ePuhadie eid Seri e fe rt Tt $4 "a ] B e *« | da I » n rs e "$2 T Tuam OVA ACTA JA ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE TOMUS XIV. PRAECEDIT HISTORIA EIUSDEM ACADEMIAE AD ANNOS MDCCXCVII et MDCCXCVIII. gt. COSS g——— El Mr EX j pun E FRDW) i —EEE NN N NW PETROPOLI TYPIS AC ADEMIAE SCIENTIXRVM. MDCCCY, lin. Corrigenda. Histoire. 6 loco Asmund lege Asmundo — -— Rudolph — Rudolphi 9 — Nostra —— Nostri 24 — fluidornm — fluidorum 2 — essé — esse 22. — ejusdam — ejusdem, Acta. o doo x lege € -— 1397 — 197* 4 -— 197 — 19 1$ — Y3 — y 24. -— apid — apice 9 — residna — residua II — cuis -— cujus 8 — Museo — Museo 5 — extermis — externis, Tio jv 020285425 -— 29,25 TABLE DES MATIERES. HISTOIRE DE L'ACADÉMIE IMPÉRIALE .DES'/ SCIENCES ANNEES MDCCXCVII ec MDCCXCVII, J. Evenemens mémorables: IL Visite du Roi de Poiogee.' . 3 JL Visite de LL. AA. SS. Mes les Pines de Wokdtelg : 4- JM. Changemens arrivés dans l'Académie: I. Nomination d'un nouveau Président : » 4 1I. Membres décédés : : 5 III. Nomination de deux Académiciens à la Baie de Censeuts. 8 1V. Nouvelles receptions - . » r V. Promotions académiques et avancemens civils : EE VL. Gratifications , recompenses et distinctions littéraires ^—. 1? II. Présens faits à l'Académie : [Pads da Bibliothéque : PE repre : x 14. li Pour le Cabinet de Minéralogie : c : 20 lil. Poor le jaidin botanique : x: 3 21 IV. Pour le Cabinet d'Histoire. naturelle : RE .. ilWd. V. Pour le Médailler. - . ; ^ " . .Adbids . IV. Mémoires et autres ouvrages manusciits présentés — à l'Académie 3 i : 2 22 V. Mémoires lus dans les Séances académiques — . — 26 E "VI, Il VI. Observatietif : expériences , et notices intéressan- tes, faites et communiquées à l'Académie : I. Amalgamation du platine et dépuration du phosphore IL Décomposition de l'acide carbonique par la voye humide III. Production de cinabre par la voye humide — , . : IV. Phénoméne d'Optique remarquable MAN d : V. Crystallisation métallique du. platine ; : 3 VI. Crystallisation. curieuse de l'Hématite compacte de Kamensk VIL Pierre. calcaire Du ad des environs de Sanara et de Catherinebourg . . : VIIE Crystallisation. métallique di cuivre : » : IX. Découverte du Chromium dans un fossile de Sibérie : X. Crystallisations métalliques obtenues du phosphate de cuivre XL Méthode trés simple d'obtenir l'huile d'oeuf : , XII. Tremblement de terre ; . . . XIII. Titanium trouvé dans um minerais des monts Ourals en Sibérie XIV. Crystallisation de lacide. phospnorique parfaitement dépuré — . XV. Détonnation des nitrates mélés de phosphore E " VII. Rapports présentés par des Académiciens char- gés de commissions particuliexes : T. Sur &ne cochenille indigéne : " ; à Hl. Sur quelques projets hydrauliques : : ; HI, Sar une trisection de l'angle ct une quadrature du cercle IV. Conducteurs aux magazins À poudre : : : V. Sur le Baryte strié de Zméof x : : . . VL Sur un téléscope de Hlerschel de 20 pieds. - , ? VIL. Sur un instrument nommé Scotographe : : E VIII. Discussions d'une- question. de. Mécanique IX. Sur quelques mémoires d'Analyse de Mr. le. "ee de T£ ders "AK, Sur un enduit prétendu incombustible ; - Page Kf 32 ibid, 33 34 38 4o 41 . 42 ibid, 43 44- ibid, 45 ibid. 46 47 49 52 ibid. 53€. 4 56 SH ibid, Vll. Ii. Page VIIL Lecons publiques . mph : : 58 IX. Ouvrages publiés par l'Académie à 1: de, X. Prix proposé par le. Roi d'Espagne 59 XI. Extraits des mémoires contenus dans ce volume: L Clase de Mathématique et de Phy:ico - Mathéaatique , 65 IL. Classe de Physique h : : J5. All. "Ped d'Astronomie et de Météorologie : ; T8? XII Mémoires étrangers, présentés et lus à l'Académie: . Lettre sur plusieurs médailles de la Sarmatie d'Europe et de la Chersonése Taurique etc. par. Mr. le Cons. de Colléges de Kóliler: 99 . Dubia contra Josephi Gall de organis in cerebro distinctis, iisque cranii ope .detegendis, hypothesin. Auct. C, A. Rudolphi |. 13! Descriptio novi Plantarum generis. Auct. M, F. Adams 2&5 u64 * NO. NOVA ACTA | ACADEMIAE SCIENTIARUM IMPERIALIS : Tomus XIV. MATHEMATICA et PHYSICO-MATHEMATICA. Pag . L. Euleri. Facillima methodus plurimos numeros praemagnos inveniendi ; : : 3 —-—- . Methodus generalior numeres quosvis satis grandes examinandi, utrum sint primi, nec ne? iz —-— . Observatio singularis circa aequationes dif ferentiales lineares : x L n ; 52 —-—-—.. De integrationibus difficillimis quarum in- tegralia tamen aliunde exhiberi possunt . — 62 —-—- . Disquisitiones analyticae super evolutione potestatis trinomialis (x 4- x -- x x) " 25 Nicolai Fufs. De innumeris curvis algebraicis, qua- rum longitudinem per arcus hyperbolicos me- tui licet : i - E - H IIX —b—- . Démonstration de quelques. Théorémes de. Géométrie « " " POCIMPE 2 139 oh. Trembley. Recherches sur les équations aux différences partielles , du . premier degré , à quatre et plusieurs variables A z H Nicolai Fu[s. . Recherches sur Ia sphére et le cylin- dre percés cylindriquement, et sur une infi- nité de maniéres de percer la sphére de fa- con que le résidu de sa surface et de sa so- lidité soit géometriquement assignable : €: F. Kausler. De numeris qui semel vel. pluries ii summanr duorum quadratorum — resolvi pessuut : : : z : : e —-— , Remarques pour faciliter Ta recherche des diviseurs des nombres premiers DO UNTO JF. L. Krafft. Serierum principalium , quae sinus. angulorum multiploram exprimunt, demon- stratio- elementaris. » x » ^ * S. Gourief. "Observations sur le théoréme de Taylor, avec sa démonstration par la méthode des: limites etc. «i ds : B dug E 213 252 268 299 306. PHY- VE PHYSICA. N. Ozeretskovshi. De lacte caprino et vaccino . T. Lowitz. Methodi novae acidum tartaricum omne e tartaro crudo extricandi expositio B. Severgin. Histoire naturelle des Géodes - NN. Ozeretslovski. De duobus foetibus humanis mon- strosis I. T. Kólreuter. Mirab. Jalapparum opas spi- cilegium ultimum . . . " DB. F. I. Hermann. | Notices sur les roches des monts APBMal enmj5jbBHb.- . 5 o s ffoann. Lepechin. Symphytüi asperi nova species de- "SOM, quote c TR RIS . B. F. I. Hermann. Notice sur une grouppe remar- quable de spath de plomb de la Sibérie Laur. de Crell. AÀn ad aetherum naturam consti- tuendam necessaria sint acida disquirit I. Fr. Gmelin. Descriptio. et Analysis lapidis Ma- recanl: Y ETMO SENE A a ia o ERE DIN JT Smelovski. De plantis tetradynamis vulgo cruci- fonumibus . 2 . B . * . . . 367 373 "VH | Pag. C P. Thunberg. Plantae .contortae in Promontorio .bonae Spei Africes;olim collectae jamque de- senptacdp sica uersu cmi vm UR: 393 A. Sevastianoff... Description du Sparus ornatus, mouvelle espéce de poisson thorachique KC UE SE C. P. Thunberg. Mermas, plantae genus descriptio- nibus, animadversionibus et iconibus illustra- ELO 5 pi Mem Vis MEE os. ge d ASTRONOMICA e: METEOROLOGICA. Pag. G. T. F. Beitler. Sur Ile calcul des variations des étolles - . : : e ; 2 3 557 S. Rumovski. De transitu Mercurii per Solem. anno 1799 die ?53?r expectando : : ; : 605 "b Maz F. T. Schubert. Sur les passages de Mercure. sur Ie soleil qui auront lieu dans le dixneuviéme siecle 5. a : de aa nrw 09 -——-— . Supplément.au mémoire précédent SUN C650 Bc. Théorie de Mars : ; T M UI TS TE Sur le: perturbations de Ia nouvelle pla- bic par l'action de Jupiter AS coa ; 714. Steph. vin Steph. Rumovsk. Observatio eclipsis solis anno 1802 die 2$ Aug. habita in observatorio Petropo- ]itano : , d H JV.L Kraff. Annotationes ad acus magneticae in- clinatoriae usum pertinentes . : (G, T. F. Beitler. Supplément aux observations astro- nomiques faites à l'Observatoire du Gyimnase académique de Mitau . : T . F. 4. Schubert. Observationes monnullae astronomi- Cae in specula Academiae institutae IV. L. Krafft. Continuation du mémoire sur le per- fectionnement d'une méthode de trouver sur , Amer la latitude du valssedH *» w^» da E : L. A. Euler. Extrait des observations météorologiques faites à St. Pétersbourg en 1797. . « « —-— . Extrait des observations météorologiques, faites à Moscon en 1797 par Mr. Strtter . —-—— . Extrait des observations météorologiques, faites à St, Pétersbourg en 1798 Pag. 728 729 733 3437 764. 716 797 $08 H15- JX HISTOIRE LACADEMIE IMPERIALE. Dic Y SCIENCES r2 FS Adr : TL Ac i bed t "^ e M. Lond". p Ta HISTOIRE DE LACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES ANNÉES MDCCXCVII ET. MDCCXCVIII. T^ Evénemens mémorables I Visite du Ro1 de Pologne T 29 Mai. 1797 lAcadémie fut honorée de Ia visite de son auguste membre honorare, Stanislas Auguste Roi de Pologne. Sa Majesté étant fait anoncer le 27 Mai, M" les Académiciens se rendirent le surlendemain à la grande Salle de la Bibliothéque et y attendirent le Roi qui arriva accompané de quelques Cavaliers et Officiers.de sa suite à onze heures avant midi. Sa Majesté fut reque au sortir de la voiture- par S. E. M' le Directeur Bacounin: qui, apres avoir présenté au hol tous les. Acadéniiciens. .assem- blés, le .condüisit, conjointement avec eux,. par tous les apaitemens., de. la, Bibliotheque et du Müsée , et Sa- Mae jesté. examina. avec attenüon tout ce que ces deux collec: a à tions « HISTOILFRE. tions renferment de plus rare et de plus cuxieax, — De là S. M. fut mence«/à l'Observatoire astronomique et enfin au grand globe de Gottorp: le Hoi honora d'un intérét par. ticulier tout ce qu'on lui montra ct ne quitta. l'Académie qu'aprés trois heures, en témoignant sa satisfaction. à M" le Directeur et eux Académiciens démonstrateurs , en les remerciant dans les termes les plus giacieux. lL Visiie de L L. A A. SS. Mé" Ies Princes de Würtemberg. Ee r3 Aoüt 1798, à la fin de Ia Conférence acadeé- mique, Monseigneur le Prince Auguste et Monseigneur le Prince Charles de Wüitemberg, freres de Sa Maje- sté l'Impératrice, se firent annoncer et demandérent à voir le Musée académique. M" le Baron de Nicolay , Prési- dent de l'Académie, accompagné de plusieurs Académiciens, s'empressa de conduire ces illustres: voyageurs. par. tous les départemens de la Bibliotheque. et du. Musée , et de leur montrer tous, les objets propres à fixer et à satisfaire leur curiosité, TE Clhiangemens arrivés dans l'Académie: L Nomination. Pup nouveau, Président. $,. ... . De.tous les événemens. qui ont eu. lieu pendant la - période des. déux, années, dont nous avons à tracer LHi- stoire dans.ce volume, le changement de Chef, arrivé le 14 Aynl 1798, doit. étue regardé à juste tilre comme lé plus HISTOIRE. 5 plus important, à cause de'sa grande inflnence sur toutes les branches de l'administration du: preniier établissement savant de lempire. M^le Chambellam actuel de Bacounin ayant: demandé sa dimission, apxés avoir fait depuis Yan r3794- les fonctions de Directeur de l'Académie; à la place du Di- recteur- effectif absent * Sa Majesté l'Empéreur la. lui a6corda et nomma :en. méme: tems Président de Son Acadé- iie des;Sciencés. S. E.M" le Conseiller d'Etat. actuel Ba- ron de Nicolay.,: membre du Cabinet de Sa Majesté. et Chevalier de l'ordre. de S* Anne de la premiere. classe. Par cette nomination ,: si propre: à remplir: l'Académie de la plus grande satisfaction , la place de Directeur, qui avoit été.ciéte: autrefois: à. cause: des; fréquentes. et- longues absences de l'ancien: Président, S. E. M" le Feld- Marechal Comte de Razoumofski, füt abolie ,. et la charge de Prési- dent retablie: cosifoxinbmierio au 'reglement: de l'Académie. Le nouveau. Chef commenga l'exercioe-/de ses fonctions le: r9 Avril 1798. soie 6 0E. NTembres deécédés. La liste. des membres lionoraires externes de l'Acadé-- mie étóit décorée depuis nombre d'années des noms augu- stes de: deux Rois quij par la protection: puissante et soute- nue qu'ils avoient accordée aux sciences et' aux arts; s'é- toient acquis nn: genre-de: gloire indépendant de celui qui est le partage: du-ilióse,. mais- aussi solide et brillant d'un éclat dont le reflét- ne: pouvoit quajeater à: là gloire d'un. corps savant qui- avoit eu^ le précieux avantage de s'assócier ces: princes; L'Acadéiie s'est vu enlever ce glorieux credis ca dans le court. espace: vmE ürois mois.. Fré- 6. HISTOIRE- Fréderic. Guillaume 1I, Roi de Prusse étant encore. Prince, Royal, , avoit .daigné honorer. l'Académie de. Sa. visite , ek. assister a.une, assemblée. solomnelle .convoquée. en son .hanneur, lors de son séjour à. St. Pétersbusg, Le 1x Octobre,1780, la. veille. de- son.départ, il avoit bien. voulu: ;accepter le diplome de membre honoraire , que.l'A-. J cadémie..en, corps ..avoit éte lul.présenter trós-réspectueuse-. ment; et; depuis cette époque l'Académie. a recu. plus d'une marque de. son. estime et de.sa bienveuillance, qu'il. lui.a fait témoigner par dai lettres- adressées au Secrétaire. - perpétuel.. Il. mouxát. 1e $5. Novembre :1 797. pni bleu ood mi a Roi de Pologne, de. la. maison-de. Poniatovski , avait daigné accepter en 1777 le. titre de membre. honoraire de l'Académie, et lui avoit con-. servé. jusqu'à son:decés un attachement des plus flatteurs. M mouxüt le i Fevrier 1798. Le Comte Lwan Grigorievitsch Tchernychef, Vice- Président du Collége de lAmirauté, Sénateur, Chambellan actuel et Chevalier des ordres de St. André , de St. Ale- xandre Nevski, de. Ste. Anne et de St. Vladimir de la z'* Classe et. de Vaigle,t blanc ,. qui. avoit été recu membre ho- suite i6 Muss Coups. d A apis, le 26, Fevrier ia age de,70.ans,, lk:se.trouye dans. les Actes de lAcadé-; mie pour, l'année; 1739. 4 (Acta. Acad. Imp. Sc... ad. annumi MDCCLXXIX,. Pais; prior). un. lettre de, ;dui, .contenant des, expéiiences. faites. par. ordre . du College..de l'Amirauté. sur. linflammation . spontanée. d'un mélange . de suye et d'huile, à la suite de l'accident. auivé..à . la . fiégatte Marie qui. x avoit HISTOIRE. J avoit. pris feu, parcequ'il.s'y étoit trouvé ur pareil yin zeste des: couleurs. dont on: avoit. peint le bàtiment. "Gfean Henry Sámuel.Formey, Ministre du St. 'Evan- Er Professeur de Philosophie , Conseiller privé de S. M. e Roi de Prusse, Secrétaire perpétuel de l'Académie NA des Sciences et Belles-lettres de Betlin ,. Directeur de la Classe de Philosophie de la méme ACE et membre de plusieurs autres, qui avoit été recu au nombre dés membres honoraires externes de l'Académie en 1748, ét qui obtint la pension académique en 1766, décéda à Berlin le 8 Mars. 1797, dans la 86"* année de son àge. "Antoine ' Marie: de Lorgna ,. Brigadier des: Tngénieurs 4u Service de la République de Venise , 'et Professeur de Mathématiques à lécole militaire de Verone , moürüt 'à "Verone au mois de Fevrier 1797, dpé de 6$ áns. lIl'avoit été recu au nombre des membres honoraires externes de l'Académie le 2*7 Décembre :776, 1l se trouve um ié- "moire de lui dans les 4cta de l'Académie , année 1779. Partie. seconde, et ün autre. mémoire, sur les. fonctions dis- continues, a été imprimé à la suite du méioire cod- Tonné sur cette question d'Analyse. Sean de Schouvalof, Grand Chambellan s C'ünseillos privé actuel, Fondateur de TAcadémie des: arts, Fondateur et premier Curateur de l'Université: de Moscou , Chevalier des ordres de St. André, de St. Alexandre Nevski, de Ste: Anne, 'de St. Vladimir de la premiere Classe, de l'aigle blanc-et.de St, Stanislas, recu. membre: honoraire: regnicole de l'Académie le 29, Décembre: bp mourüit en Novem- bre 1795. "s go- $ HUSTOrfCIRE. Sfoseph de Mohrenheim, Daron du'St. Enipire, P'octeut en Médecine et Chbiiurgie, C'onseillég: de Cour; ^ Opérateur et Oculiste de Sa Majeste l' Inpéreur, Médecin Ac- coucheur de Sa Majeste lImpératrice: et. Directeur de l'Institut pour les sagesfemmes, mourüt le 17 Novembre 1797 àpé de 41i ans. ll avoit été reGu au noubre des bic: honoralres de l'Académie le 3 Mars 179r. an Michel Benovanz, Sur - Tateiidaiut des mines da Cabinet de Sa Majesté Impériale, inspecteur de Té- cole des mines, Chevalier de lordre de St. Vladimir de la 4' Classe, membre de la Société 1ibre économique de- St. Petersbourg, et des Sociétés des Scrutateurs de la nature à Beilin et : Jena, mourüt le 28 Aoüt 1798, àgé de 53 ans. ll avoit été recu. au nombre des Correspondans titiés. de lAcadémie le 2x Juin 1779, et fnt employé en 1786 à arran- ger, conjointement avec Mr. l'Académ icien Georgi, le Ca- binet de Minéraux de l'Académie, et à en dresser le Cata- logue, d'apiés le Systóme de .Wallenius. En :recompense de ce travail l'Académie lui accorda la pension académique de deux-cens Roubles. | On a de lui une déscriplion mi- néralogique et topographique des monts Altai, qui est avantageusement connué. HL Nomination de deux Académiciens ordinaires à la place de Censeurs En vertu d'an Oukaze de Sa Were Ul Empe- reur, publié par le haut et dirigeant. Sénat le 16 Fevrier 1797, relatif au nouvel établissement des Censures, Mr. le Conseiler de Cour Koteluikof et Mr. le Conscilles de Cour et HISTOIRE. 9 et Chevalier Inochodzof furent nommés Censeurs savans, le premier à la Censure de St. Pétersbourg, le second à celle de Riga, chacun;avec r8oo HRoubles d'appointemens, en gardant 200 Roubles de pension académique et le droit de rentrer dans leurs places d'Académiciens, au cas que les circonstances les forcassent de quitter leurs places de Cen- Seuirs. IV Nouyelles freceptrons. Mr. Alexandre iVicolas Scherer , Docteur en Philoso- phie, Conseiller des mines de. S. A. S. Mt" le Duc de 'Saxe- Weimar, Secrétaire. perpétuel de la Société de Phy- sique à Jena et membre de plusieurs Sociétés savantes. Regu Correspondant de l Académie le 27 Juillet 1797. Mr. gean Henry Rudolf, Docteur en Médecine, Pro. fesseur de Thérapentique , de Botanique , de Chirurgie et d'accouchement à l'Institut Zmperial de Médecine et de Chirurgie de St. Pétersbourg. Requ Associé honoraire reg- nicole le 28 Aoüt 1:797. Mr. "Gustave de Pay&kull , Conseiller de Chancellerie de S. M. le Roi de Suéde, membre des Académies Royales de Stockholm et d'Upsal. hRecu Associé honoraire externe de 57 Novembre 1797. Mr. Sean Christophe Schwab , Conseiller de Cour de S. À. S. M*' le Duc de Würtemberg , Professeur de Philo- sophie. au Cymnase illustre de Stuttgard. Regu Correspon- dant tiué de l'Académie le 15 Fevrier 1798. Histoire de 1797 et 1798. b Mr. 16 HISTOIRE Mr. Sean Théophile Fréderic Schrader, ci-devant Pro- fesseur de Philosophie à Kiel, Opticien au Service de l'A- cadémie Impériale des Sciences. — Recu membre hono- raire le »9 Mars 1798. Mr. Christophe Fréderic Kausler , Conseiller de Coux et Gouverneur des Pages de S. A. S. M?" Ie Duc de Wür- temberg. Requ au nombre des Coirespondans tíitrés le 25 Fevrier 1797 ; au nombre des Pensionnaires le 26 Avril 1798 et au nombre des Honoraires. externes- le 30 Avril 1798. Mr. Sean Frederic Pfaff, Professeur de Mathémati- ques à l'Université de Helmstedt et Correspondant de l'A- cedémie. Regu Associé honoraire externe le 47 Mai 1798. Mr. Sean Trembley , Académicien de Berlin et Cor- respondant de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg. Regu Associé honoraire externe le 7 Mai 1798. Mr. Sean Fran(ois Fauvilliers , ancien Professeur de langue grecque au Collége de France et membre de l'Aca- démie des Inscriptions et Belles-lettres de Paris. Recu par ordre de Sa Majesté l'Empéreur, Académicien or- dinaire pour la Pbilologie le 7 Juin 1798. Mr. Erneste Christophe Schultz , Professeur honoraire d'Histoire natarelle et membre de la Société physique de Góttingue. Regu Correspondant le 28 Juin 1798- Mr. Thomas Tychorsky , Conseiller d'Etat; premier Médecin de l'hópital militaire de St, Pétersbourg et membre honoraire du Collége de Médecine. Requ Associé honoraire reguicole le 15 Octobre 1798. Mr. HISTOIRE. Yr Mr. Théodore Svenske, Conseiller de Cour , Docteur en Médecine et Censeur Zmpérial à Radzivil. ^ Recu au nombre des Correspondans le 22 Octobre. 1798. V. Promotions académiques et avancemeus civils, Le 5Janvier 1795 le Directeur en fonction, Mr. le Gentil-homme de la Chambre Paul de JBacounin fut avancé au rang de Chambellan actuel de Sa Majesté Impériale. Le 25 Fevuer 1:797 Mr. lAdjoint Busse fut nommé Bibliothécaire et Sur-Intendant du Musée académique, à la place de Mr. l'Académicien Kotelnikof, et le 17 Mars de la méme année il fut avancé au rang de Conseiller de Cour. le 5 Avril ibd Ms le Cb ene: de Collége Rou- movski füt avancé au rang de Conseiller d'Etet, et M"* les Conseillers de Cour Euler, Lepgechin et Ozeretskovski au rang de Conseillers de Collége. Le Mai 1797 Mr. TAcadémicien Lowitz fut élevé au rang de Conseiller de Cour. Le 3: Janvier 1798 Mr. le Professeur extraordinaire Zacharof et Mr. l'Adjoint Gourief furent nommés, par un ordre Supréme, Académiciens ordinaires avec les appointe- mens fixés par l'Etat de l'Academie. Le 21 Aoüt r798 Mr. l'Académicien Severguine fut avancé au rang de Conseiller de Cour. : ' b*s Eg 12 HISTOIRE. Le to Novembre 1798 Mr. le Conseiller de Cours Hermann fut nommé par un oidre de Sa Majeste Impé- ria;e membre da Collége des Mines, avec la permission de garder sa place à l'Académie. VL Gratificatiomse,recompenses et distinctions littéraires. Le i5 Mars 1797 Mr. I. E. Bode, Académicien de Peilin et Associé honoiaiie externe de l'Académie fut gra- tifié de la pension académique vacante par la mort de Mr. le Conseiller privé Formey. Le 1 Mai 1795 Mr. Ie Professeur extraordinaire Za- tharof et Mr. l'Adjoint Gourief regüurent une augmentation de leurs appointemens. Au mois de Juillet 1797 Mr le Conseiller de Cour Hermann rem»orta le prix proposé par la Société Royale des Sciences de Bohéme sur la question: quelle différence y a-til entre le fer de fonte et le fer forgé , et quelle ma- niere est la meilleure et la plus profitable de préparer le dernier ? | Le xr Octobre 1797 Mr. le Conseiller de Cour de Zimmermann , Associé honoraire externe , fut gra!ifié . par ordre de Sa Majesté l' Empereur, de la pension aca- démique. Le 25 Octobre 1797 Mr. l'Académien Fufs fat reca par lAcadémie Royale des Sciences de Stockholm au noibbre de ses membies honoraires externes. En HISTOIR E. 13 En Novembre 1797 Mis. les Académiciens Lepechin et Ozeretskovshi iIurent rcqus meinbres honoraires du Col lége de Médecine. En Décembre 1797 ]la Société Royale des Scien- ces de Góttingue recut Mis. les Conseillers de Cour Her- mann et Busse au nombre de ses membres externes, .En Janvier 1798 Ml. l'Académicien Fvfs xremporta le prix proposé par la Société Royale des Sciences à Co- penhague, sur la question concernant la T'héorie de la ié- sistance que les chaiiots à deux et à quatre roues éprous- vent sur les différentes especes de chaussées. Le r Fevrier 1798 Mr. le Conseiller. de Cour et Acadéimicien Severguine fut graufié d'une Buruiedeuclon de ses appointemens. le i9 Fevrier 1398 Mr. l'Académicien Gouricf re- qut de la part de Sa. Majesté l' Empéreur une gratifi- catüon de 3oo Roubles, pour un ouvrage qu'il avoit presenté. Le :ir Mars 1758 le Cabinet de Sa Majesté [m- périale assigna une pension annuelle de 40o houbles à Mr. le Conseiller de Cour et Académicien Zermann, en le chargeant de quelques commissions particulieres pour l'ex- pédition des mines de ce Cabinet. En Mars 1798 le méme AÁcadémicien fut recu membre. externe de l'Académie Impériale des Scratateurs d- la nature à Exlang et de Ia Sociéié Royale des Scieu- ces de Bohéme. Aussi 7! HISTOIRE. Aussi en Mais 1798. Mis, les Académiciens Krafit et Severguine furent regus au nombre des membres honoral- res externes du Bureau Britannique d'Agriculture à Londies. Le »o Avril 1798 la Société Royale des Sciences de Copenhague regut Mr. l'Académicien Fufs au nombre de ses membres honoraires externes. TII. Présens faits à l'Académie. L Pour la Bibliothéque. De la part de Mr. de. Zach : "Tabulae motuum Solis novae et correctae, ex "Theoria gravitatis et observa- tionibus recentissimis erutae, ^ Auct. Francisco de /Zaecb. Gothae 1792. in 4to. Tabulae speciales aberrationis et nutationis in ascensionem rectam et decli- nationem, una cum insigniorum 494. stellarum zodiacalium catalogo novo ad initium anni 4800. Ato. Bestimmung der Polhóhe des Stiftes Tepel ; von P. Alois Daviz. ato. Geographische Lünge und Breite des Stiftes Tepel; von P. Alois Dz«vid. Prag 1793. ato. Gcogiaphische Breite des Stiftes Hohenfurtt; von «cbendemselben. Prag 1794. 8vo. Geographische. Ortsbestimmungen im óstlichen. Schwaben ; von I. A. Amman. Dilingen 1796. in 8vo. Ueber die Meinungen der Alten von unserm Sonnen - System. — Eine Éin- ladungsfchrift von L C. Sibaubacb. Meiningen 1796. 4to, "Table HISTOIR E. TE "Table de !a différence des meridiens en tems, entre l'Obsetvatoire de Gotha: et les principaux lieux.de la terre , avec leur longitude , latitude et di- stances en milles géographiques. 16mo. Der polygomische Lehrsatz ,| das wichtigste "Theorem , nebst einigen ver. wandten und andern Sitzen, neu bearbeitet und dargestellt von Tetens, Klügel, Kramp, Pfaff und Hlindenburg ;. durch Cad Fr. Hindenburg. Leipzig 1796. 8vo. pe la part de Mr l'Académicien Bode: Astronomisches Jahrbuch für das Jahr 1799. Berlin 1796. $vo. Astronomische Tafeln, zu Bestimmung der Zeit, aus der beobachteten olei- chen obwol unbekannten Hóhe zweier Fixsterne 5 von Jul. Aug. Koch. Berlin 1797. 8vo, j De Ja part de Mr. le Conseiller de Cour Kausler : L. Eulers volltindige Anleitung zur Algebra. Dritter Theil: enthaltend . die Zusitze von Lagrange ; aus dem Franz. übersetzt und mit Exlàute- rungen und einigen dahin einschlagenden Abhandlungen und einem Ane. hange begleitet vom Hofrath Kausler etc. — Frank£, am Mayn 1796. 8vo. De la parit de lauoteur: Almanach von 365 'Tagen und eben so viel Náchten, iu einer Auswahl. von lehrreichen ,' wahrhaften , vorzüglichen Geschichten , Sprüchen und Re- den etc. Wien 1797. 8vo.- i; De la part de Mr. l'Acad. Hermann : Ueber die Hauptmüngel einiger Eisenhütten in Deutschland , vom Berg- Hauptmann von Veltheim , und Bemerkungen über dcn Eisenhütten - Haushalt , vom Hofrath Hermann, | Helmstadt 1795. 8vo. De la part de Mr. de Koutouzof : ! Tlymeuecmsie sb IOxuoW moaosusb sewuaro mapa 9 50 kpyrb omaro — noAT ma'"iab cmsowb Kanmmaua Jimona Ryxa. Uacmp 1. sb Cankub- llemep5yprb 1796 roaa. De 16 HISTOIRE. De la part des auteurs : Memoria sul principio delle velocità virtuali; del Cavalier Jtt. Fossombroni. Firenze 1796 4to. x Antichità, vantaggi e metodo della pittura encausta. Memoria delSgr Giov. Fabbroui. Roma 1797. Ato. Di una singolarissima spezie di Mattoni , ossia ritrovamento degli antichi : mattoni galleggianti ; dal Sgr. Giov. Fabbroni. Venezia 1797. 8vo. Idea di un Repertorio per i resultati d'osservazioni o esperienze relative alle materie combustibili etc. di Giuseppe Tofami. Firenze 1796. 8vo. De la part de Mr. l'Académicien Bode: La premiere livraison de lA:las céleste ,, contenant les planches IV, VI, VII, VII j - De la part de Mr. le Cons, des mines Scherer : Nachtrüge zu den Grundsützen der neuern chemischen Theorie, Jena 1796. $vo. De la part de Mr. le Docteur Schróter : Aphroditographische Fragmente, zur genauer Kenntnifs des Planeten Venus, Helm:tedt 1796. 410. De la parit de Mr. le Cons. de Colléges Koch: I. C, Kocb's , Russisch Kaiserl. Kollegien - Raths, Vergleichungen mineralo. gischer Bencnnungen der Deutschen mit Arabischen Würtern. Leipzig 1795. $vo. De la part de S. E. Mr, le Prince de Ga/itzin : Seconde lettre à Mr. de Zimmermann , ou Observations sur les voyages de lAbbé Spalanzani dans les deux Siciles. — Brunsvik 1797. $vOo, Le la part de l'auteur: | Anguloium rectaeque lineae trisectio et Consectaria circuli quadratio, utramaue mctbodo planissima detexit 1, N. Kevay, Viennae 1797. $vo, e De HISTOIRE t3 De la part de l'auteur: An account of the trigonometrical. Survey, caried on in the Years 1791 — 17945; by Lieut. Col, Edward Williazs: ,. Cap. William ZMudge and Mt. Izaac Daiby. De la part de l'auteur: L'uomo galleggiante , o l'arte ragionata del nuoto; dal Dottore Oronzio di Bernardi P. 1 et 2. Napoli 1794. 4to. De la part de Mr. l'Académicien Bode: La seconde livraison de l'Atlas céleste, contenant les feuilles IIT, V, IX, X. Astronomisches Jahrbuch für das Jahr r8oo. Bern z797. $vo. Sammlung astronomischer Abhandlungen und B«obachtungen, 3ter Supple- ment- Band, Berlin 1797. 8vo. De la part de Mr. le Docteur Pfaff à Stutgard : Fragment der Staats - Verfassungs - Geschichte des Deutichen Reichs.. Man- heim 1797. 8vo. De la part de Mr. le Prof, P/aff à Helmstedt : Disquisitiones analyticae maxime ad calculum integralem et doctrinam serie- rum pertinentes. Auct, L Fr. Pfaf Vol. L.— Helmstadii 1797. 4to. De la part de l'Académie Royale de Berlin: Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles - lettres. Années 1788 et 1789. Berlin. 4to, Sammlung deutscher Abhandlungen, welche in der Kóniglichen Academie der Wissenscbaften zu Berlin vorgelesen worden, in den Jahren 3788 und 1789. Berlin. in 4to. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences ct Belles - lettres, Années 1:790 et 1791. |Derlin. 4to. Sammlung der deutschen Abhandlungen , welche in der Küniglichen Acade- mie der Wissenschaften zu: Berlin vorgelesen worden in den Jahren. 1790 und :791:. Berlin. 4to. Histoire de 1797 et 1798- c De 18 HISTOIR E,. De la part de l'auteur: : Dr. Reil: Ueber die Erkenntnifs und Cur. der Ficber. Erster Theil. Allge- meine Fieber - Lehre. . Halle 1797. 8vo : Joannis Christiani Reil Exercitationum | anatomicarum fasciculus primus, De structura nervorum, fol. De la part de Mr. le Professeur Schjwab: Von den Ursachen der Allgemeinheit der franzósischen Sprache und det wahrscheinlichen Dauér ihrer Herrschaft — Stutgard. 1785. 8vo. Abhandlung , welche den von der Kónigl. Academie der Wissenschaften zu Berlin für das Jahr 17$8 ausgesetzten Preis erhalten hat, von Hin Joh. "Christ. Scbwab, Berlin 1789. &vo. Eucid' Data, verbessert und. vermehrt von. Kob., Simson; aus dem Engli- schen übersetzt ^ und mit einer Sammlung geometrischer, nach der analyti- schen Methode der Alten , aufgcelóster Probleme begleitet ; von Joh. Chr. Schwab, Stutgard 1:780. $8vo. De la part de Mr. le Docteur Colland : Kurzer Unterricht in der Geburtshülíe für Stadt - und Land - Hebammen von Fr: Coiland. Wien 1797. $vo. .Kurzer Innbegriff von dem Ursprange der Wissenschaften, Schulen, Acade- mien und Universitaten in ganz Europa, besonders aber der hohen Schu- len und Academien zu Wien. Wien 1796. $vo. De la part Ile Mr. le Cons. de Colleges .Karpinski : Pharmacopoea Rossica. Petropoli 1798.. 8vo. De Ia part de Mr. de Zach: Abhandlung über die leichteste und. bequemste. Mcthode die Bihn eiues Co meten aus einigen Beobachtungen zu berechnen ; von W. Olbers. M. D. Weimar 1797. De la pait de Mr. Coss. de Coll Lepechin : Épamkoe pysosoacmso xb passeAenim ueaka sb Pocciw, Canmrmnemep6. 1798. De HISTOLRE. - De la part de Mr. le Cons. de Cour Zimmermann : Essai de comparaison entre la France et les Etats unis de l'Amérique sep- tentrionale; par E. À. W. de Zimmermann, traduit de, l'Allemand. "Tome I. Leipzig 1797. $8vo. Allgemeiner Blick auf Italien; nebst einigen geographisch - statistischen. Auf- sitzen die'süd-ostlichen "Theile dieses Landes betreffend ; von E. A. W. von Zimmermann. Weimar 1787. 8vo. De la pait de Mr. Thiele , Pasteur à Rathstock : Gedanken über die Reden Jesu, nach dem Tnhalt der idus lischen. Ge- schichte von Baumgarten. Pforten 1797. De la part de Mr. le Pasteur Busch: Uebersicht der Fortschritte der. Wissenschaften , Künste ,' Manufactuten und Handwerke. ir u. 2r Band, Erfurt 1797 und 1798. De la part de Mr. le Docteur Murhard : Constructio generalis formularum differentialium in forma 2nd ELA UE (aj paris x) contentarum ;. sive solutio problematis : datis his aequationibus investigare valorem m Géóttingae 1797. 8vo. Ueber die Methode des Hn. La Grange alle Gleichungen durch. Nàherun- gen vermittelst der Reihen aufzulósen; von F. W., A, Muarbard, —Góttin- gen 1796. 4to. System der Elemente der allgemeinen Giófsenlehre , nebst ihrem Zustande am Ende des achtzehnten Jahibübderts Herausgegeben von Fr. Murbard. Lemgo 1798. 4to. ? De la part de l'Académie Royale de Stockholm: Astronomie forfátted af Daniel Melanderhielm I, II Delen, Stockholm 1795. $vO. De la part de Mr. l'Académicien Fufs: Hauaarnbia Ocnosanis Aareópp cowuseHusa xb IoA3y "ea &opuyca Hmsoaaeub Qycoub Caurmnemep6yprb 1798. $vo. c 2 Le- to. HISTOIRE. ' Eecons de Géométrie ,, à l'usage du Corps. Impérial des. Cadets: nobles: de: Terre; par Nicolas. Fus... St, l'etersbourg. 1798. De la part de l'Académie Impériale des curieux. de la nature.. Acta: physico.- medica. Academiae Caesareae: naturae: curiosorum: Leopoldino: Caralinae.. Tomus. VIII. Norimb.. 1791.. IL. Pour le Cabinet de Miméraloegie. De la part de. S. E. Mr.. le: Conseiller privé et. Chevalier: de: JVartoff :: Un: morceau: de. quartz - rose. de: Finnlande. d'üne- grande. beauté: Deux: echantillons d'une- nouvelle: espéce- de: Granite,, trouvée sur- les cótes: de. là. mer. blanche; Une: piéce- de. Spath. jáuntütre. doublànt: les: objets, trouvé" dans. les: fentes: d'um: rocher, prés du village Sargouba,, sur la. rive du làc. Youkscha,. à vingt: verstes: de. Petrosawodsk; De la: part: de- Mr; 1e: Sur-Intendant: des. mines. Fenorantz: Huit: minerais: d'argent: des; minieres. de. Kolyvani. D» la: part de Mi.. le: Conseiller: de: Cour: Lowitz.. Deux cent: quatrevingt. huit: crystallisations. modelées. en: cire- et: classées. sclon: les; principales. espéces. de.-sels,, dins. six: tiroits- vitrés,, savoir: 48: crystal-- lisations- d'ácides. et: de- sels.lixiviens;. 116^ de seli à. base. alcaline; 4o: de- sels. à: base. terreuse;, 54. de. sel$ ài base. métallique; 30: de- seli- sursaturés; àibase. doublé etcessentiels.. Qiatre-vingt: cinq: efflorescenees. de. différens: sel, , obtenues: par. léur. évapora-- tion:sut; des. carreaux: de. verre,, fournissant: des. caracteres. plus. invariables; que. lés; crystallisations.. De: HESTOIRE. a1 De la part de Mr. le Conseiller de Cour Hermann. Une collection de trente - huit mineraux et fossiles qu'il a recus des monts Altaài et qui sont tous tirés de nouvelles miniéte$ et en grande partie entiérement: nouveaux.. De la part du Jouaillier Mr. o bobr | Quelques pieces de pierre: de Labrador, tronvée aux enyirons. de St, Pé- tersbourg.. ED Pour le jardin botanigue: Plusieurs paquets. de: semences, envoyés à l'Académie r Mr le: Conseiller d'Etat et Chevalier Pallas, par Mtr. le SurIntendant. des mines: Schanguine et par Mr. le. Doc- teur: Schenk.. Ev; Pour Le cabinet. d'Histoire naturelle: De: la part de. Mr. le: Conseiller: de: Cour: Zermamn :: Un: nid! d'oiseau; savoir du: rémés: (Parus. Pendulinus) ,. d'une: construction: res- marquable- et tràs- curieuse ,. trouvé. aux: EEUU uad Nor-Saissan: dans la: 'Tartarie. Chinoise; De:la& part de Mr. le Piofésser Sciultz : Une petite espéce de: Crabe. entre: deux: verres ;, dt a: cela: de: particulier:: que sa taye, ou:son dos, porte l'empreinte. d'un visage. humain, Une patelle. des. cótes: du. détroit: de. Magellan, qui, exposée: au; Soleil, jetté- une. lueur. en couleurs trés - vives, NL oPour le!) NMédailler: Be la. part. de. l'Académie: Iinpéria/e: Russe :: Le nouveau; jettom: que- cette: Académie. a: fait: frapper, poarr rec distribué: aux. membres; qui. assistent: aux . séances : acadéiniques. . 32 HISTOIRE. IV. Mémoires et autres. ouvrages manuscrits présentés à l'Académie, 1797 Le 9 Janvier, Recherches sur les équations linéaires aux différences partielles; par Mr. Sean "Trembiey. Le ii Damvier. Observation de l'obliquité?de l'écliptique dans le solstice d'été 1796; par Mr. le Prof. Beitler. — - — Observations des eclipses des Satellites de Jupiter, faites en 1796 à l'observatoire de Mitau: par le méme. — — — Observation de l'cdipse du Soleil du 3 Avril. 1791, faite à l'ob- seryatoire de Mitau; par Je méme. Le 16 ZXanvier, | Aelteste Urkunden des Bergbaues im Russischen Reiche; par Mr. Jean Lebaann. 19 Javier, Observationes analyticae ad L. Euleri Institutiones calculi in- tegralis Vol. IV. Suppl. I. et IV; par Mr. le Professeur. Pfaff. Le 25 Février, De motu baculi super plano inclinato; per Ar. l4cad. Fufs. VT — -—— - Notice sur le Quartz.tose de Finnlande; par AMr. le Cons, privé de Nartoff. Le 235 Février. Eclipses Satellitum Jovis, Petropoli anno 1796 in Specula do- mestica observatae; par Mr. l Acad. Inocbodsoff. Le 9 .Avril. Problemata ex doctrina sphaerica; par JMr J'Acad. Scbubert. Le 13 A«ril, ]leps&a3 ocHosauia Mamepanoriu, waM ecmecmseunos Hcmoe pim ncronaeubixXb mbaAb: par Mr. l Acad. Severguine, Le 15 Avril. Yupmannepa nawaasnbia ocrosauia Xuwim, ropmuee cymt.e- cudi»0 ompoxsepramimeh: ar Ar. le Prof. Zacbarof. Le 2o .4vri. "Von den nüchsten und entfernten. chemischen Bestandtheilen det Pflanzen und Phíflarzen -Substanzen, Dritte Abtheilung. Von den éligen Destandtheilen; par Mr. l'Avad, Georgi. Le HISTOIHRE. 23 Le s4 Avril, De resolutione formulae integtalis Fun !0y (A--x")^ in seriem semper convergentem, ubi simul serierum quarundam sum- matio directa traditur; par Mr. lAcad, Fufs. Le x Ma. Mémoire sur Ja maniere la plus facile et Ia plus promte de pré- parer l'acide nitreux le plus pur et le plus fort; par Mr. le Prof. Zacharof. ; Le 4 Mai. Wotice d'une nouvelle espàce de Granite, trouvée sur l'ile Rab, dans la mer blanche; par Mr. le Cons. privé de Nartoff. Le 22 Mai. Mémoire sur la résoluton des principaux problémes qu'on peut - proposer dans les courbes, dontles ordonnées partent d'un point fixe; 20 gar Mr. LAssesseur Gouricff. Le 12 Juin. —Characteres et descriptiones lasectorum. novorum in "Tauride nec non in regionibus Borysthenem fluviumque Donetz adjacentibus ob- servatorum, Specimen 1; par Mr. le Conseiller de Cour Bóber. Le 15 Juiw. Examen théorétique des revétemens à ases inclinées et à dos inciné, proposés par quelques auteuts de fortification; par Mr. J.4cad. Fufs. Le 2o Juillet. Hawepmauie Hcmopiw Bcenennma omb me6bmims Ao npousxo- XAcHian XusomupXb; par Jr Yertoff. Le 28 Septembre Onstmb. o ycosepueuiu Eneweumogb Teowempin; par Mr. l'Adjomt Gourieff Ai Le 12 Octobre. Von den nüchsten und entfernten Be:tandtheilen der Pflanzen end Pflanzeu-Substanzen. Fortsetzung der dritten. Abthéilung. — Von den éligem Destandtheilen; par Mr. l Acad. Georgi. — .—. — Notice d'un Spath jaunüire doublant les objets, trouvé dans les fentes d'un rocher prés du village Sargouba, sur la rive du lac Youkscha, à vingt verstes de Petrosavodsk; gar S. E. Mr le Con- seiller. prioé de. Nartoff. | Le 5 Novembre. Beytrag zu richtiger Beortheilung der Eigenschaften und Whürkungen der Gewólber, wie auch zu adaequater — Benennung der "Theile derselben; par Mr Meerwein. LI nis HISTOIRE. Le 4 Décembre, Mirabilium Jalappatum hybridarum continuata descriptio par — .. Mr. le, Consei kr. Kolreuter, Le 14. Décem?re, | Occultation de e du capricorne, observée à l'obsetvatoire de l'Académie le 7 Aoüt 1797; per Mr. l'Acad. Henry. « — o2. Essi sur |a détermination de la longueur du pendule simple, sous la latitude de St. Pétersbourg; par le méme. — .— .. Observation de la déclinaison de l'aiguille aimantée, faite à St. Pétersbourg ; par le "me. — — — Formule pour déterminer la hauteur vraye et lazimuth vrai d'un astre, au moyen de sa hauteur apparente et de son azimuth apparent, et réiproquement, dans lhypothése, que la terre est une ellipse de révolution; par le méme. — -— -— [uetegratio formulae pv2v-—nvgp-d npOdv(x —p(2—5N par Mr. l'Acad. Roumovski. 1798 Le 15 Janvier. Recherches sur les équations linéaires du troisiéme degré; par Mr. l'Acad. "Trembley. Le 19 Fécrier. Mémoire sur la crystallisation métallique de à platine , et sur celle d'une dissolution de ce métal dans une cau régale composée; par S. E. Mr. le Comte de. Moussin - Poucbkin. Le 12 Mars. Notice d'une crystallisation curieuse de l'Hématite compacte brun de Kamensk'; par Mr. l Acad. Severguine. ] Le 12 Avril, Sur les listes. des mariages, des naissances et des morts à St. Petersbourg. — Quatriéme mémoire; par Ar. l'Acad. Kraft. — — — Esai sur les nombres premiers; par le méme. Le 19 Avril, Observationes circa ellipsin quandam prorsus singularem; par Mr. Il Acad. Fufs. — -— — BDe Polygonis symmetrice -irmregularibus circulo simul inscriptis et Ccircumscriptis, par le meme. Le 26 Avril. Von den nüchsten und entfernten chemischen Bestandtheilen des Pfapzenreichs, Dritte Abtheilung. Von den Pfanzen- S&uren und. sauren Salzen; par Mr [A4cad. Georgi. Lz HISTOIRE. 5$ Le 26 Avril. Notice d'une pierre: calcaire phosphorique des: environs de. la Forteresse Sanarskaya; par Mr. lAcad. Severguine. Le 30 Avril. Bericht über den Gang der Witterung, desselben Resultate, und. die physischen « und .medicinischen daraus entstandenen Vorfálle im Gouvernement, Wologda insbesondre; par ZMr. le Conseiller de Cour : et. Correspondant. Fries. Le 7 Mai. Obseryation sur une discussion relative. à la Théorie de la résis- tance des milieux; par Mr. "rembley. Le 24 Mai. lntegratio formulae differentialis exponentialis; par Mr. le Chev, de Mélanderbielm. Le 24 ái. Déscription de la celébre mine de Ziméof aux monts d'Altai en XN Sibirie s far Mr. Acad. Hermann, / Ke 4 Xuin, Sad Varmen. "Til Videnskabs Akademiet i Petersborg; par Mr. Foster. Le 28 Juin. De innumeris curvis algebraicis, quarum longitudinem per arcus chyperbolicos metiri licet; par Mr. lAcad. Fus Le 13 .Aoüt, Essai sur les équations. Premier mémoire, Sur l'élimination; par Mr..le Comte. de "Tredern. — -— .— Sur: le caractére .d'Alexandre le. Grand;. par 7Mr. Gádike. c —- -—. De -transitá Mercurii per: Solem 17995 par Mr. I Académicien -Roumoxski, JLe 24 Septembre. De methodo universali integrandi; par Mr. le Docteur AMurrbard. — -— -— Remarques sur l'élimination des inconnues de quelques équations singuliéres; par le méme. s — -— — .nvestigatio formularum localium potentiarum serierum sinuum co- sinuum zliarumque functionum .trigonometricarum, atque reductio hujus problematis ad problema universale productorum; par le méme. — -— — Solutio quorundam problematum ad ip integralem pertinen« üÜum p«r le mime. Le 27 ON Observations des eclipses des Satellites de Jupiter, faites à Mitau; par Mr. le Prof. Beitler, - Histoire de 1797. €t 1798. d Le 26 HISTOIRE. Ee 8 Ochobre Essai historique sur les relitions du commetce entre la Russie et l'Inde; far. Z£Mr.. l'Assesseur: Storcb. Ee 8 Octobre. Recherche. de l'équation de condition entre les coéfficiens: de: plusieurs équations du premier degré, par Mr. le Comte de T redern, Le 15 Octobre, Mathematische, physische, oeconomische und medicinische Re- sultate,. gezogen aus mehreren Sammlungen und Beobachtungen - über die physische "Topographie des Gouvernements Wologda; par Mr. le Cons, de Cour: Fries; — -— -— Berechnungen und Resultate. der Witterungs - Beobachtungen in: Wologda, vom Metbst - Aequinoctium. 1797 bis zu dem von 17985: par le meme, Le 25 Octobre. De. evolutione sectionum cylindri; par Mr. l'Acad. Sebubert. Le s Novembre. Observations sur quelques objets d'Analyse dont lusage peut etre utile dans diverses circonstances;. par AMr.le Comte de 'Lredern. Le 26 Novembre. Wixtrait des observations météorologiques , faites à Moscou: en 1797; par Mr. Stritter.. . Ee 29. Novembre. Solution de. quelques: problémes remarquables de l'Analyse: indéterminée; par. Mr. lé Cóns. de Cour. Kausler. Le xo Décembre. Mirabil.. Jalapparum. hybridarum ulterius. continuata descrip tio; par Mr, le Cons. Kolreuter.. Mémoires lus dans les Séances académiques. Lectures en i797. Be: 2. Janvier. Mt. V Adjoint. Gourieff: Onsunb o nocmanosaenin MameMamHKW, Ha BDIBepABIXb. ocHORAHÍAXD.. Le 26 JXumvie. Mr. l'Académicien Euler: Extrait des observations météorologiques, faites à St. Petersbourg em 1796;, » : Le Le Le L: Le Le Le HISTOINE ' 25 » Mars. Mr. l'Académicien. Ronmovski: Determinatio differentiae meridianorum Petropolis, Gothae et Lilienthal, ex occultatione binarum stellarum 4 tauti a luna. 16 Mars. Mr, l'Académicien Lepecbin : Senecionis nova Species. : 23 Mars. Mr. l'Académicien Kraft : Sar les plus grandes portées des piéces d'Artillerie, eu égard à la ré- sistance de l'ir. 4 JMai. Mr. l'Académicien Fufs 2? Recherches sur quelques cas d'équilibre, dans les fils parfaitement fle- "xubles, 18 JMai. Mr. lAcadémicien Herman : Mémoire sur l'exploitation des mines de VEinpite de Russie. 1 Juin, Mt. lAcadémicien Severguine : ]Iepssi3s ocHosania Muuepa»o:ig., $ Juin. Mr. l'Académicien Lowitz : Methodus nova potassinum carbonicum plene saturatum oobtinendi. 12 Duim. Mx. l'Académicien Hermann : Beschreibung der Sibirischen Berg- und Hüttenwerke und der dasclbsé üblichen Schmelzprocesse, 15 Juin. . Mr. l'Académicien Henry : 1) Resultats des calculs de la conjonction de Saturne et de la lune, deduite de loccultation de you par la lune, observée le » Avril 1797. 2) De la réduction du vrai lieu d'un astre à soa lieu apparent, ou formules des parallaxes, 25 Juin: Mr. le Professeur. Zakbaroff: Sur la maniere la plus facile et la plus promte :de préparer l'acide ui- treux le plas pur et le plus fort. - Le 26 JXuiw. Mr. lAcadémicien Hermann. Mineralogische Reisen. IVte Abtheilung 2ter Abschnitt, welcher die Beschreibung der Eisenbergwerke enthilt. d 2 PE 28 HISTOIRE Le 6 Juillet. Mr. le Comte de Mousin - Peuchkin 5i Sur une nouvelle méthode de 'ccystalliser les régules-d'or et. d'argent. — — — Mr ] Acadéficien Severguime: | $ La contiauat:on de sa Minuéralogie. Le 17 Aofit. M:. l'Adjoint Gozrieff : Mémoire sur les principaux problé mes qu'on peut proposer sur de courbes dont les ordonnées partent d'un: point E Le 24 Aoí:. Mr lAcadémicien Euler: I Extnait des observations météorologiques, fiites 2 Moscos en 1793 — à 1796, par Mr. Stitter. Le 51 Aot. Mr lAcadémicien Roumoviki: T'entamen. investigandi: parallaxin. Lunae. ex. eclipsi Sis quae conti git anno 1793. Le 21 Septembre, Mr. lV'Académicien Lepecbin : Observations botaniques sur l'usage. du, N.rprun , Khamnus catharcticus Linn. ; ; Le 28 Septembre. Mr. V Académicien Kraft : 1) Etat rédigé des tables de population de la ville de St. Pétersbourg, pour la période depuis 1791 jusqu'à l'avénement au Thióne de S. M, l'Empéreur Paul £. 2) Bemerkung eiies allgemeinen Gesetzes der Primzahlen. Le 5 Oros Me 1 Academicicu Ozeretskovski : Obiervationes de Salmone salare Oceani. septentrionalis, Le 26 Ottobre... Mc. lVAcadémicien Fufs 1 ; De motu bacili super plano inclinato , cui insistit, descendentis. Le 2 Novwcmhre. Mr. V Académicien Scebubert ; - | "Trigonom:tiia sphaerica e. Ptolemaeo, — - — Mr lAcadémicien Henry : Sur un phénoméae d'Optique observé par Mr. Beider à Mitau ^ Le 9 Novembre. Mr. l'Académicien Hermazn : Déscption de la Topaze de Sibérie, L« HISTOIRE 29 Le 16 Novembre. Mr. l'Acadévicien: Severguine : .. ^, La continuation de sa' Minéralogie. Le 25. Novembre. |. M; l'Académicien Lowitz; : Notice: sur. la: crystallisation. de 91. espéces: de: sels tant. simples que com- posés, j Lectures em r798. Le ir Janvier. Mr. le Professeur Zakbaroff : i 'O cocmash 8 Av cKk*n3b ce6a Herlpolyckarornteub, Le 29: Xanoier... Mr. l'Adjoint Gosrieff: Mémoire sur la plus: rigoureuse: démonstration d'un: théor&áme: fondamen- tal des. équations: de condition: dz. la: différentielle. exacte; ct du calcul des variations.. Ee 15. Fecrier; Mr. l'Académicien: Euler : Histoire: de. l'Académie: Lmpériale: des Sciences; de St. Péteisbourg. Anne: 1793. Le 26 Fezrier; . Mr. l'Académicien: Tr. Auzeige. Bnet nec en Medhode die Salze: zu untetsuclien: Le 1z Mars... Mr. l'Académicienm Severguine: . Notice d'une crystallisation curieuse de. Hématite: compacte brun de Kamensk. Le 15 Mars. Mr. lAcadémiciem L pecbin :- 'Typha Laxmamii descripta: Le 1» Aor Mr lAcadémicien: Krafft z Sur les: listes des: mariages j. des | naissances et des morts à St. Péters- | bourg. ^ Qui.tcéàme: mémoire; Le 19/ Aoril:.. Mr. l'A- adémiciim Ozcretskosski :'- De lacte vaccino «t caprino: Le 26 Avril. Mr lA adémicien Severguine: Notice sur une;pierre calcaire pho:phorique: des environs de la fortresse Sanarskaya et de. Catherincbourg. Lc 39 ^ ; HISTOIRE: Le 3 Mai, Mr. l'Académicien Fufs : De resolutione formulae fx ^—19x (^--x 4,)^ in seriem semper conver. gentem , ubi simul serierum quarundam summatio directa traditur. Le 14. £Mai. Mr. lAÀcadémicien Loavirz : Exposé des expériences chymiques faites sur le Spath de plomb rouge. Le 24 Mai, Mr lAcadémicien Schubert : Problemata ex doctrina sphaerica. Le 51 Mai. Mr. l'Académicien Herman : Déscription de la cél&bre miniére d'argent de Ziméof aux mont: d'Altat, Le 7 Suin. Mr. l'Académicien Severguine : Observationes quaedam circa lapides calcareos. Le 14 Xuim. Mr. l'Académicien Loartz : Methodi novae acidum tartaricum omne e tartaro crudo perfecte extri- — . candi expositio. .Le 21 uin. Mr. l'Académicien Henry : 1) Observations de quelques étoiles qui culminent à peu de distance du zénith, pour setvir à vérifier la hauteur du pole de l'Observatoire de l'Académie Impériale des Sciences. 2) Observations de Venus , faites à l'Observatoire de l'Académie Impé- riale des Sciences ,— vers le tems de la plus grande digression occi- dentale de cette planéte, Le s Juillet. Mr, Y'Académicien Gourieff : M3caabosauie o MbpÉ cmAb yc&openHHbIXDb. Xe 6 Septembre. Mr. l'Adjoint Busse : Notitiae praeviae rerum , quas Numophylacium academicum aut in Si- biria, aut ad Volgam., aut in Russia nova subter térra inventas as. servat. ALe 13 Septembre. Mr. l'Académicien Euler : Ioxtrait des observations météorologiques, faites à St, Pétersbourg. An- née 1797. j Le Le Le Le "2 LJ [D] 25 HISTOIRE. | gr. Septembre, Mr. l'Académicien. Roumovvski :: De transita Mercurii. per Solem anno 1799. die 26 Aprilis Petropoli expectando. Octobre. Mr, l'Académicien Lepecbin: Alca Kamtschatica, . Octobre. Mr. l'Académicien. Krafft : Zusatz zu meiner letzten Abhandlung über die Bestimmung der geo- graphischen Lünge zur See , aus beobachteten Monds - Distanzen.. Octobre. Mr: l'Académicien Oxeretskovski : De ovo perforato. 1$ Novembre. Mr. l'Académicien Fufs.: mn 20 | Novenbre, Mr. YAcadémicien Herzann: Summatio plurium serierum ex simbus ct cosinibus angulorum. arithme-- tice progredientium formatarum. Novembre, Mr. YAcadémicien Scbubert; - De evolutione- sectionum cylindri. Expériences sur l'acier damascé. Décembre... Mr, Y Académicien Severguine :- Histoire naturelle des Géodes.. VIE. Observations ,, expériences, et notices intéressantes; faites et communiquées. à l'Académie. L Amalgamation du platine et dépuratiom du phosplhote. "Le r$ Mars r797 S. E. Mr. le Comte: de. Moussin - Pouchkim, Vice Président du Collége des Mines, communi- i ) , E ! : Be ap. qua. à. l'Académie deux. découvertes chymiques. quil avoit fai- $2 HISTOIR E. faites depuis peu, la premiere d'une. amalgamation par. faite du plati.e, opérée au moyen de la précipitation de sa solation dans de l'eau regale ; lautre: d'une méthode de raffiner ou. de .dépurer le poosphore et de. ]le rendre parfaitement transparent et blanc. La notice dé!aillée de S. E. se trouve dans la parüe historique .du "Tome X, des Nova Acta. IL Décomposition de l'acide carbonique par la voye humide. Le 2o Mars 1797 le méme Seigneur communiqua à lAcadémie la notice d'une .nouvelle expérience sur la de- composition .de l'acide carbonique par la voye humide, Mr, le Comte, en -/faisant .bouillir une solution .de carbonate d'alcali végétal, sursaturé d'acide d'apres la méthode de Mr. Lowitz, sur.du phosphore .dépuré .d'aprés sa propre méthode, en.a obtenu nun:charbon tüxés.ostensible. L'ex- périence .fut repétée.en plai»e séance ;par Mr. l'Academi- cien Loiwitz ,.et réussit parfaitement. li, Production de*cinabre parla -voye h.un:má d.e. Le 5 Juin 1797. Mr. l'Apothicaire Kirchhoff, Suc- cesseur de Mr. Lowitz au Laboratoire du Collége de Méde- cine, fit communiquer.à lAcadémie, par Mr. .Lowitz, une nouvelle découverte .qu'il.a faite, en produisant, par la voye humide, en tiés peu de tems, du .cinabre d'une trés -belle couleur. "Voici lé procédé: On fait cuire 500 grains de Mercure, 50 grains de fleurs .de soufre et 40 à.6o grains d'aleali végétal, le tout bien broyé, dans une tasse de : ; por- / HISTOIRE. 33 porcelaine , avec taut d'eau que la masse en prenne la 'cousistance d'un syrop, en réparant la perte de l'eau qui .S'évapore, par d'autre qu 'on y verse de tems en tems. Des que le mercure est entierement amorti, on presse la masse iugi. est aprésent noire et d'une plus grande consistance, contre le fond du vase, et on fait évaporer tout ce qui y est resté d'humidité. La masse ayant obtenu sur toute sa surface une couleur de brique, on y verse, petit - à - petit, autant d'eau qu'il en faut pour lui donner derechef la consistance dun syrop, et'on la fait cuire de nouveau, jasqu'à ce que la beauté de la couleur n'augmente plus, aprés quoi on édulcore avec de l'eau chaude le cinabre engend;é. .— Mr. l'Académicien | Lojvifz ayant: repété lui- màme le procédé de Mr. Kirchhoff, il ne doute pas que sa mé- thode ne soit applicable en grand, et il s'en promet des avantages considérables dans la pharmacie. IV. Phénoméne d'Optique remarquable. Le 7 Septembre 1797 Mr. le Professeur Zeitler à "Mitau communiqua à l'Académie un phénoméne singulier. Dans la nuit du 25 au 25 Aoüt il avoit observé l'immer- sion da second satellite de Jupiter. | Avant l'observation il voulut essayer un diaphragme posé sur son objectiv. Contemplant la planéte de l'oeil droit obliquement vers le bord gauche du champ apparent de sa lunette, il ouvrit. par hazard l'oeil gauche et vit tout- de-suite trés distinc- tement la planéte comme picjettée sur le parois blanchi de la chambre qui étoit vis-à- vis de lui et fortement Histoire de 1797 ct 1798. e éclairé 24 ; HISTOIRE. éclairé par une bougie allumée, placée derriére l'observa- teur. Mr. Beitler pense qu'une telle apparition, facile a produire toutes les fois qu'on le voudra, pourroit servir à déterminer le diamétre apparent d'une plancte, au moyen de langle optique connu, avec la distance de l'oeil à limage projetiée. V. Crystallisation métallique du platine: Le 19 Février 1798 S. E. Mr. le Comte de Moussin- Pouchkin. communiqua à l'Académie la notice d'une nou- velle crystallisanon métallique du platine et d'un sel tiré d'une dissolution de ce métal dans une eau régale compo- see. Cette notice contenoit ce qui suil: pjai Fhonneur de mettre sous les yeux de l'Académie un ,,D0uveau sel de Platine, ainsi qu'ane crystallisation ,Uctallique de ce métal si intéressant et si peu connu encore relativement à ses propriétés chymiques. Occupeé ,uüepuis quelques mois, dans les momens ot mes devoirs e le permettent, d'um travail assez étendu sur «e corps métallique: j'espere dans peu donner un premier ,émoire, qui rendra compte d'une partie de mes ex- ^,pénences, et qui traitera amplement de ces deux . » nouveaux produits. Je me bornerai aujourd'hui, en tra- Q€ant le détail de leur production, de réclamer un in- - . «Stant l'attention de l'Académie sur quelques uns de ,,leurs caractcres, La HISTOIRE, | 55 »" La crystallisation. métallique de la platine a été obte- nue, en traitant, devant un souflet de forge, le vitriol » He platine par le muriate de soude ou sel culinaire, "Cette expérience; qui est tres delicate, ne m'a réussi ,encore qu'une seule fois. 1l faut que la matiére n'éprouve qu an feu suffisant, pour que la platine reduite forme une pellicule Wnilorme- et trés brillante dans le milieu ,da creuset. Si le feu est plus fort, le métal se ras- semble en dendrites au fond du creuset, et la crystalli- »salion est manquée. Un feu trop foible, au contzaire, ,ne réduirok pas complettement la platine, et ne suf- ,l1roit pas non plus à la décomposition des deux sels. Ces crystaux, qui sont déjà trés ostensibles à l'oeil nud, s ebd vus par l'oeil armé de la maniere la plus distincte, ,€t forment des prismes rhomboidaux, ainsi que des » tablettes égilement rhomboidales, qui, étant coupées- ,4 une de leurs extrémités, ou bn à toutes les deux, deviennent aussi,quelques'fois des tablettes pentae- »dres iriéguliéres, ou. des hexaédres ties réguliers, Les » prismes Sont souvent réunis à leur bases et au pre- mier coup-d'oeil égalent en beauté. les crystallisations les plus délicates de l'antimoine aiguilleuse. Tous ,€€s crystaux tapissent en quantité innombrable la sur- »face intérieure de la pellicule de platine qui paroit ,,Ueés pure et trés malléàble, quoique traitée au chalu- : ,meau l $ed * La crystallisation de platine obtenue par Mr. le Comte de Bufon; ainsi que celle dont Morveau | donne la,figure dans le XIIf. Volume du Jovrnal de Rozier, sont tiés différentes de la mienne. étant. toutes les deux le produit dé la fusion, tandis que la mienne est incontestablemcnt ;pro- duite par la sublimation, L2 56 HIR OSEE, ,meau sur les parois d'un creuset, il semble se former autour d'elle une zone saline tiés legére, qui n'est »dué probablement qu'à une petite quantité de sel »culinaire mécaniquement attaché. à la surface de la »pellicule de platine. La rupture de cette pellicule a »ployé plusieurs des crystaux, comme on le voit fort |, ,,bien au, microscope, ce qui ne seroit pas arrivé, si ces .C€rystaux n'étoient pas malléables. ll est assez difficile ,»d'expliquer cette crystallisation, qui est évidemment ,.Jle produit de la sublimation, quand il s'agit d'un ,métal aussi 1éfractaire et aussi fixe que la platine. ,,9i l'on fait dissoudre une partie de platine dans une eau ,1égale, composée de quatre parties de sel marin, de ,Cinq parties d'acide nitreux et de trois paries d'eau; »Qque cette dissolution se fasse dans une cornue munie »dun iécipient, à l'aide d'un bon bain de sable, et .qQqu'n laisse refroidir lentement la cornue, lorsque rois ou quatre parties da fluide ont passé dans le »Técipient, on trouve en décantant la dissolution, le sel »que j'ai l'honneur de préseuter à l'inspection de l'Aca- ,démie. Selon la quantité de platine empioyée , les ,Crystaux prismatiques ont d'un demi pouce à plus. de v qualse pouces de longueur. Leur largeur et leur épais- Seur varient également; les plus forts ont au delà de deux lignes et demie de largeur, leur épaisseur est moindre. II sont du plus beau nacarat, et quelques »fois ont la couleur du Schórl rouge d'Hongrie. Les ,€rystaux trés minces tirent sur le jaune ; leur figure, qui D T rarement réguliére , est le prisme tétraedre à an- »gles droits; /les deux extrémités acérées par une py- »iamide: "VOGdES TOIEBMBE | 57 »ramide également tétraédre et tronquée à son somret. ,Ces crystaux sont composés de feuillets extrémcment inm nces appliqués les uns sur les autres. Ces feuiliets J1Íorment quelques fois des lames héxaédres, implantées ,de maniére à ne laisser appercevoir que quatre cótés; ,Jlunion de deux de ces lames, réunies à leurs Datew. , divergentes à leurs sommets, et'se trouvant dans le méme »plan, forment aussi, soit des crystaüx ailés ressem- ,blant assez aux semences d'Erable, ou des triangles »isoscéles, implantés par leurs sommets, et dont les deux 5,angles supérieurs, étant coupes en sens contraire, en »font des pentagones imeguliers. Un caractere essentiel ,»de ce nouveau sel est son extréme solubilité, ce qui le distingue éminemment de tous les sels de platine ,]usqu'ici connus. Deux parties et 2 d'eau froide suffisent pour en dissoudre une de ce scl; l'eau bouillante le dissoüt dans la proportion de un et 1 à un ^. Tl ,Se distingue encore po son goüt qui n'est qu'à peine » métallique, et paroit étre presque dégagé de fer. Des ,e€xpériences décisives de Monsieur de | Lowiíz le ,HMettent au rang des sels triples, et ses parties consti- ,1uantes sont: lacide marin, le Natron ou Soude et la »platine. €C€e qui le rend d'autent plus intéressant c'est »que la faculté de précipiter la platine. de ses disso- blu Góbs a cté refasée par lillustre Bergmann à l'alcali ,TRinéral; et quoique des Chymistes modernes ayent con- »staté * Ce sel contient à peu prés vingt et une parties. et six-dixiémes de pla- tine réduite sur cent parties de sel, qui n'est pas encore privé ge son eau de crystallisation, 38 HISTOIRE. ,Staté la précipitation, ce n'a jamais été comme sel »triple, ainsi que les precipités par le kali et par ,,lammoniaque. Le Comte 4ipollos. Mouesin - Poushkin; Les échantillons qui accompagnérent cette notice fürent trouvés tiés beaux et supérieurs par leur régularité aux cryslallisations obtenues autrefois par Mr. le Cemte de Buffon et Mr. de Morveau. Mr. l'Académicien Lowitz ex- posa à cette occasion un reguled'Antimoine crystallizé trés beau et ires bien prononce. VI Crystallisation curieuse de l'Hématite com- pacte brun de Kamensk. Le 12 Mars 1798 Mr. l'Académicien Serverguine pré- senta et lat à l'Académie la notice suivante: »Jai l'honneur d'annoncer à l'Académie des Sciences une »Crystallisation curieuse de l'Hématite compacte brun »de Kamensk, que j'ai observée nouvellement, en. fai- »Sant la déscription de quelques mineraux de Siberie. ,Cette mine de fer est de la méme nature avec celle qui a é!é nommée Ferrum ochracewn brunum densum »par. Mr. /ZZiedenmann et Karsten. Mais ces deux célé- ,; Dres Mineralogistes , qui ont décrit avec tant de saga- »Cité les différentes figures. de cette nine, quant à la ,Crystallisation, ne font mention que du Cube T »rhom * V. $'arften, SBefdireibung pea feffifipen Stineraltenzstabinete, Part. IT. pag. 62 HISTOIRE. $9. ,1rhombe,* ainsi que Mr. Macquart ne fait mention que »de la forme stalactitique de cette mine " La mienne Ea la figure de la pyramide triédre allongée, qui a en- ,core ceci de remarquable, qu'elle est creuse en dedans, ,ou remplie d'ochre ferrugineuse jaune. La masse .en- »tiere est un hématite strié et en partie réniforme, , plein de cavités et ochreux, contenant par-ci par- là ,les crystaux mentionnés qui. étant brisés, ou dégag£s, laissent des petites cavités creuses, et font que cette mine semble étre cellüleuse, avec des cellules trian- »gulaires, dans les endroits oü. ces pyramides ont été détachées ou rompués — Je me rappelle d'avoir vü une »crystallisation semb/able de la pierre de corne [Horn- » stein] brune; mais comme la mienne ne donne pas méme .- des érincellós au briquet, elle en est tout-à- fait. différente ; ainsi elle ne peut. pas méme étre »comptée . au nambre des spaths calcaires ferrugineux ,de la meme figure, parcequ'elle ne fait aucune effer- ,» Vescence avec les acides, et ne participe gueres de la ,nature calcaire, 1l semble que cette crystallisation a »remplacé- la forme stalactitique que cette mine ten- ,doit à prendre primitivement, Au reste j'aurai l'hon- ue de présenter une autre fois mes idées sur ces ,S0rtes de crystallisations. l'Académicien Severeuine. * OBieoemann, *banbbud) beg erpffognoftifden Sbeifa ber SW'ineralegie, E Essays ou recueil de mémoires sur plusieurs points de Minéralogie, Pars 1389. . VIE. " HISTOIRE. VIL Pierre calcaire: phosphorique des environs de Sanara et de Catherinebourg. Le 26 Avrl :798 Mr. l'Académicien Serverguine anonca à lAcadémie la découverte qu'il avoit faite nol. lement d'une substance trés remarquable , * par une notice qui contenoit ce qui suit: »ll yadejà longtems, et plus de trois ans, que j'ai obtenu ,quelques échantillons de pierres calcaires , l'une des ,enviros de Sanara, l'autre de Catherinebourg. Comme elles faisoient effervescence avec les acides, et qu'elles avolent l'air grenu et un peu spathique à » particules luisantes, Qu à une couleur blanche, je les ,,avois mis alors parmi les maibres salins, Marmo Sálino des »ltaliens, Cialinifdjer 9Rarmor. Mais aprés avoir reduit en »poudre un petit morceau d'un de ces échantillons, pour £n faire quelques épreuves au feu, et en avoir mis sur des charbons ardens, il x pétilloit à la maniére des »spaths, et produisoit tantót une lueur verte phospho- ,1ique, tout-à-fait comme 1e Chlorophane. que Tab y6- ,1irouvé parmis les minéraux Russes, d'apres 1a déscrip- » tion que le célébre M. de Crell en a faite, et sur: le- »quel jai eu lhonneur- de présenter une dissertation »particuliere. Cette pierre a par-ci par-là des tüches rondes bleues, qui proviennent du bleu de cuivre ; »mais ce sont les parties de la pierre les plus grenues »€t blanches qui produisent cet effet phosphorique le »pliüs fortement. Comme le Phosphate calcaire naturel »que M. Proust a découvert en Estremadure en Espagne, ,à les mémes propriétés, de produire une lueur phos- , pho co^ VBRIrsTOMEE 41 » phorique. vexte dans la chaleur, il faut présumer que »Cette pierre calcaire de Sanara et de Catherinebourg »contient pareillement de l'acide phosphorique en com- »binaison, mais desorte que le phosphate calcaire est ,,mélé mécaniquement avec le carbonate calcaire, qui est ,,cause que cette pierre fait effervescence avec les acides. ,1l seroit à désirer que les Minéralogistes retouchassent plusieurs de ces marbres que lon nomme salins ou »grenus, pour faire les mémes expériences. Et si ,0n parvient à trouver que ceux des autres contrées contiennent pareillement des particules du phosphate »calcaire naturel, l'idée de l'ancienneté de leur forma- , lion perdra beaucoup de son poids. — »Jaurai l'honneur de piésenter une dissertation particu- ,liere sur cette substance, quand le tour de lire sera à ,, moi, : ll faut cependant que jajoute que la pierre 25 calcaire grenue phosphorique se distingue du marbre »Salin des autres contrées que j'avois pris pour les mé-. , mes expériences, et qui n'avoit pas la propriété phos- - »phorique comme celle de Sanara, parcequ'elle est ,moins,dure et qu'elle ressemble plutót à un grés as- » S€z mou et cassant. ur D. Severguine. VII. Crystallisation métallique du cuivre. ^ Le 3 Mai x798 S. E. Mr. le Comte de Moussin - Pouchkin annonga à l'Académie, par une leitre adres:ée à Mr. l'Académicien Lowitz, une nouvelle crystallisation mé- kiüutoire de 1797 et 1798. MO í tal- 43 ONXUISSDODNBUE tallique. qui lai a réussi par la voye séche , et nommé- ment celle du'cuivre, dont. Mr. le Comte envoya en méme tems un échantillon qui, vu par le microscope, . préseate le mét tal sous la forme de crystaux plumeux, formant pour la plüpart des faisceaux. étoiles et luisans.. 1X. Découverte du (bello disi un fossile de la Sibérie. Le r4 Mai Mr. l'Académicien Lowitz lut un exposé des expériences chymiques qu'il a faites. sur le spath de plomb rouge. Ces expériences vérifient non. seulement lexistence d'an nouveau demi- métal que .Mr.. 'auquelin y a-découvert, il y a quelque tems, et quil a nommé Chro- mium; mais elles ont fourni à Mr. Lowiiz loccasion de dé- couvrir ce méme demi-méial dans un autre fossile nouvel-- lément trouvé sur les bords dela tiviere Viasga en Sibérie, qui lui avoit été donné par S. E Mr. le Comte de Mous- sin- Pouchkin. Ce fossile est trés dar, d'un noir éclatant, et traversé , en diverses directiods, de veines trés - fines d'une espéce de Stéatite, Mr Lowitz fil voir en méme tems quelques. solutions et précipitations, de ce nonveau denii - métal. | X. Crystallisations métalliques obtenues du phosphate de cuivre. Le 2» Juillet 1798 S. E. Mr. le Comte de Moussin- Pouchkin envoya, pour étre présentées à l'Académie deux nouvelles. crystallisations métalliques, obtenues par la voye séche., du.phosphate de cuivre. La pr miere, en tablet- tes ,' est. un .produit du carbonate de cuivre saturé d'acide i | phos- HISTOJIRE. nm phorique et tenu en fusion: pendant T minutes de tems: elle n'est crystallisée qu'à la surface de sa couche supé- rieure qui est verte. L'aatre a été obtenue pareillement ar la fusion d'une portion de phosphate de cuivre, devant un fea de forge continué pendant une demi-heure. Les crystaux, qui ressemblent à une véritable minéralisation, sont en aiguilles , ou prismatiques , transpareos dans cer- taines directions et assez semblables au cuivre rouge vi- treux de Sibérie. — XL Méthode trés simple d'obtenir l'huile d'oeuf. Le 9 Juillet Mr. Zllegretti, Chirurgien Major et In- specteur de la maison d'inoculation à lshoras, communiqua à l'Académie, une méthode trés-simple d'obtenir l'haile des oeufs, sans l'emploi du feu et en moins d'une demi. héure. Cette méthode consiste 1^) à bien: broyer ensemble trois onzes d'Alcohol avec le jaune de douze oeufs frais; 2^) de mettre le mélange dans une cornue propre à conte- nir quatre livres de fluide; 3^) à le délayer, tout en le rémuant fortement ,' de tant d'eau que la cornue en soit remplie jusqu'au. col.: Aprés un quart d'heure, ou une de- mi-heure tout au plus, l'huile surnage au mélange. Mr. l'Académicien Lowitz, en suivant exactement ce procédé proposé par Mr. Zlegretti, a obtenu en moins d'une demi. heure cinq dragmes d'huile de cing oeufs frais. Chatidelier a fait des. expériences. sur Ja séparation de l'huile d'oeuf, mais il lui a-falu iuit à neuf jours pour son opération, et il employe l'alun, dont l'addition pourroit bien n'étie Pus tout- à -fait innocente, fo NE 4 4. HISTOIRE. XII. D oembisimens de terre, Le 20 Aoüt r798 le College des mines communi- qua à l'Académie le rapport du Chef de la Régence des Mines de Cathérinenbourg, qui fait mention d'un tremble- ment de terre, précédé d'un bruit soütenain, q.i s'est fait. sentir plus ou moins fortement, et avec des sécousses plus ou.moius repétées, dans ure grande étendue de pays, savoir depuis Peim, dans la direction du Sud- Oucst au Nord-Est jusqu'à une distance de 500 Verstes en longueur, au-de-là des monts d'Oural, sur une lrgeur de 150 Ver- stes, à compter de CatLérinebourg du Sud- E:t au. Nord- Ouest. On ajoute que ce tremblement de terre , qui daris les endroits, oü il s'est manilesté avec le p'us de force, n'a causé d'autres dommages que d« casser des vitres et renverser des tuyaux de chéminée , est remarquable uniquement à cause de la rareté de ce phenomóéne dans ces contrtes, vü que dans l'espace de soixante auis il n'y a point été ob- se1vé, XII. Titanium trouvé dans un minerai des ( monts d' Oural en Sibérie. Le 15 Octobre 1798 Mr. l'Académicien Lowitz ex- posa deux écbantillons d'une mine du nouveau métal noin- i6 Titanium, que Mr. le Professeur Klaproth à Berlin a découvert , d';boid dans le Schórl rouge d'Hongiie. et en- suite dans plusieurs autres fossiles d'Espagne, de France et d'Angleterre, Mr. Lowitz ayant analyse quelques mor- ceaux d'un nouveau nminérai exploité aux monts Our.ls en Sibéiie, il a trouvé quil contient sur cent paities 53 par- du | HISTOIRE. 45 parties de Titanium et 47 parties de fer, sa pesanteur spé- cifique etant. 4,6752. XiV. Crystallisation de l'acide phosphorique parfaitement dépureé. Le 29 Octobre x795 Mr l'Académicien Lowitz rap- porta à la Conférence a:ademique qu'il a réusi enfin, apres plusieurs tentatives, à crystalliser l'acide phospho:i- que parfaitement dépuié, ce que jssqu'ici les Chymis es avolent cru étre im ossible. Pour effoctaer cette crystalli- saiion, on n'a qu'à faire évaporer doucement cet acide j'is- qu'à li consis ence d'un Syrop, et le laisser se reposer en- suite tranquillement dans le [froid pendunt quel4ues se- njaines. XV. Détonnation des nitrates mélés de. phosphore.. . Le $3 Novemb:ie 1798 S..E. Mr. le Comte de Mous- sin- Pouchhin fit, en piéseuce: de: plusieurs Académiens, queljues expérieoces trés-intéressantes sur la; propiiéte re- maiqaable découveite: par: Mr. Biugnatelli,, dans: differens nitrates, qui détonnent avec; éclat,, lorsque: melés. avec un peu de phosphore, on.les: met: sur. une. enclame . et qu'on y donne un coup. de: m:ricau.. Mr..le- Comte: s'attacha principalement aux: expériences: faiies; avec. les: nitrates d' ammoniaque , d'argent. et. de mercure, | es deux. derniers. sels métalliques , suriout le nitrate de: mercure» quoiqu on n'en prit pour chaque expérience qu'un:dragme: avec 4 à 6 grains de phospaore, produisireut: des. explofions. sembla- bles 46. HITSOIRE. ' bles à un coup de füsil. «11 étoit remarquable que le ni- trate d'ammoniaque tout ven sans y mcler du phosphore; produisoit le méme "ct seulement tant - soit - Vase p foible, [ VII Rapports présentés à l'Académie par des Académiciens chargés de commissions particuliéres. L "Sur une cochenille indigéne. Le i9 Juin 1797 lAcadémie recut cinq livres de cochenille cueillie a omeinogorskaya , accompagnés d'une lettre ,' adressée à Mr. le Directeur, par S. E, Mr. le. Cor seiller privé et Chevalier Danaouroff qui, au nom du Ca- binet /mpérial, demanda que cette cochenille indigéne, en- voyée de Kolyvan, fut examinée à Académie. Mrs. les Académiciens Lowwitz et Zahharoff fürent chorges de cet examen. JD'apiés le. rapport du premier, là 1le-22 Juin, la cochenille de Sibérie, envoyée au Cabinet de Sa Ma- jeste, n'a pas été séchée d'une maniere convenable d'a- bord aprés la recolte ; elle a subi une espéce de fermenta- tion, comme le prouve l'odeur fétide. extrémement. désa- gréable qu'elle exhale. Dans cet état de corruption pres- que la moitié consiste en une expéce de graisse qui est cause que la décoction fort trouble. de cette cochenille ne se clarifie qu'aprés une. filtration extiémement longue et sou- vent repetée. La couleur de cette décoction est d'un brun tirant sur le jaune. Par une addition d'alun elle s'appro- che cependant de la:.couleur de la cochenille étrangere. Ouant HISTOLIREÉ ix Quant à 1a substance. Colorante; -elle:;est» dans: cette coche- Bille à celle .de la :cochenille | étrangéte comme. 1^à 25. . Lowitz a teint du drap et de la.soye avec de la co- E. étrangére et aussi avec celle. de Kolyv.n, moyen. nant,la solution d'étain , mais: la^ derniere- a donné cor- 'stamment; surtout ;au' drap, une. couleurotirant sar le-jaunc. De: tonat :cela 1l 1é:ulte que cette cochenille'; dans l'état de. cormption ou elle se trouve, ne peut étre d'aacun usage, et que; pour bien juger de la qualité de cette co- chenilles;indigéne , il. est; indispensable. dec s'en procurer une portion fraiche et séchée avec soin..: Le rapport de Mr. T'Académicien Zakharoff , lü le 26 Juin, contenoit à- peu- prés les menies résültats. "Le ro Juillet Mr. l'Acade- micien Lowitz exposa encore plusieurs échantillons de drap et d'autres étoffes teintes par différens procédés avec la co- chHenille de Kolyvan, en y employant l'alun, le tartre, la solution d'étain etc., tatit combinés ensemble que Separement. h II. .Sur quelques projets hydrauliques Le 15 Novembre r797.Mhs. les Académiciens JRou- | movski, Euler, Krafft , Fufs et Mr. l'Adjoint Gourieff, nom- més pour examiner diiférens projets. présentes à Sa Maje- SL Empéreur par un marchand de Novorossiiskaja (Kha- ihérinoslav , nommé Bykolff- Poznákolf, et sur lesquels le Souverain demandoit le jagement du Collége de l'Amirauté eL: celui, de: l'Académie des Sciences, domundbiqurént à la Conférence des; résultàts de leurs déliberations, tels qu'il les avoient pxésentés | au. dit: Gollege,. dans sa. séance du 3r Octobre , dii Nilaquelle ils. avoient été invités d'assister. (LEE 59 SNC . ' ] ] j HIT 3i es ES 48 HISTOIRE, Les projets quil s'étoit agi d'examiner furent au nombre de cinq, savoir : 1^) Un habillement complet de plongeur, avec une machine , pour faciliter la réspiration à plusieurs plongeurs à la fois et les mettre en état de travailler plusieurs heures de suite au fond de l'eau; 2^) une machine pour élever l'eaa à une hauteur de trois-cens ar- chines; $5*) un moyen de chasser les vers du port de Se. vistopol; 4^) un bassin pour y faire hyvernei les vaisseaux à sec, et un autre pour les réparer, sins avoir besoin de machines pour saigner le bassin; 5") un moyen de rendre le Dnepr navigable. Quant au premier projet le Comité observa dans son rapport que ni lhabillement des plongeurs, ni la ma- niére de leur faire parvenir de l'air frais, sont des idées absolument neuves. |l indiqua les ouvrages, ou l'on trouve la déscription de l'un et de l'autre. Le second projet est une application connüe de la pompe aspirante et foulante; mais le Comité fit voir, dans son rapport, qu'il s'en faut de beaucoup qu'une machine construite selon le plan de Mr. Bykoff puisse produire un effet aussi grand quil s'en promet; vu que Je calcul donne, méme sous les suppositions [es plus avantageuses, une hau- teur de cent pieds tout au plus, a laquelle l'eau pour- roit etre clevée. à Quant au troisiéme projet de chasser les vers du port de Sevastopol, en séparant l'eaü de la-baye, qui la recoit d'une petite riviere , 'de leau de la iér, par une muraille percée d'ouvertures, le rapport dit que, supposé que les vers nuisibles aux vaisseaux ne vivent que dans l'eau de HISTOIRE. 4p de mer, il faut de deux choses l'une: ou que cette' eau ne se méle: pas avec l'eau douce de la baye ; et dans ce cas les vaisseaux: sont dans le port méme à l'abi des vers, sans qu'ib soit besoin de construire une murailie ; ou bion l'eau de mer :e méle avec l'eau douce dela bayé et dans ce cas la muraille percée d'ouvertures. n'empechera as ce mélange et ne pourra pas garantir les vaisseaux coutre la /déstruction;; et que par. conséquent, ^ce projet, suppose qu'il fut praticable, ne seroit d'aucune utilité pour le: bat. propose. ! H5 "i Le quatrieme projet , quoique practicable envisagé sous un point de vué général, a paru au Comité d'üne exécution extrémement difficile et dispeudieu:se. Dl] laisse aux membres du Collóge à'décidér, sil seroit utile à la marine de la mer noire, ét si les avantages en vaudroient les fraix. Le cinquiéme projet, concernant les cataractes du Dnepr, n'étant pas accompagré de plans, ni développé d'une maniere assez claire, il a été impossible d'n porter un jugement solide. - TN Sur une trisection de l'angle et une quadra- urej/du cercle. Le 4 Décembre 17975 l'Ácademie avoit requ une lettre datée de Vieone et adressée à Mis. les Académiciens par le Rev. Jean Nicolas Aeray, Prétre. .séculier de la Diocése de Jauer et. Professeur au Gymnase Hoyal de Stri- gau, qul envoye et soümet aü jugeiment de l'Académie un kLiisteire de 1797 et 1798. PO CIE Ou- $o HISTOIRE. ouvrage intitalé: Zngulorum rectaeque lineae Trisectio et consectaria, circuli quadratio , utrumque. methodo. planissima detexit I. N. Revay, Hungarus Csanadiensis etc. Viennae 1797. Cette brochure fat. donnée à examiner à Mr. l'Académicien Fufs qvi, le x1 Décembre, en fit à la Conférence le rappoit suivant .: L'ouvrage: Jfngulorum rectaeque Limeae Trisectio et consecta; ia cuculi quadratio, envoyé à lAcadémie de la part de l'auteur, M. Nicolas Révay , Professeur à Gran en Hongrie, a pour objet de résoudie par la Géométiie élé- mentaire, ou de construire géométriquement, les problé- mes sulvans:. 