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1901.

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LT PPP

II.

INDEX

HUJUS FASCICULI.

1. Sectio Physico-Mathematica:

SÖDERBERG, J. T.: Zur Theorie der imprimitiven
und der dekomposabeln auflösbaren Gruppen 1— 20.

HoLMGREN, E.: Recherches sur linversion des
Ipiesralesedefmies? 3. ana,

ÅNGSTRÖM, KNUT: Intensité de la radiation solaire

a différentes altitudes, recherches faites à
Teneriffe 1895 et 1890 . . . . . . . . 1-4.

2. Sectio Medica et Historiae Naturalis:

GULLSTRAND, A.: Allgemeine Theorie der mono-
chromatischen Aberrationen und ihre nächsten
Ergebnisse für die Ophthalmologie . . . . 1—204.

OM

Tab.

I—VII.

SECTIO PHYSICO-MATHEMATICA.

D
LI

ft

ZUR THEORIE DER IMPRIMITIVEN
UND DER DEKOMPOSABELN
AUFLOSBAREN GRUPPEN

J. T. SODERBERG.

UPSALA 1899
SADEMISUEIENBRITS

a

-—

Iu

Jesi HS Kane

viii tos ya Sg d

Mes PERTE

Zur Theorie der Imprimitiven und der Dekomposabeln
auflösbaren Gruppen.

1. Die umfassendste mir bekannte Theorie der auflösbaren Gruppen
gegebenen Grades, welche allgemein und imprimitiv oder primar, allge-
mein und dekomposabel sind, ist diejenige, welche Jorpan im »Traité
des substitutions et des équations algébriques» gegeben hat. Durch einige
Sätze über den Isomorphismus, welche im »Traité» nicht vorkommen,
kann diese Theorie vereinfacht und aufgeklärt werden. In der vorlie-
‚genden Arbeit werde ich diese Vereinfachung der Theorie durchführen.
Ebenfalls werde ich die Theorie in anderen Hinsichten bearbeiten und
einen Irrtum bezüglich der dekomposabeln Gruppen berichtigen. Von
den fraglichen Sätzen über den Isomorphismus kommen fast alle in
Nerro’s Substitutionentheorie vor. Da aber in diesem Werke die Fas-
sung dieser Sätze oder die Herleitung derselben fehlerhaft ist, und weder
diese noch die übrigen bei den andern mir bekannten Verfassern vor-
kommen, werde ich zuerst eine vollständige Darstellung dieser Sätze geben.

ie
Über den Isomorphismus.

2. Es sei G eine Gruppe von Substitutionen, /' eine zur G iso-
morphe Gruppe, L eine Untergruppe von G, und A die entsprechende
in I enthaltene Gruppe. Es sei ferner J die Untergruppe von G, welche
der Substitution 1 in I entspricht. Wenn dann J in Z eingeht, so ent-
halt Z sämtliche diejenigen Substitutionen von G, welche A entsprechen,
und A ist eine Untergruppe von I. Wenn nämlich m die Ordnung von
J bezeichnet, so müssen jeder Substitution von A gerade m Substitu-

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. 9/u 1899. 1

2 J. T. SÖDERBERG,

tionen von G entsprechen (siehe z. B. Nerro’s Substitutionentheorie,
Seite 98). Diese werden von einer derselben durch Multiplikation mit.
den Substitutionen von J gebildet. Also enthält Z sämtliche diejenigen
Substitutionen von G, welche A entsprechen. Bezeichnen wir die Ord-
nungen von J’ und 4 mit » und x, so werden diejenigen von G und L
gleich mv und mz. Da L eine Untergruppe von G ist, wird m x kleiner
als m v, somit x <y und also 4 eine Untergruppe von I.

Ferner gilt folgender Satz: Wenn Z eine ausgezeichnete Unter-
gruppe von G ist, so ist ./ eine ausgezeichnete Untergruppe von J,
wenn A überhaupt eine Untergruppe von I ist. In Nerro's Substitutio-
nentheorie a. a. O. ist dieser Satz als Umkehrung eines andern Satzes
erwähnt, die für die Gültigkeit derselben aber notwendige Bedingung,
dass 4 eine Untergruppe von I sein muss, nicht angegeben.

Die Umkehrung dieses Satzes lautet ganz einfach auf folgende
Weise: Wenn .4 eine ausgezeichnete Untergruppe der zu G isomorphen
Gruppe I ist, so ist die der 4 entsprechende Untergruppe Z von G
eine ausgezeichnete Untergruppe von G.

3. Wir können nun folgenden Satz herleiten:

Wenn 4 eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe der zu G iso-
morphen Gruppe I ist, so ist die der 4 entsprechende Untergruppe L
von @ eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von G.

Wir nehmen an, es sei L keine ausgezeichnete Maximaluntergruppe
von G. Dann haben wir jedoch nach n:o 2, dass L eine ausgezeichnete
Untergruppe von G ist. Also muss in G eine ausgezeichnete Untergruppe
T eingehen, in welcher Z als Untergruppe vorkommt. Es möge nun ©
die T entsprechende in I enthaltene Gruppe sein. Da Z ihrer Defini-
tion gemäss J enthalten muss, wird dies auch mit 7 der Fall sein. Also
muss gemäss n:o 2 © eine Untergruppe von / sein. Da 7 eine ausge-
zeichnete Untergruppe von @ ist, so ergiebt sich somit nach n:o 2, dass
O eine ausgezeichnete Untergruppe von I ist. Weiter ist © zu IT iso-
morph auf die Weise, dass die Substitutionen in 7, welche der Substi-
tution 1 in © entsprechen, J ausmachen, und es ist Z eine in 7 vor-
kommende Untergruppe, welche J enthält. Also muss 4 nach n:o 2
eine Untergruppe von © sein. Dies streitet gegen die Voraussetzung,
dass AZ eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von I sei. Also kann
G keine solche Gruppe wie 7 enthalten, und es folgt, dass L eine aus-
gezeichnete Maximaluntergruppe von G sein muss.

Wenn Nerro in seiner Substitutionentheorie a. a. O. diesen Satz
beweisen soll, zeigt er nicht, dass O, indem wir uns zu meinen Bezeich-

User IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLÖSBARE GRUPPEN. 3

nungen halten, eine Untergruppe von I wird, d. h. nach Nerro’s Be-
zeichnungen, dass 7’ eine Untergruppe von @ wird. Man kann somit,
indem man meine Bezeichnungen anwendet, gegen ihn den Einwurf ma-
chen, dass © und I vielleicht zusammenfallen können, wodurch A eine
ausgezeichnete Maximaluntergruppe von I" sein könnte, während es eine
Gruppe 7 gäbe.

Die Umkehrung des hergeleiteten Satzes lautet folgendermassen:

Wenn Z eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von G ist und
die Gruppe J enthält, so ist die der L entsprechende Gruppe -/ in der
zu G isomorphen I eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von I.

Wenn nämlich 4 keine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von I
würe, so müsste sie jedoch nach n:o 2 eine ausgezeichnete Untergruppe
von J’ sein. Somit müsste /'eine ausgezeichnete Untergruppe © ent-
halten, in welche 4 als Untergruppe eingehen würde. Die dieser ent-
sprechende Untergruppe 7 von @ würde dann eine ausgezeichnete Un-
tergruppe von G und enthielte Z als Untergruppe, was der Annahme
widerstreitet, dass Z eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von G sei.
Also kann I keine solche Gruppe wie © enthalten, und A muss eine
ausgezeichnete Maximaluntergruppe von /' sein.

Wir erhalten hieraus folgenden Satz:

Eine Reihe der Zusammensetzung von G wird durch die Gruppen
gebildet, welche der Reihe der Zusammensetzung von der zu G isomor-
phen Gruppe J’ entsprechen, gefolgt von der Reihe der Zusammensetz-
ung von J. Die Faktoren der Zusammensetzung von G werden durch
diejenigen von J’ und J ausgemacht.

Der Beweis ist leicht ersichtlich, wir übergehen ihn daher.

4. Wir fügen hier zwei Sätze hinzu, welche wohl eigentlich nicht
zur Theorie des Isomorphismus gehóren, welche aber durch n:o 3 leicht
bewiesen werden kónnen. Zuerst erhalten wir folgenden Satz: Wenn
G eine intransitive Gruppe mit w Systemen von transitiv zusammenhän-
genden Elementen ist, und

(1) [ere ee 2 PE

Gruppen sind, von welchen eine jede aus denjenigen Bestandteilen der
Substitutionen von G ausgemacht wird, welche die Elemente von einem
der respektiven w Systeme vertauschen, so ist es für die Auflésbarkeit
von G notwendig und hinreichend, dass (1) auflésbar sind. Die Faktoren
der Zusammensetzung von G bestehen aus denjenigen der Gruppen (1)
oder aus Divisoren derselben.

4 J. T. SÖDERBERG,

G muss nämlich in die niedrigste Gruppe eingehen, welche H,,

ss Ay_, enthält, welche wir mit

(2) CH, H,, BEER Hu}

bezeichnen. Zu dieser ist H, isomorph in der Weise, dass der Substi-
tution 1 in H, die Gruppe
(3) Weeze

zugeordnet ist. Die Faktoren der Zusammensetzung von (2) bestehen
somit aus denjenigen von H, und (3). Durch fortgesetzte Anwendung
dieses Verfahrens erhalten wir, dass die Faktoren der Zusammensetzung
von (2) aus denjenigen von H,, H,,.. Hi, bestehen. Da ferner die
Faktoren der Zusammensetzung einer Untergruppe Divisoren von denje-
nigen der Gruppe sind, (siehe Jorpan’s »Traité», Seite 279), so müssen
die Faktoren der Zusammensetzung von @ aus denjenigen von (1) oder
aus Divisoren derselben bestehen, und G auflösbar sein, wenn (1) es sind.

Dann leiten wir folgenden Satz her:

Wenn Z und Z, auflösbare Gruppen sind, und Z, mit den Substi-
tutionen von ZL vertauschbar ist, so ist (L, L,} eine auflösbare Gruppe.

Es sei J die Gruppe der Substitutionen, welche den Z und Z,
gemeinsam sind. Da diese eine ausgezeichnete Untergruppe von Z wird,
können wir eine transitive Isomorphe I zu ZL bilden, so beschaffen, dass
die der Substitution 1 in I zugeordneten Substitutionen von Z die Gruppe
J ausmachen (siehe z. B. Nerro’s Substitutionentheorie, Seite 92). Nun
wird I auch zu [| L, L,] isomorph, wenn wir der Substitution 1 in /' die
Gruppe Z, zuordnen. Wennschon nämlich jede Substitution von {Z, L,}
auf mehrere Weise als Produkt von Substitutionen in L und Z, ausge-
drückt werden kann, so ergiebt sich zuerst, dass Jeder Substitution von
{ L, L, | nur eine Substitution / zugeordnet wird. Denn wenn / und J,
beliebige Substitutionen der respektiven Z und Z, sind, haben wir
li-ll', wo l zu L, gehört. In jedem Produkt von Substitutionen
aus L und L, kónnen daher die Faktoren auf die Weise vertauscht wer-
den, dass die Substitutionen von Z zusammen kommen, wobei diese nicht.
verändert werden. Also ist klar, dass dieselbe Substitution von /' dem
Produkt entspricht, wie auch dieses in Faktoren aufgelóst wird. Weiter
ergiebt sich auf dieselbe Weise, dass das Produkt zweier Substitutionen
von [ 5, L,} dem Produkt der entsprechenden Substitutionen von I zu-
geordnet ist. Also wird I zu {Z, L,] in der Weise isomorph, dass.

User IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLOSBARE GRUPPEN. 5

der Substitution 1 in I die Gruppe Z, entspricht. Aus der Auflösbarkeit
von J’ und Z, folgt dann diejenige von ( L, JZ, }
Der Satz ist von JORDAN im »Traité», Seite 392, anders bewiesen.

II.

Auflósbare Gruppen eines gegebenen Grades, welche allgemein und
imprimitiv sind.

5. Es sei G eine imprimitive Gruppe vom Grade n, und es seien
die » Elemente von G auf « Systeme der Imprimitivität von m Elemen-
ten verteilt, also n = wm. Die Elemente seien durch das Symbol /,,,
bezeichnet, welches ein und dasselbe Element bedeuten soll, wenn u mod.
u und v mod. m reduziert werden, und es mögen die Systeme der Im-
primitivität durch Lo; dui, . . . lum. dargestellt werden. wenn u die
Werte 0, 1, ... &—1 durchläuft. Es sei ferner G, die allgemeinste Un-
tergruppe von G, welche die Systeme der Imprimitivität nicht vertauscht,
und es seien

(1) Nen! ‘0 Se

die Substitutionen von G,. Dann können die Substitutionen von G ins
Schema

ı 9 Sy—1
GNOME
MENO SRI a ULL RAA
i ee oe FR
eingereiht werden, wo
(2) Ls, 0,» ör 0,4

Substitutionen von G sind, von welchen jede in keine der Reihen von (T)
eingeht, welche derjenigen Reihe voraufgehen, in welcher die Substitu-
tion ausgeschrieben ist. Dann giebt es keine zwei Substitutionen (2),
welche die Systeme auf dieselbe Weise vertauschen. Die q Substitutio-
nen, welche w Elemente e,, e,, . . eu, in derselben Weise vertauschen,
wie (2) die Systeme der Imprimitivität, bilden eine transitive zu @ iso-
morphe Gruppe, die wir D nennen. In dem wir diejenige Gruppe, welche
aus denjenigen Bestandteilen der Substitutionen von G, besteht, welche

6 J. T. SÖDERBERG,

die Elemente des r + l:sten Systems vertauschen, H, nennen, erhalten
wir 4 Gruppen
(3) Hio oH mci

welche durch Transformation von A, durch (2) gebildet werden können.

Dann stellen wir folgenden Satz auf:

Damit eine imprimitive Gruppe G auflösbar sei, ist es notwendig und
hinreichend, dass D und H, auflösbar sind. Die Faktoren der Zusammen-
setzung von G bestehen aus denjenigen von D nebst den Faktoren der Zu-
sammensetzung von H,, ein jeder u Mal wiederholt, oder nebst Divisoren
dieser Zahlen.

Da D zu G auf die Weise isomorph ist, dass der Substitution 1
in D die Gruppe G, in G entspricht, bestehen nümlich nach n:o 3 die
Faktoren der Zusammensetzung von G aus denjenigen von D und G,,
welche letztere nach n:o 4 aus denjenigen der Gruppen (3), d. h. denje-
nigen der À, u Mal wiederholt ausgemacht werden, oder aus Divisoren
dieser Zahlen. Hiermit ist auch gezeigt, dass die Bedingung der Auflés-
barkeit von G hinreichend ist, was in keinem mir bekannten Werke aus-
gesprochen ist.

Aus der Auflósbarkeit von G geht diejenige von D und G, hervor,
weil D isomorph und G, eine Untergruppe zu G ist, und mit G, muss
H, auflósbar sein. Also ist die Bedingung der Auflésbarkeit von G auch

notwendig.
6. Wir bezeichnen mit
(4) l; OUR Ab M E

Substitutionen, welche die Systeme der Imprimitivität wie (2) vertauschen
und die Elemente eines jeden Systems durch die entsprechenden Ele-
mente eines Systems ersetzen. Diese bilden eine zu D einstufig iso-
morphe Gruppe 4, und es sind

(5) 0 = GaSe 0, = Ÿ, 834 oo 6 0, ., = v Sp-1 9

wo Si, ..S,1 die Systeme nicht vertauschen. Wir stellen uns nun die
Aufgabe, den Satz zu beweisen, dass, wenn G eine imprimitive allgemeine
auflösbare Gruppe vom Grade n ist, durch Transformation der letzten
Indices der Elemente ermittelt: werden kann, dass beim Einordnen von @
ins Schema (I) die Substitutionen (2) durch die (4) ersetzt werden kön-
nen, und dass G={4, H,} wird.

Wenn Jorpan, welcher diesen Satz erst im Zusammenhang mit spä-
teren Entwickelungen im »Traité» vollständig darlegt, denselben für w = Mi-

User IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLOSBARE GRUPPEN. 7

nimum herleiten soll, hebt er oft hervor, dass neben D und H, auch G
auflésbar sein muss, und er beweist am Ende der Untersuchung nur für
einen speziellen Fall, dass G auflösbar wird, wenn es D und A sind.
Dem Leser wird dabei leicht die falsche Auffassung beigebracht, dass
unter den imprimitiven Gruppen mit auflösbaren D und H, solche vorkom-
men, welche nicht auflösbar sind, und welche nicht durch Indextrans-
formationen auf die Weise ins Schema (I) eingereiht werden können, dass
die Substitutionen (2) durch (4) ersetzt werden, obschon sie als nicht
auflösbar in keine allgemeinere auflösbare Gruppen n:ten Grades eingehen.
Durch den Satz in n:o 5 haben wir diesem Irrtum vorgebeugt.

4. Zufolge der in n:o 6 gemachten Annahme, dass G in keine
allgemeinere auflösbare Gruppe vom Grade n eingeht, welche Annahme
wir im folgenden festhalten, gilt bekanntlich, dass @, gleich

(6) | Tel Eee PAR

wird. Wir können dies folgendermassen zeigen. Weil @ auflösbar ist, sind
es nach n:o 9 auch D, Hy, ... H, ,. Es mögen nun (6) durch & und
(9, ... 6,1, D} durch ¥ bezeichnet werden. Offenbar ist ¥ imprimitiv
und diejenige Gruppe, welche &, . . . . e, , wie # die Imprimitivitätssy-
steme vertauscht, identisch mit der obenerwähnten D und also auflösbar.
Weil die Substitutionenkomplexe 4, 6,4, 6,®,... . 0, , 5, wie leicht
gezeigt werden kann, eine Gruppe bilden, ist D die allgemeinste Unter-
gruppe von ¥, welche die Systeme nicht vertauscht. Die Gruppe, welche
von denjenigen Bestandteilen der Substitutionen von 4», welche die Ele-
mente im ersten Imprimitivitätssysteme vertauschen, gebildet wird, ist
daher die obenerwiihnte /7, und also auflósbar. Somit wird nach n:o 5
auch ¥ auflósbar. Da nun G in ¥ eingeht und eine allgemeine auflös-
bare Gruppe n:ten Grades ist, müssen 7 und G zusammenfallen, also
auch G, und & oder (6).

S. Wenn die Einteilung der Elemente von G in Systeme der
Imprimitivitàt verschiedentlich geschehen kann, nehmen wir an, die Ein-
teilung sei so gewählt, dass durch Vereinigung der Elemente mehrerer
Systeme kein neues System der Imprimitivität erhalten werden kann.
Die so erhaltenen Systeme, deren Anzahl wie oben u sei, bezeichnen
wir durch

(7) Sos Sin. + + + Sua.

D muss nun primitiv sein. Wenn nämlich die w Elemente von D in À
Systeme der Imprimitivität

(8) don ROME pes

8 J. T. SÖDERBERG,

zerfielen, so würden die 4 Gruppen der Systeme (7), welche den (8)
entsprechen, Systeme der Imprimitivität von G, was der eben gemachten
Voraussetzung widerstreitet. Somit ist D primitiv, und wir haben u — p*,
wo p eine;Primzahl ist.

i © Wir ersetzen nun den ersten Index der Elemente /,, durch x In-
dices, welche mod. p zu nehmen sind, so dass die Systeme der Impri-
mitivität durch + Indices angegeben werden, und verfahren ebenso mit
den Indices der Elemente &, . . . &u_, von D. Dann besteht, wenn die
x Indices passend gewählt sind, D aus kombinierten linearen und arith-
metischen Substitutionen. Wir setzen x = 2. Die Substitutionen von D
nehmen dann die Form

T=| 2,49 we + boy + 2, Är + dy + |

an, und die entsprechenden Substitutionen von G die Form

$—|ey,v; a 2E by o, az+by+f, plerysv) |.

9. Als primitiv und auflósbar muss D die Substitution | 2, y; z4-1,y |
enthalten. Es sei

A-—|2,9,vy zb yen»

eine beliebige der entsprechenden Substitutionen von G. Während wir
die Verteilung der Werte des dritten Index auf die Elemente der Systeme,
deren erster Index Null ist, beliebig sein lassen, kónnen wir bekannt-
lich für die übrigen Systeme den dritten Index der Elemente derart
transformieren, dass

| 0 rms OU

p—2,y,v; p—l,y,v

p—1,y,v; 0,9, v (y,v)
wird, was A? — |z,y,v; z,y, v(y,v)| ergiebt. Diese Substitution muss
in G eingehen, also nach n:o % auch diejenige Substitution X, welche

aus denjenigen Bestandteilen von A? ausgemacht wird, welche die Ele-
mente der Systeme 0, y vertauschen (y = 0,1,...p — 1). Wenn wir nun

Sp rm ts petuo

einführen, erhalten wir A= A K^. Also muss YA nach der Indextrans-
formation in G eingehen.

ÜBER IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLOSBARE GRUPPEN. 9

Weiter enthält D die Substitution \@,y; æ,y+11. Es bezeichne

B=|2,y,v; 2,9 4-1, qi (@,y,v)|
eine der entsprechenden Substitutionen von G. Wir haben die Wahl
des dritten Index der Elemente der Systeme 0,5 füry 20,1, ... p—1
willkiirlich gelassen. Indem wir diese Wahl für das System 0,0 fort-
dauernd willkürlich lassen, transformieren wir mit Jorpan für die übri-
gen Systeme, deren erster Index Null ist, den dritten Index der Ele-
mente in solcher Weise, dass die Funktion q, (z,y,v) gleich v wird für
DE Qu 229 22 Fürz=0,y—=p-—-1 sei sie durch v, (v)
bezeichnet.
In G kommt die Substitution

UT BA —iz,y,v; cy ql, un(e —1,y, v)

vor. Wenn wir
A" BA = Bf
setzen, erhalten wir
F=\%Y+1,4H(2,4,%); 7,941, 49, (@—1,y,%)|,
welche in G, eingehen muss.

JORDAN hat im »Traité» den fertigen Ausdruck der Substitution, wel-
che bei ihm unserer f entspricht, nicht berechnet. Durch die Berechnung
von f wird aber die Herleitung der Existenz von |z,y,v; e, y 4- 1,v
in G erleichtert.

Um diese Herleitung zu Ende zu bringen, bemerken wir, dass G,
diejenige Substitution f, enthalten muss, welche von denjenigen Bestand-
teilen von f ausgemacht wird, welche die Elemente der Systeme, deren
erster Index 1 ist, vertauschen. Also enthilt G

D, US Sta Os LC, + 1, 9s (1,g,v) |,

wo 9, (2,y,v) gleich 9, (0,y,v) für z«1 und gleich q,(z,y,v) für
z>1 ist.
In analoger Weise erhalten wir, dass G

B, = Bf =|2,y,v; %,y +1, Gs (2, ys) |

enthält, wo q, (x, y, v) gleich 9, (0,y,v) für z — 2 und gleich g, (x, y, v,)
für «> 2 ist.

Durch fortgesetzte Anwendung desselben Verfahrens erhalten wir
schliesslich, dass

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. ?°/ıı 1899. 2

10 J. T. SÖDERBERG,

Be = |2,9,0,2,9+1,9ı (0, y, v) |

a E a |
qu Beale

: DUET
Bi) iO aD

2,p — 1,v;2,0, v, (v)

in G eingehen muss. Also haben wir in G die Substitution 7 , =
&,9,U;2,4],U.(v)|, welche zu G, gehört. Also muss die Substitution
K,, welche die Elemente der Systeme z,0 für v — 0,1, ...p—l1
wie D; , vertauscht, die übrigen Elemente aber ungeändert lässt, in G,
eingehen. Wenn wir nun

a |
Sah An Uric TND

einführen, erhalten wir S = B
Substitutionen

pa KT. Also muss 3 und somit die p*

9[* Be = | 2, y, v; 2 -p.€,y + DU @= 05 1-215. OS S

in G vorkommen.

10. Es sei A, eine beliebige der Gruppen (3), und «,f die bei-
den Indices des Systems, deren Elemente von A, umgesetzt werden.
Da die Gruppen (3) durch Transformation mit den Substitutionen von
G in einander übergehen, so wird H, von H, erhalten durch Transfor-
mation mit einer beliebigen der in @ vorkommenden Substitutionen,
welche das System 0,0 durch das System «, ersetzen. Also wird

H, — 3(-* 8-8 H, 9(* DR.

Da nun AB? die Elemente des Systems 00 durch die entsprechenden
des Systems «,/? ersetzt, wird nach den Indextransformationen von n:o
9 eine jede der Gruppen (3) dadurch erhalten, dass wir in H, die Ele-
mente dureh die entsprechenden Elemente eines der Systeme (7) ersetzen.

11. Wir haben nun zu zeigen, dass nach den vorgenommenen
Indextransformationen jede Substitution von G

8—|emy,9; f Gar (z,y), x (e 95 *) |,
wo f (ry) = a 2 + boy 4 e, f (ey) = a, « 4- b, y 4- f ist, durch Multipli-

kation einer Substitution

8 — IURE RED e (2, y), V, (v) |

mit einer Substitution von G, erhalten werden kann.

User IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLOSBARE GRUPPEN. 1l
Es ist

AT 8 At Ba = | $191 v; f (ay) (v. y) xz (x —1l,y, v) lee
Wenn wir nun
D) 8 Mao 38a, ES g

setzen, ergiebt sich

I=|FOMF@ YM x Gam LOY SF ys x@—1,4,2)|.
Diese muss zu G, gehören, also auch diejenige Substitution 4,
welche die Elemente in den p durch die Indices f(1,y),f"(1,y) für

y = 0,1,...p—1 charakterisierten Systemen wie g vertauscht, die
übrigen Elemente aber nicht umsetzt. Also enthält @

8, = 8 g, 7 | Ly Yr Vv; Jy) ’ d (X, y): 21 (©, Y; v) |?
wo 7 (x,7,v) gleich x(0,y,v) fir «<1 und gleich x (x,y, v) für x21
ist. Analog erhalten wir, dass G

2 /

ee PO) (053 90) » 23) (053/38) |

enthält, wo x,(r,y,v) gleich x (0,y,v) für z «2 und gleich x (x, y,v)
für x> 2 ist, und schliesslich, durch fortgesetzte Anwendung derselben
Schlussweise, dass

/

8 =, = | æ, V Oe, y. f (m, y), x (y; v) E

wo x(y,v) 2x(0,9,v) ist, in G eingehen muss.
Wie wir nun von 8 ausgehend hergeleitet haben, dass 8’ in G vor-
[2] [e] 1
kommen muss, können wir endlich von 8’ ausgehend zeigen, dass G

8—|z,y,v;f (vy). (or y) ws Q)|

enthalt. Offenbar wird $ durch Multiplikation von 8 mit einer Substitu-
tion von 6, erhalten.
12. Es sei 6, eine beliebige der Substitutionen (2). Dann wird

6, = 0; q, wo q der G, zugehórt und
p | 2, 9. v5 file, y) f (x, y), V? (v) |

ist, wo fix, y) = aŸ x + 0 y 4- e, fi (v, y) = a? x + bi y + B, ist. Wenn
wir ins Schema (I) o, für c, einführen, ergiebt sich für G das Schema

12 | J. T. SÖDERBERG,

Mos Ge SE
(II) Dis OS; + + 0, Syr a
ee CRISE

Für die Substitutionen (4) finden wir

p | $5 y; v; fi (©, 3) fi (x, y); v | ,

und wenn wir 6, = Ó,15, setzen, kommt

; T Aer (i)
Ni = Vida EUS OT We Ce) |;

welche Ausdrücke 4,7, = 7; 9; ergeben.
Zufolge n:o 10 bilden die Substitutionen, welche aus (Il) erhalten

werden, wenn die (4) für 1,0, . . 6, gesetzt werden, eine Gruppe,
nämlich {4,H,}, welche wir mit (S bezeichnen. Wir werden zeigen,
dass (8 und @ identisch sind.

Wenn A, transitiv ist, ist (9 imprimitiv, sonst intransitiv. In beiden
Fällen ergiebt sich mittelst n:o 3 und 5, dass G lösbar ist, weil die oben
erwähnte D zu (9 in der Weise isomorph ist, dass G, in G der Substi-
tution 1 in D entspricht. Ferner ist G mit den Substitutionen von @
vertauschbar. Wir haben nämlich, weil 6G, eine ausgezeichnete Unter-
gruppe von G ist, oc! G, o, = G, oder 77! 97 G, 9,5, = G, oder endlich
no Gin 2,G,, da zufolge n:o 10 97! G, 9; = G, ist. Aus 9,5, — 59;
ergiebt sich dann 7;*Gy,=@. Da weiter 476 9; = G ist, erhalten
wir schliesslich, dass & mit 6, und also mit allen Substitutionen von @
vertauschbar ist.

Dann muss aber nach n:o 4 die Gruppe {G,@} auflósbar sein.
Da diese G enthält und vom Grade n ist, G aber zu keiner auflósbaren
Gruppe n:ten Grades Untergruppe ist, muss | G, 95] = sein und also
(5 in G eingehen. Nun sind aber diese Gruppen derselben Ordnung.
Also werden sie identisch, und wir erhalten G = { 4, H,], wo 4 die Ele-
mente eines der Systeme (7) durch die entsprechenden Elemente eines
dieser Systeme ersetzt und dabei die Systeme primitiv vertauscht, H, die
Elemente von S, und nur diese umsetzt.

Nun wird auch ersichtlich, dass HM, transitiv ist, weil sonst G in-
iransitiv würde, und dass D und Z, allgemeine auflósbare Gruppen von
den respektiven Graden « und m sein müssen.

User IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLOSBARE GRUPPEN. Ile:

15. Es seien hiernach
u a "Y
(9) She ns eus a Sui
eine beliebige Einteilung der Elemente in Systeme der Imprimitivität,
deren Anzahl « beliebig sei, und es mögen H,, H,, . . . Hu, sich auf
(9) beziehen. Wir denken uns, es sei möglich, die (9) auf «, Gruppen

(10) Crem ne,

zu verteilen, welche eine neve Einteilung der Elemente in Systeme
der Imprimitivität bilden, und nehmen an, diese Verteilung sei so ge-
schehen, dass keine neue Systeme der Imprimitivität aus Gruppen der
(10) ausgemacht werden. y, wird dann ein Divisor von uw, und es sei
f=). Dann wird gemäss n:o 12 nach passender Indextransforma-
tion G={ 4, HPI, wo 4, die (10) primitiv vertauscht und dabei die
Elemente jedes der Systeme durch die entsprechenden eines der Sy-
steme ersetzt, und HP eine allgemeine lösbare Gruppe von Grade u, m
ist, welche die Elemente von ©, transitiv vertauscht und /, enthält. Die
in ©, enthaltenen Systeme (9), welche

(11) ES E MS

sein mögen, werden von Hj” transitiv vertauscht, weshalb diese impri-
mitiv ist. Ihre Indices sind während der Indextransformation willkürlich
geblieben. Indem wir die Systeme (11) in angegebener Weise in Ober-
systeme gruppieren, welche Systeme der Imprimitivität von HV werden,

und deren Anzahl u, der Gleichung u, = u, u, genügen mag, ergiebt sich
nach Indextransformationen AP = (4,, HP), wo 4, die Systeme der Im-
primitivität primitiv vertauscht und dabei die Elemente jedes der Systeme
mit den entsprechenden Elementen eines derselben ersetzt, und A
eine allgemeine auflösbare Gruppe vom Grade w, m ist, welche die Ele-
mente des ersten Imprimitivitätssystems transitiv umsetzt und H, ent-
hält. Wenn wir die Indices der Elemente der übrigen Systeme (10)
analog mit denjenigen von ©, transformieren, erhalten wir ferner
G=1,4,,4, HS}. Dann verfahren wir mit AP wie mit HY u.s.f., bis
wir zu H, gelangen, was nach k Schritten geschehen mag. Wir erhalten
somit nach mehreren Indextransformationen

7 PIED 1
dese Moss H, rs
wo 4d,,4,,....14,ihre respektiven Systeme der Imprimitivität, deren
0? k—1 P J
Anzahl wo, . . . 4,4 der Gleichung w, jp, - . . My, = 4 genügen, pri-

mitiv vertauschen und H, die Elemente von S, umsetzt.

14 J. T. SODERBERG,

Hierbei müssen offenbar diejenigen Gruppen D,, D,,... Dir,
welche ihre Elemente wie 4, 4, .. . 4_, ihre Imprimitivitätssysteme
vertauschen, allgemeine auflösbare Gruppen der Graden uw, 44, - . . Ur, Sein.

Wenn nun 4 — 4, 4,.... dra) gesetzt wird, ergiebt sich endlich
G = { 4, al, } ,

wo 4 die Elemeute eines beliebigen der Systeme (9) durch die nach
den Indextransformationen entsprechenden Elemente eines dieser Systeme
ersetzt, weil dies von 4, 4,, ... 4_, gilt.

Nun wird ersichtlich, dass /7, transitiv ist und dass Z, und die-
jenige Gruppe D, welche ihre Elemente wie 4 die Systeme (9) ver-
tauscht, allgemeine auflósbare Gruppen von den respektiven Graden m und
u sein müssen.

Hiermit ist die in n:o 6 gestellte Aufgabe gelöst.

14. Wenn die Systeme der Imprimitivität (9) so gewählt sind,
dass keine Untersysteme derselben Systeme der Imprimitivität sind, lässt
es sich zeigen, dass A, primitiv ist. Dann folgt der bekannte Satz,
dass eine imprimitive allgemeine auflösbare Gruppe n:ten Grades mittelst
primitiver allgemeiner auflösbarer Gruppen niedrigerer Grade gebildet
werden kann.

15. Mittelst n:o 13 kann sehr leicht bewiesen werden, dass jedes
System der Imprimitivität von G, welches gleich viele oder mehrere Ele-
mente wie eines der Systeme (9) enthält, welche eine beliebige Eintei-
lung der Elemente von G in Imprimitivitätssysteme ausmachen, aus einem
dieser Systeme oder aus mehreren derselben zusammengenommen be-
steht. Es ergiebt sich somit, dass die in n:o S definierte Zahl « und die
Systeme der Imprimitivität (7) mit «, und den Systemen (10) identisch
sind, und dass bei jeder andern Einteilung der Elemente in Systeme der
Imprimitivität die Anzahl der Systeme grösser als u, ist.

EF

Auflösbare primäre Gruppen eines gegebenen Grades p”, welche
allgemein und dekomposabel sind.

16. Es sei I eine dekomposable Gruppe vom Grade p". Die
4 Systeme von m so beschaffenen linearen Funktionen der Indices, dass
alle Am Funktionen distinkt sind, und dass die m Funktionen eines be-
liebigen Systems durch jede Substitution von I" mit linearen Funktionen

ÜBER IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLÖSBARE GRUPPEN. 15

der m Funktionen dieses oder eines andern Systems ersetzt werden,
welche, wenn 4 und m passende der Gleichung n = 4m genügende ganze
Zahlen sind, gefunden werden können, bezeichnen wir mit

Bel) Los Yo» * +> d o. "8. 6 + 3 0-1 1-1»

und nehmen sie als Indices von /' an. Wir haben dann 4 Systeme von
Indices. Den Index, mit welchem diese Indices versehen sind, und deren
Rest mod. 4 je nach dem Systeme, welches man betrachtet, von 0
bis 4— 1 variiert, nennen wir mit Jorpan den Indikator der Systeme.
Eine jede Substitution s, von fist das Produkt zweier Substi-

tutionen
JN ex. 80 Do Cr Up
und
Fe les MENT RNCS PR SA CE EEE

von denen N, die Indices eines beliebigen Systems durch die entspre-
chenden eines Systems, P, die Indices eines beliebigen Systems durch
lineare Funktionen derselben Indices ersetzt. Wir bezeichnen mit P”
diejenige Substitution, welche die Indices mit dem Indikator r in der-
selben Weise wie P, verändert, die übrigen aber unverändert lässt, so dass

JE) EN Are PU
>
wird, wo die Faktoren rechts vertauschbar sind. Es sei endlich 4», eine
Substitution, welche 4 Elemente ¢,¢,, . . . e; , in derselben Weise ver-
tauscht, wie N, die Systeme, so dass

qo =

", qi lr) |

wird, wenn wir die Indices für die Elemente schreiben und mod. 4 kon-
gruente Indices als dasselbe Element angebend betrachten. Dann haben
wir folgende Multiplikationsformeln:

N . ; | lie, T.
(2) N; 1 sale bi Yey rr ng pl) Ya la) EE BP, =|", pi(p(r))|,
| = 7(k : 7() (y
[o Py =| + Bp Yes XP (ns om i) JAN Coyle, Gyre ols

Ae . 10) a 7(k) ;
Pr = i= OC Dry Yrs ET qu Up, m Yin Jr Yo Ue eMe s)

16 J. T. SÖDERBERG,

Yo, Yo: Je5 OF Top; (0) Jo) m o

N, P® = "cl ed Rc NR MRNA DE
rs Mes 2 XE (Eg, ey» Mos (e 2 ds Lr) Beye Yan: B DER
Hoy Jos + ++: Lp, 0)» Jp, ©» + -

) AT DM CC EEE TE AU DX quam uo oo

PON; = «We DRESS
RS = TE) (m 7k

$9795 Yor Inn», Bes Yrs Cire ee en) EE

(5) P, N, EX N; Pr, PO N; = N, per! 0) ,
(6) 8, 8, = N P, N; P, = N,N; P, P, = NINES.

