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Abh. der Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher.
Band 107. Nr. 1.

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W. R. Hamiltons Arbeiten
zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik.

Ihre Einordnung in die Entwicklung dieser Zweige mathematischer Forschung
an Hand einer historisch-kritischen Darstellung,

Von

Georg Prange in Hannover.

HALLE.
1923.
Druck von Karras, Kröber & Nietschmann in Halle (Saale).

Für die Akademie in Komniission bei Max Niemeyer, Verlag in Halle a.S.

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Abh. der Leop.-Carol. Deutschen Akademie der Naturforscher.
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j an Hand einer historisch-kritischen Darstellung.

"Von

Georg Prange in Hannover.

Eingegangen bei der Akademie am 1. September 1921.

HALLE.
1923.
Druck von Karras, Kröber & Nietschmann in Halle (Saale).

Für die Akademie in Kommission bei Max Niemeyer, Verlag in Halle a. S.

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Einleitung.

Weit verbreitet ist die Ansicht, dafs die Gedanken W. R. Hamiltons,
die für den Ausbau der theoretischen Mechanik und weiterhin für die Aus-
bildung der Variationsrechnung und ihrer Anwendung in der Analysis so
wichtig geworden sind, ihre Entstehung den Untersuchungen Hamiltons
über Himmelsmechanik verdanken. Die neue Darstellung der Störungs-
theorie, welche in seinen beiden bekannten Abhandlungen in den Philo-
sophical Transactions') niedergelegt ist, habe — so denkt man — zur Ein-

führung der „charakteristischen Funktion“ bezw. „Prinzipalfunktion* den

ersten Anlafs gegeben, und Hamiltons eigentliches Ziel sei gewesen, mit
Hilfe dieser Funktion eine Integrationstheorie der Differentialgleichungen
der Mechanik aufzustellen. Folgerichtig im Sinne dieser Ansicht glaubt
man weiter, dals Jacobi die Methode Hamiltons übernommen und verbessert
habe, und dafs sie immer in Verfolg des von Hamilton beabsichtigten Weges
in der Jacobischen Schule ausgebaut worden sei.

Dem gegenüber hat in einer Vorlesung des S.-S. 1891 F. Klein’) den
eigentlichen Gehalt der Hamiltonschen Gedanken und die Art ihrer Ent-
stehung klargestellt, und hat eingehend ausgeführt, wie die ursprünglichen
Gedanken Hamiltons in der Jacobischen Schule geradezu eine Umbiegung
erfahren haben. Im Anschlufs daran hat er auch in einem Vortrage auf
der Naturforscher-Versammlung in Halle (1891)”) darauf aufmerksam gemacht,
wie irrig die geschilderte landläufige Ansicht sei. Hamilton ist zu seiner
Methode der charakteristischen Funktion nicht durch Untersuchungen aus
dem Gebiete der Mechanik gelangt, sondern durch solche über geometrische
Optik, die er in ganz jungen Jahren angestellt hat. Hat er doch bereits
in Jahre 1824 (also erst 19 Jahre alt) eine Abhandlung (On caustics) der
irischen Akademie vorgelegt, in welcher der Grundstein für die T'heorie der
charakteristischen Funktion gelegt ist. Diese Abhandlung ist nicht gedruckt,
ihr Inhalt ist übergegangen in eine grolse Arbeit, welche den Titel „Essay
on the theory of systems of rays“ führt, und welche im Jahre 1827 fertig

1) W.R. Hamilton, On a general method in dynamics. Phil. Trans. 1834, S. 247—308,
und Second essay on a general method in dynamics. Phil. Trans. 1835, S. 95 — 144.
2) Von dieser Vorlesung war eine Ausarbeitung auf dem mathematischen Lesezimmer

zu Göttingen allgemein zugänglich.

3) F. Klein, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinig. Bd.1 (1890—91), 8. 35.
1*

6b Georg Prange,

ungeändert. Es ist so die Merkwürdigkeit eingetreten, dafs die neuere
Ausgestaltung der durch die Jacobische Tradition überlieferte „Hamiltonschen“
Theorie für die Zwecke der Variationsrechnung, insbesondere ihre Verbindung
mit der von Weierstrals in den Mittelpunkt gerückten Idee des „Feldes“,
gerade zu Ansätzen und Auffassungen zurückführt, welche ursprünglich
Hamiltons Ausgangspunkt in der geometrischen Optik gewesen sind und
ihn auf seine Methode geführt haben.

Aber nicht nur für die Geschichte der Analysis, sondern auch für
die Geometrie sind die Hamiltonschen optischen Abhandlungen von grofser
Bedeutung. Die für die Optik so, wichtige Frage nach der Wiedervereinigung
der von einem leuchtenden. Punkte ausgesandten Lichtstrahlen führt zu
Untersuchungen im Gebiete der Differentialgeometrie, insbesondere, da die
Lichtstrahlen im allgemeinen gerade Linien sind, der differentiellen Linien-
geometrie. Auch hier sind die Hamiltonschen Ergebnisse srundlegend
gewesen, aber natürlich mit in Vergessenheit geraten. In den Lehrbüchern
ist von Hamiltons Leistungen auf diesem Gebiete nicht die Rede; die
Schöpfung der Differentialgeometrie der gradlinigen Strahlenkongruenzen
wird Kummer zugeschrieben,') und nur der Name der „Hamiltonschen
Gleichung“ erinnert noch an Hamilton.

Dies ist aber nicht alles. Neben den differentialgeometrischen Über-
legungen treten auch Gedanken der allgemeinen Liniengeometrie auf. Es
werden sechs Koordinaten einer geraden Linie benutzt, der Begriff des
Komplexes wird gestreift usw., wenn auch an einen systematischen Aufbau
natürlich noch nicht gedacht wird und sich ebensowenig etwas von jener
grolsen Entwicklung findet, welche die Liniengeometrie durch die Wendung
zur algebraischen Behandlung genommen hat.

Diese Andeutungen zeigen, welchen Wert es schon vom Standpunkt
der reinen Mathematik hat, die Hamiltonschen Arbeiten der Vergessenheit
zu entreilsen, noch wichtiger aber ist dies für die Optik. Auch bei ihren
Vertretern sind Hamiltons Arbeiten fast unbeachtet geblieben, wenn man von
der glänzenden Entdeckung der konischen Refraktion absieht, die der dritte
Nachtrag enthält, und welche allerdings immer bekannt gewesen und
gebührend bewundert worden ist. Insbesondere ist die hohe Bedeutung
der Hamiltonschen Methode der charakteristischen Funktion für die Praxis
des optischen Instrumentenbaues völlig verkannt. Und doch hatte Hamilton

weit Jacobi auch die Abhandlungen über geometrische Optik, von deren Existenz er sicher
wulste, zur Kenntnis genommen hat.

I) Kummer weist dagegen ausdrücklich auf Hamilton hin und sagt selbst, dafs er
nur Hamiltons Ergebnisse mit einer anderen Art der Behandlung neu herleitet.

BR.
ve

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. {

mit ihrer Hilfe eine so durchsichtige Darstellung der Wirkungsweise
optischer Instrumente erhalten, dafs sie ihm ermöglichte, die Aufgabe des
Instrumentenbaues ganz allgemein anzugreifen und so weitgehend durch-
zuführen, dafs seine Ergebnisse auch heute noch nicht wesentlich überholt
sind. Über die Ansprüche der optischen Praxis zu Hamiltons Zeit gingen
sie weit hinaus. Daher wohl hat er ihnen nicht die Form gegeben, welche
zu unmittelbarer Verwendbarkeit in der Praxis notwendig ist.

Es ist der Sinn der Methode der charakteristischen Funktion, von
der Besonderheit der einzelnen optischen Instrumente abzusehen, und die
allgemeinen, allen gemeinsamen Eigenschaften voranzustellen. Dieser Ge-
danke, der in Hamiltons Abhandlungen in voller Helle aufleuchtet, hat
sich erst ganz allmählich in den Forschungen über optische Instrumente
durchgesetzt. Für. den Sonderfall des achsensymmetrischen Instrumentes
hat sich Gaufs') in seinen dioptrischen Untersuchungen auch gerade dieses
Ziel gesteckt, aber unter Beschränkung auf die Abbildung in unmittelbarer
Nähe der Achse durch Strahlen, welche nur unendlich wenig gegen die
Achse geneigt sind. Ohne sich um die besondere Art der Verwirklichung
des einzelnen Instrumentes zu kümmern, konnte er allgemein diese Ab-
bildungen kennzeichnen. Noch allgemeiner wurde diese Betrachtungsweise
dann in England durch Maxwell,’) und unabhängig in Deutschland durch
E. Abbe‘) aufgenommen. Es lag nahe, dafs man das, was so für die erste
Näherung der achsennahen Strahlen gelungen war, auch in den allgemeineren
Abbildungsaufgaben durchzuführen versuchte. Für die Aberrationen dritter
Ordnung gelang dies L. Seidel‘) durch Weiterführung der Gaufs’schen Unter-
suchungen. Auch die Arbeiten Seidels sind einmal nicht so beachtet, wie
sie es verdient hätten, andererseits wäre auch auf seinem Wege eine völlig
allgemeine Theorie nicht zu erreichen gewesen. Der naturgemälse Weg
hierzu führt über Hamiltons Methode der charakteristischen Funktion, die
sich auf das Prinzip des kürzesten Lichtweges gründet. Am ehesten konnte
in England die Hamiltonsche Tradition noch bewahrt werden. In der Tat
findet man in der 1865 erschienenen ersten Auflage ven Thomson-Taits,

1) GC F.Gaufs, Dioptrische Untersuchungen. Abhandl. d. Kgl. Ges. d. Wiss. z. Göttingen 1
(1840), S. 1—34, auch Weıke Bd. 5, S. 243— 276.

2) 1. Cl. Maxwell, On the general laws of optical instruments. Quart. journ. of pure
and appl. math. 2 (1858), S. 243—276, auch Papers I, S. 271— 285.

») Für die Arbeit Ernst Abbes vgl. S. Czapski, Theorie der optischen Instrumente
nach Abbe. Breslau 1893.

#) L. Seidel, Zur Dioptrik. Astronomische Nachrichten 43 (1856), 8. 279-332.
Seidel arbeitete übrigens auch für die Praxis des optischen Instrumentebaues, und zwar für
die Steinheilsche Werkstatt.

