la taille et la couleur, avec cette légère différence que celle-ci est toujours plus claire. En outre, la bande noirâtre médiane est plus étroite et mieux mar- quée. Il représente l'espèce en question à Bornéo. M. viRGULATUS. — Niger, opacus, parce brunneo-pubescens ; antennis breviusculis, nigris; prothorace latitudine haud longiore, apice lantum angustalo, creberrime punclato, angulis posticis brevissime carinalis; elytris parum elongatis, punclato-striatis, interstiliis convexis, paulo nitidioribus, flavo-viltatis; subtus griseo-pubescens, pedibus testaceis. Long. 7 mill., lat. 2 mill. Bornéo septentrional ; Kina-Balu. Lin Mi ie 2 ES ee. x (41) La bande jaune, étendue sur les 3"° et 4° intervalles des stries des élytres, est plus ou moins réduite et peut ne consister qu'en une tache basilaire. Cette ligne jaune est plus rapprochée de la suture que chez les M. ligatus, præligatus et hirtus qui présentent le même dessin, mais où le 5"° intervalle reste noir. J'ai donné à la variété à tache jaune réduite le nom de A1. vir- gulatus var. asper. M. miser. — Brunneus, opacus, dense cinereo-pubescens ; pro- thorace latitudine paulo longiore, crebre punctato, tumido, medio canaliculato, angulis posticis distincte bicarinatis ; elytris thoracis latitudine, ad basim lutescentibus, punctato-striatis, interstilits rugose punclalis, apice integris ; sublus cum pedibus concoloribus. Long. 12 mill., lat. 5 mill. Bornéo ; Kina-Balu. Voisin des epitrotus et pauper; plus densément pubescent, ce qui lui communique une teinte générale grise; les angles du prothorax plus distinetement bicarénés. M. monacuus. — Ælongalus, angustus, brunneus, parum nili- dus, cervino-pubescens ; prothorace latitudine longiore, crebre æqualiler punctalo, angulis posticis bicarinatis; elytris paralle- lis, subcylindricus, fortiter puncialo-striatis, apice anguste emar- ginalis. Long. 14 mill., lat. 2 mill. Bornéo septentrional ; Kina-Balu. A placer à la suite du macilentus. M. sexmacuLaTus Cand., Notes of Leyd. Mus., XII, 1899, 244. Indiqué comme de Sumatra. On le rencontre aussi à Java, d'où il m'a été envoyé par M. Pasteur. (42) M. MAcERATUS. — Angustus, subcylindricus, opacus, dense pubescens; prothorace latitudine multo longiore, parallelo, con- fertim punctato, angulis posticis obtuse bicarinaiis, haud divari- catis; elytris thoracis latitudine, parallelis, punctato-striatis, interstiliis planis, basi rugulosis, apice emarginatis. Long. 10 mill., lat. 2 ‘/, mill. Balabak. ° Par sa forme étroite et allongée, cette espèce se rapproche des M. macilentus et punctulatus de Java, mais il a un aspect mat que n’ont pas les espèces ci-dessus. M. concesTus. — Angusto-elongatus, subcylindricus, brunneus, fulvo-pubescens; antennis nigris; prothorace latitudine longiore, crebre punctalo, antice tumido et latiore, angulis posticis breviter bicarinatis; elytris thorace subangustioribus, punctato-striaiis, basi dilutioribus, apice late emarginatis ; sublus pedibusque nigris. Long. 10 mill., lat. 2 ‘/, mill. Balabak. Voisin du M. inflatus des iles Babuyanes, le corselet plus renflé en avant, les élytres jaunissant à la base, les antennes et le dessous du corps y compris les pattes, noires. L’extrémité des élytres est aussi plus échancrée. MELANOX ANTHUS,. M. unicozor. — Omnino niger, sat nitidus, brunneo-pubes- cens; fronte convexa, medio longitrorsum carinata; antennis brunneo-ferrugineis; prothorace latitudine vix longiore, punc- lato, angulis posticis haud divaricatis, acutis, valde carinatis ; elytris prothorace paulo angustioribus, punciato-striatis, apice integris, attenuatis; laminis coxalibus posticis fortiter dentatis ; pedibus brunneo-ferrugineis. Long. 7 mill., lat. 2 '/, mill. Java occidental; Toegoe. À j) 7 (45 ) Les genres Megapenthes et Melanoxanthus, dont les types sont bien tranchés, montrent des espèces intermédiaires. Celle-ei est de ce nombre. M. QUADRIVITTATUS. — Obscure testaceo-ferrugineus, opacus, parum distincte pubescens ; prothorace nigro-quadrivittato, crebre punctato; elytris punctalo-striatis, lateribus nigricantibus. Long. 3 mill., lat. 5/, mill. Java occidental; Toegoe. Ces deux espèces m'ont été données par M. Pasteur. M. comes. — Niger, opacus, pubescens; antennis nigris; prothorace latitudine paulo longiore, confertissime punctato, luteo, plaga ovali antica nigra notato; elytris luteis, parallelis, punctaio-striatis, apice nigris. Long. 7 mill., lat. fere 2 mill. Balabak. Il ressemble au melanocephalus. Plus étroit, plus opaque, la tache noire prothoracique ovale et plus courte, moins acuminée en arrière. Enfin, le métathorax et l'abdomen sont noirs, tandis que cette partie du corps est jaune chez le snelanocephalus. M. pecemnorarTus Cand., Ann. Mus. Gênes, XII, 196. Var. Prothorace rufescente. Cette variété a été trouvée à Java, dans les montagnes, à 4,000 pieds d'altitude, par M. Fruhstorfer. Elle diffère du type par le corselet rougeàtre, et non noir. M. pirripcex. — Niger, subopacus, nigro-pubescens ; protho- race convexo, angulis posticis flaviss elytris brevibus, conicis, strüs fortiter punctatis, macula flava basali, altera paulo ultra (44) medium discoidali et transversa flavis, ornatis; femoribus nigris. Long. 7 ‘/, mill., lat. À mill, Ile Banguey, au nord de Bornéo. Voisin du decemmaculatus. Noir, presque opaque, orné de six petites taches d’un jaune très clair, y compris celles des angles postérieurs du prothorax. M. uncixarTus. — Niger, subopacus, nigro-pubescens ; protho- race convexo, angulis posticis luteis; elytris brevibus, conicis, striis fortiter punctatis, macula basali, extus ab humeris deinde in disco recurva, allteraque ultra medium subquadrata flavis, ornatis ; pedibus flavis. Long. 4 mill., lat. 4 ‘}, mill. Ile Banguey. Diffère du précédent par la forme des taches des élytres. On le trouve aussi à Java, d'où un spécimen, pris près de Buitenzorg, m'a été envoyé par M. Pasteur. M. rracrus Cand., Élat. nouv., fase. II, 28. Indiqué autrefois comme de Pénang. J'en ai vu récemment de très nombreux spécimens provenant du même pays que les précédents, et deux exemplaires trouvés à Java par M. Pasteur. M. minurus. — Niger, opacus, breviter pubescens ; prothorace latitudini longitudine æquali, æqualiler convexo, sat confertim punctato, angulis posticis flavis ; elytris flavo-quadrimaculatis ; pedibus testaceis. Long. 3 mill., lat. À mill. Ile Banguey. Var. Prothorace rufescente, plus minusve nigro-maculato. Il est fort voisin du M. quadrillum. C’est l’un des plus petits LEE NET A p: (45) du genre. Les quatre taches des élytres sont de même dimen- sion, ovales et obliques en sens inverse. La variété se rapproche beaucoup du précédent. J'en ai vu un nombre très considérable d'exemplaires. M. rixosus. — Niger, opacus, parum visibiliter pubescens; pro- thorace lalitudini longitudine æquali, confertim punctato, angulis posticis flavis; elytris flavo-quadrimaculatis, maculis anticis basim attingentibus ; pedibus testaceis. Long. 5 mill., lat. À mill. Ile Banguey. Voisin du minutus. On l'en distinguera aisément par la forme des taches des élytres dont les antérieures couvrent la base, tan- dis que chez le minutus les taches sont toujours à distance de cette dernière. M. exiTiosus. — Niger, opacus, breviter pubescens; antennis nigris, basi rufis; prothorace latitudini longitudine æquali, æqua- liter convexo, creberrime punctato, angulis posticis flavis; elytris brevibus, punctato-striatis, interstitiis rugosis, maculis quatuor flavis, anticis reniformibus, posticis rotundatis ; pedibus testaceis. Long. 5 mill., lat. vix À mill. Ile Banguey. La tache réniforme antérieure, qui se voit sur chaque élytre, est placée longitudinalement, sa concavité en dehors. M. rusus. — Niger, opacus, breviter, flavo-pubescens ; protho- race subquadraio, antice paulo ampliato, confertissime punctato, disco œqual, angulis posticis flavis ; elytris flavis, apice gradatim nigrescentibus; pedibus obscuris. Long. 5 ‘/, mill., lat. 4 */; mill. Ile Banguey. (46) Il ressemble à l'infimus de Mindanao. Chez celui-ci, toutefois, le jaune des élytres est brusquement limité en arrière, tandis que chez le fusus la couleur en question passe insensiblement au noir à l'extrémité. En outre, les pattes ou au moins les cuisses sont ici obscures. M. RecreaTus. — Niger, opacus, breviler flavo-pilosulus; an- tennis basi rufis; prothorace latitudini longitudine æquali, con- vexo, crebre punctalo, ad margines rufescente; elytris punctato- siriatis, interstitiis rugulose punclalis, flavo-quadrimaculatis ; pedibus flavis. Long. 4 ‘}, mill., lat. 4 ‘/, mill. Ile Balabak. Marqué de quatre taches jaunes comme le minuius, mais ces taches plus petites et placées transversalement; sa taille est aussi sensiblement supérieure. M. sincuzaris. — Niger, opacus, rugosus, fere glaber; antennis nigris; prothorace antice angustato, punclis umbilicatis confer- tissime notalo, angulis posticis rufis; elytris brevibus, postice acuminatis, punctato-striatis, interstiliis basi granulatis, macula media, ovali, in utroque, flava; pedibus nigris. Long. 4 mill., lat. 4 ‘/, mill. Ile Balabak. J'en ai vu de nombreux exemplaires, de même que du pré- cédent, qui m'ont été envoyés par M. le docteur Staudinger. : PHYSORHINITES. PORTHMIDIUS. P. parvicouuis. — Minutus, niger, nitidus, pubescens ; protho- race longitudine latiore, antice globoso, sat fortiter haud dense (47) punctato, angulis posticis indistincie carinatis ; elytris protho- race paulo latioribus, sat profunde punctato-striatis, interstitis fortiter punciatis. Long. 4 mill., lat. À ‘/, mill. Darjeeling; Kurseong. Les articles 2 et 3 des antennes sont ici petits et égaux, carac- tère qui distingue les Porthmidius des Anchastus, ces derniers ayant le troisième article aussi grand que le quatrième. La différence est peu importante et les deux genres pourraient être réunis sans inconvénient, pour ne faire que deux sections d’un seul. ANCHASTUS. À. rALSus. — Rufus, parum nitidus, pubescens ; antennis, basi excepta, nigris; prothorace latitudini longitudine æquali, con- fertim punclato, angulis posticis bicarinatis ; elytris nigris, vix striatis, subgranulatis ; sublus pedibusque rufis. Long. 9 mill., lat. 2 ?°/; mill. 5 Bengale. La coloration générale rouge sombre, avec les antennes et les élytres seules noires, distingue cette espèce. A. imiTAns. — Obscure rufus, parum nitidus, pubescens; fronte antennisque obscuris; prothorace longiludini latitudine æquali, parce punctato, angulis posticis bicarinatis; elytris nigris, vix sirialis, subgranulatis ; subtus pedibusque rufis. Long. 9 mill., lat. 2 ?/; mill. Sumatra. Rouge, avec le front et les antennes obscurs, et les élytres noires. Sauf le front noir, la coloration est la même que chez le falsus, mais il est moins densément ponctué, (Ex) A. DIPLOCONOÏDES. — Niger, subnilidus, pubescens; fronte con- vexa, apice vix marginala; prothorace latiludine longiore, conico, confertim punclalo, angulis posticis parum carinatis ; elytris media parte antica, cum scutello, rufis, postice attenuatis, punc- tatis, vix striatis ; pedibus rufo-testaceis, tibiis infuscatis. Long. 11 mill. lat. 5 mill. Sumatra. Cet Anchastus n’a pas le facies habituel des espèces du genre. Il est plus étroit, plus allongé et ressemble, à première vue, à un Diploconus, avec tous les caractères bien marqués d’un Anchastus. À. CARINATUS. — Fuscus, pubescens; fronte longitrorsum acute carinata ; prothorace latitudini longitudine œæquali, a basi sensim angustato, parum dense punctalo, basi cum angulis acule cari- natis, testaceis ; elytris punctato-striatis, interstiliis plants, punc- tatis ; pedibus flavis. Long. 7 ’}, mill., lat. 2 mill. Sumatra. Caractérisé par la forte carène longitudinale qu'il porte sur le front et le divise. A. STRENUUS. — Rufo-testaceus, nitidus, fulvo-pubescens; pro- thorace latitudini longiludine æquali, basi angustato, minus dense punctulato, angulis posticis retrorsum productis, bicarinalis ; elytris punclato-substrialis, interstitiis planis, subrugose punc- tatis; sublus pedibusque concoloribus. Long. 10 mill., lat. 2 7h mill. Java. A placer à la suite du Castelnaui; plus allongé, moins ellip- tique, le prothorax de forme trapézoïde et moins densément et surtout moins fortement ponctué. (49 ) A. CARNEUS. — Rufo-brunneus, subnilidus, fulvo-pilosulus ; fronte, antice confertim, punctala; prothorace longitudine vix laliore, parce punclulato, postice fere punctis deslituto; angulis posticis longe unicarinatis ; elytris thoracis latiltudine, seriatim punctatis, interslilits planis parce punctulatis ; pedibus rufis. Long. 12 mill., lat. 5 '/, mill. Java. Grand pour le genre. Aspect d'un Physorhinus distigma sans taches jaunes. Caractérisé par la ponctuation du prothorax pres- que effacée au milieu et en arrière. A. FEBRICULOSUS. — Rufo-lestaceus, haud nitidus, pubescens ; antennis articulo terlio quarlo æquali; prothorace longitudine paulo laliore, a basi arcuatim angustato, punctis subumbilicatis, parum conpressis, notalo, angulis posticis carina destilutis ; ely- tris thoracis lalitudine, punctato-striatis. Long. 6 mill., lat. 1 ?/, mill. Gabon. La nature de la ponctuation du prothorax et l’absence de carène aux angles postérieurs du même, sont les caractères prin- cipaux de cette petite espèce, dont la place est à la suite du Ælugi. A. \IRGATUS. — Brunneus, nitidus, fortiter pubescens; protho- race longitudine latiore, a basi arcuatim angustato, punctato, angulis posticis non divaricalis, testaceis, acule. unicarinalis ; elytris fortiter punctato-strialis, interstitiis granulats, villa dor- sali lestacea maculatis. Long. 6 mill., lat. fere 2 mill. Pérou; Huanaco. Forme et taille du benignus, à côté duquel on le placera. 4 (50 ) POMACHILIITES. POMACHILIUS. P. BiparTiITUS. — Séramineus, nilidus, albo-pilosus; fronte for- liler punclala anlennisque nigris; prothorace latitudine paulo longiore, fortiter, lateribus densius punclato; vitla media nigra; elytris punctalo-striatis, apice fortiter emarginalis et spinosis, apice el sutura cum sculello nigris; subtus niger, pedibus nigris, femoribus parlim flavis. Long. 12 mill., lat. 5 mill. Chaco. Cette espèce a les élytres aussi fortement échancrées et épi- neuses au bout que le P. hyosurus. Son système de coloration est semblable à celui du suturalis. P. ceNTRaALIS. — Ligneus, nilidus, pubescens ; fronte nigra, prothorace latitudine vix longiore, basi coarctato, subtiliter minus dense punctalo, angulis posticis lenuibus, divaricatis; elytris prothorace latioribus, punclato-striatis, basi cum scutello sutura- que nigris, apice vix emarginalis ; subtus obscurior. Long. 10 mill., lat. 2 !/, mill. Chaco. A placer à la suite du suturalis. Je tiens ces deux intéressantes espèces de M. le D’ Staudinger. P. monranus. — Sordide fuscus, subnitidus, pubescens; pro- thorace latitudine longiore, a basi angustato, punctalo, margini- bus testaceis ; elytris teslaceis, punclato-striatis, apice singulatim bispinosis, spina externa longiore; subtus fuscescens, abdomine pallidiore, pedibus teslaceis. Long. 10 mill., lat. 2 mill. Andes boliviennes ; San-Marcos. à dé ie ntm à (51) Sans caractères tranchés. Il se rapproche, par sa coloration, des cuspidatus et suluralis. P. GRaciis. — Anguslus, niger, flavo-pubescens, sericeus ; - fronte convexa, margine rufescente; antennis nigrts, articulo primo rufo; prothorace longo, parallelo, confertissime punctu- lato, margine antico rufo; elytris prothorace paulo latioribus, punctalo-strialis, dimidia parte antica, sulura excepla, leslacea, apice emarginalis ; sublus niger, abdomine apice rufescente, pedi- bus testaceo brunneis, femoribus basi pallidioribus. Long. 10 mill., lat. 1 '}, mill. Porto-Cabello. Voisin du cuspidatus, mais beaucoup plus étroit et l'extrémité des élytres fortement échancrée, sans être épineuse. P. pugius. — Niger, subnitidus, pubescens; antennis rufescen- libus; prothorace latitudine vix longiore, confertim punctato, angulis posticis rufescentibus; elytris apice vix emarginatis, tes- taceis, lerlia parte media nigris ; pedibus pallidis, tarsis simpli- cibus. Long. 5 mill., lat. 4 !}, mill. Brésil. La présence d’une lamelle au troisième article des tarses est un des caractères essentiels du genre Pomachilius. À ce compte, celui-ci qui a les tarses simples, comme les Cosmesus, devrait en être exclu. Mais, par son front marginé, son facies, ete., il a sa place indiquée parmi les Pomachilius, où il constitue une forme aberrante. POMACHILIOIDES (n. £.). Frons convexa,-margine antico regulariler arcuato, medio fere -_immarginata. ; (52) Antenne filiformes, longiusculæ. Prosterni suture laterales rectæ, latæ, lævigatæ. Laminæ coxales posticæ intus dilatate, angulares. Pedum articulus tertius laminalus. Ce genre représente les Pomachilius aux Indes crientales. II ne comprend jusqu'aujourd'hui que l'espèce suivante, qui ne diffère génériquement des vrais Pomachilius, tous américaine, que par son front moins fortement rebordé, les bords de la fos- sette mésosternale moins saillants, la lamelle des hanches pos- térieures plus élargie en dedans et plus anguleuse, différences légères, à la vérité, mais auxquelles se joint la particularité de l'habitat. P. LupuroRmIs. — Ferrugineus, paruim nilidus, fulvo-pubes- cens ; antennis nigris, arliculo tertio secundo longiore, quarto minore; prothorace latitudine longiore, a basi angustato, crebre, subtilissimeque punctato, angulis posticis bicarinatis; elytris basi thorace paulo lalioribus, substriatis, punctatis, apice singulatim emarginalis ; femoribus ferrugineis, tibiis tarsisque nigris. Long. 9 mill., lat. 2 mill. Sumatra. Elatéride intéressant en ce qu'il est, avec l'Eschatroxus holo- sericeus, le seul représentant de la tribu des Pomachiliites aux Indes orientales. Il a le facies d'un Pomachilius unicolore avec quelque chose d’un Ludius ou d'un Aphanobius. CRYPTOHYPNITES. CRYPTOHYPNUS. C. cAcHEMIRENSIS. — Latiusculus, crassus, fusco-æneus, opacus, parce fulvo-pubescens ; fronte lata; prothorace latitudint longitu- dine æquali, apice a medio paulo anguslato, vix visibiliter punc- (55 ) tato, disco, post medium, transversim leviter eleralo, angulis posticis obsolete carinatis; elytris thoracis latitudine, brevibus, tenuiler strialis, striis non punclalis. Long. 5 mill., lat. 2 1}, mill. Cachemire. D: la taille et un peu de l'aspect du riparius, mais opaque, à peine ponctué. A placer à la suite du gibbus. C. PuLvEREUsS. — Niger, parum nilidus, cinereo-pubescens ; fronte valde convexa ; antennis nigris; prothorace convexo, punc- tulalo, angulis posticis haud carinatis ; elylris prothorace angus- tioribus, brevibus, strialis, striis haud punctatis ; pedibus flavis. Long. 1 */; mill., lat. ?/, mill. Annam, Du groupe de l'arcticus. Caractérisé surtout par l'ampleur relative du prothorax et la brièveté des élytres. Les antennes sont noires et les pieds jaunes; les angles postérieurs du pro- thorax ne sont pas carénés et les élytres, étroites, ont des stries non ponetuées. C. scrus. — Brevis, latus, obscure testaceus, nilidus : fronte nigra; antennis fulvis; prothorace longitudine lâtiore, lateribus arcuaio, regulariter punclulato, angulis posticis lenuissime longe carinalis ; elylris prothorace vix sesqui longioribus, subtilissime strialis, convexis. Long. À '/, mill., lat. ?/; mill. Java occidental ; mont Gédé, 8,000 picds. Cette petite espèce est du groupe du minulissimus, caractérisé par la longueur des carènes des angles postérieurs qui limitent latéralement le disque du prothorax ct font l'office des sutures latérales, lesquelles sont reportées en dessous. J'en ai vu deux spécimens trouvés, en août, par M. Fruhstorfer. (54) ARRHAPHES. A. LUTEIPES. — Aer, opacus, nigro-pubescens, prothorace latitudine longiore, apice tantum angustato, granulato, angulis posticis carinalis, carina intus directa; elytris parallelis, thorace duplo longioribus, punctato-striatis, interstitiis granulatis ; pedi- bus luteis. Long. 5 mill., lat. ‘/; mill. Mysore. Voisin de l'A. opacus, mais encore plus noir et plus mat, ce qui tient à sa pubescence obscure; plus grand et surtout plus allongé. A. GRANULATUS. — Aer, opacus, griseo-pubescens ; antennis rufis; prothorace latitudine paulo longiore, antice allenuato, crebre punctato, angulis posticis rufis; elytris prothorace paulo lalioribus, punctalo-strialis, interstiliis granulatis; pedibus rufis. Long. 3 mill., lat. vix 1 mill. Guinée. Les genres Arrhaphes et Hemirrhaphes ne comprenaient jus- qu'ici que des espèces asiatiques (!). Celle-ci, de même qu’un Hemirrhaphes décrit ci-dessous, sont les premières espèces afri- caines signalées. La grande obliquité de la carènc des angles postérieurs du prothorax est constante dans ce groupe et fait reconnaitre, à première vue, les Cryptohypnites qui le constituent. HEMIRRHAPHES. H. RuricouLis Cand., Comptes rendus de la Soc. ent. belge, 1892. Var. a. Elytris basi rufis. Cette variété, caractérisée par la base des élytres rouge comme (*) M. Champion signale le genre dans l’Amérique centrale. ( 55 ) le prothorax, et ne différant du type que par ce seul caractère, provient du même pays que lui. Cette couleur rouge envahit parfois les élytres jusqu’à la mai- . tié de leur longueur. H. FERRUGINEUS. — Ferrugineus, opacus, griseo-pubescens ; fronte nigra; prothorace latitudine longiore, parallelo, crebre punctato, medio canaliculaio ; elytris prothorace latioribus, punc- tato-striatis, sutura margineque nigricantibus. Long. 5 mill., lat. 4 ?/, mill. Java ; Buitenzorg. On le reconnaitra facilement à ses élytres parées latéralement de bandes noirâtres. Je l'ai reçu de M. Pasteur, qui l’a capturé « à Toegoe, à une altitude très élevée. H. pazuinus. — Testaceus, opacus, pubescens : fronte nigro- rufescente; oculis magnis ; antennis testaceis ; prothorace longilu- dine latiore, antice altenuato, nigro, linea media angulisque pos- ticis rufescentibus, dorso granulato, carinis angulorum intus flexis; elytris fortiter punctalo-strialis, interstitiis basi granu- latis, margine exlerno nigris; sublus rufo-brunneus, pedibus brevibus flavis. Long. 5 mill., lat. 4 mill. Gabon. CARDIOPHORITES. CARDIOPHORUS. C. GRUMUS. — Prunneus, haud nitidus, sat dense pubescens ; antennis dilulioribus; prothorace latitudini longitudine æquali, tumido, sublilissime punctato, sulcis basalibus angustis, longius- culis obliquis ; elytris convexis, fortiter punctato-striatis. inter- stiliis convertis ; pedibus teslaccis, unguiculis minutis, simplicibus. Long. 5-6 mill., lat. 4 '/,-4 5], mill. Zanzibar; Dar-es-Salam. ( 56.) Petite espèce entièrement brune, peu brillante et recouverte d'une pubescence grise. Ses ongles sont simples. Elle vient dans le voisinage du segnis dont elle diffère par plusieurs carac- tères. Il y a des individus à élytres d'un brun jaunâtre plus clair que le prothorax. J'en ai vu plusieurs exemplaires. C. assuLa. — Elongatus, fusco-brunneus, pubescens; protho- race latitudine paulo longiore, tumido, œæqualiter dense punctato, postice anguslato; elytris punctato-striatis, postice acuminatis ; unguiculis simplicibus. Long. 8-S mill., lat. 2 mill. Cafrerie. Taille, forme ct couleur du C. cognatus Er. dont il diffère essentiellement par la ponctuation du prothorax, égale et dense, tandis qu'elle est double dans l'espèce ci-dessus. C. vELLICATUS. — Fusco-brunneus, subnilidus, griseo-pubescens ; antennis teslaceis; prothorace longitudine paulo latiore, subqua- drato, disco œquali; elytris fortiter punctato-striatis, basi puncto flavo notatis; abdomine rufo; pedibus flavis, unguiculis simpli- cibus. Long. 5 ‘}, mill., lat. 4 mill. Congo; Boma. (Tschoffen.) Voisin pour la taille et la couleur du discipennis. C. picarius. — Niger, subnitidus, parce pubescens ; aniennis obscuris; prothorace latitudine paulo longiore, basi apiceque parum angustato, discrete lenuiler punctato, punctis angulorum anteriorum leviter umbilicatis, angulis posticis apice rotundatis, flavis ; elytris basi tantum striatis, deinde seriatim punctatis, 41 (357) interstitiis planis, ultra medium fascia obliqua, brevi, flava ; pedibus nigris, tibiis flavescentibus, unquiculis simplicibus. Long. 4 mill., lat. À mill. Gabon. Sa place est à la suite du C. octonotalus. C. LIBERATUS. — ARufo-brunneus, subnitidus, pubescens; pro- thorace longiludine latiore, æqualiter convexo, dupliciter punc- tato; elytris convexis, forliter punctato-strialis, flavo-testaceis ; unguiculis simplicibus. Long. 4 '}, mill., lat. { ‘/, mill. Ile Comores ; Mayotte. Var. a. Elytris plus minusve infuscatis. Petite espèce sans caractères bien tranchés, mais que son habi- lat tout spécial rendra facilement reconnaissable. Ma collection en renferme trois spécimens. C. LuTosus. — Fusco-niger, parum nilidus, griseo-pubescens ; antennis rufescentibus; prothorace longiludine paulo latiore, subtilissime dense æqualiler punctulalo, angulis anticis rufescen- tibus; elytris thorace latioribus, punctato-striatis, flavis, plaga dorsali, communi, infuscala:; pedibus testaceis, unguiculis sim- plicibus. Long. 6 mill., lat. fere 2 mill. Mayotte. Facies de Cardiotarsus. Le quatrième article des tarses ne peut être, toutefois, considéré comme cordiforme, bien qu'il soit piutôt élargi que grêle. L'espèce est donc intermédiaire entre les deux genres. Les élytres jaunes, marquées d’une tache noirâtre commune au milieu, la rend aisément reconnaissable. J'en possède une demi-douzaine d'exemplaires. (58) C. caupens. — Niger, obscuro-pubescens ; prothorace lalitudine vix longiore, convexo, crebre punctato; elytris punctalo-striatis, maculis quatuor flavis, minutis, ornalis ; unguiculis subdentatis. Long. 5 mill., lat. 4 '/, mill. Abyssinie ; Bogos. Mème aspect que le C. lætus, avec lequel on pourrait le con- fondre à première vue, grâce à ses élytres noires ornées de quatre petites taches d’un jaune clair. On l'en distinguera à la ponetua- tion fine et dense du prothorax, lequel a les angles noirs comme le disque, et à la pubescence qui n’est pas grise mais obseure ; ongles brièvement dentés. C. neBes. — Niger, parum nitidus, sublililer pubescens ; antennis brunneis ; prothorace latitudini longitudine æqual, basi apiceque angustato, dense æqualiter punctulato, haud sulcato, sulcis basalibus brevibus ; scutello ferrugineo; elytris dilute fer- rugineis, depressis, forliler punctato-strialis; sublus brunnes- cens, unguiculis dentatis. Long. 6-7 mill., lat. 4 5/,-2 mill. Bengale; Chota-Nagpore. À ranger dans le voisinage du stolatus. C. accuraTus. — Brunneus, nitidus, pubescens ; prothorace latitudini longitudine æquali, æqualiter punctalo; elytris sat convexis, prothorace lalioribus, punctato-striatis, interslilis con- vexis ; pedibus concoloribus, unguiculis dentatis. Long. 8 mill. lat. 2 ‘/, mill. Bengale ; Chota-Nagpore. Cette espèce se fait remarquer par sa couleur uniformément brune, son aspect assez luisant, ses élytres bombées dans leur ensemble, plus larges que le prothorax, finement, profondément el régulièrement striées. ( 59 ) C. HOLOSERICEUS. — Spissus, piceus, parum nilidus, dense cinereo-pubescens, pube thoracis holosericea ; antennis rufo-testa- ceis; prothorace latitudine paulo longiore, basi apiceque paulo angustiato, subinæqualiler punclato; scutello pilose albicanti ; elytris striis fortiter punctalis, plus minusve brunneis; ungui- culis dentatis. | Long. 40-11 mill., lat, 2 5/,-8 mill, Ceylan. Corps épais, d'aspect blanchâtre, ce qui est dû à la pubes- cence qui, en outre, est disposée en divers sens et moirée sur le corselet. Les élytres sont plus ou moins brunes ou mème rou- geûtres. [1 ressemble un peu au sobrinus et se place à côté. Il en diffère toutefois par le moiré des poils du corselet. M. Fleutiaux en a déjà parlé dans son travail sur les Élaté- rides de Ceylan, paru dans les Annales de la Soc. entom. de Fr. 1895, p. 272. C. marmoratus. — Niger, pube grisea marmoratim varie- gatus ; antennis nigris; prothorace œqualiter dense punclalo ; elytris prothorace paulo latioribus, subliliter punctato-strialis ; unguiculis dentalis. Long. 5 1}, mill., lat. 4}, mill. Sumatra. Les ongles dentés et la disposition de la pubescence rangent celte espèce auprès du C. nebulosus, mais la vestiture est plus visible et partant, l’insecte parait plus marbré. Cette vestiture est disposée de la manière suivante : les poils, d’un gris légère- ment fauve, sont plus denses sur les angles du prothorax, de même que vers la ligne médiane ; aux élytres, on remarque cinq points à l'extrémité où la pubescence est noire. Les pattes sont d’un jaune-rouge clair. C. rALLAcIOSUS. — Prunneus, parum nilidus, longe pubes- cens; fronte antlice marginata ; prothorace latitudini longitudine ( 60 ) æquali, subæqualiter punctato; elytris thoracis latitudine, stris fortiter punctatis, interstiliis sal convexis; antennis pedibusque dilutioribus ; unguiculis tarsorum dentatis. Long. 7 mill., lat. 2 mill. Palawan méridional. Ressemble au servilis; de même couleur uniforme brune; s’en distinguant toutefois par la ponctuation du prothorax plus égale et surtout par les stries des élytres beaucoup plus fortes, plus fortement ponctuées, à intervalles convexes, surtout à la base et au sommet. CARDIOTARSUS. C. ricricouuis. — Rufus, nitidus, leviter griseo-pubescens ; fronte nigra; prothorace longiludine latiore, confertim subtilis- sime punctulato, basi apiceque angustato, nigro-bimaculato ; ely- tris flavis, punclato striatis ; sublus niger, pedibus rufis. Long. 4 mill., lat. 4 /, mill. Madagascar ; Tamatave. Les taches noires du prothorax sont plus ou moins étendues et envahissent même parfois toute sa surface, Je l'ai reçu de M. Sikora. MELANOTITES. DIPLOCONUS. D. carxeus. — Rufo-ferrugineus, nilidus, pilosulus ; fronte valde porrecta, fortiter punclata; prothorace elongalo, fortius sparsim puncialo, medio sulcalo; elytris punclato-strialis, apice emarginalis. Long. 12-15 mill, lat. 2 5/,-5 ‘/, mill. Presqu'ile Malaise; Johore, Poulo-Pinang. (61) Peu différent du frontalis, aussi svelte et le prothorax cana- liculé, les élytres échancrées au bout, comme lui. Il s’en dis- tingue, toutefois, par une ponctuation plus forte. J'en possède une demi-douzaine d'exemplaires. D. rricocor. — Brunneus, subnitidus, pubescens ; fronte por- recla, fortiter punctala; prothorace latitudine longiore, a basi ad apicem anguslalo, minus dense pjunclalo, sulcalo, villa media nigra notato; scutello nigricante; elytris flavis, ultra medium arcualim angusle nigro fasciatis, dein brunneïs, punctalo-strialis, apice inlegris ; sublus nigricans. Long. 14 mill, lat. 5 '/, mill. Sumatra Il a la forme élancée des prominens et frontalis. Je l'ai reçu de M. Staudinger. D. BREvIs. — Sanguineus, nilidus, parce nigro-pubescens; fronte cum antennis nigris; prolthorace sal brevi, apice parum angus- tato, parce punctato, haud sulcalo, macula media nigra ornato ; sculello nigro; elytris punctato-striatis, nigris, apice haud emar- ginalis ; subtus et pedibus sanguineis. Long. 8 mill., lat. 2 mill- Tonkin. D’aspect brillant. Sa place est près du D. melanopterus. Je le tiens de M. Fairmaire. D. rersus. — Niger, nilidus, nigro-pilosus; fronte porrecta, fortiler punctata; antennis nigro-pilosis ; prothorace latitudine longiore, a basi angustato, parce punclalo, medio sulcato, san- quineo, angulis posticis fortiter carinalis ; elytris strialo-punc- tatis, stria suturali canaliculata, apice integris ; pedibus nigris. Long. 14 mill, lat. 5 '/, mill. Bornéo; Kina-Balu. (62) Le prothorax seul est de couleur rouge dans cette espèce, qui diffère, en conséquence, des D. seminiger, nigripennis, nitidi- collis, ayant le même genre de coloration, mais dont le front et les pattes sont également rouges. La variété à corselet rouge du coracinus (melanopterus Cand.) est dans le même cas el, en outre, n’a pas le prothorax sillonné. D. nepetatTus. — Rufo-testaceus, haud nitidus, pubescens ; antennis arliculo tertio secundo vix longiore; fronte fortiter et crebre punclalo:; prothorace latitudine longiore; medio fusco- vitlato. creberrime et fortiler punclalo, punctis laterum umbili- catis, angulis poslicis bicarinatis ; elytris punclato-strialis, inter- stiliis punclatis, apice integris; sublus el pedes nigricantes. Long. 14-15 mill., lat. 4 mill. Bornéo ; Kina-Balu. Il ressemble beaucoup au plagiatus, mais il est beaucoup plus fortement et plus densément ponetué, ce qui lui communique un aspect opaque que n’a pas le premier. MELANOTUS. M. FLAVOHIRTUS. — Brunneus, pube flava, appressu dense ves- litus; antennis articulis 2 el 5 parvis; terlio secundo parum longiore ; prolhorace parum convexo, medio minus dense punc- tato ; elytris punctato-striatis, interstitiis flavis, punctatis ; subtus flavo dense pubescens. Long. 15 mill., lat. 4 ‘/, mill. Mysore. La pubescence d'un jaune clair qui le recouvre constitue son principal caractère. M. meniocris. — Rufo-brunneus, pubescens, convexus ; antennis brevibus, articulis 2 el 3 æqualibus, longiludine quarti conjunc- $ F: + \ (63 ) lim; prothorace lalitudini longiludine æquali, antice parum angustalo, æqualiler convexo, dorso parce punclulo et non cana- liculato, angulis posticis brevibus, breviler carinalis; elytris pro- thoracis latitudine, medium usque parallelis, subcylindricis, punclato-strialis ; sublus concolor. Long. 10 mill., lat. fere 5 mill. Birmanie ; Tharrawaddy. Moins atténué en arrière que la plupart de ses congénères. Il se place à côté du brevis. M. TRapezicozis. — Fusco-brunneus, fortiler pilosulus, haud nilidus, depressus; antennis articulis 2 et 3 æqualibus, quarto conjunctim longiludine; prothorace lutitudine paulo longiore, trapeziformi, depresso, creberrime fortiterque punclalo, punclis laterum confluentibus, angulis posticis longe carinatis; elytris a basi altenuatis, fortiter, basi profundius, puncluto-striatis ; pedibus ferrugineis. Long. 16 mill., lat. 4 mill. Tonkin. Caractérisé principalement par son prothorax trapéziforme, déprimé, couvert densément de très gros points qui le rendent opaque. M. pispuncrarTus. — Rufo-brunneus, nitidus, griseo-hirsutus ; antennis arliculis 2 et 5 æqualibus, quarto conjunctim longio- ribus; prothorace latitudine vix longiore, parum convexo, medio sulcato, antrorsum crebre fortiterque punctalo, postice discrete punclulato, fere lœvigato, angulis posticis extus longe carinatis ; elytris punctato-substriatis, interstitits depressis, parce punc- tulatis. Long. 15 mill., lat. 5 mill. Java occidental. ( 6#) Facilement reconnaissable à l'inégalité de ponctuation du pro- thorax, laquelle est très forte et serrée en avant, presque nulle et fine dans la portion postérieure. A placer à la suite du rubidus. M. PuLvEREuS. — Crassus, fusco-brunneus, pube brevi, albi- canti, conferlus; antennis articulo quarto lertio paulo longiore; prothorace longitudine paulo latiore, antice arcuatim angustato, crebre et fortiter, lateribus confluenter punctalo, angulis postiris brevibus, paululum carinatis; elytris requlariter convexis, punc- talo-substriatis ; sublus cum pedibus concolor. Long. 45 mill., lat. 5 mill. Java; Préangers. Facilement reconnaissable à sa pubescence courte et de cou- leur cendré-blanchâtre. Il est quelquefois teinté de rougeûtre. Il a été capturé par M. Fruhstorfer, dans les monts Teikorai. M. immissus. — Crassus et latus, rufo-brunneus, fusco-pubes- cens, nilidus ; antennis arliculo tertio secundo paulo longiore ; prothorace latitudine paulo longiore, grosse, lateribus confluen- ter, punclato, angulis poslicis vix divaricalis, carinalis ; elytris usque ad medium parallelis, punctato vix strialis, rufescentibus ; subtus cum pedibus concolor. Long. 15-17 mill., lat. 4-5 mill. Java ; Préangers. La femelle est notablement plus épaisse que le mâle et pré- sente le maximum de la taille signalée ci-dessus. Des mêmes lieux que le précédent. M. mennicuzus. — Fusco-brunneus, albicanti-pilosus, pilis ely- trorum nonnullis, sparsis, longioribus ereclis; antennis brevibus, articulo tertio secundo paulo longiore; prothorace latitudine haud mme in (65) longiore tumido, haud dense punctalo: elytris punctlato-striatis, sutura depressa ; pedibus subrufescentibus. Long. 12 mill., lat. 3 '/, mill. Bornéo; Kina-Balu. Caractérisé par les poils blanchätres, ceux des élvtres en par- tie couchés, en partie redressés ; ces derniers plus longs. M. recessus. — Brunneo-rufescens, pube concolore partim erecta parlim appressu; anlennis brevibus, articulis a quarto triangularibus, secundo et tertio similibus, angustis, quarlo con- junciim haud longioribus; prothorace latitudine haud longiore, parum convexo, fortiter punclato, angulis posticis valde carina- lis 3 elytris punctato-striatis. Long. 10-12 mill., lat. 3-4 mill. Bornéo; Kina-Balu. Ayant, comme le précédent, des poils en partie couchés, en partie redressés sur les élytres, mais d’une autre couleur; plus déprimé, les articles 2 et 3 des antennes différent de forme et de longueur. La femelle est plus grande et plus massive que le mâle. M. INTERJECTUS. — Castaneus, subnitidus, longe griseo-pilosus; fronte antice prominente; aniennis serratis, articulo tertio longi- tudine intermedia; prothorace longitudini latitudine œquali, punclato, punclis ad angulos anteriores umbilicatis; elytris punctato-striatis, punclis oblongis. Long. 10 miil., lat. 2 Le mill. Ile Balabak. Caractérisé par sa pubescence grise, longue, peu dense, pré- sentant sur les élytres des poils redressés et disséminés. Ces trois dernières espèces m'ont été envoyées par M. Stau- dingcr. b] (66 ) PYROPHIRITES. PYROPHORUS. P. Brucni. — Fusco-brunneus, opacus, pubescens; antennis brevibus, arliculo tertio quarto longitudine, angustiore; protho- race disco fortiler biimpresso, vesiculis luminosis lalis, posticis ; elytris punclalo-striatis, fusco-pilosis, maculis pilosis obscure fulvis, apice præserlim marmoratis ; subtus concolor, prothorace abdomineque fulvo-marginatis. Long. 25 mill., lat. 8 mill. République Argentine; Cordova. Espèce de grande taille, à rapprocher de l'Ortizi. Les deux fortes impressions du prothorax,les vésicules lumineuses, grandes et postérieures, les élytres à pubescence brune, avec des taches pileuses, surtout postérieures et de couleur jaune sombre, en sont les caractères distinetifs et rendent cette espèce l’une des plus facilement reconnaissables du genre. Je la dédie à M. Bruch, de qui j'en ai recu tout récemment trois exemplaires. CORYMBITITES. CORYMBITES. C. FrRAuDATOR. — Niger, subnitidus, breviler pubescens ; antennis brevibus, arliculis 2 et 5 œæqualibus, quarlo singulatim brevioribus ; prothorace longiusculo, antice latiore, convexo, basi tantum vix sulcato, punclato, angulis posticis haud longe carina- Lis ; elytris fortiter punclalo-striatis, interstiliès convexis ; abdo- mine pedibusque brunneo-rufescentibus. Long. 10 mill., lat. 2 '/, mill. Sikkim. (67) Bien caractérisé par son prothorax allongé et élargi dans sa portion antérieure et la couleur rougeûtre de l'abdomen. Sa place est dans la quatrième section, non loin des insitivus et æthiops. Il forme passage entre le genre Corymbites et celui qui en a été distrait, le genre Pristilophus, qui comprend plu- sieurs Corymbitites d'Asie. C. raisus. — Elongatus, niger, nitidus, breviter obscuro- pilosulus; antennis articulo tertio quarto æquali; prothorace lalitudine longiore, crebre punctato, medio fortiter sulcato, sulco apicem dorsi attingente; elytris punctato-striatis, interstitiis convexis, punctatis; pedibus nigris. Long. 14 mill., lat. 5 ';, mill. Cachemire. Il est également de la quatrième section. Son caractère prin- cipal réside dans le long et profond sillon du dos du corselet, aussi fort que chez les C. maurus, cribosus, serrifer, ete., de la cinquième section. J'en possède plusieurs spécimens que je dois à M. Fairmaire. CRÉPIDOMÉNITES. CREPIDOMENUS. C. suzaicozuis (o'). — Elongatus, brunneus, nilidus, parce et breviter cinereo pubescens; antennis longis, nigris; prothorace latitudine fere duplo longiore, parallelo, crebre punctato, medio profunde sulcato, angulis posticis divaricatis; elytris thorace latioribus, a basi sensim atlenuatis, ad suluram depressis, punc- talo substriatis ; pedibus obscuris. Long. 15 mill., lat. 2 ‘/, will. Adélaïde. ( 68 ) Taille et forme du C. filiformis, mais beaucoup moins poilu, le prothorax plus long, plus parallèle et parcouru dans toute sa longueur par un fort sillon. C. vuuneRATUS. — Brunneo-niger, pilositate albicanti sparsus; prothorace latitudine longiore, antice parum attenualo, medio sulcato, lateribus rufo-villtatis, disperse punctatos elytris parum elongatis, apice acuminalrs, strialis, intersliliis convexis, rugulo- sis, dorso longitrorsum rubrescentibus:; subtus pedibusque brun- neis. Long. 42 mill., lat. 5 mill. Australie ; Adélaïde. Il se place à la suite du Georgei. Je l'ai reçu de M. Black- burn, ainsi que le précédent. C. cyanEscenNs. — Nigro-cyaneus, parum nilidus, breviter, minus dense nigro-pilosulus; antennis brunneis; prothorace latitudine paulo longiore, fortiler punctato, medio sulcato, angulis posticis carinalis; elytris crebre et fortiter punctatis, sulcatis; pedibus lœle rufis. Long. 42 mill., lat. 5 ‘/, mill. Nouvelle-Galles du Sud. Le seul Crepidomenus de couleur bleue connu jusqu'ici. Le C. fulgidus, il est vrai, a des variétés passant plus ou moins au bleuâtre, mais il est constamment plus allongé. Reçu de M. Stau- dinger. CARDIORHINITES. CARDIORHINUS. C. anpicoza, — Niger, parum nilidus, cinereo-pubescens ; prothorace latitudine paulo longiore, apice a basi sensim angus- tato, convexo, forliler punclalo, angulis posticis leviter carinatis; (69) elytris prothorace latioribus, a basi usque ad apicem angustatis, fortiler punctato-striatis, interstitiis convexis. Long. 12 mill., lat. 5 mill. Andes boliviennes. Un léger sillon à la base du corselet, en dedans des angles postérieurs, et la fossette mésosternale à bords déclives dans toute leur longueur classent cette espèce à côté des frenatus et piciventris, dont elle diffère d'autre part, LUDIITES. PROBOTRIUM. P. SuTuRALE. — Élongatus, niger opacus, pubescens ; antennis dimidio corporis longioribus, ab articulo quarto fortiter serratis, hispidis; fronte antice concavas prothorace elongato, flavo- marginato, villa media angusta flava, angulis posticis longis, acutis, carinatiss elytris granulatis, tenuiler striatis, sutura margineque flavis ; pedibus nigris. Long. 17 mill., lat. 4 '/, mill. Brésil ; Saint-Paul. Cette jolie espèce est remarquable par la longueur de ses antennes, au moins chez le mâle, et la forte denticulation de leurs articles. Les côtés du corps et la ligne médiane présentent une étroite ligne de poils d'un jaune doré. Elle a des rapports éloignés avec le P. pubescens Kirb. quant à la coloration, mais elle en diffère beaucoup, d'autre part, par de nombreux caractères. Elle n'en forme pas moins une espèce voisine, tous les autres Probotrium étant de couleur uni- forme. J'en ai vu deux spécimens mâles communiqués par M. le D’ Staudinger. (70 ) LUDIUS. L. izonipes Cand., Monogr. d. Élat., IV, p. 502. Var. a. Corpus totum ferrugineum. J'ai vu de nombreux exemplaires de cette variété. La femelle, qui n’a pas encore été décrite, se distingue du mâle par sa taille plus grande, son corps plus épais et surtout par ses antennes beaucoup plus courtes. L. ANTENNATUS. — Niger, nilidus, grosse pilosus; antennis nigro- hirsutis, articulis ultimis tribus flavis ; prothorace lurido, æqua- liter punctato, nigro-piloso, pilis basalibus cinereis; elytris brevibus, a basi attenualis, dorso depressis, nigro-pilosis, pilis dorsalibus, ad medium, aureiss pedibus obscuris, femoribus flavis. Long. 41 mill., lat. 3 mill. Bornéo S.