In den Formeln (4) und (5) brauchen nicht P,, P, und PB, zweite Fak-
toren von Substitutionen von I in der auf Seite 15 angegebenen Mei-

. . S D 5 z 1 ;
nung zu sein, wenn JV, und N, in I nicht eingehen, und in PY; ) sind

54 . : 7€) rk) .
für die Funktionsformen X PU) (E 29771 53 99 e PIT (x, 4,+++)5-++ die re-

spektiven XP? (x, y,---), Y?? (v, y,--),... zu setzen, welche in PF vorkommen.
Um die erste Formel (2) herzuleiten, bezeichnen wir mit a... ,
mm
die Elemente von I. Dann erhalten wir

ee,

WI ast baa NOM eC.
i d
NORA grads a 4 Se ©

? deo. 6 Toi (r) Igi) PO aus 7 gj) Y' qj (rn) anf

Wenn nun 2', = 2,0 Yr = Yo, gesetzt wird, folgt
qi) = Ug, (ojo) > YG; = Vei (pj ve
und damit die Formel.
17. Die Substitutionen von 7, welche die Indexsysteme nicht
vertauschen, bezeichnen wir mit
(7) een
und die von ihnen gebildete Untergruppe von I mit 1. Dann können
die Substitutionen von I ins Schema
er PR
Or Olgas ee

(D

EN AO Mo, NUT
eingereiht werden, wo von
(8) NS Tho

~ ac

—— ^

"=

User IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLOSBARE GRUPPEN. 17

eine jede in keiner der Zeilen vorkommt, welche derjenigen Zeile vor-
aufgehen, in welcher die Substitution ausgeschrieben ist. Dann gilt, dass
die Substitutionen (8) sämtlich die Systeme auf verschiedene Weise ver-
tauschen. Wir setzen

rp n D 7 D
(9) 6, — Ni = d. Go, = IN cis

wo /4,/5,.... PD, ., die Systeme nicht vertauschen, und bezeichnen mit

(10) JD quee dq

q-1

Substitutionen, welche die A Elemente &,,6,,...6e; , in derselben Weise
wie 1, M,, NM, .... N, , oder (8) die Systeme vertauschen. Diese bilden
eine Gruppe D, welche zufolge der Formeln (2) und (6) zu I derart
isomorph ist, dass D? den Substitutionen 6, 1 der à + L:sten Zeile vom
Schema I entspricht.

JORDAN lässt im »Traité» d» den genannten Substitutionen von I
entsprechen, siehe z. DB. Seite 224, Zeile 3. Dies ist aber zufolge der
Formeln (2) und (6) nicht richtig.

IS. Es möge nun I primär, also D transitiv sein. Diejenigen
Substitutionen Pi”, welche die Indices mit dem Indikator a wie I, ver-
ündern, die übrigen aber unveründert lassen, bilden eine Gruppe, die wir
H, nennen. Dann kónnen die 4 Gruppen

(11) Ja pale GORE eee 2 PE

welche wir für a — 0,1,....4—1 erhalten, von einer derselben durch
Transformation mit (8) gebildet werden.
Durch Kombination der (11) erhält man die Gruppe

(12) I (ies buga HY,

welche J, enthält. Die Faktoren der Zusammensetzung dieser Gruppe
bestehen aus denjenigen von /Z,, ein jeder 4 Mal wiederholt. ZH, ist
nämlich zu dieser Gruppe derart isomorph, dass die Untergruppe
LH,,.... H,.,] von (12) der Substitution 1 von A, entspricht. Die
Faktoren der Zusammensetzung von (12) bestehen somit aus denjenigen
von AH, und (H,.... Hur). Durch fortgesetzte Anwendung dieser
Folgerungsweise erhalten wir schliesslich, dass die Faktoren der Zusam-
mensetzung von (12) aus denjenigen der Gruppen (11) bestehen, oder,
was dasselbe ist, aus denjenigen von Z,, ein jeder 4 Mal wiederholt.
Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. Impr. !5/ni 1899. 3

18 J. T. SÖDERBERG,

Wir stellen nun folgenden Satz auf:

Damit die primäre und dekomposable Gruppe I des Grades p^" auf-
lösbar sei, ist es notwendig und hinreichend, dass die oben definierten Grup-
pen D und H, auflüsbar sind. Die Faktoren der Zusammensetzung von I’
bestehen aus denjenigen von D nebst den Faktoren der Zusammensetzung von
H,, ein jeder » Mal wiederholt, oder nebst Divisoren dieser Zahlen.

Der Beweis dieses Satzes stimmt mit denjenigen des entspre-
chenden Satzes in n:o 5 genau überein, wir übergehen ihn daher.

19. Die Substitutionen
(13) NO RIETI.

welche durch (9) definiert sind, bilden eine Gruppe 4, welche zu D der-
art einstufig isomorph ist, dass N, in 4 der Substitution ®-' in D ent-
spricht, und zu /' derart mehrstufig isomorph, dass N, den Substitutionen
der + listen Zeile von J’ entspricht. Wir stellen uns die Aufgabe,
den Satz herzuleiten, dass wenn /'eine primiire auflósbare Gruppe vom
Grade p^" ist, welche allgemein und dekomposabel ist, durch Indextrans-
formationen erzielt werden kann, dass die Substitutionen von /' auch
dann ins Schema I eingereiht werden können, wenn in ihm die Substi-
tutionen (8) mit den (13) ersetzt werden, und dass /l'— | 4, H,] wird.

20. Wir nehmen hiernach an, dass die primäre und dekompo-
sable Gruppe I vom Grade p" auch auflösbar ist und in keine allgemei-
nere lineare auflósbare Gruppe vom Grade p" eingeht. Dann gilt be-
kanntlich der Satz, dass 7\ gleich der Gruppe (12) ist. Dies kann fol-
gendermassen hergeleitet werden. Es móge die Gruppe (12) durch ®
bezeichnet werden, und es sei P={6,,02,...06,,,®}. Dann ist 7
offenbar eine J’ umfassende primäre dekomposable Gruppe vom Grade
p", von welcher auf dieselbe Weise gezeigt werden kann, dass sie mit
T identisch ist, wie in n:o 7, dass die dort durch # bezeichnete Gruppe
mit G identisch ist. Also sind 7, und & identisch.

21. Wir nehmen nun an, die Indices seien in n:o 16 auf die
Weise in Systeme eingeteilt, dass diese nicht derart in Obersysteme
gruppiert werden können, dass I die Indices eines beliebigen Obersy-
stems dureh lineare Funktionen der Indices eines Obersystems ersetzt.
Dann bezeichnen wir die Systeme mit

(14) So See ES

Dann muss 4 die Systeme primitiv vertauschen, also D primitiv werden.
Wenn nämlich D imprimitiv wäre, also 4 die Systeme imprimitiv vertauschte,

User IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLOSBARE GRUPPEN. 19

wiirde man die Systeme, der Voraussetzung zuwider, in Obersysteme der
genannten Eigenschaft gruppieren können. Da D zugleich auflösbar
ist, ergiebt sich 4 =", wo z eine Primzahl ist. Der Index der Ele-
mente &,@, . .. € von D ist dann durch x Indices zu ersetzen, deren
Restsysteme mod. a die n* Elemente entsprechen, und der Indikator der
Indexsysteme von /'in entsprechender Weise durch z Indikatoren.

Wir setzen z — 2. Die Substitutionen von D werden dann nach
passender Wahl von Indices

d = | = AS (§, aes (S, n) | I
wo f,(§,7) = a £ + bn + a, ie ($, 1) = a § + b)? nt Pi sind. Sie können
aber auch
Gay be Grainy, CERERI

geschrieben werden, wo aß”, bj”, af, bi”, @,, Pi wie oben gewählt werden
können, so dass (15) gleich d»;' wird.
Die v, Substitutionen von J, welche der (15) entsprechen, werden

H * (E) n A [^ EN \
ade (Ef (En), P, (En) Yh En). (En)?

Cy Se

| £y? YS CAE (En) Sn) 19 5 En), fin) t
wo dem Index k v, Werte beizulegen sind.
22. Als primitiv und auflösbar enthält D die Substitution
Ber 6,7. Es sei
A=

TEL EV CC Ene agit 25 Fg C noe E JN eres

eine beliebige der entsprechenden Substitutionen von I. Während die
Wahl der Indices der A durch die Indikatoren 0: für 7 =0,1,...4—1
charakterisierten Systeme willkürlich gelassen wird, kónnen bekanntlich
die Indices der übrigen Systeme auf die Weise transformiert werden, dass

| ,
C XO Lon > Yon 3 a fs Que o» Vip» Yin 9 Go Le

C LO f6v t OO CON On (of le” 0 Eee LEN

lege V2.9 Vn—2,n 3 * SEE MORE Cri, Ya-ın 3 0.0.0

euler 7 (a;
Do Yg—u)a—upp ne; tors X, (ony Yony + + +) Y, Com Mops =

20 J. T. SÖDERBERG,
wird, was
T m 7 " Ne M 75 A
A => a Vins Yen» EON UD ae DNO X, (Vin Vind nd I Y, Gen ya, - . DES

ergiebt. Zufolge n:o 20 enthält 7, dann diejenige Substitution X, welche
die Indices der a Systeme, deren erster Indikator a—1 ist, wie A” ver-
ändert, die übrigen aber unverändert lässt. Wenn nun

sd r . Le
HA z— ag VE, Y I Ena Sale dene Ves in Ep, ? Sp «|

gesetzt wird, ergiebt sich 9( = A K^', weshalb nach der Indextransforma-
tion A in I eingehen muss.
Es sei ferner

B= |... x CARRE Pa Vind od £n le: Maco al

Ure
a
—
Ure
M
E
E

eine beliebige derjenigen Substitutionen von 7, welche der | $, 7 + 1; 5, | in
D entsprechen. Indem die Wahl der Indices mit den Indikatoren 0,0
fortdauernd willkürlich gelassen wird, kónnen bekanntlich die übrigen
bei der voraufgehenden Transformation willkürlich gewählten Indices,
d.h. diejenigen der Systeme 0,7 fürn = 1,2, . . . z—1, so transformiert
werden, dass die Funktionen X, (10,541, Yon+1> - =)» Yon KomzıYomkus ee
in B für 9 = 0,1, ... 1—2 in die respektiven 27415 o541, - - - über-
gehen. Wir denken uns diese Transformation ausgeführt.

A fs 3 . - LI
In 7 kommt die Transformierte von B durch A vor, d. h.

D Sfi Le : 2 XN x z 4 3
ABA =|...%:, Venise Ke (Benin Vena) Di Eau s Yemen)

Wenn wir nun
(16) ABA = Bf

setzen, erhalten wir für f den Ausdruck

|. X's, (z, Vg, j^ 3 1 n" £n (Zen Yen Dr ) ER ie ae (te, ) Yen a Jy Dar 1 Vy 2 -) DO:

wo wir innerhalb der Parenthesen überall 7 für 7 +1 eingeführt haben,
Diese Substitution muss in I, eingehen. Wir haben also in /j auch
diejenige Substitution f,, welche die Indices der x Systeme mit dem
ersten Indikator 1 wie f verändert, die übrigen aber unverändert lässt.
Also kommt in I die Substitution B, = Bf, vor, welche von B er-
halten wird, wenn für X (@,y,---), Y,(&,y,...),... die respektiven
Xu Ves) Yu @Y,-+-))--- eingeführt werden.

— own

C Sy CORRE ACS DEE TE ee

ss»

User IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLÖSBARE GRUPPEN. 21

Analog erhalten wir, dass £ die Substitution 5, = D, f, enthält,
welche von B, gebildet wird, wenn für X5, (z, y, ...), Von (a, y,---),---
die respektiven X,, (x, y, - . .), Yon (t,y,...),... gesetzt werden.

Schliesslich ergiebt sich auf diesem Wege, dass /'die Substitution

Be =| QUE De, 3 Yen a Meles Ae Non (Lens Y Jen agus De 4716 Jer ani Emu toc dae
DE o3 Ugo , VE VE
Lega 2: YE nt YER In!
. UE D VE, aeons ; SOIT PX 0,7—1 (X, YE o» ave 35 } 0 7—1 (55 YE, . hie
enthält. Also haben wir in I, die Substitution
T : 7 p
Bi_,= [+++ des Vence eee Komar (X, s Yen 3b Von (gs Yen» vh obe

Daun m. I, auch diejenige Substitution K,, welche die Indices in
den a Systemen mit dem zweiten Indikator z — 1 wie B;
die übrigen aber unveründert lüsst. Wenn nun

_, verändert,

GE es a. : ;

DE ge OE denen Vena) Sömnad ©: : |

gesetzt wird, erhalten wir 8 = B,_, Kj', weshalb 33 in I eingehen muss.
Also kommen in I alle Substitutionen

AVE
vor.

; / n j
Vagos 5 VE eap Ytranspr 3g 0rd sp 159—105 15.75 1)

Anmerkung. Die Gleichung (16) und die A BY = Bf in n:o 9
sind der Form nach nur dadurch verschieden, dass die Faktoren links
in entgegengesetzter Ordnung vorkommen. Die Verschiedenheit ist durch
den Umstand bedingt, dass in den beiden Multiplikationsformeln (2) die
Faktoren links in entgegengesetzter Ordnung stehen müssen, wenn die
zusammengesetzte Funktion in beiden Formeln dieselbe sein soll. Wenn
wir in (16) und die fragliche Gleichung von n:o 9 für die Substitutionen
ihre entsprechenden aus den Gruppen D einführen, wird die Anordnung
der Faktoren links in beiden Gleichungen dieselbe.

23. Es seien ZH, eine beliebige der Gruppen (11) und «f die
Indikatoren der Indices von H,. Da diese die Transformierte von A,
durch eine beliebige derjenigen Substitutionen von I ist, welche die Indices
des Systems 00 mit linearen Funktionen derjenigen des Systems af er-
setzten, haben wir nach der zweiten der Multiplikationsformeln (5)

MBP, 3C7* 8-2 = H,

22 J. T. SODERBERG,

Bei Transformation von H, durch UA” 377 wird aber die neue Gruppe
dadurch erhalten, dass in H, die Indices 2,,,,,,... mit veg, yog, - .. EL-
setzt werden. Also wird naeh den Indextransformationen von n:o 22
eine jede der Gruppen (11) von Z, dadurch erhalten, dass die Indices
von H, durch die entsprechenden eines der transformierten Systeme (14)
ersetzt werden.

94. Es sei

E X gy (Gen), pen)? Yen) Pm c I

Vg» Ven yen), tn)? Mensen? : 2

wo f(§,7) =%§+ byn + e, f 61) =4§+6,7+/ sind, eine Substitution
von I! Dann wird nach den Multiplikationsformeln von n:o 16

| SU ee 4t mE EXC CDU NM EN |

25980262) Ba Ar, En) Em PENSE > |
| Yen > Fe, Öken) FE? EF En)? > I

welche zufolge der Indextransformationen von n:o 22 zu I’ gehören
muss. Wir setzen weiter

(17) A 5^ SAT = 8g,

wo aus Gründen, welche in der Anmerkung von n:o 22 angegeben sind, die
Faktoren links in entgegengesetzter Ordnung gegen diejenigen der entspre-
chenden Gleichung A $ A” 35^ = 8g von n:o Il stehen. Dann kommt in J,

= Xen (Caen), FE? Yen, Flen Do Xa fen? Yen). FE) ? 9

Ve, (jen (a) Us) fo o) Fins TERES) FE)» Yen) SED 1
vor, also auch diejenige Substitution g,, welche die Indices der a Sy-
steme mit dem ersten Indikator 1 wie g verändert, die übrigen aber un-
verändert lässt. Also enthält I die Substitution 8, = 8g,, welche von $8
dadurch erhalten wird, dass X, (z,9, .. .), Y,,(x,y,...),... mit den re-
spektiven X,,(x,y,...), Yo, (&,y,...),..: ersetzt werden.

In analoger Weise ergiebt sich, dass /' die Substitution s, = 8,9,
enthält, welche aus 8, gebildet wird, wenn X,, (r,y, ...); Y,,(æ,y,...), ..-

Ree pe

ÜBER IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLÖSBARE GRUPPEN. 23

mit den respektiven X,, (x,y...), Yo (a,y...),... ersetzt werden. Auf
diesem Wege erhält man schliesslich, dass

gn Bo Xn (Ehn) SE Men) fin)
Yin» Y» pen), rea) fy o)

I

wo die x Systeme von am linearen Funktionen, von welchen ein jedes
die zm Indices mit demselben ersten Indikator § ersetzt, dieselben Koef-
ficienten haben, in /' eingehen muss.

Wie wir nun, von (17) ausgehend, aus der Existenz von 8 in I
diejenige von 8 hergeleitet haben, können wir, von

MW BF BI IA

ausgehend, aus der Vorkommnis von $' in I herleiten, dass F die Sub-
stitution

Vk, y X (eigo) SER)” fn) (En)

tv |
|

M
V BEC CONTENT

enthält, in welcher diejenigen z? Systeme von m linearen Funktionen,

welche die Indices der a” Systeme ersetzen, dieselben Koefficienten haben.

Offenbar wird 8 durch Multiplikation von 8 mit einer Substitution
von /\ erhalten.

25. Wenn nun o, = N, IT, gesetzt wird, wo N, die Indices eines
beliebigen der transformierten Systeme (14) durch die entsprechenden
Indices eines dieser Systeme ersetzt und dabei die Systeme wie o, ver-
tauscht, und

II, — |. ou Ve,» Ug, Baie ge FO (ag Ven 50 ); HO (ae, Yen ers DE à cro |

so beschaffen ist, dass o, durch Multiplikation von 6, mit einer Substitu-
tion von 7| erhalten wird, ergiebt es sich, dass I ins Schema

pP Pe Ue are
II Ud US NORIS. c me AE Pads
(ID a ua See eels

Dre en

24 J. T. SODERBERG,

eingeordnet werden kann. Wenn hier fiir 1, o, Qo. 0,4 die Substitutio-
nen 1, N,,....4N,_, eingeführt werden, müssen nach n:o 28 die so ge-
bildeten Komplexe eine Gruppe 6 = | 4,H,} bilden. Nach n:o 18 wird
diese auflósbar. Sie ist auch mit den Substitutionen von I vertauschbar.
Da nämlich

Oe Ty Gy aT) RN ENTE I

ist, ergiebt sich, da 7, nach n:o 23 mit N, vertauschbar ist, /, "TIL = Ti.
Aus II! N, II, = N, folgt dann 1I/;' G IJ, = ©. Da endlich 6 auch mit
N, vertauschbar ist, ergiebt sich 67! Go, = (8. Also ist G mit den Sub-
stitutionen von I vertauschbar. |

Dann muss aber nach n:o 4 die Gruppe { 77 6 } auflösbar sein und
also, da diese linear vom Grade p" ist, / aber in keine allgemeinere
Gruppe dieser Eigenschaften eingeht, !=!T,6&! sein, was 6 = I er-
giebt, weil (5 und I” von derselben Ordnung sind. Also wird /'— { 4, A
wo 4 die Indices eines der transformierten Systeme (14) durch die ent-
sprechenden eines dieser Systeme ersetzt und dabei die Systeme primitiv
vertauscht, 7, die Indices von S, und nur diese auf die angegebene
Weise verändert.

Nun wird auch ersichtlich, dass H, primär ist, weil sonst J’ nicht
primär würde, dass 1, in keine allgemeinere lineare auflósbare Gruppe vom
Grade p" eingehen kann, und dass D eine allgemeine auflösbare Gruppe
vom Grade 4 ist.

26. Es seien nun in n:o 16 die Indices von I derart in Systeme
(18) So, S, Jo e SA

eingeteilt, dass diese auf die Weise in Obersysteme gruppiert werden
kónnen, dass /' die Indices eines beliebigen Obersystems durch lineare
Funktionen der Indices dieses oder eines andern Obersystems ersetze.
Wir gruppieren die Systeme in 4, Obersysteme

(19) CC eS RUE

so beschaffen, dass I die Indices eines Obersystems durch lineare Funk-
tionen der Indices dieses oder eines andern Obersystems ersetzt, dass es
aber nicht Obersysteme von (19) mit derselben Eigenschaft ergiebt.
A, ist ein Divisor von A, und es sei 4, 4, = 4. Nach n:o 25 haben wir dann
nach gewissen Indextransformationen I = { 4,, HP |, wo 4, die (19) pri-
mitiv vertauscht und dabei die Indices eines der transformierten Ober-

EE nn

pA

ch Km uota

ed dE Ne EL PE tr

Zu es ge ED vd i ^ INR cip dép

User IMPRIMITIVE UND DEKOMPOSABLE AUFLÖSBARE GRUPPEN. 25

systeme durch die entsprechenden Indices eines transformierten Ober-
systems ersetzt und Hy eine allgemeine primäre auflösbare Gruppe vom
Grade p ist, welche die Indices des ersten Obersystems @, und nur diese
verändert und A, enthält.

Es möge ©, aus

(20) So ) Si; GO ST

bestehen. H ersetzt die Indices eines dieser Systeme durch lineare Funk-
tionen derjenigen eines dieser Systeme und ist also dekomposabel. Diese
Indices sind während der Indextransformationen unverändert geblieben.
Indem wir die Systeme (20) in angegebener Weise in 4, Obersysteme
gruppieren, so dass die Indices eines Obersystems von HP mit linearen
Funktionen derjenigen eines Obersystems ersetzt werden, und 4, 4 = 4,
setzen, erhalten wir nach Indextransformationen HP = { 4, Hi? 1, wo 4,
die Obersysteme primitiv vertauscht und dabei die Indices eines der
transformierten Obersysteme durch die entsprechenden eines transfor-
mierten Obersystems ersetzt, und H{? eine allgemeine primäre auflösbare

Gruppe vom Grade p^" ist, welche die Indices des ersten Obersystems
und nur diese verändert und H, enthält. Wenn die Indices der übrigen

m

Systeme (19) analog mit denjenigen von ©, transformiert werden, er-
giebt sich hieraus T = { 4,, 4, HP}. Dann verfahren wir mit HP wie
mit A bis wir zu H, gelangen, was nach £ Schritten geschehen mag.
Somit erhalten wir nach mehreren Indextransformationen, dass

jou /
TN He ine ARS A "1,

wird, wo 4, 4,,...4_, ihre respektiven Indexsysteme, deren Anzahl

hd sy... 4. der Gleichung 4,4, ...4_, = 4 genügen, primitiv vertauschen

und A, die Indices von S,, und nur diese, verändert.

Hierbei müssen offenbar die Gruppen Ds, D,,... D, ,, welche ihre
Elemente wie 4, 4,,...4,, ihre Indexsysteme vertauschen, allgemeine
auflósbare Gruppen der Graden 4,,4,...4, sein.

Wenn wir nun J={4,4,,....4_, } setzen, ergiebt sich
DS UE.

wo 4 die Indices eines beliebigen der transformierten Systeme (18)
durch die entsprechenden eines dieser Systeme ersetzt, weil dies von
Eu... gilt.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II. Impr. '8/m 1899.

26 J. T. SÖDERBERG, IMPR. U. DEKOMPOSABLE AUFLOSBARE GRUPPEN.

Nun geht hervor, dass H, primär ist und in keine allgemeinere
lineare auflösbare Gruppe vom Grade p” eingeht, und dass diejenige
Gruppe D, welche ihre Elemente wie 4 die Systeme (18) vertauscht,
eine allgemeine auflösbare Gruppe vom Grade 4 ist.

Hiermit ist die Aufgabe von n:o 19 gelöst.

27. Wenn es unmöglich ist, für jedes der Indexsysteme (14) oder (18)
2 Untersysteme von m linearen Funktionen der eingehenden Indices zu
finden, so dass Am — m wird und alle m Funktionen distinkt werden,

und dass / die Funktionen eines jeden der so erhaltenen 24 Unter-
systeme durch lineare Funktionen der Funktionen eines dieser Unter-
systeme ersetzt, so lässt sich zeigen, dass 77, indekomposabel ist. Somit
folgt der bekannte Satz, dass eine beliebige allgemeine primäre und
dekomposable auflósbare Gruppe vom Grade p" mittelst primitiver allgemei-
ner auflösbarer Gruppen und einer allgemeinen primären und indekompo-
sablen auflösbaren Gruppe von niedrigeren Graden gebildet werden kann.

Re es

RECHERCHES
SUR

LINVERSION DES INTEGRALES DEFINIES

ERIK HOLMGREN.

(PRESENTE A LA SociÉrÉ ROYALE DES Sciences D'UPSAL, LE 18 Nov. 1899).

UPSAL
EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L UNIVERSITÉ.
1900.

jb les recherches de M. VorrERRA sur linversion des intégrales
définies '), un des résultats les plus remarquables est le suivant *).
Considérons l'équation fonctionelle

(A) fu = feti, ydr , O<y<a,
0
ou
Fly) = v"*' f, (y)
Hz y) = 2 aa y + A’ (x,y)
i-0

H'(x,y) y" L(x,y). V 2
Ol

= = y"L, (x 9 y) >
les a; étant des constantes *].

Si les fonctions f,(y), f,'(y), L(x, y), L,(v, y) sont finies et
continues, quand 0<x<y<a, et que H(y, y) ne sannule dans cet
intervalle qu'au point y = 0, il existe une et une seule fonction con-
tinue 9, qui satisfasse à (A), quand toutes les racines 4, , 4, ,..., 4, de
l'équation du degré n

(B) LU tat te 4 -9

je 432 JU PES) NR

sont finies et distinctes et qu'elles ont leurs parties réelles positives.

1) Sulla inversione degli integrali definiti, nota I—IV, Atti della R. Acc. delle scienze
di Torino, t. 31 (1896).

Sulla inversione degli integrali definiti; Sulla inversione degli integrali multipli, Rendi-
conti della R. Ace. dei Lincei, serie quinta, vol. V (1896).

Sopra aleuni questioni di inversione di integrali definiti, Annali di matematica, tom.
95 (1897).

?) Ce résultat se trouve dans les nota IIl et IV des Atti di Torino.

*) Cette supposition sur H’(x,y) est un peu plus générale que celle de M. VOLTERRA.

Si une ou plusieurs des racines de cette equation ont leurs
parties réelles negatives, et qu'il existe une solution de (A), il en existe
une infinite.

Le but principal de ce travail est de completer la recherche
de M. Vourerra dans le dernier point de ce théorème !).

Dans le n° I je ramenerai, par une modification legere de la
transformation par laquelle M. Vourerra a démontré la premiere partie
de son theoreme, la question de Vinversion de (A) a la meme question
pour une autre equation de la forme (A), dont l’equation algebrique
correspondante a pour racines les racines de (B) qui ont leurs parties
reelles negatives.

Dans le n° II je donnerai d'abord une methode pour traiter l'équa-
tion (A) dans le cas ou les racines ont leurs parties reelles negatives.
En combinant les resultats obtenues avec la transformation du n° I
je trouve le résultat contenu dans le theoreme III, ot est donnée la
forme generale de la solution de (A). Enfin je ferai voir que le re-
sultat de M. VorrERRA dans le cas où il y a des racines qui ont leurs
parties réelles négatives, résultat qui consiste en la formation de cer-
tains solutions de l'équation

u

(€) J «eH, ydx-0,

n

est une conséquence immédiate du théoreme Il.

Dans le n° III, je traiterai la question de l'inversion dans le cas
le plus simple où l'équation algébrique (B) a une racine infinie (Ce cas
est mentionné par M. VorrERRA dans le nota III des Atti).

!) Un extrait de ce travail se trouve dans les Atti della R. Acc. di Torino, t. 35
(1900) sous le titre:

Sur un theoreme de M. VOLTERRA sur l'inversion des intégrales définies (extrait d'une
lettre adressée à M. VOLTERRA par ERIK HOLMGREN).

Supposons qu'il existe une fonction continue g (z) satisfaisant à (A).
Differentions cette équation par rapport à y, nous aurons

(A) FW = v) n (x) H, (v, y) dc ,

(1) h(y) = May" +h'(y)

(2) H, (x,y) = 22 a LN (n dax y" + H, (x,y)
01 i=0

h (y) = H'(y,y) , H:(x,y) = vn

Supposons que À, soit une des racines 4,,4,,4,,...,4, de (B) qui ont
leurs parties réelles positives. Multiplions les deux membres de (A^)
par ys"! et intégrons entre les limites 0 et z. (Les intégrales sont
evidemment bien définies et finies pour 2 = 0)

y

f £m dy / eG naf + yh oe) Buen, y) do du -
[U 0

Changeons l'ordre de l'intégration dans l'intégrale double en appliquant
‘la formule de DIRICHLET!)

z

TP (y) yc y= Jun. COME i H,(y,a)ad dx (y) dy .

EM
bo

1) Voir: VOLTERRA, Annali di matematica, |. c. p. 142.
Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. Impr. ?5/i 1900. 1

4

ERIK HOLMGREN
Mais nous aurons

£ n »

E cen n —t , : o =
f B. (y , a) a utr e Ni ERE NN y=
J Dy mi 1 Le pe

e fran Pac
ou par une intégration par parties
i n n
A —
fU. cao da E seed ay es -ici \
"y

m UU cfe
T il
AO —i—1 =o 4 = il

See (ae ~ ahs—n-1

hier el) iP H' (y; 2) rte E

, si nous observons légalité

2 je) ie) eet eee |
«(1 Ir | N as
2 =

2 est H =,
= ee U ee

Done nous aurons

h (yy + N Ay) ae das
y

Ÿ ze a BT i—l H' 1 2À4,-n-1
ano CEE

dr fara x)

s—n—2 dx
L’equation (3) peut ainsi s'écrire

ie (y)y dy = f IS n—i
0

0 $085

1; gc t3 E H (Y,2 2) gt" 1 Es

ee 1) f H'{y,x) x" dx p(y)dy

Multiplions par 27/1, nous trouvons

akt! Dre ya! da = NS RE
au a eae eee

ee a ae ply)dy .

H'(y,2)

mu

(4)

or

RECHERCHES SUR L'INVERSION DES INTEGRALES DEFINIES

-(4,—n+r—2 )

ge (EEE +1). zu
(Ce m NIE (4, — À)

Posons

on a les égalités !)

”
DIE: = | 9
s=1

P N K, _9
s= E E

à 4]) ©

(uua

Formons l'expression
M K
\ v =) s
HS (Mi) aue Aii T

ix. gen fr (y) dy =
Mx 0 i=0

ENS K Aus — 12 cen f(y mat dat p(y)dy .

ET (y,2) w=
= le
= s=l s=1
En appliquant les formules (5) nous trouvons
n—r 7: re
= ied T

0

De [sw ay -fi {Se@—jay'e X;
r=1 5 i=0

H (y,2) NK Wen 1) go. rn D H' (yx) a's" da X (y) dy

= s=1
eo a. d;
(6) v) = [von G(y,2)dy ,
ou
we) = XE Î J'y" "dy
G(v,)=E Aye '+4@(;2) ,
is

JacoBr, Ges. Werke, bd III,

1) Voir:

6 ERIK HOLMGREN,

si nous posons

Som
pem man =
ie 4,—1—1

Gel)

Jah na) = mae —mn— 1g fu rg

s=1

Œ(y,2) =

L’equation (6) a la même caractère que (A). Les racines de l'équa-
tion algébrique correspondante

Jib cs
Co apo pi e NI)
py ey (eer EST

(7) el), D Pas I + oe ee +

sont

HE eee

rol

En effet le membre gauche de cette equation peut s’ecrire

Ÿ m. E (n — i) a; Dow
= K, - Hu i - 1) (^, A 1) /
ou
EN n-—n C wur qw d; !
IE) I pe jm) F2 UNUM

i=0 \ i=0

Si u est une des racines de l'équation (B), qui n'est pas 4,, nous aurons

Vv di - ES N ad,
(Bell) em I) CE D (4 23 um

= um)

et par suite, si w est une des racines 4.43.4599.» 4, NOUS POUrLONE
donner à notre membre gauche la forme

2 a à JI, & KG
L 1 A
—(n—u-41) N : Mp. D
Es = À | il
i=n-r+1! SRM i2n—r4l s=1 5

qui se réduit à zéro en appliquant les formules (5). Les racines de
equation (7) sont done A, MS re

Chaque solution continue de (A) est une solution de (6). In-
versement, chaque solution continue de (6) est aussi une solution de (A).

RECHERCHES SUR L'INVERSION DES INTEGRALES DÉFINIES. Tj

En effet, si nous posons

y

o (y) — f (v) — Gh) — Frl) H(x.ydx ,

0

il est evident que chaque solution de (6) doit satisfaire à l'équation
fonctionelle

(8) X Kz ['o(yyyi7t dy = (0)

r
s= 0

Multiplions par z^*dz, nous aurons

SK, dz fo (y)ys" dy =0.

s=1 0

Supposons 0<w<«@, nous aurons si nous intégrons entre les limites
0 et u et appliquons la formule de DIRICHLET

u u

IR, f'o(yy dy [edz =

sel -
0

4 u 1—À. I—h.
SSR en
SR foul

EL 0)
Se UE ioe A
ee M / e (y)yy dy — / e) pe ru dy .
vs . t =1 Ties

E

0 0
Les formules (5) montrent que la deuxieme intégrale est égale à zéro,
Eg y or ape decerT On aura donc

Ne chán f omi dy = 9.

0
En 1:158 Rr ae oe n)
(q =n PE Zn al oe,

Posons

K,z ^ f'o(yy "dy =».

s

0

On aura done le systeme suivant

v, + Vy +... +0, = 0

8 Erik HOLMGREN,

1 1 il
Les v = Us on 0 = c Up =
(ny ym ol Go ea et pre does
1 1 1
l == 05 4 er a) a
n— ih, a = n—A,
qui parce que
1 - I : ; 1
ip le 1
Marder ner ee ae
=|= 0
1 1 1
DE np : : i ie
nous donne
v, = 0 ,
Cras de
D (y) = 0.

Intégrons cette équation entre les limites 0 et y, nous trouvons imme-
diatement qu'une solution de (6) est aussi une solution de (A). Il est done
démontré que les équations (A) et (6) ont les memes solutions continues.
Nous aurons done le theoreme suivant:
Theoreme I.
L’equation fonctionelle

u

(A) f) = fo) Ha ‚y)dz

0

a les mêmes solutions continues que l'équation

(D) ME) = fv G(y,2)dy ,
ou

w (2) E > Kr f p(y) yor dy
0

s=1

n—r

G(y,2) = Kay + (y)
i=0

RECHERCHES SUR L'INVERSION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 9

et
“Al E (n — ti) a, > = Ky
EU ln |
(= 0125 2.5, m=r))
@ (y,2) = FD NE, nn Narr SH yoda.
= = Y

L’equation algébrique correspondante à (D)

ixl cp MM M
u

ee | m TEENS

a pour racines les racines de (B), qui ont leurs parties réelles negatives.

Les fonctions w(z) et G(y,z) sont de fonctions réelles. Car nous
aurons si 12 $€- 0

v oe (p nee ae MRNA :
NUR Wu N———- =: > Bea al)
s=1 m=0 = $21

Bur iw SW Sc, Rh). mil).
TR ERI mM. se

Les expressions

eee ic (ne yu
s=1

> (A,

Wad, — 3). (4, od).
5-1
À,
sont des fonctions rationelles et symétriques des racines 4, ,4,,...,24,.

Mais 4,,4,...,4, sont les racines d'une équation à coefficients réelles

DUT DST RSR EUR

et par suite les expressions en question peuvent s'exprimer rationellement
par b, , 0 b, et nous aurons

By POO

10 ERIK HOLMGREN,

r == ie ^ ;
2 Ku = SC IE Be bb E DO M) .

Im

sets ; ll)
YEG ya ZN vn...

m=U

ou B, et B', sont des fonctions rationelles de b,,b,,...,b,. Nous
aurons ainsi

an—r+1
v(2) = N Des (bob. . : MES dy

n—r ryt ( = = an—r+1
Gly,2) = Y Ay SO REG gy ee
a= 2 ante 0 1?

=

de.

Les fonctions w(z) et @(y,z) sont done des fonctions réelles.

RECHERCHES SUR L'INVERSION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 11

II.

Le theoreme I nous permets, dans ce qui va suivre, de supposer
que dans l'équation (B), qui correspond à (A), toutes les racines ont
leurs parties réelles negatives.

Nous partons de l'équation (A. Les deux membres multiplies
par y^-"^ et intégrés ensuite entre les limites 2, et 2, en supposant
que z < 2, <a, nous donneront

z y

(9) fi "(y)y^ dy =) : | Pe + em p(x) H, (x,y) dac | dy.

[] 0

En changeant l'ordre de lintégration dans Vintegrale double, nous
aurons

[Ol ae dy = qi hoy +f p Huy a dal dy +

2,

JL TT ) pales H,(y i) dx di.

0

En posant

Ke (= n) (4 ich ie ss (à, — 2)
BER) EET CR VR

.

(iS een) UR
Ke Kad, il)

et en appliquant les identités!)

1) Voir: Jacogı, Ges. Werke, bd. III p. 7.

Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. Impr. !?/u 1900. 2

ERIK HOLMGREN,

Seel
s=1
| Se Re
(10) aj Ny
Ÿ KE _9
ed

nous tirons de l'égalité précédente

n TR 2 | Cr 2 n H'(y . g)
2 K,z a (y) w^" dy YE Ne aes &

IN Rio eee Hy tax | q()dy +
s=1 7

y

+2 Kee Anf ply) | fa ot Eafe z)dz/ dy .

0

29

Mais

fo N ume EPOD ot | dy =

= [row » (n — 4) a, yf Ie ae i eec ;) foc E dat dy,

et si l’on applique les formules (10)

n 20 n t= ll
EE dm asm
2 x s J «1X dar a —) +

Fes aH’ (y, x) 3 C
es Ee dx | dy = [ Zaupto)dy —

-ixC) "fei. epa.

0

20

är 7 ply) iX Kk far te da | dy .
s=1 29

0

RECHERCHES SUR L'INVERSION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 13

La fonction g(y) satisfait done à l'équation fonctionelle

l «Rae nf f'(y)y# "dy =

E Ge za U ze) 2 NEO la an J ort A x) da! q(y)dy +

m (shines
+f aqu) dy — 2 K, ES / s. ^ 2 le) dy +

29 ( n EA. = E Q Jer (y, : 2r
a ) À dS Atl À, n—1 da
A, ply) ! 2 \ / A ac Y.

Envisageons maintenant l'équation fonctionelle

> Kat f Pro dy E
s=1 2

NOS E). > Kent Ich H'(y,2)dal ply)dy
(= är on \ PAY, Ar

= v

«fi + Ke eo ior EGG) an} egy + Ba, aA.

Elle peut facilement s’ecrire sous la forme

Kz By) tax dy =
2 ji Fic dy

Ow

-f «Xa Xx f: AH 2) à, let dy +
0 i= s=1 ^

20

(D)

=p «iX . B an m

n

2 Kris fa RT NOE Vaal dy +È aa AH

s=1 y

14 ERIK HOLMGREN,

Nous allons établir que les equations (11) et (D) ont les mémes
solutions continues. On voit immediatement que chaque solution de
l'équation (11) est aussi une solution de (D) (pour un systeme deter-
mine des constantes a,,¢,,..,¢@,). Pour démontrer la proposition in-
verse, supposons que p soit une solution continue de (D). Prenons la
derivee de (D) par rapport a z, multiplions les deux membres de
l'équation ainsi obtenue par z' et integrons ensuite entre les limites
0 et z,, et nous aurons enfin, apres quelques integrations par parties

Z5 zo m

= if: e iX Kah = FW dy | dz= j* 2 az q(z)de —

eS iJ "e PES Î ar SS an | ay} de

2 = ee H'(y , y)
E s gc iJ «E IK ( = = Y E

m uS acu UT ues) o gar
HER: us] gå nl er ax dy dz +2 Gi I ;

Ce Pet

D)

Par une application de la formule de DrrICHLET on trouve

y

" =)? Ram f fy dy; de = ue fr Foy | i eda] dy
E s=1 F s=1

0 29 0
n

Aer js Fay >
0

s=1

K |
go co e ff ——
ee

et de la méme maniere

ff Br u 9 | ay} de = 0.

