lll 1 ! 1 l ■' -, ■ J ' ■ ii!! ;:.::■::'•■■ M;*iI;' !'i: :;h': I i. '' .i ■ ^ ''■''■ 1 ■' . ■' ' ,■ 1 ( ' 1 ' ' : ' , ' ■ 1 , ■ ,' ; ;: ! :,!;' -■'■:' ippm ■'i' ,■:' '■ ■ ' _ . FOR THE PEOPLE FOK EDVCATION , FOR SCIENCE 1 LIBRARY 01 THEAMERICAN MUSEUM or NATUPAL HISTORY NOVA ACTA ACADEMIAE SCIENTIARYM IMPERIALIS PETROPOLITANAE TOMVS V. '5.0 b('^'-' PRAECEDIT HISTORIA EIVSDEM ACADEMIAE AD ANNVM MDCCLXXXVII. PETROPOLI TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXXXIX. '/4. 'J0.30X uAuJLX^ T A B L E. HISTOIRE DE L'ACADEMIE IiMPERIALE DES SCIENCES. Annee MDCCLXXXVII. HISTOIRE. Pag. Quejlion pour le Prix de 1787 abamJonnee - - 3. Nou'celle qucjiion propofee pour lc Prix de i^jSg - 4. Depart d€ Madame la Princejfe de Bafchkaiv & admini- Jiration de PAcademie pendant fon abfence - 5. hijlruction des officiers & pilotes dejlines a iine expedi' tion maritime - - •- - - - ibid. Cours publics _--.-_- (j. Arrangcment notiveau du Cabinet mineralogique - - 7. Tradu&ionde VUiJloire tinturclle du Comte de Buffon eu- treprifc par Mrs. les Acade?niciens dc la Nation - ibid. , Ouvrages pubJies f« 1787 - - - - - ibid. Portraits de Mrs. DanicJ BernouJJi & Lomonoffof pJaces dans la ftdJe d^AJfemjbJees - - - - %. Penfion & grat/fications - - - - - - 9- Promotions & receptions - _ - _ - ibid. )( 2 Ouvra' ^ IV. ci^ Pag. Ouvrages imprimes oti mavdifiripts ^ viaihines^ itiirvtiofjf^ pro/iiiifions de la tiainre & de Part^ antiijuiies & citriojites prefemes ou donnes ti VAcademie en ^l^l - II. Ol/cri-ations fur lc froid & la congelation naturcllc du tncrciire^ faiics a Ou/iioug - le/ikoi par M. Frics^ Chirurgicn - Major & Corrcfpondant dc /\lcadeinie: extraits dcs /ctres adrcfees au Sccretaire - 31. Extrait d' nc ictirc dt M. de Carofi ^ Caj itainc au fr- vice du Roi iP' dc /a RepuO/ique de PnJogne & Correfpondant de /'Acadetnic d Mogi/a pres de Cracovie - - - - - - "35* SUPPLKMI^NT. Memoires prefcmes d VAcademie Im- peria/e dcs fcicnccs pnr de.\ Sqavans etrangcrs i^ approuies dans fes Aj]'cmb/ecs. - _ _ ^p, Inucnta noua dc ii dcph/ogijlicantc carbonum eiusque in- ftgni ifu iu iarii.i opcrationibus chcmicis. Autiore Tobia Lowitz - - - - - - 41. Methodus faci//ima crematum frumcnti Jinc rcilificatione ab ingrato ftio odore et fapore /iberandi. Au6tore T. Loivitz -_---.. j^, EXTRAIT dcs memoires contcnus dans ce Vo/ume. C/aJJc dc Mathemaiique - - - - 61, Ciaffc de Phvfco - Mathemaiiijue - - - 74. C/alfe dc Phvfque - - - - - 81. C/afe d'A/Jronomie - - - - - 91. Meteoro/ogie. - - - - - - 93. NOVA NOVA ACTA ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS. ToMvs V. i Cum VIII. Tabulis acri iucin& MATHEMATICA Pag. LEONH. EVLE*?. Innumera Tbeoremata circa formit" las integrales^ ijuorum demonjiratio vires analyfeos fuperare ^ideatur - - _ _ _ «, expedienda Ve multiplicatione angulorum per fa£lores I Comparatio valorum formulae integralis .xP-'dx - a termino jr — o 'vsque ad 27. Ko-ca demonflratio quod euolutio poteflatum Bimmii Neivtoniana etiam pro exponentibus jradis valeat - - - - - - « jg, De innumeris ciiruis algebraicis^ quarum lon gitudin.m per arcus parabolicos metiri licet - 59, — De innumeris curuis algebraicis quarum longi' tudinem per arcus elUpticos metiri licet - - . «71 jr z=, I extenfae - _ ^ » g^j^ — Additamentum ad Diffrrtationem praecedentem^ de lialoribus formulae integralis etc, - - ns, )C 3 F. T. ^ VI. 0^4 Pas. F. T. SCHVBERT. De proiertionc /pbacroidis eUipticae geograpbica. Dijjertalio priina. Tab. I. fig. I. j). ----- - 130. PH YSICO - M ATI lEM ATICA. LEONH. EVLER. De motu qiiodam maxiwc fncmo- rabili fatis quiiiem fnnpHci ac foluiu f/ij/idllimo. Tab. H. fig. I 9. - - - - 14.5^ NICOL. I'USS. Du mouvemcnt dun disquc circidaire , qu^^un poids fait monter fur un plan incline. Tab. HL fig. I 5. - - - - - 175. lACQUES BFRNOULLL Fffai tbeorctiquc fur les cv- brations dcs /laqucs clajliques rccTanguluires & li- brcs. Tab. IV. fig. i 5« - - " iS)7« PHYSICA. CASP. FRH'.D. WOLFr. De ordinc fibrarum mufcula- rium cordis. Diffcrtatio IX. De aC/ione Jibra- rum inediarum i^cntriculi dcxtri. - - - 223. BASH.. 7X\V.\\. Foetus fquali ftngularis. Tab. V. 239. NICET. SOCOLOW. Obfcruationes duac. - - -+3. CASP. FRH-.D. WOLFF. Dcfcriptio aoriae fupra mo- dum cxtcnfae , ftmulquc in fcdibus diucrjis offifica- tac. Tab. VI jiic il a ctc lc prcmicr qui ait donnc occafion dc traiter dcs cquations dilfcrcnticUcs a trois variablc-, par lintcgration dcs- qucllcs on par\ icnt a dcs foncftions arbitraircs & variablcs , la qucllion importantc qui partagca lcs avis dc ccs grands hom- mcs fut: fi ccs foniftions font cnticrcmcnt arbitraircs ? fi ellcs rcprcfcntcnt toutcs lcs courbcs iS: furfaccs qucIcon(]ucs , for- mccs pjr \\w mouvcmcnt ^olontairc dc ia main (* ou fi cllcs nc rcnfcrment qiic ccilcs qui font compnlcs lous nne cqinrloii foit algcbriquc foit transccndantc? Outrc quc c"cfi dc ccttc dc- cifion quc dcpcnd lc moycn dc fcrmincr la dirpuic fur lcs ordcs vibrantcs, la mcme qucflion fiir Ii na'urc dcs fonricC & dcftincc a acquc- rir des nouvcllcs connoi.;aiiccs liir iiotrc (ilobc, cllc cbargca M. Ic ("onfcillcr dc Cour Inohod/of d inllruirc lcs marins quc Ic CoUc^c Impcrial dc rAmiraucc hii cnvcrroit & dc Ics per- fc(ftionner furtout dans Tart d'obferver, autant quc lc pcu de tcmps Ic pcrmcttroit: car Tcfcadrc dcvoit dcja en automnc par- tir dc Cronlladt & paflcr Ihyvcr cn Anglctcrre, pour pouvoir commcnccr lon cours dcs les prcmicrs mois dc rannce 17S8. M. Inobodzof s aquitta de cct cmploi honorablc avcc autant dc 7.elc quc dc luccc^s , 6: Ic CoIIcge de lAmirautc lui en tc- moigna fa fatisfidion par un a6c dc rcmcrcimcnt quil adres- fa a lAcadcmie. Mais lcxpcdition n'cut pa^ licu, a caufc dc Li gucrrc quc la Porte (S: Ic Roi dc Sucdc dcclarcrcnt a la Rullic. Mcfncurs les Acadcmicicns Kotclnikof, Ozcrctskovski & Socolof donnc^rcnt pcndant I ctc , commc il> I.ivoicnt fait l'annce prcccdcntc, dcs cours piiblics cn languc rullc : Ic prc- micr cnlcigna Ics Mathcmatiqucs, Ic lccond 1 Hilloirc naturcllc & Ic dcrnicr \x Chymic cxpcrimcntalc. Mcs- H I S T O I R E. 7 MefTienrs les Academiciens Gcorgi, Zouyef, & le Sur- Intendant des mines Rcnovance, employcrent les mois d'ete a arranger, fnivant le fyftcme de ■Wallerius , lcs diverfes col- ledions de mineraux & fodlles que rAcadcmie poflcde. M. Zou- yef avoit choifi pour fi part les petrifications, & Meffieurs Gcorgi & Renovancc s'etoient charges du relle. Sa Majefte rimperatrice ayant defire que rAcademie publiat une traduflion rufle de THiftoire naturelle du Comtc de Buffon, Meffieurs les Acadcmiciens de la nation convinrent unanimement de partager entre-eux cette tradudion ^ «S: pour que la volontc de hi Souveraine foit executee de la maniere la plus parfliite, chacun d'eux fe chargea dcs Yolumes qui fe rapportent le plus a fon ctude. Les ouvrages que TAcademie a publies dans le cou- rant de cette annce font: Nova Acfla Academiae Scientiarum Imperialis Petropolita- nae Tomus I , cui praecedit Hiftoria eiusdem Acade- miae ad annum 1783- 4- Ce premier volume dc la nouvelle colledion des memoires academiques , con- tient outre la partie hiftorique , a la fuite dc laquelle fe trouve un extrait des memoires, trois mcmoires de Mathcmatiquc pure , cinq de Phyfico - Mathematique , fept dc Phyfique & d^Hiftoire naturelle , enfin cinq d'Afl:ronomie & de Meteorologie. D. Johann Anton Giildenfladt Reifen durch Rufsland und im Caucafifchen Geburge, auf Bcfchl der Rullifch-Kay- ferlichen Akademie der Wifrcnfchaften herausgcgcben von P. S. Pallas. I. Theil. 4. 4'icBHbi/[ 3aniicKii nyrneuiccmBM r. Aenexiiiia no pa^iibiMi. npoBUH^i^Mi, PocciiicKiiro rocyAapcrnBa 1771 — 17SO. Macnib 8 H I S T O I R E. 'lacmb III. B7> /|. Ccft a dirc: lc 5. tnmc dcs vovagcs de M. Lepechin , faites dans divciMcs provinccs de rHmpirc de Rii(]ie cn 1771 — 1^50. ITyinciiiccmRcmibi;! aaniicKii BaciiAb/r 3ycBa omt CaiiKm- iiemcpoypra ao Xcpcona uT) 17SI 11 17S2 roAaxTi /|. Ccft a dirc: J^cfcription d\in voyagc que M. Zouycf a fliit dc St. Pcrcrsbourg ;\ Clicrfon cn 178 1 cVi^s^. Unc cdiiion latinc dc la nonvcllc carte gcncralc dc rEm- pirc dc Ruflie fur trois grandcs fcuillcs. L'cdition ruflc a ctc annoncec dans la partic hilloriquc du To- mc IV. dcs nouvcaux Adcs. Une edition latine dc la cartc du Gouvcrncment dc Cau- cafc. Une nouvcllc carte du Gouverncment dc Koursk, & Une nouvcllc carte du Gouverncmcnt de Nigcgorod, Iii- nc & i"autrc a\cc dcs caraiftcrcs ruircs. Outrc pluficurs autrcs ouvragcs imprimcs & publics cn langue rulfe, dclHncs a inftruirc & a cclaircr la nation. La falle dAffcmblccs rc^ut un orncment nouveau. Mada- me la Princcdb dc Dafchkaw y fit transportcr iioAyAeiiHbiu Kpan Poccin. Le 25 J.unicr. Lc Secrcrairc a rcmis dc la part dc M. le Comtc de Cadini, pour ctre communiquc a Mrs. )cs Acadcmicicns Aflronomes : Extrait dcs olf/crianons a/lronomi" ques O' phyfiques jaites par ordrc dc S. M. a l Ohfcriaioirc rO" ral en latwee 17S5, fous lc Minijlerc de M. lc Baron dc Bre- teuil. 4'° Paris 17S6. il a lu la Icttrc dc remcrcimcnt de M. ie Confcillcr dc Cour Kaflner a Gottingue, quc lAcadcniie a rc^u au nombrc dc fci alU)cics extcrncs. Lc 25 Janvicr. M. lc Conlcillcr dc Collcgcs tS: Chc- valicr Pallas a rcmis pour la Kibh'othcquc, lc 1''" volumc du vocabulaire pintoL;Iottc, public par ordrc & fous les aulpiccs dc Sa Majcftc l'Impcrarricc, lous lc titrc: rpaniiurncAhHbic c.AOBnpii Bcl.xi. ;rjbiKohb 11 iiaj)0'iiii cofjpaiiu: acchhmcio juchbi- co'i3Mmpri ocoGbi. (>iii,U>ACHic I. co,vfp^'T4icc iii> ceOL EBpoiicii- CKic 11 AaiaincKic ;i3biKii 'lacnib 1. Tc 29 JanM'er. Lc .^^ccrvrairc n lu une Icttrc dc M. dc Horwath, Profcnciir dii Droit naturcl ^ dcs gcns a Prcs- bourg cn Ilongric, qui cnvoic ln/liiutioiium jiiris puldici par- tuuLiris rcasi lUinjariae Vars 1. De territorio refini Uunga- riae. Pofonii i7S<^>. s" «S: B.Uioibccac 'Jfurisconfidlarum llun- gariae Toin. l. ibidem. s^". Le H I S T 0 I R E. 13 Le I Fevrier. Madame la Princefle de Dafchkaw a envoyc iin jet en cire de ranimal dii Nautile paperaflTe, Nau- tiliis papyraceus^ dont elle fait prefent au cabinet academique d'Hiftoire naturelle. Le Secretaire a lu une lettre de M. le Capitaine de Carofi , datee de Cracovie le 16 Janvier, qui communique un rccit circonftancie du tremblement de terre, reffenti en De- cembre dernier a Cracovie & daas les pais voifins. Voyez ci- deffous pag. 35. une lettre de M. le Chirnrgien Major Fries datee d'Ouftioug - velikoi le 9 Janvier , qui rapporte que le mercure s'y eft gele pour la troifieme fois de cet hyver le 8ja\ier, & que le froid de cette matinee du 8 Janvier- a fur- pafle 60 degres d'apres la graduation de Reaumur. Voyes ci - deflbus pag. 31. une lettre de M. de la Lande, datce de Pa- ris le 5 Fevrier, qui communique diverfes nouvelles litteraires. Le 19 Fevrier. Le Secretaire a lu la lettre de remer- ciment de M. le Confeiller des mines Crcll a Helmft:idt, que TAcademie a recu au uombre de fes membres externes. des lettres de M. M. le Confeiiler Privc Formey a Berlin & le Prof Fabricius a Kiel, qui conticnnent diverfes nouvelies litteraires. enfin un memoire du maitre ferrurier Vol- cker , qui rapportc avoir perfedionne la machine de Papin, & Tavoir adaptce furtout a rufige economique , d'oii rclulte- roit une grande cpargne de bois. b 3 1'*= 14 H 1 S T O 1 R E. I.e 2 2 Fcvrier. Lc Sccretairc a lii «ne lettre dc M. van dcr "Wcvdc, Capitaiiic Ingcnicur aii lcrNicc dc S'»l iMd jcftc rinipcrarricc , t]iii ctant charge daccoinpagncr M. lc IVl.ijt)r dc \\ ittc daiis les divcrs voyagcs ponr projcttcr dcs comniiinications dc risicrcs, otfre a rAcadcinic dc Ini com- niu ivjuer lcs oblcrvations gcodcfiqucs & allronomiques qnil fcroit dans la roure^fi rAcadcmie \ouIoit bicn lui conficr qucl- qnes inllrnmcns de fon obfcrvaroirc. Madamc la l'riiicen"c dc Dafclikaw na pas crn devoir acccptcr cctrc propofition BoAbnaro ^KOiioMHwocKa- 10 (JGmcrrriBn K-b iiooiirpriiiio bt. Poccih aeMACAtAia ii 4'>mo- crnpoiinftAbcniBa , "lacnib V"il. c. a. d. la 7' partie dc la con- tiiuiation des ouvragcs de la Societc librc econoniiquc pour cncouragcr cn Kullic ragriculturc «S: l"cconomic domcltiquc. Lc 25 Fcvricr. M. lc ConfciMcr dc Cour Or.crcts- kovski a prcfcntc dc hi part de M. KrcHivin , Corrcfpondant dc 1 Acadcmic & citoycn a Archangcl : FjbriuK b 1137. pyKoiiii- cnoff KniMii Kopviin crnapiiiinaro Bbi'icro,\CKaro rniicKa 11 npoi. cclt a dirc: Extrait dc quclqucs loix du Craiid-Duc Wiadi- mcr , qui fc troincnt daiis un mamifcript ancien a Wytclicg- da 6c qui jusqu ici n ont pas cncorc ctc publics. I/Acadcmic la communiquc a M. lc Contcillcr dc Cour Roumovski , qiic Madame la Frinccfrc dc Dafchkaw a chaigc dc I cdition dc la Bibliothcquc ancicnnc rulfe , ou cct ccrit intcrcffant nicritc unc placc. Lc 26 Kcvricr. I c Sccrctairc a lu dcs lctircs de Mrs. Scoi-oli S< Volta, datces dc Fa^ ic du isjanicr : Ic mercure y remonra en 7 niinures jusquau 31 d. dc froid: on le reporra cn ccr crar :i Tair librc, & il rcdcfccndir bicntor :i 4.5 d. On rrouva dans lcs riJcs & lcs vcllibulcs plu- ficurs moincaux gclcs. Ccs expcricnccs onr crc fiircs cn prcfcncc dc pluricurs tcmoins digncs dc foi, & M. Frics en conclud quc les Iroids cxccllifs n'afrcclcnt pas cgalcment le mcrcurc expofc :i Tair librc & cclui qui eft cnfcrm<^ dans lcs ruyaux dcs Thcrmomc- trcs ; quc cc dcrnicr conCervc cncorc quclquc rcmps un pc- tir dcgrc dc chalcur & nc pcrd (a (luiditc quc lorsquc Ic froid dc larmofphcrc a cnricrcmcnt pcnctrc tout rii.ftrumcnr , tandis que cc froid agit immcdiarcmcnr fur lc mcrcurc qui c([ dans unc jartc dccouvcrtc t5c lc convcrrir plutor dans unc madc folidc. Ainfi nos Thcrmomcrres ordinaircmcnt nc montrcnt plus lc vrai froid dc ratmofphcrc , dcs quil furpadc lc 30"** dcgrc, :i moins qu il nc duic affcs poiir quc linrtrumcnr cn puilfc ctrc cnticrcmcnr pcnctrc, cc qui arri\a ic s Janvicr : & dans cc cas mcmc fiudra-t-il dc rcmps cn rcmps rcchauffcr par larrouchcmcnr lc tuyati, a fin qiic lc mcral qui y cll cn bicn moiiulrc maflc, puiflc (uivic la conrradion dc cclui dc la boiilc & nc rcflc pas fuCpcndu dans lc tuyau . cn fc gclanr pluLOt quc la phis grandc madc qui c(l daiis l.i boulc. V feft.s * ■ M««a*« Exrrait H I S T O I R E. 35 E X TR A I T d*une lettre de M. de Carofi, Capitaine au fervice du Roi & de la republique de Pologne, & Correfpondant de rAcademie, a Mogila pres de Cracovie. a Cracovie le a6 Janvier 1737. I 'ete pafle ne m'ayant foiirni rien qui foit digne de Tatten- "^ tion dc rilliiftre Academie , je prends la liberte de com- muniquer un recit fidele & circonftancie du tremblement de terre que nous eumes en dernier lieu. Apres un ete aflfes court , inconftant , peu cliaud & fort humide, & un auromne qui lui repondoit , riiyver de- vanga de beaucoup fon temps ordinaire. Ce fut deja aA-^ant la mi - Odobre , que les gelees de nuit & les brumes nous furprirent : les premieres neiges tomberent le 17 Odlobre. Depiiis ce temps les froids & les neigcs continuerent, en aug- mentant, & au commencement du mois de Novembre nous eumes des vents violens, approchans des ouragans, uccompagnes d'une neige fi copieufe, que tous les chcmins en furcnt ren- dus impracfticables pour plus d'une femaine , & qui recouvrit les habitations de nos villageois jusqu'a la moitie de leur hau- teur. Quinze a 20 jours apres iurvint un degcl rapide , qiii. fit deborder toutes les rivieres & fieuves , deja bien cou- verts de groffes glaces: qui brifa, emporta les glagons pier- rcufcs font plus prds de la furficc , ) lcs pcrCoiincs fiirprilcs debout , eurcnt de la peine a fc tcnir fur picds , (?»: il y en cnrcnt mcmc de renverfccs. Comme la Viflulc ctoit rcdcvenue, navigablc par le dcgcl , il y avoit des yaifl^eaux chargcs de marchandircs dcpcchcs de Cracovie pour Varlbvic, & au mo- mcnt du trcniblcmcnt Ics b-.itclicrs vircnt le flcuve fc gonflcr & lentircnt un chanccUcmcnt dc lcurs navires tres mnrquc. l'ar lc dcbordeirtnt des rivicres & ruiircaux ^c par lcs gckcs fur- Tcnucs aprcs, les plaines attcnantcs avoicnt ctc convcrtcs d unc croute dc glace, qui au momcnt dii trcmblcmcnt fc brifi avec cclat; deJbrte, quc non fculcnicnr Ics pafl^ans cn furcnt cpou- vantcs , mals que ccnx - mcmcs qui reniendircnt a unc ccr- tainc diflmcc , cn furcnt rroublcx. l'onr cc qiii cfl dcs pns attciian<;, comme la Callicic, voici cc qiic j cn .ii pu apprcndrc: lc trcii blcmcnt dc tcrrc fut fenti tn bcaucoup dcudioits avcc une force iiicgalc, \ Wicliccka fnr- tout H I S T O I R E. 37 tout toute la ville etoit en cniinte, & dans les fouterreins des mi- nes ii fel 11 y eut un gros bloc de detache & ecroule , mais les maifons n'en furent point endommagecs. Le meme bruit fouter- rein qui precedoit le tremblement, & puls les fecouffes vacillantes, fe firent fentir a Tarnow, Myslenie, Zator, Oswiecim, Bilie, Biala & en bien d'autres endrolts ; pour ce qul efl: des Car- pates proprement dites , 11 m'a ete impoffible d'en tirer quel- ques informations, quoique 11 doit y avoir abfolument eii des fecoufles , vu qu'il y a plufieurs volcans eteints, comme Ba- bia Gora & bien d'autres. Qu'on Talt fentl dans la haute Si- lefie , tant autrichienne que pruffienne, les gazettes nous Tont appris , de meme que de la Hongrie , ce qul donne d'au- tant plus lieu de croire que les Carpates n'en ayent point ete exemptes. L'efendue en long , c. a. d. du Midi au Nord , ou cet evenement fiit fenti chez nous , fiit a peu pres 14 a 15 lieues d'Allemagne, favoir depuis Cracovie jusqu'a Pi- otskow, derriere Malagoszer , Kielee , Pinerow, & les alen- tours. Au dela dans les montagnes & mines a fer, comme a Radoscyce, Konskie, Drzewica, &c. on n'en a plus rien fenti. L'etenduc en large efl: a peu pres de meme que la longueur. Voila en 14. mois le troifieme tremblement de terre chez nous, evenement qui depuis des fiecles fut inconnu a nos ance- tres , n'etant arrive que par de long intervalles. 11 feroit curieux de connoitre Torigine de ce phenomene: j'ai attentive- ment lu les gazettes , mais je n'y trouve que le feul 24 No- vembrc de Tannee paflTce , oii 11 y eut un tremblement de terre a Romc j le notre en feroit - il une fuite, ou auroit 11 eu une autrc fource ? Les fuites de ce tremblement de terre furent chez nous: que le temps changea presque au.iitoi:: nous eumes encorc des plus forts dcgels, des neiges, dc la pluyc & des brouillards extraordi- c 3 naires , 38 H^l.S T O I R E. naires, dont le plus fort dc tous fut remnrquc le lo Dccem- bre, entre 2&3 hcures aprcs midi; il monta a rEft cS: rcm- plit tellemcnt l'atmo("phcre , qu'cllc en fut oblcurcic commc aprcs lc couchcr du Soicil ; il ctoit auHi cpais quunc groflc fumce : deforte qu'a Varfovic il y cut bicn dc pcrfonncs qui crurcnt qu'il y avoit du fcu cn \illc. - Les brouillards prccedens & fuivans furcnt tous bicn moindrcs , ils fc lcve- rent tous apres - midi a la mcme hcurc & iic durcrcnt qu'i pCu prcs li ou i\ d'hcure. Cc tcmps ncbulcux & humidc ayant continuc 13 jours, il fut fui\i par dcs gclccs & un cicl fcrcin , qui continua prcsquc fans intcrruption jusqu'a la fin du mois. SUP- SUPPLEMENX M E M O I R E S prefcntcs d VAcadhnie Impcriak des Sciences par des Savaiis etrangers & approuves dans fes AfTemblees. H I S T O I R E. 4x INVENTA NOVA DE VI DEPHLOGISTICANTE CARBONVM EIVSQVE INSIGNI VSV IN VARIIS OPERATIO- NIBVS CHEMICIS. Audore TOBIA LOWITZ, ' Conuent. exhib. die 27 Sept. 1787. E§. I. tfi in ea diflerfntione , quam haiid ita pridem III. Acadc- miae Scientiarum offcrre mihi perhonorificum fuit, (*) iam egi de nonnullis applicationibus ad perficiendas varias praeparationes chemicas , ex detefla a me proprietate carbonum , phlogiftoii Tia humida attrahendi, petitis : eas tamen hic fuccinde repe- tcre , non incongruum aut a re alienum effe duco , dum iis noua quaedam fuperaddere et 111. Academiae benevolo exami- ni fubmittere animus eft: , vt , quae hac in re detcgere mihi licuit, vno obtutu perfpici et fecum inuicem conferri queant. Primam proprietatis huius Carbonum dephlogifticantis detegen- dae occafionem praebuit mihi peculiaris illa Acidi Tartari pro- prietas, qua nempe acidum hoc fub evaporatione, vsque dum ad cryftalliCationis pundum peruenit, femper fufci coloris ert, ejnpyreumaque , quo et cryftalli deinceps obtinendae itidem con- (*) Diflertationis, cuius hic fit mentio. germanica linoua confcriptae, veriio» uem latinam Andor proximo Adorum 1 omu rcfciuat. Uijloire ii >, dum hoc iis obuium ct alicnis vinciilis cxtricatum filti- tur, af.rabituii ct in fe rccipicndi facultatc fini inftru(f(i ;* id quod rcrcra ita fc habcrc , inflifuia n o\ cvpcrim.ciua cxtra omnc dubium poluerunt; atque i'a tandcm illam fantopcrc a mc op- tatam fubftaiuiam in carbonc inucni , diipjici illa propriciatc gaii- -^ s (.'■ H I S T 0 I R E. 43 -gfludentem, attrahendi phlogifton, et rcfpucndi acidorum con- fortium , et continuatis deinceps tentaminibiis eodem anno re- peri, carbones propter has qualitates fuas in Ibquentibus prae- paratis chemicis non mediocrc emolumentum afferre: I.) In praeparatione Acldli Tartari. De difficultate , aci- dum hoc methodo hucusque "vfitata praeparandi , iam fupra dixi nonnulla et inter Chemicos fatis Inperque conrtat. At vero , adieCtis carbonibiis h'xininm acidi Tartari euaporationi fnbicdum vsque ad cryftalhTationis puncflum limpidiffimum et aquae fimillimum colorcm retincre, nullo empyreumate contaminari, et purinim.as albiffimi coloris cryrtallos largiri , experimenta me do- cuerunt , et III. Academiae oblatis cryrtallorum fpeci- minibus comprobaui. Neque vero is vnus eft carbo- num vfus in praeparando hoc acido,- praeterea enim praeparatio haec, quae hucusque trinm fere hebdoma- dum fpatio abfolni vix poterat , carbonum beneficio tribus diebus perficitur , et, quod antca ficri nuila ra- tione poterat acidum Tartari e Tartaro crndo aeque purum ac e Tartaro drpnrato obtinctur. '. t.)' In praeparatione Terrae foliatac Taitari, quae alba ob- tineri hucusque finc violcnta fiiftonc non potuit, vnde, partibus oleofis magna ex parte per ignem dcftrudis , egregii huius medicamenti vis haud mediocriter minui- tur. At vero carbonum ope absque vlla fufione Ter-., ram foliatam Tartari purKfimam obtinui. 3.) In dejlillatione Jceti Vini ^ cuius ordinario proceflu quartam circircr aceti partem, empyrcumare inquinatam, perdi notum ert. Solet quidem refidua irta pars cm-* pyreumatica, quae plurimum adhuc acidi continct, aqua • f 2 dilui 44- H I S T O I R K. dilui ct denuo dcflilliuioni fiibiici ; ncqiic tamcn :ice- tuni , quod hoc modo obrinctur , \Un pharmaccutico idoncum clt. At vero ndictflis accto carbonibus , dc- ftillationcm ad ipfam fcrc ilccitatem vsquc absquc vlla empyreumatis contaminationc vrgcri polfc , cxpcrimen- tis cxtra dnbium poCui, quac pari fucccnu ab ahis quo- quc Chcmitis rcpc:ita cflc, rclationcs publicac nuntiant. 4.) In pracparationc AUobolis Accli IVcJhnckrJl ^ quod hu- cusquc non nifi cx purililmo accto parari potcrat, vn- dc huius mcdicamtnti antifcptici prctium niniis quan- tum aui^ctur. At vcro carbonum opc cx rcfiduis lub dcflillationc partibus accti cmpyrcumaticis, quac vtpotc nullius hucusquc vfus rciici iblcnt, fodam acctofam al- bam ct puram ct ad Alcohol Accti parandum aptifli- mam parari poflc, cxpcrimcntis compcrtum iiabco, id- quc cum infii^ni tcmporis compcndio. dum opcratio, quac hucus(]uc duabu>> licbdon.atibus ablblucbatur, iam n.ca nicthodo fcx horis abfoluitur. 5.) hi prarparaiiofie Crcniaii^ quod fupcr fufiicicntcm car- bonum quantitatcm dcllillatum ingrato cmpyrcun^atis guflu ct odorc planc libcrum obtinui, dc quo argumcn- to vtpotc maximc vtili pcculiarcm III. Acadcmiac dis- fertationcm oflcrrc mihi propofitum cfl. §. 2. Hifcc fuccinctc rcpctitis nunc ad dcfciibcndas pro^rcdior nouas, hoc anno a mc dctcdas ()ualitatcs carbontMri, qui attcntionc dignum Chcmiac ol)ic(flum ficri incipiimt; maxi- rria cnim ccrtc voluptatc haud ira pridcm cx Ccl. CrcUii an- nalibus pcrlpcxi , ((£^cmifd'C ?innalcii yKt> Stncf i78<5 p. 217-) inucntim a mc anno 17S5 carbonum propriciutem, phlogiflon ^ia huiiiida attrahcndi, dctcgcndis aliis quoquc corporis huius a H I S T O I R E. 4-5 i Chemicis hacfleniis negledi proprietatibus anflim praebuiffe. Kotum (cilicet eft, acidum Nitri infigni cum principio inflam- mabili affinitate gnudere, vnde Cel. Lichtenftcin , poftquam de carbonum vi dephlogifticante a me deteda certior faftus eflet, inquirere operae pretium eft arbitratus , vtrum duorum horum corporum, principii inflammabilis tantopere tenacium, acidumne Nitri an carbo? fi inter fe mixta traclentur , principio inflam- mabili priuaturum fit alterum? Hunc in finem fuper carboni- bus in puluerem rcdadis et retortae immiflis acidum Nitri de- ftillatione ad ficcirarcm vsque euocauit , quo experimento ali- quories reperito obfcruauir, a carbonibus acidum Nitri non de- phlogifticari fohim, fed etiam deftrui, et, quod maxime notatii dignum eft, carbones in retorta relieT^os fah's inftar aqua pror- fus fohibiles efle ; ita, vt, quam falfa fuerit vulgaris Chemi- corum opinio, fieri nullo modo poflc, vt carbones aqua red- dantur folubiles , hoc vnico experimento abunde fit demon- ftratum. §• 3« Cognitis hifce attentione dignis Celeb. Lichten- ftcinii experimentis , id inprimis mihi negotii propofui , vt in- veftigarem, qua ratione carbones, refpedlu facultatis aciduai Ni- tri dcftruendi, fe ad alia acida habeant; quem in finem fequen- tia expcrimenta inftitui. Experimentum L Vncias tres acidi Tartari puriifimi, cryftailifiiti, fufficientl aquae quantitate foluti, adiectis carbonum pulucris vnciis fex, in cucurbita vitrea vefica bubula daufa per aliquot dies dige- ftioni, interdum etiam vehementi codioni, expofui. Fada de- inde exac^tiiHma acidi e carbonum puluere cum aqua elutria- tione et liquoris huius vsque ad puncflum cryftallifationis eua- porationc , lixiuium iftud folenni illo , quem acidum hoc, vbi euaporationi absque carbonum additione fubiicitur, femper afle- f 3 qni 4tf H I S T O 1 R E. qui folct, cnlorc fauo, et confirtcntia trcmula gelntinnc fc in- duit, practcrlaplaquc noclc paruas acidi TSrtaii cryftallos, pcr toram gclatinofam huius liquoris maflam quafi difpcrCas, ollcn- dit. Addita lubincc liquori huic cadcm pulucris carbonum quantitare, cundcni laborcm binis adhuc vicibus itcraui; ct fin- guiis vicibus liquor hic acidi tartari, pcracta clixaiionc cuapo- ratiouequc, non rantum candcm gclatinac fimilcm confilkntiam coloremquc flauum aMccutus cft; lcd fiuis largam quoquc crc- moris tartari ct calcis tariarilatac rc. cncratorum quantitatcm pracbuit. Pol^uam diligcnrinin.c hacc modo dida fiilia , ali- qiiotics rcpctitis dinblutior.ibus ct Icnidimis cuaporationibus pcr cryUallifiitioncm, opcrofc nb acido tartari fi^paralfcm ; lixiuium hoc ad confilkntiam illam gchuinoram iam non rcdiit, ct pcr infpiirationcm illius dcmum vncias duas acidi tartari obtinui. Mca qiiidcm fi:iucntia c\pcrin'entum hoc fatis monllrat, carbones in acidum tartari nullam dcfirucndi ficultatcm cxcr- ccrc; nnm vnius illius vnciac acidi tartari iani attribui potcft , (cd potius amin*a illa acidi pars in falibu'-, crcniorc Tartari nimirum ct cnlcc tartarilata, pcr com- binationem acidi cum partibus confiitutiuis fixis carbonum rc- gcncratis latuillc cenlcnda cfl. Cctcrum , ficri ^ix ac nc vix (]uidcm pofTc , quin in ciusmodi opcrntionibus larioribus , vcl cautii]"'mc inllitutis, matctinrum cxplorandarum vel tantilla calu iacftura fiat, vnicuiquc pntcr. Expcrimcntum II. §. 4. Accti dillillnti pcr con£;cIntioncm conccntrnti vn- cins duas quatcr fupcr acqualcm piilucris cnrboiunn i|unntit,i- tcm in balnco arcnnc ad ficcitatcm abflraxi. Porro ciusdcm nccti vncias duas, pcr (c, id cft, finc carbonum ndditionc, fo- tidcm ^icibus cx balnco arcnac ad ficcitatcm cuocaui. Indc fcqucntcs infiitui obfcruationcs : H I S T O I R E. 47 1.) Relicftus iti retorta carbonum puhiis aqua elixatus, li- quorem praebuit aquae prorfus fimilem, limpidum, abs- que vllo odore , qui deinde ad ficcitatem vsque eua- porationi fubiecHius duodecem grana filis albifTmii rcli- quit aeris humiditatem attrahentis , & ex alcali fixo , terra calcarea et ahqua magnefii quantitate cum accto iun«5i;is compofiti. 2.) In altera vero retorta , e qua idem acetum per fe euocatum erat , macula nigra olei empyreumatici re- hcla fuit, quac aquae affuiae colorem fufcum odorem- que ingratum empyreumaticum concihavit : 3.) Acetum fuper carbones euocatum , per fe , id eft , fine carbonibus dirtillato limpiditate odorisque fuauitate & puritate antecellebat : 4.) Aceti cum carbonibus deftillati grauitatem fpecificam parum diminufam reperi , et viginti illius guttulae ig guttulas olci Tartari per deliquium ad faturationcm po- f^uiabant : quod \ero per fe quater cuocnui acctum , itidem leuius inueni et :io illius guttulae ip grana olei Tartari exieebant. 'D* Vt de hoc expcrimento nnllum dubium relinqucrctur, itcraui illud fumtis tribus imciis fortioris aceti, cuius guttulae viginti olei Tartari guttulas ^iginti fex ad perfecflam fituratio- nem rcquirebant , quod decies fiipcr duas carbonum pulueris vncias abrtraxi , quo fado , \iginti guttulae huius accti vigin- tiquinque olei Tartari ad faturationem exegcrunt et grauitati fpccificae tria tantum grana deficicbant. Inde luculcntidimc videre cft , quod carbones in ace- tum quoquc nuUam vim dcftrucfliuam exerccant ; nam pauco- rum 4S H I S T O I R E. rum illorum grnnorum iadura falium mcdiorum , e carbonum pulucrc clutriatiorum gcncrationi tribucnda cll. Caeterum quantus in pracparando accto concentrato carbonum vfus fit , cx his quoquc cxpcrimcntis patet. ExpcrinicntLiin III. §. 5. Acidi ralis Aucias quaruor fupcr pulucris carbo- num vncias duas quarcr abllraxi. Cuiusquc dillilationis iniiio matcria infignitcr intumclccbut. Voluniinis huiiis aciiii, ablblu- tis his dillillationibus , iacluram nuUam ; grauitatis vcro Ipcci- ficac , dcfcdum quatuor drachmnrum rcperi , ct viginti guttu- lae huius acidi, quac ante dilliihitioncm Aiginti otfto olci Tar- tari guttulas ad raturationcm cxcgcrunt , iam non nili viginti requircbant. Aqua frigida, rchiTto in rctorta conghitinato ahqua cx parte ct ad fundum adhacrcnti carbonum puhicri , alfufa , in- flgnem concitauit calorcm. Pcr cxacf^am pulvcris huius cum aqua clurritioncm obtinui laticem limpidum , aquae finiilcm , aliquantum fallum et fubamarum , qui ad ficcitarcm cuapora- tioni fubic(ftus fcsqui drachniam manhe falinac albac , conllan- tis partibus conllitutiuis fixis carbonum cum acido filis con- ncxis , largicbatur ; calcis faHrac maior , quam cctcrorum fali- um , quantitas erat ct caufla illius caloris , qucm aqua carbo- nibus atTufa concitauir. l^x hoc tcntaminc liquct , carboncs acidum falis pcr- indc ac acidum nitri dtllrucrc. §. 6. llufusqtic omncs pcritidlmi ctiam Chcmici , fi a Ccl. liaumco dilccllcri> , vno orc alfirniabaiit , carbones dclUui vcl partibus fuis conllitutiuis fixis priuari nullo alio niodo polfc , nili pcr combullioncm iplbrum in acrc Iihcro. Ccl. HISTOIRE. 4P Cel. Baiimeus (^^peiimcnta(c^cmlc S^. i. p. 347.) fadli quidem a fe periculi mentionem facit , quo carbonem , via humida , ope acidi vitrioli dertruxide fe aflerit. Cel. vero Wiglebius eruditi(fimorum feculi noftri chemicorum vnus (^anbbucf) tn flUcjemctncn €^cmic Sf;. 2. §. 1774.) aflbrti huius \eritatem in dubium vocat. Verum enim vero experimenta mea (§. 3. 4. 5.) liqui* de probant, quod carbones, non modo acidorum mineralium, Verum etiam vegefabih"um, iis fortitudine longe inferiorum, ope, partibns fiiis conflitutiuis fixis , via humida , ex parte fe or- bari padantur. Experimentum IV. §. 7. Succum recentem Ribefiorum rubrorum cum car- bonum puhiere n.ixtum in cucurbira vitrea expofui cocfiioni, Magna c]iiidem pars eius per nychthemerum forma in auras expulfa fuit : nttnmen quae rehcfta fuit, paruam illius quantita- tem , peraftn filtratione , omni colore luo rubro priuatam et fere iuflar aquae limpidam reperi. Experimcntum V. §. S. E praepararione alcali phlogifticati , quod anno praeterlnpfo ad modum Cel. Klnprothi per cryftallifitionem feci , relida erat muria , particulis martialibus ita impraegnata, vt nullas iam cryftnlios vfui chemico idorens feparare ex ea potuiflem. Partcm huius muriae cum carbonum puluere mix- tam codioni ct per aliquot dies dipcflioni expofui. Fufcus , quem antea prne fe ferebat , color in limpidifrmum , aqune fur.ilem, abiit, et inftituta cuaporn-ione cryflnllos obtinui alcnli phlogirtican , qune cum noido falis exnrr.ira^ae non nifi poft viginti qnnriior ] oras , colore cocrulco fe ihducbant. Quod lUj.olre i/e i-jsy. ,g for- 5b H I S T O I R E. fortaffe mcdiiim nd emcndatiorcm fuHs Iiuiiis Chcmicis tam nccclTiirii pracparationcm haiid pariim confcrrc potcrit. Experimcntiim Vl. §. 9. IJxiuium raponarionim cum pulucrc carbonum mixtum coctioni latis diuturnae cxpofui. ElTcclLum rcpcri nul- lum. ExpcrimentLim MI. §. 10. Mcl album admixto pulucrc carbonum propri- imi Cbi odorem amittit. Expcrimcntiim VIII. §. II. Olci Cannabis , cum dcbita pulucris carbonum quantitatc tradati , fuscus color in cum abit, t]uo olcum Oli- varum gaudct, idcm ct odorcm fibi proprium amittit. Experimentum hoc cam quo(]uc ob caufl*am attcntionc dignum mihi vidctur, quod fpcm faciat haud mcdiocrcm, fo- rc , vt carbonum opc olca infignitcr cmcndari poirint ; ob- ftat quidcm adhuc optato fucccfiiii nimis magna olci iacliira , cuius maxima pars carbonum pulucri intimc vnita pcrditur, cum fcx olci partcs non nifl vnicam carboniim cxigant, Pln- ra huius rci pcricula inllitucrc et 111. Acadcmiac cxponcrc mihi animus cll. Expcrimcntum IX. §. tz. Ad cognofccndos carbonum in corpora nd pu- rrcfacTtioucm pronn , aut iaiii piitrcfada cfrcdus , cxpcniiicn- tuin fctjucns inf^itui , In quo quidcm cor.figit n.ihi cffc tam felici , vt carbonuin fingularcm (juamfam propricratcm dctcxc- rim , ()uac prac cctcris n n;c c\pl«ratiK fubllantiac huius qua- litatibus noucu quam niaxinic digna vidctur. Carnis H I S T O I R E. 51 Carnis bubiilae friiftula aliquot cum cnrbonum puluere vitro cylindrico immifi , illudque , Meficx bubula probe muni- tum , in loco temperato collocaui , aliaquc ciusdem carnis fruftula per fc putrefidioni expofui. Praeterlapfi odo dierum intercapedine , quum haec iam in perfediHimam putrefadio- nem abident, et intolerabilem odorem fpirarent , ea cum puluere carbonum commifcui. Extemplo factor eorum, qiiem fere fullinere non potui , non tantum fubito euanuit , fed il- lius quoque loco tam fuavis puriffimusque alcali volatilis odor fuccelfit , vt admiratione plcnus , magna cum voluptate haec carnis fruftula ex propofito diutule naribus admouerem. Fas mihi fit interrogare, annon fperare liceat, fore vt fingularis huius carbonum proprietatis ( ognitio falutare medium praebcre poHk auertendi et fupprimendi foetidi odoris vulne- rum putridorum , qui in chirurgica praxi quantum moleftiae faepe aflfcrant , in vulgus notum efl:. Vtcunque hoc fe habeat ; hoc tamen experimentum meum in praeledionibus chemicis fitciilimae demonftrationi , quod e corporibus , putrefaclioni fubie(ftis , alcali volatile fe feparet , inferuire potefl:. I , Primo quidem intuitu ex obferuatione noflra ficile quis concludere poflet , putiefadionem corporum carbonum inter- medio auerti pofle ; rem vero aliter le habere , ex fequenti- bus patcbit. ExperimentLim X. Elapfis quatuor hebdomadibus vitrum , cnrnis fruflula carbonum pulueri immifla continens, aperui : i) odor ammo- naicalis fubputiidus nares fcricbat ; 2) fupernum carnis fruflu- lum in pultcm pcnitus rcdadum dcprehendi , inferiora vcro g 2 frullu- 51 H I S T O I R E. friiduli , in fupcrficic fna tanrum mollia eriint , et odorcm puruni ammoniacalcni olcbant. Quam primum aurcm carbo» num pnluis aqua ablutus llicrat ; (nlorcm putridum dcdcrc , qucm etiam codionc non amifcriint : 3) puluis carbonum to- tus , quantus crat , madcfadus alcali volatilc Ipirabat. §. 13. His omnibus pcrfpcclis , carbonum in carncm putridam ac^^tio , fcqucnti rationc, mco qnidcm iudicio, facile cxplicari potcrt. Carboncs , \i infignis fuac cum principio inflammabili affinitatis , cxhalationcs phlogillicas c carnc piitrcfccntc cxpul- hs rcforbcnt ; quo fit , vt cxhalationcs alcali volatilis a foc- tidis phlogillicis vaporibub leparatac , fub proprio fuo pcnc- trante odorc percipi pollint. At vero , cum certa carbonum quanntas non nifi dcrerminatam quandam principii inllamma- bilis portioncm abforbcrc pollit , hic , qucm niodo dixi , co- riim cffciftus ccdlt ncccdc cll , vtprin.um carni adico:is plnnc rcfpondcrc rcmquc ita cllc facilcm , vt quiuis n I S T O I R E. 55 quiuis absque omni difBcuItate crcmato fruinenti demcrc in- gratum odorem et faporem fequenti modo valeat. Libris duodecim cremati frumenti lagenac opcrculo clau- dcndae immiflls, libra vna carbonum probe exurtoriun et in puluerem redaflorum adiiciatur. Mirtio haec per duos vcl tres dies fubinde probe concuflctur , deinde- que tam diu quiete feponatur, donec perfpexeris, cre- matum pulueri carbonum ad fundum fubfidenti fuper- natans , prorfus clarum euafifle , id quod per dnarum circiter hebdomadum fpatium fieri folet; quo fado cre- matum decantetur filtreturque. Simpliciflima hac tradatione ex duodecim cremati li- bris novem eiusdem obtinentur librae, odore ingrato et colo- re flauo , quem a doliis , in quibus feruatur, acquircre folet , non priuati tantam , fed iucundi etiam. Cremati huius dida ratione depurati haud parum aii- getur fuauitas , dum iufla iachari albi puluerifiti qiiantitas in eo diflbluitur , in qua quidem edulcoratione fachari loco , mel quoque album fubfl:ituere licet , ea tamen conditione , vc mel vna cum carbohum puluere adiiciatur cremato , cum , vt in priore llluftri Academiae Scientiarum oblata dil^crtatione oftendi , hac cncheirefi , mel proprio fuo nonnullis aduerfo odore fiporequc tam perfede quoque priuetur, vt, fitne mcl- lis ope an fachari bcneficio fada edulcoratio, neutiquam di- gnofci poflit; adde, quod cremato hiiic vel ficharo vcl mellc dulcificato carbonibusque depurato, maior adhuc conciliari po- tefl: amoenitas , fi illud per aliquot tempus baccis v. c. forbi aucupariae aliisue fuperinfunditur. Crematum ab empyreumate fiio liberatur etiam , fi H- bris duodccim vnciae tantuai tres pulueris carbonum adiiciau- tur. S6 H I S T O I R E. tur , qiio tnmen in cafii n'.nIto longius rcqnirirnr tcmpns , do« rcc crcmatinii per riibrKJcntiam ruhtiliilimarnm carbonnm piil- vcris particularnm clarum cnadat. Nihilominns tamen parn.i crcmati qnnntirns brcni qno- qnc tcmpore (cqncntc cnchcircli odorc fno inijrato priuari et clara habcri porclt. Carboncs probc cxnfli rcdignnrnr in pnlucrcm grofTum, a qno n cdianre cribro fubtilior puhiis feparctur ; carbonibus in cribro rcli6is fam diu aqua pura rupcrinrundarnr , doncc purn qi:oci;c pcr cribrum tranfcat ; qno facfto , grofrus carbo- num pnlnis cribro coiitcntns ct a iubtiiilihnis par icii'is (uis lotione iain quanrum ficri potcfl (cparatns , pr<>bc cxnccetur. Mcdianrc t-rofib lioc carbonnm pnlucre vnciac ("ex crcii ari pcr ("cirii hornc fparium dcpnrari ponunt , H eae pcr vnciam vnam caibonnm hornm infundibulo imirir7>riim , aliqnorics tran>fundnntur ct amifTo odorc fuo pcr cl'arra'Ti bibuhim fl- tranrnr. Norandum tan cn , crcmarum cclcri hac dcpiira*i()ne odorcm ini;ratnm nn.irrcrc quidcm, ncquc ran cn cnm, quam, dum fubrih'ori carbonum pnhicrc dic^ia ratiohc tra^atur, ncqui- rcrc folct, fnauitatcm aflcqui. Ncquc minus norarn dignurn cffc vidctnr, fnbrih"f]lmns cnrhoinim puhicris pnrricuhis crcmato pcr niiquot tcmpus tam arcftc ndhncrcrc, vt filtraiioiic qnamuis dingcntifjima (cparari fc ab co non pariantnr. Qua (juidcm occafioiic i.cquc id (ik-ntio prnctcrcnndum mihi vidcrur , cxpcrimcntis mc compcrtuin lia- bcrc , (ubtililhmnrnm carbonum particuhirnm cum crcn.aro , fi nimis pnrua carbonum qnnntiras impcndatur, ndmodum diu co- hacicntium maturari pofb dcturbarioncm , ndicc^ra parna alcali fixi dcpurari porrionc ; cuius vero in dcpurando a carbonnm particulis crcmato ncutiquam hibitancus c(Tcc"(iis c(l , fcd prnc- icr- H I S T 0 I R E. iy^ terhpfo demiim trium circiter liebdom;\dum fpatio ita plcnus, vt crematum perfcfflam claritatcm fucrit adeptum. Succcdic mihi experimentum hoc, dum vui librae turbidi ciusmodi cre- mati vnum tantum falis Tartari-granum admifcuiffem , a qua tantilla alcali quantitate eo minus noxae metuendum ell, fi per- pendamus, combinari eam cum particulis acidis in crcmato con- tentis et in fil ncutrum abire. Auda alcali quantitate, acce- leratur quoque cremati deturbatio , imo fubitanea fit , tantam falis Tartari quantitatem fi adiicias , vt crematum ei foluendo impar fit, quo cafu ftatim ac fal Tartari, perada agitationc, cum parte aquofa ex cremato attraifla liquoris forma fundum peti- vcrit , omnes fubtilifllmae carbonum particulae fub forma te- nuiHimae pelliculae nigricantis pingueae, flilis Tartari foluti fu- perliciem occupantis, apparebunt, crematum vero huic peljicu- lac fupernatans perfec^ifllme quidem clarum confpicietur, at par- ticulis alcalinis valdc contaminatum deprehendetur. Si quis ergo obferuationis huius chemicae in ipfa praxi vfus efle poteft; pro minuenda cremati iacftura , quae eo maior necefiario eft , quo maior adhibetur pulueris carbonum quantitas, cauendum eft, ne falis Tartari adiedi quantitate peccctur, fiquidem nimia alcali quantitas cremato ingratum alcaliniim faporem non con- ciliarc non poteft. Etiamfi exhibita hac in defcriptionc cremati depuratio a neminc non ficillime inftitui poteftj multo tamen optabilius cflet, crcmatum ex prima manu iam depuratum obtineri pofl^e, id quod facile fieri poflct, fi inftitueretur, vt in iis locis, vbi cremati largae quantitates praeparantur, fecunda illius dcftillatio luper duodccimam partem carbonum probc exuftorum pulueri- fatorumque adornarctur, qua encheirefi , inprimis fi caueatur, ne id fub fine deftillationis tranfeunte phlegmate diluatur, procul dubio crematum obtineretur , quod crcmato gallico fuauitate parum ccdcrct. Hijlone quc com- mendatis ("ublbmtii.