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Library of tbe Museum

OF

COMPARATIVE ZOOLOGY,

AT HARVARD COLLEGE, CAMBRIDGE, MASS.

Poundeù br private subscription, in 1861.

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MÉMOIRES

SOCIÉTE ROYALE DES SCIENCES

DE LIÉGE.

MÉMOIRES

DE LA

SOCIÈTÉ ROYALE DES SCIENCES

DE LIÉGE.

Nec temere nec timide.

D'EUTENE SÉRIE:

TOME IV.

DES E
DEPOTS :
LRUXELLES » | PARIS,
chez H. Merzsace, sucr de C. Muquaror, chez Rorer, libraire,
Leipzig, même maison. rue Hautefeuille, 10/5.
LONDRES , BERLIN »
chez Wrcrams et NorGATE, chez FRIEDLANDER et SOHN,
Henrietta Str., 14. Caristrasse , 11.

BRUXELLES,

F. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE.

Q
A

NOVEMBRE 1874.

LISTE

DES

MEMBRES DE LA SOCIÉTÉ

AU 15 NOVEMBRE 1874.

Bureau.

Président, M. VaNLAIR.
Vice-président, » Van BENEDEN.
Secrétaire général, » CANDÈZE.
Trésorier, » DE KONINCK.
Bibliothécaire, » DEWALQUE.

Membres effectifs.

1855 GLossener, M., professeur émérite à la faculté des sciences
de l’université de Liége, membre fondateur.
1842 pe Konwe, L. G., professeur à la faculté des sciences de:
l'université de Liège.
CHANDELON, dJ. T. P., id., id.
Sézys-Lonccaamps (baron E. de), membre de l’Académie
royale des sciences, des lettres et des beaux-
arts de Belgique.
TrasensTER, L., professeur à la faculté des sciences de.
l’université de Liège.
1844 Scamr, J. P., agrégé à l’université de Liége.
œ

1844

1845

1847

1855

1871

— 1! —

KUPFFERSCHLAEGER, Îs., professeur à la faculté des sciences
de l’université de Liége.

Decvaux DE FENFFE, AD., ingénieur honoraire des mines,
à Liége.

DE Cuyrer. À. C., professeur à la faculté des seiences de
l’université de Liége.

ScHwann, T., professeur à la faculté de médecine de luni-
versité de Liége.

Bip, E., imdusiriel, à Verviers.

Canxoëze, E., membre de l’Académie des sciences, des
lettres et des beaux-arts de Belgique, à Glain
(Liège).

Cuapuis, F., id. id, à Verviers.

PÂQUE, ancien professeur de mathématiques, à Liége.

5 DewaLque, G., professeur à la faculté des sciences de

l'université de Liège.

Bourpox, d., docteur en sciences naturelles, à Liége.

Carazan, C. E., professeur à Ia faculté des sciences de
l’université de Liège.

Hourain, L., docteur en sciences physiques et mathéma-
tiques, à Liége.

GiLLoN, À., professeur à la faculté des sciences de l’uni-
versité de Liège.

PéÉrarD, L., id, id.

MOoRREN, Ie tt

Fou, F., administrateur-inspecteur de l’université de
Liége.

CHaRLier , E., docteur en médecine, à Liége.

GRAINDORGE, L. À. J., docteur spécial en sciences physico-

| mathématiques, à Liége.

HABETS, À., ingénieur honoraire des mines, à Liège.

Masius , V., professeur à la faculté de médecine de luni-
versité de Liège.

VANLAIR, C., id. id.

Van BENEDEN, Éd., professeur à la faculté des sciences de
l’université de Liége.

1871

1874

1842

1845

1845

— HN
Le BouLenGé, P., capitaine d'artillerie , à Liège.
Devos, A., professeur à l’école moyenne, à Liége.
MaLuerBE, R., ingénieur des mines, à Liége.

FIRKET, AD., id., id.
Fausse, J.-V., professeur demathématiques à l’athénée de
Liége.

Membres correspondants.

D'Omazrus D'Hazcoy, membre de l’Académie royale des
sciences, des lettres et des beaux-arts de Bel-
gique, à Halloy (Ciney).

Du Morrier, B., id, id., à Tournai.

Van Bengven, P., professeur à l’université de Louvain.

Lacuesse, ingénieur en chef des mines, à Mons.

Neuens, général d'artillerie, à Anvers.

DECAISNE, j., professeur au Muséum d'histoire naturelle, à
Paris.

STAs, J., membre de l’Académie royale des sciences, des
lettres et des beaux-arts de Belgique, à Bruxelles.

Nysr, H, id. id.

KeyserLinG (comte A. DE), membre de l'Académie des
sciences de S'-Pétershourg.

Gervais, P., professeur à ia faculté des sciences, à Paris.

SUNDEVALE, professeur à la faculté des sciences, à Stockholm.

Purzeys, secrétaire général au ministère de la Justice, à
Bruxelles.

ReicaerT, professeur à l’université de Berlin.

VALENTIN, id., es de Berne.

STEICHEN, id. à l'École militaire, à Bruxelles.

LamaRLe, professeur émérite à la faculté des sciences de
l’université de Gand.

BRÉGUET, mécanicien, à Paris.

Smonorr, directeur de l'Observatoire de Kasan (Russie).

CHEFFkINE, général, aide de camp de S. M. l'Empereur de
Russie, à S'-Pétersbourg.

1845

1844

1845

1847
1348
1349
1350

1852

1855

— IN —

SeyLEr, docteur en médecine, à Wiltz (grand-duché de
Luxembourg).

LEcoNTE, professeur de mathématiques supérieures, à
Anvers.

MALHERBE, juge au tribunal de Metz.

CarEz, ingénieur en chef directeur des ponts et chaussées,
à Bruxelles.

Van Rees, professeur à l’université d'Utrecht (Néerlande).

Maus, inspecteur général des ponts et chaussées, à
Bruxelles.

Navez, major d'artillerie en retraite, à Schaerbeek.

CoquiLxarT, général d'artillerie, à Anvers.

HAGEN, professeur à l’université de Cambridge (États-Unis).

CHasLes, M., membre de l’Institut, à Paris.

Bosquer, pharmacien, à Maestricht (Néerlande).

Kzipsrein (von), professeur à l’université de Giessen.

Micuaguis, professeur à l’Athénée de Luxembourg.

SCHROETTER, secrét. perpétuel de l’Académie des sciences,
à Vienne.

AnsTE», professeur de géologie, à Londres.

SCHLEGEL, conservateur du Muséum d'histoire naturelle,
à Leyde (Néerlande).

Le Core, d. L., docteur en médecine, à Philadelphie
(Etats-Unis).

LyeLc (sir Ch.), membre de la Société royale de Londres.

Davinson, Th, id. id.; à Brighton (Angleterre).

STEINHEIL, professeur à l’université de Munich.

ETTINGSHAUSEN (von), professeur de physique à l’université
de Vienne.

Lamoxwr, directeur de l'Observatoire, à Munich.

Dana, J. D., professeur de géologie et d'histoire naturelle,
à Philadelphie (États-Unis).

ErriNGsHAUsEN (chevalier Constantin von), membre de
l'Académie des sciences, à Vienne.
Wesrwoop, professeur de zoologie à l'université d'Oxford

(Angleterre).

1855

1857

1358

— VV —

Parry (major F. J. Sidney), à Londres.

WATERHOUSE, Conservateur au Musée Britannique, à
Londres.

Peris, conseiller de préfecture, à Mont-de-Marsan (Fr.).

Perrina, professeur de physique, à Prague (Bohème).

KozzuiKer, professeur à l’université de Wurzbourg (Ba-
vière).

Durreux, receveur général, à Luxembourg.

Drouer, H., naturaliste, à Charleville (France).

Weger, professeur de physique à l’université de Gættingen
(Prusse).

STAMMER , docteur en médecine, à Dusseldorf (Prusse).

ERLENMEYER, docteur en médecine, à Neuwied (Prusse).

Lucas, H., aide-naturaliste au Muséum d'histoire naturelle,
à Paris.

BLancHarD, E., membre de l’Institut, à Paris.

Geinirz, H. B., professeur à l'École polytechnique, à
Dresde.

BEcQuEREL , A. C., membre de l’Institut, à Paris.

Liais, directeur de l'Observatoire impérial de Rio de
Janeiro.

DumoncEL, physicien , à Paris.

Tcaégycuerr, P., membre de l’Académie des sciences, à
S'-Pétersbourg.

Micaor (abbé), botaniste, à Mons.

Janin, J. C., membre de l’Institut, à Paris.

Ray, J., trésorier de la Société d'agriculture de Troyes
(France).

Waeicur (D°Th.), membre de la Société royale d'Édim-
bourg, à Cheltenham (Angleterre).

ScamiT, N. C., professeur à la faculté des sciences de l’uni-
versité de Bruxelles.

BincxnorsT (van), dJ. T., propriétaire, à Maestricht
(Néerlande).

CALIGNY (marquis DE), correspondant de l'Institut, à Ver-

| sailles (France).

1858
1859

1860

1862

1865

1864

1865

— VI —

Woop, Edw., à Richmond, Yorkshire (Angleterre).
MarsEUL (abbé DE), entomologiste, à Paris.

Beyrica, professeur à l’université de Berlin.

Marcou, J., géologue, à Cambridge (États-Unis).

Du Bois-Reywonp, professeur à l’université de Berlin.
Brücke, professeur à l’université de Vienne.

FAvRE, À., professeur de géologie à l'Académie de Genève

(Suisse).
Sruoer, B., professeur de géologie à l’université de Berne
(Suisse).

CHevroLaT, membre de la Société entomolog. de France,
à Paris.

Caspary, professeur de botanique à l’université de Kœnigs-
berg (Prusse).

WarTuanN, É., professeur de physique, à Genève (Suisse).

Baizy, professeur à l’université de Dublin.

Gossacx, membre de la Société chimique, à Londres.

GügLer}, professeur agrégé à la faculté de médecine, à

Paris.
DeLesse, professeur de géologie à l'Ecole normale, à
Paris.

Tuomson, J., membre de la Société entomologique de
France, à Paris.

BRüNER DE WATTEviILLE, directeur général des télégra-
phes, à Vienne.

GHerarDi (commandeur), directeur de Finstitut technique,
à Florence.

Durieu DE MalSoNNeUvE, directeur du Jardm Botanique,
à Bordeaux (France).

Desmoucins, président de la Société linéenne, à Bordeaux

(France).

Crazpr (commandeur), directeur des travaux maritimes,
à Rome.

Bernarp, Claude, professeur au collége de France, à
Paris.

Hueueny, professeur, à Strasbourg.

1865

1866

1867

1868

( vu)

Murray, À., membre de la Société royale d’horticulture,
à Londres.

TERSSEN, colonel d'artillerie, à Anvers.

DE Cozner p'Huarr, professeur à l’athénée de Luxem-
bourg.

Zzis, conservateur au Muséum royal d'histoire naturelle,
à Dresde.

Mizxe Epwarps, membre de l’Institut, à Paris.

Dausse, ingénieur en chef des ponts et chaussées, à
Paris.

Le Jozy, Archiviste perpétuel de la Société des sciences de
Cherbourg (France).

VarLEY CROMWELL, ingénieur en chef de la Compagnie
des télégraphes électriques, à Londres.

GobwiN AusTEN, membre de la Société royale de Londres,
Chilworth Manor, Guilford (Angleterre).

HamiLron, membre de la Société géologique de Londres.

DE Borre, A., conservateur au Musée royal d'histoire
naturelle, à Bruxelles.

RopriGuez, directeur du Musée zoologique de Guatémala.

LEpeNT, professeur au collége communal de Verviers.

Desains, professeur de physique à la Sorbonne, à Paris,

GossELET, J., professeur à la faculté des sciences de Lille
(France).

BarwarD, président de l'École des mines, à New-York
(États-Unis).

Raposzkorrski, président de la Société entomologique de
S'-Pétersbourg.

SÉGUIN , ainé, membre de l’Institut, à Paris.

Boncompacni (prince Balthasar), à Rome.

SECCHI (le R. P. A.), à Rome.

REnarp (S. Ex. le chevalier), conseiller d'État, secrétaire
de la Société impériale des naturalistes de
Moscou.

CLausius, R., professeur de PISE AOC à l'université de
Bon (Prusse).

1868

1869

1870

1871

1871

{ vi )

Hezunozrz, professeur de physiologie, à Berlin.

CaILLETET, pharmacien et chimiste, à Charleville (France).

Marié Davy, directeur de l'Observatoire météorologique
de Montsouris, à Paris.

SCHLOEMILCH, professeur d'analyse à l’École polytechnique
de Dresde.

SIMON, E., naturaliste, à Paris.

Pisco, professeur à l'École industrielle de Vienne.

DaGuIN , professeur à la faculté des sciences de Toulouse
(France).

TraurscHoLD, professeur à l'École d'agriculture à Pétrovs-
koi, près Moscou (Russie).

MaLaise, C., professeur à l’Institut agronomique de Gem-

bloux.
Liouvizze , J., membre de l’Institut, à Paris.
BERTRAND, d. L. F., id., id.
SERRET, J. A., id., id.

Van HooRrEN, conservateur au Musée royal d'histoire natu-
relle, à Bruxelles.

Hesse, professeur à l’université de Munich.

ImscHeNETsKI, professeur à l’université de Karkoff (Rus-
sie).

MuELLER (baron vox), directeur du Jardin Botanique de
Melbourne (Australie).

Pom, docteur en médecine, à Sindanglaia (Java).

Henry, L., professeur à l’université de Louvain.

Durice, professeur à l'École polytechnique de Prague
(Bohème).

De Konicx, Lucien, ingénieur-chimiste, à Charleroi.

MaxweLz T. Masters, membre de la Société royale à
Londres.

Tuouson, James, vice-président de la Société géologique
de Glasgow.

RiBetro, membre de l’Académie des sciences , à Lisbonne.

CaPELLINt (commandeur G.), professeur de géologie à
l’université de Florence.

(ax)

1872 VaLLës, inspecteur honoraire des ponts et chaussées, à

1875

Paris.

GariBALDI, professeur à l’université de Gènes (italie).

FRADESsso DA SILYEIRA , directeur de l'Observatoire, à Lis-
bonne.

Kanrrz, D' Aug., professeur à l’université de Klausen-
bourg (Hongrie).

Lucca, professeur de chimie à luniversité de Naples
(Italie).

CLos, directeur du Jardin des Plantes, à Toulouse.

Marins, directeur du Jardin Botanique de Montpellier.

Bares, H., secrétaire-adjoint de la Société géographique de
Londres.

MeLsens, membre de l'Académie royale des sciences, des
lettres et des beaux-arts de Belgique.

HermiTe, membre de l'Institut, à Paris.

DarBoux, agrégé de l’université, à Paris.

Fournier, Eug.. D’. secrétaire de la Société botanique de
France, à Paris.

Hazz (James), paléontologiste de l'État, à Albany (États-
Unis).

WorrHen, À. H., directeur du Geological Survey de PHII-
nois (États-Unis).

Mk, F. B., paléontologiste de l'État, à Washington.

Wairney, J. D., géologue de l'État, directeur du Geologi-
cal Survey de Californie (États-Unis).

GLaziou, botaniste , directeur du Passeio publico, à Rio de
Janeiro.

LapisLaô Netro, botaniste, directeur du Musée impérial
de Rio de Janeiro.

De Carvazno (Pedro Alphonso), docteur en médecine,
directeur de l'Hôpital de la Miséricorde, à Rio
de Janeiro.

Bormeisrer , H., directeur du Musée national de Buenos-
Ayres.

Moreno, F. P., paléontologiste, à Buenos-Ayres.

(Æ )

1875 ArEscHouc, professeur - adjoint à l’université de Lund
(Suède).
1874 WinkLer, D. C. J., conservateur du Musée de Harlem
(Néerlande).
Hayoen, géologue de l'État, à Washington.
Van RYSssELBERGHE, professeur de mathématique à l’école
de navigation, à Ostende.
GEGENBAUER, professeur à l’université de Heidelberg.
HAECKEL, id., Neo à Jéna.
WALDEYEN, id., id., à Strasbourg.
Huxzey, professeur à l'école des mines, à Londres.

LISTE

DES

SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC.
| AVEC LESQUELLES
LA SOCIÈTÉ DES SCIENCES DE LIÈGE
échange ses publicalions,
AVEC LE CATALOGUE DES OUVRAGES REÇUS DEPUIS L'IMPRESSION DU TOME V.

(1er novembre 1873. — 1er novembre 1874.)

a

BELGIQUE.

Bruxelles.

Académie royale des sciences, des lettres
et des beaux-arts de Belgique.

Annuaire, quarantième année; in-12. Bruxelles, 1874.
Bulletin, 2° série, tome XXXV.
— — — XXXVL
— — — XXXVIL.
—— — — XXXVIIL, n° 7 et 8; in-8°. Brux., 1875-1874.
Mémoires in-4°, t. XL. Bruxelles, 1875.
— couronnés in-4°, |. AXX VII et XXXVIIL. Brux., 1875-1874.
— == collection in-8°, t. XXIIT. Brux., 1873.

Observatoire royal.

Annales, avril à décembre 1875.

(Bu)

Société entomologique de Belgique.

Annales, t. XVI; in-8. Bruxelles, 4875.

Societé malacologique de Belgique.

Procès-verbaux des séances du 6 juillet 1873 au 4 juillet 1874.
Annales, t. VIIT; in-8°. Bruxelles, 4871-1875.

Mons. — Société des sciences, des lettres et des beaux-arts
du Hainaut.

ALLEMAGNE.

Berlin. — Kœnigliche preussische À kademie der Wissenschaften.

Monatsbericht, Februar-December, 1875; in-8°. Berlin, 1875-1874.

— Januar-Juli, 4874; in-8°. Berlin, 4874.
Abhandlungen aus den Jahren 1872-1875; in-4. Berlin, 1875-187#.
Verzeichniss der Bibliothek; in-8°. Berlin, 1874.

Deutsche Geologische Gesellschaft.
Zeitschrift, XXV Band, 5% und 4% Heft; in-8°. Berlin, 1875-1874.
— XXVI Band, 4% und 2° Heft — — 1874.
Entomologischer Verein.

Berliner entomologische Zeitschrift, 16‘ Jarhgang (1872), 2 bis
4 Vierteljaresheft, 1872.
— 17% Jarhgang (1875), 1875-1874.
— 18% — (1874), 1'-215 Vierteljahresheft, 1874.

Zeitschrift für die gesammten Naturwissenschaften.

(Redig. vom Prof. Dr Gicbel, in Halle.)

Neue Folge, Band VII (Der ganze Reihe, XLI B!); in-8°. Berlin, 1875.

( xt )

« . À . .
Bonn. — Naturhistorischer Verein der Preussisschen
Rheinlande und Westphalens.

Breslau. — Schlesische Gesellschaft für vaterlaendische
Cultur.

Fünfzigster Jahres-Bericht im Jahre 1872; in-8°. Breslau, 1875.
Sechsigster — — 1875 — 1874.
Abhandlungen. Philosophisch-historische Abtheilung, 1872-1875 ;
in-8°, Breslau , 1875.
— Idem, 1875-1874; in-8°. Breslau, 1874.
_— Abtheilung für Naturwissenschaften und Medicin,
1872-1873; in-8°. Breslau, 1875.

Colmar. — Societé d'histoire naturelle.

Erlangen. — Physikalich-medicinische Societaet.

Sitzungsberichte, 5 Heft, november 1872 bis August 1875; in - 8°.
Erlangen , 1375.

Francfort. — Senckenbergische naturwissenschaftliche

Gesellschaft.

Bericht, vom Juni 1872 bis Juni 1873; in-8°. Frankfurt, 1875.

Fribourg.

Naturforschende Gesellschaft.

Berichte über die Verhandlungen, Band VI, Heft IT und II; in-8°.
Freiburg, 1875.

Giessen. -— Oberhessische Gesellschaft für Nalur-
und Heilkunde.

Neunter Bericht, im Mai 18692; in-4°. Giessen.
Zehnter — im August 4862; in-4. —
Vierzehnter — im April 1875;in-8. —.

( xiv )

Gottingue. — Koenigliche Gesellschaft der Wissenschaften-

und Georg-August Universitül.

Nachrichten aus dem Jahre 1875; in-8°. 1875.

Halle.

Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen
und Thüringen.
Mitglieder, 1848-1873.

Naturforschende Gesellschaft.

Abhandlungen, XII Band, 5% und 4‘ Heft; in-4°. Halle, 1873.
— XIII Band, 1% Heft.
Bericht, 1871, 1872 und 1875; in-4°. Halle.
Koenigsherg. — Koenigliche physikalische-œkonoinische
Gesellschaft.

Schriften, 15° Jahrg., 1872, 24 Abtheilung; in-4°. Kœænigsberg, 1872.

Landshut. Botanische Verein.

4% Bericht über die Vereins-Jahre 1872-1875 ; in-8°. 1874.
Retz. -— Académie des sciences.

Munich. —- Aoenigliche Bayerische Akademie
der Wissensthaften.

Sitzungsberichte der mathematisch - physikalischen Classe, 1372,
Heft IH; 1875, Heft I und Il; 1874, Heft LI.

Abhandlungen, 11* Bandes, 2% Abtheilungen ; in-4°. 1875.

— — 1874.

Verzeichniss der Mitglieder, 1875; in-4°. 1875.

Den Antheil an der Entwickelung der Electricitätslehre ; in-4°. 1875.

D: Th. L. W. von Bischoff : Eine Denkschrift über den Einfluss von
J. von Licbig.

nes
er

A. Vogel, Idem.
D° Max von Pettenhofer : Zum Gedächtniss vos J. von Liebig, 1874.

(xv)

Künigliche Sterniwarte.

Annalen, XIX Band; in-4. 1875.

Offenbach. — Offenbacher Verein für Naturkunde.

Zehnter Bericht; in-8°. 1869.
Dreizehnter- und Vierzehnter Bericht; in-8°. 1875.

Stettin. — ÆEntomologischer Verein.

54% Jahrgang, n' 7-12; in-8°. 1875.
D 672

Stutigard. Verein für vaterlaendische Naturkunde

in Würtemberg.

Würtembergische naturwissenschaftliche Jahreshefte, 29% Jahrgang ;
in-8°. Stuttgard, 1875.
Idem, 50° Jahrgang ; in-8°. Stuttoard, 1874.

Wiesbaden. — NVassauischer Verein fur Naturkunde.

Wurzbourg.

Physikalische-medicinische Gesellschaft
in Würzourg.

Verhandlungen, neue Folge, FL Band, 4 (Schluss) Heft; in-8°. 1869.
— — Il — — 1872.
— — III 1872.

— IV. 1875.

— — V 1875-1874.

= — V 1874.

Naturwissenschaftliche Zeitschrift.

4 Band, 1 Heft; in-8°. Würzburg, 1863.

Zwick au. — Verein für Naturkunde.

Jahresbericht für 14873. 1874.

(OEavin))

AUTRICHE-HONGRIE.

Gorlitz.

Neues Lausitzisches Magazin.

Band L, 4° und 2° Heft; in-8°. Gorlitz, 1875.

Hermannstadt. — Siebenbürgischer Verein
fur Naturwissenschaften.

Verhandlungen und Mittheilungen, XXHI und XXIV Jahrgang; in-8°.
Prague. — Koenigliche boehmische Gesellschaft
der Wüissenschaften.

Abhandlungen vom Jahre 1871-1872, 6° Folge, Band V; in-4°. 1872.
— — 1875, 6° Folge, Band VI; in-4°. 1874.
Sitzungsbericht, Jahrgang 1871-1872.
— — 1875, Januar-Juni 1875.

Kaiserliche-Koenigliche Sternwarte.

Magnetische und meteorologische Beobachtungen, Jahr 1870-1871.

Vienne.

Kaiserliche À kademie der Wissenschaften.

Mathematisch - Naturwissenschaftiiche Classe, Sitzungsberichte,
LXVI Band, 1872.
EXVII Band, 1875.
LXVII Band, I und II Heft, 1875 Juni und Juli
(4' und 2 Abtheilung).

Phänologische Beobachtungen aus dem Pflanzen- und Thierreiche
von Karl Fritsch; VIII Heft, Jabrgang 1857;
in-4°. Wien, 1869.

Kaiserliche-Koenigliche zoologische-botanische Gesellschaft.

Verhandlungen, XXII Band; in-4°. 1875.

( xvi )

Kaiserliche-Koenigliche geologische Reichsanstalt.

Abbandlungen, Band V, 1871-1873; in-4°.
— — VI, Heft 1, 1875.

— — VII, Heft 1 und 2, 1874.
Verhandlungen, Bericht vom 51 Juli 1873, n° 11; in-8°.
— — — 1874, n° 1-7; in-8°.

Jahrbuch, XXII Band, n° 3, 1875.
— XXIV Band, n' 1 und 2, 1874.

ESPAGNE.

Madrid. — Real Academia de Ciencias.

FRANCE.

Bordeaux. — Académie des sciences, belles-lettres et arts.

Actes, 3° année 1841, 4° trimestre, in-8°.

— 18° — 1856, 2° et 4° trimestres.

— 19° — 1857.

— 20° — 1858.

— 91° — 1859,1°, 2° et 5° trimestres. Paris, 1859.
— 992 — 1860, 5° série.

— 25 — 1861.

— 2% — 1862.

— 95° — 1863, 1“ et 2° trimestres.

— 98° — 1866, 4° trimestre.

— 29° — 1867,1° —

— 34° — 1872-1875, 1°, 2° et 5° trimestres.

— — — 1873, 4 trimestre. Paris, 1874.

Société linnéenne.

Actes, tome XX VII; 3° série, tome VII, 2° partie.
— — XXVIN — — VIN, 1" et 2° parties; in-8°.
b

( xvin )

Société des sciences physiques et naturelles.

Mémoires, t. IX, 2° cahier; t. X, 1° cahier; in-8°, 1874.
Extrait des procès-verbaux des séances, in-8°. Bordeaux, 1869.

Caen. Société linnéenne de Normandie.

Cherbourg. — Société des sciences naturelles.

Mémoires, t. XVII ; in-8°. Paris et Cherbourg, 1875.
Catalogue de la bibliothèque, 2° partie, 1" livr., 51 décembre 1872.

Dijon. — Académie des sciences.
Mémoires, 2° série, tome XIV, années 1866-1867.

su — — XV, — 1368-1869.
Le _ — XVI, — 1870; in-8°. Paris et Dijon.

Lille.

Société des sciences, de l’agriculture et des arts.

Mémoires, année 1872, 5° série, 10° et 11° vol. (2° partie).
Programme des concours : prix Wicar. Lille, 1874.

Lyon. — Académie des sciences.

Société d'agriculture.

Annales, 4° série, t. IV ; in-8°. Paris et Lyon, 1871.

Société linnéenne.

Montpellier. Académie des sciences et lettres.

Nancy. — Société des sciences (ancienne Société des sciences
naturelles de Strasbourg).

Statuts. Nancy, 1874.

(#61)

Paris.

Société Géologique de France.
Bulletin, 2° série, t. XXIX; in-8°. Paris, 1871-1872.

Société Philomathique.

Bulletin, t. X. Janvier-juin 1875. In-8°.
Muséum d'histoire naturelle.

L’Abeille, journal d'entomologie; directeur : M. de Marseul.

Dixième année, 11° et 12° livraison, in-20°. 1875.
Onzième année, 1-12. 1874.

Rouen. — Societé des amis des sciences naturelles.

Neuvième année, 1875. In-8°.
Toulouse. — Académie des sciences.

Troyes. — Société académique de l’Aube.

Mémoires, tome IX, 5° série. Année 1879; in-8°.
— — X, — — 1875; —

GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE.

Dublin.

Royal Irish Academy.

Transactions, volume XXIV. Sciences. Parts XVI and XVII; in-4°.
Dublin, 1870.
— volume XXV. Sciences. Parts F, IT, II]; in-4°. Dublin,
1872.
Proceedings, volume E, ser. 11. Session 1870-1871 ; n°® 2 and 3; in-4°.
Dublin, 1871.

(xx)

Proceedings, volume I, ser. IL. Session 1871-1872; n°° 4, 5, 6; in-4°.
Dublin , 1871.

Natural history Society.

Edimbourg. — (eological Society.

Transactions, vol. IT, part Il; in-4°. 1875.

Glasgow. — Geological Society.
Natural history Society.

Londres. — Geological Society.

The quarterly Journal, volume XXIX, part. 2, 5. 1875.
— — — XXX, — 1.1874; in-8°.
The list at November 1875.

Linnean Society.

Additions to the library, received from June 1871 to June 1872.
List of the members, 1872.
Procecdings (session 1872-1873).
The Journal, volume XI. Zoology; n° 55. 1872.

— — — n° 56. 1873.

— — XII. Botany; n° 68. 1872.

— — — n% 69, 70, 71 et 72. 1875; in-8°.
The Transactions, vol. XX VII and XXIX. 1873; in-#°.

Mac Millan Office.

Royal Society.

Philosophical Transactions for the ycar MDCCCLXXIT, vol. 162,
part II. In-4°, 1872.
Idem for the year MDCCCEXXIIT, vol. 165. 1874.

({ Xx1 )

Proceedings, volume XX and XXI; n° 158-145. In-8°.
— — XXI and XXII; — 146-150. —

The council of the Royal Society, 30 th. November 1872. In-4°.
| — 1873. —

Zoological Society.

Manchester. — Litierary and philosophical Society.

ITALIE.

Bologne. — Academia delle Scienze.

Catane. Academia gioenia di scienze naturali.

Florence. — R. Comitato geologico d'Italia.

Bolletino , 1872; volume III.
— 1873; — IV. Firenze, 18753.

— 1874; n° 1-6. Roma, 1874; in-8°.

Gênes. — Observatorio della R. Universita.

Stato meteorologico della citta di Genova per 1872.
Relazione del dottore P. M. Garibaldi; in-4°. Genova, 1875.

Modène. — Societa dei naturalisti.

Annuario, anno VII. Dispensa 1 et 2; Aprile e Septemb. 1872; in-8°.
Modena, 1872.

= anno VII. Dispensa 3 et 4; Aprile e Ottobre 1875; in-8°.
Modena, 1875.

— anno VIII. Serie I, fascicolo primo ; in-8°. Modena, 1874.

Naples.

Societa Reale.

Palerme. — Instituto tecnico.

( xx )

Rome. -— Bolletino di bibliografia delle scienze matematiche.

Tome VI; anno 1875.
— VII; — 1874. Gennaïo-Marzo, 1874; in-4°.
Reale Academia dei Nuovi Lincei.

Atti, tomo XXVI, sess. 1° del 1° Decembre (1872); in-4°. Roma, 1873.

LUXEMBOURG.

Luxembourg. — Institut royal grand-ducal, section
des sciences naturelles et mathématiques.

Publications, t. XIIL; in-8°. 1873.

NÉERLANDE.

Amsterdam.

Koninklijke Academie van wetenschappen.

Afdeeling-natuurkunde. Processen-verbaal van de gewone vergade-
ringen van Mei 1875 tot en met April 1875.

Afdeeling-natuurkunde. Verslagen en mededeelingen; tweede reeks,
zevende deel; in-8°. 14875.

Afdeeling-letterkunde. Tweede reeks, derde deel; in-8°. Amsterdam ,
1873.

Afdeeling-letterkunde. Verhandelingen; dertiende deel ; in-4°. Ams-
terdam, 1875.

Afdeeling-letterkunde. Jaarboek gevestigd te Amsterdam voor 1872;
in-#4°. Amsterdam, 1872.

Harlem. Société hollandaise des Sciences.

Archives néerlandaises, t. VIIL, 5° et 4° livr.; in-8°. La Haye, 1875.
Programme, année 1874.

( xx )

Rotterdam. — Société expérimentale.

Programme, année 1874.

RUSSIE.

Helsingfors, — Société des sciences de Finlande.

Moscou. — Société impériale des naturalistes.

Bulletin, année 1872, n° 4; année 1875, n° 1, 2 et 5; in-8°.

St-Pétersbourg, — Académie impériale des sciences.

Bulletin, t. XVIIE, n° 5, 4 et 5; t. XIX, n°° 1, 2 et 5; in-4°.
Société d'archéologie et de numismatique.

Société entomologique.

Horæ societatis entomologicæ rossicæ, t. IX, n° 5 et 4; 1875.
e)

Société impériale de minéralogie.

SUÈDE ET NORWËÈGE.

—

Christiania. — Kongelige Frederiks Universitet.
Stockholm, — Académie royale des sciences.

Nordist medicinskt Arkiv, directeur : D' Axel Key.

Sjette Bandet, andrea Häftet. Stockholm, 1874; in-8°.

CIE)

SUISSE.

Berne. — Naturforschende Gesellschaft.

Mittheilung aus dem Jahre 1870 ; N° 711-744.
— — 1872; Nr 792-811.
— — 1873; N° 812-827 ; in-8°.

Sociélé helvétique des sciences naturelles.

Actes, 55° session. Compte-rendu de 1872 ; in-8°.
Nouveaux Mémoires, t. XXV ; in-4°. 1875.

Neuchâtel. — Société des sciences naturelles.

Bulletin, t. IX, 5° cahier, 1870-1875 ; in-8°.

Schafhouse, — Naturforschende Gesellschaft.

Verhandlungen, am 18, 19 et 20 Aug. 1875. 56° Jahresversammlung.
Jahresbericht 1872-1875 ; in-8°. Schaffhausen, 1874.

AMÉRIQUE.

ETATS-UNIS.
American Association for advancement of sciences.

Proceedings of the twentieth meeting, 1871. Cambridge, 1872; in-4°.
— — twenty-first — 1872. — 1875: —

( xxv

Boston.

American Academy of arts and sciences.

Proceedings, vol. VII, from May 1868 to May 1875; in-8°, Boston
et Cambridge , 1875.
— — XV, part. III and IV. 1873.
_ — XVI, — Iand Il. 1875-1874.

Sociely of natural History.

Memoirs, vol. 1, part. II, N° IV; in-4°. 1875.
— — — HI, N° I'and II]; in-4°. 1873.

Cambridge. —— Museum of comparative zoology.

Columbus. Ohio State agricultural Society.

Madison. — Wiscousin Academy of sciences, letters and arts.

Transactions, vol. X, 1871 ; vol. XI, 1872; in-8°.
New-Haven. — Connecticut Academy of arts and sciences.

Newport. — Orleans County Society of natural Sciences.

New-York. — Lycœum of natural History.

Catalogue of the Phalænidæ of California, n° Il. Boston, 1874; in-8°.
— — Pyralidæ of California, vol. X, n°9. New-York, 1875.

Philadelphie. — Academy of natural Sciences.

American philosophical Society.

Wagner Free Institute of Sciences.

Portland. Natural History Society.

C

( XXV1 )
Salem. — The American Naturalist.

Essex Institute.
The ancestry of insects, 1875.

Third annual Report on the injurious and beneficial insects of Massa-
chussetts, 1875.

Peabody Academy of sciences.
San-Francisco. — Californian Academy of sciences.

Washington. — Smithsonian Institution.

Sixth annual report of the United-States geological Survey of the
territories, by F. V. Hayden. Washington, 1875;
in-8°.

Miscellaneous publications, n° 4 and 5. 1874; in-8°.

Bulletin, n°° 1 et2; 1874.

GUATEMALA.

Guatemala. — Sociedad economica.

RÉPUBLIQUE ARGENTINE.

Buenos-Ayres. — Academia de ciencias exactas.

Extracto del bolletino, secunda entreca. 1874; in-8°.

( xxvI )

ASIE.

INDES ANGLAISES.
Calcutta. — Asiatic Society of Bengal.

Journal, n°° 4 à 4, 1875, et n° 1, 1874.

INDES NÉERLANDAISES.

Batavia. — Koninklijke Natuurkundige Vereeniging in Neder-
landsche Indie.

Natuurkundig Tijdschrift, 2% reeks, 2% deel, aflev. 4-6 ; in-8°.

RÉVISION

DE LA

MONOGRAPHIE DES ÉLATÉRIDES,

PAR

Envesr CANDÈZE,

Docteur en médecine, chevalier de l'Ordre de Léopold,
membre de l’Académie royale des sciences, des lettres et des beaux arts de Belgique, de la Société royale
des sciences de Liége, des Sociétés entomologiques de Bruxelles, de Paris,
de Londres, de berlin, de S'-Pétersbourg, etc.

PREMIER FASCICULE.

AVANT-PROPOS.

En abordant autrefois l'étude des Élatérides dans le but d'en
publier la monographie, mon premier soin fut, amsi qu'il est
d'usage, d'établir leur bibliographie aussi complétement que pos-
sible et de rechercher, dans les auteurs qui s’en étaient occupés
d’une manière générale, dans les travaux d’Eschscholtz, de
Latreille, de Germar, d'Erichson et de Le Comte, les formules
de classification que chacun d'eux avait émises.

En constatant la divergence d'opinions de ces auteurs quant
aux bases à adopter comme point de départ dans l’arrangement
des Élatérides, et en étudiant moi-même ces insectes, je ne
tardai pas à m'apercevoir combien était ardue la tâche de les
grouper méthodiquement. Lacordaire qui, à la même époque,
était arrivé à cette famille dans la rédaction de son Genera,
frappé également des difficultés que présente leur classification,
les déclare excessives et peut-être insolubles.

Vingt années pendant lesquelles je me suis occupé de ces
insectes, avec plus ou moins d’assiduité mais sans Jamais en

abandonner complétement l'étude, n'ont convaincu que lappré-

(nu)
ciation de Lacordaire était juste. Voici à quel résultat je suis
arrivé de mon côté.

Il est facile de reconnaitre, chez les Élatérides, une vingtaine
de types assez naturels, caractérisés chacun par une particularité
saillante. La présence, sous le prothorax, de cavités destinées à
loger les antennes au repos, la saillie plus ou moins forte du
front, l'existence de lamelles aux tarses, la pectination des cro-
chets, etc., constituent des caractères qui, sans être exclusifs,
peuvent être considérés iei comme de premier ordre.

Ces formes typiques ainsi établies, on peut rattacher à chacune
d'elles un groupe de genres qui, tout en divergeant, c'est-à-diré
en s’écartant de ce type suivant des tendances qui les rapprochent
des autres, conservent toujours quelque particularité prédomi-
nante qui détermine leur parenté avec lui plutôt qu'avec un
autre. On arrive ainsi à former un certain nombre de tribus
assez naturelles, quant à leur ensemble, mais possédant toutes
des membres aberrants qui se tiennent sur leurs limites et qui
font entre elles l'office de trait d'union.

Jusqu'ici les choses se passent d’une manière assez satisfai-
sante. Mais où git la difficulté, je crois même pouvoir dire lim-
possibilité, c’est de disposer les groupes de telle sorte que leur
succession forme une série naturelle. J’ai tenté en vain de le
faire et j'y ai renoncé. Dans la Révision que j'ai entreprise on
trouvera la famille divisée en tribus, c’est-à-dire en groupes de
genres comme ils ont été primitivement établis, avec eette seule
différence que j'ai élevé au rang de tribus mes anciennes sous-
tribus en supprimant le nom collectif d'Élatérides vrais qui
réunissait ces dernières, mais quant à l’ordre des tribus lui-
même , je l’ai laissé à peu près tel qu'il existe dans la Monogra-

phie, n'ayant aucune bonne raison pour le bouleverser.

(nr)

On doit, en eflet, considérer chaque tribu comme formant
un groupe de genres dont les affinités avec les autres groupes
sont multiples.

Il en résulte que dans l’ordre suivi, il y a eu çà et là des dis-
jonctions forcées. Ainsi les Ludius et genres voisins constituant
la tribu des Ludiites se relient par des formes intermédiaires avec
les Chalcolépidiites, les Cardiorhinites, les Pomachiliites, les
Élatérites, ete. Les Athous ont des rapports étroits avec les
Asaphites qui en ont eux-mêmes de très-intimes avec les Corym-
bites. Ceux-ci d'autre part sont si peu distincts des Pyrophorus
que je ne puis qu'invoquer la seule distribution géographique,
pour ne pas les fondre en un seul genre. Or les Corymbites et
les Pyrophorus ne seraient pas déplacés à la suite des Alaites,
mais cette place est occupée non sans d'autres bons motifs par
les Chalcolépidites.

Je pourrais poursuivre beaucoup plus loin, en l’appuyant
d'exemples, la démonstration de cet enchevêtrement des groupes
entre eux, mais ce que J'en ai dit suffit, je pense, pour montrer
l'impossibilité d'arriver à un arrangement satisfaisant à cet égard.
Les entomologistes qui se sont occupés de faunes locales, celle
de l'Europe, celle de l'Amérique du Nord, par exemple, sont par-
venus à classer leurs Élatérides d’une façon rationnelle; mais
tout autre est Ja difficulté lorsqu'on est en présence des espèces
de tout le globe, avec les faunes si diverses du Brésil, du Chili,
de l'Australie, de Madagascar, etc.

Un fait intéressant a étudier, c’est le changement que subis-
sent certaines formes typiques suivant les régions où elles se
montrent.

Nous venons de voir que le type Corymbites se transforme en

Pyrophorus dans l'Amérique intertropicale, ou, si l’on veut, que

Cv)
les Pyrophorus perdent, en dehors de ces régions, leurs vésicules
lumineuses. On peut de même considérer les Cardiorhinus et
les Cosmesus comme tenant lieu de nos Agriotes dans le nouveau
continent, et ces mêmes Ayriotes, tous de couleur si uniformé-
ment terne dans notre pays, deviennent aux Indes orientales de
brillants Agonischius.

Le genre Tetralobus, l'un des plus remarquables de la faune
africaine, possède des caractères tels qu'il parait tout à fait
isolé dans la famille. Toutelois il a des représentants en Austra-
lie où le type s’altère considérablement, et l'une de ces formes
altérées rappelle assez bien le Pythiobius anguinus de l'Amérique
du Nord, dont la parenté avec les Afhous est évidente.

Les Hemirhipus américain ont pour analogues aux Indes
orientales les Tetrigus. Or ceux-ci ont une tendance visible à se
rapprocher des Aphanobius et des Ludius par quelques détails
de leur structure.

I serait possible de multiplier ces exemples, mais conime ils
sont relevés dans les généralités de chacun des genres, je me
borne ici à en citer quelques-uns pour montrer combien il est
nécessaire, pour bien juger des rapports des différents genres
entre eux, d'étudier la famille, non dans une région limitée comme
l’Europe ou l'Amérique, mais dans son ensemble universel.

Les quelques changements que j'ai apportés à la classification
des Élatérides, dans le présent ouvrage, justifient le titre de Révi-
sion de la Monographie que je lui ai donné préférablement à
celui de Supplément, qu'il mériterait mieux si l’on ne considé-
rait que l'augmentation notable des espèces décrites.

J'ai adopté, dans sa rédaction, le plan qu'a suivi Boheman dans
son quatrième volume de la Monographia Cassididarum, c'est-à-

Ci)

dire que j'ai cité tous les genres et les espèces de ma Monogra-

(V2)

phie , en rectifiant les erreurs commises, supprimant certaines
fausses espèces et ajoutant à leur place méthodique les espèces
nouvelles. Il a été nécessaire, pour les genres qui recevaient un
grand accroissement d'espèces, de refaire les tableaux dichoto-
miques, mais je les ai abrégés autant que possible en supprimant
les embranchements qui ne renferment pas d'espèces nouvelles
et qui n'auraient été ainsi qu'une répétition inutile des premiers, .
auxquels on peut toujours recourir pour les compléter. J'ai donné,
chaque fois qu'il m'a été possible, une description ou au moins
une diagnose des espèces qui, ayant été décrites depuis la publi-
cation de la Monographie, ne s'y trouvent pas comprises, en
sorte qu'avec ce dernier ouvrage et celui que je publie actuel-
lement, on aura la description de tous les Élatérides connus à
cette date et dont le nombre, autant que je puis l'estimer aujour-
d'hui, ne sera pas beaucoup au-dessous de trois mille cinq cents.

Un mot encore sur la classification. On s’étonnera peut-être de
l'absence de tableaux dichotomiques pour les tribus, qui servent
de point de départ dans la recherche du nom d’un Élatéride quel-
conque, en le classant d’abord dans l’une ou l’autre des divisions
primaires. À cela je répondrai par une déclaration d'impuis-
sance. Chaque tribu renferme, il est vrai, un type assez nette-
ment défini, mais autour de lui viennent se placer trop de formes
aberrantes pour qu’il soit possible de donner une caractéristique
exacte de chaque tribu, et il faut bien, aujourd’hui que l’ento-
mologie descriptive a pris un développement énorme et que les
espèces comprises dans les collections sont devenues innombra-
bles, supposer à ceux qui entreprennent l'étude approfondie de
l’une ou l’autre famille d'insectes, au moyen des monographies,
des connaissances préalables puisées dans les traités élémen-

taires et dans l'examen des collections bien nommées.

(vi)

En tant que Supplément, c'est l'importante collection de
M. Éd. Janson qui a servi de base au présent ouvrage. M. Janson
s’est appliqué, depuis nombre d'années, à réunir et à fondre, dans
son propre musée, toutes les collections d'Élatérides qu'il a pu
acquérir et ceux de ces insectes récoltés par les naturalistes voya-
geurs. Outre l’ancienne collection du marquis de la Ferté Sénec-
terre qui renfermait elle-même les Élatérides de Dejean, de Gory,
de M. Buquet, etc., sa collection comprend la totalité ou une
grande partie des espèces récoltées par Mouhot, MM. Wallace ,
Bukley et bien d’autres, en sorte que cette collection est de loin la
plus importante qui existe pour la famille dont il est iei question.

J'arrive à la nomenclature adoptée.

Aujourd'hui que les entomologistes sont divisés en deux camps
sur la question de savoir si l'on doit revenir aux noms anciens
et oubliés depuis longtemps, poux les substituer à ceux qui ont
usurpé leur place et que la tradition a consacrés, ou bien si l’on
doit admettre, pour les noms scientifiques, une sorte de pres-
cripüon légitimant ces usurpations; en présence de cette discus-
sion dans laquelle les uns et les autres appuient leurs opinions
d'excellents arguments, j'ai dû nécessairement prendre un parti.

Ennemi de toute règle exclusive et absolue, je n'ai suivi rigou-
reusement aucun des deux systèmes, me laissant guider par l’un
ou l’autre, selon qu'ils me paraissaient plus rationnels dans tel ou
tel cas. Ainsi, tandis que pour l’Adelocera atomaria, nom admis
autrefois par moi, j'adopte la rectification qui lui attribue le
nom de carbonaria, plus ancien de quelques années, je repousse
celui de punctata que l'on voudrait de nouveau lui substituer
comme le plus légitime.

Je n'ignore nullement les critiques auxquelles je m'expose

en agissant de la sorte, mais je pense que les esprits modérés

(vn)

m'approuveront et que tôt ou tard une sorte de transaction ral-
liera le plus grand nombre. Ce n’est pas ici le lieu de justifier le
parti que j'ai adopté, ce qui serait sortir du cadre restreint où je
dois me renfermer dans ces quelques lignes d’avant-propos ; j'ai
tenu toutefois à déclarer que si, dans les pages qui suivent, tantôt
je me range du côté des réformateurs, tantôt je reste avec les con-
servateurs, ce n'a pas été sans des raisons que je crois bonnes.
Je me suis abstenu, en général, d'établir ou, pour me servir
du terme consacré, de créer des espèces sur des exemplaires
uniques, sauf le cas où ceux-ci présentaient des caractères assez
tranchés pour que le doute ne füt guère possible. L'étude scru-
puleuse et longtemps continuée d’un groupe d'insectes finit par
façonner l'organe visuel de telle sorte, par lui donner une habi-
leté distinetive si étonnante, qu’on arrive à voir des différences
notables, à où il n’y a que de minimes variations sans importance
réelle et, la plupart du temps, individuelles. Je me suis mis en
garde contre cette tendance. Remarquons à ce propos que de
faibles différences de structure, parfois même de couleur ou de
disposition de dessin, sont plus significatives dans tel genre que
dans tel autre; que certains genres sont composés d'espèces où
la forme et la couleur sont plus fixes et mieux arrêtées. Ainsi
les couleurs, et leur disposition pour former des dessins, n'ont
aucune valeur chez certains Cardiorhinus, où l’on ne trouve pas
deux individus identiquement semblables, tandis que chez les
Adelocera, les Alaus, les Elater, etc., les indices tirés de ces ca-
ractères ont plus de signification. Il en est de même de la forme :
celle-ci paraît extrémement instable chez les À thous, par exemple,
et l'on doit se montrer très-réservé dans l'établissement des
espèces de ce genre éminemment variable, à moins que l'on n'ait

sous les yeux un nombre suffisant d'exemplaires.

( vu)

Les espèces décrites comme nouvelles dans ce premier fascicule
sont au nombre de 158, réparties dans les quatre tribus des
Agrypnites, des Alaites, des Chalcolépidiites et des Oxynopté-
rites. En tenant compte des espèces établies depuis la publica-
tion du premier volume de la Monographie, les trois premières
tribus qui, à cette époque, comprenaient respectivement 190, 58
et 121 espèces sont actuellement composées de 524, 115 et 146
espèces. On peut juger par là de l'accroissement rapide qu'elles
ont pris depuis une vingtaine d'années.

On remarquera que, pour la désignation des tribus, j'ai changé
la terminaison ide en üite. Cette dernière était primitivement
réservée aux sous- tribus, mais comme j'ai cru devoir élever
celles-ci au rang de tribus en supprimant la désignation d’Éla-
lérides vrais appliquée à la grande masse des insectes de la
famille, j'ai dû choisir entre l’une ou l’autre de ces terminaisons.
J'ai opté pour la seconde, afin de ne pas avoir en même temps
la tribu et la famille des Élatérides.

- > 609 —

TRIBU Î.

Er NO ANIME

Cette tribu correspond exactement à celle des Agrypnides telle
qu’elle est exposée dans la Monographie; il n’y a de changé que
l'ordre dans lequel plusieurs genres sont placés. Quant aux
espèces, elles se sont considérablement accrues, surtout dans le
genre Lacon.

AGRYPNUS.

Escas. Entom. Arch., t. 1, p. 52. — Canr. Monogr., t. 1, p. 20.

Les espèces de ce genre sont particulièrement répandues dans
les régions chaudes de l’ancien continent. L'Amérique et l’Aus-
tralie en renferment quelques-unes. Il n’en existe pas en Europe.
Comme elles présentent une grande uniformité dans la couleur
et la forme, ce qui en rend l'étude très-difficile, je les ai répar-
lies dans quatre groupes, suivant leur habitat. Cette mesure me
permet en outre de rendre plus facile la recherche des noms
spécifiques dans le tableau ci-dessous.

4°" groupe.
Afrique, Arabie, Syrie, Perse.

A Stries des élytres non ponctuées, au moins à la base.
a Élytres profondément striées. . . . . . . . . . . 4. 4. caliginosus.
aa Élytres faiblement striées. . . . . . . . . . . . 3. À.substriatus.

1

(2)

AA Stries des élytres ponctuées.
a Antennes aussi longues que la moitié du corps. . . . . #4 À. infuscatus.
aa Antennes moins longues que la moitié du corps.
æ Troisième article des antennes notablement plus court
que le quatrième.
* Deux fossettes sur le prothorax . . . . . . . . 11. 4. Dewalquei.
#*% Pas de fossettes sur le prothorax . . . . 9. 4. pubescens. 10. 4. rufus.
aa Troisième article des antennes aussi long ou à peu près
que le quatrième.
* Pubescence ne formant pas de taches sur le prothorax.
X Téguments brun plus ou moinsobseur ourougeâtre.
+ Prothorax atténué peu à peu d'arrière en
ANATE Be LE Me de en TE VASE
++ Prothorax aussi ou plus large au milieu
qu'à la base.
o Un fort tubercule au bord basilaire du
prothorax, au-devant de l’écusson. . 2. 4. notodont«.
oo Tubercule basilaire du prothorax faible.
c Prothorax plus ou moins parallèle. . 8. 4. crassiusculus.
ce Côtés du prothorax arqués.
x Toutes les stries des élytres bien

19. À. arabicus.

marquées.
y Angles postérieurs du prothorax
atténués et divergents . . . 5. 4. puber.
yy Ces angles non divergents. . . 6. À. attenuatus.
xx Stries internes obsolètes . . . . T1. À. australis.
XX Téguments noirs.
HO Pattes Noires lo ALU ICus:
+ Pattes rouges. . . . . . . . . . . 44. 4. persicus.
** Pubescence formant des taches sur le prothorax.
+ Des espaces lisses sur le prothorax . . . 415. 4. maculicollis.
+-+ Pas d'espaces lisses sur le prothorax. . . 146. 4. luridus.
ent groupe.
Indes orientales, Chine, Japon, Archipel malais.
A Élytres entières au bout.
a Prothorax plus ou moins pubescent, mais ne présentant pas
de taches formées par des poils plus serrés.
æ Stries 2-3-4, des élytres très-fortement imprimées à la
base.
* Corps luisant.
X Stries fortement ponctuées . . . . . . . . 18. 4.rufipes.
XX Suries finement ponctuées . . . . . . . . 24. 4. attonitus.
**k Corps mat.
XX Pubescence très-courte, grisâtre . . . . . . 19. 4. opacus.
XX Pubescence soyeuse, rougeâtre . . . . . . 20. 4. rubiginosus.

ax Stries des élytres normales.

(5)

* Corps noir brillant, presque glabre.
- #* Pubescent.
X Prothorax déprimé le long du bord latéral.
+ Écusson oblong.

o Stries des élytres effacées sur le dos. .
00 Stries distinctes jusqu à la suturale . .
+-+- Écusson large et pentagonal, ses angles la-
tero-postérieurs relevés. re ve
XX Prothorax non déprimé vers les bords . . . .

aa Des taches formées par des poils sur le prothorax.

17. À. fuscipes.

21. À. æqualis.
93. À. mœstus.

22. À. punctatus.
26. À. bipunctatus.

26. À. lacertosus.. 21. À. ocellatus. 28. À. fusiformis. 29. À. cinereus.

AA Élytres tronquées ou échancrées à l'extrémité.
a Deux fossettes sur le prothorax .
aa Pas de fossettes sur le prothorax.
æ Angles postérieurs du prothorax obtus, comme tronqués
AHEXIMÉNE RENE
æa Ces angles aigus.
* Pas de taches formées par des poils plus denses sur
le protkorax . 20 25 1e TRAME
** Des taches pileuses sur le prothorax.
X Élytres mucronées au bout .
OX Élytres échancrées au bout.
2e CAE CCENOUTTRO IEEE NU EN
-k+ Cette échancrure étroite

37° groupe.

Continent australien.

4° groupe.
Amérique.

A Prothorax plus long que large
AA Prothora moins long que large.

D

90. À. bifoveatus.

35. À. resectus.

84. À. politus.
33. À. Mmucronatus.

31. À. tomentosus.
32. A.javanus.

36. À. Mastersi.

31. À. Sallei.
33. À. Schott.

(V2)

1°" GROUPE.

Î. A. CALIGINOSUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 28.

Sénégal.

2. A. NOTODONTA. —Larr. — Caizz. Voy. à Méroé, Ins.,p. 5, pl. LVDI,
fig. 6. — Cano. Monogr., t. 1, p. 27.

Sénégal, Soudan, Haute-Égypte, Nubie, Abyssinie, Arabie.

3. A. SUBSTRIATUS. — Canp. Monogr., t. [, p. 25.

Sénégal.

4. À. INFUSCATUS. — Kiue, Prerers Reise n. Mozamb. 1855, p. 647.
— Cao. Monogr., t. 1, p. 28.

Mozambique.

D. À. PUBER. — Cann. Monogr., t. 1, p. 30.

Sénégal.

6. A. ATTENUATUS. — Fuscus, subnitidus, griseo-pilosolus ;
antennis brevibus, articulo tertio quarto æquali; prothorace con-
vexo, apice angusto, crebre et inæqualiter punctato; elytris parum
profunde punctato-strialis, apice attenuatis; pedibus rufescen-
tibus.

Long. 20-25 mill., lat. 6-7 mill.

Brunâtre, un peu luisant, revêtu peu densément de poils gris.
Antennes courtes, rougetres, leur troisième article de la taille
du quatrième. Prothorax aussi large que long, convexe surtout
en avant, couvert de points très-inégaux, rétréci assez forte-
ment au sommet, les côtés arqués, non sinueux en avant des
angles postérieurs, ceux-ci courts, le bord postérieur dépourvu
de tubercule antéscutellaire, Élytres de la largeur du prothorax,
parallèles jusqu'au milieu, assez fortement atténuées en arrière,

(5)
entières au bout, peu profondément ponctuées-striées, les inter-
valles finement ponctués. Pattes rougeûtres.

Guinée, bouches du Niger. (Coll. Jans.)

Peu distinet du précédent si ce n'est par la forme générale et
l'aspect un peu plus luisant.

7. À. AuSTRALIS. — Fusco-brunneus, opacus, griseo-pilosus ;
antennis arliculo tertio quarto æquali; prothorace latitudine haud
longiore, basi apiceque angustato, lateribus arcuato, convexo,
creberrime inæqualiter punctato; elytris subnitidis, castaneis,
striis externis punctatis, internis obsolelis.

Long. 22 mill., lat. 7 mill.

Voisin également du puber, mais d’une forme plus raccourcie
et plus poilu. Brunâtre avec les élytres châtain, revêtu assez den-
sément de poils gris, le prothorax opaque, les élytres un peu lui-
santes. Antennes à troisième article aussi grand que le quatrième.
Prothorax aussi long que large, rétréci à la base et au sommet
avec les côtés arqués, convexe avec les parties latérales un peu
déprimées, densément couvert de points inégaux, ses angles
postérieurs recourbés en dehors, le tubercule antéscutellaire
petit et transversal. Élytres de la largeur de la base du protho-
rax, deux fois et demie plus longues, un peu élargies vers le
milieu, déprimées sur le dos, ponctuées-striées extérieurement,
les stries internes effacées. Pattes châtain clair.

Des environs du lac N'Gami.
Cette espèce, que j'ai trouvée dans la collection Castelnau, est,

à ma connaissance, la plus australe de l'Afrique.

8. A. CRASSIUSCULUS. — Cann. Monogr., t. I, p. 50.
Sénégal; Kordofan.

9. A. PUBESCENS. —- Cann. Monogr., t. 1, p. 51.
Sénégal, Haute-Égypte, Nubie; Abyssinie, Arabie méridionale.

Var. a. Minor, totus rufus.
A. Bocandei. — Canp. Monogr., t. 1, p. 52.

(6)
10. A. RUFUS. — Cann. Monogr., & I, p. 35.

Je ne doute aucunement que cette espèce ne soit africaine et
des mêmes régions que les précédentes. C’est par erreur dans
l'indication de provenance qu'elle a été attribuée à la Guyane.

11. A. DewarQquEI. — Cann. Monogr., t. I, p. 54.

Benguela.

192. A. araBicus. — Piceus, parum nitidus, pube grisea, sub-
sericea tectus; antennis articulo tertio quario longitudine æqual ;
prothorace a basi attenuato, lateribus recto, convexo, crebre punc-
tato, angulis posticis retrorsum productis; elytris punctato-stria-
tis, interstitiis planis, punctatis ; pedibus castaneis.

Long. 27 mill., lat. 8 mill.

Noirâtre, les élytres brunâtres, peu luisant, revêtu d’une pubes-
cence couchée, courte, subsoyeuse, grise. Antennes à troisième
article aussi long que le quatrième. Prothorax un peu plus long
que large, rétréci peu à peu depuis la base jusqu'au sommet,
convexe, densément ponctué, les points plus gros en avant, fine-
ment canaliculé au milieu, ses angles postérieurs robustes, diri-
gés en arrière, fortement carénés. Élytres un peu plus de deux
fois plus longues que le prothorax, curvilinéaires sur les côtés,
finement ponctuées-striées, les stries presque effacées près de la
suture. Pattes châtain.

Arabie. (Coll. Casteln.)

15. A. JupAIGUS. — Reicne Ann. Fr., 1856, p. 418, pl. XIL, fig. 11.
— Cao. Monogr., t. 1, p. 56.

Syrie et Mésopotamie.
14. A. persicus. — Niger, tenuiter et parcius griseo-pilosulus ;
prothorace latitudine longiore, dorso subtiliter, antice lateribusque

densius et fortius punctato; elytris punclato-striatis, dorso depla-
natis ; antennis pedibusque rufis.

Long. 25 mill., lat. 6 ?/, mill.

(17)

Tournure du judaicus dont il se rapproche beaucoup. On l'en
distinguera à sa forme un peu plus déprimée, sa ponctuation
moins forte sur le prothorax, ses élytres à premières stries plus
distinctes, enfin à ses antennes et à ses pattes rouges.

Perse.

Je n’en ai vu qu’un exemplaire dans la collection de M. Fry.

15. A. macuLicoLLis. — Fuscus vel rufo-brunneus, flavescenti-
pubescens ; antennis articulo tertio quarto fere æœquali; prothorace
latitudine paulo longiore, antice arcuatim angustato, punctato,
discum versus laxius punctato, linea media plagisque duabus
anterioribus lœvibus, his pube densiore circumdatis, angulis pos-
ticis divaricalis, connatis; élytris punctato-substriatis, apice
integris.

Long. 22-55 mill., lat. 7-9 mill.

Zanzibar; Mozambique.
J'ai vu le type de cette espèce au musée de Berlin, et en

outre trois spécimens de taille très-inégale, dans la collection de
M. Janson.

16. À. LURIDUS. — Fasr. Ent. syst., A1, 247, 4. — Can. Monogr.,
t. [, p. 87. |

Je pense que cette espèce a son centre d'habitat en Arabie et
que de là elle rayonne dans les pays voisins. Elle se retrouve
jusque dans le nord-ouest de ’Hindoustan.

2°° GROUPE.

17. À. FUSCIPES. — Fagr. Syst. Eleuth., t. 11, p. 224, 17. — Can».
Monogr., t. 1, p. 24.

Hindoustan et Ceylan.

48. A. ruripes. — Niger, nilidus, griseo-pilosulus; antennis
ferrugineis; prothorace latitudine longiore, crebre antrorsum

(8)

forlius punctato; elytris striatis, strüis fortiter punctatis; pedibus
rufis.
Long. 25 mill., lat. 6 !}, mill.

De la tournure du fuscipes, mais plus petit et plus poilu. Noir,
luisant, revêtu de poils gris, très-apparents sans le secours de la
loupe. Antennes ferrugineuses. Prothorax plus long que large,
subparallèle, un peu déprimé de chaque côté, ponctué plus for-
tement en avant qu'en arrière, ses angles postérieurs assez
grands, un peu divergents, longuement carénés, le tubercule
antéscutellaire assez saillant. Élytres de la largeur du prothorax
et deux fois plus longues, assez fortement striées, les stries mar- .
quées de gros points sauf les deux ou trois premières ou les
points sont plus petits, les ‘intervalles convexes et ponctués.
Pattes rougeûtres.

Pondichéry. (Coll. Jans.)

19. A. opacus. — Afer, opacus, brevissime pilosulus; protho-
race antice fortiter, postice densius subtiliusque punctato, angulis
posticis validis, valde divaricatis ; scutello pentagonali; elytris
striato-punctatis, striis dorso evanescentibus, basi fortiter im-
pressis, interstitio secundo basi oblique elevato.

Long. 25-55 mill., lat. 8-10 mill.

Noir opaque, paraissant glabre à l'œil nu, mais revêtu en réa-
lité de petits poils gris noirâtre. Antennes obscures, à troisième
article presque aussi long que le quatrième. Prothorax aussi large
que long, convexe, un peu déprimé le long du bord latéral, arqué
sur les côtés, ponctué, les points très-gros en avant, plus fins et
plus serrés en arrière, ses angles postérieurs robustes, très-diver-
gents, leur carène forte et longuement prolongée le long du bord
externe, le milieu du bord postérieur portant un fort tubercule.
Écusson pentagonal. Élytres deux fois et un tiers plus longues
que le prothorax, arquées sur les côtés, atténuées en arrière,
entières au bout, ponctuées-striées latéralement, les stries réduites
à de fines séries de points sur le dos, les 2°, 3° et 4° fortement
imprimées à la base, ou le deuxième intervalle forme une éléva-

(9)

tion oblique terminée en avant par une sorte de tuberculé. Pattes
noires.

Malacca. (Coll. Casteln.)

Espèce bien caractérisée par sa forme, sa couleur, son opacité,
l’enfoncement des premières stries à la base des élytres, contras-
tant avec leur disparition au delà, etc.

20. A. ruBiGINOSUS. — Niger, opacus, pube rufo-fulva sericea,
appressa, vestitus; prothorace antice fortiter, postice subtilius
punclato, angulis posticis validis, divaricatis; scutello oblongo,
sulcato; elytris striato-punciatis, striis dorso subtilibus, basi for-
titer impressis ; antennis pedebusque ferrugineis.

Long. 25-50 mill., lat. 9-10 mill.

Can. Mém. Acad. Brux., t. XVIII, 1865, p. 5.

Épais, noir mat, revêtu d’une pubescence couchée, soyeuse,
rougeâtre. Antennes ferrugineuses, leur troisième article plus
court que le quatrième. Prothorax aussi long que large, un peu
convexe, déprimé latéralement, arqué sur les côtés, ponetué, les
points plus forts en avant, fins et denses en arrière, les angles
postérieurs robustes, très-divergents, longuement carénés, le bord
postérieur portant au milieu un fort tubercule. Écusson oblong,
ogival, creusé au milieu. Élytres plus longues que le prothorax,
atténuées en arrière, entières au devant, striées-ponetuées plus
fortement vers le bord latéral que vers la suture, les stries 2, 5
et 4 fortement imprimées à la base. Pattes ferrugineuses.

Bornéo. (Coll. du Musée de Leyde et Janson.)

Tournure de l'espèce précédente, mais bien distincte par la
forme de son écusson, sa pubescence rouge, ete.

21. À. ÆQUALIS. — Cann. Monogr., t. I, p. 25.

Cette espèce est surtout propre au Siam et à la Cochinchine;
j'en ai vu beaucoup d’exemplaires de cette région. Elle s'étend
toutefois beaucoup plus loin à l’orient, car les collecteurs du
Musée de Leyde et M. Wallace l'ont trouvée jusque dans les
Moluques.

(10)
22. A. PUNCTATUS. — Cano. Monogr., t. 1, p. 26.

Var. a. Prothorace elytrisque lateribus rufescentibus.

Agrypnus sondaicus. — Can. loc. cit., p. 55.

Fort voisine de l'espèce précédente, mais cependant distincte
par son corselet plus fortement ponctué, son écusson plus large
avec ses angles postéro-externes redressés. Elie habite principa-
lement les régions de l'Inde en deçà du Gange et Ceylan; on Ja
trouve toutefois jusqu'à Java.

23. À. MOESTUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 54.

Agrypnus funestus. — Can. loc. cit., p. 85.

Agrypnus gilvus. — Gann. Mém. Acad. Belg., t XVI, p. 5.

Espèce très-voisine également de l'œqualis. Elle est toujours
plus petite; ses élytres sont plus distinetement striées sur le dos,
quelquefois même avec les intervalles convexes ; son écusson est
oblong avec ses angles latero-postérieurs non relevés comme chez
la précédente. Je lui ai réuni deux formes que j'avais autrefois
séparées avec des noms spécifiques distincts.

Elle est répandue dans tout l'Hindoustan; on la trouve aussi
à Ceylan, en Birmanie, à Siam et dans la presqu'ile Malaise.

J'ai vu beaucoup d'exemplaires de ces trois dernières espèces
et j'avoue que j'ai beaucoup de doutes sur leur validité. Les
caractères qui les distinguent n'ont pas grande valeur et l'on
trouve des spécimens où ces mêmes caractères s’affaiblissent
considérablement. Toutefois comme ce cas se présente dans tous
les genres d'insectes où les espèces offrent une grande similitude
dans la forme et la couleur, on est bien obligé de s'attacher a
des caractères relativement faibles, pour y former des coupes
spécifiques plus faciles à saisir par l'œil qu’à faire reconnaitre par
la description.

94. A. ATTONITUS. — Niger, nilidus, sparsim breviterque gri-

seo-pilosolus ; antennis articulo tertio quarto paulo breviore; pro-
thorace latitudine baseos haud longiore, a basi sensim angustato,

LA

(11)
convexo, fortiter punctato, angulis poslicis validis, retrorsum
productis ; elytris strialo-punctatis, apice integris.

Long. 26 mill., lat. 8 mill.

Noir, assez luisant, revêtu de petits poils grisâtres, modifiant
peu la couleur du fond. Antennes brunes, leur troisième article
un peu plus court que le quatrième. Prothorax aussi long que
large à la base, peu à peu rétréei depuis celle-ci jusqu'au sommet,
avee ses côtés droits, convexe, ponctué assez fortement, ses angles
postérieurs robustes, fortement carénés, à pointe recourbée en
arrière, le tubercule antéscutellaire fort. Écusson subquadran-
gulaire, ses angles postérieurs redressés. Élytres peu allongées,
courbes sur les côtés, convexes, striées-ponctuées avec les stries
fortement imprimées à la base, leurs intervalles plats et ponc-
tués, entières à l'extrémité. Pattes brunes.

Indiqué comme de l'Inde. Il provient, je pense, de la presqu'ile
Hindoue. (Coll. Jans.)

25. À. BIPUNCTATUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 29.
Var. a. Prothorace basi haud biimpresso.

Hindoustan septentrional.

26. À. LACERTOSUS. — Cann. Monogr., t. I, p. 38, pl. L, fig. 1.
Silhet.

27. A. OCELLATUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 39.

Indes orientales.

28. À. FUSIFORMIS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 39.

Chine méridionale.

29. À. CINEREUS. — Cao. Monogr., t. 1, p. 40.

Indes orientales.

Je n'ai pas revu les types de ces quatre dernières espèces dont

l’une ou l’autre serait peut-être à retrancher.

(12)
30. À. BIFOVEATUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 41.
Îles Philippines.
51. À. TOMENTOSUS. — Fasr. Entom.system., suppl., p. 138. — Can.
Monogr., t. 1, p. 41.
Iles Philippines.

92. À. JAVANUS. — Can. Monogr., t. I, p. 44.
Java, Sumatra, Malacea.

Très-voisin du tomentosus, mais toujours plus petit, la pubes-
cence plutôt grise ou blanchâtre que jaune. Les exemplaires
provenant de Malacca sont peu fortement ponctués.

99. À. MUCRONATUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 42.
Bornéo.

J'ai revu un second exemplaire de cette espèce, capturé à Sara-
wack par M. le marquis Doria.

94. À. POLITUS. — Can. Monogr., t. I, p. 45.

L'exemplaire unique que j'ai vu de cette espèce, lorsque je l'ai
décrite pour la première fois, était accidentellement glabre. J'en
ai revu depuis plusieurs et j'ai pu constater qu'une pubescence
fine, soyeuse, jaunâtre, couchée, existe chez les exemplaires très-
bien conservés et qui n’ont pas fait un long séjour dans l'alcool.
Son habitat parait assez étendu. J'en ai vu de Chine. Le Musée
de Leyde en possède envoyés du Japon par Siebold, ainsi que des
exemplaires capturés au pied du volcan Ardjocno, non lom de
Sourabaia.

99. À. RESECTUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 45.

Cette espèce n’est pas d'Australie, mais bien des Moluques et
de la Nouvelle-Guinée. J'en ai revu plusieurs spécimens de ces
iles.

(15)

3° GROUPE.

36. A. MAsTERSsI. — Piceus, subnitidus, tenuiter fulvo-pubes-
cens; antennis articulo tertio quarto breviore; prothorace latitu-
dine vix longiore, lateribus antice rotundato, utrinque depresso,
medio longitrorsum late elevato, disco subtiliter sparsim æquali-
terque punclato; elytris striatis, strüis interstiliisque punctulatis.

Long. 22-52 mill., lat. 8-11 mill.

Agrypnus Mastersiü. — Mac Leay Trans. ent. Soc. N. S. Wales, t. IT,
p. 249.

Agrypnus piceus. — Cann., in litt.
Var. a. Nitidior, lalior, fere niger.
Agrypnus latior. — Mac. Leay, Loc. cit., p. 250.

Var. b. Minor, magis opacus, fere glaber, pedibus rufis.
Agrypnus Duboulayi. — Cann., in litt.

Var. c. Brunneo-piceus, thoracis lateribus rufescentibus , elytris profundius
striatis , interstitiis plus minusve convexis.
Agrypnus creptus, — Jans., Mss.

J'ai sous les yeux un grand nombre de spécimens du genre
actuel provenant du continent australien. Ces exemplaires, recueil-
lis aussi bien à la côte orientale qu’à la côte occidentale, parais-
sent au premier abord constituer plusieurs espèces distinctes,
mais lorsqu'il s’agit de préciser leurs caractères différentiels, on
s'aperçoit bientôt qu'il n’y en a aucun de constant, et que la
taille, la coloration, la ponctuation du prothorax et les stries plus
ou moins marquées des élytres varient tellement, même chez des
individus de provenance identique, qu'il est évident qu'on a affaire
ici à un seul type spécifique de forme peu arrêtée. L'Australie
nous offre d’autres exemples de ces espèces à formes indécises ;
je citerai notamment certains Lacon et Monocrepidius et surtout,
parmi ces derniers, le M. australasiæ, qui présente des variations
parallèles à celles dont il est ici question.

L'espèce paraît faire défaut au sud du continent et à la Tasma-
nie. Je n'en ai vu aueun qui arrivât à la latitude de Sydney, du

moins à la côte orientale.

(14)

4"° GROUPE.
57. À. SALLEI. — Lec. Am. phil. Soc. Trans., t. X, p. 491. — Can.
Monogr., t. 1, p. 56.
États-Unis du Sud : Louisiane.

38. A. SCHOTTI. — Lec. loc. cit., p. 492.
Rio-Grande.
SCAPHODERUS.
Caxn. Monogr., t. 1, p. 46.

S. RiEHLI. — Cann. Monogr., t. 1, p. 46.

Cafrerie.
ADELOCERA.

(Larr.) Cap. Monogr., t. 1, p. 47.

Bien que ce genre soit à peu près cosmopolite, je ne l'ai pas
scindé en sections établies d’après l'habitat, comme je l'ai fait
pour les Agrypnus, parce que s'étendant beaucoup au nord, il a,
dans les régions septentrionales des deux continents, des repré-
sentants qui doivent rester rapprochés.

Section I.

Etytres ponctuées, les points ne formant pas neuf stries distinctes.

A Élytres aplaties vers la suture.
a Corps d'une seule teinte, ou semé d'écailles dune autre
couleur, mais sans tie ni marbrures.
æ Prothorax aussi ou plus long que large.
* Noir ou avec des écailles blanches disséminées.
X Un large sillon sur le prothorax.
+ Pas de sillons tarsaux sur les flancs du pro-

(NOTAXS CRE RC AC Gr DON EE
++ Des sillons tarsaux . | . . . 2. A. sparsa.
XX Un faible sillon en arrière sur le ORNE NO COEDP Gr

*# Noir ou brun, généralement avec des écailles jaunes.
X Prothorax canaliculé dans toute sa longueur.
+ Une impression de chaque côté du sillon mé-
dian, en arrière.
o Écailles dorées et brunes, les premières en
majorité sur les élytres . . . . . . . 4. À. lepidoptera.
vo Écailles dorées en minorité,

(15)

©Oc

x Sillon du prothorax profond. . À. aurorata.
xx Sillon du prothorax faible . . . . 6. À. impressicollis.
+-+ Pas d'impression de chaque côté du His
prothoracique, vers la base. :
o Angles postérieurs du prothorax recois . 8. A. pyrsolepis.
00 Angles postérieurs du prothorax non diverg. 7. 4. rorulenta.
XX Prothorax non sillonné dans toute sa longueur.

+ Des squamules dorées, nombreuses. . . . 9. À. cœca.
++ Pas de squamules dorées . . . . . . . 10. 4.{lithophila.
aa Des taches ou des marbrures sur les téguments
æ Prothorax fortement tuberculeux. . . . . . . . . 20. 4. chilensis.

%x Prothorax sans tubercules.
* Sillons tarsaux nuls ou obsolètes.
X Prothorax rétréci à la base, ses angles postérieurs

épaissis.
+ Fortement carénés. . . . . . . . . . 41. À. conspersa.
++ Faiblement carénés . . . . EP Dreuiconnis

XX Angles postérieurs du prothorax non dresse.
—+ Une côte longitudinale au milieu de chaque
ONE SEE lo RAPIOUtECLA®
+ Pas de côte sur ds des
o Angles postérieurs du prothorax divergents.
X Prothorax sillonné. M NN 4 fUSciata.
XX PIONORENONSUIONTE EN A Oliver:
00 Ces angles courts, non divergents.
x (Corps presque entièrement couvert de

squamules dorées . . . . . . . . 15. 4. profusa.
xx Squamules dorées en minorité. . . . . 16. 4. cavicollis.
#* Des sillons tarsaux. . . 47. À. marimorata. 18. 4. quercea. 19. À. pennata.

AA Élytres convexes jusqu'à l'extrémité.
a Flancs prothoraciques plus ou moins impressionnés, mais
sans sillons tarsaux nettement accusés.
æ Squamules d'une ou de deux teintes, mais dans ce dernier
cas non disposées par taches.
* Prothorax aussi ou plus long que large.
X Élytres non sillonnées, si ce n’est parfois dans la
région humérale.
+ D'un noir uniforme.
XI ODAQUE RON ENTREE M PO ON AS Gus:
xx Luisant. . . . . 28. À. inflata.
++ Brun ou noir varié d' Lit cb can Er e.
x Corps de largeur normale.

y Angles prothoraciques divergents . . . 923. 4. unicolor.
yy Angles prothoraciques non divergents. . 2%. À. avita.
FX TRÈS CRE e 8 0 SE NE A OO CT ane

XX Élytres sillonnées.
+ Angles postérieurs du prothorax divergents . 27. À. tenebrioides.
+-+- Angles postérieurs du prothorax non diverg. 26. À. Mäklini.
** Prothorax plus large que long. . . . . . . . . 32. 4. aberrans.
%% Squamules disposées par taches.

(16)

* Une grande tache triangulaire noire sur les élytres. . 29. 4. dorsalis.
** Des marbrures jaunes sur fond noir. . . . . . . 30. 4. maculata.
aa Des sillons tarsaux nettement limités.
æ Prothorax au moins aussi long que large . . . . . . 31. 4. calabarica.
œo Prothorax plus large que long. . . . .. . . . . 84. À. laticollis.

Section II,

Neuf stries de points distinctes, avec les intervalles plus finement

ponclués, sur les élytres.

A Un tubercule vers la base du prothorax vis-à-vis l’écusson.

42 À. Jacquieri. 46. À. rubra. 43. A. Chabannei.

AA Prothorax sans tubercule devant l’écusson.
a Très-inégal ou plurituberculé.
œ Plurituberculé.

* Prothorax aussi large que long. . . . . . . . . 33. A.

#* Prothorax moins large que long.

X Prothorax avec deux tubercules au bord antérieur. 35. 4.

XX Prothorax avec deux tubercules en arrière.

— Antennes pectinées, . - |. à: 40: 4.
+-+- Antennes non pectinées . . . . . . . . 41. 4.
ao Très-inégal à »… … RELIEF GRR AS SUITE AUE PRE

aa Peu ou point inégal et sans nas,
æ Couleur foncière noire ou brunâtre.

* Noire, sans taches. . . . ART ER OT EPA:

** Brunâtres avec des taches ou annee
xX Angles postérieurs du prothorax assez fortement
recourbés en dehors . : Ù
XX Angles postérieurs du prothorax Dibromen ie
gents à la pointe.

©2
S
à

+ Prothorax notablement plus long que large . 38. 4.
++ Prothorax un peu plus long que large . . . 39. 4.
æo Couleur foncière jaune ou rougeâtre.
* Extrémité des élytres plus obscure.
x Élytres brusquement déprimées le long de la su-
GR à 0 . + 49. À.
XX Élytres non déyries lo fo de ja Sr
+ Une petite élévation longitudinale à la base
des élytres de chaque côté de l'écusson. . #1. À.
+-+ Pas d'élévation à la base des élytres. . . . 48. À.
** Élytres unicolores.
X Prothorax plus long que large . . . . . . . 51. 4.
XX Prothorax plus large quelong . . . . . . . 50. 4.

44. A. palliata.

geographica.
cribrata.
pectinata.

mamillata.
inæqualis.

aurulenta.

. Spurca.

Wallacei.
modesta.

adspersa.
pollinaria.
selosa.

mexicana.
subcostata.

(Qui

17e SECTION.

1. À. CARBONARIA. — Scaranx. Enum. Ins. Austr., 1781.
À. atomaria. — Fasr. Entom. system. — Canv. Monogr., t. V, p.51.

Europe.

2. À. spaArsA. — Atra, opaca, squamis atris obducta, argen-
teis raris sparsis; prothorace late canaliculato, latitudine haud
longiore ; elytris deplanatis; sulcis tarsorum distinctis.

- Long. 141, mill. lat. 41}, mill.
Adelocera sparsa. — Cao. Mém. Acad. Br., 1865, p. 6.

Tout entier d’un noir mat, profond, revêtu d'écailles de même
couleur parmi lesquelles brillent, çà et là, quelques-unes d'un
blanc argenté. Prothorax très-densément et fortement ponetué,
à peine aussi long que large, arqué sur les côtés, largement et
profondément sillonné dans toute sa longueur, ses angles posté-
rieurs très- petits, gréles, un peu divergents. Élytres de la lar-
geur du prothorax et deux fois plus longues, curvilinéairement
rétrécies seulement à partir du milieu, aplaties sur le dos, pone-
tuées comme le prothorax. Sillons des flancs prothoraciques bien
marqués ; angles postérieurs des arceaux de l'abdomen présen-
tant chacun un point blanc.

Californie, Sacramento.

Semblable à notre À. carbonaria, mais plus court, quoique
aussi large. (Coll. Dohrn, Janson, Thevenet, Candèze, etc.)

3. À. GRÆCA. — Cann. Monogr., t. 1, p. 61.

Grèce; Asie Mineure.

L. À. LEPIDOPTERA. — GyLr. /ns. suec., t. 1, p. 579. — Can. Mo-
nogr., t. V, p. 52.

Europe septentrionale et Alpes du centre; Sibérie.
2

(18)
D. À. AURORATA. — Say. Trans. Am. phil. Soc., t. VI, p. 181. — Can.
Monogr., t. |, p. 75.
États-Unis, New-Hampshire.

G. À. IMPRESSICOLLIS. — Say. Ann. Lyc., p. 260. — Cann. Monoyr.,
t. [, p. 57.

États-Unis du centre, de l’ouest et du sud.

7. À. RORULENTA. — Brunnea, squamulis brunneis aureisque
adspersa; prothorace latitudine paulo longiore, punctato, medio
late et profunde sulcato, angulis posticis brevibus, haud divarica-
tis; elytris dorso deplanatis, punctalis; sulcis tarsorum male.
definitis.

Long. 12 mill., lat. 5 !/, mill.
A delocera rorulenta. — Lec. Proc. Acad. Phil., 1859, p. 285.

Orégon, Van Couver Isl.

8. A. PYRSOLEPIS. — Castanea, confertim punctata, squamis
fulvis dense tecta, paucis nigris intermixtis; thorace latitudine
haud longiore, antice angustato, lateribus ante medium rotunda-
tis, angulis posticis parvis divergentibus, haud carinatis, medio
late canaliculato; elytris dorso depressis, punctis nigris marmo-
ralis; subtus, antennis pedibusque fuscis.

Long. 15 mill.
Adelocera pyrsolepis. — Lec. Proc. Acad. Phil., 1866, p. 589.
N. Mexique.

9. A. coca. — Brunnea, opaca, pilis squamiformibus fulvis
brunneisque intermixtis veslila; prothorace latitudine haud lon-
giore, lateribus parum arcuato, convexo, crebre fortiterque punc-
tato, angulis posticis rectis ; elytris brevibus, ad suturam depla-
nalis, crebre punctatis ; sulcis tarsorum, dimidiatis.

Long. 13 mill. lat. 3 5}, mill.

Brunätre, opaque, revêtu de poils squamiformes d’un fauve

(19)

doré et bruns entremèêlés. Front convexe en avant. Prothorax
aussi long que large, peu rétréci en avant, sinon brusquement
au sommet, ses côtés peu arqués, convexe, couvert de gros points
serrés, ses angles postérieurs nullement divergents. Élytres de
la largeur du prothorax et à peine deux fois plus longues, apla-
ties dans la région suturale, atténuées en arrière, couvertes de
points comme le prothorax; sillons tarsaux des flancs prothora-
ciques faibles et incomplets.

Guatemala, Izabal. (Coll. Sallé.)

10. À. LITHOPHILA. — Cann, Monogr., t. 1, p. 60.

Égypte.

11. A. CONSPERSA. — Gvic. /ns. suec., t. 1, p. 577. — Can. Monogr.,
t. I, p. 54.

Europe septentrionale et Sibérie.

12. À. BREVICORNIS. — Lec. Trans. Am. phil. Soc., t. X, p. 490. —
Can. Monogr., t. 1, p. 75.

Lac Supérieur.

13. À. OBTECTA. — Sav. Trans. Am. phil. Soc., t. VI, p. 181. —
Canv. Monogr., t. I, p. 75.

Maine et Vermont.

1%. À. FASCIATA. — Linx. System. Natur., t. 1, 2, p. 655. — Cann.
Monogr., t. 1, p.:53.

Europe.

15. A. PROFUSA. — Canp. Monogr., t. 1, p. 54.

Orégon.

16. A. cavICOLLIS. — Fusco-brunnea, opaca, brunneo-squa-
mosa, squamis fulvis adspersa; prothorace lato, basi coarctato,
medio late sulcato, utrinque impresso, angulis poslicis truncatis ;

(20)
elytris latis, depressis, extrorsum sulcalis, sulcis tarsorum nullis.
Long. 16 mill., lat. 5 mill.
Adelocera cavicollis. — Lec. Proc. Ac. phil., 1859, p. 86.

Orégon.

17. À. MARMORATA. — Fagr. System. Eleuth., &. A, p. 227. — Canon.
Monogr., t. X, p. 57,

États-Unis du sud.

18. À. QUERCEA. -— Hernsr. Püssl. Arch. — À. varia OI. — Can.
Monogr., t. 1, p. 55.

Europe centrale.

19. A. PENNATA. — Fagr. Syst. El., 2, 259. — Caxn. Monogr., t. 1,
p. 56.

États-Unis du centre et du sud.

90. À. CHILENSIS. — Sozren, in Gay. Hist. d. Chile., à. NV, p. 7, pl. XHI,
fig. 1. — Can. Monogr., t. J, p. 58, pl. L, fig. 15.

Chili.

91. A. OuivErI. — Brunnea, opaca, brunneo-pilosa, flavo-
marmorata ; prothorace latitudine haud longiore, convexo, crebre
tenuiterque punctato, angulis posticis brevibus, apice paulo diva-
ricatis ; elytris punctatis, dorso depressis, basi laleribusque sul-
calrs.

Long. 15 mill., lat. 3 !/, mill.

Brun, opaque, revêtu de poils bruns peu visibles et d'autres
flaves formant des marbrures. Front impressionné au milieu et
vers son bord antérieur. Prothorax aussi long que large, rétréci
au sommet, assez convexe, densément ct finement ponctué, un
peu rétréei à la base, ses angles postérieurs petits, faiblement
divergents. Élytres parallèles jusqu'au delà du milieu, aplaties
sur le dos en avant, densément et assez finement ponctuées, pré-

(21)

sentant quelques sillons à la base et sur les côtés. Dessous et
pattes de la couleur du dessus; pas de sillons tarsaux sur les
flancs du prothorax.

Indes orientales, Dargeeling.

Un exemplaire sous ce nom dans la collection de M. Janson.

29. À. pRuSA. — Atra, opaca, nigro-pilosa, pilis argenters
sparsim trrorata; fronte antrorsum biimpressa ; prothorace lati-
tudine longiore, postice canaliculato ; elytris confertissime rugose
punctatis, dorso haud depressis ; antennis tarsisque brunnets.

Long. 9 mill., lat. 2 !}, mill.
Adelocera drusa, Mars. Abeille, t. VI, p. 580.

Voisin de l'A. græca, mais plus opaque, plus rugueusement
ponctué sur les élytres et bien distinct surtout par la convexité
de celles-ci.

Syrie.

23. À. UNICOLOR. — Brunnea, subnitida, brunneo-pilosula, pilis
albidis raris irrorata; fronte antrorsum impressa; prothorace
latitudine longiore, parallelo, convexo, postice impresso; elytris
convexis, seriatim punctatis.

Long. 16 mill., lat. 4 mill.

Brun, un peu luisant, revêtu de poils bruns peu denses et peu
visibles et offrant quelques poils blancs disséminés çà et là. Front
impressionné. Prothorax plus long que large, à peu près paral-
lèle, convexe, très-ponctué, biimpressionné à la base, ses angles
postérieurs un peu divergents, très-aigus au bout. Élytres de la
largeur du prothorax, parallèles jusqu’au milieu, convexes en
dessus, couvertes de points serrés disposés en séries longitudi-
nales. Dessous et pattes de la couleur du dessus.

Perse. (Coll. Jans.)

24. À. AVITA. — Say. Trans. Am. phil. Soc., t. VI, p. 182.
États-Unis. |

(022)

25. A. LINEARIS. — Elongata, brunnea, subnitida, pilis sub-
squamiformibus brunneis pallidisque adspersa ; prothorace
oblongo-quadrato, valde convexo, subinæquali; elytris protho-
race anqustioribus, linearibus, punctatis.

Long. 15 mill., lat. 21}, mill.

Adelocera linearis. — Cann. Elat. nouv., in Mém. Acad. Belg., 1865, p. 6.

Tournure du Dilobitarsus petiginosus. Étroit et allongé, sub-
cylindrique, brun ferrugineux un peu luisant, revêtu de poils à
peine squamiformes bruns et blanchâtres, mêlés sans ordre et
trop clair-semés pour voiler la couleur du fond. Front un peu
concave. Antennes faiblement dentées. Prothorax en carré long,
droit et parallèle sur les côtés, très-bombé, inégal, ponctué, sub-
sillonné au milieu, ses côtés perpendiculaires, ses angles posté-
rieurs nettement divergents, acuminés. Élytres plus étroites que
le prothorax, plus de trois fois plus longues que larges, linéaires,
déprimées vers la suture, ses côtés tombant perpendiculaire-
ment, ponctuées assez finement, subsillonnées vers la base,
arrondies au bout.

Cayenne.

26. A. MAKLINI. — Caxn. Mém. Acad. Belg., 1865, p.6. — Imin. /ns.
rec. p. M. Lewis (Mém. Soc. Liege, sér. I, V), p. 1.

Japon méridional.

27. À. TENEBRIOIDES. —- Canp. Monogr., t. 1, p. 61 (emend.)
Madagascar.

28. À. INFLATA. — Cann. Monogr., t. I, p. 62.

Madagascar.

29. À. DORSALIS. — Can. Monogr., t. 1, p. 62, pl. L, fig. 4.

Madagascar.

30. À. MACULATA. — Nigra, supra nigro-squamosa, confertim
punctata, maculis pallide aureis, squamosis, ornata; prothorace

(25)

latitudine longiore, convexo, antice angustato, lateribus parallelis,
antice rotundatis, angulis posticis reclis planis, haud divergenti-
bus ; elytris extrorsum obsolete striatis, dorso vix depressis ; sub-
tus pallide squamosa, antennis pedibusque fuscis.

Long. 13 mill.

Adelocera maculata. — Lec. Proceed. Acad. Phil., 1866, p. 589.

États-Unis de l’est.

51. À. CALABARICA. — Fusca, pilis squamiformibus aureis
sparsis; prothorace latitudine haud longiore, lateribus fere recto
subsinuato, convexo, cribrato: elytris brevibus, crebre punctatis,
ad suturam antice depressis et atrinque basi tumidis ; sulcis tar-
sorum profundis.

Long. 14 mill., lat. 4 mill.

Brunâtre, avec des poils squamiformes d’un jaune doré, épars,
dirigés en divers sens et formant sur le prothorax deux lignes
transversales. Front concave en avant. Antennes très-courtes.
Prothorax aussi large que long, ses côtés presque parallèles et
subsinueux, très-convexe et eriblé de gros points, ses angles
postérieurs non divergents, aigus au bout. Élytres courtes, de la
largeur du prothorax, curvilinéairement rétrécies depuis Îe tiers
antérieur, déprimées vers la suture en avant, faiblement tubercu-
leuses vers la base derrière l’écusson, fortement ponetuées. Flanes
du prothorax présentant une fossette basilaire et un profond sillon
pour loger les pattes antérieures. Dessous, surtout le prosternum
et le métathorax, criblés de gros points.

Vieux-Calabar. (Coll. Jans.)
32. À. ABERRANS. — Fusco-brunnea, crassa, pilis squamifor-
mibus flavis brunneisque intermixtis adspersa; prothorace longt-

tudine latiore, gibbo, crebre punctato; elytris convexis, crebre
punctatis; sulcis tarsorum obsoletis.

Long. 12 mill., lat 5 ‘}, mill.

(24)

Aspect de Lacon. Court, épais, brunâtre, couvert de poils
squamiformes fauve-clair et bruns entremélés. Antennes à
deuxième article grand et triangulaire comme le suivant. Protho-
rax transversal, très-bombé, criblé de gros points, ses angles pos-
térieurs très-acuminés au bout. Élytres de la largeur du prothorax,
parallèles jusqu’au delà du milieu, convexes, criblées de points
comme le prothorax. Flancs présentant un sillon tarsal obsolète.

Caracas.

Cette espèce a l'apparence du Lacon dubius, mais la confor-
mation des antennes et des sillons prosternaux ne laisse aucun
doute sur la place qu'elle doit occuper. Je l'ai vue dans la collec-
tion de M. Sallé.

39. À. LATICOLLIS. — Cann. Monogr., t. I, p. 59.

Cayenne.

2e SECTION.

34. À. GEOGRAPHICA. — Nigra, opaca, pilis squamiformibus
brunneis griseo-cervinisque marmoratim dense obducta; fronte
concava, cristata; prothorace latitudine haud longiore, basin
versus coarctato, quinque luberculato; elytris convexis, seriatim
grosse punctatis.

Long. 28 mill., lat. 9 mill.

Adelocera geographica. — Canv. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 7.

Noir mat, revêtu de poils squamiformes assez serrés pour
masquer la couleur des téguments, d’un brun jaunâtre et gris,
ceux-ci formant des taches déchiquetées sur les élytres. Front
fortement excavé, redressé de chaque côté, avec une crête trans-
versale reliant les crêtes latérales. Prothorax aussi large que long,
arrondi sur les côtés en avant, un peu rétréei en arrière, portant
einq tubereules plus ou moins obsolètes, criblé de gros points,
ses angles postérieurs divergents, aplatis. Élytres convexes, atté-

(25)

nuées en arrière, striées-ponctuées, les intervalles plats. Sillons
tarsaux très-forts sur les flanes du prothorax.

Bornéo et Malacca. (Coll. Jans. et Cand.)

35. À. CRIBRATA. — Cann. Monogr., t. 1, p. 65, pl. I, fig. 7.
A delocera lacerla. — Can. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 7.
Malacca.

Cette espèce, que j'ai décrite autrefois d’après un seul exem-
plaire défectueux et privé d'indication d'origine, est de la Malaisie
et non de la Guyane, comme je l’ai supposé. J'ai eu, depuis, l’oc-
casion d'en voir de nombreux spécimens dans la collection de
M. de Castelnau. Elle a des téguments revêtus de squamules
d'un gris jaunâtre sale, assez caduques, en sorte qu'on rencontre
parfois des individus qui en sont dépourvus.

L'A. lacerta est la même en bon état de conservation.

56. A. spuRCA. — Fusca, squamulis sordide griseis brunnets-
que minus dense obducta; prothorace tumido, lateribus arcuato,
cribrato; elytris seriatim grosse punctalis, sulcis larsorum pro-
fundis.

Long. 20-24 mill., lat. 5-6 mill.

Épais, brunâtre, revêtu de poils squamiformes d'un gris sale,
entremélés de bruns, formant quelques dessins peu apparents sur
les élytres. Front concave, l’excavation divisée en deux par une
ligne saillante transversale. Prothorax un peu plus long que large,
rétréci en arrière, arrondi sur les côtés, très-bombé, criblé de
trés-gros points, ses angles postérieurs courts, recourbés en de-
hors. Écusson oblong, pentagonal, déclive. Élytres de la largeur
de la portion antérieure du prothorax, plus de deux fois plus lon-
gues, marquées de lignes de très-gros points rapprochés, les
intervalles ponctués. Dessous criblé de points comme le dessus ;
flancs prothoraciques présentant un sillon tarsal courbe, très-
profondément imprimé.

Laos.

Trouvé par Mouhot. (Coll. Janson, Saunders, Candèze.)

(26)

57. À. AURULENTA. — Nigra, parum nitida, pilis squamifor-
mibus auratis adspersa; prothorace latitudine longiore, crebre
fortiterque punctato, angulis posticis divaricatis haud carinatis ;
elytris prothorace latioribus, apice subacuminatis, dorso subde-
pressis, seriatim punctalis.

Long. 20 mill., lat. 5-5 1}, mill.

Adelocera aurulenta. — Caxn. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 6.

Noir, presque mat, revêtu de poils squamiformes d’un jaune
doré obseur, médiocrement serrés et ne masquant pas la couleur
du fond. Front excavé en avant. Prothorax plus long que large,
à peu près aussi large au sommet qu'à la base, un peu élargi vers
le milieu, ses côtés par conséquent très-faiblement courbes, assez
convexe, sans impressions ni bosselures, faiblement sillonné au
milieu, criblé de très-gros points, ses angles postérieurs brusque-
ment divergents, non carénés. Écusson en carré long, échancré
latéralement. Élytres plus larges que le prothorax et deux fois et
trois quarts plus longues, curvilinéairement rétrécies au delà du
milieu, subacuminées au sommet, un peu déprimées sur le dos,
marquées de neuf lignes de gros points avec les intervalles mar-
qués de points épars plus petits. Pattes brunätres, les antérieures
et les tarses des autres brun-ferrugineux.

Ceylan, Rambodde.

Deux spécimens de cette espèce ont été découverts, par
M. J. Nietner, dans le tronc d’un arbre mort. (Coll. Jans.)

38. A. WaLLacer. — Fusco-brunnea, squamulis fulvis ad-
spersa, brunneo-plagiata; prothorace latitudine longiore, lateri-
bus fere recto-parallelo; elytris brevibus, striato-punctatis, basi
oblique carinaltis.

Long. 16 mill., lat. 4 mill.
Brunâtre, opaque, revêtu de squamules d’un fauve clair, le

prothorax marqué de quelques taches brunes affectant une dispo-
sition longitudinale, les élytres présentant deux taches communes

(27)

brunes, l’antérieure située vers le milieu de la région suturale,
allongée, réunie à sa correspondante par son milieu, l’autre der-
rière celle-ci, en triangle allongé. Prothorax oblong, à peu près
parallèle, convexe, fortement et densément ponetué. Élytres moins
de deux fois plus longues que le prothorax, aplaties sur le dos,
marquées de séries de gros points, présentant à la base une crête
oblique partant de l'angle huméral et aboutissant à l'angle scu-
tellaire. Une impression le long de la suture prosternale, sans
sillons tarsaux proprement dits.

Bornéo, Sarawack.

Un exemplaire trouvé par M. Wallace et faisant partie de la
collection de M. Janson.

39. À. MODESTA. — Boisr. Faune de l'Océanie, p. 108. — Canr.
Monogr., t. 1, p. 71.

Région tropicale des deux mondes et de la Polynésie.

L’A. squalida Fairx., diffère trop peu de cette espèce cos-
mopolite pour en être distinguée. Quant à l'E. nigroplagiatus,
BL., il semble distinct au premier abord, mais un examen attentif
fait bientôt reconnaitre que ce n’en est qu'une variété locale,
remarquable par sa vestiture plus jaune et les taches du protho-
rax mieux marquées. |

40. À. PECTINATA. — MNigro-ferruginea, squamis aureis, ob-
scuris pallidisque variegatim vestita ; antennis maris pectinatis;
prothorace elongalo, basin versus bituberculato; elytris seriatim
punctatrs.

Long. 14 mill., lat. 4 mill.
Adelocera pectinata. _—_ Can. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 8.

Allongé, subrhomboïdal, d’un ferrugineux noir, orné de poils
squamiformes dorés et brunâtres, les premiers couvrant la tête,
le prothorax, l’écusson, la base et le sommet des élytres, les
seconds formant des dessins sur le prothorax et occupant la par-
tie moyenne des élytres ; parmi ces derniers on observe quelques

(28)

écailles argentées, groupées un peu au delà du milieu du dos.
Front fortement excavé. Antennes ferrugineuses, assez longue-
ment pectinées à partir du troisième article (au moins chez le
mâle). Prothorax notablement plus long que large, un peu rétréct
en avant à partir du milieu, courbe dans le sens transversal,
portant en arrière deux forts tubercules rapprochés, profondé-
ment et fortement ponctué, ses angles antérieurs obliquement
tronqués, les postérieurs acuminés. Éeusson en pentagone allongé.
Élytres de Ja largeur du prothorax à la base, et une fois et trois
quarts aussi longues, atténuées à partir de la base, eunéiformes,
déprimées vers la suture, fortement ponetuées en séries longitu-
dinales, présentant chacune à la base une petite fossette limitée
en dedans par une courte côte. Dessous et pattes noirâtres.

Cayenne.

Un exemplaire communiqué par M. de Mniszech. La pectina-
tion des antennes (au moins dans l’un des sexes) est remarquable,
mais d’autres espèces offrant des degrés intermédiaires sous ce
rapport, ce caractère perd de son importance.

41. À. MAMILLATA. — Angusta, obscure ferruginea, pilis squa-
miformibus aureo-flavis ferrugineisque variegata; prothorace
elongato, lateribus fere parallelo, dorso bituberculato ; elytris ad
suturam deplanatis, seriatim punctatis.

Long. 12 mill., lat. fere, 3 mill.

Adelocera mamillata. — Canv. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 7.

Étroit et allongé, d’un ferrugineux obseur, revêtu de poils
squamiformes les uns flave-doré, les autres ferrugineux, les pre-
miers couvrant la tête, les côtés du prothorax, l’écusson, la base
et le semmet des élytres, et disséminés en outre, isolément,
parmi les autres qui couvrent le milieu du prothorax et la plus
grande partie des élytres. Front convexe, arrondi et impressionné
légèrement en avant. Prothorax allongé, peu rétréei au sommet,
très-bombé, profondément ponctué, présentant latéralement au
sommet et de chaque côté une forte impression longitudinale, et

(29)
sur le disque, en arrière du milieu, deux forts tubercules rap-
prochés. Elytres de la largeur du prothorax à la base, parallèles
Jusqu'au milieu, atténuées au delà, aplaties dans la région sutu-
rale, marquées de neuf séries de points assez gros avec des points
plus petits disséminés dans les intervalles. Dessous d’un brun
noirâtre, pattes ferrugineuses.

Cayenne.

Facies d'un Dilobitarsus, dû principalement aux tubercules du
prothorax.

42. À. JAGQUIERI. — Can. Monogr., t. 1, p. 64, pl. 1, fig. 8.

Cayenne.

45. À. CHABANNEI. — Guér. Zcon., pl. XII, fig. 4. — Cao. Monogr.,
t I, p. 65. :

Brésil septentrional et Guyane.

44. À. PALLIATA. — Larr. Voyag. Humb., t. I, p. 154, pl. XVI, fig. 5.
Adelocera Chapuisii. — Can. Monogr., t. 1, p. 66, pl. E, fig. 5.

Nouvelle-Grenade.

45. À. INÆQUALIS. — Can. Monogr., t. 1, p. 67.

Nouvelle-Grenade.

46. À. RUBRA. — Perry. Delect. Anim., p. 20, pl. V, fig. 1. — Cann.
Monogr., t. 1, p. 67.

Brésil, Rio.

47. À. POLLINARIA. — Cann. Monogr., t. I, p. 68, pl. I, fig. 44.
Brésil.

AS. À. sETOsA. — Flava, pilis subsquamiformibus flavis irro-

rala ; prothorace latitudine longicre, disco quadriimpresso, brun-
neo; elytris brevibus, acuminatis, striato-punctalis, apice brunnets.

Long. 49 mill., lat. 5 :/, mill.

( 30 )

Jaune, avec le milieu du prothorax et le tiers apical des élytres
d’un brun rougeâtre, revêtu de poils subsquamiformes épars, un
peu plus larges sur le prothorax que sur les élytres. Front trian-
gulairement impressionné. Prothorax plus long que large, curvi-
linéairement rétréci en avant, convexe, fortement et densément
ponetué, présentant quatre impressions sur le disque, brusque-
ment déelive en arrière, ses angles postérieurs nullement diver-
gents, arqués au bout. Élytres de la largeur du prothorax, moins
de deux fois plus longues, atténuées à partir de la base, acuminées
au bout, marquées de séries de points. Dessous brun, sauf les
flancs du prothorax, qui sont dépourvus de sillons tarsaux; pattes
brun-clair.

Para, Villa-Nova da Rainha. (Coll. Jans.)

49. À. ADSPERSA. — ÆElongata, brunnea, sparsim flavo-squa-
mulosa; prothorace latitudine longiore, parallelo, convexo, crebre
fortiterque punctato; elytris dorso deplanatis, striato-punctalis,
apice nigrescentibus.

Long. 14 mill., lat. 5 ‘|, mill.

Assez allongé, brun avec le milieu du prothorax et près de la
moitié postérieure des élytres noirâtres, revêtu, peu densément,
de squamules d’un flave clair, parmi lesquelles on en remarque
quelques-unes plus obscures. Front triangulairement impres-
sionné. Prothorax notablement plus long que large, en carré
long, très-convexe et très-ponctué, marqué de quatre petites im-
pressions sur le disque, ses angles postérieurs courts, aigus, un
peu divergents à l'extrémité. Élytres moins de deux fois plus
longues que le prothorax, aplaties le long de la suture, striées-
ponetuées, présentant à la base une courte saillie longitudinale
de chaque côté de l’écusson. Dessous et pattes bruns, le métatho-
rax et l'abdomen noirs avec leurs squamules presque blanches.
Flances prothoraciques sans sillons tarsaux.

Guatemala, Izabal.

Cette espèce, dont un exemplaire se trouve dans la collection

(SA

de M. Sallé, est très-voisine de l'A. pollinaria, mais elle est plus
étroite en proportion de sa longueur.

50. À. SUBCOSTATA. — Cann. Monogr., t. I, p. 69.
Guadeloupe.

D1. A. MEXICANA. — Cann. Monogr., t. 1, p. 70.

Mexique.
DILOBITARSUS.
Latr. Ann. Soc. entom. Fr., t. III, p. 142.
I. — Prothorax dépourvu de tubercules.
A Très-long. Prothorax beaucoup plus long que large. . 147. D. gracilis.

AA Allongé, prothorax aussi long que large ou à peu près.
a Angles postérieurs du prothorax carénés.
œ Prothorax carré
ax Prothorax arrondi Hoeron è ;
aa Angles postérieurs du prothorax non carénés .
AAA Court, prothorax transversal

. D. petiginosus.
. D. nebulosus.
D. tessellatus.
D. abbreviatus.

ser

# II. — Prothorax tuberculeux.

À Tubercules du prothorax faibles.

a Élytres marquées de points serrés. . . . . . . 6. D. columbianus.
aa Élytres subsillonnées . . . . ID SA bsulcatuse
AA Tubercules du prothorax bien menés.
AS IALLDERCULES EN ER Ce CRE M ON D ITrONQIUS,
aa Quatre tubercules.
æ Prothorax rétréci au sommet . . . . . . . . 140. D. lignarius.
œœ Prothorax non rétréci au sommet. . . . . . . 41. D. quadrituberculatus.

aaa Deux tubercules.
& Prothorax tuberculeux au milieu du disque.
* Corpsallongé. . . . . . . . . . . . . 8. D. Deyrollei.
** Corps très-court . . . . . . . . D. D. cuneatus.
æo, Tubercules rapprochés du ol Hugie
* Corps de largeur normale.
X Deux côtes longitudinales sur les élytres . . 12. D. bicornis.
XX Pas de côtes sur les élytres. . . . . . . 143, D. nubilus.
#* Corps linéaire.
X Élytres atténuées en arrière.

+ Téguments noirs. . . . . . . . . 14. D.bidens.
++ Téguments bruns.
x Prothorax sans sillons . . . . . . 45. D. inopinus.
xx Prothorax sillonné . . . . . . . 16. D. Eloini.

XX Élytres élargies en arrière . . . . . . . 48. D. cornutus.

(52)

1. D. PETIGINOSUS. — Genm. Zoitschr., t. I, p. 246, pl. I, fig. 3. —
Can. Monogr., t. 1, p. 77.

Brésil.

9. D. TESSELLATUS. — Parallelus, rufus, pilis squamiformibus
brunneis argenteisque marmoratim vartegatus; prothorace sub-
quadralo, convexo, lateribus subsinuato, angulis posticis haud .
carinatis; elytris prothorace vix latioribus, dorso deplanatis,
crebre punctatis.

Long. 13 mill., lat. 5 mill.

Voisin du précédent. Il s'en distingue par la vestiture, où le
blanc domine davantage, et surtout par l'absence complète de
carènes sur les angles postérieurs du prothorax, carènes bien
visibles chez le petiginosus.

Brésil, N. Fribourg. (Coll. Jans.)

5. D. NEBULOSUS. — Brunneus, fere opacus, squamulis brun-
neis, aureis albidisque marmoratim vestilus; prothorace longitu-
dine paulo latiore, basi profunde impresso ; elytris dorso depres-
sis, extus humeros versus sulcatis.

Long. 15 mill., lat. 4 ‘}, mill.

Brun obscur, presque mat, revêtu d'’écailles médiocrement
serrées, brunes, dorées et blanches, les secondes formant mar-
brures, les troisièmes rares. Front bombé. Prothorax un peu
plus large que long, bombé, ponctué, subsillonné en avant, for-
tement impressionné au milieu vers la base, ses côtés arqués,
ses angléS postérieurs non divergents, faiblement carénés. Élytres
de la largeur du prothorax, parallèles jusqu’au delà du milieu,
très-ponctuées, déprimées le long de la suture, présentant quel-
ques sillons vers la région humérale. Flancs du prothorax im-
pressionnés, mais sans sillons tarsaux.

Cayenne.

Cette espèce a le facies d’une A delocera de la première section,
mais ses tarses visiblement lamellés la classent ici. J'en ai vu un
exemplaire dans l’ancienne collection Castelnau.

(55)

4. D. ABBREVIATUS. — Canon. Monogr., t. I, p. 78.
Brésil.
5. D. cunearTus. — Brevis, nigro-brunneus, pilis squamifor-

mibus auratis sparsutus; prothorace transverso, apice subito
angustato, transverse gibboso, angulis posticis haud divaricatis,
acutis ; elytris dense et grosse seriatim punctatis, cuneatis , bre-
vibus, basi subtuberculatis, apice acuminatis.

Long. 10 mill., lat. 4 mill.
Dilobitarsus cuneatus. — Can. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 8.

Court, très-large, cunéiforme, d’un brun noir teinté de rou-
getre sur les côtés du prothorax, ainsi qu'à la base et au sommet
des élytres, revêtu, mais pas assez densément pour masquer la
couleur du fond, de poils squamiformes dorés. Front arrondi en
avant, impressionné sur le sommet. Antennes brièvement pecti-
nées (au moins chez les mäles), ferrugineuses. Prothorax plus
large que long, droit sur les côtés en arrière, un peu élargi vers
le tiers antérieur, puis brusquement rétréci au sommet, forte-
ment et transversalement gibbeux sur le disque, couvert de gros
points profonds, ses angles postérieurs nullement divergents,
aigus.au sommet. Écusson pentagonal, échancré latéralement.
Élytres courtes, triangulaires, acuminées au sommet, présentant
chacune vers le milieu de leur base un renflement subtuberculi-
forme, criblées de très-gros points disposés en séries longitudi-
nales. Dessous de la couleur du dessus, fortement ponctué,
parsemé de poils squamiformes cendrés sur le métasternum et
l'abdomen, jaunes sur le prosternum, celui-ci marqué de sillons
obliques pour recevoir les pattes antérieures au repos. Lamelles
des tarses très-courtes.

Guyane, Cayenne.

Collection de M. de Mniszech.

6. D. COLUMBIANUS — Cann. Monogr., t. I, p. 78.

Nouvelle-Grenade.

O1

(34)

7. D. SuBSULCATUS. — Fusco-brunneus, subnitidus, squamutis
aureis lessellatus ; prothorace latitudini longitudine æquali, basin
versus angustato, disco sulcato et antice obsolete bituberculato,
inœqualiter punctato, angqulis posticis subdivaricatis, obsolete cari-
nalis ; elytris ad suturam depressis, tenuiter sulcatis.

Long. 15 mill., lat. 5 1}, mill.

Brunâtre, des poils squamiformes dorés formant des mar-
brures sur tout le corps. Front concave en avant. Prothorax
aussi large que long, un peu dilaté en avant, échancré de chaque
côté en arrière, convexe et inégal en dessus, le milieu longitudi-
nalement sillonné, deux tubercules obsolètes près du bord anté-
rieur, ses angles antérieurs abaissés et arrondis en dehors, Îles
postérieurs un peu divergents, obsolètement carénés. Élytres un
peu plus larges que le prothorax, parallèles, déprimées vers la
suture, très-ponctuées, légèrement sillonnées.

Équateur. (Coll. Jans.)

8. D. DEYROLLEI. — Cann. Monogr., t. 1, p. 79, pl. 1, fig. 11.
Nouvelle-Grenade.

9. D. IRRORATUS. — Cann. Monogr., t. I, p. 80.
Nouvelle-Grenade.

10. D. LIGNARIUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 80.

Uruguay; Rép. Argentine.

11. D. QUADRITUBERCGULATUS. —- Cann. Monogr., t. 1, p. 81.
Brésil, S'-Catherine.

12. D. BICORNIS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 82.

Brésil.

15. D. NUBILUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 85.

Nouvelle-Grenade.

14. D. BIDENS. — Fagr. Syst. Eleuth., t. I, p. 227. — Cann. Mo-
nogr., t. 1, p. 83, pl. I, fig. 6.

Brésil; Guyane; Colombie; Amér. centrale.

(3)

15. D. nopinus. — Lineari-elongatus, angustus, brunneus,
pilis squamiformibus, multicoloribus variegatus; prothorace lati-
tudine multo longiore, antice dilatato, cribrato, apud marginem
anticum tuberculis duobus acuminalis ; elytris angustis, seriatim
grosse punclatis, interstiliès punclis minoribus.

Long. 18 mill., lat. 4 mill.

Très-voisin du précédent. Il est généralement plus grand, en-
tièrement brun, revêtu de poils squamiformes brun-foncé, brun-
clair, gris, dorés et blancs entremêlés, les premiers formant, par
leur agglomération, quelques taches sur les élytres ; sur le front,
les angles antérieurs et la base du prothorax et la base des
élytres, les poils jaunes dominent. Le reste comme chez le bidens.

Nicaragua. (Coll. Jans.)

16. D. Ecoini. — Lineari-elongatus, angustus, brunneo-niger,
pilis squamiformibus brunneis fulvisque variegatus ; fronte antror-
sum excavata, luteo-squamosa; prothorace antice incrassato, ad
marginem anticum bituberculato, medio canaliculato; elytris an-
gustis, seriatim grosse punctalis, interstitiis punctis minoribus ;
antennis pedibusque brunneis.

Long. 14 mill., lat. 2 1}, mill.

De la forme générale du bidens ; il s’en distingue principale-
ment par son prothorax sillonné dans toute sa longueur, ses
élytres plus déprimées, sa couleur brune et les taches formées
par les poils squamiformes fauves mieux marquées, surtout celles
de l'extrémité des élytres.

Amérique centrale.
17. D. cracitis. — Linearis, angustus, brunneo-niger, pilis
squamiformibus flavis obductus ; fronte antrorsum excavala; pro-

thorace latitudine multo longiore, parallelo, apice incrassato,
punctato; elytris prothorace haud latioribus, parallelis.

Long. 12 mill., lat. 2 !/, mill.

(56)

Tournure des précédents, mais plus étroit et plus linéaire ; noir
ou brun, revêtu de poils squamiformes jaunes avec quelques
bruns formant des taches cà et 1à. Front excavé en avant, revêtu
de poils jaunes plus denses. Prothorax très-allongé, parallèle,
épaissi en avant, ponctué, sans tubercules près de son bord anté-
rieur. Élytres allongées, parallèles, moins déprimées sur le dos
que chez le bidens, ponctuées, présentant une petite saillie de
chaque côté de l’écusson.

Para, Ega et R. Tapajos. (Coll. Jans.)

18. D. corNuTus. — Lineari-elongatus, angustus, fusco-brun- .
neus, pilis squamiformibus fulvis, nigris albisque variegatus;
fronte bicornuta; prothorace antrorsum sensim incrassato, apud

marginem anticum bituberculato; elytris brunneis, dense punc-
tatrs.

Long. 10-16 mill., lat. 2-9 1}, mill.

Dilobitarsus cornutus. — Can. Mém. Acad. Belq., 1865, p. 8.

De la forme générale du bidens, mais plus petit, moins dé-
primé; d’un brun obscur, avec les élytres brunes maculées de
noirâtres et d'un brun testacé dans leur quart apical, revêtu de
poils squamiformes fauves, noirs et blancs qui forment des mou-
chetures et des linéoles sur les téguments, les derniers dessinant
trois à quatre fascies ondulées. Front bitubereuleux en avant,
presque entièrement couvert de poils blanchâtres. Antennes
rouge-brun. Prothorax allongé, graduellement épaissi et élargi
d’arrière en avant, curvilinéairement rétréci dans son tiers anté-
rieur, sinueux sur les côtés, densément et fortement ponctué,
présentant près du bord antérieur deux forts tubercules mousses.
Ses angles postérieurs petits, un peu divergents, séparés de la
portion moyenne du bord postérieur par une assez grande échan-
crure. Écusson quadrangulaire, bombé. Élytres un peu plus larges
à la base que l'extrémité correspondante du prothorax, graduel-
lement élargies jusqu’au quart postérieur, subeylindriques, très-
. ponctuées sans stries de points bien nettement marquées, leur

(37)

bord antérieur avancé entre l'épaule et l’écusson. Dessous bru-
nâtre; pattes d'un rouge brun.

Cette espèce remarquable, qui possède tout à fait la tournure
des Dilobitarsus américains et notamment du D. bidens, provient
de l'Afrique équatoriale. Un exemplaire de petite taille du Vieux-
Calabar m'a été communiqué par M. Murray; un second, mesu-
rant le maximum de la taille indiquée ci-dessus, se trouve dans
la collection de M. Saunders.

ANACANTHA.

SOLIER, in Gay, Histor. d. Chile, t. V, p. 18.

Ce genre arrive dans le voisinage des À delocera et des Dilo-
bitarsus. Les antennes sont dentées en scie à partir du troisième
article, mais elles sont plus longues que le prothorax et ne peu-
vent se loger dans les cavités sternales. Les tarses sont lamellés,
moins fortement toutefois chez l'espèce typique que chez les
autres
A Prothorax fortement sillonné au milieu, en dessus. . . . . . {. À. sulcicollis.

AA Prothorax non sillonné.
a Élytres uniformément noires.

æ Une tache longitudinale noire sur le prothorax . 2. À. vitticollis.
ox Une tache cruciale noire sur le prothorax . 3. À. crux.
aa Pubescence des élytres formant des marbrures . 4. À. marmorata.

Î. A. sULCICOLLIS. — Elongata, paraliela, nigra, opaca, ob-
seure pilosula; prothorace latitudine longiore, medio sulcato et
utrinque biimpresso, anqulis posticis brunneis, divaricatis ; ely-
tris dorso depressis, parallelis, crebre punctatis ; tarsis gracilibus,
articulo quarlo breviter laminato ; sulcis tarsorum nullis.

Long. 16-20 mill., lat. 5 '/,-4 mill.

SOLIER, Loc. cil.

Chili.

2. À. virricozuis. — Nigra, opaca, obscure pilosula; prothorace
lateribus aureo-pilosulis, latitudine paulo longiore, convexo, crebre

(58)

punctalo, angulis posticis rufescentibus; elytris crebre punctatis ;
tarsis articulis 5-4 laminatis; sulcis tarsorum nullis.

Long. 12 mill., lat. fere 5 mill.

Adelocera vilticollis. — Fairm. Rev, Zool., 1860, p. 268.

5. À. cRUx. — Nigr'a, opaca, obscure pilosula ; prothorace (&)
a basi angustato seu (9) quadraio, aureo-pilosulo, macula cruci-
formi nigra ; elytris crebre punclatis; tarsis articulis 3-4 lami-
natis; sulcis tarsorum nullis.

- Long. o' 14 mill., © 15-17 mill., lat. © 5 1}, mill., Q 4 ‘},-5 mill.

A delocera crux. — Puis. Siettin. Zeit., 1860, p. 247.

Var. a. Prothorace sanguine.

Plus large en proportion que la précédente et plus aiténuée
aux extrémités. La femelle a le prothorax plus ou moins rou-
geâtre, parfois même tout à fait rouge; tel est le cas chez un
exemplaire que m'a communiqué M. Edw. Reed, du Musée na-
tional de Santiago.

Ce n’est peut-être qu'une variété de la précédente.

%. À. MARMORATA.— Brunneo-nigra,opaca, marmorala, obscure
et pallide pilosa; prothorace latitudine haud vel vix longiore,
apice leviter ançgustato, medio dilatato, lateribus sinuosis ; elytris
punctatis, basi impressis; tarsis articulis 5-4 laminatis ; sulcis
tarsorum nullis.

Long. 45 mill., lat. 3 °/, mill.

Brunâtre, opaque, revêtue de poils squamiformes bruns et
blanchâtres, formant des marbrures sur tout le dessus, les pre-
miers figurant une tache cruciforme sur le prothorax et quelques
grandes taches sur les élytres. Prothorax un peu plus long que
large chez le mèle, aussi large que long chez la femelle, un peu
rétréei en avant, dilaté au milieu avec ses bords latéraux sinueux,
convexe, fortement ponctué, ses angles antérieurs avancés, les

(39)

postérieurs un peu divergents, non carénés. Élytres fortement
ponctuées, impressionnées à la base. Pas de sillons tarsaux.
Chili.
Communiqué par M. Edw. Reed.

Cette espèce serait aussi bien placée parmi les Dilobitarsus
que dans le genre actuel, ce qui prouve que ces deux genres
n’ont pas de limites bien tranchées entre eux. Si j'ai conservé le
genre Anacantha de Solier, c'est que le type diffère assez des
Dilobitarsus pour justifier cette mesure. D'autre part, les À. vit-
ticollis et crux ont, avec le premier, des rapports trop intimes
pour les en éloigner. Des remarques semblables s'appliquent à
une foule d'insectes du Chili, qui forment une faune spéciale,
et pour lesquels on est tenté de créer autant de genres distincts.

M. le D' Philippi a décrit, tout récemment, un Agrypnite
d'après un exemplaire trouvé près de Rancagua, non loin de
Santiago. Il en a fait, sous le nom de Cryptotarsus (!), un genre
à part, dont les caractères me paraissent différer peu de ceux des
Anacantha, si ce n'est par la présence d’un sillon tarsal aux
flancs du prothorax.

Voici les earactères génériques et spécifiques de eet insecte,
tels qu'ils sont formulés par l’auteur :

Antennæ sulco prosterni postice clauso receplæ, undecim arti-
culatæ, articulis 5-10 dentiformibus, secundo minulo, tertio
quartoque æqualibus. Tarsi antici sulco prosterni recepti; arti-
culis 5 et 4 tarsorum subtus in lamellum productis, quarto haud
dilatato.

C. ATER. — Afer, dense scrobiculato punclatus; pronoto gibboso,
medio longitudinaliter sulcato; tarsis rufis.
Long. 14 mill, lat. 4 ‘/, mill.

Puizrr, Stet. entom. Zeil., 1875, p. 508, pl. 2, fig. 5.

(*) On pourrait appeler ce genre Acrocryptus, le nom de Cryptotarsus
ayant déjà été appliqué, en 1865, à un malacoderme de Bogota, par
M. Kirsch.

( 40 )

HEXAULACUS.

Tète petite, enchässée dans le prothorax.

Antennes fortement dentées, à troisième article aussi grand
que le quatrième et de même forme, plus longues que les sillons
prosternaux destinés à les recevoir, en sorte qu’elles doivent se
recourber pour y entrer.

Sillons prosternaux non fermés en arrière.

Mésosternum élevé, les bords de sa fossette subhorizontaux.

Six sillons profonds, nettement délimités, pour cacher tous les
tarses au repos; les sillons pour la réception des tarses posté-.
rieurs grands, courbes, occupant toute la longueur du premier
segment abdominal.

Tarses à articles 5 et 4 brièvement lamellés.

Ce genre se distingue par le nombre insolite des sillons tarsaux.

H. Reenir. — Ater, opacus, nigro-pilosus, plaga dorsali protho-
racis, scutelli, elytrorumaque baseos aureo-pilosa ; prothorace lato,
medio sulcato, margine laterali explanato ; elytris dorso depres-
sis, crebre fortiterque punctatis.

Long. 15 mill., lat. 41}, mill.

Noir, mat, revêtu de poils noirs, le prothorax sauf ses bords
latéraux, l’écusson et le bord antérieur des élytres couverts de
poils d’un doré légérement rougeàtre. Front petit, excavé. Pro-
thorax aussi large que long, légèrement et curvilinéairement
atténué en avant, bombé au milieu avec ses bords latéraux for-
mant expansion, sillonné longitudinalement, criblé de gros points,
ses angles postérieurs courts, larges, un peu bombé. Élytres de
la largeur du prothorax, déprimées dans la région suturale, eri-
blées de points plus gros et plus serrés que ceux du prothorax.

Valdivia.

Un exemplaire de cet Agrypnite remarquable m'a été commu
niqué par M. Reed, à qui je le dédie.

(4)

OCNEUS.
Can. Monogr., t. |, p. 84.

O. LIMBATUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 85, pl. I, fig. 27.
Brésil.
EIDOLUS.

CanD. Monogr., t. 1, p. 178.

E. LINEARIS. — Canon. Monogr., t. 1, p. 479, pl. LE, fig. 1.
Brésil, S'°-Catherine.

HEMICLEUS.
CanD. Monogr., t. 1, p. 180.