RECHERCHES SUR L'INVERSION DES INTEGRALES DÉFINIES. 15

En appliquant la mème formule, on a

f ;i- 1) At! a pies uod un) 1 ] Jas d
0 As E (E. AU? €
VETE j| A À Ji

Zu

b (y) i Kien fab 3 SE Jj da dz dy

<o

-- fun], fà: LME ue 5) f: g t. de] dx dy

bes 5 (y) ! NDS Kuo DH (Y >) xt Ur
4 foo fz a 9% E ee LE :
^ v Te =e | ^ Jl 9.H' (y €)
= ? m = E Ww 3 — 1x d
fos cm y Ur a dz | dy ,

et de la méme maniere
nc» NIETO P Kg Jui x Ir > %) dx | dy dz=
0 20 y i

LE Î gly) if [xx g e f qoe ary S dx | del dy

y

SEPT n 1% Kae aval TE sid Iz Jd dy

0 y

p. N K, 7, +41 ^ Mn 9.H (y EE ;
=— | p(y) à —— y atn — © dx | dy .
/ uu [J dx |

Les formules (12) peuvent done s’ecrire

n

2 A » Ni 2 —À +1
ilg: N ERE MEN a. — 1) 6? ,
ioe ea et NOSES CN oA ae ipe

à SAV Bi) EAT ra!
))

De ce systeme nous pourrons déterminer «a, , €, ,..., c, comme fonctions
de g(x).

16 ERIK HOLMGREN,

Nous avons immediatement

Sur ie ee (n — i) a: te
um A id (Co (ATE ee Et

c a cc e a — — 0 quand s =|= 1
Lo PEE pasce

me = e (4 — A) quand s=/,
i=0 (= ib). == 2). . (4 —n)

epe ff ‘Wad MM (2) dx.

i=0 A, == n = 1

La comparaison des deux formules (11) et (D) fait voir que q
satisfait à (D).

La question de determiner les solutions continues de (A) est done
identique à la méme question pour l'équation (D), car les équations
(11) et (A) ont les mêmes solutions. Cela resulte d'une manière ana-
logue à celle de la démonstration p. 7.

En effet, en employant les mêmes designations que p.

7, nous
pourrons écrire la formule (11) sous la forme

N Kot | oye ay = 0.
=] *

Zo

Multiplions par z'^dz et integrons entre les limites 2, et u (a>2,>u>0).

0

Nous aurons de la méme maniere que p. 7 œ(y) =

et ainsi les
solutions de (11) satisfont à (A). |

RECHERCHES SUR L'INVERSION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 17
Nous avons done demontre le theoreme suivant:

Theoreme II.
L’équation fonctionelle

y

(A) Fa) fete) Ar san, 0 = a
0
dont l'équation algébrique correspondante (B) a toutes les racines fournies de

parties réelles négatives, et l'équation

ibi crie) = fol) Gy , 2, 2,)dy + fn Ge (y ,2 > 2) dy, 0<2<%,

ou
IO P2 CE f Pic dy Nash,
s=1 ES s=1
SUGS RET RARE SDN fa OH») gy ,
i=0 s=1 = Ov
n =i! 2 / n 20 ^f

«Cao M? zi UP AO) ON ae vaca oH (um)
Q(u,2,2) = D Kl ) d Vier a Ipaa SEIN bi
hy, 2,20) = À is aan ke J —

€, ,0, ,..., €, étant des paramètres arbitraires et G,(y, 2,2), %(Y, 2, 2),
CASE Gagne a2 ; é
JG (y ,2; 2) 5 865 (Y > 25 20) des fonctions continues, quand 0 <y<z<a, ont
02 02
les mémes solutions.
Les fonctions

n

Z Ka ff yy dy, Gy, 2, 20), GAY, 2, m)

s=
5 20

sont des fonctions réelles.
On a en effet (voir p. 9)

Bu Es JESUS il weed (ro M) = (Gi m p Suet Ted y

s=1 m=0 sel

ou æ est une fonction réelle. Nous pouvons done écrire

18

ERIK HOLMGREN

F(z) = y: (e — 5 lu, a, ? > Un | 2 dy — Ne 0,2 gee ,
© s=1
aH (y,x) 2 x
Gy ,2, 2) = Sat E ! e ® (095, 540 $85] ide

G.(y,2,2) = H'(y,: y) -

RR]
A D (a, a, CREEK d, | ) SF

~

aH (y, x) 2
à (y > x)

+

— D (a > Ole c Go og Ch
^ dx Die : i

D

=) he.
d’où l'on conclut que les fonctions mentionnées sont des fonctions réelles
Nous allons étudier l'équation fonctionelle (D). En differentiant
par rapport à 2, nous formons une équation fonctionelle, qui a les
mêmes solutions que (D)
Elle peut s'écrire sous la forme

20G,(Y¥,2, 2)

s Qu (Ye nem
eH) eae 02 = : 22
Ne) = e —— —— a"ply)d
(14) q()- 7, (à 4 iia) qiu) du "|

Cette équation a une seule solution continue

. Cela peut se dé-
montrer par une application de la methode des approximations suc-
cessives').

A ce fin nous formons successivement les fonctions ,(2). q.(2) . . ,
q.(z),... définies par le systeme

nm ae
200 20 G,
p.(2) = rae = ES 2"¢, (y)dy - Tp zqy(udy ,
(15) sext h
A er
ee) = Oe 2

XS eee (peer MO E y
JO oe (y) d'y e

1) Voir LE Roux, Annales de l'école normale, 1895

RECHERCHES SUR L'INVERSION DES INTEGRALES DÉFINIES. 19
Ces fonctions sont continues, quand O<z<z,. Formons la série

(16) Pi (2) + (Po(z) — pi (2) +... + (pa (2) — pa (2)) +...

Cette serie est uniformément convergente, quand 0 € 2 € z,, si a, est
suffissamment petit.
On a en effet

BEN
QE om
Pa (2) — Pn-ıl2) = Em —— £ [Par (4) — e. (y)| dy —
0 h(z)
206,
=) ad [qa (y) — Pro(y) |] dy -
n=2, te)
Prenons 2, si petit que
2| 4G, 2 | 0 Ga

ies |
| | 92 on | gy | Der day <zAdA<]1
a ae a?

F'(z) „|

h() |?

ee : |
Nous aurons, en désignant par M le maximum absolu de |
quand 0<z<az, ,
[e yy AL
| Pr (2) ar Pn—1 (2) | < Mm .

De la il s’ensuit que notre serie (16) est uniformement convergente,
quand 0<z<z,. Elle représente done une -fonction continue ¢(z).
Cette fonction est une solution de (14). Car en prenant n suffissam-
ment grand, nous aurons

| qs) — Pa (2) EZ 05,
ou o est arbitrairement petit; on obtient done facilement

Y

| z 9 G, Z 0G,

| = F*(z) EL 92 N ] ] ju E 1 7

I plz) — LE — 2% ro 0) 1 Ale:
| qz) he) 00 iG) qu) y +J "E, (y) dy | [i + 4]

Parce que c est arbitrairement petit, on voit que q(z) satisfait
a léquation (14). L'équation (14) ne peut pas admettre une autre
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. ?9/m 1900. E

20 Erik HOLMGREN,

solution. Car supposons qu'il en existe une autre g,(z). Nous aurons
donc

(Gs
às

h(2) 2 [g(y) — e. (y)] dy .

pun
g(2) —9,(2) = NE: ENS "[e (9) — e. 60] dy— J fa

Désignons par u le maximum de |g(2)—y,(2)|, quand 0 <z<2,.
La formule précédente entraine la contradiction u< Au. Cela fait voir
que qg (2) = y(2).

Nous pouvons maintenant donner la forme de la solution géné-
rale de (A).

Posons dans (D) & = a, =...=a,=0. La solution de l'équa-
tion ainsi obtenue, ®(2) est une solution de (A). Elle est évidemment
reelle. Supposons dans (D) f(y) = 0 , a, = e, = = 6; ,= 64 = oc
= 4, = 0 et a,=1. La solution em TE ) est une sold

de l'équation

(€) fs (x) H(x,y)dx-0.

0

Les fonctions $,(z)(s— 1 ,2,...,7) sont linéairement indépendentes.
Car si nous avions

€, &, (2) + C,o.(2) + ...+ €, 6. (2) =
cela entrainerait
C, if aq (x) dx + c. fepe REA oO f od =0.
(t 0. 225 el)

Mais en appliquant la formule (13) et le fait que

1 1 1
DT ee ae PRES

1 1 lors
AID aime a Se Me TM

1 1 1

RECHERCHES SUR L’INVERSION DES INTEGRALES DEFINIES. 21

on trouve que le déterminant du systeme est différent de zero, c.à.d.
que la relation supposée est impossible. On voit aussi que la solution
generale de (C) est une fonction linéaire et homogene de wq, (2), (2),
...,@,(2). Comme les fonctions ®, correspondantes à deux racines
conjuguees de (13), sont conjuguees elles-mémes, nous trouvons que
la solution reelle la plus generale de (C) est de la forme

Che) AC D (GE. CD),

les fonctions ® étant réelles et linéairement indépendantes. Par conse-
quent la solution generale de (A) est

@(2) + C, o, (z) + C,@,(2) +... + Co) .

En retournant au cas general, où les racines de (B) sont quel-
conques, nous avons en combinant ces résultats avec le théorème I:

Theoreme III.
L’equation fonctionelle

y

fi) = ft) Hl nde ,

0
dont l'équation. algébrique correspondante

d (t (t

0 Jt IT + dc 4 - = ers 0

TENE, as) 5

a r racines, qui ont les parties réelles positives (les autres ont leurs par-
ties réelles négatives), a la solution générale de la forme

Gi) RON (een xq
les d étant des fonctions réelles connues.

Il est facile de voir qu'on peut, en partant de notre theoreme II,
parvenir au résultat de M. VorrERRA que l'équation (€) a toujours une
solution de la forme q(y) = y ^O(y), où A est une des racines de (13),
dont la partie réelle est la plus petite, et O(y) est une solution de
l'équation fonctionelle

À
= hu) go su) f
1 LEUR €) = eye EE la
(17) ; Gi + f 9) C jus

22 ERIK HOLMGREN,

G(c.y) Lat nt s Gs: au H'(x, $ ss"? då")
i=0 $—1

Supposons d'abord que toutes les racines de l'équation (13) ont
leurs parties réelles négatives.
Considérons l'équation fonctionelle

z

gaat

18) — = G, me. > 20) la pr! Ce l 2195 Zo di
(18) mW Jv (y LES pu) os )dy .

Cette équation peut s'écrire

bi K. girl x^; En 9 p uU , x) d: d =
eee i oth dat q(y)dy
ND el à i à H'(y , x)
— ie v 77, 2 l TK 274, +1 pla 1 VES NGL dx F5 li
1 DEC) p +2 Y, y a $209 ( "ard >

si nous supposons que p(y) soit de la forme j7?0(y), où O(y) est
continue et independante de z,, quand 0<y <2. Les fonctions sous les
signes d'intégration. sont done continues meme quand z, tend vers
zéro. Supposons done que 2 = 0 . hous aurons

SUC SEAN Sr fe) Hy,y)
Sr

ir fa din em E (yA Oly) dy .

y

Si nous prenons la derivée par rapport à z des deux membres
de cette équation, nous aurons l'équation de M. VorrERRA. Les équa-
tions (17) et (19) ont évidemment les mémes solutions. L'équation (19)
a done une et une seule solution O(y), continue quand 0 < y < a.

1) Cette équation a une seule solution continue. Voir: VOLTERRA, Rend. delle R.
Acc. dei Lincei 1896.

RECHERCHES SUR L'INVERSION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 29
Pour faire voir que la fonction y*O(y) satisfait à (C) écrivons
(19) sous la forme

f is X x. d pin fa ate OUT (y > 2) y dal {dy +

0 = nm
0 : Zu

z +1 , zy /
VM oe (2 Jet Ge ee ^ eee or.) i :
+f 2 Ke e — y m 2 K,z J H:s TÖS dx ply)dy=

n—-1 0 I /
AE | I H nal Du )
= = INGET 15 "EE - a os i Dial wb 2) da q (dy +

Ep. E: re 2E : Hi Ja y) + f am un dev ply) dy |,

me :
équation qui est de la forme (D). La fonction y7 60 (y)satisfait done à (A).

Pour arriver au résultat dans le cas général rapprochons le cas
traité avec la reduction du théorème I. Nous trouvons ainsi que la
fonction y*O(y) est une solution de (C), si O(y) est déterminé par
l'équation

gi T Y N 2 peu NE (y, y)
Ar AE Uu m

—(n-r)— 26 (1 X ]
I kin f^ ccn OW) qul yet 0 (y) dy,
s=>r+1 Ox ) |
dont le deuxieme membre peut aussi s’écrire

f13 4 + SACHE 2) ky eun fa ASTA quie G'(y dr y? O(y)dy ,

zi
0 s—r-l y

ou
a. E . (4, — 2)
mu E DEI qu na

(ds TR:
nocere

G'(y,2) = ul DE Gta ro [rw.as, Xi dan,

si l'on pose
K _ (4c — n) (às — n + 1).. «(4c —N +7 — 2)

CNT EE

24 ERIK HOLMGREN,

Cette équation se transforme aisement sur la forme (19).
Nous avons, en faisant usage des egalites (5)

n—r n—r T k r — n—r 2
N A NS (n 2 1) a; NU eee N RIM =
en AT a are re
i=0 i=0 EN Aue Crn EE i=0 4e — à —

n—r n r n

Ag — n — 1 N
b fio + 2 i > ko a Ee PES Pe > (i;
i=0 o=1 i=n—r+1 6=1 ho — À — =0

faire @'y ,a)de =

y

-f^ lam ES ys yan DAS iiec fa Cg | D H'(y , $& a" dé] dx =

o=1

(fs 12H, 2)0% > ee jj nf Ela (rye) St | hh da jai

re

En observant les formules, facilement obtenues,

n . à " i E em
Si SG) SS) he ee
= a = m
LG v i, & =(n—7r)—1 _
DE s= = Ap =e
ko Men V föga > te n 1)(4 (n il) Y E »
Geir A; — ho

ent o=1

a
ll

ial C= Ni) N EG (Ac = il)

1 o=1

RECHERCHES SUR L INVERSION DES INTÉGRALES DÉFINIES
et

25
n " 2 |
1 5. Lg — N —
Mat men. qe.
s=r+1 b=1 hk, — ^g

n

Em (ym yo» (27 =n — 1),
s=r+1

s=r+1
hous avons

en m, i ER
N k, 2 E | Ft ae G' (y : x) dx =
s=>r+1

y

MN deme 12,

EGS a
o=1 y

u

n—r Th n 2
G 2 \ ; ^ ep

BU. usu yos eost (g ada =
i20 e s=r+1 4 1

n 717 > n z

, EE (y , 2 > are
CEE NAT ST y ade .

i=0 - s=1

y

La fonction O(y) est done la solution de l'équation fonctionelle (17).
Le résultat de M. VorrERRA est ainsi démontré.

26 ERIK HOLMGREN,

III.

Dans ce n° nous traitons l'équation fonctionelle (A) dans le cas
special, où l'équation algebrique correspondant (B) a une racine infinie,
mais en nous restreignant par la supposition que H(x,y) commence
par des termes du premier degre. Nous admettons que H(x,y) peut
s’ecrire

A 781 3 2 Ar An? OR in)
JE COAT) SCR aire Sr ae, ee Tel (hui).
ou
aan UN TIS EU ess (Dm
H’(x,y) = y’L(&, y) = y’L,(&,Y) ,
les fonetions 210 y) et L,(x,y) étant continues, quand z € y (f(y) est
de la forme y*f,(y), où AQ), qui a une deriv ee continue par rapport

ay, ne s’annule pas pour y = 0). |
Avant de commencer, demontrons le lemme suivant:

Les égalités

E _& 1

(20) lim ma RCE
: y=+0 B u
eas TM 1

(21) lim y”e? ji we V dy ==
à y=+0 u

Vo

sont vérifiées, la première, quand u > 0, la dernière, quand u < 0 et y, >0
(r est une quantité réelle arbitraire).

Pour démontrer la formule (20), remarquons qu'on aura en inte-
grant par parties

D eee
lim y"e* Ji ye "dy =
v=+0 0
= zi (poe die dU Tus e D. re f pire Ÿ dy :
u ue y=+0 à |

-

RECHERCHES SUR L'INYERSION DES INTÉGRALES DÉFINIES. 2

La dernière intégrale est égale à zéro. Car on a

u
HIM dk —V oy rad
: E LES EM T CL i
lim y~"e! f we " dy = lim J 1 :
v=+0 5 y=+0 “ere I
y, eh

u
où y, «y, et parce que la fonction ye” croit, quand y decroit, la der-
nière limite est égale à zero. L'égalité (20) est done verifiee.
La deuxieme formule se demontre d’une maniere analogue.
Nous avons

y S n 1 ( l ) 2 ) MES u
5 ie = V(y DEE 2A) vr UE er
lim y” ue CT Ut ee 2 ak din; lim y one APSE EOI c
y=+0 ^ u u y=+0 a
Mais
u
u y uem ; TTA
lim y"erf ye "gy = Wen y ese yp Sy.)
y=+0 i 9-40. N

—V—1 pli
arent

où y«)y,«y,. On voit done que cette limite est égale à zero. La
formule (21) est donc démontrée,

Revenons à notre question de l'inversion.

Supposons qu'il existe une solution continue g(x) de (4). En
differentiant nous aurons

(22) FY) = G(yhy) + ue q (x) H,(x,y)dzx ,
où

h(y) 2 H(y,y) =(c+B+;)y + H(y,Y) ,

v(x, y) dH(x, y)

H, (x ,y) = GR IQ kg pe wer
99 OY
E p? a. oje
Nous supposons d'abord que la quantité & =" est positive.

u

Multiplions les deux membres de l'équation (22) par ye 7, où
y est une quantité réelle, qui sera déterminée dans le suivant. Inté-
grons entre les limites 0 et 2. Nous aurons

I» del

(23) fre? rey = Sekr "+ re f oH, Go dad dy.

0
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. ?9/ur 1900. 4

28 ERIK HOLMGREN,

En changeant l'ordre de l'intégration dans l'intégrale double, on
conclut

we SVE : oe 1
nn "(day = f ive hy) + f we * Hy(y , c) dl gy) du .

ü
En faisant des intégrations par parties nous trouvons

u u u

if (Ch, cy By)are = dz =(a+f+y)er e * — (eh pre? +

u

E 9, fe
2 Pa (ee Oe ee ie =
PC CENTER ICE) Ae bey aoe
u u
Ze
5 "36 y

= Er ee ul

i“ u

? € 4 an j2 i LIS
= [20e — (e 4927) 2)] 2 ded pre *dg PU (y +2) y | quiélo dae
u u J

u

Supposons maintenant

2 a)
y + 2 a 20 + P
a+ Pp +7

La formule precedente prend alors la forme

JE (Gp SS ee By)are = dz=(a+ß+y)2? e *—
y
. le B | NGE
(24) —(@+B+yyre + Were "+
p / 8 ee g^ TUM D , 3) Yl == l ~
d- 7 (v + Nus erde A an ende

Si nous multiplions la formule (23) par

u

Dad:

tS) ,

RECHERCHES SUR L INVERSION DES INTEGRALES DÉFINIES. 29
l'application de (24) nous donne
(25) 1) = f luv) Hy, z)du .
9
oul
u # it
FS role re Cape
Eee ae) par p (yydy ,
"o
2 i 2 it
= p Olpe oes ie E
H(y, 2) = (e 4- B -- 7) cs m =) "ED (v +9)2 '—*e* / Tiara erg ande
Y
2 p. o u ra u
lan. ON we UNE LRL ASTU
Ez EAE ( quer (lov. Oe rz e^ ye H (yy) +
u
| y
moves u
ae ee] ge * H, (y d x)da :
[7

La fonetion f (2) est de la forme IDE ANO 29 étant une fonction
continue, qui admet une derivée par rapport à z et ne s'annule pas
pour 2 = 0.

Différentions l'équation (25), il résulte

(26) FG) = gle Jess) e f gly) EU) gy ,

où -

0H’ (y
02

= > H (2.2
ie eee ee

Si q(y) est continue, quand 0 <y <a, l'intégrale

Ju ( 328€. 9 a,

[U

est une fonction continue de 2, quand O<z<a, qui s'annule pour
= 0. Cela résulte en appliquant la formule (20).

L'équation (26) a une et une seule solution. Cela se démontre
d'une manière toute analogue à celle du cas général, traité dans Il.

Comme l'équation (26) a les mêmes solutions que (A), nous
avons done démontré que dans le cas où u20, il existe une et une
seule solution continue de (A).

Passons maintenant au cas où uw <0.

30 ERIK HOLMGREN,
Nous aurons, si 2 € 2,

z

[M = a
[ve "Ff (yydr = five ; hy) + foe d H, (y 2) dot q (dy +
E J J

20

2 z u
(nif are = \dx! da
+ f oo) J a € H,(y , x)dx dy ,

u

où, en multipliant par 2 ^'^ e* et effectuant quelques réductions,

( By Spe IE
| zo e *f'(y)dy =
z 2 2 u z on
= f (EB P (= eee Pr IB) [a yes
5% ( u u =
> p ; 3; =—1—2 E | v+l 33 t
nl tye eye ee
== ur Yy” e Y TE Co jns d LA e * Hy (y ; z)dai ply) dy +

(27)
u u

| ,
: : Mic E MI crea ,
| dq a er +e

9 le Ba lee 9 BZ ee
— P (y — z)e--tet ate ^ P Wr 3) re N pr —
u u /
20
o ie z ai
— P (y Aeon => cape CHERE
u Zo
CRE
MR REC i qp Sw EM (5) dal ply) dy .
2o

RECHERCHES SUR L’INVERSION DES INTEGRALES DÉFINIES. 31

Considérons maintenant l'équation fonctionelle

[ us

Ee 1
sorge ye t f (y)dy =

z u > u

= [Se +B4n+0-9+2 : (v 4 3)a7rte* f wre" da —

29 u

pr. m u

Big a. 2)g2--e % VEN om la
= HE yf we © hx +
E a

LA

4 u 2 ub
=F gro: y? e z :g (y, y) +2 2 v2 e^ £r gre © H, (y , a) da q (y)dy E
| ;
= | ^ u u
+ eine aao semana
2 u

uer =
+6 LEE Se e* ee: dx —

20

p E es Se
— EE (IS METTE EG / Qr SERIE
m |

£o

[NI En fe
de ate” f gre BIET a dart (y) DYMO ETAGE

Zo

—

Les equations (27) et (28) ont les mémes solutions. Car posons
dans (28) 2 = 2,, nous aurons

e A
C2 —ae “(a+8+7) | v(y)dy.

Chaque solution de (28) satisfait done à (27). L'inverse est évident.

4*

32 ERIK HOLMGREN, RECHERCHES SUR L’INVERSION DES INTEGRALES DÉFINIES.

Ecrivons l'équation (28) sous la forme

ne fre y)dy =

: 3 3 BEN >
- [\@+8+9+£®-93-2W-err eat
0 u u
+ B (v + sere f mite sde — 2 (v 4-292? ef we anu
s 20 u Ze i

EH
+ 23e fr * Hy (y ,a)dx p(y)dy +

u ^H ait
«fle y'e HQ ua) +E ly o sette ate ^

HO

4 7D a u m
+ Erp ajerte I = dc — erde fane * dp

ia SE fe
x ze x'e *Hy(y,z) dx p(y)dy + Cz>e’
y

En procédent d'une manière toute analogue à celle de IL, on
démontre que cette équation a une seule solution continue !).

Comme l'équation (28) a les mémes solutions que (A), on conclut
que la solution générale continue de (A), dans le cas ow u < 0, est de la
forme

o (2) + Co, (2) >

(2) et e, (2) étant des fonctions continues.

') Dans cette démonstration on applique la formule (21).

—— died —

INTENSITE DE LA RADIATION SOLAIRE

A DIFFERENTES ALTITUDES

RECHERCHES FAITES A TENERIFFE 1895 ET 1896

KNUT ÄNGSTRÖM

(AVEG SEPT PLANCHES)

(PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPSALA LE 7 AVR. 1900)

UPSALA
G, IMPRIMEUR DE L’

Table des matieres.

introduetionern. nenn,

A. Instrument et methode
1. Principe de l'instrument pee hs
2. Détermination des constantes de l'instrument ;
3. Instrument pour déterminer l'intensité du courant électrique .
4. La construction de l'instrument de voyage

5. Méthode d'observation IC Foe eet ULIS
B. Observations de l'intensité totale de la radiation solaire
Appendice I
Détermination de la radiation solaire à Ténériffe, extrait du journal d'observa-
tions en 1896
Appendice II
Observations météorologiques à Ténériffe, recueillies et calculées par M. Otto Edelstam
Légende des Planches

Introduction.

Le but de ces recherches est de contribuer a la connaissance
de l'absorption solaire dans l'atmosphère et particulièrement a celle de
la variation de la radiation avec l'altitude. De nombreuses recherches
ont déjà ete faites dans le méme but!); je ne citerai ici que les me-
sures de J. FonBEs et de Kamrz sur le Faulhorn et à Brienz (1832),
les determinations de BRavars et de Martins sur le Mont Blane et à
Chamounix (1844), les observations nombreuses de Sorer à différentes
hauteurs en Suisse (18671869), de méme que celles de Drsams et
BRANLY sur le Righi-Culm et à Lucerne (1869), VIoLLE et MARGOTTET
sur le Mont Blane (1875). Dans ces derniers temps des observations
ont été faites par LANGLEY sur le Mount Whitney (1881), par Crova
et Houparzze sur le Mont Ventoux (1888), par CRova et Haxsky sur le
Mont Blane (1896 et 1897) et par Rrzzo sur le Monte Rosa (1896) et
sur le Rocciamelone (1897).

Il semblerait qu'un sujet, qui a attiré tant d’attention, comme le
témoignent toutes ces recherches et qui a été traité par tant d'émi-
nents observateurs füt passablement épuisé; mais ce n'est pas le eas.
La cause en est tout d'abord que les anciens actinometres et les
pyrheliometres d’autrefois sont défectueux, ce qui fait que leurs re-
sultats ne sont pas comparables entre eux, et n'ont par suite qu'une
valeur bien restreinte; ensuite, les conditions climatologiques dans les-
quelles ces observations se sont effectuées ont été, sauf de rares excep-
tions, fort peu favorables. Les Alpes suisses ont de préférence été
ehoisies pour ces observations, mais la neige permanente dans les

1) On trouvera un exposé de ces travaux dans l'Actinométrie par Rapav Paris 1877,
Die Strahlung und die Temperatur der Sonne par Remers, Gea 1881, Strahlung und Tem-
peratur der Sonne par ScnzmEn, Leipzig 1899.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II. Impr. */vir 1900. I

2 K. ANGSTROM,

hauteurs, les vallées étroites avec leur humidité, de méme que les
phenomenes de condensation toujours variables, tout cela est des-
avantageux pour étudier la variation régulière de la radiation avec
l'altitude. Bien que les recherches faites jusqu'ici aient éclairei bien
des points, concernant la radiation solaire, elles ne donnent pourtant
pas une idée complete de l'absorption dans une atmosphere sans per-
turbations temporaires.

J'étais persuadé que, pour arriver à ce but, il fallait choisir un
lieu d'observation place dans des conditions atmospheriques plus heu-
reuses que celles de la Suisse. Je résolus done d'établir à Ténériffe
une série d'observations sur l'intensité de la radiation solaire. Depuis
longtemps déjà cette ile a été regardée comme un lieu d'observation
trés. favorable pour des observations astronomiques et astrophysiques.
Ainsi Prazzı SuvrH!) y a fait, pour le compte de l'Amiralité anglaise,
certaines determinations dans Tete de 1856, et on avait projeté d'y
faire en méme temps des mesures de l'intensité de la radiation solaire
à différentes altitudes, bien que ce projet ne püt étre réalisé, à cause
des instruments absolument impossibles dont on disposait. Plus tard,
M. ©. SrwoNY?) y a cherché à déterminer les variations du spectre
solaire avec l'altitude.

Les observations que jai faites dans les étés de 1895 et de
1896 à Teneriffe représentent assez bien les variations de la radiation
solaire avec la hauteur au-dessus de la mer jusqu'à 3.700 mètres, telles
qu'elles existent dans cette localité et pendant cette saison.

L'instrument que j'ai construit à cet effet est basé sur le prin-
cipe déjà expose en 1893.

Comme c'est la premiere fois que cet instrument a été employé
pour des recherches assez etendues et qu'il fallait naturellement des
dispositions spéciales, pour qu'il répondit à ee qu'on exige d'un instru-
ment de voyage, je decrirai l'instrument en détail dans la premiere
partie pour passer ensuite aux observations de la radiation à Teneriffe.

C'est de différents cótés que la somme nécessaire aux deux
voyages a Teneriffe 1895 et 1896, ainsi que l'achat d'instruments, de
matériaux, de tente, ete. a été gracieusement mise à ma disposition.

..

Ainsi, au printemps 1895, j'ai obtenu une subvention de voyage de l'Etat
1) Pıazzı Suyrm. Report on the Teneriffe astronomical experiment of 1856.
*) O. Stwony. Mitth. der K. K. Geograph. Gesellschaft in Wien. 33. p. 145 et

suivants 1890.

RADIATION SOLAIRE. 3

suédois de 1500 couronnes et 600 couronnes de plus pour étendre le
voyage jusqu'à Teneriffe. Pour les instruments, l'Académie Royale des
Sciences de la Suede m'a accordé la moitié de la récompense de Wall-
mark d'environ 1200 couronnes et la fondation »Lars Hiertas Minne»
m'a alloué 600 couronnes pour un assistant pendant l'été de 1896.

Je me fais un plaisir d'exprimer ici ma profonde reconnaissance
pour ces genereuses subventions qui m'ont mis en mesure d'étudier
une question de haute importance et d'interét general, et de perfee-
tionner les instruments construits pour ces études.

Je suis aussi trés obligé à M. O. EpELsTAM qui, par intérêt pour
ces recherches, m'a accompagné la premiere fois à ses frais et la
seconde fois avec la subvention de 600 couronnes dont je viens de
parler. Grace à son concours aussi habile qu intelligent, il m'a été
possible de faire des observations simultanées à différentes altitudes,
M. EpELsTAM a soigneusement examiné les instruments météorologiques
dont nous nous sommes servis. Il a aussi calculé les observations
météorologiques, qui se trouvent dans l’appendice de cette étude, et
les altitudes des différentes stations d'observations à l'aide des déter-
minations hypsometriques.

Je saisis cette occasion pour remercier ici toutes les personnes
qui ont facilité notre tàche pendant notre séjour à Ténériffe. En premier
lieu M. HOLMSTRÖM qui nous a aidé, avec le plus grand desinteresse-
ment, à trouver des guides et des montures pour l'ascension du Pie de
Teyde. De plus, M. et Mme Perry a Puerto Orotava et M. BÜCKLE,
consul d'Allemagne à St Cruz, qui ont bien voulu mettre à notre
disposition leurs observations barometriques dans ces deux localités,
M. ToLer à Villa Orotava, qui nous a loué la cabane d'Alta Vista à des
conditions trés avantageuses, et enfin notre excellent guide dans les
montagnes de Teneriffe, M. IGxacro Dorra.

Notre premiere ascension du Pie de Teyde eut lieu en 1895 le 9
Juin. Nous nous etablimes dans l'ancienne place d'observation de Prazzi
SMYTH, Alta Vista, d'une hauteur de 3252 m, où nous avons fait de nom-
breuses observations d'abord dans ce lieu, puis à 250 metres plus haut
sur le soi-disant Rambleta et enfin au sommet méme du Pic. Le 15
Juin, je me rendis sur le versant du nord du Pie à une hauteur de
1827 m (»Monte Verde»), où je dressai ma tente et fis des observations
simultanément avec M. EpELsTAM qui se trouvait encore à Alta Vista.
Le 19, l'expédition! était de retour à Villa Orotava où nous fimes des

4 K. ÅNGSTRÖM,

observations ainsi qu'à Puerto Orotava et à Sta Cruz. Les observations
à Alta Vista furent faites par un temps clair, et du 9 au 18 Juin nous
n’apercümes pas un nuage au dessus de nos têtes. Les autres con-
ditions étaient aussi tres uniformes d'un jour à l'autre, et la courbe
de la radiation a par conséquent ete presque absolument symetrique
autour du midi. Toutefois, il y avait des nuages a environ 1800 m
de hauteur et le lieu d’observation de »Monte Verde» etant situe un peu
trop bas, les observations qui y furent faites en meme temps que sur
le Pic furent un peu troublees par ces nuages.

Les journees parfaitement claires etant rares dans cette saison
sur le cóté nord de Teneriffe et comme nous ne pouvions rester plus
longtemps à Alta Vista, je renoncai à l'idée de faire des observations
simultanees sur le Pic et au niveau de la mer. Et cela d’autant plus
que les variations de la radiation sur le Pic dans differentes journees
semblaient être extremement petites dans cette saison. Les grandes
variations qu'on observe dans la radiation au niveau de la mer doivent
done être attribuées en majeure partie à l'état variable de Patmosphere
dans les couches inferieures.

De Teneriffe nous nous rendimes par l'Angleterre en Suisse
pour y faire des observations et avoir ainsi un point de comparaison
entre nos observations a Teneriffe et celles qui ont ete tant de fois
faites dans les Alpes suisses. Le temps ne nous y a permis qu'un
sejour trés court pendant lequel les conditions atmosphériques furent
malheureusement peu favorables. Comme station d'observation nous
choisimes Brienz et Brienzer Rothhorn et le 25 et 26 Juillet nous avons
fait quelques observations simultanées dans les deux localités, bien
qu'elles n'eussent pas grande valeur.

En examinant de plus pres les déterminations faites en 1895,
il s'est trouvé que les électrodynamometres employés à déterminer
l'intensité du courant électrique des pyrheliometres n'ont pas bien
fonctionné, ce qu'on a du reste pu reconnaitre pendant les observations
mémes. Apres avoir entierement reconstruit les electro-dynamometres,
je suis retourné à Teneriffe une seconde fois, où j'ai pu profiter de
l'expérience que j'avais alors des stations d'observation, des conditions
météorologiques, ete.

En these générale, il y a en été sur le cote nord de Teneriffe
une condensation de vapeur d'eau autour du midi, mais sur le cóté
sud cette condensation est incomparablement moindre. Je resolus done

RADIATION SOLAIRE. D

dans cette nouvelle expédition de faire des observations simultanées
sur ce côte de Vile et sur le sommet du Pic.

Le 19 Juin 1896 nous fimes l'ascension du Pic pour la seconde
fois, notre point de départ étant Villa Orotava. De méme que la pre-
miere fois, nous nous établimes à Alta Vista. Du 20 au 27 Juin nous
y fimes des observations ainsi que sur le sommet du Pic (3692 m).
Le 28 je descendis à la Canada (2125 m) laissant M. Epensram a
Alta Vista et nous fimes ainsi des observations simultanées dans ces
stations pendant le 29 Juin. Le 50, je descendis encore à une hauteur
de 1155 m, où je fis des observations le 1° Juillet. Ces determina-
tions ne sont pourtant d'aucune valeur, les conditions atmospheriques
étant peu favorables. Dans la soirée, je me rendis à la petite ville
de Guimar (360 m), où je fis les dernières observations à Teneriffe,
le 2 et le 3 Juillet.

Pendant tout ce temps, M. EpELsTAM a fait des observations
simultanées à Alta Vista.

Dien que les conditions météorologiques ne fussent pas tout
aussi favorables dans cette dernière expédition qu'en ete 1895, elles
ne laissent pas que d'étre trés bonnes. Plusieurs circonstances me
portent à croire que la saison sur le Pie était plus avancée cette
année-là qu'elle ne l'était l'année précédente à la méme date. La

neige était presque entierement disparue, la végétation — le peu qu'il
y en a — plus développée, l'aridité sur le plateau qui environne le

Pic, »la Canada», plus grande. Toutefois nous cümes le bonheur
d'avoir deux magnifiques journées avec des observations simultanées
sur le Pie et à Guimar. On peut done se faire une idée assez exacte
des variations de la radiation solaire entre le niveau de la mer et la
hauteur du Pie.

Les instruments emportés dans ces expeditions sont:
1895.
2 Pyrheliometres transportables d’après la construction de l'auteur.
2 Psychrometres, l'un avec des thermometres de R. Fuess a
Berlin, divisés en 0.92, l'autre avec deux thermometres ordinaires
divisés en degrés entiers.
| Hypsometre avec thermomètre de R. Muexcxe à Berlin, divise
en 0,72,
1 Aneroide de NAUDET à Paris.

6 K. ANGSTROM,

1 Anémomètre de poche de CAsELLA, appartenant à l'Académie
Royale des Sciences a Stockholm.
2 montres a echappement a ancre.

1896.

Les deux pyrheliometres transportables déjà mentionnés, mais
avee des électrodynamometres de construction nouvelle.

3 Psyehrometres à ventilation d'apres le principe d’Assmann, dont
deux sont construits à Upsal, le troisième par Furss, tous
avec des thermometres divisés en 0,2.

| Hypsometre, le méme qu'en 1895.

| d:o de FuEss, donnant la pression directement en
mm, chaque division de l'échelle = 2 mm.

| Anéroide, le méme qu'en 1895. .

| d:0 de BoHNE.

| Anemometre de poche, le mème qu'en 1895.

montres, les mêmes qu'en 1895. |

bo

A. Instrument et méthode.
1) Principe de l'instrument.

Ce qu'on demande en premier lieu à un instrument destiné aux
mesures absolues de la chaleur rayonnante, c'est qu'il soit possible de
déterminer avec precision les constantes de linstrument et ensuite que
la. détermination de la perte de chaleur de linstrument par radia-
tion, par conduction et par convection soit faite en méme temps que les
mesures de l'intensité de la radiation et pas avant ou apres. Déjà en
18851), j'ai montré comment on pouvait y parvenir en employant deux
pyrheliometres et en organisant les observations d'une maniere con-
venable. L'instrument construit d’après ce principe a été employe par
l'auteur dans plusieurs recherches?) et depuis lors, il a été modifié par
CHWOLSON ”) et par Rizzo!) pour le rendre plus commode pour les
mesures de la radiation solaire.