-E. A rapprocher de l'illotipes; remarquable par la coloration de l'extrémité des antennes et les poils dorés du milieu des élytres. Je l’ai vu dans la collection de M. Outo Schwarz. AGRIOTES. A. Hova. — Parallelus, fusco-brunneus, pubescens, subopacus ; fronte æqualiter convexa, crebre punctata; antennis filiformibus, articulis 2 et 3 sequentibus longiludine æqualibus; prothorace fere quadrato, apice extremo tantum anguslaluv, confertim tenuîter regulariter punclato; elytris parallelis, punctalo-strialtis ; laminis coxalibus posticis extus sensim attenuatis. Long. 9 mill., lat. 2 ‘/; mill. Madagascar. (71) Le premier Agriotes rencontré dans cette région, je ne sais, toutefois, de quel endroit précis. Il appartient, sans nul doute, à ce genre de notre hémisphère. COSMESUS. C. niLaris. — Subcylindricus, elongatus, leviter pubescens ; fronte nigra antice fere marginata; antennis rufo-brunneis ; pro- thorace latitudine longiore, sanguineo, tenuiter punctato; elytris punctalo-striatis, apice emarginaltis, luteis, vilta brevi humerali, sulura, fascia ultra medium, apiceque nigris; sublus niger, pedibus rufo-testaceis. Long. 8 mill., lat. 4 */, mill. Brésil. Étroite et allongée, de forme cylindrique et bariolée de cou- leurs vives, cette jolie espèce à front un peu marginé en avant et à élytres brièvement échancrées au bout, se place parmi les premières du genre. C. imiTans. — Flavo-teslaceus, subnitidus, pubescens; fronte nigra; prothorace latitudine paulo longiore, subrectangulari, parce punctulalo, punclis anticis majoribus, ad marginem palles- cente; elytris prothorace latioribus, fortiler punctuto-striatis, apice anguste truncatis, basi circa scutellum suluraque nigris; pedibus flavis. Long. 9 mill., lat. 2 1}; mill. Bolivie; La Paz. Il a tout à fait l'apparence d'un Pomachilius; toutefois la con- formation du front est lout autre que celle, très caractéristique, qui se voit dans ce dernier genre, c’est-à-dire que les crêtes sus- antennaires sont obliques et interrompues au milieu, laissant le front en contact direct avec la base du labre. (72) C. BouivIENSIS. — Brunneus, opacus, cervino-pubescens ; fronte convexa, antice subacuminala, piceo-nigra; prothorace lalitudine paulo longiore, subtiliter punctalo, late testaceo-marginato; elytris crebre punctaliss punclato-substriatis ; subtus concolor, pedibus flavis. Long. 6 mill., lat. 4 '/, mill. Bolivie; La Paz. Petite espèce remarquable par l’opacité des élytres. AGONISCHIUS. A. AURATIPENNIS. — Viridis, nilidissimus, pubescens; antennis thoracis longitudine, nigris, hispidis, articulis triangularibus, ultimis valde serratis ; prothorace lalitudine longiore, punctulato, postice sulcalo et utrinque sulci versus basin subluberculato, angu- lis posticis validis, carinatis ; elytris auratis, punctato-striatis; sublus pedibusque nigris. Long. 8 mill., lat. 2 mill. Bornéo septentrional ; Kina-Balu. Quelques Agonischius (pectoralis, mirus, ete.) se font remar- quer par leurs antennes courtes et larges. Celui-ci exagère encore cette conformation, au point qu’il mériterait de former un genre à part, s’il n'existait tous les passages entre les premiers et les espèces à antennes grêles. Celui-ci a, en outre, le prothorax presque tubereuleux à la base, de chaque côté d’un court sillon qu'il présente en cet endroit. À. BILATERUS. — Niger, nitidus, parce fusco-pubescens ; anten- nis nigris, articulis a quarto latis; fronte convexa; prothorace brevi, transverso, parce et subtilissime punctulato ; elytris seria- (75) tim puncialis, villa lateral abbreviata, flava ; pedibus nigris. Long. 5-6 mill., lat. 5 ‘/, mill. Ile Banguey, au nord de Bornéo. « Les antennes, très élargies à partir du quatrième article, font ranger cette petite espèce parmi les premières du genre, à la suite des pectoralis, ornatus et analogues. Sa coloration toute spéciale la fera aisément reconnaitre. À. REMIGER. — Niger, parum nilidus, cinereo-pubescens ; antennis nigris, arliculis a quinto dilatatis; prothorace lalitu- dine longiore, æqualiter sat fortiler punctato; elytris punctato- striatis, interstiliis basi granulatis, testaceis, villa suturali lata margineque anguste nigriss pedibus brunneis. Long. 6-7 mill., lat. 2 mill. Ile Banguey. Par les antennes dilatées et la forme générale qui est celle de la majorité des Agonischius, il établit le passage des espèces du premier groupe au suivant. A. SIMULATOR. — ÂMiger, opacus, fulvo-pubescens; antennis fusco-brunneïs ; fronte apice, cum labro, rufis ; prothorace latitu- dine longiore, confertissime punclato, viltis duabus obscure rufis, angulis posticis obsolete carinatis; elytris minus opacis, fortiter punctato-strialis, vilia lata suturali fava ; sublus rufescens. Long. 7 mill, lat. 2 mill. Darjeeling ; Kurseong. Il rappelle, pour les couleurs, les À. frenatus, Delaunayi et decoralus. Il est toutefois beaucoup plus petit que ces espèces. A. pirrisus. — Nigricans, nitidus, haud dense griseo-pubescens; antennis nigris; prothorace laiitudine longiore, grosse punctato, poslice medio sulcato, lateribus rufis, angulis posticis fortiter (74) carinalis ; elytris obscure viridibus seu purpureis, submetallicis, profunde punctato-striatis, interstitiis plus minusve convexis, punctatis. Long. 14 '/, mill., lat. 4 ‘}, mill. Ile Banguey. Taille et forme de l'obscuripes. A. CORPULENTUS. — Crassus, obscure rufo-ferrugineus, parum pubescens, subnitidus; fronte nigra; prothorace latitudine lon- giore, medio fortiter sulcalo, dense et grosse punctalo, angulis posticis extus carinalis, apice nigricantibus; scutello nigro; elytris profunde punctalo-striatis, interstitiis convexis, ad sutu- ram depressis ; sublus, cum pedibus, nigris. Long. 16 mill., lat. 4 ‘}, mill. Bornéo ; Kina-Balu. Grand pour le genre. De la division de l'obscuripes; d'un rouge sombre, à peine pubescent, le front, les antennes, l'écusson et le dessous, y compris les pattes, noirs. Je l’ai reçu de M. Staudinger. A. VULNERATUS. — {iger, parum nitidus, fusco-pubescens; antennis longis, dilatatis, nigris; prothorace lalitudine longiore, convexo, subliliter punctato; elytris breviusculis, punctato-stria- tis, violaceo-nigris, humeris late rufis ; pedibus nigris. Long. 6 mill., lat. 4 *; mill. Ile Banguey. A. viRGULATUS Cand., Élat. nouv., IV, p. 55. Var. a. Prothorace rufo. L'espèce typique paraît abondante au nord de Bornéo, d'où provient également la variété. Sa taille peut atteindre 7 à 8 mill. (75) A. Lepinus Cand., Monogr., IV, p. 415. Var. a. Elytris viridibus, plus minusve auratis. A. fastuosus Cand. in litt. A. anNAMENSIS Cand., Monog., IV, p. 415. Var. a. Corpus totum indigaceum. A. indigaceus Cand. in litt. Ces deux derniers, qui ne diffèrent des espèces continentales que par les couleurs, sont originaires de Kina-Balu, au nord de Bornéo. Elles m'ont été envoyées par M. Staudinger. A. AsceTICus. — Niger, opacus, parum pubescens; antennis nigris, articulis latiusculiss prothorace latitudine vix longiore, crebre punctato, obscure rufo, haud sulcato; elytris brevibus, punctato-striatis, interstitiis planis, versus basin subgranulato- punctatis ; pedibus brunneis. Long. 6 mill., lat. 2 mill. Bornéo septentrional ; Kina-Balu. Opaque, noir, avec le prothorax d'un rouge sombre; cette dis- tribution des couleurs le fait ressembler, sous ce rapport, aux A. æneipennis et chalcopterus. Indépendamment, toutefois, de la teinte plus ou moins bronzée qui se voit chez ces derniers et qui n'existe nullement ici, la forme du corps est plus large et les téguments sont plus granuleux. Le front est, en outre, noir, et non de la couleur du prothorax. A. PROXIMUS. — Æneus, parum nilidus, griseo-pubescens ; antennis nigris; prothorace latitudine longiore, antice a basi attenuato, medio fortiter sulcato, punctato, angulis posticis diva- (76) ricalis, bicarinatis; elytris punctato-striatis ; interstilits crebre punctatis, versus suturam deplanatis ; pedibus concoloribus. Long. 10-14 mill., lat. 2 ‘/,-5 mill. Bornéo septentrional ; Kina-Balu ; ile Banguey. Il y a parfois des teintes rougeätres au prothorax et en des- sous, surtout sur l'abdomen. La forme rappelle l'A. obscuripes, var. bronzée, et les con- Spurcatus et coarclalus. À. RUSTICULUS. — Brunneus, parum nilidus, flavo-pubescens ; antennis obscuris; prothorace latitudini longiludine æquali, convexo, punclulalo, marginibus rufescente; elytris testaceis, punciato-striatis, sulura margineque obscurioribus ; pedibus testacets. Long. 5 mill., lat. 4 !/, mill. Bornéo septentrional; Kina-Balu. Petite espèce ressemblant assez à un Agriotes palidulus. A. POPULARIS. — ÂNiger, parum nitidus, brunneo-pubescens ; antennis nigris, longiusculis, articulis serratis; prothorace latitu- dine paulo longiore, convexo, crebre punctato, haud sulcato; elytris punctato-striatis, interstitiis planis punclatis, primo cinereo-pubescente ; pedibus nigris. Long. 6 mill., lat. 4 5/, mill. Bornéo septentrional ; Kina-Balu. Entièrement noir, aussi bien en dessous qu'en dessus; les antennes longues et larges ; la pubescence brune, sauf sur l’in- tervalle sutural où elle est cendrée. Cet ensemble de caractères ne lui est commun qu'avec l'humilis et les variétés noires des Belti et diversus, bien distincts d’autre part. Je dois la connaissance de toutes ces espèces malaises à M. le D' O. Staudinger. (49) À. BALABAKENSIS. — Sordide testaceus, parum nitidus, sat dense et longe griseo-pubescens; antennis nigris; prothorace latitudine paulo longiore, a basiangustato, convexo, crebre et fortiler punctalo, disco postice medio sulcato, angulis posticis distincte bicarinalis ; elytris prothorace paulo latioribus, punc- tato-striatis, inlerstiliis convexis. Long. 12 mill., lat. 2 "/,-5 mill. Balabak. Taille, couleur et aspect général du Lansbergei. Il est plus poilu et ses angles prothoraciques postérieurs sont distinctement bicarénés. La femelle est plus épaisse que le mâle. ASCESIS. A. CAMPYLOÏDES. — Depressus, luteus, opacus, parum pubes- cens; antennis (5°) longis, articulis, a quarto triangularibus, latis, brunneis; fronte grosse et confertissime punctaio, basi nigricante; prothorace latitudine paulo longiore, punctis umbilicatis latis confertim notato, vitla media margineque laterali nigris; elytris thorace latioribus, punctato-striatis, nigro-marginatis; protho- race subtus nigro, flavo-lineato, metathorace abdomineque flavis, parapleuris pedibusque obscuris. Long. 11 mill., lat. 5 mill. Nouvelle-Galles du Sud: Le genre Ascesis est resté longtemps composé d’une seule espèce. Celle-ci est plus petite que le type et sa coloration est variée ; elle rappelle celle du Lepturoides linearis. (789 ADRASTITES. GLYPHONYX. G. FENEUS. — Badius, subnitidus, fortiler griseo-pubescens ; prothorace quadralo, convexo, punctulato; elytris punctato- strialis, striis basi impressioribus. Long. 4 mill., lat. 4 mill. Balabak. Petite espèce sans caractère saillant. G. enraTicus Cand., Ann. Soc. belge, XVII, 14875, 10. Une variété plus petite a été rencontrée dans l'ile de Palawan. Je l’ai désignée sous le nom d'attonitus. G. pissimicis.e — Brevis, rufus, parum nitidus, pubescens ; prothorace longitudine paulo latiore, æqualiter punctato; elytris nigris apice rufescentibus, punctato-substriatis. Long. 3 mill., lat. 4 mill. Bornéo ; Kina-Balu. Facies du Gestroi, mais constamment plus petit. G. rasus. — Brunneus, subnitidus, fusco-pubescens; protho- race quadralo, minus dense punctato; elytris striis sat fortiter punctalis, basi posticeque fulvo-pubescentibus. Long. 4 mill., lat. À mill. Palawan méridional. Ressemble beaucoup au posticus de Mindanao et est carac- térisé, comme lui, par une pubescence de deux couleurs sur les (79) élytres. Il est toujours plus petit, brun et non noir, avec la pubescence de la base et du tiers postérieur des élytres longue et fauve, tandis qu'elle est courte et cendrée chez le posticus. Je dois la connaissance de ces différents Glyphonyx à M. Stau- dinger. Le falsus se rencontre également à Java. (Pasteur.) SILESIS. S. LATERALIS. — Niger, pube cinerea suberecla teclus ; anlennis nigris, basi lestaceis; prothorace convexo, puncialo, angulis poslicis lestaceis; elytris punclato-striatis, punctis obscuris, sulura, margine laterali puncioque juxta marginem nigris; pedibus pallidis. Long. 8 mill., lat, À ‘/, mill. Hindoustan méridional ; Tritchinopaly. Facilement reconnaissable à son point noir marginal à la par- tie moyenne des élytres. S. RurIPES. — Parallelus, niger, nilidus, parum dense cinereo- pubescens; antennis rufo-ferrugineis; prothorace subquadrato, anlice paulo anguslato, convexo, discrele punclato; elytris thoracis lalitudine, punctato-striatis, striis apice evanescentibus, intersliliis planiusculis, punctatis ; pedibus rufo-ferrugineis. Long. 6 mill., lat. 4 ‘/, mill. Hindoustan et Chine méridionale. Il a des rapports de taille et ‘de couleur avec l’absimilis du Darjeeling et de Chine ; toutefois, il est plus noir, moins densé- ment ponctué et pubescent ; les stries des élytres sont presque effacées à l'extrémité. S. FORMICANS. — BPrunneus, subnilidus, cinereo-pilosulus; prothorace lalitudine paulo longiore, convexo, undique minus ( 80 ) dense punctalo; elytris punctalo-striatis, interstitits convexis ; pedibus concoloribus. Long. 7 mill., lat. 2 mill. Ile Banguey, au nord de Bornéo. Il ressemble beaucoup au S. procax, mais il est notablement plus grand; son prothorax est plus allongé et uniformément, bien que peu densément, ponctué sur toute sa surface. Il a les P P pattes brunes. S. acceNTus. — Brunneus, pilis albicantibus vestitus; protho- race quadralo, convexo, tenuiler punclato, medio nigricante; elytris punclato-substriatis, villa media lata nigro-pilosa. Long. 4 mill., lat. 4 ‘/, mill. Bornéo; Kina-Balu, Caractérisé par la bande transversale noire du milieu des élytres, genre de coloration qui lui est commun avec le Gly- phonyx zonatus de Sarawak. RÉCAPITULATION DES ESPÈCES NOMMÉES DANS CET OPUSCULE. AGRYPNITES. Agrypnus ponderatus . . . . . . . . . . Mindanao. — ATIZON EE NN A EC EN ATIZON A — semicribrosus (Frm.) . . . . . . . Zanzibar. Adelocera monticola. . . . . . . . . . . Himalaya. Dilobitarsus corrosus |." 0.0.0." :.0 2 Bohvie. — RAR NS RE RE EE Gabon: Hemicleus majusculus . . . . . . . . . . Sénégal. Pacornttineatus) 0e DENON ES ON EP MIS ho RC TRES CENSe M le I Ce ct. DULOOWE: AUS NN NON I COLA EN MCE Mysore: RO UDIED VE. DT SN RENE C1 ee IE SIK Kim: = | CONGO MONO IONLE NON NME PAL CI NAT (EE = UNETIQUUS UN NN CN SON 50e, Ile Banguey. Tom es Die he NUS Mel eu etre tt et RC ANAVOPE: Meristhus ornatulus . . . . . . . . . . Bengale. = TON COUTSINE PE NOIRE SANS » — ÉTINOCEUS RS NS IT EE MEN ER D ORNE 0 ALAÏTES. Alaus pulvercus OR EN MIE EE PDC" Cafrerie. = parallelus NUM NON DESERT SNL Zanguebar. RTL D NE Mot EEE SM ERP EE Eee Sierra-Leone. SA qruciis RU. Re OS RSR EN des EE Sumatra. 6 Alaus Sulaensis . quadrivittatus lectilis. albatus Semiotus antennalis. boliviensis. (82) CHALCOLEPIDIITES. Campsosternus cyaniventris . . — hebes — flammeus . Oxynopterus niger . Tetralobus Dohrni S Pantolamprus mirabilis — Plasoni . Psephus rugulipennis radula . umbilicatus campyloides zambianus. hebetatus angustus neglectus aspersus allinitus. sulcatus ligneus . OXYNOPTÉRITES. TEÉTRALOBITES DICRÉPIDIITES, Moluques. Australie. » Véragua. Bolivie. Bornéo. » Cochinchine. Bengale. Congo. Achantis. Congo. v Achantis. Kilimandjaro. Dar-cs-Salam. Congo. San-Thomé. Congo. » Ogoowé. Gabon. Bagamoio. Psephus conicicollis. cervinus SEVETUS « « incautus . . . Odontonychus granulatus . Heterocrepidius majusculus marginalus corvinus morio . contractus . Anoplischus semiruber . griscopilosus insolitus Spilus nigricans . Atractodes castaneus Melanthoides partitus . bomaensis Glypheus decoratus . MONOCRÉPIDIITES. Monocrepidius dulciculus . tirunculus . evanescens . andicola . Æolus quinarius. . . . palliatus . distigma . liberalis ventricosus macilentus Hetcroderes diplotrichus . ( 85 ) EUDACT YLITES. Bagamoio. Dar-es-Salam. Somalis. Bornéo. Afrique centrale. Cauca. Parana. Montevidco. Amazones. Mysore. Brésil. Cauca. Bolivie. Vénézuéla. Brésil. Tonkin. Congo. Australie. Bengale. Java. Bornéo. Bolivie. Bahia. Amérique méridion. Brésil. Paraguay. Brésil. Abyssinie. Drasterius severus Megapenthes perditus bistrigatus . zanzibaricus. heterodoxus . longicollis. altitudinum . cirgens . . informatus . coalescens. virgulatus . miser . monachus . maceralus . congestus. . Melanoxanthus unicolor quadrivitta bitriplex comes . uncinatus . fractus. minutus TITOSUS +. exiliosus fusus . recreatus . singularis . Porthmidius parvicollis. Anchastus falsus ( 84) ÉLATERITES. . . . . . 0 0 . LUS UE MEET STE Mile PHYSORHINITES. Java. Ogoowé. Réunion. Dar-es-Salam. Singapore. Bengale. Java. Bornéo. Balabak. Java. Banguey. Balabak. Banguey. Java. Banguey. Balabak. » Darijeeling. Bengale. Anchastus imitans . diploconoides carinatus sirenuus . carneus . febriculosus . virgatus . Pomachilius bipartitus. _ centralis monianus . gracilis. dubius . (85) POMACHILIITES. Pomachilioides ludiüiformis CRYPTOHYPNITES. Cryplohypnus cachemirensis . pulvereus scilus Arrhaphes luteipes . granulatus . Hemirrhaphes ferrugineus. pallidus . Cardiophorus grumus . assula. vellicatus . pilarius liberatus . lutosus CARDIOPHORITES. Sumatra. Chaco. » Bolivie. Vénézuéla. Brésil. Sumatra. Cachemire. Annam. Java. Mysore. Guinée. Java. Gabon. Dar-es-Salam. Cafrerie Congo. Gabon. Mayotte. Cardiophorus gaudens . hebes . accuralus. holosericeus . marmoratus . fallaciosus Cardiotarsus picticolles. Diploconus carneus. tricolor . brevrs tersus hebetatus Melanotus flavohirtus . mediocris trapezicollis dispunctatus pulvereus immissus mendiculus . recessus . interjectus . Pyrophorus Bruchi. Corymbites fraudator falsus ( 86) MELANOTITES. PYROPHORITES. CORYMBITITES Abyssinie. Bengale. » Ceylan. Sumatra. Palawan. Madagascar. Johorc. Sumatra. Tonkin. Bornéo. » Mysore. Birmanie. Tonkin. Java. » » Bornéo. » Balabak. Cordoba. Sikkim. Cachemire. (87) CRÉPIDOMÉNITES. Crenitdoments sUleicolhS NON RME Adélaïde. — UUINCROIUS EE MEME Norte es » — cyanescens . . . . . . . . . Nouv.-Galles du Sud. CARDIORHINITES. Cardiorhinus andicola … … >: à . . à} :; . Bolivie. LUDIITES. PObOtrEUN SULUT IC NN IR T EST Ends allo tpEs VAR RE NN EN Javas MGR TENNAIUS EN M NN DEN NE Bornéo: TOOLS HOLONT PE SN CCR EE M Madagascar: CoSMmesus IAE EN OI a Bresil RL TRILONSE NS RS AU NA EE Bolivie: — DORLIENSIS PRES TEL EE TE URL nee » Agonischius auratipennis . . . . . . . . . Bornéo. — bilaterus . . . . . . . . . . Banguey. — ALI CREER ENTORSES TUE PEN RU » — simulalor . . . . . . . . . . Darjeeling. — REUNION à NO 1 Banguey. == DLINETOLU SEEN CE M UN SN Ne etre » — CORPULENTUS SE ME EN A I BGrneot — CUT ON ENNEMI » . lepidus var. fastuosus . . . . . . Fos — annamensis Var. indigaceus . . . . » = ASCELCUSEN AR ES SUR ET Le » — DRODEMLUSE ES UE ee » — DUSLICUIU SRE EE NE CAT » — DODUIOTIS DEN IEN EN Ar PNR EEE" » — balabakensis . . . . . ,. . . . Balabak. Ascesis campyloides . . . . . . . . . . Nouv.-Galles du Sud. (88 ) ADRASTITES. Glyphonyx feneus — erralicus var. attonilus . — dissimilis — falsus Silesis lateralis . — rufipes OF MICANS à NUQUE NON ES NNCATE — accentus . Balabak. Palawan. Bornéo. Palawan. Deccan. » Banguey. Bornéo. EX GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE SANS LE POSTULATUM D'EUCLIDE J. DELBŒUF AVANT-PROPOS. L’essai qui va suivre est la suite et le complément naturel de trois études sur l'Ancienne et les Nouvelles géométries, qui ont paru dans la Revue philosophique (tome XXXVI, nov. 1893 ; tome XXXVIL, avril 1895 ; tome XXXVIIL, août 1894) !. Dans la première, j'établissais que l’espace réel n’est pas représenté par l'espace euclidien; que celui-ci est homogène et admet des figures semblables, c’est-à-dire ne différant que par la grandeur; qu'il est partout identique à lui-même, inva- riable, fini, discontinu, pénétrable, contradictoire et, partant, sans existence ; tandis que l’espace réel ne comporte ni figures semblables ni figures égales, qu’il est nécessairement et inces- samment variable, qu'il est illimité, continu, impénétrable et cohérent. Ces antithèses, je les légitimais en montrant l’impos- sibilité de réduire proportionnellement, sans qu'on s’en aper- coive, toutes les dimensions, par exemple de la Terre et de ses habitants; que, pour que semblable réduction passât inaperçue, il faudrait « poser en fait que les phénomènes de toute nature, physiques, vitaux et psychiques sont attachés uniquement à des figures géométriques, ce qui reviendrait à soutenir que des cubes, des cylindres et des pyramides, peuvent réagir les uns sur les autres, vivre et penser. Alors naturellement toute altération 1 La Revue devait publier le présent travail et elle en avait fait paraître une partie en avril 1895. Le texte du reste a été composé en entier et les figures gravées. Mais dans la crainte — légitime sans doute — que le morceau ne füt trop dur à digérer pour ses lecteurs habituels, elle en reculait de mois en mois l’insertion. J'ai fini par le retirer. (4) proportionnelle des dimensions n'entrainerait d'autre consé- quence que cette altération même f. » Dans la deuxième étude, je m'efforçais de faire saisir ce que c'étaient que les métagéométries de Riemann et de Lobat- schewsky, et d'en justifier la conception. On sait que, dans un plan Riemann, par un point on ne peut mener de parallèle à une droite, et que, dans un plan Lobatschewsky, par un point on peut mener un faisceau de non-sécantes à une droite. Inutile de rappeler que le postulatum d'Euclide énonce que par un point on peut toujours mener une parallèle, mais rien qu'une parallèle à une droite 2, J'accordais que, dans un certain sens, ces géométries sont plus générales que la géométrie euclidienne et la comprennent l’une et l’autre comme cas particulier. Mais en même temps je faisais voir qu'elles s'appuyaient toutes deux sur la géométrie traditionnelle, qu'elles n'en étaient au fond qu'une extension. C'est ainsi qu'un système de n équations du premier degré à n inconnues est plus général qu'une équation à une inconnue et implique celle-ei comme cas particulier, mais au fond la résolution du système repose sur celle d’une équation à une inconnue. Je faisais aussi sentir que l’étrangeté des méta- géométries provenait de l'emploi des termes du dictionnaire géométrique usuel dans un sens nouveau et détourné; que, du reste, cet emploi, qui, dans les premiers moments, déroutait l'esprit, était admirablement approprié à mettre en évidence les points d'attache et les analogies de l'espace euclidien avec les espaces méteuclidiens, et à faire d’Euclide le garant de Lobatschewsky et de Riemann. 1 Revue philosophique, janvier 1894, p. 82. Voir aussi mon Mégamicros, Paris, Félix Alcan, 1895. 2 Si je ne craignais de créer des mots barbares, je proposerais de dénom- mer ces trois géométries : aparallèle, polyparallèle, monoparallèle. (5) Enfin, dans la troisième étude, j'exposais combien les bases de la géométrie d'Euclide étaient fragiles, combien les défini- tions des notions fondamentales étaient fautives, quel arbitraire régnait dans l’énumération des axiomes et des demandes, quelles divergences séparaient les différents auteurs de traités de géométrie, et je montrais que les principes étaient à refondre. Mais, d’autre part, je découvrais les mêmes défauts dans l'ex- posé des principes des nouvelles géométries, les mêmes lacunes, les mêmes réticences, les mêmes subreptions, sinon de plus hardies encore. Je concluais en accordant une haute portée philosophique aux spéculations des néo-géomèêtres, mais en prédisant que la géométrie euclidienne, tout imparfaite qu'elle fût, continuerait encore pendant de longs siècles à initier le monde à la science des figures. « Faut-il entendre par là, ajoutais-je, qu'elle est irréprochable et qu'elle est bâtie sur le roc ? Non. Les métagéomètres l'ont suffisamment ébranlée pour que l'on revienne de cette croyance !. » C’est à l’édifier sur un sol plus profond et plus ferme que sont consacrées les pages qu'on va lire. L'idée n’en est pas récente. J'étais encore au collège que déjà je cherchais une démonstra- tion du postulatum d'Euclide. Mon condiseiple et ami, M. Folie, aujourd'hui directeur de l'Observatoire d'Uccle, en faisait autant de son côté. C'était, entre nous, une véritable émulation. De temps en temps, nous nous communiquions nos espoirs. et nos déconvenues. Nous entràmes la même année à l'Université, lui suivant les sciences mathématiques, moi les lettres et la philosophie. Nous cherchions toujours. Nous nous croyions appelés — la Jeunesse est si présomptueuse ! — à débarrasser une bonne fois 1 Revue philosophique, août 1894, p. 147. (6) la géométrie de cette tache « scandaleuse », et ce n’était pas la persévérance — des camarades disaient l'entêtement — qui nous faisait défaut. Un jour même M. Folie erut tenir une démonstration tout à fait rigoureuse. Il me la soumit, et elle me parut telle. II la porta à son professeur, le savant analyste Meyer. Celui-ci lui signala une proposition quelque peu louche, qualifiée comme lemme, à savoir qu'une droite tracée dans un angle rencontre nécessairement au moins un des côtés de l'angle. Rien d’insidieux comme les nécessairement et les évidemment dans le tissu d’un raisonnement géométrique. A première vue, pour des écoliers comme nous, ce lemme ne ressemblait guère au postulat d'Euclide. Au fond cependant il lui était identique. Il revenait à dire qu'une droite ne peut pas être parallèle aux deux côtés d'un angle; en d’autres termes, que par un point on ne peut mener deux parallèles à une même droite. C'est ce que nous reconnûmes bientôt. S'être cru au but et s’en voir aussi éloigné qu'auparavant, c'était là une déception bien faite pour décourager. Je ne me décourageai point. J'abordai le problème par un autre côté. Je ne sais plus où j'avais lu que sa solution dépen- drait peut-être d'une meilleure définition de la droite. Je recherchai ce qui pouvait manquer aux définitions vulgaires. Je crus enfin en avoir trouvé une irréprochable : la ligne droite est une ligne homogène, c’est-à-dire dont toutes les portions, quelle qu'en soit la longueur, sont semblables !. Il ne s'agissait plus que de faire voir que cette définition était la seule bonne. 1 Cette définition n'était pas neuve. Leibnitz, dit UeBeRWEG dans la cri- tique qu'il fait de mes Prolégomènes de la Géométrie (Journal philosophique de Ficure, vol. 57, p. 161), fondait de grands espoirs sur ces définitions de la droite et du plan : Recta est linea cujus pars quaevis est similis tot; plana est superficies in qua pars est similis toli. Leibnitz dit qu’il reviendra quelque part sur ce sujet; mais Ucherweg, malgré son érudition étonnante, n'avait pu découvrir les développements annoncés. (x) De fil en aiguille, j'en vins à passer en revue toutes les définitions de la géométrie, et j'en étais encore à préparer mon examen final, que j'avais dans mes tiroirs tout un volume de réflexions sur les principes de cette science. Il ne restait plus qu’à trouver où et comment je publierais mon ouvrage. Vers ce temps-là, en 1857, on fonda les 4 nnales del’enseigne- ment public, destinées à prendre la place du Moniteur de l’en- seignement qui se mourait. J'y eus mes entrées comme collabora- teur pour les questions de pédagogie. J'en profitai pour y glisser sournoisement deux courts articles sous le titre : Les postulats de la Géométrie. Ils furent peu goùtés ou, tout au moins, passérent inaperçus. Les Annales d’ailleurs ne vécurent que deux ans. Je ne pense pas que Les postulats aient contribué à avancer ou à retarder leur mort. Malgré mes insuccès, je persistais à penser que l’objet de mes méditations ne manquait ni d'importance ni d'intérêt. L'année suivante, j'allai à l'Université de Bonn pour y parfaire mes études philosophiques. Mon double titre de docteur en philosophie et en sciences me valut un excellent accueil des savants qui y professaient à celte époque. Le jour de mon arrivée, Behr, le jeune professeur de physique, que la mort guettait déjà, me retenait à diner. J'avais pour lui une lettre de recommanda- tion de mon vénéré maitre Glœæsener, dont le nom, aujourd'hui presque oublié, devrait figurer à chaque page de l’histoire pri- milive de l'électricité. Beaucoup de sujets de conversation furent mis sur le tapis. L'attention que Behr voulait bien prêter à mes questions, m'enhardit à lui exposer quelques-unes de mes idées sur la géométrie. Il en fut frappé et m’engagea vivement à les soumettre à Ueberweg, alors pauvre privat-docent, qui avait travaillé dans la même direction. (8) C'est de ce moment que data mon intimité avec Ueberweg, intimité qui ne fut interrompue que par sa mort, arrivée le 9 juin 1871. Ueberweg avait publié en 1851, dans les Archives pédagogiques (vol. XVI), une Exposition scientifique des principes de la Géo- métrie, qui, aujourd'hui encore, a gardé toute sa valeur philoso- phique. 11 me la communiqua, et dès lors commença entre nous un commerce de vive voix et par correspondance — je possède des monceaux de notes, d'objections et de réponses écrites de sa main — qui ne laissa inéprouvé aucun des moel- lons formant les assises de cette science. Nous prenions souvent pour arbitre son ami Lipschitz, privat- docent comme lui, avec qui il m'avait mis en rapport. C'est même Lipschitz qui me signala, dans le Journal de Crelle, les articles de Lobatschewsky dont je donne une courte analyse dans mes Prolégomènes (p. 76). Mes maitres de Bonn me rendirent ainsi la confiance en moi- même, que j'avais perdue. De retour à Liège, je coordonnai mes notes et j'en fis un livre pour le plan duquel feu Alphonse Le Roy, mon professeur de métaphysique, m'aida de ses conseils. C’est ainsi que je pus faire paraitre en 1859 mes Prolégomènes philosophiques de la Géométrie et solution des postulats, suivis de la traduction d’une dissertalion sur les principes de la Géométrie par Fréd. Ueberweg. L'exposition de mes vues sur les fondements de la géométrie a donc aujourd'hui trente-sept ans de date, Certes mes opinions n'ont pas fait leur chemin. Je suis venu trop tôt. Mon nom était inconnu ; des philosophes auxquels s'adressait spécialement mon livre, il en était peu que leurs connaissances géométriques eussent fait admettre dans l'école de Platon: et les mathématiciens d'alors — sont-ils autrement (9) aujourd'hui? — avaient trop en mépris la philosophie pour daigner me suivre à travers le dédale de mes critiques et de mes hypothèses. En outre, dans l'enthousiasme de la jeunesse et — l’ajouterai-je ? — dans l’enivrement des premières pensées entretenu par l'atmosphère métaphysique que Kant, Hegel, et surtout Herbart, me faisaient respirer à pleins poumons, je m'étais laissé entrainer à exposer sous une forme abstraite et abstruse des idées qu'aujourd'hui je m'efforcerais d'habiller du langage ordinaire. Rien que le titre que j'avais choisi avait quel- que chose de rébarbatif. Toutefois, j’eus l'honneur d’être analysé en Allemagne et en Angleterre, et j'ai vu plus tard avec un assez vif plaisir des géomètres adopter, en me citant, telle de mes définitions ou telle partie de mon plan et de mes théorèmes !. En France, aujourd'hui, mon ouvrage semble s’exhumer de l'oubli, et des savants comme MM. Calinon, Lechalas, Léon Cou- turat, etc. ?, le citent avec éloge et font usage de sa terminologie. 1 Je ne rappellerai que la Géométrie de M. J.-F.-V. GÉrarD (The cle- ments of Geometry, or first step in applied Logic, Longmans, London, 1874, dans les Advanced series de MoreLL). L'auteur me cite dans sa préface; il est entré spontanément en correspondance avec moi. Il reconnaît l’influence que la lecture de mon ouvrage a eue sur son esprit. Malheureusement, il ne l’a lu, dit-il, que lorsque les deux premiers livres de sa Géométrie étaient déjà sous presse, et il a dù faire des remaniements sur les épreuves, ce qui apparait assez visiblement. ? « Dans cet ouvrage, antérieur à la publication du mémoire de Riemann et aux travaux de Helmholtz et de Beltrami, M. D., n'ayant qu'une connais- sance incomplète de la géométrie de Lobatschewsky (op. cit, p. 77), a défini l’espace euclidien, ainsi que la droite et le plan, par l’idée d'homogénéité, et réduit les postulats fondamentaux de la géométrie à des principes ration- nels. Les recherches ultérieures des mathématiciens n’ont fait que confirmer cette théorie ingénieuse et profonde, qui était, pour l'époque où elle a paru, une véritable divination, » (L. Coururar, Revue de métaphysique et de morale, mai 1895, p. 505.) (10) Bien qu'à l’âge où je suis arrivé, ma vanité, qui a toujours été peu chatouilleuse, le soit devenue moins que jamais, j'avoue que ces témoignages, presque posthumes, rendus à ce premier fruit de ma jeune pensée, ne m'ont pas trouvé indifférent. C'est même là ce qui explique en partie comment je prends plaisir à entrer dans ces détails, peut-être trop personnels, que le lecteur voudra bien me pardonner. Pourtant une autre raison encore pourrait les justifier. Mes idées sur les fondements de la géométrie on! peu varié. Je sais que pareille invariabilité ne prouve généralement rien. Un poëte a dit, non sans quelque hardiesse : L'homme absurde est celui qui ne change jamais. Cet apophtegme est surtout vrai en fait de science. Aussi je n'ai jamais eu honte de brüler, quand il le fallait, ce que j'avais adoré. Cependant, en géométrie, je ne me suis pas encore vu dans la nécessité de brûler quoi que ce soit. C’est pourquoi je crains, moi qu'on pouvait regarder jadis comme un novateur presque révolutionnaire, de passer aux yeux du public actuel pour un arriéré, voire un rétrograde. La métagéométrie n'est- elle pas en honneur et ne se flatte-t-elle pas d’avoir jeté la géo- métrie d'Euelide à bas de son piédestal et d'avoir pris sa place ? Bien que £e soit la géométrie euclidienne qui supporte l'édi- fice de la métagéométrie, il a été démontré, à superfluité de preuves, combien les fondements de son œuvre sont défectueux, et combien il serait nécessaire de les consolider en y remplaçant les mauvaises pierres par des pierres de meilleure qualité. Ils appellent done une reconstruction. Or, cette reconstruetion telle que je l'ai conçue, si elle est désirable au point de vue scien- tifique, n’a pas chance d’être accueillie comme avantageuse au point de vue pratique. Elle est trop radicale. Eueclide est pour (11) nous une autorité comme l'a été Aristote jusqu’à Descartes. C'est un dogme que la géométrie élémentaire d'Euclide est la perfee- tion même; qu'Euclide a donné le vrai plan, la vraie méthode, les vrais principes; que c’est tout au plus si on peut l'améliorer en quelques points secondaires; c'est Euclide qui sert à l’ensei- gnement depuis des siècles; et chacun va répétant, comme s’il avait médité Euclide et médité la géométrie, qu'Euclide est la géométrie et qu'il n y a pas d'autre géométrie élémentaire pos- sible que celle d’Euclide. Malgré le caractère imposant de ce concert, je me risque à poursuivre aujourd'hui l'entreprise dont je n’ai fait qu’esquisser le plan dans mon premier ouvrage, c’est-à-dire à mettre en forme tous les principes, définitions, axiomes et postulats, et tous les théorèmes de la géométrie plane jusques et y compris la mesure des angles, à l’exelusion de ceux concernant le cercle et la mesure des surfaces. Cette tentative, d'un bout à l’autre absolument originale, je me permets de la mettre sous le patronage d'Ueberweg, qui l’eût certainement suivie avec intérêt. Voici ce qu’il écrivait en 1851, et je m'approprie ses paroles ! : « Si nous envisageons notre sujet au point de vue purement mathématique, il se présente tout d’abord une question intéres- sante, celle de ramener à un nombre déterminé et le plus petit possible les propositions fondamentales de la géométrie et d’en déduire tous les théorèmes avec rigueur. » La géométrie d'Euclide, on le sait, n'a résolu qu'incomplè- tement ce problème. Outre les définitions des figures premières, lignes, surfaces, etc., elle pose, sous le nom d'’axiomes et de Voir dans mes Prolégomènes la traduction de la dissertation d'Ueberweg, pp. 269 et suiv. (12) postulats, une suite de propositions non démontrées, sans s’expli- quer, et avec raison, sur leur validité; car c'est la mission de la philosophie et en particulier de la théorie de la connaissance. Mais même sous le rapport mathématique, on peut lui reprocher : » {° L'énumération incomplète en fait, quoique complète en apparence, des axiomes, l'existence du plan, la comparabilité de toutes les lignes d’après leurs rapports de grandeur, l'égalité qu'on établit entre la somme de plusieurs angles et l’angle formé par les deux côtés extrêmes, d’où suit la mesure des angles; toutes ces propositions ne sont mentionnées ni parmi les axiomes, ni parmi les théorèmes; et Euclide lui-même, sans aucun doute, n’avail pas songé à en faire l'objet de son attention, les croyant implicitement comprises dans ses axiomes et postulats. » 2° Le défaut de principe pour l'ordre des axiomes. A. la vérité, il est impossible de déduire les axiomes, car ils perdraient alors ce caractère; mais on peut les établir d'un point de vue général, de manière à en montrer l’ensemble. De là le troisième inconvénient : » 5° Le nombre indéterminé de ces axiomes. Rien ne nous assure ainsi que les développements postérieurs de la géométrie ne nécessiteront pas une augmentation de ce nombre, comme, d'un autre côté, il n'est pas prouvé qu'on ne puisse lui faire subir une diminution en démontrant quelques uns d'entre eux. » Malgré des efforts réitérés, ces lacunes n'ont pas encore été comblées, et la solution de la difficulté, même dans le cas où cette solution ne serait pas élémentaire, n'en aurait pas moins un grand intérêt scientifique. Nous ne voulons pas dire que plus tard on ne trouvera pas le moyen de faire entrer dans l’enseigne- ment élémentaire les résultats de la science, mais il s'agit avant tout d’un problème scientifique et non didactique. » Je dis plus haut que ma tentative est d’un bout à l’autre ori- (15) ginale. Il ne serait certainement pas facile de trouver dans ce qui va suivre dix lignes de suite qui se liraient dans d’autres ouvrages. Ce n’est pas que j'aie visé à l'originalité — c'eût été puéril — ; mais dans une science constituée comme les Grecs nous l'ont transmise, et procédant méthodiquement par définitions, propo- sitions, démonstrations, du moment que le point de départ était modifié, des modifications correspondantes s’imposaient dans la suite. On comprend, sans plus amples développements, que les théorèmes sur la droite ne seront pas les mêmes si on la définit le plus court chemin ou la ligne homogène. Ma tentative est encore originale sous un autre rapport. Dans les géoméitries traditionnelles, les théorèmes s’enchainent parce qu'ils s'appuient les suivants sur les précédents, mais l’ordre manque en ce sens qu'il est réglé non par leur objet, mais par les nécessités de la démonstration. Ainsi, par exemple, les théo- rèmes sur l'égalité des triangles sont très éparpillés !. Or, dans ma manière de concevoir les choses, les figures doivent s’étudier en allant des simples aux composées, et la démonstration de leurs propriétés ne doit faire usage que des termes compris dans leurs définitions et dans l'énoncé du théorème. Je m’expli- querai dans la suite plus longuement sur ce point. Enfin, — et c'est ce qui apparaitra dès les toutes premières lignes, — je définis tous les termes dont je me sers du moment qu'ils sont pris dans un sens rigoureusement géométrique. C'est ainsi qu’à l'occasion de la définition de la géométrie, je donne celles de l’espace, de l'étendue, du lieu, de la limite, de la dimen- sion, etc., tandis que la plupart des auteurs s’en dispensent. * Dans ma pensée, ces sortes d'observations s'appliquent presque toujours à Euclide et à Legendre, les seuls auteurs que je possède bien. J'ai vu que certains manuels récents, tel celui de Rouché-Comberousse, réunissent ces théorèmes. (449 Voilà ce que j'ai essayé d’atteindre sans y être toujours par- venu. Cependant, j'oserais me flatter d’avoir réussi dans ce qui me tenait le plus à cœur. Je mettais en effet une espèce d'amour propre à édifier toute la théorie de la similitude des triangles et des polygones indépendamment de la théorie des parallèles. Je ne pouvais mieux montrer cette indépendance qu’en exposant celle-ci après celle-là. Tel est le principal motif de ce renver- sement de l'ordre traditionnel. Il y a bien aussi un motif secon- daire, un motif d'ordre, puisque la figure formée par deux parallèles et une sécante est un cas limite du triangle; mais le premier motif est pour ainsi dire la raison d'être de ce long travail. Un mot encore. J'ai multiplié les théorèmes et les corollaires, et j’ai donné bien des démonstrations qu'on pourrait taxer d'oi- seuses. C'est que j'ai tenu à n’esquiver aucune difficulté, aucune question, aucune objection, aucun doute, si léger füt-il. S'il s'agissait de faire de cette géométrie un livre d'enseignement, il y aurait à retrancher les trois quarts des pages qu'on va lire. Mais elle est avant tout une œuvre de philosophie destinée à faire la conviction dans les esprits. Je n'ai sciemment rien laissé dans l'ombre, et j'ai formulé une série considérable de propositions auxquelles les géomètres doivent avoir rarement pensé. Je voudrais obtenir de ceux qui me feront l'honneur de me suivre, qu'ils ne s'en impatientent pas, mais qu’ils m'en sachent plutôt gré. J'ai mieux aimé passer pour lourd et prolixe que pour illu- sionniste. Après cet avant-propos dont le but principal est de faire saisir l'esprit de mon œuvre, j'entre en matière. LA GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE SANS LE POSTULATUM D’EUCLIDE NOTIONS FONDAMENTALES CHAPITRE [. — LES DÉFINITIONS GÉNÉRALES. #4. — La géométrie a pour objet les figures, c'est-à-dire les déterminations ou les limitations de l’étendue, et pour but, leur description !. 2. — L'étendue est l’ensemble indéfini des lieux qui peuvent être occupés par les corps ou être le siège de leurs mouvements. 