1. H. GAFFER. —- Cano. Monogr., t. I, p. 184, pl. HE, fig. 5.

9. H. anspersuLus. — Lineari-angustus, subdepressus, pilo-
sus, fuscus; prothorace latitudine paulo longiore, basi apiceque
paulo angustato ; elytris punctatis, subtiliter siriatis.

Long. 6 1}, mill., lat. 4 1}, mill.

Dicrepidius adspersulus. — Kiue, Perer’s Reis. n. Mozamb. Coleoptera,
p. 196.

Un peu plus étroit que l'A. caffer et entièrement d'un brun
obseur, revêtu de poils brunètres et parsemé de poils squami-
formes jaunètres et brillants, disséminés parmi les premiers.
Front allongé, longitudinalement subexcavé. Antennes courtes,
d'un brun rougeâtre, leur première moitié seule se logeant au
repos dans les sillons des flancs. Prothorax un peu plus long
que large, convexe, ponctué, arrondi sur les côtés, rétréei légé-
‘rement à la base et au sommet. Écusson dilaté en arrière. Élytres
parallèles dans leur moitié antérieure, légèrement sillonnées,
ponctuées. Dessous du corps de la couleur du dessus, ainsi que
les pattes à l'exception des tarses qui sont rougeàtres.

Du Mozambique.

Le type existe au Musée de Berlin.

(22)

OPTALEUS.

Can. Monogr., 1. 1, p. 86.

1. O. LIMBATUS. — Cann. Monogr., t. K, p. 87, pl. HE, fig. 2.

Brésil.

2. O. CRIBRATUS. — BLancu. Voy. d. d'Ons., t. VI, /ns., 2me part.
p. 144. — Can. Monogr.; t. 1, p. 88.

Brésil.

9. O. PALEOLATUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 88.

Brésil.
4. O. FASCIATUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 89.

D. O. ARGENTATUS. —— Niger, opacus, squamulosus, squamulis
albis variegatus ; prothorace convexo, lateribus arcualo; elytris
brevibus, punctatis; abdomine ferrugineo.

Long. 4 mill., lat. 4 ‘/, mill.

Noir mat, revêtu d’écailles noires, des écailles blanches for-
mant un dessin triangulaire sur Île prothorax, deux anneaux
placés transversalement sur les élytres et couvrant, en outre, la
base et l'extrémité de celles-ci ainsi que le pourtour du premier.
Prothorax fortement bombé, ponctué, arqué sur les côtés qui
sont un peu translucides et rougeûtres, rétréei à la base et davan-
tage au sommet. Élytres de la largeur du prothorax et moins de
deux fois plus longues, ponctuées. Abdomen rougeûtre.

Ega. (Coll. Jans.)
LACON.
CasrELn. in SILBERM. Aie. entom., t. VI, p. 41.

Ce genre a recu ici un accroissement considérable, dû princi-
palement aux explorations récentes de l’'Indo-Chine, de l'archipel

(45)

Malais et de l'Australie. Dans l'impossibilité de le diviser d’une
manière rationnelle, et afin d’en rendre la détermination des
espèces plus aisée, j'ai réparti celles-ci dans quatre groupes dis-
tinets, en prenant pour base la distribution géographique , ainsi
que je l’ai fait pour les Agrypnus.

Le premier groupe renferme les espèces du continent africain
et des iles qui en dépendent.

Le second, sous le nom de groupe asiatique, comprend toutes
les espèces de l’ancien continent, moins l'Afrique, avec les archi-
pels de l’extrème Orient, jusqu'à la Nouvelle-Guinée inclusive-
ment.

Dans le troisième, je réunis les espèces d'Australie.

Enfin le quatrième renferme les espèces du nouveau continent.

Cette division ne brise aucune analogie et groupe les espèces
d’une manière assez satisfaisante.

Le genre Lacon est très-homogène, et malgré l'addition consi-
dérable des espèces nouvelles décrites plus loin, je n’ai rien à
changer à ses caractères, tels qu'ils ont été exposés dans la
Monographie. J'ajouterai, toutefois, que le caractère distinctif
des sexes réside dans le dernier segment abdominal, qui est
ponctué sur toute sa surface chez le mâle, tandis qu'il est lisse
au milieu chez la femelle.

1. — GROUPE AFRICAIN.

I. — Corps revêtu en dessus de poils ou d’écailles piliformes de deux couleurs
au moins, ou téquments maculés.

A Bords du prothorax non denticulés.
a Prothorax bi ou trisinueux latéralement.

æ Prothorax trisinueux. . . . . . . . . . . . . . 6. L.sinuatus.
co. Bisinueux.
* Élytres largement rebordées latéralement . . 3. L. nodifer. 4. L. turbidus.

#* Élytres non ou faiblement rebordées.
X Prothorax quadrituberculeux.

+ Vestiture brillante, multicolore . . . . . . 4. L. eximius.
++ Vestiture grise et brunâtre. . . . . . . .. 7. L.grisescens.
XX Prothorax bitubereuleux. . . . . . 5. L.nodicollis. 2. L. antiquus.

aa Prothorax arrondi sur les côtés ou simplement sinueux au
devant des angles postérieurs.

(44)

æ Côtés du métathorax munis de sillons tarsaux.
* Angles postérieurs du prothorax tronqués . . . . . 19. L. palliditarsus.
*k Angles postérieurs du prothorax aigus.
X Des taches blanehâtres formées par des écailles de

cette couleur . . . . COS D NANUS.
XX Des poils squamiformes jen Moséotid, . . . 24. L. occidentalis.
æo Côtés du métathorax sans sillons tarsaux.
* Prothorax inégal en dessus. . . . . . . . . . . A5. L.tripartitus.
** Prothorax égal en dessus.
X Prothorax aussi long que large. . . . . . . . 13. L.irroratus.

XX Prothorax plus large que long.
+ Téguments non maculés ;
A1. L. leprosus. 12. L. vestitus. 10. L. Goudoti.
++ Téguments maculés . . . . . . . . . . 4. L. maculosus.
AA Bords latéraux du prothorax denticulés.
a Des sillons tarsaux sur les flancs du prothorax.
æ Téguments obseurs avec de petites taches blanches formées
par des écailles agglomérées . . . …_ … … - A6. L. albopictus.
œœ Téguments plus ou moins marbrés, ou ne de petites
écailles de couleur disséminées isolément.
* Prothorax tuberculeux au milieu. . . . . . . . . 20. L. albitactus.
** Prothorax sans tubercule.
X Angles postérieurs du prothorax très-divergents.
29. L. minor. 8. L. crenatus.
XX Ces angles non ou peu divergents.
+ Unsillon tarsal DIT sur les flancs du méta-

ACER à à © nos 0 PL IL'OSer
++ Pas de sillon Pl sur 1 dis CP RE NICE QU:
aa Flancs prothoraciques sans sillons tarsaux . . . 9. L. porosus. 17. L. mysticus.
I. — Téguments non maculés et revêtus en dessus de poils ou d’écailles

de couleur uniforme.

A Un sillon tarsal sur les flancs du prothorax.
a Prothorax crénelé sur les côtés au moins en avant.
& Plusieurs impressions sur le prothorax . . . . . . 38. L. bidivisus.
&o Prothorax sans impression sur le disque. $
* Sillons tarsaux larges, à bords vagues, mal limités.

X Largeetovale, noir. . . . . . . . . . . 8. L. amplicollis.
XX Subcylindrique, brunâtre . . . . 96. L. muscerda.
#+ Sillons tarsaux étroits, profonds, nonenont dia,
X Corps trois fois plus long que large. . . . . . 86. L. interpunctatus.
XX Corps moins de trois fois plus long que large . . 35. L. porcinus.
aa Bords latéraux du prothorax non crénelés.
œ Un pli transversal sur le disque du prothorax . . . . 3%. L. hottentota.

co Pas de pli transversal sur le prothorax.
* Corps allongé, plus ou moins épais.

x Angles postérieurs du prothorax droits . . . . 27. L. decipiens.
XX Angles ER du prothorax recourbés en de-
ROIS EE : RCE 00 D NDEeS ardt

#k Corps large, plus ou moins nl SL PIC TID ENS

(45)

AA Pas de sillon tarsal sur les flancs du prothorax.
a Prothorax crénelé latéralement.

M TICUSS ONU A EU Een NX ANR SNL scaber.
GARBCUSSONPbOMIE EN NN EN OT nŒnulatus

aa Prothorax non crénelé.
& Corps trois fois plus long que large.

* Une crête transversale sur le prothorax. . . . . . 18. L. sordidus.
** Pas de crête transversale . . 29. L. soricinus. 31. L. flavipes 30. L. latus.
GÉMNOTDSRES COURIR NC RE O2 Tigre.
SMIC CHIENS CUIR ET TE SR EEE parcus.

2. — GROUPE ASIATIQUE.

I. — Elytres régulièrement striées-poncluées.

1. — Côtes du métathorax munis d'un sillon oblique bien délimité (1),
pour recevoir les tarses médians au repos.

A Élytres présentant des poils érigés, outre la vestiture squami-

forme.
a Base du prothorax fortement impressionné de chaque côté . 351. L. lutosus.
aa Base du prothorax non ou à peine impressionné.
œ Pas de sillon médian sur le prothorax. . . . . . . . 52. L. setiger.
œœ Un sillon médian. . . . NS MERE AN NEO qd exe

AA Pas de poils érigés sur les Es.

«a Prothorax présentant des poils squamiformes de deux sortes :
de grands insérés dans les points et de plus petits dans les
intervalles.

œ Écusson blanc. . . . D OR EST TL leucaspis.
œœ Écusson de la couleur die
* Forme généralement parallèle, la plus grande largeur des
élytres tombant vers leur milieu ou au delà.
X Prothorax brusquement rétréci au sommet, ses côtés
un peu sinueux à la base des angles antérieurs.
+ Bords latéraux du prothorax un peu crénelés au

SOMME RE EEE RE ACL anquiosus.
++ Noncrénelés. . . . . 45. L. elliensis.
XX Prothorax peu ou annees rétréci au som-

met.
+ Points sériés des élytres peu rapprochés, les in-
tervalles qui les séparent plus larges qu'eux.
o Prothorax à côtés parallèles . . . . . . 42.L.parallelicollis.
00 Prothorax à côtés courbes . . . . . #1. L. taciturnus.
++ Points sériés des élytres très- pps

(1) J'insiste sur les mots bien délimités parce que quelques espèces, non comprises dans
l’embranchement actuel, présentent sur le métathorax une impression plus ou moins vague,
tenant lieu du sillon tarsal complet, tel qu’il est entendu ici.

(46)

o Toutes les squamules des élytres très-petites.
© Prothorax un peu plus long que large
ce Prothorax aussi large que long. :
00 Deux sortes de squamules sur les élytres : de
très-petites formant des taches et de plus
grandes, allongées, moins serrées.
ec Prothorax sans crête transversale.
ce Prothorax avec une crête transversale
** Forme atténuée en arrière, la plus grande largeur des
élytres tombant généralement avant le milieu.
X Angles postérieurs du prothorax aigus
XX Angles postérieurs du prothorax tronqués. *
+ Une saillie transversale sur le prothorax .
++ Pas de saillie transversale sur le prothorax.
o Vestiture jaunâtre, d'une seule teinte
oo Vestiture grisâtre ou bicolore.
c grisâtre.
v Prothorax peu rétréci à la base.
vv Proth. assez fortement rétréei à la base .
ce bicolore.
aa Prothorax garni de squamules d’une sant Fonme.
æ Élytres tachetées.
* Bords latéraux du prothorax fortement denticulés.
X Une dépression limitée de chaque côté par une arête
sur la partie antérieure du prothorax .
XX Pas de dépression à la partie antérieure du Soon ax
*+ Bords latéraux du prothorax peu ou point denticulés.
X Noir avec de grandes taches gris-blanc
XX Rouge avec des taches jaunâtres
XXX Brunâtres avec des taches rougeûtres.
+ Une forte crête transversale sur le prothorax.
+-+ Pas ou presque pas de saillie transversale sur
le prothorax .
œc Élytres sans taches.
* Une crête transversale ou des tubercules sur le prothorax.
X Une crête.
+ Prothorax non ou à peine plus large que long
++ Prothorax notablement plus large que long .
XX Deux tubercules .
#* Prothorax sans crête ni tuber aies
X Angles postérieurs du prothorax tronqués.
+ Prothorax très-bombé
-++ Prothorax légèrement convexe
XX Angles postérieurs du prothorax acuminés.
+ Intervalles des stries des élytres un peu convexes.
++ Intervalles plats.

59.

54.
Do.
56.

L.

. truncatus.
. molestus.

. falsarius.
. (TANSUETSUS.

. hϾdulus.
. hispidulus.

. fex.

multiforis.

L. fibrinus.

L.

ML
. lupinosus.

œ

APT
. Mminusculus.

modestus.

LoStus.

. comptus.
. CONSOTS.

. (actus.

. in0pS.

. Muticus.
. afflictus.
. flavescens.

. torrefactus.
. COCLUS.

ovalis.

(47)

2. — Côtés du métathorax dépourvus de sillons tarsaux nettement limités.

A Pas de longue carène parlant des angles postérieurs du pro-
thorax et dédoublant son bord latéral.
a Téguments tachetés par la vestiture.
æ Élytres portant deux tubercules à la base .
co: Pas de tubercules à la base des élytres.
* Deux carènes longitudinales sur le disque du prothorax.
** Pas de carènes longitudinales sur le prothorax.
X Prothorax généralement plus large que long.
—+ Prothorax peu rétréci à la base.
o Teïinte générale-grisâtre
00 Teinte générale brune.
ec Une tache de couleur claire au bord laté-
ral des élytres, derrière l’épaule .
ce Pas de taches derrière les épaules.
x Une saillie transversale divisée en deux
tubercules sur le prothorax .
xx Un pli transversal sur le prothorax.
y Écusson couvert de squamules blan-
châtres, assez longues et serrées
yy Écusson semblable aux élytres pour
la vestiture.
z Pas de poils criniformes redressés
sur les élytres . .
zz Des poils criniformes Fi sur
les élytres
+-+ Prothorax fortement rétréci à la as
XX Prothorax aussi long que large.
+ Deux très-petits tubercules sur le prothorax.
o Angles postérieurs du prothorax fortement
tronqués.
c (Ces angles très-courts
ce Ces angles allongés TUE
oo Ces angles allongés et brièvement rune
au bout. c 2e
++ Deux saillies obtuses et EE © ou moins ia
versales sur le prothorax.
o Téguments mats ou à peu près.
oo Téguments luisants, sous la vestiture.
c Angles postérieurs du prothorax larges et
tronqués.
x Prothorax et élytres assez fortement ré-
trécis à leur base
xx Prothorax et élytres peu se à ns
base.
ce Angles postérieurs a one assez
grêles au sommet.
x Prothorax bosselé sur le disque .
xx Prothorax sans bosselures .

73.

74.

83.

85.

88.

89.

90.
86.

19.
78.

80.

71.

81.

82.

75.

76.

L. ornatus.

L. costicollis.

. L. murinus.

L. scutellatus.

L. binodulus.

L. litigiosus.

L.insularis.

L. erinaceus.
L. cordicollis.

L, coarctatus.
L. bipapulatus.

L. formosanus.

L. fuliginosus.

L.nepalensis.

L. birmanicus.

L. desquamatus.
L. mustelinus.

(48)

aa Téguments non tachetés par la vestiture.
5 Une saillie transversale ou deux tubercules sur le disque
du prothorax.
* Une saillie transversale:
X Élytres élargies avant le milieu, atténués au delà.

+ Prothorax arqué sur les côtés 92°
++ Prothorax droit sur les côtés S1.
XX Élytres parallèles jusqu'au milieu 91.
** Deux tubercules . : OS
co Pas de saillie transversale ou & boies sur ne pro-
thorax.
* Prothorax fortement sillonné au milieu.
X Des poils squamiformes fauves sur les téguments . 96.
XX Des squamules très-ténues et ordinairement rou-
geâtres sur les élytres . 6 97.
#k Prothorax peu ou point sillonné au milieu.
X Prothorax présentant de gros points disséminés
entre lesquels on en Un une multitude de
plus petits . : 95.
XX Points du prothorax mio mes.
+ Élytres subeylindriques.
o Téguments tout à fait opaques 98.

oo Téguments luisants + . » …: . . : … : 94
++ Élytres déprimées.
o Vestiture brune.
e Élytres et prothorax rétrécis à leur base,

les angles du dernier un peu prolongés. 100.
ec Élytres et prothorax parallèles à leur base,
les angles du second courts et non pro-
longés . - SEL
oo Vestiture grise. . 401.
AA Une longue carène longeant et dédoublant le bord latéral du
prothorax.
a Bord latéral du prothorax non crénelé.
æ Vestiture formant des taches.
* Prothorax plus long que large . 108.
** Prothorax aussi large que long . . 102.
co Nestiture uniformément disposée.
X Points du prothorax beaucoup plus gros en avant du
pli discoïdal qu’en arrière À . 104.
XX Points du prothorax peu différents en ten dl en
arrière.
+ Un pli transversal sur le prothorax . . 105.
++ Pas de pli transversal sur le prothorax . 106.
aa Bord latéral du prothorax crénelé.
œ Prothorax notablement plus étroit que les élytres. 407.

æs Prothorax peu ou point plus étroit que les élytres, dans
son milieu.
* Bords latéraux du prothorax fortement sinueux au de-
vant des angles postérieurs.

RERbE

. Sericans.

. Schwaneri.

. CŒNOSUS.

. furunculosus.

. brunnipennis.

. cinnamomeus.

. ellipticus.

. pr'œtermissus.
. COnsobrinus.

. Scrofa.

. Mmusculus.
. depressus.

. COTVINUS.
. apodixus.

. macroderus.

. Wallacei.

. glirinus.

. serricollis.

(49)

X Élytres parallèles . . . . CC I0S 7 Serrula.
XX Élytres dilatées au delà du men D LS pureus:
#* Prothorax peu ou point sinueux latéralement au-devant
des angles postérieurs.
X Téguments noirs.
+ Points sériés des élytres affaiblis vers la suture. 410. L. crenicollis.
++ Points sériés des élytres gros jusqu'à la suture. 441. L. sinensis.
XX Téguments brunâtres.
+ Prothorax fortement rétréci à la base et au
SOMME . . . . . 143. L. gracils.
++ Prothorax mélocemnen Er à à la base . . 109. L. lapideus.

IL. — Étytres ponctuées sans stries régulières (*), corps court et large.

A Quatre sillons tarsaux bien limités.
a Rougeître, des fascies formées par des is blanchâtres sur
les HE RECU . . 490. L. trifasciatus.
aa Noïr ou brunâtre Etes vaguement ou pont Races
æ Deux petites taches blanches près du sommet des élytres.
* Prothorax aussi ou moins large que les élytres.

X Élytres nullement sillonnées . . . . . . . . 417. L. tumens.
XX Élytres subsillonnées. . . . . . . . . . .418. L.turgescens.
#k Prothorax plus large que les élytres . . . . . 121. L. laxus.

æox Pas de taches blanches près du sommet des Eee
* Des lignes alternantes de points petits et gros sur les

ÉLNITES EE . . 116. L. adspersus.
** Points des élytres doennés sans de Tnenires
X Prothorax transversalement gibbeux. . . . . . 445. L. nebulosus.
XX Prothorax simplement convexe . . . . . . . 4114. L. obesus.
AA Pas de sillons tarsaux . . . . . . ... . «+ . . 419. L. sparsus.
IRCCRGE SONNERIE 122. L. tristis. 193. L. brachychætus.

. — GROUPE AUSTRALIEN.

[. — Quatre sillons tarsaux bien limités sur les flancs du prothorax
et du mélathorax.

A Tous les intervalles des stries égaux.
a Prothorax plus large que long.
oc Élytres plus de deux fois aussi SE que la largeur du

prothorax . . . . . . . . 1424. L. caliginosus.
œx Élytres moins de das fois aussi lames que la largeur
AUÉPLOMOEAN EE RP 190 D Tarcollrs
aa Prothorax aussi long que large . . . . . . . . . . 195. L. labiosus.
AA Intervalles impairs un peu plus larges . . . . . . . . 131. L. ursulus.

(2) Une espèce, l’adspersus, fait quelque peu exception sous ce rapport.

4

( 50 )

IT. — Pas de sillons tarsaux sur le mélathorax.

A Tous les intervalles des stries égaux en largeur et en hauteur.
a Téguments unicolores.
@ Un sillon tarsal sur les flancs du prothorax.
* Ce sillon à bords nettement arrêtés.

DC NIBTUNATE UE MR UT EEE NT . 497. L. socius.
XX Rouge ferrugineux. . . . . . . 196. L. ferrugineus.
** Ce sillon à bords vagues et mal définis.
X Suture des élytres élevée; taille très-petite . 453. L. Victorice.
XX Suture des élytres non saillante.
+ Angles postérieurs du prothorax droits . . . 436. L. humilis.
+-+ Angles postérieurs du prothorax aigus, diver-
SENS EN TN a : . 129. L. assus.
œœ Pas de sillons sur les flancs a prothorax.
* Prothorax notablement plus étroit que les élytres. . 140. L. fatuus.
** Prothorax aussi large que les élytres.
X Bords latéraux du prothorax forternent crénelés. . 135. L. Deboulayi.
XX Bords latéraux du prothorax non crénelés.
+ Angles postérieurs du prothorax entiers. . 132. L. princeps.
+-+- Angles postérieurs du prothorax tronqués . . 198. L. crassus.
aa Téguments bicolores par eux-mêmes ou par la vestiture.
c Par eux-mêmes.
* Prothorax aussi long que large . . 448. L. pictipennis.
** Prothorax plus large que long.
X Des poils squamiformes. . A4. L. variolus.
XX Des squamules. . . . 444. L. porriginosus.

a Par leur vestiture.
* Téguments un peu luisants
LES TÉSMONS MES 1560 © Sd 'oio 0 oo 0e
AA Intervalles des stries inégaux, un.ou quelques-uns plus larges,
ou plus écailleux, ou plus élevés que les autres.
GP TOINOTAXIDIIUNELCULEUX EEE ET UC
aa Prothorax sans tubercules:
æ Prothorax fortement rétréci à la base . . . . . . .
cx Prothorax non rétréci à la base.
* Élytres deux fois, au moins, plus longues que le pro-
thorax.
X Bords latéraux du prothorax redressés horizontale-
ment en avant. . . . . oo
XX Bords latéraux du prothorax non a mnesÉe en avant.
+ Une carène transversale sur le disque du pro-
thorax.
o Élytres plus de deux fois plus longues que
BR 5 6 0 0 dore
oo Élytres moins de dur fois ns longues ie
ER 1 © à 0 0 DO 1
++ Pas de carène ce sur le bus

447.

. 139.

. 135.

. 142.

. L. guitatus.
. L. marmoratus.

. L. mamillatus.

L. octavus.

L. marginatus.

L, geminatus.

L. pleureticus.

(51

o Prothorax déprimé, biimpressionné à la base. 438.
00 Prothorax convexe . . . . 137.

** Élytres moins de deux fois plus longues me re flans, ax.
+ Angles postérieurs du prothorax très-allongés,

(TÉSAIVELSEUtS ME NT PE T1 50)

++ Ces angles non divergents.
o Intervalles élevés des stries des élytres seter-

minant en arrière par des tubercules . . 151.

00 Ces intervalles non tuberculeux en arrière.
c Angle huméral des élytres droit.
x Prothorax aussi long ou à peu près que
large.
y Stries ponctuées des élytres régulières.

z Prothoraxrétréciàalabase. . . . 149.

zz Prothorax non rétréei à la base. . 450.

yy Stries externes irrégulières . . . . 448.
xx Prothorax transversal. . . . . . . 456.

ce Angle huméral obtus.
x Angles postérieurs du prothorax obli-

quement tronqués en dehors. . . . 154.
xx Angles postérieurs du prothorax entiers. 155.

Æ. — GROUPE AMÉRICAIN.

APN OMAVARIEITe DEN Pet he - 2 24 Me too dei. MID:
AA Couleur uniforme.
a Flances prothoraciques présentant un sillon tarsal ci déli-
mité.
æ Prothorax rétréci en arrière .
œœ Prothorax non rétréci en arrière.
* Bords latéraux du prothorax crénelés.
X Points des stries des élytres au moins aussi larges
que les intervalles . . . . . 159.

X%X Ces points moinslarges que les ervailes fe ses. 457.

#* Bords latéraux du prothorax non crénelés.

X Ses angles postérieurs saillants en dehors. . . . 163.
XX Ces mêmes angles droits, émoussés. . . . . . 165.

aa Pas de sillon tarsal aux flancs-prothoraciques.

œ Prothorax crénelé sur les côtés. . . . . . . . . . 164.

œoœ Prothorax non crénelé.
X Ses angles postérieurs petits, tronqués.
+ Une crête en forme d’Y sur le front . . . . 162.
++ Pas decrête sur le front «+ : : … . . . - 461
XX Ces mêmes angles non divergents, aigus.

+ Prothorax plus large que long . . . . . . 466.
++ Prothorax aussi long que large . . . . . . 167.

RUE EE. AE Re 460!

SR

SES

L.
L.

. variabilis.
. parallelus.

. divaricatus.

. lacrymosus.

. Carinulatus.

sculptus.

. COStipennis.
. punctipennis.

. Insignitus.
. cordipennis.

. MUCOTEUS.

. brevis.

° CUTLUS.
L.

rectangularis.

. (LUSPAneENsis.
. Suillus.

. Lezeleuci.

. Ccalamitosus.
NL:

SCATTOSUS.

Truqui.
dubius.

(52)

1, — GROUPE AFRICAIN.

1. L. TURBIDUS. — Germ. Zeïtschr., t. IN, p. 265. — Can. Monogr.,
t.1, 1.99 pl; fig-17:

Madagascar.

2. L. ANTIQUUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 100.

Madagascar.

5. L. NODIFER. — Kzuc, 1ns. Madag., p. 62, pl. HE, fig. 2. — Cao.
Monogr., t. 1, p. 100.

Madagascar.

4. L. EXIMIUS. — Cano. Monogr., t. 1, p. 101.
Madagascar.

5. L. NODICOLLIS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 101.
Madagascar.

6. L. SINUATUS. — Can. Monogr., t. I, p. 105.
Madagascar.

7. L. cRisEsceNs. — Fuscus, opacus, pilis subsquamiformibus
fuscis griseisque maculatim dense obductus ; prothorace longitudine
latiore, quadrituberculato, angulis posticis brevibus, divaricatis,
obtusis ; elytris convexis, punctato-striatrs.

Long. 42 mill., lat. 4 mill.

Brunâtre, opaque, densément revêtu de poils subsquamiformes
gris et bruns, ceux-ci plus abondants que ceux-là à la base des
élytres et au milieu du prothorax. Antennes rougeàtres. Protho-
rax plus large que long, un peu sinueux en arrière des angles
antérieurs et beaucoup plus fortement en arrière du milieu, très-
arqué sur les côtés au niveau du tiers antérieur, convexe, criblé
de gros points, portant quatre tubereules sur le disque et deux
impressions ponctiformes vers la base, ses angles postérieurs
courts, divergents, obtus. Éeusson présentant une ligne de poils

( 55 )

blanchâtres. Elytres convexes, subsillonnées plus fortement en
dehors que vers la suture, les sillons ponctués.

Madagascar. (Coll. Cand.)

8. L. CRENATUS. — Kiue, /ns. Madag., p. 66. — Can. Monog., t. E,
p. 105.

Madagascar.

9. L. POROSUS. — Kivc, /ns. Madag., p. 65. — Canv. Monog., t. 1,
p. 105.

Madagascar.

10. L. Goupori. — Cann. Monogr., t. 1, p.106, pl. Pen

Madagascar.

11. L. LEPROSUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 107, pl. Il, fig. 5.

Madagascar.

19. L. vESTITUS. — Kiue, {ns. Madag., p. 64.— CanD. Monogr., t. I,
p. 107, pl. IT, fig. 2.

Lacon tumidicollis. — Can». loc. cit., p. 108.

Madagascar.

Examen fait de nombreux spécimens de cette espèce qui varie
assez dans sa taille, dans les proportions du prothorax, etc., je

pense que le L. tumidicollis n'en est qu'une forme accidentelle et
individuelle.

15. L. IRRORATUS. — Kiuc, Ins. Madag., p. 65. — Cann. Monogr.,
t. I, p. 109.

Lacon confusus. — Canp. loc. cit., p. 109.
Celui-ci, comme le précédent, n’est pas très-stable dans sa

forme; j'ai done pris le parti de lui adjoindre le L. confusus dont
J'avais fait indüment une espèce distincte.

1%. L. macucosus. — Depressus, brunneus, subnitidus, ferru-
.qineo-marmoratus, squamulis minutissimis fulvis irroratus; pro-

(54)

_thorace longitudine latiore, lateribus arcuato, crebre fortiterque
punctato, angulis posticis brevibus, subdivaricatis ; elytris striis
fortiter punctatis.

Long. 10 mill., lat. 5 mill.

Plus déprimé que les précédents, brun et ferrugineux, ces
deux teintes formant des marbrures, surtout sur les élytres,
revêtu de très-petites écailles ferrugineux-clair, le prothorax
marqué de deux points constitués par leur agglomération. Front
légèrement convexe, ponctué. Prothorax un peu plus large que
long, médiocrement bombé, égal en dessus, très-ponctué, ses
bords latéraux arqués et tranchants, ses angles postérieurs courts,
légèrement recourbés en dehors, obtus au sommet. Élytres fai-
blement élargies au delà du milieu, assez déprimées, striées, les
stries marquées de très-gros points rapprochés. Pas de sillons
{arsaux.

Madagascar. (Coll. Jans.)

45. L. rriparTiTus. — Depressus, brunneus, parum nitidus,
squamulis ferrugineis cinereisque obductus; prothorace longitu-
dini latitudine æquali, disco arcuatim carinato, angulis posticis
divaricatis, obtusis, carinatis; elytris striato fortiter punctatis.

Long. 11 mill., lat. 5 1}, mill.

Assez déprimé, brunâtre, presque mat, revêtu de petites
écailles les unes ferrugineux-gris, les autres plus petites, d'un
gris clair, plus serrées que les premières et formant par consé-
quent de petites taches vagues. Front convexe en avant. Protho-
rax aussi large que long, arqué sur les côtés, sinué en arrière,
peu convexe, présentant une petite crête transversale médiane
qui, avec les carènes des angles postérieurs, forme une élevure
arquée divisant sa surface en trois plans assez bien indiqués,
les angles postérieurs divergents, obtus au bout, carénés exté-
rieurement. Élytres de la largeur du prothorax, parallèles en
avant, peu convexes, striées, les stries assez fortement ponetuées.
Des sillons tarsaux vaguement définis sur les flancs du prothorax.

Madagascar. (Coll. Jans.)

(55)

16. L. ALBOPICTUS. — Cano. Monogr., t. I, p. 104.
Madagascar.

17. L. MYSTICUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 104.
Madagascar.

18. L. SORDIDUS. — Cann. Monogr., t. [, p. 114.

Sénégal.

19. L. PALLIDITARSUS. — Canv. Monogr., t. 1, p. 120.
Cap de Bonne-Espérance.

20. L. ALBITACTUS. — Fuscus, subopacus, squamulosus ; pro-
thorace longitudine paulo latiore, disco transversim bicristato,
lateribus angulato crenulatoque; scutello albido-squamoso ; elytris
convexis, striato grosse punctatis ; sulcis tarsorum male defi-
nitis.

Long. 8 mill., lat. 2}, mill.

Brunâtre, à peu près opaque, recouvert d'assez grandes squa-
mules brunes et grises ou fauves, formant des taches vagues.
Front impressionné. Prothorax un peu plus large que long, brus-
quement rétréci au sommet avec ses côtés anguleux, convexe,
portant au milieu du disque une crête transversale divisée en
deux, ses angles antérieurs assez avancés, ses bords latéraux
crénelés, les angles postérieurs courts, subtronqués au bout.
Écusson portant quelques écailles blanchâtres, lesquelles se con-
tinuent un peu sur le prothorax, de façon à figurer un petit trait
longitudinal de cette couleur. Élytres parallèles jusqu'au milieu,
atténuées au sommet, convexes, marquées de lignes de gros points.
Flanes du prothorax offrant une impression oblongue tenant lieu
du sillon tarsal.

Vieux-Calaber. (Coll. Murray, Janson.)
91. L. AspER. — Fuscus, opacus, squamulis fuscis griseisque

obductus; prothorace longitudine latiore, disco æquali, convexo,
cribrato, lateribus arcuato et crenulato; elytris brevibus, medio

( 56 )

paulo dilatatis, striato fortiter punctatis; sulcis tarsorum qua-
tuor bene definilis.
Long. 7 !}, mill., lat. 2}, mill.

Brunûtre, très-opaque, revêtu d’écailles rudes, brunes et gri-
sàtres, formant des maculatures peu apparentes. Front plat, plus
ou moins impressionné. Prothorax plus large que long, régulié-
rement arqué sur les côtés, égal et convexe en dessus, fortement
ponctué, ses angles antérieurs saillants, ses bords latéraux den-
telés, ses angles postérieurs courts, presque droits, subtronqués
au bout. Élytres de la largeur, aux épaules, de la base du pro-
thorax, un peu élargies au milieu, largement arrondies en arrière,
régulièrement convexes en dessus, marquées de stries peu pro-
fondes fortement ponctuées. Flancs du prothorax et du métatho-
rax marqués de sillons tarsaux nettement définis.

Guinée ; bouches du Niger. (Coll. Jans.)

22. L. MINOR. — Can. Monogr., t. 1, p. 126.

Madagascar.

25. L. NANUS. — Bonem. /ns. Caffr. t. 1, II, p. 420. — Can. Mo-
nogr., t. 1, p. 151.

Cafrerie.

Une jolie variété du pays des Zulus, dont j'ai vu de nombreux
exemplaires dans la colleetion de M. Janson, se distingue par ses
élytres rougeûtres, à l'exception d’une bande transversale mé-
diane, qui reste noire.

Les sillons métathoraciques, toujours mal définis chez cette
espèce, disparaissent parfois presque entièrement.

24. L. OCCIDENTALIS. — Canp. Monogr., t. 1, p. 150.

Sénégal.

Cette espèce, suivant M. Gerstaecker (Monatsb. d. Berl. Acad.,
1866, p. 54), se trouverait également à Zanzibar. J'en ai vu, en

outre, un individu provenant des chasses de M. Beccari, dans le
pays des Bogos, en Abyssinie.

(57)
25. L. FOEDUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 1925.
Sénégal; Guinée supérieure; Abyssinie.

Un exemplaire de cette dernière provenance, pris par M. Bec-
cari dans le pays des Bogos et que m'a communiqué M. le docteur

Gestro, est notablement plus étroit que ceux du Sénégal. A cela
° @)
près il leur ressemble entièrement.

26. L. muscErDA. — Oblongus, subcylindricus, fusco-niger,
opacus , squamulis fuscis adspersus ; prothorace latitudini longi-
tudine æquali, postice recto parallelo, convexo, creberrime punc-
tato ; elytris brevibus, seriatim scabrose punctatis; sulcis tarsorum
anticorum male definitis.

Long. 6-7 mill., lat. 2 !}, mill.

Épais, oblong, subeylindrique, noirâtre, opaque, revêtu de
petites écailles brunâtres. Front un peu bombé, très-ponetué.
Prothorax aussi long que large, droit et parallèle sur les côtés en
arrière, curvilinéairement rétréci au sommet, très-bombé et égal
en dessus, fortement et très-densément ponctué, ses bords laté-
raux crénelés, ses angles postérieurs courts, droits, nullement
aplatis. Écusson plus large que long, très-ineliné, ponctué. Élytres
exactement de la largeur du prothorax, parallèles en avant,
courtes, curvilinéairement rétrécies en arrière, ponctuées en
stries et scabres. Flanes du prothorax présentant un sillon oblique
mal limité pour recevoir les tarses antérieurs au repos.

Cap de Bonne-Espérance. (Coll. Cand.)
27. L. DECIPIENS. — Boxem. /ns. Caffr., t. 1, 1, p. 417. — Canon.
Monogr., t. I, p. 127.

Cafrerie.

28. L. PICTIVENTRIS. — Can. Monogr., t. L, p. 127.
Madagascar.

29. L. SORICINUS. — Cann. Monogr., t. I, p. 153, pl. I, fig. 11.

Madagascar.

(58)

90. L. LATUS. — Cano. Monogr., t. 1, p. 156.
Madagascar.

51. L. FLAVIPES. — Can. Monogr., t. 1, p. 157, pl. IL, fig. 14.
Lacon Maïllardi. — Deyr. Maill. Réunion, t. IX, p. 4, pl. XX, fig. 2.

Madagascar et ile de la Réunion.

92. L. NIGRITA. — Canr. Monogr., t. 1, p. 152, pl. IL, fig. 7.

Cap de Bonne-Espérance.

99. L. AMPLICOLLIS. — Bouem. /ns. Caffr., t. I, I, p. 414. — Canon.
Monogr., t. 1, p. 142, pl. IT, fig. 9.

Cafrerie et cap de Bonne-Espérance.

34. L. HOTTENTOTA. — Cann. Monogr., t. 1, p. 158.

Cap de Bonne-Espérance.

35. L. PORCINUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 142.

Madagascar.

96. L. INTERPUNCTATUS. — Kiue, Ins. Madag., t. A, p. 66. — Canon.
Monogr., t. 1, p. 154.

Madagascar.

97. L. SCABER. — Can. Monogr., t. 1, p. 155.
Madagascar.

38. L. Binivisus. — Ovalis, brunneus, opacus, brunneo parcius
squamulosus; prothorace longitudine haud latiore, parum con-
vexo, Creberrime fortiterque puñctato, inæquali, lateribus crenu-
lato; elytris brevissimis, seriatim punctatis, scabris, basi emargi-
natis, sulcis tarsorum profundis bene definitis.

Long. 7 mill., lat. 2 5, mill.

Vieux Calabar. (Coll. Murray.)

59. L. DESJARDINSI. — Can». Monogr., t. 1, p. 145.
Ile de France.

( 59 )
40. L. PÆNULATUS. — Bone. /ns. Caffr., t. A, WE, p. 415. — Canon.
Monogr., t. 1, p. 152.
Cafrerie.
41. L. PARCUS. — Bone. /ns. Caffr., t. 1, W, p. 416.
(L. charcus.) — Gann. Monogr., t. 1, p. 161.

Il. — GROUPE ASIATIQUE,

42. L. PARALLELICOLLIS. — Canp. Monogr., t. L, p. 118.

Java.

43. L. TRUNCATUS. — Henssr. Käf., t. X, p. 95, pl. CLXVI, fig. 12.
Lacon cylindricus. — Cap. Monogr., t. I, p. 121.

Hindoustan septentrional.

44. L. MODESTUS. — Cao. Monogr., t. 1, p. 120.

Hindoustan.

45. L. ELLIENSIS. — Elongatus, fusco-brunneus, ferrugineo-
maculatus, pilis cinereo-cervinis brunneisque vestitus; fronte
plana ; prothorace latitudini longitudine æquali, parum convexo,
angulis prominentibus, posticis elongatis, valve divaricatis; ely-
tris medio subdilatatis, apice conjunctim rotundatis.

Long. 15 mill., lat. 5 ?/, mill.

Lacon elliensis. — Canp. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 10.

Allongé, subparallèle, noirâtre maculé de rougeûtre, revêtu de
poils d’un cendré jaunâtre avec des plaques de poils bruns sur les
élytres. Front presque plat. Prothorax aussi long que large, de
forme à peu près carrée avec ses angles saillants, les antérieurs
fortement déprimés, les postérieurs allongés, aplatis, très-diver-
gents, arrondis ou tronqués au bout, le disque très-peu convexe,
couvert de gros points. Élytres un peu plus larges que le protho-
rax, sensiblement élargies vers le milieu, conjointement arron-
dies au bout, fortement et densément ponctuées, peu distinctement

(60)

striées- ponctuées. Dessous rougeâtre aimsi que les pattes; les
flancs prothoraciques présentant des traces de sillons obliques;
ces sillons nettement marqués sur le métathorax.

Ceylan ; Rambodde.

Il diffère des espèces voisines par ses élytres peu distinctement
et même parfois indistinctement striées-ponetuées.

XG. L. ANGULOSUS. — Cann. Monogr., t. [, p. 117, pl. IL, fig. 17.

Indes orientales.

47. L. TACITURNUS. — Fusco-niger, opacus, squamulis minutis
fuscis dense obductus, maculis cinereïs irroratus; prothorace lati-
tudine haud longiore, Ͼqualiter convexo, grosse punctato, angulis
posticis divaricatis, apice truncato-rotundatis ; elytris ultra me-
dium subparallelis, seriatim punctalis.

Long. 42-15 mill., lat. 5-4 ‘/, mill.

Brunâtre, opaque, revêtu de petites squamules serrées de même
couleur, maculé de gris clair. Front un peu concave. Prothorax
aussi large que long, régulièrement convexe, fortement ponctué,
curvilinéairement rétréei au sommet, ses côtés courbes en avant,
sinueux en arrière, ses angles antérieurs avancés, les postérieurs
divergents, tronqués ou arrondis au bout. Élytres de la largeur
du prothorax à la base, parallèles où même un peu élargies au
delà de leur milieu, marquées de stries de points assez peuits.
Dessous grisûtre, les sillons tarsaux bien marqués sur les flancs
du prothorax et du métathorax.

Laos.
Cette espèce se distingue par sa temte brun de suie très-terne

et ses maeulatures gris-blanchàtre. (Coll. Jans. et Cand.)

28. L. FALSARIUS. — Fuscus, minus opacus, squamulis prli-
formibus pallide brunneis cinereisque maculatim vestilus; protho-
race latitudine haud longiore, convexo, fortiler punctato, angulis

(61)

quatuor prominulis, obtusis; elytris ultra medium paulo latiori-
bus, seriatim punctatis.

Long. 15 mill., lat. 4 1}, mill.

Moins opaque que le précédent, brunûtre, revêtu de squamules
allongées, moins serrées, plus grandes, brun-clair avec des taches
gris-cendré disséminées çà et là. Prothorax aussi large que long,
médiocrement convexe, marqué de très-gros points, ses bords
latéraux un peu courbes, ses angles larges et très-saillants, les
antérieurs arrondis en dehors, les postérieurs divergents et lar-
gement tronqués au bout. Élytres de la largeur du prothorax,
sensiblement élargies au delà du milieu, marquées de lignes de
points assez serrés. Quatre sillons tarsaux bien marqués.

Ceylan. (Coll. Jans.)

49. L. TRANSVERSUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 195.

Birmanie ; Rangoon.

90. L. HISPIDULUS. — Can. Monogr.. t. I, p. 126.

Commun à Java, Malacca, etc.

51. L. LUTOSUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 119.
Népaul.

«

Cette espèce est très -reconnaissable à ses poils redressés,
caractère qu’elle partage avec les deux suivantes qui s’en distin-
guent, du reste, par quelques détails, notamment par la taille.

52. L. sETIGER. — ÆElongatus, brunneus, subnitidus, pilis
squamiformibus cervinis obductus, pilis obscuris, erectis, spar-
sim irroratus; prothorace latitudine paulo longiore, convexo,
cribrato, spatiis denudatis maculato ; elytris ante medium paulo
dilatatis, postice attenuatis, seriatim punctatis; sulcis quatuor
distinctis.

Long. 19 mill., lat. 5 :/, mill.

Lacon setiger. — Bares. Proc. Zool. Soc., 1866, t. IL, p. 548.

Formose.

(62)

53. L. supex. — ÆElongatus, brunneus, subnitidus, pilis squa-
miformibus cervinis maculalim obductus, pilis obscuris erectis
. Sparsim irroratus; prothorace latitudine paulo longiore, basi api-
ceque angustato, parum convexo, cribrato, medio sulcato, angulis
posticis divaricatis, truncatis; elytris ante medium dilatatis,
striato remotius punctatis; sulcis tarsorum distinctis.

Long. 17 mill., lat. 5 !], mill.

Voisin du précédent. Brun, revêtu de poils squamiformes gris-
jaunâtre formant des maeulatures, avec des espaces dénudés et des
poils noirs érigés, disséminés. Prothorax un peu plus long que
large, rétréci en avant et en arrière avec ses côtés formant un peu
le coude en avant du milieu, médiocrement convexe, criblé de
très-gros points, sillonné longitudinalement sur la ligne médiane,
ses angles antérieurs larges et avancés, les postérieurs larges
également, très-divergents, tronqués. Élytres plus larges que le
prothorax, élargies en avant du milieu, atténuées en arrière,
marquées de lignes de points peu serrés. Sillons tarsaux bien
marqués.

Shang-Haï. (Coll. Jans.)

54. L. MULTIFORIS. — Cann. Monogr., t. I, p. 447, pl. IH, fig. 15.
Syhlet.

D5. L. FIBRINUS. — Elongatus, fuscus, submaculatim cinereo-
cervino-tomentosus; prothorace latitudine paulo longiore, basi
apiceque angustato, inœqualiter cribrato, angulis posticis divari-
catis, apice truncatis ; elytris ante medium dilatatis, postice atte-
nuatis, striato-punctatis; sulcis tarsorum quatuor distinctis.

Long. 20 mill., lat. 6 mill.

Lacon fibrinus. — Can. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 9.

Voisin du multiforis, mais plus rétréci vers la base du protho-
rax et des élytres, atténué en arrière. Brunâtre, revêtu de squa-
mules d'un cendré jaunâtre formant des taches irrégulières,
celles du prothorax doubles, les unes petites, serrées, cou-
chées, d’autres plus grandes, à demi redressées, plus obscures,

(65)

naissant des points; les premières moins serrées sur un espace
en forme de V (qui paraît ainsi plus obscur), dont l'angle
s'appuie au milieu du bord postérieur et les branches vont en
divergeant vers les angles antérieurs. Front excavé. Prothorax un
peu plus long que large, dilaté en avant du milieu, rétréci au
sommet et au niveau du quart postérieur, médiocrement convexe,
subsillonné au milieu en arrière, inégalement ponctué, les points
très-gros et visibles à l'œil nu ; ses angles antérieurs larges, avan-
cés, arrondis au bout, les postérieurs grands, aplatis, divergents,
tronqués au sommet. Élytres un peu plus larges que le protho-
rax, élargies jusqu'un peu au delà des deux cinquièmes anté-
rieurs, fortement atténuées vers le sommet, légèrement striées
ponctuées. Dessous du corps densément écailleux. Des sillons
tarsaux aux flancs du prothorax et du métathorax.

Sumatra; Java. (Coll. Jans. et Cand.)

56. L. MODESTUS. — Cann. Monogr., t. I, p. 118.

Répandu dans toute l’Inde et ses archipels. Il varie un peu
sous le rapport de la convexité du prothorax, la teinte plus ou
moins grisâtre ou jaunâtre des squamules qui le revêtent, mais
on ne peut établir de limite bien tranchée entre ces divers états.

97. L. LEUCASPIS. — Brunneus, opacus, pilis squamiformibus
densis brunneis albicantibusque obductus; prothorace latitudine
haud longiore, basi apiceque angustato, medio elevato, cribrato,
angulis apice rotundatis ; scutello albo; elytris ante medium dila-
tatis, postice attenuatis, convexis, serialim remotius punctatis :
sulcis tarsorum distinctis.

Long. 14 mill., lat. 4 1}, mill.

Brun, revêtu densément de poils squamiformes bruns et blan-
châtres, ces derniers couvrant l’écusson et le point correspon-
dant du prothorax, plus abondants que les premiers sur les côtés
du prothorax et la moitié postérieure des élytres. Front concave.
Prothorax aussi long que large, bombé au milieu avec une saillie
tranversale au milieu du disque, marqué de très-gros points,

(64)

rétréci à la base et au sommet, ses angles antérieurs avancés, :
très-larges, arrondis au bout, les postérieurs divergents et tron-
qués. Élytres assez courtes, dilatées un peu en avant du milieu,
rétrécies en arrière par une ligne peu courbe, convexes, striées-
ponctuées. Sillons tarsaux bien marqués sur les flancs du pro-
thorax et du métathorax.

Malacea.

Espèce très-distincte de toutes les autres ; reconnaissable à son

éeusson blanc. Elle a été trouvée par M. de Castelnau. (Coll. Jans.
et Cand.)

58. L. HÆDULUS. — Cann. Monogr., t. I, p. 422, pl. IL, fig. 10.
Hindoustan septentrional.

59. L. FEx. — Fuscus, pilis squamiformibus cervinis dense
obductus; prothorace latitudine paulo breviore, medio transversim
convexo, cribrato, angulis posticis brevibus, rotundatis; elytris
ante medium paulo dilatatis, convexis, serialim punciatis, pos-
tice attenuatis ; sulcis tarsorum distinciis.

Long. 9 mill., lat. 2 ‘}, mill.

Brun, très-densément revêtu de poils squamiformes jaunâtres
cachant complétement la couleur des téguments. Prothorax un
peu moins long que large, rétréci en avant à partir du milieu,
transversalement convexe avec sa base déprimée, marqué de gros
points, ses angles courts, les antérieurs serrés contre la tête, les
postérieurs obtus au sommet. Élytres de la largeur du pro-
thorax, un peu dilatées avant le milieu, atténuées en arrière,
convexes, marquées de séries de points peu visibles à cause des
poils. Quatre sillons tarsaux bien marqués en dessous.

Malacca. (Coll. Jans.)

60. L. consors. — Rufus, opacus, squamulis concoloribus, ali-
quibus pallidis; prothorace longitudine paulo latiore, antice arcua-
tim angustato, convexo, cribrato, angulis posticis brevibus rotun-

(65)

dato-truncatis ; elytris striato-punctatis, in interstilis squamulis
biseriatim dispositis ; sulcis tarsorum distinctis.
Long. 8 mill., lat. 2 5}, mill.

Rougeître, opaque, revêtu de squamules toutes de mêmes forme
et grandeur, de la couleur générale, avec quelques-unes blanchä-
tres formant des mouchetures. Prothorax un peu plus large que
long, arrondi sur les côtés en avant, légèrement sinueux en ar-
rière, convexe, criblé de gros points, ses angles antérieurs acumi-
nés, les postérieurs courts, un peu divergents, arrondis et sub-
tronqués au bout. Élytres de la largeur du prothorax, parallèles
jusqu'au delà du milieu, curvilinéairement rétrécies au sommet,
striées-ponctuées, les intervalles offrant deux séries de squamules.
Dessous présentant quatre sillons tarsaux nettement délimités.

Madras. (Coll. Jans.)

61. L. comprus. — Fusco-niger, opacus, squamulis majoribus,
æqualibus, fuscis cinereisque maculatim dense obductus; protho-
race latitudini longitudine æquali, convexo , grosse punctato,
angulis brevibus, posticis truncatis ; elytris brevibus, convexis,
striato-punctatis ; sulcis tarsorum distinctis.

Long. 10-11 mill., lat. 5-3 ‘}, mill.

Noirâtre, mat, densément recouvert d'écailles assez grandes
et égales entre elles, brunes et blanchâtres, ces dernières en
larges taches affectant une disposition vaguement longitudinale
sur le prothorax, et transversale sur les élytres. Front concave.
Prothorax aussi long que large, légèrement arqué sur les côtés,
convexe, criblé de gros points, ses angles arrondis ou tronqués,
médiocrement saillants. Élytres assez courtes, parallèles jusqu’au
milieu et curvilinéairement rétrécies au delà, convexes, striées-
ponctuées. Quatre sillons tarsaux bien délimités.

Siam; Cambodge.

Trouvés par Mouhot et M. de Castelnau. (Coll. Jans., Saund.,
Cand.)

62. L. TORREFACTUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 128.

Birmanie : Rangoun.

(66 )

65. L. cocrus. — Fusco-brunneus, pilis squamiformibus brun-
neis brevibus sparsis, elytris squamulis albidis raris ; prothorace
longitudine paulo latiore, basi apiceque angustato, æqualiter con-
vexo, punctato, angulis posticis brevibus, paulo divaricatis; ely-
tris basi parallelis, striato-punctatis; sulcis tarsorum distinctis.

Long. 10 mill., lat. 2 5}, mill.

Brunûtre, peu luisant, revêtu de squamules brunes peu denses
et peu visibles à FPœil nu; les élytres présentant souvent, surtout
vers l'extrémité, quelques agglomérations de très-petites squa-
mules blanchâtres. Antennes rougeâtres. Prothorax à peu près
aussi long que large, légèrement rétréei à la base et au sommet
avec ses côtés arqués, légèrement et régulièrement convexe, for-
tement ponctué, ses angles peu saillants, les postérieurs recourbés
en dehors, tronqués au bout. Élytres parallèles dans leur moitié
antérieure, curvilinéairement rétrécies à l'extrémité, striées-ponc-
tuées, les points des stries assez gros et rapprochés. Des sillons
tarsaux sur les flancs du prothorax et du métathorax.

Birmanie : Rangoun.

Cette espèce a de très-grands rapports avec le torrefactus,
mais elle est constamment beaucoup plus petite. (Coll. Jans.)

64. L. FLAVESCENS. — Brunneus, squamulis flavis dense tectus;
prothorace longitudine paulo latiore antrorsum dilatato lateri-
busque valde arcuato et postice sinuato, disco bituberculato; ely-
tris brevibus, convexis, postice altenuatis, subtiliter striato-punc-
tatis; sulcis tarsorum quatuor bene definitis.

Long. 41 mill., lat. 55/, mill.

Brun, densément recouvert de squamules flavescentes, celles
du prothorax plus larges que celles des élytres. Prothorax plus
large que long, élargi en avant, ses bords latéraux tranchants
très-arqués en avant, sinueux en arrière, le disque bitubereulé
et fortement ponctué, ses angles antérieurs un peu saillants et
acuminés, les postérieurs très-divergents et tronqués au bout.
Élytres courtes, légèrement élargies vers le tiers antérieur, atté-
nuées vers le sommet, convexes, marquées de séries de petits

(67)

points espacés. Dessous revêtu de squamules de même couleur
que le dessus ; les sillons tarsaux bien marqués.

Ceylan. (Coll. Jans.)

65. L. TOSTUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 129.

Malacca ; Cambodge; Bornéo.

66. L. LUPINOSUS. — Cano. Monogr., t. 1, p. 130.

Birmanie ; Siam; Cambodge.

67. L. TacTus. — Brunneo-fuscus, nitidulus, rufo maculatus,
pilis squamiformibus brunneis pallidisque sparsim tectus ; pro-
thorace longitudine latiore, lateribus haud crenato, disco trans-
verse elevato, forliter punctato; elytris brevibus, apice attenuatis,
punctato-striatis; sulcis tarsorum distinctis.

Long. 7 mill., lat, 2 5, mill.

Cette espèce ressemble tout à fait au lupinosus pour la taille,
la forme générale, la couleur, les taches, etc., mais il en diffère
par l'absence complète de crénelures sur les bords latéraux du
prothorax.

Siam. (Coll. Jans.)

68. L. inops. — Fusco-brunneus, squamulis acuminatis ferru-
gineis tectus; prothorace longitudine vix latiore, parum convexo,
crebre punctato, lateribus arcuatis, vix crenulatis, angulis pos-
ticis brevibus ; elytris striato-punctatis, interstitiis punctatis, fer-
rugineo-maculatis ; sulcis tarsorum quatuor.

Long. 5-7 mill., lat. 2-5 mill.

Déprimé, d’un brun terne avec quelques mouchetures ferru-
gineuses sur les élytres, et de petites squamules acuminées, de
même couleur. Prothorax aussi long que large ou à peu près,
peu convexe, très-ponctué, arqué sur les côtés, ses bords laté-
raux offrant quelques crénelures vagues, ses angles postérieurs
courts, presque droits. Élytres de la largeur du prothorax, paral-

(68)
lèles dans leur moitié antérieure, striées-ponctuées, les inter-
valles marqués de points presque aussi gros que ceux des stries.
Quatre sillons tarsaux.

Malacca; Siam; Bornéo.

Cette espèce, abstraction faite des taches, peu marquées du
reste, des élytres, ressemble à l’une ou à l’autre des espèces aus-
traliennes. (Coll. Jans., Cand., de Leyde.)

69. L. muTicus. — Henssr, Küf., t. X, p. 95, pl, CLXVI, fig. 10. —
Can. Monogr., t. I, p. 154.

Indes orientales.

70. L. AFFLICTUS. — Fusco-niger, squamulis acuminatis con-
coloribus tectus, aliquibus pallidis; prothorace longitudine latiore,
crebre fortiterque punctato, lateribus antice arcuato, vix crenu-
lato, angulis posticis rectis; elytris brevibus, medio paulo dilatatis,
strialo-punctatis, interstitiis biserialim punctatis et squamulosis ;
sulcis quatuor distinctis.

Long. 7-8 mill., lat. 2 1/,-5 mill.

Mêmes caractères généraux que le muticus, mais généralement
plus grand, plus noir, plus large, plus ovale, le prothorax mani-
festement plus large que long, le pli transversal du disque moins
marqué, quelques squamules blanchâtres disséminées parmi les
autres, etc.

Malacca ; Siam. (Coll. Jans., Cand.)

71. L. OvALIS. — Gr. ns. sp. nov., p. 49.— Cann. Monogr.,t.1, p.152.
Perse.

72. L. minuscuzus. — Brunneus, subnitidus, pilis squamifor-
mibus pallidis, nonnulis longioribus, irroratus; prothorace longi-
tudine latiore, antice dilatato, parum convexo, punctato, angulis
posticis apice acuminatis, medio tumidis ; elytris striato-punctatis,
interstitiis punctis æqualibus seriatis notatis ; sulcis quatuor tar-
sorum maximis.

Long. 5‘, mill., lat. À mill.

( 69 )

Petit, brun, un peu luisant, revêtu de très-petits poils squa-
miformes cendrés parmi lesquels on en remarque de plus longs,
disséminés, surtout sur les élytres. Front un peu bombé. Pro-
thorax plus large que long, un peu élargi en avant, ses côtés
arqués, peu convexe, ponctué, ses angles postérieurs droits, aigus
au bout, portant dans leur milieu une petite saillie tuberculi-
forme. Écusson plat. Élytres de la largeur de la base du pro-
thorax, un peu élargie au delà du milieu, striées-ponctuées , les
intervalles marqués d’une série de points semblables, en sorte
que l’on compte en réalité dix-huit stries de points égaux. Quatre
sillons tarsaux très-grands.

Bombay. (Coll. Jans.)

73. L. ORNATUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 102, pl. I, fig. 15.
Java.

74. L. COSTICOLLIS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 116.
Hindoustan septentrional.

75. L. DESQUAMATUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 124.
Hindoustan septentrional.

76. L. MUSTELINUS. — Geru. Zeitschr., t. IL, p. 264. — Cann: Mo-
nogr., t. I, p. 111.

Siam.

77. L. FULIGINOSUS. — Can. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 3. — Id.,
Mém. Soc. sc. Liège, 2ne série, t. V, p. 3.

Japon.

78. L. BIPAPULATUS. — Fusco-niger, pilis subsquamiformibus
obscure et pallide cinereo-cervinis dense obductus; fronte concava;
prothorace latitudine paulo longiore, apice parum angustato,
medio leviter dilatato, parum convexo, medium versus bituber-
culato, angulis posticis divaricatis, carinatis, apice truncatis;
elytris striis subtilissimis remote punciatis.

Long. 16 mill., lat. 4%, mill.

Lacon bipapulatus, Canv. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 11.

( 70 )

Noirâtre, densément recouvert de poils subsquamiformes,
cendré jaunâtre obscur, parmi lesquels d’autres d’une teinte plus
claire, plus fins et plus serrés forment des taches diffuses. Front
trés-concave. Prothorax plus long que large, rétréci au sommet
à partir du milieu, arqué légèrement sur les côtés, peu convexe,
densément ponctué, ses angles antérieurs saillants en avant,
arrondis au bout, ses bords latéraux tranchants, non crénelés,
présentant sur le disque, un peu en avant du milieu, deux petites
crêtes lisses, transversales, rapprochées, les angles postérieurs
larges, divergents, carénés extérieurement, tronqués au bout. Ély-

-tres de la largeur du prothorax à la base, élargies au milieu,
arquées sur les côtés, atténuées au sommet, convexes, très-fine-
ment striées, les stries marquées de points espacés, les intervalles
plats. Dessous sans sillons obliques pour loger les tarses anté-
rieurs ou moyens. Pattes brunes.

Chine. (Coll. Jans.)

79. L. coARGTATUS. — Fuscus, dense pilosus; prothorace lati-
tudine sublongiore, basi apiceque angustato, convexo, inæqualiter
punctato, disco breviter bicristato, postice canaliculato, angulis
posticis brevibus , truncatis; elytris ultra medium sensim am-
pliatis, striato-punctatis; sulcis tarsorum nullis.

Long. 14 mill., lat. 4}, mill.

Brunâtre, revêtu d’une pubescence couchée, subsoyeuse, d’un
grisètre obscur maculé de grisâtre pale, assez dense pour mas-
quer complétement la teinte des téguments. Prothorax un peu
plus long que large, presque aussi fortement rétréci en arrière
qu’en avant, les côtés arqués, assez convexe, marqué assez den-
sément de points d’inégale grosseur, offrant sur le disque, un
peu en arrière du milieu, deux petites crêtes obliques, affectant
la forme d’un V très-ouvert et renversé, canaliculé entre les crêtes
et la base, ses angles postérieurs courts, assez larges, un peu
divergents et fortement tronqués. Élytres deux fois plus longues
que le prothorax , s’élargissant depuis la base jusqu'au tiers pos-
térieur, subacuminées au bout, marquées de fines séries de

(71)

points, entre lesquelles on aperçoit, aux endroits dénudés, un
pointillé médiocrement serré. Pas de sillons tarsaux.

Himalaya. (Coll. Jans.)

80. L. FoRMosANUSs. — Brunneus, pilis subsquamiformibus
cervinis maculatim vestitus; prothorace latitudini longitudine
æquali, apice subito angustato, parum convexo, crebre fortiter et
inœqualiter punctato, angulis anticis latis prominulis, apice
rotundatis, posticis divaricatis, breviter truncatis; elytris postice
curvilineatim attenuatis, subdepressis, striato-punctatis ; sulcis
tarsorum nullis.

Long. 17 mill., lat. 5 mill.

Lacon formosanus. — Bates, Proceed. zool. Soc., 1866, t. II, p. 548.

Formose.

81. L. BIRMANICUS. — Prunneus, nitidus, pilis squamifor-
mibus griseo-flavis albicantibusque dense tectus; prothorace lali-
tudini longitudine æquali, parum convexo, grosse punctato,
disco transversim elevato, angulis latis parum prominentibus ;
elytris subtililer striato-punctatis; sulcis tarsorum nullis.

Long. 15-15 mill., lat. 5 mill.

Brunâtre assez luisant sous la vestiture, ce qui se voit aux
endroits où elle est enlevée, cette vestiture formée de poils squa-
miformes gris jaunâtres, blanchâtres, bruns entremêlés, assez
denses. Prothorax aussi long que large, médiocrement convexe,
ses côtés tranchants et arqués, le disque portant en arrière du
milieu une saillie transversale, sa ponctuation très-grosse, ses
angles médiocrement prolongés, les antérieurs cunéiformes, les
postérieurs, à peine divergents, aplatis, brièvement tronqués.
Écusson assez large. Élytres de la largeur du prothorax à la base,
peu élargies au delà, finement striées-ponctuées. Dessous dé-
pourvu de sillons tarsaux.

Birmanie : Rangoun. (Coll. Jans.)

(72)

82. L. NEPALENSIS. — Brunneus, subnitidus, pilis squamifor-
mibus cervinis pallidisque dense vestitus; prothorace latitudini
longitudine subæquali, parum convexo, medio transversim ele-
valo, grosse punciato, angulis latis; scutello pallidiori; elylris
ultra basin dilatatis, convexis, tenuiter striato-punctatis; sulcis
tarsorum nullis.

Long. 45 mill., lat. 4 5, mill.

Forme du leucostigma. Brun, un peu luisant sous la vestiture,
celle-ci formée de poils squamiformes brun jaunâtre plus ou
moins clair et grisâtres, très-denses. Prothorax à peu près aussi
long que large, médiocrement convexe, fortement ponctué, trans-
versalement élevé un peu en arrière du milieu, rétréei au sommet
et à la base avec ses côtés tranchants et arqués, ses angles anté-
rieurs larges, saillants, cunéiformes, arrondis au bout, les pos-
térieurs peu allongés, divergents, tronqués au bout. Écusson
assez large, revêtu de poils de teinte plus claire, de même que la
partie correspondante du prothorax, ce qui forme en ce point
une petite tache oblongue, blanchätre. Élytres assez fortement
dilatées au niveau du tiers antérieur, atténuées en arrière, con-
vexes, finement striées-ponctuées. Dessous dépourvu de sillons
tarsaux.

Népaul. (Coll. Jans.)

83. L. SCUTELLATUS. — Cann. Monogr. t. 1, p. 111.
Archipel malais.

84. L. MURINUS. — Linné, System. Natur., t. Il, p. 655. — Can.
Monogr., t I, p. 114.

Europe.

85. L. BINODULUS. — Morscu. Étud. entom., 1860, p. 8. — Can.
Mém. Soc. sc. Liège, 2e sér., t. V, p. 2.

Japon.

86. L. CORDICOLLIS. -— Cann. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 9. — Id.
Mém. Soc. sc. Liége, 2e sér., t. V, p. 5.

Japon.

(75)

87. L. ScawANERI. — Brunneus, pilis squamiformibus flavo-
griseis dense vestitus ; prothorace latitudini longitudine œquali,
subquadrato, apice tantum subilo angustato, disco transversim
carinato, lateribus crenato, angulis anticis prominulis, posticis
reclis,t runcatis; elytris medio paulo ampliatis, convexis, striato-
punctatis ; sulcis tarsorum nullis.

Long. 10 mill., lat. 5 mill.

Brun, opaque, densément revêtu de squamules allongées diri-
gées dans tous les sens sur le prothorax, d’un flave grisâtre pâle.
Prothorax de forme carrée, sauf un rétrécissement au sommet,
peu convexe, ponctué, portant une courte carène transversale au
milieu du disque, ses angles antérieurs avancés, ses bords laté-
raux grossièrement crénelés, ses angles postérieurs droits et
tronqués. Élytres de la largeur du prothorax à la base, un peu
dilatées au milieu, arquées régulièrement sur les côtés, convexes,
ponctuées-striées. Pas de sillons tarsaux.

Bornéo.

Un exemplaire, au Musée de Leyde, découvert par Schwaner,
et un second dans la collection de M. von Bruck.

88. L. Liriciosus. — Brevis, brunneus, pilis squamiformibus
brunneis squalidisque vestitus ; prothorace longitudine latiore,
lateribus postice recto parallelo, disco transversim plicato, angulis
posticis rectis, truncatis; elytris brevibus, postice attenualis,
striato-punctatis; sulcis tarsorum nullis.

Long. 10 mill., lat. 5 !}, mill.

Assez court, brun, revêtu de poils squamiformes bruns et d'un
gris blanchâtre sale. Prothorax plus large que long, curvilinéai-
rement rétréci en avant, droit et parallèle en arrière, médiocre-
ment convexe, fortement ponctué, présentant un fort pli trans-
versal au milieu, ses angles antérieurs un peu avancés, arrondis
au bout, les postérieurs droits, tronqués au sommet. Écusson
garni de poils squamiformes blanchâtres plus longs et plus denses.

(74)

Elytres courtes, convexes, élargies avant le milieu, atténuées en
arrière, striées-ponctuées. Dessous dépourvu de sillons tarsaux.

Malacca. (Coll. Jans.)

89. L. mNsuLARIS. — Brevis, brunneus, maculis rufescentibus,
pilis squamiformibus brunneis cinereisque veslilus; prothorace
longitudine latiore, lateribus postice recto parallelo, transversim
plicato, angulis obtusis; elytris brevibus prothorace plerumque
angustioribus, striato-punctatis; sulcis tarsorum obsoletis.

Long. 5-6 mill., lat. 2 mill.

Voisin du litigiosus, mais toujours beaucoup plus petit. Brun
avec des taches rougeûtres , revêtu de poils squamiformes bruns
et gris ou gris jaunâtre ou blanchâtres. Prothorax plus large que
long, ponctué, portant un pli transversal au milieu, arqué sur
les côtés en avant, droit en arrière, ses angles postérieurs courts,
nullement saillants, présentant, en dehors et à quelque distance
du sommet, une trace de carène, formant avec le bord latéral un
angle très-aigu. Écusson semblable, quant à la vestiture, à la base
des élytres. Élytres généralement plus étroites que le prothorax,
courtes, arquées sur les côtés, un peu bombées, finement siriées-
ponctuées. Flancs du prothorax et du métathorax présentant des
sillons mal limités.

Cette petite espèce est répandue dans les iles de l'archipel
indien, aux Moluques et jusqu’à la Nouvelle-Guinée; elle se
trouve aussi à Malacca. Elle a été rencontrée assez fréquemment
par M. Wallace. Elle varie principalement quant à la densité de
la vestiture qui est tantôt assez épaisse, tantôt plus ténue et plus
clair-semée. Cela tient sans doute à l'étendue de son habitat et à
sa dispersion dans des iles nombreuses où des races se sont déve-
loppées isolément. Les exemplaires de Batchian sont plus grands
et plus nus; ceux de la Nouvelle-Guinée sont remarquables par
une vestiture plus épaisse; mais entre ces formes extrêmes il y a
tous les passages.

90. L. ERINACEUS. — Fuscus, ferrugineo-maculatus, squamu-
losus; prothorace longitudine latiore, subquadrato, lateribus cre-

(75)

nulatis, angulis posticis truncatis, pallide densius squamulosis ;
elytris punclis minimis seriatis, remotis, interstitiis crinibus
suberectis seriatim dispositis; sulcis tarsorum anticis.

Long. 4 mill., lat, 4 !/, mill.

Facies de Meristhus, mais écusson normal. Brunâtre , tacheté
de ferrugineux, peu densément squamuleux sauf en dedans des
angles postérieurs du prothorax, où des squamules plus denses
forment des taches claires. Prothorax un peu plus large que long,
ses côtés parallèles, peu convexe, peu ponctué, ses bords laté-
raux crénelés, ses angles postérieurs tronqués au bout. Élytres
de la largeur du prothorax, présentant des séries de petits points

très-espacés et de poils raides redressés. Des sillons tarsaux aux
flancs prothoraciques seulement.

Bornéo; Sarawak. (Coll. Jans.)

91. L. COENOSUS. — Can. Monogr., t.1, p. 114.

Hindoustan septentrional.

92. L. SERIGANS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 4142, pl. IL, fig. 24.

Ceylan.

95. L. FURUNCULOSUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 134.

Bengale.

94. L. CONSOBRINUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 125.
Hindoustan septentrional.

95. L. ELLIPTICUS. — Can. Monogr., 1.1, p. 135.
(Q) Lacon propinquus. — Ganp., loc. cit.

Himalaya.

96. L. BRUNNIPENNIS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 133.

Himalaya.

(76)

97. L. ciNamomEus. — Fuscus, squamulis minutissimis cin-
namomeis confertissime obductus ; prothorace longitudine paulo
latiore, lateribus valde arcuato, medio late sulcato, angulis pro-
minulis, posticis divaricatis, carinatis ; elytris brunneis, antror-
sum parallelis, subtiliter striato-punctatis.

Long. 15 mill., lat. 4 mill.

Var. a. Squamulis griseis.

Très-voisin du brunnipennis dont il ne diffère que par les squa-
mules beaucoup plus petites et plus denses. Les exemplaires
typiques se reconnaitront en outre, aisément, à leur couleur rouge
cannelle.

Sibérie orientale. La variété est de Vladimir Bay dans la Corée.
(Coll. Jans.)

J'ai vu, au Muséum de Paris, plusieurs exemplaires d’une
espèce rapportée de la Chine centrale par le père David et que
je ne puis décrire, n'ayant pu l'obtenir en communication; elle
est entièrement rouge. Sa place est sans doute à côté de celle-ci.

98. L. PRAETERMISSUS. — Subcylindricus, fusco-niger, opacus,
griseo-squamulosus ; prothorace latitudine paulo longiore, con-
vexo, creberrime fortilerque punctato, basi apiceque angustato,
lateribus arcuato, crenulato, angulis prominulis, posticis divari-
calis truncalis ; elytris parallelis, punctato-striatis; sulcis tar-
sorum nullis.

Long. 11 mill., lat. 5 mill.

Subeylindrique, brun noir, très-opaque, revêtu de squamules
raides, grisätres. Front plat. Prothorax un peu plus long que
large, rétréci à la base et au sommet, ses côtés courbes, convexe,
fortement et densément ponctué avec une trace de sillon médian,
ses angles antérieurs avancés, serrés contre la tête, obtus au
bout, ses bords latéraux crénelés, ses angles postérieurs très-
divergents, tronqués au bout. Écusson court, subquadrangulaire.
Élytres de la largeur de la portion antérieure du prothorax,

(77)

parallèles sur les côtés Jusqu'au delà du milieu, un peu déprimées
le long de la suture, ponctuées-striées , les points des stries gros
et rapprochés, les intervalles portant deux rangées de squamules.
Dessous du corps comme le dessus, des sillons tarsaux mal
limités sur les flancs du prothorax et du métathorax.

Indes orientales. (Coll. Jans.)

99. L. MUSCULUS. — Cao. Monogr., t. 1, p. 141.

Chine; Hong-Kong.

100. L. SCROFA. — Cann. /ns. rec. par M. Lewis in Mém. Soc. sc.
Liège, t. V, p. 4.

Japon méridional.

101. L. DEpREssuS. — Latus, depressus, niger, minus opacus,
griseo squamulosus ; prothorace longitudine paulo latiore, basi
apiceque anguslato , lateribus arcualo et crenulato, fortiter punc-
tato, angulis haud prominulis ; elytris brevibus, punctato-striatis,
interstitits punclatis ; sulcis tarsorum nullis.

Long. 10 mill., lat. 5 1]; mill.

Large et très-déprimé, noir peu luisant, revêtu de squamules
grises. Antennes épaissies au bout. Prothorax un peu plus large
que long, ponctué, subsillonné, rétréci à la base et au sommet,
ses côtés arqués, ses angles peu saillants, ses bords latéraux cré-
nelés. Élytres courtes, arquées sur les côtés, aplaties, ponctuées-
striées, les intervalles assez fortement ponctués et portant deux
rangées de squamules. Dessous dépourvu de sillons tarsaux.

Corée. (Coll. Jans.)

102. L. aponixus. — Elongatus, fusco-niger, pilis squamifor-
mibus minutis, fulvis cinereisque, maculatim obsitus ; prothorace
latitudine haud longiore, basi apiceque angustato, grosse et con-
fertissime punctato, medio tuberculo duplici, minutissimo, trans-
verso, lœvi, angulis anticis prominulis, posticis brevibus truncatis;
- elytris prothorace latioribus, ultra medium parallelis, extrorsum

(78)

fortiter, ad suturam obsolete striato-punctatis; sulcis tarsorum
nullis.
Long. 18 mill., lat. 5 mill.

Lacon apodixus. — Can. Mém. Acad. Belg., 1865.

Assez allongé, noirâtre, revêtu de poils squamiformes petits,
fulvescents et blanchâtres, disposés de manière à produire des
taches, principalement sur les élytres. Front triangulairement
impressionné. Prothorax un peu plus long que large, rétréci à la
base, plus fortement au sommet avec ses côtés arqués, médio-
crement convexe, sillonné en arrière, transversalement élevé au
milieu, présentant vers le centre un petit tubercule transversal,
lisse, divisé, toute sa surface couverte de très-gros points plus
ou moins contigus, ses angles postérieurs courts, tronqués, les
antérieurs très-saillants, arrondis, les bords latéraux non cré-
nelés, bordés d’une ligne élevée, lisse, qui est formée par le pro-
longement exagéré des carènes des angles postérieurs. Écusson
pubescent comme les élytres. Élytres un peu plus larges que le
prothorax, deux fois et un quart plus longues, parallèles jusqu’au
delà du milieu, marquées de stries de gros points vers le bord
externe, les points obsolètes vers la suture, leur extrémité isolé-
ment arrondie, Dessous noirâtre, l'abdomen maculé de blanc sur
les côtés. Sillons tarsaux nuls.

Iles Philippines : Luçon. \

105. L. cervinus. — Fusco-brunneus , pilis squamiformibus
sparsis fulvis maculatim üirroratus; prothorace latitudine lon-
giore, basi apiceque angustato, grosse punctato, medio tuberculo
duplici, lœvi, angulis anticis prominulis, posticis divaricatis,
longissime carinatis, apice truncatis; elytris seriatim punclalis,
prothorace paulo latioribus; sulcis tarsorum nullis.

Long. 44 mill., lat. 4 mill.

Lacon cervinus.— Ericus. Meiens, Beitr. zu Zool. in Acta Leop. Carol., 1854.

Brunätre, revêtu de poils squamiformes jaunâtre fulvescent,
formant des taches sur les élytres. Front peu concave. Prothorax

(79)

plus long que large, curvilinéairement rétréei à la base, assez
fortement rétréci au sommet avec ses côtés arqués, médiocrement
convexe, offrant une sorte de pli transversal au milieu duquel se
trouve un double tubercule lisse très-peu saillant, sa surface
couverte de gros points épars et inégaux, ses angles antérieurs
saillants, arrondis au bout, ses côtés non crénelés, ses angles
postérieurs courts, brusquement divergents, portant une carène
qui se prolonge le long du bord externe, presque jusque dans
les angles antérieurs. Pubescence de l’écusson semblable à celle
des élytres. Élytres un peu plus larges que le prothorax et deux
fois et un tiers plus longues, faiblement dilatées un peu au delà
du milieu, puis assez brusquement rétrécies, marquées de points
disposés en séries, les neuf séries normales se distinguant à peine
d’autres placées dans les intervalles. Sillons tarsaux nuls. Abdo-
men maculé de blane.

Iles Philippines : Luçon.

J'ai eu l’occasion d'examiner beaucoup d'exemplaires de cette
espèce et je la décris ici, l'ouvrage dans lequel sa description a
paru pour la première fois étant rare, en dehors des grandes
bibliothèques.

La taille de ce Lacon varie beaucoup. J'en ai vu des exem-
plaires qui n'avaient pas plus de 10 millimètres de longueur.
Chez ces petits développements, la teinte des élytres passe ordi-
nairement au rougeûtre, soit en totalité, soit par taches.

104. L. macronErRus. — Brunneo-niger, pilis subsquamifor-
mibus subsericeis, fulvo-cinereis sat dense vestilus ; prothorace
latitudini longitudine subæquali, basi apiceque angustato inæqua-
liter punctato, angulis posticis brevibus , late truncaiis; elytris
prothorace vix duplo longioribis, haud latioribus, strialo-punc-
latis ; sulcis tarsorum nullis.

Long. 8-18 mill., lat. 21/,-61/, mill.

Lacon macroderus. — Can. Mém. Acad. Belg., 1865.

( 80)

Brunäâtre, revêtu assez densément de poils subsquamiformes
d’un cendré fauve qui voilent la couleur du fond. Antennes rou-
geâtres. Front légèrement concave. Prothorax grand, à peu près
aussi large que long, rétréci à la base et au sommet, dilaté au
milieu, ses côtés arrondis, non crénelés, son disque convexe,
fortement et inégalement ponctué, légèrement sillonné en arrière,
ses angles antérieurs saillants, les postérieurs courts, largement
tronqués au sommet. Élytres de la largeur du prothorax et à
peine deux fois aussi longues, sensiblement plus larges au milieu
qu'à la base, assez brusquement atténuées au sommet, peu con-
vexes, striées-ponctuées, les points très-fins dans le voisinage de
la suture. Dessous de la couleur du dessus; épipleures et pattes :
d'un brun rougeâtre. Pas de sillons tarsaux.

Moluques ; Nouvelle-Guinée.

Cette espèce existe dans les collections du Musée de Leyde, dans
celles de MM. Saunders, Dohrn, Janson et dans la mienne. Elle
varie beaucoup de taille et même d’aspect suivant que le prothorax
et les élytres sont plus ou moins dilatés dans leur milieu. Les plus
petits exemplaires, qui se rencontrent principalement à la Nou-
velle-Guinée, ont une tendance à passer au rougeâtre : ce sont de
véritables avortons. Malgré toutes ces différences, l'espèce est assez
facilement reconnaissable aux caractères simultanés de la longue
carène des angles postérieurs du prothorax, des points inégaux
sur ce dernier, et de l’uniformité de couleur de la vestiture.

105. L. WaLLacer. — Fusco-niger, subopacus, squalide squa-
mulosus ; fronte paulo convexa ; prothorace latitudine longiore,
basi apiceque angustato, punctato, medio transversim plicato,
angulis posticis brevibus, longe carinatis; elytris EEE 0e latio-
ribus, basi parallelis, depressis, striato-punctatis.

Long. 10-13 mill., lat. 3-4 mill.

Var. a. Fusco-brunneus vel brunneus.

Noirâtre, presque mat, revêtu de squamules grisätres. Front
faiblement concave. Prothorax plus long que large, rétréci à la

( 81)

base et au sommet avec ses côtés arqués, ponctué, portant en
arrière du milieu un pli transversal assez élevé, ses angles pos-
térieurs courts, munis, comme chez les précédents, d’une longue
carène qui se prolonge le long du bord latéral, lequel n’est pas
crénelé. Élytres plus larges que le prothorax, parallèles jusqu'au
milieu, déprimées vers la suture, striées-ponctuées, les inter-
valles plats et ponctués. Dessous dépourvu de sillons tarsaux.

Célèbes : Tondano; la variété est de Macassar. Elle a tout à fait
l’aspect du L. serricollis de Java, mais elle en diffère, ainsi que
toutes les suivantes, par les bords latéraux du prothorax non den-
ticulés. (Coll. Jans., Cand.)

106. L. GLrRINUS. — Fusco-niger, depressus, pilis squamifor-
mibus squalidis tectus ; prothorace latitudini longitudine æquali,
basi apiceque angustalo, late, parum profunde medio longitror-
sum sulcato, lateribus haud vel vix crenulato, angulis posticis
fere rectis; elytris ultra medium parallelis, seriatim punctatis ;
sulcis tarsorum nullis.

Long. 10 mill., lat. 3 mill.

Lacon glirinus. — Can. Mém. Acad., Br. 1865, p. 11.

Brunâtre, revêtu de poils squamiformes qui sont assez serrés
pour modifier la couleur des téguments. Prothorax aussi long
que large, notablement plus large au milieu qu'à la base, très-
peu bombé, densément ponctué, présentant au milieu un sillon
longitudinal complet peu marqué, ses angles postérieurs presque
droits, légèrement teintés de rougeätre, munis extérieurement
d’une très-fine carène qui se prolonge le long et très-près du bord
externe. Élytres plus larges que la base du prothorax, parallèles
jusqu'au delà du milieu, déprimées , finement ponetuées-striées,
leur bord externe rougeñtre. Pas de sillons tarsaux en dessous.

Fidjee. (Coll. Jans.)

107. L. SERRICOLLIS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 140 ; pl. IL, fig. 19.

Java.

( 82)
108. L. SERRULA. — Cann. Monogr'., t. 1, p. 122.
Népaul.

109. L. LAPIDEUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 141.

Indes orientales.

110. L. CRENICOLLIS. — Ménérr. Catal. rais., p. 156. — Canp., Mo-
nogr., t. 1, p. 139.

Caucase; Perse; Punjab, etc. M. Dohrn en possède un exem-
plaire indiqué comme ayant été trouvé aux environs de Pise, en
Italie.

111. L. SINENSIS. — Canon. Monogr., t. 1, p. 139.

Chine méridionale; Siam ; Cambodge.

112. L. spurcus. — Fusco-niger, opacus, pilis squamifor-
mibus squalidis sparsim vestitus ; prothorace latitudini longitu-
dine subæquali, lateribus arcuato subcrenulato, æqualiter convexo,
profunde punctato, angulis posticis tenuibus vale divaricatis ;
elytris ultra medium dilatatis, strialo-punctatis, striis ad suturam
{ere obsoletis ; sulcis tarsorum nullis.

Long. 14 mill., lat. 41}, mill.
Lacon spurcus. — Can. Mém. Acad. Belq., 1865, p. 11.

Tout entier d’un noirâtre mat, revêtu de poils squamiformes
peu serrés d’un cendré sale. Prothorax aussi long que large,
rétréci au sommet et à la base avec ses côtés très-arqués, régu-
lièrement et assez fortement convexe, marqué de gros points
profonds et denses, ses angles antérieurs saillants, ses bords laté-
raux subcrénelés et doublés d’une fine ligne saillante qui les suit
parallèlement et de très-près, ses angles postérieurs petits, grêles,
très-divergents. Élytres un peu plus étroites à la base que le pro-
thorax dans sa partie la plus large, s’élargissant graduellement
jusqu’au üers postérieur, un peu déprimées dans la région sutu-
rale, marquées de lignes de points très-gros vers le bord externe
et de plus en plus petits à mesure qu’ils se rapprochent de la

(85)

suture. Flancs du prothorax et du métathorax dépourvus de sil-
lons tarsaux.

Iles Philippines.

J'ai décrit cette espèce d'après un exemplaire appartenant
au musée de Leyde.

115. L. GRacizis. — Fuscus, subopacus, pilis squamiformibus
minutis obductus ; prothorace latitudine longiore, basi apiceque
angustato , lateribus regulariter arcuato crenatoque, disco fortiter
et dense punctato, medio canaliculato, angulis posticis haud pro-
minulis ; elytris brevibus, punctato-striatis, punctis quadratis.

Long. 40 mill., lat. 5 mill.

Plus petit que le précédent, brun obscur, mat, revêtu de petits
poils squamiformes d’un grisâtre fulvescent. Prothorax plus long”
que large, presque aussi rétréci en arrière qu'au sommet, régu-
lièrement arqué sur les côtés, les bords latéraux fortement dentés
dans toute leur longueur, le disque convexe, largement et peu
profondément sillonné depuis la base jusqu'au sommet, couvert
de points gros et serrés, ses angles antérieurs avancés de chaque
côté de la tête, arrondis au bout, les postérieurs petits, nullement
saillants, portant une carène qui se prolonge le long du bord
latéral jusque vers le tiers antérieur et même au delà. Élytres
plus larges que le prothorax à la base, moins de deux fois plus
longues , parallèles jusqu'au delà du milieu, puis curvilinéaire-
ment atténuées depuis ce point jusqu’au sommet, déprimées,
striées, les stries marquées de points assez gros et carrés, les
intervalles ordinairement un peu convexes, ponctués.

Gilolo, Batchian, Aru, Waigioe, Kai, Mysol, N'-Guinée, etc.

Il varie, nécessairement, en raison de cet habitat étendu et
fractionné. Il est tantôt plus, tantôt moins densément écailleux ;
la vestiture est parfois grise, parfois brune. On le distingue des
espèces précédentes à son prothorax relativement plus grand, plus
régulièrement arqué sur les côtés, sa base étant presque aussi
rétrécie que son sommet, enfin à son faible sillon longitudinal.

(84)
114. L. OBESUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 152, pl. I, fig. 48.
Ceylan.
115. L. NEBULOSUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 115.
Hindoustan ; Ceylan.

Un exemplaire de Rangoun, dans la collection de M. Janson,
a la taille plus grande (8 mill.), le prothorax moins transversa-
lement gibbeux; pour le reste il présente tous les caractères de

l'espèce.
116. L. ADSPERSUS. — Canon. Monogr., t. 1, p. 125.

Hindoustan septentrional.

117. L. TUMENS. — Cawn. /ns. rec. p. M. Lewis, in Mém. Soc. Liége,
2e sér., t. V, p. 4.

Japon.

118. L. TURGESGENS. — Obesus, latus, niger, opacus, squamulis
nonnulis, maculisque minimis duabus posticis argenteis, notatus ;
prothorace lato, grosse punctato, tumido, angulis posticis latis,
aculis ; elytris convexis, subsulcalis, punctatis.

Long. 7 mill., lat. 2 ?/, mill.

Forme du tumens. Court, large, épais, noir opaque, à peine
squamuleux, orné de quelques poils argentés disséminés sur la
moitié postérieure des élytres, quelques-uns rassemblés et for-
mant une petite tache blanche de chaque eôté près du sommet.
Front rugueux, biümpressionné. Prothorax plus large que long,
très-bombé, couvert de gros points contigus, ses angles posté-
rieurs grands, dilatés, aigus au bout, bombés en dessus, le bord
postérieur très-sinueux et portant au milieu un tubereule au-
devant de l’écusson. Élytres très-bombées, densément ponctuées,
subsillonnées, les sillons bien marqués à la base. Dessous pré-
sentant quatre sillons tarsaux.

* Poulo-Pinang. (Coll. Jans.)

( 85 )

119. L. sparsus. — Niger, opacus, fusco-vestilus, pilis squa-
miformibus fulvis irroratus ; prothorace longitudine latiore, apice
subilo angustato, punctato, medio transversim elevato, angulis
posticis diaphaneis, rufescentibus; elytris brevibus, convexis, punc-
tatis ; sulcis quatuor tarsorum nullis.

Long. 5 mill., lat. 1 ‘/, mill.

Petit, noir, mat, revêtu de squamules obscures avec des poils
squamiformes fauves disséminés. Prothorax plus large que long,
brusquement rétréci au sommet à partir du milieu, ponctué,
transversalement élevé au milieu du disque, ses angles posté-
rieurs droits, aigus au sommet, un peu bombés en dessus, trans-
lucides et rougeâtres. Élytres de la longueur du prothorax,
courtes, peu atténuées au sommet, bombées, ponctuées. Pattes
brun-rougeûtre ; pas de sillons tarsaux.

Java. (Coll. Jans.)

120. L. TRIFASCIATUS. — Can. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 10. —
IB., {ns. rec. p. M. Lewis, in Mém. Soc. Liége, 2 sér., t. V. p. 1.

Cette petite espèce paraît avoir un habitat très -étendu : elle a
été trouvée à Ceylan, à Bornéo et jusque dans le sud du Japon.

191. L. Laxus. — Niger, opacus, squamulis pallidis antror-
sum , obscuris postice, vestitus ; prothorace lato, medio convexo,
lateribus explanatis ; elytris prothorace angustioribus, apice atle-
nuatis, dense punctatis ; sulcis tarsorum quatuor distinctis.

Long. 6 mill., lat. 2}, mill.

Large, noir, opaque, revêtu densément de squamules fulves-
centes, d'aspect soyeux, sur le prothorax et sur la partie anté-
rieure des élytres, le reste de celles-ci couvert de squamules
obseures avec deux points blancs près du sommet. Prothorax plus
large que long, ponctué, bombé dans sa partie moyenne, aplati
latéralement, ses bords latéraux droits et un peu sinueux en
arrière, brusquement recourbés en dedans au sommet, ses angles
postérieurs droits, aigus au bout, un peu rougeàtres. Élytres

( 86 )

plus étroites que le prothorax, atténuées à parür du üers anté-
rieur, convexes, très-ponctuées, munies en arrière de l'écusson
de deux petits faisceaux de poils noirâtres. Quatre sillons tarsaux
distincts.

Mysole.

Je n’en ai vu qu'un exemplaire de cette localité dans la collec-
tion de M. Janson. Un autre, de Florès, a le prothorax moins
large en proportion, les élytres moins atténuées au sommet sans
faisceau de poils derrière l’écusson, la vestiture moins nettement
séparée en deux teintes opposées. Pour le reste il a la physio-
nomie générale du premier. Celui-ci serait-il le male et l’autre la
femelle de la même espèce? je suis assez porté à le croire.

122. L. TRISTIS. — BL. Voy. au pôle Sud. Zool., p. 86.

Nouvelle-Guinée.

125. L. BRACHYCHETUS. — Repr. in Hucez, Kaschm. p. 506.

Cachemire.

111, — GROUPE AUSTRALIEN-

124. L. GALIGINOSUS. — Guérin, Voy. d. 1. Coq., Ins., p. 68, pl. I,
fig. 7. — Cano. Monogr., t. 1, p. 144.

Nouvelle-Galles du Sud, Victoria, Tasmanie.

195. L. LaBrosus. — Brunneo-niger, subnitidus, pilis squami-
formibus griseis requlariter obsitus ; prothorace latitudini longi-
tudine œquali, lateribus arcuato, convexo, punctato, angulis
posticis reclis, haud carinatis ; elytris striato-punctatis , intersti-
liis planis, œqualibus , punctatis ; sulcis tarsalibus quatuor bene
definitis.

Long. 6 mill., lat. 2 mill.

Cette petite espèce se rapproche du caliginosus avec lequel elle
a en commun la présence de quatre sillons tarsaux bien limités.

(87)

Elle s’en distingue par sa taille beaucoup plus petite et par son
prothorax plus long en proportion.

Australie occidentale : Swan-Riv. (Coll. Jans.)

126. L. FERRUGINEUS. — Rufo-ferrugineus , subnitidus, flavo-
squamulosus; prothorace longitudine paulo latiore, apice arcuatim
angustato, crebre fortiter punctato, lateribus crenulato, angulis
posticis rectis, acutis; elytris brevibus, dorso depressiusculis, striis
fortiter punctatis; sulcis tarsorum anticorum bene definitis.

Long. 8 mill., lat. 21}, mill.

Entièrement d’un rouge ferrugineux, un peu luisant, revêtu
de squamules flaves. Prothorax un peu plus large que long, droit
et parallèle sur les côtés en arrière, curvilinéairement rétréei en
avant, convexe, fortement et densément ponetué, ses bords laté-
raux crénelés, ses angles postérieurs droits, nullement tronqués
au bout. Élytres de la largeur du prothorax et deux fois plus lon-
gues, parallèles sur les côtés jusqu’au delà du milieu, déprimées
vers la région suturale, étroitement striées, les stries marquées
de gros points, les intervalles plats et assez fortement ponctués.
Flancs du prothorax portant un sillon nettement limité pour la
réception des tarses antérieurs, le métathorax n’en présentant

aucune trace.

Australie nord-occidentale : Nickol-Bay. (Coll. Fry et Jans.)

Diffère du précédent par divers caractères, notamment par la
couleur.

127. L. socius. — Fuscus, subopacus, squamulis flavis spar-
sim obductus ; prothorace longitudine latiore, punctato, apice
arcuatim angustato, convexo, angulis posticis reclis; elytris ultra
medium parallelis, ad saturam depressis, punctato-striatis, sul-
is tarsorum anticorum bene definitis.

Long. 10 mill., lat. 3 ‘/, mill.

Brunâtre, opaque, revêtu de squamules éparses de couleur
assez claire. Prothorax plus large que long, très-arrondi sur les

(88)

côtés, convexe, ponctué, ses angles postérieurs droits, présen-
tant une trace de carène vers leur bord externe. Élytres de la
largeur du prothorax et deux fois plus longues, parallèles jusque
au delà du milieu, déprimées vers la région suturale, ponctuées-
striées, les intervalles égaux et plats. Flancs du prothorax pré-
sentant un sillon tarsal nettement limité.

Cap York. (Coll. Jans.)

Bien reconnaissable au sillon nettement limité des flanes pro-
thoracique , alors que le métathorax n’en présente pas de trace.

198. L. crassus. — Crassus, fuliginosus, subopacus, griseo-
squamulosus ; prothorace longitudine latiore, valde convexo, crebre
fortiterque punctato, angulis posticis brevibus, truncatis ; elytris
convexis, striis angustis punctatis, interstiliis planis, æqualibus,
.granulatim punctatis ; sulcis tarsorum nullis.

Long. 12 mill., lat. 4 /, mill.

Épais, noirâtre, presque mat, revêtu de squamules grises.
Front perpendiculaire, impressionné au milieu. Prothorax plus
large que long, curvilinéairement rétréci au sommet, très-bombé,
fortement ponctué, ses angles postérieurs aplatis, tronqués au
bout. Écusson pentagonal. Élytres deux fois et demie au moins
plus longues que le prothorax, aussi large à la base, un peu
élargies vers le milieu, très-convexes, finement striées, les stries
ponetuées, les intervalles marqués de points à bords saillants, ce
qui les rend granuleux. Dessous du corps bombé comme le
dessus ; les flancs dépourvus de sillons tarsaux.

Cap York. (Coll. v. Bruk.)

129. L. Assus. — Canp. Monogr., t. 1, p. 145.
Nouvelle-Galles du Sud ; Queensland.

150. L. LATICOLLIS. — Canp. Monogr., t. 1, p. 146, pl. IT, fig. 12:
Nouvelle-Galles du Sud.

Cette espèce a quatre sillons tarsaux, nettement limités, comme

(89)

le caliginosus, caractère dont il n’est pas fait mention dans la
description et qui le distingue complétement de l’assus.

151. L. URSULUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 147.
Nouvelle-Galles du Sud; Adelaïde.

152. L. priINCEPS. — Fusco-castaneus, pilis squamiformibus
cervinis tectus; prothorace longitudine paulo latiore, basi apiceque
valde angustato, lateribus arcuato, œqualiter convexo, cribrato,
margine laterali duplici ; elytris striato-punctatis, punctis antice
majoribus ; sulcis tarsorum nullis.

Long. 25 mill., lat. 8 mill.

La plus grande espèce connue jusqu'ici. Brun, revêtu de squa-
mules fauve-jaunètre. Prothorax plus large que long, assez for-
tement rétréei au sommet et à la base, arrondi sur les côtés,
régulièrement convexe en dessus, couvert de points, ceux du
milieu du disque beaucoup plus gros que ceux du pourtour, ses
angles assez saillants, ses bords latéraux doubles, l’arête supé-
rieure pouvant être considérée comme formée par le prolonge-
ment de la carène des angles postérieurs. Éeusson hastiforme, le
milieu seul ponctué et écailleux. Élytres longues, un peu élargies
vers le milieu, striées-ponetuées, les points des stries de plus
en plus gros, à mesure qu'ils se rapprochent de la base. Pas de
sillons tarsaux.

Cap York. (Coll. Jans.)

153. L. GEMINATUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 149, pl. IL, fig. 5.

Queensland.

154. L. MAMILLATUS. — Cano. Monogr., t. 1, p. 144, pl. IT, fig. 4.
Nouvelle-Galles du Sud.
135. L. Depoucayi. — Fusco-brunneus, opacus, vix squamu-

losus; prothorace longitudine haud latiore, creberrime grosse
. punctato, basin versus bifoveolato, margine laterali duplier cre-

(90)

nulato; elytris brevibus, dorso deplanatis, striato-punctatis, inter-
stitiis externis granulatis.

Long. 17 mill., lat. 5 !}, mill.

Brunâtre, opaque, presque dépourvu de squamules. Antennes
courtes. Prothorax aussi long que large, peu rétréei à la base et
au sommet, peu convexe, présentant deux fossettes vers la base,
couvert de points très-gros, contigus et hexagonaux comme des
alvéoles, ses bords latéraux doubles, l’inférieur crénelé plus for-
tement que le supérieur, les angles postérieurs non divergents.
Écusson large , ponctué au milieu. Élytres courtes, parallèles
jusqu'au delà du milieu, déprimées, striées-ponetuées, beaucoup -
plus finement vers la suture qu’en dehors, les intervalles externes
granuleux. Pas de sillons tarsaux.

Nickol-Bay. (Coll. Jans.)

156. L. HUMILIS. — (Ericus.) Cann. Monogr., t. 1, p. 148.

Tasmanie.

157. L. PARALLELUS. — Angustus, parallelus, fuscus, fusco-
pilosulus ; prothorace latitudini longitudine œquali, lateribus
arcuato, convexo, medio subcanaliculato, crebre fortiterque punc-
talo, angulis posticis fere rectis, integris ; elytris substriato-punc-
tatis, interstitiis flavis, punctatis ; sulcis tarsorum obsoletis.

Long. 10 1}, mill., lat. 5 mill.

Assez étroit, parallèle, d’un noir brunâtre, revêtu de petits
poils squamiformes brunâtres peu denses. Prothorax aussi long
que large, convexe, obsolètement canaliculé au milieu, densé-
ment et assez fortement ponctué, les côtés arqués, ses angles
postérieurs entiers, à peu près droits. Élytres de la largeur de
la base du prothorax, parallèles dans leurs deux tiers antérieurs,
finement striées, les stries marquées de points un peu plus gros
que ceux des intervalles. Flancs prothoraciques présentant des sil-
lons tarsaux peu marqués.

Queensland.

(M)
158. L. VARIABILIS. — Cann. Monogr., 1. 1, p. 148.

Nouvelle-Galles du Sud; Victoria; Adélaïde; Tasmanie; Nou-
velle-Zélande.

C’est l’espéce la plus commune et la plus répandue dans toute
la partie orientale du continent australien. Elle étend même son
habitat jusqu'à la Nouvelle-Zélande.

159. L. MARGINATUS. — Brunneo-testaceus, flavo-squamulosus ;
prothorace latitudine longiore, punctato, parum convexo, late-
ribus antice explanato; elytris punctato-strialis, interstiliis
alternis paulo elevatioribus ; subtus obscurus, sulcis tarsorum
nullis.

Long. 10-12 mill., lat. 3-5 ‘/, mill.

Brun jaunâtre plus ou moins elair avec le disque du prothorax
et la région suturale des élytres parfois noirâtres, revêtu de
petites squamules flaves. Front concave. Prothorax plus long que
large, un peu dilaté en avant, médioerement convexe, ponctué ,
sillonné au milieu, ses bords latéraux bordés, surtout en avant,
d’une assez forte dépression qui les fait paraitre redressés, ses
angles postérieurs divergents, obtus au bout. Élytres un peu plus
larges que le prothorax, légèrement élargies vers leur milieu,
déprimées, ponctuées-striées, les points assez profonds, leurs
intervalles légèrement convexes, les impairs paraissant un peu
plus élevés que les autres. Dessous et pattes bruns, les épi-
pleures jaunes. Pas de sillons tarsaux.

Clarence-Riv. (Coll. Cand., Jans.)

140. L. raruus. — Testaceus, subnitidus; flavo-squamu-
losus ; prothorace latitudine longiore, antice dilatalo, convexo,
sparsim subtiliter punctato, lateribus crenulato, angulis posticis
fere rectis, aculis ; elytris prothorace latioribus, punctato-strialis,
intersiitiis granulatis ; sulcis tarsorum nullis.

Long. 6 mill., lat. 2 !}, mill.

Peut, testacé, un peu luisant, revêtu de squamules flave

(92)

blanchâtre. Front grand subquadrangulaire. Antennes assez
épaisses. Prothorax étroit, plus long que large, un peu convexe,
élargi en avant, finement et éparsément ponctué, ses bords laté-
raux crénelés, ses angles postérieurs courts, presque droits,
aigus au bout. Écusson oblong. Élytres notablement plus larges
que le prothorax, parallèles, ponctuées-striées, les intervalles
plats, égaux entre eux et granuleux. Dessous assez luisant; pas
de sillons tarsaux.

Australie occidentale. Un emplaire provenant des chasses de
M. De Boulay, dans la collection de M. Fry. Petite espèce faci-
lement reconnaissable à l’étroitesse relative du prothorax et à sa
couleur.

141. L. various. — EÆEllipticus, brunneus, nigro-marmo-
ratus, fulvo-pilosus; prothorace longiludine latiore, lateribus
arcualo, disco transversim elevato, crebre fortiterque punctato,
angulis posticis obtusis, truncatis; elytris convexis, medio dila-
lalis, punctato-striatis; sulcis tarsorum anticorum impressis.

Long. 10 mill., lat. 5 ‘}, mill.

Brun obscur, marbré d’une multitude de petites taches irrégu-
lières, noirâtres, revêtu de poils squamiformes fauves assez
denses. Front présentant une petite impression au centre. Pro-
thorax plus large que long, convexe, transversalement élevé au
milieu, densément et fortement ponctué, ses côtés arqués, un
peu plus étroit à la base qu’au milieu, ses angles postérieurs
obtus, largement tronqués au bout. Élytres de la largeur du cor-
selet à la base, un peu dilatées vers leur milieu, atténuées au
bout, convexes, striées, les stries marquées de points gros surtout
vers le bord externe. Flanes prothoraciques marqués d'impres-
sions tenant lieu des sillons tarsaux.

Queensland.

Cette espèce se trouve en nombre dans ma collection et dans
celle de M. Janson.

(95)

142. L. PLEURETICUS. — Latus, depressus, fuscus, opacus,
squalide pilosus; prothorace medio elevato, vage bituberculato vel
transversim carinato, crebre punctato, angulis posticis brevibus
apice emarginalis; elytris ad suturam deplanatis, punctato-stria-
tis, interstitiès alternis subelevatioribus, margine epipleurisque
rubrescentibus; sulcis tarsorum nullis.

Long. 13-15 mill., lat. 5-5 !}, mill.

Plus petit que le précédent, large, un peu déprimé, brunâtre,
revêtu de poils squamiformes jaunâtres. Front plat. Prothorax
plus large que long, élevé au milieu avec les bords aplatis, pré-
sentant au centre du disque une sorte de saillie transversale plus
ou moins distinctement coupée en deux, densément et fortement
ponctué, ses côtés arqués, sinueux au devant des angles posté-
rieurs, Ceux-ci un peu recourbés en dehors, courts, légèrement
échancrés au bout. Élytres de la largeur du prothorax, un peu
dilatées au milieu, fortement arrondies à l’angle sutural, aplaties
à la suture jusqu’à la quatrième strie, finement striées, les stries
internes finement, les externes, surtout les trois dernières, très-
fortement ponctuées, les cinquième et septième intervalles un
peu élevés et plus densément squamuleux, le dernier, les épi-
pleures et la base des flancs prothoraciques rougeâtres. Sillons
tarsaux nuls.

Queensland; Rockhampton ; Brisbane. (Coll. Cand., Jans.)

145. L. PICTIPENNIS. Canp. Monogr., t. 1, p. 150.
Nouvelle-Galles du Sud et Victoria.

144. L. PeRRIGINOSUS.— Brunneus, ferrugineo-maculatus,squa-
mulis pallidis dense obductus; prothorace longitudine latiore,
parallelo, minus coñvexo, angulis posticis rectis ; elytris thoracis
latitudine, antice parallelis, striato-punctatis; sulcis tarsorum
anticorum bene definitis.

Long. 10 mill., lat. 5 */, mill.

Brun, marqué de taches irrégulières ferrugineuses, opaque,
revêtu de squamules courtes, larges et assez denses, de couleur

(94)

claire avec quelques-unes blanchâtres. Prothorax plus large que
long, droit et parallèle sur les côtés en arrière, assez brusque-
ment rétréci au sommet, médiocrement convexe, très-ponctué,
ses angles postérieurs droits. Élytres de la largeur du prothorax,
parallèles jusqu'au delà du milieu, peu convexes, striées-
ponctuées, les intervalles plats et égaux. Flanes présentant un
sillon tarsal bien limité.

Australie occidentale. (Coll. Jans.)

145. L. GUTTATUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 151.

Victoria.

146. L. MARMORATUS. — Fuscus, opacus, pilis squamiformibus
squalidis parce vestitus, pallide marmoratus; prothorace longi-
tudine latiore, convexo, subcanaliculato, crebre fortiterque punc-
tato, angulis posticis rectis; elytris dorso deplanatis, seriatim
punctatis;sulcis tarsorum impressis.

Long. 10 mill., lat. 3 !}, mill.

Assez large, d'un brunâtre tout à fait mat, revêtu peu densé-
men de poils squamiformes grisâtres, marqué de petites taches
éparses d’un brun rougeâtre et recouvertes d’écailles jaunâtres.
Prothorax plus large que long, un peu plus large au tiers anté-
rieur qu’à la base, ses côtés très-arqués en avant, médiocrement
bombé, marqué d’un sillon fin dans toute sa longueur, impres-
sionné sur la base en dedans des angles postérieurs, fortement
et densément ponctué, ses angles postérieurs presque droits,
entiers. Élytres de la largeur de la base du prothorax, parallèles
sur les côtés jusqu'au delà du milieu, déprimées sur le dos dans
la région suturale, marquées de séries de gros points avec les
intervalles offrant des séries de points plus petits. Flanes du pro-
thorax présentant des sillons tarsaux, bien marqués à leur nais-
sance et s’effaçant à l'extrémité.

Queensland.

Cette espèce fait partie de ma collection.

(95)

147. L. ocravus. — Fusco-niger, opacus, pilis squamiformibus
rubiginosis vestitus; prothorace basi coarctato, canaliculato; ely-
tris ovatis.

Long. 15 mill., lat. 4 mill.

Brun obscur, mat, revêtu de poils squamiformes rougeâtres.
Front impressionné. Prothorax plus long que large, presque
aussi rétréci à la base qu'au sommet, ses côtés arqués, sillonné
dans toute sa longueur au milieu, densément et fortement ponc-
tué, ses angles postérieurs courts, obtus, arrondis au bout,
carénés. Écusson arrondi en arrière. Élytres moins de deux fois
plus longues que le prothorax, notablement plus larges au milieu
qu'à la base, convexes, marquées de séries de gros points. Flancs
du prothorax impressionnés. Pattes brunes.

Queensland. (Coll. Jans).

Cette espèce présente des caractères bien tranchés. Sa forme
la rapproche du genre Myrmodes.

148. L. COSTIPENNIS. — (Germ.) Cann. Monogr., t. 1, p. 451, pl. I,
fig. 25.

Adelaïde; Victoria.

149. L. CARINULATUS. — Canr. Monogr., t. 1, p. 152.

Nouvelle-Galles du Sud.

150. L. scuzprus. — Fuscus, opacus, depressus, pilis squami-
formibus brevibus brunneis tectus ; prothorace latitudini longitu-
dine subæquali, postice recto parallelo, antrorsum arcuatim angus-
talo, medio late et parum profunde sulcato, angulis posticis rectis
longe carinatis; elytris brevibus, striato-punctatis, interstiliis
imparibus elevatis.

Long. 10 mill., lat. 3 !/, mill.

Déprimé, assez large, brunâtre, opaque, revêtu de poils squa-
. miformes bruns. Prothorax aussi long que large, curvilinéairement

(96)

rétréci en avant à partir du milieu, droit et parallèle en arrière,
densément ponctué, présentant au milieu, dans toute sa longueur,
un sillon très-large et peu profond, ses angles postérieurs
droits, munis d’une carène qui se prolonge assez longuement en
avant le long du bord latéral, celui-ci non cerénelé. Écusson
bombé. Élytres courtes, de la largeur du prothorax, parallèles
sur les côtés en avant, aplaties, striées-ponctuées , les intervalles
impairs, surtout les 5° et 5°, élevés. Flancs du prothorax présen-
tant une trace vague de sillon tarsal.

Rivières Paroo et Darling.

Plusieurs exemplaires provenant de la collection Castelnau.

151. L. Lacrymosus. — Nigro-fuscus, opacus, pilis squamifor-
mibus minutis concoloribus; prothorace subquadrato, punciato,
disco inaequali, ad angulos anteriores impresso, lateribus crenu-
lato; elytris brevibus, seriatim grosse punctatis, interstitiis impa-
ribus postice tuberculatis.

Long. 7 mill., lat. 2-9 ‘}, mill.

Noirâtre, opaque, revêtu de poils squamiformes très-petits
et peu apparents de même couleur. Prothorax aussi large que
long chez le mâle, plus large chez la femelle, droit et parallèle
sur les côtés en arrière rétréei assez brusquement au sommet,
son disque inégal en dessus, ponctué, plus ou moins distincte-
ment quadri-impressionné, présentant une impression plus forte,
une sorte de petite fossette en dedans de la base des angles anté-
rieurs, ses bords latéraux un peu crénelés, ses angles postérieurs
droits. Écusson bombé. Élytres courtes, de la largeur du pro-
thorax, marquées de séries de points assez gros, surtout les
externes qui sont en outre irrégulières, les intervalles impairs
élevés, en arrière, en un tubercule oblong.

Australie méridionale. (Coll. Jans., Gand.)

152. L. pivaricarus. — Fuscus, pilis squamiformibus brun-
neis sparsim lectus; fronte plana; protorace latiludine paulo

(97 )

longiore, convexo, subcanaliculato, cribrato, lateribus antice
rotundatis, postice subparallelis, angulis posticis ferrugineis, diva-
ricalis; elytris brevibus, striato-punctatis, interstitiis inæqualibus.

Long. 10 mill., lat. 31}, mill.

Lacon divaricatus. — Canp. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 12.

Brunâtre obscur, mat, revêtu d’écailles brunes peu serrées.
Front aplati. Prothorax plus long que large, curvilinéairement
rétréci au sommet, à peu près droit et parallèle en arrière, con-
vexe, subsillonné au milieu dans toute sa longueur, couvert de
gros points serrés, ses bords latéraux vaguement crénelés, ses
angles postérieurs ferrugineux, brusquement et assez fortement
divergents. Élytres courtes et paraissant une demi-fois seule-
ment plus grandes que le prothorax, un peu plus larges au milieu
qu à la base où elles sont débordées de chaque côté parles angles
postérieurs du prothorax, curvilinéairement rétrécies en arrière
avec leur extrémité subacuminée, convexes dans leur ensemble
et seulement aplaties vers la suture derrière l’écusson, striées-
ponctuées, les intervalles impairs un peu plus larges et plus
élevés que les autres. Flanes prothoraciques présentant un faible
sillon oblique.

Victoria : Melbourne.

Cette espèce est facilement reconnaissable à la grandeur rela-
tive de son prothorax et à la divergence des angles postérieurs
de cette pièce.

155. L. VictortAE. — Fusco-niger, minus opacus, pilis squa-
miformibus fuscis obsitus ; fronte convexiuscula ; prothorace lati-
tudini longitudine æquali, lateribus apice arcuatis, postice paral-
lelis, convexo, canaliculato, crebre-punctato ; elytris brevibus,
antrosum parallelis, depressis, sutura elevatis striato-punctatis.

Long. 5 mill., lat. À ?/, mill.
Lacon Victoriæ. — Cann. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 12.

La plus petite espèce australienne connue. Presque noir, moins
7

( 98 )

mat que la généralité des Lacon de ce pays, revêtu de pois squa-
miformes obseurs. Front légèrement convexe, sillonné au milieu
à la base. Prothorax aussi long que large, assez brusquement
rétréei au sommet, droit et parallèle en arrière, convexe, légère-
ment sillonné au milieu, densément et fortement ponctué, ses
angles antérieurs un peu acuminés, les postérieurs droits. Élytres
exactement de la largeur du prothorax à la base, et une demi-
fois seulement plus longues, parallèles jusqu’au milieu , un peu
déprimées sur le dos avec le bord sutural redressé, striées ponc-
tuées avec les intervalles marqués d’une série de points un peu
plus petits. Flanes prothoraciques et métathoraciques présentant
des impressions obliques pour loger les tarses antérieurs ou
moyens.

Victoria.

Trouvé en nombre par M. de Castelnau.

154. L. insieniTus. — Brevis, fuscus, opacus, fusco-squamu-
losus ; prothorace amplo, creberrime punctato, lateribus subcrenu-
latis, postice rectis, angulis posticis retrorsum productis, oblique
truncatis; elytris prothorace paulo longioribus, interstitiis alternis
elevatioribus.

Long. 6 mill., lat. 2 !/, mill.

Petit, court et large, brunâtre , opaque, revêtu de petites squa-
mules obseures et unicolores. Prothorax grand, à peu près aussi
long que large, bombé, droit et parallèle sur les côtés en arrière,
très-densément ponctué, ses bords latéraux suberénelés, ses
angles postérieurs dirigés en arrière , aigus avec une troncature
latérale, le disque présentant une trace de sillon médian. Éeusson
bombé. Élytres un peu plus longues seulement que le prothorax
et la tête réunis, arquées sur les côtés, bombées, subacuminées
au bout, marquées de séries de gros points, les intervalles très-
ponctués, les impairs un peu élevés. Des sillons tarsaux vagues
sur les flancs du prothorax.

Queensland. (Coll. Jans.)

( 99 )

155. L. corpIPENNiSs. — Brevis, fuscus, opacus, fusco-squamu-
losus; prothorace amplo, creberrime punctato, longitudine paulo
latiore, angulis posticis retrorsum productis, acutis; elytris bre-
vissimis, striato-punctatis, intersticits alternis elevatioribus.

Long. 5 5], mill., lat. 2 ‘/, mill.

Très-voisin du précédent et de même forme; il en diffère par
son prothorax moins long, à angles postérieurs aigus et non tron-
qués obliquement en dehors.

Albany. (Coll. Jans.)

156. L. PUNCTIPENNIS. — Brevis, fuscus, subopacus, fusco-
squamulosus, postice squamulis aliquibus albidis; prothorace lon-
gitudine latiore, disco subinæquali, angulis posticis rectis haud
prominentibus; elytris brevibus, substriato-punctatis, extrorsum
punciis sparsis majoribus.

Long. 6 mill., lat. 2 ‘/, mill.

De la forme générale des deux précédents et même encore
plus large en proportion. Brunâtre, moins opaque, revêtu de
squamules de même couleur avec quelques squamules blanches
formant de petites taches sur la moitié postérieure des élytres.
Prothorax notablement plus large que long, arqué sur les côtés
en avant, convexe, ponctué, inégal, présentant une saillie trans-
versale au milieu du disque, ses angles postérieurs. droits et
même obtus. Écusson court et large, revêtu de squamules de eou-
leur plus éclaire. Élytres très-courtes, bombées, subacuminées
au bout, présentant des séries de points plus ou moins régulières
avec les intervalles impairs, au moins un, un peu plus élevés, et
en outre, dans leur partie externe, de gros points disséminés sans
ordre. Pas de sillons tarsaux nettement marqués; pattes rougeà-
tres.

Australie occidentale. (Coll. Jans.)

(100)

M. W. Mac-Leay a décrit dans le tome IT (pp. 250-251) des
Transactions de la Société entomologique de Sidney, quatre es-
pèces du genre actuel qu’en l’absence de types je n’ai pu recon-
naitre avec certitude. Ces espèces ont été trouvées par M. Mas-
ters dans le district de Gayndah.

IV. — GROUPE AMÉRICAIN.
157. L. RECTANGULARIS. — Say. Ann. Lyc., t. 1, p. 263. — Cann.
Monogr., t. 1, p. 155.
États-Unis.

158. L. MUCOREUS. — Lec. 4m. phil. Soc. Trans., t. X, p. 491 (Ade-
locera mucorea).

Georgie.

159. L. GURTUS. — Lrc. 4m. phil. Soc. Trans., t. X, p. 491. — Can.
Monogr., t. 1, p. 156. É |

États-Unis du Sud et Mexique.

160. L. BREVIS. — Can. Monogr., t. 1, p. 156.

Yucatan.

161. L. SCARROSUS. — Cann. Monogr., t. I, p. 157.

Mexique; Guatemala.

162. L. caLamirosus. — Fuscus, squamulis acuminatis pal-
lidis sat dense vestitus; fronte cristata; prothorace longitudine
latiore, parum convexo, crebre fortiterque punctato, basi impresso,
angulis posticis apice rotundato-truncatis ; elytris parallelis, punc-
talo-striatis, striis apice profonde impressis; sulcis tarsorum
nullis.

Long. 12 mill., lat. 51/, mil.

Voisin du scarrosus. Assez allongé, brunâtre, revêtu de squa-
mules cendré clair. Front portant à la base une arête longitudi-

(101 )

nale bifurquée en avant, et divisé de la sorte en trois portions
concaves. Prothorax plus large que long, aplati et impressionné
au milieu en arrière, les bords latéraux droits et paralléles dans
leur partie moyenne, densément et fortement ponctué, ses angles
postérieurs larges, divergents, arrondis au sommet. Élytres pa-
rallèles jusqu'au delà du milieu, déprimées le long de la suture
où les stries de points sont confuses, celles-ci mieux marquées
en dehors et profondément enfoncées à la pointe. Flanes protho-
raciques sans sillons tarsaux.

Oajaca. (Coll. Sallé.)

165. L. TUSPANENSIS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 157.
Mexique.

164. L. LEZELEUCI.— Cann. Monogr., t. 1, p. 158.
Mexique; Vera-Cruz.

165. L. SUILLUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 159.

Mexique.

166. L. Truquu. — Fuscus, pilis squamiformibus cinereis
obductus; prothorace longitudine latiore, apice valde angustato,
grosse punctato, angulis posticis integris, acutis, lateribus haud
crenulato; elytris seriatim grosse punctatis ; sulcis tarsorum nullis.

Long. 8 mill., lat. 21/, mill.

Noirâtre, revêtu de poils squamiformes gris clair. Front
impressionné au milieu. Prothorax plus large que long, forte-
ment rétréel au sommet à partir du milieu, marqué de très-gros
points, transversalement élevé au milieu , présentant un sillon
médian en arrière, ses bords latéraux non crénelés, ses angles
postérieurs entiers, presque droits, aigus au bout. Élytres un
peu plus larges que le prothorax, parallèles jusqu’au delà du
milieu , un peu déprimées vers la suture en avant, marquées de
séries de gros points, le dernier intervalle un peu rougeûtre. Pas
de sillon tarsaux.

Mexique.

(1)

J'en ai vu un exemplaire provenant des chasses de Truqui,
dans la collection de M. Fry, et deux pris aux environs d'Oajaca,
par M. Boucard, dans la collection de M. Sallé.

167. L. puBIUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 160, pl. IL, fig. 6.

Nouvelle-Grenade.

MERISTHUS.

Can. Monogr., t. 1, p. 162.

On observe dans ce genre deux formes bien tranchées. La pre-
mière se compose d'espèces d'assez grande taille relativement
aux autres, à écusson fortement caréné, à vestiture écailleuse for-
mant un dessin varié, blanc sur fond noirâtre : j'en connais trois
dont deux décrites antérieurement et une nouvelle, de Ceylan,
qui se distingue des premières par la présence d’un sillon tarsal
aux flancs du prothorax. La seconde forme, caractérisée par une
taille beaucoup plus petite et l'écusson parfois moins fortement
caréné, comprend une série d'espèces dont la délimitation exacte
est fort difficile à établir. J'en avais autrefois reconnu deux : le
M. pistrinartus et le M. scobinula. La première me paraissait assez
bien établie. Dans la seconde j'avais compris une foule d'indi-
vidus d'aspect et de caractères variant peu et répandus aux Indes,
en Chine et jusqu'en Amérique. J'en ai revu depuis provenant
de la Malaisie, du Mexique, de l'Amérique centrale et même du
Para, et loin de trouver dans tous ces individus de patries si
diverses, les éléments propres à établir plusieurs espèces, je n’y
vois que des formes variables se rattachant à un seul type spé-
cifique. J’en excepte un type de Célèbes que j'ai nommé
M. apicalis et un autre de Borneo que j'ai distingué sous le nom
de M. minusculus, qui m'ont paru s'éloigner davantage de la
forme générale du scobinula.

MM. Horn et Chevrolat er ont fait connaitre trois espèces améri-
caines. Ne les ayant pas vues, je n’en puis rien dire quant au bien-
fondé de l'établissement de ces espèces, et je me borne à les citer.

(105)

1. M. LEPIDOTUS. — Paus. De Beauv. Ins. p. 11, pl. VIL fig. 6.
— Can. Monogr., t. 1, p. 165, pl. IT, fig. 25.

Afrique occidentale; Guinée.

2. M. QUADRIPUNCTATUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 165.

Sylhet; Assam.

5. M. iNsieniTUuS. — Fuscus, squamulosus, fronte, prothoracis
margine, argenteis; elytris cinereo-maculatis ; prothorace con-
vexo, granulato, angulis posticis truncatis, carinatis ; scutello
costato ; elytris striatis, interstitiès granulatis, apice crenatis.

Long. 7 mill., lat. 2 mill.

Ressemblant au lepidotus pour la disposition de la vestiture,
mais bien distinet par plusieurs caractères essentiels. Brunûtre
squamuleux avec le front et le pourtour du prothorax revêtu
de petites squamules argentées, très-serrées; les élytres pré-
sentant également une bande marginale blanchâtre envoyant
deux expansions vers la suture. Prothorax aussi long que large,
convexe, sillonné, granuleux, crénelé latéralement, ses angles
postérieurs tronqués, carénés. Écusson fortement élevé en carène.
Élytres un peu plus larges que le prothorax, striées, les inter-
valles chargés d’une série de petits tubercules arqués, ce qui
donne à l'ensemble l'aspect d'une rape, leur extrémité erénelée.
Flanes du prothorax marqué d’un sillon pour la réception des
tarses antérieurs.

Ceylan. (Coll. Jans.)

4. M. PISTRINARIUS. — Cao. Monogr., t. 1, p. 164.

Indes orientales.

3. M. ApicaLis. — Fuscus, subopacus, squamis albicantibus
irroratus ; prothorace tenuiter punctato, basi angustato, angulis
posticis carinatis, apice vix truncatis; scutello parum carinalo;
elytris punclalo-strialis, apice flavis.

Long. 5 !, mill., lat. À mill.

(104)

Noirâtre, presque mat, revêtu de squamules blanchâtres.
Front sillonné au milieu. Prothorax aussi long que large, rétréei
vers la base, arqué sur les côtés, peu convexe, finement ponctué,
légèrement sillonné au milieu, ses angles portérieurs petits,
carénés, brièvement tronqués au bout. Écusson faiblement caréné
au milieu. Élytres déprimées, un peu rétrécies à la base, arquées
sur les côtés, ponctuées-striées, leur extrémité flave.

Célèbes et Timor. (Coll. Jans.)

6. M. minuscuzus. — Testaceus, opacus, squainis albicantibus
irroratus; prothorace basi coarctato, tenuiter punctato, disco
infuscato, angulis posticis truncatis; scutello parum carinato;
elytris punctato-striatis, basi coarctatis, fusco-variegatis.

Long. 2}, mill., lat. ?/, mill.

Plus étroit, en proportion, que le scobinula et surtout plus
rétréei au niveau de la base du prothorax et de celle des élytres,
testacé, écailleux, le milieu du premier obseur et les secondes
présentant, vers leur portion moyenne, une fascie noirâtre plus
ou moins appendiculée, parfois confuse. Prothorax carré, un peu
convexe, finement ponctué, subsillonné au milieu, ses angles
postérieurs divergents et tronqués. Écusson faiblement caréné.
Élytres un peu bombées , ponctuées-striées, sensiblement acumi-
nées au bout. Des sillons aux flancs du prothorax.

Bornéo : Sarawack.

Collection du Musée de Gênes; communiqué par M. le doc-
teur Gestro.

7. M. SCOBINULA. — Cano. Monogr., t. 1, p. 164.

Indes orientales; Chine; Amérique intertropicale.

8. M. CRISTATUS. — Horn. Trans. Amér. entom. Soc. 1871 p. 299,
pl. IV, fig. 2.

Texas.

( 105 )
9. M. TExANUS. — Honn. Loc. cit. p. 500, pl. IV, fig. L

Texas.