1) K. Axcsrrüm, Sur une nouvelle méthode de faire des mesures absolues de la
chaleur rayonnante. Nova Acta Reg. Soc. Upsal. 1886. s

?) V. par ex. K. Ångström, Nova Acta Upsal. 1892 ou Wied. Ann. 48, 517, 1893.

3) Caworsox, Rep. für Meteorologie 16, N:o 5, p. 1—100, 1893.

*) G. B. Rizzo, Mem. della Soc. degli Spettroscopisti Italiani. 96, 1897.

RADIATION SOLAIRE. i

L'exactitude de cet instrument est hors de doute, mais il n'est
pas aussi facile à manier qu'on pourrait le désirer et, méme dans sa
forme modifiée, il partage le défaut des anciens pyrhéliomètres: chaque
détermination prend trop de temps, défaut qui fait entre autres que le
resultat ne donne que la valeur moyenne de la radiation pendant le
temps d'observation, c'est-à-dire pendant 3—5 minutes.

Une autre méthode que j'ai exposée plus tard et que j'ai décrite
sous le nom du pyrheliometre de compensation électrique!) n'a pas cet
inconvénient et comme elle a encore d'autres avantages précieux, je
nai pas hésité à construire d'apres le méme principe l'instrument de
voyage dont je me suis servi dans les présentes recherches.

En voici le principe. Deux bandes métalliques trés minces et
parfaitement égales sont attachées dans un cadre à quelques mm de
distance l'une de lautre. Les bandes sont noircies du cóté qui fait
face à la source de chaleur. De l'autre cote sont attachées les extré-
mites soudées d'un thermo-élément. Le thermo-element est relié à un
galvanoscope, on peut done s'assurer que la température des bandes
est la méme. Si lune des bandes est exposée à la radiation d'une
source de chaleur pendant que lautre en est abritée par un écran
convenable, on peut par un courant électrique en modifiant la résistance,
chauffer la bande ombragée à exactement la méme température qu'a
l'autre. Soient done i l'intensité du courant, r la résistance des bandes
par em, b leur largeur, a le pouvoir absorbant de la surface, on aura
l'intensité de la radiation

ri : . =
Laune Calor. per Sec. et em
ou

ri . e 5
Men TUNE 60 e. Calor. per Min. et em"

p

t

Les avantages de cette méthode sont évidents. La température
des deux bandes étant la méme, la radiation, la convection et la con-
ductibilite sont aussi les mêmes et ne nécessitent aucune correction.

Les bandes absorbantes avec leurs thermo-éléments, pouvant
etre trés minces, la capacité calorifique peut être tres petite et l'instru-
ment arrive à sa température stationnaire en quelques secondes, Par

1) K. Ancsrrüm, Nova Acta Upsal. 1893; The physical Review, 1, 365, 1893; plus
en detail: Wied. ann. 67, 636, 1899 et Astrophysical Journal 9, 334, 1899.

S K. ÅNGSTRÖM,

un choix convenable de galvanometre et de thermo-elements, on peut
rendre l'instrument tres sensible, et comme les thermo-elements ne
servent qu'à indiquer l'égalité de temperature des deux bandes et non
a donner des determinations exactes des temperatures, on evite les
difficultés qui accompagnent ordinairement les dispositions thermoelectri-
ques tres sensibles.

Les constantes de l'instrument, à l'exception de la détermination
du pouvoir absorbant de la surface, sont aussi tres faciles à déterminer.
On n'a quà mesurer la largeur et la résistance électrique des bandes,
de méme que la variation de la résistance avec la temperature’).

Ensuite les manipulations nécessaires à chaque détermination
sont très faciles, il ne s'agit que de produire la méme temperature
dans les deux bandes, par le réglage de l'intensité du courant, et de
determiner cette intensité.

On peut voir les details de l'appareil dans la Fig. 5 et 6, Pl. 3
Les deux bandes métalliques, coupées avec la machine à diviser d'une
feuille de platine d'environ 0,""002 d'épaisseur, sont attachées à cote
l'une de lautre dans le cadre 4. Elles sont noircies d'un cóté en ce
qu'une couche mince de zinc y a été déposée électrolytiquement, apres
quoi la couche a ete traitée avec une solution faible de chlorure de
platine. Puis, la surface ainsi préparée a été recouverte légèrement de
noir de fumee?). Les thermo-elements E qui sont attaches de lautre
eöte des bandes de platine en sont isoles par du papier de soie, trempe
dans une solution de gomme-laque, ils consistent en bandes minces
de cuivre et de constantane. Le cadre avec les bandes est monte
dans un tube A, muni de trois diaphragmes à ouvertures rectangulaires.
Un petit écran 5, à doubles parois d'une largeur de 5 mm, est attache
dans l'ouverture du tube, Cet écran peut être tourné d'un côté ou de
l'autre par une petite manivelle M pour ombrager ainsi l'une ou l'autre
des deux bandes de platine. Un petit commutateur C permet de faire
passer le courant par lune ou par l'autre de ces bandes. L'autre
extremite du tube est fermée par un bouchon d'ébonite P avec quatre

1) Fai réussi récemment à obtenir des bandes de manganine d'une épaisseur conve-
nable pour la construction de l'instrument. Le coefficient de la variation de la résistance
électrique avec la température étant dans ce cas à peu pres = O on peut donc négliger toute
correction pour cette variation.

?) Pour la préparation des bandes de platine, je renvoie le lecteur à l'étude déjà
citée, Wied. Ann. 67, 636, 1899 ou Astrophysical Journal 9, 334, 1899.

RADIATION SOLAIRE. 9

bornes, deux A, en cuivre pour attacher le circuit des thermo-elements
et deux A, pour celui du courant électrique. Un thermomètre, place
dans le tube, indique la temperature dans lintérieur. On a dispose
une piunule F et un écran F,

lele à l'axe du tube et à l'aide de deux vis V, et V, on peut l'orien-

2
ter de sorte que le rayon qui passe en P arrive en À.

de facon que la corde FF, soit paral-

2) Détermination des constantes de l'instrument.

Pour les présentes recherches j'ai fait construire deux instruments
aussi identiques que possible, d'apres le principe que je viens d'exposer.
Ces instruments seront désignés dans ce qui suit par J et II. Les
bandes, coupees avec la machine à diviser, devaient avoir une largeur
de 2 mm, les déterminations de la largeur ne servaient done qu'à la
controler. Ce controle s'effectuait avec une machine à diviser de
Froment à Paris et a donné pour résultat pour l'instrument N:o Il.

La bande droite. La bande gauche.
2.00 mm. 1,99 mm.
2,02 » 2,01 >»
2.01 »
Moy. 2,01 mm. Moy. 2,00 mm.

Comme il est difficile en noircissant les bandes d’empecher
que les bords n'apparaissent plus ou moins rudes sous le microscope,

mm
I: nn

on n'échappera guère à une erreur d'environ 0,""01, c'est-à-dire de
0,5%. Dans ce qui suit, j'ai admis la largeur de toutes les bandes =
2 mm.

Pour déterminer la résistance électrique des bandes, j'ai employé
la méthode électrométrique, qui dans ce cas offre de grands avantages.

La disposition se voit dans la fig. 1.
Le courant d'un élément galvanique 5 traverse
la bande du pyrheliometre FG de méme qu'un
rhéocorde de résistance connue. Par un com-
mutateur W on peut relier un électrometre capil-
laire de Lippman Z alternativement avec deux
couteaux de platine A et B (voir la fig. 2, p.
10) qui reposent sur la bande du pyrhelio-
mètre, ou avec deux contacts H et I reliés
au rheocorde. L'un de ces contacts est fixe,

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II. Impr. /vn 1900.

I

10 K. ÅNGSTRÖM.

l'autre est un curseur, Apres avoir réglé celui-ci
jusqu'à ce que la difference potentielle entre les con-
tacts du rhéocorde soit la mème qu'entre ceux des
bandes pyrhéliométriques, la resistance par em de
longueur est calculée en connaissant la distance entre
les couteaux A et B. Par ce procede, on evite les
difficultés causées par des perturbations dans les

courants électriques aux extremites de la bande et la
résistance de la bande est determinee dans le voisi-
nage des contacts des thermo-elements.

La résistance de la bande augmentant un peu par l’echauffe-
ment, cause par le courant électrique, il est necessaire de determiner
le rapport entre Vintensite du courant et la resistance. Avec la dis-
position déja employee pour la determination de la resistance, jai
obtenu le résultat suivant pour lappareil N:o IL, la temperature en-
vironnante étant de 19°.

Intensité du courant. Résistance, Ohm par em.

i j2 Obs. Cale:
0,378 0,1428 0,322 0,3226
0.289 0.0835 0,316 0,3170
0,298 0,0520 0,314 0,3141
0.188 0.0354 0,312 0.3125
0.141 0.0199 0.3105 0,3111
0.090 0.0081 0.3100 0.3100
0.000 0.000 — 0.3092

L'échauffement des bandes devant étre proportionnel au carré
de l'intensité du courant électrique, nous obtenons si ın, et m,’ desig-
nent les resistances aux intensités du courant = i et = 0:

m, =m, (1 + Pr).

Les valeurs calculées pour m, d'après cette formule avec
/ > . . E
m, = U.3092 et p = 0,303 sont introduites dans la quatrième colonne du
Tableau precedent.

Le coefficient de la variation de la resistance électrique avec
la temperature est determine comme à l’ordinaire à laide du pont de
WHEATSTONE. Pour notre but, il nous suffit d’exprimer la resistance par
la formule

m, =m, (1 + at),

RADIATION SOLAIRE. 11

.
on a done trouvé & = 0,00216. Si, à l'aide de ces déterminations de
constantes, on calcule my, c. à d. la resistance dans la bande sans
courant à 0°, on obtient m,, = 0.2970. La resistance im, à la tempera-

ture =? et pour un courant = 7, peut done pour l'appareil II être ex-
primee par

My = 0.2970 (1 + 0.00216 . t) (1 + 0,303 À).

Pour l'appareil N:o I, on a obtenu de la méme manière ni, = 0,3100,
et l'on aura done pour cet appareil en employant les mémes valeurs
des coefficients « et 5 que nous avons trouvées pour l'autre appareil

m. = 0,3100 (1 + 0,00216 . ¢) (1 + 0,303 77).

Pour faciliter le calcul j'ai, à l'aide de ces formules, dressé
des Tables qui donnent la résistance ın, pour chaque degré et pour
i* = 0,030, 0,040, 0.050, et 0,060.

Cette methode de calculer la resistance des bandes, en connais-
sant seulement la temperature de l'air ambiant et l'intensité du courant
electrique, a toujours été employee dans ce qui suit. Cette methode
n'est pas à vrai dire parfaitement exacte, car l'élévation de la tem-
pérature de la bande par le courant dépend, on le sait, de la vitesse
du refroidissement et celle-ci n'est pas constante, mais on comprend
que, dans ce cas, cette méthode approximative doit être permise. Le
plus grand échauffement par le courant, nécessaire à ces determinations,
naugmente la resistance que d'environ 3 "/o, et comme les bandes sont
bien protégées contre des perturbations accidentelles, dues à des cou-
rants d'air, on peut sans risque negliger leur influence sur la variation
dans ce terme de correction,

La détermination de constante la plus difficile dont il s'agit ici,
c'est celle du pouvoir absorbant de la surface absorbante. Dans les
recherches sur la chaleur rayonnante, on admet ordinairement que la
surface noircie de l'instrument absorbe complètement le rayonnement,
bien que, comme on le sait, il n'en soit pas ainsi; ou bien, on admet
une valeur assez arbitraire pour le pouvoir absorbant. Mais comme
le pouvoir absorbant de surfaces préparees de différentes manières
varie un peu, il est nécessaire de déterminer cette constante de la
surface méme qu'on a employée dans un cas détermine.

Dans ce but, jai préparé une surface d'à peu pres 2 cm ab-
solument de la méme manière que pour les bandes pyrheliometriques.

12 K. ÅNGSTRÖM,

A laide d'un bolometre sensible, le pouvoir diffusant de cette surface
a été determine pour trois différentes espèces de radiation incidente!)
et, d’apres ces observations, jai calcule le pouvoir absorbant de la
surface. Il resulta de ces recherches que le pouvoir absorbant est
un peu plus grand pour les longueurs d’onde plus grandes que pour
les plus courtes, que le pouvoir absorbant moyen pour la radiation
solaire est compris entre 95,3—98,s, suivant l'épaisseur de la couche
du noir de fumée ’) En Vadmettant done pour ces pyrheliometres
= 98,5 °/o, on ne pourra certainement pas se tromper de plus de

quelques dixiemes de °/o,

3) Instrument pour déterminer l'intensité du. courant électrique.

Il est évident, que les difficultés de construction d'un instrument
portatif, d’apres le principe que je viens d’exposer, se concentreront
principalement sur la determination de l'intensité du courant électrique,
destiné a echauffer la bande, car l'erreur de cette determination ne
doit pas dépasser 0,5 °/0 et la determination doit se faire par une lec-
ture directe,

Ce probleme est aujourd'hui résolu d'une maniere satisfaisante
par les excellents milli-amperemetres de la CE Weston, de SIEMENS &
HarskE et d'autres encore. Disposer un instrument de voyage avec un
instrument de ce genre et un galvanoscope transportable, n'offrait pas
de difficultés. Mais en 1894, quand je songeais à résoudre ce pro-
bléme, ces ampere-metres n'existaient pas encore à l'état perfectionne
d'aujourd'hui, ou, en tous cas, je ne connaissais pas leurs excellentes
qualités. Il s'agissait done de construire un appareil portatif pour
déterminer l'intensité du courant électrique. Pour mon but, il n'était
pas nécessaire de pouvoir calculer théoriquement les constantes de
l'instrument, et je me suis contenté de faire un instrument dont l'échelle
a été déterminée empiriquement et qui pouvait étre contrólé à chaque
instant.

1) Pour l'exposé détaillé de ces travaux, voir K. Ånesrröm, Ofversigt af K. Vet. Akad.
Fórhandl. p. 285, 1898.

2) Je distingue entre »le pouvoir absorbant du now de fumée» et »celui d'une
surface couverte de noir de fumée». Ce dernier qui, pour une couche suffisemment épaisse,
ne dépend que du pouvoir diffusant, augmente avec la longueur d'onde, celui-là diminue
quand la longueur d'onde augmente, comme je l'ai déjà montré. (Ofversigt af K. Vet. Akad.
Fórhandl. p. 385, 1883 et Wied. Ann. 36, 715, 1893).

RADIATION SOLAIRE. 13

Je me suis done servi du principe electrodynamique comme
etant le plus approprie a mon but, les deviations etant a peu pres
proportionnelles au carré de l'intensité du courant à mesurer et, par
consequent, proportionnelles aussi a la radiation a determiner.

Les premiers electrodynamometres que j'ai construits pour mon
voyage de 1895 n'ont pourtant pas bien fonctionne, leur construction
n'étant pas d'une solidite suffisante pour supporter l'ébranlement d'un
long voyage, ni les secousses d'un transport difficile jusqu'au Pie du
Teneriffe. Aussi ne rendrai-je pas compte de la construction assez
défectueuse des electrodynamometres employés dans l'été de 1895.

Pour le second voyage, 1896, les électrodynamometres ont été
complètement reconstruits et ont fonetionné à ma satisfaction; je vais
les décrire.

Pl. 3 fig. 4 représente le dynamometre vu de cote, fig. 3 le
méme vu d'en haut, 4 est la bobine fixe, B la bobine mobile, toutes
les deux de section rectangulaire allongée, aux coins arrondis. La
bobine mobile est suspendue par deux bandes trés minces de bronze
phosphorique qui, en méme temps qu'elles supportent la bobine, servent
aussi à la rendre mobile, de méme qu'à conduire le courant electrique
à lenroulement de la bobine. Les deux bandes sont attachees aux
deux bras € et C,, et les deux autres extrémites sont enroulées autour
d'un tube cylindrique de verre dépoli d'un diamètre d'environ 3 mm
fixé à la bobine mobile.

Pour observer les déviations, un miroir S est attaché à la bo-
bine B. Un rayon tombant d'en haut sur ce miroir est réfléchi sur
le miroir fixe S,, de là il est encore une fois réfléchi sur 5. Il est done
deux fois réfléchi sur le miroir mobile avant de sortir de l'instrument
pour étre projeté sur l'échelle transparente.

La bobine B tournant dans un champ magnétique à peu pres
homogene, un petit déplacement de 5, då par exemple à la dilatation
des bandes de bronze phosphorique ou des bras supportant la bobine,
ne doit pas notablement influer sur la sensibilité de l'instrument. La
seule chose qui puisse la faire varier, c'est une variation de la sensi-
bilité de la balance méme. Mais celle-ci peut être déterminée comme
d'habitude, par ex. en observant la deviation causee par un certain
poids place sur le bras. Pour faire cette détermination sans ouvrir la
caisse du dynamometre, ni déranger l'appareil, j'ai fait en sorte qu'on
puisse placer le poids sur le bras D de la bobine mobile tout simple-
ment en pressant avec le doigt sur un petit ballon de caoutchouc

14 K. ANGSTRÓM,

(pl. 9, fig. 2, C.) en communication avec la capsule K (fig. 4) par un
tube mince de meme substance. A la pression du ballon, cette capsule
se gonfle et agit sur un petit levier H: le bras L s'abaisse, et le
cavalier place à l'extrémité descend sur le bras de balance D. Pour
que, en transportant l'instrument, le cavalier ne tombe pas de sa place
sur le bras L, celui-ci est construit comme on le voit par la fig. 4.
Il se termine done par deux boucles, dans lesquelles les boucles cor-
respondantes du cavalier sont librement suspendues. (Le cavalier ne
se voit pas dans la fig.).

Pour arréter promptement les oscillations, on a applique au-dessus
de la balance le bout d'un tube À (fig. 4), communiquant avec un petit
ballon de caoutchouc C, (fig. 2) par un tube également de caoutchouc.
Avec un peu de pratique, on arrive bientót à pouvoir arréter presque
completement la balance en deux ou trois oscillations en pressant l'air
par le bout du tube. La balance peut être arretee, et l'instrument est
ainsi facilement transportable sans aucun risque pour les bandes de
support un peu fragiles.

Toute cette disposition peut ètre contenue dans une petite caisse
de bois de 14x 6 x 5 cm.”

Comme je lai déjà dit, l'instrument doit ètre empiriquement
gradue. Il n'est pourtant pas nécessaire de faire cette graduation pour
un grand nombre de points sur léchelle; car, comme il est facile de
le montrer, il existe une simple relation entre la déviation et l'inten-
sité du courant.

Pour de petites deviations, le moment de l'action électrodyna-
mique des bobines dans la position deviee est:

Ci? cos q

Soient 7 (fig. 3) le rayon du cylindre de verre,
s la- distance entre le centre de gravité. du
systeme et la ligne horizontale traversant le
centre du cylindre, quand la bobine est en

Ss r 7. .
equilibre, Q le poids de la balance, on aura,
en prenant les moments des forces par rap-
e port à l'axe de rotation

Fig. 3.

CU eos q = Q(ssinq +r —r cos q)

RADIATION SOLATRE. 15

RT [64 ] .
et comme on peut ici mettre Vatga=tg,. on aura facilement

NOCUIT:
wo=—-- EV + Än a
7 pe Qr
ou enfin
teg = — 0,4 YO OT

On voit done, que si les indications sur l'échelle sont comme d'habitude
proportionnelles à tg g, la relation entre les deviations et le carré de
l'intensité du courant est représentée par une parabole. Des experi-
ences directes ont bien justifié cette formule, mais comme elle a été
déduite en négligeant l'influence de la resistance des bandes de sup-
port, je ne l'ai employee que comme formule d'interpolation à la gra-
duation de l'instrument. Si, par une raison quelconque, la sensibilité
de l'instrument varie, cela ne peut pas tenir à la quantité C,, car C,
9n

étant — WE cette quantité peut étre regardee comme parfaitement
U
constante '), mais la quantité €, au contraire pourrait bien varier un
peu, par ex. par suite d'une variation de la quantité s, mais si l'on a
trouve la courbe de réduction pour une cer-
taine sensibilité de l'instrument et par là les
constantes C, et C, dans la formule donnée,
on trouvera aussi la courbe pour une sensibi-
lité un peu modifiée en changeant C,. On aura
ainsi une série de paraboles comme celles qu'on
voit fig. 4.
Supposons que 1 soit la premiere pa-

rabole trouvée, correspondant à une certaine
sensibilité de l'instrument et qu'en placant le
cavalier sur le bras D nous produisions une déviation 5,. Le mo-
ment du cavalier correspond donc au moment d'un courant déter-
mine i. Alors, si dans une autre occasion, l'instrument donne la dé-
viation k, pour le cavalier, nous n'avons qu'à chercher la parabole

1) Dans ce cas, on peut négliger l'influence de la température sur la longueur du
bras, de méme que la variation de la pression de l'air et de la pesanteur avec la latitude
et l'altitude.

16 K. ÅNGSTRÖM.

qui, pour la méme valeur 7; que dans le premier cas, donne cette de-
viation k, et nous avons ainsi la courbe de reduction dans ce cas.
Comme le magnétisme terrestre agit sur la bobine mobile, il
faut aussi apporter une correction à cet effet. On la trouve en ne
laissant parcourir le courant a determiner que par la bobine mobile.
Les courbes de réduction des dynamometres ont ete determinees
de la manière suivante. On a fait passer le courant d'une pile par
le dynamometre, par un rhéostat et par un rhéocorde AB. A, qui
est un contact mobile, et B sont mis en communication avec un
électrometre capillaire de Lippman de grande sensibilite (la hauteur de
la colonne de mercure = 78 em), et Vindication de l'éleetrometre est
observée, On change alors lintensité du courant en variant la rési-
stance, on déplace dans chaque cas le curseur, de sorte que l'indiea-
tion de l'éleetrometre reste la méme et l'on observe ensuite la dévia-
tion de Vélectrodynamometre. Soient /,, /,, i, ete. les intensités des

epe cem

3

courants, et ju. Hu. m, ete. les résistances correspondantes détermi-

nées au rhéocorde, nous avons

V=im,

= (Qm, = ete.

On n'a done qu'à déterminer l'intensité d'un courant, par ex. à,
en mesure absolue, pour obtenir la courbe de réduction. La détermi-
nation absolue du courant se fait par un voltmetre electrolytique d’ar-
gent avec toutes les précautions nécessaires. Comme base du calcul,
jai pris la determination faite par KOHLRAUSCH, que 1 Amp. dépose
pendant une minute 67.09 m er d'argent.

Aussi pour les electrodynamometres, j'ai dressé des Tables, don-
nant pour les sensibilités différentes des instruments le carré de l'in-
tensité du courant, correspondant à chaque division de l'échelle.

Dans les "Tableaux suivants nous ne reproduirons que le earré
de l'intensité du courant, trouvée à l'aide de ces Tables de réduction.

En 1897, j'ai eu l'occasion de contrôler encore une fois les deux
electrodynamometres en les comparant avec un milli-amperemetre de
précision de SIEMENS & HALSKE, et j'ai trouvé que, dans aucun point de
l'échelle, les differences des instruments n'ont pas dépassé 0,5 °/o.

Ainsi, que je Vai deja dit, ces dynamometres ont fonctionné à
mon entiere satisfaction. Malgré les longs voyages sur mer et les
transports tres difficiles dans la montagne, les variations de la sensibilité
des instruments n'ont pas dépassé 2 Yo. Le plus grand défaut que

RADIATION SOLAIRE. 17

LE)

jaie à noter à leur égard, c'est qu'une petite variation dans le point
de zéro de l'instrument se fait souvent remarquer pendant une série
d'observations; elle s'élève tout au plus à environ 1 °/o de la devia-
tion. Il faut en chercher la cause dans un résidu d’elastieite des bandes
de bronze phosphorique, qui supportent la bobine mobile. J'ai pourtant
cherché à éliminer ce défaut en déterminant le point de zéro avant et
aprés chaque série d'observations.

+) La construction de l'instrument de voyage.

Les différents instruments nécessaires aux observations, c'est-à-
dire le pyrheliometre, l'électrodynamometre, un galvanomètre et une
pile, ont été réunis dans une caisse facile à transporter de 44 em de
hauteur, 24 em de largeur et 12 em de profondeur. La Pl. 2 donne une
vue generelle de l'instrument, les fig. 1 et 2, Pl. 3, la disposition des par-
ties intérieures. (7 représente le galvanometre. Il y a deux bobines 4,
un aimant compensateur N et un équipage à systeme astatique qu'on peut
arrêter. D est le dynamometre déjà décrit, et P une pile Leclanché de
grande capacité. Quand l'instrument ne fonctionne pas, le pyrhéliométre
est aussi placé dans la caisse, où son support est fixé par des vis entre la
pile P et le dynamometre D. Quand on veut observer, on le sort de la
caisse pour lattacher dessus. A un des cótés de la caisse se trouve
un trou rond au-dessus duquel est attaché un petit miroir M, mobile
dans toutes les directions. Ce miroir permet de diriger un faisceau de
lumiere dans linstrument, ou il est partagé en deux par les deux mi-
roirs S, et S,. De S, la lumière est réfléchie par la lentille L, vers
les miroirs du dynamometre, et en traversant de nouveau la lentille,
elle produit, sur une échelle transparente de celluloïde l'image d'un index,
attaché au côté de la caisse. Cette échelle est fixée devant les miroirs
5, et S,, mais elle n'est pas visible dans la fig. 1. Du miroir 5, la
lumiere est reflechie vers le miroir 5, et par la lentille L, au miroir
du galvanometre. Pour augmenter la distance entre le miroir et l'échelle,
le faisceau de lumière est réfléchi d'abord par le miroir 5, vers 5, et
de là vers l'échelle, sur laquelle est projetée l'image d'un autre index
aussi attaché au cóté de la caisse. Pour mieux distinguer l'une de
l'autre les deux images sur l'échelle, les index sont d'aspect different.
La porte de la caisse n'oecupe que les ?/3 de sa hauteur d'en bas. En
haut de la caisse, il y a deux petits battants, (voir la fig. 2) qui don-
nent acces à l'échelle de celluloide dont je viens de parler, de méme
qu'à un petit rhéostat R et aux capsules de caoutchoue, C, et C, desti-

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. 7/vur 1900. E

18 K. ÅNGSTRÖM,

nées à l'application du cavalier et à l'amortissement des oscillations de
la balance du dynamometre. Ainsi l'appareil peut être manié sans que
le galvanometre et le dynamometre soient exposes a des perturbations
atmosphériques quand on ouvre la porte de la caisse,

A la caisse est attaché un niveau sphérique pour faciliter l'orien-
tation de l'instrument, La caisse peut être assujettie par une vis à
un trépied qu'on peut plier pour le transporter aisément. Les trois
pieds peuvent etre unis entre eux par une croix qui, au besoin, peut
etre chargée de pierres, de sorte que, malgré sa légèreté, le trépied
offre assez de solidité. La caisse entière avec tout ce qu'elle contient
ne pese que 5 kilogr, le trépied 1,5 kilogr et un homme peut sans
peine porter et la caisse et le trépied à la main, même par des che-
mins peu aises.

r

5) Methode d’observation.

Apres avoir bien orienté le trépied, charge de pierres si c'est
nécessaire, on attache la caisse et l'ajuste avec soin. Le pyrhé-
liometre est fixé au-dessus de la caisse, la lumiere du soleil est
réfléchie dans linstrument vers les miroirs, l'équipage du galvano-
metre et du dynamometre est decouple, et les oscillations de celui-ci
sont amorties à l'aide du ballon de caoutchouc. Ensuite on détermine
la sensibilité du dynamometre par l'application du cavalier. Le pyrhe-
liometre est dirigé vers le soleil, on tourne l'éeran de maniere que le
rayonnement du soleil tombe également sur les deux bandes et l'on
détermine le point de zero du galvanometre, de méme que celui du
dynamometre.

Apres ces preliminaires qui prennent environ 5 min., on est pret a
commencer les observations memes. L’ecran du pyrheliometre est mis a
ombrager l'une des bandes, le courant électrique est fermé par l'autre,
et l'intensité du courant est réglée par les résistances jusqu'à ce que
le galvanometre revienne au point de zéro. Apres avoir déterminé
Vindication du dynamometre, on tourne l'écran et on ferme le courant
par l’autre bande, maintenant ombragee; l'intensité du courant est de
nouveau réglée et le dynamometre est observé comme tout à l'heure.
On repete 3 à 5 fois de suite, aprés quoi on observe le point de zéro
du dynamométre, puis on en détermine encore une fois la sensibilité.
Les observations ont en général été terminées par une détermination
de la correction magnétique en conduisant le courant seulement par

RADIATION SOLAIRE. 19

la bobine intérieure et par une résistance égale à celle de la bobine
exterieure.

Sans compter le temps qu'il faut pour placer et ajuster l'instru-
ment, une série d'observations complete de trois determinations distinctes
prend environ 4 minutes. La durée d'une oscillation du galvanometre
est environ de 5 secondes, et en 10 sec. les bandes du pyrheliometre
exposées à la radiation arrivent à leur temperature stationnaire, On
voit ainsi que chaque détermination donne la valeur moyenne de la
radiation pendant 10 sec. environ. Pour la promptitude, cet instru-
ment laisse done tous les autres pyrheliometres en arriere.

Pour donner un exemple de la marche d'une observation, je
cite ici une détermination complete:

Le 25 Juin 1896.

Pic de Teyde. Pression atmosphérique 491,5 mm.

Point de zéro du dynamometre = 61,6.

Sensibilité 5 = 105,6.

Deviations: d, 129.0,

g 130,6, heure: 1°51", temp. 220,
d, 129.4,

Point de zéro du dynamometre = 61,9.

Deviations: d, 130.0,

g 129,8, heure: 1°58", temp. 23°,0,
d, 130,0.

Point de zero du dynamometre = 62,0

Sensibilité & = 105,4.

Correction magnétique = — 4,2.

Le premier groupe de ces déterminations donne comme valeur
du point de zéro 61,8 et comme valeur de la déviation

2
ere eee 12097
4

La différence done 129,9 — 61,8 — 4,2 = 63,9.

On trouve dans les Tables de reduction du dynamometre le
carré de l'intensité correspondante du courant i? = 0,0702 et la resi-
stance m = 0,316.

L’autre groupe donne de la méme maniere le point de zero
= 62,0 et

2 :
Garhi. 129,9
1

20 K. ANGSTROM,

La difference = 129,9 — 62,0 — 4,2 = 63,7, ce qui donne

i? = 0,0701 et m = 0,317.

La premiere de ces determinations donne done
2” = 0,0702, m = 0,316 dont Q = 1,615,

la seconde

© = 0.0701, m = 0,317 dont Q = 1,614

dou la moyenne Q = 1,615.

Cet exemple donne une bonne idée de la simplicité et de l'exac-
titude d'une détermination. En général, j'ai fait deux de ces séries de
3 observations immédiatement lune apres l'autre, et le résultat de
chacune représente l'intensité de la radiation dans deux moments avec
un intervalle d'environ 4 min. De ces deux déterminations j'ai pris la
moyenne, qui se rapporte alors à la moyenne du temps d'observation.
La différence entre les résultats de deux séries s'est rarement élevée
à plus de 0,5 °/o, mais ordinairement elle a été moindre. Seulement
pour des distances zenithales un peu considérables, où l'intensité varie
rapidement, chacune des valeurs citées dans les Tableaux suivants est
caleulée à l'aide d'une série de trois observations seulement.

B. Observations de l'intensite totale de la radiation solaire.

Avant de partir et au retour du voyage, les deux chronometres
désignés par I et IL, qui ont très bien fonctionné, ont été compares
avec l'horloge normale de l'Observatoire d'Upsala; leur marche diurne
caleulee à l'aide de ces comparaisons et supposée uniforme pendant
tout le temps qu'embrassent les observations, a été:

1895 1896
N° I 4.01 1*,49
N° II 95,56 0,59

Pendant les observations, on a fait la lecture du temps a des
minutes entières et le défaut dans la détermination du temps ne s’eleve
certainement jamais à plus d’une minute. Les lectures des montres
se rapportent au temps civil de la Suede, c'est-à-dire le temps moyen
pour une longitude de 15° à l’est de Greenwich. Le temps vrai de
Teneriffe (16°38’7” à l'ouest de Greenwich) a été calculé des deter-

RADIATION SOLAIRE. 21

minations du temps, corrigees pour la marche des montres. Les vraies
hauteurs du soleil en sont deduites à l’aide de la formule ordinaire

sin À = sin q sin Ó + cos q cos 0 cost.

Pour trouver la masse atmosphérique traversée par les rayons
solaires, je me suis servi de la methode de LaPLACE-FORBES-VIOLLE,
employée aussi par LANGLEY entre autres. J'ai done pour les distances
zenithales moindres que 65° admis

et pour les distances zenithales dépassant 65°

h Refr.

760 58,36. sinz

en prenant pour unité de M la masse atmosphérique dans la direction
verticale à une pression /, = 760 mm. Cette méthode est certainement
d'une exactitude suffisante dans les cas qui nous occupent.

Pour les raisons que j'ai déjà mentionnées, les observations de
1895 n'ont pas l'exactitude que j'aurais souhaité pour des détermi-
nations absolues; aussi ne donnerai-je qu'un résumé des résultats de
ces observations. Cela n'empéche pas qu'elles gardent toujours leur
valeur comme determinations relatives. Elles s’accordent aussi tres bien
avec les observations de 1896.

Les observations ont été représentées graphiquement sur du
papier quadrillé en prenant la hauteur du soleil pour abscisse et l'in-
tensite pour ordonnee. Puis, pour chaque série d’une journée, on a
tiré la courbe correspondante rectifiee, et on a ensuite déduit les
moyennes de ces courbes pour une meme altitude. Ce sont ces va-
leurs moyennes qui sont représentées dans le Tableau suivant, où l'on
retrouve non seulement la hauteur du soleil mais aussi l'épaisseur de
la couche atmosphérique.

22 K. ÅNGSTRÖM,

Tableau I
Haut. | Pression barom. 503 | Pression barom. 518 | Pression barom. 615 | Pression barom. 745 |
pas Epaiss. | Intens. | Epaiss. | Intens. | Épaiss. | Intens. | Epaiss. | Intens.
Boel To 6106 | OS ||) Sasse OO | MES
1022 73:607 TIA ES, 796 DS fat ATOS c fl
152 2,52 1,31 0) - eal 3:09 MITA RS CAS 093
20 1602 1,40 1,98 1,37 9,35 1,25 984 | 1,04
| 309 | 1391 | 150 1,359 | 1,47 116469 8317. 1/985- | 1,17
| 40 | 1,029 | 1,56 | 1,059 | 1,53 | 1,260 | 1,44 | 1,524 | 1,95
| 50° 0,865 1,59 (0588918 Er SYN LOSS 1,48 1,280 | 1,30
| 60° | 0,765 | 1,62 | 0,787 | 1,59 | 0,936 | 1,50 | 1,133 | 1,34
709 120,705.) 1,64. | 201725) | 62 0,863 | 1,52 1,044 | 1,37
eso 710673 | 1,65 0,692 | 1,64 | 0,893 | 1,52 0,996 | 1,39
85° | 0,665 | 1,66 | 0,684 | 1,65 | 0,814 | 1,53 | 0,985 | 1,39
|

Parmi les observations faites a Brienz et au sommet de Brienzer-
Rothorn, je cite les suivantes qui sont peut-etre d’un certain interet,
bien que leur valeur soit moins grande.

Tableau II
Ha , Brienzer Rothorn Brienz

auteur = = : =

du Pression barom. 584 mm | Pression barom. 716 mm

“| 1 ==; ii d TE TES Ee

Soleil Épaiss. | Intens. | Epaiss. | Intens.

| | | |

30° LES | Lil 1,88 1,02

40° eK | ae Ne ae lets
| | |

50° 1500 PAT pay i ol eB}
| | |

Les observations de 1896 sont reproduites dans les Tableaux
de l'Appendice ci-joint.

La premiere colonne renferme le temps vrai des observations,
la seconde la hauteur correspondante du soleil, la troisieme la tempé-
rature / dans lenveloppe du pyrheliometre, la quatrieme le carré de
l'intensité du courant électrique 7?, la cinquième la résistance m des
bandes du pyrhéliometre, calculée pour la température donnée et la
sixième la valeur de la radiation en gr. cal. par minute et em’, cal-
culée à l'aide de ces données. On l'a vu plus haut, deux séries d'ob-
servations ont en général été faites l'une immédiatement apres l'autre,
chacune de trois lectures. La valeur de Q, qu'on trouve dans les
Tableaux, est donc la moyenne du résultat qu'ont donné les deux séries.

RADIATION SOLAIRE. 23

Dans la huitième colonne se trouve la différence 0 entre la moyenne et
les deux valeurs dont elle est deduite en °/o; sinon, .Q est le résultat
d'une seule serie. On a ainsi la possibilité de contrôler la concordance
des observations.

Pour donner un aperçu général de toutes ces observations, elles
sont introduites dans la Planche 4, où le temps est pris comme abscisse
(E heure = 12 mm), l'intensité comme ordonnée. Le signe x se rap-
porte aux observations faites avec l'instrument I, observateur M. EDEL-
STAM, le signe © aux observations de lauteur avec l'instrument Il.
Les courbes moyennes qui en sont déduites et auxquelles je reviendrai
plus tard, sont aussi introduites dans la Planche, et, pour faciliter l'ori-
entation, la valeur de l'ordonnée du sommet de la courbe y est aussi
indiquée. Cette planche donne done un tableau de la concordance des
deux instruments de méme que des variations entre les valeurs obser-
vées et la courbe moyenne.

L'accord des deux instruments a du reste été comparé par des
observations simultanées à Alta Vista avant et après l'ascension du
Pic, de méme qu'à Guimar à la fin de l'expédition. Le résultat se
trouve dans le Tableau suivant.

Tableau III

Instrument I Instrument IL
= T Diff.
Heures Intens. Heures Intens.
I
Jum 21 | 11h51" | 1,601 | LA 1,605 | — 0,004
YN CS 1.37 VOLTS 28335 1,596 | + 0,021
» » Sear 1,485 | al 1,511 — 0,026
Juin 23 12.14 1,602 | Asia 1,597 + 0,005
» » 2.49 1,543. | 9.53 1,539 + 0,004
Jun 28 | 11.5 | 1,634 11.5 1,619 + 0,015
Juillet 5 il-tayil 1,300 ill 1,310 — 0,010
» eel PM 1,293 2.12 1,297 — 0,004

La difference entre les indications des deux instruments est si
petite, que je l'ai négligée dans le calcul des résultats des observations.