3. — Le lieu est ce qui reste d'un corps quand on fait abstrac- tion de la matière qui le constitue, ou ce qui subsiste d'un mouvement quand on conserve la trace du mobile ?. : Voir Prolégomènes, etc., pp. 172 et suiv. ? Mon point de départ diffère ainsi de celui d'Ueberweg et mes toutes premières définitions sont autres que les siennes. « Notre point de départ, dit-il, est donc l'intuition sensible où espace et matière sont encore con- fondus; l’abstraction nous donnera l’espace à part; le mouvement conduit naturellement à cette abstraction. Un corps matériel passe d’un lieu à un autre; quelque chose change : ce qui change, nous le nommons lieu, et notre conscience gagne ainsi l’idée du lieu comme de quelque chose d’étendu en opposition avec la matière qui peut occuper ou abandonner le lieu. » (Pro- légomènes, pp. 275 et suiv.) (16) A — L'étendue, en tant que non déterminée où limitée, . 3 = L 9 à porte en géométrie le nom d'espace. On dit d'une figure qu’elle est tracée ou située dans l'espace, et qu'elle occupe une certaine \ étendue. Ÿ L'espace est ainsi le réceptacle des figures, et l'étendue est ce qui, dans les figures, tient liett de matière. C'est pourquoi l'on peut dire et l'on dit des sont des corps géométriques, el de l'espace, en tant qu'il est con- sidéré uniquement comme le réceptacle de ces COrPE ARE c'est l’espace géométrique proprement dit, pour al | disinEuers po exemple, des espaces physiques, des espaces ingerplanétaires, des espaces célestes, ete., et même des espaces idéad*: figures que ce Cependant il est lui-même une sorte d'espace idéà! — 41Si re De \r que nous le verrons plus loin — et, à ce titre, disuinet de REPAS AU réel. Les figures (ou corps géométriques) s’obtiennent par la déteï KL mination ou limitation de l'étendue. 5. — Déterminer ou limiter l'étendue, c'est en prendre par la pensée une certaine portion en supprimant, toujours par la pensée, ce qui est en dehors de cette portion ; en d’autres termes, c'est supposer que l'étendue existe ou est posée d'un côté de la limite, qu’elle n'existe pas ou est née de l’autre côté. 6. — Il suit de là qu’une figure, une sphère par exemple, peut être envisagée sous deux aspects opposés, l'aspect plein et l'aspect vide, suivant qu'on la suppose pleine d'étendue au milieu du vide, ou vide d’étendue au milieu du plein. 7. — L'étendue posée et l'étendue niée constituant toute l'éten- due, la limite qui les sépare n’est pas de l'étendue. On la nomme surface; et elle a deux aspects, un aspect plein et un aspect vide, suivant qu'on la considère en se plaçant dans l'étendue niée, c'est-à-dire en tant qu'elle limiterait le plein ; ou en se plaçant dans l'étendue posée, c’est-à-dire en tant qu'elle limiterait le vide. s. — La figure limitée par une surface s'appelle figure solide, ou simplement solide (plus spécialement corps géométrique). rt C7 ) -:®. — La surface apparait à l'esprit comme une nouvelle espèce d'étendue et, à ce titre, elle est susceptible de recevoir des déterminations. Les déterminations d’une surface sont dites ligures superficielles et elles ont une étendue superficielle. La surface qui les reçoit en est le réceptacle. 20. — La figure superficielle a aussi son aspect plein et son aspect vide, suivant qu'on la considère comme formée de surface posée ou de surface niée. #41. — La surface posée et la surface niée constituant toute la surface, la limite qui les sépare n'est pas une surface. On la nomme ligne; et elle a deux aspects, un aspect plein et un aspect vide, suivant qu'on la considère du côté de la surface niée, c'est-à-dire en tant qu'elle limiterait la surface posée; ou du côté de la surface posée, c'est-à-dire en tant qu’elle limiterait la sur- face niée. 42. — La ligne apparait à l'esprit comme une troisième espèec d’étendue et, à ce titre, elle est susceptible de recevoir des déterminations. Les déterminations d'une ligne sont dites figures linéaires et elles ont une étendue linéaire. La ligne qui les reçoit en est le réceptacle. 43. — La ligure linéaire a aussi son aspect plein et son aspect vide, suivant qu'on la considère comme formée de ligne posée ou de ligne niée. #4. — La ligne posée et la ligne niée constituant toute la ligne, la limite qui les sépare n'est pas une ligne. On la nomme point ; et elle a aussi ses deux aspects, l'aspect plein et l'aspect vide, suivant qu'on la considère du côté de la ligne niée, c'est- à-dire en tant qu'elle limiterait la ligne posée; ou du côté de la ligne posée, c'est-à-dire en tant qu'elle limiterait la ligne niée !. 1 Voir Prolégomènes, pp. 154 ct suiv. (18) 45. — Le point n'est susceptible d'aucune détermination autre que lui-même, c'est-à-dire autre que son lieu ou sa place. Le point n'a pas d'étendue t. 16. — Bien que le point n'ait pas d'étendue, s’il se meut en sortant de lui-même, il déerit une ligne. Cela veut dire que, si l'on conserve la trace des lieux qu'il occupe successivement, la suite de ces lieux constitue une ligne. On dit de la ligne qu'elle a une dimension. 47. — Bien que la ligne ne soit pas une surface, si elle se meut en sortant d'elle-même, elle décrit une surface. Cela veut dire que, si l'on conserve la trace des lieux qu'elle occupe suc- cessivement, la suite de ces lieux constitue une surface. Pendant ce transport, la ligne est censée pouvoir se déformer, se contourner, s'étendre jusqu'à l'infini ou se rétrécir jusqu'à l'évanouissement. On appelle seconde dimension la trajectoire suivie par un point quelconque mais unique de la génératrice, c'est-à-dire de la ligne mobile, depuis sa première jusqu'à sa dernière place. On dit de la surface qu'elle a deux dimensions. 18. — Enfin, bien que la surface ne soit pas un solide, si elle se meut en sortant d'elle-même, elle décrit un solide. Cela veut dire que, si l'on conserve la trace des lieux qu’elle occupe sue- cessivement, la suite de ces lieux constitue un solide. Pendant ce transport, la surface est censée pouvoir se défor- mer, se contourner, s'élendre jusqu’à l'infini, ou bien se rétrécir jusqu'à devenir en totalité, ou par endroits, une ligne ou un point, ou même s'évanouir pour réapparailre ensuite. On appelle troisième dimension la trajectoire suivie par un point quelconque mais unique de la surface génératrice depuis sa première jusqu'à sa dernière place. On dit du solide qu'il a trois dimensions. { Euclide dit : Le point n’a pas de partie. (19) 49. — Le mouvement appliqué au solide ne nous parait engendrer rien d’autre qu'un solide. Car, à chaque instant du mouvement, c'est la surface du solide, et non le solide lui-même, qui sort totalement ou partiellement du lieu qu’elle occupe et qui engendre ainsi un solide (18). Il est à noter que, pour que ces mouvements soient possibles et concevables, il faut que l’espace, la surface, la ligne préexis- tent, à titre de données, au mouvement de la surface, de la ligne, du point. 20. — Nous avons ainsi, avec le point et à l’aide de trois mouvements successifs, obtenu d’abord une ligne, puis une sur- face, puis un solide (autrement dit un corps géométrique). C’est pourquoi l'on dit que le solide ou le corps, que l'étendue, qui est le lieu des corps en tant que déterminés, et que l’espace, qui est le réceptacle des corps en tant que possibles, ont trois dimen- sions; que la surface a deux dimensions; que la ligne n’a qu’une dimension ! ; et que le point n'a pas de dimension. 2. — II suit de là que la dimension est une ligne ; que la dimension d’une ligne est cette ligne même, que les deux autres dimensions sont des lignes fictives arbitraires; et qu’ainsi,en génc- ral, les dimensions sont des lignes qui sont censées être la trace du mouvement nécessaire pour d'un point tirer une ligne, pour d'une ligne tirer une surface, pour d'une surface tirer un solide ?. 22. — Les dimensions entrent par conséquent, d’une manière ! Au point de vue de la description des figures, c’est là une incxactilude. Seule, la ligne droite n’a qu’une dimension, et scule, la surface plane n’a que deux dimensions. Une ligne brisée ou une ligne courbe peut en avoir deux ou bien trois suivant que, pour la définir, il faut la supposer tracée sur un plan, ou bien sur une autre surface ou dans plusieurs plans. C’est en tant que droite ou rectifiée que la ligne n’a qu'une dimension, et en tant que plane ou planifiée que la surface n’en à que deux. ? Je crois qu'aucun auteur n’a essayé de donner une définition de la dimension. Je ne sais ce que vaut la mienne. (20) explicite ou implicite, dans l'expression de la mesure de l'étendue des solides, des surfaces et des lignes !. Mais quand il s'agit de la mesure des surfacvs et des os le mot dimension prend un sens restreint et conventionnellement défini suivant le genre des surfaces ou des solides à mesurer ?. 23. — L'étendue, en tant que mesurée ou conçue comme mesurable, est une grandeur. 24. — Toute figure mesurable est censée limitée. 23. — La grandeur d'un solide s'appelle ordinairement volume; celle d’une surface, aire ou superficie, et quelquefois aussi surface; celle d'une ligne, longueur. * Que l'étendue nous apparaisse avec trois dimensions, c'est un fait et un fait jusqu’à présent irréductible — analogue en lui-même à la loi d’attrac- tion, qui lui est intimement liée. Toutefois, de même que nous pouvons con- cevoir une étendue à deux dimensions, — la surface ou micux le plan, — de même nous pouvons aussi concevoir une étendue à quatre dimensions et davantage. Mais tandis que nous pouvons, pour nous représenter la surface, faire abstraction de la troisième dimension, nous sommes impuissants à ima- giner une étendue à quatre dimensions parce que la place nous manque pour introduire la quatrième dimension. Les géométries à plus de trois dimensions sont donc imaginaires, — le terme imaginaire étant pris comme l'opposé d'imaginable, — bien qu’elles puissent avoir un caractère et une valeur réels en tant qu'elles sont une généralisation impliquant la réalité comme cas particulier. (Voir Logique algorithmique, Liège, Desoer, notes, pp. 13 et suiv.) ? Quand on dit que les deux dimensions d’un triangle sont sa base et sa hauteur, c’est qu'on admet que la base, en tant que génératrice, va se rétré- cissant, pendant qu’elle se meut depuis le pied de la hauteur jusqu'au som- met (17). Si le triangle se contournait et se gauchissait, la base et la hauteur pourraient cesser d'être des lignes droites qu’on serait quand même en droit d'y voir des lignes propres à nous faire connaître les dimensions de la figure. De sorte que, d’une manière générale, deux ou trois lignes arbitraires qui se coupent dans une figure ou dans un solide et qui en atteignent les limites — car tout ce qui se mesure est censé limité — peuvent être prises pour les dimensions de cette figure. Mais le choix des lignes tracées à cct effet est déterminé par des considérations théoriques ou pratiques. (21) 26. — Les dimensions, prises isolément, portent différents noms : longueur, largeur, base, hauteur, épaisseur, profondeur. Ces noms sont interchangeables, en ce sens qu'on peut appe- ler chacune des dimensions par l’un quelconque de ces noms. Cependant, quand il s'agit d’une simple ligne ou d'une gran- deur qu’on ne considère que sous une seule dimension, on se sert plus généralement du terme longueur. S'il s’agit d'une surface, les termes longueur et largeur sont ordinairement usités pour désigner la plus grande et la plus courte dimension. Enfin, quant aux volumes, on appelle habituellement longueur, largeur, épaisseur, la plus longue, la moyenne, la plus petite dimension !. * L'usage a consacré certaines manières de désigner les dimensions, et les auteurs, tout en s’y conformant, négligent d'ordinaire ce chapitre au moins utile, sinon indispensable. Ainsi on dira auteur pour la dimension mesurée de bas en haut au-dessus du sol, ct profondeur pour la dimension mesurée de haut en bas au dessous du sol, principalement dans le vide. On dira donc la hauteur d’un nuage, d’une tour, d'une berge; la profondeur d'un précipice, d’un puits, d’une rivière. Le mot profondeur est encore le plus ordinaire pour la mesure d’un ereux, tandis que l'épaisseur se dira de la mesure d’un plein : la profondeur d’un bâtiment, d’une armoire, d’une caisse; l'épaisseur d’un massif de maçonnerie, d’un pilier, d’une poutre. On dira aussi la longueur du pont et la largeur du fleuve, bien qu'il s'agisse ici de la même mesure. Mais c’est que la longueur est la grande dimension du pont, et que la largeur est la petite dimension du fleuve. S’il s’agit d’un terrain longeant un chemin ou une rue, l'usage s’est établi de dire largeur pour sa dimension à front du chemin ou de la rue, et profon- deur pour l’autre dimension perpendiculaire à celle-ci. Par conséquent, en parlant d'une maison, on donnera sa largeur, sa profondeur et sa hauteur. Quand la surface à mesurer est dressée, par position naturelle ou par des- tüination, comme une porte, une fenêtre, un tableau, unc gravure, une glace, on donne le nom de hauteur à la dimension qui serait à mesurer de bas en haut, et l’autre dimension prend toujours le nom de largeur. Pour certaines surfaces géométriques comme les rectangles, les triangles, les trapèzes, les termes usités sont ceux de base et de hauteur, la base étant (22) 27. — On nomme en général hypothèses, et en géométrie plus spécialement postulats, des propositions qu'on demande d'accepter provisoirement comme vraies pour servir de fon- dement à la science. Si elles sont justes, leur légitimité et leur solidité se manifesteront au fur et à mesure que la science s'édifiera. 28. — En géométrie, on nomme axiomes d'autres proposi- tions du domaine de la logique, de l’arithmétique et de l'algèbre, que ces sciences ont démontrées, et qui, par conséquent, sont censées, pour le géomètre, ne plus avoir besoin de démon- stration {. 29. — Le problème est une question que l’on fait concernant les objets d'une science. Le problème géométrique est une question que l’on fait concer- nant les figures. La réponse à un problème se nomme solution ou résultat. 30. — Le théorème est l'énoncé général du résultat des pro- blèmes de même espèce. un certain côté de la figure, la hauteur étant la perpendiculaire élevée sur ce côté. Mais quand on mesure certains solides, tels que parallélipipèdes, prismes, cylindres, pyramides, cônes, etc, on appelle base la surface sur laquelle on se les représente comme appuyés. Quand, dans une surface, les deux dimensions sont égalcs, on garde d’habi- tude le terme largeur : la largeur d’un étang (circulaire). Si, dans un solide, deux ou trois dimensions sont égales, on gardera le terme épaisseur : l'épaisseur d’une colonne, d'un cube. t Cette définition est presque l'opposé de la définition vulgaire qui veut que l’axiome — à la différence du théorème — soit une vérilé évidente par elle-même, en d’autres termes, n’ayant pas besoin de démonstration. Malheu - reusement celte définition implique unc définition de l'évidence, et c’est parce que l’on n’a jamais pu fournir cette dernière que l’ou s’est querellé et qu’on se querelle encorc sur le point de savoir si le postulat d'Euclide ne devrait pas être compté au nombre des axiomes, et si la définition courante de la ligne droite, Le plus court chemin entre deux points, est bien une défini- tion, et si ce n’est pas plutôt un axiome ou un postulat. (250) La démonstration du théorème est la généralisation de la preuve du résultat des problèmes de mème espèce. De là on a pu dire que le théorème est l'énoncé d'une vérité qui devient évidente à la suite d'une démonstration !. 84. — Le lemme est une proposition, claire par elle-même, employée subsidiairement comme prémisse où comme expli- cation à l'occasion d’une démonstration particulière. 32. — Le scole est une remarque ou commentaire servant à mettre en relief la portée d'un théorème ou ses rapports avec d’autres théorèmes déjà démontrés. 33. — Le corollaire est une proposition qui découle directe- ment d'un théorème, qui n'en est qu'une extension, et qui ne demande pas à être démontrée à part, si ce n’est sommairement. 34. — On appelle définition la description des figures. 33. — Hypothèses ou postulats, axiomes, problèmes, théo- rèmes, lemmes, scolies, corollaires et définitions portent le nom générique de propositions. CHAPITRE II. — Les HYPOTHÈSES OU POSTULATS DE LA GÉOMÉTRIE. 36. — [. L'espace géométrique (4) est fait homogène, c'est-à- dire que, dans toutes ses parties, quelle qu’en soit la grandeur, il est censé susceptible de recevoir les mêmes déterminations. De là : 1° L'universalité idéale des propositions de la géométrie; 2 La validité générale des démonstrations, indépendamment de la grandeur des figures qui en sont l’objet. Par conséquent, le géomètre n'a égard ni au lieu ni à la grandeur de ses figures, qu'elles soient tracées sur une feuille de papier, sur un tableau, sur une place publique, ou dans l'immensité du ciel. * Voir Prolégomènes, pp. 101 et suiv. (24) Scolie 1. — L'homogénéité est donc ce qui distingue l’espace géométrique de l'espace réel. L'espace réel est hétérogène. Le corps le plus inaltérable ne peut s’y déplacer si peu que ce soit sans éprouver d'innombrables modifications dans sa constitution la plus intime. C'est ainsi, par exemple, qu'il sera altéré dans son poids pour peu qu'il s'élève ou qu'il s’abaisse et que même il le perdra s'il descend jusqu’au centre de notre globe, ou s’il monte dans cette région où l'attraction de la Lune contre- balance celle de la Terre. Dans l'espace géométrique, au con- traire, le déplacement d'une figure la laisse absolument intacte; elle est là ce qu'elle était ici et dans la Lune ce qu'elle était sur la Terre. Scolie 2. — Il y a plus. Quelle que soit la portion de l'espace géométrique que l'on considère, elle est susceptible de recc- voir toutes les déterminations imaginables, parce qu'elle est l'image agrandie ou réduite de toute autre portion. C'est ainsi que, dans un espace grand comme la sphère céleste, il n'y a pas un point qui n'ait son représentant distinet dans une sphère de quelques décimètres de diamètre, dans une sphère grande comme une goutte d'eau, en un mot, aussi petite que l'on veut. Géométriquement parlant, on pourrait, sur un de ces globes terrestres qui servent dans les écoles, indiquer la place exacte- ment correspondante de chaque point de la Terre. L'espace géométrique est indéfiniment extensible et indéfiniment contrac- tile. C’est sur cette propriété que repose la légitimité des agran- dissements et des réductions dont on fait tant usage dans les arts du dessin. Mais cette propriété est en soi contradictoire, puisqu'elle implique qu'il y a autant de termes partiels dans le moins que dans le plus, dans le petit que dans le grand, dans la partie que dans le tout !. 1 Une simple image peut faire saisir cette contradiction dans toute sa force, mais aussi dans toutes ses étonnantes conséquences. Un cercle est l’image d’un autre cercle. Figurons-nous done une série infinie de cercles concentriques de plus en plus petits, et des êtres ayant la forme de petits ares de cercle, rangés en sc touchant du coude sur le pourtour d’une cir- (25) C’est pourquoi l’espace géométrique est un espace imaginaire, idéal, un espace abstrait et simplifié au delà de toute expression. Seulement cette simplification facilite et rend possible l'étude des figures réelles qui, sans elle, serait inabordable. Scolie 3. — Enfin les déterminations géométriques ne sont pas exclusives d’autres déterminations; en d’autres termes, l'espace géométrique est indéfiniment pénétrable. Dans l'espace réel, les corps se repoussent en cé sens qu'ils ne peuvent être plusieurs dans le même lieu. Dans le même espace géométrique, coexistent toutes les figures possibles. L'une n'exclut pas l’autre, et le lieu d’une figure est le lieu d’une infinité de figures iden- tiques ou différentes !. 87. IT. Par une particularisation de ces propriétés de l'espace géométrique, on conçoit des surfaces homogènes, c'est-à- dire telles que toutes leurs parties, quelle qu’en soit la grandeur, sont susceptibles de recevoir les mêmes déterminations. conférence. Ces êtres marchent vers le centre sans déformer leur rang. Pour cela il faut qu’ils diminuent de taille au fur et à mesure qu'il font du chemin. Quand ils ont parcouru la moitié du rayon, ils ont perdu la moitié de leurs dimensions. Par cela méme leurs pas sont devenus plus courts de moitié, ct à leurs yeux la distance qui les sépare du centre n’a pas diminué, car ils ont encore le même nombre de pas à faire. Arrivés aux trois quarts de leur route, ils ne sont pas plus avancés. Leur taille a diminué des trois quarts, leur pas aussi, de manière que le quart du rayon qui leur reste à parcourir, leur fait l’effet d'être aussi grand que l'était le rayon entier au moment où ils se sont mis en marche. Ces êtres, s'ils sont intelligents et s’ils n’ont aucun indice qui leur donne le soupçon de leur rapetissement, doivent s’imaginer que le centre, but de leurs efforts, est situé à l'infini et qu'ils ne l’atteindront jamais. Et, en effet, ils ne l’atteindront jamais, — à moins que, par un phénomène analogue, le temps ne se précipite au fur et à mesure que le rayon diminue, autrement dit que, dans le même intervalle de temps absolu, le nombre des pas n’augmente en proportion qu'ils deviennent plus courts. 1 Est-il nécessaire de faire remarquer que ces scolies ne devraient pas, avec tous leurs développements, figurer dans une géométrie élémentaire? Le lecteur fera sans peine le départ de cé qui est d’ordre didactique — comme le premier alinéa du deuxième scolie — et de ce qui cst d'ordre philosophique ; et il appliquera la même remarque à plusieurs des scolics qu’il va lire. (26 ) On appelle plans de telles surfaces, et l’on nomme figures planes les figures tracées sur un plan. 3s. — III. Par une nouvelle particularisation, on conçoit des lignes homogènes, c'est-à-dire telles que toutes leurs parties, quelle qu'en soit la grandeur, sont susceptibles de recevoir les mêmes déterminations. On appelle droites ou lignes droites de telles lignes, et l’on nomme figures rectlilinéaires ! les figures tracées sur une droite. Scolie. — Le plan ct la droite sont des intuitions, c’est-à-dire des conceptions qui se voient dans et par l'esprit. Ce sont aussi des données (19) au même titre que l'espace. De même que, sans de l’espace, on ne peut créer l'espace, mais que, du moment qu'on a une portion d'espace, si petite soit-elle, on peut — si l’on veut, bien que ce ne soit pas nécessaire — l'agrandir par l'imagination, et la multiplier indéfiniment; de même, sans une portion de plan donnée au préalable, on ne peut construire un plan, ni, sans une portion de droite donnée au préalable, tracer une droite. Par anticipation, disons ici que la portion de plan nécessaire pour construire le plan est censée être fournie par l'instrument appelé rabot, et la portion de droite indispensable pour tracer une droite, censée être fournie par l'instrument appelé règle. 39. — IV. De l’homogénéité de l'espace découle cette consé- quence que la même figure peut être représentée par une infinité de figures plus grandes ou plus petites. Ce par quoi ces figures diffèrent, c'est ce que nous avons appelé leur grandeur (25); ce par quoi elles se ressemblent, c'est la forme. La forme est ainsi indépendante de la grandeur et peut rester la même quand la grandeur change, et inversement ?. ? Je n'ai pas pu me servir du terme tout indiqué de figures rectilignes, parce que l'usage désigne par là des figures composées de lignes droites suivant deux ou trois dimensions de l'espace. ? Voir Prolécomènes, pp. 129 ct suiv. (27) 406. — Nous avons dit (2) que le but de la géométrie est la description des figures. Nous pouvons maintenant préciser davantage ce but et dire que c’est la recherche des éléments de la mesure de leur grandeur et de ceux de la description de leur forme. a. Définitions. — Deux figures qui ont même forme et même grandeur sont égales. Elles sont identiques quand elles sont susceptibles d'occuper exactement le même lieu (espace, surface ou ligne), ou, comme on dit encore, quand elles sont superposables; elles sont symé- triques si, pour les placer dans le même lieu, il faut faire de l'aspect vide de la limite de l’une d'elles l’aspect plein et inver- sement !. Cette dernière opération s'appelle retournement ?, rabattement ou demi-lour suivant qu'elle s'applique à une figure spatiale, plane ou rectilinéaire. Dans les figures égales, les parties qui se superposeraient si l'on superposait les figures, c’est-à-dire si on les mettait dans le méme lieu, sont dites similaires (par identilé ou par symétrie). 42. Définitions. — Deux figures qui ont même forme mais non même grandeur, sont semblables. Les figures semblables deviennent égales par agrandissement ou rapetissement, autrement dit par majoralion ou minoralion. Majorer et minorer, c'est changer la grandeur d’une figure, soit en l’agrandissant, soit en la rapetissant, sans en altérer la forme. | Nous nous servirons en général des termes majorer ou majo- 1 Voir dans mes Prolégomènes, pp. 244 ct suiv., la critique de la défini- tion ordinaire de la symétrie; et pp. 154 et suiv., la critique de la définition de l’équivalence. ? Cette opéralion, l'imagination ne la saisit pas ct l'esprit ne la concoit que par analogie. Mais ce que l'on comprend d'emblée, c'est que l’identifica- tion des solides suppose que l’un est considéré comme vide si l'autre est considéré comme plein. ( 28 ) ration pour indiquer tout changement de grandeur en plus ou en moins non accompagné de changement de forme. Dans les figures semblables, les parties qui deviendraient similaires si par majoration on rendait ces figures égales, sont dites homologues !. Scolie. — L'espace géométrique, le plan et la droite peuvent ainsi être caractérisés par la propriété d'admettre des figures semblables. On verra par la suite que la forme d’une figure dépend uni- quement de la proportionnalité de grandeur des éléments linéaires, de la valeur des éléments angulaires ct de l'ordre des uns et des autres. De sorte que la majoration n’a d'autre résultat que de changer la grandeur absolue des éléments linéaires sans en altérer la proportionnalité. L'espace non géométrique, les surfaces autres que les plans, les lignes autres que les lignes droites ne possèdent pas cette propriété ?. 43. Définilions. — Deux figures qui ont même grandeur mais non même forme, sont équivalentes. Les figures équivalentes peuvent devenir égales par dé/orma- lion ou transformation. Déformer ou transformer, c’est changer la forme tout en con- servant la grandeur. Transformer signifie plus spécialement donner une autre forme déterminée (par exemple, transformer un triangle en carré). 44. Définitions. — L'espace géométrique, le plan, la droite, étant homogènes, sont indéfiniment divisibles en parties sem- blables. On nomme isogènes les figures qui sont indéfiniment 1 Voir dans mes Prolégomènes, pp. 156 et suiv., la critique de la défini- tion usuelle de la similitude. 2 Tel est le point de départ des métagéométries. Elles ont appliqué à l’espace les propriétés de certaines surfaces et de certaines lignes autres que le plan ct la droite. (29) divisibles en parties égales (tels l'angle, la circonférence, la sphère, etc.). L'espace, le plan, la droite sont également isogènes. On nomme continues les figures qui sont indéfiniment divi- sibles en parties équivalentes. L'espace, le plan, la droite, ainsi que les figures isogènes, sont également continues. CHAPITRE III. — Les AxIOMES. Axiomes logiques. &3. -— 1. Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles. Cor. 1. — Deux figures identiques à une même troisième sont identiques (41). Cor. 2. — Deux figures semblables à une même troisième sont semblables (42). Cor. 5. — Deux figures équivalentes à une même troisième sont équivalentes (43). Cor. 4. — Quand à deux quantités égales on fait subir les mêmes opérations, qu'on leur ajoute ou qu'on en retranche la même quantité, qu'on les multiplie ou qu'on les divise par le même facteur, les résultats sont égaux. Cor. 5. — Deux figures identiques, soumises à la même majo- ration ou à la même déformation, fournissent deux figures iden- tiques. 46. — Il. Une quantité qui n’est ni plus grande ni plus petite qu'une autre de même espèce lui est égale. 47. Définitions ‘. — Toute proposition est susceptible de conversion et de contraposition. { Dans l’enseignement, on pourrait réserver ces considérations pour le moment où les élèves seraient déjà familiers avec les théorèmes susceptibles de conversion ou de contraposition. (50) Elle est convertie quand de son sujet et de son attribut on fait respectivement son attribut et son sujet. La proposition ainsi obtenue porte le nom d'inverse pour la distinguer de la proposition non convertie qui portera le nom de principale. Cor. — La principale est l'inverse de l'inverse prise comme principale. Elle est contraposee quand de son sujet et de son attribut on tre un sujet et un attribut négatifs. La proposition ainsi obtenue porte le nom de réciproque. Enfin quand il y a à la fois conversion et contraposition, on obtient la réciproque de l'inverse, ou, ce qui revient au même, l'inverse de la réciproque. Cette proposition portera le nom de dérivée. Cor. — La réciproque est la dérivée de l'inverse. Exemple : Deux droites parallèles sont deux droites ayant mème direction — proposition principale ; Deux droites qui ont même direction, sont deux droites parallèles —- proposition inverse ; Deux droites qui ne sont pas parallèles, n'ont pas même direc- tion — proposition réciproque ; Deux droites qui n’ont pas même direction, ne sont pas paral- lèles — proposition dérivée. as. Définitions. — On nomme jugement hypothétique un jugement composé de deux propositions, l’une appelée condition, et l’autre conséquence, par lequel on affirme que, si la condition est réalisée, la conséquence l'est aussi. Scolie. — Tout jugement hypothétique peut être mis sous la forme inverse, sous la forme réciproque et sous la forme dérivée. Par la forme inverse on affirme que, si la conséquence est réalisée, la condition l’est également; et par la forme réciproque, que, si la condition n'est pas réalisée, la conséquence ne l'est pas non plus. Enfin, par la forme dérivée on affirme que, si la con- séquence n’est pas réalisée, c'est que la condition ne l’est pas. (51) Exemple : Principale. — Si dans un triangle deux côtés sont égaux, les angles opposés à ces côtés sont aussi égaux; Inverse. — Si dans un triangle deux angles sont égaux, les côtés opposés à ces angles sont aussi égaux ; Réciproque. — Si dans un triangle deux côtés ne sont pas égaux (sont inégaux), les angles opposés à ccs côtés sont inégaux ; Dérivée. —— Si dans un triangle deux angles sont inégaux, les côtés opposés à ces angles le sont aussi. Lemme. — Une proposition peut toujours se mettre sous la forme d’un jugement hypothétique. Exemple : Si deux droites ont même direction, elles sont parallèles. De même, un jugement hypothétique peut s'exprimer sous la forme d'une proposition. Exemple : Dans un triangle, l'égalité de deux angles entraine l'égalité des côtés opposés à ces angles. 49. — III. Un jugement et sa dérivée sont toujours vrais ou faux en mème temps. Il en est de même de l'inverse et de la réciproque, puisque la réciproque est la dérivée de l'inverse (47, corol.). Cor. — Il suit de là que, si des quatre formes de jugements exprimées comme il a été dit plus haut à l’aide de la conversion et de la contraposition, lesquelles nous désignerons par les lettres p (principale), & (inverse), r (réciproque) et d (dérivée), l’un des couples pi, pr, id et rd se compose de propositions vraies ou fausses à la fois, les deux propositions restantes participent de la vérité ou de la fausseté des premières. 30. Scolie. — L'axiome IIT et son corollaire sont des théo- rèmes qui se démontrent en logique de la manière suivante : Supposons que S ne puisse être que P ou Q et que S’ ne puisse être que P' ou Q, de sorte que la proposition S est P équivaut à la proposition S n'est pas Q; je dis que, si quand S est P, on a toujours S’ — P’ et si quand S est Q, on a toujours S'= Q', alors quand S' = P'’, on a toujours S = P, et quand S' = À, on a toujours S — Q. Démonstration. — Car, si quand S’ — P”’, on avait non S — P (32) mais bien S— Q, on irait contre la supposition qui dit que si S — Q, on a toujours S' = Q et non pas S' — P’. Ce genre de démonstration s'appelle démonstration par. l'absurde. Il consiste à supposer fausse la conséquence et à.en tirer la fausseté de la condition. Applications. —- Des quatre propositions énoncées plus haut (48) sur les côtés et les angles d'un triangle, il suffit de démontrer soit la première et la seconde, soit la première et la troisième, ou bien la seconde et la quatrième ou la troisième et la quatrième pour qu'elles soient démontrées toutes les quatre. Cette remarque s'applique aux définitions. Ainsi pour que la définition des parallèles soit adéquate, il faut que les quatre pro- positions qui s'y rapportent soient vraies, et pour qu'il en soit ainsi, il suflit que la première avec la seconde ou avec la troi- sième ou bien encore que la dernière avec la troisième ou avec la seconde soient vraies à la fois. 31. — C'est ce qu'exprime la règle que toute définition doit ètre inversible ou réciprocable (54). Axiomes arithmetiques. 52. — IV. Toute quantité peut être considérée comme égale à la somme ou à la différence de deux quantités de même espèce convenablement choisies. Cor. — Toute quantité peut être considérée comme égale à la somme de ses parties. 53. — V. Quand à deux quantités inégales on ajoute des quantités égales, les sommes obtenues sont inégales dans le même sens; De mème, quand de deux quantités inégales on retranche des quantités égales, les restes sont inégaux dans le même sens; 54. — VI. Au contraire, quand de deux quantités égales on retranche des quantités inégales, les restes sont inégaux en sens opposé. (55) Axiomes algebriques !. 53. — VII. Toute quantité peut être traitée comme étant le multiple ou le sous-multiple (entier ou fractionnaire) d’une quantité de même espèce. 1 Ces axiomes tranchent le problème des incommensurables. En tout état de cause, qu’elles soient théorèmes ou qu’elles soicnt postulats, les propo- sitions sur le rapport des incommensurables sont du ressort de l’algébre et non de la géométrie, et celles doivent figurer parmi les axiomes de cette dernière science. Voici ce que j'écrivais en 1856 et imprimais en 1859 : « La plupart des auteurs ont admis comme axiome le postulat arithmétique que le tout est égal à la somme de ses parties. Mais aucun d'eux n'a posé ni en axiome ni en postulat que le out peut être considéré comme élant le mul- tiple d’une de ses parties. (Suit la démonstration comme quoi les moyens par lesquels on croit éviter les incommensurables sont illusoires.) Ce pos- tulat, inévitable en algèbre, où les quantités sont, de leur nature, continues, l’est aussi en arithmétique : l'équation ‘}, — 0,355... n’est autre chose qu’une comparaison entre incommensurables, entre ‘/; et les puissances négatives de 10. L’extraction des racines repose sur ce postulat. Vouloir extraire la racine de 2 et opérer sur le nombre 2 comme si c'était un carré parfait, c’est admettre a priori que tout nombre peut être considéré comme un carré, ce qui, encore une fois, est un cas particulier de ce postulat. » Dès que l’on admet comme vrai que, quelle que soit la grandeur des portions AB et CD d’un quantum isogène, on peut poser AB = mCD, c’est-à- dire leur supposer une commune mesure, on peut démontrer immédiatement les théorèmes généraux... qui servent à coordonner tous les théorèmes par- ticuliers, mesure des angles, plans et dièdres, des parallélogrammes de même base, des parallélipipèdes, etc. » (Prolégomènes, pp. 148-155.) Depuis que ces lignes ont été écrites, il paraitrait que le problème des incommensurables est définitivement résolu. Je ne me suis pas tenu au courant de la lillérature. Il ne me coûte rien de faire ingénument cet aveu, bien qu’on puisse — trop facilement hélas! — en tirer argument contre moi. Toutefois j'ai voulu lire ct j'ai lu et relu le plus attentivement qu'il m'a été possible la longue note de Roucué-Comgerousse sur la méthode des limites. Je ne suis pas arrivé à la comprendre, ni surtout à comprendre en quoi cette méthode est rigoureuse. Or, j'ai toujours pensé qu’une démonstration étendue et difficile à suivre d’une vérité, pour ainsi dire, d’intuition, est mauvaise. En définitive, il s’agit de “émontrer que deux droites sont entre elles comme leurs longueurs, c’est-à-dire comme leurs mesures (25,24et25). Eh bien, je demande si, quand elles n’ont pas de commune mesure, elles 3 (54) Cor. 1. — Toute quantité peut être traitée comme étant le multiple d'une quelconque de ses parties. n’ont aucun rapport entre elles, ou si le rapport pourrait être autre que celui de leurs mesures. (Voir théorèmes 67 et 72.) Ah! je sais que l’on définit ce rapport — qui, notons-le, est invariable — comme étant la limite dont se rapproche, aulant que l’on veut, c'est-à-dire à une fraction près aussi petite que l’on veut, soit en plus, soit en moins, un rapport indéfini- ment variable. Je crains qu’il n’y ait là des mots destinés à masquer et à esquiver une difficulté très subtile, mais, à mon sens, plus imaginaire que réelle. Une fraction n’est jamais nulle, quelque grand que soit son dénomi- nateur. On aura beau diviser indéfiniment en deux parties égales une droite, on n’arrivera pas à l’évanouissement de la droite. Bien mieux, en vertu de l'homogénéilé de la droite, la plus éloignée des divisions n’a absolument rien perdu de sa capacité à être divisée, de sorte que l’accroissement du dénominateur n’a qu’un effet illusoire. Une considération capitale domine d'ailleurs tout le problème des incom- mensurables : c’est que, en pratique, il n’y a pas d’incommensurables. Dans chaque cas particulier, on trouvera toujours une commune mesure salis- faisante, par exemple, pour la diagonale et le côté d’un carré donné. C’est la théorie seule qui nous enseigne qu’elle sera fautive. C’est ainsi que les anciens avaient démontré, sans recourir aux limites, que si ces lignes avaient une commune mesure, les nombres qui les évalucraient, ne pourraient être ni pairs ni impairs, et que, par conséquent, elle n'existe pas. Du reste, on peut pousser loin le chapitre des incommensurables. Deux droites égales n’auront pas de commune mesure si l’on veut mesurer l’une par les puissances négatives de 2, et l’autre par les puissances négatives de 5; je veux dire ceci que, si loin qu’on pousse chez l'une la division par ?, chez l’autre la division par 5, on n’aboutira jamais à deux quotients égaux; et pourtant personne ne contestera que l'équation (4° = (4)" soit légitime, bien qu’on ne puisse trouver pour x ct pour y des nombres entiers. Enfin, une proportion telle que C:D=c: 4, où les antécédents ct les conséquents représentent respectivement des côtés ct des diagonales de carré, et qui exprime par conséquent légalité de deux rapports entre incom- mensurables, est identique avec la suivante € :c=D:d, qui exprimera l'égalité de deux rapports entre commensurables, si, par exemple, C == 2c. Mais en voilà à la fois trop et trop peu sur ce sujct étranger à mon tra- vail. J'ajoute seulement, puisqu'il n'entre pas dans mon plan de traiter de la mesure des surfaces, que, si l’on admet que deux portions de droite sont entre elles comme leurs longueurs (théorème 67), il s'ensuit immédiatement que deux rectangles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases. (55) Cor. 2. — Toute partie de quantité peut être traitée comme étant le sous-multiple du tout. N. B. — Comme on le voit, les termes de multiple et de sous-multiple sont employés, en vue de là brièveté, dans un sens plus large qu'on ne le fait d'ordinaire. 