10. M. SETARIUS. — Cuevr. Ann. Fr., 1867, p. 596.
Cuba.

AGRAEUS.
Cano. Monogr., t. 1,p. 165.

A Corps avec des poils squamiformes fasciculés noirs ou bruns.
a Bords latéraux du prothorax arrondis en avant. |
æ Base du prothorax présentant deux tubercules creusés au sommet.1.4 Mannerheini.

ox Ces tubercules lisses et convexes . . . . . . . . . . . 9. A cuniculus.
aa Bords latéreaux du prothorax anguleux en avant . . . . . . 4 À Mouhoti.
AA Corps revêtu de poils squamiformes fauves. . . . . . . . . 3.4 feroculus.

1. A. MANNERHEIMI. — Cann. Monogr., t. 1, p. 166, pl. HI, fig. 4.

2. A. CUNICULUS. — Subovalis, niger, opacus; fronte depressa,
canaliculata; prothorace concavo, tuberculato, tuberculis basa-
libus haud umbilicatis, convexis, nitidis; elytris gibbosis, bre-
vibus, fortiter punctatis, tuberculis penicillatis, utrinque postice
flavo-maculatis.

Long. 5 mill., lat. 2 ‘}, mill.

Semblable au précédent par la forme générale, mais différent
par quelques détails qu'il suffira de mentionner. Les tubercules
de la base du prothorax, qui sont creusés et en forme de ven-
touse au sommet chez le Mannerheïmi, sont ici lisses et bombés.
Les élytres sont plus gibbeuses , plus fortement ponetuées et sont
ornées, vers l'extrémité, d'une petite tache formée d'’écailles jau-
nâtres au lieu d’une ligne transversale blanche.

Singapore.

Trouvé par M. Wallace. (Coll. Jans.)

9. À. FEROCULUS. — Niger, squamulis fulvis pilisque erectis
nigris obductus; prothorace transverso, lateribus antice lobato;
elytris convexis, brunneo-bifasciculatis, postice albo-quitatis.

Long. 6 mill., lat. 2 1}, mill.

(106 )

Un peu plus grand que les précédents. Noir, revêtu de squa-
mules fauves et de poils brun-noir redressés, les élytres parées
vers le sommet de quelques petites taches formées par des
écailles blanches. Front déprimé, concave en avant. Prothorax
transversal, concave en arrière, élevé transversalement en avant,
ses côtés élevés en lobes arrondis dans leur partie antérieure, sa
surface très-ponctuée, ses angles postérieurs aigus au bout.
Élytres courtes, de la largeur du prothorax, très-convexes, très-
ponctuées, présentant vers la base deux tubercules formés par
des crins brunâtres, redressés et condensés.

Sumatra. :

Trouvé par M. Wallace. (Coll. Jans.)

4. À. Mounori. — Niger, fere opacus; prothorace longitudine
haud latiore, concavo, basin versus coarctato, lateribus antice
lobato , lobis angulatis; elytris gibbis, penicillatis et postice albo
quitatis.

Long. 5 mill., lat, 2 1}, mill.

Noir, presque mat, revêtu peu densément de poils squami-
formes, les uns brun plus ou moins obseur et couchés, les autres
noirs et redressés, les élytres marquées vers le sommet de quel-
ques petites taches formées par des écailles blanches. Prothorax
aussi large que long, un peu rétréci en arrière, concave dans
son ensemble avec le milieu du disque un peu élevé, ponetué,
ses côtés fortement relevés en avant et formant deux lobes angu-
leux. Élytres plus larges que le prothorax, bombées, courtes,
ponctuées, présentant deux faisceaux de erins noirs, rapprochés,
près de la suture, un peu en avant du milieu.

Siam ; Pechabury.

Trouvé par Mouhot. (Coll. Jans., W. Saund.)

Deux espèces de Ceylan décrites par Motschulski sous les
noms de Trachylacon fulvicollis et lobicollis appartiennent sans
doute à ce genre.

(107)

PERICUS.

Can. Monogr., t. 1, p. 167.

1. P. NITIDUS.. — Cann. Monoyr., t. 1, p. 167, pl. IL, fig. 20.

Hindoustan septentrional.

2. P. ruBIcuNDUS. — Oblongus , brunneus , nitidus, sparsim
villosulus ; prothorace gibboso, transverso, subtilissime late punc-

talo, angulis posticis lumidis ; elytris subsulcatis, humeris tumi-
dis ; corpore subtus rufo-ferrugineo.

Long. 6 mill., lat. 21/, mill.

Plus étroit que le précédent; il en diffère en outre par sa
teinte plus rougeàtre, son prothorax marqué de points larges et
à peine imprimés, ses élytres vaguement sillonnées. Je n'en ai
vu qu’un exemplaire, sans indication de patrie, dans la collec-
tion de M. Janson.

MYRMODES.

Can. Monogr., t. I, p. 168.

M. AKIDIFORMIS. — Can. Monogr., t. 1, p. 469, pl. IL, fig. 16.

Australie septentrionale : Raffle-bay.

TILOTARSUS. -
GErmar. Zeischr., t. Il, p. 247. — CanD. Monogr. t. 1, p. 170.

I. — Angles antérieurs du prothorax émoussés ou médiocrement aigus.

A Pas de tubercules sur le prothorax.
a Élytres terminées chacune par une pointe plus ou moins aiguë.
4. T. cinctipes. 2. T. major. 3. T. mucoreus.
aa Élytres n'offrant pas de dent à leur extrémité.

æ Des taches argentées sur le corps . . . . . . . . . 5. T. albisparsus.
æ Pas de taches argentées.
* Prothorax fortement rétréci à la base . . . . . . . 6. T.soleatus.

** Prothorax peu rétréei à la base.

( 108 )

X Peu à peu rétréci d’arrière en avant . . . . . . 5. T.rugatus.
XX Arqué sur les côtés: . . . . . . . . . . . 43. T. simplex.
AA Deux tubercules sur le prothorax.
a Deux tubercules à la base des élytres
aa Pas de tubercules à la base des élytres.
æ Des taches grises formées par la vestiture. . . . . . 6. T.nubilus.
co, Brunâtres avec des écailles disséminées fauves . 4. T. fulvisparsus.

=
to

19. T. tuberculatus.

=

IT. — Angles antérieurs du prothorax spiniformes.

8. T. cuspidatus. 9. T. hastatus. 10. T. aculeatus.
1. T. CINCTIPES. — Grrm. Zeitschr., t. II, p. 248.
T. cuspidatus. — Cano. Monogr., t. 1, p. 171, pl. IE, fig. 21 (*).
Madagascar.
2. T. MAJOR. — Cann. Monogr., t. 1, p. 172.
Madagascar.

9. T. MUCOREUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 175.

Madagascar.

4. T. ALBISPARSUS. — Cann. Monogr., t. L. p. 174.

Madagascar.

D. T. RUGATUS. — Cann. Monogr., t. 1; p. 174.

Madagascar.

6. T. NUBILUS. — Cann. Monogr,, t. 1, p. 175.

Guinée.

7. T. SOLEATUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 176.

Guinée.

8. T. CUSPIDATUS. — Kiuc, {ns. Madag., p. 66, tab. IL, fig. 5. —
T. Boïeldieui. — Cann. Monogr., t. 1, p. 176.

Madagascar.

(') Par suite d’une confusion dans l'étiquetage des spécimens typiques qui
m'ont été autrefois communiqués par Schaum, j'ai commis l’erreur de syno-
nymie qui est relevée ici.

( 109 )
9. TT. HASTATUS. — Canp. Monogr., t. I, p. 177.

Madagascar.

10. T. AGULEATUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 178, pl. IL, fig. 22.

Madagascar.

11. T. ruzvisparsus. — Fusco - brunneus, opacus, fusco-
squamulosus, squamulis fulvis irroratus ; prothorace latitudini
longitudine æquali, antice arcuatim dilatato, convexo, subtuber-
culato, angulis posticis acutis ; elytris striato-punctatis.

Long. 10 mill., lat. 5 mill.

Brunâtre, opaque, revêtu de squamules de même couleur et
d'autres éparses, d’un fauve doré. Prothorax aussi long que
large, arqué sur les côtés qui sont crénelés, assez bombé, densé-
ment ponctué, portant deux tubercules peu prononcés au milieu
du disque, ses angles antérieurs un peu avancés, obtus au bout,
ses postérieurs presque droits et acuminés. Écusson chargé de
poils squamiformes jaunes, au sommet. Élytres de la largeur du
prothorax, un peu élargies vers le millieu, convexes, finement
striées-ponctuées. Flanes du prothorax portant une impression
au lieu de sillon tarsal.

Gabon. (Coll. Jans.)

12. T. TUBERCULATUS. — Fusco-brunneus, fere opacus, squa-
mulis ferrugineis tectus; prothorace longitudine latiore, apice
subito angustato, punctato, bituberculato, angulis posticis acutis ;
elytris dorso depressis, basin tuberculatis, striato-punctatis.

Long. 15 mill., lat. 4 mill.

Brunûtre, peu luisant, recouvert d’écailles ferrugineuses assez
grandes. Front concave. Prothorax plus large que long, brusque-
ment rétréei au sommet, presque droit et parallèle et subcré-
nelés sur les côtés, ponctué, portant au milieu du disque deux

forts tubercules rapprochés, ses angles antérieurs un peu avancés,
” brièvement tronqués au bout, les postérieurs acuminés. Élytres

(10 )

de la largeur du prothorax, peu atténuées en arrière, déprimées
dans la région suturale, striées-ponctuées, les points gros, les
intervalles finement ponctués, portant en arrière de l’écusson
deux tubercules espacés. Flanes du prothorax présentant une
impression assez large et profonde tenant lieu de sillon tarsal.

Benguela. (Coll. Jans.)

13. T. sIMPLEx. — Brunneus, opacus, brunneo-squamulosus,
squamulis cinereis irroratus; prothorace latitudini longitudine
æquali, lateribus arcualo, convexo, punctato, angulis posticis
subacutis; elytris convexis, slriato-punctatis; sulcis tarsorum
obsolelis.

Long. 91}, mill., lat. 2 ?/; mill.

Brun, opaque, revêtu de squamules de même couleur et
d’autres grises assez nombreuses, éparses. Prothorax aussi long
que large, un peu dilaté en avant du milieu, arqué sur les côtés,
convexe, ponctué, subsillonné en arrière, ses angles postérieurs,
aigus au bout avec leur bord latéral arqué. Étytres de la largeur
du prothorax, parallèles dans leur moitié antérieure, bombées,
striées-ponctuées, sillons tarsaux des flancs prothoraciques obso-
lètes. |

Gabon. (Coll. Jans.)

Pour suivre l’ordre adopté dans la Monographie, ici devrait
venir la tribu des Mélanactides. J'ai eru devoir supprimer cette
tribu, composée de genres ayant peu d’analogie entre eux et
dont le groupement m'a paru, après un examen plus attentif, tout
à fait artificiel. Des huit genres qui la constituaient, deux seuls
ont été conservés à cette place, ce sont les genres Aliteus et
Alaolacon, dont les rapports avec les Alaus sont ‘intimes. On
trouvera les autres plus loin, dans le voisinage des Pyrophorus
et des Corymbites , desquels ils se rapprochent davantage par leur
facies et l’ensemble de leurs caractères.

(411)

Je ferai observer, à ce propos, et je reviendrai encore sur cette
remarque que je erois importante dans la classification des Élaté-
rides, que les genres Pyrophorus et Corymbites que je viens de
citer ont des affinités non moins étroites avec la plupart de ceux
qui vont suivre, que les Dicrépidites, qui viennent immédiate-
ment après. Mais dans l'impossibilité de faire marcher les groupes
parallèlement , il a bien fallu abandonner les Corymbites et les
genres qui ont avec eux des rapports étroits pour suivre jusqu’au
bout les Élatérides à front caréné ; il en résulte que ceux-là ont
été reportés fort loin, bien que quelques-uns d’entre eux eussent
été bien placés à la suite des Alaites, Oxynoptérites , etc.

TRIBU II.

AM A RES

—S-——

Cette tribu correspond aux anciens Hémirhipides. J'en ai
changé la dénomination parce que le genre Alaus, par le nombre
des espèces qui le compose et sa distribution géographique très-
étendue, m'en parait le véritable type.

Les premiers genres de ce groupe ont de grands rapports avec
les À grypnites. Outre la brièveté des antennes, la forme du front,
des tarses, ete., ils ont en effet comme eux cette vestiture écail-
leuse qui, à part les Chalcolépidiites, ne se retrouve plus guère
plus loin. D'autre part, comme je l'ai dit tout à l'heure, ils se
relient aux Pyrophorites et aux Corymbitites.

Le dernier genre au contraire, les Hemirhipus et les Tetrigus,
conduisent directement aux Aphanobius et aux Ludius. On voit
que cette tribu, qui me paraît très-naturelle, bien qu’elle ne
possède pas de caractères exclusifs très-tranchés, a des affinités
multiples.

EUPHEMUS.
Casr. Sub. Rev. entom. IV, 7.
1. E. QUADRIMACULATUS. — Faer. Entom. Syst., t.WE, p.248, pl. XIII. —
Cano. Monogr., t. 1, p. 202, pl. IV, fig. 4.
Sénégal.
2. E. FUNERARIUS. — Berroz. Mem. Act. Bologn., sér. 2, t. IV, p. 544,
fig. 4.

Inhambane.

(113)

EUMOEUS.

Front concave, dépourvu de carène proprement dite en avant;
mandibules presque simples; dernier article des palpes subtrian-
gulaire.

Antennes très-courtes, de douze articles, le premier grand,
grossissant graduellement depuis la base jusqu'au sommet, le
second très-court, les dix autres (°) portant chacun deux lamelles
quatre fois plus longues que l’article lui-même.

Prosternum lobé et mucroné, les sutures latérales courbes, non
creusées en Canaux.

Fossette mésosternale à bords non saillants et déelives.

Hanches postérieures étroites, graduellement rétrécies de
dedans en dehors.

Pattes de longueur moyenne; tarses assez courts, simples,
comprimés.

A part quelques différences de peu de valeur dans les parties
de la bouche, ce genre a beaucoup de rapport avec les Alaolacon.
Il en diffère par la double pectination des antennes chez les
mâles , caractère qu'il partage avec les Euphemus dont on le
distinguera facilement par l'absence de canaux sur les sutures
prosternales.

J'ai établi ce genre sur l'espèce suivante dont je ne connais
qu'un individu & communiqué par mon ami A. Murray.

E. Murray. — Fusco-brunneus, parum nilidus, pilosulus ;
antennis ferrugineis; prothorace subquadrato, parum convexo,
crebre fortiterque punctato, quadrifossulato ; elytris depressis,
a basi attenuatis, punctato-striatis.

Long. 15 mill., lat. 41}, mill.

Assez déprimé, brun, presque mat, revêtu de poils peu denses
et d’un brun fulvescent, peu apparents. Antennes ferrugineuses.
Front concave, très-ponctué. Prothorax de forme carrée, un peu
plus large que long, peu convexe, fortement ponctué, marqué

de quatre fossettes sur le disque et d’une ligne longitudinale
8

(414)

médiane raccourcie, ses angles postérieurs courts, faiblement
recourbés en dehors, carénés, la carène prolongée en avant
en forme de pli. Élytres de la largeur du prothorax, peu allon-
gées, atténuées en arrière, profondément ponctuées-striées. Des-
sous et pattes d’un brun rouge.

Madras.
ALAOLACON.
Canv. — Mém. Acad. Belg., 1865, p. 15.

1. À. CYANIPENNIS. — Canp., loc. cit, p. 15.

Presqu'ile malaise.

2. A. GRISEUS. — Fuscus, sordide griseo-pilosulus; antennis fer-
rugineis, brevissimis ; prothorace quadrato, parum convexo, f[or-
tiler punctato; elytris depressis, profunde punctato-striatis.

Long. 45 mill., lat. 4 mill.

Noirâtre, peu luisant, revêtu de poils d’un gris sale. Antennes
ferrugineuses, plus courtes que la moitié du prothorax, le troi-
sième article assez grand, triangulaire, les suivants décroissant
graduellement. Prothorax de forme carrée, assez aplati, densément
et fortement ponctué, ses angles postérieurs courts dirigés en
arrière, portant une carène qui se prolonge assez loin en avant
en se transformant en pli. Écusson plat, à côtés parallèles en
avant, arrondis en arrière. Élytres déprimées, parallèles, assez
profondément ponetuées-striées , les intervalles légèrement con-
vexes et marqués de quelques points fins. Métathorax, abdomen
et pattes d’un brun ferrugineux.

Bangkok. (Coll. Castelnau.)

Cet Élatéride a de grands rapports de forme, d'aspect et de
caractères avec l’'Eumœus Murrayi décrit plus haut. Au premier
abord, j'étais même tenté d’y voir la femelle de cette dernière
espèce, mais en y regardant de plus près, j'ai reconnu des
différences manifestement spécifiques. Il ne serait pas impossible

(115)

que nous ne connussions que des femelles d’A laolacon, dont les
mâles, encore ignorés, auraient les antennes biflabellées ; en ce
cas ces deux genres devraient être réunis.

CTENICERA.
Larr. Règne animal, t. I (Ed. 5), 1817, p. 405.
1. C. NoBiLis. — Ie. Wiedem. Arch., t. 1, 2, p. 116. — Cann.
Monogr., t. 1, p. 204.
Madagascar.
2. C. INSIGNIS. — Kiuc, ns. Madag., p. 66. — Cann. Monogr., t. I,
p. 205, pl. V, fig. 5.

Madagascar.

3. C. LUGUBRIS. — Canr. Monogr., t. 1, p. 206, pl. V, fig. 4.
Mozambique.
LYCOREUS.

Canp. Monogr., t. I, p. 206.

1. L. MADAGASCARIENSIS. — Gorv, Ann. Soc. Fr, t. |, p. 385, pl. XIE,
fig. 2. — Canv. Monogr., t. I, p. 208.

Madagascar.

2. L. DUX. — Cann. Monogr., t. 1, p. 208.

Madagascar.

3. L. REGALIS. — Can. Monogr. t. 1, p. 209.

Madagascar.

4. L. GOUDOTIL. — Casr. Sid. Rev., t. IV, p. 9. — Can. Monogr.,
tip 209 pl IV, fs 2:

Madagascar.

5. L. TRIOGELLATUS. — Casr. Sitb. Rev., t. IV, p. 8. — Can. Mo-
nogr., t. 1, p. 210, pl. IV, fig. 1.

Madagascar.

(116)

6. L. cyccops. — Niger, flavescenti nigroque tomento varie-
gatus ; prothorace longitrorsum validissime carinato, carina nuda,
plaga rotundata nigra, velutina, flavo cincta, ornato; elytris
postice atlenuatis, macula triangulari nigra velutina notatis.

Long. 55 mill., lat. 41 mill.

Canp. Mém. Acad. Belg., t. XVII, p. 14, 1865.

Noir, revêtu d’une tomentosité d’un flave clair entremélée de
taches noires, le prothorax orné au milieu d’une tache ronde,
veloutée, noire, entourée par deux cercles concentriques de poils
flaves séparés entre eux par un étroit espace dénudé, les élytres
présentant, chacune au delà du milieu, une grande tache trian-
gulaire oblique, noire, veloutée, également bordée de poils
flaves, et vers le sommet des raies noires sur un fond flave.
Prothorax plus long que large, curvilinéairement rétréei au som-
met, déprimé sur les côtés, portant au milieu une très-forte
carène longitudinale dénudée, ses angles postérieurs divergents,
aplatis, obsolètement carénés. Élytres courtes, sillonnées, forte-
ment atténuées à partir du tiers antérieur, paraissant tronquées
au bout. Dessous et pattes revêtus de poils flaves, les tarses
noirs.

Madagascar.

Les taches triangulaires des élytres ne permettront pas de
confondre cette espèce avec aucune autre, si ce n’est avec le
triocellatus qui présente le même caractère; mais chez le cyclops
la tache noire du prothorax est ronde, tandis qu’elle est ovale
chez l’autre; en outre la carène, qui la coupe longitudinalement,
est ici beaucoup plus élevée et ne porte pas de poils flaves.

Elle fait partie de la collection de M. de Mniszech.

ALITEUS.
CanD. Monogr., t. 1, p. 497.

4. A. REICHEI. — Can. Monogr., t. 1, p. 497, pl. IL, fig. 1.
Cap de Bonne-Espérance.

(117)

2. A. ADSPERSUS. — Herssr, Col, t. X, p. 12, pl. CLIX, fig. 6-
Canp. Monogr., t. 1, p. 198, pl. II, fig. 10.

Cap de Bonne-Espérance.

ALAUS.

(Escus). Can. Monogr., t. [, p. 211.

Les espèces de ce beau genre se sont accrues, dans ces der-
nières années, de nombreuses nouveautés découvertes par Mouhot
et M. Wallace dans la presqu'’ile transgangétique, les iles Malaises
et la Nouvelle-Guinée. L'Afrique et l'Australie ont apporté égale-
ment leur contingent, en sorte que cette coupe générique est
plus que doublée ieï.

Peu satisfait des sections que j'y avais primitivement établies,
j'ai cherché à en créer d'autres sur de nouvelles bases. Les formes
variables de la fossette mésosternale m'avaient paru, au premier
abord, répondre à ce but, mais après beaucoup de tàtonnements,
j'ai dû y renoncer. Ces formes passent, en effet, insensiblement
de l’une à l’autre et elles créent des rapprochements qui, d'autre
part, rompent des analogies évidentes.

Après de nombreux et infructueux essais, j'ai pris le parti,
comme je l'ai déjà fait pour les Agrypnus et les Lacon, de dis-
poser les espèces d’après leur distribution géographique, arran-
gement qui m'ale plus satisfait. Je les ai donc réparties dans les
cinq sections suivantes :

1° Espèces africaines.

2° Espèces indiennes : comprenant celles d'Europe, du conti-
nent indien, du Japon, des Philippines, de la Malaisie, des
Moluques et de la Nouvelle-Guinée.

3° Espèces australiennes : renfermant celles du continent
austral.

4° Espèces polynésiennes : celles des iles situées à l’est de
l'Australie et de la Nouvelle-Guinée.

9° Espèces américaines.

(118)

À propos de cette dernière section, je ferai observer que je
la forme avec les espèces, sauf une (!), de mon genre Calais,
que je supprime.

Basé, en effet, sur l'absence des canaux protoraciques au
prosternum, le genre Calais ne me parait plus suffisamment
justifié en présence d’autres caractères qui l'unissent étroitement
aux Alaus de l’ancien continent. D'autre part, quelques espèces
nouvellement introduites parmi ces derniers ont les mêmes
canaux tellement réduits, qu'il devient évident qu'ici ce caractère,
parfois important, perd beaucoup de sa valeur.

Parmi les espèces polynésiennes, il en est une chez laquelle le
mésosternum affecte la forme caractéristique que l’on observe
chez les Chalcolépidiites. Cette espèce, toutefois, se relie si étroite-
ment, sous d’autres rapports, avec plusieurs Alaus des mêmes
régions, que je l'ai laissée, par exception, dans ce genre. C'est
une forme de transition comme on en voit partout.

A. — GROUPE AFRICAIN.

A Écusson court, échancré en avant ou formant deux plans, la
partie antérieure plus inclinée que l’autre.
a Élytres échancrées ou tronquées au bout, l'angle sutural

mucroné.
æ Prothorax longitudinalement canaliculé. 1. 4. excavatus.—2. À. elegantulus.

co. Prothorax non canaliculé.

* Pas de fascies noires sur les élytres . . . . . . . 3. À. rudis.
** Des fascies noires sur les élytres . . . . . . . . 13. À. atropos.
aa Élytres conjointement arrondies au bout.
œ Un tubercule à la base du prothorax devant l’écusson . . 4. 4. mœærens.
2. Pas de tubercule à la base du prothorax.
* Élytres noires avec deux fascies blanches . . . . . 6. À. tortrix.
** Élytres sans fascies blanches.
X Côtés du prothorax sinueux . . . . . . . . T. À. sinuosicollis.
X%X Côtés du prothorax non sinueux . . . . . . . 5. 4. cerberus.

AA Écusson oblong , déclive, ne formant qu'un plan.
a Corps linéaire et subcylindrique; élytres tronquées au bout.
æ Deux fossettes sur le prothorax. . . . . . . . . . 10. À. hierogliphicus.
æx Pas de fossettes sur le prothorax. . . . . . . . . 9. À. Mniszechi.
aa Corps plus ou moins aplati.

(*) Calais ophlalmica, qui est un véritable Pyrophorite.

(119)

œ Élytres entières au bout; prothorax plus long que large.
* Ses bords à peu près droits et parallèles . . . . . 12. 4. caffer.
** Ses bords arqués.
X Ses angles postérieurs carénés dans ieur milieu. . 40. 4. marmoratus.
XX Ses angles postérieurs carénés près de leur bord u
CXIERNEC NE . . . 8. À. detritus.
æx Élytres tronquées ; at an aussi Mae je ie . . . 14 À. Candezei.

2. — GROUPE INDIEN.

A Écusson court, échancré en avant ou formant deux plans.
AGONPSS LATE EEE . . . 45. 4. Westermanni.
aa Corps revêtu de nes ou te is nn
æ Surface du prothorax unie.
* Squamules blanches, cendrées ou grises.
X Mésosternum horizontal.
+ Blanc avec des taches noires.

o Élytres sillonnées . . . . . . . . . 93. 4. appendiculatus.
oo Élytres non sillonnées . . . . . . . . 46. 4. speciosus.
++ Blanc sale avec des taches brunes. . . . . 47. A. podargus.
>XCX Mésosternum déclive.
+ Bords latéraux du prothorax sinueux . . . 48. 4. Senecterei.
++ Bords latéraux du prothorax courbes.
OMVESTIUTEMDIANCIE ER TOP AEN TO CtenS:
00 Vestiture cendré grisâtre . . . . . . . 20. 4. lophura.
** Squamules jaunes . . . . «+ . . . … . 22. A. Vollenhoveni.
æo Surface de prothorax comme ane one atote RL ACCENTS,

AA Écusson oblong, déclive, généralement pentagonal, ne formant
qu'un plan.
a Élytres entières et arrondies au bout.
æ Élytres deux fois au moins plus longues que le prothorax.
* Deux taches arrondies noires sur le prothorax. . . . 24. À. Parreysi.
++ Deux points noirs peu apparents sur le prothorax.
X Intervalles des stries des élytres un peu convexes . 95. 4. berus.

XX Intervalles plats. . . . . . 94. À. anguis.
æœ Élytres moins de deux fois plus ce ae le te
* Prothorax caréné longitudinalement au milieu. . . . 46. 4. lynceus.
** Prothorax égal en dessus . . . CAT An anus.

aa Élytres tronquées ou échancrées au dos
œ Élytres présentant à la base deux tubercules ou deux crêtes
longitudinales placées ou se prolongeant en arrière de
l’écusson.
* Deux tubercules.
X Prothorax largement déprimé de chaque côté.
+ Tubercules placés sur le même plan que la

pointe de l'écusson. . . . . . . . . 81. À. musivalus.
++ Tubercules placés sur un ex postérieur à
l'écusson . . . 00. A. cerastes:

XX Prothorax bomhé, ses côtés done

(120 )

+ Dessus tacheté et varié de diverses teintes.
o Antennes noires.

c Prothorax plus large que long. . . . . 30. À. figuratus.
cc Protorax plus long que large . . . . . 35. 4. Boreli.
oo Antennes brun clair. . . . . . «+ . 40. À. scops.
++ Noir, parfois le pourtour du SRE et la
base des élytres jaunes. . . . . . . . 88. À. regalis.

*+ Deux crêtes longitudinales.
X Ces crêtes arrivant en avant jusqu'à la base des
ÉytESs "_ 0. 59. Arrobliquus:
XX Ces crêtes courtes.
+ Une grande tache latérale triangulaire sur
chaque élytre . . . . . . . . =. . 54. À. infumatus.
+-+ Pas de taches triangulaires sur des élytres . 55. 4. angularis.
ax Élytres plus ou moins inégales à la base, mais ne présen-
tant pas de tubercules ou de crêtes en arrière de
l'écusson.
* Prothorax sans carène longitudinale médiane.
X Une tache latérale brune ou noire bien limitée et
tranchant nettement sur le fond vers le milieu
des élytres.
+ Prothorax aussi large, ou à peu près, que long.
o Prothorax un peu inégal en dessus, corps
très-varié en couleur. . . . . . . . 39. A. caprimulgus.
00 Prothorax régulièrement bombé. . . . . 42. À. timoriensis.
++ Prothorax allongé.
o Écusson pentagonal acuminé en arrière. :
c Tache des élytres entièrement noire . . 44. 4. Rosenbergi.
ce Tache des élytres brune, bordée de noir
en arrière . . . . . . . . . . 45. 4. lateralis.
oo Écusson non acuminé en arrière. . . . . 43. A. scytale.
XX Tache latérale des élytres déchiquetée et ramifiée,
ou diffuse et peu apparente, ou nulle.
+ Points des stries des élytrestrès-gros en arrière
du calus huméral. :
o Une petite carène transversale vers la base
du prothorax, en avant de l’écusson.
x Noir avec une multitude de taches jaunes. 28. 4. sordidus.
xx Grisâtre avec des taches nébuleuses

brunes. . . . AE . . 26. À. nubilus.
oo Pas de carène ane vers la Die du
prothorax. . . . . . . . . . . . 31. À. maculosus.

+-+ Points des stries des élytres seulement un peu
plus forts que les autres en arrière du calus
huméral.
o Prothorax plus large que long, très-bombé. 29. 4. Zactellus.
00 Prothorax aussi ou plus long que large.
x Intervalles des stries des élytres convexes. 32. À. cenchris.
xx Intervalles plats, les impairs seuls parfois
un peu convexes.

(121)

y Deux taches noires sur les élytres der-
rière l'écusson et contigu à lui. . . 38.
yy Pas de taches noires derrière l'écusson. 41.
** Prothorax longitudinalement caréné au milieu, ses côtés
déclives à partir de la ligne médiane.
X Un simple trait obscur vers le milieu des élytres
BRéSIQu Dora ral EEE VAS
XX Une tache en ce point.
+ Prothorax sans taches ni traits noirs. . . . 21.
++ Prothorax avec deux taches ou des traits noirs.
o Un dessin noir, formé de lignes contournées. 51.
oo Deux petites taches noires.
x Tous les intervalles des stries convexes . 50.
xx Intervalles plats.
y Téguments noirâtres indépendamment

de la vestiture . . . . . . . . 49.
yy Téguments bruns . . . . . . . . 52.

+ — GROUPE AUSTRALIEN.

A Élytres entières au sommet.
a Taille très-grande (50 mill.).
æ Intervalles des stries des élytres inégalement élevés . . 56.
œo Intervalles égaux et plats. . . . . . . . . . . . 5.
aa Taille moyenne ou petite (25 mill. au plus).
æ Fond de la vestiture de couleur obscure.
* Antennes brunes. . . . . . . . . . . . . . O0.
*+k Antennes noires.
X Une bande oblique noire au milieu des élytres . . 63.

XX Une tache latérale noire sur les élytres. . . . . 62.
ææ Fond de la vestiture blanc . . . . . . . . . . . Où.

AA Élytres tronquées ou échancrées au bout.
a Simplement tronquées avec l'angle externe de la troncature

APE ON EEE ee EI MU NE NRA DE NC.

aa Échancrées avec l'angle externe aigu.
æ Élytres normalement déclives vers la base, vestiture de

couleur variée . . . . . . . ST De en Nc E

aa Élytres brusquement déclives à la base.

* Prothorax un peu plus long que large. . . . . . .G4.

#* Prothorax aussi large que long . . . . . . . . . 59.

4. — GROUPE POLYNÉSIEN.

A Intervalles des stries inégalement élevés . . . .: . . . . 66.

AA Intervalles égaux en hauteur.

a Une crête longitudinale à la base de chaque élytre. . . . 67.
aa Une crête oblique au même point. . . . . . 168:

PSS

. elaps.
. nebulosus.

. putridus.
. Mmortuus.
. Tisiphone.
. larvatus.

. ETYX.
. haje.

. gigas.
. Mac Leayi.

. funereus.
. melancholicus.

. funebris.
. pumilus.

. suboculatus.

. Gibboni.

. sericeus.
. prosectus.

. farinosus.

. Montraveli.
. Cristatus.

(12)

5. — GROUPE AMÉRICAIN.

A Pas de taches ocellées sur le prothorax.
a Jaune avec des taches noires . . . . . . . . . . . 69. À. tricolor.
aa Brunâtre ou blanc et noir.
æ Élytres échancrées au bout.
* Des fossettes sur le prothorax.

SOMDEUXNOS SEE EP CT CC TO DIIISE
SCX Quatre fossettes. …: à: à : … + … . . . . 72. À. primanius.
** Pas de fossette sur le prothorax. . . . . . . . . 71. 4. patricius.
co, Élytres entières au bout.
* Antennes simples dans les deux sexes. . . . . . . 13. À plebejus.
** Antennes pectinées chez le mâle.
X Écusson échancrée au bout . . . . . . . . . 74. À. Nietoi.
XX Écusson entier au bout . . . . . . . . . . 15. À. glaucus.

AA Des taches ocellées sur le prothorax.
a Ces taches arrondies . . Dream Re ee COIN A AULIS CLOUS"
aa Ces taches oblongues.
a Grandes.

* Largement cerclées de blane . . . . . . . . . . 76. À. oculatus.
** Étroitement cerclées de blane . . . . . . . . ."18. À. melanops.
GAP LNES ENNEMIS SERRE ST OPA On Se

1 — GROUPE AFRICAIN-

T. A. EXCAVATUS. — Far, System. Eleuth., t. A, p. 250. —
A. senegalensis. Can. Monogr., t. E, p. 220, pl. IV, fig. 14.

Sénégal, Haute-Égypte, Cafrerie , etc.

2. A. ELEGANTULUS. — Canon. Monogr., 1. 1, p. 220.
Guinée.

3. À. RUDIS. Cao. Monogr., t. I, p. 221.

Cafrerie.

%. À. MOERENS. —- Germ. Zeilschr., t. IL, p. 254. — Canv. Monogr.,
tp 229 plie Are

Cafrerie et Cap.

(123)

5. À. cERBERUS. — Niger, squamulis albido-cinereis dense
vestitus, maculis nigris trroratus; prothorace latitudine paulo
longiore, lateribus subparallelo, æqualiter convexo, angulis pos-
ticis- abrupte divaricatis, carinatis; elytris thoracis latitudine,
haud duplo longioribus, apice integris, punctato-substriatis.

Long. 20 mill., lat, 6 1}, mill.

Noir, revêtu densément de poils squamiformes d'un cendré
blanchâtre avec quelques petites taches noires, irrégulières,
disséminées sur le prothorax et les élytres , parmi lesquelles une
plus grande vers le milieu du bord latéral de ces dernières.
Prothorax un peu plus long que large, les bords latéraux faible-
ment arqués et subparallèles, son disque assez fortement et
régulièrement convexe, semé de points d'imégale grosseur visi-
bles seulement là où la vestiture est enlevée, les plus petits don-
nant naissance aux écailles cendrées, les plus gros, disséminés,
aux écailles noires, sans tubercule au milieu du bord postérieur,
les angles correspondants brusquement divergents, carénés.
Écusson subrectangulaire, sa moitié postérieure plus élevée que
l’antérieure. Élytres de la largeur du prothorax, moins de deux
fois plus longues, arrondies, entières au bout, finement ponc-
tuées-striées, dessous et pattes uniformément revêtus d'une
couche dense de poils subsquamiformes d’un cendré blanchâtre.

* Dahomey.
Collection de M. Perroud, de Lyon.

6: A. ToRTRIx. — Elongatus niger, squamulis nigris albi-
disque vestitus; prothorace latitudine longiore, convexo, punc-
talo, lateribus subsinuato; elytris punctato-striatis, fascus
duabus albis, apice integris.

Long. 55 mill., lat. 9 mill.
Allongé, noir, revêtu de très-petites squamules noires et

blanches, les premières constituant la couleur du fond, les
secondes disposées par grandes taches sur les côtés du prothorax

( 124 )

et formant deux larges fascies sur les élytres où elles couvrent
également l'angle scutellaire. Antennes fortement dentées en
scie (9°). Prothorax plus long que large, rétréci en avant avec
ses côtés un peu arqués et subsinueux, convexe, assez densé-
ment ponctué, ses angles postérieurs divergents et carénés.
Écusson oblong, sa moitié antérieure formant un plan plus
incliné que sa moitié postérieure. Élytres allongées, atténuées
en arrière, entières et conjointement arrondies au bout, l'angle
sutural un peu saillant, ponctuées-striées, les intervalles un peu
convexes en arrière. Dessous maculé de blane comme le dessus.

Natal.

Le seul exemplaire que j'aie vu et qui fait partie de la collection
de M. Janson est défloré, en sorte que je n'ai pu déterminer
plus exactement que je ne le dis ci-dessus la disposition des
couleurs. Outre celle-ci, du reste, qui est assez caractéristique,
la forme plus allongée du prothorax le distingue du moerens.

7. A. SINUOSICOLLIS. — Casr. in Sizserm. Rev., t. IV, p. 9 —
Canp. Monogr., t. 1, p. 222.

Sénégal; Guinée.

8. À. DETRITUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 224.

Natal.

9. A. MNISZECHI. — Can. Monogr., t. 1, p. 224, pl. IV, fig. 15.
Sénégal ; Guinée.

10. À. HIEROGLYPHICUS. — Canp. Monogr., t. 1, p. 225.
Sénégal.

11. À. MARMORATUS. — Canp. Monogr., t. 1, p. 226, pl. IV, fig. 12.

Sénégal.

12. À. CAFFER. — Bouem. ns. Caffr., t., I, p. 390. — Cann
Monogr., t. 1, p. 227.

(1%)

15. A. aTRopos. — Scutello plano, oblongo quadrato, elytro-
rum angulo suturali submucronato ; infra niger, supra rufo-
brunneus, flavescenti-tomentosus, prothoracis disco denudato;
hujus maculis duabus ovatis, elytrorumque fasciis duabus,
altera post medium, altera ante apicem sita, atro tomentostis.

Long. 18 mill (Q).

Gersrasrer. Beitr. zur Insekt. Fauna v. Zanzibar, part. II, 1871, p. 55.

Zanzibar; See Jipe.

14. A. CaNDEZEI. — Fusco-niger, squamulis fuscis griseisque
variegatus; prothorace latitudine haud longiore, parum convexo,
basi apiceque angulato, angulis posticis divaricatis, carinatis;

elytris striis tenuibus fortiter punctatis, postice attenuatis, apice
truncatis.

Long. 29 mill., lat. 9 mill.
Mure. Ann. and Magaz. of Nat. Histor.
Calabar.

11, — GROUPE INDIEN-

15. A. WESTERMANNI. — Cao. Monogr., t. 1, p. 216, pl. IV, fig. 40.
Java.

16. A. SPECIOSUS. — Lin. System. Nat., t. IN, p. 652, 2. —— Canon,
Monogr., t. 1, p. 216.

Ceylan.

17. À. ponarGus. — Niger, squamulis oblongis cinereis brun-
neisque densissime tectus; prothorace latitudine vix longiore,

apice a medio leviter angustato; elytris apice truncatis, macula
laterali brunnea.

Long. 30 mill., lat. 40 mill.

Forme du speciosus mais plus petit, très-densément revêtu
- de squamules allongées, d’un blane brunâtre sale, parmi les-

(4% )

quelles d’autres, brunes, formant des points et de peutes taches
sur le corselet et les élytres et, sur ces dernières, une grande
tache latérale et une fascie interrompue vers le sommet. An-
tennes brunâtres. Prothorax un peu plus long que large, un peu
rétréci en avant à partir du milieu, convexe, densément et
inégalement ponctué, ce qui n’est visible que là où les écailles
sont enlevées, ses angles postérieurs divergents et carénés.
Écusson court, échancré et bidenté en avant, arrondi en
arrière. Élytres convexes, échancrées au bout, l’angle interne de
l'échancrure aigu, l’externe arrondi, légèrement strié, les
stries ponctuées, les intervalles plats, le troisième formant une
crête oblique vers la base. Dessous et pattes revêtus comme le:

dessus. Fossette mésosternale à bords courts, horizontaux,
élevés au niveau du métasternum, légèrement divergents.

Lucon. (Coll. Jans.)

18. A. SENECTEREI. — Canp. Monogr., t. 1, p. 217.
Dekkan.

19. A. LACTEUS. — Far. Syst. Eleuth., t. IT, p. 250, 44. — Can».
Monogr., t. 1, p. 218, pl. IV, fig. 9.

Bornéo; Sumatra.

90. A. copnHura. — Niger, pilis squamiformibus cervinis
cervino-cinnamomeisque confertissimis obductus, plagis minutis
fuscis albicantibusque adspersus ; prothorace latitudine sublon-
giore, disco inæquali, postice medio costuto; elytris brevibus,
apice emarginatis ; corpore Subtus albicante.

Long. 26-28 mill., lat. 40-11 mill.
Cann., Mém. Acad. Br., 1865, p. 15.

De la forme du lacteus à eôté duquel il doit être placé, mais
bien distinct par plusieurs caractères essentiels. Noir, très-densé-
ment recouvert de poils squamiformes courts, d’un gris Jaunâtre
plus ou moins clair, parsemé d’une multitude de petites taches
plus obscures et d’autres d’une teinte blanchâtre. Front exCcavé

en avant. Antennes très-courtes. Prothorax à peine plus long
que large, rétréei en avant à partir du milieu, son disque
inégal, impressionné, et présentant sur la ligne médiane une côte
large et de plus en plus forte à mesure qu'elle se rapproche de
la base, ses angles postérieurs divergents au bout et carénés.
Écusson arrondi, échancré et bidenté en avant. Élytres deux
fois plus longues que le prothorax, arquées sur les côtés depuis
la base, fortement échancrées à l'extrémité, portant à la base
une petite arête oblique limitant de chaque côté une large fossette
scutellaire, marquées de séries de points. Dessous du corps et
pattes recouverts d’un enduit écailleux blanchätre,

Cambodge; presqu'ile de Malacea et Bornéo.

21. À. SCULPTUS. — Wesrw. Cab. of or. Entom., p. 72, pl. XXXV,
fig. 8. — CanD. Monogr., t. 1, p. 219.

Hindoustan; Kasyah Hills.

22. A. VOLLENHOVENI. — Niger, pilis squamiformibus fulvis
confertissime obductus; prothorace latitudine longiore, lateribus
parallelo; punctis duobis nigris notato; elytris ultra medium
parallelis, apice truncatis ; macula media, rotundata, in utroque,
nigra; Subtus flavescenti squamosus.

Long. 26 mill., lat. 7 mill.

Canvo., Mém. Acad. Br., 1865, p. 14.

Noir, couvert de poils squamiformes d'un jaune fauve qui
masquent totalement la couleur du fond, le prothorax marqué
sur le disque de deux points noirs, les élytres présentant chacune
vers leur milieu une grande tache irrégulèrement arrondie,
noire, veloutée. Antennes courtes, noires. Front triangulairement
excavé. Prothorax un peu plus long que large, presque parallèle
sur les côtés, bombé, ses angles postérieurs divergents, vague-
ment carénés, le milieu du bord postérieur portant un tubercule
longitudinal. Écusson arrondi en arrière, profondément échancré
et bidenté en avant, concave. Élytres de la largeur du prothorax,

(128)

parallèles jusqu’au delà du milieu, tronquées au bout, submu-
cronées à l'angle apical, finement ponctuées-striées, les intervalles
très-faiblement convexes, le troisième uni au cinquième à la base
et y formant un faible tubercule. Dessous et pattes revêtus de
poils squamiformes blanchâtres.

Célèbes.

Cette belle espèce se trouve au Musée de Leyde et dans la
collection de M. Janson.

23. À. APPENDICULATUS.— Niger, pilis subsquamiformibus albis
tectus, nigro-maculatus et vittalus ; prothorace latitudine paulo
longiore, depresso, angulis posticis latis, divaricatis, carinatis ;
elytris sulcatis, interstitiis alternis elevalioribus, apice mucro-
natis; mesosterno prominente.

Long. 25-55 mill., lat. 7-10 mill.

Elater appendiculatus. Hers. Käf., t. X, p. 550, pl. CLVIT, fig. 9.
Elater farinosus. OL. Journ. Hist. nat., 1792, p. 265 ?

Entièrement revêtu de poils squamiformes assez allongés,
blancs, avec une tache médiane et des raies longitudinales noires
sur les élytres. Cette espèce ne ressemble à aucune autre et est
fort reconnaissable. Son écusson court, canaliculé, bidenté en
avant, son mésosternum à bords élevés le rapprochent davantage
des premières espèces de cette section que des dernières; sous
d’autres rapports il tient de près aux À laus polynésiens.

Céram et Amboine.

La description et la figure qu'Olivier donne de son E. fari-
nosus, qu'il indique comme de l'Afrique équinoxiale, se rap-
portent bien certainement à un Alaus et c’est à celui-ci qu'elles
conviennent le mieux, mais je n’ai aucune certitude à cet égard.

24. A. PARREYSI. — Srev. Bull. de Moscou, t. NH, pl. If, fig. 1. —
CanD. Monogr., t. 1, p. 2253.

Crimée, Asie Mineure orientale, Perse.

(129)

25. A. Berus. — Niger, pilis squamiformibus griseo-fuscis,
cinereis, nigrisque confertis, maculatim veslitus; prothorace
latitudine longiore, basin versus coarctato, angulis posticis divari-
catis, carinatis; elytris punctato-striatis, utrinque juxta scutellum
foveatis, apice integris.

Long. 22-50 mill., lat. 65/,-10 mill.
Cao. Mém. Acad. Brux., 1865, t. XVII, p. 15.

Noirâtre, densément revêtu de poils squamiformes grisâtres,
cendrés et noirs entremélés, les derniers formant une multitude
de petites taches, le ton général assez foncé. Antennes noires.
Front triangulairement impressionné en avant. Prothorax plus
long que large, rétréci vers la base, arqué sur les côtés, Inéga-
lement ponctué, longitudinalement élevé au milieu, biimpres-
sionné, ses angles postérieurs aplatis, très-divergents, carénés
le long de leur bord externe. Écusson très-incliné. Élytres eurvi-
linéairement rétrécies d’avant en arrière, profondément fovéolées
de chaque côté de l’écusson, la fovéole revêtue de squamules
noires, ponctuées-striées, les intervalles un peu convexes, surtout
les impairs, l’extrémité entière.

Dessous et pattes revêtus de squamules grises.

Japon méridional.

26. À. NUBILUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 250.
Java.

27. À. MORTUUS. — Taoms. Rev. Zoo!., 4856, p. 475, pl. XXIV,
fig. 4.

A. torquilla. — Canv. Monogr., t. J, p. 259.

Bornéo.

28. À. SORDIDUS. — Wesrw. Cab. of or. Entom., p. 72, pl. XXXWV,
fig. 9. — Can. Monogr., t. I, p. 251.

Ceylan.
9

(430)

99. A. LACTELLUS. — Fusco-niger, squamulis albidis cine-
reisque tectus, brunneo variegatus; prothorace tumido, nigro
bipunctato , latitudine haud longiore, lateribus arcuato, angulis,
posticis divaricatis, leviter carinatis; elytris convexis, brevibus,
strüis remote punctatis, apice truncatis; Subtus brunneus.

Long. 10-15 mill., lat. 5-5 mill.

Forme du lacteus, mais plus petit, et l’écusson autrement fait.
Brunâtre, revêtu densément d’écailles blanchâtres, les élytres
ornées de dessins nuageux bruns avec quelques petites taches
plus foncées, le prothorax piqueté et bipunetué de noirâtre.
Front assez grand, plat. Prothorax aussi large que long, arrondi
sur les côtés, très-bombé, ponctué, ses angles postérieurs plats,
divergents et faiblement carénés. Écusson ovale oblong, plat ,
déclive. Élytres courtes , très-bombées, atténuées au tiers pos-
térieur, échancrées au bout, marquées de lignes de points peu
serrés. Dessous et pattes revêtus d’écailles brunes.

Bornéo.

Un exemplaire de Sarawack, dans la collection Janson, prove-
nant des chasses de M. Wallace.

Un second, mesurant le minimum de la taille indiquée ci-
dessus, pris par M. Doria dans la même localité; de la collection
du Musée de Gênes.

90. A. FIGURATUS. — Fusco-niger, squamulis albidis, brunneis
fuscisque dense vestitus ; antennis nigris; prothorace longitudine
paulo latiore, antice paulo dilatato, convexo; angulis posticis
subdivaricatis, carinatis ; elytris brevibus, basi tuberculatis, apice
oblique emarginatis.

Long. 15 mill., lat. 5 mill.

De la forme également du lacteus et très-voisin du précédent,
dont il diffère surtout par ses élytres tuberculées à la base.
Brunètre, densément revêtu de squamules blanches brunes et
brun foncé, les premières disposées surtout à la partie antérieure

(151)

du prothorax, les secondes mêlées avec celles-ci pour former des
dessins nuageux, les troisièmes formant une tache transversale
près du bord antérieur et deux points sur le disque du prothorax
et quelques taches sur les élytres. Antennes noires. Prothorax
un peu plus large que long, très-bombé, ses angles postérieurs
un peu divergents, carénés, longitudinalement élevé au devant
de l’éeusson, élévation teintée de brun. Élytres courtes, bituber-
culeuses à la base, obliquement échancrées au bout, assez con-
vexes et striées-ponctuées. Dessous et pattes gris.

Java et Malacca. (Coll. Jans. Cand.)

91. À MACULOSUS. — Fuscus, squamulis minutis brunneis
flavisque variegatus ; fronte antrorsum concava; prothorace lati-
tudine longiore, lateribus parallelo, angulis posticis divaricatis,
carinalis; elytris striato-punctatis, apice oblique emarginatis.

Long. 25 mill., lat. 7 mill.

Forme du nubilus, mais beaucoup plus petit, le prothorax plus
allongé. Brunâtre, revêtu de petites écailles brunes parmi les-
quelles d’autres, plus petites encore, de couleur jaune, forment
une multitude de mouchetures plus ou moins confluentes. Front
concave en avant. Prothorax plus long que large, parallèle sur
les côtés en arrière, curvilinéairement rétréci au sommet, égal en
dessus, convexe, ponctué, ses angles postérieurs divergents et
carénés. Écusson ovale, placé dans une fossette assez profonde.
Élytres de la largeur du prothorax, atténuées à partir du tiers
antérieur, striées - ponctuées , présentant à la base un faible
tubereule entre l’épaule et l’écusson, leur sommet obliquement
échancré.

Bornéo : Sarawak.

Un seul exemplaire trouvé par M. Wallace et qui fait partie de
la collection de M. Janson.

92. À. CENCHRIS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 251.

Birmanie; Laos.

33. À. ELAPS. — Fusco-niger, squamulis minutis fuscis, cine-
reis, griseis pallidisque confertis, variegatus; prothorace latidu-
dine paulo longiore, valde convexo, angulis posticis divaricatis,
carinatis; elytris striato-punctatis, basi utrinque longitrorsum
elevatis, apice emarginalis; episterno villa denudata grosse
punctata.

Long. 18 mill., lat. 6 mill.

Petit et convexe, noirâtre , densément revêtu de squamules
allongées et piliformes grisâtres ou jaunâtres, parmi lesquelles de
petites taches de couleur claire et d’autres d'un noir brun forment
un dessin varié, les dernières figurant sur le prothorax deux
petites taches oblongues et, sur les élytres, deux petites taches
derrière l’écusson, deux taches latérales déchiquetées et mal
définies et une sorte de fascie ondulée et interrompue entre cette
tache et l'extrémité. Prothorax un peu plus long que large, plus
étroit à la base qu’au milieu, régulièrement arqué sur les côtés,
très-convexe, marqués de gros points inégalement distribués
entre lesquels on en remarque de plus petits (aux endroits
dénudés), les côtés présentant une légère impression arquée,
son milieu élevé vers la base, ses angles postérieurs divergents,
carénés. Élytres parallèles jusqu’au milieu, striées-ponctuées,
échancrées au bout, présentant entre l’écusson et l'épaule une
élevure longitudinale peu accusée. Flancs du prothorax présen-
tant une bande longitudinale médiane, dépourvue de squamules
et marquée de très-gros points.

Laos; Bornéo; Java.

Collections Jansôn, Saunders, Candèze et Musée de Leyde.
L'éxemplaire de cette dernière collection qui provient de la partie
orientale de Java (volcan Ardjoeno), est d’une teinte générale
plu sjaune que les autres.

54. À. ancuis. — Niger, pilis squamiformibus albidis dense
vestitus, fusco-variegatus; prothorace latitudine paulo longiore,
apice parum angustato, lateribus arcuato, valde convexo, postice

carina media, brevi, transversa; elytris ultra medium atlenuatis,
apice rotundatis, punctalo-striatis.

Long. 20 mill., lat. 6 mill.

Can. Mém. Acad. Brux., 1865, p. 15.

Subeylindrique, parallèle, noir, revêtu densément de poils
squamiformes, blancs, fuligineux et noirs, les premiers consti-
tuant le fond, les seconds formant des taches diffuses, plus
abondants vers la ligne médiane du prothorax, dans la région
médiane latérale et vers le sommet des élytres, les troisièmes
groupés en petites taches ou linéoles bien limitées et disposées
ainsi qu'il suit : des points disséminés sur Le prothorax parmi
lesquels deux discoïdaux plus grands, des linéoles vers la
partie moyenne des élytres entourant postérieurement la tache
fuligineuse située en cet endroit, enfin quatre petites taches
placées sur le bord externe à l'extrémité des mêmes organes.
Antennes très-courtes, obscures, les trois premiers articles seuls
portant des poils blanchâtres. Prothorax un peu plus long que
large, élargi dans son milieu, peu rétréci au sommet, arqué sur
les côtés, très-convexe dans les deux sens, couvert de points fins
parmi lesquels on en remarque de plus gros inégalement dissé-
minés, (ce qui ne peut se voir qu'aux endroits dénudés), portant
en arrière une petite carène transversale. Écusson en pentagone
allongé, plan, déclive. Élytres de la largeur du prothorax et
conservant cette largeur à peu près jusqu'au tiers postérieur,
curvilinéairement rétrécies à partir de ce point, arrondies au bout,
striées, les stries marquées de points espacés, les intervalles sub-
convexes. Dessous et pattes couverts de poils blanes et fuligi-
neux. |

Laos.

Collections de MM. de Mniszech et Janson.

99. À. BORELI. — Cano. Monogr., t. 1, p. 229.

Malaisie et Moluques.

(134)

56. À. CERASTES. — Fusco-niger, squamulis nigris, fuliginosis
pallidisque confertissime variegatus ; prothorace latitudine paulo
longiore; a medio angustato, depresso, medio longitrorsum,
elevato, angulis posticis carinatis, carina submarginali; elytris
basi tuberculis validis acutis, punctato-striatis, apice late emar-
ginato-truncatis.

Long. 20-28 mill., lat., 6 1/,-9.

Cano. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 16.

Voisin de l’A. Boreli, mais cependant distinct par quelques
caractères importants. Le système de coloration est, à peu de
chose près, le même. Le prothorax est plus déprimé sur ses
côtés, un peu plus atténué en avant, le bord latéral formant un
coude léger vers le milieu; sur la ligne médiane on observe une
légère carène qui se termine en arrière par un tubercule moins
fort que chez le Boreli; les angles postérieurs portent une carène
très-rapprochée du bord externe et plus près de ce bord que
d’une ligne fictive formant l’axe de l'angle, tandis que chez le
Boreli cette carène est plus rapprochée de la ligne en question
que du bord externe. Enfin la troncature de l'extrémité des
élytres est ici beaucoup plus large, au point que la distance entre
ses angles externes est de trois à quatre millimètres, suivant la
taille des individus, mesure qui dépasse de plus d’un tiers celle
des points correspondants de l’autre espèce.

Batchian; Nouvelle-Guinée.

Elle a été envoyée en Europe par M. Wallace dans ces der-
nières années. Je l'ai vue dans les collections de MM. de Mnis-
zech et Janson.

37. À. MUSIVATUS. — Bruneo-niger, squamulis nigris, brun-
neis, fuliginosis cinereisque varieqatim obductus; prothorace
latitudine longiore, medio leviter dilatato, longitrorsum utrinque
late subsulcato et inaequali, postice transverse carinato; elytris
strialo-punclalis, apice emarginatis.

Long. 28 mill., lat. 8 mill.

Cano. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 16.

(135)

Voisin également du Boreli ; même système de coloration sauf
les taches latérales obscures des élytres qui sont ici beaucoup
plus grandes. Prothorax plus long que large, longitudinalement
élevé au milieu, déprimé, inégal et comme largement et lon-
gitudinalement impressionné de chaque côté, la côte médiane
terminée en arrière, à deux millimètres du bord postérieur par
une petite crête transversale. Élytres présentant à la base deux
petits tubercules, beaucoup moins forts et autrement placés que
chez les Boreli et cerastes. Chez ce dernier ils sont acuminés,
rapprochés et placés de telle sorte qu'une ligne qui les réunirait
passerait en arrière de l’écusson; ici ils sont espacés, plus rap-
prochés de la base des élytres et la ligne qui les réunirait cou-
perait la pointe de l’écusson.

Cette espèce est de Java. Je l’ai reçue en communication de
M. Mäklin. Elle fait partie du Musée de Helsingfors.

38. À. REGALIS. — Niger, pilis squamiformibus atris dense et
opace vestitus; prothorace latitudine longiore, apice parum an-
gustalo, pilis fulvis circumcincto; elytris basi fulvo-plagiatis,
ulira basin fulvo-nebulosis, apice emarginatis.

Long. 25 mill., lat. 7 !}, mill.

Can. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 16.
Var. a. Prothoracis elytrorumque basi flavo-pilosa.

Var. b. Corpus lotum atrum , opacum.

Oblong, subeylindrique, noir, très-densément recouvert de
poils squamiformes noirs qui le rendent mat, le prothorax orné
d'une bordure de poils fauves, ceux-ci couvrant en outre la
base des élytres et formant quelques petites taches diffuses, peu
apparentes, dans leur première moitié. Front concave. Antennes
courtes, noires. Prothorax allongé, légèrement rétréei en avant
à parür du milieu, bombé, fortement et irrégulièrement ponc-
tué, ses angles postérieurs divergents et carénés, tubereuleux
au milieu près du bord basilaire. Écusson pentagonal, déclive.
Élytres de la largeur du prothorax et deux fois plus longues,

parallèles jusqu’au milieu, atténuées au delà, échancrées au
bout, bituberculeuses à la base derrière l’écusson, fortement
déclives en avant de ces tubercules, marquées de séries de
points espacés avec les intervalles faiblement convexes. Dessous
et pattes entièrement noirs.

Amboine.

La variété a a les portions déclives, correspondantes à la
base du prothorax et des élytres couvertes de poils d’un jaune
flave clair; elle est de Bourou. La variété b, qui provient de
Ceram, a tout le corps d’un noir mat.

De nombreux spécimens de cette belle espèce ont été envoyés |
en Europe par M. Wallace; elle est actuellement assez répandue
dans les collections.

39. À. CAPRIMULGUS. — Brunneo-niger, squamulis minutis-
simis brunneis, ferrugineis pallidisque confertissimis concinne
vartiegatus; prothorace latitudine haud longiore, disco inaequali,
angulis posticis divaricatis, carinatis; elytris punctato-striatis,
apice emarginalis.

Long. 50 mill., lat. 9 mill.

Brunâtre, agréablement orné de petites squamules très-ser-
rées d’un brun ferrugineux clair et foncé avec toutes les teintes
intermédiaires, et d’autres blanchâtres, formant un dessin très-
compliqué sur lequel se détachent deux grandes taches brunes
latérales sur les élytres. Front carré, impressionné. Antennes
brunes. Prothorax aussi large que long, arqué et subsinueux sur
les côtés, son disque convexe et inégal offrant en arrière, au
milieu, une petite crête transversale, ses angles postérieurs
divergents et carénés. Écusson élargi en arrière, plat, déclive.
Élytres de la largeur du prothorax, atténuées dans leur moitié
postérieure, impressionnées à la base de chaque côté de l'écus-
son, marquées de séries de points, leur extrémité transversale-
ment échancrée. Dessous et pattes revêtus d'écailles brunes.

Bornéo; Sarawak.

Belle espèce dont les teintes rappellent le plumage de l'Engou-
levent (Caprimulgus europeus). (Coll. Jans.)

AO. A. scops. — Fuscus, squamulis confertissimis albis,
fulvis brunneisque maculatim concinne vestilus; antennis brun-
neis; prothorace latitudine longiore, convexo, ante scutellum
tuberculato, angulis posticis parum divaricatis, valde carinatis ;
elytris strialo-punctatis, basi tuberculatis, apice emarginatis
Spinosis.

Long. 20 mill., lat. 6 mill.

Brunâtre, élégamment revêtu de squamules piliformes blan-
ches, brunes et noirâtres, les deux premières couleurs formant
des taches fondues l’une dans l’autre, la dernière se détachant
en nombreuses mouchetures, dont les plus grandes s’observent,
sur les élytres, derrière l’écusson, vers le milieu du bord
latéral, au tiers antérieur et au quart postérieur près de la
suture, enfin, sur les épines externes de l'extrémité. Antennes
d’un brun elair. Prothorax plus long que large, peu arqué sur
les côtés, assez bombé, tuberculeux en arrière devant l’écusson,
ses angles postérieurs peu divergents, fortement carénés. Élytres
de la largeur du prothorax, striées-ponctuées, présentant deux
tubercules acuminés derrière la fossette scutellaire, leur extré-
mité fortement échancrée, l’angle externe de l’échancrure épi-
neux. Dessous et pattes grisätres.

Nouvelle-Guinée.

Cette jolie espèce qui rappelle tout à fait, par ses nuances, le
plumage de certains scops, a été découverte à Dorey par M. Wal-
lace. Je l'ai vue dans la collection de M. Janson.

41. À. NEBULOSUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 252, 24:
Manille.

Les élytres sont parfois tronquées au bout chez cette espèce.

42. À. TIMORIENSIS. — Fuscus, griseo-veslitus, prothorace
obscuro-bipunctato, elytris macula media marginali fusca ; pro-
thorace lalitudine haud longiore, convexo, angulis posticis parum

* divaricatis, obsolete carinatis; elytris ultra medium paulo dila-

lalis, striato-punciatis, basi, abrupte declivi, inaequalibus , apice
truncatis, angulo suturali mucronato.

Long. 24 mill., lat. 7 mill.

Noirâtre, densément revêtu de poils squamiformes d’un gris
brun clair sur lesquels se détachent quelques mouchetures plus
foncées, peu apparentes, et en outre deux points obseurs sur le
prothorax et deux taches assez grandes, triangulaires, contiguës
au bord latéral vers le milieu de la longueur des élytres, bien
limitées, presque noires. Prothorax aussi large que long, médio-
crement arqué sur les côtés, assez convexe, marqué de gros
points, ses angles postérieurs peu divergents, peu carénés.
Écusson très-déclive. Élytres un peu élargies au delà du milieu,
très-déclives à la base, la déclivité portant des élevures et des
impressions, l'extrémité tronquée, l'angle interne de la tronca-
ture mucroné.

Timor.

Un 5° dans la collection du Musée de Leyde.

43. À. SCYTALE. — Cann. Monogr., t. 1, p. 298.

Philippines et Célèbes.

4%. À. ROSENBERGI. — Elongatus , niger, albido seu flavo ves-
tilus, nigro irroratus, macula magna versus medium elytrorum ;
prothorace elongato, inaequaliter grosse punctato, angulis pos-
hicis divaricatis, carinatis ; scutello pentagonali; elytris striato-
punciatis, postice emarginatis.

Long. 25-50 mill., lat. 7-7 1}, mill.

Allongé, noir, revêtu de poils squamiformes blanes ou jau-
nâtres avec de petites taches noires et deux très-grandes de
même couleur, veloutées, vers le milieu des élytres, d'autant plus
marquées qu'elles se détachent sur un fond blanc. Antennes
noires. Prothorax allongé, peu arqué sur les côtés, inégalement
ponctué, ses angles postérieurs peu divergents, carénés. Ecusson

(139)

pentagonal, son bord postérieur anguleux au milieu. Elytres
parallèles jusqu’au milieu, tuberculeuses à la base entre l'épaule
et l’écusson, échancrées au bout. Dessous et pattes d’un brun
clair.

Célèbes.

Cette espèce ressemble beaucoup au scytale, mais on l'en dis-
tinguera toujours, outre sa taille beaucoup plus grande, à son
écusson, dont le bord postérieur est anguleux, tandis qu'il est
droit chez le précédent.

Musée de Leyde et coll. Janson.

45. À. LATERALIS. — Canr. Monogr., t. I, p. 227, pl. IV, fig. 16.
Ceylan : Colombo.

46. À. LYNCEUS. — Fusco-niger, squamulis minutis brunneis
griseisque variegatus ; prothorace latitudine longiore, medio lon-
gitrorsum elevato; elytris brevibus, punctato-striatis, apice inte-
gris.

Long. 17 mill., lat. 5 !}, mill.

Assez petit, épais, brun foncé, revêtu d’écailles blanchâtres,
grises et brun foncé, les dernières formant deux taches arron-
dies sur le prothorax, deux de même forme assez grandes sur
les côtés des élytres et quelques-unes allongées vers l'extrémité ;
les premières dominantes autour des taches brunes du prothorax,
de facon à imiter vaguement une face féline. Front excavé. Pro-
thorax plus long que large, rétréei en avant des angles posté-
rieurs qui sont aplatis, divergents et carénés, longitudinalement
élevé au milieu, surtout en arrière, les côtés déclives. Écusson
trés-incliné. Élytres moins de deux fois plus longues que le pro-
thorax, ponetuées-striées, leur partie antérieure excavée pour
former une fossette scutellaire, leur extrémité entière.

Inde boréale. (Coll. Jans.)

47. À. NANUS. — Angustus, parallelus, brunneus, minus

( 140 )

dense squamulosus; antennis nigris articulis latis; prothorace
latitudine sesqui longiore, angulis posticis carinatis, elytris bre-
vibus , punctato-strialis, apice integris.

Long. 12 mill., lat. 5 mill.

La plus petite espèce. Étroit et parallèle, brun, rougeàtre,
revêtu de squamules blanchâtres peu serrées, avec de petites
taches noires disséminées, parmi lesquelles une plus grande,
au bord latéral des élytres vers le milieu. Front grand. Antennes
noires, leurs articles larges. Prothorax une demi-fois plus long
que large, droit et parallèle sur les côtés, convexe, ponctué, ses
angles postérieurs petits, aigus, non divergents, carénés. Écus-
son en pentagone allongé, déclive. Élytres de la largeur du pro-
thorax, parallèles jusqu’au delà du milieu, entières ou à peme
visiblement échancrées au bout, ponetuées-striées, les intervalles
convexes et pointillés. Dessous et pattes de la couleur du dessus.
Canaux prothoraciques largement ouverts au sommet.

Java : Sourabaia, au pied du volcan Ardjoeno.

Cette espèce, remarquable par sa petite taille, fait partie du
Musée de Leyde.

48. À. PUTRIDUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 223, pl. IV, fig. 15.

Java.

49. À. ERyx. — Fuscus, squamulis fuscis, brunneis, fulvis
albidisque variegatus, punctis duobus prothoracis maculaque
marginali ovala elytrorum nigris, velutinis; prothorace latitu-
dine longiore, parallelo, medio carinato, utrinque declivi, an-
gulis posticis tenuibus, aculis, carinatis ; elytris striato-punctatis,
apice angusle emarginalis.

Long. 25 mill., lat. 7 !}, mill.
Noirâtre, densément revêtu de squamules brun foncé, brun

clair, fauves et blanches entremélées, les dernières formant de
petites taches alternant avec des noires sur les intervalles im-

(141)

paires des stries des élytres, le prothorax présentant deux petites
taches noires oblongues, aréolées de blanc, les élytres en pré-
sentant une assez grande, également oblongue, noire et veloutée,
contre leur bord latéral vers le milieu de leur longueur. Pro-
thorax plus long que large, un peu élargi en avant, ses bords
peu arqués, élevé longitudinalement en carène dans toute sa
longueur au milieu, sa surface déclive de chaque côté, ses
angles postérieurs assez grêles, recourbés en dehors, aigus,
carénés. Écusson déclive, allongé, pentagonal, très-acuminé en
arrière. Élytres striées-ponctuées, les lignes de points réunies
par paires à la base par un petit sillon courbe, l'extrémité étroi-
tement échancrée. Dessous varié de gris de diverses teintes.

Laos.

Trouvé par Mouhot. (Coll. Jans.)

DO. À. LARVATUS. — Fuscus, squamulis minutissimis griseis,
cinereis fuscisque variegatus , macula laterali elytrorum oblonga,
fusca, velutina; prothorace latitudine longiore, longitrorsum
medio carinato, angulis posticis tenuibus divaricatis, carinatis ;
scutello pentagonali; elytris prothorace latioribus, punctato-
striatis, interstitiis convexis, apice conjunctim late emarginatis.

Long. 28 mill., lat. 8 mill.

Noirâtre, revêtu de petites squamules très-denses grises, cen-
drées, noirâtres , les dernières formant deux points sur le pro-
thorax, deux grandes taches oblongues, eontiguës au bord
externe des élytres, vers leur milieu, et une sorte de fascie con-
süituée par une huitaine de lignes courtes, longitudinales, avant
le sommet; dans le large sillon transversal qui sépare le pro-
thorax des élytres ainsi que sur l’écusson, les écailles affectent
une teinte jaunâtre. Antennes noires. Prothorax plus large que
long, le milieu longitudinalement élevé en carène, avec les
parties latérales très-déclives de chaque côté et planes, ses bords
latéraux tranchants et légèrement coudés au milieu, ses angles
postérieurs grêles, très-aigus, très-divergents, carénés, au devant

(14)

de l’écusson une petite crête transversale. Écusson pentagonal,
allongé. Elytres plus larges que le prothorax, atténuées à partir
des épaules, déelives et inégales de chaque côté de l’écusson,
ponctuées-striées avec les intervalles convexes, l'extrémité lar-
gement échancrée. Dessous brun, les flancs du prothorax portant
une raie longitudinale obseure fortement ponctuée, toutes les
cuisses présentant près du sommet une petite tache noirâtre.

Chine : Shang-Haï ?

Un exemplaire de cette belle espèce qui, par la forte carène
du prothorax, se rapproche, comme la précédente, du putridus,
fait partie de la collection de M. Janson. Elle se distingue par la
convexité des intervalles des stries des élytres, caractère rare
chez les À laus.

51. À. TISIPHONE. — Fuscus, squamulis minutissimis grisets,
brunneis fuscisque variegatus, macula laterali elytrorum nigra
velutina ; prothorace latitudine longiore, longitrorsum medio cari-
nalo, angulis posticis tenuibus, extrorsum flexis, carinatis ; scu-
tello oblongo, postice rotundato ; elytris prothorace latioribus,
punctato-striatis, interstitis imparibus convexis, apice conjunc-
tim late emarginatis.

Long. 28 mill., lat. 8 mill.

Noirâtre, revêtu de petites écailles très-denses, grises, cen-
drées et noirâtres; les dernières formant quelques lignes contour-
nées sur le prothorax, et, sur les élytres, de petites taches,
principalement à la base et en arrière, outre une grande de forme
irrégulièrement quadrangulaire placée vers le milieu du bord
latéral. Antennes noires. Prothorax plus long que large, assez
fortement rétréci en avant des angles postérieurs, arqué sur les
côtés, fortement et longitudinalement élevé au milieu avec ses
faces latérales déclives et planes, ses angles postérieurs fortement
recourbés en dehors , grèles, aigus au bout, carénés. Éeusson
oblong, déclive, largement arrondi en arrière. Élytres plus larges
que le prothorax, parallèles jusqu'au milieu, inégales de chaque

(145)

côté de l’écusson, striées-ponctuées avec les intervalles impairs,
surtout le troisième, sensiblement convexes, les autres plats,
l'extrémité largement échancrée. Dessous et pattes brunâtres.

Ceylan. (Coll. Jans.)

52. À. HAJE. — Prunneus, griseo cinereoque variegatus
punctis duobus prothoracis maculaque laterali elytrorum ultra
medium nigris; prothorace latitudine longiore, parallelo, medio
longitrorsum elevato, carinato, angulis posticis divaricatis, tenui-
bus, vix carinatis; scutello oblongo, pentagonali ; elytris brevi-
bus, striato-punctatis, postice emarginatis.

Long. 20 mill., lat. 5 mill.

Plus petit que les précédents et proportionnellement plus
étroit, brun, la vestiture écailleuse ayant les teintes habituelles
mais plus mêlées, le prothorax et les élytres présentant, le pre-
mier, deux points discoïdaux noirs, les secondes, une tache
oblongue de même couleur située de chaque côté près du bord
latéral, mais sans l’atteindre, un peu au delà du milieu de leur
longueur. Antennes brunes. Prothorax allongé, parallèle, lon-
gitudinalement élevé au milieu avec une fine carène lisse mé-
diane, ses côtés déclives, ses angles postérieurs grèles, divergents,
aigus, à peine carénés. Écusson oblong, pentagonal. Élytres
moins de deux fois plus longues que le prothorax, parallèles
jusqu'au milieu, marquées de lignes de gros points, les inter-
valles faiblement convexes au bout, l'extrémité échancrée. Dessous
brun comme le dessus, le prosternum, le métasternum, les
hanches postérieures et le milieu de labdomen revêtus de squa-
mules blanchâtres.

Cambodge. (Coll. Jans.)

93. A. OBLIQUUS. — F'uscus, squamulis fusco-cinereis vestitus ;
prothorace latitudine longiore, lateribus fere recto parallelo, medio
longitrorsum leviler carinato, angulis posticis divaricatis, extus
carinatis; elytris castaneis, fascia obliqua obscuriori, striato-
punctatis, basi cristatis, apice emarginatis.

Long. 25-50 mill., lat. 7-8 mill.

(144)

Brun obscur avec les élytres brun-rougeâtre, revêtu de petites
squamules d’un cendré sale, les élytres marquées d’une bande
oblique paraissant plus obscure parce que les squamules moins
serrées laissent paraitre la couleur du fond. Antennes brun-rou-
geâtre. Front concave. Prothorax plus long que large, presque
droit sur les côtés , peu convexe, marqué de points très-fins assez
serrés, et de très-gros disséminés , le milieu présentant une très-
fine carène longitudinale, ses angles antérieurs avancés, les pos-
térieurs divergents, carénés trés-près du bord externe. Écusson
pentagonal. Élytres un peu plus larges au milieu qu'à la base,
striées-ponetuées, le troisième intervalle s’élevant, de chaque
côté de l’écusson, en une forte crête longue de 5 à 5 !, mil,
leur extrémité échancrée avec l’angle externe de l'échancrure spi-
niforme. Dessous et pattes de la couleur du dessus.

Nouvelle-Guinée : Dorey.

Collections Janson et Saunders. Trois exemplaires trouvés par
M. Wallace.

54. À. INFUMATUS.— Fuscus, squamulis fusco-cinereis vestitus,
plaga laterali, triangulari, elytrorum brunnea ; fronte antice bian-
qulata ; prothorace latitudine longiore, lateribus fere recto paral-
lelo, convexo, tenuiter carinato, postice tuberculo minuto; elytris
- striato-punctatis, basi tuberculatis, apice emarginatis.

Long. 20 mill., lat. 6 mill.

Brunâtre obscur, revêtu de petites squamules d’un cendré
brun, s’éclaircissant çà et là, présentant en outre, sur les parties
latérales des élytres, une grande tache triangulaire brune variée
de brun clair, dont la base s’appuie au bord externe et l’angle
antérieur au calus huméral. Front carré, très-concave, ses angles
antérieurs redressés. Antennes brunes. Prothorax rectangulaire,
un peu plus long que large, les angles antérieurs saillants en
avant, sa surface convexe, marqués de gros points, présentant
au milieu une fine carène lisse, longitudinale, plus élevée en
arrière, ses angles postérieurs divergents, carénés. Écusson oblong,

(145)

subpentagonal. Élytres de la largeur du prothorax, moins de deux
fois plus longues, marquées de lignes de points assez gros et
espacés, le troisième intervalle portant une crète courte à la base,
leur extrémité échanerée, les angles de cette échancrure spini-
formes. Dessous et pattes de la couleur du dessus.

Nouvelle-Guinée; Adaï.

Un exemplaire Q trouvé par M. Rosenberg. (Musée de Leide.)

55. À. ANGULARIS. — Fusco-brunneus, pilis squamiformibus
fusco-cinereis minus dense vestitus; prothorace latitudine lon-
gore, convexo, medio tenuiter carinato, angulis anticis in mari
prominulis, dilatatis; elytris striato-punctatis, basi tuberculatis,
apice emarginatis.

Long. 15-16 mill., lat. 4-5 mill.

(s') Brun, les élytres rougeûtres, revêtu de squamules d’un
cendré jaunâtre peu denses et laissant apercevoir la couleur du
fond, surtout à la partie médiane et antérieure du prothorax, la
fossette scutellaire seule et l’écusson offrant des squamules
brunes. Front excavé, présentant deux plaques de squamules plus
serrées. Antennes brunes. Prothorax plus long que large, gra-
duellement élargi d'arrière en avant, convexe, finement ponctué,
avec de gros points disséminés, finement caréné, ses angles
antérieurs larges, avancés, tronqués, les postérieurs divergents
et finement carénés. Écusson pentagonal. Élytres moins de deux
fois plus longues que le prothorax, atténuées en arrière, striées-
ponctuées, portant deux tubercules aigus en arrière de l’écusson,
leur extrémité échancrée avec l'angle externe de l’échancrure
allongé, spiniforme. Dessous et pattes de la couleur du dessus.

(eg) Les principaux caractères qui distinguent cette espèce
sont ici atténués. Les angles antérieurs du prothorax sont moins
larges, moins saillants, arrondis et non tronqués; les tubercules
de la base des élytres sont beaucoup moins forts. Il est toutefois
bon de noter que la seule femelle que j'ai vue était de taille
10

( 146 )

beaucoup plus petite que le mâle et paraissait un individu de
faible développement.

Mysol.

Des envois de M. Wallace; collection Janson.

III. — ESPÈCES AUSTRALIENNES.

D6. À. GIGAS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 254.
Australie.

L =

57. À. Mac-LEayi. — Can. Monogr., t. 1, p. 255.

Clarence-River. Il y a des individus plus grands que la me-
sure indiquée; on le distinguera toujours du précédent par les
intervalles des stries des élytres tout à fait plats.

58. À. GIBBoNI. — Nigro-brunneus, pilis squamiformibus con-
fertis, nigris, ochraceis, albisque maculatim ornatus ; prothorace
latitudine paulo longiore, basi angustato, parum convexo, an-
gulis posticis extrorsum flexis, carinatis ; elytris striato-puncta-
tis, interstitiis imparibus subelevatioribus, postice latioribus, basi
bituberculatis, apice emarginatis; subtus pedibusque ochraceïs.

Long. 35 mill., lat. 11 mill.

Elater (Alaus) Gibboni. — Newm. Trans. Entom. Soc., n. sér., t. IV, p. 51,
1857.

Moreton-Bay.

59. A. PROSECTUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 256.

Sydney.

60. A. FUNEREUS. — Fuscus, squamulis fuscis, brunneis

albidisque marmoratim variegatus; fronte concava; prothorace
latitudine longiore, apice dilatato lateribusque arcuato; elytris
ultra basin albido squamosis, strialo-punctatis, basi tuberculatis,
apice integris.

Long. 21 mill., lat. 6 mill.

Cano. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 17.

(147)

Voisin de l'A. suboculatus, mais plus long proportionnément
à sa largeur, varié de teintes autrement disposées. Noirûtre,
teinté latéralement de ferrugineux, densément revêtu de poils
squamiformes noirâtres, bruns et blancs; les seconds couvrant
principalement le milieu du prothorax, les trois cinquièmes an-
térieurs (moins la base) et l'extrémité des élytres; les blancs
revêtant le reste du corps; sur les parties blanches on observe
en outre de petites mouchetures brunes ou noirâtres dont deux
plus grandes sur le disque du prothorax; les parties brunes sont
de même mouchetées de-blane; vers le milieu des élytres et à la
limite postérieure de la couche brune existe, adossée au bord
externe, une tache plus foncée envoyant un rameau dans la
direction de l’écusson. Les autres caractères semblables à ceux
du suboculatus, sauf les suivants : prothorax visiblement plus
long que large; tubercules de la base des élytres plus saillants;
extrémité de ces organes plutôt arrondie que tronquée.

Moreton-Bay. (Coll. Jans., etc.)

61. A. SUBOCULATUS. —- Can. Monogr., t. I, p. 229.

Port Denison.

62. À. FUNEBRIS. — Can. Monogr., t. I, p. 253.

Moreton-Bay.

65. À. MELANCHOLIGUS. — Niger, squamulis nigris cinereisque
vestitus; prothorace latitudine longiore, basi apiceque angustato,
angulis posticis tenuibus, divaricatis, acutis, apice carinatis;
elytris punctato-striatis, interstilio tertio basi elevato, apice inte-
gris, subtus pedibusque obscuris.

Long. 22 mill., lat. 5 :/, mill.

Plus étroit, en proportion, que les précédents, d’une teinte
générale plus noire due à la prédominance des squamules de
cette couleur, lesquelles forment une bande oblique au milieu
des élytres ; sur le reste du corps des squamules cendrées sont
disséminées sans former de taches à proprement parler. An-

(148)

tennes noires. Prothorax plus long que large, rétréei à la base
et au sommet avec ses côtés régulièrement arqués, convexe,
présentant une saillie vers la base, devant l'écusson, ses angles
postérieurs recourbés en dehors, grèles, aigus, carénés très-
brièvement à l'extrémité. Écusson oblong, déclive. Élytres plus
larges que le prothorax, entières au bout, ponctuées-striées, les
intervalles un peu convexes, le troisième élevé vers la base, de
chaque côté de l'écusson, mais sur un plan postérieur. Dessous
et pattes noirâtres.

Queensland. (Coll. Jans.)

64. À. SERICEUS. — Fuscus, vestitura brunneo-cinerea seri-
cante, elytris basi ochraceis, macula media marginali fusca;
prothorace parallelo, latitudine paulo longiore, convexo, basi
tuberculato, angulis posticis divaricatis, carinatis; elytris punc-
tato-striatis, interstiliis planis, basi abrupte declivis, tubercu-
latis, apice emarginatis; subtus pedibusque fusco-ochraceis.

Long. 26 mill., lat. 7 ‘}, mill.

Noirâtre, densément recouvert de squamules d'aspect soyeux
d’un cendré brunâtre, le prothorax blanchâtre en avant, passant
au jaunètre en arrière, cette dernière couleur dominant à la base
des élytres, lesquelles présentent en outre une petite tache noi-
ratre vers le milieu du bord latéral. Antennes courtes, noires.
Prothorax à peine plus long que large, de forme à peu près
carrée, bombé, ponctué, présentant un tubercule vers la base,
en avant de l’écusson, ses angles postérieurs recourbés en
dehors, aigus au bout, carénés. Écusson oblong, déclive. Élytres
de la largeur du prothorax, parallèles jusqu’au milieu, peu pro-
fondément ponctuées-striées , les intervalles plats, brusquement
déclives à la base où elles portent un tubercule de chaque côté
et en arrière de l’écusson, fortement échancrées au sommet,
l'angle externe de l’échancrure très-aigus. Dessous du corps et
pattes revêtus de squamules d’un jaunâtre obscur.

Rockhampton. (Coll. Jans.)

(149)

65. À. PumiILus. — Fuscus, albido-vestitus, vitta media pro-
thoracis maculaque laterali elytrorum nigris; prothorace latitu-
dine paulo longiore, antice ampliato, convexo, angulis posticis
subdivaricatis, brevibus, vix apice carinatis; elytris tenuiter
punctato-striatis, basi tuberculatis, apice integris.

Long. 10-15 mill., lat. 3-4 ‘|, mill.

Petit, revêtu de squamules blanches, avec une bande longitu-
dinale médiane sur le prothorax brunâtre et une tache latérale
vers le milieu de chaque élytre noire, la tête et la partie antc-
rieure du prothorax passant au jaune. Antennes très-courtes.
Prothorax un peu plus long que large, arqué sur les côtés,
rétréci à la base, convexe, ponctué, tubereuleux en avant de
l’écusson, ses angles postérieurs courts, aigus, à peine carénés
au sommet. Écusson oblong, très-déclive. Élytres de la largeur
du prothorax, courtes, faiblement ponctuées-striées, tubereu-
leuses à la base, isolément arrondies au sommet. Dessous et
pattes revêtus de squamules d’un gris jaunâtre.

Rockhampton. (Coll. Jans.)

IV. — ESPÈCES POLYNÉSIENNES.

66. À. FariINosus. — Niger, albido vestitus; prothorace lati-
tudine longiore, parum convexo, angulis posticis divaricalis ;
elytris interstiliis alternis elevatis, apice emarginatis, macula
laterali nigra.

Long. 25 mill., lat. 7 mill.

Agrypnus farinosus. — Monrr. Ann. Soc. Entom. Fr., 1860, p. 255.

Ile d'Art.

67. A. MonTRavELI. — Niger, albicanti-vestitus ; prothorace
latitudine haud longiore, parum convexo; angulis posticis acute
carinatis; elytris punctato-striatis, interslitiis convexis, apice
emarginatis.

Long. 47 mill., lat. 45 mill.

Agrypnus Montraveli. — Mont. Loc. cit., p. 255.

Nouvelle-Calédonie et Lifu.

(150 )

Ces deux espèces ont les bords de la fossette mésosternale
élevés et la suture qui sépare ceux-ci du métasternum peu
visible. Cette conformation, jointe au füacies, rappelle tout à fait
les Chalcolepidius américains.

68. À. crisTaTus. — Niger, sordide albicanti vestilus, seri-
ceus; prothorace depresso, sulcato, angulis posticis tenue cari-
natis; elytris punctato-striatis, interstitis plants, apice truncato-
emarginatis, basi oblique cristatis.

Long. 25-55 mill.. lat. 8-11. mill.

Noir, revêtu de squamules d’un gris blanchâtre ou jaunûtre
sale, d'aspect soyeux. Front carré, excavé. Antennes courtes.
Prothorax aussi large que long, déprimé, arqué sur les côtés,
largement sillonné au milieu d’arrière en avant, assez densément
couvert de points fins, parmi lesquels on en remarque de plus
gros disséminés, ses angles postérieurs larges, un peu diver-
gents, muni d'une fine carène rapprochée du bord externe.
Écusson pentagonal, déclive. Élytres de la largeur du prothorax
à la base, un peu élargies au milieu, largement échancrées ou
plutôt ironquées au bout avec les angles de la troncature aigus,
présentant à la base une crête oblique assez élevée, le calus
huméral formant également une arèête tranchante. Dessous et
pattes comme le dessus. Bords de la fossette mésosternale hori l-
zontaux, bien séparés du métasternum par une suture.

Nouvelles-Hébrides; Anatoum. (Coll. Jans. et Saund.)

Tournure de Chalcolepidius comme les précédents, mais
mésosternum normal.

V. — ESPÈCES AMÉRICAINES,

69. A. TRICOLOR. — OL. Entom., t. IN, pp. 31, 9, 4, pl. V, fig. 49.
Calais tricolor. — Caxo. Monogr., t. I, p. 240, pl. IV, fig. 6.
Saint-Domingue.

Cette espèce, connue au temps d'Olivier, n’a pas été retrouvée
depuis, à ma connaissance.

(151)

70. A. NOBILIS. — Sairé, Ann. Soc. Entom. Fr, 1855, p. 265,
pl. XIV, fig. 1.

Calais nobilis. — Cap. Monogr., t. 1 ,p. 241.

Saint-Domingue.

71. À. PATRICIUS. — CanD. Monogr., t. I, p. 249, pl. IV, fig. 8. (Culais.)
Cuba.

72. À. PRIMARIUS. —- Brunnea, pilis squamiformibus cinereis
dense vestita; prothorace subquadrato, medio longitrorsum ele-
valo, quadrifoveolato, angulis -posticis divaricatis ; elytris punc-
tato-substrialis, apice emarginatis, plagis quatuor brunneis.

Long. 32 mill., lat. 10 mill.
Calais primaria. — Can. Mém. Acad. Belg., t. XNIIT, 4865, p. 18.

(s') Brun, très-densément revêtu de poils squamiformes d’un
cendré blanchâtre avec deux taches sur les élytres formées par
des poils bruns, la première subquadrangulaire, transversale,
grande vers le milieu, la seconde, plus petite, près de l’extré-
mité. Antennes longuement lamellées, brunes. Front longitudi-
nalement excavé. Prothorax à peu près aussi large que long, de
forme carrée, longitudinalement élevé au milieu, déprimé de
chaque côté, éparsément ponctué, marqué de quatre fossettes,
deux à fond lisse, ce qui les fait paraitre brunes, vers le milieu,
deux autres moins apparentes en arrière, ses côtés offrant quel-
ques crénelures, ses angles postérieurs larges, très-divergents ,
carénés. Écusson caréné longitudinalement. Élytres plus larges
que le prothorax, faiblement atténuées depuis la base, échan-
crées au bout avec l'angle sutural mucroné, ponctuées-sub-
striées. Dessous revêtu de poils cendrés comme le dessus.

Cuba.

Je n’ai vu qu'un mâle de cette espèce, que m'a communiqué
le D' Gundlach. Son système de coloration la distingue des
A. patricius et nobilis. Elle diffère notamment de la première,
qui est du même pays, par les fossettes du prothorax.

(152)

75. À. PLEBEJUS. — Parallelus, fuscus, squamulis brunneis
albicantibusque variegatus; prothorace latitudine longiore, con-
vexo, anqulis posticis brevibus, obsolete carinatis; elytris punc-
tato-striatis, basi tuberculatis, apice integris.

Long. 20 mill., lat. 5 mill.

Calais plebeja. — Jans. Mss.

Allongé, subcylindrique, parallèle, brunätre, revêtu de squa-
mules brunes et blanchâtres entremélées, les premières formant
en outre quelques petites taches dont deux plus grandes au bord
latéral des élytres. Front carré, un peu concave en avant. An-
tennes courtes, noires. Prothorax notablement plus long que
large, peu rétréci en avant, assez convexe, fortement et éparsé-
ment ponctué, ses angles postérieurs courts, à peine divergents,
peu distinctement carénés. Élytres de la largeur du prothorax,
rétrécies seulement vers l'extrémité, ponctuées-striées avec Île
troisième intervalle tuberculeux à la base, l'extrémité arrondie.
Dessous et pattes comme le dessus.

Cayenne. (Coll. Jans.)

74. À. Niro. — Niger, albido variegatus; antennis maris
peclinatis; prothorace latitudine longiore, basi apiceque angustato;
scutello postice emarginato; elytris brevibus, a basi atlenuatis,
apice integris.

Long. 17 mill., lat. 4 1}, mill.

Calais Nietoi. — Sazcé. Rev. zool., 1870.

Mexique.
Forme du suivant, mais plus grand; bien distinct par sa ves-

üture autrement disposée et surtout par son écusson échancré
en arrière.

75. A. GLAUCUS. — Casr. Sib. Rev. t. IV, p. 9.
Calais glauca. — Cann. Monogr., L 1, p. 245, pl. IV, fig. 5.

Cayenne.

(155)
76. A. OGULATUS. — Linn. Syst. nat., 1, 2, p. 651. — CanD. Monogr.,
t. 1, p. 256.

États-Unis de l'Est et du Sud, très-commun.

77. À. LUSCIOSUS. — Hope, Anim. Kingd., t. 1, p. 365, pl. LU, fig. 5.
Alaus gorgops. — Lec. Journ. Ac. Phil., 2e sér., t. IV, p. 55, 1858.
Mexique septentrional et États-Unis du Sud-Ouest.

Cette espèce, que j'ai considérée autrefois comme une variété
de l’oculatus, est décidément distincte. Elle en diffère constam-
ment par sa forme plus courte, ses marbrures blanches plus
larges, les taches ocellées du prothorax plus arrondies , ete.

78. À. MELANOPS. — Lec. New spec. col., t. 1, 1865, p. 83.

Alaus naja. — Can. Mém. Acad. Belg., t. XVII, 1865, p. 18.

Californie.

79. À. mMYOPS. — Fagr. Syst. Eleuth., t. KL, p. 222. — Cano. Monogr.,
t. I, p. 258.

États-Unis du Sud et du Centre. On le rencontre aussi, mais
rarement, dans l’Orégon.

HEMIRHIPUS.
Larr. Règne animal (éd. 5), t. IN, p. 402.
1. H. LINEATUS. — Faër. Syst. Eleuth., t. A, pp. 225, 13. — Cann.
Monogr.., t. 1, p. 247.
Brésil : Rio.

2. H. FAIRMAIREI. — Cao. Monogr., t. 1, p. 248, pl. V, fig. 1.

Nouvelle-Grenade; Amérique centrale.

5. H. Rojas. — Cano. Monogr., t. 1, p. 249.

Vénézuéla.

4. H. APICALIS. — Canv. Monogr., t. 1, p. 250.

Nouvelle-Grenade.

5. H. BIMACULATUS. — Cano. Monogr., t. 1, p. 250.

Mexique.

6. H. BonvouLoiRer. — Ferrugineus, fulvo-villosus; protho-
race elongato, maculis quatuor nigris ; elytris punclato-striatrs ,
postice nigris.

Long. 42 mill., lat. 10 mill.

Allongé, ferrugineux, avec quatre taches arrondies sur le pro-
thorax et les deux tiers postérieurs des élytres noirs, la pubes-
cence de la couleur des parties qu’elle recouvre. Front bombé,
le vertex maculé de noir et portant une petite saillie oblongue.
Antennes courtes, noires, les premiers articles ferrugineux. Pro-
thorax plus long que large, parallèle en arrière, rétréei curvili-
néairement en avant, très-convexe avec une ligne saillante et
lisse au milieu, finement et densément ponctué, ses côtés très-
déclives, ses angles postérieurs fortement carénés. Ecusson en
ovale transversal, faisant saillie dans une profonde fossette seu-
tellaire. Elytres atténuées et déprimées en arrière, sillonnées,
les intervalles convexes et finement ponctués. Dessous noir, pattes
brunètres.

Cayenne.

Un exemplaire portant ce nom dans la collection de M. Janson.

7. H. TRILINEATUS. — Casr. Sitb. Rev., t. IV, p. 12. — Cann. Monogr.,
t. I, p. 251.

Brésil.

8. H. FASCICULARIS. — Fasr. Mantiss., t. I, p. 174. — Can. Monogr.,
t. I, p. 252, pl. V, fig. 2.

Amérique intertropicale.

9. H. DEJEANI. — Canv. Monogr., t. 1, p. 255.

Brésil.

(455)
10. FH. DECORUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 254.
Mexique.

11. H. vipuus. — Cuevr. Ann. Fr., 1867, p. 598.
Cuba.

12. H. Perrouni. — Niger, parum nitidus, flavo-pilosus ;
prothorace rugoso, bifoveato; elytris punctalo-striatis, interstitiis
convexis, terlio basi elevato, rufo maculatis ; pedibus rufis.

Long. 28 mill., lat. 8 mill.

Noir, peu luisant, revêtu de poils d’inégale longueur et cou-
chés en différents sens d'un gris flave, les élytres ornées d’une
tache rougeûtre, appendiculée en arrière et couvrant leur tiers
antérieur, sauf le voisinage de l’écusson, et d’une petite tache de
même couleur vers leurs deux tiers postérieurs. Front excavé,
très-rugueux. Antennes rougeâtres à la base. Prothorax un peu
plus long que large, très-rugueux, offrant de chaque côté dans
sa portion moyenne une fosselte assez profonde, ses angles pos-
térieurs dirigés en arrière, fortement carénés. Écusson déclive.
Élytres de la largeur du prothorax , régulièrement et curvilinéai-
rement rétrécies dans leur moitié postérieure, fortement ponc-
tuées-striées, les intervalles rugueusement ponctués, convexes,
le troisième costiforme à la base. Pattes rougeatres, les cuisses
teintées de noir.

Du Brésil.

Je dois la connaissance de cette espèce à M. Perroud, de Lyon,
dans la collection de qui elle existe.

TETRIGUS.
CanD. Monogr., t. 1, p. 254.

Ainsi que je l’ai dit dans une notice antérieure (!), les insectes
qui rentrent dans ce genre ont de grandes affinités avec les

(!) Élatérides du Japon. Mém. pe LA Soc. Des Sc. pe LiËce, 2e sér., t. V.

(156)

Ludius:, les Aphanobius, les Orthostethus de la tribu des Ludiüites.
La forme générale, la couleur, la nature de la pubescence, le
contour des hanches postérieures sont semblables. D'autre part
leur parenté avec les Hemirhipus n’est pas moins évidente : c’est
notamment Ja même conformation de la tête, la même disposition
du rebord frontal; enfin la structure flabellée des antennes,
quoique différant un peu dans sa manière d’être, les rapproche
encore. C'est manifestement une forme de transition entre le
groupe actuel et celui des Ludiites. J'avais d’abord l'intention de
les reléguer parmi ces derniers, mais les motifs qui m'engagent
à les laisser auprès des Hemirhipus, près desquels je les ai
classés autrefois, ayant une valeur égale, je me suis déeidé à les
maintenir ici.

Les représentants de ce genre sont rares dans les collections.
Des femelles, je ne connais que celle du T. Parryi.

KI . : A A
A Élytres non divariquées au sommet chez les mâles.

GMEUESCENCE NISSAN NE PSP ET Dalle LUS
aa Pubescence noire.

œ Prothorax aussi large que long. . . . . . . . . .9, T. ater.

a Prothorax un peu plus long que large : . . . . . . 3. T. cyprius.

AA Élytres divariquées au bout chez les œ".
a Lamelles des antennes des & étroites.
o Élytres plus de trois fois plus longues que le prothorax . 4. T. flabellatus.
œ& Élytres moins de trois fois plus longues que le prothorax.
* Des stries de points couvrant entièrement les élytres. . 5. T. Lewisi.
#* Des stries de points obsolètes au sommet des élytres . 6. T. pexus.
ua Lamelles des antennes des 5 larges . . . . . . . . 7. T. Parryi.

1. T. PARALLELUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 255, pl. V, fig. 5.

Bengale.

HN ARR — Can Monogr., t. 1, p. 256.
Ceylan.
9. T. cyprius. — (5) Elliptico-elongatus, ater, subnitidus ;

parce nigro-pubescens ; prothorace latitudine paulo longiore, con-
fertissime punclato, linea media elevata; elytris parallelis ,

(157)

slrialo=punctatis, apice haud divaricatis; antennis prothorace
brevioribus pedibusque nigris.

Long. 25 mill., lat. 8 mill.

() A peine distinet de l’ater. Il parait avoir le prothorax pro-
portionnément un peu plus long que ce dernier.

Cette espèce, encore fort rare dans les collections, n'a été
rencontrée jusqu'ici, à ma connaissance, que dans le nord de la
Syrie (Antioche) et dans l'ile de Chypre.

4. T. FLABELLATUS. — (S) Elongatus, fusco-niger, dense”
cervino-pilosus ; fronte convexa apice truncata; prothorace longi-
tudini latitudine aequali, convexo, crebre punctato; elytris pro-
thorace plus quam triplo longioribus, apice acutis et divaricatis.

Long. 55 mill., lat. 8 !}, mill.
Aphanobius flabellatus. — GerMar, Zeitschr., t. V, p. 186.

Java.

D. T. LEWISI. — Can. Elater. Japon. in Mém. Soc. se. Liége, 2° sér.,
HAN: 10:

Chine (Amoy, Shang-Hai) et Japon méridional. (Coll. Jans.)

6. T. pexus. — (©) Fusco-niger, dense fulvo-pilosus ; fronte
convexa, apice truncata; prothorace longitudine vix latiore, crebre
tenuiter inaequaliterque punctato, angulis posticis retrorsum
productis, acutis, carinatis; elytris crebre punctatis, basi den-
sius tomentosis.

Long. 50 mill., lat. 8 mill.

Allongé, un peu luisant, densément revêtu de poils fauves
couchés, plus épais à la base du prothorax et des élytres, et sur
l’écusson. Antennes brunes. Front bombé, tronqué au sommet,
obliquement coupé au-dessus des fossettes antennaires. Pro-
thorax aussi long que large ou à peu près, curvilinéairement
rétréei au sommet, convexe, couvert de points serrés, peuts,
inégaux, ses angles postérieurs dirigés en arrière , aigus, carénés.
Écusson allongé. Élytres de la largeur du prothorax et un peu

(158 )

moins de trois fois plus longues, parallèles en avant, divariquées
au sommet, marquées de points nombreux et fins disposés en
séries transversales, sans trace de stries si ce n’est dans leur
moitié postérieure.

Dorey.

Un exemplaire (9°) dans la collection de M. Janson provenant
des chasses de M. Wallace.

7. T. Parryi. — (9) Fusco-niger, dense griseo-tomentosus;
antennis flabellatis, laminis latis; prothorace latitudine longiore,
a basi leviter angustato; elytris tenuiter punctato-substriatis,
interstitiis rugulosis, apice acuminatis.

Long. 24 mill., lat. 6 mill.

(à) Major, antennis serratis.

Long. 35 mill., lat. 10 mill.

Tetriqus Parryi. — Can. Mém. Acad. Belg., 1865, p. 18.

(x) Noirâtre, densément revêtu d’une pubescence d'un gris
clair qui voile la teinte des téguments. Front convexe, perpendi-
culaire en avant où son bord est arrondi. Antennes très-courtes,
leurs articles 2 et 5 petits, les suivants munis d'une longue
lamelle. Prothorax plus long que large , faiblement rétréei depuis
la base jusqu’au sommet avec les bords latéraux peu arqués,
assez convexe, moins densément ponctué sur le milieu du disque
que sur les côtés, ses angles postérieurs dirigés en arrière,
aigus, carénés. Écusson oblong, très-déclive. Elytres à peine
plus larges que le prothorax, deux fois et demie plus longues,
rétrécies à partir du milieu avec leurs côtés curvilinéaires,
aiguës et un peu divariquées au bout, très-finement ponctuées-
striées, les intervalles plats et finements rugueux. Pattes médio-
crement longues et assez grêles.

(2) Beaucoup plus grande que le mâle, plus noirâtre, la
pubescence moins dense, les antennes dentées en scie, les
élytres non divariquées au sommet.

Natal.

Ün mäle et deux femelles dans la collection de M. Janson.

( 159 )

CHALCOLEPIS.

Cano. Monogr., t. 1, p. 244.

C. LUCZOTI. — Cann. Monogr., t. 1, p. 245.

Nouvelle-Grenade. (Coll. Jans., Cand., ete.) Nicaragua. (Coll.
Sallé.)

TRIBU II.

CELA LOOMELPI DITrES!

Cette tribu reste composée des quatre genres sur lesquels elle
a été établie primitivement. Les Campsosternus et les Semiotus
seuls ont recu un contingent notable d'espèces nouvelles.

CHALCOLEPIDIUS.
Escas. — Entom. Arch. t. WI, 1829, p. 55.

Je n’ai pas cru nécessaire de reproduire ici le tableau synop-
tique des espèces, vu le petit nombre de celles que j'ajoute aux
anciennes. J'indiquerai pour chacune d'elles en quoi elle diffère
de celle de ces dernières où l’on aboutirait en consultant le
tableau en question.

J'ai réuni la deuxième et la troisième section en une seule,
l'établissement de celle-ci, basé sur la longueur relative du
5° article des antennes, me paraissant peu justifié.

Section I.

1. C. GOSSIPIATUS. — Guér. Rev. Zool., 1844, p. 17. — Canr.
Monogr., t. X, p. 265.

Nouvelle-Grenade; Vénézuéla.

On trouve, par exception, des individus de cette espèce chez
lesquels les intervalles des stries des élytres sont presque égaux,
notamment dans la variété Erichsoni.

( 161 )
2. C. OXIDATUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 266.

Vénézuéla.

Je ne connaissais autrefois que la 9; depuis, j'ai vu le &. Il
se distingue, outre le caractère tiré de la forme du dernier seg-
ment de l'abdomen, par ses jambes antérieures munies en dedans,
non de cils, mais d’une dizaine d’épines noires placées à distance
égale l’une de l’autre.

3. C. LEMOINEI. — Can. Monogr., t. 1, p. 266, pl. V, fig. 7.

Nouvelle-Grenade; Vénézuéla.

Même remarque que pour le précédent, en ce qui concerne le
mâle. Parfois le prothorax est couvert d'écailles vertes, avec
une bande blanche plus ou moins nettement limitée de chaque
côté.

4. C. exuLarus. — Niger, squamulis minimis griseis parce
obductus; prothorace latitudine paulo longiore, lateribus arcuato ,
paruim convexo, crebre punctulato sparsimque grosse punctato,
vitta laterali alba; elytris punctato-sulcatis, interstitiis alternis
elevatioribus, sulcis margine epipleurisque albis; subtus griseus.

Long. 28 mill., lat. 9 mill.

Cette espèce est indiquée, dans la collection de M. Janson,
comme originaire du Brésil. Si cette indication est exacte, c’est
le seul représentant dans ce pays des Chalcolepidius de la 1° sec-
tion; peut-être vient-il de quelque partie rapprochée de la Co-
lombie. Quoi qu'il en soit, il diffère peu du Lemoënei si ce n’est
par les points suivants : son prothorax est moins rétréei en avant
des angles postérieurs; il en résulte que ceux-ci sont moins diver-
gents ; ses bandes blanches latérales sont étroites et aussi nette-
ment séparées de la teinte foncée du milieu qu'elles le sont chez
le Zimbatus; ses épipleures sont blanches; enfin le dessous du
corps est d’un gris plombé, tandis qu'il est ordinairement blanc
chez le Lemoine.

11

(162)

5. C. ATTENUATUS. — Enicus. Zeülschr. f. d. Entom , t. IN, p. 86. —
Can. Monogr., t. 1, p. 267.

Mexique.

G. C. MEXICANUS. — Casr, Sib. Rev. t. IV, p: 15. — Cann. Monogr.,
t. 1, p. 268.

Mexique.

7. C. RUBRIPENNIS. — Lec. Proceed. Acad. Phil., 1861, p. 356.

Californie.

8. C. JEKELI. — Niger, squamulis minutissimis cyaneis dense
vestitus ; prothorace tenuiter punctato, punctis majoribus sparsis;
elytris basi parallelis, striatis.

Long. 40 mill., lat. 15 mill.

Cette espèce ressemble tout à fait au Lacordairei : même forme
très-cambrée, même couleur, mème taille ; mais elle a l’écusson
replié en avant comme toutes les espèces de cette section, son
prothorax est dépourvu des rides longitudinales qui constituent
l’un des caractères les plus saillants de celle à laquelle je la com-
pare, enfin ses élytres sont plus parallèles dans leur moitié anté-
rieure.

Le seul exemplaire © que j'aie vu et dont je dois la communi-
cation à M. Jekel est dépourvu d'antennes, en sorte que je ne
puis dire s’il a ces organes conformés comme ceux des oxydatus,
gossypiatus, etc. Il est indiqué comme provenant de Colombie,
mais j'ai des raisons de croire qu'il y a là erreur et que sa patrie
est l'Amérique centrale.

9. C. DESMARESTI. — Cnev. Col. du Mex. Cent., t. WI, p. 195. —
Canp. Monogr., t. 1, p. 269.

Mexique : Orizaba.

(163)

2m SECTION.

10. C. PORCATUS. — Lan. Syst. Nat., t. 1, I, pp. 652, 6. — Can.
Monogr., t. 1, p. 270.

Répandu dans toute l'Amérique méridionale jusque vers le
50% degré. La variété virens parait s'étendre au nord, jusqu'au
Mexique, mais elle y est très-réduite de taille et très-rare.

Une très-belle variété de la division b, c', originaire du Para,
dans la collection de M. Chevrolat, a le prothorax uniformément
brun et les élytres blanches sauf les intervalles impairs qui for-
ment des côtes noires, c’est-à-dire que sur ces derniers les lignes
blanches se sont élargies au point d’envahir les intervalles pairs
moins saillants que les autres.

11. C. AURULENTUS. — Niger, squamulis minimis viridibus,
aureo-micantibus tectus ; prothorace a basi angustato, apice
subito coarctato; elytris punctato-sulcatis, sulcis epipleurisque
albo squamulosis.

Long. 25-55 mill., lat. 71/,-11 mill.

Cette espèce présente les caractères généraux du porcatus ,
var. c/, c'est-à-dire qu'elle est revêtue de squamules vertes avec
les stries des élytres garnies d’écailles blanches plus grandes,
mais elle présente des différences assez marquées pour que, eu
égard aussi à son lieu d'origine, j'aie cru devoir la distinguer
comme espèce. Les écailles vertes ont un reflet doré rougeûtre ;
les blanches envahissent et recouvrent complétement les épi-
pleures, ce qui, je pense, ne s’observe pas chez le porcatus ; le
prothorax est moins régulièrement bombé, plus aplati latérale-
ment, enfin il se rétrécit assez brusquement au sommet où les
bords latéraux s’abaissent en même temps, tandis que dans toutes
les variétés du porcatus ces mêmes bords forment en cet endroit
une courbe régulière et restent dans le même plan partout.

Je ne puis le rapporter au Webbi Lec., espèce que je ne con-

( 164)
nais du reste que par la description, mais qui me parait en différer

par quelques points essentiels.

Californie méridionale.

Deux exemplaires & et @ dans la collection de M. Janson. Le
mâle, beaucoup plus grand que la femelle, a la partie interne
des jambes et du dernier article des tarses, aux quatre pattes anté-
rieures, garnie d'une double rangée de longs cils noirs.

12. C. LIMBATUS. — Esons. Thon, Arch. t. I, p. 35. — Cann. Mo-
nogr., t. Ï, p. 272.

Amérique méridionale. Il s'étend au sud jusque dans l’Uru-
guai, C'est, je pense, celui que l’on rencontre le plus loin dans
cette direction.

15. C. ZONATUS. — Escns. Thon, Arch., t. WU, I, p. 52. — Cann. Mo-
nogr., t. 1, p. 275.

Brésil, Guyane, Colombie.

(Addend.) Var. b. Squamulis brunneis , vittis strüsque albidis.

Mexique : Puebla. (Coll. Sallé.)

14. C. MOGQUERYSI. — Canr. Monogr., t. 1, p. 274.

Nouvelle-Grenade.

15. C. APPROXIMATUS. — Ericus. Zeütschr., t. III, p. 82. — Canon.
Monogr.. t. 1, p. 275.

Mexique.

N'est peut-être, ainsi que le précédent, qu'une variété du

Zzon«alus.

16. C. coRPULENTUS. — Crassus, niger, olivaceo -vestitus ;
antennis obscure cyaneis ; prothorace convexo, apice tantum an-
gustato, latissime pallide flavo limbato ; elytris striis per paria
approximalis, marginibus epipleurisque pallide flavis.

Long. 12 mill., lat. 45 mill.

(165)

Grand, épais, très-cambré, noir, revêtu de très-petites squa-
mules bronzé olivâtre, les côtés du prothorax largement flave
blanchâtre, de telle sorte que chacune des bandes latérales a la
même largeur que la bande bronzée médiane, les stries des ély-
tres et les bords latéraux, y compris les épipleures, également
garnis de squamules allongées flave blanchâtre. Antennes bleues,
les trois premiers articles noirs revêtus de poils vert bronzé, le
troisième aussi long que le quatrième. Prothorax aussi large que
long, droit et parallèle dans sa moitié postérieure, curvilinéaire-
ment rétréci en avant, bombé, finement et densément pointillé,
avec quelques gros points disséminés et des rides longitudales,
ses angles postérieurs presque droits, un peu tronqués au bout.
Écusson en triangle curviligne, sillonné au milieu, ses angles
arrondis. Élytres de la largeur du prothorax, bombées, sillon-
nées, les intervalles impairs plus larges et plus élevés que les
autres. Dessous et pattes bronzés, tarses noirs.

Bahia.
Une femelle dans la collection de M. Fry.

Cette espèce a la coloration du limbatus avec forme plus large,
plus bombée, ce qui la rapproche davantage du Bomplandi, mais
elle est plus massive que toutes celles que je connais. Elle se
distingue notamment par la grande largeur des bandes latérales
du prothorax.

17. C. SILBERMANNI. — Cuevr. Co. du Mex. Cent., Il, p. 497. —
Can. Monogr., t. 1, p. 275.

Mexique, Amérique centrale et Nouvelle-Grenade.

Le C. æquinoctialis Cast. doit être rapporté à cette espèce.

18. C. PRUINOSUS. —- Ericus. Zeütschr. f. d. Entom., t. II, p. 84. —
Can. Monogr., t. 1, p. 276.

Mexique.

19. C. Jansoni. — Niger, œneo-vestitus, opacus, subsericeus,
subopalescens; prothorace latitudine longiore, depresso, angulispos-

(166)

ticis divaricatis, truncatis; scutello triangulari; parte antica
coarctata; elytris punctato-striatis, angulo apicali mucronato.

Long. 28-35 mill., lat. 14 mill.

Allongé, assez déprimé, noir, très-densément recouvert de
très-petites écailles d’un vert olivätre, bronzé ou parfois légère-
ment bleuâtre, plus ou moins soyeux ou subopalescent, mat.
Front concave. Antennes noires, dentées en scie, leur troisième
article verdâtre, aussi long, mais plus étroit que le quatrième.
Prothorax allongé, déprimé, aplati latéralement, ses bords laté-
raux un peu sinueux, marqué de quelques points dans sa por-
tion antérieure, ses angles postérieurs divergents, fortement
tronqués au bout. Écusson triangulaire, sa moitié antérieure non
aplatie comme dans toutes les espèces de cette section, mais
rétrécie et déclive latéralement. Élytres de forme ordinaire, régu-
liérement striées, les stries fortement ponctuées, les intervalles
un peu convexes, le troisième élevé à la base, l'angle apical un
peu prolongé en pointe. Dessous et pattes comme le dessus.

Nicaragua.

J'en ai vu plusieurs exemplaires dans les collections de
MM. Janson, Fry et Sallé, trouvés par MM. Janson fils er Belt à
Chontales. Son aspect mat et soyeux le distingue de ses congé- |
nères. On ne pourrait le confondre qu'avec la variété verte du
porcatus, mais celui-ci a le corselet plus bombé, à angles posté-
rieurs moins fortement tronqués, les stries des élytres moins
ponetuées, la couleur d’un vert ordinairement plus clair, ete.

920. C. FABRICII. — Ericus. Zeütschr. f. de Entom., t. IL, p. 83. —
Can. Monogr., t. I, p. 277.
Nouvelle-Grenade.

91. C. BomPLANDI. — Guér. Rev. Zool., t. VII, p. 17. — Can.
Monoyr., t. 1, p. 278, pl. VI, fig. 5.

Nouvelle-Grenade. Il parait se trouver aussi au Mexique.

(Sallé.)

(167)

22. C. ESCHSCHOLTZI. —- Cuevr. Col. de Mex. cent., Y,p. 7. — Cawo.
Monogr., t. 1, p. 729, pl. V, fig. 8.

Mexique; État de Vera-Cruz.

23. C. RUGATUS. — Cano. Monogr., t. I, p. 280.

Chiapas; Tabasco; Guatemala.

2%. C. LACORDAIREI. — Can. Monogr., t. [, p. 281, pl. V, fig. 6.

Cette belle espèce, commune aux environs de la ville de Gua-
temala, se retrouve dans toute l'Amérique centrale jusque dans
la Nouvelle-Grenade, d’une part, et s'étend, de l’autre côté, en
suivant le littoral du Pacifique, jusqu'en Californie. Elle varie
beaucoup, quant à la couleur, mais sa teinte reste uniforme dans
chaque individu. Le type est bleu; il y en a de verts, vert-olive,
vert bronzé grisâtre, vert bronzé pourpre; un exemplaire de
la collection Janson, provenant de San Diego, en Californie,
s’écarte un peu des autres sous le rapport de la coloration : il
est violet-pourpre, avec le dos garni de sqamules brunes, visi-
bles seulement par leur reflet légèrement doré.

25. C. SULCATUS. — Fasr. Entom. system., t. I, p. 220, 20. — Can».
Monogr., t. 1, p. 282.

Antilles.

26. C. VALIDUS. — Canon. Monogr., t. 1, p. 283.

Antilles.

Ce n'est peut-être qu'une forme plus robuste du précédent.
27. C. LONGICOLLIS. — Canon. Monogr., t. K, p. 284.
Nouvelle-Grenade.

28. C. MORIO. — Cano. Monogr., t. 1, p. 284.

Mexique : Oajaca.

29. C. PERRISI. — Cann. Monogr., t. 1, p. 285.

Amérique équatoriale.

(168)
90. C. ERYTHROLOMA. — Can. Monogr., t. 1, p. 282, pl. VI, fig. 1.
Chili.

51. C. Fryi. — Niger, pilis squamiformibus flavescentibus
dense vestlilus; antennis cyaneis, articulo tertio quarto minore;
prothorace lateribus vitta abbreviata ferruginea; elytris striatis ,
interstiliis alternis paulo elevatioribus, ferrugineo-marginatis.

Long. 58 mill., lat, 15 mill.

Régulièrement bombé, en ovale allongé, noir, densément
revêtu de poils squamiformes flavescents, une bande raccoureie
de chaque côté sur le prothorax et le bord latéral des élytres
ferrugineux. Antennes bleues, leur troisième article notablement
plus court que le quatrième, noir ainsi que les deux premiers.
Prothorax à peine plus long que large, médiocrement bombé,
assez brusquement rétréei au sommet, portant un pointllé fin
et serré, quelques gros points disséminés et quelques rides
longitudinales peu marquées. Écusson triangulaire, sillonné au
milieu, bidenté en avant. Élytres de la largeur du prothorax ,
de forme ordinaire, striées, intervalles impairs un peu plus larges
et plus élevés que les autres. Dessous et pattes comme le dessus
sauf les tarses qui sont noirs garnis de poils à reflet bleu.

Pérou.

Système de coloration de l'erythroloma. Je n'en ai vu qu'une
femelle dans la collection de M. Fry.

52. C. OBSCURUS. — Casr. Sib. Rev., t. IV, p. 15. — Cann. Monogr.,
t.L, p. 286, pl. V, fig. 9.

Antilles.

53. C. HERBSTI. — Ericus. Zeüschr. f. de Entom., t. UT, p. 82. —
Canp. Monogr., t. 1, p. 287.

Amérique méridionale.
34. C. VIRGINALIS. — Can. Monogr., 1. 1, p. 288.

Yucatan : Merida.

( 169 )
99. C. CHALCANTHEUS. — Canon. Monog., t. 1, p. 288.

Brésil et Colombie.

96, C. CIRCUMDUCTUS. — Cano. Monogr., t. 1, p. 289.

État de Vera-Cruz.

97. C. ANGUSTATUS. — Canon. Monogr., t 1, p. 290, pl. VI, fig. 4.

Mexique : Oajaca.

98. C. WEBBI. — Lac. Proceed. Acad. Phil., 1854, p. 295.

Californie ; San Diego.

3€ SECTION,

99. C. VIRIDIPILIS. — Say, Ann. Lyc. t. 1, p. 287. — Cann. Monogr.,
LL, p. 290, pl. VI, fig. 2.

États-Unis du sud.

40. C. SMARAGDINUS. — Lec. Proceed. Acad. Phil., 1854, p. 225.

Californie : San Diego.

41. C. Boucarni. — Elongatus, niger, squamulis griseis tec-
us; antennis pectinatis ; prothorace latitudine sesqui longiore,
punctulato, sparsim grosse punctato; elytris profunde sulcatis,
sulcis punctatis.

Long. 24 mill., lat. 6 mill.

Cette espèce a la tournure du viridipilis, mais elle en diffère
par sa couleur grise, sa forme plus atténuée aux extrémités,
son prothorax portant, outre le pointillé ordinaire, de gros points
visibles à l’œil nu, ses élytres plus profondément sillonnées, etc.

La pectination des antennes du mâle est aussi très-différente :
les lamelles des articles sont larges et obliquement coupées à
partir du milieu. |

Je n'en ai vu qu'un o', provenant de Cuernavaca, au Mexique,
et appartenant à M. Boucard.

(170 )

SEMIOTUS.

Escas. in Tuon, Entom. Arch., 1829, t. IT, p. 51,

J'ai quelque peu modifié l’arrangement des espèces de ce genre.
Les sections 1, IV, V, vi et vu sont devenues les sections 1, 11, I,
iv et v; les sections 11, it et vin ont été fondues et constituent ici
les sections vi et vu. On verra dans le tableau ci-dessous sur quels

caractères elles ont été établies.

A Chaperon épineux.
a Une seule épine médiane.
aa Deux épines au moins.
a Élytres avec ou sans bandes noires; celles-ci dans le
premier cas ne dépassant pas le nombre de trois (1).
* Une seule bande noire sur le prothorax quand il en
existe . s
** Deux bandes noires . ARTEUNS ME
æz Plus de trois bandes sur chaque élytre.
*_ Élytres ornées de quatre à six raies noires .
#k Plus de six raies noires.
AA Chaperon inerme.
a Une seule épine au sommet des élytres.
aa Élytres biépineuses ou tronquées au bout.

Section I.

4. S. imperialis.

Section II.

A Élytres jaunes en avant. noires dans leur moitié postérieure.
a Antennes noires au sommet.
aa Antennes jaunes au sommet.
œ Élytres uniépineuses au bout
œx Élytres biépineuses au bout.

AA Élytres unicolores ou avec des bandes longitudinales discolores.

a Intervales des stries inégalement élevés.

aa Intervalles égaux.
æ Des taches noires, arrondies, sur le prothorax
aa Prothorax unicolore ou avec une bande.

Section I.

Section II.
Section LIT.

Section IV.
Section V.

Section VI.
Section VII.

2, S. cuspidatus.

15. S. caracasanus.

46. S. zonatus.

17. S. chontalenus.

13. S. Fryi.

1%, S. insignis.

(1) Il arrive quelquefois que la bande moyenne se divise en avant (S. fascicularis). Il

parait alors y en avoir quatre.

(174

* Trois bandes noires sur chaque élytre.
X La bande moyenne divisée en avant.
XX La bande moyenne entière.

+ Antennes noires.

11. S. fascicularis.

o Élytres finement ponctuées-striées. . . 8.8. Julvicollis.
00 De simples lignes de points très-faibles
SUIS EYES EEE OMIS anson
+-+ Antennes jaunes . . . CIS M SJ USCAUUS:

##_Deux bandes noires sur chaque die
æ Bords latéraux du prothorax formant un coude
brusque avant d'arriver aux angles antérieurs.
* Une tache ponctiforme noire vers le milieu du
bord latéral du prothorax . . 5. S. approximatus.
** Pas de tache noire sur le bord Reral du pro-
(ROTAX ES . + . à. S. suturalis. 4. S. sanguinicollis.
æ& Bords latéraux du ton Ro courbes
ou droits.

6. S. decoratus.

, - 40. S. bilineatus. 12. S. nigriceps.

Section III.

PANNES JAUNES EE en en cn. NE MERAURS
AA Antennes noires.
a Une petite tache noire sur le bord latéral du prothorax.
a Ces taches situées sur deux saillies des bords latéraux. 95. S
œ% Ces taches situées en arrière de ses sarllies quand elles

. illustris.

. angusticollis.

existent.
* Trois bandes noires sur chaque élytre . . . . . 18.8. tæniatus.
## Deux bandes noires.
X Bandes du prothorax flexueuses . . . . . . 91. S. intermedius.
XX Ces bandes droites.
UEIyÉreSIS triées a EN NEED Si affinis:
++ Élytres sans stries . . . . . 2%. S. Candezei.

aa Pas de tache noire sur le bord latéral du arond
22, S. longus. 19. S. Lafertei. %6. S. convexicollis.

Section IV.

A Une seule bande noire sur le prothorax . . . . 928. S. virgatus. 29, S. Illigeri.
AA Deux ou trois bandes, ou une tache trifide en avant sur le
prothorax.

a Une seule tache trifide en avant
aa Deux ou trois bandes sur le prothorax.
æ Deux bandes.
* (Ces bandes s'étendant latéralement jusqu'au rebord

38. S. elegantulus.

marginal.

X Suture des élytres noire.
SR DOTDS TC ES M D ONE RP TNS Sreqalis:
SE URres étroits ee 2 94. S. acutus.

XX Suture des élytres jaune. . . . . 30. s. onness al. S. punctatus.

(172)

*# Ces bandes étroites.

X Prothorax presque aussi large que long . . . 32.

XX Prothorax notablement plus long que large.

+ Trois épines au front . . . . . . . . 3.

++ Deux épines.
o Premier intervalle des stries jaune jus-

QU'AUNLOUTE SE ERENRE MP SS 5:
00 Premier intervalle noir en arrière . . . 36.

HR TNOIS bandes EE ARTE ni SX EME ASIE

Section V.

A Prothorax glabre.

PANIER ESMOUCEALES A NE NT OT NE 1e

aa Antennes noires.
æ Des taches noires aux angles antérieurs du prothorax. 42.
ax Pas de taches noires aux angles antérieurs du prothorax.
AA Prothorax pubescent.
a Élytres non striées.

MCOPPS ASE NET TERME D RE EE ee NA 0
DOMCOEP SI CLO TRANS NME En EU) AR EE RES Ro

aa Élytres striées.

œæ Une fine carène longitudinale au milieu du prothorax . 44.

S. Sommeri.
S. Superbus.
S. bispinus.

S. multifidus.
S. trilineatus.

S. glabricollis.

S. Reaumuri.

S. cristatus.
S. Linnei.

S. punctatostriatus

aa Pas de carène sur le prothorax. . . . . . . . . 45. S. auripilis.
/

Section VI.

A Rouge, l'extrémité des élytres noire. . . . . . . . 49.

AA Jaune.

a Pas de bandes noires sur le prothorax . . . . . . #7.

aa Des bandes noires sur le prothorax.

æ Une seule bande +, MC NN NC:
awaiDeux bandes Me NET SN NP Ar EEE TES
aaa Une tache centrale noire sur le prothorax. . . . . 53.

AAA Verdâtre.

D TÉMTNONS VIEURS 46 6 à 4 à à 0 9 o © © 0 Gb

aa Téguments glabres.

CSProtNO A IIMMACUIE RE PS
ÆOADLOINOTAX MALI RE PE O2

Section VII,

A uTallecrande (254 50millimetres) EE

AA Taille petite (15 à 20 millimètres, au plus).
a Corps fortement cambré, élytres gibbeuses à la base.

GMEIytres entiteS AU DOU NS RE TG)

æ4 Élytres échancrées au bout.