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te) Georg Prange,

„A treatise on natural philosophy“ einige der wertvollsten der Hamiltonschen
Gedanken mitgeteilt und mit treffenden Beispielen erläutert. So hat denn
auch Maxwell seine späteren Arbeiten über geometrische Optik, deren Ziel
war, über die achsennahe Abbildung hinauszugehen, auf die Hamiltonsche
charakteristische Funktion gegründet. In Deutschland aber, wo Hamiltons
Abhandlungen zur Strahlenoptik ganz unbekannt waren, hat man gerade
bei den Versuchen zur Verallgemeinerung der Gaußs’schen Dioptrik, die
Hamiltonsche charakteristische Funktion von neuem entdeckt. Als erster
ist M. Thiesen') zu nennen, der ebenso wie Hamilton von dem Prinzip des
kürzesten Liehtweges ausging und den Gedanken aufnahm, den Lichtweg
als Funktion der Koordinaten der Begrenzungspunkte anzusehen. Aber er
ist ganz in den Anfängen stecken geblieben und hat nicht einmal die Grund-
eigenschaften der charakteristischen Funktion erkannt. Sehr viel bedeutender
ist eine Arbeit von H. Bruns.’) Er gelangt, ausgehend von der fundamentalen
Eigenschaft optischer Abbidungen, dafs ein räumliches Strahlensystem, welches
von den Normalen einer Fläche gebildet wird, immer wieder in ein Strahlen-
system von ebendieser Eigenschaft übergeht’) zu dem Ergebnis, dafs eine
solche Abbildung sich durch Angabe einer einzigen Funktion kennzeichnen
lasse, welche er Eikonal nennt. Dieses Eikonal ist, worauf bald nach dem
Erscheinen der Bruns’schen Abhandlung F. Klein‘) aufmerksam macht, in
seinem Wesen mit der Hamiltonschen charakteristischen Funktion identisch.
Es kann somit nicht wundernehmen, dafs auch ein grofser Teil der Bruns’schen
Ergebnisse sich bei Hamilton findet, und es ist andererseits auch erklärlich,
dals Bruns, da ihm die anschauliche optische Bedentung seines Eikonals
entgangen war, die grolse Allgemeinheit der Hamiltonschen Untersuchungen
und ihre weitreichenden Ergebnisse nicht wieder erreicht hat.

In den folgenden Paragraphen soll über den Inhalt der Hamiltonschen
Arbeiten Bericht erstattet werden. Gleichzeitig soll versucht werden, einer-
seits zu zeigen, auf welchen vorhandenen Grundlagen Hamilton aufbauen
konnte, als er seine Untersuchungen begann, andererseits zu skizzieren, welche
Stellung die einschlägigen Arbeiten späterer Forscher zu den Hamiltonschen
(Gedanken einnehmen.

1) M. Thiesen, Beiträge zur Dioptrik. Berliner Berichte 1890, 8. 799—813. Freilich
ist er vielleicht indirekt von Hamilton her beeinflulst. Helmholtz nämlich hat ihn zu seiner
Arbeit angeregt und Helmholtz hat enge Beziehungen zu den englischen Physikern unterhalten.

2) H. Bruns, Das Eikonal. Sächs. Berichte 21 (1895), S. 321— 436.

3) Dabei sind natürlich die vom Licht zu durchsetzenden Mittel unkristallinisch

vorausgesetzt.
4) F. Klein, Über das Bruns’sche Eikonal. Zeitschr. f, Math. u. Physik 46 (1900), 8. 372.

pen

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PR

81.
Die charakteristische Funktion Hamiltons in der Strahlenoptik.

1. „Der'Essay®.

Es ist nieht mehr ohne weiteres festzustellen, welche genaue Frage-
stellung für Hamilton der Anlafs war, seine Untersuchungen zu beginnen.
Ganz sicher kann man aber sagen, dafs es nicht sein Ziel war, die Gestalt
der Lichtstrahlen zu bestimmen. Denn in dem Falle gewöhnlicher optischer
Mittel, den er zuerst im Auge hat, sind ja die Lichtstrahlen einfach gerade
Linien. In dem „Essay“ geht sein Bestreben denn auch sogleich dahin, eine
zweiparametrige Schar geradliniger Lichtstrahlen, die von einem leuchtenden

Punkte ausgesandt wird, als Ganzes durch ein optisches Instrument — und
zwar zunächst durch ein System von Spiegeln — zu verfolgen und- die

Eigenschaften eines solchen Strahlensystems zu bestimmen.

Den Anfang seiner Entdeckungen bildet dabei die Erkenntnis, dals
nicht jede beliebige zweiparametrige Schar von geraden Linien durch wieder-
holte Reflexion an geeignet gestalteten Spiegeln aus einem ursprünglich
homozentrischen Strahlenbündel erzeugt werden kann, sondern dafs dazu die
Schar eine besondere Bedingung erfüllen muls. Um dies nachzuweisen und
zugleich die Bedingung zu gewinnen, denkt er sich eine beliebige zwei-
parametrige Geradenschar gegeben und stellt sich die Forderung, für dieses
Strahlensystem einen Brennspiegel zu konstruieren, d. h. einen Spiegel
von solcher Gestalt, dals durch Reflexion an ihm das gegebene Strahlen-
system — man hat es als einfallendes System aufzufassen — in ein homo-
zentrisches Strahlensystem verwandelt wird, d. h. in ein Strahlensystem, bei
dem alle Strahlen durch einen Punkt gehen.

Sind «, 8, y die Richtungskosinus eines einfallenden, «‘, $, y‘ die des
zugehörigen reflektierten Strahles, so findet das Reflexionsgesetz seinen
Ansatz in der Beziehung

() @+e)dae + @+Nday+Y+Nd—0,

die im Einfallspunkte für jede Fortschreitungsrichtung dx, dy, dz, auf dem
Spiegel erfüllt sein muß. Da nun «, ß, y und «‘, %, y' Funktionen von x, %. :

Nova Acta 107., Nr. 1. 9

10 Georg Prange,

sind, so stellt (1) eine lineare totale Differentialgleichung in den drei Ver-
änderlichen x, y, z vor. Sie muls von den Koordinaten der Punkte (x, y, 2)
des Brennspiegels erfüllt werden, kann also als eine Bestimmungsgleichung
für den gesuchten Brennspiegel angesehen werden.

Die erste Frage wird dann sein, ob die Gleichung (1) vollständig
integrabel ist, da sie nur dann eine Fläche als Lösung haben kann, wie
es doch sein muls, wenn es einen Brennspiegel geben soll. Für die Auf-
stelluug der Integrabilitätsbedingung &eht Hamilton davon aus, dafs alle
Strahlen des reflektierten Systems sich in einem Punkte treffen, dals also

a de + Bdy-+y'dz

ein vollständiges Differential ist, nämlich gleich de, wenn o die Entfernung
des Einfallspunktes auf dem Spiegel von dem festen Punkte ist, durch den
alle Strahlen des reflektierten Systems hindurchlaufen. Die Integrabilitäts-
bedingung von (1) wird dann, wie man leicht erkennt, gleichbedeutend mit
der Bedingung, dafs auch der andere Teil der linken Seite von (1), nämlich

(2) ade + Bdy-+ y.di

ein vollständiges Differential wird. Nur wenn die vorgelegte zweiparametrige
(reradenschar diese Bedingungen erfüllt, läfst sich zu ihr ein Brennspiegel
konstruieren.

Fassen wir umgekehrt jetzt das homozentrische Strahlensystem als
einfallendes System bei der Spiegelung auf, so folgt, dafs ein homozentrisches
Strahlensystem durch eine Reflexion nur in ein solches Strahlensystem über-
geführt werden kann, für das der Ausdruck (2) ein vollständiges Differential
ist. Diese Eigenschaft kann das Strahlensystem aber auch durch weitere
Spiegelungen nicht verlieren; denn auf dem einzelnen Spiegel besteht immer
eine Bedingung von der Gestalt (1), d. h. man hat eine lineare totale
Differentialgleichung, die die Spiegelfläche als Lösung besitzt und also voll-
ständig integrabel ist. Da nun für das einfallende Strahlensystem, wie wir
eben zunächst für den zweiten von den Strahlen getroffenen Spiegel fest-
stellten, der Ausdruck der Gestalt (2) ein vollständiges Differential ist, so
muls das Gleiche auch von dem reflektierten System gelten. Der Ausdruck (2)
mu/s daher dauernd ein exaktes Differential sein. Jedem Strahlensystem
gehört somit eine Funktion |
(3) V.(2,9,2) = Sa dx + Bdy-+- ydz)
zu.

Dieses Ergebnis lälst sich aufserordentlich anschaulich geometrisch
deuten. Die Funktion V liefert nämlich in dem Strahlensystem eine ein-

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ex

W. R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 11

parametrige Schar von Flächen V = Const. und diese Flächen müssen, da
auf ihnen
(3a) | X dV=uade+PBßdy+ydz —= 0

gilt, alle Strahlen des Systems senkrecht schneiden. Für zwei beliebige
dieser Orthogonalflächen V (x, y, 2) = V, und V (x, y, 2) = V, haben wir
ferner die Beziehung

(3b) %—V —= / (ade + Bdy-+ ydz) = Conkt.,

wo das Integral über eine beliebige Kurve erstreckt werden kann, die einen
Punkt der ersten Fläche mit einem Punkt der zweiten verbindet. Wählt
man als solchen Integrationsweg einen Lichtstrahl, so ‘ist der Wert des
Integrals in (3b) offenbar gleich der Länge des Stücks dieses Strahls, das
von den beiden Flächen VY= IV, und V=V, abgeschnitten wird. Also
schneiden irgend zwei Flächen der Schar V (x, y, 2) = Ü auf allen Licht-
strahlen des Strahlensystems Stücke von gleicher Länge ab.

Ist eine der Flächen V (x, y, 2) = Ü gegeben, so ist damit auch das
sanze Strahlensystem bekannt; denn es besteht einfach aus den Normalen
dieser Fläche. Man kann weiter von dieser einen Fläche aus alle Flächen
der Schar leicht angeben. Denn man braucht nur. auf allen Lichtstrahlen
Stücke konstanter Länge abzutragen, dann bilden deren Endpunkte eine
Fläche der Schar, die die Lichtstrahlen senkrecht schneidet.')

Die Funktion V (x, y,z) wird von Hamilton als charakteristische

‚Funktion des Strahlensystems bezeichnet, weil man aus ihrer analytischen

Gestalt alle geometrischen Eigenschaften des Strahlensystems herauslesen

!) Wie völlig der Inhalt der Hamiltonschen Arbeiten zur Strahlenoptik in Ver-
gessenheit geraten ist, erkennt man z.B. daran, dafs eine ähnliche Aufgabe wie die Hamiltonsche
Brennspiegelkonstruktion, nämlich die Aufgabe, ein gegebenes Strahlensystem durch Reflexionen
oder Brechungen in ein vorgeschriebenes anderes System überzuführen, noch 1900 von T. Levi-

_ Civita in zwei Noten in den Rendiconti della accad. dei lincei (5), Bd. 9,, S. 185— 189, 237— 245,

behandelt ist. Er kommt natürlich auch zu dem Hamiltonschen Ergebnis, dafs zwei Strahlen-
systeme’ mit Orthogonalflächen immer durch eine Spiegelung oder Brechung — wir wollen
dafür allgemein Knickung sagen — ineinander übergeführt werden können, wobei man für
die knickende Fläche einen Punkt beliebig vorgeben, d. h. beliebig zwei Strahlen der beiden
Systeme, die sich in einem Punkte treffen, einander zuordnen kann. Auch das Verhältnis
der Brechungsindizes kann man noch beliebig vorschreiben.

Sind zwei beliebige Geradenscharen ohne Orthogonalflächen gegeben, so kann man
mit zwei Knickungen die eine in die andere überführen. Dabei besteht bei der Durchführung
noch soviel Willkürlichkeit, dafs man in jeder der beiden Scharen eine Regelfläche beliebig
herausgreifen und fordern kann, dafs deren Erzeugende in vorgeschriebener Zusammenordnung
ineinander übergehen.