-. magnopcrc pracftare ; de qua eorum prae- ftantia non minus ct inde coniiincimur, fi rclidua aquo("a a crc- niato frumcnri pcr fc, ct fuper fuHicicntcm carbonum quanti- tntcm. rcclificato in vcfica rclida intuemur: illud cnim lempcr lul"ci coloris cil ct tiubidi, odoris ingrati fapori^quc apprime naufcofi, et alri libero cxpofituni tcrtio iam dic crairuin con- rral\crc folct mucorem; hoc contra prorfus clarum, pclhicidum, absqne omni colore , aqiiac purac fnnillinuim , odorc pcnitus dcftitutuin faporis fcrc nullins cll, libcroque alri expofituni noa nifi claplis dcccm hebdomadibus tcuui fc mucorc induit. Dic \s. Dccc:r!bri«5 anno 17S7. EX- EXTRAIT DES MEMOIRES CONTENUS DANS CE VOLUME. i I h s. yv /f r^rr^ n< H I S T O I R E. St CLASSE DE MATHEMATIGLUE. I. Innumera theoremata circa formulas integrales , quorum demonftratio vires Analyfeos fuperare videatur. Audore L. Eulero^ pag. 3. c /omme ce memoire n'efl: pjis fiisceptible d'extrait , vu qull ne contient que des formules integraies , nous nous contente- rons dindiquer la fource , oii rimmortel Auteur de ce me- moire a puife le grand nombre de Theoremes qu'on y trouve expofes & rediges en quatorze ordres ou claffcs. Ces Theo- remes Tont tous deduits de la confideration : que fi Ton de- figne par la lettre P Tintegrale de la formule / V 3 .v , prife depuis le terme .v — o jusqu'a un certain terme determine X zzzk^ comme la variable x n'eft plus contenue dans la quan- tite P , elle peut etre regardee comme fondion d'iine autrc quantlte p qui efl: rcnfermee en meme tems dans la fondion V , & quc de la on peut deduire , tant par la differentiation que par rintegration, une infinite de formules integrales, tou- jes comprifes entre les memes termes d'integration i par exemple: Par la difFerentiation ; fdx (^) — ^ • fdxC~)=^-^; etc. h 3 Pv 6^ H I S T O I R E. Par rintcgration ; fdxfdpfVdpzzzfdpfPdp; fdxfdpfdpfWdp-fdpfdpf?dpi ctc. en prcnant Ics intcprnles fVdp dcfPdp dc fiqon qu'cllc« cvanonifTent, en mcttant p ~ o. Ccrt daprcs cc piincipc que M. Eulcr (raitc, d.ins cc inemoirc, quatorzc formulcs dont il avoit dctcrminc autrcfois lc'» intcgralcs contcnues cntrc lcs dcux tcrmcs dintcgrarioiv X zzi o & X :zz i ou jrzzrcx), dans un m('moire infcrc dans lc volume prcccdcnt des nouvcaux A(flcs ; & il cn dcduit au" tant dc claircs dc Thcorcnics rcmarquablcs dont la dcmonflra- tion dircde paroit ctrc circclivcmcnt au dcfi'us dcs forccs de l'AnaIy(c. TI. Dc mukiplicationc an^iilorum pcr fac"loics cxpcdicnda. Aii(florc L. Fulcro, pag. 17. Feu M> Eulcr avoit dcja traitc cc mcme fujct :\ plu- Yicurcs rcprilcs, c\ cntrc autrcs dans ui^ mcmoirc qui fc trouvc parmi ccux du prcuiicr 'l"omp dcs Opusculcs analytiques,' (bus Ic titrc: Chiniiiodo fiiuis et lofinus aiigiilorum vmlijploriim pcr pro- duCla cxprimi queatii. II y avoit n.is coC. 0 -i- / — I fin. 0 — /> co(. (p — / — I fin. (P ~ q jvour avoir cor.;;(P=^''-±^" & fin..cp=.?:J=i:. ,' a 2/-1 Et H I S T O I R E. qiic \' d v - — ; ou dans qucls cas il n'admct qu unc lculc fohition , comme cchi a hcii lorsquc V ^ 1' = — — — ; ou cnfin , dans quels cas lc nombrc des fohitions cll infini, commc ii Tcrt cn ir.ctrant VBvzdv/(i-^-vv)^ / 0 V \^ (i -+- V v) exprimant un arc parabolique donr Ics coor- donnccs font v & i v v. L'auteur , qui a dcja rcnoncc a la dcmonrtration des dcux prcmicrs cas , s'attachc ici a traitcr le troificme , cn rclolvant lc Problcmc fiiivant : Trouver unc infinitc dc courbcs algcbiiqucs dont les arcs puilfent ctrc cxprim6s par dcs arcs paraboliques. 11 donnc trois Solutions diffcrcmcs dc cc Problcir.e dont cha- cunc fournit unc infinitc dc courbcs algcbriqucs faiisfailantcs. N0U8 tfichcrons de donncr aiix lc(acurs de ces Hxtraits unc id.c dc la troilicme , conimc dc la plus fimplc. Commc >/(r) .r' -h c)^') — () v y^(i -\- v v), ou mcttra V = fin. ? , pour avoir / ( d .v* -h ^y) = cl 6 cof. i y' (cof. (>' -h 2 fiii. 0*). Or H I S T O I R E. e-j Or toiites les fois qucfVdv ponrra etre redult a h formc fd v y P' -h Q' , on oura a x := 9 17 (P fin. 0 -4- Q cof. 0) dj=zdv(? cof.Cj) — Q fin. (|)) , & ces deux formules doivent etre intcgrables , ce qu'on ef- fecftuera en donnant a Cj) des valeurs proprcs a cet effet. Dans Je cas prefent , oii P ~ cof. 0 6c Q = fm. ^ . ■/ 2 — « fin. $ on aura : d X =z cof $ fin. (p-hn fin. $ cof 0 ; -p!— — cof e cof 0 — ;/ fin. 0 fin. (p ; a $ COj . Q i « coj. i 4 3 X 43 y r, exprefHons qui, par quelques redudions affez connues, fe lais- fent transformer ainfi : =: 2fin.Cl)-+-(«-+-i)fin.(C|)-h2^) — («— i)fin.(0— 2^); cof. "lc qui ex- primc un arc elliptiquc dont iabfcinb cft -y & rordonn^e ny {j. — V c). L"Autcur donne dc cc Problemc , commc dc cclui du memoirc prcccdcnt , trois Iblutions ditfcrcntcs , qui nicncnt chacunc a une infinitc dc courbes algcbri(|ucs n.cdirablcs par dcs arcs cUiptiques. Nous allons cncore prcfcntcr au lcc^icur lefprit dc la troificmc , conmiC dc la plus courte. Soit c r= fin. Cj) , dc fa^on que >/ (a a:' + ay; = acp >/ [r -l- (« « — j) fin. CP'-] r= a(i)>/(i -+- w*fin. Cp* ; . A ccttc cquation fiitisfont lcs valcurs 7) X — 7)'^ cof. X Cp — w r) Cj) fin. Cj) fin. X C|) ; 3_y = 3(p fin.XCp-l-wacp fin. C|> cof. X Cf) ; qui pcuvcnt auiii ctrc rcprcfentces ainfi : 7i X ~ :aC|)[2cof.XCp — OTCof. (X — i)Ct)->-wcof.(X-(-i) Cf)] 7) y — \ r)(p [2 frn.XCl)-H»T fin.fX-+- i)C|)— wfin. (X — i)(J)], dont lcs intcgralcs fournifTcnt ics abrcifTes ^ ordonn6es d'unc infinitc dc courbcs alijcbriqucs qui fatisfont a la condition du Probicmc. M. F.ulcr obfcrvc quc , quoiqnc lc nombrc dcs folu- tions qifil a donnccs dcs l^robicmcs qui font Ic lujct dcs dcux dcrnicrs mcnoircs foit infini ; on nc fauroit fouicnir quc ccs £i.)rmules cpuifcnt rou , ^ font des nombres entiers pofitifs , on donne , pour chaque expofant «, aux p & q toures les va- leurs poffibles , il en nait des formules infegrales dont les raleurs ont entre elles des rapports remarquables & tels que, fi quelques unes de ces formules font connues , on en pcut deduire les valeurs de toutes les autres. Feu M. Euler avoit deja demontre dans fon Calcul Integral, Tom. I. Chap. VIII. phifieurs de ces rapports , mais d'une maniere biert eloignee d'epuifer le fujet; il fe propofe donc ici d'empIoyer une me- thode phis feconde, moyennant laquelle on puiflTe afiigner tous les rapports de ce genre & enrichir TAnalyfe d'une infinite de nouveaux Theoremes. Quelque innombrable que foit la multitude des cas qui paroiflcnt devoir naitre, lorsque, pour chaque expofimt ;;, on donne aux p Sc q toutes les valeurs poflibles , on pourra pourrant , quelque grands que foyent les valeurs de /> & ^, rcduire tous ccs cas a d'autres , ou les, p 6c q font diminues i 3 iz:: 9 , cc qui lui donnc (cpr cla(res dc valeurs qui comprennenr cn tour 39 formules. iMiCuitc il cxamine la formule gcncralc pro- pofce lclon les ditfcrcnrcs valcurs de lcxpofanr ;/, dcpuis« — 3 jusqua w ~ 7, co qui formc cinq ordrcs ditfcrcns dc rapports qui fourni(fcnt en tout 50 formulcs intc.ralcs, parmi lcs()ucl- lcs il y a dc tort rcmarquahlcs. On y trouve par cxcmplc lcs valeurs dcs produits luivans: fdx H 1 S T O l R E. 71 >» d X r X d X 27r ' -^ /(i -x'y ^ V{i-x') ^ ^ 2 ' /9 .V r d X /(i —x^y ]/ (i —x'j r X ^ X r X x^d X J /(i -.x'y -^ ]/(i -x'y Et quantite d'autrcs non moins remarquables, toutes pour les termes d'integration Jt- =^o & a-~ i. Dans chaque ordre il y a donc un certain nombre de formules integralcs qui peuvcnt etre exprimees ou par des quantites circulaires , ou par des quantites tranfcendantes qui dans un des ordres precedens ont ete circulaires, ou bien leurs valeurs leront compolees de quantitcs circulaires & transcen- dantes. Et en regardant comme connues les formules trans- cendantes qui dans les ordres precedens ont eu des valeurs circulaires , on ("era en etat de determiner a leur aide toutes les autres formiules conrenues dans Tordre qu'on traite. Afin dc ne rien laifler a defirer dans ccs recherches , rAuteur donne .a la fin de fon Memoirc, une methode de de- terminer, a peu pres, les valeurs transcendantes des fiarmules intcgralcs qu'on cfl: oblige de regarder comme connues dans chaque ordre. U faut pour cet effet, comme chacun fiiit, in- tegrer par ferie , & pour ies memes termes d'integration , la formule intcgrale gcncralc annoncee dans le titre du prefent mcmoire. Mais comme la methode ordinaire ne fournit pas de fcrie afTez convcrgente, M. Eulcr s'occupe a remedier a ce defaut en exprimant par deux feries rintcgrale de la formulc propofce , Tunc depuis .v — o jusqu'a x ~\^ Tautre depuis X ~ \ jusqu'a jc — i , dont chacune eft tres convergente & dont 7? H I S T O I R E. dont 1:1 fomtre donne la valeur rcquifc pour lcs tcrircs pr^- fcrits d'intcgratioD. Addiramentum ad dincrtationcm de valoribus formulac integrahs / , ab .v =: o ad .v r= i cxtcnfae. •^ ]/ (i ^.v'^/-'? Auctore L. Eithro^ pag. ii8. Les Gcornctres nc mcconnoitront pas dans cc fupplc- ment un trait caradcrilliquc du gcnie de feu M. Euler. lU favanc quil ell peu de fujcts pour Icsqucls il nc Ibit revcnu fur fes traces, en donnant toujours un pliis Iiaut degrc dc pcr- fection a toiit ce qull avoit fait antcricurcmcnt. Nos Extraits mcmcs cn fourniflent plus d'unc pnuve , ou nous nous aita- chons principalcmcnt a indiqucr , fouvcnt a la vcritc par peu de traits-, cc que lilluUrc Auteur avoit fait autrcfois dans la meme maticrc. M. Eulcr s'ctoit vu arrctc dans lc cours dc fon Mc- moire pri-ccdent par les difficultcs que lc grand nombre dc- qnutions fait naitrc, dcsque Ton vcut donncr a rcxpofant n une va- lcur qui furpafic 7; ccfl pourquoi il navoit pourfuivi fes rc- chcrchcs quc jusqu'au cincjuicmc ordrc. Ayant ^u ccpcndant quc dc ce grand nombrc d'cquations , qui rcfultcnt dans clia- quc ordrc , toutcs nc font pas ncccriaires a la dctcrmination dcs formulcs contcnues dans cct ordrc , il a voulu cxamincr lc huiticn.c, 011 w~ 10, cn nc tcnant comptc quc dcs cqua- tions qui concourcnt .1 la dctcrmination dcs formulcs dc cct ordrc. Dc cctfc fa<,on i'Autciir trouvc dans cct ordrc 45 for- mulcs dont ncuf, favoir cin(] circuhiircs & quatrc transccndan- tcs, fcrvcnt a dctcrniincr Ics 36 aiitrcs; & ccttc mcthodc pcut 6trc cmploy^c avcc Ic mctnc avantagc pour lcs ordrcs fupc- ricurs. Lc H I S T O I R E. ^3 Le IMcmoire eft tennine par ime methodc generale de traiter ]"ordi"e «. vm. De proie6tione Sphaeroidis ellipticae geographica. Auctore F. T. Schubert. DifTertatio Prima. Pag. 130. Le but de ce memoire & de queiques autres qui fui- vront eft, dexamincr, fi Terreur qu"on committ en foiidant les regles de la projeciion du giobe fur la figure fphcrique , efl: d une importance qu'on ne doit pas negliger, ou fi les rcgles quon trouve, en tenant compte de rapplatiflement de la terre, font beaucoup plus difficiles a executer. La fgure des Me- ridiens ert fuppofee elliptique felon la theorie de Newton. Dans ce premicr memoire Tauteur n'a confidere que la pro- jedion ftereo^raphique parailele «Sc droite. 11 trouve, que dans celle - la les Meridiens de.iennent des lignes droites , les pa- ralieles des cercles concentriques , dont les rarons {bnt plus grands que ceux de la projedion fpherique, mais que la dif- ference peut toujours etre ne^ligee , parccqne ia plus grande vaieur ell feulemient nio du rayon de l'equateur. Dans celle - ci les projedions des Meridiens & des Pa- ralleles font des ellipfes , dont les axes ont le meme rapport que ceux de la terrc applaie, & les axes des Meridiens de- viennent d'autant plus grands que les Meridiens apnrochent du milieu , a raifon de^ fecantes. Les axes des Paralleles croiflent a raifon des tangentes de leur difl:ance au pole: les grands ^axes font toujours paralleles a requateur. Du refte on lit dans le mcmoire une mcthode aifee de trou-er Jes axes d'un Parallele par la conftrucfiion de Thorizon , & de faire Ja divifion dc la carte en fes dcgrcs de latitude & de Jongitudc. Hijloire de i^s^. k CLAS- 7+ H I S T O I R E. CLASSE PHYSICO - MATHEiVIATiaUE. T. De motu qiiodam mcmorabili- fatis quidcm fimplici, ac fblutu difHcillimo. Au(ftorc L. Euicro, pag. 149. Un cylindrc cfl fuppofc infifkr vcrticalcmcnt , p.ir (9 bnfc , a un plan horizontal , dans \\n point duqucl on a fixc Tcxtrcmitc dim fil qui fait pluficurs tours autour du cylindrc; dnns ccttc pofition on imprime au cylindrc un mouvcmcut quclconquc, & on dcmandc qucllc fcia la continuation dc cc mouvcmcnt. Tel cft Ic Problcn:C difFicile quc M. lUilcr fe propo c dc rcfoudre dans ceMemoirc; mais il avcrtit d'abord quil nc licndra comptc ni du frottcmcnt, ni dc toute autre re- fidancc quc Ic .plan pourroit oppofer au mouvcmcnt du cylin- dre , parccquc fans ccftc rcltriclion la folution du Problcme fcroit abfolumcnt auclcfTus dcs forccs dc PAiialyfc. J.e prcmier moycn que 1'Autcur mct en ufagc, pour r^- foudrc lc Problcme, mcnc, fans integraiion, d «ne cquation dif- fcTcnticlIc du prcmicr dcgrc qui, quoiquc trcs fimplc dans ik formc, eft pourtant dc natiirc a fc rcfufcr a toutc voyc d in- t gration , dcfortc quc i'Autcur fc voit obligc de labandon- ncr. La fecondc mcthodc quil cmploye c(l plus hcaicufc ; c.ir il rcufiit non fculcmcnt a intcgrcr rcquation dilfcrcnticLc, qui cfl dcduitc , par unc premicre inttgrarion , dcs dcux iqaarions diffcrcntio - difrcrcnticllcs fondamcntalcs , mais dcux forn.cs gcncralcs de parcillcs formuics dout il dounc, dans daus H I S T O I R E. 7^ dans deux Theoremes , les intcgrales qu'elles prenncnt fous certaines conditions. Cette integration met TAuteur en etat d'afilgner, pour chaque intervalle de tems ecoule depuis le commencement du mouvement, le lieu tant du centre de gravite du cylindre, quc du point ou le fil commence a fe detacher de ce corps, 6c de detcrmincr , par confcquent, les Hgncs courbcs que ces deux points dccrivent. Lune Sc l'autre de ces dcux courbes efl: affymtotique , & elles s'approchcnt de plus en plus de dcux ligncs droites, paralleles entre - clles & diftantes de l'unite i'u- ne dc raurre. Le commenccment de la courbe decrite par le ccntre de gravite efl: un arc de ia Parabole cubique feconde de Neil, dont le Parametre eft "/• Au reftc ces courbes ne depcndcnt point de la quantite du mouvement initial: toute la difference qui en rcfulte fe reduit a plus ou moins de vitefle avec laquelle les deux points en queftion parcourent ies cour- bes mentionnees, lesqucllcs dcpendent de la qualite du mou- vcment dont le corps a ete anime au premier inftant. M. Eu- ler termine donc fon Mem.oire par rexamen du mouvement qui a du etre imprime au corps , pour faire parcoiirir a fon centrc de gravite & a fon point de contacT; les courbes qu'il vicnt dc dctermincr. TL Du mouvement d'un disque circulaire qu'un poids fait monter ibr un plan incline. Par Nicolas Ftffs, pag. iy6. Un Memoire dc feu M. Euler: De cjffciu friitlonls in vio:u '■jolutoyio ^ infere dans la feconde (pas dans la premicre, commic il eft dit dans lc Memoire) partic des Acles de notre Acadcmie , a fuggcre a M. Fufs 1 idcc de traftcr Ic fujet qui k 2 roc- ^5 H 1 S T O I R E. rocciipe d:iiiqun.cs niortci»^. Lc faisccau,* quc P.Autcur •nommc conuaCteur dc Vlnlcr' Jlice i'ali-ii/aire , lcrt particulicrcment a cxprimcr unc poriion dc fang , qui fc cache dans cct intcrdicc chaqnc fois, quc lc vcntriculc cll rcn.pli. Sans laide dc cc n.ulclc lc vcntriculc nc pourroit jamais lc ^uidcr parfii'cnicnt dc lon fang. On croit, il cft vrai, qu'cn cffct lc cocur dans fon (yHolc rc fc vuidc pa>. naturcllcn cnt tonr a f,\'\[ , nais lcs di^crs moycns, qut la naturc cii plove exprds , pour cn pcchcr lc (ang , dc fc cachcr dan> lcs divcrs coins dcs vcntriculcs 6c d'y rcflcr malgrc la contra^ftion du cocur , (cii blcnt dcinontrcr , onc daus H I S T O I R Ei S3 dans Tetat de parfaite fante , & quand lc coeur eft , comme il doit l'etre , aflez roburte , cela ne doit arriver jamais , & que, s'il arrive, ce n'eft que dans les coeurs foibles, & chez des hommcs mal - Hiins. Celui des fiiifceaux , que rAuteur nomme ( car tous ces faisceaux ont ete inconnus ) puliiionaire pojlerleur , eft le plus fort des mufcles , qui produifent au temps du fyftole la contradion du cone arterieux , c'eft a dire la derniere partie du ventricule, dc la quellc le (ang entre immediatement dans Tartere pulmonaire. Celui , qui eft nomme aorticus , contra- (fle rinterftice valvulaire auffi bien que le contradeur de cet interftice , & ces deux mufclcs contribuent un peu a fermer rorifice veineux du ventricule au temps de fon fyftole & a empecher , quc le fang , preflfe de toute part, ne rentre pas dans le finus droit. Enfin Jes fibres dw fil cartilagineux an- terieur amenent par leur acftion 1'orifice veineux au ventricu- le , pendant que cette partie , prochaine de Torifice, eft con- tradee par l'aorticus & par le conrracfleur de linterftice , & cfFeduent par la, que ces deux mufcles en contraflant rinter- ftice valvuiaire, contradent en meme temps rorifice veineux du ventricule. IT. .: ;.b Foetus fqnali fingularis, dorfo mutico , denribus acutTs, cum pinna ani. Linnaei Syft. Nat. dcfcriptus. a Baf. Zuiciv , pag. 239. ^T. 7ouve\v re donne ici qu'unc fimplc dcfcription de ce foctus , qui le trouve dans hi colleccion dc Dahlberg au 1 z , Mufce 84- H I S T O I R E. Muree dc rAcademie, & qiii a linfpccftion fculc du dcfTiii qui fe trouve jointe i ccrrc dcrcription, paroit \r:iicment (ingulicr. Anfll notre Acndemicicn n'a pas vouhi hazardcr de decider fi cc jcunc rcquin apparticnt ptut - ctrc a unc cfpccc particulic- rc, qui nc foit pas cncorc connuc, ou s'il a rc^u ccrtc flgurc fcoliotiquc ou tortucufc, cn fbrtant dc rocuf, ou bicn par qucl- quc autrc accidcnt cxtraoruinairc. UT. ObrcrLiationcs duac. Auclorc A^ Soioloiv^ pug. 243. T,a prcniicrc obfcrvation a pour objct un moycn dc tucr (?c d cxtirpcr lcs vcrs dc tcrrc ou dautrcs inlc rcduits unc tcllc liqucur & d cn riimc(f^cr aulli lcs arbrcs tJv: plantcs, qui (ont cn proic dc tcK inCctffcs dc- flrudcurs, fans a\oir a craindrc, quc ccs vcg6taux mcmcs cu fouffrcnt. I.a fccondc obfcrvation conccrnc unc rcvivification de quclqucs infcclcs pcris dans dc Icfprit dc" vin. On n a (iu:\ les cntcrrcr dnns dcs ccndrcs un pcu chaudcs : on Ics vcrra bicnrOt rciitrcr cn vic , lors mcmc qnils ont dcja ctc dan< un H I S T O I R E. 85 un ^tat de mort prcs d'iin qimrt heure. C'efl: ainfi qiie notrc Academicien a refuscite plufieurs fois , dans rintervalle de trois heures , une petite aragnee & une teigne , apres les avoir fhit mourir autant de fois dans de Tefprit de vin. IV. Defcriptio aoitae, fupra modum extenfae, et ruptae, fimulque in lcdibus diuerfis oflificatae. Audorc C. F. WoJJf^ pag. 24.7. Un homme de quarante & quclques annees a peu pres, qui, fiiifint fes affaires comme a rordirijyre, paroiffbit etre fain^ etant revenu un jour chez foi, fans (e plaindrc de rien, tom- ba mort. Son corps fut transporte a rAnatomie. Apres avoir ouvert la poitrine 1'Auteur trouva au Iteii du coeur , couvert mollement de fon pericarde , & des pou- mons aux deux cotes , une grande veHle , qui occupoit pres- que toutc la poitrine, en commengant du Iwut du thorax & s'e- tendant en bas jusqu'au diaphragmc. C'etoit le pericarde lui- meme, enfle d'une terrible maniere, qui avoit repoufle les pou- mons dans la partie derriere de la poitrine pres de repine du dos, & qui, quand on le manioit ne laiflbit rien toucher du coeur. Ayant deja vu un cas femblable dans un lion, quil avoit dis- feque autrefois, rAuteur prevo} oit, que ce feroit de fang, que le pericarde eft remplii cc qui fe trouvoit ainfi , Jorsquil rouvrit. Le fang couloit, inondoit les vifcercs «5: remplifl^oit tourc la cavite de la poitrine. Cetoit du fang fluidc; mais il en reftoit une portion dans Je pericarde , qui ctoit coagu- lee. L'Autcur pcfoit ccllc - ci, & la trouvoit d'une livrc & de- mi. Eftimant de plus grande quantitc encore cellc, qui etoit ecoulec, 11 conclut, qu'au moins trois ou quatre livres de lang 1 3 doi- $6 H I S T O I R E. doivcnt avoir rcmpli ^ ctcndu lc pcricardc cn cettc cnor- mc vcnie. Lorsquc Ic cocur avcc lcs grands vaifTcaux ctoit fcparc du corps, r.Autcur chcrchoit la cnulc dc cct cvenement func- flc. EIIc lc manifcUoit bicntot. Cctoit unc grandc rupturc de Taortc dans la facc pollcricurc tout pres de Torificc arte- rieux du vcntriculc gauchc. EIIc s'ctcndoit du bas cn haut & reflcmbloit b.aucoup a unc phiyc, ou incifion, faitc cxprcs par un inllrumcnt tranchant. Sa longucur ctoit prcsquc de dcux pouccs. l)u (ang coagulc cmbouchoit cncorc rduvcrturc dc la playc. Cxtoit donc lu la caufc d'unc mort fi fubitc dc cct hommc. Louvcrturc dilatcc, commc ellc \'a 6te par la for- cc du fang ccoulant , cgaloit prcsque 1 orifice du vcntriculc gauchc , & la circonfcrcncc dc laorfe cllc mcmc. EIlc ctoit prochc dc cct orificc du Acntriculc; (S: quclqucs pulfations du cocur iufBlbicnt pour rcmplir Ic pcricardc dc fang & pour cn tircr trois ou quatrc livrc du fyflcmc dcs vaiiicaux ; cc qui f^it Ja railon, qucn un inlbnt mcmc Ihommc ctoit tombc mort. Mais il y avoit pluficurs clrconflanccs rcm.irquablcs dans cc fujct. Laortc rompuc navoit point ttc faine aupara- vant. Tout larc dc cctte artcre, c'cft a dirc la partic dcpuis fon originc nu cocur ju^^ciu a rciulroit, oii cllc, cn lc courbant, s"appli(]uc A la colonnc dcs vcrtcbrcs du dos, ctoit ctcndu tcr- riblcmcnt , ^' mcn;e la lublbncc dc ccttc pnrric coit rigidc ^" avoit pcrdu fon clallicitc naturcllc. C ctoicnt proprcmcnt troi> divcrfcs tumcurs quon dillinguoit dans cct arc dc i'aor- tc. ! a prcmicre, ou infcricurc, prochnii^.c dc la baCc du cocur, 6i cnfcrmcrc dans lc pciicardc , daiis iaducllc fc trouvoit auffi la rupture, nNoit fcpt poucc> & ouatrc iig; cs dans (a circon- f^rcncc. Naiurclicn.cnt J aortc dans cct ciidroit na quc irois pou- H I S T O I R E. 87 ponces. Elle ctoit donc etcndiie au dehi du double. C'e- toit la tunrieur la plus grande. La moyenne tumeur s'etea- doit de rintciieure jusc]u'a cette partie de Taorte, d'ou fortent Tartcre innomince, la carotidc gauche & la fouclavi:re gauche. Elie avoit dans fi circonference cinq pouces juftemxnt. Dans fon etat naturel I'aorte en ce lieu n'a point tout a fuit trois pou- ces. Enfin la troifieme tumeur , diilinguee de la precedentc par une partie plus etroite & s etendant ju8qu'a la fin de l'arc de Taorte, avoit presque la figure & la grandeur d"un oeufde poule, egalant dans (a circonference quatre pouces & neuf lig- nes. La longueur de toute cette partie affedee, favoir depuis rorii^ine de Tivorte jusqu^a cer endroit , ou elle s'applique a Tepine du dos, qui dans 1'etat naturel ne furpafle pas fix, tout au plus fept pouces , etoit de douze pouces & demi, furpas- flint ua pied entier. Cependant le pbenomene le plus fingulier etoit celui , qu^^ofFroit raorte , quand elle fut ouvcrte. EUe etoit, on le peut dire, remplie d'os. Un fuc offeux avoit ete depofe en- tre les deux peaux de l'aorte, rintericure, tres mince, & Tex- terieure , grofle , elallique. Ce fuc avoit produit nombre de pctits morceaux ofleux, contenus entre les deux peaux de l'a- orte. L'Auteur en a conte trente huit. L'un de ces mor- ceaux ctoit d'un pouce de longueur; pluficurs avoient un de- mi - poucc de diametrcj Ics autres etoient plus petits. Leur figure etoit diverfe , mais tous etoient applatis & pGurvus de cotes tres minces & tranchants , comme ils- dcvoient l'etre ' neceflairement, etant formes d'un fuc ecoule entre deux peaiix contigucs. Si ces os .etoient reftes dans leurs licux oatifs en- tre Ics deux peaux , ils n'auroient produit quunc aorte oflifi- quec , ce quon a obfer» e plufieurs fois. Mais par leurs co- tes tranchaius & par la contradion dc L'aortc iJs avoicnt per- 8S H I S T O I R E. perce h pcaii intcriciire, 6c s'ctoicnr fcparcs dcs parois de r:ior- tc , cn scnfongant dans U\ cavite; dclorte , qiic plii(iciirs morceaux dans -la partic ctroitc de cettc artcrc, oii il - y - en avoit un trcs grand nombrc , s'crcndoicnt prcsque dnn cot6 dc rartcre jusc]u'a lautrc , qui cll vis a visi Jc fing nayant pii fe.mou^oir qucn fc gliflant cntrc lcs os, qui rcmpliffoicnt cette grandc artcrc, 11 crt vraifcmblablc , quc mcmc la playc dc Taorte a ^te produite par un de ccs os trunchants , qui pcndant la contraction dc Tartcrc a attcint lc parois oppofc i cct cndroit, Ta bleflc de plus cn plus , jusquVi cc quc lc fang y u cnfia ^erce. LAutcnr mct la prcmicrc caufc dc la maladic quc cct hommc a cu , pcut-ctrc long tcms fans en etrc bcaucoup incommodc , dans un dcfaut de bonnc nutrition dc la par- tic atfcclcc de raorte. Tontc la fublluncc dc ccttc partie ctoit rigidc & les parois ctoicnt dc groflcur incgalc. l.c tiflTu ccl- lulairc nc fc laifloit point tircr, commc il fuit. Lc fuc nu- tritif au licu dc produirc ui,c fubftancc mollc & clnfliquc s'c- toit changc en maticrc dcpourvuc dcs qualitcs naturcllc., durc, rigidc, & mcmc olfcufc. Dc la donc ccttc mcrvcillculc cxtcn- fion dc Taorte , & les os , qucllc rcnfcrmoit dans fa cavit6. Dc hi cnfuitc rcroflon dc ccttc; artcic , la pcrruption du (ang dans Ic pcricardc, <3c la n.ort. Lc cocur liii - mcmc ttnlt trds grand, mais il n avoit ricn dc contrcnaturcl dans fa flrudurc ,• fi bicn, quc lAutcur, aprds avoir notc rcs obfcrvations rapportccs , scn cll Icrvi pour continucr fcs rcchcrchcs fur la lhu(fture du cocur. V. ' H I S T O I R e\ 89 V. Gymnoti noua fpecies. Audlore Baf. Zuieiv^ pag. 2^9. M. Zouyef donne ici la defcription & le deflln d'unc nouvelle efpece de Gymnote, que Gronovius & apres lui Til- luftre Linne ont regarde comme une variete du Carapo , ce que cependant elle n'e(l pas. Notre Academicien l'appelle GjmnO' tus albus a caufe de fa couleur blanchatre fuis tiiches. Sa grandeur cll: moindre que celle du Carapo, dont il fe trouve plus d'un exemplaire dans le Miifee academique; fa machoire inferieure plus longue que la fUperieure, fans compter plufieurs autres indices qu'on remarquera aifement en comparant cette defcription avec celle du Carapo, & qui font autant des mar- qucs diftindives que YAlbtis ne doit point etre confondu avcc le Carapo & TAlbifrons que M. le Chevalier Pallas a deja decrit dans fes Spicilcgia Zoologica. VT. Examen chemicum obfcruationis a nobilifTimo de Carofi celebratae , de gypfi cuiusdam transmutatione in chalcedonium. Audore J. G. Georgi^ pag. 274. M. de Carofi au fervice de Pologne ^ Corrcfpondant de TAcademie , avoit cru prouver par une fuite de foHiles & petrifications , trouves aux environs de Cracovie , la transmu- tation tant de fois contertcc , de picrrc calcaire en filex , de gypfc en chalccdoine , & d'autres fcmblables changemens des terres primitives. Unc fuite de ces fofiiles qu'il cnvoya a rAcadcmie pour fervir dc preuve dc ce quil avoit avance a llijioire - quc point fubi Ic moindrc changcmcnt , 6c qiic (a partie fili- cec nx'toit point cn plus grandc proportiou : Cc qui efl trcs peu favorabJc au fyllcmc dc ccux qui admcttcnt dc tcllcs transfiibltantations cn mincralogic. VIT. Eniimcrario mincraliuin qnonindam rnrioriim in Mufcis noiinullis Parificnfibus obuiorum. Audorc y. J. Fcrbcr^ pag. c8c. M. Fcrbcr continuc dc donncr a fa manicrc un cata» loguc raifonnc dc mincraux curicux & rarts qu il a rcmarqucs pcndant (bn dcrnicr fcjour a Paris , tant dans Ic cabinct du Itoy, (]uc dans xrclui dc M. dc Komc Des Tlslcs. CLA.S- H I S T O I R E. 91 CLASSE DASTRONOMIE. Eflai fur les tables lunaires de M. Euler pour les preferi- ter fous une forme propre a abreger confidera- blement le calcul des lieux de ia Lune. Par M, Krafft ^ pag. 2,89. I es tables de la Lune publiees par M. Euler a la fuite dc ■^^^ fon dernier oiivrage (ur la Theorie des mouvemens de la Lune , fe diftinguent de cclles de M. Mayer , cn ce qu- elles font calculees apres des formules deduites diredement du feul principe de la gravitation univerfelle ; enfuite en cc qu'elles ne donnent pas en arcs de cercle les longitudes & la- titudes , mais les coordonnees orthogonales du lieu de la Lu- ne , d'ou Ton obrient les tangentes de ces arcs : cnfin en ce que les argumens des equations particulieres y font donncs uni- quement par les mouvemens moyens du Soleil & de la Lune, tandis que les tables de Maver en reuferment qui demandcnt que les licux de ces allrcs aient deja ete corriges auparavant par quclques equations preccdentcs , qui font les plus confi- derables. M. Kraffc dcveloppe d';ibord Ics grands avantages qui cn rcfultent (oir ponr le calcul des lienx de Ii Lune , qui e(t bien moins penibie que par les tables de Mayer, foit pour la peifce^ibilire des tab'es memes : ^" il propo e cnfuire fes idees pour fmiplifier cncore da antage l.ufage uc? ccs tablcs m 2 & 9^ H I S T O I R E. &" lcs rcndrc par h\ plus proprcs u ctre pcrfcclionnccs par Ics oblcrvations. A cct cffet il rcprcnd lcs formulcs de M. Eulcr , & cn dcduit unc :uitrc ciui donnc immcdiatcmcnt 6«: par une leule fcric des (inus dci argumens moyens , la tan^entc dc la lon- gitudc , d'oii lc calcul du vrai licu de la J.une dans lcclipti- quc ell dcja rcduit a la moitic. iMiluitc comrrc dans la 'sa- Icur de cettc tangcnte trouvcc par M. Krafft , cliai|uc tcrmc pcut dcvcnir pofitif ou negntif lclon la grandcur dc rargumcnC dont il c(l aftcdc , cc qui rend lc calcul (S: plus long & plus fulccptiblc dc mcprifc dc la part dn calculatcur, il transforme fon cxprcd-on pour la tangcntc cn une autre , oii tous les termcs , a lcxception dunc quantitc invariablc ncgativc , font conllammcnt podtifs , cn rcnfcrmant Ics quarrcs dcs finus des arguiricns. II cll bicn vrai quc f\ I'on Aouloit fiirc lc calcul dun licu de la Lunc imn^diaten-.cnt d aprcs ccttc nouvcllc formule, il dcvicndroit bien moins commodc quc par la prc- ccdcnte ; mais les tables qui cn rcfultcroicnt ctant unc Jois coni^ruitcs donncroicnt adiircmcnt aux calcnls lunaircs amant dc bricvctc &i de fimplicitc quon pcut dclircr : cc quc M. Krafft pronvc par lc calcul dun licu dc la lunc quil fait aprcs I'unc cs: 1 autrc formulc. Au rcflc notrc Acadcmicicn scft bornc ici a la fculc Idngitude i mais il s'ent>cnd dc foi mcmc qr.e par un manic- m.cnt fcmblablc de la valcnr dc la troifcnx coordonncc , on en trouvcra aulli aifcm.cnt unc cxprcflion pour la tnngcntc dc la latitudc. II. H I S T O I R E. P3 n. Obfervatio eclipfls folaris die V"tz 1788 Petropoli habita. Audore Pelro Inochodzoiv , pag. 302. Apres s'etre afliire dii mouvement de la Pendule par des h.iuteurs correfpondantes du Soleil prifes avant & apres le jour de reclipfe , M. Inochodzof reduit les momens dc fon obfervation au temps vrai , & trouve le com-mencement de cctte eclipfe folairc du /j-Juin 1788, a 9 h. 59^. 32^^ avant midi & la fin a 1 1 h. 39^. 39^^. Le commencement s'accor- de tres bien avec Jc calcul , mais la fin ell arrivee de pres de 4 minutes plustot. Cette obfervation a ete faite avec un tclcfcope Gregorien de 2I pieds de Londres. METEOROLOGIE Etc de 1787? tire de Fextrait des obfervations meteoro- logiques faites a St. Petersbourg en 1787 fuivant le nouveau ftile. Pag. 304. \ La Neva debacla le 24 Avril & fut recouverte de glaces le 25 Novembre : rintervalle entre ces deux epoques e(l dc 215 jours : ainfi de 7 jours moindre que rannec m.oycnne. II gela pour la dcrniere fois Ic 27 Avril & il rccom- men^a a geler le 30 Odobre ; apres un intervalle de is6 jours , qui eft de 27 jours pius grand quc celui dc rannee moyenne. II neigea pour la dcrniere fois le 15 Mai : il recom- menja a neigcr le 23 Oclobrc. m 3 La •9+ H I S T O I R E. La pliis grandc chalcur apres l:i graduiUion de Dcllslc, XC3 dcgrcs , lc 13 Juiii. L.i moycnnc ciialcur tirec dcs obfcrvations tlicrmomt:- triqucs fiitcs :i 2 h. aprts midi , depuis Je i Mai jusqu'au i Novembrc 1:4.5 d. de a^ dci;rcs plus grandc quc lanncc mo- yenne , 6: dcpuis lc i Juin jusquau i Odobrc nzi^;,', d. La movcnnc clialcur de hi nuit tircc dcs obfcrvations faircs lc matin s La hauteur moyenne, toujours pour les fix mois d'ete 28- 083 ■) OH bieu 28T"e pouces de Paris , qui font 29 pou- ces II g lij;nes de Londres. Cet et;it du Barometre fe trouve 6tre confiderablemcnt plus baut que celui de l'ete moyen,qui •eft de 28. 02 pouces. Les vents forts ont fouffle en i jour du Novd^ en 10 jours du NE , en 4 jours dc ITJl , en 7 jours du SE , en 7 jours du Sud, en 8 jours du SOu, en 13 jours dc TOuefl & en 14 jours du NOu. En tout 64. jours de vent fort , entre lesquels il y avoient 10 qui ont ete les plus violans : favoir ceux du 17 Mai , p. 10. 11 Juin , 20 Juillet A^£, du i6Juillet Siid^ du 21 Juillet SOu^ du 29. 30 Scptembre Ouejl & du 15 Septembre NOu. Le rapport de la fcrce des vents eft pour ces 6 mois d'ete. Mai : Juin : Juillet : Aoiit : Sept. : Odobre. 271 : 297 : 303 : 255 : 310 : 229. Le mois de Septembre a donc ete le plus venteux , & celiii d Oclobre le plus calme. Le rapport des quatre plages : Nord : Eft : Sud : Oueft. 47 : 55 : 35 : 57- Le vent dominant a par confequent ete celui de l'Oucft. 11 y a eu 41 jours de cicl entierement ferein, ^ojours de ciel a dcmi - couvert , 53 jours de cicl enticrcmcnt cou- vert & 14 jours de brouillard. 42 jours de pluic copicufe , <)3 jours de pluie mediocre : en tout 105 jours dc piuie. 5 jours 9[ifo /) — o , qiiod cu;un dc intcgr:uioiiibiis rcpctitis pcrpctuo cll tciicndiim. Ciim igirur nupcr (*). phires luiinsmodi gcncris forir.uhis integralcs /V <)x in mcdiiun :u iilcrim, qii.uum \:ilorcs u tcr- mino .ri=:o, \squc :id tcrminum vcl x :zz i \c\ .v r= oo cx- prcirionc finita a'' gnarc licuit, e.x qualibcr caium f(?rmulas in- tcgrales tam per diffcrcntiationcm qnam pcr intcgrationcm in- de dcriuatas confpcfni cxponam , qnas crgo fcciuuuim ordi- nem formularum principalium, cx quibuj. iunt deduifiac , hic diltinguam. O R n O P R 1 M V .S. Tlicorcmatiim c.\ Irac turma principali dcdii61:oriim: J x ■, f .V col.f -f-.V" ab X — o ad .vzzroc n ;/ liii i liii. f- TT Tlacc intcgratio fcmpcr locum babct, nili (it /; — fif-o; his i^itur calibus c\ccptis ponamus brcuit;uib graiia Trfin. ''t' •t . Prz: « lin. c n... ^' n n fiim (•) \mi9 .Ach Acadcmiac Sc. Toin. III. iii DilTciiationc; 7F/f//,((/tt/ /aW//'/ mue- nitndi tntigralc ctc. (5) tiim vero e^iam loco denominatoris jc'^ -1- 2 cof. 5 -|- A"~" fcrt- bamiis A, ita vt iam P fpedari po^ic tanquam fimdio ipfiiis p, qiiibus obfcruatis per differentiationem hinc fequcntia Thco- remata dcriuantur : rx^ J a" I. x^ d X l X A X L ab .V rr: o ' ad jf moo a_p 11. rx^ dxQxy J A ' X ab X 0 ad X 00 __??l^ of- , .HJC^ Jl*4..iJ;>;;.{J.' fx^ dx Hx'^ ab .r . . 0 ^^P J A . . jc ad .V 00 0 n^ i.ilWjli ■. ijlii jii w^ o, ct intcgr:ili:i /l^)/>, f^Pf^^P^ f (^P f^^P f^^P-> omniaquc hinc dcdu(ft:i ita capiantur , vt cuanefcant pofito p — o. ORD O S KC VND V S Thcorcmatum ex hac fbrma principali dcdudorum: / -^ dx X L o ab X ad jr zzi oo _ -^P n n fin. ^- tt Ponamus liic itcrum dcnominatorcm .v " ( i -t- .r") " r A , fitquc Pr ;-! , ita M P itcruiii fit nindio ipfius /), ac n n fin. S. tt n primo pcr diffcrcntiationcm iiiiic dcduccntur flijucntia Thco- rcmata: T. a.v /x^ d X l X pib .V :rz o "1 dV / II. A D .v n x) X • fab .r — o ~ [_ad .r z;^ oo_ 0 p"- III. (7) IIT. y ^ dx (i xy fab .v — o 1 _ a^ p IV. rx^ dx (I xy Tab r r= o ~[ _ d^ ctc. Per integrationem autem inde fequentia Tlieoremata oriuntur; T. fxf — r dx r-it» •*■ = o "1 __ /-p ^ y, / / IT. x^ — T —plx dx X ij x/ L III. ab X ziz o' iid .V rzz oo xP — I ~ p J X — l p p (l x)" -fdpfVdp. fab JT =: o 1 [_ad X ir: ooj .V (/ x/ -fdpfdpf?dp. I TV. Xf-T^plx-Ippdxf-Ip^ (1 xy ? X A etc. ab A' = o ad .V 3:1 oo ] X (^/ Xj = fdpfdpfdpfPdp. vbi circa integrationcs eadem funt ob.'eruanda, quae ante fuc- raut praecepta. ORDO =— = (s) =- O R D () T F. R T 1 V S Thcorcmatum cx hac forma principali dcdu61oj'um: J X -v' (/h-))-h:c-'» .ib.v=:o| 'n ( V^, — f ") iid jf ~ oo «(/'-/-Orm-^TT- _P ad .V -- ooj ' (fp* ClC. Pcr intcgratior.cin aiitcm cliciunfiir (c(]ucniia: } (9) / x^ — t d X < - — • A X l X I. "ab A' — o " ad .V :zi: oo IT. =/Vdp, ^._^^^._^p.. = y^,,^,,3^. / III. X^ — T —pl X — Ipp (1 -V)* ~ab Jk" ~ o "] \3 iid X = ooj X {J xf —fdpfdpfpdp. IV. rx^-i-plx—lppflxf — ljy(1xy 3.V ^abjfrrol J ~A " \x{lxy \j^<^ x-=ioo\ etc. =zfdpfdpfdpfPdp. Vbi denuo eadem funt obfcruanda, quae fnpra funt praecepta. ORDO QVARTVS Theorematum ex hac forma prmcipali dcduftorum: / d X r-V X X^ -i- 2. COi. ^ -i- X "■ ab .V ~ o ad jr ~ I Trfin. ^a n fin. t? fin. ^- tt Statuamus hic iterum A iz: .v" -+- 2 cof. ^ -+- jf~% fitque r. fin. L 0 Pn: 1^ ^, n fin. (? fin. ^ -n n ita vt P tanquam funcftio ipfius p fpecftari pofiit ; -vbi probe Noua Acla Acad. Imp. Si. 7. V, B iioian- == (ic) = no^andum cft , hiinc vnlorcm intcgr.ilcm fiibfiflcrc non pofTc, nifi fit /><^n, idcoqiic fr:i(ftio ?- vnitate n.i..or, lUqne Ciib iis- dcm conditionibus pcr djtfcicntiaiioncm fcqucaiia hiiic dcdu- cuntur Thcorcmata: / T. cP-x-f dxl.x ad .V : ol __d? f A IT. r<* -I- .V- ^ 7) X n \ '-.xh — ad — o "] _ 3 r^ P / TIT. xP~x-P dxd.y,' :\h X ~ ad .V — o~[ __ n>P IV. r.vP -+- .v^ P ? X (1 .V ^ Tab .V — o "[ _ ?i' T ctc. Pcr integrationcm autcm colliguntur fcqucntia: / .v^ — .r~^ D.v T. :id .V = c ' xlx L-iJ X — ^]=/PDp. TI. / .v -t- .V -?_ r; .V ab .V zz * :c (,/ A-/ L-'^ -^ -^]=/a/»/pD^ IIT. (") III. ^^p • 2 p I X dx X {l xf fab .Y = ol [_ad jc — ij —f^Pf^PfVdp, H- jf- P — 2 IV. pp(ixy d X [ab X rz: cH ad jc — I J A X [^/ x/ erc. —fdpjdpfdpf? dp. Qiiod fi eadem integralia extendantur ab jrzno ad ^czzioo, eorum valores duplo euadent maiores. ORDO QVINTVS Theorematum ex hac forma principali dedu61orum: / ^dx X X ~p .v-^^Ci -h J«ry U ub X — o ad .V ~ I 'n p \ n n fin.