S. Schauini.
S. ligneus.
S. distinctus.
S. striatus.
S. scitulus.

S. seladonius.

S. virescens.
S. fusiformis.

S. luteipennis.

S, capucinus.

(475)

4 Une fossette scutellaire. . . . . . . . . . . 59. S. conicicollis.
** Pas de fossette scutellaire. . . . . . . . . . 8. .S. shramineus.

aa Corps normalement arqué en dessus.
% Une carène longitudinale sur le prothorax.
* Élytres noires latéralement . . . . . . . . . 61.8. nigricollis.
** Élytres unicolores . . . CR CAS bn
æx Carène du prothorax nulle ou _. ane.
* Élytres jaune-verdâtre, unicolores.

X Deux taches noires sur le prothorax. . . + . D. S. brevicollis
XX Une seule tache sur le prothorax.
+ Celui-ci pubescent . . . . . . . . . 56. S. quadricollis.
++ Glabre, . . = . 2: . . . . .: . . O1. S:-juvenilis.
** Élytres noires ou maculées.
X Élytres noires . . . D LE D 63 S/lmorio.
XX Élytres testacées, noires ééetonen . .« . . 64. S, limbaticollis.

17e SECTION.

1. S. IMPERIALIS. — Guér. Rev. Zoo!., t. VII, p. 45. — Canr.
Monogr., t. 1, p. 298.

Nouvelle-Grenade ; Ecuador.
2. S. CUSPIDATUS. — Cnev. Coléopt. du Mex., fase. À. — Can.
Monogr., t. 1, p. 299.

Mexique, Amérique centrale, Nouvelle-Grenade, Ecuador.

2me SECTION.
5. S. SUTURALIS. — Fagr. Entom. syst., t. 11, p. 224, 55. — Cano.
Monogr., t. 1, p. 305.

Guyane et Bas-Amazonc.

4. S. SANGUINICOËLLIS. — BLancx. Voy. de d’Orsieny, Col., p. 128. —
Can. Monogr., t. 1, p. 504.

Semiotus speciosus. — Ericas. Wiegm. Arch., 1847, p. 71, 1. — Can,
Monogr., t. 1, p. 337.

J'ai vu des exemplaires de ces deux types dans la collection
de M. Janson. Le premier, découvert primitivement dans Îa

(174)

Bolivie, a été retrouvé par M. Buckley dans la province de
Macas (Ecuador). Ceux du second que j'ai pu examiner prove-
naient de Tabatinga, sur le Haut-Amazone. Ce sont bien évi-
demment des variétés d’une seule et même espèce; je suis
même porté à croire qu'elles ne diffèrent pas spécifiquement du
S. suturalis, du Bas-Amazone et de la Guyane, mais pour tran-
cher cette question il faudrait voir des spécimens de la région
qui sépare ces points extrêmes. Indépendamment des couleurs,
qui varient du rouge corail au jaune clair, l’espèce actuelle a le
prothorax plus étroit, même chez la femelle, que le suturalis.
C’est la seule différence de quelque valeur qu'elle présente.

D. APPROXIMATUS. — Cap. Monogr., t. I, p. 505.

Cayenne.

6. S. DECORATUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 306.

Cayenne.

7. S. FURCATUS. — Far. Entom. sys., 2, 224, 55. — Can. Monogr.,
t. 1, p. 507.

Guyane et Para.

8. S. FULVICOLLIS. — BLancn. Voy. de d’OrBiany, Col., p. 129. —
Cann. Monogr., t. 1, p. 508. |

Guyane; Brésil; Bolivie.

9. S. Jansoni. — Elongatus, glaber, nitidus, luteus, fronte
basi nigra, spinis tribus, media brevi; prothorace elongalo,
parallelo, plaga longitidinali media nigra; elytris sulura et
margine late viltaque media nigris; pedibus nigro-marginalis.

Long. 20-25 mill., lat. 4-5 1}, mill.

Allongé, glabre et brillant, jaune avee la base du front, une
large bande longitudinale n’atteignant le bord antérieur que par
une avance médiane sur le prothorax, l’écusson, trois bandes
sur les élytres : une suturale, une marginale raccourcie, une

(175)

troisième allant du calus huméral à l'extrémité, généralement
rétrécie dans son quart antérieur, noirs. Front triépineux. An-
tennes noires avec les deux premiers articles jaunes. Prothorax
allongé, aussi étroit à la base qu'au sommet, un peu bombé au
milieu dans le sens longitudinal, éparsément ponctué, ses bords
latéraux assez épais, ses angles antérieurs assez saillants, arron-
dis, les postérieurs sensiblement divergents. Écusson échancré
en avant. Élytres plus larges que le prothorax, offrant, outre la
strie suturale, des stries de points plus accusées en arrière qu'en
avant. Dessous jaune avec une bande latérale noire ne s'étendant
pas sur l'abdomen; pattes jaunes bordées extérieurement de
noir.
Ecuador : province de Macas. (M. Buckley.)

Plusieurs spécimens dans la collection de M. Janson à qui je
le dédie. |
10. S. BILINEATUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 508.

Ecuador.

11. S. FASCIGULARIS. — Cann. Monogr., t. I, p. 309.

Nouvelle-Grenade.

12. S. NIGRICEPS. — Can. Monogr., t. 1, p. 510.

Brésil.

15. S. Fryi. — Niger, nitidus; antennis latis nigris, bast
rufis ; prothorace a basi angustato, lateribus late rufo-luteis ; ely-
tris latis, convexis, profunde punctato-striatis, interstitis con-
vexis, tertio et septimo elevatioribus margineque rufo-luteis.

Long. 27 mill., lat. 7 mill.

Large, brillant, noir avec la tête, le premier article des an-
tennes, les bords latéraux du prothorax, les troisième et sep-
tième intervalles des stries sur les élytres, la portion antérieure
des quatrième, cinquième et neuvième, ainsi que le bord exté-

(176)

rieur, d’un beau jaune rougeûtre. Épines de la tête courtes.
Antennes à articles très -larges à partir du troisième. Prothorax
allongé, cambré, rétréci à partir de la base, largement sillonné
le long du bord latéral, légèrement canaliculé au milieu, très-
finement et éparsément pointillé. Écusson subarrondi, sillonné.
Élytres larges, peu atténuées en arrière, profondément striées, les
stries ponctuées, les intervalles convexes, ceux colorés en jaune
un peu plus élevés que les autres. Dessous noir avec une série
de taches au milieu et sur les côtés rougeûtres. Pattes rouges,
tarses noirs.

Cette remarquable espèce est de Quito. Je n’en ai vu qu'un
exemplaire dans la collection de M. Fry, à qui je la dédie.

14. S. INSIGNIS. — Canv. Monogr. t. 1, p. 544, pl. VI, fig. 9.
Amérique centrale; Chontales.

15. S. CARACASANUS. — Rosas, Rev. Zool., 1855, p. 460. — Canon.
Monogr., t. 1, p. 511, pl. VI, fig. 15.

Vénézuéla.

16. S. zonarTus. — Niger, nitidus ; anlennis nigris, apice flavis ;
prothorace elongato, flavo-marginato; elylris subtiliter striato-
punctatis, apice oblique emarginatis, dimidia parte antica flavis.

Long. 14 mill., lat. 5 mill.

Noir et brillant, glabre, les trois derniers articles des antennes,
le bord latéral du prothorax, la moitié antérieure des élytres,
sauf la fossette scutellaire, et les côtés de l'abdomen d’un jaune
clair, Front armé de deux épines assez longues. Prothorax
allongé, un peu rétréci en arrière et en avant, médiocrement
convexe, éparsément ponetué, sans rebord latéral. Écusson un
peu transversal, sans échancrure en avant. Élytres plus larges
que le prothorax, obliquement échancrées et épineuses au bout,
finement striées-ponctuées. Dessous et pattes noirs et brillants,
sauf les côtés de l'abomen.

Ecuador, province de Macas. Trouvé par M. Buckley.

Deux exemplaires dans la collection de M. Janson.

(177)

17. S. cHONTALENUS. — Niger, nitidus ; antennis apice flavis ;
prothorace elongato, late aurantiaco-marginato; elytris subtiliter
punctatis, stria Ssuturali unica, apice transverse emarginatis,
bispinosis, dimidia parte antica aurantiaca.

Long. 17 mill., lat. fere 4 mill.

Noir et brillant, glabre, les quatre derniers articles des
antennes flaves , les bords latéraux du prothorax, largement , et
la moitié antérieure des élytres, jaune-orange. Front biépineux
en avant, marqué de quelques points. Prothorax très-allongé,
rétréci peu à peu d'arrière en avant, marqué de quelques
points épars vers le milieu, sans rebord latéral. Écusson sub-
triangulaire, noir. Élytres un peu plus larges que le prothorax,
transversalement échancrées et biépineuses au bout, ne présen-
tant qu'une strie, près de la suture, sa fossette scutellaire pro-
fonde, demi-cireulaire. Dessous noir avec les côtés de l'abdomen
jaunes. Pattes jaunes avec les tarses noirs.

Nicaragua : Chontales.

Un exemplaire trouvé par M. E. M. Janson. La coloration des
élytres de cette espèce, ainsi que de la précédente, n’a d’ana-
logue que chez le S. caracasanus. Quant à celle des antennes,
elle est particulière, dans le genre, à ces deux nouvelles espèces
et rappelle tout à fait certains Eudactylus et Smilicerus.

3e SECTION.

18. S. TÆNIATUS. — Ericus. ns. peruan. in Wiecm. Arch, A847,
p. 75. — Can. Monogr., t. 1, p. 512.

Ecuador.

19. S. LAFERTEI. — Cann. Monogr., t. 1, p. 315.
Mexique.

20. S. ILLUSTRIS. — Canon. Monogr., t. 1, p. 315.

Guyane : Cayenne.
12

(178)

21. S. INTERMEDIUS. — Herssr, Käf.,t. X, pp. 8, 21, pl. CLIX,
fig. 4. — Cann. Monogr., t. I. p. 314.

Brésil ; Rio.

22. S. LONGUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 315.

Mexique.

23. S. AFFINIS. — Guérix, Voy. d'Oscuzari in Verh. Zool. Bot. Ver.
Wien, 1855, p. 578, 25. — Can. Monogr., t. 1, p. 316.

Ecuador.

24. S. CanDEzEI. — Elongatus, glaber, nitidus, capite spinis
duabus acutis, brevibus remotis, sanguineo, macula verticali et
frontali nigris ; thorace luteo-rufescente, vittis duabus antrorsum
abbreviatis punctoque marginali nigris, angulis posticis divari-
catis, scutello emarginato fossulaque scutellari nigris; elytris
punctato-striatis, luteis, sutura postice latius vittaque lata late-

rali antice abbreviata nigris, interstiliis planis, stria suturali
sulciformi.

Long. 24-28 mill.

Kirscu, Berlin. Zeitschr., 1866, p. 180.

Bogota; rencontré aussi par M. Buckley dans l'Ecuador; il
pourrait bien n'être qu'une variêté de l’affinis.

La fossette scutellaire n'est noire que lorsque la bande sutu-
rale s'avance jusqu'à l'écusson.

25. S. ANGUSTICOLLIS. — BLancn. Voy. de d’Orbigny, col., p. 127.
— Can. Monogr., t. I, p. 517.

Brésil.

26. S. cONVEXICOLLIS. — BLanon. loc. cit, p. 128. — Can.
Monogr., t. 1, p. 518.

Guyane? Bolivie.

(179 )

ame SECTION.

27. S. REGALIS. — Guér. Rev. Zoo!., t. VIT, 1844, p. 16. — Can».
Monogr., t. 1, p. 519.

Nouvelle-Grenade; Ecuador.

28. S. VIRGATUS. — Ericns. /ns. peruan. in Wiegm. Arch., 1847,
p. 76. — Can. Monogr., t. I, p. 520.

Nouvelle-Grenade; Ecuador; Pérou.

29. S. ILLIGERI. — Guér. Rev. Zool., t. VIT, 1844, p. 16. — Canr.
Monogr., t. 1, p. 321.

Nouvelle-Grenade ; Ecuador ; Pérou.

90. S. GERMARI. — Guér. Loc. cit. p. 17. — Canr. Monogr., t. I,
p. 522.

Nouvelle-Grenade.

31. S. PUNCTATUS. — Cann. Monogr., t. I, 522.

Vénézuéla.
52. S. SOMMERI. — Cano. Monogr., t. 1, p. 525, pl. VI, fig. 11.

Cette espèce a ordinairement quatre raies sur les élytres, au
lieu de trois, ainsi qu'il est dit dans le texte. M. Kirsch a déjà
relevé cette erreur en lui comparant l'espèce suivante.

Nouvelle-Grenade; Ecuador.

53. S. SUPERBUS. — Elongatus, nitidus, glaber, capite tri-
spinoso, luteo, lunula verticali nigra; thorace disco punctato,
lateribus sparsim punctulatis, luteo, medio sanguineo, vittis
duabus abbreviatis nigris, angulis anticis obtusis, paulo promi-
nentibus, posticis paulo divergentibus; fossula scutellari scutel-
loque nigris, hoc disco sanguineo; elytris sulfureis, sutura

( 180 )

À

angusta vitlisque quatuor nigris; subtus sanguineus, utrinque
vitta nigra, lateribus sulfureis.

Long. 25 mill.

Kirscs, Berlin. Zeitsch., 1866, p. 181.

,

Bogota; trouvé également par M. Buckley dans l’Ecuador.

54. S. AcUTUS. — Angustus, nitidus, glaber, fronte trispi-
nosa, spinis luteis ; prothorace longo, fortius punctato, linea
media margineque luteis; scutello pallido, nigro-cincto ; elytris
elongatis, a basi attenuatis, apice acutissimis luteis, sutura
viltisque quatuor latis, nigris ; Subtus nigro, flavo circumcincto,
medio pedibusque rufescentibus.

Long. 20-25 mill., lat. 4-5 mill.

Étroit et allongé, très-atténué et aigu en arrière, glabre et
brillant; couleur dominante noire, avec les épines de la tête, une
ligne médiane et les bords, sur le prothorax et quatre lignes, les
impaires raccourcies, plus les épipleures, aux élytres, jaunes.
Front armé de trois épines, la médiane plus courte. Antennes
noires, les deux premiers articles jaunes. Prothorax étroit et
long, parallèle, assez ponctué, ses bords latéraux épaissis, ses
angles antérieurs ronds et saillants, les postérieurs assez diver-
gents. Écusson échaneré en avant, de couleur claire, bordé de
noirâtre. Élytres plus larges que le prothorax aux épaules,
rétrécies presque rectilinéairement depuis ce point jusqu'au
sommet, où elles sont très-acuminées, peu distinctement striées-
ponctuées, les intervalles finement réticulés. Dessous pubescent,
noir bordé de jaune, rougeâtre au milieu; pattes rougeâtres.

Ecuador : province de Macas. M. Buckley. L'un des plus
sveltes du genre. (Coll. Jans.)

35. S. BispiNuS. — Elongatus, glaber, nitidus; fronte spinis
approximatis duabus longiusculis, prothorace longo, parallelo,
punctato, medio obscure rufo, marginibus luteo, vittis duabus
nigris; scutello nigro; elytris subtiliter striato-punctatis, sutura,
stria marginali viltisque quatuor nigro-brunneis.

Long. 25 mill., lat. 5 mill.

(181)

Allongé, glabre et brillant, jaune, la base du front, deux
bandes parallèles sur le prothorax n’atteignant pas le bord anté-
rieur, et l’écusson noirs, l'intervalle entre les bandes du pro-
thorax rouge, la suture, la strie marginale et les intervalles
pairs des élytres d’un brun plus ou moins foncé. Front armé de
deux épines rapprochées, assez longues. Antennes noires, leur
base rougeûtre. Prothorax allongé, parallèle dans ses trois quarts
postérieurs, rétréei assez brusquement dans son quart antérieur,
médiocrement convexe, assez ponctué, ses angles antérieurs un
peu saillants, arrondis, les postérieurs divergents. Écusson
échancré en avant. Élytres plus larges que le prothorax, atté-
nuées en arrière, finement striées-ponctuées, acuminées au
sommet. Dessous rougeâtre, les côtés du métasternum et la
suture prosternale noirs, les bords de l'abdomen jaunes; pattes
rougeûtres.

Ecuador; province de Macas. M. Buckley. Je le décris d’après
un exemplaire de la collection de M. Janson.

36. S. MULTIFIDUS. — Élongatus, nitidus, rufus; antennis
nigris basi rufis; prothorace parallelo, convexo, sparsim punc-
lato, viltis duabus nigris; elytris luteis, vittis quatuor nigris.

Long. 22 mill., lat. 5 mill.

Rougeâtre, lisse et brillant, le prothorax marqué de deux
bandes noires parallèles, parfois presque effacées, réunies en
arrière quand elles sont bien marquées, l’écusson noir, les
élytres jaunes avec quatre raies noires, raccourcies en avant,
une suturale détachée de la suture en avant, une juxta margi-
nale, les deux médianes confondues à l'extrémité. Antennes
noires, les deux premiers articles rouges. Front armé de deux
épines aiguës. Prothorax allongé, parallèle sur les côtés , rétréci
dans son cinquième antérieur, convexe, très-éparsément ponctué,
impressionné dans le sillon juxta marginal latéral, ses angles
postérieurs un peu divergents, carénés. Élytres un peu plus
larges que le prothorax, marquées de séries de points rappro-
chées par paire, les intervalles noirs plus étroits. Dessous et

>

(18)

pattes jaune-rougeàtre avec les parapleures du métasternum
noirs.

Colombie. (Coll. Saunders.)

97. S. TRILINEATUS. — Canp. Monogr., t. 1, p. 524.

Nouvelle-Grenade.

98. S. ELEGANTULUS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 325.

Nouvelle-Grenade.

pme SECTION.

59. S. LINNEIL. — Guir. Rev. Zool., 1844, p. 17. — Can. Monogr.,
t. 1, p. 825, pl. VI, fig. 14.

Nouvelle-Grenade.

Une variété de l’Ecuador a la tête et le protorax rouges. Il
est remarquable que cette couleur remplace souvent le jaune
dans les Semiotus de la région andéenne, exemple S. speciosus Er.
(sanguinicollis BL.), virgatus Er., regalis, Schaumi Guér., ete.

40. S. CRISTATUS. — Latus, brunneus, pubescens ; fronte nigra,
spinis brevibus tribus sanguineis; prothorace latitudine paulo
longiore, apice angustato planiusculo, fortiter marginato, punc-
tato, nigro, linea media marginibusque sanquineis ; elytris pro-
thorace latioribus, striato-punctatis, interstitio tertio basi elevato.

Long. 2 mill., lat. 6 mill.

Assez large, comparé à ses congénères, pubescent sauf les
élytres, noir, les élytres brunes, les trois épines du front, le
pourtour du prothorax et une ligne médiane sur cette pièce,
l’écusson et les pattes rouges. Front peu excavé, son bord anté-
rieur présentant trois épines courtes, la médiane plus avancée
que les deux autres. Antennes assez longues, noires avee la base
rouge. Prothorax pas beaucoup plus long que large, arqué sur

(183)

les côtés, assez plat, finement ponctué, ses bords latéraux forte-
ment rebordés, ses angles antérieurs abaissés et un peu saillants
en avant, les postérieurs courts, divergents. Écusson échancré
en avant. Élytres plus larges que le prothorax, peu atténuées en
arrière, un peu déprimées vers la suture, striées-ponctuées, le
troisième intervalle élevé en forme de crête à la base. Dessous
assez pubescent.

Colombie.

Un exemplaire dans la ‘collection de M. Janson, sans indication
plus précise d'habitat.

41. S. GLABRICOLLIS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 526.

42. S. REAUMURI. — Can. Monogr., t. 1, p. 327.

45. S. BucrLeyi. — Elongatus, nitidus, glaber, luteus, fronte
spinis tribus, basi nigra ; prothorace longo, parum convexo, plaga
dorsali nigra, medio fortiter punctato, lateribus valde marginatis ;
scutello emarginato, nigro, medio pallido; elytris a basi atte-
nuatis apice acuminalis, sutura lineisque novem nigris; subtus
rufus, lateribus obscuris pubescentibus.

Long. 22-50 mill., lat. 5-7 mill.

Allongé, brillant, glabre en dessus, jaune clair avec la base
du front, une large bande, avancée en pointe au milieu vers le
bord antérieur, sur le prothorax, le pourtour de l’écusson et
neuf raies sur les élytres, plus la suture, noirs. Antennes assez
fortement dentées, noires, les deux premiers articles jaunes.
Front armé de trois épines, les externes assez longues. Prothorax
long, un peu rétréci au sommet, peu convexe, assez fortement
ponctué sur la tache noire, son rebord latéral épais, ses angles
antérieurs bien marqués, arrondis au bout, les postérieurs un
peu divergents, la saillie antéseutellaire élevée. Écusson échancré
en ayant, tranversal. Élytres plus larges que le prothorax, atténuées
en arrière, présentant des lignes de points distinctes seulement

(184)

sur les côtés et en arrière. Dessous rougeûtre, noir et pubescent
latéralement, le pourtour jaune. Pattes testacées.

Ecuador : province de Macas.

Cette belle espèce, dont j'ai vu deux exemplaires dans la col-
lection de M. Janson, a été découverte par M. Buckley, à qui je
la dédie.

LA. S. PUNCTATO-STRIATUS. — Cano. Monogr., t. 1, p. 528.

Nouvelle-Grenade.

45. S. AuRtpILIS. — Elongatus, paruin nitidus, brunneus;
fulvo-pubescens; fronte basi nigra, spinis tribus; prothorace lati-
tudine longiore, a basi angustato, plano, punctato, lateribus
carinatis; scutello subrotundato; elytris testaceis ad suturam
depressis, profunde striatis, striis punctatis, interstiliis convexis ;
subtus obscuro, pubescente, pedibus brunners.

Long. 24 mill., lat. 5 mill.

Très-voisin du précédent, mais plus étroit en proportion;
brun rougeûtre avec la base du front et les côtés du disque pro-
thoracique noirs, l'écusson et les élytres jaune testacé, plus clair
vers les bords latéraux, revêtu, sauf les élytres, d’une pubescence
couchée, soyeuse, d’un jaune d’or. Front impressionné, ponetué,
triépineux. Antennes brunàtres. Prothorax plus long que large,
rétréei en avant à partir de la base, avec les côtés un peu arqués,
plat, ponctué, ses bords latéraux surmontés d'une forte carène
un peu courbe, qui s'arrête avant d'atteindre les angles anté-
rieurs. Écusson subarrondi. Élytres plus larges que le protho-
rax, curvilinéairement atténuées en arrière à partir du milieu,
déprimées vers la suture, profondément striées, les stries ponc-
tuées, les intervalles convexes , le troisième élevé à la base.
Dessous brun noirâtre varié de rougeàtre et pubescent; pattes
brunes.

Bolivie. (Coll Janson.)

(185)

6me SECTION.

46. S. DISTINCTUS. — Herssr, Käf., t. X, pp. 5, 21, pl. CLIX, fig 5.
— Canp. Monogr., t. I, p. 501.

Brésil méridional.

47. S. LIGNEUS. — Lis. Syst. Nat., t. IL, pp. 652, 7. — Cann. Mo-
nogr., t. 1, p. 502.

Brésil; principalement dans la vallée de l'Amazone.

8. S. STRIATUS. — Guér. Voy. d’OscuLari, in Verh. Zool. Bot. Ver.
Wien, 1855, p. 579. — Canp. Monogr., t. 1, p. 529.

Ecuador : Rio Napo.

49. S. SCHAUMI. — Guér. Rev. Zoo!., t. VII, p. 17. — Can. Monogr.,
t. 1, p. 530, pl. VI, fig. 10.

Nouvelle-Grenade.

Dans une variété de l’'Ecuador on remarque une raie d'un
jaune clair, occupant la partie moyenne du troisième intervalle
des stries, sur les élytres.

50. S. SELADONIUS. — Guér. Rev. Zool., t. VI, p. 16. — Can. Mo-
nogr., t. 1, p. 550.

Nouvelle-Grenade.

D1. S. VIRESCENS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 531.

Nouvelle-Grenade.

92. S. FUSIFORMIS. — Ælongato-ellipticus, glaber, nitidus,
capite luteo, macula verticali nigra, fronte impressa, emargi-
nata; thorace subquadrato, remote punctulato, angulis anticis
rotundatis, productis, posticis acutis, retrorsum spectantibus,
lateribus anguste marginatis ciliatis, luteo, medio vitta fusiformi
nigra; elytris punctato-striatis, apice mucronatis, virescenti sul-

(186)

fureis, striis nigro-tinctis. Subtus brunneo testaceus, sparsim pu-
bescens, prosterno punctalo, utrinque nigro vittato.
Long. 15 mill.

Kinscn, Berlin. Zoitschr., 1866, p. 181.

Nouvelle-Grenade : Bogota.

55. S. SGITULUS. — Elongato-ellipticus, glaber, nitidus, anten-
ns nigris, basi rufis ; fronte rufa, medio emarginata; prothorace
subquadrato, parum convexo, sparsim punctato, angulis anticis
rolundatis, posticis leviter divaricatis, carinatis, luteo, plaga
rhomboidali nigra; scutello nigro; elytris convexis, brevibus,
apice acuminalis, striato-punctatis, luteis, sutura vittisque tribus
obscuris.

Long. 14 mill., lat. 2 5/, mill.

Petit, elleptiquement allongé, très-acuminé au bout, bombé,
glabre et brillant, jaune elair avec la tête rougeûtre, les antennes,
une tache rhomboïdale sur le prothorax et l’écusson noirs, la
suture et trois raies sur chaque élytre, n’atteignant pas la base,
noiratres. Front échancré, assez fortement ponctué en avant.
Prothorax carré, un peu bombé, un peu inégal vers les bords,
éparsément ponctué, ses angles antérieurs petits, saillants,
arrondis, les postérieurs courts, un peu divergents, carénés,
Écusson triangulairement oblong. Élytres convexes , arquées sur
les côtés, très-aiguës au sommet, striées-ponctuées. Dessous et
pattes jaune-rougeàtre avec une ligne de chaque côté obseurc.

Ecuador. Buckley. (Coll. Janson.)

7me SECTION.

94. S. LUTEIPENNIS. — Guér. Mag. de Zool., 1838, t.IX, pl. CCXX VIII,
fig. 2. — Cann. Monogr., t. I, p. 500.

Chili.
DD. BREVICOLLIS. — Can. Monogr., t. 1, p. 332.
Nouvelle-Grenade.

(187)

56. S. quaDriCOLLIS. — Subelongato-ellipticus, capile thorace-
que dense punctatis, fusco-pilosis, rufis, macula verticali vittaque
thoracis media nigris, fronte parum impressa, antice vix emar-
ginata, utrinque subtuberculata ; antennis (articulo primo ex-
cepto) nigris; thorace subquadrato, planiusculo ; elytris convexis
ad medium usque parallelis, apice emarginatis, punctalo-striatis,
sordide virescenti testaceis, striis obscuris, interstiliis convexis ;
subtus rufo-ferrugineus, thorace dense punctato appresse piloso,
prosterno medio lœvi aique glabro, abdomine lateribus subti-
lissime punclato et sparsim piloso, medio lœvi.

Long. 12 mill.
Kimscx, Bertin. Zeitschr., 1866, p. 181.

57. JUVENILIS. — ÆElongato-ellipticus, nitidus, fere glaber,
virescenti-flavus; fronte impressa, basi nigra; prothorace sub-
quadrato, sparsim fortiter punctato, angulis posticis carinatis.
vitta media fusiformi nigra; scutello subquadralo ; elytris strüs
fortiter brunneo-punctatis, interstitiès postice convexis, apice
emarginatis ; subtus pedibusque rufescentibus, sterni lateribus
nigris.

Long. 41 mill., lat, 2 5/, mill.

Petit, elliptiquement allongé, un peu bombé, médiocrement
luisant, portant quelques cils épars sur les côtés, jaune ver-
dâtre, la base du front et une petite bande fusiforme, raccourcie,
sur le prothorax, noires. Front échancré, fortement ponctué.
Antennes ? Prothorax presque carré, déprimé, un peu élevé
longitudinalement au milieu, fortement ponctué, ses angles
antérieurs courts, saillants, dirigés en avant, arrondis, les pos-
térieurs divergents et fortement carénés. Écusson subquadran-
gulaire, un peu plus long que large. Élytres sensiblement plus
larges que le prothorax, parallèles jusqu’au milieu, échancrées
au bout, assez fortement ponctuées-striées, les points brunâtres,
les intervalles convexes en arrière, la fossette scutellaire à peu
près nulle. Dessous et pattes rougeûtres, avec la suture du pros-
ternum et les côtés du métasternum noirs.

Colombie. (Coll. Janson..)

(188)
58. S. STRAMINEUS. — Can. Monogr., t. 1, p. 535.

Nouvelle-Grenade.

59. S. CONICICOLLIS. — Cann. Monogr., t. 1, p. 335.

Nouvelle-Grenade.

60. S. CAPUCINUS. — Can. Monogr., t. I, p. 334-

Nouvelle-Grenade.

61. S. NIGRICOLLIS. — Canon. Monogr., t. 1, p. 335.

Nouvelle-Grenade.

62. S. niprycaus. — Elongatus, parum nitidus, virescenti-
flavus ; fronte impressa, parum punctata et emarginata, rufes-
centi, vertice nigro maculata ; antennis nigris, basi rufescentibus;
prothorace plano, carina longitudinali media, dense punctato,
pubescente, disco nigro, subquadrato ; elytris prothorace latio-
ribus, ultra medium parallelis, apice breviter emarginatis,
striis profundis brunneo-punciatis, interstitis convexis.

Long. 15 mill., lat. 8 mil.

Allongé, peu brillant, pubescent, sauf les élytres, d'un flave
verdâtre, le front rougeâtre avee une tache basilaire noire, le
prothorax noir avec le pourtour flavescent. Front carré, peu
ponctué, impressionné en avant, légèrement échancré. Antennes
noires, leur base rougeâtre. Prothorax un peu plus long que
large, subrectangulaire, plat, caréné longitudinalement au mi-
lieu, assez densément ponctué, ses angles antérieurs assez
larges , arrondis, les postérieurs suivant la direction des bords
latéraux, subearénés. Écusson un peu oblong. Élytres visible-
ment plus larges que le prothorax, parallèles jusqu'au delà du
milieu, brièvement échancrées au bout, fortement striées, les
stries marquées de points brunâtres, les intervalles convexes
dans toute leur longueur. Dessous et pattes rougeûtres.

Ecuador; Buckley. (Coll. Janson.)

( 189 )

63. S. MORIO. — Can. Monogr., t. 1, p. 356.

Nouvelle-Grenade.

64. S. LIMBATICOLLIS. — Cao. Monogr., t. 1, p. 336.

Nouvelle-Grenade.

OISTUS.

Can. Monogr., t. 1, p. 558.

4. O. cacicus. — Can. Monogr., t. I, p. 559.

Mexique : Orizaba.

9, O. SPHENOSOMUS. — Cap. Monogr., t. I, p. 539.

Mexique : Orizaba.

CAMPSOSTERNUS.

Larr. Ann. Soc. entom. Fr., t. IF, p. 141.

Les espèces de ce beau genre sont principalement répandues
dans l’Indo-Chine et la partie orientale de l'Hindoustan, y com-
pris Ceylan. On en rencontre aussi, mais plus rarement, dans
les grandes îles de la Malaisie et en Chine, mais ils disparaissent
au delà. Dans l'énorme quantité d'insectes récoltés par M. Wal-
lace pendant les onze années qu’il a passées dans l'archipel
malais , il ne se trouve que trois Campsosternus : deux, capturés
à Sarawack, et un à Singapore.

Vers l’ouest je n’en connais que deux (C. Duponti, Delesserti),
qui dépassent la longitude du cap Comorin.

A Des bandes rouges non métalliques sur le prothorax.
a Prothorax finement rebordé sur les côtés.

& Angles postérieurs du prothorax carénés 2. C. Dohrni.

œa Angles postérieurs du prothorax non carénés. . . . 3. C. Mouhoti.
aa Prothorax fortement rebordé latéralement.

æ Angles postérieurs du prothorax larges et épais. . . 4. C. gemma.

œœx Angles postérieurs aigus et divergents.

(190 )

* Prothorax portant deux fortes impressions au moins
GuBIE CEE 2 9 oo à 4.0 0 0 . . . 6. C. œneus.
** Prothorax sans impressions ou avec de nofles im-
pressions ponctiformes.
X Bande verte du milieu du prothorax étroite . . 1. GC. splendidus.
XX Cette bande large à + … … à: … . . … … … 5. CG. Stephensi.

AA Pas de bandes rouges non métalliques sur le prothorax.
a Corps glabre en dessus.
a Quatre fossettes profondes sur le disque du prothorax . 15. G. Bohemani.
æa Prothorax plus ou moins impressionné mais sans fos-
settes arrondies et profondes.
* Prothorax aplati en dessus, sa surface unie et mate. 14% C. aureolus.
** Prothorax plus ou moins bombé en dessus ou avee
une côte longitudinale au milieu.
X Une saillie costiforme longitudinale au milieu
du prothorax.
+ Ses angles postérieurs divergents.

OMACATÉNÉS RTE ET RC SD poNTe
C0 NON ARÈNES 0 5 à 002 006 006 0 A6 (C6 lise
++ Ces angles droits . . . . . . . 16. CG. Templetoni.

XX Prothorax bombé au milieu, ses côtés D sont
plus ou moins déprimés.

+ Prothorax sans impressions sur le disque.

o Ses angles postérieurs peu ou point ca-

rénés.
c Vert; prothorax finement et éparsément
ponctué au milieu. . . . 1. C. fulgens.
ce Bronzé; prothorax fortement HUE
DAHQUÉ à 9 4 « . . . . . 9. G. punctatus.
oo Les angles fortement noue . . . . S. GC. latiusculus.

+-+ Prothorax impressionné de chaque côté.
o Ponctué, très-finement granuleux et à
demi mat.

CRÉLNITESIS ANSE TE 192. C. violatus.
cc Élytres striées-ponctuées . . . . . 48. C. Plutus.
00 Prothorax éparsément ponctué, très-bril-
lant.
ec Très-impressionné, vert brillant . . 10. GC. rutilans.
ce Peu-impressionné; élytres rouge-pour-
pre extérieurement . . - . . . 11. GC. igneus.

AA Corps, au moins le prothorax, pubescent en dessus.
a Élytres fortement ponctuées-striées ou offrant des lignes
de poils blancs . . . . . . . . . . 49. G. tricolor. 20. C. Guerini.
aa Élytres sillonnées ou unies.
œ Pattes testacées ou ferrugineuses ou rouges.

* Prothorax plus long que large . . . . . . . . 22, C. Nietneri.
** Prothorax moins long que Se à la base.
X Élytres jaunes . . . Re te 108 CR Gandeser

XX Élytres vertes, a

(191 )

o Angles postérieurs du prothorax non divergents.
c Carénés . ee 2 CS pallidipes:
CCUNONNCARENES EN CN NN MS CG TullerT.
oo Ces angles divergents.
© Prothorax fortement et éparsément ponctué.
x Petit, d’un cuivreux bronzé . . . . . 91. C. venustulus.
xx Assez grand, vert doré. . . . . . 93. C. malaisianus.
cc Prothorax densément et fortement Fe 92. CG. sobrinus.
ax Pattes brunes ou métalliques.

* D'un noir violet, prothorax bleu. . . . . . . . 97. C. luctuosus.
** Bronzé vert ou brun.
X A peine pubescent. . . . . 29. C. Delesserti.
+ Élytres à peine Lsfraenen dns à . 96. C. Apollo.

++ Élytres ponctuées.
XX Élytres pubescentes.
+ Pubescence très-forte et blanchâtre.
0 Prothorax aussi long que large . . . . 33. C. argentipilis.
00 Prothorax plus large que long. . . . . 34. Saundersi.
++ Pubescence médiocre.
0 Prothorax trapéziforme.
c Rebord latéral du prothorax prolongé
jusqu'à l'extrémité des angles posté-

DEUTS cote 30. C. Cantori.
cc Ce rebords rent ut arte le
angles postérieurs . . . . . 91. C. Mniszechi.
00 Prothorax à côtés parallèles dans Pau io
tion moyenne . . . . . . . . . oo. C. parallelus.

1. C. SPLENDIDUS. — Herssr, Käf., t. X, p. 5, 10, pl. CLIX, 2. —
Canp. Monogr., t.1, p. 542.

Tenasserim.

2. C. DonrNI. — Wesrw. Cab. of orient. Entom., 1848, p. 17,
pl. XXXV, fig. 2. — Cann. Monogr., t. 1, p, 545.

Assam.

3. C. Mounori. — Chalybeo-viridis, nitidissimus, glaber, an-
tennis nigris; prothorace lateribus sanguineo, convexo , sparsim
punctato, angulis posticis haud carinatis; elytris punctatis,
striatis.

Long. 18 mill., lat. 5 mill.

D'un vert bleuâtre brillant avec les côtés du prothorax rouges,
glabre. Front ponctué et impressionné. Antennes assez courtes ,

(192)

noires, à articles 3-11 larges et ponctués. Prothorax plus large
que long, un peu arrondi sur les côtés en avant, un peu bombé,
éparsément ponctué dans la portion médiane, sans points sur les
côtés, marqué de deux impressions vers la base, ses angles
postérieurs divergents, courts, un peu bombés, mais non
carénés. Écusson en ovale transversal. Élytres de la largeur du
prothorax et parallèles jusqu'au milieu, acuminées à l'extrémité,
très-finement striées, finement ponctuées et réticulées. Méta-
thorax et pattes de la couleur des élytres, flanes du prothorax
rouges, prosternum vert et abdomen d’un vert bronzé ; tarses
noirs.

Laos.

Plusieurs exemplaires de cette petite et jolie espèce, envoyée
par Mouhot, existent dans les collections de MM. Janson et
Saunders et dans la mienne. Elle se rapproche du C. Dohrni,
mais s’en distingue par plusieurs caractères importants.

4. C. GEMMA. — Canv. Monogr., t. 1, p. 344.
Chine : Schang-Hai.

5. C. STEPHENSI. — Hope, Zoo!. miscel., 1829, p. 28. — Canon.
Monogr., t. 1, p. 344.

Népaul.

6. C. ÆNEUS. — Aeneus, nitidus, glaber ; fronte valde concava ;
prothorace longitudine latiore, lateribus medio parallelis, medio
subelevato nitidissimo, utrinque deplanato, granulato, opaco,
rubescente, dorso impresso, angulis posticis valde divaricatis ;
elytris tenuiter reticulatis; subtus pedibusque concoloribus.

Long. 54 mill., lat. 10 1}, mill.

Entièrement d’un bronzé assez brillant, glabre, les côtés du
prothorax légèrement teinté de rouge sombre. Front fortement
concave. Antennes noires. Prothorax plus large que long, ses
bords latéraux parallèles dans leur’ partie moyenne, assez brus-

(495)

quement rétréei au sommet, plat, avee le milieu un peu élevé,
celui-ci lisse brillant et éparsément ponctué, les côtés finement
granuleux et mats, présentant une ou deux impressions assez
profondes et plus ou moins réunies, de chaque côté de la portion
élevée et lisse, ses angles postérieurs longs, assez grèles, très-
divergents, leur pointe aiguë et un peu recourbée en arrière.
Écusson fortement transversal, obcordiforme. Élytres plus larges
que le prothorax, atténuées à partir de la base, très-finement
réticulées, aiguës au bout, présentant à la base des traces de
sillons et une élévation de chaque côté de la fossette seutellaire.
Dessous et pattes de la couleur du dessus.

Bengale. (Coll. Fry.)

Cette espèce se distingue aisément de toutes les autres : par la
coloration rouge des côtés du prothorax, de celles qui n'ont pas
de rouge, et des précédentes par le peu d'intensité de cette
teinte; du Stephensi notamment dont elle se rapproche le plus
par les fortes impressions du disque prothoracique et le paral-
lélisme des bords latéraux de cette pièce.

7. C. FULGENS.— Fagr. Entom. syst., t. IN, p. 220, 22. — Canon.
Monogr., t. 1, p. 345.

Chine méridionale.

8. C. LATIUSCULUS. — Viridis, nitidus, glaber; antennis
nigris; prothorace lato, œqualiter convexo, punctato, angulis
posticis haud divaricatis, punctatis; elytris brevibus, minus
nilidis, sæpe violaceo tinctis, subtilissime striatis, crebre punc-
tatis, subtus pedibusque viridibus nitidioribus, tarsis nigris.

Long. 23-55 mill., lat. 8 ‘/,-11 mill.

Court et large, régulièrement bombé, médiocrement brillant,
glabre, vert avec un reflet violet sur les élytres. Front impres-
sionné. Antennes noires. Prothorax plus large que long, rétréci
d’arrière en avant avee les côtés arqués au sommet, un peu et
régulièrement bombé, rebordé latéralement, couvert d’une pone-
tuation assez dense, ses angles postérieurs carénés. Écusson

15

(194)

transversal. Élytres un peu moins larges que le prothorax, deux
fois seulement plus longues, bombées, ponetuées comme le
prothorax, finement striées. Dessous et pattes verts, brillants;
tarses noirs.

Poulo-Pinang et Malacca; Bornéo. (Colleet. Jans., Cand.)

Les stries des élytres sont plus ou moins marquées; parfois
elles manquent presque complétement.

9. C. PUNGTATUS. — Aureo-cupreus, minus nitidus, glaber;
antennis nigris; prothorace longiludine latiore, æqualiter con-
vexo, Crebre punctato, angulis posticis haud divaricatis, haud
carinatis ; elytris breviusculis, nitidioribus, punctatis, basi punc-
tato-striatis; sublus pedibusque concoloribus.

Long. 25 mill., lat. 8 mill.

De la tournure du précédent, régulièrement bombé, médio-
erement brillant, glabre, d'un euivreux bronzé. Front impres-
sionné. Antennes noires. Prothorax plus large que long, peu
atténué en avant, sa surface égale et bombée, densément cou-
verte de points, ses bords latéraux étroitement aplatis et rebor-
dés, ses angles postérieurs non divergents, dépourvus de carènes.
Écusson transversal. Élytres de la largeur du prothorax et un
peu plus de deux fois plus longues, régulièrement et curvili-
néairement rétrécies à partir de la base, acuminées au sommet,
ponctuées comme le prothorax, présentant quelques stries ponc-
tuées à la base. Dessous et pattes d’un bronzé un peu plus ver-
dâtre que le dessus; tarses noirs.

Singapore.

Un exemplaire, rapporté par M. Wallace, dans la collection
de M. Janson.

10. C. RUTILANS. — Cnevr. Rev. Zool., 1841, p. 222. — Can.
Monogr., t, 1, p. 546.

Philippines.

Cah950)

11. C. 1eNEus. — Viridis, nitidissimus, glaber; prothorace
a basi angustato, remote subtiliter punctato, utrinque leviter
biimpresso, angulis posticis haud divaricatis, carinatis ; elytris
reliculatis, punctatis, lateribus igneo-purpureis.

Long. 20-25 mill., lat. 7-8 mill.

Cette espèce est très-voisine du rutilans, mais elle est con-
stamment plus petite, son prothorax est moins plat, moins for-
tement impressionné, et ses élytres sont toujours teintées latéra-
lement, surtout en arrière, d’un pourpre doré très-vif.

Malacea et Bornéo. (Coll. Jans., Cand.)

19. C. VIOLATUS. — Germ. Zeischr., t. AV, p. 106. — Can.
Monogr., t. I, p. 547.

Bengale.

15. C. PLurus. — Aureo-viridis, nitidus, g'aber ; prothorace

oblongo, a basi attenuato, lateribus fere recto, dorso granulato

2 2 2 2
punctalo et utrinque impresso, angulis posticis haud divaricatis,
acute carinatis ; elytris striaio-punctatis.

Long. 50-52 mill., lat. 9-9 '}, mill.

D'un beau vert doré assez brillant avec le prothorax d'aspect
légèrement soyeux, glabre. Antennes courtes, noires, leur base
verdètre. Prothorax trapéziforme, ses côtés droits, sauf au som-
met, rebordés, le disque peu bombé, aplati et impressionné
latéralement, finement rugueux et ponctué, ses angles posté-
rieurs nullement divergents, fortement carénés. Écusson trans-
versal, plan. Élytres fortement impressionnées à la base,
finement ponctuées-striées, les intervalles pointillés. Pattes
rougeûtres, les tarses bruns.

Bornéo.
Sa forme est celle des rutilans et violatus, mais son aspect

soyeux lui donne une physionomie propre. Il diffère de tous
deux par ses élytres nettement ponctuées-striées. (Coll. Jans.)

(196)

1%. C. AUREOLUS. -— Hors, Grirr. Anim. Kingd. t. 1, p. 565.
pl. XXXI. — Cann. Monogr., t 1, p. 347.

Poulo-Penang.

15. C. BOHEMANI. — Can. Monogr., t. 1, p. 548, pl. VI, fig. 7.

Ceylan.

16. C. TEMPLETON. — Wesrw. Cab. of orient. Entom., 1848,
p. 74, pl. XXXV, fig. 4. — Cann. Monogr., t. I, p. 548.

Ceylan.

17. C. DuPonTi. Hore, Trans. Ent. Soc., t. III, p. 290. — Can.
Monogr., t, 1, p. 549.

Malabar.

18. C. Iris. — Smaragdinus, nitidissimus, glaber; antennis
longiusculus, nigris; prothorace trapeziformi, violaceo-tincto,
planiusculo, medio longitrorsum elevato, lateribus marginato,
angulis posticis divaricatis, haud carinatis; scutello purpureo;
elytris reticulatis, basi impressis et rugatis.

Long. 50 mill., lat. 8 '/, mill.

D'un beau vert d’émeraude très-intense, avec des reflets
violets principalement sur le prothorax, très-brillant et glabre.
Front d'un vert doré avec l'impression médiane violette. An-
tennes assez allongées, noires (5°). Prothorax trapéziforme, ses
côtés rectilignes et brusquement portés en dedans en faisant un
coude au sommet, sa surface plane, finement rugueuse, avec
une élévation longitudinale médiane plus lisse, rebordé latérale-
ment, ses angles postérieurs divergents et non carénés. Écusson
subarrondi, d’un violet pourpré. Élytres allongées, un peu plus
larges que le prothorax, atténuées vers l'extrémité, celle-ci spini-
forme, finement réticulées sans stries, leur base présentant une
impression rugueuse. Dessous et pattes d’un vert légèrement
bronzé, les tarses noirs teintés de vert métallique.

Madras.

(197)

Cette magnifique espèce se rapproche du Dupont par la
forme du prothorax. Je la décris d'après un mäle de la collection
de M. Janson.

19. C. ROSICOLOR. — Hors, Trans. Entom. Soc., t. III, p. 290. —
Cano. Monogr., t. 1, p. 550.

Java.

20. C. GUERINI. — Cann. Monogr., t. I, p. 551.

C'est le C. Latreilleÿ Guér. (Voy. de Delessert, 1843, p. 37),
nom qui fait double emploi avec celui appliqué, la même année,
par Germar, à une autre espèce. |

Coromandel.

21. C. VENUSTULUS. — Canp. Monoyr., t. 1, p. 351.

Ceylan.

22. C. NiETNERI. — Ferrugineus, œæneo-tinctus, flavo-sericeus ;
antennis brunnes; prothorace depresso, latitudine longiore, a
basi angustato, subtiliter punctulato; elytris substriatis, crebre
punctulatis, apice mucronalis.

Long. 25 mill., lat. 6 mill.

Canp. Mém. Acad. Belg. t. XVII, 1865, p. 19.

Étroit et allongé, ferrugineux avec un reflet bronzé, revêtu
d'une légère pubescence flave. Front impressionné. Antennes
brunes. Prothorax plus long que large, peu à peu rétréci depuis
la base jusqu'au sommet, assez déprimé, finement ponctué.
Élytres finement striées, les intervalles plats, très-pointillés,
leur extrémité aiguë. Dessous de la couleur du dessus.

Ceylan : Rambodde.

23. C. MALAïisIANUS. — Viridis, aureo-micans, subtiliter
pubescens ; antennis nigris; prothorace utrinque deplanato, medio
longitrorsum elevato, aureo et chalybeo-tincto; scutello chalybeo ;

(198)

elytris lineis Subelevatis, sparsim punctatis; apice acuminatis ;
subtus densius cinereo-pubescens, pedibus rufis.

Long. 50 mill., lat. 9 mill.

Cano. Mém. Acad. Belg.,t. XVII, 1865, p. 19.

Vert, avec des reflets dorés surtout sur les côtés du prothorax
et la base des élytres, le premier revêtu d'une pubescence courte
et éparse, cendrée. Antennes noires, très-finement pubescentes.
Front fortement impressionné. Prothorax un peu plus large que
long, curvilinéairement rétréci au sommet, un peu bombé, assez
densément ponctué avec les intervalles très-finement rugueux,
au moins latéralement, assez fortement rebordé vers les angles
antérieurs, les postérieurs divergents. Éecusson plus large que
long, transversalement impressionné. Élytres un peu plus larges
que le prothorax, impressionnées et sillonnées à la base, densé-
ment ponctuées, acuminées au bout. Dessous teinté de bleu et
pubescent. Pattes rouges.

Poulo-Pinang ; Siam : Juthia.

2%. C. PALLIDIPES. — Can. Monogr., t.1, p. 352.

Ceylan.

25. C. Muzeri. — Purpureo-metallicus, nitidus, subtiliter
pubescens; antennis nigris ; prothorace longitudine latiore, a basi
angustalo, parum convexo, medio punclato, lateribus subtilis-
sime granulalo, angulis posticis vix divaricatis, haud carinatis;
elytris vix visibiliter striatis, sublilissime strigqulosis; subtus
viridis, pedibus laie rujis.

Long. 26 mill., lat. 8 mill.

D'un cuivreux pourpré, médiocrement brillant pour le genre,
le prothorax pubescent. Antennes noires. Front concave. Pro-
thorax un peu plus large que long, trapéziforme avec ses côtés
un peu arqués en avant, peu convexe, marqué de points dans
son milieu et finement granuleux sur les parties latérales, ses

( 199 )

bords latéraux étroitement rebordés, ses angles postérieurs
aigus, à peine divergents, dépourvus de carène. Écusson trans-
versal, concave. Élytres de la largeur du prothorax, curvili-
néaires sur les côtés de la base au sommet où elles sont divari-
quées et mucronées, marquées de très-fines stries à peine
visibles, leur surface finement et transversalement ruguleuse.
Dessous vert; pattes d’un rouge clair.

Sumatra.

Un exemplaire trouvé par M. Muller et appartenant au musée
de Leyde.

26. C. APoLLO. — Vüiridis, nitidissimus, aureo et purpureo
micans; antennis nigris; prothorace apice angustalo, convexius-
culo, basi lateribusque breviter pilosulis, sparsim punctato;
elytris medio latiusculis, punctatis, subsulcatis; subtus pubes-
cens. :

Long. 52 mill., lat. 10 mill.

Assez large, très-brillant, vert avec des reflets dorés et pour-
prés, le prothorax pubescent à la base et sur les parties latérales.
Antennes noires, assez fortement dentées en scie (S). Prothorax
un peu plus large que long, assez rétréci en avant, ses côtés
rectilignes jusque près du sommet où ils se recourbent en
dedans, un peu convexe avec quelques impressions vagues laté-
ralement , éparsément ponctué. Écusson subarrondi, subcaréné,
vert. Élytres plus larges que le prothorax, parallèles jusqu’au
milieu, puis régulièrement rétrécies jusqu’au sommet, impres-
sionnées et sillonnées à la base, largement subsillonnées sur le
disque, assez densément ponctuées. Dessous et pattes pubes-
cents, vert teinté de bleu en avant et de cuivreux en arrière.

Laos.

Provenant des chasses de Mouhot. (Coll. Saunders, Janson et
Castelnau.)

27. C. Lucruosus. — Atro-cyaneus, parum nitidus; protho-

( 200 )

race trapeziformt, lateribus opacis, subgranulatis, punciatis
breviterque pubescentibus, angulis posticis elongatis, divaricatis ;
elytris violaceo-nigris, latis, glabris.

Long. 55 mill., lat. 40 mill.

D'un bleu sombre, non métallique, avec les élytres d’un noir
légèrement violet, glabre, sauf les côtés du prothorax qui pré-
sentent une courte pubescence, peu luisant. Front fortement
impressionné, rugueux. Antennes noires. Prothorax court, tra-
péziforme, assez fortement rétréci en avant, élevé au milieu où
il est violet et ponctué, ses côtés finement rugueux et ponctués
avec des traces vagues d’impressions, ses bords latéraux forte-
ment rebordés et inégalement crénelés, ses angles postérieurs

assez grêles, allongés, sans carènes. Écusson transversal. Élytres
amples, plus larges que le prothorax, parallèles jusqu'au milieu,
impressionnées à la base, leur disque finement rétieulé et poin-
tillé avee de vagues traces de sillons. Dessous et pattes violets,
luisants.

Madras.

La couleur insolite de cette espèce la distingue de toutes les
autres. Elle existe dans la collection de M. Janson.

98. C. CANDEZEI. — Fulvo-ferrugineus, parum nitidus ; pro-
thorace trapeziformi, planiusculo, medio elevato et obscuriort,
pube subtili sericea, densa cinercaque obducto; elytris dilutio-
ribus, obsolete striatis.

Long. 55-42 mill., lat. 10-15 mill.

Dour, Stettin. Entom. Zeitschr., 1875, 17.

Bornéo : Sarawack.
J'ai vu quatre exemplaires de cette espèce : deux dans la col-

lection de M. Janson, les autres dans celles de M. Dobrn et du
musée de Gènes.

29. C. DELESSERTI. — Guér. Rev. Zool., 1840, p. 58. — Canr.
Monogr., t. 1, p. 655.

Nielgerrhies.

(201)

30. C. CANTORI. — Horr, Trans. Ent. Soc., t. IL, p. 288. —- Cap.
Monogr., t. 1, p. 355.

Syblet; Birmanie.

51. C. Mniszecni. — Fusco-æneus, parum nitidus, villo-
sulus; prothorace confertissime inæqualiterque punctato, late-
ribus parum marginato, subsinuato; scutello cordiformi ; elytris
sulcatis, confertim punctatis; subtus pedibusque dense pubes-
centibus.

Long. 40 mill., lat. 41 1}, mill.

Forme et taille du précédent. Plus pubescent. Front assez
fortement concave. Antennes brunâtres. Prothorax en trapèze,
déprimé, très-densément ponctué, sa surface impressionnée çà
et là, ses bords latéraux subsinueux, faiblement rebordés, le
rebord s'évanouissant avant d'atteindre les angles postérieurs
qui sont divergents, aigus à l'extrémité, non carénés. Écusson
cordiforme. Élytres régulièrement curvilinéaires sur les côtés de
la base au sommet, assez fortement sillonnées, densément ponc-
tuées. Dessous et pattes très-pubescents.

Malacca.

IL est fort voisin du Cantori, mais on l'en distinguera par sa
ponctuation plus dense, sa pubescence plus forte, ses élytres
plus sillonnées, et surtout par le rebord latéral du prothorax
bien moins prononcé. (Coll. Janson.)

32. C. SOBRINUS. — Cupreo-æneus, purpureo-micans, nitidus,
villosulus ; prothorace trapeziformi, parum convexo, crebre punc-
tato, valde marginato, vix sinuato ; scutello transverso; elytris
crebre punctatis, æqualibus, interdum subsulcatis; subtus pedi-
busque pubescentibus, rufis, medio viridi, metallico.

Long. 52-55 mill., lat. 10-11 mill.

_ Peu différent du Cantori, dont j'ai hésité longtemps à le
séparer. La persistance de quelques caractères distinctifs, chez

( 202 )

les nombreux exemplaires de l’un et de l’autre que j'ai pu
examiner, m'a engagé cependant à adopter ce dernier parti.
Celui-ci est toujours plus petit, sa teinte est plus cuivreuse, plus
rosée, il est plus brillant, ses élytres sont exceptionnellement
sillonnées ; dans le Cantori, c’est le contraire qui se remarque;
enfin l’écusson est ici plus court et visiblement transversal,
tandis que dans l’autre espèce il s’allonge un peu en pointe, en
arrière.

Le C. sobrinus parait habiter plus particulièrement les parties
orientales de la presqu'ile transgangétique. Le Cantori se ren-
contre plutôt dans les régions occidentales de cette péninsule.

99. C. ARGENTIPILIS. — Brunneus, pube densa, longiuscula,
argentea vestitus; prothorace latitudini medii longitudine æquali,
subænescente, dense inæqualiler punctalo, anguste marginato,
angulis posticis divaricatis, obsolete carinatis; elytris elongatis,
dense punctatis, subsulcatis; subtus pedibusque brunneis, dense
pubescentibus.

Long. 58 mill., lat. 10 mill.

Allongé, brun, avec un reflet bronzé sur le prothorax, très-
densément couvert d’une pubescence soyeuse, argentée, cou-
chée. Antennes noirâtres. Front excavé au milieu. Prothorax
déprimé, aussi long que large au milieu, ses bords latéraux
presque parallèles dans leur portion moyenne, finement rebor-
dés, densément et finement ponctués latéralement, ses angles
postérieurs divergents, portant une trace de carène. Écusson
aussi long que large. Élytres allongées, parallèles jusqu'au
milieu, curvilinéairement atténuées au delà, très-ponctuées,
sillonnées, les intervalles subinégaux en hauteur. Dessous et
pattes de la couleur du dessus et également pubescents.

Siam.

L'une des plus remarquables espèces par la densité de sa
pubescence. (Coll. Janson.)

( 205 )

94. C SAUNDERSI. — Brunneus, vix submetallicus, pube
densa, longiuscula, cinereo-argentea vestitus ; prothorace longi-
tudine latiore, sparsim subtiliter punctato, anguste marginato,
angulis posticis divaricatis, obsolete carinatis ; elytris ultra me-

dium leviter dilatatis, dense punctatis, subsulcatis; subtus con-
color.

Long. 55 mill., lat. 10 mill.

Couleur et aspect du précédent, mais se rapprochant davan-
tage de la forme du sobrinus. Brun, faiblement métallique,
revêtu d'une pubescence longue, couchée, assez dense, blan-
châtre. Antennes noires. Front concave. Prothorax notablement
plus large que long, médiocrement rétréci en avant, convexe,
un peu impressionné de chaque côté, finement ponctué, les
bords latéraux finement rebordés, ses angles postérieurs diver-
gents, obsolètement carénés. Éeusson presque aussi long que
large. Élytres un peu plus larges que le prothorax, plus larges
au delà du milieu qu'à la base, beaucoup moins atténuées au
sommet que chez le précédent, sillonnées, finement et densé-
ment ponctuées. Dessous et pattes de la couleur du dessus.

Laos.

Un exemplaire provenant des chasses de Mouhot dans l'an-
cienne collection Saunders.

95. C. PARALLELUS. — Aeneo-brunneus, nitidus, cinereo-
pubescens; prothorace subquadrato, parum convexo, inæqua-
liter, lateribus confertim punctato, angulis posticis divaricalis;
scutello transverso; elytris ultra medium parallelis, dense punc-
talis, subsulcatis; subtus, cum pedibus, concoloribus.

Long. 52 mill., lat. 9 mill.

Parallèle, brun plus ou moins bronzé, assez brillant, légère-
ment pubescent. Antennes noirâtres. Front concave. Prothorax
aussi long que large, parallèle sur les côtés dans sa partie
moyenne, peu convexe, fortement rebordé sur les côtés jusqu'à

(204)

l'extrémité des angles postérieurs, ceux-e1 divergents, non-
carénés, le disque finement et très-densément ponctué de chaque
côté, moins au milieu. Écusson plus large que long. Élytres
parallèles jusqu'au delà du milieu, curvilinéairement atténuées
au delà, l'extrémité pointue sans être épineuse, très-ponctuées,
offrant des traces de sillons. Dessous et pattes brunâtres, plus
pubescents que le dessus.

Birmanie.

Deux spécimens dans la collection de M. Janson.

Species invisae.

C. smaraGpinus, Proteus, LEacun, Wisont, EscHscHoLszi.
— Hore, Trans. Entom. Soc. 1. IT, pp. 290 et seq.

TRIBU IV.

DRONOPTIÉRITEÉS.

J’ai retiré de cette tribu le genre Beliophorus, qu'à l'exemple
de Lacordaire j'y avais compris autrefois. Malgré des rapports
très-évidents qu’il présente avec les Oxynopterus et les Lepto-
phyllus, je crois le B. cebrionoides mieux placé à côté des Jctis
et des Dima qu'il représente en Afrique ; on le trouvera done plus
loin dans la tribu des Démites. Quant au B. viduus, c'est un
Corymbitite.

OXYNOPTERUS.
Hope, Proceed. Zool. Soc., 1842, 77.

Après une lecture attentive de tout ce qui a été écrit sur les
insectes de ce genre, tant dans les auteurs anciens que dans
les modernes ; après un examen minutieux des figures qu’en ont
données Olivier et M. Westwood et la comparaison des nombreux
exemplaires de provenances diverses que j'ai sous les yeux, je
pense que l’on peut y admettre deux formes assez dCTurSe,
dont voici les Hope

ie 0. MUCRONATUS. — Fusco-brunneus, nitidus, villositate
fulvo-cinerea sat longa, sericea, undique obductus; prothorace
transverso, crebre punctato; elytris apice mucronatis.

Long. 56-65 mill., lat. 17-22 mill.
(Lin?) OL. Journ. d’hist. nat., t. 1, p. 262, pl. XIV, fig. 1.

( 206

Se rencontre principalement à Java, à Célèbes et aux Phi-
lippines. Elle se distingue par une couleur brun sombre, un
aspect luisant des téguments et surtout par une pubescence
soyeuse, fauve cendré, longue et qui, bien qu'’assez caduque,
se retrouve encore, chez les individus les plus déflorés, sur le
prothorax et çà et là sur les élytres.

Il faut y rapporter les O. Cumingii et javanus de Hope.

2. O. AupouINI. — Brunneus, parum nitidus, [ere glaber;
prothorace elytrisque confertissime punctatis, his apice mucro-
natis, SϾpe emarginatis.

Long. 65-80 mill., lat. 25-27 mill.

Hope, loc, cit.

Celle-ci se rencontre particulièrement à Bornéo et dans la
presqu'ile de Malacca. Un exemplaire de la collection Janson est
indiqué comme originaire du Syhlet. On le reconnaitra à sa taille
plus grande, son aspect plus mat, plus rougeûtre, à la brièveté
de la pubescence qui n'existe ordinairement que sur le prothorax
et qui peut même manquer complétement, à sa ponetuation
beaucoup plus dense, à son prothorax moins court, enfin à une
forte échancrure de l'extrémité des élytres. Ge dernier caractère,
toutefois, n'est pas constant.

LEPTOPHYLLUS.

Hope, Procced. Zool. Soc., 1849, p. 79. — Megalorhipis (Lac).
CanD. Monogr., 1. I, p. 569.

ñ

L. STRACHANI. — Horz, loc. cit., — M. validicornis (Bon). Can.
Monogr., t. 1, p. 560, pl. VIF, fig. 4, 2.

Afrique intertropicale et australe.

Je pense que le L. latipennis Hope et mon M. minor ne
doivent être considérés que comme des variétés de cette espèce.

( 207

PECTOCERA.

Hore, Proceed. Zool. Soc., 1842, p. 70.

A Téguments brun rougeûtre.

GPANTENN ES DEUNES MN NN A PU Ganton, 2. PMelluis
DEURANIENNESMOUSEARE CII EE OC CN NSP NEortuner.
AA Noir, les élytres châtain rougeâtre . . . . . . . . . . . . 4. P. Messi.

1. P. CanTori. — Hors, Loc. cit., — Can. Monogr., t. 1, p. 561.

Bengale, régions montagneuses.

9. P. MELLYI. — Hope, Loc. cit.

Semla.

9. P. FORTUNEI. — Can. /ns. rec. au Japon. in Mém. Liége, 2 sér.,
HV D. 0:

Japon méridional et Chusan.

4. P. Messi. — Nigra, nilida, pubescentia rufescenti (o°) seu
fulva (S) obducta; antennis nigris; prothorace antice grosse
sparsim punctato, haud canaliculato ; elytris HSE sub-
sulcatis, sparsim punctatis.

Long. (9°) 28- (©) 40 mill., lat. 7-12 mill.

Noir avec les élytres d’un châtain rouge luisant, revêtu d’une
pubescence soyeuse, rougeûtre chez le mâle , fulvescente chez la
femelle, disposée inégalement et formant des taches. Antennes
noires, celles du mâle longuement flabellées, celles de la femelle
dentées en scie. Prothorax aussi long que large, rétréci gra-
duellement depuis la base jusqu'au sommet, peu convexe, aplati
de chaque côté en avant, sans sillon ni impression au milieu,
sauf chez la femelle où il y a un faible sillon médian, ponctué
sur les parties aplaties, ses angles antérieurs obtus, les posté-

( 208)

rieurs brièvement carénés. Écusson subcordiforme et transversal.
Élytres de la largeur du prothorax à la base, curvilinéaires
latéralement, vaguement sillonnées et éparsément ponctuées.
Dessous et pattes noirs, pubescents.

Canton. Je dédie cette remarquable espèce à M. Mess, de
Munich, de qui je la tiens. Elle existe aussi dans la collection
de M. Janson.

—"@“mNE=—

ADDITIONS ET CORRECTIONS.

Page 7. Agrypnus maculicollis, ajoutez : GERSTAECH. Beitr. zur Ins. v. Zanzibar, t. WI.
1871, p. 53.

Page 59, ligne 12. Au lieu de : modestus, lisez : molestus.

Page 100, ligne 5. Ajoutez : voici leurs noms : L. Gayndahensis, L. alternans, L. macu-
latus, L. granulatus.

Page 456. Tetrigus cyprius, ajoutez : BAUD. Berlin. Zeitschr., 1871 , p. 50.

Deux espèces de Lacon, décrites depuis peu et que je ne connais pas en nature, ont
été, par oubli, passées sous silence dans les pages qui concernent ce genre; ce sont :

4° L. argillaceus (SoLski, Hor. entom. rossic., t. VIT, p. 360) de Sibérie, dont la
place serait à côté de l'ellipticus ;

do L. pygmœus (BAUD. Berlin. Zeitschr., 871, p. 49) de Chypre. qui différerait peu
de l'ovalis.

Ja
PE

s,

TABLE ALPHABÉTIQUE

DES GENRES ET DES ESPÈCES CONTENUS DANS CE FASCICULE.

Pages. Pages.

AGROCRYPEUS NU VU TL 0739 ADELOCERA lithophila. . . . . 49
» ATETEMERC UNS EU FUI De » MACUAA EE 22
ADPLOCERAN AE CN 0.0 NU A4 » MARMERNE D:
» ADELTANSE EN NS » mamillata . ./. . 98
» adspersa. . . . . 80 » marmorata . . . . 20
» atomaria . . . . A7 » mexicana. . . . . 91
» AULOLA AE PE ET ELS » modesta . . . . . 47
» aurulenta. . . . . 26 » obtecta à: … … . : 49
» AVAL 91 » ONVERR MENT ON
» brevicornis . . . . 49 » palliatan +" 29
» calabarica . . . . %3 » DECNAAP EN NT
» CATDONATIA NUIT » DEMAIN NOS
» cavicollis. . . . . 49 » pollinaria. . . . . 99
» Chabannei . . . . 2 » DIOIUS A NS TT 0
» Chapuisi. . . . . tb. » pyrsolepis . . . . 48
» CHIENS) » QUERCCAR ES 0)
» COCA EAN IURNE UT. TS » rorulenta. . . . . 48
» conspersa . . . . 46 » EUDTAR MERE Ne AE 29
» cribrata . . . . . 9% » SeLOSAE UE NT 2b:
» TO AIS ER 0 » SPATSA SA EUR ONE AEAIT
» LUS AR ARE RON) » SDULCA NE ST IR 25
» faSCIAtA NN 0 » SOA VEN ENS CN OI
» geografica . . . . 24 » subcostata . . . . 91
» DRASS CNP UNIT » tenebrioides. . . . 22
» impressicollis . . . 48 » LNICOÏO LE NE 2 1
» inæqualis. . . . . 29 » DOG 0.0 1 EN MEN Een OT)
» NAS MS 0) » Wallace. .26
» JACAUIETI ES 20 AGRÆUSA SN UE TON A 05
» la cer ARC 0 25 » CUNICUIUS. 7):
» lAUCOITS RME O7 » ÉELOCUIUS EN ON D
» lepidoptera . . . . 17 » Mannerheimi . . . . 5b.

» NNEATIS HE MNT E 0 L. 09 » Mouhoti . . . . . . 106

AGRYPNITES . . .

AGRYPNUS.

ALAITES .

æqualis. .
arabicus
attenuatus.
attonitus . .
australis
bifoveatus.
bipunctatus .
Bocandei .
caligimosus
cinereus :
crassiusculus.
Dewalquei.
Junestus … .
fuscipes . .
fusiformis.
gilvus .
infuscatus.
javanus .
judaicus . .
lacertosus.
latior . .
luridus.
maculicollis .
Mastersi . .
mϾstus
mucronatus .
notodonta .
ocellatus .
opacus .
persicus . .
politus. . .
puber . . .
pubescens.
punctatus .
resectus
rubiginosus .
rufipes. . .
PUS à + 0
Sallei ;
Schotti. . .
sondaicus. :
substriatus
tomentosus

Pages.

(212 )

ALAOLACON . . Dino
cyanipemuis .

»

»

griseus.

ATAU Su POSER ee

anguis .
angularis
appendieulatus
atropos .
berus

Boreli

caffer
Candezei
caprimulgus .
cenchris .
cerastes.
cerberus
cristatus
detritus .
elaps.
elegantulus.
erYX .
excavatus ,
farinosus
Jfarinosus .
figuratus
funebris.
funereus . .
Gibboni.
91945.
glaueus .
gorgops.

baje .
hieroglyphicus
infumatus .
lactellus.
lacteus .
larvatus .
lateralis.
lophura .
lusciosus
lynceus .
Mac-Leayi .
maculosus * .
marmoratus .
melancholicus
melanops
Mniszechi .
mϾrens .

Pages.
. A4
> HD

ALAUS

Montraveli .
mortuus.
musivatus .
myops
n«aja .
nanus
nebulosus .
Nietoi
nobilis .
nubilus .
obliquus
oculatus.
Parreysi
patricius
plebejus.
podargus
primarius .
prosectus .
pumilus.
putridus
regalis .
Rosenbergi.
rudis
SCOPS.
sculptus.
scytale .
Senecteri .
senegalensis .
sericeus.
sinuosicollis
sordidus.
speciosus .
suboculatus
timoriensis.
tisiphone
torquilla
tortrix
tricolor .
Vollenhoveni .
Westermanni .

ALITEUS

»

»

Reicheï
adspersus

ANACANTHA .

crux

marmorata
sulcicollis.
vitticollis .

CALAIS. -
CAMPSOSTERNUS.

CHALCOLÉPIDI

CHALCOLEPIDIUS
»

»

æncus .
Apollo .
argentipilis
aureolus .
Bohemani.
Candezei .
Cantori.
Delesserti.
Dohrni.
Duponti
Eschscholtzi .
fulgens.
gemma.
Guerini.
igneus .

Iris .

Jatiusculus

Leachi.
luctuosus .
malaïsianus .
Mniszechi.
Mouhoti
Mulleri.
Nietneri
pallidipes .
parallelus.
Plutus .
Proteus
punctatus .
rosicolor .
rutilans
Saundersi.
smaragdinus .
sobrinus .
splendidus
Stephensi.
Templetoni
venustulus
violatus
Wilsoni

ITES

angustatus
approximatus

CHALCOLEPIDIUS aurulentus

» attenuatus.
» Bomplandi
» Boucardi .
» chalcantheus .
» circumductus
» corpulentus .
» Desmaresti
» erythroloma .
» Eschscholtzi.
» exulatus
» Fabricii
» Fryi.
» gossipiatus
» Herbsti.
» Jansoni.
» Jekeli .
» Lacordairei
» Lemoinei .
» limbatus .
» longicollis.
» mexicanus.
» Mocquerysi .
» morio .
» obscurus .
» oxydatus .
» Perrisi .
» porcatus
» pruinosus .
» rubripennis .
» rugatus
» Silbermanni .
» smaragdinus.
» sulcatus
» validus.
» virginalis à
» viridipilis .
» Webbi .
» zOnatus.
CHALCOLEPIS.
» Luczoti .
CRYPTOTARSUS .
CTENICERA
» Insignis
» lugubris
» nobilis .
DILOBITARSUS :
» abhbreviatus .

Pages.
163
162
166

(214)

DILOBITARSUS bicornis
» bidens.
» columbianus.
» cornutus .
» cuneatus .
» Deyrollei .
°» Eloini .
» gracilis.
» inopinus .
» irroratus .
» lignarius .
» nebulosus.
» nubilus.
» petiginosus
» quadrituberculatus.
» subsulcatus .
» tessellatus.
EIDOLUS
» linearis
EUMÆUS
» Murrayi
EUPHEMUS.
» funerarius.
» quadrimaculatus
HEMICLEUS nel
» adspersulus.
» caffer .
HEXAULACGUS. . . .
» Reedi.
HEMIRHIPUS . Ale
» apicalis + + « à:
» bimaculatus.
» Bonvouloirei
» decorus . . . . .
» Dejeani
» Fairmairei .
» fascicularis .
» lineatus .
» Perroudi.
» Rojasi.
» trilineatus .
» yiduus
LACON .
» adspersus
» afflictus .
» albitactus
» albopictus
DRAITERTANS NE SE EURE

209

LACON amplicollis .

» angulosus
» antiquus.
» Fapodixus.
» asper.
» assus.

» bidivisus.

» binodulus . .

» bipapulatus.

» birmanicus.

» brachychœtus .

» brevis.

» brunnipennis .

» calamitosus.

» Caliginosus .

» carinulatus .

» Cervinus. .

» charcus. ss
» Cinnamomeus « . . .

DRCOARCIALUS Ne RE Eee
» COGEUS SN MEME NE
» Cœnosus.

» comptus.

» confusus.

» consobrinus.

» consors .

» cordicollis .

» cordipennis.

» costicollis . .

» costipennis .
DRRRCLASSUS Me Sr LUE,
» crenatus.

» crenicollis .

» curtus

» cylindricus.

» Deboulayi

» decipiens . .

© » depressus

» Desjardinsi.

» desquamatus

» divaricatus, . .
DURS EN Ne
» elliensis.

» ellipticus.

DM ELINACEUS IEEE TC
» EXIMIUS , -+ +

» falsarius.
POUTALULS. 0

Pages.

58
60
52
ut
bb]
83
58
12
69
71
86
100
75
400
86
95
178
59
76
10
66
75
65
53
75
64
12
79
69

(215)

LACON ferrugineus .
» EXC
» fibrinus .
» flavescens
» flavipes
» fœdus.
» formosanus.
» fuligmosus .
» furunculosus
» Gayndahensis .
» geminatus
» glirinus .
» Goudoti.
» gracilis .
» granulatus .
» grisescens .
« guttatus .
» hædulus.
» hispidulus .
» hottentota
» humilis .
» inops.
» insignitus
» insularis. .
» irroratus-
» interpuncfatus.

» judex.

» Jabiosus.

» lacrymosus. . .
» lapideus.

» Jaticollis.

» latus .

D AXU SEE EE

» leprosus.

» leucaspis.

» Lezeleuci

» litigiosus.

» lupinosus

» lutosus

» macroderus.

» maculatus

» maculosus . .

» Maillardi . . .

» mamillatus .
» marginatus.
» marmoratus.
» minor.

» minusculus.

62
66

209

LACON modestus

»

»

molestus.
mucoreus
multiforis . .
murinus .
muscerda
musculus .
mustelinus .
muticus .
mysticus.
nanus.
nebulosus
nepalensis
MONA 6 © 0
nodicollis
nodifer . .
obesus . . .
occidentalis. .
octavus
ornatus
ovalis. . .
pænulatus
palliditarsus
parallelicollis
parallelus .
pareus . .
pictipennis .
pictiventris . .
pleureticus .
porcinus .
porosus .
porriginosus .
prætermissus .
princeps. .
punctipennis .
rectangularis .
scaber .
SCArrOSUS
Schwaneri . .
serofa. . .
seutellatus . .
seulptus . . .
sericans . .
serrula . . .
serricollis . .
setiger .
sinensis . .
sinuatus. . +

99
100

100

95

52

(216)

Pages.

LACON socius. SU TUE MARS
» sordidus. BH)

» soricinus. ss. 5
» Sparsus 4 . 8
» Spureus . 82

» suillus 401

» taciturnus . 60
D ACIUS EEE 69
» torrefactus . : 65

» tostus. 67
» transversus . 61

» trifasciatus . 85

» tripartitus D4

» tristis. 86

» truncatus AIRE 59

» Truquii . 401

» turgescens . 84

» tumens . À 1b.
» tumidicollis 53

» turbidus. à 52

» tuspanensis. 101

» ursulus . . . x 89
» variabilis 91
» variolus . Ÿ #09

» vestilus . . +. . .. 59

» Victoriæ. . : 97

por. Wallacei. M0 280
LEPTOPHYLLUS . . . 206
» Strachani 0:
LYCOREUS. . . f HER AAS
» cyclops . È . 416

» dux . : 4115

» Goudoti . RD

» madagascariensis . . ib.

» regalis . ; ib.

» triocellatus . D:
MEGALORHIPIS . . . . . . . 206
MERISTHUS . . He 102
» apicalis. À . . 403

» cristatus . . . . 404

» insignitus . De 4 TE

» lepidotus . . . . . b.

» minusculus . . 404

» pistrinarius . . . 103

» quadripunctatus. . . üb.

» scobinula . . . 404

» setarius =. … 105

» texanus. ib.

MYRMODES . . . .

»
OCNEUS
D
OISTUS.
»

»

akidiformis

limbatus .

cacicus . .
sphenosomus

OPTALEUS. . . .

argentatus
cribratus .
fasciatus .
limbatus

paleolatus.

OXYNOPTÉRITES

OXYNOPTERUS . .

»

»

PERICUS
»

»

Audouini

mucronalus .
PECTOCERA . . . .

Cantori
Fortunei .
Mellyi.
Messi .

,

nitidus . .
rubicundus .

SCAPHODERUS . . .

»

Riehli .

SEMIOTUS . . .

acutus
affinis .
angusticollis
auripilis.

°

approximatus .

bilineatus .
bispinus.

brevicollis .
Buckleyi

Candezei .
capucinus .
caracasanus
chontalenus
conicicollis.
convexicollis
cristatus .
cuspidatus .

C0

SEMIOTUS decoratus

diptychus . . .
distinctus . . .
elegantulus. . .
fascicularis.
Fryi .

fulvicollis
furcatus.
fusiformis .
Germari.
glabricollis.
Illigeri
illustris. .
imperialis .
insignis. . .
intermedius
JANSODE re
juvenilis.
Lafertei. .
ligneus . :
limbaticollis . .
Linnei

longus . . . .
luteïpennis.
morio. . . .
multifidus .

nigriCeps . . .
nigricollis . .
punctatostriatus .
punctatus .
quadricollis
Reaumuri . . .
regalis . . .
sanguinicollis .
Schaumi. . . .
seitulus . . .
seladonius . . .
Sommeri.
Speciosus . . .
stramineus .
striatus . .
superbus. . . .
suturalis. . .
tæniatus.
trilineatus .
virescens
virgatus. . . .
zonatus .

Pages.

FETRIGUS. 155
» ater . 456
» cyprius . . ib.
» flabellatus . 457
» Lewisi >. übe
» parallelus . . 156
» Parryi 158
» pexus. 157
TILOTARSUS . AD A OT
» aculeatus. . . . . 109
» albisparsus. . . . 108

TILOTARSUS Boieldieui .

»

»

cinctipes.
cuspidatus .
fulvisparsus.
hastatus .
mucoreus
nubilus .
rugatus .
simplex .
soleatus .
tuberculatus

CALCUL

DES

BPFOBABILITÉS

DE

A. MEYER,

PUBLIÉ SUR LES MANUSCRITS DE L'AUTEUR.

PAR

F. FOLIE.

2 {
A

PRÉFACE.

Pendant sa dernière maladie, A. Meyer nous avait chargé
de la révision des épreuves de son ouvrage sur la Théorie
analytique des probabilités à posteriori.

C’est grâce à cette circonstance, sans doute. que Mme veuve
Meyer voulut bien nous confier le manuscrit du cours que
son mari avait donné à l’Université de Liége, de 1849 à
1857, sur le calcul des probabilités.

Nous espérions que la Société royale des Sciences de
Liége, qui avait déjà publié dans ses Mémoires d’impor-
tants travaux de Meyer, prêterait également son concours
à la publication de cette œuvre posthume, la plus considé-
rable peut-être de son auteur. Outre la plupart des anciens
collègues de Meyer dans la Faculté des sciences, cette
Société comptait en effet dans son sein plusieurs de ses
anciens élèves; et tous, collègues et disciples, avaient
appris à connaitre et à aimer ce savant d’une érudition si
vaste, cet homme si bon, ce maïtre si dévoué. Aussi la
publication de son Calcul des probabilités n’eût-elle subi
aucun retard si les ressources de la Société avaient été suf-

(2)

fisantes. Mais ce n’est que dans ces derniers temps que sa
situation financière lui a permis de voter l'impression de
l'ouvrage.

Quoique les notes de Meyer fussent à peu près com-
plètes, comme elles ne renfermaient parfois presque pas
de texte dans les parties relatives au développement des
formules, il fallait les revêtir d’un peu plus de forme pour
les livrer au public. Nous avons entrepris avec plaisir ce
travail, dans lequel nous avons été obligeamment aidé par
un ancien élève de Meyer, notre ami M. L. Perard, pro-
fesseur à l’Université de Liége; et nous avons lun et
l’autre respecté entièrement les idées et, autant que pos-
sible, le style serré de notre maitre. Nous n’y avons rien
. mis du nôtre, sauf le redressement de quelques lapsus
dans les calculs et l’addition de quelques éclaircissements
peu importants.

Une partie manquante du manuscrit a pu être remplacée,
grâce à l’obligeance d’un de nos anciens condisciples aux
cours de Meyer, notre ami M. A. Devivier, professeur à
l’Université de Louvain, qui a bien voulu nous communi-
quer ses notes, dont nous avons pu apprécier toute l’exac-
titude.

Le manuserit était divisé en leçons, les unes brèves, les
autres longues. Nous avons eru plus convenable, à cause
de la nature didactique de l’ouvrage, de partager celui-ci
en chapitres et en paragraphes numérotés, afin de faciliter
les recherches au lecteur et de pouvoir le renvoyer aux
numéros dont la connaissance est nécessaire à l'intelligence
du texte.

Quelques parties nous ont paru devoir être détachées du
corps de l’œuvre et rejetées à la fin, comme étant des déve-
loppements donnés à certains points spéciaux , et ne ren-
trant pas dans la division méthodique de l'ouvrage.

(5)

Il en est ainsi de deux théories des erreurs, l’une d’après
Laplace, l'autre d’après Bienaymé, que Meyer a ajoutées
à celle qui figure dans son Traité; d’une extension du théo-
rème de Bernouilli aux factorielles, qui lui est due, et qui
révèle ses qualités comme analyste; enfin de quelques notes
destinées à éclaireir des formules dont il fait usage.

Cet ouvrage de Meyer est un résumé très-complet des
plus importants travaux de Bernouilli, Moivre, Laplace,
Poisson, Gauss, Encke, Bienaymé, etc., sur le calcul des
probabilités ; et l’on peut hardiment affirmer, pensons-nous,
qu'il n’existe aucun traité aussi vaste sur la matière, si
l’on excepte la Théorie analytique des probabilités.

Nous croyons devoir signaler tout spécialement à l’atten-
tion du lecteur les généralisations de quelques problèmes
renfermant de belles applications de l’analyse supérieure et
en particulier du calcul aux différences finies ; la démon-
stration du théorème de Bernouilli et sa généralisation; la
marche des caleuls dans le développement des formules de
Laplace, si difficiles à lire dans l’original; enfin des appli-
cations très-nombreuses du calcul des probabilités à la
population et aux assurances.

Le théorème et le problème de Poisson figurant dans le
manuscrit, nous n'avons pas pensé qu'il fallüt les sup-
primer, malgré les doutes que notre maitre avait émis au
sujet de l'exactitude des approximations du géomètre fran-
çais : l’expression de ces doutes suffira pour mettre le lec-
teur sur ses gardes.

L'importance de ce Traité et l'utilité qu’on en pourra
retirer dans les applications nous ont engagé à le compléter
par un extrait des Tables récentes de mortalité dues au
regretté Ad. Quetelet, l’une des plus hautes autorités dans
la matière. Cet illustre savant a bien voulu nous y auto-
riser; nous lui en avons exprimé toute notre gratitude, et

(3)

ne pouvons malheureusement plus aujourd'hui que rendre
un légitime hommage à sa mémoire.

Bien certainement l’œuvre de Meyer sera accueillie avec
le plus vif intérêt par les savants, et sa publication réjouira
le cœur des nombreux élèves et des anciens amis de notre
excellent maître; mais avec quel pieux recuecillement sur-
tout elle sera reçue par une famille dont il était adoré!

Celle-ci nous a chargé de témoigner toute sa reconnais-
sance à la Société royale des Sciences de Liége, et spécia-
lement à ceux des anciens élèves de Meyer qui ont bien
voulu nous aider dans laccomplissement de notre tâche.

Liége, septembre 1874.

F. Foue.

INTRODUCTION (°).

1. Tout événement arrive par suite de deux sortes de cireon-
stances ; les unes, connues ou inconnues, sont nécessaires à sa
production, tandis que les autres, toujours inconnues, n'y con-
tribuent qu'accidentellement.

Les circonstances de la première espèce se nomment causes
ou chances; les autres constituent ce que l’on nomme hasard.

Exewpse. Si l'événement consiste dans l'extraction d'une boule
blanche d’une urne contenant des boules blanches et des boules
noires, les causes ou les chances dela sortie d’une boule blanche
sont : le nombre total des boules, et celui des boules blanches ;
tandis que l’arrangement des boules dans l’urne et l’action de
saisir une des boules sont la part du hasard.

(*) Le but de l’auteur, dans cette Introduction, est de définir les notions
fondamentales dont l'étude fait l’objet du calcul des probabilités. Il lui arri-
vera donc fréquemment, pour éclaircir les notions qu'il a définies, d’énoncer
des principes dont la démonstration se trouvera dans le corps même de
l'ouvrage.

Cet ouvrage étant un traité essentiellement didactique, nous avons pensé
qu'il ne serait peut-être pas inutile de faire cette remarque pour les com-
“mencçants. F. F.

(u)

2. A tout événement on peut opposer son contraire, de manière
que l'existence de l’un exelut celle de l’autre; alors les chances
favorables à l’un sont contraires à l’autre. On nomme chances
totales l’ensemble des chances favorables et contraires à un évé-
nement. |

Si une urne renferme, sur douze boules, quatre boules blan-
ches, il y aura quatre chances favorables et huit chances contraires

à la sortie d’une boule blanche, et en tout douze chances.

5. S'il s’agit de plusieurs événements dont l’un doit arriver
nécessairement, l’ensemble des autres doit être considéré comme

un événement contraire au premier.

4. L'arrivée d’un événement est certaine, quand aucune chance
ne lui est contraire; elle est incertaine quand plusieurs chances -
lui sont défavorables. Dans ce dernier cas, l'événement est plus
ou moins probable, selon qu'il réunit plus ou moins de chances
favorables. Done, quand le nombre total des chances reste le
même , les probabilités de deux événements sont proportionnelles
aux nombres de leurs chances favorables.

Supposons, par exemple, que deux urnes contiennent chacune
douze boules; que la première renferme huit blanches sur quatre
noires, et la seconde trois blanches sur neuf noires; il sera plus
probable d’extraire une blanche de la première urne que d'en
extraire une de la seconde, et les probabilités de la sortie d’une

blanche dés deux urnes seront dans le rapport de 8 à 5.

5. Comme dans le cas de la certitude toutes les chances sont
favorables , il sera facile de trouver la mesure de la probabilité
d’un événement.

Soient en effet w la probabilité d’un événement certain, P la

probabilité du même événement, quand sur un nombre total

(1)
a + b —m chances, il n’en aurait que a qui lui soient favorables,

on aura la proportion

d’où

Soit p la valeur de ce rapport, p sera la mesure de la proba-
bilité"P, w étant pris pour unité, on a donc
(4

Des

mt

Donc la mesure de la probabilité d’un événement est une frac-
tion qui a pour numérateur le nombre des chances favorables à
son arrivée, et pour dénominateur le nombre total des chances,
tant favorables que contraires.

Il suit de là qu’en nommant Q la probabilité contraire, on aura

OEM VE NN:
ou
Q b
% u m
Soit
Q
= — )
u
on aura
Fa. b
Perse
m
et, par suite,
(0 DRM G EE
DES SS HS ee - —

D'où il suit que la somme des mesures de deux probabilités
contraires est toujours égale à l'unité, et que la somme des

probabilités contraires est égale à la certitude, car on a :

P ©Q : .
= SE NN er
TD
On a aussi
piq—=ua:b=a:m—a.

(iv)

6. Soit k le bénéfice attaché à l’arrivée d’un événement cer-
tain , x et y les bénéfices que l'on peut attendre, quand les pro-
babilités de l’arrivée de cet événement seront respectivement
égales à p et à q; il est clair qu'on aura les proportions :

VEDESNEEN
el
AEGRENE
d'où
DH, 0 ir

Supposons maintenant que l’arrivée d’un événement, dont la
probabilité est p, procure à une personne A le bénéfice k, et que
sa non-arrivée, ou l’arrivée de l'événement contraire, dont la
probabilité est q, procure le même bénéfice Æ à une personne B.

C’est le cas qui se présente quand deux joueurs font ensemble
un fonds commun qui doit devenir la propriété du gagnant.

En conservant toutes les notations précédentes, on aura de
même, dans cé cas :

x —kp,y=kq,
d'où :
pP:]=x:y=aAMm ut.
Mais si l'on parie g écus pour l’arrivée, et g' pour la non-arrivée
de l'événement qui doit procurer les bénéfices x et y, on devra
faire g— x, g — y, car les paris doivent être égaux aux béné-
fices que l’on attend, on a donc :
P:q=g:g —=aim— a.

Il suit de là que si la probabilité d’un événement est ex-

primée par

Por

on peut parier «a contre %» — a que l'événement aura lieu.

7. Comme on a

m—=kp, y—=kg, x +y=hkp+q=À,

(Ge

il s'ensuit que le droit d'un joueur à la mise totale Æ, quand il a
une probabilité p de la gagner, est Ap, et il peut vendre ce
droit pour la somme Xp avant que le sort ait décidé sur l’arrivée
de l'événement qui doit le faire gagner ou perdre.

Le produit d’une somme # à espérer par la probabilité p de :
la gagner, se nomme espérance mathématique.

Désignons-la par s. Si l’arrivée d’un événement dont la pro-
babilité est p procure le bénéfice k, l'espérance mathématique

2
correspondante sera donc
NA Sp:
d'où

L’espérance mathématique du joueur adverse, à qui la non-
arrivée de l'événement procure le bénéfice £, ou la crainte,

pour le premier, de perdre la somme k, sera exprimée par le
produit

A—p)k= qk.
L'avantage ou le désavantage dans un jeu s'obtient en re-
tranchant la mise de l'espérance mathématique.
Exewpce. Un joueur A, ayant quatre chances sur six de ga-
_gner, dépose cinq francs; et B, qui n’a que deux chances sur six

de gagner, dépose trois francs; la mise totale sera huit francs.
Donc espérance de

4 |
A—8.-— 5,
6 6)
espérance de
5) 2
B — 8 D — 9 A ù
6 6)
avantage de
REA
À = D — — 5 — —;
5 3

désavantage de

(vw)

Remarque. On peut encore dire que l'avantage d’un joueur
s'obtient en retranchant de son espérance de gagner, le risque
de perdre.

L’espérance pour À, de gagner 3, est 5 X — 2.

La mise de A est 5, la probabilité de la perdre est 5 il
risque done 5 X —\ 2 pour gagner 2. Done son avantage est

o 1

8. Les chances favorables et contraires à un événement peu-
vent être connues, soit directement, soit par des données qui
permettent de les calculer. Dans ce cas, on pourra toujours ob-
tenir, par des règles que nous enseignerons, la probabilité corres-
pondante de l'événement. La probabilité ainsi calculée se nomme
probabilité à priori.

Mais si les chances d’un événement nous sont inconnues, la
probabilité correspondante ne peut s’obtenir qu'approximative-
ment, à l’aide d'observations ou d'essais répétés un grand nombre
de fois. La probabilité ainsi déterminée se nomme probabilité &
posteriori.

Ce procédé repose sur le prineipe que les chances les plus nom-
breuses finiront toujours par se produire le plus fréquemment
dans un grand nombre d'épreuves.

Si, par exemple, d’une urne contenant » boules, dont a blan-
ches et b noires, on extrait une boule successivement un grand
nombre de fois, en remettant chaque fois dans l’urne la boule
qu’on en a extraite; si a’ et b’ désignent respectivement les nom-
bres des boules blanches et des noires sine ane un grand

nombre y de tirages, alors les FAPOrIS gp différeront

=, Ep

d’autant moins des probabilités —— = du tirage d’une boule

se *
blanche et d'une noire à ehaque pis que x sera plus grand.

Les probabilités sont en général de trois sortes :

( vu )

1° Possibilité objective. La possibilité est objective quand, par
la nature même des événements, on voit qu'ils sont possibles dans
un rapport donné. Par exemple, au jeu de pile et croix, il est

évident que pile et croix sont également possibles ;

2 Possibilité subjective. La possibilité est subjective quand
elle se trouve la considération des motifs qui peuvent nous dé-
terminer à nous prononcer sur l'existence de l'événement. Par
exemple : quand on n’a aucune raison de croire qu'un joueur A
est plus habile qu'un joueur B, on en conclut que la probabilité
pour À de gagner une partie est 5e Ce moyen ne donne que Îa
possibilité relative à l’état de nos connaissances, et non la pos-
sibilité réelle de l'événement;

5° Possibilité à posteriori. La possibilité & posteriori est celle
que l’on trouve en répétant un grand nombre de fois l’expé-
rience qui doit amener l'événement, et en examinant combien
de fois il est arrivé; ce moyen fera connaitre la probabilité des
événements , à peu près.

Parmi les circonstances qui concourent à la production d'un
événement, il y en a de variables à chaque instant, et dont la
connaissance nous échappe, telles que le mouvement que la main
imprime aux dés; c’est la réunion de ces circonstances que nous
nommons hasard.

Il en est d’autres qui sont constantes, telle que l'habileté des
joueurs , le nombre des faces égales d’un dé, ete. Celles-ci for-
ment les possibilités objectives des événements, et la connais-
sance plus ou moins étendue que nous en avons détermine leurs
possibilités subjectives. Seules, elles ne suffisent pas pour les
produire, il faut qu’elles soient jointes aux circonstances va-
riables; elles ne font ainsi qu’augmenter la probabilité des évé-

nements, sans déterminer nécessairement leur existence.

( vin }

9. Mise en équation :

1° Lorsque la possibilité des événements simples est connue,
la probabilité des événements composés peut souvent se déter-
miner par la seule fhéorie des combinaisons ;

2° Mais la méthode la plus générale consiste à observer la loi
de variation que cette probabilité éprouve par la multiplicité des
événements simples, et à la faire dépendre d’une équation aux
différences totales ou partielles ; l'intégration de cette équation
donne l'expression analytique de la probabilité cherchée.

Souvent cette expression devient impossible à cause du grand
nombre de ses termes et de leurs facteurs ; alors il faut recourir
aux méthodes d’approximation pour obtenir des valeurs appro-
chées ; |
* 3° Dans un grand nombre de cas, et ce sont les plus intéres-
sants, les possibilités des événements simples sont inconnues :
alors il faut chercher, dans les événements passés, quelques in-
dices qui puissent nous guider dans nos conjectures sur l'avenir.

Dans plusieurs problèmes les nombres des chances sont infi-
nis. Cela arriverait, par exemple, si, en projetant une pièce de
monnaie sur une surface, on voulait évaluer dans combien de
cas le centre de la pièce tomberait sur l’un des points d'une
portion désignée de cette surface. Dans cette question, le nombre
des cas favorables serait déterminé par le segment désigné, et le
nombre de tous les cas possibles par la surface donnée.

10. On dit que deux événements sont indépendants l’un de
l’autre, lorsque l’arrivée de l’un n'influe pas sur celle de l’autre.

Si l’on a, par exemple, deux paquets de treize cartes de même
couleur chacun, la sortie d’un as du premier paquet est indépen-
dante de la sortie d’un as du second.

Deux événements sont dépendants quand l’arrivée de lun

(x)

influe sur celle de l’autre : tel serait, par exemple, le cas de la
sortie du sept d'un paquet de treize cartes d’une même couleur,
après en avoir extrait un as. Car alors des treize chances primi-
üves il n’en resterait plus que douze. La probabilité de l’extrac-
tion d’un as étant e , Celle de l'extraction d’un sept serait, au con-
traire, _. Si l'on remettait la carte extraite dans le paquet, la
probabilité d'en extraire un sept au second coup redeviendrait
=> et les deux événements seraient indépendants.

Le mot cause, dans la théorie des probabilités, désigne l’en-
semble des circonstances qui donnent à un événement une pro-
babilité déterminée. Si, par exemple, la probabilité mathématique
de la naissance d’un garcon , dans un certain pays, restait numé-
riquement la même, on dirait que la cause, ou les causes de la
naissance d'un garçon sont constantes. La cause, ainsi enten-
due, n’est donc pas ce qui produit un effet ou un événement,
mais c’est la chose qui donne à un événement la probabilité qui
lui est propre. Ce sont les chances en soi de l'événement.

Lorsque la cause est incertaine, sa probabilité sera plus ou
moins grande, selon qu'elle donnera à l'événement plus ou moins
de chances favorables, en la supposant certaine. Ainsi, toutes
choses égales d’ailleurs, les probabilités des causes , ou des hypo-
thèses, sont proportionnelles aux chances favorables qu’elles don-
neraïent à l’événement observé si elles étaient certaines.

Soient, par exemple, trois urnes À, B, C, contenant chacune
trois boules, savoir : À, une blanche et deux noires; B, deux
blanches et une noire; C, trois blanches. Si l'événement attendu
est la sortie d'une boule blanche, sans qu’on sache de quelle urne
elle à été extraite, la cause de cet événement sera incertaine , et
pourra consister dans l’une des trois hypothèses suivantes :

1° Elle est sortie de l’urne A ;

2° » » l’'urne B;

(x)

Elle est sortie de l’urne C.

0

)

Dans le premier cas, la probabilité de la cause serait pro-
portionnelle à 1, dans le deuxième à 2, et dans le troisième à 5,
c’est-à-dire que les probabilités des trois causes ou hypothèses
seraient proportionnelles aux chances qu'aurait lévénement, si
l’on était certain que la boule sortie est extraite de l’urne À, ou
de l’urne B, ou de l’urne C.

11. On nomme probabilité relative la probabilité qui se rap-
porte à un groupe d'événements choisis parmi les événements
attendus, en considérant comme nulles les arrivées des autres
événements.

On nomme probabilité absolue la probabilité de chaque évé-
nement lorsqu'on ne fait abstraction d'aucun.

Si, dans un jeu de piquet, on ne veut considérer que les cartes
rouges, en regardant comme nulles les sorties des autres cou-
ieurs, la probabilité de la sortie d’une rouge sera une probabilité
relative.

12. La probabilité de n événements simultanés et indépen-

dants
E,, B.…,E;,

est la même que la probabilité de n événements successifs E,,
E, …, E,; car le temps de leur succession ne peut pas influer sur
leur probabilité; on peut donc supposer que ce temps est nul.

Exewpze. La probabilité de faire une somme s de points, en
projetant sur un tapis x dés identiques, est la même que celle de
faire cette même somme en projetant » fois successivement sur

le tapis l’un de ces dés.

CALCUL DES PROBABILITÉS.

CHAPITRE I.

RÈGLES FONDAMENTALES DU CALCUL DES PROBABILITÉS.

PROBABILITÉ TOTALE.

15. Première RÈGLE. La probabilité d’un événement, qui peul
arriver de plusieurs manières différentes, et indépendantes entre
elles, est égale à la somme des probabilités propres à chacune de
ces manières.

DémonsrTraTion. Soient

DUB E ;

P la probabilité totale de l’arrivée de l’un quelconque de ces
événements. Le nombre des chances favorables sera

et sera le nombre total de ces chances; donc

p LEE... +, dy Lo ln ;
RE TO OO ic a ne 0 om Em LL Que LE OO EE LS
( Uk B

(2)

ExemPze. On a y cartes dont «a; sont marquées 1, & sont
marquées 2; ….. a, sont marquées m, etc. Quelle est la proba-
bilité P d'en tirer une marquée 1 ou 2 ou 3. ou m? On a

+++, A An

—
o FO p

m°

CorozraIRE f. Soient p,, pa …. p, les probabilités des événe-
ments E,, & … E,; si l’un de ces événements doit nécessaire-
ment arriver, la probabilité P que cela aura lieu sera 1 ou la cer-

titude; donc :
D pit pit op, — 1.

CoroLLaIRE II. Soient p la probabilité d’un événement E, q
celle de son contraire F; comme l’un de ces événements a lieu
nécessairement, on à

DE NT

Rewarque. On nomme probabilité relative, la probabilité qui
se rapporte à un groupe d'événements, choisi parmi les événe-
ments attendus, en considérant comme nulles les arrivées des
événements qui ne font pas partie de ce groupe.

On nomme probabilité absolue, la probabilité de chaque évé-
nement, lorsqu'on ne fait abstraction d'aucun.

Exewpse. Si, dans un jeu de piquet, on ne veut considérer
que les cartes rouges, en faisant abstraction des autres, la pro-
babilité qui se rapporte au tirage d’une rouge désignée sera une
probabilité relative.

14. Deuxième RÈGLE. La probabilité relative d’un événement est
égale à sa probabilité absolue, divisée par la somme des probabi-
lités des événements parmi lesquels il doit être pris.

Démoxsrrarion. Soit P la probabilité relative de l'événement
E;, pris dans le groupe EEE; des événements E,E.E;E.E; ;

soient
Œi Le) œz dy LAN
a QE
Pr Le (2 be P-

les probabilités absolues de chaque événement. La probabilité P

(5)
est la même que celle que l'on aurait si EEE; existaient seuls;
done

C7 (24 Pi
P = — ——_——— — —————— .:..
y Æ Lo + A à Ps EF Pe + P:
CORNE OUR

Exewece. On a un nombre total de cartes marquées 1,
Det M3 di, Go ee … M SONt les nombres de cartes de
chaque sorte; on demande :

1° La probabilité relative de tirer une carte marquée #, en
considérant comme nuls les tirages des cartes portant des nu-
méros plus élevés que i;

2° La probabilité de tirer l’une des cartes numérotées de 1 à ÿ;

5° La probabilité de tirer l’une quelconque de tirer l’une des
‘ cartes numérotées de 1 à g<t.

On à :
1° P—

D MN Una.
Pi + Pa + +

PROBABILITÉ COMPOSÉE.

15. Troisième RÈGLE. La probabilité d’un événement composé
de deux événements consécutifs ou simulianés, est égale au pro-
duit des probabilités simples de ces événements.

Démonstration. Soient E,, E, deux événements indépendants,
consécutifs ou simultanés, ayant respectivement «, et « chances
favorables sur p: et > chances totales; il est clair que l'événement

composé F—(E,E) aura a, . «, chances favorables sur > chances
totales ; donc

(2)

PREMIÈRE REMARQUE. La combinaison des règles deuxième et
troisième conduit souvent à la probabilité cherchée, plus facile-
ment que le calcul direct.

Exempce. Soient plusieurs événements e,, &, … e, ayant les
probabilités p4, pa .… p; … p,. Soit u le nombre total des chances;
“y ; Go …. &, … 0, les nombres respectifs des chances favorables,
la habite) de €, sera p, =.

C'est Rà le calcul direct de la probabilité p,; ce calcul n’est pas
toujours le plus facile ; il est souvent préférable de faire dépendre
l'événement e, du concours de deux autres, savoir : |

1° De la sortie de e, pris dans le groupe e,, e … e,; la proba-
bilité relative de cette sortie est (n° 14) :

p' — fe ;
Pi + Po + + p

2° Du choix que l'on fait de l’un des événements du groupe
eie2, … €,; la probabilité de ce choix est

P=p; + ps+.….+p,; onadone p;=— P;,P.

SECONDE REMARQUE. Quand l'événement composé doit résulter
du concours de plusieurs événements E, , E, … successifs, dont
chacun dépend de celui qui le précède, on déterminera la pro-
babilité de chacun d'eux, en supposant que ceux qui le précé-
dent soient arrivés, puis on formera le produit des probabilités
ainsi déterminées.

Soient E,, E, E; …. E,_,, E, plusieurs événements, dont E,
arrive le premier; E, le second, ete... E, le n°"; si p, est la
probabilité de E,, p, celle de E quand E, est arrivé, etc., p,
celle de E, quand E, , E, … E,_, sont arrivés, la probabilité P
du concours dè ces événements sera

P = pipe …. p,

Soit, par exemple, une urne renfermant a boules blanches, et
b boules noires : la piebanile d'en extraire une blanche au pre-
mier COUP Sera p—= 7; ; en supposant qu'une blanche soit sortie
au premier tirage, et que la boule extraite n'ait pas été remise

(5)

dans l’urne, la probabilité d'extraire une blanche au second coup
SET Pa = pe

S'il s’agit maintenant de déterminer la probabilité P de l’évé-
nement composé qui consiste dans la sortie d’une boule blanche
au premier et au second coup, en supposant que la boule extraite
ne soit pas remise dans l’urne, on aura a(a—1) chances favora-

bles sur (a + b) (a + b— 1) totales ; done

a(a—1)

Mn ent) (a + Go) api

16. Donc si deux événements simples sont liés entre eux de
maniere que l’arrivée du premier influe sur la probabilité de
Parrivée du second, on aura la probabilité de l'événement composé
en déterminant : 1° la probabilité du premier événement ; 2° la
probabilité que, cet événement étant arrivé, le second aura lieu.

On peut également démontrer ce principe de cette manière :

Soit le nombre total des chances, dont a sont favorables au
premier événement. Si, parmi ces a chances, il y en a b favora-
bles au second événement, la probabilité de celui-ci, le premier
ayant lieu, sera évidemment ?. Mais la probabilité du premier
événement est ne la probabilité du second est 2 , Car un des cas
a devant exister, on ne doit considérer que ces cas.

Or on a

C. Q. F. D.

Exewpze I. La probabilité de tirer un as d’un jeu de trente-
deux cartes partagé en qe paquets, se compose :

1° De la probabilité © ; de mettre la main sur un paquet;

2° De la Snatne 6 de tirer un as du paquet.

Done la probabilité composée — =: X ee :

Exempse Il. On demande la probabilité d'extraire deux fois de
suite une boule blanche d’une urne contenant quatre blanches et
six noires, quand on ne remet pas la boule extraite :

1° ,7 4 56 , . .
1° Probabilité == d'extraire une blanche au premier coup;

PME à ë
2° Probahilité à => d'extraire une blanche au second coup.

C1]

(Lo)

Done la probabilité composée —

36 12
90 2 56

17. Soient : E, E’ deux événements; (E, E' } l'événement
composé résultant de l’arrivée simultanée de ces deux événe-
ments simples ;

Soient : P la probabilité de (EE);

» p celle de E;
» 5 la probabilité que, E ayant eu lieu, E’ doit pareil-
lement exister, on aura (n° 16) :
P
D, at e—=:
4

toute la théorie de la probabilité des causes et des événements
futurs , tirée des événements passés, découle de cette formule.

On aura donc 5 en déterminant à priori la probabilité de (EE),
et en la divisant par la probabilité du premier événement E.

Exemples divers sur l'usage des règles précédentes.

Premier Exempue. Déterminer la probabilité que l'as sort au
premier ou au second jet d’un dé ordinaire à six faces.

1) La probabilité de la sortie au Pier COUP —; ;

2) La probabilité contraire —: ;

5) La probabilité de la sortie au second coup — 55

4) La DR Qute de ne pas sortir au premier, et de sortir au
second — ; : = 25 :

5) La probabilité de SOU au premier, ou cela n'étant pas,
de sortir au second, P—; + — .

DEUXIÈME EXEMPLE. Dee. la probabilité de geler six ou
sept une seule fois en deux coups avec deux dés.

Le nombre total des chances avec deux dés est 6X6—56.

Le coup sept a six chances ; sa probabilité est done =; . :

Le coup six a cinq chances ; sa probabilité est donc

1) La probabilité de jeter six ou sept au oies coup est
6 RASE)
56 5 MS

36
11
2) La probabilité contraire est 1 — = — :;.

(44)

5) La probabilité du jet six ou sept au second coup est =

4) La probabilité de ne pas jeter six ou sept au premier coup,

. 25 11 255
et de les jeter au second est 5 + = — 2:

5) La probabilité cherchée se compose de la probabilité de
jeter six ou sept au premier PNbE et de la probabilité de les

É Las 255 __ 671
jeter au second coup, savoir : E 106 —— Loue -

Troisième EXEMPLE. Déterminer la probabilité de jeter un as au
moins une fois en trois coups.

1) La enre de jeter un as au moins une fois en deux
coups est à d'après le premier exemple.

2) La halte contraire est 1 —2 —%.

3) La probabilité de jeter un as . troisième coup, quand
il n’est pas venu aux deux premiers , est à ET

4) La Ji ane cherchée est ie à la somme des pro-

25 9
babilités 1) et 5) : & + 2e — = y:

QUuATRIÈME sel Déterminer la probabilité de jeter deux
as en rois Coups.

Soit P la probabilité cherchée. L'événement peut avoir lieu
de deux manières :

1° Un as sort au premier coup, et l'autre à l'un des deux
coups suivants; soit p la probabilité de cet événement composé.

2° Aucun as ne sort au premier coup, les deux sortent aux

coups suivants; soit pa la probatiite de cet événement com-
posé, on aura :

P=— p, + pe.

Délerminons p:;

1) La probabilité de jeter un as au premier coup est =:

2) La Dee d'en jeter un à l’un des deux coups sui-
vants est = (5° ex.)

5) La probabilité de jeter un as au premier coup, et un à
, ° JR 11 à
l'un des deux COUPS suivants ESt Pi = * 3% — je

Déterminons po ;

1) La probabilité de ne pas jeter un as au premier coup
est ©.

9) La FAUNE de jeter deux as aux deux coups sui-

vants ests . a —=

(8)

5) La probabilité de ne pas jeter un as au premier coup, et

° . 5
de le jeter aux deux coups suivants, ou Pa = : . = = 3% Donc

Cinquième EXEMPLE. Soit p la probabilité simple d’un événe-
ment, q la probabilité contraire, déterminer la probabilité que
Pévénement arrive 1 fois en n coups.

Soit P,. , la probabilité cherchée. L'événement peut avoir lieu
de deux manières :

1° Il arrive au premier coup, et aux coups suivants il arrive
1— 1 fois;

2 Il n'arrive pas au premier coup, mais / fois aux coups sui-
vants.

Première manière : 1) La probabilité que l'événement arri-
vera au premier COUp est p.

2) La probabilité que l'événement arrive ! — 1 fois aux coups
suivants est P,_, 74 :

5) La probabilité que l'événement arrivera une fois au pre-
mier coup, et {— 1 fois aux coups suivants est p.P,_,,.

Seconde manière : 4) La probabilité que l'événement n'ar-
rive pas au premier Coup est q.

2) La probabilité que l'événement arrivera ! fois aux coups
suivants est P, ,,.

5) La probabilité que l'événement n'arrivera pas au premier
coup, mais / fois aux coups suivants est q.P,_, ,. Done

Pi PP, + QP,-s, Le

On déterminera de la même manière les termes du second
membre, et ainsi de suite.

SixIÈME EXEMPLE. À et B jouent ensemble; ils ont la même pro-
babilité de gagner un coup; À n’a qu’un point à faire pour
gagner la partie; B en a deux; quelles sont leurs probabilités
respectives de gagner la partie ?

La partie sera achevée en deux coups au plus; car si A fait
son point au premier coup, la partie cesse; si À manque le pre-

.

(9)

mier coup, B fait un des siens; si au second coup À fait son
point, la partie cesse, sinon B fait son second point, et la partie
cesse.

Donc À ne doit gagner qu'une fois en deux coups : la pro-
babilité qu’il a de gagner au premier coup est 5 la probabilité
qu'il ne gagne pas au premier, et quil gagne au second, est
— : : la probabilité qu'il a de gagner est donc + 2 — a

B doit gagner deux coups consécutifs ; la probabilité pour B de
gagner un coup est ;,, et celle de gagner deux coups consécutifs
ESS ne

SEPTIÈME EXEMPLE. Une urne contient u — « + æ boules, «
marquées À , et a, marquées 2. On demande la probabilité qu’en
extrayant successivement deux boules, ce seront : 1° deux boules
marquées À ; 2 une boule marquée 1 au premier tirage, et une
marquée 2 au second. On ne remet pas dans l’urne la boule
extraite.

Soit p, la probabilité de la sortie d'une houle 1, au premier
tirage, on a py —“*.

Soit p’, la probabilité de la sortie d'une boule 1 au second
tirage, on a : |

1
2

Donc 1° la probabilité P, de la sortie d’une boule 1 dans cha-
cun des deux tirages sera :
pie enfance,
pe (æ —1)

La probabilité d'extraire une boule 2 au second tirage est

da

Pr a
done 2° la probabilité P, d'extraire une boule 1 au premier
ürage, et une boule 2 au second tirage est

Cle

De.
B(E—41) >

(10)

Hurrième EXEMPLE. Une urne contient a boules blanches et b
boules noires, en tout c boules; quelle est la probabilité P d’en
extraire, en m + n tirages, m blanches et n noires dans un ordre
déterminé, sans remettre dans l’urne la boule extraite ?

Cette probabilité sera (n° 15) :

Ba Donne 1) bb) br)
c(c—1)….(c—m—n+i)

NEUvIÈME EXEMPLE. Soient À,, A, A3, eic., des urnes : la pre-
mière contient m, boules, dont «; sont blanches ; la seconde con-
tient mA, boules, dont « sont blanches, etc. Soient pa, Pa, ps.
les probabilités que la main se portera sur A;, A9, À; ….; quelle
est la probabilité P d'extraire une blanche en mettant la main
au hasard dans l’une de ces urnes ?

Sozurion. Soient p’, p’, p'''..…..la probabilité qu'une blanche
sera extraite de l’une des urnes respectives A,, A2, A;…..; on
aura :

!

P—p +p'+9p AR EN

La probabilité de mettre la main sur À, est p, ; celle d'en tirer
une blanche est

y
Dy = ——)
M
d'où
/
PA ers

On aurait de même
DA —= P252) etc.,
donc
D = Pan Paoe + Pos + etc.

CorozLaiRE. Si m est le nombre des urnes, et si l’on a :

il s’'ensuivra :
À

P—— | Gi + D +0 + -
mm

48. Remarque. La probabilité P de l'événement composé

(1)

(E,E ….E,), les probabilités respectives des événements simples
étant Py, Pa ve. Ps St (n° 15) P = p, . p … p,. D'où résulte

P<p;; P < pips; etc.

donc la probabilité d'un événement composé diminue avec le
nombre des événements simples.
CoRoOLLAIRE [. Si py = Po = + — p, on a :

P— p”.

CorozzaiRE II. Soient p la probabilité de E, q celle de son
contraire F, d'où p + q — 1. La probabilité que E arrivera m fois
dans un ordre donné, en m + n tirages, sera

P— p".q".

CorozLaire III. Les mêmes choses étant posées, la probabilité
P que E arrive au moins une fois sur n épreuves sera

P—4 —q—41—(1 —p} NN D NE (ONE

En effet Q — q" étant la probabilité que F arrive n fois, on a

évidemment
P+Q—1, done P—1—Q.

De l'équation (a) on tire
log (1 — P)
à = ——— \,
log (1 — p)

n est le nombre d'épreuves nécessaire pour que l’arrivée de E,
au moins une fois, ait une probabilité donnée.

Exeweze. Combien faut-il d'épreuves pour qu'on puisse parier
un contre un, que E arrive au moins une fois?

On a

donc

(12)

CorozLaire IV. Soient p, et q, les probabilités des événe-
ments contraires A, et B;; po et qe, Ps et gs, ete., les probabi-
lités des événements contraires A, et B, ; A; et B;, ete., de sorte
que Pa + Qi = 1; Pa + da — 1, ete.

La probabilité que A, ou B, arrive avec l’un quelconque des

autres À, et B,, À; et B;, etc., sera

P = (ps + Qu) (pa + Ge) (ps + gs = 1. . . . (a)

En effet, considérons d’abord deux couples d'événements
A,, B, et A, Bo, nous aurons les événements composés

A,A dont la probabilité est p1p>,

AB; 2 > PiQ2>
B.A; > D QiP2>
B,B: ))) » UE ,

et la probabilité de l’arrivée de l’un quelconque de ces événe-
ments composés sera

P = pp: + Pige + QPa + ie = (Pa + )(pe + qe) = 1.

De même pour un nombre quelconque de couples À,, B,;
A9; Bo; A5, B;, etc., on aura :

P = (pi + qi) (pe + 2) (ps + gs) = 1.

Remarque. Chaque terme p,p2q; …. du produit (a) est la pro-
babilité d’une combinaison telle que A,A9B; ….

Dixième ExEMPLE. Une loterie se compose de k numéros ; on en
tire 1 à chaque tirage. Quelle est la probabilité P que n de ces
numéros sortiront ?

Soit f le nombre des cas favorables; soit £ le nombre total
des cas, on a, en désignant par /C, ou AC, le nombre des com-
binaisons de / ou Æ événements pris n à n :

E(U—1).(l—n+1)
1 20500 ‘
k(k—1)..(k— n +1)
on TER

f= 10 =

1 —= kC

(15)
d'où f_1(—1).(—n+1)

te k(k— 1)... (k—n +1)

Onzième exempe. On à certain nombre pair 2 de paquets
contenant chacun r cartes ; savoir :

r cartes marquées &, bi, & - 1
Fr » » DEN CR AR UE RARE 2)
1,0 » DUR Ce TN 0 CR OS NUS 101)

Après avoir mêlé ces cartes, on en fait deux paquets égaux,
M et N, de ir cartes chacun. On retourne l’une des cartes du pa-
quet M, et l’on demande la probabilité qu’un nombre n de cartes
de l’une des collections 1 . 2 …. 1 (par exemple, de la collection i)
sera dans le paquet M, ou dans le paquet N.

Sozurion. Soient g la probabilité que la carte retournée est
l’une des n cartes désignées ;

g' la probabilité contraire ou g' —1 — j;

la probabilité que les n cartes sont dans le paquet M, quand
la carte retournée est une des n ;

s! la probabilité que les n cartes sont dans ce même paquet
M, quand la carte retournée n'est pas une des n;

P la probabilité que le premier paquet contient les n cartes,
SENGHOR Pa ee RD NE arr CES ST 6 DE

#, la probabilité que, la carte retournée n'étant pas une des
n, le paquet N renferme les n ;

P' la probabilité que le second paquet contient les n cartes,
SINCT MEN ETS Nes 142)

En effet, la carte retournée étant prise de le ae M, si
elle n’est pas une des n, n'influe pas sur la probabilité que le
paquet N renferme les n; done celle-ei ne se compose que de g’s..

IL faut déterminer 9, g',5, 5 , et o4.

Déterminons d’abord g et g’.

Comme les n cartes sont prises parmi r cartes, on a

(14)

Ensuite pour déterminer & et s’, observons : 1° que si la carte
retournée est une des n cartes, il faut que les à — 1 cartes
restantes contiennent n — 1 des cartes désignées : cela peut se
faire d'autant de manières que &r — 1 cartes peuvent se combi-
ner a — À à n — 1; donc le nombre des cas favorables est :

ie LL (T1) (or 9) (ér —1—(n—1)+1)

4.2... (n — 1)

Le nombre des combinaisons de 2ir— 1 cartes n— 1 àn—1
ou de tous les cas possibles est :

Dir — 1) (2ir — 2) dir — n + 1
(2ir — 1) A a 0e Re tea)

Donc nous aurons :

(ir — 1) C,
Dre 0
(ir —1)C, ui

2% Si la carte retournée n’est pas l’une des n, il faut -que les
tr — 1 restantes renferment les n cartes. Le nombre des cas fa-
vorables est

TR (ir —1) (ir —2) ne (ir—n+1) —n
Me Dr 1.9 …...(n — 1) DRE Nr

Le nombre de tous les cas sera :

| (Qèr — 1) (Sir — 2) …. (Qir — n + 1) 2ir—n

Û LA C —
(2ir — 1) C, 4.2... (n —1) ï
Donc

! {ir —1)C, Tr

D ————— —© 5 — .
(217 —1)C, 2ir—n

Enfin déterminons s, : si les n cartes sont parmi les ir cartes
du paquet N, le nombre des cas favorables sera
; ir (ir — 1) (ir — 2). (ir — n + 1)
SE
| n 1.2....(n —1)

(15)
Le nombre total des cas sera

ie 2èr —n (2ir — 1) (2ir— 2)... (Qir —n+1)
(21r — Die 1.2.....(n —1)

Donc
arC ar

nm

Creme 0 ee :
(2ir — 1) C, 2ir— n

En substituant ces valeurs dans les expressions de P et de P’
on trouve

CI (r—n) (ir — n) n+ir—n
Bin + ————— *;î— 75 ————;
r 2rT—n dir — n
T—=n ÙÀ ir — in
D — - =D = De
Tr 2ZT—n dir —n

Douzièue Exempce. Trouver, au jeu de piquet, la probabilité
pour celui qui fait les cartes de lever un as au moins dans le
talon, qui est de trois cartes, quand il n’a aucun as en main.

Soit P—Ÿ cette probabilité.

1° Chercher D. Comme on a douze cartes en main, il en
reste 52 — 12 — 20, parmi lesquelles se trouvent les quatre as :
trois de ces vingt cartes composent le talon, donc le nombre D,
qui est le nombre de toutes les manières possibles dont le talon
peut être composé, sera celui des combinaisons de vingt cartes
prises trois à trois, c’est-à-dire : ne — 1140.

2° Chercher N. Le nombre N se compose de la somme de
trois termes, savoir :

a, , nombre des cas dans lesquels un as peut se rencontrer
avec deux autres cartes;

&, nombre des cas dans lesquels deux as peuvent se ren-
contrer avec une autre carte;

a;, nombre des cas dans lesquels trois as composent le
talon.

Ainsi

N — à + a + az.

I y a quatre as dans trente-deux cartes; par conséquent il y a
52 — k — 28 autres cartes, desquelles celui qui fait les cartes

(16)

en a en main douze, qui ne renferment pas d'as; il en reste
done seize.
1° Le nombre des chances de lever un as est 4.

Le nombre des chances de lever deux autres cartes est
16.15 PAIE 120

1.2
Donc u —= 4 X 1920 — 480.

2° Le nombre des chances de lever deux as est 5 — 6.
Le nombre des chances de lever une autre carte est 16.

Donc
do —= 6 X 16 — 96.

° 4.3.2
3° Le nombre des chances de lever trois as est 123 — k.
Donc

Ainsi
N — 480 + 96 + 4 — 580.

Enfin, en divisant N par D on trouvera :

WMAIAO 57

La probabilité contraire sera

On peut donc parier 29 contre 28 que le joueur trouve un as
au moins dans le talon.

Remarque. Trouver de même la probabilité pour celui qui a
la main, de lever un as au moins dans les trois cartes du talon,
quand il n’a aucun as en main.

On trouvera en procédant d’une manière analogue :

259 91
5e =

TREIZIÈME EXEMPLE. Trouver la probabilité pour celui qui a la
main de lever un as et un roi dans les cinq cartes du talon,
quand il n’a ni as ni roi en main.

(17)

Les combinaisons suivantes peuvent avoir lieu au talon :

N° 1 1 as, À roi, 5 autres cartes,
N° 2 4 as, 2 rois, 2 » »
N° 3 1 as, 5 rois, À » »
N° 4 1as, 4 rois, O » »
N905 19)'as 4 ro, 2,1» »
Ni6,2;:as, 2 rois, 4» »
NO AS ES TOIS 0 PE» »
NAS Sas, 4 roi,» »
NONOMES Ras ON ToIs 10000 »
N°10 % as, 1 roi, O » »

Parmi ces dix cas les couples suivants donnent les mêmes

chances :
N° 9'avec N° 5,

N° 5 avec N° 8,
N° % avec N° 10,
NoraveciN#00)

11 reste donc seulement six cas distincts, savoir :

k 4 19.11.10
N° 4: AVEC — + —.

— — 5520 chances,
AAA D UNS

40.5 0149:41
N#2et Bayvec —-——.——1584 » chacun,
AA OI MANN
HELP NE OR ET ee
N®5et 8 avec — : ———.— — 1992 » chacun,
19 2441925 ,1,1 :
CE NE TEE EEE |
N°: 4 et 10 avec — : k =? » chacun,
à AD UNI Le”
DÉSIRENT
N° 6 AVEC —— . De PU © »
4% AA DURE
ONE RE AL
N®“7et 9 avec at — 924 » chacun.
SAT OLSS

(1452)
Donc

N—5520 + 2 + 1584 +9+199+9 +44 + 459 + 9 + 94 —91%4,
20.19.18.17.16

D = D
TANO RS OANS :
b N 9144 3581 ! 265
——=— = ——;, 0 = ——
D 15504 646 46

QUATORZIÈME EXEMPLE. Trouver la probabilité de faire cartes

blanches.
p 20.19.18.17.16.15.1%.153.192.11.10.9

7 52 51 50 29 928 27 96 925 24 93 22 A

A : À 15
DiS066 AT DÉINTE LM où

CHAPITRE Il.

PROBABILITÉS DES ÉPREUVES RÉPÉTÉES.

19. Dans ce chapitre nous exposerons successivement les
théories des probabilités relatives aux puissances et aux facto-
rielles des polynomes et des binomes; puis celles qui sont rela-
tives aux produits de binomes et de polynomes quelconques ;
ensuite quelques applications remarquables de ces théories.

$ I. — PUISSANCES DES POLYNOMES ET DU BINOME.