« 2 le DIT
7 en E

12 Georg Prange,

kann. Man erhält in jedem Punkt (x, y, 2) des Raumes die Richtungskosinus
« 2, y des hindurchlaufenden Strahls durch die partiellen Ableitungen von V

oV oV oV
4 —— Bes ze —
(4) a ae iy? as

BERN

Wenn man in diesen Beziehungen umgekehrt den «, $, y konstante Werte
gibt und die x, y, 2 als Veränderliche auffalst, so stellen sie die Gleichungen
(des einzelnen Strahls vor, und zwar sind es zwei unabhängige Gleichungen,
weil ja zwischen den partiellen Ableitungen die Beziehung

5 Iran love Son

5 Be =erner-

0x oY 02

besteht. Dafs die charakteristische Funktion I (.r, y,2) einer solehen par-
tiellen Ditterentialgleichung erster Ordnung genügt, ist an sich sehr bedeut-
sam. An dieser Stelle freilich merkt es Hamilton vorerst nur beiläufig an.

Neben der Richtung des einzelnen Lichtstrahls sind für die Optik
vor allem die differentialgeometrischen Beziehungen benach-
barter Strahlen von Bedeutung, denn der Schnitt benachbarter Strahlen
bestimmt das Bild des leuchtenden Punktes, das von dem Spiegelsystem
erzeugt werden soll. Da die Lichtstrahlen die Normalen der Flächen
I" — Const. sind, so konnte Hamilton bei der Behandlung dieser Frage
Anschluls an die Ergebnisse der geometrischen Forschung über den Schnitt
benachbarter Flächen-Normalen nehmen, d. h. also an die T'heorie der
Krümmung der Flächen, die von Euler begonnen und von Monge fort-
gebildet war.') Da die Krümmung eimer Fläche durch die zweiten Ab-
leitungen der zugehörigen Funktion bestimmt ist, so beherrschen die zweiten
Ableitungen der charakteristischen Funktion V die differentialgeometrischen
Eigenschaften des Strahlensystems. Übrigens begnügt sich Hamilton nicht
damit, die Ergebnisse der Krümmungstheorie einfach zu übernehmen, sondern
er hat bei dieser Behandlung der Brenneigenschaften der Normalensysteme
die Theorie gleichzeitig weitergeführt, worauf wir später zurückkommen
werden.

Dies ist in ihren Wesenszügen die Auffassung, auf Grund deren
Hamilton in dem ausgeführten Teil des „Essays“ eine T'heorie der optischen
Abbildung durch Spiegel gibt. Genau dieselbe Grundlage sollte ihm in
dem nicht ausgeführten, nur im Programm skizzierten zweiten Teile des

1) Die einschlägigen Arbeiten Dupins kannte Hamilton damals nicht. Auch die
Untersuchungen von Malus über Strahlensysteme wurden ihm, wie er selbst sagt, erst bekannt,
als er die Idee der charakteristischen Funktion bereits erfalst hatte.

\

+
5

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 15

„Essays“ dazu dienen, die Brechung in gewöhnlichen homogenen optischen
Mitteln zu behandeln. Dabei konnte sich für seine prinzipielle Auffassung
wenig Neues ergeben, und gerade dieser Umstand mag ihn veranlalst haben,
diesen Teil später nicht mehr auszuarbeiten. Der dritte Teil des „Essays“
sollte nach dem Programm die Ausbreitung des Lichtes in Kristallen behandeln.
Da werden die Verhältnisse anders. In Kristallen brauchen für Systeme
geradliniger Lichtstrahlen keine Orthogonalflächen mehr zu existieren.')

1!) Die charakteristische Funktion hat, was auch Hamilton hervorhebt, sowohl für
die Emissionstheorie, wie für die Undulationstheorie des Lichtes eine anschauliche Bedeutung.
Denn beide Theorien führen auf das Prinzip des kürzesten Lichtwegs, nach welchem
das über dem Lichtstrahl erstreckte Integral

(a) #; nds ?

ein Extremum werden muls, unter ds das Bogenelement des Strahls, unter » den Brechungs-
index des Mittels verstanden. In der Emissionstheorie ist der Brechungsindex »n der
Geschwindigkeit » der Lichtfortpflanzung proportional, und also das Integral (a) proportional zu

Sr ds — /v zn BR Sf dt,

d. h. proportional dem Integral über die kinetische Energie des ausgeschleuderten Licht-
teilchens, also der Wirkung im Sinne des Prinzips der kleinsten Wirkung in der
Eulerschen Fassung.

Vom Standpunkt der Undulationstheorie dagegen ist der Brechungsindex n dem
reziproken Werte der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes proportional, so dals das
Integral (a) proportional zu

d ;
nn Ja =b—t,
3

d. h. proportional der Zeit wird, die das Licht zu seiner Fortpflanzung gebraucht. Dabei
mufs der Strahl vom Standpunkt der undulatorischen Optik als ein Stück einer ebenen Welle
angesehen werden, deren seitliche Ausdehnung grols im Vergleich zur Wellenlänge ist. (Wie
von dieser Auffassung aus die Strahlenoptik als Grenzfall der Wellenoptik für unendlich
klein werdende Wellenlänge herauskommt, hat gelegentlich P. Debye gezeigt. Vgl. A. Sommer-
feld und I. Runge, Anwendung der Vektor-Rechnung auf die Grundlagen der geometrischen
Optik, Annalen der Physik [4], 35, [1911], 8. 289— 293.)

Die Flächen V — Const. sind nach der Auffassung der emissiven Optik Flächen
konstanter Wirkung, nach der Undulationstheorie Flächen konstanter Ausbreitungszeit,
d.h. Wellenflächen. Es liegt die Vermutung nicht fern — F. Klein hat sie ausgesprochen —
dafs der Kampf zwischen der emissiven und undulatorischen Optik, der durch Fresnels Arbeiten
im ersten Viertel des 19. Jahrhunderts neu erregt nnd zugunsten der Undulationstheorie ent-
schieden wurde, Hamilton die Anregung zu seinen Untersuchungen gab. Treten doch durch
Hamiltons Ergebnisse das Grundelement der emissiven Optik, der Strahl, und das Grund-
element der undulatorischen Optik, die Wellenfläche, in innere Beziehung.

14 Georg Prange,

2. Der erste Nachtrag.

Beim ersten Blick scheint der erste Nachtrag, der zunächst an Stelle
des zweiten und dritten Teils des „Essay“ veröffentlicht wurde, die Frage
nach der Gestalt der Lichtstrahlen aufzuwerfen. Denn Hamilton beginnt
hier mit der allgemeinen Formulierung des Prinzips des kürzesten Licht-
wegs für Mittel, deren Brechungsindex sowohl mit dem Orte, wie -mit der
Richtung variiert. Er setzt allgemein den Brechungsindex

(6) OD (a, ß, Y I, Y, 2),

wo v in den drei Richtungskosinus homogen von erster Ordnung sein soll,
und hat dann als Prinzip des kürzesten Lichtwegs das Variations-
prinzip: |

(7) Jo ds — Extrem.

Er leitet her, dafs die Bahnen des Liehts durch die Euler-Lagrange-
schen Gleichungen dieses Variationsproblems:

d (dv 0% d (dv oV d (0v 0%
Ss ds lan ST el Be er I”
zu bestimmen sind, doch geht er nicht auf deren integration ein.
Weiterhin beschäftigt ihn nämlich doch nur der Fall, dafs die Liehtausbreitung
in einem homogenen, nicht isotropen Mittel stattfindet, so dals v von
x, y, 2 unabhängig wird und die Bahnen des Lichts also nach (8) wieder
gerade Linien sind. Entsprechend denkt er auch da, wo er der Über-
legung ihre Allgemeinheit läfst, die Bahnen des Lichts aus den Gleichungen (8)
bereits ermittelt und betrachtet ein zweiparametriges System von Licht-
strahlen, das ursprünglich von einem leuchtenden Punkte ausgestrahlt ist,
aber durch wiederholte Knickung eine allgemeine Gestalt erhalten hat. Da
durch jeden Punkt P (z,y,z) des Mittels ein bestimmter Strahl hindurch-
geht, so bildet Hamilton das Integral (7) längs des Lichtstrahls vom
leuchtenden Punkte bis zum Punkte P und hat damit eine Ortsfunktion

p
(9) V (&,Yy,2) = Ev ds!)

eingeführt, die für das Strahlensystem von analoger Bedeutung ist, wie oben
im Sonderfalle die Funktion (3). Sie wird deshalb auch wieder die

1) Das Zeichen & am Integral soll andeuten, dals das Integral über den Lichtstrahl
(die Extremale des Variationsproblems) genommen werden soll.

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strählenoptik und analytischen Mechanik. 15

charakteristische Funktion des Strahlensystems genannt. Die Variation
des Integrals (7) gibt für ihr Differential den Ausdruck

0% öv 06V,
= AR 2,
J dx 5; dy- 02,

$Vy,—
(10) | ( 7
aus dem man die Beziehungen

08V 00 87V _ 8v. av...

Va oe Fo

abliest, die in jedem Punkte x, y, 2 die partiellen Ableitungen der charakte-
ristischen Funktion V mit den Richtungskosinus der Tangente des hindurch-
laufenden Lichtstrahls verknüpfen. So einfach wie oben, dafs die Licht-
strahlen mit den Normalen der Flächen V = Üonst. zusammenfallen, liegt
die Sache hier freilich nicht mehr. Es ist aber von der gleichen grund-
legenden Bedeutung, dals zwischen den Flächen V = Const. und den Licht-
strahltangenten eine solche feste Beziehung besteht, wie sie in den Formeln
(10a) ausgesprochen ist. Man bezeichnet in der Variationsrechnung diese
Beziehung, die übrigens eine naturgemälse Verallgemeinerung des Senkrechts-
stehens ist,') als Transversalität der Lichtstrahlen zu den Flächen

1) Für den Fall der Lichtausbreitung in homogenen, isotropen Mitteln ist

(a) u nl reıy,

bezw. für die Theorie der Spiegel einfach

(@ Bun 2

so dals das Variationsproblem des kürzesten Liehtwegs zu

(b) Sve ++ ? ds — Jas — S vaa: + dy? + dz2? — Extrem.
wird.

Die Extremalen fallen, also mit den geraden Linien zusammen und der Wert des
längs der Extremale erstreckten Integrals ist gleich dem Abstand der beiden Grenzen im
Sinne der gewöhnlichen Euklidischen Malsgeometrie. Man könnte in den Sätzen der Enklidischen
Geometrie statt von „geraden Linien“ auch von „Extremalen des Variationsproblems (b)“ ünd
statt von der „Entfernung“ zweier Punkte auch von dem „Wert des Integrals (b)“ sprechen,
das über das Extremalenstück, das die Punkte verbindet, zu nehmen ist. Man sagt in diesem
Sinne wohl, dafs das Variationsproblem (b) die Euklidische Malsbestimmung
definiert.