Comme on le voit par ce qui suit, les observations ont une marche
extrémement reguliere, surtout celles des stations les plus hautes, et la
différence entre les observations du matin et du soir pour la méme hau-
teur du soleil est ordinairement minime. C’est pourquoi, on a pu prendre
les moyennes de toutes les observations faites à Alta Vista pour la
méme hauteur du soleil à peu prés, afin d'en construire une courbe

24 K. ANGSTRÓM,

représentant l'état moyen de la radiation pendant le temps d'obser-
vation. De cette courbe on a déduit les termes de correction, par
lesquelles on a pu réduire les observations, faites à des temps quelque
peu différents à des hauteurs de soleil ou à des temps égaux. Les
series d'observations les plus completes, c'est-à-dire celles des belles
journées le 25 et le 27 Juin de méme que le 2 et le 3 Juillet, ont été
calculees en appliquant ces termes de correction. Dans ce qui suit,
on comprend par «radiation moyenne de Alta Vista» les moyennes
caleulées des déterminations de ces quatre jours et introduites dans
le Tableau VI, 5"* colonne.

Pendant deux jours, on a fait des observations simultanees sur
le sommet du Pic et à Alta Vista, et pour éliminer completement les
défauts provenant de linégalité des instruments et des observateurs,
les instruments ont changé de place, de sorte que l'auteur a observé
avec l'instrument II sur le sommet du Pie le 25 et à Alta Vista le 27
Juin, et M. EpELsTAM avec l'instrument II à Alta Vista le 25 et au
sommet du Pie le 27 Juin. La difference d'altitude ne s’elevant pas
à plus de 450 metres, correspondant à une différence de la pression
atmosphérique de seulement 25 mm, la difference de la radiation ne
peut étre que peu considérable.

On retrouve dans la 2" et la 3" colonne du Tableau suivant
les moyennes du 25 et du 27 Juin, caleulées selon la méthode déjà
mentionnée, et dans la 4"* et la 5" colonne les mêmes moyennes ré-
duites à la radiation moyenne de Alta Vista.

Tableau IV

Hauteur | Moy. du 25 et du 27 Juin | Réd. à Rad. moy.

d + +
S Alta Vista Some: Alta Vista Somme
du Pic | du Pic

|

5? 0,912 0,92 0,916 0,925
10° | al 1,179 1,156 1,184
15, | 1,286 1,298 1,287 1,299
20° | 1,366 1,384 1,370 1,388
30° 1,464 1,486 1,468 1,490
40° 1,524 1,550 1,527 1,553
50° 1,556 1,576 1,565 1,585
60° aa 1,600 1,583 1,606
70° 1,589 1,613 1,595 1,619
809 1,604 1,618 1,610 1,624
85° 1,606 1,620 1,613 1,627

RADIATION SOLAIRE. 25

Les observations simultanees a Alta Vista et sur le Canada
(plateau autour du cône meme du Pic à une hauteur de 2125 m, pres-
sion 597 mm) n’ont ete faites que dans une seule journee, et mal-
heureusement les conditions météorologiques n’etaient pas des meil-
leures. Vers midi, un vent violent souleva de veritables nuages de
poussiere dans les couches basses de l’atmosphere du Canada; aussi
m’a-t-il fallu rejeter les observations de l’apres-midi et construire la
courbe d'intensité à différentes hauteurs du soleil seulement à l'aide
des observations de la matinée. De ces courbes sont déduites les
valeurs qu'on retrouve ici dans la 3"* et la 4"* colonne du Tableau
suivant. La 5" et la 6" colonne donnent les observations réduites à
la radiation moyenne de Alta Vista.

Tableau V

| Hauteur Le 29 Juin Réd. à Rad. moy.
du DIES EE

I Soleil Alta Vista | Canada Alta Vista | Canada
10° 1,182 77,087 77 71,156 i 055
150 1,304 1996 | 1,287 1,208

| 90° 1,401 1,319 1,370 1,288

| 300 1,492 1,427 1,468 1,402

AU 1,550 1,495 1,527 1,472
509 1,589 12523 1,565 1,508

60° 1,600 1,544 1,583 1,529
70° 1,617 (550) | 1,595 (1,530
809 1,628 (1,555) | 1,610 (1,540)
850 1,633 | (1,560) | 1,613 (1,549)

Des deux jours où des observations simultanées ont été faites
à Alta Vista et à Guimar, c'est le 2 Juillet qui a donné le meilleur
résultat. Ce jour-là, la radiation à Alta Vista présente une petite ano-
malie, en ce que les valeurs de l'après-midi ont été un peu plus grandes
que celles de la matinée. Les observations de l’apres-midi du 3 Juillet
ont été moins satisfaisantes. Le Tableau suivant renferme les valeurs
déduites de la courbe d'intensité à différentes hauteurs du soleil, savoir
dans la 2° et la 3° colonne les moyennes des observations de la matinée
et de l'aprés-midi le 2 Juillet, et dans la 4* et la 5° colonne les valeurs
de la matinée du 3 Juillet. Dans la 6* et la 7* colonne on trouve les
moyennes déduites des autres colonnes, ou l'on a donné aux obser-

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. !5/vmr 1900. 4.

26 K. ANGSTROM,

vations du 2 Juillet (moyennes des determinations de la matinee de
méme que de celles de laprès-midi) le: poids 2 et à celles du 3 Juillet
le poids 1. La derniere colonne reduite a la radiation moyenne de
Alta Vista se retrouve dans le grand Tableau VII.

Tableau VI

Haateur 2 Juillet 3 Juillet 2 et 3 Juillet | Red. à Rad. moy.
du Moy. de a. m. et p. m. a. m. Moy. |

Soleil Alta Vista) Guimar |Alta Vista Guimar |Alta Vista) Guimar Alta Vista| Guimar |
10° 1,161 | 0,76 | 1,162 | 0,849 | 1,161 | 0,79 . | 1,156 | 0,786
15° | 1,267 | 0,945 | 1,328 | 0,982 | 1,287 | 0,957 | 1,287 | 0,957
909 1,364 LORS | LOS Ory || WBA 1,051 | 1,370 1,049
30° 1,461 1,182771,296 | 1,2157 1,2737 7751922715468 1,189
40° 15595 1,269 | 1,549 | 1,989 1533} | 1976 | 1,597 1,269
50° 1,568 | 1,329 | 1,587 | 1,305 | 1,574 | 1,321 | 1,565 | 1,914
60° | 1,577 | 1,358 | 1,606 | 1,360 | 1,587 | 1,359 | 1,583 | 1,357
70° 1,603 1,389 | 1,610 | 1,367 1,605 1,382 | 1,99821171379
80° 1,618 1,408 156: 55 9153/19 OT 1,398 | 1,610 1,391
85% 1,622 1,419 18617 E385 115691) 1,408 1,613 1,401

Un resume de la radiation dans les quatre stations d'observa-
tion: le sommet du Pic, Alta Vista, le Canada et Guimar, réduite à la
radiation moyenne de Alta Vista, se trouve dans le Tableau suivant,
qui contient ainsi le résultat des observations faites à Ténériffe en
ete 1896.

Tableau VII

Hauteur ‘Pression barom.492 mm Pression barom. 518mm Pression barom.597 mm Pression barom. 134mm
du Alit. 3683 m Altit. 3252 m | Altit. 2125 m | Altit. 360 m
So Epaiss. Intens. | Epaiss. Intens. Epaiss. | Intens. | Epaiss. Intens.
IO red 0,925 | 6,96 0,916 N ae = a "E
10° 3,60 1,184 3,79 1.156 4,38 | 1,055 5,38 0,786
15° 2,46 1,299 2,59 1,287 2,99 | 1,208 3,68 0,957
m0 ESS 1,388 1,98 1,370 9.98 1,288 2,80 1,049
| 30" | 1291 | 1,490 | 1,359 | 1,468 | 1,568 | 1,402 | 1,997 | 1,189
409 1,006 | 16553 1,059 1,527 1,299 1,479 1,502 1,269
50° 0,845 1,585 0,889 1,565 1,027 1,508 1,262 1,314
609 0,748 1,606 0,781 1,583 0,909 | 1,529 ierat 1925/7
709 0,689 1,619 0,725 1,595 0,837 (1,530) 1,029 1,379
80° 0,657 1,624 0,692 1,610 0,799 (1,540) 0,981 1,391
859 0,650 1,627 0,684 1,613 0,790 (1,542) 0,971 1.401

RADIATION SOLAIRE. 27

Ces résultats sont indiqués Pl. 5. Le temps y est pris pour
abseisse (une heure = 12 mm) et l'intensité totale de la radiation
pour ordonnée. La ligne ponctuée designe la composante verticale de
la radiation.

De ces courbes j'ai calculé la radiation totale, transmise dans
la journée, de même que sa force verticale, ce qui a donné le résultat
suivant en gr. calor. par minute et em.

Tableau VIII

Station : Guimar Le Canada Le Pic
Altitude: 360 m 9125 m 3683 m
Pression atm.: 734 mm 597 mm 403 mm
Somme de radiation totale: 940 1100 1180
» » force verticale: 671 155 799

La radiation totale augmente done pendant la journée de 30 °/o
environ, depuis le niveau de la mer jusqu'à une hauteur de 3700 m;
la force verticale augmente de méme d'environ 22 °/o,

La Pl. 6 fait voir la relation entre l'intensité et lépaisseur
atmosphérique, celle-ci étant prise pour abscisse. Les courbes de la
Pl. 7, A, donnent la variation de la radiation à hauteur de soleil con-
stante et B à épaisseur atmosphérique constante. L'intensité de la
'adiation est prise pour ordonnee et les pressions atmospheriques pour
abscisses.

La premiere de ces courbes (A) montre comment l'insolation
varie d'autant plus vite avee l'altitude que la distance zenithale est
grande. Le petit Tableau suivant place en regard cette variation com-
parée avee la radiation au niveau de la mer, celle-ci — 1.

Tableau IX
Station: Guimar Le Canada Le Pic
Altitude: 360 m 3125 m 3683 m
Pression atm.: 734 mm 597 mm 493 mm
Hauteur du Soleil 10° 1 1,34 1,50
> » » 909 1 11298 133
» » » 30° 1 1 à 1 Ss 1 205
» » » 50° 1 its 1,21
» » » so" 1 Ill Su

28 K. ÅNGSTRÖM,

Pendant done que la radiation a une hauteur de soleil de 10°,
et avec une différence d'altitude d'environ 4000 m varie plus de 50 °/o,
cette variation ne s'éléve par une hauteur de soleil de 80? qu'à en-
viron 17 9/o.

La Pl. 7, B nous donne immédiatement une idée de l'influence
exercée sur la radiation par les parties variables de l'atmosphère,
c'est-à-dire par la quantité de poussiere et de vapeur d'eau. En ana-
logie avec le Tableau précédent, le suivant donne un resume de la
variation du rayonnement à différentes altitudes et à épaisseurs atmos-
phériques déterminées.

Tableau X
Station: Guimar Le Canada Le Pic
Altitude: 360 m DIO Dm 3683 m
Pression atm.: 734 mm 597 mm 493 mm
Épaisseur atmosphérique: 1 I 1,09 lil ll
9 I 1,14 1.16
3 1 der 1,20
4 il 1,19 1,24
5 I 1,21 1,28
6 I (1159/2) 133

En examinant les courbes et les Tableaux, on trouve que, comme
nous l’avons deja remarque, les conditions atmospheriques a Teneriffe
sont tres favorables pour les recherches que nous nous sommes propo-
sees, en ce que la radiation montre une marche remarquablement regu-
liere sans les perturbations si frequentes dans les montagnes du midi
en Europe. Les observations meteorologiques (voir les observations
météorologiques ci-jointes) font aussi voir que l'amplitude de la période
diurne de la temperature, comme celle de l'humidité, est très faible, ce
qui prouve que les conditions atmospheriques varient peu dans le cours
de la journée.

D'un autre côté, la radiation parait relativement très faible dans
les stations plus hautes, surtout à de petites distances zénithales. En
comparant ces observations avec celles qu'ont obtenues divers observa-
teurs dans les Alpes suisses et dans d'autres localités, on pourra cer-
tainement trouver des cas où la radiation pour la méme altitude a été
méme plus faible que pour la méme hauteur de soleil au Pic de Te-
nériffe, mais en general elle est plus grande et la variation de l'inten-

RADIATION SOLAIRE. 29

sité de la radiation avec l'altitude et avec la masse atmosphérique est
généralement plus considérable"),

On pourrait sans doute expliquer ce fait par les conditions me-
téorologiques différentes et notamment par la plus grande humidité des
couches supérieures de latmosphère à la latitude de Teneriffe. Mais
il faut aussi remarquer que ces observations de Teneriffe ont été faites
dans une saison où, pour autant qu'on le sait a present, la radiation
a son minimum, c'est-à-dire alors que le pouvoir d'absorption de l'at-
mosphere est a son maximum.

Quant a la radiation au niveau de la mer de Teneriffe, elle
semble être en accord avec celle qu'on trouve par la méme humidité
atmosphérique dans des latitudes plus septentrionales. Pour le prou-
ver, je citerai ici quelques observations exécutées dans la plaine, Aus-
sitôt aprés mon retour de Teneriffe, j'ai eu l'occasion de faire quelques
observations de l'intensité de la radiation solaire pendant une trés belle
journée dans le voisinage d'Upsala. La radiation était symetrique au-
tour du midi. Le résultat de ces observations se trouve ci-dessous:
la derniere colonne donne les valeurs (déduites de la courbe Pl. 6),
de la radiation à Guimar pour les hauteurs de soleil correspondantes,

Le 13 Aoüt 1890.

Longitude 35°19’, Latitude 17?39',» à l'est de Greenwich.

Pression barom. 759,5 —759,0.

(Les observations à Upsala le méme jour à midi ont donné:
humidite 6,7 mm, température 175,1).

Tableau XI

Haut. de Soleil Epaiss. atm, Upsala N —
iL ET 5,07 0,800 0,82
149 9 1.00 0,864 0,92
alt SEI 0,973 1.02
91995! 3,76 1,052 1,06
9738 2,19 1,150 1,14
13099! 1,46 19321] 1,98
£1958' 1,49 1,978 18977
DIETE 2,56 1,095 1,09
15°95" 3,71 0,922 0,95
6919 8,50 0,550 (0,54)

1) Le lecteur trouvera un exposé d'anciennes observations de la radiation à diffé-
rentes altitudes dans un travail de M. Rizzo, Mem. della R. Acc. delle Scienze Torino. (2),

48, 319, 1898.

30 K. ANGSTROM,

L’accord de ces series d’observations semble tres bon. On en
voit cependant que la radiation a Teneriffe accroit un peu moins ra-
pidement avec la hauteur du soleil. Le méme résultat se presente aussi
en comparant les observations a Teneriffe avec les excellentes obser-
vations faites à Pawlowsk par ScHUREWITSCH!).

Si done la radiation aux mêmes épaisseurs atmosphériques, pen-
dant l'été, est a peu pres la méme à différentes latitudes, ce n'est pas
le cas, on le comprend bien, pendant l'hiver. Pour le montrer, ainsi
que le grand role de la vapeur d'eau dans l'absorption atmosphe-
rique, jexposerai ici quelques observations effectuées à Upsala par
un grand froid comparées à la radiation pour la méme épaisseur
atmosphérique sur le sommet du Pie,

Le 5 Mars 1899.

Pression barom. 751 mm, Vent N.O., temperature — 99,7, humi-
dité 1.5 mm.

Tableau XII

Radiation au sommet

Heure Haut. du Soleil Epaiss. atm. Radiation à Upsala 3

du Pie
10541" 21044 2,10 1,280 1,28
10 54 23014" 2,57 1,295 1,30

On voit par la que par une belle et froide journee d’hiver la
radiation est aussi grande a Upsala que sur le sommet du Pic par
un jour d'été pour la méme épaisseur atmosphérique.

Par la formule simple de labsorption:

Jl = Ap*

”

et à l'aide de la courbe moyenne de 1896, j'ai calculé le coefficient de
transparence pour différentes épaisseurs atmosphériques, c'est-à-dire le
coefficient de transparence moyenne entre 1 et 2 atmosphères, 2—3
atm. ete. pour le Pic, le Canada et Guimar, et j'ai obtenu les valeurs
introduites dans le Tableau suivant.

1) Rep. fiir Meteorologie. 17, N:o 5, 1894.

RADIATION SOLAIRE. 31

Tableau XIII

| Goeffie. de transparence |
| Épaiss. atm. = == |
| Le Pie | le Canada | Guimar
1—Y | 0,889 0,885 | 0,850
| |
9—3 0,904. 0,900 | 0,880 |
| |
SCA 0,924 | 0,911 | 0,896
| 4 —5 0,925 | 0,916 | 0,892
| = | À |
| 5—6 0,928 (0,925) | 0,890 |

On voit par la, d’abord que le coefficient de transparence est
extrémement grand, qu'il augmente un peu avec l'altitude, de même
qu'avec l'épaisseur atmosphérique mais après que les rayons ont passé
par environ 3 atm. il reste à peu prés constant!) Tout cela semble
indiquer une atmosphere pure d'une humidité relativement grande,

Toutefois comme le coefficient de transparence varie assez ra-
pidement pour de petites épaisseurs atmospheriques, il s'ensuit que la
variation du rayonnement avec l'épaisseur atmosphérique ne peut étre
représentée par la formule simple

[= Ap°

que quand la quantité « est assez grande. C’est du reste un fait bien
connu aujourd'hui, que cette formule, comme toutes les autres formu-
les empiriques de ce genre, ne représente le résultat d'observations
que dans des limites assez restreintes et qu'une application de ces for-

mules au-delà de ces limites — par exemple pour déterminer la con-
stante solaire — n'est pas permise.

Méme entre les limites des résultats d'observations, la formule
na pas grande valeur, les «constantes» À et p changeant de valeur
avec les conditions météorologiques. L’absorption de l’atmosphere est
une fonction de l'influence de l'air (/), de l'acide carbonique (c), de la
vapeur d'eau (w) et de la quantité de poussière (s); et une formule
rationnelle qui donne la relation entre la radiation et l'épaisseur de la

1) Fnóricu, Wied. Ann. 30, 582, 1887, se basant sur ses observations à Berlin, dit
que la formule simple de l'absorption peut être appliquée même à un phénomène aussi com-
pliqué que Vabsorption de la radiation solaire dans l'atmosphére. Les observations publiées
ici confirment cette assertion, quand il s’agit d'observations faites par une épaisseur atmos-

phérique considérable.

32 K. ÅNGSTRÖM,

couche absorbante doit rendre compte de l'influence de ces diverses
variables. Quant à Vinfluence de l'air et de l'acide carbonique, on peut
la regarder comme constante, la quantite d’acide carbonique variant
tres peu et son absorption selective étant si forte que l'absorption qui
en résulte s’accomplit deja dans les couches supérieures de l'atmos-
phere!). Si done nous ne tenons compte que de la radiation traver-
sant une masse atmosphérique à laquelle la formule simple de l'absorp-
tion est applicable, elle peut étre exprimée par
Qao ayuu

M. VioLLE et plusieurs autres savants ont essaye par une for-
mule de cet aspect de tenir compte de l'influence exercée par l'humi-
dité de latmosphere. En choisissant l'unité de la couche de vapeur
d'eau par où a passé le rayonnement, de sorte que p = q, on obtient

Q = pe

ou la formule de VronrE simplifiée. Elle est évidemment de la méme
nature que celle de PoUVILLET, avec cette difference qu'on y a tenu
compte de l'influence causée par l'humidité de l'atmosphere. La quan-
tité de poussiere en suspension n'y est pas représentée: elle ne peut
done avoir une valeur générale qu'en supposant linfluence de cette
quantité comme constante dans les journées d'un air parfaitement pur.

Il doit cependant toujours étre possible de représenter la radiation
par la formule

OT AR A Doe SENATE e
Jai done essayé de réduire cette formule aux deux termes en
lui donnant la forme

Q = Lp) + 1,g*

0

où I,, I, et e sont constantes, / représente la masse atmospherique
et « l'épaisseur en em de la couche d'eau qui se trouve dans l'unité
de la masse atmosphérique. Le premier terme représente la radiation
à travers de grandes masses atmosphériques et J,,p et c ont été

1) Jai essayé à Alta Vista mais en vain de vérifier les expériences bien connues de
M. Lecuer (Sitzungsber. d. Wien. Akad. 82, 2 Abth., p. 860, 1881) pour constater le rôle que
joue l'acide carbonique dans l'absorption de l'atmosphere. Deux tubes de 30 cm de longueur,
l'un vide et l'autre rempli d'acide carbonique, les deux couverts de plaques de spath fluor, ont
transmis la radiation avec exactement la méme facilité.

RADIATION SOLAIRE. 33
4
déduits des observations par une petite hauteur du soleil, I, et q par
la difference entre les observations par une petite épaisseur atmosphe-
rique et les valeurs de rayonnement correspondantes, calculées seule-
ment à l'aide du premier terme de la formule.

D’après les observations de M. Eprrstam à différentes altitudes
pendant l'ascension du Pic'), il semble que la tension de la vapeur
d'eau soit presque constante jusqu'à une hauteur de 1200 m au-dessus
de la mer, et que plus haut la formule de Haxx:

[ooo loser h

2r Pm 6500
(e = tension de la vapeur d'eau, / = hauteur) soit applicable?). En
supposant done que la tension dans les couches inférieures de l'atmos-
phere soit 11 mm et au sommet du Pie 2,5 mm, j'ai calculé l'épais-
seur « de la couche d'eau au-dessus de la station d'observation, ainsi

ran

À sah 160 SMS i
que de la couche d'eau & = « NUS contenue dans lunite de la masse
l

atmosphérique pour les différentes stations d'observation: Jai ainsi
obtenu comme premiere approximation les valeurs suivantes:

ct €
Guimar : 2,6 27i
le Canada: 11,9 1,5
le Pie: 0,7 ili

A l’aide de ces valeurs, on a determine les constantes de l’equa-
tion précédente où l'on a trouve).

T= 1,45. 0,96! e * 13) + 0,308 (0,65)" .

Le Tableau ci-dessous fait voir que cette formule représente tres
bien le resultat des observations. En n’ayant pas rendu compte de
l'influence des poussières dans les couches inférieures de atmosphere,
nous avons cependant sans doute attribue ici a la vapeur d’eau un
effet trop grand.

1) M. Epezsram publiera ses observations séparément.

?) Hans, Meteor. Zeitschrift, 11, 194, 1894.

3) Comme je l'ai déjà dit, je ne fais pas grand cas d'une formule empirique de ce
genre. Je n'ai donc pas fait ce calcul selon la méthode des moindres carrés, qui coüterait
plus de travail que cela n'en vaut la peine.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. '%/vı 1900. D

34 K. ÅNGSTRÖM.

Tableau XIV

Épaiss. Guimar Canada Le Pic
| Atm | obs. | Cale. | pif. Obs. | Cale. | Diff. Obs. | Cale. | Diff
1 1,39 1,39 0,00 | 1,51 1,50 | + 0,01 | 1,54 1,54 0,00
3 1:129 AR er 1538 ‚32 380,01. 12,37... 1538 I) 2004
3 1,03 1,04 |— 0,01 | 1,20 1,18 | + 0,02 | 1,24 1,25 | — 0,01
A 0,92 | 0,92 | 0,00] 1,09 | 1,07 | +0,02) 1,14 | 1,14 0,00 |
5 0,82 | 0,82 0,00 | 1,00 | 0,98 + 0,02) 1,05 1,05 0,00 |
6 OTIS || Onze 0,00 | | | 0,97 0,97 0,00

Il est facile de voir que si nous pouvions nous approcher en-
core plus de la limite supérieure de la vapeur d'eau dans atmosphère,
la formule donnée ne serait plus applicable, et, pour la mettre en ac-
cord avec les observations, il nous faudrait tenir compte encore des
termes dans la série exprimant l'absorption de l'atmosphère, ces termes
représentant les rayons le plus fortement absorbés par la vapeur d'eau.
Au-dessus des couches supérieures de la vapeur d'eau, il se trouve
probablement dans l'atmosphere une region, où la radiation n'augmente
que trés peu avec laltitude, l'absorption de l'acide carbonique et de
Yair étant déjà a peu prés accomplie dans les couches plus hautes
de l'atmosphere. Il pourrait done se faire que la courbe représentant
la radiation ett ici quelque part un point d’inflexion pour s’elever de
nouveau, quand on s'approche des extrémes limites de l'atmosphere,
où tous les rayons qui n'arrivent jamais jusqu'à nous commencent a
se faire valoir.

Ni ces observations ni nos formules empiriques ne peuvent ce-
pendant nous expliquer comment se passe la radiation hors de nos
limites d'observation, et ce n'est qu'en étendant ces observations à des
hauteurs de plus en plus considérables ainsi qu'en faisant des recher-
ches spectro-bolométriques qu'on pourra arriver à quelque clarté sur
ce sujet.

Si done les présentes recherches n'ont donné qu'une idée de
l'absorption dans les couches inférieures de atmosphere, j'espère pour-
tant avoir indiqué un moyen effieace pour étendre ces recherches, car
le pyrhéliomètre décrit dans ce qui précède me parait satisfaire à tout
ce quon peut demander d'exactitude et de rapidité à un instrument
de vee: senre:

APEENDIER IT

DETERMINATIONS DE LA RADIATION SOLAIRE A TENERIFFE

(EXTRAIT DU JOURNAL D'OBSERVATIONS EN 1896)

M:

vee) Ye EE

“
'
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* 0231
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- "
ed
D
i
P
+,
LÀ
P
E
i Y

2 S ae uA CLASS LM PES

RADIATION SOLAIRE.

he 21 Juin

1596

Alta Vista Alta Vista
Observateur: O. EDELSTAM Observateur: K. ÅNGSTRÖM
Instrument: N:o I | Instrument: N:o Il
Hauteur! Hauteur
Heures du t UE m Q d Heures du t Ie m Q
soleil | soleil | |
|
11751” | 84053’ | 180,0] 0,0671 |0,327 |1,601 | — | 6240" 119912 | 7°,0 | 0,0603 | 0,306 | 1,339
OR OS SO Ol “6860 S23 21.612) — N7 1897016010 8o5 643 | 0,308 | 1,440
1.37 |67941' 149,0 685/0,324/1,617) — | 7.27 | 29°12’) 90,0 648 | 0,308 | 1,452
3.572 | 36°59! | 139,5 632 |0,323 | 1,485 | — | 8.16 |39949' 119,0 685 | 0,309 | 1,536
5.979307 11220) 503 0,32211,388 | 0.5] 9.31 | 56°16’) 15%0 694|0,312 | 1,571
5.17 |19950'|119,5| 57610,322|1,348| — |11.49 |84945' | 189.0 | 704 | 0,314 | 1,605
1.37 |67941' | 149.0 707 0,311 | 1,596
1.50 |64951"| 159.5 697 0,312 | 1,578
3:57 1 36°59" | 1305 669 0,311) 1,511
5.15 |20%15|11%,0| 612|0,309| 1,371
be 23 duin 1896
6598-| 16°40' | 149,01 0,0563 | 0,323] 1,320) — | 5"32m | 510’ | 109,0 | 0,0394 | 0,306 | 0,875
6.36 | 18029" 150,0! bud (0,322 1,32 = 5.41 6059’ | 119,0 457 | 0,307 | 1,019
6.47 |90940'| 159.5| 589|0,394|1,386| — | 6.0 ae 1905 529 0,308 | 1,184
6.55 | 29°99"! 16°,0| 596 0,325 |1,407| — | 6.39 |18959'|16°,0! 599/0,312| 1,357!
Tied) 24056 |16°,5| 605/0,325|1,498| — | 7.45 | 33°95’ | 18%0 659 | 0,313 | 1,499
7.14 |9794 |17°0| 613} 0,325|1,447| — | 9.19 |53938’|18°0| "692|0,313 1,574 |
7.54 | 35%’ |1893| 633|0,326|1,499| — |12.17 | 83°51’| 219,0 699 | 0,316 | 1,597 |
12.14 |84916-20"5| 673|0,328|1,602| 0,2| 2.53 |50°59'|15%0| 681|0,311 | 1,539 |
24951052 | 170,5) - 652|0,326|1,543| 00! 3.46 |39029|1605| 665 0,312 1,506)
3.43 | 40"9' 17,0! 631 0,325 1,489| 0,91 4.47 | 26919’) 159,0 618 0,311 | 1,397 |
451 |95991'|159,8| 593|0,325|1,399| 0,5 | 5.40 |15°0' |1393| 564|0,309 | 1,265)
5.2 192300 |1595| 58410,325|1,378 | 0,5 |
5.16 120927 |169,0| 568|0,324|1,338 | 0,3 |
he 24 Juin 1896
7h46" 33017 | 18",5| 0,0628 | 0,326 |1,485 | 0,2| 6h23" | 15037’ | 185,5 | 0,0557 | 0,310 | 1,254 |
8.39. 4320 7) 19993) 645 | 0,329 1,542 | (0:0) TA 12340995 192053 655|0,314 | 1,493
9.45 |59721'|92"0| 656|0,329|1,568| 0,2| 12.2. |85"6' |20%,5| 702 0,315 | 1,605
11.9 77°33" | 229.5) 666 | 0,329 | 1,592) 0,2 | 3.24 4.4°10' | 18°,0 661 | 0,313) 1,504
3.10 | 47914 | 189,0 654 | 0,326 1,549. 0,2| 4.33 |99"11'| 169,0 642 | 0,312 | 1,455
4.5 35144 F0 643 0,326 | 1,523 0,0| 5.11 | 9194" | 149,5 609 | 0,311 | 1,376
4.54 |924049’|159,0| 599|0,324|1,410| 0,8 | | | |

38

K. ANGSTRÖM,

he 25 Juin 1896

Alta Vista Le sommet du Pie de Teyde
Observateur: O. EDELSTAM Observateur: K. ÅNGSTRÖM
Instrument: N:o I Instrument: N:o II
| Hauteur| | | Hauteur
Heures | du 2 JE m Q d Heures du t JE m Q ù
soleil soleil | |
| | ||
5^34"| 5°39'| 110,8) 0,0414|0,320|0,967| — | 6^39" | 18057 | 10°,0! 0,0616 | 0,308 1,379| 0,3
6.1 | 1192 |140| 518|0,323|1,216| — | 6.51 |21°29"/11°.0| 630) 0,308) 1,410) —
6.30 | 1794 |159,3| 570,0,324,1,349| 0,4] 7.21 |97953' 1195} 655| 0,309; 1,469) —
6.56 |29933' 17^8| 598|0,326/1,416| 0,3] 7.53 |34"48'|13^0| 675] 0,310] 1,519) 0,4
1,27 12.9109 EI 624 | 0,327) 1,483) 0,21, 8.53. |47°54°|16%,0| — 689 0,312) 1,560) 0,2
8.1 36132’ | 209.0 639 | 0,328 | 1,521 0,2 | 9:599 1611962 71820 694|0,313 1,578| 0,1
8.29 | 49"38' 2018 648 10,328 | 1,542) 0,4) 11.55 |84°59 DES 704 | 0,316 | 1,616 | 0,5
8.58 ;4990' |919,0 655 | 0,328) 1,559) 0,6| 1.55 |63"44 | 229,5 7.02 /073:17: 156115) 8079
9.59 | 62095’ | 9103 672 | 0,328 | 1,600} 0,5 | 2.57 50°6’ 90" 8 690|0,316 | 1,584| 0,0
19.38 | 80°8’ |20°,0 679 | 0,328 | 1,616) 0,6] 3.51 | 38°16’) 19",0 676 0,314) 1,542 | 0,1
1.54 | 63°57’ 190,8 664|0,398|1,580| 0,4 | 4.51 | 25°19’) 169,0 637 | 0,312 |1,442| —
9.54 | 50°45’) 19,3 666 0,327 | 1,582 0,1| 5:99 | 18944") 159.0 603 | 0,311) 1,363) —
32003700 Aia TS DEO 645 |0,326 | 1,527 | 0,2| 5.50 | 19954'| 130,5 557 | 0,310) 1,253) —
4.94 |31"7 |1790| 692|0,326 1,473| 0,6 | 6.20 6°45" | 130,0 465 | 0,309 1,043 —
4.59 | 23°37'| 179.0, 591/0,325| 1,395, 0,7| 6.39 90502 1105 353 | 0,307 |0,787| —
5.197 202113271625) 582 | 0,325 1,374 | — | 6.43 DO MES 302 | 0,307 |0,673| —
fe 27 duin
Le sommet du Pic de Teyde Alta Vista
Observateur: O. "EDELSTAM Observateur: K. ÅNGSTRÖM
Instrument. N:o I Instrument: N:o II
| Hauteur | | | Hauteur! |
| Heures du t IT m | Q | à | Heures du | 2c ou Q D)
soleil | | soleil | |
e LES |
| | | | |
6437” | 18031’ | 115,0/0,0583 | 0,321 |1,360| 0,9| 5*52"| 9"9' | 10°,0)0,0490 | 0,307} 1,093} —
6.51 | 91°98’ 11°,0| 601 | 0,321} 1,402) 0,3] 6.28 | 16°36’) 120,3 583 | 0,309 | 1,308} 0,2
| 7.34 |30?40' | 129,0) 635 | 0,322 |1,486| 0,1| 6.53 SE 1495 610 |0,311)1,379| 0,1
7.58 |3551”| 13" 0| 652 | 0,323 | 1,529] 0,2) 7.25 | 28°44") 169,5 639 0,312 |1,448| 0,3
| 8.93 | 41°97" | 149 0 660 | 0,324) 1,554) 0,1] 7.53 | 34°46’) 18,0 660 0,513 | 1,500) 0,4
| 9.0 [49094 9095 664|0,328|1,581| 0,2| 8.53 |47959'|2090| 678 |0,31411,547| 0,5
| 9.59 |69923'| 19"0| 679|0,397/1,613| 0,1) 9.52 |60"50'|219,0|] 692 |0,315|1,583) 0,4
| 12.2 84059 | 939.5. 678 | 0,330) 1,624) 0,3 | 11.55 | 84*54' | 189.0 699 | 0,314 [1,594] 0,9
| 1.52 | 64092 | 180,8 680!0,327|1,616| 0,1) 1.54 | 63055’ 199,0 687 | 0,314 |1,567 | 0,2
| 9.51 |51"23'|1895| 662/0,327/ 1,573] 0,1| 2.54 |50943'| 180! 672) 0,313] 1,528 | 0,8
BOT | 660 | 0,326 | 1,562] 0,4 | 3.3 48044’ | 16.5 675 | 0,312) 1,528 | —
3.94. 1370352 | 17/200) 643|0,396|1,591| 0,3] 3.58 | 386043 149.8 657 | 0,311] 1,485} 0,3
4.28 |30°14 11595] 635/0,325/1,499| 0,4] 4.23 | 31°18'| 1395) 644 |0,310|1,452| —
Len | DEM |) SSO) 609 | 0,324 |1,434| 0,0] 4.50 | 250817) 149,0 631 | 0,310 CE | 0,2
5.30 | 1793’ |149,0| 571/0,323|1,340| 0,3]
5.54 | 1999’ | 13° 8} 535 | 0,329 1,951) — |
6.22 | 6"18'| 1193) 440/0,320/ 1,022} — | |
6.47 19197] 998 207 0,318 0,617 | — ||

Alta Vista
Observateur: O. Eperstan.