Soient
Us are. On Di 0e NO SCI Cane CAR

des événements ayant les probabilités

2
Dis Pac iDis diode HUE ee

La probabilité P qu'ils ont lieu ensemble dans un seul ordre
est (n° 15)
P == pipe Di Qife Que Tatonmile

(19)
Mais si a, se répète / fois, b,, m fois etc,, n fois, on a

U—t—=.—=04 bb; —0} G—0..—0c, etc.
Pa —= Po = —=}} Qi = Ja —=Qm = Pau —=T, etc.,
d'où
P = piqiri.
Si l'événement composé dont il s'agit doit arriver dans un
ordre quelconque,

P—piquri + piQrri + ee = hpiqrri.

k désignant de combien de manières différentes on peut déter-
miner un ordre.

f. Puissance du polynome.

20. Si l’un des événements À, B, C... doit arriver nécessaire- :
ment à chaque épreuve, et si leurs probabilités respectives sont
p, q,r..., la probabilité que l’un quelconque d’entre eux arri-
vera à l’une des épreuves sera :

P—=p+q+r+...—=1.

La probabilité qu'ils se produisent y fois de suite, n'importe
dans quel ordre, sera :

"H! Mann
P—(p+g+ære. =) p AA EEE (1)
PTT AN er CIRE St A Ra met
Le terme général
u! mn 4
F7 Umin! 5 : st

“exprime la probabilité que sur y: épreuves on produira, dans un
ordre quelconque, À, l fois, B, m fois, C, n fois, etc., car on a
Ce ! J 3

ici k= 7 . - ., égal au nombre des permutations de y: lettres,

dans lesquelles il entre / lettres A, m lettres B, n lettres CG …

2. Puissance du binome.

S il n’y a que deux événements A et B, alors P — p + qg — 1,
exprime la probabilité que À ou B se produira en une seule

(20)

épreuve; la probabilité qu'ils se produiront y fois de suite, n'im-
porte dans quel ordre, sera :

ni
P— Î = PQ RTE PEEUITU
pa D rer A ()
= M + AN.
Le terme général
4! le D eee 2 M) A
mn 1 coort) HU

exprime la probabilité qu'en p épreuves À arrive m fois, et B, n
. ! °

fois, dans un ordre quelconque; car k — "=, exprime le nombre

des permutations de x lettres dans lesquelles » sont égales à A,

et n égales à B.

3. Polynome des factorielles.

21. Une urne renferme en tout s boules, dont a sont marquées
«, b sont marquées f, c sont marquées y, etc...

On fait p tirages sans remettre dans l’urne la boule extraite;
on demande la probabilité 5 qu’en x tirages il sortira m boules
æ, n boules G, / boules y, etc., n'importe dans quel ordre; et la
probabilité P qu'en p tirages il sortira des boules «, B, y.….,
n'importe l'ordre et le nombre.

Nous commencerons par supposer qu'on extraie d’abord les #
boules «, puis les x boules G, et enfin les / boules y.

Soient p, la probabilité de tirer une boule « au 1° tirage;

DUT » ne » a au 2% tirage ;
>) De » » » æ au n° tirage ;
» 1» Joe. Qh les probabilités respectives de tirer une

boule GB au 1°, au 2, … au n° tirage;

Soient r;, ro … 7, les probabilités respectives de tirer une
boule y au 1°, au 2°, au ….. F tirage.

En supposant que les boules sortent dans l’ordre indiqué, on
aura les probabilités Simples

(0 a — À a — M +1
Pi ZE si P2 = pin Pm ==

S — À s—m+l

b b—1 b—n+ti
A SET 0. | ——— —_—_——…— ———
1 at ET SR Me SEM
c c—1 Be (2 À
P —= — Po = —————— 0 y = —————— \
S—mMm—n" S—mMm—n—1 LASER ERP sr RU

Comme u— m+n+l+.., la probabilité p du concours
de ces tirages dans un seul ordre sera :

Dame D Ta De JTE Tin
a(a—1).….(a—m+1).b(b—1)..(b—n+1).c(c—1)… CEE
S(S— 1)... (S—u +1) de
api Qi 1
sk/—1

done
a 1brl—tql 1

à à (D

sera la probabilité des tirages qui amènent m boules «,
n boules GB, ! boules y, etc., n'importe dans quel ordre.

En donnant à m,n, l … toutes les valeurs, à partir de zéro,
compatibles avee u — m + n + l… la somme de toutes ees
valeurs exprime la probabilité P, donc

ml—1 b"—! c=1

nn up! a ;
en A ATEN

On peut encore obtenir la valeur de P de la manière suivante :
Soient
a + b + c +

D —=
S
CTI G EEE) |
OR TT RATE
s—1
a+b+c+e—nm+1
DE ——————————
Le S—u+1

les probabilités simples qu'à chacun des tirages consécutifs il ne

(22)

sortira qu'une boule de l’une des marques à, B,7.….. la probabi-
lité de leur concours sera
[a+ b+c+ Ie"

D où © ve a en EMEA (5).
Donc en comparant (2) et (3), on obtient
[a + b + c..]#T" p! Cent Die can ñ
SES ÆAmintlt si En

4. HBinome des factorielles.

22. Lorsqu'il n'y a que deux sortes de boules aux marques
a et G, la formule (4) devient

à + b}# 1-1 a" bi
(GEbRE à 3 4) 0 0 Œh
HE NE NS ee k
Remaroue Î. Si la boule extraite est remise dans l’urne, les
factorielles a" =", ete. se changent en puissances, et l’on a

(a + b + c + ….)"*

se um! ADice
ts

mintlit s"s's!

Soit
a b C i
É De ; Ge : r, ete.
il vient
a!
(p+gÆr se = —p"q"rt

REMARQUE IT. La formule (5) développée est

(a + bjH 1. | u (& —1)

== —

un à | QE ab DE at +
SE QT É
|
ire = ne QE bE A pabt Ut + Dé T —1,
clu— ht

La probabilité R de tirer au moins 4 boules marquées « est

1 pu—A 111} p! HI, He |
= — RE) Le ie 2 EEE NC |
SP F Etu—k

(25)

La probabilité Q d'amener au moins une boule « est

5. Produit de facteurs hinomes.

25. Si dans u—m + n épreuves, p, et q, sont les probabi-
lités des événements contraires À et B à la première épreuve;
pe et qà leurs probabilités à la seconde; …. p, et g, leurs proba-
bilités à la u"° épreuve; quelle est la probabilité P que A et B
arriveront, dans un ordre quelconque, le premier » fois et le
second x fois?

Pa F Qu Pa + oene . pe + qu Sont les probabilités que A
ou B arriveront respectivement à la 1", 2"°, …. pu" épreuve;
la probabilité qu'ils se produiront suivant une combinaison quel-
conque en x épreuves, sera par suite :

S = (pi + Q)(Pa+ qe) (pu + qu) + + + + (1)

Donc la probabilité demandée P sera la somme de tous les
termes de 5 dans lesquels entreront # des facteurs p, … g, avec n
des facteurs q, …. qg,. Ces termes seront homogènes en p et q, et
contiendront # dimensions en p, et n dimensions gq : ainsi, en
remplaçant les lettres

Pi, Pe oo.eo Pu da, Qe ... Qu
par

Pau, Pau … Puë QuU, QeÙ … Qu;
on aura :

(pau + quo) (pau + qov) … (puu + qu) => H uv
Soit M le coefficient du terme de cette somme qui répond à

km, l=n, on aura P—M.

G. Produit de facteurs polynomes.

24. On a un dé à q faces numérotées 1, 2 …. q. Chaque face
a une probabilité particulière qui change d'une épreuve à la

LA

D

(24)

suivante; chaque fois que l’on jette le dé, on note le numéro
sorti. Après L. jets consécutifs on additionne les numéros mserits,
et l’on demande la probabilité P que la somme soit m.
Désignons par p{° pi …. pi’ les probabilités des faces 1.2. q
à la première épreuve ; par p® p® … ps leurs probabilités à la
ne : CM) Eee THÉ
seconde épreuve; et enfin par pl) ps … p# leurs probabilités à
la u épreuve.
of] — Di 4 pit Li IeRbo RENE pi

représente la probabilité que l’une des faces 1. q sorüra au
premier Jet ; -
Do — ps ne ps) A CO ph

la même probabilité relative au second jet, etc.
Enfin

= po) 2 fe) Re (4)
Su Du Path np

celle relative au p"° jet.
Donc

S = Bas, { pl? ne pl) ee pin { p£) SE pi} É06 {pl se po

probabilité de l’arrivée simultanée de tous les événements, ren-
fermera les probabilités relatives à toutes les sommes possibles
produites par p jets.

Done la probabilité cherchée P est la somme des termes de 5
dans lesquels la somme des indices supérieurs est m. Pour faire
ressortir cette somme, remplacons le produit 5, par le suivant :

5 —\ pl + phls pie) spl AUS pe pli la pa!
— à U;t:.
On aura
Pt}

Remarque. En décomposant m de toutes les manières possibles
en & chiffres, en ayant égard aux arrangements, on obtient U,..

En effet soient ;
M = où + Psy + M + se + Di

M—= +++ + À

etc.

(25)
On aura :

P —U,, — pi)paP)p:07) Jr p,,. a) 5 p.()palB2) Fe pu 2) PEUR

$ 2. APPLICATIONS DIVERSES DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS.

25. Lee. Chercher le coefficient K de 5° dans le développe-
ment de

{a +o + + s}— 7" {1 + + ce mit},

Posons p — n + «, êt cherchons le coeflicient de 3° dans le
développement de

4 — 5!)
(4 + D + + DRE) = Tr (1 = a)" (A == =) ni
2/—1 n°!
— [: — No! + Gi Der C4 = | (a).
21 9 | |
4)! 00e 2) CRUE
X [: + NS + SRE pe Ar 1
! 5!

Or évidemment
O+ x —x,
J+a— {—a,
2q +a—2q — 4%, etc.

Les premier, second, etc., termes du premier facteur, devront
donc être multipliés par les termes en s°, #1 5**.... du second
facteur; or ces derniers sont

(n+a—1)C, #°,
j (r Hier 1) Ge St 17
. (mita—2q—1)C,; 3e" #1, etc.

donc, le terme en 5° sera
(n+a—1)C,—nC.(n+a—-g—1)C, l .
je
+ Co (n +4 2 — 9q —1)C; 2 +. |
et l’on aura :

K=(n+a—1)C,;—nCG(n+ax—qg—1)C,.,
+ N Co (n + x — 92q — 1) Co +.

(D.

(26)

Simplification de K.

Comme on a

(a — uq) + (n — 1)=n+a— pq —1
on aura

n+a—pqg—1)G, = (no = ug —1)C,_ = (p— 4 — 4) C,4.

Posons successivement dans cette formule

nous {rouverons :
more = 1)C;—=(p1)0,,;

(n + à — =, == Ge) C2.

Ce) Ce, = (p-29 1) Cette.
Alors

K=(p— 1)C—n0(p—g—1)0, + nC.(p—2q—1)0— ete.
Anita tee een Et

1 TE EN) 1.2...(n —1)
ADN ENT ET RCE CN CT EEE
mi re =
4.9 1.2....(n— 1)
(p =) (p— q—1 Pas n?=! (p—9q—1)"""t
SR CORRE Re 7 VE EE OS —_——— ——— ———————— — e{C.
n —1! n —1À! il n —1!

Problème de Moivre.

26. Une urne contient q boules numérotées 1. 2... q; on en tire
une, on inscrit son numéro, puis on la remet; on fait de cette
sorte n lirages, on additionne les numéros inscrits, el l’on de-
mande quelle est la probabilité K, que la somme de ces numéros
est égale à p.

Sozurion. Premier cas. Les probabilités simples sont Apt

Les probabilités de la sortie dés boules

sont respectivement

(27)

Soient &, le nombre de sorties de la boule 1;
ls » » » De

On aura

Uj + An Ho + = (1)
et
Gi + 2e + + QU —= p (2)
Soient en outre
dy + Pa + ut où + 2j + nn
Ga + B2 En — (3) eb To + 26» + = P (4) 3
++ on ne RDC
etc., .:. etc.,

tous les systèmes possibles qui satisfont à (1) et (2); on a :

n!
(oi + Do <= 5,) = — DRE Gp Op re On à

A Qu Qu.

La probabilité n sera la somme des termes de (5) dans les-

quels Q,, Qo …. satisfont à (1) et (2). Ainsi

A :
121 fe Fe
I N,s:s: ? + No? + ss + N,oioh

Second cas. Les probabilités simples sont égales :

d'où :

A\a+B:i+. A\22+8B2+. - > H\G+Bi+
HEIN () + N: Ho + N; ()
q q

(NN. Ne

L'équation (5) montre que N,, N, …. N, ne dépendent pas

de 51, 52, ….; soient donc :
à Gyj—=

D9 — m° , etc.

. (6)

( 28 )
Alors

= N,5%1 À 2914. None Fete No%5+ EE Nioti fit

— (N + N, + N')5? ——= Kz?
Le premier membre de (5) devient
(5 + +. + at)" — ZHs;

done K—H pour k—p; c'est-à-dire que K est le coefficient de à”
dans le développement de (5 + 5° + + + s‘)"; par suite :

K—(p—1)C,, —nC(p—q—1)C,_, + nC(p—9q—1)C,_; —ete.
211

n
—(p se 1) 1 — n(p EE q LM Dore CE D (p— 2q—1) 11 — etc.

et nous obtiendrons la probabilité cherchée 11 en substituant cette
valeur de K dans l'expression

1
n—- K.
q

CorozLaiREe. Cette mème formule résout FREE le pro-
blème suivant :

Quelle est la probabilité d’amener le coup p en jetant sur un
tapis n dés à q faces numérotées 1, 2, … q?

27. Cas de la formule de Moïvre où 4 = ©.

Nous avons trouvé au n° précédent :

" _ (pe 2 (pr
re 1.2...(n—1) 1.2... (n—1)

nu 1) (p— 2q—1)(p—2q—2) me Cr min) EC
12 1.2 ....(n—1) à

En multipliant et divisant par gt, 1l vient :

} 1 2
Re She
LA TMINTT qq DS Re ni HG

p 1\ /p 2 p D
PU ler mes
Re ( ( ÉRRAATAU

1.2 1.2... (n—1)

(29)
Posons g —, p — ®, = s; = — ds, nous aurons
(s-ds)(s-2ds)....(s-(n-1)ds) se (s—1-ds) (s-1 ds)... s-1-(7-1) ds!
1.2 ....(n—1) 1.2....(n-1)
n(n—1) (s-2-ds) (s-2-2ds) … s-2- (n-1 ds} |
/

459 162%... (n=1)

ni)

+

d'où, en supprimant les termes en ds à côté des termes finis :

sl | 2 /| n—1 | l 0) n—1 j
s (s—1) Fe n(n—1) (s—2) Sn À

mn er
: (4.2.n-1 1.2..(n—1) 1.2 44.9..(n—1)

D FAUREEUL oi QU b”
En intégrant entre les limites 6 et; de s, nous aurons la
probabilité P que p est compris entre a et b:

{ n n ve n
D | (2) =#(2 1) + 2e) -|
1.2 ..n q q 1560 PNG ARTE

\

on)

Exeupe. En supposant que pour chaque orbite toutes les
inclinaisons depuis 0 jusqu'à 100 grades soient également pos-
sibles, déterminer la probabilité que la somme des inelinaisons
des 10 orbites planétaires, sans y comprendre l'écliptique, sera
comprise entre les limites © et 914187, ce dernier nombre étant,
en 1801, la somme des inclinaisons des orbites planétaires à celle
de la terre.

L'angle droit 100 grades étant divisé en un nombre infiniment
ire d de rti D le p ___ 91,4187,
grand q de parties égales, on aura 4 — "55" ;
b — 91°4187; d’où

DA, DU:

1 90.4187\° 1
= (0,914187)"°— 0.00000011255.

” 1.2..10\ 100 / 3951200

28. Proërèue IL. Un nombre s de jeunes gens est inscrit pour
le tirage au sort de la milice; a seront réformés, © forment le
contingent : quelqu'un tire le numéro p > ce et < c + a. Quelle
est la probabilité qu'il partira?

(50)

Sozurion. Si, parmi les p. premiers numéros, — c au moins
sont tirés par des jeunes gens qui seront réformés, celui qui ure
le numéro y partira.

Ce problème revient done à extraire en p. tirages au moins
u—-c boules blanches, parmi a blanches et s — a noires, la
boule extraite n'étant pas remise.

Posons s—a—b,p—c—k.

La probabilité de cette extraction sera (n° 22)

— n a! + ga#11b EN 080080 + . deb Es 5
A _ DE Se BOT Eve En
De (E—1)1(p = +1)!
Soit
Do
AO SENC ,L : _

99. ProBème HI. Une assemblée délibérante se compose de
s membres; a forment la majorité, b la minorité. On fait p. tirages
pour composer une comanission de w. membres. Quelle est la pro-
babilité que dans ce nombre de tirages il sort au moins L +1 —k
noms appartenant à la majorité. ï
._ Souurion. Ce problème revient à chercher la probabilité
d'extraire, en y tirages, au moins Ê + 1 — À boules blanches
d'une urne qui renferme s boules, dont a blanches et b noires,
sans remettre dans l’urne la boule extraite.
Il suffira done, pour la résoudre, d'appliquer la formule pré-
cédente (n° 28), en y faisant = + 1.

Problème de Pascal (”).

50. Déterminer la probabilité de deux joueurs À et B, de
gagner le premier a points, l'autre b points pour finir la partie,
dans un jeu où l’un des deux doit gagner un point à chaque

(‘) C'est par ce problème, proposé par le chevalier de Méné à Fermat et
à Pascal, et résolu d’abord par ce dernier, qu'a commencé le calcul des pro-
babilités.

(51)

coup, p étant la probabilité de À, q celle de B pour gagner le.
point.

Sozurion. Soient P et Q les probabilités cherchées; P+Q—1.

La partie sera terminée tout au plus en a + b— 1 coups;
donc le problème revient à chercher la probabilité P qu’en
u = à + b — 1 épreuves, À, ayant la probabilité p de gagner à
chaque coup, gagne au moins a fois; on aura donc (n° 20) :
(&—1)

Cr [122
_ __"mt—2h2 QUE i
1.2 Pts Ho UE)

P=p" + pp 'q .

91. ProBLÈMEe V. Une urne contient m boules ; on en tire un
certain nombre; chercher la probabilité que ce nombre sera pair
ou tmpair.

Les nombres de combinaisons paires sont

2/—1 &l—1

m m
ST Too elc..….

Les nombres de combinaisons impaires sont

m°!"1
mn; => CL:
5!

Le nombre total des combinaisons est :

m2! m°!

_ RAA 1) — 9 1.

1 + m + =
_. !

Soient P et Q les probabilités cherchées; on a :

p p I m°T! m°=!
ST anal often t vie
et
1 in ne
QE EE Me. Ge æ).
FE 5!
Or

m2"! n°!

(+ 1)" + m + nie etc
m2! m°=!

A— 1} —1 — m + — + etc.

(32)

Ajoutons et retranchons ces deux identités :

m2! &I—A
DORE ie +
| 2! 4! \
mt |
—9 | M + + |
donc
: 9mt 4 Dm—t
1 = 9m_4 ? et Q TT Dm 1
Or

4:74
gm—1 gm—1 __ su - (9m 4):

nous aurons donc

9m—1 5 4 Dn—1 UE À |

Dm Ca Ar

par suite Q > P.

9m—1 (| 4 A 9m—1 4 À 1

2 Q

— Res) EE

— —__… D
De NON (271) SC)

L

plus m est grand, plus — est petit; donc si #» est très-grand,

P et Q diffèrent peu de :
1

Dm —

Au contraire plus m est petit, plus 1
Q approche de !, et P de 0.

Enfin AN QEPE 0;

92. PROBLÈME VI. — Une urne contient m boules blanches et m
noires : quelle est la probabilité P qu’en tirant un nombre pair de
boules, il y aura autant de noires que de blanches ?

Sozurion. Le nombre des cas où l’on tire 1, 2, 5... boules de
chaque couleur est

1
ü approche de ;; alors

m°=! | m°= 1

SRSANEENS etc.
21! 3!

m ;

Donc le nombre des cas où l’on tirera À blanche et 1 noire,
» » » 9 » 9) »

» L » » ) » e) »

est respectivement

m2! 2 m 3|—1
(2) IE PES Le
4 ANoN 5!

donc le nombre total de cas où l'on tirera un nombre égal de
blanches et de noires est

: m°!=! 2 m°=! 2 9m ml—1
enÿ = | el lai ee 2;

2! 5! m !

Comme on en tire chaque fois un nombre pair, 2"! — 1 est
le nombre de tous les cas possibles; donc

(Or)

= — |

' DE

P— 92m—1 24 °
Si M est très-grand

(2m)"—!

m! DATI É
D ou à peu pres.
mT

En effet

2m)" 2m (2m — 1)... (m + 1). m(m— 1)..2.1

HN A Gr M an

Or, on sait que, si #= est très-grand, on a à peu près (*) :

1-2... m —n"e" VO7m :
d’où ;
(4.2... m}= me", 97m
1.2... 2m—{(2m)" .e"V/Arm
(2m)"—! (2m)" .e-2" ,V/Arm GAL
NE e ee
m : me 2% V/Onm.V/9rm V/7m
Donc
D? 2.9 2
pP= Ce

V'rm.2%1 |/7m.2" V/7m

() Voir la note I, à la fin de l'ouvrage.

(54)

33. ProLëème VIL. Une loterie est composée de n numeros;
il en sort r à chaque tirage : trouver la probabililé n que tous
seront sortis en 1 {irages.

SOLUTION. Désignons par
2; le nombre des cas où, après ? uirages tous les numéros

1,2. q parmi n numéros seront sortis,
Z le nombre des cas où, après ? tirages les numéros

1,2... q — 1 parmi n numéros seront sortis,
Z,-1,,_, le nombre des cas où, après à tirages les numéros

1,2...q — 1 parmi n — 1 numéros seront sortis.
» 1 Se compose de deux parties, savoir :
1° Des combinaisons où les numéros 1, 2 …. q — 1 se rencon-
trent avec q;

2° Des combinaisons où q n'entre pas.

Or si l’on enlève le numéro q, les n — 1 numéros restants
pourront se combiner avec les numéros 1,2... q — 1, et former
les combinaisons de ces derniers où g n'entre pas.

Donc :

Ba

Z

7} ri
L,, or La, En TE g—1

ou
L,, q ——= Z,, 4—1 re TEE (—1 5 5 . . CRAN (1)

Le nombre des cas possibles dans un tirage est exprimé par
)

n(n—1)}….(n—r+1) nT

LED ET r!
Donc celui de tous les cas dans 2 tirages est

n(n—1)…..(n—7r + 2}

à A EE (2)

Soit P la probabilité que dans z tirages les numéros 1,2. q
parmi les n soient sortis :

(35 )
De Ia suite :

ZA, q—A ? L, q—1 9 Z, q—1 es Z,, qg=1,
on tire :

L, A1 L, gi AZ, q=1
Z:, PEN pue Z, ie AZ, g—1
Zi, 41 ES Z:, in LE AZs, g—1

etc.
L, Ale Li, TL AZ, D CURE PES (4)
Dans cette formule (4) faisons :

L° q—1— 1,2, 5 etc, etn —n;
il vient :
Z,,o = 41, 5,1
Ln,5 = 421,9
FAN RE HR ne Et (A)
PEN

etc.

2% q—1—1, 2, 5 etc, et n—n—1;

On à :
LES D AZ, 0, 1
2% a AZ, 2 0 . . CUITE (6)
Li1,4 FT AZ, 3
etc.
d'où
AZ, 5,2 — A°?Z, 2,4
AZ, TES A? Lo», 2
A2,_ù, PSE, ie Li, 3
CC:
3° q — 1—1, 2, 3 etc., et n—n—91;
on à :

Lye, DE AZ, 4 (7)

Lis, Dir AZ, 2

elc.

(36)

d’où
1° Ly_», 2 A Lys, 1
A Z,, Se AZ, 2
etc.
4 g—1—1,2,5etc.;etn=—n—5:
Li-5,9 — À Li . . . o o . (8)
etc.
d'où

5 A
1°, 5, 2 — À Te

A cause des relations 6, 7, 8, les équations (5) deviennent
Lo Fe LYS
L, 5 Su AZ, _1,0 ra A°Z,_0, 1
L,,

2 3 4
L,,5 = AZ ,à — À Le, 3 — 4° Li-5,e = AZ,

: atae
NV ET, AZ,

etc. etc.

donc

ADR ADR UE ON ARE te)

n, 4

Le nombre de tous les cas possibles où dans à tirages les
numéros À, 2, … q, sortent parmi les n, est

|: NL ah DAS EE)

Le nombre de tous les cas possibles où dans ? tirages le
numéro À ne sortira pas est égal à celui de tous les cas possibles
où les numéros 1, 2, … q, parmi n — 1 numéros, sortent,

c'est-à-dire à
( n—1 }'=1 i
nl e e. n n . n e . (8)

Le nombre Z,,1 de tous les cas où le numéro 1 sera sorti
en À tirages est égal au nombre (&) de tous les cas relatifs aux
numéros 1, 2 … q, moins le nombre (6) de tous les cas où le
numéro À ne sort pas; donc

rl—A \i pn—A\/A1 \i _\t—1 fi |
2 = GE PO TR
cl r! (422721)

(57)
Changeons dans cette dernière formule x en n—q+1, elle

devient :
A Lu Wine q) nl
Liqui— (1. CE .r}

Donc par la formule (9),

cales ou
(AE (1.2.7)

Substituant dans (5), il vient

af Lo tt DA

5 [1 Lo QT

en posant n — Qj —s.
Maintenant considérons la suite

png =
[(s + 1e 20 [Cr ge A y LU
[se 27 — [in — q + | hi
lé etc.
Les + g— 17 = ee TT = 0

[ts + QT = 17 = 5

‘on à :
2/—4

AÎU—=QU, — Qui + = Ugo

9: —\elc E qu E 4:

Donc

6 ‘ 9/4
Aî (sta) Ur [n"—1] — q (ne Re 1j + _ [( OË 2) ou etc

Æ q [te — 9 +1) Æ [ea T

En substituant dans (a), on aura :

Es i

M qpn— + i gt [te —r ] HA jé a
pi] | 2! | n°21 ni EE n°1 m1 BIG

n

(58)

Posons g —n, nous aurons enfin :

npn—rT ne tp{n—r) "7
DA — | | + = —
1 n 21 NE

ann) na
STATS Eee +- eic. HAT Ue Eos (b)

3l

Exemple n—90, r—5, :=—100, on a n—0,7410 > ü et
plus grand que - de _ ï

54. Progième VIIL Une loterie est composée de n numéros, dont
un sort à chaque tirage. Trouver la probabilité 1 qu’en 1 tirages
tous seront sortis.

Sozuriox. La probabilité P que les numéros 1, 2, 5... q parmi
les n numéros seront sortis en ? tirages, en en tirant r à la fois,
est (n° 35)

L _ LG — qh(n— q 1)... (n — q —7r + 1]
[ne (n — 1... (0 4}

Pour r—1,onan—q—r+l=n—qein—r+1—zn;
done
At(n —.q)

n

Maintenant, soient
(n—q)—=u
a — q + 1j =u

(n— q + 2) = %

(n —1) =",

D =;
la formule
ql—1
MU =U, — QU, on U,-e — CC E QU EU

donne
me Ge 31—1
at(n—qgÿ=n—q{n0—1) + ra (n —2) — 1

(n— 5) + ete.,

de sorte:que
n—d\i gi n —2\
Pr nE — etc.

ln

(59)

Posons q == n, nous aurons

EN En nn 9) NE
I—14À—n + — etc. .
n

21 n

Pme
nn
—

Remarque. Posons :

FE (A ON NE GÉe Jane t\e
À: es —1|—n + — Etc ee)
n ñn 2? n

Dans le second membre de la formule (1), le terme qui en a m
avant lui, est (—); et dans la formule (2), le terme de même
est (—)". Passant aux logarithmes, on à

LT) Mb £ _* RU OR

n ñn ñn 9 n°

n ——1\" \ 1 mi Ami
MS AL ES ee

n n n 2n

° 1° r Je , 1
De sorte que si l’on peut négliger les termes de l'ordre --
on peut écrire |

(et AE NS

35. ProBLème IX. Le nombre n étant très-grand, quel est le
nombre de tirages 1, après lequel la probabilité que les n numéros
. » \ À
seront sortis, est égale à —?

LE

SoLurion. La formule (a) donne

d'où

_-Vi
LG)

Pour effectuer le calcul de la formule (b), soit

n 5 A n 1
——À —27, ——(1—2;, k — -
V é k. V is

On aura

À 1 j
= Hs: ira HUE Er
4 1 —2z, 9
Si nous faisons
Â
YU —=— Lk
y mL
d'où
À '
2 er.
y=Z 5 an

et que nous développions z suivant les puissances de y :
z = ÀAy + By° + …

nous aurons, pour déterminer les coefficients, l'équation iden-

tique :
y = (Ay + By + …) + - (Ay + By? +) + …
ou
y = Ay + (B + ne) ÿ + en.
d'où À =);

1 L.kŸ ù À
— ie, = | =.

n Date n

-\/; Le £ n

é 7 2n
l. L —\/ :| = À. (Lk) — En + |. £ _.
2n

ONE
| LI
A LU PNR an rs

2h

Or on sait que

run ne 5) — et | Den TE)

L’équation (b) devient, par la substitution des valeurs (æ) et(f) :

4. 1
Ent (D + LR . n [ln — 1.(Lk)] + sh

À —= =,

AA Te è
mio: 1 SE =—
NII NE 9n
4 1 A \
‘un ln —l.(Lk £ = : 1 £ | }}#
Al ( 1] 9n + 2) =)
a À
n°

56. ProBLÈME X. Une loterie est composée d’un très-grand
nombre n de numéros; il en sort cing à chaque tirage. Quelle est
la probabilité que tous seront sortis après i tirages ?

SoLuriox. Dans la formule

DR NET el nn 7 Me
ru.

n n(n — 1)

qui exprime la probabilité que x numéros sont sortis en à tirages,
à raison de r numéros à chaque tirage, faisons r — 5, il vient :

se Fa - — *) + n°! [® —5)(n nn 1

ANT 2 n(n—1)

Mais on à :

n—5\i | nin—5\ n!/[n —5\i
\\ nn 1 n 21 n

On peut done poser approximativement

Teen CO LH
[511
à n

ét Si =
AC
log | |
À 28 2e 7
one (
9 og | n |
n — 5
pour

n—90, i— 85,204.

97. ProBcèue XI. Un plan est divisé en parties égales par des
; parallèles NN’, MM’... dis-

D 1} à
N H S + Da r tantes entre elles d’une lon-

07 | queur constante à. On projette

SN ci sur ce plan un cylindre très-

M D (ie NU entr SO ri
Re eue 7 Mince d’une longueur 2r égale

D ie au moins à à. Chercher la pro-
babilité P, que ce cylindre rencontre deux parallèles consécutives
quelconques.

Sozurion. Soient,

AB— a, BC—Yy, AC—a—7y

CD = CD'=r
CE = CE = 7r
BO = 7r

DCB— BCE— +, DCE—2:.

Quand le centre du cylindre est en GC, si on le fait tourner
autour de ce point, la moitié DC rencontre MM” dans l'intérieur
de l'angle DCE, et il en est de même de l’autre moitié CD”.
Done 4 est le nombre des cas où le cylindre rencontre la droite
MM, quand le centre est au point C. Done f” 4ody esile nombre

(]

des cas où le cylindre rencontre MM’, en faisant glisser le centre
du cylindre sur AB, de B en O; or y — r cos ®, d’où:

DE dy = kzy — 4 [yd? = koy — & fr cos ?de

— 4çy — kr sin ? + const .

Jardy — [kpy— 4r sine] — [key — Ar sin ;].
0 r 0

(45)
Les limites de y (r, 0), correspondent aux limites de o LE 5
attendu que y = r cos +; donc

1
———
ÿ»

[de = 18. 017 — br sin 0] — [4.5.0 — ur sin E] = er.

”.

0

Faisons
AC QE y — y:

le nombre des cas où le cylindre rencontre MN’ est
Judy = 4r
0
e À
et le nombre des cas où le cylindre rencontre MM, ou NN’ sera
4r + kr = 8r.

Le nombre de tous les arcs décrits par le cylindre pendent que
son centre parcourt AB — a, et qu'il fait un tour entier dans
chacune de ses positions, est 27 .a, donc la probabilité cherche

Sr kr
P — EL:

274 AT

Rewarque. Soit GK — HL — h, si le centre du cylindre se
trouve dans l’intérieur du rectangle GKLH, le nombre des cas
où il rencontre MM ou NN’ sera h.8r...... (a).

93. PROBLÈME XII. Un plan est divisé en parties égales par un
premier système de parallèles MM”, NN’... placées à la distance
constante a; puis par un second système de parallèles PP’, QQ'..….
perpendiculaires aux premières, et à égale distance b les unes des
autres. Un cylindre d’une longueur 2r
au plus égale à b ou à à, étant projeté

Ë N° sur ce plan, trouver la probabilité P

que ce cylindre rencontre le con-
ar tour de l’un quelconque des rectangles
, : AEUPF, dans lesquels le plan est divise
par les deux systèmes de parallèles.

(42)

SOLUTION. Soient
AP Aou — Or

AD=r > ou?»

AB—AD— 7
EG— "EEK —"7
EL — FO — r
US re

BG — OR = b — 2r
DL KS = a — 2r.

Le centre du cylindre, en tombant dans l'intérieur du rectangle
AEUF, devra se trouver dans l’un des rectangles F, If, If”, HE, ILT
ou dans l’un des quatre carrés 1, 2, 5, 4.

1° S'il tombe dans E, il ne rencontre aucune des droites, ni
du système MM’, NN’... ni du système PP’, QQ'..….

9 S'il tombe dans II ou Il’, alors le nombre des cas où il
rencontre l’un et l’autre systèmes de parallèles, sera par la for-

mule (a), n° 57 :
Se (D Or) AN ANR)

3° S'il tombe dans II ou IIT’, le nombre des cas où il ren-
contre les deux systèmes sera, par la même formule

Si 2) dede Aa) MER)

4° Il nous reste à examiner ce qui se passe dans les quatre
carrés 1, 2, 5, 4.

Du point À, avec un rayon égal à r, décrivons un quart de
cercle. Si le centre du cylindre est dans
ce quadrant, il rencontre en tournant
dans toutes ses positions les MN et les
PQ à la fois; le nombre des combinaisons
dans lesquelles cela aura lieu est

HAE.

Dr. — —

4 2

Si le centre du cylindre est en V{xy), en dehors du quadrant,
il ne pourra rencontrer, en tournant, qu'une des droites MM’,

(45)

PP’. Pour chercher le nombre des cas où cela arrive, décrivons
de V comme centre'avec le rayon r, l'arc de ccrcle YZTX. Soient
TVX =, YVZ— 20; le cylindre ne rencontre la droite MM’
que quand il est dans 2o, et la droite PP’ que quand il est
dans 2’.

Donc si le centre du cylindre est en V, le nombre des cas où
l'une de ses moitiés rencontre MM’, PP’ sera 2(o + o!); done
le nombre des cas où l’une et l’autre moitié rencontrent ces
droites est 4(o + ®!).

Désignant par dxdy l'élément de surface de la partie du rec-
tangle située hors du quadrant, le nombre des cas relatifs à toutes
les positions de V est

IE ee D) EU RE AO (CE)
Pour déterminer les limites de cette intégrale, nous avons
AW—=zx—7rcos:, dx —=—rsin sde
VW=y—=7rcos:, dy —=—7rsin »d».

L'intégrale (x) devient
4 [fe + 9’) sin? sin ?’dode” . . . . . (6)
Pour tout point V situé hors du quadrant, on à
x > ou — V7 y.

Pour B et D, on à:

Die =

Les limites de y (0, r) correspondent aux limites de ® [0 ct AL
Pour déterminer celles de ?’, on part de
DM
done

! MONET TO or . Tr
T COS © 7 V7? — 7° cos’ ? 2 r'sin 9 > Tr cos — )
— = — — (® È

PA

et

PL y.

WIN

(46)

Ainsi les limites de +’ sont 0 et? — 9.
Donc le nombre des cas cherchés est

7, A
arf? sin sde f ? 72 + /) sin de.
0 0

Intégrant par rapport à o/, on a d'abord :

Je + 9’) sin sde — 8 [sin g'do’ + fe sin &’de'

— 9 COS © — y COS » + [cos 9 de’

|

— — 9 COS ? — 9 COS ? + Sins + C

— (p + 9)cos s + Sins + C
d'où )
T

DT TN Fr .
JL (op + 9) sin gd — me ? + COS & + 9.

0.

Par suite

T GT , T T
Ti 20 ; , , 2 NAN AE ES 2 d
Jen sde f (? + +’) sin +de : J sin? +dp

0
0

x NO
+ [7 sin + cos go + [°° 9 Sin ede.
to)

0

0

Or, en intégrant par parties :

‘ il 1
1° sin” do — — = sin » COS ? + —#,
1 1 eu? Se Et

d'où
ne
EU 1
sin” ed = — 7.
] 4

0

As
20 fs ? COS çdo — = sin” »,
7
z 1
1e ‘sin p COS ed Æ= 5 L

0

50 [r-Sin ode = — 3 cos 3 + feos «dy = — 9 cos $ + sin y,

( 47 )
d'où
T
Vo + Sin pdo — 4.
;
Donc

Ar? LR d av a 1 RE | ) Ut ;
# 2 SIN 24 "(c++ )SiIn = AS te ——(19— 7°),
1 9 74 +9? pay A ne

0

En ajoutant 7, on obtient le nombre des cas relatifs au

carré 1, qui sera donc 6r?; et quadruplant, on a le nombre des cas
relatifs aux quatre carrés 1, 2,5, 4, qui sera 24r° (5). :
Le nombre total des cas (1), (2), (5) :

8r (b—9r) + 8r (a —9r) + 24r°— 8 (b + a)r — 8r°—Sr(a +b—7r)

exprime tous les cas où le cylindre rencontre le système de
parallèles MM’, NN’, PP’, QQ’.

Mais le nombre total des combinaisons possibles est égal au
produit de 27 par l’aire AEUF ou 2rab, done la probabilité que
le cylindre rencontre les divisions du plan est

D 8r (u + Er ON kr (a + b —r) |
27ab r ab

99. Progrème XIII. Si dans un tas de x pièces, on en prend
un nombre au hasard, déterminer la probabilité que ce nombre
est pair ou impair.

SOLUTION. Soient :

GC, la somme des cas dans lesquels le nombre est pair.

C, la somme des cas dans lesquels le nombre est impair.
la probabilité que le nombre est pair.
la probabilité que le nombre est impair.

On à :

EL
le

, C,

ue ser
C, + OC,

C,

C, + C

U

zT z

(1)

Détermination de C, et C;. x étant le nombre de pièces, si l'on
prend une pièce de plus, C,., sera le nombre des cas dans
lesquels x + 1 est pair, C,,, le nombre des cas où x + 1 est
impair.

( 48 )

Dans le premier cas :
C,,, se compose 1° du nombre précédent de cas pairs,
2 du nombre précédent de cas impairs,
car chacun de ces cas combiné avec la nouvelle pièce donne un
cas pair.
Donc

CC CE dou ACC et AC EACE 0)

Dans le second cas, C.,, se compose :
1° du nombre précédent de eas impairs ;
2 du nombre précédent de cas pairs ;
5° de l'unité, puisque la nouvelle pièce peut ètre prise seule.
Donc
tr nn (= 1,
ou :
ACDC 1 0R 0 0 AN ARTS)
donc, à cause de la formule (2)
AC, = C, + 1.
Or
a°C, = AC,y GET aC, FF Ce RU Crus LT (GX CHR CAE
on aura par suite :

C3 FA 2C,41 + (0 —= C, + |
C,ye — a + À

ou bien, en changeant x + 1 en x :
Do CN ele tn Rep tente
Intégrons la formule (4) qui peut s'écrire :

Cu —C,—C, +1 ou AC—=cC, +.

Soit
C+l—=7y
d'où
NON
et par suite :
AY = y.

Posons
— (là

(49)
d'où
ay= tt — a — a (a — À);

et substituons, nous aurons :

a(a—1l)=æ; ou æ(a—2)—=0;

d’où
a =
et
y A2?,
À étant une constante à déterminer.
Donc :
C— A9" 1] (5)
Or, pour
LA Mona 0; 4
donc
SR |
DAME d'ouMA
2
et
C— 9" 1 (6)
Mais on a

CAE donc (LE Tas ae 1] Rue Es os 1]

== QE — 9x1

La somme de tous les cas sera
CE D 0e Re

Donc enfin
91 __ Dr—1
Cet cer
il en résulte
Pr.

40. ProBLÈME XIV. On projelte une pièce au jeu de pile et
croix; on demande la probabilité qu’en x coups, on améènera
les faces de la pièce dans l’ordre pile, croix; pile, croix; pile,
croix; elc.

( 50 )

Sozuriox. Soit C, le nombre des cas favorables ;
1, le nombre total des cas;

P, la probabilité cherchée — FR

Déterminons t,. Le nombre de tous les cas au coup x s'obtient
en combinant le nombre des cas au coup x — 1, avec chaque
face. On a donc :

be —= DU

Pour intégrer faisons x — 1 ,2,5 …. x, et multiplions, nous
aurons :
t, —= b . 2°.

Pour x—1,onat,— 72, donc

Ds où Di;
et

DE

Déterminons C.. Le nombre des cas dans lesquels la combi-

naison pile croix, pile croix... n’est point arrivée au coup x — 2,
est

(E ET (QUE — Die UE? Ce:

Chacun de ces cas donne un cas où elle arrive précisément
au x” coup; done le nombre des cas où elle arrive au x”° coup
est D Cr

Mais C, est le nombre des cas favorables au coup (x — 1)",

multiplié par 2 et augmenté du nombre des cas où elle arrive
au x COUP; ainsi :

C,— 20: +927 0C

Donc
D Gr Dire C,_
pot 1 JA 2
CT DE 9x
C,_1 1 | Ce 1 (|
EU eu PGA ee on pe Heat (1)

Pour intégrer (1), posons :

pa —= p° + AP,

(51)

et de même

De — pre D AIDE = P, + AP, + AP, + ARDES
ou
DA PDA D EE Cp

Substituant dans l'expression (1) de P,, on obtiendra, après
réduction,
AP, — 24P, + P, — 1 — 0.
Si l’on fait

Pay;
d'où
P—41 +7,
el
AP, — ay
LA Er

l'équation précédente deviendra :
A°y — 2ay + y —0.
Posons

PEER VUE
d'où :

et substituons, il viendra :

1 2 1
F1) 2 1) sen,
Π(4

ce qui donne pour a les deux valeurs :

| Î
di Fo et @ RO
d'où
1\: I œ—l
y = Cai + Gras — C () + C'x 6) à
en faisant

Déterminons C et C.

(52)

Pour

à C
x—1, Pioul +y—0; d'où: 0—1+—+0cC

D
1 1 PAU
F2; pi ——1 ++ C7,
% mn
d'où
{2 1
C— — 1; D.
et par suite :
À +x
NN Due
d'où enfin :
À + x
P, = 1 — . s
9e

41. ProBcèmE XV. Quatre joueurs À,, A9, A;, À, jouent de
celte manière :

1° A, joue avec À, : s’il gagne, l’enjeu est à lui;

S'il ne perd ni ne gagne, il continue de jouer avec À; jusqu à
ce que l’un des deux gagne ;

S'il perd , alors

2 A, joue avec À;, et si À, gagne, l’enjeu est à lui;

S'il ne perd ni ne gagne, il continue à jouer avec À; jusqu'à
ce que l’un des deux gagne;

S’il perd, alors

3° À; joue avec À, : et ainsi de suite, jusqu'à ce que l’un des
joueurs ait vaincu celui qui le suit.

La probabilité os lun quelconque des joueurs de gagner
contre l’autre est 25 celle de ne gagner ni perdre est aussi 55
déterminer la probabilité que l’un de ces joueurs gagne la partie
au X"° Coup.

Sozurion. Soient P, la probabilité que A, gagne la partie
après © COUPS,

P, la probabilité que A; gagne la partie après x coups, ete.

On aura :

4 1:
EE pa + —P,., ue . . Ê G . (1)
5)

(55)
4
En effet, l'événement dont P, est la probabilité peut avoir lieu
de deux manières :
1° Quand A, gagne la partie après x = 1 coups, et qu'il la
gagne encore au x" Coup; cet événement composé a pour pro-
pe, r ;
babilité = P._..
2° Quand A; a gagné la partie après x — 1 coups, et que A,
agne au x” coup, cet événement composé a pour probabilité
Le :
L'équation (1) peut être appliquée successivement à tous les
joueurs, on a done le système d'équations rentrantes

CRT

noue
Da rl ta Ale l
A NE (hi)
Pepe lp
En LIEN tete . 2’
SN. Li
2 1 2 A :
P,——P,;—=-P,; (5°)
ï 5] 5]
1 À : A #
1 FEUE pee = — P,_.. e (4)
5) 5)
Déterminons P.: on a :
£ À # 45
P: rte Le DE PE ;
3 3

.- AUS 5
changeons x en x — 1, et multiplions par — ;, il vient :
G)

4 À # 1 5
FRENES Lr + A pe Sn TE PE
6) } 5) d

Ajoutons, et nous aurons, par suite de (2) :

4 9 4 À & Ars 5 2
PP} FRE pe rie Ps Fes [r.. re P.| = pas
d 4 d

(54)

Enfin, par suite de (4'), au moyen des mêmes transforma-

tions :

4 44 6 & k 4 À 4 À m1 A 1 44

P; PA het x ee mb be Cie P,; ren = P;
a) d a) d d b) 0)

LI

T,

Cette équation étant linéaire, nous pourrons poser P,— a’;
d'où, en changeant x en x — 1, x — 72, etc. :

a—À

4 Lo é
D Pa etc,

et par la substitution de ces valeurs, nous aurons :

( l 6 4 1

7 NE RER et
l SANS a TS Se)

ou, en supprimant le facteur a :

el

Soit

(24
ë Ja =:
5
CH
d'où
É 1 a.
3a = - [1 + — |};
Ÿ 3

donc &# — 1 — 0, donnant les valeurs

— — À, dx —= Ver a — — Va

ci), Ly —=

a aura les quatre valeurs correspondantes : a, &, &3, @,; et par

suite :

4 «
OT NT NO GE NOM UE to 1 (2)

2

(55)

Les imaginaires se remplaceront par

T A ETS
œ; — cos — + V — 1 sin —
2 2

T ———— T
a = C0s— — V/— 1 sin —.
; 2 9

On aura des équations toutes semblables pour

3 2 1

P:, P,, P..

2% Déterminons les constantes de l'équation (1).

Pour cela remarquons que

Après x — 1, 2, 5, 4 coups les probabilités de gagner pour A,

Sont :
À A I |

NS

Après x — 2, 5, 4, 5 coups les probabilités de gagner pour Ac
sont :

Après x = 5, 4, 5, 6 coups de probabilités de gagner pour A;
sont :

Après x — 4, 5, 6,7 coups les probabilités de gagner pour A,
sont :

PO AE AO MAS

Ces dernières quantités serviront à déterminer les constantes
de l'équation (2) ; en les substituant dans cette équation, on aura
les quatre équations linéaires :

mir Cat + Ca + Ca + Ciai.

(56)

4

= —= Ca Cm Cuai DE C;aà SE Cia:
10 0e
36 — Ciai Se Cao == Ca En (Ce
Do tt D SR
15° —= Ca; SE Coco Sn C;a; ae Cyr.

42. Progzëme XVI. Deux joueurs À et B, dont les adresses
respectives sont entre elles comme p est à q, jouent ensemble, de
manière que sur un nombre x de coups, il en manque y à À, et
x-y à B pour gagner la partie. Déterminer les probabilités qu'ont
les joueurs de gagner la partie.

SOLUTION. Soit &,, la probabilité pour B de gagner la partie
ou de faire les x points quand déjà il en a fait y.

DAME ES A A te
5+4 — 0 est la probabilité pour Ft gagner un COUP.
Dee = « est la probabilité pour B de gagner un coup.

B peut gagner la partie au moment du coup actuel,

1° s'il gagne ce coup, auquel cas il ne lui reste que x —1
points à faire ensuite; la probabilité de gagner le coup est «; celle
de faire x — 1 points est #,,_,; la probabilité de gagner la
partie en gagnant le coup actuel est donc au, ._,.

Mais B peut gagner la partie au moment du coup actuel,

20 en perdant ce coup, pourvu qu'il gagne indépendamment
de ee coup : pour cela, il faut que, quand il n’a que y —1 points,
il n'en ait plus que x — 1 à faire; car alors, quand il aura ses y
points , il aura gagné la partie.

La probabilité de perdre un coup est b; fe de gagner mal-
gré cette perte est 4,4 ,_1-

On aura donc

UPR x —= b X Uy_r, x1 + € X UPA a—1*

Remarque. 1° quand y—0,on a, ,— 0.

Car quand B n'a gagné aucun coup, sa probabilité de gagner
la partie est égale à zéro.

On a aussi w, ,_, — 0.

(57)
2 Quand y — 1, on a par (1)

Uya = Ag, 4 + OU, 54
ou
VW, ù— AU, x—1° . . o ; . n

5° Six — y, B gagne nécessairement.

Donc
Uy,y = 1.

& Six — y — 1, on a pareillement

Uy, y—1 = 1

car (1) donne

Uy, y = y, ya + DU, = au, 1 + D,

mais À — a + bédone rat
5° Sixæ—y— 2, on a par (1)

Un, ga Aly, yo + DU 0, 2 QU, 2 + b—1,

di

donc
etc

Sie omat, 4 — 1; canon apar (1)
Us Uy,o + duo a+ b—=A,

puisqu'on a évidemment uw, ,—= 1, u,_1,9— 1.
Nous avons trouvé pour l'intégrale de l'équation (1)

Uy, x = pan 1 L (x — 1) + (QUE NES)

: pt (x —1)(x—2)..(x—y +1))
Fe TOR at dt

45. ProBième XVII. A et B ont chacun k pièces,
la probabilité que À gagnera son coup ——,
'AVITES ER b
la probabilité que B gagnera son coup —7—,

C

la probabilité que personne ne gagnera tes

(58)

La partie sera terminée, quand l’un des joueurs aura gagné k
pièces; quelle est la probabilité que À gagnera x pièces, et celle
qu’il gagnera la partie?

PREMIÈRE SOLUTION. Soit y, la probabilité pour A de gagner x
pièces; elle se compose de :

La probabilité pour À de gagner ce coup, multipliée par cale
pour À de gagner la partie après ce coup;

Plus la probabilité pour A de ne pas gagner ce coup parce
que B le gagne, multipliée par la probabilité pour A de gagner
malgré cet échec;

Plus la probabilité que personne ne gagne le coup, multipliée
par la probabilité pour A de gagner la partie malgré ce coup;

Donc

a b c
RE ben oo eo
d’où l’on déduit successivement
(a + b + cy, = aysss + Vys rs + Cys
(a + b)y, = aYys41 + 0-5
(+
= Ya Yeti = Yr 4;
ou en posant ; =}:
U+Y)Y= Yoga + VYr-ts
ou bien :
UPENRES (1 + Y)Yx an AU ET EN MOSS Ge MO (1)
Intégrons l'équation (1).
Si
DU NN GTA Co Ds
D ONU NUE
faisons

nous aurons :

(59)
y =( +y)y
ys =A+9)p—ry=(l +9 +r)yn
Je = +9)Yys—vyÿy= (+ y ++ 5) y

ni 1 — y”
D 7 MR Ha
Pour x — 2%, on aura :
I 2 — y
Vale ys d'où y— ya?
et
1— 9% 1—7 4 — 7"
Ra so
Yz 1—7y À — y* 4 — y*
pour x = k,
“en, L = Vk 1
Le SET TEE:
probabilité pour A de gagner la partie.
La probabilité pour B est égale à :
1
DE RTS Y+a—= 1.
-(
%

Remarque. Le calcul est le même quand les joueurs n’ont pas

un nombre de pièces égal.
Soient À et w le nombre de leurs pièces. On aura :

: À — yu + À
Yu À — 12% 2
DE
Does
der ds
epson Je VIE

probabilité pour A de gagner la partie.

Deuxième sozurion. L'équation (1) étant linéaire, on peut l'inté-
srer en posant

Ya = À,
donc
= (A + y) a — ya
a —(H{+y)a+y7—=0
« ou Vis. rs Lo
> 2 ns 5
U = 1, U—=Y
y =Gû+G&—= CG + C *
pour
x—=0,ona y = 0,
pour
m— 2%, ONU
donc
9 — {, + C
| = (C;; Se Cy°
d'où
Î
C—— C:, C, —= n M À
Sr
D CU Do

TROISIÈME SOLUTION. Par les fonctions génératrices.
Nous avons trouvé

YA +9)ÿ Vs |
ou en multipliant par €:
Yaat = (1 = Y)YE — vye

ou bien :
4

(nt) DE — vga t Ne

(61)

Posons x — 1, 2, 5, ….; nous trouverons :
1.
: Pye = (1 + Y)yit — Yiyol°
il di
ss y; = (1 +9) yl — vit
4 à
5 y = + y)ysl— vhyl.
Ajoutant, on obtient :
1 ;
- pl + yl+el = (+) jytt + JE + +}
— 4} yo + gl + QD +).
Soit Zz = Sy," = Yol° + Yat” Se yat Dee
0
l'équation précédente deviendra
1 0 1 0
re — yo —yb}=({ +») {2 y} — vis,
mais yo — 1 ; de sorte que cette équation se réduit à

z—yt—=2(1 +9)t-9ÈËz;
d'où l’on tire

Un
Le —=
A—(H+nt+rt
yit
=yt(l+i+ Ps) + ot + 8.)

HET) A4)
— + Yi (1 + y + V° HT Dani Gone

Et comme y, est le coefficient de t* dans le développement de z,

on aura :
Yz — (1 GED Ge EE Ce 7!)
À Mo
= Yi !
D'où l’on tre
MEL)
Ya = À = Yi

1— 7°

< (62)
et par suite

dr ex

44. PROBLÈME XVIIT. A ef B ont m et n jetons; ils jouent ; au
bout de quelque temps ils en ont x et y; la probabilité pour À de
gagner | coup est > celle de B Bi. La partie cesse quand
l’un des joueurs a gagné tous les jetons de l’autre. Quelle est la
probabilité pour À de gagner la partie?

PREMIÈRE SOLUTION. Posons m + n —x + y —k.

Soit w, la probabilité cherchée ;

= est la probabilité pour A de gagner cette fois;

Æ
Us » » À de gagner après le coup;
Le

FE » » À de ne pas gagner cette fois ;
ANS, » A de gagner malgré cet échec;

on aura donc :
X
U, DE Ury4 DE =
Multiplions par kf’, 1l vient :
ku,l = Quut + ku, it — vu, tr.
Faisons successivement x — 1, 2, 5, 4 et ajoutons :

k (lues + Vue + ce) = (ot + DE + Su + +)

+ kt(us + ait + We +.),. . (2)
— Duo + Qui + Sul + +) |
Soit
2 = Ut Ut + Ut + ul + ce;
d'où

dz À

— = Un + Quot + SU +

dt

L'égalité (2) peut s’écrire
k(ust + ul + ce) = (tu + Quot + Sul? + ce) — (us + Uol + Ut + «+) |
+ ktuo + uit + ul + +)

— 4 (to + uit + Ml +) + (uit + Jul? + .…)]

(65)
ou
dz z—u,

ire :

+ ki 1 re
a — ÿlz — |
dt

2

et puisque %, —0, on aura :

dz 1x ldz
ko —— + kiz —1z — —;
DA 0 dé
d'où
D Eh nn)
U dt ?
et

dz . (t+ P+tik— Ck)dt È 1 al
Spas ——© = | — ——— + dt
t(1—t) (1 + 1 LA A — i A — 1

Intégrant :

Lz=li—1l({—t)+(k—1)L(A +0+lc
d'où
E(1 + d)!
1 — 1:

et si l’on fait k — 1 = y:
À l
rc UE (A + h=c(t+Ë+Ët+.) livois

Ce +)

Le terme général sera

CR pit —1
Z=: +Ci+p+ He + — FH
2! x —1!
Donc
\ Lu Rene
U=CA+u+ ++ <
l 2! x — 1!

Pour x = m + n— k— y + 1, on a w,— 1, donc

2/—4
D ee EE ———

1=cil + x +

CM #1 —=cI2r.

1
Donc c = x, et:

Fe E — x
Ur == I Up + Pi 7 Use
D'où
RU, = Lusss + RU, — aus
hu, — u,_1) = 2% (ur — Usa)
= À (Us — Us) + A (U, — Un).
Posons :

Us — Us = ŸX.
il viendra

kyx = x [y (x + 1) + 4 (x)|

(k — x) yx — xp (x + 1)

pu
Y (x + 1) — ot)
Faisons successivement x = 1, 2, 3... ; nous aurons
B .
UD) = dl), = —
(2) = 41). —
oo
W9)—= V2).
G)=42. —
kE—x+t1
gx = (x — 1)
x — 1
et multipliant ces équations :
(kb 4) (E— 9). .(h—x +1 Pme
DD = il), — — (1
: # 12/00" ADR
Donc
(1) = (1)
12) = 4) À
2/—1
(2
#5) =). À,

(65)
mais la formule (1) donne pour & —1, 2, 5...
= +%(1)
Us = Ur + Y(X)
en ajoutant On à :
u, = uo + YA) + 4 (2) + 9 (5) + + + 0 (x)

— (1) + Y(2) + + + y(x)
ou bien

d (1) se détermine comme précédemment c.

Problème des parties pour deux joueurs.

45. À un joueur À, qui a la probabilité p de faire un point,
il reste x points à faire pour gagner la partie; à B qui a la pro-
babilité q = 1 — p, de faire un point, il reste y points à faire
pour gagner. Quelle est la probabilité pour À de gagner l'enjeu ?

SozuTion. Soit u,.. la probabilité cherchée; on a

Ua TU 0

car alors p gagne; x et y ne sont jamais nuls à la fois.

La probabilité cherchée est égale à la probabilité p que A pos-
sède de gagner cette fois, multipliée par «,,, probabilité de
gagner ensuite, plus la probabilité g que A perde cette fois, mul-
tipliée par w,_,. probabilité de gagner ensuite; savoir

Un DU A IQ a AN OEes rt eo)

Première solution par une double sommation.
Soit D
A Sue LU AU eu

+ Ua UD + Ut 0 +
Multiplions l'équation (1) par tv, posons pour

y=1, x—1,2,3..
y—=2 x—1,9,5..

(66)

et ajoutons, 1l vient:

TA + Ualu? + Uol0 + Uialv” + : |
+ Uon PU + Woo l0 + ee) = p À + Ua oÙ0 + Ua EU + :
etc. SE à ne
Uo,i LU + Uool0? +: .
+ + Wal 0 + WU 0 +
à .

ou

Æ œ œ [2]
z = SSu, lv = p : FRS O0 + me
11 1
+ q Le SU, 0° + ISSU, : l°0
4 44

OU, puisque %,0 = dl, Uoz —= 0:

LAS pot (2)
à nn 0 =) k
_ pot 1 1
RTE TE 1 po
1 — qt
t 252 1,0 —1
cu ue Ne pe Vpn
(1— 1) (1—qt) 1—gqt (1—ai) (1 — qt)
ie IS NUS EM VreMTe FAP 0° +

(At) (1 — gi)

Le terme en {#', s'obtient en cherchant le terme en #”, du
développement de |
p't
TNT TN
Savoir :

TX x?! x tv—2/-
p(i+° = — ni

(67)
Remarque. Cette formule (5) se compose de :

p°, probabilité de faire x points en x coups;

p° ?q » x points en x + 1 coups ;
ï æ?/—1 2 © Û à
pr » x points en æ + y — À coups;

.

la somme est la probabilité cherchée.

Seconde solution par une simple sommation.

Soit .) |
Bn—— SYU, Up Ur 0 +
1

Je fais dans (1), y — 1, et je mulüplie par t
= }, » Ê
y —= 5, » {5
etc.
et j'ajoute :

Ut Ælalte=p [unit + Uo,2 P+l + qtus. + Usa P+]

ou
2 = Pr 1 + QU
d'où
LE
RL
4 — qt

en faisant x — 1, 2, 5.... x, on obtient

os . PT
+ TM — ql
z
Za —= P . 0e
1— qt
gti x
Zy —= P — ne
4A—qt (1— ai)
mais
= a t
mn (2 SO — HER
donc

Prt
La = ————;
(A — gt (A — 1)

( 68 )
et par suite «,. est le coefficient de # dans le développement
de z, : Î

D Der"
2/—A D'AUE les.

qU+r+ ——_——
! y—A!

OR EU RE 2 Le 2 D) £ +xqt+ gr).
Pour réduire la formule précédente en intégrale définie, il y a
deux méthodes.

1° Faisons
| 1

jee à (6

z = pol *

Comme on a :

1 =
à me e 00 de

D em (Re os

0

il en résulte :
bo) en ent tece
0 0

2 /1D X
= où etÜ+0), pou, (041); ple)
ù 0

D An 21, x —1
= pot } / eo) dode 1 + por 12 \ODIDIerEs LR ant IX
0 0 159% 21
0 + Qo)! 7!
X | + (0 Le qa)l Zn aol ee ere
122007

ni er (04e) rt (9 + qo) "ar UE Je

R= tr + Ds
Cxryé

et par suite

À e (ro) (8 + go)" dodo.

.

Posons
o—vrt, do—vdt+tdr 67 {1 1);

d’où, 0 étant considéré comme constant par rapport à © :

= — rdt + (A —t1)dr;

( 69 )

et par conséquent :

rl rdt
do—(r+ =) dt — L
= ÿ = fj

Par rapport à 0, w est constant; done do — 0, et par suite
dt = 0; d'où dd (1 — à) dr; et : dodô — rdrdt.
Comme

(a) PE Le.
LE : aux limites |
0

répondent celles i :
0 : 0

et comme
, Li Ce La C2
0+ w—7r: aux limites 9 Ê répondent celles rh

Nous aurons done :

qu

sl rdre EE Ur rt + qri}

CT Fer
die" l— ti + gl!) Prete rl.
Mais
A—i+qt=i—tA—qg =1— pi;
et
Dbrsetr = T(x + y).
0
Par suite l'expression précédente devient
pr+y) à
EE LE À 1
Soit
1 D
pi=t; pour t—| on ax =] ;
done

u __PT(x + y) nd cn, — 8)!
“ er y : FN 1e

C'(x + y) LÉ mA (1

— tj de,
Cxry 0

(70)

Sn? alors À gagne à chaque coup : et l’on a :

T(x + y) ne .
Cxry en NE A de;
or
Ho a Te de so Cxry
. T' (x + y)
donc
ee
VA eo De ct de
2% On a trouvé À
. | 1
ET
Par la formule
æ a
M1 ,—ax ln z (2)
Je a" le “dx DT
on a ÿ.
| 1 53
a tt) : de xt Leo
donc
| 3
+ —— / er ftp

et par suite l'expression de z, devient :
FE po
P e—2U—1) 8 fear td
Ô

Zx —=
T(x) 6
B} ne
de — Pat “hi

p't D An (04e) =]
——— TA 1 +t(go +0) +...
re) ji toire

AE —(È y—A x—
— + t ni. e CH) (qe + 0)" ‘leds | +

donc
ee L + 0)" dodo.

==

—

(71)

Problème général des parties.

46. Des joueurs A, B,...... R ont respectivement
m,n,..…. 1 points à faire pour gagner l'enjeu;

æ, 6, sont les probabilités qu'ils ont de
gagner Un COUP.

Quelle est La probabilité pour A de gagner la partie?
Ona:o+6+.... +y—1.
Soit 4, là probabilité demandée.

On aura, en faisant les mêmes raisonnements que dans le
problème précédent :

Uo,n, ….r —= 1 ERA Un,n,0..r = 0; Un,n.0 —= DE (1)
Un, PTS EUn1,n..» EL RS Bu, nt ur OU VUmnrie (2)
soit 281
2 FOR RO RE OIEE NNP
AUS 1

Dans la formule (2) faisons successivement

Die
ID 16
|. Ho
Tite
M2
(NESE D RPE

etc.,

après avoir multiplié d’abord par {” v”.… w”, puis ajoutons; nous
trouverons comme plus haut, n° 45 :

z—a|tz + 1S..s dr. 0" | + BUz + +: + ywz;

d'où
CHENE Di ee
LE — = ——— —_——————
A—ot—Bfo—.—vw (1—v)..(l—w)(1 — ot —Bv—.…yw).

Pour réduire cette formule en intégrale définie, nous avons

1 GS A 1
nn (1-00, = fe t-uvg
DEEE f : OT 2 Ée
a
(|

ee A at
Ra à

Len

(72)

L'expression de z deviendra par là :
D h© no 6
2008 do doremi). er Genie one
PE

= GI co w [ff de 000 dpdée” (ont 0) 0. et@+Pl) ete+70e
0 © 0

Développons les exponentielles :

ai gi dm 1

Ce a TA I ARE Oees
1.2....m —1

(w rt ÉD) mat

e(@+B0y == Sac
1.2....n—1
+ 96) "w" "1
no de Le (BA TON

4.9....7—1

et substituons; nous aurons :

« œ”" co © AD
Fu eee mn. 1 a r, —(@+...+0+0) m—1
z + LV" 0 [ Se LOST do. dpde.e ô :
mn°-r0 0 0 ;

Si nous changeons
Gp OI) 09... 0m;

et par suite
ï do. dpen0d>...0ds ,

nous aurons

Ge 2] © h2
B— vu + LD. | —————— ne d: (4 d de ï gris 1
ser “ LL ? a
“bide os D ee :

et comme %,,,.. est le coefficient de {"v".. w’ dans le développe-
ment de z, sa valeur sera l'expression entre parenthèses.
Pour la simplifier, posons
l+o+.+s—);
elle deviendra

nm

(24 œ œ 2
Un Me Ps .. cd dc + Cm Se r—1 gti 1020 7)
at an hi False) (+7) Je
QT (M + N+-+T) fe (de. du(8+ +). (5+9)
TO Pnmmlr De NES SE EN 0

(7%)

à cause de
[enr TOttnrren

2" nt...

Or peus B—0...y—0,onau,.,—1; donc

_ Pmla.Tr _f° sue CRT io (Em HER |
F(m+En+.+r) ++ a+T) (ot. +a) er © @

La formule (B) permettra de balébier la formule.(æ); car on
peut développer les binômes (8 + 4)"-!, ….(5 + >)-!; et le terme
général du développement sera de la forme (G), et pourra se
déterminer par cette dernière formule.

47. ProBLème XX. Deux joueurs À et B, dont les probabilités
respectives de gagner un coup sont « et 5, ont l'un m et l’autre n,
en out m +n—r jetons; à chaque coup le perdant donne un
jeton à son adversaire; la partie ne finit que quand l’un des
Joueurs a perdu tous ses jetons. Quelle est la probabilité pour A
de gagner au s° coup, en supposant m > s?

SOLUTION. Soit 4, la probabilité cherchée.

A peut gagner la partie au moment du coup actuel :

1° S'il gagne ce coup, et qu'il gagne la partie au moyen des
coups suivants: la probabilité de cet événement composé sera
ln +4, 13

2° S'il perd ce coup, mais qu'il gagne la partie au moyen des
coups suivants, la probabilité de cet événement sera Bu, _, ,_;;
par suite, la probabilité est égale à la somme :

Un,s = AUmyi,s1t EU_a, 31. Re ME (1)

Mulüplions par #’, faisons s successivement égal à 1, 2, 5, …,
ajoutons, et désignons la somme par z,, ; il viendra

4
SU a Un 40 2 Wal Lie
1
; 2 9
== CAPE ol E Un+41, 1l + …| Qu B IG + Un—1, il Un …].

Or, en général (sauf le cas où n — 0), on a

Un 41,0 = 0, Un1,0 = 0;

(74)
donc

Zn —= al Louer us lu, 2 + | + Gt fat {! + GA ERA + ….]

ou bien
Zm —= CAES 3 Bt

Cette équation étant linéaire, nous pouvons poser

M +

= (1}

d'où

m1 Mm—A .
2

Zm41 — À Zn—1 = À )

ce qui donne, en substituant, et divisant par @” :

gl

A = alta + —;
a

ou

D ——a— ——
al (0

d’où les deux racines :

U — _ (A HV — 4080)

= (1 VA — 4apf ); :
œ

et, par suite,
Zn — AQj) + Ba.

Or, pour m — 0, nous avons :

Zo — Uo, il SE Unie + : — 0;
donc
ACPB— 0:

Pour m=7r, on a z,— 1, donc
Aa + Bas —1;

Ces deux équations déterminent les valeurs de A et B qui,
substituées dans l’expression de z,,, donnent

(a m
m 112 1
ai + @ 1 Un

LA a" —]. ee ——

FOIS IAE CE GPA
À +

(75)

1 04
Or, comme a;a, =. , On aura ca donc :
12 1 Î

n m 2»
œ (TE &e\’ (

Zn —=—Q@dl 1 + |— 1 + + {—| +
(es y a a

Si l’on développe le rapport a suivant les puissances de 2,
on aura

FE) = (zaBt® +)",

di

et comme #2 est >s, ces termes n'auront pas d'influence sur le
coefficient de {* dans le développement de z,; on pourra donc
écrire :

Développons maintenant 4; par la formule de Lagrange qui
donne, pour

= % + afz:
CNT A
F=S——— ———
à PRO dx
Comme on a
Q> = Bt + ali,
on devra faire ÿ

20%, ft, aa, fr, Fi;
Fa (ft); Fr—n(pi""; fx = (ft);

et l’on aura

(a di [n(po+—"]

7 — RALITENS an
nn Op TTe
— S$ MC PAR (n + i+ 1) pl
ROLE :

nn + Di —1).(n + i+ 1);

et, par suite, l'expression . z, deviendra

Spirit" ap B"

- n(n+2—1).(n+i+ nt).
a Dee

(76)
Enfin , si nous posons s — # + 25, nous aurons
GATE à
Uno ©n{(n + 1). (n +i+t).
: 120

48. Proscème XXI. Une urne contient r boules marquées 1;
_r'boules marquées 2, etc., r boules marquées n; On en tire toutes les
boules successivement; trouver la probabilité qu'au moins 1, ou 2,
ou 5, elc., ou i boules, sortent au rang marqué par leur numéro.

SozuTiox. Aucune boule ne peut sortir à son rang que dans
les n premiers tirages. On peut done faire abstraction des tirages
suivants. Le nombre total des boules est rn — s. Comme il faut
avoir égard à l'ordre, le nombre total de tous les cas possibles
est égal au nombre des arrangements de s” boules, prises n à n,

ou
T—=s(s—1)—(s— 70 +1) = s"".

Cherchons :

A. La probabilité P, qu'une boule au moins sortira au rang
marqué par son numéro.

Supposons qu'une boule n° 1 sorte la première; comme cela *
ne peut arriver qu'autant de fois qu'il y a d'arrangements possi-
bles avec s — 1 boules prises n — 1 à » — 1, on aura :

{s—1)(s — 2). (s — n + 1)—(s — 1)"

pour le nombre des cas dans lesquels une boule n° 1 sort la pre-
mière.
Cette supposition s'applique aux r boules, done r (s — 1)" "7"
sera le nombre des cas où les r boules n° 1 sortent à leur rang.
Les mêmes résultats s'appliquent aux n° 2,.5,..n; donc

nr (s KE, à no —= $ (s HUE din EME s"—1 L à j (a)

sera le nombre des cas dans lesquels une boule au moins sortira
à son rang, pourvu que l’on en retranche les cas qui sont répétés.
_ Déterminons ces cas. |
Considérons le cas où une des boules n° 1 sort la premicre,
et une des boules n° 2 la seconde. Ce cas est compris deux fois

Qi

dans (a), car il y est compris une fois dans les cas où un n° 1
sort à son rang; il y est compris une seconde fois dans les cas
où un n°2 sort à son rang. Cela s'étend à deux boules quel-
conques sortant à leur rang.

IL faut done retrancher de (a) le nombre de tous les cas où
deux boules sortent à leur rang. Le nombre de combinaisons
de deux boules de numéros différents est

n(n—1) :
NE Len
15:09
le nombre des arrangements des s — 2 boules restantes prises
n—2àn—2est
(s a 2) (s RE 5) . (s — N + 4) — (s — 2j ne

Done, le nombre des cas relatifs à la supposition que deux boules
sortent à leur rang est

n(n — 1)
12

n° (s — Don

qu'il faut retrancher de (a).
_ On a done

a
SU CRE 5 7? (s SR ALA 7) ME À : ; : ; (a’)

pour le nombre de tous les cas dans lesquels une boule au moins
sort à son rang, pourvu que l’on retranche encore de (a”) les cas
répétés, ou qu'on y ajoute ceux qui manquent.

Ces cas sont ceux dans lesquels trois boules sortent à leur rang.
Soit ce nombre. Il est répété trois fois dans le premier terme
de (a), car il peut résulter dans ce terme des trois suppositions
de chacune des trois boules sortant à son rang; # est compris
aussi trois fois dans le second terme de (a/), car il peut résulter
de chacune des suppositions relatives à deux quelconques des
trois boules sortant à leur rang. Ce second terme étant affecté du

signe —, k se détruit, et par conséquent manque dans (a'):;
il faut donc l'y ajouter.

(78)
Déterminons “ Comme le nombre des combinaisons de n nu-
méros 5 à 5 est ——, et comme on peut combiner les » boules

d'un des uns de chaque combinaison avec les r boules du
second, et avec les r boules du troisième, on aura

n°!

combinaisons, qu’il faut multiplier par
(s = 5) (s — 4) 200 (s — N + 1) = (s ETAUS Hu

qui est le nombre des arrangements Les s — 5 boules restantes
prises n — 5 à n — 5.
On a donc :

EE — fs — B)"= #1
9

pour le nombre des cas dans lesquels trois boules sortent à leur
rang, nombre qu'il faut ajouter à (a/); on aura ainsi :

n°! ï ù n°! ï i
si ASE z Tr? (s AI DA les à = 7° (s dun o) mie IR (a )
En 0 D]

pour le nombre de tous les cas dans lesquels une boule au moins
sort à son rang, pourvu que l’on retranche encore les cas répétés.
Ces eas sont ceux dans lesquels quatre boules sortent à leur rang,
ou

n“ —1

4 is n—4—1
ile

et ainsi de suite.
On aura donc

2/—1 39/—1
F, == sg BAUr ; 7? (s UNE 2) Ent = y° (s Aus ci) nent
me | (a)

7° (s JUESE VA bee

pour le nombre de tous les cas dans lesquels une boule sort à son

(79)

rang; la probabilité de la sortie d’une boule à son rang sera donc

F, nm?! : A F1) pme à 1 7 ALTE & 1
Re ns ds
n LUNA n—1}2"! 1

—— ——— pe ———————
NET 1
(n—1) 5 1

a + …
PA ONTENT EE

Cherchons : |

B. La probabilité P, que à boules au moins sortiront au rang
marqué par leur numéro.

Le nombre des cas dans lesquels : boules sortent à leur rang
est, par ce qui précède :
n°! ni!
ne ri(s—r)(s—i+1)..(s—n + 1)— ee ri(s — 1)", . (b)
pourvu que l'on retranche de (b) les cas qui sont répétés. Ces cas
sont ceux dans lesquels à + 1 boules sortent à leur rang, car ils
peuvent résulter dans (b), de ce que à + 1 boules sont prises 2 à ?.
Ces cas sont donc répétés ? + 1 fois dans (b); par conséquent il
faut les retrancher 2 fois.

Or le nombre des cas dans lesquels à + 1 boules sortent à
leur rang est

n(n—1).….(n—1) AN Ne A à
DDR M D EEE)

pitt1

Pr miH(s— ÿ— fit,
+1)! Cr)

En multipliant ce nombre par #, et retranchant le produit de
(b), nous aurons
i—1 pit 1
ri (s nt en pe riE (s ARTE PME 1) qe
2? @+1)!
n(n—1)..(n—1i+1)
FA 1:24
PTT .N—t TI |

ri Gi) — ir _ _ (b”)

= — 1 (s— 1} SA — ir —

(80)

Mais dans cette formule il se trouve encore des cas répétés,
savoir : ceux dans lesquels à + 2 boules sortent à leur rang, ar
ils résultent, dans le premier terme, des cas où ? + 2 boules,
sortant à leur rang, sont prises ? à 1; et, dans le second; des cas
où ces 2? + 2 boules, sortant à leur rang, sont prises à + 1 à
i + 1, cas qu'on doit de plus multiplier par , comme on l’a fait
au second terme. Ils sont donc compris dans (b’)

{i+92)(i +1)

> —i{i+2)— fois.

Ainsi il faudra multiplier par 1 — % le nombre des cas dans
lesquels à + 2 boules sortent à leur rang. Ce dernier nombre est

n(n—1)..(n—1—1)
1.2. (i +2)
is — pF(s — 6 — 9} Het,
i + 2)!

Di (s— à — 9) (s—i—5)..(s—n + 2)

Le produit demandé est donc

#4 G+2)+1) +i(i+9) Lérber ne)ee CARS (s—n+1)
9 ; 1.9.(i+9) u

1.2...(i+ 2)

i(i+1)

DFE (s—i—2)(s—1ù—5) … (s—n+1)

En l’ajoutant à (b’), on aura

eu r(s is). Gt) =
ab Di (s—i)(s—i— 1). (s—n +1) x (Bt)

on ô ue # è (a —1) pare Are
i+A s—i i+ A 2(s—i)(s—i—1)
(
nn! it

DE —17i(s —i) (| DE n—t)r ne 0 (n—1)"" y? 1 |
RE it s—1 i+2 2 (s—1)—"

(81)
Pour obtenir le nombre de tous les cas où ? boules sortent à

leur rang, il faudra encore retrancher de (b'') tous les cas qui
sont répétés; on obtiendra ainsi :

EE dé { DENT y)
Fi, — r(s — 1)" 1 —- Tr +
i! ( D+A1Ss—:3
ct (n—iÿ" 1 D DE RCE
D D ES Ra a pa ai
1+2 92 (s—1)" 1453 3! (S—1j—

La probabilité que à boules sortent à leur rang sera donc

F; MA 1 i n—1
P; _—— Cher ue. Fra EN EST EEE 1 — É :
f i! (se i+i s—i
COUR ut Ge 1 na )
i+2 2 +5 3! (pe (

La probabilité Q qu'aucune boule ne sort à son rang sera

Fe + IRON Ames) ; 1
D eu 2 pou
in Din) (l

2.5.4 CD S)e 5) ©

Divisons et multiplions par 1,2, … rn; ajoutons et retranchons

EEE (En),
APTE 1.2..rn :

nous aurons, en nous rappelant que s = rn :

n(n—1
1.9..rn — 1.9. (nr D .2..(rn —9)r—
4 1092 .rn

Cette dernière forme vaut mieux quand rn est très-grand.

(82)

: 49. Remarque. La valeur de x qui répond au maximum de
œ "(x -— r)Te est

n+T r°(n — 1) + 4rn
Xl — 9 + DV do on e

Au moyen de la formule

on trouvera en conséquence L

en, T nr SR ME ; n+1 si
V2r ef … 6) US pnyrtte-n(1 _ à Vr

ñn

7m.

Von Tr Te — SR dan
4) (1 — +1
D —V/2r (rnÿrts es,
À n+1 eh 1 ni
( == Vr £ an -
n n

A AE EN AC UN
/6—1 £ 44 = ! AC =) EI NIMER
n n Pn TN

, N r 1: 2 sl
Comme rn est supposé très-grand, on peut négliger et —, et

l’on aura
n —1\"
Q — !
n

(*) Voir la note IT à la fin du volume.

N —

d'où

(85)

CHAPITRE IL.

THÉORÈME DE BERNOUILLI.

50. Si l’on connaît les probabilités simples et constantes, p et q,
de deux événements contraires À et B, la probabilité que, dans
un très-grand nombre —= m + n d'épreuves, À arrivera au
nombre inconnu m de fois compris entre

ep E yV'2pqu
sera donné par
e À

no
md —
- Vs. V'Soupq

ou bien P sera la probabilité que lécart À — p est compris entre

SE yV2pq.
Dévonsrtrarion. Le terme général du binôme

u!
m!n!

(HELIQieS pig
qui exprime la probabilité qu’en w — m5» + n épreuves, A arrive
m fois, B, n fois, est :

A
min!

TT, —

n

A NO AA)

Si nous remplacons les factorielles qui entrent dans cette for-
mule par leurs expressions tirées de la formule suivante, qui
est valable pour une très-grande valeur de x (*) :

x! —x"e*V/97x,

() Voir la note [ à la fin du volume.

( 84)

dd pe “) Are
ï m n/ V/9rmn

no
m n Due

V'2r4pq

nous trouverons :

Cherchons les valeurs de # et de n qui rendent T,, maximum.
Si nous changeons successivement On D — 1 eten n + L
la formule (1) devient :

T u! mA Fu T 22
Ne EE m+1iq
! m
1 — PRN EUR EE Dre ge A T, 7 .
m—lin+l: n+ilp

Pour que T, soit un maximum, il faut que

pi > (er el ie > lue 2
ou que
m €
15 Mer Hs ne (2)
MH A0g n+l1p

1° Éliminons n et q.

En remplaçant n par u — m et q par ! — p, les formules (2)
deviennent
Bb m (0

= UD —————
m+ll—p u—m+l p

Us

ou bien, par des transformations fort simples :

m>plu+1)—1 m < pr +1)
m au ; c
ue +1 4? m +1 “+1 P
m m (| m m
En P Ne P
&m p(um+1) RE EE (Et)
m il m mn
2 fo — US 10

Il en résulte que

mn m

——= D + —————— —\
pa * mie +1). \

’ 1 gaue , Q , 1
d étant < =; Cl, par suite, en négligeant les termes de] ordre; :
m À
a D OU 21
&
2 Éliminons m et p.
Des transformations analogues à celles des formules (2) nous
conduiront à

L-

ñn n
- + D QE ——,
= À LA PACE IE TE

me +1)
d'où il résulte que

n

!

n
= =q+——— +0
LE 0
0! étant « nt ou, en négligeant le terme de l'ordre ne
n
——4 Où n—w.
.

51. Appelons G la valeur maximum de T,; nous l’obtien-
drons en faisant, dans l’expression ”, ,

mn n
ce qui donne :
1
G—= —
par suite
Mm+S ++
(pp
m n
et de même
Un) le Nam
, 1 : n l
‘ Fe À + — 1 ——
m ñ

( 86 )

Désignons par G,, la valeur que prend T,, pour »m — up,
h —= pq, nous aurons

l —m—1$ l ns
eu es

m nñn

Développons les puissances qui entrent dans le second membre :
1 ®

pad) Eten LCD

m

1 1 1
ml St MES SUR MmEEAESE

FIRE = + ..
m 2m2 3ms
= 9
l —n+iÀ (= 1 ( 0 1 l 12 LATE )
£ ci = = Hess) ne ne) (ous ne en
ñn
A Û ae ïl 1
nil? SU nl2+15 F2 12 ns +l4 2 {5
— n 55 2n2 55 3ns

Substituant ces expressions dans celle de G,_,, nous aurons :

1 SE 2 Le 2 1 1 2 1 5
Me, IR EN B + SU PS HEETE HU
Gr — Ge 2m nu 6m? 3m3 2n 6n? 5n5
1 é 12 1 1 42
Pet Papas Pt EE EF
2 5 2 2
Gps eee Are A RAR
2m 6m 3m° 2n 6n° 5n°

Si nous changeons le signe de !, nous trouverons l'expression
de G,,,; et, en ajoutant les deux expressions, nous aurons :

a © 9m | 9n
LEE LAON | |
—9G}1—-|—-+-
l 2\m n/)
(F UE UE
= 26 À — Ê = 9Ge ?""— 9Ge nm,
2mn

Désignons par o(1) l'expression à
L

Gui + Gus —2Ge1 1",

(87)
et par g la fraction
L 1

Re PO eee
Lo Ann po"
il s'ensuivra

et

La probabilité P que #» est compris entre up + | sera :

P—6G;_; + Gy_u ++ Gi +G+ Guys RE EU Gris + Gin

=l1
= Gin + G,_ == à Ice, ass G,_] — G

1=09
l

— (0 + D: —5 <0)

0

Or on a, en général (*), par la formule sommatoire d’Euler :

ul 1 Bh%'(l) B.ht
jee NA CREME ER,
DU à ff «t Ve En D

Donc, en faisant k— 1, et remarquant que, g —

— étant de
l'ordre = on peut négliger les termes $/(1), o’”

2mn

(l), etc., puisque

9\//a
enr
V”

T

on aura :

D:0= fiat 550

et par suite

D: [abat — À fe (0 +0)

(”) Voir pour cette formule, comme pour la précédente, le caleul aux
différences. — Lacroix, Grand Traité, 2me édit., t. IT, pp. 98 ct suivantes.

7

(88 )

En substituant dans l'expression de P, on trouvera

l |
p— fsbdt+ sa)

= 221 el + W9 ete.
Vr Vz
0

Posons Pq = ÿ, d'où
y =— dy
EL —_ — yV 9xp OU,
7 \ For
l'expression précédente deviendra

7 TE 2
A\4g Ltd 7
20), — +

V7 V9 V/9rupq

Pi

probabilité que le nombre m des répétitions de À est compris
entre

74
q

ou que + est compris entre

2
p+\/ 2.
F

52. PREMIÈRE REMARQUE. De ce que

& V” ù
fera 14 f7,
2 MINS ÿ

L2 « 0
d'où

0 V7
UE GER Mer de,
1 . 2 Ji

0

il en résulte :

2} 17e es ul er
TN ONE CHAUITCE
nie VENT
, 1e
ue
Rs V/2rupq

Pour l'évaluation de i Fe "dt, on peut se servir, soit de la

: u rte
table de Kramp, soit de la série
0 RE ce CERN
US FX | Ta 2 2°
? .
qui se trouve en partant de
e dt 1 _ CE 9n +1 edit
= | —e "di = — ——— = |
12 per! 9 pri 2 Lt?
et en faisant successivement n — 0,1,2,5, etc., ce qui donne
CR RNA e-©dt
nn |
21 2 dt
[— e ® 5 4 e ®di
NME UE) le

d'où, par des substitutions successives :

#2 er À 41.3 HIS eR AT
De di |1 = le x " , etc.

En poursuivant, le reste disparaitra pour n == , et l’on pourra
écrire

3 er À 1.5
TT EEE il D ep tre —. | C!°:
f' 94 [: DU LORE te

et par suite, puisque tous les termes disparaissent pour £ — :

“a are | ASUS
e di "|! Gaine + SOA TIR «|.
27 2y 22/4

“

(90 )

Deuxième REMARQUE. 1° Si y, et par suite P, restent constants, les
limites se resserrent de plus en plus à mesure que p augmente;

2° Si les limites restent constantes, il faut que y augmente
avec p., et par suite la probabilité approche de plus en plus de 1,
ou de la certitude.

Ainsi donc :

1° Les limites p +7 V=. entre lesquelles est compris le rap-
port inconnu du nombre ‘des répétitions de À, en y: coups, au
nombre total'des coups, restant constantes, la probabilité P que
F tombera entre ces limites converge vers l'unité à mesure que
le nombre des coups augmente;

2° La probabilité que ce rapport © : eSttoujours compris entre les
limites p + y vE= restant la ème, la répétition indéfinie des
coups resserrera de plus en plus Ge limites.

TROISIÈME REMARQUE. Pour P — 3: on trouve, par la table de
Kramp ou par la série :

Ù DER ee = >
N/2upq
car de
MS ? mi
no e di + nn
e V7 27upq
on tire ;
7 ï e 7?
edit — aVF —
ï A 2upq
ou :
| 4 { e À
Be SR een cos de (1)
D 4189 (1 AV 2upq
or la valeur a — 0,4765 satisfait à
1 À a 1 :
(7 re et

(9)
Comme y différera très-peu de a, nous pourrons négliger les

puissances supérieures et poser approximativement €” — 1;
nous aurons ainsi

| |
D
A 24pq A 2upq

, « . 3. "le, 4 0
c'est-à-dire qu'il y aura une probabilité P — ; que est compris

entre
: 2p 4
p + [0,476 Vs —|
M 2y
55. QuATRIÈME REMARQUE. Valeurs de P pour différentes valeurs
de.y : l |
y—=1, P—1—0,2594460
,2, P—1 — 0,0052587

=

y=5, P—1 — 0,00002207
7=4, P—1 — 0,00000001%
7—=5, P = 1 — 0,0000000000015

De sorte que, pour 7 > 5, on peut prendre P — 1.

CiNQUiÈME REMARQUE. Si deux événements A et B ont la même
probabilité p = q — 2 il sera également probable que la diffé-
rence #» — n entre les nombres de fois qu'ils arrivent en
épreuves sera plus grande ou plus petite que

0,6739 Vu — 1.

Car P est la probabilité que 7 — p est compris entre + y =
DUQUES TR As te de Eu |;
ou bien encore la probabilité que la différence

est comprise entre

ou que :

(p— qe — 2 V/Oupq < m—n <(p— qe D V2upa.

(92)

Posons

| Â
P—-, donc 7—0,4766———, et p—q—
2 V2
cette inégalité deviendra

0,6759 1\ m—n : 0,6759 1
Vu :) Ur VAE
ou
— (0,6759 V/x — 1) & m— n < 0,6759 Vu — 1.

Comme nous avons posé P=;, il est également probable

que m— n est plus grand ou plus petit que 0,6739 L/x — 1.

Exemples du théorème de Bernouillf.

54. Premier EXEMPLE. Les chances favorables aux naissances
des garçons et des filles étant dans le rapport de 18 à 17, s’il
naît 14,000 enfants pendant une année, quelle sera la probabilité
que le nombre des garçons ne surpassera pas 7363 el ne sera pas
moindre que 7057 ?

(A) Marêne pu cazcuz : Nous avons trouvé

Ve Ur
pires Res
V’Ormn

pour la probabilité que m® — 1 < m'< m + |;
7 étant égal à

VA
V'/2mn°
d'où
A Ve Et Eten te) (1)
| V2mn l 2
a gr + sl. PARU LR DES)

d’où l’on déduit y —

( 95 )

Nous pourrons écrire la valeur de P sous la forme

pee
l o VF Vr
2 2
—{+N—M
Calculons
DANCE
N—--.
l Fr
D
ù 2
Or: |
lg” —y°lge;
d'où

lg 18 7 —921g> + Iglge.

et de là on tire la valeur de y’ Ig e.
On a alors

Ign = 157 + lg e” —]1g2 — Le

—187— ge—lg2 BE.

on aura donc Â
N—.…, ct 1+N—.

Calculons

M
Vx

d’où l’on tire

Mt.
Or

dv 1+N—..
d’où enfin

2 s
lg M — lg fera — Rue.
ÿ ei

(4)

(9%)
(B). Donxées. m chances favorables aux naissances des garçons,
ni » D » des filles.
m+n — uw — 14009
UD = 18 407

mæ+n : Mm— 355 : 18
5

44000 : m— 55 : 18
d’ou im — 7200
n — 6800.
m+l—17565 L= 73565 — m — 165.

_ Jgm=5,85755. ls 2—0,50105.
lgn —5,85251. Igl/7 —0,24857
lg! —2921919. on
le ot 18 =. Tor

lg e —0,45499.

lg Ig e — 1,65778.
(C) CaLcuL EFFECTIF : |

Calcul de À + N.

Formule 1). Igm— 5,85735
Ig n— 5,85251
lg 2— 050105
Somme — 7,99087
Igu— 414615
diff. —. 4,15596

que = 2 4

su = on = 5 nl
Formule 2). RU, 293200

Somme — ‘ 0,28982 — ]g y; 7 — 1,949
sf

Formule 2”). 218y7— 0,57964
lglsge— 163778
Somme — 0,21749

vige= 1,64980

Formule 5). — 'Ige — .2 55020
157 D) 00116

ho — 050105 ;
— Is Ke — — 1,94754

IëN— 417996
— 0,00015
A+N— 1,00015

Calcul de M.

Formule 4) poury— 1,950: lg fe °dt = 5,71252
donné par la table ‘

diff. 0,001 0,00002
pour y = 1,949 : » —= 3,11250
VA
1 T %9275%
2
18 M — 5,76496
M — 0,00582

Calcul de p:

Formule (a) 4 + N — 1,00015
M — 0,00582

P — 0,99453

THÉORÈME DE POISSON.
Généralisation du théorème de Bernouilli,

55. Représentons par Pi … p. les probabilités d’un événement E
à la 1°... ue épreuve; par q;.….qu les probabilités de l’événement
contraire F à la 1°...u"® épreuve. Supposons qu’en u—m+n
épreuves, E arrive m fois, F n fois ; soient

Dieter + Pu, di + ne
3

d u

p

(96)

je dis : qu’il est à peu près certain que dans ce très-grand nombre x
d'épreuves on aura approximativement

que ces égalités seront d'autant plus exactes que p. sera plus grand;
et qu'elles subsistent rigoureusement pour p— .

Démonstration. La probabilité U, que E arrive m fois, et F
n fois en y. épreuves est le coefficient de w”v* dans l'expression
(n° 15)

X = (pu + qu) …(p, + quv) = 2ZUu”"v".
Posons ,
GT, Ge

ce qui est permis puisque U, est indépendant de w et de v; nous

aurons :
N DUREE Fe inn DR V—i !

en faisant Mm—n— 1.
Développons l'expression de X, et cherchons l'intégrale de
En sure

Xe“ —" dx entre les limites E 7; nous aurons :

X = U+ We + + De” et U'retne PTE Loc
ix VA Yo VE T à VE
HXenE "dx = VU ere A Gree a 1 ee im + ve

TT —T fs

T =
+ U, f° dx + Un f et dx + +
7 74

Mais on a :
T En 7 Pie 7e SX
' etre 1 dx — 1 cos maxdx + V/—1 y sin mxdr=| = sin ma |
( J7
Ta 7 74
À 4 À 2:
— [ —sin ma | == [= cos ma | — [cos ma | ——sinnr Æ 0 = 0.
m ee m 7 LETI a m
J 7dx = 2r ;
T7
donc

T +. VA
fl Xer 1 dx —2rU,,

74

d'où
G HAURREE à DM
U, — — Rep TN NN ANNE (A
vi | )

Détermination de (A).
Reprenons l'expression de X :
X — (pau + qi) (pau + eo) … (Put + Qu)
— (net ut HE) (pag + den)
Ge à qe") (pue + que 7)
— [Cp + q) COS à + 7227) (Pi — qi) sin x|
| [(p2 + qe) cos © + V1 (ps — q:) sin x| “A
[(Pz + Qu)C0S x + V—1 (Pu — Qu) sin x].
Posons

(pi + qi) cos x — p, cos 4
(Pi: — qi) Sin x — p; sin +;

et rappelons-nous que p, + q, — Î, nous aurons :

pi = cos x + (p, — qi) sin? &æ — cos? x + [ (P + qi) — 4 pq] sin? x
— COS x + sin? æ — 4 p,q, sin° x — 1 —4pg;sin®x. . . . (1)

et

Pin;

HEGACE

î î

or (pie ce 00)

ig gi: =

Les formules (1) et (2) déterminent p; et o..
Ces valeurs substituées dans l'expression X donneront
X — pi (cos » + V/—1 sin g1)pa(e0S ge + V/—1 sin #2)...
pu. (C0S pu ++ VA sin qu) = papa pu PAPER PR) VTT,
Posons maintenant
Pa Pa Ps + + pu = YŸ (b)
AE Pa none

nous aurons
Xe

(98 )

et, en substituant cette valeur dans pren (A) :

1
= V—i e— mn) )aV=T m—n)x ]V=1
U, Ji NO To dx = — Ji em ide

ZA ES

ee oo m—n) jte

J'Y sinty-( m=—nyx Jdx.

Or

ST Y sin [y — (m — n) x] ur M a

9

mais la formule (2) montre que ©, change de signe avec x; il en
est donc de même de y — y, tandis que Ÿ ne change pas de
signe; on peut donc écrire :

Je Dee SE to
oi Y sin [y —(m—n) du f" Y sin [y—(m—n) x] dx
+f° Ysin[y—(m— n) os.

Par suite
1 GP |

U, = — Y cos [y—(m—n)x]dx = — [ Ycos[y— (m—n)x]dx
2x, Te

Ge À 0 k à
az
= [7 Ycos[y—(m — n) x] dx.

RAA

0
1° Détermination de Y.
Nous avons posé
Y= pa Poe. Pur V1 — pq, Sin°x V1 —4p2Q2 sin. V/A—4p,qusinx.

Chaque facteur étant < 1, Y lui-même est à plus forte raison
< 1, et n'a de valeur sensible que si x est très-petit; si donc
nous négligeons les termes du quatrième ordre, nous aurons

mm pq ir ue
1. Pi == ||. (A — pq) = — 2piq;a* ; )

(99)
et par suite :
LY=2l. = — 22p;9:

Posons
22piqi = 2 (pag + pige + ee + Puqu)=uk; (0)

nous aurons
LY= — uk;

d'où enfin, en faisant ax? — 72, x — D
122

M Re NL pr

2° Détermination de y.
Nous avons posé :

YA RH Hu)

ei
nr | 3
Sin D —= ÉL Sin X — (p: Le q;) (z — [1 LS 2p,qa°]
Pi :
end Ê _— (1 + 2piqix°)
4
= (p; — qi) n + (p; — Q;) C7 —:) x = w,
d’où

do f a 4 &
— = = 1 2 == — Es
g;=—= ArC Sin © — Aa (1— ©) da 0 ES do—0+ =

ne ca (pi — qe + F

| 1
= (pi— qi)x + [90 (eng _ Or UT 4ÿ | a
ou bien, en remplaçant comme plus haut (p;—q;)? par 1 — 4p;g, :
: 4 1
ep: qi) x + (pi — 4) [204 UC LE pa) | x
: % ,
= (pi qi) & + à Pa (pi 9)

Nous aurons par suite :

= En a (p = q+x2: Pig: (Pi — : q).

(100 )

Zpi = Pa + Pa + + + Du = up,
qi = QU +q+ + Qu = 4.

Si nous posons en outre

un
>» 3 Pi (pi — q) =vh,

nous aurons
y= EX (p — q) + Suh,

LV us
et, en remplaçant x par vx

X
— ST . 7 PR —
nt pete ea

hz°

= (p— q)V/p.27 +
Cette valeur de y doit être substituée dans l'expression

DU
i= = ENIcos [y —(m—n)n]dx.

T 0
Si nous remplacons en outre x par = » NOUS {rOUVETONS :

3

y—(m— rx =(p— QV/8z + D — ln — no

Lu
m ñn hz°
— D — — | — —— Z + —
L 1 Ê à | is V4
7 hz°
— QZ + ;
LAS V
en posant :
A m m ; m à n
=) — — — —— (] = me —— | —= —— | = __— 3
gp re fr a(r-Sea(t
d’où
= ap — 5 n=ug +. - (e)

Si nous substituons les valeurs qui précèdent, ainsi que celle
de Y donnée par la formule (5) dans l'expression de U,, et si

(101)

à done NE
nous observons qu’à la limite © de x correspond celle 5x de z,
nous aurons :

Le 3 Le
pue 2 # Fete (ge V7 + a) de.
4 Ve) Ve

0

2 ral 2h —
= Fe-t* cos [zV/u (g + ha°)dz
Vu 0

= 12 EUR Que ra [cos (V/49). cos (zW/mhx°)

— sin (z1/«g) sin (zV/«ha*)|dz,

ou, en négligeant comme plus haut, les puissances de x à partir
de la 4° :

Er

2 gi S
= si 2P guess [cos (z1/#g) — sin (z1/«g) - z\/uhax*]dz
rV'u 0

2 Zyp ’ — hz
= —— /° er [cos (gzV/à) —— sin gave) de.
74 nr |
On suppose que p, et q; ne convergent ni vers zéro ni vers
l'unité, de sorte que Ê— —— a “E n’est pas très-petit, quoique p soit
_très-grand.

Si l’on prend z > V4, e-#*# aura une valeur insensible, et
par suite on pourra poser

a
jf er dx = 0.
Ge =

RUE

Cela étant, nous pourrons étendre les limites de l'intégrale
précédente de 0 à, ce qui donnera:

2 ; Jr He
U, = —— ee cos (gzV/p dz — u Je" .x"sin (gzV (4) dz.
zVp rV

e #:0
0

( 402 }
Déterminons les valeurs de ces deux intégrales.

Nous savons que

“ 1/7 te
110 ou 82 cos gzV/ pdz — a. TE |

0

Dérivant par rapport à g, nous aurons :

" | Re Has
Ve

0

Dérivant par rapport à k:

—1222,3 ç! A7 _gVur 3 Lg 9 =
| er P27 sin gzV’udz — j => ae e 4;

0

d’où l’on tire :

0 — 122 Ver “ 2 Le
2 . kB 25 in (gzVæ) dz — = (5 =") e Æ.

0

Substituant ces deux expressions dans celle de U;, nous

aurons :
Due 2 PE ne 2h ur 5) nn
0 2% zV/u 8k 2k?
14 ve (5 : ce
EV/ur 4kV UT 2
Posons
eg ; tea Hs 2/0
ne Vo d’où ARE

nous aurons :
il he
Anse (5 — 26°) Emte,
KV ur 2k'ey/7

probabilité que E arrive m = pp — = pp — KN/ 1 fois,
et que F arrive n — pq + u Qi Ko” 1 fois.

(105 )

PREMIÈRE REMARQUE. Si 0—0,ona

|

= Meyer)
AV’ ur

valeur maximum de U, :
probabilité que E arrive m — up fois,
et que F'arrive n — pa fois;
d'où m:n—p:q.
Deuxième REMARQUE. Cherchons la probabilité que

E arrive m®m — up kt Ve fois,
et que
F'arrive n — pq = kt V/« fois.

Soit 0 successivement égal à — 4 et à + £, { étant un multiple
1 x A : =
de Mr on aura :

U,+ ee HR un ue 20 |
a ar BV der

a 2 | |

VE

2.
( 2

probabilité que » sera l’un des deux nombres pp + kt\/u,

et que n » Dh in 0 = AVANT
TROISIÈME REMARQUE. Cherchons la probabilité que m et n sont

compris entre les limites

up +ukV/a et uq + ukV/#.

Posons
: 2 À - .
QE ul
EV/#
1
D — sera la probabilitéque m—uxp, n —uq
2 ï ss
U_5 + Us — = » » M= LE okV/u,
ne

_n=#4q + Vu;
8

(104)

7

5 + U5— = e— C2 sera la probabilité que m = «p Vu,

Fee n= pq +20%V pe

2 Vu Û —

Les = (COS » M = up Æ KV y,

\ k M

40 n = gq + ik V/p

2 a 1
Ù_ 5 + Us — — gr » » M = up + Lok Ve,
Gi n—=uq + lkV/x.

Soit P la somme de ces termes : nous aurons, en remplaçant

i0 par £ :
! D ete
DEN To

—= Enr + —
EV/ur EV/ur d

probabilité que » sera entre up — uk et up + ua

Or
Ÿ y D 2
Dent Der — 2e;
Ô à A uw -

Le]

2 Ô Le] |
mais comme ) est très-petit, et que > — Ÿ -+ ZX, on peut rem-
0 0 ù

placer © par Set l’on obtient
ù 0

uw Ga
See — See —

Ô 0 w

Se Me RAP)

Par. la formule sommatoire dEuler, on a (n° 51, p. 87)

e LYS AA À ù
> ET à ÿ eFdt — 5 ee — Re +

( 105 )
substituant cette valeur dans expression de P, et remplaçant
1
me Pa 0, on aura :

ÿ 9 à
V# V/x 20 A [9] _
2 *: 2 0 9
1 — CT Éd + — 6e
7 Vr
uw
o) co
el eee ee — e7
T k LT

QUATRIÈNE REMARQUE. Comme nous avons posé

HN
E

si p; et qg, sont des constantes, que nous désignerons par p et q,
on aura
F=2pq, k=V9pq,

et la dernière formule coïncide avec celle du théorème de Ber-
nouilli.
Cette dernière formule exprime la probabilité P, que
up — DEV/p <m € ep + WEVa
et que
eq —WRkVu < n < uq + WDIV/y;
ou bien, en remplaçant d par sa valeur LE P sera la probabilité
que
a +
ug—l<n<ug+l

ou bien, en posant _— À, P sera la probabilité que
m

‘ nñn
\g—a<i <q + à:

(106)

Problème de Poisson.

56. Une chose À est susceptible de toutes -les valeurs possibles
entre a et b; les probabilités de ces valeurs sont différentes entre
_elles pour la même épreuve, et diffèrent de plus d’une valeur à la
suivante : après p. épreuves, chercher 1° la probabilité P que la
somme des valeurs de À sera une quantité donnée S; 2° la pro-
babilité 11 que cette somme sera comprise entre deux limites.

SOLUTION. Soit

adz = à et Bdz = b;
les valeurs possibles de À seront
adz, (x + 1)dz.. ndz, ….(B —14)dz, &dz.

Soient maintenant respectivement

X EH —1

ph, pet pe plént, pii

HR A LA pl) … pi, ph,
etc.,

les probabilités de ces valeurs à la 1"°, 2°, ete. épreuve.
Si nous faisons S — mdz, et

É É £
X — De DE D ps) raz D) gaz = SUN
œ % &
nous aurons P — U,..

U,, étant indépendant de #, nous pouvons faire £ = e*""1,
x étant fini, et si, de plus, nous posons ndz — z, nous aurons

£ É 5 GAP ire
Ne > nee 3,pger Vi Ca > pe V1 D Une V—1 :
œ (22 œ
d'où nous déduirons par le procédé connu :

{ T Le
P — U,, Lau X —madzx V—A d d ; AE
LE Jet Tati (o)

(107)

La probabilité que la somme S — mdz sera comprise entre
deux limites & et à! sera donc

1 #5 Fe Le
Î= — LÉ SGD) ee CTI de ARS UNE Le)
27 i
AT
Transformons l'expression sommatoire qui précède ; nous pou-
vons l'écrire : k

su e-mtrdz)V 1 _S eV nr eee 1 Ne ee eat V—T
è
Na e—dzV 1 ; 1+ ed V—i Fe er 2 V1 PEUR = eC—irdzv 1

ge Ü'—iH}xd V1 4 grd ad —i

aus ed 1 ==
ed V 1 1 e ad Vi __]
—(i—1)xdzV— 1 —i'xdzV A
pv À RC
eV pd
V1 Ra ee Me
Sp NE PNB RER (i +3 )idzy 24 —(i—+)rdzy = $
A |
2 sin = (xdz)

Puisque x est fini, nous pouvons poser

a 1 er
sin ÿ (ed) = xs; TMS E

de sorte que la valeur précédente devient :

| e—"(xdz) V1 Le LA
TS xdz

e—trdz V1 DS e xd: Vi | n

Si nous substituons cette valeur dans la formule (b), en

observant que
did) ds

xdz x

et qu'aux limites +7 de xdz répondent celles

AMEN Le) de ZX,
dz

( 108 )

et si nous faisons d = c + <, i—c— :, cette formule deviendra

1 æ dx
— = SORT SNA ME EEE Er INTE)
T æ

probabilité que la somme S — mdz des valeurs de À, après
L. épreuves, sera comprise entre les limites c + <, c —e.

Cherchons l'expression de X.

La probabilité p!” de la valeur ndz — z de A, à la ÿ”* épreuve
est une fonction de z infiniment petite, attendu que le nombre
des valeurs possibles de A est infiniment grand; on peut done
poser :

DEAR

et par suite
B = no
5 pl eV — J f:(&) )dze*: V1
% “
et
b £ =
Jade
a
On aura donc

x= f'htpdre "=, f flodee "=. [fes (d)

Or de ce que
['fadze" le = [ff cos æz + V1 [TE dzsin xz, (e)

el qu'en outre

j fte)de = 1,

d’où résulte également

Se )dz cos (xz) < 1, J'Ke z)dz sin (xz) € 1,

( 409 }

il s'ensuit que nous pourrons poser
ù au NE
sf fe) dre "= p, cos gi: + V/—1 psin one" 1; (f)
«œ

de sorte que l'expression de X devient

£ LE
X — p1p2 pu cos 2,9; + V/—1 sin 3, +; L.
4 1
Posons
$
Pape «+ Pu = Y; ARTE
nous aurons

X = Y (cos y + V/—1 sin y) — VeW 1;

et substituant cette expression dans celle de Tr :

1 œ a dx
D ve Met inerte fon
œ

T
Mais des formules (e) et (f) il est facile de déduire que p, et
par suite Y, ne change pas de signe avec x, tandis que ©, et par
suite y, change de signe.
Ces formules donnent en effet

pi =[ SE zdz cos a] + [ 'hzas sin |

a

el

Ë b
cle fizdz sin zx

ER e rue ns +
J fizdz COS zx
Il résulte de là que la formule (g) peut s’écrire :
0 = 2 œ : dx
= - = — Y — inex—. (
fl “RS 0 cos (y cx) sin ex — (k)

Pour effectuer l'intégration, nous avons à déterminer des
valeurs approchées de Y et y.
Calculons ces valeurs.

(110)
1° Calcul de Y.
Il est manifeste d’abord que o, est < 1. Car

(ff (z) d. cos zx)° + + (JA . sin zx)?
= ff) z) d. cos sx ff ose + fe Msinsr JF) )d.sinz'x—

» b

= A z) fi (z') cos æ (z— z') dzdz' <ffie ‘) dzdz'
< ff. (x) dz < ie (z') de! < 1.

Ensuite, pour x = 0, on a p, — 1.

De là résulte que Y = p,p9 … p, n'a de valeur sensible que
quand x est très-petit, et qu'on peut en conséquence négliger
les puissances supérieures de x à partir de la quatrième, et
écrire :

0 z°x°

COS zx — 1———; sin zx — 2% — — ;
2 GE

d'où
Pi COS ÿ; = fie z) dz cos zx fie Me _ — nr (z) dz

= fit ue 1 af 1 TE,

a 1 a

en posant :

= "à 2. (z) dz
naine = fhe ion He pe (=

a f#10 desk À,

en posant :

=) = 2 fes

k;, — 11 =. (z)dz; k'— fe z'f;(z)dz

(APS)
De là nous tirons :
pi eos —1l—xk;, et pi sin?; —2"k};
et en ajoutant :
p=A— (ki Ha — 1 — ha,
en posant

KE: — KE — 9h.

Prenons le logarithme des deux membres :

21.p—=1.(1—2hx)——Qhx; lp = — kx?;
d'où .
fe Ê
1. Y — De I. Pi —— x Dh.
Fi 1
Faisons
2 Pie
D
[ p
‘ nous aurons
Y — CH
et par suite
2) æ dx
U—-— e FE sin ev cos (y — cx) —
Fate UE
2° Calcul de :; et de y.
Nous avons
Ge | GE
Pi Sin e; = 0 dzsin xz = xk, — mu
d'où
X°
PR SE
| De
EE — (er TK) (4 + h;x°)

Pi ;

5 Las DTA
6 6

2 2

k5

2

ls.

‘(12)

Posons sin #; —»; d'où

1
g;= Arc SIN y — = fuli+<)=+$ fr gi + =Sinv;
— 2 6

k' k'k. 155 (| L
= Xk; — A, “sr + 0
ph KE LE
en posant
ji PORTO PE
NP do e

Soient de plus

nous aurons

l
y = dei xSk, — 34, = uhkx — gx;
1
donc
y — 00 = (ph — c)x — gx”;
et
cos (y— cx) — cos (uk — c)x cos pgaf + sin (ak — c)x sin wyx°
— cos (pk — c)x + pgx sin (uk —c)x,
en négligeant toujours les puissances de x à partir de la 4°:
Substituant dans la dernière expression de IT, nous aurons

T

g (l
I =’ JU el sin ex — {cos (uk— c)x + ugaÿ sin (uk—c)x }: (1)

probabilité que S est compris entre € Æ €.
Si nous posons c—yk, nous aurons :

2 É dx
= - Hi D Nu ONE EN PRN 1)
T me

0

probabilité que la somme $S des valeurs de A en y épreuves est
comprise entre pk + €.

(155)

Pour intégrer cette expression, posons

EE RRE QUE V’uhdz ; EX —= ——

# 2 ES dE
ef e$ sin ne ENS OEE EEnE LO
Le V’uh Ë

Partons de la formule connue

e pa . Î _ a?
e- 5" cos . dE -V/r ei;
Veh

0

nous aurons

NO

5 à da : ; RE
multiplions par = et intégrons entre les limites «a —{;, nous
Vuh 0
aurons :

‘ fl il — Fois l
A cos sn dE Vr = ipr
Vu, Vuh. 2 Veh
(1) 0

ou bien, en remplaçant

© da cos aë HUE

D VAR Va

Faisons — qu = LP; da —2 un dt : aux limites u de a répon-

dront Ales vez " det; et la formule précédente deviendra :
"0

e-£ sin ë — Es és hr f e “dl
V'xh $ VOuh d

=V/7 E HU etai fa.

(114)

Substituant dans la formule (n), nous aurons :
l 9 E3 d
TT NE Le Ten Bret (DH EUR EST EEE 2 0
- ; V/x )

probabilité que dans un très-grand nombre d'épreuves la
somme $ des valeurs de A sera comprise entre

uk + 2uV ph,
S :
ou que la valeur moyenne = Sera comprise entre

QuV’h
k + —*
Ve

QuVh

Si l’on donne à w une valeur peu considérable, le terme VE
sera trés-petit; alors © différera peu de k; pour u — 5, on aura
I — 4 — 0,000022091.

Pour interpréter ce résultat, cherchons la signification de 4.

Nous avons posé :

b

À 1 H Sf.() b
L=-Yk=-Y, zf;(z) dz — zdz nr SJ adzf(e).
(ÉCR FT Ÿ

« (1

bL-
Zif:(7) dz

[22

f(z)dz ou

est la probabilité moyenne des valeurs de z à chaque épreuve.

Il en résulte que Æ est la somme de toutes les valeurs possibles
de A, multipliées par leur probabilité moyenne.

Or le résultat précédent dit que, si l’on prend pour la
valeur de k, l'erreur à craindre, en plus ou en moins, sera

. |

du Vh
A0

u étant peu considérable; on peut done énoncer ee théorème :

GATE)

Soit k la somme de tous les produits obtenus en multipliant
chacune des valeurs possibles d’une chose À par sa probabilité
moyenne; je dis : 1° que dans un très-grand nombre p. d’épreuves
il y aura toujours une probabilité très-approchée de la certitude
que la valeur moyenne - de À différera très-peu de k; 2 que la
différence 2 diminue indéfiniment à mesure que u augmente,
el qu’elle serait tout à fait nulle si ce nombre devenait infini.

Remarque. La valeur de ï approche indéfiniment de lab-
seisse z, du centre de gravité de l’aire de la courbe

AE
y=—2f;(e),
mi

limitée entre les abscisses « et b.
Car on a

STE HAE

et par suite

b } N2 ;
['ydz= Ja Don | L'EEdz + + J'rsede | 4
ü e CT Flo a

Pour l’abscisse du centre de gravité, on a l'expression

1 À 1
4=——, Zi — D f = (z)dz—-2k;—k, cafd.
LE 4 È lb 1

( 116 )

CHAPITRE JL.

ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE.

07. DÉFINITION. L’espérance mathématique est le produit du
gain attendu par la probabilité de le réaliser. On l'appelle aussi
le sort ou l’avantage du joueur.

Si p,p1.…p, désignent les probabilités respectives des gains
U» Jr. H5 du. q les probabilités respectives des pertes
k, k, … k,: l'expérience mathématique sera :

E= pq +: + p;g; — (qk + + + qik:).

Si les gains g,… g; ne doivent être payés qu'après
n, … n, années, ces gains devront être escomptés
pour être convertis en valeurs actuelles.
En représentant par r le taux annuel de l'intérêt pour 1, par
7, … 7, les valeurs actuelles de g, … g;, nous aurons

9 HE VE

ST +2 Am + r)" ?

et la valeur actuelle de l'espérance mathématique sera :

SLR HOSPRER EE

E — ce LE À
YP +" +Mp Hær) (+ rm"

(c)
Si une personne A se charge de payer à une personne B après
n … n, années, les sommes g … g, qui dépendent d'événements
dont les probabilités sont p… p,, il faudra que B paye aujour-
d’hui à A
= JP PR NeREEEe?

TT

si E est positif; et qu’il recoive de À cette somme si E est négatif.

(17)

58. Tuéorème. Soit g un gain certain, à espérer pour les per-
sonnes À, B, C …; p, q, r … leurs probabilités de le gagner ; de
sorle que p+i+r—+::—1l; supposons que ces personnes
conviennent de se partager le gain g avant que le sort ait décidé :
je dis que le partage devra se faire proportionnellement à p,q;r…,
en sorte que la part de À sera pg; celle de B, qg; celle de C, rg, etc.

Démonstration. Supposons que sur un nombre total # de
chances, pouvant également amener le gain g, a chances soient
favorables à À, b chances à B, c chances à C, etc.; il est clair
que la part de chaque personne doit être proportionnelle au
nombre des chances qui lui sont favorables; de sorte qu'en ap-
pelant x, y, z … les parts respectives de A, B, G..,ona:

De qi

CAE CONTIENT OU EU ARR EE
m

ôg

y:g—=b:im en
Ce Le

b LR
Or, —, + sont les probabilités respectives que A, B, C …
gagneront ; le théorème est donc démontré.

1°° COROLLAIRE.

LH+Y+rI+.—=9 | =gpeqers-)=g

2% coroLLAIRE. La règle précédente sert aussi à déterminer
la mise de chaque joueur, qui doit être proportionnelle à la pro-
babilité qu’il a de gagner la partie.

5% coRoLLAIRE. Soient p, q; æ, B les probabilités de gagner
et les mises respectives de A et de B; et p + q — 1; on devra
avoir :
DE Te ÉD qe 0 NERO EU

Donc : dans un pari équitable, les espérances mathématiques
des deux joueurs doivent être égales.

(118)

Exswrze. Soit p la probabilité qu'une maison brülera; > sa
valeur; x la prime à payer à l'assureur ; on devra avoir

vp = x (1 — p).

Mais comme la prime est payée d’avance, et perdue quoi qu'il

arrive, pour que le jeu füt équitable, il faudrait que

2p = x (1 — p) + x:
telle serait la manière de fixer les primes, abstraction faite des
intérêts et des frais de la compagnie d'assurances.

59. PREMIER PROBLÈME. L'arrivée d’un événement procure le
bénéfice »; sa non-arrivée cause la perte p.; une personne À attend
l’arrivée d’un nombre s d'événements semblables, tous indépen-
dants les uns des autres, et également probables : quel est son
avantage ? AU

SoLuTION. Désignons par q la probabilité de l’arrivée de chaque
événement; par p— 1 — q la probabilité de son contraire.

Posons

s!
UNS

a D ne

la probabilité que sur un nombre total de fois s il arrive à des:
événements attendus sera
s!
name m0 à
Dans ce cas, le bénéfice de A sera &; sa perte sera (s — &)u;
posons dy — (s—i)p—=i( +u) —su—)À;;

ITA, sera l'avantage de A correspondant à l’arrivée de à des
événements attendus, sur un nombre total s de fois.
L'avantage de A correspondant à l’arrivée d’un seul des évé-

nements est donc IA,
L'avantage de A correspondant à l’arrivée de deux
des événements ILA,

etc.
L'avantage de A correspondant à l’arrivée de s des
événements 1 NAS

(419)

et comme tous ces événements sont indépendants entre eux, et
que, sur un nombre s de fois, l'événement attendu peut arriver
0,1,2….s fois, l'avantage cherché N sera

!
N — Sri, 4; eme Li (2 + y) — sp]
0

du s!
—_— 1L—g9+aqf+( GA ae
mL a TPE qU — q)
Pour déterminer cette dernière somme, partons de l'identité
Te gts hop tue
: tyt LEE = — 1 t ee S—12 f1— c'
dog 101 rer

nous pourrons écrire en conséquence .

s! &)
( LS l'a (1 — s—i
nt die : il(s — 2)! \ dl
Û
dt =
d'qt + (1 — 9) (
er CE EE

Nous aurons donc
N——su+(+p)sg —s {qv+qu—wl—s!qv—(1— qu.

L'avantage cherché est done proportionnel à s, ou au nombre
des événements attendus.

RewarQuEe. Pour g—(1—q)u, on a N— 0.

» go <(1—gju, » N < 0, c'est-à-dire
un désavantage.

60. DEuxIÈME PROBLÈME. Les mêmes choses étant posées que
danS le problème précédent, chercher la probabilité que le bénéfice
réel de À (c’est-à-dire le bénéfice diminué de la perte) est com-
pris entre deux limites, S étant un grand nombre.

SoLurion. Nous avons trouvé, pour la probabilité que à événe-
ments arrivent, ou que le bénéfice réel est A, (n° 20).

Re

9

(12 )

Si nous faisons à — qs, l'expression précédente sera le plus
grand terme du développement de (1— q + q), que nous repré-
senterons par M;; et, par le théorème de Bernouilli, nous trou-
Verons :

it! 9 )4 ë BU l
S M, — — GG D —, De ee ()
sin AE V9srq (1— q) V/2sq (1 — q)

0

* pour la probabilité que le nombre des événements qui arrivent
est compris entre à E {, ou que le bénéfice éventuel est compris
entre À,,, et À, ,.

Or on sait, par le problème précédent, que si à événements
arrivent, le bénéfice réel de A est

A=i(—p) — su;
faisant i — gs, nous aurons :

pour,

changeant à en gs — l, puis en gs + {, nous aurons de même :

A=s(g—({—ge]—t(t +),
A mn AE

et la formule (&) nous donnera la probabilité que le bénéfice est
compris entre ces deux limites.

Nous simplifierons un peu cette formule en posant
rV/s

7

V/2q (1 — 4)

—rVSs; d'où > —

expression que nous pouvons également mettre à la place de t;
nous aurons ainsi : |

2

a (1)
in 25q(1— 9)
0 à

La

(14)

probabilité que le bénéfice réel de A est compris entre
Se qu 1/0 a) NE 0)

Le dernier terme de la formule (1) peut se négliger.

PREMIÈRE REMARQUE. Lorsque gr > (1 — g)u, le bénéfice réel
augmente avec 5.

DEuxIÈME REMARQUE. Lorsque s augmente, le premier terme de
la formule (2) varie comme s, le second comme V/s; l'intervalle
des limites augmente done sans cesse, et il devient de plus en
plus probable que le bénéfice tombe entre ces limites.

Si s est infini, le bénéfice est aussi infini ou certain.

Done, quand s est très-grand, il est presque certain que le
bénéfice différera très-peu de s [gs — (1 — q)u].

61. TRo1siÈME PROBLÈME. Les mêmes choses étant posées que dans
le problème précédent, supposons que les probabilités des s événe-
ments soient différentes, ainsi que les bénéfices et les pertes qui
y sont attachés : chercher la probabilité que le bénéfice réel sera
compris entre deux limites , s étant supposé très-grand.

SOLUTION. Pour simplifier les calculs, on peut faire abstraction
des pertes p, causées par la non-arrivée de chaque événement;
car on peut comprendre dans le bénéfice que procure l'arrivée
de chaque événement la perte qu’occasionnerait sa non-arrivée,
et retrancher de l'avantage total ainsi obtenu la somme de ces
pertes.

On a en effet, en se conformant aux notations précédentes :

Z Qi — (1 — qi) À 7 2: (ri + pu) — Êu.

Soient maintenant
g. .… q, les probabilités respectives des s événements;
P. … p, celles de ieurs contraires;
… », les bénéfices que procure leur arrivée;
4 .… u, les pertes que cause leur non-arrivée.
Posons

K = (pa + qu) (pe + qua) (p, + qu) = Su”,

(12)

et désignons par P la probabilité que la somme des bénéfices

sera 7%, NOUS aurons
D=

m°

Changeons m en L + /, et w”! en ei, etc., ce qui est
permis, puisque U, est indépendant des »; l'expression X de-
viendra :

X — (Pi + ge 1° v=1) re (Ps + qe vi) Due DU eR+oV-1

—= U, oO DnCEme Ter
multüplions par et#%v-ido, et intégrons entre les limites x :
T —
A Xe—(LH)@ VER do = Us = 27rP »
—= Te /

d'où

il T Â T7
D = À e- (HV 1 Xdo — = / doe-@V=ie-L@V-1X. (a)
27e 27
mi ; T4

Mais nous avons
XX C'(p, + qrerVo) = L [1 Te Û (4 = =);
d’où ;
LX—ÈL [a— qi —00v5)],

— 5 PIC —énvs) > qe (1 — Dev i Gt AE) 2e “|
1

s co? j
a
et par suite
Men) fs GA = L) AE) 2e 5 i Ql Es qi) D —
n 9 «

Si nous faisons L — Ÿgy, , le premier terme du second membre
1
disparaîtra, et nous aurons

le = D © 1

s étant très-grand, il en sera de même de Zgpi, qui est de
1

(195)

l’ordre de s, et l’on pourra négliger dans l’exposant les puissances
de « supérieures à la 2%; alors :

US

4 = [re v=i += S ra |

P SE) k de 1 .
97

On pourra, pour la même raison, étendre les limites à Æ œ, de
sorte que

CE
e -(avz re 0)
== 97 doe 1

EE 2)

probabilité que la somme des bénéfices sera ! + Xqg»..

. ’ C] . . . 1 ,
Pour intégrer l'expression (b), il faut convertir l’exposant en
un carré. Si nous faisons

s
2qipéi = à,
nous pourrons écrire

1 ee V3 2 Au
Me ia 2 ae 1), me

2 5 Ly—1 a 2
AUS | — + o 5 |
Les 2 0)
= due Lv?a ’ ;

7% 9 4 IV=T a \2
e A Π= ;

— — do — € Gates).
27 a 2

probabilité que le bénéfice est Sgy, +

(1%)

Pour avoir la probabilité que le bénéfice est compris entre
S qe; El, il suffira de multiplier par dl et d'intégrer entre les
L e e LD -
limites + l; on aura ainsi :

l La 12 l lg 12
TL 4 e ED] — 2 o EPL (d)
V/2r> UH US V/2x È qPrÈ
—}} 0

Cette formule se simplifiera si l'on pose

I=rVeSqpes, dl drV2S gps;
1 1

elle devient alors :
9 à

I n fi nent

16%

probabilité que le bénéfice est compris entre

LEE => qy ir Vases k
1 1
Mais, d’après la manière de tenir compte des pertes, que nous

avons exposée au commencement de la solution, nous avons à
changer dans L, >; en »; + w;, et à retrancher Sp; de sorte que

n=f'e"dr. A A MS MAS Len TE)

sera la probabilité que le bénéfice réel est entre

S [os(x: + «)] — > Pet Vo È gp;

= M

ou entre

: (qivi — Pit D SN ONE MU (7)

= M»

De là résulte :

1° Que si q;v; > p.u:, ou si l'espérance mathématique g;;, — p;p:
de chaque événement est > 0, il y aura toujours un bénéfice
réel ;

(13)

2° Que le premier terme étant de l'ordre s et le second de
l'ordre L/s, le bénéfice réel s'accroît sans cesse avec s, en mème
temps que IT s'approche de 1. Ce bénéfice devient infiniment
grand, et certain, dans le cas d’un nombre infini d'événements;
car les limites s'étendant de plus en plus, il devient de plus en
plus probable que le bénéfice tombe entre ces limites.