^ tt. Statuamus igitur hic pro denominatore A-x^^^^i-hx^y^ fitque P 7r/> , ita vt P fpedari poflit tanquam fnn- n n fin. ^ tt dio ipfins />, vbi perpetuo fradio t, vnitate minor fupponitur, quibus pofitis per differentiationem fequentia nafcuntur Theo- i-cmata: I. . yP — x-P dx I I- I XP -f- A— P ? V r/ ;lb X o ad X i _riP dp IT. ;lb X V dDV E ad X 2, 1 up* UL (lO IIT. / / .v^ — .V-? dxn.v)' X IV. ib .V ~ o~] <■)»? id .V zz: I ^/;^ ;lb .V O 1 ^P ;ii1 ,v — 1 ?t)* A X Pcr integrationcm \cro rcqucntiii dcdiicuntur: / V'' -4- .V 11. ^ .V fab .V = c fdpfPdp. f 111. V^ .V- f 2 p (/ .V) '■) V :ib X := -fdpfdpf?dp. f X^ -\- X- f — 2 ctc. IV. /)/)(/ xj* ^ X r^ib .r =; o"] ^fdpfdpfdpfVdp Af fi hacc intcgralia ab .v rz o ad jc Yalorcb cuadcnt diiplo niaiorcb. CX3 capiautur, corum ORDO / ==(13)== ORDO SEXTVS Thcorcmatum cx forma principali dcdu^n^orum : -, ■ ' t — p abjfizro 't: (f^ — / i) ad ^ =z I J ~~ n (p — /-') fin. £- tt' -V 9.r .V jr'' H- (f-t-j) -+• x'^''' , Statuiimus A nz AT'' -K (/-^i) H- A'~^ = -i Cv'-^ -^/) (a:'^ -4-;), et fit X" V = p —P -nCF—f -) vbi iterum fracftio ^ vnitate minor fupponitur. His obferuatis per differentiationem colligimus; f J / / T. .v^ ^ d X 1 X ab A- r=: ol ___ a P _ad x~x\~-^' II. x^-\-x-^ dxcixy III. cf~x-P dxdx? ~ah X zn 61 ad A" zr 1 J ub .V ~ o ad X z:z i dd? xf-{-x—P d IV. .V (l xY Tab .V zrr o1 _ a^ F ~ [ad jr = I J ~ ^ etc. Per intcgrationcm autcm fcquentia Theoremata nafcuntur: B 3 I. (1+) f r- X- ^ 7) x I. ab .v=r X ix i:^^ X ~ i_ =f?dp. 11. ■f _4- X~ ^ 7) x .V J X :'■ K' ^J L ab .V m c ad .V ~ I =z/dpf?dp. 111. / .v^ — X~^ 2 f> / X = c-|, -fdpfdpf?dp. wh X = ad X f x^ ~'h1ic~^ — 2 — p p n X* ? : r) X :lb AT ~ o"! ad .V ~ I J .V (/ .V / — fdpfdpfdpfVdp, Quod (1 hacc iiitcgrnlia nb .vr=:o ^d .v — oo cxtcndantiir, co- riini vnTorcs crnnt diiplo mniiore^. Cc?"CruTn hic pcrfpicuum cll, qunntitntcni / cdc dcbcrc pofitiuani, quin alias potclLucs f~ n ficri polTcnt imai;innriac. O K I) O S K P T 1 M V S Tlicorcmarum cx liac forma priiicipali clcduclorum: /7) X cpr. p , X ' .r"-»- acof. cor. p i X ab .V r ad .r A —f^ -^]~ swnn.O \ ^ -<*7r/ t " — f » Statua- (i5> fitquc Staturnrus hic iterum pro denominatore A — jr* -H 2 cof.^ H- AT- ^" , P=: TT 2fl 0.11. 0 en -rc e ^ quae ergo quantitas iternm vt fundio ipfius /> fpedari potcft,- \bi autem non amplius neccfTc eft \t fradio ^ fit vnitate mi- nor. Hinc igitur pcr differentiationem fequentia deriuantur Thcorcmata: I. ab jr m o~] 9 P jid a: ~ I J 'd p ' I fin. p 1 X d X 1 X X I I I II. cof. p I X dxC7xY X "ab .V = o ad x zzz 1 Cm. p l X dx (Ixy III. ab >v := o ad .V zz: 1 =:-\- coCplx dx(Jxy IV. x "ab jr =r o ad .V m: I dp' a-p etc. Per integrationcm vero Cm.plx dx r X l X ab .V := c ad X zzi\ -.f?dp. siUlUK ii (15) 11. / / 1 — cof. p J X 7) X ab X zn o ' X {ixy L^d X — i_ :=fdp/?dp. I in. p J X — f\n. p I X d X IV. ip P (I x^'' — I -^ cf>r- /' / -v ^ ;lb -V — I J -fdpfdpfVdp. .V - ij :ib .r =r o" :id X / .x/ -fdpfdpfdpfPdp. V. / Ip^Clxy — p/.v-h fin. /) /.f d,x ib .V ~ o ■v(7.r/„L-'^ *: = ^ z=zfdpfDpfdpfdpfVdp. ctc. Hacc igitur intcgrnH:i, fi ah x — o ad .v zz: oo cxtcndantiir, itcrum duplo fiunt maiora. O R n O O C T A V \- s Thcorcmatum cx hac forma priiicipali clcdu^loriim : d X cof. p l X ab .r — o~| tt p 'Yji[jidx — ij~ „„' f>Tr — ^tt' U-' f n — e n fitque Statuamus liic pro dciiominatorc /^ ~ x "(VH-i/? V ~ ('7) nn ■TT _f ''-t: en __^ V. atqne per differentiadonem hinc dediicentur fequentia Theo- remat:i : / fin. p l X d X l X ab X zn o ad jc ~ I II. cof. pl X ^ X (l xy X ab X zzz o ad jc nr I IIT. /- fw.plx dxdxy ab jc =r o ad :>f — 1 IV. cof. p Ix d X (l xy r cof. i J A X ab jr rr o ad A- — I Per integrationem vero elicitur a^p ^7* ' =: + / / I. fin. p 1 X 5 .V .V / jr ~ab X zir o~| _p .. _ad jr — I J ■^ "* II. I — cof. p l X X f X (ixy III. ~ab jir ~ ol ,'>> ^ /.1, > plx — fm.plx dx fab jf zz: o A^o//fl Ai^h Acad. hnp. Sc. T. V, •,i7^[fd::=g=/^^/^^/p^A IV. = (18) IV. flp p (I xy— i -^- coC. fy I X dx fab .V — c~| J A .v(/x/ Uid -^ = ^] =zfdpfdpfdp/Pi)p. V. /"■/)V/.vy — p /.v -+- fin. p / .V ^.v rab.vzncl y A x{ix/ bd X — ij = f^pfOpfdprdpfVdp. etc. O R D O N O N V S Thcorcmatiim cx hac forma principali dcdu^lorum: /dx cof.p/.v fabjvron 1_ !"_!_: .. Sratuatiir A = .v" -f- (/-4-}) -f- •v""' ritqiic z-nCitt.f^.if n atqiic hinc pcr diflrcrcntiationcm fcquentla prodcunt Thcorcmata: T. /fm. p l X d X I X 'ab .v — o~j A 7~ Ud -^^ = ' J TT. fcnC. p 1 X 7)x n xf Tab X — o1 _ _ r)^ J A X La P ud A- — I J op* ctc. Intcgratlo autcm fcqucntia fuppcditat: 1. / .v^ a d X ~" .77 A- ad .V ~ o ad .V -iii I = f?dp. IT. / II. .Y^ .V'~ P 1 p l X ^ X ab .V = o" .V [J x/ b^ti X — I_ III. r x^ -h x~^ — z — l p p (I xY dx fab x = c~\ J A * x(/.r/ Ud .V =z I J ■.fdpfdpf?dp. I IV. x^ — x-^ ~ 1 p i X ~ i p^ {i xy ^x ab A" =z: ad .V z= n x(/jir/ ~fdpfdpfdpf?dp. V. / j^-f -+- .v- ?- .1 -i p p a xf —i^ p' n ry d x d X ab x :=r o 1 'x{/xf Uid -V =: I J = fdpfdpfdpfdpf?dp. ctc. vbi iterum notctur formnlam integralem /P 5/> adu cxhiberi pollci erit enim fPdp z=/^ tang. ^ = — / cof. ^ =1 -h ; fec. ^ . Hic probe notandum eft, fradionem -^ lemper effe debere vni- tate minorem. ORDO (^+) O R D O XIV. Thcorcmatum cx hac forma gcncrali dcdu61orum; /d X fin. p l X ~:ib a' ~ o~| tt e «» ~ * A--''-^^ U^ X~l\~ "^, ' ~^ e -+-E5 — f tn -+- e sn -»-^"~ -t5 Statuatiir igitur vt riadciuis A—x'^^ — a" ct Jr _ — • 4« pTT fjn atquc difFcrcntiatio nobis pracbebit fcqucntia Thcorcniata / cof. p 1 X ? X I X I. ab .V = o ad .V — I ap dp II. Hn. /) / -v f").v flxy /- "ab .V — o ad X zzz i dTP dp^ 111. / cof. pl X dx (ixy ab jf zr o' ad A" ~ I Jp' IV. fin. /j/jr dxOxy x ab .V ad .V ttc. rcr (25) = Per integrationem aiitem impetramiis fequentia; / I. I — cof. p I X d X Fab a' n: o A * xl X Ud xzizi II. p I X — fin. p 1 X d X :/P a^ JT {J X/ ~;ib A- = o"] -^ -„ -, iir. / Ip p (I x^* — I -^- coC p I X ^ r Vah X ^zcl X J x/ |_:id jc — I J —fdpfdpf?dp. IV. IpUI xy—plx-\-{-m.plx dx X (/ X f^pfdpfdpfVdp. np' :zi: o , vnde fit /?dp=zl/ ^, " _^. Hic autcm pcrindc cft, vtrum fraiflio -^ maior fit miuorue vnitatc. DE == (27) == D E MVLTIPLICATIONE ANGVLORVM PER FACTORES EXPEDIENDA. Audlore L. EVLERO, Coment. exhib. die i^Jpril. 177^. I lcnotet CP angiilum quemcunque propofitum, fitque «0 eius rr:ultiplum, cuiiis ram finum quam cofinum per facftores cxprirrere oporteat. Ad hoc praeftandum in fubfidium voce- tur formuia imaginaria « = cof. Cp -h ■/ — i.fin. 0, eritquc ^ — it^^ — cof.

', etc. idem cofinus conucniat, etiam omncs ilti anguli: ^, 'i-l:±2-f, [IJLztLllf . etc. communi gaudebunt cofinu, fimilique modo ctiam omnes hi anguli: 1? , iliL±ilf iliL±ilLP, etc. , tum vcro ctiam illi: 1?, \UL±A\ i'n^' n^ n ~ i8>iH- ■)?^ etc. communi cofinu erunt praediti ; vnde ex quo- libet ordine vnicum tantum valorem , eumquc fimplicifiimum, fumi conucniet, donec eorum numerus fiut — «. §. 7. Ex his igitur colligimus, omnes valores idone- os pro angulo co affumcndos ordinc ita progredi : D 3 I- = C30) = I. 2. 3» 4« f.3p.SP. ??.-»- n. n n n qiioriim mimerus ciini citbcat cflc m r, vltinuis conim crk *1^—'-^. Si eiiim >ltcriiis progrcdi ^cllcnms , ad ciusmodi an|/ commuiicm habent cofinum; vnde fi fuerit v|/ — '±lJ_i-?, crit 4f — vt^ = ""-"% qui cft tcrn.i- nus vltimus. Sin.ili modo fequcntium fecundus '-il^i-ll? , cun- dcm habct cofinum quem aiigulus " " ~ V.' habct , qui iu Doflro ordine elt pcnultinuis. Eodcm n odo lcquentium tcr- tiiis U.". ■' ' ' cum nollro antepcnuliin.o '"" ^ ''^* comnuincm habcbit cofinum; quod idcm dc rciiquis rcqucntibus c(l icnen- diim , quipp: quorum omnium cofinus iaiii in iiortro ordinc occurrunti vndc patct onincs valorcs idoncos anguli oj, quo- nim numerus c(l ::::::: «, contincri in hac Ccric: f.3P. if. ,-f. [tn — \)f ^. S. Cum jgitiir, fi pro w accijiiitur \aior quicunquc huiiis progrcdionis , iita formula // — :icof. w-H«~' ccrtc (it fncltor foriiiac r/"-f-i<^", rcdituamus nunc valorem iiiitio as- lijmtum // — cof. (p'-f- ]/ — i . fin. Cj), ct quia i'inc //-i-tt~* z^2CofCP, huius formac /<"-^-tt'~" fiic^ior quicunque crit 2 (cof CP — cof. co), quarc fi loco oj fucccdiuc omnes cius va- lorcs fcribamus, omnes fat^orcs oblincbimus, (]uorum luimc- rus cum fit ::_»». forma nolha /<"-<-/<"" acquabitur luiic pro- du^fto cx ti factoribus coijftanti: = (31) == a« (cof. (J) — cof. -L) (cof. (p — cof. ^/) (eof. (|) — cof. '^^) x H (cof. (p - cof. ^) . . . . (cof. 0 — cof. 'iiLi-ili> 3r §. p. Ciim igitur fit cof. « (J) = K'^" + «~")^ fi hoc produdum fubftituamus, cofinus anguli «CP fcqucnti modo per producflum ex k facfloribus compofitum cxprimetur: '* '"''^^ cof. fi(p=: 2'»-' (cof. (J) — cof. l) (cof. (|) — cof. H) x K (cof.(p - cof. ^o V .^- • (cof (p-cof '^'y;^|j., vnde fequentes deducimus refohitiones fpeciales, dum loco // ordinc numeros i, 2, 3, 4, etc. affumimus; cof. I (p — cof (|)— cof. ^ — cof (p. COf. 2(J)= 2(cof.(J)— Cof.sf) (C0f.(J) — COf i^). cof.30= 4.(cof (p— cof^f) (cof.(J)— o) (cof Cj)— cofl^^). cof 4(J):= 8(cof (p — cof.^f) (cof (J)— cof.i^) (cof.(}) — cof.l^?) k X (cof CP — cof ^f). cof. 5(J)— i6(cof.(J)— cof.?^) (cof (J)— cof ?f) (cof.(J) — c)x X (cof.(p — cof.^f) (cof.(p — cof.lf) cof.6(J)— 3 2(cof.(J)— cofff) (cof (J) — cof if) (cof (J)— cof |^) X X (cof.(J)— cof.gf) (cof.(J) — cof if) (cof.(J)— cof.V?). etc. etc. §. 10. Qnodfi omnes iftos f-KRores attentius confide- remus, repericmus binos fidores ab extremis aeque dirtantes commode in vnum contrahi pofle. Cum enim duorum angu- lorum , quorum fumma eil 180°— 2^, cofinus fint aequales, fcd contrario figno affcdi, ob angulum t^^--'?— >. g — i. , eius cofinus erit zr — cof.-^, ideoque vltimu^ flidor z:= coi.(J) cof. (Cof. -; cof. ' , qiii diiclus iii priimim pracbet procluif^iim cof. 4^^ — S'mili modo pro pcniiltimo nicftorc , ob "^"~*1? zzz :^ ^ — '% hiiiiis angiili cofiniis crit — — cof. •", idcoqiic jp!"e fador peniiirimus r cof. (J) -t- cof. '-% qui ciiiiftus in fccun- dum dabit produiftum cof. Cj)" — (cof. ^^/. Kodcm modo fa- 6or tertius cum antepcnuJtimo coniuncftus dabit hoc produdum cof. Cp' — (cof. -%*. Hoc igitur modo numerus fadorum ad feminem reduccrur, fi niim rus ;/ fucrit par, fin autcm fuerit in par , fhfia hac contradionc folirarius reiinquetur tcrniinus mcdius, qui fcmpcr erit cof. (p, ub cof. ^ ~ o. ^. iT. Quodfi ergo boc modo rcfolntloncm in fiii^^o- res exhibcrc vcliiiius, ca pio cilibus fimplicioribub ita lc ha- bcbit : cof. 0'= cof. (^. cof. 2(1)— 2[cof ^' — ^cof J/^]. cof. 3 0= 4[cof.(I)^--(cof ^,V] cof. (J). cof. ^(p— 8[cof.(I)^--(cof.i,^/J [cof.(p*-rcof l,^)*]. cof. 5(1)— i6[c()f.(I)' — (cof.;^/J [cof.^^ — (cof.^^VJ cof.Cp. col". 6(p=r3 2[cof.(p^-(cof Jf/J [cof (I)*-(cof. Jf /J x x[cof.(|)'-(cof.Jf/J. cof. 7(I)=:64.[cof.(I)F-(cof.Jf)»] [co{'.' -^(coC.}??] x ' X [cof (J)' — (cof.^,^/J cof. (P. cof. S0= I ^S [cof.(p'-rcof.;^)'] [cof.i tum vero etiam conftat efle in genere cof. 2 (p — cof. 2 v[/ ziz 2 fin. (Cp -h \p) fin. (v|y — 0) , confequcnter cof. (p'' — cof. vP' m fin. (Cf) -f- v^) fin. (v|y — (p). §.13. Quodfi ergo ifta redudlione in fuperioribus for- mulis vtamur, finguli fadores ad iimplices finus reuocubuntur,- habcbimus enim: cof.(f)=r:cof.Cl). cof2(p— 2{[n.(l^-^(^)fm.Q^ — (p) cof.3Cpz= 4fin.(^^^Cj);fin.(|^5 — Cp)cof.(I). cof.4^z= 8fm.(^f-^Cj))fin.G^— Cp) fm. (^^-t-Cp)fm.(|^ — Cp). cof 5 CP = 1 6 fm. (I ^ -H Cp) fm. (^ ,^ — C|)) fm. (i ,^ -f- Cp) fin . (I f — Cp) X X cof. 4) cof.6C})z=32fm.Ge-^C|))fm.(:-^-C|))fm.(|^-^Cl))fni.(]^.-C|)) x X fin. (I ^ -1- 4)) fm. (i ^ — (?)). etc. ctc. vnde in genere concludimus forc cof « (}) :=! 2"-' fin. (A^ (p) fin. (t — (J)) fm. ('^ -f- (J)) >c X fin. ('-? — Cp) fin. (;^ -+- Cp) fm. ('J — Cp) etc. Vbi obferuetur, fi « fuerit numerus impar, tum vltim.o fa(f;ori accedcre cof.(|). Caeterum hos fidores eo vsque produci opor- tet, donec eorum numcrus fiat — «. Noua ACla Acad. Imp. Sc. 7. V» E §• 14» (34) = §. i4. Si quis inalucrit omnes iflos fiaorcs ctiam pcr cofiniis cxhibcrc , rulis rransfomiatio in promptu cll. Cum enini fit fin. \|/ zn: cof. (^ — \|/) , iiolhac rcrolutioocs fcqucnti niodo procciient : cof.4>=:cof.Cp. cof. 2Cp=i: 2cof.0^5 — (|))cof(;f-4-Cl)). cof 3Cp=r 4C0f r^p — Cp)cof(^f-4-Cp;cof Cj). cof4^= ScoCC,^^(p)cai:.C,?-^(p)coC{\^-(t>)i:oC.(\^^-^(p) cof 5 Cj) — 1 6 cof (t f — Cp) cof (t f H-Cj)) cof (| ^ — Cp) x X coC.il^-t-^P) cof cj). cof6Cl)zii32cofaf-Cp)cofaf^Cp)cofaf-Cp)cof(^^-^-Cj)))c X cof ([■ f — cp; cof. a- ? -t- cp). cof 7 CP izi 64 cof Q f — C|)) cof (^ f -t- Cj)) cof 0 f—^) cof ^? ^-h Cl))x X cof.(^^— Cpjcof (*f-t-Cl))cofcj). cof S C|)ri 28 cof (g f — Cj)) cof fi f -hCJ)) cof (|f— Cp^cof r| f-t-C|))y X cof (Jf — Cpjcof vif-HCl))cof (Jf— Cp) X xcof (if-H-Cp). §. 15. Quo igirur ordo in his Cxpreffonihus clnrius oh oculos pnnatur, duos calus dirtingui conuciiict, quos hic fcorfini rcfcrcmus, proiiti ninncrus ri fucrit vcl par vcl impar. Cafu qiio n — zi^ crit : cof 2 ;• Cp =: 2" - ■ cof (-^^ -h Cp) cof. (/^ — (p) cof (\*^ -f- CP) x X cof {\\ — (p) cof (;^ -+- Cp) cof q« — Cp) . . . X X cof (^;^ -H Cp) cof (}^-'-^ — cp). Cafii (35) = Cafii quo n—^i -\~ I , erit cof. (2/ ^ i) Cp 1= 2°-^ cof. Cj) COf. (-iA_ -f- 0) X X cof. (-i^ 0) cof. (-^ -^ Cp) cof {-^ Cl)) X X cof. (-^ -j- 0) cof. (-^ C|)) . . . . X X cof. (4i^ -f- Cp) cof (-ii^- — Cp). II. Reiblutio finus anguli multipli «cj) in fa£lores. %. i6. Manentibus denominationibus initio ftabilitis i:im noniuimus elfe fin. « Cb ~ — ^ — (u"' — W^^): vnde nobis incumbit in facftores huius formae ?<" — /^~" inquirere. Hic au- tem ftatim elucet, cundos eius fadores non habere poOe for- mam fupra auimtam u — 2 cof u -f- «~', quandoquidem ex n huiusmodi fadoribus maxima poteftas negatiua proditura elfet -{-u~''^ cum tamen hic fit — «""j ficile autem patet formae jioftrae propofitae u"^ — w~'' vnum fKftorem certe effe u — tt~^, quandoquidem uu — i (emper eft fador formae /r" — i. Hoc igirur primo fiidore conftituto, reliquorum, quorum er- go numcrus erit — 2 n — i, forma tuto afliimi potell fupra vfurpata u — 2 cof. oj -f- z<~ ' , vbi ergo anguiura cj ita compa- ratum eiTe oporret, vt fi poneretur u — 2 cof. w -f- //~' — o, id quod fit capicndo z^ =: cof co -f- / — i . fm. w, ipfa forma propofita u"^ — z^~"- ad nihilum redigeretur. §. 17. Supra autem iam obferuauimus, fi fuerit u~ cof w -h |/ — I fin. oj, tum prodire w'' — tt-'^ — 2 / — I fin. oj, E 2 quem qvicm crgo valorem nib.ilo ;icqiia!em effe oporter , vnde mn* nentc f characiere anguli rcc^li , qiiiu omninm hornm angulorum 2^, ^.^^, 6?, 8 ^, ct in gcncrc 2 /' f, fmus tiiancfcunt, idonci anguli pro oj accipiendi hanc progrcllioncm conflitucnt: '_?; li j t?; li; etc. quorum quidem numcrus cll infinitus; \erum ob rationes iam antc allcgatas hic tanium priores, numero n — i, accipi conuenict, ita vt vltimus \alorum idoncorum futurus fit ""-"^ . §. Tg. Hic quidcm vidctur, primo loco rtiitui dcbuinc anguhim ^; vcrum hinc nalccrctur facftor 11 — - -f- «""' . qui inuohiit quadratum , dum ell ^(m — i/, eius(|uc radix u — I, quac hib calibus tantum accipi dcbct , iam in nollro fadore primo u — w""' continetur. l'racterca vcro in illo fac- tore primo etiam continctur «4-1, {)ui autcm in valorc no- ftrum ordinem proximc fequcnte, qui cllct *"-'- — 2 ^~w, con- tineretur, fiquidcm hinc rcf\iltaret fa^ftor u-\- z-\-u-' — l(u-^ i)\ Cacterum vcro patcr , fl angulos illos pro w datos vltra tcr- minum praefcriptum continuare vcilcmns, corum coflnus inm in anrcccdcntibus contineri. Vchiii li fiimercmus o)— """^-''? forct 4. f — (ij ~ »'" — ''p^ c[m in alli^nutis valoribus iam con- tinctur. 5. T9. Fertituamns nunc loco ti valorcm nfTumtum Cor.(|) — \'' — ifln.CP, ac pro prinio f-iaorc Iiabcbimu- u — u''' — 2 ■/ — I fln. vnde fequentes cafus fpeciales deriuaffe iuuabit: fin.Cprrzfin.Cf). fm. aCf)— sfin.Cpcof Cp. fin. sCp— 4fin.Cp(cof Cp— cof.if)(cofCl) — cof ^^:-). fm. 4Cp — 8 fin. CP (cof Cp— cof |^^) (cof.Cj) — cof^ ^) (cofCj^-cof \ (). fin. 5 C|)=: 1 6 fm. Cj) (cof Cj) — cof ^^) (cof Cj) — coft f) (cofCp-cofl ^)x X (cof C|) — cof If). fm.6Cj)r=32fm.Cl)(cofCj) — cofif)(cof.Cl) — cof.ff)(cfCl) — cf|f)x X (cof Cp— cof |f)(cof Cj)— cof '^f). fin. 7 Cf> zr 64 fin. C[) (cof Cj)— cof? f ) (cof.(J)— cof^ f)(cof.Cj>— cof.ff )h X (cof^)— cof^5)(cof(J)— cof V°e) >« X (cof.Cj) — cof 7 5»). fin. 8 Ci)r 1 28 fm.Cl)(cof (J) — cof? f) (cofCj)— cof.Jf) (cof.Cj)— cof |,5)x X (cof 0 — cof ff) (cof Cj)— cof V°?) t X (cof (J)— cof 'g' 0 (cof Cj)— cof 'i e). r- etc. etc. E 3 §. 21. ==^ (38) == §. 21. Scpofito iam prinio Hidore (111.4-. ''^ rcliquis, quoriim lumiciiis ell n — i, idcm \lii venit , qiuKi ;iiuc , \t fcilicet illi fucftorcs ab cxtrcmis ncquidilbuucs in \num contra- lii queant. Cum cnim \ltimus fiictor fit cof. ^-" — ' ?, c)b augu- ]um l^TillI — 2 ? — - ^ ^ cius cofinus crit — — 001".'-% ira vt ilte facflor fit cof. Cj) -h cof. *% qui crgo pcr prinuuu nuiltipii- c:'.rus dat productum cof. 0' — rcol". "-^/ , Siniiii modo fa par, adiun- gcndum clfc factorcm cof. cp. §• 23. = (39) == §. 23. Quo indoles hiiius exprcfTionis clarius perfpi- cifltnr, fequentes cafus fpeciales euoluamus : fin. Cp =: fin. (p. fin. 2(|)r= 2fin.0cof.Cl). fin. 3 0z= 4fin.Cl)fin.Qf-+-C|))fin.(^f— Cj)). fin. ^Cj)— 8fin.Cl)fin.(^^5^Cj))fin.(^f— Cj)) cof.Cp. fin. 5 0= i(Jfin.Cl)fin.(?^^-+-Cj))fin.(ff— 0)fin.(|^-f-Cl)) X X fin.(if-Cj)). fin. 6 4) — 3 2 fin. Cj) fin. (| ^-^-Cj)) fin. (| ^-0) fin. Q ^ ^-Cj)) fin.(| ,^-Cj))x X cof. Cp. fin. 7 Cj) zir 64 fin. Cj) fin. (^ ^-t-Cj)) fin. Q ^— 0) fin. (^^ ^-+-Cl)) fin.(^ f— Cj))x X fin. Q ^-^(p) fin . (^ f— Cj)). fin. 8 C|) z= 1 2 8 fin. Cj) fin. (| ^-^Cj)) fin.(t f— (J)) fin.(? f-f-Cj)) fin.(| ^^— Cp) x X fin. (If-^-Cp) fin.(^^— Cp) cof.C|). etc. etc. §. 24. Vt nunc has formulas rurfus generales redda- mus , duos cafus conllitui conuenit , prouti numerus n fuerit vel par vel impar. I. Sit « rz: 2 / , erit fin. 2; CP =11 2^'-' fin. Cp cof. C^ fin. (| -f- Cj)) fin. (| — Cj)) x X fiu. (1? -^ Cp) fin. C-I - Cj)) fin. (if -+. (p) fin. (^^ - C|) x X. . . . fin. ("-"e-f-C|)) fin. "-"? — Cp). II. Sit (40) = II. Sit « zn 2 ; -h I , crit fjn. (2 ;■ -H i) (J) = 2--' fin. 0 fin. C-l-^ -h C|^) fin. (_ii- — (b) x X fin. C-i^ H- Cp) lin. (-^i^ (b) fin. (-^ n- (1)) x >, fin. (_i^ - Cp) . . fin. (-ni_ _H Cp) fin. (^iA _(p). §• *5' Qiioniam iiic omncs f:i(flores pracrer cof. C^ funt finus , eos, fi liibcr, iii cofinus conuerrcrc pofumus, ope fi)rmul:ie fin. ^4^ ~ coC. (^- — \4/), ac pro binis cafibus principa- libus recjuentes exprcliiones repericmus: Si n — ii^ crit fin. 2 /■ Cp — 2*' — ' fin. (J) cof. Cp coC. ( ' h- - Cj); tang. (f ^ - C^)). Ct generaliter, pro quocunque numero impari 2 « -1- i , erit tang.(2/-f-i)Cl)=: fang.Cl) tang.(^^\?_--4-Cj)) tang.C^/^:^— Cp) x . tang. (^^ -H Cp) tang. (-/-l-^ — Cp) x X tang. (-^4-^ -I- (p) tang. (^ .if-^ — Cf)) x X . . . . tang. (^^ H- C})) tang.C^^ — Cp). §. 32. Hic igitur egregia theoremata Trigonometrica deducimus. Scilicet ex.angulo 3 C|) habemus : tang. 3 C|) ir: tang. C/) tang. (5o° -h Cj)) tang. (60*' — Cj)), feu quia tang. 5o -j- oa zr cot. (30 — oj) , erit tang. 3 4^ — tang. Cj) cot. (30° — Cp) cot. (30* -H C|)), vnde colligitur tang. 3 Cj) tang. (30" — Cj)) tang. (30° -1- Cj)) z= tang. Cj). Veluti fi fuerit Cj)— 20°, habebimus fequentes relationes ; tang. Co°^z tang. 20"* x tang. 80° x tang. 40°^ ideoque tang. 60° X tang. 10° — tang. 20° x tang. 40°, hinc fequentem proportionem deducimus tang. 10° : tang. 20** — tang. 40° : tang. 60°, ideoque logarithmos fumendo erit /tang. io"'4-/tang. <5o° = / tang. 2o°-I-/tang. 40". F 3 Ex (40 Ex tabiilis niitcm efl / t:ing. ic' - 9,2463188 / tang. 60 rio, 2385606 praebet / tang. ac^^rp, 5610659 / tang.4.0 =9,9238135 / tg. 10' -t-/tg. 60''- 9,4.8487^'+ / tg. 20^-1-/ tg.40°r 9,48+8794. §. 33. Simili modo formiiLi pro tang. 5 Cj) inucnta tang. S (^ — tang. 0 tang. (36- ^ 0) tang. (36° — (J)) x X tang. (72° -+- Cp) tang. (72^ — (^), fiiic tang. 5 ^ tang. (i 8° -h (J)) tang. (i 8° — 0) = tang. (^ < X tang. (36- -^ 0) tang. (36° _ 0;, hincquc in logarithmis : / tang. 5 C> -^- / t-iiig. fi S" -^- 4^) -I- / t^ng. (i 8° — C|)) — 1 tang.Cp -j- / tang. (36^ h- (p; -H / tang. (36"— CP). Sit cxcmpli gratia CP — 10'', critquc / tang. 50 -I- / tang. 28° -h / tang. S' — / tang. iG°-h/ tang. 46^ -f- / tang. 26", vchiti in fcqucntc fchcmatismo vidcrc hcct : / tang. 50'rio, 0761 865 / tang. 28 r 9,7256744 / tang. 8 = 9,1478025 / tang. 10° = 9,2463188 /tang.46 1:10,0151628 / tang. 26 - 9,6881818 Summa = 8,9496634. §. 34. Quoniam igitur haiflcnus tam fmus ct coHnus qunm tangcntcs nngulorum muhiplorum ptr prodiKfia cxprcs» fimus, iftas formulas commodc jcr iogaritJHT-os cuolucrc licc- bit , qui deinccps pcr diffcrcntiationcm toili potcrunt , dum fcihcet nngulus Cj) tanqunm vnriabihs Ipcfiatur. / tg. 50V/ tg. 2sV/ tg. h- S, 94^663 + Euohi- (47) Euolutio formiilarum pro cof. «cp inuentarum, per logarithmos et differentiationem. §. 35. Cum rupra inuenerimus cof. 2 (p — 2 cof. Q f -4- Cp) cof. (s ^ — 0) , erit fumtis logarithmis / cof. 2 0 zr: / 2 + / cof G ^ -h 0) -I- / cof. ({ f — 0), quae aequatio quia vera eft pro angulo quocunque (P, fpede- tur Cf) vt quantitas variabilis, ac dilfereniiatio nobis praebebit hanc aequationem : aacpfin. 2(|)_ d(Pfin.a?-h(^) d 0 f\n. (l^ — (p) cof 2

=11,4300520 Sumnia r=: 1 1, 8963597 tang. 3 5^^=^: 0,7002075 3 tang. 75' = II, 1961524 ii,ii>6i522. Altiid excmphim. Sumamus (J) zr 29", eritquc 3 tang. 87° = tang. 29° -f- tang. 89° — tang. 31° , vcluti cx fubieiflo calculo vidcre licct tang. 8*7° =1 19, 08 II 37 3 tang. &7° 57j 24-3411 tang. 29= — o, 554309 tang. 89 = 57^ 289962 Summa r^ 57, 844271 tang. 31"=: 0,600860 dilfcrcnt. zz: 57, 243411. §. 37. Sumamus ctiam cxcmphim quo anguli occur- runt maiorcs rccfto, fitqiic Cj)=z5 8', cfltquc oportct : 3 tang. 174" = tang. 5 8° -h tang. 118'' — tang. 2',' quac acquatio rcducitur ad fcqucntcm: 3 tang. 6" =1 tang. 62" -f- tang. 2" — tang. 5 s', ct calculus ita fc habcbit : tang. (49) tiing. 6 —0,1051042 3 tang. 6° zz: o, 3153126 tang. « X ccf. a^ - (p) , I hinc pcr logarithmos crit / cof. 2 ;• Cp =: / 2"- '-' -+- / cof. (l -4- Cj)) -+- ; cof. (f- — Cj)) H- / cof. (If + Cp) ^- cof. / (^; — Cj)) .... ^ l cof. O-il^? + Cp) -^- /"iof. C-lirziLe _ cp) , ynde ergo per difFerentiationem nancifcimur 2 /■ tang. 2 / Cp — tang. (-^. -h C|); — tang. (-?, — Cp) -^tang. (^-^-HCl))-~tang. (Le-Cp) ctc. . . . -h tang. i}^-^ ^ Cp) — tang. C^i^ - Cj)). §. 39. Hinc ergo pro / fumcndis numeris minoribus habebimus : 4 tang. 4 (p = tang. (22I* -4- Cj)) tang. (22 1« _ cj)) -I- tang. (67 r -+- Cp) — tang. (67^ - Cp); 6 tang. 6C|) — tang. (i5°-hCI)) — t;ing. (15^ — C|)) -+- t^mg- (+5° -^^)~ t.ang. (45^- Cp) H-tang. (75°^-(p^_tang. (75^ — ^^); /Vo«a ^<;?a ^f^^ ^ cp) vndc diffcrcntiando nancifcimur (2 / -f- i) tang. (2 /■ -I- i) CP rz: tang. C|) -f- tang. (^-^ -+- Cj)) — t.'^"g- (iTil - ^) H- ^=^"g- (—17 -^ ^) — ^^^"S-Cnir-^) tang.C.;:^.-^Cp)-tang.(J^i^-C|)). §. 41. Cafum quo 2 ; -i- i — 3 iam cuoluimus , fit igltur 2 /■ -f- I ~ 5 , crirquc 5 lang. 5 C|) — tang. (p -f- tang. (36° -h C|)) — tang. (36° — Cj)) -}- tang. (72° -f- in tang. Cp -h tang. (ao° -+- 0) — tang. (20° — Cj)) H- tang. (4.0° -f- Cp) — tang. (40*" — Cj)) -f- tang. (60" -4- Cp) — tang. (60* — Cp) + tang. (80° -»- (p) — tang. (80° — C|)) . G a NOVA NOVA DEMONSTRATIO Q^^OD EVOLVTIO POTESTATVTVI BINOMII NEWTONIANA ETIAM IRO EXPONE\TIB\ ,S HIACTIS VALEAT. Au (iue morc folito n — I n — t n — S n — 4 E=:\. i §. 18. Prorfus fupcrfluum forct hos cafus vlrcrius prn- fcqui, cum iam lucc mcridiana chirius apparcat , pro fiiigulis lirtcris fcqucntibus cosdcm planc vah)rcs ncccffirio prodirc dc- bcre, quos cuolutio Ncwtoniana docuit; atque h:'cc dcmondrn- tio naturac rci tam apprimc accommodara vidctur, AtiHictiam in primis Analyfcos clcmentis locus dcnegari nequcar. Quin ctiam vniucrfum ratiocinium , quo hic vfi fumus, omncm vim rctinctj ctiamfi adco cxponcns ;; \t imaginarius Ipcclarctur. DE .= (59) === DE INNVMERIS CVRVIS ALGEBRAICIS, QVARVM LONGITVDINEM PER ARCVS PARABO- LICOS METIRI LICET. Audore t. EVLERO, Conuent. exhib. die 3 lunn 1-76. N< §. 1. on ita pridem aufns fum dno theoremata prorfus me- niorabilia in medium proferre, quorum altero ftatui : nuUam dari ciruam algebrakam^ aiius longitudo indefinita per quempiam logarithmum exprimi queat; altero vero afSrmaui: practer circU" lum nullas aLas dari curuas algebraicas , quarum longitudo cui- piam arcui circulari cjfet acqualis. Veritatem eqnidem iiorum theorematum graniiTim.is rationibus confirmare fum annifns ,* interim tamen fareri cogor, omnes has rationes a folida de- n.onftrjrione , cuiubmodi in Geometria defiderari lolct , adhuc plurimum abefle. %. 2. Facile an+^em intel'igir-nr totnm hoc negofinm felici'f mo fncrelni confcdum iri, (i leqnens prob^cn.a re!ohierc liccret: Propofiia formula differ^ntiali quacunque V d .^ -ibi V fa H 2 fMuiio == (5o) = fu/idio qiiaecunifuc dala algcbraka ipfius i', inuenirc pro binii coor» dina::.> x & y ei:omodi funcliones olgebraicas ipfius 'v , c7 inde tuadat }/ ( ^ A-* -\- df' ) — V c) c. Tiini cnim intcgralc fVdv vtii]iie cxprimcrcr Jongitndincm curuac cuiusdam algcbroicac. Hic ftiliccr rcs co rcdircr, vt ollendcrctur, quibusnam cafibus lioc Troblcivia vcl nullam planc (blutioncm admittcrct, qucmadmo- dum cucnirc Ibtuo cal\i Vdv — --; vcl vnicam tantum folu- V tioncm, vcluti cafu V d v* ~ i^H , fuic etiam VBvr— i^: vel dcnique , quibusnam cafibns hoc problcma innnmerabilcs fohuioncs rccipcre poflict , qucmadmodum ollcnrurus lum pro cafu V () V zz: d V 'Z (i -f-vc;), quandoquidcm ciiis inrct^ralc fdi-y^i-i-vv) cxprimit arcum Parabolicum , cuius quippe coordinatac funt v ct i v v, §. 3. Antc flutcm quam hoc proMcma particularc fu- fcipiam, dnpliccm mcthodum apcriam , qua problcnia t^cncrale trac^tari Cfiiiucniat. Ac primo qnidcm propofita acquationc }/(dx' -hi^f)~Vdv dJfpiciatur, num fortc eiusmodi funcftioncm ipfius c, quac fit U, cxplorarc liccar, vt hac duac formulac : d x — ^ '^ '"'*'' *-*-!.' ct r) y — LiJLllilrziL* , fiant intcerabilcs ; ouoniam cnim inde fit B .V* -f- df' =z V dv^ , quacflioni forct fatisfadum. Vcl etiam qnacrarur cinsmodi anqnhis (|), qui rationem aJgcbraicam tcncat ad variabilcm r, ita vt ambac iftac formulac V <)rfiu.(|) ct V^ccof.Cj) cuadant intcgrabilcs, qnoniam hinc ficrct x=fVdv fin. Cp ct j z^f V d v cof. (J). §. 4. Qiiando autcm hoc rcntamcn nullo modo fuccc- dir, difpiciatur , vtrum foriTiuIa propf^fita V f) v ad huiusmodi forir.am rcduci qucar: f) f )/ ^ P* ■»- Q* ); t'"" cn''^» flatim hnbc- rctur (uluiio x—fVdv ctjzfi^Ov, fi n.odo hac formulac cHcut == (61) = cflent iniegrabilcs. At vero inulto gencraliiis folutionem ten- tare licebit, (latuendo dX P C/a 4- U) — Q ■/(B--tf) i "J 1' ( A -(- B ) ' dy P V(B — rn-t- / (a -f- (3 / cO ct /c; 9 V ]/ (a H- (3 / v) , qtifls mox patebit itidcm effc intcgrabilcs. Si cnim ponatur / (a ^ p / v) == /, crit / v = '-—-? , confcquentcr c - '---;y-- , ergo dv rr iiLi!^-L^ . Prior forma abibit in hanc: t.1^1 (tt — a), cuius intcgralc cll ^'' — tllL , qnamobrcm habcmus : s /3a;/(a-.pA)=:il^j!^(3f^/v---^«)- Pro = ((55) = Pro altcra aiitem formiila habemns Ynde colligitnr f-v 3 .. /(a -. p / ^) = fi-: - :i||r + UiLjlI _ ..M.. Haec autem formnla iam nimis eft complicata, qnam vt ope- rae pretiiim foret loco t eius valorem reftituere,- mnlto minus deinceps quisquam laborem cffet fufcepturus , iftas formulas integrales ad valores coordinararnm ji;: et j transfcrendi. §. 12. Hic igftnr nobis fnfficiet oftendifle , etiam hoc cafn curuas proditnras efTe algebraicas , quod iam porro fponte elucebit pro feqnentibns cafibus \}ziiyvy U — i/o;; i i atqne in gencre Uni/^y, quo cafu, pofito }/ (a -f- |3 }/i;) r: /, i erit Y V z= '-^^=^, ideoque -y = (ti^)' , ita vt v fit fundio rationalis integra ipfius f, dnmniodo exponens / fuerit pofiti- vus et integer. Integratio igitnr iftarum formularnm femper erit in potcftate; qnocirca etiam omnes ifti caftis perpetuo va- lores algebraicos pro coordinatis x et y fuppeditabunt, Alia Solutlo per angulos inftituenda. §. 13. Vtemnr hic pofterioribus formulis §. 4. tradi- tis, vbi ob P r= I et Q — «u habebimus d X zizd 'V fin. (^ -\~ q; ? v cof. (J) et 5 j — D -y cof (p — 17 3 1; fin. Cj). Hic fcilicet requiritur, vt eiusmodi angnlns Cj) cxploretur , qno iftae formulae eundant integrabilcs. Hoc facillimc praeftnbi ur, llatuendo v — fin. 0, vt fit dv — dQ coil ^, quo finfto erit Noua Acla Acad. Imp. Sc. T. V, 1 d x = (66) == dx=d$ cof. C fin. 0 -h a {) fiu. ^ cof. e cof. Cj) ct Bv =: a a cof. & cof. Cp — ^ t^ fin. ^ cof. 0 fin. Cp . Eft vcro fin. t> cof. ? =: i fin. 2 $ , fin. p cof. q = i fin. (/>-+- y) -h a Hn. (p — 9) ,' fin. p Cn. y = l cof. (p — q) — i cof. (p -^ q) ^ cof. /> cof. q ~ i cof. (p -^ q) — i cof. (p -I- q). His igitur rcduc^tionibus in fubfidiuin vocatis rcpcricmus : ^ 1= i fin.((|)-H0; H- i fin.(4)— ^)-H J fin.(2e-+-Cl5; -H i fin.( 2^-4)) i-^ =1 i cof.((|>-^)-+-icof.(Cl)H-0)— icof.(2^-Cp>:jcof.(2^-+-Cl)). §. 14. lam vcro cuidcns c([ , finguhis has pnrtcs in- tegr.itioncm cffc admiffuras , fi modo anyuli Cj) ct 0 rationcm intcr fe tcneant rationalcm. Sit igitur CP r: X P, cxillcnte X nu- mcro quocuiujiic, (iuc intcgro, fiuc fracto, fiuc politiuo, fiue nc.;atiu(), c]uin ctiam gcncralius Hatui poterit Cj) ~ X ^ -H a , quo fado iiabcbimus J* — i fin. [(X-4- i)0-4.a]-+-ifin. [(X— i) ^ -4- a] -f- i fin. [ (X -4- 2) d -+- a] — i fin [^X — 2) $ -+- a), ^y zr i cof. [(X - i) e -H a] -4- i cof. [(X -4- i ) e h- a] — i cof. [(X — 2) a -H a] -+- i cof [rx -H 2) ^ -H a] , tum autcm intcgracio nobis pracbcbit illas cxprcirioncs : ^ co/. [ X-H)»4-a) co/. [ I X — I ) 9 4- g] eoj. [lX + t)»4-«l *" a(X-»-i) ■ ^ — I) 4(A-t-a) I . coj. [ ( X — » ) » + a] ^ 4lX^») ' ,, — I fin.[ i X — t)» + a] I /i?i. f (X -»- i)»-*-n1 fin. [iX — oK f- g] •^ »lX — i) . 1/11-11 41^ — •) . I Jin. [ ( X -»- 1 1 ♦ -h_a] ~ 4IX-4-11 ' quac formulac fcmpcr crgo crunt algcbraicae, nih fuciit vcl X~_f_i, ^ti Xzz:;_H2. §. 15. = 1^7) == §. 15. Confideremus cafiim quo \~l et azzo, ac reperietur X = cof. 1& — 1 cof I ^ — T5 cof I ^ et y = fm. -: ^ -4- i fm. l & -}- 1^5 fm. I ^. Porro cum fit fin. i a z= fin. i 0 cof ^ — cof | ^ fln. ^ , cof l 0 = cof i 0 cof Q + il n. i 0 fin. ^ , fm. I e z= fin. i e cof 0 -f- cof i ^ fin. ^ , ■ cof i 0 =: cof i e cof ^ — fm. I ^ fm. 0 , his valoribus fubftitutis habebimus X = t'o cof i 0 cof e -+- {i fin. i ^ fin. & — i cof l 0 et j' = {h fin. i 0 cof e — i'o cof i fin. ^ -|- | fm. i ^. Interim tamen et hic calculo fitis taediofo foret opus, fi hinc aequationem inter x ct jy elicere vellemus. ' ■'§. j6. Euidens eft hinc pariter innumerabiles inueniri Hneas curuas problemati fatisfacientes , quoniam litteras a et ,A in infinitum variare licet. Vtrum autem omnes iftae folutio- nes a praecedentibus fint diuerfae nec ne, quaeftio eft altioris indaginis : in priori enim methodo variae folutiones dedudac funt ex variis formulis radicalibus, Y v , V '^ 1 V "^ •> ^""^ ^^ poftcriori petitac funt ex multiplicatione feu diuifione angulo- rum. NuIIa autcm affnitas inter has diuerfas determinationes in- tercedere videtur ,- atque adeo vix \Ilum eft dubium , quin in linearum ordinibus inferioribus nullac plane dentur eiiismodi curuae, quarum arcus per aicus parabolicos exprimere liceat. I s, Adhuc Adliiic aliii Solutio ciusdcin Pioblcmaris. §. 17. Potumus hic ftatim c — fin.?, vt formula no- ftra adimplenda fic y{dx*-+- a/) rz a ^ cof. ^ / (i -+- fin. e*) r= D ^ cof. ^ / (cof. 0» -+- 2 fin. 0'). Fnciamus P — cof. ^ et Q— fin. Q }/ 2 — n fin. 0 > cxiftcntc 5 v ~ () t? cof 0 , ct nunc cx §. 4. habcbimus _iiL_ — col. a fin. 0 4-« fin. 0 cof. (t) ct _i2_ =: cof C cof. (|) — 7; fin. 0 fin. Cp , qunc ncquationcs in coC. d dudac, ob cof 0* — j 4- J cof. ad ct fin. 0 cof 0 — 2 fin. 2 ^ , abcunt in irtas : 1"' * = fin. 0 -}- cof. 2 0 fin. 0 -1- « fin. 2 ^ cof 0 ct w 9 'JJL = cof 0 -i- cof 2 e cof (p — /; fin. 2 0 Cn. 0 , hac nutcm porro ob '"[ cof. 2 t) fin. 0 = J fin, (0 -+- 2 0 -^ i fi"- (4^ — * 0 ct ,. fin. 2 0 cof. 0 =1 i fin. ((p-^zC)—', fin. (0-20), cof. 2 0 cof. 0 rz ; cof. (0 -K 2 0) -}- ; cof. (0 - i 0; ct fin. 2 0 fin. 0 z= J cof (0 ~ 2 0) — { cof. (0 -+- 2 ^) , transformabuntur in fcqucntcs : t^'- — 2fin.0-f-(/;-(-i)fin.(0-+-2O) — (;;-i)fin. (0—2(1) ct 5/y?~2COf0-^(«-f-l)cof(0-f-2O)-(«-l)Cof.(0-2O- §. 18. (^9) §. 18. Niinc an bae iftae fornnulae fponte redificabiles reddentur, fi modo ftatuatur C|) — a -h X 0, tum enim pro co- ordinatis curuae quaelitae habebimus 4 :f m — i- cof. (a -f- X ^) -+- J^ cof. (a h- (X h- s) $) -I- 1=1 cof. (a -H (X — 2) ^). 4;^ z= |- fm. (a -i-\$)-h 1^^ fin. (a -f- (X h- 2) 0) — 1^ fin. (a ^ (X- 2) 0). Hae igitur ambae formulae erunt algebraicae, dummodo ne fit vel X — :i , \eLX— — 2, reliquis cafibus omnibus , quibus X eft numcrus rationalis, fiue integer, fiue fradus, curua pro- dibit algebraica. §. 19. Hic ergo fine dubio cafus elicietur fimplieiS'? (imus , fi capiatur X— i eta~o, tum enim habebimus 4 ^' = — .(« -+- i) cof $ — '"^'' cof. 3 Q et 4j = - (« - 3) fin. 0 -{- fin. 3 ^ , vbi litteram n fcripfimus loco -j/ 2. §. 20. Ad has formulas tracftandas ponamus tang.^-/, fietque tum fin. 6 r= ;7-^-- ct cof ^ := v-^W, 9 vcro erit tang. 3 ^ zr: ^^~'^ , vnde fit y /s 3? — ?' /.A 1 — 3?f fm. 3 p =: -^^ et cof 3 ^ zz 3 " 3 5 /■_ 1 .. *\a 9 (i H-n)^ (i -h f ;)■ quibus valoribus fubftitutis reperiemus I 3 —.4^ — 4 X -4- r;;-4-i) idcoquc A- ^^ — r;/ : el (70) = (w-f-i) (i— 3/ 0 4r«-4-i) j 3 3 (i -+- M/ 3^1-+-/ // 3 ( i -h 1 1/ j = ; (3 — (« -+- 2) ' 0- (l-^tt/ Diiiidatur poftcrior acquatio per priorem ct prodibit '"^''■> = («-f-2)/'— 3^, X Hinc niitcm fatis liquct, fi vcllcmus quantitatcm t cli- minare , acquationcm intcr .v et j ad plurinias din cnfiones efle adfccnfuram. Sufficiat igitur tres fornnilas gcncralcs exhi- buiffe , quarum fiugulac innumerabilcs curuas aigcbraicas fup- pcditarc pofTunt , ita vt in omnibus longitudo arcus curuac // (c) .V* -+- dj') , acquctur arcui parabolico : /d v ]/ (i -+- v 1'). DE (70 = DE INNVMERIS CVRVIS ALGEBRAICIS, QVARVM LONGITVDINEM PER ARCVS ELLIP- TICOS METIRI LICET. Auiflore L. EVLERO, Coniient. exhib. die lo ///;/// 11^6. P §. ro Ellipfi, ciiius finguli arcus nobis menfurflm curuarum quae- fitarum fuppeditare dcbent , fit abfcifla = -v , applicata vcro •:znV(i—vv}.yndQ elementum arcus colligitur -^>^['-+-i""-H'"'"] . quamobrem fequens nobis propofitum lit problcma. Problema. Pro coordinatis x et y eiusmodi fundiones algebraicas ip- ftus V iniiejiigare^ vt jiat ■/ O ^» _|_ a j* ) — 3-»-/[r-4-(7tn-i1-i;a>] ^ Solutio. §. 2. Vt formulae "/ (^ Jf* -h 3.r) formam praefcrip- tam concilicmus, quoniam dcnominator >/ ( i — v v) duos ha- bet faclorcs ]/(i-hi;) ct /(i—i;), ftatuamus ^x — L^tiii-ij = (70 = dv — ^PszJl^^. hinc nutem fiet ynde patct pro p et ^ ciiismodi (]U;uuit;ites quacii dcbcre , Tt prodeat p p -\- q q — 2 /x/ v =: i -i- (;;;;— i ) r v. §. 3. Ante omnia autcm Iiic euidcns cft , fi modo pro litteris p ct q funcfiiones rationalcs intcgiac ipfius 1' afl g- raii qucant , an.bas fornuilas pro ^ .v ct d y afliimtas fuT.per intcgrationcm eflc admifluras, propterea quod ambac iftae for- 1' f) V 'V' f) V ^ ^ . ... - inulae et icmpcr lunt intcgrabilcs , h y [i -i-v) y {I — 1-) iriodo exponens / fucrit intcgcr pofitiuus. Ad hoc igitur nc- gotium abfolucndum fcqucntc!) cafus cuoluamus. I. Cafiis . . quo p — j ct q =^ a- V. ^. 4. Ilic igitur crit pp-{-qq— i-\-aavv et i. p q v zrz 2 ai' i', qnamobicm cfTici oportct I -I- a a 1.' ^" — 2 a 1' 1' = I H- ( « « — i) V V vndc patct fumi dcbcic a = i -+- ;;, ita vt noflra clcmenta hoc cafu fiant dx = Lljj^(n-f-T)-u]3_r ^^ ^ y vbi intcgralibus fumtis rcpcritur jf 1= j [ I — :i V -\- ( n -i- I ) 1] y/ z ( i -h v) ct y — l[2fj—i-]-{ri-\-i)v]\/2(i—v). §. <7. Vt hinc quantitatcm v climincmus , addamus ambo quadrata, ct obiincbimus fi — (n-4-i)'u1 3 V y 2 { i — V t y '• ^ " '■ — ( a ;; — I )' — 3 (w « — I ) V V , cx (73) cic qtia aeqiiatione v facile per x etj detcrminatur; inde enim £t «; «; = '-iiLn^i! — ^'"^"^^^' . Quo iam hunc valorem lo- 3(nn — I) 4l'i'i — 1) ^ co "J V facilius fubftituere queamus , fumamus produdum no- ftrarum formularum Lp = [ (« -4- I y -y V — ( 2 « — I )*] / ( I — vv) quac aequatio fi quadrctur , vbique tantum pares dimenfiones ipfius V occur/ent , ac loco v v valore fubftituto aequatio in- ter jf ct ^' ad fextum ordincm afcendet. II. Cafus §. 6. Hic ergo erit zpqvz=.i-i-2avv-\-2apv'*y Tnde conditio adimplenda erit i-l-(aa-}-2|3 — z a) V V -|-(PP — zap^-y» =!-{-(«« — i) V V. Hic igitur antc omnia efle oportet j3j3 — aapmo, ideoquc P m 2 a, atquc nunc fupereft vt fiat a a -+- 2 p — 2 a zn a a -H 2 a^zr.nn — i , ficquc capi debet azn:» — ict(3n:2(« — i). ^. 7. Pro curua igitur definienda habebimus /)r=i-j-2(« — i)vvttqzz{n — i)'^) ficquc nanc crit dxZZZ »-f-i"-iW-+-»-(n-,)^^ a V Ct Va [ i ■+--V) A/(?;/fl Acla Acad. Imp. Sc. 7. V» K qua- (7+) qnanim frte?rario nulla ainplius Liborat diiTiCultatc, .Y;i(it}',,hoc. kbore nicrito liipcricdcniiis. — ••' •- -^r* III. Cafiis '■"' §. 8. Hic itjitur crit />/>-Ky9=:i-f-(aa-i-2f3)c't'-+-(f5(3-HCiay)'y*-4-WV* ei: pq = av -f- (a p--^ y) ■ '. (^p-f-^ay — 2a/3 — 2y— o, fiue (3(3-|-2a(3 — 4 p =:X)i,i3coqnc (3 r!r 4 — ^2a'ct y ^ 8 — '4 o, ^^'^'Vcro cocfficTcns ipfius 'i' i? crit a a -}- 2 (3 — 2 a =: a a -t- 8 — ^ a qncm acquari oporfet ipfi ;;;;— i, vndc colligitur a — 3 =z w, liuc a m: ;; H- 3 , tum "vcro . p^,,-^,2j(;;-:V-i) ct y — — ^(«-f-O- §. 9. His igitur valoribns inucntis noflrae formulac intcgrandac erunt » » 1 I • n i • •i:up qua- (75) quamm integr^tloni iterumi non immorabimur. Vnicum tantum adiiuc talem caflim attingamus. JiJ OijOt| i(:-- 0 : IV. Cafus -^l GUO p =: I -h |3 i; --J -1- 5 "y* et 9 n: a i; H-yy^ §. td/ Hic igitur ent ' ' ~ '^ ^ /) --f- ^ ^ — iH- ( a a H- 2 (3 ) T 17-4- ( p (3 H- 2 J -H 2 a y ) «y * ' H-(2^5H-yy)^*-4-5J^'* et - ffi3l>-^i .Oi>"-' p^ — a'y-+-.(a(3-+-y)'y^-i-(a5-Hpy)'u'-f-y5'y'', cx quibus conficitur formula .naiowKi «laoiu • -nuo p p -\- q q — i/J^-yrzii-h^aa-l-^l^ — n. a") v v ■ -h ( (3 p -}- 2"c«.^'-H- 25 — 2a(3 — 2y)a)* H- (y y -h 2 (3-5'— •2'"pt 5 — 2 (3 y) i;' -h (5 5— 2 y'.,5)'i;*, . quae formula cum aequari debeathuic:. i -+-(««— i) «? ^», pri- mo toUatiir potellas odaua, vnde fit 5 5 -^ ?; y *5 zz: o, ideoque 5 — 2 y. lam poteftas fexta afFicitur hac forma: ;-• yy-|--p5 — 2'a5 — 2 (3-y-iiz: yy-f- 2 (3 y — 4, a y,"" quae nihilo aequata praebet y =: 4. a — 2 (3, hincqne 5=:8a — 4(3. Porro autem potcftatis quartae coefficiens eft P(3-|-2ay-!-2 5 — 2ap — 2y=3 ' • ' ''^^^ " P(3 — <5a(3---4(3-l- 8aa-h8a = o quae aequatio diuifix pcr (3 — ^2a pracbet (3 — ^a — 4, ita Yt pro (3 geminos nanci-caniur vaiores^ altcrum (3 rz: 2 a, aJtciuip vcro (3.— 4- a -1-4, quorum vtrumque feorfim eupluamu>. ^-^^! §. iT. Sit igitur (3 = 2 a, eritque y — o.,et 5 — o, quo crgo cafu res ad cafum fccundum rerohiitur. Sit igirur (3 n 4 a -t- 4, et nunc fict y rr — 4 (a -h 2) ct 5 = — 8 (a -+- 2) . K 2 Ve- C7<^) = Vcrum hinc fict potcftatis v v col'fficiens aa-f-2|3 — aa, ipfi «« — I aequandus, vndc fit a -h 3 — ;;, fiue a — « — 3, hincquc porro fict P = + («— 2); y rz: — 4(;;~i) ct 5 := — 8 (« — i); ex quibus ergo conficitur p — i-+-4.(» — 2)^^ — s (n — i)v* et 9 — (« — 3 ) 'y — 4 (« — i)v^, vnde tandcm coliigitur -^ V » ( « -+- tj I *^ ^ v'2 : 1 — V ) qucm intcgrationis iaborcm fufcipcrc forct fiipcrfluum. Digreffio pro cafu « — :+: ^» §. 12. Fx cuolutionc caruum fupcriorum manifcflum eO, curuas continuo ad alriorcs gradus afccndcrci hinc aurcm pcrpctuo cxcipi oportet cafiim , quo forct «zzr^+^i, quando- quidcm arcus ciiipticus /^^ >"';->- 1 ""-« i^-" abiret in /'-;-^:i^ — , hoc cft in arcum circnlarcm. Cum igirur practer circulum nuiiae aliac dcntur tales curuac, ncccflc cft, vt curuac, ad quos cafus pracccdcntcs nos dcducunt, quando fucrit n z:z. j^ i^ cir- culum cxhibcant. §. 13. Pro cafu aurcm primo, vbi infcgrah'a iam cuol- Timns , quando fit « ~ f i idcoquc n n — i zn o, acquatio pcnulfii7ia abit in hanc: \ ( x x ~{-yy) =: (2 n — i /, hoc cft act|iiabitur vcl rr 1 vcl "9, i a vt vtroquc cafu cnrua mani- fcllo fit circuhis , cum tamcn pro aliis omnibus vah)ribus ip- fius n acquatio ad fcxtum ordincm anurgcrc fit oblcruata. §. 