36. — VIIL. Sont encore des axiomes, toutes les propositions de l'algèbre sur l'addition et la soustraction, sur la multiplica- tion et la division, sur l'élévation aux puissances et l’extraction des racines, et notamment sur les proportions. LA GÉOMÉTRIE DE LA RÈGLE ET DU RARBOT !. Observations préliminaires. Avant d'aborder l'étude de la droite et des figures planes rectilignes, je désire présenter quelques observations sur l’ordre de succession des théorèmes. : Le plan d’une géométrie rationnelle est bien simple. On doit commencer par la géométrie à une dimension, c’est-à-dire la géométrie de la droite considérée en elle-même ou comme con- stituant à elle seule l’espace géométrique. La droite est le récep- tacle des figures rectilinéaires. Puis on abordera la géométrie des figures planes, c’est-à-dire à deux dimensions. Le plan est le réceptacle de ces figures. Enfin viendra la géométrie à trois dimensions. Les figures à trois dimensions ont pour réceptacle l’espace géométrique. L'ordre des propositions dans chacune de ces parties va natu- rellement du simple au composé. ! Qu’on veuille bien me passer ce titre, qui sent la recherche. On dit parfois la géométrie de la règle et du compas pour dire la géométrie usuelle, C’est de cette dénomination que M. Rencuvier s’est servi pour son récent travail sur la géométrie. (Comme je ne traite dans le mien que de la droite, du plan et des figures recliligues et qu’il n'y est qu’incidemment question du cercle, j'ai voulu, par ce titre, bien spécifier le caractère de l’espace euclidien, où le plan, pure donnée hypothétique, est fourni par une droite qui court sur deux parallèles. (36) Ainsi dans la géométrie de la droite, les figures iront se com- pliquant d'après le nombre de points marqués sur la droite. Nous étudierons donc d’abord la droite, puis la semi-droite, puis la portion de droite, puis enfin les figures que nous désignons sous le nom de droites interrompues, qui sont discontinues et composées de portions de droites. Dans la géométrie du plan, on considérera d’abord le plan, puis le plan dans ses rapports avec la droite; puis les figures formées de deux droites, c'est-à-dire les angles, les coins et les parallèles; puis les triangles, les sécantes et les polygones ; enfin le cercle, d'abord isolé, ensuite combiné avec des droites ou d'autres cercles. Dans la géométrie des solides, on suivra un ordre analogue. Pourtant il ne faudrait pas adopter pareille disposition ne vartetur. Il est clair, par exemple, que la géométrie du triangle est interminable, et qu'il ne s'agit pas de vouloir l’épuiser avant d'aborder le cercle. Quant à l'ordre des propositions, il est par là tout indiqué. Mais l'important c'est de ne laisser subsister aucune lacune, de ne laisser place à aucun pourquoi. Nombreuses sont les lacunes dans les géométries en usage. Et rien ne froisse autant l'esprit que de voir un géomètre se donner beaucoup de mal pour démontrer un théorème très simple, lorsqu'il ne s’est pas donné la peine de démontrer, ou qu'il n’a pas vu qu’il y avait à démon- rer un théorème préalable, quelquefois beaucoup plus récalei- trant. C’est ainsi que, tout au début du V° livre de sa Géométrie, Legendre, partant de sa définition du plan, établit par les théo- rèmes 1 et II : 1° qu'une droite ne peut être en partie dans le plan et en partie dehors; 2 que trois points déterminent un plan. Puis tout d’un coup il passe au théorème IIL, qui porte que, quand deux plans se coupent, c’est suivant une ligne droite. Or, il a oublié au préalable de montrer que deux plans ne peuvent pas n'avoir qu'un point commun, proposition qui n'est pas com- mode à prouver. Par conséquent, dût-on, pour l'asseoir, passer par des figures plus compliquées que celles qui suivront, il fau- drait en prendre son parti, en attendant mieux. (57) Un autre point est à considérer. On se plait à vanter chez Euclide l’enchainement rigoureux des propositions, tout en regret- tant parfois que l’ordre y laisse quelque peu à désirer. Les géo- mètres modernes ont essayé de remédier à ce défaut, mais sans y réussir tout à fait. Ils nous font rarement voir la raison du groupement des théorèmes, et l'on ne saisit souvent qu'après coup pour quel motif ils introduisent au milieu de propositions connexes telle autre qui en interrompt la suite naturelle, et qui ne vient que comme auxiliaire d’une démonstration. Telle est, par exemple, la proposition que si deux triangles ont deux de leurs côtés égaux chacun à chacun, l'inégalité des troisièmes côtés sera dans le même sens que l'inégalité des angles opposés. Cette proposition, qui s'appuie elle-même sur les propriétés de la bis- sectrice, ne sert qu'à démontrer l'égalité des triangles qui ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Quant à nous, nous pensons qu’un théorème doit, en général el autant que possible, se démontrer par les seules données impliquées dans son énoncé. C’est ainsi que nous démontrerons en manière d'exemple, sans le secours d'aucun théorème anté- rieur, sinon de ceux relatifs à l'égalité des triangles, le théorème fondamental sur la similitude des triangles. Ceux qui voudront bien étudier avec soin et attention la manière dont nous avons disposé les théorèmes, verront qu'ils ne s'appuient les uns sur les autres qu'en tant qu'ils ont rapport au même objet. C'est ainsi que les propositions sur l'égalité des triangles forment un groupe qui se tient. Mais ce groupe n'a aucun rapport avec celui des propositions sur les distances; et même nous nous sommes donné la satisfaction de ne nous servir de la propriété de la ligne droite d’être le plus court chemin qu'après avoir épuisé les triangles et leur similitude. Chose plus méritoire encore, si nous osons parler ainsi de notre œuvre, les propositions sur la similitude des triangles viennent avant la théorie des parallèles. En un mot, on peut, pour ainsi dire, prendre les différents groupes de nos théorèmes ct les brouiller, sans que l'enchainement et la rigueur du raisonnement en souf- frent le moins du monde. (58 ) Je voudrais ajouter encore un mot. Ceux-là seuls qui ont longtemps médité les questions ardues que soulève la géométrie élémentaire, pourront apprécier quelle somme de travail et de réflexions représente parfois une simple définition ou un théo- rème puéril. Mon essai est une œuvre de théorie philosophique, non de pédagogie, bien que je ne fasse pas fi de sa portée didac- tique. Mon unique ambition a été de la composer de manière que l'ongle, en passant sur elle, n'éprouve aucun arrêt et ne sente aucune jointure. Je me suis abstenu avec un soin serupuleux de ces démonstra- tions écourtées auxquelles les philosophes ont volontiers recours, faute d’autres, quand ils s'adressent aux gens du monde. De là cette lenteur de ma marche, cette multiplication des propositions, des corollaires, des scolies, dont j'aurais pu suppri- mer sans inconvénient une bonne moitié au moins, si je n'avais pas voulu éviter à tout prix le reproche d’escamoter une diffi- culté. Cependant si mes principes étaient adoptés dans l’ensei- gnement, je ne crains pas d'affirmer que la géométrie n’y perdrait rien de son pouvoir éducatif pour la rectitude du juge- ment. On peut ranger la géométrie d'Euclide au nombre des plus excellents chefs-d'œuvre de l'esprit humain, sinon le plus excel- lent — qu’on la compare avec nos algèbres! Cependant elle a ses imperfections et parfois le raisonnement y fait un saut. Ce n'est pas perdre sa peine que de s'attacher à faire disparaître ces imperfections, et à construire des ponts ou tracer des passages qui permettent de s’y mouvoir à l'aise et sans danger. CHAPITRE IV. — La DROITE ET LES FIGURES RECTILINÉAIRES. 57. Définition. — La droile, réceptacle des figures recuili- néaires (12), est une ligne homogène, c'est-à-dire dont toutes les parties, quelle qu'en soit la longueur, sont semblables (38) *. t « La plus simple de toutes les lignes est la ligne droite, dont la notion est familière à tout le monde et dont un fil tendu. offre l'image. » (Roucué- CouBEROUSSE.) (39) Inverse. — Toute ligne homogène est une ligne droite. Réciproque. — Aucune ligne non droite n’est homogène. Dérivée. — Aucune ligne non homogène n'est une ligne droite. Scolie 1.— Ces quatre propositions, qui se réduisent à deux (49), font partie des postulats ou hypothèses de la géométrie. Leur légitimité et leur solidité se manifesteront à mesure que les conséquences qu'on en tirera se vérifieront théoriquement et pratiquement (27). Scolie 2. — La ligne droite est une intuition, en d'autres termes, elle est vue par l'esprit; ce qui veut dire que c'est l’es- prit qui la voit dans les choses et non la vue des choses qui en met la notion dans l'esprit. Aussi la plupart des démonstrations qui vont suivre se fonderont sur l'intuition et ne feront guère que la développer (58, scolie). Scolie 3. — La droite est une donnée au mème titre que l'es- pace, c’est-à-dire que, pour tracer une ligne droite, il faut une ligne droite. Cette ligne droite, ou plutôt la portion de droite (62, scolie), nécessaire pour tracer une droite, est censée fournie par l'instru- ment que l’on nomme règle. De là vient que la géométrie de la ligne droite peut s'appeler la géométrie de la règle (38, scolie). Lemme. — Toute figure, dès qu'elle est localisée dans l'es- pace, est en quelque sorte personnifiée par notre esprit, c'est-à- dire que nous lui reconnaissons comme à nous un haut et un bas, une droite et une gauche, un avant et un arrière, et nous appelons sens contraires où opposés les directions de haut en bas et de bas en haut, celles de gauche à droite et de droite à gauche, celles d'avant en arrière et d’arrière en avant. La ligne droite n'est généralement envisagée que comme ayant, soit une gauche et une droite, soit un haut et un bas, sui- vant la manière dont nous la supposons localisée dans l'étendue par rapport à nous. 58. Théorème. — La droite est illimitée dans ses deux sens. Démonstration. — Car si elle était limitée quelque part, elle (40) ne serait pas partout semblable à elle-même. En effet, toute partie comprenant sa limite, c'est-à-dire un point de séparation entre un néant de droite et la droite, n’a pas la même forme que toute partie ne la comprenant pas !. 59. Théor. — La droite peut glisser sur elle-même dans toute son étendue. Dém. — La droite, en tant que destinée à glisser sur elle- même, peut être envisagée comme une seconde droite placée sur une première droite et coïncidant avec celle-ci dans toute son étendue, et cela en vertu de la pénétrabilité indéfinie de l’espace (56, scolie 5). Or, la droite étant partout semblable à elle-même, cette coïncidence aura lieu à chaque instant entre la droite envisagée comme mobile et la droite envisagée comme fixe ?. 60. Déf. — On appelle semi-droite une figure rectilinéaire limitée par un point, par conséquent d’un seul côté 5. 1 Voilà déjà un de ces théorèmes, que j'ai qualifiés plus haut comme étant d'apparence puérile, ct dont la démonstration — pourtant si simple — ne s’est pas présentée d'elle-même. Il faut bien se pénétrer de ceci que c’est la droite, en tant qu’indéfinie et non encore déterminée, qui est homogène, et que ni la semi droite (60), ni la portion de droite (62), ni la droite inter- rompue (71) ne le sont, bien qu’on puisse y trouver des parties semblables autant qu’on veut (67). J'aurais pu dire aussi que, si la droite était limitée quelque part, elle devrait l'être partout. Ce serait parfaitement exact, mais de forme peut-être un peu cavalière. ? Ce théorème et sa démonstration peuvent se mettre sans inconvénient sous forme de corollaire : La droite peut glisser sur elle-même dans toute son étendue puisqu'elle est partout semblable à elle-même. 5 La semi-droite est une notion nouvelle et pourtant nécessaire si l’on tient à mettre une précision et une rigueur absolues dans les définitions et les démonstrations géométriques. Un angle est une figure formée — non par deux droites (deux droites forment huit angles, si l’on tient compte des angles sorlants) — mais par deux semi-droites partant d'un même point. Par parenthèse, on voudra bien remarquer que les propositions sur la semi-droile peuvent se ranger avant ou après les propositions concernant la portion de droite. ( A1) La semi-droite peut être posée ou niée (13). Remarque. — Quand aucune confusion n'est à craindre, on l'appelle souvent droite. Corollaire. — Un point marqué sur la droite la divise en deux semi-droitcs symétriques limitées en ce point et illimitées en sens contraires. Scolie. — La différence des deux semi-droites symétriques tient uniquement à ceci que si l’on place, par exemple, la figure de gauche à droite par rapport au regard, la semi-droite de gau- che sera vue ayant son point limite à droite, et celle de droite ayant son point limite à gauche. C’est donc une simple diffé- rence d'ordre. Mais si l’on déplace le point de vue de manière, par exemple, à regarder d'en haut au lieu d’en bas, ou de par derrière au lieu de par devant, l'ordre est renversé. Regardée ainsi, la semi- droite de gauche prend l'aspect qu'avait la semi-droite de droite, et inversement. Donc la dénomination des semi-droites symé- triques dépend du point de vue d’où on les considère. 61. Zhéor. — Deux semi-droites non symétriques peuvent être considérées comme identiques. Dém. — Soient (fig. 1) les deux semi-droites AX et BX, indé- CORRE rep nr A PRRIR RER QE MERS Fig. 1. finies toutes deux dans le sens de X !; en faisant glisser la seconde sur la première de manière à faire arriver le point B en A, on les fait coïncider dans toute leur étendue (59) 2. Scolie. — On verra plus loin, quand nous étudierons le plan, que deux semi-droites symétriques deviennent identiques si l’on ‘ Nous désignerons d'ordinaire par les dernières lettres de l’alphabet le côté indéfini des droites. * Ce théorème ct sa démonstration peuvent se ramener à un simple corol- laire de la définition. (22) imprime à l'une d'elles un demi-tour, ce qui revient à changer le point de vue f. 62. Déf. — On appelle portion de droite une figure rectili- néaire limitée par deux points dans les deux sens. La portion de droite peut être posée ou niée (13). Rem. — Le besoin de brièveté fait que souvent aussi, quand aucune confusion n’est à craindre, on se sert du nom de droite au lieu de portion de droite, comme au lieu de semi-droite. Quant à la droite proprement dite, on peut l'appeler droite illimitée ou indéfinie ou même simplement la droite. 63. Théor. — Deux portions de droite de même longueur sont égales par identité. Dém. — Car, par le glissement de l'une d'elles sur la droite, on peut la faire coïncider avec l’autre, et cette opération nous sert à constater leur égalité ?. Scolie. — Comme une portion de droite est limitée par un point aussi bien à gauche qu'à droite, elle ne change pas d'as- pect quand on renverse le point de vue d'où on la considère, à moins qu'on ne retienne par la pensée l’ordre des points limites en leur donnant des dénominations spéciales. Cor. — Deux portions de droite de même longueur sont égales par identité et par symétrie (41) 5. 62. Déf. — Une portion de droite est dite plus grande ou plus pelite qu’une autre si, quand on les superpose de manière à faire coïncider leurs points limites d’un même côté, l'autre point limite ‘ Tel sera le début de la théorie de la symétrie. * Ce théorème ct sa démonstration peuvent se mettre sous forme de corol- laire dépendant de la définition de la droite. En effet, deux portions de droite ayant même longueur ont même grandeur et même forme, la lon- gueur élant la grandeur de la droite (25). # Cette proposition sur la portion de droite reviendra à propos de l'angle, qui est aussi à lui-même son s) métrique. (45 ) de la première tombe en dehors ou en dedans de la seconde. La nouvelle portion de droite délimitée de cette manière par les deux points non coïncidant, fait la différence de longueur des deux portions de droite. Cor. 1. — Les portions de droite sont des quantités de même nature et elles peuvent s’additionner ou se soustraire (axiome V). Cor. 2. — Une portion de droite quelconque peut se placer partout sur la droite ; par conséquent, la droite ainsi que toute portion de droite, sont des lignes isogènes, c’est-à-dire indélini- ment divisibles d’une infinité de manières en parties égales (44). Cor. 3. — Si l'on prend l’une quelconque de ces parties pour unité de mesure, la longueur de la droite ainsi divisée sera exprimée par un certain nombre de ces unités. Cor. 4. — Deux portions de droite quelconques sont compa- rables sous le rapport de la longueur et peuvent être considérées et traitées comme étant multiples ou sous-multiples l'une de l’autre (axiome VIT). Cor. 5. — Si, sur une même droite, on place bout à bout plu- sieurs portions de droite, la somme de leurs longueurs est égale à la longueur comprise entre les points extrêmes (axiome IV, cor.). Cor:. 6. — On prolonge indéfiniment la portion de droite dans l’un et l’autre sens en la faisant glisser indéfiniment sur elle- même (59). Scolie. — C'est sur cette propriété qu'est fondé l'usage de la règle. On admet en effet que les arêtes d'une règle sont des portions de droite, et que le trait tracé au moyen d'une règle est une portion de droite. Ce scolie et le scolie 5 de la proposition 57 contiennent les deux premiers des postulats d'Euclide qui ont rapport à la droite. Le troisième postulat viendra dans le chapitre suivant. 63. Cor. 7. — Une droite est déterminée quand on donne une de ses portions. 66. Cor. 8. — Quand deux droites ont une portion commune, elles coïncident dans toute leur étendue. (#4) Cor. 9. — Une droite ne se bifurque pas, puisque l’on ne pourrait faire coïncider la partie bifurquée et la partie simple. 63. Théor. — Deux portions de droite de longueurs inégales sont semblables. Dém. — Car par la majoration (ou minoration) de l'une d'elles, on peut la rendre égale à l’autre !. Scolie. — Pendant la majoration (ou minoration), les deux points qui limitent la portion de droite glissent sur elle ou sur ses prolongements. Cor. 1. — En vertu de sa définition, la droite (indéfinie) peut s’'engendrer par la majoration indéfinie d'une quelconque de ses portions. Scolie. — Elle est alors décrite par le mouvement indéfini des deux points qui limitent cette portion, mouvement dont on est censé conserver la trace (16). Il résulte aussi de là que, par leur mouvement, les deux points engendrent le réceptacle des figures rectilinéaires. Ge qui n'est que naturel, puisque l’espace est réduit à ce seul réceptacle. On retombe ainsi sur la définition de la ligne droite. L'hypothèse qu'elle exprime reçoit par là une première légitimation. &6s. Cor. 2. — Entre deux points on ne peut tirer qu'une seule portion de droite, ou, par abréviation, qu'une droite (65). 69. Cor. 3. — Deux points déterminent une droite (66). Cor. 4. — Deux droites ne peuvent avoir plus d'un point commun sans coïncider. [Cor. 5. — Deux droites ne peuvent circonscerire un espace] ?. * Méme observation qu’au théorème 65 : deux portions de droite ne dif- fèrent jamais qu’en grandeur, elles sont donc toujours semblables. * Voilà un exemple d’une série de propositions parmi lesquelles on compte trois ou quatre anciens postulats, et sur laquelle, comme je l'ai dit, l’ongle peut glisser sans éprouver aucun arrêt. À cette occasion, je ferai remarquer (45) 20. Déf. — On nomme distance de deux points la longueur de la portion de droite qui les relic ou pourrait les relier !. Scolie. — Dans ce dernier cas, la distance peut être envisagée comme l'aspect vide d’une figure rectilinéaire dont la portion de droite serait l'aspect plein. Cor. — On détermine la place d’un point sur la droite en donnant sa distance comptée à droite ou à gauche ou bien en baut ou en bas à partir d’un autre point dont la place est censée connue et auquel, pour cette raison, on donne le nom d'origine. ze, Déf. — On nomme droite interrompue une figure rectilinéaire composée d'une succession de portions de droite alternativement posées et niées (13). Cor. 1. — Une droite interrompue est déterminée quand on donne les longueurs des portions de droite posées et niées ainsi que l'ordre et le sens dans lesquels elles doivent être rangées. que, dans l’enscignément, ces propositions peuvent être présentées, ainsi qu'on l’a toujours fait, comme des vérités d’intuition. Une remarque seulement sur le dernier corollaire 5 qui est, chacun le sait, une des demandes d’Euclide. La rédaction, telle qu’elle nous a été trans- mise, laisse à désirer. Car non seulement deux droites, mais même un nombre quelconque de lignes, droites ou courbes, ne peuvent circonscrire un espace. Au lieu d’espace, il faudrait dire unc portion de surface, et même plus exactement encore, une portion de surface plane. Enfin, corrigé de cette facon, le corollaire devrait figurer dans la géométrie du plan. Au surplus, il est, pour nous, rendu inutile par les trois précédents et doit être supprimé. 4 Ici commence une nouvelle série de propositions, indépendante de celle qui précède. Ces propositions sont neuves; elles ne se lisent dans aucune géométrie que je connaisse. Elles forment la base de la théorie de la similitude. — On remarquera aussi que nous ne parlons pas de la droite chemin minimum; clle ne jouit de cette propriété que dans le plan, ou mieux encore dans l’espace, où elle doit être comparée avec les lignes à double courbure. C’est plus loin seulement que nous établirons cette pro- priété. Ici, nous n’en avons pas besoin, l’espace étant réduit à la droite. Aussi, à la rigueur, cette définition n’est pas à sa place. (46) Cor. 2. — Deux droites interrompues sont identiques quand les portions de droite posées et niées dont elles se composent, sont égales chacune à chacune et rangées dans le même ordre et qu’elles se suivent dans le même sens. Elles sont symétriques si ces parties se suivent en sens contraires. Ainsi sont identiques (fig. 2) les deux droites interrompues ABCD et A'B'C'D' tracées sur la droite XY et composées de À B C D À! B'! C! D' D’! C!! B/! A!! SK OO OO ———— ——_———— 000 ——— ——— °. a —— ———————— vogunres \ Fig. 2. AB = A'B’, portions de droite posées, de BC — B'C”, portions de droite niées, et de CD — C'D', portions de droite posées, AB, BC et CD ainsi que A'B’, B'C' et C'D' se suivant dans le même ordre et dans le mème sens (dans la figure, de gauche à droite). C’est ce dont on peut d’ailleurs s'assurer encore en faisant glisser ABCD sur la droite XY dans le sens de Ÿ jusqu'à ce que À vienne coïncider avec A’. Mais les deux droites interrompues ABCD et A”B”C”"D” sont symétriques, parce que les parties dont elles sont composées, bien qu’égales chacune à chacune, à savoir AB à AB”, BC à B”C”, CD à C”’D”, et bien que rangées dans le même ordre, se suivent en sens opposés. Elles prennent le même aspect si l'on renverse pour l’une d'elles le point de vue d'où on la considère, et elles deviennent identiques, comme on le verra plus tard, si l'on fait subir à l’une d'elles un demi-tour. Scolie. — Les portions de droite AB et A’B', BC et B'C', CD et C'D' sont similaires par identité, tandis que AB et AB”, BC et B”C”, CD et C”D” sont similaires par symétrie (41). 72. Théor. — Deux droites interrompues sont semblables quand les portions de droite posées et nices dont elles se com- posent, prises dans l’ordre et le sens où elles se suivent, sont proportionnelles. (47 ) Dém. — Soient (fig. 3) les droites interrompues ABCD et A'B'C'D', dont les parties énumérées suivant le même ordre et le mème sens sont respectivement AB et A'B”, BC ec B'C', CD et C’D’, et ont des longueurs telles qu’on ait : je dis que les deux figures sont semblables. En effet, si l'on majore, par exemple, la figure A’B’C'D' dans le rapport 1 : =», on rend A’B'= AB, B'C'’ — BC, C'D' — CD, et par suite la figure A'B'C'D’ identique à la figure ABCD. Donc avant la majoration, elle lui était semblable 1. Scolie 1. — Les portions de droite AB et A’B’, BC et BC’, CD et C’'D”’ sont homologues (42). Scolie 2. — La forme d'une droite interrompue dépend donc uniquement des rapports de grandeur des portions de droite (tant posées que niées) dont elle se compose 2 et de l’ordre dans lequel elles se rangent. Observation. — Ici s'arrête la géométrie de la droite en tant 1 La démonstration paraît longuc ; au fond, elle pourrait se réduire à une ligne : Car la majoration de l’une de ces deux fiqures la rend identique à Vautre. Mais telle qu’elle est, elle a cet avantage que, tout le long de la théorie de la similitude, elle pourra prendre la même allure et ne faire pour ainsi dire que se répéter. Je remarque ici, une fois pour toutes, que cette démonstration repose sur les axiomes algébriques (55), c’est-à-dire que nous considérons ct traitons AB ct A'B' comme ayant une commune mesurc. % Inutile de faire remarquer l'importance de ce théorème, pourtant si simple, pour la théorie générale de la similitude, qui va être bientôt com- plétée par le théurème sur légalité des angles semblables. ( 48 ) que constituant à elle seule tout l'espace. Nous allons passer à la géométrie du plan, en tant aussi qu'il constitue à lui seul tout l’espace. Cette géométrie sera plus compliquée; mais, dans ses grandes lignes, elle se conformera à celle de la droite. Il va de soi que cette complication tient à ce que le plan a une dimension de plus. Cette dimension en plus a pour effet de faire du plan — de la surface homogène — une condensation d'une infinité de plans distincts bien qu'oceupant le même lieu. En effet, imaginons deux parallèles ou deux droites qui se coupent. Je puis engendrer le plan en faisant glisser sur la première une droite passant par un point fixe de la seconde, ct engendrer de même une infinité de plans identiques en prenant tour à tour comme point fixe chaque point de la seconde. A la fin de cette opération, j'aurai superposé une infinité de plans égale à l'infinité de points renfermés dans la seconde droite. Qu'on veuille bien remarquer que dans cette suite infinie de génératrices il n’y a pas deux génératrices identiques ou qui se superposent. Il s'ensuit qu'un même plan représente une infinité de plans différents !. C’est cette particularité qui donne lieu au postulat du plan, postulat dissimulé, comme on sait, dans la célèbre défi- nition qui caractérise le plan comme une surface sur laquelle une ligne droite peut s'appliquer dans tous les sens ?. ! Il est à noter que tous ces plans présentent une fente, une lacune cor- respondant au moment où la droite mobile, dans son mouvement tournant, devient parallèle à la droite fixe. Et si l'on veut engendrer lc plan par le glissement d’une droite sur deux autres qui se coupent ou sont parallèles (rabot), on n’engendre d’un seul et même mouvement qu'un semi-plan, tout à fail comme avec la portion droite (règle) on ne peut engendrer d’un seul et même mouvement que la semi-droite. Je doute que ccttc remarque ait jamais été faite. * M. Poincaré a réussi à définir une demi-surface sphérique dite ortho- gonale de manière à lui donner par rapport aux demi-circonférences, égale- ment orthogonales, qu'on peut tracer sur elle une propriété analogue à celle du plan par rapport à ses droiles. Mais par quel artifice laborieux, et com- bien il serait incompréhensible sans la connaissance préalable de la géo- métrie d'Euclide! (Voir Revue générale des sciences, 15 décembre 1891.) (49) CHAPITRE V. — LE PLAN ET LA DROITE DANS LE PLAN. 23. Déf. — Le plan, réceptacle des figures planes (12), est une surface homogène, c'est-à-dire dont toutes les parties, quelle qu'en soit l'étendue, sont susceptibles de recevoir des détermi- nations semblables (57). Inverse. — Toute surface homogène est un plan. Réciproque. — Aucune surface non plane n’est homogène. Dérivée. — Aucune surface non homogène n'est un plan. Rem. — Au lieu de plan, on dit encore surface plane. Scolie 1. — Ces quatre propositions, qui se réduisent à deux (47), font partie des postulats ou hÿpothèses de la géométrie. Leur légitimité et leur solidité se manifesteront à mesure que les conséquences qu'on en tirera se vérifieront théoriquement et pratiquement (27). Scolie 2. — Le plan est une intuition; en d’autres termes, il est vu par l'esprit; ce qui veut dire que c’est l'esprit qui le voit dans les choses et non la vue des choses qui en met la notion dans l'esprit. Aussi la plupart des démonstrations qui figureront sous cet en-tête, se fonderont sur l'intuition et ne feront guère que la développer (38, scolie). Scolie 5. — Le plan est une donnée au même titre que l'es- pace, c’est-à-dire que, pour construire un plan, il faut un plan. Ce plan, nécessaire pour construire un plan, est censé fourni par l'instrument appelé rabot (58, scolie). 34. Théor. — Le plan est illimité dans tous ses sens. Dém.— Car, s'il était limité quelque part, il ne serait pas partout semblable à lui-même, par exemple dans les environs de sa limite (voir 58). Lemme. — En tant que placé par la pensée dans l'étendue dont nous faisons partie, il se présente à nous comme ayant à la fois non seulement une gauche et une droite, un haut et un bas, mais comme ayant encore une face antérieure — celle qui nous fait vis-à-vis — et une face postérieure. 4 ( 50 ) « Il y a toutefois à remarquer que pour se donner l'intuition des deux faces d’un plan, l'esprit doit mettre à profit la troisième dimension. 23. Théor. — Le plan peut glisser sur lui-même dans toute son étendue. Dém. — Le plan, en tant que destiné à glisser sur lui-même, peut être envisagé comme un second plan placé sur un premier plan et coïncidant avec celui-ci dans toute son étendue, et cela en vertu de la pénétrabilité indéfinie de l'espace (56, scolie 3). Or, le plan étant partout semblable à lui-même, cette coïncidence aura lieu à chaque instant entre le plan envisagé comme mobile et le plan envisagé comme fixe !. 76. Déf. — Une portion de plan est une figure plane limitée par une ou plusieurs lignes dans un, plusieurs ou tous les sens. La portion de plan peut être posée ou niée (10). Rem. — A la différence de ce qui se fait pour la droite, on ne donne que rarement le nom de plan à la portion de plan. Cor. — On étend indéfiniment un plan dans tous ses sens en faisant glisser indéfiniment l’une de ses portions sur cette portion même. Scolie. — C’est cette propriété qui explique l'usage du rabot. On admet en effet que la face du rabot qui donne passage au tranchant du fer, est une portion de surface plane, et qu'il en est de même de toute surface dressée au moyen du rabot. 27. Cor. — Un plan est déterminé quand on donne une de ses portions. zS. Cor. — Quand deux plans ont une portion commune, ils coïncident dans toute leur étendue. Cor. — Un plan ne se bifurque pas, puisque l'on ne pourrait faire coïncider la partie bifurquée et la partie simple. 1 Cette proposition, ainsi que beaucoup d'autres, peut s’énoncer sans inconvénient comme corollaire de la définition du plan. (51) 29. Théor. — Lorsqu'une droite a deux de ses points dans un plan, elle y est tout entière et elle le divise dans toute son étendue. Dém. — Soit XY (fig. 4) la droite passant par les deux points À et B du plan P, et circonscrivons par la pensée une portion de plan contenant ces deux points. Majorons et minorons la Fig. 4. figure ainsi formée. Les deux points, tout en décrivant la droite XY (66, cor. 1), ne cesseront pas d’appartenir au plan qui s'étendra avec elle indéfiniment. N. B. Il ne faut pas oublier que l’espace est réduit au plan, et que, par suite, les deux points ne peuvent sortir du plan. so. Cor. 1. — Une droite prolongée suffisamment, sort de tout espace plan limité qui la renferme. N. B. À cette proposition, qu'on ne trouve ni démontrée ni énoncée nulle part que je sache, correspond, dans la géomé- trie à trois dimensions, une proposition analogue, à savoir que le plan partage l’espace dans toute son étendue. Cor. 2. — Par deux points d’un plan on peut toujours faire passer une droite, et, inversement, par une droite on peut tou- jours faire passer un plan. 81. Déf. — Les deux portions d'un plan divisé par une droite s'appellent semi-plans. Cor. 1. — En tant que divisant le plan dans toute son éten- due (79), la droite peut être envisagée sous deux nouveaux aspects suivant qu'on la voit limitant l’un ou l’autre semi-plan !. * Ce qui donne lieu à un paradoxe, cette droite étant double puisqu'elle appartient tout entière à chacun des semi-plans. De même est double aussi le point qui divise une droite. (52) 83. Cor. 2. — Lorsque, dans un plan divisé par une droite, on choisit deux points situés dans l’un et dans l’autre semi-plan, la droite qui les reliera coupera la première, sinon elle resterait dans le même semi-plan. Cor. 3. — Une droite peut s'appliquer et glisser partout sur un plan, et, par conséquent, toutes les droites tracées sur un même plan sont identiques. Scolie 1. — De là cette définition vulgaire du plan : une surface sur laquelle une ligne droite peut s’appliquer dans tous les sens. Cor. 4. — Par un point d'un plan on peut faire passer une infinité de droites dans ce plan. Ces droites se différencient par leur position. Scolie 2. — On peut considérer la série continue de cette infinité de droites passant par ce point du plan comme la série des traces successives laissées par une seule et même semi- droite tournant autour de ce point pris pour sa limite. Il suit de là que le corollaire précédent pourrait s'énoncer ainsi : Cor. 4%. — Une droite peut prendre dans un plan une infinité de positions autour d'un quelconque de ses points. Si l'on suit par la pensée le mouvement de cette semi-droite tour- nant, par exemple, de gauche à droite, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre, autour de son point limite, il vient un moment de sa course où elle se réapplique sur elle-même, en reprenant sa position première. Elle a fait alors ce que l’on nomme un {our enlier. Mais dans l'intervalle d'un tour entier, il arrive une position où elle est placée sur son propre prolongement, c'est-à-dire sur l'autre semi-droite de la droite à laquelle elle appartenait dans sa position première. 83. Déf. — On appelle demi-tour la rotation dans un plan d’une droite autour d'un de ses points par laquelle on amène chacune de ses semi-droites sur la trace de l’autre. Cor. 1. — Deux semi-droites symétriques deviennent iden- tiques si on les place sur un plan, puisque par le demi-tour de l’une d'elles autour du point qui la limite on peut la superposer à l’autre (61). (55) Cor. 2. — De la même manière, deux droites interrompues symétriques deviennent identiques par le demi-tour de l’une d'elles autour d’un quelconque de ses points (71). 84. Cor. 3. — Le demi-tour d'une figure rectilinéaire a pour effet d'en disposer les parties en sens opposé et de la convertir en sa symétrique. Cor. 4. — Les figures rectilinéaires symétriques en tant que placées sur un plan sont identiques ; elles ont done même forme et même grandeur !. 85. Théor. — Deux semi-plans d’un même plan sont à la fois symétriques et identiques. x Dém. — Soit XY (fig. 5) la droite indéfinie qui divise par supposition un plan (celui du papier, par exemple) en deux semi-plans G et D situés à sa gauche et à sa droite. Faisons G :0 D faire un demi-tour de gauche à droite à la droite XY autour d’un de ses points pris arbi- trairement, soit le point O (85), et posons comme condition qu’elle entraine avec elle le semi-plan G qu’elle limite. Le demi-tour accom- pli, et la droite s'étant renversée sur elle-même, le semi-plan G s’identifiera entièrement avec le semi-plan D ?. Y Fig. 5. 86. Théor. — Un plan est déterminé quand on donne trois de ses points non en ligne droite. Voilà encore une série de propositions d'apparence puérile. Elles sont pourtant indispensables pour une théorie rigoureuse de la symétrie et de la légitimité du rabattement, dont on fait un usage constant dans la géométrie plane. Remarquons que la symétrie des figures rectilinéaires ne se résout en identité que dans et par le plan, c’est-à-dire à l’aide de la seconde dimension. 2 A la condition, bien entendue, que les deux semi-plans restent indéter- minés. On remarquera que nous n'avons pas encore identifié les deux semi- plans par rabattement. Le rabattement transpose les faces du plan, ce que ne fait pas le demi-tour. Il suppose l'existence de la troisième dimension. ( 54) Dém. — En effet, en joignant ces points deux à deux par des droites, on détermine une portion de plan et par suite le plan. Cor. 1. — Un plan est encore déterminé quand on donne une de ses droites et un de ses points pris en dehors d'elle. N. B. Ne pas perdre de vue que jusqu’à présent il n’y a pas d'autre espace que le plan : la troisième dimension est censée ne pas exister. C'est plus tard seulement qu'il sera démontré que deux plans se coupent suivant une droite, et par conséquent, qu'on peut faire passer par une droite une infinité de plans dont un seul passera par le point donné. Cor. 2. — Si par ce point on fait passer une droite qui tourne d’un mouvement continu, tout en restant appuyée sur la droite du plan, la droite mobile n'aura pas cessé d’être dans le plan, et la surface ainsi engendrée se confondra avec le plan !. Maintenant on engendrerait une surface analogue, c’est-à-aire se confondant aussi avec le plan, en prenant pour point fixe un point quelconque de la droite mobile, et pour droite fixe une position quelconque de cette même droite mobile ne passant pas par ce point. Il en résulte que le plan peut être considéré comme une superposition d’un nombre infini de surfaces engendrées par la rotation d'une droite autour d'un quelconque de ses points et s'appuyant sur une quelconque de ses droites. Cor. 3. — Par une droite et un point on peut faire passer un plan et l'on n'en peut faire passer qu’un seul. Cor. 4. — Par trois points non en ligne droite on peut faire passer un plan et on n’en peut faire passer qu’un seul. Cor. 5. — De même par deux droites qui ont un point com- mun, puisqu'on peut y prendre trois points non en ligne droite ?. 1 La théoric des parallèles nous apprend qu'il y a une position où la droite mobile ne s'appuie plus sur la droite fixe; mais le corollaire, tel qu'il est énoncé, est inattaquable. ? On s’étonnera peut-être de ces longs détours pour démontrer des pro- positions que les géométries ordinaires mentionnent en courant. Rien ne parait plus simple en effet que de faire passer, par exemple, un plan par l’une des droites et de le faire tourner jusqu’à ce qu’il rencontre l'autre. Mais en cela on userait de la troisième dimension sans y être autorisé. (55 ) 83. Déf. — On appelle figure plane toute figure tracée sur un plan. 88. Déf. — On appelle figure rectiligne ou polygonale une figure plane composée de lignes droites, semi-droites ou por- tions de droites. Les figures rectilignes sont des digones, des trigones ou des polygones, suivant qu’elles sont formées à l'aide de deux, de trois ou de plusieurs lignes droites. Les digones sont les plus simples des figures rectilignes. Les trigones renferment les plus simples des polygones. Cor. — Les figures planes peuvent se tracer et se déplacer partout sur le plan (81, cor. 3). 89. Déf. — On appelle géométrie plane, ou encore géométrie à deux dimensions, la partie de la science géométrique qui s’oceupe des figures planes. CHAPITRE VI. — Les picones. 90. Déf. — On nomme direction d'une droite dans un plan la position de cette droite autour d’un de ses points dans le plan (81, cor. 4 et 4°). Scolie. — Ce point partage la droite en deux semi-droites symétriques et dirigées en sens contraires par rapport à lui (60). IL suit de là que la même droite peut être parcourue de deux facons opposées et qu'ainsi elle a deux directions. Il n’en va pas ainsi avec la semi-droite dont la direction se compte naturel- lement à partir de son point limite. Nous dirons donc plus spécialement : 91. Déf. — On nomme direction d’une semi-droite dans un plan, la position de cette semi-droite par rapport à son point limite dans ce plan. (56 ) Scolie. — Tout point de la semi-droite peut être pris arbi- trairement pour point limite (61). 92. Déf. — Si à une semi-droite d'un plan on fait prendre dans ce plan toutes les positions possibles autour de son point limite ou, ce qui revient au même, si l'on fait passer par ce point dans le plan toutes les semi-droites possibles (82, cor. 4 et 4°*) la figure ainsi formée se nomme rose des directions, et le point commun en est le pole. Cor. 1. — Deux roses des directions dans le même plan sont identiques et elles coïneident si on fait coïncider leurs pôles. Cor. 2. — Deux roses des directions dans le même plan ont toujours une droite commune, celle qui joint leurs pôles. 93. Déf. — Dans toute rose des directions on appelle norme la semi-droite arbitraire à la direction de laquelle, censée connue, on peut rapporter toutes les autres directions (comp. 70, cor.). Cor. — Étant données deux roses des directions, si l’on prend pour norme commune la ligne des pôles, à toute direction dans l’une correspondra une direction dans l'autre (92, cor. { et 2). Scolie. — Il va de soi que les deux pôles sont censés appar- tenir à la même semi-droite et non à deux semi-droites diffé- rentes dirigées en sens contraires (91). 94. Déf. — On appelle angle la figure formée par deux semi- droites partant d’un même point !. Les deux semi-droites sont les côtés de l’angle et le point dont elles partent en est le sommet. 1 « La considération de deux droites AB et AC qui se rencontrent, con- duit à une idée nouvelle, qui est celle d’inclinaison mutuelle ou d'angle, et qui, comme l’idée de longueur, ne saurait être définie, c'est-à-dire ramenée à une idée plus simple; ce qu’on définit, c’est l'égalité et l’addition des angles. » (Roucaé-ComBerousse, 8.) — Par parenthèse, à quelle idée plus simple pourrait-on ramener celle de cercle, ou de parabole ou de chainette? Cf. : la ligne droite est la plus simple de toutes les lignes (v. note p. 58). (Ci) Rem. 1. — Par abréviation, on dit presque toujours droites et non semi-droites pour désigner les côtés de l’angle. Cet abus n’est pas sans avoir des inconvénients (voir p. 40, note 3). Rem. 2. — Un angle se désigne d'ordinaire par trois lettres, et l’on a soin de mettre celle du sommet au milieu. Quelquefois, quand il n’y a pas de confusion possible, on le désigne par la lettre du sommet. Quelquefois encore, par une lettre, ordinairement minuscule ou tirée de l’alphabet grec, ou par tout autre signe inscrit dans son ouverture. On dit l'angle BAC ou CAB, B'A’C' ou C'A’B' (fig. 6 et 6), ou bien l’angle A ou A’, ou bien encore l'angle « ou a ou 1, sui- vant l’espèce de signe inserit. Scolie 1 et déf. — Tout angle présente deux aspects, l'aspect plein et l’aspect vide, suivant que l'on regarde comme posée ou comme niée l’étendue plane renfermée entre ses côtés (10). Dans le premier cas, l’angle est dit sortant; dans le second cas, ren- trant |. Fig. 6. Fig, Gbis. Sauf indication contraire, l'angle est toujours envisagé sous son aspect plein, autrement dit, comme angle sortant. 1 Ce n’est pas la définition ordinaire de l’angle rentrant, laquelle, dans les polygones, s’applique aux angles intérieurs plus grands que la somme de deux droits. [l est cependant bien plus naturel, et aussi plus commode, d'appeler ainsi l’angle extérieur, correspondant à cet angle intérieur et formé par les mêmes côtés, lequel pénètre, entre dans le polygone, et vient en échancrer, pour ainsi dire, la surface. ( 58 ) Scolie 2. — Lorsque les deux semi-droites appartiennent à la même droite, 1l n'y a, à proprement parler, plus d'angle, mais on convient, en certains cas, d'y voir encore un angle. De même, par extension, on voit parfois un angle dans la figure formée par deux semi-droites coïncidentes. Cor. 1. — L'angle que toute semi-droite d’une rose des direc- tions fait avec la norme, détermine sa direction et par là même sa position, et chaque semi-droite a ainsi sa direction ou sa posi- tion déterminée et propre qui la différencie de toute autre semi- droite de la même rose (comparer 81, cor. 4 et 4°). Lemme. — Si l'on place le sommet d’un angle sur le pôle d'une rose des directions, les côtés y prendront, par rapport à la norme, chacun une direction déterminée et différente. 93. Déf. — On appelle valeur de l’angle et souvent par abré- viation angle, la différence des directions de ses côtés. Cor. — Si l’un des côtés est pris pour norme, cette valeur est donnée par la direction de l’autre côté. Rem. — Ne pas prendre le mot différence dans son sens arithmétique ou algébrique, mais dans le sens vulgaire, comme quand on dit de deux droites qu'elles sont différentes. Les côtés de l’angle, en ce sens, sont donc différents. Scolie. — Une rose des directions peut être engendrée en faisant tourner la semi-droite génératrice de gauche à droite, c'est-à-dire suivant le sens de marche des aiguilles d’une mon- tre, ou de droite à gauche. Il en est de même de l'angle, en tant qu'on l'engendre en faisant tourner un de ses côtés de manière à le faire passer de sa position première, prise pour norme, à la position occupée par l'autre côté. Le même angle peut donc être désigné de deux manières : on peut tout aussi bien dire l'angle CAB (fig. 6) que l'angle BAC, suivant que l’on prend pour norme AC ou AB (94). 26. Déf. — Quand il est nécessaire de faire la distinction, on convient de dire que l'angle évalué de gauche à droite est posi- tif ou de signe positif, et que l’angle évalué de droite à gauche (59) est négatif ou de signe négatif. C'est pourquoi l’on dit de deux angles évalués en sens opposés qu’ils n’ont pas le même signe. Rem. — Il ne faut donc pas confondre le signe avec l'aspect. Les deux aspects d'un même angle BAC n'ont pas même valeur. En les évaluant tous deux dans le même sens, soit de gauche à droite, l'aspect plein nous donne la partie de surface plane com- prise entre les côtés AB et AC et engendrée par le mouvement de AB vers AC dans le sens de la marche des aiguilles d'une montre. L'aspect vide, au contraire, nous présente la même surface, mais en tant qu'elle reste en dehors des côtés et n'est pas engendrée quand on fait tourner AC vers AB toujours dans ce même sens de gauche à droite. Comme on l’a déjà dit (94, scol. 1), on ne considère presque jamais les angles sous leur aspect vide, excepté dans des cas tout spéciaux. N. B. Sauf avis contraire, les angles seront toujours évalués positivement, c’est-à-dire qu’on prendra toujours pour norme la position première du côté qui, marchant dans le sens des aiguilles d’une montre, se rapproche de l’autre. Ainsi, dans la figure 6, la norme sera AB ; dans la figure 6°", elle sera A’C”. 