Dans ce qui précède, nous avons déterminé la probabilité du
bénéfice réel résultant d’un certain nombre d'événements sim-
ples; nous allons maintenant déterminer la probabilité du béné-
fice qui résulte de la répétition d'un événement consistant en
diverses chances qui produisent des gains ou des pertes.

62. QuaTRIÈME PROBLÈME. Une urne renferme des boules de
diverses couleurs (1), (2), etc.; une personne À tire une boule et la
remet dans l’urne après le tirage ; son bénéfice est », si la boule
qui sort est de la couleur (1); >: si elle est de la couleur (2), etc.
Supposons un nombre très-grand t de tirages; et cherchons la pro-
babilité que le bénéfice de À sera o = tu + I.

Sozurion. Soient pi, p:, … les probabilités du tirage d’une’
boule (1), (2).., ces probabilités étant assujéties à la condition
Dpt: =:

Les bénéfices de À correspondants à ces tirages seront

Pi” bénéfice éventuel pour une boule (1),
Pr: » Vus (2); etc:

Posons
X— (pu + pu +.ÿ—zUu;

U, sera la probabilité que le bénéfice de A est o.
Comme ce terme est indépendant de w, nous pourrons faire

U—= AAC À Ê
d'où +
NE (pie 2 V1 lp FAN EE el \— SU eV;
d’où

| T He
U,—— A en deX:
Dire

( 126 )

Si nous changeons & en {1 + l, nous aurons :

| 7 ue ah Li

(| T
ALIEN Ven
ne; a done

en posant

A wo V3 V=i Et t
A— je L@ [pes + pee |)"

d'où
L A — io Vanne en pose + pa eV Fe w]

sue ue
= — tpoV/—1 +iL} pli + onV/— 1 on oc
AT DA 2,2
+ Po ( + © VU + +) + -|
— — po Vas ra [1 2 (pen + Dao +) oV—1

— (pi + Pari + me + . |

— joV/—1 (Pia + Para + + — pp) — — [ (pr + Pers + +)

Faisons Le = Diva H Paie +‘, et
pe + pa + ce — (pin + pan + = 9,

ce qui est permis, cette quantité étant essentiellement positive ;
elle est, en effet, égale à

(part + pari + ee) (pa + pa +) — (ph + pare + ce + Dpipañso + +)
= Pipe (un — 2) +
Faisant ces substitutions dans l'expression I. À, elle deviendra :

LA OURE NA= ESP,

(127)
en négligeant les termes en &5 ….., à cause de la valeur très-

grande que nous supposons à £. La formule U, deviendra donc,
en étendant, pour la même râison, les limites à Æ :

Do be (1202 +10 V5)

DT

2

œ de) IV=1)\°
agir doe no [ax Re 7) Fe) ]

27,
12 Ë 1V=)\?
EPP Dre Tee —1k2 (o+- —
2r
it Ci
ou bien, er posant + 2 Hat {+ De RTE
MES
Les a m/f era
T
1 LE
= ON niet ec s fase (@),
2KV/ rt

probabilité que le bénéfice de A est o = pt + |.

Cherchons la probabilité que ce bénéfice est compris entre
ment .

Pour cela. il faut face varier, dans (a), L depuis —/ jusqu’à L,
et prendre la somme de toutes les valeurs ainsi obtenues, ce qui
revient à multiplier l'expression (a) par dl et à intégrer entre
les limites + /; on aura ainsi

1 re,
pi _. HE dl — fe Ge dl :
AV ri” | Ext. ï

probabilité que le bénéfice de A est compris entre

il où t(pn + par +) Hl.
Cette formule se simplifiera en posant

l
2ky/t

=7T, d—92kV/idr;

elle deviendra

9 x
P— — CET e

Vr
probabilité que le bénéfice de A est compris entre
L (pars + Pa + ++) Æ QEV/H Tr.

Comme les limites s'étendent de plus en plus à mesure que £
augmente, il deviendra de plus en plus probable que le bénéfice
tombera entre les limites; et le bénéfice deviendra infiniment
grand, et certain, si le nombre des tirages devient infini.

JEUX DE HASARD.

65. Dans les jeux de hasard, on nomme avantage ou sort
d'un joueur son espérance mathématique. La théorie des jeux de
hasard consiste à déterminer cet avantage dans chaque cas par-
ticulier. À |
Pour faire voir comment s'effectue cette détermination, pre-
nons pour exemple le jeu de Pharaon.

Règles du jeu.

1° Le banquier taille avec un jeu de cinquante-deux cartes;

2° Il tire toutes les cartes de suite, en mettant les unes à-sa
droite, les autres à sa gauche; chaque couple de cartes se nomme
une taille ou une main ;

3° À chaque main, le ponte a la liberté de prendre une ou
plusieurs cartes, et de hasarder dessus une certaine somme;

4° Le banquier gagne la mise du ponte, lorsque la carte de
celui-ci arrive à la main droite, ou en rang impair;

5° Le banquier perd la mise du ponte, lorsque la carte de
celui-ci arrive à la main gauche, ou en rang pair;

6° Le banquier prend la moitié de ce que le ponte a mis sur
une carte, lorsque, dans une même taille, cette carte arrive deux

(129

fois (par exemple, deux as), ce qui fait une partie de l'avantage
du banquier ; | |

7° La dernière carte, qui devrait être pour le ponte, ne compte
pas, Ce qui est encore un avantage pour le banquier ; car, comme
l’avant-dernière carte est de rang impair, le banquier gagnera la
mise, si même la dernière ou l’avant-dernière carte est celle du
ponte.

Il s’agit de déterminer l'avantage du banquier dans ce jeu.

. Un premier avantage consiste en ce que le ponte perd la moitié
de sa mise, quand sa carte vient deux fois dans une taille; nous
avons done à résoudre le problème suivant :

PREMIER PROBLÈME. Le banquier tient en main p cartes, parmi
lesquelles celles du ponte qui ne sont pas encore sorties, au nombre
de q; trouver la probabilité P que deux des cartes du ponte arri-
vent dans la 1°, la 2°, … ou la x" taille.

Sozuriox. Soient Q;, Q2, … Q, les probabilités que les cartes
du ponte arrivent deux fois dans la 1", la 2%, … Ja r®° taille;
on aura

P=—=Q, + Q + + Q,.

Déterminons Q, … Q,.
1° Détermination de Q, :
La probabilité que la première carte tirée sera celle du ponte
est À;
2
La probabilité contraire

La probabilité que la deuxième carte tirée sera aussi celle du
ponte est =

Par suite, la probabilité que les deux cartes du ponte sortent
ensemble dans la première taille sera

2° Détermination de Q: :
La probabilité que, les cartes du ponte ne sortant pas dans la
première taille, elles sortent toutes deux dans la seconde, sera

ARE Mes À;
Dr De:

Mais la probabilité qu'aucune des cartes du ponte ne sorte :
dans la première taille est

(ie) (it) PI,
| m1 D pet

nous aurons, par suite, pour la probabilité des deux événements
simultanés (la non-sortie dans la première taille, et la sortie des
deux cartes dans la deuxième taille)

— Qt

° Détermination de Q; :
La pr obabilité que, les deux cartes du ponte n'étant pas sorties
dans les deux premières tailles, elles sortent dans la troisième est

(4

GC mat NEO
br 2) (ne ©)

La probabilité qu'aucune carte du ponte ne sort dans la pre-
mière taille est

La probabilité qu'aucune carte du ponte ne sort, ni dans la
première ni dans la deuxième taille, est

(151)

La probabilité cherchée Q; sera donc :

EE

4° On trouverait absolument de la même manière :

all)

et enfin :

Réduisant au même dénominateur et ajoutant , on trouve

pu (p— g\{p—qg—1) (p—g)-(p-q—5) |
EEE D à = h ce.
(p — 2) (p — 5) (22)-(p5)
: (u)
ÉTÉ) |
+ ——————————————— + .
(b—2)(p>2r + 1)

Il s’agit de déterminer le dernier terme de la somme entre
parenthèses. Si l’on change r en r + 1, on obtient, pour le
(r + 1)" terme,

(ere re Te rent

(p—q).….(p—2r —1) (b)

Les cartes du banquier, c'est-à-dire celles que le ponte n'a pas
prises, sont au nombre de (p — q).
La partie cessera quand les cartes restantes après r tailles
seront les q cartes du ponte, si g est pair, ou bien quand les
cartes restantes seront les q cartes du ponte plus une carte du
banquier, si q est impair.
Car, à la taille suivante, les deux cartes du ponte sortiront, si
q est pair, ce qui fera gagner le banquier; tandis que, si q est
impair, il sortira deux cartes du ponte, ou une carte du ponte et
une du banquier, ce qui fera gagner l'un ou l'autre.

( 132

Le dernier terme de la formule (a) répond donc à une valeur
de r, telle qu’à la r°* taille les cartes restantes soient au nombre
de g, si q est pair, ou au nombre de q + 1, si q est impair.

Supposons d'abord q pair : pour qu'il reste q cartes après la
(r — 1)" taille, il faut qu'on ait tiré p — q — 2 (r — 1) cartes;
d'où

cu — +92
= dub)

Supposons q impair : pour qu'il reste q + À cartes après la
(r—1)"° taille, il faut qu’on ait tiré p—q—1— 2(r—1) cartes;
d'où >

Dire
= ——— . ... . . . (d
r S (d)

Dans l’une ou l’autre de ces hypothèses, le terme (b) devient :

(e)

ou

(F)

Si done q > 2, (e) et (f) seront nuls; et la somme de la for-
mule (a) devra être continuée jusqu’à ce qu'elle s'arrête d'elle-
même.

Si g — 2, la formule (c) donne

FT — P NAT DE
2
dans ce cas toutes les cartes sont tirées à la r”” taille, et le reste
ë : ë 10
sera impossible ; aussi (e) devient-il —.

Si q — 1, la formule (a) donne

1 De lis
Va 0]

Tr —.. 27 = ?P;

ù ; è : M0
le reste sera encore impossible ; aussi (f) devient-il —.

( 41530)

La somme (a) doit done être continuée jusqu'à ce qu'on
trouve 0 , ou =.

Déuxième PROBLÈME. Déterminer l'espérance mathématique du
banquier quand q est > 2.

Sozuriox. Si qg > 2, le nombre de cartes au commencement
de la r°* taille étant q ou g + 1, la r"* taille n'épuisera pas toutes
les cartes; il est donc inutile de prendre en considération la der-
nière règle du jeu, pour en tenir compte dans la recherche de
l'espérance mathématique du banquier.

Si a est la mise du ponte, le gain à espérer par le barquier
sera Su, et son espérance mathématique sera donc :

1 EC I ON rt La

2" p(p—1)l (p—2)(p—5) pepe) (oi

et la série s'arrêtera d'elle-même.

TROISIÈME PROBLÈME. Déterminer l'espérance mathématique du
banquier quand r = 2.

Sozurion. Si dans la formule (g) on pose q —2, tous les
termes de la parenthèse seront égaux à l'unité, et leur nombre
sera celui des termes de la progression 1, 5, 5, … p — 1, nombre
qui est? ; on.a donc

(4)

Mais, dans ce cas, l'espérance mathématique du banquier est
plus grande que cette valeur (Æ); car pour 9 =2, onar—?,
2r = p; il ne reste donc plus de cartes après la r”* taille, et,
d'après la dernière règle du jeu, le banquier gagnera sûrement à
la r”* taille. Si les deux cartes du ponte sont dans cette taille, le
banquier gagnera a et non u; or, la probabilité qu'il en sera
ainsi est, d’après la formule (A), dans laquelle on doit faire
cg 2 ;

un —2)..4 120
-1p(p—1).35 p(p—1)

(154)

l'espérance qu'a le banquier de gagner «a est donc

102

pen | û

et comme la moitié de cette valeur est déjà comprise dans la va-
leur (Æ), l'espérance mathématique du banquier sera

+
2 2(pEEM) pin A) 2p (p — 1)

QUATRIÈME PROBLÈME. Déterminer l'espérance mathématique du
banquier quand q = 1.

SOLUTION. Dans ce cas, l'espérance du banquier dépend de la
probabilité que la carte unique du ponte sortira la première dans
la dernière taille. Or, comme chacune des p cartes peut sortir la
première dans cette taille, la probabilité cherchée sera =:

Mais si la carte du ponte sort, le banquier gagne la mise a;
son espérance mathématique sera donc

E —-.
p

. CHAPITRE IV.

ESPÉRANCE MORALE.

64. Soit v la fortune matérielle d’un individu, g un-gain ma-
tériel, et G la valeur morale de g, on a entre ces deux valeurs
- une relation de la forme

(PE D RO NE EE AE AU (1)

m étant une constante qui dépend du temps, du lieu, etc.

On admet que les fortunes varient par degrés insensibles, de
sorte qu’à l'accroissement de fortune matérielle dx correspond
un accroissement dG de fortune morale, qui sera donné, en vertu

de la relation (1), par

d
HO ne D 0 0)
= |

si le capital matériel x croit dex—v à x— V, la fortune morale
correspondante à cet accroissement sera

Vnd. V
G— TRE # — ml — . . . . . (5)
X (

L)

Il résulte de cette formule :

1° Que G croit avec V;

2° Que G augmente quand v diminue ;

5° Que G— 0 quand V— v;

4° Que G est négatif quand V est < v.

Il est à remarquer que V et v ne sont jamais nuls, ni, à plus
forte raison, négatifs, vu que personne n’est jamais absolument
sans fortune physique; car celui qui n’a rien possède au moins

10

(156)

son existence, qu'il n’échangerait pas contre une somme qu'il
estimerait être inférieure à la valeur de cette existence. Il n'y a
que celui qui meurt actuellement de faim, dit Bernouilli, dont
on puisse dire qu'il ne possède absolument rien.

Soit v la fortune matérielle d’un individu; 91, go, … des gains
matériels à espérer; p1, pe, … les probabilités de ces gains; G la
valeur relative de sa fortune morale en vertu de son expectative ;
on aura

G— pm DÉMRE L pam jee
v v

(4)

Mais si V est la fortune physique correspondante à cette fortune
morale, on a aussi

y
G—1mn |.—;
v

1

et, en égalant les deux valeurs de G :

V v + 2
l —— ÿ L. Ne time
d’où
VU gui gr
5 Fa vPiP2 +... po ?
et comme
} Pi+Pr+::—=1{,
il en résulte
NES (GA CRIE Lane UE)

Si l’on retranche la fortune primitive de cette valeur V, la

différence
V—u— (0 + pi (o + pee —v. . . . (6)

sera l'accroissement de fortune matérielle qui procurérait à l’indi-
vidu le même avantage moral que celui qui résulte pour lui de
son expectative : ce sera son espérance morale, tandis que son
espérance mathématique a pour expression

= pig: + Paÿa +

Si les gains 4, ga .… sont très-faibles par rapport à v, l’espé-

( 157 )
rance morale différera peu de l'espérance mathématique; on a

en effet
Nvre ( ci a ( + a Fe
LD) Ù

of) (res).
U

()

en négligeant les puissances supérieures des rapports Ÿ; donc

V— 0 = pig + Pia + ST pps TE ne

valeur qui diffère peu de E.

Conséquences des formules précédentes.

65. L. L'importance d’une somme g, considérée comme gain,
est moindre que l’importance de cette somme considérée comme
perte.

Démonsrrarion. Si g est un gain, la fortuñe initiale v aura pour
valeur morale

VE

G—= ml.

D flo + g)—1v];

tandis que si g est une perte, la valeur morale de la fortune ini-

tiale sera
Cheat)

G'— m |.

— m |. (0 — g) — L.v].

Or de ce que |
(ONU EC) ERQUE
il s'ensuit

L(v + g)—}v<Lu—TL{(v— og);

done, en valeur absolue, on a
CG

I. Le jeu ou le pari le plus équitable est toujours désavan-
tageux.
Démonsrrarion. Soit v la fortune de A avant le jeu; p la pro-

(138) :
babilité qu’il gagnera; s sa mise; x la mise de B; q— 1 — p la
probabilité qu'il gagnera ; pour que le jeu soit équitable, il faut
qu'on ait |
1—p
p

Si À gagne, sa fortune après le jeu sera © + + s; et la pro-
babilité qu'il en sera ainsi est p.

Si À perd, sa fortune après le jeu sera vu —s; et la probabilité
qu'il en sera ainsi est 1 — p.

La fortune matérielle V de A, en vertu de son expectative, sera :

LS AE pp, a — s.

cl Se p
= (a + Ê ) (v — s)P,
D

il s’agit de démontrer que V sera < v; ou que

il
Ù + s] (ù— ss)? < v;
p

pour cela, transformons successivement cette inégalité dans les
suivantes :

(159)

inégalité qui est en effet satisfaite, puisque

IL. Déterminer la valeur de la mise, pour que le désavantage
soit insensible, eu égard à la fortune v du joueur.
Nous avons trouvé

HE
v= (o+

2

s est l’inconnue ; comme sa valeur doit ètre faible, négligeons ses
puissances supérieures à la deuxième, nous aurons

Jess

Q 1—? 2 À . 4 Q , ,
en faisant = s° égal à une trés-petite partie de v, le désavan-

tage sera insensible. Posons en conséquence
ii

2pv n

oo.
n (1 — p)

La fortune du joueur, en vertu de son expectative, sera

et nous trouverons

V = v — a
n
et ne sera pas notablement changée, puisque n est très-grand.
IV. Quelle doit être la probabilité de gagner pour qu’un joueur
puisse risquer sa fortune v moins une partie insensible ©?
La fortune du joueur, en vertu de son expectative, sera

D'autre part, nous avons trouvé pouf V l'expression

DELy NP
V=— (o+ Es) (u—s}"?,

(120)

dans laquelle nous avons à changer la mise sen v [1 — :) , Ce

qui donne
V—v | :] lee
Fo p n . :

égalant entre elles les deux valeurs de V, nous obtiendrons

l'équation 1
1 1 AND
Aou nn
ñ p n n

d’où nous pouvons déduire la valeur cherchée de p.

V. Démontrer qu’il est avantageux de ne pas exposer toute sa
fortune à un même danger, et qu’il convient de la répartir, au
contraire, sur plusieurs dangers indépendants les uns des autres.

Supposons qu'un négociant dont la fortune est v attende une
cargaison d’une valeur s, exposée sur un seul navire, et que l’on
sache par l'observation que l'arrivée au port d’un bâtiment sem-
blable à une probabilité p.

La fortune morale du négociant, en vertu de son expectative,

sera
V={(v+ 1},

LV= pl + 5) =p f° ds NON (0)

v+S

d’où

Supposons que le négociant expose la valeur s par parties
égales sur r vaisseaux; si tous arrivent, sa fortune deviendra
v + 5, et la probabilité de cette arrivée est p'; sir —1 vaisseaux
arrivent, sa fortune sera v + —*, et la probabilité de cette
she Lil Tp = ; sir — 2 vaisseaux arrivent, sa fortune sera

v + ©, et la probabilité de cettearrivée est

r(r—1)

F2(1 — p); etc.
nn (lp)

La fortune morale du négociant sera done

a y — À vp (1) y — 9
V— (0 + sp (o + ) (+ )

y Tr

ne p)2

(14)

d'où

— À
LV=p 1 (0 +5) + rp-!(1 —pi(o+° à )

Aie = ÿ
te — pi — p} 1 (e ns r ) +
| 27 | mure 7? 1
se d TA qe ds
p'ds 20 Eat) r : 2 me à |
à PR PCR RO" a lu, "ou
v+S (or lue
v+ s Va ï
\ 4 :
Le App) Gt) (pr) |
="? U+S J nu ln
| DRE € 1.2{v+ $
À 7 À
mais à cause de

HET SN SR) Et")

A} —9

la formule (a) peut s’écrire

d
IV—pf1. -
V+S

= fr 1 CEA te ee LL
Lu+

us Dd+S 1.2{(v+s)

Si l'on retranche cette dernière valeur de la valeur (b), la dif-
férence sera

1 Sds He r—9) (1—p)p"—°
T D+S Tr —1À == .
Ÿ + S Ù + S
Ph r

Comme cette différence est positive, on voit qu’il y a morale-
ment avantage à répartir la valeur s sur plusieurs vaisseaux.

Cet avantage augmente avec r, et si r est très-grand, l’avan-
tage moral devient à peu près égal à l'avantage mathématique.

(1%)

Pour le démontrer, reprenons la formule (6) dans laquelle

nous supposerons v = Î :

Pia Eee (71e 1e) PA EN
)

1+s Pi r—1
S 1.911 + S
r

La somme entre parenthèses peut se mettre sous la forme
d’une intégrale définie; en effet, si nous développons

À +

ar x Ù V= TL, re
nu) po e Er 1jpe (pie ()
r—1A)(r—2) . af +

dé À : ) st —p} e ( )

—+eic.,

et que nous intégrions relativement à x entre les limites 0 et,

en tenant compte de
& Î
_. Le dx = —

m
0
nous aurons

nn 1 nd 2

1+s
r — À) p' =? (1 — r—1A){(r — 9) p"5(1 — »Ÿ

Op Me), ENG

r— 1 7 — 9

" s 12 {1+ )

À +

ns

Par suite, l'expression de I. V devient

s 2 +s. sx r—1
LV=pfasfle (pe +1—p) dx.
Ô

Pour transformer l'intégrale définie, observons que la fonction
(D) 2

x

sx è r—1
y=e * rec il Fa

n’a pi maximum ni minimum, depuis x—0 jusqu'à x — ©,
ô dy . , x
puisque +, qui est égal à

ids.

est toujours négatif dans cet intervalle.
Il nous est donc permis de poser

Y = Ye ‘>

Yo étant ce que devient y pour x — 0. Comme pour {—0ona
aussi y — Yo, il s'ensuit qu'à é— 0 répond x — 0. Et si, dans
l'expression de y, on fait x—0, on trouve y — 1: On aura, par

suite,
Ji el

x . d ©
Nous avons à exprimer + en fonction de £. Or,

x = f (9 —f(0) + 4 k pie "

RUE 2e
et puisque t —Î. nr I. ÿ> NOUS aurons

A un à
dy
en posant
ydx
a À
d'où
du
dx dx dx udu
A ne de
ae

Et puisqu'à & — 0 répond x — 0, il en résulte :

dx d?x
0 = re — — YU. _n;° =
F0) — 0; a) us (de)

(=
= | — ; etc.
—=0 dx x —=0

(1)

(144)

La formule (1) deviendra donc :

d'où
dx ul — ; ; = |
fn ONE ; +=") RAT) j

Substituant cette valeur dans l’intégrale précédente, nous obtien-
drons

o e du 4
sil ydx — Li ec tdi + a D te=tdt +
0

00 F

=
— Y | _ Gao. | te
Uo Le 7 Le :

mais nous avons posé

D ui pe "+1—p
l je
“6 p(i+s)e ” up») (1 +5
d’où
6 _—
D ep) (in EU
TE à
“4 E (1 +ae *+(— pi |

Par suite
4
DUR

1+ ps + (1—p)=

pp) =

(l

_
dx An
L'intégrale cherchée aura donc pour valeur

À
OS pans (1°)

RE De De
r[1 + ps + (1) |

4
VAR nn ne oo ne 4 +

? 2
s s
À +- ps+(l—p)= riens + (1m)

(145)

et substituant cette valeur dans l'expression

IAE ds [”ydx,
pf Ua y
nous aurons

en | AS RME
1+ps+(1—p) = 1 RE
+ À — — Lo — —
P gp r| + ps + | p=| |
Si r est très-grand, on aura à peu près

pds
À + ps

LV = = |. (1 + ps);

d'où
DAC DS;

et comme nous avions fait v — 1, en remettant maintenant v au
. lieu de 1, nous aurons V=v+ ps; où V—s— ps; ou L'—E,
c'est-à-dire l'espérance morale égale à l'espérance mathématique.

VE. L'avantage moral est souvent augmenté par les assurances.

Cherchons la somme que le négociant pourra donner à une
compagnie d'assurances pour que sa fortune morale soit aug-
mentée par son assurance.

Ïl a une valeur s sur un navire dont l’arrivée a la probabilité p;

sa fortune morale est donc
NE (0) GORE) Re RAA ete

S'il assure cette valeur, il doit donner à la compagnie, d'après
la règle du pari équitable, (1 — p) s comme prime d'assurance;
mais à cause des frais et du bénéfice des assureurs, il doit donner,
en outre, un excédant w; sa fortune réelle est donc

DÉS NT) EN (0)

Pourvu que sa fortune morale reste la même, qu'il assure ou
non, il faut que
(UPS PE DES DE eue Nes ee tte)
d'où l’on tire
u = 0 + Sp — (v + s}:

c'est tout ce que le négociant pourra donner, sans désavantage

(146)
moral, en excédant du prix réglé par l’espérance mathématique.
Il aura done un avantage moral, en faisant un sacrifice moindre
que cette valeur de u.

Les compagnies d'assurances peuvent donc faire un bénéfice
réel, tout en procurant des avantages aux personnes qui traitent
avec elles.

VIT. Démontrer que le négociant peut faire un sacrifice excé-
dant la somme (1 — p) s exigée par l’équité mathématique.

En effet, s’il ne paye que (1 — p)s, sa fortune réelle est

U+S—(1—p)s —v + sp;

.

s'il n'assure pas, elle est
(o + s}"
Or, p étant <1,on a

? pds ds
ÎE > [+ ENS
Ù + DS DIS

L (uv + ps) > pl.(v +s),

ou

et
ù + ps > (v + s}.
La fortune morale du négociant étant donc augmentée par
l'assurance, il peut faire un sacrifice propre à subvenir aux frais
de la compagnie et aux bénéfices qu’elle doit réaliser.

Problème de Pétershourg,.

66. Deux personnes, A et B, jouent à croix et pile, sous la -
condition que B donnera à À, si celui-ci fait croix au 1° coup,
2 francs; s’il fait croix au 2° coup, 4 francs ; … ; s’il fait croix
au n° coup, 2" francs ; on demande quelle doit être la mise de A?

SOLUTION MATHÉMATIQUE. Pour l'équité mathématique, il faut
que la mise de A soit égale au gain qu'il peut espérer, ou à son
espérance mathématique; or les probabilités de faire croix au
1°, au 2%, …., au n° coup, sont :

(147)
l'espérance mathématique de A sera done

RS ., one
2 4 2

Telle devrait done être la mise de A. Mais si n est très-grand,
personne ne voudra risquer une pareille somme; la règle de
l'espérance mathématique est donc ici en contradiction avec l'ap-
préciation du sens commun : celle-là prescrit d'accepter le pari,
celui-ci de s’en abstenir. |

SOLUTION MORALE DE D. Bernouizur. Soit v la fortune de A avant
le jeu, x la mise qu'il peut risquer..Si croix arrive au 1°, 2°, …
n° coup, sa fortune sera respectivement

DEDe SG, DA DE re

*

et les probabilités correspondantes seront

del 1

7 ed)
DCE DE
la fortune morale de À sera donc

4 a #
V—=(v+2— 2x) (0 + 2 — x). fo + 2° — x)".

Pour que l’état de fortune de A ne soit pas changé, il faudra
que :

1 1 1
D (0 + 2— x) (vu + — 2). (u +2 — x)"
ou bien, en faisant v — x — v’,
: 1 4
v—=v+x—{(v + 2) (v +9)... (0 +92)" . . (1)
1 4 4

4 1 1 2 2\ 22 n\ 2
serre 2 2 2

= HAVE “141 +5) “(14 ;
Lo) U Ÿ

mais si * est très-grand on a, à peu prés,

(4148)

donc, en divisant les deux membres par v’, et en posant = a,

nous aurons
À 4 '

1 + ac — {1 + 2) (1 + 2)... (1 +9") . . (2
Nous avons maintenant à déterminer la mise x que peut ris-
quer le joueur.
Observons que les facteurs de l'expression (2) convergent vers
l'unité, car
(9%) 2109 10%,

out
ou (1 + 2x) au = 12 JuHa,
ou ({ pe Que" > (1 Me gu+ie)atl,

D'un autre côté

| 1
il (4 <e (4 0 DA L+e)
1 | | u (| Â
moe + nu(e+s)=ires rte):

or les deux termes de cette somme convergent vers 0, lorsque

u tend vers oc ; donc
1

(1 + 2x) = 1 pour u — «.
Le cas le plus avantageux pour À est celui où l'on suppose n—+ .
Si l’on prend w tel que 2"«— 10 au moins, on pourra s'arrêter
4

dans la formule (2) au terme (1 + 2“ *)*-7, et l'on aura par
cette formule :

À 1 1 |
BASES Ig (1 + 2x) Se (14 Po) +... + —

Ig(1 +2" ta). (3)

En supposant connu v/, et par suite ù—>, cette dernière for-
mule donnera x, et l’on aura alors v — v' + x.

Exewpze. Soit v' — 100, done à — 0,01; on trouve d'après
Laplace x — 7,89 ; done v — 107,39.

Si donc A possède fr. 107,89 avant le jeu, la prudence lui
prescrit de ne risquer à ce jeu que fr. 7,89, pour conserver la
même fortune morale.

(149 )

CHAPITRE V.

PROBABILITÉ DES ÉVÉNEMENTS FUTURS.

THÉORIE.

I. — Causes.

67. Dérinirion pes causes. Les circonstances qui concourent
à la production d’un événement sont ou constantes, ou variables
à chaque instant.

Les premières, qui s'appellent chances, peuvent être connues
ou inconnues, elles sont susceptibles d’une évaluation exacte ou
approchée.

Les secondes ne peuvent pas s'évaluer.

Ces deux espèces de circonstances contribuent toutes deux à
la production de l'événement et en constituent les vraies causes.

Mais dans le calcul des probabilités on appelle causes les eir-
constances de la première espèce, ou les chances, et hasard
l'ensemble des circonstances variables qu’il est impossible d’éva-
luer.

Si les chances sont connues, la probabilité de l'événement sera
connue, et l'on dit que sa cause est certaine.

Si un événement peut être attribué à plusieurs causes, sans
qu'on sache à laquelle il est du, on dit que sa cause est incer-
taine, et les diverses causes auxquelles il peut être attribué seront
plus ou moins probables, selon qu’elles consisteront en plus ou
moins de chances favorables.

Si les chances sont inconnues, et qu'on puisse faire sur leur
valeur un certain nombre d’hypothèses également admissibles,
mais dont une seule est nécessairement vraie, ces hypothèses
pourront être regardées comme des causes plus ou moins pro-

( 150 )
bables, et l’on devra regarder comme vraie celle qui a pour elle
la plus grande probabilité.

Les causes ou les hypothèses peuvent être également possibles,
ou avoir des possibilités diverses.

Soit x la probabilité d'un événement simple; y —/f(x) la pro-
babilité d’un événement composé E, dépendant de cet événement
simple; on dit que x est la cause de E, et que la probabilité de E,
due à cette cause, est y.

Si x est connu, on dit que la cause de E est certaine.

Si x est inconnu, et que l’on sache seulement qu'il doit avoir
l’une des valeurs a, b … i, chacune de ces valeurs pourra être
regardée comme une cause incertaine de E, et ces causes auront
en général des probabilités diverses.

La probabilité de chaque hypothèse, ou cause, est égale au
nombre des chances favorables à cette hypothèse, divisé par le
nombre total des chances.

Exewpze. Si l’on extrait une boule blanche d'une urne qui
contient des boules blanches ou noires, au nombre de 8, on
pourra faire les hypothèses suivanites :

SD One AD din CDI ne SP Sn
4 bl. 4n.; 5bl 5n.; 2Dbl. 6n.; 1 bl. 7n.
Les causes de l'extraction d’une boule blanche consistent dans
les huit hypothèses
8, 7,6, 5, 4, 5, 2, 4 bl.

auxquelles répondent les probabilités propres :

Principes fondamentaux.

68. 1° Les probabilités des hypothèses ou des causes sont
proportionnelles au nombre des chances favorables propres à ces
hypothèses.

te)
2° La valeur la plus probable de la cause inconnue d’un évé-
nement E est celle qui rend la probabilité y — f(x) de cet évé-
nement un Maximum.
9° Soit v la probabilité d’un événement E;
V celle d’un événement composé EF ;
P la probabilité que E ayant eu lieu, F aura lieu aussi;
La probabilité V sera évidemment donnée par

M—Pr,
d’où
a AND
EE EE PR
v

Ces trois principes constituent le fondement de la théorie de
la probabilité des causes et des événements futurs, conclue de
l'observation des événements passés.

69. PremIER Tuéorèue (de Bayes). La probabilité d’un événe-
ment E, en vertu de la cause €; (i pouvant prendre les valeurs
1, 2, ….n), étant p,, la probabilité que la cause c; aura agi dans
la production de cet événement sera

MA die

PREMIÈRE DÉMONSTRATION. Soit a, le nombre des chances favo-
rables à E, constituant la cause c;, w le nombre de toutes les
chances également possibles ; la probabilité propre à c; sera

En vertu du principe 1, on a:
LEE ER D, ceoeret NE TER ANR EMEMENTME

t

donc, à cause de P,+P,+.+P —1 :

M PQ SE eee meer

= Pi: Pa + Pe + SAT Pr

d'où Pi

DeuxiÈME pémonsrraTION (de Laplace).
Soit E l'événement dû aux causes €, (à — 1, 2, …. n);

P;la probabilité que c; aura lieu quand E a eu lieu ;

V la probabilité de l'événement composé Ec, ;
v la probabilité de E;
on à, en vertu du principe 5 :

:
P,—— :
v

Les causes étant également possibles, la probabilité de c, est”;
et si nous appelons p, la probabilité de E quand c, a lieu , nous

aurons pour la probabilité de l'événement composé Ec,

A
mn

Comme l'événement E ne peut arriver que par l’une des causes
Ci» Co … €, il s'ensuit que sa probabilité sera égale à la somme

des probabilités de Ec,, Eco … Ec, ; donc :
L $
Ne en ENS dE re RNA Dis
D ona sb ne À
et par suite

. :
Cu
1

Donc la probabilité d’une des causes est égale à la probabilité
de l'événement qui est due à cette cause, divisée par la somme

de toutes les probabilités semblables.

70. Remarque L La probabilité de l'événement E due indiffé-
remment à l'une des causes c, … €; … €, étant représentée par P,

on aura

(155)

Remarque IL. La possibilité de la plupart des événements sim-
ples est inconnue, considérée à priori; elle nous paraît également
susceptible de toutes les valeurs possibles, depuis 0 jusqu’à 1.

Soit x cette possibilité; y la probabilité d'un événement com-
posé À : on aura y — fx, et x pourra être considéré comme la
cause de A, done y est la probabilité quand x est certain, si done
P; est la probabilité de x, on aura

mais en vertu de l'identité suivante, dans laquelle b = a + nda :
['Frdx = dx {fa + f(a + da) ++ + fa + n — 1da)}
0

. 1 : L
on peut écrire la fxdx — dxSfx; et par suite on a
0 0

D dm Un (4)
En fxdx Ji ydx
La probabilité P que x est compris entre a et b sera donc
J'ydx
pe NE PRET AN RON

o 'yde
0

Remarque III. Soit u —f(x,y) la probabilité d’un événe-
ment E composé d'événements simples de deux espèces diffé-
rentes, dont les probabilités sont x et y; en regardant x et y
comme les causes de E, la probabilité de ces causes simultanées

sera
u udxdy udxdy

on au

u dxdySuSu udx

00 û 0 0 Ji J

et la probabilité que x est compris entre a et b, en même temps
que y est compris entre « et 6, sera

f “dy nf udx

pit nee ne
al {
dxdi
J His xdy

(154)
En général, si un événement E, dont la probabilité est
DE (65, 0 20)

est dû à des événements simples dont les probabilités sont dési-

gnées par æ, y … w, la probabilité que les causes inconnues sont
comprises entre les limites

sera

Ji “dx 1h dy .… ie audio .
DANETT de.

Remarque IV. Nous avons supposé Jusqu'à présent que toutes
les causes c,; étaient également possibles. Supposons maintenant

\

qu'il n’en soit plus ainsi, et appelons q,; la probabilité de c, avant
l'observation de E ; p, désignant toujours la probabilité de l'événe-
ment E en vertu de la cause c, considérée comme certaine, on
‘aura, après l'observation de l'événement E, pour la probabilité
due au concours des probabilités indépendantes q, et p, :

Pi = Gip;;

et pour la probabilité P; que la cause c; a agi pour produire E :

D Se
Sp Sqgp:

De mème si z — x est la probabilité de x avant l'observation
de l'événement composé E, et y — fx la probabilité de cet évé-
nement après l'observation, la probabilité que l’inconnue x est
‘comprise entre a et b sera

yzdx

| f'ycdx D

71. Deuxième rHéorème (de Laplace). La probabilité que la
possibilité des événements simples est comprise entre des limites

(155)

qui se resserrent de plus en plus, approche sans cesse de l’unité à
mesure que le nombre des événements augmente ; de manière que,
dans la supposition d’un nombre infini d'événements simples, ces
deux limites venant à se réunir, et la probabilité se changeant en
certitude, la véritable possibilité des événements simples est exacle-
ment égale à celle qui rend le résultat observé le plus probable.

Démonsrrariox. Soit y — (fx)” la probabilité d’un événement
E, p étant très-grand, et x la probabilité simple inconnue; soit
m la valeur de x qui rend y maximum, c’est-à-dire celle qu'on
déduit de a — 0. Nommons y, ce maximum et posons

12

Jon QUE
d'où
t=V1y, —1y.

Supposons que x diffère peu de # entre les limites « et 6 , et
soit

v=VLy,—1ye, —y=VLy,—Ly;,
on aura approximativement
B ?
DA SNTET I LE TETE OL
en) (A)

formule dans laquelle on a posé

GE 1 (1

[ x—m
71 DL ==

Pen A 1,

. . b .
Soient ensuite x — { les valeurs de x qui rendent y nul, on
aura (*)

['ydx DO ER CE M)
Cela posé, la probabilité P que x est compris entre m — 0 et
m + 6 sera :
m0
1 ydx
m0 N
P— ——— ——.
[ ydx D

(*) Pour les formules (A) et (B) voir la note II à la fin du volume.

L

(156)

Or, si 0 est très-petit, et que y, ce qui arrive presque toujours,
devienne nul aux deux limites 0 et 1, on aura, par la formule (A) :
Nue V4 Te-eqdt

2
en faisant
== Lis eye V1. Yn — Le Yn-05

et par la formule (B) :

D—yu,Vr;

par conséquent
1 v
P— — e dt.
- v=d,
Or, puisque
VS (Écihe

d'où

ee AR)
on aura :

d 1. fm 8 1. fm
dm un 12 dm

Ly,_0—=#lf(m—6)=#«l. fm — 5

mais en vertu de (1) :

Lou pif
En outre, comme
dl.y dy 1
dx dx y
et que, pour x = M, #—0, on aura :
d 1.
CASE RS
dm
Enfin, puisque
ŒLfx fx bé |
du? fxda? \fxdx
et que, pour x —", = —0( , on aura
d1. fm (A) nl [%)
dm? fxdx° ONE DCE

Substituant ces valeurs dans l'expression de I. y, _s, elle de-
vient :

8 { d’fx
Ro

: De même :

u® [ dfx
L'Yynr0 = LYn + — + elc.

D'où l'on tire, en négligeant les termes en 6°, etc. :

w| dfx | ( Ey |
D == LÉ —|. m— |. nat = è = — g? = — = d:
| Yon l YUm+0 y Ym—0 » fxdx? b (2 ù 2ydx° ù Ÿ D

L'expression de la probabilité P deviendra donc :

2 y
= P— — e dt
V/r dl !
en posant

9 —10 V&. k :
d'où
4

We

V | dfx | ol | dy |
k —= == = E == = ,
DFTAL & \9ydxt),,

P sera la probabilité que x est compris entre

de

2

et

5
MINES = à
FÆ 1407
et l’on voit que ces limites se resserrent à mesure que y croit. De

plus P tend vers l'unité à mesure que y augmente; et si yest
suffisamment grand, mais fini, on aura

NBA SO ee nn

valeur la plus probable.

72. Remarque I. Regle pour juger si la cause x est indiquée
avec une grande probabilité.

Si nous développons l'expression de P en série, nous aurons

P ‘a ] “ ed e
— e dt A1—— e dt 1 — 1—. ).
ou =" A )
0 Ÿ

Or nous avons posé

donc

pe? dy
e ydi2/m =) m

P — 1 — 7 RENE UE + -..°
El sS 2
VND = ) tar
ydx° YU rIre

P sera donc fort grand si — @2 (= a. est un peu considérable,
onze ou douze, par exemple.

75. Remarque Il. Il est maintenant facile de démontrer lite
rème inverse de Bernoulli.

Soient »,, 4 les nombres de fois que les événements con-
traires À, B se répètent en un très-grand nombre s d'épreuves ;
x la probabilité inconnue de A.

Nous avons trouvé

2 de
pee e= dt
VAT

pour la probabilité que x, est compris entre

Mi en
Vp-k

Dans le cas actuel nous aurons
m2 \ #1
y = a (1 — ci) — Vu — x)
et par suite
H—= M.
De plus :
A Ly= ml + mL(A — x),
d’où l’on tire :

Wu + Mo s

(159)

Dérivant de nouveau :

—Æ1y mm, M;
— > —= 7 + ———;:
dax? 2% (1 — x)”
d'où
# Le ”) 1 | dy | 1 m, nt s
= — a — — —— _——> — + ———— | —
“DA ES à \OTHAIENNE

cu) £ “4 9m iMo l
le pu)
nn ee Me si

m —— ————
: Mi 2m (S — mi)

HF. Événements futurs.

7h. Troisième Taéorème. La probabilité Il; de l’arrivée d'un
événement futur F, en vertu de la cause c; d’un événement observé
E, est égale au produit de la probabilité P; de la cause ce; par la
probabilité >; que cette cause donne à l’événement.

Démonsrrarion. En effet IT, est la probabilité de l'événement
composé qui résulte du concours de l'existence de la cause c; avec
l'arrivée de l'événement F, la cause c; étant supposée exister. On
a par suite |

ip;
HI, —P;7, — ke ;

SD:
4

Remarque LE. Si nous faisons p,— y — fx, x étant la cause,
p; étant la probabilité de E quand x est certain, et de même
s—2:— x, probabilité de F en vertu de x, nous aurons

Z zu
RE RM UE

Sy DE J'y

( 160 }
La probabilité IT que l'événement F arrivera en vertu des va-
leurs de x comprises entre a et b sera

y yzdx
1 77
0

Remarque IT. Si les causes c; étaient inégalement possibles
avant l'observation de E, et que nous désignions par q:; la possi-
bilité de c;, nous aurions

IL

Sidi); :
2q:p:
1

Il; — Ps; —=

Remarque IH. La probabilité que l'événement F arrivera en
vertu de l’une quelconque des causes c;, © … €, sera

Remarque générale.

Les problèmes de la théorie des hasards sont de trois espèces :

4° L'événement est incertain, les causes ou les probabilités sim-
ples sont connues. On demande alors la probabilité de l'événement
incertain.

Exewpce. Une urne renferme des boules blanches et noires
dans le rapport donné de p à q; on demande la probabilité de
tirer une boule blanche. )

La cause D est certaine ; l'événement est incertain.

2° L'événement est certain; la cause ou probabilité simple est
incertaine. On demande la probabilité de chaque supposition que
lon peut faire sur la valeur de la cause ow probabilité simple
inconnue.

Exewpce. Une urne renferme des boules blanches et noires
dans un rapport inéonnu ; on en tire une blanche : quelle est la
probabilité de la supposition que le rapport est égal à p : q?

(161)
L'événement est certain ; sa cause ne est incertaine.
3° L'événement passé est certain; la cause est incertaine, de
même que l'événement futur. On demande la probabilité de cet
évenement.
Exewpce. Une urne renferme des boules blanches et noires
dans un rapport inconnu; on en tire p + q boules, dont p blan-

ches et q noires; on demande quelle est la ne de tirer
une nouvelle boule blanche.

Applications.
w
75. PREMIER EXEMPLE. Une urne contient des boules blanches
et noires, au nombre de r; on en tire une blanche ; quelle est
la probabilité qu'elle contient n boules blanches?
SOLUTION. Les diverses hypothèses ou causes de l'extraction
d'une boule blanche sont :

À blanche, 7r—14 noires; cause c,
2 blanches, r — 92 noires; DCS

r blanches, 0 noire; Cause c,.

Les probabilités de l'extraction d’une blanche, dues à ces dif-
férentes causes, sont
il 2 r
= Deep:

r

Mais la supposition que l’urne renferme n boules blanches donne

n
Pisces

r

On a donc, pour le théorème de Bayes :

S [3

(16 )

DeuxIÈME EXEMPLE. Une urne renferme x boules, blanches et
noires; on en extrait une blanche; on demande la probabilité
qu'une seconde boule que l’on extrait sera blanche.

SOLUTION. Il y a deux cas à considérer, selon qu'on remet, ou
non, la boule extraite dans l’urne.

Premier cas. L'événement E est l'extraction d’une boule
blanche, l'événement F aussi. Si l’urne contenait n boules
blanches, les probabilités de E et de F seraient

Cette probabilité converge done vers < à mesure que 7 aug-
mente : k

En effet, si l’on. suppose le nombre des boules infini, et qu'on
désigne par x la probabilité d'extraire une boule blanche, x pou-
vant varier depuis 0 jusqu'à 1, on aura

9
0 =
D = —— —À:
ee 9
0

Deuxième cas. Si la boule extraite n’a pas été remise dans
lurne, on a

donc
1,2 +90 5 Pr (rt) (ne) A2
{—1)r 1.2.5(r—1l)r

ren en M
il
= (r+1)
r 2

O1! 19

( 165 ).

TROISIÈME EXEMPLE. Le nombre de boules contenues dans une
urne ne peut excéder trois; on a extrait x boules blanches en n
tirages, en remettant dans lurne la boule extraite ; on demande
la probabilité de l'extraction d’une nouvelle boule blanche.

SOLUTION. Les événements E et F sont l'extraction d’une boule

blanche ; x n'étant ni 0 ni x, on ne peut faire que les trois hypo-
thèses :

1 blanche et | noire : cause c, des événements Eet F,

2 blanches et 4 » : » « » »

1 blanche et 2 noires: » oc; » »

Les probabilités de E, dues à ces causes, sont :

(| x ] n—x il LS ;
‘= Ô) () io: probabilité due à €, ;
co. 2
DS UE _ = — » » Co;
= |) Sr :
GE) = |
5 —= | = = = ——— » » C5
SATA Gel

Les probabilités de F, dues à ces trois causes, sont :

1 Ne \
m — = , probabilité due à €, ;
2
2
D —= =) » » Ca;
, 5
|
D3 — 9 » » C3
d
la probabilité de c, est donc
LOU -
ch dé

il 2° Dn—x PF 3” ne tn ire Dn—x G

(164)
On trouverait de même, pour celles de c, et de c; :

nt Dn—x

en ns Q?n—r ? P; QE mn Dr+n Qn+>
5" + 2"F: + 2 574 DEAD

et par suite :
— - 5! Lie LION
2 5) 5)
= Pis + Pis + P;5: — = 5
5" on 9z+n ze D?n—x

QuarTRiÈME EXEMPLE. Une urne renferme une infinité de boules
blanches et noires; on en a extrait une blanche au premier ti-
rage : on demande la probabilité d’en amener ensuite n noires?

En appelant x la probabilité de l'extraction d’une boule
blanche; et 1 — x celle de l'extraction d’une noire, on aura :

À x (1 — x)" dx 9
D —— EEE gui a PARU
ete (n + 1)(n + 2)
ù
Cinquième EXEMPLE. Deux joueurs, À et B, dont les probabilités
de gagner sont inconnues, jouent à cette condition que celui qui
aura le premier gagné n parties obtiendra l’enjeu a. Ils sont
forcés d’abandonner le jeu, lorsqu'il manque b parties à À, et
e parties à B, pour gagner l'enjeu. Comment celui-ci doit-il se
partager entre les deux joueurs ?
Soit x la probabilité qu'a A de gagner une partie;
D 1225 » » B » »
x pouvant varier entre 0 et 1.
La probabilité que A gagne n—b parties, et B, n — c parties,

€, €S£

sur un nombre total 2n — b
P—G.a"-t(1— x)",

et la probabilité d’une valeur x de la cause, en vertu de l'événe-
ment observé, sera (n° 70) :
x" (1 — x)" dx
D ———
avt (l Lai Ajone dx

1]

(165)
La somme S qui doit revenir à B, dans l'hypothèse de x—x,
est (n° 59) :
A one pes,
a(1—x) LA mL ares” ds LS

gt (b+c—1).….(c+1) |
pet on) |

+

Done, la somme qui doit lui revenir dans toutes les hypothèses
possibles, depuis x—0 jusqu'à x — 1, sera

is
Je a" (4 — x)! dx {(a)|

TA
J at (A — x) dx
d 0
Effectuant les différentes intégrations indiquées dans cette
expression, au moyen de la formule

+ 1:22... (n —0c)
Î = ET LES EP TE NO EE
- (n—b+1).(2n—b—c+1)

on trouvera,

' es Dan Po UN, b+c—1 n—b+i
EE —_ _—_——_—————…….…......._._—.—aaaaLa <<
(Q@n—b—c+2)..2n ! 2 b+n—1

(BEM ER 02), (u —b +1) (n —b +2)

1.2 RE) be)
a en) RE A) (n—1)}
1.2 ...(b—1) re)

ET

Sixième ExEMPLE. Deux urnes À et B contiennent, la première
p boules blanches et q noires, la seconde p’ blanches et q' noires.
On extrait de l’une de ces urnes (on ignore laquelle) m + n boules,
dont m blanches, et n noires : quelle est la probabilité que l’urne
dont on a extrait ces boules est À ou B?

( 166 )

La probabilité d'extraire #» blanches et n noires, dans la pre-
mière hypothèse, est

L2
(m + nt) i Det Eu
DA Le No CP A

min (p+ De 7

et dans la seconde hypothèse, cette probabilité est :

(m ee n)! DiRIC Eee

D = CRETE D
HO ON (TEE CNT
La probabilité de la première hypothèse est done : .
p" UE
nil
Hate P + P'’ D Dao De oee

7 5 =
(p Anal Q) ie (p de q js

De mème on aurait pour la probabilité de la seconde hypo-

thèse :

CHAPITRE V.

PROBLÈMES SUR LES NAISSANCES.

76. PREMIER PROBLÈME. On a observé que, sur un grand nombre
p + q d'enfants, il est né p garçons et q filles : on demande la
probabilité P que sur m + n enfants qui doivent naître, il y aura
m garçons et n filles.

SOLUTION. Soit x la probabilité de la naissance d’un garçon;
1 — x d’une fille.

La probabilité que, sur p + q enfants, il y aura p garcons,et
q filles, est (n° 20) :

+ q)! c
ch — fprneq x (A — x)f -
DU

De même, la probabilité que, sur m + n enfants, il y aura

m garcons et n filles, est :
({m + n)!

= = — je À — œ%}°-
“ m'n: )

La probabilité cherchée sera donc

y, Foix Ji mr ( des 1) ne S
[D JE MER ASE Pts ATP PURE AI
[dx k fai — x) dx
( ri

0

2

en posant

Abe + on)!
mn!
Or
1 € ) 5
far PQ) teepeteeg
û E(p+q%+2) 1.2...p(p +1)... (p+q+1)
128210)

(p+ 1)... (p + q PT
12

( 168 )
-De même

na ) o
/ ae (A — mdr — 1.2..(g +)

4
0

donc P Led) (qn)(p 5,1) (per)

(p+mæ+t)….(p+qg+im + n+1)

?

(p+qg+2)….(p+qg+rmen+i):

mais, p et q étant très-grands, nous pouvons écrire approxima-
tivement (*)

4
102 Gen) (gen)
41} dos ES De
(g+1)..(q +») ia Ro
q 2
pl
(p SE 1) . (p + m) —= NPÉRROIENE e=" 5
pr

1
| LOILM+ Hi pe
(p+q+1).(p+qg+m+n)— ct : mu era
+4 =

(p + q)
DER SN PL AN Ur CR MEN

P+I+mMm+n+li p+q+rmrn

et

En substituant ces valeurs approchées dans l’expression de P,

nous aurons
pHI+S

= 4) CT)

panne ©

qi

1
2 (p + mn) EE (

rip, (ER 2)
q

1 1
ip i(p+q+men)
. Remarque. Si p et q sont très-grands, la vraie possibilité de la
! LE ' q
naissance d'un garçon sera » et d'une fille ——-
ie STE p+q SCI
En effet, si y et s sont petits relativement à p et à q, on a :

VO ETTE LIOE ETE SH ENTESRSS

s 2
(pers) PRE

= (p+s)p+(p+ 5e =(p+s)lp+ pe

() Voir la note F, à la fin de lPouvrage.

( 169)

. d'où (pos) = ypr a ef)

D'après cela, st m et n sont petits relativement à p et q, on
pourra écrire

gts n dents
(g + x) —€p
pme s m ptmts
(p + m) = e p
p+Hq-EmHn+ : mn p+qtmtn+i
(p+q+m+n) — Cp ù 2

et la formule (a) deviendra, par la substitution de ces valeurs :

à {m+ n)! i pq"
_ min! (p+g"r

Or cette probabilité est précisément celle qu'on obtiendrait si
l’on supposait que la. possibilité de la naissance d’un garcon est
p 0 q A
, celle d’une fille Eu

P +9 er
Il est donc naturel de conclure que ces possibilités sont à peu

près dans le rapport de p à q, si ces nombres sont très-grands,
et par suite que la vraie possibilité de la naissance d’un garcon
est approximativement égale à Dei

77. Deuxième EXEMPLE. On observe constaminent que, sur un
très-grand nombre p + q de naissances, le nombre p des qar-
cons est supérieur au nombre q des filles; chercher la probabilité
que la possibilité de la naissance des garcons surpasse celle de lu
naissance des filles. |

Soit x la probabilité de la naissance d'un garcon; 1 — x, d’une
fille.

Désignons par c le coefficient du terme x”(1 — x)" du binôme
(x + 1 —x)"*"; la probabilité que, sur p + q naissances, p seront
masculines, q féminines, est

ext (A — x}.

Posons y — x (1 — x)’, la probabilité d'une valeur de x sera
(n° 70) :

[eydx fi ['ydx

cydx ydx

(170 )
Et la probabilité que la valeur de x ne surpasse pas

suite
4
?ydx

0
]
J ydx
0
070. 0 1
Nous aurons done, pour la probabilité que x surpasse ;, ou

que æ est > 1—n:
yd
y X N

QAR 4
Jydx D

0

1

3 Sera par

P —

78. Calcul de N — 1 lydx, expression dans laquelle
A (ES Pe

Désignons par Yo el y, Ce que devient y pour #—0 et x—!}, :

: nous posons y — Yp6 ‘, aux limites de x répondront celles

a ” de t; tandis qu ‘en posant y— 1,6 ", aux limites ju de x ré-
pondront celles { det.
Calculons N au moyen de l'expression :

Ne yux — f" ydx;

112

nous aurons, en remplaçant y par l’une ou l’autre des expres-
sions précédentes :

dx
4°. fus fe = di;
d AE qe.
21: nr A

18

Cherchons les valeurs de Ÿ 7 qui entrent dans ces deux inté-
grales.

(171)

x étant une fonction de {, développons-la par la formule de
Mac-Laurin :
152

e œ = f() = (0) + PO) + F0) +

=(7 ! AS le
nul nlrer,

1° Pour ce cas nous avons :

= | Jo. dt — LAS GE Pere
y y dx v
A1 ==
y
en posant
vu dx.
= — 1 y 5
donc
| dx dx dv ELU vdv
Ho Po de dx
Ÿ

et par suite :
(el (
— | — y, : | = | =—
dt MN ne,
2 Pour ce cas-ci :
Yy= Ye

d’où, en procédant comme plus haut :

Ce) =
de ie dE}, dx

Par suite :

vdv É
110 LV ——

DEA

vadv a
20 L = Vipt +

dx = 1. a

d'où l’on déduit :

Fe dx à ju) il pr
— — CNE A I RESRS Moy me ES se Vo
da à Cu in dx}

dx _fodv do
90 be Ua re Mn 200 Æ (is 1 FA

(172)

Substituant ces valeurs dans les intégrales précédentes, nous
aurons |

4 ‘æ / dv 5 }
YyAX — Vot fl UE o TOR CEE NN
7 ” DA a ! n = s) \

Gp

\ E
= 020) il ae | = oo

ni
dx

puisque toutes les intégrales de la parenthèse ont pour valeur 1.

| d'
J'u=vin) He as (e 0 ee Le ‘dt + |
12 :

=$ ÿ

. us
= my.) 2 4 Le 600 |?

et par conséquent

À dv { dv )
don 0 + D + d6ù — tune )1 EUR FR nain ii

, one à) Ve Q dv
Déterminons les valeurs des expressions de v et =.
De y = x" (1 — x)’ on tire

dy ï
Ha Cl Mo (+ |
d'où
ydx x(1 — x) . 1
ee a nee 0 VMC No re
dy p—(p + q)x | 2(p — 4)
do (2x —1)[p—(p+ pa] +p+pa(—1)
dx bn (p + a)af

Le a = PE Q) :
No LT Len

substituant ces valeurs dans l'expression de N, nous aurons :

N 1 | PL
10 NE Ent)

79. Calcul de D = f'a(l — x)'dx.

(175)
On sait que cette intégrale a pour valeur

T(p+1)r(q +1)
l'(p + q + 2)

Mais nous allons la calculer par le procédé de Laplace.

Soit & la valeur de x qui rend y maximum ; nous aurons, en
posant (2) = 0 :
pÜ — a) — ga = 0;

d'où
a — P ®
Bon

Et en appelant y, le maximum de y:

_

Si nous posons y— y, . e”, aux valeurs 0, a, 1 de x répon-
dront celles — æ , 0, æ de t; et par suite nous aurons

æ d
D —fhydt —= vf e® dl.
0 0

Faisons x — a + vt; t sera très-petit quand x différera peu
de a; v étant une fonction de x, si nous développons x par la
formule de Lagrange, nous obtiendrons :

; | d. = 1e _ = t
La + Ve, 1 + RS en +.
ANNE RU ALES 1:25

da É : = = 3 Le
= Ut A+) — +
GE OREOLE (Ho a LEO)
Substituant cette expression dans celle de D, on trouve :
GATE

D —ryux = v, fra + d | cc ter dt
: ÿ X :

«A

d’où

— 0

BR A A s
+ (TE) Jette |

dx?

(174)

Or on sait que

Vi eV 7; f el

—

= || 1 D ï
D — y, Vx Ê + 9 — SF | &

Mais nous avons posé

V/T; D CO =UE

OI —

et par suite

LU

Ÿ = 9 y = LACRE 5

d'où
= To = Y;
et
TP

ii V1. Ya l'y

U

Comme { s'évanouit pour x = «, nous pourrons poser
ou Ly—ly=(x— a) {A + B(x— a) + C(x— a} + |;

2

d'où nous déduisons par des différentiations successives

il dal . | dy | | d'l.y |
— | — = À; | — ——— RD; | —(: etc.
; EN NE EE OS eo 41.4 dx“). ic

(4

et, en outre,

|
VU = 18 >
LA + B(x — a) + .}
d’où
{ 1
À j FAR
” 2\ dx° |

(175)

: p
2 — a — 1}, nous aurons :
Faisant x ra.

_ — Ken)

dé pq
et
du dl V/2pq
VE pe
Il nous reste à chercher —. Nous avons :

d’où

el

A, est le coefficient de (x—«a)?, dans le développement de 5,
qui est :

[A + B(x — a) + C{x — a) + in

NS
=AÀ *— -A Bfx —a)+|—-A *+—A °B|(x- a) +
9 2.4
On a donc
APT Ne 7 = = 2
RP ni he as
à ? 4 JAUNE 5
_ Nous avons déjà trouvé AT, nous obtiendrons de

même :

un ee Eee >] (p+ gb — 4) oo

DAMES LS di at
dl.

d
Dia mn (b+q)
| ]- [2 i- |
l..Ldx 4x sn us Lp° —p1+)

(176 )
Substituant ces valeurs dans l'expression de A,, on trouve,
après réduction :

4 Jd2. v° 2
sou: | = a Lou
2U ls Gpig(p + q°

Cette valeur, ainsi que celles
DNA { "2
PAT ENP EESTI V/(p + qŸ

étant remplacées dans l'expression trouvée

d. v 3 À
DE T | v, + — + |
Ya V” dx? j
nous donneront celle de D, que nous éerivons plus bas.

80. Substituant maintenant les valeurs que nous venons de
trouver (n° 78 et 79) :
Dati |

1
AT D (
N 0 x (1 — x)! dx — mr 1 — F ÿ
0

l ee Pie Vos SX
D— Nr nine PT.
P+4+5 _12pq (p + Q)

wl=

- p +4)
dans l'expression Q —1—;, et one nous obtiendrons :
p+qt : 5 Le
de (p+q) D+q}\,. (p+d—pq
Q=—1 — Tr ras Phones
QÙIES HG +3 (p— 9) 2pq(p + q)

ae (
GAP VAT
ou, approximativement, à cause de p et q très-grandés :

5
PIE S

De A OR )

ei PE (p es qVr (p TNT q) 12pq (p a q)

Ve mL

Exeurze. De 1745 à 1784 on a baptisé à Paris

p = 595586 garcons; q = 57755) filles.

(| A7)
Pour calculer la valeur numérique de Q, écrivons :

Qi M Nate

(p—qŸ 1.2pq(p + q)\
en faisant

| p + 17
! (p + 9) #

be a 2 (p —() V’2pqr pq"

d’où
p += 1
y Ni 5 2, Te
Fee = (a D OL Re
Le 2(D=q) V”2pqr p°q"

le dernier facteur peut se développer en une série très-conver-
gente :

(e de ti
9

1, —— — — pl. ( + l—1) — q 1. £ 11)
pq" D 0) Dont
a
(AUTRE 5.4 5.6
On trouvera par là
| 1
lg —— 79,2511780,
(2

el

Q—1 — k (1 — 0,0030761 +.) = À à peu près,
u À
à cause de l'excessive petitesse du second terme.

81. TROISIÈME PROBLÈME. On « observé un çrand nombre de
naissances p + q des deux sexes dans un lieu A, p masculines,
féminines ; et l’on en a déduit le rapport r du nombre des nais-
sances des garcons à celui des filles. Dans un lieu B on a observe
de même les nombres p', q', r'. On trouve »' > r; déterminer la
probabilité que la naissance d’un garcon est plus probable dans le
lieu B que dans le lieu A.

(178)
Sozuriox. En adoptant les mêmes notations que plus haut, la

probabilité d’une valeur de x sera

d.
p?2 ÆÆ F" É : : SMS SR PE NON 0 (æ)
À ydx

p
D

Posons

a = étant la valeur de x qui répond au maximum de y. Aux
DNA AN HN
limites x —}, répondent les limites

ip)
pH
OE—

D
RER
p +4

la probabilité d’une valeur de 8 sera done

? p 4
cher
D p +q Ne

112

Calcul de N. On a:

p q pra D +
(+0) | ! er PE pts E ls)

pig p+q (p+9) p
; mal p + aŸ 6?
sgufr ti) PRES MANN ele si
q (De GP p 2p
bad. (p 6 ga pq pq)
cie Dni Hpa re l apt ae

en s’arrêtant à la deuxième puissance de 0; ei par suite :
) p { pp’ (1 Lt (pti 0?
Cnil

b+q Pi (gt

Calcul de D. En reprenant la valeur trouvée dans le problème
précédent (n° 80), et nous arrêtant au premier terme, nous aurons :

Dee jh un LA
+ DT + 9

0

(ON)

n ?

Substituant les valeurs de N et D dans l’expression de P
nous obtiendrons :

IN NNCE DE g) BH
PNR fl DR 20 PE PAPER (16)
DNA 2pq
Nous trouverions de mème, pour la probabilité d’une valeur 6’
a |; JRe se PA KO M :
dans le lieu B, en posant à ect 0! :
de ('æ a $ _P+y
p° MST 220 ! € Cho 5 STANMANSE (8)
Vr 205

La probabilité des valeurs simultanées 8 et 9’ sera done:

D CONS PNR
ñ kpqp'q

Posons x — x + t; x/ sera > x pour t positif; et l’on aura
9

nous avons à déterminer la probabilité que £ est compris entre
0 et 1. Comme x’ est indépendant de x, et par suite 0’ de 6, la
différentiation de l'égalité précédente donnera :

di di;

et en substituant dans l'expression de P,P, les valeurs que nous
venons de trouver, nous obtiendrons

P,P, ui N near dtdt'e-t+2rt-n6+00-n?) ,

T 4pqp'q'
expression dans laquelle
Modo), De, pe)
(p+q)(p + 4) 2pq GO

B —

p' + q! û (p’ fe q'Ÿ
2p'q' 2 2p'q'

(180)

Convertissant l’'exposant en un carré, ét posant

ee (nc) tAR EC

== Li

2p'q'(p + q) + 2pq(p° + qŸ

on trouve

} 3 , /\5 2
P,P, — Nu au) 7 nor
apqp'q

Intégrant entre les limites

v+a {1
Î= CRETE
ep \0
p+4

nous déterminerons la probabilité que x et £ sont tous deux com-

pris entre 0 et 1, ou, comme x est nécessairement compris entre

ces limites, la probabilité que t y est compris, ou que x’ est > x.
Nous aurons ainsi

RE
pP— VATEMIRENRS nd) Q 2 q) [F5 de f'die-* PAU
7 4pqp q Enr 0

Pos
. Le facteur e="{ © devenant très-petit pour les valeurs de 6, qui
sont prises au delà des limites Jusqu'à + , on peut étendre les
limites relatives à 9 jusqu'à £ æ , et l'on aura ainsi, en posant

ATP =:

ke L2 À
—- f et dr QUE
aa 1

k pa
nn e (ER) dt 2
Vri
Lo 2 “ . \ . o | l
et comme e © est très-petit au delà des limites —|,,; on

peut également étendre celles-ci jusqu'à + æ, ce qui donne :

P = PeRU-RE qf:

V7;

(181)

ou, en faisant Æ (t—h) — u :

| ; RUES A 1 =
= fetdue 7) — fie e="® du ;
02 su V7 J : V7 fl

l 1 (en | l 1 1.5 |
ON En — me ?

V/rt( 2kh DR USER
expression dans laquelle

1__pa(p+a)+pi(p+gY
26 (p+g)(p + (pa — pa ÿ

ExemPze. À Paris on a :

25
D 5035800 0 TT re,
q 24
à Londres :
D à
p—157629, q —648958 ; 7 — À — =
La formule précédente donnera
1
| 328269

Il y a donc 528268 à parier contre 1 qu’à Londres la proba-
bilité de la naissance d’un garçon est plus grande qu’à Paris.

82. QUATRIÈME PROBLÈME. Chercher la probabilité P que la pos-
sibilité x de la naissance d’un garcon est comprise entre les limites
eee Æ V,Z, Z étant un petit nombre.

Sozuriox. En désignant par «et B ces limites, et par y la fonc-
tion précédente y = x’ (1 — x}, la probabilité cherchée sera :

Calcul de D. Nous avons vu (n° 79) que

1 yd = Vr,

‘0

(18)

en négligeant les puissances de

Do 1 VE 2pq
noie PEN DENT

V— de } |

Calcul de N. Si nous posons x — « + v,8, aux limites données
xæ—{" répondront celles : -

que nous supposerons respectivement égales à Æ z; et en repre-
nant la valeur de x donnée précédemment (n° 79)

(RSA
LT OU A+ V—= A+ Vi +=|— |) Ê +
DATE

nous en déduirons :

; 4 1 (= p
—— + — —
0 die
1 14 /d.v°
Ù == = =) ÿ,
DIN EN
ldire\
12 | | b”,
Ua dx œ

£ y il d.v° 2
N= jf ydx=yf ef |1 [dy f ed,
| dés fe Le mi viva Je (

(«4

d'où nous tirerons :
N 2 ls
D= -— vf. ed.
DIMAL/ÆTE
ExemeLe D’aprÈs Poisson. p + q — 9656155, nombre des nais-
sances en France pendant les dix années 1817-1826; p—4981566,
nombre des garcons. On aura

probabilité que x est compris entre 0,5159 Æ 0,000925z; si l'on
prend z — 5, on trouve

P — 0,999978, probabilité que x est entre 0,159 Æ 0,0007.

(185)

83. CINQUIÈME PROBLÈME. En supposant 0 certain, trouver la
probabilité IL que sur n naissances le nombre des garcons ne sera
pas supérieur à u. (Voir n° 81.)

Sozuriox. Soit E l’événement dont il s’agit : cet événement
pourra être amené en général en supposant que sur n —u+k
naissances, il y ait » — « filles et À garcons, sans que le dernier
né soit un garçon.

Comme les Æ garçons peuvent prendre alors chacune des
n—u+k— 1 premières places, la probabilité de cet événe-
ment, pour une valeur déterminée de X, sera :

(n—u+k—1)(n—u+k—9)..(n—u) (1 — x)" mé,
AA

Mais l'événement E pouvant ètre amené par toutes les valeurs
de k depuis 1 jusque w, la probabilité cherchée sera

Li

TN) (n—u+k—1)(n—u+k—).…..(n— 1)

2 1.2...k | te
non) nu
( 1.2
n— u)….(n —1
+" a pr (a)

1

en posant x —p et | — x — q.
Transformons le second membre en une ne définie.
Par des mtégrations successives par parties, on obtient :

7 y dy =") De OUR NE Re AGE NE
Aæ+y On (U+y) n—1 (+ y)" (n—1)(n—2) Aæy=

u(u—1)..(u — +14). y" ‘dy
RE RE M ANSE A PE BA A NAN UE Le
Re
PEU, on a :

fe Et un vs

————— —
—

1) (A+y)" n—1 (+ y)" ! (n—1)(n—92 )(1+y"
u(u —1)...9.1 1

u(u—1)...2.1 1}.

(n — 1) (n —2).….(n —u)i
2 UT TN be UD Es 1
Hs Uhr). … — u)

Or le quotient de ces deux expressions est égal à

(n—u)(n—u+#1),

GÉRS É +(n—u)p +

(n—u) …
1.2 AS a

(n—1)

uw

|

c'est-à-dire à la valeur précédemment trouvée pour IT. Nous avons

donc

Si Nous posons ou , NOUS AUrONS :

NU
A+ y

Ne ir D — f ‘Ydy.
b ÿ

y'dy

y“da C2
n= et N PAC NOUS D=f El
(A + y” À (A + y)"Tt
0

84. Calcul de D. Appelons a la valeur de y qui rend Y maxi-
mum; Ÿ, ce maximum; nous trouverons par dY — 0 :

(1
n+i—u?
et
y u"(n + A — u) Hi"
rm (n + 1)" (
et si nous faisons Y — Ye”, aux limites y — {a répondront

00
celles { — (0. , €t nous aurons par suite

© wr : “ _#£ dy
Six, f edt —

(185)

Puisque t devient nul pour y— a, il doit renfermer le facteur
y — a —=y'; et À le facteur y/?; nous pourrons donc poser

= y" [A + By + Cy° +. ]—1Y, — 1]. Y.
: On trouvera

à 1 En Ë 4 rl
— S = — — = ; CLC.
D LAC AS EE GPS

et en substituant dans l’expression de £2 :

a pe RUE je ù L
+ = + —| — + ce —(.
2 dy Re 6 dy 4

Comme y’ est nul pour £— 0, on peut poser

y= at + a'Ë +

et l'équation précédente deviendra :

à 1 (d1.Y ; NAS A NT EPA 7 ;
b LE dy 10 +i dy a'a ot a a° +... —0;

égalant à zéro les coefficients des différentes puissances de # :

1 — 229 (——) D A — RS
— = Ca & ——— — | ——— — (|,
+ 9 dy à ; dy ms a + G dy 1e

Si nous substituons dans ces équations les valeurs

u
= ———; LY—ul. y— (1 f ;
sm Ed à ulLy—(n+1)l (+7);
d'où
Érr ME) OL URGRE = 2(n+1—u) (n+1+u)
dy* /à u(n+1) | WE w(n +1)

ces équations donneront :

TT dé 2(n + 1— 4)
a — DE —————— ;
(n +1—u) 5(n+1—u)

(186)

cela posé, si nous subsütuons dans D iS = sa valeur

Re 24"!
di d = 4 + ZA L +
nous aurons
DJ ay, fe
, u dt
—Y,| a H; e=“dt+ 20" se sa" f “erdrrer|

—Y. [a VAE _ r + ee. | :

à cause de ins
heat 0e

ht Qi +1
or sure

Lorsque n, w, et n—u sont très-grands, on a, à peu prés :
D, a V7.
85. Calcul de N = fYdy.
p

Une ee
Cherchons d’abord les limites de f, qui correspondent à celles
de y—{,, et appelons À? la valeur de #?, répondant à y.

Comme {2 — 1. Y, — |: Y, et que

ui ORIIEEN Se fe
PSS) DIN
on aura
u n+i—u
2 vu 1. ——— ON:
Fu Sn à u) ET) (a)

d'où { = + k pour y —*<

On devra prendre le signe + sir > a, et le signe — sir Ut
Car y— a donne {—0, et y Z a donnera t Z 0; t sera donc
positif ou négatif selon que y sera plus grand ou plus petit
que a.

(187)

Premier cas LE > a. Nous aurons :

se F dy He , 7
nn dy v, fete =x, fé di [a + 2a”t +...
AE L

C2] 1 e
=", Le fe dt + 2a”.- +] = Ya f e dt + a" Ye,
; 2 L
L k

Par suite, en substituant à N et D leurs valeurs :

N 1 er (1) :
== fe dt + ——— 6e";
D y7. dV/r
or on à : :
a VO (n +1+u) n+u)V2 .,
FPE NS — à peu près ;

fo 5V/u (n +1—uj(n +1) 5Vnu(n —u)

TEE e—® dt + Us mens en de ES a. (b)
o 5V/nu(n —u)7r

d'où
k

Deuxième cas : = < a. Nous aurons dans ce cas

= fYdy = Y, fe "dt [a+ 2a“t +]
P Fi

- ;
— Y, a! fe "dt + 2Y,a" fe "idt
J “a
V0 lotte eo Neal er tal
J D
=va [JT fera"
UNE
= Ya V//7x — Ya” 1 Led dealer:
k

substituant cette valeur, ainsi que celle de D = Y «/ /7 dans
l'expression de IT, on obtient :

1

D — 1 1 : dt Le fe
A mon el + = Re"
il d'V/x

k

e _(a+u)y <= AN _ P
1 et ne 5V/nu(n —u)r ‘ PES q Aer

(188)

86. SIXIÈME PROBLÈME. Trouver la probabilité P! que sur n=p+q
naissances, le nombre de garcons ne sera pas supérieur à u.
SoLurion. Comme 0 n'est pas certain, et que sa probabilité est
(n° 82) :
1 2 Lg L
ne Je [1 — #.0,000021,
T ES

la probabilité cherchée sera
D m1

IT ayant la valeur déterminée dans le problème précédent.
SEPTIÈME PROBLÈME. En supposant 0 certain, chercher la pro-

babilité IL! que sur un grand nombre n de garçons ne surpasse
n n—1
pasu—;,ouu——-.

Sozurion. Premier cas : n pair.
Nous avons eu (n° 85) :

u ñn S d p S
= ——— — — onc — > a;
Fr puy, neo Pet ne
nous aurons done à appliquer les formules (a) et (b) :
1 fe Va
ef COUR Oo ONE Da 0)
Vre Var
Ru n n +92 n+ (a).
2 02pi(r 1) 2 2q (n +1)
Deuxième cas : n impair. Alors
n —1 D |
U —= a —
ne n+5
donc
=>
î]

les mêmes formules donneront :

n—1 n—1 n +9 n +1 "
RE (a 0)

2 VOp{n+ 1) AN (0

(189)

87. HuiriÈne PROBLÈME. Chercher la probabilité P” que sur un
grand nombre n de naissances le nombre des garçons ne sur-
passera pas celui des filles.

SOLUTION. 0 n’étant pas certain, et sa probabilité étant P (n° 82),

on aura
P'=—P.r.

Premier exempze. Soit n—12000, nombre des naissances an-
nuelles dans un département français d'une population moyenne;

p —= 0,5159 + 6.0,00093 (voir le n° 82);
q — 04844 — 9 .0,00025

n étant pair, la formule (6°) donnera

1 = 2
n'—— 1 ns _- ob
Vz, nT
k
or

6 | Re 0 0 0002
€ Fo DUO TE | —=€ ( , 92—0.U, );
k

si l'on remplace dans les facteurs algébriques 4 par sa valeur dé-
duite de la formule («’); on en tire en la développant et y rem-
plaçant n, p, q par leurs valeurs

BE = 6,1098 + 0. 0,4761 + 8.0,00127 +
d’où l
—, — 0,2024 — 4. 9.
D 0,2024 0,082
On aura par suite

À
ME (0,2012 — 0. 0,00025),
V7
La valeur de P trouvée au n° 82 est

il 5
D —® 11 — @. 0.000021 ds ;
ati ni

et par conséquent

1 CAE 1
PP — — de (1 — 65.0,00002). — e-#(0,2012—0.0,0025
7 fe del ) de (0, )

TK 3

—d

no

T

— ©

(190%
car, e- #7) étant excessivement faible aux limites 9 — + 5, on
peut étendre celles-e1 à & ce.
Si l’on pose

CA 0,1761
DS

VA,00127 2-1,00127
on aura, à fort peu près

+ 8 — 6? + 6,0951,
et par suite

0,201 4 e- 605:
DA 2
rV/1,00127 “+
0,2014 e—50%5!

z. 1,00127

On peut done parier 4000 contre 1 que le nombre des gar-
cons surpassera celui des filles.

Deuxième EXEMPLE. Trouver la probabilité P' qu'à Paris , par mi
les enfants naturels, le nombre des naissances annuelles des gar-
cons n'excédera pas celui des filles.

Les résultats de treize années (1815-1827) ont donné, pour le
nombre des enfants naturels, 122404, et pour celui des garçons,
62259.

Le quatrième problème (n° 82) donnera

p = 0,50847 + 0.0,002021
q = 0,49155 — 6. 0,002021.

e=0""d0’

1
—= 0,000256 = 4000 environ.

Par suite, d’après la formule du n° 87 :

dé 5 2 x
PP fe Ÿ (1 — 5.0,000092) de.

Soit n — 10000, nombre moyen des naissances annuelles illé-

gitimes à Paris; nous aurons à pie les formules (a”) et (b')

du n° 85 : ne
l'=—- = e dt + 72 44 eT
' nr

n +92 D a

1-2 nr

n
2 ST 2 pla +)

| (191 )
Pour faciliter les calculs, posons
1
0,00847 + 6 .0,002021 — 5 æ;

et nous-aurons

| Por 1 os"
d'où
à <Æ À 4 1+a n +
RE — ——— 1]. (1 — où) + —1 “eu d + «,
2 D = 9

à Lee 1
en négligeant les termes de l'ordre .
Si nous faisons
n +1
2

d'où
8 — 0,1979 + 0. 0,2858,
nous trouverons :

à peu prés;

l
Van

d’où

l co  No Las 28
Ti Ze [ TER ire . nr e se AE Ê V2m+1)
V7 VOn V/x nT
ESS :
. Â — —

= A e dt + _ (ve — =

0 | »— 8?
co Ce e
Ê f e FËdt + -——, en changeant t en Gt.

qui V'Onr

1

On aura donc

1 È ER OR ne : 1
DR SRE (E eE Edit + - —) ee” (1— &.0,0000992) do
4 7 (2 V7 re. V 2n7
— © 1

1 LE Co 2 > 1 e 9 >
— —- Fe ededt eE-(o.
vel D ‘ SFR
4 —œ

Orona

à _ ae
f mr OR GT, a— 11979; b-— 0,858;

TE
et
fra AE
4
— (1 + CAE
En posant
al (1)

= =, — —
V4 + be VA + b?

nous aurons

a2l2

ne adt 2 À
en = fera;

1

et comme ; > 4, on peut étendre la limite supérieure jusqu’ à © ;
de sorte de
1

 200
D
Vr. VOnx (1 + b°)
Au moyen de la Table de Kramp, on trouvera :
{ LA 1 4 x
P'=—0,0658 — je à pe près.

Ïl n’y a donc pas tout à fait 15 à parier contre 1 qu'à Paris le
nombre des naissances annuelles illégitimes des garcons excédera
celui des filles.

Remarque. La probabilité que dans un intervalle de treize ans
le nombre des naissances féminines illégitimes exeédera au moins
une fois celui des maseulines est

O1 | RO

Q—1— (1 —PY5= 1 — (0,9562)5— 0,494 —

88. Neuvième PROBLÈME. Déterminer la probabilité P que la
supériorité du nombre des naissances masculines sur les fémi-
nines se maintiendra pendant ÿ années.

(195 ).
Sozurion. Soit p le nombre observé des naissances masculines ;
q celui des féminines ; 2n celui des naissances annuelles.

x la probabilité de la naissance d’un garçon; 1 — x, d’une
fille ; et soit, pour une valeur déterminée de x :

y’ la probabilité de la naissance de p garçons et de q filles;

z la probabilité qu'après un an le nombre des naissances

\ masculines surpassera celui des féminines ;

z' la probabilité que cette supériorité se maintiendra pendant
i années.

La probabilité demandée sera, pour toutes les valeurs possi-

bles de x :
| ['ay'dx

PE ——
J y'dx
0

Si nous appelons c le coefficient du terme y = x? (1 — x)’ du
développement de (x + 1 — x)”*, nous aurons y = cy, et par

suite
ANNE
CR z'ydx

0
pe
10 ydx
0
Pour déterminer z, nous n’aurons qu'à changer, dans la for-
mule (A) du cinquième problème (n° 85) p en q,qenp—x,u
en n— 1|,n en 2n, ce qui donnera :

1 2
Li gr ENT Re MTEESS
(n + 1) (n + 2). (92n —1 Mpuse
Pt Dar À:
ou bien (n° 85):
Ca u"—! ’

Vu No
ee 10!
I 2n-+-1
1 (L + u)

EUSR

Si nous posons

1 —Ss 4
n= AUOD CS —
SEE

2
A+

#

soie 1 — ,
aux limites 0, => de répondront celles 1, x et 0 de s; de
sorte que nous aurons

f eue SET

/ ie (4 — s)" "ds
0

Dérivons, en observant que le dénominateur est constant;
nous trouverons

dz x" "(1 — x)! dz : NE UE)
dm s" ( l s)ire ds À HE f° s" s) anus ?
dz x"! (1 — ia _dz dz n —(2n —1)x

zdx Jns (1 — st fe San zdx x (x — 1)
ù

Si nous posons Ÿ = z'y — z'x° (1 —- x)", l'expression de P sera

[Ya

ie
fl ydx D
0

Appelons a’ la valeur de x qui rend Y maximum; a celle qui
rend y maximum; le deuxième problème (n° 77) donne :

foudr x; V'r vs; ['ydx —}}. V/rv,.
0 0

et, par conséquent
Ya Var

Ya Va

N
P — _ —
D

89. Calcul de N. Pour déterminer sa valeur, nous avons
d'abord à chercher celles de a’, z,, v

a*

(195)

, dy. :
1°. Calcul de a. De — 0 on tire, en changeant x en a:

d ]
0—pz (1—a)+ ia (1 — a) Le —quz— RO (=) A

do a” 4Â1— a

pp. dat
= — + a — — À

/

a NS A =sy AS UU :
û

ce qui donne
; p ia "+! ({ AE a)"

SE A Gt
PIE (p+qgf s'(A—s) tds
0

Soit o — s" (1 — s)"", « la valeur de s qui rend o maximum,

e La T1 à] 1 I \ à!

c, ce maximum, « étant égal à — —; à peu près, c,, et, à
plus forte raison, c est très-petit; on aura donc :

a' x 1 . =
s"(1— s)"ds = f s" (A —s)" dd —0,V/7 0.
0 c 0
Or

GE (S — à) Y[A+B( (s — a) )+.],

expression dans laquelle A=— = = ei. (1979);
4
v’A
Lo—nl.s+{(n—-1)1.(1 —s),
et, par suite, are :

y —=

a’

| NS 4
Leur NZ sd :
non —1) Vr V7
s’ (1 Sue ds — ( ) ne

— ?)
(2n — 1 NE Ur

0

de sorte que la valeur de a’ deviendra :

mo ni __n!'\n 92n ee
ie D nant. 4
p+q (p + V7
Posons
nets (2)
p+g

sera une quantité très-petite.

(196)
Calcul de p. Substituons dans (1) à a' sa valeur (2) :

(p+qVr

gt here) Et eve

A me A A A A en A TP ER EU
(p + gr

d'où, en négligeant les puissances de p :

oo à UE ie
1. BE = I. P p + q pe I Ie x
(p + qÿV/r

et, par conséquent,

2
LP re
PiEtig MHREMCEN S APEGEEIE
SN AB EURE TT

— À V/n (p x qÿ VE 00 (a)

2° Culcul de z,.. Nous avons

JA s" (1 RE s)"— ds Ji s" s)"— ‘ds
CPS RE SUR CE ARR UE ORNE
Né s"(1— 5)" tds J's (A

ô 0

En =

Posons

Si dans la formule (B) du troisième problème nous faisons

p=n, q—=n—1À,
nous trouverons

5” sa (A rs s)"—‘ds de ne (2n _— 1} ad
Ds s’(1 a) Gris mie 9n (n 4 À

0

(A7)
et par suite
1
(1 — ss)" td ————
D s” ( s)"ds 1 (2n — 1) 1 _Cn15 ge
RME ON te RE opera e 2(n—1) do
LR s"(1— s)"—tds Ti 2n(n —1) 10

0 2n—1

1 (2n — 1} æ _ (np
MEN LS ER AL OR e 2n(n—1) do à
V7 2n(n—1)

ñn
2n—1

à cause de la valeur très-petite de l'expression sous le signe ne
pour 0 — 1.
Si nous faisons enfin
CENT AT
DA EU) ES
d'où
2n(n— 1) p

= ———— + ÿ ;
(2n — 1} pP+q 2n —1

2 LAN REC em
NE DP+g p+gq' + Qn— 1],

nous aurons
(| es
Zu = À — —— er dt.
: e 7

5° Calcul dev. Nous aurons, en procédant comme au n° 79 :

Y= arr (ax) = Yue À,
ET] Yu—ILY—(x — a} [A + B(x — a’) + …],

où
A ().
dx Ja
Or
LY=plz+ilz+ql(i—x);
d'où
PAT p i dz ee) CH
2 dx Qx 2 xd zdx 2(1— x)"
et |
1 4
Qi = > = ——————————— —— —— ——————— .

p irdz CNRC At q |
— | — — | — ES
2a/° ee Dr 2 el 2 (1 — a} )

(198 )

Substituant les valeurs trouvées dans l'expression de N :

7 7p+1 ï, qe 1\g+ 1
N—Y,vV/r— A RUN VI ONE ( a’) V2r

VE as uw} que ia ?(1—a') EE _. | |

Mais nous avons trouvé (n° 89) :

donc

ee

zdæ an ia (1 — a)

_. ne
ze

de sorte que :

(=) n(2n—1)a p(p+g)n(n—1).

zdxls a(1—"«) AHOU = GP ©

art zi, (1 — a'YHV/9r

VE PA / hat e Lun D CEE E)

pq 0

- Il nous reste à déterminer g/?" (1 — a)", qui est égal à :

? D q
a'?*! (1 —. je — | + ) ei sJu 1 — a’ FI 5
ID 5e 0 |

Pat
or

nr q p |
oe —— (1 pe PES Tr ET
PS PE d

P
d'où

PA AIRE p+gq
L ar (1— a) =]. (2 (1) —(p + qŸp°
Pi RS Po He 2pq

RARE
PQ NES

en négligeant les puissances supérieures de 1.

(199 )
Nous aurons par suite

art (1 Hroh a'ÿ+! Es pq D 1 | q ri

(p+q) \p+ q/°\p+q ;
ei

rs),
RE Pet DEC)

(p+ gŸfp + q
À 2
| V/hi+? + a L'— q) —p| + —— “à [Et > + on |+{
90. Calcul de D. Nous avons (n° 79) :
D— Ja ‘ydx = y, Vr.
0

Or dans le problème 2 (n° 79) nous avons trouvé :

yet
Va V pq
(p+q) V/p + q

a

et, par conséquent,

nel A VV

_ (r+9)
N EE

P— — —

pee Es

ExemPze. Soit pour 1784, à Paris :

(C)

n — 963675; p — 5953586; q— 371555; 1 — 100.

La formule (a) donne p; (b) donne z, et enfin (c) donne
P=—0;782.

Il y avait donc ainsi, à la fin de 1784, près de He à parier
contre un que dans l’espace d’un siècle le nombre des naissances

des garcons l’emporterait chaque année, à Paris, sur celui des.
filles.

14

( 200 )

CHAPITRE VI.

THÉORÈME INVERSE DE BERNOUILLI OU THÉORÈME DE BAYES. ,

94. Si x et 1 — x désignent les probabilités inconnues de deux
événements contraires À et B, et qu'après un très-grand nombre
= p+q d'épreuves l'événement À soit arrivé p fois, l'événe-
ment B,q fois, on aura la probabilité :

2 ne es
nu dt

que x est compris entre
2
P 2e (@ V/# :
& ue
DémonsrraTion. Si nous posons y —%” (1 — x)", la probabilité
de l'hypothèse d’une valeur de x sera (n° 70) :
ydx
Jude
0

et la probabilité P que la valeur de x est comprise entre a et b

sera :
ur
P — © —

[ydx

0

EI Z

Calcul de N. Soit x—=?T+2, et a!, b' les limites de z répon-
dant à celles a, b de x; nous aurons :

Pi ft p q
N—f'yds ET f ( LE i_#) dz.
a Pr a! le d

(201 )

Développons les facteurs sous le signe DE :

z\P pz RUERATE
£ ROETAN JR

p
re | RS Er cm
eg
d'où
( b 1 1 1 4 4
Ne note Gers)
E-
Fe
Posons
2,2 il 1 572
= =i où À = \
d'où AND EG 2pq
où
5
& — / = ,
E
et (Son
EN EAU EE TS HE (1)
l be

et désignons par — c et + c les limites de t qui répondent à celles

a! et b! de z, ou a et b de x; nous aurons à déterminer ces der-
nières en fonction de c.

L'expression de N deviendra par la substitution des valeurs
preédentes

P 4 (p=9)
REV far va
Pyy1l Bai
PT us celis k (a —p)t = cu. |

kV/2xpq
‘à — DT
7 ny a.
en négligeant les termes de l'ordre = =

Calcul de D. Appelons !— VE à OM VÆ les limites de t
correspondant à celles et 0 de : x; NOUS aurons :

oi »
Def gr = V/# P9 1 ed;

FRE

(202)

pourvu que let l’ soient supérieurs à 4 en valeur absolue, on
pourra étendre ces limites jusqu'à Æ ; et l'on aura :

Par suite

probabilité que x est compris entre a et b, ou, d’après la for-
mule (a), entre

5
MN CAE C.Q.F. D.

THÉORÈME DE LAPLACE SUR LA PROBABILITÉ DES RÉSULTATS
MOYENS DES OBSERVATIONS.

99. Les valeurs observées en p + pi+:-+p—1# épreuves
étant p fois w, p1 fois W:, ete., p: fois w,, le résultat moyen appro-
ché des observations sera

PO + PU + +p;W, Zpiw;
rue SEE
et Six, Xy .… x, désignent les probabilités inconnues des événements

exclusifs W, W1 … W;, de telle sorte que

L++:.+L—= |,
Pexpression
Ù —= WT + Wal + à + W,X; —= WT;

sera le résultat moyen vrai des observations ; cela posé, il y aura
une probabilité

que lPécart vV—m sera compris entre les limites

€ A À A RTS AIRE
+ =V95p, (w;— m}
lé

ou

EE
EU # F

u, p, … p, étant de grands nombres du même ordre.

Premier cas. — Beux événements.

Déuonsrrarion. Dans ce cas les données précédentes se ré-

duisent à
PU + Piwi
PEHD=e M=—————,; LH; v—=wrt+Uux.
H

Soit Æ le coefficient de x’x?! dans le développement du binôme
(x+ x); la probabilité que l'événement w arrive p fois, ws,
q fois sera

y kr = ka (1— x)";

VD — d

> 1— x par :

W—W)

Ù —W;

W—W;

Ù — W,\?P | Ww — v \?1
y == k ———— —————— ,
w—w,) \w—ux
Supposons w, > w; toutes les valeurs de v seront comprises

entre w et w,, et la probabilité d’une valeur de v sera par consé-
quent :

ou, en remplaçant x par

0 — u3\? [ w— 0 \?:
ke F— —) dv
ao— wi] \w—w: oem oem) dun
[+ =) (2 )" d0 ['(v—w) (vu — w}r: du
à w— ui] \w—w,

et par suite, la probabilité P, que v est compris entre a et b, sera :

he (ou — wi} (w — vw}: dv N
PE -

PRES w,)P (a — v}": dv D

w

93. Caicul de N. Posons avec Laplace

Pw +pii
DÆNREe———— ==

è
os

174

(204 )

d'où DU + Dis
dv — dz; AR ie, ARR tt
(2

- éeart entre la valeur vraie et la valeur moyenne; et soient &, 6
les limites de z qui répondent à celles a, b de x; nous aurons :

N = 0 (ou — 0} (ao — vw}: dv

PnP1 » B z D 1
— (0 — w,)* (NI FA L: a ——.| £ e —— | D
ml AUS p (wù —w)) p,(w —w)

Développons les facteurs sous le signe ne -

Z p 1. 4 1222 1 1525
L: | et jé p (w— ne W—W Ep we)
P W— VW:

Z PE TE RAR EU U7 A 22 1 ju3z3
Ê pl Ass Nr AESES AN Re
À © | = pi(w—wi) —@ vw 2pi(w—wi® 3p? (ww)

pilw—w)1 | à

Substituant dans l'expression de N, nous aurons :

1 1575
som fau 6e

et Si nous posons

2 (w — w,)

D A ne
si enr Di:

d'où

2
pi
et que nous désignions par — c, c les limites de £ qui répondent
à celles «, 6 de z, nous pourrons écrire, en supprimant les fac-
teurs qui sortiront du signe 1 , parce qu'ils se trouveront égale-
ment dans D :

€ 4 (p1 =») A
N = dite". e5vVzrm
—C

0 AD ET)
= fra |i+Pr
E 5 V2pppr

( 205 )

Les SANS entre parenthèses sont au moins de l'ordre =: on
a done, à cet ordre près :

N— /fle-"di 9 f'e-"dt.
Fe (A fe t

94. Calcul de D. Soient !’, l les limites de £ qui répondent à

celles w, w, de v :
D =, CHE

l'
Mais à

pW+piw: _ P(WI—w)
D —

wL
b P+P1 2
D LÉDOntTent 7 à ,
. ao — PH PiwI pi (ww)
P+Pb: 72
et par suite, puisque
1 —
eve
ee Ve F 1 fe
mn emenr OA L — isiie
3 — V” a PRENT
= (wo w) PP: ri VE ve

il s'ensuit que / et l/ sont de trés-grands nombres de l'ordre V/p,
et qu’on pourra les remplacer par +, ce qui donnera

D=V/7.

Par conséquent,
(4
és dt;

probabilité que v est compris entre a et b.
Mais nous avons désigné par — c et c les limites correspon-
dantes de £, et comme

9 W — Ww,)
en

3

[20
il en résulte que

a—m—cV ;
b—m +cV
et que

Le S e7 gg

( 206 )
est la probabilité que v est compris entre

pw + pau ie \ # (20 — Wa):

p + Pa p°

ou que l'écart v — m” est compris entre
PA PAR RS PRE A
me : V2ip Qo— im) + pi (ui — m}°} ;

en effet, la fraction 22:11}

2 9 k na 2 ie à
PD1 + PaP (w He w} = p [ 1 (a = +p Ê (w A
Ë be

se transforme aisément en :

2

le

+

(ER 2 LR ME 2
js PET D ne Ë pe re

2 2
=; [ro ie pw + Pet] on [ro pu? |
F5 FE

PREMIÈRE REMARQUE. Si

w—= A, w= O0,

on a
»]
= LAN AEN DU 508
P + Pi
alors

2 ce
P—— f e°dt
TA
est la probabilité que x est compris entre

AURA Nenpe D
p + (p+p)

ce qui est le théorème inverse de Bernouilli.

DEuxiÈME REMARQUE. 1° Si c, et par suite P, restent constants,
les limites se resserreront à mesure que x augmente.

2 Si les limites 0) restent constantes, ce qui exige
que c augmente avec u., on voitique P s'approche de 1 à mesure
que x augmente.

( 207 )

Deuxième cas. — rois événements.

95. M. Bienaymé a démontré ce théorème directement, et de
la manière la plus générale, dans le tome V des Mémoires des
savants étrangers.

Nous exposerons sa démonstration pour le cas de trois événe-
ments observés.

Dans ce cas nous avons

0 = VX + Wii + Wola

Potepe
LC + Xi + X—=]1;

x et x, seront des fonctions de v et de %.
Nous supposerons w < w,< w,, de sorte que toutes les valeurs
possibles de v seront comprises entre w et wo.
Soit k le coeflicient du terme en x’x?'x?° dans le développement
du polynôme /
(a + 2% + 9);

la probabilité que w arrive p fois, w1, p, fois, w2, p, fois, sera,
dans l'hypothèse d'une valeur certaine de v:

DyrD1n9rP2
kart

et par suite la probabilité de l'hypothèse d’une valeur de v sera
(n° 69)
GARE

wa 2
1 £ ©
ZaxPxPixe?

w

et la probabilité que v est compris entre a et b sera

b
ZxPxPixPe

«a

w2

Zita tar? \
vw

Pour passer au cas de la continuité, multiplions par dx, et dv,

[

( 208 )

et intégrons en sous-entendant les limites relatives à x, : nous

aurons :
alxlat2dxdv
on HN
ne “ararixP2ds dv "D
Posons
4 2
Rene une de. dE
p l p
PU + Pau + Pas
= +;
ee

nous aurons :

TH Rite 0, WZ + Wiz + Wors = U;
d'où
U — 22 (We — W:) U — 23 (We — w:)
nee Nc emmr
w — w, Us — W
et si nous désignons par a’, b’ les limites de w qui répondent à

celles a, b de v, nous aurons l'expression suivante de N.
96. Calcul de N.

\

PnP1ln,P2 Pi p2
PRE ut) (a 2) fe ane,
Pi Pe

ou en développant comme plus haut (n° .

ph? P1MP2 G Le
nr a ec dudzse"” cite (ÈS) Es) fe

et, éliminant z, et z :

2 — 4e ie]

p? P1»P2
PRÈRE [I audess = or lE OL EE

a’ LE = EME C£
—2uz9 PAST 422 2) ue (2 He +) cu
p1 PT
}

Faisons pour abrèger

x

( 209 )

N s'écrira :

PpPippa pr Re [az-2f RU [ei AA au]
re dudz,e 2{(w—w , }? FU SAT e 2{w wi) ABUS ( )

?

et si nous posons

/
y —= à = (a, —= = ;
(a —w,)V2 A
d’où
ds DB — w)V9
à — (ao w,) V A ETES dz> — (ao wi) dy ;
uA A LA

nous aurons :

N=— a a er 4? ne rc ee a)
le

Or le facteur

LAN EI 3 à
e° Her) = PE |
5 \p
5 v—w,) (1/2) 1 A (w—w,) (1/2)
pe me 2, lof
9 pir’A 5° à A°

peut être STE comme ne différant de 1 que de quantités de

l'ordre = = QE Le = ju les valeurs de A et de y, qui sont respec-

tivement 1e l'ordre = et Ve.

Lg ER
Il résulte également de ceci qu'on peut étendre les limites
de y, quelles qu'elles soient, de —— œ jusqu'à + , et par suite
fdye Ÿ étant égal à V/T, on aura

PpPipre (av — 14 9 2 Ca Re
NE RAA pi pe (ao cl 122 Vo due 2A2 (w—wi)2 !
pl vA

CA?—B?

Développons la fraction mp

Nous avons posé

A° — (He sr oi brel Te A MAÉ WU Ÿ : C— u° È ua = ne Pimalee male
Petra

(WW) ne U—Po (= Cet]
PPiPa PP: PPa p Pi

(20)

De plus
HALLE [= w) . (ae — 1) LS (as — à) (uw — …
DAS p PP
pre = w) D (us — w,) Fe (os vw) + (uw) — (ur, — =
pi p° PP
HU Fu: w) (p + bi) ol (ace — wŸ (p + re] a ü (av, — w}?
PP: Pi | p PPa
(7 FT pa) u° (we—w) (ae re w,) w°
nee,
PP: Pi p PPi
et si nous faisons
CU V He 2
2pp1p2A°
ot 1® A2 M
d’où Vue / BE ; du—=diV” ;

en prenant — c et c pour les limites de £ qui répondent à celles
a et d de v, nous aurons

N— pp: es av = Ê Or 2 f° eEdt.
22 À [22

2

97. Calcul de D. En appelant l’ et ! les limites de e qui ré-
pondent à celles w et w, de v, nous aurons

D P'PEDEE 20 — va
NU ER

DDC
FRERE — 1/97 f' e dt.
Fe v

Comme aux limites w et w, de v, répondent celles

PU + Pis + Pole p (We — vu) + pa (ac à — U)
F F
Ù + DIU + Paw à (We — 1w0) + pale — w
et NME Piwi + Poe ET EN 2 ) + po (te La
u p

il en résulte que les limites correspondantes let / de f seront

pme) + (=), à
V'2ppip2A°

(BA)
p (2 — w) + pa (we — wi) De

ja = Emme ere te

V2pp1p.4°

ces limites étant de l’ordre V/y, on peut les étendre de — à
+ do , et alors

1 e *dt = f" ed =V/r

A AE

de sorte qu’en divisant N par D nous obtiendrons

À C D . 9 (4 2
P—— f/ e"di=—— en Ob
V7 f V7 Ji
probabilité que v est compris entre (n° 95 et 96) :

PU + Pad + Dee in V Ip PaP2A°

p n°
Il nous reste à donner à ces limites l'expression formulée dans
l'énoncé.
En remplaçant A? par sa valeur, nous aurons :

V 2pPipaA”
! p°
2)

2 N
= V: | L(p+ pipe) pp (ou) + (p + pi+ pa) pipe (0) + (p + pi + Da) (ue wo)

T V= Dpa (ou) + ppi (ww) + ppp) + pps (wa) + pipa(toi—102)
+ pion) -+pfp (a0s—an) + ppipaline 0) + pp (ur: — 1) }
aù V/= p [pal —wv,) + pa(ao —uw) | — 2ppipa (w— 0) (uw —w:) + ppape(w —w)
+ if Qi—w)+ palu—w) | — 2ppipi (roi) (use) + pipe Wu)
AE [p (ww) + pi(w vu) | au 2ppaps(Ws —w) (WW) + PpaPa(We— wY |
| —\/- | p [pa(w—u) + pe (wo) À + pi [p (oi — vw) + ps (us — vw) f

—

on pa [P: (wa— w) ax Pa (Ws— w)f + LaTre (av — Wir VWi— Vo r w,—w) | e

/

(212)

Le dernier terme est nul, chacun des premiers peut se mettre
sous une forme plus simple de la manière suivante :

p [pa(w—e,) + pe (0 un) = p [uro — (pro + pos pau)

— pu (w—m);

et de même des autres; de sorte que le radical se réduit à

1
me. 2 À p (w— mm) +-p, (us — m) + ps (us —m)},
LL
ou
2 PU + pui + pau PU + Pis + Patos l ) |
= TE | Go.
We ke be
Remarque. 1° Si c, et par suite P, sont constants, les limites
se resserreront de plus en plus à mesure que s augmente;
2° Si les limites restent constantes, ce qui exige que c aug-
mente avec g, on voit que P approche de 1 à mesure que
augmente.

+ \ CHAPITRE VII.

THÉORIE DES ERREURS DES OBSERVATIONS.

98. Nous admettrons que les causes des erreurs constantes
sont éliminées.

Dans cette hypothèse, les erreurs fortuites existant seules, il
n’y à pas de raison pour qu’une erreur positive + @ ait plus de
chance que l'erreur négative — a.

Nous supposerons que les observations sont faites par les meil-
leures méthodes, au moyen des instruments les plus parfaits, et
avec la plus grande habileté possible, de sorte que les erreurs
des observations seront des quantités très-faibles.

La théorie des erreurs a pour objet de donner des règles pour
obtenir les résultats les plus avantageux, et les moyens d'appré-
cier la précision de ces résultats.

Le nombre des observations est toujours supposé très-grand.

La probabilité d’une erreur est une fonction de cette erreur,
el sera une quantité infiniment petite, parce que le nombre des
chances est infiniment grand.

Si p, désigne la probabilité d’une erreur x, on aura done

D.— (x) dr. PS RCE ROUES ETC WTA EU (1)

L'équation y—vx est celle de la courbe de probabilité des
erreurs.

On doit admettre :

1° Que o (x) est très-petit quand x est un peu grand;

2° Que ® (x) est un maximum quand x est un minimum, ou
quand x = 0;

9° Quep(—x)—9 (x);

4° Que la valeur la plus avantageuse du résultat d’un grand
nombre d'observations est celle que l’on déduit de leur moyenne
arithmétique. |

(24).

Car si dans un grand nombre y d'observations on trouve que
l'observation w, a lieu p, fois, …, l'observation w,, p, fois, les

A

probabilités des valeurs éventuelles à attendre seront (n°91) :

Fan PUR
F P

et ces probabilités seront d'autant plus exactes que y sera plus
grand. On aura donc pour la valeur à espérer :

Pr NT mini rente

2 Le Li 74

et cette valeur sera la plus avantageuse, puisque, L. étant très-
grand, les erreurs positives se produiront à peu près aussi fré-
quemment que les négatives, de sorte que ces erreurs se com-
penseront, et que #» différera peu de la valeur exacte.

Nous subdiviserons la théorie des erreurs de la manière sui-
vante :

$ I. Expression de la probabilité d’une erreur x.

S IL. Calcul de la valeur la plus avantageuse d’une inconnue
à déduire de plusieurs observations.

S IL. Calcul de la valeur d’une inconnue, lorsqu'une fonction
de cette inconnue est donnée par un grand nombre d'obser-
vations.

SIV. Calcul de plusieurs inconnues, lorsqu'une fonction de
ces inconnues est donnée par un grand nombre d'observations.

$ Ier. — EXPRESSION DE LA PROBABILITÉ DE LA VALEUR x.

99. TaéorÈème. Les erreurs positives pouvant se produire avec
la même facilité que les erreurs régulières de même valeur absolue,
si nous désignons par p, la probabilité d’une erreur x, par h une
constante indéterminée dépendant du genre des observations, je

.dis qu’on aura
l
= - COR UMR + à 0e RDA

(25)

PREMIÈRE DÉMONSTRATION (par le binôme). Si p et q désignent
les probabilités de A et B, les termes du binôme (p + g)“ seront
les probabilités des diverses combinaisons avec répétition de A
et B en y épreuves. Soit D la combinaison la plus possible : elle
aura pour probabilité le plus grand terme G du binôme, dont la
valeur est (n° 51)

CR eh Re cn

Les !”* termes, avant et après G, du binôme (p + q)“ seront,
en faisant m = pp, n—= pq, (n° 51):

(LE 5+ie + Bi 5-5 ne

Gr = Ge UC ROUTE NO: 6n2 5n3

1 1 1 1 1
12—21 13-22 VE 3 +1 18422 ULB
2 cl 3! in l Lo PAU

"+

Cr Ge _ 2m 6m? 3m3 2m 6n2 3n5

Quand p — q — }> on a par les formules (2) et (3) :

Gy_r —= G'e £ , Gr == G'e

(8)

donc
Gy: ET Gy+r.

La plus grande probabilité G’ est celle d’un écart nul; G{_, est
la probabilité d’un écart !, G;,, celle d’un écart — L.

Pour passer au cas de la continuité, nous devons faire w infi-
niment grand, et nous pourrons poser

|
: —— = hdx, h étant fini,
F
2
ldx—=x, l'étant infiniment grand.
7 45

(216)

Les formules (x) et (B) deviennent par là :

G——— dx, - probabilité d'un écart nul.

Vz

Gx_ — Ce CES » » x.

Actuellement si A et B sont les causes des erreurs positives
et des négatives, agissant avec une même facilité, de sorte que
Di = : > les combinaisons de A et B dans un nombre infini
d'épreuves donneront naissance à tous les écarts possibles : les
probabilités de ces combinaisons étant en même temps celles des
écarts, il est clair que la probabilité p, d’un écart ou d’une
erreur x sera

D ï
D — Gene enitdx

T

100. DEuxIÈME DÉMONSTRATION (d’après Laplace et Encke).
Soient

Lis La L les erreurs des observations
Was Wa se Wy 5

PL; PXo …, 0x, les probabilités de ces erreurs considérées comme
certaines ; la probabilité que ces erreurs auront lieu simultané-
ment sera

DRE UE

et la probabilité de l’une quelconque’ x de ces valeurs x, x,
sera

ydx QT » Pa «. PO
ne 100 0 0
sl ydæx on Pi « ELo ee PUR

— € TU

Là J Là A 1
en posant le dénominateur égal à &:
Si chacune des observations w, … w, n'arrive qu'une fois en
u épreuves, l'observation la plus avantageuse sera

uen + Va + Vy

a — ;
le

Wi — à + Wo— a+ ce + Wy — a = 0.

(217)
Les erreurs déduites de l'observation seront :
DU —0Q; VU — 3 Ly = Wy —

Pour ces valeurs les plus probables des erreurs, l'expression p,
doit devenir un maximum :

Y = PLa. PLa « PEy — MAX.

L'y = px + 1 pme + + + LL ox, = max.
Écrivons pour abréger

d 1. CH
dx,

Cr COR
nous devrons, avoir :
PU + 9 Lot Hot 0,
ou
| ‘(w,— a !(ws— a
(a, — a)? ( 1 AA ( 2 )
W— à Wa — à Wu — à
Pour que cette relation puisse subsister simultanément avec
la relation (4), il faut que :
g (wi —a) _ s'(w— a)

= — — etc. — const. ;
VW — à VW: — à

ou, généralement, que

æ
Re net, 2 k;

ou

d 1. ox

DUR NC
d'où en intégrant :
£ — kx2
pl —= CE

Comme ox doit être un maximum pour & = 0, il faut que k
soit négatif; posons donc

nous aurons :

(218)

De plus :
a “e 9,0 C [>] €
Je exdx — À —e ex Re e"dt DE Ve
He h, b
d'où c — —_ et par suite
tes WT: P ) :
NÉ ee ee 4 C

101. Premier coroLLaiRE. La probabilité P que x est compris
entre a et b est

P — — à el] — ER UN Calle

V7 ah

et par suite, la ble que x est compris entre Æ a sera

por nr 6)
=) ae e RTE

—Qh *

Cette valeur exprime aussi le nombre des erreurs comprises
entre 0 et a, quand on prend pour unité le nombre total D de
toutes les erreurs possibles; car toutes les erreurs étant suppo-
sées également possibles, la probabilité que l'erreur x est une
de celles qui sont comprises entre 0 et « sera

d'où

® ah
N— — e Fdt XD—=6.D.
one

Exempze. Soit D — 1000, et À — 1, il y aura entre 0 et 0,5;
0 et 1,0; 0 et 2,0 respectivement 10000 = 520 ; — 840 ; — 995
erreurs tant positives que négatives ; donc

de O0 à 0,5 ilyena 520 À
5AA,0 » 840 — 520 — 390
de 4,0 à 2,0 » 995 — 840 — 155, etc.

102. Deuxième coroLLAIRE. Cherchons la limite supérieure p

(219)

qui correspond à P — +. Nous aurons à déterminer la valeur
de p pour laquelle

EE TN ent dt, D ES An ANA NEC A PTE : (7)
1
feat —= " x ;

0

d'où, en développant :
M D 1
teste
ne modo mirage

on en déduira p — 0,476956.
105. Troisième coroLLaiREe. Cherchons la valeur r de a qui
donne P —+, dans

PL NE RCE TS

En faisant P= {; a = 7 et h—= xt, nous aurons

| D ir
—— jf en ot
VA

T6

Nous en conelurons, par la formule (7), que

OR OUR —

(a)
En
a
ES
.
ns
=)
=

r se nomme l'erreur probable.
En changeant dans la formule (8) k en L elle devient :

2 P; N
p—= f e di = — ;
x. D

0

9 ge ‘
2 a Et — D 0 CARE | . . (10)
N D X a L e D < p

Exempze. Soit

d'où

r—=0,2657; D— 470;
a — 0/1 ; 0!2; 0/3; …

a
——0,5792; 0,7584; 1,1376;…

( 220 )
p étant égal à 0,476956, on trouve :

r

9 £ ‘) —0,20186; 0,59102, 0,35705; …
donc
entre 0,0 et 0,1 on a N—0,20186 X 470 — 95 erreurs,
» D,1et0,2 » N—0,18916X470—89 »
» 0,2et0,35 » N—0,16605X470—78 »

104. QUuATRIÈME coROLLAIRE. La quantité À est appelée, par
Gauss, mesure de précision, par Laplace, poids des observations.
La probabilité des erreurs x étant en effet
h se
D CAL
V7
si x reste le même, P, décroît avec h ; l'observation qui est affectée
de l'erreur x devient d'autant plus précise ou a d'autant plus de
poids que k est plus grand.
105. Cinquième corozLaiRe. La probalité de x, dans un genre
d'observations caractérisé par L étant
pi ie CAES
LT °
T
celle de x’, dans un autre genre d'observations caractérisé par h/,

étant
Rider,
e— X

Py = 2
V7

si l’on a P,—P,,, on devra avoir

hx—hx, out h:h=7%x:x;

donc lorsque deux erreurs sont également probables, elles sont
inversement proportionnelles aux mesures de précision des obser-
vations.

En outre comme

on en conclut

(221 )
done les erreurs probables sont inversement proportionnelles aux
mesures de précision.
106. Sixième coroLLAIRE. Dans un même genre d'observations,

on a, entre les probabilités de deux erreurs x et x’, la RrOporton
(voir form. (a), n° 100).

DD ere enr
Soit x’ — 0; on aura :

PP e"#:1;

et réciproquement, si dans un genre d'observations, on a
BAD en le

on aura À —V/m dans ee genre d'observations.
107. SerrTièmEe coroLLaire. Construction de la courbe de proba-
bilité
y re enr?
Te

Pour construire cette courbe, il faut connaître k; et pour cela,
il faut connaitre, ou la valeur

y = k qui répond à une valeur x = a de x;
ou la valeur
y TZ G » » LT = 0 »
ou la valeur
| = L » » TPM Pi.

On peut encore déterminer k si l’on connaît r, puisque k —?;
ou si l'on connait le rapport

ÉE ee? «
Po
= où À — V'm.
! Propriétés de la courbe. Ie —= — 0 donne
h
x—0 et y——— max.

7

Le RTE de la courbe est donc sur l'axe des y à une dis-
tance = =. la courbe est symétrique par rapport à cet axe.

d2
Do 7 — () donne

chaque moitié de la courbe a donc un point d’inflexion.

3° Pourx— on a y — 0: l'axe des x est donc une asymp-
tote.

4° Les ordonnées diminuent rapidement quand x devient un
peu grand.

En prenant h — 1, on trouve

pour x —5, y — 0,0000610,
» x—D, y — 0,000000000009.

$ IL DÉTERMINATION DES LIMITES DE » ET DE 7 DANS UN GENRE
D'OBSERVATIONS CARACTÉRISÉ PAR CES VALEURS.

108. 1° Détermination des limites probables de h. Soit a la va-
leur moyenne d'un grand nombre d’observatious w, … w, d'une
même Inconnue x.

On pourra concevoir une erreur moyenne m telle que chacune
des erreurs vraies %—W,—E€ … X—w,y—E€, puisse être rem-
placée par cette erreur moyenne, de sorte que la probabilité du
concours de toutes les erreurs différentes soit la même que la
probabilité du concours des & erreurs égales à #.

Nous donnerons plus bas le moyen de calculer m à l’aide des
erreurs fournies par l'observation; nous pourrons done supposer
Connu.

La probabilité d'une erreur 2 étant

x

h
P,—=— 6e "dm,
T

celle du concours de y: erreurs »# sera

ht
(/7)”

P —

en an)

( 295 )

Si À se change en h+A et P en P’, on aura :

fi, LS
pri)" ) CR ee

(/7)*

d’où

SJ 2m? À — pm? À?
Et VENDS —24him2i— m2 &

ne
et,
P A

1. = = I. £ + sl — Auhm°a — ina?

il
= Ê — >plomt) A—pY e + mé) ;

en négligeant les puissances supérieures de A.
. . . P’ . ’
Pour que P devienne un maximum, il faut que I. + soit né-
gatif, donc que

(I
Ê ouh? — 0; d’où h—

h m V2
Posant cette valeur égale à h,, nous aurons
1
m — — )
à h V2
et
p' mA? P’ _ BA
Os FI
P IE P

[P] est la probabilité qui répond à la valeur À, de h;
[P’] celle qui répond à la valeur A, + À de h.
La mesure de précision de [P’] est done

Hoe
Fa HA

!

et l'on peut écrire
h’ È
[P’] e = ep hEAÎTA 6
T

L'erreur probable R de À est par conséquent R = + Le ; c'est-

74

( 224 }

à-dire qu’on peut parier un contre un que h est compris entre
ho +R.
La valeur probable de À est comprise entre les limites

D) Aa

Ces limites deviennent, en remplaçant h, et R par leurs valeurs

ko
hi 1 Ep R — HR PAIREOS A RER
m V2 LOVE mV®
il  \
= a = HA (a)
mV/2 147 m V2 Ve

et la probabilité de ces limites est égale à 4.

109. 2° Détermination des limites probables de r, ou de l’erreur
probable d’une observation. Nous avons trouvé r — Ê; et Si nous
substituons à ses limites probables, nous aurons une proba-
bilité À que

ë <r< el
eu £ ++ : ( ne
mV2 Ve mV2 V’r
ou que,
V9 .m £ — = <pV2m ( M Le : LeN (0)
Ve V&

Calcul de m. Soient :, … e, les erreurs vraies des z observa-
tions w, … w, d'une inconnue x; les probabilités des erreurs

h ne
x — Un —& sont P:, — ai
TT

— h2€?
LE.

= ——

T

L = Wy—= Eu Ep

La probabilité du concours de ces erreurs sera donc
h! o (22
per Eng ONE
(/7)* à

et cette probabilité ne changera pas si l’on pose

es Hé, = UM,

; :
ou EE + HE
| BV ÉEse a UNS . . . : . (c)

ou si l’on fait

La formule (c) n'est pas propre au calcul de »; car on ne
connait pas les €, x étant inconnu; mais en prenant pour x sa
valeur la plus avantageuse

Wie + Wy

L = —4,
[e2

on pourra calculer ".
On posera à cet effet

Q— Wal Wy Eu; L—Q—E.
et comme
LENS ENRQUn Uy, en
il s’ensuivra :
UE E Eu EE;
d'où

4

S 9 Se 2 Le
26 + 22e + LE — 26 k
mais on a par définition Ze; — 0; donc

qe
. 12 2 Ê
26 HUE = Zi — pm.
1 1

Si nous posons £? =. nous aurons

où 0 es Me

110. Généralisation de la formule

RTE
P, Que — 2x2 dx ï
T
Dans la démonstration de cette formule, nous avons supposé
ë . . A D'OR | 3
que les observations w,...1w, avaient la même probabilité 2° C'esl-
à-dire la même précision. à

( 226 )

Mais si ces valeurs w,..w, se répètent respectivement p, …p,
fois, leurs probabilités ou leurs précisions seront respectivement

A EEE à DU Ne
Pb EPe PE + Da

dans ce cas la valeur la plus avantageuse ou la plus probable sera

NP EEE pur,

(42 2
Pa TD

ce qui donne l'équitation
Pi (teo) St SpA 0) OC A2)
La formule (5) du n° 100 s’écrit alors

Le PR Ce
pi (wi — a) nue Pa(wy — à).

= Et pour que ces deux équations aient lieu simultanément, 1l
faut que

pi (Ui — à) . (5)

Ps 1
UE A Mere
Ge Pia Pate Puy
d'où
2 Le
— =}, Ge Rene.
px

- La détermination de la constante donnera
RV/p
Fi = 5
Wen

d’où

h Hess
P,— gd = g-n8 y = ed,
V7 T

en posant AV/p —H.

Les géomètres allemands nomment la quantité p, le poids de x
ou de l'observation correspondante w.

Ce poids exprime le nombre de répétitions d’une même obser-

{ 3 , 5 p . li

- c’est le "ateur : qui indique

valion w; c'est le numérateur de la fraction ne I q
la probabilité approchée de w.

Done si est la mesure de précision d’une observation sim-

(227)

ple w, ou de son erreur x, H—hV/p sera celle de x lorsque
l'observation w s’est répétée p fois.
L'erreur probable R sera dans ce cas

r étant l'erreur probable d'une observation simple.

111. PREMIER COROLLAIRE. Pour deux séries d'observations du
même genre, c'est-à-dire pour lesquelles À est le même, on aura
H—hV/p; W—hVYy';

done
HOME D DIE

les poids sont proportionnels aux carrés des mesures de précision.
. Dans la même hypothèse, on a

PES PRES
ky/p° hV/p °
donc
RÉ RE oi 0

les poids sont inversement proportionnels aux carrés des erreurs
probables.

Enfin on a également

P,— py e#dx; P,,— AE cr
V7 V’p
si donc P,— P,,, on aura
Da ptet
d'où
HE A D D Ont A A)

les erreurs également probables sont inversement proportionnelles
aux racines carrées des poids.

112. Deuxième corozzaiRe. La probabilité qu'une erreur x,
qui se rapporte au poids p, est comprise entre Æ a est :

L
AE LE J'enraa,

(AE

D

(228)
ou, par une transformation bien connue :

2 Ve
P — -—_— F led;

7x

pour une erreur qui se rapporte au poids p/ on aurait de même

P' sera égal à P si
ah V'p — a'h Vp’!,
ou Si
a: =VpiV#p. NON ES RM AC
ce qui s’accorde avec la formule (1).
Si nous posons y = y1Y9 «. Yy, la probabilité Y d’une valeur
de x sera

ou en posant

et, en remplacant y par sa valeur :

[5 2
CHAR
(Vz)

]

Les observations w sont d'autant meilleures qu'elles différent
moins de x, ou que les erreurs e sont plus faibles, ou que les
probabilités P. de ces erreurs sont plus grandes.

La probabilité (1) est la plus grande possible quand on a

(1)

Sp = Sp, (x — w,)ÿ = min.
l 1
d'où : ) ; un
2pi (x — w) = 0 EN a,

( 229 }

Démontrons que cette valeur de x est Ja plus avantageuse.
Posons x — a + u, u sera l'erreur de la moyenne arithmé-

tique a; et l’on aura :

QHU— UE. UHU — Wu EE;

et par suite, puisque dx — du :

h! Pi? = Sria— vu
ne e : d
(7%)
‘ h! Vi pu —h2 G n) u2 +20 $ TEST re .
REV | du ;

Te
et comme 2p, (a — w,) = 0 :

;
js REV pe a > rt Ent |
(/r)"

LEE Lt ARS g
Or, si nous développons 2 p: (4 — w;}?, nous trouverons

U

du.

Sp, (a— wÿ—5 p. w — 24 Spa, 25 Spuwe
1 Re n

F 2 2
> (ps) Le Ë Piw; pe
A = 2h 2 : pi + 2 pi
G pi) 2 (pi)
Gr)
pav,)
& 5 1
ie 2
et par suite AE
be Sven) |
—h2 Zriwi— =

= —— g
REV/p, ps re Sp; > Pr;
le He È du.

CO:

Pour déterminer K reprenons la valeur de Y

ydx

[ydx

—2

d’où l’on ure R

Nous aurons par suite

fe WIRE
MA , (nn)
h# 4 .. Le S ï 7) ie E pjne
Rene, 1” 7 e 1” du
W7 J
/ 2 2
He 2. AE (Er)
REV pa Pa Ë Éa ES
TNT nl
hp:
d'où Se) |
“us h24 Zp;w:; DE
men) | L
KE ’ V Sp, ( 7) À 2 ) :

et substituant cette valeur dans l'expression précédente de Y,
nous aurons :
Le
DO CrEEE
Y — D. Dee TE
T A

probabilité que w est l'erreur commise en prenant

[22
2 piw;
À

On voit que le maximum de Ÿ répond à u —0, et par suite que

r
2 piw

U—

72
2 P:
1
est la valeur la plus avantageuse; ce maximum est

hSp,
VER
4

T

(251)

113. CorozLraiRe. Si dans la formule

k Sp, —h2u2S pi
D 0e in
Vx
qui exprime la probabilité de l'erreur de
Spa,
0 — g ?
Us
on pose
; H—nVSp,
on aura

P, = — e qu ,
7.

Donc: 1° la mesure de précision de la moyenne

D Piw:

Q—=
2
2P:
1
est

Ep Mort iDres
2 Le poids de x — a est
Le
Pi + P: H ce + Pa = ÈP

la précision de @ est done proportionnelle à la racine carrée du
poids.
3° L'erreur probable de la moyenne a est

P r

h Sp, VS,

c'est-à-dire qu’on peut parier un contre un que

2

Re
H

Î

PR Er g res
VE p; VEp:

16

(232 )

ou que
a—R<x<at+rRk.

114. 2 Les observations ont la même précision. Dans ce cas
on peut poser
d'où
u Le Le
2p,—=p; Epiu — 2 w..
1

1

Le résultat le plus avantageux sera

La probabilité de l'erreur uw! de ce résultat sera

LV

Te
ou <

(}

P'— eu",
T

P'— eu qu,

en posant H'— À V/p.
Donc : |
ren ZW: Lx
1° La mesure de précision de la moyenne a/ —{— est h V/p.
2° Le poids de x — a’ est w. La précision de «a/ est donc
proportionnelle à la racine carrée du poids.
3° L'erreur probable de la moyenne a! est

on a done une probabilité + que

ad —R'<x <a +R.