Im gleichen Sinne kann man nun auch das Variationsproblem (7), wie jedes Variations-
problem, als Definition einer Malsbestimmung ansehen, indem man

(e) do = v(a,B, 7, %,9,2) ds = vldz, dy, dz, x,Y,2)

als Länge des Bogenelements auffalst, das an der Stelle (x, y, 2) durch die Koordinaten-
Jdifferenzen dx, dy, dz bestimmt ist. Setzt man do —- Const., so erhält man auf jeder vom

16 Georg Prange,.

V = Const. Zwei beliebige Flächen V (x, y, 2) = V, und V (z,y,2) = V, aus
der Schar der Flächen Y = Const., schneiden auf allen Lichtstrahlen Stücke
ab, für die das Integral

2
(9a) Efı ds,

das über den Lichtstrahl von dem Schnittpunkt mit der ersten Fläche bis
zu dem mit der zweiten erstreckt wird, immer den gleichen Wert (V,—V}) hat.

Punkte (x, y, 2) ausstrahlenden Richtung einen Punkt, und alle diese Punkte liegen auf einer
Fläche, deren Gleichung durch (ce) gegeben ist, wenn man darin x, y, 2 festhält und d«, dy, d+
als laufende Koordinaten auffalst. Diese Fläche gibt ein anschauliches Bild davon, welche
Strecke für die verschiedenen Richtungen im Sinne der Mafsbestimmung als „Längeneinheit“
zu nehmen ist. Gewöhnlich pflegt man sie durch Dilatation im Verhältnis do: 1 aus dem
Infinitesimalen ins Endliche zu übersetzen und die dilatierte Fläche

(e‘) (675 %9%2),— |],

wobei 5, 7, & die laufenden Koordinaten sind, als die zum Punkte (x, y, 2) gehörige Eich-
fläche der Malsbestimmung zu bezeichnen. Für das besondere Integral (b), dafs auf die
Mafsbestimmung der Euklidischen Geometrie führt, ist diese Eichfläche nach (b)

ce) a a a

also eine Kugel, und zwar, da x, y, z hier gar nieht auftreten, für jeden Punkt des Raumes
die gleiche Kugel.

Legt man für die Strahlenoptik die Auffassung der Undulationstheorie zugrunde, so
bedeutet die „Bogenlänge“ der Malsbestimmung die Fortpflanzungszeit des Lichtes und die
infinitesimale Fläche (e) ist die Wellenfläche, bis zu der sich das Licht, das zu der Zeit
t — 0 vom Punkte (x, y, 2) aus ausgestrahlt wird, nach.Ablauf der Zeit dt — do ausgebreitet
hat. Die Eichfläche (c‘) würde die Wellenfläche sein, die vom Lichte nach Ablauf der Zeit-
einheit erreicht wäre, weun der Brechungsindex überall der gleiche wie im Punkte (x, y, z)
wäre. In diesem Sinne kann man die Eichfläche (e‘) als Einheitswelle bezeichnen, ein
Name, der sich auch bei Hamilton findet. In der Kristalloptik wird sie sonst wohl als
Strahlenfläche bezeichnet.

Bei der Euklidischen Mafsbestimmung erhält man die geraden Linien als Extremalen
des Variationsproblems (b). Bei der allgemeinen Malsbestimmung (ce) treten an deren Stelle
die Extremalen des Variationsproblems (7), die Lichtstrahlen, die zwar, wenn in der Gleichung
der Eichfläche die Ortskoordinaten explizit auftreten, keine Geraden mehr sind, aber doch
geradeste oder geodätische Linien vorstellen. Auch den Winkel zweier Richtungen,
insbesondere das Senkrechtstehen, kann man von der Eichfläche aus erfassen. In der
Euklidischen Mafsgeometrie lautet die Bedingung für das Senkrechtstehen der beiden Richtungen
dx, dy, dy und dx, dy, dz

(d) dz dx + dydy + d2dz = ,

oder wenn wir die Funktion v (dx, dy, dz) — Vda? + dy: + de? heranziehen,
ov oW 0%

d’ — —— ——dz —=0.

(2) RE

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 17

Nach solchen einleitenden allgemeiner gehaltenen Ausführungen schränkt
Hamilton die Untersuchung wieder auf geradlinige Lichtstrahlen ein, indem
er, wie wir oben erwähnten, voraussetzt, dals vo von x, y, z unabhängig ist,
und gibt seinen Überlegungen nun eine Wendung, die sie gerade für den
praktischen Gebrauch bei der Behandlung optischer Instrumente aulser-

ordentlich brauchbar machen.

Die Strahlenoptik stellt im Falle homogener optischer Mittel eine
Beziehung zwischen Objektraum und Bildraum her, bei der jede gerade

Linie des Objektraums, die man ja als Lichtstrahl auffassen kann, in eine

gerade Linie des Bildraums übergeführt wird. Ein Punkt des Objektraums

dagegen — man muls ihn für die Abbildung als leuchtenden Punkt auf-
fassen — geht im allgemeinen nicht in einen Punkt des Bildraums über,

denn das homozentrische Strahlensystem im Objektraum, dessen Träger der
leuchtende Punkt ist, liefert im allgemeinen im Bildraum ein Strahlensystem,
dessen Strahlen keineswegs mehr durch einen Punkt laufen. Sonach ist
nicht der Punkt, sondern die gerade Linie das Element, auf
das sich die Theorie der optischen Abbildung gründen mulfs.
Von diesem Standpunkt aus erscheint die charakteristische Funktion V (x, %, 2),
in der die Koordinaten eines Punktes des Bildraums als unabhängige Ver-
änderliche auftreten, der geometrischen Natur der Aufgabe noch nicht
vollkommen angepalst. Man wird zweckmäßig Koordinaten einführen, die
den einzelnen Strahl festlegen, mit anderen Worten, man muls Linien-
koordinaten heranziehen und die optische Abbildung als eine
Aufgabe der Liniengeometrie behandeln.

Wie bekannt, sind zu einer symmetrischen Darstellung in der Linien-
geometrie für eine gerade Linie sechs Koordinaten einzuführen, von denen
drei ihre Riehtung und drei ihre Lage kennzeichnen. Zwischen diesen

Ganz entsprechend werden zwei Richtungen im Sinne der durch (e) gegebenen allgemeinen

Malsbestimmung do — v (dx, dy, dz, x, y,z) dann als senkrecht zueinander bezeichnet, wenn
sie die Bedingung

0. . ov IV
JE =
erg ng. z0
befriedigen. Da wir auch do —= v(a, ß,y, x, 4, 2) ds schreiben können, so können wir ihr
auch die Gestalt
(d“) ee ee ee
| d@ Be.

geben. In dieser Auffassung sagt dann die Beziehung (10) aus, dafs die Flächen V — Const.
im Sinne der durch das zugehörige Variationsproblem gelieferten allgemeinen Mafsbestimmung
die Lichtstrahlen senkrecht schneiden.

Nova Acta 107. Nr.1. 3

—

18 Georg Prange,

sechs Koordinaten bestehen dann zwei Identitäten. Auch Hamilton benutzt
sechs Angaben zur Festlegung eines Lichtstrahls. Er denkt nämlich die
Richtung des Lichtstrahls durch die drei Richtungskosinus festgelegt und
bestimmt zu der Richtung die Lage, indem er für den Lichtstrahl drei
Gleichungen anschreibt, von denen natürlich, ebenso wie von den Richtungs-
kosinus, nur zwei unabhängig sind.

Hamilton erreicht dies, indem er die charakteristische Funktion
(x, y,2) nicht selbst zur analytischen Behandlung des Strahlensystems ver-
wendet, sondern sie der sogenannten Legendreschen "Transformation unter-
wirft era so zu einer Funktion

ov 0% (oc
mM) Wir: Yt 2 —V
(11) a or
ON =

gelangt. Folgerichtig sollte er dabei die partiellen Ableitungen erE
: du
(die den Richtungskosinus der Normalen der Fläche V (x, y, 2) = Uonst. 2
portional sind, als neue Veränderliche einführen. Indessen falst er in diesem
ersten Nachtrag W als eine Funktion der drei Richtungskosinus «, ß, y
(lla) W=W (0,7)

auf. Er legt die analytische Gestalt dieser Funktion, die wegen der Identität
@+$°+y”=1 nicht völlig bestimmt ist, durch die Forderung fest, sie solle
in den Veränderlichen «, 8, y von nullter Ordnung sein. ')

1) Die Tangentenebene der Fläche V = Const. im Punkte (x, y,2) hat nach (10a)
die Gleichung
oV
— (Z-9)=)0.
„ 2a=
Legt man nun einen Strahl durch den Anfangspunkt, der die Richtungskosinus «, 8, y besitzt
und dessen Gleichungen also

en

Nass, 2 = 0.5, 72 723

sind, so schneidet er die Tangentenebene in einem Punkte, dessen Entfernung vom Anfangs-
punkte durch

LE . DDr OU A DE Rn 0,
RT: Bi: a dy°
oder

sv — = + 753 Y-+ 2 7

AR en

gegeben ist. Das Produkt (sv) ist die u des Lichtwegs auf dem Strahl, der duren
den Anfangspunkt parallel zu dem Strahl im Punkte (x. y, 2) gezogen ist, und zwar die
Liehtweglänge vom Anfangspunkte bis zu dem Sehnittpunkte mit der 'Tangentenebene der
Fläche V — Const. im Punkte (x, y, 2). Nach (11) ist also die Funktion W gleich der
Liehtweglänge auf diesem parallelen Strahl, vermindert um die Lichtweglänge V auf dem
wirklichen Strahl, die zum Punkte (x,,y, 2) gehört.

7

"Ur

W.R. Hämiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 19

Aus (11) erhält man durch Differentiation nach den als unabhängig
anzusehenden Veränderlichen «, $, y

19 oW Our Or 10V
— et t+Y, +875
Se 0a De BE oz

und zwei analoge Beziehungen, die als lineare Gleichungen in .r, 9, 2 die
Gleichungen des Lichtstrahls mit den Richtungskosinus «, 8, 7 sind,
und die also seine Lage im Raum bestimmen. Somit liefern die ersten
Ableitungen der Funktion W («, 3, y) in analoger Weise die Lage eines
Strahls mit bekannter Richtung «, £, y, wie vorher die ersten Ableitungen
der Funktion V (x, y,2) die Richtung des Strahls bestimmten, der durch
einen vorgegebenen Punkt hindurchgeht.

Wie vorher durch die zweiten Ableitungen von V, so werden jetzt
durch die zweiten Ableitungen von W die Beziehungen zwischen
benachbarten Strahlen, d. h. die differentialgeometrischen Eigenschaften des
Strahlensystems beherrscht, die für die Abbildung durch ein optisches
Instrument grundlegend sind. Die Strahlen sind jetzt nicht mehr, wie
vorhin im Falle homogener Mittel die Normalen von Flächen. Daher leiten
diese Untersuchungen Hamilton zu der Differentialgeometrie der allgemeinen
(nicht flächennormalen) Strahlensysteme über, die er unter Benutzung einerseits
der charakteristischen Funktion V,') andererseits der neuen Funktion W des
Strahlensystems aufbaut. Dafs die Ergebnisse, die er so auf zwei Wegen
erhält, übereinstimmen, weist er durch Umrechnung der einen in die anderen
nach. Dazu braucht er den Zusammenhang der zweiten Ableitungen der
beiden Funktionen I’ und W, den er daher in sehr ausführlich entwickelten
Formeln festlegt.