1*) Tiiséquer un angle droit ; 27) Triséquer un angle obtus ; 5) Triséquer une ligne droite ; 4) Triséquer un angle de 6o degiés ; 5.) Triséquer un angle aigu de plus de 6o. degrés; 6^) Triséquer un angle plus petit que 60^; 5') Construire un. Quarié égal à un cercle donnée ; $") Construire une ligne dioite égale à la demi - péri- phénrie d'un Cercle donné. De tous les problémes relatifs à ]a 'frisection il n'y a que ceux que chacun sait résoudre, savoir le 1" et 35, dont la constrüction soit vraye à'la rigueur et démontrée comme il faut. 'Toutes les autres constructions ne sónt que des approximations, qui ont d'autant moins de valeur quon a des constructions empiriques incomparablement plus : : gé- HISTOIR £. 5X générales et. plus approchantes. Pour ne donner que deux exemples de la justesse des solutions de- M. Aévay, le giebleme 44 , $..:.56 5 sone le tiers du milieu d'un angle de 690! — 1i9^44565 40^. et le.probléme 2?, $.:16 , donne le tiers odi milieu d'un angle de 120^ — 44^, 56'. Fautes grossicres et intolérables , méme dans une approximation. Le probléme 7^, pour la Quadrature du cercle, est résolu de deux manieres différentes... La 1'"* solation ($. 60.) donne la circonférence d'un cercle dont lunité est le dia- NEUE m3 -——y/»--24625-—wvs-54165:8,; la^ iino (3.-61,) donne 7.— 5.150535. De la x'* il suivroit que la circonférence d'un ceicle est plus petite que le pé- rimétre du XV gone inscrit. De la 2^ il suivroit que la cir- conlérence d'un cercle est plas grande que le contour du XXXVI gone circonscrit. Le probléme 8, pour la rectification. du ceicle est aussl résolu de deux manieres différentes. | La ri'* solution üeos).donme 7 — y 19 —.53.162935;. 8 2^ ($. 63.) donne rs D -y3) I 7r Zr Y3 TT 93 547. Il.ne peut pas étre question de démontrer des con- structions. qui donnent de pareils résultats. | Cependant chacune de ces constructions est suivie d'un raisonnement que lauteur appelle sa démonstration , sans se douter méme des qualités que doit avoir un raisonnement pour sélever au rang d'une démonstration géométrique. Tout ce qu'on peut dire à l'avantage de cet ou- virage, c'est quil est fruit du jeu iunocent d'un homme g 2 qui $2 J HISTOIRE qui aime à s'amuser avec la regle et le compas, et dont la patience infatüzable fest parvenue, par des essais sans nombre, à résoudre j; plus ou moins approchammient, ]les problémes: 2,/44 54.6,79 et.85 "mais qui^ est dins! T'eireut de croire que par des Vitónpentene pratiques de cette na- ture on puisse découvrir des vérités géométriques. Jicolas Fufs. IV, Conducteurs aux magazins à poudre. Le 2$ Mai 1798 l'expédition de l'Artillerie établie aupres du Coll^ge, de Guerre sétant adressé à l'Académie, pour avoir des instructions plus detaillées au sujet des con- ducteurs, dont elle se proposoit d'armer les magazins à pou- dre des foitresses de l'Empire: - Mrs. les Academiciens AHou- movski, Euler et Krafft, chargés de dresser ces instructions, rapportérent leurs sentimens sur les conducteurs à établir à Kronstadt, Schlusselbourg , Wybourg, Fiiedrichsham, Kexholm, Neuslot, Wilmanstrand et Archangel, dont ils ont examiné en dernier lieu les plans. V. Sur le Baryte strié de Z méof. Le r8 Juin z798 Mr. l'Académicien Hermann remit quelques fragmens d'un. fossile nouveau de la mine de Zméof, du genre des Barytes stries. Ces fragmens furent donnés à Mr. l'Académicien Lowitz, pour en faire l'Analyse chymique, et le $ Juillet cet Académicien presenta à la Conférence le resultat de ses expériences : d'apres lesquel- les ce Ífosile est un véritable Withérite ( Carbonate de Baryte) Quatre-cens grains se dissolvérent parfaitement, sans effer- HISTOIRE. | $3 effervescence et sàns le secowrs de la chaleur, dans néuf dragmes de lacide muriatique delayés. dans. deux onces iban et donnérent, par. la, crystallisation, quatre-cens- qua- tre-vingt grains de Muriate de Baryte. La lessive en ré- sidu. entic rement desséchée, fournit, par la décoction avec de l'esprit de vin rectifié ( Alcohol ). douze grains de mu- rate de terre Strontienne., de laquelle Mr- Lowitz obtiut, ausmoyen de lacide sulfurique, quelque peu de Sulfate de chaux. De là résulte que ce Withérite contient aussi sur cent parties deux parties de Carbonate de terre Strontienne et un peu. de Carbonate de chaux. — Ainsi Mr. Lowitz. a eu le plaisir de retrouver ici la terre Strontienne. quil avoit.découverte en | ET9A-, dans toutes les espéces de Spatbh pessnt. VL Sur un téléscope de Herschel de 2o pieds Le 5 Juillet 1798 l'Académie recut, par S. E. Mr. le Prince Youssoupoff,: Yordre . de Saà Majeste d'examiner un téléscope de vingt pieds, dont le miroir, les oculaires et quelques autres piéces principales avoient été faites à Londres par Mr. ZZerschel et envoyées ici par ordre de feue .Fimpératiice Catherine 1L. de glorieuse mémoire ,; poar etre composées et montées parun Artiste Anglois, nommé Riches, établi à St Pétersbourg, qui avait fait le tuyau de fer batta. | Mrs. les Académiciens ARoumovshi, Euler, Krafft, Fufs et Henry farent chargés de cet examen, et ils rapportérent d'avoir trouvé toutes les piéces envoyées de Londres dans un degré de peifection tel qu'on est en droit de l'attendre de tout ce quisort des mains du célébre Opticien et Astro- nome qui a fait et.envoyé ces pieces; mais qu'on ne sau- roit 54. o HISTORRIE roit juger de l'effet que produira ce bel instiument, que lorsquil aura éié monié ; et que si Sa Majesté ordonne quil soit fait quelque emploi de ce téléscope, il faudra in- cessamment bàtir urne plateforme, un échaffaudage et un peut observatoire mobile , selon les préceptes publiés par Mr. Herschel. VIL Sur un instrument nommé Scotographe. Le 2x Juillet 1798 l'Académie recut un ordre de Sa Majeste l' Empéreur d'examiner un instrument que le fabriquant Ancelin avoit tiéós-humblement présenté, sous le nom de Scotographe ; d'en dire son sentiment et de ré- compenser lauteur selon la valeur de son invention. Là Conférence répondit que l'instrument en question ayant été examiné, on a trouvé qu'à son aide un homme, dans l'ob- scurité, peut non seulement coucher ses pensées sur le pa- pier, mais tirer en méme tems quelques copies de ce quil a écrit, pour peu qu'il se soit exercé à manier linstru- . ment, ce qui n'est pas da tout difficile; que cependaut, quoique ce Scotographe fasse assez bien le service que linventeur en promet, l'invention n'est pas d'une si grande '- importance , que lauteur puisse prétendre à une récom- pense considérable et que l'Académie croit qu'une medaille d'or de la valeur de vingt Ducats suffiroit pour le dédommager de ses fraix et lui servir en meme tems d'encouragement. À la suite de ce rappoit. Sa Majeste daigna ordonner de re-. mettre au Sieur Áncelin la médaille proposée et de gar- der le Scotographe dans le Cabinet de l'Académie, ce qui fut exécuté le 22 Octobre. Dé- HISTOIRE. " T Déscription du Scotographe. » . Le mécanisme de cet instrument consiste dans un "anneau mobile sur deux fils d'archal. tendus parallélement et reglant. le mouvement de la, main en ligne droite, vu que le stile, avec lequel on écrit, et qui passe par lan- neau mobile, ne peut s'écarter de la direction droite hori- sontale. Ce stile est de métal, ou de bois dur, et on le conduit aussi facilement qu'une. plume à éciire, en. le pressant plus ou moins fortement contre la plaque polie qui se trouve au dessous des fils d'archal tendus et en- chassés dans le méme. quadre. Sur cette plaque, qui dans l'instrument. présenié éioit de verre, on met une feuille de papier blarc qui doit recevoir les traits de l'écriture: on la. couvre d'une autre feuille teinte d'une couleur séche et grasse du có'é qui touche le papier blanc; et silon veut avoir une copie, on met dessas une seconde feuille de pa- . pier blanc' qu'on couvre d'une seconde feuille colorée. Tout étant ainsi préparé on commence à écrire avec le stile placé dans l'anneau, et étant parvenu au bout de la ligne, ce qu'on sent par lobstacle que le cadre oppose à la-continuation du mouvement, une manivelle fait subite- ment avancer la plaque couverte des feuilles, autant qu'il eníaut pour lintervalle d'uneligne àlautre. On continue. ainsi de ligne en ligne et par cette opération les traits du stile simpriment en couleur sur les feuilles blanches pla- cées au dessous des colorées et l'écriture y paroit distinc- tement. Outre ces piéces principales du Scotographe il y en à d'autres qui sont accessoires ct qui servent à appuyer la main et à arrféter l'anneau , si lon veut s'aréter pour quelque tems au milieu d'une ligne. f VIH. $6 HISTOILR E. VII. Discussion d'une question de Mécanique. Un différend s'étoit élevé entre Mr. Baird , proprie- taire d'une machine à feu, employée à faire mouvoir un martedau de forge de huit poudes, et Mr. Poidebard. qui avoit loué le reste de la force de la machine; pour faire Pd deux moulins à bled, et qui s'étoit plaint que ses oulins ne faisoient pas fout leur effet, parceque la machine à i cica n '"étoit pas daément entretenue par 1e propriétaire; tandis que Mr. Baird de son cóté prétendoit que 1a. 1iési- stance des deux moulins excédoit la. portion de forces qu'il avoit cédé par contrat à Mr. Poidebard. Ce. ditférend dé- voit étre vuidé par des arbitres qui, en envoyant^à Aca- démie le 13 Aoüt 1798 les plans «t la déscristion des mécanismes , avoient prié l'Académie de vouloir bien deéci- der les questions suivantes: .1^) Qaelle est la force d'une machine à feu à simple vapeur des dimensions et de la construction marquées? 2^?) quelle est la foice nécessaire pour faire joner un marteau de huit poudes avec une vi- tesse et une élévation données? 3") quelle est la force nécessaire pour faire aller les deux moulins. Mis. les Aca- démiciens Euler, Krafft et Fujs ayant été chargés. d'exa- miner cette affaire, apres setre. fait donner encore quel- ques éclaircissemens nécessaires, et apiés s'étre. rendus eux- memes à la fabrique de Mr. Baird, afin de sen instrvire à fond, ils presentérent le r7 Septembre leur rapport, en verta duquel il est résulté de leurs calculs: 1 ) qu'une ma- chine à vapeurs des dimensions marquées, düément entre- tenüe et donnant son plein eífet,. doit étre en état. de jouer avec une vitesse soütenue de vingt coups de piston par minute, tant que la somme de toutes les résista. ces qu'elle HISTOIRE 57 qu 'elle: doit vainere, n'excede pas 2975 livres ; 2?) que la résistance engendiée par le marteau etc, est de r42r livres ; 9) que la résistance des deux moulins est de 1035 livres, l]e tout transmis au méme. bras de lévier; et que par con- séquent la machine à vapeur et les moulins duément en- tretenus, il doit n avoir un excédent de íorces de sor livres. IX. Sur quelques mémoires d'Analyse de Mr, le Comte de Trédern. Mr. le Comte de Tredern. ancien Officier de la Ma- rine de France, ayant présenté à l'Académie quelques mé- moires analytiques , Mr. l'Académicien Fufs fat chargé de les examiner et d'en dire son avis à la Conférence , c'est ce quil fit dans deux rapports trés-circonstanciés, que Mr. l'Académicien Gourieff signa aussi, comme parfaitement confor- mes au sentiment que la lecture de ces mémoires lai avoit donné de leur valeur intuünséque, mais qui sont trop longs pour éüre inséiés ici. | X. Sur un enduit prétendu incombustible, Le Collége Impérial de l'Amirauté ayant fait in- viter l'Académie le 18 Octobre 1798, en veitu d'un ordre supreme, à faire assister quelques uns de ses membres aux expériences que le Sieur 24ngel se proposa de faire devant le Collége ;, a l'ffét de constater l'incombustibilité d'un enduit de son invention; .la Conférence chargea Mis. les Academiciens Sererguine , Lowitz et Zahharoff de se ren- dre au dit Collége, et le 25 Octobre ils firent à l'Acade- Histoire de 1797 et 1798. h mie —— zc HISTOIÉRE. mie levr rapport de l'issue de ces expériences qui ont prouvé que l'enduit du, Sieur zfngel n6€ garantit que trés foiblement contre la combustion et ne pourroit guéres em- pécher les vaisseaux qui en seroient enduits, d'étre con- sumés par le feu. VIIT. Lecons publiques. En r797 Mr. lAcadémicien Ozeretskovski lut sur la Physiologie des animaux; Mr. l'Académicien Hermann :. sur l'art. de l'exploitauon des mines et sur la Métallurgie ; Mr, l'Académicien Severguine : sur la Minéralogie générale basée sur la Chymie ; Mr. l'Adjoint Gourief: sur la Géo- metrie élémentaiie , la Trigonométrie plane, une partie de la Géométrie curviligne et les premiers élémens du calcul différentiel et intégral. En r798 Mr. lAcadémicien Ozeretskovshi donna um cours d'Entomologie ; Mr. l'Acadéemicien Severguine: um cours d'Oryctographie ; Mr. l'Académiciem Zakharoff: cours de Chymie théorétique et Mr. l'Académicien Gourief: un cours de Mécanique. | IX. Dans le courant des années r79'7 et r798 l'Acadé- mie publia, outre les continuations des HosEuz exeMecauHEUE toumHeHi4 et de la apesmas Pocciickas Du6Aliomuxa, les ouvra- ges sulvans : 1 HISTOIRE. 59 .-- a") Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Pe- ^. tropolitanae Tomus X. 2^) Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Pe- tropolitanae. Tomus XI. 3) 'Tentamen resolvendi problema geographico- magne- ticum. Auctore C. A. Kratzenstein. 4^) Qpowmua ommcauie bbaaro wops. 5^) Tableau des provinces entre les fleuves "lérek et -Kour par Mr. le Baron Marschal de Zieberstein. 6^) 9!65anb[ung ton ber fuftmecfe » SNafbinmn $on 33obert (en Russe et en Allemand). - 7?) HawaabHEI4 ocnosauiaz Mumnepaworimg, ouvrage de Mr. | lAcadémicien Sererguine en deux volumes. 8),$5ermanns SWineafogift)e Stcifem im Cibirie. — 3 Geile. 9?) Tepwama cowHHeHis o RE cese M 3aB0^ AaXP 5 wacii. . "NO ) Onsmm o ycokepmureuiu EAeneRImIORS Teowempim Akage- MHka lypbesa. X. "Prix proposé par le Roy d'Espagne. Le 5Mai 1798 l'Académie requt une nóte du Char- gé d'Affaire d'Espagne, avec l'extrait d'une lettre de S. E. Mr. le Prince de la Paz, Ministre et Secrétaire d'Etat du 4épaitement des affaires étrangéres, à S. E. Mr. le Cheva- h 2 lier éo HISTOIRE. lier d'Onis, Ministre plénipotentiaire de S. M. Tries Catho- lique à la Cour Impériale de St. Pétersbourg, en date du 25 Février 1797, par laquelle le Ministre est chargé, par ordre du Roi son maitre, d'obtenir de l'Académie Im- periale des Sciences qu elle propose aux savaus du pays, par le moyen des papiers publics, la solution dun fpro- bleme de calcul integral de Don Augustin Pedrayes, énoncé dans un programme espagnol et latin, dont il envoye vingt exemplaires, pour en distribuer aux savans qui voudroient s'en occuper, en leur accordant à cet effét une année, à compter depuis la premiere anonce, et en offrant au pre- mier qui, au jugement de l'Académie, auroit présenté dans le dit espace de tems, 1a solution de ce probléme, un prix de cinquante Louisd'or en espéces. Le hoy d'Espagne dé- sire en outre que la persoune qui sera chargée par l'Aca- démie de délivrer- les exemplaires du programme à ceux qui en demanderont, prenne note, pas des noms, mais du nombre des personnes qui auront pris des exemplaires, probablement dans le bat de travailler à la solution, du probléme ; et que si aprés l'année révolue la solution n'étoit présentée par personne, l'Académie délivràt au Ministre d'Espagne un Certificat , portant le nombre d'exemplaires. gui ont été distribués à cet effet. La Conférence acadé- mique se piéta volontiers à cette publication, dont elle chargea le Secrétaire, en lui remettant les vingt exemplai- res du programme pour les distribuer aux personnes qui en demandexont, et dont il &endra régistre. La publication .se fit en conséquence par les gazettes Russes et Alleman- des le Maidi xs Mai 1798. , GCUUSUCDEVESEECLISGRE SR e n cor EX- m a EXTRAITS DES MÉMOIRES DANS CE VOLUME. "S 0 NEM eT E CLASSE MATHÉMATIQUE 1 ET PHYSICO-MATHÉ É MATIQUE. I. Facillima methodus plurimos numeros primos praemag- nos inveniendi. Auctore Z. Eulero, pag. 3. Cette méthode consiste à chercher toutes les va- .leurs de a qui rendent les nombres de la forme naa -- x non- premiers. L'auteur explique cette méthode, en l'ap- pliquant à Ia. formule 232üq-l r, laquelle produit tou- jours des nombres composés, lorsque naa -4- x —nzr--yy et que n est un de ces nombres dont l'auteur a fait Ia re- cherche dans un mémoire: De variis modis numeros prae- grandes examinandi ,. utrum: sint primi nec ne? oüà il y a une table de ces nombres, parmi lesquels se trouve aussi le nombre mentionné 232. Or s 232üa--r—:232rr-o-yy; on a 252 (ag -— Xx) — yy — 1 ; et mettant y--r--582z ERG GU rI-£2(zoz--1i), ou bien^"r $—529(s02--1) en posant a-1-r —r et a— x — s, de sotte que 9 — 77— En donnant donc successivement à 7 les valeurs 1,2, 3, 4, etc. on o les valeurs r et s, et. partant. les valeurs d qui i Ten- ép HISTOIRE. rendent la formule 23^ aa -t- 1 un nombre compo-é. Tous ces nombres étant exclus, les auires donneront nécessaire- ment tous les nombres premiers contenvs dans cette for- mule, et par un calcul qui n'est ni long ni pénible on peut pousser cette recherche jusqu'à plusieurs millions. IT. Methodus generalior numeros quosvis satis grandes per- scrutandi, utrum sint primi nec ne. Auctore L. Eulero, pag. xr. . $i le nombre à examiner N est réductible à la forme aa -L-Abb et qu'on peut le représenter encore d'une autre maniere par la fofme semblable xx--Ayy,il sera cer- tainement non-premier et on aura *—* —2 2—5, Ayant y-- b -— x [^ reduit cette fraction à ses moindres termes A.P, on mettra ü--x —Amp et y —b. —np, et on aura a —x--nq et y d-b-— mq, de soitte que a — 275-73 et b coe .et App--qq sera nécessairement vn facteur du nombre proposé N. "Tout revient donc dans cette recherche à s'as- sürer, si le nombie N - aa -- ^bb est aussi compris dans une autre forme zr-L2yy semblable à celle-là , ou non? Dans le premier cas on irouvera facilement ses facteurs ; dans le second cas on peut étre sür que le nombre pro- posé est premier. l'auteur a éclairci cette mét!ode par lexamen de plusieurs grands nombres, parmi lesquels les plus grands noiubies premiers sont 11866009, 18518809. IIT. HISTOIRE 65 III. Observatio singularis circa aeqtatiories differentiales li- neares. Auctore. . Eulero , pag. 52. Soit une équation différentielle linéaire, ou du x* degré, à 1ésoudre : pz -- qOz -- r00z -- sO^z etc. — o, ou , Q, r, etc. sont fonctions d'une autre variable x, dont là différentielle est constante , et soit m le multiplicateur, fonction de x, qui rend cette équation intégrable j'on Dae vient à ure équation Pm--Qom -hR0o0m--So'!m--etc. — o que lauteur appelle la résolvante de l'équation proposée pz--q0z--roóz-sO0'z-. ete, — 0; et ces deux équa- tions, que feu Mr. Euler appelle Béndugu£es, sont entr'elles dans une telle liaison réciproque, que si l'une est résolu- ble, l'autre le sera nécessairement aussi; et c'est là l'ob- servalion qui a fourni le sujet de ce mémoire, - IV. De B ononibus difficillimis, quarum integralia tamen aliunde exhiberi possunt. Auctore L. Eulero, pag. 62. C'est une Chals connue que si dans la formule in- tégrale [222 , dans laquelle Z dénote une fonction quel- conque de z, on met z — v (cof 0 -- y/ — x fin), cette for- mule f49?x se décompose en deux autres /pOv - y —fqóv, oüà-p et q sont des Íonctions réelles de: v. . Or toutes les Hiütoire de 1393. et 1798. 1 Íois 66 —^ HISTOIRfÉE. fois que l'intégrale d'une pareille formule fZ 0z est connue, il sera facile d'en déduire les intégrales dérivées [p 0v et [q9v, qui cependant, pour peu que la fonction Z soit compliquée, surtout si elle implique des irrationnelles, de- viennent tellement embartassées que persohne n'oseroit en tenter l'intégration. G'est ainsi qu 'en mettant Z — vac zz de sorte que /Z0z — A. finz;. srt aw lieu. de.Z "ont mset v (cof à -- y — 1 fin$), on obtient lar , dont cette quan- tité est. le finus, exprmé par quat'e formules intégrales extrémement compliquées, dont cependant l'auteur parvient enfin, apres plusieurs artifices, à trouver lintégrale a priori. En mettant Z — Ex IE on est conduit à deux formules [pv et /q 0v, dont les intég:ales peuvent trés certainement étre exprimées par des logarithmes et des arcs de cercle, quoi- qu'on ne voye pas comment et par quelles substitutions ces formules puissent étre dégag?es de leur irrationnalité. C'est donc un vaste champ que feu Mr. Euler abandonne aux Géométres pour y exercer leur sagacite. V. Disquisitiones analyticae super supo potestatis tri- nomialis (1 -4—x- x x)". Auctore L. Eulero, pag. 75. Feu Mx. Euler a consacré ce mémoire à 1a re- cherche de plusieurs propriétés remarquables des coéfficiens de ce trinome développé. Il considere le plus grand coéfficient, ou le moyen, qu'il indique, avec ceux qui le suivent, par les lettres : IZ Dysquon,- etc; monita puissance n"* pq, r, etc. pour la puissance (n-i- x)" p/, q', r/, etc. pour la puissance (n -t- 2)"* et ainsi de suite, ct il détermine premierement les coéf- ficiens p, q, 7r, etc. par lexposant n, au moyen du symbo. lisme dont il s'est servi dans ses derniers ouvrages pour in- diquer les coéfficiens des, puissances du binome; apres quoi il s'attache à déterminer la relation qui subsiste en- &re les coéfficiens du méme ordre dans les puissances con- sécutives du trinome, savoir entre les valeurs p, p/, p^, et enfin la relation entre |les coéfficiens quelconques corres- pondans , dans les mémes trois puissances consécutives, sa- voir, la n"*, (n--x )" et (n-r-2)"*.. De là il passe à la détermination des coéfüciens q, r, s, etc. expri- -més par le seul p et ses dérivées, ce qui est suivi de la recherche des formules integrales finies qui expriment les coéfficiens p, q, r, 5, etc. ll finit le mémoire par la som- mation de la série dont les termes sont les termes moyens des puissances du trinome développees, lorsqu'on met suc- pesuvement les.exposans 250, 4 .-— 14 »-2, n—3, elc. et la sommation des séries dont les termes se trouvent dans les diagonales consécutives paralléles à celle que forment les dits termes moyens. : E VI. ! De innumeris curvis algebraicis quarum longitudinem |». per arcus hyperbolicos metiri licet. Auctore JVicolao Fufs, pag. rrr. - Feu Mr. Euler s'étoit occupé beaucoup autrefois de la recherche de couibes algébiiques, dont les arcs pu:sent ) 2 etre 68 | H1sTOIRE. étre mesurés par:des arcs ou paraboliques: ou: elliptiques, ou dont la rectification indéfinie convint avec celle de la Parabole et de lEllipse; mais toutes les tentatives faites par ce grand Géométre pour trouver des courbes. algébri- ques dont l'arc püt étre exprimé par des arcs de I'Hyper- bole;, avolent été infruclueuses. L'auteur de ce. mémoire, ' apres. s'étre longtems occupé de ce sujet, avoit été sur Je point. de. l'abandonoer entiérement , désespérant du. succes, lors qu'une. idee heureuse le uec à une ligne courbe 3 qui a P abicissE" al popa cea olr iwi a yv t 3v Jm y Upe^ur. -I- z, et dont l'élément de l'arc — 2 2 y xv 4p 2Yv ce qui exprime aussi l'élément de l'arc de Vipbeditie équilatére. Ce succés la engagé à poursuivre ces recher- ches; et il a trouvé moyen d'assigner une infinité de cour- bes algébriques. qui ont la propriété que leurs arcs peu- vent étre exprimés non seulement, par des arcs de I'Hy- perbole équilatére , mais par des arcs. hyperboliques quel- conques. VIL Démonstrations de quelques théorémes:de Géométrie. Par Mx. Nicolas Füfs, pag. 139. Trois cercles, décrits avec des rayons différens dans les trois angles d'un triangle, étant enfermés deux à deux. entre deux tangentes, les trois intersections de ces trois pai- Ies. de tangentes seront situées dans une ligne droite. Ce théoréme avoit été proposé à Mr. Fufs. La démonstration. de HISTOIRES 6g de cette propriété l'a conduit à d'autres non moins remar- quables, et plus générales, concernant un nombre quelconque de cercles, ou de sphéres; un nombie de petits cercles tracés sur la surface sphérique , compris: 2 à 2 entre des arcs de grands cercle qui les touchent etc. ll. en est re- sulté une suite de théorémes géométriques, dont il donne 1a démonstration dans ce mémoire. VIII Recherches: sur' les équations aux différences partielles "^ du premier degré à quatre ou plusieurs variables. Par Mr. Sean. Trembley , pag, 155. L'Histoire: de: l'Académie pour r79:r, qui précéde le 1X. Vol. des. Nova: Acta, renferme un mémoire de Mr. Trembley:sur. les équations aux différences partielles du premier degié à.tros variables. Le but du savant auteur .a été d'étendre ces considérations dans le présent mémoire aux équations à quatre et plusieurs variables. Il y revient sur la méthode du mémoire antérieur et la rend plus di- recte et plus générale ; etu reprend à la fin du mémoire les exemples traités dans le mémoire précédent, .et fait voir comment ils cédent tous à une méthode unique. 1l seroit impossible de donner une" idée de tout cela, sans rappor- ter en grande pariie les calculs de l'auteur, c'est pour- quoi nous renvoyons le lecteur au méinoire méine. IX, 3d HISTOIRE. Ix Recherches sur la sphére et le cylindre percés cylindri- quement et sur une infinité de maniéres de percer la sphére de fagon que le résidu de sa surface et de sa solidité soit géométriquement assignable. Par Mr. Nicolas Fufs , page 214. Si l'on perce une sphére, perpendiculairement au plan de l'un de ses grands cercles, par deux cylindres droits, dont les arcs passent par les milieux dcs deux rayons qui compo- sent le diamétre de ce grand cercle et qui sont les diame- tres des cylindres, les deux portions égales, qu'on enlévera. par cette perforation, du solide entier de la sphére, laisse- ront un reste égal aux deux neuviemes du cube du dia- métre de la sphére, Ce théoréme de Bossut dont Mr. Fufs avoit lü l'énoncé dans le VI' Tome du Magazin encyclo- pédique, a donné origine à ce mémoire. Curieux d'en voir le démonstration et n'espérant pas d'obtenir de sitót l'ou- vrage du célébre Bossut, il s'étoit mis à la chercher lui mé- me, ce qui l'a conduit à beaucoup d'autres propriétés re- marquables, qu'il présente aux Géométres dans ce mémoire. Il montre d'abord qu'une sphére étant percée de 1a maniére sus-dite , non seulement le résidu de sa solidité est géeométiiquement assignable, mais aussi le résidu de sa surface et la surface intérieure des deux e€xcavations, et que le contour de chaque ouverture est égal au demi- perime- tre dune Ellipse qui a pour demi- petit axe le rayon de le sphére et pour demi-grand axe la corde du quart de | grand cercle de la sphére. En- MES TAPLRM Z1 Ensuite lauteur fait voir que si un cylindre est percé d'un autre de méme diamétre , de maniére que leurs axes se coupent à angles droits, la surface et la solidité de la portion enlevée ect la suiface intérieure de lexcava- tion sont aussl: géométriquement assignables, et que le con- tour de louverture est aussi egal au périmétre dune el. . lipse qui a pour demi-grand axe la corde du quart de cercle base. de louverture, et pour demi - peut axe le rayon dua cylindre. De là Mr. Fufs passe à la détermination du con- tour et de la surface intérieure de l'excavation, de méme que de la surface et de la solidité de la portion enlevée, lorsque la sphére aura été percée avec une tariére cylin- drique quelconque et dans une direction quelconque. Enfin lauteur suppose qu'un demi onglet de la sphére soit percé par un corps in:sistant perpendiculaire- ment à une portion du secteur, base du demi -onglet, la- quelle portion est comprise entre une partie du rayon et une ligne courbe quelconque, et il détermine la surface et la solidité qui resteront à l'onglet entier apiós la perfora- tion. La solution de ce Probléme le met en état d'assigner une infinité de maniéres de pereer la sphére de facon que son résidu tant en surface qu'en solidité soit géométrique- ment assignable. X. De numeris qui semel vel pluries in summam duorum quadratorum resolvi possunt. Auctore C. F. Kausler ,- pag. 252. La résolution d'un nombre en deux carrés fournit le moyen 343 | 3 HITSOIR E. moyen le plus facile d'examiner s'il est premier ou non, et dans le dernier cas quels sont ses facteurs, . Feu Mr. L, Euler a été le premier à employer cette méthode, et Mr. Kausler a taché de la perfectionner dans un mémoire in- séré au^ 9"* Volume de Nova Acta. Mais ayant trouvé tant.à la méthode de Mr. Euler qu'à la sienne le défaut d'étre indirectes et de rendre la décomposition d'un nombre en deux canés diffücile dans beaucou» de cas, il revient à cette matiére dans le présent mémoire, qui contient quelques additions propres à perfectionner la méthode, et quelques observations noüvelles.sur les nombres qui sont la somme de deux carrés. A la fin du mémoire Mr, Kaus- ler donne une table subsidiaire, au moyen de laquelle la décomposition des nombres de la forme 4m-1- 1 en deux carrés devient tiés facile, de meme que l'examen sls sont premiers ou nom. XI. Remarques pour faciliter la recherche des QURE des nombres premiers. Par Mr. C. F. Kausler, page 268. Dans le mémoire précédent Mr. Kausler a fait voir comment, au moyen des nombres pronics, on peut décom- poser, si cela est possible , un nombre impair de la forme 40m-|-x en deux carrés. Dans le présent mémoire ll s'oc- cupe des moyens d'appliquer cette méthode à tous les nom- bres impairs sans exception. L'ouvrage de Mr. le Gendre a fourni maticre aux remarques que Mr, Kausler présente ici. HISTOIRE. 435 ici. Elles servent à abréger d'avantage les calculs que préscrit la théorie mentionnée ; la premiere ^en montrant de quelle maniere on. pourra employer les tables connués des nombes premiers et des diviseurs des nombres, à lexa- - men des nombres qui surpassent les limites des tables ; la seconde en présentant une nouvelle méthode TORRES la divisibilité d'an nombre qu: A upbba par plusieurs . autres nombres. donnes. | XII. Serierum mupotud quae sinus angulorum iplo rum exprimunt, demonstratio elementaris Auctore J7. E. Kraft, pag. 290. Dans ce Mémoire l'auteur présente une démonstra- tion des deax séries connués: harmq -— münp- T ünQ'- ud DOT I fin Q* — etc. et finmQ-cof t [m fin poems fin! .- 2n 1$ Gn QD! —etc.] qui expriment le sinus d'un sngle multiple quelconque, lune par le sinus, l'autre par le sinus et le cosinus de l'angle simple, et qui se terminent l'une ou l'autre par un nombre fini des termes, selon que l'exposant du multiple est un nombre entier impair ou pair L'auteur appelle &'émeniaire la démonstration qu'il en donne, parcequ'elle est tirée dixectement des relations réciproques des sinus et des angles qui leur répondent, et qu'il ne se sert. que des artifices de l'Analyse assez connus, au lieu que les autres démonstrations qu'on en a, ont recours au Calcul infinité- Hüteire. de 1797 et 1798. h. ; simal : "4. HISTOIREÉE. simal et aux quantités imaginaires, qui ont paru à l'au- teur étre trop éloignés de la nature des deux séries en question. XIII. Observations. sur le théoréme de Taylor, avec sa dé- inonstration par le methode des limites. Par Mr. S. Gourieff , page 306. Ce mémoire est encore le fruit des efforts de l'au- teur de dégager les mathématiques, de toute considération de linfini; 1l s'y sert des différences finies et de la méthode des limites, pour démontrer rigoureusement le fameux théo- ri6éme de Taylor, et à:sa suite le théoréme binomial de Newton, .pour les exposans rompus , négatifs , lirationnels. Le mémoiie se termine par la résolution dun probléme de la méthode inverse des tangentes. | CLASSE HISTOIRE. 75 EOCCLASSE pEPHYSIQU E. US De lacte vaccino et caprino. Auctore JN. Ozeretskovshi , pag. 339. L'auteur de ce mémoire avoit déja écrit et publié à Strasbourg en 1778 un mémoire: Je Spiritu ardente ex lacte bubulo, dans lequel il avoit fait voir comment il faut opérer, pour obtenit du lait un esprit vineux. Ayant voyagé quatre ans aprés dans le pais des Baschkirs, il a examiné avec attention la méthode que cette nation em- ploye, pour convertir le lait de jament et de vache en une boisson spiritueuse, et il a suivi souvent cette méthode quon trouve décrite ici, pour produire. une boisson sem- blable da lait de vache et de chevre. Ce sont les obser- vàtioos que lai ont suggérécs ces expériences que Mr. Oze- retskovski présente dans ce mémoire. II. Methodi novae, acidum tartaricum omne e tartaro cru- do perfecte extricandi , expositio. Auctore T7. Lowitz, pag. 343. Ila maniere trés avantageuse , par laquelle Mr. Lo- witz a réussi à séparer entiérement l'acide du tartre crü consiste en ce qu'il commence à saturer le tartre crü avec de la craye, et quil verse ensuite sur le fluide qui surnage-au tartite de chaux, une solution filtrée de k 2 mu- J6- HISTOIRE. muriate de chaux, jusqu'à ce quil ny en a plas de pié- cipitalion, "Tout le tartijte de chaux , engendré par la craye et [a muriate de chaux, aprés avoir été édulcoré avec de leau, se traite comme à lordinaire, avec la seule di tléience , que. pour la.séparation de l'acide il faut era- ployer à présent deux fois plus d'icide sulfurique. On ob- tient de cette maniere de 30 í5 de tartre 16 15 d'acide tartareux crystallisé au lieu que par l'emploi de la craye seule on n'a obtenu autrefois que la moitié de cette guuur tité. PP HT. Histoire naturelle. des géodes. Par Mr. B. Severguine , page 357. Une géode remarquable ayant été remise à l'auteur par Son Excellence Mr. le Comte de Moussin - Pouchkin , céci l'engagea à saisir celte occasion, pour donner unm ex- posé de-lhistoire n«turelle de ces espéces de pierres enm géuéral — Apiés avoir déterminé leur nature , leurs earac- téres distinctif et leurs ditferentes varietes, l'auteur parle de leur formation probable, quil attribue au desséchement spontané des sédimens silicieux mélanges avec des particules hétérogénes. 1l finit son méinoire par une classification. de ' différentes espéces de pierres globuleuses qui se trouvent dans la natuie. IV. De duobus foetibus humanis monstrosis. - Auctore. /N.. Ozeretskovshi ,. pag. 367. Deux foetus monstrueux, envoyés au Mlusée académi- que LA HisTOLUBAP PT que, par ordre de Sa M ajeste I Empéreur, au commen- cement de lannée 1799,.sont décrits dans ce mémoire ac- compagué d'un dessin fait sous les yeux de l'auteur. V. Mirab. Jalaparum hybridarum spicilegium ultimum. Auctore I. T. Koelreuter, pag. 373. Qui est ce qui n'est pas surpris de l'application. de la pa- tience et d-s soins du célóbre Dotaniste allemand qui, pendant une suite d'années, a fait des essais si nombreux sur la fécon- dation artificielle c plasieurs especes de plantes et qui a deciit celles qui en étoient produites , d'aprés tous leurs rapports et méme d'aprés leur poids. Marchand fit le pre- mier cette observatión en r715 sur la Mer:uriale. Gmelin la renouvella sur le Delphinium en i*749. Foyez la Dis- sertation de Linné, ioti'ulée: Plantae hybricae , et, les mémoires de notre l'Ac;démie pour 1782 et 1786, qui con- tiennent les belles expénences de Mr. Koelreuter sur les Digitales ,; les Lobelies, les Mauves etc. C'est de 1a suite considérable de plus de 80 essais que iésulte la preuve intéressante de lidentité des plantes, "Toutes les plantes hybrides ou perdoient leur germination, ou appa- roissolent, aprés quelques aunées, sous la forme de l'espece primitive. VI. Notice sur les roches des Monts - Altai en Sibérie. puPat Mr. E. EL. Herrmann, -page-409; 1. L'auteur s'occupe ici principalement de diferentes * ridberys3 E , , m . ? vanctes de Porphyres, apportées dcs Monts- Altai en Sibé- ; | 1e rE: HIS'T:OWB RE. rie, pour les ornemens des palais Impér iaus. Il les re- duit à quatre espéces principales , savoir: x) Porphyre à.. base de Jaspe; 2) Porphyre à base de pidug de corne ; 3) Porphyre «pee T MM pp; 4) Porphyre à base de Serpentine. Enfin il donne une déscription détaillée de 110 variétés de Porphyres, avec leur lieu natal 'et leur usage. VII. Symphyti asperi nova species, descripta ab I. Lepechin. — S uPAB 442. Le défunt auteur décrit ici ane nouvelle espéce de la Consoude, dont Ia patrie est la Tauride, si abondante en plantes nouvelles. — Mr. le Baron Marschal de Bieber- stein ayant parcouru cette contrée en observateur soigueux y à découvert une quantité trés- considérable de nouvelles plantes, dont la présente, comme plante superbe. se con- serve encore aujourd'hui dans le jardin botanique de l'Aca- démie. : VIII. Notice sur une grouppe remarquable de spath de plomb de la Sibérie. Par Mr, B. F. IJ. Herrmann, page 445. L'auteur donne ici une déscription détaillée des carac- téres extérieurs et des propriétés chymiques d'une variété particuliàre. de spath de plomb blanc de Nertschinsk sur | une HISTOIRE jb une grouppe remarquable de crystaux de cette mine. D'ac- cord avec Mr. l'Académicien Severguine il avance qu'elle mérite d'etre. séparée du spath de ploinb prismatique, qui a été connu auparavant, par exemple celui du Hartz, Suivant lanalyse de Mr. l'Académicien. Lowitz xoo parties en con- tiennent 85 d'oxide de plomb, et 16 d'acide carbonique. IX. An ad aetherum | naturam constituendam necessaria sint acida disquirit. Laur. de Crell. pag. 450. Mr de Crell démontre ici, par des expériences nom- breuses, que dans. la préparation des diverses espéces d'éther il entre dans leur composition, comme partie constituante, quelque peu de l'acide employé à leur préparation. Voici les faits principaux, sur lesquels il s'appuye: 1 Mr. de Crell traita l'ether sulfurique avec l'acide ni- iuque pur, et ajouta da nitrate de Baryte au fluide engendré au fond du vase, aprés en avoir séparé la naphte surnageante. ll s'en forma une piécipitation de sulfate de Baryte. 2^) L'ether nitrique, mélé avec l'acide sulfurique, rendit ron- seulement des vapeurs rouges, mais des feuilles d'or batta, jettés dans le liquide obtenu par la distillation, farent dissoutes aussitót aprés y avoir mis du muuiate d'Ammoniaque. ^ 3J BET. HISTOIRE. 3?) L'éther muriatique, traité avec-de l'acide salíurique mé- lé de sulfate d'argent , donna du muriate d'argent, 4) L éther acéteux, mélé avec de l'acide sulfurique et di- . stille, donna un fluide dont le goüt approchoit de celui de l'Acéiate de plomb, lorsqu'on traitoit la destillation avec de loxide de plomb rouge. X. | Descriptio et Analysis lapidis Marecani. Auctore T. Fr. Gmelin, pag. 459. Le célébre auteur de ce mémoire a soumis a l'À- nalyse chymique les pierres rema:quables qui ont- été trouvées à une trentaine de Verstes d'Ocho!zsk et nom- mées Marecan. Deuxcent grains de ces pierres lui ont donné les parties constituantes suivantes: Silice ; j . : 160,90 gr. Alumine d sin Pe r 29.25 Magnesie : 0,25 Oxide de fer, avec quelque indice d'o- xide de Manganese : : 4. 75 Eau de crystallisation MEER S a 2.00 196,25 Perte ji B . 3,75 ^. 200,09. XI. HISTOIRE ét De plants sctisdynamis: vulgo cruciformibus (Tour- ' ' mefortii ). Auctore 7. Smelovski , pag. 470. L'auteur; de .cette Dissertation sur les, plantes de "Pn classe de Tetradynamie, selon le systeme. sexnel, tàche de déniontrer, que les charactéres génériques, pris de la figure, dé la structure et de la longueur du íruit, sont les meilleurs. XII. Plantae contortae in promontorio. bonae spei Africes : olim collectae, jamque descriptae. Auctore C. P, Thunberg, pag. 503. Les plantes qui appartiennent à la famille des Apocinees, ont été désignées dans les ordres naturels de Linné par le nom de Contortae. Le célébre auteur a décrit ici; avec lá plus grande précision, les espéces suivantes: Echites succulenta, bispinosa; Asclepias aphylla, siliformis, fruticosa, crispa, undulata, -mucronata, grandiflora, arborescens; Apocynum fiiforme, lineare, triflorum, lanceolatum, cordatum, hastatum ; Ceropegia sagittata ; ' Periploca tenuifoíia, africana, secamone; Pergularia edulis. XIII. Mermas plantae genus, descriptionibus, animadversio- mibus et iconibus illustratum. Auctore C. P. Thunberg , pag, 527. Les Hermas forment un genre bien distingue des Histoire..de 1797 ct 1798. j Buplev- m HIST OELRE. Buplevres, par les collerettes' partielles toujours incompleé- tes ét unilatéralés, par les fleurs: | polygames. et: par la.se- mence cordiforme , orbiculaire, occus marginee,: dans toutes les espéces que l'on connojt, Mr, le'Chévalier Thunberg à trouvé plusieut$ espéces de ce gerire au Cap. de Bonne- Espérance, et. donne-ici une déscription plus exacte de plantes suivantes :. 'H. gigantea ; avec fig. H. ciliata, villosa, capitata avec ad E taeroni dentata avec fig. XIV. Déscription ' (fü Sparus ornatus, nouvelle espéce de poisson thorachique. Par Mr. m Sevastidtof, pape go, c2.I Ce poisson a été envoyé pour! e Musée. académi- que; oóü il:-se trouve àprésent, par le. Conseiller; de Cour Waxell, Correspondant ; de eas s 'à Londres; et.selon sa nouce ce joli Spare habite la mer dua Sud, | CLASSE HISTOIRE. $3^ WD ASSE DUAE TLRCNOMIE | ^ pE MEÉTEOROLOGIE. L — Sur le calcul. des variations des étoiles. Par Mr. Beier, Pag 537. n. but de Vueds de ce mémoire a été de doner des formules qui représentassent digoureusement la piéecs- sion des étoiles en ascension droite et en déclinaison, pour en intervalle de plusieurssiécles, qui fussent en méme temps d'un usage commode, et qui enfin ne demandassent pas trop d'espace dans les catalogues des étoiles. Pour ariver à ce but l'auteur s'est vu dans la nécessité d'em- ployer plusieurs corrections qui jusqu'à présent ont été. né- gligées dans le caleul des variations décennales, .et. de faire aussi une petite correction aux formules des varia- tions séculaires en longitude et en latitude. I. De transitu Mercrrii per. Solem. Anno 1799 die 7X Petropoli expectando. - Auctore Stephano Rumovski, pag. 603.. Mr. de Roumorski ayant calculé d'avance les prin- cipaux momens du passage de Mercuie de 1799, il expose ici le résultat de ses calculs. Ce mémoire ne peut plus la avoir $4 j HISTOIRE: avoir d'autre intérét pour les Astronomes,' si ce n'est celui d'étre un des derniers travaux du célebre auteur qui; nommé bientót aprés Vice-Président de l'Académie, a terminé par ce mémoire et par celui dont nous pailerons tantót, sa carricre d'Astronome. III. Sur les passages de Mereure sur le Soleil dans le XIX siecle. Par. Mr. F. T. Schubert, seconde partie, page 509. Dans le 'TTome précédent de nos Actes Mr. Schubert avoit donné les formules generales, sur lesquelles il a. cal- culé ces. phénoménes. .Dans.cette seconde partie il en donne les résultats. Il y aura dans ce siécle treize pas- sages de Mercure sur le Soleil, dont on trouve dans ce mémoire tout le détail, divisé en trois sections qui donnent les circonstances de chaque passage, telles qu'elles parol- tront au centre de la terre, aux différens points.de sa sur- face, et à St. Pétersbourg. La premiere section contient donc le tems vrai du contact extérieur et intérieur, tant pour l'entrée que pour la sortie. La seconde assigne les lieux de la terre, qui auront le Soleil au zénith à l'instant du milieu, de l'entrée et de la sortie, celui qui verra la plus grande phase, ceux qui verront les premiers ou les derniers l'entrée et la sortie, ceux qui verront précisement tout le passage, enfin ceux qui ne verront que l'instant de lentirée ou de la sortie. La troisiéme section donne, pour lhorison de St. Pétersbourg, les instans de l'entrée et de là sortie apparente, la plus grande phase, et la situa- üon des points de limmersion, de l'émersion et du milieu, rela- HISTOIRE. MM relativement au vertical mené par le centre da Soleil. 1l Sen suit: ri) quil arivera neuf passages au mois de No- vembre, 'et quatre au mois de Mai; 2) que Ie passage de 1802 a eu la durée la plus longue qui soit possible au mois de Novembre, savoir de 5i CUP que celui de 1822 sera de la plus courte durée de 2^" Efe et que celui qui arie le 6 Mai z878 durera le plas long tems, sa- voir 7? 37/; 3) qu'on me verra a St, Pétersbourg que huit de ces passages, dans les années i802 Novembre, I852 Mai, 1845 Mal, i848 Novembre, r$61 Novembre, 1868 Novembre, 1:878 Mai, i891 Mai. IV. Supplément au mémoire précédent. Par Mr. F. T. Schubert, page 656. Ce supplément contient le calcul des deux passages de Venus sur le Soleil, qui auront lieu le 9 Décembre H9894., et le 6 ,Decemre 1882. lle ib durera sur toute la terre 4^ 56 7^, le second 6^ 35/ 42^. JCelui-là sera plus favorable à la détermination de la parallaxe du Soleil, la plus grande différence entre les durées étant " d'une Bos heure, entre les instaus de l'entrée de r3 min. et entre les instans de la sortie de r6 min; tandis que dans l'autre passage la plus grande différence entre les durées, dans des endroits oà l'on peut faire des observations, ne sera que de r»Í min. Les cinq lieux les plus intéres- sans pour l'observation du premier passage, seront Botany- Bay, le Cap Comorin, Alachka, Okhotsk ct Oustioug. V. 86 HISTOIRE. ; V. Théorie de Mars. | Par My, X Schubert, premiere par!ie, page 674, seconde partie, page 695. L'auteur de ce mémoire ayant trouvé des différen- ces considérables entre les perturbations de Mais, calculces par MM. Oriani, Burkhardt, JVurm. et Schubert, crat de- voir reprendre ce calcul avec plus de soin et d'exactitude. Il donne dans ces deux méimoires, les inégalités périodi- ques de Mars, produites par laction de la Terre, de Ve- nus et de Jupiter, tant celles qui dépendent de la pre- miere et de la seconde dimen:ion des excentrici'és et des déclinaisons, que celles qui n'en dépendent pas du tout. Quant aux derniéres, son calcul se trouve parfaitement d'accord avec celui de ces trois 7stronomes. Parmi .celles qui dépendent de lexcentricité sim;le, il vy en a'quatre dont la plus grande est de 3^, que MM. Oriani et Burh- hardt ont tout-à-fait négligées, et deux au!res, oü leur calcul différe de celui de Mr. Schubert d'une à deux se- - cordes. Parmi celles qui dépendent de la seconde dimen- sion ^des excentricités, il se trouve des differences plus considérables, qui montent à .8 ou 9 secondes. L'auteur a comp:is toutes ces équations dans treize tables. 1l a en- core trouvé une équation du Soleil et une autre de Vénus, produites par !a réaction de Mars, dont l'une est de 1^1; lautre de 24^,8. " VI. HÍISTOIRE. $9 VE-4 Sur les perturbations de la nouvelle planete, 1 par l'action de Jupiter. Par Mr. F. T. Schubert, page 714. Les élémens elliptiques de là planéte découverte par M. Piazzi; que M. Gaufs a calculés, ayant servi à re- trouver cette planéte, . il n'y a pas de doute. qu'ils ne soient asses exacts, pour déterminer par leur. moyen les pertürbations auxquelles cette planéte est assujettie,' et :dont on a besoin pour donnerà ces élémens an plus haut degré de perfection. Comme c'est principalement Jupiter qui, à cause de sa grosseur et de sa proximité, peut pro- duire des perturbations trés sensibles dans le moüvement de la nouvelle planéte, Mr.- Schubert a calculé, d'aprés la méthode de Mr. /a P/íace, les perturbations dé cet astre, produites par l'action de Jupiter, en ne-portant cependant l'exactitude, pour cette fois-ci, qu'à la premiere puissance des excentricités, et il a trouvé des équations trés consi- dérables, que voici: ! . Nommant .2/, /, les ade moyennes de Jupiter .et de la nouvelle planete, et laisant 1a distance moyenne de la terre au soleit égale à 1000000, on a, par les sept- iémes élémens de Mr, Gaufs: La diminution annuelle de l'excentricité en parties du rayon mcs) ,0000059045; le mouvement annuel des apsides par rapport aux étoiles fixes 4r 19",756; l'équa- av ET HISTOLIRE. l'équation du rayon vecteur — — 94,6 -1- 1033,93. cos (2) — D — $8814. cof 2 (21, — [) — 421.87. cof 3 (2 — l1) — dori suba mese E MERE Use onus fin (/ — 42^ 44 477) c- 24752. fin(2! — 66 x7 58^) -- 861,3. fin (2 A — [ —.65?.25/ so^) -L- 581,5. fin(32—2/—78' 45/10") 483,7. fin(4 227 3/- 78 23/16") — 96,8.fin(521-41—75^ 53/33 )-136,9 fin(21—2)i-52^ 17^) -- 396,5.1n (53 / — 279 —- sT "€ so") de TES. fin. (41 — 32 — 6 $^67);- ue l'équation de fa longitude —4-2 52,59. fin(2i-1)- 498,4. fin e (211) — 44/4. fin 5 (21 — I) — 107,8. 0n 41 I) - 3.3. fin 5 (2i- T) 3^ 601. 2 DT 39/107)-62 55,4. fi Hn2 A —[4- 26^ 48 9) —— 442^,5. fin(3 24 — 21 -- xx^ 3o $e SP 5. SATIUS (42 - [2- 3155/43! pisauesi Rr. fin(52- 4l--11^$ ^49) . —22^",7. fin(2i-2i-- 36 39/45") - 54^ ,1. in(5/-22:2- 3322/20") ens dedu ddq reat. 8^ 34^ ). | VII. Observatio Eclinss Solis anno 1802 die 1 ia habita in observatorio Petropolitano. . Auctore Stephano Rumovski, pag. 728. Le commencement de cette éclipse n'a pas pu étre observée , à cause des nuages. La fin a été observée $^ 51" 56^5 VIII. AÀnnotationes ad acus magneticae inclinatoriae usum pertinentes. Auctore 77. L. Krafft, pag. 729 Quand on fait des expériences avec des-aiguilles din. HISTOTRE $9 d'inclinaisob: on me s'appercoit que trop souvent, qu'une mieéme aiguille, quand on: répete l'expérieuce à plusicalis eprises, quoiqu: avec tous les soins possibles, «dans les mémes heures et sous les memes circonstances, indique ce- pendant des inclinaisons .assez différentes. On attibue avec raison une grande partie de ces variations à linconstance du frottement qu'éproüve l'axe des aiguilles, .en. roulant sur les deux appuis qui le soutiennent. iDccupé de ce genre d'expériences , lauteur .de ce mémoire a eu loccasion de remarquer, méme sur une ai- güile d'ailleurs fort-bien construite; combien, outre linflu- ence du írottement, est sensible aussi celle que le moindre défaut de cylindricité dans les tourillons des axes exerce et contribue à al'erer l'obliquité de 1a position des aiguilles, qui ne devroit dépendre que de la force magnétique et de 1a position :de. leürs centres. de gravité. 1I est clair, «que letfet de ce défaut peut s'accumuler d'autant plus pour rendre faux le-derniér résultat, plus vest grand le nombre des obliquités différentes , que la méthode oblige à obser- ver, pour en calculer celle qui.est la véiitable inclinaison magnétique. Avec des aiguilles d'inclinai:on qu'on doit à Yillastre Daniel Bernou//i, les.:lus parfaites qu'on connoisse, et qui ne laissent plus autre chose à desirer qu'une grande adresse - et des -soins 'extrémes "de ]1la part de lartiste, il faut observer au moins quatre obliquités diffe- rentes de laiguille, pour en déterminer, par le calcul, la vraie inclinaison. Comme le défaut de cylindricité des tourillens, et tous les autres défauts, quels qu'ils soient, con- centient leur effét dans l'obliquité des aiguilles: l'auteur ex- pose dans ce mémoire des expressions différentielles, «ui Histoire de 1797 et 1798. m don- 9o HISTOIRE. donnent à connoitre, jusqu'à quel point la détermination de linclinaison magnétique peut devenir trompeuse par Ies erreurs qui pourroient avoir àífecté ces quatre obliquités; il fait voir qu'une erreur de x5 minutes seulement sur deux de ces quatre obliquités, en peut produire une de plus de 2 degrés sur la détermination de. linclinaison magnetique. id IX. Supplément aux observations astronomiques faites à l'Observatoire du Gymnase académique de Mitau. Par Mr. Beitler; page 733. : Les observations qüe Mr. Zeitler cominunique dans ce mémoire, sont la continuation de. celles que l'Académie a fait insérer dans le 12^ volume de.ses Nova ta; elles xoulent 1^) Sur les eclipses des satellites de Jupiter; 2^") sur des occultátions d'étoiles; 3^") sur l'éclipse du soleil du 27 Aoüt r$802; 4^) sur l'éclipse partiale de la lune du 11 Septembre i802. X. Observationes quaedam astronomicae Petropoli in Spe- cula domestica habitae. Auctore P. Z[nochodXoff, pag. 7435. L'auteur rend compte dans ce méitoire du petit nom- bre d'observations astronomiques quül lui a été possible d'instituer depuis son retour à St. Péiersbourg. Les voici: | Le HISTOIRE. 91 Le P Mai 18or. Occult tion de l'épi de la vierge par le bord non éclairé de la Lune ri^20/ 537,6. Emer- sion au yeu éclairé, observée de quelques secondes trop tard, 12^24/44/^ temps vrai. Le.B Aacüt.. Fin de l'éclipse du O bien observée 22! s1i/ g2^ t. v. Des nuages ont empéche de voir le commencement. 1 | Le ri x82... Contaet,;des limbes de Mercure ave le limbe cccidental du Soleil: L'intérieur sort à x^ 59^ 5" | 2 , *. ; Lu v LeXierBeui.. 2652 20. LD5 Ces observations ont été faites avec un téléscope de Short de deux pieds et la latitude de lobservatoire est 59' 54/ 54^. iE ! XI. Obrvationes astronomicae in specula academica in- stitutae. Auctore F. T. Schubert, pag. 747. L'observatoire de D'Abadónie ayant été confié à Mr. lAcadémicien Schubert au mois de Juillet l'an 18953, il présenta au bout de l'année à l'Académie les observations que le ciel pecu. favorable dans le cours de cette année lui avoit permis de íaire conjointement avec, Mr. /Z/isnefski. Ces observations sont: 1) l'éclpse solaire le 16 Aoüt, dont le commencement íut observé à 2O" s1í op 4 o tems moyen, m 2 la 92 HISTOIRE. la fin à 21^ »s7^55/,38; 2) limmersion de létoile x 9 le & Octobre, observée à ic^ 50/ 39/,5; $3) l'occultation. de «8 le zs BDeecem5ie, dont limmersion füt observée à 53"273/357^, lémersion à 4^ 21^ 42,33. Quoique lobservation de lEclipse solaire, à cause de son extréme pelitesse, ne füt pas susceptible d'une grande précision, M. Schubert a calculé sa propre observa- ' tiom, et celles qui en ont été faites à Paris, à Copenha- gue, à Lilienthal et à Cremsmunster; et il en a déduit les erreurs des tables de trois manieres différentes. [1 en- .xésulte une erreur en longitude, par l'observation de St, Pétersbourg — — 30^, par celle de Paris — —- $3^, par celle de Copenhague —:— 45^, par celle de Lilienthal et de Cremsmunster — — 39;/; et une erreur en latitude, par l'observation de Pétersbourg — — 4^, par celle de Paris. — -— 7", par celle de Copenbague — —— x^, par eele de Lilienthal — — 1^, par celle de Cremsmunster — -1- 6^. XII. Continuation du Mémoire sur le perfectionnement d'une méthode de trouver sur mer la latitude du. vais- seau. Par Mr. Krafft, page 764. Ce Mémoire a pour objet le probléme de l'Astrono- mie nautique, de déterminer la laiitude du vaisseau par deux haüteurs du soleil et le temps qui les sépare. Dans le Tome IX des nouveaux Actes de l'Académie lauteur a donné, pour résoudre ce probléme; une nouvelle méthode; : qui | IUSOcTOGEES S 93 qui est plus générale que celle de Mr. Douves, et pré. sente sur celle-ci des avantages qui, en cas de besoin, pourroient étre utiles aux navigateurs. | Mr. Krafft, ^ dans son premier mémoire sur ce sujet, a donné sa.solution du probléme telle. qu'elle dérive esdepLC des princi- pes de la Trigonometrie sphérique; dans celui- ci illa pié- sente. sous une forme absolument analogue. à celle, à la- quelle. les. Maziniers sont habitués. dans ces sortes de calcul. XIII. Extrait des observations météorologiques faites i St. Pétersbourg en 1797, d'apres le nouveau stile: - Par Mx 4 ÁL Euler, pag. 776 - Plus grande éclévation. du barométre 2.9,0* potices Plus petite élévation du barométre 27,20 -— Variation. totale Qu LP RS ees Ue Pea oi Ee plus grand: froid... ../.— — . r8,ydeg.de Réaumur BExXnhusosxandé ehaleur - X. . 2,95». —. —— La différence entre ces. extrémes: 41,6. — Le Vent dominant: SOu. Intervalle entre la derniere. et la: premiere neige de l'an- née 157 jours. Jours: entiérement séreins 69, en partie séreins 174, coue verts. 122, brouMlards | 59. jours,. playe. 122 jours, Bios 84. jours; Orages. r2. XIvo 94 HISTOIRE. XIV. Extrait des observations météorologiques faites à Mos- cou en 1797, d'aprés le nouveau stile. Par Mr. Stritterj page 797. La plus grande élévation du barometre 27,92 pouces La plus petite élévation du barométre 26,50 — La variation totale SUME LS : 1,49 44 Le plus grand froid (thermométre Vie Béabinti) 21,5 deg. La plus srande chaleur: 77. BA IT La différence entre ces temperatures exu des 44,8 — Vent dominant: Nord. Intervalle entre la derniere et la premiere neige de l'an- née 160 jours. Jours entiéórement séreins 22, en partie séreins 105, cou- verts 238, brouillards, 1:8 jours, pluye 107 jours, neige 91 jours; orages r6. XV. Extraits des observations météorologiques faites à St. Pétersbourg en 1798, d'aprés le nouveau stile. Par Mr. 5. .4. Euler, page 808. La'plus grande élévation du barométre 29,37 pouces . La plus petite élévation du barométre - 27,900 — Wanation totale « . «6 NS S DU Inv MERE Le HISTOIRE. . $1 Le plus grand froid, (thermométie de Réaumur) 2»5,: deg. La plus grande chaleur SUMI EC uero R4 OL Difference entre ces extremes MAE e LAT UN RUE E. cud Vent dominant: SOu. Jours entierement séreins 84, en partie sércins 180, cou- verts ror, brouillards 57 jours, pluye i02, neige 63, - Orages 15. Intervalle entre la derniere et la premiére neige de l'an- née I44. jours MEMOI- y 5i ^ XII. MÉMOIRES ÉTRANGERS PRÉSENTÉS ET LUS ÀLACADÉMIE. Histoire de 1393 ct 1798. n LETTRE sur plusieurs Médailles dela Sarmatie d'Europe et de la Chersonése Taurique, adressée à l'Académie Impériale des Sciences de St. Pe- tersbourg par un.de ses Correspondans. Présenté et là en. Conférence le 8 Fevrier 1804. Messieurs? La Sarmatie d'Europe, celle d'Asie et la Chersonése Taurique, offrent encore un vaste champ pour faire de nou- velles découvertes dans la Géographie ancienne, la Numis- matique , et les Antiquités en général Depuis la glo- rieuse époque oü ces trois provinces ont été soumises au sceptre de la Russie, de célébres naturalistes se sont em- pressés d'y aller puiser de nouvelles connoissances, et leur entreprise a été couronnée du plus brillant succés. Mais jusqu'ici personne. n'a cherché à dissiper les ténébres qui .regnent encore sur plusieurs parties de l'histoire et des an- tiquités de ces pais. 1l seroit donc à desirer que lon s'ea occupát sérieusement, En effet de combien de villes gjéc- ques sitaées aux bords du Pont- Euxin, célébres par leur commerce et par leur opulence, sait- on indiquer l'ancien site avec précision ? Quel petit nombre de médailles an- n 2 ti- 100 HISTOIRE.. tiques de ces villes est parvenu jusqu'à présent à motre connoissance ! À peine les cabinets les plus distingues en possédent.ils quelques unes de trois ou quatre villes. Hà- tons nous donc, pour la gloire de la Russie et l'avantage des sciences, de prevenir les recherches que pourroient faire les voyageurs étrangers , et ne nous laissons pas enlever lhonneur des découvertes, ni la possession des précieux monumens de lantiquite , qui appartiennent de droit aux cabinets de $a Majeste Impériale. D'heureux hazards ont sécondé le desir que j'avois de contribuer à de semblables découvertes , en remplissant 2 devoirs de la place que j'ai l'honneur d'occuper. Dans l'espoir donc, que ce premier succés encouragera d'autres. amateurs, je n'hésite pas à Vous rendre compte d'une par- tie de mon travail. I] m'a déjà procuré la connoissance - de. plusieurs médailles inédites, et méme de quelques unes de certaines villes qui jusqu'ici n'en avoient point offert à notre connoissance. ^ À laide de notre recueil nous assig- nons à plusieurs médailles publiées et gravées en dilferens ouvrages numismatiques, leur vraie patrie, et nous recti- fions les opinions erronées de ceux qui les avoient clas- sées et expliquées avant nous, Voici une partie de ce recueil de médailles de la Sarmatie d'Europe et de .la Chersonóése Taurique. Aprés avoir traité de celles de la ville d'Olbiopolis, nous passe- rons à celles de la ville de 'Théudosie et de Héraclium. je * FE HISTOIRE. Téte de Satyre barbue et cornue. OABIO. Le coryte avec l'arc, et la hache. Fig. I. AE. II. Téte barbue et .cornue. | OABIO. Le coryte avec l'arc, et la hache. IOI Fig. IT. AE. II. M. lAbbe Sestine a decrit une médaille semblable. Descript. Num. Veter. p. 29. no. 3. La méme Medaille d'un: coin different. tites. Fig. LII. Du cabinet de M. le Général ds Suchtelen, Téte barbue et cornue. OABIO. AO. Le coryte avec l'arc et la hache. Té Du Cabinet de M. de Wiesioloviki, te barbue et cornue. AE. Il. . 44 et D. Mémes types, mémes légendes, mais plus pe- AE, II. OABIO. AIL. Le Coryte avec l'arc et la hache. AE.II. Du méme Cabinet. Téte barbue et cornue. : OABIO. AP. en Monogramme. Le coryte avec lare, - et la hache. Froel, Notit Element. p. 104. Gessn. Num Gr. Populor. et Urb. p. 302, Mus. Theup. p. 1285. AE. JI -— 102 HIST OTREI! $. Zéte barbue et cornue. OABIO. API, Le coryte avec l'arc et la hache. AE, If. Au Musée de l'Université de Góttingue. 9. Jéte barbue et cornue. OABIO. BOZ£X. Le. coryte avec larc, et. la hache. Fig. IV. et V AE. IT. M Mionnet a publié la méme médaille dans sa collection d'em- preintes de médailles du cabinet national de France, Nr. 358. p. 19. ro. Téte barbue et cornue. OABIO. AI. Le coryte avec l'arc, et la hache. AE. IT. Pellerin Rec. de Médaill. To. L. p. 204. pl, XXXVI. Nr. 16. . Téte barbue et cornue d'un caractére différent des pré- CRUECUN OABIO. EIT. Le coryte avecl'arc, etla hache. Fig. VI. : AE. Il. 12. Téte barbue et cornue. : OABIO. HI. en Monogramme. Le coryte avec l'arc, et la hache. Fig. VII. . AE. II. Du Cabinet de M. le Baron d'Asch, 13. Téte d'Hercule jeune. OABIO. H 'IIEE. Le coryte avec l'arc, et la hache. Fig. VIII. AI IT. Du cabinet de M. le Général de Suchtelen. 14. Téte barbue et cornue. . JOABIO. OE. Le coryte avec laic, et la hache. Ius. IX. AE. II. Du méme Cabinet. j X 5. Ys; 16. 17. 18. 19. 20 HISTOIRE. 103 Téte barbue et cornue. OABIO. OEY. Le coryte avec l'arc et la hache, AE. IT. . Au Musée de l'Université de Géttingue. Téte barbue et cornue. OABI....IB. Le coryte avec l'arc, et la hache. Àu milieu un autre petit coryte et une petite hache en contremarque, Fig. X. AE. II. Téte barbue et cornue. OABIO. IK. Le coryte avec l'arc, et la hache. Fig. XI. AE. IL Téte barbue et cornue- OABIO. ME. Le coryte avec larc, et la hache. Fig. XII. AE. II. Du Cabinet de M. le Général de Suchtelen. Téte barbue et cornue. OABIO. MI. Le coryte avec l'arc etla hache. Fig. XIIT. AE. IL. Téte barbue et cornue. | OAB. ... oY. Le coryte avec larc, et la hache. Fig. XIV. | AE. II. 21. Téte barbue et cornue. . ABI.. TY. en monogramme. Le coryte avec l'arc, et la hache. Fig. XV. - AE. Il. 22, 104. 22, 2:5. 24. 25. 26, Mis HISTOIRE Téte tourellée. OABIO. AP. en monogramme. Un homme ]le genou en terre, tirant son arc. ia AE. Il. Du Cabinet de M. de Wicsiolovski, : Téte tourellée, et une téte peu distincte en contremarque. OABIOII.... TON. E. Oiseau indistinct. Médaille de ji adu "barbare. AE. IL. Au musée de l'Université de Gulisgus Téte Ggsguec, et une petite téte casquée en jontremar que. OABIO...EIT... E. Proue de vaisseau. AE. II. Du Cibire de M. le Général de Suchtclen. Téte de Femme. OA BIO. MNA. Une branche d'arbre, TS IHE Pelle. Rec. de Médaill. To. I, p. 204. pl. XXXVI. Nr. 17. Téte de Femme. : OABI, Un Poisson, Fig. XVL - AR. H. OABIHOAEI... Téte d'homme couronnée de lauriers. BiROGEO. |-ajsits sur un daupbin. Fig. XVJI. AE. II, Du Cabinet de M. de Wiesiolovski. . Téte de Méduse de face. OABIH. L'igle aux ailes éployées sur un dauphin. Fig. XVIII. AE. MM. Du Cabinet de M, le Général de Suchtclen. 29. HISTOIRE. 105 29. Masque de face tirant la langue; un ornement en forme de Méandre autour de la téte. A en creux. Un aigle aux ailes éploiées de profil sur un poisson. Fig. XXI. AE. MM, Au Cabinet de M. le Général de Suchtelen, 3o. Masque de face d'un caractere different, tirant la lan- gue. Un ornement en forme de Méandre autour de la tete. A en relie. Un aigle aux ailes éploiées de profil sur un poisson. Fig. XXII, AE. MM. 31. Téte de Céres couronnée d'épis, ornée d'un collier. OABIO. L'aigle aux ailes éployées sur un dauphin. AR.I. Peller. Rec, de Médaill. To. L. p. 204. pl. XXXVI, Nr. 15. 32. OABIO ..... EON. 3Téte d'Zpollon , au devant le co- ryte, surmonté d'un monogramme compose des lettres XAP. En bas un caducée en contremarque. AA20.... ADOY :.. Un oiseau. Fig. XIX. AE, I. 55. déte de Jupiter ; un astre et un épi de seigle en deux contremarques. AE. III. OABIOGHOAITEQOQN. Une fleche. Sestini Lett. e Dissertaz, numism, To. IV. p. 9o. 34. Téte de Supiter. ; .OABIOTIIOAIT4Q,N. Une fléche. AE. II. Froel. Not. Elem. p. 72. ; Argoni Numism. To. 1. tab. XXXIV. Nr. 9. Sestini L. C. Ekhel Doctr. Numor. Veter. Vol, I, P. II, p. 34. Histeire de 1797 et 1798. o 35. 166 HISTOIRE. 55. Téte d' Apollon couronnée de lauriers. OABIOIIOAEFITEQN. La lyre, à cóté un astre. :AE. Ir. Sestini. Descr. Num. Veter. p. 29. jer a: 56. Téte d'Zpollon , un astre en contremarque. OABIOIIOAEITE(QN. La lyre, à cóté un astre. AE. IIT. Sestini L, C, 57. AYY MAP ANTONEtINOC C€B. Téte de Caracalla couronnee de lauriers. OABIOHOA.... Jupiter assis et armé de sa foudre dans la main gauche, et de la hastà dans la droite Fig. XX. AE. Il. Au Cabinet de M. de Wiesiclovski. La ville d'Olbiopolis a été fondée par une colonie milésienne assez long tems avant Hérodote, du tems de la Monarchie des Rois Médes a), dans la seconde année de la trent*- uniéme Olympiade b), ou dans la troisiéme année du regne de Phraortes, 655 ans avant notre Eie c). Elle avoit recü. de ses fondateurs le nom de Milétopolis, et il est probable que. les avantages que lui procuroit un com- 4) Herod, L. IV. c. 78. p. 358. Ed. Borh. Perpl Anon. p. o. ap. Geogr. Min. Huds, Vol L Scymn. Ch. Fragm. v. 56 — 62. p. 46, ap. Geogr. Min. Huds, Vol, II, b) Marsham. Chr. p. 552 c) Baieri Opuscula p. 145. L. HISTOIRE. 109 - commerce florissant, lavoient fait nommer Olbia ou Olbio- polis, ville fortunée. Le nom d'Olbie lui donnent Ptolémée a), Strabon b), et son Abréviateur c), Scymmnus de Ile de Chios do, l'auteur anonyme du Periple du Pont Euxin e), Aven f), Etienne de Byzance g), et Mela A); Hérodote i) et Pline A) la nomment Olbiopolis, le dernier aussi Olbia. Olbie étoit trés celebre par son commerce , comme Stia- bon 7) nous l'atteste, Les médailles d'Olbiopole que l'on a publiées jus- qu'a présent ne portolent point d'autre inscription que celle d' OABIO;, JV'abiéviation. d'OABIOIIOAEITOQN. On en a pu- € —M—— À— — ÀÓ MÀ -] — - ed mu Ted ead zm a) Geogr. L. III. c. 5. p. 74. Ed. Mont. b) Geogr. L. VII. p. 470. c) P. $8. ap. Geogr. Min. Vol, II. 4) Fragm. v. 59. p. 46. Ibid, Vol. Ik. £) P. g. ap. G. M. Vol. 1. PPeupl P. Ej. 2o. ib. ^g) In v. OABix. M. Mannert uoi ( Geogr. der. Gr. ui. Rón. Il gb. S. 93/9 que cette. ville .s'appelloiz par prééminence , 70 dzv , la cif , ce qui n'est pas tout.à -fait prouvé par le passage Mee (Ls IV. c. 78. p. 358.) sur lequel il se fonde, 5) De Sit. Orb. L. II. c. 1. p. 126. DULL AV. c. T8. S. 330. , &) N. H. L. IV. c. 12. 1) Strabon. (L. VIL. p. 470.) nomme Olbie péya PA mrogeio, et Hérodote (L. IV. c, 17. p. 330, Ed. Borh.) Bogude:eiréov. &zoeicv. o2 2z 108 HISTOIR E. publié aussi plusieurs oü la légende | Se trouve sans etre tronquée , mais quelques unes ont parü douteuses à ceux qui les ont publiées, et qui ont crü qu elles n'appartien- nent pas à Olbie de la Sarmatie, mais à des villes du méme nom dont neuf sont citées par Etienne de Byzance a). Cette question sera traitée particuliérement. Le nom d'Olbia ne se trodive que sur le médaillon en bronze d'une grandeur extraordinaire 0), tel que nous lavons cité au Nr. XXVIII. Il porte OABIH, qui est pla- tót le nom de la ville que l'abréviation dOARIHNQON. Il est vrai que le stile du dessin et la fabrique de ce beau médaillon sont tout-à-fait différens des médailles les plus communes d'Olbiopolés citées aux Nos I! — XXI. Mais nous croyons pouvoir attribuer avec toute certitude à la méme ville de la Sarmatie et ces dernieres et le grand médaillon. Nous fondons notre sentiment sur lobservation que les figures du revers, l'aigle sur le dauphin, sont le type ordinaire de plusieurs villes situées aux bords du Pont Euxin, tel que nous lavons trouvé sur cinq autres médailles de la méme ville, No. XXViI, XXVIII. XXIX. XXX. et XXXI Le lieu ou le grand médaillon a été decouvert prouve &) In v. 'OAB/a. b) La Méthode adoptée par Ekhel pour désigner la grandeur des médailles, ne nous paroit pas assez précise. Nous l'avons suivie parceque des piéces publiées dans quelques ouvrages sont marquées de cette maniere. Le médailon dont il est question est de la grandeur N de l'éhelle donnée dans le Cabinet de Hunter publié par. Lacombe. MIS nOHS 109 prouve la justesse de cette remarque, puisque c'est prés de Stomogil , village à 35. Verstes de Cherson , que Mi. de Suchtelen Ingénieur Général en Chef. l'a trouvé lui méme avec d'autres médailles qui ornent à présent la belle ,col- lection de cet illustre et savant connoisseur, qui a ed la bonté de nous fournir, un grand nombre de celles que nous publions. Quant à la téte. de Méduse de lavers, elle nous y paroit placée comme un embléme appartenant à une. nation guerriere, | Les boucliers en étoient ornés, elle se trouve donc sur les médailles d'Olbiopolis à la place du coryte et de la hache, les types ordinaires de cette ville. La figure au revers du grand médaillon est aussi sur la belle médaille en argent publiée par PeHérm'et rapportée au Nr. XXXI. On la voit aussi sur une autre médaille en brónze du cabinet de Mr. de /Z'iesiolovshi, que nous avons publiée au Nr. XXVII. Le süle de la der- niére médaille est barbare , et pour la légende au revers BIE"OOzOS, on doit faire la remarque qui aura lieu par rapport au revers du Nr. XXIV. Les deux dati rangés aux Nrs XXIX. et XXX. méritent l'attention des amateurs. Jusqu'à présent on ne connoissoit point encore de médaillons grecs d'une telle grandeur. Le travail des Medaillons des No. XXIX et XXX. est assez grossier et principalement | celui des re- vers, qui ne sont pas bien conservés, vü que le relief en est peu saillant. Le íió HISTOIRE. Le fasque tirant la langue se voit sur les médail- les de Populonie, de. Camarine, de Néapolis en Mace- doihe, d'Abydos, et de lile de Paros, ou de Parium en Mysie. - Les savans n'ont pas été d'accord sur la significa- tion de cette larve a). Sur les médailles :des plusieurs villes citées elle peut faire allusion au culte de Bacchus, Divinité . généralement révérée dans la grande Grece, 1a Thrace et la Macédoine ; car aux Ííétes célébiées en son honneur on portoit des masques et on se rassembloit au théàtre. Mais sar nos deux médaillons cette larve ést une téte de Méduse, le lopysiov, ou Pepyereiv, telle qu'elle se trouvolt ordinairement sur les boucliers pour inspirer la terreur et l'épouvante. Un tel symbole convient parfaite- ment aux habitans guerriers d'Olbiopolis." L| est encore à remarquer que nos masques ont pour coéffure un ornement trés propre. à former le bord d'un bouclier, dont il n'est peutétre que limitation. | Nous avons wü l'aigle sur le poisson, sur d'autres médailles d'Olbie. C'étoit l'embléme de l'abondance de la péche, avantage que la ville d'Olbie devoit à $a situa- tion sur les bords fertiles da Hypanis piés de l'embouchure du Borysthéue b), flenve tiés poissonneux c). La —— 4) Ekhei Num, Vet, Anecd. p. 12 — i7. Populor. et Reg. Num. Veter. Ined. Vol. I. p, 146. Voyez surtout lexcellente dissertation. de Mr. Bóttiger, intitulée : Die Fwrienmaske im Jraucerspiele und auf. dem. Bildswerk dc alten. Griechen, $. 109 — 112... 7 b Ptolem. ;L. 1L. i65. p^ 4s €) Scymn. Ch, Fragm. v. 66 — 68. Áp. Geogr. Vet. Min Huds. Vol. II: P.47* O)Tog HISTOIRE. II" La suite des médailles d'Olbie que nous nous empres- sons de Vous communiquer , nous met dans le cas de fixer quatre époques et d'assigner à chacune les médailles qui lui appartiennent. Les médailles de Nrs. Il — XXI. sont probablement les plus anciennes de toutes, elles- ont été frappées vers le tems de Philippe et d'Aléxandre le Grand; comme on le voit par la forme des caractéres de leur lé- gendes. Les.types d'un travail assez grossier prouvent que dans cetbe ville , quoique trés florissante , on ne se pi- quoit ni de finesse ni d'élézance dans les coins. Mais le grand médailon du Nr. XXVIII. appartient à une époque postétieure , élant d'un goüt tout - à - fait différent et plus épuré. Il fut sans doute frappé daus un tems ou les ha- bitans d'Olbiopolis avolent fait plus de progres dans les aits qui appartiennent au dessin , sil ne doit pas son ori- gine à une circonstance particuliére ayant plutót servi de médaille, comme nous le disons, que de monnoie courante, supposition que justifie sa grandeur extraordinaire. Le morceau qui a été placé au Nr. L. est. d'une époque moins ancienne que celle que nous avons assignée aux Oros (0 BeeuSévne ) dz Tob ay isi xeeiadésames , KrcT5 Mey Xi TAM X0 KUpTCUS Qfear ToUe Qvopgfvevs-vopeg Te Toe [doowüpuci. bero; Er "IV es gi. pi 305, Mela de Sit. Orb. L. IL. c. 1. p. 126: Borysibenes. intev. Scytbiae amnes amoenissimus , turbidis aliis, liquidissimus defluit plaeidor. quam. caeteri ,. pota- rique pulcberrimus. I1? HISTOIRE. aux médailes II— XXI. Au lieu de la téte barbue sans attribut, elle porte une téte de Pan surmontée d'une corne et exécutée avec beaucoup de délicatesse. Ayant ainsi distingué deux classes dans les médail- les d'Olbie, nous publions encore un morceau trés remar- quable , d'un goüt tout-à-fait différent. C'est avec le méme degré de certitude qu'on doit classer parmi les mé- dailes de notre ville de la Sarmatie d'Europe cette mé- daille en grand bronze rapportée au Nr. XXXII. D'un cóté on voit une téte d'Apollon, au champ le coryte, ou l'étui de l'arc et des fléches, avec l'arc dont on dis'ingue la partie qui reste à découvert. Le coryte étact l'embleme favori de la ville d'Olbie, on n'a pas voulü l'omeitre méme sur une médaille chargée de types différens, et on l'a fi- guré dans une tiés petite dimension. Le coryte est sur- monté d'un monogramme composé des lettres XAP, qui sont probablement les lettres initiales du nom d'un magi- strat nommé €haricles, Chaiidéme oa Charmides, sous l'adininistration duquel la médaille a été fiappée avec son portrait. Au dessous de la téte se trouve le caducée ailé en contremarque, qui efface la cinquieme syllabe de la le- gende d'OABIOIIO..ITON. 1l seroit difficile de déter- miner le motif qui fit' placer cette contiemarque sur notre médaille. Nous parlerons ailleurs de quelques d'autres mé- dailles portant cette contremarque. Peutétre que de nou- velles découvertes contribueront à éclaircir ce fait. Nous voyons par la forme des lettres et principalement de l'O- méga, que cette médaille n'a pas été frappée avant le mi- lieu du premier siécle, ou le commencement du second. | Le HISTOIRE. m "Le revers présente un/ oiseau, mais les lettres . AA OO... .. AGQOY...ne sont pas susceptibles d'explication. Y - ; La médaille citée au. No. XXXVII. -avec. le. por- trait de l'Empereur Caracalla, est la seule. médaille impé- riale d'Olbie, qui. ait été découverte jusqu'à présent. - Mr. de Il/iesiolovshi nous la communiquée. . Cette, médaille. qui appartient à la quatriéme époque de l'histoire. métallique de cette. ville,. nous apprend que la Sarmatie étoit une province zomaine sous 'le regne de cet Empereur, on peut supposer. qu'elle l'étoit déjà depuis quelque tems, puisque la ville d'Olbie avoit recu d'Antonin le Pieux :des secours contre les Tauroseythes, que ses troupes vainquirent et forcérent à donner.des otages aux Olbiens. aj). 74 ; 2 pe dics HiOMiinobs a été pendant; long ! tems "dans un: état. flossant. Dion Chrysostome, qui. s'y trouvoit. sous le zégne de. l'Émpereur Trajan, prétend. qu'alors. elle . étoit déjà déchue de son ancienne grandeur, et que les incuisions des peuples barbares ses voisins l'avoient ruinée.. lls avoient démoli une grande partie de la vile et des fortifications, ét renvérsé les statues dans les temples. ct sur'les tom- beaux. Ce füt environ 150 ans auparavant que les Gétes firent à Olbie leur derniere incursion, celle dont cette mal- heureuse ville eut le plas à souffrir. Une grande partie de cette ville étoit déserte lorsque Dion y vint. ll n'y avoit qu'une foible muraillé aSsez basse, et plusieurs tours des anciennes fortifications se tronvoient. si éloignées de la ville B Histaire de 1797 €t 3798. - p 4) Capitolin in Anton. c. IX, p. 270 — 271. 114 | HISTOIRE. ville habitée, qu'elles ne paroissoient pas en dépendre a. Quelque tems aprés l'Empereur Antonin y envoya des secours, "lorsque les Tauroscythes la ménagoient d'une invasion b). Olbie existoit encore au quatriéme siecle de notre ére c), et un auteur dà sixióme d) en parle comme d'une ville florissante. A-t-il suivi des relations d'écrivains plus an- ciens que lui, ou a-t-il puisé cette notice dans les écrits des voyageurs de son tems, .c'est ce que nous ne ha- zarderons pas de décider. On ne sait pas non plus indi- quer l'époque à laquelle la ville d'Olbiopolis fut détruite, Constantin Porphyrogénéte , écrivain. du neuviéme siecle, n'en faisant aucune mention. | La ville dont nous donnons les médailles étoit nom- . mée, comme nous l'avons observé plus haut, Milétopolis, Olbie ou Olbiopolis. Le premier nom, dérivant de sa Mé- tropole, paroit avoir été le plas ancien. Dans la suite, aprés l'accroissement de son commerce et de son industrie, la ville regat les derniers noms. que nous avons retrouvés sur les médailles, tandis qu'aucune ne porte le premier. II faut observer encore," que cette ville étoit déjà connue du tems d'Hérodote sous le nom de Borysthénes e), ou 4) Borysthen. p. 74 — 77, . Ed Reisk; Vol. 1k. b) Capitolin. in. Anton, c. IX; p. 270. — 271. Ed Salm, et Casaub. : Anmian. Marcelli. L. XXIL c. 8. P. 203. 