122 12

E
Remarque. L'erreur moyenne m— + = déduite d'une
série d'observations w, ... w, exprime que l'erreur à craindre
dans une nouvelle observation est comprise entre +», ou que

cette observation est comprise entre a + ». Soit w cette nouvelle

(255)

observation ; € son erreur; on aura, pour la probabilité que cette
erreur est comprise entre + 7 :

h m 2h qe 2 him
P. — à eh de — — En] — e= “dl.
on '. Vars en

mn

Pour une autre série d'observations on aurait

h' ; m! 2 R'm'
P,, = —- e he — — ed;
€ el Vr 7 ,

Si donc P. — P.,, on aura km — h'm', ou
mim—=h:h;

done, toutes choses égales d’ailleurs, les erreurs moyennes sont
inversement proportionnelles aux mesures de précision.

Ainsi les observations faites avec un instrument B, dont
l'erreur moyenne est double de celle qui est relative aux obser-
vations de la même inconnue par un instrument A, sont de
moitié moins précises que ces dernières.

Calcul approximatif de Y et de .
115. Calcul de u!. Nous avons posé
oe
4

122

le.

et nous avons trouvé pour la probabilité de l'erreur u! commise
en prenant pour x la moyenne arithmétique a”:
/

RV/p

D En Us Se 0. LEE" (6)
T

et pour la probabilité de l'erreur moyenne

ur
vs
m = + =

u— 1

( 254 )
à craindre dans une observation future :

h
Pn = — € ""dm.
V7
Or on peut supposer que la valeur moyenne a/ se rencontre
dans les observations futures ; alors w’ aura la même probabilité

que m, et de p,, = p,, on conclura

hu"? = fm’;
d'où
m
W—=+E—; (a)
) F2
et par conséquent :
m
d——<x <a + —
y p

116. 2 Calcul de u. Une observation dont le poids est p,, et
l'erreur £,, prise parmi les observations w, … w,, peut être consi-
dérée comme étant la moyenne arithmétique

Où + Oo + - + Op,
QUE AUS et CR AA
Pi

des p; observations fictives o d’une même précision, ou ayant pour
poids 1; car la probabilité de l'erreur £, de w, est

h RP,
V7

qui est de même forme que l'expression (B).

Soit à l'erreur moyenne d’une observation 0, ou d’une obser-
vation dont le poids est 1; w/, l'erreur de la moyenne (1); on.
aura, par la formule (a) :

K
EN OR DR SE LL
ui ve (b)

A l'aide de cette formule, on trouve aisément une valeur
approchée de K; car on peut d’abord, sans erreur sensible, rem-
placer w, par &, ce qui donne, au lieu de (b) :

—_p;h2€?
Pete Pi de Fi

pis = K?;

(255 )

d’où l'en tire, en faisant successivement : — 1, 2 … y, et ajoutant

12
eC=2pi;
4

d'où L
V2" :
une TN An

ei

Dans cette formule, €, — x — w, est encore inconnu; mais en
prenant pour x la moyenne

122
2 pPiw:;

Ü—= ,

>n

on connaîtra &/ —4@ — w,, et il s'agira d'exprimer K en fonction
de €;.
Posons à cet effet x — a —"u; d'où

E—=4—W—=X—W —U—=E—U;
nous aurons

2 F
ST SNRÈES + Dusg = Pa (a — UŸ + ++ + pu (eu — 0)
2 ï fe le
= Zpé — Qu Zp, + uw Zp..
1 1 4
& ’
2 DE = Pas + ee + Du = Pi (x nue W:) one De. (x nee Wy.)
Ê s É be ue &
—a$n Énns$n nt d$nnên

Et par suite RE Ë 2
Ê f > Di —= » Di? Fr. u? D» P: ô
1 4 4

(l

Nous pourrons poser approximativement
2 = K 2
u 2p: —K :

car K et w sont à peu près inversement proportionnels à leurs

122
poids 1 et Zp;: alors, en tenant compte de la formule (2), nous
1

aurons : =
VA
NE à
2pie; — K° (w—1); d'ou K —= + : 5 : (c)

(236)

K est l'erreur moyenne à craindre sur # observations o de même
précision dont le poids est pris pour unité.
La probabilité de K est

h -
Pa = DE e dk;

mais en supposant que la moyenne a se rencontre parmi les
u: observations fictives o à venir, la probabilité de l'erreur com-
mise sur &, qui est

sera égale à p,, et l'on aura, par suite :

hu? 5 p; = hK?,
1
d'où _. K

U—= EE — :
VS
4

D 0 RUE
Zp: est le poids P de w; on peut donc écrire
4A-

\

K
M=== —— à fs
VP
La formule (b) donne K?
pi= EE —;
U;
et par suite
D = =

pr il
PE
Résumé des formules précédentes.

117. [. Observations d’égale précision.

122
> w; ,
x—" —4, valeur la plus avantageuse.
L-
pe
De.
Meet 1___, erreur moyenne à craindre sur

U—1. chaque nouvelle observation w;

(237)

elle exprime que

a — im <w <a + M.

L'—= 4 + U!.

m
u'—= + ——, erreur de la moyenne arithmétique a’;

102
elle exprime que

s est le poids de a’.

La précision de «’ est proportionnelle à V4.
Les limites de l’erréur probable r d'une observation sont

données par :

pV/2m pe) <r<eVam(l a

72

EL

L'erreur probable de la moyenne a’ est

c'est-à-dire qu’on pourra parier un contre un que

{
L

et que

9 | p : ) 1 L
pV’2m ea) <R Apr É ol
È Vu Vu V”

P
Le

d'—R<x <a +R.

118. IT. Observations de précisions diverses.

Le
> p:w:
X —= è
5
vn
4
| V/r
K——+ : >

H—1

— a, valeur la plus avantageuse.

2

valeur moyenne des observations 0
de même précision dont le poids
est pris pour unité;

de sorte que
0—K<w <0+ K.

IE Le » erreur de #;, en regardant w, comme une

Pi moyenne arithmétique de p, observa-
tions o d’égalé précision ;

elle exprime que |

W, — U; LE L'W, + U;.

De Un » erreur de 4;
Le
2r
elle exprime que

Ca

Ga— —<Lxr<a+

VS p, VS p

1

&

119. PREMIER EXEMPLE. Observations d’égale précision. Un angle
a été mesuré, sans répétition, quatorze fois avec le même théo-
dolite, et par le même observateur. Voici le tableau des obser-
vations :

Nos

D'ORDRE.

ATo36/45 "00 537 9884
31,25 8,38 70,22
42,50 9,87 ee
45,00 8,37 28,84
37,50 2,13 2,5%
38,33 + 4,30 1,69
97,50 +19,13 147,14
43,33 3,10 13,69
40,63 1,00 4,00
36,25 3,38 11,42
4250 | 287 8,2%

BOAT 0,46 0,21

43,00 8,37 28,84

40,83 1,20 4,44

ZE w;=334,19 +0778 |>e2—35435
ire

Le

ZW: 55479 Li
1 ne de a — 39,65

fe
90 se NE
à se trouvent dans le tableau.
s\ sas
: 4 DE ne 554,55
m — es CE)

l'erreur à craindre dans une nouvelle observation est donc com-

prise entre
39,63 — 5,22 — 54,41

et
39,635 + 5,29 — 4485.
5,29
5° D DER EIRE ERA Ee
Vu V44

la vraie valeur de l'angle est done comprise entre

39,65 — 1,40 — 58/25
et ;
39,65 + 1,40 — 41:03.

6° On trouvera, par les formules relatives aux limites de r et
de R/, qu'on peut parier un contre un que

r est entre + 5,52, R’ entre + 0,9%;

ou qu'une observation future sera comprise entre

39,65 — 5,52 — 5611
et

39,65 + 5,59 — 45/15.

3

et que la vraie valeur de x est entre

39,63 — 0,94 — 38:69
et

20 Ga ee AU AT

120. Deuxième ExEmpLE. Observations d'inégale précision. Le

( 240 )

même angle a été observé, avec répétition, quatorze fois; on a
formé le tableau suivant des observations :

un 12e €. pe”.
À 5 A7056/45,00 295,00 — 5,29 — 96,10 | 27,248 | 136,24
9 4 31,35 495,00 8,53 84,12 | 72,161 | 291,04
3 6) 49,50 219,50 — 9,72 — 13,60 1,398 36,99
4 3 45,00 135,00 — 5,22 — 15,66 | 27,248 81,74
5 3 37,50 419,50 2,98 6,84 5,198 15,59
6 8 98,39 415,00 4,45 4,35 2,105 6,31
1 3 97,50 82,50 19,98 36,84 | 150,798 | 459,39
8 43,33 130,00 — 3,55 — 10,65 | 12,603 31,81
9 40,63 162.50 — 0,85 — 3,40 0,123 2,89
40 2 36,25 72,50 | - 3,53 1,06 | 12,461 24,99
u 8 49,50 497,50 — 9,72 — 8,16 71,398 99,19
19 3 39,17 447,50 _ 0,61 _ 183 0,372 4,12
43 D 45,00 90,00 — 5,22 — 40,4% | 97,248 54,49
40,83 499,50 — 1,05 3,15 4,103 3,31
46 1830,00 91,04 4167,03

| — 91,16 |

DS = 4 = 6
2 Ces valeurs sont
3° pe’; pour la vérification, il faut que Zp:; —0 données
1 :

dans le tableau.
4° °° et pe”;

Le \
2pEr 1167,05
5e «V! D PA nr

| 15

+<K Æ 9,475
ON ==

Di

EC EHNOUTE

(241)

L K
Pu= TE —
V’p:
donnera :
9,475
WU =U=E = + 4724,
V5

DU DE EVANILEE
ie à
Ua — Us — == 6'’70.

$ 3. — VALEUR LA PLUS AVANTAGEUSE D'UNE INCONNUE DONT UNE FONCTION
EST DONNÉE PAR UN GRAND NOMBRE D'OBSERVATIONS.

191. L. Équations de condition.

Soit © une fonction f(X) de l’inconnue X, donnée par y obser-
vations 1 .….®,; À une valeur très-approchée de X; x sa correc-
tion très-petite, de sorte que

X — À + x.

Soient €, … «, les erreurs des observations; les valeurs exactes
SETONC Pi + 4 Ou + Eu; et l'on aura

y

# Ha AU) A + fair + a += fA + fix,

x étant très-petit,

Lu + Eu [uA + fL,AX.

Ou, si nous posons fjA = a … fu A —04 ; fjA =... f,A— ay :
pH 4 = + le Qu + Eu = Eu + Au;

d’où

E = 4 — ga + aix so. Eu —= Aug — ?u 2 Aux ;

ou enfin, en faisant D — Pa = M ce y, — Qu —= My :

QE QE... Eu = y + Apl

(242)

192. IL. Valeur la plus avantageuse de x.
1° Les observations sont supposées de même précision.
Les probabilités des erreurs <, … «, seront respectivement

pER —h?e? EL
Pa — enter Pe, =

V/x

et la probabilité de l'existence simultanée de ces erreurs sera
122
h \# -nw5e
— (>) € 1 ds, ee des.

Cette probabilité sera un maximum pour
5 2— min: 2 Dares
= min; ou, (a + x) + + + (ny + aux) = min.

d’où :
Q(4 + GX) +: + au (fu + Eu X) = 0;

et par suite

Démontrons que cette valeur est la plus avantageuse. :

Soit w l'erreur commise en prenant x pour la valeur a; de
sorte que x—a + u, et cherchons la valeur la plus probable de x.

Si nous représentons par Ÿ l'expression

h b ne Ë (m;+a;r
—= | C L ;
V/x

qui est, au facteur de, … de, près, la probabilité de l'existence
simultanée des erreurs €, … €., la probabilité d'une valeur de x

sera

25 (n+a

o TR Le
f Ydx 2 RS (n; +ax)?
5e CHAUNE dx

—@

( 245 )

125. Calcul de N. Appelons « l'erreur commise en prenant x
égal à a, nous aurons

He
>n;a;
X —= — % +U;
DTA
1
et
ra
— h2 Z(n;-+a;x)?
N—e ‘! dx

Znje
Ni + vou lu Se 32 |)
./du

d En;a; Zn;a; 2
a?u? + 2ayu [rs — a PE + [rs — De Lu:

(
— 2 |nataiu—a:
=" Zaÿ

|

Zn;s; | Zna; 2
+afur +2a qu (ru | cie (es =
; = ; En;a; 2
À [na =) +-+lny—
— du.e {(: " Zi Cu ‘ er) |

ne 5) AA il
— ZhÈUS y] N1 — A; 3 a ny = a
> ke [re Be
Le Sa?
x te) 1
Le premier facteur de du étant constant disparaitra comme
commun à N et à D; le second est égal à l'unité, car son expo-

> Ant
sant se réduit à Zn,a; — Za? T4 — 0; il reste donc:

— ES a?

N—e LE

194. Calcul de D. En laissant de côté les deux facteurs énu-
mérés précédemment, l'expression de D se réduit à

DD — E 2
D SR € or du
IA
qu'on ramène aisément à celle-ci
À Lo]
8 —
E. e Me

2

(244 )

Et par suite ’
V*
N2
h + — heu? Se
P, — 14 e re
T

Cette probabilité est la plus grande possible quand w — 0 ;
et par suite la valeur

Le
Zn;a;

est la plus avantageuse.
Le poids de cette détermination de x est

_.
5x.
1
La probabilité que w est compris entre + d sera :
Le
nV Da?
1

P— ——
Vr ,J
ON

Ô _ieu2 6 02 9 ii, V Êe8

2
l'ame CRC
Vr
0
2° En supposant que les observations soient d’inégale préci-
sion, on trouvera :

2
2pinia;
4

T—=——
Zpiai
1

$ 4. — DÉTERMINATION DES VALEURS LES PLUS PROBABLES DE PLUSIEURS
INCONNUES, UNE FONCTION DE CES INCONNUES ÉTANT DONNÉE PAR PLU-
SIEURS OBSERVATIONS. .

@bservations de même précision.

195. L. Équations de condition. Supposons une fonction de six

inconnues
PRES F(X, ne Z, U, V, T),

donnée par les s observations d’égale précision A : o, … qu.

( 245)

Soient & .…. :, les erreurs des observations, de sorte que les
_ vraies valeurs de la fonction seront

Représentons par X5, Yo: Zo> Uo> Vo» To des valeurs très-
approchées des inconnues, et par x, y, z, u, v, t leurs correc-
tions très-petites ; de sorte que

X — Xo + x, etc.
Posons

F,(Xo, Yo: Los fe Vos T:) — F,; etc ; Fe (Xos Yo; Lo, U,, NE T:) —= Fu

dE, AA dF, dF, dF, dF, A
sn —— — = 5 a — ri Col i— elec.
a a au à UV 2 an, de

dF

ri = Qu > etc.

En remplaçant la fonction et les inconnues par leurs valeurs
dans la première équation, nous aurons
%

€ 3= oi — Fu (Xo+ x pe. T,+ t) , etc.; Ent pu —=Fy (Xo+2x CCC) 114 == (3
ou, en développant et négligeant les termes d'ordres supérieurs :

a +=, + ax + by + cz + du + ev + fit, etc.;

Eu + qu = Fu + Gul + buy + Our + dau + eu0 + fut.

ou bien, en posant F;, —o; —n,, etc., nous aurons les équations
de condition

& = + QT + dy + az + du + ejv + fit, ete.

= My + pl + buy + Cyr + du + 0u0 + fut.

126. IL. Valeurs les plus probables des inconnues X 2 Yale
Les probabilités des erreurs €, … &, sont (n° 99) :

h h 2
pe, = — e ide, .… = ie edimde,s

£a Vr EX

( 246 )

et la probabilité de leur concours :

h 1 eee
D Ce es ? ; de, (Eh

T

Cette probabilité est un maximum lorsque
Ê ;
Q— ZE — min. ;
1

c’est-à-dire quand x, y … t seront déterminés par les équations :

Rio pans +e + ce + QUE

dx 1° dx dax Ke ut
CR RE NREME ee AU + ce + Die, , etc;
dy ‘ dy “dy Tue Ha
da de, de, d

0 5 en fa
— —=0— Je, —— a — + ee He, = fi + ce + :
dt id orme fu

Si nous substituons aux £ leurs valeurs, et que nous posions,
pour abréger :

+. + 0, —|[aa ab, + + ab, — [ab], etc,
BET 207

nous aurons les six équations :

[aa] x + [ab] y + [ac] z + [ad] u + [ae] v + [af] t + [an] =
[ab] x + [bb] y + [be] z + [bd] u + [be] v + [bf]t + [bn]
[ac] x + [be] y + [ce] z + [cd] u + [cel + [cf]t + [en] —

[ad] x + [bd] y + [ed] z + [dd] u + [de] v + [df] t + [dn] —

[ae] x + [be] y + [ce] z + [de] u + [ee] v + [ef]t + [en] =

af] x + [éfl y + [flz + If u + Lef] 0 + [ffTe + [in] =
Ces six équations serviront à déterminer les six inconnues x, y. £.

497. III. Élimination (par substitution).

De la première équation nous tirerons x que nous substitue-
rons dans les cinq autres;

De la première de celles-ci, nous tirerons y, que nous substi-
tuerons dans les quatre autres ;

De la première de celles-ci, nous tirerons z, que nous substi-
tuerons dans les trois autres, et ainsi de suite.

(247)

La première des six équations donne

NP REA lala Se)

— — =— EE —— a ——_— =, = — a ——

29

[aa] [aa] [aa] [aa] [aa] aa]

Substituons cette valeur dans les cinq autres, et posons, pour
abréger :

0 — at = (6 . 1; Le] — FE ue] = (ec 15
[ub] ac| —= (bc : Reel aa | —= (ca
el La] = (be 075 ot] — PE qu) = (eu 3
La — (1; Le] — PE Lae] = (ce 1);
nt) ae] — cf = [es =
La luel= Ge.5 [entamer
ff] EE LP) = (0 b): ai
es Le] — ta En,
LA eT 1) |
dd| — =— [ad| = (dd. ae
er Le Lu = (er:
ad {
de) — PT Lae) — (ue 1 se
ad a
LP] — == PC T7: nr Laf] = (ff);

[bn] — es [an] = (bn .1);

[ac]

fn MO eu
[ad]

dn]— == [an] —(dn .1):

Gén Lo] = (1)

[en] — ee [an] = (en .1);

Li — Er — (fn.

(248)

Nous aurons ainsi les eing équations :

(bb .1) y + (be .1)z + (bd .1)u + (be .1)v+(bf.1)t + (bn .1)— 0,
(be .1)y +(ec.1)z+ (ed .1)u+ (ce .A)v +(cf.1)t + (en .1)— 0,
(bd .1)y+(ed.1)z+(dd.1)u +(de.1)v+(df.1)t+(dn.1)—=0,
(be .4) y + (ce.1) z + (de .1) uw + (ee.1)v + (ef.1)t + (en .1)—0,
(Of. 1)y+(cf.Dz+(df.1)u +(ef.1)v+(ff.Dt+(fn.1)=0

128. On tire de la première de ces équations :

Con Cr (be.1) (GER (bn .1)
DO TN CONTI TE.

Substituons cette valeur dans les quatre autres équations, et
posons :
bd.1)

TS

bc.)

Ge 1) le.) (ce 21; (dd.1)— PT Ut.) (dd.2);
(1). = (ed. 2); (en D Le 1) —(de 2);
Gen) (ie. 1)—(ce.2): (UE) EE A) (3:
GPA UN) (.2)3 ue
een) —(ee.2)5 (0) TEE. = (9):
CFE.) = (2)

(en .1) — u si On.) }= (cn .2);

in) — D (on) tin.2}

{en 1) — le . (En .1)= (en .2);

fn 1) — En.) = (fe

=
S
3
—

( 249 )

nous aurons les quatre équations :

cc. 2)z + (cd .2) u + (ce.

ce.2)z+ (de.2)u + (ee.2)v +

cf.

129. De la première on tire :

(cd.9) + AGIT (cf.2) + (cn.2)

(ce .2) (ce. 2) (cc. 2) (con2) À

(ce. 2) 2) v + (cf.2)1 + (en.2) —
(cd. 2) z + (dd.2) u + (de. 2) v + (df.2) t + (an. 1) =
(ce .2) (ef. 2) t + (en. 2) =
(cf.2)z + (df.2)u + (ef.2)v + (ff.92)t + + (fn.92) —

=(}

0,
0,
0

2

_ Substituons cette valeur dans les trois autres équations, et

posons pour abréger :

(4.2) — sn (cd.9)—(dd.5); (ce.9) nn.
(de .2) PE (re.2)— (de 5) CE
Gr) D 2) (5); dc

2) PE (er.3
(dn.) me (cn.2) —(dn.5)
(en. 2) — = (cn.2) ere 5);
(Fa .2) — fL : : (on.2) =(fn.5);

nous aurons les trois équations :

(dd.3)u + (de.5) v + (df.3)t + (dn.5) —0
(de.3) u + (ee.5)v + (ef.3)t + (en.3) —0,
(df.5)u + (ef.5)v + (ff.5)1 + (fn.3) — 0

(ce. 2) = (ee. 3)

y

(cf.2)—(ef.3);

}=(f.5);

(250)

150. De la première on üre:

de .5
5) = TD tue. 5) = — (68.0), (7.5) — ERP. 5) (0)
hé (de .5)
CENT ECTS Lo
(en.5) — (dn.5) — (en .h),
d ré
(fn.5) — Te (dn.5) —(fn .4);

nous aurons :
(ee.4) v + (ef.4) t + (en.4) —0,
(ef.4)v + (ff.4)t + (fn.4) = 0.

151. On tire de la première :

Substituons dans la seconde, et posons

GAS
D Le (ef) = UT 5),

fai) EEE . (en. 4) — (fn. 5);

nous aurons

(ff.5)t + (fn.5)=0,

(in),
(T5)

d'où

LL —= —

[ab] [ac] | [ad] [ae] [af] [an]
d D ua” [aa] ” U [aa] É [aa] 5 [aa] [aa] ca
(bc.1) (bd .1 (be. 1) CES COUR
0 COMTE
ae (en) + C2. in (c-2) es (re
\ (ce. 2) (ec.2) (cc..2) (deb) QU
ee). À (df.5) (an.5)
“(dd.5) (45) ”(dd.5)
se (ef. 4) (en.4)
(ee .4) (ee. 4)
(a)
(F5)

155. Tuéorëme. Je dis actuellement que si l’on pose :

À —{aa]x + [ab] y+ [ac] z+ [ad] u+ [ae] v+ [af] t+ [an],

5 = (bb.1) y+ (bc.1)z+ (bd A)u+ (be.l)v+(bf.1)t+ (bn.1),
o = (cc.2)z+ (cd.2)u+(ce.2)v+ (cf.2)t + (cn.9),

"— (dd.5)u+ (de.5)v+(df.5)t + (dn.3),
E— (ee.k)v+(ef.4)t+ (en.k),
p— (FF.5)t + (f.5);

122
1° La valeur de à ou £& sera donnée par une expression de la
1
forme
A° B”° Ç’’= D’’° E"° F'°
+ +
[aa] (bb.4) (cc.2) (dd.5) (ee.4) (ff.5)

+

(an.6);

2° Les dénominateurs [aa], (bb.1), … (ff.5) seront tous posi-
tifs.

Démonstration. 1° Reprenons la valeur de © (n° 195-126)

Q— (ax + by + + fit + ni) + 2 + (aux + boy ++ fit be

(232)
développons les carrés, et ordonnons, nous trouverons :
2 + 2 | [ab] y + [ac]z+ [ad]u + [ue]e + [af]t + [an]! x

y? + | [bc]z + [bd]u+ [be]v + [bf]t + [bn] | y
5 Se

— [aa

]
+ [bb]

+ [ec] +2 | [ed}u + [ce]u + [cf]t + [en] | z
NC *+92 | [de]u + [df]t+ [dn] | u
nn [en]}v
+ [ff] Ë +2 [fn] t + [nn].
— Pr + 2Qx + R— USE, ”

P - Ap”

en faisant pour abréger :

P — [aa]
Q = [ab] y + [ac] z + [ad] u + [ae] v + [af] t + [an];
d’où
> Pr + Q —AÀ:
154. Mais on à :
LR MERS £ ES 7% (el a el (1 sa x PnIEal !,
+ La à du à lue à Eat pm y
faif. (lee à (ed tac] CN
= Ca z +2 His La v pl f]t+ Ra [ar]. z
IGHALSS [ad] [udje [ad] : |
a uw +2 es OI l re li
< mn +9 mn [af] t + nu] v
ne F+9 Iañl an ae
[aa] © [aa] [aa]

Si donc nous posons

DE — (nn.1),

nous (rouverons

2 P. 2 A
po

— (bb .1)y + 2{(be.1)z + (bd .1)u + (be .1 Ajv + (bf.1)+ (bn1)|y
+ (ec .1)2?+ 2{(cd.1ju + (ce. EU 1)t + (cn.1)}z

+ (dd.1)uè+ 2{(de.1)0 + (df.1)t + (dn.1) Lu
+(ee.l)v+92{(ef.1)t+(en.1) fo

+(ff.NÊ+2 (fn.1)t+(nn.1)

nn 0 à ue” SE

en posant

Pi (pb 4),
Q'—(bc.1)z+ (bd.1)u + (be.1)v + (bf.1)t+ (bn.1),

d'où

P'y + Q’—B
et
A° B’? Q"°
[aa] (66.1) p’

155. Mais on à :

D tu + or
nn)
pe a
CR
QD

(254)

et si nous faisons

bn.1}
(nn .1) — Gr) —= (09),
(bb .1)
nous aurons :
A? B’? Q°

Pat) orne
ce.2)v + (cf.2)t + (en.2) | z

jar se (
dd.2}u? + 9 { (de.2) v + (df.2)t + (dn.9) | u
+
+

|
+ (ee .2)v° + 2 { (df.2) t + (dn.2)} v
+ (ff.2) +2 (fn.2)t + (nn.2)
p’ 11\9 0'2
A

en faisant

P”— (cc .2)
Q—{(cd.2)u + (ce.2)v + (cf.2)t + (en.2);
d'où
P''z + Q = C”
et
A° B'? C'? ge Q'?
[aa] Le (bbA) (ec.2) Ur
156. Mais on a
DEN) (cd.9) (cd .2) (ed.9)
PACE?) Ho ie 2) Cire (ce. 2) Fos (cc a ( ji
(GAP) (ce 2) * (ce .2) |
2) 6 Le =— (0,2
(ce .2) De ni fem e He
D) 12 700)
(Rep ee ER es CESR
CC) (cc) (cc)
et si l’on pose
(cn2)E
(nn .2) — — (nn.5),

= (dd.5)u° + 2 }(de.5) u + (df.3)t + (dn.5)} u
(ee .5) v° + 2 {(ef.5) t + (en.5)} v

+
+ (ff.5) Ë +2 (fn.5) t + (nn.5)

p’’’ 11112 1119
D pre pog'u +R — | ras ) RU
P P LA
en posant
SU)
Q"= (de .5)v + (df.5)t1+ (dn.5);
d'où à
P’’'4 Me Q” —_ D
et
Q°"2 A? B’? ( UP) D'’’?
PAPER jt es. 1e ane ne À RM net eee ne:
4 (CCE NES 0) SN GO)
157. Oron a
DEN(de)e à (de .3) 1 (de .5) #
= 2 ee l dn .
P” (dd.5) moe oo AUS)
(df.5Ÿ , (df.3) ë (dn.5)
U —— (dl b :
ms Gas
et si l’on pose :
dn.5
(nn.3) — a : — (nn.4),
on trouvera
AË B'° C'°°? D 112 D Q'’?
M GG 2) (is) © p
= (ee.4)v + 2{(ef.4)t + (en.4)}v
+ (ff.4)Ë +92 (fn.4)t + (nn.4)
P': 1v\2 1v2
= Puy? + 9Q'u + RES Rite Q ;

Pp” pr"

en faisant

Q" — (ef.h)t + (en.4),
R® = (ff.4) Ê+ 2(/n.4)t + (nn.4);
d'où
Pr se Q" = E'
et
RUE des (où VASE
Bu [aa] (bb.1) 4 (ce. 9) a (dd .5) 0 2. 4) :
158. Mais on a
se 4 .L .k)
2" _Gn, 0 pe et
PAREN (ce 72) (ee.4) (ee .4)
et si l’on pose
oo
n. = (nn.
(n ou (nn.5),
on trouvera
A? / (QUE DL E" dl Q
D 4 C0) GC) ie 0 . ©
— (ff.5) À + 2(fn.5)t + nn.5
vf v\2 v?
_ D UN" ut
| p' P'
en posant
PE HENO D) RES)
d'où
Pt + Q'— F",
et e
R' Q" A2 B’2 C'? D''° E’° F'°
P' [aa] (bb) (cc2) (dd.3) (ei) (ff5)
Mais
Q"° re (fn : 5).
DTA
donc
v2 < 5 2
R' — a nt ) ;
P (/F - 5)

posant (fn.5)

nous aurons enfin :

. A2 B? c’2 D’? E"? Fe . :
Æ——— ARE + - ue NA é 1 F.
[aa] Ë (bb.1) <r (ce) (dd.5) (ee.4) + TAN ), C.Q

2° Démontrons que les dénominateurs [aa], (bb, 1), … (ff, 5)
sont tous positifs.
a). Pour le premier, c'est évident, puisque

[da] = a + : + à.

A2 :
b). Remarquons que la fonction a— = ne renferme pas æ; si
done dans @ on substitue la valeur de x provenant de A—0, on

; A2 : ; ;
obtiendra @ — ==; ct par suite, si dans chacun des €, on avait

[aa]
substitué à x sa valeur provenant de A— 0 , la somme des carrés
. É = A? .
des € aurait donné (n° 155) a — =; mais, dans ce cas, le coef-

[aa

ficient de y?, qui est (bb .1), est une somme de carrés; (bb .1)
est donc positif.

c). La fonction a — . — — ne renferme ni %, ni y; si donc
on substitue dans @ à æ sa valeur tirée de A —0, et à y sa valeur
tirée de B’ — 0, on obtiendra la fonction précédente; ou bien
encore si l’on substitue ces deux valeurs dans chacun des & et
qu'on fasse la somme des carrés; dans ce cas, le coefficient de z?,
qui est (ce. 1), est une somme de carrés; il est donc positif, et
ainsi de suite.

139. Remarque. Si nous faisons

# B’? c’2 D’? EE" F* 6
= =— n.
ot do CONTI
C'2
Q” — =
(cc.2)
D’?
QU—
Cr
Er?

(OM — Le À

(ee. 4)

F2
T Æ —— + (nn.6),
(F5)

( 258 )

nous aurons

A?
= ma + Q@’°, où le premier terme seul renferme x;
aa |
B°
en » » PS
C'’2
Q'” et 9) + Q/”, » » » Z;
COS
D’?
111 ( ld 4 nee » 5 5 u $
dd.5
E'"
NW — ! à) » » » V;
ee.
EF"
Q ———— + (nn.6), » » » l;
(/F- 5)

140. IV. Démontrer que les valeurs obtenues par la méthode
. des moindres carrés sont les plus probables.
Nous venons de trouver, par cette méthode

(fn .5)
(/F.5)
Appelons - l'erreur de cette détermination; la vraie valeur
de { sera

HAN

d'où

Cherchons la probabilité de +.
Si t est constant, la probabilité des valeurs simultanées de x,
Y> Z, U, U Sera
LANARES
——|) € *"dxdydzdu dv;
V7
en effet, soient x — ap, y — bp; 2%; U— dj; v—"e5; t— 5
les valeurs de x ...{ déterminées par les équations normales

(259)

GP1206);ethE 76, voir les erreurs de ces déterminations ;
on aura
d'où

a = QE + by + + fir,

a GE + dun + + + far;
la probabilité de l'existence simultanée des erreurs Ë, #...r, en
regardant £ comme constant, sera

h \”
F-) e PE... dy,

T
ou

LATE n2Q
—| e"**dx… dv.
V7

Les limites des valeurs x … v étant en général + « , la pro-
babilité de toutes les valeurs simultanées de x. v, t étant con-
stant , sera :

R \# pe
Y — _ J da dyde du dv.

T

On aura done pour la probabilité d’une valeur de t :

dt, fe" dx dydzdu dv
En
RE Huit
JS Ydi JE dx dy dz du dv dt 2

141. Calcul de N. On a ao — _ + @/, A seul renfermant x.

L'expression de A étant (n° 155)
A = [aa] x + [ab] y + -- + [an],
il s'ensuit
dA

A

Substituant ces valeurs dans l'expression de N, on obtient

Fe. 2 Fe de dA
N= di fe" dydeaudr / 7 Cie
k 4 e € [aa]

—o 00

( 260 )

ou, par une transformation connue :

HE end dz du dv.
RV/Taa] “—

N —

On a de même (n° 159) :

à nt a”, B’ seul renfermant y.
L'expression de B’ étant (n° 153) :
B'=— (bb.1) y + (bc.1) z + (bd.41) u + (be.1)v + (bf.1)t + (bn.1),
il s'ensuit
dB’

Tom) © dy.

Substituant ces valeurs dans la dernière expression de N, on
obtient

œ C2 _ hp? dB
N— ei di Je aaeauas f° e (1 _—
hV/Taa] 5% (bb .1)

0%) te à dz du dv.

cle

On trouvera de même :

ne NA SU ve en Nu dv.
h5V/[aa]\(bb . 1) (ec. 2) ?

: Le de [NS du
RV/[ua] (bb .1)(ce.2)(dd.3)

us (77) ste)
R5V/Taa] (bb. 1) (cc. 2) ( dd. 5) (ee. 4)

N—

142. Calcul de D. En intégrant l'expression précédente entre
© , on aura

5 co FY
D EE (V7) “hear dt;
HAT.

—

( 261 )
et comme (n° 155) :
EF = (f.5)t + (fn.5),
en effectuant l'intégration, on aura :
(1/7)
— RVTaalOt. Ce. 4 (5)

e—h"2(nn .6).

et par suite, la probabilité de £, ou de +, sera :

DÉeU5) (F5) 5) ne FH dé,
D V/T
LIVES els
V2
_ TS
— De

Cette probabilité est un maximum pour 7 — 0; donc pour

(fn.5).
(F5)
telle est donc la valeur la plus probable.
Le poids de cette valeur de t est (ff. 5), h étant considéré
comme unité de poids.

Remarque. Soit P la probe tte que 7 est compris entre + c;
NOUS aurons

dt,

e UT. TE +.

De hV/(ff.5) [eur ee

Vx
Si nous changeons l’exposant en —— Æ?, nous aurons
k
T= —— ;
hkV/({f.5)

etàr — c répondra 4 — ch V(. 5) que nous ferons égal à g.
Nous aurons ainsi :

2 ges
rie dk ;

(262 )
probabilité que £ est compris entre

(fn .5)
(ff. 5)

f+g=f, + chV/(f.8) = — == 00/7 0)

Observations d’inégales précisions.

145. Supposons que les observations 9, ... o, soient de préci-
sions différentes, et soient p, … p, leurs poids respectifs, À étant
pris pour unité de poids; nous aurons pour la probabilité des
erreurs €y ». &x (n° 126) :

pr
= —<* 0€

T

—h2 PE?

a de,

RV/py

T

Do = er lruth de, ;

la probabilité du concours de ces erreurs sera donc

nous aurons done à rendre minimum 2p,s, ce qui conduit aux
équations normales :

[aap] x + [abp] y + ++: + [anp] = 0,

[afp] x + [bfp]y + + + [fnpl=0:

( 265 )

CHAPITRE VIII.

PROBABILITÉS RELATIVES A LA VIE HUMAINE.

144. La probabilité qu'a un enfant d'arriver à l’âge x est une
fraction dont le numérateur est le nombre des chances de vie
favorables à cet âge, et le dénominateur le nombre total des
chances ; ce dernier étant infini, l’on voit que la probabilité
relative à l’âge x est infiniment petite; on pourra donc la repré-
senter par

De ADIEU EE 4)

Considérons un nombre très-grand x d'enfants nés à la même
époque ; la probabilité qu'a l'enfant à d'arriver à l’âge x sera

pe. (x) dx:

La probabilité qu'il arrivera à un âge compris entre 0 et x
sera la somme des probabilités relatives à tous les âges intermé-
diaires croissant par intervalles égaux à dx de 0 à x; elle sera
donc

[” fi{x) ds.
0
Soit o la limite supérieure de la vie humaine ; il est clair que

L'A@de—1;

et par suite

S'é@de= ff =1— ht de:

e
0

cette formule exprime la probabilité que l'enfant ? dépasse x ans.
18

(264)

On nomme vie probable la valeur de x pour laquelle

NI

JU) dr

Assimilons la durée de la vie à un gain éventuel : la somme
de toutes les valeurs possibles de x, multipliées par leurs pro-
babilités respectives, c’est-à-dire

3 = jf sf (x) dx

sera le sort de cet enfant, ou son espérance de vivre (voir n° 57).
La vie moyenne v,, est la somme de toutes les valeurs de s, rela-
tives aux L enfants, divisée par le nombre de ceux-ci; c’est-à-dire

>. 1 vf, (x) ee

Tous les problèmes sur la probabilité de la vie dépendent de
la fonction inconnue f(x), qui est différente pour chaque enfant ;
mais la fonction moyenne =? f.(æ), et par suite la vie moyenne v,
ne varient qu'avec lenteur par l'extinction des maladies et le per-
fectionnement de la société.

La fonction f,(x) ne pouvant être déterminée à priori, on doit
avoir recours à l'observation, afin de rendre le calcul des for-
mules vraies qui précèdent possible approximativement. Les
observations qui font la base de ces calculs approximatifs consti-
tuent les tables de mortalité.

CONSTRUCTION DES TABLES DE MORTALITÉ ET LOIS EMPIRIQUES
QUI LES RÉGISSENT.

145. Une table de mortalité indique, sur un grand nombre
d'enfants nés à la même époque et dans le même pays, combien
il y en a qui survivent après la 1", la 2"°, etc., année.

A. Formation des tables de mortalité. Supposons qu'en dé-
pouillant des registres de l’état civil, on ait observé que 1000

( 265)

individus décédés en une année aient donné lieu au classement
suivant :
500 sont morts de 0 à 20 ans.

200 D » 20 à 50 »
500 » » 50 à 90 »

On en conclura que la date de la naissance de ces personnes
précède l’année de l'observation,

Pour 500 de 1 à 20 ans.
» 9200 de 20 à 50 »
» 300 de 50 à 90 »

ou bien, que, de 1000 enfants nés dans la même année

500 sont morts dans les 20 premières années.
700 » » 50 » »
1000 » » 90 » »

Donc, de 1000 individus nés en même temps

500 vivent encore à la fin de la 20%° année.
300 » » 5One »
0 » » 90% »

Ce sont ces nombres 500, 300, 0 qui constituent la table de
mortalité.

Généralisons l'exemple ci-dessus : supposons que l'on aitextrait
d'un registre de l’état civil un nombre A décès dans une période
de 100 ans; et que ces décès se répartissent comme suit :

»

a décès entre Oet 1 an.
a » » 4 et 5 ans.
a » » 5 et 10 ans..

a » » A0 et 15 ans, etc.

( 266 )

On en conelura que, de A enfants nés à la même époque

A—a vivront encore à À an.
A—a—a » » 5 ans.
A— ax — a” » » 10 ans.
Ag —a'—a@" » » 15 ans, etc.

Si l'on applique à ces données premières la formule d’inter-
polation aux différences premières, secondes, troisièmes, ete.,
on obtiendra les nombres de survivants à 2, 5, 4, 6, etc., ans.

Ce mode de construction des tables de mortalité suppose que
la population reste stationnaire, et il exprimerait exactement ja
loi de mortalité si le nombre A des individus qui ont servi à les
former était infini ; car alors une telle table pourrait être repré-
sentée par une courbe continue dont les ordonnées seraient les
nombres de survivants, et les abseisses les âges correspondant
à ces survivances.

En général une table de mortalité est d'autant plus exacte que
le nombre A est plus grand, et que la population est elle-même
plus grande et plus proche de l’état stationnaire.

On doit avoir soin, pour la construction de ces tables, d’exclure
les années signalées par une mortalité extraordinaire, comme les
années d'épidémies, de guerre, etc.

Les principales tables de mortalité sont les suivantes :

De Witt, grand pensionnaire de Hollande, a construit la pre-
mière table de ce genre; elle est très-rare.

Halley, contemporain de Newton, en a construit une d’après
les registres de l’état civil de Breslau. Elle n'est plus en usage.

Süssmilch a construit pour l'Allemagne une table exécutée
avec soin, reposant sur un grand nombre d'observations. Re-
touchée et perfectionnée par Baumann, elle est encore d’un grand
usage, surtout en Allemagne.

Wargentin a publié une bonne table d’après les observations
recueillies en Suède.

Deparcieux a construit la première table publiée en France,
d’après les décès observés dans des compagnies de tontines et de
rentes viagères. Elle a été corrigée par Florencourt.

( 267)

Simpson a donné une bonne table pour la ville de Londres.

Baumann, pour la province de Brandebourg.

Duvillard a donné pour la France une table qui repose sur des
observations très-étendues.

Price a donné pour la ville de Northampton une table très-
estimée.

Kerseboom en a construit une sur des documents pris dans
les établissements de rentes viagères de la Hollande et de la Frise
occidentale.

La table pour la Belgique fait la distinction entre la mortalité
dans les villes et la mortalité dans les campagnes; et de plus
entre la mortalité des hommes et celle des femmes.

La table de Monferrand , pour la France, est la plus récente et
la plus soigneusement construite (voir son Mémoire sur les lois
de la population et de la mortalité en France, Journal de l’École
polytechnique, 26% cahier, t. XVI). Cette table, dans laquelle on
a tenu compte de la variation de la population et de la correction
relative aux mort-nés, est divisée en deux parties pour les deux
sexes. Chacune contient sept colonnes, sous les titres : âge, décès,
population, danger annuel, survivances, vie moyenne, vie pro-
bable. Nous verrons plus bas la formation des nombres rangés
sous ces divers titres. La première colonne contient les âges de
mois en mois jusqu'à un an, puis d'année en année jusqu'à la
limite de la vie, qui est de 105 ans dans cette table (*).

(‘) Nous ne pouvons passer ici sous silence les nombreux et importants
travaux par lesquels M. Ad. Quetelet, directeur de l'Observatoire royal de
Bruxelles, secrétaire perpétuel de l’Académie de Belgique, a contribué aux
progrès de la statistique, dont il a été l’un des plus zélés promoteurs. -

Les principaux travaux qu'il a publiés relativement à cette science, et dont
plusieurs ont été traduits en différentes langues, sont, outre sa Correspon-
dance mathématique et physique (1825-1859), les Annales et l'Annuaire de
PObscrvaloire royal (1853-1874) :

Recherches sur la population, etc., dans le royaume des Pays- Bas, in-80, Bruxelles, 1827.
—- Météorologie de la Belgique comparée à celle du globe, in-8°, Bruxelles, 1832; 2e ed.., 1867.
— Leltres sur la théorre des probabilités appliquée aux sciences morales et politiques, in-8e,
1846. — Du système social et des lois qui le régissent, in-12, 1848. — Sur la physique du
globe, in-40, 1861.— Physique sociale, ou essai sur le développement des facultés de l’homme,
2 v. in-80, 1855; 2€ éd. 1869. — Anthropométrie, ou mesure des différentes facultés de

( 268 )

Table de mortalité de Süssmalch et Baumann.

SOMME
DÉCÉDÉS. des AGE
vivants.
Bm

Cm

SUR-

SUR- SUR-

SOMME
de
vivants.

Cm

SOMME
DÉCÉDÉS. des
vivants.

Bmn Cm

DÉCÉPÉS.

Bn

* | VIVANTS. VIVANTS.

4 000 | 250 |28 yes |

0 395 | 491 6 |11464|! 66 | 152 40 | 41520 |
il 150 | 89 |271988!| 24 | 415 6 |11043|| 67 | 142 10 | 1368
2 | 661 483 |27938 | 35 409 7 |10628| 68 | 132 10 |19226
3 | 618 | 925 |26577 | 36 402 1 |10219|| 69 | 122 10 |41094
4 | 593 | 14 |259591| 37 | 395 1 9 817 || 70 | 112 9 972
5 | 579 12 |925366 || 38 | 388 1 94922|| 71 | 103 9 8060
6 | 567 14 |24787|| 39 | 381 7 9034|| 72 | 94 9 151
7 | 556 9 124990 || 40 | 374 7 8653|| 73 | 85 8 663
8 | 547 8 |230662|| 41 3067 7 8279 || 74 | 71 8 578
9 | 539 7 |93117|| 42 | 360 1 7912|| 75 | 69 tl 508
10 | 532 5 |22578 | 45 | 353 7 7552|| 76 | 62 7 432
A1 521 4% |922046 || 44 | 36 7 7199|| 77 | 55 6 310
12 | 523 4 |21519 || 45 | 339 1 6853|| 78 | 49 6 315
43 | 519 4 |20996 || 46 | 332 8 6514|| 79 | 43 6 266
4% | 515 4 |920477|| 47 | 32% 8 6182|| 80 | 37 > 293
45 | 1! 4 |19962|| 48 | 316 8 5858|| 81 32 4 186
46 | 507 4 |19451|| 49 | 8308 8 5542|| 82 | 98 4 154
17 | 503 4 |418944|| 50 | 300 9 5934|| 83 | 24 4 126
48 | 299 4 |184%1 || 51 291 9 4934|| 84 | 920 3 402 |
19 | 495 4 |17942||1 52 | 9282 9 46%3|| 85 | 17 o) 82
20 | 491 5 |17447|| 53 | 273 9 4361|| 86 14 2 65
21 480 5 |16956|| 54 | 264 9 4088|| 87 | 412 2 51
29 | 481 | 5 |16470| 55 | 9255 | 9 | 3822] 88 | 40 2 39
93 | 4176 5 |15989|| 56 | 216 9 3 569|| 89 8 2 29
9% | 471 5 115513|| 57 | 237 9 3 323|| 90 6 1 91
25 | 466 5 |115042|| 58 | 298 9 8 086|| 91 5 1 45
26 |. 461 5 |14576|| 59 | 219 9 2 858|| 92 4 I 40
97 | 456 5 |141415|| 60 | 210 9 9 639 || 93 8 1 6
28 | 451 6 |13659|| 61 201 9 9 499 || 94 2 4 8
29 | 445 6 |139208|| 62 | 192 | 10 9 298 || 95 I 0 il
30 | 439 6 |12763|| 63 | 182 | 140 2 036 || 96 0 0 0
31 433 6 |12324|| 64 | 172 | 10 1 85%
32 | 427 6 |11891| 65 | 162 | 10 1 682
l’homme, in 80, 1871. — Congrès inlernalional de statistique, in-4°, 1875. — Tubles de mor-

talité el leur développentent, in-#°, 1872.

Ces dernières tables sont relatives à huit pays différents, et la concordance des résultats
qui y sont rapporlés est vraiment remarquable. C’est la première fois, pensons-nous, qu'il
se publie un travail aussi complet sur cette matiere. Nous en donnerons un extrait à la fin
de l’ouvrage. F.F.

(269 )

146. B. Lois empiriques. Divers auteurs, entre autres Lam-
bert et Duvillard, ont donné des formules empiriques qui repré-
sentent plus ou moins bien les chiffres des tables de mortalité
pour lesquelles elles avaient été construites. Mais aucune de ces
formules n'est comparable, pour l'exactitude et la simplicité, à
celle que Moser a donnée pour représenter les nombres de la
table de Kerseboom, et d’après laquelle on a, jusqu’à l’âge de
50 ans,

Ne A eu)

x exprime l’âge, et y le nombre des décès jusqu’à cet âge ; a se
détermine au moyen de la table; ainsi, en représentant par
l'unité le nombre des enfants nés à la même époque, on trou-
verait

1
ne

car, d'après les tables de Kerseboom, sur 1 enfant nouveau-né,
il y en a 0,627 qui atteignent 12 ans; et puisque 1 — a V/x ex-
prime le nombre des survivants à l’âge x, on a

1 — aV/419 — 0,627
d'où

Pour les âges qui dépassent 50 ans, la formule (&) ne con-
corde plus avec les chiffres des tables. Moser donne pour ce cas

la formule
ADS NO TO:
ET RUE URLS

qui représente fort bien la loi de mortalité de 50 à 60 ans.

147. C. Quelques rapports remarquables reposant sur les tables
de mortalité :

Nombre des décès des hommes 100 (pour la France, d'après
Nombre des décès des femmes 98 Mathieu).

( 270 }

Nombre des naissances des garcons & 100 (id. pour les enfants lé-
Nombre des naissances des filles 94 gitimes).
__ 100 (id. pour les enfants na-
m0 urels)
Nombre des naissances 100
Nombre des mariages 22

Nombre des mariages | :
M oncles grandes villes.

— M dans les petites villes.
105
== se dans les campagnes.
115
Nombre des hommes veufs 100

Nombre des femmes veuves 55h)
Nombre des premiers mariages 100
ÉTAPE, GREEN nn

CR : — —— chez les hommes.
Nombre des seconds mariages C

100
— —— chez les femmes
49

Nombre des enfants légitimes 15
Ar pour la France.

Nombre des enfants naturels

Nombre des décès en une année

4
— —=— dans les grandes villes.
Nombre des vivants en cette année 2

— sue dans les petites villes.
32
4

mi dans les campagnes.

Ce rapport exprime la mesure de la mortalité, ou le danger
de mourir dans l’année.

Nombre des naissances annuelles 1 À ee grandes
5 =— D — : $

Nombre des vivants 29 51 villes.
L'het 1 dans les petites

où — :
94 25 villes.

1 de 1 dans les campa-
22 ‘ 23 gnes.

Ce rapport exprime la mesure de la fécondité.

(271)

NATURE ET USAGE DES TABLES DE MORTALITÉ.

148. Les assurances sur la vie, les caisses des veuves et
orphelins, etc., reposent sur les tables de mortalité, comme nous
le verrons plus bas.

Pour le moment, nous nous bornons à l'usage immédiat de
ces tables; nos exemples seront choisis dans celle de Süssmilch.

a.) Description de la table. Elle se compose de quatre colonnes
portant en tête les indications m, À,,, B,, C,, et contenant res-
pectivement l’âge, les survivants, les décès, et la somme des
vivants.

La première colonne » donne les âges des individus de la
colonne À,, depuis 0 jusqu'à 96 ans, d'année en année.

La deuxième colonne A,, donne le nombre des survivants de
l’âge correspondant à la première. Ainsi l’on voit que 595 indi-
vidus sur 1000 sont encore vivants à l’âge de 4 ans.

La troisième colonne B,, indique le nombre des décès annuels;
ainsi

250 est le nombre des décès de 0 à 1 an.

89 » » » 4 à 2 ans.

Ces nombres s'obtiennent par des soustractions consécutives
entre ceux de la colonne A.

PREMIER EXEMPLE :
950 — 1000 — 750

89 — 750 — 66!, etc.
En général
B == ME A, ie
Deuxième ExEMPLE : De 1000 enfants nés à la même époque,
574 arriveront à 40 ans.

et dans l’année suivante

7 de ces 574 personnes mourront.

(272)

La quatrième colonne C,, se compose de la somme de tous les
nombres de la deuxième colonne, depuis le nombre correspon-
dant à celui de la quatrième jusqu’au dernier; ainsi

Co = À SE A, Se 009 = A »

C= A, + DOS A — C, — À;
QE À, + .. + LU — C, —A,,
Cr A, SF 00 = bn À

Ces nombres indiquent done combien d'individus survivent,
à l'âge » ou à un àge plus avancé, aux 1000 enfants nés à la
même époque. |

Exewpze. Le nombre 17,447 est celui des individus âgés de 20
à 96 ans qui, après 20 ans, survivront aux 1000 enfants nés en
mème temps.

b.) Usage iminédiat de la table.

x. Probabilités simples relatives à la vie humaine.

149. Preuter proBcèmE. Chercher la probabilité qu'une per-
sonne de l’âge #2 vivra encore après 1, 2, ete., n ans.
SOLUTION. Soient

A,, le nombre des vivants du même âge que la personne A.

Au À,+, Le nombre des vivants qui ont 1 2 ans de plus.

Le nombre des cas favorables à ce que la personne A arrive
à l’âge m» + 1 est À,:1; le nombre de tous les cas possibles
est À, ; la probabilité que cette personne vivra encore après 1 an
sera done
AVE

De

A

nL

De même, la probabilité qu’elle vivra encore après 2...n ans
sera :
AE Fur
D

L4] mr

D

(275)

PREMIER EXEMPLE. Quelle est la probabilité qu'une personne
de 18 ans vivra encore au moins 13 ans?
La table donne
LT == 499 ° A = A; = 455
donc
455

Pis = 399 TR 0,806.

Deuxième EXEMPLE. Dans une société d'assurances sur la vie

le dépouillement des registres a fourni les indications suivantes :

aÇ personnes de 20 ans inscrites pendant la 1re année; a, pendant la 2e, etc.
do » 921 » » » b, » n

€ 0 LD 2 2 » 0] » C 1 5 »

œ, personnes de 20 ans mortes pendant la {re année; &, pendant la 2°, etc.
B n 91 » » » B, » »

0 » 99 » » ® Y » »
1° Quelle est la probabilité que l’une des personnes de 20 ans
arrivera à 21 ans?

Le nombre des personnes de 20 ans est &, + @ LEE 2 Le

» » décès de 20 à 21 ans est co + a + 0 +
la probabilité cherchée est donc

(do — %) + (di -— 241) + (de — de) +

Pa —

9 + Gi + A+

2° Quelle est la probabilité qu'une des personnes âgées de 21
ans atteindra sa 22° année?
Le nombre des personnes de 21 ans se compose :

Des personnes admises à cet àge et dont le nombre est
bi bi + br

Des personnes admises à 20 ans, qui ont atteint leur 21%
année, et dont le nombre est

(Go = %0) + (a = æ) 35 (da — da) SE 000

(274 )
Nous aurons donc
b + 0, + be + + + (ay — 3) + (ai — à) + …
pour le nombre des personnes de 21 ans.
Le nombre des décès de 21 à 22 ans est
Éh 2 Ph <E a 2e 08
la probabilité cherchée sera done

(Go — &o) + (di — 043) + + + (bo — Bo) + (bi — B;) + cn

D
Pa (see a0) E- DIE Dre

3° Quelle est la probabilité qu’une des personnes âgées de
22 ans atteindra sa 23° année ?
On trouvait par des raisonnements analogues aux précédents

(do — à) + + + (bo — Bo) + +++ + (Co — %) +
(dy — &0) + + + (bo — Bo) + + + Co + à + …

Pa —=

150. Deuxièwe PROBLÈME. Chercher la probabilité ns per-
sonne de l'âge #7 mourra avant la fin de la 1", 2°, … n”* année.
SOLUTION. Soient q, … q, les probabilités ee fDruoce F0

celles des événements contraires ; nous aurons

Pi + h—=1...p, + qn— 4,
donc
A,,+1 An, Ê

RE lee Riz ee

CorozLaiRE [. Quelle est la probabilité que cette personne
mourra dans le courant de la 2%° ..., n”° année ?

at est la probabilité, à la fin de la 1"° année, que A vit encore
à fa fin de la 2°; donc 1 — SE = est la probabilité qu’elle mourra
pendant cette 2"° année.

se est la probabilité que A vivra à la fin de la 1"° année.

La probabilité cherchée sera done

( =, re mr,
A A

LU42 m

(275)

De mème la probabilité que À mourra dans le courant de la
3° année sera
( qRc ee A+ Dem ets

———— | ——_—— ——————…—…—…"…"”…” ”."…".. _..…———

Ayo

CorozLaire II. Chercher la probabilité que cette personne
mourra dans l'intervalle de la p”*° à la (p + q)" année.

Comme A, personnes ont m ans, A Dans de plus AN PRE
p + q ans de plus, il s'ensuit que A,,,,— A,,,,,, mourront dans
l'intervalle donné ; la probabilité cherchée est donc

Amp À 'Amepts,
nt

La probabilité contraire sera

Ap+p au ADP cest) A, ne ha = Antp+a :
A A

m

1e

Exempze. Quelle est la probabilité qu'une personne de 20 ans
mourra entre 50 et 60 ans?
Cette probabilité sera
A;o — À 300 — 210 90
FRAC Re ps 7 PAP MAN TES
A9 491 491

151. TRoisiÈèME PROBLÈME. De / personnes âgées de # années,
combien en meurt-il à l’âge de m + 1 ans?

La table des mortalités montre que sur A,, personnes de l’âge
m, il en meurt un nombre B,, de # à m + 1 ans. On a donc la
proportion

ExempLe : Si [— 1000, m— 40, on trouve À, — 574, By —7,
donc

7.1000
———_— 19
57%

Remarque. La quantité = est appelée vitalité, ou le pouvoir de
vivre relatif à l’âge 77. Pour les personnes de 11 à 18 ans, on a
x = 8; pour cet âge la vitalité est donc <-

(276 )

Si l'on prend cette vitalité pour unité, elle sera © pour tout autre
âge ; et x se détermine par la proportion ci-dessus.

En construisant une table d'après cette formule, on trouve que
la vitalité est très-petite, dans les deux premières années, qu'elle
augmente rapidement jusqu’à 10 ans, où elle est à son maximum.
Elle reste alors stationnaire jusqu’à 20 ans; à partir de cet àge
elle diminue, et après 80 ans elle redevient aussi faible que dans
les premières années de l'existence.

Voici cette table :

? Table de vitalité.

NOMBRE NOMBRE
de

® IpécÈ

par an.

Vitalité.
s

152. QuaTrième PROBLÈME. De / individus nés ensemble, com-
bien en survit-il après »# années ?

D'après la table ci-dessus, de Aç—1000 individus nés en
même temps, Am survivent après » ans, on à donc :

(277 )

CiNQUIÈME PROBLÈME. De / personnes âgées de #2 ans, combien
survivront après p années ?
On a la proportion
nn

A

NE Nc — | l2
SIXIÈME PROBLÈME. De / personnes âgées de 2# ans, combien en
meurt-il dans p années ?

Ce nombre sera y AVE

—,°

m

Donc de / individus de l’âge #, il en meurt dans l’année sui-

vante :
An — App } B,,
A RS

mr

Be.

155. Dérinirion. La durée moyenne de ce qui reste à vivre, à
une personne de l'âge m, est le nombre qui indique combien
d'années chacune des ! personnes, ayant @» ans actuellement,
auraient encore à vivre, si toutes arrivaient au même âge.

SEPTIÈME PROBLÈME. Chercher la durée moyenne F,, de ce qui
reste à vivre à une personne âgée de » ans?

SOLUTION. Soient», + 1, in + 2, m + 5, etc., les âges con-
séculifs; À,,, Ayus Aro, Ans, ete. les survivants à ces âges;
A, — Aus Apr — Amss Amts — Aus etc., les individus dé-

cédés de chaque année ;

EE, ZISEE, 92m+5
2 2 2

» etc., la durée moyenne de la vie de

4

chaque décédé ;

On + 1

9 (A, — A1) ,

9m + 3

9 (Ana — Ame) ,

Dmn + D

9 (A2 FR Ans) , CtC.,

sont les durées moyennes de la vie de tous les décédés.

(278)

Les durées à partir de l’âge m seront :

|

9 (A, TES A3)»

9

9 (A mA A2) ,
5

9 (Aie A+) etc.

La somme de toutes ces durées sera :

1
g n br Ar ae A+ EE Ans + efc.

Donc la durée moyenne de ce qui reste à vivre, à la personne
de l’âge m est

1

— À ,+ Ai tAuot

9 A ne | Ari Amie te 1 Con
F = —© — #2 —————_———————— — À

# A, me) A, 3, À

Exempce. Quelle est la durée moyenne de la vie d’une per-
sonne de 50 ans?

La table donne A,,— 459, C,,,, — 12524, donc

1 195%
FE, = - + — 981,57.
2 459
Remarque. LL Comme on a
Fe |
9 A, 9 A AL,
1 ASE + A, + 4 A, A, FE
Ps Le = F = |
2 A 2 A, Fe
1 Aus + Ans + ee
F, en — etc.
+2 9 à ,

m

on trouvera :

1 An
F,—=— Fu +
m 9 + A, | m+A1 =| ?
| A+
F, IE D CE NÈEE etc
+1 9 Ste Au | 42 9

(279 )

Au moyen de ces formules on peut done déduire F,,, de F,,
F,. de F,,,, ainsi de suite, et former une table de la durée
moyenne du temps qui reste encore à vivre.

La table ci-dessous à été construite de cette manière.

Table de la durée moyenne de la vie.

Remarque II. Soient

ver A ,,+2

RE Pn+1 = Pn+2 etc.;
A, A,

ces rapports expriment les probabilités d’atieindre m + 1,
m + 2, eic., ans; la formule (1) devient, en les employant :

m

F T9 a Pn-+1 ME Pr+2 QE Pn+s + etc.

19

( 280 )

Comme
{|
Ha Se 9 Æ Pyte FE Pn+s aus etc.,
on aura
1 1
P= 9 © mi Pn-+1 REA + 9 ,
donc
{
pie
2
Pr +1 = n a
Bon Un 9

Donc, à l’aide d’une table de la durée moyenne de la vie, on
peut former une table de mortalité, car puisque

Aya
A

[122

Pm+1 = ?

il en résulte
An AG À Dm °

154. Dérinirion. La vie probable ou la durée probable de ce
qui reste à vivre à une personne de l’âge », est le laps de temps
pendant lequel la moitié des personnes de cet âge sont mortes. Si
G,, désigne la vie probable, on pourra parier 1 contre 1, qu’une
personne de # ans, vivra encore G,, ans, où mourra avant
d’avoir atteint ce terme.

Huirième PROBLÈME. Trouver la vie probable G,, d’une per-
sonne âgée de #7 ans.

Il faut prendre le nombre A, correspondant à l’âge »m, cher-
cher, dans la colonne #, le nombre Æ correspondant au nombre
: À,, pris dans la colonne À,,; la vie probable, à partir de l’âge #»,
sera

Gy = k — m.

m

Exewpze. Chercher la vie probable d’une personne de 50 ans.
La colonne A, donne 300; donc 5 A, —150 ; ce dernier nombre
correspond à 4 — 66,2. Donc

Gy = 66,2 — 50 = 16,2.

(281)

155. Dérinirion. Le danger annuel de mourir est égal au rap-
port du nombre des décès de chaque âge à la population corres-
pondante.

Le complément arithmétique de ce rapport est la probabilité
d'arriver à la période suivante.

6. Probabilités composées relatives à la vie humaine.

156. Premier PROBLÈME. Deux personnes A et B âgées de m et
de n ans, sont associées pour un terme de { ans; quelles sont les
probabilités que ces personnes vivront, ou seront mortes après
ce terme ?

A»
La probabilité p, que A vit après { années — 7 =
As
» Pa » B » t » = .
5 . 4 fn
» 1 » Asoit mort aprèést » —1— :
Au
» » B » t » HS

72

1° La probabilité composée p,p, que les deux personnes exis-
tent encore après t ans, est

Aux 5 Apr
AR TN

m

2 La probabilité que A et B, ou l’un au moins, n'existe plus

après £ ans, est
A Ave.

EE:

A A

3° La probabilité p,g que A vit et que B est mort après t ans,
est

Aie (1 ns Fe)
A

m \

4° La probabilité p,q, que B vit et que A est mort après { ans, est

(282)

5° La probabilité g,g que A et B sont morts ensemble après

nr 1

Remarque I. Les probabilités désignées sous les numéros 1°,
3°, 4°, 5°, sont fournies par les termes du produit

(pa + qu) (pa + qi) = 1

Remarque Il. Les probabilités composées relatives à trois per-
sonnes associées pour un certain terme, sont données par le pro-
duit

(p1 + q) (pa + Q2) (Ps + 45) =

157. Deuxième proBLème. Soit M un nombre de couples mariés,
les hommes ayant tous #» ans, et les femmes »; quels sont les
nombres de couples vivants ou morts après { années ?

1° Aprés ans, un nombre M. Fat + de ces couples vivront

encore ;

2° Après { ans, un nombre M. sr (= | de veuves vivront
encore ;

5° Après { ans, un nombre M 2 1 — | de veufs vivront
encore;

4e Après { ans, un nombre de couples

M ( Len = £ EE —
A A

m 72

n'existeront plus.
Exempce. De 1000 couples, dont les maris ont 30 ans, et les
femmes 20 ans,

A 0110 : :
1000. — 762 couples vivront encore après 10 ans;
20
A A
1000 . —"" ( ==) — 132 veuves vivent » » A0ans;
A ; A0
A A
1000. —— ( _—) — 90 veufs » » » A10ans;
30 A0

A A
1000 £ — cn) £ —") — 416 couples n'existerontplus » A10ans;
À A

Toraz. . . 1000

( 285 )

158. Dérinirion. La durée moyenne du mariage est le nombre
moyen des années pendant lesquelles un couple donné vit en-
semble, jusqu’au décès de l'un des époux.

Troisième PROBLÈME. Chercher la durée moyenne des mariages.

Soient M couples dont les maris ont »# ans, les femmes n ans;
de ces couples, 1l y en aura :

e Ai Aus

M.——.—— vivant ensemble après la 1'° année ;
A, A, ï

A A
M. AT Une » ÿ gme 5

A, Ar

A5 À

+5 =

M k ei L n S < gme ; sie

Cette suite doit être prolongée jusqu'à ce que, d’après la table
SLR , A; Ce ni
de mortalité, l'un des facteurs = ou = devienne zéro.
m n
Soit Æ la durée moyenne des mariages, on a

M [Arr Dir Aproute Qu AuisAnss He .]
A A,
M

somme des nombres de couples survivants jusqu’à la mort d’un des conjoints

K —

nombre des couples primitifs

ma il
TANT

q [Amd 2e A2 10 = etc.] o : o 0 . : 0 ë (a)

159. QuarriènEe PROBLÈME. Chercher la durée moyenne du
veuvage des femmes.

Soit L cette durée moyenne ; on aura

somme des nombres de veuves survivantes jusqu’à la mort de la dernière

L—

nombre des couples primitifs

A\e AS AN A,
(ef #) (2).

nr m

12 rm

( 284)

Et comme
A, He A4 He À,15 Sn 000 Cyys 9

on trouvera, en tenant compte de la formule (a), n° 158 :

Cu

= — K.
A

n

Remarque [. On trouve de même pour durée moyenne H du
veuvage des hommes

Remarque IE. Soit G la durée moyenne d’un nombre donné M
de couples. En faisant 4 — 1, 2, etc., dans

Arr Au :
M |1— à 1 — na nombre de couples morts après { ans,

on a

An A, A, A,
= ( — = £ — +) + £ — _ £ — rs) + etc.

m 11

Et si N est le nombre de termes de cette suite,

CN PK

nr 112

Reuarque IT. Dans les quatre formules K, L, H, G, on a sup-
posé que les séparations des couples avaient lieu au commen-
cement de chaque année; mais il est plus exact de supposer que
ces séparations aient lieu uniformément pendant tout le cours de
l’année : ce qui revient à en transporter l’origine au milieu. Mais
alors il faut ajouter !/, aux quatre formules trouvées, par la même
raison que l’on a ajouté !/, ci-dessus à la durée de la vie moyenne.

Exewee. Cherchons 1° la durée moyenne K du mariage; 2° la
durée moyenne L du veuvage de la femme ; 5° la durée moyenne
H du veuvage du mari, d’un couple dont le mari a 90 ans, et la
femme 80 ans.

(285)
La table de mortalité donne

Aa = 5 Ag — 22 produit —= 160

A9 — 4 Ag — 28 » — 119
À 93 —= 3 As = 94 » —= 79
A ——= 9 Ag: — 20 » — 40
A9 —= À 5 — | 7 » —= 47
À% — 0 86 == A4 » Æ 0
Somme — 401
On a
Â\.e ——= A0 — 6
A, eu À 5 — 67
C, CS Ca FT 186
net =
Donc
À O1
Ê= a + no — 2,51 ans
{ C, 4 180
D PER EL Le 9x —399 ans.
2 A, 2 371
| C,, | 45
Hz + "OK —- + — 9,31 — 0,69 ans.
2 A» 2

160. CINQUIÈME PROBLÈME. On connait la durée moyenne K du
mariage d’un couple dont le mari a m ans, et la femme n ans,
en conclure la durée moyenne K’ du mariage d’un autre couple,
dont le mari a » + p ans, et la femme n + p ans.

SoLuTion. On a

1
res D D na
: m1 nt mp ndp mp1 A np à
AA [ ] A A» [ Î |
= Q GE n A. FARMER TU Appt n+pt2 = etc. |,
mn
mais On à
K’ == A A FA es Le À prp42Antpte —- |
mp on+p ;
DIE
A np np

Exempzr. Soient 1 — 40, n— 50, d'où K— 17,11
mp Al, n + p—531; chercher K'-

( 286)

On a p — 1, donc

A0 - A0 ;
donc
51% 139

K'— (17,11 — 0,968) . —— — 16,66 ans.

567 435

161. Durée moyenne des mariages. Soit » mariages entre n
garcons de l’âge a, et n filles de l’âge a’.

Soit o la probabilité qu'un garçon qui se marie à l’âge « par-
vienne à l’âge a + x; on a par la table

soit

on aura :

d'où

nombre des maris vivants à l’âge de a + x ans.
Soit » la probabilité qu'une fille se marie à l’âge a! parvienne
à l'âge a! + x; on a par la table

nombre des femmes vivantes à l’âge a’ + x.
© est la probabilité que leur mariage subsiste après æ ans.
nC, (o:. d} (1 — gb)" est là probabilité que sur les n mariages
il en subsiste encore À après la x°”° année. (Voir n° 20).
Le plus grand terme de Lo + (1 1). est celui dans

lequel on à
pui —od—iin—?

(287)
d'où
1 — Noy. Ses EUR SDS DES SINISTRES (1)

Donc le nombre des mariages qui subsiste le plus probable-
ment après x ans est

in; =Nn (2)

A l’aide de cette formule (2) on pourra former d'année en
année une table des valeurs de 5. En faisant la somme de tous
les nombres de cette table, et en la divisant par n, on aura la
durée moyenne des mariages faits à l’âge a pour les garçons, et
à l’âge a’ pour les filles.

Faisons pour simplifier a = a’, o— 4, q” —q', p” —=p", ce
qui revient à supposer que les conjoints sont du même àge,
et que la probabilité de la vie des hommes soit la même que
celle des femmes : la formule (2) devient

nq”
ARS 7 D Era RO Rte
12
la formule (1) devient
OT EE REA EEE AE AE SEE nn |)

162. ProsrÈme. Chercher la probabilité que l'erreur de à =;
est comprise entre + s.

Si de p individus de l’âge a, q parviennent à l’âge a + x, en
supposant que p et g soient infinis, on aura exactement :

(Diet)

+.

le

Pour un grand nombre p’ d'individus, on aura q’ = À.
Si z est l'erreur de cette détermination, on aura exactement

nt

— or Lo

done
q’ Z ? z \? 12 9
RE imns=n(T =) Au dl ie
p p 2 p p

en négligeant le dernier terme qui est de l’ordre de ne et la pro-
babilité IL de z sera (n° 119) :

522

serrer
12qp'(p — q)(p + pr
1

: ROC

Viet)

vis-à-vis de À, nous aurons

de il
Var sp (1 —6+)

El
D

Négligeons

n ne CE)
C’est aussi la probabilité de la valeur (5), qui est la vraie valeur
de £.

Maintenant cherchons :

1° La probabilité de ! dans l'expression
12 D
DR CR pue DE a ru (7)
P

Comme ? — noŸ est l'exposant de 4 du plus grand terme de
Led + (1 — gp)]", il est clair que ng? est l'exposant du plus
grand terme de [e? + (1— g2) |”. Done la probabilité de {, dans
l'expression (7), sera le l°"* terme de [e? + (1 — g2)[" après le
plus grand terme de ce binôme.

Or, d’après le théorème de Bernouilli, le plus grand terme G
du binôme (p + g)° est (n° 51)

l
G—= ——— .
V'2xupq

Si G,_,, G,4 désignant respectivement le [°° terme avant, et

le l”* terme après le plus grand G, on a (n° 51)

12

PA =

Carat (nr ee 6 OU,

V'2rp pq

(289 )
Cela posé, en prenant approximativement
il E

Gu——— 0e Hi CL EL RAIN RATS)
À V2rupq

on n'aura qu'à faire p—®, q—1—#,p—n, et la probabi-
lité IL’ de /, dans l'expression à — no? + |, sera

12 Ÿ
Me PRÈS EEE e. 2n?2 (1— P?) TL SRE ES (9)
V’9rn°° (1 — #)

done la probabilité IT, de l'existence simultanée de z et de !, dans
l'expression

DR NOEnQUE
en EAU Fe RG PR RAR LAN EEE SE (x)
P 2
sera
2 12

MCE)
TR lee ES ue ul.)
27 V’ np’ A— #)(1 +»)

Mais si s est l'erreur de à, dans i =”

ae , la valeur de à sera

12
GA RSR Smet
p

donc pour que (x) soit aussi la vraie valeur de ë, on doit avoir

na’? Te
nq 2nq'z nq”°
mn li ms te 5;

Hot p

ou

2nq° AG
L—= 5 + ce . . . . . . . (12)
2

donc

Qnq'z
z2 Dm p? =

e 7 2p(1—#) | ang" np'(L—p?)
= LEA MR SR TS US
2x V/np'e° . a s) (1 + ?) °)

est la probabilité de s dans l'expression

12 / 12
3 ; n Dnq'z nq
En — 4 RS Ce 2)

D p° pat

(290)

nq'?

—— est
P

% Cherchons la probabilité P que l'erreur de à —
comprise entre Es.

Pour cela il faut intégrer (45) par rapport à z entre les li-
mites — oo et + 0, et par rapport à s, entre — s et + 5; on

trouvera ainsi :

hou.
D = RE ARS A =)
. 9rV np (1 — +) + +)
soit
1
2m +6)
alors

ee s2 ie [ions 1 ne En2q'2 ee &nq'sz
Do in te ee LEE TER, map p |

G

ES — ©
comme ® =: broximativement, d'où qg!/ — œp', on à :
qi Ç1
+5 s2 + o [ÉCRPERE 2e PR 2sz oil
P—c de Cf den PEpU pd PU)
—$ TT ©
Posons :
(1 + 0) + An: 2p's
pe P ? ? Ha
== —— 5 ?
pets) * Ÿ pli+s +
alors — cç ÿ dse dze

— S — 12

de ren Jfüe ue

— 3 — TZ

et comme
ee )2 Â ET
os Eee 27
e h
Vr = — hg?
DD QUES = TE e fdse Era) |
Ve
æ fa De roprnpeil"

(291)

ou bien, en posant :

LA

PA a 10 PAPE SIN EE D
_2np(1—+)[p?+(p? + 4n) +]

k ts 2k s D
P — — dse ® — — dser F*,
Di Fe

DURÉE MOYENNE D'UNE ASSOCIATION QUELCONQUE
DE x INDIVIDUS.

165. Soient a,,&,a;… a, les àges respectifs de ces n personnes;
D Py,Do, Ps. p, leurs probabilités respectives de vivre
encore % années ; On aura :

Soit le nombre des associations existantes après x ans, écoulés
depuis l’origine de l'association , on a :

D'UN. Papa. Der . . . . , . . (1)

Remarque. Si les associés sont du même âge, et que r soit leur
nombre, on a

La somme des valeurs de (1) ou de (2) correspondantes à
toutes les valeurs de x, divisée par n, sera la durée moyenne de
ce genre d'association.

DURÉE MOYENNE DE LA VIE.

164. PREMIER PROBLÈME. Soit © — | + nu, déterminer la pro-

babilité P,, que la somme des âges auxquels parviendront n indi-
_vidus, nés à la même époque, est égale à w.

Soit a l’âge le plus élevé ;

Soient 0, da, 2da, 5da ... x... a les âges respectifs des n per-
sOnnes ;

Soient o (0), (da), g (2da) ..…. œ (x). p(a), les probabilités
correspondantes.

( 2992
On aura :

jme) = $(0) + ÿ (da) + ; (Ada) + + + sa) =1,

c noie que la probabilité que les » individus auront ou 0,
ou da, ou 2da ..… ou a années, est une certitude ;

Je xe (x) dx = 07 (0) + das (da) + 2duz (2da) +

= ——

somme des produits des âges par les probabilités correspon-
dantes, sera la vraie durée de la vie moyenne;

Ji ap (x) dx —0°+ (0) + due (da) + (2da) + (2da) + etc.
0

somme des produits des carrés des âges par les probabilités
correspondantes ;

J'xe (x) dx = 0° (0) + das (da) + (2da,° + (2da) + -…. ete

0
somme des produits des cubes des âges par les probabilités

correspondantes ;

et ainsi de suite.
Posons nu, olm)=u(r),

[ed =k, ts 80 JR) dx'— k,, etc.

0 0 0

Il vient

fe (a)dr = af DE CEE = ai",

0

Je p (x) jt d'air = Eh (2)
ji mq(x jus=uf" DD ke

Les termes du produit
Le (0) + + (da) + & (2da) + +. + ç(a)}"—1.

exprimeront toutes les probabilités composées possibles des âges
simultanés des n individus.
Soit
X—{2 (0) + 9 (da) "+ 3 (2da) “+. =EP,

alors P,, sera la probabilité que la somme des âges auxquels les
n enfants parviendront est ©.

(295)
Pour trouver P,,, posons t—e-5Y-, on aura

X—{#(0)+g(da)e-e vi + L(2da) e-2mdav-t + … =D cv
— Pr Pinto ete cn P,e CVS pe e Totu)V1 ete. (5)

On à JT eV — 0, Ton 0 EU)
Tr ==

Donc en multipliant (5) par 5°" dé, et en intégrant entre
les limites 5 ——7T et 5 — 7, tous les termes du second membre
disparaissent à l'exception du terme en P;,, et l’on a

FFXem0V id — P,.9r,
="

1 Fi
Pos JTXercV dr,

F7

d’où
et comme © — | + n4.

P,— D Taser | em Vi Le (0) + ? (da) e-SdaV1 + #(2da) e:-25 da Vu | | ne
= 7
Soit

ere |; (0) + (da) Put p(9da) era 0, (5)

nous aurons : 1 Fee
PS ne à er NU
Or on a :
LA — nu V—1+ n1 {s(0) +o(da)e-mavise (day 7" + ete. |
==. eûC . eût
nus —1 + nl. ( a) (da)[ — ed VITE + 2 : Le Tete. |
— 22da Te
+240] ner ee a + _. : V—1 + ete. |
da w5da
+ e(Gda)] 1—c3da—1 Î —- + à rose = LE et. |

+ etc.
—npoV —1+ n1. [+ (o) + # (da) + :(2da) + $(3da) + etc. ]
ee Vesi L+(0) + ; (da) da + (2da) da + +. ]

2
HE _ Le (o) + # (da) da’ + + (2da) da? + etc.]

= [e(0) + + (da) da+ + (2da) da’ + ete.] + ete. |

(29)

On a ajouté @ (0) — 0 dans les polynômes entre parenthèses,
et à cause des équations (1) et (2), on pourra écrire :

l'A pell: À rade 1 f'asadx

20 m° a
| xpxdx + nf 1 f x”;xdx + etc.
© p4 9 0

| à k dE
L À —nps V —1 +n1. 1—51V/—1 a ko + = ks + |
o 5

Fe ol 2 ak. 5 ol:
— nuoV—1+nl. ; 41—5V/—1 Me Ha _ Le ee.
) E

Si l’on développe le logarithme en série on trouvera :

dk Visa lou
Aro lentes A ee ER non Lie La
. | : b (0 9

_ HER
a Le
(a no nas dE ete

a
[2

a étant quelconque, on fait disparaitre le premier terme ima-
ginaire en posant (v. page 292) :

di
== = xoxdx ,

vraie durée de la vie moyenne. Alors

kks —K
I. SI
Passant aux nombres :
DRE = «T2
ER 2EN 2k: ë
À = à :

n étant très-grand, on peut négliger tous les autres termes de

l'exposant de e, d'où

Le T2
— ef due!” Va ;

( 295 )
on peut étendre les limites à + , et poser

1 E Kka — K?
D nn ee SU MO)
DTA

Pour effectuer l'intégration de (6), il faut faire en sorte que
l'exposant de e devienne un carré; on a :
2 — 2 2 y
LE CN CS RL mes ) . _ 28IV—I ;
24° 24? na (kks — K?)
Eks— Ke [ RIT SE op IV UNE
se D — ————————— | — | ————— ‘
24° na (kk: — sil Éane .
n
(RE, — 1)

== — }}

Soit BP —
il viendra

— ki 1\2 QC? his 1]2=
EU A É (Ci =" Le Re Verbe | }

2, 26 na nai
— saVn gl VAE BP
0 28 a = a
1 e DÉC E
done P; me Ga OPERA
è saVn AT V4 =
Soit D Mes A. = t,
28 an.
l Le
d'où ds — dû;
an ?
1 2 26 æm —#dat
on aura JS NT af Fee
27 an”,
mais JET
pie
done D tea ee
(41 V'n7r

probabilité que la somme des âges auxquels parviendront un très-
grand nombre x d'enfants, est :

o—l+4ne—l+n" ns n fes xux ,
20

( 296 )

c’est-à-dire que cette somme est égale à /, plus » fois la durée
de la vie moyenne.

165. Deuxième PROBLÈME. Chercher la probabilité P que la
somme des àges auxquels parviendront les n individus, est com-
prise entre

9 5 ar
Dee l=naSE ar Va =n | dis & —
V°n

En faisant varier / d’une manière continue depuis — ! jus-

qu'à +/,ona

B ee LE Ê"e 2 SE — fB2r2 ñ
P— ——— ne Gen ne — (8
a =): Vra ne A : des ai els)

0

P est done aussi la probabilité que le rapport de la somme des
âges auxquels parviendront les n individus, au nombre des indi-
vidus, est compris entre ak, ++=ou entre la vraie durée de la vie
moyenne augmentée ou diminuée de ==.

Remarque. Quand à est très-grand, on a à peu près :

[asxdx — ak — G
(0

rapport de la somme des äges auxquels parviennent les x per-
sonnes, à ce nombre #, ou durée de la vie moyenne;

0 ke
rapport de la somme des carrés de ces âges, au nombre ».
On a donc (voir p. 292)

L G Gak Gk
“ve AU On
GX?
HE Te)
ad
oh
2 _
. k° ak? a?
Pot) 2(FH—G#) 2(H—6)
ANENVARENC:

(47
D = —— 5 bL = ———
Fame "% al?

( 297 )

166. Troisième PROBLÈME. Chercher l'erreur moyenne à craindre
en plus ou en moins sur la durée moyenne G de la vie.
La probabilité de r est

2 ci
Ce dr.
Vr
done la valeur moyenne de r est

il É
EE — rdre- E**,
DAS

ar

La valeur moyenne de 5 est

u œ 2,2
nr | Brdre—Ë*",

nt
maIs

= B2r2

e | aD Î
ee ydr — — — + C, FÉVR eZ,
JB 28 + 26

0

ar

donc la valeur moyenne de = est

a V’H—G?
D == TITRE À
28V/nT V'Onr
mais

2 7
. P—= — dre €?
ve

est la probabilité que le rapport de la somme des âges auxquels
parviendront n personnes, au nombre x, est compris entre la
vraie durée de la vie moyenne + #, ou bien, que G est eom-

pris entre la vraie durée de la vie moyenne augmentée ou dimi-
nuée de

VH — G
RE 3)
V'Onr
done en prenant G pour la vraie durée moyenne de la vie, on
risque de commettre une erreur comprise entre
V’H — G°

V'Onr

SE

(298)

Remarque. Ces résultats sont encore vrais relativement à la
durée moyenne de ce qui reste à vivre, lorsqu'au lieu de partir
de l’époque de la naissance, on part d’une époque quelconque
de la vie.

167. QUuATRIÈME PROBLÈME. Déterminer la durée moyenne de
la vie dans le cas où une des causes A de mortalité venait à dis-
paraitre.

Il suffit de connaitre le nombre de survivants de l’âge x, si la
cause À n'existait pas; car alors on pourrait former une table de
mortalité pour ce cas, et en déduire la durée de la vie moyenne,
en comparant cette durée à celle que l'on conclut des tables de
mortalité ordinaires, dans lesquelles on n'a pas fait abstraction
de A. On aura l'influence de la cause A sur la durée de la vie
moyenne.

Soient Y, le nombre des individus qui, sur # naissances,
vivraient à l’âge x, si la cause À disparaissait ;

y, le nombre des individus qui, sur n naissances, vivraient
encore à l’âge x, dans le cas où la cause À subsiste ;

o(x) dx, la probabilité qu’un individu de l'âge x périra de la
cause À dans l'intervalle de temps dx.

yoxdæx, le nombre des individus qui périront par cette cause
dans ce même intervalle de temps dx.

Yuxdx le nombre des individus de l’âge x, qui périraient dans
l'intervalle dx, si la cause A ne subsistait plus.

On a donc, en remarquant que y et Y diminuent, lorsque x

augmente :
ydax {ox + px | — — dy,
et
Yp(x) de = — dY.

Éliminant 4 (x), on trouve :

MENU
LY — |]. ye/#"%, Y — ye/rrir,

L'intégrale JS Cxdx se trouve approximativement par les tables
de mortalité, car-en faisant dx — 1 an, on peut considérer fgxdx

( 299 )

comme étant le rapport du nombre des individus que la cause A
fait périr chaque année, au nombre n de ceux qui vivent encore
au milieu de cette année.

DE LA POPULATION.

168. TaéorÈème. Si dans un pays les rapports de la population
aux naissances et aux décès annuels sont des nombres constants,
les naissances, les décès et la population à la fin de fa première,
de la seconde, de la troisième, etc., année, à partir d’une époque
donnée a, constitueront trois séries de nombres en progression
géométrique.

Démonsrrarion. Soient :

P, D, N respectivement la population, les nombres des décès et des naissances
à l'époque a;

P,, D,, N,, les mêmes nombres à la fin de la première année à partir de l’époque a;

P:, D:, Ne, » ” seconde année » ”

- P;,D;, N;, » » troisième année » DC

On a par hypothèse
P P

D os (NN BED En
ee D «a ou at DS NT d
P P : P P D
ON Den le tn ee.
1 D, (0 d N, (l
Soient
1 1

—1À+-—-;
4 HAS

A

et >, >,, >, … les excès annuels des naissances sur les décès.

On a

P P 1 1

1° =N-D= rt
: ñn d ñ d
1 1

BND, : : fo —

P — 7N

|
De) + > — £ +2)"
P, = P, + À — Pr
pe ln + De, = Dern

multipliant par ordre et réduisant, on trouve :

D Nr Pr EN A a ENTRE (a)

done
Pue Prir!
d'où
: P;::
PU NRA NT END
| E (b)
90
P;
N; HS 9
n
donc
ILE CN
N; —_ ,
n
d’où
N; == No : Ni = Nr'hi,
et
N;
on (o
5°
IP
D =+,
d
et par suite de (a),
nNr
ous ; ?
et puisque
D n
N 4
D, — Dr, D, — Dr! . . . . (d)
et
D.
r —= ee . (e)

Par les formules

P;
D —pPri Or
P;
N,. = Nr ? nr
N;
D,
D, — Dr' T — mise
D,

il est clair que la population, les naissances et les décès forment
des progressions géométriques dont la raison sera connue, si l’on
connait deux termes consécutifs de l’une quelconque de ces pro-
gressions.

169. Progèue I. Les naissances et les décès annuels étant
proportionnels à la population, trouver le nombre à d'années
nécessaires, pour que la population soit devenue égale à m fois
la population primitive.

SozurTion. P étant la population actuelle,

Pr est la population après la première année ;

donc
log. mn

Pr — mP, et 1 = ——
log. r
ProsLèue If. Les naissances et les décès annuels étant pro-
portionnels à la population ; et Z exprimant l'excès des naissances
sur les décès pendant la période de ? années, trouver la raison
de la progression géométrique qui exprime la population à partir
d'une époque donnée.
SOLUTION. On a

Lib
d'où
#7P; De > î >
= 5=V/ 5 j 2
P PE
Soit
Puits ec:
on aura
>
1P 1P
> P;—pP
PA += A + —_—
1P 2P

(502)

Progième HI. Soit N' le nombre des naissances des enfants
nés À années avant l’époque actuelle, par conséquent le nombre
des naissances des enfants qui ont actuellement de ? à + 1 ans;

Soit P.,, le nombre des décès actuels des enfants de à +1
ans correspondant aux N’ naissances ;

Chercher le nombre 4;,, de décès des enfants de à à à + 1 ans
correspondant aux N naissances.

Sozurion. On a la proportion

ND,
Ain — = )
Or
N,; — Nri

ou, en changeant N,; en Net N en N°’,

NN re
d'où
N
N’ — 2
;
donc
UNS ND;,, Es Dr,
N
G
et
AD ENT ANA AU NE)

170. ProBzème IV. Connaissant les nombres N, r, B, ainsi
que la répartition des décès suivant les âges à une époque donnée
a, trouver les nombres des survivants à la fin de la 1°, de la 2°,
de la 5"°, etc., à” année à partir de cette époque.

SOLUTION. Soient respectivement N, D, P les nombres des
naissances, des décès et de la population à l'époque a;

Soit A; le nombre des survivants à la fin de la &””"* année à par-
tir de a;

Soit a; le nombre des décès des enfants de à — 1 à à ans,
correspondants aux N naissances; on aura :

RE, AUDE Cr (D

(505 )

Soit D; le nombre des décès des enfants ayant de à — 1 à à ans,

’ . DL a Là s N
nés à — À ans avant l'époque actuelle, et qui répond à N'=—-,
naissances; on a, par l’équation (e)

A,— Dirt
donc
À; — À; es Drm . . . Ê . . . (g)
faisons successivement ? — 1, 2, 5 À
= \
A — N DE D,
A, — À, — Der
Ae— À — D;r, etc.,
= A;_;,— Dre
En ajoutant et en réduisant, on a
A=N—{D,+ Dir + Dar + + Da! |. . . (b)

Cette formule sert à construire une table de mortalité, lorsque
la population croit en progression géométrique, et que l'on con-
nait la répartition des décès par àges.

Si la population est stationnaire, on a

SN D A D D D, tic. D.
Cette formule correspond à l'hypothèse de la table de morta-

lité de Halley.

Formation des tables de population.

La population actuelle P se compose : des N enfants qui vien-
nent de naitre ; des N, enfants âgés de 0 à 1 an; des N, enfants
àgés de 1 à 2 ans, etc.; des N, individus âgés de o — 1 àwans,
w étant le terme de la vie.

Soient :
N, le nombre des enfants de 1 an;
N, » » de 2 ans;
N: » » de 5 ans, etc.;

N:. » des individus de © ans,

( 504)

on peut prendre

É N+N, N,+ N: N; + N:
N, = IN, ee) Nu ner Nr
2 2 2
N_s + N,
a 9 2?

et l’on aura :

{| /
P=N, EN, + ee HN, +N +... No Nor (1)
Soient : À, le nombre des survivants après 4 années; et N—A,.
La probabilité d’avoir z ans sera

mais quand la population croit en raison géométrique, le nombre
N

des naissances correspondant à cet âge est — ; donc le nombre des

individus de # ans sera

(| À, A: AU A:
LE = <E 00

+
9 V Fr” 7e = 1 7

CorozzaRre. Pour r — 1, la population est stationnaire, et
l'on à :

1
RNA A 0e etc. |

| : à (322)
4 A1 == 2 = MCOO
2 N
! 1 A À, +. . , ,
M étant la somme ; + ne N——, qui représente la durée de la

vie moyenne.
Les formules (5) et (5”*) servent à former des tables de popu-
lation.

( 303 )

Usage de ces tables,

171. La population totale étant d'un million d'hommes , soient:

n le nombre des hommes âgés de m ans,

p » » » q ans;

n — p sera le nombre des hommes âgés de #2 à q ans sur un

Te Hin —
million; et sur H hommes, ce nombre sera _

ProBLÈmE. Que devient une population donnée après un temps
quelconque t?

Supposons que la population eroisse en proportion géomé-
trique, tandis que le temps croit en progression arithmétique; et
que l’on ait :

p as ke‘!
a et Æ étant des nombres constants, et e la base des logarithmes
népériens ; On aura :
Pa — ke“n,
d'où
I CA
Pr

Soit n — 0, on à p, — pm, population au moment où l'on
commence à compter le temps; 4, = t = 0.

On aura :

p — Poe“
et

re LE Aer led (a)

La constante « se détermine quand on connait une valeur de p
correspondante à une valeur de t; par exemple, si p devient 2p,
quant { devient { + 25, on trouve

a — 0,01204 …

En général ap diminue en Europe; cette quantité se nomme
Énergie du développement de la population.

(506)
Soit P, la population normale ; et supposons que ap s'affai-
blisse de g (P—P,), c’est-à-dire proportionnellement à l’accrois-
sement de la population, la formule (a) devient

de PR nee GP RUES
p TERRE 1 p P
Faisons
gJ—a=m,
d'où
Po = MP ;
et
1 dp_m(P—p)
p at P
dt — io
m (P — p)
pe ! ] P)
C—= — — |, UE .
HE :
t— 0, donne p — P,, donc
c— — —1.(p — P)
4 P—
| Po (b)
m P—p

1 (P — p) = 1. (P — Po) — mi = |. [(P — pi) ge]
P ne p — (P [es Po) ent
p — P (P — P.) Pi 2 . . . : G À À à (c)

Il reste à déterminer les constantes P, #”, po.
Si l'on donne les valeurs to, Pos t1> P15 24, Pa; la formule (b)

donne

1 P—»p
h——
m P—p,
et
41 P—
Qt, = — A

>
O1
©
1
=

en éliminant »#, on obtient

__ Pi Pos
2pi—(po + p})
donc
Pi Pope
PPT ne (Panne cl
br Dean Pi — PoP2

Pi

2pi — (Po + De) "4 |

THÉORIE DE LAPLACE SUR LA DÉTERMINATION
DE LA POPULATION D'UN EMPIRE.

172. ProgLème I. Chercher le rapport «a de la population aux
naissances annuelles.

SoLuTION. On fait le dénombrement exact des habitants d'une
partie de l'empire.

Soit p le nombre des habitants de cette partie;

q » naissances correspondantes ;
on aura :
P
A = — :°
q

Exewpre. En 1809, au 22 septembre, on a trouvé dans ces
communes choisies de trente départements, distribués de manière
à compenser les effets de la variété des elimats :

110312 est le nombre des garçons nés du 22 septembre 1799
au 22 septembre 1802;

1059287 est celui des filles nées dans le même intervalle.

110512 + 105287
TER VS

LA

d)

— 711866.

On a trouvé p — 2057615 habitants au 22 septembre 1802.

Ainsi

à = 98, 552845.

( 508 )

PROBLÈME [I Etant donné le rapport a, et le nombre g' des
naissances annuelles de tout l’empire, trouver la population p'.
SoLuTion. On a

L RODU
p=ag =—:
q

Exewpze. Les mêmes données que précédemment étant prises,
soit 1° g!— 1000000, on aura

p'— 1000000 X 28,552845 — 98 359 845 ;
soit 2° q' — 1500000, on à
p'— 42529967.

Progzèue HI. Chercher la probabilité Il de l'erreur z que l'on
peut craindre sur la détermination précédente de pl".

SoLuTION. La première formule pour les erreurs d'une table
de mortalité donne (n° 162)

j a g322
= Ver ee e 21'(p—4)(p+41)
2pq (p— 9) (g+q)r)

ProgzÈme IV. Chercher la probabilité P que p! —?T est com-
| 3
S !
prise entre À z
SOLUTION. On a

q DE nr
P = 7 RE EU NOTE UE dze 2pg'
V 2pq (p—g(q+a)r

CE NT ES EC) us +2 ki g522 ue
_\/ q . dze 77®-0U45)
2pq (p —q)iq + q')r

probabilités que la population calculée p’ est comprise entre les
limites e Æ z,

D =9) Vases Je 2pq" TENTE 72)
2pq" (p— q) (q + 4°)
PONT RS MP NE 20 q322
— | —9 V7 ESS 10 e 21 @—9) (p+41)
2pq'( )(q + q}r.

L
|

1 0

( 509 )

Soit
2 I NV — 1

2pq (p—Dq+d)

on pourra écrire
= — 2 1 : LL
Pi 5 ff TS = = — ue (2).
& aV’u 20 2x
EXEMPLE :

z — x — 500000,
p — 2057615,
q = 71866.

D = " — 42529267, population correspondante 1500000

naissances.

La formule (2) donne
1 1161

1162 1162

Il y a donc 1161 à parier contre 1 qu’en fixant à 42529267 la
population correspondante à 1500000 naissances, on ne se trom-

pera pas de 500000 ou + million.

CHAPITRE IX.

ASSURANCES SUR LA VIE.

175. Le principe qui sert à mettre en équation les questions
d'assurances consiste en ce que les recettes de l'établissement
doivent être égales aux dépenses.

Les recettes se composent :

1.) De la somme S qu'on doit payer, ou du prix;

9.) De la contribution c, temporaire ou viagère que le parti-
cipant s’oblige à payer ordinairement par anticipation à la fin de
chaque année.

Les dépenses se composent :

1.) De la rente temporaire ou viagère p, ou bien du capital p
payé en une seule fois, ou par terme , au bénéfice du participant
ou du survivant, ou des héritiers ;

2.) Des frais d'administration.

Les recettes et les dépenses doivent être conçues comme des
capitaux portant intérêt, et qu’on doit réduire à leurs valeurs
actuelles, afin de pouvoir juger d'avance de l’état de l'opération.

Soit 7 le taux de l'intérêt, c’est-à-dire que y — 1,05 à 5 pour
cent, y — 1,04 à 4 pour cent.

ProBLèME I. On demande quel prix S une personne A âgée
de #» ans doit donner d’abord à un établissement d'assurance,
pour que, en payant par anticipation à la fin de chaque année
une somme s pendant les « premières années, l’établissement lui
assure une rente annuelle o pendant c ans à partir de la b°”* année
après le contrat.

SoLurion. I. Évaluation des rentes :

1° Soient M le nombre des personnes de l'âge #2 contractant
avec l'établissement sous les conditions du problème, l'établis-
sement recevra en prix la somme actuelle MS;

(311)

2% De ces M personnes un nombre M" = survivent à la fin
A
de la 1" année, et payent Mo = de M € la fin de
celte 1"° année. Erie somme, à TS de r pour !, réduite à sa
CO Âm41,
valeur Actuelle, est M2 A
9° On trouvera de même que la recette du chef de la contri-

bution c, à la fin de la 2"° année, réduite à sa valeur actuelle, est
2 ?

= 0 = $ EC
HN

m

A Ja fin de la «°° année elle est

Mc Ana
EAN

me

4° La recette totale provenant des M individus est

M SEE . [+ + Amks ruse el!

r r°? r

m

donc en divisant par M, la recette moyenne par individu sera

À, ! A» A, a—
= S+ | a ° . .(1)

PL r° r«

IL. Évaluation de la dépense :
1° Pendant les b premières années l'établissement ne paye rien.
2° A la fin de la (b + 1)°" année le nombre des survivants sera

App
A

la dépense à la fin de la (b+1)"" année, réduite au commence-
ment de la 1"° année, sera, pour les M individus,

M Dr Anti ï
pt AA

3° A la fin de la 2° année elle sera, réduite en valeur actuelle,

Mo Awtipe

TR Tara , ete.

21

(312)

A la fin de la c°”“* année elle sera, réduite de même :

Mp : A,

Ai ‘ A,

En ajoutant, puis en divisant par M, on a la valeur moyenne
actuelle des rentes payées par individu, savoir :

Y P A m+b+1 Apr Aide

cs A A nn SM on tr
AVR r 11 ts (m)

Nous ferons abstraction des frais d'administration, et nous
aurons ainsi :
Ke CN)

Remarque. — Lorsque la contribution annuelle & est viagère,
ce que nous indiquons en posant «a —w, le nombre des termes
dans la série de X doit s'étendre jusqu’à la limite de la table de
mortalité, qui est représentée par cette lettre «.

Lorsque la rente annuelle est viagère, ce que nous indiquerons
en posant c—w, il faudra prolonger les termes de la paren-
thèse du second membre de Y jusqu’à cette limite.

La formule (A) fait connaitre l’une des quantités S, o, p quand
on connait les deux autres; &, r, b, c sont supposés connus.

Cas particuliers.

Premier cas. Posons :
5—0, b—0, C—=o,
la formule (A) nous donnera :

(4 Aya An
S = — 4 — + SRG LC SE NENEURNTN (C7
A r 7? (a)

c'est-à-dire que la personne À doit donner à la caisse de l'éta-

blissement un capital S, pour constituer sur sa tête une rente
viagère p.

Deuxième cas. Posons :

d—0, C—e@,
d’où :
© A b+1 A b+2
S mer MAL + us + etc. ? -
A, ,T G fe

Troisième cas. Posons :

d’où :
Amis A4r+2
p r Tr
= = RO
Ab
7 A Ann
m
r

Quatrième cas. Posons :

d’où :

p
— Le +
AA r D

Cinquième cas. Posons :

: Si — 0
d'où :
L'URTAN Antige
——— + .. ect
p r r
TR — er a
r A Fe Au ME Rs Aprvit
T per!
Remarque. — Soit S, le capital à fournir par une personne de

l'âge de » + 1, on a d’après la formule (a) du premier cas :

de dd oh es
A, 1+r

mt

Cette formule peut servir à construire une table de rentes via-
gères sur une tête, au taux de r pour 1 d'intérêt.

174. ProBLèmE II. On demande quelle somme S une personne À
âgée de 7» ans doit donner à un établissement pour que, en payant
par anticipation à la fin de chaque année une rente c pendant les
a premières années, la caisse paye à ses héritiers un capital p

(514)

après sa mort, pourvu que le décès n'ait lieu ni avant lab” année,

ni après la (b + c)”" année, à partir de l'époque de contrat.
Sozuriox. I. La recette est la même que dans le problème

précédent.
IT. Quant aux dépenses, en voici le tableau :
Nombre des décès : Dépense réduite :
A. A Mo A, — À
dela D" àla(b+1)*annéeM are Pr MAR
A, a An
À —A Mo A, —À
se (bi > (bo) D Mean DR ee nRnEe
À ar A»
etc.
Aytite_1—A Mo A —A
» (b+c-1)° » (bæ+c)° » NP Eee Heure ue MR Nr 0)
A» T ue A

En ajoutant et en divisant par M, on obtient le payement

moyen de la caisse par individu, savoir

S ne . [A —+ A nr LS A
AU F pari
A, c—
cn (B)

Cas particuliers :

Premier cas. Posons :
DST

—0, A—= 0,
on a
pa ARE ARE Aie
— + + ete. | [2 + ne + ete. |
à r° r r
ait AR
A mA m+2

m + me C LE:

oc est la rente viagère que A doit payer à l'établissement pour

assurer à ses héritiers un capital p après sa mort.

(315)
Deuxième cas. Soient :
= Ver
Troisième cas. Soient :
= 0 WW EONIEENES
Quatrième cas. Soient :
=, DL=i (= =

Les formules relatives à ces cas se déduisent aisément de la
formule (B).

ProBième II. On demande quelle somme S une personne A,
àgée de m ans doit donner à un établissement, pour qu’en payant
une somme c pendant les & années, la caisse assure à une autre
personne B âgée de n ans, et désignée par À, un capital p après
sa mort, sous la condition que le décès n'ait pas lieu avant la
b°" année à partir de l’époque du contrat.

I. Recette. La probabilité de la survivance des deux personnes
à la fin de la première année est

Amp Anti à
AA
la caisse reçoit donc |

4

GS Anyi Any ,
= "EE à Ja fin de cette année;

3 Tr An n
elle reçoit
(ex A 2 A 2 4 ;
re à la fin de la 2° année; etc.
(ET ARR
et
os À,,.A
— "+" à Ja fin de la a°*° année;
: Fa A, A,
la recette totale est

(x pres cn À pro Auto L'PSEE __

S + : =
AA, À r Fi

mais les payements se faisant par anticipation, cette recette se
réduit à :

S + (I)

Ana A An VRP
PANNE MAUR En AN Re

T pe 1

mn

(516)

IL. Dépenses. 1° La caisse ne paye rien si À meurt ayant la
b°”"° année ;

2° Soient M couples d'individus de »# et n ans, dans les con-
ditions du couple (AB), subsistant à la fin de la 1"° année ; ce
nombre à la fin de la b°”"* année se réduit à

Avis Au
== |)

M, — M
À, A

à la fin de la (b + 1)" année,

Ayo Et Apt

M, -

A+ An

est le nombre des couples survivants dans lesquels un individu
de l’âge n survit, tandis qu'un individu de l’âge m est décédé.
La caisse doit done payer

Anrvyt | £

——————

Me À 4041
Ant je

b+1
TE PESRATSS

3° A la fin de la (b + 1)” année, il survivra

Anton Ayo

M — M
A, À,

paires de #» et n ans; à la fin de (b + 2)" année

LUE Aire

M: 1 —

Ayo Anti

sera le nombre des couples dans lesquels un individu de #: ans
vit encore, tandis qu'un de ceux de » ans sera mort.
La caisse paye de ce chef

Mp À 1542 (y An+0+2 *
SE RRNT TE LL ?
L TS A+ ( Ap+rott
Le En posant
M- En M ; Anys49 Aie

6]
À, À,

(317)

on trouve que la caisse paye à la fin de la (b + 5)" année :

Me ei 22 Avysrs

043
7 u À 532

, @tc.
m+-b+2

En ajoutant, substituant les valeurs de M,, M, M;, etc., puis
en divisant par M on a la dépense totale moyenne par individu,
et en l'égalant à la recette (D), on a :

ss © [A A = AwtAntt iv se Sue ee]
tr r

èT P A mb Anti PE Antot Ayo À m0 À +50 — À m+042À 402 C
ma ne oran Een ue Goo D (0)
1 nt n

Fr r

" À pronos “ AntorsAntors Res |
5

Les cas particuliers sont :

4° Celui où a —«, b—0;
2° » SO MOEIO TEC

5° » OM —= , DEI0 =);

175. Proscèue IV. On demande quelle somme S deux époux
A, B, âgés de » et n ans doivent donner à un établissement pour
qu’en payant une rente annuelle ©, la caisse assure au survivant
après la mort de l’un des conjoints, un capital p.

[. La Recette est la même que dans le problème précédent.

IL. Dépense. Soient M couples de conjoints âgés respective-
ment de # et n ans; on aura les nombres suivants de

Couples survivants : $ Couples dont l’un des conjoints est mort :
À» À, 1 A» A, A, A
A la fin de la 1r° année N,—N SRE MEN re ms) (1’)
A, A, A, A A, A
An+oÀ, An A, À, A
S gme 5 2 = N POSTE N, ae #} #Ù ‘ =#) (2)
# A, À n À mi À n+-1 À, mA
e È rl
» ne » N; —= Rmshns N Ans £ pee 1 se) (5 ‘)
A,,A n é A m+2 A n+2 E\ n+-2 A m+-2

etc. : etc.

(548

donc la dépense totale sera

et substituant les valeurs de N,, N,, etc., puis divisant par N,
on a la dépense cherchée; et par suite

mon
ns 2
mn 1 Û

ANENTAN Apr2Ay
a a

ae P [= À, EUR A ASE EE 2A PA
À,,A

mOn

r

ET
-

176. Prosième V. On demande quel capital deux personnes
A, B, de 7%” et n ans, doivent donner à un établissement pour
qu’en payant une rente s jusqu'à la mort de l’un des conjoints
la caisse assure au survivant une rente viagère p.

I. La Recette est la même que dans le problème précédent.

IL. Dépense. Soient M couples d'individus de m» et n ans; ils

»

se répartiront ainsi pour l'évaluation de la dépense :

Nombre des couples

où l'un, âgé de m ans, est mort, où l’un, âgé de n ans, est mort,
J gs 2 2 gs ?
» l'autre, » n » vivant, » lautre, » m » vivant,
re année N Ant £ ue) Am £ _.
a EE RSS ET L]
A, ; Am A, À,
A, A À A
+2 m-2 m+2 n+-2
QE AN Te ee Ne
A. A. A A.
etc. etc.

Le survivant recevant la rente viagère p, on a :

| Np(A, A» A» A,
Dépense de la 1r° année — | : £ — 2) en £ ==
T nm

À, À, A
N A, À, À, A,
» » 2Meannée _ e £ ee =) Fées £ Hd =) |
o) A, A7 A, AE)

(319)

En ajoutant, et en divisant par N, on a la dépense moyenne ;
donc

A m+1 Ever A m2 À n-+2
A AE ——— + ——— + etc.
tf r

P A, A, TE Lvr A, — 2A,,, An (E)
NASA | r

74 n

e AnivAn = Ayo, Lin 2A ,1oA mio

+ eic. |
T°

177. ProBième VI. On demande quel capital S deux personnes
A, B de »# et n ans doivent donner à un établissement, pour
qu'en payant annuellement une somme co, la caisse assure au
couple (AB) une rente p qui doit cesser à la mort de l’un des
conjoints.

I. La Recette est la même que dans le problème précédent.

IL. Dépenses. De N couples il reste :

N Ag An

À la fin de la 1" année N —— couples ;

A2A no
» » 9m » N "# "À couples, etc.

mn

Donc la dépense moyenne se trouve en multipliant ces restes

. le] . . . .
respectivement par :, É, etc., ajoutant les produits, puis divisant
la somme par N. On a donc

(3 Anti Ans \
S + —— 1! A A, +" + etc. |
r

(F).

P Anis AmpaAnro
de mere + eue. | |

178. Progzèue VIT. On demande quelle somme S deux asso-
ciés À, B de m et n ans doivent donner à un établissement pour
qu’en payant une rétribution annuelle 6, la caisse leur assure une
rente viagère p.

I. La Recette est la même que dans le cas précédent.

( 520 )

IT. Dépense. La probabilité qu'après t ans l’un au moins des
associés vit encore est

D M
On aura donc “ . rt
SE n (a, , nie + cle.)
= . = se _ ne ct.) 4e ni (es + ee et. (G).
hd je ce _— te.)

179. Prosrème VIII. On demande la somme S que deux
associés À, B de » et n ans, doivent donner à un établissement,
sous la condition que À payant une rétribution annuelle oc, B
reçoive de la caisse à la mort de A, une rente viagère p, pourvu
que le décès de À n'arrive pas avant la b°”* année à partir de
l'époque du contrat; et en tenant compte des frais d'administra-
tion d, occasionnés par le couple (AB) jusqu'au moment de sa
complète extinction.

SOLUTION. La probabilité qu'après { ans B existe encore et que
À est mort est : |

Auyoge £ =

nm

On trouve pour la dépense

A, A, 2
A mi

T°
ee “ent à eue] (1”)
APPAE di *

Maintenant évaluons les frais d'administration. Soient :

N le nombre des couples dans les conditions du problème ;

AV
+ 2 x
N —————, le nombre des couples en vie après { ans;

A

m fl

(521)

A, An DUR MOUSE
N Vi ( ie = le nombre des couples où l'individu âgé de n ans

nm mm

vit encore et où celui âgé de @®# ans est mort.

Aux,

La somme de ces deux derniers nombres est N

12
Ant,
Les frais à la fin de la première année sont d—

nm

\ ; A
Les frais à la fin de la deuxième année sont d

; etc.
La somme des frais est donc

0] jus ke ee
r

se on

La recette est la même que dans le problème précédent; done

A y A% AypA,
SE) an, à Anne à fol qu, | |
[LA nm r
p At LR
=" Æ —— + elc.
n | F 1e | (H)
P Antirt A, +641 Anse Au ;
A A de part
Le Le EE Ans + etc |
AS ENT F°

180. ProBLème. IX. Constituer une rente viagère sur plusieurs
individus âgés respectivement de

M, M+U, M+U+ 0, elc.

de sorte que la rente reste au dernier survivant. Il faut chercher
le capital S actuel, équivalent à la rente viagère p.

SoLuTion. 1° La probabilité qu'a la 1° personne de vivre à
l’âge m + x, est Fe :

La nn Bite qu'à cet àge elle aura cessé de vivre est 1— te,

2° La probabilité pour la 2°° personne de vivre à l’âgem+a, +x

A,
EE ns D et celle qu’elle aura cessé Fete à cet nd est
rt etc.

Am+a;

(52)

La probabilité qu'aucun des associés n'existera à cette époque

est
PE ( Bal — £ te =: | ( A: “tata ue
ne 2 ue

mr

Donc 1 — P—", est la probabilité qu'un de ces individus au
moins sera vivant à la fin de la x°”° année de la constitution de
la rente. On aura par suite

= MAIS CAS

Autrement : Soient plusieurs individus A, B, C... pour lesquels
on a placé une somme S. En vertu de ce placement, ces per-
sonnes recoivent tous les ans une certaine somme qui doit être
payée tant que les individus ne seront pas tous morts.

Soit s la somme annuelle à payer et qu'il faut déterminer.

Soient p1, Pa, ps... les probabilités que ces personnes vivront
encore après un temps { quelconque.

Soient q1 ; Ge, gs .. les probabilités contraires.

La probabilité que toutes sont mortes au bout de ce temps est

D — 1QaQ5
Les tables de mortalité donnent
Di D Dos Dane
pour la 1'°, la 2°, la 5°, etc. année. On a donc

(} (ex C
D'or en RCE lo à à à (L)
r r r

181. ProBLème X. Une urne renferme des boules de diverses
couleurs (1) (2) … etc. Une personne À en tire une boule, puis
la remet dans l’urne ; le bénéfice de A est v, si la boule est de la
couleur (1); si la boule est de la couleur (2) ete. Il y à
{ tirages, et l’on demande la probabilité w, que dans £ ürages le
bénéfice de A sera o — {y + |.

Soient p,, ps .… ete. les probabilités relatives au tirage d'une
boule de couleur (1), (2), etc.

Les bénéfices de A correspondants à ces tirages seront éven-

tuellement
P1%, pour une boule de couleur (1),

Pavo » » » (2) ;
etc.

On a

Pa + Pa + ete. — À,
pau + pau”? + etc. — ZU,u°.

Soit w— eFV—T, on aura
x = Mn 2 pars V1 4e =. = Dre VE
d'où
1 7 es
Uc = — ÿ er SONIX GS
Dr

| T a
ee —1DV—1
+ Li de

T

t
en AV (pet Vs Se pere + ete.)

À
— — in
27

—IGV—1 À

en posant

A— | no (nc Vu + pen ne etc.) Ës
d'où
L A — jus” 1 + 11. Re + per 1 + ete.]

2

Ce RATE, v?
— — iuoV/— 1 + 41. EI + ovV—1 == À ete.)

£ Pen |
+ Do + SU == — 1.2 — €LC.
== —tyol/—1 + 1. [pr Pa + Etc. + (Dati Pata +.) sV/—1

D?
— (PAté + Dave + re + ete. |
— — fuoV —1+tl. 1 + (pit + Palo + …) 5 — À
2
Ln}

— (PAvi + pavé +.) No + etc. -

(32 )

Développant le logarithme du second membre en série , on

trouvera
LL A—toV —1 pau + Pole + — Hp

2

l : ;
— . [(pavi Æ Pavs + ce) — (Dati + Poe + De

On peut négliger les termes en =, ete. parce que l’on suppose
t très-grand et que l'expression précédente devient un exposant

négatif de e.
Maintenant posons

B— Pal Æ Pole +

et
Dh? — pui + Pau” + + — (Dita + Pate + DE
on aura
1 À — — th?
d'où
À = ge",
donc
U, = 2 fr due-ter"+6 vil
97? >
ja 2 7 dae-L282+16 V1]
DTA
Ne —æ(s ur =) - (2)
nr)
= 7. te (s Le),
Soit
= EV/—1
Tr = k V4 (> + | ,
tk?
d’où
dr
do — = 9
kV/t
on aura
A 4 E
Us — FE dre"° ME

A Lo Voies

(53)

182. Progzème XI. Chercher la probabilité P que le bénéfice
réel de A est compris entre les limites + L.

SOLUTION : P est évidemment la probabilité résultante obtenue
en faisant varier { dans (a) de — ! à + {, par continuité, ce qui

donne :
4 DRE 1 DRE
P — = ie CAE = 6 EU,
kV/rt EVrte

—}}

expression de la probabilité que la somme des bénéfices est com-

prise entre
HR=El, Wou d} Dita + Pate + + + [.

Soit
l à
—— —7r, 1=9krVt, dl=92ky/tdr,
2kV/t
alors
| o—œpt+l= pt + kr VE,
donc

9 L
= —— ° enuor
V/x >

sera la probabilité que le bénéfice réel de A est compris entre

uit, ou #{ pau + pau + + | + 2kV/4.r.

185. Prorzème XII. Le capital S qu’un individu de l’âge » doit
donner à un établissement pour en avoir une rente viagère p est

S ee Ami ru An
A r T°

TL

+ etc.{:

Si b est l'avantage que l'établissement retire de ce placement
pour cet individu, trouver la probabilité que le bénéfice total de
l'établissement, pour { individus, est compris entre des limites
données.

SOLUTION. Soit

d'où
Pila + Pat: + lc. =? . Lu + etc.
ap — (ee dl PES A É SP pese 1
pl A 1e PAS PF A,
On aura

S + b—= più + Pate +
Donc, par le problème précédent,

2 1
P — —— e="* dr’
V7 J

est la probabilité que le bénéfice réel de la eaisse est entre
tS + ip + 2kV/t.r" ou entre tb + 2kV/t.r".

Remarque. Si t est infini, alors —2kr V4 est infini et P—1.
Le bénéfice de l'établissement est donc alors infini et, certain.
Donc dans tout établissement d'assurances, si le nombre d'af-
faires £ est grand, et si l'avantage de chacune est bd, il est très-
probable que le bénéfice réel de la caisse est tb.

184. Progcème XIIL. Deux personnes A et B de même âge ",
ayant la même fortune annuelle, veulent placer en viager cha-
eune un capital q; elles peuvent le faire séparément, ou s'associer
et constituer une rente viagère sur leurs têtes, de manière que
la rente soit réversible sur celle qui survit à l’autre : quel est le
parti le plus avantageux, en ayant égard à la fortune morale ?

Premier mode de placement.

SOLUTION. Soient :

La fortune annuelle de chaque personne — 1 ;
Le capital que chacune veut placer — g;

La rente viagère si elles placent séparément — f;
Leur fortune annuelle dans ce eas — 1 + f.

(327 )
La fortune morale y correspondante à la fortune physique x est
y= k log x + log h,

en désignant par k et h des constantes.
Done la fortune morale correspond à

1 + p=— klog (1 + 8) + log h.

Soit — — y, la probabilité pour A de vivre encore x ans; la
fortune morale de chacune des deux personnes à la fin de la
x°" année est

y [klog (1 + 6) + log h].

Soit S la somme des fortunes morales de chaque personne, à
la fin de la 1°, de la 2°, de la 5°, etc., année, on aura

S—{# log (1 + 6) + log h]3y, = klog (1 + 6] Xy, + log h 0 (il)

C'est la fortune morale viagère de chacune, quand elles pla-
cent le capital g séparément.

Second mode de placement.

Si elles placent le capital 2q sur les deux têtes, soit £’ la
rente viagère totale; elles en touchent chacune la moitié ou = G'
tant qu’elles vivent ensemble.

La fortune morale annuelle est

1
k log ( + y) + log À.

La probabilité qu’elles vivront toutes deux à la fin de la x°”*
année est
Ye -
La fortune morale viagère de A, relativement à leur existence
simultanée, est

L: log ( + 5 + log | Zy?.

( 528 )
La probabilité que A existe seul à la fin de la x°”° année est
Ye — Ye
La fortune morale viagère correspondante qui rend la fortune
annuelle égale à 1 + f', après la mort de B, est
L log (1 + B') + log h] Z (y: — y?).

Soit S’ la fortune morale viagère de À, relative au second mode
de placement, on aura

s| a +- î 2 [klog +(18")+ log L]Z(y,—y?) |
: (1)
— k log £ + ) Zyi+ klog(1+ B”)[Zy, — Zyi] + log hZy..

Selon que S7S’, le premier ou le second mode sera le plus
avantageux.
Pour cette comparaison, il faut d’abord exprimer É’ en fonction
de 6. Orona
An A» 2 Ca
ni Eee Eee ere TR 0)
y

r r°

où, p étant l'intérêt de 1,

Tr — 1 + pe
On a aussi :
Cy DA pra on ASE 2A 12 ITR A2 , 2Y% Eu y 9!

24 — mn De + Are HN +- etc BE EYE (2)

Des équations (1) et (2), on déduit

D ds

À T° FF
B— 28 — — (3°)

(529 )

Pour faciliter la comparaison de S et de S’, supposons que 6
et Ê’ soient des fractions très-petites, on aura :

Salle 0) SR EE NC)

DYAU: ( + Ê) + [5 — Sy] log (1 + 8) — Ep
+ P'Dy: — P'2Y = [22y; — Zyi].

Done, par la formule (3’),
DIX log ( + - + [Zy, — 2yi] log (1 + 6)

283 2 By. —-%13E |.
Momo mur ce eV 0) ET
Te 3 y 2Yx — Y

r°

Cela posé, le second mode de placement sera le plus avanta-
geux si l’on a S’ >S, ou

/

Zy° log £ + . + [Sy Zy°] log (1 + 8) > zy, log (1 + 6),

donc par suite des formules (x) et (5), quand on aura

ou

2
[22y, — Zyi] ve DOUTE Ep >2|

r°
ou

VE LE
DU VOD 1 2 T°

y D Sy. SE y
T°

7°

(350 )

ou
dE
UE 7°
D — — 2 — ;
DU Yx
T°

ou bien enfin

Yz
5 NE
Je CN Dye
T°

Q , » Q Q 1
Cette relation est généralement vraie, puisque = < 1; done le
placement en viager sur deux têtes est le plus avantageux.

(351)

CHAPITRE X.

DE LA PROBABILITÉ DES TÉMOIGNAGES ET DES JUGEMENTS.

SI. DES TÉMOIGNAGES.

185. Nous nous proposons de déterminer quelle est la proba-
bilité qu'un fait, qui est rapporté par témoignage, a eu réelle-
ment lieu; et nous distinguerons les cas suivants :

I. Le fait est rapporté par un seul témoin. Quelle est la pro-
babilité de son existence : 1° dans l'hypothèse que le fait est
ordinaire; 2° dans celle qu'il est extraordinaire ?

II. Le fait est rapporté par plusieurs témoins, 1° successive-
ment; 2 par tradition successive.

Pour pouvoir appliquer le calcul à cet ordre de problèmes,
nous aurons à distinguer dans chaque témoin la personne intel-
ligente et la personne voulante. La première sera dans le vrai ou
dans le faux, la seconde sera véridique ou non.

Nous désignerons par p la probabilité que le témoin ne trompe
pas; par r celle qu'il ne se trompe pas ; 1 — p sera la probabilité
qu'il trompe ; 1 — r celle qu'il se trompe. ;

Î. LE FAIT EST RAPPORTÉ PAR UN SEUL TÉMOIN.

1° El est ordinaire.

186. PREMIER PROBLÈME. On extrait un numéro d'une urne qui
en renferme »; un témoin oculaire affirme que le numéro est
sorti : quelle est la probabilité que ce fait a eu lieu ?

Nous pouvons faire les quatre hypothèses suivantes :

1). Le témoin ne trompe pas, ni ne se trompe.
2). Le témoin ne trompe pas et se trompe.

3). Le témoin trompe et ne se trompe pas.
4). Le témoin trompe et se trompe.

D'après le théorème de Bayes, la probabilité cherchée P est
égale à la somme des probabilités dues aux hypothèses favora-
bles à la vérité de la déposition divisée par la somme des proba-
bilités dues à toutes les hypothèses.

Probabilité due à la première hypothèse.

Cette probabilité se compose du concours des probabilités
suivantes :

i° De la probabilité p que le témoin ne trompe pas;

90 » » r » ne se trompe pas;

F0

1 . , o
5 » » = de la sortie du numéro à.

La probabilité due à la première hypothèse est done

Cette première hypothèse est favorable à la vérité de la dépo-
sition.

Probabilité due à la deuxième hypothèse.

Cette probabilité se compose du concours des probabilités
suivantes :

1° De la probabilité p que le témoin ne trompe pas;

2 » » l—7r » se trompe;
— 1 , . .
5° » » “— que le numéro +? n’est pas sorti;
4° » » —— que, parmi les numéros non sortis,

l'erreur du témoin lui à fait choisir le numéro ÿ; car, puisqu'il se
trompe, au lieu dei, c’est un autre numéro qui est sorti et qu'il
prend pour #; et il doit le choisir parmi les n — 1 numéros non
sortis de l’urne.

( 355 )
La probabilité due à la deuxième hypothèse est done

NN pli—r)

Pr) n CS Re

Cette deuxième hypothèse n’est pas favorable à la vérité de la
disposition.
Probabilité due à la troisième hypothèse.
Cette probabilité se compose du concours des probabilités
suivantes :

1° De la probabilité (1—p) que le témoin se trompe ;

De » r » ne se trompe pas;
Den » “— que le numéro à n’est pas sorti;

1 LD . , : .
LENS) » —; quil a choisi le numéro ? parmi

n — 1 numéros non sortis.

La probabilité due à la troisième hypothèse est donc

Ni)
Peer)
n
Cette troisième hypothèse n'est pas favorable à la vérité de la
déposition.

Probabilité due à la quatrième hypothèse.
Dans cette hypothèse il y a deux eas à distinguer.

Premier cas. Le numéro ÿ est sorti; soit pour ce cas IT, la pro-
babilité due à la quatrième hypothèse.

Cette probabilité se compose du concours des probabilités sui-
vantes : |

‘4° De la probabilité ({—p) que le témoin trompe;

DU » Ηr) qu'ii se trompe ;
2
ré 1 Là . .
GONE » — que le numéro à est sorti;
1 . , . . «
RUN à » ——; du choix que le témoin fait de :;

car il croit qu'un autre numéro est sorti, et choisit parmi les
n — 1 numéros qu'il ne croit pas sortis.

(554)
On aura donc

(| il
He Ce e

Cette probabilité est favorable à la vérité de la déposition.

Second cas. Le numéro ? n’est pas sorti; soit pour ce cas IE, la
probabilité due à la quatrième hypothèse.