Der Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen V (x, y,2) und
W (e,8,y) und ihren ersten und zweiten Ableitungen ist noch zu einem
anderen Zwecke wichtig. Will man nämlich das Strahlensystem beim -
Durchlaufen eines optischen Instruments verfolgen, insbesondere seine Um-
formung an den Knickflächen, an denen eine Reflexion oder Brechung der
Lichtstrahlen stattfindet, untersuchen, so hat man zu beachten, dals zu
beiden Seiten einer Knickfläche im allgemeinen V wie W durch verschiedene
analytische Ausdrücke dargestellt werden. Die charakteristische Funktion

1) Da die Lichtstrahlen im Sinne der durch das „Bogenelement“ do gegebenen Mals-
bestimmung die „Normalen“ der Flächen V — Const. sind, so gewinnt Hamilton die Differential-
geometrie der allgemeinen Strahlensysteme in der Weise, dafs er die Krümmungstheorie der
Flächen im dreidimensionalen KEuklidischen Raume auf die von Flächen in einem drei-
dimensionalen Raume mit allgemeiner Malsbestimmung überträgt.

3*+

20 Georg Prange,

"(w,y,2) ist aber dadurch ausgezeichnet, dals ihr 'numerischer Wert auf
einer solchen Knickfläche ungeändert bleibt, so dafs die Gleichung der
Knickfläche u (x, 9,2) = 0 bis auf einen Faktor A mit

(13) r!-(2,9,2)-- 74 0)=0

übereinstimmen muls, wenn V‘ und V" die analytischen Ausdrücke der
Funktion V zu beiden Seiten der Knickfläche sind. Wegen dieser Eigen-
schaft ist es verhältnismäßig einfach, auf den Kniekflächen die Änderungen
von V und seinen Ableitungen zu bestimmen. aus denen man dann die
Änderungen von I und seinen Ableitungen mit Hilfe der Zusammenhangs-
formeln berechnet. Demgegenüber hat die Funktion W als Funktion von
@, 2, y die Eigenschaft, dals ihr numerischer Wert ungeändert bleibt, wenn
man das Stück eines Liehtstrahls zwischen zwei Knickstellen durchläuft,
und das Gleiche gilt von ihren Ableitungen. Wenn man daher das Strahlen-
system durch das optische Instrument verfolgt, so wird man für die Stücke
der Strahlen zwischen den Knickflächen die Funktion W benutzen, an den
Knickflächen aber zu der charakteristischen Funktion V übergehen und
deren Änderung und die ihrer Ableitungen an der Knickfläche bestimmen.
Dann rechnet man die neuen Ausdrücke der Funktion V und ihrer Ab-
leitungen wieder in die von W bezw. deren Ableitungen um, die auf dem
anschliefsenden geradlinigem Stück des Strahls konstant bleiben. Das wieder-
holt sich an jeder Knickfläche.

Man sieht aus diesen Ausführungen, dafs Hamilton sich hier die
Funktionen V und W so gebildet denkt, dafs man das Strahlensystem durch
das optische Instrument hindurch verfolgt.

Die charakteristische Funktion V (x, y,2) genügt nun einer partiellen
Differentialgleichung erster Ordnung, die für ein homogenes isotropes op-
tisches Mittel, für das

(14) v—=ny\ya!+ 2-72, also Et
ist, in Verallgemeinerung von (5) die Gestalt

| ur om? /ov _
us De

besitzt, und die im Falle eines homogenen nichtisotropen Mittels eine all-
gemeinere Gestalt

OMeoy oW
(15a) 2 ( Se. s wa:

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 21
haben würde. Hamilton denkt aber im ersten Nachtrag noch so wenig
daran, diese partielle Differentialgleichung zur Bestimmung der charakte-
ristischen Funktion V nutzbar zu machen, dafs er sie im ersten Nachtrag
gar nicht erwähnt.

.3. Der zweite Nachtrag.

Im zweiten Nachtrag kommt eine andere Auffassung zum Durchbruch.
Statt ein Strahlensystem durch ein gegebenes optisches Instrument zu ver-
folgen, fragt er jetzt nach dem allgemeinsten möglichen System, das durch
ein optisches Instrument erzeugt werden kann. Da tritt dann die partielle
Differentialgleichung für die charakteristische Funktion V (z, y, 2) in den
Vordergrund. Denn hat man durch ihre Integration die allgemeinste mögliche
Funktion V gefunden, so erhält man das zugehörige Strahlensystem, indem
man nach (10a) in jedem Punkte einer Fläche V = Ü den zugehörigen
Strahl konstruiert. Für den Fall homogener isotroper Mittel gelingt Hamilton
nun die allgemeine Integration der zugehörigen partiellen Differential-
gleichung (15) bezw. (5) durch Beachtung der Beziehung zwischen den
beiden Funktionen V und W. Der Gedanke ist dabei der, dals eine Trans-
formation, die die charakteristische Funktion V in eine andere Funktion
überführt, auch gleichzeitig die partielle Differentialgleichung für V in eine
partielle Differentialgleichung für die transformierte Funktion verwandeln
muß. Wenn man nun gerade durch die Legendresche Transformation (10a),
(11) von der Funktion V zu der Funktion W übergeht, so geht im besonderen
Falle eines homogenen Mittels die partielle Differentialgleichung in eine
endliche Gleichung zwischen den neuen Veränderlichen über. Im Falle
eines isotropen Mittels, der für praktische Zwecke der wichtigste ist, und
den Hamilton hier allein behandelt, wird durch die Legendresche Trans-

formation die partielle Differentialgleichung (15) einfach in die Beziehung

(16) e+P +? —=1

umgesetzt, in der sogar die transformierte Funktion W nicht mehr vorkommt.
Hamilton kann daher die Funktion W ganz beliebig als Funktion ihrer
Veränderlichen ansetzen, und hat dann nur durch die Legendresche Trans-
formation zu der Funktion V zurückzukehren, um eine Lösung der vorgelegten
partiellen Differentialgleichung zu erhalten. Ist die Funktion W ganz
willkürlich gewählt, so muls sich so die allgemeine Lösung der
partiellen Differentialgleichung ergeben.‘ Hamilton setzt dem-

1) Diese Integration der partiellen Differentialgleichung der charakteristischen Funktion
benutzt den später von Lie systematisch ausgebildeten Gedanken, durch eine Transformation,

22 Georg Prange,

entsprechend W als Potenzreihe in «, 8, y (mit willkürlichen Koeffizienten)
an, eliminiert y vermöge der Identität (16) und geht dann durch die
Legendresehe "Transformation zu der allgemeinen Lösung der partiellen

insbesondere eine Berührungstransformation, der partiellen Differentialgleichung eine solche
Gestalt zu geben, dals ihre Integration bekannt ist bezw. dafs im Sonderfall, wie hier, gar
keine Integration mehr auszuführen ist. Übrigens hat ebenso wie Hamilton auch Plücker den
Gedanken, eine Differentialgleichung durch eine Berührungstransformation auf eine bekannte
Differentialgleichung zurückzuführen und so zu integrieren, lange vor Lie durehgeführt (vgl.
J. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, Bd. 2, Essen 1831, S. 265—267).

Um das Verfahren im einzelnen geometrisch zu verstehen, erscheint es zweekmäfsig,
in der partiellen Differentialgleichung (15) bezw. (5) eine Koordinate, etwa z, zu unterdrücken
und die Differentialgleichung

ar\? (or\2
Si (a

zu behandeln. Man erkennt unmittelbar, dals

(b) V=xzcspy+ysinp-p»,

wo p und p zwei beliebige Konstante sind, eine vollständige Lösung dieser Gleichung
vorstellt. Geometrisch stellt jede dieser Lösungen eine Ebene im (x. y, V) Raum, die voll-
ständige Lösung also eine zweiparametrige Ebenenschar vor.

Aus der vollständigen Lösung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung
erhält man nach den Regeln die allgemeine Lösung, wenn man die Konstante p als eine
willkürliche Funktion von g ansetzt und dann g vermöge der Beziehung

Sr

PR
eliminiert. Die allgemeine Lösung unserer partiellen Differentialgleichung ist also eine will-
kürliche abwickelbare Fläche.

Für die anverkürzte Gleichung (5) bezw. (15) hat man entsprechend als vollständige
Lösung eine dreiparametrige Schar von dreidimensionalen „ebenen“ Mannigfaltigkeiten im
vierdimensionalen (x, y,2,V) Raum und die allgemeine Lösung ist eine willkürliche in eine
ebene Mannigfaltigkeit „abwickelbare“ dreidimensionale Mannigfaltigkeit.

Die Legendresche Transformation bedeutet, dals die Integralfläche statt in Punkt-
koordinaten in Ebenenkoordinaten ausgedrückt wird, bezw. dafs der Integralfläche eine neue
Fläche zugeordnet wird, deren Punktkoordinaten gleich den Ebenenkoordinaten der ursprüng-
lichen Fläche sind. Bei dieser Zuordnung entspricht einem Element der ursprünglichen
Differentialgleichung im Lieschen Sinne, d. h. einem Punkt einer Integralfläche mit der
hindurchgehenden Tangentenebene, ein Element der transformierten Differentialgleichung,
so dals die als zweiparametriger Elementenverein aufzufassende Integralfläche in einen zwei-
parametrigen Elementenverein übergeht und also die zugeordnete Fläche eine Integralfläche
der transformierten partiellen Differentialgleichung wird.

Falst man eine der Ebenen (b) als Elementenverein der partiellen Differential-
gleichung (a) auf, so hat sie die Eigentümlichkeit, dals die Ebenen, die die einzelnen Punkte
zu Elementen ergänzen, sämtlich zusammenfallen, da sie mit der Ebene (b) selbst identisch

0

Y Dias Ih Ks nu Ar a a EEE ee

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 23

Differentialgleichung der charakteristischen Funktion V (x, y, 2) über. Dabei
führt er die notwendigen Eliminationen nach einer von Laplace herrührenden
Methode durch. Für die Zwecke der optischen Praxis spezialisiert er die
Ergebnisse insbesondere für den Fall, dafs Symmetrie um eine Achse herrscht,
wie es bei achsensymmetrischen Instrumenten der Fall ist, wenn der leuch-
tende Punkt auf der Achse des Instrumentes liegt.

4. Dritter Nachtrag.

Im dritten Nachtrag kehrt Hamilton zu den Fragestellungen des
ersten Nachtrags zurück. Aber jetzt haben seine Überlegungen in dem
steten Ringen mit dem Stoff den grolsen Zug ins Allgemeine gewonnen, so
dafs wir hier noch mehr als in den anderen Abhandlungen die weitreichende
Bedeutung der Hamiltonschen Erkenntnisse vor Augen haben. Schon
äufserlich tritt die Allgemeinheit seiner Auffassung darin in Erscheinung,
dals er hier den Brechungsindex v» als eine allgemeine Funktion des Ortes
und der Richtung des Lichtstrahls auffalst, ja, dafs er sogar die Farbe des

sind. Durch die Legendresche Transformation geht dieser Elementenverein daher in einen
einzigen Punkt über, durch den oo? Ebenen hindurchlaufen. Die transformierte Gleichung
muls also erfüllt sein, ganz gleich, welche Werte die partiellen Ableitungen der trans-
formierten unbekannten Funktion haben. Das heilst aber doch nichts anderes, als dafs die
transformierte Differentialgleichung von den partiellen Ableitungen der transformierten Funktion
frei, also eine endliche Gleichung sein muls.