Instrument: N:o I

RADIATION SOLAIRE.

he 29 Juin

Ca

1896

nada

Observateur: K. ÅNGSTRÖM
Instrüment N:o Il

39

Hauteur | | Hauteur
Heures du t 2 | m Q à | Heures du t I^ m | Q D)
soleil | soleil |
| | | | |
5533" | 5°15’ | 12°.5) 0,0410 | 0,321 | 0,956) — | 557 | 10"9' | 13°,0 | 0,0484 | 0,309 | 1,086) — |
2.56 9957 115%,0| 504,0,323|1,182| — | 6.23 | 15031’ 192,0 543 | 0,313 | 1,235) — |
6.24 15043 179,0 558 | 0,325 | 1,317| 0,2] 6.53 |21°50' 210,0 589 | 0,814) 1,343) 0,6
6901232721195 607 | 0,327] 1,449 | 0,7| 7.23 | 28915’ | 999.5 615 0,316 | 1,413| 0,2
7971929967 12003 625|0,327|1,485| 0,2] 7.53 | 34044’ | 290,5 641 10,316 | 1,472 | 0,3
8.0 36015’ | 20",8 644 | 0,328) 1,533] 0,3| 8.53 | 47050’ | 249,0 659110,317 1,516) 0,3
IA 49035’ | 209.5 664 | Las OD 9-531 6199! RS 679110317 1:546, | 0,1
10.0 62°34 |21°.0| — 674 0,328 | 1,605 | =) 1153) 8443219590 669 | 0,318 | 1,545 | 0,1 |
11.58 | 84953 |20°,0| 685|0,328|1,631| 0,0| 1.54 |63'53']2990| 672/0,320/ 1,561 0,4 |
248. 5290’ |92"5| 650 0,330|1.559| 0,2! 9:59 |51"8' |969,5| 638|0,319|1,478| 0,1
3.23 44"19' 91"8| 642 0,329 1,534| 0,1| 3.54 |37?33'|95"0| 594|0,317|1,367| 01
3.51 |38"19'|91"0| 639|0,328|1,521| 0,2| 4.23 |31"16'|9398| 570|0,317| 1,312 | 0,2|
Hao 93:28 dig 623 |0,327 | 1,480 0,2 | 42522509 ONAN 0) 551 | 0,316 | 1,265 | 0.8 |
255. | QE VANTS" S| 6031102326 M1428 140,211" 5:91 | 18°53’ | 93%5 | 520 0,316 | 1,194 =|
Boies 2059 118%0) ~ 585 0326 1,385] — | 5:49 | 13° 21001) #64| 0,314 | 1,058; =
| 6.18 10402020 390|0,313|0,887| —
| 6.34 3051:1200,0| 298) 0,313 | 0,678 | —
he 2 Juillet 1896
Alta Vista Guimar
Observateur: O. Eperstan: Observateur: K. ÅNGSTRÖM à
Instrument: N:o I Instrument N:o Il
Hauteur | | lHauteur |
Heures du t Ife m @ | © Heures du t T2 m | Q d
soleil | | | soleil | | | |
I | |
5539" | 622" | 199,5] 0,0436 | 0,821/1,016) — | 5l50m | 8937'| 959,0 | 0,0319 | 0,315 0,730 | —
5.54 9°26" |14*,3| 486 | 0,322 |1,137| — | 6.90 | 14"49' 2790| 499|0,317|0,987| —
6.23 |15"27'|16"8| 596 0,395|1,241| — | 6.53 |21046 12705] 476] 0,317 |1,095| 0,1
5562011990952 (177078; 582|0,395| 1,374 0,7 || 7.91 27946! | 299.5 | 513 0,319 1,189) —
7.30 |29949'|199,5. 605/0,327| 1,437] 0,6] 7.48 33036 | 300,0 532 | 0,320 | 1,235} —
7.57 |35°33'|20"0| 627|0,327|1,490| 0,2| 8.52 | 47934’ | 320,0 569 | 0,321 | 1,327) 0,0
9.2 | 4994.7’ | 99".3 652 | 0,328) 1,552) 0,3| 9.54 | 59°13’ 390 0 | 585 | 0,321 | 1,364| 0,0
9.59 | 62219 249.0) 652 | 0,330) 1,562). 0,5) 11.54 | 84133! 3308 | 605 0,323 | 1,419] 0,1
11.54 | 84933'|23" 0) 677) 0,330] 1,622] 0,1 || 2.0 62°39’ 1 399.0 583 | 0,322 |1,364| 0,9
1.55 1633812193] 671 /0,329| 1,603 | 0,1) 2.52 |51°6’ |30°3 568 | 0,321 |1,325| 0,2
9.54 |50°39'|20° 3! 663] 0,329)| 1,585] 0,1| 3.54 | 37°30’ | 290,5 532 | 0,320] 1,236] —
3.24 | 4494 11990) 656 / 0,327) 1,559) 0,4] 4.93 | 31912" | 270,5 508 | 0,318 | 1,173] —
3.55 1827917 118% 3) 647 10,396|1,533| 0,0| 4.51 | 95°11" 290,0 | 479|0,319|1,110| 0,0
4.25 |30°48 |1750| 631|0,325|1,489| 0,2) 5.23 | 18°23'|30°,0 424 \0,319 |0,983| —
4.55 | 24030’ |17%0| 60710,325|1,433| 0,4 | I | |
5.6 |21°59|16%3| 598[|0,325|1,411| 0,1 |

40

K. ÅNGSTRÖM,

he 3 Juillet 1896

Alta Vista Guimar
Observateur: O. EDELSTAM Observateur: K. ÅNGSTRÖM
Instrument N:o I Instrument N:o Il
| Hauteur | | Hauteur
Heures du t I? m Q D) | Heures du t "me m Q d
soleil | | soleil
| |
5h95m | 3°39’! 10°,0| 0,0352 | 0,319] 0,816| — | bh49m | 6957' 12920010,0317 | 0,313 |0,721| —
5:090 9"19' 1993! 488|0,321|1,138| — | 5.50 | 8°35 2105| 350 [0,313 | 0,796 | —
6:942 8159392 1523 569|0,394|1,340| 1,2| 6.93 | 15995'| 2195 435 | 0,314 10,992 | 0,4
6.54 191582 177073 609/10,395 | 1,491 | 0,8 | 6:52 91939. | 9390 482 |0,315 | 1,103 | 0,7
| 7.26 |98949'|199.0 626 10,327 |1,487| 0,1 | 7.91 |97945'|959,0 517|0,317|1,190| —
7.918 3495322020 642 0,327 |1,525| 0,6 | 7:59 132297712695 542 0,318/|1,252| 0,2
8:53 | 47°46’ | 229,0 661 | 0,829} 1,580) 0,3 | 8.52 | 47939’ | 989.0 558 | 0,319] 1,293) 0,9
| 10.0 69"30' | 290,0 674|0,399]|1,611| 0,7| 9.53 |60958' 3058 585 | 0,321) 1,363] 0,0
11.58 | 84°36’ | 209.0 679 | 0,328) 1,617] 0,2 | 11.56 | 84033/3300] 599|0,3929 1,385 | 0,7
1.48 | 64055’ | 209,8 675 |0,328!1,608] 0,1 | 1.53 | 64°92" |3093, 570/0,320/1,324) 0,2
9.53 |50°50'| 180,5 665 | 0,327 | 1,580 0,11: 9.53 |50950'|30"0| 549) 0,390) 1,275) 1.3
3.26 |43935' 109,5| 65210,325|1,539| 0,5| 3.51 | 388s’ |989,3; 528|0,318|1,290| —
| S49) 3809171695 644 | 0,325 | 1,520 0,1] 4.92 |31°94"| 98". 498 | 0,318 | 1.150 | 0,6
| 4.24 |30958' | 159.0 698]0,394| 1,479| 0,41 4.50 |95"93'|989.0 464,0,318| 1,072| —
2730084959992 Ef3055 614 | 0,393 | 1,440 0,1. 5.99 9790; 409|0,317,0,941| —
| 5.8 | 21933'| 112°,0] 596/0,322]1,394| 0,5 |

APPENDICE 1I

OBSERVATIONS MÉTÉOROLOGIQUES A TÉNERIFFE

(RECUEILLIES ET CALCULÉES PAR M. OTTO EDELSTAM)

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II. Impr. ?5/vir 1900.

ot

4114

[s

————————————

Humidité

RADIATION SOLAIRE.

43

Lieu d’observation

Pico de Teyde

Alta Vista

Jour

25°6°96

27°6°96

21-6-96

22°6°96

23°6°96

24:6:96

25:6:96

Température
Pressa | en +
Heures | |
atm. | therm. | therm,
| sec mouill.
FAOMa Mm. | | 4,4 |—929|
9 34 I Ze
Lil jl) 491,5 |
11 39 | 92°) — 0,5
2 24p. | RON OS
4 39 | 9.8 | — 0.6
5 59 | | 10,2 | — 0,7
her 492,5 |
7 19 | 4,2 | — 4,6
9 13 491,5 |
9 91 4,7 | —3
10 54 | 491,8 |
10 59 6,2 | — 3,3
11 44 491,7 |
12 26 p. 491,4 |
12 34 | | 1,6 | — 1,9
1 4 491,6
PERI 490,9 |
3 à I)
4 49 490,3 8,1 |— 1,
6 11 | 490,9 6,7 | — 2,
6 34 490,9 |
79 491,0 |
729 a | 5,4 | — 9,
8 44 520,9
19 19 | SO) | ms (0A
4 31 p. 519,0 8,0 | — 1,7
6 bla 4,9 | — 9,
8 19 517,2 |
9 1 517,1 |
lil il 517. She 1,6
326p 517,0 |
8 21 517,1
102802: 518,5| 11,8 1,4
10 24 519,2 |
11 40 | 19,4 2,6
5 14p 7,9 0,7
6 24a. | 590,1| 10,1 0,5
914 521,3
TO eG 4,0
10 36 521,5 |
247p 521,2 | 13,2 11.9
3) 9771 alia 0,5
634a 521,0
6 20 | ba 1,0
8 20 591,5
10 14 5999 ESTE 5,4

2,6
2,2
2,4
2,9
2,3
2,1

|
| absol. | relat.

41
29

28
29
Or

a0

2

24

2]
ora

5
Dey
DR

99
2,4

| Remarques

Le bord de l'ouest
| du grand cratère
| Vent. violent.

Vent violent N.O.

Vent violent N.

| Vent violent.

Vent violent.

44 K. ÅNGSTRÖM,

| Température Humidité
Lieu d'observation Jour Heures ib | Remarques
atm. |therm. therm. eise lou |
sec | mouill. m? ji
Ph
Alta Vista 95:6:96 !10^59"a.m.| 521,8 | :
3 io 599,91 1371 3273,51 31 3,6 !
5 39 521,1}, 11,2 0,9] 2,6 | 26 | 2,6 |
26:6:96 | 7 9a. | 520,5
9,52 520,9 | 10,4 2,6| 4,0 | 42 4,0 | Vent faible.
12 30 p 520,7
129 520,7
4 4 520,6 9.9 | — 0,6) 20) 23 | 2,1 1
27-696 | 6 9a. 6,9 | — 1,7) Bah |) 28 199 :
19 59 p. | 517,4 | 3
2 9p 11,6 | 20] 3,2 | 31 | 32 À
5 54 9,2 | —-1,0| 2,0 | 23 | 2,0
28-696 | 10 27 a. | 519,5
396p. | 519,6 |
29:6:96 | 5 52 a. So DON AR el eet |
8 16 EON ee dies ESTO, itl
8 38 520,7
9 21 12,8 0,0) 21,71 116 1,7
10 44 13,4 0,8| 2,0} 18 | 2,1
12 91 p 13,0 110) | $252) RP) 22:33]
9 49 12,4 10) e253" 22 9,3
4 49 10,5 |— 0,1| 2,2 | 23 9,9
30:6:96 | 6 34 a. ES 0,0 |: 2,0 | 20 | 2,0
8 24 12,9 OM) QAO | aes | SHO
9 39 529,4 (
10 17 19,7 (0/8) eerie eerie MON
19 54 p 13,6 USA 22:52 022 2,9
3 44 13,8 1,5| 2,4 | 20 | 2,4
5 30 Sel 0,3| 1,8 | 16 1,8
1:7:96 | 7 30a. | 593,4 | |
7 44 13,2 281,353, 290033
921 14,2 a) | RES) || 2 3,3 I
11 19 15,3 4,0) 3,6 | 28 | 3,6 i
135p 14,3 3101189762992 98 5316
3 45 13,0 3,9] 43,5*| 32. 215956 À
6 39 11,0 99) 3,4 | 34 | 34 '
9:7:06 HÖR ana 10,9 | — 0,6| 1,8 | 18 1,8 i
7 34 522,0| 13,4 OA EQ AID)
10 19 15,5 1,41. 1596 213 "o
LP 919) 14,8 1597 TON 2163220 i
2 16 p. 15,4 1,8) 2,2 17 2,9 E
3 39 12,4 — 0,2] 1,7 | 16 | 1,7 $
MJ 10,4 |— 1,4] 1,4 | 15 1,5 bd
Tf i 8,8 |— 2,2) 1,4 | 17 1,4 +
3:796 | 614a 9,4 |— 2,0] 1,3 | 16 1,4 i
7 44 11,7 | — 0,4] 1,8 | 17 1,8 |
8 31 518,9
9 49 1977 a cabe) qp 117] 1,9 |

RADIATION SOLAIRE.

Température | Humidite
Lieu d’observation Jour Heures en | |- Remarques
atm. therm. | therm. eat gr
| sec | mouill. m’ |
| |
Alta Vista 37:96 |11*14"a.m.l 14,0 177 | 25 91 2,5 |P. m. vent violent.
in. 135 | O04| 18| 16 | 13 |
3 42 10,97 2 20,9 920) |) 1,9 |
y 5) 7,5 |—929,5| 1,6 | 20 1262]
Canada 29:6:96 6 Qa. 11,8 pal 1,8 18 1,8
8 14 597,1 | |
, I |
12 9p. 251 | 10,8) 5,9 | 96 | 5,8 |
12 24 597,3 | | |
Gal 18,0 10,4| 7,2 47 7,2 \P. m. vent violent.|
7 24 598,2
30:6°96 5 44 a. 10,6 JAI 9.8 29 2,8
454p. | 599,6
Guimar 2796 | 5 54 a. 734.3 »Azotéa» de l'hôtel
6 0 2319) SKL OO SR 6,7 | »Buen Retiro».
19-915: 734,0| 27,7 ier he NEO
5 54 | 24,3 16.9 | 11,1 49 |10,8
3796 | 5 54 a. | 19,2 | 13,5] 9,1 | 55 | 9,0
ap: ae [012,5 1,2 | 150: UE
4 54 p. 131,3 | |
5 54 I 9941 16,1 | ibe th 56 10,9 | Observations de
Laguna | 91:6:96 | 9 Oa 717,4| 19,0 | 16,3|19,2 | 76 |12,1 | Observatoire
3 0 p 716,2 19,2 17,1 13,4 82 13,3 | met. espagnole.
29:0:69-|- 9) Ova. TAU S(O) IE 14,9|11,4 | 90 | 11,4
3 (jo. 714,9 | 18,5 17,0 | 13,6 86 | 13,5
93:6:96 9 Oa 715,9 || 21,0 20,0 | 16,9 91 | 16,6
3 Op 716,0| 21,0 19,3 | 15,8 86 | 16,7
24696 | 9 Oa 213.2 Ole Seal ISS ASS
3 Ojos ||) ZnSO) wees alge alee) 82 |e I
25:6:06 | 9 Oa. | 719.2] 18,8 | 17,0/13,4 | 82 | 13,3 |
3) Op? 718,7| 19,3 17,2 13,1 78 |13,0
26:6:96 | 9 Oa. 718,4 18,2 15,2 11,2 zes ala
SM OP 117,8| 18,4 16,3 | 12,6 81 | 12,4
27696 | 9 Oa 716,4 | 18,3 föra MES Fas, |A
3 Op HUGH) Wess | lee
28:6:96 | 9 Oa 716,4| 18,7 16,0 | 12,2 AS a
3 Op. 716,1 || 18,9 16,0 | 12,0 Hes | Vile)
29:6:96 | 9 Oa. 116,9| 22,0 18,5 | 13,3 68 | 13,0
9 Op 716,8 18,7 175421.13,6. 186271355
30'6:96 | 9 Oa. FAUT ON VE) 20,8 | 17,5 88 | 17,4 |
3 Op. 117,9 || 20,3 eh mas || Ol 150
Sitio de Cullen 21:6:96 | 9 Oa. 763,7 | 23,8 19,7 | 14,1 64 | 13,7 | Observations de
Puerto de la Orotava 9 Op 762,3) 20,4 | 16,6|11,5 | 64 | 11,4 |M.etdeMmePerrv.|
22°6°96 Om Oka 761,0 Al 18,3 13,6 71 13:32) Baromètre A ins]
9 Op. | 760,9| 193 | 18,3|14,9 | 89 | 14,7 eure, psychromètre
23:6(:96 | 9 Oa 761,2) 23,2 19,9 | 14,9 70 |14,6 ordinaire.
9 Op 169,8| 20,0 1912115722 OR METZ
24:69 | 9 Oa 163,7| 25,6 21,5 | 16,0 | 66 | 15,6
9 Op. || 765,7| 19,6 18,2 | 14,6 | 85 |14,4

|
|
|
|
|

46

K. ÅNGSTRÖM, RADIATION SOLAIRE.

Lieu d'observation

Sitio de Cullen

Santa Cruz

|
| | | Température | Humidite
| | Wiese. | | |
Jour Heures | Min | diem. (her |. aa re m | Remarques
| sec mouill. | nr: | Be m?
| | | | |
25°6°96 | gh el 765,4| 95,4 | OA | 15,5 64 | 15,0 |
9 Op. | 765,3| 18,4 | 16,9) 13,2 | 83 | 13,1 |
26:6:96 | 9 Oa. 764,8) 29,8 | 19,1 | 13,9 | 68 !13,6
9 Op. 763,7 || 17,9 16-1. 19:22 2818 71953
9769 | 9 0 x | 762,6) 93:3 | 1971145 | 68 | 14,2
9 Op. | 762,8| 19,6 | 166|19,1 | 71 | 19,0
28:69 | 9 Oa. | 7697| 94.3] 20.1145 | 65 | 14,1
| 9 0p. | 763,0] 18,9 16.3) 12.5.) (80 11242 \
29:696 | 90a. | 763.11 235 | 1931138 | 64 |135 |
9 Op 76954: | 189°) weiss") 89-137
306:96 | 9 Oa. | 764,1) 249 20,6 | 15,4 | 68 149
| 9 0p. || 7645| 194 | 18,5) 15,1 90 | 15,0
17:96 | 20a 764,4 | 93,3 | 90,61 15,9 | 74 | 15,5
9 Op 7647| 21.1 | 1981163 | 87 1160
27:96 | 90a 764,2 | 21,3 | 920,6/17,5 | 93 | 17,2
Wiis 77620] Bow |) TI BG I |
37:96 | 9 Oa. 762,4| 23,3 | 19,4141 | 66 | 13,8 |
9 Op. || 761,9| 20,7 19,0] 15,1 | 83 |14,9 |
21:60:06 | 9 Oa. | 763 | 26 | | Observations de
12 0 764 27 | M. Bückle.
99:6:900 | 9 Oa. | 764 | 95 | Baromètre à
12 0 | 763 | 26,5 | mercure.
23:6:96 | 9 Oa. | 762 25 | |
12 0 | 762 26 |
24:6(:900 | 9 0a. | 763 | 96 | |
12 0 70399 [Bom | |
25°6°96.| 9 Ow | 769% | 26 | | |
12 0 | 765: |) 97 | |
26696 | 9 0a. | 765 | 26 |
12 0 | 765 | 97 |
27-696 | 9 Oa. | 763 | 26 | |
12 0 | 763 | 27 | |
28:6:06 | 9 0a. | 763 26 | |
12 0 763 27 |
29:6:99 | 9 Oa 763 25 |
120 | 763 | 26 |
30°6°96 | 9 Oa. | 763 | 26 |
12 0 16309 2 | |
1:7:96 | 9 Oa. || 763 | 26
12 0 | 764 | 28
2:796 | 9 0a. | 763 | 27,5 |
12 0 763 | 98 |
37:96 | 9 Oa. | 763 | 26 |
12 0 762 | 27 | i

Bl:

Pl.

lab

Pl.

il;

9

Légende des Planches.

Carte générale de Ténériffe (d’après H. Mayer, Die Insel Tenerife, Leipzig 1896)
indiquant les stations d'observations en 1895 (x) et en 1896 (+).

Coupe de Ténériffe suivant la ligne AB (d’après les cartes de Frrrscu-Harruna-Reiss,
Winterthur 1867).

Vue de la cabane d'Alta Vista (d'après une photo. de M. Epetsram).
Vue du Pic de Teide, vu des environs de Icod de los Vinos (d’aprés une photo. de
l'auteur).
Pyrhéliomètre prêt à fonctionner (la porte de la caisse d'instruments ouverte pour
faire voir l'intérieur).
Détails de l'instrument de voyage.

Fig. 1. Intérieur de la caisse d'instruments, (voir p. 17).

» 2. Partie supérieure » »

» 3. Electrodynamomètre vu d'en haut, (voir p. 13).

» 4. Electrodynamometre vu de côté.

» 5. Montage du pyrhéliomètre, (voir p. 8).

» 6. Parties intérieures du pyrheliometre.
Aperçu général des observations en 1896 avec les courbes moyennes, (voir p. 23).
Courbes moyennes en 1896, (voir p. 27).
Radiation totale: ——. Composante verticale: . .... Abscisses: les temps. Ordon-
nées: les intensités de la radiation.
Courbes moyennes en 1896, (voir p. 27).

Abscisses: les masses atmosphériques. Ordonnées: les intensités de la radiation.
Les courbes de l'intensité de la radiation pour les mêmes hauteurs du soleil.

Les courbes de l'intensité de la radiation pour les mêmes masses atmosphériques,
(Voir p. 27 et 28).

Abscisses: Les pressions atmosphériques. Ordonnées: les intensités de la radiation.

ova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

Punta de Teno

afrunta Bois

Pico de Teyde

ON.

Punta de

Abona

Pl.

K. Angström, Radiation solaire,

Val de Gerry un gina À Punta det Hidalgo

E

Rogues de

NT rTegugang

en

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fora ER)
D |

of ene A CRUZ

TENÉRIFFE
+ Station d Obserya tion 1895
x » 22 1896

5 10 20
a1 - ——|

Kilometre.

Vue de la cabane d’Alta Vista

Vue du Pic de Teide

2122:

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. K. Ängström, Radiation solaire.

Le pyrhéliomètre

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser.IIT

K.Angsiröm, Radiation solaire. PI.3.

Litt. LL Jun ggren Upsala

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Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. I K. Angstrom, Radiation solaire. PI.5.

T See ———+ Jil m —
| 2 | il
| =! LI zi =

th.L.L junggren Ubsa
Lith LL junggren Upsala,

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. A Ångström, Radiation solaire. [1.6

Lith, LL junggren Upsala

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Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. K Ångström, Radiation solaire. PI. 7

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700 600 500 700 600 500
Lith. LL junggren Upsala

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| SECTIO PHYSICO- MATHEMATICA
‘SER, Ill. VOL. XX, FASC. II. SECTIO L 1904:

a —

NOVA ACTA

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SOC

NOVA ACTA
REGIE SOCIETATIS SCIENTIARUM UPSALIENSIS.
SER. II. VOL. XX. PASC. II. SECTIO I, 190% ©

SECTIO PHYSICO-MATHEMATICA.

VI.

LN DEX.

BERGSTRAND, Ö.: Détermination de la parallaxe annuelle de
l'étoile BD + 37° 4131 Be
DirLner, G.: Mémoire sur la solution analytique du probleme
deswNeCorpsi oe A AES STR DECR oe ae
Granovist, G.: Über die Bedeutung des Wärmeleitungsvermö-
gens der Electroden bei dem electrischen Lichtbogen
Äneströn, K.: Energie dans le spectre visible de l'étalon Hefner
BrnesrRAND, O.: Uber die Bahn des ersten Uranussatelliten
Ariel . bf Cur ur da, RA tire ert a ss oe re
ZEIPEL, H. v: Recherches sur les solutions périodiques de la
troisieme sorte dans le probleme des trois corps

Pag.

1— 36.
1— 24.
1—56.
1—12
1—-57.
1— 66.

Tab.

DETERMINATION

PARALLAXE ANNUELLE

LETOILE B.D+37°4181

PAR

OSTEN BERGSTRAND

(PRESENTE A LA SOGIÉTÉ ROYALE pes Sciences D'UPSALA LE 6 SEPT. 1901)

UPSALA
EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ
1902.

PRINTED iN SWEDEN

Introduction.

Dans les »Astronomische Nachrichten», T. 150, M. Scuur a
publié un résultat trés remarquable qu'il a tiré de ces recherches sur
la parallaxe et sur le mouvement propre de 61 Cygne, faites à l'aide
de l’heliometre de l'Observatoire de Góttingen!). Dans ces recherches,
M. ScHUR avait employé quatre étoiles de comparaison, à savoir
ED 3104131, B. D---.38 4405, B.D. + 38°.4332,. B. D. + 819,4193.
Quant aux deux premieres de ces étoiles, cette circonstance curieuse
s'était présentée que la distance entre elles, déduite des mesures, était
variable de maniere à changer avec les saisons. Au contraire, la distance
entre les deux autres étoiles s'était montrée constante,

M. Scour etait d'avis que ces variations de la distance mesurée
dépendent d'une grande parallaxe annuelle de l'étoile B. D. + 37,131.
et il trouve pour cette parallaxe la valeur + 0,6. Cette valeur est
plus grande que celle ordinairement admise pour la parallaxe de 61
Cygne, et elle n'est surpassée que par la valeur de la parallaxe de e
Centaure.

Le résultat de M. Scuur est d'autant plus remarquable que cette
etoile qui est de la 8S"* grandeur n'a pas de mouvement propre sen-
sible’). Par conséquent l'étoile devait être jointe physiquement à notre
systeme solaire et elle devait prendre part au mouvement de celui-ci
dans lespace. Cette circonstance intéressante serait analogue au phé-
nomene connu sous le nom de »star drift».

Comme M. SCHUR a recommende à d'autres observateurs d'entre-
prendre des recherches sur cette question, j'ai entrepris une determina-

1) W. Scaur, Ueber die Parallaxe eines Sterns in der Nähe von 61 Cygni (Astr.
Nachr., Bd 150, N:o 3590, 1899).

?) Voir »Observatory», T. XXII, N:o 284.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. !5/m 1902. 1

~

2 OsTEN BERGSTRAND,

tion photogrammetrique de cette parallaxe, à l'aide du grand refracteur
photographique (ouverture 33 cm., distance focale 4,36 m.) et de l'ap-
pareil de mesure de REPSOLD, appartenants à l'Observatoire d’Upsala.
Je vais ici rendre compte de cette recherche et des résultats auxquels

je suis parvenu.

Les clichés.

Pour la determination de la parallaxe, j'ai mesuré 13 clichés

photographiques de la region autour de B.D, + 37°,4131, pris dans le
courant d'un an (1899 septembre—1900 août). Comme étoile guide j'ai
employé toujours B. D. + 37°,4131. Des clichés, un a été exposé 3 fois,
dix en ont été exposes 4 fois et deux, 5 fois. Done les 13 clichés con-
tiennent en tout 53 images de chaque étoile.

Dans le tableau suivant sont eompris les dates générales des
différents clichés. (Les temps sidéraux correspondent aux milieux des
poses).

a -

N:o Tempår: pies Durée
du Date Sper ee ES _ Temps sideral Remarques
Akane ture barometr. des poses
1899
1 Sept. 43. | +7°,6:C.- | 760,31. 1205 PRE ab ONG:
120 3.56
60 5.56
60 7.96
2 Oct. 7 - 3,0 757,9 180 22. 1.38
150 11.38
120 14. 5
120 1728
3 Oct. 27 + 5,0 748,9 150 22. 4.20
180 9.20
120 13.50
120 16.50
4 Nov. 7 + 3,5 760,0 180 22.27.22
180 31.52
22

120 36.
120 39.:

oc
dv

DÉTERMINATION DE

LA

PARALLAXE

ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC. 3

N:o Tempéra- Pression Durées a cil
du i Date ture barometr des poses Temps sidéral Remarques
cliché : |
5 Nov. 22) 1,3030. | 7523, 9un. 180° 22h 30m 545
180 35.94
120 39.24
120 42.34
6 Déc, 20 = Si 783,2 120 0. 6.29
120 TES)
240 1.9.19 I Air mauvais.
240 24.19
180 28.49
1900
m Jany. 23 +1,5 Hole 180 29235
120 23.09
180 26.35. Air agıle.
120 32.35
8 Mars 30 —8,3 761,9 240 16.32.3
200 37.14
220 41.54 ['observalion interrom-
pue par des nuages.
9 Avr. 17 — 1,4 755.6 180 15.37.18
180 41.48
150 46.48
120 50.48
120 59.48
10 Avr. 17 — 0,6 756,1 150 16.39.48
100 42.38
150 45.33
120 48.48
11 Mai 17 +4.1 745,9 240 15.33.24
240 38.39
180 43.44
210 48.54 La dernière pose faite
en parlie à travers de
12 Mai 19 +0,2 748.6 240 16.38.25 nuages,
210 3.10 ,
210 41.50
180 51599
13 Août 11 +7,5 760,9 180 20.42.51
180 46.51
120 50.21

120

53.21

4 ÖSTEN BERGSTRAND,

Pour la premiere pose de chaque cliche, on a toujours pointé
l'étoile guide sur la reticule centrale du refracteur guide. Pour les
autres poses, j'ai pointé à une reticule mobile déplacée de 20” envi-
ron entre les différentes poses, dans la direction du nord. Donc les
differentes images d'une méme etoile sur chaque cliche sont situées à
peu pres sur le méme cercle de déclinaison.

Le centrage etait si exacte que pour la premiere pose on peut
toujours regarder l'image de l'étoile guide comme le centre du cliché.
Les distances des différentes images étant si petites, on peut aussi
pour les poses suivantes regarder l'image de l'étoile guide comme le
centre du cliché, sans introduire d'erreur sensible, ce dont je me suis
convaincu. D'ailleurs, de telles erreurs, étant à peu pres constantes
pour tous les clichés, ne pourraient pas avoir d'influence sur la déter-
mination de la parallaxe.

Comme toutes les plaques ont été exposées dans la méme posi-
tion de l'équatorial et comme les mémes étoiles de comparaison ont
toujours ete employees, l'influence de la distorsion du champ de doce
sur la determination de la parallaxe est eliminee.

L'erreur d'inclinaison de la plaque est à négliger, comme je l'ai
trouve, par une recherche speciale faite d'aprés la methode déjà de-
crite dans mon mémoire: »Recherches sur l'emploi de la photographie
stellaire ete.» (Upsala 1899). p. 86.

Sur chaque cliché, jai photographie le réseau astrophotogra-
phique de GAUTIER, appartenant a l'Observatoire, et j'ai procédé d’après
la méthode ordinaire, c'est-à-dire en placant le chassis devant l'objectif
du refracteur et en Vexposant à la lumiere d'une lampe électrique
située au foyer. En mettant toujours le réseau de la méme maniere
relativement aux coordonnées célestes, je suis arrivé à pouvoir me-
surer chaque étoile par rapport aux mêmes traits du réseau sur tous
les clichés. — Ainsi l'influence de toutes les erreurs de nature constante

du réseau — en premiere ligne les erreurs du réseau original — est
tout à fait éliminée,

En général, jai suivi autant que possible — aussi bien pour
la préparation des cliches que pour les mesures — le principe d’elini-

ner l'influence de certaines. sources d'erreurs en la rendant constante pour
toutes les observations. En effet, pour la détermination de la parallaxe
d'une étoile, on demande que les variations des coordonnées de l'étoile
et non pas les coordonnées elles-mêmes soient mesurées avec la plus
grande exactitude possible. Ainsi les petites erreurs qui sont constan-

DETERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC. m

tes pour toutes les observations n'ont pas d'influence sur la determina-
tion de la parallaxe.

En employant le réseau pour les mesures, on élimine les erreurs
de l'appareil de mesure (excepté les erreurs des vis micrometriques) et
l'influence de la température sur les mesures, et ensuite les déformations
systématiques d'une grande étendue de la couche sensible du cliche.
Et en mesurant plusieurs images de chaque étoile, toutes situées dans
l'intérieur d'un intervalle du réseau, on a égard, autant que possible,
aux petites déformations locales de la couche.

Les mesures.

Comme étoiles de comparaison j'ai employe les suivantes, toutes
contenues dans le catalogue de F»Astronomische Gesellschaft» (zone
de l'Observatoire de Lund):

a = B. D. + 8194115
b = B. D. + 364340
DESEE D AIS
d = B. D. + 37°,4130
Que py) «874199
f = B. D. + 9754141.

Elles sont toutes de la 8"* à la 9" grandeur. Dans ce qui suit je
désignerai par p l'étoile B. D. + 919,4131.

Les mesures ont été faites, pendant l'été 1900 et pendant l'hiver
1900—1901, à laide de l'appareil de mesure de REPsorp. Pour ces
mesures, j'ai employé un microscope muni de deux vis micrometriques,
perpendiculaires l'une à l'autre, de sorte qu'on peut mesurer en meme
temps les deux coordonnées rectangulaires. Le grossissement du mi-
croscope est de 12 fois environ. L’oculaire est mobile dans les deux
direetions des eoordonnées, de sorte qu'on peut toujors faire les visées
au centre du champ apparent.

Le cliché installé dans l'appareil fut orienté de facon que les
traits du réseau fussent paralleles aux deux systemes de fils du micro-

..

metre. A l'aide des vis jai mesuré les distances de chaque image

6 ÖSTEN BERGSTRAND,

d'étoile au trait precedent et au trait suivant du réseau, dans les
deux directions des coordonnees rectangulaires. Les etoiles de compa-
raison ont été mesurées ainsi 4 fois, et l'étoile p, 8 fois. Les mesures
ont été faites dans deux positions du cliché: la moitié des mesures
ayant ete effectuée dans une position, le cliché fut tourné de 180°, et
les mesures furent repetees dans cette nouvelle position du cliche.

D'abord jai corrigé toutes les lectures micrometriques à l'égard
des erreurs périodiques et progressives. des vis. (Voir mon mémoire dejà
cité: Recherches sur l'emploi ete., p. 38—44).

Ensuite, soient, dans l'une direction de coordonnées, R’, R”, S les
lectures, ainsi corrigées, pour les deux traits et pour l'image d’etoile:

jai calcule la difference
Y lr; -
Sa [R’ + T

cette difference étant la distance de l'image d'étoile au centre de l'inter-
valle du réseau, exprimée en revolutions de la vis. Les lectures dans
l'autre. direction ont été traitées de la méme maniere.

En prenant les moyennes de toutes les différences R” — R’, dans
l'une et lautre direction, jai obtenu, pour le cliché en question, la
valeur d'un intervalle du réseau exprimée en revolutions de chacune
des deux vis mierometriques. Avec ces valeurs j'ai forme, spécialement
pour chaque cliche, et pour les deux coordonnées, de petits tableaux
auxiliaires, à l'aide desquels jai pu transformer les mesures en frae-
tions de l'intervalle du réseau.

En prenant les valeurs moyennes des différentes mesures d'une
méme image d'étoile et en y ajoutant les intervalles entiers, j'ai obtenu
enfin les coordonnées rectangulaires de toutes les images d'étoile me-
surees sur le cliché, par rapport aux deux traits centraux du réseau
comme axes de coordonnees.

Ces coordonnées, exprimées en intervalles du réseau (l' 2 » mm.),
sont comprises dans le tableau suivant. J'y ai désigne par I, IL...
les différentes poses d'un même cliché. Pour chaque cliché, j'ai indiqué
la valeur de l'intervalle du réseau, exprimée en revolutions de chacune
des deux vis.

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC. i

Cliché r.

Étoile l Il IH IV
Les coordonnées x (U = 10',7625)
a 620092 6'.5380 6,5364 6.5364
b — 3,6598 — 3,6585 — 3,6577 3,6581
ec - 1,6403 1.6390 — 1,0376 1,6382
d — 1,5443 - 1,5432 — 1,5418 1.5419
D + 0,1772 + 0,1754 + 0,1797 + 0,1784
ec + 1,6064 1,6076 + 1,6091 + 1,6087
ja + 5,2350 + 8,2364 + 5,2373 + 5,2377
Les coordonnées y (1 = 10',7508)
a — 5,6060 — §,5429 — §,4919 5,4330
b — 8,0222 1,9591 — 7,9070 — 7,5490
rz + 3,3990 T 3,4627 + 3,5139 Shoal
d + 8,7616 + 8,8247 + 8,8769 2 + 8,9351
p + 0,0993 + 0,1624 + 0,2136 0,2730
e — 0,7165 - 0,6531 — 0,6021 0,5429
f — 4,0114 — 3,9468 — 3,8953 3,8369
Cliche 2.
Etoile I Il Ht IV
Les coordonnées x (1° = 10/.7552)
(t — 6',0009 — 6,0020 — 6/,0035 6.0049
b — 3,1216 - 3,1230 — 3,1244 — 3,1255
[2 — 1,1083 — 1,1096 — 1,1113 ZT
d — 1,0145 1,0159 — 1,0173 - 1,0193
p + 0,7106 + 0,7101 + 0,7091 - 0,7069
e + 2,1414 + 2,1403 + 2,1386 + 2,1372
if + 5,7703 + 5,7699 + 5,7689 + 5,7670
Les coordonnées y (CSN 0 5 0 0)
[7 — 5,6133 — 5,5465 — 5,4948 5,4392
hb — 8,0286 — 7,9629 — 7,9111 7,8550
( + 3,3940 + 3,4608 + 3,5122 + 3,5689
d + 8,7550 + 8,8214 + 8,8723 - 8,9287
p + 0,0934 + 0,1598 + 0,2112 + 0,2676
r2 — 0,7215 — 0,6555 — 0,6036 0,5472
if. — 4,0127 — 8,9457 — 3,5945 2,8389

ÖSTEN BERGSTRAND,

Cliché 3.

Etoile I Il III IV
Les coordonnées x (li = 10’,7568)
a — 6',0543 — 6',0556 — 6',0565 — 6',0582
b — 98,1750 — 3,1760 — 8,1772 — 9,1782
C MALE TS — 1,1588 — 1,1594 — 1,1605
d — 1,0618 — 1,0628 — 1,0639 — 1,0652
p + 0,6606 + 0,6596 + 0,6585 + 0,6573
2 + 2,0914 + 2,0904 + 2,0885 + 2,0879
fö + 5,7191 + 5,7186 SET nia) + 5,7162
Les coordonnées y (1' = 10/,7495)
a - §,5982 = 5 9385 — 5,4831 — 5,4373
b — 8,0147 - 7,9547 — 7,8992 — 7,8532
C + 3,4082 + 8,4686 - 8,5240 + 8,5699
d + 8,7704 4 8,8308 + 8,8864 4 8,9325
p + 0,1076 + 0.1679 + 0,2237 + 0,2695
e — 0,7082 0,6472 — 0,5918 — 0,5466
7i - 4,0003 — 3,9405 3,8851 — 8,8392
Cliché 4.
Étoile I Il I IV
Les coordonnées x (1! = 10",7537)
a —~6§! 3535 6',3547 - 6' 3551 6'.3566
b — 3,4719 - 3,4735 3,4744 — 3,4760
C — 1,4616 - 1,4627 - 1,4632 - 1,4643
d — 1,3680 — 1,3696 — 1,3699 — 1.3709
p + 0,3582 + 0,3569 + 0,3565 + 0,3556
[2 + 1,7907 + 1,7892 + 1,7887 + 1,7877
if + 5,4203 + 5,4190 + 5,4186 + 5,4165
Les coordonnées y (1! = 10",7524)
a 5,5831 — §,5296 — §,4935 — 5,4596
b 7,9987 - 7,9447 -- 7,9083 - 7.8747
C + 3,4257 + 3,4798 + 3,5165 + 3,5494
d + 8,7873 + 8,8413 + 8,8779 + 8,9108
p + 0,1260 + 0,1794 + 0,2163 + 0,2499
[2 — 0,6884 0,6347 — 0,5980 — 0,5649
f — 3,9790 — 3,9268 - 9,8897 — 8,8549

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE

DE L'ÉTOILE ETC.