97. Déf. — Deux angles sont dits égaux si, lorsque l'on fait coïncider leurs côtés normes, leurs deux autres côtés coïncident. Cor. 1. — Les angles égaux ont même valeur, et inversement. Cor. 2. — Comme le même angle peut être évalué positive- ment et négativement, il est à lui-même son symétrique. 98. Cor. 3. — Les angles de même valeur sont égaux par identité et par symétrie (41) ‘. 99. Déf. — Un angle est dit plus grand ou plus petit qu’un autre angle si, quand on fait coïncider les côtés normes, son second côté tombe en dehors ou en dedans de cet autre angle. ‘ Cette proposition est fondamentale pour la théorie de la symétrie. Dans les figures symétriques, les angles symétriques sont égaux mais de signes contraires. ( 60 ) La valeur de l'angle formé de cette manière par les deux côtés non coïncidant, fait la différence de valeur des deux angles. Cor. 1. — Les angles sont ainsi des quantités de même nature, ils peuvent s’additionner et se soustraire, et par suite être multipliés et divisés. Cor. 2. — Un angle quelconque peut se placer indifférem- ment partout sur une rose des directions. Par conséquent une rose des directions, de même qu'un angle quelconque, sont des surfaces isogènes, c’est-à-dire indéfiniment divisibles d’une infi- nité de manières. en parties égales (44). Cor. 5. — Deux angles quelconques peuvent être considérés comme étant multiples ou sous-multiples J'un de l’autre. Cor. 4. — Si sur un plan on place deux angles à la suite l’un de l’autre, de manière à leur donner même sommet et un côté commun {, leur somme (ou la somme de leurs valeurs) est égale à l'angle (ou à la valeur de l'angle) formé par les côtés non. communs. De là, si sur un même plan on place plusieurs angles à la suite l’un de l’autre, de manière à leur donner même sommet et deux par deux un côté commun, la somme de ces angles est égale à l'angle formé par les côtés non communs ?. Cor. 5. — Si sur un même plan on place deux angles de manière à leur donner même sommet et un côté commun qui sert de norme à tous deux ou ne sert de norme ni à l’un ni à l'autre, leur différence est égale à l’angle formé par les côtés non communs. 400. Théor. — La différence des directions des deux semi- droites d’une mème droite est la même pour toutes les droites. Dém. — En effet toutes les droites sont identiques. 1 Ce côté commun sert de norme à l’un, mais non à l’autre (96, rem. et N. B.). 2 Toute cette théorie de l’addition ou de la multiplication des angles est absolument neuve, du moins je le crois. Elle est capitale. On voudra bien remarquer que tous ces corollaires ne sont que des développements raison- nés de la définition. (61) 401. Déf. — On appelle angle droit l'angle qui a pour valeur la moitié de cette différence. Ainsi les angles AOP et POB (fig. 7) sont droits. Les côtés de l'angle droit sont dits perpendiculaires l’un à l'autre, et le point où une droite en rencontre une autre perpen- diculairement, s'appelle le pied de la perpendiculaire. Cor. 1. — Tous les angles droits, ayant mème valeur, sont égaux. Cor. 2. — Toutes les perpendiculaires à une même droite ont même direction. Cor. 3. — Par un point d’une droite, on ne peut élever qu'une perpendiculaire à cette droite. Cor. 4. — Par un point extérieur à une droite, on ne peut abaisser plus d'une perpendiculaire à cette droite. Car deux droites partant d'un même point ne peuvent avoir mème direc- tion (cor. 2). 402. Def. — Quand deux droites font entre elles un angle différent d'un angle droit, elles Ÿ : sont dites obliques par rapport l'une à l’autre. Si l'angle qu’elles font est plus grand qu'un angle droit, il est dit L E F obtus; s'il est plus petit, il est dit in aigu. Ainsi l'angle COB (kg. 7) est obtus; l'angle AOC est aigu. Scolie. — L'angle formé par les deux semi-droites d’une même droite équivaut à deux angles droits; c'est le plus grand des angles obtus. L’angle formé par deux semi-droites qui coïncident, est un angle nul; c'est le plus petit des angles aigus. Rem. — Il n'est pas dans l'habitude de parler d’angles plus grands que la somme de deux droits et qui, par conséquent, cor- respondent à des angles que nous avons appelés rentrants (94, scolie 1). Sauf indication contraire, les angles sont toujours envisagés L2 (62) comme sortants. Ainsi l'angle BAC (fig. 6) désignera cette partie de la surface plane qui s'étend vers la gauche, et non celle qui l'entoure et s'étend principalement vers la droite. 103. Déf. — Deux angles dont la somme est égale à un angle droit, sont dits complémentaires et l’un est le complément de l'autre. Deux angles dont la somme est égale à deux angles droits, sont dits supplémentaires et l'un est le supplément de l’autre. Ainsi dans la figure 7, en supposant que PO soit perpendicu- laire sur la droite AB, les deux angles AOC et COP sont com- plémentaires; mais les deux angles AOC et COP sont supplé- mentaires. Cor. 1. — Deux angles supplémentaires sont toujours l’un aigu, l’autre obtus, à moins qu'ils ne soient droits tous les deux; deux angles complémentaires sont toujours aigus. Cor. 2. — Lorsque deux angles complémentaires ont un côté commun et le même sommet, les côtés non communs sont per- pendiculaires l'un à l'autre. Cor. 3. — Lorsque deux angles supplémentaires ont un côté commun et le même sommet, les côtés non communs sont en ligne droite. Scolie. — Les angles supplémentaires ne sont pas égaux, bien qu'ils aient un côté commun et les deux autres côtés sur une même droite, parce que ces deux-ci sont dirigés en sens con- traires et, par suite, n'ont pas même direction !. 404. Théor. et def. — Lorsqu'une droite en rencontre une autre, son prolongement passe à l’autre côté de celle- e Ci, autrement dit, elle la coupe. Dém.— Soit la droite AB Fig. 8. (fig. 8) rencontrée en O par 1 Bon nombre de ces corollaires figurent sous le nom de théorèmes dans les géométries usuelles, et les autres devraient y figurer. (65) la droite CO. Je dis que le prolongement de CO passera en dessous de AB en prenant la position OD, et ne restera pas au-dessus en prenant, par exemple, une position telle que OD’'; en d'autres termes, la droite CO coupera la droite AB. Car l’angle COD, qui vaut deux droits (102, scol. 1), est égal à l’angle AOB qui vaut aussi deux droits. Le prolongement OD ne peut done pas être en OD' puisque l'angle COD”, qui devrait être égal à l'angle AOB, est plus petit que l'angle COB, lui-même plus petit que l’angle AOB de tout l’angle AOC. II est done bien en OD et fait avee OB un angle BOD égal à l'angle AOC. On démontrerait de la même façon que l'angle COB est égal à l’angle DOA. Cor. 1. — Quand deux droites ont un point commun, elles se coupent. 403. Cor. 2. — Lorsque deux droites se coupent, elles for- ment quatre angles. De ces quatre angles, ceux qui n’ont pas de côté commun ou encore qui ont leurs côtés dirigés tous deux en sens contraires, autrement dit, les angles opposés par le sommet, sont égaux (voir note p. 40). Cor. 5. — Si l’un des quatre angles ainsi formés est droit, les trois autres aussi sont droits. Cor. 4. — La somme des angles que l’on peut former autour d’un point dans un plan, équivaut à quatre angles droits. Scolie 1. — L'aspect vide et l'aspect plein d'un même angle ainsi que l'angle rentrant et l'angle sortant font aussi quatre droits (102). Scolie 2. — L'angle droit, ainsi que ses multiples et sous- multiples déterminés, étant des quantités constantes, on les a pris comme unités de mesure pour évaluer les angles !. Mais à la mesure directe des angles au moyen d’un angle * À la rigueur, ce qui suit ne devrait venir que dans l’étude du cercle; car c’est une propriété de la circonférence de mesurer les angles. Si j’étudie ici cette propriété, c’est parce qu’il n’entre pas dans mon plan de m'occuper du cercle. (64) unité, c'est-à-dire d'une portion de surface plane au moyen d'une autre portion de surface plane prise comme unité, on a substitué la mesure plus commode d'une espèce de ligne qui se comporte comme l'angle et croit avec lui, à savoir la mesure des arcs de circonférence. 106. Déf. — Si dans une rose des directions, on prend sur chaque droite, à partir du pôle, la même longueur, la figure ainsi limitée s'appelle cercle; la limite, cérconférence ; et le pôle prend le nom de centre. Les droites de même longueur qui vont du centre à la circon- férence, portent le nom de rayons, et celles qui, passant par le centre, sont limitées de part et d’autre par la circonférence et se composent par conséquent de deux rayons dirigés en sens contraires, portent le nom de diamètres. Enfin, la portion de cercle limitée par deux rayons s'appelle secteur circulaire ou plus simplement secteur, et la portion de circonférence limitée par les extrémités de ces mêmes rayons, arc de circonférence ou simplement arc. La circonférence ainsi que les arcs sont des lignes courbes. On entend par ligne courbe une ligne qui n'est ni droite ni composée de lignes droites, et qui, par conséquent, n'est homo- gène dans aucune de ses parties. Scolie. — Comme tous les rayons sont égaux, on définit ordinairement la circonférence une ligne dont les points sont à égale distance d’un point fixe (nommé centre). La circonférence se trace au moyen de l'instrument appelé compas !. L'une de ses pointes reste fixe et marque le centre; l’autre, arrêtée à une 1 Puisque j'ai défini la règle et le rabot (62, scol., et 76, scol.), voici la définition du compas : Le compas est un instrument se composant essentiel- lement de deux branches rigides, appelées aussi jambes, mobiles autour d’une charnière et terminées en pointes. On admet que, appuyées sur un plan, ces pointes y marquent des points, et que la distance qu’on a mise entre elles, se conserve tant qu'on le juge nécessaire; de sorte que, si le compas pivote autour de l’une d'elles, supposée fixe, l'autre décrit une circon- férence. (65) distance déterminée de la première, distance qui est le rayon, décrit par son mouvement la circonférence. La géométrie plane s'appelle souvent géométrie de la règle et du compas. On serait plus exact en disant de la règle, pu RABoT et du compas. Le plan étant construit par le rabot, la règle permet de tracer une ligne droite d'un point à un autre, et le compas, de trans- porter partout sur un plan une portion de droite tracée; par conséquent, il permet de comparer des portions de droite sous le rapport de la longueur, et de voir si elles sont égales ou inégales, en les posant l’une sur l'autre. (Voir 99, note.) Cor. 1. — Ainsi que la rose des directions et l'angle, dont ils dérivent, le cerclé et le secteur circulaire, la circonférence et l’are sont des figures isogènes. Cor. 2. — Les secteurs égaux sont limités par des arcs égaux. 107. Cor. 5. — Sur un même cercle, les angles égaux couvrent des secteurs circulaires égaux, et par conséquent inter- ceptent entre leurs côtés sur la circonférence des ares égaux. Cor. k. — Les multiples et les sous-multiples d’un angle donné intereeptent sur la eirconférence les mêmes multiples et sous-multiples de l’are correspondant. Cor. 5. — A la comparaison et par conséquent à la mesure des angles, on peut substituer la comparaison et la mesure des ares, l’are unité correspondant à l'angle unité. Cette proposition, sous une forme concise, s'énonce de la manière suivante : #08. Un angle a même mesure que l'arc compris entre ses côtés ; ou, plus brièvement encore : Un angle a pour mesure l'arc compris entre ses côtés. Cor. 6. — D'un même centre et avec le même rayon, on ne peut tracer qu'une seule el même circonférence. Cor. 7. — Deux circonférences de mème rayon sont égales et elles coïncident si l’on fait coïncider leurs centres. ( 66) 409. Théor. — Deux circonférences de rayons inégaux sont semblables. Dém. — Car il suflit de majorer le rayon de l'une de manière à le faire égal au rayon de l’autre pour les rendre identiques (106, cor. 7). Elles ne diffèrent donc qu'en grandeur et par conséquent elles sont semblables (42). Cor. 1. — Deux secteurs circulaires sont semblables quand ils comprennent le même angle. Cor. 2. — Deux ares de circonférence sont semblables quand ils mesurent le même angle. 4140. Cor. 5. — La majoration ne modifie pas la valeur d'un angle; par conséquent les angles égaux sont semblables et les angles semblables sont égaux. N. B. Ne pas oublier que les angles sont égaux par identité et par symétrie. Scolie 1. — Ce corollaire est de la plus grande importance. Il s'ensuit que, dans les figures semblables, les éléments angu- laires sont égaux, c'est-à-dire que tous les angles qu'elles comportent sont égaux chacun à chacun. Les éléments linéaires seuls diffèrent en grandeur !. Scolie 2. — Si l'on fait coïncider les centres de deux cercles de rayons inégaux, il suffit de majorer le plus petit ou de minorer le plus grand pour faire coïncider les deux circonférences. Pen- dant cette opération, le centre ne change pas de place. 412. Déf. — On appelle centre de majoration d'une figure le point du plan de la figure qui reste à sa place pendant Îla majoration. Ren. — Ici finit la parenthèse sur la circonférence. On voit 1 Ce corollaire sera particularisé par la suite, non pas que la chose soit indispensable pour la rigueur des déduetions, mais parce que je ne voudrais pas que l’on püt dire que je passe subrepticement sur les difficultés. Si donc je reviens plusieurs fois sur ce corollaire, c’est pour aller au-devant de tous les scrupules. Je sens si bien que le lecteur défiant doit penser que le raisonnement a fait quelque part un saut dont il ne s’est pas apercu. (67) sans peine qu'elle n’est pas indispensable, et qu'on pourrait la mettre à sa place naturelle. 442. Déf. — On appelle coin la figure formée par deux portions de droites qui partent d'un même point, et qu'on nomme les côtés du coin. Les deux autres points limites se nomment extrémités libres !. On nomme coin isocèle celui dont les côtés sont égaux, coin scalène celui dont les côtés sont inégaux. Scolie 1. — Le coin ne diffère de te l’angle qu’en ce que les côtés de re celui-ci sont illimités en un sens. re Scolie 2. — Les angles et les coins L servent à définir une figure rectiligne , plane quelconque. Soit par exemple © la figure 9, composée d’une semi- droite OZ, dont le point limite est O, d’une portion de droite AB, et d'une droite indéfinie XY. Divisons celle-ci en deux semi-droites par un point arbitraire O’, et joignons OA et O'B. La figure OABO'’ se compose de deux coins BAO et ABO, ayant en commun le côté AB, et elle sera définie quand on aura donné les côtés OA, AB et BO’ ainsi que les angles compris BAO et ABO'’. La direction de la semi-droite OZ sera donnée par l’angle ZOA, et celle de la droite XY par l'angle BO’Y. Lemme 1. — Un coin est déterminé quand on donne les longueurs des côtés, leur ordre et l’angle compris. Cor. 1. — Deux coins sont identiques quand ils ont des côtés égaux chacun à chacun, comprenant le même angle et se suivant dans le même ordre. Ils sont symétriques si, les deux premières conditions étant remplies, ils se suivent dans un ordre contraire. Cor. 2. — Les coins isocéles identiques sont à la fois symé- Fig. 9. 1 Nouvelle espèce de figure, à laquelle, je crois, aucun géomètre n’a pensé. On va voir combien son introduction dans la géométrie rend simple, facile et claire la théorie de la similitude des polygones. (68 ) triques ; en d’autres termes, un coin isocèle est symétrique à lui- même. Lemme 2. — On a vu (83 et 84) comment deux figures recti- linéaires égales par symétrie, deviennent égales par identité, lorsque, placées sur un plan, on imprime à l'une d'elles un demi-tour. Mais nous avons vu également que cette identité des figures symétriques se montre aux yeux avant le demi-tour, rien qu'en changeant le point de vue, par exemple, en regardant d'en haut la figure que l’on regardait d'en bas. Au fond, dans ce change- ment de point de vue, c’est le spectateur qui fait le demi-tour. 113. Théor. — Un coin scalène tracé sur un plan se montre dans sa forme symétrique si on le regarde de l’autre côté du plan (ou, ce qui revient au même, si l'on rabat le plan autour d'une de ses droites de manière à lui faire présenter son autre face 1). Dém. — Supposons que le coin scalène tracé sur le plan ait son grand côté à la gauche, son petit côté à la droite du specta- teur ; si celui-ei se place devant l’autre face du plan supposé trans- parent, il verra le grand côté du coin à sa droite, et le petit côté à sa gauche. La même figure se présentera done comme étant sa symétrique et superposée à elle-même. Cor. 1. — Les coins scalènes symétriques deviennent iden- tiques par rabattement. 114. Cor. 2. — Deux figures rectilignes planes symétriques deviennent identiques par rabattement (112, lemme 2). Lemme. — L'infinité des figures rectilignes planes possibles peut se ramener à trois types : la ligne polygonale ou ligne bri- sée, la figure éloilée et la figure lacunaire. La ligne polygonale se compose de portions de droites; les figures étoilées ou lacunaires peuvent comprendre en outre des droites ou semi-droites. 1 Voir au chapitre suivant la théorie du rabattement qui, rigoureusement parlant, n'appartient pas à la géométrie plane. (69) 415. Déf. — On appelle ligne polygonale ou ligne brisée, une figure composée de portions de droites, soit toutes pleines, soit en partie pleines et en partie vides, se joignant deux à deux par leurs extrémités. La ligne est fermée si toutes les portions de droites sont pleines. En ce cas, il n'y a pas d'extrémités libres (112). La ligne brisée fermée porte spécialement le nom de polygone. Elle est ouverte si elle comprend une portion de droite vide. En ce cas, il y a deux extrémités libres. Dans l’un et l'autre de ces cas, elle est continue. Enfin, elle est discontinue s'il y a plus d’une portion vide. Dans ce cas, il y a des extrémités libres en nombre pair plus grand que deux. La figure 10, ABCDE, est une ligne brisée fermée. La figure 11, A’B'C'D'E’, est une ligne brisée ouverte. Entre les points A’ et E’, il y a une distance, en d'autres termes une B' B € + Le / , LARR A Fig. 10. Fig. 11. portion de droite vide; mais, comme la figure précédente, elle est continue. La figure 12, A’’B''CD/'E", est discontinue, ct elle présente autant de fois deux extrémités EE NC libres qu'il y a de portions de 7 _ droites vides. >D" Cor. 1. — Une ligne polygo- ec LA nale fermée se compose d'un He nombre de coins égal à celui des portions de droites qui la com- Fig. 42. posent. Ces coins ont deux à deux un côté commun. Une ligne brisée ouverte se compose d’un nombre de coins (708) égal à celui des portions de droites dont elle se compose, dimi- nué d'une unité. Une pareille ligne est définie quand on définit ses coins et l'ordre dans lequel ils se rangent. Il suit de là que pour définir la ligne polygonale fermée, on peut se dispenser de définir deux coins consécutifs quelconques. Enfin une ligne polygonale discontinue sera supposée com- plétée par le tracé de toutes ses distances sauf une, et elle ren- trera ainsi dans les lignes continues ouvertes. N. B. Une ligne polygonale ouverte ou discontinue peut ren- fermer des droites ou des semi-droites. Elle rentre alors dans les figures lacunaires (fig. 14). 116. Def. — On appelle ligne étoilée une figure composée de portions de droites ou de semi-droites partant d'un même point. Une ligne étoilée se compose ainsi de coins ou d'angles ayant le même sommet. Telle est la figure OABCDEX (fig. 13). , Scolie. — Un s ou plusieurs an- D gles peuventètre Ne 7e nuls (102, scol.). ro Le La droite OX \ peut être consi- ; À dérée comme : \ double etrenfer- + x mant un angle Fig. 43. nul. Une figure étoilée se définit en * définissant ses coins ou ses angles et en donnant leur ordre. On peut se dispenser de définir un quelconque Y Pres des angles. PE Déf. — On appelle figure lacunaire toute figure rectiligne composée de droites, semi-droites ou portions de droites dispo- sées sans ordre. Toute figure lacunaire, si compliquée qu’elle soit, telle est la figure 14, ABCDEFGHIXY, formée de lignes pleines finies ou yo dé CAES) indéfinies, pourra toujours se ramener à des lignes polygonales ouvertes ou fermées, par exemple, DEGH, ABCF, et à des figures étoilées, telles que BCAGH et IEFXY, où l'on a introduit des distances, marquées par des pointillés. 22%. Théor. — Deux coins sont semblables quand leurs côtés, renfermant le même angle, sont respectivement propor- tionnels et disposés dans le même ordre. Dém. — Soient deux coins AOB et A'O'B' (fig. 15) renfer- mant le même angle entre leurs côtés res- SU pectifs, et ceux-ci satisfaisant à la propor- EU OB à AE tion d'u — 8 ue m, en même lemps que \/ O'A' est disposé par rapport à O'B’ comme (0) (0 OA l'est par rapport à OB. En majorant convenablement l'une des deux figures, soit A'O'B' du point O’ comme centre (111) dans le rapport »m, O’A’ et O'B’ deviendront égaux à OA et OB (110). Le coin A'O'B' sera alors égal au coin AOB. Il n'en différait done qu'en grandeur, et partant lui était semblable (42). Scolie. — Les côtés OA et O’A’ ainsi que OB et O'B' deve- nant similaires (41) à la suite de la majoration, sont des côtés homologues (42). Cor. — Des lignes polygonales ainsi que des figures étoilées ou lacunaires sont semblables quand elles se composent dé coins semblables ou d’angles égaux disposés similairement !. Fig. 45. 418. Déf. — On nomme parallèles des droites (semi-droites ou portions de droites) ayant même direction. ‘ A première vue, cette proposition si générale, tellement générale qu’elle n’est énoncée dans ces termes dans aucune géométrie, cette proposition, dis-je, épuise entièrement ia théorie de la similitude des figures planes recti- lignes, puisque les cas de similitude des triangles n’en sont que des appli- cations particulières, ct qu'ainsi la théorie des parallèles n’en sera qu'un corollaire. Îl nous conviendra, vu le but que nous avons en vue, de ne pas en faire état. Mais d'autre part, on voudra bien remarquer que ce théorème a été établi indépendamment des propositions sur les parallèles et du pos- tulatum d’Euclide. (0729) Scolie. — Cette définition est la dérivée (47) de la proposition9#4 donnant la définition de l'angle. (Voir plus loin le chapitre sur le postulatum d'Euclide.) Cor. 1. — Deux parallèles ne peuvent se rencontrer, si loin qu'on les prolonge, car si elles se rencontraient, elles feraient un angle (91). Elles ne sont donc pas obliques l’une par rapport à l’autre (102). Cor. 2. — Par un point donné il ne peut passer qu'une parallèle à une droite donnée. Cor. 5. — Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles (45). 219. Déf. — On nomme sécante toute droite qui passe par deux points appartenant à deux parallèles. La droite PQ (fig. 16) est une sécante. | Une sécante fait avec ces deux parallèles huit angles, que l'on range par couples por- tant différents noms. e. Ce sont d'abord les angles correspondants situés d'un CE = er D / même côté de la sécante et A ANNEE — B Ss’ouvrant dans le même sens. AE Tels sont les couples 1 et 5, 2e 6,5 et 7, 4 et 8, situés alternativement à gauche et à droite de la sécante, et s'ouvrant les quatre premiers vers le haut, les quatre autres vers le bas. Scolie. — Ces angles, pris deux par deux, ont leurs côtés dirigés respectivement dans le même sens. Viennent ensuite les angles alternes-internes et allernes- exlernes, situés de côté et d’autre de la sécante, mais renfermant ou ne renfermant pas l’espace compris entre les parallèles. Tels sont respectivement les couples 3 et 6, 4 et 5, et les couples ! el 8, 2 et 7. Scolie 1. — Ces angles, pris deux par deux, ont leurs côtés dirigés respectivement en sens contraires. Q Fig. 16. (75) Enfin, on distingue encore les internes ou les externes d’un même côlé de la sécante. Tels sont respectivement les couples 5 et 5, 4 et 6, et les couples 1 et 7, 2 et 8. Scolie 2. — Ces couples ont deux côtés dirigés dans le même sens, ce sont ceux formés par les parallèles, et deux côtés dirigés en sens contraires, ce sont ceux formés par la sécante. Cor. 1. — Les angles correspondants sont égaux ; il en est de même des angles alternes-internes et des angles alternes- externes; les angles alternes ou externes d’un même côté sont supplémentaires. Cor. 2. — Pour mener par un point M (fig. 16) une paral- lèle à une droite donnée AB, on joint par une sécante MN ce point M à un point quelconque N de la droite AB, puis l’on mène la droite CD de manière que l'angle NMC soit égal à l'angle MNB. 120. Théor. — Deux droites qui font avec une même sécante deux angles correspondants égaux sont parallèles. Il en est de même si elles font deux angles alternes-internes ou alternes-externes égaux. Il en est encore de même si elles font deux angles internes ou externes d'un même côté de la sécante dont la somme ext égale à deux droits. Démonstration par l'absurde !. 421. Théor. — Lorsque deux angles ont leurs côtés parallèles chacun à chacun et dirigés tous deux chez l’un et chez l'autre dans le mème sens ou en sens opposés, ils sont égaux. Dans le cas contraire, ils sont supplémentaires. : 11 suffit de donner un exemple de ce genre de démonstration parfaite- ment légilime, mais dont il faut user avec discrétion. Si (fig. 16) les deux droites AB et CD qui font avec la sécante PQ les angles correspondants { et 5 supposés égaux, n'étaient pas parallèles, on pourrait mener par le point M une parallèle à AB (119, cor. 2); or, cette parallèle ferait avec la sécante PQ un angle égal à l’angle 5, comme correspondant; il serait donc égal aussi à l'angle 1, et par conséquent cette parallèle se confondrait avec MC. (74) Dém. — Soient (fig. 17) les deux angles BAC et B'A'C' dont les côtés AB et A'B' ainsi que AC et A'C’ ont même direction ; ces angles ont done même valeur et par conséquent sont égaux. L'angle B”A'C" a ses côtés dirigés en sens opposés, mais, comme il est égal à l'angle B'A'C', il est aussi égal à l'angle BAC. 1 Enfin, langle B'A'C” (ou an l'angle B”A'C') a un seul de RE At ses côtés, à savoir A'C" (ou A'B”) dirigé en sens opposé de AC (ou de AB), ét comme il est le supplémentaire de l'angle B'A'C", il le sera de l'angle BAC. CHAPITRE INTERCALAIRE. Théorie de la symétrie des figures planes. — Théorèmes sur l'intersection des plans. A la rigueur, la théorie de la symétrie des figures planes obtenues par rabattement, a sa place au début de la géométrie du plan dans l'espace, de mème que celle de la symétrie des figures rectilinéaires a sa place au début de la géométrie de la droite dans le plan. D'ailleurs, la théorie du rabattement n'est pas nécessaire pour établir l'identité des figures planes symétriques. C'est ce que nous avons vu par le théorème 115, pour la démonstration duquel il suffit de déplacer le spectateur, sans rabattre le plan. Mais je l’insère ici, ne me proposant pas d'aborder la géo- métrie à trois dimensions. Toutefois, on voudra bien remarquer qu’elle ne s’appuiera que sur des propositions acquises. Théorème 1. — Les deux faces d'un mème plan sont symé- triques, en ce sens que toute figure tracée sur l'une apparait sur l’autre avec sa forme symétrique. (75 ) Dém. — Même démonstration qu'au théorème 113. Cette démonstration s'appuie au fond sur la définition de la symé- trie (41). Cor. 1. — Deux figures planes symétriques tracées sur la même face du plan, deviendraient identiques si l'on rabatlait autour d’une droite, comme autour d'une charnière, la partie du plan sur laquelle l’une d'elles est tracée, de manière à mettre en avant la face qui est en arrière. Cor. 2. — Il suit de là, comme déjà du théorème 1153, que les propositions concernant les conditions de l'identité des figures planes, sont valables pour les figures symétriques, et se rap- portent par conséquent d'une manière générale aux conditions de leur égalité (41). Théorème 11. — L'espace étant donné ‘, on peut, par une même droite mener une infinité de plans. Dém. — Par cette droite et un point pris en dehors de cette droite, faisons passer un premier plan (86, cor. 1). Prenons ensuite dans l’espace un point qui ne soit pas contenu dans le plan. La droite et ce point détermineront un second plan. De même, en prenant un troisième point qui ne soit contenu dans aucun de ces deux plans, on pourra en faire passer un troisième par lui et la droite; et ainsi de suite. Rem. — Il y a toujours de ces points qui ne sont dans aucun des plans construits, puisque des plans, qui sont des surfaces et par conséquent des néants d'espace (définitions préliminaires), ne peuvent combler l'espace. Théorème HI. — Deux plans qui ont deux points communs ont en commun la droite entière qui joint ces deux points. Dém. — Si nous traçons la droite, elle sera tout entière à la fois dans l’un et l’autre plan comme y ayant deux de ses points (79). Cor. 1. — Toute droite tracée sur un plan peut être consi- dérée comme étant une droite commune à deux plans identifiés. 4 Cette addition est de toute rigueur, puisque nous faisons ici une excur- sion dans la géométrie à trois dimensions. (76) Cor. 2. — Si l’on fait tourner l'un de ces deux plans identifiés autour de la droite supposée commune, soit (fig. 18) le plan Q autour de la ligne XY, À la surface qui se montre à nous finira par recou- vrir la surface P et nous verrons alors la face in- férieure du plan (. ee ARE TR Déf. — Le demi-tour que l’on imprime à un plan autour d'une de ses droites, prisecomme charnière, s'appelle ra- battement. Théorème IV. — Si dans le plan à rabattre on prend sur une perpendiculaire quelconque à la charnière un point situé à une distance arbitraire de son pied, ce point oceu- pera, après le rabattement, une place à égale distance sur le prolongement de la perpendiculaire. Dém. — Soit M (fig. 18) un point du plan Q pris arbitrai- rement sur une perpendiculaire quelconque OZ à la charnière. Le rabattement fera tomber OM sur le prolongement de la per- pendiculaire OM, puisque les deux angles XOM et XOW' sont égaux en leur qualité d’angles droits, et la distance OM sera égale à la distance OM. Il en sera de même pour des points tels que L et N, qui viendront en L'et N’; et l’on voit que la figure rectilinéaire LMN a pour symétrique la figure rectilinéaire L'M'N'; ce qui pourrait s'établir directement en faisant faire dans le plan un demi-tour à la droite OZ autour du point O (85). Scolie. — De là la définition ordinaire de la symétrie : « Deux points sont symétriques par rapport à une droite lorsque cette droite est perpendiculaire au milieu de la droite qui joint ces deux points. .» Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsque chaque point de l'une d'elles a son symétrique sur l’autre figure. » d4 Fig. 18. (177) Seulement cette définition a le tort de confondre la position symétrique avec la symétrie. Cor. — Tout point d'une figure plane tracée sur un plan pouvant ètre envisagé comme situé sur une perpendiculaire à la charnière, le rabattement du plan autour de cette charnière transforme cette figure en sa symétrique. Ainsi est démontrée l'identité par rabattement des figures planes symétriques. Puisque j'ai fait une incursion dans la troisième dimension, on me permettra de m'y attarder encore un peu. Le sujet que je vais traiter est un hors-d'œuvre, mais je serai bref. Dans les observations préliminaires dont j'ai fait précéder la géométrie de la droite (p. 56), j'ai signalé une lacune tout au commencement du cinquième livre de Legendre. Entre les deux premiers théorèmes sur le plan (une droite ne peut être en partie dans le plan, en partie dehors; trois points déterminent un plan), et le troisième (quand deux plans se coupent, c’est suivant une ligne droite), devrait venir une proposition établissant que deux plans ne peuvent pas n'avoir qu'un point de commun, en d'au- tres termes qu'ils ne peuvent pas être tangents extérieurement ou intérieurement à la façon de deux calottes sphériques, ou se toucher, soit encore extérieurement ou intérieurement, à la façon de deux surfaces coniques. Cette lacune, je ne pense pas qu'elle ait été comblée quelque part. Elle ne l'a pas été à coup sûr, quoi qu'en ait dit M. Man- sion dans Mathesis !, par Roucaé-ComBeroussE ; c'est ce que j'ai fait voir dans une note d'une réponse à M. Lechalas 2. Le lecteur ne trouvera pas mauvais que je montre ici comment elle peut l'être. 1 Voir n° de juin 1892, p. 257. ? Voir fievue philosophique, janvier 14894, p. 79. Voici cette note : « La solution Roucué-CouBEROUSSE suppose qu'une droite qui rencontre un plan, y est contenue tout entière ou le transperce. Or, si deux plans pouvaient ne se toucher qu’en un point à la facon de deux surfaces sphériques ou de deux cônes ayant même sommet, il est clair que toute droite passant par ce point ct située dans l’un d’eux ne transpercerait pas l’autre. » (180) Il voudra bien remarquer que j'aborde ce qu’on est convenu d'appeler, depuis Legendre, le cinquième livre de la géométrie, armé des seuls théorèmes démontrés jusqu'ici, c’est-à-dire sans l’aide des parallèles et des triangles, ni des angles dièdres. Si je me sers de quelque terme non défini, il n’y a pas à s’en formaliser, du moment que le terme est employé dans son sens usuel. Lemme. — Le plan divise l'espace dans toute son étendue (ef. prop. 79). Théorème 1. — Lorsque deux plans ont une droite commune, ils se coupent, c'est-à-dire que chacun d’eux est situé des deux côtés de l'autre (cf. 104). Dém. — Soient (fig. 19) deux plans P et Q, ayant en commun la droite XX’. Je dis que ces deux plans ne peuvent pas avoir la position indiquée dans la figure, c'est-à-dire telle qu'ils seraient tangents le long de la droite XX’, mais qu’ils se coupent comme la même figure peut aussi l'indiquer, pourvu qu'on se représente les surfaces MM' et NN’ comme des plans s'entrecoupant le long de la droite XX’. Fig. 49. Dém. — Par un point quelconque X de la droite XX’, je mène deux droites, l’une XY dans le plan P, l’autre XZ dans le plan Q. Les deux droites, ayant un point commun, sont dans le même plan, donc elles se coupent (104); elles prennent donc les positions YZ’ et ZY’, et non pas les positions YY' et ZZ’, et, par conséquent, chacune d'elles passe à l’autre côté du plan qu’elle rencontre. Comme ce qui vient d'être dit des droites XY et XZ peut se dire de toutes autres droites, telles que X’M et X’N, on peut trouver dans le plan P autant de points que l’on veut situés à l'autre côté du plan Q, et réciproquement. Donc ces deux plans se coupent. C. Q. F. D. Théorème 11. — Lorsqu'une droite rencontre un plan dans lequel elle n’est pas située, elle le perce. Dém. — Soit O (fig. 20) le point où la droite X rencontre le (79 ) plan P. Par ce point, dans le plan P, traçons une droite quel- conque Ÿ et faisons passer un plan Q par celle-ci et la droite X. Ce plan Q coupera le plan considéré P, puisqu'il aura avec lui la droite commune OY (théo- 7 rème [). Quant à la droite X, - tout en restant dans le plan Q, ne elle coupera la droite OY (104) | + | et passera de cette facon à 1e " l’autre côté du plan P. Le ds Théorème NI. — Lorsque | . J® | deux plans ont un point com- ss = | mun, ils en ont un second et | par conséquent se coupent sui- KE | vant une droite. Ÿ > Dém.— Soit O (même figure) | le point commun aux plans P 7 RE Q. Par ce point O et dans Fig. 20. le plan Q faisons passer deux droites OZ et OX qui perce- ront le plan P (théorème IT). Prenons sur la droite OX un point M situé d'un côté du plan P, et sur la droite OZ un point N situé à l’autre côté du mème plan P. Joignons ces deux points par une droite; celle-ci coupera le plan P en un point O' (cf. 82), second point de l'intersection, laquelle intersection sera la droite Y passant par O et O’. CHAPITRE VII. — Les TRIGONES. 422. Déf. — On appelle proprement polygone une ligne polygonale fermée, c'est-à-dire sans extrémité libre, et plus spé- cialement ligne polygonale, la ligne polygonale ouverte et pré- sentant deux extrémités libres (115). On appelle en général trigone la ligne polygonale composée de trois droites, soit indéfinies, soit semi-droites, soit portions de droites. Les figures 21, 22, 25 sont des trigones. ( 80 ) Si le trigone est fermé, il porte spécialement le nom de triangle ; si c'est une ligne brisée ouverte, celui de biangle. 423. Déf. — Le triangle est un polygone formé de trois por- Z C ee | . o- = x AVT B 5 AE se 7 A Fig. 21. Fig. 93. Fig. 22. tions de droite reliant deux à deux trois points non en ligne droite. La figure ABC est un triangle (fig. 25). Dans un triangle, par conséquent, outre les trois cotés, on distingue trois sommets, trois angles, trois coëns. Rem. 1. — Par abus, les côtés du triangle, quoique finis, sont dits être les côtés des angles. A2Spis. Déf. — Si ses trois côtés sont inégaux, le triangle est dit scalène. Si deux de ses côtés sont égaux, le triangle est dit ssocèle, et l'on y désigne spécialement sous le nom de sommet le point de rencontre des côlés égaux, et sous le nom de base le côté opposé à ce sommet. Si ses trois côtés sont égaux, le triangle est dit équilatéral. Scolie. — Qu'il puisse y avoir des triangles isocèles, et partant des triangles équilatéraux, c'est ce qui résulte de la propriété du plan de recevoir des figures symétriques (85, 106, scolie et théorie de la symétrie). Rem. 2. — Lorsque toute confusion est impossible, on désigne souvent les angles du triangle par la lettre de leur sommet, qu'on choisit majuscule, et le côté opposé par la même lettre minus- cule. Ainsi l'angle CAB scra désigné A, et le côté opposé BC sera désigné a. Les angles du triangle sont toujours censés être les angles intérieurs, c'est-à-dire dirigés vers le côté opposé. (81) Scolie. — Le triangle est l’une des figures les plus impor- tantes de la géométrie, parce que toute figure rectiligne peut se décomposer en triangles et se définir au moyen de ces triangles. (Gf. 119, scolie 2.) 124. Déf. — Le biangle est une ligne brisée ouverte formée d’une portion de droite, portant à ses deux extrémités soit deux semi-droites (biangle unilatère), soit une semi-droite et une portion de droite (biangle bilatére), soit deux portions de droite (biangle trilatère). Dans un biangle unilatère (fig. 24, 25, 26), on distingue deux sommets À et B, puis deux angles ï “ 7 ayant en commun un côté fini Al | (125, rem. 1), enfin deux côtés indé- finis AX et BY. A R B Fig. 2. Fig. 93. Dans la figure 24, les semi-droites AX et BY sont divergentes ; dans la X Sc X figure 25, convergentes; dans la € figure 26, parallèles. Scolie 1. — La figure formée par BUrA B A deux parallèles et une sécante (119, Fig. 26. Fig. 2T fig. 16) peut être considérée comme ; 1 - un biangle où, par dérogation à la ? AN V4 définition, les côtés seraient des X. droites indéfinies dans les deux sens. + u AZ Ne Scolie 2. — Le triangle est un Fig. 28. Fig, 2. biangle unilatère convergent (fig. 25) dont on nie les prolongements des semi-droites AX, BY au delà du point de convergence. Dans un biangle bilatère (fig. 27), on distingue trois sommets A, B, C, deux angles (125, rem. 1), un coin ABC, deux côtés finis AB et BC, un côté indéfini AX. Dans un biangle trilatère (fig. 28 et 29), on distingue quatre sommets À, B, C, D, deux angles, deux coins, les trois côtés finis. Scolie 3. — Le triangle est un biangle trilatère où les deux extrémités libres (112) se confondent. ( 82 ) 425. Théor. — Un triangle est déterminé quand on donne ses trois sommets. Dém. — Il n'y a qu'une seule manière possible de relier ces trois sommets par trois portions de droite. Cor. 1. — Un triangle est déterminé quand on donne un de ses coins, puisque par là on donne ses trois sommets. 42srir, Cor. 2. — Deux triangles sont égaux quand ils ont un coin égal; en d'autres termes, quand ils ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun. Alors, les deux autres coins sont aussi égaux; en d’autres termes, sont alors égaux le troisième côté et les deux autres angles chacun à chacun. Rem. — L'égalité est par identité ou par symétrie, suivant que les éléments donnés comme égaux le sont par identité ou par symétrie. Cette remarque sera désormais presque toujours sous-entendue (114). 426. Théor. — Un triangle isocèle est à lui-même son symé- trique. Dém. — Soient C (fig. 50) le sommet du triangle et b = a les deux côtés égaux, le coin BCA est égal au coin NUAGE) (412 cor. 2; 1250). 1 \ Cor. 1. — Dans un triangle isocèle, aux côtés f__ \ égaux sont opposés des angles égaux; c'est-à-dire AL \8 que l'angle B — l'angle A. Fig. 30 Cor. 2. — Un triangle équilatéral a ses trois angles égaux. Observation. — Il doit avoir paru depuis une vingtaine d’an- nées bon nombre de géométries élémentaires. Je n'en ai lu aucune. On voudra bien me pardonner ce défaut d’érudition. Ces années, je les ai employées à des travaux assez considérables dans d’autres domaines de la philosophie et des sciences. Dans aucun des livres scolaires que jusqu'alors j'avais eu l’occa- sion de lire ou de feuilleter, je n'avais trouvé la propriété du triangle isocèle présentée de cette façon et à cette place. Je (85 ) eroyais bonnement que cette innovation m'appartiendrait, si un jour — ce que j'étais loin de prévoir — je me remettais à la géométrie. Aussi ai-je été quelque peu contrarié de la trouver dans Roucné-ComBEROUSSE, ce qui me fait supposer qu’elle pour- rait être aussi dans d’autres auteurs. J'ose dire cependant que dans Roucxé le théorème n'est pas démontré avec la rigueur désirable. Le renversement de la figure à travers l’espace, obtenu à l’aide d’un mouvement absolument indéterminé — j'entends sans l'indication d’un axe fixe pris dans le plan — me parait un procédé sujet à caution. Quant à moi, je n’ai pas même eu besoin du rabattement. (Voir plus loin 130, observation.) 427. Théor. — Un biangle unilatère est déterminé quand on donne le côté fini et les deux angles. Dém. — On ne peut disposer que d’une manière identique ou symétrique les deux côtés indéfinis. Cor. 1. — Deux biangles unilatères sont égaux s’ils ont le côté fini égal et adjacent à deux angles égaux chacun à chacun. Scolie. — Les deux côtés indéfinis peuvent être parallèles, diverger ou se couper (124). Dans ce dernier cas, le biangle comprend un triangle (124, scolie 2). 