Eine solche endliche Gleichung kann geometrisch als eine Fläche gedeutet werden.
Jeder der Punkte dieser Fläche, als Träger eines Ebenenbündels aufgefalst, stellt eine Lösung,
die zweiparametrige Schar der Punkte der Fläche also eine vollständige Lösung der trans-
formierten partiellen Differentialgleichung vor. Im Sonderfalle der Gleichung (a) fällt aus der
endlichen Gleichung auch noch die Gröfse W ganz heraus, diese endliche Gleichung wird einfach

(a) a? —+ 9? ll
und stellt also im («, , W)-Raum einen Kreiszylinder mit der IV-Achse als Achse vor.
Aus der zweiparametrigen Schar seiner Punkte, die als Träger von Ebenenbündeln

anzusehen sind, d.h. aus der vollständigen Lösung der transformierten „Differentialgleichung“

(a‘) erhält man eine allgemeine Lösung, wenn man anf dem Zylinder eine Raumkurve
Wr Me B)

‘ zieht und jeden ihrer Punkte nur noch als Träger eines Ebenenbüschels auffafst, der die

Tangente der Kurve als Achse besitzt. Formt man diesen Elementenverein durch die

Legendresche Transformation um, so ergibt sich eine abwickelbare Fläche, also das allgemeine

Integral von (a). Man sieht durch den Vergleich mit den Ausführungen im Text, dafs

Hamilton gerade diese letzte Operation, nur mit einer unabhängigen Veränderlichen mehr,
vollzieht.

eo.

3
i

24 Georg Prange,

Lichtes in Rechnung zieht, indem v als abhängig von einem Parameter
erscheint, der die Farbe des Lichtes kennzeichnet,

(17) ee a (a, ß, Y %, Y, 7, 2)

Schliefslich geht er noch einen Schritt weiter. Denn um auch die Doppel-
brechung des Lichtes in zweiachsigen Kristallen zu umfassen, gibt er auch
die Eindeutigkeit des Brechungsindex v auf, so dals in einem Punkte
(x, y, 2) zu einer Richtung «a, 8, 7 des Strahls zwei Werte von v» gehören,
und gerade diese Problemstellung führt ihn durch das Studium der Ver-
zweigung, zu der die Mehrdeutigkeit Anlafs gibt, zu der Entdeckung der
konischen Refraktion, .die bei ihm nur als ein einzelnes Ergebnis seiner
Überlegung neben anderen erscheint, die aber in der Physik gewöhnlich als
das Hauptstück seiner Arbeiten zur Optik angesehen wird.‘) Übrigens
verwendet er in diesem dritten Nachtrag nur. noch die Undulationstheorie
des Lichtes und deutet alles auf Grund dieser Theorie. In dem Prinzip des
kürzesten Lichtwegs

(18) Sr (a, 8, Y, #.%,2, Q) ds — Extrem. -

ist also das Integral die Zeit t, die das Licht braucht, um auf einen
Lichtstrahl von einem Punkte zum andern zu gelangen.

Die erste Aufgabe wäre bei der neuen allgemeinen Fragestellung
nun natürlich, aus diesem Variationsprinzip des kürzesten Licht-
wegs die Gestalt der Lichtstrahlen zu bestimmen. Doch auch hier wieder
schiebt Hamilton diese Aufgabe durchaus zurück und betrachtet sie als
bereits erledigt. Gegenüber der Auffassung des „Essay“ und des ersten
Nachtrags kommt aber in diesem dritten Nachtrag eine neue Wendung
dadurch herein, dafs er nicht mehr wie bisher, nur ein einzelnes Strahlen-
bündel im Bildraum betrachtet, sondern auch den Objektraum in die
Betrachtung einbezieht. Bei der Abbildung eines endlich ausgedehnten
Gegenstandes sind dessen Punkte als leuchtende Punkte anzusehen, von deren
jedem ein Lichtstrahlenbündel ausgeht. Man hat also unendlich viele Licht-
strahlenbündel und muß, wenn man ein einzelnes Bündel mit Hilfe der
charakteristischen Funktion V untersuchen will, zur näheren Festlegung
des Bündels die Koordinaten des leuchtenden Punktes x,, y, 2, Im Objekt-
raum als Parameter in die Funktion V aufnehmen. So erscheint die charakte-
ristische Funktion

(19) V’ =T7V (a,Y,2; %,%0, 20)

!) Der konischen Refraktion ist unten ein besonderer Abschnitt gewidmet.

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 25

abhängig von den Koordinaten zweier Punkte, des veränderlichen Punktes
P (x,y,2) im Bildraum und des leuchtenden Punktes P, (X, Yo 2,) im Ob-
jektraum.')

Hamilton stellt nun im dritten Nachtrag die charakteristische Funktion
in dieser neuen Auffassung an die Spitze. Ein Lichtstrahl verbindet einen
Punkt P, (&,, Yı, 2) des Objektraumes mit einem Punkte P, (@,, y,, 2,) des Bild-
raumes. Das über den Lichtstrahl von P, nach P, erstreckte Integral (18)
ist die charakteristische Funktion

P:
(20) RZ E/ v (a, y, %,9,2) ds,
”

die als Funktion der Koordinaten der beiden Begrenzungspunkte erscheint.
Sie stellt vom Standpunkt der Optik aus gedeutet, die Länge des Lichtwegs
zwischen den beiden Punkten ?P, und P, vor, im Sinne der Undulationstheorie
also die Zeit, die das Licht braucht, um von P, nach P, zu gelangen.

Für das Differential der Funktion V liefert die Grenzformel der
Variationsrechnung Hamilton unmittelbar den Ausdruck

(21) dV’ = ak + E s) dya + ( ak — ((? 2 Ki + \ . IKIZ + (27,08)

aß)h de, 08 ö i%

aus dem er durch Aufspalten die beiden Gruppen von Beziehungen
er En are

0% da 2 E72) 0 8 D) 029 O2
und

eV BON, 0 VW ov oV or

22b N =—
( ) 0X el oyı as). 02, (ar),

erhält, welche in jedem der beiden Begrenzungspunkte die partiellen Ab-
leitungen der .charakteristischen Funktion V zu den Richtungskosinus der
Tangente des Lichtstrahls in Beziehung setzen. Wenn in jeder dieser
beiden Gleichungsgruppen die Richtungskosinus der Tangente des Licht-
strahls eliminiert werden, so ergeben sich zwei Beziehungen zwischen den

I) Dabei haben wir vorausgesetzt, dals der Farbenparameter einen konstanten Wert
hat, dafs wir es also mit einfarbigem Licht zu tun haben. An sich würde auch % als Para-
meter in der charakteristischen Funktion V auftreten. Von einem leuchtenden Punkte strahlt
dann nicht ein einzelnes Strahlenbündel aus, sondern eine einparametrige Schar von solchen
Bündeln, indem zu der Farbe jeder Wellenlänge ein Strahlenbündel gehört. Der Einfachheit
halber wollen wir im folgenden diese Abhängigkeit von der Farbe nicht jedesmal wieder
ausdrücklich hervorheben, zumal man leicht erkennt, wie der Farbenparameter x in die
Beziehungen eingehen wird.

Nova Acta 107. Nr.1. 4

26 Georg Prange,

partiellen Ableitungen von V. Die charakteristische Funktion I” muls also für
jeden der beiden Begrenzungspunkte je einer partiellen Differentialgleichung

i oV oV oV \
(23 a) 2) 25 dm’ APR » 19, Ya a) —=0
bezw.
oV dv av
(23b) 2, |— — —, ——, 2 ya) 0
J I dx,’ öy 04° m» 4/1 #ı

senügen.')

Indem Hamilton nun nach der inneren Bedeutung jeder dieser beiden
partiellen Diftferentialgleichungen fragt, kommt er auf geradem Wege zu
der Auffassung der optischen Abbildung als einer Berührungstrans-
formation. Diese Auffassung wird im Falle der Optik, wenn man die
Undulationstheorie zugrunde legt, — man möchte sagen — von der
Natur selbst unmittelbar dargeboten. Die charakteristische Funktion
V (&, Yo, 235 &, Yı, 4) spielt dabei die Rolle’ der Direktrixgleichung m
der Bezeichnungsweise Plückers. Wir wollen dies etwas genauer ausführen.

Falst man in der charakteristischen Funktion V (&,, 9, 23; %, Yı, 2) die
Koordinaten eines der beiden Begrenzungspunkte als fest, die des anderen
als veränderlich auf, so stellt die Beziehung

V (9% %; 2% 2). Const. —='C

eine Fläche, nach der Undulationstheorie eine Wellenfläche, vor. Jedem der
beiden Begrenzungspunkte des Lichtstrahlstückes gehört so, wenn man den
anderen Punkt als veränderlich auffalst, eine Fläche zu. Die partiellen
Ableitungen von V '

oV oV oV
(24a) DE — ‚a = 3 ER UI ——ER
z 0.05 5 0%» = 02
bezw.
oV oV eV
24h A Zu — a m Zn N
( ) o 0x ; a 0 Yı : a1 02

in dem einen oder anderen der beiden Punkte P, und P, bestimmen die
Normale bezw. die T’angentenebene der durch den Punkt laufenden Wellen-
fläche. (Genauer gesagt, bestimmen sie nicht nur die Richtung der Normalen,
sondern auch die Gröfßse der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle.)

1) Die beiden Funktionen 2 sind durch einen Index unterschieden. Denn wenn die
beiden Begrenzungspunkte in optischen Mitteln verschiedener Natur liegen, so ist die ana-
lytische Gestalt der Funktion » und damit, wie wir gleich sehen werden, auch die der
Funktion 2 für beide Begrenzungspunkte des Lichtwegs verschieden. 3

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 27

Falst man die Koordinaten x, y,z eines Punktes und die zugehörigen Grölsen
ö, r, v als ein Ganzes auf, so hat man in

(25 a) | 23, Y3, 23; 03, Ta, U)
bezw.
(25 b) 2, Yı: ©13 Öj; T,, V|

in Übereinstimmung mit der Ausdrucksweise Lies die sechs Bestimmungs-
sticke eines Elementes. Die optische Abbildung bezw. die charakte-
ristische Funktion 1” vermittelt die Überführung des Elementes in P, in
das zugehörige Element in P;.