4) Jornand. Get. c, V. p. &, Strab. Steph. et Plin. LI; €C: HISTOLÓBE i15 ou Borysthénis à), provenant du fleuve Borysthénes à l'em- bouchure duquel elle étoit bàtie. Mais quoique Pline b) et Scymnus c) assurent, que cette denomination étoit posté- rieure à celles de Milétopolis et d'Olbiopolis, ct que Dion Chrysostome d), Ammien e) et Jornandes f) ne citent que le premier nom, il paroit que les habitans grecs ne s'en servoient point pour désigner leur ville, mais plütot qu'il n'indiquoit qu'une partie du territoire d'Olbie, celle qu'ha- bitoient les Scythes, comme on peut s'en convaincre en lisant un passage d'Hérodote g?, que nous citerons encore plus bas. Les Scythes s'appropriant aussi le. nom d'Olbio- polites, il sen suit que le nom de Borysthénites ne peut se trouver sur aucune médaille, Méla Ah) cite Borysthénis j p 2 et 4) Ptolem. Geogr. L. III c. 5. p. 74. Ed, Ment. Mela. L. C. b) Nat. Histor. .L. IV. c. 12. sect. 26. pag. 217: Borystbenes lacusque et . gens eodem nomine et oppidum. — . Olbiopolis et Miletopolis antiquis uomi- nibus. €) Peripl, v. $6 — 60. ap. Geogr. Min. Huds, Vol. II. p. 46: Ezi d vais xaO Yeyw ww] Beeudvgw Tav dvo] zorauóv cvu[2oAcis isi zóNc Krideiem, rgóvegoy OAlas waAcvptvr Merc rxv9 vQ 'EAX(fvev zt&Aw Bogudjtrue KAgS&cx. d) Borysthen. p. 74. Vol. II. Opp. Ed. Reisk. e L. XXII. c. 8. * fj Get.-e- V. p. 23. | £) L. IV. c. 18. p. 33o. Ed. Both: Ysi9e; yeweyo!* TtUe "EXAMmves ci E397 3:0; — t , ^ DA . oi«fovrsg £7zi TO Yzoyv, grTMUaQ xaAtevci Bogudjeveiras ' atas dé euros, ODA(Ai7zroAITEe. . 6) De Sit, Oib, L. Il. c. 1. p. 126, Ed. Gron. ri6 HISTOIIR/E: et Olbie comme deux villes différentes, et Jornandes s'ac- corde avec lui, ce qui prouve l'intégrité du texte de Mela et l'inutilité de la correction faite par Pintianus à l'endroit cité. * 1l] seroit intéressant de comparer nos médailles avec celles du cabinet de Mr. ;4insley citées aux Nos; XXXIV. XXXV et XXXVL |. La légende de' quelques| unes de ces médailles porte OABIOHIOAEITEON au lieu d'OABIODC- AEITON. Mr, l'Abbé Sestini qui les a décrites n'en a pas donné la figure. D'ailleurs cet habile connoi:seur n'ose pas lui méme les référer à Olbie de la Sarmatie, ni à aucune autre ville du meme nom a) Mais elles appartiennent à Olbiopolis de la Sarmatie aussi bien que celles sur les- quelles on voit la téte d'Apollon et la lyre, emblémes triés convenables| pour une colonie des Mi'ésiens, dont Apollon étoit. le Dieu tutélaire, comme l'a déjà observé Mr. l'Abbé Sestini b Nous avons cité ces médailles. aux Nos. XXXIII et XXXVI. La médaille du No. XXV. que Pellerin a publiée saus lattribuer positivement à Olbie de la Sarmatie cj, à cause de [a fabrique. entiérement: différente, a été raugée avec raison par Ekhel au nombre des médailles de cette ville. | 1l &) Lettere e Dissertaz. To. IV. p.. oo. b) Descript, Numor. Veter. p. 29. €) Lexic, Univ. Rei Numar, To. III. P. II. p. 75, HIÍSTOIRE:- 117 Il faut ici relever une erreur qui se trouve dans louvrage trés utile de Mr. Rasche. La médaille d'Olbie, No. VIL. de notre collection, s'y trouve raugée à la téte de celles d'Olbe au Olbase, ville de la Pamphylie, parce- que l'auteur a suivi lopinion de FProelich, de Gessner et de l'auteur du Museum Théupoli. Les types de la médaille placée au No. XXVI. se distinguent d'avec les coins ordinaires d'Olbiopolis. Quoi- que la fabrique ne-soit pas la méme dans les piéces qui la précédent ni au No. XXVII. cette médaille appartient néanmoins à notre ville de la Sarmatie, puisque la téte sur l'avers, d'un travail grossier, ressemble sous le rapport du goüt aux médailles qui portent une téte barbue. D'ail- leurs cette piece a été trouvée dans l'enplacemepbt de l'an- cienne ville d'Olbie ainsi que toutes les médailles que nous vénons de publier. | Les types des revers des Nos. XXIV. et XXVI. ne nous permettent pas de déterminer ce qu'ils représentent. Cette incertitude ne provient pas de la mauvaise conser- wvation de ces médailles, mais de leur fabrique grossiére. Ce qui nous paroit le plus vraisemblable, c'est que l'on a voulu représenter une proue de vaisseau. N'ayant point jusqu'à présent remarqué de fléche sur les médail- les d'Olbiopolis, nous ignorons si deux médailles du cabi- net de Mr. Ainsley publiées par Mr. Sestini, et rangées aux No. XXXIII. et XXXIV. XXVIII. et XXIX. ne portent pas plutót la méme figure indistincte que l'on voit sur nos ENS. —: MEUS HUONURUR nos médailles. La proue de vaisseau feroit alors allusion . au commerce maritime de la ville d'Olbiopolis. On doit regarder comme des morceaux tiés curieux les médailles décrites aux No. XVI. et XXIV. La petite contremarque sur les revers ayant les mémes types que les revers eux- mémes, nous prouve, qu'elle doit son origine aux habitans d'Olbie que les circonstances peuvent avoir forcés de faire un changement dans la valeur de leur mon- noie. C'étoit un expedient employé par Leucon a) et Denys le tyran b) pour doubler la valeur de la monnoie cou- rante de leur pais. La contremarque que l'on y ajoutoit pour cet effet est nommée Xagax7. Le type des médailles No. II. — XXL. que nous croyons les plus anciennes de cette ville, a été sujet à differentes explications. Nous nommons simplement téte barbue et eornue c) celui de l'avers. La comparaison de plusieurs de ces tétes et leur analogie avec celles qui sont sür les médailles de la Chersonese Taurique, nous en- gagent à les attribuer plutót au Dieu Pan qu'à toute autre Divinité. Ce Dieu est xéprésenté, comme les Satyres, tan- tót avec des cornes ou des oreilles pointues, tantót sans aucun de ces attributs. C'est 4) Polyaen. Strateg. L. VI. c. 9. p. 564. Ed. Maasv. b) Aristot Oecon, L, II. «€) Corrigez dans l'ouvrage d'Ekhel (Doct. Num. Vet. P. L. Vol. ]L p.34. derniére ligne du texte) unc faute typegmphique ; et lisez Jouis au lieu de bouis. ED HISTOIRE.- 119 C'est ici le cas de] remarquer quelques inexactitudes commises par tous les écrivains numismatiques par rapport aux revers des mémes médailles qu'ils ont citées ou pu- bliées. Ils nomment carquois ce qui n'est que létui oü se plagoit l'arc, lorsquon ne s'en servoit pas. Cet em- bléme particulier aux médailles d'Olbie est le Corytus a), Xcwoulóg b) ou Fwev/óg c), To£o35»x; d), Yétui de lare. Il servoit aussi souvent de carquois, pouvant renfermer Parc. et les fléches e), et celui que nous voyons sur les médailles d'Olbiopolis est de ce genre. On voit un coryte servant au méme usage sur une médaille d'Antiochus I. "Soter 4) Serv. in Aen. L. X. v. (69. f "Lactant. in Stáàt. Theb. L. IX. v. 739. b) Etymolog. in v. L2. £) Ham. Odyss. L. XXI. v 53 — 54: — — — am Tuo eivuvo TOLoy . Avr *yaguTa, e$ oi greeixetro Qaevos. 4) Schol. Aristoph. TaUG. e) E:ymolog. L. C: Xeegvróéc 5$ và exa» Dt, XapuTós Tue DA moo Té Xgey T& ÓuT4, ToUT ig) Tà TOLu, q, TO (A4, ew, Wy và Sur x egeo. Schol. Hom. in Odyss. L. C: TLegurós 5 9/«4 ToU TóÉov. Sil Ital. Punicor. L. VIL v. 443 — 445: Parwulus ex bumero corytus et aureus arcus Fulgebat, mutuque uetans trepidare parentem Monstrabat, grauidam: telis. se. ferre. pharetram. Serv. L. C. Proprie eoryti sunt arcuum. dbecae , — dicuntur | etiaro sagittarum, s: f20 | BIS'PONBBE! Soter à), et dans les mains de Philoctéte sur une pierre £ravée du Baron Sto:ch b. 4A cóté du coryte se trouve sur toutes ces médailles d'Olbie, la hache, Il£Asxuc, en usage chez les peuples barbares, comme les Gaulois, les " hraces et les Amazones. Les Olbiens, quoique Grécs de nation, l'avoient adoptée parmi leurs instrumens de guerre, afin de combattre à armes égales les T auroscythes, que le voisinage rendoit. souvent leurs ennemis. Les Athéniens se servoient également de la hache, du tems de Thésée, qui sur le fronton. du temple de Jupiter. Olympien etoit représenté armé: de cet instrument et combattant contre les Centaures c). Dans la svite il n'y eut chez les Giécs qu'une partie de la cavalerie légére qui füt armée de haches d). Parmi les médajlhss d'Olbiopolis qui nous paroissent €tre les plus anciennes, il y en a quelques unes qui portent, outre l'inscription OABIO, des- lettres à ^cóté de la hache. Ce sont celles des:Nos.;|V — .XX].. ] y en a d'autres, oü ces lettres ne se trouvent. pas No; I — IV. Ces me- dailles a) Pelle. Rec. de Medaill. To. III. pl. III. No, 7. b) Winkelm. Mon. Ant. Ined. No. CXIX, c) Pausan, Eliac. T, c. 5. p. 42, Ed. Fac, d) l'ausan. Phoc, c. XX. p. 220. Suid. in v. Izrrixq. Winkelmann qui cite ce. passage de Suidas (Monum. ined. p. 8o) croit que cet auteur parle de linfantene, Mais il n'en est pas question, et les anciens monümens avec les batailles des Amazones nous prouvent que la hache étoit l'arme parfículiere de la cavalerie légére, HISTOIRE. 121 dailles étoient toutes inconnues avant mes recherches, à l'exception de No. VIL. et de celle publiée par Pellerin portant les lettres AI, No. X. de notre recueil | Alors sans doute il étoit permis de supposer que ces lettres AT mar- quoient le numero XIV. et avoient rapport à une époque de l'istoire de cette ville d'Olbie, ou à la durée de quel- que magistrature. Mais les médailles que nous publions à présent, marquées, des lettres AO. Au. AP. API. BOX. EIL HI. H IIEE. QE. OEY. IK. ME. MI. OY. TY. nous prouvent qu'une telle supposition ne peut pas avoir lieu, et que ce ne sont probablement que les lettres initiales du nom des magistrats de cette ville. | Il est encore à remarquer que la médaille rappor- tée au No. Xill. doit étre mise au nombre des médailles les plus rares de la ville d'Olbiopolis, parcequ'on y voit au lieu de la téte barbue celle d'Hercule jeune couverte .de la peau du lion. Nous finissons en observant, que la médaille citée au No. XVII. portant sur son avers la téte barbue et cornue, est la plus belle par rapport à sa conservation, En effet elle est à fleur de coin, couverte du plus beau vernis verd, et le caractére de la téte est tout-à-fait diffé- rent de celui des tétes que lon trouve ordinairement sur ces médailles. La médaille de la Chersonése Taurique dont nous devons rendre compte suivant l'annonce que nous avons faite au commencement de notre lettre, est un morceau Histoire de 1797 et 1798. q d'une EU HISTOIRE. d'une trés 'grande rareté. C'est une médaille en petit bronze de la conservation. la plus parfaite, frappée dans la ville de "Théudosie dont les médailles n'ont point été connues jusqu'à présent. En voici la description: d Téle virile imberbe casquée. OEY. Le coryte et la massue. Fig. XXIII. ; AE. III Cette belle médaille peut servir à déterminer le vrai nom de cette ville, appellée Théodosie, par Ptolemée a), Stra- bon b), Pline c), Méla d), Arien e), et Ammien f); et Théu- 4) Geogr. L. III c. 5. p. 74. "Tab. Urb. Insign. p. 16. P) Geograph. L. VIL p. 475 — 476. Casaubone a raison de supposer (Not, in Strab. L. C.) que le texte de Strabon cité par Étienne de Byzante portoit anciennement Oeudceig. — C'est donc par erreur que Berkel (Not. in Steph. Byzant, in v. Qevdecim ) rejette lautorité des manuscrits du dernier auteur, dans lesquels on lit Qeudeem au lieu de bebo: quoique l'ordre des lettres dans le dictionnaire d'Etienne, tel que nous l'avons à présent, et sur lequel se fonde Berkel, soit un argument en faveur de la derniere orthographe. £) Nat, Hist. L. IV. c. 12. s 26. p. 218. On trouve aussi dans quelques manuscrits T beudosia, d) De Sit. Orb. L. Il c. x. p. x22. i s) Peripl. Pont. Eux. p. 20, ap. Geogr, Min. Huds, Vol, I, f) Histor. L. XXII. c. 8. HISTOIRE. 124 Théudosie par Scylax o), Démosthéne 0), Polyen c), Ar- pien d) et Etienne de Byzance e). Qaoique tous les deux noms reviennent au méme, ct que le dernier, Théudosie, provienne de la prononciation en dialecte éolien f), il est pourtant intéressant d'observer, que notre médaille vient à l'appui du sentiment des derniers auteurs. Flle nous fait - voir, que le dialecte éolieg étoit en usage dans cette ville, et que Théudosie étoit le nom employé dans les monu- mens publies de la ville. D'aprés une tradition qu'Ulpien nous a conservée 9); la ville avoit. tiré son nom de 'Théodosie, fille ou soeur du roi Leuconu. L'auteür anonyme du Périple du Pont euxin h), nous apprend que la ville de 'T'héudosie etoit appellée dans le deuxieme siecle en langue tauroscythe virdauda', c'est-à-direj, ville à sept Divinités. Ce nom ren- ferme une allusion quil n'est pas possible d'expliquer. | q s La 4) Peripl. p. 29. ap. Geogr. Min. Huds. Vol, IT b) Advers Leptin. p. 567. Ed. Reisk. Advers. Lacrit. p, $96. Ed. Vol£, Bas, 1572. €) Strategem, L, V. c. 23. p. 5o9. Ed. Maisv, d) Bell. Mithrid. p. 407 et 419, Ed, Toll, €) In v. Oevdeeia. f) Les Eoliens prononcoient et écrivolent Y su lieu de Ó. ls disolent pat exemple JuQaAós, yis, vgow», au lieu de 6p QuAS s pdyiss epoicv. Voyez sur cela Jean le Grammairien. £) In Demosth. Orat, in Leptin. p; 129. Ed, Volf. Bas; 5) P. 5. ap. Geogr, Min, Huds,- Vol. I, 124 HISTOIRE. à La légende de notre médaille OEY ne porte que les initiales de GEYAOZIA ou de OEYAOZIEGN ou OEXY- AOZIANAQN a). Le travail de l'avers de notre médaille est du plus beau stile, 1l représente une téte casquée, peut-étre celle d'un des Tyrans qui régnoient au Bospore, et étoient mai- tres des villes grécques circonvoisines, avant que Mithra- date en fit la conquéte b) Cit avers ne le céde point aux plos belles médailles de Philippe, d'Alesandre et de . Lysimaque. | Les lettres du reveis sont garnies de petits points à leurs extiémités. On peut donc supposer avec raison, que notre médaille a été frappée à peu prés da tems de ces Rois. Le coryte et la massue. sont les armes des nations barbares, comme nous l'avons observé ci- dessus par rap- port à la hache. Klles furent adoptées par les habitans de la vile de Théudo:ie, oü les arts et ]e commerce flo- rissoient, La colonne de Trajan nous représente les Daces combattans avec des massues et une des Arazones en est armée sur un basrélief de la villa Borghese c). ' La 4) Steph. Dyz. ia V. C, S - P) Suab. Geogr. L. VIE. p, 476 — 477. Justin; L. XXXVII. c. «) Wink. Mon. Ant. Ined. No. CXXXVIIL HISsTOUE"- T La ville de Théudosie étoit célébre par la fertilité du sol, par la sureté de son port,. qui pouvoit contenir cent vaisseaux a), et par son grand commerce de bled avec la ville d'Auiénes b.. Elle a été fondée par les Mis lésiens c) et elle tomba ensuite. au pouvoir des Bois du Bospore d). mais 'lhéudosie mn'existoit déjà plus au deuxieme siécle. Les limites du royaume du bospose s'étendoient avant Strabon jusqu'au port de T'héudosie, qui servoit aussi de frontiere pour le pais des Tavuroscythes €). Mr. La Combe avoit pris une médaille en bronze de Métaponte de la Lucanie pour une medaille de la ville de Théudosie. Sur cette médaille on voit d'un cóté Mer- cure debout, de l'autre un épi d'orge, avec l'inscription GEOAOC f/)- Mais les types et la fabrique de 1a médaille, comme aussi la forme des lettres € et C, ne repondent pas à cette assertion, déjà désapprouvée par Ekhel g). Le nom &) Strab. L. VII. p. 47s — 476. b) Demosth. in Lept. p: 467. Ed. Reisk. M: Heeren a: contondu la ville de "Théudosie: avec celle d'Olbiopole;. Voy. son ouvra;e classique: ídeem zber die Polit.. den Verk.. u. d. Hand, den. ur» mebmst. Vülk. d. alt. Welt. M. Th. S. 58o. £) Arrian. Peripl. Pont. Eux. p. 2o. ap. Geogr, Min. Vol. I. . Anonym. Peripl Pont. Eux. p. s. ibid. 4; Appian. Bell, Mithrid. p. 407. et 419.. e) Stab. LC. f) Num, Guil. Iunter. tab. IX, He vp 325 £) Doctr. Num, Veter P. L. Vol, IE. p. 5, Sestini Geogr, Numism. P. II. p. 20. 126 - HISTOIR E nom du magistrat Theodosius a induit La Combe en er- yeur, en lui faisant awribuer cette médaille à notre ville de la Chersonése Taurique. 1. Téte d'Hercule imberbe couvert de là peau du lion. HPAK . Arc et massue. Fig. XXIV. AE. If. Ekhel Catal, Mus. Caes, Vindob. To. Lp. 47. tab. rt, fig. I. Ej. Doct. Num. Veter, P.L, Vol, IE. p, à — 3. 2, La méme téte,. | HPAKA .L'arc et la massue, avec tm appendice à ce dernier attrubut, en forme de globe. Fig. XXV. AE. IL Milit. Motum, fried: "Ep. E e IL p. 35 — 17 Mionnet Collect, d'Émpr. No, 356, p. 19. 3. La méme téte. : | HPA. L'arc et la massue, AE. II. va ^" 7RA&u trésor Frédéric à Gotha, La patrie de ces médailles nous paroit encoré pro- blématique.. Leur légende HPAKA, labréviation de HPA- KAEON, HPAKAEION, ou HPAKAEIOTON, indique une des anciennes villes qui tirolent leur nom d'Hercule, et en effet on voit son portrait et ses armes sur les deux mé- dailles citées. Ekhel, qui a publié la premiere de ces anédailles, la croit de Héraclium, ville dont paie Ptolé- imée d) qui la plsoey sur cette partie des cótes de la Der rde 3 : ^ E Ar ti "—À 4) Geogr. L. III. e. 5, p. 75; 1 i Ji HISTOIRE. 12$ ride qui se trouve baignée au nord par les eaux du Palas Méotide. Cette opinion a été adoptée par Mr. Millin, édi- teur de la médaille du No. Il. Mais Mr. La Porte da Theil a) ne veut pas partager le sentiment de ces deux savans, parceque Ptoléimée, dit il, est le seul Géographe qui parle de la vilie d'Héraclium. Le silence de Strabon, de Méla et d'Etienne de Byzance lui prouve, ou qu'ils n'en avoient eü aucune connoissance, ou que cette ville étoit trop peu importante pour etre citée avec les vingt- trois de ce nom dont le dernier écrivain fait mention b). D'ailleurs il reclame l'autorité de Strabon c) et de Pline d), qui appellent la ville de Chersontse en "lauride gói» "HeaxAswrov et Heraclea - Cherronesus, On pourroit convenir que les argumens en faveur de Mr. du Theil sont assez spécieux et qu'ils nous donne- roient de plus grandes probabilités, quant à la vraie patrie de ces médailles que ne le fait l'idée de Mr. Ekhel, si Ptolémée eüt fait seul mention de cette ville d'Héraclium. Mais l'assertion de Mr. du Theil doit étre refutée d'apres un: passage de Strabon, ou ce célébre Géographe, en traitant de l'Asie, fait une digression qui indique ties clairement lancien site d'Héraclium dont Mr. du Theil revoque en doute l'existence méme, Strabon nous dit: ,sur le rivage | opposé 4) Biblioth, franc. red, p. HOsgeus. IL Ans, No. XL. p. 5 — 07. | b) Tn. v. "Heskoe, £) Geogr. L. VIL p. 474. 4) Nat, Hist. L. IV, c. 26, p. 175.- 128 HISTOIRE. opposé à l'Achilléum se trouve le village Mymécion, et ,1e village et promontoire Parthénium, trés prés d'Héra- . clium a). Le texte de Strabon est à la vérité: corrompt. dans ce passage, mais la correction faite par Casaubone est si évidemment juste, qu'il est inutile de s'améter à l'idée de ceux qui prétendent que la citation d'Héraclium n'est que la remarque d'un copiste. D'ailleuis Ptolémée et Strabon sont parfaitement d'accord sur lemplacement de cette ville. Voici donc l'existence de Héraclium bien constatée. Mais si néanmoins on vouloit étre du senti- ment de Mr. du Theil et que les deux médailles que nous avons publiées parussent plutót devoir étre attribuées à Heraclée - Cherronesus qu'à LHéraclium cité par Ptolémée et Strabon, nous devons indiquer ici tout ce qui détruiroit encore une telle opinion.. Remarquons donc en premier leu, que la fabrique de ces médailles est trop barbare pour étre louvrage des Héracléens de la ville de Cheno- nése, une des plus florissantes de la Tauride et celle dans laquelle, selon Pline b), on avoit conservé les moeurs et les usages de la Griéce. Ces Heracléens n'avoient point avec les habitans primitifs de ce pais cette liaison qui existoit à Olbie entre les Grecs de Milet et les Scythes, comme nous l'avons prouvé. Cette observation seroit donc en faveur de l'opinion de Mr. Ekhel, suitout depuis que nous avons mieux constaté l'existence de la ville de Héraclium. Les 4) p. L. XL p. 756: Xv iy 77 Tregoiot ro Mvejukioy Kot, Koi T$ IlaeSévioy* zrAnciov 3i vov He«xAeícu ró [lagO£viov. b) L, C : Praecipui nitoris in toto eo tractu, custoditis "Graecae. moribus HISTOIRE 129 Les types de ces médailles, larc et la massue, sont, à là vérité , les emblémes qui se trouvent ordinairement sür les médailles de la Chersonése Taurique et de la Sarmatie d'Asie ; la fabrique de nos médailles ayant aussi beaucoup de ressemblance avec celles de ces contrées. Mais il faut observer en second lieu, que dans le grand nombre de imé- dailles troavées depuis plusieurs années dans la "Tauride et dans les deux Sarimaties , nous n'en avons jamais ren- contré une seule de Héraclium semblable à celles que nous publions ici *). Ajoutons encore que Mr. Ekhel dit en avoir và un grand nombre a^, que Mr, l'Abbé Sestini nous assure , que beaucoup de médailles semblables lui ont été apportées de la Carie b), et il y aura beaucoup . dinvraisemblance dans lopinion qui leur donne' là Cher- sonése "llaurique pour patrie. Doit-on donc les attribuer à l|Héraclium de Ptolémée et de Strabon , ou plutót à Hé- raclée au Pont, ou à celle en Bithynie? C'est une que- stion qui ne peut étre décidée que lorsque de nouvelles découvertes nous auront donné des éclaircissemens ultés - rieurs à ce sujet. | ke 1 Il seroit également difficile d'expliquer ce que sig- nifie cet appendice au milieu de la massue au revers du Nr. IL. Il servoit, nous dit le savant éditeur de cette mé- | daille por . 4) Doctr, Num, Veter, L. C. b) Geogr. Numism. P. II. p. 19. Hiteire de 1793 et 1798..— T 150 HIS'TOIRE. daille *), a manier la. massue, à la retenir sur l'épaule ou à la suspendre. | Avouons que quoique cette couryoie, "Auge. par laquelle on manioit peut-étre la massue, ne soit pas placée à un endroit convenable , cette idee n'est pas dénuée de vraisemblance. Mais nous craindrions de passer. les bomes que nous. nous sommes préscrites dans la lettre que nous avons l'hon- neur de, Vous adresser, si nous. nous étendions davantage. sur les anciens monumens de la Chersonése Taurique.. C'est une maticre qui mérite d'étre traitée avec des détails plus particuliers. Qu'il me soit. permis, Messieurs, de Vous assurer de toute ma considération, agréez-en lhommage respec- tueux. " | 1 Koehler. *) Monum, Ined. L, C. p. x6. DU- HIS'TOIRE. I4r CONTRA JOSEPHI GALL. de organis in cerebro distinctis, mme cramii (s detegendis, hypothesin. chr Carolo dsmund. Rudolph. : Be x7 | qn ^i Exhibita in Conventu:die 25 Febr. 1803. et lecta die 30 Maj. 1804. A! TE" l2i jc ' Nostia aevi cognitionem. anatomicam si cum vete- rum placitis. comparámus , de successu, quocum recentio- res in microcosmo indagando occupati fuere, non possumus, quin nobis gratulemur, Plurima vero, antecéssoribus oC- cülta , nobis clara fulgere , non est quod mixeris, artis enim cultorum nümerus quotidie augetur; datur ubivis et facillime tam homines, quam bruta secandi occasio; admi- nistratiionem denique anatomicarum ratio multiplicatur, | Inter omnes corporis nostri partes cerebrum. praeci- pue anatomicorum in se vertit oculos; partium ejusdem et formam et. nexum optime exposuere , "adüotavére aberratio- nes in eodem máxime notabiles, humani denique et be- stiarum encephali comparationem — si temporis, ^in qua culta fait , ratio habetur — satis perfectam reddidere. Si- tu oS Intus 135 HISTOIRE. mulac vero in singularum illius partium usum inquirimus, labyrinthum intramus, in quo filum Aradneum adhuc desi- deratum est. Sgosephum Gall, viram egregium, isto ex labyrintho exitum promittere , nemo ignorat, et quam observationibus physicis innisus condidit theoriam., medicorum et Philoso- phorum numerus non exiguus summo cum applausu accep- tam fovet. Hypothesis autem , quo plura promittat, eo magis, ne arbitraria recipiatur , curae cordique nobis sit.- Vir ingeniosissimus itaque cum mihi novae theoriae dogmata Viennae traderet, quaelibet ejusdem | momenta caute- ponderabam , variaque , quo minus stabilita videri possit, exsurgebant dubia. Haec tum temporis cum viro dilectissimo communicavi, et ipse, ut theoriam magis ma- gisque perlustrarem , et quae contra eandem orirentur du- bia, publici juris facerem , auctor fuit. Ab eorundem enim, qui suas hypotheses dubiis majores putant, aut iis- dem oftéudadtnr, abhorret. opinione, ita lut quae jam theo- riae opponam argumenta, metaphysica cum non sint, ami- ce ab eodem assumta iri, persuasissimus sim. Ordo ,, quem in dijudicanda hypothesi secutus sum, si minus placet, lectorüm. veniam me íacile impetratarum spero ,, in physiologicis enim ex causis notrssimis nihil eo magis arduum , ét po sua quilibet theoria alium aliumve sequitur. Ani- ——— HISTOIR f£ | £33 Animalium seriem oculo attento si perscrutamuür, in simplicissimis v. c. infusoriis et vermibus intestinalibus ") cerebrum nervosque distinctos non offendimus, attamen vero cum et sensus et motus prodant, reliquae eorum cor- poris materiae nerveam. quoque immixtam esse , Scarpae, Hunteri, aliorumque hypothesis non est rejicienda. In vermibus magis compositis nec non insectis nervos distinc- tos habemus , de quibus Willisii, Swammerdamii, Lyon- neti, Scarpae , Mangili aliorumque icones, qua partem ni- tidissimae consulantur. Ipse vero cum in plurimis systema nervosum cultello subjecerem , et ditissimam hujus generis collectionem in theatro zootomico Parisiensi apud Cuvie- rum summa cum attentione contemplatus: sim, cerebram in plurimis desiderari, et totam eorum: systema: nervosum non cum: cerebro et medulla spinali, sed potius cum: nervo sym- pathico m:gno animalium: perfectiorum comparandum esse, celeberrimo Girardo, anatomes in schola veterinaria Alfortensi professori meritissimo facillime: darem. In systematisLinnaeani clas- 5) Cl. Cuvier. ( in. libro: apatomem Comparatam tradente ,. perquam egregio - . es sine pari) Ascaridi lumbricoidi ,. tam: hominis , auam equi ,, systema nervosum. adscribere ,, et in reliquis intestinalibus nobis tantum latere, non deesse, hypothesim dedisse, me non fugit, at ipsa ejus descriptio huic sententiae contraria, et illam potius probat, quam in diario Cl. Wiedemann: zoologico: et zootomico: fusius a. me expositam hic tantum indigitavi. In Ascaridibus. dictis lineae. longitaüdimales binae musculos transversos. colligentes. cl; vito:,, et jam: ante. eundem: Wernero ,, pro. net- vis habitae, Ia Strongylo giganteo. mihi dicto, vermium omnium tere- tium longe maximo, in. Échinorhyncho: Gigaute et omnibus reliquis in-. testinalibus ,' quos: examinavi plurimos ;, nervorum ne vestigium quidem: eultelli ope detegitur;. 154 HISTOIRE: classibus prioribus quatuor nec . cerebrum : nec medullam spinalem desiderari, neminem fugit. " Animalia omnia cum vita fruantur, sed non itidem omnia cerebro gaudeant, hoc ad vitam animalem :cónstituen- dam non essentiale dicr posse, jure colligitur, Huic. eo magis standum , cum foetus tam humani, quam brutorum non raro cerebro quin et simul medulla spinali destituti; ceieroquin' vero maturi et vivi in lucem edantur.^ Quid? quod interdum partes tantum foetu'im excluduntur, sed. iti: dem maturae, harum exemplo sit foetus cervi, in theatro zootomico Parisiensi servatus, qui extremitatibus tantum posterioribus (genitalibus masculis et ano additis) consistit, üt caput, truncus, et extremitates anteriores desint. Nervi in ejusmodi casibus quum non desiderantur, hos a cerebro ortum non ducere evincitur, quod praetereundo moneam. — Hisce denique vermes addo, quorum nonnulli sectione transversa divisi optime regenerantur, ut utraque pars tane dem vermem perfectum sistat, et vitam conservaverit, li- cet in altera tantum parte cerebrum adesse potuerit. Opti- mum certe vitae absque cerebri auxilio protractae docu- mentum ! - Cerebrum vero cum vitam non constituat anima ilem, an quod pro sensorio communi habeatur, dignum cst ? Digoum omnino. liomo, qui omnia reliqua animantia ani- mae viribus longe superat, cerebro excultissimo, et si cum nervis comparatur , maximo ornatus incedit ; omnes et sin- gulae corporis bumani partes salva conscientia salvoque in- tellecta. passim laesae observantur, encephali autem lae- Si- M ES TDO:DR E 155 $Iones graviores , praesertim subitaneae, eosdem semper vel varbant , vel tollunt. Alteram prae ceteris in cerebro excellere partem, ut huic tantum sensorii communis spartam concedas, non videmus. Quaelibet hinc inde absque mentis jactum laesa, est, cum e contra laesio major quavis in cerebri parte exi tiosa sit, Interiorum partium laesio quibusdam gravior vi- sa, at nonnisi plurima destruendo ad interiora veniri, in- deque exitum fatalem facile explicar , alio loco monui. Multa ferr posse, praesertim ubi labes encephali sensim subnascitur, experientia quotidiana docet, ut exemplis su- persedeam.. Omnes cerebn partes vel vere duplices, vel saltem symmetricae sunt, ut harum quoque duplicitas quaedam assumi possit. Quid? quod anseris junioris cere- brum in acido nitri diluto positum trans septum pellaci- dum ita sibi divisum fuisse , ut hemisphaeria cerebri con- "textu celluloso tantum juncta viderentur, ill. Heil, in lit- teris mecum communicavit. Partes vero cerebri si omnes duplices sunt, alteius lateris laesiones non omnem ence- phali vim tollere. oportere patet, et hemiplegia, aliique casus, quorum infra mentio fiet, facile explicantur. Enormes interdum hydrocephalos, quibus cerebrum mirum in modum extenditur, saepe in senectutem usque -feri, nec intellectum abolere, mirum et fere inexplicabile videretur, nisi aquas sub aetate teneriori, ubi omnia facil- Jime cedunt, et paullatim colligi, observaremus. | Simulac enim aquae copia, licet perquam exigua, stagnat, aut ipsa, aut status eam excitans conscie ntiam tollit et vitae mi- 156 HISTOIRE. minatur, ut hydrocephali acuti satis superque testantur. Cel. Gall de hydrocepha!o , cujas naturam medicos adhucdum fugisse credit, explicando hypothesin, fautores licet inve- nerit, anatomico neutiquam probabilis erit. Cerebrum enim cum panno comparare non timet, ut in statu naturali com- plicatum, sub hydrocephalo autem evolutum et expansum fingat Cum panno vero neutiquam comparandum, nec enim cultello , nec maceratione, nec menstruis chemicis in usum vocatis, cerebrum unquam in tunicam redigi pot- est; sub hydrocephalo vero incremento aquarum. continuo ventriculi tantum extenduntur, ut cerebrum iis cedat, par- tes autem in ventriculis positae molliores fiant et tandem tabescant. Qui medullae hemisphaeriorum , corporis cal- losi, fornicis, corporum striatorum , thalamorum ^optico- rum etc. rationem habet, encephalaum cum panno nun- quam comparabit. . Si autem encephali nulla pars solo pro sensorio communi haber potest, an totum omribus sensoiii functio- nibus praesit, utrum organorum tantum peculiauum com- plexum sistat, nova oritur quaestio , quam accuratius sub examen vocabimus. Cerebrum organis plurimis inter se li- beris componi, et quamlibet animae. vim , facultatem ani- mi vel propensionem sibi propriam cerebri partem vindica- re , Gall argumentis demonstrare annititur insequentibus. r. Animae vires aliquot agere, quiescere aliae pos- sunt, his fatigatis illae adhuc alacres, ut, qui studio ali- quo exhaustus sit, alteri adhuc incumbere possit. $1 to- tum cerebrum , dum studio cuidam nosmet damus, agitare- tur, in novo labore recreationem non inveniremus. HISTOIRE. 145. €. Animae vires, facultates animi et propensiones eodem in inviduo non aequales sünt; si a totius autem encephali perfectione. penderent , omnes simul, vel per- fectae vel imperfectae forent. Saepe qui verba, numeros non aeque. facile memoriae mandibit ; saepe qui musices arte plurimum pollet, colorum rationem semper ignorat ; qui fortis est, simul vel mitis vel crudelis esse potest et sic poro. . 5$. Variis in animalibus haec illave facultas adest, quae in plunmis desideratur ; sic nonnulla animalia ,socia- lia, alia solitaria ;. alia suo musico delectantur, quem alia v. c. canis, alahoment - homo nounullis viribus et fa- cultatibus instruc!us est, quibus omnia reliqua carent ani- mantia. Hisce in casibus ad peculiaria concludere licet organa, quae his illisve sunt aut negantur. 4. Facultates nostrae non simul excitantur vigent et pereunt, :ssed dum aliae augentur, minuuntur aliae. Hac ratione facultas observandi cito eminet, nec non me- moria in juvenilibus annis summa floret ; sensus propaga- tionis pubertatis tempore primum excitatüàr et bd ejus- modi sunt plura. ' . 5. Morbis vel laesionibus encephali non omnes sem- per animae vires pereunt, sed singulae- saepius laborant, reliquis intabtis, Haec vel illa maniae species accedit, ut homo, cetéro(uin sanae mentis, unica in re deliret ; quác- dam tantummodo in memoriam revocari non possunt etc. Hütoire de 1793 et 1798. S Ar- 158 HISTOIRE. Argümentis hisce robur esse, quis negaret , atta- men vero quae demonstranda sunt, non demonstrant. Si cerebrum plurima complecti organa, et quamvis animae vim, facultatem animi et propensionem partem cerebri propriam sibi vindicari cl. Gall ex his deducit, ego sen- soriam commune , omni inhaerens cerebro , ad varios effec- tus edendos, vario modo agitatum et agens, ex iisdem de- ducerem , ut argumentis datis sequentia opponam. ; ri. Sensorum eodem semper modo agitatum facil fatigatur, si diversis autem afficitur stimulis, vaiio agit modo longiusque iis satisfacere. valet; certi tamen in his quoque fines sunt, ut tempus, quo studiis licet maxime varatis incumbas, a tuo non pendent a:bitrio, variatio enim studii laborem gratiorem reddit , non quidem tollit. Sl alia aliave semper afficerentur organa, multo diutius, quin fere continuo labori ferendo pares essemus, — Nec de cerebro solo hoc valet, motus cujuslibet partis idem lon- gius continuatus taedium tandem et dolorem ciet, variatus parti lenimen affert, licet adhuc motae; sic retina totum per diem afficitur, sed dum alia aliis excipiuntur objectis, ad noctem usque munere commode fungitur; idem vero ob- jectum si diutius prae oculis habemus, tandem fere coecus timus et sic porro. 2. Sensorium nostrum plerumque diversa quoad officia non aequali gaudere vi et robore , facillime explica- tur Primum cerebri constructio ea 'esse pobesb: ut certos ad motus edendos , vel ferendos laboxes magis minusve. he- bes sit; secundo vero ad perfectonem quandam sibi con- HISTOIRE. 139 ciliandam exercitatione opus est; haec vero si continua fuit, ut organon certos ad motus paratissimum sit, aliis non ideo adaptatum est, quos neglexit. Qui memoriam in carminibus addiscendis elaboravit , quae sermone soluto conscripta sunt, difficilius retinebit ; fac vero eundem his incumbere, de successu certe sibi gratulabitur. Ipse memo- ria satis felici usus, me numeros eidem non mandare posse, nescio qua de caussa , .diu credidi ; dum vero urbem diu- tius habitarem , cujus aedificia numeris insigniuntur, hos plurimos consuetudine quotidiana adjutus, facillime retinui, et qua partem adhuc retineo. Oui motu aliquo musculari pollet, ut in artificibus quotidie videri est, ad reliquos saepe frustra se/ accingit. 5. Variis in animalibus facultates «conspici varias, nostrae non obest sententiae, néc ad propria idcirco recur- rendum est organa, his vel illis exclusive data. Cerebrum -aliter aliterque constructuin aliis par erit officiis; saepissi- me autem ad constructionem nativam non respiciendum est, sed ad educationem variosque stimulos externos. Canis ad feras pertinet, diaturna vero cum homine consuetudine fe- rocitatem. amisit; si equum, felem et reliqua animalia do- mestica cum iisdem indomitis comparas , eadem sequuntur. Hyaenam,. tigridem etc. hucusque mansuefacta non esse, minime obstat, plures. enim per generationes si animalia haecce nobis subdita forent, nutui nostro aeque obtempe- rarent. Propria. veio. si iis essent organa fero nunquam ac- cederet , et numquam domitari possent; si status autem sensorii aut organi certus tantum mutandus est, res expli- catione non. indiget. Bestiae voluntati nostrae subjectae - ple 140 HISTOIRE. plurima hominis fere modo agere coguntur, et elephantum; simiarum , ursorum , canum , aviumque plurimarum exem- plo constat, quousque animalia eiudiri, vel potius in arte imitandi progrediantur. Naturam in iis creandis ad haec respexisse, et propria hunc in finem iis dedisse organa, nemo contenderit , sed nosmet animalia vires sibi commis- sas ad alia applicare cogimus , quam quibus in statu na- turali applicuerint. Ipsa quoque circumstantiis plurimis semper determinantur, licet libertate fruantur, nec omnia pari modo vivunt, sic castor v. c. in America septentrio- nali aedificia struit notissima, in Europa solitarius aut saltem vagus occurnt, nec in Suecia septentrionali, uübi rari$ tamen non est, ejusmodi dantur castrorum domicia- lia; s proprio sensu (ex Gallii mente) ad aedificia struen- da ferretur, ab iis vix abstineret, 4. Facultates nostras non simul excitari, vigere et perire, aliud est argumentum, facillime reprobandum. Dum sensorium infantis agere incipit, rerum innumerabilium va- rietate delectamur, omnia indagamus, rogamus etc. Pari ratione incolae Americae insularumque oceani pacifici cum Eutopaeos resque europaeas primum viderint, omnia, licet adulti , infantum modo contrectarunt , exoptarunt. — Res plurimas postquam vidimus et mémoriae mandavimus, eas- dem comparamus , dijudicamus et sensim ad altiora duci- mur. Propria hic evolui organa non necessarium est, sed idem sensorium magis magisque perücitur. Memoria om- nium prima maxime excolitur, sed nisi materiam nobis sup:;editaremus, quidnam quaeso perficeremus ? Sensorium cum deinceps alio modo exerceatur, aut aliis rebus eidem yo obla- HISTOIRE. IA4l oblatis, pristinum statum relinquit. Sed hoc a nobis pluri- mum pendet; qui nonnisi verba memoriae mandat ect judi- cium vix exercet, semper mediocris erit ingenii; inde qui pueri optimam de se moverunt spem , adulti saepe totam fallunt , cum puerilibus semper inhaeserint. — — Quae pri- mum aut valide in nosmet egerant, nunquam delentur, hinc juventutis cara vestigia semper servantur; quae pla- ximis occupati, aut hebetes accipiimus, senum more, fa- cile obliviscimur, plura ut taceam. 5. Morbis vel laesionibus capitis, sensori non om- nem vim, sed:saepius tantum maxime specialem turbari vel tolli , argumentum cracis videtur; ex turbata vero,ce- rebr hac. vel illa actione aeque facile explican potest, quam ex uno alterove organo laeso. . Innumeris enim mo- dis, ut munere suo fungatur, sensorium agat necesse est, jam vero una alterave harum actionum aeque facile, quam omnes, interrumpi vel tolli potest. Saepe, dum sanitate fraimur optima, accidit, quod haec illave pro lubitu in memoriam revocare nequeamus, quae mox sponte redeunt, statu nimirum , qui nobis impedimento erat, cessante. Sub morbo idem fit et eodem subacta memoria redit, aut inve- terato perit. Ita post typhum saepe imbecillitas quaedam remanet , viribus redeuntibus tollenda. ^ Nisi sub capitis vulnere , jctu etc. totum sensorium afficeretur, multa no- bis explicatu difficillima forent. Quomodo v. c. si alterum tantum capitis latus, aut pars ejusdem saepe minima af- ficitur, quomodo quaeso omnis memoria, omne judicium, omnis conscientia mox tolli potest? Si organa omnia ex auctoris mente tam independentia quam duplicia sunt, - hujus 142 HISTOIRE hujus illiusve partis laesio nunquam ita funesta esse de- beret. Argumentis a cl. Gall allatis res itaque minime: conficitur sed dubia relinquitur, et ex ipsa sensorii natura hanc ad litem dirnmendam nihil colligi potest. Animam immaterialem habeas nec ne, utroque in casu de. sensorii natura non fies certior. Anima, qualem ponunt, an cere- brum unicum constituens sensorum , utrum plurimas ejüs partes gubernet, idem est; maternae enim cum non .- mate- ra connubium semper inextricabile et mente humana sub- tilius. Si materiam solam agnoscas, num cuivis encephali parti suam commissam esse provinciam, utrum totum om- nibus sensori functionibus praeesse statuas, iisdem tamen implicitus eris dubiis. Haec omnia itaque philosophis enu- cleanda relinquo et argumenta tantum curo physica. - Anatomice vero si cerebrum -examinatur, res non magis ex voto cl. Gall cedit. Encephalum unicam quidem massam non constituit, ast partium in eodem obviamm nec numerum nec differentiam magui aestimaveris. | Cere- brum a ceiebello tam magnitudine quam forma, tam gyro- rum quam medullae dispositione discrepat; ceteroquin vero in utroque substantia tam medullaris et corticalis, quam etiam intermedia Gennari occurrit , et- medullaris interna occupat; utrumque tandem pars ratione, pedunculorum scilicet ope cum ponte Varolii conjungitur, licet in pedun- culis cerebri locus nigrescens Soemmerringio dictus itidem diversitatem quandam prodat. Reliquae encephali. partes oculo singulares visae, magnitudine, figura externa et loco po HISTOIRE. | 145 potissimum differunt ,. structuram quoad internam , si cor- pora strata et glandulam pinealem forte excipias , discri- minis notam offerunt vix ullam. Quae dixi , tam de ipso ponte Varolii, quam de eminentia quadragemina, de tha- lamis opticis, de corporibus mammillaribus, olivaribus etc. valent. ' Omnia ista si rite conferuntur, de organis pecu- liaribus in cerebro assumendis: vix oriri potest suspicio, sed quaelibet dum intime nexa et par ratione structa vi- des partes potius ejusdem organi esse secundarias, hypo- thesin praeferres. — Hoc etiam ex analogia reliqui corperis satis probatur. Omne, quod orgarsi peculiaris nomine dignum babetur, et rei praeest sibi unice commissae, et structura gaudet propria nusquam alibi obvia, ita cor, pul- mones, hepar, lien, renes etc. organa pcculiara vocanda sunt. Quodlibet autem eorum partibus plerumque pluri- mis secundariis insigne ; cor v. c. maxime compositum, si atria sinubus et auriculis formata , ventriculos septo di- stinctos, tam parietam quam luminum ratione discrepan- tes, valvulas carneas polymorphas filis adnexas tendineis. "etc. conferre placet. Systema biliferum , uropoéticum si consideramus , quantamne habemus partium secundaiiarum differentiam et copiam? Eidem porro fini inservientia sae- pe pro loco vel aliis rebus nos fugientibus satis discre. pant, glandulae e. g. lymphaticae non solum figura et magnitudine , sed etiam structura interna, vel vasculosa, vel.cellulari , vel ex his mixta differunt. Ex anatomia itaque encephali organa peculiaria in eodem demonstrari nequeunt, si assumendi tamen animus | est, 144. HISTOIRE, est, novae physiologo oriuntur difficultates, nec quidem minoris momenti. Animae virium, facultatum animi et propensionum magnus adest numerus, ut cuilibet organon peculiare conferre placet, vix huic par fueris negotio, nisi cerebrum pro lubitu dividatur. ta etiam fere factum. est, nec enim encephali partes forma diversae et quodammodo solutae illustri viro solae pro organis habentur, sed haec- ce quavis in cerebri parte promiscue ponit, ut limites or- gànorum sint nulli, utque in externa cerebri superficie, ejus ex sententia, organa et plurima et diversissima con- veniant, ea inquam in superficie , quae maxime ignobilis, dum ( at»ote corticalis ) nonnisi fere vasis constat. Quid? quod in uno eodemque loco. ut postea videbimus, duo habet organa diversa! Sed alia adhuc monenda, Per sen- sus tantum nervosque cerebrum aífici nemo negabit: jam si totum cerebrum , vel partem ejusdem nervorum compo- tem affici statuis, hoc capio; organa vero plurima si in parte cerebri anteriori , nervis destiiuta, ponuntur. quo- modo haec singula, primario, et ceteris cerebri partibus in- tactis, afficiantur, capi non potest. Quomodo in eminen- tia quadrgemina, vel alia ejusmodi parte , nervis orbata, mutatio exorid potest, nisi reliquum mutatum est cere- brum? .Facultatem personarum notas: nobis imprimendi cum Gallio in parte cerebri anteriori ponas: jam quomodo istae notae colligantur, inquirendum est; aliorum homi- num in vultu, habitu corporis, aliorum in loquela et sic porro notas invenimus specificas, et tam surdi aliquoties visos, quam auditos coeci dein facile distinguunt ; unico itaque sensu notas illas non colligimus, et plures rervi ad eandem symbolam ferunt, quonam autem nido nervus op- üu- HISTOIRE 145 ticus, acusticus vel alius quisque (olfactorio excepto) cere- bri partem anteriorem, in qua organon fingis, aificial? Si organa tandem, ut ex structura cerebri fluit, duplicia assu- menda, alterum ab altero ejusdem naturae organo saepe maxime dissitum est, ut utrumque, licet nervi peculiares non adeant, eodem temporis momento et reliquo cerebro in- tacto affici, statuendum sit; at quaenam quaeso vis haec organa uniat, unica ut oriatur idea. Si totam autem sen- sorium affici et agere staátuas, ideae unitas facile explica- tur. Conscienlia tandem sui nunquam eo modo datur, cui- libet organo ex Gallii mente suasit conscientia, Argumenlis hisce novae theoriae basin, qua cere- brum nonnisi plurimis organis aggregatum ponitur, vacil- lantem, ne dicam fictitiam esse, satis probatur, ut altera hypotheseos pars, quae organorum cranii ope detegendorum rationem exhibet, sub examen vocanda sit. Clarissimus vir, dum cuilibet animae vi, facultati animi nec non pro- pensioni pecaliare offert organon, hoc ipsum, dum vis aut facultas eidem insita augetur vel imminuitur, majus vel minus fieri; cranium vero a cerebro formari, inde etiam hujus totius et omnium partium exhibere magnitudinem, ut a cranio ad animae virium, facultatum etc, statam con- clusio valeat, nobiscum communicavit. Singula adeamus. i Organon dum excolitur, majus fieri, hypothesis est, eaque valde dubia. Musculi omnino valde exeicitati vali- diores fiunt, iisque ossa adaptantur, ut gladiatorum aliorum- que exempla probant; saepissime autem musculorum vis in summum gradum intensive augetur, ut hystericarum spasmi, - Histoire de 1797 et 1798. 1 t chorea 146. HISTOILRE. chorea sancti Viti, trismus etc. docent, quin imo maxillam inferiorem equi hydrophobi sub morsu ruptam vidi, quo exemplo nihil evidentius esse potest. ^ Viscera solito ma- jora utplurnmum debilia et aliqua labe ampliora facta, ut lien, hepar, renes etc. testantur; pariter cum systemate et sanguifero et absorbente res se habet; de nervis exercitio vel alia re majoribus factis nulla comperimus, et de cere- bro idem valet. Apud cel. Gall cranium viri ingeniosi et carminibus clari, Blumauen puta, valde magnum, aliud vero femioae amentis fere duplo minus vidi; horum cerebra craniis respondisse, nullus dubito; at certissime utraque magnitudo conformationi naturali debebatur, et tam im fu- rnosis quam in hominibus sanae ut vulgo dicunt mentis, ceteroquin autem ingenii dotibus plus minus eminentibus, crania promiscue et majora et minora observamüs, in solis dementibus plerumque parva. De singulis cerebri paitibus in quibusdam. hominibus magis excultis nulla scimus, nisi meritissimi Gredingii, qui in aliquot furiosis summam cerebii partem. valde elevatam vidit, observationem huc traheres, quae cetéroquin Gallii sententiae non favet. Cave ne in sola extensione organi perfectionem po- nas, cum intensive maxime auger possit, ut musculorum exempla allata. probant. | Cerebrum minus majori saepe palmam aufert, nec mirum; plurima sensori vitia sunt fu- gacia, emendari et tolli possunt, ut cerebri vitium organi- cum et in specie diminutionem assumere tali in casu neu- tiquam conveniat; energia enim organi cujuslibet variis modis turbari et laedi, ut ab altera] parte augeri potest. Nullam saltem cerebri partem, quae in certa vesaniae spe- cie HISTOIRE 143 "cie major, aut sub animae quadam vi magis exculta, major occurrat, notam esse, repeto; in genere. vero de cerebro in fariosis plerumque nulla praeter naturam offerente, ill. Pinel, testem fide dignissimum habeo. lll. Gall cerebra hominum paucissima secuit; et in'certis hominibus certam partis cu- jasdam cerebri se observasse magnitudinem, nunquam ab eodem accepi. Quaenam etiam magnitudinis norma habe- retur ? | Omnia quae de partibus cerebri hamani majoribus vel minoribus a cl. viro afferuntur, ex craniorum inspec- tione collecta sunt. Cranium enim a cerebro formari cre- dit, ut pars cerebri magis exculta cranium eo loco extror- sum elevet, vel introrsum trahat; minus exculta, utque ex- terne tali in casu vel protuberanlia vel impressio animad- veitatur. Cranium, quando formari incipit, cerebro utut parti prius exi:tenti et nobiliori in genere adaptari, idem- que a cerebri gravioribus vitiis postmodum quoque mutari posse, nullus negabit. Plurima autem cranii a cerebro ne- quoquam pendent, ut sequentia probant. d 1. Cel. vir, quo loco cranium externe elevatur, ce- rebri partem eminentem in caua esse, effatur, ut saepis- sime in cranii superficie externa protaberantia, ubi interna aequalis, nec (uti ex Gallii mente esse deberet) concava €:t; eminentiae porro maxime irregulares, saepe hic. illis dispersae, vel in altero tantum latere occurmunt, cerebrum adtem a solita formatione non aberrat. o £2 2. Àb 148 HISTOIRE. ^». Àb altera parte saepius in superficie externa impressiones v. c. in fronte, ubi superficies cranii interna itidem aequalis est, ut illae a cerebro ortum. non ducant. 5. Saepenumero in superficie cranii interna: exostoses et loca vaiia aspera, quae ex ossis vitio primario ortae sunt, cum cerebrum iis laesum sit; si a cerebro recedente . dervandae forent, hoc iis laesum esse non possct. Unde etiam. cerebro tanta vis, ut os formatum ex- irorsum protruderet, vel introrsum traheret? Cranium enim a solo cerebro extensum putare, absonum foret. Quemadmodum vero ill. vir ab organis cerebri cito evolutis indeque amplioribus factis cranium extrorsum pro- minere, vel introrsum ductum esse, si illa neglecta vel male disposita fuerint; ita etiam vergeniibus annis mutari cranium, sed alio modo, statuit. In senibus nimirum ejus ex sententia organa hebetia decrescunt, et interna cranii tabula introrsum ducitur, externa immutata manet; inde crania senum hebetum et hominum aetate adulta mente cap!orum crassa sed spongiosa, cum crania hominum a pri- mis annis dementium aeque crassa, sed dura et solida sint. Et in his plurima sunt reprobanda. 7n senibus ex cerebri mutatione mutari etiam cranium non probari potest, sed sub universa corporis labe, siccitate nimirum et rigidi tate, fluidorum decremento, nutritione languidà elc. ossa etiam statum pristinum relinquunt,' minime vero cianii tantum ossa, sed omnia et singula, quae in sceleto haben- - tur tur. Quaedam autem praesertim organa v. c. memoriae species omnes volventibus annis debilitari et perdi asse- runtur, et cum eadem ex Gallii mente anteriorem cerebri partem occupant, ex eorem volumine imminuto. cranii ta- bulam internam introrsum duci et sinus frontales inde po- tissimum oriri, saltem ampliar, auctor est. Elaec autem numquam: concedi possunt: sinus enim. frontales longe prius formari incipiunt, et sub vigore memoriae jam adsunt, nec mera est cranii expansio sive tabularam: secessus; cavi- tates habes tunica muscoa, indutas, quarum apertura mea- tum narium medium adit, partes ideoque proprii usus, sum- mae magnitudinis in animalibus plurimis odoratu. pollenti- bus, ut totam cranii superficiem: superiorem. sibi vindicent v. c. in sue, elephanto etc. Aeque parum certe sinus frontales, a cerebro recedente, quam ab. aére sub respira- tione cavitatem. narium intrante, quem: alii arguunt, natalia dacunt, De cranio introrsum: ducto hypothesis Galliana falsae huic de sinubus frontalibus ideae potissimum: tamen inniti videtur, nam in reliquo cranio nil simile accidit. Crassities: crani? et universalis et partialis plurimum: va- riat, nec observationes adsunt, quibus suffülti theoriam. hac de.re condere queamus. Gredingius v. c. in iis, qui longo ex tempore mente capti fuere, saepe crania tenuissima of- fendit, licet saepius crassicra dantur; aliquot in casibus cranium altero in latere crassius, justo vero tenuius in. al- tero, omuia autem in cerebro duplicia aut symmetrica. cum sint, haec alterius lateris crassitics theoriae non favet, et exempla plurima huc trahi possent, sic v. c. Fodeié, vir claris imus, in libro de struma et cretinismo, se in homine sanae mentis alterum cerebrü hemisphaeriorum in pus mu- tatum 150 HISTOTRSE: tatum invenisse refert. — . in miseris, qui a piima juven- tute amentes. fuere, cránium solito et. crassius et durius ob- servari, notissimum est, id vero a cerebro pendere. maxime dubitareim, ut potius ab alio vitio, deducerem. Ratio sal- - tem latet, cur cerebro amentium minori cranium multo du- rius et crassius competat, cum crania saepe minima simul tenuia sint, ab altera. vero parte;- crania humana omnium maxima, quae innotuerunt, simul etiam ingenti praedita crasse; talia v. c. in. museo anatomico Lugduni Batavo- rum vidi et ill. Saudifort descripsit et iconibus illustravit; omnium autem maxime memorabile est cranium horrendum, quod cl. Jadelot nuper descripsit; et quod stupefactus in collectione ill A. L. de Jussieu Parisiis miratus sum. | Huic argumento eo magis insisterem, cum cranii ossa sola non sint, in quibus crassities duiitiesque praeternaturalis, inter- dum fere laridea, observetur; saepe v. c. ex venerea labe ossia plurima et lata et longa maxime ponderosa facta; ab altera vero parte tenuitas quoque praeternaturalis omnibus in sceleti ossibus observata est. Quolibet saltem in casu mutationis ossium historia tradenda, an v. c. mollities et spongiositas vel aliad ossium vitium praciverit, et hoc tan- dem durities insecuta sit; an cranium solum, utrum re'iqua etiam ossa affecta fuerint, Quoties saltem plarima corporis ossa et simul etiam craniüm solito crassiora et duriora ob- servantur, cranii vitium a cerebro non derivandum, quum certissime cum reliquorum ossium malo ejusdem est origi- nie. Pari modo craniorum giganteorum caussa in cerebro hydrocephalico non semper quaerenda, cum alia quoque dentur ossa aeque gigantea, v. C. extremitatum, mec ostco- malacia a cerebro pendeat. i Ex HISTOIR!E : ITI Ex dictis, quam ambigua sit cranioscopia, facile col- ligi potest, ipsam quoque cranii ab externa parte inspec- üionem non sufficere, cl. vir monet. Cranium enim a ce- rebri paite magis exculta sub juventute tantum, ejus ex sententia, elevatur, si cerebri, pars serius evolvitur, cranium eo loco tenuius fit, quaemadmodum imminutionem cerebri sub senectute obtinentem cranium crassius reddere statuit, Sed haec quoque restrictjio non sufficit, variis enim in ho- minibus qui a teneris annis aliqua facultate v. c memoria verbali, musica rel. ornatissimi erant, cranii partes, quibus horum oxganorum sedem subjacere statuit cl. vir, minime elevatas vidi, cum in aliis certas partes prominere vide- rm, quibus organa tamen ibidem supposita v. c. memoria localis, minime exculta fuere. — . Ceterum autem tota ill. vii hypothesis ex cranioscopia originem duxit; cum enim in hominibus aliqua re excellentibus certam cranii partem elevatam viderit, hanc in rem ulterius inquisivit, et post- quam in aliis eadem facultate destituis, locum eundem: de- pressum observavit, rem confectam credidit, et ex loco praesumto vel elevato vel depresso ad facultatis vel prae- stantiam vel absentiam. concludit. Clarissimum virum hac methodo usum saepenumero hanc vel illam facultatem recte indicaturum esse, pullus dubito, at in physiognomia simile quid saepius accidit,. quae tamen fallacissima. Errors ex-. cusandi ubivis etiam occasio erit, simulac theoriam hujus generis excusandi animus est. Fac enim hominis cujusdam frons valde promineat, quod semper pro bona nota accep- ium est, hominem autem istum fatuum vel boeoticum esse; nihil refewt, cerebram enim hoc in casu magis ad anteriora ductum esse, in paite postica vero deficere, cranioscopiae ad- 152 HISTOIRF. addicti respondebunt. Cranii partem in homine org;ni sup- positi indigentissimo essé elevatissimam vides; organon a natura optime dispositum sed ab homine neglectum fuisse, xeferent. | Hominem aliqua facultaie maxime pollere, in €ranio autem notam ejus non inveniri, ponas: organon ex primana construciione perquam exiguum, sed s'imulis post- modum elaboratum esse, exhibebunt et sic porro, Ad organa sub cranio latentia eruenda, aliam quo- que viam proponit sccundarnam, artem mimicam sibi voca- tam. OQuavis enim animae vi, vel facult;te animi etc, agente, caput ad eam partem, cui organon agens supposi- tum est, inclinan statuit, et manus involuntarie huic loco admoven, Si itaque homo meditans hanc vel illam «cranii partem digitis contrectat etc. ad certum organon ibi activum concluditur. Consuetudinem, imitationem aliaque plurima motus illos et capitis inclinationem facile explicare patet, et hypcthesi huic non ulterius inhaeream, quae ne disci- pulis quidem et asseris cl. viri arridet. Graviordis omnino momenti, quam ad hypothesin confirmandum cl, vir in usum vocat, anatome comparata. Hac in genere nihil praestantius, nibil ad physiologiam . promovepdam aptius dici potest, in ejusdam autem appli «atione, praesertim ubi de cerebro agitar, summa opus est praecautione. | Crania bestiarum quamplurimarum extrin- secus spectata formam cerebri contenti non indicant, cum tabulas. cranii saepe. mirum in modum discedant, sic in mammalibus saepe sinuum frontalium extensio summa, ut supra dictum est; in avibus plurimis ossa eadem aérem reci- HISTOIRE. 153 recipiant et valdes spongiosa sunt. Situs porro partium cerebri diversis in. animalium cla:sibus et generibus valde diversus (qua de re Cuvier plurima bene collegit), ut maxima opus sit attentione, ne cranii forma fallaris, et hujis alicui loco cerebnr partem supponas, quae alibi quaerenda est. In omnibus hisce difficultates plurimae, at fere disparent, si cum iis comparantur, quas facultates ani- malium extricandae secum ferunt. Pauci:simarum bestia- rum consuetudo nobi: data est, reliquarum hac illasve no- ta. tavtum habemus, nullàm autem in genere sufficienter dijudicáre valemus, et simulac de brutorum sensibus sermo fit; labyrinthum intramus, nec, desunt, qui plurimis gustum, 'doratam alis negant, qui alios praeter nostros statuunt sensus et :ic porro, Homo vix alium praeter semet ipsum movit, ceteros homines nonnisi secum comparando, indeque saepius pessime, examinatos intelligit; ut bestiam autein cognoscat eadem comparatione utitur, quocum jure alii dijadicent. Si bestiam crudelem, superbam, nobilem etc. vocamus, omnes hae expressiones maxime vagae sunt, et ethicen quasi in brutis supponunt. MRecüssime itaque Ga!l cauti simus monet, ipse autem comparationi nimis indul- get, et in rupicapr» v. c. editissimis gavisa rupibus ean- dem státulit propensionem, qua homo ad altiora fertur! Si anatome comparata ad hypothesin Gallianam di- judicandam in usuam vocatur, eadem nos docet: 1) cranium a cerebro non formari, sed in ejusdem formatione alias quo- "que res spectari, v. c. insertionem musculorum válidorum nec non ligamentorum, sinuum frontaliam amplitudinem ad Organon olfactus facientem, receptionem aéris in avibus Histoire de 1393 e 1798. 'sxL pluri- x5 HISTOIR E. plurimis et quae sunt alia; 2) encephali partium et nu- merum et dispositionem in diversis animalium classibus et ordinibus diversum quidem esse, hanc antem diversitatem ne unicum quidem hypotheseos momentum illustrare vel confirmare, et structurae diversae rationem nos fugere; ut ad cranium iterum recuram, tentorum cerebelli feris, Si- miae Panisco, equo, et (quod auctores praeterviderunt) del- phino, osseum datam est, plus minus perfectum, ut cl. Bretschneider (in dissertatiuncula hac de parte) idem vel verum vel spurium nuncupaverit, hujus autem tentorii usus nos fugit, explicationesque datae minime conveniunt; 5) sta- tus cranil et encephali occurrere morbosos, qui cum auc- toris theoria non quadrant; in gallinis tophaceis v. c, cra- nii media pars maxime elevatur, ut hydrocephalum fere mentiatur, cerebrum hoc in casu situm alienum assumere cogitur, nectamenanimalia insana mente observantur, cranium autem si respicis (quod ill. Pallas in spocilegiis zoologicis bona icone illustratum d.dit) animal eo instructum vivere vel tantillum rationis labere posse, dubitares. je Dicta ad vias, quibus vir cl. ad organa detegenda xisus est, illustrandas sufficient, alias et quidem minoris momenti hypotheses v. c. organon quoddam si notum est, affinia in ejus vicinitate quaerenda; organa quo nobiliora €o altius posita esse, rel. milto, et singula organa quae cl. Gall a se detecta credit, ut ab eodem accepi, non ut in aliis occurrunt libis "), breviter exponam. "l'ripli- *) Ill. Gal] theoriam scriptis nondum evulgavit, et opus magnum molitur, cujus aliquot tabulas mitidissimas apud eundem vidi, icones wero plurimas cum HISTOIRE. 155 ''riplicia in cevebro statuit organa, sive ut recentiori tempore dicere praefert, triplices sensus; tres ergo in 'ence- phalo sunt provinciae, quae totidem functionibus praesint: 1) vitae, quae provincia inferiorem et posteriorem encephali partem sibi vindicat; 2? sensuum, vulgo sic dictorum, haec mediam et inferiorem occupat partem | 5) animae denique virium. facultatum animi et propensionum, quae cerebri hemisphae- 1a addendi animus sit, ut anatome cerebri comparata quantum liceat perfecta reddatur, diutius forsan liber egregius expectandus crit. Aliorum vero scripta hypothesin illustrantia sunt sequentia: . 1. Darstellung. der neuen, auf Untersuchungen der Verrichtungen des Gehirns gegründeten Theorie der Physiognomik des Herrn D. Gall in Wien. Weimar 1801. 8. Auctor cl. Froriep, Professor Jenensis, di- citur; hypothesin tantum refert, non dijudicat, et varia in hoc libro tra- dita postmodum a cl. Gall mutata sunt). 2. Critische Darstellung der Gallschen. anatomisch - physiologischen Untersuchungen des Gehitn- und Schüdelbaues, von W - r, Zürich 1802. 8. (Auctor Gallii discipulus amantissimus praeceptoris hypothesin optime refert et suam reddit). 3. Entwickelung der Gallschen "Theorie iber das Gehirn vorzüge lich betrachtet als ein Inbegriff der Organe unserer intellectuellen und. mo- talischen Eigenschaften von J. C. F. Leune. Leipzig 1803. 8. (compi- latio nullius momenti, plurima male referens n ; 4. Lettre de Charles Villiers à George Cuvier sur une nouvelle théorie du ccrveau par le Docteur Gall; ce viscére étant conideré comme lorgane-immediate des facultés morales à Metz 1802; cum versione: Dr. Gall's Darstellung. des Gehirns als Organs- der Seclenfihigkeiten und Gemüthseigenschaften; nebst der Kunst, das Innere des Menschen aus dem Aeussern seines Schüdel: zu erkennen — Fin Schreiben Villers an Cuvier, von einem Schüler Galls; "Wien und Leipzig 1803. (Non vidi, $ed minoris moment) dicitur . u 2 156 HISTOIRE, ri obtinet. Affectus an propriis gaudeant organis in medio - rclumquit, et pari modo de constantia etc. dubius est, am tinlum organum statum diversum pro caussa agnoscant. Ouodlibet denique organon, seu quemlibet seosum vario modo excultum esse posse monet, nec male. Oirganon im pumo stata sive gradu dispositionem tantum offert; .in se- cundo memoria xei, cui sensus praeest, accedit; in tertio cadem de re judicium habetur; in quarto denique ris imre- niendi orgaoi perfectionem indicat. Nou datur ergo ex cl. vir sententia memoria universalis, neque universale judi- cium, neque vis. omnibus in rebus ad nova investa ducens, et ne quidem. dispositio universalis. | Clarissimam. viram cuilibet sensui peculiarem simul tribuere conscientiam, jam. supra monui. , I. Provincia prima, functiones vitales exercens. Organa ejus- dem sunt sequentia: r. Sensus vitae (Lebenssinn), cujus sedem in medulla oblongata prope pontem Varolii ponit, inde hujus. partis.lae- siones subito lethales, et incisuram processus basilaris iu seminis et animalibus vitae magis tenacibus. majorem ex- plicat 5: Nullas huc usque contra cl. viri hypothesin exsurgere ausus est. Ico- nes scriptis. 1 et 3. annexae non sufficiunt, et organorum loca in craniis depic-- tis vel numeris vel asseriscis tantum indicant, ut. latitudo [quam cl. vir. cuivis- tribuit organo, lateat. . Nomina quae sensibas imposui latina, plurima mihimet non: arridentz- et vere Barbara sunt, Non voces vero solummodo harum rerum, sed res. ipsas Latio ignotas fuisse qui perpendit, me facile excusabit, et ambiguitas ne. oria tur, voces germanicas a el, auctore usitatas adjeci. p—MÓOKMMURNNS SPP HISTOLIRE. 157 plicat; sed hanc incisuram- cum vitae longitudine: rationem quandam habere nondum probatum est; et si- abscissa me- dulla spinali, vita subito tollitur ad vitae^in hac. paite se- dem male concluditur; vita enim plurimis | modis subito aufertur, et in animalibus adest hac parte carentibus, vita in nulla parte: sedem figit, sed ex omnium corporis syste- matum nexu et actione reciproca oritur; in quibüasdam ani- malibus alterias. systematis jactura machinae ruinam. abso- lutam secum fert, in alis hoc alteiove sysieinate. laeso vel destructo, cetera vitam conservare valent. Nec omaes hujus partis laesiones lethales sunt, in ovibus vertüginosis saepe medullam oblongaiam: Taeria hydatigena auctorum (Polycephalo Zederi, Cysiiceico sociali mihi, maximam qua pairtein. destructam vidi; ia museo zoolomico Paiisiensi €eranium humanum e:t, quocum et atlas et epistrophaeus anchylosi conjancti sunt, ita, vero ut* epistrophaeus simul laxatus. et canalis medullae spinalis bac parte maxime argustatus sit, superficies enim aaterior corporis epi trophaer septem lineas a supeificie. antca arcus anterioris atlantis recedit, hoc sub stata vitam tamen satis. diu. protractame fuisse anchylosis plenaria docet. 2. Sensus vitae conservandae (Lebenserhaltungssinu) ;, cl vir hoc de sensu adhuc dübius est, sed prope priorcm. situm esse suspicatur, simul autem cel. olim Hunczowsky,, qui in undecim suicidis corpus callosam mutatum. invene- Uit, observationem magni aestmat; corpus callosum a. me- dalla oblongata certe valde dissitum: est ;; sed organon. vitae conservandae dicatum esse vix assumi potest, vitae enim: desiderium. a. corpoiis statu nec non slimulis, externis: pen- det ;: 158 HISTOIRE. det; saepius uno eodemque tempore plurimi eadem ex ra- tione suicidae habentur, non raro uti videtur ex morbi epi- demici natüra, sic v. c. sub aestate anni i80» Viennae ultra septuaginta suicidia peracta dicuntur. 5. Sensus nutritionis (Nahrungssinn), siquis unquam a cl viro arbitrarie et quidem in eminentia quadrigemina positus. In homiove ommivoro tubera satis sequalia, in mam- fnalibas carnivoris posteriota, anteriora in heirbivoris m:jora esse arguit, ut in illis desiderium cibi animalis, vegeta- bilis antem in his assumat; omnibus quatuor tamen es:e tubercula inde perperam explicat, quod animalia phyto- phaga quando nascuntur, lacte, utpote cibo animali ves- cantür, carnivora autem cibo vegetabili quoque assuescere possint. Sed hypotheseos facilis habetur refutatio, inter feras enim lutra exceptionem olfert, hujas enim tabercula anteriora majora sunt, ut ill. Soemmerring observavit, et idem in talpa accidit, quae tamen insectis et vermibus pas- citur. Solis tandem mammalibus eminentia conceditur qua- drigemina, ut plura offerre non opus sit, organon enim tale Si existeret, in nullo animaliam desideran oporteret, jam vero paucissimis tantum haecce pars data cst. . 4. Sensus propagationis (Begattungstrieb) recte a cl. viro ad functiones vitales refertur, cum sub propagationis actu vita quasi multiplicetur. Sedem ejusdem in cereb:1lo ponit, 'et:.cl. viram cerebro plarima, cerebello autem uni- cuam tantum committere officium miraberis. Hominibus ad venerem frigidis et animalibus castratis (mulis quoque) cerébellum münus sse nec occiput aeque prominere quam in HISTOIR E. 159 in potentibus; animalibus sub oestro venereo cerebellum tüurgere; veuere vel onania exhaustis minus fien, dolores in regione occipitis oriri, cl. vir affert. ^ Veneris exercitio organon el concessum minus fieri contra aliam auctoris hy- pothesin pugnare videtur, secandum quam organon quo magis exercetur; volumine augetur; masturbatione exhaustis dolores non solammodo in nucha sed saepe in toto mcdul- lae spinalis decursu; animalibus sub oestro venereo turgor plurimarum partium, et in encephalo cerebellum. tantum turgere non demonstratum est; castratis. et. frigidis occipnt non aeque prominere, qnam in capacibus, facile concedo, sed in iis plurima iere muliebria sunt, nec idcirco ad cere- bellum concludi potest. Malacarnium in cerebello rationis sedem figisse, praetereundo moneam, et in sanae mentis hominibus arboris medullaris (vitae sic dictae) processus fo- liaceos numero multo plures invenit, quam in stultis, ]. Sensus stricte sic dicti | Organa eorum in ea cerebri parte ponit, quam sen- suum nervi adeunt, ut thalami ergo nervorum opticorum visu? praesint. Hisce cl. vir solummodo inniti potest, cete- xis enim sensibus focum talem non inveniet, cum eorum nervi in massam cerebri medullarem abeant, nec thalamis ünstructi sint. dGustui et tactul quin imo nervi peculiares non dicantur, sed illius organon ramum hábet nervi irige- mini, tactus antem organa plurimos legunt ramosex plexu brachiali. Et coenaesthesis Reilio dicta quonam modo ex hypothesi derivabitur? Organorum itaque peculiarium sen- sibus inservientium theoria avit, cum ad solos nervos op- licos applicare possit. | Prope 160 |o EISUEDRE Prope organon auditus alios adhuc praesumit sensus, huic affünes, cum in cranio heic loci elevationes non raro conspiciantur, sibi nondum explicabiles- IL Provincia. .nimue vires, facultates animi ;et propen- siones. 1. Sensus realis (memoria realis, Sachsinn, Sachge- dáchtnis) in inferiori frontis parte supra. glabeilam. — 2. Sensus localis (Ortsinn, Ortgedáchtnis , utrinque prope glabellam supra arcum orbitalem. — 5. Sensus. verbalis (Wortsinn, Namenpgedáchtnis) in processus orbi'alis ossis fiontis parte posteriori. — — 4. Sensus linguarum. (Sprachsinn, Sprachgedáchtnis) in eadem parte ante praecedentem. — s. Sensus colorum (Farbensinn). ad latus externum sensus localis. — 6. Sensus musices ('lonsinn; supra processum orbitarium ossis frontis externum. — 7. Sensus numeralis (Zahlensinn) infra priorem, homini proprius. — 8. Sensus personarum (Personensinn), facultas personarum notas re- vocandi, prope processum orbitanum os:is fron!is internum, ad latus internum sensus verbalis. — 9. Sensus artisticus. (Kunstinn) pone processum orbitariam ossis frontis exter- num, supra alam magnam ossis sphaenobasilaris. — | Om- niam itaque horum .sensuum. sedein in anterior. cerebri parte. ponit, cujus structura uniformis tot organa adesse dis- suadet, ut etiam nervorum absen!ia, de qua sujra effatus sum, non convenit. Cel. vir partes ossium dictas in homi- nibus hac alterave memoriae specie pollenibus estantes observavit, indeque theonam condidit, ita in hominibus me- moria verbali excellenübus oculos prominentes, depressos | magis HISTOIRE. i magis in iis vidit; qui sensu linguarum gaudent. Sed om- nia haec fallacissima. | Homines vidi memoria verbali de- stitutos, oculis autem maxime prominentibus, quales etiam in myopibus fere semper occurrunt; vidi quorum memoria summa oculos prominentes non reddidit, pariter partem cui sensus localis subesse dicitur in hominibus eo nequa- quam instructis eminentissimam vidi, et cranium mihi est, in quo haecce pars tam extrorsum, quam introrsum pro- minet, quod theorae ex diametro ut ajunt, oppositum est, Sinus frontales partibus dictis subesse non est tandem uod obliviscamur; ut ex talium locorum protuberantia ad cerebrum ipsum concludi, nequeat, quod tam de sensu lo- cali, quam numerali, musico, personali, colorum etc. valet. -r1o. Sensus amoris parentum (Sinn der Kindeiiebe) in posteriori cerebri lobo, ut externe in cranio superiorem ossis occipitis partem sibi vindicet, supra sensum propaga- lionis; in sexu femineo in genere hanc partem magis, quam apud mares, eoque magis exstare, quo majori mater in sobolem vehatur amore, cl. Gall asserit; — rz. Sen- Sus amicitiae (Sinn. der freundschaftlichen Anhánglichkeit) utrinque ad latus externum praecedentis positus; amicitia vero difficillime dijudicatur, ut plurimis eandem simulanti- bus cujusnam cranium inspiciendum sit, nos fugiat. -— 12. Sensus fortitudinis (Muthssinn, Organ des Muths) in osse bregmatis supra processum mastoideum. — 15. Pro- pensio: ad. trucidandum (Mordsinn), pariter in osse bregma- Uus, supra praecedentem , magis tamen antrorsum, tali propensioni in paucissimis certe mortalibus inveniendae or- Histoire de 1393 et 1798. - PR x ga4- E HISTOIRE ganon peculiare perperam tribuitur, plurima inter homi- num millia nullas unquam ad caedes fertur et qui fratrum sanguine contaminantur, circumstantiis vel affectibus invo- voluntarii vel furiosi plerumque cedunt , cl, Gall itaque in homicidae cujusdam atrocis cranio hanc partem exstantem vidisse , nil refert, et ex iis quae supra de anatomes com- paratae applicatione attuli, omnia repelluntur, quae vir cl. de cranio bestiarum sanguinolentarum v. c. mustelarum et tricheci rosmari, hac parte lation offert. — r4. Sen-: sus circumspectionis ( Organ der Vorsichtigkeit) in. ossis bregmatis utriusque parte media ; in hominibus sua non curantibus cranium hoc loco angustius esse, valde latum in capreolis etc. — — x5. Sensus astuliae (Schlauheitssinn) in inferiori ossis bregmatis angulo; elevatio autem si trans sutaram coronalem ad processum orbitarium ossis frontis ex- - ternum continuatur, oritur. 16. Sensus furacitatis ( Diebs- sinn), de quo idem valet, qud de sensu n.:i5. attuli, ali- quot enim homines fere füres natos videri nil refert. —— r7. Sensus munificentiae ( Freigebigkeitssinn ), Gallii ex sententia adest, si latera externa frontis ( inter sensus 1. e£ 6.) aequalia sunt, impressio hujus loci vero avaritiam indicat. — 18. Sagacitas in comparando. ( vergleichender Scharfsinn), in osse frontis supra sensum realem; conciona- toribus, demagogis etc. proprius. — . r9. Sagacitas phi- losophica ( speculirender Scharfsinn ) utrinque ad latus ex- ternum praecedenüs. — 20. In observatoribus clarissimis, praesertim medicis, frontem in omni parte, quam sensus 18 et r9 sibi vindicant, aequaliter elevari, Gall asserit, et Boerhavii, Stollii, P. Frankii, Jacquini suoque exemplo probat. — ar. dngenium (strcte sic dictum , Witz) in lo-: HISTOIRE. 163 loco, quem tubera frontalia tenent, ponitur, ut jam ante cl virum, Lavater alique posuerunt, sensus n. r8. huic nimis aífnis est, — 22. Sensus benevolentiae (Gutmüthig- keitsorgan) in media ossis frontis parte supra sensum n. r8.; in feris et avibus rapacibüs heic loci impressionem esse longitudinalem i» vir.arguit sed hac.de re jam antea lo- cutus sum. .— Si elevatio in sensu praecedente ob- via ad laleta D us frontis extenditur, benevolentiam non amplius indicat sed mimoram et histrionum vim repraesen- tandi magnam; quomodo haec cum benevolentia coincidere possit, me fugit! —— 24. Sensus theosophiae , in summa ossis frontis parte usque ad suturam coronalem ; in homi- nibus rebus mysticis, religionem. spectantibus, occupatis, jam ex Lavateri mente occurrit. — 25. Sensus constan- tiae (Stetigkeitssinn) in summo vertice sive media cranii - parte. — . 26. Sensus celsitudinis (sensus quo ad altiora ducimur, Hóhensinn) pone praecedentem , ad hujus vero latera 27. Sensus superbiae (Hochmuthssinn) positus. Haec sunt organa (sive sensus) quae semet ex cra- nii inspectione extricasse Gal! profitetur. ^ Singulis argu- menta non opposul, cum eadem fere omnibus opponenda sint, et quae generalia praemisi sufficere videantur. Dau- bia mea si solvantur nec alia adsunt, hypothesin cl. viri. lubenter meam reddam; veritatem: enim ervoere mortalibus tantum curae sit, qualis sit veritas, non interest. | DESCRIPTIO | NOVI PLANTARUM GENERIS. Auctore Mich. Fried. dams. "G- la ssumsolHexaoanmuria. Ordo Monogynia. **xx*** Plores nudi. Exhibita in Conventu die 23 Januarii 1805. Tab. B. Character essentialis. Corolla infera, sexfida, subcampa- nulata. Stamina nectario cylindrico inserta. Character genericus. Corolla monopetala, campa- nulata, $exfida ; laciniis erectis , ovatis , obtusis. Nectarium monophyllam , cylindricum , dimidio co- xollae brevius : limbo sexdentato , dentibus rectiusculis. Stamina: Filamenta sex minima, collo nectarii ad fissuras dentium affixa. Antherae oblongae, nectario bre- . viores aut subaequales.. : VE "ud cnc edid cd cci dE EE e HISTOIRE. 165 Pistiflum Germen rotundatum, trisulcatum , supe- rum. Stylus filiformis, longitudine staminum, persistens. Stigma simplex. Capsula oblonga , multangula. Semina orbiculata , fusca. Descriptio specifica. Bulbus ovatus , subsolidus, magnitudine alli, cor- tice cinerea dense adhaerente : fibris. simplicibus, filiformi- bus , pporalelis, albis.. cens eene aut dodrantalis, erectus, fili- formis, teres, ad inflorescentiam angulatus, laevissinus,. pauciflorus. Folium radicale unicum , lanceolato - lineare, pla- num; scapi duo opposita , illius basin vaginantia, erecta, linearia, magis canaliculata: integerrima ,, acuta, glabra, nitida , nervosa , spithamaea. 