428. Cor. 2. — Un triangle est déterminé quand on donne un de ses côtés et la direction des deux autres, en d’autres termes, quand on donne un de ses biangles unilatères, c’est-à- dire un de ses côtés et les deux angles adjacents. 428". Cor. 5. — Deux triangles sont égaux quand ils ont un même biangle unilatère, c'est-à-dire un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun. Par conséquent, ils ont le troisième angle égal et les deux autres côtés égaux chacun à chacun. Observation. — Dans les géométries usuelles, on admet impli- citement qu'un trigone dont on donne un côté et les angles adja- cents est nécessairement un triangle. C'est passer par-dessus le postulatum d'Euelide sans s’en douter. (Voir 151, cor. 2.) (84) Cor. 4. — Si les angles donnés sont égaux, le triangle est à lui-même son symétrique; aux angles égaux sont opposés des côtés égaux, et le triangle est isocèle. (Cf. 126, cor. 1.) Cor. 5. — Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux. Réeiproquement, si les trois angles sont égaux, le triangle est équilatéral. (126, cor. 2.) Cor. 6. — Dans un triangle scalène, les trois angles sont inégaux ; et réciproquement, si les trois angles sont inégaux, le triangle est scalène. Démonstration par l'absurde. 429. Théor. — Deux triangles sont égaux quand ils ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Ils sont identiques si les côtés sont disposés dans le même ordre; ils sont symétriques dans le cas contraire. Dém. — Soient (fig. 51) les deux triangles ABC et A'B'C' où EN > Nr > \ Lee NE: l’on a les égalités a = a’, b = b', c— c’, et disposons-les symé- triquement autour d’un côté égal, soit CB — C'B', de manière que nous aurons AB — A'B — A'B' et AC — A'C — AC’. Tirons la ligne auxiliaire AA’. Le triangle BAA’ est isocële, puisque AB = A'B, et par conséquent les angles BAA' et BA'A sont égaux. Il en est de même du triangle CA A, où AC — A'C, et où par conséquent les angles CA’/A et CAA” sont égaux. Donc les angles BAC et BAC sont égaux comme représentant chacun la somme de deux angles égaux chacun à chacun. Donc les triangles ABC et A’BC sont égaux comme ayant un angle égal, à savoir A et A”, compris entre côtés égaux chacun à chacun, à savoir A’'B — AB et A'C — AC. ( 85 ) Donc les deux autres angles sont aussi égaux chacun à chacun. Cor. 1. — Dans deux triangles égaux, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux et, inversement, les côtés opposés aux angles égaux sont égaux. 130. Cor. 2. — Un triangle est déterminé quand on donne ses trois côtés. (Voir 146, cor. 1.) Rem. — Nous disons ses trois côlés et non trois portions de droite, car il n’est pas dit qu'avec trois portions de droite on puisse toujours construire un triangle. Observation. — On remarquera que ce théorème et son corollaire ne correspondent pas exactement pour l'ordre aux théorèmes et corollaires (125, 125" ; 128, 198*) sur les autres cas d'égalité des triangles. J'aurais certainement pu faire dispa- raitre cette anomalie en intervertissant l'ordre de ces derniers. Peut-être même serait-ce là chose préférable. Si je l'ai laissée subsister, c'est précisément pour attirer l'attention sur elle. On peut, comme je viens de le dire, transposer les théorèmes et corollaires concernant les deux premiers cas d'égalité, mais non ceux concernant le troisième. C’est singulier. De plus, ce troisième, non seulement nous ne le démontrons pas directe- ment, mais nous prolitons des propriétés du triangle isocèle, et encore, avons-nous recours à une ligne auxiliaire; enfin nous remplaçons un des triangles par son symétrique. Ces étrangetés m'ont bien tourmenté, et j'en ai cherché et j'en cherche encore la raison. Consisterait-elle en ce que les trois côtés doivent satisfaire à la double condition d’être chacun moins grand que la somme des deux autres et plus grand que leur différence? Résiderait-elle en ceci, que le problème de la construction du triangle au moyen des trois côtés parait au pre- mier abord indéterminé ? En effet, on peut tracer dix triangles avec trois côtés. Sur la base a, on peut en construire quatre : deux (symétriques) en prenant respectivement B et C comme centres et b et c comme rayons, et deux autres (toujours symétriques) en prenant c et b comme rayons. Cette opération, on peut la répéter sur les bases (86) bet c, le mème triangle venant trois fois. Cette raison est-elle valable? Je n'en sais rien ; elle ne me plait que tout juste. Je voudrais que quelqu'un en trouvât une meilleure ou, ce qui vaudrait encore mieux, démontrât directement le théorème. Je pourrais répéter ici l'observation dont j'ai fait suivre la proposition 126 sur le triangle isocèle. On a pu voir avec quel soin j'évite les lignes auxiliaires et les théorèmes accessoires ne contenant que des vérités de passage, si je puis ainsi parler. Bien que la démonstration qu'on vient de lire ne soit pas abso- lument irréprochable, je la croyais mienne. Elle est parfaitement dans Roucné-CouBerousse. Je suis heureux de ne pas l'avoir su lorsque je la cherchais, car rien ne tue l'originalité comme de n'avoir aucun motif de se montrer original. 1314. Théor. — Dans tout triangle la somme des trois angles équivaut à deux angles droits. Dém. — Soit (fig. 52) le triangle ABC. Si nous prolongeons un côté quelconque AB, et si par le point B nous menons BC parallèle au côté AC, nous réu- | nissons autour de ce point les \ 5 trois angles du triangle, à savoir ë l'angle ABC, l'angle BCA qui est sh À Le | égalà l'angle CBC’ comme alterne BEN tons Mhnternen(AT9; "cor 1) een l'angle CAB qui est égal à l’angle C'BD comme correspondant (119, cor. 1). Or, la somme des trois angles ABC, CBC’ et C'BD équivaut à deux droits (99, cor. #4, et 109, scol.); donc celle des trois angles du triangle équivaut à deux droits. C. Q. F. D. Cor. 1. — Quand on connaît deux angles d'un triangle, on connait par cela même le troisième. Cor. 2. — Il s'ensuit que ce triangle-là serait impossible à construire dont on donnerait un côté et les deux angles adja- cents, si la somme de ces deux angles était égale ou supérieure à deux droits. (Cf. 141, 142, 145.) Scolie. — Si l’on avait considéré la droite ABD comme Fig. 32. (87) norme, la direction du côté AC eût été fournie par l'angle CAB (ou CAD); celle du côté BC par l'angle CBD. La différence de ces deux directions, qui est l’angle BCA, est par conséquent égale à la différence des angles CBD et CAB, ce qui est exprimé par l'équation BCA — CBD — CAB, qui devient CBD — BCA + CAB (ou CAD). Cette équation se traduit comme suit : 432. Cor. 3 et déf. — Tout angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux intérieurs qui lui sont opposés. On appelle angle extérieur tout angle comme CBD compris entre un côté et le prolongement d’un autre. Si aux deux membres de la dernière équation on ajoute l'angle ABC, le premier membre équivaudra à deux angles droits, et le second membre renfermera les trois angles du triangle. 433. Cor. 4. — La valeur d'un angle peut être exprimée en fonction des angles que ses côtés font avec une droite quelconque prise pour norme, 134. Théor. — La somme des angles extérieurs d’un triangle pris dans le même sens équivaut à quatre droits. Dém. — La somme de ces angles : B'AC + A’CB + C'BA (fig. 35), est égale à deux fois la somme des angles du triangle, et partant à quatre angles droits. (88 ) 435. Theor. — Dans un polygone quelconque, la direction d'un des côtés est égale à la somme algébrique des changements de direction effectués par les autres côtés, ces changements étant pris avee leurs signes. Dém. — Soit (fig. 54) un polygone ABCDE. Prenons l’un des côtés AË pour norme, c'est-à-dire comme ayant une direc- :6 B AS . Le >0 tion = 0; il faut démontrer que la somme algébrique des chan- gements de direction marqués par les angles + a, — 6, + y, — 0, + est égale à O. Or, f—a+i; y—=t+n; d—y+ux; nu —: (1932; 105). Faisant la somme à — $ + y — 9 + «, on trouvera 0. _ Scolie. — Si la ligne polygonale, au lieu d'être fermée, est restée ouverte, par exemple, entre A et E, il suit de ce théorème que sa direction moyenne ou résultante est celle de la droite qui passe par ses extrémités, conclusion conforme à la manière vulgaire dont nous caractérisons la direction d'un chemin. Cor. 4. — Si l’on fait tourner une droite en l'appliquant suc- cessivement sur les côtés d’un polygone, quand elle est revenue à sa position première, elle a tourné de quatre angles droits. Cor. 2. — Un polygone est déterminé quand on donne tous ses côtés moins un dans leur ordre et les angles compris. Il est encore déterminé quand on donne tous ses côtés moins deux dans leur ordre avec leurs angles adjacents. Il est encore déterminé quand on donne tous ses côtés dans leur ordre et les angles compris sauf deux (cf. 115). (89) 436. Théor. — Deux triangles sont semblables quand un coin de l’un est semblable à un coin de l'autre. Dém. — Par majoration on rend ces coins égaux, ainsi que les triangles (117, 125”). Cor. 4. — Les triangles semblables ont leurs coins homo- logues semblables. 133. Cor. 2. — Les triangles semblables ont leurs angles homologues égaux et leurs côtés homologues proportionnels. En effet, la similitude des coins A et A’ donne la proportion b:b"— c: c'; celle des coins B et B’, la proportion c : c'= a : a’. Ces deux proportions se fondent en une seule : a:a —=b:b —c:c!. 138. Théor. — Quel que soit le point d'un plan pris pour centre de majoration, la majoration ne 0 change pas la direction des droites tracées dans le plan (ef. 110). re Le Dénn. — Soit (fig. 55) une droite X et un kg ue point O quelconque, situé dans le plan au- _Al * quel elle appartient. Prenons deux points Fig. 35. A et B sur cette droite, joignons-les au point O et majorons du point O pris comme centre (111) le triangle OAB ainsi formé. Nous obtiendrons un triangle OA'B', sem- blable au triangle OAB, et où l’angle OA'B" sera égal à l'angle OAB. Par conséquent A'B' sera parallèle à AB (119, corol. 1). C. Q. F. D. Scolie. — Nous avons vu que la somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits. Par conséquent, à mesure que l’un des angles diminue, la somme des deux autres aug- mente, et celte somme a pour limite deux angles droits. De même, à mesure que deux angles diminuent, la valeur du troisième augmente, et cette valeur a aussi pour limite deux angles droits. Dans le premier cas, deux côtés du triangle finissent par devenir parallèles, et par conséquent le triangle s'évanouit et devient un triangle indéfini dans un sens, puisqu'il ( 90 ) n’a pas de troisième sommet. Dans le second cas, deux côtés du triangle forment une ligne droite parallèle au troisième côté, et par conséquent le triangle n'a plus que deux côtés parallèles et aucun sommet, et il s’évanouit de même. En résumé : Cor. — Deux côtés d’un triangle ne peuvent être parallèles. 139. Théor. — Deux triangles sont semblables quand ils ont leurs angles égaux chacun à chacun. Dém. — Plaçons (fig. 36) les triangles donnés ABC et AB'C' BE) Fig. 36. de manière à faire coïncider deux angles égaux ainsi que leur sommet À, et à faire correspondre l'angle C’ à son égal C, et de même l’angle B' à son égal B. Le côté C'B’ sera parallèle à CB (120). Je dis maintenant que l'on aura : AC : AC’ — AB : AB. Car si nous prenons sur AB le segment AB” tel que l'on ait : AC : AC’ = AB : AB”, les deux triangles ABC et AB”C’ seront semblables en vertu du théorème précédent, et par suite l'angle AC'B” sera égal à l'angle ACB, qui est égal à l'angle AC'B. Donc le point B'' se confondra avec le point B' et l’on aura : AC : AC’ — AB : AB. C. Q.F. D. Cor. 1. — Deux triangles sont semblables quand ils ont deux angles égaux chacun à ehaeun, car alors ils ont aussi le même troisième angle (151, cor. 1). Cor. 2. — Deux triangles isocèles sont semblables quand ils ont l'angle du sommet ou l'angle de la base égal. 140. ZThéor. — Deux triangles sont semblables quand ils ont leurs côtés proportionnels. (91) Soient (fig. 57) deux triangles ABC et A'B'C’ tels que ABB AGE CE BC BC ORNE (4) Sur le côté AB du triangle ABC, prenons AB” — A'B', et C EL Q A JE Al B Fig. 37. \ menons la parallèle B”C” à BC. Les deux triangles ABC et AB"C” sont semblables comme ayant leurs angles égaux chacun à chacun (159); leurs côtés sont donc proportionnels et l'on a AB AB = AC AC AIR: BC 0) Or, AB’ — A'B' par construction. Les deux proportions (1) et (2) ont ainsi un rapport commun. Les autres rapports sont donc égaux, et l'on a AC : A'C’ — AC : AC”, et BC : B'C’ — BC : BC”. Ces deux proportions ont leurs antécédents égaux; les consé- quents sont donc égaux, et l'on a : A'C’ — AC”; B'C' — BC”. Les deux triangles A'B'C' et ABC" ont ainsi leurs côtés égaux chacun à chacun; ils sont donc égaux (129); et comme AB''C'' est semblable à ABC, A’'B'C' est aussi semblable à ABC. Scolie 1. — La démonstration se simplifie par la remarque que la majoration convenable du triangle A'B'C', en rendant ses côtés égaux à ceux du triangle ABC, le rend égal à celui-ci. Donc avant la majoration il lui était semblable. Si je n’ai pas usé de cette démonstration légitime, c'est uniquement pour ne pas heurter les habitudes. Scolie 2. — Cette proposition peut se démontrer directement en partant du théorème 156. (92) Soit (fig. 58) un triangle ABC, et O un centre quelconque c de majoration (111). Le triangle à Fe OAC est déterminé ainsi que 8 #/_i \w OAB et OBC, puisque les trois Aie \ 7 sommets de chacun sont don- LS nés (125). Minorons la figure en O'A'B'C’. Les triangles O’A’C', O'A'B" et O'B'C' seront respec- tivement semblables aux triangles OAC, OAB, OBC, comme ayant (110) des coins semblables, à savoir ceux qui ont O pour sommet; il s'ensuivra que les côtés AC, AB, BC seront proportionnels aux côtés A'C’, A'B, B'C'. De plus les angles ABC, BCA et CAB seront respective- ment égaux aux angles A'B'C', B'C'A et C'A'B', comme égaux à la différence ou à la somme d'angles égaux; par conséquent les deux triangles ABC et A'B'C' auront leurs trois coins sem- blables. C. Q. F. D. Scolie. — Les polygones ou lignes polygonales semblables peuvent se décomposer en triangles semblables et se décrire au moyen de ces triangles. Les triangles semblables chacun à chacun sont dits homo- logues. Cor. — Les polygones et lignes polygonales semblables ont leurs angles égaux chacun à chacun et les côtés homologues proportionnels. (Cf. 117, corol.) Observation. — Il me sera permis de faire observer que la théorie entière de la similitude des triangles a été exposée sans recourir au postulat d'Euclide — que nous allons d’ailleurs démontrer. Cette théorie aurait pu s’abréger de beaucoup; mais j'ai tenu à me conformer dans cel essai aux lenteurs de la géométrie scolaire usuelle. Si parfois j'ai enchainé trois ou quatre théorèmes, cet enchainement a été rarement nécessaire. En tête de la nouvelle géométrie, j'inscrivais ce desideratum : éviter les théorèmes de pur passage, si je puis ainsi les nom- mer, et appuyer la démonstration sur les principes et les données que suppose son énoncé. Je vais, comme spécimen, démontrer Fig. 35. (95) directement le théorème capital sur la similitude, en invoquant seulement les connaissances qu'implique la notion des triangles semblables. Ces connaissances comprennent : 1° les conditions générales d'égalité des figures (même grandeur et même forme), celles de leur similitude (mème forme), le principe que la majoration répétée dans un rapport donné d'une même figure conduit à des figures identiques (45, cor. 5); 2° les conditions spéciales de l'égalité des triangles (égaux quand ils ont un coin égal, d'où la symétrie des triangles isocèles, ete.) ; la propriété des triangles égaux qu'aux côtés égaux sont opposés des angles égaux et réci- proquement; enfin la propriété des coins semblables de ren- fermer le même angle entre côtés proportionnels (126, 127, 130 et cor., 117, 156). Cela admis, voiei la démonstration directe de la proposition 137, que, dans les triangles semblables, les angles sont égaux chacun à chacun et les côtés homologues proportionnels. Dém. — Soit (fig. 59) un triangle scalène ABC. Ce triangle est déterminé par l’un quelconque de ses coins, soit À, soit B, soit C. Majorons tour à tour chacun d'eux dans le même rapport arbitraire À :m ; nous for- .. merons ainsi trois triangles semblables ! au triangle ABC, à savoir AB'C', A'BC", A'"B"C, et égaux entre eux, puisqu'ils out 3 mème grandeur et même forme (45, FOSTER cor. 5). Fie. 29 Il résulte de la construction que g. 39. AB'=— mAB; (1) AC'— mAC; (2) BC” = mBC; (5) BA' — mBA; (4) CA'"= mCA; (5) CB” = mCB; (6). De la comparaison des égalités (1) et (4), (2) et (5), (5) et (6), il suit que : AB'— BA’; (7) AC'— CA"; (8) BC” — CB”; (9). Enfin de ce que les triangles égaux ont leurs angles égaux chacun à chacun et qu'aux côtés égaux sont opposés des angles (94) égaux, il résulte respectivement des égalités (7), (8) et (9), l'éga- lité des angles C’ et C”’ (10); B' et B” (11); A’ et A” (12). Mais nous ne savons pas et nous avons à démontrer que B'C'— mBC; (13) A'C'—mAC; (14) A'B" — mAB (15) et que les angles C’ et C’’ sont égaux à C (16); B' et B'’ à B (17); A' et A'’ à À (18). Or si, dans les deux triangles égaux AB’C' et A'BC', où l’angle C’ = C”’ (10), l'angle A n'était pas égal à l'angle A’, il serait égal à l’angle B', et par conséquent le triangle AB'C' et son semblable ABC seraient isocèles, ce qui est contraire à l'hy- pothèse. Donc l'angle À — A'— A” (18); B—B'— B” (17) EU CN (16) C. Q. F. D. L'angle A étant égal à A’, il s'ensuit que B'C' — BC’, et comme BC” = mBC (5), il s'ensuit que B'C' = mBC (15); et de même nous trouverons que A’C” — mAC (14) et que A''B" — mAB (15). C. Q. F. D. Scolie. — La condition que le triangle ABC füt scalène était nécessaire. Il est clair, en effet, que si le triangle était, par exemple, équilatéral, B'C’ n'égalerait pas seulement mAB, mais aussi mBC et mAC, et l'angle B' ne serait pas seulement égal à B, mais aussi à C et à A. Observation analogue pour le cas où le triangle ABC serait isocèle. Ici se termine la théorie de la similitude des triangles. Elle aurait pu être abrégée notablement, je l'ai dit à maintes reprises. Elle est, en effet, contenue tout entière dans celle de la simili- tude des droites interrompues (72) et des coins (117) et n'en conslitue qu'une pure application. Les longues démonstrations dont les théorèmes qui suivent ont été l'objet, n'avaient d'autre raison d'être que de ne pas rompre trop radicalement avec les procédés usuels. On pressent que la recherche des conditions de similitude des autres figures planes ou spatiales ne présentera aucune difficulté nouvelle. C’est ce que nous allons faire voir brièvement !. 1 Le lecteur désireux de plus amples développements les trouvera dans mes Prolégomènes, pp. 247 et suiv. Dr = (95 ) Appelons /iqures de même genre celles qui sont comprises sous la même définition; par exemple, les triangles (sous-genres : triangles isocèles, triangles rectangles, etc.), parallélogrammes (rectangles, carrés, etc.), circonférences; les parallélipipèdes, pyramides, cylindres, cônes ; les ellipses, hyperboles, paraboles, cycloïdes, chainettes; les hélices, sphères, ellipsoïdes, parabo- loïdes, etce.; et appelons figures de même espèce les figures sem- blables dans chaque genre. Les figures d'une espèce donnée, par exemple, les triangles rectangles isocèles, ne différant qu’en grandeur, seront engendrées par la majoration (ou minoration) d'une seule et même figure prise pour type, par exemple un triangle rectangle isocèle déterminé. Il suffit donc de connaitre un seul exemplaire de l'espèce pour avoir toute l'espèce. Or, étant préalablement donnés les éléments de la description du genre, quels seront ceux de la description de l'exemplaire pris pour type? Ce seront évidemment les conditions de l'égalité des figures dans ce genre. Ainsi, comme ces triangles-là sont égaux qui ont un coin égal ou leurs trois côtés égaux chacun à chacun, il s'ensuit qu'avec un même coin ou les mêmes trois côtés on ne peut que faire indéfiniment le mème triangle. Appelons squelette de la figure l'ensemble de ces éléments qui déterminent un type. Nous pourrons, sans qu’il soit besoin de démonstration, énoncer cette proposition générale que « les figures d'un genre déterminé sont semblables quand leurs sque- lettes sont semblables ». Or, le squelette se ramène en défini- tive toujours à des portions de droite faisant ou non entre elles certains angles. Il en résulte que les conditions de similitude des figures d'un genre déterminé sont la proportionnalité de ces por- tions de droite, jointe, s’il y a lieu, à l'égalité des angles qu'elles font entre elles. De là, les conséquences importantes qui suivent : Si le squelette d'une figure se réduit à une portion de droite unique, cette figure appartient à une espèce-genre, c'est-à-dire à un genre qui ne comporte qu'une seule espèce ou rien que des figures semblables. Tels sont les circonférences, sphères, hyper- boles équilatères, paraboles, eycloïdes, polygones réguliers d’un même nombre de côtés. (96 ) Si le squelette comprend plus d’une portion de droite, les figures seront semblables quand ces portions seront dans le même rapport. Tels sont les ellipses, déterminées individuel- lement par la distance focale et le grand axe; les hyperboles, déterminées par la différence des rayons vecteurs et la distance focale; les cônes circulaires droits, déterminés par le ravon de leur base et leur hauteur; les hélices, déterminées par le rayon et le pas; les chainettes, déterminées par leur longueur, la distance des points d’attache et la différence de hauteur de ceux-ci au-dessus d'un plan horizontal, ete. Si le squelette comprend en outre des angles, il faut que ces angles soient identiques. Par conséquent, s’il comprend seule- ment une longueur et un angle, ces figures-là seront semblables dont le squelette contiendra le même angle. Tels sont les trian - gles rectangles ayant un même angle aigu; les triangles isocèles ayant le même angle au sommet ou à la base; les losanges ayant un même angle; les secteurs circulaires et les ares de cerele de mème angle; les loxodromiques faisant le même angle avec les méridiens ; etc. Si le squelette renferme plus d'une longueur, il va de soi que lcur proportionnalité doit s'ajouter à l'égalité des angles. Ainsi des ellipses et des hyperboles sont semblables si leurs diamètres conjugués sont proportionnels et font le même angle; deux ellip- soïdes, si leurs axes rectangulaires sont proportionnels; deux cônes circulaires obliques, si leurs axes et les rayons de leurs bases sont proportionnels, et si l'angle de leur axe sur le plan de la base est le même ; etc. On peut parfois remplacer une longueur par un angle et réei- proquement. Ainsi, au lieu de la différence de hauteur des points d'attache de la chainette, on peut donner l'angle que la droite qui les joint fait avec un plan horizontal, et au lieu du pas de l’hélice, l'angle qu'elle fait avec les génératrices du cylindre. Inutile de multiplier ces exemples. Ils suffisent pour montrer la fécondité du principe de l'homogénéité de l’espace. C7) CHAPITRE VIIL. — Le Pposruzarun D'Eucuine. Après ces digressions, nous reprenons la suite de nos théorèmes et abordons la démonstration directe du postulatum d’Euclide. Nous avons pu nous en passer jusqu'ici. C'est assez dire qu'on sera rarement dans la nécessité d'en faire usage. Au fond, ce n'est presque plus qu'une simple curiosité, comme il y en a d’autres encore dans les sciences mathématiques. Reportons-nous à la définition du biangle unilatère (124) et au scolie premier, qui, par extension, fait rentrer dans les biangles de cette espèce la figure formée de deux parallèles cou- pées par une sécante. Comme les parallèles ne peuvent se rencontrer (118, cor. 1), cette figure ne peut devenir triangle. La question est maintenant de savoir s’il existe des biangles dont les côtés libres non parallèles ne se rencontrent pas, si loin qu'on les prolonge. A celte question, le postulatum d'Euclide répond négative- ment ; il affirme que les droites non parallèles se rencontrent si on les prolonge suffisamment. Le scolie de la proposition 118 fait remarquer que la défini- tion des parallèles (droites ayant même direction) est la dérivée (47) de la définition de l'angle (semi-droites partant d’un même point, 94). Ceci demande quelque développement. Cette définition de l'angle, en tant que définition de figure, est irréprochable. Mais comme l'angle de deux droites subsiste même si on ne les prolonge pas jusqu'à leur point de rencontre, elle donne lieu à quatre propositions : 1° Principale. — Les côtés d'un angle (c'est-à-dire deux droites qui partent d'un même point) ont des directions différentes. 2 Inverse. — Deux droites qui ont des directions différentes, forment un angle (c’est-à-dire se rencontrent). 3° Réciproque. — Deux droites qui ne forment pas d'angle (c'est-à-dire qui ne se rencontrent pas), ont même direction. F ( 98 ) 4° Dérivée. — Les droites qui ont même direction ne forment pas d'angle (ne se rencontrent pas). On voit immédiatement que la proposition 4° est la dérivée de la proposition 1°, el par conséquent, prise comme définition, elle est légitime au mème ütre et au même degré que celle-ci. Le postulatum d'Euclide peut se mettre à volonté sous la forme 2° — c'est celle que nous avons choisie — ou sous la forme 5°. Nulle part, que je sache, il n'est présenté de cette dernière façon, mais il l’est sous une forme équivalente : Par un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite (une parallèle, e’est-à-dire une droite qui ne rencontre pas l’autre). C'est parce que pareille transformation me parait inévitable que je préfère la formule 2. Au fond, cette formule est iden- tique avec la proposition même d'Euclide, car les droites non parallèles sont des droites qui font avec une même sécante et du même côlé de celle-ci deux angles dont la somme diffère de deux droits. On pourra s'élonner que nous ne voyions pas dans le postu- latum une conséquence du théorème sur la somme des angles du triangle. C’est pourtant là une opinion assez générale. C'était celle de Legendre. Cet ingénieux géomètre, en effet, démontre à laide d'un procès à l'infini que si, par supposition, on pouvait par un même point tirer deux parallèles à une même droite, il serait toujours possible de mener entre elles une droite passant par ce point et rencontrant la droite donnée. Critiquant autrefois cette démonstration, je disais que, même en l’admettant comme irréprochable, elle ne résout pas la diffi- culté dans son essence. Elle établit, si l’on veut, que toute droite qui fait un angle fini avec la vraie parallèle rencontre la droite donnée ; mais il faudrait prouver que cette parallèle ne peut pas osciller si peu que ce soil autour de sa position sans rencontrer cette dernière droite d’un côté ou de l’autre !, ou encore — 7 Voir Prolégomènes, pp. 216 et suiv. A ce propos, p. 218, je dis que la démonstration de Legendre tombe « sous le coup de la critique que j'ai dirigée contre les incommensurables » ; que Legendre ct son contradicteur (99) cest ce que demandait M. Folie — qu'une droite tracée dans un angle et suffisamment prolongée, rencontre nécessairement au moins l’un des côtés !. En d’autres termes, il n’a pas été démontré qu'étant donnés trois angles dont la somme fait deux droits, on puisse toujours former un triangle qui les renferme (ef. 129", observation). Je disais aussi 2: « Le postulatum d’Euclide a une significa- tion bien plus haute que celle qu’on lui attribue généralement. pourraient se poursuivre éternellement s’ils divisaient indéfiniment, l’un, l'angle que fait la fausse parallèle avec la vraie, l’autre, l’angle que fait la vraie parallèle avec la sécante qu’il construit entre elles deux. Je saisis cette occasion pour revenir sur ma note de la page 33; je m'y accuse d’ignorance : je ne croyais pas dire si juste. Quelque temps après qu’elle avait été imprimée, M. Louis Couturat, le 12 juin, présentait à la Faculté des lettres de Paris, comme thèse pour le doctorat, un mémoire des plus remarquables au point de vue philosophique et, autant que je puis en juger, des plus savants, sur l’/nfini mathématique. Je n’ai pas encore eu le temps, cela se concoit, de lire ce gros volume de près de 700 pages. Mais si, lors de l’impression de ma note, j'en avais lu seulement le premier livre, où il est traité précisément du même sujet, je ne l’aurais certes pas publiée. Ce n’est pas que je sois prêt à abandonner toutes les idées que j'y déve- loppe, ni à déclarer toutes les difficultés levées, mais la science de M. Cou- turat a ébranlé mes convictions, et en tout cas m’a démontré, clair comme le jour, que la question des incommensurables avait, depuis l’époque où elle attirait mon attention, été travaillée et fouillée profondément par des penseurs dont j’ignorais les travaux. 4 Il a paru à Leipzig (Teubner, 1895) une histoire par Paul Haeckel de la Théorie des parallèles depuis Euclidèé jusqu’à Gauss. Rendant compte de cet ouvrage dans la Revue des questions scientifiques (2e série, 1895, t. VII, pp. 605-613), M. Paul Mansion, professeur à l’Université de Gand, signala l’omis- sion par cet auteur des travaux de Legendre, « qui, dit-il, ont contribué beau- coup plus que ceux de Wallis aux progrès de la théorie des parallèles et sont plus originaux qu’ils ne le paraissent au premier abord ». J’ai analysé ces tra- vaux dans mes Prolégomènes ; maïs je ne sais comment il s’est fait que je n’ai pas relevé ce passage de la note II de la douzième édition, rappelé par M. Man- sion, qu’ « il fallait déduire de la définition de la ligne droite une propriété. . qui exclüt toute ressemblance avec la figure d’une hyperbole comprise entre ses asymptotes ». C’est cette propriété que postulait le lemme de M. Folie (v p. 6). ? Voir Prolégomènes, pp. 202 et suiv. ( 100 ) Pour devenir négative, de positive qu'elle était, une quantité qui varie d'une manière continue doit passer par zéro ou par l’infini; dans les deux hypothèses, la position intermédiaire est unique; et la seconde implique toujours le postulatum d'Euclide. Nous nous expliquons. « Soient MN et AC (fig. 40) deux droites perpendiculaires, et convenons de regarder comme positives les quantités comptées sur MN à droite du point C, et comme négatives les quantités comptées à gauche du même point. Une droite qui tourne autour du point À de droite à gauche, coupe la droite MN en des points tels que B, de plus en plus éloignés du point C, c'est- à-dire en des points à une distance CB positive de plus en plus grande ; cette distance devient infinie quand la droite a pris la position QP, parallèle à MN. Elle passe immédiatement au néga- tif par la continuation du mouvement qui amène la droite en AD. Quand elle a pris la position AC, l’abscisse est nulle, pour rede- venir ensuite positive. Or, les positions AC et QP sont uniques ; il est plus facile de le démontrer pour le cas de la perpendicu- larité (101, corol. 4) !; mais le cas du parallélisme est rétif. » Si l'on reprend la formule que nous avons donnée du postulat, — deux droites non parallèles suffisamment prolongées se ren- contrent, — on voit que la démonstration n’est valable que si l'on assigne le point de rencontre. C'est ce que nous allons faire, et cela très simplement. 1 J'ajoute en note ceci: « Et pourtant encore la proposition que d'un point extérieur on ne peut abaisser qu'une perpendiculaire à une droite, n’est pas, jusqu’à présent, démontrée d'une manière bien simple et sans une duplication de la figure. » Il y a en effet un postulat de la perpendicularité comme un postulat du parallélisme. Maïs celui-ci frappe davantage parce que, à première vue, on ne voit pas comment on passe brusquement de l'infini positif à l'infini négatif. (Voir note 4, p. 54.) ( 101 ) #41. Théor. — Deux droites non parallèles, c'est-à-dire deux droites qui font avec une même sécante et du même côté de celle-ci deux angles internes dont la somme est inférieure à deux droits, font avec toute autre sécante deux angles internes dont la somme est la même et par conséquent infé- -rieure à deux droits. , Dém. — Soient (fig. 41) AX et BY deux droites faisant avec la sécante AB et au- dessus de celle-ci deux angles XAB, YBA Fig. 4. tels que : XAB + YBA <2dr. . . . (1) X dE | | Prenons sur l’une et sur l’autre de ces droites deux points C etD, et relions-les par une sécante. Je dis que l’on aura l'égalité XCD + YDC— XAB + YBA . . . . . (2) En effet, joignons C et B par une droite; nous aurons (132) : XCHEEXAB A CBA A Miel ts) D'autre part : BC VAE GBA Vu) (4) Additionnons (5) et (4); il vient : XCB EE YBCE= XAB + VBA #18) Or, CD est par rapport à CB ce que CB est par rapport à BA ; l'on démontrerait de même que XCD + YDC— XCB + YBC . . . . . (6) De la comparaison de (5) et (6), on tire l'égalité (2), et de la comparaison de (1) et (2), l'inégalité XCD + YDC < 2 dr. C. Q.F. D. 442. Théor. — Si, dans la figure formée de deux droites non parallèles, c'est-à-dire faisant avec une même sécante et du même côté de celle-ci deux angles dont la somme est inférieure à deux droits, on mène par un point de l’une une droite faisant avec elle un angle égal à l'excès de deux droits sur cette somme, cette droite sera parallèle à l’autre, et elle coupera la sécante dans sa partie interceptée. (102) Dém. — Soient (fig. 42), comme précédemment, deux droites AX et BY faisant avec une sécante arbitraire AB deux angles : = internes dont la somme est inférieure à deux droits. Prenons un point C quelconque sur la droite AX et menons par ce point la droite CZ faisant avec AX un angle ZCX — 2 droits ‘— (XAB + YBA); je dis que cette droite CZ prendra la position indiquée dans la figure. En effet, la somme des angles XCD et YDC faits avec une autre sécante quelconque CD passant par C, est aussi inférieure à deux droits (141), et par consé- quent la droite CZ tombera à gauche et son prolongement à droite de AX. De plus, elle sera paralléle à Y, car la somme des angles internes du même côté de CD sera égale à deux droits. Enfin, elle coupera la sécante AB, car elle doit sortir de la figure fermée ABDC (80) et elle n’en peut sortir en coupant la droite DB, puisqu’elle lui est parallèle ; elle coupera done AB en un point tel que E appartenant à la partie interceptée. C. Q. F. D Fig. 42. 443. Théor. — Deux droites non parallèles, si on les prolonge - suffisamment, finissent par se rencontrer, et elles se rencontrent du côté où la somme des angles internes qu'elles font avec une même sécante arbitraire est inférieure à deux droits. Dém. — Soient (fig. 45) AX et BY deux droites non paral- R lèles et faisant avec une même sécante À arbitraire AB deux angles internes XAB, YBA dont la somme est inférieure à deux droits. Je dis que, suffisamment prolongées, elles se rencontreront en un point R, situé au-dessus de AB. En effet, d’un point quelconque C pris sur l'une des droites, soit la droite AX, menons une parallèle CE à l’autre droite BY; cette parallèle coupera la sécante AB quelque part en un point E de la partie interceptée (142). On aura ainsi un triangle ACE. Majorons ce triangle du point A Fig. 43. (105 ) comme centre de majoration (138); la droite CE va se mou- voir parallèlement à elle-même, le point E se déplaçant sur AB, le point C sur AX. Quand E coïncidera avec B, la droite CE coïncidera avec la droite BY, et le point C sera à la fois sur AX et sur CY, et sera devenu le point de rencontre R de ces deux droites. Ce point R est sitié sur AX à une distance telle que l’on a : AR : AC — AB: AE. Scolie. — Le triangle ABR est semblable au triangle AEC. Cor. 1. — Deux droites qui ne se rencontrent pas, sont paral- ièles. Cor. 2. — Toute droite qui en coupe une autre, coupe toutes les parallèles à cette autre. Cor. 5. — Toute droite qui fait un angle déterminé avec une autre droite, fait le même angle avec toutes les parallèles à cette droite Cor. 4. — ‘Toute perpendiculaire à une droite est perpendicu- laire à toutes les parallèles à cette droite, et toutes les perpendi- culaires à une même droite sont parallèles entre elles. Scolie. — Ces propositions, qui ont l'air d’être établies un peu laborieusement, découlent directement de la définition de la direction et des parallèles, et il suffirait de les énoncer. #44. Théor. — Par un point pris hors d’une droite, on peut abaisser une perpendiculaire à cette droite et l'on ne peut en abaisser qu'une. Dém.— En effet, si d’un point O (fig. 44) on pouvait abaisser sur la droite X deux perpendiculaires OA et OB, on formerait un triangle ayant deux angles droits. Ou encore, si par O on pouvait mener une parallèle Y à X, on aurait au point O, con- trairement à une proposition antérieure, deux perpendiculaires à Y (101, cor. 3). ( 104 ) CHAPITRE IX. — LA MESURE DES LONGUEURS OU LES DISTANCES. Nous allons entrer dans un nouveau domaine de la géomé- trie, la mesure des grandeurs. Nous nous. bornerons naturellement à la mesure des lon- gueurs, c'est-à-dire des lignes. On sait que la mesure des sur- faces et des solides se ramène à celle de certaines lignes. Toute mesure suppose une unité définie de mesure. Par cela même toute grandeur mesurée ou bien à mesurer, en d'autres termes tout quantum, est censée composée d'unités ou de frac- tions d'unité; par conséquent, elle est censée isogène, c'est-à-dire . indéfiniment décomposable en parties égales. Donc l'unité elle- même, qui en est une portion, est une grandeur isogène. Dans le fait, il en est ainsi. Portions de droite ou arcs de cir- conférence, angles plans ou dièdres, carrés, cubes ou fuseaux sphériques sont des unités isogènes. Mais l'unité simplement isogène ne peut servir à mesurer que le quantum où elle est prise. Par exemple, un are de circon- férence ne peut mesurer que des ares de la circonférence à laquelle il appartient; cette espèce d'unité change de forme avec le rayon : un arc de deux degrés ne ressemble pas à un arc d’un degré pris sur une circonférence de rayon double. Seule, l'unité homogène — laquelle, comme on sait, est également iso- gène (44) — reste inaltérée dans sa forme, qu'on la multiplie ou qu'on la majore. Elle est donc toujours prête. De là vient que l'unité universelle pour la mesure des lon- gueurs est une portion de ligne droitc; celle des surfaces, une portion de plan; de mème que, forcément, l'unité de volume est une portion d'espace. De là vient aussi que mesurer une courbe au moyen d'une portion de droite, c'est la rectifier, et que mesurer une surface courbe au moyen d’une portion de plan, c'est la planifier !. 4 Voir comment nous exposons celte question dans les Prolégomèénes (pp. 262 et suiv.) (105 ) Jusqu'à présent nous n'avons pas eu à invoquer la proprièté de la ligne droite de mesurer la plus courte distance entre les points qui la terminent (cf. 70). A aller au fond des choses, ce n’est pas la notion de droite, mais celle de distance qui fera les frais des théorèmes qui vont suivre. Or, pour tout le monde, la distance entre deux lieux est le plus court chemin qui mène de l’un à l’autre. Ainsi chacun ratifiera sans hésitation une assertion comme celle-ci, que depuis le percement du Gothard la distance entre Lucerne et Milan est raccourcie. Sur notre globe, les distances les plus courtes, même les distances que l’on dit à vol d’oiseau, sont fatalement des ares de grand cercle. La nature d’ailleurs ne connaît pas de ligne droite. Ni l'aéro- lithe, ni la foudre, ni le son, ni la lumière, n’en décrivent. Ils suivent cependant le plus court chemin; mais ce chemin est la ligne de moindre résistance, ce n’est pas la ligne droite. Celle-ci n'a qu'une existence idéale dans et par la conception de l’espace géométrique, de l’espace homogène; c’est en lui seul qu'elle mesure les distances !. Aussi, quand on parle géométrie, les notions de droite et de distance tendent à se confondre et à se fondre; et la droite nous apparait comme seule propre à nous donner la mesure de la distance absolue des points de l’espace. De là vient que de tout temps on a été porté à la définir comme la ligne minimum, ou sinon, à lui accorder ce caractère soit par un axiome ou un postulat, soit par un théorème. J'ai critiqué ailleurs ? et la définition et l’axiome ou postulat. Pour moi, la proposition que la ligne droite est le plus court chemin a toujours été bel et bien un théorème à démontrer. Mais il s’en faut que les démonstrations que nous en avons soient satisfaisantes. 4 Ceux qui prendront la peine de lire mes Proléyomènes (pp. 225 et suiv.) verront que j'ai changé quelque peu d’avis, et que je suis moins disposé aujourd’hui à combattre Leibnitz qu'à adopter sa manière de voir. 2? Prolégomènes, pp. 182 et suiv. (106) N'en prenons qu'une, celle qu’on trouve dans Roucaé-ComBe- ROUSSE et imitée d'Eucune (1, 18-21), et voyons par quelle longue série de déductions passent ces auteurs pour arriver à établir, non pas que la ligne droite est la plus courte de toutes les lignes dans l'espace, mais uniquement qu'elle est plus courte que toute ligne brisée plane ayant les mêmes extrémités — proposition bien trop restreinte et qu’ils ne songent pas à étendre par la suite. Je reproduis la démonstration à partir de la proposition 34. « Théor. 