Cette probabilité se compose du concours des probabilités sui-
vantes :

1° De la probabilité(1—p) que le témoin trompe ;

DOTE » T—7r » » se trompe ;
n— 1

d » »

1 90 00 : o
AS » —; quil choisira ÿ parmi les n—1 nu-
méros qu'il ne croit pas sortis.

que le numéro ÿ n’est pas sorti;

On aura donc

n—4 1! 1— p) (1 —7r)
Sn) n On—1 D

Cette probabilité n’est pas favorable à Ja vérité de la déposition.
Appliquant maintenant le théorème de Bayes, nous trouverons

pe Il, + Il,

De na nn tn ot
D =D)
Es n n (n —1)
; ee ne PNA Te)
mt 0 rt

n n n n(n —1) n
a
in P n —1
D Hit
1 EE —— ————
n —1

Si le témoin ne se trompe pas, on a r—1 et P—»;
» » ne trompe pas, on a p— 1 et P—7;

Si n est très-grand, on a, à peu près, Den

20 Le fait. rapporté par un seul témoin, est extraordinaire.

187. Deuxième PROBLÈME. Une urne renferme nr — 1 boules
noires et une blanche; on en extrait une boule, et un témoin
affirme qu'elle est blanche. Quelle est la probabilité que ce fait
a eu lieu ?

Nous ferons les mêmes hypothèses que dans le problème pré-
cédent.

Première hypothèse. Le témoin ne trompe pas, ni ne se trompe.
La probabilité due à cette première hypothèse se compose :
1° De la probabilité p que le témoin ne trompe pas;

PA » » r » » ne se trompe pas:

5° » ». de la sortie de la boule blanche.

3!

La probabilité IT, due à la première hypothèse est donc

pr

— .

\=Æ
n

Deuxième hypothèse. Le témoin ne trompe pas et se trompe.
La probabilité due à cette hypothèse se compose :

1° De la probabilité p que le témoin ne trompe pas;

9o » » Η7r) qu'il se trompe :

PE ;
= — 1 Q s .
5° » » — de la sortie d’une boule noire.

La probabilité IT, due à la deuxième hypothèse est done

Fil De
D)

Troisième hypothèse. Le témoin trompe et ne se trompe pas.
La probabilité due à cette hypothèse se compose :
1° De la probabilité (1 — p) que le témoin trompe;

2 » » r qu'il ne se trompe pas;

— 1 0 ; o
a » » L = de la sortie d’une boule noire.

(556)
La probabilité IT; due à cette troisième hypothèse est done

n —1

be a

Quatrième hypothèse. Le témoin trompe et se trompe.

Dans ce cas, il est évident que la boule blanche est sortie.
La probabilité due à cette hypothèse se compose :

1° De Ja probabilité (1 — p) que le témoin se trompe;
20 » » 17 » » trompe ;
5) » » : de la sortie de la boule blanche.

La probabilité IT, due à cette quatrième hypothèse est done

(Ou)
n

Comme la première et la quatrième hypothèse sont favorables
à la vérité de la déposition, nous aurons en vertu du théorème
de Bayes

Se Th + M

I, + Îo + Us + Il,
Dee)
112 n
pr ne lp) ru LD) A"
D A em

ñn n n to)

Faisons pr + (1 — p) (1 — r) = q; q sera la probabilité que
le témoin énonce un fait vrai, soit qu'il ne trompe pas, ni ne se
trompe, soit qu'il trompe et se trompe; alors P s’écrira

ae q ue den)
GREEN)

gen 1)

Si n est très-grand, la déposition du témoin deviendra très-
peu probable, à moins que q ne soit très-rapproché de lunité;
dans ce cas la sortie de la boule blanche est un fait extraordi-
naire; et l'on voit que cette circonstance affaiblit en général la
probabilité de la vérité de la déposition.

(537)

188. Troisième PROBLÈME. Une urne renferme un très-grand
nombre n de boules blanches; une seconde urne le même
nombre de noires; on extrait de l’une de ces urnes une boule
que l’on remet dans l’autre; puis on extrait une boule de cette
dernière.

Un témoin du premier tirage affirme qu’une blanche est sortie;
un témoin du second tirage affirme également qu'il a vu sortir
une blanche ; quelle est la probabilité qu'une boule blanche est
effectivement sortie dans les deux tirages?

Soit q la probabilité que le premier témoin énonce la vérité,
c'est-à-dire, en nous conformant aux notations précédentes

g=pr+({i—p)(i—r).

Désignons par g' la même probabilité relativement au second
témoin.
Nous pouvons faire les quatre hypothèses suivantes :

1). Le premier et le second témoin disent la vérité.

2). » témoin dit la vérité, le second ment.
3). » » ment, le second dit la vérité.
4). » et le second témoin mentent.

Première hypothèse. Les deux témoins disent la vérité.
La probabilité du fait observé, due à cette hypothèse, se compose:

1° De la probabilité q que le premier témoin dit la vérité ;

De » » qg! » second témoin dit la vérité;
=, 1 =
9° » » ; qu'une boule blanche est sortie au pre-

mier tirage; car la boule extraite peut être sortie également de la
première ou de la seconde urne; |

4° De la probabilité —> de l'extraction d’une blanche de la
seconde urne, puisqu'il a été extrait une blanche de la première,
et que la seconde renferme par suite » noires, plus la blanche
qu'on y à ajoutée.

La probabilité due à la première hypothèse est donc

1
Sn | 2(n + 1)

(558)

Deuxième hypothèse. Le premier témoin dit la vérité, le second
ment.
La probabilité due à cette hypothèse se compose :

1° De la probabilité q que le premier témoin dit la vérité ;

22 » » 1— q' que le second témoin ment;
ré 1 , ’ e)
3° » » ; que la boule blanche a été extraite

de la première urne;
pe,» n , . .
& De la probabilité == qu'on a extrait une boule noire de
la seconde urne.

La probabilité IL due à la deuxième hypothèse sera donc

n

rer mer |

Troisième hypothèse. Le premier témoin ment, le second dit
la vérité.
La probabilité due à cette hypothèse se compose :

1° De la probabilité 1 — g que le premier témoin ment:
99 » »

Æ0

a) » »

que le second témoin dit la vérité ;

que la boule a été extraite de la

wi ©
&

seconde urne ;

& De la probabilité = qu'on a extrait une boule blanche
de la première urne.

La probabilité IL; due à la troisième hypothèse sera donc

n

2(n + 1)

B=(1—g)q

Quatrième hypothèse. Aueun des deux témoins ne dit la vérité.
La probabilité due à eette hypothèse se compose :

1° De la probabilité 1 — q que le premier témoin ment;

D » » 1 — q' que le second témoin ment;
AIS » 2 que la boule a été extraite de la

seconde urne ;
4 De la probabilité —— qu'on a extrait une boule noire de
la première urne au second tirage.

(339)

La probabilité due à la quatrième hypothèse sera done

m9 U— 9).
2(n + 1)

La première hypothèse seule étant favorable à la vérité de la
déposition, nous aurons pour la probabilité cherchée

Fo NME EME
ET IL,
RE
« 2{(n + 1)
qq US T)r USD TRUE
== © EE ———— +
2(n +1) 2(n + 1) 2(n +1) 2(n +1)

,

SE qq :
gd +nlqu—q+q-gl+(t—gU— a)

C’est la probabilité de l'existence de ce fait qu'une boule
blanche aurait été extraite au premier tirage, et aurait reparu au
second.

On voit qu'en général cette probabilité devient très- faible
quand n devient très-grand, ou que la probabilité du fait résul-
tant de l'ensemble des deux témoignages est fort affaiblie quand
ce fait est extraordinaire.

I[. LE FAIT EST RAPPORTÉ PAR PLUSIEURS TÉMOINS.

1° Simultanément.

189. QUATRIÈME PROBLÈME. Une urne renferme x numéros; on
en extrait un, et deux témoins affirment que le numéro : est sorti.
On demande quelle est la probabilité que ce fait est réellement
arrivé. |

Admettons, pour simplifier le problème, que les deux témoins
ne se soient pas trompés; et soient p et p' respectivement les

(340 )

probabilités qu'ils disent la vérité. Il n’y aura que deux hypo-
thèses possibles :
1). Ils disent la vérité.
2). Ils mentent.
Première hypothèse. Les témoins disent la vérité.
La probabilité due à cette hypothèse se compose :
1° De la probabilité p que le premier témoin dit la vérité;
2° » » p' que le second témoin dit la vérité ;
9° » » : que le numéro à est sorti.
- Nous aurons done

ISO
n

Deuxième hypothèse. Les témoins mentent.
La probabilité IT, due à cette hypothèse se compose :

1° De la probabilité 1 — p que le premier témoin ment;

2° » » 1 — p' que le second témoin ment ;

L — 1 ’ 0 9 2.

9° » » “—— que le numéro à n’est pas sorti.
4° De la probabilité == que les deux témoins font à la fois

le même choix du numéro # parmi les n—1 numéros qui ne sont
pas sortis.
Nous aurons donc

UE) de) ee Hi A—p)A—p)

ne) tn)

Comme la première hypothèse seule est favorable à la vérité
de la déposition, la probabilité P sera

pie 90 0 Pa SR NE
Il, + Il, Ne Pt) A Rte)
pp n (n — 1) pp

La probabilité contraire sera
1
PTE
DU p)

EN

( 541 )

Si n est très-grand, P s'approche beaucoup de lunité ; il est
donc très-probable dans ce cas que le numéro 2 est sorti. La
raison en est que, si les témoins mentent, il est fort difficile qu'ils
portent leur choix sur le même numéro.

Si n — 9, la sortie du numéro ÿ aura pour probabilité 55 et la
probabilité qu’elle a eu lieu, d’après l’attestation de deux témoins,
est

/

UE Pense A

1
Hp SU DUR)

Cette formule exprime la probabilité d’un fait attesté par deux
témoins, lorsque l'existence et la non-existence de ce fait sont
également probables.

Si les deux témoins sont également véridiques, on ap =" et
cette formule devient

P É

2
2 1 1 — »Ÿ
DES p)

En général, si s témoins également véridiques affirment un
fait dont l’existence et la non-existence sont également probables,
la probabilité de ce fait résultant de leurs témoignages sera

P—= Ë

1
p° + SAT fi)

190. Cnouième PROBLÈME. Une urne renferme x numéros; un
premier témoin affirme que le numéro # est sorti; un second
témoin aflirme que c’est ÿ’; quelle est la probabilité que + est
réellement sorti ?

Soient, comme précédemment, r—=7r/=— 1; p la probabilité
que le premier témoin dit la vérité ; p’ la probabilité que le se-
cond la dit.

On pourra faire les trois hypothèses suivantes :

1). Le premier témoin dit la vérité, le second ment.
2). » » ment, le second dit la vérité.
3). Les deux témoins mentent,

(542)

Première hypothèse. Le premier témoin dit la vérité, le second
ment.

La probabilité IT, due à cette hypothèse se compose :

1° De la probabilité p que le premier témoin dit la vérité ;

2» » 1— p’ que le second témoin ment;

1 LA e. 0
GA » - que le numéro à est sorti;

1 , . . à
Lo, » —; que le second témoin a fait choix

du numéro ?’ parmi les n — 1 numéros différents de à.
On aura donc
ne CPI

" _n(n—1)

Deuxième hypothèse. Le premier témoin ment, le second dit
la vérité.

La probabilité IL, due à cette hypothèse se compose :

1° De la probabilité 1— p que le premier témoin ment.

2 5 » p' que le second témoin dit la vérité.
il , . .
x que le numéro ÿ’ est sorti;

A9 » ——, que le premier témoin a fait choix

du numéro t.

On aura done

en
n(n—1)

Troisième hypothèse. Les deux témoins mentent à la fois.
La probabilité IT; due à cette hypothèse se compose :

1° De la probabilité 1 — p que le premier témoin ment;

29 » » 1 — p! que le second témoin ment;

50 » “— qu'aucun des n° é et à’ n’est sorti;

4° » » —"—, que le premier témoin choisit à et
(n—1)

le second ‘'.

On aura donc
nn rs ln p)

HU n(n —1}

(545 )

La première hypothèse seule étant favorable à la vérité de la
déposition du premier témoin, la probabilité cherchée sera

Dune een.
p(i—p')
cs n(n — 1)
DOTE) A p)
n(n—1) n(n—1) in HONTE)
10 Am HA NS
Pop na UE pDI)

Si n — 2, l'existence de chacun des faits attestés est aussi pro-
bable que sa non-existence; et si de plus p= p' —. la proba-
bilité cherchée est égale à ;; en effet, alors les deux témoignages
se détruisent mutuellement.

2% Témoignage traditionnel de 7 témoins successifs.

191. Sixième PROBLÈME. Un témoin présent au tirage affirme
avoir vu sortir d’une urne, qui renferme x numéros, le numéro ?;
ce même fait a été confirmé par une chaine traditionnelle de r
témoins : chercher la probabilité que le numéro à est effective-
ment sorti.

Désignons par y, la probabilité cherchée; de sorte que l’addi-
tion d’un nouveau témoignage la changera en r + 1:

Cette dernière probabilité se compose de la somme des deux
probabilités suivantes :

a). De la probabilité P que le numéro à était sorti et que le
nouveau témoin a dit la vérité.

b). De la probabilité que le numéro n'était pas sorti et que
le nouveau témoin , quoique ne disant pas la vérité, a fait choix
du numéro :.

La probabilité P est due au concours des probabilités suivantes :

1° De la probabilité p,., que le nouveau témoin dit la vérité;

dE » » y, que le numéro est sorti.
25

(544)

On a donc
P — Pr-41Yr°

La probabilité Q se compose des probabilités suivantes :

1° De la probabilité 1 —p,,,que le nouveau témoin ment;

20 » » 1—- y, que le numéro à n’est pas sorti;

9° » » —— du choix que le témoin a fait du
numéro ÿ.

On a donc

or)
n—1
et par suite

(1 — 0) (1 me Ÿ )

Tr

n —1 n —1

NPr+1Y; Es D; ve y, +1 à

?

Yrai =P +Q =D,iYr +

d’où, en écrivant y, + Ay, au lieu de y,,,, et p, + Ap, au lieu

de p,:
Ge —1) ay = (ny, —1) (p, + ap, — 1):

L'intégrale de cette équation aux différences est

il ND; — À) (pa — 1). (np, — 1
A er Ur

n (n—1}
C étant une constante qui se détermine par cette condition que
la probabilité du fait en vertu du premier témoignage est p,, de
sorte que y, —= pr, d'où

npi — 1 Ron
n n — 1 n

La probabilité cherchée est donc

1 “Mrs À Caps — 1) (np, — 1)
n n {n —1)

Si n — , cette valeur de y, devient

Yn = Pie Pre

(345)

Si n — 2, ou si l'existence et la non-existence du fait sont éga-
lement probables,

nt 6,
Yr = + SUP: — 1) (2p, — 1).

En général, à mesure que la chaine des traditions se prolonge,
la probabilité qui en résulte se rapproche indéfiniment de la
limite 2, qui est la probabilité à priori de la sortie du numéro i.
Le terme

n— 1 (np — 1). (np, — 1)
n (n —1)

est donc ce que la chaine des témoignages ajoute à cette dernière
probabilité.

On voit par là que la probabilité d’un fait rapporté par des
traditions successives s’affaiblit à mesure que la tradition se pro-
longe.

$ 2. PROBABILITÉ DES JUGEMENTS.

192. Il s’agit de déterminer la probabilité de la bonté d’un
jugement rendu par un tribunal dans les différentes circonstances
qui peuvent se présenter. Nous nous bornerons à l’examen des
cas Suivants :

PREMIER PROBLÈME. Si p désigne la probabilité que chacun des
Juges prononce la vérité, quelle est la probabilité de la bonté du
jugement d’un tribunal qui prononce entre deux opinions con-
tradictoires à l'unanimité des r juges qui le composent?

Si r témoins d’une égale véracité affirment un fait dont l'exis-
tence est aussi probable que sa non-existence, la probabilité de
ce fait, résultant de leur témoignage, sera (voir n° 189)

= — (1)
DAS)
Or on peut assimiler le jugement d’un tribunal qui prononce
entre deux opinions contraires au résultat des témoignages de

plusieurs personnes relativement à l'extraction d’un numéro d’une

( 346)

urne qui n'en renferme que deux; de sorte que la formnle (1)
exprime la probabilité cherchée. On peut déterminer p par l'ob-
servation du rapport des jugements rendus à l'unanimité par le
tribunal au nombre total des jugements. Lorsque ce nombre est
très-grand , en le désignant par n, et par 2 le nombre des juge-
ments rendus à l'unanimité, on aura, à fort peu près (*),
P+U—p——
n
la résolution de cette équation donnera la véracité p des juges.
Si l’on suppose le tribunal formé de trois juges, on aura

| nt ;
PTS AOn

nous adopterons le signe +; car il est naturel de supposer à
chaque juge une plus grande probabilité pour la vérité que pour
l'erreur. Si la moitié des jugements rendus par le tribunal a été
rendue à l’unanimité, alors i—!, en DAS

La probabilité de la bonté d’un nouveau jugement rendu à
l'unanimité sera (**)

n
on ne

En général, on voit que cette probabilité est d'autant plus
grande que r est un plus grand nombre, et que les valeurs de p
et de: sont plus grandes, ce qui dépend des lumières des juges.
Il y a donc un grand avantage à former des tribunaux d’appel,
composés d’un grand nombre de juges choisis parmi les per-
sonnes les plus éclairées.

Deuxième PROBLÈME. Trouver la probabilité de l'erreur à crain-
dre sur la bonté d’un jugement en matière criminelle prononcé
par p + q juges, dont p condamnent et q absolvent l'accusé.

Un accusé ne peut être condamné que quand la probabilité a

(‘) Voir Laprace, Théorie analytique des probabilités, livre I, n° 50.
(‘*) Jbid.

(547)

de son délit est telle que la société ait plus à craindre des attentats
qui pourraient résulter de son acquittement que de l'erreur du
tribunal. Nous supposerons donc que le juge qui condamne l’ac-
cusé prononce par là que la probabilité de son délit est au moins
égale à a.

Désignons par n la probabilité que le juge ne se trompe pas,
probabilité que nous supposons égale ou supérieure à 5 et variant
par des degrés infiniments petits, égaux à dx, et également pos-
sibles ; 1 — x sera la probabilité que le juge se trompe, x’, celle
que les q juges qui absolvent ne se trompent pas ; (1 — x)”, celle
que les p juges qui le condamnent se trompent; x’, qu'ils ne se
trompent pas; enfin, (1 — x)’ celle que les q juges qui l’absol-
vent se trompent.

x (1 — x)" exprimera le nombre des chances favorables à la
condamnation ; x" (1 — x)’ celles favorables à l’acquittement.

Si x était certain, et que l'accusé füt condamné

ce (1 — x)t
are x} + af (1 — x}

exprimerait la probabilité de la bonté de ce IE

Mais la cause x n'étant que probable, nous avons à multiplier 5
par la probabilité de x déduite de l'observation ; et comme x peut
varier par degrés infiniment petits, nous désignerons par o(x) dx
la probabilité d’une de ses valeurs.

L'événement observé, c'est que p juges ont condamné, et q
absous; par suite

ds XP (A — x) + (1 — x) x!
g ——

.i EAN UNE

dx.

La probabilité de la bonté du jugement, eu égard à l’une des
valeurs de x, sera donc

a? (4 — x)" dx

LE

se (x) dx —

9Ptat1

1

(548)

On simplifie le déneminateur en remarquant que, si l’on fait
À — x — y, on obtient :

(A — x) dx = — f p(i— y} dy= f ? (1 — x) dx;
d { f°
de sorte que l'expression précédente devient
x (1 — x) dx

fe xp (1 — x)! dx

0

DIEU)

Eu égard à toutes les valeurs de x cette probabilité se chan-

gera en
fe x" (1 — x)" dx

Je

Pyx x? (1 — x)! ni

0

La probabilité contraire, c’est-à-dire celle de l'erreur à craindre
sur la bonté du jugement sera

»1
1 x (1 — x) dx

TE T
0

JT a — x) dx

Ja (1 — x) dx

0

ou bien

comme on s'en assure aisément par des transformations ana-
logues aux précédentes.

Effectuons les intégrations indiquées, et faisons, à cet effet,
y = 2%; nous aurons :

x? Us [1 + (1 — y)]! dy

0

: DRE @) _au—br (p+l)r (Eh:

ee Fe +1 à

T'(p +3) 1.2 F(p+4) PERTE)
LR QE RSR tie
2HH(p+l (p+l)(p+2) (p+1)(p+2)(p+5) (p+1).. (pt 51)

vas VA (= dy /' YU y) dy A 1—y)' dy

T(p+1)r (q+1)

|
|

|

(549 )

De plus nous savons que

ie de one)... lg eut,
Ô r(p+q+2) (p+1).….(p ++)

Donc enfin nous aurons

nl ju RUES, tt) …(P+qtt).(p#2))
DPI 1 1. 9 1.9 …

di

Dans le cas ordinaire de p + q — 12, on obtient pour les va-
leurs successives 0, 1, 2, 5, 4, 5 de q:

{ 14 92 378 1093 2380
8192 8192 8192 8192 8192 8192

formule qui exprime respectivement la probabilité de l'erreur des
condamnations par les 12 jurés

Par 11 voix contre 1,

ne D NS Dù
DUT 0) » 5,
» 8 » 4,
» 7 » De

A la majorité de 7 contre 5, cette probabilité est presque
égale à =: de sorte que sur un très-grand nombre d’accusés con-
damnés à cette majorité, il serait très-probable que les ; n'auraient
pas du l'être.

La majorité d’une seule voix dans un tribunal nombreux
indique done que l'affaire dont il s’agit est à peu près douteuse ;
la condamnation de l'accusé serait alors contraire aux principes
d'humanité, protecteurs de l'innocence.

L’unanimité donnerait une très-grande probabilité à la bonté
du jugement; mais si on l'exigeait, trop de coupables seraient
acquittés. On doit done, ou limiter le nombre des juges, si l’on
veut qu'ils soient unanimes , ou accroître la majorité nécessaire
pour condamner si le tribunal est plus nombreux.

(550 )

La table suivante justifie ces principes, qui sont du reste sug-

gérés par le simple bon sens :

Dans ectte table, la différence entre la majorité qui condamne
et la minorité qui absout est supposée égale partout à 2; de sorte
que pour un tribunal très-nombreux, les voix qui condamnent et
celles qui absolvent sont à peu près en nombre égal ; et l’on voit
par la dernière colonne que la probabilité de l'erreur à craindre
s’accroit à mesure que le nombre des juges augmente, quand la
majorité reste la même. Si donc ce nombre augmente, on doit
augmenter proportionnellement la majorité requise pour la con-
damnation. — Ce principe est vérifié par la table suivante :

Dans cette table la majorité requise augmente avee le nombre
des juges, et l’on voit que la probabilité de l'erreur à cramdre
diminue en même temps que les nombres de l’avant-dernière
colonne augmentent.

Voici enfin la table qui se rapporte au cas de l'unanimité des voix :

(551)

et l'on voit que la probabilité de la bonté du jugement est dans
ce cas d'autant plus grande que le tribunal est plus nombreux.

II|I. DES DÉCISIONS À LA MAJORITÉ DES VOIX.

La valeur et la sûreté d’une décision prise à la majorité des
voix dépendent d’abord du rapport de la majorité à la minorité,
ensuite de l'intelligence et de la moralité des votants.

C’est à tort que l’on n’a souvent pas égard à la première de ces
conditions, puisqu'on décide même à une seule voix de majorité ;
dans ce cas, si le nombre des votants est n + 1, la majorité sera
composée de : + 1 voix, et la minorité de 3; toutes choses égales
d'ailleurs, comme le rapport — est à peu près égal à 5 si n est
un peu considérable, la probabilité que l'opinion de la majorité
est la vraie est done très-peu supérieure à 3; tandis qu'elle serait
égale à 1 dans le cas de l'unanimité. On voit que ce n'est que le
rapport de la majorité à la minorité qui doit décider, entre ces
deux cas extrêmes, du degré de probabilité du résultat du vote.

Dans plusieurs assemblées ou tribunaux on fixe une majorité
minimum qui doit être atteinte pour que la décision soit valable.
Il faut alors, pour la süreté des décisions, que le nombre des
votants soit peu considérable, comme on le voit par la table sui-

vante :

Nombre ;
MAJORITÉ. MINORITE. RAPPORT.
DES VOTANTS.

(ee)

4
b)
6

D =
CS

(id
=

La différence minimum entre la majorité et la minorité est
supposée égale à 2 dans cette table; et l’on voit qu'à mesure que

(552)

le nombre des votants augmente, le rapport de la première à la
seconde tend vers l'unité, de sorte que les décisions prises devien-
nent de plus en-plus incertaines.

D'autre part, une assemblée peu nombreuse offrant moins de
garanties qu'une assemblée nombreuse, on devra choisir, pour
fixer la majorité minimum , un rapport constant entre la majorité
et la minorité; ainsi, une décision serait valable si elle était prise
à la majorité d’un nombre de voix au moins égal à une fois, deux
fois, etce., celui des voix de la minorité. Dans ce cas les décisions
seront d'autant plus sûres que l'assemblée sera plus nombreuse,
comme le montre la table ci-jointe :

Nombre

MAJORITÉ. MINORITÉ. | DIFFÉRENCE. . RAPPORT.

DES VOTANTS,

On voit par l’avant-dernière colonne que la différence entre la
majorité et la minorité augmente avec le nombre des votants, et
par suite aussi la sûreté de l'opinion admise.

Il résulte de ce qui précède :

1° Qu'il n’est pas prudent de décider, dans les assemblées
délibérantes, à la simple majorité ;

2% Qu'il convient de fixer une majorité minimum pour la vali-
dité des décisions ;

5° Que pour fixer cette majorité, l'on ne doit pas prendre un
rapport arithmétique, mais bien un rapport géométrique entre le
nombre des voix de la majorité et eelui des voix de la minorité.

Quant à l'intelligence et à la moralité des votants, il serait dif-
ficile de les introduire dans le calcul.

4,2

ET
RARE

EE
LME

NE

lé
an
(li Dei ss
eg EU à
AE PRE

2 <
(é

AL
2 pus
Re

I

THÉORIE DES ERREURS D'APRÈS LAPLACE.

1. Inconnue donnée par s observations.

ProBLèe [. Déterminer la probabilité que la somme des carrés
des erreurs d’un nombre très-grand s d'observations est o—/+s.

SoLuTion. On suppose les erreurs positives aussi probables
que les négatives ; où ?(— x) — (x).

Les erreurs positives ont toutes les valeurs comprises depuis
x — 0, jusqu'à x — a; les erreurs négatives toutes celles com-
prises depuis x = 0, jusqu'à x = — a.

L’intervalle des limites des erreurs est donc 24.

La suite des erreurs rangées dans l’ordre croissant de leurs
grandeurs est

—a,..—x,.…— 2da, — da, 0, da, 2da.…x,… a.
Si l’on fait

X — Hu) ne (— x) ER one (— 2da) 1-24
+ 9 (— da) do #(0) TRE Pire g(a)t® = XP,

P,, sera la probabilité cherchée. Elle est indépendante de 1.
Soit t — eV-1, on aura

X—}(— a) CAL RENE o (— LG VEUS + o (0) +
es AC UE + + y a) e Han pieive
multipliant par e-2%140, puis intégrant entre —7 et +7, on à

JR USE,

Te

d'où
| T Le
P,.— — eV Jp. x
FR J

1 de
ose LA eU+4)0 Vi 9

mi { 2 (0) + 2 (da) eV
+ 24 (2du) PP VTT EE 9 (re) eV pe + Do (a) eV}
1 AE, ET
=— = Ge
GS

en désignant par À, le produit du polynôme entre parenthèses
par e-“*"1; développant |. À en série, on trouve

— ——. fie
LA——ps5V—1+ 5 1. +0) +-2:()f 1 + (da) —1— 7 —.|

RUE pa
+ 2 (2da) |: + 2da W—1— : 2 «| k

Aya
+ 99 (a) É + Vi È— -]|
—— ps0V—1+s 1 |[2(0) + 2(du) +2: (2da) + + 2:(a)]
+ 20/1 [+ (da)da® + + (2da) (2daŸ + + + +(a) ai]
— [+ (da) (de) + à (2da) Rd + + + 4 (a) (a) ] + ete.
| me L)—(0) + [ 2exdx
6

+ 2011 vi x°L:x x —® A x'.xdx — etc. -

ù ÿ

Posons
= of) =o(r) = pr)

Aux limites 0 et a de x correspondent 0 et 1 pour x’.
Posons en outre

D) 2 vx'dx" — +

je x'vx' dx" — k',
0

(557)
u LL
fr A =
Ü
Fine
V' RC GRIS
0
& /
Ti x'wx'dx" —= ke",
0

a .
et observons que dans 24 20 (x) dx, ç (o) entre deux fois, nous
aurons : e

Y Srxdx — 24 f''ex' da’ = ak + 9 (0) —1 + 9 (0),
0 0
en faisant ak — 1 ;
Jaexdx au & [av dxt = GR.
0 0
“xtoxdx — a DL ‘xx dx" — ak", etc.
0
Il vient ainsi

LA — — us0V— 1 + 81. | —;(0)+ak+2(0)-+2617—1 ak" — a5k" — etc. |
VA SL ak oo dat— ete. |

—. RO tea le

— 50 VA + 51. ak 24 + 26 4 —— so

k k |

ANRT 11,2 IV : L 112

— — ps0 V—1+ sV/—1 ma 2 etc.

b
2k" _— RU EEE

ee Fee £| aëso V1 — É moe | aise? — etc. ;

a

pour faire disparaître le terme imaginaire posons

9k''a°
p— 2 (
il viendra
(AIS Ein 2e :
1. A— el a°s0* — etc.,

IV
kk" —2k2 5
Ne.
A —"e :

(558)
s étant très-grand on peut négliger tous les autres termes. Done

RO L20ve. eme pe
D = ne , de L Fe Pr
27

AE

Soit
| k - Bt ea Vs dt
PSE, LB — — —, 1 — Ê D 4) — AU .

V'kkY—9k"? Ve mi 6 ZE

Les limites de 0, —7T et + T, correspondent pour f à

Ta? V/s , Ts s D En
O0 En C0) à NE de s supposé très-
grand.

Soit de plus

eat -

D—=—, rs, l— — Bt — r£t;
as à AE
on aura :
= £dt RATE À ft [Eve i]
1 27 «/ CVs U
a (x)

É Die

2

— e
24? V” rs

la probabilité que la somme des carrés des erreurs des s obser-
vations est

9k''a?
o—l+us —l+ s
sera donc
6) DE
Dee Hd pis Ce NME)

2 V/7s

On a partout sous-entendu dans l'expression P,, la différen-
tielle de la variable, car on a toujours p,=— f(x) dx.

ProgLème I. Trouver la probabilité P que la somme des carrés
des erreurs des s observations est comprise entre ps Æ [/, p. étant
égal à ne

ki

( 359 )

SoLurion. Il faut intégrer la formule (2) entre les limites + / ;
on aura done

B a_ Fe 6 1_ Bzr2 — B 1_ Etre
EC Lañs dl De 3 dr fe ‘ dr,
2 V/rs dV/rs Vre

= À 0

en posant {— ra? V/s.
Cette formule exprime la probabilité que la somme des carrés
des erreurs des s observations est comprise entre

(A)

ee CA NP au (6)

RSI

La formule (x) exprime la probabilité de r; elle fait voir que
P,, est un maximum quand r — 0, donc la somme des carrés des
erreurs, la plus probable, correspond à r — 0.

Si l’on pose

Pr? F 24dt 24 21 —
et Ft, en nr UE OE
(4 4

on trouvera
ao 9 :
ET er
Vr B Vre

probabilité que la somme des carrés des erreurs est comprise

entre
2k''& Aa Vs
—— S ————
k B
P est la probabilité que la moyenne des carrés des erreurs,
ou fa?gxdx, est entre les limites

9k''a? " 9ta?
EN Vs
mais
DE DUDE EE |
PNR

24

( 560)

P est donc la probabilité que la moyenne des carrés des erreurs,
ou pa = fx?pxdx, est comprise entre
12 !
DA Eh Sn 24° 1. DE ON

— — Se
$ BV’s s s”

La somme des carrés des erreurs la plus probable est, par suite

de la formule (6), égale à
2kas, En RON EI AUS (0)

.

Or comme s est très-considérable, la somme des carrés des
erreurs différera très-peu de celle (y) qui répond à la probabilité
maximum.

Soient donc €, & …. €, les erreurs d'observations.

Q œ œ@ .. @ . .
Soit m "1?" ÈE®, on aura approximalivement
E = © — M
D €. = GO — m.
onc

A + EE + + EE — }; => (co, — m}°.

On a done à peu près
2k''às

21 (C3 Fa m) = E

DE MON UE O)

Pro8LèME I. Soit 2a l'intervalle compris entre les limites des
erreurs de chaque observation; chercher la probabilité P, que
la somme des erreurs d’un très-grand nombre s d'observations
sera l; les erreurs positives ont la même probabilité que les
erreurs négatives, ou œ(—x)=—œ(x).

Sozurion. On a la suite de toutes les erreurs

— a, —x,... —9da, — da, 0,da, 2da,-.:x,-..a.
Les probabilités correspondantes sont

(ah s(— x), s(—2da), + (da), #(0), (da), (2da), … ÿ(æ) … #(a).

(561)

On a
Le de 2 fe (x) da e(— 0) + +
+ pa) + 9 (0) 0 + pm) + e (at.
J'arxdx=0=—a?(— a) —x$(—x) + x p(x) +. +as(a),

vraie moyenne des erreurs d’une observation.
J'avadr=(— a) (a+ + (a r(a+e
ne + Lot +. + ao,
vraie moyenne des carrés des erreurs d’une observation.
Soit
X—{o(—a)tt + ee +o(—r)t + + 0 (0) +
+ o(x)E + eal} = ZP, l'

P, sera la probabilité que la somme des erreurs des s observa-
tions est Z. Posant £ — [°Y-i, on aura

X —= À o(— a) e—alv=i + ce + e(— x) e-r0v_1 RE #0 PE

re pxez0v—1 HS Coaes gaeniv—r) #— D P,ev=;

multipliant par e-#"-1d0 et intégrant entre les limites + x on
trouve

À +7
P, — — —10V—1
1 a Xe 1 de

— ia e—1b0V—1 60 + 9 (da) EEE + En lon
277,
oi g (2du) TEE PTT | + + px Te + GSM ee
se | _
OVH Ville =...
+ sa[e i+e ‘|! ln [ds cos la + V” 1 d9 sin 6]

| 90 + p(da)] esr0v—i ne e-aaiv—i | Mec e(x)[ ex ae GET D

+ © (a) [en VI + e— KE] %

(36)

Représentons par N le polynôme entre accolades, nous aurons :

1 VD ur AN |
De do cos loN =D de sin EN de cos LON

2 =

Aer (a)
= — Ji dacos 19 | $0 + 2s(da) cos (duo) + 2-(2da) cos (2daë) + ---

7 0

+ 2e(x) cos (28) + ++ + 2pa cos (as) |°
1 ue :
P, f" de cos l6{— +0 + f 2o(x) cos (xe) de }’,
To 0
mais
2p2 \

x
2, (x) cos (x0) — 24) 1 EH: ct. — 9x) — 294(x) + etc.

1 2(x) cos (x6) dx — 2h gadx — & f” x°çxdx + ete.
ù 0 0

— ak + 9 (0) — Pak" + ete.

En négligeant les puissances supérieures

(| T
An 52h |
He) de cos 18 ! ak — ak" |

É l . (b)

> £'' ;
— T de cos ak £ =
FT 0 k
probabilité que la somme des erreurs des s observations est /.

Pour développer cette formule (b) en série convergente, posons

Par le développement du logarithme on à
k" Ù k dt k
s—ad#—Ù, d'où 6—-— —) Ne
le (1 k"s (0 k''s
et aux limites de 0, 0 et x correspondent pour f{ les limites

az
o et

Donc

et comme
1
y?
DE: dte-® cos mt =— VF 1

0

il viendra
1 k 1 HUE ME 1 ke LEE
Lazkns ___ Lake
P, = — move a s = à e HR
QT eZ 2aV/r Rs

ou bien, en posant

lk = ET 1 Uk
==, doi leo Vs a 7 : = V 6,
kk"s k 2aV’r k's

la plus grande valeur de P, répond à [= 0 ou 4 — 0.

ProrLème II. Chercher la probabilité P que la somme des
erreurs des s observations est comprise entre Æ L.

SOLUTION. On a

I pue
pi ee re ie “dl, ( )
2aV/r ks
donc
L2k ) L. Lk
pes \ > =. e | La2kTs S dl — EH, P'yrinoe di.
2 = TVA

Si l’on pose

lPk kr’ e
kak"'s Ak' ?
d'où 4
L— arV/s
he JE
— AVS. —
s.a P

on trouvera aisément

kr2

RE 3
be FU UV — = € a ne (0)

(”) En réintroduisant le facteur dl supprimé par abréviation dans le
problème précédent,

( 364 )

probabilité que la somme des erreurs des s observations est
comprise entre

. JE ba
+ ou +arV/s, ou AVI E

ou bien, probabilité que la somme des erreurs des s observations,
divisée par s, ou leur moyenne arithmétique est comprise entre

ar
2e > OÙ ee—— Qu =2 2) — — :

ÿ Vs Es

RemaArQuE I. Comme on a

2k'"'as ; À ,
n = 2 (o—m)= >, 6e
on trouve
k” ie
À ter
k 25
donc
k 1 LUE LE A a
= 9ja V> dés per,
4 BE IS
et
P L Je 5 e-Ë dt A
== — e = = et
zk" à 6 - : )

est la probabilité que la moyenne arithmétique des erreurs est
comprise entre

Do 5
LV; (c— m).
s
Remarque Il. Soit x une grandeur inconnue fournie par s
observations «, … w,; les erreurs vraies sont |

LU L2
X— =. L —0,—=E,.

Si l’on fait

on aura

( 565 )

donc
2 etes
= / Car AUS UE NET ANA (1)

x

est la probabilité que x — m est entre

DRE ar
SE VOS.
S
ou que

2m EE V/25 (a — mn). Ar aN 710)

Nous avons vu que la plus grande valeur de P, répond à !—0,
ou à {— 0; mais alors x—m; donc »# est la valeur la plus
probable de x; mais on obtient cette valeur de x, par l'équation

LE = minimum;

donc la règle des moindres carrés donne la valeur la plus avan-
lageuse.

Remarque IT. Les formules (1) et (2) conduisent aux consé-
quences suivantes :

1° Si t reste constant, et par suite P, les limites de (2) se
resserrent à mesure que s augmente.

SI 1/25: (;— 1m) reste constant, ce qui exige que £
augmente avec s, P convergera vers 1, à mesure que s ou { aug-
mente.

RemaARQuE IV. Si o(x) est une constante, c par exemple,

Lo VOST 0 ee
JU oear G

k" = xx dx =" cx"dx = 2
e : 5
d'où
k
k7 = 6.

Remarque V. Les formules (A) peuvent servir à s'assurer si
un phénomène est dû à une cause constante; car en supposant

( 566 )

que le phénomène soit dû à des causes accidentelles, on à la

probabilité
hr2
N — li e © dr,

que la somme des erreurs des s observations est comprise entre
+ arV/s; done qu'elle est inférieure à ar Vs, abstraction faite
du signe, c’est-à-dire en valeur absolue.

Donc si P est peu différent de 1, et que la somme des erreurs
soit Z ar VS, il sera très-probable que le phénomène est dù à
une cause constante, qu'il faut alors rechercher.

Exemrze. Vers 9 heures du matin le baromètre est plus élevé
que vers 9 heures du soir; ensuiteil remonte jusque vers 11 heures
du soir, et il redescend jusque vers 4 heures du matin, pour
revenir à son maximum de hauteur vers 9 heures.

Il faut examiner si cette variation diurne est due à une cause
constante, ou si elle est le résultat de causes accidentelles.

Soit A; la hauteur du baromètre à 9 h. du matin le #"* Jour :

— h, — — à 9h.dusoir les” —-

faisons

GO; — (h; Te h;)

en + + œ,
DD = —————— ;
S

d’où

MS = + + + ©,

Si x désigne la vraie valeur inconnue donnée par les s observa-

tions, on aura
RC —
et
Zie; — (x —- m)}s;
faisons
SD = 4,
Dé = q — ms.

En supposant que le phénomène de la variation diurne soit

kr2
P== Tr lr :
VS

probabilité que q est compris entre Æ ar Ar

accidentel, on à :

— 567 —

Par les observations de Ramond on a à peu près x — 1 mil-
limètre; done en prenant s — 400 jours et en posant pour les
limites des w, + 4 millimètres, d’où a — 4, on aura :

l q 200

van aV’s aV” 200

v

À — 6 au moins (voir p. 565), on à :

comme 7%
kr° =" © Q me
— — 57,5 au moins, ou {= V/57,5.
4k
Donc
/ L J kr2
: Zkn
— ee di
V TL,
À _
— À — e dt
21/37,57 i
CHE
= À — {1 — etc.) — 1 à peu près,
2V/57,5r

probabilité que sx ou q est < ar Ve, <« 400,

Mais l'observation donnant q — 400, on a une forte probabi-
lité que le phénomène de la variation diurne du baromètre est
dû à une cause constante, ce qui engage à chercher cette cause.

La valeur x — 1 millimètre n’est qu’approximative, mais on a

une probabilité
2
P — =— TER dt,
V/r à
que
FA EE
x — m— + -V25 (m — 0}.
S

2. Fonctions d'une seule inconnue.

Une fonction inconnue f(£) est donnée par s observations
© @9 .… @,, ON Connait £ à une très-petite fraction près; soient A
cette valeur approchée et z sa correction inconnue, on aura :

EL A\ ie y;

(568 )
Soit c, l'erreur vraie de la 2°”° observation , on a :

= f(Ë) —a—=/f({A+z)—e,
& = f(A) + fA.z— 6;
D D A AT ON A Se PO

en posant
f'(A)= a, et &, — f(A)= n:.

Remarque. Si f(E) — Ë£— 2, d'où €, — z — w;, on a:

multiplions la formule (4) par le facteur entier et positif h;, on

aura :
he; = ha;z — hin,,

h; étant une quantité indéterminée.
En faisant : — 1,2, s, et en ajoutant, on a

Bd ile line © à à 6 À

Déterminons z par la condition que E— 0, l'équation (2)
donne |
Zihin;

>ihia; G)

Z

Soit « l'erreur de ce résultat, on aura

Sh.n.
z ne EM
Zih;a;
E = Zih;a; (M + u) — Shin, =uXiha. . .: . (4)

ProBLèmE I. Déterminer la probabilité que la somme E a pour
valeur /.

SoLurion. Soit + «a les limites entre lesquelles varient les
erreurs x de chaque observation, oxdx sera la probabilité d'une
erreur x, et l’on aura

Jade = {4 — a) + + a) + + gla)t"". (5)

( 569 )

Soit

X fs oxdati" x CRE xdel se .…. X + exdat® — XP},

le produit X aura dans chacun de ses termes, comme exposant,

l’une des valeurs de toutes les sommes que l'on peut former en

ajoutant s des quantités x, ha%, … h3x, prises à volonté, et pour

coefficient la probabilité de cette valeur, x désignent les erreurs &:.

Donc P, est la probabilité que la valeur de E — 2 h,s; est L.
Soitt— V1, eto(—x)—p(x),ona:

1
P, —= 97 7 7x e—lev=1 do,
PT
MAIS
2 pxdxehrV — a rdreneV A + Je adren"eV=1
— nt rene vi * sxdrenrovTi
0

== JA prdx ferai + moe Je "exdx cos (h;xo).
0 0
Donc

=- 2[ exdx cos (h;xo af: exdx cos (h,xc) … af sxdx cos (h,xe).

Soient

1 1 1 1
se pxUx — a f vx dx — : ak , 20 vx'dx —k,
0 0 0
a J : Le 7.
p. L'ox dx — & f x'yx' dx" = ak", Jo x'yx' dx" — k”,
0 0 0
(1] a ; 4 ,
We x“oxdx = Je c'“yx'dx —= ak", cf x'“yx'dx" — K\Y, etc.,
(] û 0

2 f'yxdx — f'yxdx ==". 4%
0 - —4a

(370)

Mais on a

œ a h. 2 hic 4
l -xdx cos (h;xe) se [: A = = E— D … |

a h2° a h£cot a
— f'oxdx = — f r'oxdx + —= froxdx — +
fonte À anis Me fra

] ba? hit
M ae
2 2
(72 h° k:"
2 Jrad cos (h = ak) dr a Gi — :

d’où, comme ak — 1 :

sui,

de k
lL [2/ exdx cos (a) | == à — ha? Ti etc.

k"' kle LA 6k'’°
—— — ha + He pe ot — etc.
k 19k°
Donc
EX = [2/ exdx cos (se) |
4 Ü
k” ER GE
———0Q Dh + — 0. otÈh —
h 19%
x LE 2 TécÈu À Re men
nr Ène ST ER
7 a2Q Zh 4 4XL4 Û
— A ———— moi hi — …
124 1 |
donc

0 Vi wo r2 ble —— 6k'° 3
FA I RE te
12k

(| T
=, f 4 e
97
or È

faisons 4 — wa V/s, il viendra :

Ta Vs Shi de
< à di , kk" — ts 265 nee Nue Et =
== — ——— + —————— ° — | 0 GUAIUITS
AUOT LE Vs DK _ $

sh?
Or 5h, Shi! ,ete., sont évidemment de l’ordre s, donc — est

(571)

de l'ordre : =, qu'on néglige, s étant très-grand. L'exposant étant
très -petit aux limites +V/s, on peut remplacer celles-ci par
+ æ . Donc

97ra
best ep
= —e 4sk"Èh} dite Zn;
9AraV S LA
Posons ë
(44 2 —
“ Ee ( VV 1 |]
——— US:
ks 9ak''Xh? :
et nous trouverons : Fe
D gan 2Y ph?
ol

ue VER Ce me

pour la probabilité que la somme E — 2 h; €, a pour valeur L.

La plus grande valeur de P, répond à !— 0.

Progième II. Chercher la probabilité P que la valeur de E sera
comprise entre E L.

Ceite probabilité sera

kl2

L rs
Dot —_—— |: TE DE dl
Ve Eh?
ke
PROPER ù

| arr ghE
EE ET
Soit /— arV’s, d'où
kr®s

=: DT re
RER fr a (0)

V/x. Tr 2h 4

al

probabilité que E est compris entre £ ar Vs ou + !.

(572)

Progième III. Chercher la probabilité P, que la valeur de «
dans

s
Zhan;

L

S
Zhiu;
1

z—M + u —

+ U,

est comprise entre Æ w.
Sozurion. La valeur de P de la formule (a) est la probabilité
que

S s
E ou Zh;a;z — Xh;n;
1 1

est compris entre £ ar Vs; ou que

Zhin,
BB —= °
>ha;,
ou bien w, est compris entre
arV’s
Xh;a;

S$
Comme E — uw Zhia; — l — arVs, on à
1

arV’s uÿha,
CE TR — L °
2hia; aV”s

Substituant cette valeur dans (a), alors P devient P,, donc

u

S$
Zhia; HE.
due "en",

PA mens
k"'
a Ve rh 0
le
>hin;

probabilité que l'erreur de z = M —-< est entre Æ u.
Soit P} la probabilité que z = M est fautif de w, on aura :

s

Zha; k(Zha,) 4

1 —
pe = L — p £kra2Zh$ & du 4
k’’
a V= rZh?

Cetie probabilité est la plus grande possible quand uw = 0.

(375)

Soit

Jat Ve Zh:
k(Shm) nas TE
BA SRE UE pi Xh;a;

d'où {= 0, quand # = 0, et

9 t
P, = — TORRES RENTE REA (D)
eh

Gers ns k Ehini : s
probabilité que l'erreur de z = 3; est comprise entre

re

2 NV. SR

a F SR
SR lee SENS

Zha;

Æ u.
Donc :

1° Si t reste constant, et par suite P., l'intervalle + se
resserre d'autant plus que

Er.
Se
a V Eh
Zhia;
sera plus petit.

2° Si { augmente, et par suite P,, il faut diminuer

PRE
— Sp?
eV

Zhi;a;

proportionnellement, pour que l'intervalle + w ne change pas.
Ainsi cet intervalle restant le même, la probabilité P, que w tombe
dans cet intervalle est d’autant plus grande que le facteur

Er
Sp?
eV sx

Zh;a;
est plus petit.

(374)

Done le système de facteurs h, le plus avantageux sera celui

our lequel Dr
à é LANGE

k Zh;a;-

est un minimum.
Or en égalant à zéro la différentielle de ce facteur par rapport

\ 6 5 k''
à h; et supprimant le coefficient « Ve on a :

Bihi

h; —
: Zi hia;

di; —= Hi ;

étant le facteur a qui reste constant pour toutes les valeurs
Sidi
ta 1,926 00

A ce système de facteurs le plus avantageux correspond

1 HN; Zian,

— Me Je Lroie oc)
im Zi

L'erreur de cette valeur de z sera

p3iai ES

Le résultat (c) est le même que celui qu'on obtient par la
méthode des moindres carrés, ou par le minimum de

Ha); (a; A n;),

car en égalant à zéro la différentielle par rapport à z, on obtient

14, (4,7 — n;) = 0

o 2 CS
zÈ — Zjah; = 0,

PE, C.Q.F, D:
Zi a;

Reprenons la formule (b). Comme on a (pp. 568 et 360) :

(Mn) NO DE QG __— TE

€:

( 575 )
cette formule (b)
2
D esta

r 0

exprimera la probabilité que

a! k'’
[47 —
Le ke
NII =
V/3ia;

DES t
—m#+ 21 — m + ACER
LS; a sa?

Sif(Ê)—E—z, on à:
AE OS
& =; M — NN; = M — vw;
Didi —s,

alors
2 t 3
De CC
Vr 0

est la probabilité que

GO, + Gp + *:- + ©, t À
Er peus er,

ce qui est connu.

REMARQUE I. L’ex ression Ze? — Di |AM — NN: ? peut se mettre
1 1 i
sous une autre forme :

Yan; 2 a Ïja;n; — n;>j0E)?
tel [am — 7} — ul Sn] = 5: a

DAUE

En développant le carré on à

qui, Din — (Ziain;)

(Sidi)
25

Donc

VUE
1

Remarque IL. Le plus grand terme de la somme P, répond à
u—= 0, où à t— 0; mais alors z—»; done la valeur la plus
probable de z est m.

THÉORIE DES ERREURS D'APRÈS BIENAYMÉ (‘).

4. Fonction d’une seule inconnue. cette fonction étant donnée
par un très-grand nombre d'observations.

Soit £ l’inconnue, f(£) la fonction donnée par les x observa-
tions 0, , 0, … 0,, n étant très-grand.

On connait £ à peu près; soit A cette valeur approchée, et x
sa correction très-petite.

Soient €,, & … €, les erreurs inconnues des observations.

En négligeant les puissances supérieures de x, on aura exac-

tement
0, + —=f(A + x) = ax + a;

chaque observation donne une équation semblable.
Soit
ous +=;

on aura
Qy —= a,X eq e . : . . . . . (1)

Multiplions les x équations (1) par les facteurs indéterminés k,;
nous aurons, en faisant la somme :

So ky, FT xSaky .

Si nous posons
Saiky — 1 ,

nous aurons

ù = Soky, = S (8, + mn) ki = Sek, + Sn,k, -

(*) Journal de Liouville, t. XVIT, février 1852.

(578)

En faisant x/— Sn,k, on commet une erreur
T—Se;k}.

C'est aussi l'erreur dont est affecté le résultat
x — So,k,.

Si l’on ne prend pas Sa,k, pour unité, on a :

Su, k h X
1 —= — ,
: Sky, Sak h
SA œ

1 Saky, Saykr

Q

et ce résultat est affecté de l'erreur

Saky
ne SE k;,

ns

Si l’on fait k, — a,, les facteurs £ seront, comme nous le ver-
rons, les plus avantageux, c’est-à-dire ceux que fournit la méthode
des moindres carrés. On a alors

Soda,
Lo —= Sa? ?
' Sn;G,
Lo —= Sa 2

Sa;

ProBLèmE 1. Chercher la probabilité de l'erreur r.
En prenant les intégrales entre les limites jusqu’auxquelles

les erreurs peuvent s'étendre, et en désignant par @(e)de la pro-
babilité d’une erreur €, puis en posant

P — VE perde ea Vi, fredeseste VE RS fradeennav ca
fred errinc Pr SRE

il est clair que R sera la probabilité de r.

(379 )

Mais en posant R— Yrdr, et changeant en conséquence le
signe À en /, on aura :

P — cf wyrdrerV=i,

les limites de l'intégrale étant sous-entendues.
Multipliant par dae-"V=1, et intégrant entre + æ , on à :

[- -] me (2 — —
Je Pdue-r#V-1 — ef due-"av—1 frrdrer:v= — Jr
EE — ©

d'où
VP=— — daue-"xV-1p.
ù
Si nous omettons les indices de :, qui ne sont là que pour plus
de clarté, nous pourrons écrire

LAS mire ; L
y — mu due-raV= ül, { fsedeesstnv= ie

Or
2 3p5 TA
EkpoV A __ ak , CA Em MAO
f'edee h | A+ ok 1 roi Tu € Heure ee
ls
& 1742 le
= 1 + pak V1 == = EVE
— 1 7 —%e";
on à posé
LB — frf pecle
7? 25 z"
P=UU+Hz) = + = — — +
2 /
Ha ui [
= pk —1 — ak; ei (43 — Stan + 2pi)
a“ ki
+ Ste — hpsus — Su + App? — Gui) +
PURE ue? le CA
it DURTE
om peer ts Ne
2 24

( 580 )
On aura par suite

Ho — pi? CEE GeAkf
m) = = PETER =

fsede QT M OM V1 —0ERR

d'où

ba — pi 2 OS y— 5 C2
D CES Ms VAS) + Ma à Sf +

n — mn

ER —1 L Ski V—i—
1, féedee” OR pal
1

et
1 — — Li Fe à
PE la roW—1 ea SHV—i = À G2Sk? M3 = VASE + Ms SA +
97
; ue MT 0
En [dec (r— Us Sp) Ge VI ——— +20 Skf,
DTA
M;V—1 M
3 4
1 — a SE + — ai sh)
6 24

en s’arrêtant aux termes en &/.
Soit

r— pSh=pV2 (ps — pô), dr = dpV2 (pa — pi),

nous aurons

WP — a He dz e- 2pz V—1 — 2284) .0
97 THON 2% 2
V'e — pi)

en faisant

Oo} 2. M,Sk . 2° + _— A
2, 2) z (Be — bi)
9 mn %

1 —— il
— 1 —-V— 1 Nix + — Nix!
6 2%

(581)

PROBLÈME IL. Chercher la probabilité p que r est compris entre
deux limites.
En prenant l'intégrale entre ces limites, on aura :

p — or
1 ; 202 V— 1 —228k$ 1 3 1 &
TE dze*P= SE [A — VV — AN, + —N,;z
T 6 2%

p° — Sk$ (z Li
—© fire A fe A À . sh Co) == AN; + Ne)

Soit
Eo V—1 ER RTE
o—iVSk, = sul f SE À B—zV SR +iIV/—1,
k
_ SE Nr N;
7 VAN

MNT (RES ôN, À
(SE) (V8k)

Conime la dernière intégrale est prise entre les limites +,
les puissances impaires de 6 disparaitront, et l’on aura :

1 fetes 1 a
p —° fus fe Ê ah UE L:t°) NE GE + Gus)
| À Eye 1 c2 9 ee 3 9 — 82
=> fûte se Lit f G'e de + LP fe dB
1 2 2 9 re 2 2, 2
no (a / Ge dB — GE Be F dB + GE er 48)

{ À. 5 l? N
av Ze fdter) 1 ne o + L #)+ à CES —G= + Gt) F
T 4

puisque
Dj — 1
D “pe dB — re

Prenons { entre les limites Æ y; les puissances impaires de #
disparaitront; nous aurons donc :

TOTASS 1
(EG Gi + Gr)!

(
of AM Ské [1.5
ie en ne se
V 241 CP CR
A en

SUR c À Ski
Or, Ski étant de l'ordre n, (Sk?)? de l’ordre n?, SRy St de
2 L LU 1 9 ; . [3 à
l'ordre =, qu'on néglige; donc enfin

2 J u
D = Le J! Hem
probabilité que
a SOA

ou bien que

p
nt mp 0
VSk;

— yV SE POSE
LEE Se
2 VGn Qe ER 270.

2 (p2 — pi)
ou enfin que

buSk, — 7 VS V9 (le — pr) € r € puSk, + 7VSE V2 (he — pà).

Remarque [. 1° Si, et par suite p, est constant, les limites de
r seront les plus étroites possibles lorsque Sk; sera minimum,
donc lorsque 4, = &, comme nous le verrons dans la remarque
suivante.

2° Comme y = , y sera maximum, donc p le plus grand
possible, lorsque Sk; sera minimum, ou lorsque k, — «,.

Done un système de limites étant choisi, la probabilité que
l'erreur ne sort pas de ces limites sera la plus grande possible
quand x sera déterminé par la méthode des moindres carrés.

(585)

Remarque IL Démontrons que Sk, = min. répond à k, = 4,;
c'est-à-dire aux facteurs donnés par la méthode des moindres
carrés.

En effet, ayant posé Sa,k, = 1, on a aussi

ST = |,
donc
Sa,k, — Sa ;

et par suite, on a identiquement :

SE? — 2Sa,k, — SK? — 950 ;

ou
Ski — 2Sa,k, + Sa — Ski — Sa ;
ou bien
S(k, — a) — Ski — Sa; ;
d'où

SK = Say + S(k, — à) ;
d’où résulte la proposition à démontrer.

Remarque LIT. Le système le plus avantageux des facteurs Æ
étant done celui dans lequel 4, = &,, on aura, pour ce système :

UE
D :

probabilité que
paSa, — y V Sa VO (us — ui) — pi) LT < SA + 7 VS V2 (te — pi);

r est alors l'erreur commise en prenant pour x la valeur So,a,,
ou Sn,4,.

Mais comme on a pris Sa,k, — 1, donc Sa; — 1, il est clair
que p est aussi la probabilité que

Say

1 RD ee
De nt) V/9 (un, — u?\:
He. ne (pe — ne ne V7 (22 — pi);

r est alors l'erreur commise en prenant

So,dy, Say
== = ou L— TT
Sa; Sa,

(584)

Reuarque IV. Lorsque u, — feqeds est nul, il n'y a pas d’er-
reurs constantes, et o(— :) est égal à 9 (e); alors

2

Ÿ —u
pP=—- er “dt
_. Vi
est la probabilité que
—— Vo,
SE :
Mais on à
SE
rer 0
nñn
done p est la probabilité que
9 <r € —— Vase?
D « V7 :
les valeurs de e’ étant données par
' Sn, 4;
En —= dy = Mn = Une M — My
Sa,
en posant
SA + Un
HIS
Say,

REMARQUE V. Si f(Ë) — Ë, on a :
=]; = 0 — 4 = 0},
puisque alors &, est nul ; et Saÿ — n ; donc

SO x S0z

M=—, G=— —0%;
0 n

et alors p est la probabilité que

Ve D ee

r est alors l'erreur commise en prenant pour & la moyenne arith-
métique 7 SU,

( 385 )

2. Fonction de plusieurs inconnues.

Une fonction f(&,, &.... &,….ë,) des m inconnues £, est donnée
par n observations 01,02, 0, 0,, dont les erreurs sont:

Ep Egoros Ep ee Ene

On connait les valeurs approchées A, A, A des inconnues ;
désignons par x, … x; … %, leurs corrections très-petites.
On aura n équations de la forme

On + En = [Ai + M, Ào + Lo, À; + Xi, An + 2)

= Op + en Li EE Uosn Lo Æ Æ on Li Æ ee EE Upon Lm

en négligeant les puissances supérieures des x.
Soit
On — Gp —= Mn C6 Ep + Mn = Op)

l'équation précédente s’écrira :
Op —= din X1 + Uo,h Vote in LH: + lun Lyme (1)

On aura n équations linéaires de cette forme en donnant à k
les valeurs successives 1, 2 … n.

Résolution des équations (1).

Si les quantités , ou &, étaient connues, il sulirait de prendre
m équations distinctes parmi les n équations (1). Mais il vaut
mieux les faire servir toutes; car n étant très-grand, on peut
espérer que les erreurs se balanceront.

1° Pour obtenir x,, on multiplie les équations (1) par #,, et
l’on fait la somme, ce qui donne :

Soki y = X1 San, n + Le Sapin + 7 + Lun Sun, >

uis on
P RES San kin = 1
SG h k n = 0

SA, nlnn — 0

( 386 )
d’où
Xy —= So ki ne

2 Pour obtenir x,, on multiplie les équations (1) par k, ,, et
l’on fait la somme, ce qui donne

So kon = LAS ,n ka, n UE LaS (lo, h ko,n er RUE Lun Sn, k Ka, 5

puis on pose

SG,h ka. B— {|
San Ka,n — 0
omis... 6

San, ñ ken == 0
d’où
Lo —= So bon , etc.
On a donc en général

Li SQL AE RAT)
en posant
Süi; ,n En

S&,,n k: n = 0
Sa;i,nk;,n — 0
Sa ,n ki,n—= 0

Les valeurs des #7 inconnues sont donc fournies par les
équations (a) dans lesquelles à prend les valeurs successives
NE m; chacune de ces équations renferme n facteurs k,,, h
étant successivement égal à 1... n. Ges facteurs sont détermi-
nés par #7 systèmes d'équations (y), systèmes qui renferment
chacun » équations.

On a donc #° équations pour déterminer les ».n facteurs
k,,3 par suite il y aura #n — m° —m(n — m) facteurs indé-
pendants, ou bien il restera #» — n facteurs indépendants dans
chaque système d'équations (y). C’est de ces facteurs restés arbi-
traires qu'on disposera pour rendre les valeurs des inconnues
les plus exactes possibles.

A cet effet il faudra calculer la probabilité des erreurs r; des

( 387 )

æ,, et déterminer les facteurs Æ par la condition que ces erreurs

soient renfermées dans les limites les plus étroites possibles.
Cherchons d’abord l'expression de r..
On a

X; — So k;
—= S (Ex + ny) ki,n
= Sen k;,n + Sn ki,n5

x, est donc affecté de l’erreur
r, = Se k; à (b)
Les déterminations précédentes de %,, x, … %, sont done affec-
tées des erreurs respectives
in = Sexks,n

To — Se,ka ,h

Von QE Sekn, R

D Oalculde NO = Xr07...7,) ddr... dr.

Q est la probabilité que les erreurs r,, r,..r,, ont lieu en
même temps.

Cette probabilité serait comme si l’on connaissait la fonction x.
a) Détermination de %.

Soit o (e) de la probabilité d’une erreur e.
On peut poser
X = freidenvsv va 28, y, Ein x fradenens fees. ve 25ms? X
X. PETER vel, y FhEmh x... x fe, dr pénis pénhe,n, y nkmn
ET. van
=, À Gore). -vtedr UT: Ur.
Soit

vV= ET an,
no AV pe CV y, = eAmV—A ;

(588)
on aura
ñn —
= I}, À fecdesenleatuntetent; + ont) Se
1

= je (rss (Facoc 2) elric +raat ve rm Em) 1, ! dr Lo dr,,

Multiplions les deux membres par

dada … da, ,e— ("101 7202 ver + mm )V = 1 :

puis intégrons » fois de suite les limites + æ, nous aurons (”) :

 m —
pi (ri ? lo F4 >) fe E ne. Xdaida . da, (104 Æradia + rmom)V— .
P4 _—

b) Détermination de X.
On a

m2 eV 15, (cr; ki,h)
= Tu eendene :

Faisons, pour abréger,

m

2: (x, k; à) = Du S, ; 9

supprimons les indices des €, que nous n’avons employés que
pour plus de clarté, et posons

Pr = dep en"! on
nous aurons
nn
X — I Pr = Pa e Pac Pne Pan à + + »- (C)

En développant l’exponentielle dans la valeur de p,, on
obtient :

282 _éS Vs SE
h h &
p= fasse} + SV = D no S

(‘) Voir {ntégrales définies de A. Meyer, p. 262, formule 121.

(389)
et si l’on pose
— } sed d = d — J étvede
Le —J eFgede, donc pi = f evede, Be = fe gede, etc.

on aura à cause de fgede — 1 :

— S; SA Sf
Pr = 1 + SV — À — Te — Le sUeis — + — ep?h

en faisant

LS S? Se Si
nt (1 HS VEN in Haies ES Ver + 4e à |

Dr Ann
Sn ss; + Si

expression dans laquelle

Ms = p5 — Spupe + 5Spi,
M pi — Apps + Su + lOpspi — Gpi.

Par suite on aura

2 LU? M3V—1 >; M
PS VTT sp NE ñ £ sf

Die A NME UE
ef
N == ï, e”h Æ e°’n
past) }ver M) mit )+% fs (st)
= (6
Soit
Ti = 8 (S5)
—= LS (Sak r )

— pyS (CA 7 + Goko,n + + Ambm, n)
—= {4 (uSks, n + 499k2, à RE anSkm, u)
Fe paè (:Sk;, n)- |

Te (u2 — pi) {S ( DIE

T; = M,S (Si);

T,= MS (S);

(590 )

la valeur de X deviendra

Ta VA —— +
6 24
—— 10 È =
eu Ver 0 me
6 24 12
ba V-T (01844, h + doSle,h ++: + CmShm, DE T.V/—1
— € À — ——— + 7
6

en s’arrêtant aux termes du 4”° degré en c;.
On a donc

A \” LL M
Ÿ (r » Poe 1) 1e e ÿ da 600 da,e (rio +222 + Pom Om) VA .X
TT — ©

11" i
=|— J de .… . da e= Cia + mm) VI
97 m 1 m£

ba VS CASE RE © + GmSkmyh 25% T; —
e | Ie se dt +

m n 1 FIRE Te
4 \" co —V=IZ;fr;— VaSpli,n)=>T —1
ne first à ) : (2 cr
2r m 6

9. Détermination de la probabilité P que les erreurs r,,r:..v,

sont comprises entre deux limites.
Cette probabilité sera exprimée, en sous-entendant les limites

des intégrales, par :

P—, fur, dridr… dr,

m n
/ 1 m co —V=i Bar —HaSnhn) Er
— e \ fdrs dr Jde 000 dz,,e )
97 m

A la place des variables r;, «; introduisons les nouvelles va-
riables o,, z;, données par les équations

T

2
2

T, D
X te 420

ri Shin = pi V2 (pa — pi) - M EURE NC)
dr; = dp; V2 (le — pi)

(591)

M . . PNA
>> T., ete., deviendront des fonctions de z, que nous désigne-
rons par z,, Z., lc. ; el nous aurons

1 ? Ve 7 =
P=—. /dpides… ds, fdrdrs.….dr,e 2 12P;% #4 — as)

Séparation des variables.

On a

Sad PUS
Ua — pi
9

Ts pe —pi
2

S LEskuf

2
= SLuhy + ok :
HAE os. Lou an Æ Colon À + pk n

2
1 EM nt 2p2 2p2 c
== HACRE S[k?, + CHEN AROpOUE GRAS :
204 (ok, Ko, n HN CEE %mK,nlm,n)
+ 20 (ask, ns, n AOC = GmKa nn n)
HEC
GE D Cm En |

2
Po li 2Q 12 2C 2 j
2 2
= Toi + aiSKi ÿ == ask Ar 000 CS LE

+ 24 (aSk plan OO amSKy nl n)
ae 249 (Ska nl n nur DO Ur TOR plèm he)
Se

Rs 24 14m SK ne 0
Faisons pour abréger

Skink,n = bi, = b,,; ;

et par suite
SE, — b;;;

puis remplacons a; par

26

(592)

nous aurons

2 m2 2 2
ZL: — S = CAD 25 z2020 ETS AD

+ 2zi(zobie + Zbys + ce + 7,4)
+ 2ro(zsbas + + + Zuba n)
+ e
O7 7 0e
= 71041 + 2arobie + Dz,7bia + Qaizib, + -
+ Zoo + 22225005 + 2222404 +
+ Rss + 2z32b5, + :

+ Zi +
Soit maintenant

Bi Æ= Zihua + Zoe + Zslus OO nr re lon + l, V4;
Be — Zohaz + Zshos + + + 20e + ta —1
+

Ba lee Ste l; V1

I

Zshss + ++

Bn — ral as t —1
Elevant au carré, faisant la somme, et posant
B+pa +++ +..+t)=E,

nous aurons

D = 2hilzV— 1 + 2 (hot + lol) 4 = +
+ 2 (houts + omte + + + ymlm) Zn Vompee

Zi + Dre + 2217

22 (Na + 5e) + 2227; (lots + hooho:)

2 (hi: + ls + hé)

DEAR

22024 (luahis + Roahos)

227 (she + hoshos + lsshss)

(he + hô4 + hs + Rs)

A

ete.

(395 )
Identifions e* ete : pour cela, nous devrons poser

tn hits

£2 —= lot + last

On = hmtt + home + + + Rmtm
ba = hs : Die = like bis hials, Dix = Rial
bre = Re + he; 25 = ol + hoohess Var = haghis + hoohes,
D: = his + 53 + hé, bi = hishis ns lhasho Ets hsshsu )

bah, + his + hi + hi, ete.
On aura donc :

e ? Len el e= (B2+B3+..+R5, + Het En)

De plus on a :

dB, —= dzihua des = dll,
dB — dzshs a do» — dihoo
(LIGA = Gb do, Re GE las 3

et par suite :

dz,dz2 + dzsdpidp: +++ de, = dfd8, + dB,,dtidts, «+ dt, ;

d'où enfin

1] ;
= — J'dndt, onto)
Tr"

LI}

æ 2 es il
Si dB,dB: o0c dBe(PirBi+ + Eu) (1 — —— À}; + -) :

Effectuons les intégrations relatives aux £.

Soit an

— 1 Î 1
VIE =E — 2, mn IR L= 5
6 2% the)

et exprimons cette quantité en fonctions des f, et des &.

( 594

Nous avons :

5S(83)
= MS, Πak; i)

n
= 3
— MS, (ki + Goho j RE Gmbm, h)

ES M; [E (x SK x) 5e 52 (CE a SK ns, x)
+ 62 (nn Ski nk nn n) | ;

où nous supposons ? < Ÿ <<”.

Donc
Un ne M Z(ZSk on + 32 (28h nli;,n) |
f 1 a 62 (Lori Sk; no nlinn)
9 g (#2 TE D)

De même on a

T,= MS (s;)
— MS (Za;k;n)
— MS (aikin + aokon + + + amy n)
— M,[24Ski x + 4E (air Sh skin)
+ GE(Shnk2n)
no (rare SRE nkanKnn)
+ 245 (ana Skins als alu) |

où nous supposons À < 1 Li” <i”

Donc is e
ZzaiSk?, + AD (ziz Sri)
© 2 2:
; M, + 62 (za SK ni n)
44 —_ RE GC PE =
| 2 k = Î 25 (77 LALAIE Ron 1h ji"! x)

Sn
V D) nn + DAS (zzsrnzan SK nl; nlein kim)

Si l’on exprime les z; en fonction de f, et de t;, les Z seront
des sommes de termes de la forme G£f{ ; et par suite on aura à
intégrer relativement à 5 des expressions

Gt Je FiGrab;

—+ D

( 595)

or cette dernière intégrale est nulle quand a est impair; et elle

est égale a — V/x, quand a est pair.
On aura par suite :
À dates. dB, Ei+E +" +65) R —(/x)" 1605 ES penis
cas (1) 24 72

B; étant une fonction des {;, qui ne renferme que les puissances
17e, 2% et 5° de ces variables,

B, étant une fonction des #; qui ne renferme que les puissances
0, 1, 2, 5 et 4 de ces variables,

B, étant une fonction des f; qui ne renferme que les puissances
0, 1, 2, 5, 4, 5, 6 de ces variables.

Si l’on substitue l'expression précédente dans celle de P, on
aura :

1 titre " 1 1 À
— —— {dt di di enterrer) ( JE tee Re B,)
(Ar)r + 6 2% 79

Remarquons que B; provient de Z;, où il n'entre que des
produits de degrés impairs des z;, et où il n’est resté que des
puissances paires de G,; de sorte que B; ne renfermera que
des puissances impaires des f,; il disparaitra done, puisque les
intégrales seront prises entre les limites de la forme Æ c.

De même les puissances impaires des f; disparaitront dans B,
et B;, et avec elles les termes imaginaires. |

Tous les termes de ces fonctions acquièrent des diviseurs qui
contiennent les carrés des sommes finies des k,,, qui sont, dans
chaque somme, au nombre de n. Si n est très-grand, chaque
terme sera done de l'ordre Le mais il y a #2 de ces termes, de
sorte que l’ensemble des termes n’est que de l'ordre =.

Si l'on veut négliger la partie de l'intégrale qui renferme les

. , . 7
termes B, et B,, il faudra donc s'assurer si = est un grand

nombre; s'il est assez grand, surtout, pour contre-balancer l'in-
fluence des puissances de y, qui entre dans ces termes jusqu’à
la 6° puissance.

Il faudra, par conséquent, que ÿ6.+ reste de l’ordre des termes
qu'on croira pouvoir négliger.

( 396 )

S'il n’en était pas ainsi, on ne pourrait être certain de quelque
exactitude que si y était assez petit.
En admettant que ces termes soient négligeables, nous aurons :

il -
7 ea Ce dt. Q0 dt, té a) Ÿ
TT .

Intégrons sous la condition que
Mes 00 BÉLo"
de sorte qu'aucun des termes t ne peut sortir des limites Æ y.

En opérant successivement sur les variables f;, on aura à inté-
grer chacune d'elles entre les limites

= ENV — di;
ou bien on pourra prendre chaque intégrale entre

O0 et +

et doubler le résultat.
Si nous posons

2 2
= Vu N Ti l us = (F2: °
d'où

udu

mn

au lieu de

0) mn
P —= Fe ii de, FC (& Le tn) Jdu.. CohES 15

0 m —1

nous pourrons écrire

ol core
D (— =) ['udue-"* Li ——
m—1 Vu? — ( — Ai EL
) m / >
= 1 udue T.N
V”

2

T} 0

( 397)

en posant

2
RE bn —1

V’e VE V'u2— 12-12 Vue È — LEE

1 TT TER ï
dé, dt: dis ape — ..— 12)
0 0 0

Pour effectuer toutes ces intégrations , qui sont de la forme

a ù
fo "dt (a — )?

— ti —

rappelons-nous que

De eucb

; C'(p + q)
et que
: ss
r()=Vr:
et posons
æ dx
a— À = ax; t=V'aV1— x; Da
2VA—x
nous aurons
À Ô+1 k
Va (9 a 2 4 +1 1
at(a — L$ — GE UT à
RS sut)
nie
+1 T\-+1
a ©? ” 2
dr
2 (= 1 |
[| =—— |
2
En faisant successivement
Ver 7
Ve 1
VARIE PIETE _V/a
Va —E —V/a

Vu = /0@

=
°

nous {rouverons :

d'où

Reste à effectuer cette dernière intégration.

ir de Dan
Intégration de JL UE:
0
En intégrant par parties, on trouve successivement :
1 2 1 m—2 2 ];
Ji u"- du .e = — = Je u"?, — Que "du

= — : Under
7

im — 2
Eu 5 eu"? } u" Se du.
m — 4
[ue du = eu" A re ; fu" te “du.

1 _ m—6
Drm pe eu" 2 ra (00

0 ° e. Û 0 0 e . . 0 0 e ° e 0 . e 0 0 »

in— 21 —9 à
taie lu — — M ne Mn LE a" 2i-50 € (y,

2

hi 2e

D'où l’on déduit, par des substitutions successives

’

1 É m—2 =
Ju" eu mi > e— up —2 + : fe up —5du

27

m — 2
7

TE e='"® u"—?

= y m—4

m — À) (mm — 4 é
ce MID fun du

m — 2
9

Pl

e— dun #4

(m — 2) (m — 4)

= eu" 5 RARE
DE :
(2) (NEA) (MEN 7
Re OE Cle to
im — 2)... (m — di — 2 7 ME
se. ( ) e ) je PORC E
et par suite
, re m—92 m—2)(m—4
fe "le du = — 2e IE ME + Len) 43
ù 2 2 Ÿ
9i+1

m—2).….(m—21—2) ,7 , . .
3: ) Le À fi %3e au

0

1° Soit
m — Ÿg
et
yen
On aura :
in — 2 — 4;

m — (2i + 2)—2;

nm — (2 +5)—1.

fat 2m DR RE F2
! 2

( 400 )

»29—22%—h 49 7
Ju eu = 9 q Y

2 D 29 | 29—29%q—%

Dh

ae 2% à 2:
ae ; A ES PES E Lee
2 2 99/2

g 2%9—2 24—4
! HE va A

—© + ——— +
re : |
(3 9

2 Soit

m—2g—1;
i=g—)9;
in — (2i + 2)—1;

æ

MALUS) 0:

LA

29— 5 2
2 2

19 |! QI
I =
Re)
S
o1
NO
LS
cr

19 | NO

No | O1

wa] *

( 401 )

en vertu de la formule connue

> ! PURENC, Ds
97
Soit quand
m —2g, EST
ou quand
m—=29—1, P=p,_;;

la valeur de P deviendra, dans chacun de ces deux cas :

2 :
— y2 PRE DÉTES 9? (
54 de et
LC
2 9 9
2 "
Pr 2q ] f DO EP il = —— fee du
— Û
Fu
ne D Ù 15 be > (B)
FT
2 2 2

On voit que p,, et p,,_, diminuent quand le nombre # des in-
connues augmente. (A) et (B) expriment les probabilités que
les m erreurs

Pi th: + tale; + th, ; Æ ce + th

î,è

ne peuvent s'étendre au delà des limites assignées par la condi-
tion
HS BE HE ve

condition qui ne permet à aucune des variables f, d’excéder + y.
Cherchons les limites extrêmes de p,.
Soit
É+b+ + —u,

( 402 )
et cherchons la plus grande valeur de
Da als ct LR ER ))

Posons

C++ + bu — bi gs — —b =; : (2)
nous devrons regarder » comme constant relativement aux & pre-
mières variables #, t; étant considéré comme fonction des : — 1
variables qui le précèdent.

Soit f,, l’une quelconque de ces premières variables : nous
. 10;

devons, pour le maximum de p;, poser a —0, ou, en vertu de (1):
v

b L dt, ,
Ne mL arret ct 5
, , dt, 2

de plus, l'équation (2) donne :

t:dt;, 27 t,t; —= 0;
d'où l’on déduit

l,, LR
hs + hr; | =) — 0, ou an 6)

à

Donc, pour le maximum de p,, 1l faut que les f, soient pro-
portionnels aux h,., correspondants; posons, par suite :

l;, == ah;

Es
faisons successivement &’ — 1, 2 …. i, et ajoutons; nous aurons :

(he, + h5; + ee + RE) =»,

ou

d'où

( 405 )
Le maximum de p, sera par conséquent :

Bi tu; + bla ; He + th.

= a(hi;+ hi + ee + hé)

Or comme y—u — t,, — + — {,,, la limite supérieure de »
sera , ce que suppose que tous les £, de f,,, à &,, Sont nuls.
Les limites extrèmes de p, sont done

+ Vub,,

et w est nécessairement < y.
Pour une probabilité déterminée par la constante 7, cette con-
stante fixe l'étendue des limites des erreurs p, sous la forme

LCA TRE A ATE

ou

— VS < pi <Y VS,

ou bien, en remplaçant p; par sa valeur :

LR fi = RES
AA MU
2 (Ha — Hi)

<ryVSR,.

(A) et (B) expriment donc les probabilités que les erreurs r,
sont renfermées entre les limites

SK, FN — 7 SE V2 (ps — p}) TE Skin +7 VS, V2 (a su mi).

Lorsqu'il n’y a pas d'erreurs constantes, ou lorsque o(—e)=9 (sc),
on a m —0, et les probabilités (A) et (B) seront celles des
limites

VV SE Vus € ri < 7 VSRi V/ Qu.

Cherchons les valeurs des facteurs k;,, qui réduisent les erreurs
r, des x, aux plus étroites limites possibles, pour une probabilité
donnée ; ou bien, les limites étant données, cherchons les valeurs

(408).

de ces facteurs qui rendront la plus grande possible la probabi-
lité que ces erreurs ne sortent pas de ces limites.

On voit d'abord que les limites des r, seront les plus étroites
possibles quand les k;, satisferont à la condition

Sn = UT ae doute à ee (2)

Désignons par A;, ce que deviennent les facteurs k;,, déter-
minés par la méthode des moindres carrés : la condition précé-
dente (4) sera remplie quand on aura

kr és Ain.
Démonsrrarion. Les équations de condition étant
Lidin + Loan + ce + Lin + = ©
la méthode des moindres carrés fournira les » équations

Sndin + LoSindon + + LSndin Æ = SA p On

LS p Ch AP LS Ua ph Ah Ertoi LS p in re 0 SU ñ C7

LS mnt, re La Sym hU2,n RS RMRIONEUr LS Ann U;,h To SA none

Pour effectuer l'élimination, on multiplie par des facteurs
B, , B; … B,, on ajoute, et l’on pose entre ces facteurs les rela-
tions nécessaires pour que l’on ait

’ 4
Xi — B,S&,, non + B>S&;, n ©n DEN B,,Sa,, nn
m m m mn

— 2 Bt, à + DB = 909 = DB jh DECO ES SD Blir, n°
1 1 1 À

Mais, de même que
Xi — Sonk;, h»
on a
Dj = SOA ;,n

= CT: VIA + Ga o, ; + ce + On, à CCC On An, i -

Comparant cette valeur de x; à la précédente, on en déduit

A; WE 2P;a;,n . . . . . . . « (2)

(405)

Or, comme nous avons posé

Sankin — 0 etparsuite S&d;n = 0

SG, ni, —= (| » Sa, nÂi, Mg Tei = 0
Sa; nki,n — 1 à nd
San ki r —\|, ? RS Ris 0,

nous en déduirons, en retranchant membre à membre, et multi-
pliant respectivement par les facteurs B,, B, … B,

Say, hk (k Din A; x) B, — 0
h dis i, ce B, — 0,

es CN . ) B = 0;
et en ajoutant

m

2 BG, n (i,n — Ai,n) = l;
1

équation que nous pouvons écrire, en vertu de (a) :

S } À;z( h ki à n— A;,n) | = 0,

ou
SA nn SA 25

d’où nous déduirons

SK? à —2SA; ki,n = Sk? Re 2SA° h

Sk?. Re SA? h—= Ski. he 2Sk; nAi,n + SA? h 2
et enfin

Sk? = SA? ous S (k;, RE: Ain)

Sk, est done un minimum pour
kin—= Ain) C. Q.F. D.

On voit par là que si l’on détermine les inconnues par la mé-
thode des moindres carrés, les erreurs 7; des x; seront les plus

( 406 )

étroites possibles; et alors (A) et (B) seront les probabilités que
taSA,, he yV/SA? nV 2 (o— pi) LT: < SA; n + /V'SA Vu).
Mais si l’on reprend la valeur de y

FR ARE
V/Sk?,

2

24

on verra aussi que y et, par suite, les probabilités (A) et (B)
seront les plus grandes possibles quand SÆ, sera un minimum,
ou quand k,, sera égal à AÀ,,.

Ainsi donc, un système de limites étant choisi, la probabilité
que les erreurs n’en sortiront pas sera la plus grande possible
quand on aura déterminé les inconnues par la méthode des
moindres carrés.

Les quantités u, et m2 se déduisent des observations; leurs
expressions sont

ñn n

ete, est ce que devient &,, quand on remplace x; par sa valeur
obtenue en changeant les facteurs k,, en A,,.

Erreur probable.

11 s’agit de déterminer les limites des erreurs qui répondent à
*1° 12 LA \ 1
une probabilité égale à =.
1° Une seule inconnue.

On devra poser, dans ce cas,

y — 0,4769..

( 407 )
Alors en effet on aura :
0,4769

2 ’ ! 1
— el == :
Ps A 9

probabilité que l'erreur r de x est comprise entre les limites
eSAn Æ 0,4769 V/SAË V9 (us — pi).

2 Deux inconnues.

Dans ce cas
y — 0,83255461

donné

m1 —e 7 ——.
ni=1—e 9

Ainsi dès qu’il y a deux inconnues, les limites Hnprenrent
un intervalle presque double; et l’on a une probabilité à que
l'erreur r, de x; est comprise entre

pSAn Æ 0,852... V/SA?, V9 (us — ui).

…

Si l’on veut que les erreurs puissent varier, on dira que 5 est
la probabilité de l’ensemble des systèmes

Pi SA, = U V2 (le Es bi) SA »

(SA,r A»)
SA k -

SA AS)
+ \/ 2 — | sai = |
1,

les variables f, et f, étant assujetties à la condition

— Sr V4 2 (2 — pi)

+ BG <(0,8525...) < 0,69314718...

les quantités sous les radicaux sont déterminées par les relations
27

( 408 )

entre les et les b, en remplaçant les facteurs # par les facteurs
A dans les expressions

b:, D Sk;, h ki, h°

= ‘ : j
5° Valeurs de y pour À à 8 inconnues, quand p —=;.

m—1, y = 0,47695
M—2, ya—=0,83255 — 1,7456 y,

IN — 5, y; —1,0876 —2,98147,

m—#4, 9:=—=1,29581 —92,7164),
m—5, »:—1,4750 — 5,0927 »,
m—6, 96—1,65595 — 5,4287 »,
Te TS 52e,

ms 0 —1,91625 74011802.

IIT

EXTENSION DU THÉORÈME DE BERNOUILLI AU BINOME
DES FACTORIELLES.

—

Soit a + b—c, nous savons, par la théorie des factorielles,
que
(a + De ee : p! a—1br—1

Ha min! ce“!

et que le terme général de ce développement est

u 1 a”! _ ip (

T —

1

min! ct

Or il est facile de s'assurer (voir n° 22) que T, est la proba-
bilité d'extraire en u—m + n tirages m boules blanches et à
boules noires, d’une urne contenant ce — «a + b boules, dont «
blanches et b noires, lorsque l’on ne remet pas dans l’urne les
boules extraites.

Les probabilités d'extraire en & tirages #7 + ! blanches et
n — | noires, ou bien #7 — { blanches et n + l'noires seront

respectivement :

U ml Apr - Ut

b- «
n—1— FR F
HO EN TN À (BEM
ï pe en De Te
ne 2 TE e
É m— Un + l! eut

La somme

Q à
Der DE Dan AE Hi: RS PES es AE HT, ii RE Tu

est la probabilité qu’en & tirages on extraira au plus » + let
au moins » — | boules blanches.

(#10)

Soient m—k, n —h les valeurs de »# et de x propres à

rendre T, un maximum; M, ce maximum, M,_,, M,,, les
termes qui le précèdent ou le suivent de / rangs; la somme
Q— M, _: sis M, 141 + es + M,_; cm M, ae M, 44 Sun DE

M M ee)

exprimera la probabilité qu'en tirages le nombre des boules
blanches sorties sera compris entre k + {et k — 1,

I. Détermination de k, h, M,. Comparons les trois valeurs

pe! a"/=1brl—1
T, = ——— ———;
min! c“—!
m ! aMtl—ipr 11 n a — m
17 er Lot ;
m+l!tn+1! CHE * m+1b—n+1
D ! allie Et —1 m b _n
A nn nur Un ; ES re om
be m—l4!n—1! Cle °n+lta—m+i

les valeurs de » et de n propres à rendre T, un maximum se
déduiront de :
ñn a—m

pe ee nes
n? need eees |
m b—n
TD, ——_——
n +41 a—m+i
ou bien

n u— M
1 ST M ENS Re (|
RE (1)
m b—n
Je RE PR PP A ©)

n +4 a—m+l

îliminons d’abord # et « en remplaçant » par u—# et @ par
c — b, nous aurons
se (# + 1) (b D |
c+2 :
(&+1)(b +1)
D UE

n <

(411)

Donc

+ 1)(b +1
Le Cat Na d étant € 1,
c+ 2

(u+-1) (4-1)

es sera la

et par suite la plus grande valeur entière de
quantité cherchée .
Eliminons ensuite n et b des équations (1) et (2) nous trou-

verons
(u + 1)(a + 1)

MD ———— — 1
“ c+2
, + À + 1
He (+ 1)(a +1)
c+2
Donc
1 Î
m ed |) Ce orélantel
c +2

> a LA LATE (+ 1) (a+ 1)
et par suite la plus grande valeur entière de = —

quantité cherchéc k.
Les relations précédentes fournissent, pour les valeurs parti-
culières Æ et k de m et n:

sera la

b n 1 )
= — +
C2 + À @ = À u + À

le {

a in | à

ane ;
CH 20, EM Ne Q2 cu+l
ou bien

( 24 mi m  d!

( e (c + 2) LARRIEU(e AEADNNE CE ONE"

Comme a, b,m,n,c,p et À sont des quantités du même ordre
Se £ A ALES
que y, en négligeant les termes de l’ordre > ON pourra écrire *

d'où aussi

b—n D & — in jt

Con CA RE

b (= 22 GG

== — , 0 = = { ,

ONEENT) € u— M

mn ab ab LU

ie = — (a — m) (b—n) — E (1 —-u}, |

(u)
nm Gi DE b—n
— A, lt org relie

M C—p n C—p

Déterminons maintenant M,. Nous avons :

pl UE BU ANR MONTS

HU TN NC tee DE DIN CR

el comme

a == ae V Era Ch

il vient
he an) b—n\"{a c—p\"/{b ce p\°
Ed ee
M C— u HW C—v CON EEn
o VA ab (c —p)
' GS SRE Le OU US RE EE
2rcinn (a —n)(b — un) :

Pourm—k,n—h,T, devient M,, et, par suite des équations
(a), qui sont relatives à ces valeurs, on aura :

EX]

D bo
N,=\, D HIER Ne , 0 (f)
© Qremn(a—im)(b —n) rnb (c — p)

Donc la formule (7) pourra s'écrire sous la forme suivante,
dans laquelle » et n reprennent leurs valeurs générales :

.a—m\"fwb—n\'{a c—uw\"{h c— p\
D = 5 SAP Et | É LONE " Fe. — : —. M,
M C—p ne— pl \c a—m} \ce b—n

(‘) Voir la note 1 à la fin de l'ouvrage.

(415)

d'où
ru—| pm a— mo u b—n+ pa ce) Ë C—u Ju,

m+l c—r n—Ùl c—p beam lobe |
Im l TT +1 l n—l
ne fe | SE SE]

u a—p 1! u—m | u b—n b—n

in C — M l 1 | n C—p l 1

m 2 HE 6 D

Eu C—p Î “ Tbc— l jé

Poe, eue M...

lca—m l por l

| = IC

{ a—m}) —n|

[ l Tim— L l que
one Fe
Fire NUM AE Dane NE b— x l b—n
PRE cp ME 1 [nc au 1
DD he n
& C— 1 HONTE ne
x = ui = | M,

Done pour

DUR Ni,

et en ayant égard aux relations (a), T,_,et T,,, deviennent

Le S l Fe sus n— 1
; | a —m | b—#n in  il ko
Er | 4 I | | n Ï l l RE (À

: ee | É no | nor

l l PE] ! n +1

| ds, | her 1 F 1 ë
Mr Lire à n } M,

Î l (2 | l

Pre el ARR LE PRES je

L ALERTE n Ï a—m | bD—n

(44)

Prenant les logarithmes, nous aurons :

LM,_, = (in + 0 L £ Fax —) Le ( ré ï |
DL £ + r)(-;)

l l
ai) outre) +,
u — Mn b+n

TU CNT EST D nl — E— bl
EE © + CÉC. + ——
&— M 2 (a —m) b—n
DAMES ONE PE MR
EC. PRE
2(b—n) # m 27°
moe 2 1F

+ ete + I. M,.

De même :

—_a+<mtt al ml FE —n—® + bl
Du De os (a —m} oi b—n
nl+F—LE ea NP ne (À
mi 2(b—n) Ro n 7 ne 1 97°

SAP NF

Sn etc. + |. M,.
din

Donc en ajoutant

LM: 4, 6 TMS OM Re es ea

EU Rem ner
l2(a— m)(b—n) mn
c
—=91M, — 9 . . . - - (10)

2abp (c — +)
Mais on a

M, — M et M, [4 +1. M,_, —1.M,],
Mu = Me" Mn+1 RULLE— M, [1 + Il. Mo = IL M,];

(415)

donc en ajoutant :

MA M Me 2 M Me ou

»

et en tenant compte de la relation (10) :

126 one
M, 1 + M, —9M, L: fe SE A
+ Mu pes | eu O. (1)

Il. Détermination de Q.
L'équation (1) donne la somme
QO—= M, , + Mur + S, [M + M, —M, . ° (IH)

ou, par suite de Sy = 5"* ‘y,

DNS M M M M2 : (ID)

D Ve.
J 2abp (e — u)

RRQ 2V/q
M Se —V/y, M, Pate M, 2 1 CE ? (/);
[22

Posons :

d'où

nous aurons :

et

En développant par la formule sommatoire d'Euler (voir n° 51)

{
2: (!) [4 dt 40),

0

() Voir, pour un développement plus complet de cette formule, la note
qui termine cette Addition, p. 417.

(416)

nous obtiendrons :

l 1 Ï {l I sl
D = a OCR OI CEE L.dl. IV
6 9 2° 2 2? Je € (IV)
Soit
|
D = (Fo, JR DT.
V’g V’g
on aul'a
AW de 90
Re ESC
V7 Vz
Al. d=— du .e *;
Te
d'où
9 F Vq
Q— — Ji durent PE #
Ve Ve
2 AU à Ce
— — 7 due + - (A)
Ur VAE al (CE — p)
(9) 7 -
V F (Go

Telle est la probabilité qu'en épreuves le nombre # des
boules blanches qui sortiront de l’urne, sans remettre la boule
extraite, est compris entre Æ Æ {, ou entre

/Ouab (e — p
k+ u\/ tee
C

, 1 a ga (u+1) (a +1),
k étant la plus grande valeur entière de 5 —

( 417)

NOTE SUR LE DÉVELOPPEMENT DE LA FORMULE (11) 4 = PRÈS.

Développons les facteurs de l'expression M, _, (page 415):
; 8

m + L ! l 12 15
Lt et l | Re Lee HUE (: ra —) Lu RS = mm 2(a—m)2 ==)

ΠAN
ml 12 ml? 15 ls la
m. IST ET 2(a—m)? 2{a—m)? 5(a-—mÿ 5(a-m}

—v— | TL , Ë D 1e Me
£ =) on CH Se

12 12 15 L4
M 2 Cm 3ms

n -Ù l? ! 12 15
L' er | ere Css ol UD MER

[5e l l 12 15
— al. = === On 2 = -
] LE | e a—m e G--m 2(a—m;? Sa m5.

—b l l 12 15
[+ ne re 2 0 ee rl
b

ul UE h1S
PORN | 56 np

Substituant ces développements dans l’expression M,_,, nous
Lrouverons :

al ml—t2 a2—ml2—t5 CHA RIEPORS OIL DI2—nI2+75 n15 —4I5— [4
SEM \ a—m 2(a—m)2 Ÿ 35(2—m) b—n 2(4—n)2 5(b—n)s
Me ==M ee (Ge) (er) 5(W—n)

B A 12 12 5 15 15 15 1x 2

= RTE ee Rte = =
m nn 2m nu 2m? 2n2 Sm? Hu? 5m En

(418)

nm pre amet, aim ur al — mb —
LE & — 1m 2(a— m) 5 (au — m)
DU UE TEE a ==
bn 2(b— n) ns 3(b—nÿ
L'NTAPMENE P F F te F
Um on 9m 2n 2 2%

On trouvera de même :

= = Go (À
Ne [1 DR Ua

a — Im

g Ld te æ
DNS ME SIL

PER = GPzr me?

2 (a—m) (a am}
Ne PR PDP fe DIF
NME Lo be) 5(b—n)
l P F l (5 F 15 [F
om On 2m 2n 2m! DD SN | En
{' [Ê
7 Om Qwl
D'où, faisant la somme, on obtient :
GP Dal? — 9m? D
Mu + M .j2— Re met
a —m 2(a— m) 3(a— 1m)
9/? 9h? — Onl° l'
— ——————— + PE
b—n 2(b—n) 5(b—n)
DR EP 1 OP! OP DS 9! |
on on 9m On %mw 2»)
F [2 lP [E
om, 1 — © UE —
a—m 2(a—m) b—n 2(b—n)
2 [? l P
mOn 2m. 2n |
P P (2 l
a
2(a—m) 2(b—n) 2m 2n |

=?)

: CE 12 L
— 9M 1e
M, £ = (a — m)(b — n) ir 5]

(419)

1 Û 1
M, 1 — ( | + + —
D(a—1m) 2(b—n) 2m

—9M EN Een re
6 2ab(c— y) 2pab
CCE
ee 2aby (c— y)
lc
—9M Î ‘

7 Saba(c—p))

1

+ 2
dn

|

|

(a

PEUT

Mare
FEES

NOURES:

I

(Pages 55, 85, 168 et 412.)

Démonstration de la formule
1.2... m—me-"|/927m,

lorsque 7» est un nombre très-grand.
Cette démonstration se trouve dans la note suivante, deuxième
cas, troisième exemple.

ET

, £ L b û ,
SUR LA DETERMINATION APPROCHÉE DES INTÉGRALES DE LA FORME / ydx, D APRÈS LAPLACE,
at

y ÊTANT UNE FONCTION DE æ DE LA FORME (ft), ET $ UN NOMRRE TPRÈS-GRAND.

A. Intégrales simples,

: d 3 x .
Premier cas. n'est pas très-pelit pour les valeurs à ou b de x.

ProBLème. Étant donné y — (fx), où s est un nombre très-grand,
développer en série convergente

Te TA ee

es JC 1 : AGE
lorsque aucune des quantités (4) (a). n'est très-petite.
Ti F2

dx dx

(42)

SoLurion. Soit x, < 2 < %, on pourra écrire

L ydax = f ydx — f ydx.
T} Lo

T1
Posons dans la première des intégrales du second membre

(] = (/X:) GE = Ye! ,
et dans la seconde
y= (fa) e = yet.

Si « est la valeur de x qui répond à { — «, aux limites respec-
tives x, eta, x etæ de x dans ces deux intégrales répondront celles
0 et œ de f; et par suite

e œ
Je ne cu feat
dt
0

Comme x est une fonction de t, nous aurons par la formule de

Mac-Laurin :
dz dx dx de d$x (? L
+ —— =—— 0 ————
Fu dE t=0 de 1=0 dis 1=0 1 .2

En nous rappelant qu’à { — 0 répondent x — x, dans la première
intégrale, et x — x, dans la seconde, nous pourrons écrire :

0 Æ | [dx dx GG) À
ydT =; etat } (ar <= mal t +- ne = En
T1 Z} ENT .
0
a ax dx da 12 |
T Ye etat 2 + FA + irons con 00
6 a) L2 +

\
En vertu de la formule

[etui Tr (pe) = 1.2. 1

0
pour & entier et positif, le second membre prendra la forme ei-des-

SOUS :
dx dx el dx Le (a)
de). Ya Fe ” Ée 7

0 yax = Ya | Fa

£ b\dte,

(435)

Or, de y — y,e ‘ ou de y — y,e"", on tire en différentiant oga-
rithmiquement

d ax

ES — — dt; d'où — Der :

y day
dx

Désignons par v cette valeur; nous en déduirons

de même
dv
$ : -Ù —
dix d
= , etc.
dis dx

Si nous substituons ces valeurs dans l'expression (a), nous aurons,
en observant que v devient facteur commun à tous les termes :

/ dv 4
\ d.v—

Ta . ke he ax a |
. YAX = y, Es nes Se

z1 , FA ‘| CET dx r{

d
À AN )
nt do o En) # : (D)
— VU,
EE ( = Fa NT N/A

En remplaçant dans cette formule v par sa valeur en fonction de y,
et ensuite v et y par leurs valeurs en fonction de x, on trouvera
aisément qu'elle peut s’écrire

dy \° dy
y|— |] — y?
CE dy \ \ x Ÿ dr? |
Je WBP—= je De) ne D EN pe)

#1 dx).
dx} ja |
Fe 2 d2?
eee =
dy dx dx?
mi 1e ON mr de ENT)
CHER dy\S
ax) de
ou bien
Ÿ ÎT s(fasefes ss 1ifa = sfrifr, 2 +
Jpartx = (fr À voie RSR à
on sfæ, S?(/ T° i
ME (frs PL je 2 rs (La = sf'a, (fr) + «
STA | s5(f x)

28

(42)
On voit que si s est très-grand, et si fx n'est pas très-petit pour
x = %, OÙ © — %X,, Ces formules sont rapidement convergentes.
ExEwpre [. Soit à évaluer l’intégrale
Je [per +1 _p) 7
0

St

y= maire = aNes

dy APE _f# r —2 _st S
—_—=—6e Fr [pe r+1—p [ruse “+unfi+i) |
dx R

Les limites sont ici x, —0, x: —; par suite y, —1, y; —=0;
et la formule (a) se réduira par conséquent à

vie IT —"1 | Es + É (a')
yo — Vi ne PTE se d à e 0 .

x1

On voit aisément que ou n’est pas très-petit pour la valeur x,
de x. Nous pourrons donc appliquer la méthode et poser

— ni — m0
V=ye = ts

ou
= PIÈG

Co CRT en Ü = DES

d’où l’on tire, en prenant les logarithmes népériens :

t — (1+5) Bt #1 pe +1 —»|

Différentiant on obtient :

e "—
dt S ?
——=1+-+(r—i1)

dx En
pe T"+1—p

p( oc ( — p) (re)

= 2

sx

DEN Er

par suite

es D 1

pA+s)e F+(1—p) fr+i)

et, comme x; — 0 :

puis
ge _©æ
NE R ANTENNES CRE
dæ dû E - ab
p(læ+s)e * +(1 —p) 14°)
et

s?
DS El) =

e) 1 | 72
CEA ce S 2

S
1+ps + (1 — p)= [1 + ps + (1 - n°
Substituant ces valeurs dans la formule (a’), on aura :

JE oe tp)

1
1 ne

9

\
= — a a
|

S [ s
DEEE rÜ+rs+t—n?]

Exewpce Il. Développer en série convergente l'intégrale
4
Ja — x)! dæ,
0

p et q étant de très-grands nombres.
Posens
YA)
d’où
dy

7 — gt (1 — jt! \p —(p+ gr}.
dx

Le
°

Les limites sont ici

1
T, = 0, 25)
d’où
L .
n=0, Y= opel
et
ln Pb)
Gha)le Qp+s ?
quantité qui n’est pas très-petite.
En faisant donc
1
J=yiUe ec t=xP(l — zx},

| 9p+q
la formule (1) deviendra

5 dv
We ve = 1, |1+ (©) +
(0 T2

dx

L’équation précédente donne, par la différentiation,

dt T0, (px
do … (2x —1)[p = (p +) rl (p+Eq)r(s 1),

SE 3

dx Lp (+9) rh

d'où l’on tire, en se rappelant que x; — À :

RES 1 4 (= RU NEAUNES
CT Den li Gt |
et enfin
4
1 se
EE T hi 2 re
î QP+a+ p—gr. À)

Deuxième cas. Î est très-petit pour les valeurs x, ou x: de x.

. , . , . d
Supposons que x, soit la valeur de x déduite de l'équation =—0,
e’est-à-dire celle qui répond au maximum de y; et faisons

L = LA (TX — XL);

la valeur de y développée suivant les puissances de x — x, sera

dy (x — 2)? 2)
= Ya + D) || + ————|— | +
y = + AE. 1.2 É Le

(427 )
ou , comme (). = 0:

RS er a me) fé
Jnié 12e

e =

F MEL) (or 1
= gd ©" || — L ...\:
ei .9 dx? LE ne \

d’où l’on tire

x — 2)? [d?i 1
ee de ( Re
1.2 Ta / x Va \

d?1 1
ps |
Aa] re Ye

En faisant ce dernier membre égal à — #, on aura

y= Ye,

VAN AE

A

d’où

Comme € a (x — x,) pour facteur, on peut poser

TL — L,

= )

d'où
nn de

£ VAL ya —Ly

En développant x = x, + ul par la formule de Lagrange, on

trouvera :
2
| ———+:::;
PS

dx Ê _
——= Ur, + o
T2

d (u?)
T= La + Url + 2e

d’où

di dx

Soient « et B des limites de x qui diffèrent peu de »:, et T, T’ les
limites correspondantes de t{; on pourra écrire :

J* dx = fe a dé
: y Us a

T

Se d.u°
—= Ÿe GET + (Te DEP PREOEAEN 0 OI (AS)
x2

T

0

( 498 )

Si « et b sont les valeurs de x qui rendent y nul, les valeurs cor-
respondantes de £ seront Æ +, et par suite

Ju y ee at} u + = ol ir (°
3 = 9 A Fe DES Ê eu
LÉ : x dx j 1:29 | ax? le A |

\ A /d.u? ne 1 /d2.u$ PACÉMe }
= yat fre dl) te ®dt+ - 2e +
2h J. ee iJ É He dx? 1. J re 4
1 dus 1.
me Loi
1 /d.us )
ed mens | ee D ete B
VV PE je \ (B)

RewarQue 1. Voici un moyen commode de calculer les termes #,,,
d?. u

= ñ etc.
Comme x — x, est facteur de {, on peut poser :
P=ly,—Ly=(x 2) [A +B(c—ax)+C(z—x,)+ |.
En différentiant cette égalité plusieurs fois de suite, et posant
X — X2, On (trouve :

I. 1 [a?1. sale
-(5 ne =1} ne. -5(T te
LD] ta

Co JON 2 \ de EAN
1 d'l.2
— ÿ —= C, elc.
2.5.4 dx" Z2
Or de
T — ®, D
u—= —— —=|A+B(x—x,)+C(r—x,*] *
(y
on lire
1 1
De À 2 —————————
de
Fe ah
SMS 54 9.5 7
—À 2 — —- 2 — = NT ——Au2.Rh° — 2
u5 — À > B (œ + | S À GES Be) La ? +

d’où, en différentiant deux fois de suite,

d?US ; ENCRES BSD EU À
as = (52 Ce 2 B)4+(x—x,)[...],

et par suite

(429 )

dly _ dy CNE A
dx! ydx? MS E y

/Œ1.y =? x
| GREEN es à

la formule (B) s’écrira donc, en désignant par YŸ la valeur de y pour
D) y
LE

REMARQUE II. De
x — %X2, On déduit

, et de ce que = — 0 pour

Ven
0 ydæ =

+
v-(#
da /x2

. (C)

Exewpse [. Chercher en série convergente la valeur de l'intégrale
1
[x (1 — x)! dx,
0

p et q étant des nombres très-grands.
Posons
= (1 ET x) )
d'où
dy

sata Îp-(p+dx}:

Si nous égalons le second membre à zéro, nous trouvons

d’où

p je qu“
== ——— .
‘ —— ET)

Comme ou est nul pour les limites æ— 0, x — 1, on ne peut pas
employer la méthode donnée dans le premier eas.
C’est de celle du second que nous devrons faire usage en posant

y
y Yae À.

Et puisque pour x —0 etx — 1 on a y —0, d’où t—æ+,on
devra employer l’une des formules (B) ou (C).

Caleulons donc
a d2u°
Urs dx? 5

(450 )

De L. y—pl.x + q1l.(1 — x) on déduit

CSUIENED q

dx D | — x
I. {D q
RENE ne (1)
ax? xt (— x?)
d'où
al 1 ae (p+q
ja | CE ‘a 2pq
Donc
7 2pq

T — ZX; x \o1— +
u=—?—=[A+B(x—r)+C(œ—x®]
on tire
du 3.5 B? 50
ee ere Arr @
de /., Dia av

Nous connaissons À ; il nous reste à calculer B et C. Pour cela,
différentions deux fois de suite l'équation (t):

COTE) q
d'OS dr ET NS AE x)
dly p q
DAS VOA
d’où
1 dS 1. y (p + q)*
BE DOS
2 SUITE) 5n?q?
1 ds |. y (p + q)°
G= = À = (pp? = pyg +);
me j: NT EEE

Substituant ces valeurs dans l’expression (2) :

dus 2 À :
A om (Dal D UIEtS 4e).
AT? x, 6VpIP+Q)

Cela posé, la formule (B) donne

pots quite V2r (p + qi — 15pq }

_12pg(p+0

fa U — x) dx = =
ï (DÉPIS EEE

(451)

Exempee IL Évaluer l'intégrale

œ
Ji DUT) AE;

0
rn élant un nombre três-grand.
Posons
VE d'a" (x 2 r}7 ee,
d'où
dy (
— —= Z B=n(7 £, Pi) AE

) Se
dz (42 Œ—Fr

LOU meme 1)

ire d
Aux limites x= 0 et x= on a 52 = 0; on doit donc employer
la méthode du second cas en posant

y= yet.

En égalant à zéro la valeur de 2, on trouve

rn — nn n
+

T EG

FA +T
2

TA+HT M. ; 1 1 : AN 6}
= — — = + — — ——
2 — | ) | ) rn\

=

| ANS RER,
ne V/rn — 7) + 4r

en s'arrêtant aux termes de l’ordre de —

Aux limites O0 et © de x répondent celles + de æ de t; on aura
donc par la formule (C) :

æ Y2 LC
j GED (69 = PRE —__—

AY)

Ve)

A\2+!
V2r(rn"tie-" (: =) Vr

Vr- n (1) +1

( 432)
Exempe II. Évaluer l'intégrale

[ae dx =r(n+1)=1.2..n,
0

n étant un nombre très-grand.

Posons
y —=x"e ",

1 n
TV —gngs Ê — 1):
dæ æ

Ces deux valeurs deviennent nulles aux limites x — 0 et x = «.
En posant

d’où

di
yes
dx
on {rouve
LUN;
d’où
Y=n'e".
De plus

dy n(n—1) 2n
dax? x?

dy _— n'e— n
da? +3

d’où enfin par la formule (C) :

Fe V/27 (n'e-")"e :
Îxve== Ghp = PA = V 27 ns Car
0 \ / mr—1 en

n(n— 1)
n? nul

B. intégrales doubles.
Proposons-nous d'évaluer en série convergente l'intégrale
5 FB
JS uaxy, U=[/r& y,
a (4

s étant ün nombre très-grand, et U devenant nul aux limites @, b
dereloe pidenr

: er 1
Soient x — x, et y — y, les valeurs de x et y tirées de = —\),
— 0; et écrivons pour abréger
= d [f (Gas Ya)]'

U, = LG de: EL LE TN POSER © etc.

dU
dy

( 455 )
Si nous posons

IST, LT —= T3 +0, Y= Ya +)

la formule de Mac-Laurin nous donnera

d_U

U=U dU : dU 1 d2U ie d'U Ds
== ee PEN eme 2 (— | 4 +|—
| dyJ2 Mo era) dxdy]2 dy?

1
Æ US [---] + etc.

1 à
=U,) 1+ ER
Us)
= (1524
en faisant
2[; 2 2
EE LACE
au, | \2æ°}: dædy 2 dyl2 |

On aura par suite :

LULU: (1) = Le +;

et de là :

Le È ! z 1 a) 2 1 / UE 2
2 = = —— — | — —— |———— =
U 2 2 sn

U, \dædy

ou bien, en posant:

1 d’uU
A —— | — | ;
2U2 ER
4 { ŒU
Be 04 ;
U, dxdy 2

1 2)
Eds pan),
AU, | dy°/2

+ 0? — AO + 2B64 + C?

B \ p2\
—As+ + lc —)#

il viendra

À }

Cette relation sera vérifiée si nous faisons

B B2
1—= VA |0 + — t = PE
| ") et v \V/: a

y? | +-eLc.
2

( 454 )
Comme nous avons posé
U—Ue-"-—",

et que U est nul aux limites a, b de x et «, 8 de y, il s'ensuit que
les limites correspondantes de t et v sont + ; l'intégrale proposée
deviendra done

J À. ; Udxay= "FE vas=, 1 : JL ee Kat ;
a NC a

—® —o

il s’agit de déterminer ces trois derniers facteurs.

Or on a
10 = À d9 + © dv;
UE dy de
dé dy
dd =— dû + — dy;
MN

et puisque, dans la seconde intégrale double, # est considéré comme
constant quand on intègre relativement à 4, et dans la troisième,
{ quand on intègre relativement à v, ces équations deviendront :

dt
dt = —d6
de

De ces deux dernières on tire

dv dt dv dt

a dy (1] d6 dy
En dt
dû

dv dy;

et par suite

bel =
re Ë do Ù G5

dtdv
dv dt dv di

dy dû de dA

dOdy = — Kdtdv.

(455 )

Le dénominateur est une fonction de 6 et qu’on réduit à une
fonction de f et v au moyen des équations (1).
L'intégrale proposée est ainsi ramenée à une série de termes de

la forme
[+] []
nf v d'o"e— Ê— didv;

0 — 0

ces termes sont nuls si » ou m est impair.
S'ils sont tous deux pairs, on calculera ces termes par la formule :

OU MSN OLE
1202 pivot e— 2% dv — U 63 2k 2

A 0 2: DE

III

(Page 155.)

Nous avons cru que les formules (A) et (B) de la page 155 exi-
geaient quelques développements, quoique nous n’en ayons trouvé
aucun dans le texté.

Il s’agit d’abord d’exprimer J ydx en prenant pour variable la

quantité { déterminée par la relation :

y = Ye ©
d’où l’on tire

= V1 ym — Et y

de sorte que les limites de t correspondantes à celles £ et x de n
seront

Y = V1 Ym — 1 V8 »
v'= V1. y — |. Yx.

On voit à la fin du n° 71 que ces deux valeurs sont égales en gran-
deur absolue; d’où il résulte que, les deux limites étant différentes,
le premier radical doit être pris avec le signe +, le second avec le

(456)

signe —, ce que nous indiquerons en dénotant la limite inférieure
par — y.

On a supposé que x diffère peu de m, et par suite y de y,,, entre
les limites « et 6, de sorte qu'entre ces limites x — m et { ont des
valeurs très-petites.

Si donc on pose
z—m=ul,

d’où
dx = udt + tdu,

la valeur de w différera également très-peu de «,, entre les limites
assignées, et { étant très-petit, on pourra écrire

dr = Uml ;

8 {1 )
Jux =/f Un Une dt = Ynüm /. ERAOLE S PRERA)
—)! 4)"

@, %

d’où

Si a et b sont les valeurs de x qui rendent y nul, comme les
valeurs correspondantes de { seront Æ «, on aura :

b io ie
utz = nm [ STE as 0 & 6 6 0 (À

a — 2

Pages

414,

491.
441,
A4,
448,
153,
458,
455,
161,
AT,
482,
190,
244,

265,
288,
290,

ERRATA.

NOTA. — La lettre b placée en indice à la suite du numéro de la ligne indique
qu’on doit compter les lignes à partir du bas de la page.

lignes.

8,

16, »
D »
45, »
Do, »
15 et 46 »
5, »
1e »
40, »
40, »
11, »
4. »
40° »
5 »
De ; »
(ES »
40. »
96 ; »
45 9 »
2, »
2 »
404 ,

Gr,

6, et 7v »
Ge , »
4, »
3, du et Ge »

au lieu de : simultanés,

au lieu de : P'IF',

IDE »
1. (2 —1) — ].(n) »
œ, »
Uy,x = »
n = À, 2 »
r= il, 2
»

(TD: , »
u—1 »
+ d’, ?
le terme, »
ÿ , »
# Û

ou certain. »
ds (b), »
S , »
pourvu que. »
n — 1, »
æ, »
note IT, »
pour, »
d?. y, »

lisez :
plusieurs observations, »

A décès, »
No 412. »
His, »
=

: simultanés , indépendants l’un

de l’autre.

DID,
À
1 (1—7).
a.
DRE == NO NC MONO - (1)
RSI ER MES
=?
ad F3)
dx? T9
T.
u +1.

les termes.
S.

He

et certain.
ds, (b).
$.

pour que.
n —1.

N.

note II.
par.

d2 ]. y.

ajoutez : en négligeant les puissances de 9 supérieures à la troisième.

PIl/.

un grand nombre d'observa-
tions.

A de décès.

No 410.

ie

—

Pages.

‘
d%e ,

343,
361,
367,
369,
369,
381,
384,
358,
389,
391,

395,
397,
402,
403,

403,
415,

Il existe en outre un certain nombre d'omissions que nous n’avons aperçues qu'en relisant
les feuilles tirées : elles consistent dans la suppression, par abréviation, des facteurs dl
ou dt. Nous les avons signalées en plusieurs endroits, soit dans le texte, soit en note. Le
lecteur s'en apercevra sans difficulté dans les autres passages, tandis que les mentionner

Lignes.
Al,
Gc ,
Av,
db ,
9 et 16,
5.

au lieu de : r+1,

De la probabilité,
1 V—1 :
Fonctions,

lisez : yr+1.

De la probabilité Q.
e V= 1.

Fonction.

hi.

hx.

B2=SH( }.

ay.

€.

7n=1( ).

dans l'errata eût été excessivement long et en eût rendu la lecture fort pénible.

Enfin le lecteur est prié de refaire la figure de la page 43, dont les proportions sont

inexactes.

F. F.

TABLE DES MATIÈRES.

: Pages,
PAC à SAME PE TRS PAS Ra EURE PRET a SRE ER 4-4
UBRODUCRIONDER MERE LR ER SN HR ee Da. I-X
CHAPITRE 1. Règles fondamentales du calcul des probabilités et

applications à divers problèmes. . . . . 1-18

CuapiTRe Il. Probabilité des épreuves répétées .… . . . . . 18-82

Puissance du polynome. 44-0000 0 19
Puissance duibinomet te UN. êb.
Polynome des factorielles . . . . . . . 20
Binome desMfactoriellés MEN M 22
Produit de facteurs binomes . . . . . . 25
ADP CAIONS AE Perte NME En 25
Problème de MOivre ee NT PE CT 26
Probleme:de:Pascalt RER ni", 30
Problemerdenaieutlle ME EEE ON 42
ALES Dr ODIÈNMES MEME ET CN 49
Problèmes des parties pour deux joueurs . . 65
Problème généralisé des parties . . . . . 71
Autres problemes tif Un Ne 76

Caneiurenil (Suite du précédent) 10 et RUN I S5-115

Théorème de Bernouilli. . . . . . . . 85
EXEMDIES EME ER UN IEEE RO CE NUTE 92
Mhéorèmeide!Poisson MN UE D NT, 95
Problème de Poisson. . . . . . . . . 106

29

( 440 )

Cuapirre NII. Espérance mathématique

Règles .
Jeux de hasard

CuapirRe IV. Espérance morale

Son expression
Conséquences et applications aux assurances .
Problème de Pétersbourg .

CuapirRe V. Probabilité des événements futurs.

I. Causes .
1e théorème (de Bayes) .
2e théorème (de Laplace)

IT. Événements futurs .

SERLNEOTEMES DE CN
Applications

CnapitRe VUS. Problèmes sur les naissances .

Cuapirre VI. Théorèmeinverse de Bernouilliou théorème de Bayes
Théorème de Laplace sur la probabilité des résul-
tats moyens des observations.

Acr cas. Deux événements .

2e cas. Trois événements. ( Démonstration de
Bienaymé).

CuarirRe VII. Thcorie des erreurs des observations .

$ I. Expression de la probabilité de la valeur x
$ II. Détermination des limites de À (mesure
de précision ou poids des observations)
et de (erreur probable) dans un genre
d'observations caractérisé par ces va-
leurs A CENT TOIT ND
Résumé des formules précédentes
Exemples
$ IT. Valeur la plus avantageuse d’une incon-
nue dont une fonction est donnée par
un grand nombre d'observations

Pages.

116-154
116
128
135-148
135
157
146
149-166
149

151
154

159
pb.
161
167-199

200

202
205

207

215-262
214

222
250
238

241

(4m)

$ IV. Détermination des valeurs les plus pro-
bables de plusieurs inconnues, une fonc-
tion de ces inconnues étant donnée par
un grand nombre d'observations

CHaPiTRE VIII. Probabilités relatives à la vie humaine .

Construction des tables de mortalité et lois em-
piriques qui les régissent :

Nature et usage des tables de mortalité .

De la population. TR PREAS

Théorie de Laplace sur la détermination de la
population d’un empire .

Cuapiore IX. Assurances sur la vie

CuapirRe X. Probabilité des témoignages et des jugements

$ I. Des témoignages ie
$ IT. Probabilité des jugements .

$ LIL. Des décisions à la majorité des voix .

ADDiTION Î. T'hcorie des erreurs d’après Laplace.

À. Inconnue donnée par un grand nombre d’ob-

SORVALIORS NS EE ER LT nt

2. Fonction d’une seule inconnue.

Appirion Il. Théorie des erreurs d’après Bienaymé .

1. Fonction d'une seule inconnue, cette fonction
étant donnée par un très-grand nombre d'ob-
servations.

2. Fonction de plusieurs inconnues

Aporrion III. Extension du théorème de Bernouilli au binome des
factorielles

Note sur le développement de la formule (11)
à x près.

Note I. (Pages 55, 83, 168 et 412) .

Pages.

409-416

417-419

-421

( 449 )
Pages.
Note Il. Sur la détermination approchée des intégrales de la
forme J'yax, d’après Laplace, Y étant une fonction
de x de la forme (fx), et s un nombre très-grand. . 421-435

APÉIntésrales Simple ENONCE Re 421
B'NIntésralesdoubDIe EEE 482
NOTE (Page AD) AU Nes nr EU 455
ÉRRATAEPN SERRE ER A Or EN AIN CROP See Pa A TENTE CRE 457

PPS NC ES —— —

TABLES MODERNES DE MORTALITÉ (°)

(HOMMES ET FEMMES).

Bavière. Suisse.

4000 1000 1000 À 1000 1000
813 80 / 697
651
629

() Voir Tables de mortalité et leur développement ; par Ad. Quetelet, p. 18.

(444 )

Belgique. | Pays-Bas. | Bavière. | Suisse.

(445)

Norwége. | Suède. |Anglelerre.| France. | Belgique. | Pays-Bas. | Bavière, | Suisse.

(446 )

ace.| Norwége. | Suède. |Angleterre.| France. | Belgique. | Pays-Bas.

NOTE

SUR

UNE NOUVELLE ESPÈCE DE LEPIDOTUS,

PAR

Docteur en sciences.

1“ ri

à

NOTE

UNE NOUVELLE ESPÈCE DE LEPIDOTUS.

M. le professeur Dewalque, de Liége, vient de m'envoyer un
fossile que je m'empresse de faire connaitre aux paléontologistes.
Ce fossile se compose de la plus grande partie des plaques et de
quelques débris des os de la tête d’un poisson, provenant du
lias , et qui appartient sans aucun doute au genre Lepidotus. On
sait que-les Lepidotus sont de grands poissons dont la forme
générale a beaucoup d’analogie avec celle des Cyprins. Ils sont
oblongs et épais, leur dos et leur ventre sont bombés, et le pédi-
celle de la queue est très-large. Ces poissons sont très-répandus
dans les terrains Jurassiques, surtout dans La section de ces
couches qui constitue le lias. Tous les caractères mentionnés se
retrouvent plus ou moins dans l’exemplaire de Lepidotus dont
nous nous occupons en ce moment. On pourrait croire au pre-
mier coup d'œil que cet exemplaire doit être rapporté à l'espèce
nommée Lepidotus gigas, Ag., mais, après avoir étudié les nom-
breux restes de cette espèce que possède le musée Teyler et les
avoir confrontés avec l'échantillon en question, je dois dire que
l'analogie présumée ne s’est pas soutenue. L’échantillon ne me
parait pas non plus pouvoir être rapporté à quelqu'une des autres
espèces connues de Lepidotus. On sait que les espèces de ce
genre diffèrent surtout par la forme et l'ornementation des
écailles : ainsi les écailles du L. gigas sont aussi longues que
hautes et à bords parfaitement lisses ; celles du L. semiserratus
ont quelques dents au bord postérieur; celles du L. rugosus ont
une surface rugueuse; celles du L. fimbriatus ont une fine den-
telure sur leur bord; celles du L. ornatus ont des rayons diver-
gents sur les bords postérieurs; celles du L. frondosus sont
sculptées sur leur base, etc. Aucun de ces caractères distinctifs
ne se retrouve chez notre poisson du lias. Ses écailles, quoique
mutilées pour la plus grande partie, ont néanmoins laissé assez

(2)

de restes et de traces pour qu'on puisse s'assurer qu'elles sont
parfaitement lisses à la surface supérieure et aux bords, et
qu'elles ne sont pas aussi hautes que longues comme celles du
L. gigas, mais ont au contraire la forme de parallélogrammes.
[1 parait en outre que ehaque écaille a possédé une sorte de bord
plus ou moins gonflé, et que la masse chitineuse qui la composait,
a été disposée de manière à former des plis quadrangulaires.

Quelques vestiges de rayons de la nageoire dorsale se montrent
au bord du bloc de pierre, mais je n'ai pu découvrir aucune trace
de fulcres. Pour ce qui regarde les os de la tête, on n'en trouve
que quelques débris des opereules; mais un fragment assez
considérable du préopercule présente des granulations éparses,
particularité que je n'ai pas rencontrée sur les préopercules du
Lepidotus gigas qui sont à ma disposition. La couleur brune des
écailles et des os de la tête contraste agréablement avec la teinte
grisâtre de la pierre calcaire qui les contient. Je ne sais pas si
l’on doit admettre que les écailles ont été naturellement brunes,
ou bien si elles doivent cette couleur à une matière minérale,
telle qu’une solution ferrugineuse, qui les aurait pénétrées.

La figure 1 nous présente l'échantillon entier (1).

Dans la figure 2 sont représentées , trois fois agrandies, trois
écailles, dont une tout à fait dépourvue de son émail, et les
autres partiellement, pour montrer les plis quadrangulaires dont
nous avons parlé plus haut, et qui sont. visibles à travers l'émail.

L'échantillon provient de l'étage toarcien (lias supérieur) de
Saint-Mard, près de Virton, province du Luxembourg, où il a
été recueilli par M. Mohimont, contrôleur des douanes, à Virton.

1 me semble qu'il convient de dédier l'espèce à cet ami
dévoué de la science, et je propose de la nommer Lepidotus
Mohimonti, Winkler.

Haarlem, 10 juillet 1875.

(*) La Note de M. Winkler était destinée au tome VI des Mémoires. Afin
de ne pas en retarder l'impression, elle a été insérée dans le présent volume.
Le lecteur s'expliquera la mention du tome VI qui se trouve au haut de la

planche.

TABLE DES MATIÈRES.

1. Canpëze (E.). — Révision de la Monographie des Élatérides. (1e fascicule.)

2, Meyer (A.). — Cours de calcul des probabilités fait à l’Université de Liége
de 1849 à 1857. (Publié sur les manuscrits de l’auteur par F. Folie.)

. WinkLer (T.-C.). — Note sur une nouvelle espèce de Lepidotus.

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