3 Racemus terminalis, bi - tri v. sexflorus, raro. ultra. Pedunculi uniflori , execti, paululum attenuati , te- retes, glabri, e glandula scapi exeuntes; inferiores corol- la sesquilongiores, terminales dimidio breviores." Brac- 166 ; HISTOIRE. Bracteam: sabulatam sub racemum in. nonnullis spe- ciminibus observavi. Corolla cyanea , laciniis caesiis, nervo intermedio obscuriore. Locus. Mabitat in jugis subalpinis . Montis Ararat, circa Metallifodinas argenteas, ad fluvios Debeda et Ach- stapha, nec.non in Cacunine Montüculi Gairvasin, ubi prima specimina legi Observat. Odor debilis. Sapor fatuus. Floret Men- se Martio et Aprili | Semina matura Augusto et Sep. tembri. profert. Crescit in solo cretacco - argilloso. - Bulbos glutine abundante, insipido praeditos esse, inveni. In sy- stemate Plantarum locum inter Scilam et 'Tulbagiam te- net, quarum prima, quoad habitum , maxime cum nostra convenit, unde etiam, novitate convictus, in honorem lllustrissimi Comitis Apollonnis de Mussin Puschkin. Puschhiniam scilloidem dixi. MATHEMATICA | ET ' PHYSICO- MATHEMATICA. Nova Acta Acad. Ip. Scient. Tom. XIV. . A FACILLIMA METHODUS PLURIMOS NUMEROS PRIMOS PRAEMAGNOS EPINV.ENLENDI AAUOCLE 9'R E PREEENUI LUE: B0. Conventui exhibita die r6. Mart. 1778. x Sufficiet hanc methodum unico exemplo, numerorum in hàc formula 252a «1 contontoram, exjlicafse, ubi omnes valores ipfiüs- a. inveftigabo, quibus haec formula numeros compofitos producit; his enim exclofis, omnes reliqui nu- mer pro a afsumti numero: primos fuppeditabunt. . -*. At fi formula ^3:aa-- 1 praebeat numerum compofi- tum, tum femper talis aequatio locum habebit: EDog [L1 292239 -L- yy sc propterea quod, (28927—38 , 29 eft numerus idoneus ^) Sic igitur erit 23 (aa — xx) — yy — 1. Jam ponatur y — 1r-- 5$z, ac facta divifione per 252 pro dibit ifta aequatio: aa — xx — iz 2»oz-- 1), five, quia uni- tatem tam pofitive quam negative accipere licet, erit E XII ——:z(294 61). $. Tribuantur nunc ipfi ordine omnes valores. 1, ^, 5. etc. et quia formula Iz ^(z - !) certe doos factores, faepiusque plures, involvet, ea femel quoque, vel pluribus modis, per pro- ductum r$ repraesentari poterit, cui cum aequalis efse debeat |. D for- *yj Conf. Nov; Act. T. XD. pag.:3 E] J* ^4 formula ag — xx —(a--x)(a — x), ftatuatur a 2- x —r et & — 2x —.,unde fit a — 7—2, hocque modo. reperientur va- lores pro a excludendi. Hic igitur evidens eft, ambos fac- tores r et s fimul vel pares vel impares efse debere. 4. His jam nota!is füumamus z — 1, eritque duplici mo- do. pio ambiguitate figni, vel rs — 14, vel sr — 15, ubi prior valor, utpote impariter par, ad nostrum inftitutum eft inep- tus; políterior vero r$ — 15 praebet duas exclufiones, vel enim ent Je.) ES IvVelLrEczs.eL-5, unde vale res pro a excludendi erunt 8 et 4. 5,915; nuünc, €», eritque Fs 57. velare 59. Por admittit duas refolationes: r — 57, r — 19 dac Ligqdma— m posterior unicam: r — 59 et s — 1, unde oriuntur hae tres éxclufiones;, 18.2994 d; zc T1, 030. 6; Sit:nünc- s —: 3, eritque vel.rs—93443,.velrsz 34449 quorum valorum refolationes ita referentur: Fi—d329,0)0 4843 30:660, y 25 S Uu guo um MER unde quatuor exclufiones prodeunt 65.0 —- 25, 0234. 0 — F4 ".-BIt Z —— 4soenb vel rs—- 25304 YEl ps5 — 234, qui Be mer, utpote impariter pares, nullas dant exclufiones. s. Sit-nunt € S. Bde c-v.u v2 vel Ts 5. 2]: Bm de ex priore fequentes prodeunt refolutiones: y -—I89.-ki—n0904 Pac 004/90. 17.930, P2 omms opa crc M par VERTU. d —— I2, 4 —— Hinc ergo valores ipfius a excludendi erunt 91,47,33523,2 1,1 9 Alter [o 5 AERDAGLUL. aC YET ———— A ————áÀ . Alter valor dat r x73: 51 ve8lp-— 565, &—cr1, unde exclufiones hiac natae funt 59 et i85. & SIC so EU UE 465 — 3.173; vel F5 —:3, 175, unde fequentes refolationes: | y — 173, S519|" — 525, 1975, 105, 755 35, 25 *& —— UB 1|$ — I, 3; 55» 7, 15, 21 Exclufiones ergo nafcuntur iftae: 88, 260, 263, 89, 55, 41, 25, 23 gNUMunc $-— 7, €rntvyelrs— 7.101, velrs —4.160£, Hic folus prior cafus dat has refolutiones: [8] j ru hu : x ER ps , hincque exclufiones erunt 354 et 54. ccm RE Moss Ut autem nobis terminum praefcribamus, in pofterum om- - nes exclufiones majores quam 3co praetermittamus. IOS SIP nunc $—-3, ent vel f$ — 4.3.7.rf, vel r$ — 4.253. hefolutiones hinc naícuutur fequentes: p—09. 194 604 425'| E4066 EERZ UD Leda u? cb d cao P Fa cT « fuu ab unde concludimus fequentus exclufiones : 1E 15522 80. 465 132 5o 2394 EE 0 --w,.eutvelrsc-o4tjov vetréev— 94 151, hinc^a 24^ em e dc excluditur igitur a — 198, 0. 12. Sit z— 10, erit vel rs— 5.17.15, vel r$ —25.5.97, EE 292..93.! k-—- 289, 85 $— 8$, 55, 15 $— — 53 147 ü — I47; 2445 51, I48, 56. hinc , unde excluditur 15. Sit 4 — (; HA.LYSIE E —ÁÀDE.Cerit;ivel rszc3. 0558) xely y -—/] 5.9 235 hinc ios [12583,1595 53; 440, 220,776, $8, GEPOUED. 44. MoxEms do eldg s 4 » 85, 10, ZO 2D 16; 40, Q —293, 85,43, 222,114, 93554, 51, 63, 42. l4. Sit xz-—15, eh veb pr o— 0.9347, voL 0 . quorum neuter dat exclafionem. hinc 15. DK X-—I34cHbyel 45 --13:.4. 5v, Vel ro oS END hinc : ; Y — 94,551,273, 189, 117, 91, 63, $—:260,. 9,* 9,.19,^521,27,839, 60,179,141,IOI, 69, 59, 51. — 16. Hoc modo calculum ulterias prosequi licet , quous- que vifam fuerit. Exclufiones ex fingulis valoribus ipfius z ortas fequeni tabula repraeíentemus : excluduntur ergo z| Exclufiones | C[515 56, 147, 148, 244» 1: 920 142, 43, 51, 54,4 63, 8*, 95, II4, 222, 298, 531,.5^. 60, 603 XYOF. UMTIALI*O 14| 54, 58, .66,.78, 102, L35,90102, PDÓ, 207, li |[4, 8 2 |11, 29, 80 8 145, 23, 34, 65 4 ES - - - 5 |19, 21, 23, 33, 8395 47, 9t, 188 6 |23, 25, 41, 55, 88, 89, 260, 263 2:4 B'ig9. 40, 80, 92,254 9 |79, 198, 1 1 14 z| Exclufiones 15,64, 68, 88, 116, 236, 16/61, 77, 103, IÓI, I9I, F9 I2O, 152, 168; 18,265, 266, 19|75. I47, 243, 80, 88, 4 21/80, 85, 83, 97, 109, 109, I28, 145, 163, 221, 255, 272, 22|84, 96, 123, 276, 253|90, I22, 178, 24|92, 140, 154. 25|98, IIO, 154, 194. 26|108, I45, 29|103, 105, III, 129, I25, 147, 203, 209, 241, EOLE22, 154, I66, 218, 225, HSDI22; 1131, 153, 146, 187, 2I4, 3I|?40, 32/139, 224, 33/256, 944130, I41, 190, 23 U39. T493, 162, 160, 549, 291; EIS Li, 745,171, 287, 38 2r2; - 9g 1745 13785 242, 41,162, 186, TO 220, 268 45,164, L954:199, 21lI;, 284, 45,208, 46|191, 219, 557, Eee 48,185, 253, 241, 49 t| Exclufiones 49|260 50 I9I, I93. SI|I96, $256, 202 55,202, 225, 245, 260; 54224. 56|216, 240 58|224, 256, 296 56/995 9971, 255. ao 61|239, 241, 282 6212957, | 65|240, 64|246 , 282 65/252 66,274. 67/282 69/265, 265, 295, 265, 265 V EB 23/286 75,286, 290 78/298 15. Inter hos numeros excludendos pro littera a non- nulli bis vel ter occurrunt, quod evenit, quando numerus 23200 4-1 tres pluresve habet factores ; ita videmus, nu- merum 265 primo a valore z — 18, deinde bis a valore z— 69 excludi. Hoc autem cafu revera numerus 232.265^-- 1 conftat ' his tribus factoribus: 59.461.599, atque adeo prae- ter iftam formam tres fequentes recipit : 1" 392.250 1-304393 2? 282.934. -- 4008 3^ 232.35 --4901'. | 18. l de Écte cd e I mer E t ATH WR Jj r8. heferamus autem in tabulam omnes hos numeros excludendos, fecandum ordinem difpofitos, atque eos, qui plus quam femel occurrunt, alterifco notemus oO 45, 8 ESCII, I I4. L0 "e |r. e5*, 25 $3 (39, 32, 83, 34, 39 4 |40, 4I, 425 43, 47 5 |si*, 54*, 55, 56, 58, 59 6 |60, 61, 63, 64, 65, 66, 68, 69 SISSE. 17» 73 8 |80", 83, 84, 85", 88", 89 9 |90, 91, 92, 93, 96, 97, 98 IO IOI, IO2, 103, 105, IOS, I0O9 EEMTO. III, IIA4, 116 | 12|120, I22, I25, I25, I28, I29 EXEISSILISE. £327, 133, 134, 1355 137, 149 I4I40, I4I, I43, I45, I46, I47, 148 I5|I154, 156 IÓ|160, 161, 162, 165, 164, 166, 168, 169 Ei Ets 174, 178, 179 E8183, I84,.185, 186, 187 19/196, I91, I93, I94, I95, 196, 198, 199 2080200.,.203, 206, 2075, 208, 209 2I,2I1I, 212, 214, 216, 217, 218 E EOr22,:29599 994 925 25/231, 292, 233, 234, 235, 236, 237, 239 24/240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247 25/252, 253, 256, 257, 26 260, 265, 265, 266, 268 23 271, 272, 2374, 296, 278 Nova Acta Acad. Imp.Scient.'Tom. XIV. "WD 2$ m— € Y 0 — 281282, 284, 286, 287 * sh 39099,5292, 393,205 ,/498, 298. His ipitur numeris-exclufis reliqui omnes loco a fcripti. in formula 258a L1 producunt numeros primos. Hos 1gi- tur valores ipfius a fequens exhibet tabula : | 1, 25:93, 552 05, 9. DOO EPI ES 15, I9$ Eb I9 E 20, 22, 24, 26, 27, 28, 20, 81, 85, 36, 37» 325 445 454: 46, 48,.40,,50, 52, 35 57, 62, OX. EL 223 78. 745 26, 795» 81, 82, 86, 87, 94,95,99, 100, 104, 106, IO7, II2,IIT3, I15, ID, IIS8, 219; ROT 124, 126, 129, 1305 138, 142, 144, (040, I50, PRXE 152, I54, 155, 15551598, 159, L05, 102, 390, IJ2. 173, 175, 176, 177, I8C, I81, I8?, I88, 189, 192, 196, r97, 2005 901, 204, 205, 210, 215, DXAU MER. 220, 22w, 228,1229, 250, 298, Q4N, 240. O5SOIUDRUME 254, 255, 258, 259, 261, 262, 264, 267, 260, 270, 275» 275, ?77, ?79, 1$0, 281, 283, 285, 288, 289, 2055. 20945: 29]. 59 9 1 horum numerorum ultimi fere ad 20 milliones exsurgunt. ME. ' — €: fI ped ^ ^"'METHODUS GENERALIOR . NUMEROS QUOSVIS SATIS GRANDES CTERSCRUTANDI UTRUM SINT PRIMI NEC NE? ^ AUCTORE L EU L' EO. Conventui exhibita die 16 Martii 17378. S. as Sit N numerus propofitus, et non difficile erit eum redu- ceie ad hujasmodi formam: N-aa--2bb; tam vero 1oquiratur, utrum. adhuc alio modo ad fimilem formam reduci queat, Si enim quoque fuerit N — xx — Ayy, ita ut fit aa -- 2 bb — Xr--iyy, tum certe numerus N mon ert primus, fed ejus factores hoc modo afsignari poterunt. Quoniam hinc eft aü — xx — A (yy — bb), eiit £35 —2 . 2-7, quae fractio- nes ad minimos terminos, reducti fint ^. fn Ponatur igi- tur a4 r—?mp et y—b--np;eirit y--b —mq et a—xznq, et hinc reperietur- a — SMEGO et. bc ap, ex quibus valotibus, ert N — E(Amm - nn) (^pp--qq); unde patet, formulam ^pp —- qq vel ipfam. vel ejus femifsem , vel .qua- drantem: efse factorem. numeri propofiü N. — .$ 5». . Quando autem ad talem formam N-— aa -- ^ bb pervenimus , tum fítatnaamus N — qxr-2-?^yy, übi ftatim fa- cile patebit, utrum hi numeri x et y fint pares, an vero Impares , quo reperto ftatuatur vel. N — xx — A yy,. vel UN — 2yy xx; ac priori quidem cafu numerus x ita accipi d - DB 2 d debet BERCADONEP -ReNA I2 PUB aaiPLERR. debet, ut N — xx dividi queat per numerum ^, Hoc mo- do ad novas formulas pervenietur, quae quadrata fieri de- bent, in quibus inerit numerus incognitus, qui, prout fue- rit acceptus vel par vel impar, ad cafus perducet fcorfim evolvendos. Omnes autem iftae operationes facilius excni- plis docebuntur. Exemplum. N —10002 $. 3. Sit numerus examinandus N.— rocog — 100 2-3.1*, ubi ergo A — 3. Statuatur N.— xr--5yy, et quia horum numerorum x et y alter necefsario eft par, alter impar, videamus ante omnia uter eorum fit par, uter impar. Quo- niam autem N eft numerus formae 87: -—-53, fi y efset par, foret 3yy numerus vel formae. 8n-- 4, vel formae $n-- 0; at tum foret xr formae $n-- 5, vel 8n -- 1, quo- rum bodie hic locum. habere poteft. Sumi ergo debebit x par. eritque xx vel formae 8172-0, vel formae: $n-2-4;. et quia tum y eft impar erit 3 yy: formae: 8n 4-5, ideoque xx: formae $n--o et x numerus pariter par. | $. 4. Quod. fi ergo ftatuaamus N.— sg yy:— xx, iftam numerum: divifibilem. efe oportet per 16; unde fi: ponamus: y -—ri-caa, haec aequatio dabit rooco — r2g:— r2 ag:— x2. quae per 4 divifa abit in 2500 — 3 à; — 3aa:— e Unde patet numerum: a. denuo: per 4 divifibilem effe: debere: vel potius ftatim. poni potuifset y-—— r-- 8a, unde prodiifset aequatio 625.— 3a, — 12g; — $5 — [T $. s.. Nunc janr duos: diftinguamus: cafus, prouti nu-- X merus « capiatur vel par vel impar: Sit igitur primo qw numerus par, et quia numerus abíolutus 625 jam habet. formam 8X 2-1 et 12aa formanr $n.:necefse: eft ut etiam 36 divifio-- divifionem. per 8 admittat. Hinc ftatim ponatur a — 8b fietque 625 — 24b — 12.6400 -—- [|]. Quia igitur a nu- mero abíoluto 625 fübtrahi debet forma 768bb 524b, pa- tet valorem minimum b — : jam efse nimis magnum, hincque nullum oriri pofse quadratum. Ex valore quidem — o prodiret quadratum, fed ad cafum cognitum pertinens. /$. 6. Confideremus igitur cafum, quo a eft numerus , impar, cujus forma cum fit duplex, vel 4n-- 1, vel 4n— s, ftatuatur primo a —4c€-4- 1, eritque 610—108€--192cc—[, qui numerus, cum. fit impariter par,. quadratum. effe nequit. f. 7. "'antum igitur examinandus füpereft cafus, quo v — 4d — 1, qui praebet hanc aequationem :. 616 2— 84d — 192 dd. — D Jquae per 4 divifa in: hanc abit: 154.--21d — 48 dd —£;-—— [1]. A numero igitur abfoluto 154. fübtrahi debent. numeri: minores. in. forma: 48 dd -- 21d contenti, qui fünt 27,69, 150, quorum: ultimus. fabtractus relinquit quadratum. 4, ex valore d: — 4- 2. defumto. Hinc igitur erit a.— "yc aub -— roc $. 8. Nactt ergo fumus: aliam: infüper: refolutionem numeri N— — 10008 , cognitae fimilem, quae eft 10003 — 16* -4-3.57. Quare cum: jam: habeamus: A — 3,. a:— 100; D—I;, 4— 106. et Mc quRcex' q- TI PH. UA Ua 33 3 Idcodüe p — v et q'—3, confequenter: 3 pp. —- qq— 21, quod: per 3 deprefsum: dat. 7, qui. numerus: revera. eft. divifor nu-- meri propofiti: 10003, quoto exiftente. — 1429, numero: primo. $. o.. Hoc exemplunr innititur: formula: $xra- yy; de: qua fatis rigide jam. eft demonftratum., omnes: numeros, qui. unico modo: in. ea: continentur, certe: efse: primos ;; quae. pro- pietas. I4. — prietas abfolate necefsaria eft ad omnes numeros - primos hac ratione explorandos Nifi enim formula xx - yy hac propruetate gaudea!, de numeris, qui unico. modo in ea continerentur, tuio pronunciari non poflset, eos efie primo: ; veluti cafa a — 11, quo in formala r:xx--yy numeris r5 unico tantam modo continetur, etiamfi certe non fit primus. $. rc. Quin etiam haec formüla generaliori "modo ita exhiben poteit: fXre yy, de qua itidem eft demonftra- tum, omnes numeros, qui duplici modo in ea contíneantur, non efíse primos , fed coimpofitos, quorum adeo factores 'fa- eile afsignar poterunt. | Si enim duplici modo fuerit N'—2oaa i gbb, tum, vero etiam N — aAA ^ EBB ,- hinc formetur fractio T dem e e tum femper forinula ;a pp -Eqq praebebit factorem numeri N, poftquam ícilicet per mino- xes divifores a, , 2, fi quos admittit, fuerit deprefsa. i1. Contm vero, fi. quispiam numerus N unico tan- tum modo in. formula e xx^- (yy contineatur, inde non fem- per concludi poteft, hunc numerum efe prmum, fiqui- dem innumerabiles, exhiberi. pof.ant. hujusmodi formulae, in quibus. etiam. numeri comvofiti Íemel tantum contineantur, cujus rei. exemplum. jam fapra attülimus., lianc ob circum- ftaniam maxime neceísarium., eft, formulas hujus pofterioris indolis a prioribus difiinguere alque a',pracfenti negotio proifus. excludere. Demopftravi aotem "alo loco regulam, cujus ope formae pofterioris indolis dignoíci atque adeo e medio tolli poterunt. Regula autem ifta iia fe liabet: : S. x5. - Propofita formula e xx Pyy , de qua quaeritur, Utrum in ea numeri compofiti unico tan'um modo contineri queant nec ne, confideretar haec formula 4(--zz, ubi ipfi z Om (Opes mW TRES TA - e LIS TCI NES Ree v. CAP RRP IT Ye NOV QRQER CT RARE 2 —Á I$ MRÁ Z omnes fuccefsive tribuantur valores ad prodüctum 2 pri- mi, fivc ii ipfius z valores. excludantur, qui cum boc producto communem: habent diviforem; tum vero füfficit hos num-.ros ex foimula «9 a-zz. rela ltautes tantum usque ad "Xerminum 4203 continuare. Quod fi.enim omnes hi numeri fnerint primi, formula e xx - (yy.tuto in noftro negotio ufur»ari poterit; fin autem unicus inter eos fuerit numerus compofitus, tum haec formula penitus erit rejicienda. In hoc autem judicio probe eft terendim, numeros quadratos inítar primorum efse fpectandos, panter ac dupla. primoram, et ;oieftates binarii, quae circumltantia fummi in dijudica- tione noltra eft moment. $18. llluftremus hanc regulam aliquibus exemplis; ac primo quidem propofita fit haec forma: - xx « 2yy, unde confideretur haec expreffio: 14 -- zz, ubi ipfi z fucceffive trnbuantur valores ád 14 primi i1, 5, 5, unde refultast numer :5, 25, 39, quorum primus cum jam fit compofi- tus, pariter ac tertius, forinalam propofitam tanquam: in-- eptam excludi oportet perinde atque hauc ad idem judi- cium deducentem: I4XI- yy. .$. 14. Propofita formula 3oxx-- yy, in forma. 50-- zx ipfi z tribuantur valores impares ad.350o primi, qui funt x et 7, unde ornuntür numer ^ri et 979, qui cum ambo fint primi, haec formula ia praefenti negotio tuto adhiberi po:ert, nec non fequentes Linc oriundae: 15 xx - zyy, 6rr4a-5yy, icrr - 3yy- $. 15. Propofi a fit formula r26xr-- yy; ubi in firn I^O -- 27 ipf i tribui debent hi valores impares ad x-o pimi: 1,75 11, 15, 17 ; numérus enim 1i9,praeberet nu- merum a——— — Y 0 ntm merum, quadruplum producti «8 — 12o fuperantem. nde autem colliguntur numeri fequentes: 121,166, 41,289, 409, qui cum fint vel primi vel quadrati, hinc concludimus for- mulam propofitam, perinde ac fequentes inde defumtas, fcilicet: 4CXX--3yy; 249*X 4 5yy; 15XX-- 5 yy,tanquam idoneas fÍpectan debere et in examine tuto admitti pofse. $. 16. Sit propefita formula 72xr--syy et in hac ep 55 -- zz valores ipfi z tribuendi erunt: :1,2,5, 4.6.,8,9, qui praebent hos numeros: 36,39, 44, 515 715 99,116, übi cum adeo fex fint compofiti , hanc. formam omnino excludi oportet. $. x7. Habestur formula 15xx---7yy et in expreffione 105 zz ipfi z trbuendi erant hi valoies ad ic5 primi: 1,2,4,8,11,1535.16, 17, qui praeberi hos numeros , omnes' gro primis habendos: 106, 1c9, 121, 169, 226, 275, 361, 394. unde fequentes formulae in clafsem idoneorum funt ponen- dae: 105Xxr-- yy; 35Xx--8yy; 21Xx--5yy; I5 Xr--T7Yy. 6. 18. Addamus his exemplis examen formulae 57xx--yy: et numeri loco z fucceffive fcribendi, fcilicct 1, 2,455,7,*, 10, I1, 13 hos praebent valores formae 5*5 4- zz notatu dignos:. 58561,535582,106,1214,1574,1784 226, qui om- mes funt vel primi, vcl quadrati. vel dupli primorum, ita ut formula propofita certe fit inter idoneos referenda. $. 1e. Haec fufficient ad infignem fimulque faciliimum ufum noftrae regulae illuftrandum , cujus o; e cafus idoneos for- mulae » xr--8yy ab ineptis difcernere valemus; qua igitar re- gula ftabilita, illos cafus optimo cum faccefsa adhibere pote- ximus ad numeros quosvis in talibus formulis contentos, utrum fint ————— Jfnt primi nec ne, perferutandos. ^ Propofito fcilicet nu- mero quocunque N facile erit illum pluribus modis ad ta- lem formam «exr-4- yy reducere, quo facto talis eligatur càfas, qui per regulam fupra datam non excludatur, ac difpiciatar, utrum ille numerus N unico tantum modo, an vero pluribus, in hac forma contineatur: Priore enim casu «certe erit primus, pofteriori vero compofitus, cujus factores ope methodi fupra traditae facile afsignare licebit. Exemplum I '$. 2e. Proponatur numerus N — 160005, qui manmi- fefto in forma 1oxx --3yy continetur, exiftente x — 100 et y — r. Videamus ergo, an ifte numerus adhuc alio mo- do in eadem forma contineatur. Hunc in finem ponamus 100003 — 3yy — 1oxr, atque ut divifio per ro fuccedat, ponatur y — 1-- 102 , hincque orietur 10000— 6z— 50 2z - XX, — XX five facta adhuc divifione per 4 erit 2500 —2z—72zz — 4. Hinc igitur, prouti z fuerit vel par vel impar ,:formemus .N'z:100085 duos cafus principales. Pro primo fcilicet fit z — ^a, orie-.- tur aequatio À — 25co — 3a — 50 aa — T. Pro altero cafu fit z — 2b — 1, orietur ifta: B — 2494 -- 27b —3cbb — 5. Evolutio formulae A — 2500 — 34 — 30 aa — I xx. 8. 2r. Hic ftatim patet, füumto a — o prodire qua-. 4ratum, praebens cafum cogniium x — 100 et y — rz. Jam iterum duos cafus diftinxiffe conveniet, quibus a eft numerus vel par vel impar: ac prior quidem evidens eft pro a fumi debere numerum pariter parem. Sit ergo pri- Nova Acta Acad. Imp. Scient..Tom, XIILI. no moo — 4€, et facta: divifione per 4 oritur haec aequatio z Q—625— 5c— 120cc— Lxx. Hic igitur, quia c tamr pofitive. quam: negative fumi poterit, nameri a 625 füuccef- five. fübtrahendi ordine: exunt lequentes: in forma 12o cr -- 3C contenti: 117, 123, 474, 486, unde autem nullum plane quadratum; refultat.. 6.22. 'lubuamus: nunc ipfi a valorenr imparem, quE fit a; — 4d'-- 1, et facile eft videre, folum: fignum inferius: valere pofse. Fiat igitur à — 4d.—1, et aequatio: per E divifa evadct D!— 2473 2- »sed — 48€ dii. Hinc igitur numero: abfoluto. 2475 füccefsive fubtrahi debent p Íequentes: in. forma: 48c dd. a- 22$ d. contenti, fcil. ?52 ,. 708» L464, 2376 , unde iterum: nullum: quadratum: rcfültat.. Evolutio Formulae: Bi— 2494.-- 27b. — 3c bb — 75. $. 25. Hic ftatim patet, fi pro b capiatur mumeruss par. eum impariter parem: efse debere. Sit igitur b — 4 e-- 2, ét facta. divifione per 4 aequatio hinc refültans erit Bic6o5—95e— 120ee&-z $. A numero:ergo abfoluto'66 fabtrahi debent fequentes in forma: 1x2cee'-- 95 e' contenti qui fünt 27,215,294; ubi autem: nullum; quadratum. oc currit. | $..24. Denique pro b: numeros: impares: tentemus. Fa- cile autem- patet ,. poni debere b — 4f —1,. ita. tamen, ut numerus f fit impar, qui ergo ponatur — 2 g--1, eritque b 8g4-3,. unde-oritur haec aequatio: 2805—1224g— 1920 gg —*7. Hic: eigo: unicus: numerus; 696 ab' abfoluto: 2505 fübtrahendus eccurri, unde autenr numerus: non- quadratus: ako J ] Qna pomo 19 —— (Quoniam igitur ex toto hoc calculd nullus numerus qua- diratus prodiit, jam. certo pronunciare pofsumus numerum propofitum 100005 efse primum. Brevior Methodus in hunc numerum inquirendi. $25. Quoniam ante habuimus 10005 — 10. 100*-- 3, 1* etiam ftatuere poterimus 100003 —40.50' 2-5. 1^, ita ut fit a-40 et 8-5, qui cafus, uti fupra vidimus, admittitur. Hanc ob rem ftatuamus 100003 — 3 yy — 4ozz, fiatque y - 1-- 202, et facta divifione per 4o ftatim pervenimus ad hanc aequa- sionem: 2500—5z — 8032 — xx; ubi duo cafus confiderandi occurrant, prouti z fuerit numerus par vel numerus impar, quorum utrumque feorfim .evolvamus. $. 26. Pro priore cafu evidens eft pro z fumi debere mumerum pariter parem. Sit ergo z— 4a, et facta divifione pera oritur haec aequatio: 625—30-— 12cag. — *5 Hic 4 ergo a numero abíoluto 625 fequentes ex forma 12caa--50 xefamti fant fuübtrahendi: 1154 1:23, 474, 486. Hinc autem nullum occurrit quadratum, praeter cafum a — o, qui per fe jam eft notus. $. 27. Supereft ut proz numerum imparem fcribamus, qui fitz—2b—:, fietque aequatio 24732-1145 —120 bb — xz, qui numerus cum fit impar, ideoque debeat efse formae $n--r, evidens eít fumi debere b — 4c, unde prodit haec aequatio: 2473--456Cc— 1920. cC — xx —[]. Sumto igi- tur c —-- x numeri a 2455 fübtrahendi erunt r464 et 2576, quorum neuter quadratum relinquit. Hinc eadem , quam fupra, conclufio: numerum roooog certo efse primum. Ex | (us potte- RERTCUGHECRENS 20 co——Ó — pofteriori autem hujus! numeri examine intelligere licet, im genere eo majus lucrum exípectar poffe, quo majores nu- meros pro « et accipere liceat. | Exemplum — 1000003 $. 28. Propofitus fit numerus N. — 1000co3 , qui ma- nifefto. continetur in formula: 3.1'--r.10co. Quoniam autem, uti modo monuimus , expedit pro a et (9 numeros majores adhibere, idem quoque numerus facile repertus eft contineri im. forma 3 .573 — r9. 8 , ita ut fit a — 3g et 9 — 19, ideoque e(9 — 57, qui numerus, uti commode evenit, inter idoneos janr fupra eft relatus. Hanc ob renr ftatuamus »000003 — 3 xr — 1i9yy. atque ipfi x talis valor tribui debet, ut formula haec divifionem per numerum 1g admittat. Quare cum in cafu cognito fit x — 577 — 50.192- 55. ponamus hic x -— 7-1-192z, et facta divifione per 19 orietur haec aequatio: $2624 — 42z —57125 — yy. Ubi ftatim duo cafüs confiderandi occurrunt, prouti z füerit numerus par vel impar. Pro prion cafu ftatuatur z — 2a, et aequatio pex 4 divifa ita fe habebit: r3156 — 21a —57aq — 2^, quanr vocemus — A. Pio altero cafu ponatur z — 46 — 1, quo- niaunr facile eít videre, valorem. z — 45.5- 1 penitus excludi. Hinc ergo orietur haec altera aequatio principalis : | B — 52609 4- 2886 — 9120b — yy. à Has igitur duas aequationes A et B, principales, feorfims ulterius evolvamus. Evolutio Formulae Á — 13156 — 2140 — 59üaq — M. $. 29. Hic fubdivifio. im duos alios cafus inftitui debet; quorum. quisque iterum feorfim: evolvatur. Sit primo a nu- merus [DE merus par, et quidem a — 4c, qui valor, in aequatione Á fubftitutus, producit fequentem aequationem , poltquam fci- licet divifio per 4 fuerit facta: C— 3289 —210c—22866— 2. Hic ergo a numeio abfoluto 3289 fuccefsive fübtrahi debent mumeri in forma 228cc - 2rc content, qui funt: fi c numerus negativus: 207, 870, 1989 fi c numerus pofitivus: 249, 954, 2115 unde autem nullum quadratum refultat.. $.50. Sumamus ergo pro à numerum imparem, qui manifefto debet efse formae 4 d — 1. Facta igitur fuübftitutione &--4d—1, fimulque divifione per- 4, orietar haec aequatio: D-33280 2-95 d —228dd. Hinc numeri formae 228 dd:--95 d. a numero abíoluto 3280 fuccefsive fubtrahendi erunt fi d. numerus negativus: 135, 726, 1773, 8276 fi d numerus pofitivusz 321, 1098, 2331 ; quorum quartus prioris feriei dat quadratum 4 ex cafu d — — 4, unde fit y — 8, qui cafus jam eft cognitus, prae- ter quem hic nullum amplius quadratum. occurrit. Evolutio Formulae | B — $2609 -- 2886 — 9x12 bb — yy. $. 51. Hic ergo a numero abfoluto 52609 facceffive fubtrahantur numeri in formula 9126b —- 288b contenti, quos hic in gemina columna, una cum eoram differentiis, tam pro valoibus ipfius b pofitivis quam negativis repraefen- tiemus: - — [ : b |orebb—28e0! Diff. | b 'o126b--2s80| Diff. | d X 624. iu I200]| X[ 624. Hie (I i200 go2 |j '2 | gov Mais TM 4224. pe | Is. 2344 [| j3 9o72 | | i ii $. 32. Jam vero loco fuccefsivae fabtractionis numexo- yum in forma 912b -- 288b contentorum, differentiae eorum "augmento conftanti 1824 .crefcentes continuo fubtrahi pote- xunt, quos in fubfidium calculi hic fübjungamus 24. c 1-2 M E. T1200 2448 mim e M Bosd 42732 ie Lm EE. RAS 6096 ger LC ] - 6672 $920 4 9€ 4 - 8496 OO UI mue Miu Ue oT ROS2O X156$8 um Bo xou usus EDAM $. 35. Nunc igitur hi numeri a numero abfoluto 52609 continuo fuübtrahantur, ac difpiciatur, an usquam numertüs quadratus relinquatur, quem calculum commode in duabus columnis hoc modo repraefentare licet: | $2609 - - - -- ^. - 52609 62 4. 1200 5X985 5 - - r-- ^ * 51409 2445 E 195357 "S - 54 E " 2 - Lj 48585 4252 484.8 45565 Un edge wow LI U35aT 6096 66452 539169 Dd - Lr - m - ts - 36865 7920 8496 $1249 »,- -- - - - * 28869 Dy 10320 21505 « - - - - * » - 18049 II568 I5144. ubi oiiicind" 24 —ÍÓeáÀ übi nullam ' plane quadratumr occunit, pariter ac in prae- cedentibus, cafu fcilicet cognito excepto: Hinc igitur jure concladimus , numeérümnt propofitum, 10000053 uünico: modo: informa $xx--19yy conünerm, ideoque certé' effe. primum. $. 34. Ex hoc exemplo clare apparet , düantum in-. terfit in formula e xr (yy pro «e et (Q. majores numeros: inveftigare , dammodo' eorünr prodactum: o. in clafse nume- rorum idoneorüm contineatur, pro: quibus. inveniendis regu- la fupra fuit expofita. Quamobrem, ut quovis cafu ftatim appareat, utram tale productunr «(8 fit numerus idoneus, nec ne, tabulam iftorum numerorum » quousque. eam. conti- zauare licuit, hic fubjungamus; ; "Tabula. nümeroram. idoneorümnt x(, hac proprietate prae - ditorum , ut omnes numeri unico. modo in: formula: oxrx--(Qyy contenti certe. fint primi Un Nie leue iAS rinbaoen -POmgam Z gU dne roce vica Ta ecc ins o ggo* S IIS IM x 58 i ien UN 345. dE ROSE E MU et 60 5 - rósg zo '$5'T ge vp em qoe -T168 - « $99 x dica cdi pp ge ME, A. pd d qg-o-28 7 38 -g90 - - 46m Huc me OLIM USSIMEUMO TON TU goto gos. or oa gU Oeo OE EE uU IL T MO Od RE oirernwos-P Ires qaJUn ay Se ipepuo no sivo o io Iedgosi inso osa Um ps6s - I5 - -45 - -II2- -280- -1848 EC | f. 35e u—— QAO mm $. 55. Quoties igitur numerum quempiam propofitum ad talem formam exr-- yy reducere licuerit, ut prodactum eg inter numeros ifüius tabulae contineatur, tum haec for- mula ufurpari poterit ad examen, jam faepius allatum, in- ftituendum. — Conveniet autem accuratius explicare regu- lam, cujus ope operationes necefsarae expedite inftitui queant, id Tu in fequente Problemate oftendamus. Probíema. Propofito numero quantumvis magno N, explorare, utrum às fit. primus nec ne? Solutio. $. 56. Quo major fuerit ifte numerus N, eo pluribus modis eum in ejusmodi duas partes refolvere licebit, qua- xum utraque habeat factorem quadratum, quae fint «aa et gbb, ex quibus igitur talem eligi conveniet, ut numerorum « et ) productum in tabula modo expofita contineatur, ubi quidem plurimum intererit znajores hujusmodi numeros in- dagare. $. sv. Talibus igitur numeris inventis ponamus efse N-—caaa--g6b, et nunc totum negotium huc redit, ut inve- fügetur, utrum 'ifte numerus infuper alio modo in eadem forma axx-- (yy contineatur, nec ne. Si enim talis cafus occurrat, numerus propofitus non erit primus, atque tum adeo ejus factores, per praecepta fupra data, afsignare licebit. Sin autem nullus talis cafus occurrat certo pronunciare poterimus, iftum numerum N efse primum. $. $8. /$. 32. Ifta autem inveftigatio fequenti modo genera- liter inftituatur: Ponamus efse N — axx-- yy, ita ut fit aaa a- 86b —exx--yy. unde formemus hanc aequationem: aaa — (yy —bb)-coxx, ubi praeítabit pro a majorem numerum afsumere, pro Q vero minorem. Hic igitur ftatim patet, pro y ejusmodi numerum accipi debere, ut formula yy — bb diviforem ^ involvat. Evidens enim eft non folum numeros « et 8 primos inter fe efse debere, fed etiam tam x ad 8 quam y ad «& primum efse ftatuendum. $. 59. Quoniam igitur yy — bb per e divifibile efse debet, apte omnia erit difpiciendum , utrum « fit numerus primus nec ne. Priord enim cafa vel y -- 6 vel y — b di viforem habere debet a, unde unicus tantum cafus exfur- gilt; sin autem « involvat factores, tum utique fieri poteft, ut alter contineatur in forma y --b, alter vero in foima Xy — b; unde praeter illum cafam adhuc unus vel plures novi cafus examinari debebunt. Unicus fcilicet castis occur- ret, fi 4 duos tantum habeat factores; fin autem plures fac- tores involvat, tum etiam pluribus modis in duos factores refolvi poterit, quos fingulos feorfim perfcrutari oportet. $. 4o. Ponamus igitur in genere efse «a — p.v, et quo- vis cafu facile patebit, quot modis numerus « in binos hujusmodi factores refolvere licet, quotcunque etiam invol- vat divifores ; neque etiam numeri primi hinc excluduntur, quippe quibus cafibus vel pro j. vel pro v unitas erit P benda. Hinc ergó ponamus-y --b-—-wp ety -—b-vq; i utfit yy —bb— y.» pq —»pq , et facta divifione per « Jed tio deinceps refolvenda erit a — (pq — xx. Noua Acta Acad. Emp. Scieut. "Tom. XIV. D $. 41. b6 ibtd $. 41. Numeri autem p etq hoc modo commodissime reperiuntar. Eliminata enim littera y habebimus 26— ;. p —:q. Jam quaeratur fractio *- proxime aequalis fractioni ita ut. mv-—nyk-zr;tum capiatur p-—v$—2nb etg 3 Ms—2mb, ubi jam pro s numeros quoscunque integros accipere licet, five pofitivos, five negativos, et Sato noftra resolvenda induet hanc formam: aa — 8G (vs — enb) (ys — 2mb) — REALE. ubi jam pro $ ejusmodi valores inveftigari debent, ut ifta forma aa — 8 (vs — »nb) (ys — 2:215, quadratum evadat, ''otam negotium igitur eo redit, ut dispiciatur, an, tübu- endo litterae s füccefsive omnes valores tam pofitivos quam negativos, a zyphra ad terminum usque. qui numeros prae- beret negativos, an dico usquam quadratum refultare poffit. $. 4». Evolvamus igitur fingulos numeros, quos a qua- drato aa Íubtrahi oportet, quos littera S defignemus, ita ut htuwa -—S zxmaHWabebimus-ergo E] S | Oc 4g8mnbb - -- I kil 8(v-enb) anta sf - - II --2 Q(2v--2nb) (2j.2- 2 mb) - - - III --3| G(av-c2nb) mcn --IV -4 5 B(erze2nb) (qp2-2mb)- - - V --5| B(sv--2nb) (sp.--2 mb)- - - VI Quoniam ifti valores sat simplici lege progrediantur, per- pendamus eorum differentias, ac repeiriemus: II— I — 8 (yv 22b(mv --npy) II — II — 8(3jv2-25 (mv -A- nw.) (IV — UII— (5 js vac2b (mv 4-np) V — 1IV— 8(tkv2-2b (mv -- ny) | j quae- quae manifefio in progrefsione arithmetica progrediuntur, cujus diiferentia eft 2 8v. $. 45. His differentiis inventis nihil aliud fupereft; nifi ut eàe ordine continuo a quadrato aa, piimo termino mi- mu.o. fabtrahantur. .Ab aa fcilicet primo fubtrahatur prima differentia; tum vero a refiduo fecunda, a refiduo hinc nato testi porro quarta etc. quoad ad numeros: negativ OS perveniatur ; hisque operationibus ita con!inua!is dis: icia- tur, utram usquam numerus quadratus remanferit ; quod fi non contigerit, numerus propofitus cerle pro piimo erit ha- benduüs; sin autem usquam quadratum prodierit, ejus radix dabit valorem ipfius x, et notato valore i,fi s conveniente etiam reperini potent alter numerus y. [fiquidem ert y —b--gukvs— 2vmb. Quia vero fupra sumfimus m»—ny.- 1, ent nunc. y — uk vs — b (mv -- ny. $. 44. Ouod fi numerus propofitus N fuerit vehemen- ter magnus, numerum harum operationum non parum ^ di- minuere licebit, fi numeri S, quos a quadrato da con!inuo f.btrahi oportet, in duas clafses diftinguantur, prouti pro s valores five pares five impares accipiantur, Priore enim cafu, cum fit vel s — «n, vel s — 4n-- ^, pleramque eve- niet, ut alter cafus penitus excludatur, ob eam proprieta- tem, quod inde pro S numen prodient impariter pares, Eodem modo íi pro s famatur numerus impar. erit vel $-4n--1, vel $-4n — 3, quarum formarum .altera penitus excluditur. quia omnia quadrata imparia funt formae $n-- r, ita ut hoc modo numerus operationum ad femifsem redigatur. $. 45. Quoniam initio pofuimus a— j.», hosque nvme- Eos Uu. eL» ut primos inter fe weak un id quod potiífi- | D z mum mum de factoribus imparibus eft tenendum, notetur fi a fit. numerus par et poteltatem quamcunque ipfius binari in- volvat , tum utrumque factorem y --b—pup et y — b—»q parem effe debere. Unde fi ipfi j& valor par tribuatur, ni- hil impedit quo minus et v par ftatuatur, id quod facile in exemplis oblatis obfervare licet. Ita cum numerus 5 20— 8.5.15, in tabula fuperiore numerorum idoneorum contineatur ,. fe- cundum praecepta hic tradita in genere numeros N — 40üü -- 150b evolvamus. Evolutio generalis. numerorum contentorum in-forma N — 4caa -1- 156b. $. 46. Hic igitur erit à — 4o et ($— r5, atque hine numeros: x et y ex fequenti forma elicere licebit : 4ouuw-- 19 (yp Do) — ome ubi ftatim duos cafas diftingui conveniet , E quibus eft vel. p £210 et» — 4, vel g— 20 et /——2, quia iciicet ame bo factores debent eífse pares. Casus I | quo p — 10 et y — 4 $ 47. Hic igitur erit. y-7-3- b — pp et y—b-— 415 hincque b — 5p-—2q. Fractioni ergo: 2. proxima erit 2,un- de flatuamus p — 25s-- b. et qz 5s-- 2 2b, quibus valori- bus. fubftitutis. aequatio. refolvenda erit. Q0 — 13 (254-0) (5s-- 2b) — xx; Pofito igitur brevitatis gratia numerum a quadrato | aa sub- trahendum , fciL r3(25-- 0) (5 $43-2 E — 58, fi loco iuc- ceffi- SO UE RES cefsive fcribamus numeros o,--1,-- 2, ——3, etc. valores ip- fius S cum fuis: differentiis, quorum ufum jam faepius ex- plicavimus, ita fe habebunt : EN - hs aDfES has o5 26bb — | I3O-- II "m | TU. --2 13(4 2- b) (10 2- 2 b) 650 -- 117 bb 4-3 13 (6c b) (15-20) |o m4 | 13 (8 2c b) (202 26) etc. etc. etc. . quae differentiae continuo. crefcunt augmento conftanti 260, unde facile, quousque libuerit, continuabuntur ; ubi autem probe notetur, fübtractionem differentiarum fieri: debere a numero aa — 26bb. r9ro-- I17bb Casus II. quo (—20 et v—2, f. 48. Hic igitur ert yb — 230p et y —b —5q unde, cum Linc fiat 6 — 1op — q, .fumto p-—s fiet q— 10$— b, et aequatio refolvenda erit; aa — r3pq — xx MEE an 1:35 (105 .- by-—xx. | Poftto igitar, brev. gi: 155(105— b) — S, valores ipfius S, prouti s fuerit vel o, wel z, vel 2, vel 5, erunt fequentes: | s o EIOS B COD. "TON o 1 b | -- L| 15 (10 2 D) ES NUM | 26 (20 4-b) COE R / T2 WE 650 2- 15b EuunQo CER IA d2B -4| 52 («o-) | P frac etc.. |, etc. eic.. | , ubi ubi differen'iae. i'erum | manifefto augmento conftanti 260 crefcunt, quas igitur loco S continuo ab ipfo quadrato eG fuübtrahi oportet. Alia Evolutio numerorum Ío:mae 4caa 4- r5 bb. $. 49. Cum habeatur aequatio: 4caa-— 13 (yy—bb)— 4o xx, tollamus primo tantum factorem parem $, et quia b deno- tat numerim imparem, evidens elt, dummodo pro y etiam fumatur numerus impar, formulam yy - bb fore divifibilem per $8. Ponatur igitur in genere y.— 2z-- b, et facta divi- fione per $8 habebimus hanc aeqcationem: | sag — P(zz -- bz) sxx; ubi evidens eft, men brum me- dium femper effe integrum. Nunc igitur loco z talem nu- merum afsumi oportet, ut vel z, vel z b factorem ha- beat s: perinde autem eft uter horum factorum per s di- vifibilis reddatur, propterea quod inter fe funt permutabiles, mutato fcilicet figno ipfius b. Ponatur igitar z — 5s et facta diviüone per. s aequatio, cui fatisheii oportet, ert: ü —9(5ss-- bs) c xx. l $. sc. Hic igitur a quadrato aa fabtrahi debent nu- meri in forma P (55$-- bs) contenti, quae fi vocetur — S, valores ipfius S erunt, uti in fequenti tabula cum fuis dif- ferentiis exhibentur. ubi ^ LE Ó— ubi differentiae, quas a quadrato «a continuo fabtrahi opor- tet, augmento conftanti 2. 10 — 65 crelcunt. $. 51. Quin eliam unica fubftitutione totas numerus 40 ftatim tolli poteft, ponendo y — 165--b; tum enim ob yy — bb — 1005s -- 2606s, dividendo per. 4o ftatim perveni- tar ad .hanc aequationem: aa — P(5$$ -—- bs) — xx, uti modo invenimus. Hoc igitur artificio femper uti licebit, quoties littera c valorem habeat parem, atque adeo cum poteftate binarii fimul unum factorem primum tollere lice- bit. Veluti fi » — 2^. fg, ita ut formula yy—bb per hunc valorem divifibilis reddi debeat, ftatim poni poterit: y — 2^—' fz b; tum enim erit: yy — bb — 22^ —?ffzz -- 2^bfz, quae forma D B3 ^—?Jfag4-2^bfz per 2^f divifa abit in hanc: 2^—?fzz--bz; quod igitur cum fuerit praeftitum, re- liqui factores per praecepta generalia, alibi tradita , fa- cile e. medio" tolli poterunt, En adhuc alia, eaque fimpli- cifsima evolutio formulae | N — 4oaa -1- 15 bb. $.52. Cum pofito NZ40xx4-13yy aequatio prima fun- damentalis hoc modo repraefentetur: 156b —4c (xx—aa)- x3yy, obfervalle juvabit, eam unica operatione refolvi poffe, po- nendo yzc155$--a.. Facta enim fubítitutione et divifione per 13 pervenietur ad hanc aequationem fimpliciffimam : bb.—4o(13552- 2.05) — yy. Hic igitur a quadrato bb fuc- ceffive fubtrahr debent valores formulae: 4o(13 552-245), qui ita (pofita hac formula br. gr. — S) Gne cum. fuis differentiis difponantur : later S | - Diff. | | o 4o (1377 a) t| 40(18 c 2a) | 40(39 c 2a) pE2]|49(52 74a). 409 (65 77a) 3 | 4o0(117-- 6a) | 49 (91 22a) rt | 40 (208-1- 8a) letc. | etc. €ic. ubi differentiae per augmentum conftans 40. 26 — txo40o progrediuntur. Hanc jam pofteriorem refolutionem maxime fuccinctam alijuot exemplis illuftrafse operae pretium erit, Exemplum I. $. 538. Sumatur b — 81 et a — r, ita ut numerus exa- minandus fit $5553. Hic ergo differentiae a quadrato bb 6561 continuo fubtrahendae erunt. 4c(13 3-2); 46(39 2); etc. quae creícunt augmento conftanti 40.26 — 1040; un- de ob figna ambigua totus hic calculus per duas columnas abfolvi potent : 656GIUU. moon Era S OX 600 4.4.0 1.74.39.9 0 ELsCee coU e dep Ced. DUE DUE I640 Ó I4.80. B3eb. s (eme o: ueT LO AT 2680: 2520 IÓAd5 epe Pazew wi-elu iSo Quoniam igitur nullum refiduorum ex hac fubtractione na- torum quadratum deprehenditur, tuto idem. pofumus hunc numerum 85533 efse primum. Exem- e—— 3j. e—À Exemplum z. f. 4. Maneat b — 81 fitque a — 10, et numerus exa minandus erit N — 89293. Hic igitur a quadrato bb-656r fubtrahenda erit differentia 4o(r3 4-20), ideoque 1320 et — 280 ; fequentes autem differentiae crescant augmento — ro40, Hinc calculus ita fe habet: 6561 - - - - - - 6561 1320 j —280 524L ^ ^4 » - * 684I 2360 760 I80cO 4281 284.0 I44.I Quoniam igitur hic etiam nullum quadratum occurrit, nu- . merus propofitus 89293 certe erit primus, Exemplum s. $. 55. Maneat adhuc b —.8ri fumaturque à — 19, ut fit N — 99733; et ad examen hujus numeri neceífe eft ut a quadrato 656: fubtrahantur differentiae augmento 1040 crescentes, quarum primae funt 2040 et — 1000, hoc modo: - 7 Nova Acta Acad. Emp. Scieut. "Tom.XIV, E 6561 —U9 34 ÓsÓ6rt ue - o xorÓUgerG (NE 2040 —I000 4p UEHEE NL ONU Ev — $63 5080 40 Iqqro coe cum IMERECIDTI IO$O 644.1 Z2 s 4321 3160 I1Ó6I Quia igitur hic nullum quadratum refultat, numerus 99733 etiam pro primo eít habendus. | | Exemplum 4. 4.56. Adjangamus exemplum numeri propofiti. Ma- neat iterum b — $r fitque a — 1-7, erit N — 96855 €t fab- tractio differentiarum ita fe habebit: 6961: - UT ue e Uo "6g 6r Y8 80 7 EN de CAUTE $40' 4681 - - -.- to - 401 2920 | 200 IU HE LeTEL-O « - 320r 124.0 5961 2280 568r . 33?0 Hic Hic jam occurrit numerus quadratus * 36: — r9" ipfi yy dequandusi: Fit igitur 4^— 194 5$ —— $, TDincque x — 4$, unde factor numeri propofiti inveniri poteft quaerendo frac- tionem 2 Eb zz Eu — I; hinc factor eft. 4o pp4- 15 qq — 49. 1'-- 13.3 , qul ad minimos terminos reductus eft l0.1'34 149 —— 23. Alter factor ex eadetd fractione deri: vari poteft, fi fumatur P o— sois mino enm 4opp3-13qq 49. 65. r3 024 qui factor per 4.15 depreffus dat 1098 5-31. 2— 4211: AU rog d. T rIY Exemplum s. E55. S5umatur d -—9 er'b--"» et" numerüs exami- nandüs erit N — 64015. dic autem modus procedendi a praecedentibus diverfus adhiberi debet; quia enim a qua drato bb fabtrahi deberent numer in forma .40 (1355 2- 805) contenti, quod autem fieri nequit, hic folum fignum infe- rius valebit, ita ut füccefüve ad quadratum b56 — 1 addi debeant numeri in forma S — 4o(80s — 155$$) contenti, quos cum fuis differentiis hic adjungamus. Memtsmu Dum s! T6 e :] 6 ! cL Lj.409 . 67 A ve qu p. 4O . 4I 4- 2| 40.108 AO d. uS -- 5] 40 , 12 -4- 4| 40 . II2 etc. etc. etc. ubi differentiae decrescunt quantitate conftanti 40 . 26; quamobrem , fi ad unitatem primo addamus numejyum doc 65 — 2680, tum vero differentias fequentes decremento iuo IO4Q.. -— 36 ro,O6 decrescentes: 1640, 600, — 440 — 1480, — 2520, quia inde nullum quadratum: refultat ,, concludimus nume- rum. 64013 effe primum.. $. 58. His circa evolutionem numerorum in forma 40d 4- 13 bb. contentorum expeditis, praettabit ufum majo- ram numerorum. idoneorum exemplo illuftraffe. — Confidere- 'tur numerus N.— 999601 — 849.54 -- 169/, et examine- tur, utrum hic numerus propofitus plus uno modo in forma idonea 84oxx — yy contineatur, id quod fine pluris amba. gibus fequenti modo fatis commode fieri licet. | 6. 59. Cum debeat effe o9996ox — 840 Xx — yy, ipfi x: faccefsive. tribuantur numeri naturales et numeri S pro. pofito. fubtrahendi cum fuis differentiis erunt | wd tagen. prie ] (e) o ] I . 840 | I I. RC e 02] 4 840 | rp BONO - Ao ce ue 4 | 16. 840 | etc. 6L6..* |: 4 et. Loco S jam continuo fubtrahantur differentiae augmento 1650 crescentes, quae 1 fabtractiones continuae fequenti mo- do inftituantar. 999601 [ maslidesissdcee] —À 07 m——À 999601 || 75684X. 840 | 929400 998761 || 72744T 25 O 31080 096241 || 69656x 200 32760 3 992041 | 6656or 5880 | 54440 986r6r | 62916I 7560 || S6rzo 97860f || 59504X 9240 |, 37300 969561 |, 555241 Io920 || 359480 958441 || 51576T r26c0|| 41160 945841 || 474601. 14280 || 42849 951561 || 45176T 15960]|| 44220 2^ 915601 || 387241 17640 || 45200 897961 || 341O4I 19520 || 47880 878641 || 29516r , 31000 49560 857641 || 245601 22680 51240 854951 || 192561 24560 52920 810601 || 159441 26040 54600 ' 784501 84841: -277:0 | 56280 756841 || 28501 modo in forma idonea 84cxx -- yy continetur, ideoque non j ivi c.elt , Led eft primus, ejusque factores fequenti modo assignari poffunt. Formetur fractio: 2. $T et ob figna ambigua hae quatuor habebuntur fractiones: ig — 5 do Hug: 5— 3 Hinc forma factoris 840pp 4- qq ex priore fractione fit 840.1. 4-28^, five per 28 depressus, 30 4- 28 — 15 -- 14. — 29," qui idem lac- tor étiam prodit ex quarta fractione ?. — i; hinc enim fit factor — 840.1'4- 30^ — 14 -- 15 —— 2g, Alter factor vel ex fecunda vel tertia fractione colligitur; famto enim ERES fit factor — 840 .41'4- $10, qui per 60 depressus eft — ott e Sod E ANH. Idem prodit ex fractione PD oLI—u4Ho at vero fevera eft. 29 052 009 —— 999601. | $. 61. Ex hoc exemplo luculenter apparet, quanti momenti fint numeri idonei majores in perfcrutandis numeris praegrandibus, utrum fint primi nec ne. Cum lgitur nu- merus 1848 fit maximus idoneus. qui in noftra tabula oc- currit, operae pretium erit, in fubsidium examinis numero- rum vehementer magnorum, fequens problema generalius hic adjangere. Problema. Numerum propofitum quantumvis magnum N-—18482a-4-bb examinare, utrum fit primus nec ne? Solutio. $. 6». Subtrahantur ab ifto numero N fuccessive om- nes numer in hac forma: 1848xx contenti, et fi nusquam quadratum remaneat, praeter casum cognitum x — a, ifte numerus certe erit primus. Sin autem aliud praeterea qua- dratum relinquatur, ifte numerus erit compofitus, ejusque adco adeo factores afsignáre licebit, Veram quia ifte calculus ob ingentes numeros continuo fabtrahendos non parum eft mo- leftus, totam negotium fequenti modo facilius reddi poterit. $. 65. Statuatur 1848ag — (yy — bby — 1848 xx et cum .fit 1848 229993 -7.1r, ponatur primo y — 22z--6 et facta divisione per 8.11 fiet 21ag — £z(irz--b)---eruxx. Quod fi ergo brevitatis gratia ponatur z (11 z 4- b) — 21 pq, aequatio noftra erit aa — ipq — xx, quae quadruplici modo locam habere poteft: Dn SI irc cs. etz-gq. EE SI'IrfzQUDp—-YUm-ep.corg HD DPrris-ccb— LB eb — 32q- IWUSIVES—5—.509€6t2—79].- s $. 64. Evolvamus seorsim fingulos hos modos et pro primocasu, ob z — q, erit r1q-- b — 21p, hincque q—c2p ET FIL —2p—s,itaut p2-b — 115, ideoque p — 115— D, ei q — 21$ —2b — z, ita ut aequatio noftra fiat üà —£(rrs—b).(21s5— 2b) — xx. . Pro fecundo casu, ob z — 21d, erit 231q9-- b — p, ficque lupo g-—— s ecrit p — 231$-— 5 et. — 2145, unde aequatio . pro hoc casu erit aa — Is(2512- b) — xx. | Pro tertio casu, ob z —3q,.ert 33q-- b — 7 p ideoque dins (0H 22-7 — 5q—r; ita ut 2q— j-—5y et ogicr--b5, five "guo sg 4 ED zc59 3-55 mnde fit r— ?s-—-—b, hmeque gcomm cn pes TADP.etow 31595; unde noftra aequatio erit ay — z(7s — 36) (35s — 145) — xx. Pro CERTO ARES, 4o omnis cima] Pro quarto casu, ob z — *4q, erit 55q -- b — 5p, hincque pz20q—4— ^ -26q—5s, exiftente s- 1—^, unde fitq-35--b ideoque p — 775-4 26b et s — 2152-3b; unde- aequatio refolvenda erit: aa — 1(3s--65) (97-s-2-*:6b) — xx. | Ulte- rorem calculum fequenti exemplo illuftremns. Exemplum. $.65. Sumatur a—1co et b — 195, ut numerus exami- nandus fit N —- 1848aa 4- 6b — 18518809, ubi facile patet numerum y majorem fore quam 19*5 ideoque z fore nume- rum pofitivum. Hoc obfervato ad examen hujus ingentis numer inftitaendum fingulos casus fupra a íe invicem fe- paratos hic etiam in commodum calculi feoifim evolvamus. $. 67. Pro casu primo noftra aequatio - erit 10c00 —I(rrs—b)(21 s— : b) - Xxx; et quia hinc eft z- 215—594, patet numerum s majorem effe debere quam 18. Statuamus igitur $—c 18--t, ut fiat.z — 2:1 —316, aique. aequali noftra hanc induet formam: 16c600—i(11t£--1)(21t2- 16)— xac. Numen S igitura numero abfoluto 10000 fabtrahendi, cum fuis differentiis tam pro valorbus ipsius t pofitivis quam negativis, in fequenti tabula referantur: ts [Dif|| t | S |Diff. eM ric 8 EE. vd — 1| 185 DH 4- 299 din — 2|-6c9 E H-5| 799 — 31264 letc.| etc. etc. | ete. | etc. | etc. ubi differentiae crefcunt augmento conftanti 251. Át quia primus numerus fübtrahepdus eft — &, continua differentia- rum fubtractio fieri debet a numero 10008, ut fequitur. 10008 38 193 9970." 4 MER peciam 9815 269 424. 9o9g7OL EE " ^ os 3 9391 900 655 920I - - us e» - - ^a - 8756 731 856 8479 "- .- E NUS TTA SA ITE 7;950 "riae PIA Encre BEER S. 5933 1193 | : 1348 63159 - --"- -..-. 5385 1424. LA, 4-59I - -9 - - Ez TEMO - 3196 1655 - - - - - - - - ISIO 4299. Cie De". Te o9 $9 9 "x9096 I8$86 1350 ex quo igitur calculo nullum quadratum resultat. $. 68. Pro casu secundo aequatio resolvenda erit 10000 —£5(23154- 199) — xx. Hic ergo a numero rocoo fübtrahendi funt numeri in forma S— Is(s315 197) contenti, qui cum suis differentiis hic exhibentur: QS is DE [9) Oo z uu t p 2 6 fs 39 | 5-6 [m 1355 t etc etc. etc. u—— A000 M À quadrato igitur. xoooo fubtrahantur differentiae numero 251 crescentes | ks I00GQO0,..- s. "294 *. -Mi-.. ROOD 214 Ao dr) 9786. 29 2 MN S 0983 445 2489 9341 "iow a aid ME. 0735 n TAS $4797 $6054. -^v RE ge M 256 907 710 Jeu a wow ui sos 9 546 11538 94.I 6620. -..- .-.- 7.7.7695 1569 E162 BRsdoe2H D l- l- gc Lo 25 483 i600 14.03 3651 wi Wurm x o Ur PON IS3I :1634.- 1820. s m mi i x eren QE 1865 153I Ubi iterum nullus numerus quadratus occurrit praeter 10000; qui autem dat casum cognitum. $. 69, Pro casu teríio aequatio examinanda erit 10000 — (75 — 591)(335— 2358) — xx, quae igitur, pofito $— 84-5, abibit in" banc: 1c000 —I(5t—3)(s3t--14) — xx. Prouti igitur t valo- rem habct vel pofitivum vel negativum, numeri fübtrahen- | 2 | di peee—— — 43 EE di S cóntinebuntur in hac forma: "I(7t--3)(83t 2514), et:erunt uti hic exhibentur : | t S DITE t Sor" Diff. NETUS D óquisacedpior it 4- r| 298 94 ER CUT. 4-95 IS EN LP TO 346 T 44.2 347 a TI UITOI* Ls uper 1020 | 275 etc, etc. etc. 11! ere; CEEC. "etc. Jam a numero abfoluto rooer fübtrahantur differentiae hic assignatae, et, quousque rei natura postulat, continuatae fob235- 25- -.j«4 .*5IO002EI is ey I16. poses deer dni. osbSeHope 346 1347. 905604 a&eP e s ^m 9559 29577 Momo. $983 - - - - - - * . $980 $08 809 EOS RUNU Veet. cM 1083 IO4O Jo curs ren Ub EI 1270 I27I 3866 «9 c m en 5860 150I 1502 [dA coul mom no 24958 1732 $739 DO|RSI Lama. x5», 2025 1965 à 1964. Boot CERIS 661r. ubi nullam plane quadratum occurrit. E 2, $. 49. y! h3 $. 4o. Pro casu quarto aequatio resolvenda eft IO0COO —i (3 $-- 197) (o t 51 22) — xx. Sit brevitatis gratia: $ — t— 66, erit 100co — (3t — 1) (77t-- 409) — xz, ficque- numeri fabtrahendi continentur in forma S- i(5t--1) (75t--40),. qui cum fuis differentiis funt uti fequitur z- t css pu TUNE — | —— Diff. Oo Ll 20 137 E — 20 [ 94 HY] IIT 368 — I *74. UE. dud 485 - $99 dis 399 556 cie d Io84 39 955 eic;| . etc. ebc. 4 CEBC.. etc. |. étc. Hinc ergo ob primum numerum negativunr —— 20 a numero: abfoluto 10c20 fubtrahendae erunt differentiae quousque: opus eft continuatae hoc modo: Xx O0OO020: "ew cm omo m XOODO MEET 94 9893 HMMEMS E Lm A S DD 368 325 9515. d acie Hos si e — 960r 599 (596. 9910 ge d IN UE m LINDEN 830 TEST 78086 «- - - « -» - « 8258 IOÓI DUO! 7025 sci qi MeL AE A eM. Calw ELM 1292 dee 8753. * PI INN Ue e m Spo T 1525 1480 1754 I954 . III "72456 «c9 det ROS IN fm^ 2890 1985 I94.2 Li E cR : nullam: quadratum in hisce refiduis occurrit. $. 71. Quoniam igitur in omnibus his quatuor casi- bus nullum quadratum eft relictam , certo affirmare pofsu- mus, numerum :8518809 elfe primum. Ex hoc exemplo fimul intelligere licet, fatis raro evenire posse, ut in tali- bus operationibus quadrata relinquantur; hanc ob rem forma 1848üa 3-bb etiam aptissima videtur, ad plures inde nu- meros primos deducendos; tantum enim opus eft valoros a et b variare, quod, cum infinitis modis fieri queat, inde haud difüculter plures alii numeri primi tam ingentes reperiri po- terunt, ut problemati illo Fermatiano, quo numeros primos, dato- quovis majores, requiruntur, quodammodo fit fatisfactum. $ 72. Qnuoniam in hoc exemplo numeri fuüccessive a quadrato aa fübtrahendi iidem manent, quamdiu fumitur b -—— 197; operae pretiamr erit. pro littera a alios quoque valores, potissimum minores, ftatuere, ubi totus calculus evadet facillimus. Ut autem, quando quadratum occurrit, pro xx etiam valorenr respondentem ipfius y assignare li- ceat, meminisse oportet, in initio hujus folutionis positum fuisse y — 222 -- 197; tum vero in quaternis casibus alla- tis ftatutum fuisse ut fequitur: Pro primo casu z — 21$ — 394, tum vero s$--ta-18; quamobrem , quia ipfi t tam valores pofitivos quam ne- gativos tribuimus, erit z — -- 21t— 16; ubi fignum fupe- nus pro.columna prima, inferius vero pro altera valet. Pyo 46. — Pro secundo cásu erat z — 21$, unde ob binas columnas cum ambiguitate fignorum erit- z — -- 21 s. Pro tertio casu erat z —21$5—9.197, tum vero s — t-- 84, unde cum ambiguitate fignorum erit. z — -- 21£ — g. Pro quarto casu erat z — 215-- 7. 197; tum. vero »posui- mus $ — t — 66, unde cum fignorum ambiguitate erit gce3 409b His notatis fequentes. numeros examini fubjiciamus. | $. 73. Sit a — x, exiftente b — 197; et numerus pro-- pofitus e ert, N — 40655. Mic igitur ftatim. ex primo casu. occurrit quadratum aa 4-8 — xx, unde fit xy — 9^ ideoque X —35. cul. xefpondet yalor t-— 0, ex. quo:;fit z 16, consequenter y — r55. Numerus igitur propofitus etiam continetur in forma 1848.53' 2-155, unde formatur fractio f LEA UT dicas cujus valor fimplicissimus, eft. —d Hinc factor numeri propofiti erit 1848 pp --qq— 1848.1^2-21^, qui per 21 depressus fit 88 -- 21 — xog. Numerus igitur propofitus 40657 non eft primus, fed diviforem habet rog, quoto exiftente. 373. . e. j i $.74. Sit a — 2 eritque numerus propofitus N - 4620r, Hic neque ex primo neque ex fecundo casu quadratum re. sultat, verum ex casu tertio ftatim fit aa 4-21——25 — xx, unde fit x — 5, exiftente t — o, adeoque z —— 9, conse- quenter y — —9.22--197 — 1. Ad divisorem igitur nu- : ; : 5 db ETC RUNE; meri propofiti explorandum fiat WU EE UE! unde pro factore haec prodit forma: 1848 . 1" 4- 28 ic 38-- 1447. dE revera ett N — 46201 — 47 . 983. $. 75. Ouoniam autem hic numeros compofitos mon curamus, füpeifluum foret examen pro omnibus valoribus ipfius ipfius a hic, ordine apponere. .Sufficict enim omnes numeri primi in forma 184844 -- 197 contenti in fequenti tabula .exhibuisse Tabula numerorum primorum in forma 1848404-197. contentorum. | BOUE JuiUHuns ce Tudle PAfnassi NER U OOV IU BUEHIMeS. Ini EB. Bode NEOSggg5-dirbtegon, eed vix uu6 129561 - - -i-50€ 0 759 154081 4 re vr rm a T i$ e peii ad Wd M. ley 4 I9 AQIORS - 2.9 44 as» o "l4 45«qOUoQ wr Lad e pe s im I5 Up Uv eder AME Mi TT le da 592881 -'"- « 4 c. ut. v.m Id UM ME RT UM TAREUIT Mhcn - INOR 935241 1-7! 03 wes NI allie Ioró401:- e - - ".- 4 2 25 disd 1103254 gi delinu eine i MOM Soho Ys metano. TUS v mam cu OH aen SS RUN RES UEM rn MSSEAp m Unc MSS $»62009 795179 Pa iui I lego 2995609 -i/57 x ut. 2l "40 4658869 X Au HDD Piet C. iu WO 960940069 "uS FtuTus Fu nel a0 uio 1866009 - - - - - - - - - $O NISSSOQUEMN uei M AUI M UEQO $. 76. Omnes ergo ifti numeri primi deducti funt ex formula r8488a 2-197 ; unde patet, hinc patefactum effe fontem. inexhauftum quamplurimos numeros primos ad plures plures milliones exfargentes modico labore inveniendi; quan- doquidem non folam in eadem formula: TORNA 1 loco 197 quoque aliis numeris uti licet, fed .etiam loco nu- meri idonei 1848 etiam majoreseum praecedentes. adhiberi pos- sent. Ac fi forte adhuc major numerus idoneus inveftigari pofs^t, pari labore infuper .ad multo .majoresmumeros primos pertingere possemus. At.vero examini inftituto inveni hujus- modi numeros usque ad terminum. 70oo .certe. non dai; quod autem. ultra hunc terminum .adhuc .dentur -.numexi idonei, vix probabile videtur. "I'HEOREMA Si quispiam numerus idoneus fuerit impariter par, fcilicet N —an- 2, tum .etiam .ejus quadruplum ia .classe .nu- merorum idoneorum .reperietur. Demonftratio. $. 75. Cum N fit numeras idoneus, intra intervallum N et ;N formula N xx-- yy non nifi numeros primos prae- bebit. Dico autem hoc casu usque ad 9N nullos numeros compofitos oriri poffe; fi.enim talis daretur, is tam in for- ma N--aa quam in forma 4/N —.bb contineretur. Hinc ergo foret 5.N —.aa.— bb ;. quia: vero . N — 4m — 2, ifta quadrato- rum differentia aa —.bb foret — 12n-2- 6, ideoque numerus impariter par. id quod fieri nequit. Hinc igitur certam eft, in intervallo ab N .usque ad o NN, nullos exiftere posse numeros compofitos ex formula Nxx 5:99 oriundos. Ac fi hinc oriantur majores numeri .compofiti in intervallo ab N usque ad 160 N contenti, ii nullo modo in forma ;Nxx--yy continerentur, idque .ob rationem praecedentem. -S1 erim ta- lis numerus compofitus foret tam 4 N 4- bb quam 9N ^ cc, foret bb — cc — 5 N, hoc eft numerus impariter par; ex quo concluditur, etiam intra intervallum 4N et 16 N nullos nume- m— 4g o m numeros compofitos formae 4Nxx 2- yy cadere posse; unde fequitur numerum 4AN etiam .eífe idoneum. $. 7s. Hoc etiam colligere licet ex ipsa tabula nu- mierorum idoneorum füpra $.34. exhibita , in qua reperiun- tur fequentes numeri impariter pares: 2,6,10,18, 22,930, 42,58, 70,78, 102, 150, 190, 210, 530, 462, quorum ergo quadiupla etiam, vi fuperioris theorematis, funt numeri idonei, fcilicet: 8524,405,72, 88, 120, IOS. 2925, 280, 312, 408, 520, 760, 840, 1320, 1848, qui omnes in baden tabula occurrunt. E Alia DemonftratidG. $. 79. Sit ? i numerus idoneus impariter par, ideoque i numeras impar, et quia natura numerorum idoneorum in hoc consistit, ut omnes numen unico modo in formula 2iXx-- yy contenti certe fint primi: necesse est, ut omnis numerus compofitus, qui fit C, in eadem íormula contentus, fimul insuper alio modo in ea contineatur. Ponamus lgi- *ur esse C —— 2 haa Abb. et ——oeice--dd., hincque fiet 2i(aa — cc) — dd — bb; ubi observetur numeros b et d. im- pares esse debere, quandoquidem primi esse debent ad eil, quamobrem quadratorum dilferentia dd — bb per 8 erit di- visibilis. $. 8e. Consideremus jam casum, quo a est numerus pare dta ut fit'C —5 274 ff -- 6b s :atque' postrema aequatio erit si(4[f— cc) — dd — bb, ^ Hic manifestam elt, ut prius hujus aequationis membrum per s divifibile fiat, numerum c necessario parem esse debere Sit igitur € — 2g, atque hinc fequitur, fi numerus compofitus C fae- rnt — siff-- bb, tum adhuc alio modo fore C — sigg--dd; Nova Acta Acad. Imp. Seient.Tom. XIV. .—- : G. quo- $0 —— quocirca fi alius numerus quicunque N unico modo in forma 8ixr4-yy contineatur, is certe debebit esse primus; unde manifefto concluditur, etiam numerum 8i in tabula nume- rorum idoneorum contineri debere. - $. $1. Super tabula autenr numerorum idoneorum fe- quentes observationes fecisse operae erit pretium - 1^ Videmus in hac tabula! alios numeros primos non oc- 0 currere, praeter 2,53,5,7, 13 et 57, atque rationes nor defünt numerum 3*5 tanquanr ultimum plane primum in classe numerorum idoneorum. spectandi, fiquidem quo longius procedatur, numeri idonei eo plures factores. involvant, Praeterea. cum etianr dupla numerorum primorum im hoc negotio pro primis haberi debeant, etiam tales tümerr^pauc? occurrunt. qur. subiere; e.350953. 2.11; 2.20; ita ut 55 pro ultimo talium numerorum habendus videatur, idque ob rationem modo. ante allatam ,, quod fcilicet numeri idonei continuo plures factores. recipiant. " Quoniam in ifto calculo etiam quadrata numeroruur * primorum pro primis funt habita, talia quadrata hic. quoque pauca occurrunt, quae fünt 4,9,16,25, neque enim ob eandem rationem plures admitti posse videntur. Confideremus etiam omnes eos numeros idoneos, qui tantum ex duobus factoribus conftant, ubi quidem ip- fum binarium rejicimus, ejus vero poteftates, perinde ac quadrata numerorum primorum, tanquam fimplices fac- lores spectamus. —X'l'ales numeros tabula noftra offert fequentes : 4. SUUS ETAIS-206, 3.90514. 0 4 574: S DDLEEESS- 6:9, 6.85 3-19, 7,185: 8. 9,0419, 5 «17» 545 Igi ME Tp Oo» i : VO :bg. (6^ I — 10.15, 7.19, 9.59, 10.19, 8.29, 11.253. - Reliqui vero omnes vel tres vel adeo plures factores invol- vunt,. His rationibus conjectura noftra non parum con- firmatur, quod, quo longius progrediamur, numeri ido- nei continuo plures factores involvere - debeant. Cam numer idonei ab initio usque ad 11 omnes nu- meros complectantur, deinde vero continuo evadant rariores, maxime mirandum. mox tanta intervalla occur- rere a talibus numeris prorsus vacua. Veluti in toto intervallo a 520 usque ad 750 nullus plane reperitur; deinde vero. ab 840. usque ad 1520, h. e. in intervallo fere quingentorum numerorum, nullus eft inventus; ac fere per fimile intervallum a r365 usque ad r848 ne unus quidem deprehenditur. Quod autem hic maxime eft mirandum, poft iftum nu- meram, in tabula noftra poftremum; nulli alii a me funt inventi, quamquam. iftum calculum usque ad 4 millia fam profecutüs, ita ut totum hoc fpatium prorfus fit vacuum. : Hinc autem porro concludi oportet, ulterius usque ad 16000 progrediendo nullum faltem numerum idoneum pauter parem occurrere posse; fi enim talis daretur, ejus pars quarta in hanc classem, atque adeo ante 4000, cadere deberet. Oaare cum maxime probabile fit, etiam per hoc intervallum neque numeros impares neque im- pariter pares reperiri: hinc manifeíto fequitur ,' po- ftremum numeram noftrae tabulae 1$48 etiam revera esse ultimum, id quod utique tanquam infigne parado- xon fpectari poteit, propterea quod hi numeri fecu .- dum certam legem formantur, quae adeo in inünitum progredi debere videtur. G 2 OP- OBSERV ATIO SINGULARIS CIRCA AEQUATIONES DIFFERENTIALES LINEARES | AUCTORE pim U BWESR- OQ. Conventui exhibita die 19. Mart. 1778. 8 od Hoc nomine hodie defignan folent aequationes differentias- les hujus formae: 9o 2 932 94s pz--gét-r vom XE TEL ubi variabilis z.in fingulis terminis. unicam tantum tenet dimenfionem, litterae vero p,q,r,s, etc. denotant functiones quascunque alterius, variabilis. x ,. cajus diíferentiale con- ftans assumitur, quod, quia: in fingulis terminis homogenei-- tatem. complere debet, brevitaus gratia ubique omittere licebit, ficque illam aequationem. in pofterum hac forma: aepraesentabimus:, pz - q0z, 2- r0 z 4- S0". - ghe eioazo.. -2- etc. — o, $..2.. Conftat autem hujusmodi aequationes- düobus ca-- fibus in genere refolvi posse,. altero. quo fingulae litterae: p»q5»r,s,t funt quantitates conftantes,. altero vero , quo: aequationem homogeneam reddunt;. priore ergo casu aequatio: hanc habebit formam: a 2, 2- ( di xid- y didi 4- ^ d? ze d 3; —4- etc. — 0,. cui semper hujusmodi. forma satisfacit. z — e'*, quippe e valore: hj valore fubftituto, factaque divifione per e'*, oritur aequatio mere algebraica, iíta fcilicet: & -- BN - ny X 2292 SEEN DX -- etc. — o, ex qua ergo tot. valores. pro littera ^ erui poterunt , quoti ordi- nis faerit aequatio differentialis , qui. valores fi fuerint a,b, c, d,e etc. hinc adeo integrale completum. exhiberi poterit, ita expressum: z — Ae^-- Be'* -- Ce'* -- De^'-- etc, ubi literae A, B, C, D etc. funt conftantes arbitrariae per inte: grationes ingressae.. $. 3. Pro altero casu, quo aequatio evadit homogenea; eam semper ad hanc formam reducere licet :: az4- xd ---'y xcddz-- àx d'z-- sx*d'z etc.—0o, cui semper satisfacit hujusmodi forma z-x^. Hinc iterum-oritur: "aequatio algebraica ifta, poftquam fcilicet.per x^ fuerit divifa: &4- 8A2- y^ (X — 1)-- 8X (A — 1) (45—2)- X à — 1) (à— 2) (—3) P EXA(A—3)0 —2)( — 3) — 4); ete. — o,. unde iterum tot valores pro ^ eruuntur, quoti gradus fuerit aequatio ,. qui valores fi fuerint a, b, c, d, e etc. habebitur ins tegrale completum z— Ax'--Bx*-- Oz a Dzx--Ex!a3 etc. $-.4.. Praeter hos düos cafüs raro tales aequationes oc-- currere folent, quas quidem refolvere feu integrare liceat, nifi forte data- opera a: pofteriori fabricentur. Interim tamen. ab acutissimis Geometris Gallis non ita pridem infignia fub- fidia circa. tales aequationes ingeniofifige fant excogitata, quae cum perluftrassem, in obferva'ionem quandam prorfus fingularem incidi, quae mihi quidem in hoc genere maxi- mi momenti vidétur, et quam. propterea hic in medium proferre. conftitui.. $. 5. 6. s, Propofita autem tali forma generali : pz--qdz--rddz — sdiz--td' £-- diGi es uis i quae usque ad quartum gradum a«ssurgat, quandoquidem deinceps calculum ad quosvis alios gradus accommodare ía- cile erit, quaero ejusmodi functionem ipfius x, in quam fi ifta forma dacatur, integrabilis evadat. Sit igitur ifte multi- plicator — m , ita ut integrabilis esse debeat haec forma: mpz--mqdz- mrddz- msd'z-- mtd'z —o, atque duplici modo ad integrale perveniri poteft, prouti vel a primo termino vel ab ultimo integratio inchoétur; ubi quidem sponte intelligitur, insuper per elementum dx multiplicatio- nem esse inftituendam, quod autem brevitatis gratia omittimus. $. 6. Incipiamus primo a termino ultimo mtd'z. qui pro integrali praebet terminum mtd?z; hujus ergo differen- tiale aulfferatur et remanebit haec forma: mpz--mqdz-- mrddz--dz(ms-d.mt). Jam ex hoc poftremo membro in integrale ingredietur ddz(ms-—d.mt); hujus jam differentiale iterum auferatur, et remanebit mpz -- mqdz-- ddz(mr —d.ms dd .mt. Hinc jam novus terminus in integrale ingrediens erit dz(mr-—d.ms- dd.mt), cuius differentiale allatum re- linqut adhuc mpz--dz(mq-— d.mr --dd.ms — d". mt), unde ultimum integralis membrum erit zimq—d.mr--dd.ms-— dmt), coius ergo differentiale fi auferatur, nihil relinqui debebit , unde refaltabit ifta aequatio: mp —d. mq--dd.mr — d. ms 2- d. mt — c. $. 7. Hoc igitar modo deducti sumus ad aequatio- nen difíerentialem pariter quarti ordinis, ex qua valorem multi- — 0509 — multiplicatoris quaefiti m inveftigari oportet , quippe quo invento forma integrata erit mtd^z--ddsz(ms-— d.mt)-- dz (mr—d.ms -- dd . mt) - 4 z(mq —d.mr - dd.ms — dmt, aequatio autem, unde valorem ipfius m erui convenit, eft uti invenimus, mp -— d.mq--dd.mr — d. ms -- d'.mt-o. $. s. At vero inverfo ordine integrationem a termino primo inchoare licet, fiquidem hinc orictur prima integra- lis pars z/mq, cuius diferentiale .fabtractum relinquet dz (mq —[mp) —- mrdd z --msd?^z - mtd'z.. Ex prima parte deducitur fecunda integralis pars dz(fmq — ff/mp). Jam hujus differentiale ablatum relinquet ddz (mr — [mq -- ffmp) 4- msd^z 4- mtd'z. | Hinc igitur nafcitur tertia integralis pars dd.z (fmr — [[mq - f//mp), hu- jus porro differentiale ablatum relinquet dz/ms-—fmr [(mq— fmp) 4 mtd 2, unde poftrema integralis pais colligitur: d'z(fms — f[mr--f^mq— f'mpy, quocirca | fi hujus differentiale auferatur, , nihil relinqui debet, ficque perve- rietur ad hanc aequationem : mt-—fms--ffmr —f^mq--f*mp—o, unde pariter valorem multiplicatoris quaefiti m inveftigari oportet. $. e. Evidens autem eft hanc aequationem pofteriorem egregie cum priore confentire, nam haec aequatio differen- tata praebet d.mt— ms 4 fmr — [fmq 2- f^mp — o, haec autem porro differentiata praebet dd.mt-—d.ms dis s em quae rursus differentiata dat d d. mt — 56 d'. mt —d' ms--d.mr--mq —fmp — o, cujus denique differentiale producit ipfam aequationem prius inventam. d'mt —d^ms 4 dd.mr —d .mq -- mp — o. $. 1o. Evolvamus nunc hanc aequationem, ex qua multiplicatorem quaefitum 7$ erui oportet, unde nafcetur fe- quens aequatio : mp-—qdm--rddm —sdm--td'm —mndq2a-2 dr dm— 3d sdd m-- 4dtd? m --mddr — asd mdds -- 6ddmddt c m —mds--4 dmddt | -- d^ t $. 12. Quodü ergo hanc poftremam aequationem re- folvere, vel faltem quodpiam integrale particulare eruere licuerit, talis valor ipfius m íi in aequationem primo pro- pofitam multüplicetur, eam integrabilem. reddet, ita ut hoc modo per unam integrationem ad gradum inferiorem differen: tialitatis reducatur. Hanc ob rationem aequationem uliimo in- ventam vocabimus aequationem reso'ventem. formae propofitae pz 4-qdz-r-rddz -- sdz --td*z-—o, atque hinc patet quomodo pro quavis aequatione differen- tiali lineari propofita ejus refolventem inveniri oporteat. $. rz. Quo autem formam aequationis refolventis cla- rus perfpiciamus, eam hac forma repraefentemus: Pm -- Qdm -- Rddm 4- Sd?m -- Td'm —o, ut ad fimilitadinem aequationis propofitae revocetur ; atque comparatione inftituta quantitates P, Q, R, S et T' per cognitas, quae fant p, q, r, s, etc. fequenti modo determinabuntur: — p — dq «- ddr —d's -- d't Qu-qc-aáidr—3dds-- 4d't nu — 007 m— R —r-—35ds--6ddt S —— $2 4dt a E (Cujus relationis ope pro quovis cafu aequatio refolvens nul- lo labore exhiberi poterit, $- xa Quodfi aequationem refolventem tanquam da- tam fpectare velimus , €x ea vicissim ipfa aequatio prior, «cujas eft refolvens, exhiberi poterit per fequentes relationes, quibus litterae minusculae p,q,r tc per maiulculas P, Q, R etc. determinantur : Ei Mc Su-adT Nu Y qiocsogu^ cq. qo—— -Qo- «d R — s dd S AC | Pp B n dQ --ddR — d? S --d'T. "Unde patet litteras minufculas eadem prorfus lege a majus- 'culis pendere, qua hae ab illis pendere funt inventae. $. 14. Ouaelibet igitar hujusmodi aequatio differentia- lis cum fua refolvente tali reciproco nexu conjugatur, ut fi una fuerit refolvens alterius, vicissim quoque haec refol- vens fit illius. Cum igitur hujasmodi binae aequationes tam infigni vinculo fint inter fe connexae, eas inter fe con- jugatas appellemus, ita ut quaelibet aequatio hujus indolis fuam habeat conjugatam, atque utraque ope alterius refolvi pofsit. Quodfi enim alterutra refolutionem admittat, fimul quoque alterius refolutio femper eít in poteftate, atque in. hoc confiftit obfervatio illa fingularis, quae mihi quidem maxime notatu digna videtur ; neque enim memini eam a quoquam alio factam vidisse. NovaA«da Acad. Imp. Seient. Tom. XIV. H $. I5. Hired 58 "o s E] i $. 15, Scribamus nunc uniformitatis gratia litteram Z loco m, atque binae hujusmodi aequationes conjugatae, cu- juscunque fuerint ordinis, fequenti modo repraefententur : pz-qdz--rddzg-sd'z-td'z--vdz- etc. ——o PZ-QdZ-Rd'Z-- Sd^z "Bü Z VUA ec —— ac primo quidem litterae majufculae fequenti lege per mi- nufculas determinabuntur:: Pptuquidar- dug. q.355 ec Q-—q--sdr—35dds-- id t —5d'v -- 6 d'w etc. R-—r-—5ds6ddt —1cd'v-- 15d^ip etc. Sccoguadt-modde-sodigmeu "Loeb cm wd p corew aee. Morc cci ail. eite. MN ocsgpeeto: Prorfus autem fectuidumt eandem legem litterae minufculae per majuículas determinabüntut ; erit-enim: ecppc P—dQ-ddB-.d Sc d'T ec adi VÀ dE Wette; d-——Q--sdR-—3ddS--4d*'p—5d'V -6d^W ete.» r —h-—5dS--6ddT —10d?V -- 15d' W etc, s—uSu4dT-:oddN X zod?W. etc.—' pes 9 V4s 15ddW etc. p 254UV 2EI6 dW. fete" uA Sete: T r5 oro hoc ad binos cafas initio memo- ratos, quorum i RO nulla laborat difficultate, atque prioris Aero ez-4pdz- i NET er édiz 4. eic. 0, conjugata CX Si a Eu qd d "doe ed Z etc. —o d quae abilla non difcrepat nisi alternatione signorum ; pro al- terius vero "m d- Bxdz-- yxtddz--3ix*d zw cxt'aew[ me | con- ec ——— 59 e * copjagata habebimus P —a— (8 -2y-6802 24: etc; Q:—— x(8—2.2 33.68 —4.24t etc.) R — xr(y—3.89--6.12: etc.) à S——r (9 —4.4« etc.) Tz; 2áid Unde. Want aequationem E E eüam esse homogeneam. $. 17. Quodfi ergo binarum talium aequationum con- jugatarum alterutra refolationem admittat, tum altera quo- que, faltem femel, integrari poterit; quo facte: fi infuper hu jus aequationis integratae conjugata re folutionem . admittat, denuo integratio fuccedet, atque ita porto, quae methodus utique foret non parum operofa.. Verum. hic imprimis obfer- vandum occurrit, quotiescunque integrale completum aequa- tionis refolventis innotuerit, tum ope facilis operationis non folum ipfius. aequationis propofitae o pz qdz-rddz--sd'z-etc. memo integrale completum, fed etiam integrale hujus aequationis multo generalioris: : pz-oqdz-rddz a sat "us ele. m X exhiberi posse, denotante X functionem quamcunque ipfius x, id fcilicet integrale, quod abfolutis tot integrationibus , quoti gradus fuerit differentialitas, tandem reperiretur, idque adeo ope unicae tantum integrationis, quod, cum plurimum in recessu habere poffit, hic data opera explicabo. $. 18. Sufficiet autem aequatienem differentialem ter- tui tantum gradus fumfisse , ita ut refolvenda proponatur haec aequatio: ; po qdz-erddz--sdz-—X, | i H 2 cui a—— € ($0 e cui refpondeat ifta conjugata: PZ--OdZ--RadbAASPZ::;, cujus integrale completüm, quoniam tres conítantés arbitrarias involvere debet, ita repraefentari poterit: Z- A -- B 5'—- Co^, ubi ergo litterae D, (', ^, certae erunt functiones ipfius x, quae fingulae idoneos multiplicatores pro aequátione pro- pofita praebebunt: multiplicationé autem per C facta et integratione inftituta ponamus refultare hanc aequationem: bz-a- dz d'ddz —fXdz. Simili vero modo fumto D/ pro mal Hpisciugme prodeat haec aequatio : b'z -- Z2! dz -- d"ddz —fXW dz. Eodemque modo ex multiplicatore ^ prodeat b/ x 4- 2I" d, -- d" ddz — [X0 dx. Ubi hae tres integrationes inftar unicae fpectari possunt. E r9. Totum negotium ergo perduximus ad has tres aequationes : -L. bz Py cat c dde c d Qd x. IL b'z4-2//'dz 4- d" ddz — [X d dx. I. b"z4-2r"dzs- d" dd — fX à" dx. Ex his tibus aequationibus jam facile eft binas formulas dz et ddz eliminare. Multiplicetur fcilicet prima per O,- fecunda per C, tertia Vd OQ, quae quantitates ita capi antur, ut fiat : Gau aX cw o. Ek Oc 4- o! d" 4- o d"! —»o, | et hae aequationes in unam fummam collectae daburit z(Ob--G' b/--o" $/)- ofX dd dx - o" [XQ "dr. Sic- bs. : é1i idi Sicque: valor quaefitus. quantitatis z erit OfX9 dx - c/[Xd'dx - o" [Xd dv IER T OY haecque expressio adeo eft integrale completum aequationis differentialis propofitae tertii ordinis ,, fiquidem hic tria oc- currunt figna fummatoria , quorum quodvis involvit conftan: tem arbátrariam. ; pí n 7 —— a9 DE INT EGRATIONIBUS DIFFICILLIMIS. QUARUM INTEGRALIA TAMEN ALIUNDE EXHIBÉRI POSSUNT. ; AUCTORE TAL BiU oLiESR«O: Conventui exhibita die 21 Martii 1777. $ c4. Cum hodie quidem nemo Geometrarum amplius dubitet, quin omnia imaginaria, undecunque originem trahant, ad ianc formam. A 4- B y — 1 reduci queant, quanquam haec veritas nondum fatis firmis et claris rationibus eft demon- ftrata: certum etiam erit, omnem formulam integralem fZ07, . quaecunque Z fuerit functio ipfius z, fi in ea loco z fcri- batur formula imaginaria v (cos 9.—- y/ —1 sin 9j, xefolvi posse in duas hujusmodi formulas integrales: fpóor-- V — x.fqóv, jta ut litterae p et q fint functiones reales ijfius r. $. 2. Hoc icu xul fusius oftendi circa formulas dL integrales [Li ,unde pofito ace vues sin "S ortae funt ejusmodi formulae in- tegrales, quarum evolutio plura haud contemnenda calculi : artificia requirebat. Ex quo intelligitur, fi hujusmodi for- mulae magis fuerint complicatae , atque adeo quantütates irmrationales in fe involvant, tum formulas inde. derivatas Jp9v et [qOv ita prodituras esse perplexas, ut nemo facile earum - f E » 65 pr n; carum intégrationem fufcipere auftis fuerit, cum tamen, fi formulae principalis f/Z0z integrale fuerit cognitum, exinde pner formularam derivatarum haud difficulter deduci queant. $& 5. Ad hoc clarius explicandam confiderabo hic for- - mulam fimplicissumam [22 —p quae exprimit arcum circu- larem , cujus sinus — z. — Quod fi jam hic. ftatuatur .— -z — v(cos 9 -- V — 1 sin 9), ita ut quaeri.debeat forma fini- ta, quae, exhibeat arcum, cujus sinus elt V (cos 9 4- y — 1 sin 9), . facile patet, facta hac fubftitatione refolationem formulae integralis haud exiguas ambages poftulare. Tum enim denoninator indaet Hans formam: Y' x —pp (cos 39:4- y/—1 sin29); unde ante omnia imaginaria elidere oportet, quod quidem fieret fi numerator et denominator muluplicarentur per for- mulam y/(r — vv(cos 39 —H. — 1 sin 29); tum cnim denomi- nator prodiret realis — V r—-sppcos29 --y. AÀt vero nu- merátor fieret aeque intriéatus, fiquidem fignum radicale etiamnunc involveret tam realia quam imaginaria, quae tà- men. a fe invicem feparari necesse elt. $. 4. Hanc ob rem ipfum denominatorem ante omnia in binas partes feparatas, alteram realem alteram fimplici- ter imaginariam refolvi conveniet , id quod fequenti modo commodissime praeftabitur. Introdacatur quantitas s, ut fit nata t£v.cos2 9-e$p "et quaeratur angulus 6, ut fit "€os. NES et sin 2o indt tam enim denomina- tor nofter induet hauc formam: Y; cog T — 1I Sin20 quae forma jam fponte tranfit incbanc - (cosu—y —1 sin) y s. ($5. Nune igitor fiactionem noftram e multiplice- um CRUUE et inha per cos 6 4-y — X sinc; eaque abibit in hauc hanc formam : ar TD. Quare cum fit às —-0v(cos9 --y —1sin9), formula noftra integranda erit Qu ral ry ru Oe, quae ergo jam ultro in duas partes requifitas refolvitur, quae funt J——— CT Ry —1f* TM ubi eft s — Vt — evv cos 29-1- v*; tam vero angulum o ita fumi oportet, ut fit tang 20 — ELO Hic autem evi- I—vvcosos' dens eft, fi loco s et o hos valores re ipfa fubftitaere vel- lemus, has formulas tantopere fieri complicatas, ut vix ulla via pateat eas refolvendi. $. 6. Quo hoc clarius eluceat, retineamus primo quame titatem s in calculo, et cum fit- cos 29 LL nm hinc deducimus cosi HONOR cori i HE TC os .esin t9 —— I-— cos 20 —— Sce d-vv:cos9 s ugue m unde pro formula reali integrali erit cos (2 2- &) — cos9 y R—ás 0 2? sin 39 yt T ES. Hinc jam formula realis 'E —— zefolveturin duasfeqventes: cos9 f 2*. y (s--1 —vv.cos2 9) —sin S f 5/5 V (s- 1--vvcos 23]. Quod fi jam hic infaper loco s fuum iUud farrogare ve- limus, unde fieret s — y (1 - svv cos 29 — v), vix credo quemquam fore, qui voluerit in formula tantopere intrica a (Tefolvenda vires fuas faltem tentare. ^ Facta enim fubttitu- tione loco.s hae duae íormulae fequenti modo prodibunt expressae: cos 9 f3v Y'(Y 1— 80100529 04 4- 1—vv. cos 29) wy2 Y(I—2vvcos29-r-«4) Ld —— iin fovY(vYr—2ovv 650 S4- v4—I- Uv cos 29). Y2 Y (1—Q' cos 23 -- *) Ps m—À GÓ — Ü $. 7. Simili modo pro parte imagimaxia , ob sin(&--o«) — sim 3 cosu-- cos? sino , ilta pars componetur ex binis sequentibus formulis integralibus : sin 9 Y — x (Qv Y(k — Z'vv cos 93 v^ -- X u.o05,0 8 | y2 Y (I; — 2 vv cos 29 4- v4) cos 9 y — X. fà V(1 —2U* cos 29 -- v^ — Y 4- vv cos 99 D Qt Ó(i( A Ü Ó e HO E — ———— — e y2 Y (I — 2 vv c05; 9 & -- v4) Unde etiam perspicuum eft, totum laborem ad integra- tionem duarum tantum formularum integralium esse per- durtum, quae autem ita funt complicatae, ut vix quisquam laborem fit suscepturus. : $. $. Eo magis igitur ext mirandum, fi haec ipsa integralia actu assignari poterunt. Cum enim iis junctim fumus exprimatur arcus circuli, cujus finus eft v (cos 9--y/-— 1 sin 9), fi hunc arcum defignemus per x4-y Y —1, ita ut x exhibeat integrale binarum illarum (fformularum rea- lium, at y y —1 integrale binarum formularum imaginariarum; erit vicissim v(cos 9 -- y —1 sin9) — sin (x-- y y — 1) — "sinxcosy y — 1--cosxsiny y — 1. Cum jam constet esse Cos P'-- [gov c Pepe VOU qoffto: E. sss yY-—1, erit cos y y — 1 — I(e—7?--e*?) Deinde quia eft ,Sin *F — .—— (e 3 —e —*Y—75, erit sin y y —1z5:.(€ 7-6") $. e. Subftituantur igitur ifti valores, ac prodibit ifta aequatio : , ; v(cos3 »- y — 1 sin3) 2 Esinz (€7?-- € 9) -- 273; (e 7e?) "bi partes reales et imaginarias feorfim aequari oportet, 'un- de duae fequentes determinationes emergunt: vcos9 — isinx (e ?--e*?) et vsin9 — Icosx(e?—e"?). Neque jam adeo erit difficile hinc binas quantitates x et y determinare. | Nova Acta Acad. Imp. Scent. Tom. XIV, I $. 16. e $. 10: Cum ex priore aequatione habeamus 2vcos9 2vsin9 —;» €X altera vero cos x — ——,» horum e?4-e e)'-—e-— valorum quadrata invicem addita producent hanc aequationem: 4.VD cos 9^ ELE sin 9^ "^ ure DENNICOE eere oportet. Ad hoc autem notasse plurimum juvabit effe (e? -- €^?) 