34. — Si un triangle a deux côtés inégaux, l'angle opposé au plus grand de ces deux côtés est plus grand que l'angle opposé à l'autre. » Soit (ig. 45) le triangle ABC, dans lequel on a AC AB; il faut démontrer que l'angle ABC est plus grand que l'angle ACB. Prenons AD — AB, et menons la droite BDK; le triangle ABD étant isocêle, l'angle ABD est égal à l'angle ADB ou à son opposé par le sommet KDC ; l'angle KDC est donc moindre que ABC. » Joignons le point B au milieu I de DC, prolongeons BI d'une longueur IE égale à BI et tirons la droite DE; les triangles DIE, BIC ont un angle égal DIE — BIC compris entre deux côtés égaux DI — IC; EI — IB; ils sont done égaux et l'angle EDI est égal à l'angle ICB ; mais d'après la construction, le point £ est situé dans l’angle KDC; donc l'angle KDC est plus grand que EDI ou que son égal ACB. » Donc enfin, l'angle KDC étant supérieur à ACB et inférieur à ABC, il faut que l'angle ACB soit moindre que l'angle ABC. » Voilà sans doute — et au début de la géométrie — une démonstration bien laborieuse et bien artificielle. Elle nous fait adinirer la sagacité ingénieuse du géomètre, mais elle ne se grave pas facilement dans la mémoire. Elle exige trois lignes droites auxiliaires; elle s'appuie sur une propriété du triangle (107 ) isocèle démontrée tellement quellement (voir 127, observation), et sur un cas d'égalité des triangles; elle introduit enfin d'une manière détournée une parallèle DE, qui, tracée franchement si on l'avait pu, raccourcissait le raisonnement de plus de moitié. Il n'y a pas une des propositions intermédiaires, par exemple que le point E est situé dans l’angle KDC, qui, au premier abord, n'apparaisse comme plus douteuse que celle à laquelle on veut aboutir, à savoir que la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre; car à quel signe reconnait-on qu’un point est situé dans un angle? Et pourtant ce n’est pas tout. Il faut encore passer par la réci- proque (prop. 35); puis par le théorème 56 et son corollaire 37, que « dans un triangle un côté est plus petit que la somme des deux autres, et plus grand que leur différence », proposition en elle-même moins évidente encore que celle que l’on a en vue, à savoir que la ligne droite est plus courte qu'une ligne brisée ayant les mêmes extrémités. En effet la plus simple des lignes brisées est formée par les deux côtés d'un triangle. N'est-ce pas le cas de rappeler ce principe que toute démonstration compli- quée d'une proposition simple est mauvaise? Certes, il faut parfois s'y résigner, mais toujours avec l'arrière-pensée de la remplacer, quand on le pourra, par une plus simple. Conclusion : l'ordre rationnel des propositions est : 1° la ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre; 2° un côté d'un triangle est plus court que la somme des deux autres; 3° en corollaire, la ligne droite est plus courte qu'une ligne bri- sée quelconque ayant les mêmes extrémités; 4° dans un triangle, un plus grand angle est opposé à un plus grand côté. C’est précisément ce que nous allons faire. Une remarque encore. La proposition 1° a besoin d'être complétée par le scolie, — pour nous servir du langage d'autrefois, — que toute ligne courbe peut être considérée comme une ligne brisée à côtés infiniment petits. Nous nous bornons à le rappeler. Ce scolie peut venir après le 5°, ou même plus tard encore. Il suffit alors de le mettre en rapport avec la proposition 1°. ( 108 ) Lemme. — Entre deux points d'un plan, on peut tracer plu- sieurs chemins de différentes longueurs. Soit une droite AB (fig. 46) entre deux points A et B d’un plan; on peut sur cette droite construire un triangle équilatéral ABC, en inclinant sur AB, aux points À et B, en sens contraires, deux angles de + de droit. Le chemin ACB a deux fois la longueur du chemin AB. On peut allonger ce chemin par le même procédé en construisant sur AC un nouveau triangle équilatéral, et ainsi de suite. On peut aussi le raccourcir. Soient M et N les deux points milieux de AC et de BC; le triangle MNC est équilatéral, et par conséquent, le chemin AMNB est plus court que ACB et plus long que AB, de tout le chemin MC — ; AC. De même, si S et T sont les milieux de AM et de BN, le chemin ASTB est plus court que le chemin AMNB, et plus long que le chemin AB du chemin AS — : AM — : AC, et ainsi de suite. La question se présente donc de savoir si entre deux points d'un plan il y a un plus court chemin et comment il est. Fig. 46. 445. Théor. — De toutes les lignes qui peuvent relier deux points d’un plan, la ligne de moindre longueur (autrement la plus courte) est la portion de droite tracée entre ces deux points. Dém. — Soit (fig. 47) la ligne AMNB la plus courte entre À M N B Fig. 41. A et B. Une portion quelconque MN de cette ligne est nécessai- rement aussi la plus courte des lignes menées entre M et N. Or, vu que le plan ! est une surface homogène, la portion MN ne peut différer de AB qu'en longueur, elle lui est donc semblable. Cette portion ayant été choisie quelconque, la ligne AB est donc indéfiniment décomposable en portions semblables; c'est donc 1 On pourrait dire l’espace; le théorème est donc valable pour l’espace. on mi (109 ) une ligne homogène, c'est une droite; et comme entre deux points on ne peut mener qu'une ligne droite, la plus courte ligne est unique. Cor. — La ligne droite est telle que toute portion d'elle, quelle qu'elle soit, est la plus courte des lignes qu’on peut tirer entre les points qui limitent cette portion. Scolie. — Si l'on se reporte à la définition de la distance entre deux points (70), on voit que cette distance est exprimée par la portion de droite qui les relie et par conséquent mesurée par la plus courte des lignes qui peuvent les relier. De là la définition vulgaire, juste mais très imparfaite, de la ligne droite : le plus court chemin d’un point à un autre. 246. Théor. — Dans tout triangle, un côté quelconque est moins grand que la somme des deux autres et plus grand que leur différence. Dém.— En vertu du théorème précédent, le triangle ABC (fig. 48) nous donne : AB < AC + CB. Il donne de même l’iné- : galité : CB < AC + AB. Retranchons AC de part et d'autre de cette inégalité, il vient : AB > CB — AC. C.Q.F.D. Cor. 1. — Par conséquent, pour qu'on puisse construire un triangle avec trois côtés donnés (130°"), il faut que chacun d'eux soit Fig. 48. moins grand que la somme des deux autres et plus grand que leur différence (cf. 131, cor. 2). Cor. 2. — Un côté quelconque d’un polygone (fermé) est moins grand que la somme de tous les autres. Cor. 3. — On peut coucher sûr une même ligne droite bout à bout tous les côtés d’un polygone, et obtenir ainsi la longueur de son contour ou de ce qu'on nomme son périmètre. La ligne droite peut servir ainsi à mesurer toutes les lignes polygonales, et à les comparer entre elles. #47. Théor. — Si d'un point pris dans l'intérieur d’un triangle on mène des droites aux extrémités d’un même côté, (1140) la somme de ces droites est moindre que la somme des deux autres côtés. Dém. — Soit un triangle ABC (fig. 49) et O un point pris dans son intérieur; joignons AO et OB; c je dis que l’on a AO + OB < AC + CB. Fa Prolongeons par exemple AO jusqu’à sa ; VE NTID EN rencontre en D avec le côté CB. En vertu x Va) FAN du théorème précédent, nous aurons les Fig. 40. deux inégalités : AO + OD < AC + CD, OB < OD + DB. Ajoutons membre à membre : AO + OD + OB < AC + CD + OD + DB. Retranchons OD de part et d'autre, et observons que CD + DB = CB, il vient définitivement : AO + OB < AC + CB. C.Q.F.D. Corollaire sur les polygones convexes enveloppants et enve- loppés {. 448. Théor. — Dans un triangle, à un angle plus grand est opposé un plus grand côté, et réciproquement, à un angle moins grand un moins grand côté. Déim. — Soit le triangle ABC (fig. 50) où par supposition l'angle B est plus grand que l'angle A. Je dis que le côté AC sera plus grand que le côté CB. Menons BD de manière à faire l'angle DBA —l’an- gle A. Le triangle ADB sera isocèle et nous aurons AD — DB. Or, dans le triangle DBC, on a : CB < CD + DB ; par conséquent : CB < CD + DA, et enfin : Fig. 50. CB AAC C. QD? C 1 Je crois pouvoir à partir d'ici abréger les démonstrations qu'on trouve partout. ? DB est bien une ligne auxiliaire; mais elle s'impose pour mettre en évidence la supposition que l’angle B est plus grand que l’angle A. (411) #49. Théor. — Inversement, dans tout triangle, au plus grand côté est opposé le plus grand angle. Dém. par l'absurde. — Car si au plus grand côté était opposé un angle À égal à B ou moins grand que B, on aurait B — ou < A ; ce qui est contraire à l'hypothèse. 150. Théor. — De toutes les lignes que l’on peut mener d’un point à une droite, la plus courte est la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite. Dém. — Soit X une droite (fig. 51), O un point d’où l’on a abaissé OA perpendiculaire et OB oblique à la droite; OA est moins grand que OB, en tant quopposé à l'angle OBA, moins grand que l'angle OAX, qui est droit (131, cor. 2), Scolie et déf. — La longueur de la perpen- diculaire abaissée d’un point sur une droite est prise pour mesure de la distance de ce point à la droite. (a) X (ë Fig. 51. 4514. Théor. — De deux obliques menées d’un même point à une droite, la plus courte est celle dont le pied est le plus rapproché de la perpendiculaire. Dém. — L’angle OBC obtus (même fig.) est plus grand que l'angle OCB aigu, et par conséquent, dans le triangle OBC, le côté OB est moins grand que le côté OC. 452. Théor. — Les portions de parallèles comprises entre parallèles sont égales. Dém. — Soient (fig. 52) deux parallèles X et Y; et soient MN et PQ deux portions de parallèles com- prises entre elles; je dis que ces deux portions sont égales. En effet, tirons MQ; les deux triangles ainsi formés MNQ et MPQ sont égaux comme ayant un côté égal MQ adjacent à des angles égaux chacun à chacun, à savoir PMQ = MQN et MQP = NMQ, qui sont alternes internes ; donc MN — PQ. Les V Fig. 52. (112) De même MP — NQ, comme portions de parallèles comprises entre les parallèles U et V. C. Q.F. D. Cor. 1. — Les perpendiculaires abaissées d'un point quel- conque d'une parallèle sur l’autre parallèle sont égales — puis- que ces perpendiculaires sont parallèles (143, cor. 5). Cor. 2. — Deux parallèles sont partout équidistantes. 153. Def. — On nomme distance de deux parallèles la por- tion de perpendiculaire commune interccptée entre elles. 4154. Théor. — Une ligne équidistante d'une droite est une droite parallèle à celle-ci. Dém. — Soit X (fig. 53) une droite et NOR une ligne équi- distante de cette droite. Je dis que cette ligne est une droite qui lui est parallèle. En effet, soit MN la distance, et par le point N pe M | N Fig. 53. menons la droite Ÿ parallèle à X. Un point quelconque Q de cette droite sera à la même distance de X, c'est-à-dire qu'on aura QP — NM, et par conséquent il appartiendra aussi à la ligne équidistante ; celle-ei est done une droite. C.Q.F. D. 453. Théor. — Si dans un triangle isocèle, on tire une droite du sommet au milieu de la base, cette droite divise le triangle en deux triangles symétriques, divise l'angle du sommet en deux angles égaux et est perpendiculaire à la base. Dém. — Soit BAC (fig 54) un triangle isocèle où AB — AC. Soit D le milieu de la base. Tirons AD. Les deux triangles ADB et ADC sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun. Par conséquent les deux angles BAD et CAD Fig. 54. (115) sont égaux comme opposés aux côtés égaux BD et DC. Il en est de mème des angles adjacents en D; ceux-ci sont donc droits. C. Q. F. D. 1456. Théor. — Inversement, la perpendiculaire abaïissée du sommet d’un triangle isocèle sur la base la divise en deux parties égales. Dém. par l'absurde. — Sinon, en joignant le sommet au milieu de la base, on aurait d'un même point A deux perpendi- culaires abaissées sur BC. Cor. 1. — Si d'un même point d'une perpendiculaire à une droite, on mène de part et d'autre deux obliques faisant le mème angle avec celle-ci, ces deux obliques sont égales. Cor. 2. — Si de deux points également éloignés de part et d'autre du pied d’une perpendiculaire, on mène des droites à un point de celle-ci, elles délimitent un triangle isocèle et sont égales. Cor. 5. — Dans un triangle isocèle, un des côtés égaux est plus grand que la moitié de la base, puisque l'on a BC < AB + AC, d'où 2BD < 24B; d'où BD < AB. Scolie. — De ce corollaire on peut tirer en corollaire une proposition déjà vue, que toute perpendiculaire abaissée d’un point sur une droite est plus courte que toute oblique partant du même point. 457. Déf. — On nomme triangle rectangle un triangle dont un des angles est droit. Le côté opposé à l'angle droit se nomme hypolénuse. Scolie. — Ün triangle rectangle peut être isocèle, mais il ne peut être équilatéral. 138. Cor. 1. — Deux triangles rectangles sont égaux, quand ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal, car alors ils ont aussi le troisième angle égal. Cor. 2. — Deux triangles rectangles sont semblables quand ils ont un angle aigu égal. (114) 459. Cor. 3. — Deux triangles rectangles sont égaux quand ils ont un côté de l’angle droit égal et un angle aigu égal, car alors ce côté est compris entre angles égaux chacun à chacun. 160. Zhéor. — Deux triangles rectangles sont égaux quand ils ont l'hypoténuse égale et un autre côté égal. Dém. — Soient (fig. 55) deux 7 triangles rectangles ABC et A'B'C' ” où l'on a les côtés AC — A'C, 1 Et les hypoténuses BC = B'C’. Plaçcons A’C' sur AC; les an- gles en A étant égaux comme droits, A'B' prendra la direction AB. Quant à l'hypoténuse C'B', elle prendra la direction CB; car si elle tombait en GB’ ou CB”, elle serait plus courte ou plus longue que CB (151), ce qui est contraire à l'hypothèse. Scolie. — Tout triangle non rectangle peut se décomposer de urois façons en deux triangles rectangles. cc! Fig. 55. CONCLUSION ET RÉSUMÉ. Je termine ici la tàche que j'ai entreprise. Je la résume en quelques mots. Dans les trois études publiées par la Revue philosophique (1893 et 1894), j'ai cherché d’abord à établir que l’espace géométrique ne pouvait avoir d'existence réelle; que l'homogénéité qui le caractérise, C'est-à-dire la propriété de recevoir des figures sem- blables, était incompatible avec la réalité; que sinon, l'univers ni aucune de ses parties n'auraient de grandeur absolue; il ne comporterait que des rapports de longueurs et des angles, et ces rapports, ces angles devraient seuls rendre compte de tous les phénomènes, phénomènes physiques, chimiques, biologiques, intellectuels. Que seraient la science, la vérité, l'erreur, le devoir, la vertu, le vice dans une pareille conception? La résultante d'un concours de cubes et de tétraèdres. APN ES (115) J'ai fait voir ensuite que les géomêtres qui ont voulu dépouiller l'espace géométrique de son caractère homogène, en lui sub- stituant l'isogénéité, n’ont pas renversé la géométrie euclidienne, mais en ont tiré des conséquences généralisées ensuite au moyen d'un artifice de langage. Dans les espaces méteuclidiens, la forme des figures dépend de leurs dimensions, et les nouveaux géomè- tres n'ont fait qu'étendre aux espaces qu'ils ont conçus, les pro- priétés de certaines surfaces euclidiennes, la sphère et la pseudo- sphère. De cette facon, leurs géométries ne sont n1 plus vraies ni plus fausses que la géométrie traditionnelle; elles trouvent dans cette dernière leur garantie, et au fond, c'est elle qui leur sert de fondement. Enfin, j'ai montré comment avait pu germer dans la tête des géomètres la conception de géométries autres que celle d'Euclide. C’est que celle-ci s'appuie sur des postulats, postulats de la droite, du plan, des parallèles, ce dernier célèbre surtout par la stérilité des efforts faits pendant plus de deux mille ans pour le démontrer. Ils ont alors imaginé de se passer de ce pos- tulat, et de créer des espaces où il n’y a pas de parallèles, et, par la même occasion, où il n'y a pas de plans, pas de droites. Ils conservent bien les noms de ces choses, mais en les détournant du sens qu'on leur donne d'habitude. Ils ont pensé que par là ils fondaient une science exempte de reproche, et qu'en même temps ils dissuadaient à tout jamais les chercheurs de poursuivre la solution des postulats. En quoi ils se sont trompés. Certes, dans leurs géométries, il n'est plus question du postulatum d'Euclide sur les parallèles, puisqu'elles écartent les vraies paral- lèles auxquelles il s'applique ; seulement, quant aux postulats de la droite et du plan, moins célèbres sans doute, mais tout aussi importants, elles les adoptent clandestinement — sous d’autres habits — voilà tout. Ces études appelaient un complément naturel et nécessaire. Les métagéomètres ont avancé qu'il y avait trois géométries possibles : les géométries aparallèle, polyparallèle, monoparallèle ou encore les géométries où les trois angles d’un triangle font plus que deux droits, moins que deux droits, exactement deux (116) droits ; ils les mettent toutes trois sur le même pied, vu que, disent-ils, elles postulent chacune des propositions du même ordre et équivalentes; le postulatum d'Euclide n'a done en soi rien de plus rationnel, de plus évident, de plus a priori que les postulats contraires. Cette assertion ne pouvait être réfutée victo- rieusement que d’une seule manière. Il fallait faire voir que le postulat d'Euclide était démontrable, et mieux encore, qu il était une de ces propositions qui, en soi, n’a pas un caractère spé- cial, la différenciant des théorèmes du même ordre. C'est ce qui a été fait. Le présent travail a eu pour butet pour résultat de réédifier sur une base rationnelle — ou, si l’on aime mieux, plus rationnelle — la géométrie d'Euclide. Cette base rationnelle, c’est la proposition fondamentale qui postule le carac- tère hypothétique de l’espace géométrique, l'homogénéité; c'est l'affirmation que, dans cet espace, la forme des figures est inde- pendante de leur grandeur. L'espace ainsi défini, privé d'une dimension, devient le: plan; privé de deux, la droite. La plus simple des figures que comporte la droite est la portion de droite et, par conséquent, toutes les portions de droites sont semblables — première proposition sur la similitude. Le plan admet des figures planes et, par conséquent, des figures reeti- lignes semblables, d’où il est facile de passer ensuite aux figures curvilignes. En dernier lieu, de même que la géométrie de la droite conduit à la géométrie du plan, de même celle-ci conduit à la géométrie spatiale. La géométrie euclidienne ainsi atfermie, les gÉomAE, méteu- clidiennes ne sont pas ébranlées, au contraire. Il n’y a que cer- taines de leurs prétentions qui sont rabattues. PAT PE TABLE DES MATIÈRES. AVANT-PROPOS . NOTIONS Ll'ONDAMENTALES. Cuavirre |. — [cs définitions générales Caarirre |. — Les hypothèses ou postulats de la géométrie . CaapirRe III. — Les axiomes : Axiomes logiques Axiomes arithmétiques. Axiomes algébriques LA GÉOMÉTRIE DE LA RÈGLE ET DU RARBOT. OBSERVATIONS PRÉLIMINAIRES. Cuapire IV. — La droite et les figures rectilinéaires CaapiTRe V. — Le plan ct la droite dans le plan. CnapiTKe V}, — Les digones CHAPITRE INTERCALAIRE. — Théorie de la symétrie des figures planes; théorèmes sur l'intersection des plans . CHaPitTRe VII. — Les trigones CaapiTRE VIII. — Le postulatum d’Euclide. CnapiTRe ÎX. — La mesure des longueurs ou les distances ConcLusion ET RÉSUMÉ . Pages. QUELQUES PROPRIETES DU TRIANGLE PAR M. L. COLLETTE PROFESSEUR AGRÉGÉ DE L'ENSEIGNEMENT MOYEN QUELQUES PROPRIÉTÉS DU TRIANGLE ABC étant le triangle fondamental, soient : O le centre du cercle circonserit; O,, O, O; les points où les rayons OA, OB, OC coupent les côtés opposés ; M,, M,, M; les milieux des côtés; Fig. 1, P,, P:, P; les symétriques de O,, O,, O; par rapport à M,, M,,M;; H,, H, H;, H les pieds des hauteurs et l’orthocentre ; A,B,C, le triangle formé par les tangentes menées en À, B, C au cercle O (*). (‘) Les figures ne contiennent pas tous les points ni toutes les lignes dont il est question dans le texte. (3 I. Les perpendiculaires élevées en B, C sur la base BC ren- contrent en D, E la tangente B,C, ; joignons O, à D et E. Le triangle O,DE est inversement semblable à ABC, et les côtés O,D, OLE sont parallèles à AC, AB. En effet, les quadri- latères inscriptibles ADBO,, AECO, donnent : angle ODA = CBA = CAE, angle O,EA — BCA — BAD. La circonférence circonscrite au triangle O,DE touche BC ; car angle DO,B — ACB — DEO.. AH,, AO, sont des lignes homologues, et l’angle H,AO, — B — C; par suite le rapport de similitude des triangles ABC, O,DE est égal à cos (B — C). Le point d'intersection L, des droites BC, DE divisant les côtés homologues BC, DE dans le même rapport, L, est le point double, et les droites doubles sont les bissectrices de l’angle BL,D et de son supplémentaire adjacent; ces droites sont perpendiculaires aux bissectrices de l’angle BAC et de son supplémentaire adjacent. Soit H, l'orthocentre de O,DE; comme AH = 20M, — 200, cos(B — C), on a H,0, — 200,. Donc, l’orthocentre de O,DE est le symé- trique de O, par rapport à O, et la droite H,P, est perpendi- culaire à BC. II. On sait que les droites AP,, BP;, CP; concourent en un point P qui est le conjugué isotomique de ©. Soit S, l'intersection des droites BE, CD : {es droites AS,, AP, sont isogonales par rapport à l’angle BAC. En effet, si l’on mène DQ perpendiculaire à AC, on trouve facilement Ë c sin C BD — 0,D sin C = ————. cos (B — C) DQ AD sin BE ccos B Bb = IRD ù cos(B—C) (529) par suite, l'équation de CD en coordonnées normales est x DB sin C & DQ sinBcos B’ par analogie, celle de BE est æ sin B 7 sin C cos G En divisant ces équations membre à membre, on trouve celle de AS, : 6 __ sin°B cos B y T sin°C cos C. Or celle de AP, est B sinGcosC 2 ” sin°B cos B° il en résulte que les droites AS,, AP, sont isogonales et que la droite AS, et les droites analogues BS,, CS; concourent en un point $ ayant pour coordonnées normales sin À cos A, sin°BcosB, sin?C cos C. III. Si les parallèles menées par P, à AB, AC coupent en F,J les perpendiculaires élevées en B, C sur BC, le triangle P,JF est inversement semblable à ABC; la circonférence circonscrite touche BC, et l’orthocentre est situé sur la perpendiculaire élevée en O, sur BC. En effet, les triangles P,FJ, O,ED sont symétriques par rapport à M. Remarquons aussi que FJ passe par A,, le symétrique de A - par rapport à M,, et touche le cercle circonscrit au triangle A,B:C>; que P,A, est la hauteur du triangle P,FJ et passe par H, centre du cercle A,B,C. Soient Q,, R, les points de rencontre de AB, AC avec FJ; les triangles AR,Q,, CR, A, sont inversement semblables à ABC. On en déduit CRC: © CR, c« AR? TON CRE SE Abe AG HONDA TAN oO; (6) Par conséquent, Q,C passe par un point de Brocard du triangle AQUR, ; par analogie, R,B passe par l’autre point de Brocard. Autrement dit, les angles AQ,C, AR,B sont égaux à l'angle de Brocard de ABC. IV. La droite FJ et les droites analogues sont situées sur les côtés du triangle A;:B;C; (fig. 2) formé par les tros menées au cercle A,B,C, en A:, Bo, Co. Fig. 2. Il est visible que les triangles homothétiques A,B,C,, A:B;C; ont pour point double le centre de gravité de ABC. (Ce) Les sommets A;, B;, C; sont situés sur les hauteurs de ABC; car la bissectrice C;H du triangle isocèle B,C;A est perpendi- culaire au milieu de la base B,A,. On peut aussi dire que H est le point double des triangles homothétiques A;B;C;, H,HH;. V. Soit V, le point d’intersection des droites Q,C, R,B, et soient U, U’ les points de rencontre de la droite AV, avec BC, Q,R:. Si, dans chacun des triangles AQ,R,, ABC, on considère les droites concourantes AV,, Q,C, R,B issues des sommets, on trouve DONC BECUR 0 Ur) LR c: Loc Il résulte de là que La droite AV, et les analogues BV, CV; concourent en un même point V qui est le conjugué isotomique du point de Lemoïine. Ce point, appelé par Casey troisième point de Brocard, est le centre d’homologie de ABC et du premier triangle de Brocard. VI. Soient Q,, R, les points de rencontre de C;A; avec BC, BA, et O;, R; ceux de A;,B; avec CA, CB. L’hexagone Q,R,QR OR; pou de propriétés remarquables : L' expression + — trouvée ci-dessus pour la longueur CR, permet d'écrire, par alone, On en conclut que les triangles AQ;R,, R;:BQ,, Q,CR, sont inversement semblables à ABC. Par suite, les droites Q,R,, QiR;, @R, sont antiparallèles aux côtés BC, -CA, AB par rap- port aux angles BAC, CBA, ACB. De là ces propositions : 1° Les côtés opposés de l'hexagone Q,R,QR,Q;R; sont paral- lèles; 2° les diagonales Q:R;, Q\R;, QR, sont les bissectrices des angles; 5° la distance de deux côtés opposés est constante. (S2) Les côtés Q,R,, QR, Q:R: s'expriment par abc abc abc es NE CNT RS a° + D? les côtés R,Q;, R;:Q,, RQ par TT ab les diagonales QR;, Q:R;, QR par He (PE TAESUÈ ES Te TER AENE EN UER R AU ROUE PE PT AS Re EE." «L b Ce Les droites R;Q;, R;:Q;, RQ suffisamment prolongées forment un triangle A,B,C, homothétique à A;:B;G;. La figure A;R;4,Q étant un losange, H, est le milieu de A;A, et de R;:Q,; donc deux sommets homologues des triangles A;B;C;, A,B,C, sont symétriques par rapport au côté correspondant de ABC, et deux côtés homologues sont symétriques par rapport au côté homologue du triangle orthique. Il résulte de là que H est le centre d’homothétie de ces triangles et le centre commun des circonférences inscrites. Les triangles A,Q;R>, A,R,Q, sont homothétiques ; leur point double À est le centre commun de deux cercles exinscrits dont les rayons p,, p, se caleulent facilement comme étant les hauteurs des triangles AQ:R>, AQR, inversement semblables à ABC. On trouve ADN a Pa = ha == — — — «a sin À, AB be 2R A | (b2 QUE À Mn EE FH RCE RO Te. AC be 2R 1 TEA ENT 1 3 : PRES non ie A + bsin B + csin C. (9) Les autres triangles formés par trois côtés consécutifs de l'hexagone donnent lieu à des conclusions analogues. On peut remarquer les égalités Pa = Po + Po» PE = Le + Gas Pe = Pa + 06» Pa F Pa = 0 + PE —= Pe + Le = Pa Ÿ P5 es dont les dernières démontrent de nouveau que la distance de deux côtés opposés de l'hexagone Q,R,QR,0;R; est constante. Le rayon HA, du cercle inserit à A,B;C; est égal à 2R ; soit R' celui du cercle inscrit à A,B,C,. On a à GE se PP À R+2R=,, + p,—= ET 3: par suite, , +b+c Cal : el R mon où 2BIsin’A + sin°B + sin°C — 1] — R(1 — cos 2A — cos 2B — cos 2C) — 92R (1 + 2 cos À cos B cos C). Le rapport de similitude des triangles A,B,C,;, A;B;C; est donc égal à — = 1 + 2 cos À cos B cos C. 2R . . , ! Q Celui des triangles A,B,C,;, ABC: étant + et les points H, O étant des points homologues, le centre de similitude W est situé sur la droite HO, et on a de 2 +1 À B C — —=— —2 + 4 cos À cos B cos C. WO R On peut déterminer les coordonnées normales de W par rap- port à l’un des triangles A,B,C,, A,B,C, en observant qu'elles sont proportionnelles aux distances p,, p,, p, des côtés homo- logues, ou aux quantités sin? A, sin? B, sin? C, ou encore à A B C à à cos? , COS, COS? +, ou enfin à 1 + cos ÀA,, 1 + cos B,, (10 ) 1 + cos G. Si l’on prend A,B,C, comme triangle de référence, les dernières expressions montrent que W est situé sur la droite qui joint le point O (R, R, R) au centre O’ (cos A;, cos B;, cos C;) du cercle circonserit au triangle A,B,C;. On voit ainsi que ce centre ()’ est situé sur la droite HO (*). L’axe d’homologie des triangles ABC, A;B;C; est évidemment la polaire trilinéaire du point V; car AV passe par le point d'intersection des droites BR,, CQ, ; etc. | Les droites BQ;, CR, se coupent en un point V'; comme elles ont pour équations (a? + b?) sin C == —— œ x (a? + b?) sin B Y a*sin À B «æsinA — ———— ; la droite AV, est représentée par On en conclut que la droite AV; et les droites analogues se cou- pent en un point V'ayant pour coordonnées normales 1 1 1 ; — (b? + c*)a (+ ab. (a pc et pour coordonnées barycentriques 1 1 1 Farse É b? + € = ai D L’axe d’homologie des triangles ABC, A,B,C, est la polaire tri- linéaire du point V’ par rapport à l’un ou l’autre de ces triangles. VII. Les points H, O étant conjugués isogonaux par rapport au triangle ABC sont les foyers d'une conique 7 inscrite, qui (‘) Voir dans les Mémoires de la Société Royale des Sciences de Eicge, t. XVI, l’article de M. Gob, sur la droite et le cercle d’Euler. (11) touche les côtés en P,, P,, P;; car le symétrique 0’ de O par rapport à BC tombant sur HA, , on a HP, + P,0 — HP, + P,0, — AO —R, et BG est également inclinée sur HP, et P,0 (*). Le grand axe est égal à R, l’un des cercles directeurs est le cercle circonscerit à ABC. L'équation de toute conique inscrite à ABC est de la forme DAS Vénsolén 10, l, M, h étant inversement proportionnels aux coordonnées du point d'intersection des droites joignant A, B, C aux points de contact des côtés opposés. Si nous adoptôns des coordonnées barycentriques, l'équation de » sera V/ x sin 24 + V/B sin 2B + V/ sin 2C — 0. Les directrices étant les polaires des foyers, et les coordonnées de H, O étant sin 2A, sin 2B, sin 2C, et tg À, tg B, tg C, on trouve pour les équations de ces droites x cos 2A + 6 cos 2B + y cos 20 — 0, «cos A + BcosB + y cos C — 0. En mettant la dernière sous l’une des formes a(A + cos 2A) + B(1 + cos 2B) + y (1 + cos 2C) — 0, a(1 — sin*A) + B(1 —sin*B) + y (1 — sin°C) — 0, (*) Cette conique a été signalée par M. Lemoine dans les Nouvelles À nnales Mathématiques, 1858, p. 240. (12) on vérifie que les directrices sont parallèles entre elles, et l'on voit de plus qu’elles sont parallèles à la droite représentée par a sin°A + Bsin®B + y sin°C— 0, c'est-à-dire à la polaire trilinéaire du point V, troisième point de Brocard ; de là ce théorème : la polaire trilinéaire du troisième point de Brocard est perpendiculaire à la droite d’Euler. CONTRIBUTION À L'ANATOMIE DES RENONCULACÉES a LE GENRE DELPHINIUM C. LENFANT DOCTEUR EN SCIENCES NATURELLES INTRODUCTION Le présent travail est une étude de quatre espèces du genre Delphinium : deux espèces annuelles, D. Ajacis L. et D. conso- lida L.; une espèce bisannuelle, D. Staphysagria L. et une espèce vivace, D. elatum L. Je me suis efforcé de caractériser le genre Delphinium en étudiant pour chaque espèce : l'embryon dans la graine ; le déve- loppement de l'appareil végétatif à trois, quatre ou cinq stades convenablement choisis ; la plante adulte. Pour l'embryon et les plantes jeunes, un certain nombre d’individus ont été inclus dans la celloïdine et coupés au microtome d'un bout à l’autre. Pour la plante adulte, l'axe hypocotylé, la tige principale etles tiges axil- laires ont été étudiés dans toute leur étendue; de même pour les racines de divers ordres. Quant aux appendices, la structure du pétiole et celle du limbe ont été décrites pour les cotylédons et les feuilles adultes. Ce travail, exécuté au laboratoire de l'Institut botanique de l'Université de Liége, sous la direction de M. le professeur A. Gravis, est destiné à faire suite à une étude commencée par M. Ed. Nihoul (!). Lorsqu'une série de monographies sem- (*) Contribution à l’étude anatomique des Renonculacées. — Le Ranunculus arvensis, par M. En. Ninour. Dans les Mémoires in-4° publiés par l’Aca- démie royale des sciences de Belgique, tome LII (1891). (2) blables auront fait connaitre d'une manière complète l'organi- sation d’un nombre suffisant de Renonculacées, on pourra en déduire la diagnose anatomique de la famille et des genres qu'elle renferme. Cette synthèse, dans laquelle on tiendra compte des recherches antérieures de MM. Meyer, Marié et Vesque, est sans doute appelée à fournir d’utiles renseignements, tant à l'anatomie géné- rale qu'à l'anatomie systématique. Et CONTRIBUTION L'ANATOMIE DES RENONCULACÉES PREMIÈRE PARTIE. DELPHINIUM AJACIS. CHAPITRE PREMIER. EMBRYON DANS LA GRAINE. CARACTÈRES EXTÉRIEURS. « Les fruits du Delphinium Ajacis L. sont des follicules. Ceux- ci sont épais et renferment des graines étroitement comprimées les unes contre les autres, ce qui les déforme plus ou moins. Leur albumen considérable loge dans sa partie supérieure un petit embryon, le tégument de la graine s’épaissit inégalement de manière à présenter à la surface un réseau de lignes saillantes anastomosées (!) ». L’embryon mesure 0"*,7 de longueur sur 0,35 de largeur, il est droit; ses cotylédons, parallèles aux deux plus grandes faces de la graine, ne sont pas appliqués l’un (*) Baiccow, Histoire des plantes. (6) contre l'autre, mais écartés, l’espace qui les sépare étant occupé par de l’albumen (fig. 1). Le plan principal de symétrie, passant par le centre de l'axe hypocotylé, est perpendiculaire à la surface de chaque cotylédon. STRUCTURE. Nous examinerons principalement : le milieu de l'axe hypoco- tylé et la région supérieure où se fait l'insertion des cotylédons. Coupes transversales. A. Milieu de l’axe hypocotylé (fig. 2). 1. Épiderme : cellules allongées dans le sens du rayon, cuti- cule mince, des méats sous cet épiderme. 2. Parenchyme corlical: sept à huit assises de cellules arron- dies, présentant très nettement une disposition radiale. La plus profonde de ces couches, l’'endoderme, n'offre ici aucun caractère particulier. 5. Le cylindre central : éléments procambiaux petits, à section polygonale, allongés dans le sens longitudinal. Il est délimité par un péricycle assez net, formé par une assise de cellules alternant d’une part avee les cellules de l’endoderme et d’autre part avec les éléments procambiaux du eylindre central. B. Région supérieure de l’axe hypocotylé (fig. 5). 1. Épiderme. 2. Parenchyme cortical: cinq à six assises de cellules seulement. 3. Cylindre central plus allongé dans le sens du plan de symé- trie. Si à partir de cet endroit on étudie les coupes transversales successives, on voit le massif central se diviser en deux autres massifs, l'un antérieur, l’autre postérieur, situés dans le plan de symétrie, Ces deux massifs, dès leur séparation, fuient très obli- quement dans les deux cotylédons : ce sont les faisceaux cotylé- donaires. GX) Coupes longitudinales. Dans la coupe longitudinale suivant le plan principal de symé- trie, on retrouve (fig. 4): À. Milieu de l’axe hypocotyle. 4. Épiderme. 2. Parenchyme cortical : cellules des couches profondes allon- gées longitudinalement et disposées en séries ; les autres polyédri- ques. 3. Cylindre central: éléments procambiaux assez allongés dans le sens de l’axe. B. Région d'insertion des cotylédons. L'insertion des deux faisceaux qui sortent dans les cotylédons et qui se prolongent presque jusqu'au bout de ces appendices se fait obliquement. Le parenchyme cortical de l’axe hypocotylé se continue avec le parenchyme des cotylédons. Entre les deux faisceaux cotylédonaires, se trouve le méristème primitif recouvert par le dermatogène qui se continue avec l'épi- derme des cotylédons. C. Région inférieure de l’axe hypocotylé. En approchant du sommet radiculaire, l’épiderme se cloisonne et donne naissance à la coiffe. Au sommet de celle-ci s'observent cinq à six cellules qui constituent le suspenseur. Le parenchyme cortical correspond à deux rangs de cellules initiales. Le cylindre central aboutit à un petit groupe de cellules initiales polyédriques, qui produiront plus tard le faisceau de la racine principale. (8) CHAPITRE If. DÉVELOPPEMENT DE L'APPAREIL VÉGÉTATIF. Ce développement a été étudié à trois stades de la germination. STADE I. CARACTÈRES EXTÉRIEURS. Début de la germination : la moitié inférieure de l'axe hypo- cotylé se montre au dehors. STRUCTURE. Coupes transversales. A. Milieu de l’axe hypocotylé (fig. 5). Deux éléments différenciés marquent les pôles libériens situés aux extrémités du diamètre perpendiculaire au plan de symétrie. B. Région d'insertion des cotylédons (fig. 6). Outre les pôles libériens visibles au niveau précédent, on remarque, dans une coupe transversale faite à la base du nœud cotylédonaire, deux pôles ligneux placés dans le plan de symétrie de l'embryon. Au pôle ligneux postérieur se trouve une trachée, au pôle ligneux antérieur deux trachées; elles sont séparées de l'endoderme par une seule cellule du péricycle. Si l’on examine les coupes transversales successives en consi- dérant uniquement le pôle postérieur, on voit qu'une autre trachée apparait en dehors de la première; elle est d'abord très étroite, elle s’élargit plus haut, tandis que la première se rétréeit et disparait (fig. 7, 8, 9). Comme nous le constaterons par l'étude des stades ultérieurs, la trachée d'en bas marque le pôle du bois centripète qui se développera par la suite dans l'axe hypocotylé. La trachée d'en haut marque, au contraire, le pôle du bois cen- (9) trifuge cotylédonaire. La région que nous observons ici est done celle du contact entre le faisceau bipolaire de l'axe hypocotylé et les deux faisceaux unipolaires des cotylédons. Le même contact s’observe au pôle antérieur. Coupe longitudinale. La coupe longitudinale passant par le plan principal de symé- trie, montre très bien le contact des deux trachées initiales du faisceau bipolaire, avec les trachées initiales de deux faisceaux unipolaires des cotylédons. Cette figure est en tout semblable à celle dessinée par M. Nihoul dans son travail sur le Ranuncu- lus arvensis (1). STADE IT. CARACTÈRES EXTÉRIEURS. Les cotylédons dégagés du spermoderme concourent déjà à l'élaboration. Deux petites feuilles sont visibles à l'œil nu. L’axe hypocotylé est blanchâtre et reconnaissable à sa surface lisse ; il mesure une longueur de 25 millimètres et une épaisseur de 1°",5. La racine principale a une couleur terne et est beaucoup plus longue que l’axe hypocotylé. Au collet superficiel, c'est-à-dire au niveau où la surface change de couleur, il n'existe pas de radicelles, celles-ci se développent seulement plus bas (fig. 10). STRUCTURE. Coupes transversales. A. Milieu de l’axe hypocotyle (fig. 11). Épiderme et parenchyme cortical complètement différenciés. Endoderme reconnaissable à ses plissements sur les cloisons radiales; péricycle constitué par une seule assise de cellules, excepté en face des pôles ligneux où les cellules sont dédoublées (*) Loc. cit. (10) tangentiellement. Faisceau bipolaire : les deux pôles ligneux centripêtes complètement différenciés se touchent presque au centre de la coupe; deux massifs libériens ; deux zones cambiales récemment apparues entre bois et liber. B. Région d'insertion des coltylédons et de la tige principale. Dans la région supérieure de l'axe hypocotylé (4 millimètres sous le nœud cotylédonaire) (fig. 12), le cylindre central s'élargit en tout sens, mais principalement suivant le diamètre perpen- diculaire au plan de symétrie. Les deux pôles ligneux centri- pêtes se trouvent maintenant englobés par les éléments ligneux secondaires à développement centrifuge qui se forment à droite et à gauche. Deux zones cambiales; deux massifs de liber secon- daire. En continuant l'examen des coupes successives, on est conduit a reconnaitre, dans la coupe représentée par la figure 15, les deux pôles ligneux centripètes (B. cp.), séparés à ce niveau par du tissu fondamental interne (moelle); à droite et à gauche, un très large faisceau libéro-ligneux à bois centrifuge. A un niveau un peu supérieur encore (fig. 14), les deux pôles centripêtes sont très écartés l’un de l’autre. A droite et à gauche du plan de symétrie sont groupés autour d'un parenchyme médullaire assez développé, dix faisceaux savoir : Quatre faisceaux cotylédonaires rapprochés deux à deux des pôles centripètes, quatre faisceaux A, B, C, D et enfin deux faisceaux médians foliaires (M! et M?) destinés aux deux pre- mières feuilles. Ces dix faisceaux proviennent de la division des deux larges faisceaux libéro-ligneux observés au niveau précé- dent (fig. 13). Arrivés dans le nœud, les deux faisceaux cotylédonaires anté- rieurs sortent obliquement dans le cotylédon, entrainant avec eux le bois centripète du pôle antérieur; la même chose se réalise pour le cotylédon postérieur. Dans le D. Ajacis, on peut donc distinguer dans le nœud coty- lédonaire deux contacts : 1° Le contact entre le bois centripête de l'axe hypocotylé et le bois centrifuge des faisceaux cotylédonaires ; (11) 2 Le contact des faisceaux de la tige principale (A, B, M!, C, D, M2), avec le bois centripète de l'axe hypocotylé. Ces deux contacts s’opèrent à partir de 4 millimètres en dessous du nœud cotylédonaire et se continuent sur une étendue de 2 millimètres environ ; le premier se poursuit encore jusque dans le pétiole des cotylédons. C. Racine principale. La structure ne diffère guère de celle de l'axe hypocotylé que par l'existence d’une assise pilifère à la place de l'épiderme. Sur la racine principale, s'insèrent quelques radicelles par le moyen de nombreuses trachées courtes et de grand diamètre. Coupe longitudinale. La coupe longitudinale montre (fig. 15) : 1° Que le faisceau bipolaire de la racine principale est bien la continuation du faisceau de l'axe hypocotylé et que les faisceaux qui se rendent aux cotylédons ainsi qu'à la feuille 1 sont en con- tact avec le faisceau bipolaire. On a renseigné sur ce dessin les niveaux correspondant aux coupes transversales (fig. 12, 15 et 14). STADE III. CARACTÈRES EXTÉRIEURS. Cinq à six petites feuilles sont visibles à l’extérieur; les cotylé- dons à ce stade ont atteint leur maximum de développement. STRUCTURE DE L'AXE HYPOCOTYLÉ. À. Milieu de l’axe hypocotylé (fig. 16). Les deux zones cambiales ont produit deux massifs de bois secondaire, ainsi qu’une petite quantité de liber secondaire. Entre les massifs de B?, le péricyele s'est recloisonné activement et a donné naissance à des files radiales de cellules à parois minces. B. Région du nœud cotylédonaire. Les quatre faisceaux réparateurs A, B, C, D, se divisent (2125) avant d'arriver au nœud cotylédonaire, c'est-à-dire à un niveau inférieur à celui où se fait cette division dans le Ranunculus arvensis. La sortie des faisceaux cotylédonaires se fait plus haut, comme au stade précédent (comme dans le Ranunculus l’un des cotylédons sort à un niveau un peu plus bas que l’autre). Ün bourgeon se trouve à l’aisselle de chaque cotylédon. STRUCTURE DES COTYLÉDONS. Les cotylédons au stade [IT sont arrivés à leur complet déve- loppement. Les pétioles, non concrescents, portent un limbe ovale, à sommet obtus. La nervation consiste en une nervure médiane, quatre nervures latérales détachées dès la base du limbe et enfin de très fines nervures anastomosées. Les deux faisceaux qui ont pénétré dans chaque cotylédon restent séparés dans toute l’étendue du pétiole; toutefois, à l’extrémité de ce dernier, ils se rapprochent au point de se fusionner par leur région ligneuse. Les figures 17, 18, 19 représentent ces deux faisceaux respec- tivement à la base, au milieu et au sommet d’un pétiole cotylé- donaire. On remarquera dans ces figures quelques trachées étroites qui sont la continuation du bois centripète de l'axe hypocotylé entre les deux faisceaux. Au sommet se trouve une glande à eau. (Voir chapitre : Feuille). STRUCTURE DE LA TIGE PRINCIPALE. Nous ferons connaître la stucture de la tige principale, dont le parcours est représenté par la figure 20. D’autres individus, étudiés d’une façon aussi complète, n'ont présenté que des diffé- rences secondaires. Les premiers entre-nœuds de la tige princi- pale sont toujours très courts. Entre-nœud 1 (fig. 21). — Vingt et un faisceaux parmi lesquels il faut signaler d'abord les médians des feuilles 1 et 2, puis quatre groupes issus de la ramification de faisceaux réparateurs À, B, C, D (chacun de ces faisceaux s'étant divisé en quatre ou cinq faisceaux foliaires). L'entre-nœud 1 du Delphinium Ajacis (15) diffère ainsi notablement de la région correspondante du Ranun- culus (!). Les dix-neuf faisceaux provenant de la division des répara- teurs A, B, C, D, sont tous ici foliaires. On y reconnait le faisceau latéral de la feuille 1 (L!'), les deux faisceaux latéraux de la feuille 2 (L2?), puis encore une série de traces foliaires complètes, savoir : (LML)5, (LML)£, (LML)5, (LML)5 et enfin le médian de la feuille 7 (M7). La figure 20, exprime suffisamment le parcours des faisceaux : on y remarquera l'absence d'anastomoses aux nœuds. STRUCTURE DES FEUILLES, Les feuilles prennent un développement très inégal, comme on peut s'en assurer par les figures 22, 25, 24, 95. La première ne reçoit que deux faisceaux (ML) (?), tandis que les cinq feuilles suivantes reçoivent trois faisceaux (LML). Les divergences foliaires sont exprimées par le tableau suivant : Cot. a ue Cot. p Feuille t 7 is Feuille: © Feuille 5 7 F. Feuilles Ÿ ra Feuille ÿ = 156 Feuille 5 > 1160 Feuille ? > 1500 Feuille 5 S 1300 Feuille ° S 139 Feuille 10 La divergence moyenne est done de 141°, soit à peu près ?