14. (77) §. 14. Pro cafii fecundo f-iciamiis primo « — -f- i , eritqiie d x z=z ~ — £.3-_— et dr =z -. — — — ■ , vnde intec-rando fit jf — 1/2(1-1-1;) et.yzn — ■/-(' — '■^)^ ex quibus mani- fefto colligitur x k -^yy — 4, quae vtique efl: aequatio ad cir- culum. Sin autem fumamus « — — i, reperitur ajf — '---^-'-^l^a-i; et aj^^i- >' 2 ( I V hinc autem circulum enafci fequenti modo facillime oflendetur. §. 15. Hunc in finem flatuatur v =: cof. 2 (J), critque Tifo — — 23cf)fin. 20 et /2(i-j-i;)=r:2 cof. 0, fimilique modo /2(1 — i;) — 2 fin. Cp. Ergo pro priore formula erit , ^*" — — 2 5 (t) fin. Cl), alter vero flidlor fiet — I — 2 cof.- 2 Cp — 4 cof. 2 0* — I 2 COf 2 0 2 COf 4 0 quamobrem habebimus Bjf— 2B0fin. 0(i-+-2 cof. 2 0-1-2 cof. 4 0). Confbit autem effe a fin. 0 cof. 2 0 — fln. 3 0 — fin. 0 et 2 fin. 0 cof 4 0 =: fin. 5 0 — fin. 3 0, quibus fubftitutis obtinebitur 9 .v 1= 2 5 0 fin. 5 0 , culus inte- grule efl jr ~ — ' cof. 5 0. Simili modo pro altera formula prodit ^-^- — — 2^0 cof. 0, alter vero fador erit 1 -+- 2 cof 2 0—4 cof. 2 0* — — I -(- 2 cof. 2 0—2 cof 40 ficque fiet 5j z=r 2 3 0 cof 0 ( I — 2 cof. 2 0-1-2 cof. 4 0). Conftat autcm effe 2 cof. 0 cof. 2 0 = cof. 3 0 -h cof. 0 et a cof Cp cof. 4 cj) = cof. 5 0-1- cof. 3 0» „' jo K 3 qno- ^^ (78) = quocirc.i proiicnict dy— id(^ cof. 5 Cp, idcoqiic .r ~ \ fin. 5 Cj), conlcqucntcr hic cafus nobis luppcditat x x -h j j — t\ -, qnac itcrum manifcllo crt acquutio ad circulum. §. 16. Tracftcmus fimili modo cafum tcrtium, ponendo primo « =-f- I, et habebimus •^ y • l I V ) Statuamus itcrum i.' = cof. 2. Cj) flctque D.v = — ^DCpfin Ct)(i-+-4Cof. 2(1) — .^cof 2(1)"'— scof. aCj)') et Dj- =— 2 D 0 cof. (J) ( 1 — 4 cof. 2 Cj)— 4 cof. 2 Cj)* H- s cof. 2 Cp' ) , Tbi notetur cfle 4 cof. 2 Cf)- =z 2 -f- 2 cof 4 Cf) ct 8 cof 2 (J)* := 6 cof. 2 (p -f- 2 cof. 6 (f) , Yndc habcbimus dxz:.2d^rin.(p{ i h- 2 cof. 2(I)-f- 2 cof.^CJ)-*- 2 cof.6Cj)) ct DJr 2 3(I)C0f.(|)( 1 — 2C0f. 2Cj)-f-2C0f.4C|)— 2cof.6Cl)). Quodfi iam has rcdudiones vltcrius profcquamur, nancifccmur tandcm r) .V =: 2 ^ Cj) fin. 7 (|), idcoquc .v = — ' cof. 7 Cj), codcmquc modo f) )• rz 2 D Cj) cof. 7 (J), crgo }' ~ 'j fin. 7 (J), vndc itcrum colHsitur .v .v -i-j'/ — 4^;, idcotjuc pro circulo. §. 17. Si pro codcm cafu tcrtio ponatur ;; r — i,fict dx=z '-^'^' dv ct D j = ■'-*?.■■. a -:•. Statuamus igitur v n: fof. 2 (J), critqnc / 2 /i -I-c) rzr 2 cof (J) Ct "/2(1 — v)~ 2 fin. Cj) ct c) 1' ~ — 2 d (P fin. 2 (J) ; qnam- obtcm (79) obrem habebitur ajr- " -":^';"'V ^ ' acpfm. 2(p-— 2 SCpcof. Cp (i — 2 cof. 20), quae formulae porro reducuntur ad has : --jtj'- "5 aA: = — 2 3 Cj) fiii. 3 (J) et 5j' = — 2 d ^ coC. .:i_(p ., . huicque integrando fiet jf =: § cof. 3 0 et j =:: — l fin. 3 0, vndecoUigitur x x ~{-jj zz:^^, quae cft acqnatio pro circulp, cuius radius =5. '• §. ig. Qubdfi quis fimili modo cafum quartum euol- Ycre voluerit , ponendo fiue « = H- i fiue « nz — i, itidem reperiet curuas fatisfiicientes pariter ad circulum redtici. Hinc jgitur anlam arripimus problema noftrum alio modo refoluen- di , dum fcilicet in formulam , qua arcus curiiae exprimi de- bet, ftatim finum cofinumiue cuiuspiam anguli introduccmus. Alia problematis folutio ex calculo angulorum petita. • §.19. Cum elementum arcus curuarum quaefitarum debeat efle . . ^ y' ( I — 'v r )' ' ' ' ponamus ftatim i7=:fin.(J), vt fiat ^_i^l— zr: 9 Cp, eritque '^ 5 j zr 9 Cj) / ( cof. 4)' -4- ;; ;; fin. Cp' ) , vnde ftatim manifeftum eft capi polte , dx ~d(p cof. (P ct dj — fid(p fin. Cp , vnde fit jrinfin.Cp et j in — ;/ cof. Cj) , ideoque n x±fi'fin.(p^ vndc colligitur tni x x -+- yj — n n, quae eft ipfa aequatio pro Ellipfi, == (80) = Ellipfi, cuius arcus mcnfuram reliquarum cuniarum conftituere dcbcnr. §. 20. Ex liac autcm folutionc infiniras ulias curuas quacfito paritcr ratisf-icicntcs dcriuare poflumus , poncndo d X :=zd (b cof. Cp cof. w — » 9 0 fin. Cp fin. cj et d y — d(P cof. (J) fin. 0) -i- ;; D (p iln, (p cof. u , fic cnim euadct a .V -h- dj- rr: d -+- 1) 0 — (« — i) fin. (X — i) (p ^ atquc binc intcgrando impctrabimus : a .r = ^; fin. (X-i- I) C[) — ij^;fin. (X— I) (J) , 2 j' =1 ^:±i cof. (X -f- I) CJ) — l^ cof. (X - I) (J) , qtiae crgo ambac formulac fcmpcr funt algcbraicac, folo cafu exccpto vbi X:=z^i. Cactcrum quando ;; ~ h;: i , curuae rcfultantcs manifcflo abcunt in circuhim , quicunquc valor ipfi X tribuatur. §. 2T. Haec folutio non folum cfl admodum fuccin- ^a, fcd ctiain multo latius patct qnain pracccdcns , qnando- quidcm pracccdcntcs cafus cx hac folutione deducuntur , fu- nicndo X = h ; ; vcl X rrr -+- J ; vcl Xrr-^i; vel X =: -4: { . Quatcnub igitur hic pro X nuir-eros integros accipcrc licct , vti = C8t)==- vel etiam qunscunque alias fradioncs, eatenus haec folutlo lon- ge alias fuppeditat Jineas curuas , quae cx priori folutione nullo modo deduci poffunt. Euoluamus igitur aliquot exempla. Exemplum i. §. 2.2. Quia pro X vnitatem aifumere noa licet, pona- mus flatim X — 2 , atque habebimus x=z-^ :!-tJ fin. 3 C|5 — '"-'> fin. (^ et j- — — «iLrti! cof. 3 (p -h 'iLpli cof. 0 , hinc iam colligimus xx-{-yy~ '"-^'1! -h '-!!^^=^ — '""-'' cof. 2 d) , ex qua aequatione angulus Cj) haud difficulter per a: et ^ de- terminatur, qui deinceps in alterutra fubftitutus praebebit ae- quationem inter x et j'. Exempum 2. Sumamus etiam X ~ | , erit 'i-'^' fin. lcp -f- (« — i) fin. i (I> ct j = — 'illtl' cof. ^ 0 -h (« — 1) cof i Cp. Facile autcm patet hoc exemplum cum cafu fupra §. 4. trac- tato congruere. Scholion. §. 123. Haec igitur folutio praecedentem maxime fu« pcrcminet, cum non folum infinities pliircs curuas in fe com- '' plcdatur, fed etiam Yalo^^es pro coordinatis x ct j inucnti tam fimplicitcr exprimantur, vt duobus tantum tcrminis con- Jlcnt, cum fit Noua ACia Acad. Imp. Sc. T.V, L 2. x £ .V = 1^1 fin. (X H- I ) 0 — (151' fin. (X — i) (:p ct — 2j — i^icof. (X-+- 0 0 _';;-;' cof. cx-ocp. Ex qu:i forma coordinatarum colligitur iltas curuas omnes a(H- ncs cdc Epic\cloidibu«, et gcnerari pofTc cx prouolutionc cir- culi fupcr circulo, dum fcilicct Itvlus dcfcribcns non in ipCa periphcria circuli mobilis affumitur. Intcrim tamcn nc liacc quidtm folutio pro gcnerali habcri potcfl : namquc innun-.cra- bilcs ahas curuas fatisfacientes alfignarc licet , quac nc in hac foJuiione contincntur, quam inucntionem hic iubiungamus. Adhuc alia fcjlutio problcmatis propofiti. §. 24. Mancat vt antc e =: fln. C|), ct cum hinc fiat d s = ^(p]/ (cof Cp- H- « « fin. (P^) , fcribamus 1 — fin. C^Moco cof ($>*, critqnc a j n: d (p / (i -h (« « - O fin. cj)'> Faciamus autcm brcuitatis gratia ;; « — \ — tn m ^ atque hulc conditioni llatim fati>,ficrct, fumendo ^Arr c)0 ct c)y = ;;/^cpfin.(p,- hinc aurcm ob jf ~ (J) prodiret curua rranfccndens, quod ta- men non impedit, quo minus infinitae curuac algcbraicac hinc dcduci qucant. Statuanuis enim a X = D 4^ cof X (p — w a Cj) fin. (p fin. X CP ct Dj' — D Cp fin. A (p I- ;;/ d (p fin. (p cof. X (p , atquc hinc prodit c) a:' -f- dy — d(^*{i-\-mm fin. (J)*). Nunc igitur mcmbra pof^criora morc folito cuoluantur ct ob- tinebitur 2 D .V == (83) = ^ rzi 2 cof. X (p — m cof. (X— i) 0 -i- w cof. (X-f-i) (J) et ?^> = 2 fin. X (p H- w fin. (X -H i) (p) — w fm. (X— i) Cp , .t- , r vO. vnde fumtis integralibus ciit 2A-=z ^fin.XCp — 5^^fin.(X— i)Cl)-t-^fin.(X-i-i)0 et - 2^' - ^ cof.X Cp-^-^ cof.(X-i)Cp -^ J^cof.(X-+-i) Cj) , quae ergo formulae etiam funt algebraicae , folo cafu X m H^ 1 excepto. Perfpicuum autem eft, hos valores penitus effe diuerfos a praecedentibus , propterea quod terna membra in- voiuunt. §. 25. Praeterea vero hic manifefto afrumfimus efle ««> i , ita vt haec Iblutio extendi nequeat ad cafus quibus « « -< i , cum prior folutio pro omnibus valoribus numeri n valeat ; interim tamcn etiam haec folutio adaptari poteft ad cafus quibus ;/ ;/ <^ i , ita vt fit 3 j zn 3 Cp / (i — (i _ « ;/) fin. (J)) , quae exprefllo, pofito fin. (p* z=z i — cof. Cj)*, abit iu hanc: d s —d(^y (fin-^{i —n ;;) cof Cj)-) , et pofito breuitatis gratia i — n n ^iz k. k , fiet d s z=z d (p ]/ (n n -{- k k cof. (p'') , vbi notctur eire n n -\- k k ::zz 1. §. 25. Huic ergo formulae ftatim fatisfiet ponendo d X — n d(p et d y =: kd(p cof. Cp , vnde autem curua refultaret tranfcendens, quare vt curuas al- gebraicas eruamus, ftatuamus vt ante L 2 dx = (8+) = d X zrz n d (^ fin. >. (P -]- k d

cl viiicam falttm curuam algcbraicam erucre potuifll-, cuius fiuguii arcus pcr formulam : / = (85) exprimerentur. Si enim v dcnotet abfcifllim Hyperbolae ae dcfiniri qucant, lam dudum cquidcm pliircs lui- iusmodi rclationcs dcmonllraui ; cum autcm hoc argun.cntum tum tcinporis ncutiquam cxhaufincm , nunc accuratius in illas rclationcs inquircre connitui , cr ciusmodi mcthodum adhibc- bo , quac omncs planc huius gcncris rchitioncs fit cxiiibiuira ; his ==(87) = his cnim inuentis innumerabilia Theorcmata condi poterunt , quibus vniuerfa Analyfis non mcdiocriter locupletari erit cen- fcnda. §. 2. Quoniam igitur hoc modo pro quolibet nume- ro « ambae litterae p et q infinitos valorcs recipere pofTunt , ante omnia hic obferuari conuenit , omnes hos innumcrabiles cafus femper ad numerum finitum reuocari pofie. Quantumuis enim magni numeri pro litteris p tt q accipiantur , eos cafus femper ad alios reducere licet, in quibus numeri p et q quan- titate « futuri fint diminuti. Hoc igitur modo omnes huius- modi cafus tandem eo redigi poterunt , vt ambo numeri p et g infra exponentem « deprimantur ; vnde pro quolibet nume- ro n eos tantum cafus confideraffe fufficiet , quibus litterae p et q minores valores recipiant quam «, vel faltem hunc li- mitem non fuperent. Hoc igitur modo pro quouis numero n multitudo cafuum , qui in computum veniunc , et quos iuter fe comparari oportet , prorfus erit determinata. '.rrr.fot tif.rr t §. 3. Quemadmodum aufem ifia redudio litterarum p et q ad numeros continuo minores inflitui debeat, quamquam id latis in vulgus eft notum , tairien ad formulam praefenteiii accommoda.Te iuuabit. Statuatur fciiicet haec formula alge- 1 braica: jc^ ( i — .v")'-- == V , eritque / V =/)/A--f-?-/(i — jf"), hinc differentiando 5 V p () X q x''"' d X p d X — Cp -^ q) x"" d X y jT" I — a:'' ~~ .v(i —x'^) ' vbi fi per V multiplicemus ac per partes integrcm-us, orie- tur ifla aequatio : "^ V — C88) == V = pfx^'' a .V (i — A-*;V^ — (p-^9) fx^ ^'^~' a .V (i -^ x''y^ » Quoniirn igirur quantitas V pro vtroquc intcgfationis tcrmino cuauclcit , hinc adipifcimur illan'» rcduaioncm : /A-f "^'^-' a A- (i - a:")^* ~ -^- fx^"dK{i-x*)^^ ciiius ergo rcducliotiis opc cxponcns ipfiui x continuo quaii- citate n ilimiuui potcrit, doncc tandcm infra n dcprimatur. - -n • , r I 5V />?5a- — (6-4-^) AT^S.V §. 4.. Deinde formula pro ^^ :^ '. 1 — 1- V ^" t.1 — x') inuenta hoc modo rcferri potcrit : ^ V _ (p -h r/) 3 r (r — A-") —qd x TJ'," -»— ' '■.11,111 >'• " ' I ■ ■ i a V jf(,_.v'') quae forma pcr V mulriphcata ac dcnuo pcr partcs intcgrata dabit V = (p-^q)fx^^' ^x(i -A-v — qfx^-' d x (I .^A-")^^' , Ynde quia pofito a- — i fit V =: o, oritur hncc rcdu:''/-'» et litteris p et q omnes valores ipfo « minores tribuiflc , quo padlo multitudo omnium cafuum ad quemlibct cxponentcm n pertinentium ad numerum fitis modicum reducetur, qui tamca eo maior euadit , quo maior fuerit exponcns n. §. 6. Multo magis autem numerus cafuum diuerforum diminuetur, fi perpendamus, ambas litteras p et q intcr fe per- mutari poffe, ita vt Iiuius formulae: , valor ab )/(i — a:")"-? illo prorfus non difcrepet. Ad quod oftendendum ponamus /- — S , li fcilicet ifta formula integralis ab x-o vsque ad .v r i extendatur. lam faciamus i — x^~y^^ vt /x^~' f) X — — j tum vero quia x"^ zz: i — j'", eric I n. X = (i — j^Vr hincque x^ = (i — y> , vnde differentiaado fit I. px^-'dxz=:—pr-\dy(i—rj^, quo valore fubftituto erit s = -/j^ -' a r (I —rr^ r '•■ quam formulam ab jr— o vsque ad *• — i, hoc eft ab j' r i vsquc ad j — o extendi oportct ; permutatis igitur his ter- minis erit 1 g r j''"*' 3.r raby — ol J ", ad y rz: I , Noiia Acia Acad. hi/p. Sc. T. V, M Sicquc — (90) = j^irqiic dcmonflnitum crt ambas littcras p ct q fcmpcr inter lc clic pcrmutabilcs. §. 7. His pracmillls, quo calculos fcqucntcs rhagis iii compcndium rcdigcic liccat, loco formulac huius iutcgralis : /* x^ — ' r").v r x''-' dx ^ / (i — xV"'' F (i — JfV fcrlbamus hunc characflcrcm: (/>, 7), \bi pcrindc cfl, fiiie p anrc (/ , iiuc (/ antc p coilocctur ; fcmpcr autcm hic ccrtus cxpo- nens n fubintelligi dcbct. Hic autcm duo cafus prac rcHquis maximc mcmorabilcs occurrunt. Prior cafus eft, quo numcro- rum p ct (/ altcrutcr ipfi cxponcnti « cft aequalis; fi euim fu- erit q — n^ crit ex priorc formula (/>, ;/) zr. /.v^~' r) .v ~ » , ficque perpctuO habcbimus (/), «)— |,, hincquc ctiam (w, q) = ;'. Altcr cafus notatu dignilfimus locum habct , quando p -^ q nz Tj ^ quo cafu femper cfl n n Ad hoc of^endcndum fit q =i fi — p-, hincquc formula propo- r x^~' d X v fita / : , tum ponatur ^^^5 ct quia ' l"Vi— :v")p 1/(1-0 _ =z% erit S= / -—-. iitionc fcquitur .v" z= — ^ , hincquc tx faifla autcm po« ( I -H z' ri l X ::^ « / s ^ / ( I -H ~") ? crgo dilTcrcntiaudo jup nL ♦ D .v (91) d X dz z''^' dz dz X Z 1 -i~ z^ z {i -\- s") Z . Quia autem fumpto x :=: o fic ■ I -h s" N^ . . . etiam c;~o, at vero fumpto a' ~ i prodit znzoo, hoc in- tegrale a termino z zzz o vsque ad c ~ oo extendi dcbet. Notum autem eft valorem Ivoc modo refultantem cffe ^ «fin.tJ n §. 8. Progrediamur nunc ad ipfum fundamentum, vn« de omnes relationcs, quas quaerimus , deriuari conuenit et quod redudioni priori iunititur^ vnde fi.t r xf-'dx _p-hq r x^^-^^-^dx J " ^ * J ~^ * 71 vbi loco ]/ (i — x")""^ fcribamus X, vt fit rx^-^ d X _p-\-q r, J X " ~T~ ' J p J X hine iam fimili modo, fi loco p fcribamus n -i- p ^ erit ^^n-t-p-x ^ X _n^p-\-q rx^'"^^—' d X J X ~ n-i-p * y X ' hincque fequitur fore : rx^-' dx _p-\-q 7i-{-p-\-q rx'-'''^^—' dje J X ~~p ' n-\-p J X " Quodfi fimili modo vlterius progrediamur, perueniemus ad hanc acquationem : rx^-'dx T -i- q n-^p-^q 2n -h p-h q fx^^^f-^' d x J X p ' u -i- p ' 2n-hp J X Quare fi hoc modo in infinitum progrediamur, habcbimus M 2 -'-' ^"- f /- ."^~'^.x- p-\-(j n->r-p-\-q in-Y-p-^q X p n -\-p zn -{- p in-\-p-{-q -/-^(.-^-.in-t-f-. ^^ /■ n -hp J X ' \bi ;■ dcnotat mimcrum infinitc magnii^m. • • • • §. 9. Qiiodfi iam loco p alium qucmcunquc nume- rum r, paritcr ipfo n ir.inorcm, anumamus, crit fimili n.odo : ' Ar*" "~ ' r) .r r -h- q n -\- r -{- q 2 n -|- r -f- 'ti-^p-^-q) ^ lin-*-r\ an-^p-i-q) ^ ^j^ quod produdum cx infinitis mcmbris componitur, quorum fin- gula limt fra fadoribus conllant. llos fa^ftorcs finguJos co- dcin = (93) = dem numero « angeii oportet , dum a quouis membro ad fe- quens progredimur , vnde liifficiet folum primum producftum nofle, quod ergo ita repraefentabimus : l^. T' r[p-+-q) gj.^,^ \r, q) p[r-hq) §. lo. Quoniam litterae p tt q nobis numeros quafi indcfinitos fignificant , vtamur litteris alphabeti initialibus ad numeros determinatbs defignandos , eritquc eodem modo : (g, h) a(g-4-6) (n-f-nl (n-t-g-)-&) gj-j. (cc, 6) 0(a -(-&)' (fi-f-al i7t-+-a-f-i) Hic iam loco a fcribamus a -i- r, et produdum infinitum hanc induet formam: [n, b) (a -I- cW(7 -I- 5) (n-f-fl-)-c')(t-»-a-t-6) gj.» (a-t-c,ti| a i a -(- <-■ -t- 6 I * (n -t- a ) (n -t- a -f- c -)- 6) in quo produfto ambae litterae b et f manifefto permutari pos- funt , vnde idem produdum infinitum etiam exprimet valorem huius formae: '"' f' , vnde fequitur ifta aequalitas maxime [•i -k- b, c) ' ' ' memorabilis : -'°^ ^\ — ■■ '""' f -; fradionibus igitur fublatis ha- (a-H c, 6) (o -I- 6, c)' ^ bebimus iftud infigne thcorema : (<7, b) (a-hb, c) =z (a, c) (a-hc, b)^ huicque thcoremati vniuerfii Analyfis, qua vtemur, erit fuper- ftruda. §. II. Cum ob rationes fupra allegatas numeri p ct q exponentem n fuperare non debeant , etiam in forma theore- matis, modo allati finguli termini ibi occurrentes , qui funt a, ^, f, a -i- b ct a -\- c ^ quouis cafu exponcntem « fuperarc n©n dcbcnt, ficque ncc a -^ b^ ncque a -i- c maior capi poterit quam n. Hic autem primo obferuo littcras ^ et £• , inter fe inaequales ftatui dcbcre : fi enim eflet c — b ^ aequalitas in thcoremate exprefla forct identicaj hanc ob rem perpctuo aflu- memus^>f, ita vt maximus terminus in theorcmute fit a-i-bj M 3 quem r*- (9+) c]ucm ergo cxponentcm ;/ quoiiis cafii cxctdcrc non oportet, qiiamobrcm ciioliitionem formnc gcncraliij in thcoicmatc con- tentac ita in cladcs dilhilniamus , qiiac intcr fc pcr maximum Aalorcm tcrmini a -\- h dillin^uantur. Cum igitur nulla littc- rarum a^b^c nihilo acqualis fumi queat, ac cl!c dcbcat b^^c^ minimus valor, qiiem tcrminus a -\- b rccipcrc potcll, crit 3, in quo crgo primam clalfcm conllituemus; fcqucutcs vcro clas- lcs conllitiientur, dum tcrmino a -i- b valorcs +, 5, 6, 7, ctc. tribuantur. T. Euolutio claflis qua a-hb — :i. §. 12. Hic crgo ncccHario crit j~i, Z'nz2 et f~i, ita vt hic niilla varictas locum inucniat , vndc thcorema no- ilrum fuppcditat hanc vnicam relationcm : (i, 2) (3, 1) ir: (i , i) (2, 2). Dummodo igitur cxponcns ;; non fucrit mi- nor quam 3 , fcmpcr hncc infignis rclatio locuni habet : r d X r X X d X _ f (i X r xrix I li ■ / n / "n ' ' J 'n"- "» »^/(i_^Y-= /(i^.v")"-' /(i-.v"/-' /(i_.vY— quac forma, quia in quolibct charactcrc tcrminos inter fc pcr- niutarc licct, ctiam hoc modo rcpraclcntari poterit : /x^d x r ^) .V _ r r) v f ^ ^ ^ II. Euolutlo claflis qua a -\- b ~ 4. §. 13. Oiioniam b binario minor effc ncqnit, liic crit tcl Z'm2, Ycl ^~3. Sit igitur primo /> ~ 2, critquc a zz:2. cc (95) === et f — I ; vnde ex noflro theoiemate feqiiitur haec relutio : (2, 2) (4, i) — (2, i)(3i 2), quae forma mauifefto oritur cx cladc prima, fi ibi termini priores cuiusquc characfieris vni- tatc augeantur j id quod etiam inde intelligere licet , quod omnes termini priores litteram a continent , qua vnitate aucla proceflus femper fit ad cluffem fequentem. §. 14. Deindc vero hic quoque ftatui potcfl: Z» — 3 , vnde fit azzzx\ at vero littcra c iam duos valores, vel i, vel 2 fortiri poteritj priorc cafu, quo i" =: i, prodibit ifta aequa- tio: (i , 3) (4, i) ~ (i, i) (2, 3); alter vcro cafus, quo r~ 2, praebet hanc aequaticnem: (i, 3) (4, 2) — (i, 2) (3, 3). Sicque haec clalfis omnino fequentes tres relationcs contLnebit: 1°. (2, 2) (4, i)=r(2, 0(3, 2), 2°. (I, 3) (4, i) — (i, i)(2, 3), 3°. (i, 3) (4, 2)=(i, 2) (3, 3). III. Euolutio claffis qua a-\~b — s, §.15. In hac igitur clafle primo occurrcnt tres rela- tiones pracccdentes, fi modo termini priores cuiusque charac- teris vnitatc augeantur: hinc enim cafus exfurgent , quibus efl vel Zr — 2 , vel b — 3. De nouo igitur hic acccdcnt cafus , quibus ^ — 4 et «— i, vbi crgo crit vcl t- — i, vel r = 2, vel c=:=3, quibus ergo tribus cafibus euolutis omnino in hac claffc fcx contincbuntur ralationcs , quae erunt: i^ (3, 2) (5, i)=:C3, i)(4, ^), ^°- (^, 3) (5, I) — (2, i)r3, 3), 3°. (2, 3).(5, 0:=:(2, 2^(4, 3), 4*. ' CP^) «==3 +'. (i, 4) (5, 0 =(i» 0(i, 4)» 5"- (i, +)(5, 3) = (i, 2) (3, 4)» 6». (I, 4) (5, 3) = (i, 3) (4, 4)» IV. Euokitio claffls qua a-\-b — 6. §. 16. Hic igitur piimuni occuircnt omncs rchitiones proxinic praeccdcntcs, i\ niodo tcrnuni priorcs cuiusquc cha- radcris vnitate augcantur : hi fcilicct nalcuntur , fi fucrit vel />— 2, vel Z» ~ 3 , vcl Z» ~ 4. Practcrca vero inluper accc- dent carus /» =: 5 ct « = i, vbi littera c rccipere potcrit va- lorcs I, 2, 3/4i ficquc omnino in hac cladc occurrcut dc- ccm rclationcs rcqucntcs . x°. (4, ^)(6, 0 = (4, 0(5, 0. a°. (3, 3) (6, 0 = (3, 0(4, 3), 3°. (3, 3)( 5) (5, 0 = (i» 0(2, 5), 8^ (i, 5)(<5, 2) = (i, 0(3, 5), 9°. (i, 5)(<5, 3) = (i, 3) (4, 5), lO^ (i, 5)(<5, 4) =(1, 4) (5, 5). V. Er.ohitio claflis qua a -\- If =z 7. §. I''. Tlic igitur primo occurrcnt omrcs rclationes ClafTis IV. pollquam fcilicct omncs tcrminAs priorcs fingulo- vum = (97) == riim chara^rtcrum vnicate aiixerimus, quos igitur hic appofuKTc non erit necePe , ac fufFiciet cas tantum rclationes hic expo- nere , quae de nouo accedunt et ex valore b — 6 oriuntur , exirtente a zz i ; \bi pro c iiimi poterunt numeri i, 2, 3, 4, 5, ita vt harum numerus fit quinque. Hae ergo rclationcs funt; (i,(J) (7, i)=r(i, I) (2,6) (1,6) (7, 2)=r(i, 2) (3,5) (1,6) (7, 3)=: (1,3) (4,^) (i,<^) (7^ 4) = (1^4-) (5, 5) (1.6) (7, 5) = (1,5) (6,6). VI. Euolutio claflis qua a-hb = 8. §. 18. In hac iam clafle primo occurrent omnes de- cem relationcs cladis IV, dum fciiicct omnes termini priorcs binario augentur ; practerea quoque accedent quinque relario- ncs in clafle V allatae, dum partes priores vnitate augcbuntur; practer has vero de nouo accedent 6 fequentes relationes ex valoribus a zn i et Z» 1= 7 orivndae, dum litterae f valores I5 2, 3, 4, 5, 6 ordine tribuuntur, quae ergo erunt: (157) (8, i) = (i, 0 (2,7) Ci, 7) (8, 2) = (15 0 (3, 7) (1.7) (8, 3)=:(i, 3) (4,7) (1,7) (8, 4) ==(1,4) (5,7) (1,7) (8, 5) = (1,5) (6,7) (1,7) (8, 6) — (1,6) (7,7). VII. Euolutio claffis qua a -\-lf =: 9. §. 19. Vt omnes relationes ad hanc clafTcm pcrtincntcs adipi- fcamur, notandum cft primo hic occurrerc decem reiationcs clalis Noua Acia Acad. h/ip. Sc: 1\ V. N IV. Cp8) = IV^ dimi parfc-i priorcs ternario aiigciuiir. ScciMido adiici opor- tcr qiiiiiqiic rchitiones in cia "c \^ cxhihiras, ^hi partcs piiorcs binario aiigcri debent. Tcrtio buc rcfcrri dchcnt lcx rc'atio- nes clanis VI. -partcs priorcs \nifate aiigendo. Infiipcr vcro dc nouo acccdcnt lcptcni rclafioics ex ^aloribus a ziz i ct /» zz: 8 natae , duni bttcrac c tribuuntur ordinc valorcs i, 2, 3. +, 5, 6. 7. H ic rchitioncs funf: Ci,S) Cp, 0 = Ci» 0 C^, 8) (i, 8) (9,2) = (i,z) (3, 8) (i, 8) Cp, 3):=Ci»3) C4, S) Ci, 8) (9,+) = Ci?4) C5, 8) (i, 8) (9, 5) = Ci,5) C^, 8) Ci,8) (9,6) = (1,6) (7,8) C^jS) (9, 7)zzi(i,7) (8, 8). §. 20. Hinc iam ordo progicfTionis tam clarc perfpi- citur , vt fupcrfluum forct has cuohitioncs vlrcrius prolcqui ; quandoquidcm ob ingcntcm multitiidincm rclatioiuim, quac in fcqucntibus claMibus occuircrcnt, nimis molcfhim forct omncs pcrcurrcrcT. (h\\n ctiam noltrum inllirutum \ ix perntitterc vidc- tiir, vt in noilra formula gencrali exponcntcm ;/ vitra fcx vcl fcptcm augcamus , fi quidcnl onuics rclanoncs ad eiim pcrti- ncntcs cnumcrarc volucrimus. Sin au'cm aninnis (it aliquas tantum cxpcndcrc., clal'cs allatae abundc fufliciunt, dum tcr- mini priorcs cuiuscjuc clanis quoui>> numcro augcbuntur. §. 21. ]Ii«. iam clallUnis cxpeditis fornnilam intcgra- Icm propofifam / „ fcctiiuliim diucrfo^ valorcs r .v^ ffx 1 „ fcctiiul cxponcnfis n pcrtraclcmus , dum fci'iccr fiiccc^^^uc a^^imcmus « = 3, fi — ^; «::::: 5 ; etc. ct pro quolibct ordinc omucs rc- laiio- — (99) == lariones, quae in eo occurrere pofTunt, cxpendamus. Euidens aurcm e(t, quiciinque numerus exponenti n tribuatur, formulas omnium clallium infcriorum, in quibus fciJicet terminus a-\~b non fuperet «, in Aium vocuri pcffc. Ex quo intelligitur, fi fuc- rit 11 zzz 3, vnicam rclationem locum iniienirei ftatim autem ac n mngis augctur, numerus om.nium relarionum mox ita incrcfcit, \t nimis m.olcflum forct omncs recenfere. Hos igitur diuer- fos ordincs, ex exponcnte n confdtucndos, a primo incipicndo, ordine euoluamus. . Ordo I. quo « = 3 et formLila _ _ / _ . §. 22. Cum hic fit n — 3, erit (3, i) — i ; formulac autem intcgralcs huius ordinis crunt trcsi fcilicet : 1°. (i, 1); 2°. (i, 2); 3°. (2, 2); quarum media, ob i -1- 2 r: 3, a circulo pendet, quae ergo, quia eft cognita, ponatur (i, 2) — — . — A. 3 fin. ? 3/3 Hic igitur tantum chilTis prima locum habet, quac nobis hanc vnicam aequationem fuppcditat: A ~ (i, i) (2, 2). §. 23. Hinc ergo patet produdum ex binis formulis transcendentibus (1,1) et (2,2) acquari quantitati circulari A~^^, ita vt pro ipfis formuiis integr.alibus habeamus hanc relationem: ^ /(l__;,3^._ J ^(i__ 3/3 .V^) N 2 vnde = (loo) == Tndc fi alrcra haiiiin diiarum foriniilarum fucric co:;nita, ctiam valor alterius aliignari potelh Spcctcmus crgo priorcm (juafi nobis clict cognita, ctianifi fit trausccndeus, eamque ponamus =zP eritquc (2, 2) ~ — . Sicquc nihil practcrca in hoc ordinc no- tandum rclinquitur. Ordo II. quo n = ^ ct tbrmiila ^ /(i — .v*/-9 -^ ]/ ( I — x^y-'» §. z\. Cum igitur hic flt ;; i^ 4., crit (4, i) ~ i ct (4, 2) zr j ; formulac autcm integralcs ad hunc ordincm pcrti- ncntcs crunt fcx fcqucnrcs: 1°. (1,1); 2°. (1,2); 3". (1,3); 4°. (2, 2); 5°. (2, 3); 6°. (3,3), intcr quas crgo rcpcriiintur duac formulae circularcs (i, 3) et (2, 2), quas propccrca littc- ris A ct B dcfignemus, poncndo (1,3) = — r-^=:— 7- = A ct 4 fin. , z y 1 (2,2) = _-V,=:I = B ita vt fit A — |/ 2. §. 25. Tn hoc cr'^,o ordinc ncqua'ioncs tam primac quam fccundnc cla']is locum habcre po!i\int j fccuuda autcin claiiis n(»bi") ha^ trcs pracbct acqua.ioncs : i^Br^^,!;^^,!;; 2^ A " (i, 0<2, 3)^ 3"- Ar 2 (i, a)^- 3) ; clailis = (101)== clafTis vero prima infuper dat hanc aequationem: A(i,2)rz: Ci, i)B, fuie — ::= '-^' , quae autem aequatio iam ex duabus prioiibus deducitur; namque ob (3,2)3(2,3), fecunda per primam diuifa dabit A — .Lil_| — / 2, ita \t ratio inter has duas formulas fit algebraica, quae ergo imprimis notari meretur §. 25. lam in hoc ordine, praeter binas formulas cir- culares (i, 3) — A et (2, 2) — B, tanquam cognitam etiam in- troducamus formulam (1,2), quae in ordine praeCedente erat circularis, nunc autem efl: transcendens, eamque ponamus(i,2) — f^— i^^, mP; vbi caueatur , ne litterae A et P cum iis confundantur, quibus in formulis praecedentibus fumus vfi, id quod etiam de ordinibus fequentibus eft tenendum. His igi- tur litteris introductis ncquationes noftrae erunt fequentes tres: 1°. BrP(3,2)i 2°. Ar(i,i)(2,3); 3°. A= 2 P (3, 3), quando- quidem \idimus quartam in praecedentibus iam contineri. §. 2*7. Ope harum trium aequationum ergo ternas for- mulas integraies etiamnunc incognitas per ternas A , B et P , quas vt datas fpedamus, dcterminare licebit. Ex prima enim fit (3, 2) — --; ex tertia autem fit (3, 3) r= ;^ ; tum vero ex fecunda colHgitur Ci, i) zr -A_ :zi ii. Cum igitur in hoc or- dine omnino fint fex formuiae intcgrales , earum ternae per tres rcliquas dcfiniri poffunt , quas dcterminationes i^itur ob oculos poCuiiTe iuuabit: (x,3) = Azr:--,; , (2,2) = B = J; N 3 (x,2) (icO (3,3) = ,-^. Ex poflrcmis ergo crit ( ^, 3 ) : C 3, 3 ) = 2 B •• A =: i/ 2 : I , ita vt cti:iiii h;ic diiac fornuiJac intcr (c habcant rationcni nl- gcbraicam , qiia cft /x X B X r X X d X 7(1 -.v^ =^'J :y ]/(l- A-) Aliis infignibns rclationibus, vtpotc fatis cognitis, hic non im- moramiir. Ordo III. quo n = s Qt ronnula »' ,//, ^S \n — q -' ^/ f t ''-'Oa- >/(i-.v^) /(i — jf)" -f §. 28. Hic igitur ob «r^ antc omnia crit (5,i)-i; (5, i) — i; (5,3)=::]; formulac aurcni intcgralcs huius or- dinis crunt hae dcccm : i°.(i,i); 2«. (1,2); 3^(1,3); +°-(i,+)i 5°. ( = ,=); 6». (2, 3); 7°. (2,+); 8°-C3,3); p"-''^, +); ic. r^, +); Inter quas quarta et fcxra funt ciicularcs, quas crgo ita dcfigncmiis': (1,4-): (2, 3) = . — A ct 5 fin. I TT 5 /mi. Prac- == Cic3) === Pnieterea vcro binas formiilas, qiiae in ordinc praccedenti erant circnl:ires, nunc auiem liint transccndentes , etiam pcculiaribus lirreris notemus, fcilicet (i, 3) = P et (2, 2) — Q. Mox enim patebit, dummodo etiam iftae formulae tanquam cognitae fpec- tentur, rcliquas fex omncs per has quatuor determinari pofle. §. 29, Quoniam hic tres chiffes priores locum habere poffiint, confideremus primo aequationes, quas tertia chiflis fup- pcditat, & quae introdudis his valoribus erunt: 1°. B = P(4, =^); 2°. B=:=(2, i)(3,3),- 3^ B = 2Q(4,3)j 4°. A = (i, i) (2,4),- 5°. A= 2 (1,2) (3,4); 6°. A =z 3 P (+, 4-) . Quas hoc modo fuccindius repraefentare licet: A =: (I, i) (2, 4) =z 2 (i, 2) (3, 4) := 3 P (4, 4)i B = P (4, 2) = (2, I) (3, 3) =: 2 Q (4, 3); vbi fcx occurrunt producfla ex binis formnlis integralibus, quac fmgula quantitati circulari aequantur , vnde totidem egregia theoremata formari poflcnt , nifi hinc iam clare in oculos in- currerent. §. 30. Tam videamus, quot formuhis integrales incogni- tas ex quatuor cognitis A, B, P et Q definire queamus , at vero prima dat (4, 2; =z J-j tertia praebet (4, 3) zz: -5-- fexta dat (4, 4) zzz A ; hinc aurcm porro ex quarta dcducimus ex quinta vero dcdiicimus (i, 2j z=:— ^^ — *Q. Dcni- = (1=4) Deniqiic cx fccunda clicimus r -5 'i) = i_ — LL V J^ O y 12, 1) A 0 7 flcquc cx his fcx acquationibus fcx dctcrminationcs fumus adcpti; atquc adco pcr littcias A, B, P ct Q valorcs omnium rcliquarum littcrarum allignauimus. §. si. Quoniam igitur hadcnus tantum chiffc tcrtia fumus \(\ , conlidcrcmus ctiam acquationcs fccuudac chillis , quac Aint: 1°. AQ=:B(2, i); 2°. A P =B(i, i) et 3°. P(4, 2)=z(i,2)(3,3); verum fi hic valorcs modo inuentos rubftituamus , acquntioncs incre identicac rcfultant , ita vt hinc nulhi noua dctcrminatio fequatur. Idem vfu venit cx aequationc primac claHis , quac crat (2, i) (3, i) — (ii I) (-1 >)i qii:^c fada (ublUtutionc quo- quc fit idcntica , ita vt diiac priorcs cladcs nihil noui imiol- vant. Ncque tamcn hinc conciudcrc hcet, ctiam in fcqucntibus ordinibu«« chiflcs pracccdcntcs practcrmitti poflc , fiquidcm in ordinc lcqucntc ftatim contrarium fc manifclhibit. §. 32. Cum igitur hic ordo complccflatur dcccm for- mubs intcgralcs, carum valorcs pcr (juatuor littcras A, B, P ct Q ordinc ita afpcaui cxponamus: 1°. (i,i)iiz*-!l; 2^(1,2) = *^^; 3°. (i,3) = P; 4^ (^4) = Ai 5". (2, 2) = Q; 6\ (2, 3) = B i 7". (h 4) = — B . - V» 8°. (3, 3) = _ B B . 9°. (3, 4) = — B . (105) lo». (4, 4) = ,^ 3 P §. 33. Cum fit _ — '"• "^ ^ z= a cof. l tt, tum vcro B nn. l 7r cof. 5 t: — ^"^^^ , erit — ~ L±il£ , ideoque quantitas alge- 4 B 2 braica. Hinc igitur aliquot paria formularum integralium ex- hiberi poterunt , quae inter fe teneant rationem algebraicam i erit enim ; (I, l) I-t-y 5 . (T, 2) Jl_ . (3,41 I -*-Vs . (4, 4^ IH--/5 . '(1,3) 2 ' (2, 2!"^ B ' i3, Jl) 4 ' («, 4) 6 * vnde totidem egregia theoremata condi poflent, nifi ex his formulis manifefto elucerent. Ordo IV. quo ^ = 6 et formula x^ — ^dx r xf-'dx /x^^ dx c -^ ==/ 6—p l7(x— a:^/-« ^ l7(i —x') §. 34.. Quoniam hic cft » = 6, habebimus antc om- nia (6, i)=ii (6, 2) = ^; (6, 3)==^; (6,4) — ^; formuia- rum autem integralium in hoc ordine occurrentium numerus eft 15 , quae funt : i^(i, I),- :i^(i, 2); 3'. (1,3); 4"- (1,4); 5°. (x, 5); 6^(2,2); 7^(2,3)J 8°. (2, 4); 9°. (2, 5); 10«. (3, 3); 11°. (3,4)i 12°. (3, 5); 13°. (4,4); 14°. (4,5); 15°. (5,5)i A^owa Jc7fl ^ffli/. Imp. Sc. T.V. O iuter (ic6y inter qiius reperiiintur trcs clrciil.ircs, quns fingulari modo de- fi^ncmus .^ fcilicct : 1°. (^,5) = -°- (=,+) TT 6 fin. = r=3A; TT TT 6 fin. tl TT. = — L_ = B et 3 V 3 _ ir — p . 6fin.3-? 6 ita vt fit A = 2 C. Practerca vcro ambas formulas, quac in ordinc praccedcntc crant circularcs , nunc vcro lunt trahsccn- dcntcs, fiatuamus (i^ ^) — P ct ( 2, 3 ) =z: Q. }lis facfiis dc- nominatiouibus euoluamus decem acquaLiones claffis quartac , quac iunt: i\ B—V(s,2); z\ C = (3, OU, 3); 3^ C=:2Q(5, 3);' 4°. Brir(2,.a>(3,'4); 5^ 13 = 2(2, 2) (+, 4.)i C. B = 3Q(5,4)i , 7°. A = (i,i) (5,2); S . A = a (i,'2)(3V5); 5,°. A = 3t«,3)(4/5); 10«. A = 4?(5;5); j,^ quas ita fuccin^ftius rcfcrrc licct: ( • • • A--(i,.i)<5,2,)=:a.(«if^;A3,5>;?3(^,3)(-h5)r4P(5,5)i Br4'(5,»)r(2,i).(3,4f>:7a(a,2).(+,'h).= 3Q(4r5Ji Cr(3, iK5,^2)=aQ(5,3J. . . , F.ccc (107) == Ecce ergo decem produda ex binis formulis integralibus, quo- rum fingula quantitati circuiari aequantur. §. 3 '' ^ a(3, S) '- (I, 3) 4 (5, 5) , .- A 2 l^ '.' — - <_', it) T> 3 1 4, 5 ) C (1,3) I2,j)~^ (2,5) ' B_ i I ', 4) — 3 U, S>. C Ta • ■ ir, 3) ~^ 9 (J, 5» ' §. 5<5. Quodfi iam quinque formutas Htteris A, B,C, P et Q defignatas tanquam cognitas, fpedemus, videamus, quo- modo rexique formulae per eas dcfmiri queant. Ac primo qiii- dem percurram.tts decem aequationes clair-s quar^ae fupra alla tas, quarum prinia d:;bit (5,2;=-; tertia dat (5, 3) i fexta praebet (5, 4) = — ; decim^ dat (5, 5) =.— . .} Quodfi iam hos valores in reliquis furrogemus, fecunda dabit (3,1) ~ -^ — i^ i feptinia pracbet (i.i)~-^ — — , odtaua dat (i, 2 ) - - *-- = ^; nona dat (3, i) = -* ^ — i-^, quem valo- ^^^ 21 i, 3) C' \J5/ 3(4,5) b'T rem etiam fecunda pracbuit. Porro vero quarta dat (5^4.) ~ -5_ / ' '^^^■' [2,1) — L£. At vcro ex aeouatione qninta nuUum vaiorem elicere pofiiimus , quia neque fornuila (2, 2) nec (4, 4-) eriamnunc conftat Caufa crt qnia duae reliquarum aequationum eandem detcrminationem produxerunt. §. 37. Coa(^'i igirur fumus ad aequan^ones praeccdcn- tium clalfiUm coufugcre , atquc adeo ex prima claiie . O 2 (I, 2) c Cio8) (1,2) (3,0 = (l, t) (2,2) ftatim coUiijimus o (2, 2) iir "' *A^''JA — * Q / (i — A-7"-« *^ >/ (i — xy-^ §• 39« Quia hic « = 7, ante omnia habebimus valores abfohitos (7, i) = I ; (7, 2) — I ; (7, 3) = 3 ; (7^ 4) = k et (7, 5) — -5; deinde inter formulas integrales huius ordinis im- primis nctari debent circuiares, quas hoc modo defignemus : 7 fin. (.,5)r=-^ = Bi 7 hn. — 7 (3, 4) = — c. ^ ' ^ 7 fm. '-^ Praetcrea vero peculiaribus litteris notentur eae formulac, quac in ordine praecedenti erant circulares , hic autem valores trans- cendentes fortiuntur, qui fint (1,5) — Pj ( 2, 4) = Q et (3, 3)rr:R: per has enim fex litteras videbimus omnes re- liquas formulas huius ordinis determinari pofle. §, 40. Quoniam fupra non omnes aequationes quin- tac claflis expreflin.us, eas hic coniundim cxhibeamus et ad noftrum cafum accommodemus : O 3 !'• r. 11°. 111°. i\°. v°. M°. Vll^ Vlll\ IV. x°. xr. Xlll\ xiv^ xv°. (1,6) (1,6) (1,6) (»,6) (-, 5) (2, 5; (^, 5y (2, 5; (3,4-) (3,4) (3,+) (+,3) (4,3) (5,2) (7,0 (7,2) (7,3) (7,4) (7, 5; (7,0 (7,2) (7,3) (7,4) (7, I) (7, 2) (7,3) (7,0 (7,2) (7, I) = (110) = (i, I) = (',2) =^(»,3) = (^4) = (1,5) = (=, 1) =^(2,0 = (-,3) = (2,4) = (3, 1) ==(3, 2; = (3,3) = (4, I) = (4, :^) = (5, i) (2,6) (3,6, (4» 6; (5,6, (6,6, (3, 5. (4, Sy (5, 5y (6,5. (4, 4 (5, 4y (6,4 .(5,3, (6,3; (6, 2^!iB 'A A A A A B B B B C C C c c (1,0 2(1, 2; 3 (», 3) 4(«, 4) 5 1' (=, 0 2 (2, 2) 3 (2, 3) 4 Q (3, O 2 (3, 2) 3 R (4,0 p (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (3,5), (4, 5), (5,5), (4, 4)» (5,4), (6, 4), (5,3), (6,3), (6, .). FTic igitur lulicmiis qiiina prodiift.i forimiliic A acqiialin, toti- dciiiqiic formulis B ct C ac(iuali.i.| §, 4.1. Omnino nnrcm in hoc ordinc occnrriint 21 rornnilae inrcgralcs, cx quibus fcx litrcris A, B, 4^, \\ Q et }< dcfignauimus, pcr quas igitur rcliquas quindccim foriiiulas intcgralcs dpfiniri oportct, quac funt : 1°. (1,1); 2". (1,2); 3°. (1,3); 4°. (2,2); 5°. (1,4); 6\ (2,3); 7°. (2,6); 8°- (3,5); 9^' (4,4); lo^ (3,6); ii^ (4,5)i X2°. (+,6;; 13^ (5,5)i 14". (5,6); 15^ (6,(5). §. ^2. Vidcamus itjitur, quot harum formularum cx fupcriorilnis quindccim :ic(]uati()iiil)us dctcrniin:irc liccat, ac pri- mo quidcm cx aci)uationibus V, IX, \11, XIV ct W. im- mcdiare dcducuntur fcqucntcs formulac: (6, 6j - -^i (6,5)rJL; ^^'^"^^ — h* (^'3) — r^' (^>0=i- His iam inucntis cx acqua- (III) aeqiiationibiis I, IT, 111 et IV. deriuamus has formulas: (i,i) = 1J:; (1,2) = *^; (I, 3) = *-^ i (I, +) = ^. Ex his ve- ro vnloribus per aequationes VI, XetXIII, colligimus (3,5) — 1|; (4, 4)r=^ et (5,3)z=:i|,- vbi notafle iuuabit eun- dem valorem pro (5,3) prodiifle ex aequationibus VI et XIIT. Ex reliquis autem aequationibus VII, VIII et IX, nihil con- chidere h'cet , vnde iltae quatuor formulae: (2, 2) j (2, 3) j (5, 4) et (5, 5) , nobis ctiamnunc manent incognitae. §. 43. Recurrere ergo coadi fumus ad aequationes prae- cedentium claffium , quippe quae aeque ad noftrum ordincm perfinent atque aequationes cladis quintae; hanc ob rem fl- mili modo aequationes claflis quartae hic apponamus et ad 110- ftrum cafum applicemus : F. (i,5)(- p n — q 2» — q -\- 2 n q X n !^n — q X 2 ;; iit + p etc. n zn qnic fcrics iam eiiancfcit ppfito x : X zz: 1 ^ \al()r quacfitus nolbac formulac fict o ; vndc fi ponamui ; n — 4 — t n 3n — (j j n 1 -a . _ sn an -+• p etc. §. 49. ^''crum ifla ferics , quicunquc numcri pro lir- teris ;;, p ct q accipiantur , niiiiis lcntc conucryif , quam vt ex ca valorcs ipfius S faltcm ad trcs- quatuoruc figuras dcci- malqji fatib cxacle dcfiniri qucanti quamobrcm aliam cuoliitio- nem inftitui coniicnict, dum fciiicct valorcm quacfitum in duas partcs rcfolucmus. Staruan qwo valore Q.=—fj'^-'dj(i —r)~ '■ih r=:l' ^d y =0 Quando enim fit .v"=:|, tum etiam eritj'''^^, at fiidlo .v=i, manifcdo fit y =z o ; quare fi ♦tcrminos integrationis permute- mus, etiam fignum ipfius formulae immutan debet, ficque fiet ab 7 zi: c ad r = l q_~fj^-^-dy{i—y-)— §. 52. Haec autem formula pro Q inuenta omnino fimilis ert illi, quam pro P inucnimus, hoc tuntum difcri.ni- P 2 ne. ne, qiiod lirrcrnc p et q i rcr fc funr pcrmiratne; quocirca, fi iutcgra.io per rericm iiillicuatur, prouenict fcqucns: fi-p ^n^p ^„_p I ^ ^^^ 2« 4« o;/ 3 w t 7 quae fcrics aequc conucrqcr, nc pracccdcns pro P inucnra. llis aurciTi du:ibus fcricbus ad calcuiuni rcuocati» lcmpcr criL va- lor qua^,ruus S ::^ l^ -j- Q. Corollaniiin i. §. 53. Ifte calculus plurin um conrrahcMir iis cafibus, quibus crt p ziz q ^ rum cnim fict P ~ Q, lu^quc cafibus , (]ui- bus S zz: / —I ! — , valor illius formulac ab .v ~ o ad .V zz I cxrcnfac crir >/2< I »— /> T W — /> 2tl—p p 2 ;/ n t- p 2 ;/ 4 // ~ fi f p )■ n — p in — p in — p i 2« 4« 0« ^fi-t- p Comllaridm 2. 5. 5.^.. Ouoniam igiiur tn Hngulis ordinibus nonnullac huiusnodi formulac '/>, /)j occurrunt , (latim atquc valoics aliquor huiusmoJt formtifariim fucrint ad calculum dccimalcin rcuocari, quoniam formuiac circularcs pcr l"c funt noiac, cx ii-. valorcs on nium rclitjuarum formularum ciusdem ordiiit» affignarc liccbit. Excm- = C"7) = Exemplum. §•55' Propofira fit foimula ordinis primi, vbi p-q—z /v 5 V — '■ '- . Series i^itur pro S inuenta erit O Y ^ ^^S ^ 6 • S ^ 5 • 15 • J "<~ S • Ta • TJ • II -+- s • i*2 • n • 5? • 1? "*- etc.} . Subducflo autem calculo reperitur 3 S = 0,54.325 x/ 2 — o, 58445 , qui ergo cft valor formulae (2, 2) in ordine i'"" §. 22. vbi inuenimus (2, 2) zz: -, ita vt iam fit Pi=-A_. Eft vero A = :^ = I, 20918, hinc erit P nz 2, 22582 :::^ (i, i), vn- de in fradionibus decimalibus ternae formulae ordinis primi erunt (i, i) =: 2,22532 ,- (i, 2) =11, '2091 8 ; (2,2)1=10,68445. Hocque modo edam omnes lormulas fequentium ordinura euoluere licebir. P 3 ADDI- == (iiS) A D D I T A M E N T V M ad Difrcrtationem DE VALORIBVS FORMVLAE INTEGRALIS / n ab .V ~ o ad .v — i cxtcnfac. Aii(flore L. EF LERO. Cofiuint. cxhib. die 17 Oclobr. 1776. i methodiim iii pracccdcntc difTcrtaiionc traditam ad altiorcs ordincs qiiani fi — y transfcrrc vcllcnius, ob ingcntcm ac- quationiim confidcrandarum numcrum labor ficret nimis molcs- tus. Quoniam aurcm vidimus , non omncs illas ac(|iiati()ncs concurrcrc ad valorcs fingiihriim formularnm dctcrminandos , opus non mcdiociitcr fublcuabitur , l\ (juouib calu cas tantum acquationcs in computum ducamus , quac immcdiatc ad dc- tcrminationes formularum pcrducant , qucmadmodum hic pro cafu ;/— 10 fum ollcnfurus. DE- s ("9) DETERMINATIO harum formularum pro cafu « ~ lo, vbi formula {p,q)^f - y.10 ao — q /(I-O =/: ^/(i—.v'";'^-^ §. 2. Hoc cafii ergo formuJae valorcm abfohitnm re- cipientes funt (lo, i)zi=i, (lo, 2) =z ^, (10, sjzrij et ia genere (10, a)zrrj. Deinde omnes formulae, in quibus eft p-f-f^zziio, a circulo pendent ideoque pro cognitis hubcri poHunt, quas ergo propriis hrteris defignemus : (^, 8) z= (3, 7) = (4, 6) = (5, 5) = TT 10 fin.ij TT TT lo lin.fo TT 'Tr 10 liU. 10 TT TT lOfin.ig TT TT 10 fin./o 7r -B, rz:E, (6, 4) = (7, 3) = (8, ^~) = (9, 0 = TT 10 flll.iu TT 10 lin. 1,5 7r T 10 liu.ia "^ TT lOllU.is 71 = c, =rB, -A, §. 