2—e?? --e7? 4- 2. et (e? —e y — e?-- e?» s, unde fi brevitatis gratia ftataamus &?--e^ ?? —— 2t, aequa- tio inventa induet hanc formam: z LL ?8 Poo osi unde refultat ifta aequatio quadratica tt — 1 — 2tvuv — 2vv cos 29. sinx -— ———., undeergo quantitatem y eli- $- xr. Hujus jam aequationis resolutio praebet t-——vv-4-Y v! — zvv cos29 a- 1 — vv -- s. : Jam cum posue- rimus e? 4-e—2? — st, hinc elicitar. e?" — t -- Y tt — 1, xdeoque 8.7» ——r — Yü — rz. Quoniam igitur quantitatem t per v definivimus , logarithmis fümendis erit y II(ta- y tt— T quae ergo formula aequatur binis pofterioribus formulis in- tegralibus, imaginario y — r omifso. $. rz. Deinde vero, cum fit e? e-^—Yzt-2a et g—eg ?— y 2t — 2, pro quantitate x inyenienda geminam habebimus aequationem, fcil: sin x — Ei cii et cos x — EE ^Qt 4-9 Yt —2 : : ES E ^ sce cue 1327 cos 8 N ECHELLE Sicque ipsa quantitas x erit — A sin vam, atque hic ipfe arcus circularis aequabitur fummae binarum prorum formue larum integralium. realium. $. rg. Poftquam igitur posuerimus brevitatis gratia t-vv--y(r—2vcos232 -- v), valores integralium fupra | inven- T o me— ánventorum ita fe habebunt: cos 9. fav Y( YT— 2vvcos 2 $ 4- v* 4- I— vv co5099)) As sin "53. "DReds d uo Y (X — 2v cos 2 $ 4- v4) i Y G3) j—s^9 fovv(vX-—29vvo co529 2— v* — 14- vv c0529) Y2 Y (X—2wvov cos29 -- v*) Similique modo erit A sin $ Y —I f20v Y(V Y — 9vv cos Q9 4- v441 —vv cos291 I eL Y2 Y(X- —29vv cos 99 -r v*) i (ta- y tt—1)— Q.2059 Y—I 8 v Y (Y (1—9vv cos 2$ 4- 04—14-vvt £0529)1 y2 ^? : Y (I—Qvv coQ9 a- v4) 2v cos & cos $ Y (I—1) Ubi notetur, loco Asin s fcribi posse A tag 77 EET. $..14. Hos autem Salade integrales per t expressos penitius perscrutari operae «erit pretium, — Cum enim fit £--1-— I-- vp -- y 1 — 2vv Cos 2 9 2- v, erit radicem extrahendo ME-t1:-— T sns UAEL E e a -p y/L—2? 959 vo 9) 2 LAE, Simili modo cum fit t — 1 — vv — 1 4- Y 1 — 27v cos 229 -- v", erit y£— 31 — y Lt29:3 Y— L9? .- p—2v5505y— r-r vo His igitur valoribus fubftitutis pro priore integratione fiet Bbang P oam - Atang —— €9$ 9 (Y 1*2 v sin3 y— 14-vo--Y1— 2v sin $y— vv) B sn*yGrD— OsiS(YI--80058--vv--VI-—2v 05S -F vv) Pro altera autem forma logarithmica, quoniam eft i[(t--ytt — da Itu. V —), ent valor integralis E oisbor 240 SEES LOEN AL quiU -o 1 E CHIMIE LESS 5 Y x --2vsin9 y — 1 vp PY 1—iv sin9 y —1--vv, $. 15. Haud incommode autem ipfos hos valores inte« grales etim per formulas integrales RED licet. Cum enim fit cosS i9 Yt —D —— OlsinS9eos9 9. A tan diss sin9y(t4-1) . (i—cosoS)yA EL —1) ? j : — Ja oos tos S7 ee puor integratio nunc erit — /—2727777—5, fcilicet 2 binae binae formulae integrales priores aequabuntur huic unicae; binae polteriores vero, quae aequales erant i/(t 4- y tt — 19 uq [o aequabuntur huic formulae integrali: $J77—5. $. 16. Quantumvis autem hae formulae integrales dif- fiiles videbantur . tamen, quia -earum integralia conttant, atque adeo per logarithmos et arcus circulares exprimi 'pof- funt, non amplius tantopere difficile erit in methodum in- quirere haec ipfa integralia eruendi, id quod fequenti modo commodissime expediri posse videtur. Integratio formularum : i: vy (Y 1—2vv XOCCEGudos I — 2v cos E VD TT EPURNISR UN Ci mE D Ye DER CS — — oexen cm um :C08 22. ur p I-- vv cos23) UU Yy1-—2vvo523c 434 QU Hic ante omnia opus eft formulam radicalem / VY'1 — 2ppcos 29 --9? ex calculo expellere, quod aptissime fiet loco v introducendo ipfam quantitatem t, quae erat IM. ID (:2(cor23 — t) ees T el c0: 92 4-1 atque hinc habebimus Puls vi cos 29. —- v* S Lum Deinde vero ert 1 — vv cos2S9 nC t-—vp5a- Y1 — 2)v cose 9 4- v*, unde elicitur v» — f. 18. His jam valoribus fubftitutis noftrae formulae integrales fequentes induent formas : — ,3v«t2-1)Y92(t— cos 29) a — » E LS b fut ghussbua C 073 8 2i ce prc Y2 baculo liic daa i UR Tn 1t —9t cos 29 4- 1 quae ob 1 — cos29 — 2sin9' .et 1--cos 29 zc 2cos 9" transi* e— 69 —ÀÁ— transibunt in has: D [33240 sno VT ERES. il — 3t cos29 :- I Qlljttcs DE ES, it —dl cos 9 3 — ?1 $. 19. "Tantum igitar supereft, ut loce Dv valor debi- tus fubftituatur. -Cum igitur fit 2») —— ,———— -, erit diffe. rentiando —— gt (t — 9t coso 9 —— p) - 470p — our, ideoque ov (t — 2t co529 -- 1)9f Hm EYSL— IM an cos29 S hocque valore introducto fiet ic tot YT ox et YT q—co28) ? 2; — em ot yt —1 — md Vf--1 (t— co528) ? quarum bodidia integratio nulla amplius laborat diff- cultate, quandoquidem facile ab omni irrationalitate libe- rari pofsunt. $. 2o. Tantum enim .opus eft -poni yLt1xu, tum enim erit t — 7——— , ideoque Enos —r mer eene ee fr&iiio ot dona 9&. "tum: "yeró uu — 1 prpRE ent ot — — 4? 2s . quocirca erit ot c Uu 2ugu T—*029 — (uu -—Ij(uusin8? c cos 92)? ex quo. ambae noftrae for- mulae ita prodibunt rationaliter expressae ; $—-— sin9 y » f —*9* (un. — rA $am 92 45 co: 93 2 — cos 3 y 2 E 1) (uu sin 93 4- cos.93) ? quarum ergo integratio per regulas notissimas facile expe- diiur. * $. 2I. se-— — "30 ee | $. 21; Quoniam denominator duobus conftat factoribus, pro priore formula ftatuamus "uu AUD E F G (uu — I) (uu sim 82 -4- cos 82) ^ — uu—I uu sin 92 4- cos 8$ ? ; A CISNEN 11 "d —:— 2 : ac reperietur F — xussrze POfitouu—1-0, ficque erit F-r;tum vero reperitur G— —*—, pofito uusin9" -- cos 9^—o, five uu sin S^ ——cos9^, unde fit G — eos9', Hinc b in has duas formulas Iro vitu. —-— sin9 Bots. b y 2 2f — sin3 y2 2L sing? 4- cos os 927 Eft vero. f 9* HIA et Qu MIENNE usmsS » : Fosse s zs A tang ***?, quam obrem habebimus b co-19 Sm D quer d VIL—ys co59* Atang 7772. Quod fi jam hic loco u fcribamus sulokis Yi erit lu SmRVIEP- Eq ey 5 m» VEI zn m 2 At ng- REA ERU b—T7: WEEIOUI E 608 y 2 Ata m cujus confenfus cum integralibus fupra exhibitis facile per- fpicitur. . $25. UN modo pro 2| ftatuamus : gp a E D UEL dim uuo cj a eS (uu —X)(uu sin 3s -L60592) 7 uu—I1 uu sim 9?-pcos92 ? E I — sind e A oe ea —I- r, unde ergo entque F— uu sin S92 -- cos 92? pofito uu L6 siveu- ) 4H 92 8 prodit F — x. Deinde erit G — uis pofito uu — — LONG 1d- eoque G — — sin9'; ficque. formnla pro 2 inventa in has partes xefolvitur : L——— cos9 ou - Quum Vidimus au- P ns: $ y2 2 [-- ddiswabe rer M 1L he inn s ice [ut sina — tem efse [9*7 — $1*—1, hic vero erit I SE ce E P m sin 9 A tang * LU. ficque habebimus iin Quo es er TET ! -L- sin9. cos 9/2 A tang 1772, Ac fi hic eitis "q56ó-u fcribamus valorem TENA ert^'» p. Eon Fils Wer sin9 yit 2 L—t T iu zi n9 cos? ya Atangz o £. 2$. DIET f. 23. Haec autem refolutio ideo fuccessit quod for- mula principalis propofita f. V ErsS fuit in fuo genere quafi fmplicissima; unde facile intelligitur, fi ejus loco aliae for- mulae diffciliores proponantur, tum xefolutionem fine dubio multo magis futuram. esse arduam, neque adeo expediri pofse, nifi ipfa formula propofita per logarithmos et arcus circula- res integrar queat. Sin autem hoc contigerit, quemadmo- dum evenit in hac formula: /.—————-, five adeo in hac: Th p . e* 1 SA EC tam etiam pofito z — v(cos3 4- y/ — 1 sin9), T. "T ; I (rze25)— | certum erit, formulas integrales inde deductas, quantumvis fuerint perplexae, tamen femper etiam per logarithmos et. arcus circulàres refolvi posse, id quod unico exemplo often- dere conabimur. Probíema. - € : 1 et " oz . nx r TUS 1 ud . y& Si in formula iategrali vsrr;, Donaturz- v (cos 9-.-y —1 sin9), unde haec formula refolvatur in has: f/P 0v 4- V — 1/Q0v, ambas iftas formulas integrales, quippe quae femper reales effe pofsunt, inveftigare. Sofutio. $. 24. ,Hic ergo pro denominatore ftatim erit r--YP— i TÉ ( cos 33 4- V — 1 sin39), unde ftatuamus Y z -- 2»? cos 3 9 -- V — s, 5, et quaeramus angulum 30, ut fit €0839 — L7. 77* et sins — 2322 , quo facto erit 3 3 i -- 5 — s(cos30 -4- y/ — 1 sin $0), ideoque y (14-3) z ys cos -4- y — 1 sino, unde formula propofita erit oz dos rz. fgs(oo (alil —isino) ————— f —— ÉÁR—— — 3 ($05 u-43- Y — XEsin yy s Ys » 2$. Imm 7v — TEES $&. ss. Cun nunc fit 9z— 0v'(eós 9 a- V — 1 sin 95, for- Hialá réfolvénda erit. (22. (95.8—9 7 Y — E 38:3 —9'. quamobrem pro iefolafione quaefita erit Ys | [Pop fezs5e-9 ep fQopz fw, Ys Ys quarum ergo Íormularum integralia inveftigari oportet, Evidens autem eft hinc angulum. o neutiquam commode m . Etsi enim —L DU MN per v exprimi pofse im tang 3o De hic trifectione anguli opus foret, uride formulae noftrae plane inextricabiles prodirent. $. 26, Maxime igitur memorabile eft, has ambas for- rnulas integrales in quibus eft s — y (1 -- 21? cos9 2-4) et tang 36 — L7:727. , quas vix ac me vix quidem per folam v refere liceret , nihilominus per logarithmos et arcus circulare$ integrar posse. Facile autem intelligitur per idoneam fubfiitutionem loco v aliam variabilem idoneam in calculum introduci debere, cujus ope bae formulae fim- pliciores teddi queant, id quod commodifsime fieri pofse vi- detur, si loco v angulus QD introducátur, ita ut fit D—9 — c, undé ftatim oritui [Posz-pee b.60 1 AE fQàv vm ubi vs Ys eigo litteras v et s per Q exprimi oportet. $.27. Cum fittang 39 — .—57*2*., fi hunc angulum 3 introdücamüs,erit tg(39-5)- 7635 tem e -i unde ób 59—3o- 3D Ne i A $i1n 38 sin 39 elicitur tang 3D — I unde reperimus 7^«-cos jT X E Hinc fumtis quadratis erit U'4- 21 C0$ 39 4-cos 39? — sin 3 9^ Er SZ Addatar atrinque sin 39^ eritque S TUNE ia 3; -— *in3$9 V'4- 2D cos 3 9. -1— $522 7.9: Meoque $ — 77. Hacte- —«PeoN--- Hactenus p noftrae formulae ad fequentes formas funt reductae : 9v eos Vim ko) J[P9v — y sif 39 32 fQ2 p-— E vd sao Y sina. Ve 38 2 i $. 28. Cum denique fit 5? — Rua — Cos 59, erit diffe- rentiando arpov — — 2^? 772, ideoque ov —— IX Cum Aet D sme (9 —. 2 igitur fit ppeem3 c Su erit-9» — zz Ems OG — 0 dt.* unde | sin 5 Tom Ii PSI Tem m fit oie "s "Es ner dor ED ficque formulae noftrae, ad sin 5 $ sin 5 folam variabilem (D reductae, erunt 2o CONDI poU. ads $8 AEG mE / 2 sin 5o (sin3 (9 — $9—0y r 00 sin Opi is IGNES LAU MU [Q9v —-— sins 55 dna Qna 5j quarum formularum integratio. haud exiguam dexteritatem in calculo irs poftulat, $. 29. "Ut calculum ad folitas quantitates revocemus, - ftatuamus tang ( — t, ut fit I EN —- —— et cof —, dhnde fit y 14 tt yi-tt i ot 9 cos Eun PONE et 0 sin (D —— em de ? (1--tt) Punp co(r2 tb Praeterea vero E. tang 3p — MA unde fit cuboem I — att ; sin Dx TUTO — L] 8o T gm x : et cos$40D — Cem Hinc porro Nova Acta Acad. Imp. Scent. T'om. XIV. K | confi- — ul «(r—5t) ste Y i. 4- aa (1. -- tti à Le a(koeisib — t5 9E sin s (5.— Qt — —(1aa)i (rt). " Hisque. valoribus. fubftitutis nancifcemur.- conficitur. sin 5 (9 — p) — ». ideoque- S I to Ot (1 --tt) [Pase Jac-oyeo os PG. acpER PE tot(t--t f[Q3v 2 FE E- Se ns M PK" | Certo. igitur. affare: licet,. has: formulas: ab: irrationalitate- penitus. liberari; pofse ,, etiamfi; mihi; quidem: nulla via pa- tere videatur. hoc. praeftandi ;. unde. Geometris amplifsimus: campus aperitur. fuam. fagacitatem. exercendi. EIE UH 0 $ . 50. Si loco.formulae: fs —— — d'oaiesce rada gene- y 1x ralem: pens vu 5t camque- fimili. modo tractavissemus » per- venifsemus: ad. "NAM , theorema :: Integralia.harum:duarum formularum: : 0Q sinQ: j eQpcosD J'ssscirsisin -— nyc 9t mtn (n9 net certe- per logarithmos: et arcus ciicules: exprimi pofsunt, ideoque- dabitur: certa. fübftitutio,, cujus. ope hae formulae ad rationalitatem: perduci: pofsunt ;; unde. haec obfervatio eo ma- jorem. attentionem: meretur.. -.[DIS- e— yo meh DISQUISITIONES ANALYTICAE :SUPER EVOLUTIONE POTESTATIS TRINOMIALIS (x x2- xx. AUCTORE E^ pore er) Conventui exhibita die 1:7. Aug. 1778.| £ 9 » I, Cum olim in Nororum Commeritariorum Tomo XT, fab titulo observationum. .analyticarum , iftam poteftatem trinomialem multo ítudio essem ;perscrutatus, in tam egregia symptomata incidi, «quae majore attentione "'Geomeétrarum non indigna videbantur. Hanc ob rem nuper hoc idem argumentum de- nuo tractare füscepi, :atque monnullis artificiis :analyticis usus, multo plura infignia phaenomena fe mihi obtulerunt, quorum -expofitionem -Geometris non ingratam fore confido. $. 2. Tncipio igitur ab ipsa evolutione hujus formulae: (x x--xxy, quae pro fingulis valoribus exponentis n fequen- tes praebet expiessiones in tabula fabjuncta xepraesentatasz , n | o or crxj I I-- Xr I-- 2z--3Xx-- r3 az* I * 8x6 xr qu 6xteaxtex I-F- 4X -4- IOXXx--16r "-x9xie I6Xx a-xox -- AX ext I--5X-F15XX4-3027 4$ H-51X 4-45X --30X --1;x 4-53 -- m. c. etc. posco K 2 ] Hic zi eme—— US —À Hic ícilicet ex qualibet poteftate facillime fequens dedu- citur; fi enim pro quolibet. valore exponentis n, quilibet Coctficiens cum binis praecedentibus in unam fummam col- ligatur, obtinetur coéfficiens pro poteftate fequente expo- nentis n 4- 1 fubfcribenda. $. s. Hanc tabulam afpicienti ftatim patet, in qua- libet evolutione coefficientes terminorum usque ad medium, qui dignitatem x" ref.rt, crescere , inde aütem iterum eodem ordine decrescere, usque ad ultimum terminum , qui eft x?". Deinde etiam haud difficulter perfpicitar, pro poteftate. (r-- x a- xx)" in gereqe terminos inilales ita expressum iri: - Xoicqpmus tg (n 3 I! X zie "(5 Dupont 4 aed e BU c RUE Uo af ilr P der 1.2.3.4 1 4 2(n—1)( GET) (n —2) (2-3 I2) : I 2 ede, dir . Hos autem terminos ulterius prosequi non attinet, quia in eorum co&íficientibus nullus ordo deprehenditur. d -- etc. $. 4. Hic autem imprimis ad coéfficientem maximum feu medium refpicio, quem pro poteftate (1 -- x--xx) inge- nere perpetuo ftatuam — px"; tum vero terminos hunc fe- quentes.ita. repraesentdbo: «ga s aput cer ie dg ct OE unde termini medium praecedentes erunt ordine retrogrado qx 7. rYY. 591: tr —; eic .Demue werp. pro, petes ftate fequenti (12x rr "1 easdem litteras apice fum nota- i p turus; Ícilicet: p/,q',r'/s',etc. quas porro pro poteftate de- nuo fequente (r--x--xxj^^ apici duplici defigoabo; pro fequeniibus, apice triplici, quadruplici, et ita porro. $. s. His praemissis, in hac' dissertatione ex fcrie- bus füperioris tabulae potissimum terminos medios, ma- ximis coéfficientibus affectos , fum contemplaturus ,. qui | ; t 4l sv | funt mem vb funt: 1,3, 3x, x5, roxf, 51x", etc. qui junctim fumti confti- tuunt feriem, Enn fummam littera P indicabo, ita ut P-zi-x4-3Xx 2 3722x4- 193 T-STY.. e px p p as p Ag ctc. $. 6. Praeterea, vero, quemadmodam ifti termini ex tabula fuperiore fecandum diagonalem funt defümti, fimili nodo tales feries formemus fecundum diagonales ulteriores - illi parall-las, quarum ferierum fummas — pariter peculiari- bas litteris denotemus Ca Un modo: | Q-x-: ux ENGL 16x "E Tr..cegx" e gx" t? q^" x" *3-E etc, R-ax*-3x 1c v «-30X4- . . voerp 1? p ya x15. etc, cO Is p.c. uc sx tes Eo s atts etc. REUS ES ...54«.-2. «4i -E XC Ua-- etc. etc. eic. His conftitutis propofitum mihi eft primo in valores litte- rarum minuícalarum p. qi r»8, etc. earumque derivatarum. p^q'.r,s etc. p^, q^, r^, s^, etc. inquirere, quo facto etiam valores liéesdhogum majascularum P,O,Rh,5, etc. indagabo. Investigatio litterarum p,q,r, s, etc. $. 7. Cum p fit coéfficiens poteftatis x" ex evolutione fornulae (1--x--xx.," otiundae, iftam formulam hoc modo repraesentemus: (x(ro- 2) 17" . pio cujus evolutione uta- mur fignandi modo jam aliquoties a me usitato, quo cocíf- flcientes fimilis poteftatis. binomialis per hos. characteres defignare foleo :: (2); (2) (5)» ($); ($), ete. ita ut füt 4 n(n — I) 1.2 Hptugmc-m OLX CC NR 2) n((m —X): üb—2) (mic3) 4 1.2.3.4 LE: TERRI p — 2 b). —— (2) -— y(ne1)(n-—2)-«4»—53)(n-—4) gj —— LMM——MÁÁÁÁTL——— (55 uS viuit (n—2)(n—3). , . - (f —AÀ-r-1) XEM. Tio... u.s. wis ^Circa quos :characteres hic :annotasse juvabit, in genere n i "n 1 : . . A D LJ femper.esse (—) — (—4).» quandoquidem — hi co£fficien- tes retro eundem ordinem :servant, :et quia coéfficientes ex- tremi fant unitas, «erit () zr(*ymm:r. Deinde, quia! ex lege progressionis tam .omnes termini :primum .antecedentes- quam termini ultimum sequentes evanescunt, erit :ut fequitur: (S) — (—) cR (—)-— (5): 7L —— TL — UT oet Ro «tc. $. 8. "His praemissis formula noftra (x (1 2-x) 4- 1)", more . folito tanquam .binomium .evoluta; dabit hanc feriem: z'(r-nm)y-- x" tix) x)? (3) X (r--x)' 5 eic, ubi notetur esse in genere: | (Bm) 1 (5 x2 (3) x^ 4- 6 x! -1- etc. Ex fingulis igitur membris illius formae expofitae «depromi debent termini poteftatem x" continentes, quippe «qui con: junctim famti component terminum medium px". $. 9. Primum autem membrum x" (12- x)" tantum ter- minum hujus formae praebet x". Ex membro autem fe- cundo hanc formam habebit terminus fecundus, qui eft () (43). Ex tertio membro poteftas x" oritur ex termi- no no tertio, qui eft (2) (7;2)y. Simili modo ex membro pen to deducitur (2) (C23) &".. Ex. quinto oritur. (5) (—75)&" et ita porro. Hinc igitur. verus. valor litterae p ita colligitur: pzzi«() (CO Ca) -0 35-0 C79 etc $. IO.. Simili. modo ex. eadeni: evolutione: colligere li: cet coélficientes poteftatis x^'^,. qui junctim. fumti: dabunt. valorem: litterae. q.. Talis: autem: poteftas: ex: primo: mem-- bro orta. erit. (2)x** ... Ex.fecundocmembro- oritur (2) (£21)x" ** ;; ex tertio membro-(2) (752) x*** 5. ex: quarto" (3) (3a; et ita porro, quocirca. verus Valor litterae q. hoc modo exprimetur:: q— (2 C9 - ) ey Q C3) etc ubi. ob: analogiam: primus: Hop M (2) ila! repraesentatus: eft intelligendus: c ) Sic enim, cum quilibet terminus . duobus: conftet factorfbus ,- priores. factores. conftitaunt" hanc: feriem: (2), (2), (82, C $2» (12^ ete- pofteriores: vero iftam: (2 E C2, L3), etc.. | &.1r.. Pari: modo: ex: poteftatibus x72, quae ex fin-- gulis EE deducuntur ,. formabitar. terminus. rx"*?; at p primum: membrum : pro: hac. poteftate - praebet |3.(297?,. sive- analogie- gratia! (7)(2)x^'7.. Ex mem- bro B as. oritur- eadem: poteftas (2) ("a3)E4 ";rex ter: tio membro. (7) (—5)x77;. ex quarto (; E) q*t*' etta 'por- I0; eX quibus. ergo. collectis: nanciscimur: valorem litterae r hoc modo: expressum : '—02G)G :)6:9- Qez5 - (9 C52) -e ete. $. 12. 70$. r^s Saperfluum foret eandem 'dedüctiorem pro Iit- teris fequentibus apponere, quandoquidem, jam fatis perfpi- cuum eft fore: s ——(-) (5) *G ) (cbe -4- ( so (b T -- etc. ECT E Ey C ye) - (65 -- (C —— JS n (C) (See (t (P) ce eb E- à "s B etc. ctc. e E atque in genere fi poteftati x^^" tiibuamus litteram z, erit 2—()0 GG - QU CO Gd ee ái $..15. Manifeftum hic eít omnes terminos harum fe- 'rierum contineri in hac forma generali: C Cg. quam ob- fervo femper huic efse aequalem; ) C25), s ut litterae & et B permutátionem patiantur. ' dm enim facta evo- lutione fit: u^ — n(n—mDo-—2)(n-— 3) VIR BERE Os (n. d-HID u« ILEL CE C RMRSETU V: 4170 ? "ary peo Gier oia Ca TOUR NLIS m on 1 et y^ E*OmMIA ICQ S oL MN RS eem [e * 15 E facta i iplicatione Bi c : i (C) (5 t m Occm Coe s mx. : Dire d pe, t. [v4 LET! . ce ubi SüustPibifitad riter &- et a in oculos incurrit. $..14. Qnaodfíi jam feries ante inventae hoc modo iri. mutentur, prima quidem pro p inventa Ànullam mutationem patitur, reliquae vero fequenti modo referentur : 3. — Q) C5 e G) C5 -- 2.0299 96 OD (7) 7 ete-] r (5) Oboe C98 C. Cz3) o» ete. dt i5 [Ern 2 AW um G) E (c) (5) -- ete. d o mm (cn (Eus (ue. E25 Gu 3) -- eic. ; $. 15, ecuupacco eem $1 Guerrero $. r5. Praeterea vero maxime memorabilis eft haec conversio , qua eft (—) (ac C2 Gig 7) Cum enim fit arp com (t -- B) (x e B — D 2-0 -2 S--DO et Ws cx. x cu E y oca (mmo) . r3. (n—a-ge D five rez: I-2-3.. .& X GEI (2). («-B) ? 1 m — ni mma) -...'. GUr—9—D-EI) . "mwdEESE —A—M—M——i roductum erit C 1.9.3 . . B-(&-D..(8c2) (8-4)? P (5 Gd n 3 n(n—t)(n—2)..... unco em BENE 1.351. B X119 .3.. x ^ in quam eandem formam xesolvitur formula u (C39 $. 16. Per hanc igitur transformationem superiores fe- res sequenti modo exprimi poterunt: p-—ri(g9G-00)--0()--0(D- etc. 9—() (—-G 9) - (8) G)- (00) etc. q—(0 (9 HM )- etc. s CD 5) -- (3) CO -- (3) (9) etc. - *- c c c - - - - - - - - LJ LJ - - - ;— Q2) 25 (n. B5 Cs "i - LM) -4« etc. $. ry. Notari adhuc meretur alia transformatio , quae ad calculum numericum imprimis est cop epum Cum 1 p he ; ESTYN n (& STE] 1—90) ; enim ex prima forma fit z — (5) -- (D Gc) —- (9 G2) - etc. quilibet terminus hujus feriei e (I) (E): qui dicatur — II, eritque facta evolutione: II — *:0—05121—2)..-(1— 2a 3-1)... (0—2« — A o 1. : : ROSE SI. qIM9.3 . QU IUSUAMTO .Quodfi Ja hic loco * fcribumus a 4- 1, ut oriatur terminus fequens , qui ergo erit m ED AI) 1.2,3...-(« -X) X 1.2.3(^-- 44-1) ? Nova Acta Acad. Imp. Scient. Tom. XIV, L hic EI t. E hic per illam divisus praebet quotum : (n — 9m — A) (n — 2a — A — 1) : i ST UES RNC LO NUES S.I UE Hinc ergo erit terminus fequens II. (n — 2a — A) (n — 2a — X — 1) (Go DU TED C eee. $. 18. Quodfi ergo in hac setie, more Newtoniano, lit- tera II denotet qüerlibet terminum praecedentem , fequens Y (1—2 4—A) n—4Jga—A—I) . Hd femper erit II. E i EIUS 1:5— 5 nnde cum primus termi nus fit G3» ubi eft a —0, fi hic defiglüetur per II, eri& itenens fecandus zu ems C52, qui fi denuo vocetur II, erit terminus tertius (X — II! ADR aca qui fi denuo voceturll, erit termin.quartus ard —— ID, et ita porro. Hoc modo noftra feries pro.z hanc induet formam: z- (253-58 (1—À) (1n——A—1t) 4c ppins-A- proce mo qpocdesepu ders KORR NEST 9 (X4- Q) 3(A4-3) ubi scilicet perpetuo II designat terminum praecedentem. 4r etc. $. ro. Hinc igitur fi Ioco A fuccessive fcribamus va- lores 1, 2,3, 4etc. pro noftris litteris p,q,r,5s,etc. fequen- tes nanciscemur feries : p — 1H] II o0! T E OR. SEE Gne (n—3! (n—4) (m—5):)n—6) (n—1)(1—8) q—()-n PP I——— -IHe-2—m 4-etc. ns fü ( EN 2 (n—4) (n—5) (n—6)(n—1) (1—8)(1—9) r —()—-HL——7L—--no—77—n e u—7-- etc. 2.4 sex upset pencot mp Es A-2030. Gf. 1.4 287.91 6 4. etc, etc. $. 2c. Iftae formae ad calculum numericum imprimis funt accommodatae, quod pro fola littera p oftendisse fuf- ficiet. Ouaeramus scilicet exempli gratia valosem ipfius p: pro — (Q3 má pro casu n — 6, ac fingulae ejus partes fequenti modo re- perientur: "y I exa EL I IL -— 1 3d IIT. — 30.273 — 90 IX — 90.2 z 59 ergo Summa — p — I4I f. 2r. Simili modo quaeramus valorem ipfius p pro "casu n2 12, cujus fingulae partes fequenti modo colligentur: I -— I * . * * sets I * ^ STACE 19. JPo5. 5 n NT 4. ERE: mc Tie ioi) E 10. cul ab DN BL 192.2: 180791 IV. —. 2940. — zu- 1848 —18480.5:3 — $4650 VIct94650.2:3 — 1665335. VII— 16652.7-1 zemuc0 veh, Ej»o onmia Ep 75789. f. 22. Mox autem trademus modam multo expeditio- rem fingulos terminos harum serierum ex binis praeceden- tibus eliciendi, unde facili calculo omnes valores pro litte- rs p,q.r, etc. pro fingulis exponentibus m exhiberi pote- runt, ficque omnes iítos valores, quousque libuerit, conti- nuare licebit. Hanc autem relationem primo scorfim pro numeris fub littera p contentis inftituamus. La Inve- —— $4 — Investigatio relationis - inter ternos valores consecutivos P, pi n^. $. 23. Cumfífit t p—1--(r (——) )2- (2 (m 3) (53) ete. hujas feriel confideremus terminum quemcunque (CH 2), quem vocemus — II, ita ut facta evolatione fit Lr E: —————M Lj terminum autem, qui hunc sequitur, defignemus per ^, ut fit j—(——) (——3), id- [04 eoque facta evolutione d$ — PT JEDE NENNEN GILT uo 197m SEX) x 1.2.3... (24-3) hincque ergo habebitur: p L.. (n—2a) (n——2a«—I) — (2a 3- D (x1) 9 EAE (441) (x. I) ideoque I[ — (n—232a) (u—2a—I) $. 24. Jam pro valoribus fequentibus p/ et p^ defig- nemus valores ipfius (» respondentes per (d et Q^, qui, quoniam oriuntur ex valore Q, fi loco n fcribatur n ^ x et n 4- 2, erit factà CYOBUDGBS. Ao nitom--1mn—2D:,5-gc E. : (n— 22) U e ^r AS à CU ERAN VUL Inu pe qi c dprS T A ums 17 ind patet lore "uILOE p nr Q^ Qp- u— huis Q^ ————9. Simili modo, fi hic quoque loco n fcribamus n -- 1, habebimus ME DEED / eI UC I DEPECCOUANI. T ^ n—2« or, five s CI RECOEXZeDUi 9.) $&.25.. Hinc km formemus hanc expressionem: B 4 ^ : : ; TEC Ag -—- R4; 9^. cujus ergo valor per ipsam litteram 6 ita expHinetime $ (A —R— - —Áre b ubilitteras A, B, C ita de- finire conemur, ut forma ifta aequalis evadat ipfi termino praecedenti I, | Evidens autem eft, iftas litteras, ut ad omnes terminos panter yertinere queant, literam a invol- vcre vere non debere. Subftituto igitur Joco U valore ante dato peri expresso, AREE fequentem aequationem per y alvisam: Qe or m. ud. Du E IRINCEE: des (EXE n— RLXQRC (a xu) 9a quae RN. liberata evadit A (n — 2a—1) (n — 2 2)-- B(n — 22) — C — (a2- 1) («4-1 $ 26. Cum iu hac aequatione littera « ad fecundam dimenfionem "afeendat , ternae litterae A, B. C praecife fuffi- cient, ut ex bac aequatione determinari queant. Primo igitur coaequemus utrinque terminos quadratum aa mop ue nnde orietur ifta aequatio: . 4AÀa« — aa, ideoque A — j. Eodem modo coaequemus terminos ipsam litteram a invol- ventes, unde perducimur ad hanc aequationem : (21—IJ — 9n—3 22(1-—2n)A—2a.B-sa,undefit B —— ————1———-. Denique termini ab « immunes dant hanc aequationem: (nn — n) A -- n B--C — t, unde reperiiur C — £725, $ 27. His igitur valoribus inventis, pro fingulis ter- es ia 2 3 B / "A minis femper erit AQ -- —.-. -- —7-— 0^ -—IL. Quod fi ergo hinc computemus hanc formulam: [^i ^" . . ON EA A. E a Ci med cp , €X primis terminis pro Q as sumtis orietur praecedens feriei.p. qui eft — o; ex fecundis autem termi»is pro D assumtis orletur terminus primus. qui eft 1; ex terminis autem tertiis conficitur terminus fecun- dus, quieft (;, ——); ex terninis quartis pro assumtis conficitar tertius qui eft (5. (77) et ita porro; ficque om- nes tres feries hoc modo collectae, producent hanc feriem: Th x)-(320,)- etc. quae elt ipsa Íeries pro p data — S6 m data. Hinc habebimus inter ternas litteras p, p', p^ hane acquationem: B 5^ [s rd ANS A.p- Buc mov cp ' $. 28. Subfiituamus nunc loco litterarum A,B,C va. lores modo inventos, et noftra aequatio inter bas ternas lit- dt ip-—Qrt3 py n9 gr it ras erit p EE p z-5p -— Jp,quae reducitur ad hanc: n--9.^7/ (Qn E "nl Ia p' — 3 p, unde fit: p^ — p'- c (p 3p). ' $ 29. Hinc igitur facile pro fingulis valoribus expo- nentis n omnes numeri littera p defignati definiri poterunt, dum quilibet ex duobus praecedentibus componitur. (ta fumto n — o, erit p — 1. et p/— :, ideoque tertius Blzslicbte3.1) Sumto n--r, ent p—1, p —., ideoque terminus quartas ares 3--2(3--5:1)2 7. Surmto 4-5, ob p-3 et p/-7, erit terminus quintus p^— 7--2(74-53.3)— 19. 5i fumatur n — 3, ob p — 5 et p — 19, erit terminus fex- tus p^— 19 -- $(19-- 3 . 7) — 51, $. 5o. Si hoec modo ulterius progrediamur, poterimus hinc progressionem continuare, quousque libuerit, ope for- mae p'-- ——3i(p'a- 5 p) — p//^, quae nobis fappeditat fequen- tes determinationes 1 . T 5de-LoCgrem e Toc. 141 --$(ra4r--3.51) —- 393 393 -I-2(805.-3. 141) 5 1107.3- $ (1109 2-5.393,— 3139 * 3139 3-:5/3159-- 3,1107) — 8953 8953 7i-3: 8958 453/3189) zm 25658 — 25653 -I-15(25653 3.8953) — 78789- | EIC, $. 3r. du— 0$] MÀ €. 31. Simili methodo etiam relatio inter ternos ter- minos consecutivos pro fequentibus litteris q, r, s, etc. in- vettigari poterit, quem laborem quo generaliter expedia- . mus, inquiramus in relationem, inter ternos terminos z, z/ et z^, quibus respondere assumsimus litteram A. Investigatio Relationis inter ternos terminos consecutivos z, 7^, z^. $32. Cm fit z-(2)-- (5) £22) G) (622 Q) (C52 ete. AI A-—T3 hujus seriei consideremus terminum quemcunque II- i (a 1 T&« cuins cvolubus jefa: 1E -— 2EL-D OS eil ni in—a—AÀ- 1). ducas ulus i foni ur URP UR TUS (o ES era LY s Ier RESO Tn.— o —I — Terminum jam hunc fequentem (Z9 (£——1)zc € evolvamus, unde fit em (n-—EFt-o). AMATUS s. (n—2 «—2A—1) : PME" A e Q — Roll EN .nuV QN er Hinc ergo colligimus HE ne uou uMeoque IR. — (D(^fay1).., n (& a- I) (o - X à (n—24 «—X) (n—2a—A-—I) $.:53- Jam pro valoribus fequentibus z/ et z^ defigné- mus valores ipfi respondentes per Ó* et $^, qui quoniam oriuntur ex valore , fi loco n ícribatur (n 4- 1) et (n-- 2), erit facta evolutione Ks nEnn—i)b£$:-2-.2-- (n —D a —A) Ki 3 ER Q9 — DIL NILUS unde patet fore $^... "1--XI d ae (n 4-I)9 vcr, hineque $'- —'—t-77... Eodemqué modo erit Q^ - "2 qo — (1 3-2) (n-1-1) 9 7 —A»g—À 41 2a—^) n—4gaX—A—L)^" $. 34. Hinc prorfas ut fupra formemus Banc expressionem: / C a ng fcd fecus valor per D ita exprimitur: o( M xor ime QURE ON e Eie RTT x) , ubi iterüm litteras A, B,C ita definiri oportet, ut bonas aequalis évadat ipf termino praecedenti II. Subftituto. igitar loco II valore ante — 08 m— ante per à expresso nancifcemur fequentem aequationem a fractionibus jam liberatam: A(n — 2a —X— 1) (n — 2a — 2) 4- B (n — 20 — À) -- € (aa 1) (& o 4 rx). f. 55. Facta igitur evolutione et coaequatis primo utrinque terminis az involventibus prodit haec n pro determinatione litterae A: 4a2A — aa, ideoque À — 1. Eo- dem modo fi coaequentur termini fimplicem ee a in- volventes , perducimur ad fequentem aequationem: (&4*3— 4na-1- 2x) À — 24 B — (^2 2)a, unde colligitur B--—- — e. Denique coaequatis terminis ab a liberis pro- dit aequatio: fera mem DAXGA CES E34 Eus ' nn—2n) zt — e—M9 EAS aC oM I, unde fit EE UES [ro 4 4 $. 56. His igitur valoribus Los pro fingulis ter- minis femper erit A -- —— d^ —— — Q^ — II. Quod fi igitur hinc computemus m formulam: Az ace c————52^, eX primis terminis pro d assum- tis orietar praecedens feriei z, qui eft o. Ex fecundis au- tem.terminis pro d assumtis orietur terminus primus (7); ex tertiis terminis conficitur terminus fecundus (7) (1—2); ex quartis terminis pro (^ assumtis conficitur tertius qui eft (2) ($—2» et ita porro; quibus collectis oritur ipfa feries pro 2 data. z — (2) 4- (0) G5 4- (0 65 -- (0 C9 4- ete. A-crFI NDS Relatio igitur inter z, z^, z^ erit ÁÀz-H- 2 v -d- ————. ZI. n»-1l - (23-2) (n--X) $. 37. $. 57. Subftituamus nunc loco litterarum. A,D, C va- lores modo inventos; et aequatio inter has ternas JHteras erit; I (21-315 liene Ny "— à? — 4( Ij Rc cvi rene ed quae Merit ad hanc formam: (4-9)? —2AA) ,/7 — 2n-- 3 Ed (n--2y n -EXERIEQERET x EI £Z 4-532, unde colligitur yx EE n -2 Z^ IL X ((2n 4- 3)z/ 4-3 (n-4- x)z). $. 38. Txribuamus nunc litterae A füccessive |valores 0,143202. elc, dc, reperiemus [equentes relationes pro fingulis litteris: (n4-29) —0? p" — 2n- bns p' P abi 3 p (v2) 941) "YxE Grab —r g^ — 2*3 g/ -1- aq (1 4- 2)(n 4 1) n -3-I [n-EoP —2* 4/7 LU r/ -- sr (14-2) (n 4- 1) n (14-2)? — 3? s^ —neiy 4-535 (2 4- 2] (n4HX) n 4- etc. : ato $. 39. Cum igitur pro littera q habeamus hanc ae- quationem: d rr em ((2n2-3)9/34-3(n--1)q, casu nz o erit q — o et q/ — 1, unde fit q^ — $(8. 1 3-3. 0) — 2. Nunc pro n—z, obqzzx et q/— 2, erit q'— — (5.24- 6.1) 6. Tum pro casu n-2,0bq-2 et q'-6, erit q'-4- de7 64-9.2)— 16. Jam fumto n3, ob q—6 et qz 16, erit q"— 5. - (9. 116: 126)- ist At casu n- Sob q- IÓ et q/- 45, erit q'- E n. 454-15. 16)- 126. $. 4v. Hic autem calculus multo laboriofior et taedio- fior eft quam praecedens pro valoribus litterae p expofitus. Veram alia methodus multo facilior inde derivari poterit, qua omnes, litteras q,r, s per folam Titteram p cum suis Nova Acta Acad. Imp. Scient.'T'om. XIV. M deri- V derivatis p/, p^ determinare licebit; tum enim poftquam fe- res numerorum p jam fatis longe fuerit computata, inde etiam valores litterarum q,r., s, etc. multo leviori labore col- ligi poterunt , id quod in fequenti articulo oftendemus: Determinatio litterarum Q7 1^, Sx v DEC per folam primam p cum suis derivatis. $. 41. Pofito brevitatis gratia noftro trinomio t--x4-xx-X, ejus binas poteftates X" et X'*'! evolutas ita disponamus, ut pares poteftates ipfius : 3e nt invicem fubscriptae appa- reant, hoc modo: X^mP pup MM -- qx 1a- px* qv Ee yt eusxT; ^ -- etc: X'"-re(neim..-r YU qx pix" 7-q' x? er x* --etc, quo facto fupra jam notavimus quemlibet coefficientem in- ferioris feriei aequari fuperiori cum binis praecedentibus. f. 4?. Per hanc igitur legem fequentes nanciscemur aequalitates: : pog pecq cara ^ gregum c EIE elc. unde colligimus ífequentes determinationes Epis re E EN NIE E i re Pi kcu cM. —rcegeg p.45 M. $. 45. Manifeftum eft hic formulam p/— p exprimere incrementum quantitatis p, dum exponens m unitate auge- tur, quod cum per Ap exprimi foleat, aequalitates inven- tae fequenti modo fuccinctius exhiberi poterunt: unte flvée oqg-Ap; 2r 2Àq—2p: 2$ 2 Ar—2q; etc. $j. 44 E 9I remm] $. 44. Charactere autem hoc differentiali A in ufum vocato, cum fit 2q — Ap, erit 2Aq — A4 p ideoque 2r — AAp — 2p; hineque 2Ar — A'p — 24p, ex quo porro fit ees A^ p-—34A4p ideoque ARIA -- 3AA p, ergo 2t — Ap —44A4 p-- 2p, ideoque 2At— Np—4p- 2A p. Hinc porro fit 2 ses Pas s A! p--54p, ideoque aAu — Ap—5A'p4-5AAp, unde deducitur 2p— A'p— 664A'p4-9AAp--2p, et ita porro. $. 4*. Quod [fi hos coéfficientes numericos attentius confideremus, lex progressionis convenire deprehenditur cum ferie Geometris fatis nota, unde pro valore z, cui ordi- nis index pofitus .eft ?», obtinebimus fequentem formam : - id A—2 Hess] ie-4 XO UNES X86 Y Bu ERA p—A34A"^7p-e-^T$g- A" pete Ap E 2S 2 2773) 3A-45 0X] A^? p -AO-e ju 9 (A—38)! E nep - etc. Y440 135.4 LI Z 8.4. 5n quam feriem eo usque tantum continuari oportet , quamdiu indices ipfus A non evadunt negativi. lta fi fümamus À zc 6, quo casufit z—», ex hac lege generali utique prodit opu A'p — 6/N p.- 94 p. — 2p. $. 46. . Qao indoles hujus feriei clarius perfpiciatur, me- (x--yxr—4)"-e (x—Yxx—24)* o" minisse oportet, hanc formam - : " in fequentem feriem refolvi: cT "ennaxt-2. 7 x1—4 E M T 6 209 ete. Moc igitar modo noftro scopo Jam eft fatisfactum , cum om- nes litteras q,r, s.t, etc. per folam primam. p fuasque de- ivatas p', p^, p", etc. expressas elicuerimus. M 2 De- .Determinatio quantitatis p per formulam finitam integralem. f. 47. Cum fit per teram formam fapra expofitam p-—ic (2 ($) 4- (G) G) 4- ($) ( - ete. quilibet terminus in genere erit (7) (77), quem excipit ifte fequens: (727) (4) Cum igitur fácia evolutione fit —2 ga. — EB aco er MEE s "px , (i) ELM, fimilique modo (mt ze 20-1-2]49x 3-I)0o .... (a2) "TP descr FoU NE (ua w haec pofterior forma per priorem divifa dat quotum (2x--2)(2a--5$) —. ? (2«- mci c — 4e 4-g (24 E EU) zm OTT, ficque erit (2277) — WT GD- (a1)? 17482* Hac ergo Ern adhibita, fumto a—r1 erit ($) —$G); fuinto: «— 5 erit ( — 9?(2. — 9.2.35 fi.a— s fit (»-tTs eo. Erepum dr a * fet (92 802. dams ds et ita porro. His igitur valoribus introductis erit per fac- lores ordinarios numericos pii 4 Ls E s^ uU ($)- ete $. 49. Nunc igitur videamus, quomodo formam. fini- tam integralem inveftigari oporteat , cujus integrale intra datos terminos inclusum ad hanc ipsam ferem perducat. Hunc in finem contem; lari conveniet iftam formulam (1--x", quippe cujus evolutio praebet hanc feriem: r--()x--(2)xx --(Lx^--etc., cujus termini alterni jam: continent charac- teres noftros litterae m. f. 5o. Hanc igitur feriem in duas partes discerpamus, fecundum terminos alternos , ac ponamus M.— r2 (2 xx -e x (5)) x^ ete. N-(Dr-eQx--G x4 ()35^-r tc. »ta cm—— Og mm ita ut fit (1--x" — M--N. Nunc autem inquiramus, quo- modo feriem priorem M per operationes analyticas tractari oporteat , ut ipía feries propofita, feu valor ipfius p, inde exoriatur. $. 41. Ad hoc efficiendum ducamus quantitatem M in certum. quoddam differentiale 9v cajuspiam fünctionis ipfius X, atque fequentes integrationes ita determinemus, ut intra certos terminos, veluti ab x — a usque ad. x — b, includan- tur, quas conditiones ita comparatas esse oportet, ut fe- qnentibge conditionibus fatisfiat : RAD P .10 ser TER Dy 4) fx?9v ELE ze d DI ctc. hoc enim modo integrale /M 0v: prodacet hanc feriem : Uc 20v pag vzQ)r e $——2 3 -- etc. ita ut hoc ido id quod quaerimus nanciscamur p — f??* $. $2. Formalarum igitur integralium , quas hic ex- pofuimus, quaelibet ita a praecedente pendet, ut fit fxxov —2f20v [xtóp — eni 6 yr OD f» ov E10 fy Qv [x ov df Óv etc. ficque in genere effici debet ut fiat fx?" 0p — f"—2fy1"—? 9y, Haec Ícilicet reductio locum habere debet, poftquam inte- gralia — O4 Ó— gralia intra praescrptos terminos fuerint assumta, fcilicet ab x —a usque. ad x--b, qui quidem termini nondum funt cogniti, fed ad ipsam conditionem praescriptam accom- modari debent. / 6$. 53. Cum igitur pro his terminis integrationis esse debeat mx? "Op — («m— 2)fx?"—?9p, ponamus effe generatim wx?" op-—(Gomn- 2) otto Epyom—t : ubi fcilicet II. ejusmodi fit functio, ut pars fubnexa x?"—1 utroque termino tam x — a quam x-—-b in nihilum abeat. Haec jam aequatio differentiata et per x?"—! divisa dat mxxov — (am — 2)0» 2- (gm — a) lox 4- x oll j quae aequatio fubfiftere debet pro omnibus numeris. 7. $. 34. Hinc igitur ifta aequatio in duas discerpi de- bebit, quarum altera contineat folos terminos littera rn: affectos, altera vero reliquos, quae ergo duae aequationes erunt Xxop —40v--21DI0x et o——uOv— II ox — xoll. Ex priori fit 0p — $79* ; ex altera vero fit 0p — 597—795, qui ambo valores inter fe coaequati praebenthanc aequationem: 4. TO x — (xx —4)(xaII— I1 0x)za? 0 II— xx I0 x— 4x 0 I-4II ox hincque colligitur? xs E unde integrando fit ITI —1 y Xx —4. ideoque II— Cut 4, vel etian I1— CY 4— xx, quo valore invento assequimur noftrum differentiale afsumtumópz 7-5, unge fit pec A m. $. 55. Confideremus nunc formulam fuffixam I$*57.1 exdlk?7 Vid dan quam. deprehendimus triplici modo in ni^ilum abire posse: primo fcilicet quando x — 0; casu excepto quo »r-—65 fecundo, casu quo x — 2; ac teruo tertio, casu quo x—-— 2, ex. quibus ergo binos terminos illos a et b defumi oportet. Ita autem hos binos terminos eligi conveniet, ut etiam altera integrationis pars f/NOv commode exprimatur. Quia enim posuimus (r--x)'M--N, etiam ad integrale f/N9v eft respiciendum, quod fi penitus evanesceret, pro terminis integrationis fine dubio id esset commodissimum, tum enim foret /(M -4- NJ 0v, five fàv (a — x)* — [M 2v, confequenter haberemus p — (X22, 'U $. 56.. Supra autem pofuinus N zz (Dx 4- G) x! 4- G)x! 4- (Dx' 4-. etc. unde conficitur Nor — z f/xàv -i- 3 o? 0v 4- (2) /x^ 9v -t-. etc. ubi.per easdem reductiones , quas pro littera M inftitui- mus, quaelibet formula integralis ad praecedentem, ope re- iperonis fr^"9g $2593 /p*77 0p "Yeduct "poteft. —Sümto Bun m-—s ent ÁKr'ob-— (row . Sumto m-i ext Jx0v- fx Qv Sumto n-Z1 ert-fx'Ov— P [x*0v, etc. unde patet, fi modo fx92v evanesceret etiam [equentia om- nia esse evanitura. $. sz. Quoniam igitur invenimus Buts mu. erit Y(4 Eco xo a E: PER. Y xov-- vec hincque fxóv — 2C y4—2xx, quae expressio binis casibus vel x —--2 vel x —-— 2 evanescit, Quam obrem fi terminos integrationis conftituamus x — 2, et. x-——2, non folum partes iliae fübnexae IIa?"^*, verum etiam totus valor integralis /NOv evanescet, atque adeo hoc casu quae- sito noftro perfecte satisfecimus, cum fit p — 9-09 $. 5$. Cum igitur invenerimus àv — .269*-, ejus in- tegrale , ita faumtum ut evanescat pofito ^y — 2,' erit y—2 »— 2?CAÀsin? —2Cz7, quae expressio reducitur ad hanc: v —— 2CAÀcosz; unde hoc integrali usque ad alterum ter- minum x —-— 2 extenso prodit p —— 2C. His igitur và- loribus fubftitutis erit formula quaefita p — — i f(t**Y ox! Y(4—xx) ^ Haec fcil. formula integralis , a termino x — 2 usque ad terminum x —-— 2 extensa, verum praebebit valorem ipfius p. 6. 9. Quo hanc formulam concinniorem reddamus, fta- tuamus x—-2 cos Q, ubi evidens eft casu x — 2 fieri angu- lum Q—20; casu vero x ——2 fied (D — c, ita ut hóc an- gulo sttiódueió integrale capi debeat a termino (D — o usque ad Q-7; tum vero erit 0x-—2 o sin(D et V 4—xr- 2sin(, qua fubftitutione facta nanciscemur banc aequationem : 5 (DE p RE xf(x 4 2 cosy" od b d id. .Determinatio reliquarum litterarum per formulas finitas integrales. $. 6o. Hoc facile praeftari poterit per relationes quas fupra inter has litteras tradidimus. Primo fcilicet habui- /mus 2g — Ap — p/ — p, ubi p' nascitur ex p, si loco n fcribatar n4- r. Quoniam igitur modo invenimus pc if(i--2cosQ'3o, erit p/ — Zf(x -- 2 cos py ** 0d, hincque ergo erit p/— p — 2 cos D (x «- 2 cos Q) 0(D, quo valore fubftituto reperietur | qc-if[90cos (12 bm j hinc ergo porro erit "n — if2dPcoso (1 4- 2cos $t $. 6r, $. 61r. Supra autem vidimus esse r — q' —q— p, nune vero erit q/—q— 2jf20.cosi (1-2 cos). Hinc ergo fi fub- Lrahatar p, ob s cosQ' — 1 — cos 2 D, elicimus litteram r — E f20bcos (1 2 cos(D)', unde iterum fit r— [20.95 2 (1 4- 2 cos D)" *1, $. 6». Qmuoniam igitur fupra invenimus $ — r/ — r — q, habebimas hic primo r'—r — 2 f2€ cos Dcos » p (14- 2 cos D)". Hinc ergo fi fübtrahatar q, ob 2 cos Dcos 2 D — cosip —cos 30, eut sc I/2Q cos 5p(12-2cosT). Simili modo jam evidens eft fore t — 1/9(pcos 4D (x4-2cosD)'; eodemque modo reperietur fore u — *f/9D cos 5 D(x2a-2cosD/'; atque adeo in genere ert z — Xf ) cos (1x a- 2cosD)". $. 65. Quoniam Analysis, qua hic ufi famus, prorfus eft finzularis ct parum «confueta, haud abs re erit verita- tem haram formularxum demonftratione analytica muniri, quam de fingalis uno quafi labore fequenti modo inftituere licebit. Inchoandum erit ab evolutione formulae PLUS rs qnae perducit ad banc feriem: 04 -()3cosQ-- (2) 4cos ^ (3) 8cos D? 2- (D 16 cos *4- ete. Per notas autem subdi ends jure conftat fore 2:cos D — 2cos(d 4. cos Q^ — 2 cos? (D -- e 8.cos Q? — 2 cos 3 D a- 6.ces b i6cosQ'— 2cas4. (D a- 8.cos 2 D -- 6 32cos D'— 2 cos 5 D.- 16 cos 5(D2- 20 cos (b 2" cosqy — iE cosi -4- 2 2 -COS (a — 2) o 2 (2) cos (a4-4) b -- 2 (2 cos(a — 6). 4- E - IKova Acta Acad. Img. Scient. Tom. XIV. N ubi P4 CUZERECTXTOEEEENR 08 m—————— NI ubi probe notandum eft, quando terminus ultimus eft ab- folutus, tum tantum fimplum capi debere; praeterea vero eliam cosinus angulorum negativorum prorsus omitti debent. $. 64. His igitur rite dispositis erit (14-5 cosQp,'- 1-- (1): cos-D--(2) 2(coss -- 1)4- 2(5) (coss 2-5 cost) - : (3: (co54 Q--4.cos2Q--3)--2 (5. (cos 52-5 coss D--1ccost) .— : (E (cos 6(p-- 6 cos 4D 2- 15 cos 2 D 2- 10) -1- etc. unde fequentes integrationes funt petendae. $ 65. Incipiamus a piima lit'era p, ubi hanc feriem ducere in O(D et integrari oportet. Cum igitur in genere sit foQ cosmi — -sinm(QO, iste valor jam evanescit pofito ( —o, pro altero integrationis termino (p — c manifefto eva- nescit, fi quidem omnes numeri n fant integri. Ad integra- tionem igitur foli termin? abfoluti relinquuntur, tum vero integrali rite fumto erit f0(p — - , quo ;obfervato erit no- ftrum integrale | ! J9O (12: cog)" — m2- 2 (2) m 2- 6 (Dt - 20 (D m - etc. Quod fi hic forma generalis supra data consulatur, hi coéf- ficientes numerici revocentur ad formas (2), ($5, ($), etc. prorsus uti veritas formulae poftulat. Erit enim p—Ef0Q (42 cos)" — 1 (9 (9 Q) (9 9 ($ G) ^ etc. f. 66. Pergamus ad fecundam litteram q, ubi faperio- rem feriem per oQ cos(Q multiplicari et integrari oportet. Ad hoc obíervetur esse 1m genere [2 cos cosmQ — sinn 1o -- qs Sin (m — 1) quae expressio pofiio ( — 7 in nihilum abit, folo casu ex- cepto quo m — 1, quippe quo fit fo cosi cosi — 1p—. £. Ex ——— 00 —À Ex quo intelligitur, ex fuperiori ferie alios terminos hic non in computum venire, nifi qui contineant cosQ, qui funt: 2 (1 eos D 2 « (3) 8) cos D -- 2($)(5) 0s - 2($) (1) cos T -- etc. Hi autem termini ducti in 2D cos(D et integrati, ob fs9qcosQ' — 7, dabunt, per «x divi, ipsum valorem gq— -ü]D-G-G0G-Eetce- $ 67. Pro littera r fuperior feries multiplicari debet per 2 cos 2. Cum igitur in genere fit ; cos : Q cosm(Q — 1 cos (m -- 2)p2- Ecos(m —2), per9 (o mul- tiplicando integrale pro termino (D — 7 femper evanescit, excepto folo casu m — 2, quippe quo fit f/ 0p cos» ' — 5. Hic igitar ex ferie fuperiori foli termini per cos 2(p affecti in computum veniunt, qui funt | 2 cos 2p((5) - p () * (2 - Q (D -- ete» Quia igitur 2/2 cos» Q^ — v, omnibus terminis colligendis et per 7c dividendo reperitur r— 0) 0 (02-0 CH 9 () - ete. 8$. 68. ' Quo haec claiora reddantur ac facilius ad va- - lorem generalem z accommodari queant, evolutionem pote- ftatis (1 -- :-cos(Q)" ftatim secundum cosinus multiplorum anguli) disponamus hoc modo: Eo: É&40--G0--90 -r-G)--etc. iQ rete) | (e) 5) - ete.) 4: 2c08 50 (03) (2 (D — G) Gi, (9 G) 7 (3). 3 etc) - - - - - - - - - e -F 2 cosXp (2) - 6:2) (9) - Q2) 60-2) - (835) G2) ete) N 2 $. 69. Soc udi roo cecà : - $. 69. Quod. fi jam Hase aequationem per 2d cosi di multiplicemus et integremus , omnia .haec integralia, tere minis praescriptis inclusa, evarescent, excepto membro 2cosXQ(...), propterea quod productum. * cosAQ" eontinet partem abfolttam, unde per integrationem oritur z, ita ut fit f9teosxQ (x 4- 2 eos T) zm (Cu aA LG Le * GL) ete.) qui valor per 7 divifus ipfum Vul ipsius z *faprr in- ventum praebet: unde veritas harum novarum expressionumr luculenter eft demonttrata. (. Ceteram si fingulas feries paragraphi penultimi vel leviter confideremus, deprehendimus eas ipfis litteris noftris p.q.rss,é€tc. esse aequales, ita ut nune fit (17-2 cos" — p-- qcosQ ---r cos sQD2- 55 coss p: fcosa-e eté. ubi fimul rátio eft manifefía, cur litterae q, r, s; etc. du- plicentur, quippe quae in hoc eft pofita, quod in evolutione formulae (1--x 2 xx)' littera .p femel tantumi in medio, re- liquae vero litterae bis, a^ medio aequidittantes; occurrant. Ex quo d egregia alfinitas inter illas binas poteftates (-ex-exx) et(r- HESS fumma attentione digna eft censenda. Ínvestigatio summae seriei |P—ui-3e-3Xx2a73xe1i9gx'u- 53 - py"ep xta éte. $ jr. Quoniam hujüs feriei terminus £eneralis eft-pz*, éuénr fequantur p x" * et p x'', inter has terhas quanti- dates p, p/,p/ invenimus fapra hanc relationem (n 3- 2yp^ c£ (oie Spe s(n «e x) p- . quam hoc modo ad usuni nóftrüim acconnnodatarr réferamusz 2 ^ Dus geom acp. T ean $ 7?. diee y OR c €. 5, Cum jam feries noftra fit ?- xp-qjxr--x-2-iígXx*---c- oeque pua tte p"x"'?--etc. ejusmodi operationes infiituamus, quibus relatio modo allata ebuneatur, id quod fequenti modo commodissime fiet : Qo Ie-05-27TX -------3(n-J-1)px" -4- etc. aA a AGE AIXE----- H- (n 2 1)p x" 4r ete. Me E 4-2-9X31-3-28XX --- -- (n 4-2) p zr 3E ot -g-—f$.6—esrx—36xx - -- — (nd-2)p/x'4-etc. xgx Colligantur jam hae quatuor feiies in unam fammam atque obtinebimus fequentem aequationem: $a Pri JPRjo:Pr .0P 45. gl: zx E "x ga cox | dE piden omues termini fe mutuo deftruunt. b. | $. 73. Hoc ergo modo deducti fumus ad aequationem finitam differentialem primi gradus, quae per x0óx multi plicata et in ordinem redacta ita fe habebit: Por(ir-r-1)4-0P(sxx--29-1)—0; l am - oQP.. 5] í unde ergo fitz*— DV , quae aequatio integrata praebet ] P——1Hl(i:i—2x—3xx)--/C, confequenter P — € à 1 PT STET. Hic ad conftantem C determinandam notetur tantum no- ftram f- riem propofitam casu x — o praebere P — 1, unde patet fami debere C — 1, ita ut fit fumma feriei P — 7—* ——. —2x—3xx), $ "4. Praeter ergo expectationem perfigimus ad fum- fam algebraicam, quae expressio etiam ita eft comparata, ut in feriem cos»verfa ipfam moftram f-riem reproducat, id quod ofiendisse operae ent pretiam. Cum igitur fit Pp | Pin 5xx)-, fi hujus trnómii partes pido: ic$ conjunctim fpectentur, evolutio nobis dabit Pi i6rcs Xx) -- LZ (2x H- 335x353 (x-4- :xx "-4-etc. quam fufficiet ad poteftatem tantum Xs usque evolvifse. Hoc modo nanciscemur pi I--2X --; SY lr etc. —cr--x--3Xr--7x-4- elc. -J-izrocir quáe igitur perfecte congruit; $ 75. At vero haec éadem fumma adhuc alio modo inveftigard poteft, ex formula [fcilicet integrali, quam pio valore litterae p invenimus: p — Efa$ (14-2 cosy [42.9]. Haec enim formula, fumto p — o; pet x mültiplicata, dat terminum fecaündum x; casu porro m z- ^, per xx moltipli- cata, dat terminum tertium 3x75 quo obfervato fumma qnae- fita ita poterit repraesentari: p. &f29( -- x(x 4- 2cos D) -- xx (1 4 2 cos (Q)* -- X? (1 -4- 2 cos Q)? -4-. etc.) ubi probe eft obfervandum, in hac iptegratione quantitatem r tanquam confítantem fpectari, fiquidem folus angulus (p eft variabilis. £a $. 56.. Evidens autem eft, feriem infinitam, in quam elementum 2(Q duci oportet, esse geometricam, cujas ergo N ae A ? aate pe ' RW C. LEN L4 ^ fumma erit X3-ixu gy noma. x-—uei ox co? ficque adeo pro P jam habemus MEE eom finitam : | p—if. | T1950 I—ÓÍ— nu quae quae aequatio ita poterit exhiberi : M rri o0 ao-o De mE) 1— zx PE $-a] » I—x ubi jam brevitatis gratia ftatuamus 7— — &, ut habeamus P—or. oO ILIO T(L—x ) ' 1—k cos $. 77. Conftat autem hujus formulae pum . integrale , cos D mn. fi l n ENS 27 efilocon zu 3 esse ; À cos T 5 und Dp ager sc adi A teo Ve ) n Cos m piscimur pro noftro casu. P S TES M) A co ad ubi conftantis additione non eft opus, quia haec SREME casu Q —.o fponte evanefcit. Faciamus igitur pro altero termino . Q zm, unde fit.cos (D — — 1. eb. A cos E op — Ácos—r-m, I ; 10v VUES Os ergo habebimus P — G-xpuc» Quae expressio ob RII, C NE RRRNR Nf : abit in hanc: P-——,,—2—3x3' pu ut ante. $ »s Cum fit r—2x—3zr -— (r—x) — 4xr- (1 4-2) (1 — 5x), fequitur feriem no&ram fümmandam duo- bus casibus fier infinite magnam, fcilicet altero casu quo f — — 1, altero vero quo x — I. "Pum vero noftra feries habebit fummam fivitam, quando x coptinetur intra hos li- mites: — r et 71; sin autem x extra hos limites accipiatur, 'tum fumma femper erit imaginaria. Ita famto x—i, ha- bebitar haec fummatio : --i--d-5-d- B5 etel. iit S summae reliquarum ferierum OQ, R,' S, etc. supra $. 6. expositarum. $..19- Ipcipiamus a serie Q, quae eft Q-— Xx-rax'-4-6x S E "barre qui p ete. cujus I04 e cujus primus terminus xx ex poteftate p — 1 oritur; ubi perinde acífi feriem ab & — o inchoare velimus, praefigi de- bet terminus ox. Pro hac autem ferie oftendimus fupra esse q — ip - p',unde hujus feriei fumma ex ferie pri- ma p fequenti modo elici poterit. $$o. Cum fit P — r--r-óázr-..--px"-- pz" '!.-c-etc. eub Px-coiusatüxel m REESE. PERZDLD quae pofterior feries a priori fubtracta relinquit Pup -rI--2»zX-1-. o. 2 cb n —p)to "25m Quue cum hr'p — p — 99, GE : P(1—x)—1: 7:0; ficque innotescit hujus seriei fümma, cum Ue Cuees - L—. Modo ante autem vidimus essep - ... : /X —2x — 3 xx Y —2x —3xx)p ficque habebimus ges EC. zr $:- 8r. Procedamus ad feriem R,'quae ita fe habebat: R — x'-- ax 4-102 GT .3. diss d erditc ter pt qan cujus primus terminus x' ex poteftate n — 2 eft ortus, unde praefixi concipiendi funt bini termini ox -- ox, ad cujas fummam inveniendam notetur esse r — q' c4 Sg Hinc si fequentes operationes infüitaantur : Q ra 4-0... qE 14 GE etc. exa miss IGI. UA Volet? — ee, —Bacmm—Hdme— p elc 3x9 ESIEIEEprt c inde conjunctim fiet : Q (r— x)— Pxx -—(q —-——p)x""— RR. $. $7. Hoc igitur modo fummam RH dcterminavimus per binas feries praecedentes O et P, quae cum jam fint cognitae, etiam fümmam feriei R. algebraice per ceitam fom- lorem ipfius x expressam fuus adepti. quàe quomodo commode evolvi queat, deinceps oftendemus. $. 83- [RETERCUET GER ros Guecomcum E DRE $. 83. Pro ferie S, quae ita erat propofita: n3-3 14-4. S—x5.4Àx--1s€X 58 29 UA RE QNI a ptt as etc, €l tres termini evanescentes praefigi funt censendi, fcilicet 032 --cax' or, fiquidem a poteftate n — o incipere veli- mus. Supra autem invenimus esse s— f'— r — q, unde fe- quentes operationes instituamus: REEEBI 153-5. . o. era"? qax 4-etc. — BP MEME — CoeUUEAQU UI Lt y. eypt*eG — Qxr-—2z'— 2x— ó qe . e . L . P —qx'*?.— etc. Ee tribus serieb:s collectis oritar haec series: qbus qo ages 1 ORE | quae eft ipfa feries S. — Quocirca fumma hujus feriei per binas praecedentes O et R ita determinatur ut fit S— R (1 — xj — QOaxx, cujus evolutio etian. fatis. Hadieh ter Rep: poterit , uti mox. ostendetur: $. 84. Eodem modo feries "T per binas: praecedentes R et S definietur hoc modo : D TPAT PME BT tert au etc. EE 2 5 20m OU A sims i ebcus BNEEL a eox o —LowUL- un V QU cube tt etc. Cum igitur $/— s —r — t, hae tres feries collectae dabunt: S(r—x)— Rxr— x'-- . . . -prtx"**-- etc. quae cum fit ipsa feries T , erit T — S(1—x)— xx. $. $5. Hinc igitur.manifeftum.eft fingulas harum ferierum fatis fimpliciter per binas praecedentes determinari posse, atque adeo per legem penitus unilormem. Eas conjunctim ob oculos Nova Aíta Acad. Imp. Scient. Tom. XIV O pona- — [1060 MÀ ponamus: | . Qt s R —OQ(1—2)— Pxx — R(r1—x)— Oxx T—s (i2) Rxx U-zT(1:—2)— Sxx elici unde patet ommnes has fümmas fecundum feriem recurren- tem procedere , cujus fcala relationis eft (1 —x,,— xx. Ve- run mox patebit, hanc feriem adeo esse geometriicam. $. $6. Ad hoc ostendendum, cum facta evolatione fit xem e CU e vocemus brevitatis gratia MEER v», ut habeamus Q — Pv; inde autem. fablata irrationalitate, cum fit y 1—2x—53Xrx-—-ri—r—2*v, orietur haec aequatio: (1x) — 4xx —(1i—2x)-—a4v(1i—x)— 4v, quae reducitar ad iftam: v(t — x)— xx — vv, quod probe notasse juvabit. $. 87. Jam pro ferie R, si loco Q hunc valorem Pv fubftituaamus, orietur haec aequatio: RPUP —x) — xx, ideoque per relationem modo notatam R — Prv. Si jam porro loco Q et R valores inventos fcri- bamus, nanciscemur simili modo: S — Pv»(v(1—x)—xx) — P» "To Po»(n(£-53) -—-4- 2052 PN U —Pv(v(-—x)—axx) —Pv Z-—Pw-(v(i-—x)—xx) —Pv* : -— $. 88. — $. $8. Ouod fi jam has determinationes ad formulas integrales, quas pro litteris p, q,r, etc. invenimus, transfera- mus, quoniam invenimus z — £/0Qp cos 1 Q (x — 2 cos D)", si exponent n faccessive valores tribuamus o, 1,2,5, 4 etc. quia feries Z a poteftate x^ inchoare eft censenda, for. mula differentialis 0p cos A per hanc feriem geometricam multiplicari debebit: (1-2 cos Q)'x^-- (1-- 2 we x 4- (x4- 2 cos Dy x^? ^ etc. cujas fumma eft ————— — —. ., qua ergo in calculum 1—3X 20050 - introducta fumma quaesita Z ita exprimetur: E EON « f x^oQcosA [i ORI ; BE MES UI ome. ubi quantita deris ies adi zz c |' 4 ipd eft conftans. $. 89. . Quoniam igitur hic invenimus iftam fummam A D) lb Ep E ire y(1— 2x—3zx) E E 2 nunc hujus ipfius formulae integralis valorem adeo alge- braicum exhibere poterimus , quandoquidem nunc novimus effe. J! x^ooQcos2D | v" T7 1 —r—srcosp y(i—2z-—3ax) , existente five multiplicando per Zr. habebimus x 0DcosD — — T (2) r—z—2xcosD y(r—2x—3xx) vp O 2 $. 90. — [OS m $. 9o. Quoniam. haec integratio majori attentione di- &£na videtur, eam in commodiorem formam, transfundamus, et quoniam x et v hic ut conftantes fpectantur, ponamus lcIb, atque ob 4 zs pac. i o erit 2bx-ccr—x—yr-—2x-— 3X, quae aequatio, fuüblata irrá- tionalitate, praebet: 4 bb xx—4bx (1—2x)--(1—x) -(1— x) — 4xz, quae reducitur ad banc: bbx — b-- bx — -- x, unde i ipsa quan- litas x satis commode determinatur, cum fiat x — 4 —— —» I bbcpum ideoque 1 — x — ;7,—--, hincque porro cum esset y1—2xX-— sxrczi-x-—-2brzr, erit nunc Vi—2x—agxumoerf-P! IU URB" $. 9x. Ouod fi ergo loco quantitatis x litteram b in noftrum calculum introducamus, integratio inventa ad hanc formam reducetur fimpliciorem: fs 9p cos^ D H bud hse dps 15b cob pae -mP I m cujus veritas ex calculis hactenus expeditis eft deducta; verum etiam immediate et directe demonftrari poteft ,, quo ip.o praecedentia omnia eo: magis. corroborabuntur.. $. 92. Ad hoc igitur demonftrandum inm fubfidium vocemus fatis notam integrationem, qua eft oc zo UC ^" cos Q "B. [99 yo À cos. a-t- cod Fiat nunc a — x -- bb et 8 — — 2 b et habebimus. L— (E-3- bb) cos(D -— 2b [—2 M. "EDD m. ic gy A 0S T—95b » cos .4- ob ?' quod integrale jam: evanescit posito (D — o. Posito: ergo UN S 5 aly : ew pn qt pro. altero. termino. — 7, hoc integrale evadet L5. $- 93- * — 109 — mo $03. Quoniam igitur pro Rhoftris términis integratio- E) 90b. Ime mh. PES Sx nis invenimus /——72.——5 — j23,» atque manilefto eft f 9 — 7, ideoaue Qo (r--2^ vos E. 17,2) y REIR T r—2bcsQ--bb Er hanc formam iu duas paites diftribuendo habebimas 3950. n — (15b0)f — 39. — 2b f— I- 25 co Qro? unde colligimus £s aq Dcos - Lib í I-— 926 EC UNS $. 94. Quoniam pro noftris terminis integrationis in genere eft f/0p cos iD.— o, fiquidem i fuerit numerus in- ieger, multiplicemus hanc formulam fupra et infra per X 4- bb; — 2 b cos ,. atque obtinebimus Jooacb cUm (eg ryd-6b — 2b cos Qr OQ. Haec forma jam in tres partes fecta nobis dabit (x bb) f.— 9 € cosi (D — D 9Qcosi; —o 4 b 3 cos ( À- rb ——————— —— ————— —À — — —— ——— —— I—9bcosD-r-bb.^ — 'JLt—925b cos D--bb I—26 cos 4-65 ? unde' derivamus: hanc reductionem generalem: '9O cos euo — Inmb5 ' 90 cosi aeos — 10 ———— MM — L—2b cos D bb; Dubia Eb cos Q4- bb I-—20 :Qb cos Q 4— bb ? cajus. ope: ex integralibus binis: pro angulis iQ et (1—1)0 integrale pro angulo /i-- 1) determinari poteít, unde fe- quentem: tabulam: conficere: licebit: $ T. i eus | L-- bo b cos Q. — bb (2... COMM MEME AME /" r4-6b — 265 co: 1—5 Je eem mE. Ld 55—2b eos. 6l—Ób f? diia. eo mes US IF 057295529" —80Àà "^ ad f goko4du . —— mb. I-M-bb—2bcodQ ^ i—bb f 9posAD — Tb5^ I-4-bb —2b coss | y — bb prorsus uti fupra invenimus. — Ill. m— DE INNUMERIS CURVIS ALGEBRAICIS QUARUM LONGITÜDINEM PER ARCUS HYPERBOLICOS METIRI LICET. AUCTORE NICOLAO FUSS. e Conventui exhibíta die 98. Jun. 1798. CERE Tn Tomo quinto novorum Actorum Academiae, pro anno 1787, duae reperiuntur dissertationes viri immortalis Leonardi Euleri, faper argamento plane novo et a nemine antea tractato; prior inscripta eft: De innumeris cu;vis algebraicis, quarum longitu- dinem per arcus parabolicos metiri licet; altera: De innume- ris curvis algebraicis, quarum: longitudinem per arcus ellip- ticos metiri licet. | In «calce pofterioris dissertationis auctor declarat, fe nullo adhuc: modo vel unicam faltem curvam algebraicam erüere potuisse, cujas fingulos arcus per arcus hyperbolicos metiri liceret. Si talis quaestio* inquit Eu- lerus loco citato ,,circa arcus hyperbolicos proponatur, fa- ter cogor, nullo adhuc modo. me vel .unicam faltem cur- »vam Eum eruere potuisse, cujus finguli arcus per »formulam ERA -- 7 — quae arcum fiftit Hyperbolae ae- »quilaterae. — COMME M Sin autem aequationem ge- »neralem pro Hyperbola. assumere velimus, pro qua eft M ny 14-vv, elementum arcus inde nascitur 08- 29oY HO HI ev Y ivo »quae suae formula ita eft comparata , ut omnia artificia , quae »quidem mihi detegere licuit, penitus fruftretar..— Quin ctiam calculus angalorum. hic nullo modo cum füccessa »in fubfidium vocari poteft. Neutiquam autem etiamnunc , assesverare aufim , praeter Hyperbolam nullas alias dari curvas algebraicas, quaram. longitudinem per arcus hyper- Dbolicos me!iu liceat, quemadmodum hoc de circulo audac- »iter pronunciare non dubitavi. -.$. 2. Hanc poftremam fententiam, de circulo fcilicet, Eulerus in. mediam protulerat in dissertatione , quae extat in Opusculorum. analyticorum "Tomo fecundo, íab titulo z Theoremata quaedam analytica, quorum demonftratio adhuc defideratur; eandem vero fententiam poftmodum, paullo. ante ejus obitum, retrac'avit, in dissertatione nondum ty- pis mandata: De cur» algebraicis, quarum omnes arcus per arcus circulares metiri licet; ejas autem opinionem respectu Hyperbolae, tum temporis adhuc incertam fuisse, ex alia dissertatione apparet, una cum modo memorata fimul eo- dem die Conventui academico exhibita, at nondum im- pressa, in qua Eaulerus iteram declarabat: , nullam adhuc . »inveftigare mihi licuit curvam algebraicam , cujus. rectifi- ,Cca'io cum Hyperbola conveniret. | Haud immerito: idcir- co labjanxit (Nov. Act. l'omo.V. pag. 84.) ,Hac igitur fpe- »eulatione amplissimus campus aperitur. in quo Geometrae »n0n fine infigni fructu ct Analyseos. ulterior perfectione »,claborare poterunt.'* ! $. 3. líta argumenti propositi laudatio irrita. hucus- que. fuit, nec quemque, quantam quidem mini conftat, in-. duxit ad; refolvendum, problema de inveniendis- lineis curvis alge- t — K [p algebraicis, quas per arcus hyperbolicos metiri licet. Mihi- met ipsi, dissertationem memoratam relegenti, locus citatus potentissimo fuerat ftimulo; deterrueant autem ingentes dif- ficaltates, quibus obvolu:um videbatur argumentum a tanto viro totiesque fruftra fusceptum, — Poft plura tamen tenta- mina jam ante aliquot tempus, fabfidio potissimum calculi angulorum, incideram in folutionem particularem , curvam exhibentem algebraicam, cujus longitudinem indefinitam per arcus Hyperbolae aequilaterae metir licebat. Poft hunc primum passum non difficile erat ulterius progredi et pla- res alias, adeo innumeras, curvas algebraicas invenire, ea- dem cum Hyperbola. aequilatera rectificatione gaudentes; ipsa methodus, in folvendo hoc primo problemate adhibita, eo ducebat. Solutionem vero generaliorem, non ad Hyper- bolas aequilateras reftrictam, tum temporis invenire non potueram Aliis deinceps diftractus negotiis, has disquifi- tiones feposui, et nuper demum argumentum derclictum, nec fine aliquo fuccessu, resumfi. Inter varias enim formu- las, quibus elementum arcus Hyperbolae scalenae expri- mitur, ejusmodi eligere mihi contigit, cujas ope folutionem - problematis propofiti fum.assecutus, quam ergo, uüa cam puore, ad Hypeirbolam aequilateram reftrictam, heic ex^i- bere non dubito. Ante autem aliquot curvas algebraicas - assignabo, fingalarn methodo erutas,: quarum arcus quoque per ipsam formulam f?*? y 1 -- v, de qua füpra $. x. fermo fait. exprimere licet, Reliquas autem folutiones, Hyperbolam aequilateram fpectantes, commodiori formulae fupeifiuam. Probíema. $. 4. Invenire curvam a/gebraicam, cujus finguli reus, ut arcus Hyperbolae aequilaterae , formula scf—yi-ewv exprimaitür. Nova Acta Acad. Imp. Scient. Tom. XIV. s So- c II4 Wm Soíutio. TM x L2 507 : or AN ——r* Ponatur v» - 2?, eritque 0$— dot Y 1-cz;tum vero fta- tuatur pr -iucT, qe e c füumtisque quadraiis erit m d rer se den aet qq—--z'—23y3—1x-251 quorum fumma fit pp^qq-- r-z. fee IRL curva conítruatur, cujus coordinatae orthogo- nales hut x J2RSVT. p.z Ie e 2z xaJ et yz d p^ hujus curvae elementum arcus erit L2. 08 ,———— 1802 -,——-. ó$— iu YPPo44— 7 Y1-3 3 quod, refti'nto loco z valore y v» abit in elementum notis- fimim arcus llyperbolae aequilaterae 0s — ?* y » -- vf Cruva au'en, quam assignavimus, erit algebraica , quippe cajus cooidinatae erunt: P poe dum * cA Ee 2xyz? T — 3.v3 9i * EXEC di Eid 2 : v» We VESYSU quae conci^onius per v ita expumuntur: X —pa--—ri 3: zs 3. 2m iM I, MANET S y —3yv— I 6 2vv : Corol- YIS die Corollarium. $. s. Hinc ftatim intelligitur casu z-— o fore y-—oo Bt y —-4-oc; casu vero z — oo fore y —-- oo et y —--co; variabilem z autem nunquam nega!ivam fieri posse. "lum vero fequitur applicatam y fore minimam fimulque tangen- &em curvae axi abscissaarum parallelam , ubi 22 — T, hoc eft, ubi Z Ire -501, 20925 IMeoque -— 2,1459. Idem porro quoque evevsit ubi z — co, ideoque x — oco. Casu autem z — -, ubi' x -—-— co, tangens ad axem ab- fcissaram inclinatur füb-angulo cujas tangens —— zr. Nul- lum vero datur in curva punctum, ubi tangens lineae ab- scissaram. normaliter infiftit, ideo quod fieri nequit $— co, nifi fuerit p — o, hoc eft Eos live 2 —- 1,126, quo ipso utraque coordinata fieret imaginaria. Punctum au!em characterifticum flexus contrari ibi reperietur, ubi d03.— : — 38Y84-Y61 — i : de 22 zo hgt'efinbi xy'— LIS 18 9,8452, €Igo X 26, 972. Hujas autem puncti tangens ad lineam ab:cissarum incli- natur fib angulo r2 graduum. Denique ivitium abfícissa- rum refpondet valori z — 6,496c, pro quo x —c. Hic jam figuram curvae quodammodo cognoscere licet: namque habebit duos ramos RP et RS in i- finitum excurrentes, quorum prior R P afymtota eft praeditus CD, quae cum linea abfcissarum AB angulum conftituit :« graduum In OQ applicata eft minima, in R vero puvctum fl xus contrarii, Cum vero, ob s* — vv, fingulis valeribus ipfius z duo re- spondeant valores v et — v, ex valoibus coordinatarum per v expressis manifeftum eft, infra lineam ABD daii cur- vam pqrs priori fimilem et aequalem. [ Pa Pro Problema. à 6. 6. liam assignare. curvam algebraicam, cujus fn- guli arcus , ut arcus. Hyperbolae aequilaterae , hac formula $ —f.yai--vexprimantur. solutio. 4 $045 ido Statua'ür v» — z/, eritque 0s —— — y 1--z ; tum vero 2*5 fi ponatur | 3 —. cgguasmeT Eu qi E PLGCME T H Tu A VETIKTESE Y 97) gx XH cL 3 go—ige-59 IU. m, deletis terminis fe mutuo deftruentibus reperietar famma quadratorum pp --44.4-14-z-. Si igitur curva conftruatur, cujas coordinatae orthogonas les fint 2 e hujus curvae arcus ita exprimeturt . PL — 5$ bees 2 es. My 1-2 five reftitato. vv joe z^, erit s— f? y 1 -- v'- Scholion. $. 7». Eadem methodo, qua ad has hinas folationes perveni, etiam quotquot lubuerit alias curvas. problemati fatisfaclentes elicere possem. Plus enim in hoc negoiio la- boris uem IPy o mam boris quam difficultatis eft, ut clarius patebit infra, dum methodum ipsam) non parum abíconditam, quae me ad has curvas perduxit, fusius explicabo. Nunc autem loco expres- fionis f?* y 1 -- v dliam pro arcu Hyperbolae aequilaterae adhibebo, tam folationi generali perficiendae, quam. cafibus particularibus inde derivandis magis accommodatam , intro. dacendo fcilicet angulum, quem diameter Hyper UEM cum ejus afym!ota confti:uit ^ Hoc enim modo aptissimam oriri expressionem pro elemento arcus ex f:quenti problemate patebit, | Problema. | f. 8. Jnvenire curvam. algebraicam , cujus fingulos arcus per arcus Hyperbolae aequilaterae metiri liceat. Solutio. Sit C centrum Hyperbolae aequilaterae intra afymtotas CB et CD contentae, in qua pro quolibet puncto Y voce- mus angulum DCY — OQ, lineam CY femidiametro aequa- lem — z, ita ut coordinatae fint CXXXI UOS. UE Ys ov a qr BUE igitar rectangulnm ex ctobngus factám debeat esse r confians, ponatur 122 sin2( — iL', eritque z — yz 1 L'2Q cos 2. ; hinc 0z 20 coss dade fit elementum arcus -Hy- (sin » H i perbolae: | | m roo 08 —y oz 4- ZZ a ————— x VD (sin SE Curva igitur alsebraica, quam quaerimus, ita debet esse 95 . j / coins Tab. X. Fig. Oo, pr " — $2.0 n n comn^arata, ut pofi'is abfcissa — x, applicata — y et arcu Ead, elementum arcus sit rad — (sin «(d qye cui conditioni, fequenti modo commode fatisfacere licet. Sta- tuamus pro hac curva coordinatas orthogonales (xyl4ae 4-b Es m os — y àx — cy? 4- 0g" EE WD. — -—a inG(Qa5sn3o. JUmoc yep s eritque differentiando et per (Soa dividendo: n 9x (sin : :Qy — f—sin PRU DL P. 0D — — 1— cos 2( (a cos? -- b cos 3 Oy/sinzQg - | 4- sin 2C (— acos t -- 2 b cos 3b : oO Ar — cos s (— a sin D -- b sin « d) Per notissimas autem formularum trigonometiücarum reduc- tioncs, putat sin ; cos 3 — sin (a —- C) -- 1 sin (a — 8); cos sin — Isin (a 4- B) — 1sin (a — Q5 COS . cos (9 — 2 cos (4 4- 8) 2- 2 cos (e — G5 sina sin — Icos(» — P) —1cos (a - f); manciscimur fequentes valores in compendium redactos: óx(sin 2) — —acos D -- b cos 5 D, oQ — sb cos Oy (sin 2C — — asinQ -- b sin 50D Nen man: ics — » b sin Ponatur nunc b — — Ia —F, eritque su. T2 cos 5 | (sin 2X ETE nique imde m— Q0 mÀ unde fit elementum arcus curvae quaefitae SBRIRSEU T roQ "P ^ S 2 2 Io; — yof o0 Ef ^ (sin 2TYX " uti requiritar. Curvae igitur alsebraicae, cum Hyperbola aequilatera eandem rectificationem habentis, coordinatae erunt Lp eos Q4-^ cos 3D zr -— vy sin 30 42T sin Q —r sin 30 —— — —— y siu9Q:- ubi T denotat latus quadrati, quod aequatur rectangulo conftanti ex coordinatis, bis fumto, hoc eft utrivis femiaxi aequale. Scholion I. (. 9. En ergo adepti fumus adhuc aliam curvam al- gebraicam, cujas arcus metiri licet per arcus Hyperbolae aequilaterae, haecque nova curva a binis prioribus $$ 4 et 6 inventis plane eít diversa; duabus enim afymtotis inter fe normalib:ss eft praedita, ut ipsa Hyrerbola, a qua tamem reipsa differt: Hyperbola enim prodiret fumendo T co p Ate sre j So— Vd et Jte 20^ x Scholion 2 $. ro. Nunc autem perfpicuum eft, eodem quo hic ufi faümus modo, etiam alias, adeo innumeras, hujasmodi cur- vas inveniri posse. Si enim curvae algebraicae coordinatae ftatuantur y— a co: B -- b cos30 5 eco 1: y sin od Lus —u sinQ 4 ^ sm 30 icsnuj3 NOR v sin Z0 SAO diferentíando pio Ox et 2y ejusmodi prodibunt valores, ex quibus fa.ile eiit angulos (p et 5p e medio tollere, iia ot lane a y 00 m tantum füperfint sin 9D et cos 90, quorum quadratoram fumma cum fit unitati aequalis, elementum arcus curvae roQq (sin 20 * coordiratarum expressiones fictas introductae per conftantem I prodibunt expressae. ldem eveniet fi pro curva ftatuatur: q —— £959 --b cos 30 3- c cos 10 -- d cos 11.0 - v smod —— —asin (D a- b sin 30--c sin $b-- d simrób. UE v smod 2 et ita; porro. Omnes hos casus diveifos fequenti problemate generali complectar. quaefitae erit 05 — et coédfficientes g, b, c in Problema. $. rr. Jnvenire. innumeras curvas algebraicas, quarum fingulos arcus per arcus Hyperbolae aequilaterae metiri liceat. Solutio. Pro curvis algebraicis quaefitis; eandem cum Hyperbola a^quilatera rectificationem habentibus, ftataamus coordinatas oithogonales: i-— a. cos (D -- b cos 30D 2- c cos 1D 4- d cos 11 D 4- e'c. —— —.a sin Q. b sin 3c sin 10 2- d sin 11b 4- etc. M NYC Sm à 3 famiisque differenualibus, fi per i — dividamus, nan- Ssln 2ipjs s ciscemur x(sin 20); ——— ET ere pompe sin 5 O -- 1c sin 2b -- 11d sin Y1 b 4- e!c. — €os QD ia cos(D. b cos 3D. --. c cos 1p -- d cos 110 Bier oy sim S OD TM. . c -a-sinoi-aco: (D -4-3b eos 5D -- 1c cos 2b. 4- 11d cos EQ —— efc. $5 15729(.- 99. r b sin 3 -r c sin 1 4-d sin x1 Q 2 elc. Evol- me-——A IO —À D Evolvendo igitur, et in fubfidium vocando reductiones formu- larum trgonometricarum jam fupra $. 4. usurpatas, prodibit: 2 ox (sin2 qi ——ÀÀ oQ — a cos D -41-.a cos 3p -i- 3b cos 5D -- 1c cos 9D -Err d cos 13 4t- etc. —3 b cos — 7c cos 50 — 11d cos 9 — 15e cos 15 Q— atc. — a cos — a cos 3p — b cos $D*— c cos 9 — d cos y3( ——- efc. — b. cos (D — eco; 5 — d cos 9p ,— e cos 13 — elc. 29y (sin 2p)? o — a sin Q — a sin 3D -— 3b sin $00 -- 1e siu9 0b -- I1d siu x30 2 elc. —53b'sinQ — 1c sin 5 — 11d sin9D — 15e sin 130 — etc. — a sin -- asin 3 — b siv 5 — c sn9o — d. sin13. — ec. —/b sid —.6 sin 5 —d sm9b —e sin x Q — ctc. Hinc autem, collectis terminis homologis, per binarium dividendo assequimur: 0 x(sin 20p)2 du in AIT — a cos D A- b eos $ b -1- 5e cos 9 1 sd cos 30--1e cos 17 (b --. efc.^ ] — 2b cos(p — 4c cos 5D — 6d cos 9b — 8e cos13 00 — 10; cos y1D — elc. 5 O$y:(sin2Q» ^". od Bs € —a sin —- b sin 5b --3csinotp a- 5d sin 130 —— 1e sin 1; 6 ud *evH sin —4csin$D—6d sin 9o —8esin 13 — 10j sin 11 D — erc. unde quotquot lubuerit curvas diversas problemati propo- fito fatisfacientes eruere licet, prout [ícilicet vel 3c, vel 5d, vel ;e, vel 9f, etc. pro ultimo coéfficiente fumatur, ipfique P aequalis ponatur, termini vero hunc ultimum prae- cedentes ad nihilum redigantur, quo ipso priores coéfficien- ies determinabuntur, et resultabunt coordinatae curvarum algebraicarum, quarum arcus, aeque. ac arcus Hyperbolae aequilaterae, formula f. PR (simaQg ^P. Nova Acta Acad. Imp. Scient. Tom. XIV. JE 10] Corol- exprimentur, ! I22 Wmem——— Corollarium r. $. ra, lta fi fuerit c ultimus coéfficiens , ita ut fit Quo. org 0B pulo cj bmi, habebimus : Dic LO COP (sin 20)2 53 & T 90 sinoQ. EC uL uU rao. (sin 2 jà cujus coordinatae funt ideoque 905 — elementum curvae algebraicae, qo Im— —8T6eQ--4T co30 3T co 10 3Vsin2Q m a 8T sin -- 4T sin39--rsatco:; y -— tortrI vaPIPOe e mene Corollarium 2». $. 13. Simili modo, fi fuerit d. ultimus coéíficiens, ita ute --o;]f 55 g5-0; c6. Dimid d-— ru. 742 I5; gaclz— €, habebimus: 5 j ; TO90cos130. P eT RODEO 3y5 i 190. sin 150. 1o (sin eds 1 ; roc adeoque 05 — pro elemento arcus curvae. alge- (sin 2) "' braicae, cujus coordinatae funt q L—— 16T s 8Tc30--2T c0 --T ces 110 5y sim 2 (0 zr gos IPFI nO. : X — NGEEET 3 5ysmuq : Scho- — [0 Scholion. .&. x4. Hoc igitur modo quotquot lubuerit curvas al- gebraicas, cum Hyperbola aequilatera eadem rectificatione gaudentes, ex noftra folutione generali, fine ulla difficultate 'denvare licet. Quod fi autem nunc problema ad Hyper- bolas fcalenas extendere et ejusmodi curvas algebraicas quaerere velimus, quae cum Hyperbola qualibet obliquan- gula eandem rectficationem habeant; ante omnia convenit ex numero formularum, quibus elementum. arcus Hyperbo- lae indefiniti exprimitur, eam fÍcligere, quae prae ceteris ad hunc scopum eít accommodata. Poft varia autem tenta- mina, hunc in finem infüitata, deprehendi, formulam ex am- plitadine arcus Hyperbolici deductam maxime ad hoc esse idoneam, cui ergo folatio fequentis problematis innititur. Problema. $. rs. Invenire innumeras curvas - algebraicas, quarum fingulos arcus per arcus hyperbolicos metiri licet. | S5olgtio. s Sint a et 6 femiaxes Hyperbolae, tujus centrum in C, Lu um veiex in A, pofitisque coordinatis CX — X, XY — Y, ert aequatio Y — I V XX — aa. | Vocetur arcus AY — S, ductaque Normali YN fit amplitudo arcus AY, hoc eft an- gulus AN Y — o, ita ut fit oX — oS sino et dY —o8Sc0oso; EUeboY--Ebk..-xox Ew EI rs a WXX 4T fit cot o 0 Y XX — 0a Cum igitur fit oS — OXYias 4 bb; XX —a4 0YX.-aa ; cru [ ob X — —**? .— , fiet hoc elementum »* 1/68 col Q9? — bb j TM bb OS xc ie sgg. sin 3 (88 cel o — bb)? Q.2 quod 124 quod etiam ita repraesentari poteft: ELA aa 55 30 i 38:05. - 22. Pb ens 2c) p 2 Hinc fi brevitatis papi ponatur aa bb ce cal hc bb (mi: rcf caers es elementam arcus hypeibolici ita concinne per amplitudi- nem prodit expressum: oS — — ^ s (0-- co; Qt 2 atqae haec eft formala solationi noftri problematis prae ce- teris accommodata. ,9^ . Statuantur nunc coordinatae curvae algebraicae quaefitae : que À ces à) .— B cos 3t) -— € c8 5c — Dcos 10 eic. TE Y e-- cos 20 —— 0 sing bsimso -—csin $o-r- d simo ec. X anm Ye t cos 20 - et quo differentiatio commodius inftitui queat, notetur esse in genere: à Cog At. ——L 1 ' ve renD —— 2 4 (7e sinAe — e T) sin (dit 2) o—(E ) sin(A — 1)4) (8 4- cos 2 )2 Q. up cen 3 Q.£cosAao -( à) cos (A- 2)94- 1) Cos (AÀ—2) «). (6 4- ces o c 2 ! Harum fornularum subsidio pou 2 Ox (2 - cos 2 9) — — PI — Aesino — Bo sin 30 — 5Cosin 5o — 1Desin Tu — elc.» WARD — Bsin$«—2C€ siu 1o — elc. 9gBsino-—30Csm 30 -——40Dsin5o—5Esin 1o —eic. Exe 125. mm—d d | amu. 0y(2z4-cos29)? - Qu $ -- 48 cos à -- 3 be cosa TU eiie t] -- Q Cos (Q -- b cos $e -4-9c cos 7. 4- elc ( 9b cos Q -4- 3 c. c0$ 3. -4— 4 G cos $ 0 RUE. ic cant a ünde porro quotquot lubaerit curvàs algebraicas problemati fatisfacientes derivare poterimus, prout neinpe vel C et c, vel D et d, vel E et e, vel F et f, et ita porro, pro ultimis co*fficientibus assumantur, termiai vero ultimum praecedentes ad nihilum redigantur , quo ipso species Hyperbolae eandem cum carva algebraica rectificationem habentis, fimulque co&ffi- cientes priores determinabuntur, acelicientuür coordinatae, verae po fictis, curvarum algebraicarum ,; quarum arcus, aeque ac arcus Hyperbolae , formula illa f—^29.—, exprimentur. Ubi (8 4- cos 2 Em adhuc pro natura Hyperbolae notasse juvabit fore "tang BCE —A crt. s Corollarium. f. 16. Sint C et c ultimi coéfficientes, hoc eft Eu o Bo beoe Pix EOA OP Ua polos ia at habeamus pro hoc casu: $3 j ór(z4-cos 2)", n óc — uccAP sine —3Besin 3.— 5$ Cosin 5o Ed ) jt A sino — Bsin5o-—2Csin7uo : | —0B sino. —. 5C sin 3e : ; 3 oy (2--cos2op . Qo Eu cosa»3-35ecos 3o -- 5 ce cos 5 6» ' 4- a ceso 4- b cos $0. -1- 2c co 10» -- 2b cos o -- 3c ces 3 Hinc c—— 1:26 c— Hinc autem sequentes consequimur «conditiones pro determi- nandis coéfficientibus : I. 2C—— 4; DINE. IL 5Ce4- B—6; 2.5cg-t8 —— om IIl. 3B? -- 3C—9; $* 3bed-56-— 5; IV. A( —2) —2B--0o; 4. a(1 e) 4- 20 — o. Ex Let. 1 fit C——5$ et c 4. Exillets fit B — E et b——2 Ex Tbet2ditesec puel pou y25 Ex IV et 4 fit A — et quibm: UE. e.(ax ue e(X-d- e) His ita definitis erit CRT Ap o sino A00 Cos 113 Qx — teer met 0y E (ed- ceso 2 (64- cos.2t9) 2 coordinatae ipsae autem erunt ees 2 A cost d- ^ (EI—90) cos 309 — A e(r—e) cos5a 2e11—6) Ye-r-cos Ou — 0A sint—A! I- 0) 3t0-4- ^p'r o e) sin 5o EU Tak — — — ——— d 2 e(1 4-6) 0) Y t cos 9 o exiflente (E er angulo BCE 315, 4s/^, vel etiam BCE — 5s85,175/. "Ceterum coordinatas curvae quaesitae eliam sequenti modo exprimere licet. Cum fiat: Ex I ct 1: C ——2 t 2-25 Ex IE et 2: B—-jiAeget b —246; Ex lll et 3: £7 et g—.- 5A s ^e 1. 35? Bx IVebpa4s A c?58ebpa ct : A Aue inde exoritur —— 10 A e sino 5A e (1—0) sin39 — A (Y—0) ces 50 - zd ! 2I—0)Y37co20 aM e I0 Aesinu— 5 A e(I2-0) sin 300-- A (IH- 0) sin $9 Jr e) Y ed 6520 quae a—— qol m quae autem, obe — 7, a praecedentibus plane non dif- ferunt, | Corollarium 2o. f. us Sint D et d ultimi coéfficientes, hoc est E—e.-—o;PF-fo;G-g-io; et ita de reliquis, unde labebimus: | 0x (2 -- cos-2o)à- Qo xe — Aesino—3Bésin3So —5Cesingo—T1Desin'to j rima — B sin $09 —2€C€ sin 19 —3D sin9ov — B sin 9 —3€ sin 39 — 4D sin 50 dy (e cos 29) Qo — -E ap ces Q--3 0c05 30 --5 Ce cos $0) -H- 180 cos Tay : gus -4- b cos 5 -- 2€ C05 100-4- 3d cos 90 t 2b cos Q-4- 3c tos uid conditiones autem problematis,, unde coéffcientes determi- nantur , funt. | | L 3D-——4; Y: 48 —4A lH Dacc00;404 24 de-2c—: 9 Ill. 5 Ce-- Bc 4D79; 9. 5€2 2u- b--4d — 05 IV. 3B2--3C —03- 4-3 bg--3c— 0; — V. A(x—g)—2Bz-o; s. a(1-- e) -2b— o. ES Pei ftD-z—; od---1 Ex ll et 2 -- C— - 74g et c— — : ExIV et 4 -- B——1IA et b —-—i. Ex lllet'5 -- e — É et e — y i. Ex V-epecu A c—— I9 UNA Ex V et5 -- À saca L0 —— ara Ag. A. His His ita definitis exit — | i A 9t sin 9o A^ 20 C05 90 uus Qg — APesh$e qu yy LL Ajacis (e 4- cos 9. 3 r (g4a- cos 2090)2 ideoque 95 — ze 3. Coordinatae autem ipsius curvae (E -- coso oa i ( quaefitae erunt E ern I4 À cest —7 A (1—26) cos 3903-1 A e (1— 0) Ce $07 2 A (I—0)Cos T 611—60)Yg-i-coQo ^ | b ome 352 A sin Q--7 A (I3-9)sim in 3x0 — 1 Aeg(I--8)sin5mo--2A|I-0)sin 7] 6 (I2-8)Y En Zo Pro Hyperbola autem, ob — y sent ER bCE-65^, 26, vel euam" B Era Si^ Corollarium s. $. 18. Sint E et e ultimi coéfficientes, eruntque for- mulae reducendae dtque- per. —9- —., multiplicandae se- (e cos $0)3 quentes: Pro 9x — Aeino—5Besin3o —5Cpsinso—'TDesin? o—9Eesin90 ; J- À sinu —'B sin50 —20C€ sin 10 — 3D :$in90 abire —2Bsmno-— 3C sin 30 — 4D sim 5t —SEsin70o à s. Pro Oy um diac Hee bet 4-560605 $09--1d9cos7 (9-H-9 epcos go ! 4d- acoso -- b cos 5«Q 4— 9€ cos 10 -4- 3d cos 9090 4-4 e eos II O : E 2b cos op-i- 3c cos3Q -- 4d cos 5o 4- 5ecos$ qo ex quibus sequentes fluunt determinationes: EE UMNe AN z : ER A SACS. 4 JT: 1- z 1 1 DB d —-- 35e 4 , ; EI - Am (Qu —— XU EIEDSAS '"( — 84e —3A seit La - RacdS ]3)— ?LAd BE , b — OI A6b3-5^ c —"b^o-- NOST 74 A L—UA^e—5A — S9LA—5A4. 