Die partielle Difterentialgleichung (23a) sagt in dieser Auffassung
aus, dals zwischen den sechs Bestimmungsstücken eines Wellenelementes
die Gleichung

(26 a) 2, (05, T3, U, 2, Ya, 23) — 0
besteht. Ebenso führt (23b) zu der Beziehung
(26b) 2, (0). T1, %, %.Yı5 21) —(

für die Bestimmungsstücke des anderen Wellenelementes. Zur geometrischen
Deutung jeder dieser beiden Gleichungen knüpfen wir an die Überlegungen
auf S.16 an. Ist v(@,8,7,2,9,2) der Brechungsindex im Punkte (x, y, 2)
eines optischen Mittels und nehmen wir an, das Mittel habe in der Umgebung
des Punktes (z,y,2) überall den gleichen Brechungsindex, dann breitet sich
das Licht, das von dem Punkte (x, y,z) ausgestrahlt wird, in der Zeiteinheit
bis zu der Fläche

(27) ONETEETERU A 1

aus, — 5, n,{£ sind die laufenden Koordinaten — die in Hamiltons Be-
zeichnungsweise die Einheitswelle heifßst, und die wir oben als Eich-
fläche der durch das Variationsproblem gegebenen Malsbestimmung

(27 a) dt = v(a.8,7,.%9,2) ds — v (de, dy, dz,;x,y, 2)

eingeführt haben. Jedem Punkte (x, y, 2) des optischen Mittels gehört seine
Einheitswelle zu, solange v von den Ortskoordinaten x, y, z abhängig ist.
Soll nun die Einheitswelle statt in Punktkoordinaten, wie es in (27) statt-
hat, in Ebenenkoordinaten dargestellt werden, so haben wir die partiellen
Ableitungen

(28)

28 Georg Prange,

als neue Koordinaten einzuführen und dann aus diesen drei Gleichungen
unter Berücksichtigung der Beziehung

0% 0%
29) ee =
BE ur

[43
(0)

u ea)
0)

die ausspricht, dafs v (a, ß, 7, ©, y,2) in.«, 8, homogen erster Ordnung ist,
die Punktkoordinaten $, 7, £ zu eliminieren. Nach den obigen Überlegungen

müssen wir aber durch diese Elimination die Gleichung
(30) ‚2 (0, 7, v, %,y,2) — 0

erhalten, die sonach die Gleichung der Einheitswelle in Ebenen-
koordinaten ist. Eine partielle Differentialgleichung wie (23a)
und (23b) bedeutet also, dafs zu einem Lichtstrahl mit der
Richtung «, 8, y eine Wellenebene gehört, die der Tangenten-
ebene der Einheitswelle in dem Punkte parallel ist, in dem sie
von der Richtung «, 3, y getroffen wird. Die Richtung des Licht-
strahls und die Ebene des Wellenelements sind zueinander transversal
in der Sprache der Variationsrechnung oder zueinander senkrecht im
Sinne der allgemeinen Mafsbestimmung (27 a).')

Wenn man die Lichtübertragung von einem Punkte eines Licht-
strahls zu einem anderen als eine "Transformation eines Wellenelements in
ein anderes ansieht, so kann man auch die Differentialgleichungen des
Lichtstrahls aus dieser Auffassung heraus unmittelbar anschreiben. Man
braucht nur die beiden Punkte (x, y,, 21) und (&%, %, 2,) in der charakte-

ristischen Funktion V infinitesimal benachbart, etwa
o
x Ed, UR, z md u =2+ ds, po =yH+dy, 3 —=2-4 iz

zu nehmen, dann erhält man
Z (X, Ya: 73: %1,Y1: 2) —V (a, B, Y: & Yı 2) ds — v (da, dy, dz, 2,Y, 2).
I!) Da die beiden Funktionen v» und 2 die gleiche Fläche in Punkt- bezw. Ebenen-
koordinaten darstellen, kann man natürlich auch aus der Funktion 2 die Funktion v gewinnen.

Die Gestalt der Funktion 2, die durch die Elimination von 5, 7, { aus (28) ent-
steht, legt Hamilton noch durch die Bedingung fest, dafs

sein soll. Dann ergeben sich für die Ableitungen von 2 und » Beziehungen der Gestalt

U >
ee usweaund = —- usw.
2) Br

(31)

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 29

Also wird

oV oV 0% 0%
= Fe a N = n
02 0% ( “ 0% he ol
und somit
0v (dx, dy, de, x, y, 2) Ä
do = %—6, = RE DR uSw.,

0x
oder wenn wir durch dV = v (a, ß,y, x, y, 2) ds dividieren,

do 10

U
— USW.,

dV Sa %
wobei jetzt wieder v» = v (a, 8,7, 2,,2) zu denken ist. Führen wir schliefs-
lich noch 2 ein, so folgt nach (31)

do aD dr. 2a 71, 2

5
: EHRT Ber PR Ey
Sn du 3R 0x2’ dV 04.’ -dV oz )

Diese Gestalt der Gleichungen für den Lichtstrahl hat Hamilton in diesem
Nachtrag auch gelegentlich angeschrieben, freilich nicht direkt bei der eben
gegebenen Ableitung der Gleichung der Lichtstrahlen aus der charakte-
ristischen Funktion, wo er sich vielmehr mit der Gestalt

do 0v | dr 0% d v

2
ds "82° ds: üy’ ds 2

FO
02

begnügt. Die zu (32) gehörige zweite Gruppe der kanonischen
Gleichungen des Variationsproblems

DE «

Br DELETE 0 2 Le Y
Ö

8
Tome Ka Kan EV. v n0v

ee) AS, 0%

schreibt er nicht hin, trotzdem sie in seinen Formeln implizit enthalten
sind. Es kam ihm eben nicht auf die formale Gestalt der Gleichungen,
sondern auf das Wesen der geometrischen Transformation an, die die
optische Abbildung erzeugt. Die Auffassung, dals die charakteristische
Funktion eine Berührungstransformation definiert, ist ihm in der optischen
Formulierung unter Heranziehung der Undulationstheorie des Lichtes an-
schaulich klar, während der analytische Apparat bei ihm natürlich noch
nicht die Vollendung hat, die ihm später gegeben wurde.

I) Da dV—=v. ds — dt ist, wird hier die undulatorische Zeit, d.h. die Bogenlänge
der allgemeinen Malsbestimmung (27a), als unabhängige Veränderliche eingeführt. Es wird
also im Sinne der Theorie der Berührungstransformation ein kanonischer Parameter
gewählt. »

30 Georg Prange,

Gehen wir von der Beziehung

(33) V (&. 92. 225 21, 91,2) = €

die als Direktrixgleichung der Berührungstransformation (in
der Plückerschen Bezeichnung) eine zentrale Stellung erhält, aus, so ordnet
sie wie wir oben sahen, einem Punkte des Objekt- bezw: Bildraumes eine
Fläche des Bild- bezw. Objektraumes zu. Nehmen wir nun in dem einen
Raume, etwa im Objektraume, statt eines einzelnen Punktes ein Wellen-
flächenelement, das wir durch drei infinitesimal benachbarte Punkte gegeben
denken können, so entsprechen diesen drei Punkten drei Flächen, die zu
infinitesimal benachbarten Werten der Parameter x,, %, 2, gehören. Die drei
Flächen schneiden sich in einem Punkte, und dieser Schnittpunkt gehört
gleichzeitig der Hüllfläche der Flächenschar an, die entsteht, wenn man
die Paramter x, y,, 2, auf einer Fläche, der das Flächenelement angehört,
variieren läfst. Dem Schnittpunkt ist damit gleichzeitig eine Ebene zu-
geordnet, nämlich die Tangentenebene dieser Hüllfläche, und Punkt und
Ebene bilden zusammen das Element des Bildraums, das durch die optische
Abbildung dem gegebenen Element des Objektraums entspricht. Nimmt man
die Konstante in (33) veränderlich, so erhält man so alle Elemente, die mit
wachsender Zeit einem einzelnen Element des Objektraumes entsprechen.

Der Schnittpunkt der drei infinitesimal benachbarten Flächen ist
durch die Beziehungen

O0.

=

1 I FÜ
lg RE na
oX 071

een Zi
a 02] oYı

— rue db, ==0
02 09 ey 5

>bIeb)

ort 20V. 0 oV.=..0V 02, OMA
Be 6: 02,

gegeben, die zusammen mit der Gleichung (23b) die Gleichungen

oV ET oV
—— — Pu el

0X, 09, 02,

(34)

liefern. Da er immer auf dem Lichtstrahl liegen muls, so stellen
diese Beziehungen (34) die endlichen Gleichungen des Licht-
strahls dar, der von dem Punkte (x, y,, 2) ausstrahlt. Wir müssen dazu
in (34) 2, %, 2, als Veränderliche ansehen und die Konstanten so bestimmen,
dals die Richtung des Strahls in ,, Y, 2, den durch das vorgegebene Element
bestimmten Wert erhält. So flielst aus der Auffassung der charakteristischen
Funktion als Direktrixgleichung der Berührungstransformation unmittelbar
die Darstellung der endlichen Gleichungen des Lichtstrahls bezw. der
Lösungen der Euler-Lagrangeschen Gleichungen des Variationsproblems.')

!) Die Auffassung der Lichtausbreitung als einer Berührungstransformation ist in
neuerer Zeit ausführlich von Vessiot entwickelt, der übrigens keinerlei Bezug auf Hamilton

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. ol

Man erkennt an dieser Stelle besonders deutlich, wie bei Hamilton die In-
tegration der Euler- Lagrangeschen Gleichungen durchaus kein Zielpunkt ist,
sondern sich die Darstellung der Integrale dieser Gleichungen mehr beiläufig
bei der Untersuchung der allgemeinen Eigenschaften der optischen Ab-
bildungen ergibt.

Die Fortpflanzung eines Wellenelementes (x, y, 2; 6,r,v) durch das
optische Mittel hat man sich nach diesen Überlegungen folgendermalsen
vorzustellen: Die Einheitswelle (oder Eichfläche) im Punkte (z, y, 2) bestimmt
die zu der Ebene o, r, v gehörige Strahlrichtung.') Längs des Strahls
schreitet man um eine durch dV bestimmte infinitesimale Strecke’) zu einem

Nachbarpunkte fort. Diesem Nachbarpunkte ist eine Ebene zugeordnet, deren .

Stellung man findet, wenn man neben der Einheitswelle um den Punkt («, 7, z)
noch um zwei Nachbarpunkte in der Ebene o, r, v die Einheitswellen kon-
struiert, die drei Flächen zum Schnitt bringt und in den Schnittpunkt die
gemeinsame Tangentenebene legt.‘) So hat man ein Nachbarelement ge-
funden und nun verfährt man in der gleichen Weise weiter. Um den Punkt
des Nachbarelements wird die zugehörige Einheitswelle konstruiert, mit
ihrer Hilfe bestimmt man aus der Ebene des Nachbarelements die neue
Strahlrichtung, auf der man wieder ein Stück fortschreitet usw. Offenbar
ist dies Verfahren nichts anderes als die allgemeine Formulierung des
Huyshens’schen Prinzips, dessen fundamentale Bedeutung für die
Strahlenoptik danach verständlich erscheint.

Wenn es sich um ein homogenes optisches Mittel handelt, so sind alle
Einheitswellen um die einzelnen Punkte des Mittels kongruent und gegen-
einander nur parallel verschoben, und die Lichtstrahlen werden gerade
Linien. Allen Punkten eines geradlinigen Strahls gehören demnach Ebenen
von gleicher Stellung zu, wenn man die Punkte zu Wellenelementen ergänzt.
Umgekehrt ist einer bestimmten Stellung einer Ebene nicht mehr ein einzelner

Punkt, sondern der ganze geradlinige Lichtstrahl zugeordnet, dessen Richtung

transversal, d. h. senkrecht im Sinne der Malsbestimmung, zu der Ebene ist.