3. Per has autem formulas circulares reliquas iii forma generali contentas neutiquam dercrminare liceti fed in- hiper aliquot formulas tranfcendentes in fubfidium vocari opor- tet , ex quibus cum circularibus illis coniunclis reliquarura omnium valores aili^nare licebit. Nodro autcm cafu , quo '^— ^c, fcqucntes formulas tanquam cognitas fpediari conue- Dict, quae m ordine pracccdenti, vbi «^9, eraut circulares, nunc minc autcin iii ordincni tranlccndcntium tranfcunt. E.is igltur lcqucnti modo ddignemus : (i,8) = P, (2, 7) = Q. (3,6) = R, (+,5) = S, (S,4)r=:S, (6,3) — R, (7, =) = Q, (8, O = P- Scilicct fi \alorcs haruni littcrarum quociuc tanquam cognitos Ipccftcmus, pcr cos cum circularibus iunctos rcliquas formulas omncs in hoc ordinc contcntas dctcrminarc potcrimus. Cum igitur numcrus omnium formularum intcgralium in lioc ordinc « — TO contcntarum fit 45, cx iis autcm noucm vt cognitac fpctftcntur, rcliquac 36 pcr has littcras maiufcuhis dctcrminari dcbcbunt. ^. 4. Tftas nutcm dctcrminationcs cx acquationc gc- rcraH fupra dcmonllraia pcti oportct , quac hac forma conti- nctur : (a, b) (a -\-b,c) = (a, c) (a -f- f, b) , \bi afTumcrc hccbit fcmpcr cffc b^c^ quoniam, fi foict c-b^ nequatio forct idcntica. Primo igitur vt hinc acquationcs , quac immcdiatc dcrcrminationcs pracbcant, nancifcamur, fum.i- mus fl-t-/»-io, vt fit (io,<:)-J; tum vcro capiatur czzb—i^ quo fa(fto pro a ordinc fcribcndo numcros i, 2, 3, ctc. fc- qucntcs prodibunt dctcrminationcs : (1,9) (10, 8) = Ci, 8) fp, 9), fiiic I A = P (9, 9), crgo (9, 9) ==5^. (-,8) (10, 7) = (2,7) (9,8), fiuc »B = Q(9, 8), crgo C9,8)=JL. (3, 7) (10, 6) = (3, 6) (9, 7), fiuc J C = R (9-, 7), crgo. 9' 7)=.-,. (4, (f) (10,5) — (4, 5) (9,^), fiue ID - S (9, 6), ergo (9,^)--' • (5,5) (io,4)_(5,+) (9, 5), fiiie 1 E ; S (9, 5), crgo •• ' (9.S) ;^. (^, 4) (lo, 3) (6, 3) (9, 4), fiue ID : ~ R (9, 4), crgo . (9.4)-^. (7, 3) (lo, 2) — (7, 2) (p, 3), fiue jC^r = (2(9,3), crgo (9. 3) 4. (8, 2) (10, i) — (8, i) (9, 2), fiue B : = P (9, 0, ergo (9,^) = f. §. 5. Ex formulis igitur incognitis illis numero 3 ic. Ex rciiquis autcm, vbi /> -♦- y (i, = (1,8) = P, (=^,7) — Q, (3,6J = reliquac triginta fcx ex his fcquen lias ckterminutioncs fimul lioc oruii.c « — 10 omnino i\ cx iis vt cognitac fpcc- C, (+,(?) =:D, (5,5) = E, :R, (4,5) =:S, ti modo dctcrminiibuntur : I. (9, 9) * « p 19. (=, S * 15- 33 . (3, 4) •— ABR Sf B E P Q. 16. (3, 8) — 34 . (^, 7; DD E PQ 3A B R S t n- (+, (5, 7) <5) ' C D BJt ^-J • (7, 7) ; C D »? P Q 4Ah R S S 18. 36 . (3, 3) — A ncR SS 0 D E P METHODVS GENERALIS determinandi valores formulae x^-' d X r x'} — ' d X ^p,,~,=J,^^lZlll_^f^ 9 a termino x ~o vsque ad jc- = i extenfa. jr*'-^-f:i'.t Q, •»t.r^'^ -^.« Vbi praefer' fofriiulas ' circuhim inuoluentes, in quibus eft p-+-q~n^ etiam illae pro cOgnitis accipiuntur, in quibus cH p-i-q ~n — I. , I. Cum aequatio generalis, vnde omnes hae determi- nationes funt petendae, fit i-> («, b) (a -\-b,c) ~ (a, c) {a-\-c,b), Q_ 3 fumatur fninanir primo a :rzti — a, b zn a ct f — a — i, eritque ae- qiiario : (n — ci^ a) {n^ OL — i ) = C» — a, a — i ) (» — i ^ «) ? vbi cft w, a — i zz— ir-' ^" primo autcm fa(fIore, ob p-n — ct ct 9 — a,cft p-t-y— n, idcoque datur. In tcrtio auicm au- tem fa ctorc, vbi p — n — a et 9 — a— i, efl/)-t-^ — « — i, idcoquc paritcr datur. Hinc crijo colligimus (^» I, a; — ^^—j . ^-j_-__-^^, Tbi efTe debct a >• i , ita vt pro a accipi qncant omncs nu- meri a 2 vsque ad n — i ; at vero cafu « ~ i valor formu- lac pcr fc cft notus. IT. Tn ncquatione gencrnli i.im fumatiir a r= (3, b zzi n — (3 — I et tzzii, critquc nollra acquatio : ((3, « - (3 - I) (« — i, I) = (p, O ((3 -+- I, » — p — I), ex qua acquationc coiligitur : P. -p, w — P — tl (n — T. t) vbi cfTe debet (3 < « — r, ita vt hinc omnes formulac (3, i dcfiniantur, a valorc ^ =: i vsquc ad f3 — « — i, quo pofte- riorc cafu formula (;; — i, i) pcr fc cognofcitur. IIT. \'t hinc ctiam alias formas cliciamus , fumamus fl— I, b~a — 2, t~y, vt oriatur hacc acquatio : (i,«— 2) (n—i^y) r= (i,y) ('H-V^"— =)' vbi primus faor ac tcrtius dantur pcr N". II. fccundus vcrfl pcr N*. I. vndc quartus dcriuatur, fcilicct : vbi valorcs ipfius i -|- y a 2 vsquc ad » — 2 augcri poffnnt. Cum = (127)== Cum igitur per N^ I. fit tum vero pcr W. II. fit '•'""^9 X j^ — ■ (7, n — 7 — ") (ft — f. ij • Vf> / (-y-j-i^n — 7 — I) •' hi« vuloribus fubftituds fiet ^ ^ ,, .. A^ 2 1 -h v") rz — . (^«-''^'"-%'V''-v-»-'. 't— Y-t> , ^ ""' ^^ ''' 7 — I * (n — 7,7 — i){7,n — 7 — i)ta — i.i)* ■"' "^v^.xr t-^,' — — '■-- • — ''■• IV. Sumamus nunc a ~ i, bzzzn — 3, f~5, pro- dibltque haec aequatio : (i,« — 3) («_2,J} — (i,5) (iH-S, « — 3), vnde colligitur (« - 3, 1 -f- 5) -(— ^;^;;;->^' , vbi ergo i -|- 5 continet numeros 2, 3, 4 . . . . « — 3, ita vt hinc excludatur w — s-» i-i quae autem per N°. I. datur. At fi valores ante reperti fubftituantur , fiet („ « I _(_ ^^ — I (n>-3,2)()t — I, i)(n — y-4-i,y — i)(y, n— yiiy + r.n — y — i) V ^? ''"" y — a • (n — 2,2)in — 5" -(-i,^ — 21(^ — 1, n^6")(n..^i,i)(.S',n— 5—1» ' Vnde patet effe debere 5^2, eodemque modo pro praece- deute formula y^i, ita vt hic excludantur cafus (« — 351)9 (« — S-»-)? quorum quidem prior per N°. I. datur, alter vero per fe. V. Statuamus nunc a~i^ ^r^»— .4 et c—e, pro- dibitque haec aequatio : (i,« — 4) («-3,0 = (1,0 (iH-£,« — 4), vnde concluditur (« — 4, I +£>: (n — 4, 1 ) (n — 3,£) (■,£) \bi fi loco « — 3,e valor ante inuentus fubftitueretur, fiiiftor abfo- = (128) = abfolutus ingrederctur '-, ita vt effe debcat e>3, idcoquc !-+-£>• 4., vndc hic excliiduntur cafus (n — 4,1), (>/ — 4, ;), (n — 4,3)". quorum quidcin prinius ex N". II. tcrtius autcra per le datur, n.cciius \cro rcucra nuuct iucoguitus. \ 1. Statuamus porro j — i, /> ~ « — 5, ^ — ^, ct aequatio crit (I, « — 5) (« - 0 =r (I, 0 (I -4- <, « — 5), vnde fit ? ~ - («—5,1-1-0 = ^ .5, i) (n — 4,^1 vbi ob formulam (n — ^^^) dcbet efTc <^>- 4., idcoquc i-f-<^>5, vnde hinc cxcluduntur cafus (;/— 5,1), (w — 5, 2), («— 5^3)» (n — 5,4-), quorum quidcm primus e\ N*. 11. conrtar, quar- tus ^cro pcr fc datur , ita vt hic occurraut duo cafus ciiam- iiunc inco^niti '^n — 5, 2) ct [^n — 5,3;- VIT. Simili modo fi vltcrius fumamus aizi, b-n — 6 ct f r= >! , prodibit (« — 6, I -f- >l) = (n-^.)(n-5,yH \bi rcuera occurrunr trcs fcquentes cafus: (;/ — 6, 2), (;/ — 6, 3), (w — 6,4.), qui adhuc mancnf incogniti, atquc hoc modo pro- grcdi liccbit, quousquc ncccffc fucrit; vndc patct numcriiiTi caliium incognitorum continuo aut;cri, ita vt terminorum /' ct (j al'cr futurus fit vcl 2, vcl 3, \cl 4., ctc. qui igitur cafus adhuc dcfinicndi rcftaut. Vni. Sumamus nunc primo /Tmi, b~C^ f— i, vt acquatio noltra fiat (1,0 (i-l-^x) — (^ 0 (=,0> vnde vnde conckidimiis (2,0) =z ^2illSl.±All. \ 7 y' (1,1) ' quae formula iam omnes cafus exclufos fuppeditat, in quibus alter terminus erat 2. IX. Dcinde fumamus a—2^ b — K et ^mi, vt aequatio prodeat (2, k) (2 -|-h, i) — (2, i) (3, k), vnde fit (3,h) (I, h) (1 -+- K, i) (2,1) ' vbi cum (2, r) pcr praecedentem N'*""* detur, nunc etiam ii cafus innotefcunt, \bi alter terminus erat 3. X. Sumatur porro «' — 3, ^ — x,, r ;:r: 1,. eritquc (3?h) (3^-h, t) = (3, i) (4, h), vnde. fit "^ (4, h) (3, h) (3 -I- n, il U, ») ^ vnde igitur ii cafus eliciuntur, vbi alter terminus erat 4. Eo- dem modo pro reliquis procediturj ficque omnes plaue cafus in formula propofita contenti plene funt deterrainati. Noua J&a Acad. Imp.Sc. T. V, R DE DE PROIECTIONE SPHAEROIDIS ELLIPTICAK GEOGRAPHICA. Diilcrtatio Priina. AiKTlorc F. T. SCnVBEKT. Comictit. exhib. die zi Maj. 1788. E. §. /tfi, qiiod i;im flicilc coniiccrc liccbat, id pracfcn<; mc do- cuit disquifitio , mapp:is fcilicet gcographiciis, quac 011 ncs luic- usquc cx hypothcfi iphncricac tclluris figurac fucrunt con- ftruclac , hflud longc a vcritatc cOc abcrraturas; fcu corrc6io- ncm , c]ua ob figuram tdluris non fphacricam aiiotjuin cllcnt cmcndandac, plcrisquc cafibus finc crrorc fcnfibili ncghgi poffc, cum axcs Mcridiani clliptici tam parum a (c inuiccm iiifTcrant : haud tamcn inutilc mihi vidctur, proiccftioncm Sjihacroidis cl- lipticac llrido fubiiccrc cxamini. tiiismodi disquifiiioncs , fi vcl maximc uiu carcrcnt prat^^tico, ct ccu (pcculationcs tanfum Gcomctriac thcorcticac confidcrcntur , utilitatc non funt dclli- tut4c. luvabit quoquc omni cum rigorc cxaminallc, num ida cor- == (130 corredio iiire fit negligenda , qiiod haud ita pridem non de- fiieriint qui negarent. Quod fi fccus rcperiretur, fi practerea proiedio figurae ellipticae conformis vulgari non multum eflet difHciiior, huic absque dubio illa forct antefcrcnda. Quamob- rcm , quae hoc cxamen inftituenti mihi fe obtulcrunt , cum Acadcmia communicare conatus fum, ac, fi ci phicuerit, argu- menti huius continuationem, tabulasque huic fini inferuientes, aUa occafione proponam. Hypothefin fccutus fum cinpticam : ceterae enim, qiias Meridianis nonnulli tribuerunt, figurae, etiamfi fortafTe propius ad naturam accederent, ob calculum nimis prohxum huiusmo- di vix admitterent disquifitionem. Rationem axium fuppofui eam, quam Neutoms a priori demonftrauerat, quac quoquc cum obfcruiitionibus pofiea inftitutis fatis conuenit , ideoque in ?a- bulis etiam ajlronojnicis 'Berolinenfibus fuit adhibita. Ceterum hic nonnifi de proicdlionibus ufui geographico infcruientibus flgere mihi propofitum eft. Vnde a proied:ione Jtereographica exeamus. Proiedio ftereographica polaris feu parallela. §. 2. Haecce proicdio omnium fimpliciHlma adhiberi tantum folet , ubi Hcmifphaerium boreale vel auftrale , aut quodvis denique fcgmentum polarc eft conftruendum. Situs Sphaerae tribuitur, i\\iQva Aicwnt Sphaeram parallclam. Horizon nempe vel tabula proiedionis eft ipfe Aequator, Zenith et Na- dir feu oculus cum polis conueniunt. Sit itaque C Sphaerae Tab. L centrum , A B diameter Aequatoris , P polus eleuatus, oculus Fig. i. in O, et M pundum quodcunque proiiciendum in w. Facilc iam patet , proicif^ioncs Mcridianorum fore lineas redas , iii puncflo C feu poli proiedionc fe interfecantcs, fub iisdem an- R 2 gulis, = (130 == gulis, qui diflfcrcntiam longiciidiiiis corum iii Splmer.i dctermi- nant. Practcrca quilibct 1'arallchis M N cll ctiam in Spliac- roide elliptica circuius , ct quidcm iiio calu , qucm hic co.ifi- dcramus , eft bafis coni rcifii , cuius ^ertex in O , undc cius- dcm proicclio lcu intcrlcfiio iiuius coni cum plano tabnlae AB bafi parallclo paritcr cnt circulus radio C /;; circa ccntrum C dcfcriptus. ITacc ii^itur omnia luicusquc cum proic(flionc fpbacrica conucniunt, cxccpto radio C w, qui luc alicr detcrminatur ac in proicdionc Ipliacrica. Quam quidcm ditfcrcntiam facilc pa- tct dupliccm habcrc fontcm: non (olum cnim dillantia oculi a tabula C)C dirtcrt a radio Sphacrac C A , vcrum latiiudo qno- que loci M hic non dctcrminatur pcr lincam M C lcd M D , quac tangcnti T t normalitcr inlillit. §, 3. Contemplemur igitur ellipfin APMB, atque pofitis fcmiaxc maiorc C A zr <7 , minorc C P zz: ^ , abfcilih C N =: .V , ordinata NM fcu radio Paralieli —y^ habcbimus e natura clliplcoj): yy — °^^^{b b — x x); \cl pofitp ^alorc fra(ftionis -J- = ;// , yy — aa — mm x x , ct .v x — —^J^ . Ratio Ncutoniana, qua hic fcmpcr vtar, cf\ a : Z» — 230 : 22p, \ndc fit ///znij^^iz: 1,00436651 2:3- Du^fia iam in plano APB rcda /T cllipfin tangcntc in M , ct M D cidcm normali , crit P D M dillantia poli a vcrticc V, idcoquc , fi latitudo loci M obfcruata dicatur (3, crit IM) M :r= 90° — (i. Quo nunc acquationcm intcr radium C ;;; ct latitudincm p nnncifcamur , .v ct r pcr (3 funt cxpri- mcudac. Qucm in fincm notciur, fubnormalcm N D — — 2L'— > — ;;; ;;; x — /// V {o a — yy) , ob ob / 9/ — — ^^ ^fi xd X. Verum eft etiam N D =r N M cot. N D M =:j tang. p, unde habemiis: m m {a a — y y^ —yj l^^ng-' Pi ^^^ r z= , "' " — — , et tang. Szizlil^. Eft porro O N (^ -I- jf ) : N M (j/) = O C (/») : C w (?), ergo C m — ? — ^ y — "'^ ^ — ^Jl 5 b-i- X avi-r j lang. (3 tnng. (3 -+- ■/ im» -i- tang ^ P) * §. 4. Quodfi A P B efTet Sphaera, radius Paralleli fo- ret rz . ^-i— : — -„ — r. Ouo nunc utriusque difFerentia fine am.bagibus eruatur , ponamus wri-+-|m., vbi /x = o, 0043665, ideoque tam exiguum habet valorem , vt in quantitate radicali denominatoris in exprefiione radii §• ftacui pofllt m tn - i -^- 2 fx. Sicque erit p — ■ ^ — , feu negledis poteftatibus ipfius [A. altioribus „ a m coj. p a m eoj. (3 a mfec (3 ( i — /fn. (i) » Jin. p -t- I -(- fJ. coj.^ p ( I -|-Jin.p)(n-H- — f^/ii-P) m — jA/iJi.p ' * lisdem redudionibus fadis erit Vnde habemus e — r~afQc.Q(i— fm. G) . -J^iilLP — iJilg"g-P';-/'''-P.' . Infpiciamus iam, ubi haec differentia fiat maxima. Qucm m finem eius differentiale poneudum eft — o, ut fiat; -~'"'co^'p""^-^(^^- "0 tang. p cof p = o, h. e. ■ m ~(m-h ix) fin. (i -^ fx fmr (3 — fin. |3 cof- (3 = o, ob »^ — ^». - I , feu fin.^ p -+- fjL fin.- p — 2 »i fiu. |3 -h ;/^ r o. R 3 Haec == (13 + ) Haec acquario per fin. (3 — i diiiifa ckt: fln." (3 -h w fin. ^ — m — o. Vndc aequatio cubica radices habct : fiii. p — i , cf fin. ^ — =i^L±Jll!^i!!Ltlli , fiquidcm finus ncgatiui hinc cx- cluduntur. Cafu priore §> ct ;• cuanefcunt, dum in ipfo polo lincac 1) M ct OM coinciduntj undc fccunda tantum radix hiic pcrtinct. Eft nempc J >/ ( w/ w -4- 4. w) m i, i 209616 et J ;// rz o, 5021834-, ergo calii Maximi fin. p ~ -+- o, 61 8778^ ct p — 38". I 3'. 37''''. Notari liic mcrctur, arguhim (^Ml), feu diffcrentiam intcr hititndincs in liipcrficic ct c ccntro tcl- luris obfcruatas , ficri Maximum , quando p _-. 45°, qui valor ab co, qucm hic inucnimus, longc diflfcrt ob rarioncm inm (n- pra allcgatam , quod ncmpc ditfcrcntia ^ — f diiphci nirirur fundamcnto , angulo C M 1) ac difFcrcnria axium. Ccrcrum jnaximus iUius ^nlor crit: -atang.ri(i '- r-^-atanc^.^^^i^i^sY^^C^ —.. — ,) -O, OOI3I.<7. Quodfi crgo integrum hcmirphacriiim fucrit proic(f}um, a crit ipfc radius proiccftionis, qui cum nunquam unum pcdcm c\ccdcrc folcat, maxima crit corrcdio i^o, iss6 lin. duodc- cim. fcu minor quam [ lineae; quae itaquc, cum pro cunLiis cctcris Parallclis minor fit , mcriio nc^Iigi potcll , ut iraque proicc^tio hcmirphacrii ficrcographica polaris fecundum hypothc- fin fphaericam finc ullo crrore fcnfibili poff-t abfi)lvl. Iir.mo fi vel maximc parvum fcgmentum polarc proiiccrcrur arquc ra- dius a mulro maior fumcrcrur, tamcn circa poluin hacc diffc- rcntia prorlus cuancfccrct, undc hic nulla opus crit corrc6io- nc. Quarc his non diutiub inmioror. Tro- Tab. T. (135) Proie£lio ftereographica aequatorialis feu re£la. §. 5. Sphaera hic fitum habet Spbaerae reCtae^ ociihis ponitiir in pundo quodain Aequatoiis , et tabula feu horizon eft Meridianus, qui plerumque fumitur primii\ eique oppofitus, unde mappa repraefentat heaiifphaeriuin orientale et occiden- talc. Sit itaque oculus in O, A M O Aequator, PAp Mcri- fig""^' dianiis pundi Zenith , qui confequenter 90" a Meridiano tabu- lae dirtat, fitque P M p alius quicunque Meridianus, in quo ca- piarur arcus ellipticus P M = p M ita ut fit P C M zir 90°, at- que- recla per centrum duda M C Meridiano oppofito occur- rat in m, erit P M/> /// ellipfis , cuius axes CM:=:C ;// = «, CV^^Cp^b. Quo nuiic proiedio Meridiani innotefcat , confiderandus eft conus, cuius bafis eft ellipfis P Mp w, vertex in O, axis O C; ac fi per lineam Vp pona^^ur phinuin ad OC normale, phmi huius cuin cono elliptico P O /> interfedio erit Meridiani ? M p jn proiedio quaefita. Vbi quidein notetur, axem O C ad axem bafeos minorem P/> effe normalem , cui ' cum etiam C M normah'rer infiftat, erit O C M vel O C m in- clinatio axis coni ad bafin. Quodfi itaque Meridianus P M p a Meridiano primo feu Meridiano rabuhie a gradus diftet, erit A C M ~ 90' — a , et incJinatio axis ad bafin feu O C M — 90°-4-a, cor.fequenter inclinatio lateris maximi OM ad bafin feu CMO=:45° — |a, ob C M — « r= C O. Porroerit OC///r=zACM~ 90* — a. , unde inclinatio lateris minimi O w ad bafin , fiue O m C — ^^"-f- 5 a. Priusquam ulterius progrediamur, non e re crit fcqucns pracmittere Lemmay quo in lequentibus fiiepe utemur. §. fi. Si comis eUipticus O M m fccetur plano N q n bafi Tab I. UQ^m paraUeloy Jigura interfeaionis N qnp erit eUipfis baffmilis. ^'S- ^- De- Dcmonn.ratio. Diita fit aequatio bafcos nnturnm cxprlmcns inter coordina* tfls M R — .V, R Q — V, et planum O M tn lccctur a plano ^ q n in linea N u. Duciis rciftis O R, O Q, plano N q u occurrcntihus in pundis r, , ct M C : C ;« =: N <: : c », er- go f cllipfcos N ^ ;/ ccntrum , <2 — ?— N f , b — — c p^ idco- quc a : If zn K c : c p. Quibus omnibus valoribus in acquatio- ne data pro bafc fubllitutis, ob "" rationcm coulhintcm, rclul- tabit acquatio intcr / ct // propofitac pcrfcdc fimilis. Noftro cafu, ob C M r ^, C P = /», eft.r.r^^Cfl^— a-a-), pofito nempc C R ~ .v. Quocirca fi in cllipfc Nqn dicatur N <• n: a, c p = (l, c r — t^ r q — u., crit a a ^ ' m m §. 7. Scorfim nunc contcmplcmur coniim cllipticnm Tab. 1. ^ ^^ '" 1 ciiius cum plano tabuiac intcrfce^tio fit curua A Q a. Fig. 4- l'cr cius pundum quodpinm O ponatur planum N Q;/ bafi coni M ;;/ parallcium , critquc N Q ;; cliipfis bafi fimiiis. Pcr axcm bafcos priucipalcm M ;// ct ^criiccm O ducatur planum M O ;;/, quod crit ad utrumcjuc plauum N Q ;; ct AQ^ nor- ir.alc , quia (§. 5. lig. 2. ; P C M — 90' =: P C O , ct O C ad hori/ontcm pcrpcndicularis. Ad comn.uncm intcrrcifiioncm A /7 planorum A Q ^ ct M O ;;/ agarur normalisQ*/, quac pa- riicr cric normalis ad planum M O ;;/, idcoquc Qr/N— po« Qua- === (137) = Quapropter in ellipfc NQ« habeinus Q^"= ^ N ^. ^ « (§. (?.), Eft aiitcm OCA — 0Crt=:90% ACM — a=z??iCay CO=zCM = C ?n = a, C M O — C O M =: 45° — U , ct C w O =1 C O ;/; z=z 45° + U (§• sO- Vnde fit ACzrCOtang.COM=:^tang.r45°— la)=:a— ^^^, et ■^ u - 1 y coj.a ' Ca=zCO tang. C O ;« — « tang. ( 45° + ^ c.) — « L±il!i:A . Hinc invcnitiir AazzzAC-hCaziziza fec. a. Praeterca re- pcritnr ^ __ M-JttC — \q.coJ.a. gj. ~ ' AC I — jin.. i ' " .''"'"'^yi,, aq.cm. cof.ai ^ajec.a — xq) n ?i — — — ^ — ^ '— • ^ ac i-h[in.a Pofito igitur Af^ — ;, ^Qzn//, erir uuzzz^^ (2afcc.cc—t)t: Vnde patet , cur^am AQ« cflc ellipfin , cuius axcs principa- lcs liuu in rationc « : Z», iileoque Meridianis cliipticis llmilem. Quare fi dicatur fcmiaxis transverfus lcu 2 A a r a r: a fcc. a , ct coniugatus =: (3 , erir (3 z= ^ ihc. a , ct aequatio pro cllipfc AQa haec: u u zzz L=°^-^'^. Introdudis novis ahfciffis a ccn- tro coinputatis , loco t ponendum eft a — t, et aequatio ad proiedioncm Mcridianorum erit: ^, ,, a X — 1 1 a ajec- x—i t U u §. 8. Omnes itaque Meridiani proiiciuntur in ellipfes fimilcs , quarum axes funt in ratione diametri Acquatoris ter- rcrtris ad axem. Quantitas antem axium ahroluta fupcrat quan- titatem axium Meridiani horizon:is,- quia fcmper fec. a ^ i. Si a ~ 90% axis fit iufinitus: proicdio icilicct Mcridiani per oculum tranfcuntis ? Ap(¥\g. 2.) crt h'nea rccfta. Fit quoque hoccc ca(n (Fig. 4.) C O ;;/ rr 45° -hi a =z 90" zzi O C a, vndc C a ct O a parallelac axem A a pracbcnt infinitum. Cctcrum patct, proicdioncm Mcridiani ncquc in circulum ncquc in hy- Noua Acla Acad. /;;//;. Sc. 7. V, $ pcr- rig- 5- == (138) == pcrboliiin abirc poHc, quia nequc flcri porcfl: h~a^ ncquc hb nc^uti\um uancifci potclt valorcin. Si in phino pioic, poli, cllipfis P M /> w Mcridianus primus lcu horizontis, rcfta P /) Mcridianus pc " .1 primo diltans, ct rccfta M m Acquator. Cum omncs Mcridia- ui tranfcant pcr poU)s P, /), ct quodpiam pun(ftum A Acqiia- toris , divifio Acquatoris fcu dcterminatio puntftorum A pro- iC(ftioncs Mcridianorum fimul dctcrminar. Pio quo\is itaquc Alcridiano , «lui a \cl iso — a gradus a priii o dillar , ca- piatur C fl ~: C /> rr fl f:'"g- « •> ct fl A ~ /* H — a Jcc. a , atqnc pcr piin , aut laJicm illa cliipfcos pars , quac cadit iutra -== (i39) infra ellipfin VM.pm, ea erit proiedio Meridiani quaefita,* al- teni enim ellipfeos pars, quae in figura pundis eft notata, re- pTaefentat Mcridianunri i8o'' a priore diftantem. Sic femper duo Meridiani A P et B P iimul conftrui pofTunt. Difficultatem quidem movere pofTet , fi angulus a pa- rum a 90'' difFerret. Sic e. gr. pofiro a = 80°, foret C azm 5, 6^. a. Eidem autein incommodo proiediio fphacrica non minus ert obnoxia, unde et hic ad idem remedium erit refu- giendum, quod in confirucndis mappis vulgaribus adhiberi fo- let. Praererea, quorum ope ellipfis mechanice defcribi poteft, inftrumenta tnntam in praxi non pallicentur exaditudinem, quan- ta hic opus foret ad difFerentiam iftam tam exiguam e figura telluris cUiptica oriundam exprimendam. Vnde huic operae eo magis fuperfedere poterimus, cum omncs iftae ellipfes ean- dem habeant tamque parvam excentricitatem, ideoque fufficere videatur, pundo A determinato per tria purda P, A, p fuper chorda P p arcum circularem defcribere. Sin autem fummae exadirudini nihil detrahere vclimus , pro arbitrio capi poteft t zrz .\. b ., et Z» y — « — ordinatae abfcifliie Ab per aequatio- ncm fupra repertam refpondenti , ficque tot pnnda y deter- minentur , ut per ea cllipfis vel curva PAy^ manu libcra duci queat. §. 10. Maxima hic apparet afSnitas proiedionis fphae- roidis ellipticae cum proiedione fphaerac. In poftcriore nem- pe pari'er eft C a — a tang. a , tt a A — a fec. a , ut itaquc punda A, B, -!, w/, etc. in utraque proiedionc fint eadem , unde ad ea dererminanda , h. e. ad lineam M m di\idendam no\o r.on opus eft cnlculo. Haec itaque fola intercedit difFc- rentia, quod omnes Meridiani cliiprici tranfcant per punc% P, />, ubi C P ~ Cp czz 13^ a , M<;ridiani aurem fphacrici per duo S 2 punda == (140) = piincfta in Jinca P /), qiioriim dilhmria a ccnrro —a; iit adeo corrcciio liinc oriunda pro on nibiis Mciidianis fir cadcni , ncinpc — jfo , vel circitcr l lincac duodcc. fi a uni pcdi ac- quctur. Cb cxiiriHim diflTcrcntiac huiiis valorcm conflruL^io mnp- pae fic potcrit abfoJvi. Dcfcripta cliiprc hori/ontis P M /j /// , pro Mcridiano , cuius Joi^.^itudo m a , ducatur circulus pcr punc^ta P, A,/); qucm in fincm tantum opus clt ciusdem ccn- trum invcnirc , quod fit in pundo .v; atquc pofito C .v :::=: .v, cfie dcbet x p - x A, idcoquc C p" -h .v jr - ( A C -h .v;", h. c. a a (fcc. a — tang. a/ -\- i a x (fcc. a — tang. a) — bb—^" (fcc."- a — tang." a) , ct divifionc pcr « (fcc. a — tang. a) inftituta fict X z^ "- (tang. a (m in -\- i) — fec. a{m m — i)). , Vbl fi fubftituere velimus w w =r i -f- :: |jl, habcbimus .. o m /cg. -j. — K/PC. o ) A -^— ^^^-^^— — — — —~^—~ . m m Rcpcrto fic ccntro .V, circulns dcfcribi potcft radio .v /), ncqtic opus cft quacrcrc puncfta A. Quia vcro pundum C datuin cll , atquc cxacfiitudinis caula pracllct , punda A dcrcrminarc , fcu lincam M /// di\idcrc, x mcJius invcnitur pcr hauc acqua- tioncm : .v zzz ti* "*"* ' . §. II. l'roicaio Parallcli cft coni, culus bafis crt circii- Itis, intcrreclio cnin plano in ccn.ro ba^cos iiuic norn ahrcr iiilillcn-" ti, quod Fig. 6. clarius ob oculos ponit, ubi parallclu>« L / cU bafis Tal). I. coni 1. O / , cuius intcrfccffio cuin plano labujac XX cll pro- ^*)i- 1 icjfiio quacfita. Kcpraclcntct itaquc lig. 7. conum L () /, cuius bafis ]. l per ccntrum K normali^^cr lccctur plano X Q X'. M- tcrat hic idcm dcnotant ac in figura /f.v/tf. Per punifia L, (),/ pu- ==(140= . ponntiir planum Meridiani, ideoquc plano ParallcJi L / normn- Je , cui pariter eiusdem intcrieclio A A^ cum plano rabulae erit per endicularis : undc pcr puncftum quodcuuquc Q in curva proiedionis pofito plano NQ;; bafi L/ parallelb , fi agatur Q <7 normalis ad XX\ ea quoque normalis erit ad N«, com- munem incerrciflioncm planorum LO/ ct N Q ;;. Ert autcm NQ;? circuhis fupcr diametro N ;r, unde Irabemns Q^- — 'N q. q 71. Pofito igitur, ut fupra, (Fig. 6.) CR=:a-, RL = r, ob fimilitudiiicm triangnlorum C O A et R L A, eril;' C O : R L ==:CA:RA, ideoque ■'^'' nooni^^ .fcj -\,i^ -nj ^;^. o::,;-;q nt C0-(-RL:C6:RL = CA-|-RA:CA:RA, h. e. a -hj : ff : y =: -v : C A : R A, unde fit C A == -^- , et R A = X y Praeterea eft C O : R / = C A' : R A% et C O — R / : R / =r C A'' — R A^ : R A', ergo R A^ == ^^ . In figura feptima au- tem habemus R A : R L rz; A )i^a — n ^ Pofito itaT quc Q (7 = «, aequatio ad curvam proie6ionis erit haec: u II — — ^:^'' t {za. — t) ~ m m t {^ a. — Oi ob a a — yy — 711 m X X {^. :^.'); ac fi abfcifTae t a centro com- purentur, erit u u ~7n 771 {a. a. — t t). Vnde patet , proicdio- nes omnium ParalJelorum eiTe ellipfes ipfi Meridiano eliiptico fuTiiles, quia ratio axium = w : i zzz a : b. Simul vero pacct, vcdam AA fcu 1 a. e.'e axcm minorcm, quia ;/; > i. Quodfi itaquc fcmiaxis maior appcllctur a, minor (3 = ---, erit u u zzz a. a. — ;/; ;;// r = ;//;;/( ^ ^ - — t t). Reftat adluic axium determinatio abfoluta. In Fig. 6. invcnitur: S 3 AA^i: = ^'i^O =-: X X^ == 2 i3 =r R X -1- R X^ ~ ^LHJL. — JJ.2. = *J M ; ' uu — ^ y m m. X ax iibi notatii dignuin cft, -''* cflc paramctriuii tllipfcos Mcridia- noriim, abfciins ncnipc capti^ iii axc maiorc, qiii li dicatur p, liabcmus x : y ^z p : 2 p, undc conlliuclo horizontc mappae el-r liptico , facilis refultat mcthodus , omnium Parallclorum axcs gconietrice invcnicndi. Si nempc (Fig.S.) A P G fit hori/.on, et quiilcm C A r «, C P r ^, et F altcr focus, agatur ordinata F G, et G g fhnciC A F paralicla, quac fi reclac C I- iModuc^tac occurrat in punc"co /", erit gf-(l. Qnodfi itaquc radius Parallcli fcu y dilhintiae foci a ccntro CF fit acqualis, fcu .r — >/ (a a— Z» ^) =r -" ■/(;«-— 1), crit (3 ipfi radio acqualis, vel ^ — y. Nam fi )' =: C F , crit .r — F G =r -! /> , ct ^ =z f^^ =j. Cctcrum cil a-°^-^~^. Ducla itaouc P /' lincac A C parallcla, erit ? hsa. Tn mappis aufcm conftrucndis praeftat, nxcs pcr latitu- dincm ParallcH (cu [3 cxprimcrc. Qucm in fincin mcminifTc oportet, eflc /w w .v rrz^ tang. [3 (§.30-) ""'^c fit (cmiaxis mi- nor fcu (3 m -"-^ m a cot. i3 , ct a — ;;; a cot. (3. Fit iiaque f3=:-r, ^^y=V,m^:i.,y,.(^' 3.) = -^/(«^^-i;, h. c. m* = ( ;;;'- — i ) ( ;/;M- tang.' ,3 ) , proindc tang. (i z= -^?-^, — ic, 735 idcoquc pro Parallclo, cuius latitudo in 84-". -fi''. j-jj^, j §• 12- Ad con/iruc/iofiein ParaUclorum quod attinct , Fig. 9. fit C tabulac fcu hori/,ontis ccntrum , P altcr polus , K X K proicdio Parallcli, cuius latitudo =r: j3i cuius clliplcos fi ccn- trum fit jjL, crit X|Ji=:(3— rtcot. (3, ct CX— -.^'.^(§. ii.)z=^. In proiccftione fphacrica paritcr c(l X |JL ~ fl cot. (3, ct C ;;. ~ n cofcc. (3, idco- — = Cm3) = ideoqne C\~p = a Ccofec. (3 — cot. p) = "SLj^il^, Vnde patet, axem minorem proiedionis Paralleii eliipticne fcm- per aeqiKiri diametro proicdionis fphaericae. Veriim pnnda |ui,, proinde et piinda X non coincidunt. Si nempe x et j per |3 exprimantur C§- 3«) •> ^'^ g — . O^TIg^P ^ . . Hinc iisdem ut §. 4. fadis reducflionibus, fit ^/"'■■IL O! I — co\f? ) ' m i I -t- c-u, . (3 , i w — /Al I — C3J.(3)) myni.,3( i -r- m.C3/-P'|* Vnde fequicur, femper fore p>9, h. e. punda /x et X in proiedione elliptica centro C efie propiora quam in fphaerica. Fit r.empe ■f^ " mj,a.(3 ^ I -r- )i cjj. f3 '^ m//n. (3 ^ i -(- /a co. ,3 '^ * Quo nunc inno efcat , fub quanam latitudine haec difFerentia fit maxima, ponendum e(l: o =: fin.' ^(2 m cof. p — fJL ) C i -4- fx cof. p ) -}- C^ cof.* p — I — [X cof. (3) Ccof. (3 -H c jui coi.^ j3 — |ul), unde redudis reducendis fit: (m -h ix^) cof.^ p -H p. Ci — /0 cof.* (3 — Ci -+-2|jl) cof.|3ro. Cuius aequationis radices funt: I.) cof |3 n: o , 2.) cof. j3 m I , ct cum ea per cof i^Ccof. (3 — i) divilii praebeat : C m -h fji.^ ) co(. (3 -h w -h (JL = o , tertia radix fit ne^ativa, idenque huc non pertinet. Radix fe- cunda dat ^ = 0, c^uo cnfu Parallclus eft ipfe Acquator, v-eL reda A O , quuc cum pcr ccntrum tranleat, differentia. evane- fcit-. So'a itaquc piima radi^c fupercit, unde fequi ur, in ipfo polo ditTcrentiam ci.e maximam, eandem fcilicct, quae ex pro- icdione === (14+) icdlionc poli orinir ct qiiac fiipni pro Mcridi:inis fiicrat rcpcr» ta — tf — b. Aeqnatio c)iioc]iic nollra hoccc calu dat p — nzzi '-^-z:! °!r*-'-' ~a — b. .vnv.i '' \. 1,3- Quodfi nunc firr.ili rrcthodo nc in proiicicndis Mcridianis uti vciimus , duccndo ncmpc pcr puncta E, X, F, circuhim , hacccc puncfla prin.o funt dcteniiinanda. Pundum X invcivitur pcr acciuationcm : CX~ "' - . Linca EF cft iiif- * * «.-4- y j (lU .1 terfccfiio plauornm Parallcli ct horizontis , nndc E R ipfe ra- dius Parallch fcu y, ct C R m x. Ncccdc igitin- cft. pro quo- cunque Paraiielo , cuius htitudo f3 datur , quacrcrc a aiores' quautitatum .v ct j, ut habtantur puncf^a K, K, F. Quarc ad cvitandum calcuhmi opcrolum hic utiiiliimac lunt tabulac, qua- les cxtant in collcc^tionc tabulnrum a}ironon:}i,ayuni Bcrolini cdi- ta, ubi ad fingulos gradus invcniuntur lincac RE ct C E, un- dc quoquc habctur C R — / ( C E' — R E"). \'cri:m iilac hncac non in partibus axis a cxprimuntur , quod nolh-o llni magis con\cnirct; practcrca tcdioliim forct ilhnn calculum fcm- pcr rcpctcrc , ubi linca C R opus clK Haud inutilc igitur opus fusccpturus mihi vidcbar, fi novam tabulam computarcm hacc aliaquc plura clcmcnta, quibus in fcqucntibus nobis opus crit, contincntcm, quam tabulam alia occafionc cum Acadcmia communicabo. Eatcnus hacc elcn.cnta e tabula ifta pctcnda in calculo noilro tanquam coi^nita fupponcrc litcbit. Sic rcpcrro pun^f^o X habctnr ouoquc puntf^iim v. , ob ;xX — tfcot. |3. Sit itaquc circuii EXF ccnirum iu z^ trit- ijuc s X — s E, undc pofito R s — s , erit j'^ -f- c 2 — R X' -h 2 s R X -1- t c , ct s — IJ^zJLA* fcu fubltituto R/=i-?-^ (§. II.), ==(i45) = "" £x(a-i-jl 2. ^ X a-i-y''' qii.ic forma calculo per logarithmos iiillituendo fatis efl: ac- commodata. §. 14. Diviflo mappae in gradus Intitudinis ac longi- tudinis , quae totius proiedionis cft quafi fundamentum, facil- lime fic inftituitur. Cum Meridiani omnes per binos polos et certum Aequatoris punftum tranfcant, Aequator duntaxat in fuos gradus efl: dividcndus , quod iam fupra monui (§. 10.) eodem plane modo ficri ac in proiedione fphaerica. In ae- quatione nempe CAzrfl(fec. a — tang. a) fucceflive pona- tur a =z 89°, ci— 8 8°, etc. Verum fi quis Aequatoris divi- flonem conftrudione peragere mallet, fuper diametro Mm-^a (Fig. 5.) circulus foret defcribcndus M/j.^, isquc in fuos gra- dus dividendus. Si iam ad fingula divifionis punda ix. duca- tur reda w /jl , quae axi Vp occurrat in pundo «, capiatur M A — ^ ;/ , eritque A pundum Aequatoris , cuius longitudo a Meridiano PM^ computata eft — ^ |ji. Eft enim qn — Cq — Cn — a{ i — tang.aM/jL) — ^ — fltang. (45°— l^fx) — a— a(fec.^/ji— tang.^jui.), proinde C A =r C M — M A =z ~ (J) , cuius arcus B d — a (^. Cum nunc fit arcus A T = fl ?, erit arcus TOzzii^o — fl((J)-i-(?), cui fi addatur portio fili O T — c;, fumma s -f- tt — a((P-\-0) aequalis crit longitudini fili, quod initio a pundo O vsq.uc ad puncftum B porrigcbatur, (]uac longitudo cum fit conftans, eius diflTcrentialc nihiio acquabitur, vndc fict dz — a d (P — adO-O hincquc d(p=z^^^ — dL ^. 4. Siatuamus .lutcm totius cylindri ccntrum graui- tatis in ipfum punclum C incidcrc , vcl poiius ci vcr.ticaliicr immincrc , tum vcro mairam totius cvlindri ciusquc poiuius lla- =(i5i)= flatuamus ~ M , momentum vero inertiae refpeiflu pundi C , fcu potius refpedu axis puncfto C verticaliter infillentis =M. fl^; vbi obferuafTe iuuabit, fi cylindrus ex materia vniformi conftet, fore c —l a. Vt autcm inueftigano nodra ad omnes ca- fiis pateat , quibus cylindrus vel non ex materia liomogenea eft contlatus, vcl adco eius loco* corpus quodcunque rotundum fubrtituatur, littera c quoscunque alios valores recipere poterit, dummodo eius centrum grauitatis puncflo C verticaJiter immi- neat , atque infuper in regione , \ bi filum eil circumuolutum, eius radius lit, vti pofuimus, C A zzz a. §. 5. Confideremus nunc vires , quibus noder cylin- drus iu motu fuo follicitabitur, et quoniam grauitas hic non in computum venit, aliam vis acfiionem non fentiet, praerer eam qua filum O T efl: tenfum, quae vis, etianifi adhuc fit incognira, defignetur taniisper littera 0 , eaque refoluta praebet pro di- redione abfciffae O P =z x vim 0 cof 0, at pro diredione ap- plicatae PC~/ \im — 0fin. ^; pro moru autem gyratorio rromentum iftius tenfionis 0 erit— df0, quod tendet m ien- fam B ^, ideoque motum gvra'orium aup,ebit , dum contra bi- nae vires praecedentes moribus fecundum coordinatas funt con- trariae. Denique fit li.tera g al itudo, per quam graue Jibere cader.do tempore vnius m.inuti fecundi defcendit, vt ceJeritates per Ipa.ium vno m.inuto fecundo percurfum exprimantur, fiquidcm mafiae per pondcra definiautur. §. 6. His praeparans principia motus nobis fuppedi- tant tres fcquen es aequariones: I. 2 :£_ (-■> cir n. •ii y '■Z 0 Vin fl . 111. d ') !> -\- a 0 a c -3SL - M C ' qua- = Ci50 == qihiriim hin.ic priorcs motiim progrcniiium puiKfli C dctcrmi- nanf, tcrtia \cro motum gyr:Uorium. Qu;irc cum iplu tculio 0 ctiiimnunc fit incognita, cain ante omnia e calculo clidi opor- tct , id quod commodiilimc ficri potcll. Quia enim cx terua cft '-^— zz: LLi^ , hic valor in prioribus fubllitutiib nobis pr.ic- bcbit hns duas acquationes fimplicinimas : I. ddx-hcf)d(p cof. ^ =: o 11. ddy -{- cddi^fni.C =: o cx quibus iam totam folutioncm dcriuarl oportct. §. 7. Commode autcm has duas acquationcs ad duas quantitates variabilcs z ct 0 rcduccrc liccbiti cum cnim inuc- nerimus DCj) — — — D ^, crit DDCpzz:^^'' — dd&i tum vcro, cum Ht .Y ~ 2 cof ^ — A Hn. 0 ct j' rr 3 fin. ^ -f- <7 col". 0 , crit d X = dz cof ^ — c r^) t> fin. ^ — n ?) (> cof. i^ ; dy —dzC\n.6-hzd& cof. 0 — a ^ ^ fin. e ; liincquc porro differentiando ddx = d?)zco(.^ — 2dzdn\n.^—zddn\nJ — addi} cof 0-{-adi' i\n.^ — zdi* col". t» ; ddY=^^^z{in.6-{-zdz?)6co(.6-{-zdd&coC.9 — a^^Ofin.Q — ad&^coC.O — zdD^nn.d; quibus valoribus rubllitutis binac noHrac acquationcs inducnt fcqucntcm forn->am : (^ — zd$'-\-(i-{--^)(d?z—add6)co(.9 ~(zdcf$-{-zdzdO — a?)0')fin.& = 0 ■ (zddH-idzdO — adi^jQn.O =10. §. 8. = (153) = §. 8. Hic i;im commodifTiine id \i\i vcnit, vt finiis et cofinus angiili ^ prorfiis cx calculo climinari queant , namque haec combinatio : I x cof. ^ -h II x fin. 0 , pracbet hanc aequa- tionem: at hacc combinatio: II. x cof. ^ — I. x fin. ^, dat iftam: zddQ -h 2dzd$ — ad^- z=z o ; quae aequationes, ponendo brev. gr. i -\~~ :z:zn et a ~ a i; , in fcquentes commodiores abibunt : I. }i(ddv-—dd6)—-vd^'-=ioi U. vddd~\-2dvd$ — a^^nro; in quibus adeo praeter binas variabiles v Gt $ vnica quantitas conftans, fcilicet «, reperitur, de qua notetur, eam femper vni- tate effe maiorem. Totum ergo negorium iam huc eft re- duclum , vt hae duae aequationes refoluantur atque ad inte- gnitionem perducantur.. §. 9- Mirnm hic ftatim vidcbitur , quod cum vnica tantum relatio inter v et 0 fit inueftiganda , hic ad duas ae- quationcs peruenerimusi verum quia ambae aequationes funt ditfercntiales fecundi gradus, atque iam initio elemcntum tem- poris dt affumtum eft conttans , a quo ergo differentiaha fe- cunda dctcrminauoncm fuam accipiunt, reuera etiamnunc ratio temporis in has dcterminationcs ingreditur, ita vt tres varia- bilcs adenTe fint ccnfendae. Cum autem iftud clcmcntum d $ cx calculo noftro excefferit , quoniam eius ratio nondum con- ftat , eam ex calculo climinari oportct , quod fequcnti modo fieri poterit , quo differentiaha fecundi gradus prorfus ex cal- culo excludentur. Noua A&a Acad. Imp. Sc. T. V, V §. lo. §. 10. Hiinc in finem ftariiariir d & :=: p d v ^ vt fit d()& = pddv-\-c)pdi-^ qiiibiis valoribus iubftitutis nollide act]uationes inducnt li.is formas: I.) « ( I — p) ()d V — nd pd 1) — V p pd i^ ~ o; II. •!• pddv -\-'vdpdv -\- p {z — p)'dv-~o; rnde duplici modo valor ipfius ^i-H. dcfiniri potcrit; prodibit fciJicet i°.) ^^ ^' — nip — vppiv . ^ 0 V n l I — p I ' 2°. ) *' "^ ^ T Jf> — f>ia — pWv . ^ d M p V ' qui vnlores intcr fc coacquati producunt fcqucntcm acquatio- ncin differentialem primi gradus : p^ V V d V ~. ti V d p -\- n p d V (z — P) (- — p)y cuius autcm forma ita cft comparata, vt nulla \ia pareat eius integrae iniicftigandi , nifi forte cafu in ciusmodi multipiicaio- rem incidamus, qui cam intcgrabilcm reddar. §. II. Tntcrim tamen irtam acquationcm adhuc fim.- pliciorcm rcddcre licebit , dum ciam lijcra // c\ calculo c\- cludi atque adco ad fiiTipIiciorcm porcdnrcm rcdigi porcfl , quod fict poncndo v — ]/;/w, vnde fit t) c ~ -^"-^, ct acqua- tio nollra fict p^ u d u z=z 2U d p -h p ^ u (i — P) (2 — P). Ncque vcro hinc qiiicquam vlrcrius concludcrc Jicct , vndc ilhim laborcm alio n.odo aggrcdiamur. Analyfis ad pcrfcclani quacn-ionis fulutioncm pcrduccns. §. 12. Ononiam pollrcniam aenna'ioncm difrcrcnrialcm primi gradns imrr ci;iarc c\ acqna'i(>pibiis tiifTcrcn'i;ih"bns fc- cundi grudui dcriuauiiuui. , ncquc >lla auhuc intcgraiione (u- n.us ==(155) = musvfi: fiicile intelHgitur, hunc laborem plurimum fublcuatum iri, fi ante quasdam integrationes in fubfidium vocemus, quam ad aequationem finalem deueniamus. Huiusmodi autem inte- grationes commodiiiime ex ipfis aequationibus primordialibus, quae erant I. ddx-h cdd(Pcof.^z=zo; II. d dj -h (^ ^ cX^ Hn. $ = o ; repetere licebit , vbi notafTe iuuabit efTe ^ — (a -y — 5 ^) cof. 0 — vd^ fm. d (fcilicet pofito z — a v) et ^-2 = (d V — d $) fin. & -{- V d 6 coC. $. Praeterea vero habebimus d(Pzzzd v — d $, §. 13. Nunc fiat ifta combinatio: I. ^-t-II. ^, quac praebet hanc aequationem: 9xSix-^dy^^y _|- ^ ^ ^ 0 (^ COf. ^ -f- ^ fm. $) =1 O. Efl vero i^ cof 0 H- ii- fm. $ =: a 1; — 9 ^ =1 9 Cb, a a ^ ' vnde noitra aequatio erit dxddx-^-dyddy-hacd^pdd^pz^Oj cuius integratio manifefto dat d x^ -h dj^ -{- a c d (p' = Confl. vbi ergo, qiiia elementiim temporis d[ fumtum eft conflans, flatui poterit homogoncitate introducfta , dx'-]-dy^-hacd(p'= I-dl\ ' a a ' fjue ^^'-^-^^'^^''e^O' — -f-a") q"3e aequatio per maffam corporis M mukiplicata (ob ^^ ""' ^'^-^^ y' — quadrato ccleritatis centri gra- V 2 vitatis = (156) == ■vitatis C) inuoliiit primo Aim \iunm motiis progrefTliii ; rrJic- terc.i pars *"• "J^t^^ (o^ cclcritatcm angularcm — ''^^, et iriomtn- tu'ii incrtiae rz: M ^ f ) cxprimit vim viuam motus gyratorii. Sicquc hacc aequatio inucnta nobis dcclarat totam vim \iuam noflri corporis perpctuo mancrc ciusdcm quantitatis , quippe quac fempcr acqualis crit vi ^iuac initio imprcUac. ^. 14. Nunc iam hanc aequationcm ad binas variabi- lcs 1- ct ^ transfcramus, ct cum fit a a ^ -^ ' tum vero -^-^ ziz 'r (dv — 5^/, liinc quia pofuimus i-«-lr», habcbimus hanc acquationcm fcmcl intcgratam : n (dv — d$/ -i-vvd^^ = r c) l^. At vcro hacc acquatio parum iuuarct, fi non infupcr aiiam cli- cucrimus, id quod facilc fucccdct, vtcndo hac conibinaiionc : II. .V — ^'J-i » -4- 1) V a e* r in qua fi (V.ituairuis vt fupra d&—pdv^ prodibit hacc acquatio: n ( I — p)' -i- V 1' f p — r [i- V p — T! 1 I — p)]' A A * Sicque ndco inter binas qnantitatcs v ct p rclationem alge- braicam fumus adcpti, quac crgo crit intcgralis acquationis il» liu:) diffcrcntiali"', quac incxtricabilis ernt vila, fcilicet: V v p^ d V ::^ n V d p -i- ti p d 'V (i — />) ( - — />)• Quod fi enim illa acquatio ditfcrcntictur, haec iplii prodibit , vti calculum inlUtucns mox rcpcrict. §. 1%. Quo has formulas fimpliciorcs rcddnmus, fta- tuamus porro, vr lupra fccimus, vi^ziztiu^ atquc huius ac- quationis diifcrcntialis : p' tl () II z^ 2U d p -\- p c) u (i — />) (- — p) intcerale crit : Li^z±l±Ji±l. — "-'"- . Hinc occafionem anipia* fcqucntia thcorcmata fubiiingcndi , quac, quotics ficri licct , inuho gcncialius intcgrationcm talium acquationum dcclarant. Tlicorcma I. §. 19. Propofita hac ac(]iiationc diffcrcntiali : « ^ // -f- P3w-+-tfBQr=:o, in qua littcrac P ct Q fint eiusmodi fun- ( n^ \* -\- n Q fi «flioncs ipfius p, vt valor huius forniulac: l_j^^ , fiat quan- quantitas conftans; tiim integrale iftius aequationis erit [Ca-|-(3)»-|-aP^PQf _ conft. [(a -f- |3; tt 4- p i^ -^ a ^J'" Theorema II. §. 