Cliché 5.
Étoile I Il 1l IV
Les coordonnées « (1' = 10",7584)
a — 6',0257 6',0265 — 6',0281 6,0504
b — 8,1448 — 93,1457 3,1465 3,1482
C — 1,1375 — 1,1384 1,1397 1,1417
d — 1,0459 — 1,0474 1,0484 1,0506
p - 0,6829 + 0,6813 + 0,6813 + 0,6794
e + 2,1150 + 2,1140 + 2,1126 + 2,1110
if + 5,7464 + 5,7453 + 5,7438 + 9,7419
Les coordonnées y (1* = 107,7539)
a - 5,5819 5,5251 — 5,4783 5.4310
[/ — 1,9952 — 7,9386 7,8920 — 7,8443
[2 + 3,4283 + 3,4851 + 3,5326 3,9802
d + 8,7895 + 8,8468 + 8,8929 + 8,9411
p 4 0,1293 + 0,1858 + 0,9329 + 0,2811
e - 0,6853 — 0,6285 — 0,5814 — 0,5339
if - 3,9739 — 39174 - 3,8707 3,8234
Cliché 6.
Étoile I Il I IV V
Les coordonnées x (1' = 10,7589)
a — 6',0560 - 6',0572 — 6',0582 — 6',0585 — 6',0600
b — 3,1722 — 3,1731 3,1746 - 9,1754 — 8,1767
€ — 1,1742 — 1,1764 — 1,1774 151,079 — 1,1793
d — 1,0891 - 1,0906 — 1,0918 — 1,0930 — 1,0943
p + 0,6487 + 0,6473 + 0,6468 + 0,6455 + 0,6444
[2 + 2,0803 + 2,0788 + 2,0776 + 2,0767 + 2,0754
if + 5,7147 + 5,7129 + 5,7120 + 5,7112 + 5,7100
Les coordonnées y (1' = 107,7554)
a — 5,5496 — 5,4957 5.4517 5.4091 5,3540
b — 7,9622 — 7,9085 — 7,8633 - 7,8214 - 7,7660
2 + 9,4634 + 3,5175 + 3,5620 + 3,6041 + 3,6590
d + 8,8256 + 8,8790 + 8,9235 + 8,9660 + 9,0207
p + 0,1654 + 0,2203 + 0,2640 + 0,3063 + 0,3610
| Gif SU - 0,5932 — 0,5491 0,5065 — 0,4511
f — 3,9354 — 98,8806 — 8,8352 — 3,7931 - 9,7390

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. !?/nr 1902.

re

9

10

OSTEN BERGSTRAND,

Cliche 7.

Etoile I Il 1 IV
Les coordonnées x (1: = 10",7614)
a - 65,0630 — 6',0642 — 6',0651 — 65,0673
b — 3,1808 3,1817 — 3,1822 — 3,1838
(E — 1,1819 — 1,1828 - 1,1845 — 1,1868
d — 1,0950 = N — 1,0979 — 1,1006
p + 0,6415 + 0,6405 + 0,6381 + 0,6351
e + 2,0726 + 2,0706 + 2,0694 + 2,0674
f + 5,7053 + 5,7039 + 5,7033 + 5,7013
Les coordonnées y (1! = 10",7581)
a — 5,5452 - 5,4895 — 5,4413 — 5,3740
b -- 7,9573 — 7,9020 — 7,8536 — 7,7866
G + 3,4653 + 3,5195 + 3,5673 + 3,6350
d + 8,8257 + 8,8797 + 8,9277 + 8,9956
p 4 0,1668 + 0,9225 - 0,2697 + 0,3379
e — 0,6468 — 0,5912 — 0,5438 — 0,4758
if — 8,9337 — 3,8791 - 3,8311 — 3,7633
Cliche 8.
Étoile I Il Il

a —
b =
C =
d +
p +
e 2

Les coordonnées x (l5 = 10”,7766)

6,1054

3,2211

- 1,2260
= FeSO)
+ 0,5982
+ 2,0296
+ 5,6630

Les coordonn

5,4843
7,8927
3,5314
8,8915

+ 0,2358
- 0,5764
- 8,8598

ET

+

6/,1073 — 6/,1103
3,9234 — 3,2264
1,2283 — 1,2315
1,1440 1460
0,5952 + 0,5924
2,0274 + 2,0237
5,6609 + 5,6574

des y (1! = 10,7788)

- 5,4055 — 5,3404
7,8142 — 7,7493
3,6098 + 3,6748
8,9690 + 9,0349
0,3138 + 0,3792
0,4980 — 0,4327
3,7810 = md

DETERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC. 11

Cliché 9
Etoile I I I IV V
Les coordonnées x (1' = 1077552)
a = 61091 — 6',1109 — 6',1106 — 6',1136 — 6',1147
b — 3,2259 — 3,2276 — 3,2277 — 3,2305 = So
€. | —1,2318 1 2331 — 1,2338 — 1,2362 — 1,2370
d - 1,1479 — 1,1494 — 1,1505 eisai = 1,1941
p + 0,5926 4 0,5909 + 0,5903 + 0,5882 4 0,5866
& | FRA + 2,0226 + 2,0217 + 9,0197 - 9.0188
f + 5,6586 4 5,6566 4 5.6557 + 5.6538 r 5,6531
Les coordonnées y (1! = 107,7551)
(t — 5,4745 — 5,4130 — 5,3614 — 5,8153 - 5,2782
b — 1,8827 — 7,8221 — 7,1102 Cotes} 7,6869
ec + 3,5413 + 3,6017 + 3,6539 + 3,7004 + 3,7381
d + 8,9017 + 8,9613 + 9,0130 + 9,0594 + 9,0972
p + 0,2470 + 0,3078 4 0,3585 + 0,4051 + 0,4428
e — 0,5645 — 0,5036 — 0,4526 — 0,4066 — 0,3689
i — 3,8470 — 3,7863 — 8,7351 3,6892 — 3,6523
Cliché ro.
Etoile I I Iu IV

Les coordonnées æ (1' = 10,7611)

a — 6,1161 — 65,1166 — 6/1193 — 6,1228
b — 3,2342 — 3,2349 — 3,2380 — 3,9404
c — 1,2336 — 1,2340 = 1,2381 — 1,2403
d — 1,1463 -- 1,1479 — 1,1506 — 1,1530
p + 0,5886 + 0,5877 + 0,5853 + 0,5828
e + 2,0203 + 2,0192 + 2,0168 + 2,0136
f + 5,6525 + 5,6518 + 5,6490 + 5,6462

Les coordonnées y (1* = 10',7608)

a — 5,4624 — 5,4026 — 5,3586 — 5,3066
b — 7,8729 7, 8134 — 7,7691 Sant
c + 3,5509 + 3,6110 + 8,6555 + 3,7073
d 4 8,9114 + 8,9712 + 9,0158 + 9,0682
p + 0,2546 + 0,3132 + 0,3582 + 0,4104
e — 0,5590 — 0,4987 — 0,4546 — 0,4027
f — 3,8437 — 3,7834 — 3,7392 — 3,6876

12

OsTEN BERGSTRAND.

Cliche rr.

Étoile I Il I IV
Les coordonnées x (1' = 10,7763)
a — 6:,2133 16591105 — 67,2198 — 6/,9923
b 3919 — 3,3340 913374 — 3,3406
ec — 1.3282 — 1,3314 = ipsa - 1,3372
d — 1,2403 — 1,2433 — 1,2465 — 1,2486
p + 0,4937 - 0,4904 + 0,4875 + 0,4846
e + 1,9248 + 1,9211 + 1,9190 + 1,9162
jf + 5,5553 + 5,5527 - 5,5560 + 5,5475
Les coordonnées y (1! = 10”,7726)
ad — 5,5844 - 5,5096 — 5,4596 — Di
b — 7,9941 — 7,9190 — 7,8627 — 7,8018
2 + 3,4284 + 3,5034 + 3,5600 + 3,6210
d + 8,7879 + 8,8635 + 8,9200 + 8,9805
p 4- 0,1323 + 0,2071 + 0,2634 + 0,3949
( — 0,6798 — 0,6047 — 0,5482 — 0,4874
if — 3,9651 - 3,8910 — 018945 — 3,7740
Cliché 12.
Étoile l Il I IV
Les coordonnées æ (1' = 10/,7765)
(t —.6', 2357 — 62.2397 — 61,2424 — 6',2463
b = 13.3536 = 3,3572 -— 3,3601 — 3,3643
[t — 1,3518 — 1,3553 — 1,3591 - 1,3618
d — 1,2630 — 1,2671 — 1,2697 12738
p + 0,4713 + 0,4668 + 0,4629 + 0,4605
e 4 1,9033 - 1,8994 + 1,8951 + 1,8912
f + 5,5344 + 5,0293 + 5,0264 + 5,5228
Les coordonnées y (1* = 107.7729)
a — 5,5852 — 5,5277 — 5,4844 - 5,4433
b — 7,9973 — 7,9392 — 7,8953 - 7,8550
2 + 3,4265 + 3,4843 + 3,9287 + 3,5690
d + 8,7873 + 8,8444 + 8,8889 + 8,9297
p + 0,1300 + 0,1879 + 0,2319 + 0,2722
e 0,6816 — 0,6240 — 0,5805 — 0,5400
ip — 3,9681 — 3,9107 — 3,8673 — 3,8265

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC. 13

Cliche 13.

Étoile I Il Il IV
Les coordonnées x (1° = 10’,7527)
(t — 6,0562 65,0579 6,0587 6,0600
b — 3,1741 SINGS 3.1764 3,1776
C — 1,1698 — 1,1708 1,1718 1,1734
d — 1,0802 1,0815 208328 1,0842
p 4 0,0526 4 0,6512 + 0,6500 + 0,6483
e + 2,0831 + 2,0824 + 2,0808 + 2,0798
7i + 5,7161 + 5,7147 + 5,7133 ea) (Ale

Les coordonnées y (1! = 10',7541)

« 5,6981 — 5,6366 — 5,5877 5,5452
b — 8,1097 — 8,0487 — 7,9999 7,9576
rz + 3,3147 + 3,3762 3,4247 + 9,4676
d + 8,6773 + 8,7381 + 8,7864 + 8,8204.
p + 0,0165 + 0,0768 + 0,1263 + 0,1690
( = 0809722 - 0,7361 - 0,6871 — 0,6445
/ — 4,0856 — 4,0247 - 3,9758 3,9332

TC) *

8.3.

Les corrections de réfraction.

.

Avant d'ajouter les corrections de réfraction, j'ai déplacé, pour
chaque pose, l'origine des coordonnées au point supposé comme centre
du cliché, c'est-à-dire l'image de l'étoile p. J'ai done soustrait à toutes
les coordonnées des étoiles de comparaison les coordonnées correspon-
dantes de l'étoile p.

Les corrections de refraction ont été déterminées de la manière
suivante. D'abord, j'ai calculé, pour chaque cliche, les quantités R,, R,, R,
d'après ces formules !):

1) Voir mon mémoire: Recherches sur l'emploi de la photographie stellaire à la dé-

lerminalion des parallaxes des étoiles fixes (Upsala 1899), p. 13 et p. 93.

14 OSTEN BERGSTRAND,

- ig m = cot q COST,
cotn = sin mtgr,
cos n' = sin n cos (d, + m)
cos O, = sin n sin (0, + m)

2. sin 1”

kc: 101539 se
cos” O,

Re sino

R, =k. eos n' eos n

R, = k. sin? n.

On aura alors les lermes du premier ordre des corrections de réfraction,
0%, OY:
Pe aes
oy — A, et hy

Dans les formules précédentes, p designe la latitude de l'Observatoire,
1,, 0), O, l'angle horaire, la déclinaison et la distance zenithale du
centre du cliché à Vinstant de l'exposition, La quantité 1,015939 est
le facteur de réduction, déterminé par M. WizsxG !), et z,, le coefficient
de réfraction, correspondant à la distance zenithale ©, et calculé a
l'aide des tables de BESsEL.
Les termes d'ordre. supérieur de la réfraction différentielle sont
tout à fait à négliger pour tous les clichés. Je m'en suis convaincu
en ealeulant, pour quelques cas extremes, les corrections dx, dy d'apres
les formules rigoureuses?):
tom = cot COS Zz,
to v, sin m
sinds m)
Y = cot (0, +m)

ee Eee een)

SA Poren
ye [e Ge se =P 9)

Ue I+XE+Yn |}

[ p m a 1] = JDE
L étant la distance focale'

1) Wirsing, Bestimmung der atmosphärischen Refraction für die photographisch wirk-
samen Strahlen (Astr. Nachr., Bd 145, N:o 3474, 1898).

9 " p re 4 À anne A . 4 ^t

^) Ges formules ont été démontrées par moi dans mon mémoire: Sur l'influence de
la réfraction et de Vaberration sur les mesures photogrammétriques des étoiles (Ofversigt af
K. Vet.-Akad. Förhandl., Stockholm 1897, N:o 2), p. 56.

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC. 15

et en les comparant aux valeurs calculées d'apres les formules approxi-
matives.

Dans le tableau suivant, je donne les valeurs de 7,, 0, log R,,
log R,, log A, pour les divers clichés. Les différentes expositions d'un
méme cliché étant faites à de courts intervalles de temps, j'ai pu, en
plusieurs cas, employer les mêmes valeurs de R,, f,, R, pour toutes
les poses du cliché. Pour le reste des cliches, il a suffi de calculer
les corrections pour la premiere et pour la dernière pose, et d'inter-
poler les valeurs pour les autres poses.

Cliché Pose Tiny e, log R, log I, log Jor

1 I aem. (een dr ne 6,461-10 4,2 -10 6,529— 10

Il 8.34

IH 10.54

IV 112005 092104 6,462 4,5 6,529
2 I Li MDG |) Oe. di 6,487 Diane 6,551

II 16.16

IH 18.46

IV 21.46 25.54 6,493 5,41 6,553
3 I 128.59, 94047 6,469 5,31 6,533

IL 13.59

Il 18.29

IV 21.29 25.53 6,471 5,39 6,537
4 I 211,92, il 26.18 6,487 5,46 6,547

II 36.31

I Al, 3l

IV 44. 1 27.16 6,493 5,48 6,551
5 I 5318351358982 6758 6,495 5,49 6,555

II 40. 3

IH 44. 3

IV dui Wd 6,501 5,55 6,559
6 I 13211-9919 37:94 6,587 5,953 6,637

Il 15.29 |

II 23.59 |

IV 28.59 |

V 33. 9 | 40.12 6,609 6,042 6,657
7 I +5.24.15 | 53.55,5 | 6,686 6,413 6,790

Il 27.45 |

IT Sess |

IV 37.15 HD 20/0 |) 165/03: 6,462 6,822
8 I —4.22.47 | 46.21 | 6,645 6,217, 6,707

II 157 |

I 13.27 Aah. dl 6,589 6,688,, 6,693

16 Osten BERGSTRAND.

Cliché Pose i CA log R, log R, log R,
D I = fine, Ce 539,14! 6,698—10 6,411,—10 6,796—10
Il 13.34
Il 8.34
IV 4.34
V 1.34 51.12 6,678 6,347, 6,760
10 | 4.15.54 45.20 6,619 Galion 6,679
Il 12.44
Hl 9.49
IV 6.34 44.16 6,611 6,140, 6,667
11 | -5.21.59 53.38 6,688 6,410, ,190
Il 16.44
Il iss}
IV 6.29 51.43 6,668 6,352, 6,756
12 | -4.16.58 45.35 6,617 Galion 6,675
Il 1213
lil 2236)
IV 3.28 | 43.51 6,601 6.121, 6,657
13 I — 0.12.54
Il 8.34 22.21 6,461 4,8, 6,529
I 5. 4
IV ee A

m

Pour la déclinaison du centre, 0), j'ai pris la déclinaison appa-
rente de l'étoile p, qui a eu les valeurs suivantes approchees:
pour les cliches 1—7 et 13:
0, = + 319.33";
pour les cliches 8—12:
dos 91082,
En caleulant les expressions
eee SUD
(ÖN = IR «+R, y
jai employe des valeurs de x, y qui ont été approximativement corri-
gees à l'égard de l'erreur d'orientation du cliche, de sorte qu'elles ont
été rapportées au systeme de coordonnées dont l'axe des y coïncide
au cercle de déclinaison passant par le centre du cliché. A cause de
la faible valeur des facteurs R,, R,, R,, il suffit, pour ce calcul, de
connaitre une valeur approchée de l'angle d'orientation.

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L ÉTOILE mmo. d

Dans le tableau suivant se trouvent les coordonnées rectangu-
laires des étoiles a, b, ..., f par rapport à létoile p, exprimées en
intervalles du réseau et corrigées à l'égard de la réfraction. La der-
niere colonne contient les valeurs moyennes des résultats des diffé-
rentes poses.

Cliché r.
Étoile I Il 11 IV Moyenne
Les coordonnées HH
al 6',7184 6,7184 6,7181 — 6571068 are
b — 9,8382 = BLISS 3,8356 — 3.8377 3,8382
c — 1,8180 1,8179 1,8178 = sul 1,8177
d — 1,7219 1,7220 = 17219 1,7207 — 1,7216
€ + 1,4296 + 1,4296 1,4298 + 1,4307 + 1,4299
if + 5,0592 + 5,0594 5,0590 + 5,0607 + 5,0596
Les coordonnées y
(t — 5,7072 = TORIO. - 5,7074 5.7079 5,7074
b — 8,1949 8,1949 — 8,1933 — 8,1947 8,1241
(7 4 3,3008 + 3,3014 + 3,3014 + 3,3012 + 3,3012
d + 8,6652 + 8,6652 + 8,6662 + 8,6650 + 8,6654
e — 0,8161 — 0,8158 0,8160 0,8162 0,8166
Jj — 4,1121 4,1106 4,1103 4,1113 — 41111
Cliché 2.
Etoile | Il 1H IV Moyenne
Les coordonnées x
a = 67007 — 64,7143 6',7148 617140 | 6',7142
b 26297 — 3,8346 — 3,8350 — 3,8339 3,8343
[2 — 1,8191 - 1,8201 1,5208 — 1,8194 — 1,8199
d — 1,7254 — 1,7263 1,7267 JL PASS) 1 1,7262
(2- | Ss TIE + 1,4306 - 1,4289 + 1,4307 + 1,4304
iff + 5,0612 + 5,0613 + 5,0613 + 5,0616 + 5,0613
Les coordonnées y
a — 5,7089 5,7085 5,7082 5,7090 5,7087
b — 8,1250 — 8,1257 - 8,1253 — 8,1256 8,1254
ec + 3,3018 + 3,3022 + 3,3022 + 3,3025 + 3,3022
d + 8,6647 + 8.6647 + 8,6642 + 8,6642 + 8,6645
( — 0,8152 — 0,8156 - 0,8151 — 0,8151 0,8152
7 — 4,1075 — 4,1069 - 4,1069 4.1079 4.1073

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. */1v 1902 a

18 ÖSTEN BERGSTRAND,
Cliche 3.
Etoile I Il Hi LV Moyenne
Les coordonnées x
a 6',7170 6',7173 — 64,7171 — 64,7176 — 64,7172
b 3,8370 — 3,8370 — 3,8371 — 8,8369 — 3,8370
€ — 1,8183 — 1,8188 — 1,8183 — 1,8182 — 1,8184
d 1,7226 = 1.7226 172206 — 1,7227 — 1,7226
€ + 1,4312 r 1,4312 + 1,4304 + 1,4310 + 1,4310
f + 5,0599 + 5,0604 + 5,0602 - 5,0603 + 5,0602
Les coordonnées y
a — 5,7079 - 5,7085 5,7089 - 5,7089 — 5,7086
b — 8,1251 — 8,1254 8,1257 — 8,1255 — 8,1254
c - 8,3017 + 3,3016 + 3,3014 + 3,3015 + 3,3016
d + 8,6658 + 8,6659 + 8,6657 + 8,6660 + 8,6658
e — 0,8161 — 0,8154 — 0,8158 0,8164 — 0,8159
if, 4,1093 — 4,1096 - 4,1102 — 4,1101 — 4,1098
Cliche 4
Etoile I I LT IV | Moyenne
Les coordonnées x
& — 6',7140 | — 6/,7139 — 6:,7139 — 6',7145 — 6,7141
b — 3,8316 — 3,8319 - 3,3324 — 8,8331 — 8,8322
[2 — 1,8202 — 1,8200 — 1,8201 — 1,8203 — 1,8202
d - 1,7265 — 1,7268 - 1,7267 — 1,7268 — 1,7267
e + 1,4329 + 1,4327 + 1,4326 + 1,4325 + 1,4327
if + 5,0635 + 5,0635 + 5,0635 + 5,0623 + 5,0632
Les coordonnées y |
a 57103 5,7413 — 5,7120 -5,7117 | — 5,7116
b — 8,1276 — 8,1270 - 8,1275 — 8,1275 | 8,1274
C + 3,3008 + 3,3015 + 3,3011 + 3,3006 | + 3,3010
d + 8,6644 + 8,6650 + 8,6647 + 8,6640 | + 8,6645
e 0,8147 | - 0,8144 — 0,8146 — 0,8151 | — 0,8147
if - 4,1064 | — 4,1076 — 4,1074 — 4,1062 | — 4,1069

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ETOILE ETC. 19
Cliche 5.
Etoile I Il I IV Moyenne
Les coordonnées HH
a — 65,7110 6/,7102 6/,7118 6/,7122 6/,7113
b — 3,8293 3,8286 3,8294 3,8292 3,8291
C — 1,8208 1,8201 1,8214 1,8215 1.8210
d — 14.7290 1,7289 1,7299 1,7302 17295
e + 1,4325 + 1,4331 + 1,4317 + 1,4320 1,4323
if + 5,0650 + 5,0655 + 5,0640 5,0640 + 5,0646
Les coordonnées y
a — 5,7134 5,7131 - 5,7134 5,7143 5,7135
b = 8712708 8,1274 8,1279 - 8,1284 8,1278
c + 3,3001 3,3004 + 3,3008 + 3.3002 + 8,3004
d + 8,6633 + 8,6641 + 8,6631 + 8,6631 + 8,6634
e — 0,8149 — 0,8144 0,8146 0,8153 — 0,8148
if — 4,1042 4,1045 4,1046 4,1055 — 4,1047
Cliche 6.
COE |
Etoile I Il I IV V | Moyenne
Les coordonnées x
(t — 6,7080 6.7078 — 61.7083 — 6: 7084 — 64,7078 6',7081
b — 3,8233 3,8228 — 3,8238 — 9,8234 — 3,8236 - 3,8234
c S 1-893391 — 1,8241 1,8246 11:89 98: Et RAT | 1.8240
d 17379 — 1,7376 1,7383 - 1,7382 — 1,7384 7380
€ - 1,4320 + 1,4319 4 1,4313 + 1,4317 + 1,4315 r 1,4317
iP + 5,0675 + 5,0671 + 5,0667 + 5,0673 + 5,0672 + 5,0672
Les coordonnées y
a — 5,7181 — 5,7191 5,7188 — 5,7186 — 5,7182 — 5,7186
b — 8,1315 8,1327 8,1313 -- 8,1317 — 8,1310 - 8,1316
[d + 3,2993 + 3,2985 + 3,2993 + 3,2991 + 3,2993 + 3,2991
d + 8,6639 + 8,6624 + 8,6633 + 8,6635 + 8,6636 + 8,6633
2 — 0,8135 0,8138 0,8134 — 0,8131 — 0,8124 — 0,8132
ip — 4,1021 4,1023 4.1006 4,1008 | —4,1014 | — 4,1014

20

Étoile

b

d

ÖSTEN BERGSTRAND,

Cliché 7.

I II 1H IV | Moyenne
Les coordonnées Tv
— 6',7092 — 6',7056 6',7081 — 67075 — 6',7086
3,3264 - 3,8263 3.8245 3,8233 3,8251
- 1,8233 1,8232 — 1,8225 1,8218 1,8227
— 1,7349 - 1,7350 — 1,7343 — 1,7339 — 1,7345
- 1,4316 + 1,4306 + 1,4318 + 1,4328 Fe Ash
+ 5,0651 + 5,0647 + 5,0665 + 5,0675 + 5,0660
Les coordonnées y
— 5,7172 5,7173 5,7165 5,7175 5,7171
8,1301 - 8,1307 8,1296 — 8,1310 8,1303
+ 3,5002 + 3,2986 3,2993 + 3,2988 3,2992
+ 8,6639 + 8,6623 - 8,6633 + 8,6631 + 8,6632
0,8137 - 0,8138 - 0,8137 — 0,8139 0,8138
4,1018 4,1030 4,1022 — 4,1025 4,1024
Cliché 8.
Etoile I II IH Moyenne
Les coordonnées 2
a - 67057 - 6',7046 6',7047 6,7050
b 3,8198 3,8191 - 3,8194 3,5194
[2 1,8256 — 1,8247 — 1,8250 1,8251
d - 1,7412 1.7410 1,7411 1,7411
[2 + 1,4321 + 1,4329 + 1,4319 + 1,4323
Ta + 8,0677 + 5,0684 5,0674 + 5,0678
Les eoordonn/es y
a - 5,7218 = Otel 5,7215 | 5,7215
b - 8,1319 — 8,1314 8,1320 [^ em 8,1318
[2 + 3,2976 + 3,2979 + 3,2975 | + 3,2977
d + 8,6603 + 8,6598 + 8,6602 | + 8,6601
e — 0,8128 0,8124 0,8125 | 0,8126
if - 4,0986 — 4,0976 4,0989 | 4,0984

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ETOILE pre. 2

Cliché 9.

Étoile l Il I IV V Moyenne

——————————————————————————————————————————?
|
Le N coordonne EST

a 6,7037 6,7038 67.7030 6/7038 6.70384 69,7035
b — 3,8184 3,8185 3,8181 3.8189 — 3,8178 3,8183
e - 1,8262 1,8257 1,8257 1,8260 = 1,8252 | 1,8258
d — 1,7454 = 1,7432 1.7436 1,7440 — 1,7433 | = 1,7435
e - 1,4325 + 1,4326 1,4313 + 1,4324 + 1,4321 1.124329
if + 5,0696 + 5:0693 5,0688 + 5,0690 + 5,0698 + 5,0693
Les coordonnées y
(t — 5,7231 5,7225 9,7215 5,7220 - 5,7227 5,7224
b - §,1336 8,1338 - 8,1325 8,1332 8.1334 — 8,1333
(e 3,2968 + 3,2964 3,2978 + 3,2977 + 3,2976 13,2973
d + 8,6605 + 8,6592 8,6601 + 8,6597 + 8,6597 + 8,6598
( — 0,8124 0,8122 0,8119 — 0,8125 - 0,8125 — 0,8123

if — 4,0980 — 4,0979 4,0974 4.0979 — 4,0986 | — 4,0980

Cliché ro.

Étoile 1 Il IH IV | Moyenne

Les coordonnées x

(t — 65,7067 6,7063 — 65,7066 — 6,7076 65,7068
b — 3,8233 - 3,8231 — 3,823 3,8238 — 3,8235
(t — 1,8234 — 1,8229 1,8246 - 1,8243 | — 1,8238
d — 1,7368 1577727710 SURT - 1,7376 — 1,7374
e + 1,4324 - 1,4322 + 1,4322 + 1,4315 - 1,4321
ip + 5,0665 + 5.0667 + 5,0663 5,0660 | + 5,0664

Les coordonnées y

(t — 5,7186 5,7174 — 9,7184 5,7186 5,7185
b — 8,1307 — 8,1298 8,1504 8,1312 — 8,1505
C + 3,2981 + 3,2996 + 3,299 1 + 3,2087 + 3,2989
d + 8,6612 + 8,6623 - 8,6619 8.6620 + 8,6619
[2 — 0,8142 0,8125 — 0,8134 0.8137 0,8155

if, — 4,1010 4,0995 4.1001 4,1007 - 4,1003

29 ÖSTEN BERGSTRAND,
Cliché 11.
Etoile T Tm IV | Moyenne
|
Les coordonnées x
a 6',7090 - 6',7089 6',7093 - 6',7089 — 6',7090
b — 8,8255 3,8244 — 3,8249 -8,8253 | — 3,8250
€ = 1,8236 — 1,8234 — 1,8243 1,8234 | — 1:823
d — 1,7369 — 1,7366 — 1,7358 — 1,7359 |. — 1,7363
e + 1,4320 + 1,4316 + 1,4324 + 1,4325 | + 1,4321
jf + 5,0651 + 5,0658 + 5,0658 + 5,0662 | + 5,0657
Les coordonnées Ui |
|
a — 5,7183 — 5,7183 — 5,7176 ee || = Bra
b — 8,1303 — 8,1299 — 8,1299 - 1871304 E83
€ + 3,2986 + 9,2987 + 3,2990 + 9,9984 | + 8,2987
d + 8,6614 + 8,6620 + 8,6620 + 8,6609 |: + 8,6616
e — 0,8130 0,8126 — 0,8124 -0,8131 | - 0,8128
f 4,1013 — 4,1018 4,1016 — 4,1024 | — 4,1018
Cliché 12.
|
Etoile I Il Ill IV | Moyenne
Les coordonnées x |
a 6/,7091 - 6,7085 — 657073 6/,7087 — 6,7084
b 3.8254 3,8245 - 3,8235 3,8953 — 3,8247
2 1,8243 1,8233 1,8232 — 1,8235 — 1,8236
d 362 1.7358 - 1,7344 = a — 1,7356
e + 1,4397 + 1,4333 + 1,4329 + 1,4314 | + 1,4326
f + 5,0657 + 5,0651 + 5,0661 + 5,0649 | + 5,0654
|
Les coordonnées y |
(t 5,7168 Gyr ne 5,7178 ze) | 5,7172
i 8.1305 8.1302 - 8,1308 8,1302 | - 8,1308
2 + 3,2983 + 3,9982 + 3,2985 + 3,2985 || + 3,2984
d + 8,6616 + 8,6608 + 8,6612 + 8,6617 | + 8,6613
e 0,8122 — 0,8125 0,8130 0,8128 | — 0,8126
if — 4,1008 — LI 4,1019 A | 4,1013

vr

DETERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE BNC, 2

Cliche 13.

Etoile I Il IH IV Moyenne

Les coordonnées x

a — 61,7108 — 657111 6,7107 - 65,7103 65,7107
b — 3,8279 3,8282 3,8276 3,8271 — 8,8277
(E — 1,8229 - 1,8225 1,8223 1,8222 1,8225
d — 1,7332 — 1,7331 14332 1,7329 1,7331
e + 1,4319 + 1,4326 1,4322 r 1,4329 - 1,4324
if + 5,9649 + 5,0649 5,0647 + 5,0654 + 5,0650
Les coordonnées y
al — §,7165 — §,7153 — §,7159 5,7161 5,7160
b — 8,1289 — 8,1282 8,12R9 8,1293 - 8,1288
GC + 3,2993 | + 3,3005 + 3,2995 + 8,2997 + 3,2997
d + 8,6637 + 8,6642 + 8,6630 + 8,6633 + 8,6636
e — 0,8140 — 0,8132 0,8137 0,8138 — 0,8137
if — 4,1035 — 4,1029 — 4,1035 4,1036 — 4,1034
8 4.

Détermination des coordonnées definitives.

Les corrections à ajouter à l'égard de /aberration annuelle diffe-
rentielle ont cette forme:
| dr = (). 2
| dy = Q. y,

ou @ est une constante pour chaque cliché!). Done l'aberration influe
sur les coordonnees de maniere a agrandir ou a diminuer l’echelle
du cliché, et la determination en est renfermée dans la determination
de la distance focale.

L'influence de la précession et de la mutation ne produit qu'un
changement de la direction des axes de coordonnees?).

Done pour obtenir les coordonnées definitives, il reste encore
a multiplier toutes les coordonnées rectangulaires par un facteur, con-
stant pour chaque cliché, et à changer la direction des axes d'un
certain angle dans le plan de chaque cliché, de manière à réduire

1) Voir le mémoire déja cité: Sur l'influence de la réfraction et de l'aberration ete., p. 60.
2 Recherches sur l'emploi de la photographie stellaire ete., p. 31.

24 OSTEN BERGSTRAND,

toutes les coordonnées à une méme échelle et à un systeme fixe d’axes.
Dans ce but, jai déterminé, pour chaque cliché, d'abord la valeur de
la distance focale L du refracteur exprimée en intervalles du réseau,
et ensuite [angle d'orientation w, c'est-à-dire l'angle que fait l'axe des
y avec le cercle de déclinaison (pour 1900,0) passant par le centre du
cliché. Pour la determination des quantités L,y je me suis servi d'un
procédé analogue à celui que jai employe en déterminant les paral-
laxes des étoiles 21516 et A.-Oe. 11677 !).

D'abord, j'ai tiré des observations meridiennes faites à l'Obser-
vatoire de Lund?) les positions, pour l'équinoxe moyen de 1875.0, des
étoiles de comparaison: et ces positions, je les ai réduites à l'équinoxe

moyen de 1900.0. Ainsi j'ai obtenu:

Etoile 1900,0 0 1900,0
a 20". 53".4°56 + 37°.10'.40",6
b 20.54. 0,34 +97 ONA
[2 20.54.46,31 + 37.45.42,2
d 20.54.51,32 + 38. 6.50,3
[2 20.55.48,74 1:93.99: 16:0.
if 20.56.58,65 + 37.15.39,9

Puis jai calculé les coordonnées rectangulaires »normales», & 7 des
étoiles de comparaison pour 1900,0 à l'aide: des formules bien connues:
tg N = cot 0 cos (a—a,)

_ tg (e—o,) sin N
sin (d, + N)
| = Con (9, ae JN
Pour position approchee de l'origine des coordonnées (a, 05) j'ai pris

la position de létoile p, tirée des observations de Lund et réduite a
l'équinoxe moyen de 1900,0:

Wry

~

| €, = 2055720772
| à, = + 319.32'.29" 5.

Ainsi jai obtenu les valeurs suivantes des coordonnées normales & 7
exprimées en prenant la distance focale comme unité:

?
ER Cy We WOR a 097 OES.
?) DuwÉR et ExcsrROw, Observations des étoiles de la zone entre 35° et 40° de décli-

naison boréale, faites à VObservatoire de Lund et réduites à l'équinoxe moyen de 1875,0,
Tome HI. 1900.

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ETOILE ETC. 25

Étoile

re]

— 0,0078897
— 0,0046677
— 0,0019781
— 0,0016823
+ 0,0016169
+ 0,0056683

— 0,0063216
— 0,0061938
- 0,0098436
+ 0,0039923
0,0009832
— 0,0048821

n

Pour éliminer la position de l'étoile p de la détermination des
constantes de réduction des clichés, j'ai forme les différences des coor-
données normales pour les différentes étoiles, prises deux à deux, et
jai calculé les quantités o,, 6,, 0,: p,, Pa, p, d'apres les formules:

0, cosp, = &

0; Sin p, = He —

0, COS D, = &
0, sin D, = Na
0, COS p, = 6;
DSN NE.

Ensuite, les quantités s,, $,, 533 Qi, Jos d,

cliché:

5 COS, T.

Ss sing; Ye —

COS dög
Sin PS

S, COS Ys = X.
Sg SIN Q, = y, —

ont été ealeulées pour chaque

— %

Lo Yar Xs Wa... étant les coordonnées rectangulaires mesurées, con-
tenues dans la derniere colonne des tableaux du § precedent. Ainsi
on aura, pour chaque cliché, ces trois déterminations de la distance
focale L exprimée en intervalles du réseau, et de l'angle d'orientation w:

L,
L,

I,

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups.

il:

$1
MIO N)
6, Un Ji D
rn n. m—
0,’ s
= y, = —p
m o rS 3 3°

Ser. III. Impr. ‘/1v

1902 4.

26

J'ai pris pour valeurs définitives les moyennes:

Dans les valeurs de L et de w l'influence de l’aberration, de la
precession et de la nutation est aussi comprise. Il faut remarquer qu'il
n'est pas nécessaire de déterminer les valeurs de L et de w avec une
exactitude absolue; en effet, il suffit qu'on les détermine de sorte que
tous les clichés soient réduits à une méme échelle et à un méme sy-

OSTEN BERGSTRAND,

L-i[L- L2 4]

| = 3 [v, +, + nl

steme d’axes de coordonnées.

Dans les tableaux suivants j'ai compris les valeurs trouvées pour

L et pour v.

Cliché L, L, L, L
1 871' 626 871,598 871,522 871,559
2 476 494 574 871,515
3 722 600 540 | 871,621
4 806 582 602 | 871,663
5 642 506 554 871,567
6 660 602 592 871,618
7 620 564 516 871,567
8 630 406 414 871,483
9 562 446 496 | 871,501
10 560 480 452 | 871,497
11 758 460 486 | 871,568
12 716 460 412 871,529
13 774 534 540 | 871,616
| Cliché | V Wo Va | v
|
m ur 1053 92416 1103943323 21037-30041 + 19.38'.58",0
2 40.56,4 41.16,7 39.16,0 + 1.40.29,7
3 AO), 40. 2,6 38.11,0 + 1.39.24,9
4 41.34,9 41.51,3 10112 | War
5 42.44 4 43. 1,5 41.23,0 + 1.42.23,0
6 45.31,3 45.58,8 43.50,5 | + 1.45. 6,9
7 44.46,8 44.53,8 AYDUT N + 1.44.12,8
8 47. 4,5 47.20,3 45.17,0 | + 1.46.33,9
9 47.44 7 48. 4,3 46. 1,2 | + 1.47.16,7
10 45.30.1 45.46,5 43.53,6 | + 1.45. 3,4
il | ZU 0) 45.14,0 43.23,6 | + 1.44.37,6
1D | 45. 3,1 45. gi 43.289 | + 1.44.33. 7
re) 43.56,8 44. 3,7 42.191 | + 1.43.26,5

|
|

DETERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC. 27
J'ai calculé, pour chaque cliché, les quantités

_ cos y

(OF
Kr
sin wy

|s- n

et enfin j'ai obtenu les coordonnées rectangulaires definitives 5, 7 d'apres
les formules:

Ces coordonnées, exprimées en prenant la distance focale comme unite
et multipliees par 10000000, se trouvent dans le tableau suivant.