/,. La vernation est représentée par la figure 26. (*) E. Nimoue, loc. cit. (2) L'autre faisceau latéral de la feuille 4 se forme par division du médian a la base du pétiole de cette feuille. Dans d’autres individus, il arrive que la feuille 4 ne recoit de la tige que le faisceau médian (M), lequel se trifurque alors dans le pétiole. Dans ces mêmes plantes, la feuille 2 recoit de la tige deux faisceaux seulement (ML), et le second faisceau L apparait dans le pétiole. Que) CHAPITRE I. PLANTE ADULTE. 6 1. LES TIGES. CARACTÈRES EXTÉRIEURS. La plante adulte, choisie pour ètre soumise à un examen détaillé, présente les caractères suivants : L’axe hypocotylé aussi épais que la racine principale avec laquelle il se confond, mesure 3 à 4 centimètres de longueur; la racine principale, assez développée, porte de fortes radicelles ; il n'y a pas de racines adventives au premier nœud de la tige principale. On ne distingue plus l'insertion des cotylédons, ni celle des premières feuilles. Dans l'exemple que nous avons choisi, la tige principale mesurait une hauteur de 80 centimètres, depuis le nœud cotylédonaire jusqu’au sommet de l’inflorescence. Elle portait 24 feuilles, plus les bractées de l'inflorescence. Les feuilles sont espacées par des entre-nœuds d’une longueur variable. L’entre-nœud situé sous la première fleur est plus long que les autres, c’est une sorte de hampe. A l’aisselle de chaque feuille se trouve un bourgeon plus ou moins développé; à partir du milieu de la tige principale, ces bourgeons se développent régulièrement en tige axillaire florifère. Les feuilles sont polymorphes : A la base, elles sont à limbe peu découpé; les supérieures sont à lobes plus nombreux et profondément découpées. Entre les deux, on rencontre toutes les transitions. Quant aux bractées, leur taille diminue et leurs lobes, au nombre de trois, se réduisent finalement à un seul. Late Mb sa iA, PP PNR SESEES TT ST TROIE (15) STRUCTURE. Pour la facilité de l'exposition, nous distinguerons dans la tige les régions suivantes : 1° L’axe hypocotylé ; 2% Les six premiers segments, dont la structure se complique d’un segment à l’autre ; 3° Les segments de 7 à 16 dont la structure est sensiblement constante et réalise le maximum de complication; 4 Les segments de 17 à 24 (c'est-à-dire avant d'arriver à la première bractée) dont la structure se simplifie graduellement; 5° L'inflorescence. Cette division de la tige en cinq régions est confirmée par l'examen des appendices. A. PARCOURS DES FAISCEAUX, Une coupe quelconque montre deux catégories de faisceaux : 1° Les faisceaux foliaires complètement individualisés, qui vont sortir dans les feuilles prochaines sans subir de ramifica- tions; 2° Les faisceaux réparateurs, qui doivent se ramifier pour donner naissance aux faisceaux foliaires des feuilles prochaines. Les faisceaux foliaires sont les plus gros et les plus rapprochés du centre. Dans toute l'étendue des entre-nœuds, tous les fais- ceaux marchent parallèlement; aux nœuds, des faisceaux, en nombre variable suivant la région, se rendant dans les feuilles (voir plus loin, chapitre : Feuille). Les faisceaux voisins des faisceaux foliaires se divisent pour remplacer les faisceaux sortis. Des anastomoses se produisent au dessus de ces derniers, mais ne se présentent pas d'une facon constante à chaque nœud (fig. 27). Si nous examinons l'allure générale des groupes A, B, C, D, (16) 4 nous constatons que le groupe B, dans la région à structure constante, contient un plus grand nombre de faisceaux que les autres groupes (fig. 29). Ce fait ayant été observé dans un individu dextre, j'ai soumis un individu sénestre à une étude attentive. J'ai pu constater, dans ce second individu, que c'était le groupe A qui comprenait le plus grand nombre de faisceaux (fig. 50). Les figures 29 et 50 représentent l'entre-nœud 13 de ces deux plantes. Dans la première (provenant de l'individu dextre) on voit que sur un lotal de cinquante-deux faisceaux, il y a vingt fais- ceaux dans le groupe B, dix ou onze seulement dans les groupes A, Cet D. | L'autre figure (correspondant à l'individu sénestre) montre sur un total de quarante-cinq faisceaux, neuf ou dix faisceaux dans les groupes B, C, et D, seize faisceaux au contraire dans le groupe À. Ces deux coupes comparables sont symétriques l’une et l'au- tre, comme les individus dont elles proviennent. Ce développe- ment variable des groupes A et B dans le Delphinium Ajacis rappelle un fait du même genre observé par M. Nihoul dans le Ranunculus arvensis. Dans cette espèce, l’un des faisceaux répa- rateurs À ou B se bifurque, selon que la plante est sénestre ou destre. Pour plus de détails, il suffira de jeter un coup d'œil sur la figure 28 qui représente le parcours dans l'ensemble de la tige. B. INSERTION DES TIGES AXILLAIRES,. Le bourgeon axillaire des premiers nœuds de la tige principale restent latents ; les autres se développent en un rameau plus ou moins allongé et toujours florifère. Le premier entre-nœud d’une tige axillaire contient un assez grand nombre de faisceaux (quinze à vingt) provenant de la ramification de deux faisceaux qui, dans la tige mère sont les plus voisins du faisceau foliaire médian. (17) Ce mode d'insertion est le plus simple et semble-t-il, le plus commun. Chez le Ranunculus, M. E. Nihoul a fait connaitre un mode d'insertion bien différent. Chez le Thalictrum, l'insertion des bourgeons se fait tout autrement encore comme M. Mansion le fera connaitre prochainement. Toutefois, dans les nœuds de la région la plus développée du Delphinium Ajacis, les bourgeons sont plus profondément insé- rés : ils reçoivent alors trois ou quatre faisceaux gemmaires, qui se ramifient avant même de sortir de la tige mère. C. HISTOLOGIE. Nous considérerons les cinq régions distinguées plus haut. 4°° région : Axe hypocotylé. — Au milieu de l'axe hypocotylé, le parenchyme cortical est décortiqué et la surface est constituée par une couche subéreuse. Le centre est occupé par un massif ligneux primaire à deux pôles, entouré de toute part par une large zone continue de B?. Le cambium ne fonctionne plus. On rencontre un grand nombre de petits massifs libériens vers la phériphérie. Les deux massifs de liber primaire sont peu recon- naissables. 2° région. — Une coupe transversale pratiquée dans l’entre- nœud 2, est représentée par la figure 51. Tissu fondamental interne sans lacune centrale. Contre le bois primaire, une cou- ronne de bois secondaire continue, épaisse, interrompue seule- ment pour laisser sortir les foliaires. Ce bois secondaire est formé d'un très grand nombre de fibres étroites à parois très épaises et dures, entremélées d'un petit nombre de vaisseaux disposés en files rayonnantes. La zone cambiale, formant un anneau continu, a fonctionné activement puis s’est éteinte. Le liber des faisceaux principaux est accompagné d'un petit massif de fibres sclérifiées peu nom- breuses. Ces éléments font défaut aux autres faisceaux. Pas d’en- doderme caractérisé. Les cellules du parenchyme externe étirées tangentiellement se sont recloisonnées radialement. (18 ) Pas d'hypoderme collenchymateux. Épiderme mortifié. Pour bien saisir la valeur des tissus de la plante adulte, il convient de remonter à l'époque de leur formation. La série des figures 52, 55, 34, 55, représentent des portions de coupe tran- versales dans ce même entre-nœud 2, provenant de plantules de plus en plus âgées. La première (fig. 52) nous présente un faisceau (M°) au stade procambial, un autre (L*) dans lequel la première trachée s'est différenciée, un autre encore (L6) dont le bois primaire est entièrement constitué. La zone cambiale com- mence déjà à fonctionner. A l'extérieur de ces faisceaux, contre le massif libérien, on remarque une rangée de cellules qui par leur recloisonnement vont former un massif de selérenchyme. Le tissu fondamental externe est constitué de cinq assises de cellules. L'épiderme couvre la surface. Dans une coupe un peu plus âgée (fig. 55), un recloisonnement des cellules contre le liber s'opère activement. Le parenchyme externe est encore formé de cinq assises cellulaires. Dans une plante presque adulte (fig. 34), les cellules recloi- sonnées contre le liber des faisceaux principaux épaississent fortement leur parois et se sclérifient (fibres libériennes des anciens auteurs, fibres perieycliques de Van Thieghen et de Marié). À aucun stade, on n’a observé d’endoderme bien carac- térisé : la couche la plus profonde du parenchyme externe ne se différencie pas des autres. Entre-temps la zone cambiale estentrée en activité et a produit d'abord du B? pauvre en vaisseaux, mais riche en fibres à parois épaisses et sclérifiées (fig. 35). 5° région. — Dans cette région, les faisceaux sont plus nom- breux et plus écartés que dans la région précédente. La coupe transversale de l’entre-nœud 15 est l’une des plus complètes (fig. 56 à comparer à la fig. 51). Le tissu fundamentai interne est plus développé que dans la région précédente; il est d’ailleurs creusé d’une vaste lacune. Le B? ne forme pas une couronne continue, mais constitue, dans chaque faisceau, un massif peu considérable, sans fibres sclérifiées. Pas de zone cambiale en (UE) anneau, mais des arcs intrafasciculaires seulement ; ils sont sou- vent un peu incurvés autour du liber. Celui-ci est accompagné d'un massif volumineux de fibres sclérifiées. Dans les faisceaux foliaires, de nombreuses fibres primitives à parois minces s’obser- vent en avant du bois primaire. Les rayons interfasciculaires sont occupés par des cellules à parois un peu épaisses. Le parenchyme externe comprend trois assises de cellules avec chlorophylle et méats. Une assise hypodermique très collenchymateuse, enfin un épiderme avec euticule mince. Les cloisons radiales des cellules épidermiques ne sont pas épaissies, tandis que les parois exter- nes et internes sont épaisses et cellulosiques. Des stomates sem- blables à ceux de la feuille; on trouve cà et là les cicatrices lais- sées par la chute des poils (1). Æ région. — Elle offre les mêmes caractères que ceux de la région précédente, sauf que le nombre de faisceaux diminue pro- gressivement. 5° région. — Une coupe transversale dans l'axe de l'inflores- cence (fig. 97) diffère assez peu de celles pratiquées dans les deux régions précédentes. L'épiderme porte de très nombreux poils, les uns unicellulaires, incolores, effilés, souvent courbés, à parois si épaisses que leur cavité semble oblitérée; les autres poils, en moins grand nombre, sont beaucoup plus longs, ventrus à leur base (?) ; les parois, partout assez minces, sont colorées en jaune doré. La partie renflée renferme une substance granu- leuse, un noyau; le col, très effilé, semble ouvert à l’extrémité (fig. 38). (‘) On remarquera combien les caractères histologiques de la troisième région sont différents de ceux de la deuxième. Le Delphinium Ajacis est un exemple remarquable de la variabilité des tissus dans une même tige et montre bien l'inconvénient qu’il y a à décrire la stucture d’une seule région comme caractéristique d’une espèce. (2) Marié signale des poils ventrus à la surface des pedicelles du Delphi- nium Staphysagria et les représente à la planche VI, figure 57 du mémoire déjà cité. Cet auteur ne les indique pas dans le Delphinium Ajacis. (20 ) $ 2. LES FEUILLES. CARACTÈRES EXTÉRIEURS. Dans la plante adulte, les premières feuilles sont flétries et tombées Nous avons signalé au stade II que les quatre premières feuilles sont de taille très inégale, de plus en plus grandes et de plus en plus découpées, avec un pétiole relativement long. Les feuilles suivantes continuent à se compliquer de la sorte. Les plus développées (1 décimètre de longueur sur 16 centimètres environ de largeur) ont un pétiole court, une nervure médiane avec trois paires de lobes principaux subdivisés en nombreux segments étroits (fig. 59). Plus haut, les feuilles passent insensiblement à l’état de bractées. Celles-ci présentent un petit nombre de lobes, souvent trois ou même un seul. STRUCTURE. Comme nous l'avons vu, chaque cotylédon recoit deux fais- ceaux ; la feuille 1 reçoit tantôt un faisceau (M), tantôt deux (ML) ; la feuille 2 reçoit deux faisceaux (ML) ou trois faisceaux (LML). Aux autres feuilles, le nombre des faisceaux sortants varie d'une plante à une autre sans qu’on puisse rattacher ces diffé- rences à des variations correspondantes de la taille et de la vigueur de la plante. Dans la plupart des individus, toutes les feuilles reçoivent trois faisceaux à partir du nœud 5 (LML), en exceptant toutefois les plus petites bractées, qui n'en reçoivent qu'un seul. Dans un certain nombre d'individus, les feuilles les plus développées reçoivent quatre faisceaux (L:ML). Enfin un indi- vidu plus spécialement étudié au point de vue du parcours (pl. IV) possédait quelques feuilles à cinq (LiMiL) ou à six faisceaux (il (Li’MüL) : c’est cette tige qui a fourni les renseignements consi- gnés dans le tableau suivant. None Divergence Divergence RÉGIONS. Fu de faisceaux reçus AL ROHATEAMONENNE caulinaires. lies d'un nœud par Fe. à l'autre. région. pe. OA Cotylédon * | 2 SET ie . 180° | 180e Cotylédon? | 2 id. RENAN SE RER RES 109 Feuille 1. 1 faisceau . re 176 Feuille ?. . | 3 faisceaux . . .7 | 1430 507, Feuille 5. . | 3 id. s 2 D | soit très sen- DE Feuille #4. . | 4 id. : Ce un | siblement Roca ee IS . a 2% Feuille &. . | 5 IAE S Lis ; Feuille 7. . | 5 faisceaux . . . 1930 | Feuille 8. . | 5 id. je Le 1430 Feuille ?. . | 5 id. es . ee di M 1400 20", a dt li soit nianele ue Feuille 1? 6 id : 7 He compris Feuille 5 . | 5 id. M ne entre ?/; et 5/8. Feuille !# 5) id. : . . Feuille 1 5) id. "ee 149 | Feuille 16 D = ml MOIS RC 360 Feuille 17 3 faisceaux . . | Feuille". | 3 faisceaux... Le Feuille 18 4 id. ie 1400 Feuille !* PE Rte re 1380 41340 307, IVe. Feuille 20 3 id. ie 1930 soit Feuille ?! MEL de 1400 sensiblement Feuille ?? 3 id. Re 1980 3. Feuille *5 3 id. He 198o Feuille ?4 3 id. Re MAUR EUR PARLES 1440 Bractée °5 : 3 faisceaux . . .T ne | 1390 401, Bractée 26. | 9 id. VRS soit un angle Ve. é > 1330 compris. Bractée ?7. | 1 id. Ve da 2], et 34. LC: (22) Les cinq régions indiquées dans la première colonne du tableau ci-dessus, sont celles qui ont été caractérisées par la structure de la tige principale adulte. On reconnaitra une rela- tion entre chacune de ces régions de la tige et les appendices qu'elle porte. Ainsi la première région ou axe hypocotylé, dont la structure est si particulière, porte des appendices à deux fais- ceaux dont la divergence est de 180°. La deuxième région, dont la structure est de plus en plus compliquée, porte des appendices recevant de plus en plus de faisceaux, un à cinq, la divergence foliaire est sensiblement ?/,. La troisième région, à structure constante, porte des feuilles à cinq ou à six faisceaux, la divergence foliaire est comprise entre ?/5 et 5/8. Dans la quatrième région, les feuilles reçoivent seulement quatre ou trois faisceaux, leur divergence est sensiblement 5/; ; enfin, dans la cinquième région, les bractées possèdent trois, deux ou un faisceau, leur divergence est comprise entre ?/, et 5/4. Structure de la feuille 13. — Nous prendrons cette feuille pour exemple, parce que c'est l'une des plus développées et parce qu'elle appartient à la région à structure constante. Commençons par le parcours dans le pétiole et la nervure médiane (fig. 40). Sitôt après la sortie dans la feuille des cinq faisceaux LiM:L (!), les deux faisceaux L se divisent et produisent chacun un faisceau marginal (m) (fig. 41, coupe transversale à la base du pétiole). En approchant du niveau de la première ramification de la nervure médiane (insertion des deux premiers lobes), chaque faisceau ? donne naissance à un faisceau antérieur, c'est-à-dire du côté de l'épiderme interne ou supérieur (fig. 42). Un peu au-dessus, les faisceaux destinés aux deux lobes princi- paux se détachent des faisceaux foliaires mLiMiLm, et sortent à droite et à gauche, en passant entre le médian et les deux petits (') Les faisceaux foliaires sortants sont : un médian M, deux latéraux L et deux intermédiaires 2, antérieurs dont il vient d'être question. Après quoi ces derniers s’'anastomosent avec les faisceaux m (!). Un centimètre plus haut, la nervure médiane contient encore sept faisceaux (fig. 45). La seconde et la troisième ramifications se produisent comme la première, mais les faisceaux mLiMiLm sont plus rapprochés les uns des autres et on ne constate plus l'existence de deux petits faisceaux antérieurs (voir fig. 44, 45, 46). Une coupe tranversale au milieu du limbe de la feuille 15 montre (fig. 47) : 1° Épiderme : Cellules sans chlorophylle à euticule lisse, stomates nombreux (à la face externe ou inférieure seulement), formés de deux cellules de bordure au niveau de la surface avec deux replis saillants de la cuticule. Vu de face, l'épiderme présente des cellules à contours sinueux; ses stomates du type Ranunculus sont sans cellules annexes. Poils unicellulaires, simples, droits, effilés aux deux faces de la feuille; pas de poils ventrus (fig. 48). 2° Mésophylle nettement hétérogène. Une seule couche de cellules en palissades à la face interne (longueur !/, environ de l'épaisseur du mésophylle); quatre à cinq couches de cellules irrégulières, à grands méats formant un parenchyme spongieux. Chlorophylle répartie régulièrement dans tout le mésophylle. Pas de cristaux. Nervure constituée par un seul faisceau. A l'extrémité de chacun des segments se trouve une glande à eau sous l’épi- derme supérieur. Cette glande est munie d'un ou deux stomates aquifères (fig. 49, 50, 51, 52, 53, 54). (*) Cette insertion des deux lobes latéraux sur la nervure médiane, n’est pas sans analogie avec l'insertion d’une feuille sur la tige. La feuille du Del- phinium, comme celle de l’Urtica, semble donc fournir des arguments en faveur de l’hypothèse émise par M. C. de Candolle dans sa théorie de la feuille, page 6. Voir aussi : Recherches anatomiques sur les organes végétatifs de l’Urtica droïca, par A. GRavis dans les Mémoires couronnés et les Mémoires des savants étrangers publiés par l’Académie royale de Belgique, t. XVLIT, in-4, 1884, p. 130. (24) $ 3. LES RACINES. Il faut distinguer la racine principale, les racines secondaires, et les radicelles. Racine principale : Le parenchyme cortical est décortiqué et la surface est mortifiée. Au centre, un massif ligneux primaire à deux pôles, entouré de toute part par une large zone de bois secondaire continu; cambium éteint. Un grand nombre de petits massifs libériens secondaires, deux massifs de liber primaire très reconnaissables. Racines secondaires : Elles diffèrent de la racine principale par les caractères suivants : Le parenchyme cortical existe encore mais se décortique à certains endroits. Le bois secondaire forme deux massifs l’un à droite, l’autre à gauche de la lame ligneuse primaire bipolaire. Radicelles : Faisceau ordinairement bipolaire, parfois tripo- laire. Productions secondaires peu développées. Endoderme. Parenchyme cortical persistant, assise pilifère. TÉRATOLOGIE. PLANTULES A TROIS COTYLÉDONS. Pour compléter l’histoire du D. A jacis, signalons quelques ano- malies observées au cours des recherches. Dans les semis, on rencontre parfois des plantules dont l’un des cotylédons est bilobé, ainsi que des plantules à trois coty- lédons égaux. Ces dernières réalisent deux conformations anato- miques. Nous avons donc trois cas à considérer. 4e cas. L’un des cotylédons est bilobé. La structure est iden- uüque à celle des plantules normales, sauf que dans l’un des pétioles cotylédonaires les deux faisceaux se séparent vers le haut au lieu de se fusionner. (25) 2° cas. Trois cotylédons égaux et parfaitement séparés; fais- ceau bipolaire. Deux plantules réalisant ce cas ont été étudiées. L'axe hypocotylé dans toute son étendue, de même que la racine, contenaient un faisceau bipolaire normal. Au nœud, deux fais- ceaux cotylédonaires se rendaient normalement dans l’un des cotylédons, les deux autres faisceaux cotylédonaires se séparaient immédiatement, pour se rendre respectivement dans les deux autres cotylédons ; ceux-ci équivalaient donc morphologiquement à la moitié d’un cotyléon normal (fig. 55). 3° cas. Trois cotylédons égaux et parfailement séparés; fais- ceau tripolaire (fig. 56, dessin de la plantule). Deux autres indi- vidus réalisaient cette anomalie. Au milieu de l’axe hypocotylé, comme dans la racine principale, le faisceau possédait trois pôles ligneux, séparés par un angle de 120° et trois poles libériens (fig. 57). Au nœud, six faisceaux cotylédonaires se trouvaient groupés deux à deux à chacun des pôles ligneux, de sorte que chaque cotylédon recevait deux faisceaux comme dans les indi- vidus normaux. Le tableau suivant indique les angles de divergence foliaire dans l’une des plantules réalisant la troisième anomalie. 1 a Cot. 5 AS Feuille : L . Feuille ? =. 196 Feuille 5 FD FRE Le ns Feuille 5 < . Feuille 6 Sur Feuille 7 S 41300 Feuille 8 S 12% Feuille ? S 1460 Feuille 10 > 1380 Feuille 1! (26 ) DEUXIÈME PARTIE. DELPHINIUM CONSOLIDA L. Le D. consolida a été étudié aux mêmes stades que le D. Ajacis. Il suffira de mentionner ici les différences qui existent entre ces deux espèces. Le D. Ajacis et le D. consolida sont deux plantes annuelles, également vigoureuses, qui semblent d’après la diag- nose des flores avoir entre elles les plus grandes ressemblances. Quand on les compare à l'état vivant, la distinction spécifique de ces deux types linnéens s'impose cependant à l'observateur. Malgré toutes leurs affinités, ce sont donc deux bonnes espèces : de plus, comme nous le verrons bientôt, l'histologie permet de les reconnaitre aisément. L’embryon du D. consolida, ses plantules aux stades I, Il et JT sont identiques à l'embryon et aux plantules du D. Ajacis. Dans les deux espèces, la tige adulte se compose des mêmes régions; le parcours des faisceaux est le même, bien que le nombre des faisceaux soit moins considérable dans le D. conso- lida. Les feuilles de cette espèce reçoivent trois faisceaux, excepté la feuille À qui n’en reçoit qu'un (M) ou deux (ML). Il est à remarquer que dans cette espèce aussi, il existe des individus dextres et d’autres sénestres. Une tige dextre a montré qu'iei aussi le groupe B renferme plus de faisceaux que les autres (fig. 59). Hislologie de la tige. Une coupe transversale a été pratiquée dans l’entre-nœud 15 d’une plante qui s'était développée tout à côté du D. Ajacis adulte décrit ci-dessus, à l'effet d'obtenir des dessins parfaitement comparables (fig. 60-61 du D. consolida, à comparer aux fig. 62-65 du D. 4 jacis). La coupe dans le D. conso- lida contient vingt-trois faisceaux alors que la coupe correspon- dante du D. Ajacis en contenait quarante-trois. La composition (27) des faisceaux et leur disposition sont identiques. Une différence à noter, c’est que tous les tissus du D. consolida sont plus forte- ment sclérifiés et cela au point que tous les tissus, excepté l'hy- poderme et le liber, se colorent en jaune par le chlorure de zine iodé. Les fibres primitives en avant du bois primaire qui sont si délicates dans le D. Ajacis ont ici des parois épaisses et dures. Des fibres ligneuses sclérifiées existent ici dans le bois secon- daire même dans les régions supérieures de la tige. Les fibres sclérifiées accompagnant le liber ont des cavités réduites à un point. Le parenchyme interfasciculaire est très fortement selé- rifié comme ce qui reste de la moelle. Pas d’endoderme caracté- risé. Le parenchyme qui est chlorophyllien dans le D. Ajacis est formé ici de cellules scléreuses qui se distinguent du scléren- chyme voisin par l'existence de méats intercellulaires. Hypo- derme collenchymateux. Épiderme à euticule très épaisse. Cet épiderme porte des poils plus nombreux que celui du D. Ajacis et un certain nombre de poils persistent à l’état adulte. Ces caractères histologiques sont si nets et si constants qu'ils permeutent de distinguer ces deux espèces voisines de Delphinium par l'examen d’une simple coupe transversale provenant d'une région quelconque de la tige (!). Peu d'espèces affines, croyons- nous, sont susceptibles d’être aussi facilement distinguées par les caracières microscopiques. Les feuilles du D. consolida diffèrent peu de celles du D. Ajacis. Les plus développées ont également un pétiole court, une nervure médiane à trois paires de lobes principaux, mais ceux-ci sont subdivisés en segments plus étroits que dans le D. Ajacis. L’épiderme, les poils, les stomates ont les mêmes caractères dans les deux espèces. Notons seulement que dans le D. consolida, les éléments constituant le parenchyme spongieux et le parenchyme en palissade sont beaucoup plus serrés et pas si lacuneux que dans le D. Ajacis (fig. 64). (*) M. Marié, dans le mémoire déjà cité, énonce quelques-uns des carac- tères distinctifs ci-dessus indiqués, et les figure sans toutefois y attacher beaucoup d’importance. TROISIÈME PARTIE. DELPHINIUM STAPHYSAGRIA. I. EMBRYON. Dans l'angle supérieur de la graine se trouve un embryon qui mesure en moyenne 0"*,9 de longueur sur 0"",57 de lar- geur. II. PLANTULES. Les stades I, IT, III sont identiques à ceux étudiés dans le D. Ajacis. La région de contact s'étend également sur un demi- centimètre en dessous du nœud cotylédonaire. Le contact entre la tige et la racine s'opère exactement comme il a été dit plus haut, Toutes les feuilles indistinctement reçoivent trois faisceaux. Les anastomoses au nœud sont rares. [1 y a des plantes dextres et d’autres sénestres. Dans un individu, j'ai observé les divergences foliaires sui- vantes : spire (fig. 65), vernation (fig. 66). Ne Fe 2 Rhone een Feuille 5 # es feuilles 9 Feuille 5 « Le Feuilles 7 1 Feuille ? é ee Feuille & £ ns Feuille ° > 197 Feuille 11 (29) A la fin de la première année, les plantules du D. Staphysagria ont pris un grand développement. Elles peuvent avoir produit une douzaine de feuilles à très long pétiole et à très large limbe. La tige toutefois reste courte (5 centimètres de long). Elle se termine par un bourgeon terminal nu, c’est-à-dire non protégé par des feuilles pérulaires. Aussi ces plantes ne sup- portent-elles pas, sans abri, l'hiver de nos régions. Le nœud cotylédonaire se trouve au niveau du sol, l'axe hypocotylé ayant subi par l'effet de la contraction des racines un léger enfonce- ment. Une coupe faite au milieu de l'axe hypocotylé montre : 1° Le parenchyme cortical comprenant la moitié du diamètre total ; 2° Au centre, un massif ligneux primaire à deux pôles entouré d'éléments parenchymateux étirés. À droite et à gauche, un messif de B? quelquefois découpé en lames radiales ; çà et là d’autres massifs isolés de B?. Une zone génératrice circulaire composée d'arcs cambiaux et d’ares cambiformes. Des massifs de L? à la périphérie. Les deux massifs de liber primaire sont également très reconnaissables (fig. 67). Cet axe hypocotylé se confond ordinairement avec la racine principale. Parfois cependant il prend un grand accroissement secondaire et se tubérise. Cette tubérisation résulte d'une pro- duetion abondante de parenchyme secondaire à l’intérieur de la zone cambiale. III. PLANTE ADULTE. La tige principale, après avoir hiverné, continue son évolution au printemps suivant. J'ai étudié un individu qui mesurait environ 1 mètre et qui portait vingt-huit feuilles plus les bractées de l’inflorescence. À partir du nœud 15, les bourgeons se trouvant à l’aisselle des feuilles étaient développés et produisaient des tiges axillaires ordinairement très fortes, dressées et terminées par une inflorescence. Cette plante a été étudiée aux niveaux suivants : Axe hypocotylé. À la fin de la deuxième année, la zone géné- ratrice citée plus haut a produit une large zone de B?, celui-ci (50 ) composé de vaisseaux entremélés de fibres à parois épaissies. Ces fibres et ces vaisseaux sont disposés en files radiales séparées par du tissu fondamental interfasciculaire à parois minces. Le parenchyme cortical est décortiqué et à la surface se trouve une couche subéreuse (fig. 68). Base de la tige. Une coupe transversale faite au milieu de l'entre-nœud 7 offre la structure suivante : Quarante-trois faisceaux de dimension variable, les uns com- plètement individualisés comme foliaires, les autres destinés à se diviser. Une zone cireulaire de bois secondaire, comprenant le quart du diamètre total, a été engendrée par une zone continue de cam- bium ; les massifs de liber sont accompagnés d’un petit nombre de fibres sclérifiées; la surface est subérifiée. Ce niveau est semblable à celui décrit et figuré dans le D. A jacis. Milieu de la tige. Entre-nœud 20 : Le diamètre de la coupe est le mème que celui de l'entre-nœud 7. Quarante-sept fais- ceaux individualisés, ne renfermant que très peu de bois secon- daire (voir parcours, fig. 69). Inflorescence. Quatrième segment de l’inflorescence : Diamètre de la coupe, un tiers de celui de l’entre-nœud 20. Les faisceaux, au nombre de trente-trois, ont les mêmes caractères que ceux décrits précédemment. Parcours des faisceaux dans l’ensemble de la tige. Le par- cours des faisceaux est le même que dans le D. Ajacis; le nom- bre des faisceaux est d'ailleurs sensiblement le même aussi dans les deux plantes. Toutes les feuilles reçoivent uniformément trois faisceaux et les bractées de l’inflorescence un seul faisceau. L'individu qui nous occupe était dextre. Il a été coupé depuis le nœud cotylédonaire jusqu’à l’inflorescence, ce qui a permis de constater que le groupe B contenait dix-sept faisceaux, tandis que les trois autres groupes n'en contenaient que neuf, dix ou treize (fig. 72). (51) Les divergences foliaires sur la pousse de seconde année sont les suivantes : Feuille !° 1400 | Divergence ne op | one ee ete soit 1e 14 ÿ ï Feuille ?° à j _ sensiblement Feuille ?{ 5lg. Histologie de la tige. L'histologie de la tige du D. Staphysagria diffère à peine de celle du D. Ajacis; toutefois : 1° La moelle ne se résorbe pas et persiste dans toute la plante; 2° Les massifs de fibres sclérifiées qui accompagnent le liber dans la partie moyenne et la partie supérieure de la tige sont plus allongés radialement; 5° Le tissu fondamental externe n'est pas selérifié ; 4 L'épiderme porte une grande quantité de poils tous uni- cellulaires, lés uns eflilés, les autres ventrus à leur base. Ces derniers sont très nombreux et persistants sur toute l'étendue de la tige. Histologiquement, la tige du D. Staphysagria se distingue done de celle du D. Ajacis et du D. consolida par la présence de poils ventrus très nombreux, par l'allongement radial des massifs de fibres sclérifiées adjacents au liber et par l'absence de cavité médullaire. Histologie des feuilles. Le pétiole, très long, mesure en moyenne 25 centimètres de longueur. Nervation palmée, présentant sept lobes principaux profondément découpés; limbe mesurant 4 décimètre de haut sur 2 décimètres de largeur. Vers le milieu, le pétiole est fistuleux, sa section transversale quadrangulaire aux angles arrondis, contient sept faisceaux, dont quatre plus gros occupant les angles. Faisceaux, mêmes caractères que ceux de la tige (fig. 73). (32) Vers le milieu du limbe, une coupe transversale montre (fig. 74) : Épiderme à cutieule lisse, stomates très nombreux à la face externe ou inférieure, formés comme dans le D. Ajacis et D. consolida de deux cellules de bordure au niveau de la surface. Vues de face, les cellules épidermiques présentent des contours sinueux. Poils de deux sortes, les uns unicellulaires, droits, effilés ; les autres ventrus à leur base contenant du protoplasme granuleux et un noyau. Le mésophylle contient une seule couche de cellules en palissade mesurant 0°*,02 et un parenchyme spongieux lacu- neux, 0,575; grands méats. A l'extrémité de chaque dent du limbe se trouve une glande à eau sous l'épiderme supérieur. Cette glande est munie d’un ou deux stomates aquifères semblables à ceux décrits pour le D. A jacts. QUATRIÈME PARTIE. DELPHINIOM ELATUM. L'embryon, logé dans l'angle supérieur de la graine, mesure, en moyenne, 0"",99 de longueur sur 0"",40 de largeur. Cette espèce vivace a été étudiée aux stades suivants : STADE II. CARACTÈRES EXTÉRIEURS. Au stade II (correspondant au stade IL du D. Ajacis), l'axe hypocotylé du D. elatum mesure, dans les conditions normales de végétation, Î centimètre au maximum; les pétioles cotyléde- paires très longs, au contraire, mesurent en moyenne 5 centi- mètres; à leur base ils sont concrescents sur une longueur de 1 centimètre. En faisant germer des graines à l'obscurité, on peut obtenir des axes hypocotylés plus longs mesurant 5 centi- mèêtres et les pétioles cotylédonaires peuvent atteindre alors 5 centimètres. STRUCTURE. A. Milieu de l’axe hypocotylé. Mème structure que dans le D. Ajacis. B. Région d'insertion des cotylédons. Cette insertion dans le D. elatuin est la même que dans le D. Ajacis; ce qui diffère, c'est l'étendue de la région de contact, les premiers éléments centrifuges apparaissant !/, millimètre environ en dessous du nœud cotylédonaire. Le niveau correspondant à la figure 14 qui se trouvait à 5 milli- € (54) mètres en dessous du nœud cotylédonaire dans le D. Ajacis, se retrouve, dans le D. élalum, à cinq ou six coupes seulement en dessous de la sortie des faisceaux cotylédonaires ; en outre, le nombre des éléments ligneux, tant centripètes que centrifuges, est moindre ici que dans le D. 4 jacis. Dans des plantules développées à l'obseurité, l'axe hypocotylé avait pris un allongement notable- ment plus grand ; cependant j'ai constaté dans ces plantules que la région de contaet ne s'était pour ainsi dire pas allongée : elle était toujours notablement plus courte que dans les D. Ajacis, consolida et Staphysagria. STADE III. CARACTÈRES EXTÉRIEURS (fig. 75). Les trois premières feuilles sont visibles extérieurement ; l'axe hypocotylé, presque entièrement aérien, commence à se rider transversalement à la surface. La partie inférieure sous terre ne mesure que 2 à 5 millimètres seulement. STRUCTURE. A. Milieu de l’axe hypocotyle. Faisceau bipolaire : les zones cambiales ont produit des lames de bois secondaire plus ou moins découpées au lieu des massifs continus ; le péricycle s'est recloisonné de façon à donner naissance à deux zones de cambiforme reliant les ares cambiaux (fig. 85). B. Nœud cotylédonaire. Les quatre faisceaux réparateurs À, B, C, D, sont moins bien séparés que dans les autres Delphinium avant la sortie des fais- ceaux cotylédonaires. Les faisceaux A et D restent simples tan- (55) dis que les faisceaux B ct C se divisent au-dessus du nœud coty- lédonaire. Dans le D. elatum, la section du premier entre-nœud de la tige ne renferme que huit faisceaux, tandis qu'au même niveau des D. Ajacis, consolida et Staphysagria, 1 ÿ en a vingt et un ou vingt-trois. Les faisceaux latéraux ne sont jamais, à part quelques exceptions, fournis par Îles réparateurs voisins du médian, mais par les réparateurs les plus éloignés, de sorte qu'il y a croise- ment des sortants latéraux d'un nœud à l'autre, comme dans le Ranunculus arvensis (figures 79, 80, 81). Des anastomoses s’ob- servent dans la moitié supérieure des nœuds. Toutes les feuilles, à partir de la feuille 1, reçoivent trois faisceaux (LML), excepté les bractées supéricures (fig. 82). Les feuilles s'insèrent tout autour de la tige par une base cngainante qui se rétrécit plus haut en un pétiole (fig. 86). Les angles de divergence foliaire, mesurés sur une spire dextre, ont été trouvés les suivants : Cot. a Cot-p > 160 Feuille ! 7 ns Feuille ? en : Feuille 5 > 436% | Divergence RIRE > 1500 moyenne : Feuille 5 . S/s. Feuille 1586 Feuille? nn Feuilles STADE 1Y. Plantule à la fin de la première année. CARACTÈRES EXTÉRIEURS (fig. 70). A la fin de la première année, les plantules du D. elatum sont beaucoup moins fortes que celles du D. Staphysagria; elles ont développé une douzaine de feuilles, dont les premières n'existent (56 ) plus; le bourgeon terminal n'est pas protégé par des feuilles péru- laires. L'axe hypocotylé et les six premiers segments de la tige sont enfoncés dans le sol. Des bourgeons axillaires sont déjà très apparents aux nœuds 5, 4 et 5. Ils restent longtemps latents et ne se développent que pour remplacer la tige principale qui aura fleuri dans le cours de la seconde année. OBSERVATIONS BIOLOGIQUES. Nous venons de signaler qu'au stade HI l'axe hypocotylé était presque entièrement aérien, tandis qu'au stade [V il est complé- tement enterré avec les six premiers segments caulinaires. Par des observations faites avec soin j'ai constaté que des axes hypo- cotylés normalement développés, qui portaient le nœud eotylédo- naire à | centimètre et demi au-dessous du sol, se sont enfoncés en terre au p2int que le rœud cotylédonaire à été ramené au niveau du sol ; six semaines ont sufli pour arriver à ce résultat. Le mécanisme de cet enfoncement doit être recherché dans la contraction longitudinale de la racine principale. Des expériences de plasmolyse résumées dans le tableau suivant le démontrent d'une façon évidente. La plantule représentée par la figure 77 a servi de sujet. L’axe hypocotylé a êté isolé et la racine principale partagée en quatre tronçons. Ces cinq parties ont été successivement déposées dans de l’eau, dans une solution de nitrate de potasse, puis finalement dans de l'eau encore. La longueur de ces parties a été chaque fois mesurée très exactement (!). (*) BH n'est pas aisé d'obtenir la longueur exacte de petits fragments courbés et plus ou moins lortueux dont la forme change par l’action de l'eau et des liquides plasmolysants. Le procédé suivant, qui m’a été indiqué par M. le professeur Gravis, lève toutes les difficultés : après l'avoir exposé pen- dant un certain Lemps à l’action d'un réactif, l’objet cst dessiné à la chambre claire, au grossissement de 10 diamètres; les dessins sont ensuite mesurés au moyen d'une sorte de curvimètre et les longueurs trouvées sont divisées par dix. En O1 =! ET — ; D SE e SES = C2 2 di 2 s A =| lee A Al ES LE IE =: E| ER RE) 62) & ER ET EM Or Re RO Ne NES E = T ES) 'OSNEESAEIIe SNS SIINSIS NN = 29 Ge 212 216 DagIoEd|S %| | ou| 2v| 22 = rslsSmls OU Y Ÿ Ê se on \ LS b C) CHR SAS ae Ill D. AJACIS L. Fig.55 à 68: Plantule à trois cotyledons. ca” | | Fig. 62 et 65: Histologie de la tige. De CONSOLIDA L.Fia. 60,61 et 64: Histologie de la tige et de la feuille. i D. STAPHYSAGRIA . Fig.64t* Parcours. \C.Lenfant ad. nat. del. CE à, T4 pe OO PLANCHE VI ALT AS EEE . j & À ; À EXPLICATION DE LA PLANCHE VII. DELPHINIUM CONSOLIDA L. Fiç. 59. — Coupe transversale dans l'entre-nœud ‘* montrant l'allure géné- rale des groupe A, B, C, D (p. 26). DELPHINIUM STAPHYSAGRIA L. Stade IT. Fic, 65. — Figure représentant la disposition phylotaxique des feuilles (p. 28). Fig. 66. — Coupe transversale d'ensemble dans le sommet végétatif. Dispo- sition des appendices (p. 28). Plantule à la fin de la première année. F16. 67. — Milieu de l’axe hypocotylé (p. 29). Plante adulte. Fic. 68. — Milieu de l’axc hypocotylé (p. 50). Fic. 69. — Quatrième segment de l’inflorescence (p. 50). Fic. 71. — Projection schématique des dix premiers segments. Fi6. 72. — Coupe transversale de l’entre-nœud *', montrant l’allure géné- rale des groupes A, B, C, D (p. 50). Fic. 75. — Coupe transversale au milieu du pétiole (p. 51). Fic. 74. — Coupe transversale dans le limbe (p. 52). ZA) D. CONSOLIDA L.Fig. 59. D. STAPHYSAGRIA L.Fig.65 et 66:Stade Il de la germination. -CLenfant ad.net. del. Figa-67: Plantule à la fin de ia 1**année. Fig-68 à 74:Plante Adulte. ge 20 à 48 Km mo Lee Fic EXPLICATION DE LA PLANCHE IX. DELPHINIUM STAPHYSAGRIA L. . 70. — Parcours des faisceaux dans l’ensemble de la tige. DELPHINIOUM ELATUM L. + 75. — Plantule au stade II (p. 34). . 76. — Plantule à la fin de la première année (p. 55). + 77. — Plantule ayant servi aux observations biologiques (p. 36). . 18. — Plantule durant la deuxième année (p. 58). 5 À Mear LE er Fe ; ne Ge — | 70 D t co ) À D.STAPHYSAGRIA L.Fig70 D.ELATUM L.Fia.75-78:Plantules C.Lenfant ad. nat.del. EXPLICATION DE LA PLANCHE X. DELPHINIUM ELATUM L. Fig. 79. — Section de l’entre-nœud ‘ montrant les faisceaux qui se rendent aux cinq premières feuilles (p. 85). Fig. 80. — Section de l’entre-nœud © montrant les faisceaux qui se rendent aux feuilles 6, 7, 8 et 9 (p. 55). Fic. 81. — Section de l’entre-nœud '° montrant les faisceaux qui sc rendent aux feuilles 10, 11, 12 et 153. Dans ces figures le B' est repré- senté en noir et le B° par des hachures (p. 35). Fic. 82, — Parcours des faisceaux dans une plantule au stade III (p. 55). Fic. 85. — Parcours des faisceaux dans deux nœuds consécutifs d’une tige primaire adulte (p. 40). Fic. 84, — Coupe dans le limbe (p. 41). D.ELATUM L.Fig.79 à 84. C'Penfant ad. nat.del. EXPLICATION DE LA PLANCHE XI. DELPHINIUM ELATUM L. Fi. 85. — Milicu de l'axe hypocotylé (p. 54). F16. 86. — Coupe transversale d'ensemble dans le sommet végétatif. (Con- crescence des pétioles cotylédonaires) (p. 35.) [16, 87. — Parcours des faisceaux dans l’ensemble de la tige durant la deuxième année (p. 53) Fc, 88. — L'axce hypocotylé durant la deuxième année (fig. 38); à com- parer à la figure 85, en tenant compte des différences de grossissement. Plante adulle. Fi6. 89. — Coupe transversale dans la région souterraine de la tige primaire adulte (p. 40). Fi6. 90. — Coupe transversale de la région aérienne de la même tige (p.41). F16. 91. — Inflorescence de la même tige (p. #1). Fi6. 92. — Coupe transversale au milieu du pétiole (p. #1). 9 © @ 0 TER 0 d 00 900006 200009 ID:ELATUM L.Fig.85 à 92 C.Lenfant ad.nat.del. TABLE DES MATIÈRES. Pages. PNRRADUE NON nie ao ne AU CAUSE RUES RER PREMIERE PARTIE. DELPHINIUM AJACIS L. CHAPITRE L. — Embryon ‘dans la graine. - © . . : . . 5 CHAPITRE I. — Développement de l'appareil végétatif : STADE AM EUR DAAE ATS) PL LUE ATLAS Me PT NS SRADE LI LE Me A AT RAR VER MES EE STADE LS EC ATEN SEA arte VE CHAPITRE IE. — Plante adulte : $ 1. Les tiges : Caractères ertérieureue Le. LEA HN ROME Parcourstdes faisceaux, +. MN CIS Insertion des tiges axillaires . . . . . . . . . . 16 LAS IOION EEE EURE ARS ER AR et ALT PME Seules ee eo) ee eV Eee SS20 SA Les racines TN UE Meur NU Se LT 024 TÉRATOLOGIE : Plantules à trois cotylédons . . . . . . 24 DEUXIEME PARTIE. DELPHINIUM CONSOLIDA L. Ent mise EM MERE SES EE SL RES Na eme ren) 920 Reese AN AU LEE Re DEN UN EUR AP 97 C0) TROISIÈME PARTIE, DELPHINIUM STAPHYSAGRIA L. Ï. —— EMBRYON DANS LA GRAINE. IT. — PranrTuses III, — PLANTE ADULTE : Tiges . Feuilles . QUATRIÈME PARTIE. DELPHINIUM ELATUM L. I. — EMBRYON DANS LA GRAINE. IL. —— PLANTULES : STADE Il . STADE III. STADE IV. Observations biologiques. STADE V . II. — PLANTE ADULTE. Tiges . Feuilles . RÉSUMÉ . PLANCRES . V Pages. 28 28 fur LP M ES tt Se ET TT ST NOT DS CN ue mi EN x rente FRE ce RES ; ve PAS PAPA er L'RE EE —$ 34 Ts =