20. Si fiierit P funcfli"» quaecunque ipfius /), tura femper luiius aequadonis differentialis : (a— p) udu -+- du (aA P« — pB pPj -^ «-P^ (B P** — AP'*) — o, ( ^^ _(__ A P"' P intes;raie completum erit i ^ — — Conft. ^ ^ («-i-BPP/ §. 21. Quoniam igitur ad aequationem algebraicam inter quantitares v et p, vci eiiam inter « et /), pofito (cili- cet vvzrztiu peruenin.us, aiteram earum per alteram definire liccbit. Cum enim fic ^ ^ ""'""" "~P— rz: — , hinc ficile valor ipfius u per p determinari poflct ; verum pro iisftituto noftro expediet vicifllm p per u exprirri. Hnnc in finem ftatnamus im^ rz: ^, vt noftra acquatio euadat !i_±_i'i — 'LL vnde facile ^ per u definitur. fofito enim breuiratis gratia — =:l ^, vt habcamus "ku -\-'Kq q — «?/ — zq u -\- q q ^ extradio radicis praebet ^ — !i±ij2L!LLL — A:±A' — i^zii . Hinc vnitatem vtrinque addendo fiet i — ' — k^u r\ui,-\-^u)^ q^^g exprefiio re- ducitur ad hanc: I V< -X-+-U. {Vi — X-+-u-f- V\ ul P ^ —-1. ' Cue pofito I — X — w/, vt fit A — I — w, crit 1 Vm -+- u [Vw -H 7t -)-■/( — m) u] 1» m §. 22. (i5c) §, 2 2. Nunc lianc fra»flioncm fupni ct infra mulripli- cemus per / (w -+- u) — |/ (i — ;;/y w, vt prodcac , ■_ _ i.H-ui-im-^ui ^.,^j^ inucrtcndo colligimus >j T m <- m — V\ — m\M _i i^ I — nlu ' ' u -»-u > imH- a I I ->- u ' 1 1 -t- u iVim -♦-")* Nunc ieirur loco n rcllituto valorc -- cric n n 0.' Vk\ — m t i; 1' -t- n inH-vuj Vima-j-v il' vndc cum pofucrimus 7) ^ ^zz. p 'd i' ^ angulum d cx fcqucnti ac- quationc dcfir.iri oportcc : "^ a n i V n r J t' •»'( i — m 1 n-t-rv (;i-l-i'i'l>'(mn-»-'DX') Hoc clcmcnto inuento ctiam clcmcntum tcmporis 3 1 dcfinirc porcrimus opc acquationis c -i' 5 d -i- ;/ (c) i' — ^ 0) — A 3 /, liuc luiius ^T) i -ZZ.7) fc \p {y v -\- n) — ;/]. Cum cnim fit p {--: c -\-n) — n — "j'"-'^'^'^, colligitur forc ^'(mn-f- V vl Sicquc folurio noftri problcmaris perdu(fla cft ad intcgrario- ncm harum duarum formularum. §. 23. ITic aurcm rtatim in oculos incurrit inicgraiio Umporis /, fiquidcin mauifclU) fict A r — — « /C I — ;;/) /(;;/ n -\- v v) -\- C , vbi quidcm fignum contrariurTi prodiilfct, fi iu rcloluiionc ac- quationis quadratac altcra radicc cflcmus vfi; hoc autcm ipfa quacllionis narura pofiular , ciim dillantia c continuo crcfcat , ficquc mutato figno formuiac radicalis ]/(;;/;/-(- 1' i») rcucra habcbim.U!) : A / — -I- « /(i — ni) ^ {ni n -\- f f) H- C, vndc =— (i5i)=== vnde fi motus initio fiimamiis fiiiflc i'— /, erit A t ~ nY 1 — ;;/()/;«« -h 17 "y — y ;;/ /; -t-J f) . §. 24. Pro hiuejligamne angiili $ (latim qiioqiic fignum radicalis immutemus, vt habeamus ae — -JLi^-l- nSt' 1 nr^iJl^fr — m) cuius exprefilonis pars prior nulla laborat difficultate, ciim flt /_!L^_z:/«x Atang. -^. Tantum ergo fupereft, vt etiam partis pofterioris integrale in- vefligetur, quem in finem ponamus brcuitatis gratia nv Sx^ "/ 1 1 — m, ) zzzdY, vt habeamus ^z=/;;x Atang. :^-j-V, et pofito ]/(;;; ;; -f- 1; v) — s^ vnde fit -r 9 i; — j- 5 x, prodibit ■^ -y n3t -/(i— m) ti35 "/(r — m) ' n — m 71 -H s s it ( I • — m)-\-s s ' cuius integralc pariter per angulum exprimitur, flquidem V — /;; X A tang. -^ 1= /;/ x A tang. /!l!LrtrH . ' ^ -y n[i — m) ' ^ ' n{i — m) §. 25. His igitur partibus coniu,ngendis adipifcimiir 1- rz: A tang. -■^1 H- A tang. /l^LiLztJi-^d — C. Hinc fi ambo arcus in vnum colligantur, fiet vn ' ^' nr'[i — w) — xi y ( m n. -)- ^"i-' ) Conftantis adicdae C valor ex flatu initiali definiri dcbet, pro quo fi fuerit 0 — o et v ~/, erit ifta conrtans C :=:: A tano". / v^» (i — m) -4- Vn (7nn-f-/f ) ^ ^* nY{i — m) — /117717;-+-;/) Noua A^a Acad, Imp. Sc, T,V. X §. £<^. = Ci60 = §. z6. Ex liac ("olutione ^idcmiis, litteram vi lum- qiiam vnitatcm cxccdcic pofic , qnia alias hac formulac eua- dcrcut imaginariac. Cum igitur polucrimus ;// ~ i — X, pa- tct ctiam X cyphrac maius ct pofitiuuni cfle dcbcrc. Polui- mus nutcm X — -^, quac quantitas \tique nunquam cflc po- tfifl negatiua, proptcrca quod inucnimus * r rD ;* = n (d V — d6y-\-vvd^% quac cft fumma duorum quadrarorum, idcoquc ccrtc pofitiun. Cum dcindc fit ;// = i — X = " '^ ^. "^ - , \idcmus lcmpcr fore «r^AA, vndc fcquitur fore ntj(^dv — d^/ -h/zi"i'3^-> [vvd$ — n(dv— c)^)]', hincquc dcducitur ifta conditio, qua cflc dcbet zndv^(vv-i-n)d$; vnde fi ponamus initio fuiflc v—f^ '-il =: a et ^ — (3, nc- ceflc efl At fucrit 2 ;/ a > ( /"/ -j- ;/) (3 , quae conditio fi noii fucrit obfcruata , motus phinc fccundum principia incchanica fubfiftcrc non potcrit. §. 27. Ex his igitur, quac haclcinis funt inucr.ta, pro quouis tcmpore chipfo /, tam quantitaicm c, hincquc dilhni- tiam O T ~ c =: fl -:•, quam aui^ulum 1) () T r= ^ anignarc liccbit, hincquc porro ctiam innotclcct motus cyhndri gyrato- rius, cuius ccleritas anguhiris e(t ^^ — ±zzr£i. E(l vcro ^ ^, ^ d IZi: "^' "'"'*'" nvJvV\i—m) . n-t w i II -t- w ) i'' m rt -f- r r ) ' vndc cum cflct dt — "^^t >'"-"> crit ifla cclciitas anguiaris tf $ tA y''nn *-vv) A > cuius formuhic ditTcrcntialc , fi dcnuo pcr r) / diuidatur, d.ibit t^, cui ncquabatur formuia '■''■"' \iidc cri;o innotc(cct tcndo it ' ' V c ^ -^ fiii t), paritcr pro quouib tcmporc, quo ir.otus durat, ficquc omnia = (1^3) = omni:i, qu:ie circa Imnc motiim defidcran pofTunt, felici fucceffu dcterminauimus. §. 2S. Quoniam pro Httera m duos limites inuenimus, quos transgredi non licet , quorum alter efl: w = o , ideoque X = I et « r — A A,- alter vcro, quo ;;/ r= i, ideoque X = o, .hincque A = o: operae pretium crit hos duos cafus extremos feorfim cuoluerc, quandoquidem reliqui omnes inter hos con- tinentur. Facile autem inteUigitur his duobus cafibus calcu- lum mirum in modum contrahi dcberc; vnde eorum folutio- nem immediate ex aequationibus differentialibus deriuabimus. Euolutio cafus quo m = i fiue A = o. §. 29. Quia hic eft A=:o, pofterior aequatio, fupra integrata, nobis ftatim praebet v v d & — n(dv — d$)^zo; vnde fcquitur d $ - ."^'" ., cuius integrale eft & =>/;fx Atang. ~ ; vbi conftantem non adiicimus , quia nihil impedit , quo minus initium ibi ftatuamus , vbi eft c ~ o , ficque enim quoque fponte fiet ^ — o. §. 30. Quod iam ad elementum temporis d t fpedat, id ex pofteriore aequatione ncutiquam concludere licet, ideo- que prior aequatio in fubfidium vocari debet, quae, ob 5 1; — -^ ^ — -vjvjjv jpjjuet iTai^ic formam: ■ n-vv^v^_ — r 3 ^% ( n -4-1] T) li ~ quae contrahitur in hanc : "'"^^'"' — T 3 /% ficque erit 3 / t/ T — vdvvn_ cuius integrale eft // T — ■/;/(;; -f- 1; i') — ;; , V : n - fiquidem initio, quo ;~o, aflumimus forc etiam i' ~ 0. == (1(5+) = §. 31« Ciim iam porro fit D Cb r= D --j — 3 0 z= "Hiif , "^^ rrTT == v^a^i;x-) ' '^"'"^ diffcrciuialc pracbet * a/}/r •^ (;/-f-i'v/ qiiod diiiifiim rcr d t i/ T d:it ^^^ = '- , vnde collici- tiir tcnfio 0 — ""-!. 1 , quac crco iiiitio dcbiiit cfTe iii- finite magna, dcliinc vcro coniinuo valde dccrcfcit ct mox \ix rciifibilis cuadit. §. 32. Examincmus iam ctiam rtatum initialcm , \bi fuif'*^ aniimimus c — o ct ^ = o , pro quo i^itur fucrant cc- lcritates — zz:^, exilkntc 1' zr o ; tum vcro "** — —, atquc porro ^ = o , ita vt ip(b initio motus gyratorius fucrit nul- lus. Practcrca vcro pro loco ccntri cylindri C initio crat ab- fciiTa A P — .V — o , applicara vcro P M ~^ — / F zz; Y ti (ri -\- 1' ^' ) — n (cqui c — LLLL-^^-^iLilJr • ^ndc patct , fuc- ceffu tcmporis quantitatcm c continuo crcfccrc. Imicnta an- tcm pro quolibct tcn» i, femper crit angulo rec^to maior, et quidcm pro cafu, quo corpus nollrum foret cylindrus X 3 ex = (I^^) = ex rrntena homogcnea conn:in?, ob r — J r quacritur, pro ca("u qiio 0 — 90° a, quo qui- dcm cafu fin. (90"^ — 0) euancCccret, fed quia didantia c cua- dit infinite magna , vtique ficri poteft , vt liaec fonuuhi fini- tum valorcm adipifcatur, quac inucdigatio cum non fit vulga- ris, eam data opcra hic cxponamus. §. 38. Cum fit 0 ~ a A tang. -^- , ponatur illc arcus cuius tang. elt — := w, vt fit '~iH-2'yi' ideoque Q C =: 2 'y i'^ quae cum iam fit propria applicata, fi ea ponatur = «, erit u-lv v ^ \nde fiet 8 u^ zz: 27 jf jr, fiue u^ ~ f x x , vnde patet initium curuae conuenire cum Parabola cubica fecunda, fiue Neiliana, in vertice F cuspidem gerente, cuius parameter e(l f feu 3^. l^Iotum autem ert , huius curuae radium ofculi in T fore - o, ita vt primo initio motus pundi C flexuram infinite magnam (uerit pafliis , ad quam producendam vtique tenfione fili in- fmite magna opus erat. §. 41. Vt nunc etiam indolem portionis infinitefimae cogno- Yah. 11. lcamus,confideremus pundum in loco quocunquc C, cui refpondcat Fig. 5. punc- pundum contadus T , ita vt C T i= i ct nd O T = -y nor- jTialis. lam ducatur rc ct ^ =1 a cj, hincquc tang. -/] — '-.. zz: ~ — . Quia iam flatus quacritur, quando angulus oj abir in rcclum, ideoquc O-po^a, ducatur itcrum rcda OE fub angulo I) O E =: pc^ a, ad quam ex puncto C dcniinuin pcrpcndicuium C S quaeri dcbct. Cum igitur lit angulus C O E i^ 90^ a. — & — >], ob OC — - "- rcpcritur C S ir: 2l£!!Li2^^^=i:i^'", cuius cxprcnionis pollquam^lo- co c, 0 ct '/] valorcs modo allignati fucrint fubllituti , valor afiignari dcbct pro cafu quo fit to ~ po°. §. 42. Ilunc in fincm ftatuamus vt anrc (orpo"'— 0, critquc c — — , 0 ~ a (90" — 0) , >] — — ct cof. v) — i , quibus valoribus introdudis crir intcruallum quacfitum C S = aa — I =1:;; — i; vndc patct, dilhintiam Iiuius curuac in in- finitum cxtcnfac a rcc^ta O K vnitatc minorcm cllb quam cur- vac pracccdcntis , id quod cum rci natura egrcgic conucnit , cum dillantia intcr C et T pcrpctuo mancat vnitati acqualis. §. 43. Ad hanc crgo curuam dcfcribcndam, ad rc(f(am Tab. 71. OE fub angulo 90"* a ad axem () I) duc^tam, ducatur pcrpcn- J'S- 6. diculum O F nz » — i, cxillcnte intcruallo O F zr: i, ac pcr F ducatur rc(fta FI ipfi O E parallcla, caquc crit affymptota no- ftrac curuac quaclitac F C I, i)uippe tjuac cum ifla rcc'a in in- finito prorfus congruct. Cctcrum illa curua cx pracccdcntc facilc conllrui potuinct, cum prV> fiugulis h)cis puncfti conta«flus T facillime loca ccntri C dcliniri potuilllnt. Vcrum quia hacc ipfa inucf^icatio ncutiquam cll obuia, haud invtiic Aifum fiiit , hauc Analylin fufms cxponcrc. Euo- (169) Euolutio altcrius cafus extrcmi, quo w/ rr o , . fiue A A ~ n r. §. 44. Cum igitiir hoc cafii fic ;/ T — A A , erit 1 nnCdv — d^y-hnvvd^^^zzzivrjd^ — fi^dv — dO))'^ quae aequado euoluta praebet (c; "j -f- «) 5 ^ = 2 « 9 1;, ideoquc d $ zz: - " ^ '^' . Oiiod fi iain vt antc afTumamus initio fuiire 1 V V -t- n. ^ tam &-0 quam i^zro, habebimus integrando 0=2 /«x Atang.-^ . \ Hic iam llatim vt fupra ftatuamus }/ n — a et A tang. ^^ =: co , 1 fiet 'y = a taug. w et 0=2au, ex qua formula iam ambas cur- 1 vas, quas punda T et C durante motu dcfcribunr, determinarc \ poterimus. \ i §. 45. Quo autem noftra inucftigatio aliquanto latius [ pateat , duas has formulas contemplemur : v z=: a tang. w et i 0 — (3 oj , ita vt hic fit (3:iir2a, cum cafu praecedente fuiffet rp , ., |3 zz: a. Incipiamus nunc a cwrua, quaitn centrum grauitatis C pig. i. -, percurrit, pro qua pofitae erant coordinatae A P = x = a; cof & — fin. 0 et P C =:.y = i? fin. 0 -+- cof 0 , pofito fcilicet iterum j radio cylindri « = i. Ac primo quidem indolem huius cur- ] vae circa ipfum motus initium inueftigemus , vbi interuallum ! V minimum , ideoque etiam angulus co vt valde paruus erit fpedandus , ita vt proxime fit 1; ~ a w -j- | a oj^; tum vero , | fin.O — f3w — ^(3'w^ et cof.a — I— ip^w=H-/4|3^w* I vnde pro initio huius curuae erit ; .v=:(a — (3)coH-(^a— ^ap*-|-|(3')u' et • 1 j:z=:H-(a(3— i(3^)w^-f-(/,p3-4-^a— Ja(3^)Pw\ §• 4<^- Hinc igitur pro cafu praecedente, quoerat|3 = a, dcbuit efle Noua Aita Acad. Imp. Sc. T. V, (170) === xz=.{^a. — Ja')a)'r=: — ja(aa — i)a)' ct j— i-j-ia»oj'-f-(5a« — Ja^wS \bi patct, pro abfciir;! .v primum terminum fpontc cuanuiffc, idcoquc proccdi oportuifle ad porcliitcm oj^j pro applicata au- tcm ;' fuffcciHe iu potcltarc oj* iubllitiHc , ita vt llatui poilit j — I — i a^ («j* ct A- ~ — ^ a (a a — i ) aj\ Hinc crgo accu- ratius, quam antc fccimus, dcducitur forc '■^~' ''■ ~ _ !ii! — : ^ " ' JC' g(ao — I)»' inirium fcilicct luiius curuac conucniet cum parabola cubicali fecunda, cuius aurcm paranictcr crit ' — — , . ^'crum hacc corrC(flio non influir in fupcriorcm dctcrminationcm, cum liif- ficiat noffc, huius curuac radium olluli in initio cde infinite paruum ct ipfim curuam rctro vcrgcrc. §. 47. At vcro pro pracfcnti cafu, quo |3 r 2 a, pro- dibit ablcilia Tab II. X =. — aw — 5a(2aa — i)w', *^'fi- 7- idcoquc fatis propc .v — — aw; at vcro applicata rcpcrierur j ~ I — 5aa(aa — i)w*. Quarc fi initio fucrit ccntrum C in punc^o F , fumto in rc(fla axi O D parallcia intcruallo F y = a oj, co rcpracfcntabitur no- ftra abfcifUi minima in plagam contrariam vcrfa , applicata au- tcm j, ob aa>i, aliquantillo minor crit quam i, ficquc cur- vac puniftum infra y in t: cadct, intcruallo y -n infinitics mi- norc quam Ty; vndc bacc curua porro pcr puncflum ;;; fcn- fim ftnfimquc dcfccndct, ita vr in iiiitio V radius ofculi fiicrit infinite magnu'^ ct curuarura nulla. Motus crgo primus ccntri grauirati>, rctro crat dircdus cum cclcritatc finita, vti dcinccps vidcbimus. §. 4S. Tnquiramus minc ctiam in nafuram Iniius cur- Tae iii infinitum porrc(ftac , atquc rctcnta in calculo iittcra (3 primo Ci70 priniO enidens eft diflantiam v euadcre infinifam , vbi angiilus cj vsque ad 90° augctur. Tum autem erit angulus ^ = (3. 90°. Conftituto ergo angulo D O E - (3. 90*, reda O E nobis po- Tab. II. fitionem recflae O T , quando in infinitum fuerit auda , vel Fig. 5« quando pundum C in infinitum proccflerit, referet,- neque vero hinc fequitur pundum C in ipfam hanc redlam OD incidere, vnde necefle elt eius diftantiam ab hac redla O E explorare. §. 49. Duda igitur primo redla O C vocetur anguhis C O T = >] , vt fit angulus DOC^^H-t); at vero ob ra- dium CT~i et OT — a;, erit tang;. vi ~ i^, — —J — , hinc- que ipfa diftantia O C =::r ~- . Nune fi ex pundo C ad re- > I , fiuc hic anguhis crit gibbus. Ad hunc igitur c.i- fum conllrucfta cft figura s , vbi anmilus gibbus D O E c(l a. i8c°, ad hanc rccftam OE normahtcr ducta rcda OF — 2 a" — I — :i « — I , afTymprota nolhac curuac F 1 ipfi O E paralkla , pcr hoc puiKftum F tranhbit, ad quam igitur nollra curua traciu ("atis vniformi continuo propius acccdcr. §, 52. Multo autcm facih^us alteram curunm n punLfo T dcfcriptam dcfmicmus. Pofitis enim pro ca coordinatis O U iziX ct U T = Y, ob D O T = ^ et O T = ;• crit ab- F'g- »• fciffa X ~ v cof. 6 ct apphcata Y — e fin. ^. At vcro nnrc iam vidimus coordinatas hascc pcr angulum w ira cxprimi : X =:aaj-|-a(; — ipf3)oo' ct Y = a p Oi' -h a (3 (5 — J ^ p) oi* vbi fatis crit pofuifTc Xzraw ct Y — ajlww, vndc crit JL — A , ficquc noflra curua congruct cum Parabohi rciftam O H in fuo vcrtice rangcntcm, ciiiusqiie axis ad O I) cll nor- mahs. Noftro igirur cafu, quo (3- 2 a, cius paramercr crit "i. ^. 53. Pro porrionc huius curuac in infinirum por- rcil I - — 2 eoj. u' ) adixi coj. i oj coj. oj^ ' cojT^ ' hincque ex aequatione principali poftcriore 'vvd^ — n {7) V — 3 ^ ) zn A 5 ; , ob n zrz a a. deducimus hanc: ^ll^ — A 3 ^ ficque nancifcimur ' coj. co^ ' ■■ integrando A ^ — a^ tang. d} zzz a a v; vnde patet, longitudincm fili O T cum tempore vniformiter crefcere. Ceterum hic no- tetur effe A :=: a ■/ F, id quod obferuafle ideo iuuabit , quod quantitas F vi viuae eft proportionalis , quae corpori noftro fuit imprefla, eademque perpctuo conferuatur. §. $6. Cum igitur F a quantitate motus initio impreffi pendeat , videmus ipfas curuas defcriptas non ab hoc motu eiusuc quantitate pendere, fed totum difcrimen in eo confiflerc, quod iflae curuae tardius ccleriusue percurrentur. At vero in- doles curuarum praecipue a qualitate motus initio imprefli pen- det; quamobrem examinemus, qualis motus corpori initio im- primi dcbuerit , vt hae ipfae curuae , quas dctcrminauimus , percurrantur. Y 3 §. 57. §. 57. Primo igitiir qii:icramiis motiim , qiii ccntro Tab. II. ej.iiiit:itis corporis C inirio imprimi dcbcat, \t ilhim motiim pro- f'g- 9- (cquatiir. Rcfcrat igitiir Figuri 9. fitum corporis initialcm, pro quo fupr.i vidimus cHc coordin:itns .v — — a co ct j ~ i — 3 a"*, vnde ergo pro cclcrit:itibus colligitur 5x __ A coj. u) _A gj a;y __ Q . tJ t au u a , & une autrc qui provient du frottement - X M fin.a, & qui tend a diminuer cet anglei le totai des forces eft donc 0 — X M fin. a & fon moment eft a (0 — X M fin. a). Or Cp zz: J. & 3 a C|) — Ii2i , ce qui etant fubflitue donne a notre equation la. forme fuiv^ante : IIT. ?L!^=:0_XMfin.a en mettant pour abreger ~ — n, §. 9. Voila donc les trois equations fondamentaks que les principes de Mecanique nous fourniflent, & qui ren- ferment la folution complette de notre Probleme; II. ;-?^ =1 — 0 cof. ^ -^ M cof. a — ^M fin. a^ III. *-i^^ = 0 — X M fin. a; mais comme il eft tres-difficile, fi non impofiible, de traiter ces equations en general & d'en dcduire les valeurs des quan- tites jr, 1; & s, nous allons en faire rapplication a quelques cas plus fimples & qui fe pretent a la double integration. I. Developpement du cas ou le plan eft horizontal & le frottement nul' §. 10. En fuppofant le plan AO horizontal & fi polirpgj^ UI^ qu'il n'y ait point dc frottement, nous aurons a=:90°&X=0i Fig. a. & nos trois cquations diffcrentielles du fecond degre feront : Z 2 I. I. IT. III. (180) l^ = — 0 cof. ^- M n J 5 X' -£<'«* =r 0. D"ou il faut dctcrminer , pour chaquc tcms t 6coulc dcpuis lc coinmcncemcnt du mouvcmcnt , lorsquc Ic corps ctoit cn A, lcs cfpaccs OXzz:a-, OP-zd(. rangic de convcrfion du dibquc xC'i — (p — '^. §, II. Subflituons pour cct cflct l.i valcur 0 = quc fournit hi troificme de nos cquations, dans lcs dc trcs, & nous aurons Ics cquations luivantcs: M .j j J M n i d T cof.O . V D i) Z p d'ou lOn tirc . M n ^S V ux au- M n ^^^ dpcoj.d djjin. t ^ & " •* p^« -p f. i> ^' §. 13. Soit J^— 2^, de fi^on que |f — 3^, 5c no- tre equation deviendra 6u bien tigd X cof ^H- dq (fjL-f- cof 0") — zqd^ finJ cof 0 zz: o, d'oii, en prenant les integrales, nous aurons 2gfdx cof.l? -i-q {\}^-\- cof 0") -I- C zn o , ou bien '-Tf^ + 4fa-/3^cofO=:A, ou A marque la conftante arbitraire que rintegration exige. §. 15- De cette equation il fera facile de deduire la viteffe progreflive du disque , que nous nommerons //. Car comme ' — A-.g.f.xco/.g fP |j.-(-coj.e-' ' i. — £x __ ^^ __ / A — ^gjdxcoj.i f IZ—igt — '^ ^'-f-ttCOf. ^, d'oii lon tirc dy — vc-gt-i-ueojd) ^ partant ^z « p- / M n {igl -i-U coj.t) <; g p f M n u oA » 5. 17. Ccs dcux vitcflcs ii: & i^ nous donncnt, par unc fccondc intcgration, lcs cfpaccs parcourus c & z, favoir: ^. __ gpM -t-P/J*cgM . p -t- Mn * ^ p P ' ' — M n MrcoTJ >ia ' (•i caufc de mc)/ — c).v> Pour cc qui rcgardc l.i quantitc a-, fi nous mcttons lintcrvallc conflant a caufc dc / -j- V = z -4- ^ -h 2 rt A tang. "- = :=r -|- .v -1-^0, nous aurons x- = / — a $ -^ v — z. M;ii^ cn prcnant hi dilfc- rcncc cntrc c i dje y. d in i-P,n-t-i)* .V = ^ — g""'' , ; M n -I- P ( n -H 1 1 dont Ics dciix premicrs n'ont pns bcfoin dc conflnntcs, puls- qu^ils dvanouincnt en mctrant /zrzo, comme la naturc du Problcmc lcxigc. Ces deux cfpaccs font donc cn raifon des quarrcs du tems. Q)uant au trcMficme nous y nvons ajoutc unc condante ^, par( c qucn mcttant / = c, Jc point \ doit €tre en A, i. Nous avons ncgligc ici cc fiortcir.cn t, c'c(l pourquoi nous allons cn tcnir comptc cS: dctcrmincr fa qiuntitc dans lcs rcchcrches fuivantes. III. D6vc- = (187) = III. Developpement dii meme cas, en tenant compte du frottement. §. 27. Nos eqiiations fondamentales donn6es au §. 9, en mettant ^ — o & a — 90°, nous fourniflent pour ce cas ces equations : II. !lii^ z= — 0 — X M,- III. 1J^JI^ — e~-KM; dont la troifieme donne 0 = X M-1- " " ^ f,'" , ce qui fubftitue i g d t^ ' ' dans les deux piemieres leur donne la forme fuivante : 4t dt 33« . — ^g-Kdt — ni^. Or nous avons vu ci-delfus (§.2.3.) que ^— — nous aurons donc ^J^ = 2gdt(i — ^-^—2X) — (^-\-n) l^ , equation de laquelle nous tirons facilement -jl m7i-hp(7i-hT) , ct ae la 33z ig3f [P(n-H-i)->-XM(n — i)] . d t Mn-i-P(n-l-i) * ddx ^ ^ g d l [P(iX-f-n)-l-XMn] d t Mn -(- p (n-HT) * §. 2 8- En prenant les integrales de ccs trois cqua- tions 5 noiis aurons les viteffes Sv __ agf[p(i — gX)— Xm] . 3' Mn -f- p (n-t-i ) ' £_5 — *gt [P (n-t- i) -(- X M 'n — 1)] . ^ ' M n -(- P I n +- 1) ' ' i£ ;;^ ^gt rPitX-f-n)-)-XMn] a »in-f-P(n-f-i) ' A a 2 oii = (iss) = ou il ncd: pas ncccffaire d':ijourcr des conftantcs, puisquc lcs vitcires doivcnt ccrc nuUcs lorsquc / ~ o. §. 29. En prcncint lcs intcgralcs dc m.micrc que v &: z cvanouifTcnt & quc .v — /', lorsqu"ou mct f~o, Li fc- condc intcgration fournit lcs clpaccs ^ — gll {r{t — aXi — XmI . M n -f- P i rt -t- 1 j ' ^ gtt [nn-t-tl-f-XMin — iH . • ** Mn-l-nn — t) ' ' „ ^ g// [P(iX-t-nl-)-XMn] ^ MTH-Pin-t-i) §. 30. Chcrchons aufTi hi tcnflon 0, »5c puisquc nous avons trouvc 0 - X M -f- *** " "^ " ^ , cn mctrant ;i hi phice dc ''"— zg ,/t* ' * d i fa valcur, hi tcnfion dcvicndra 0 §. 31. Pour cc qui rcgnrdc hi quantitc X, pnr hiqucl- Ic il faut mnltiplicr hi prcllion, pour avoir la forcc proprc i cnipcchcr la friction «S: u fairc naitrc unc rotarion parfairc, on pcut hi dctcrniincr dc cettc fa^on. Comnic la rotation cll pnrfaitc lorsquc la vitctfc gyratoirc crt cgalc a ia vitclle progrcliivc du disquc, ccfl a dirc, lorsquc '-^ — — 1^ -> lcs numcrarciir'^ dcs cxprcdions trouvccs §. 28- pour ces dcux vitciics, doivcnt ctrc cgaux, d'ou lon tirc P (i — 2 X) — X M — P (2 X -h ;;; -f- X M ;;, tqu.ation qui donnc X =: ;^^^Ill:^-iL^. §. 32. F.n donnant donc :i X ccttc vnlcur, hi vitcfTc gy- ratoirc fcra cgalc a hi vitcMc progrcirivc, & Ic disquc fcrn niu par lc Icul mouvcmcut rotatoirc, a moins quc >i nt fut plus pctic = (i89) == petit qu'un tiers. Ciir comme on eftime ordinairement que le tiers de k preffion fuffit pour vaincre le frottement, c'ell- a-dire, pour empccher notre disque detre traine fur le pLin: fi X fiit >5, la force employee pour contrarier cet effet fe- roit trop grande & agiroit pour donner au corps un mouve- mcnt progreffif dans le fens contraire. Mais fi X<^g, reffet du frottement fera, comme nous avons deja obfervc, de di- ininuer le mouvement de rotation lorsque «<^ i, & de Taugmen- ter lorsque « > i. §. 33. Faifons l'appIication a un cas determine ; & comme le choix des pieds, pour les mefures des longueurs nous eft indifferent, prenons, pour la commodite du calcul , un pied dont 16 font la hauteur, de laquelle un corps tombe librcment dans la premiere feconde. Soit donc g zzz 16 ^ a zzzx & ^ — d'^ de ces pieds, & fuppofons « = § , P — 5o SiM—10 onces, & nous aurons X— |, M « -|- P (« -H i) =1: loo & partant les trois efpaces : "j— 7, III tt ZZH 14., 222 . t t jf~, 8 8p 407, 26 0 -8, 444. 5^, 888 35, SS^ 1629, 43 3 04, oco 128, occ 0, 000 3666, 55 Aa 3 Cette = (»90 = Cettc tablc noiis fait voir qiic lc disquc cmployc 3 fccondeb a parcoiuir le plan A O dcpuis A jusqu cu O , ou .v n: o 6: c — 64. picds & s— i2S~2C'. Quant au mouvcmcut gyratoire apres la prcmiere lccondc Jc disquc a fait i ^-j dc rc- volutions, aprcs -' il cn a fiit 4.^ & a la fin du mouvemcnt le nombre dcs rcvolutions faitcs fera lol a pcu - pres. La tenfion enfin du fil devicndra dans cc cas - ci 0~ — 4, cclt- a-dirc quellc a^it en un lcns contrairc, a\cc une force cgale au poids dc 4. onccs. §. 34. En fuppofmt les poids du disquc (?c du corps P cgaux, les efpaces fcront: 2 n-t- I ' „ g I n -^- 1 ) -4- X ' n — t ) t t . c n -(- I ' 1 n -»- i La tcnfion de\ient 0 — ( xi ■ -4-n)-n ^m ^^, >. zz:'J=15. Subfli- 1 n -t- I n -H i tuons cctte valcur dan^ Jcs trois cxprcllions pour c, c »^' x & nous obtiendrons i e t l nH-i ' ~ — 4«n . n-t- J ' n-Hi dou ion voit que s rr 2 'y «Sc .v iiz Z» — '•j, comnic la nature de cc mouvcmcnt c\ii;c , prcjprictc qu'iJ ctoit diflicilc dapcr- ccvoir dans Jcs formuJes prcccdcntcs. §. 35. Suppofons /;.-:- 145 i picds, en laiffant a ;; fa valcur i, de fa(;on quc X dcvicnnc ,'m ^ nous aurons c :zz 5, 818. / / ; 2 =: 1 1, 636. / / j X — 145, 500 — 5? S18. / 1' La (ipl) = Lii table fiiivante fervira a faire connoitre le mouvement du disqiie TeoiS. r, v n 1' O' P = ^ OX = .v Kcvohit. o'' O, OoO 0,000 145,500 0, OuO I 5,818 11, «536 139,682 0,926 2 23,272 46,544 I 22,228 3 704 « ^ 52,362 104,724- 93,138 8,334 4 93,089 136,178 52,411 14,815 5 145,4-54 290. 908 0,046 =3,149 IV. Developpemcnt du cas ou le plan & le fil font verticaux. §. 36. Ce cas eft le phis fimple de toiis, parce qu'il Xab. III. ii'7 a phis de prefllon, ni par confequent de frottement,- mais Fig. 4. il n'en efl: pas moins remarquable , c'efl: pourquoi nous allons lui appliquer nos formules gencrales qui, en fuppofant ^ z:z. o & a~o, deviennent: I. ^-i^ — P_0,. U. ?L:.if — — 04-M; III. '!LLt±!L — 0- tgdi'- ' dont les deux premieres , en y fubfl:ituant la valeur de 0 , prennent certe forme: ZZZ 1 gd t ^^ Sdv . — 2 gd t — ;; . i^=2gdt — '^ dt O P dt ^-^ — 2 e d i H '^^'^ 5- 37- Soit G le point du fil qui au commencement du mouvement, lorsquc' le uisquc ctoit en A, avoit touche le point fuprcmc de fa pcripherie, & il y aura, comme dans Je cas cas prccedent, G 0'-|- O^ P — O A, ccfl a dire z-^x-^V-B^ ou bicn t^-^-ilSzzztLE^ dou l'cn a dd V 4 g P <^f . ot Mn-»-P(n-hi)' 9d z tg3t[P(tt-<-i)— Mn) . dt Mn-»-Pl»l-»-ll * i ii X agJf(Mn — P(n — £)_) <*i M n-t- p m -t- I ) §. 3 8. Dc la on dcduit par Ii prcmicrc intcgration lcs trois vitcflcs: dv t Mn*-Pin-(-i)* dr __ tg((rin-f-i) — Mn) . dt M n-K P ( n-H 1 ) * 5x igl(Mn — P(n — iM d f M n -t- P ( n -f- I ) Dc lii nous voyons quc la Aitcffc gyratoirc cfl toujonrs pofitivc & proportionncUc au tems. La vitcflb du poids .lu contniirc pcut devcnir pofitive (S: ncgativc: clic fcra pofitivc & lc poids desccndra , lorsque P >* ^^^- ; ellc lcra ncgativc ^c Ic poids ir.ontcra lorsque P < ^^^- . Mais fi P z= ^^"- , la vitcflc du poids cvanouit; ainfi le poids rcllc en O'' & la vitcflc dn dis- quc dcvicnt cgalc a la vitcffc gyratoire; .v dcvicnt — v -[- b ou bicn 1' ziz b — .v , ccll-a-dirc G a: =r A X. Quant :\ I.a vitc''e du disque , clic lcra toujours pofitive lorsque « <^ i ; ^c comnie pour lc dJNquc {|uc nous confidcrons il y a tou- jours kk <^a a^ &: partant fi <^ i, lc di-.quc dcfccndra toujours. §. 39. Fnfln cn prcnnnt Ics int6gralcs dc fafon qu'au commcncemcnt du mouvcmcnt , 011 f =z o , il y ait c? ~ o , c zn o , X zn b ^ la ("ccondc intcgration nous donncra v — L^JlLi i Mn-f-P(n-f-i) ^ {_LL' •* ' " "•iL* ' — ^ " ' • == (i93) == V h -X- g^hMn — P(?t — i1) . ou les efpaces i; & 2 font en raifon des quarres des tems. Recherches generaleS;, ou Ton tient compte du mouvement de la poulic, du frottemcnt & de i'inclinaifon du plan. §. 4.0. Soit r le rayon de la poiilie dont nous fuppo- ferons le mouvement librc autour de fon axe , & le moment dinertie Qrr, dc fortc que Q efl: une certaine partie de la maflc. Mettons la vitelTe dun point de la circonference -?/, & il eft clair que le mouvement angulaire fera egal a la de- fcente verticale du poids P. Ainfi en fuppofant que par un efpace de tems d t \q point de la circonfcrence de la poulie ait decrit un angle d \\^^ \\ y aura rd^zzzdz ^ uzini^. §. 41. Soit la tenflon du fil entier ~ 0 & celle de la portion entre la poulic & le poids ~ Q\ & nous aurons pour la defcente du corps TT^^ — ir- — «^ . La force qui ftiit tourner la poulie etant 0''— 0, & fon mo- ment — ;-(©'' — 0), nous aurons pour'le mouvement gyra- toire de ia poulie cette equation: ILL^ =r r C 0^ — 0 ) qui a caufc de r d d \l/ nzd d z dcvient En ajoutant cette cquation a la preccdcnte, il y a en tout pour lc mouvement du poids { V ->- Q M fi Z =i?~e Noua Acla Acad. Imp. Sc. T. V, B b & (194-) = 6: voila requarion quil faudra nicttrc a h phicc dc la prc- micrc dc nos trois cquiuions gcncralcs. Lcs dcux autrcs ne font point changccs par la confidcration prdcntc du inouvc- mcnt dc la poulic. §. 42. Suppofons maintcnant quc lc fil foit parallclc nu plan , puisquc ("ans ccttc ruppoliMon langlc 0 YcWe dans lc calcul «5c Ics formulcs font intraitablcs. Nous aurons donc II. «iiif — _ 0 -f. M cof. a — XlVi fin. a : III. ^^ =z 0 — X M fin. a. §. 43. La dcrniere equation fournit 0 = X M lin. a -+- Mn <) IV igdt' En fubftituant ccttc valcur dans les dcux autrcs, cllcs dcvicn- ncnt 3 9 2 t^ 3f ( p — \Kfin.rt > _M n_ d :) v . ^ = 2 g ^ / ( cof. a — 2 X fin. cL)-n. ^J^ . §. 44. Dn point O^, ou lc fil conuncnce a touchcr TalvIII.^-^i poulic, abainbns Air Ic plan A () la pcrpcndicuhnrc ()^(), Fig. 5. & du ccntre y de la poulie, fur lc fil R O, la pcrpcndicu'flirc yR, & nous aurons larc 0'Rrz:r(i8o° — a.)—d. Sup- pofons quc Ic poids P foit cn R lorsquc X cft cn \, ; cn mcttant () \ —b^ O X zz .v, .v ^ m: or G zz: c, la Ioni;iicur dc la portion dcvcloppcc dn fil au commcnccn'Cnt du n.ouvcnicnt eft ^0'^-zr.d-\-b^ qui doit ctrc cgalc a la longucur dc Ja portion P R (.Y x — xQ ~z -\- d -\- x — c , donc ;3 -h A" — ' ul dl - Q ) //n. g ] . Mn-|-(P-|-Q )( n-t-i ) ' •\ P'r— n)-(-[Mn-f-giP-F Q ) ] co/. a [M(n-l-i )-f-4 (P -(-Q.~)]/m. a §. 48. Examinons aufll la fomme des forces vives , Cc pour la trouver de la manicre la plus facile reprcnons nos B b 2 trois trois eqimtions fondamentales du §. 42, »?«: fi noiis multiplions la prcmicrc par d z^ h fccondc par d x tS: la troificme par 3 v, & que nous prcnons la fommc des intcgralcs, nous aurons i^i^^a^-j-^axj-f^Mn^ — A -f- P 2 -I- M .V cof. a — X M (.V -h c) fln. a — / Q(dz-hdx — dv) 6quation dont le dernicr tcrmc intcgral scn va , a caufe dc 9 2 -h 3 .V ~ D r. Qiiant :\ Ja conlhmtc A , il faut la dctcr- mincr dc fayon quc la fommc dcs forccs vivcs 6vanouiIfe cn mettant s = c, 1 = 0 & .v — ^, d'ou Ton tirc A ~ — M ^ cof. a -f- X M ^ fin. a. Dc ccttc manicrc la fommc dcs forces vives dcvicndra (PH-Q).^-f-Mi^-|-M«i^*;z= — 4^[Pc— M(^ — .v)cof. a — AM(.v-f-c'— ^)fin.a]. Or la fommc dcs forccs vivcs doit ctrc cgalc u la dcfccntc vcrticale des dcux corps , multiplice par lcur manb , ccft a dire rz^^^Ps — ^ gM (b — .v) cof. a ( Ic dernicr ncgatif parcequc Ic disquc montc.) I.a pcrtc de la force vive fcra donc — 4.^ X M ( Jf -f- ^' — Z») fin. a, qui 6vanouir 1°) lorsque "X — o; 2") lorsque arr o; 3-) lor^quc 1' ~ l> — .v , ccfl h dire lorsquc la rotaiion cft parfaitc. Dans cluicun dc ccb trois cas la coufcrvation dcs forccs vivcs cft cvidcntg. E.S.SAI == (197) == ESSAI THEORETI6LUE SUR LES VIBRATIONS DES PLAQUES ELASTIQUES, RECTANGULAIRES ET LIBRES. PAR JACQJJES BERNOULLI. Prefente a la Confe.rence le 21. Odobre 1788. §. I. ll ny a pas dcGcometre, je crois, qni aprcs avoir lu Tex- ceJlent traite de M. Chladny fur le Ibn, n'ait fenti le plus grand defir, qu'on put trouA'er & demontrer h priori par le calcul les belles decouvertes, que cet habile Phyficien a faites avec tant de fligacite , par fes experiences fur les vibrations de differens corps, qu'on ne s'etoit meme point encore avife de prendre en confideration. Les efforts des plus grands Geo- metres de ce liecle fembloient presquc epuifes dans la deter- mination des vibrations, excitees dans des corps flexibles ou elaftiques, qu'on pouvoit regardcr comme n'ayant qu'une fcule dimenfion, tels que les cordes &. les lamcs elaftiqucs. Si M. L. Euier a ofe paffer plus loin, & traiter du fon des cloches, il a reconnu lui-meme, que rhypothefe, qu'il faifoit fcrvir de bafe a fes calculs, etoit prccaire; & M. Chladny a mon- tre, qu'en efFet elle n'etoit pas admifllble, puisque les rcful- tats., auxquels elle avoit conduit fon auteur, ne s'accordoicnt B b 3 poiut (i9S) == point aAcc lexpcricncc. Jctois donc bien loin dc fongcr moi- mcme ii rcntrcpiife dun travnil, que je croyois a-pcinc u la portce dc ccux dentre les Mnthematicicns, qiie jc dois rc- gardcr commc mcs maitres. Ccpcndant ayant lu lcflai dc M. Eulcr fur le mouvcn"!cnt vibratoirc dcs tambours, qui (c trou- vc dans le X. Tomc de nos Nouv. Commcntaircs, ou cct llluUre favant a dctcrminc lcs fons dc ccs corps flcxiblcs, qu"on rcgardc commc ayant deux dimcnfions, daprcs une hy- pothcfe trcs plaufibie^ quoiquc malhcureulcmcnt on ne trouve ni dans M. Chladu}', ni dans dautres Autcurs quc jc fache^ des expcricnccs quon puilfc comparcr avcc lc calcul, & qui lui fcr\iflent pour ainfi dirc dc picrre dc touchc : ayant lu, dis-jc, cc Mcmoirc, il me vint dans rcfprit, qu'nne hypo- thcfc fcmbhiblc pourroit fcrvir dc bafc ii unc Thcoric dcs vi- brations dcs plaques ou furfaccs clafliqucs ; ThccM-ic qui fc- roit d'autant plus intcreflante, quc lcs fons & lcs vibrations de ces fortcs de corps font un dcs principaux objcts du livre de M. Chiadny, & qu"ainfi il y a une amplc provifion d"cx- pcricnccs , qu'on pourra confrontcr avcc lcs rdultats dc la Thcorie. §. 2. Quoique jc doivc fuppofcr, quc tous ccux, qui liront cct cfl^ai, connoilfcnt dcja la Thcorie dcs vibrations dcs lamcs 6lafliqucs par ks bcnux Mcmoircs de Mrs. 1). I?cr- noulli, *) L. iMilcr, **) & le Comte Jourdain Riccati, "*) il fcra ccpcndant niccfl^aire d cn faire prdccdcr unc courtc cs- quinb. Jc propolcrai enfuite la Thcoric dcs phiqucs; 6»: cnfin jc comparcrai lcs rcfultats dc ccttc Thcoric avcc lcs cXpcri- cnccs dc M. Chhuiin'. •; V. Coinmcniarii Acad. Scicnt. l'ciiopol. T. XIII. ••) V. Acla l'cfropolitana , pro Aniio 1779. P I. •••) V, Mcmoiic di Mat. c lif. della focictj haliaua T. I. *— (199) §.3- Confiderons donc iine fibre on lame elaftlqne; droire dans Hi fituation natnrellc. Que cette lame foit folli- citee dans chaque point, perpendicuJairement a fi longneur, par nne petite force =5/>, & qu'on faffe abrtradion du poids de la lanie. pappelle x dc z \es coordonnees pcrpendiculaires de la courbe produites par ces forces, x etant r^bfcide prife fur la ligne droite, qui rcprefente la fitnation naturelle dc la lame. Soit aulli le ra,von ofculatcur de la courbe zz: r, & E une conftante, qui depend de rclafticite de la lame, dont on peut trouvcr la valeur abfolue par rexperience. Cela po- fe, on parvicnt d'abord a reqnation — — //)3.v, V. -rAppeu- dice dc cur-vis elajticls dans Eulcri Methodus invenicndi curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Me. cette equation ron tire, en fuppofimt dx coafiant, d p ziz — dd .\. Or la fibre etant retenue en equilibre dans la courbure propofce , il faut nece.Taircment que pour chaque clement de la courbe relafticite de la fibre produife unc petite force cgale & con- traire a dp^ puisquc fans cela letat de repos ne pourroit pas avoir lieu. Si maintenant ces forces exterieures dp ccffoicnt fubitement d'agir, on con^oit que )es forccs contraires, pro- dnif^es par fctat force , dans lequel la Jame ctoit rctenue , pourront fe deplover, & en nommant ^ / la longueur ou la maffe de chaque element de Ja lame , il fera anime d'une force accel^ratrice —^ pour retourner a fi pofition natu- rel!e. Et fi la courbure n'a ctc que trcs pctire, comme on le fuppofe toiijours, quand il s'a:ir de vibrations, les ordon- nees z feront commie infiniment peiires a l'cgard dcs abfcilfes jf, on pourra mertre ^j — c>.v, rzisii^, & par-confcquent la force accelerarrice fera exprimce par ^ — ^^,. D'apres les rcgles etablies par Mrs, dAlembert & Euler il fiiudroit maintcnant , pour parvenir a ce quc cc dernicr appelie une folu- Iblution paiTaire, mcttre ccttc force accclcnitrlce ^^ cgalc k relcn.cnt de la vitclle, divife par ccliii dii tems, ou — ^-^-^. Mais outre quon ne fait intcgrcr cctte cquation que particu- licrement, il ell ccrtain, quun auHi grand advcrfairc quc Da- niel BernouIIi efl toiijours rclte intimcmcnt pcrfiiadc, que la manicrc fuivantc , qu il a empioyce pour toiis lcs problcmes de cctte cfpccc , fur lesqucls il a tant travaillc, conduifoit tout aulfi bicn u tout cc quil y a dc rccl (ou dc pby/i(/ue) dans ccttc maticrc. On na donc qua pofcr la forcc accclc- ratricc proportionncUe a la dillance z ou ^^yt condition nc- celTairc pour la rcgularitc ou rifoclironismc du mouvemcnt. Alors / rcprcfcntcra la longucur du pcndulc fimplc (ynchronc lYCC les vibrations dc la lamc. On a donc ^^ r ^ , ou, faifant E / = f', ^; =i =-, dont lintcgralc complctc cll X X z ^ A e<^' -{-B e~ c -\- C fin. ^ -|- D cof. ^. ""' §, 4. Ccttc cquation dcvient abfoluincnt la mcmc pour toutcs lcs iamcs vibrantcs, foit librcs, foit fixcs, 6: quon prcnnc le commcnccmcnt dcs abfciflcs dans qucl point dc Taxc qu'on vcut: il n'y a quc ies conrtantcs A, B, C, D & f , qui fc dctcrmincnt difTcrcmment daprcs ccs difTcrcntes con- ditions. Kt ce qui cil dit ici dcs lamcs clartiqucs, fcra fout aufll vrai pour Ics plaqucs , quoiquc je ne me propofc dc traitcr que des plaques iibrcs, pour ne pas ctrc trop long, & parccquc M. Chladny ncn a prcsquc point foiimis d'autrc8 i fcs cxpcricnccs. ^. 5. Pour montrcr donc , commcnt on dctcrminc lcs conflantcs, 011 fcra attcntion, qucn prcnnnt lcs abicilfcs dcpuis Ic nulicu, lu Jamc doit avoir la mcmc formc, ou z doit (lOl) doit etre la meme , foit qii'on prennc x po/itif ou negatlf: avec cette diftindion cependant, que quand la lame forme en vibrant un nombre pair dc noeuds , commc dans la fig. i., les deux parties egales de la lamc auront aufTi la meme po- fition, enforte que pour x affirmatif ou negatif, z eft affcde du meme (igne; au lieu que fi la lame forme des noeuds im- pairs, dont Tun tombe dans le milieu, les parties feront ren- verfees lune relativcmcnt a Tautre , comme dans la fig. 2., 6: pour la mcme valeur pofitive ou negativc de .v, le figne de z fera difFcrent. D'apres cette condition on aura donc: A f^ -h B ^~~ ^ •+• C fin. ?- + D cof. ^ zz: c c :t ( A ^'~ ^ -f- B e'^ — C fin. ^ + D cof 'l) , d'ou Ton tire deja B^^A, €c l — o: le figne fupdrieur ayant lieu pour le nombre pair de nocuds, & rinferieur pour le nombre impair. On pourra donc ecrire ainfi notre c- quation : z = Aec -^Ae <= -hC"^-'^. — Jin. c De plus, comme les deux extremites de la lame font libres, il y aura pour x — ^i^la, (a etant la longucur dc la lame,) fzii^roo, ou ddz — o^ c'eft-a-dire, que la courbure y eft nuUe. Cherchant donc le ddz^ mettons Ic — o, apres avoir fait x — l a dc — — l a ; on a ainfi cncorc ces dcux equations : «_ tt_ A^"-c-hA^ -c — C"^-"- — ©: Jtn. 2C ' a a_ Ae ^c-H.Af^c :;: C*^'^-iL — o; Jin. ic Noua A&a Acad. Imp. Sc. T, F, C c des- — ' ( 2C2) Jt_ a dcsqiicllcs on tirc — = ; dc mcmc aufl'! il faudra A *"•'■ — jin. 2 c quc la fommc dcs forces dp etendnc aux dcux extremitcs deviennc ~o, parccquautrcmcnt la lame prendroit un mou- \cment progrcllif: or p cft proportionncl a ^, donc on aura eucore a a coj. t c ' a a C c - ^ -T'- c *■ c d'ou Ton tire aufli — = ■ . Ou a donc A -t-^'"; ^ coj. t c a a a a f»c-f-f ic f»C_t_f ic cof. a _4_J"'- " Jtn. 1 c co/. t c dela on tirc, a caufc de t^in c. { ?fi — V '-=^^— ^ co/. m a , I COf. " fc I IT)/ —,—- ' I -\- COl. -- ^c -1- I dcla cof '' = ~- qui donnc " =ro, ou r=:oo, cc a a 1 C ' ^ f c _|- f r qui a licu pour rctat dc rcpos dc la lamc; & cnfuitc, fu'- fant lc rapport i\\\ ccrclc a fon diamctre =: tt, (S: indiquant par /■ uu nombrc quciconquc cnticr, on a cn gcncral prcsquc cxaclcmcnt - irr { 1 Tf -• -i f \ z J - C—^J-n , - (^•-^ll-i; TT & mcmc, sil nc s"agit pas d'une cxacftitndc minuticufe, on pcut limplcnicut mcttrc " zzz (* ' "^ ') tt. Lc fignc -i- au rcllc dcvaac (203) == devnnt le fecond tcrme aura lieu, quand / eft impair, & Ic figne — , quand i eft pair. §. 6. Dc cette maniere on trouve donc une infinite de valeurs pour ^ ou pour /; donc la lame pourra rendre une infinite de fons, qui iront en hauflant, a mefure que / de- vient plus grand. Et en fubftituant les valeurs trouvees pour C & ^ dans Tequation de la courbe , on verra aifement en fliifant z-o^ que la courbe traverfe Taxe en 2 points, quand i~i5 en 3 points, quand /=2, & en general, que le nombre des noeuds eft toujours — iH-i. §. 7. De meme qu'une corde tendue peut rendre en meme tems plufieurs fons fimples , la lame pourra auffi faire entendre en meme tems les fons, qui repondent aux diffcren- res valeurs de /'. §.8. La lettre A eft arbitraire ou fe determine par la valeur qu'on fuppofe a 2 , en fiiifiint x ^zz -^l a. Les fons au refte feront plus ou m.oins forts ii proportion de la valeur de A. §. 