4er e Ou A CABE RAS exiftente mu— 129 * : ; d X | )0 : 1 — rA vs US exiftente e — ys (1: E), hoceft e—0, 7651, vel.etiam e — 0,2852. Tum autem erit. ? -Ls. Agusin HO EPA eee. A Qu cosftu (84-6052 0)2 ; (8 24- cos C 03)2 : hincque, uti requiritur, Os — E coordinatae vero (e 60$ 202 curvae quaefitae funt: y — A cos H- B cos 39 -- C cos$ $c -- D cos 10 Nu Y e-4- cos Qo ey ——- asino bsn3u-e. sin 50 4- d sin 1a JOE Y g3- cos 2o " et pro Hyperbola eandem rectificationem habente vel an- gulus BCE — 69'*, 57^, vel BCE — 55^, 17/, vel etiam an- gulus BC E complementis borum angulorum aequalis. Corollarium 4. .$ 19. Applicemus noftram solutionem generalem quo- que ad Hyperbolam aequilateram, quod fit ponendo b — a .et angulum BCE — 45^; tum autem fit subnormalis XN--CXC--X, ideoque angulus XNY — XCY, hoc eft. 0 — 45. — Q; tum vero £— 0 et A — a— TI, unde fit. ele- mentum Hyperbolae 90S — ck e ut supra. Pro curvis au- (5125)2 lem eadem rectificatione gaudentibus ex $ 15 fiet: x (sin 2 n eq - INTO C 4- A sin (459 — 0$) |o— Basin (005€ — $ b) — 9C sin (31:0 — 2D) — elc. ? & — 2B sin (459 0) — 3C iin (1350—3 Q) — 4D iin (2259— 50 )—5 E sin (3*— 10) — etc. Nova Acta Acad. Imp. Seient. T om. XIV. | p s Ó 2 — arn € 4r a cor (459 — Q)) -- b cos (2950 — - $b)4- 2c €os (3159 — D) 4. elc. (A 9b cos(459 — (D) 4- c co:(1559—30D )-—- 4 d cos (gg 59 — Spi: Se cos NC. 15) -F- eie. 5 ipsae vero coordinatae erunt " qyL—As5 (450—03-B cos (1359—830) -F € eos (0050 — 5$ D) -— etc Y sind y c I i fiel & sin (450—045 sin ( (X359—3 QY-4- c cos C25» — 5Q)-4 elc. Oa sin 2q ubi coéfficientes determinabuntur ex conditione quod fieri debeat SESS O, doy 2c RUnQ n Gud Scholion. $. 2o. Primo intuitu videri posset, hanc solutionem curvas praebere ab iis, quas prima solutio, $ 11 data, com- plectitur, plane v diubnid ideo quod in ilia anguli Q mul- tipla 5D,99,150 . . . (4n 1), non occurrunt, Verum hic ifta multipla E ex calculo egrediuntur, idque ob jpsam problematis proprietatem primariam, qua her debet digo EP —99 .. Nift enim co&ífücientes terminorum multpla: (sin 9d)2 («n 2- 1) complectentium, in expressionibus fictis coordina- iarum, nihilo aequales ftatuantur, differenualia 0» et 0 y nunquam ad unicum terminum reduci possunt, neque ele- mentum arcus os ad "formam propofitam E redigitur, E r (sin 290 )2 "e Em 0.4. L5; Ponantur igitur codcm | C. £5 &: DA T eic. nibilo i31 nihilo aequales, reliquorum vero fint D et d ultimi, fieri: que debebit: D—-; d —-; B ——4D---ír b —--4d—ír À-mEB---:bgjac-sb—--ir quibus ita determinatis erit ox -—— F9Qsin(40;? —ec 2) (sine Qus —— P230 eo: (4059 —931 Qy — L29e cor - oh (sino QS adeoque 20; — -739., ipsaeque cooidinatae erunt: (singg ; qp 8I 66:04659— 0) -- 4T eos (1350—3 (b) —T eos (3159—7 Q) And 3 y sin 2 —— &P sin(450— QD) — 4 T smQ1$59 —3 Q) -- P sin (3159 — 7 D) LE 3Y sin20 quae curva ab illa, quam supra $ 12 invenimus , non ali- ter differt, nifü quod axis et initium abscissarum fint. mu- tati, id ined etiam de omnibus reliquis curvis, in noftro corollado quarto contentis, eft tenendum. . Scholion 2a. $. 21. Supereft ut promissum solvam et methodum breviter exponam, quae mihi ad binas folutiones initio f 4 et 6 prolatas, viam [ítravit. Hanc quidem methodum, poft inventam folutionem $ 15 exhibitam non ulterius fum pro- fecutus, quoniam non fatis commode «curvas praebere vide- batur cum Hyperbolis scalenis, quoad rectificationem, com- parabiles. . Cum autem expressiones pro coordinatis curvas . Bia rum & rum problemati, Hyperbolam aequilateram spectanti. satis- facientium, $ 4 et 6 exhibitae, fingularis fint indolis et for-. mae, mihi persuasum eft, neminem fore lectorum, qui non cupiat fcire, quonam modo, quibusque .ratiociniis ad has folutiones pervenerim. Expositio methodi qua. binas solutiones $.4 et 6 datas consecutus sum. $22. Sumtis abscissis CV super asymtota CD, a centro. C, applicatis vero VY alteri asymtotae CB paral- lelis, conftat esse CV. VY - AE — * - ", ponamus au- tem &E — 1 et angulum BCD —»; tum vero fit CV -—u; VXccn CX N. XY V.erntgne: uw, V X cranes XYc-cvsinv, hincque coordinatae orthogonales erunt X — É-rEvcosv et Y— v siu earumque difterentialia. QX — — ??—-0r eosv et 0 Y — Ov sinv unde porro fit elementum arcus. Hypeibolae. : Qu ; QS -——-——Vx—-epscogv-l- m - "UD &. 25." Statuatur nunc. vp — z", ut elementum: modo ^ inventum. in hanc fíormam. abeat nofiro infiituto: magis ac- commodatam : : k "noz - QS zc ——uML—-2z- co&s-L x" ra atque. evidens eft, fi pro curvis quaefitis fiatnantur oooidi- narae 4 ow. omoV n ANM ENS SR E Katáe orthogonales ? '7) o occafu pox immu qeoz we xij. et y — a 25i $c elementum arcus quoque fore GE E. : * Qs—z 25s Y — az" cosy -p 22" BEN dummodo. p et q' ita accipiantur, ut fiat pp. qq — L—-272*" cosy -L-22* tum. vero, curvas femper fore algcebraicas, quicunque nume- rus integer pro m capiatur, dummodo fuerit impar. f. 24. Pro inveltigandis autem. valoribus p et q, no- tetur formulam x —27'cosv--z?" habere n factores dupli- ces, seu trinomiales, formae 1—27 Cog 2T -- 2z, quorum quemlibet in duo quadrata (z — cos DU lee (sin? er. ideoque etiam in duos factores fimplices; z — cos T sins y y UR D i m Cos UT —. c 8n2tT E» Lir : i n. resclvere licet. 1ta fi angulos in his factoribus occurrentes hoc modo gefignemus: * —2; cpi etuecy s tr L—e £L mg Mtl ST c $;elc. factores erunt: 22,— 27 COS 4-- 1 —(z —cosa4-sina; y —x) (z— cos. —sina y — 1) XL — 24.COS 8 I EE TU cos.B a- sin 8 Y — 1) (z — cos 8 —sin(v ri) Zz— 2084-1 — (z —cosyy-i- sin y y, — 1) (z—cosy— siny y —:) etc. ; etc. quorum factora m Bmplicium fi anteriores et posteriores ki f: orum i am i34 orfim in fe invicem ducantur, tum vero cujusque producti t pars realis vocetur P; imaginaria vero qy/ — 1, fiet I-—— 22"cCosy 4- $7 * (po qy —i tps quo pptqq exiftente i Es. p-—z£—-Az—-4-Bz*— Cz ?2--Dz'-* — etc. q-92t:— $Sw- -L82 .7— Oz *t-setc. ubi scilicet À eft summa cosinuum angulorum a, , y, 5, ete. 9| vero. summa finuam; DB fumma cosinuum et 25 summa: si- nuum summae ex binis; C summa cosinuum et € summa sinuum summae ex, ternis; et. ita porro. Evolutio casus quo Y» —-— 9o" et n — 3. 25. Hic igitur elementum arcus Myperbolae eiit : 35 Quir ecu Ne --z', ubi quantitas r --z', tres tantum ha- m cen ' bet factores trinomiales, pro quibus anguli erunt: aL i99 da EscoR Su Y ci 99. unde porro nanciscimur sequentes valores: AÀ —— cos 4 -- C08 B.-1- COS-y ——' 05 9| .—— sin a —- Sin 2 a- sin y — 1; B — cos (a 4- 8) — cos(a -e- y) 4- eos (8 - y) — — £5 $5 — sin (a —- 8) 4 sin (a a y) e sin (£ -- y) — e 935 C — cos (a 4- BELT € zcsin(a-- g 4 y)—-—£& Hine m——— 155 me Hinc p MERE fore p-—s9—izm D MESEU zYT ) e q— EA. 2^ ji ipfi valores, quos supra $4 his literis tubuimus, et ex: quibus coordanaRee curvde derivavims, cujís arcus eadem formula 0s — 2s :Y3--z exprimuntur. 2 j y Potuissemus etiam sumere $Tz-99; tam enim pro p et q prodiissent valores q £D —1 unde quoque fit pp-1-qq —.t 4-25, et curva problemati satisfackens resultat, cujus coordinatae ita se habent: RUN. 3 a Sv. v $c £y6n-- Gd: e STRE S3 Ed c d yz üYsx -— yu quarum ope curvae puncta praecipua facile determinar possunt. Evolutio casus quo weno eb nes. $. 26, Hic igitur elementum arcus Hyperbolae aequi- latejae eri 08 — br jV ai i z^, ubi igitur quantitas post gnum. xadicale donde habebit factores trnomiales, pro p. 2 muibuE —— 136 m— quibus Fingue anguli erunt COPPIREG e qc-——185102905 2255430 NS e ISO co&fficientes vero in expressiones pro p et g introducti hoc casu erunt X fequentes À —— C08 a 4- COS D -- COS^y -t- C0SÓ 4- cos € hoc efti: lA. ——6 2| — sina 4- sin B —- sin'y -3- Sin 5 -- sint hoc eft: Ib 3 B — cos (a. 8) -- cos (ay) 2- eos (a -- 5) 4- cos (a4- c) -- COS (B 4- y) -- cos (8 2- 9) a- cos (8 2- e) -t- COS ("y 2 6) --. cos (y. -i- €) - cos (S - e) hoc eft: III B — cos 52* — cos $6" L Yl pied e 95 — sin (a4- (9) 4- sin (ccu sin (a2-3)-- sin (a4- 2) - sin (B 4- y) — sin (8 4- 3) ^- sin (8 ^ c) 4- sin (*y 4- 9) —- sin (y 7m €) — zin (8 4- e) hoc eft: — * 6? LY ENDE pyu-fy IV G — sin 32* -- sin 5 ——— d : sos C — cos (a4 B-- y) 7 RUNE COS (a - ( -- c) -- COS (a-4- y 4- 8) 4- cos (a 2- y 4- €) 9- cos (22-52-t) 4- COS (G.-- ny 3- 5) à- cos (B y -- e) À- cos (£-- 02 e) 4- €0S (^y -- à 4- c) | hoc eft: hoc eft V (C —-—cos18 — cos 54-2 — 130 *2Y5 — Nux PERZESUA: ^ ? e — sin (af --y) A- sin (a- Q:- "m sif ipo B4-:) 4- sin (2--*y4- 0) 4- sin (a -- y a- :) - sin (a3 4- c) -- sin (f a- y a- 3) a- BALA E Ra sin (84-04-c) Sin (»y 4-9 -- €) 4d eft: VI € —sin 18" — sin 54? EYE leuc ds D — cos (a 4- 8 PME LAS - cos (a -- B -- y a- €) -- Cos (a. -.(8.-- 0 €) a- cos (a e sy 4-8 2- c) 4 C05 (B -i- y a- 4- c) àd eft: VII D — — cos 56? —— re &) — sin («-- B -- y 4- 8) - sin (a 4- B a- y a 8) 4- sin (2 3- B c 9 —- €) -- sin (a -- y a 0 4- c) -- sin (B a- y a- 9 2e c) : àd efi: VIHU $9 EE Cen 56 — Y 10 - Ys E — cos [a «- a-ngy 4-0 4- e Neva Acta Acad. Imp. Scieut. "Tom. XI F. S hoc eft: adl 138 d 4 hoc eft i IX loce Cos 54 VECES E Ty Giu sin-(z -- Q y à 2-6): | | hoc. eft: X &-— sunu cce5 ot His aatem valoribus subftitutis pro p'et q illi ipfi valores emergunt, quos supra $6 liis litteris tribuimus. me .I $0 mu DÉMONSTRATIONS | DE QUELQUES THEORÉMES DE GEOMETRIE PAR NICOLAS EUSS. Préfenté le 4: Juillet 1799. I1 y a déjà plusieurs années qu'un jeune Francois, employé alors au Corps Zmpérial des Cadets de 'l'erre, me parla . qun 'Lhéoréme. de Géométre qui, dans le tems qu'il étoit " encore à Paxis à lFEcole Royale militaire, avoit eu, quelque célébrité et qu'on avoit prétendu tenir. de fea: Mr. d'Alem- bert. Je lui en donnai une démonftration, dont j'ai retrou- vé depuis peu le brouillon en fouillant mes papiers. En relisant cette démonftration j'ai vu que la belle propriété qui en fait le sujet, peut conduire à d'autres non moins re- » marquables. En rassemblant mes idées sur cette matiere il .en eft résulté le petit Mémoire que j'ai l'honneur de présen- ter ici à l'Académie pour la collection des Mémoires traduits en Russe, qu'elle se propose de publier, ou bien pour les Áctes mémes, fi elle le juge digne de cet honneur 1l y fera sans doute plaisir.à: plus d'un amateur de la. Géometrie, ct peutétre méme à quelque GCéométre de profession. 4 S25 Lemme r. mue — p.407 c———m— ml be oido Tab pg, — Les Ürols cátés d'un triangle. ABC. étant prolongés jusqu'en; Fig. X. D. E,F, demaniere qu& A4D.BE.CF-— AF. BD.( Ey les trois points. D , £, F seront dans. une. ligne droite. Démonstration. Tirons les lignes FE et DF, . et quelque soit angle: qu'elles comprennent, -si- nous. nommons langle AED — e- ei langle AE E — 8, nous savons que sina: sin D — AD: :: AF: snD: snE-—BE: BD sini uu pese cB d'oà lon tire: en: composant: "Ssna: snB-uD.BE. CF: AF. BD. CE Mais.il y.a en vertu du. Lemme. AD.BE.€E.— AEK.BD. CE. - d'ol.il suit. que sin:g.— sin a, donc 8 — r8o^—a et partant: DEFE une ligne dioite.. Théoreéme' r. Tw JL Si dés trois anglés 44; B, C d'un trianglé pour centre: om; , Pi X décrit, avec des rayons dif/érens, trois cercles, en lés- enfermant, deux-à-dewr, entre. leurs tangentes, ies: points: d'intersection: E, D, F' de ces trois paires de tan-- ge.tes - seront^ situés dáns- une méme ligne: droite: C'e& le "Tocoiéme dont jai pardé dans lintroduction $':. Démon- meme QIUT et Démonstration Sovent a,b,c les rayons des trois cercles ayant lears eenücs en A,.D, C, et il eft clair. que ABENBD — w-b BELCGRE-b5zc BEECAE-— cf d'oh lon tire en composant AD.BE.CF:BD.CE.AFzaz:az e'eft-à - dire que j | AD.BE.CF-cAF.BD.CE et par conséquent, en vertu du Leurne , les points D, E,.F. seront dans une méme ligue dioite.. Théor&éme z. En concevant trois: sphéres, dont. les centres sont dans mi» It. les trois angles .4, B. C. d'un triangle, enfermées. deux Fe 5 à deux,. entre la surface, d'un. cone qui les touche, les sommets de ces trois cones seront situés dans une méme ligie. droite. ITUEIINNO CRM Un plàn. passant par les trois centres. A, B, C des sphé- xes doanées passera par les axes. et partant aussi par les - sommets. E. D,.F des cones circonscrits. Un plan touchant les trois spheres A, B, C, en a, b,c, touchera aussi les sur- faces des trois cones circo^scrits et pas:era, par conséquent, par leurs sommets E, D, EF... Aipsi les sommets E, D,.F, se trouvant. tant dans le plan passant par les centies d.s spheres que dans le plan qui Ies touche, se trouveront né- CCSSal- ——— — I4€23 0 m ut cessairement dans l'intersection de: .ce$ deux plans, par con- séquent dans.une méme ligne dioite. Scholie r. Il eft évident que la méme vérité peut aussi étre dé- montrée au moyen du Lemme. Car fi par les centres - A et B, par À et C et par B et C on congoit des plans perpendiculaires au plan A BC, et qu'on tire dans ces trois plans les.tangentes ab D,acF, cb E, et des centres sur ces tangentes les perpendiculaires Aa, Bó;- Aa, Cc; Bb; Cc, on aura - ; | .AD : BD —. Aa : Bb DIL (Eh.———BbO8 CE - AE Cc ABS d'ou l'on tire en composant AD.BE.CFE:AF.BD.CEzz-1:: par conséquent AD.BE.CF — AF.BD.CE donc E,D,F dans une méme ligne: droite. Scholie 2. "La méme propriété, sait aussi immediatement du "Théo- leme 1; "Car Supposons .que chaque paire de cercles se tourne, avec ses tangentes, autour de la ligne tirée par es centres, les cercles engendreront des spheres et lestan- gentes le cone qui les renferme. L'interscction qui en de- vient le sommet reste immuable à sa place. Donc les som- Jets des trois cones seront dans une méme ligne droite.. SCho- —— Il4j$ ee— Scholie 5. Réciproquement le premier Théoréme auroit pu étre déduit, sars. le secours du Lemme, comme corollaire , du second Théoréme, oü il eft évidemment contenu. Car la. section. des trois sphéres, faites par le plan passant par leurs centres, donne les trois cercles du Théoiéme. 1, et la section des trois cones clrconscrits, faite par le méme. plan, donne les trois peires de tangentes du 'Théoiéme rz. Aussi eft-il. trés probable que la propriété énoncée dans ce Théoréme a été découveité parla voye de cette considé- ration stéréométrique. . "Théoréeéme 3. Quatre. cercles 44, B,.C, D, dont les centres sont dans le Tab. Tt. méme plan, et les rayons de grandeur différente. étant P5. ^ enfermés deux-à-deux entre leurs tangentes, il en. ré- sultera six points d'intersection, qui seront situés dans quatre lignes droites, savoir trois-à -trois dans la méme. : Démonstration. Combinant les quatre cercles ABCD trois - à - trois, il en résulte quatre combinaisons ABC, ABD, ACD, BCD. "La premiere ABC admet derechef trois combinaisons de de deux- à-deux, savoir AB, AC, BC. En enferment ces trois paires de cercles entre leurs tangentes, il en résulte trois: intersections que nous marquerons chacune. par les deux lettres grecques correspondantes aux deux lettres la- tinées indiquant les cercles auxquels l'intersection appartient, Ces trois intersections seront «f, &'y ,. By, toutes les: trois, en vertu. du Tliéor&meii, dans la méme ligne: dioite. La | seconde 14.4. E—— seconde combinaison à trois; A BD, fournit trois combinaisons a deux AB, AD, b D; les intersections des tangentes , ren- fermant ces trois pairs de cercles, savoir 2B. g^ B3: se- ront, en vertu du Théorcme : , dans une meme. ligne droite. La troisieme combinaison ACD admet les ooo AC,AD,CD, qui donnent les intersections ary, XO S. ny A, -Si- tüées dans une méme ligne dioi e. Enfin la caiibrdalübn BCD .engendre les combinaisons BC , BD, CD, et les inter-- fections G'y, 83, y9 , placées dans une. méme ligne droite. Théorbéme 4. Quatre sphéres dont les centres sont dans un méme plan et les rayons differens, étant enfermées, deux-à-deux entre la surfíace d'un méme cone , il en résultera six dont les sommets seront situes dans quatre lignes droiies, savoir trois- à. trois dans la méme. On voit bien que ce 'Théoreme se démontre de la méme maniere que le précédent. "Théoreéme 5. Ayant n. cercles , ou n sphéres VB. CouD. Soo qui ont leurs centres dans le méme plan. si on les enferme, deux-ü-deux, les cercles entre deux tangentes, ou les sphéres entre un cone, il en résultera. ——7,7' intersections de tangentes, ou —C7—YT sommets de cone, placés Sur Lu 54D EL lignes droites di//érentes. savoir trows-á-trois sur la méme ligne ; et en défignant chaque intersection des tangentes, ou le sommet de chaque cone, par les deux lettres grecques correspondantes aux deux lettres latines ide AMSCN, la paire de cercles ou 38s spheres. à a ME " : m 145 LIÍI———— " z ; À . . . il appartient, les trois intersections ou somunets qui por- "fent les trois mémes lettres, chacune deux fois, seront ^ . BET : sur la méme ligne droite. : Démonstration. 1 On sait par la Théorie des combinaisons que lorsque 5 lettres A, B, C,D----- N, sont combinées i à m, le gombre des combinaisons qui auront lieu sera *(n—x)(n—9 (n—53....-.(0t— m- 1) Y ..D .3.4 4 AL 14A 4n cR Le nombre des intersections de iangentes ou des sommets de cone est égal au nombie des combinaisons de n lettres prises deux - à-deux; ainsi à cause de gj — 2, il sera 250? Le nombre des lignes droites, oU ces intersections ou som- mels seront placés trois-à trois, est égal au nombre des combinaisons de n lettres prises trois-à-trois; ainsi, à cause de m — 3, ce nombre sera L-CULLLAYc. Chaque as- semblage ou grouppe de trois cercles, ou d'autant de spé- res, combinés deux-á-deux, donne trois lettres, chacune deux fois. Chaque grouppe, en vertu du Théoriéme 1 et 2, a ses interseclions ou sommets sur la méme ligne droite. Ainsi les intersections ou sommets qui renferment les mé- mes trois lettres, chacune deux fois, seront dans la méme ligne droite. | | Scholie. Ón sera frappé un moment de voir que dés que n 9 5 le nombre des lignes surpasse celui des intersections ou som- mets. Mais en regardant la 4* figure, oü chaque intersec- üon se trouve sur deux lignes à la fois, on comprendra aisément que plus que le nombre m efi grand, plus il y Novs Acta Acad. Lmp. Scient. Tom. XIV. T | aura "Fab. YI. Fig. 5. eere 145. — aura de lignes ou m méme intersection.se £rouvera placée a la fois, et plus le nombre des lignes doit surpasser celui des intersections. Car il eft facile à voir que le nombre des lignes, oi la méme intersection de tangentes ou le méme sommet de cone se trouve à la fois. sera le quotient qui vient en divisant le nombre total des lignes oü les .som- mets se trouvent placés trois - À - trois par le .tiezs du. nom- bie des intersections ou sommets. Il sera donc -— n — a. Lemmecz: Les trois cótes d'un triangle sphéri ique 44 bC' étant pro- longés jusqu'en D, E, F, db mamdere que- sin AD.sii BE. sin CF — sin AF .sin BD.sii CE, les trois points D,F, e $eront dans un arc.de grand ieubicien Démonstration. Joignons les points D et F, de méme que F'et E, par les arcs; de grand. cercle DF et FE, et soit l'avgle DFA-a- et l'angle EF A — (6; et lon sgait par Ila Tigonométrie, sphérique que | : sin « *sin D — sin AD :sin AF sin D:sin E — sin BE :sia BD sin E:sin 8 — sin CF :sin CE "ND .d'ou lon tire en composant sin a:sinQ-sin AD.sinBE.sinCF :sin AF sin BD. sirCE. Or il y a. en vertu du Lemme ! -sinAD.sinBE.sin CF —sinAF.BD.sinCE "v denc sin a — sinp, et partant g — 18c^ — à, d'ou i suit : que " panno Tipéh eM "que les arcs DF et FE ne sont qu'un méme arc de grand cercle. ] Lemme 3. En enfermantl deux "petits cercles tracés sur la surface Te. n. d'une sphére des points 44 et B pour centres, entre deux arcs de grand cercle qui les touchent em a et b, « et Q et qui se coupent dans le point O du grand cercle pas- sant par les deux centres 74 et D, on aura sin 44a : sin Bb — sin 440 : sin BO. Démonstration. Fig. 6. Comme les triangles sphériques AOa et BObD sont rec« fangles, 1l eft évident que- | sin Àg — sin AOa.sin AO, sin Bb — sin BOb. sin BO et que par conséquent cid . .sin Aa:sin Bb — sin AOa sin AO : sin BOb. sin B O. Mais sin AOa — sin BOb, partant sin Aa : sin Bb — sin AO : sin BO. Théoréme 6. SL l'on enferme trois cercles décrits sur la surface d'une sphére , deux-- à - deux, entre deux arcs de grand cercle qui les touchent, les intersections de ces trois paires de grands cercles feront fitués dans un méme arc de grand cercle. Démonstration. Soyent les trois angles A, B, C, du triangle sphérique ABC T5. It. les centres des cercles, soyent a, b,c leurs rayons (arcs de ! JH us grand Fig. sm VEGEST SUERTE .148 Hiro EIOS 4) zrand cercle) et les intersections des Hctiutes ; savoir D pour les cercles A et B, F, pour A et C, E pour D et d et nous aurons en vertu zm Lemme précédent: sin AD:sin BD — sina:sin b sinBE: sinCE — sinb:sinc sinCFE: sin AF — sinc:sina& » d'oü Fon tire en composant sin AD.sinBE,sinCF:sinBD.sin CE.sin ÁF- xz:x et de là il suit que sin AD.sin BE:sin CF — sin BD.sinCE.sSnAF donc, en vertu du Lemme. z, les intersections. D,F, E, se- ront dans un méme arc de grand ceicle. Théoréme 7. Ayant m cercles 4, B, C, D, etc. fur. la furface de- f méme sphére,'fi on les enferme deux - à - deux entre deux tangentes, arcs de grand cercle, il em refultera 2—23* points d'interfeclion de tangentes, fituées sur "TS s ec arc$ de grand cercle différens, [avoir trois- à - trois sur chacun, et en désignant chaque interfection par les deux lettres grecques corref[pondantes aux. deux latines qui wm- diquent la paire de cercles à laquelle eile appartient ,. les trois interfections qui portent les trois mémes lettres ,. chacune deux. fois, Jeront placées sur le méme: arc de grand. cercle. : Le démonftration eft 1a méme que celle du Théori£me s. j Scho I— I149 Scholie- La démonftration de presque- tous les Théorómes que nous venons de donner eft fondée sur lies Lemmes r et e, (Fig. 1et5). La relation. qui. fait le fujet de ces deux Lemimes, et qui a servi de base à nos 'l'héor&mes, n'eft pas la seule remarquable qui a lieu entre les lignes et les arcs de ces deux figures ; il y en a d'autres-qui ne sont pas moins intéressantes ct qui, quoique hors de con- nexion avec les 'Fhéorémes que nous avions en vu£, méri- tent d'étre rapportées et démontrées ici. Ce sera le fujet des deux Théorémes suivans et de ]eurs corollaires. Lo Théoréme g. Si entre les jambes C.4 et CD d'un angle queleonque Ts5. m ACB on tire à volonté deux lignes droites 4D et BE. F* * qui fe coupent en O, il y aura toujours L AD. BO.CE — AC.DO.BE I BE. AO. CD — BC. EO,.XD lI. BC. DO. AE — BD.AO.CE 1V.CD. BO, AE. — BD.EO.AC. Démonstration. i" Ie AACD donne sin C:sin D — AD: AC — ABDO. — sinD:sinP — BO:DO | — ACBE — sinB:sinC -—- CE:BE dol Yon tie - 1:1 AD.BO.CE:AC,DO.BE | : et — 150 — et partant | I AD.BO.CE zc AC.DO.BE 2* Le ACBE donne sin C: sün E BbBRESBO — AAOE —— sinE:sinA-—AO:EO LLCAAGCD "snc --uom»ap de là on tire 1:1 — BE.AO.CD:BC.EO.AD ce qui donne H. BE. AO.CD — BC.RED.AD 5") Le ACBE donne sin E : sin B BC: CE. — ABDO —— sinB:sinO DO:BD — AAEO —— sinO:sin E AE:AÀO. doà Ton a ::1 — BC.DO.AE:BD.AO.CE ce qui nous fournit IMINI III- BC. DO. AE — BD.AO.CE. 4') Le A ACD donne sin A:sin D — CD:AC — ABDO —— sin D:sin O — BO: BD. — NAEO. —— sinO:sinA — AE:EO Ainsi on a. 1:1 — CD.BO.AE:BD. EO. AC et par conséquent: IV. CD. BO. AE — BD.EO.AC. CESDTOVPTTTO. Combinons les quatre égalités du "Théoréme, que nous venons de démontrer, deux - à - deux de là maniere suivante: Le -— -——— YS E ——Á Le produit de I et II, - divifé par AD.BE, donne AO.BO.CD. CE — AC.BC DO .EO d'ot l'on dédit cette proportion [o KO. BOGIDOSEO cz AC BAD. C DUCE | Le produit de II et IIL,:divifé par. BC. AO, doune BE,ABGSGD, DO — BA» AD'UEG.- EG .d'oü l'on tire la propoition | DOS DOUEC:EO -— AD.BD:AE:BE Le produit de III et I, divisé par CE. DO, doane BNMCAR.DO.BO -—AC.AQ.bBD.bDE ce qui loarnit la proportion BC.BO:AC.AO — BD.BE:AD. AE. Théoréme 9. Si entre deux arcs de grand. cercle AC et pc d'un an- Ts5. js gle sphérique quelconque ACB, oa décrit deux. arcs de "^ grand cercle 4D et BE, qui fe coupent en O , il y aura L sinAD.sinBO.sin CE —sinAC.sinDO.sinBE Ib snbBE.siAO.snCDc-csinBC.:;.sim EO .sij AD HL sin BC.sin DO.sin AE —sin BD.sin AO.sin CE^ IV. in CD.sinBO.sinAE-— sinBD.sin EO.sin AC La démonftration de ce Théoréme eft parfaitement conforme à celle du 'Théoréme précédent. On voit qu'on n'a qua écrire au lieu des cótés dcs triangles rectilignes dos Td ligue les sinus des coté: des triangles sphériques de la $"*. Corol- uu 152 mpe—À Corollaire.- Les opérations du corollaire précédent donnent sin À O.sinBO:sinDO.sinEO- sin AC.sinBC:sinCD,.sinCE sinDC.sin DO:sinEC.sin EO — sin AD.sinBD:sin AE .sin BE sin B C.sin B O:sin AC.sin AO-csin BD.sin BE :sin AD. sin AE. RE- Ec 1905 z—— j | RECHERCHES |. | SUR LES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENCES PARTIELLES B DU PREMIER DEGRÉ » À QUATRE OU PLUSIEURS VARIABLES. 4 PAR Mr JEAN TREMBLEY. Présenté à l'Académie le 18 Juillet 1709. nii: (C. mémoire est uniquement destiné à étendre aux équa- tions à quatre ou plusieurs variables les confidérations que jail données poür les.équations à trois variables, dans les. Nova Acta de l'Académie impériale T. 9. «Quoique cette application n'ait pas de difficalté, «elle ne m'a pas paru tout -à-fait 'exemte d'utilité, — D'ailleurs elle m'a fourni loccasion de revenir sur la mét'ode du mémoire cité et de la rendre plus directe et plu: générale. En «conséquence, je reprendrai à la fin.de .ce mémoire. les exemples traiiés dans le mémoire piécédent, .et je ferai oir «comment ils cedent tous à une méthode unique. Je ne prétens point ap- profondir cce sujet comme il mérite .de létre, il efi juste d'abandommer ce projet aux "Géométres que la nature a doués. des talens nécessaires pour.son exécution. Je serai content-si lon juge «que mon travail n'eft pas absolument Anulile aux progiés de la science. | — Nova Acta Acad. Imp. Scient. "Tem. XIV, | U $. or. $. 1. Soit v/— F: (dX, D), ^; Q* étant des es 3x quelconques de E e z, On aura en s odd y — MM "n DULET | 2 ec — (22) FE/: qY, (E )— Q5 E: (D 2) — [o F: z 2 Qi pee (QE: Q5 Q2) T - )F i (D 2 16. 04 : Donc l'équation différentielle da premier degré sera | e) a (— -) Tp (I — —- i et l'on aura les équations de 2E D 4-d Qr)-e t G (23 Ee — 0, G9 a GP) e pee) emos On tire de là en éliminant 9 es — 925 Q2) DüccAEC MEI UE ume 3d ? ger) — 625 Q9) G2 — G s) eL N CE yes) — Grm (S 9^ oJ. L'équation. différentielle sera. donc. [G9 (292) — (9 9251062 - L6) C7 3 eps Cip) ee) — Q2) (1 Q2) e e. 93.^ $oit maintenant 7' e on anra (2)58 G0 2a (30 (0D m E09) m " Td 3L ; U — " i (3-1 ». 2l v ——— JJ | iu se Gubftitaant ces valeurs dans Iéquation différentielle, on obtient : (600 99) 008050 G9 (0 2 - G5 GE CY - (9 (2) 687) 5) — (9:4 ux )— E (E) (22) YR (G9) a9) — (2) (e Qz ^45 65 - EG 1e ox ^ ue maintenant cette équ ation avec l'équation générale Q3)-- Q.35 » R Q2) - 8v — o on P6 ; * R VR Pr i425 (5) -— (85 (87) met 3 » E SE GC (5 CS 2E CMT 2^ CON MC QJ PO GE EO SU $c c (91nY. R,3W ( HI ed pepaes "m dE ; n ELI. ERE donc ! P (25 Q7) « R (33) cS SI 05 ce qui eft Ia méme equation que nous avons supposée en v. L'on voit donc quil en «ft ici: comme des équations a trois vanables. En cherchant deux intégiales jparüctlieres de - l'équation | P j«00)«RG3-s pelo on trouve la valeur II, ce qui denne ? — ILE : (Q^, Q^). N^ . U 2» c $. $. *. On peut traiter la chose beaucoup plus géné:a- lement, en prenant l'équation différentielle: P s) -QGD)-R(GO)-r- 8-9, POQOUN.S tant des fonctions quelconques.de v, x, y, t. Soit l'intégrale de cette équation Ap — F:(QY, (^), x, Q, Q^, étant des $m de v, x. y ,Z, on aura en différentiant d'abord Y, puis Q^, et consid que | 0v — (12) 9x - (E) oy -- Q2) 02, on aura, dis- je (2) - s P ezxe Uem (Qe [8c e c | F':dY, CN m. (59) £5 .- (035 (93) (995 4 4 (9) (55) E': qx. EU Malbdasss la seconde équation par es, la troisióme par f, et ajoutant ces. trois équations, on aura en égalant à zéro le coéfficient de P": (Y, et faisant la méme opération pour q^, on aura, dis-je, les trois équations. suivantes: Ge G2 662 G002)--(0 G0-- 8 G2 G9 e o, (95 -- « (297). g (^) (9) )(e ")--a(93) (99) 4 (22) (39. yes, GE en (ep (97) C) (52) 2059 99) 89) ono. On éliminera a et 8! au moyen de: ces trois equations , et: lon aura l'équation P (5) Qt) - R Q2) -- 8 o, .€n. faisant P — (25 (255 895) - 8) 89^)». (99) (99^): - (9599) 3095 (25) (5. Gy vy; hb : eese dh iQ à q- (9) (99 (9) - 99) 89) « G5 (2) 9 eye) Lips (5 C y- e) 2)5. —G 29) (49^) (5-67) C2) 622 (9) en (QU GT m» ( 2) QU) Ds c) Gs S — (3) (5) (55 — 3) CM - G5 (62) 060—622 G2) at" 6n M oQ'N fo - P - c C) (p )C 2 G) ()- Ces: valeurs fournissent les trois equations: suivantes: pm E. Q() usc (x) — S C2 umido PQ5--QCL) eR (25 n —o, * p da QE) dde pos SEM ed Si l'on trouve es: intégrales particulieres d'une de. ces trois équations, on aura l'intégrale complete de l'équation pio- posée; car lintegrale de l'équation: P (-« Q5 mm (edi eft j| — Fz(&,v,2), &».v,2 étant des fonctions de v, x, y, x, et chacune de ces quantités étant une intégrale particuliere vade l'équation proposée. . Ainsi la solation complete d'une équation aux différences partielles à quatre variables dé- pend de la solution particuliere d'une équation aux diffé- Yences partielles à cinq variables, dans laquelle la quan- lité inconnue manque et oü il ne se trouve que.ses diffé- zen: ielles 6.3. Prenons maintenant l'équation. P (5 4 QD eR (2 — £5 cm Serio M - Soit Uy $m BoL p — Const. une AE paiticuliere de cette équa- ton, on aura bU aro 3JA 2y, ay 2m, (3 9» — xp 5 (9) ac (09) 32... (99) 2e e () 98 59 "rac Ms Ue La comparaison de. ces deux équations donne " 9$. — ??, S-nc95, Sono 95doh dom. tire: lest: iugis ce MEM Qor-— Pày — o, Mox; Pozo, 50x Pop-—'e Ces trois équations sont entierement aralegues aux deux équalions -que nous avops données dans le mémoire pié- cédent d'apres Mr. de la: Crange. Mais chaque ' equation ne contenant que deux difféiertielles et quatre. inconnucs, elt queftion ; 'de savoir comment Jon doit procéder, pour ariver à lintégration. di. 4. 4 Si (Y et Q^ ne contiennent pas la quantité $, les équations Q9ox — Póy — o. Róx — Póz — c, devien- diront, en DUE les. valeurs .de P,OQ, M et fai:ant (2) Ee Hs ^)z- 0, et divisant par (**), | ((32* 4 od wt q^. DK 1 (M eie (Q9) (25 — 8) eas (2 6 Te -)oy -—9, 224 (e ro (28) s (5 C5) óqy-— (9 ce DS as Wr (un i p Z-—o0. ey Ces dnx £qsiiogal comme l'on, oH re cortiernent plus ia quantité v. ^ Si on les compaie, avec les equations Qox—Poy-o,HRor- Pozo du$ du mémoire cité, 3 .iesquelles sont «0 65— - 227 om — (GR) (99) — Q9 (ay o, (85 c) -— () (35) 0x —" (95 c5 — c9) G9) 98; Ces derniere "Seg ju dtes coipcident. avec les premieres, si lon fait Q^-— ip, Q7 z—(. "Les équations, Qca-— Pey 6, hee — Poz—o,; sintégieront donc par les meihodes inci- quées FINE E d e e em Ese x r 7 entendu] 159. prairie ——— — quées $. er et suivans da mémoire cité, en supposant P, 1 Q:R des fonctions de x,y,-- Ainsi Ila sola*ion da càs oü ;oXet b" sont dzs fonctioas de x,y,z,.sans 0, pour les équa- tions à quatre variables; dépend.de la. solution dà cas oà Q.eít une fonction de x, y, pour les équations à trois B ce qui eit conna des Géométres. $ s. LEéquation Sàx 4- Püv — o, devient, en faisant. pour abréger: ah 2 " UN. SUN L (c2 «5-6» -——g. i (8 C9 — Qà ez b. ^ 44 p^ tcs WE o0 e —e c (39) &- b (33) — a (39) 2x — c (19) 3» — o: | ais 'les-équitios QOx -PJy — o, R2x— P0z — o, don- "ment bor -coy —0, coz —a0x'--0,.donc.la: premiere équatioa devient i —c9Y) 9x — c (7) Qy — c (22) Oz —c (97) 9p—c o, ou 25) 0 zc G2) ày e (93) Oz - Q3 Bcc. dónt l'intdgrale: eft x4 —— Conto " $ 6. Il se présente ici Hla "mme difüculté que noas avons.examiuse dans le mémoire cité $.5. Il peut avoir dispara un E tour coumnia à toute l'équation, ensorte que léquatioa P3» -- Sox — o, se trowvant divisée par un fac- teur, ne contient pas (OUs ses termes, et par conséqueut n'elt pas'sasceptible des substitutions préscrites. On .remé- die à-céb' inconvéaient ea étealaat aa, cas .actael les deux Téoiemes que jai démontrés pour les éqaations à trois P | ; varia - wariables. Le premier eft que le facteur qvi divise toute léquation eft nécessairement une fonction de x, y, z seule- ment, sans v. Pour le prouver, reprenons l'équation sis rentielle, qui "ESSE se ims n cette. lorme : Res DU av c( ov oy c (22 C2) (2 2) —a GE x) c6 (22—a (93) o. Soit p le facteur «commun à ps l D me sil colit Ia quantiié ,»,:0n aurait en faisant ip — o, | a? 9p 23 p o2 RENE CE ue y -- (27) is 4- (25) Ov Ec Or p, étant diviseur de dr :doit :diviser le quantité pct Ede 25) c'eft- à- dire que kou, — Oo, et par conséquent p-os On aura aussi pe — c(9)-- 0 Q)) —a Q3) 2c o. | Or nous avons par: 1e $ précédent b —— e », i epe ce qui donnne, en subftituant ces valeurs : -—c(3- c (3) 32 D—c(2)X-o, «ou (5 Óx- (9) 2» 5 Qu ec Tirant de yéqua ge là valeur a et la subfüituant dans T B nata que mons venons de trcu- ver, On .aura à (5) (2 G3) Q0 2 (8) 2) (2) G0) 2x— G2) G2) ee, equation qui doit avoit lieu quelles. que soyent x, y 2. donc €21) — co, donc p eft une fonction de x, y,z, seulement, sans 4. | : D» : | 97 -—À 9 TO po mm $. 7. Le second Théoiéme eft que ce facteur p, com- mun à toute l'équation, eft nécessairement un facteur de Q^ ou Q/. Pour le prouver, nous remarquerons que l'équa- tion Qox — POy — o, donne proprement | ex 4 (9v zur | b (S5) Qx--c(S)2oy-o. Je dis que p doit diviser (5, sans qu'il faudrait quil fut à la fois diviseur de b et'de c, €'eft- à- dire que l'on au- rait à la fois p diviseur de n ^L ^A qu^ ^; 4 44 E -GOU) ede 0305-0265) et lorsque p — o, on pnvae a la fois | ee (9 — (29) pU rz 99») (8^) — (89^) (89^ — o, AY et Xena Vas geriduns l'un de l'autre. Donc p sera diviseur de (?*).etde (29), et par conséquent de (77), puisqu'on eux supposer 2?) 9x -- Gm) oy -1- (Q3) 9 — 6; ou dite de (2 t (27) dans la premiere quantité et de ($7) et (377 ).dans la seconde. En un mot, il faudra toujouis qu il soit diviseur de deux .de ces trois quantités [. E cup ou (25, )» (n et par conséquent de la troisieme en vertu des. équations (2) 9x -- G7) 0y -- C2) 02 — 65 Q27)9z-4- (y y - (997) 02 — o, *t par conséquent diviseur de (/ ou. 'Si donc (3) Ec put, on aura Np — pw// -1- q, V/ étant — fp"Ov, etq etant une » ANeva Acta Acad, Imp. Scient.Tom. XIV. X fonc- w—— € T 60 fonction de X,y,7, sans v; Done G2 — — p GE) - V Q5-- G2); tx )e p GO e A Ge QD, (b — p ) e v Gb) (5 Subftituant ces valeurs dans la mec ect qe elle deviendia pre 50—« Q1) VA (-e Q) «8 Q9- -«D) -c (i Je b m — a (2 Le |]premier membre eft disisible de lui méme par p; le second, affecté. de v^ doit étre séparement divifible par p, parce que le troisiéme ne contient point de v, et que v^. eft affecté. de »; mais X[/, par supposition, n'eft pas divifi- - ble par p; donc — 6) 4&6 — a) doit étre divifible. par. p, ou —.€ (25) 4- b 2) — a (25) — Mp, M étant un facteur quelconque, ou (9) c (29) Ves e (3) Ded (GR ) G27 -—(Qm ) E "ne -- (2) (99) — (9 ($5) (5) — ds équation: i Vixdéo rade eft y p — F -(Q', Q^), y étant un. facteur premier avec p, que nous allens déterminer. On aura &n procédant comme ci-dessus — c (282) 4- b (9 i o) [pee 5p) — oj aeix i (765-8 ($5) apre 9-60)-a)-e . donc ds 2) b QD »m)-—2 ,(- c (5) -- b (9) — a (2. Ce dernier membre contient nécessairement p, puisque p n'eft pas un facteur de p; aiusi en faisant —&(—c()--6(0D—a()-M, ona — e (2) 4^6 (2) ^a Q5) - Mp, équation différentielle proposée. Donc p eít un facteur de (Y ou Q*. | $. 8. Soit, par exemple l'équation — 2xyt (2) 4- (2 ET z "g) EUR v (3) —2vx—eyzv -d-2xyu- cx coxa xz o. On aid P-—-—2xyz, Q—azxy--2y z, Rz—— 2xy, Si—— 2Uxy-——2yxv--2xyv--2xyvp-21'--22x'z422x2. |1équationss Qox — Poóy — o, R0x — Poz xo, deae ynt (2x--2yz)O0x--2xz0y E 0, 2:222 — amxóx — La seconde donne, en divisant par x et integrant, (/-xx— —s, donc zc y xr—Q*. La premiere donne 2 xóx-- 2x ( y0x 4- xóy) o, ou vxep 0y9xcexoy- o, donc Q—- y xx—Qd'4-xy- Xy--Z, donc (9) — er, G2) o, (9 eo es e)-v. G —z, Qm ^ ISAE Maintenant ib usi Sox 3s IP o, devient qe (r--yz— ry)voz--(x-xz--rz)ox— zxyz0v — o. Or dans la formule générale on a Li EM IPs , t" at" q" (y 44 z P — (95 (Q9) 625 — G9) £2) z — x» Q5. | Or ici nous avons em de 2xXyz, donc sil n'avait disparu aucun facteur, on aurait (Q) — y; mais cctte suppcsition ne convenant pas, il faut multiplier y, par un facteur de |. Q* ou de Q^, or lom —(x--2)(rx-—-2) Je fais donc X: 2 (gn gv — QI T7 I — (35) —yz--yz, donc p-— (yz -y2)v--q, q étant. une | fonction dé xy, y, 2 ur Anus devons avoir mainténant GU Qr 2- (9) oy 4- (399g — ——(xr-yz-—try)(x--2))0x LY di "z 4- X z^) (x -- z) 0x. Or (9b —yv-- 05), 99) — (x e zv -- 05, Q9) — yv-e 9; uos "Gyon se oie ox ^ yoz)v -- (83) Q3) e 4- (23) js s dem -— UOS DAP E E --2X'z-2:ix' ES Jue —. (à cause de Q9y — ub omg 592), — (xx—rzz—yz-x ty) dn d (83) Qx 4- (3) Oy 4- (22) 0t. Or on doit avoir q.— q' (x: 4- z), dus ($2 0x -- (93) 0 4- (8) 0 — | (1-5) (£) 22--(-e2) Qt) 2 -- (xx) Q1)2-- qx) q'ogo (xc 2- z) [-: 9.) 2x (ix -) QY) ay (xen) ($$) -4)92— (((x2-2) Gr )7- q^) xz — (x--z) (3 ) yes (xx) GE ees —v "D xz Go xg! — am) — —xyz (Qr) 2) —yz x d-ax * QT) x a z (91) a- x*q') 0x. Je fais x) — x, (E 1) (22) )-—30,,ce qui.danne: e —— Ne BL Ta formule alc à 2xX'z-r-2x'z --x--x9,comme cela doit étre, donc V m(yr-yz)va-xz(m-z)-F:(x—z),(xyaz). integrale complete de l'équation proposée. €. o. Passons mainténant aucas oü (Y, D^ renferment la quantité v. Nous fuivrons pied-à-pied la méthode ex- posée dans les $22 et suivans du mémoire cité, seulement nous completerons cette méthode pour le cas ou il se trouve des exponentielles, cas que nous n'avons traité que fort im- parfai- parfaitement dans le mémoire précédent. Nous supposerons d'abrd que les quantités QY, Q^, 24 ne renferment point d'exponentielles. Nous avons troüvé ci- dessus $ 2, l'équation P 2?) - Q3 e n (9) — qe) — o. | Soit Q' — v/w^, u^, V" €tant des fonctions quelconques de Ey, l'équation deviendra «^ (P2) 4- Q5 -- Q/) — s 8) -- y (PE) Qi 27)-ER ve b - P $2) QG^- & (9— -—8 donc P (2£) - Q (2) 4- R (2) — S i — Me edoxdehlr c accum HCM -Q(z) Ld R (2) qu) — — EU [m e. O QQ*) EI KR 25 — SG 30s On voit donc qu'en supposant u^ — o, on à P (97) 4- Q (2) 4- R (22) — 8 (8) — o. On peut donc s'assürer par là fi une quantité quelconque eft facteur de (Y ou non. De plus, si l'on a une quantité .de la forme «Y a- e, c ete étant des fonctions quelconques de y,z et rv, on aura pue seh) £^ Qe ene R (rot) — sc) — MEUS x od C 099 - s ee» 4- Q (P(25) 4- Q.( ew 4-R (25 — S (2). —PQ--0 CO vROn n — (en supposant QYz o) P7 ))--QQ52-R as) —S8 (85) 2m *oz quanti- quantité qui deviendra nulle si e — o. Multipliarit donc chaque terme de la quantité 7(Y4- e par un coefficient in- détermine, l'équation | IE. P( emer DQ (208 0) 4-R (22928) am (uoo) 3o, «€ombinée avec l'équation a» --e-o donnera e-o, la quan- tité se reduira alors à «4» ou à Ln -- LO (1 designant le loga- rthme) Multiplant chacun de ces termes pat un coéfficient indéterminée, on a a/s-1- 81O', et l'on obtient l'équation : (P9 4- Q.(8)) 4- R G9 — S Q5) -- & (P9) -- Q (2) -- R 995 — S (25 — o. - Or comme on a — P (2)4- Q(95 - R Qy— s Q*) — o; on a (9? indéterminé et «—- 6, ce qui donnera enfin a quantité QY que lon cherche. Quelque soit le nombre des facieurs de "Y, le procédé sera le méme. On trouvera Q^ par la méme méthode. f$. 10. Il s'agit donc d'arriver à quelque qnantité de la forme *QY -i-e, ou du moins à une quantité qui puisse prendre cette forme par le moyen des coéfficiens indétermi- nés que lon met devant chaque terme, ou à la forme 7"M/--e, M/ étant un facteur de QY. — Or il xésulte de ce . que nous avons dit dans le $ prec. que | Qu^ / au^ ou^ jJ EN RES E PG) OC)-rRC)-S5 ()-—. lorsque p^ — o, donc ; a Qu^ R fou' S fam^N QO-- GO - 69 — E GO Mil MI étant un facteur quelconque, donc / S (9 K (Qu au^ 9. Mw-FE ODIT qq Qu^ Cette — 1652 c-m— BE E M. Ceite quantité eft de la forme 7 y/--e, en faisant y — GÉY o» S (os FR (3 Qu^ Y! LEER 0v4 JB n - E x. ui o» : 3 La méme chose peut se dire de — et de 7., m par consé- quent de €—-5--5; ou de f— EF 5, ou de 7-52 5 —, eu de L—CRUER E, ou-de [ina cudi e 3$, Siquelque terme de M/ a disparu, on remarquera que 0. — jk.Op/ -- vy, y et v étant des fonctions de r, y, i v. Or x6 EECGIS ax gadcop zo 0 2E Ba 2) EGD— jS — Mw, donc 9.3. eít encore de la udis mu/--g, et lon peut en dire autant de toutes les autres fonctions que je viens de rapporter. La méme chose a lieu pour 200.& ét pour tou- tes les différentielles des ordres ultérieurs. | Chacune de tes différentielles reproduisant de nouvelles fonctions, les ter- mes de 4w/ qui ont. disparu dans quelques unes se reprodui- ront dans les autres, ct lon parviendra ainsi à une quan- tité.de Ia forme zi ^- p. | .$. 11. Soit, par exemple l'équation (2yv — 2xzv -- ryv — so — y'zo -- syv) (9) - v Ab dme. qe ceat Mr cie Y » --(2z'v —2v.-4-xz'v--xv—ytez 4- yz) (2? REQUE X20 —547-- 12-0. On a ici | Q—-—2yz» "od Mua ca yu —y. je fais 168 . "ign — Ayzv -- By v--Czr -- Dxyzp-- Ex'a- Ey's' -- Gy", ce Da donne QD z Cv Dysv 2Ezx, ()— AzvcsBy i Drzo d-2Fyz—2Gy,(8$-— Ayw Dryv -- 2Fy'z, (233) -5s Aykb- PB v-4-Cxr-4-Dxys. L'équation P (22) 4- Q Q5) H- R (22) —S QV) — 9; donnera donc | za ATA M hb uae AR Eid — 9A A oo A -- À —2B —4 D — 2D í 4- 416 e (Arz—OCyz—Dryz—Dyz4-Ex'y4 2G p praece | detda": -- 2B ? " 4E E —-2F —D | — 2A x A Rer Un. DI M --03--4F—2F -- D — 4G C PES -—D.- | eus —2B --2Exyz--:G8yz Ross Ar aS SM Q) .—-—D. Combinant cette.équation avec celle qui résulte de 76, savoir | v' (Ayz4- B y^) 4-v (Cx--Dxyz)-- Ex -- Fyz 2- Gy! 6, on éliminera v» par les méthodes ordinaires, «et lon aura une équation en x, y, z dont on égalera chaque: coéffcient — a zéro, 3 à m— jy Ó0 m À zero, ce qui donnera les valeurs des coéfficiens indéter- minés A, B, C; D, E, E, G. Je ne donne pas ici le détail du calcul qui n'a d'autre difficulté que sa longueur. Je ' présenterai seulement le résultat, qui renferme trois suppo- Ejtions différentes -À.— o, B0, C zo, D—- 1, E - s, E60 5, B-1,€—0o, D: E- 0o, F —o6, (2o; 5)Azr5 B-o,C-e,D-:, E-o, Fc 1, G - o. La premiere supposition donne (- xeu XyT0 Q'- yv -Exyzy,WV —yzv d-£yzu-- ys, 0ouQ— x (x--yzv) Q^ -—»yvKyv--^ xz), v - yz (v -M- xv -- yz ). Pexclus de QY le facteur x , de QY" le facteur y y, dej le facteur yz, parceque ces facteurs ne satisfont pas .aux équa- tions de condition, et j'ai Q' — x -- yzv, Q^ — yv 4- xz, Jrmuy--xru--yz. Ces valeurs satisfont aux équations de condition. Ainsi lintégrale complete de l'équation pro- posée est y/-- xu a- yz z F:((x-- yzv), (yv--xz)). Pour pro- céder généralement il auroit fallu faire sj - P-- O-- R -- S, et le calcul auroit été précisement le méme, à la longueur piés. Comme je n'ai d'autre but ici que d'indiquer la marche de la méthode, je n'ai donné que la supposition que le calcul m'a fait voir étre la plus simple, si cette supposition n'avait pas suffi, j'aurais passé aux différentielles, comme je l'ai dit plus haut, $. 12. Si les valeurs de xp, (Y, (^, contiennent des exponentielles, on cherchera d'abord, par la méthode que nous venons. d'exposer, les faüeurs algébriques. Soit, par exemple, xp. — v"e", on trouvera d'aboid x^. Cela posé, eV) — dov^, eV, Apz(9oV Y eV. (9) — (297) eV 8V/y eV on a (3) — (BV eV -- q/(9V) eV. (29) - (297) eV -- v^ (99) eV, RU CER PEULL / : E 7 JE à 2 4 ; 4 (2) — G3) e - ^ (32) e, (29) — (87) eV e t Q9) e. Nova Acta Acad. Imp. Scient. Tom. XIV. Y Sub- * deccm YUD mamas Babstituant cés valeurs dans l'équation P (23) 3 Qs; 2 R X) -— S (25) — 0o, onaura, en divisant par e", p (Sy ae Q4 : --R 3*) Wer tA d - V) - Q9) -RQY) —S (Vj) ze, cv 4- Q(235 4: R ( Sy — S (v ou VI [he dr WV remarquera qu'en vertu de ce qui prdedde PTS -- Qr) 4 RC S (27) est divisible par j^.) P(ZZ)y4- Q (9 4r- R.(23) — s (3) -.- Mi-- o. ; $. 13... Dans le Mémoire cité j'étais parvenu- à. une équation dela. méme forme P (2) EE Q() -— R (2) -HE M — GS. car cette équation se tire "M di 7 . Mais faute de connaí$tre le procédé direct, j'avais. eu recours à des tàton- nemens. qui rendaient la. mcthode imparfaite. | Je vais sup- pléer ici à ce défaut et indiquer un. procédé direct pour integrer itg pX)- QQG*)-R(27) e M. — o pour trois- E. Gt cette meii s étend: d'etle méme a. un nombre quelconque de variables. Je fais vp/ — —, A^, a/ étant des fonctions. quelconques de x; y; z.. Ds iion devient donc 9. (——) ys p ours |—R (x | x) -L. MERE UICE Wa» / : ou: en développant ; | j Es P(A* (22) —a/ (12) - QCA/G9) -a/(84)) - R (A/G) - a5) MAD — —— oa). Méttorts maintenant. dans cette équation au lieu: de A^,, j. A! 4- v, et.au lieu de a^, [4 &. -p y; et l'equa- ton. Bio ida P (n. TIC A EROS rare (25) — (pa^ -») (i. (7 4 A (b (Qe) -« Q((A ey) (act $,]-a (29 25)—' pa^ yu )-- A (95) 4-9 ) — R (Av) (gk (29.)--a (1-9 )-(a ev (qu (98^) --A' $2). ($5) 4- Mg A^ 4») -— es 6H cn iseuant et b faidor ce qui se détruit, B (PCA 5-202) QUA 257)-a(93))-R(AQS-a/8 2) MA") RP Q2 -a/(Q?))- QA: — a/*)) R(A ($5) a2 ) (PS) — (235) «Qc SG» R((37) — (24) 4- »(P(a/ Q0 — A (29) id a (9) — A (Qu) — R (a' (n) —A/ (9) -- 2M À^» o- M7 cz c. Cette équation donne v» -o, parceque le premier terme est nul, puisqu'il coincide avec l'équation proposée ; ce qui donne i^ — -—: TUE. o comme .cela doit étre. Pourva donc que l'on parvienne à une quantité de la forme y. À^a-v, on arrivera par la méthode des indéterminées à la forme veritable. Mais l'équation proposée (a renfermant là quantité A,1a quantité P, ouO . ou R, ou M, ou P2- Q-- R -M la renfermera, ou^si elle nela renferme pas, une de ses dif- férentielle: la renfermera, comme mous l'avons deja fait voir en détail plusieurs fois. J'éclaircirai tout cela plus bas par | des exemples, $.14. Les opérations que je viens d'indiquer, pour Ie tas de trois variables, s'appliquent d'elles- mémes au cas de quatre variables, ensorte qu 'l me parait superilu de les T et lon trouvera ainsi pour l'équation TOP 4- Q Q7) 4- R(9*)-- M — c6 V 2 x a' et A' Br A fonctions "de X», y; * etas oH s'apira donc aniquement de trouver 1a forme des quan!i' és a/ et A", Or les quantités P, O. R, $,. M, oh généralement P 4- OQ -- R — $ « M contiendront les Hes a/ et A', Y 2 D E MOL — oj si elles. ne les contiennent pas, on: passera à leurs dif. férentielles,. comme dans le cas précédent. $. 15. Le théorbme démontré $. 2. s'étend de lui méme aux équations à cinq. od plus de variables. Je dis que- si lon a une-équation à cinq variables: P 23 4-QQ5) -4- R02 -- SQ) -- T — 6 et que Vis sd x EN (ov. QU, - ^7), 45:0 Q'BEY"... & etant des fonctions de x, y, 2, v, u, on.aurá Due de condition P (?* $)4-Q (23) 4 RQ)-4- (23) — T(2) zo, et lon aura E équations semblables. pour les quantités Q*,. (Q^, (7. Cela se peut démontrer de plusieurs manieres,. comme le savent les Géométres, En voici. une demonstra- tion fort simple, et qui s'étend à un nombre quelconque: de varlables. gi lon fait succeffivement une de cinq va- Hables c, 0y, 4, D ds nulle, ensorte qu'il n'en reste que quatre, on aura les.cinq équations de condiuon suivantes: P (225) -- Q (22) - B ( OT T 27, — c, gu : p (29) X 39). s T (22) — o,. P (53) ^- R (03) J- Dom (25) — 6, Qe ROS SQ: — T (22) — 6,, 8) QUO» » RU) c 8j o | kes quatre pns équations sont démontrées. par le: $. 2. puisqu 'elles. résultent du cas de quatre variables. | La: cinquéme rés.lte de ce que si T — o, l'intégrale particu- here ip — conít. donne P Q£j)-- Q3) H2- R (22) 4- 8 27) — OC. Or ces cung equations ne contenant les diferente que: | SOUS - — 195 ——— sous: une forme linéaire; on peut les ajouter ensemble, ce ui donnera ,. en divisant' toute iy a pat 4, P()--Q X --RGDC-SC)—-T(-—o, ce. qui est l'équation quil s'agissait de Cu /$. 13. IL est évilent que ce procédé peut s'étendre à un nombre quelcoaque de variables, et que par consé- quent * rud a Erinion poe ^H 7 zi É EGRE UG | i-r PG j-- Ph)... n (Uu *1 — NUS » EP (2 S eli cn l'intégrale ayant la: M UE Gd Q^, q^ i qe-p, on. aura 1 CR de- condition : Bro -ePQ5 prz per), vul dx(44 Q xiv. (1 4- I)/ E dE. Bu Sy o, On trouvera une éqaation semblable: pour chacune des quan- ütés 4.04... oo 79), M Dela pose, sb. és quahitites- D 3 Quei. qe-—22 ne contiennent pas de quaatités ex ponentielles, on procé- dera précisemeunt comme dans les $$. oet 10. Soit p - ^", puudEant des fonctions de x^, x^, x7... - 2*5. l'on- auras PAY) (qr $)-PE ZEE )eP* Y)... "PU (3*— D Nox 7^ axi n) I (QS Ps EPA C9 pra), iz e Pao) -pocex(ey ^u PG) p^ AQ Lp yi pnl (d "Qo S g^) x E oL 154. —— 8i lon fait u^ — o, on a l'équation P905) --IP^(c) p Prec ppp ll X") 3u) Mur — qo prp (28) — e. 359 On peut donc trouver par là si une quantité est facteur de Xy ounon. De plus, si l'on met au lieu de i la quantité 7v 4 g, on aura P u-p(amp-t oe Leur. p//rb 2e e) 2E 9o x EE d d ct pur Jehan d Ump 33 poc reet) — ax 2) m (P^ B3 ya p/(3) a- s- P 21). AMOR P^t- 23)— petn (2) E Tee P" Q3) P^ Q2). ue pe(22)— PO x Ut) P(Q*) e P(ie ) P (37) ene P (26)- LpatnD FE o. Si l'on fait Xj — o, cette équation se reduira à P^ 3x) POS. )- PC). MEUS AM 9? Py pitt re — eA 444 "Y quantité qui deviendra nulle-si e — o. Multipliant donc chaque forme de la quantité c Ab 4-e par un coéfficient andéterminé, et .combinant l'équation; p(uziotn) a. pr(amier en Tt pores 4- e) E v poeta e) Esc ps-ea(a s coy — EPOR Ja quantité se reduira alors à v w/, et affectant chaque facteur d'un exposant indéterminé, on aura «43 - 14, ce qui donnera 2 s (P 2, NE P Det. P^ (99) "He 2 p z)-— pn) )) a 7272287) W a TAD/0VA)Y — M £ (p/(03)-- P 2 )a.P e zd e Ph(29 - Lp ($)z9. E "E EI 77 a oy pt» -2m(9v c Or? oS )a- P'(27,)2- P (2) 2. v n P E p (5) — Donc « - o, ce qui donnera la quantité sy que Lon cherche, par e—Àe 1590 ——' ou l'un de ses facteurs, et chaque facteur peut se trouver par un procédé semblable. ; $. rs. I] s'agit donc d'amiver à quelque quantité de Ja forme c - eg, M. etant un facteur de wv. i l'on a L ^r au^ j^/( 9^ ^ : po(.23»m ..ptn-cri90»r^ — e HR (SEz) cep FE e*9/,. -- P uen P (25) E] MI étant un facteur quelconque ,; puisque le premier membre de ceite équation est nul lorsque &/ — c... Donc 1 D u^ (7) Z : u^ M (5) - Irc IP etin (n p^ x^ 220 dx 7 dt 4 P; Á e (ig ent ) . Qa NE M gnantité qui est de la forme cw — e, en faisant m. — (39. ' Fus HEU rop^y Lu em nu. Pf aut p ( au^ n p e) Gv nz (357. € 09 e à/o* CPO bn] Boer |o Mf E ; v) La méme chose peut se dire de tous les autres coéfficiens; et par conséquent de leur somme,. si. quelque terme de yw a disparu. on: remarquera que 0.7. — pup -a- v, p. et v étant des fonctions de toutes: les variables: Mais Op/ —eu^ parce qui précéde, donc... — ep —- v,.et la méme chose peut se dire: des: différentielles- de tous les autres coéfficiens,. et par conséquent de leur somme. Ces différentielles pre- miéres fourniront de nouveaux termes: Si ces termes ne suffisent pas, on: passera. aux. différentielles secondes ,. troi- siémes: &c. lesquelles seront toujours de la méme forme par la méme raison. . Chacune de ces- différentielles. reprodui- sant de nouvelles fonctions, les-termes. de y qui ont dis- paru dans quelques unes, se réproduiront dans les autres, et lon parviendra. ainsi. à. une quantité de la forme mp ^ z. $. 19. M SSEIO. 5d id quantités WviwDO AD"... que contiennent des exponenticlles, on procédera comme dans - le.6. 15. Soit vp — w"'eY, substituant les valeurs des diffé- rentielles de cette quantité dans l'équation de condition, on aura, en i CH d v. *eV et faisant AC cuo Ee... a PEOSS Bucu Rv s SA 90 x^ ax (0) ax(t77I E MW NE . ox Ut E p/(2V) AE B2 EINE P/"7( EAUA ) : BE pex e ) Pe M- E 9x 9a Je fais Xp/ — 7, A' et a/ étant des NR. i 5. A qu np MMC cEp[Tct- XJ. pos devient donc (5 P^ (25 p" (» x) v 3.. pr (oc Je petuo "u a -- M exe gx Ut! aa (HL) ou €n dév eloppant, P/A'(2*) — u/(25)) -i- P(A'(97) — a/(4)) SES P^ (A/(35,) — pArar j- a (247) (a3: UE . pian) /( 94. TAS (2 Eg. pina) / bee T PUT A^ -p PUA uer in XA Cu ieri» a (5) CES AZ ES Mettons maintenant p cette équation y. À^4- v au lieu dé M, M. -- Y» au lieu de g/ ; €t l'équation deviendra P: CO A^ -- y) p CE ) — a' (1) (2 ») 7 (o^ B ») (2E) EG) E y 4- P^ — (€ os 4 P^ ((j A^ 8 9) ( (27- 2) 5 - Gp — (is v) QU e ACID (32) -p- P" (p A247 ») V (3257) 4 a^ (8) m to — (ud ev) ( (25) A (85) (82))) -p- P*((w A^ -- v) (g. p CE) anto us iu ox 2) — (pa! e v) (& (35) - A (35) 8 (22:))) à x() E. xn . pin 4I) " ga* m s CÓ A "C iid eem *6t m) — (1 -») (a C88 " epo Gu» ZE-M (qj A^ 4- vy — o, ou'en adit et effacgant ce 2s se détruit " (P^(A' 22.) ae est pE zm P^(A'(257 9 a* 4)-—a a 947) EU poc A/ 325) — Ee el pix) (A4 eon Aes ar (9 )) j : , 7 7/2 BU CAL Ges cALN TEM er xen) qup | -- s CP(A 3) — a2) P^ CA (35) — (22) ZW pCA^( n xg GE) EE NIU 1S : ind. PP) - y Mrs y 35 pt? (At xy -«CS53)) "a CP Cz) — GE PAG) — GE / 9 A "PU((37) — (227)) td OE á ( rHU( 9 a^ 9A^ M dO oed p LE 9x GR curn 34 72M A) Nova Acta Acad. Emp. Scent. Tom. XIV. f -- y —À — 178 En. y (P* (a^ ou E LA 25) za "WE 9) — A GE) ae) 2 ax'/' 277 ^f 94. Z " ns Mqer i qa z (n)f./fo2wu ve ren 74 a Pa 223 Bu. o. (s f Bs Et p amo Dye: er 9T : : : Cette équation donne v — o, parceque le premier d L 2* m . )! . , terme cst nul, puisquil coincide avec l'équation proposee, ce qui donne pae - ES z S$,comme cela doit étre.- Ainsi, AT pourvu que l'on pde à une quantité de la forme Kk. A^ 4 y, on arivera par la méthode des indéterminées à la forme véritable. Mais l'équation proposée (a) renfermant la quan- tité A^, la quantité P^ ou P", P/"^ &c. ou P' 4- P^ -- P" &c. la renfermera, ou si elle ne la renferme pas, une de ses différentielles, ou la somme de ces quantités et de leurs différentielles la renfermera. $. 20. Les principes que nous avons établi dans les $. précédens, rendent absolument générale la méthode que nous y avons exposée, et dispensent des divers arüfices em- ployés dans le Mémoire cité pour intégrer les équations à trois variables. — (Ces 'artifices peuvent cependant-étre utiles pour abréger les opérations. ) Pour le prouver en détail, et donner en méme tems des exemples qui. éclair- cissent suffisamment la méthode, nous reprendrons successi- vement les exemples traités dans le Mémoire cité, et nous les traiterons tous par cette méthode unique. f. 21. Soit l'équation du f. 8. xvc(?2) — x (22) y 4-xyc--*xy —3x yc —yyyc o. 0n BI Dos ur Q-—-—x,h-zyc-d-2xy — 3x yc — y yc. Donc les ter- nies OE I79 —— | mes compris dans la forme! P -- Q R sont x -4- z 4- Xy a- r' -- y. Je prens la ditiérentielle et jai en divisant par Q1, 1--X--yc-r 2» EE - y9?, ou en substituant pour 9? et 7 die leurs valeurs tizdes des P abies: Qoa -—— Boyce ES e, Bor --P20z — o, trouvées dans le $. 2, on aura :dp SDN r-puUbeon Sio t9)-kes 032 Je fais AL Ee 4- Bz 4- Cd Dx 4L Ey, ce qui donne (3) — A-& Cy -r- 2Dzx, (93) — Cx -E 2Ey, (33) — E. Substituant ces valeurs Les l'équation P()-F.OQ($)) — R(3)) — o on aura MTM - Axyc — Caxyyc -- 2Dx'yc — Bzyc -- By* — o, — 2E —C PONTO L -ioqub c equation qu 1 faut combiner avec l'équation | Ax -4- Bz J4- Cxy 4- Dx' 4- Ey — o. Multiplant la seconde par y et l'ajonutant à la premiére; on fait disparaitre les termes qui contiennent 2; et lon à 2ÀxycaA- Sg 3Dx'yc -(B-- E)y MEO, — 2E —C — 2aB 4-35 Byc Ee de.la.Ag—cio, Ej z——D,.Q.— o0, D — —. B, -.ce qui donne en faisant A — 1 , y -z— x'—y'. Si B — o,ce procédé ne peut servir, on a dans ce cas les équations Br c- Cry yc -- Dax Meo» Azrx-Cry--Dx PE —O, I: -2sE —C Multipliant la seconde par yc et la dedotcldnt de la pre- miére, on a— £E xyyc z3- (Dyc— C) x yc — Ey*yc — o, ce qui donne E — o, C — Dy'c. On a donc en faisant EP Dz!z; Dzr,4p--£yye-d.r — (x 4-y yo). Nous avons donc les trois facteius x, x -L yyej uw — — y. Je fais y oc x'(r-uyyc)'(z—x —y)*, ce qui donne Ip —nlx--ml(x-4-yyc) 5 lbid? — 5) (25) donc bcbus oo Palo MAS NEEI. oe o ; Mac és «x € -FyYc $o—ux—2? ai ov : (3E) Metodo mby (5 fx iU. [2 : VOFAD'W X --yYc á — x2 yi? R—x$—)* Substitaant s valeurs dans Bi sstion | PD. eod E Lr een 6$. ES ple x ve ! zYc--pyyYvc. Ld on à dus TUB Ca Sg — 0, mryc--nwyc nYYE- onu 5, —pye nyc pvc .d'ot l'on tire; p —- p, et m. reste: indéterminé.. On a donc y — xz—zy'— x, qud. c XVC, et linté: gale compléte est xx —ry —X —E:(xyyc), comme on l'a trouve dans le $. cité; : $..2». Soit l'équatiom du: $. 9.. (x —2Y)(52) 4 (22— 8x) (G2) m — e On aic P — r—2y,05- 2T —/3 R — —z. Donc les termes compris sous la forme P'4- Q.o- I sont x -- y 4- z. Je fais dence p. — E -- By 4- C z, ce qui donne (22 eEG (8) — IB. (oues — C. Sabstituant ces valeurs dans l'équa- tion Me DopdiidR P (93) zd Q()- R($*) o, ona CA 4-2 B)z— (2A 423B)y —- Cz — o, équation. qu'il faut combiner avec l'équation Ar--By-r-Cz--o. Retuanchant la. seconde de la premiere, ón a 2Bx — 2Ày:— 0, donc PT. P. E o A-3-— — P (en faisant C — 0) Donc AA — 2 AB » BSUBB —0,A--B-—-9. B-—-—A,wv-cr—y. Ona aussi A — B — o et C indéterminé, ce qui donne Xj — z. Je fais donc p — (x — y)'z', mais cette supposituon né satisfaisant pas, j'en conclus que, wy doit renfermer un facteur exponentiel.. Je fais donc p^ — (x — y)», ce qui donne ANDA ml Cx 44 nlz, (23) m e eciaii (3p; jd (GE) 4 Maii , Ie r4 : EH Y "Z Pd à 0" As 1 9v" b zi ; donc p c) FO) R(9$—) —n W. "Uz: ——M On a donc l'équation: : 2^3 E ASA DRAN ipi BEC UU uo oec (x— 2y) (22) -- (2x— ay) QE) — z(GZ)-n— im — o Je fais donc. d'apiés la: méthode: exposée ci- déssus $. r2. fom 8x-byd-9* prep i| (9*3 (9 (a4 Vom EE prenant. les: valeuts de(5—),. ($7), (2) et les: substitaant: dans: l'équation: (Ba — Abi1x y 4-(Ca— A^ x —84-2 Ab—1a)y y 49(5 c—Ca )yz-2- LA b—aPYéx--( US S 0, —S3( Ab —a8)--2(C0b—Bc) . 4- (a—i1) BB- —30C^—Bc).: -- (89 —7m)AA- --g n—m)AB -4— Ac — aC) LEA fo t --2«in—mn AC 4 9(n—m)BC Le: coéfficient de. zz donne. C — a, cela: posé le coéfficient de yz dónne c — o,. ce qui fait. évanouir le coéfficient de X2, et les coéfficiens de xx, ry, yy donnent les trois équa- tions. suivantes: I. 2Ab — -aB --(n—m)AA-—9€6; Il. 44B —4 Ab 4 s(n—m) AB—0; II. 2( Ab — Ba) 4- (n — m) BB — o. Retranchant la. troisiéme équation de la. premiere, on a AA —BB-o,ou (A—B)(X&-^-B) — o, La supposition de À — B ne donne rien; je fais donc B — —- A, et les irois équations se réduisent à celle-ci; 265-- 23a--(n—m)A - c, : donc donc D MU E ici 1 fawadol 2(8-Eb)(x—) d | (m—mn)(ax 4- b y) y me — (m—yywezeeely. 5 Baisani- nz nr. onem (2 ge) z. Faisant n — o, : e bito, -9;0on dumb MD: (x yg» Donc lintégrale compléte est r "OMS (x—y)z zz F:(x-—yYer—» comme 'on l'a trouvé dans le $. cité. Il est aisé de voir que lon n'aurait pas une cR ET étendue en laisant les valeurs indéterminees. d (m — n)(alk -- 5y) En effet on a (x —y)z — F:(x— yy'z'e sibi — 3» (m — n)((a- Wi — b(e — y) Ecc: x o4)930* 4 tee JE IEEE ENDE me CT LAS O(m — mn) m—n x — Ei(x-—y) Ps oe Hope UU —F:(x—yy TA », comme ci - dessus. $. 23. Soit l'équation du $. IO. CIBLE ON CCP E QM ARE ASIE Eq "Ong ME gER eA Sa LH SENA Donc les termes compris sous la forme P-I- O -- R sont x--y--z. Je fais done Xp. — a - By -- €z, ce qui donne (2 2r ers (83$) — B, (22) — C. Substituant ses valeurs ins l'équation de condition Pb x Q(H)- RQY) — o, on a Ue. (A PT - (A 4 B)y -^- Cz cB eéqua- lion. qu'il faut combiner avec l'équation A x -- By -- Czzo. Retranchant la. seconde de la premiére, on a — Bx --Ay-—-o, ct faisant C — o dans la seconde on a Ax PE Bye o, donc | — — — a Ó M Ps ————À dose $c à 2X, done A À e B B6, donc B Z-- A y - x, V - E V-. one oe one ep. si .lonfait«A — B —- o, C reste indéterminé, donc x — z. Je fais donc V z(xe-yy-il(x-yy-axym. Donc lwV- ni T) Ups -XV —1)-plx pL d x15»V-X ' xX—p»Y-1)? SEE No ow rt D. "^ E n &*2Y7I x — y y— 1? [s a De On a en substituant ces valeurs dans l'équation de condition et reduisant, m (1—y/-1)--n(1-—y-1)-p-o. Sim-n,ona 2m--p-o,p-- em. Done quote 98 y 33) 8-70 etfaisant m--i,onaw — necis comme on l'a trouvé ci-dessus. Soit. maintenant p — o, on am -— ^U E7—1) —- gy 1, Donc p — (x— y Y — 1)" (x -- yy-— 1)-*Y-x BUE L-- iy-1i,9n/a-—iny-—r-I- data done p — (x -d-yy-— Quom (x —y y-—iy- Jet. -acT- i x-3-»Y—IN 2 -— Yrr yy HUNG Tv — $E yy.e Donc lintégrale compléte est DR CU AC ow comme l'on a trouvé dans le $. cité. f$. 24, . Soit l'équation du $. zr. &Y (ay x) Q3) — 4x5 (&y x) ($5) — (rd des. & ka VPN o; On- a 1ci P-a4y'(ay--x),Qz— 4X (ay 4-30), R z— (x2 x*y— 4023)z. Dans p 184. m Dans les termes compris sous la forme P -- Q4 R je trouve |xSy? -- y* 4- xy, P x! Jo ax yz A as. je passe aux différentielles, et ponur abiréger je prens :seu- lement la différentielle de R, qui donne (xy! e XM ipe gy EE xy Kr x3" Du g^) zi Je fais .donc ; V — (Ay EF Bzxy -rCmEy -c-Dzy-4Exy--FY)m ce qui .donne (35) zz (3B. E 4 Cay! c^ o2Dxy 4 Ey! SEx)x (9) -— (Ay! 6BYy'-3C€aty 9 2Dxy--4Exy)z, dy (QU) z— Ay'-e Bay - Cx yt IDz y -- B PME T wu Substituant .ces valeurs dans Pil P (2?) E OE) A — 10 3/Gn-aura 12aBx'y"-- 16aC x^y! J- 2$ aDasy* — 4a4Ey* -- 2o 4 F xty* --I2À -d- 4E eX 6s 5. — 16Eqx — e8À a — 24. Ea — 4 Ea -d-1i2E | —284AÀ — 4Àa --12€ i— 4 Ba | 4 ial? —-28Da5y --2o0Fx y^ —8 Déx^y' - sDa^y- 4Faa'zo, --i2B | —24B —312Ca -123C z --12D | —16E .—4Da«a --1i2F ct 9r équatiom. qu'il faut combiner avec celle - €l: AY - B3yt e-) 6a c L9Dy" s E xy'--Fx -.;o. .Je ne donne pas ici le.détail de l'élimination qui n'a au- cune difficulté, | Je me contenterai de dite quon irouve Aa. B — :, et tous les autres coéfficiens nuls, ^ou E E Eon "UD — 1, et tous les autres coéfficiens nuls. On a aussi évideniment Xj — z. Je fais donc y c (ay cOXG yy, donc lh — ml(«y-4- x!) 4- nl (x* 4- y*) 4- ply 4- qlz, (99) 7: E. ?mzax* Hd ENLA 4nx$. GY): — cem A ln53 5, ? qu) jy pue rest qoos era Tov Eun ks $ Substituant ces valeurs dans l'equation de con- E uied on obtient 12a0mx y aus 12 max y. — 4d may — 4am x* -- ay 4- x X. - 16anz)y* 4- 16na*y? d Ióan -—-16n —4upry-4px |, ta 2 -— qx y'-4eqx -0, d met fee | ou en reduisant au meme dénominateur: r2o0mory -4- I2 may!— 4cmxy —4umuy — 4px. 2-545 -«-i2aQ c 12q — 4«p m5 oni uq — 441 On tire de là p — o, m — — q, n reste indéterminé. Donc y — (xy e ox)t) (xe y yat. Faisant q-— 1,n —0,0nàaw-—.— - Faisant Hc T.195, 00/d4:00 — 4 - y. d L'ntégrale compléte est donc —5— — F : (x -4- y!) ($& 25. Soit l'équation dau $. 12. (a xy! —xy' 4A- 43^ M7 ex) (52) | | MU LET ey e - (6a my : 2 jy cea y d yt gay ehafz)gco On a ici E cr Tu siiis eX, OQ ct 3cry -Ey!o— vm — ey» R -- (6cx y'--2y - ao? y— 2 oy) ga y 14x y 8xy 203) N eva Acta Acad. Imp. Seáent./ Tem. XIV. Aa On , m—À 186 — On a d'abord :', -2z. Ensuite prenant les termes qu'offie CO, je fais v, - Axy — By —- Cc Dr, €ce qui dope (3) 2 Av -2Cz, (7) ZAx c5 By' e à Dy, (3) — e, Substitiant ces valeus daas deu P(2*) -- QUE) —QRu7) c 05en obtient LATY E. Ad. d 4Ay -J- Aa ty 8C xy?) 4 :40--8C -— sp T gx — 2b 4-3 Ba -1- A Sup TES o Do b -U PI. r Mu 2 Cóár -— Aary 4- S ByrE oh A-76. Do 2t équation qu'il. faut combiner avec l'équation Ay By. -J- Cx s B 121 6. On trouve apies l'élimination A — o*, B — xr, ce qui donne — xy — y. Je fais donc Ap secn rc y'"y'$?^, mais cette supposition ne satisfaisant pas, j'en conclus qua y a des VEEOUCAHORENS je fáis donc | — weh, v" — (re yvtym, D^. — mi(dx--5Z)-enly -4- plz, à ^ LP L4 (237) — *»au3 ; (2 À. m3 x (25 -f Tj aix 047. uii imaüa cqui E »? "Z ap" phos ) op Donc P(? 2) 9t LORGLT) 233 E | 3 MEA" arse s; — m/z -- amy ande ay'— 7 — Hay AE PONE Wy ray. a a xt r* n -- 8 xy? -— 14 Xy o $uy J- 4634 Je fais n —' o, parceque je vois qu en qom Moers e poc, TUNIS -R (ue s n'est pas divisible par w^, et.j'ai l'équation 187 : i Qv Noti s 03.9 P a exp — "ut? se Mibrieis 09 cc AMA dein MAS. (6o xy e: y-— oy y-2aSy)-e- $T y -1 4X y^ --trxy 20037)z (o umaxea4my!--p (Ga n y" 2 y — 2o? z'y-22^y)-- 8 y?- 14 zy -—8Xy 2à'x) SE OS Je fais maintenant X,// — & — (en prenant pour la forme des termes de a/ et À/ la valeur de M qui renfeune les va- leurs de P, OQ, R) | «/ | ax--b5* ERN Ld n5 dé gabs -ibxty*--dxyS 4-kxs A/ — A'/x4- B5* 4- €xj2 -- D 36 -i- Ex?5 -4- E93 4- G.«3y3 -4- Lx2)4 . 1x25 E Ea3 A On substituera cette valeur dans l'équation précédente, et lon égaleia à zéro le coefficient de chaque terme, Le calcul n'a d'autre difficulté que la longueur. Le moyen qui parait le plus simple pour l'abréger est de ne calculer d'abord que les coefficiens de certains termes, comme les plus hautes puissances de x ou de.y, ce qui servira à déterminer certains coefficiens et simplifliera l'expression. de "^ On recommercera ensuite le procédé jusqu'à ce que l'on atteiut sa véritable forme. Je vàis expo:er en cétail ce moyen dans cet exemple. Je re calcule d'abord que les termes qui contiennent y seul sans r, ct j'ai, aprés les re- ductions, l'équation suivante: E —— 18$ —— I dr sl io PN WA UulYcU 4(Be—bC)y" o «(Bi — 6D) -4(Dc-d Cy" —2a3r?) --4(Da—dA) -s(Bd—Db) -—A4(Fi - fl) -- Fb — B7) 4 smbD cr 8imFD — 2d (Bd —Db)-- 2 B'p — 4o BDp — 2a Bp 4-4 Fp — 4«BFp' V. VI. VIT. - 4-4 (Di — dl)y"* 4- «(Fa — f A)y' T 4GCF—fC)y" -- 4m D' -4- 3(Df —Fd) -——aé(Df— Fd) -- 4BDp sd pags dn -d- «mE* VII. | IX. X. -- 4m By" 2- 4 FDpy" a- 2 D'py^ -- $mBF -— 2 o D?p mJ. d pus pe, s. Le dernier terme donne p 9, ce qui rend le. neuviéme nul ; le huitieme donne B — o; ]e premier donne b — o; le second donne D — o, d 2. o; le quatriéme donne I — o, i — o; le sixiéme donne A z--o0, u — 0; lé Septicme (en faisant f — o) donne .c.— — mF ,:ce qui donne 6^ my — mExj2--ex?y -—- gxi5 4- bx?5* -- k x3 W — Cxyc-CEM,- YQ» rusbi- diss. Kx On procédera de méme, en calculant les plus hautes puis* sances de y,.et.l'on trouvera enfin c — —g-— t SEE kc z- o0, ERG -— IA. 6 — subs donc Z n iym Tab en faisant F— — 1, m — 1, donc LU — d E Si au m de faire p — o, dans le dernier E on fax D-— le huitieme donnera B — o, F — o; le septiéme donna o, D — -io;wd cile sixieie omm b. cz 05 donc | —-— 03870 a^ —— 6xd- ex5t-Lexty-L- x38 -— bxty* -- iz ys -L kx$ DUACO— ÀxcOCx y» d- Ex1y d- Gx3y$ -- nx-9* e dx y T Éxi? et procedant de- méme, en calculant les plus-hautes ae sances de y, onobtient À £ t, c —— "HIR cn P immc a4s4 23 —x y? — x3 EL foni ce qui donne 4; ——74—— — — X — y. On aura mW par le premier cas o — (ru y D Vy —ze-*—o, x —JR: (zx 4- y*jex— 5 L'ategrale compléte est donc ge: 13 $26. Soit l'équation da $. 1 fia sue yx) (^ )-(oxy oc 2 :x2) (55) -- Xz--yz--2zz-o On a ici P- yy - 2 y*, odas xy 2x2, R-2rz--yz--z2. Les termes qui oifient P -- O - R sont xy c yy -- xz -yz-- zz* EAE donc 4 — Ary — Byy - Crs 4- Dyz -- Ezz» ce qui donne 2^) &— Ay -F Cz, — (25) -— Arp :by i Ds, | is I 0ruyDy ex0Es Substituant ces valeurs dans l'équation EOS) —RGD — | on aura i uu | CS e ME RE po u-2À D C BE —D —-.EÉ -2Àrz-aDxz --5Ez2) E Eos SR zd 14 E (2 j équation quil faut. combiner avec celle-ci: Axy--Byy -4-Czxz Ld -j-Ezz — o. (21390 ——— En éliminart on trouve Uso x) Col Dguadec6,0u0b -RENA-D-D-- On a dorc d'un cóté. ry -- yy, de l'autre. y z 2- 22. Je fais en Forced : Veo xb (oe y^ d Yi xy ce qui donne hb — ml r2 y)-nl(r— Pr (rose pi S m c Donc (2: err nh PE yp - QUNM "m L. ? Ls tud qo We co uo c " (9w)ues cba aT. (X) — Li. jp Sebstituant. ces valeurs dans l'équation de condition et re- &uisant au meme denominateur, on a pxycpxyx—pxyz-—pxyz-—qxy -—pzry' inpg iM NES Wis DJ po uo —&$Fr 8m 2 —n -—r aud EUM, ; L— 6, — 2r —pxy'z-F- pry's-F py'v -- qy' pg Sa 8 "vw Qo ona oU Ff — 2m .—sm --n --s5n --?n On tire de là-, r —»0;;. p —g; prcam-—m On a doc. VQ. —(xm-LyJ0v—35)7(yg 22k Si Jon fait. mcstm € 1, on a M4.— 0 Fo $i l'on fait n z—— o;on a vy — (x -- y) rz. -- z1). DT Linte- * E -—— —— — 0 L——Ó I61 oisaiiipc] & Li intégrale est donc (xr--y) (ys 4-21) — P: (zz — yy, comme on l'a trouvé dans le 5. cité. $. 27. Soit l'équatíon du $. 14. ExX(2)— xCaxoey CB) — (6x 5y)z — o On a ij P— xy, Q:.— —5xry —2yy, BR — —oxz —5yz. .Les termes que fournit P -- O -t- R sont donc ! Wy -Laaxy-- ro Fry Je fais donc. xp — Axy -- Byy -- Czz -4- Dyz, ce qui donne (9) —— Ay'-F- €z, (5, — Ax -- 2By -- Dz, (96 — Cr 4- Dy. Substitaant ces vatedu dans l'équation pP $5 SEDIT ( Er am R (22) s.57 Axy eru o um —3Dyz--6Cxz or aj—cD-- 3D | us iE 2À-5€ equalion qu'il faut combiner avec celle- ci i A quet cByy ice Grp. -cLbDyg 231705 On trouve en éliminant A— B-—C€ — D -—o, ce qui donne Eicis y Xs NS Il est Bxident qn'on trouve aussi Xp — x, WV —z. Je fais donc 3p — r"y z^(r. d xg donc lp 2 mlx -4-nly -- plz -- ql rY- y), ce qui donne — MElll & oy? X 4-9* Y | m" i MCN a Aa Wess eA d OE : CM E : 2e. 0(5 s * Substituant ces valeurs dans l'équation de condition, et re- duisant au méme dénominateur, on a (m-sn-c1i1p-2x) xy -(m - sn-e 5p 29) yy-- (6p - sn)zx - e, ce qui donne n-2p,m-2q-—p.:- On a donc ar Avia E Faisons q —.0, nous aurons E -— s. DE NE — - - en faisant p— r. .Faisons p — o, nous aurons y — (x--y)x, (en faisant g,— 1). pate compléte est donc ex : xt (xa y). $. 28. Soit l'équation du $. 15. (az - By) (32), 7b Cvx - 9y2 (82) — 8$ — e. Ob ir -- gy, Q — yz FM, R——7 Les termes que donne la forme P -- Q -- R.sont-x--y--z,- Je fais donc j — Ax -4- By -- Cz, «ce qui donne (N zc A, (OE SE ROI (OE) ee Substituant ces valeurs dàns l'équation P (2) 4- Qm) R(G) — 0, on a l'équation Àax -- "Apy : — "Cu OL 4 By 2- B5 : quil faut combiner avec celle-ci: Ax -- By.-r- Cz — o. On trouve d'abord: v — Z2, en faisant À — t, Eu puisque les deux équations se reduisent à Cz ous Faisant ensuite C- — o, et éliminant 2, on trouve À B (a -— 0) -l- BBy — A'g ciue Cus - donc | — $c cs NEU l l 27S X95 -39Y ee qui donne, en faisant 2 | O4 I esed - | [97] 8 l 4s Ee" — HP A. KE og p ME Qe i CESAR z-56Y les deux facteurs y.2- px, q y--gx. Je fais donc xp — (y. px)*( y -- qx,z, donc COP —anl(y-- px) -d- nl Cy -4- q1) PUE c ce qui donne J "eed mex unPit ii 4 s NU "(Xni yi asta ov ed nc? L———— 6L, 52 as dace xv 3 -7* px dMzed s ois v z Substituant ces valeurs dans l'équation de condition, et réduisant aü meme: dénominateür, on a (amp fmpq--anq--gnpq--my--mq--ny--n p-rp—rq)xy) |. -Campq--enpq-emyq-enyp-erpq)x zm M—(gmnp-- fuo m3 n r)y L'on a7donc les:trois équations : —d I. Qm p-- Bnq-- m3 - n3 e r —o, ; T. ABL C EU TUEECUH lll. «mp --. £mpq gang. EnP1 -*my-c-m)g-ny —np-rp-rq- ES Ton substitue la. valeur de r, iiia de la premiere équa- tion, dans les deux autres, celles-ci deviennent indentique- ment nulles,. comme on peut s'en assürer en. remettant les valeuss de p et q. Ainsi m et n restent indétermi- nées, et l'on a r — — (mp — Pnq — m3-—n?..On,.a donc E ELE pi, "(y 4- g x q— 0nb—Bàg — mà — ab Si l'on fait n 2 6, m ApEE (y -Lpr)-9Ltrim Faisons m —' — E. nous aurons : Nova Acta Acad. Imp. Seieut. Tom. XIV. Bb V 5 a——— € y)4. RÀ poen — € — ; ig V — z(y -4- px)PEe€$ — z(y -- pxycti-we-ire4P-.y uH err pic Faisons r-o,0HH X — LM zehipqu-6) à Donc wp z— (y-px) 79 (y-qx) 25 -Y(esav ra8T) cab px) "cess sce EE 489. — (en faisant n — a--9 —Y(a—38y -- «£v (y -- px) * 5 YO T 3GBE(y e qx) t? 7 oci? ÓmI- Donc l'ntégrale compléte sexa 2 — — z (y "- Dx) ye-9-vix—i$ rc 3»y | mtb (y 4- px et vis-? cay (y--qa yc Yaci tv, ce qui revient à ce que nous avons trouvé dans le f. cité. Faisons ensuite m — n, on aura, -. Vc yy -- (px q) uy -I- paxir)^g c mitur en e — (yy d- (p-- q) xy -- pqxx) nane — (en faisant m Z — 23 z(yy4- (p 4-q)xy 4 pqxxy* On peut donc mettie l'intégrale sous cette forme : : I s(yy -- (p--q)zy —- pqxz)^ «v5 —F: (y 4- payisseeug 9]-a— p jy usu Jared a PER comme nous lavons aussi trouvé dans le $. cité. $. 29. Soit l'équation du f. 16. is zx($2)o yy G5)— ny — c. On a ici P —oc*-w. 0 — yy, LI c— HIM La forme que donne P-- Q-- R. est xx -- yy 4- xy. Je fais donc vj — Axx -r- Bxy -4- Cyy, ' ce am— 195 mem ce qui Bine (93) zc 2 Ax By; (n - Bx -- 18g (93 - Q. Substituant ces valeurs dans l'équation P(3) 4- O(G3) — RO — 5 on aura 2 Aa -p Bry 4- By «ey Veg, équation qu'il faut combiner avec celle-ci: Azxx J- Bry -- Cyy -- o. On trouve en éliminant, B — — A, C — o, ce qui donne V —oxx—xy-—xr(r—y),;0u € -—— —B-A-—-o, ce qui donne WV —(x—y)y. Je fais donc desto babxp OU d On a dox 1 shwepjdum d ues ig ply. ENS S o v 3—o 'Substituant 4Ces valeuis Bus TS de condition, on a i 5i5-e hy —122-py — 0, | ou (m -- n)z o- n) (m —- p) y — o, | donc n--—m,p-—m,yI(LL—r3. Comme je n'ai qu'une valeur de xp, et que cette valeur ne contient point de z, j'en conclus qu'il doit y avoir un . facteur exponentiel qui contiendra s. Je fais donc pom wrev, y^ —(z—yyuy, et jai l'équation | EIE )*yy G5 )— v, pyy2U 4 On n) x (mp) y — Comme Iz variable z nentre pas dans cette equation, je m V — (x— y Yx'y'z - a (x — y )"x"y?. Différentiant et substituant les valeurs, | | Bb 2 | onà — 196 — "Z v (y — yy — Y) "ET Arcs ura(r-yY o ueber DE y'y**!z-max(x-yy*-Extybt —nafg — yy" xti (x — - y)*x EE T --(m--n)x- (m gp)y -px- y "x^y?*! l'ài d'abod à — o, ce me reduit l'éQuation à [n ex —y) nn 2y - Y (x — yy rye, 1) i -n(xr-—yyx'y y tta- On 4-2) UE | L ll Oo n mre p)y —v (x —y) —'!xy? ex. — y) my Kb susob 3d quem x (x y) (n )'aty"nom 2 y) - E nx y) x' ty? *qmon)xa- (m--py í ; Les termes qui contiennent z donnent Fits yen — Os : -—pu2 |j donc v — e — — yq et. l'équation. devient n'(x—yx "yt-*"-ona4n)e--(mspy 9, |! $if / / RP / s : : ce qui:donne j.Z 1, n/a- m n Zo, nz-m — n, p - n' — T. L4 x ap s Me — — n — . Done; p. x. pA mary "em um — (en faisant Wb — gye(owi PT Dong: p —. (2d E ay .. Liüntégrale est donc (2 y" ien 2e n (2—2), comme on. Ya trouvé dans: le: f. cite,. LE 30.. Soit y ona: du. $. 14. xr() — xy X) 4- nx — n Güadob. BR: w»X0dD — ry, Roc 9)JA | La- gc 195 m | E4 forme P -- O -- n donne xp — Ee Bey Cyy; ce qui donne (?Y).—-2 Àx -i By; (29) —— -— Br--2Cy, (33) m oc. Substituant ces valeurs das l'équation | P() e QU — R(S) — e, GI 2C E. "eed TBry 2 uy" — 1 — o, ou NE PIT. equation qu'il rut combiner avec celle-ci :- Afr --B.xy -H'eog sem On: trouve, en faisant B — C —c, Pues xD As. ES y- Je. fais donc Vj x^ y". Done lp mlx --nly,- / QV sup (5) upon paper cd ur MOCEED Sübsti'uant ces valeurs dans l'équation de condition, on a mr-—nx-o,oumc-rmn Donc V zy. Pour trouver main- tenaht une antre valeur dé wv, qui contienne 4, jé. fais V -gxy'z--ax"y', etsubstituant les valeurs dans l'équation, . ; prb tym utt tyr hy p dais: d —na Les termes. qui contiennent z. donnent. j. — v. Pour que les exposans des deux termes. qui restent , .S'accordenit ;- je fais W-r1i-p, ncv-2czg4--2, donc nzgm 3.) L'équation devient donc — 3 à/— 1 — o, donc a — — i, j et faisant Min GO. Wee "y ho pA Donc Y cg — 2» Lntégrale est donc ECT Fu comme nous l'avons Ironie Sas le $ euer M 3 LU . €. 41. —— 198 — $. 31. Soit l'équation du $,. 18. x (25 L)ceuw ($5) — n yxx-yy — eme On ra ici Pura OQ — y, la forme i. m donne donc V L—CÀxc-- By, ce qui donne (39) — A, p — m Substituant ces valeurs dans l'équation . P (2).. Q (29) — R () on aura AÀx -- "By — o. Mais cette supposition étant trop particuliére, je prens la forme P -j- Q -- R qui me hospi Ap— iiis --Cyxz-yy, (X) — Ac VL, 2) c —P o4 .— —— Substituant ces valeur, on a Ax --OByceUCyzex-ype o, ensortte que A, B, C restent indéterminées, Je fais Mdonc doce CI DUE YF ce qui donne tias Lmlx -4- Md Adr pl(xr, --YXY Dd us zai. Em Exm Jie L6 RU "e Xx 3-5 i XX y)» Substituant ces valeurs dans l'équation de condition, on a m --n- 2p -— o. Ces valeurs fournissant point de z, je fais Np z— s"y'(»x -LF yyyz -- ax"y"(x2 -A- yy». Différentiant et OPNS les valeurs dans l'équation de condition, on a p xy" (xa -- y yyz a- agat 3 (rr - yy 7a Mee xy (xx 4 yyYz- 2ex"y'"C?(xx--yyy-—!z | -- em x" y" (x x 2- y y e4- 2pax" **y" (xx4-y y? —1 Sae ( ana y (22--y y-c a pax"ys Fisica -- n'a^y! (xx 4 y y)f** Les QA— (F9QQ WE Les termes qui contiennent. z donnent / — —— [eg — o, L'équation est donc -— ax" y* (xx yy) (m--n--2p)-nx* rb ey - Les exposaus donnent p — I, m —— p, n — — &, ce qui réduit REUS d Et n — o,domc qq — — qr. Bonc. i^ — Cw —- n'y 93. La premiere Tear donne acceqpetar aem 2p, Donc $25. x22). Faisant p .— o, & —. o, m — t; On a pour l'intégrale z—n' Yxu yy: : 3, comme on l'a trouvé dans. le. $. cité. $. 32. Soit l'équation du f. x9. (2* * eyed) (2x) — (2xy a- 2 xf-- 2 x^ y z) GJ --4ry--2Xy--2yz2 —2xz-4Xy-—a4xryz-co. La forme P -- Q-- R donne y ZAy'--Bxrxyd-Cxz-4-Dxy - OEryz--Fx'-Gryz-Hyz. Différentiant et substituant les valeurs dans l'équation (22) *Q(5) — R(2*) — o, on obtient l'équation : —4 Axy* —Ü m | (—4Axy' —^Bx'y O—Dxy-—aEyV..G x'ys) mE B 4A — 4A nc 2B à " —n-4C 4 2G -- 2By* 4 2 Cy - 6Dxy a Ey'z 8 Fxiy —4EC ^-—cB.| * ] — ar m | ^4 6xy2 e 6Da*y-- : Ex 'yg a 8 Fay - 4 Geys| --2B' "t* VMETOq UN you UE Dor 4H — 52H € (D Si --£H 2DOryz--cExytst-4Gryzg- 2Bxy-—2Dg --$H — 2G | | -2G — 2D —4EYyz-:Gzx'z-i.Hx'yg-4Eryz-4Hxyv L:Cxz-- 4Ez'y! -- 4G xy! 4- 4E x"y/z 4- 4G xy, équation qu'il faut combiner avec celle-ci: ..— ^ Ay -Bxy -- Crxz-Dzxy-ExyzeFx'4 Gzx'y z-- H yz'- o. On tronve en éliminant C —CD— E—EF- G-— ALD — 1,6 qui donpe A —- 5 By maniére A — B— C—D-—E-—H-— 6, On a donc V -Iy(ix-—yy-—i),w-—r Je fais donc en general V/A (zy y iym yy by - nl (x--yy-1)-nl(z-y y 1s G et d'une -ed um (X yz) )" x^y* ( x" -— yz)", donc E] -1)- pl xgly--rl(z boa D - 25.1 UE D H — autre 4- y 1). Donc — tha Euroy".- L2 x "Uc ih Diaw. sm Bang (22) — 577— Fx3»v 07a E -- x ryi* av^ m Y —Xx. | 2v —1 q 1302 6» mTyY-—i eoru b "s x? -- yn? "m i^) Ty Md ees Te Yd T. Donc P (55-4 Tl rm Lj R (E i)z-smmy-r-imxyzy-i : NU Y —imyy-ai -onmc imei R MAP Hd c onyy-1i-e2rxz c-4rzxy'--4rXy —?r yz — M, en faisant p — o, Hy — o, qui sont exclues par la condition que PX). m — R (217) soit divisible. par v. On P à E P (222) 4. Q (27^) — R (8) — c, Boat m-—m-rz-o, CE qui. donne une. valeur de p — xr--yy. L'autre valeur de X, doit contenir une expo- nentielle; nous prenons donc l'équation (2E) --Q (GE) — R (£7) "uM o. Ye fais Ni —— AME Bx y-PUx2-- Dx3 y--Ex y* z--Ex*H-Gx?y2--H3?2*4- Yx? z-eK y?a-FIx y9--Mxty 6 y? 4- bx y4- €xz-r-dx3y-- exyaz -jx* -gx? yu--bytu3 4 ix?z 3h yizdMIx ja d- mxty' On trouve, en substituaant D-— G jb - G et tous les autres coéfficiens nuls, ce qui donne V ILI lxi xm Y'ntégrale est donc Gr. yu) e mci (xr yy) comme dans le $.cité. $. 