Statt an die Überführung eines einzelnen Wellenelements des Objekt-
raums in ein einzelnes Wellenelement des Bildraums anzuknüpfen, wird man
dann zweckmälsiger die Gesamtheit der Elemente auf einen Strahl, d.h. den
geradlinigen Strahl mit der zu ihm gehörenden Stellung. der Ebenen, als

nimmt. Vgl. E. Vessiot, Sur l’interpretation mecanique des transformations de contact in-

finitesimales. Bulletin de la societ6 mathematique de France, 34 (1906), $. 430.

!) Die zu der Ebene im Sinne der Malsbestimmung senkrecht ist.
2) dV = dt ist das Bogenelement der allgemeinen Malsbestimmung.
») Das ist die geometrische Bedeutung der Gleichungen (32).

Pe DE

| — — EEE

22 Georg Prange.

eine Einheit auffassen und hat danach die optische Abbildung als eine geo-
metrische Transformation, die die geraden Linien des einen. Raumes in
bestimmter Weise in die geraden Linien des anderen Raumes überführt.
Da nun die Richtung der Geraden die Stellung der Ebene bestimmt, so
werden für die Untersuchung der Abbildung zweckmälsig solche Grölsen
als unabhängige Veränderliche gewählt, die die Richtung der Strahlen fest-
legen. Das ist der gleiche Gedanke, der Hamilton schon im ersten Nach-
trag von der Funktion V zu der Funktion W geführt hat, die er dort als
Funktion der Richtungskosinus des Strahls ansah. Nur betrachtet er im
ersten Nachtrag immer nur das einzelne Strahlenbündel in einem Raume,
nicht die durch die optische Abbildung vermittelte Transformation. eines
Raumes in einen anderen.

Ebenso wie im ersten Nachtrag formt er auch im dritten Nachtrag
die charakteristische Funktion V (x, %, 23; 2, Y, 21) durch die Legendresche
Transformation

£ 0) oV or
ee gen)
RER 22avı
da a 09 02,

in eine neue Funktion
(35) T (63, 73,93; 6,7,0)—= (09 +9%pT3+23%) — (a H+NMT +2 VU) —V @yY2 2135 %1:91321)

um, in der er jetzt folgerichtig im Sinne der Legendreschen Transformation,
die o, 7, v selbst als unabhängige Veränderliche beibehält und sie nicht, wie
im ersten Nachtrag, durch die Richtungskosinus «, 8, y der Strahlen ersetzt.

Übrigens kann man diese Funktionen T auch im allgemeinen Falle
krummliniger Lichtstrahlen zur Untersuchung der optischen Abbildung ver-
wenden, und wenn Hamilton auch gewils zu ihrer Einführung durch die
‘ optische Abbildung mit geradlinigen Lichtstrahlen gekommen ist, so gibt
er doch in seiner Darstellung vorab ihre Verwendung für den allgemeinen
Fall beliebiger nichthomogener und nichtisotroper Mittel. In diesem Falle
hat man keine Strahlenabbildung eines Raumes in einen anderen, sondern
muls die Überführung eines einzelnen Wellenelements o,7,0;x,3,2 in ein

anderes betrachten. Die Funktion 7’ beherrscht diese "Transformation genau.

so, wie vorhin die charakteristische Funktion V. Während in dieser die
Koordinaten der beiden Punkte der Elemente x, Y,2, und x, Y,2, als un-
abhängige Veränderliche auftraten, haben wir m 7 je die drei anderen
Grölsen 6, 7,, v; bezw. o,, 7,, v, der beiden Wellenelemente als unabhängige
Veränderliche. In gleicher Weise, wie wir vorhin durch Differentiation von

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 39

V nach den x, y, 2 die o, r, v erhielten, erhalten wir jetzt durch Diffe-
rentiation von T nach den o, z, v die x, y, z gemäls den Formeln

BR re 2.se0el

(36 a) a RR N N
bezw.

a60 u, 2 a, Gesır
( ) De — ae ME dr’ Al oy,

Wie für die Funktion V in jedem der beiden Begrenzungspunkte des
Liehtwegs je eine partielle Differentialgleichung (23a) bezw. (23 b) bestand,
so muls offenbar auch die Funktion 7 für o,, 7, » der partiellen Differential-
gleichung
a2 OL; &7,

N ee ee ee
(37 a) 2, (a T9, ©) Are, ee)
bezw. für o,, 7,, v, der partiellen Differentialgleichung

oT oT oT
(37 b) 2, (o, T,, U, N ir == j a0)

on nad, dm

genügen. Im Falle eines homogenen Mittels aber ist 2 von &, y, 2 un-
abhängig, daher geht dann in die Beziehungen (37a) und (37b) die
Funktion 7 gar nicht ein. T7 ist in diesem Falle nicht an partielle
Differentialgleichungen gebunden, dafür bestehen aber zwischen den unab-
hängigen Veränderlichen 6, 7, v zwei Beziehungen, nämlich

(38) 2) (05, Ty, v9) —0 bezw. 2, (6,, Tı; v) —=()}

Die unabhängigen Veränderlichen in 7’ sind jetzt nicht mehr willkürlich
veränderlich, daher erhält man an Stelle von (36a) und (36b) die Beziehungen

oT a oT oT
es ee 2.
39 B u Er EN DEI HIT
nr 82, 9 02
80, 07T, 0 v3
bezw.
oT 03 07
—_et ll r2
(39 b) 99 | — EN a Far en
i 02, 10, 2.08,
4 06, or, ov

die in %,, %, 2, bezw. x, y, 2, linear sind. Sie stellen die Gleichungen
der beiden Lichtstrahlen vor, die durch die optische Abbildung
einander zugeordnet sind. Hamilton hebt hervor, dafs man bei dieser
Spezialisierung die Funktion 7 in analoger Weise wie im zweiten Nachtrag

Nova Acta 107. Nr.1. 5

’
N
N
)

u

7 u \ ur Zus DE Vnlr 0 th Amı ri a. na Tann nm na. Be an zn he

ur DE Zr Du ui,

DATEN Da 2 en Se 0 ae m an mal dla on ne 4 EU 5 a

34 Georg Prange,

zur Bestimmung der allgemeinen Integrale jeder der partiellen Differential-
gleichungen für V verwenden könnte.

Die Funktion 7 ist das zweckmälsige analytische Werkzeug, um die
Strahlenabbildung zweier Räume zu beherrschen, und man wird daher immer
von ihr ausgehen, wenn man die allgemeinen Eigenschaften soleher Strahlen-
abbildungen, wie sie im Falle gewöhnlicher optischer Mittel entstehen,
untersuchen will. In der praktischen Anwendung auf die Behandlung der
optischen Instrumente haben wir ‚aber nun immer die Besonderheit in der
Beziehung zwischen Objektraum und Bildraum, dafs die Geraden des
Objektraums, die von einem leuchtenden Punkte ausstrahlen, zu einer
Einheit zusammenzufassen und so durch das optische Instrument hindurch zu
verfolgen sind. Da wird es dann zweckmälsig sein, die charakteristische
Funktion V (@,, Yz, 235 2,4, 2,) nur hinsichtlich der Koordinaten x,, Y,, 2, des
Punktes im Bildraum der Legendreschen Transformation zu unterwerfen
und so eine Funktion

(40) W (6,7, u; 2) Eh Typ +90, —V

zu bilden, bei der man im Objektraum die Koordinaten des Punktes, im
Bildraum aber die drei Bestimmungsstücke o, r, v des Elementes, bezw. im
speziellen der Richtung des Strahls, als unabhängige Veränderliche hat. Auch
diese Funktion W hat natürlich nicht nur für den Fall geradliniger Licht-
strahlen, sondern allgemein ihre Bedeutung. Im allgemeinen, Fall erhält
man aus ihr die Transformationsformel für die Überführung eines Wellen-
elementes in ein anderes in der Grestalt

4 oW om a em >
P — ER - = 3 ae = U
ne om og er
und r
eW om oN
(41 b) Ten IN ee Nr
: 06; 875 0%,

und man erkennt unmittelbar, dafs im allgemeinen Falle die partiellen
Differentialgleichungen
Fo Nele oW 0W a
£ wir) TUT on ine ee
u x (* er % 0% 0%
bezw.
cW |
Fe a a) =
[0]

-)

(42 b)

für die Funktion W bestehen müssen. Ebenso sieht man, dafs man in

# ow oW EIER
i Or: 6) u %
in RE

u Wir,
x Ir

W.R. Hamiltons Arbeiten zur Strahlenoptik und analytischen Mechanik. 35

zusammen mit (41 b) eine Darstellung der endlichen Gleichungen der Licht-
strahlen hat, die der Darstellung (34) entspricht.

Ihre eigentliche Bedeutung für die optische Abbildung gewinnt die
Funktion W natürlich aber erst dann, wenn die Liehtstrahlen im Bild-
raume gerade Linien sind. Da tritt an die Stelle der partiellen Differential-
gleichung (42b) die endliche Gleichung

(44) 25 (03, Ty, v)) == 0)

und daher treten an die Stelle der zweiten Gruppe (41b) der 'T'rans-
formationsformeln eines Wellenelementes die Gleichungen

2 om eW oW

1 —— Ya— By ir

45 ; 9% E ER)

er) BO re.
e) 6, dT, ev,

die in %, Y, 2, linear sind und also die beiden Gleichungen eines einzelnen
geradlinigen Lichtstrahls im Bildraum vorstellen. Damit ist auch die
Funktion W, die Hamilton schon im ersten Nachtrag benutzt hat, in den
neuen Gedankenkreis der optischen Abbildung zweier Räume aufeinander
eingeordnet. Natürlich würde man auch in der Art des zweiten Nachtrags
die Integration der im Bildraum gültigen partiellen Differentialgleichung (23a)
für V mit Hilfe der willkürlich gewählten Funktion W ausführen können.

Für die Bilderzeugung durch optische Instrumente ist der Schnitt
von Nachbarstrahlen von grundlegender Bedeutung, da die optische
Abbildung in der Praxis durch dünne Bündel erfolgt. Für die analytische
Beherrschung der geometrischen Beziehungen benachbarter Strahlen ist nun
die Kenntnis der zweiten Ableitungen einer dieser Funktionen I, 7 oder W
erforderlich. Hamilton verwendet denn auch viele Seiten, um Formeln ab-
zuleiten, durch die man von den zweiten Ableitungen der einen der drei
Funktionen, zu denen einer der beiden anderen übergehen kann. Ent-
sprechend seiner praktischen Bedeutung wird besonders eingehend natürlich
der Fall behandelt, dals die Lichtstrahlen geradlinig und also die Ver-
änderlichen o, 7, v» nicht unabhängig. voneinander sind. Ebenso wie im
ersten Nachtrag spielt dabei die Frage eine wichtige Rolle, wie sich die
drei Funktionen und ihre Ableitungen erster und zweiter Ordnung längs
der geradlinigen Stücke der Strahlen und an ihren Knickstellen auf den
brechenden oder spiegelnden Flächen ändern. Wir brauchen darauf indessen
nicht näher einzugehen, da die Verhältnisse durchaus die gleichen bleiben,
die wir oben im ersten Nachtrag geschildert haben.

UNI]

100198009