9. Voila ce qui pcut fuffire pour donner une id6e Tab IV. prcliminaire, ncceflaire pour notre fujet, de la Theorie des vi- Fig. 3. brations des fimplcs lames elaftiques. Confidcrons a prefent deux lames AB, CD, qui en E foyent pofees Tune fur Tau- tre a angles droits. Soit la largeur infiniment petite de cha- cune =: >i , & rcpaifleur — ^ ; la longueur A B — « , & CD — ^. Soyent encore la dcnfite ou gravite fpecifique des lam.es — A, lcur clafticite (pccifique zz:E; relafticite abfohie de chaque lame feri — E >] ^^ La mafTe de ABrAav)^, & cellc de C D — A ^ >1 ^. Le plan, dans lequel les himes fe trouvcnt dans Tetat de repos , ctant horizontal, conccons C c 2 que C 204) == quc cliaqiic elcmcnt des lames foit tire vertic:ilcment par des forccs clcmcnt;iircs, quon nommera dp poiir l:i lameAH,& c) (j poiir hi lamc C D. Soyent nudi Ics iibfcidcs prifcs d;ins I;i hur.c AR— .V, f^ ccllcs dc hi hmie CD—y. Jc dcfiync par hi mcmc lcttrc z lcs pctitcs ordonnccs vcrtic;ilcs dcs dcux l.imcs, R lc rayon ofcuhitcur de AB pour lclcmcnt D.v, »S: r cclui dc C 0 pour lclcment dj. En fuivant donc lc rai- fonncmcnt du ^. 2, on a dabord l''^'- = fp d .x, & ^"^JL =:=. fq ^ .V. Dela on tirc , ;i caufc dc R = i-^ , & r — -^ , (en fupponmt d x e, donnc la forcc accclcratricc cn E zzE»iili CJ--irJ- ). §, 10. Qu on con<;;oivc maintcnant \\\\ nombrc ^ dc Vv, ,' " lamcs dc hi loneucur a ramr' es 1 unc :i cotc dc lautrc , & uu noiiibrc "- dc Jamcs dc Ja lonijucur b raugccs dc mcmc; quc TaS. IV, '6 === (205) = qiie cette feconde rnngee foit poree fiir la premiere, de ma- jiicre qirelle k couvre & congrue avec elJe parfliitement : fuppofons aufli que toutcs ces lames foyent comme coliees enfemble, de fbrte qu'ellcs ne faffent quHine feule maffc, elles formeront donc une plaque ree * -f- e *■ o\i nous avons dit ponr lcs lamcs, qu'on pouvrtlt, s'il ne s'a- gilVoit pas dc la plus grandc cxadtitudc , fe contcntcr du tcr- ine ( -' ;^-' ) TT , furtout quand l, qui rcprcfcntc toujours un nombrc quclconquc cnticr, furpaffc Tunitc ; (5c ccla anra donc 6galcmcnt licu pour lcs plaqucs. Pour nc pas rrop nous em- barrallcr , prcnons donc fimplcmcnt "*" zz. ' ' "^ ' ' "^ , cc qui donncra: COJ.{ 2 1 -(- I ) TT _ . , (2I-+-1)? -(ii-hi);, , 011 lcs figncs ^- dcvant A nalrcrncnt pas avcc chaquc nombrc, quon fubllituc pour 1, mais pour Izzi i, 2, 5, 6, 9, 10, 6cc. il y aura — , 6: pour I — 3^ 4i 1-, S, 1 1, i ^, &c. il y .lura -h ; dc mcmc pour lautrc fignc doubic 1 , il fiut prcndrc -+- , quand 1 cfl impair, & — , quand I cft pair: au rcllc on pour- n)it ncgligcr lc tcrmc ±_e ^ . §• 15- == (=09) = §. 15. Oii trouvera dc meme pour rautre fnfleur dc requation, oii nous fcrons la conftantc arbitrairc a fimplcmcut = 1, |3-:::i, /^ - 'li±lll , & ou i rcprcfcnte comme I un nombre quelconque cnticr; & fubftituant toutes ces valeurs trouvees, notre equation devient: x/2x;l-(2l-4-l)^]x r (2/-+-l)^ — (2i-^l)!I^_-, (2/^l)7 _(o/^_i)J x/2x;^:(2/-^.l)^]. §. \6. Les nombres I & i etant indetermines & ar- bitraires, on a donc Tequation pour tel nombre de noeuds quon Toudra, puisqu'on a deja vu dans rintroducftion, que le nom- bre des nocuds eft toiijours rzi-hi. En appliqnantceci aux plaques, (011 ces nocuds doivent plutot etre appcllcs lig- 7ies mdnlcs , puisque ce feront des droites traveriant tout le reclangle pcrpendiculairement aux cotes,) on aura I -h i de ligncs nodalcs perpendiculaires a la longucur a, & i -h i dc perpcndiculaircs a la largeur b. Si la plaque ne vibroit que dans un fens , c'eft-a-dire comme une fimple lame , il n'/ auroit fimplement qu'a effiiccr ou mcttre n: i un des deux tacleurs de z. Ainfi fi la plaque vibre felon la longueur , il faut effaccr le fecond facfteur, & 11 elle vibre fclon Ja largcur, il faut ctfaccr le prcmier. §. 17. Nous avons vu, quc 'i^ z= ( -^' ) tt, & /ii- — ( '-^) TT •> dcla on tirc c — '''"' zzz -ll±-\ doii Ton' ap- Noita ACta AcacL Imp. Sc. T. F. D d prcnd = (=io) = prend lcs nombrcs ;;/ 6: ix rcquis poiir qiic l:i plaqiic formc iin nombrc donnc dc ligncs nodalcs cn chuquc lcns. Car 4 commc on a /o. ~ ]^ ( i — ;;;') , il ell: 4 jiia b y ( I — ;;; ' ) 2 1 -h I 2 i-\- 1 par - confcquent (^l-tllA V y [{2i^~ iya*-\-(zl-\~ i/^'] ( 2 /■ -f- I ) ff IX z= ; y/[(2i-\-iya^-i-{2\-{-iyi,*] & cn fiibrtituant Tunc on Tautre dc ccs valcurs on trouvc 2 a h c zzz . TT / [ ( 2 ;• -I- I / a^ H- ( - 1 -I- I / a' ] Si la plnquc nc vibroit quc commc unc lamc fclon la lon- cucur, on auroit c zzz — — — , cS: fi cllc vibroit fclon la lar- ^ ^ i i I -(-1 iir ' -6 ecur, on auroit c §. iS. Commc la longucur du pcndulc fimplc /, fyn- chronc avcc Ics vibrations, clt proportionncl a r', & qiic le ton cll proportionncl a --p cc mcmc ton fcra donc propor- tionnel, felon les ditfcrcntcs manicrcs dc vibrcr, a -^ , c'cll-a- ]• /, ,^f,,,-H-.)*o«-4-(»i-.-,>*6«i jji, .X (LL±iLL' , ou \ 'Ji-;^-L? . ^'"»- •' a' b- a* ' b' Si lon vouloit favoir lcxprcffion nbfoluc dc chaquc ton , ou du nombrc dcs vibrations dnns unc fccondc, cllc icroit — i Vlf z^ * / '« . == (ill) == §. 19. En fainint attcntion aux formules qiic iious ve- nons de donner pour lcs tons , on voit qu'en combinant dif- feremment le nombrc dcs ligncs nodales, lc mcme ton pqurra ctre produit de plus diine manicre. Quil s^agiffe par exemple d^indiqucr de qucllc maniere le memc ton fera produit en fai- fant vibrer la plaque fimplement comme une lame, mais tan- tot en longueur & tantot en largeur. II fliudra d'abord met- tre (ilzti y- — rJ^'Y , d'ou I'on tirc I-j- i nz ^JI±±U} ^- j • ^ a ^ ^ b -^ ' ■2.0 ' or I -f- I & i -h I indiquant le nombre des lignes nodales , jl eft neceflfaire que ce foyent des nombres enticrs : donc '2i±iif fera " a un nombre entier impair divife par 1; (ce qui ma- nifeftement ne peut avoir lieu, que quand -^- reduit a fes moin- dres tcrmes donne un numcrateur & un denominateur impairs.) Pour cet efFct mettons Liiiliiif — iizti on en tire i-f-i — •2. 0 i ' ' ' (2^-4-116 1 I l , qui doit etre encore un nombre entier. Donc il fliut que 2 p -h i foit divifible par a; mettant donc 2 p n- i zp q a, on aura p — ^ °~' , & tous les nombres impairs, qu'on fubftituera a q , donneront une bonne folution , pourvu quil en refulte pour 1 & i des nombrcs pofitifs. II efl: evident au refte, que le rapport -|- doit non feulement etre cxprime par dcs nombres impairs , mais il fliut aufli qu'il foit rationnel* Faifons donc ~ — \^ ou «=17, ^ — 5, & mettons q ~ 1 ; on aura p — 3; i — 2 & I =: 3. Ainfi foit quc la plaque vibre en longueur & faffe 4 lignes nodales , ou quclle vibre en largeur, en en faifant 3, cllc rcndra tonjours Ic meme ton cxprime par ( — ^)' — 1. Si Ton fait ^ ~ 3, on a /> = 10, i=7 ^ 1=10, & le ton fera —9. Pour q = s on a /> = i7i ' = ^- & 1—17, & le ton fera = 25. Ainfi pour produire toujours le meme ton de ces dcux differenres ma- niercs , il faut que Ic nombre des lignes nodales pcrpcndicu- D d 2 Jaires (212) ==— Iaire> a h longiieur aiigmcnre fclon I:i progrcf]'on arirl-mcti- cjiic 5. 10, 17, &'c. , .fan'c plus dunc folution. Si lon vouloit quc la plaquc rcndit Ic mcme ton , foit cn vibrant dans Ics dcux fcns , foit cn uc vibrant quc lclon fa longucur, il faudroit mcttre V[{ t i -i-t )♦ o* ->- ( » I -t- I >* fc* 1 ( t t^-+- 1 )» «S: clicrclicr Ics nombrcs, ;,,!, ugiicur, & par / -f- I pour Ics ligncs pcrpciuiicuhiircs :\ la I:irgcur. La tablc fui\amc prcfcntc Ic rapport dc ditfcicns tous calcu- Jcs ==C = «3) = les d'ap'res ces formules, pour une pliique quarree, ou az^h. Le premier rang horizontal prefentc le nombre des lignes no- dales dans un fens , & lc premier rang vertical prefcnte k nombre des lignes nodales dans Tautre fens : les' autres cellu- les renferment les tons mcmes, cn appellant i, Ic ton le phis bas ponible fuivant nos formules : 2 3 4 5 6 o r» 3 4 5 6 I. ooc I. 4.1 + c — 2. 778 h 2. 952 C 3- 928 f 5- 444 b- 5. 535 <5. 1 1 2 cis 7. 622 f 9. 000 13- 444 d^ 9. 056 g-+- 9- 430 gis — I3-J730 dis 10. 458 b^- 12. 69 2 cis 13. 482 d-^ 14. 502 e 16. 190 f-^ 18- 822 a — §. 21. En confidcrant maintenant avec quclque atten* tion cettc table , oti voit que ks tons de la prcmicrc fuit^ verticale hauflent le phis rapidemcnt, & qu'ils fuivent la meme loi , que Ics tons produits par une fimple lame claftiquci tel que cela doit etre. Dd 3 §. 22. = (»1+) = §, zi. Qiie les tons de \\ fccondc fuicc vcrticalc, & ceiix dcs nutres, liaudcnt aufli foit \ite; mais moins vitc cc- pcudunt dans ciiaquc fuitc fuivante, que dans la preccdente. §. 23. Que les tons dcs fuites liorizontalcs hauflcnt aufH , mais beaucoup plus lentcnicnt, quc dans les fuites ver- ticales; & cliaque luite plus badc croit moins vitc quc celle qui la prcccdc. §. 24. Dans les fuitcs verticalcs la diffcrcncc d^in ton au fuivant, cW plus grandc, quc la diflfcrcnce de cclui - ci au troificme. Ccft tout lc contrairc dans les (uires horizonrales, 011 la diffcrcncc au commencement e(t trcs pctitc, ou prcsquc nulle, & dcvicnt cnfuite dc plus cn plus coufidcrablc. §. 25. Quoiquon puifTc dire avcc v6ritc; quc la mul- titudc dcs ligncs nodalcs fait hauncr le ton, ccpcndant il dc- pend principalcment du nombre dcs lignes nodalcs, quil y a dans lc mcmc fcns. Ainfi cinq ligncs nodalcs cn long & cinq cn l.ugc nc donnent pas, comme on voit, wn ton auni haut, que fculcment 6 lignes nodalcs cn un fcns , quand il n v cn a aucunc dans lautre. Mais ccci a auffi fcs borncs : tS: dcs quc 1 fcra ~ 5 ou au dela , on aura >/[z(2l-t-i)^]>[2(I-i-i)H-ip, & ainfi fix lignes nodales dans chaquc fcns donneront dcja un ton un pcu plus haut , quc lcpt ligncb nodalcs dans un fcul fcns. §. 16. Je dois ajoutcr cncorc fur Ic rapport des tons rcndus par diffcrcntcs plaqucs redangulaircs, de la iTicmc dcn- fitd & clallicitc fpccifiqucs , quc fi cllcs nc vibrcnt qucn for- nic me de lames , les tons pour le meme nombre de Hgnes no- dales font en raifon quarrce inverfe des cotes, fuivant lesquels eJles Aibrent. Mais fi elles vibrent dans les deux fens , & qu'on appelle A & B lcs cotes d'une plaquc, 6i. a dc b ceux de Tautre, les tons feront : : & fi les redangles font femblablcs, les tons font encore pour le meme nombre de lignes nodales en chaque fens, en raifoii quarrce inverfe des cotes homologues. §. 27. Pour trouvcr la pofition meme des lignes no- dales pour chaque valeur dctermince de I & 7, il n'y a qu'a faire ;s — o , ^c chercher les valeurs de x & j, qui y faris- font; alors les lignes nodales paiTeront perpendiculairement par les axes des jr & >' , aux points qu'on aura ainfi determines. Au refle comme ce calcul n'a rien de nouveau , puisqu'il efl: Ic meme quc pour les fimplcs lames , & qu'il nous importe peu de fivoir ces points , M. Chladny n'ayant non plus indi- que la pofition, quc les expcriences lui ont donnce pour les ligncs nodalcs , je ne m'arreterai pas fur cet article. §." 2 8. Mais une chofe , qui merite qu'on y faffe at- tention , c'eft que la plaque etant divifee par les lignes noda- les, qui s'entrecoupent, dans des cafes ; on aura toujours deux de ces ca(es, qui fe fuivent immcdiatement, affedces de fignes difFerensi & par confcquent Ics ca(es alternantes, & celles, qui font oppofees par la pointe , affedees du mcme figne. Cela devicnt plus clair par linfpcdion de hi figure 5 , ou je dis,, que ies cafes , qni renfcrment le figne -h , donneront toutes *fk V en meme tems des z pofitives, & celles , qui contiennent le figne — , dcs z negatives, & reciproquement. La demonfira- tion fe dcduifaiicmeut dc requation pour z. §. 2p. Tab. IV. (zi6) §. 29. F.nfin cc qiic noiis avons dit jusqira prcfcnt, & reqiiation incir.c tronvee pour I;i rurfacc courbe dc la pla- que, n'appanicnt qu"aux vibrations & aux tons fimplcs: iiiais la piaquc, X parlcr tlicorctiqucmcnt, pourra dc memc que lcs cordcs, lames, dfiguration fcmbla- blc, it quc la diffcrcncc montc au contrairc fouvcnt jusqua dcs ticrccs & dcs quartcs, finon davantagc. Voici quclqucs r^licxions, qui fcrviroiu i rcndre cc contrallc moins frippanr. Les plaqucs dc vcrrc , dr)nt notrc Autcur sefl fcrvi pour fcs cvpcricnccs , nc fauroicnt ctrc d'unc cpaiffcur bicn cgale & uniformc , cc qiii d )it caiifcr dc la v.iriation d.ms lc ton, I-2nfuitc lc vcrrc a dcs vcincs, qui doivcnt influcr cncorc bicii plus , (Jc rciidrc Ics ligncs nodalc') ou concavcs ou convcxcs cn dchors, diircrcncc clfcnticllc, (S: qui contribuc bcaucoup , commc M. Chladny le rcmurquc lui-mcme, a huuilcr ou .i baificr lc ton. Aulfi lcs figures dc cct Auicur , ()iii rrprc- fcntcnt diircrcntcs confi^urutions tcIJcs , quc lcs txpcricnccs lcs == (219) = les ont donnces , font fouvent fi baroques, que fuis fon in- tcrpretation j'avoiie que j'aurois eu fouvent bien de la peine a dechiffrer le nombre de lignes nodales pour chaque fens , qu'on devoit y reconnoitrc. Souvent encorc lc melange dc ditferentes vibrations pouvoit troublcr la figurc, & cmpecher de phis Torcille de bicn juger dcs tons fi difliciles d'aillcurs a bien apperccvoir. §. 37. D'un autrc cote fi la Theorie & les experi- ences femblent etre peu d'accord entre elles, quand on com- pare chaque ton pris feparement, on eft cependant oblige de reconnoirre une conformite bien fjitisfaifinte dans la fuite des differcns tons piaces dans le meme rang horizontal ou verti- cal. Qu'on confidere en efFet avec quelque attention la table tiree du traite de M. Chladny, on verra, que les memes re- marques, que j'ai faites dans les §. 21. & fuivans, & que j'ai tirces de la table fournie par Ja theorie , s'7 appliquent tout auffi bicn. C'eft d'aprcs ces refiexions que j'abandon- nerai au ledeur intelligent de juger avec plus d'impartialite, que ne pourroit faire TAuteur lui-mcme, fi la Theorie cx- pofee ici repofe fur une boune bafe, & fi elle nierite quelquc attention, ou non. Ee 2 PHY- PH YSIC A. E e 3 DE H *I ■ (2^3) ■ DE ORDINE FIBRARVM MVSCVLARIViM CORDIS. Differtatio IX. DE ACTIONE FIBRARVM MEDIARVM VENTRICVLI DEXTRI. Aiidore C. F. JVOLFF. Conucnt. exhib. d. 16 lun 1788. A^tio fibranm angularium ^ n:entralium^ & quae apicis regionem occupant. IH ibris mediis Yentriculi dcxtri, earuinque diredione , in fu- periori diflertatione anatomica expofitis, facile eft, adio- nem earum, vfumque, et quibus fingulae fafciae partibus fmt deftinatac, cognofcere. In Ynivcrfum medias fibras dextri ven- triculi, fiquidem ad totum ccrpus cordis comparantur, obli- que adfcendere in fuperioribus patnit , cum externac oblique dcfcenderent potius. Et maxime ille adfcenfus quidcm in to- ta angulari et ventrali parte ventriculi a) obfcruabatur , vbi parallciac margini bafilari fibrae rcda arteriam verfus pulmo- nalcm, eademque prorfus, qua haec cx cordc egreditur, , di- rcifnone a) Tab, VII. ]. m. u. v, x. z. 2. p. y. i. 4. == (==+) = recrione rcrcbniuiir. "Miniis panli>pcr in infcriori fupcrficic in- fignis iJlc adlcenUis a) fiiir. In tora bafilari parte ab angulo \cntriculi verilib artcrias, aorram et pulmonalcm, paritcr ad- fccndunt ^;. Sola parris artcriofac finillcrior rcL;io transucrfas, er fcrc conflmilcs exrernis, fibras babcr. c) Si vcro ad partcs porius vcnrriculi , quas quaclibcr fibrac rcgunr, cr quac diucr- fum planc rum inrcr fc nuiruo tum ab vniuerfo corde fitum habent , vcnofam d ) arrcrioramquc, e) rcfpicias; in aJiam longc carum rclpeclu fibrac direcftioncm ducuntur. Axis par- tis venolac, a medio orificio venolo verfus apiccm duifius ven- triculi in fcprum, aut crcnac rcgioncm /), parailclus quafi cfl niargini \cnriiculi antcriori. g) Qucm crgo ad angulos fcre rcdos cum fibrac parircr atquc axin vcnofac partis vcntriculi ipfum c\ vtraijuc, fiipcriori /') et infcriori, /") fupcrficic fc- cent; transucrlae prorfiis pro tota hac partc vcnola in vtra- quc fupcrficie cacdcm fibrac funt , quac partcm cam tcgunt, angularcs, ventralcs ct rcgionis apicis fibrac, quacqiic vniucrfi corporis cordis refpcdu obliqnc adfccndcntcs ciant. Omnino cr.-,o omncs , quac partcm vcnof.im in fnpcriori ct infcriori fupcrficic vcntricuJi tcgunr, fibrac hanc parrcni fiia acftionc con- ftringunr, fanguincmquc, in ca contcntuin, cxprimunr. ^''crum cum orrac a Uria hac fibrac rransucrfac, flcxacquc circa mar- gincm antcriorcm, in partcm vsquc artcriolain cxcurranr,- mar- gincm fl, Tab. IX 30. 31. 37. 38. 44 60, b) Tab VIII. vbi pars bafiJaiii ct conus imprimii artcriofus antrorfum flc.xus rcpracfcntatur, c) Tab. \\\. Iv q. s. t. r. d) Tab VII. C. D. F. X Y. Tab. IX. 25. 39. 74. t) Tab. VII X, Y. A. B. /) Tab VII. Y. g) Tab. VII. C. D. Ay Tab VII. m. n, v x. 7. 3 13. i) Tab. IX 37. 39. 47. 66. 73. =— (225) == ginem hiinc , fedem pards venoflic, mobiliorem ad arterionim partem et vcrfus bafin reda arteriae pulmonalis adducunt. Sunt ergo conftriclores fimul partis venolae ventriculi et adducflores eiusdcm ct marginis praecipue antcrioris ad partem arterioiam et vcrfus arteriac pulmonaiis bafin. Dumquc fanguincm cx- primunt, hoc nulla alia fit ratione, nifi vt in partcm arterio- flim eum et verfus pulmonalem artcriam recfta propellant. Vt magis etiam adducftorum, quam conftridorum mufculorum no- mine venire debeant. A&io hafilarium. Eandem direcflionem omnino bafilares quoque fibrae refpecflu partis vcnofae ventriculi , quatenus per eam partem diftribuuntur, habent. Pars enim bafilaris ip(a transuerfim fu- pcr hanc poftrcmam partis venofiic, proximam orificio venofo portionem progreditur, eiusque anteriorem fcu fiiperiorcm fu« perficicm tegit. a) Fibrac, eam partcm tegentcs, longitudi- nem partis fequuntur, h) ct pariter ergo transucrfim fupcr po- ftremam illam partis venofae portionem , proxime fub ipfo orificio venofo progrediuntur. Pars autem bafilaris maxime ad vcnofam partem pertinet. Quae enim portio eius retro crenam bafilarem fita eft c) omnis, dcinde quicquid ad angu- him ventriculi cfficicndum de bafilari fupcrficic concurrit, d) ad partcm refcrendum cft venofam. Vt fola fere pofterior fu- perficies coni arteriofi e) ad partem arteriofam, rchqua pars bafila- n) Tab. VIII. b) Tab. VI IT. s. y. o. z. i. h. c) Tab VIII. m. n o. 1. d) Tdb. VIII. y. s. s. 0 Tab. VIII. /.. k. w. i, g. h. 'Noua Acta Acad. Imp. Si.T. F. F f L (225) Iwfikris tota ad venonim pertincnt. Tninsiicrfim crgo fibr.ic balilarcs fupcr venofam partcm, quateniis cam tcgunt, produ- (ftac, transucrfim candcm, portioncmque cius in rpccie pnlk- riorcm, propinquam orificio, paritcr ac fuam cacicrac, fupc- riorcm infcriorcmquc fupcrficicm vcntriculi tcgentes, contra- hunt. Conlkingcrc cnim minus ctiam bafilarcs, quam angu- larcs ct vcntralcs fibrac dici poflTunt , cum fiilam antcriorcm vcnofac partis fupcrficicm occupcnt, portcriorcm non tnngant. Maximc vcro fuam , quam tcgunt , partis vcnofiic portioncm vcrfus arfcriofim partcm, conum fcilicct artcriofum, ct vcrfus ipfam artcriam pulmonalcm bafilarcs fibrac adducunt. Vtque angulares ct vcntralcs marginem imprimis vcntriculi antcrio- rem, caeteris icdibiis mobiliorcm, ad partcm infundibulifor- mem conumquc artcrioCum, ct vcrfus artcriam pulnionalcm in fnpcriori vcntricuii fupcrficic adducunt ; anguium contra vcn- triculi bafilarcs, qui paritcr cactcris bafilaris partis fcdibus mo- biUor crt, ad conum artcriofum artcriamquc pulmonalcm ip- fnm in bafilari, fcu poltcriori coni artcriofi ct arteriae pulmo- rralis, fupcrficic attrahunt. Coniunna fibrayum angularhnn •i-etnralium ct bafilarium ailio. Sic fibrac crgo onnics, quac partcm vcnofam ventrlculi iu mcdio ftrato occtipant, angulares ncmpe, ventralcs, ipfac- cp>c rcgionis apicis fibrac cr fibrac dcniquc bafilarcs, duplici a(flione fungnntur. Contrahunr partcm venofam , ct adducuut enndcm rcda ad partcm artcrioCam. Nimirum in cadcm di- rcdtionc cam adducunt, qua ipfi ct pcr aricriofim partcm fan- guis vltro mouctur, pulmonalcm intraturus artcriam, ct qn;i porro illc dcindc pcr cam artcriam quociuc progrcditur. \'t cadcm acftionc crgo, cadcmquc vi, (lua partcm fibrae vcno- fam ad artcriolam adducunt , fanguincmquc proindc , quam con- == (227) = contineiit, in artcrioram partcm impellunt, is fanguis vltro fi- mul pcr partem arteriofam et per artcriam pulmonalem pro- pellatur. Angulares quidem et ventrales fibrae ad pariem in- fundibulifi:)rmem in fuperiori ventriculi fuperficic ventralera et angularem partem adducunt, fanguincmque , in iis conten- tum, in infundibuliformem iJlam partem impellunt. Bafilares angulum ipfum in bafilari fupcrficie ad conum attrahunt artc- riofum, ad eius quidem parietcm pofteiiorem, fanguinemque anguli continuo in conum arteriofum exprimuiit. A&io fibranim transuerfaVium in partcm vcntriculi artcrio/am. Aliter contra cum fibris comparatum efl: transuerfis , fuperioribus a) infcrioribusque, ^) et cum portionibus extre- mis addudoris maioris arteriae pulmonalis, alitcrque cum par- te ventriculi, quam fibrae illae tegunt, arteriofii. Fibrae ali- am quam ventrales et angulares direiftionem habent ; pars ar- teriofa alium quam venola fitum. Illae curuatac , parallehie fere progrediuntur margini anteriori nxique partis vcnofae, qui- bus fi comparantur , longitudinales potius quodammodo ince- dunt. Verum axis partis arteriofac , cx medio orificio arte- riofo rcdla in marginem ducfius antcriorem, continuatusquc rc- da ex axi artcriae pulmonalis, et marginem fecat ad angulos rcdos, et axin partis venofiie. Sic fibrire transuerfiie fuperio- res infcrioresque , et quae pariter curuatae artcrioram partem tegunt, extremae portiones addudoris maioris ar:eriae pulmo- nalis axin reda fecando partis arteriofae , transuerfim progre- diuntur refpecftu huius partis ventriculi, quam tcgunt, parirer atque transuerfae erant angulares et ventraies fibrae fuae, quam F f 2 tcgunr, fl) Tab. VII. q. V. s. t. b) Tab. VII. 13. 14. 30. ai. 25. regiint, vcnofac p.irtis rcfpcdu. Conrtringunt crgo Aui acTtionc conuni arfcrioliini ct infundibulum, partcmuuc artcriolam, quo vsque eam tcgunt, fanguiucmquc in ancriam pulmonalcm cx- primunt. ConhmtHa omtiium mcdiarum acTio. Dumquc fibrac, vcnofam partcm tcgcntcs, ct quac ar- tcriofam occupant partcm, fimul agunt i cx vniucrfa \cntrali cavitatc vcntriculi, cx angulo porro ciusdem et partc angulari, vti ctiam cx tota bafiiari partc fanguib in infundibuium (inuil arteriofac partis, conumquc artcriofum, compcllitur, cr porro pcr cas partcs pcrquc orificium artcriofum in artcriam pulmo- nalcm hac coniunda et fimultanca omnium fibrarum mcdiarum afiionc cxpriinitur. Vt quac fanguinis portio artcriofam vcn- triculi partcm diartolcs temporc rcplct, ca ct a tran^ucrfis ar- tcriofae paitis fibris ipfis fyftolcs tcmporc in artcriam propcl- latur pulmonalcm, et vcntralium fimul angulariumquc ct bafi- laiium aclionc, vcnofam tcgcntium partcm, dum fuum fangui- ncm bac moucnt, paritcr in cam vrgcatur artcriam ; quac por- tio fanguinis vcnofam rcplct partcm, ca ct fuis fibris ada ar- tcriofac partis fanguincm vrgcat, ct ipfa, boc fanguinc cxpul- fo, in partcm artcriofam primum, dcindc ct in artcriam piil- monalcm fuis fimul propriis ct transucrfis partis artcriofac fi- bris propcllatur. Fibrae nicr/iae in partem irtinfnm rt/axittic aouiit^ a^ionett/que in loium irntriiulum tnaviwc icnofatn cxcrcem ; parum ad artcriofatt/ coti'crut/t. Fibrac vcro transucrf.ic , vti non lotam artcriofam par- tem , (cd portioncm maxinic finilkiioicm partis infundibulifor- inis mis «), tegunt,- vti et addiidor arteriae pulmonalis, qua parte flexus transuerfim in arteriofh parte progreditur, nonnifi antc- riorcm coni artcriofi fupcrficiem occupati l?) conftrictio quo- que partis arteriofiie, tum infundibuliformis tum coni arteriofi, nonnifi incompleta his fibris ftrati medii efficifnr. Qunc ud venofam contra partem fibrae pertincnt, angulares ventralcs et bafilares , totam eam partcm aon modo transuerfa dirccflione tegunt ; fcd vltro progredicndo diredione eadem haud paruas patfim portiones occupant partis arreriofae. Sic bafiljres dum totam bafilarem fuperficiem exadle transuerfim pro axi veno- fae partis percurrunf , totam portcriorem fuperficiem quoque coni arteriofi eadem diredione tegunt. i:) Sic angulares, ip- faeque ventralcs in partem infundibuliformem vsque adfcen- dunt. d) Maiorem ergo partem potius ventriculi fibrae ifiae, quam folam venofiim , et contrahunt transuerfim pro axi ve- iiofae partis et adducunt ad conum arteriofum et orificium ver- fus arteriae pulmonalis. Et completam igitur adionem in par- tem venofam non modo fanguinemque venofum exercent, fed fuper aliquam arteriofiie partis portionem quoque et fanguinis in ea contenti hanc fuam, venolb fanguini applicatam, adlionem extendunt. Qua contra opus efl: ad expellendum fanguinem ex arteriola parte in arteriam pulmonalem, ad eam conferunt quidem fibrae, hanc partem tegentes transuerfae, miuime ve- ro eam perficiunt. F f 3 Externae a ) Tab. VI r. q. r. s. t, b) Tab. VII. h. i. b. k. c) Tab. VIII z. h. ,-. k. w. g. d) Tab. \ll. X. 1. g. lu 1. Y, p. f ^ m r- \ Externtie cotUra arleriofae potiuf partis fibrac finit^ a^iorietnque in tottim i-cntriculum maximc aricriofam cxcrccnt; confcntnt parum ad icnofam. Alitcr- cum fibris cxtcrnis comparatum cft. Ilac ma- ximnm partcm obliquc a bafi rmillrorfum dcfcendcndo , fibras cfiiciunt cxactc transucrfis pro parte artcrioCa. a) Hacdcm ct, quousquc nrtcriofam imprimis partcm tcgunt, latiHimac fortis- fimacquc funt, b) ct totum conum artcrioium lotunuiuc iii- fundibuhim circumdant, c) et ipfum dcniquc angulum rcgio- ncmquc angularcm, vcnofae partis portionem, occupant. rae funt , mun^re artcriofo: fungcndo fanguincm rcccptum in arteriam expcllcntcs pulmo- nalcm. Hacc propria cjc^o in vniiierium mcdiarum fibraruirv- in dcxtro vcntriculo fiinc^^^io cft , vt parti mirxlme v^fcriOfae in- fcruiant, vt muncre ctiam vcnofo fimgaiTtirr , fanguvnem Jrrtc- riofiie parti adfcrendo. Extcrnis id munua H-ibutum , vt ad ../.... artc- -^- J ar^erinf-im imprimis partem pertinennt, fangiiinemque cxpeJIcndo actioncm praccipuc artcriolam vcntriculi crticiant. Singularum fa CAPVT defuper infpicicndo cordatum , ' S latere pla- gioplateum, cuneiforme, reliquo corpore latius, elongatum iii rojirum obtufiufculum, fupra planum, infra teres, fcabritie vn- diquaquc exafperatum. Os fub capite transuerfus , per inte- gram latitudinem capitis fe extendens; Mandibiila fuperiori ar- cuata, dentibus acerofis, triplicis ordinis inftruda; Mandibula in- feriori dnplicata, gibba, transuerfa, interiori margine inermi , cartilaginco, exteriori dentibus planis, cuneiformibus, aequali- bus, acutiffimis fimplici ordinc inftrudo; Labiis carnofis, bre- viinmis, rcplicatis,' annulum quafi circa nudas mandibulas ef- ficicntibus , ad ridus oris craliioribus et duplicatis. Nares iu apicc fere rolhi, parum inter fe dirt:antes, paruulae, renifor- mes , lobulo in medio foraminum prominentiufculo. OcuH re- fpecftu capitis maximi , ad fuprema capitis latcra , difiantes , protuberantes , oblongi. Foramina audiloria in vtroque latere occipitis pone oculos folitaria , verticalia , fubrotunda , intus lobo cutaneo femilunari diuifa , a fe inuicem remota. Aper- turae branchiarum ad latera colli vtrinque quinque , lunares , tedae, ab angulis mandibularum lateralibus ad bafin pinnarum pcdoralium fc extendentcs. TRVNCVS. Nucha plana; dovfum ad mcdium trunci gibbum, fupcrficie planiufcula; gula plana, medio vmbilicata; abdomen tcrcs. Linea lateralis vtriusque lateris incipir a fum- ma nucha, vbi ambae fibi inuicem vicinae, pcr dorfum tcn- dcntes licet diuerguntur infigniter , tamen manent fupremac , poll mcdium vero corporis fiunt lateralcs , dorfo parallclae. Noua ACla Acad. imp. Sc. 1. F. H h Auus jlnus longe poft acqiiilibriiim, linc;iris, intcr appendiccs pinni- formcs fiiie pinnas ventralcs abfconditus, a quo fulcus fubpro- fundus ad initium fere pinnae fubcaudalis cxtcnditur. Cauda tcres excepto fupradido fulco, ad apiccm adtcnuata, et \bi pinna caudae incipit, compianata. Color (laucCccns in capite albidior \ cutis pcr totum corpus ct pinnas pundis afpcris fi- cilc fccedcntibus tc(fta. ARTVS. Vnmae penorahs cxiguac, ad latcra pcrpen- dicularitcr fitac, rhomboidalcs, cxtrorfum rotundatac. Pinnae i'efitrales ad anum, cunciformes, horizontalcs, quarum fingula intcrnam fui partcm habct carnofiorem et in apice in proces- fum paruum , cylindricum , rcclum dcfincntcm. Piiwae ciorfi binac, muticac, vcrfus caudam rcmotac ; antcrior cxaducrfo vcntralium fitaj pollcrior mcdio intcr haiic et pinnam caudae, pcLtoralibus dimidio minores. Pinna fubcandalis fub ipfli ferc pinna caudali, cuius et laciniam diccrcs infcriorcm , fi intcr- rtitium ad apiccm caudac non cxiltcrct nudum ct vcram pin- nam caudalcm non fcpararct, triangularis, dc(ccndcns, colorc fufccfcentc. Pinna caudae occupat mari.',incm fupcriorcm cau- dac, clcuatur fub forma anguli rc(fti ct vna cum apicc abruptc tcrminaturi colorc fulco in cxtrcmo rubcntc. Ex collciftione Dhalbcrgiana Mulci noftri Acadcmici. OBSER- (243)= OBSERVATIONES DVAE. Audorc N, SOCOLOFF. Conuent. exhib. die 2 Ottob. 17^5. Obferuatio I. De modo , quo lumbrici terreftres et varia infe£la hor- tis agrisque noxia vei necari vel repelli pofTunt. i crtiim eft , quam magnum lumbrici terreftres corrodendo teneras arbufcularum aliarumque plantarum radices , et varia infeda, praecipue variae erucae atque locuftae, hae agris, illae hortis inferant damnum; de quo tamen avertendo eru- diti parum folliciti hucusque videntur fuilfe. Ideo non inu- tile fore puto, fi certum, facilem et experientia probatum proponam hic modum, quo omnia iila hortis atque agris uo xia animalcula vel ,necari vel repelli poflimt. A longo iam tempore fatis fuperque cognitae funt vi- res deftrudiuae calcis viuae alcali fixo acuatae, quae cum vi- vas, tum mortuas quoque omnes animalium molles partes cor- rodit, loluit ac deftruitj ideo hanc praecaeteris pro fcopo meo obtincndo elegi. Recepi fcilicet tres partes aquae calcis vivae recentcr ficf^ae ct duas partes faturatae folutionis alcali fixi in aqua, ex quibus mixtis obrinui liquorem quodammodo hidcs- centem, fatis caurticum, qui lumbricis terrefliribus atquc om- H h 2 nibus = c^++) = nibiis infcais, ncc non aliis qiioqiic paruis nnimalibus maximc cft aducrlus ac vencnatus ; nam mox atque paitcm aliquam corporis eorum immcdiatc tangit, rodcndo magnam in iis pro- ducir inquictudincm. Quamobrcm fi hic liquor infunditur in cunicularia foraminuia, in quibus lun brici tcrrcftres fub terra dcgunt, hi momcnto, quafi vi quadam cxpulfi, profiliunt fur- fum et contorti in fupcrficic tcrrae vcl lani;ucnt vcl moriun- tur. raritcr fi illo lic]Uorc confpcrgantur folia plantac vcl ar- boris fructiferae , in quibus voraccs ct noxiac iis crucac rcpe- riuntur , fubito illac fcfe contrahunt ct paruum polt tempus cmncs fponte dclabuntur in terrnm. Nam hirfuta fua cutc quamuis fatis a natura funt dcfenfac , nc quid talc tcncrac carum conftitutioni nocerc pollit, vbi tamcn madcfnna liquorc folia pcdibus aut ofculis fuis tangunt, horrorc quafi corrcptac ftatim fcfc contrahunt ct cadunt. Cum Locufiis agros denaflantibus quamuis fmiilc cx- perimentum inllirucrc mihi non licuit, tamcn cx natura carurn ct proprictatibus generalibus dc(hu(ftiuis nicmorati liqnofis plus quam vcrofimilitcr concludo, fimilitcr illas auerti polfc a fe- gctc, fi modo hacc certac ope machinae benc irrorari polfct Jiquorc. Quod attinct ad ipfas plantas ct fcgctcm , cae absquc yIIo omnino rclhibunt danino , nani liquor nullas plarc in omnia rcgni vcgctabilis produ6a habct vires , vti expcrientia id mihi lufficienter dcmonllrauit ; aut fi quid fortc maii ab co (ufpicari liccret, id dcmum aqua pluuia dilutum ficilc au- fcrri potclt. Deniquc liqunr hic tbiciuc locorum ct maxima quaniitate facile parari potcll, f\ modo calx vila habetur, cu- ius. fi reccns cll , vna pars fola iiifulionc ad fcptuaginta fcrc partcs aquac communis frigidac in M.r.ini atjuam caki> cou- Aciiit; = (245) = vertitj ob defediim vero alcali fixi fimplex, bonum lixiuiiim ex cineribus lignorum codione panitum et euaporatione inlpis- fatiim tuto liiblUtui pofle -videtur. Poffet denique talis liquor ad necandos quoque^cimices domefticos ct alia venenata infe^fla vfurpari , -verum propter fortem eius odorem lixiuiofum , facile corpus humanum ad putredinem difponentem, fuadere vfum eius in domiciliis non audeo. Cimices praeterea domeftici facillime muria pingui a halicibus falitis refidua, vt me experientia docuit , profligau- tur , quam maxime mctuunt , et ab ea madefadi brevinimo pereuut tempore. Obferuatio II. De reuiuificationc non nullorum infedorum in fpiritu vini mortuorum. Singulare fane et omni attentione dignum eft, exiguum infedum fpiritu vini inebriatum et deinde in eofubmerfum, aut ex propofito tali modo mortificatum , poftquam per quadran- tem circiter horae omnibus vitae fignis priuatum fuit, iterum certo modo refufcitari pofle. Imprimis id ego in mufcis domefticis fum expertus. Notum enim eH:, mufcas domefticas facile allici odore fpiritus vini, et 'inebriatas poftea in eo fub- inergi atque mori, quas magna aliquando quantitate in vitro colledas et tali modo mortuas cum negligentia eieci in furnum intfa cineres lignorum vix iam tepidos, ac poft paruum prae- terlapfum tempus introfpiciens in eundem furnum , in quo aliquod tunc paraueram expcrimentum , non flnc admiratione obfcriiaiii , mufcas illas ex didlis cineribus crumpere vinas et abftcrfo adhacrente alis puluere pcrfede fimas auolare. Curio- H h 3 fitate fltfltc igitur motus cx piopofito vitrum orc apcrto , patulo , magno, cum aliqua fpiritus vini quantitatc cxpofui, ct colle- «flas mortuas mufcas , circumlpccftc cxcmptas fcpciiui intra di- fa(ftione vidi, fimilitcr iis prillinam boc modo reflitui vitam. Cum vna parua aranca , atciue alia iuueni blatta do- mel^ica , intra fpatium trium horarum , quinquc viccs fin.ilc codcmquc modo inftitui cxpcrimcntum , ct fcmpcr bono ac optato cum fucccffu, practcr quod aranca pofl vltimum cxpc- rimcntum adco languida fada fuit , vt vix iam rcpcrc potuit. In cimicibus domcflicis acquc boc vcrum cfle comperi, licct lii longc aliis diutius in cincribus affcruandi lunt , doncc rc- fufcitentur. De papilionibus nihil ccrti a^rmarc polfum, quia quos ad cxpcrimcntum rcccpi . non pcrfccftc fani fucrunt. Mil- lcpcdcs ccontra ^ulgarcs fcmcl in fpiritu vini moituos, rcfus- citarc diclo modo non potui. Vltcriora cum aliis pluribus infc(ftis lioc fcopo cxpcrimcnta inlliiucnda rclinquo Zoologis atquc mcdicis, qui liac oblcruationc cdocfti, non finc viilitatc forte ditftos cincrcs lignorum fcpidos, incmbris paraliticis, po- dagricis atquc in morbis Rhcumaticis loco fomcnii potcrunt adhibcrc. DE- — == (247) == DESCRIPTIO AORTAE, SVPRA MODVM EXTENSAE, ET RVPTAEi SIMVLQVE IN SEDIBVS DIVERSIS OSSIFICATAE. Audore C. F. WOLFF. ■ Comtent. exhib. d. 13 Nouembr. 1788. |— I omo quadraginta circiter et aliquot annorum, corpore pro- cero, afpedlu fanus, neque quidquam praecipue queftus, cum folitis fuis negotiis vacaret ; repente moritur. Corpus , anatomiae traditum , vti fingularia ac digna memoratu fpeda- cula obtulit ; non potui, quin, licet naturali cordis ftrudura inueftiganda tunc maxime occupatus eflem , tamen et haec fi- mul notarem, Academiaeque rcferrem. Aperto thorace , fterno cum partibus cartilagineis co- ftarum remoto, non folita vifcerum facies, fed corpus durum, renitens, aequale, immobile, loco pericardii et pulmonum , qui partibus fuis anterioribus id tegerent , apparuit. Cor illud effe putabam, pericardio, vndiquc fibi adnato, tedum. Nam nihil prehcndi quidem ex corpore ifto , aut abduci ab eo , quod pro libero diftinS3) == cilcareae , qiiani coiuinet. Ira vero etlam Marmora Sibiriac copia terrae filiccne immixtae a purioribus mar- moris varietatibus italicis fe diftinguunt. Tremolithen vocauit D""^ Hoepfner a valle Tremola, vbi inuenitur; fi vero noua nomina in Mineralogia toties effigere vo- lumus, quoties proportione partium interdum acciden- tali difFerant lingulae varietates corporum in Iioc regno mixtionis, finis vix erit denominationum. i(J.) Schoerlus rubefcens in granite, e montibus granitofis py- renaeis Caftiliae hifpanicae. 17.) Hornbhnde violacei coloris cum Schoerlo viridi et quart- fo, Asbeflo perfufo, e Pyrenaeis, eiusdem indolis ac in Delphinatu inuenitur. 18.) Granati minuti in faxo calcareo^ e Pyrenaeis. 19.) FeUfpathum crjjlallifatum in granite, e montibus pyre- naeis ad Bareges in Baigorre. 20.) Qiianfmn cryflallis vtrinque acuminatis opacis rubris (Cryrtalli e Compoftella didum) in gypfo rubro e lo- co : Beaume les Meffieurs in prouincia Galliae : Fran- che Comte. 21.) Silex pyromachus forma geodum in argilla reperitur in Normandie, prouincia Galliae. 22.) Petrofilex vel forfan potius iafpis fufci coloris , crv/ialli~ fatus , cryrtallis cubicis , ex Auvergne. Perfetfle refert cryftallos eiusdem naturae, quos D""^ Beycr Schnebcr- gae in Saxonia detexit. 23.) Calcedonius albi coloris ochrae zinci inftar ferc pulueru- lentus, et in hoc : Calcedonius durus viridefcens venas efficicns , e monte Lefquiere , vallis d'Arboufte prope Bagnieres de I uchon in Pyrenaeis. 24.) Camcolus orientalis Calcedonii inflar haemifphaericus. 25.) Opahis in mineris cupri, ex Anglia. IN n 2 25.) =(2S+)= 26.) Opalus rerficolor ( Girarol ) in mineris plumbi ex Bre- rngne, proiiinci.i Gnlliae. 27.) Smaragffus ex Forez, Galliae proiiinci.i. 28.) SuJphur r.atiuum intus paricres gcodum filiccorum veHicns e V^oligny prope BcfaiKjon in prouincia Franche Com- tc, Galliae. 2JJ.) Sulpbur natiuum cryftallis 0(flnl-dris rhomboidalibus (v. dc- lcriptioncm huius figurac in Criltallographia D. dc lisle cdit. II. Tom. I. p. 292.) in gyplo et fpato calcareo cx Conil prope Cadiz. 30.) Stilphur natiitum eodem modo crynallifatum ex Sicilia, Inuenitur ibidcm in fpato ponderofb. 31.) Succinum natiuum in gagate nigra fodinarum Lithanthracis in prouincia Langucdocccnfi. 32.) Plativ.um communitcr tenucs fquamulas eflicit, pront cx Amcrica adfcrtur. Scd apud D. dc lislc frulhiinm rotundum huius metalli vidi, cuius diametcr longitudi- nalis tcrtiam partem mcnfurae pollicaris , transucrfaiis vltra quartam parrcm ciusdcm menfurae aequabat ct e quantitate fatis magiia Platini , qnaic communitcr oc- currit , fclcc^um , ncc fufum crat. Hac occafionc no- vum inucntum acufiinmi Chcmici Dni. KlaprGth indi- carc liceat. Notinimum efl platinum ab auro mcrcurio fcparari, cum quo amalgamarioncm refpnit. Calidc au- tcm vniri potclt Platiuum cum mcrcurio, fi huius 14. partcs adhibcniur. 33.) Argentum natiuum dendritictvn fupcr faxo Gncilfi \cl Schifli micacci , c Totoli, in nuilco libcii Bar. a Dic- irich vidi. 34..) Ar^cutut/i natiuum in offc fcmoraii animalis ignoti, c Po- tofi , n.ulco rcgio atiuiit D. l)ouibcj\ 35.) (285) == 35-) Jrgentum grifeum antimonio mixtum e Siporo ad Potofi in America. 35.) Argentiim corneum coloris albidlmi nhiel femipellucidi nec non coloris rubicundi. Fruftula amorpha magnae mo- lis vidi in mufeo regio parifienfi, quae ex Peru et Po- tofi attulit D. Dombey. 37.) Uaematim niger e Comitatu Foix et aliis locis in Py- renaeis , cum magnefio faepe iundus. Huius magnefii varietates. leuifiirai pondeiis bic quoque inueniuntur , quales in Margrauiatu Baruthino et alibi in Germania oceurrunt. 38.) Minera ferri firatofa e particulis detritis montium ferri- ferorum Infulae Elbae, ad litora eiusdem depofita, in- tegra ftrata in fundo maris verfus litora infulae format. 39.) Fernim fpatofvm lenticulare vel forma criftarum, -cum mi- nera argenti grifea, ex Baigorre in Pyrenaeis. 40.) Ferrum fpaiofum ex Alvar in Delphinatu. Idem ex Wi- zil in eadem prouincia Galliae. 41.) Ochra ferri caerulea (Caeruleum berolincnfe natinum) e locis caefpitofis ad Beauvais in prouincia gallica Pic- cardie dida. 42.) Malachites et cuprum aztireum (bcr6 ^upfciffau) c fodinis ad Molinam Arragoniae. Superficic cryftallina intcidum rcperitur. 