35. Soit l'équation (^ - -yi-i)(zy- iPones Ir. -(y'- X8 - X) (4a 5 ae») Gz)- —Y --xz-443 --a4x- "-3Y'u— 4€ysd.axWuo saa posu (anpeo oy Nes Acta Acad. Imp. Scieut, Lom. XIV. - Qc c 35Xz 4-3yz—93y --2yz m. -- y'z --o,du $ $c. [La for- me de P donne Vj — Ax! —4- Bxy -- Cy^, ce qui donne en différentiant et substituant les valeurs dans l'équation P(8*)--Q(95) — R(2*) zc eg; puis divisant par y' — yz — 1, —$Àx e6AYy—9AÀxry 4L Bry—3By X 4| 4-2 B --6C€ —2C A OR -——8B j équation quil faut combiner avec celle-ci: M Ax'-- Bry — Cy! — «. En faisant A — o, on trouve pu us (x —y) y. En faisant B — o, on trouve A su. ——, Xp q^ -- -y'. Je prens en:uite le facteur y*-— yz—1 commun à P et à Q, et je fais p - B y^ «- C yz, ce qui donne (29) —— hio (es 2By-- Cz, hate zd Cy. Substituant ces valeurs dius e eser de conditisté on à SBry.- 6Bxy KL SB? — 8 Bx)y? — 8Bx'y^n -- 4C 4-3 y -- 6B x^y* — à By: — 6B az^y'z -- 2 By* — 3€ -- 4Cx'z — 6Cxyz —Cy'z -- Cxry| — Cryz-r3Cryz—3:Cxy' -F 2 Cxyz J- 35€y* — 5 €y^z équation quil faut combiner avec celle-ci : By* -- Cyzzo. On trouve, en éliminant, C ——.B, Dono. ec uy E Je fais donc p" — (x — — yy (2 -- 3*4» (x-— c-r, ce qui donne [X^ — ml (x— -X)-niG "ge TIE E 0: Ys 27 nc ace ES ps 3r: RIS E Ab ee ru f AE 9 * x— ^ zr. yez^ 92 4 TU y wm d v "w^ Sub. Substitaant ces valeurs, on a. EB -)--0 (297) — R(27)- —smx —2:my-snux ' ; cu Ae v ^ ocnny-—py —py £5 3p — 3py - 4pzy -r-3pxyz 2spry-3px —4px* —px -M. En faisant p-o, mc n, on trouve P.(27) -- O (Bed nes R (917) — o, ; ces qui donue mee valeur de Ap. —— (x — y) (X -E-y^ Pour trouver une autre valeur de wj, jintroduis les expo- nentielles, ce qui donne l'équation SOUPE -rLOQGrIy-— RQE)-M -— Je prens pour la DES de X^ la tote de M, ce qui donne PUT Alx3 H- B y*z 4C x? | 4-D»y?-4- E yd4- Fx3yd-Gx?yz-4-H x yH-Ix2-- K x3z 4- L x3 V —a x3 -- 592z 4e x?59-r-d y2--ey--fx3y-c-gx?ymd-bxy--ix?-4-h x32 4-1x3 Erant G — L, ——L «t tous les autres coéfficiens..— o 5 ap duteys e -- yz. La substitution n'a d'autre difficulté que m RM du calcul. Je fais donc puse yrs ses g)eetircron, ce qui donne ; ; ly — ml(x—y)--nl(2 y) -- ply —2) 4 q(xeyz (2) z LE. d-q e ox CIT, x3 -- t Ru )oY—..- 2]n y (2)- x—5 CoXHISUA E | cU UN E EESEL Peg (2 5— ym y On a en substituant les valeurs dans l'équation 2 QV X cuc E 96) - RGD e AS Y FORTES Y s reduisant au méme dénominateur, et effacant ce qui se dctrait: Cc 2 — 2qxy — B -qx -sqy'--4qaa--gpxys-—qyz 3 Eu Duo cep ssp c--upp ES 0 /: (n-mX. / ce 4qx!y 6384 -39Xy —23px 1 ( 9 e- — 4p — p 4- 3 (n -nm)--3n - 2ma-2n-»m r 4- 2 (n 91) ! )j On tire de-]à q — p —— n — m: Done (x mE cm y Cy LL y umgoe mice eas ps FaisanLen — m — 1, on à la valeur trouvée ci- dessus; ——dE oJ) d- y). Faisanpuleesoc. nosc--22500 2 qu Eu 2 P de L'intégrale sera. donc (2—) e t 2* tu (x —y) x cbe): - | $ 34. Soit l'equation: dà: $. 50. (y -2xz -oxy" Go gyz cy uo pq T SXyE SLE ep ry 2 ge NUN cC 8XY£-- $xyZ e3y2 —r£—x —cxyyx-—xyr:-:ixyz — ya — x'y-2zxy* -2y'r —üy-4xyz- —ryz-—sixy-) 9) c(x--2xyuacxyz--y-d-2xy'--aryzu czmcvyz a PE — yz —3Xx7 poen nt nos LEES I Pay REN U MMDE "RR SER Xyz--cxryz--z —x'z—— »xyz -4- x'yz — ys — o. On truve par 1a méthode exposée daus les: cas: bulitecs p, ape ic y-[-aXxx. Je fais: donesabe se yr. X2)" (y. 4x3). donc — I —— ml (x-- yx) -EOnE(y-- xz), ov^ — "ü nz QU ET TUE] kie vp nd M) meri ru ym : 2x27 os 2 E. XA CH y xz?! CD : vi^ mu jut (9E l7 MM QE DT. AIC UE v Donc AS RIT dcs "E E dieci aac n Me. n. om ooo mon o nn s PERSREIPRNE T IER PREN ed [^ 2v 9v p PRU. Donc Ret QG: CuROP n m(—x -——x*z Ex Bp 27 He dom $yzr NP. y —as 4-yv)-en(w am ioys — ul —aryu ANS i — X MET Üj'xm M. L Eoo est dur P QU) n QC )— R(3X)-d- M & Cette: valeur de. M We donne la.forme de X^, et je fais à lordinaire V — S ayant,D' — Axx'-4- Box-r-Cxyz piyceEryz--Fryzc-Gryz--Hz--Iy-e-Kyz--Ly -- Mrzi-4Nzxyz-Sryz--Txyz-aUxy -ceAxy -Bysz LC -4- Du^z -- E^y^z d. Eu; --Gyz--H'yz-c-kxy HN x Ist bz 4- Mép -E- N^ m5 znaoiacbxxecxyz -- d x'y c e)xym- cfrzyacgxrys — hz idol: ky. ly)emxsz Vhxyncsxymetxy 'z-oumy amy au oyzo sta d'y ey zi fy -gyzehys RODAD Eee Ws -- m/x -- n. On trouve en éliminant E/- F/ -d/-n, m -o, et tous les CMM DAP CEBOC MP TE db 2 etc nas autres caefficiens nuls; ce qui-donne xp —. we RUNE Zl Mei. i—sCyrH- x2) 80? 5^, od vr (y - x*)60)7-*. en END —3. |Om treuve: aussi F £9jE/—: H'-— &-——m; NM, Ce qui donne,. en faisant nuls tous fes autres coefficiens: AA cui VER NGERANUULIS ELI AM Xy oy xw. T y 5 On: a: donc UENM ple yos tgttaet Her oe Ch fa sanc m--i1y(x-yz)eoc-»x*-*. LEintégrale veto és. Honc (xn gu gre rri muy xx) eo en comme on. l'a. trouvé. dans. le 5. cité. bisy $.. 35: —— 206 (. 55. Soit l'équation du $. 34. 3 3 2 2 2? 4 ? 2 3t 2Xy24-2X2 --2X12--2Xyz xz —2xyz—x —xyz)(2* EU TU AN - STITR M -(a2rx-4ryzo2Xxy2-L2-T --201yZ Xy 5x-y$-—2X9€* x cmo. (0. E sg Xx--2rxr2 u^- ox --xyxz *tGycexyw — X* — 352 iri ——'ealestrouve par la méthode exposée ci-dessus ip — x^-- yz Wb — x. Je -fais: donc. Ap/ (a eem ^ ce qui donne dATS 0m yz [ IU smznul(a --oyz)-can,(Q Ey m - un i Ei —— mat (397) — 2m»s rm EU rer Sa a —- — *'*-»7' On aura donc la valeur de " 5-7) T 0) — BR QE) CO Ut s gd ema are -m(—2x'4x'z2x* TON uedymerye —axzi—sxy z—:z) —n(2yz42z--2r12-2yzg—z-—s:rxyz—xi—-ryz)-M. osos en xj sera donc PCM yia Q( 292) RIORS) e M Cem La valeur de M me donne la forme de V4 et je fais- v — ayant Q' —Ar-J4- Bxrz-rCzrz--Dryz--Exyz--Fxyxr -- Gxz 4- Hxy'z--lyz -- Kz -- Lyz -- Mz; m —adx -bxrz-J-cx* cdzys-Fezyz-kfzyz' al 4- hxy'z--iyz -- kg --lysz! -- mx". Substituant. cette valeur dans l'équation de condition, on übuxe! dO) RO EZSHUEPUCESNEH — n-:cwb ce: qui: donne X/ o rep euradolic sp (c (x tc -xyz)e" tot. On trouve aussi D — H -—— B -—i —mnm-uaeeto ce qui donne X Lucr Loci vi- Xy e x. Eun 3 donc 4p — (x: "yz Sesieiene. Büutésrale est donc (m -- yz )e^ ^ "tT mE : (x! -r xyzz)e?-2?**, comme on l'a trouvé dans le $. cite. T f. 36. Soit l'équation du $. 4o. (vex -2vry 4- (eX — vcxy — 2Xy'm -- 2xy) Em h- (urg--2 8 oi-2vxy--TXye2xy* dg xy) (55 -L-uez-bigre-e x) x-2ry*—exXyz-o:On es par la méthode exposée ci-dessus xp — r, wj — y, vp — 3. Donc V z— x"y"z^, ce qui donne | / 2 míx dd --alp, GE) — E Ap LSOGE) s - Gi — EC idi / j On a donc 27 -- ees )— R (V. oec oM et l'équation deviendra P m e Q(27)— R (27) M Nos eu Or on a ici MC EE SV peo EX Vor à yT) -- n (&T -- 24z — avx' 4 TX 2xz —2x—) — pug -d- gx cc 2gy* b o2mxy-—c2xy) On a, en. prenant pour V^ la forme de M, X — z4T , et QY* — À -- Bx 4- €y -4- Dz -- Ex' 4- Ey TEN - |Hys--dyzg --oKrz 4- Lrz -4— Mxy: 4- Msi -* — a --bxrx--cy--dz- ex --fy -— gz hys --dyzx"-4- kxz'4-dx*- 4d-mcy -on/xy. On touve en substituant. ces valeuis dans léquation de condition : Eu od. £s i et et tous les autres coéfficlens nuls, n — 0o, m — 2 [.- i Donc / — x 4- y -d- £, €t D dea ee RNEHS Gn Uuouvelaussi^E. — E z—- G —— a4 mn Lo, mS pcne Boh cce ou- y; --' x-ynp cy" ox eem E 2 T L'ntégrale est x"z' EE | —F: ya EE. comme dans le.;$. cité. $. 37.. Soit l'équation | (xx-xz x'y--xytc-romy d-oxy!-d- yx) (33) q gipQuuo-ikys-L-9&— ay — yy y O5pdteenet sm CORREO hu & Kur -- x'zo- xz -- Vyz-oxyw.? -d- y €- -blem-yE vx —00$ 0n X. ritc. On trouve par la méthode exposée ci-dessus Vy m xey,Yv oru Voy ya Je fais donc 4p/^ — (x 4- y )"(x 9- z)"y?z, ce qui donne ] X/ — ml(xay)-nl(zx- 2) ply 40z.. "oc (QUA — UR ul bo (Ay 3 dE Donc (3E Tu ite E» EEy- oy! (3232 0c E 2 On a done P (9^) 4 Qu^ AR GE)- m(x — y--z-Ey--zyz) y^ 4- n(z--yi—z--xy — xz— syz--y '— y*--—xyx) -- p(z--xz--yz-rx—y)—iügqrxd-z-4-2xry--:yX -- x ' --zxz--Xy-r-zxyz--yz--xy —y) — M. Ona maintenant l'équation P (22) 4-2 Q(:7)- R(?7)-- M — o, La valeur de M fournira la forme de X/, et si l'en prend seulement le coéfficient de m, on aura ^ — A]Ex B»1:L0662p4— Dxy-4-E»*T a x 4-b y --lez 4 dxy--a8yz on trouve en substitaant cette valeur dans, léquation de COn- . NEFIVERRBUCUC HEUTE NT ces TS DLUSSIES MOT Ier TP Rae er Bdiion, D-a-1,wmseoe;ns5per,q-o,ctequidonn E, rn M | $m y cy, vo (x2) ye. On trouve aussi D -—b5-— 1,» —0, p —0, m —'q — 1, ce qui donne w^ — 7. scam, e (x) xeu lLintésrale, est donc (x2-y)ze" — F:(x--:z) y&».comme dans 1e $. cite. $..38. Soit l'équation du $. E PG) zt Q5) dg o .ou pz—Xry: A xcd ^y 4 xy AMT 4-4 xy? -- a yz o cix'yz -— cu ryz- —xx'yn-caxyzerixym; Q—-—3zxy!—a4xyz-axyz-4sxy -3Xy* —y! —Yu xy "-ryz o 2q*5y*— dici -- 4x y* -iozuXy "etg in rt se Ae "certet A —38Xy pute y'a yu —mxy'z xz —2Xyz-4xyzac:xyzr — oxy —coxymz-2xyc. 'On trouve par la méthode 'exposée ci-dessus Xp — X, V — y, V —3z.o Je fais donc q/ — xzy'z* et j'obtiens la va- e de E5096 A EC EE Ta ai maintenent T 'échiation P(S5) 4- O7) — R (22) M — e, La en: de M -donhera 15 forme de W/, et pc seulement les termes contenus dans P, on a w// — - ou Q! — A xy' 4 Ba?z? -- Cx yz -- Dxy'-r- Exy* -- Ey Gy Hy e Ixty z^ Kx^y 2? -- La*y/z 4- MxSy? ONT y F Nova Acta Acad. Imp. Seient. Tom. XIV. Dd ism " —— LEO) c — a xy ae b xis! o cxyz'- dxy! « exyzt -faxy - gx'y : 4 4 / ? e? 4J-hyzxri--ixyz- krymv-lxyz--.mxysze- nxyz. S b:titaant cette valeur dans l'équation. de coridition — on HONVS EMT LL -— qm zc,et tous les autres. ccetli- ciens nuls, m — c, n — 1, p — — 1, ce qui donne x 4- y! Mi r2 aA m ., donc Xp — —g7 c7. On truve àussi y|-—2 Z | C NEASAGERXN M Tf 1, 6L t0US les AU EN CO- éfficiens nuls, gg — p — ', n — c, ce qui donne -F z peri : , (— —. wp L— xze--., Lüntégradle sera donc gv JX. » I2 y xt ^ »*2 rfzez—25? — F^ ( e» *), comme dans le j. cité. Z €. ^c. Si l'équation ne con!ient point de terme exemt des différences paiiiclles. la nmiéthode géséral- ne laisse pas de s'y appliquer. Soit d'abord l'equation à tiois variables lequation de cordi ion. dev ent P(93*) 4-.Q(*!) — o, à laquelle on satisfait évidemme»t en faisant X; — f : *, do'c on peut faire z constant dans la iec! erche de lautre valeur de i5, dés lors l'équation Pey — Qcx — c, sera Ut&ilable immédiatement. Ainsi l'equation E 2A "d e "E e P4 s 9^ — | (v 5.39 12 GRE (sry) x donne l'équation (x 2- 3y 2) ^y — [: Xy ^ z)cx — o. Intégrant en faisant z constant, on a Xv - xy - y/z — xv. L'ntégrale compléte es. donc x y -- yz -- Az! — F:z. On d auialt E / aurait trouvé. le méme xésultat. par la^ méthode géréiale. On pourrait cbjecter que si X 10m erme une fonction de z seul. cetie mé'hode genérale ne la do nera pas Mais je répors q'e cette fonction. est inutile, puisquil est évident que l'équation (p -f:z — F:z,na pas plus d'extension que l'équatjiom Q — 'F:z. $.4o. Soit l'équation à quatre" variables P(9?)--Q 4- e R(96j— E. On satisfait à l'équation de dinis en faisant z — f:v, psu 'elle ju P (9v) &- Q (9v) — B - — o, Donc dans la Eclenhe dé. XV, on peut considérer v comme constat. ll en sera de méme, quclque soit le noubre des variables. $. 41.. Áu reste il est évident quesi les fonctions de l'intégrale compléte ne contiennent une ou pl:sieurs vaiiables qu'au premier degré, elles disparaitront dans l'équation, et par. CO: séquent ne se reprceduisent par aucune. des operations de la mé! hode. générale. Mais il est toujours aisé de les rem- placer; en les faisant entrer dans la valeur de X, avec un cocíficient indeterminé. Ainsi, par exemple l'équation (uoa) UoelemEs 13:05) 4o 2$ 0-1 —0 donne l'équation de condition | (ui) ($5) o- («m2 2) 2) — (2x — 1) GI) — 6. On a, en prenant la forme des termes de P "o S Rs muc muc ye. e - Lum [ix fen mettant pour 2: la valeur — * et rccülsart an méme cénominateur ) 1 abes. -- Z. [lest donc évident que l'on ne trouvera Dd 2 jamais 2E 9. [men jamais de y. | Cependant lon: ne peut pas faire (2 m) —. 5; je fais donc (3) -zq, ce qui donne wp — ay; et "Tintrodüis: cette valeur dans celle de v. Jai donc y; — A --jBz -4- Cz -4- Dx' -L Ez -ray, et je trouve en pratiquant la methode: g13,'4 — o. D—— B4 C zo, BH cu L'ntégrale est donc x'y -- z — F:(y--x--z) On « fera des remarques; analogues sür les équations à plus de: trois variables; mais comme cela n'a pas de difficulté, je ne: m'y arréte pas pour ne pas allonger inutilement ce Mémoire: RECHER- 6, do 1:2) m Odue4IED scd. Hs —oE I E Tr. —— 2I — RECHERCHES: SUR LA SPHERE £T LE CYLINDRE PERCÉS CYLINDRIQUEMENT,. et sur une infinité de maniéres de percer la Sphere: de: facon que le résidu de sa surface et de sa solidité: soit Md assignable.. PAK TUIC OE UPS C TCUDS Sn Beo l'Academie:le.:16 Avril: 1800; obra. Eu parconrant dernierement le sixiéme "Tome du Magazim encyclopédique rédigé par M. Millin, j'ai la avec'le'plus grand intérét la lettre: du. C. Perkaven:. au. redacteur, sur le 'Trai- té de calcul différentiel & de calcul intégral «du celébre BBossut,. qui-avoit para depuis peu À lafinde cette lettre lauteur fait mention d'un trés beau théoréme' qui se trouve dans l' Appendice: de cet ouvrage et qu'il anonce ainsi: . Si l'on gerce: une: Sphere, .perpendiculairement au plan de l'un de ses grands cercles; par. deux: cylindres: droits en. forme de tariéres, dont les: axes passent par les: milieux des deux rayons qui composent le diamétre: de ce grand cercle, les deux portions: qu'on: enlévera' par. là dw Solide entier de la. Sphére . lausseront un reste. qui. est égal aux' deux. neuviémes du cube du diamétre de la; Sphére. (Magasin encyclopédique, année 4"* Tome: VL.page160). Frappé de cette belle piopriété ,. je: L] Tab. lI. Fig. J. M— désirai vivement d'en voir la démonstration; mais dars lim- possibili é d'obterir de si'ót. louvrage qui la renfc ime — il ne me jesta, pour s. ü:slaire mon impatience, d'autre parti à p:endire que de la cheicher moi meme. Cette 'echeich le en a eniraine d autres et. m'a conduit successivement à plüsicurs autres thiéorémes relatifs tant à. la Sphére qu'au cylindre peices de trous à bases circulaires et non circulaires. Q el- ques-uns de ces tbéorémes sont, à la vérité, dejà conn.s; mais en rassemblant dans cc mémoire tout ce qve cette recherche m'avoit suggéié, j'ai pensé ne pas devoir les on e'tre, à cause de leur liaison na: urelle avec lcs !'héoiémes pouveaux,et a cau:e de l'aniform té instructive des méti odes qi ont conduit à la démonstraion des uns & des autres. C'est. ainsi qu'on trouvera ici, outre la démonstration. du tléoréme mentionné de Bossut, aussi celle du t'éoréme de Viriaui et de. celai dont Moitu.la parle eu citant ' aenigma, geometricum de Fiviani . Hist. des Mathématiques, "Tome 1l. p.-:) Mais on trouvera aussi-que le fameux théoiéme de Florence ct le théoréme plus nouveau de Bossut ne sont qu'un cas tés particulier d'une propriété beaucoup plus 2enérale qui sera démontrée à la fin de ce mémoie. Théoréme r $. 2. Si à travers une Sphàre, dont 4 DBE est un. grand cercle, on fait passer. perpendiculairement au plan üB ce grand cerce, deux cylindres , dont les diamétres sont 4C, CB, moitiés du diamétre 4B, la. portion de la Sphére qui reste sera &gale en solidité aux deux neuviemes du cube de la Sphére. Démon- — 215 Démonstration. Soit le rayon de la Splére, ou le diamétre de chaque cyl:.ndre, CA- BA - a; eten tirant. dans la base de lun du joint C, deux cordes i finiwert procues CP et C p, soit lanjle BCP - 4, nous aurons lan: le PCp- d ;-et la corde CP. acosT. Du poi^t C, pour centre. avecles iayors CX - v etCr-r--cv deécrivous, dans le plan du grand ceicle, entre ]es cordes CP, Cp, lcs arcs XY ct xy, ect «n X concevons érigée sur le plan ADBE la peipendiculaire X Z, rencon- tran: la surface dela Sphére en Z5; et l'éelément dela solidi!é du cvlindre qui irsise | erperdicul«irement à la base circulaire .CPBG s: sera le prisme ayant * Yvr --.v^voQu pour base eum —vVcZ-C€6x —1 IUE pour hauteur Ainsi cet élément de la solidité sera égal à v voQ :iaa- rv. Dé-ignons. par 5 la solidité du cylindie qui rasse par le cercle CP BG et qui est terminé de part et d'autie par la S,hére, et nommons S la :olidité qui reste à la Sphere apes Pa pederalion, desorte- que S — *4—7 — 2S9, et ; ^ —— L , nous aurons ;$'— fOTfvoóvy du. vv», en prenant l'inté- D XERTMEDELNSUT LL . : D L. VAPA. gale fvrovy aa. - vv. depuis v — o jisquar- CI à COS /, et puis l'intégrale [2€ frdvy aa-vv, depuis Q — o, jusquà 5 — BCD — 9 *. Or comme fv: vYaa-v» — C—Íaa-—vv? » la con- stante C étant déterminée conformément au terme d'intépia - lion préscit v — |, on aura C — ia? et partant ideas so 5 dai accunb- ce qui étant étendu jusqu'à 1 autre tcime ad quem. v — a cos. D nous donne [v?vV'am - vv - id — i'am — aa cos t . ou bien nous aurons pour les deux termes d'intégration dE | JvJ N Er EIS 61 —— ———— depuis p —— 5 | et foivYaa -wi| re - | 2 Id (1 sin Q?), jusqu'à v — a cos En multipliant .donc par 9 Qet prenant de nouveau lintégrale, nous aurons [9C[vovyaa —vv —:C -- Ia -- Ia? (3 cos -- 1 sin Q^ cost) ce qui devant évanouir au terme a quo (Q — o, fait voir que Cz —20, ce qui étant substitué à la place Bo C, en faisant à h fois (D — 99^, nous fournit — — [depuis D— o - : U —onpi|. : ol zm 78.20 f?ofvovyaa sn A DEB RUD de sorte que S/ — Seq s Lasebss - "E ar T SAP; donc la solidité qui TM à la .Sphére .apiés la eer Lun 9 zo cLE — abes zz AB 6 €. Q$ F. B SHolle $..5. Voici donc|le théoi&me de Eossut.démontié. C'est certainement une propriété bien remarquable de la Sphere, qu'étant ainsi percée, non seulement le résidu .de sa sur- face et la surface intérieure des deux .excavations soient géométriquement .assignables, mmais aussi le résidu de la solidité de la Sphére. Comme la démonstration des deux premiéres propriétés dont nous venons de pailer, est, pour ainsi dire, dejà toute préparée par la démonstration pré- cédente , et qu'il sera peut. étre agréable à quelques uns de nos- lecteurs de trouver ici toutes les trois propriétés ensemble: et démontrées d'apiés les mémes piincipes, nous allons aussi rapporter les deux théorémes suivans: | "DIhéo- c— 219 —M à: Théoréme a. 4r. 4. La portion qui resie de la Ma de la Sphére, aprés ce qui en .a fé enlevé par les deux excavations cylindriques, «est égal à deux fois le quarré du dia- métre de la. Sphére. Démonstration. Transférons «en idée l'élément X Y y x et le point 'C à la surface de la Sphére, et à la ligne dicite CX — v il y 1éj ondra un arc CX -.a A sin 5, et à l'élement X x répon- dia un arc Xx — ..79*—., l'arc XY xestant -—— v0Q. L'élément :de la surface enlevée par un cylindre sera donc — :*9"c9. Ep nommant donc €/ l'une des quatre portions Yaa— vv enlevéesde la Sphére et € la suríace qui reste, de sorte que € -7AB' — 4 €, nous aurons depuls o0 —— v d T io vOv p E -noo e d o | LT Yaa —pvv , depuis Q-—3 uh | | jusqu'à. Q:— 9o? |. Or TREES depuis puo Jusqu'à v — a.cos. 32 depuis (D — 95 ^» Bde et Jo qe Emo Qucm nce e E UU donc 1€/— —7 — aa et par conséquent 4 €&/ - 4 ra! — 8o'a — mAB'— 2AE' d'ol il suit que le Irésidu, de 1a peace & — 2. AB. —4€/zsXAB. C. Q. F. D. - iNeve Acta Acad. Imp. Scient. 'T'em. XIV, | Ee Th éo- o | « —asino uve [———H25. 28 — — n Théoréme 35. f. 5. La surface intérieure d'une excavation cylindrique de la Sphére aiuisw percée est egale au quarré du diamétre. Démonstration. Tirons les rayons FP et Fp, et à cause de l'angle PFp-—c.POp--a0p cr BP —1:g9, neouscauEe Pc Pn c ODE En P et p concevons érigees les droites P Q et pa; perpendicalaires au plan ADBE, et rencontrant la surface de la S»hére en Q et q, et à cause de PO-ACOQ E CP — yaa —aa cosdy — a sin o, élément de la surface intérieure cherchée sera POqp L—Pp.PQ — aa0QsinQ(. Soit ZX la :suiface entiéexé de lexcavauon, et nous aurons EE —aa[20sin p [T T EO s —tgd, jusqu'à (p — donc Z — 4aa — AB'. : C Oo. 9 n. $. 6. Ainsi la surface intérieure des deux excavations, prises. ensemble, est égale au résidu de la surface de la Sphere, et toute la surface de la Sphére ainsi percée est ^ €gale à quatre fois le quarré du diamétie. : Scholie. $. 7. Qnoique le contour de l'ouverture faite à la surface de la Sphére par cette excavation ne soit pas géo- métriquement assignable , eile est néaamoins douée d'une propriété assez remar juable, pour mériter d'étre ajoutée ici so:s la forne d'un théoreme, afia de comopletter le nombre des propriétés singuliéres de la Spüére ainsi perforée. Théo- emm— 2Y0 uu Théoréme 4. f.8. Le contour de chacune. des quatre ouvertures faites à la surface de la, Sphére ainsi gercée est égal au demi - périmétre d'une ellipse qui à pour demi petit axe le rayon de la Sphére, pris pour unité, et pour demi grand axe la corde du quart du grand, cercle de la Sphére. | Démonstration. Comme Oq est lélément de ce contour, en tirant dans l'élément de la surface intérieure POqp ($. 5.) l'arc Qv parallele à Pp; il y aura Qv-Pp-a Pp- a0Q et qv-9. PO - «2 ( cos ($. 5.^, donc Oq- X ah Qus PRO. Somit cos (D — x, ét comme à 9*.. , nous aurons Y. Qq — — ox y tx En nommant donc le contour de louverture — c, il est évident que 1g — — fox ylL2—7 depuis x EXP ? E ce jusqu'à x perit] ou bien en changeant les termes d'iniégration ET depuis x — o Io ——favyi S NE j I4 p|yusqua X.— I . Or si dans une ellipse, dont le demi-grand axe — AD - £ y? et le demi-petit axe — AC — 1. on prend les abscis- ses du centre et sur le petit axe, on aura y — y2.y1 — xx et l'élément de l'arc ellptique. — — oyyt- 7. Soit s le cx 3 périmétre de I' ellipse, et comme depui -— | | s— foxy1tss B lepuis x — |) b. I-xx |jusquà x -—1 | 3M est clair que 5 20 c—jisebo--ss c..Q. F. D. : Ee 2 ! Co- Tab. III. Fig. 2 - £— 2:20 Corollaire. : $..9. De là il suit que le contour de chacune des quatre ouvertures égales faites à la surface de la Sphere pourra étre exprimé par cette série excrémement convergente : ENS LOVUI.EO 3.)00f 2t. 0409807. E28 | e-—rcyi.[t-- 351-3 4 RE BR. Ca ERA &c.] qui donne « — 3,8202. sScholie. $.1o. D'une maniére parfaitement semblable om peut aussi déterminer la solidité , la surface et le contour de lexcavation d'an cylindre , traversé d'un autre de méme diamétre, de maniére que leurs axes se coupent à angles droit. Il en résulte des théorémes analogues à ceax que nous venons de démontrer et non moins remarquables. Les: voici dans le méme ordre. Théoreéme 5. j.orr o S un cylindre droit est percé d'un autre. de méme épaisseur, de maniére que leurs axes se coupent perpendiculairement, la solidité de la portion enleve& du cylindre ainsi percé sera egale aux deux tiers du cube du diaméire. Démonstration. Soit le parallélogranme F G H I,. passant par l'axe du cy- lindre percé, ia section longitudinale faite perpendiculairement au cylindre traversant, et soit le cercle AD BO l'ouverture que ce cylindre a fait "dans le plan FGHI, dans lequel Soyent tirés deux rayons infiniment proches CP— Ee a, et en nommant l'angle BCP — Ó, nous aurons PC p — 0G et laic Pp — add. Du cenus C 2, avec les rayons CX — v et [ — — AMA VE — ———B .etCxy zc v -- 0v concevons décrits les arcs XY et vy, et comme XY *— voQ.et Xx — Ov, la suríace XY yz sera — vovoQ, à laquelle si nons congevons insister un prisme de: la hauteur XZ. perpendiculairement, ce prisme sera. Félément de. la solidité.. Or si par X, on tire, dans le demicercle ADB , VT perpendiculaire au diamétre AD, il est clair que BESXVYIcyYNVATYVB Or. comme: C V — v cos D, on aura VAZzcCA--CV-ca--vcos (D VB zzCB-—CV-a-vcos (p, d'oà l'on tire la. hauteur XAZL-yae-ccos Q- qui maltipliée par la base du. prisme br — vovoQO. fournit l'élément de la: solidité — vàroQyaa — vv cos, En nommant donc S la solidité de la portion du €ylindre traversadt, conprise dans le cylindre traversé et coupée eu deux parties égales par le plan du cercle ADBG, nous: aurons. 19 — fvovoO Vaa — vv cos Q', en: étendant cette Bes. pour la variabilité de v, depuis 7 ——ouJsqua 7 —— u;ct pour là vanabilité de (^ depuis E —vonmiqwa D — sc. Faisons. d'abord. varier: Ia. jou v, et comme Jvovy(aa — vv cos Q') 2 C — (2— Tang: d en i ce ccEDRTUAD 295 s en mettant » — c, nous aurons C — —**.-" donc 3 ces Q?? —— — — —, | depuis v — o | 2 E PAS IAM SM a2 sin (5 . fv9v Y aa — vvcos o Bero p— l7 mq 7 oq de sorte que D. 1g n CO EORR [20:03 Em (Dco | Dope 5 : E e50* tjusqu'à D — r8o* X — aQsinds Or [7 $e tg $ et f RS — gig -- cos Q, donc 49 — C fa (tg — ug cs Q) En mettant donc Q- 0 nous aurons C - $a et en met- tant ( — 180', il en résulte 18 — $a, donc - !$à* — iAB*. ; [c Q. F. D. Théoréme 6. $« 12. a surface intérieure d'excavation du cylindre ainsi percé est égale à deux fois le quarré du W 1 ? diamétre du cylindre. Démonstration. Soyent PO et pg deux perpendiculaires érigées en P et p sur le plan FG HI et terminées à la suríace du cy'indre; et comme Pp ad( et PQ — PO (perpendicu- laire abaissée de P sur le diamcttre AB), l'élément de la surface sera POqp — Pp.PQ-—aadQ sin Q. Soit X la surface entiére en question, et la surface du parois de l'excavation insistant autour du demi-cercle ADB et terminé à la surface du cylindre percé sera : E os : ace sa f 2 sin p | TEPUS s hd dd css donc X—$saa-2ADB'. C. Q. E. B: V n lhéo- qe—— 08 o m Théoréeéme 7. | €. 15. La portion de la surface du cylindre enlevée par la perforation est éz le à, deux fois le quarré du diamétre du cylindre. Démonstration. Que le demicercle ADB, qui dans les deux théoré- mes pr'cédens représentait la demie ouverture faite dans le plan FGHL soit à présent la demie section du cylindre faite perpendiculairement au plan FGHI, alors XYyxc P0vo0D ., avovoQ SENSE - cosC DW sr)Yaa--vPcosQ . - de la surface enlevée. | Or en prenant d'abord (D constant, nous aurons la premiére intégrale : , pov depuis v-o] 9 , esinp — «a ' yaa —vv cos eos v- | vcosQ" cos -r--sin(O En nommant donc toute la surface emportée — &, il est évident - y depuis D — o Nisi E E II WEE Qo PUMA m ACA parant & — 8aa — 2AB. C- Q. F. D. Scholie. $. 14. Jaurois pu déduire cette vérité du théoréme précédent, en observant que les deux surfaces indiquees par €) et X sont permuables, vu que ce qui est & pour le cylindre traversé devient Z pour le cylindre traversant, et que, ces deux cylindres étant égaux, il y a nécessairement € - Z. Mais j'ai préféré la déinonsuation bien courte tirée. de 10$ sera lélément dis *. nos formules mémes, párcequelle mous servira dans: la suite ,. et: parceque .la peipe .d'internioger l'analyse, lors meme que la réjopbse :qu'elle .doit «donner est «connue d'avance, n'est jamais entierement |peidue. Théoreéme g. $6. xs. | Le contour de chacune des «deux, Ouvertures faites à la surface, du cylindre ainsi percé. est égal qu périmetre «d'une ellipse qui a pour demi-graud axe la corde du quart ;de-cercle 44D et. pour aemi- petit axe le rayon du cylindr B. SUN Démonstration. Comme BN Telément de «e LCODIOUT, nous aurors, comme s d Qq — y Qv ctV- Or.Qs--- Pp. —-mop etqv ——0.POQ'-— -—— aS. n donc Qq — :a0Qy1 c-cos C^, ou bien, en prenant le rayon u pour unité et mettànt cos p —- x. Qq — — ox yl. olt c le contour: de louverture gp-eHeurty ue et nous aurons 4A—xx jusqu'à Xl—r ou bien, ce oi revient .au meme, ple fori rxxe depuis r-l—a1i ! | jusqu'à x.— -- 1 Or si dans une ellipse dont le demi-grand axe — AD- ya et le demi - petit xeucuAPCOÓEI E buk — sont prises . Sur le petit axe, et.du centre, onay 2 y2.y1- xyyet I'elé- ment de Farc — óxyL-t27, .dcsoite ud Si 5 marque le - perimétre, il y alt à 2) 05 Vi—a pe MR du QUO I Scholie u— D pig m Scholier | $. 16. Cette vérité découle encore fort naturellement de la. considération que si l'on coupe le cylindre par un plan perpendiculaire à FGHI et faisant avec le cóté un angle de 45^, la.section de ce plan avec le cylindre sera égale au contour de l'ouverture du cylindre. percé de la maniére préscrite. — Or cette section est une wiécsn dd dont le demi-grand axe —- AD «et le demi-petit axe — AC, donc etc. r Scholie 2. $17. Ayant ainsi rassemblé et démontré d'aine maniére uniforme et facile toutes ces propiiétés remarquables; nous allons généraliser nos recherches, en considérant la Sphéie et le cylindre percés oà lon voudra , et avec une taricre quelconque, perpendiculairement toutefois à un plan pas- sant par le centre de la sphére et par l'axe du cylindre. C'est - À-dire, nous cbercherons les formules générales qui expriment la solidité ,| les deux surfaces et le contour des excavations qul en provienpent. Quoique ces expressions générales ne seront susceptibles de développement que par les voyes connues d'approximation, elles ne laisseront. pe d'avoir leur utilité. | | Probléme r. $. 18. Une Sphére étant percéej d'outre en outre avec une tariére cylindrique quelconque et dans une direction quel- conque , trouver le contour et la surface de. l'excava- Hon, la surface et. la solidité enlevées à la Sphére par ceite perforation. | Nova Acta Acad. L;mnp. Scient. T. XIV. Ff Solu- Tab. IIL.- ja Qe Sóhacioie Soit AUBW le plan du grand cercle de la Sphére, passant perpendiculairement par laxe de Ia taxie, qui en est coupé en F... Soit le rayon de la.Sphére EX — ic B- .d, le rayon de la -tanésze EFC — FD — b et &C — c... Soit € le contour de l'ouverture faite à la surface: de la. Sphere, 2 la surface intérieure. de l'excavation, €& la surface em- portée et S Ia solidité emportée de la Sphéie, et ces quale quantités seront déterminées de la maniére suivante : I. Détermination du contour c. ; Les lignes CP, Cp, PO, pq et larc Ov ayavt été tirées comme: dans la fig, I. ,, nous aurons Pjp — Qv — 2600 et CP. — 2bcosQ. Par P soit tirée, dans le plan du grand cercle, la corde S'F perpendiculairement au dia- métre AB. qu'elle coupe en R, et il est clair que PO — yPS.PT. Or PS— RS — PR et P'F — RES-- PR, donc PO — y(RS—PR). Mais RS'— RA.RB, etcomme CR £55 erp'ege p. — 2b cos — b -r bcos2 et PR — CP sin (p — 25 sin cosp— b sin 20, nous aurons RA — AC-- CR — €4- 6 b cos : Qo, RB-—AB-——RA-—2eoe—c—b-—bcosa'7p, et de là nous tirons PQ — Vff 4- gg cos 2 d ayant mis pour abréger ff — 2(a— 5) (6 — c) —cc et £g — 2b(a — b — c), ce qui nous fournit Gb ; as t co sim 2, qo o9 PO YU -F aces 0) desorte que lélément de Parc Qq — yov qv ipo PE ££ Cos 20) - g' sin 2 d* sin 2 f-£gcos2Q: et. — 0210 ep— -ét partant le contour de l'ouverture d'une part T" 4bb (ff --ggcos z C)--g' sin? Q^. | depuis (D-o E Pee — —. cj escas 2 D jusqu'à Q z 9o? | JI. Détermination de la surface 2. , comme POQgp est l'élément de cette surface et que pp-—-sbdQ etPO--yff--28cos2(p, nous aurons cette surface: [ Tp-—————— depuis p—-o Zo a4fsbocyff--ggcos2 (D. tos "a Détermination :de la solidite .S. Ayant décrit entre les rayons CP.et Cp les arcs XY et . £y. avec les rayons CX — vet Cx — v-- 0v. l'élément de la solidité sera le jprisme insistant perpendiculairen ent à ]la base XYyz-— vovoQ et ayant pour hauteur la perpen- dicnlaie X terminée en Z par la surface de: 1a Sphere. Pour déterminer cette hauteur, soit tirée par X, dams le plan ADBE, ]la corde UW *perpendiculairement au dia- metre AB quelle coupe en V, et il est clair que X Z Ey GL. XW. Or XU ;— YU — V X et XW cz VIU -- VIX, donc XZ — yVU—3 [UNE obse V TT. VA. VB — (e^r-rcosQ) (2a — c — vcos(D) et V X —owsin (Q, dane X 7. a. ac — cc x 2 (a — 6) v cos Q — vv, et partant l'élément de Ta solidité sera | vov od VY (2a€ — c0 -- 2 (a— c) vcos o —wv) et la solidité enlevée à la Sphere e im 4 [vovod Vsus ooeee Seria epp pe vio E depuis (Lez n jusqu'à » z 2b cos 9 ^ tgusqu'a 9o Bf IV. Dé-- Tab. IV. Fig. 9, , IV. Détermination de la surface €. Comme l'élément. de cette surface est l'intersection: du prisme insistant perpendiculairement à la base de XY yx — vOovOoD, fait par la surface de. la Sphére, cet élément sera à l'élément XY y x comme l'anité est au*cosinus de linclinaison du plaa touchant la Sphere en Z avec le plan da grand cercle AU J W; c'est-à-dire, l'élément de la sutlacc 6 sEKa! o ue Soit AHB l'hémisphére insi- COS. inC stant au grand dE AUBW, Iéclément vov? en X, XZ la hauteur du prisme élémentaire, EHZK le quart de grand cercle passant par XZ, et ZL sa tangente au. point Z, l'élément de la surface & sera 22^.?, Qr eosEDX IL ccopgear- dc WPODETCNEUU 20 LE UND v9gvaQO eun E cu WOILEEDC EE ops depuis v — o puri e ] kx UE 3A perte et 3 X91 ES o jusqu'a — 2becos(] ".|jusqu'à D — 9o" J. Corollaire $. 19. En mettant c — a. et b — 2a .il en résultera pour c, S, X et & les mémes valeurs qui ont été txou- vées dans les quatre premiers. théorémes. Probléme 2. 6. eo. Un cylindre étant percé d'outre en outre avec une tariére d'un diamétre quelconque, et dans une direction | quelconque , — perpendiculairement — toutefois à un plan passant par l'axe, trouver le contour et la surface intérieure de lexcavation, et la surface et la. solidité emportées du cylindre. Á Solu- ODE MUTARE 221 qeeseyec cmo caa Solution. : Soit "le rayon du ícylinde OA — OB — a, le um " rayon de la taricre CE — CF — b, l'excentricité C o 5 Fig. 4» et nommons le contour de louverture faite à la surface du cylindre — 7», la surface de l'excavation — pA la surface | emportée par la tariére: — 3S et la solidité emporiée — $; ces quatre quantités seront determinces ainstl: "£L Détermination du contour c, Les lignes CP, Cp, PO, pq: et Qv ayant été tirées comme dans la fig. ». nous aurons lélément du contour Qq-—Yy Qv qv, oà Qv — Pp— b23Q et qv — 2,, P Q, Sur le diamétre A B soit décrit, dans le plan LMNO, le demi-cercle AUB, et la pe:pendiculaire RS, qu'on y méne par P, sera égale à la ligne PO qui en P insiste per- pendiculairement à ce plan. LMN 9; aimi PQ — yR A. RB. aM RA a-—cabcosQD et 'RB,— a 4- c— 5cos D donc PO — y dao Ce xxsdeosQ et partant q D c—— ——ÓÉMÁE, d'oà l'on tire Yaa — e—- bcos Du rim m Dec menTE ODE COBEUNE Yaa-——(c— eos (p.? E c |— sbf0j yszzes0 e — boe netus (D— o7 ^ iga—(c—bceso) : jusqu'à p-18o II. Détermination. de la. surface 3. L'élément de cette surface étant POqp — Pp .PQ XE OXRTEESOSERRBEE ICT SEE: E) [4 —b00OYyaa-—(c—bcos Dy, la surface de l'excavation sera zi LIA —, — 1. | depuis O — o (2 Eco yas (- ios O) prre e IH. Dé. S — — 220 —— IIT. Détermination ide la solidite S. Ayant déciit du:centre'C, aveces rayons CX — eet Cx tos -- 0v. les arcs XY et xy, le prisme qui insiste Tab. IV. Fig. 10. "fab III. Fig. 4. "Tab. IV. Fig. IO. perpendiculairement à la figure XY yx et qui est terminé à la surface du cylindre, sera l'élément de la solidité. Or la base de ce prisme élémentaire est XY . Xx —v00oo» et sa hauteur est XZ, perpendiculaie érigée en- X sur.le plan LMN O et terminée en Z par le demi cercle aZb, dene section du cylindre faite par un plan passant par XZ paraleélement à AB; desouüe que XZ-—-yXa.Xb — VWA VB, Or VA — 4 —c€--» cosi et VW B —iu3-8$ — vcosQ, donc XZ — yaa-—(c-—vcos() «et partant l'élément de 1a solidité — vor0Qyaa —(c-—vcosQ) et la solidite «entiére, $ — 4fv3v9D Vaa — (6 —v ax Dy pur v m Bw Dco ] vu j Wig eU 7A e jusqu'à » — b jusqu'a (p. — x8c*; IV. Détermination .de la surface &. Tirons dans les :demi-cercles a Zb :et AUS, par Z etU les rayons Zo et UO, :et les tangentes Zk e. UK qi rencontrent les diamétres prolongés ba et BA en k et ^; et comme l'élément de la surface €& est do et que cos- Zá X 2:cos UK V 2 cos VU O min Ya&:— (c — w co uaa nous aurons la suríace enlevée du cylindre i , » | depuis £-—- o |, e apa ir v oiv a0 P aa-——(e—vexo7|jusquà v ——b 2 piss qi 6 3 jusquà Q — 18 ^2orol- |ODgo : C€orollaire. ($31. Em mettant; Ci— o'et b:— a, on trouve pour oC. X, S et S les memes valeurs qui. ont éte- rapporltées .dans les quatre derniers tücoremcs. i Schotiion. & 23. Observons ici, par rapport aux huit formules générales que nous -avons Lrouvces daris ces deux problemes, que les expressions données pour la, surface $ et la solidité S; dans l'une et l'aitie solution, dépeadent unique- ment de l'élément XY yx. et de la Lund X, et ne sont nullement atfectées, comme la surface 2; et lé contour c, de Parc de ceicle Pp. Delà il suit que ces expressions pour &. et,S. ne sont point restreintes. au. cercle, desorte qu'elles. auront. lieu, l'une et l'autre,. lorsque. la. Sphere, ou le cylindre, seront percés par un corps cylindrtorme quelconque, insistant. à une base curviligne .. quelconque exprimée par une équation arbitraire entre v. et (D. Les seuls termes d'intégration Subiront: quelque changement, en substitaant une courbe à lautre. Le probléme suivant, fertile en conséquences remarquables, éclaucira ceci par Yexeipple de la 5pueére. Probléme 35. $. 25. Un demi-onglet de la. Sphere, qui a'pour base T«b. rux. le secteur. BC D*, étant percé: par un corps insistant P 5- perpendiculairement- à. une portion du secteur, comprise entre la. partie CF du rayon et une ligne courbe quelconque C PF, trouver la sur[lace-et. la: |. solidité qui resteront à l'onglet entier aprés la perforation. Solution. Solution. Soit le rayon du secteur CB — CD — b, l'avgle au centre BCD — V, CP —», l'angle BCP — Q, desoite que PCp—900, pu ume e Qv, Pu — v0Q. "Pransferons en idée les points C', P, 7,5, u, à la surface da la Sphére, par des perpendiculaires congues éiigées sur le plan du secteur, et. nommons les points correspondans C^, P", "W^ ow. Wi B db esta, que. CAP. — 9; aui. 7) utut o paruo Cp es vescHD f ct P^u/ — vod. | De là résulte l'élément de la surface enlevée P'/«^&'w avovo : ; cae r Oe DO comme $. 4. pour la perforation circulaire, yaa-vv | Soit 1 € la. surface enlevée , et 1€ celle qui est restée au demi-onglet, ^desorte que & — 2 V aa — €, ét comme vov [yas toodoud cu qa — vv ct v2v290O Bier imi. y EDItMEE bibe met — va-—[f0Otyaa-—vv orem jusqu'à — V Ps à nous aurons e 2 Va à —2af0Yaa —vv, et paitant la surface restante e — sdJoduy Ro Ld [ow i En jusqu'a p — Quant à Ja solidité, comme son élément est le prisme insistant à la basé Pr «u — vóovoQO et ayant pour hauteur la perpendiculaire PZ — yaa — vv, lélément de la so. lidité enlevée sera — vovoQ Vaa — vv, comme $ 2. pour la perforation circulaire. Soit — la solidité enlevée et - celle a ui qui est resté au. demi-on clet, desorte que S — $a?! - S', et comme. /vóvYaa—uvv» — 3U —g(08— Vv nous aurons S/— 2a!y — 2 fb (aa — QUA, Eres Sea - 225 deputs (D 2 o7 i "jusqu'a p ze«p | Scholie. ; ^4. An moyen de cette solution il ne sera pas difficile de percer la Sphére de tant qu'on voudra de ma- nieres qui toutes laissent une surface et une solidité géo- métriquement assignables. ]lne s'agit que de prendre pour v une fonction ( telle que les deux intégrales rapportées pour € et S deviennent algébiiques, ce qu' on peut effectuer d'une infinité de maniéres. | On pourra donc trouver une infinite de courbes à tracer dans le secteur B C D, dont les Corps . qui leur in:istent. ont la projriéte requise. Et comme on peut diviser la sphere en tant qu'on veut d'on- glets, chaque courbe ainsi choisie donnera encore une in- finité de solu'ions. Nous nous contenterons d'éclaircir ceci par l'exemple d'upe scule courbe, qui fera le sujet du pro- biéme. sulvant: Probleme. 4. $- 25. yant tracé dans le secteur BCD une courbe C PB, .. comprise sous l'equalion v — acosn(, trouver. (a "i - sSurjace et la solidité qui restent à onglet percé par un corps qui passe. perpendiculawement | par l'ouverture CPBRC. ! E T Ive Acta Acad. Imp. Seient. Tom. xir. G g Solu- Tab. III. Fig. 6« u— 256 Solution. ÀÁ cause de v — a cosn(Q nous aurons donc ' aa —vv —— asinnft et (aa —vvy — visinn fy, - 1 " * b - . , d'oà nous tirons, a l'àide des formales du probléme précé- dent, eu égard aux termes d'iniegrauon — g82(L— y) p; cz pub M. 7 S c z (2 — sinnw/cosnv — 2cos nw). Soit aprésent l'àngle àu centre du secteur «p — 7, pour : j e HH E avoir sin m — 1x ct cos ny — o, et nous aurons la surface ; , 37 , p - [ B . j et la solidité de l'onglet percé géometriquement assignables, savoir € — ?7* et S — *., ou bien en nominant le dia- metre de la sphéie — d: LM TUI Corollàire r. $. 26. À fin de connoitre à peu p:és la figure de la ligne courbe comprise sous l'équation v — a cos nO, tracée dans le secteur BCD et servant de base au corps qui tra- verse l'onglet perpendiculairement au secteur, observous que sQqc-o,iyacvc- aet que si Q — wv —Zs iyaà .v - c. La courbe touche donc le. rayon CD en C et passe par l'extrénité de l'antie rayon C B. Un autre secteur B C E adj.cent et égal au premier B.C D contiendra une branche de courbe CRB semblable et égale à la premiere C PB, et ces deux branches. ensemble: renferment un espace curvilignae CPBRC qui, pour tous les cas ou n & x aura la forme d'une feuille, ayant pour longueur le rayon CB et u»e largeur d'autaut plus grande que le noubie m scia peut. Coxot- 22g Corollaire. 2: $. 27. Une,propriété remarquable de l'espace com- "prs entre le rayon CB. et la courbe CPB, c'est qu'il est 'exactement la moitié de la surface du secteur BCD. Car léelémeut de cet «espace étant — Dep - IppQo — a£. Iaa0Q cosnQ' — $aa0( (1 -- cos np); [ins surface méme aa y EA ! LIU ET sera 1 aa (D — c Wu E secteur BC D. $4 Corollaire.. $. 28. Une autre propriété remarquable de cette courbe. c'est que la longueur de l'arc CPB est égale au quart du périmétre d'une ellipse dont les demi-axes sont aet. Car comme l'élément Pp — yoy' & vvoQ?, à cause de P — — acosn D nous aurons: asinn(Q — yaa — vv et. | — QD ovynnaa — (nn—1)vv 9o: nYaa —- DU " P nn(àa-— vv) ? et partant Eam QBB -—-— sse PIC ESPERE depuis »-o] wer BST er ES- a | qpo i ue calue d pi aa dE UC on En ieu de larc nna (nn — 13) v» [depuis »— o | $.——.00y————À——————M————4 donc le dos ny nn(aà-wvv)-^ j'idcbumda p Weed daas du paramétre — aic. CPB. Corollaire 4. $. 29. Comme on peut diviser la sphére en tant qu'on veut d'englets égaux et percer chaque onglet de la Cg 2a maniere maniere indiquée dans le probléme précédent, il est clair qu'on aura pour le probléme de peicer la sphéie de facon que le résidu de sa. surface ct de sa solidité soit géometri- quement assignable, autant de solutions differentes, qu'on voudra donner de valeurs diverses à la lettre n. — Voici donc un théoréme général comprenant colui de Fiviani et celui de Bossut, qui n'en sont que des cas trés particuliers: ; Théoréme 9g. f.50. Si l'on» divise le grand. cercle d'une sphére en tant qu'on veut de secteurs egaur, par exemple en m, ct que: dans chaque secteur B.CD on trace une courbe CPB-telle que;O.P: — CD. :cos * BP, ;esiuenps cylindriformes qui insisteront de part et d'outre- per- gendiculairement aux. 2 surfaces curvilugnes ainsi dée- terminées, retrancheront de /a sphére uae portion telle que le residu de sa surface sera égal à deux fois le quarré du diamétre, e* que le résidu de la solidité sera egal aux deux neuviemes du cube du diamétre de la sphére. Démonstration. La surface qui reste à chaque cune étant OE et la solidité qui lui reste S. — 7 ($.25.), parceque la sphére est composée de m ougle a "égaux, ce résidu de sa surface sera m & — a » ot. le résidu de sa solidité sera ms — 5, ue le nombre des onglets m — T Ec H (à cause de p — —-, $25.) donc m € — 2dd et S — $d*. C. Q. F. D. Corol. — 220 Corollaire I. . 96-231. Soit njc- wet Te" Hombre- des onglets Sera Tab II. y — 24, celai des trous dont la sphére est nercee sera 5 — 2; Pig. D. et comme p — a cos D, chaque courbe CP B. tracée dans rs secteir CD 3 sera. u1 demicercle, C'est doac le cas da pro- bléme de /i»iani et dn. Théoiéme- de jBossat, chez ,nous $5» 26b 44: €oroltarre x. : nus uw. Sot m. 35.2, et le, nombre des onglets ou Tab iV. secteurs. BCD. sera m. — 3$, celi des. pertoratioas E ES l'éq1atioa: pour la coarbe cP1 sera v -a.cos.2 D et la figure | da graad cercle avec ses quaLre.ouavertares sera. comine Fig. 8. Cg rel dre e , A qt Jj " $—53. Consileérons.un-cas, ou ni« r,;parcequ'alors là courbe change: de ügue, la.feuille se transformant en coeur émoussé (Eig..7.).. Soit pat exemole n. — 1, desoite -q«2e le. nombre des.secteurs m. — » et celai des perforauions. 2 —-1,.et- comme »'——. a.cos gp. Pour m t— /409'08 -aura'n-—— 0,966 .qm ; e- e e - » 60 e . L2 * e^ 05396. Q- : [7 e- o - e 9o e- . e 7 e-- e O5, 277 * a . . L2 LJ 120 o- . e e- Ld CO,300. G. EE o ISO SEM LL x 0259.40 1 En Kein donc les a»gles BCP-3o, BCP'- 6o» Ti.1V. EscPp^- 90, &c. e*t donnait aix ligaes CP, C P^, C P^, &c. Figs fa - les valeurs correspondantes inarqaees , nous obtiendrons. la ] courbe 'fab. III. Fig. 5. courbe cordiforme tracée dans la figure septieme; et la sphere ainsi percée d'un seul trou aura un résidu de suiface égal au double du quarré du diamétre et un résidu de solidité égal aux deux neuviémes du cube du diamétre. (oxollairse. x. $.34. Citons encore une propriété remarquable des perforations que nous venons d'examiner dans les deux CO- rollaires précédens, et qui est une suite de la propriété démontrée au $. 28. Le demi contour C PB de chaque feuille de la figure 6. étant égal au quart du périmétre d'une ellipse dont les lei axes ee a^et 7 ($ s8.), ce tóutotur sera es [tf — TR) 32 .(2)— &c.] Le demi- 78.8 ! contour CP"PB i la pues -. étant égal au quart du périmétre d'une punt HN les Sox axessont a et 2a, ce contour sera Gers [t a Do(iyo-— iC (iy.— &c.] Donc ce dernier contour est "s double du. ibis Généralement, sn -ketn —rt, kétant-un' nombre queleonque 5. Jes courbes qui en résultent auront leurs contours dans le rap- port x A. d Goog ollabre s. 6. 56. Pour achever de faire connoltre notre courbe CPF, cherchons encore le rayon osculateur au point P, qui, en tirant C'T perpendiculaire sur la tangente PT, sera ! P P4 M no GUN loc (SUPE et SicT Pp Y:0v - vroQ à — àv pP OV nnaa—nn-1)vp ayant trouvé Q p EET Uo c p | hod s (5. E peee—— 0 qp o m (6$. 28.), nous aurons CT — — ——— ——, d'oij Tab. Iit, Vunaa — (nn —i1)vv Fig. €. viv(2nnaa —inn-—1)vv 21 Eu TEENS ) . donc nous tirons 9. CT — — | ; (nia -(nn— 1)pv) "P—. (nnaa — (nn — 1) vv *, d 2nnaa —(nn —1)pp le rayon osculateur sera A* — 1a. Si » — o, nous aurons, pour le point C, R — inas et si AS. nous aurons, pour le point B, AR — . ' Si donc n — x (f. 31.), nn cL LE NUMERIS qui semel vel pluries in sun mam duorum quadratorum resolvi. possunt. Auctore C. F. KAUSLER. - Conventui exhibita die. 5. Nov. 1800. Acus "Theoria factorum. et numerorum primorum inter difficillimas Analyseos Diophanteae disquisitiones jare ponenda est. Quamvis enim unusquisque numerus, ut aggrecatum pluriam unitatum. spectatus, sit quantitas omni modo determinata, piorsus tamen singulare est, solutionem problematis, an. numerus quicunque datus factores habeat, nec ne, omncs- que hujus rei perquisiliones ad privcipia Analyseos indceter- minatae ducere. Hujus vero paradoxi | ratio. facile reddi potest, si perpendamus, hanc quaesionem plane esse indeterminatam. DLartur enim .numenr qui mulios, quin adeo infinitos habent factores. ad duos inveniendos praeter ipsum numerum plane nihil aatum nobis es. Quemadmodum autem 1n geometila propiietates v, g. trianguli nondum ex eo patent, quod ista figura sit tillatera. iia etiam ad explo- randos factores cujusdam mumen, rumeius unitatum eum componens, minime sufficit, sed ejus in naturam eni lus penetiare. necesse est. Nulla vero numeiorum proprietas ad hanc rem magis idonea mihi videiur, quam quae a Cel. Fermatio detecta. à Cel La Grauge autem universa- liter demonstrata — ita se habet: ., Omnem numerum inte- » gram non quadratum summam iA vel trum, vel 5 quatuor. : : 3 Mnicgecree em. 255 fneesmascascuen 4 quatuor esse quadratorum.* ^ Decerpto enim numero in. Sua quadrata, via patet felicissima — dijüdicandi, an primus sit, nec ne, et quales hábeat factores? ^ Primus hanc viam nobis apperuit, atque ipse ingressus est b. L. Eulerus . qui et hanc Matheseos partem: multis ac prae- claris ventis exornavit, et in egregia sua dissertatione: ,De numeris qui su5t aggregata duoram quadratorum ** ( vid. Nov. Comment. Petropolit. "Tom lV.) inter alias insignes numerorum proprietates etiam hanc notatu dignissimam demonstravit: ,,Numeros formae 4m -- r efífe primos, ,,Si.in duo tantam quadrata inter se prima di:cerpi pos- sint, «ex factorbus autem esse compositos. si pluries in 4,sümnram :«duoram «quadratoram «os resolvere liceat, vel etiam si jlase non sint suinmae duorum, sed trium vel qua- tuor quad; atorum;**.. His insuper numerorum proprietatibus 'superstraxit atque adornavit Vir celeberrimus egregiam facto- yes ex quadiatis deducendi methodum.: Et sane haec metho- dus nihil desiderandum relinqueret, si quadrata, ex quibus datus componitur numerüs, -.quovis casu facile assignari possent . Praeterea etiam methodus, qua ad invenienda «quadrata utitar, indirecta videtar, cum tentamine potius quam, formulis nitatur. Libentissime quidem fateor, et meam ab Ealeriana diversam mcihodum ejusmodi quadrata i»veniendi. quam nonnullis. abhinc annis .cum Acad. Imp. Petrop. communicavi etquae in "Tom. IX Nov. Ac!o-- rum inserta legitur; eodem laborare vitio. Quare. neque incongraam, neque lectoribus injucundum fore existimo, si ad p-rficiendam ;banc methodum novum quoddam addita- -. mentum et nonnullas observationes circa, numeros, qui sunt ' ageregsta duorem quadratoram , hic subjargam. — Multa Nava Acta Acad. lip. Scient. Tom. XIV. Ilh enim enim in hac materia , a Ma'hematicis vix delibata, adhuc saperesse, qae ullerrrem investigationein adanttunt, - quis est qui ia dubium vocare audeat? | IProblem 3a. €. ». Dato numero integro À, quem supponimius esse summant binorum quadratorum inter se primoram a^ et b, quorum utrumque cognitam , explorare, an dentur adbuc alia qua- drata x'et y^, in numeris integris , quorum summa pariter sil A. Solutio. Statuaamus x — mX--a.et y —nX — b, ubi m, x; et X quantitates adhuc indeterminatas denctant. His positis erit: x' — m X'-- samX -r a, et yc X ccUebn X Lb, ergo x* 4- y! — (m n) X 9-7 (am — bn) X -- a 4- V, Jam, cum x^ -- y - a -- b' esse debeat. habebimus aequationem: (m^ 4- n) X 4-2 (am — bn) X — o, ex qua sequitur: MUR B P REUS UPILA 2m.(25—7*) —- a, et mt* —L a3 mt--mn3 y c'onqu cmt m* ny n? z Hi ergo valores numeri integri esse debent. Eo igitur quaestio dedacta jam est, ut datis a et b inveniantur ejasmodi valo- res numerorum m et n. ut expre:sio E —^* evadat numerus . : 2 jum tad . integer. Quem in finem ponamus 725—775 - «, tune b erit —:s"---"'". an Cum auem m et n spectentur tanqnam ti numeri inter se primi, quaniitatem 2m -- a per n divisibi- lem esse orortet. Quare si 2" ponatur -.p, ent b — en 4- £m, et Qe — gn — Gm; - -hin€ binc numeri integri et determinati a, f, m, n, ita definiendi sunt, ut duabus hisce aequationibus satisfiat, | Sed ex prin- cipiis Analyseos indeterminatae.constat, aequationem formae C — Ax — Dy resolvi posse in numeris integris, sumendo r-pC--WkB,et y zqC 4 kA, ubi 2 e terminus pen- ultimus scrici n continuarum Le 2 & convergentium, sive fractio numero 7. proxima, ( atque igitur AU qB z— — r), jk vero. quilibet dcs integer positivus vel negativus. Qaods adplicemus hoc ad aequationem a — (n — am, ubi g B-A, gH ncc. etg y walores m et y. abeuht inm — pa -- De. etm — qa -- K85 qui substituti in aequatione b —en--(m, illam in: b.— (ap -— 8q)a -- &(« -- &*), sive in b — (ap — 8q)a 2- j(2 24-8) transmutant. — In hac igitur a, B, et p sunt numer quicunque, dummodo summa a'-- G' et x. sint primi ad a, f vero est fractio con- tinenter proxima fractioni d cujus Weudes et denomina- : tor ad minimos terminos reducti supponuntur. Concludimus itaque quaestionem propositam solvi posse, si datis a et b, ejusmodi valores quantitatum a, f, M, p, q inveniri possint, ut expressio: (ap -- (1q) a 2- jk (x -- 8") evadat — b; impossibilem vero esse, si nulli valores harum quantitatum extant huic conditioni satisfacientes. Suman- iur ergo pro a et ( omnia quadrata inter se prima, et quorum summa pariter est numerus primus ad a, tribuan- tur succesive quantitati ;& valores numerorum in naturali serie ab unitate progredientiu» et primorum ad a. ac quae- ratur ex. — fractio huic proxima T tunc pervenietur neces- sario vel ad terminum 06, vel ad numerum P b. Priori | Hh 2. casa o— 008 0 Casu ab inventis valoribus e, 8, p, q. v ad expressiones: "m, n. x, y retrogr. di. possumus , "posteriori autem quaestio impossibilis est Hanc vero operationem certos intra fines: necessario includi debere, ex natura formulae b — (ap -— Fq)a — k(a' 4- B) per se, patet. lllustremus hanc solationem nonnullis exemplis.. e I. Exemplum. T (.3. Numerus ^70 est summa. quadratorum Io" et $3 Ouaeritur, an hic numerus in dao alia quadrata. resolvi queat ? CAU. 3. D -— I9, aegudto prdecedens evadet :. io — 53(»p--8q)-- k(a -—-Q'). Sumamus: signuur supe- nus Est vero minima summa binoram quadratoram inter - se primorum numerus s, et oritur ex suppositione a — rt, et 3 2. hoe autem casu E OBS eIgO qut. CL e Ergo 19.—:0 24-54: unde p — ».. Qum igituc hic numerus: inventus sit integer, hi valores aequationi satisfaciunt et. proinde habebimus np—gus-ra ep. coss we hcm gu gestus a Ergo fum GNBLBOg p KDE cep, et cU Sm ce dy cone ai ldeoque 5370 noh solum — 19^-- 5*, sed et 17^ - 9*. Si vero signum inferius adhibeatur, sumendo pro j. valores: negativos, tunc aequatio solvenda erit. 19 —— 3 (2p. 4- (£q) "vc (a a. p y iquae; positis 4 IMapis— 2, poscis ED abit in 19 — 9 — sp, ex qua deducitar — y - 2—-?,, haec aatem sup»ositio eosdem valores ac praecedens: pro: x et y praebet, qui etiam iidem inveniuntur, sia 2 2, Qj - 1, proinde B. : i | ^x ponatur IL Ex- i— À 23$ — Il. Exemplum..: . £g * D 6. 4. Numerus. 6s9 — 20' -- t7. Onaentur, an dentur bina alia. quadrata, quorum: summa. huic. numero aequalis «it ?. ; Cum.a zz 17, et b.—— 20, aequatio examinanda erit eo c (ap (qc [a^ 9* don qua pers; icuum est signum. superius. assumi. non: posse, quoniam. minimi valores ipsius. 2, f etj numerum (ape dtr oh p (a en B) majorem. quam: ?^ prod.icunt.. sumamus. TENER sig gnum in- ferus, et stataamus:: x 2E — np Lt unde P codi udo Er dbopnrgrude: 20 — $3€Y— 5g, et uw — -. Cum autem ji valor. i£ numerus: fractus;. suppositio: haec. fieri nequit. ldem con-- tinget,. sj ponamus; Bea c 9 i 8 — 1, proinde f — $5 vell a o Dar ergo: "ad vel. *4 cERRLAGQ E e i: m— uM DIE autem: noia: je 55, ex: qua dequitur? Bc didi um 5e. Et cum. hic. numerus. sit. integer; valores: hi. quaestionem: solvunt, erntque:: m:-— qa: — xg — 2-- n[— pa:— gal. Ergo x.—2ma--a RS 2o d "eb. m9 ac— inar b 8. ^ Unde concludimus. 689 csse. nom solam: — 209 -- 17, sed et. CHSMPIN c5 3 | | | | $. 5. $. s. Fateor equidem hanc methodum, si numerus explo- iandus valde fuent magnus, laboriosain esse. Mihilominus tamen, quum ex ipsa iei natura deducta sit, attentione geometrarum non indignam esse arbitror. Praeterea, mu-- tato problemate, formulae praecedentes egregie nobis inser- viunt Quodsi euim quaeratur quinam sint numed, qui plunes in summam duorum quadratorüm resolvi queant, acquationes modo inventae ad solvendam hanc quaestio-. pA nem sufficiunt. . Posita nempe fractione quacunque ad minimos terminos reducta, et T fractione huic: continenter proxima, existentibus j et a numeris quibuscunque pro lubitu assumendis, invenietur bz(a p--£q)a--u(a -- (-). et b --a* erit numerus pluries in summam duorum quadratorum solubilis. Haec'quadrata, practer b et a^ sunt x' et y^, vel (2m«a--a) et(2na — b ^, ubi m — qa. 3-«.. et. m —— pa -- A4 assumi debent, Et cum «a et ( siut numer indeter- minati, quos in infinitum variare licet, perspicuum est, has formulas omnes involvere numeros, qui plunes in summam daorum quadratorum discerpi possunt. — En aliquot exempla. (£6. Sit'w —— 98. ct IS coeur dst NYITO 2 fractio 35 continenter proxima fractioni ?, ergo p- 25, et q— 3. 1n hoc casu aequatio nostra evadet b — 14718-34154, ubi pro a et gq omnes valores integros assumere licet, €t numeri b -- a' semper duplici modo in summam duorum quadratorum discerpi poterunt. | E. g. si statuatur a — 3, et X c1, bent vel- 5820, vel- 1000. Ponamus b — 606, ideoque numerus b'-- a^ — 160€ -- 5^ — 10000c9 duplici modo est summa binorum quadiatorum: habebimus enim ex supradictis m — qa -- .Q, et n — pa -- u.a, ergo si et hic signum inferius sumatur, et litteris a, (?, p, q, &. valores praes — — $459. m—À praecedentes tribuantur, erit m 2 2, et n — 1*5. ex quibus r-oma-402.4.55--5 :235,08t y-2nx—-b 34.58 -—1000 —— 972 sequitur. Ergo nümerüs 1500009 —r1000* - 3' et 2 955!4- 982. Ponamus nuncà — rr, etw — r, tunc b erit — r4431 3-5341:3, vel sr signo superiori utamur, b — 4884. et b--a?- 25853457. Hic igiiur numerus in' duo alia quadrata pariter est resolubiiis, quae per formulas modo explicatas inveniuntur esse ri61' et 2744'. Cum igitur numner roo600g et 25853457, qui sunt formae 4g -j- r, pluries in summam daoram quadratorum resolvi possint, ex theoremate Eulerano Vil. patet, eos non esse primos, sed ex facloribus compositos, qui per formulas Coroll. 1. et 39 ilius proposiijonis facillime inveniuntur.: 'Transeo. nunc ad methodum novam ac genera'em, nvmeros formae 4m -L- : in summam duorum quadratoium resolvendi. quae non solum Euleriana. sed et illa, de qua locutus sum $. :. multo praestantior mibi videiur, etiamsi lisdem — principiis quam- haec inrifatur. — Operatiores quas praesciübit, faciles ac parum n«lestae ad mirimum numerum reductae surt. ]n ea iisdem :uümeis pronicis utor, qui et citati tractatus feciunt Lasin, et querom magna utilitas seqvenibus deruo confiin abitur sclutoribus. — Hi autem numer rihil sunt aliud, quàm picductvm ducrum numeiorum irtegiorum in :erie ratviali p103ime scequertium, quorum miror redi» producti dicitur, Cum ecium e»piessio generalis sit m (m -4- 1), patet, cos ncn sclum esse pares, sed.et cmres in 6, 2, vel 6 desircie, 'labula in fine hujus dissertatioris scbjuncia a 2 vosque ad icc 1coc. eius- mcdi numeros et quicem piima columna eoiundem radices, sive —— QAO m sive numeros naturales, secunda numeros pronicos, 'teitia horum semisses, quarta et quinta tertiae columnae semi:ses pares et impares continet. Quantus autem- sit usus istius tabulae in explorandis numerorum factoribus, sequentibus ex- emplis abunde patebit, ad. quae.s.auim me converto, quia hoc modo applicationem, principiorum .a nobis tradendorum . multo magis perspici posse .quam ex ratiociniis generalio- ribus, persdasum me habeo. Denique :exempla ; |; nostra feve eadem esse observo quae in tractatu | Euleriano. soluta inveniantur, quo ambae .meihodi facilius inter se comparaià possint. I. Problema. 06. $. Decomponere inumerum :52129 in :summam .duoram quadratorum? solutio. | Si datus numerus fuerit impar, :sumima 'binorum :quadra- torum, alterum par, alterum im,ar esse debebit. Sit igitur ud PO. E p cq. ac ponalur n.cxcaP - 1 etigigeun ies tunc 8052 ert — P( P 2 1) — Q. unde perspicuum, est Q esse numerum parem. ;Posito n. Q — a T, .aequatio nostra evadet; ATUELE. —"]^) — P(P^r) Eo igitur perduximus quaestionem, :ut quaerendi sint ejus- ' modi valores ipsius T, qui reddant productum 4 ( »cos- T ) aequale numero pronico P(P-1): ubi dvo casus perpen- dendi sunt. ,Quodsi enim pro "I' sumantur valores pares, differebtia- 2co8 .. 'I" erit par, sin autem T' fuerit. impar, haec differentia necessario imparesse debet. Priori casu valores ecos — T^ in columna quinta, pos'eriori autem in quarta nostrae tabulae quaerendi sunt.. lncipiamus-a primo casu. In | In hoc igitur tot: aequátioanes formae": copiae Tq 26881— .] .— I8 299Nt—. l x 60. etc formandae sunt, :donec perveniatur ad numerum columnae quintae, qui vel— d vel immediate minor sit, scilicet donec faent: | ?o0o$ — T — 19358.. Ex hisce aequationibus sequitur fore: ace teasFopu ess 1 200$ — 18-— l. 2008.— 60 — 1 etc. 2008.— lors-— o. - Cum vero omnes numeri quintae columnae in o4 4, vel 8 desinant, nullumque quadratum in cifram 8, vel unicum tàutam o desinere possit, inuüle erit subtrahere. à 2008 go? /Hamerós hujus colamnae, qui vel in o, vel in. $, quem non praecedit zero, desinunt. Rejectis igitur hisce. nume- 1s, sequentes tantam habebimus aequationes : ?o08 —-. Wa 2008 — 264 2008 — 564 iN a E 2008 — IO00$ T. iieooS —ÓÀ 514 ' 2008 — I9I4 ín Nova Acta Acad. Imp. Ssient. "Temm. XIF AMET 1r quas meme— 2 4.20 nme quat commodissime ita repraesentare licet: Numeri subtrahendi. | Residuum vel T: I4 D... 1694 26 Ss I644. 564 . . .[ 14 — 58. LIOCOB "A E oS LIcCOO I$14 -: . .| 694 914 07. 7 | 94 | Cum inter haec residua unicum reperiatur quadratum, scilicet 1444, cujus radix - 38, quaestio proposita per colame nam quintam unico tantum nodo i:esolvi pote:iit, eritque retrogrediendo, 'T — 55, P — 47 (quippe qui numerus. se- cupdae columnae valori 564, a quo 1444 oritur, respondet). Exgo: Q — 2T — 56g —20 — 152, et p — 2 P 1— 95: ideoque numerus propositus 32129 — ron -- 152'z19'(25--64) Bic 19' LAO. Superest ut simili modo perscrutemur secundum ca sum, quo T numerus impar supjonitur. Hoc casu ditfe- rentiae 2cos — T" impares, ideoque numeris quartae co- lumnae aequales sunt, unde sequentes oriuntur aequationes: ZCOR '——.43 ^ 2008 — 5$ 2cOS8 — 35 $ — T- &c. 2008 — 1385 Cum vero omnes numeri quartae columnae in 4, 5, vel 9 desinant. nullamque quadratum in - desinere possit, omnes hujus columnae numeri, qui in 5 desinunt, zejici debent, quia Ill ESI quia eorum et numeri »oog residuum nunquam fieri potest quadratam. Insuper omnes in 3 desinentes numeri, qui non simul in 83 desinunt, rejiciendi sunt, cum quadrata in 5 de- sinentia simul in 25 desinunt. Habebimus igitur tabulam sequentem : | Numeri subtrahenti MM Residua vcl T* QOIS. id. 199 4 hh so tur d e 1139 . | Cum autem nullum horum residuorum quadratum sit, quaestio proposita unicam tantum admittit solutionem, quam - priori casu dedimus Solutio igitur nostra hujus problema- tis per 10 tantum diferentias absolvitur, quum methodus Kulenana r9 operationes requirat. Problema 1I. $. 9. Resolvere numerum $2421 in summam duo- zum quadiratorum. Solus'io. Sit $2421 — p' -- q', et petq alter par, alter inpar esse debebunt. Positis itaque p — 2P 4-1, et q — 2 Q, aequatio nostra evadit: 20605 .— Q' — P(P « r). Cum vero 20605 sit numetus impar, O imparem esse necesse: . est. Sumamus igitur Q-2 T -- 1, unde 4(sis1 —T T a 1)! — P.(P-ad) ^ Eo igitur pervenimus, ut inveniendi sint. ejusmodi valores ipsius T, ut 4 (5151 — T (T 2-1) sit nume- Ire rus P— — RP m E ———— rus pronicus. Sed s:«x — T "T f) est numerus. impar.- Haec ergo differentia aequanda est nameris: quartae. colu- nae. Cum autem hi omnes in 5, s vel o desinant, nu- me pronici vero. in o, 2, vel ó, perspicuum est,.e numero: aequationum :. RESP B 5,15 Jie 8 2r ue E E- TIE 1j. 5u55T —.29 etc. 5151. — 4955 eas; abscindi debere, in. quibus. hi numen 5, «, 35 etc; quar- tae columnae desinunt. in. 5: quia. differentiae: $151. — 3,. 5151 — 53 etc. desinentes in. s, numeris. pronicis. nunquam aequales esse possunt. His igitur neglectis, solatio. propo-- sitae quaesuonis per sequentem. tabulam. expedite: absolvi potest. | m Resi , k 71 ! Resid : $151 Numeri PX Ehe bae | 5151.| Numeri subtrahendi. B M I ecd | fe SP | $1. $5146 ; lou. 4 QAi2PE 3726 89 4.7 8 £2. 7 2 157 AZÓS Dioue uos do BROD gioi $096 2X t; 1- Joys ANA 3012 10; "s. [$046 Daop ua vf. 2676 159 . . 44962 msg m o 2626 315 . . 4836 DENOL T sei Ei 2262. 49$ e OS TE 3335 Id 1816 689 . . 4462 | 3875 « . «P ARA $95 . . 14266 4389^ ^ PCs 752 OE. s. 4236 4865 SEEMS 286 1139 2.04012 rn 4035x821 198. 216: Lc Ege n di eed uquusguu uut seii ue eec com 4 Cun Cum hic unicus: occurrat. numerus pronicus, scilicet $11? — ci. -^, quaestio nostra: unicam tantum admittit solutionem.. Habebimus nimiram 'T — 5:, P — :2, (hic enim. valor respondet numero. 5o, a' quo differentia 5113 orta: est) ergo: Mm ie ndor Orc exdoee TT :1cb.q E0-- 46, p. ESBIDUOE — 125. Proinde: $2121 — 25* ^ 2&6', Absolvimus. solutionem ope 2^ differentiarum,. cum XEulero ad: eandem: 56 operationibus süae: methodi opus fuerit. Problema III. $. ro.. Numerus: in. bina. quadrata; resolvendus, sit; 26265 7.. S'o Put o: Ponamus $6265 — Bye dio D:.etqz-20, ergo.65664 — Q' -P/P-- 1), et O par esse debebit. .Fiat Qu 2'T, et aequatio: nostra. evadet:: 4 (16416 — T^)zz P(P'— 1 " Differentia: autem. 16416. — 'l" par. vel impar. erit, prout. numerus T par vcl impar. assuamitur.. Si. T. fuerit. numerus par; diffeientia. haec aequanda/ est. numeris quintae colum- nae ;. qui omnes in. 0, 4 vel S8 desinunt. Cum. vero. nullus:.numerus: quadratus T" in * vel s disinere possit, omnes numeri: istius columnae rcjiciendi sant. qui: desinunt in 4. vel $, quia. evideus est nullos. nameros. formae: 16416 —.. Ee wel 16476 — 1... 8 quadrata» fleri; posse. fusdpdr STRE suntomnes numeri subtrahendi. desirentes dn |, ubi' praecedens cifra est impar. His igitar numeris: " neglecijs, sequentes tantum casus examinandi supersunt. 164.16. Residua vel T MM | 16416 Numeri subtrahendi 60D IDEM ni. s oo 4 16356 xA ja pketlan eU. e ie isle 135376 — 1242 3580. SPI q.s me 14836 | 1620; ;'L. UNDER Gs 14796 | 2280" . 7 ET OS Cl, 14135 | $220. ,' 5. eee gm T 11196 | 6360... disi Pa 10056 | VUA I ITI LL TRE 9976; 1» X3 oe EN Ei cur Pa 9716 | TA Oe xot cu Ne ILES 2036 144.60 . . . " wi diis ; 1956 06320... 96 Unicum hic invenitur quadratum, scilicet 15356 — 124* Ergo T — 124, P 2264, Q — 248, q — 496, p —z 129 et 262655 — 129? 9- 4647. oi T supponatur impar, differentia 16416 —,'I* aequanda est numeris quaitae colammae in $. 5 vel o desi- nentibus. Cum vero nullum quadratum in 5 vel 5 desinat, rejiciendi sunt omnes hujus columnae numeri qui vel in 3 vel 9 desinunt. Porro rejiciendi etiam sunt ii numeri desinentes in 5, quorum praecedens cifra est par. Reliqui in 5 desinentes, cum suis issiduis in sequenti tabula continentur: y^ 46 Inter haec residua nullam exstat quadratum: conclu- dimus itaque numerum: propositum in duo tantum quadrata resolvi posse. Numerus differentiarim in. hac solutione est :5;. numerus operationum, quibus Eulerus idem problema solvit, 64. Problema IV. $.x1. Resolvere numerum rooocog in bima quadrata ? Solutio. Sit roc0009 — p'--q,p —2P-r,etq-—a2Q Ergo 230002 — Q'— P(P--1, et numerum Q. parem .esse opportere perspicuum est, Quaresi Q ponatur — 2 T, RA aequatio resolvenda erit: 2(125oer — 2 T'j — P(P 1. Productum. autem 2(125001 — 2 T") erit numerus primus, si factor impar 12:o0or — 21" numeris imparibus tertiae co- lumnae aequetur — Hi vero omnes numeri in r, 5 vel * de- ; . sinunt, 12s in sinunt, et illi formae 21" in oo, 505 2 vel &. Rejiciendi ergo sunt omnes numeri hujus columnae "mon in oi, 53j vel 3 desinentes, nec noü jlli qur vel iü^ps3, vel pst desinunt, ubi p est numeras"par, ^quia quàdrata neque in 74, neque in 75 desinere posse dudum cognitum .est. Unde sequens tabula, 53 differentias .cum .eaiundem .semisse coniinens oritur: Semisses [Vesid. | | Numeri. Numeri Semisses Rp 125001. ' subtrahendi. velT*. | || 125001. subtrahendi, ! vel T^. 1 GIDRCCONTOT QNIOIRCDNE eS 44500 3 62499 : 38503 43249 153. 62424 39993 42549 351 62325 44501 40250. - 793 62149 45753 39622. 903 U4049 50403 37299 1953 61524. 52003 36499 2701 65110 53301 35850 3093 6c099 56953 34024 3403 60799 63903 30549 4753 (60124. 65703 | 29649 5151 50925 69751 ^| 27625 6903 59049— 2432. 73153 |. 25924 7503 (58749 79903 | 22999 $001 |58500 g9401 | 22800 10153 157524. goó6or 22200 12403 '56299 81003 21009 SS qVi32o3* . 55899 $7153 18924 15753 54624. 00951* 17026" 19503. — 52749 95703 14649 19701 52650 97903 13549 2030I ($2550 1669533 9024. 20503: 52249 II2IOI - 6450 24753 $0124 11400j 5499 28203 48399 116403 4299 29403. — 47799 123753 624 33153 4.5924. , Duce 249, Duae hic contingunt solutiones: prima ubi T — 250, P —- 1; 8:599, q — rodgou Hee aiuee secunda ubi T: — 245, Epir59;20 — 4800 100——- o72'Bt-p. —: 225. i valores sunt iidem, quos Eulerus ,ptr $3 operationes, ope suae methodi invenit. Solutio nostra hujus exempli paulo longior est, quia differentiarum semisses sumendae sunt. Eroblema V. $. r2. Resolvere numerum :o0o0oor in summam duo- rum quadratorum. » Solutio. Si 1000001 — '--q,p-2P-—1r,q-c»sQetQce ponatur, pervenietur ad aequationem 4 (62500 — T^)- P(P- 1), quae duos admittit casus, prout T par vel impar sumatur. Si T fuerit; numerus par, differentia 625co — '[^ aequanda est numeiis quintae columnae, qui in o, 4. vel 8 desinunt, cumque eorum ac numeri 62500 differentia quadratum esse debeat, rejiciendi sunt omnes, qui non in oo vel 4 desi- nunt. heliqui sequentem nobis tabulam suppeditant: 62500 Numeri subtrahendi. lh esidua vel T* | 62500, Numeri subtrahendi, Residua velT? | : p s | OPDUSUUC PE. 62:00— 250* | XS QUELLI 43936 Y t uet s 62486 20664 «4: - -. 4.1836 2S4 «4. 625236 DETTA 21. f. 38086 DG EUN 61936 OSSIA WT 35686 | 1314 . . .| 61186 Bro6A4 P» S 31436 | 1914. . . | 60586 33764. » . 28736 3164 . , .| 59336 385 I4 Noo. 23986 - Moa euis: 5. 984316 Bogog! $12. ( 22600 | Sg 1E. c. «668.6. Dub 49109523: 224.00 | J9TAN ced] 55486 41514 5 5 20986 . 77809 29 142: 94.809 A62 64.7 LUN 15736 9264. ; EL g32536 $00644 4. 8 12436 " 102644. VPN. BLU 6; S581. s sir 6686 * 13514. i1: 1 48986 $Oo4l4qe 9. 3086 Nova Acta Acad. DEmp. Scent. Tem. XIV, Kk Ubi puee— o QR Ubi observo columnas contrahi. adhuc posse, abscindendoe numeros in r4 desinentes, cum nullum quadratum in 86 desinere possit. Ceterum inter residua hujus casus unicum extat quadratum, scilicet. 62500 — 250". Examinandus isilur superest secundus casus, quo T numerus impar sup- ponitur, Efgo factor 625oo — T" numeris columnae quartae aequandus ert; ubi notandum est non solum omnes 1n 3 desinentes, sed et eos qui in 5 desinunt, nec simul in 75, rejiciendos esse. Unde oritur sequens tabula: [ ] 62500 Numeri Mierraueuseesend velTz:| 62500 Namer subtrahendi. Kesidua velTe pM ————— pais 62461 | EI8BO . . . 54611 eui 6231I E8QUAT v s 43525 WE WE 61811 21389 9.-.. 4111I CA uM 613641 23030 2 uL 38861 Fab uua 60361 071030 I UE. 34861 . . (660025—245"l 30189 . - . 32311 oe 59611 346089 . |... 27811 S E 57061 37539". $9 24961 NT 55061 42939 . «. . 19961 Lor EH 53711 Z5 089i iS 16811 FRAU mec (o t : S179 mos II31I BSc 4.9561 [| $4639 - . - 7861 aa dm m: 46561 Sed 6025 est quadratuur, cujus radix 245; invenimus itaque duas solutiones sequentes: 1). 'El»50,P-0,Q-506,-— 1000, pz X 2- PA et IOOCOOI —- IO000 -- I. 2). Tz245,P-99. 0-490, q7- 980, p — 199, et xoocoor — 199 -1- 980. Cum jam numeri rog es 980 sint inter se primi, et rococorz duplici modo sit summa binorum quadratorum, ex iheore- ' | mate mate Euleriano patet, hunc numerum non esse piimum, sed ex factoribus compositam, qui per propositionem VII, Corol, r. 2. 3. inveniuntur esse ^or et ggor. Columnae secundi casus hujus solutionis contrahi pos- sunt rejiciendo omnes numeros subtrahendos in 89 desinen- tes, quia constat nullam quadratum in r: desinere posse, sed, si desinit in r, cifra praecedens erit o, vel 2, vel 4» vel 6, vel s,. hoc modo solutio hujus quaestionis ope 30 Hitferenuad ie absolvi poterit. Problema 'VI. $.13. ÉExplorare, utrum numerus 1ooocI factores ha- bcat, nec ne? Solutio. Cum hic numerus sit íormae.47:7 -- 1, quaestio eo redit, ut examinetur, num ille semel vel pluries in summam duorum quadratorum resolvi possit? pa Ponamosishur 10001 — p. 47g S p — 9 P-- 1,9 — 20, tunc 2500 — "Q* ert — P(P — 1), cumque Q numerum parem esse oporteat, sit to -— 2 T, unde sequitur esse: 4, 4(645, — T) —P(P-rx). | Est autem T vel impar, vel par. Priori casu differentia 625 — T' aequanda est numeris quintae columnae, in o, 4 vel s desinentibus. Rejicientur ergo illi qui non in cc, vel 4; quam cifram praecedit numerus par, desinunt, et Íor- metur ex DOES sequens tabula: zn Numeii subtrahendi. Residua vel T*. [910 - e. c 264. ONE EU THERME Kk2 | Duo ——— Masi. —— — Duo occurrunt hic. quadrata 625 — 25' et 561 — 19, habebimus gitur d 25, D, o5: 0030 gu. x09 p.cc.i, et 100019 0090 1, vel ioc P. — 087 Q —3585.— 76. Es et, Io000. 68. JOMRNE Si vero T sapponitur esse numerus impar, factor 625 — T* aequandus est numeris quartae columnae in 3, 5, 9 desi- nentibus. -Rejectis igitur omnibus qui non in 25, vel 9 desinunt, habebimus: 625 | Numeri subtrahendi | Residna vel T". lan ALUE RAND) Mn Neue Eco rgo ubi nullum invenitur quadratum, Numerus roocor itaque duplici modo in summam . duorum quadiatorum resolubilis est. Scilcet 10001 —— 100 -- 1', et — 65^ -- 165 cumque rico et 1, itemque 65 ct 16 sint numeri Inter se primi, pro- positus numerus non est primus, sed ex factoribus compo- situs qui per propositionem VII. inveniuntur esse 75 €t 157. Cel. Lambert in opusculis suis (S5eitráge jum Gebraud) ber 3matfemati£) "Tom. Il. pag. 58, 59. solvit hanc quaestionem 33 positionibus ope suae methodi, cum nostra 5 tantum differentias requirat. $. r4. Plura exempla hujus methodi addere super- fluam mihi videtur, cum, quae hactenus dicta sunt, ejus adplicationem ac fertülitatem satis dilucidaverint. Ope principiorum a nobis traditorum via, uti spero, nunc bre- vissima ac facillima patet, dignoscendi, utrum. numeri fornae 4m -- 1 primi sint, vel quales habeant factores? et ni fallor, nihil haec quaestio desiderandum relinquit. Quare nec injicupndum fore existimo , si sequentem tabulam hic. adjangam) cujus usum praecedentes solutiones satis declarant. Tabula E —— — 253 ashes —] Tabula numerorum pronicorum a» usque ad 10010oo0, eorumque semifífes &c. N à | Numeri | Numeri adix | Numeri | Numeri impares| pares numér! | proniei | formae | formae | formae | ; Numeri [ Numeri Radix | Numeri | Numeri impares | pares numer! ! pronici | formae | formae | forme pronici m (m--1)m om 4-1) m (m4- 1 (m cm --1j pronici [mum 4-3) m(m 4-D m (m 4-1)m (n 4-1) GP EESENL 0 M Dno 1| oto I 2 1 : 33 561 A We 2 6 ET. 34 5957 [ss x e 3 12 6 3 35 630 | 315 BAR 4. 20 16 5 36 666 | 333 cU 5 39 15 . 37 793 MUS $e. 6 42 21 : 38 741 5f -e 2. 56 28 Hr 39 789 £d 390 8 mo 36 : 4.0 820 DE 410 9 9o 45 c | 41 . 861 E "NI. Io IIO 55 ; 42 903 "m sire 11 132 66 | 33 43 946 | 473 ies 12 E36 | **78 [1-39 44. 990 | 495 e I3 1:82 91 tc 45 1035 ^R o; 14. 210 ros HOP 46 1o8I Yu eus I5 240 120 ao 47 1128 $ de 564. 16 253 | **36 [' 48 ITO gc 598. 17 306 153 als 49 1224 eg d X8 34.2 I7 E 5o 1275 e eod 19 380 190 95 5I 1526 | 6635 n 20 420 210 | 10* 52 1378 | 689 i 21 4023 4 Per [uS 53 1431] .- t 22. 5o6 253 aka: 54. 1485 QW Bí ae 23 359 "76 Aou 55 154.0 n 770 24. 6oo 300 56 | 1506 2 798 25 650 325 57 1653 MP ve 26 702 351 S 58 I7II e. S Me 27 756 378 | 189 59 1770 | 885 e 28 812 406 | 203 6o 1830 | 915 be 29 870 435 MT 6r 1891 T aD 30 930 465 S 62 1953 Pen 2e 3t 992. Z496 Fus 63 2016 vi 1008& 32 -| 1056| ^$38 m. P 64. 2080^|^.« : 1040 Radix [2 i | Numeri | Numeri | -Numeri( Numeri 1 , Radix : Naumert| Numeri |impares | pares Radix | Numeri | Numeri impares | pares numer! | pronici | formae |. formae | formae | numeri | pronici | formae |formac | tormae pronici im(m --1) m.(11 4-X ) 4 Hoc op DIMENIMC 1| 4 mm t ge pronici m (m oT jym (m 4- x jm (m T1)mim--I) UA A Lie 100 |IOI100 5050 | 2525 rs PU AMA IOI |10302 aom obs "m 1139: M! 102-|10496] -$2755*5| "b€* AN. 1173 PC 103 |10712| 5356 "EA 2678 ue .t 104 |10920| 5460 a 2730 : 105 |1113O| 5565 r- da a5 1278 106 |11342 5671 " SMS 1314. 107 |11556| 5778 | 2889 3. SM 108 |11772| 5886 | 29043 | '. s is 109 |11990| 5995 e e. 1425 Sm 110 |12210 6105 4í| a. 1463,] .. 1i11 |]24324[:.6216 | -.. | He d «1-4 x12 |R208d 5 ao8.| -ce 3] 38 8. 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Tome des Nouveaux Actes de l'Académie, j'ai fait voir de quelle màniére on peut faire usage des nombres pronics, pour décomposer, si cela est possible, un nombre impair donné en deüx catrés, par le moyen desquels on pourra ensuite reconnoitre, si ce nombié est premier ou non , et quels sont ses diviseurs. | Mais quelques simples que soient les calculs que cette méthode exige, on regrettera toujours: que les avantages qui en résultent, pour trouver ces divi- seurs, ne soient que partiels, puisqu'ils ne s'étendent qu'aux nombres de la forie 4 5mr-- 1, lorsque ceux-ci sont une ou plusieurs fois la somme de deux canés premiers entr' eux. Je m'occupois de cette théorie et des moyensde l'ap- pliquer aussi aux autres nombres qui sont la somme de trois ou quatre carrés, lorsque je regus l'excellent ouvrage de Mr. Le Gendre, intitulé: ,,Essai d'une théorie des nombres** dans lequel cet auteur aussi savant que modeste a réuni en une science intéressante toutes les différentes découvertes faites jusqu'ici dans l'Analyse indéterminée, en y ajoutant , Bn les u— 2609 les siennes propres, lesquelles en reculant de beaucoup les limites de cctte sublime science, ouvrent un vaste champ à des recherches ultérieures. — Entre autres il y indique plu- Sieurs moyens pour examiner si un nombre donné quelconque est premier ou non. Ces moyens qui s'appliquent à tous les nombres impairs sans exception, me paroissent mériter la plus grande attention: et sil reste encore quelque chose à desirer,. pour porter cette méthode à sa derniére perfection, les difficultés qu'elle présente n'ont, à ce quil me semble, rien d'insarmontable. Cést à cette méthode que se rapportent les petites remarques qui vont faire le sujet du mémoire que j'ai lhonneur de présenter à l'Académie. Elles serviront à. abréger encore d'avantage les calculs que préscrit la théorie mentionnée: la premiére en montrant de quelle maniere: on pourra employer les tables connues des nombres premiers, .et des diviseurs des nombies, à lexamen des nombres qui surpassent les limites de ces tables, et la seconde, en contenant une nouvelle méthode d'examiner la divisibilité d'un nombre quelconque par un ou plusieurs autres nombres | donnés Dans une matiére aussi difficile que celle de la recherche: des diviseurs des nombrcs, tout ce qui peut y répandre quelque jonr est digne de noue attention, et .le plas petit pas qu'on fait vers un terme désiré et une -à atteindre ,. ne sauioit. jamais étre indifférent. $.2.. La méthode de Mr. Le Gendre, à laquelle se rapportent Ies remarques dout nous parlons ici, se trouve .detaillee dans la seconde apaxtie de son ouvrage, auquel je renvole Bcc rces 270 Diari renvole le Tecteur, d'autant qu'il seroit impossible de pré- senter. dans un extrait, une théore fort étendue ct pres- qu entier. m.nt nouvelle. Je me contenterai donc d'en donner ici une idée legere. : AX) Le savant auteur examine d'abord la formule t^-cw par rapport A ses diviseurs simples et quadratiques. Les premiers, lesseuls qui conviennent à notre but, se réduisent toujours, pour chaque valeur de c, à la [orat eX -- Q, « et (83: étant des nombres dépendans de c, Cést à cette valeur de c que se rapportent plusieurs tables ajoutées à la fin de l'ouvrage et calculeés par Mr. le Gendre, d'apres: des formules qui résultent de sa théorie. Telle est la table 1II qui contient tovs les diviseurs simples de la formule t' — €u , pour toutes les valeurs de c depuis 2 jusqu'à 79, à l'exception des nombres carrés ou multipliés par un facteur quadratique: — C'est ainsi qu'on trouve, p. e. à coié de la formule t'— 3ou' les diviseurs simples suivans;: (50*43 3713 £0, 4904 09I5 y2?20' qd -l- 29, 7I, IOI, I19, ESO q-—I-175 $4. TOT 13735 120 X-1- 75 13, 87, 105, et cela veut dire qu'un nombre qui est de la forme t^ —3^w', sila des diviseurs simples, ne sauroit en avoir d'autres que ceux qui sont d'une des formes: 120 X-- 1, 120 X 4- 19, 1:20 1--49 &c,. En faisant p^e. (597; u- 2, la formule t'— 3c w devient 9289 Or ce nombre est le produit des diviseurs simples 5 et 1527, dont le premier se déduit de la forme 120 X -- 7, en y mettant x -— 0o, et le second de la forme 120 y-- 5 en y falsant. y — rr. La table IV contient de meme les diviseurs de Ia ^ . . formule o —— 27Y — S formule t^ -- au^, pour tous les a de la forme 4m -1- 1, depuis 1i jusqu'à rO5. La table V. contient les diviseurs de t' QU, pour les a de la forme 4m — 1, depuis 1 jusqu'à 1c3. La. table VI renféerme les diviseurs de la formule t -- 2au, pour tous les a de la forme 4m 4-1, depuis I jusqu'à 53. Enfin la table VII donne les diviseurs de ÜU -- 2?du. pour les a de Ia forme 4m -— r, depuis t jusqu'à 51. 2) Cela posé, tout revient à cécomposer le nombie dont on cherche les diviseurs, en plusieurs formules, telleS que £ aw, ou t^ — au. Plusieurs moyens sont propres aee but. j . &) Le premier consiste| à extraire successivement Ta. racide carrée du nombre donné A, ou de ses multiples EA USA. .. 5 RÀ, jusqua' cé quon parvienne à dcs restes positifs ou. négatifs de la forme -- au, le nombre a étant un de ceux qui sont compris dans Jes tables dont nous venons de pailer.. Flus on trouve de ces restes, plus la recherche des diviseurs scra abrégée. Paobe second moyen est de réduire V A, ou y 2A, 3A »... Y AA, en une fraction continue , ensoite - qu 'on ait: VÀA —a Ti. DU y^ ——y c. &c. ott les quantités x^, x^, x4 etc. sont appellées Quo- tiens-com léts; et se réduisent toujours à la forme d zs Essai d'une t'éorie des nombres, premiere partie $ V. "Ow on peut démontrer, que si 7 est une fOCRURGETKINT OIGERO GuxEv EL I eara — 072 «une des fractions convergentes vers Y kh A, et xépondant au Quotient- complet Eg on aura nécessairement -- D — p — kAq', et par conséquent hAq — — p' —« D... Mais comme hk, A, q, p et D sont supposés étie des nombres entiers, on xit que les diviseurs de A.X, ou de A, le seront aussi de P D, ou en général de p' -- Dv, le signe -- ayant lieu, lorsque ce Quotient-complét est de rang pua et le signe — dans le cas contraire. Quant à la méthode de trouver les fractions con- svergentes vers V. Kk A, ainsi que leurs Quotiens - complets, on la trouve détaillée dans l'ouvrage cité. y). Lorsque le nombre A est de la forme o a I, OU SeU- lement un diviseur de cette forme, on a, dans ce casparticulier, un.moyen de plus d'abréger la [recherche des- diviseuss de A; car il est prouvé que tout nom- bre premier qui divise A est de la forme nx -- r, lorsque n est pair, et de la forme 2nx -1-.1 dans le cas contraire. - 3) Aprés avoir décomposé ainsi le nombre À en plu- sieurs formules t^ 2- aw, t -- a'w, t -- a"w &c. on en choisira les plus ui C'est-à- dire celles dont les ombres a, a/, a/ &c. se trouvent Edans les tables $. 2. No. r., pour chercher ensuite les diviseurs simples de la forme ez -- Qj, «x -- &/ &c. qui leür répondent, et parmi lesquels ceux (de A doivent se trouver néces- sairement. Mais comme les nombres de la forme ax 4- Q. ne sont pas tous compris dans la forme o/y 4- Q', on voit qu'en admettant les deux formes à la fois, les diviseurs de .À se trouvent parmi les nombres qui leur sont cominuns communs à lune et à l'autre. En combinant une troisióme forme avec les deux précédentes, il est clair que ces divi- seurs, pour convenir aux trois formes à la fois, se redui- ront à un nombre encore plus petit, et ainsi de reste, Et puisque le nombre A, s'il n'est pas premier, a au moins un diviseur au dessous de y/A, les conditions, dont nous venons de parler, serviront donc à exclure une paitie d'au- tant plus grande -des nombres premiers au dessous de ce terme, qu'on aura trouvé plus de formules &. -- aw' repié- sentant A ou ses multiples. 6.3. Voici quelques exemples pour écIaircir cette théorie: "a X.)- «80i propose de chercher les diviseus du nombre »*^ — a1 — 88554431. Comme ce nombre est z—(** — 1) (2? -- 28 -- 27 -- 25 -a- 1) zz gr.1082401 ct que ro$2401 n'est pas divisible par 31,si 1082401 a des diviseurs, ils ne peuvent étie que de la forme 5o x -1- r, (8$. 2. Ny.) Or il faut au moins qu'un de ces diviseurs soit 2 y/A, c'est -à-dire 040, par conséquent un diviseur du nombre en question se trouvera parmi les nombres pre- miers de la forme 56 x-4- i qui sont au dessous de ro4o. Mais comme il seroit fort long de les essayer tous les uns aprés les autres, il faut encore voir si le nombre .proposé ne peut €tre représenté sous la foime UÜ "50 Or cctte derniére se trouve d'abord; car 2 A — 2 5 — a z (29) — 2. 1, par conséquent 2À est de la forme t — 2u'. Cette formule qu'on trouve dans la table Ill, n'a qve les deux diviseurs simples $n -- 1 et 8n -- s. Le diviseur que nous cher- chons est donc parmi les nombres premiers au dessous de 1040, qui sont compris à la fois dans les formies 50 x -- r, -Nevs Acta Aced, Imp. Scient. Tem. XIV. Nn $n 1; u— (Qo um— $n--1I, 8n. Pour accorder ces conditions, substituons dans la premiére au lieu de x les valeurs 4 y, 4 y -- 1, JAY ce 2, 4 y 8. ce qui donne. pour 50 x 4- 1 les quatre expressions suivantes:.200 y -- 1, 200 y -- 51, 200 y 4- 101, 200 .-|. rsr, et comme le cocfficient de y est ici multi- ple de 8, la comparaison de ces formules avec 8m -- t et 81 .2- 7 sera.tiés-facile: car des quatre formes 2003 4- 1, &c. on ne conserveia que celles qui, divisées par 8, laissent z ou 7 pourrestes. On retranchera donc les formules 206 y 4- 51 et 200 y -- 101, comme ne satisfaisant point à ces condi- tions, ce qui reduit les formules qui contiennent le divi- seur.cherché, aux deux suivantes: 200 y -- 1 et 200y--rs5r. ll suffira donc d'essayer seulement tous les nombres pre- miers au dessous de r0o4o qui sont de la forme 2oo0 y &- 1, 0u. de.200 y -- t51. Or en faisant successivement y — o, 228205 3 WO. les nombres compris -dans ces formes sont I51, 2OI, 351, 40I, 551, 601, 751, BOI, 951, 0E, et retranchant encore ceux qui ne sont pas premiers, il n'en reste que les quatre suivans: IjgE, 4015; 6OLE, c 535 Ia | avec lesquels il faudra essayer de diviser le nombre donné. La division réussit avec óor, on voit donc que ce nombre est — 6or.180r et parconséquent 2?— 1 — 3r. Ó6or. 1801. IL) On cherche les diviseurs de AÀ — 281:2545*. Ici on se servira des méthodes N*. a et 8, pour trouver les diviseurs demandés. Et d'abord, en employamt cette der- niére, et reduisant y/À en une fraction continue, on ob- Vent les Quotiens - compléts suivans: a.) - | Y.) PALO L—- 165» zi. en). enn ad gon 2. BU ues $ 9 19.) F4 119 rex so 2.) MEC EI6n] — 4I -d- 13.) V4 105 — i-r 4.) ECT - 3 4d- "gi4.) MEDIUM — 3 Es 5.) Ar d — E ec 15.) CIC — 1:4 6.) rA. I -]- 16.) Vielen zip 9.) YA E. cm O9 'er- I7.) ori cr WHO p.) P GI one 18.) YA; EU — 6 9.) Yklu uem 1-4 d.t la X9.) E DE E ota. 10,) P4 153 5 -4d- EO ACE EN E n e. fe £ Parmi les valeurs de D qui sont les dénominateurs de ces quotiens- complets, il ne s'en trouve que les trois sui- vantes, dont nous pourrons faire usage, savolr: X.) D -—— 37-89. si) DA- yg xet0EM Tem mytND L ege onn. et comme le quotient - complét qui repond à la premiére, - est de rang impair, et; ceux des deux autres de rang pair, les diviseurs de A seront compris dans Ies formules; | ÜP— 3$4W, E£'-weairwy Fou. Or d'apiés les tables de. Mr. Le Gendre les diviseurs. de ^ formule t^ --2u' sont de la forme. 8x -4-1,:3, et ceux de t .-- nru dela fomne 2cy 4- 1,5, 5; 9. r5. Pour accorder ces deux conditions, comme 22 m'est pas. mul- tiple de $8, mettons dans' la derniére forme au lieu de x Nn'z | les D — 00€ les valeuts 4 y 4y 1 4y 2-2, 4y 2- 5, alors les formes 22X--I,,35 55 95 15, Se changeront en: 88 )-4- I3 35 5; 95 155 $8J-1- 23, 25, 27, 314 37, 88 J 1-455 47, 494 53» 595 88 y d- 67, 69, 71, 75, 81. Ces nombres doivent donc étre tels qu'étant divisés par 8, les restes soient 1x ou 3. En rejettant par. conséquent ceux qui ne remplissent point cette condition, il n'en reste que: €8y 2-1, 3» 9, 88y d-25, ?7, $8y 1-49, 59, 88y d- 67, 75, 81, D'un autre cóté la formule t£ — 55 u^ a les diviseurs suivans: 348 X-- 1, 3, 7. 95 11, 21, 25, 274.33, 41» 475 49, 535 63, 65, 67, 71, 73. 75, 77, 81, 83, 85, 955; 995 101, 107, 115, 121, 123, 127, 137, 139; 141, 143; 147. Or tous les nombres au dessous de y A, c'est-à-dire au dessous de 1675, et compris dans les formes 148 x -- z, 3. 7, &C. sont: 35 35» 75 11, 41, 47, 535 67, 71, 73, 83, 10I, 107, 127, 1375 139, 149, 151, 157, 173, 181, 197, 211, 223, 229, 233, 263, 269, 271, 293, 307, 317, 349. 359» 367, 373, 379, 397. 419, 433, 443, 491, 509, 521, 571, 593. 599, 601, 613, 617, 619, 641, 659, 673, 677, 691, 719, 733. 739, 743, 751» 761, 773, 787, 811, 821, 823, 839, 863, 877, 887, 929, 937, 941, 953, 971, 983, 1009, 1039, 1061, 1063, 1069, 1103, 1100, 1151, 1163, 1181, II187, 1193, I217, 1231, 1237, 1249, 1259, 1279,1283, 1291,1307, 1321, 13734, 1381, 1399, 1409, 1427, 1433, 1439; 1447; 1453, 1459, 1471, 1477, 1481, 1483, 1487, 1489, 1543, 1553, 15793 1601, 1607, 1619, 1621, 1627, 1637, 1669, En —À 2747 — . En excluant de ces r*s5 nombres ceux qui ne s'accordent pas avec les formes 88 y -- 1, 3, 9, 25, 27, 49, 59, 67, 75, 8I, Cest-à- dire qui, divisés par $88, donnent des restes differens des nombres xz, 3, 9, 25 &c. il en restera encore les 29 suivans: 3, 5 7) 47) 53) 67) 71, 137» 379, 419, 433, 443, $21, 617, 619, 641, 691, 929, 971, 1193; 1259, 1291, 1307, 1321, 1409; 1433, 1483, 1489. Mais comme la division du nombre A par ces 29 nombres premiers seroit encore assez péuible, nous aurons recours à la méthode «, pour voir si A, y 2A &c, ne peut se décomposer en une ou plusieurs formules t' -- cu' et différentes des trois que nous venons de considérer. Or aprés quelques tentatives on trouve que la racine carrée de 3À en nombres entiers — 4435, et le reste 2— 3. 5.441. C'est -à -dire on aura 3 À — 4438. 24 15.21 , — t. — 15uj et comme les diviseurs de cette formule sont de lune de ces formes: 60 x-]-r, 9, II, 17, 435» 495 535» 59, nous rejetterons encore des 28 nombres précédens tous ceux qui, divisés par óo, laissent des restes différens de 1, 5, rr, 17, 43. 49, 53 et 59. Par-là les nombres premiers parmi les- quels il faut chercher les diviseurs de A, se trouvent ryeduits aux r2 suivans: 7» 4T, 58, 67, 71, 197, 419, 617, 971, 13259,1321, 1489, avec lesquels on essayera donc la division, et si elle ne réussit avec aucun d'eux, on peut étre sür que le nombre proposé est un nombre premier. Or elle réussit ici avec 419. Donc &c. | $. 4. Telle est 1a méthode de Mr. Le Gendre, pour irouuver les diviseurs des nombres. Elle réunit plusieurs avan- Ng 278 [riens] avantages qui i sublent lui donner la préférence Sur toutes les autres conntes jusqu'ici. Car d'abord elle est. générale, en s'appliquant à tous les nombres, quelques grands quils solent, et en second lieu elle reduit les divisions qui restent à .faire, au plas petit nombre possible, Mais en lui rendant cette justice on ne sauroit dissimuler quelques inconvéniens dont elle est encore affectée. Le plus grand en est sans doute qu'on ne prévoit pas, par quelle$ valeurs de À il faut multiplier le nombre A, pour pouvoir décomposer le produit en une formule t --aw, dont le coéfficient a se trouve dans une des tables dont nous avons fait mention, Dans l'incertitade oü l'on en est à cet égard, il ne reste qu'à se servir d'un tà- tonnement, duquel on n'est pas toujours bien sür qu'il réus- sisse pour toutes les valeurs de À et A, du moins ne connoit-on pas les limites, entre lesquelles ces valeurs de h seront renfermées. 1l en est de méme de ]la seconde méthode qui, de plus, exige des calculs assez longs, pour déterminer les Qouotiens-compléts. | Ce seroit donc un nouveau probléme digne de l'attention des Géométres, de trouver d'une. maniére directe pour tout nombre donné A, les formules t^ -- aw, t^ -- a/u* &c. représentant ses multiples et oüà les coéfficiens a, a/, &c, sont au dessous d'un cer- tain terme. 6. s. Passons maintenant à quelques remarques, par lesquelles les solutions dont nous venons de donner une idée, peuvent étre encore abrégées considérablement. Pour cet effet je supposerai, qu'aprés. avoir employé les méthodes précédentes, il xeste encore les |nombres premiers, avec: lesquels nemen eosam 279 CUusvooRuAs hm lesquels il faille essayer de diviser successivement le nombre proposé A. Or ces nombres étant tous "Apa. on pcut les représenter sous la forme 26 -4-1, 2 -- 1, 2 (/^-- 1 &c, De plus je remarque que le nombre A sera 1a différence de deux (et seulement de deux) carrés, s'il est premier, et dans le cas contraire il sera la différence d'autant de carrés différens, quH y aura de ; ;paires de. diviseurs diflérens dont le produit est À. Soit donc A-cp-q-p—q* ch tdi /^ &c. et par conséquent A — (p -d-q) (p —4) E (1 -Jesuge. e-—- q') &c. Et comme un des diviseurs premiers de A est nécessairement plus petit que la racine carrée de ce nombre, soit p — q ce diviseur, que nous ferons — 2( -- 1. Donc A-sera —— 2g (2g as 1) -4- 46 Pc uM et $2 c2 q (2 8c) e 2 Boe 1) [ci il est; essentiel de distinguer les deux cas A — 4m--13 et A 4m — rx. are 1. .Si A — 4m 4r, on aura *—5 — sm —iq (58 4-1) -—28 (28 — 1), at faut donc que q soit un nombre pair, que nous appellerons 2 O, par conséquent m .sera — OQ (28 2- 1) 4- G( 4- 1 ). Distinguons encore les deux-cas m — -2n,etmc-eon-r. a) Si m — 2n, il faut que OQ soit un nombre pair sDEdone n — Q'(» rt arci. PXDEED : , BEENUP — 12... seimoeoal. a un nombre entier Q*. 2p --r Il en est de méme des diviseurs 2 Q^ -- zr, 2 Q/ -- r, &c. cet n--p'tlà^-x) n— I : ; BLEU ED, — Ep ? &c. qui doivent étre des nombres . entiers. Si 280 Si n est un nomb;ze pair, et que 8, ou Bot solf en méme tems divisible par 4, il est clair que *? — 667-8 Lx TI sera encore un nombre entier, ce qui abiége le calcul con. sidérablement, Voici donc la solution pour ce cas: On retranchera successivement de n (ou de 7) la II* ou VII?* colonne des nombres pronics, dort on trouve la table dans le méaoire précédent, savoir ceux de ces nombres qui résaltent des diviseurs 2 (à —- 1, 2 (/-- rz, 29 -- 1, &c. ce qui donne les restes 'T', U, V, W, &c. à cóté desquels on mettra les diviseurs quens qeu PLC 1, 28/-- 1, &c Or n (ou 2) est beaucoup plus petit que A: à plus forie raison les res- tes T; U, V, W &c. seront fort au dessous de ce nombre. Par ce moyen la division seia plus íacile, les dividendes étant toujours triés- petits en comparaison de A, et dans bien des cas on peut se disperser d'exécnter i: division, puisque trés -souvent ces ie:tes ou dividendes T, U, V, W, &c. se trouveiont dans les tables des rcombres premiers et des diviseurs des ronbres, oi par conséquent un coup d'ocil suffit pour juger de leur divisiLilité par les nombres premiers 28 -- 1, 2^ 4-1. &c. b) Si m est impair et — 2n -- r, OQ le sera aussi. Soit donc Q — 2 Q' -- 1; parconséquent nous auions 2p 4- 3 zx Qur) PARUM - É(G -- 1), donc gg 4-1) Ü Doc iua. AUD n^ dmnmombre enLlicr. 2--i Ou si n est un nombre pai, ct qu'en méme tems B soit md AT B'g-a-r) | 3B Ace Lil - o o "i - Z soit delaíorme 4 y, 5 — — 2-— à un nombre entier, EP enfin, si n et B sont impairs, et qu'en: méme, tems. B-1-—2a4y, -»--B EXER! | "s u 41. — à un nombre entier. 20 --1 E. il est facile de tirer des regles analogues à celle du ?. précédent 2) Si Az 4m— 1, la vo A—!-q(2fa- ere Ben se change «en 234 — 1 — q (28 -- 13 2 8(Q -1— 1), il faut donc que q soit impair et — 20 -2- 1; ainsi p-—r—8-—95(84-1 : ; : E o ee salu c à un nombre -entier, 9u bien, si m — 1 et (8 sont à la fois pairs ou impairs, pumt8 a. poem 2 uis pat 1! 7 2 cc Q'ziz-aà un membre entier. 2p--x : $. 6. Eclaircissons cette solution par quelques exemples: L) Pour premier exemple nous prendrons celui. du $. 3. II, ot nous avions A — esr 2747, et ou les diviseurs. mon-exclus, avcc lesquels il restoit à essayer la division da nombre A, se sont trouvés étre 7, 474 53». 67, 7E, E575. 4104. €17,..971,. 1250, 193213» 1480. . für jÁÀ Ez 4-793187 — r, par conséquent m, — 7093187, et m — 1 — 791186, et la solution se fera par 1a formule N2 2..du $. picecóee Les valeurs de $, (/, (j^ &c. seront. donc: 3; *3. :6, 33. 35, 68, 209, 3085. 4855029 2,669 sup UR Nova Acta Acad. Imp. Seieut. "Dom XIV. Oo nous — — JH 1.1 208 — —— AA ! nous partagerons en deux classes, selon que ces nombres sont pairs ou impairs, en prenant pour les premiers la formule m—1 Q8 Bt8-r) à : 2 2 2. —— à un nombre entier, 235--1 et pour ceux qui sont impairs, Ia formule: : 3223 wicur-xP UR T d Imi notiDHS entier. De là résultent les deux tables suivantes: 1) Table pour les valeurs paires de (f. — — — — 351229 349213 893853 133133 47081 Pour examiner maintenant la divisibilité de la troisióme colonne: par la quatriéine, je me sers des tables des divi- sears des nombres de Mr. Felhel, qui sont les plus grandes que j'aie pà me procurer, et qui ont été publiées sous le titre: :Gafel aller. einjacben. gacroren. Der Durch 2, 3, 5^ nich tfciitaren Sablen oon 1 bi8 rooooooc, contenant les diviseurs des nombres depuis r1 jusqu'à 408000. Or ici aucun no bre de la troisióme eolonne n'est divisible par son correspondant de la quatuieme. ; | 2) Table 2) Table pour les valeurs impaires de. f. m -- r 8B. d RR Es s eel: I)— | 703186 15 7031*7I i 7c2611 70205I 70189r 659987 466991 $0628*4 Parmi ces nombres il n'y a que le dernier 506285 quon puisse examiner par le moyen des tables des divi- seurs mentionnées. Pour ce qui regarde les autres, qui en surpassent les limites, il ne reste qu'à se servir de la voie de la division, par laquelle on trouve que 5031351: 7 — 100453, et 659087 :419 -—— 157583. . Par conséquent le nombre proposé A est divisible par 7 et 419. En prenrant le dernier 419, on a donc Q- 1553, ce qui donneqz :Q- 1 ——3147.p-q-29 —1:.35147.-449-—-3566,-p 4-q-— 615 et À — 2812747 —— 6713 . 419 — 7. 419 . 959, On voit qu'avec des tables des divisevrs calculées jusqu'à r million on auroit été dispensé de faire la division II.) Pour second exemple prenons celui de Lé Gendre (p. 513. 314 de son ouvrage), oü il trouve que, si le rombie A — 1082401 a des diviseurs, celui qui est au dessous de y A ne sauioit étre qu'un des quatie nombres premiers: r5 1, Qo 2 40I, —— - 40r, 601, 7515; et comme nous avons-ici Á — 4 .^70600 -u-1,].- 2206090 —52.15355300, et "]- 1559065 dL faudra se servir.ici des formules N.. 1. a. oü nous ferons encore deux classes. de valeurs de , selon qu'elles. sont- paires et. divisibles par 4, ou impaires. Or 22-1151, 4-1, 601, $51, donc (99 —— 95, 90c,-30c, 375. 1) Table pour les valeurs paires de (. B(g 3-1 V FPES 2 2850 : I52450 70500 64800 185390 Pour examiner la: divisibilité de ces quatre restes: par les diviseurs .correspondans, ^;om peut se: dispenser d- se: servir. des tables. des | diviseurs. | Car 1) 55600 z 7.83.10c,€t ce nombre, comune om voit, n'est pas divisiple par l'énombre: premier 401. 2) 45 95 — 25.31 :ÓCI, ainsj ce nombre | est . divisible par son correspondant 51.9). 23 9q505-p305109*016/7883,. lequel produit: ne peut . se diviser par 15r. Enfin 4) 645co — 1i00.8.81, donc €c — $65 —— ee nombre n'est non. plus divisible par 751. Nous n'avons parconséque;t que le nombre 60: qui divise A. Donc Q' EBUg .ibp)—.v,-Qum-üude Sg tuD600. p—q- 2g--r L—120L, p--q -——189E'eb iA — icio y ot ——D6612,1901i. $..7. Les moyens que nous venons de proposer pour faciliter la recheiche des diviseurs des nombies, ne sont pas les,seuls qu'om peut employer. ll en est d'un au re genre et qui se rapporteut immédiatement à la - division méme. (DRE. comme emn appliquant. Ila methode précédente à des nombres tiés- grands, d reste: toujours des divisions. à. faire, 1l faut surtout. songer à abieger celles-ci. Pour cet.:effet . je .proposerai, en. forme. d'exemples, une méthode. particuliere- d'examiner la divisibilité- d'un nombre donné- par. um -ot:r. plusieurs; autres. pombres, qui pouria étre de quelque utilité, et qui, si. elle n'est pas aussi gourte. que: quelques autres applicables seulement aux nombres: ju 1.474 r4. (c. 4 lavantase d'eue sénérale, en s'étendant indifféremment à tous. les - nombres, quelques grands qu'ils soient, et meme a des systemes. entiers de nombres. $. 8. I. Exemple. Examiner si le nombre 3721239 est divisible Dar 5:9. Comme: il ne faut qu'um coup: d'oeil. pour. déterminer le premier et l]e: dernier chifre du quotient, en cas que la division: soit possible, je les supposerai connus. Le rre- mier est -..-et le. dernier pre sauroit étre qu' un. nombre qui. multiplié par dernier chifre da diviseur,. c'est-à- dire par 3, donne um produit. dont. le: dernier chifie est. c5. par con- m— 2 : conséquent ce nombre sera 3. De plus,on connoit, le noms bre des chifres du quotient, que nous désigneions par a Q y à 5 e uü a, comme nous venons de voir, csi —*. Cela posé, on procédera de la maniére suivante: Quotient Diviseur 3a ^| 38 |$vY | 89 |. 9 sais sy 159 1) On multipliera d'abord le quotient par le diviseur, en 2) 3) observant de séparer, comme il faut, les dixaines, cen- taines &c., apiés quoi on comparera le produit et Ie nombre donné 3329239 terme à. terme, en faisant le raisonnement suivant: le nonibre des dixaines du nombre proposé est 3. . Il faut donc que 39 -- 5 soit un nombre dont le dernier chifre, qui marque les dixaines, soit également 3; par conséquent 595 se terminera en 8, (c'est à dire en 15 moins 5), et par une table de mulüplicauon on s'as- süre que à ne sauroit étre que 6. S 0——6, 590 -- 5 sera — 25, et le 2» sera compté parmi les CHORO ll faut: donc que. 5 -- 58 -- i — 2, C'est- à-dire que 3 y -—- 33 soit un nombre, dont le dernier chifre est — 2. Par conséquent 5-y se ierminera en g, donc y — $3, 6t 3yy 4- 33 — 42. 4) En 4) En comptant 4. dans la classe suivante, on trouvera que 38 -- 19 se terminera en ?» c'est -à - -dire 35 8 en o sdonc g — o,ct 3B SL EU —— I9. 5) Par un raisonnement semblable on trouve que 34 -- r doit se termineren ^ ,' c'est-à-dire 3a en 1, donc « — 3. Et coinme ce nombre s' accorde avec celui que nous avons déterminé dés le com nencement par le premier coup d'oeil, la division pourra se faire saas reste, et 1e quotient sera «y ó3, ou 70365. II Exemple. On demande si 5947819 est divisible par r*. Aprés avoir déterminé le premier et le dernier chifre du quotient, 4 et 7, ainsi que le nombre des chifres, on. fera la disposition suivante: Quotient Diviseur —À o Á———————— QD — |— —| LLÓÁ—À——— — | ————————— Pour accorder maintenant le produit avec le nombre donné 5947819, il. fant donc 1) que 53 -- s se termine en r, c'est-à-dire. 73 en' 6, par conséquent 3 — 8. Donc 70 — 5 zz 61, et le ó sera compté dans le classe suivante: 2) TY I— 2988 ——— 2) 7y 4 3q se terminera en 8; ainsi 7 *y en 9, donc ym 7. 6t y iqo— 35. 00 les 8 Seront mis dans la classe des mille &c — Procédant de méme avec les classes suivantes, on trouvera Q — o et « —. 5 et comme ce dernier nombre; ne s'accorde pas avec [a valeur a — 4, trouvée dés le commencement, le nombre donné ne sera.pas divisible sans reste par 157. L'utilité de cette méthode paroitra encore d'avantage, si on lapplique à des diviseurs dont les deux, trois &c. derniers chiffres sont égaux. En voici un exemple: Parmi les r2 nombres premiers qui peuvent seuls étre diviseurs da nombre 25127947 ($.3. 1L), .se trouvent les deux nombies 51i €t.951, qui, se terminant l'un et l'autre en 71, peuvent étre examinés à la fois de la maniere suivante: II. Exemple. Les trois premieres lignes du produit sont pour le diviseur 7r, et le tout ensemble pour o;1, ou il est à remarquer que le premier diviseur 71 ufa ün quotient composé de 5 chiffres, dont le premier &.— 8, taüdis que le quotient qui répond à 9;1, n'ena | que 4, dont Te premier LOC ue—————ÁÉÁ—— UT PRESS a— O00 E * ^d E premier (6 — 2,:ce que nous avons exprimé par les notes . mises audessus de ces.deux chiffres. Calcul pour le diviseur 7r. 1) j--q se termine en 4, donc à — 5. Par conséquent Ó - q — 14, 0ü lon prendra l'unité pour la classe suivante: 2.)-.cy. d iadiEienmine- en..5... donc .*/. ——. 7. 3) B 53 se termine em 2, donc (9 —-9. 4) «-- 69-se termine en rz, ce qui donne « — 2». Mais comme cette valeur ne s'accorde pas. avec la pre- miere & — 3, il sen suit que 7z n'est pas diviseut du nombre proposé. Calcul pour le diviseur 97r. 1) Ici nous avons également 9 — 2) y 2-43 doit se terminer en 7, donc y — 4. 3) 8-83 doit se terminer en 2, et pour cela il faut que 8 soit — 9. Mais comme cette valeur est diffé- Nx rente de 8. — 5 déterminée ,au-commencement, on voit. que 971 n'est non plus diviseur du nombre 28X274' Je finis ces remarques en observant que pour peu qu'on se soit rendu familier le raisonnement dont nous nous sommes servis pour examiner la divisibilité d'un nombre | par un autre, on trouvera cette méthode préférable à la division. Mais comme elle est fondée sur lhypothese que la division se fasse sans reste, on' ne peut en faire usage dans les cas oü un nombre m'est pas divisible par un autre et oü lon a besoin d'en savoir 1e reste. Nova Acta Acad. Imp. Scient. Tom. XIV, P p^ SEÉ- €— 290 Mim - SERIERUM PRINCIPALIUM, quae Sinus anguloram multiploram- exprimant Demonstratio elementaris. Auctoe K A A F F T. Conventui exhibita d. o Jun. 1802. re Cetebie atque Actis Academiae nostrae propemodum 'pro- prium argumentum est de sernebus Sinus angulorum multi- ploram exprimentibus, ad quod omni numeio absolvendum vix quidquam desiderari posse videtur, nisi ut istae series atque inter istas inprimis eae, quae concinna simplicitate sua primum sibi piae ceteris locum vindicant et ad omnem Geometrarum usüm, quod attinet. ad mulüplicationem an- gulorum, sufficiant, planiore demonstratione mauniantur, ab infiniti considerationibus et a quantitatibus praesertim ima- ginaris libera, utpote ab ejusmodi disquisitionum | genere nimium dissidentibus. | Uüilis argumenti, cetera elaboratis- simi, unam hanc delere mendam tentanti ob!:ulit se mihi istas series demonstrandi ratio, quae jure elementaris vo- cari posse videtur, cum neque inductioni vim justo majo- rem indulgeat neque eliam infiviti ant quantitatum imagi- nanarum calculo utatur, sed ab ipsis sinuum et angulorum illis: respondentium reciprocis relationibus proiecta ad ipsas illas series per passim cognita principla aunalytica perducat. Series, de quibus hic mihi sermo est et quas Ill. Eulerus in Introduciione sua ad Analysin Infinitorum primus protulit, sunt sequentes: | Sin toe MUTUSREBREREBOPURES P adios m— 201 ——À 2 D 2 2 : : .m —1.5 m.m-i.m-9. Sin no - m.sinp — P7 7^ sin Ue IS sind 1.2.3 1,2.93.4.5 — CUNT 4.510. 7 2:1.3n-9.m —298 . | ci 51 cdita 5 sin Q 24- &c. 9 o 2 , 2 m.m —4.. 4s. W.m-4.m-—16 . etsinmqQz cos(Q| msint - "unqo-gp mm ur am dy A 1.2.3 1.2.8.455 m.m —4.m —16.m — 86 23.11. tebriusn P e irte rm qt &c.| T . 2 . 3 . Zi. * 3 . [0) . gi quarum illa pro m. numero impare quocunque, haec pro pari, abrumpit; neutra autem demonstratione stricte sic dicta hactenus munita cst, Prioris harum serieram originem ita animo praecepi, ut praesumerem, illam obtineri, si; sinu anguli multipli per forinu- las cognitas in seriem secundum potestates anguli multipli progredientem converso, separatisque potestatibus mulupli ab-angulo simplo, pro potestatibus anguli simpli substituantur valores earum per formulas haud minus cognitas dati, ita, ut cardo demonstrationis in binis aequationibus solide demon- stratis, quarum una sinum arcus per arcum, altera arcum per sinum arcus exprimit, verti et a reciprocis relationibus coéfficientium terminorum utriusque hujus seriei repeti de- bere videretur. Constat, has series ita se habere: Sinz-c x-— A.X -r-B.sx-— C. x - &e. et x — sinx -- «sin x! -4- Qsinx! -r- y sinz' -p &c. existente ! Pp: A c A- "d st a.lh. z 3 2.38 I pu To gi Bue mug. BULL. eid e 2.4.5 Qi. ul eu yc: m; UNECCq iW p d T 2 V qus 9 I l 2 2.93: 5- 0-7. 8.9 2.226:828 &c. &c. Relationum [notabiliorum, quae inter binarum harum serierum coéfficientes intercedunt, non misi eas, quae de- monstrationis nobis propositae basin constituunt, lemmatum sub forma hic praemitti necesse est. Lemma f. & 2 Si in ordine coéfficientium seriei snx -z-—.Az--Bx — Cax'-- &c. vocetur À coéfficiens primus, B secundus, C tertius &c. atque coéfficiens ordine n ^""* svmbolismo [Zn] designetur. ia, ut siti£ol] m rj;[Zzi] e Ay [£225] Des er ipsa- seriei hujus demonstratione in principiis analyticis tràdi. solita patet; esse [Zn] 22 -——————— — ma 25 Aor. c. COE ry Denotante igitur r numerum integrum positivum quemcunque, positoque. 1. -- r loco n, ent [Z-.n--r] -— | I | 2.3.4.5.6..... 5 (2n 4 X) (2n--2) -.... (34 P ar ay Quare — UM —— "Quare inter binos ;hujus seriei coéfficientes intervallo quo- cunque —- r inter se remotos talis obtinet relatio, ut sit V TA.n EU due 2)(2n 33) (2n--4).... (2n--2r4- 1). DE. r1 $. s. Lemmati huic sequentia subjungimus Corollaria: 1) Si compendii caussa ponatur (2 n4 2) (2n.-- 3) — P |(zn -- 8) (2n 9) - (2-n4- 4) (2m. --- 5). — (2n-* 10)(2ncexi) — T (25146) (2n — ;) zz R|[(2no-1x2)(2n-- 13) - U &c. quarum expressionum quaelibet, posito n -4- x loco n, abit in proximam: patet, posito| esse hincque posito n 4- 1 loco n NES 4E R])SU BMVPZS Heo a IvuH Ep : Iu ucrud. LC UNE n-r- 2] * [Z.n 4- 3] Tie. Nes apo s. [Z.n--1]- 2 n Is grub ws S; &c, [Z.n4-2 ' [Z.n- n-3]. "[Z. n2- 4] y dis. dul E Z.n] ] -P.Q.R; [Z.n 4- 1]- QS [Zn--?] & ST. &c; EE cd [Z. 3-4] n-4] [Z.n 4- 5] - E 4A. n] [4 n4- x] | EKESEEE ————— —DOILS.————— 0uàR:59. T: &c. [4n -- 4] TZ. Hos e JC nM 2) Retentis iisdem valoribus P, Q, Rh, S &c., facile demonstratur, esse (2m-- 2)Q— (2n 1). casos iiy tron (n-- 1) ») (2n. R—(2n--3).0 Q—-(ezn-o-4)(10 (n2) 7) eos S —(an4-5) R —(2n--6)(xo (n3) 7) (25-8) T —(2n-- 5) S— (2n2- 8) (10.(n- 5) 7) &c. et et simili modo, esse à (2n --3).9 — (en —- 1). P (2n'-- 5). & — (25 -2- 3). Q (eà 4 5) .S8 — (2n 5).R (2n 2- 9) . T. — (2n -- 3) - Lemma Il. 6 (2n -- sy 6 (2n 4 sy 6 (2n — 3Y 6 (2n 4- gy &c. HUE I $. 4 Si in ordine coéfficientium seriei x — sin x. -Fasinx'--fsin x'-- &c. vocetur « coéfficiens primus, secundus, y teitius &c. et coéfficiens ordine n'*"'5 symbolo [On]'desipheturg? qtd; ut^sb TOO] -— 1; [£rgo [(22] — f. &c. ex ipsa demonstratione hujus seriei in prin- cipiis ME. tradi solita patet, esse (2n 4- 1) [Qn] — ligi 5 qo E I) 2. Mia Ord COM S 9 6o») grum positivum quemcunque, positoque n -- r loco n, erit (2 -e-.awgsEUT)IQ.n-xp- 1.23.5. Gn pisc MEARUM E 2:34.55: 7...» (2n)-. (ommo) (amr 4). cien 29 Quare Uu binos hujus seriei coéíficientes intervallo quo« cunque — r inter se remotos talis obtinet relatio, ut sit (on-o- 1) [Qn] «(2n 2) (5n—4) .... (2n 4- 2r) (2n--2r--1)[Q.n-cr] (2no21)(2n-3)..-(2n-2r—21y . Denotante igitar r numerum inte- .* $. 5. Lemmati huic sequentia subjungimus Corollaria 1) Combinando Du DONE Lemma colligitur J2.n]). [Q.. ned] 2 )(2n--4)(2n245).... acr [9 uw] n]: -Gmer C e a 17 ^ Ita p uu ]ta, exempli caussa, positor —z/19'eb m 2 05; m — 1; BN ..n —-3; W& : , 2 A. 3 E B 2 C y 9. fit deus S VD &c pde HU — 5bnt60,;H--r;n2; E — 5; GE: glia A vo BS BD Bi eio C iP Dp HE HU B ac? 75 Htc30 39 e 2) Generaliter, posito r — 1, habetur (2n4- 1) zz P. pue (zn - 7) z8. tmu e] - [On] [4X5 8 ] [9-522] : uc m3] — ücir eh E OMBAE 2n 4- o) Z T (m3 — idit n a- 1] ) "DO noo 4] (2n-- 5) —R. [Q. ac n- 3] LOX gu TEUS Lemma lll. $. 6. Si serie x -sinr.-asin zx * Bsin xe y sin 2 -- 3sin x! 4- &c. ad potestatem qup uents c ^ elevata, tali symbolismo utamur, utsit x* — sin x^ -- [a2]. sind"? -- [BA]. sin x^^ * &- ['yA]. sin x^ * 6 -- [8 ].sin korr &e Mou fore, nuu —-X.a. 2. [84] — (^ — 1) [a4]. & 9- 2^ . Q. 9. [y^] 2 Q( — 2) [BM]. & — (24 — 1) [43]. B 3 ^y 4. [9E ER [Qa — d) D Aen; -. Coo —.8) E81 - B -- (84 — 1) ia] . y 97 45.9 &c. quae META 296 ovis] quae expressiones manifesta lege progrediuntur et ex prin- . cipiis analyticis facile demonstrantur. Theorema. $. 7. Introducto in calculum symbolismo lemmatis prae- cedertis, et retentis valonbus ($. 5.), P, Q, B3 5 &c. habentur sequentes aequalitates: Q.[a.2n-- 3] —P.[«.2n-- r]— (2n 4 5). R.[8.2n--3] —P.[8. 2n-- 1] — (2n-- 5)- [a. 2n ^ 3] Sa[yw:sn-e3]—P-TLy-2n-e1]— Cen r7) Lg —2 8553] T.[9.2n--3] — P.[9 . 2n-- 3] — (2n 9Y. [y .2n--5] &c. / quae lege adeo regulari progrediuntur, nt'quousque libuerit, continuari queant, Demonstratio. t) Cum posito À — 2n r; [sit [a 2n — i] —(sn--1).a«.($. €) et, posito n-- 1 loco n, hinc sit [x.2n-2-3]z (2n4-3).a5 erit O [a. 2n.-- 3] — P['a.2na- 1] — ((2n - 3). Q — (2n 9 x).P).e. At ex coroll. 2^ $. 5? constat, esse (2n 4-3). OQ — (2n -- 1) P—— 6.(on-- 5Yy; quo valore subtituto, ob a — .L, colligitur Q[a. 2n 4- 3] —P[s.2n--1i]-(2n--3); quae est prima aequalitas. 2) Cum posito A — 2n--1; sit ex $. 6. [g.2n ae 1] — n[«.2m -- 1].« ^ (2n -r- 192 8. —n (2n. yas -- (2n 1) 8— (2n-2- 1) «(n 9 £), hincque [8.2 n 4- 5] — (2n--3). «4. (n--x-- ;:); erit R[Q lene 5] — P[B.2n 4-1] Seri / —À rcm 2997 "—— —————— E [R--(R — . P)(OQv - £). At ob £— 2—, hincque n 4 8 ME CEEEIEN L ; est (R — 227, Pn a- £y — up n- 4) (33 (n 4 2). Constat autem ex co- rollaiio s. $. 3, esse (2n —- 4) (10 (n —- 2) 9- 7) - z(zn-a).R — (:n -- 8). Q; quo substituto fit R [G.en -- 5] — P.[Bg.zn--1]z(2n 3).« ((2n - 5). R — (2n 3). QY At ex eodem corollario est (2n 24- 5). R — (2n4-3).0Q —6.(sn--5); quo substituto fit RTB . 2n--3]-P[B . 2n i] —(snidsgy m 6.'(ancs)-(sn-ts).(sn-c-3).« — (2n2-5).[z.2n-- 3], quae est secunda aequalitas. Simili ratione, quanquam calculo subinde prolixiore, etiam reliquae aequalitates demon:uantur. $. $. 'lheoremati huic sequentia subjungimus Corollaria:. : Z. Wm 1) Cum ($45.-). sit. B. — NRI SQ UNE m DRE vet ($- sOsit(2n--3) -Q. BESTE H. substitatis his valo- LO. EJ, t1] ribus prima aequalitas "Theorematis praecedentis abit in sequentem: IZ. n 3- ix] nos RTHE jii I EUH AT [Z2. n 2] 142: mif [Z.n fe AB [Q.n^ ni] mud. tn EA [c.n a- EET Nova Acta Acad. Imp. Secut. Tom. XIV. Q3 [a . 2n -- 1] I —— DO S unde, si 5 . A colligitur, esse ANA : AE n E Vx d E RECEN c. os ui B A m "nisccsm Voca NE e ue. C b [n UA. p'i*H oer ie ire n 3 D C D" ÉC [4s 291 mus E Tc uw | -&c. 2) Cum (f. 5.) sit P. Q Shu a n - rr E MN [Z.-n- 2] [Z.n -- 3]. Q.023 ; ($. 5.) sit(2n-- 5) - R. cieraea hineque P— I -: "MD [OQ .m2- 2] [Z.n--2]. Q* Bc DA miT. et (214-5) qunD6 Web T I9. m3] [Z..n-1-3]. Q' [Z.n 4-3]. Q- [G.n GT. 'substitutis hisvaloribus secunda aequalitas abit in sequentem: TA ned ee MAE [Z..n] c ———————.[Q-22mÓm-4-3] — —————— [Q8 .gg-zxr [Z .n-4-3] |Uup2- 2] Rove cabe qm ape noua y [4 .m - s] [y . m-3- 2] c CY. -d- 31 unde, sii | colligitur ,. esse » zo | Sar. He ge Lue al B im 1] 5. 31-5. [G.. eli la. jl C j * ow Dau C D n — 3 d eden M rem. i ! y 6:91 — g IP. o uUÀ n. 9] -. [7 e. ; PANEM EPI UD 5) Cum ($.5.) sit PO n [ : » d ^ [Z ex I2.n-- 11. [OQ . n - 4] & : t mua dli oo d. [Z.n 4-4] E 2 M pp DOT ns i : [2.. n] 42: nia Es E [Lh ERO. RÀ m [Z.n2-4]. Q. R MW DOS nte substitu- eben--47) — ——L. ; ——À [Z.n-a-4].Q.R [Q.n--35] tis his valoribus tertia aequalitas abit in sequentem: [Z.n 1] [Z. n] Cuclcd B MR ccc cT TL REN M — IZ n 4-1] j DOR t n 4] r8. 2n $]. LZz.n-—4]p On 2-3] unde, si ndr. ie NICE A UP Du n Sv 3] L yim SUM 3] ze id B ME E ^ Hnircr m wiY:51 D Ly 8] RM Une [8.5] v3 I] e B juY ud cae Pus quem C. TR 71 E: io : &C. Qq 2 | | 4)Cum 4) Cumas. 03) stP-g0 7 Ba e qmm, / Mode vet : E^ - *2 Dd cu de BE dz.n-ay. O0 ERES Tong c dT et (2n - 9) e pA e) YID. zn ps IZ. on 2n 4- pur O. Bs S] ds n 4-4] substitutis his valorbus quarta aequalitas abit in Eds HZ nu e [Z.n] ve n Toa — MURDER ATI EL [5.2n 4-1] — WI ER [OQ .m4- 5] APSENFE | us Uns hu e gep* 2h m unde, si colligitur, esse - ucl pes qut Pd diu [y 3.31 E D KE:.-036 75 B - e E MAR 73, -—-I|— 3 e — — puce nu n a E [9 - 5] gi 5] EF. [y « 51 iC D | EA neci (EIE pO — —-—. ; bd 7] : 5] Ty. [xk 71 &c. ationes co?fficientium binarum serlerum potestatis. cujuscunque $e- ex doctrina funcuonunrz al- Hisce circa rel ($$. 3 et 4.) et coefficientium riei ($. 6.) praenotatis, sequens gebraicarum subjungendum est Lemme onstuskzibanes-] $01 iae ea rem) Lemma. IF. $.9. Datis binis functionibus, una inter X et x, altera inter x et y, X -—c-—ax5.x — €.x a Q.z' — &c. ER xc — y - HL P.y y. yo. &c. si quaeratur tertia functio inter X et y ex binis datis re* sultans, eaque ponatur X — y e MU o No e Py! - Q.y* a &e. facile demonstratur, admisso symbolismo ($. 6.), fore. M — a—3; r N — 8 —2! [1. ^] 4- 5. P—-y-—9[8.5]4- [4.5] — G. Q—8—23/[y.5] - S[7.5] - GC[a. 71:- S Pestr 4D arem voee TUE -— €. / i | $. 10. Hisce praemissis, propositum nobis sit sequens Problema. ; Sinum anguli inaltipli per seriem secandám potestates Sinus anguli simpli progredientem exprimere. : Solutio. Sit angulus — Q, ejusque. multiplum — m.Q; notum est, esse ($. 1), posito x — mq, sin.mQ i e A.m^ D? a- Bm. D — C.m'. Q - &c. et (p — sin D a- a.sin Q? 4- Q.sin Q? 4- y .sin. 2e Re Ponatut Ponatur series quaesita een n.m. — sin. O -- M.sin. D? -- N.sin. Q^ a- P.sin,Q' - &c. m | ubi cóefficientes M, N, P &c. sunt CE Lemmate praecedentc ($. 9.) ad hasce series applicato, habetur. ON EE €4( —' A.m; 9$ — B.m'; € — .C.m* &c. quibus valoribus fo git colligitur, Íore M —a— A. N-—g-— (ie [a.5] —- B.m*. p-y--AA.mig.5] -- B.m' [a. 5] — €.n*. Q — 3 — A.m [y.3]--B.m^[8. 5]- C m [a. 7] D.m*. : «C. quae itaque generalissimae sunt coéfficienfium M, N, P. &c. expressiones et lege adeo manifesta progrediuntur, ut quousque libuerit, eas «continuare Ticeat. Hos igitur valores ulterius evolvi oportet, quem in finem eos ita repraesento: M——A (m — A) lmao ia ac CE ds ES U- gs]? D. Pz— C(m' — A La. s]-m'- 8-8] m ak : 6 , P AÀ hy o D (m? -- [a. 97] m. Pg. s].m — RBonru E———Em'— E m. 4- cf. 7]. mi — zv 5] . m* -- cane $].m* — j)-&e- Cum igitar perCorollaria f 8,0b REA a5 [8.1] G5 Ly. 1] zy, &e; sit 2 les] EIL AT Es erit, substituto hoc valore, | : "n - "NC B(m-— ys enen 4: — -- M (m* — P) A porro: ^ p Ies1m E pas] - PAX ec [gap Y pag B C.g C.8 us bim his: valoribus;. P.--C(m'- s: [4.5]. - 1 (i — x ze -R.N (63, Simili edi cum sit gl s d p [P512 5 Ies1e8 19-91 ; CE SE ui m rao T Y erit, substitutis his valoribus; C | — i53 pb vi bd. A |y eh Q -— -4-D.(m. à Dr atit ura] m (m 5.9) ida Dro EU C. 2770 JPuOn Subs NDA Atque e—— (047 m Atque simili calculo quoque reperitur E D.ete ER— I Ec. pa T Q (m E. 3) qui igitur valores ie Mz—AÀ(m-—-) n—--DopEE ^ i y C D.-y B * 5: AD AG E [3 D.e —-—Pouante LA —-—-.9 — ——— N "don adu] CU Bud C Ba &C. pPp-———-.N.(m-— ——-) B : UNICI lese ita regulan progrediuptur, ut facillimum sit. subse: & ro 5 ; , quentem quemcunque ex praecedente fornare. At ex superioribus ($. 5) est is idcebyenSie nti c e unde concluditur, esse Mzc-—AOm-—ai). N zr B (nm—31)(m -— 53). p —— C(m-1:)(m —3')(m —5) (Qc -- D(m-—1)um — s) -— s*(m —3) n — E(m —31)(m —3)(m — 5) um — 4) (m — 9") &c as : Y Y (Cum ieitur (6. 1,) sit .À — ——; DB sn B i ($ ) 2.3 2.9.4.5? ; &c. prodit Sin Sin.mOp — im oim 2$ n DEOR D, ag Vo Rom s (n —.1) One cede ke 2. 9/27 DES quae ipsa est illa series, cujus demonstratio stiicte sic dicta desiderabatur. Haec jam series , cujus demonstrationem desideratam hic tradi- s:«p , i LO CO PEE - r,quantitate radicali (1 — sin. ^) * in seriem consueto more evoluta, mul'iplicetur; iminediate di, si per obtinetur altera: ; : m m —2 Sin-N D — cos. DIM . sin. —-— uS)scud qs - $m E 2*) d Mu 2.83 1 ILL ———— .sin Q^ — &c.] 2.9-:455 quarum binaram serierum demonstrationem tradere propo- situm fuit. Ceterum, si quis modi, quó nàscitur prior harum serie- rum, penitiore indagine süpersedere velit: ista series etiam breviore methodo, sed minus stricta, inveniri potest, quam hic paucis indigitasse sufficiet. Posito scilicet sin. — y et pur.medD - Yd, ute ArmjsSi Yom o ATÓSOSin2óy- cum sit Aic. Sin. Y — Y »- s . Y - &c. et Arc. Sin. 94 c3 y-c-2u.y'--&C., si fingatur Y-—A.y-B.y'--C.y-&c. adeoque Y — A*.y?-- 3. A/By? - &c Y A^ .3?-- .... 8&6; substitutis his valoribus' et aequatis terminis homologis colligi- turÀ-m:; B-—m(m —1).& &c unde ipsa series proposita m.(m —1) 2.3 No*a Acta Acad. Imp. Scient.Tom. XIV. Rr OBSER- sin m D —m. sin — .sin (Q? -- &c. oritur. — 396 — OBSERVATIONS | sur. le théoréme-. de. Za for, Sa:démonstration: par la méthode dés limites; application de ce thiéoróme, ainsi démontré, à la-démonstra- tion. du binome de JVeton, dans le cas oü l'exposant est une quantité fractionnaire, négative et incommen- surablé avec [|l'unité; suivie de [a résolution d'un pro- bléme: qui: concerne la méthode inverse des tangentes. parle moyen de ce théoréme.. Par S. GOURAIEF. "Traduit du. Russe; Présenté à l'Académie. et lu en.langue .zusse le 39. Septbr. 1799. Ce: théoréme- a été fondé jusqu'ici sur le calcul différentiel, ayant été démontré ou par la méthode des indéterminées, comme le fit Taylor. lui- méme, dans son ouvrage- intitulé : Methodus incrementorum, ou par le binome de /Vewton, comme le fit.le grand Euler dans son ouvrage intitulé: Zrnstitutiones calculi differentialis,. au lieu que le celébre Lagrange, en fondant àpré:ent sur:ce théoréme le calcul différentiel, le démontre au contraire directement, sans employer ce calcul, dans son ouvrage qui a pour titre: Théorie des fonctions analytiques, et qui a paru depuis peu. Cette nouvelle méthode de démonter une- vérité connue, ; m'a m—À Q0 — m'a rappellé-les idées. que javais eues depuis long-tems sur la démonstration de ce théoréme, et ces idées ainsi yenouvellées m'ont conduit. à ce-que.je cherchois auparavant Sans succés. Soit LN ne courbe quelconque, 4À Q son .axe, set.solent AP X, AP/ — Av, AP" ——.x--2A4Ax, AP/" — r I 3SAMPEUBE. 1-444. ;2AQ. —a -AnAXx Les abscisses, dont les différences sont. constantes,.et PM — y, PV e p MU Ey EP MSN esas sos QN — Y les ordonnees correspondantes, dont les.différences croissent ou.dééroissent selon que la.courbe est convexe ou concave; et que les ordonnées elles mémes croissent ou .décroissent; rous sujposerons dans tous les cas les oidonnées, ainsi que leurs.différences premieres, secondes, &c. croissantes: Lerreur qui peut provenir de cette supposition dans quclques cas, se corrgera parle signe —- Ainsi on aura .en,général: yy Ay, y! y 2 Ay', y y" S Ny y yl c Ivy". Rie IY yz y S NY - N'y^ SY" Sy 2S by" Ny Bey Re. Ay — Ay -AYy, Ay" — Ny z Ny, Ny" — Ny" — NW"... RC. AA SES Ww us INS 5 INS NS Usos i coRG Aw — Ay — Ay Ley oA Co cR NU doa ci Mts ECHO. MIRO "&C. Ji 2 D'oà Tab. r. Fig. B» u— 308 ———— . D'oà xésultent les déterminations suivantes des ordonnées, y^, y^, y/", y'*, &c. correspondantes aux abscisses X d- Àx,xX-H-242z2,2-4-53452,2--44AxX, - - &c. Lem D ML i ui NIME Mc TTL y'-—y-c-Ay[-—y--AyYo—-Ayc- by] —yc-25yc-Ny y" -y"-- Ny" [zy 2 y-- A y- (Ay A vz Ay Ny A y Ny — Ay --2Ay--A)]....-— y —3Ay - 8 Ay Ny, yv meeytcqgucmostr pecur-pgur cp: gui 4- (Ay" -- A'y" Z Ay! -- IN'y' - IN'y' - Ay! Ny! Z Ay e NY (cER(Ay-e Ay) - Ay Ay Z Ay 8 Ny e 8 y - xy). — y c 4AÀYy -6Ay -- &ASy - Ny, y'yWesAym REX LAXE a ACTED E E -ó Brus e A y" -4- pian Ay" -L- Ay enm Ay' fic: Ay 4- 2 (Ay -T- Ay?) -- ASy" à- A* y! — NY o Ny m z(Acy e y) HAN Eye AMA —Ay -- 4I y oe 6 Ny - 4 Ny. 4-4Ay)] 0 — y e 5 ype10 Ny euo Ay 5 Ny Ay, &c. /// De là il est clair que les coéfficiens. dans ces. valeurs des ordonnées y^, y^, Y , y", y', &c. sont exactement les mémes que dans les puissances du binome, quand on l'éléve selon l'ordre. des nombres naturels; et comme on démontre la loi que suivent ces derniers coéfficiens , dans les cas. de lexposant positif et entier, par le moyen des permutations et des combinaisons des lettres, ou par le moyen des nom- bres figurés, d'une maniére tiés rigoureuse et satisfaisante, nous pouvons regarder comme absolument démontié que Por- donnée me———X 5000 — donnée Y correspondante à l'bscisse x -- nAx doit avoir Ia détermination. suivante : 2.3 LUN d STER CREAN E OE n jud l-2--.-.-.-(n—I.n Y A y. REM 2 (mn-—Ff)m—-roy «S ENS Y-y--nAy e "7 —DA'y-- tU 9 AM RB llll | Puisque Vordonnée y ou jaura enfin des différences constantes, ou ne les aura pas, le nombre des termes de la série trouvée sera ou plus petit que z -4- 1 ou toujours égal à n 4- x. — Ainsi, quand les premieres différences A y, Ay/, Ay/, &c. sont constantes, la série aura seulement deux termes y --nAy; car alors Ay, A y, Aw, ee A"y 2 0; quand les secondes différences E Ys AN Y s AS ac Sc: sont constantes, la série aura trois termes y - n Ay - 1 — A'y, puisque alors A?y, Afy . .. . . A'y — 0; quand les diffé- yences troisiemes A?y, A?^y', A*y" &c. sont constantes, la série aura quatre termes y -- n A y-c 7H A'y-- tU 0 0 EIAS: car alors A'y . . . . A"y — 0; et ainsi de suite jusqu'à n. différences constantes, auquel cas le nombie des termes sera n -- 1; mais puisque le nombre m est pris arbitrairement, en làugmentant on aura encore une telle série, dont le nombre des termes sera moindre que m -- 1r. Ainsi on peut toujours supposer que cette série soit telle que le nombre de ses term:s est ou moindre que n -- 1 et constant, ou égal àÀ na 1, et variable quand zm varie. De là il est clair que deux cas ont nécessairement lieu. Ainsi | Cas I. «(C — GIO mue—-—-- -Qais. [. - Supposons que lordonnée y ait les différences wn con- stantes, oü m -—n,.et.changeons la série trouvée plus haut. en- cele - ci: A y zm n E cc ASy Y-y-c-nArls-uL—— E AZ. AE. ABE m AS NUR T ens :) iun m "n Ene re — * 5 «* pov ensuite en celle-ci: Y-y-FEnAz.4? (am —iaAm.4Am) 5s je TIAS CEOVE LIT ? i La ABL cs gn AqxAgE.-L. X naAqA ) Rodi. NM n AB LOL OU.G, b,... ..... .r.sont des coéfficiens numériques (*). Puisque cette série, ou pour mieux dire, son égalité avec lordonnée Y a toujours lieu, quelque petite que .soit la.différence ^x, supposons que ^x diminue toujours :de sa moitié .et que le nombre n devienne deux fois plas- grand, .de maniére que .n Ax demeure une. quantité constante, que je nommeral g; notre série deviendra ; | Ape (*) Ces coéfficiens numériques sont faciles à trouver: ainsi.le coéfficient a est une fraction dont le numérateur est le z7»e terme des nombres trian- .gulaires zr, 3, 6, 10, 15,:21 &c., ou des nombres dont les: différeu- ces secondes sont constantes, et le dénominateur est le produit con- stant 1.2.53 .... ?4; le coéfficient P est une fraction. dont le numé- -rateur. estole m—«1 terme. des-nombrzes 2, 11, 35, 85, 175, 332 Ac. dont les différences quatri&mes sont constantes, et le dénominateur:le méme produit constant, et ainsi de spite. ^a EN CN ZN Jon eEAeT-O1 Amqmaqbma Iq AI vs kJ cdd ") d ^ (AY: Pii: VE E V A2» q37' r4? S d 3X A$5 Vy q- 12 oo (40A 3) 2S 8 Idm fgAx) m rt) ^ . q* ; $. Mie mos NA Te I.2.8...HL: ppt ig AO A. mesure. que A x-diminue, les termes de cette série varient et ont des limites, savoir: la-limite da terme gre» AC ?25-— làa^hmie du terme (.4 IA YA: OS COE, est T là limite d : e 2q 25) v esb 0. 0s la-limite da terme (17 — IqAx- SUD Jas esp 73. qus 1 Qa at. | A x$ L23.' 9x9". et ainsi de suite jasqu'au terme /11 -. n (ee —üq^"Ax--bg"-?Ax.. Fa AUT Had Ipc1295 ag ET FER i AXE dont la limite est: : 3 ob Or qos T. Oe Pe.:93...Dp« PVT GUUCN EDS ; or^? puisque la différence A"y. est constante par la. supposition, Et comme ces termes, malgré leur variabilité, font avec'y toujours une.méme grandeur Y déterminée et con- stante, leuis limites avec y font, en vertu des principes du calcul de la inéthode des limites, la- méme grandeur Y5 donc on aura- Y&y-qU. m V Y4 es yg. Val D AA a 9X I.2 ' gx2 1.2.3 Qx3 . o 9 e .9 $^ t— s à ve Le2:9,..Doqzxt . Remarque r.. pit. * ^ " ga j z I (OY Ay -48" . TC les term»s (5 —igAx as ea-img AP Y 2 , 3 1 ; i ó e RgAX) zx» Gc- sont composés de deux facteurs varia- ZI , - à . . bles, on peat nous dire quil reste encore. à .savoir y.. Slls sont sont constans ou s'ils varient. | Mais cette objection m'a . aucune diífficulté; car supposons que ces termes conservent toujours une grandeur constante; par les principes de la mé- thode des limites déjà Cites, les produits des limites de leurs facteurs auront la méme valeur, de maniére: quil viendra (2, 39^ X) cible (— i -Ig'Ax-1i LE Es &c. et comme le second cs r- dernier terme RA q* [Y m-—2 "m—r AS y qg22 gp. — TER gum Aq SAT —. tang t HER Lon enl ET varient trés certainement, nous sommes encore conduits à la méme conclusion que. nous avons faite ci- dessus, en sup- posant que tous les teimes varient, excepté y. Remarque 2. Pour rendre tout cela parfaitement évident, je suis obligé de renvoyer à me- principes de la Géometrie trans. cendante, présentés à l'Académie en 1596, parceque il n'y a point d'autre ouvrage dans lequel on put trouver déve- loppés les fondemeus nécessaires Ces principes d« Géometrie transcendente seront bientót publiés, si quelques circonstances ne lempécheront. Cas II. Supposons que lordonnée y m'ait aucune diiférence constante, notre série sera UID nm I n— 2) 3 | dup Ay IX GNE IU. 7 bie HRS e n TUHMAS d. LP 2o ro. Ay, ? ME 2. EE LV ("n—2)(n —41)«n l Ou, yv ^ — DIO oà, quoique le coéfficient du dernier terme me soit antre chose que l'unité, nous lui laisserons la forme, dans laquelle il se présente naturellement, Changeons cette Surio en celle - ci: Ww c : Ay Meet A*y.(n3Ax8 — I * zu NE -JyopBHAXSE UI inAx)22 e Pom In Ax*-4- SUA x^) uA X" d A^ zx PP LAE etas br tas. Ern P) ay I.2.385...7 Ac ou encore en la suivante: M ^ M *?I5A? (nAx)$ I DNE DEM E 3T"ASy Y-y-e-nAx.22-- (C27. -nAx) 2) $2-- (E225 -A(nA x7 s $ ice ^ / Axs Ax? A? TN D p —a(nAxyi--b(nAx) i-...-- -xr(nAxy— m E Hur5209 2*7 IN Supposons que nAx soit une Wu constante égale à q, on aura I 2 A2 I A3y Y—y4-422 ub "wh A2 cd- q'(——z£a Ss )RS TL cdd. Eus cb (e —Á UCDCHIRCS T ' Puisque cette série a toujours lieu, quelque soit la diminution de Ax et l'augmentation de n, pourvü qu'il y ait nA x — q, nous supposerons que la différence A x. soit diminuée de sa moitié et le nombre n augmenté au double, ou, ce qui est la méme chose, nous diminuerons la diffé- rence Ax de sa moitié et laisserons à nm sa valeur, en écri- vant 25 au lieu de n»; les termes de la série ci- dessus varieront de maniére que dans leurs coéfficiens au lieu de i i| viendra Em et il y accédera encore les termes suivans dont le nombre sera n: Nova Acta Acad. Emp. Seient. Tom. XIV. 55 -q ijs -H 1 E / ii p/( y E Uoc eu i pM Mm c r --p I KRMT DM SE "frr d kn r "n--I "-g VENE UT e a F5 im es jd NE d- " e e * . * e E * e . - Ls L2 * L2 * - - e - L^ . L e. ) : T APT d Gus ton b or GRE ou a^, b c. Y. yb colsar, br.... sont les. eotíBigieue numériques. | Mais sans nous arréter à des cas particuliers, suppo- sons que Arx soit diminué m. Íois et écrivons mn au lieu de n, nous aurons — -) So Toy Jt. up CAE 34r 3s rds cdi ? A3» Ye. 44 2* aig (UE OR bae DEN Ax r2oUs 2 mu 2 AxS cama CE M GU Xa LL Tn "enar iuto t, LUN -E ar) pue é iq DE , INS EO ^--I I 23s ESAME Jf z In C vai iot a — b pep E. r(—— ES r n2 T2. $1 MD VIF UOENS — L^ n-Er Ey Ro [o $: sau GR) — S C :) TRA d L] . L3 LA 9 a d *. L * 9. * 9 je e lem * * » e- *- e ^ QU EIL —g1 gb: (Y ur EIC gear y, q ze igus 4 n(n--..-2 " ^ 3^ H^ AUF mn 2n-d-I I (rogas : I ym "9 (—— . n|n4-D)... 2n(Qna-1) - . MS r£ I Ld -- L: . - - * * e [ - 9- - * 3 * o * Tq (TM —z Uu]... p(zym-not n(n4-1). "nn. Amy "pe De là on voit que les derniers termes ont un facteur , commun q', et que par conséquent on peut représenter leur somme par q'.Z, de sorte qu'on aura I2 ^y sz HMM AS E SÉ quu I ng( xr 343» Y-y--qi-q (m aus xu: LE 2" maitre em EL E H " v 89 : . * * * E E -- q'.4Z. En considérant les termes q 2, quise i d A*y: I.2 mn^ Ax? q (n — i-zb-- IGLY)R2, &ce. decette série, nous pou- vons dire pour sür: que le premier d'eux, par la diminution dé Ax et par l'augmentation correspondante de m, varie - réellement; miais des autres on ne peut pas dire, avec le méme assürance , s'ils varient ou s'ils sont constans, puisque, outre le facteur conftant, qui eít une puilfance connué de q,ils font compofés de deux facteurs variables; mais heu- reufement nous n'aurons aucune diífculté parüculiere quol quil en foit de ces deux cas. En effet, fi nous fuppofons que ces termes confervent conftamment la méme valeur, les produits de leurs limites auront la méme valeur, de maniere quil viendra q'(-. — à.5)$2 — qute .2'mn^aAx?' i4 4.9. gas Seri I I ouat(fo ye g5 lir 0m - QC. 6t Dar 1 rss 2a; F3 (uia Dx:0t 30 9x97 ; 5e conféquent ;, comme le premier terme q L varie affüre- , 3,7 7s . . a» 4 A y ment, et qu'il a pour limite q225 leur fomme q-2 2 HT EC NER A2 3 psckuen ET: I(X y)|235y Bus E 2^1) 2b Pc 4-16) Ax Ax3 -- * LI . . . e. . . . e . [] . . e. ^ . . . . " I f AUI "2 E] 7 I Q AT y u— iat IU 2 1 eum Xo T M. -q I (nmm—— mn o Lb) UNT d Mor fexa une grandeur variable ayant pour limite 68 2 q — $16 —— qur o" E 12.55 usu) x" —. Et quand ces mémes termes varient, puisque de là on ne pest pas encore conclure , fi leur uus varie ou fi elle eft corftante, nous f»sppoferons d'abord qu'elle ait toujours une valeur conítante ; alors, puisque le nombre nm eft pris arbitrairement, nous en prendrons àfa place un autre qui foit d'ane unié plus grand ou plus petit, et nous auions y 2 z une fomme qi -- q(t4-——ái-- m ym JU 2 mn^ Ax? pest VERO 1 I ^3 j NUR ed do D iac gt romocst cl ME ) n—)yYX "n—YX I EL pA CUR Eres non Y b zs SD EI) JUDES bC) AUN cr) AE esta dont la grandeur varie auff et dont la limite eft q?? lo D C CIN MENU Ew 13 gx? Y Qx3 1:243. 5-1) oxr'— Car dans le premier cas il s'àjjoute un terme qui avant fe troavoit dans la quant té q Z, laquelle, dans cette hypothé- fe, elt .conftante et dont. le nombre des termes augmente continuellement, et chacun d'eux, par corféquent, varie né- celfairement ;; daas lautie cas la somme constante est di- minaée -d'an terme qui, par hypothefe, eft variable. Ainfi on voit clairement quon peut toujours dr MM 2i fom- Ay I A3, Str SE E onbo m A3y A..2 3 "ma. -l-- LJ LJ e e . * . . e. e. . E "1—9 Ay IL I Y M URP, 3 q j (ot k Us c j- EG c foit une quantité variable , ayant pour limite la grandeur q . 3 3 qeq.24m03 4 ..- 1.2 ox? l0. ox3 Mim et comme cctle quantité, avec sna y et q'Z, dont la premiere elt conftante, fait toujours une: grandeur con- ftante et détermi»ée Y, nous: concluons de là:que la gran. deur q" Z, et par confequent Z, eft auffi. variable et a une limite, Défignons par K la: limite: de la grandeur Z; q'R Sera: la limite de Dh grandeur qLetY-y-e-q?2-2-.9 2» I.2" 9x ——5 Ir! 1 q3 93y q Dean n "hu NE i E el ee BE s ieIuuES Arck] R , | 1.959 .(u-—r)ox À préfent pour connoitre Ia nature de la limite R de Z, je remarque: que la quantité q, qui eniie dans Z. comme conftante, a' été prife arbitrairement, et que la quantité Z, quelque foit la' valeur de q, a la méme expreffion; d'oü je tire la conclufion que pareillement lalimite R. doit avoir la méme expression, quelle que: soit la; valcur de q; et par con- fé ,uent, par Li variabilité de q:.la valeur de la.limite R. variera de maniere que cette limite: restera pour toujours la limite de la q iantité Z, quel que' soit le chang. mevt de cette quastité. Ain- quand' on suppose q— o, h sera la limite: d« ce que devient Z. dans: cette .méme .supposition; mais dans la supposotion: de. q; — o, Z devieit. - —4q 4-2 bi Vitres enr 7) LOL SENS m it ib- TI i nn ^ x* P es d o"y dont la limite est PISA tcm donc danscette suppo- si.jon R. sera L7 ARCA RM Jk Ainsi la nature de la limite: J STER S RE HANC YN L2 ox" : R R est telle, qu'elle recgoit une valeur déterminée et rcelle Cuin ei cat puli lorsque q — o. igi ve ox" De là il fait que q R, dans 1a fuppofition de q —— o, devient nul, et qu'en prenant q pour l'absciffe , q R. re- préfentera. l'ordonnée d'une courbe qui coupe Ííon axe à lorigine des abfciffes; mais il eft clair que dans une telle courbe. aprés avoir diminué fuffifamment l'abíciffe q. lordon- née qR peut devenir plus petite que toute quantité arbit- rairement donnée ; ainfi q R. peut. devenir plus petite que TET tU one RUE i. et q'R plus petite que ij Oruro 2 M uc vom phi a NN xca Ecl cene dus E GOTT eut etre tel nom- 1.2.8. ..(n—1) dt 1 P bre entier qu'on voudra, il s'en fuit qu'aprés avoir diminué fuf- fifamment la quantité q, chaque terme peut devenir plus grand que la fomme de tous les termes qui le fuivent, La méme chofe a lieu dans le premier cas du théo- reme de "Taylor et fe démontrera dela méme maniére. Ainfi ce théoréme eft démonlié, comme il a été prétendu. Ce théoréme ainfi démontié , nous l'appliquerons à la démonftration du binome de Newton, dans le cas de lexpofant fradionnaire , négatif et incommenfurable avec lunité. À cette fin fuppofons y — x"; on aura L2 zm nta t, ay m—2. 83» — qw. s T —m(m--ijx" ^,22— mm(m-—:i)(m-—2)x"—, et | —— Bi» 6 u— et ainfi de faite; ce qui fe peut démontrer rigoureufement par le moyen des logarithmes et de la logarihmique, quel que Ííoit l'expofant m ; enfuite il viendra Th m—I mm -—Ii) 72 42 ,, mm —I1)( m —2) m —343 E 49 -comute v 4 1:4 ES Lic, IEEE - oe ccn an Eug. C Tq eRq, oü n eft le nombre. des termes, excepté la quantité R q* que nous nommerons dans la fuite le refte. Si, en prenant n pour un nombre conftant, nous ajoutons encore le terme uci Lgsos Acc dpud eAMULESUUS EN NM eR ; ESO; 8.0 TL— Du $UTE le refte prendra une autre forme Aq" * 7, et fi nous ajoutons eucore un terme mm —1)(m-—2....(m— (—2))(m —(n--1) (m —m qu PTT 1.2.3..(n —I1.n.(m--I) 5 ce refte pondus encore une autre forme R^q* *?, et ainfi de fuite. Suppofons que m foit une quantité pofitive, qui peut d'ailleurs étre fratltionnaire ou incomenfurable avec l'unité ; en confidérant le terme "CUI m) 9 wm Nu) ym —(n-—2I)qg:—rI d NEUE M eU C LO ees d D) q ? je remarque que lé nombre n, qui peut "etre augmenté à - volonté , furpaffera enfin la quantité. mL ? ; d'oü je con- clus que ce terme fera enfin négatif et qiti * — mmm e... (n—(m--2)) 4m —(n — I) BET x : d 9.. SOLUS UR ES) x q CAL) mais le terme débians confervera le méme figne pofitif,, en prenant cette forme m(m-—1)m—29)...:(n—'(m--9Y)(m—(m-- Y) 4.m—m,n M XEEEESOURL UII RU. r q (B) enfuite 2320 — entuité le termé qui fuit ;celui-ci feta encore négatif et deviendra —omm-—uxm-—2Y.:5. PU cre IUE qu oT mU vu WdfbET. mE : et ainfi de fuite. De là il fuit que le refte Ro q" fera — B —OC-- R^ q' *? — et ainfi defuite. Or commeil eft démon- tré qu'apiés avoir diminué fuffifamment la quantité q, les reftes Rq';, R'q'^* et R"q" *? peuvent devenir plus petits que leurs derniers termes A , B et C: nous fappoferons que cela foit arrivé .en effet , et nous allons voir quelle gran- deur doit avoir la quantité .q dans cet Td des reftes. Pour cet effet je remarque que, puifque Rg' - B — (C —R^q'*), Rq* eft. plus pelit que B, et ferà Mud plus pe- tit que A, quand B deviendra plus petit que À ; d'ou, en prenant au lieu .de B .et A leurs valeurs, je conclus que RR q* fera néceffairement plus petit que A, quand 7 2 —7 LT) eft toujours 2r, Rq"' fera encore plus petit que A, quand 2 Zr, ou qx. Et voilà comment doit étre la petite quantité q, pour que le dernier terme A foit toujours plus grand que la fomme de tous les ter- mes qui le füivent. et comme Nous avons füppofé ici que q foit une quantité pofi- live ; mais elle peut étre auffi négative. Alors, fi n , qui comme nous vu plus haut, eft feulement 2 que im-1- 2; eft un nombre pair, les termes A, B, C, &c. deviennent tous pofitifs; et fi ce nombre .eft impair, ces termes feront au contráire tous négatifs; ce qui eft évident. Ainfi- dans le le premier cas le refte hq* idum -— B-LHRq*-—B5-4-C --R^q' *?- &c. D'oà, à caufe de Aq'— A, il fuit nécef- fairement que le terme B &A et que 2 5 ——7 ——. Mais cela ne fuffit pas pour conclure que le. refte Rq* foit plus petit que fon dernier terme A;car B eft plus petit que Rq'; ainfi en remarquant que R* q'^ 12 B, et B--R/g* ( Rq')S2B, je trouve que Rq* fera néceffairement C petit que A, quand 2B deviendra plus petit que A ; d'oü en prenant au lieu de B et A leurs valeurs, je conclus que Rq" fera néceffairement plus petit que A, quand isi rn? GE comme j - —TUED eft. tonjours i, hq" bera encore plus petit que FA quand 2 $5, ou RE Ainfi ici la limite de la petiteffe de q, pour que le dernier terme A foit tou- jours plus grand que la fomme de tous les termes quile fui- vent, eft la moitié de ía premiere valeur; et cela n'a rien de furprenant, comme chacun peut le concevoir Dans l'autre cas la méme chofe fe démontrera de la méme maniére. ( Confidérons à préfent de quelle maniere doivent di- minuer les termes de la férie, quand en général q «x. Paur.cet effet. jeremarque que À: B —— x: ED 2 B:Cc1:*—^.2, CiD-Lr1:5—7—1 2, et ainfi de "n 4I n 1-2 fuite; d'ou je trouve Bo AWquoomr i g 4 c Bua ai A (—U E 3)(2—5). (i, Dp—C(im—n)a — n -- I n 3-2 n —( m — 7T) L—myCnu-—(m-—I) 3 l A (2—Ó—D)(rcm)gpgutm-—I(£Y, etainfi de fuite, Nova Acta Acad. Imp. Scient.Tom. XIV. TORTE jusqu — $202 ——m jusqu'au terme du rang n -- z, que nous défignerons par JN. et qui lera Ex ; | Ln EE — —( m; —I) anm Lum mto) q - kd en m) (rmim—D wt FEM mA UH i. "er fv c noi ccm i;ais "parcégue"'chaeum de 'ces'-fadeurs- ct — cur TUEV, 5 351 "n—(mc-—rT) À n dz —(m,—75) ULM . GLO eft plus petit que Tif 2 lunité, on voit que le terme N eft plas petit que la quaa- tile. A (t) . qui par laugmentation du nombre z peut r7- ; devenir plus petite que toute quantité 8 artitrairement donnée ; car comme 7? eft une. fradion dont le numéra- 2 z teur eft plus petit que fon dénominateur , fli peut de- venir plus petit. que —; donc à plus forté raifon le terme NN peut devenir plus petit que toute quantité arbitraire- ment donnée. Et voilà comment les termes de notie Íérie diminuent, quand q «& x. Puisque Ie refte, R12" * *, dans le cas; de q 35 ot q-ix, efttoujours plus petit que fon dernier terme N, ce efle, par l'augmentation du nombre des termes, peut, à plus forte raifon, devenir plus petit que toute quantité- arbitrairement donnée. Et voilà une chofe qui n'a jamais eié démontiée par aucune méthode connue, et vraifemble- jnent ne pourra pas l'etire. De làileft clair que dans lecas de qZx,ou q- Z ix, et de lexposant fradionnaire ou incommenfürable avec l'upi- té [sumam 525 m— tq» O09 ié, la grandeur contenue dens le fée 2a"-- mx" -'q m(m—I)4m-—2,4? , m(m-I)m-—2).^45M—343 ; ib E rg re q'- &c. ne fcauroit étre que variable, ayant pour limite la fondion ( x --q )". Itemaorqwe E Pour démontrer que la fradion 4, dont le numéra- teur q eft plus petit que. le dénominateur, étant élevée fuüivant l'ordre des nombres naturels, peut devenir plus petite que toute quantité arbitrairement donnée, il faut connoitre le lemme fuivant: La fradion - ORIME c. étant élevée fuivant l'ordre des nombres naturels , peut furpaífer toute quantité | arbi- trairement. donnée. Démonftr. Suppofons x —q—a, nous aurons x-q--a; Gu ceHIH yeu Ima Aug ocusqoi 7 cgenfuite 1l vien q? q? q3 Q3 x2. x — qa-3-a x3 x? .— qa -2qa? 4. a8 €; ? lon voit que TU PUES pe SE &c., et que, par l'élé- 2c vation la, fradion E croit d'abord de la quantité (LT, enfüite de la quantité PM, qui eft plus grande que la premiere, et ainfi de fuite ; mais 1l eft clair que quand une quantité recoit des accroifemens d'upe telle ma- niére , elle peut furpaffer toute quantité arbitrairement don- née , donc &c. - Tta Qu'on Qu'on. demande à préfent que la fraction 2, par Te moyen de l'élévation en puilance; devienne plus pote quune quantité donnée quelconque 3 ; puisque la fraction 4 T, par le lemme précédent, ps étre Cclevée de maniere qu 'elle furpaffe la quantité donnée 7, en fappofant que z foit l'ex- Meses: eS pofant de cette élévation, on aura (2) , 0 — | q q : AR : q* q 2 d'ou il viendra *- ou (5) zo. X X Remarque ^ Dans le cas ou q eft une quantité négative, om peut nous dire que pour l'ufage de la férie il faffit d'avoir q cz, au lieu que nous avons trouvé q Six; cela eft vrai , car . la férie deviendra dejà convergente, pourvu que q c x ; malis il n'eft pas moins vrai que dans cette hypotheéfe elle ne fera pas toujours convergente au point que nous l'avons c voulu, favoir de maniére que chaque terme foit plus grand que la fomme de tous les termes qui le faivent. Pour que cette condition ait lieu dans tous les cas polfibles, il faut néceíffairement que qZIx, de forte que quand q ne fera pas $2, quoique d'ailleurs qx, cette condition n'aura pas lieu dans certains cas. Le ledeur plus accoütumé à la méthode des infiniment-petits qu' à celle des limites, peut sen convaincre de la maniere fuivante: Premierement je remarque que la somme de Ia férie s NES ETAY -—m 9. ja cbmscidum TE --A(*-— A i! fa ) (£2) "oi i 14-1 Wüpeet/ guest su -4- À (1— 0r) (2—*)(2ztm—1)(y 4- &c. (S) eft "n —-I n 3-2 plas petite que la fomme de la Ene x5 cpACT -- A( Ly 4- &c. (T) et plus grande que la fomme de la férie À (er ns q A (—UOCEDY(CY-AQCLTUIMPyoLy - &c. ( V) ; — le premier eit évident, et le fecond Ie de- n-—6m-ex) n—T Lad cms vient en confidérant que emm ppm en TIYTDUE ^ SC, c'eft de quot chacun peut s'affürer fans peine, en reduifant . ces fradions au méme dénominateur; enfuite je trouve que. les fommes des feries T et V, continuées jusqu' à l'infini, A A esiresrhy& z L] ux MT TERI Y" x: 2c ' font EECDULTOEOCREH es d . 3 ,* . fomme de notre ferie S, P ostinude jusqua Linfini, eft A A e Erie PXANUPEETTT UM CORDE — CUm el a T, 2 d'oü je conclus que Ia Mais il eft clair que cas r la quantité ——7 , et par conféquent auffi Ia fomme de Ta I—4 férie: S, fera moindre que A, lorsque 2 eft 21:—-5, c'eft-à-dire, lorsque q Ix; pareillement il eft cTair que A ( "n —(:3-1) Y A DUC Ug ( Lec T. , €t par conséquent auffi la la quantité fomme de la férie S, fera plus grande que A, lorsque -c6om-LiY.g LISf(m-—üm--tt) pq (fL) eft 7 r (——)s, c'eft «à - dire - : i4 : lorsque (——À7——2 ) 5 2 i; & comme Ie fadeur 2—/?—7? eft : une — 526 une fiaQdion plus petite que l'unité, la quantité (*—0 7) ne fcauroit etre qlus grande; que 1, à moins que 2. ne foit siouqiix Donc il peut airiver que fi q — Ix, quoi- que dailleurs x, le dernier terme À fera moindre que la fomme de tous les termes qui le fuivent; *t au contraire f q-ir,le demier terme. A. fera toujours plus grand que la fomme de tous termes qui le fuivent. &jais chacun con- viendra que dans cette démonftration. du dermier cas, à caufe de l'omiffion du refte B» .q' ^ *, il refte toujours quelque doute et une efpéce d'incertitnde ; de plus elle . eft indirede, au lieu que. celle que nous avons donnée plus haut eft trés direde , rigoureufe et fimple. Maintenant il nous refte à confidérer le cas dans lequel l'expofant (m cft une quantité negative , et qui, à proprement parler, contient deux cas, l'un ou Ia quantité q eft pofitive, et l'autre ou elle eft négative. Süppofons que la quantité q foit pofitive, notre férie deviendra (cte du ocu OD qe rtg EHI DTR: LC em z- 0 p oam ES o (m RE Ar MARHORONCUMBQT Ta2543 . sn 1) ou n eft le OHIDEO des termes , fans compter le refte. Bg et ou le ligne —. eft pour le cas de n pair, et --. pour le cas oü il eft impair De là il eft clair tout de fuite que les termes pris confécutivement ont des fignes différens, et parconféquent, pour que le dernier terme foit toujours plus grand que la fomme de tous les termes qui le fuivent, on trouvera, par une. confidération femblable à la premiere - i . des umm o 89 aee des précédentes, que le terme (mm -—r)Uum--2) eme v pape umet KIZED IE : : (n—I)-. 1 doit étre. moindre que Te terme : e 9e c0) josh -(R-E m) — D)gi i «uo 3 P c meu p Td—T:) et que par conféquent 1a quantité (7—7—1)4, ou (x Recinpr x doit étre moindre que 15 et c'eft à quoi on peut toujours ne: re, en prenant q 41; b puisqu on peut augmenter Ie nome 1 — cre n à volonté, or peut toujours faire 2-14 ————; donc on peut auffi faire (Qn Tr tour er 4 2 1; et com- me-.dans les termes fuivans la fraüion -— des lent *—2, i T— et ainfi de fuite, c'eft - à- dire qu' elle diminue toujours ; : Ja quantité n: nn devenant une fois plus petite que: 1, reftera pourtovjours plus petite que r. Soit la quantité q négative, notre série deviendra [rq U*m-xib-nguxT vfq ORT 07292. CONCERN og | — CHeRELIPEGDARC mr 0L DENIS Bu [- " A LA a LN ou tous les termes ont le méme signe positif; donc pour que le.dernier terme soit toujours plus grand que la sonme de tous les termes qui le suiveut, on trouvera que le terme (o e - Lu LU L] L] L e - n—I EL Rq', TL (Tp 3- 1) (Y H- 2) UMS RDAUE BEENINS xt -OIque-ESm — 0n —-om —-JX)A4.— m—- nq - MENU S 0 XEEYN QE C S q pris deux fois, doit étre plus petit que le terme $,(» -d-I)(m —- 9) : (m Eom —— 9) Temm X) au E : ES UE OEOEHOSESSSINOAJUG d g , ei que par par conséquent la quantité (ix de -—523 $, 0 (1-1 *-1)5 doit étre I; à quoi on peut toujours satisfaire, en Sm. I q hes : , : E ci HE fme q 3 ix; car parcequon peut toujours faire —-—o— i 9 Pea I f" I [^] I on aura * — (i: E 2— 1, ou (1-- 2). Zi Dans lun et dans l'autre cas désignons par À le dernier terme de notre férie, et les termes fuivans par B, C, D et ainfi de fuite; on aura A: B— x :(r-- 7—25 4, B:Cci:(r--T—)£, C:IDc- r:i(r--L2)i,et SET 2c n -- 2 x aint. de fuite; "dou- lon tie. B. Az -L- Ue: eu Cc EDT 2—i)(r- qe-IJCR $- D-—GUr dui dedu -I)G--zfz oy, et ainfi de dilite jusqu! au terme du rang n-1- z, que nous défignerons par N et qui fera — A x-[m—2s -d-2—I)i-r-I-—- s odgeesy (y; »-3- i T, -- 9 n--z—1 or comme chacun des fatleurs 1 —- II, y eI IG T. I n--2 "peur eft moindré que le premier 1 --2——, il eft clair que le terme N fera moindre que la quantité A (: e) (so n m cd q oi L , . ou A D ES — J. laquelle, par l'augmentation Tena He nombre z, T devenir plus petite que toute quantité : A psy A 3 "m-— 1 g à aibitrairement donnée; car à caufe que (X-F RIP) ET une m— Q2Qg m n, — 1 une Buantité. plus petite que I, tes 2g peut devenir plus petit que zm par conféquent, Hs forte rai- fon, le terme N peut devenir plus petit que toute quan- tité arbitrairement. donnée. Et puisque le refte Rriq" **, dans le cas de q x ou de q — £z, eft toujours plus petit que fon dernier terme N , ce refte, par l'augmentation du nombre "des termes, peut devenir, à plus forte raifon, plus petit que toute quantité atbitrairement donnée, etla valeur con- tenue dans la férie mE. M. —mn—9 9? ETT em x TOEMYC "T Iq TT m "m ?g Ur m 3g32- &c. danslecas de q x ou q 4x, n'eft autre que variable, ayant pour limite la fontion (149g). 2 Remarque Nous avons fuppofé ici que m t r ; mais dira- t'on, fim-:, la quantité (1--?—7)2, devenant moindre que r ou £, ne reftera pas toujours plus petite que r ou I, puisque alors le fa&eur ( 1 -n- 2—) deviendra ( 1 — L7) et que fes femblables dans les termes íuivans deviendront I—1—7, i — 1—" , et ainfi deífuite, c'eft - à- dire, qu'ils « i OW --—TI n 3-29 E augmenteront. Mais néanmoins la quantité ( 1 — £— 7) 2, 7" x devenant moindre que tr ou L reftera pour toujours moindre que r 0u$; car pour Hee devienne «; 1 ou I, 1l faudioit I. 2 n€— I — 5 NEM i D iE 3 —T— ou - z-, pour avoir n i Nova desta cad. Imp. Seient. "Tom. XIV. V v v ( 1-4- "auparavant que gx—- 550 E )is41r0u «ji; etalos, à caufe de í I I—7-(4 atité L01—m-Y4 (1i— zq(i4-bz2 ila quantité ( 1 — IT jeher LUE moindre que 1 ouf, quelque grand que foit le nombre n. : De méme pour fe. convaincre que dans ce cas Ie dernier terme A(r-1xt)(r-ERD)G tun) 0 isto). n--tI n -i-2 n4-x —I par l'augmentation du nombre dés termes, pourra devenir plus. petit. que toute quantité arbitrairement donnée ,. il fufüt de remarquer qu'il eft plus petit que ES. ( pois 2n Cu ,€t de démontrer que la quantité NUS Tab. l. Fig. 6. n A (« Let. x) 2 pourra devenir plus petite que toute quantité mBimaireremn donnée; ce qui, à caufe' de (14-L—72)-4 «1, pourra fe faire fans peine. Enfin j'appliquerai le théoreme de Taylor à un prob- .léme parüculier qui concerne la méthode inverfe des tan- gentes, et qui peut avoir fon ufage daus Ia Mécanique. Probíéme. | . Ayant pris fur l'axe des abíciffes A O d'une courbe LN des différences égales PP/, .P/P^ &c, et ayant tiré des - extrémités M, M' &c des ordonnées correspondantes PM, PM, » es les tangentes M5, N'S, &c, ala courbe; on de- mande mande toutes les courbes, daus lesquelles les parties M/S ; M^S , &c. de ces ordonnées, comprises entre Iles couibes et les tangentes , foient égales entr'elles. Soíutiion. Suppofons l'abfciffe A P — x, l'ordonnée PM — y, la différence PP/( — P/P^ — &c. ) —— q, lordonnée PM. — Y et la paitie M'S( —M'"S'-&c.)-p; on aura par le théoréme de E E zn 95 yq 7 Y —y-r4.3 ^ DPF .2 ns ues qui y B rRrxau ct x ; I tis 2o i3 14 D'oà à caufe de I PR gr »wmpiMS- P'M—PM-—SR-—Y-—y-432,il viendii pM ca -..3-4i TEE NN AD TURAUREn [ TU es UE n — E ou. 47 Who 7 - uovn EE. Gg RITU LX De méme, en défignant par X l'abfciffe A P/ — x -- q, on trouvera — 2... 9?Y 2) .45 003Y q* 3*Y P mE I. 2 ox2 dig .3 * 9x3 X3 E2374 4 * ox* -]- - . . . L] , n — 7d" — 4 2 um q -L q'R/. uuu CH ST IY ON rt » ou in ion diseuati identique $0 ELEISON C Fo Wat n 04» ) oXx3 3 9x3 I. —Z— 35 XT ERO "cA 1 à . y—iy 23 Rc Demetr Y » » 1.2.3.4... (n — 1) 3x —: ap —1J d s -R)-o, YVva qui 4 ——— 9332 m— qui, à caufe que dans le théoréme de Taylor on fuppofe la différence Ax conttante, et que Y — y -- q.?2-4- p, fe * changera en celle-ci: ; dq (9AXECEq t p) TY) X (2 Cup mee 0x y (9ycgq2c—p) y Pad Qx* 1S ud MA (uten m 1.9.3.4 da Qx* / -- * e Brady e. e 3 RS S GCUNE xs —'(r e qHrep) or Y) SS:8.4. .. Cn—1) ax" —t 77 Do 4 (MR) o, on encore en celle - ci Eds 344 E S 2 -- STU UEGM GNE vno fas ple da 25 ils | 1.2.3. 4...(n—1) ox oü S eft une certaine fonÜion de q et x, qui ne contient pas la quantité p; car, quie R eft la limite de la um (ettRMG - BEL PROM zx dr ?oog7 I DE v ad ebbe Sg a vc Jos oer- 3) 4 -- e e e : ME 2n—] Amy T4: E 2.3. xD TTE wi cin T4 Jum ! qa s—— 9509 —m I M* ATH. Tt —— uu 02 -b2 — Ti.ed-Fa o) NOME LE dE "*q CE E -D..- gn(2n-I) E 21 mn E . . e . . LI e. [3 [e 9 2 . ; * Am n(m—r) : iuc 2g - s mnu-—] Lua ET I-.9.3... n(nzt- I)-- SAEI TED 4mm Tw Ax? et que R/ eít la limite de la di "—I ziii Aris. t7 p) E.- cq RENBCUY mon a9 we equ inm S asce a ORTI 77 137. n : RICO E ATI su eerte ee ) tae x tp) UNIQ2.3.-.n(n4- Y) [ ———— —— * . *. 9n—IN AT Cy q?*-- p) A -q' uo zb aec TE cum E Senn mn AX 20 A$-HIC y-32--p) ".3-X, -(12 — I b: l pure ecpypA — SR ER T E "FG P dm .n( c .Qund-i) HL [- D. mi Nip, ! "(m —I) TCECEEEREEU INIM --q xn 225 9.. "n(n--1)---.-. 2n(2mn TI). .4.m "m E ue "me. E . . e. e e. . " . -r e M la quantité S étant égale à R'—R, E la limite de la grandeur fuivante : I n —] A*(q92) C ure ees — 9 toners E Ww Pm SEHCGOE 1.273 n man AX : D AT q2) E r3 I i? E /1. / 9 É ———— E, ui LP noL) ET x J— cui et -l- 9 5 . * * H "1 H i 4 e 2 3-9 "2 e. . * x ET 334 —á : du TW uREL. a TEE MN Cg) — mn DUXDAO eR WEIL iu s (ye s T. 9.8. . mU SI. onm: -) / s rper 2 : ox Ax" E ^(—1)| AusaacP. IB. Nieso RF OEREEPIEN OR 0 xb q [ois aug j* Vel uis í I "mn- I AT? ( q22) i e * LJ e —-.- . . * . ; -r 3 (2) rom. mn NX. et comme cette grandeur ne renferme point la quantité p» la limite S auffi ne doit pas contenir p, donc &c. Ainfi, puis- ) .23. Mis qi o4 y q5 035 y que l'équation LOMBEETE jaa D p utl c P e TN geo Eon : : À WUBUCNUGMHUCHE: Qe ient --q'S--o ne contient DS Bs (i E 7 ^ pas p, A doit avoir lieu quelle que foit Ia valeur de q, ce qui rend nulle chacune des quantités D 22 92, &c. Car fi ces qvantités n'étoient pas nuüulles, '1la quantité q devroit étre déterminée, puisque S eft une telle fonüion. de q qu'elle ne change point de forme, quelque foit le chargement de la valcur de q. N N E . 4 LI L * : Wünsj 99,—9 10$ c 0, 9E o et ainsi de suite; 3 ? - A3y acu A5» EP A5 — . * n E donc aussi 93 — c, 52 — 0, $2 -cr'o etainsi de suite; ou ce qui est la méme chose, A'y — 6, A'y — o, A'y — o : : : | et — ay mm: et ainsi de suite; d'oü il suit qu'ici les secondes différen- ces sont constantes et que la courbe en question appartient au premier cas du théoieme de Taylor; et comme dans ce cas le reste q'R. — o, l'équation trouvée ci- dessus 2 o 3 o? 4 ot P — NN: e 4 -- EX e m . dr -- Axes Nar qet a T 1.2 BE 9.2 9 ^9 3 Su Or "d EL / o^ cti EE un. os. d. q'R m doqe4qi Up -b). dT deviendra | ? ? 2 0 0g oy — t Post. : Es opc go q D'oü en intégrant on aura Qy — tPxox P COm, en intégrant encore une fois, il viendra UE E 4- €x -r- C5 ce qui est l'équation de la parabole d' Apollonius. Ainsi les courbes cherchées se réduisent à présent à une seule parabole qui réellement a la proprieté préscrite dans le probléme, est de quoi chacun pourra se convain- «re à laide de la Géometrie la plus simple. : PHYSICA. Y utn 4 iri m mrt ; mU MIEDSe US I EEECH npe ended, ; deben, dd. qisieude : SE vain kd Saxa tis hy Su Hm Ern eit ; VECES Nee tm UNS : e m zi A Ve SUE AhE Tabu $e qe, moy Sí" mcn EDD TET EET PETERE Gp - mi ; ws d «t ^ : SEE QS n] Tan Dee rey REST Viii COUL Ie NITET MQUGUCE ? t m ^ z Y een GM Ind. : venae decretae f - t teM e tne ni Pru cese 7 I : JA vit V VIUA TEIG ESI teer rm) d PIAPUPUU MCISa A M ied e Foe A Ie rave SPVIS I SN INI -" Aeon rrr rura er ovra a