43.) Minerae cupri^ varii generis, e fodina Stae Cbriftinae iu montibus pyrenacis hifpanicis. 44.) Plumbum fpatofum album et galcna plumbi., e fodina S. Sauveur, 2 mill. Montepeflulo diftante. 45.) Plumbum acido phofphori mincralifatum, fpatofum, colore gryfeo - rubefcente forma pyriformi, fupcr quartfum ex Poullaoen. 46.) Plumbum , acido phofphori mineralifatum, fpatofum, co- N n 3 lore = (-S6) = lore carneoli inftnr riibro , forma globulari fuper galc- na plumbi ex Poullaocn iu Brctaguc, prouincia Gailiae. Vnicum eiusmodi globuium pcrfedc fphacricum miuc- rne plumbi adfixum, in muJeo Dni. De tlsle vidi. 4-7 .) Mlncra Jlarmi crylhillifata ( ^inngraupcii ) colorc rubro, cx Anglia. 4S-) Mercurii mincra cinnabarina in Pyritc c Si. Lau iu pro- vincia Normandie Galliac. 49.) Cnmabaris twtiua in fpato pondcrofo , cx Almadcu Hi- fpaniae, nec non ex Palatinatu et Biponto. 50.) Lapis calavimaris albus cryihiliifuus, cryllallis intus cauis, vtrinquc tctracdro - pyramidatis, e Sommcrfcdhirc An- gliac. Cryftalli calcarcac ciusdcm formac, fcd intus fo- lidae, in Derbyfhirc rcpcriuntur. Hae forfan nuclcum formarunt, qucm lapis calaminaris incruftauit. 51.) Zincum fpaiofum album e Pyrcnaeis. 52.) Blende riibri coloris ad Chatclaudin Galliae. 53.) Blende coloris citrini diaphani c Baigorrc , radiborzcnfi cx Bohcmia pcrfcdc (imilis. 54) Aniimoniuni fulphure mincralifatum c St. Cruz in Sicrra morena Hilpaniac. 55.) Minera CobaUi ex Alp vcl Alb in Arragonia et pyre- naeis hifpanicis. Ex hac minera Dnus. Bcujl \\\ Pyrc- iiacis, Galliac rc^no fubicctis, fmaltum parauit. ASTRO- ASTRONOMICA. — = (^iSp) == ESSAI SUR LES TABLES LUNAIRES DE M. EU LER POUR LES PRESENTER SOUS UNE FORME PROPRE A ABREGER CONSIDERABLEMENT LE CALCUL DES LIEUX DE LA LUNE. Var M. KRAFFT. Prefente a PAcademic le 12. Decetnb. 1788. D 5 ' -l-yc toutes les tables des mouvemens de la Lune celles dii celebre Mayer fe diltingnent le plus par leur admirable accord avec le ciel; & les Aftronomes s^empreffent a julle titre de les perfedionner encore de plus en plus , en redifiant leurs elcmens par la comparaifon de leurs refultats avec les obfer- vations. Ils n'ont cepcndant lailfe non phis de donner depuis quelque temps une attention dillinguee aux tables lunaires lcs plus recentes qu"on ait , publices par riU. Euier dans fon grand ouvragc fur la Theorie de la Lune (*), auxquelles, malgre qu'elles secartent encore du ciel un peu plus que celles de Mayer, ils ont reconnu, 6c dans le principe 8c dans la fagoa de ( * ) Theoria motuuni Lunae noua methodo pertiadafa vna cum tabulis artronomicis vnJe ad quoduis tempus loca Lunae expedite coniputari polfunt, Fetrop. 1773. Noua A6la Acad. Imp. Sc. Tum. V, O o -__ (290) == ik lciir conflriic^^tioii , dc fi grands avantagc?, quils fc croyent en droit de prcruincr, que rcdifices avec aiitant dc Ibin tS: par un aulli grand nombrc d'ob(crvations quc ccllcs dc Maycr , elles pourroicnt mcmc liirpallcr ccllcs - ci cn dcgrc dc prc- cifion. (*) §. 2. (*) M. Jcaurat a iiiUic a la Coiiiioiiljiicc unc dcs tciiir^ pour 17^6 uiic liou- vclle cJition dc ccs fablcs , fous unc forme ijn'il jujjc plus coiiinK><.ic quc celle qu'avoit adoptec i'auteur; c'e(l qu'il a renJu toutes lcs ^qua- tions adJitives. On y tiouve audl un tablcau dVrrcuii dc ces tablci fur 39 obfcrvations , aux qucllcs cllcj ont etc conn>aiecs-; on cn trouvc uii parcil dans les fupplciiicns anronoiniqucs du Comtc dc Cjflini aux inc- inoircs de 1'Acadeinic de Faiis pour raniicc 1785. On y a dcterini- nc par obfcrva'tion, 18 lieux dc la Lune. Voiti fur ccs 18 oblcrvations ie parallcle.des errcurs des Tablcs de M. Eulcr & dc ccUcs , quc M. de la Lancft a donnces a la fuitc de fon A(lronoin!c, ediiioii dc 1771. Lcs fignes -h & — marquent qu'il faut ajoutcr ou ictiaiidicr du Iicu calcuic pour avoir cclui qui a et<^ obfervc^: ide. I En Latitudc. iuier. la imn.\e. Euler. En Lor la Lande, gitude. 1 En Latitudc. Euier. la Ltfndc. Euier. t -1'. + 0'. 52" 1-Ho'. 30" - 0'. 10' 2 — 0 49 + 0. 37 l-o. 5 -|-o. 22 3 — 0. 30 — 0. 40 -fo. I -ho. 13 4 - I, 5 - I. 4 _o. •3 -0. 17 5 4-0. 5 -j-o. 9 -0. 5 -0. 6 6 -}-o. 29 -0. 35 h-°- 3 — 0. 14 7 - 0. 53 - *■ '9 — 0. I -\- 0. 7 8 — 0. 40 - 0. 41 ' — 0. =4 — 0. 23 9 — 0. 49 — 0, 40 — 0. 24 - 0. s 10 — 0. »3 -0. 9 T°- «4 4 0. 18 1 1 — 0. 2f -f-o. 20 1 ' 0. 0 i 0. 5 13 — 0, 37 — 0. 16 - 0 16 -0. 14 «3 — 1. 0 -+-0. 20 ,- 0, 13 4-0- 'S «4 4-0 20 -l-I. 17 -ho. 33 -i-o. 2 8 •S -0. 31 4-0. JS 1 °' 0 0. 19 16 -0. 23 -+-0. 37 '— 0. '4 — 0. 30 17 - 0. •9 4 0. 2 ;-f-o S 1-0. 18 18 0. 10 -\'0 11 \~o. 9 - 0. 9 == (^pO = §. 2. Ce qiii femble diftinguer le plus avantngeufement Jes tables dEuler de cclles de Mayer, confille dans les points fuivans : c) Toutes les incgalites du mouvement de la Lune y font determinees veritablement d'apres le fcul principe de la gravitation univerfelle , ce qui paroit , comme le remarque M. Jeaurat dans la connoiflance des temps pour 1786, page 198, la voye la plus fure d'obtcnir les meilleures tables de la Lune quon puiflc efperer. Tcllcs encorc, que la feule Theo- rie les a donnees immediatcment, ne jouiflant cncore d'aucune corredion tiree de leur comparaifon avcc le ciel, ni admettant aucune equation conclije uniquemcnt dcs obfervations , cllcs ne s'ccartent deja plus du cicl, que tout au plus & rarement d'une minute & demi, (*) tandisque que cclles de Mayer, dont la plus grande crreur fur lcs memcs obfcrvations ne va qu'a 47 fecondcs , renfcrmcnt plufieurs equations dont les cocfficicns corrigcs par les obfcrvations , different fenfiblement de ceux que la theorie a donnes , & introduifent mcme unc cquatioii quc la theorie nc donne point du tout , ccllc qui efl: relativc a la preceffion des equinoxcs & qui va jusqu'a 18 fecondes. Z») Lcs arguraens dc toutes les equations particulie- res y font donncs par les mouvemens moyens du Soleil & de la Lune , fgavoir par rclongation ainfi que par Tanomalie moyenne de ces deux aftrcs, & par la difference entre la longitude mo^xnnc dc la Lunc & ccllc de fon noeud afcendant, qui crt Tar- gumcnt moycn de la latitudc; au licu que dans les tablcs de Mayer de 14. argumens necefriiircs pour le calcul, il y en a 5, O o 2 qui (•) Sur 29 obfervations Terreur moyenne en moins fe trouve de 43 fccon- dcsj & il y a 9 crreurs cn moins, contre i en plus. = (=9=) = qiii dcmandcnt Ics licux vrais dii Solcil , 6c de la Lunc dans fon oibicc, ainfi quc ranomalic dc la Lunc & lc lieu dc Ibn nocud , dcj.i corrigcs Tun ', x^ y &c. & dccompofaut Ics produits dcs finus par dcs cofinus cn des finus fimplcs , on obticndra pour chacunc dc ccs valcurs unc fcric dcs finus dc ccrtains auglcs; 6c com- ir.c ces angles font Ics mcmcs qui cntrcnt dans rcxprction dc la coordonnec j', la combinailbn dc toutcs ccs fcrics j — X y -\- x' y — «Scc. en prcfcntcra unc fculc , qui nc conticndr.i que des argumcns rclatifs aux mouvcmcns moycns du Solcil OL dc la Lunc , \t (^/ ^ t ' /90° -*- ^ 4- IJ 1 Iv J y ■) fiz,^ -^/ /'93° V — -/ — 0 t •' '»0'' — c p ♦- 4 N* -'-■I p — jj , - «1 ^ 03360. 1674. 1 5 1 22. 1075S. 10576. 19922. 2756. ioS6. 39862. 5306. 434-8. 3252. T « O O l j . 170. T 170. iin. fin. fin. fin. fin. fin. fin. fin. fin. fin. fin. fin. fin. fin. fin. ^»0° -+- s p -f- f » V I ^ /90° — :if>-K « ( T > - q-\-\ \\ y /70° H- »p — ^-f , /■9t>o — :p . ^_( V 1 - /90° /> t I /■10° — i r t ( — : — > /9 :<»-»-«* — tr ' ( r > /• ')o° -f- (7 -4- i r y (■ ( (- i: 93° 7 93° ■'- tp-*-q — 1 r '— f 7 >-tr ^ 17— » §. 8. I-^ rcdn(f(ion dc ccttc formulc cn Tnblcs cou- tcri :i l;i vcritc -.ui calcuhitciir tunt foit pcu plus dc pcinc quc ccllc dc l;i prcccdcntc; mais lc calcul dc la Lunc cn ci\ con- fidcrahlcmcnt abrcgc l\' garanri dc la mcprirc quc pcut occa- (jonncr Ic changcn.cnt dcs figncs. Voici lc calcul dc rcxcmplc donnc cy-dcflus : Cal- Calcul dii lieii vrai de la C ^»»* l'ecliptiqiie poiir 1744. Avril 12'. 17''. 23^ 54''''. temps inoyen a Paris. Les argiimens font les m?mes comme cy-defTiis : l'Areiin enr. p - - - - 198170 q - ' - - 21 66601 f - - - - 76C zr - - - - 9988 p-^q - - 65C p — q - - I51e 2p-\~q - - 5CC 2p q - ■ 3552+^ 4/> 1 ' i?^"^ 2p — 3q - - 11' 2p-\-t - - 1596 2p —t - - 124M q-\-t - - 8067 q — t - . 4843 2p q t 76C -^p — q-^t 45C Soiune tjoniie 2763+09 rArgiin ent. p-\-t - - 2p — 2r - - q -\- ^r - - ^ — ir ~ - 2p -{- q — 2 r 2p — q — 2 r 2p~{-q — t Somme Qiiant conft. Tang. (p — Lieii moy. C F.ieu vrai C reduit ii l'E- clipriqne. donne. 27634.cc 485- 2304. 4296. 524. 9- 8. 904. ^ 2771939. — 1599167. Ot 117277- ^°. 32". 5 7''- 9^ 9°. 1 4^ 18 // 11 paroit douteux, fi jamais !c cnlcul de la Lune pour- ra etre reduit a une plus grandc fimplicite. Pp 3 OB- (3C2) 8 OBSERVATIO ECLIPSIS SOLARIS DIE Viun! 17S8 PETROPOLI HABITA. Ainflorc PETRO INOCHODZOir. Conuojt. exhib. dlt S lan. 17S9. Mroximis liiiic obfcrnntioni dictnis cxplornui moMim pcnduii nltronomici pcr altitudincs Solis corrclpondcnrcs qiiadran- tc bipcdali captas, quas fingulas rcfcrrc fupcrnuum duxi ; fuf- ficit monicnta meridicrum cx illis conclnla hic exhibcrc. Dic Vul Mcridics cx alt. Soli.s corrcf. o''. 13^. 6'^, 4 corrc6io iricridici — »- 6,6 Mcridies vcrus o. 12. 59 1 S Dic Vruri. "Mcrid. cx nlr. O corrcfp. o. 14. 1,1 corrc(fl. - - — 6 .,6 Merid. vcrus c. 13. 5+ ■> 5 Dic V ;?,'. Mcrid. cx alt. G correCp. - c 15. 47 ,8 corrcifl. - - o. — 5 5 * Mcrid. vcr. - o. 15. 4 = - Inni- == (303) ' Inftitnta compnrfltionc horiim momentorum inter fe , prodit accclcratio penduli diiirna refpedu temporis medii ex I. et II. ^^''^, 5 , ex II. et III. 43''^. et ex 1. et III. 43^'', 5; ex his apparet motnm penduli iatis uniformem fuifle. Nunc ad ip- fam obferuationem, quae iaOiH ell telefcopio Gregoriano ^s pe- dum Londinenlium. Initium ech'pfeos - , - Circa mar;?,inem dilci fohiris , ubi Luna intrabat, erant duae par- vae maculac , quarum proxima tegicur ------ et altera - - - - - - Finis Eclipfis exade obferuatus - Hiiic duratio Eclipfis - - - Temp. pend. X'\ 13'. ^^''. X' 23. 45. X. 24. o. XL 53. 33. Temp. verum ciuile antc merid. X. p. ss^ X. 10. 10. X^' 39- 39- 1. 40. 7. EX- = (304) = E X T R A I T DES OBSERVATIONS METEOROLOGIQUES FAITES A ST. PETERSBOURG EN L'ANNEE MDCCLXXXVII. Suivant lc nouvcau Stilc. Prcliiue (i PAcademie le 9 Jia//ct 178S. I. Barometrc. I.) I.cs liaiitciirs cxtrcmcs, l:i \;iri:uion, Ic milicii & l:i linutciir moyciinc du B;iromctrc pour chai|uc mois dc lanncc. Au plus haut 1 Au plus haa Variat. | Miiieu Hauteur Mois. moycniic P. CCIU. |o»ir. heure P. ccnt. -tonr , hcurc cenr. P. «cnt. P. niill. ■ J;iii\icr 28.91 29. 9. S. 27.4.1 5. 4. S. 150 28.16 2b.2b6 Fcvricr 28.54 8. 5. m. 27.26 19. 3-m. 128 27.90 27.970 Mars 29. 06 10. lo.m. 2 *7 2 2 3 6. s. I84 28.14 28.237 Avril 28.66 1 2. I I . m. ^7-4+ 17. I 2. m. I 22 28.05 28.1 I I M;U 28.5^ 20. 3. s. 27. 6S 26 2. s. 86 28.1 I 28.139 Juin 28.61 I I. 6.m. 27.6; 25 2. m. 99 28. ui 28.090 Jnilict 1 « r^ 9. s. 8.m. -7-57 25 3-m- 76 -7-95 27.990 Aoiit I28.27 20. 10. m. 27.61 14 6.m. 66 27.94 28.003 Scptcmbr. 28.54. *> ^y 1 1 . m. 27.42 30 i.m. 1 1 2 27.98 28.071 Odobrc 28.81 3- lo.m. 27.59 31 . 7.m. I 22 28.20 28. 209 Vovcn br. 2S.64 -7- 6. s. 27.56 14 S.m. 108 28.10 2S.9S4 n •ccnibr. .s.^-, 4 I I . IT1. 2". 6 -5 !<: 9. m. 100 2 8. 13 2S.I32 111. li^ni lic ///(///;; 01 aiiiiii - ////V//, «S: s. Joir ou oprcs- iiiiJi. A • ) Nom- = (305) == a.) Nombre des jours, auxquels la hauteur du Barom^tre a fur- paflfe quelques points principaux de I'cchellc, avec la hauteur qui repond a chaque demi - mois. Mois. jours 80 h. Au 27. po jours h. defl" 28. jours us 00 h. de 28. jours 10 h. 28. jours 2C h. Baromstre, undemi-mois au deflus de Pouces. mill. JanYicr. 26. I 2 25. 0 23. 0 21. 12 17- 18 28. 271 Fevrier 21. 6 17. 6 13- 0 10. 12 6. 12 27. 960 Mars 23- 15 21. 18 20. 15 19. 18 18. 0 28. 3-9 i: Avril 2 5. 3 24. 21 21. 15 15. I 2 II. 15 28. 119 Mai' • -9- 21 25. p 21. 0 17- 21 13- 18 28. 161 Juin 25- 15 23. 18 21. 18 14. 18 9- c 28. 091 Juillet Aout Sept. 24. 28. 25. 6 12 9 20. 21 22.' 3 23. 21 17- 14. 21. 15 18 3 9- 9- 14. 15 I 2 I 2 3. 3- 8. 3 15 15 23. 040 27. 989 28. 093 oa. 29. 21 29. 15 ^5- 0 ^7- 18 II. 9 2 8. 140 Nov. 23. 15 15. 9 8. 12 7- 6 5- 21 27. 905 Dec. 26. 9 24. 21 21. n vj 14. 12 1 1. I 2 28. 090 »r * La plus grande hauteur du Barometre a donc cte en 1787 de 29. 06, le 10 de Mars u 10 heures avant midi. Thermometre de Delisle a 162'^. Ciel ferein & vent fort du SE. La plus petitc hautcur du Earometre, 27,' 22, le 3 de Mars a 6 hcures du foir. Thcrmometre 147^^. Ciel couvert neigc, pluie & vent fort du SOu. La variation totale — 184 centiemes de pouces, <5c Ic niilicu 2 8. 14. Noua Acia Acad. Imp. Sc. T. V, Qq La = (305) =. La hauteur moyennc, par laqnclle j'entcnd touiours la fommc dc toutcs les hauteurs obfcrvccs, divirce par lcur noin- brc, cft =:28. 103, ccil ii dire ^sV-^i pouccs dc Paris , qui rc- pondcnt a z^. 972 pouccs dc Londrcs, ou a ip pouccs iij Jigncs. ] Cctte hautcur moycnne fc trouvc pour lcs fix mois d'ct6, dcpuis lc i Mai jusqu'aii i Novembrc, (culcmcnt dc 2S. OS3 i ^ pour lcs fix mois d'hyvcr fuivant, cn y comprcn- nant lcs quatrc prcnu'crs mois dc 1788 , ou bicn du i No- vcmbre 1787 jusqu'au i Mai 1788, dc 23. 113 pouccs: cc qui fait une difrcrcnce de lag pouces, ou d' j de hgne, dont la hautcur moycnne hyvcrnalc lurpairc cclic dc rete. Lc fccond tablcau nous fliit voir quc lc Baromdtrc t 6t6 dans ranncc 1787- 311 jours o hcurcs, au dcffus dc 27, 80 274. is au dclfus dc 27,90 aap 6 au dclfus dc 28, 00 173 o au dcfTus dc 28, 10 & 120 18 au dcflus dc 23,20 pouccs. Par confcqucnt la moitic dc Tanncc, ou cn 182 jours i2hcu- rcs, la hautcur du liaromctre a ctc au dcflus dc 23. o8+. Q) (307) -., , .. ,. .^ ,j V;|j.,\^f;ons fiibites" ^ exfraordinaires. Mois. Tenipj jour. heure. Dirf. heur. 30 20 32 Baroiuetr. POUC. T6d DifTer. t ir>6 TJienn de^gre's. Vent. Atmofphere. fiUlV. 1. o. m. 2. 6. m. 3. 2. m. 28. 2S 27. 63 28. 34 -6s -^71 150 148 164. Oll. Ou. fort. SOu. ciel couvcrt. c. couv. puis ncige & pluie. ciel demi - couv. puis neige. 5- 4- s. 6. 12. s. 27. 41 28. 28 ^87 155 175 Ou. N. beaucoup de neigc,ciel couv. ciel ferein. 2i}.. 9. m. 25. 12. s. 39 27. 60 28. 55 ^95 i<53 165 N. fort. NE. neige : ciel couvert. ciei demi - couv. puis ferein. 29. 9. s. 131. 6. s. 45 28. 91 28. 13 -78 171 157 calme oalrr.e ciel couvert, nebuleux. neige, ciel demi- couvert. Fevr. 16. 3. m. 17. 8. s. 41 28. 29 27- 34 —9S 156 149 SE. SE^ fort. ciel couvcrt, enfuite neige. neige &: pluie, ciel couv. I s. 9. m. 19. 3.m. 18 27- 57 27^ 26 —31 150 150 Ou. fort. SE. ciel couvert. ciel couv. puis neige &plnie. 1. 0. m. 2. 0. m. =4 27- 91 27- 5 5 -36 152 S. fort. S. f(frt. ncigc, cicl couvert. ciel couvert. 151 150 148 2. 7. m. 17 27. 6s 27- 33 —32 S. fort. ciel couvert. Mars- 1 2. 12. s. Ou. fort. neige & pluie, ciel couvcrt. 4'. 6. m. 5. <5. m. 6. 6. m. 24. 24 27. 24 27- 93 28. 45 -+-69 -t-52 -44 -5 3 —6c 149 165 167 Ou. fF. N. N. cicl couvcrt. ciel dcmi - couv. puis ferein. ciel ferein. i — 14. 6. s. 15. 6. s. i6. 6. s. 24 24 28. $6 28. 12 27. 59 148 148 150 SOu. fort. SOu. fF. SOu. ciel couvert. ciel couvert. phiie 6.' neige, ciel couvert. 29. 6. m. 30. 9. rr. 27 28. ly 27. 59 158 I '?o R. S. for^. ciel fcrcin. b :iMronp dc "cipc. r. conv. (^q 2 Aiuij (308) . . .11 T^ciTin^ f DiiT Barometr! DifTcr. I TJicrm. (jegres- Vcnt. Atinufplicrc. Moiy.' '* . ,P ' |; jour Jicurc. heur. Pouc ^l^ Vvril 1 1. o. m. 2. 12. m. 3<^ ^7- 5S 28. 24 4-66 -59 1 165 155 NOu. Ou. cicl fcrcin. eicl demi -coiivcrt, ncigc. 12. II. m. 13. 12. s. 37 2b. 6C 28. 07 135 144 150 142 E. SOu. cicl icrein, puis dcmi-couv. cicl couv. puis plnic. 16. 0. m. 17. 12. m. 36 28. 13 27. 44 -69 -55 -41 Ou. On. cicl fcrcin. c. couvcrt, puis ncit^c & pluic. 23. 0. m. 24.. 0. m. -+ 28. 12 27- 59 157 14.9 E. fort. S. forr. c. couv. puis ncigc copiculc. c. dcmi-couv. ncigc (Sc phiic J)cb:iclc dc la rivicrc. 1 May.'i=°- ;■'■ ■^ |2i. 6. m. 15 30 30 ^8. 5 + 28. 15 131 138 Ou. fort. N. fort. lariablc NE. if. S. ff. SE. fort. cicl' demi-couvcrt. cicl fcrciii. Juill. : 19. 6. s. |22. 6. m. 28. 18 27. 69 28. 17 -49 -H48 -41 1 0 rt 130 13^ cicl fci;ein : Ic Icndcmain cicl - couvcrt , pluic co- picu(c vSc oragc. cicl lcrcin. .\oiit i 13. 12. m. i+. 6. m. 18 2 8. 02 27. 61 I 22 I 28 Ou. SOu. ciel dcmi-couvcrt, pluic. cicl couvert, pluic copicufc. Scpt. oa. 4.. 2. s. 5. 12. m. 22 32 +9 28. 39 28. 02 -37 -56 ^91 -H48 -5'} 121 131 NH. N. fort. nuagcs. cicl couvcrt, pliiic. 6. I 2. m. 7. ic. m. 7. I 2. s. 28. a8 27. 72 28. 03 131 139 145 NOu. fort. N. fort. N. cicl fercin. cicl couvcrt, pluic. cicl fcrcin. 30. I. m. 1 . 9. m. 3. 10. m. 27. 42 28. 33 28. 81 »43 145 »47 149 Ou. If. NOu. caimc. cicl couvcrt, pluic copicufc. cicl couvcrt. cicl fcrcin. 30. 0. in. - I. -. w. |2J>. 12 N. X. forr. cicl couvcrt, cnfuiic ncigc. eicl couvcrr, cndiitc ncigc. Mois (309) Mois. Temps jour heure. £)iff Barometr.DiJTer. Therni. dcgre's. Vent. Atmofphere. Nov. 10. 3. s. 11. 12. m. 12. 12. m. 13. 12. m. 14. 8. ni. 45 44- 27. 03 28. 2C 28. 45 28. 08 27- 56 ^82 -89 -5 8 ^65 141 14.7 151 148 -144 S. N. fort. 0. N. fort. Ou. f. ciel couvcrt & pluie. ciel couvert. neige, brouilLird, c. couv. ciel couvert, enfuite pluic. pluie copieufe, c. couv. neige. Dec. 6. 12. m. 7. 12. m. 24 28. 3<5 27. 7S 162 i(J3 SE. fort. SE. ff. cicl couvert, neige. ciel couvert, neige. 9. 12. m. II. 12. m. 48 27. 8c 28. 45 156 168 NOu. fort. calme. c. demi-couvert, puis neige. ciel couvert. 12. 12. m. 14. I 2. m. 48 28. 56 27. 71 -85 179 149 SOu. fort. SOu. fort. c. ferein,brouilIard, puis ciel couvert, neige & pluie. 22. 12. m. 23. 12. S. '4 28. 49 27. 96 -53 178 165 160 169 calme. E. fort. ciel demi - fercin. ciel couvert & neige. 24. 12. S. 2 . I 2. m. 36 27. 94 28. 4 = ^-48 NE. NE. ncige, c. couv. puis demi-fer. cicl couvert. •" , •A':l. 27. 0. m. 28. 6. m. 30 28. 42 28. 02 —40 180 174 E. NE. fort. cicl fcrcin, puis coqvcrt. ciel ferein. Les deccntes font marquees par — & lcs montees par ^:;^, 1 ff. figuifie un \ent tres fort. - t I ! . On voit par cet expofe que les variations ont dtc cet- te annce - ci bien moins confidcrables que dans lcs annees prc- cedcntes. Lcs montees les plus confidcrablcs ont ete obfer- vces : le 24 Janvier, 011 la hauteur du, Baromctre a augmcnte de 95 centicmes parties de pouce , ou de 1 1 i lignes, cn 39 heuresj & le 30 Septcmbre, ou elle ctt montce depi ccntic;- Q q 3 "It^es', Csio' rrc; , oii dc ii lignes, en 52 licurcs. La dcccntc la plu» fortc qui cft dc 95 ccnticmcs dc poucc, ou dc iii ligncs, en 41 hcures, a 6te rcmnrqucc lc 16 Fcvricr. En gcncr.nl font-ce cncorc lcs mois d'hyvcr,dans Icsqucls lc Baromctrc sctl trouve as- luictti ji dcs grandcs variaiions, 6: parmi ccux-ci, fclon lc dcgrc dc leur variabilitc, lcs mois dc Mars, dc Janvicr <5c dc Dcccmbre. II. Tlicrmonictrc. I.) Hautcurs cxtrcmcs, lcur diHcrcncc, 6: ctat moycn, pour cliaquc mois dc lanncc 1787. Mois. Haurcurs cxrrcmcs. Difre- rcncc. Dcgre 33 Etat moyen.| Au De- 1 181 plus bai jour & hcure. Au Dc 148 plus haut. jour & heurc. Froid iiioyen. Degrc. 107,0 Chalcur inoycii. Dcgr^ l6c,0 ■' Janvicr lc 7 a 10 h.s. Ic I. 2. 9. 10. • a 2 h. s. 1 Fcvricr ^97 le 9 a 6 h. m. i^-- lc 19 a 2 h. s. 50 168,4 159,2 ■ Mars 174- le 9 a 6 h. m. I 39 lc 2 8 ;i - h. s. 35 I 6c,6 i4S,i A \ * 1 £ le 2 A 6 h. m. ,_«ll_. A-1- « 54 155,^ 139, s Avril 176 122 ic -y :i :i ii. b. Mai 1+9 lc 17:1 5 h.m. io6 IC 31 3 2 h. S. 43 138,4 123,C Juin 137 lc 5 & 6 a 103 lc 13 a 2h. s.! 34 131,4 1 16,7 ■ 6 h. m. Juillct 133 le 3- 4- 5- 8. ic6 Ic 1 1 a 2 h. s. ^7 128,7 119,0 a 6 h. m. Aout 137 lc 3oa 6h.m. ics lc I A 2 il. s. 29 13=, I I"22,l i Scpt. 148 Ic 9. 18. 19. a 6 h. m. ^17 lc 28 A 2 h. s. 31 141,0 130,6 Oclobr. 152 Ic 3oi loh.s. i 22'lc I 2 i 2 h. s. 30 143,3 136,6 Novcm. 169'lc i6a6h. m. 1 i + i Ic 9 & 10 a 2 h. .;. du 14 matin 28 i5 5,^> i5»,4 D jusqu'au 15 ^ 6 b. s. a.y ISunv* =(3ii)= fjr,2.) Nombre des jours, auxquels le froid & la chaleur ont furpafle quclques divifions principales du Thermo- metre de DeHsle. Mois. Le froid a ete pl us gl •and que J.a ( Chaleur a ete phis grande que 190 I80 170 160 150 14.0 13C 1 10 120 130 14.0 150 160 170 180 jours. jours. I jouis. jours. jours. 31 |ours. 31 [ours. 31 jours. jours. |ours. |ours. joilrs. 4 )ours. 14 )ours. 28 jours. 31 Janv. IC 26 Fevr. 2 6 12 17 ^7 28 28 7 16 23 26 Mars 5 17 29 31 31 I 1^9 31 31 31 Avril 2 6 25 -7 30 3 13 28 30 30 30 Mai 13 28 5 12 23 28 31 31 31 31 Juin 22 6 21 3c 3c 30 30 3^ 30 Juillct I 2 5 15 3C 31 31 31 31 31 Aoiit 25 I 8 31 31 31 31 31 31 Scpt. 18 30 I II 28 30 30 30 30 Od. 2 22 31 5 22 31 3^ 31 31 Nov. II 2C 30 30 14 24 30 30 Dec. 2 4 I 2 25 31 3^ 31 2 258 13 312 24 31 1787- II 41 102 165 231 3291 17 57 133 I84 350 363 Ces deux tableaux des obfcrvations thermometriqucs donnent les refumes fuivans. Le phis grand froid, 197 degres apres la graduation de Dehsle, a ete obferve le 9 Fevrier a 6 heures du matin. Ba- rometre 28- 25, calme parfait & ciel entieremcnt fercin. La plus grande chaleur, 103 degres, le 13 Juin ii 2 heu- res apres midi. Barometre 28.23, calme , cicl fcrcin , enfuite un peu de pluie & de tonnere, avec uu \cnt frais du Nord. La == (312) = La diflTerence entrc ces deux tempcrnnircs cxtrcmes eft 5)4 dcgres de Dclislc, qui font $0] dcgrcs dc Reaumur. Lc froid moyen: ou bien la fomme dc toutes lcs hau- tcurs thermomctriqucs obrcrvces le matin & le foir , divifcc par lcur nombrc, eft: pour toutc Tanncc 149 dcgrcs ; pour lcs mois d"ctc, ccll a dire dcpiiis lc i Mai jusqu'au I Novcmbrc i35j dcgrcs , & dcpuis lc i Juin jus- qu'au I Odobrc 133^ dcgres. Enfin pour lcs fix mois d'hyvcr, Janvier, Fevrier, Mars, Avril, Novcmbre & Dccembrc 161'^ dcgr^s. Dc mcmc la chalcur moycnnc , c'cft a dirc la fomme dc toutcs lcs hautcurs thcrmomctriqucs obfcrvccs a 2 hcurcs apres midi, divifcc par lcur nombrc: pour toutc lannce 139 degrcs ; pour lcs mois d'cte, dcpuis lc i T\Tai jusqu\iu i Novem- bre 124] degres , & dcpuis le i Juin jusquau i 0(ftobre 12210 dcgrcs. Enfin pour lcs mois dliyvcr Janv. Fcvr. Mars, Avril, Novcmbre & Dcccmbrc 153I dcgr6s aprcs la graduation dc DcUblc. TI n;v a cu cn 1787 quc 16$ jours dc gcI6c, ^ 258 jours dc dcgcl : par confcqucnt 1^7 joiirs dc gclcc coiitinucllc, & 200 jours dc chalcur continucllc, c c(l a dirc, om il n\i gclc point du tout, & 58 jours 011 il n"a g6I6 que pcndant lcs nuits: Parmi lcs 165 jours de g616e, il y avoient: IC2, 011 lc fioid a (urpaflc 160 41 - - - 170 II - - - T SO & 2 - - - 190 dcgr6s. £n- == (313) == Enfuite parmi les 258 jours de degcl, il y avojent: ;. -- 184^ ou la chaleur a furpaffe 140 133 - - - - 130 57 - - - - 120 Sc 17 - - - - iio degres. 3.) Enumeration detaillee des jours de grand froid. Le Froid n'a ete qu'en ajours plus grand que ipo% le 8 & 9 Fevrier. , , . II a ete obferve entre 150 & 190 170 & isc 160 & 170 le 7 Janvier, le 7. 10. 25. 26. Fevrier, 6c le 4. 12. 22. 27 Decembre. - - _ le 12. 18. 19 22. 23. 26. — 29 Janv. le 4. 6. 21. — - 24. Fevr. le 8 — 10. 19. 20. Mars, le i. 2. Avril, & le 3. 5. 10. 1 1. 20. 21. 26. 28. Decembre. - - - - le 2.3.(5.8.11. 13 — 17. 20. 21. 24. 25. 30. 31 Janvier, le 2. 3. 5. 11. 27. Fevr. le 4 — 7. II — 13. 18. 21 — . 23. 27 Mars, le 7. 8« 21. 22 Avril, le 17. 18. 21. 23 — 30 Nov. & le I. 2. 6. 7. 9. 13. 18. 19. 23 — 25. 29. 30 Dec. jours 9 3C 61 4.) Enumeration detaillee des jours dc grande chaleur. La chaleur a cte en 17 jours plus grande que 110%' Ic 5. 6. II. 12. 31 Mai, le i. 2. 7. 8. 13. 14 Juiu , le 9. II. 17. 24. 31 Juillet, & lc I Aoiit. Elle a ete obfervce entre: Noua ACla Acad, Imp. Sc. T. V, R r 120 (31 + ) 120 & IIO 13C iSc lic 140 & 130 le 2. 4. 7. 8. 10. 13. 29 Mai, lc 3. 4. 6. 9. II. 12. i^. 16. 18 — 21.23.2830 Juin, lc S. I-. 1+ — 16. iS. 19. 22. 23. 26jiiillct, lc 2 — 4. 6. 7. 12.21 Aoiit & le 28 Scptenibrc. - - - - - lc 2S — 30 Avril, le i. 9. i S- 19. 21. 23 25 — 2S. 30 Mai , lc 5. 10. 17. 22 24 — 27. 29 Jiiin, lc I — 5. 7. 10. 13 20. 21. 25. 27 — 30 Juillct, le 5. 8 — II 13 — 20. 22 — 31 Aout, lc 3 — 5 19 — 22. 25 — 27 Scptcinbrc, & lc 5. 7. II. 12. 14 Odobrc. - - - lc 2sMar.s, lc 5 — 7. 9. 1 1 — 13. 15. 16. 2-7 Avril, lc 3. 17. 20. 22. 24 Mai, lc 6 Juillct, lc I. 2. «^ — 14. 16 — i&. 23. 24. 29 Sept. & le I — 4. 6. 8 — ic 13. 15 — 19. 24 — 26 0(f^obre. jours 40 l^ 51 II gcla ponr la dcrnicre fois Ic 27 Avril matin. Thcr- momctre dc Dcliblc 154. Barom. 2S. 17. Cicl fcrcin, vcnt fort dn SE., fe tournant cnluite au SOu. II rccommcn^i a gclcr lc 3^:^ Octobrc au foir. Tiicr- momctrc 152. Barom. 27. 75. Cicl couvcrt & ncigc, vcnt du Nord. Lintcrvalie entrc ccs dcux ^poqucs cft par confcqucnt dc i8<5 jours, dc 27 jours plus grand quc celui dc lanncc moycnnc. En gcncral cn comparant ccs rcfultits avcc ccux dc lanncc moycnne, trouvcs d"unc fuitc d\)blcrvati{)iis dc 14 ann^cs & inlcrcs au \olumc IV'' dcs nouveaux AcTcs pa:;c 322 &: fuiv. on voit quc 1'ctc dc 17S7. a ct6 pour le cli- niut dc St. Pctcrsbourg uu dcs plus ciiauds dc dcs plus longs. III. = (315) = III. Vent. I.) Tableau general de la force & de la direcflion des vents, pour chaque mois de rannce 1787. \fois. Calme Vent doux Vent fort V fiit tres fort Nord. jours. 4 6 5 I 3 5 4 6 4 44 NE. jours. I 6 I 4 7 10 3 n 2 5 3 1 1 55 Efl. jours. 2 3 8 5 4 0 5 7 6 4 50 SE. jours. Sud. SOu. Oueft. jours. NOu. jours. 10 5 5 9 4 8 7 I 2 3 Varia- bie. jours. jours. jours IC II 9 13 16 17 15 I 2 15 19 9 I 2 jours. jours. |ours. 0 I 3 3 n 3 3 6 7 0 jours. Jaiiv. Fcvr. Mars A.vril Mai Juin Juillet :\out Sept. oa. N"ov. nec. 8 8 3 3 4^ 3 4 7 3 5 4 9 I 2 9 16 I 2 10 7 9 I 2 9 7 15 9 I c 1 3 3 c 0 1 19 I 5 4 3 2 2 . 4 3 2 3 4 I I 7 3 I 0 6 4 r> 0 2 6 2 ■ 2 4 7 I 4 4 5 4 I I 4 2 2 Annee 1787- 61 158 127 34 42 1 29 4^ 62 8 Rr A fi. Rflp- = (31^) = , ) Rnpport dc l:i forcc dcs Tcnrs 6: des qiiatrc phgcs : tir6 du Tablc:ui preccdcnt pour chaquc mois dc r.innce 17ST- Mois. Dcgrc dc Forcc. Kapp. Nord dc.-- i Eft 3 uauc Sud plai^o. Oueft. Janvicr 271 9 I ; Vc\ rier 235 I 2 S 3 5 Mars 351 8 6 9 8 Avril 310 9 5 6 10 Mai 271 6 n ^ j 9 Juin 297 9 1 2 5 + Juillct 3C3 6 8 7 10 Aoiic 255 9 5 7 10 Scptcmbre 310 10 6 5 9 Odobic 229 7 1 1 8 5 Novcmbrc 3-7 8 9 10 3 Decembrc -4-8 1 1 I 2 98 5 75 3 Anncc 1787. 28 + 104 88 Toutc ccrte anncc a donc crc pliis vcntcufc quc la prcccdente : Lc mois lc plus ^cntcux a ctc cclui dc Mars, & lc plus calmc ou lc moins vcntcux cclui d^Odobrc. I c vent dominant a ctc lc vcnt du Nord c\" particulicrc- mcnt cclui du NOu. qui a lurtout regnc en Janvicr. I.c vcnt qui vcnoit dirccftcn^ent du Nord a domi:i6 le plus cn Fcvricr & Novcmbre, & cclui qui loullloit du NE cn Dcccmbre & Juin. 3.) Di- = (317) 30 Diredionl Isiord. NE. Eft. .SE. Sud. SOu. Oueft. VI Diredion des vents forts. Jours & Mais. le 20 M;irs , le 21 Mai •S: le 11 ^Joveinbre. - le 2iMars, le 21. 2(SAvriI, le 14. 16. 17. 19 Mai, le 9. 10. II. 22. 23 Juin, le 2oJuillet, le 23. 28. 29 Noveinbrc & le 27. 23 Dc- cembre. - - - - - - le 7. 8. II Mars, le 20 Avril, le i Mai , le 20. 21 Juin , le 19 Septembre , le 24. 25. 26. 27 Novembre , & le 23 Dccembre. - le II. 14. 16. 17 Fevrier, le 9. 10 Mars, le 23, 30 Avril, le 5 Mai, le 8. 29 Juin, le 22 Juillet, le 24. Aout, le 14. 15 Odobre, le 6 Novembre, & le 6. 7 Decembre. - - le 20. 21. 24 Janvier, le i. 29. 30 Mars , le 24. 27 Av-ril, k^Mai, k 16. 2:7 Juillet, le 28 Septembre, le 11. 12. 13 Odobre, le 4. 13. 16. 20 Novembre & le 12. 13 De- cembre. - - - - --- le 2. 3. 13. 14. 15. 1(5. 23 Mars,''re 2 8'AvriI, le 7. 21. 26JuilIet, le 14. 15. 25. Aoiit, le 7. II Septembrc, le 7. 9 Novembre & le 14. 15 Decembre. - - - - - le 2.4. 5. s.Janvier, le isFevr.le 31 Mars, lc 3. 25 Avril, le 20. 26. 27 Mai, le 13. 29 Juillet, le 10 Aoiit, lc 2. 5. 24. 29. ^oSeptem- brc, le 16. 31 Odobre, & le 3 Novembrc. R r 3 Nombre de jours 3 : 18 13 j;o'iiki. iS 21 20 22 NOu. (3IS) Direcflion NUii. ) Direcftion dcs Vents forts. Jours & Mois. Noiiibre dc jours. le 6. lo. II. 13. 16. 26Janvicr, lc 2. 3. 27. 28 Feviicr , le 4. Mars , lc 10. ii. 18. -- Avril , lc 15 Juin , lc 2. 3. 19 Juillct , Ic 2, 3, 4. 8. 9. 12- i<^ Aout, lc 6. 15. 16 Scptciiibrc , lc 1+ Novcmbrc, «Jt lc 9 1)«.- ccnibrc. _-----__ ; I 1 Dircdion M£. SE. Sud. SOu. Oucft. NOii. Parmi ccs vcnts fc troiivoiciu ctre lcs plus violens, ccux du 21 Avril, i^Mfli, 9. 10. 11 Juin, 2oJuil- lct , & du 23 Novcmbrc. _ - - - du 7 Dccembrc. ------- dn 16 Juillct. - - - _ - •- - du 14. 15 Mnrs, 28 Avril , «S: du 21 Juillct. - du 29 & 30 Scptcmbre. - - - _ du 6 J;invicr , 4 Mars, 15 Scptcmbre, 6c dn 14 Novcnibrc. - - - . _ _ 31 146 Komlife de jours. 7 I I 4 2 ^9 }I IV. (319) IV. Atmofphere. C iel. Pluie. Neige. | Mois. fereiii couvert Brouillard jours. forte jours. petite jours. I forte jours. 3 pefite jours. 4 jours jours. Janv. 13 3 14 Fevr. 7 14 4 3 8 Mars 1 + lO 0 4 2 9 Avril 14- 5 0 5 I 5 Mai 9 4 6 6 7 I Juin lO 5 0 4 8 Juiliet 7 9 3 II 1 1 Aout 6 7 3 10 13 Sept. 5 II 0 8 12 Od. 4 17 0 3 12 4 Nov. I 20 3 I 7 <>/■ 4 13 Dec. 84- 18 5 0 2- 15 Annee 1787- 133 29 I 2 8 II a neige pour la derniere fois le 15 Mai: & 11 a re- commence a neiger le 23 0(ftobre. L'intervalle entre ces deux epoques eft de i6i jours. La grele efl: tombee en quatre jours, le 5 & 9 Aout, le 8 & 14 Septembre. II y a eu 13 orages complets, en Mai le 8. 13. 26 (qui a cte trcs fort} dc 31; en Juin le 2 & 27; en Juillet le n. 12. 20 & 24. fort i & en Aout le 5. 6. & 9. II n'a fliit qiie tonner de ioin 4. fois, le 7 & 13 Juin , le 25 Juillet , & le 8 Aout. Le • C32o) ■■ I.c nombrc des aurores borcalcs obfcrvces n'a ctc qiie de 10, dont 7 ont cte trcs luirantcs, lc 3 I cvricr, lc 7 «S: 21 Mars, lc 19 ^ 20 ANril, le 6 & 3 1 Odobrc. Les 3 autres moins confidcrablcs ont ctc rcmarquces lc 4. Fcvricr, lc is Mars & le 14. Avril. La Ncva commcn^a a dcbaclcr lc 23 Avril, aprds aroir 6te couvcrtc dc glaccs pcndant 1 69 jours. Ccpcndant lc pas- lage par batcaux nc fut cnticrcmcnt librc quc lc lcndcmain 24. Avril vcrs le foir. Baromctrc 27. 70 a 27. 75 pouccs ; TheriTiomctrc de Dclislc 1+8 a 15- dcgrcs. \'cnt fort du SOu. Ncige 0,815^69 0,832694 0,850123 o?SS4993 0,902434 O5919879 0,937328 0,954780 1,392115 1,409638 1,427163 1,444689 1,462216 I, +79743 1,497271 1,514799 1,532328 1,549857 1,567385 C o r r e t i o P^ M. 2. 15. 2. 15. 2. 15. 2. 14. 2. 14. 2. 13. 2. 12. 2. II. 2. 10. 2. 9. ^- 7' o. 46. X 6^2 695 098 701 704 706 7O8 709 710 7" 710 231 235 239 241 243 247 249 250 251 r^ C i^ 253 30 f\ i334 345 358 369 380 393 404 414 424 43 5 326 326 325 324 324 323 320 317 315 311 309 662 III 634 112 661 100 638 102 659 90 641 90 657 79 643 79 655 68 645 69 654 57 647 57 654 45 649 43 653 34 65C 34 653 23 651 25 652 12 652 12 652 0 652 0 >! 4 4 4 4 4 5 P 4 5 4 4 4 I I I I o o 5 4 4 3 3 1 1 10 10 1 1 I 2 I I 12 1 1 1 2 12 745 750 755 759 763 •j66 769 771 773 775 7_75 626 615 605 595 584 561 549 538 5 26 513 Elev. Poli Gr. 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5<5 57 58 59 ) 1,002177 0,012368 0,967865 0,01215 1 0,934687 0,011931 0,902570 0,011707 0,871443 0,011479 0,841243 0,011247 0,81191-1 0,01 10 13 0,783400 0,010774 0,755648 0,010533 0,723614 0,010233 0,702254 0,010040 0,076529 0,009789 3,651399 0,009535 0,62682!, 0,009273 0,602786 0,00901 8 0,579238 0,003755 0,556158 0,003490 c^S^^SkS 0,003222 0,511289 0,007951 0,489451 0,007678 0,467978 0,007403 0,446849 .,007125 0,426043 0,006845 0,405542 0,006562 0,385324 0,006278 0^365373 0,005992 0,345671 0,005704 0,326218 0,005415 0,306951 0,005123 0,237902 0,004830 0,269040 0,004536 0,250353 0,004240 0,231825 0,003942 0,213444 0,003644 0,195198 0,003344 0,177074 0,003044 0,159059 0,002742 0,141143 0,002439 0,123313 0,002136 0,105558 0,001832 0,087868 0,001528 0,070231 0,001223 0,052636 0,000917 0,035075 0,00061 2 0,017531 0,000306 0,000000 0,000000 Gradus latitudinib 0,017 + 1-7 0,017421 0,017425 0,017429 0,017433 0,017437 0,01 7441 0,017445 0,017449 0,017452 0,017456 0,017460 0,017463 0,017467 0,017471 0,017474 0,017477 0,017480 0,017484 0,017487 0,017490 0,017+93 0,017496 0,017499 0,017501 0,01750+ 0,01751.6 0,017509 0,017511 0,017513 0,017515 0,017517 0,017519 0,0x7521 0,017522 0,017523 0,017525 0,017526 0,017527 0,017527 0,017528 0,017528 0,017529 0,017529 0,017529 ArcusMc- rid. ab Aeqvatorc s 0.7S04.31 79784^ 815269 83 2694 8501:3 867556 8S4993 902434 919879 93732S 954780 972236 989696 007159 024626 042097 059571 077048 094528 112012 129+99 1+6959 16+482 13197^ 199+77 21697, 234+82 251988 269497 28700S 304521 Correctio 322036 339553 357072 37+593 392115 40963 S 427163 4446S9 +62216 4797+3 +97271 514799 532328 549857 5673S5 p' .V y = / ■v) P s M. S. — ->- — •+- -+- — — 2. 15. 692 231 323 326 4 5 7+5 2. 15. 695 235 334 326 4 5 750 2. 15. 098 239 345 325 + 4 755 2. I+. 701 2 + 1 358 32 + + + 759 2. I+. 704 2 + 5 369 32 + + « j 763 2. 13- 706 2+7 380 323 5 3 766 — 2. 12. 708 2+9 393 320 + 2 769 2. I I. 709 250 404 317 5 2 771 2. 10. 710 251 +1 + 315 + 2 773 2. 9. 7" 252 +2+ 311 + -(- 775 2. 7. 710 253 +3 5 309. + 1 775 2. 5. 710 252 ++7 304 + 0 77+ 2. 4. 710 251 +56 -99 + 2 77+ 2 ^7 709 250 +66 295 + 2 772 2. 0. 708 248 +77 289 4 2 773 1. 58. 706 246 +36 284 4 3 76S 1. 55. 705 243 +97 27S 4 3 765 I. 53- 702 241 505 273 4 5 762 I. 50. 701 237 515 266 4 + 757 1.48. 699 232 523 259 4 5 753 1. 45. 696 228 531 252 + 6 7+8 1.41. 694 ■- - J 5 + 1 244 + 6 7+2 1.38. 692 218 5+9 -37 + 6 736 I • 3 5 • 691 21 1 560 223 + 6 730 I. 31^ 688 205 568 2 20 + 8 72+ I. 27. "85 632 i9i> 191 575 581 21 I 202 + + 8 8 716 1. 24. 70S 1. 20. 630 183 588 193 3 8 700 r. 17 678 175 595 18 + J 9 692 I. 12. 675 167 601 17+ 3 9 683 1. 8. 672 159 607 165 2 9 674 1. 4. 669 150 612 154 2 10 665 0. 59. 667 141 618 I++ 3 9 655 0. 55- 665 131 623 134 ^ 1 0 646 0. 51. 66^ 122 629 123 2 10 636 0. 46. 662 1 1 1 63 + 112 0 1 1 626 0. 41. 661 100 633 102 2 10 615 0. 36. 659 90 641 90 2 10 605 0. 31. 657 79 6+3 79 2 1 1 595 0. 27. 655 6s 645 69 I I 2 5 8+ 0. 23. 654 57 647 57 I 1 1 572 0. 19. 654 45 649 45 1 12 561 0. 16. 653 3 + 650 3.1 I 1 1 5+9 0. 10. 653 23 651 0 .. - j 0 12 538 0. 5. 652 12 652 12 0 I 2 526 0. 0. 652 0 652 0 0 513 / s lis Arciis Me- rid. ab Aeqvatore s o, oooooo o, 017302 o, 034604 o, 05 1906 o, 069209 o, 086512 o, 103816 O, 121 121 -f ^ ^ i ^ j o, 571732 o, 589103 o , 606477 o, 623855 o,, 641237 o, 658623 o, 676013 o, 693406 o, 710803 o, 728204 o, 745609 o, 763018 0578043I ) C o w. o. o o. 5 o. 10 o. 15 o. 19 o. 24 O. 28 o. 33 .. 3- .. 5- ;. 7. 2. 9. 2. 10. 2. II. 2. 12. 2. 12. 2. 13- 2. 14. 2. 14. 2.15. 2» 15. .V O 23 +5 68 91 113 135 157 604. 614 624 633 641 650 658 664 671 676 682 688 692 o o I 2 3 4 7 10 162 o 7 10 /O' 190 13 26 36 45 57 169 202 176 213 183 2 24 189 = 34 195 244 201 = 53 207 265 212 276 218 = 87 0 0 ^ 299 226 311 231 3^3 70 80 -94 =98 303 306 310 313 316 319 322 323 3 = 5 3 = 5 3=5 3=6 T1 O O o o o o o o 6 3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 4 4 4 p s = 3 0 22 23 2 2 45 23 67 r» 1-» 90 23 iia f> ^ 135 . 2 ; 021 12 I I I 1 I I 10 8 8 633 646 658 669 68O 691 701 709 717 725 732 739 74S Elev. Poli Gr. 1 1 12 13 14 15 16 17 18 20 Angiilus ad centrum Gr. M. S. 0.59. 29. 1. 58. 58. 2. 58. 27. 3- 57- 56- +• 57- 25. 5. 56. 54. 6. 56. 24. 7- 55- 54' 8. 55- 24- 9- 54- 55- 10. 54. 25. n. 53. 56. 12. 53. 28. 13.53. o. 14. 52. 33- 15.52. 6. 16. 51. 4.0. 17. 51. 14. 18- 50.49- 19. 50. 24. 0 -^ 21.49. 38. 23 22.49. 16. 24 23- 4S- 55- 25 24. 48. 3 4- 26 25. 48. 14- 27 26.47. 55 28 ^7- 47- 37 29 28.47- 20 go 29.47. 3 31 30.46.47 32 31.46.33 33 32. 46. 20 34- 33.46- 8 Diftantiaab Aeqvatore O , OCOGOO o, 017301 o-. 034597 0,051883 o, 069153 o, 086402 o, 103626 O, 120820 Oi 137977 °i 155093 o, 172 164 o, 189183 o, 206146 o, 22304S o, 239884 o, 256648 o, 273336 o, 289943 o, 306462 o, 322892 0,339225 o, 355457 o, 371583 o, 3S759S ^, 403497 o, 419276 35 34-45- 57- 36 37 38 39 40 41 4-2 43 44 45 35.45.46. 36.45.37. 37.45. 29, 38.45- --■ 39- 45. 15. 0,434930 o, 450454 o, 465844 o, 481094 o, 496200 Radius Parailcli I 000000 0,999849 0,999396 0, 998641 0,997585 0, 996228 0, 994569 0, 992610 0,990351 0,987793 o, 9S4937 o, 981782 o, 97S331 0,974584 0,970542 o , 96620-7 Diflantia a centro 1 , 000000 o, 999999 o, 999995 °i 9999S8 0,999979 o, 999967 °i9999S3 o, 999936 o, 999917 0,999895 o, 999871 0, 961579 o, 956660 0,951451 o, 945953 o, 940170 0,934101 0,927-749 0,921115 0, 914202 0 , 90701 I 0, 899544 0, 891804 0, 883793 0, 875513 o, 511157 o, 525962 o, 540609 o, 555094 o, 569413 40. 45. 10. 41.45. 6. 42-45. 3- 43-45. 2. 44-45- !• o, 583560 o, 597532 o, 6l 1326 o, 624935 o, 638355 o, 651585 o , 664616 0,677449 o, 690078 0,702498 o,999S44 0,999814 o, 9997S2 o,99974S o, 999712 o, 999673 0,999632 o, 9995S9 0,999544 o, 999^^9^ Tangens Infinit. 57, 290C4C 28, 636401 19, Q81361 14, 30096!, II, 430429 9, 514810 8, I4487C 7, 115966 6, 314421 5, 672025 o, 999447 o, 999395 o, 999344 0,999289 o, 999232 o, 999172 0,999111 o, 999050 0,998987 o, 866966 I o, 99S921 o, 858155 o, 849083 o, 839752 o, 830164 o, 820324 o, 810232 0,799893 0,789310 o, 778485 0,767421 0,756123 0,744592 0,732834 o, 720S51 o, 70S646 0,998852 o, 998787 0,998719 o, 998651 o, 998581 0,998507 0,9984.34 0,998363 o, 998289 o, 998215 o, 99S140 o, 998062 0,997989 0,997914 0,997838 5, 14536S 4,705512 4,332427 4, 011799 3, 733137 3,488565 3, 272065 3, 07S960 2,905547 2,748884 Gradus longitudi- nis o, C17453 o, 017451 o, 017443 0,017430 O, OI74II o, 01738^ o, 01735J.' 0,017324 o, 017285 o , o I 7 2 40 o, c 1719C o, 017135 o, 017075 o, Q17010 o, C16939 o, 016S63 2 , 606542 2, 476596 2,357+16 2, 247651 2, 146171 2,052014 1,964367 I, S82527 1 , 8O589O 1, 733932 1 , 666ij)8 1 , 602287 1, 5418S0 1, 484575 I , 430191 o, 016783 o , 016697 o , G16606 o, 016510 o , 016409 o, 016303 o , 016192 o, 016077 o, 015956 o, 015S30 o , 015700 o, 015565 o, 015425 o, 01528C o , 015131 1, 378449 1, 329135 I, 2&20S2 I, 237025 I, 193895 1 , 152523 I, II 2776 1, 074540 1,037706 I, 002177 0, 014977 o, 014819 o , 014656 o, 014489 o, 014-317 Gradus latitudiuii o, 017302 O, OI4I4I o, 013961 0,013776 o, 013587 o, 013394 o, 013197 O, Ol 2996 o, 012790 0,012581 o, 012368 017302 017302 017303 017303 017304 017305 017306 017307 OI7308 01 7309 OI73I1 017312 017314 017316 017318 Arcus Me- rid. ab Aeqvatore o, 000000 o, 017302 o, 034604 0,05 1906 o, 069209 o, 086512 o, 103816 O, 121 121 o, 138427 o, 155734 o, 173042 C o 017320 017322 017324 017327 017330 017332 017335 017338 017341 017344 017347 017350 017353 017356 c 17360 017364 017367 017371 017374 017378 017382 017356 OI7390 017393 017397 017401 017405 017409 017+13 017+17 o, 190351 o, 207662 o, 224974 o, 24228S o, 259604 o, 276922 o, 294242 o, 311564 o, 32888S o, 34621? o, 363545 o, 380877 o, 398212 o, 415550 o, 432S91 o, 450235 o, 467582 0,484932 o, 5022S5 o, 519641 r X 0 M. S. 0. 0. 0. 5- 23 0. 0. 10. 15- 45 68 0. 19. 91 0. 24. 113 135 0. 28. 0. 33- 157 0. 38- 179 0. 42. 201 0. 47- '^ 2 2 243 264 0. 0. 51- 55- 0 59- 285 3- 305 8. 325 3 + 5 364 12. 16. 19. 382 =iS 532 5+8 564 579 593 607 621 633 646 65 8 669 680 691 701 709 + 8 717 3 7 72S 4 7 732 4 6 73» 4 sl 7+5 '9ra. ^c^iz-^ca^Tni^ze^ l7nn. Sc J&irop. ToTru K Thi. I. A iO ^7>ru -J^cia^ca^Tm^ze- Jinp. SaJ&trop. To7n.7'' Tm ^^.2\i/kII. Fu7. 7. -j> 8 — D / Fio. S. a\ 1- V O A^oua ^cta uic. Jc- Jmp. Tom V.Tii/'.!/. c PN \ T-i^ 4 Q r / \ p o r .Ftif. 0 . Fuj. 7. vva- AcizLAcad. Im^ . Scient.Teirop.2bTTiy.Ia6 .111. Jiiiva. Actn-Acad. Im^. Scient:Telrop.lbm.Y.Ta6 .M. Jfova ^ctaJcadTmv.ScTeb^ap.TomTTjhir. JPiQ.l _2^^,^ JFzj.4. ir rTTTn T A ^ 1 -3fr-| — 1 B — 1+ 4' h ^J-- JT^ 1 ' j tU±l H + J VP. I i ^ ■^ I Nova Acta jtcad. Sc.Petrov. Tom. T.Ibh. ITT :^J/.,Q0^^ . ^^^MXX/cy Zi^i^/^A cyie^mAikm fHt^e^i Cx£ fici^/trt^Jt^huL <*/ P^>-^^i^rn «r. 1 ^J' LjCV-f^t c^AftUn. eiii.rn^t/j^ 0^irt'/t,'e^i^ fi- A-Hsii^r, J^ i^^CU C^i^aUl "ic fl^i cu^hrfi>CLH. lrei',.fm.taaUoT\ii /* CA^^i^ ^*^ ■ /}i^7^. tt)r (/lr-'/"^^L i4vi^u.tu.jO^^SC. ;: r^'^',' :'\''V^ i .'t.v"f!'(P!(i :m ■.'<[■■". !• ' ■ ..i'-'i'!ll ,■!':,.■!? -■'i ■''X: t;|.'',i:p 1 ■ 1 . ' ■ ' , ' i " ■ 1 1 -S i H 1 1 'li',;' :h| 1 , ; , ■ '. , ' ■'■:'■■ ■'' "'}''■