Cliché | Étoile & " Cliché | Etoile E 7
1 a — 78933 — 63238 6 a — 78932 — 63225
b — 46704 — 91907 b — 46697 — 91909
€ — 19756 4 38462 € — 19760 + 38473
d — 16882 + 99952 d — 16892 + 99957
e | + 16129 — 9831 e GG} | =S Sp
[23005656670 — 48822 f + 56669 — 48810
2 a — 78923 — 63223 7 a — 78925 — 63233
b — 46702 — 91907 b — 46696 | — 91911
€ — 19765 + 38484 2 — 19756 + 38470
d — 16892 + 99955 d — 16879 + 99955
e + 16133 — 9830 e + 16136 — 9831
TN 2256672 — 48806 f + 56672 — 48810
3 | a | - 78928 — 63238 8 a — 78936 — 63236
b | -46700 — 91910 b — 46697 — 91908
€ | — 19758 4 38466 € | —19759 + 38471
d -- 16879 4 99952 NE = TERRY + 99944
e + 16140 — 9832 e + 16138 — 9829
256667 — 48811 f + 56666 — 48807
4 a — 78922 — 63230 9 a — 18981 — 63230
| b | — 46690 — 91906 b — 46704 | — 91913
| EE — 19758 + 38469 e |» —19759 + 38470
| ET — 16875 4 99942 d — 16896 + 99942
| | e + 16154 — 9826 e + 16135 — 9829
| ap A EBBA — 48805 fi + 56672 — 48814
Bw — 78939 — 63232 10 a — 78926 — 63233
b — 46691 — 91906 b — 46702 — 91910
€ | — 19756 + 38473 ce | - 19760 + 38475
dS E6875 + 99948 d | - 16890 + 99954
€ | + 16148 — 9834 € + 16140 — 9844

f | + 56682 — 48805 if + 56670 — 48803

28 OSTEN BERGSTRAND,

Cliché | Etoile | 5 2] Cliché | Étoile | E "

11 a — 78938 — 63234 d -- 16883 4 99941
b — 46705 — 91902 e + 16146 — 9820
e — 19763 + 88467 f 4 56663 — 48804

d — 16888 4 99939
e + 16140 — 9821 13 a — 78930 — 63234
f + 56663 — 48809 b — 46701 — 91898
c — 19761 + 38469
12 a — 78932 — 63228 d — 16885 + 99950
b — 46702 -— C e + 16145 — 9825
€ — 19764 + 88465 f + 56668 — 48805

S5

Recherche sur les mouvements propres.
Dans les catalogues d'étoiles je n'ai trouvé que les positions
suivantes de l'étoile B. D. + 374131 (réduites à l'équinoxe moyen de
1875,0):

WzissE-BEssEL: « = 20'.54".22'46; d = + 379.26'40",8 (époque 1825)
Obs. de Lund: 22,47; 42,9 ( > 1880)
> 22,45; 43,6 ( >» 1880)
x 22,50: 430 ( >» 189)

d’où l'on deduit pour le mouvement propre annuel les valeurs:

| we, = + 0,0008
Us = + 0.04.

En considerant que ces valeurs dependent, en grande partie, de la
seule observation de Besser faite en 1825, on doit avouer qu'elles
n'ont probablement pas de sens reel et qu'elles prouvent seulement
que le mouvement est très petit ow insensible.

Par cette raison j’ai cherche a obtenir une determination plus
süre, en employant les differences d’ascension droite et de declinaison
relativement aux etoiles voisines.

Pour les 6 étoiles de comparaison j'ai trouvé les positions sui-
vantes, réduites à l'équinoxe moyen de 1875.0:

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC.

L'étoile a:

29

WzissE-BESSEL: @ = 20".52”. 6535; d = + 37°. 4°,58”,6 (époque 1825)
Obs. de Lund: 6.29; BS.2( > 1880)
x 6,18; 574 ( » 1880)
L'étoile b:
Obs. de Lund: « = 20,53", 1583; 0 = + 36 37,0 (époque 1880)
» 1.85: ta) ( » 1893
» 1,85; 4.1 ( » 1893)
» 1,84; Tse >» 1893).
L'étoile c:
WzissE-BESSEL: a = 20'.53".48*,03; d = + 379.39'.54",5 (époque 1825)
Obs. de Lund: 48,32; 56,6 ( » 1880)
3 48.18: 56,8 ( » 1880).

L’etolle d:

Obs. de Lund: « = 20".53".53',51; 0 = + 38°. 1’, 47,8 (époque
> 1880).

» 53.47:

L'étoile e:

WEISSE-BESSEL: «

Obs. de Lund: 50,37;
» 50,41:
>» 50.34:
» 50.50:

L'étoile f:

4.6 |

20'.54”.50',41; d = + 319.22'.16",8 (époque

1880)

1825)
» . 1880)
> . 1880)
» 1892)
» 1892)

WzissE-BESSEL: a = 20'.55".59°,70; d = + 37°. 9'.50”,6 (époque 1825)

YARNALL: 59.89;
Obs. de Lund: 56. 0,08;
» (ile
» 0,06:

51,1 (
50,9 (
51,3 (
50,9 (

»

»

»

1873, 1869)
1880)
1880)
1892).

Si l'on eompare les observations des différentes époques, on trouve
immédiatement (excepté pour l’etoile d, dont les observations sont
faites à la méme époque) que les mouvements propres de ces etoiles

doivent étre trés petits.

Pour examiner le mouvement propre de l'étoile p relativement

EE

aux étoiles de comparaison, j'ai réduit les différences d'ascension droite
et de déclinaison à l’equinoxe moyen de 1900.0 et ainsi j'ai pu les

comparer à mes propres mesures.

Dans ce but j'ai formé les moyen-

30 ÖSTEN BERGSTRAND,

nes des coordonnées rectangulaires &, 7 contenues dans le tableau du
S precedent, et jai trouve les valeurs suivantes exprimees en prenant
la distance focale comme unite:

Bm ln nn nn nn

Étoile | En | Nm
a — 0,0078930 — 0,0063232
b — 0,0046699 — 0,0091908
C — 9,0019760 + 0,0038470
d — 0,0016885 + 0,0099948
€ + 0,0016139 — 0,0009830
if + 0,0056670 — 0,0048809

A l'aide des formules suivantes bien connues:
I
tg (N+ 0,) =
i
T & sin (N + 0,)
jf (o — a = 7 WERT
2 o) sin N
ig 0 = cos (e — a,) cot N
jai calculé les différences 4e = a — a, et 49 = 0 — 0, valables pour
l'époque 1900,
Le tableau suivant comprend les valeurs de Ja, 40 pour les
différentes époques.

| Étoile | Époque | da | ED)

a 1825 | — 2"16^03 — 9 qm
1880 | 16,15 49,2
1900 16,22 49,0
b 1880 — 1.20,38 — 31.37,4
1893 20,36 38,3
1900 20,42 37,2
€ 1825 — 0.34,62 + 13.12,9
1880 34,40 12,6
1900 34,37 13,3
d 1880 — 0.29,39 + 84.20,7
1900 29,51 21,2

e 1825 + 0.238,03 ae |
| 1880 28,01 23,3
1892 28,04 22,7
1900 27,97 23,0
f 1825 + 1.37,56 — 16.47,6
1880 37,97 49,6
1892 37,88 49,5

LIOO MN SUO) DONI 49,5

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC. 91

tr

Ainsi jai obtenu les valeurs suivantes du mouvement propre
relatif annuel de l'étoile B. D. + 37° 4131:

us = + 0',008; us = + 0,05
+ 0,001 0,00

— 0.003 0.00

+ 0.006 0.03
0,000 0,00

— 0,005 + 0.03

[Moyenne: + 0,0003] | [Moyenne: + 0,007]

> Ë aus 5
Il resulte, on le voit, de ces recherches que le mouvement propre de l'étoile
, I Pro}
p relativement aux 6 étoiles de comparaison peut étre regardé comme sen-
siblement nul.

6.

SIN

Les equations de condition et leurs solutions.

Les equations de condition ont ete formes d’apres les formules

6 — Wn eer yrs
er Ha) 0:

où z designe la parallaxe; £,, 7,,, les valeurs moyennes des coordon-
nées &, 7 (voir le tableau, p. 30) et e, e', les corrections de £,,z,. Eu
égard à la brievete du temps que durent les observations, je n'ai
pas introduit dans les équations, comme inconnus, les corrections du
mouvement propre relatif, lequel est tout a fait insensible, d’apres la
recherche précédente. Les coefficients //, II’ ont été caleulés d’après
les formules suivantes:

tg M — eot D cos (A — aj)

ie — sin Meter (AE)

| — 90° < M < + 90°

sma sr si 0° =A — «= 180°

sin N > 0, si 180? < A — a, < 360?

IK eosin N

IT = 0. cos N eos (M + D),

32 ÖSTEN BERGSTRAND,
ou A, D sont l'ascension droite et la déclinaison du Soleil, «,, 05, cel-
les du centre du cliche et o, la distance de la Terre au Soleil, exprimee
en prenant le demi-grand axe de l'orbite de la Terre comme unite.
Pour chacune des etoiles de comparaison, j ai obtenu ainsi deux
systemes de 13 equations. Ces equations, je les donnerai ci-dessous.
Apres chacune d'elles j'indique le résidu v, obtenu en introduisant dans
l'équation les solutions données ci-après. Toutes les coordonnées, et
tous les résidus, sont exprimés en 0,0000001 de la distance focale.

L'étoile a

CIT Oe Jets wen é+ 0,537 — 620; v= 5
— 0,86 + 7 + 5 + 0,23 + 9 + 9
=O. Js à 0 = le 6
— 0,95 + 8 + 6 — 0,21 + 2 + 2
— 0,90 — 9 — 11 — 0,41 0 = il
= DEL = 9 = oi! SOW = % END
— 0,39 + 5 + 4 | — 0,80 — 1 = 3
FÖR EG =E | 2000" = cM
+ 0,94 — 1 + 2 | — 0,04 0 0
+0,94 + 4 ie m | —(Qu = 1 = il
+ 0,94 — 8 - 5 + 0,37 — 2 — 1
POC a ze s COPA En 1135
— 0,12 0 0 + 0,80 — 2 — 1

L'étoile b

e 056125 — 8s =O a= — 2 Can so uem gS =— 8
— 0,86 = 5) — 5 | 4 0,93 + 1 — 1
—0,95--—— 1 SW 0.04 2 E
— 0,95 + 9 + 6 | — 0,91 + 2 + 2
— 0,90 + 8 + 6 | OA i. Y NS
=1064 4 29 Oe | = 0/70". = a + 2
— 0,39 + 3 + 2 | — 0,80 — 8 0
+ 0,82 + 2 + 5 | — 0,29 0 1
+ 0,94 — 5 — 2 | — 0,04 = 8 =a)
UC EEE: = hal N MEN = ae
22004 00.206 = § | + 0,37 i 6 des d
3:00:05 185. 98 0 25084 0S — 39 la
201 ee 20 20.802 210 + 6

L'étoile c

e — 0,61.7 + 4=0; v= + 3 | ITUNES 8 = mese n
—086 — 5 QUE +0,23 +14 * 14
— 0,95 + c9 0 | — 0,04 — 4 = 4
— 0,95 + 2 DR eae M = 2
— 0,90 + 4 ss m | OAI TEES. ie il
— 0,64 0 = wal — 00, ung 0
— 0,39 + 4 + 3 — 0,80 0 = à
+ 0,82 + 1 + 2 | 0529) et 0
+ 0,94 + 1 + 2 | — 0,04 0 0
4 0,94 0 + 1 | — 0,04 + 5 +5
+094 — 3 - 2 | +0,37 - 3 - 2
+ 0,93 — 4 — 3 | + 0,40 — 5 — 4
—( c 3 zs HOO) m 3l 2 il

DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC. 33

L'étoile d

e-061l.r + 320; v=+ 1 e+053n + 4=0 v=+ 5
— 0,86 — 7 — 11 + 0,23 + 7 + 7
— 0,95 + 6 L2 - 0,04 + 4 LN
— 0,95 + 10 + 6 -- 0,21 = 1 Fi
— 0,90 + 10 + 6 0,41 0 2
- 0,64 — 7 4 — 0,70 e is (5,
— 0,39 + 6 Eod — 0,80 + 7 + 3
(ep) = el 0 — OO =) Zi = 6
+ 0,94 — 11 — 7 - 0,04 6 i
+ 0,94 — 5 — 1 — 0,04 + 6 + 5
+ 0,94 3 + 1 + 0,37 — e) 8
+ 0,93 + 2 + 6 + 0,40 7 6
— 0,12 0 0 080 + 2 T

L'étoile e

e — 0,61.7 10) = 0; = — 10 e + 0,53.70 — Ÿ = 0; D = — 2
- 0,86 — 6 = 7 + 0,23 0 0
— 0,95 + 1 0 — 0,04 — 2 2
— 0,95 + 15 + 14 = 10-211 + 4 + 4

0,90 + 9 + 8 — 0,41 = À = 4
= 6 Lg =O70 x fe i
— 0,39 = 58) — 3 — 0,80 — 1 0
+ 0,82 — 1 =. lL — 0,29 | + 1
+ 0,94 = d — 4 — 0,04 + À + 1
+ 0,94 | + 1 — 0,04 — 14 == 14
+ 0,94 + 1 + 1 + 0,37 + 9 + 9
+ 0,93 + 7 BS ee + 0,40 + 10 + 9
— 0,12 + 6 + 5 + 0,80 — 5 — 6

L'étoile f

e — 0,61.7 020; v2-— 2 é+ 0,538.7 — 13 = 0; v = — 13
— 0,86 + 2 — 1 + 0,23 + 3 + 3
— 0,95 — 8 — 6 — 0,04 = g = 2
— 0,95 + 5 + 2 — 0,21 + 4 + 3
— 0,90 + 12 + 9 — 0,41 + 4 + 3
— 0,64 — 1 — 3 — 0,70 — 1 = ©
— 0,39 + 2 + 1 — 0,80 — À 2
+ 0,82 — 4 — 1 — 0,29 2 + 1
+ 0,94 + 2 + 5 — 0,04 5 =)
+ 0,94 0 + 3 — 0,04 + 6 + 6
+ 0,94 7 — 4 + 0,37 0 0
+ 0,93 — 7 — 4 + 0,40 + § + 5
— 0,12 — 2 — 2 + 0,80 EA! + 4

*

J'ai traité ces équations d’après la methode des moindres carrés,
et j'ai obtenu ainsi pour chaque étoile de comparaison 2 systemes
d'équations normales qui ont les formes suivantes:

pour les équations en $:
22213200. 20,85. N, = 0
| — 0,85. e + 8,49. x — N, = 0;
Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. Impr. ®ıv 1902 5

34 OSTEN BERGSTRAND,
pour les equations en 1:

| + 13,00. e’ — 0.20. x — N, = 0
| — 0,20. e’-+ 2,70. x — N°, = 0.

Les solutions sont données sous les formes suivantes:

pour les équations en £:

| e = + 0,077. N, + 0,008. N,
| a= + 0,199. N, + 0,008. N,;

pour les équations en 1:

| e' = + 0,077. N’, + 0,006. N’,
| x = + 0,370. N’, — 0,005. N’,.

Les quantités N,, N,, N’. N’, ont les valeurs suivantes:

Etoile de T = = | =
comparaison N, N, N | N;

a 5,0 + 25,0 0,0 + 4,9

b + 4,0 + 25,0 | — 6,0 — 12,0

C — 5,0 + 11,8 |. — 4,0 + 8,4

d 0,0 + 37,1 — 7,0 + 10,4

[ — 10,0 NRA | = kor = 976

if + 1,0 + 28,8 | — 6,0 + 2,5

J'ai trouvé les valeurs suivantes de e, e', a:

| : ; A : :
Solutions des équations en & | Solutions des équations en 7

Etoile de
comparaison

= = = = = = |

e T | e 1
|

a + 0,6 + 3,0 +1,2 | 0,0 + 1,8 + 1,9
b + 0,5 + 3 1 109) 21) F0 5 AE ga
c —083 ao eS que Ih + hk ero
d + 0,3 xu nepos cese + 3,8 + 2,5
( = (n T8098: 0926 Ir M 2.081, ESSE DG
f + 0,3 "og Ae MO ed + 0,9 +21

Si Pon réunit les deux valeurs de x, obtenues pour chaque étoile
de comparaison, on aura, en ayant égard aux différents poids, les
valeurs suivantes:

DETERMINATION DE LA PARALLAXE ANNUELLE DE L'ÉTOILE ETC. 35

Etoile de

comparaison 2
a + 2,6 + 1,04
b + 1,0 + 0,76
C + 1,5 + 0,65
(d + 4,3 +1,13
€ — 0,1 + 1,41
if + 3,0 = 0,91

..

Enfin j'ai transformé ces valeurs en secondes d’are en les
divisant par 10000000. sin 1", et j'ai obtenu ainsi:

Parallaxe de l'étoile

| Étoile de comparaison B. D. + 274121
BoD, + 374115 m= + 07,05 + 0,022
B. D. + 36°,4340 + 0,02 + 0,016 T ds
BD 3704128 + 0,03 + 0,013 ; SENS
B. D. + 37°.4130 + 0,09 + 0,023
B. D. + 37°,4133 0,00 + 0,029
125 10) s SUN + 0,06 + 0,019

En admettant que les parallaxes des étoiles de comparaison sont nul-
les, j'ai trouvé comme valeur définitive de la parallaxe annuelle de Fétoil

B. D. + 91,4131:
a = + 0”,0396 + 0,0076
ou, en nombre rond:
a= +0,04 + 07,008.
L'erreur probable d'une des 156 équations de condition, c'est-à-dire
I

l'erreur probable d'une coordonnee rectangulaire relative d'une etoile
sur un cliche, est en moyenne

DONS
aussi bien pour les coordonnées £ que pour les coordonnées 7.

Soit qu'on veuille attribuer à la petite valeur trouvée pour la
parallaxe un sens réel ou non, le résultat n’en contredit pas moins
celui de M. Schur. Cependant, les six étoiles de comparaison donnent
des valeurs qui sont toutes comprises entre 0'",0 et 0”,1; et ayant

36 Osten BERGSTRAND. DÉTERMINATION DE LA PARALLAXE ETC.

egard a ce bon accord des differentes determinations, je crois avoir
démontré avec certitude que la parallaxe de l'étoile B. D. + 37°,4131
est très petite ou sensiblement nulle, et que les variations qui se sont
présentées dans les mesures héliométriques faites par M. Scaur ne
peuvent pas avoir été causées par une grande parallaxe de cette étoile.
Sans doute ces variations doivent s'expliquer autrement; cependant,
pour ma part, je ne saurais en proposer une explication satisfaisante.

MEMOIRE

SUR

LA SOLUTION ANALYTIQUE

DU PROBLEME DES N CORPS

GORAN DILLNER.

(PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPSAL LE 4 Avnir 1902).

UPSAL
EDV. BERLING, IMPRIMEUR DE L'UNIVERSITÉ
1902.

C. Memoire est à considérer comme la continuation de mon Mémoire
sur la solution analytique du problème des N corps, inséré dans les
Actes de la Société R. des Sciences d'Upsala pour 1893, Mémoire que
je désignerai par I. Dans un Mémoire écrit en 1882 et inséré dans les
Annali di matematica pura ed applicata, j'ai montré qu'il est possible
d'intégrer une équation différentielle de la forme I (25) en intégrant
chaque terme séparément, égalé à une certaine fonction des coor-
données nommée substitution, et cela sans autre liaison entre les eoor-
données que celle qu'impose l'équation proposée elle-méme. Par la na-
ture elle-méme des équations differentielles des aires I (23) et des
forees vives I (25) il sera possible de déterminer en partie la forme
generale des substitutions inconnues. Les équations dites jouiss-
ent de la propriété essentielle de posséder quatre intégrales exactes,
à savoir celles des aires I (24) et celle des forees vives I (27). Les
équations differentielles correspondantes des substitutions doivent done
jouir de la méme propriété de posséder quatre intégrales exactes, pro-
priété qui donne les substitutions générales inconnues sous une forme
unique et bien déterminée, les substitutions sous cette forme étant
nommées intégrantes. Les elements de ces substitutions integrantes
ont été publiés en 1886 dans une Note, insérée dans les Comptes rendus
de l'Académie R. des Sciences de Stockholm sous n° 6, Note que je
designerai par Il. Ces éléments sont à considérer comme le fonde-
ment essentiel de la théorie proposee.

Les recherches que j'ai faites sur ce sujet, depuis plus d'un quart
de siecle, ont abouti, aprés mainte tentative vaine, à ces trois points sur

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. 2/ıx 1902. 1

2 GORAN DILLNER,

lesquels se base la theorie proposee, a savoir 1° le Theoreme de trans-
formation, [1876], 2° les Elements des substitutions integrantes [1883],
3° la Determination convenable de la potentielle des substitutions [1896].
Cette determination que jai cherché en vain a deduire des equations
du mouvement I (12) m’a empeche longtemps de terminer mon travail.

Je suis redevable a M. M. les Astronomes CHARLIER et BoHLIN
de leurs remarques utiles sur mes essais, et particulierement au pre-
mier qui a dirige mon attention, il ya une quinzaine d’annees, sur l’exi-
stence de la potentielle des substitutions.

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME DES N CORPS, 3

I. SUBSTITUTIONS GÉNÉRALES.
Quelques conséquences du Théorème de transformation.

1. Nous posons, au lieu des equations du mouvement relatif
I (12), les 3 N equations differentielles,

Sons dx, fe rs) Ve

= Mm, m ORE LM

(al W, N dus Yrs = 7 fine. c T
(1) = m,m, | dg +o 2 | X n ler

2 -
Sys

1 Q Er
Z’m,m, a + 06 nil = Z,

cU NE
dont 3 (N—1) sont distinctes; car, en ajoutant les N equations de la
méme ligne r=1,..., N), il en proviendra, en vertu de I (1), les 3
equations identiques

SEN,
r=1
€ NY = (
(2) DE

=, cat

r=1

PIU M LIT
s=1
(3) > SNO AU (us eia SENI
DOM
s-1

alors on aura, en vertu du Theoreme de transformation I ne 5, les
équations suivantes [I n» 10],

4 GORAN DILLNER,

XG ET AO, — =| m, m, all
N

(4) Y, db, E... Yydby = = seat al at 2]

et de plus les 6 équations suivantes [I ne Rd

Fa. + ar Nz (mom. ou Me p anto
X, ++ Lybyc NE ron jus eo].
AG ee Arr = NE LO ue ys el |
p Z a, +... + Zr0 = NZ|mm, n, PE 4 ie
Zub... Luby = NX [mans y, er].

> = y, Zr Urs
Vic Een EEE NE|m,m,}z, ee JG 2:4 (| 2

Pour les equations du mouvement I (12) on a

X =...— Xy—0,
(6) Ya tm lie
pud

pour ee cas le systeme (4) donne les 3 équations des forces vives I (25),

=|, in, d ( =) a a =O).
(7) >|m, m,d a Te ef] = 0,
Xn, m, d ( A + a e.

et le systeme (5) donne les 3 équations des aires I (23),

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLÈME DES N CORPS. 9

=|m,m, À \y, Gen _ 2, Wet] = 0
X[m,m. dit?" di Sys dt ( 5
P ga da eed
Sm m aue | nO",
(8) : LET erm c mE

| mm, © PEUT Un | = (|);
N dt! dt dt

2. Maintenant la question se pose de savoir si les 6 équations
différentielles (7) et (8) sont distinctes, c'est-à-dire si chacun des deux sy-
stemes (7) et (S) correspond à 3 équations distinctes du mouvement
I (12). Il est facile de voir que le systeme (7) correspond à 3 équations
du mouvement; ear, en supposant les 3 (N-2) équations du mouvement
Me=:..=X,=0, Y,-2...— Y, — 0, 7, — ... = Zy = 0 satisfaites, les
systemes (4) et (2) donnent les 3 systemes

X, da, + X,da, = 0 | | Y,db, + Y,db, = 0 | | Z, dc + Z,de, = 0

Ran. v I Y ye Es) A 0

qui, puisque les 3 différences

da, — da, = Ndx

ET UA

db, — db, = Ndy,,, de, — dc, = Nda,,
suivant I (2), sont differentes de 0, donnent les solutions

ket eu sc merde ze:

2

Donc, les 3 équations des forces vives (7) équivalent à 3 équations
distinctes du mouvement.

Ensuite, en supposant toujours que les 3 (N — 2) equations du
mouvement X, —...— X,—-0, Y,=...—-Y;=0,2%=...-7;=0
soient satisfaites, le systeme (8) exige que le systeme (5) soit de la
forme

x
Y,a, + Y,a,=c

| A,¢, + X,¢, =) | | 4,0,+ 4,0, =a
Baden

Z40, 4- Z,a, — b } :

Geen Cg

où v, b.c sont des quantités quelconques. De ce systeme et du sy-
steme (2) on formera les 3 systemes suivants,

6 GORAN DILLNER,

Xb; +4 X,b, — c | | With Va = C | | At + Zod, = b |
| ES AGC — 0

2 26, VC 0, NY Ds Aall
0) |

Mae 0) Le dre 2

qui, en vertu des égalités a, — a, = Nx ,0, — b, = NY, € — Co = Nas,
laissent. X. %, Yi, %,. Z, 2 indetermines en meme. temps que
a,b, c sont des quantités quelconques; mais, en faisant par exemple
X, = 0, il en proviendra X%,=c=b=0,Y,=Y,=a=0,4,=4,=0.

Donc, les 3 équations des aires (8) n’equivalent, comme dans le pro-
blème des deux corps, qu'à 2 équations distinctes du mouvement.

Formation des substitutions générales.

3. Nous prenons pour point de départ les 6 équations des for-
ces vives (7) et des aires (8). Nous introduisons dans (7) les substi-
tutions suivantes,

dx, M MES
( x + «| n =F fas
B 3 di = (re G N T
(9) (97) +0 GE =o Lens 12. NUN),

où les membres droits représentent des variables à l'instant inconnues).
Notre but sera à présent de déterminer ces inconnues autant
quil sera possible par les 6 équations des forces vives (7) et des aires
(5) qui ensemble correspondent à 5 équations distinctes du mouve-
ment [n° 2]. Le systeme (9) differentie s’écrira sous cette forme

OPI... Loe 1 d ja

a SMS
(10) d Yrs S. " Yrs cm 1 ds (rs > The are (N 1) N) :
dt’ Joss 2 dy, ;
dig CR EC
df us HE cp das

1) Les variables f, g,, Jus étant des constantes dans le probléme des deux
corps, la méthode que je proposerai n'est au fond que celle de la variation des con-
stantes pour N > 2.

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLÈME DES N CORPS. 7

ou les différentielles df, dg,,, dh,, en vertu de I (1) et de I (15), ne
changent pas de valeurs en changeant l'indice rs en sr, c'est-à-dire
les différentielles df,, dg,, dh, doivent étre des fonctions paires des coor-
données des N corps et de leurs différentielles.

4. Une restriction de cette vaste généralité des différentielles
df,. dg,, dh, Sobtiendra de la manière suivante.

Les équations différentielles des aires (8) jouissent de la pro-
priété d’être homogènes de dimension 2 par rapport aux coordonnées
X4, Un 24, C'est-à-dire elles ne subissent aucun changement si l'on y
remplace z,, Yr, £4 par WX,, WY, W2,,, pour w constant. Par con-
sequent, puisque, suivant (10),

We, OY ng jl dh,, dy,
Yrs rg) A SLT eee eens

dE dt P 2 (v az, dy,
23s pce il d dh,

al 2 An S jn rs - 2 rs 22 rs A
E "dB QUUD | "dx, "de,
OL Tu di lof.

Xs = > > Yrs > — Lys : - Yrs =] a
E dt 7 dt 2 | dy,, À d 2

il s'ensuit, pour que les équations des aires (8) soient indépendantes
de w aprés y avoir remplacé un ou plusieurs termes par les substitu-
tions (11), que les substitutions (10) doivent jouir de la forme,

df. Ur

dx, da,

(12) ee ae

où les différentielles dA,,, dB,,, dC, doivent étre homogenes de dimension
2 par rapport aux coordonnées et où F,, représente une quantité inconnue
soumise à la condition F,, = F,.

Si Fon introduit dans (11) les substitutions (12), les équations
des aires (8) deviennent

8 GORAN DILLNER,

Ci end Be
E =|m, m, [E DEE Er TR =),
. ET Poo PCT Dm 2
(13) = [m,m, | ES “a SAR
Slee Ne ess dorem
= D Ms 12 rs dy, Yrs dz, | 0 ’

c’est-a-dire elles sont satisfaites par les substitutions (12) independamment
de Vinconnue F,,').

5. A l’aide de (12), le systeme (10) s’ecrira

a A 3879
d (=) +o | Se = dA,4+F,d.2,
) d rs 2 É 1.2 Fs 7 ] 2 D OMG 1
(14) I ale) +0 [GE = dB, + dy, | (rs = 12,..., 0-1) N).

ee) +o a [5l —dQ, 4 F.d.g,

Done, les équations des forces vives (7) s'écriront sous cette forme,

= [m,m,(d.A, + Fud.2)] = 9,
N

I
e
3

(15) = [m,m,{dB,,+F,d.y}]
Z [m,m, (d C,, 4- F, dies SÖT

c'est-à-dire elles sont satisfaites par les substitutions (12). Donc, les équa-
tions des aires (S) et des forces vives (7) sont satisfaites par les substitu-
tions (12) sous la forme (13) et (15), les différentielles dA, , dB, , dC,
étant. homogènes de dimension 2 par rapport aux coordonnées, et F,. étant
une quantité inconnue soumise à la condition F,, = F,.

Les variables inconnues dans (9) avec les determinations don-
nées ci-dessus sont dites substitutions générales et leurs premieres parties
A,,, B, , C, sont dites principales et leurs secondes parties [F,d.x,,,
jpg ay, 2 2, sont dites potentielles.

1) Li inconnue Æ,, disparait des équations des aires (13) par la méme raison
que les seconds termes a gauche de (10) disparaissent des équations des aires (8).

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME DES N CORPS. 9

IL SUBSTITUTIONS INTÉGRANTES.

6. Les équations différentielles du mouvement I (12) jouissent
de la propriété de posséder 4 intégrales exactes, à savoir celles des
aires I (24) et celle des forces vives I (27). Les équations différen-
tielles (13) et (15), que laissent indeterminees les substitutions (12), doi-
vent jouir de la méme propriété de posséder 4 intégrales exactes, à
savoir celles des 3 équations differentielles (13) et celle de l'équation
différentielle formée par la somme des 3 équations (15). C'est par cette
propriété que les substitutions générales (9) obtiennent une forme unique
et bien déterminée en ce que leurs parties principales 4,,, B,, CO, de-
viennent des fonctions connues des coordonnées et de leurs différen-
tielles, et Vinconnue 7, contenue dans leurs parties potentielles devient
une fonction analytique du rayon vecteur Z,!), fonction qui se préci-
sera comme constante. Nous appellerons substitutions intégrantes cette
forme unique et bien déterminée des substitutions générales f; , 9, lus.

Formules préliminaires.
7. Les différentielles d S, et d O,, sont définies par la formule
(16) HS, ed rct Dio d.07 — da, AS ay, de, «
En posant
| De a COS,
(17) Y = R,, Cos B, 5
| 2, = R,, Cos G,, ,

l'identité (16), pour A, constant, s'écrira
(13) d 0?, = d Cos 3C, + d Cos Bi, + d Cos G7, .

Si a, 6, c, sont les angles que fait l'axe de l'orbite, décrite
par R,,, avec les axes des coordonnées, nous avons les formules
connues,

1) Ce cas est analogue à celui de déterminer des fonctions analytiques incon-
nues par leur propriété d'étre uniformes et de posséder un théoréme d'addition.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. ?'/x 1902. 2

10 GÖRAN DILLNER,

d2,, d'y, CNE),
Re BS ala,
2 dt "ovd dt 2
Wb. de, x
19 D eM cy TE p Cos b,,
( ) é dt Lys dt des rs 9
SU I de 2200.
Pye a a iy (DRY (Sc
ae rg: d

en élevant au carré et en ajoutant membre à membre les résultats
nous aurons

(20) (v.g - 20 p) ee opc Ge) ee p rea) e:

Ss. Nous introduisons les fonctions paires de dimension 2 par
rapport aux coordonnées,

D cH d. TS,
à le
se 5 5 Chole.
(21) fl ge = aba
OE d. R?.
fn " A dlog 2,
fonctions qui pourront s’ecrire
DOCE d log Cos 9t, = Tee - Jo. — ps, 9008 dCos YA.
lá gloss 1 dlog f, ch dz
dlogCos9L, 1 FB.
R, dlogcos93L,
D d log Cos 38, = Pe, = R. E d dCos 5 |
" 5 " dlogy, 1 d log R,, d ED df,
(22) dlog CosB, 1
R, dlogCosB,
_p d log Cos ©, _ lite = ie age dCos&,,
tiene? Nez SE dlog R, d EE EU.
d log Cos G,, 1 Jine

1544 — dlog Cos G,,

Ces fonctions, nommees elements des substitutions, seront d'une
RON semelle dans ce qui va suivre !).

1) Voir II (1) et (2).

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME DES N corps. 11

Equations en aire el en force vive.

9. Si l'on differentie (20), on obtiendra, en accord avec (11) et
(13), ce resultat

Où dB, dA (oO)
diee — 2, OA ( s I erp he OS EY pr s)
(Yn de; gs) \Y d2,, x ra | | Ge T de,
NIB. d À, SOLO
Lys LY rs — Yıs X, (s. SER Fe =) = al js oe) ;
(ns dy, — y. dy. 2 da. "dt
qui se réduira, a l'aide de (21), si l'on observe les identités x, — LER

dlog x,

53 dy, 2
= Yrs > SS Sa ar

ar 0. à l'équation différentielle suivante,
d log y},

(23) dd + Had B, + nly = d( Re 20

qui sera nommée équation différentielle en aire.

x Ch).
Remarque. Pour z, = 0,0n aura d (Re. m
(dh

| = (x, 3 dy, E Yıs d'a, X

(« dB, — 7 d A,,
rs d Yrs rs d Le

EO. — 0.

) = 0,,dÅ,, + P,„dB,, ce qui montre que z, = 0 rend

10. En ajoutant les 3 equations (14) et en integrant, on aura
l'équation suivante qui sera nommée équation en force vive [(16)] ,

9 d S 2 26 bas y
(24) ( dt ) gens R, PE A, + Bu m Crs =F T E

ou l'on a pose
(25) md,

la constante d'intégration étant contenue dans la somme 4,, + B,, + OC.
L'intégrale #, sera nommée potentielle des substitutions.

Maintenant, si l'on pose, à l'aide de (19), le systeme I (24) sous
la forme

12 GORAN DILLNER,

>= |m,m, R?, CAGE Cos a. | ol
N dt

(26) =[m,m, Re À Org Cos b,.| = Ok,,
N dt
=| mm, Fe d. Cos | = 6k; ,
N dt

nous voyons facilement ce qu'il faut pour que les systèmes (13) et
(15) possèdent 4 intégrales exactes, à savoir 1° que le membre gauche
de (23) soit une différentielle exacte, et 2° que l'inconnue F,, dans (25) soit
une fonction analytique du rayon vecteur R,,, la forme des fonctions A, ,
B,., C, étant donnée par la condition 1°.

11. I y a une autre voie pour obtenir l'équation différentielle
en aire (23).

x "peus ae d^ Yrs d*2, (ELSA
Posons Videntite — EST ER YE Er Tuc rs rs
SRE 2) Oe : dt X dt " dr +( dt )

qui, a l’aide de (10), (12) et (24), s’ecrira

Oily qua | ae Ge. dh,
rs = 4 im lee ars : DS = rs à
2T? Ine fuc ga ls + d log x?, 2 d log y, p d log 2},

Cette équation multipliée par d.R}, et intégrée!) deviendra, pour Kj,
désignant la constante d'intégration,

(21) (n. vio

| LE K2 = 20 R,, + RA (f + 94 + hu)

Nc. förr Pda. 4h )e

équation qui, nommée équation en rayon vecteur, est identique à l'équa-
tion en force vive (24) multipliée par R}

sue

Si l'on observe qu'en vertu de (21) on a identiquement
(28) COB EE cope ENA MOINS
on en tirera, d'apres (12), l'identité

ICP df, + förs AG + Js d hy.) = Jg. d E + förs dB, + Vrs d C.) z

1) Cette intégration se fait en intégrant par parties le terme (fs + gis + Ars) x
d.R;. Cest par cette intégration qu'il m'a réussi, en 1883, de trouver les éléments
GC, Prs, Yrs des substitutions intégrantes.

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME DES N CORPS. 13

Done, si l'on multiplie l'équation en force vive (24) par A}, et en re-
tranche (27), on aura lequation en aire

(29) (ze. “l= SOCCER SAG eG aer) AR ER,
a

qui, differentiee, donnera (23).

Condition pour que «„dA,+ß,dB,+y,dC, soit une différentielle

exacte. Conséquences.

rs

12. L'intégrale à droite de (29) exige, pour être exacte, que la
somme «d A, + [5,0 B, + 7,0 C, soit une différentielle exacte.
A cet effet, désignons par €, l'intégrale exacte de (29), qui

par suite sera une fonetion des quantités Ars, B,,, C,; alors on aura

9.2,
0 Al.

aes
9B

(0
Be N,

Co
rs 0 C rs

aA +
où les differentielles dA,, 7B,,, dC, jouissent de la propriété d’être
homogènes de dimension 2 par rapport aux coordonnées [n° 4], et de
se permuter, en accord de (14), Pune dans l'autre en permutant les
axes des coordonnées, et où

0 an 92, BP 0 OR

7)

= Ons a RA Misa. ae = Yrs .
9A, 9.D,, 9 0%

On satisfera a ces conditions en posant

(30) GAY = 26. 00, . dB, = 2c,4ß,.,qd0, = 26,07

ars
OD, = (le + Pr + y) 5
où c, est un paramètre constant.

On parviendra aux mêmes résultats, si l’on fait dépendre, en

intégrant par parties, l'intégrale de (29) de cette intégrale
f (A. de,, + DB; d,, + Or dy,.) *,
ou l'on fera usage de (30).

Je dis que ces expressions des parties principales 4,,, B,, C,
sont les plus générales possibles. Car autrement, si l'on développe
An, B,, C, comme fonctions analytiques de a,,, Pr, y. suivant la
serie de Tavrom, les différentielles de ces développements doivent être

14 GORAN DILLNER,

homogènes de dimension 2 par rapport aux coordonnées. Mais cela
ne peut pas arriver a moins que les parties principales elles-mémes ne
soient des fonctions linéaires de a,,, Ps, 7,. Il y a une autre forme
de l'intégrale 2,, à savoir 2,,=¢,,(¢,,+ 5, +7.) , c, étant comme
ci-dessus constant; mais cette forme n’est pas admissible comme con-
duisant à la dépendance d4,,=dB,, = dC, = 2c,d (e, + fs; + Yr) -

13. Comme des conséquences de (30) on obtiendra l'équation
en force vive (24) sous la forme suivante, &, désignant la constante
d'intégration,

: elu AG x a X
By — (GR) ieG RB kr) YER.

et l'équation en aire (29) sous cette forme,
200.099

(32) (RTE) = es (o + Be + 72) KS.

et enfin l'équation en rayon vecteur (27) sous la forme,

IR
us ai

+R Po + B + Yn) + Foe + 84 -

(33) * | 4. Gs (05 yi E = ake

1 ee 2 :
Donc, nous avons oblenu —- N(N — 1) intégrales en aire (32)

=

(GS 125 c oT (MN) ser ve N (N — 1) intégrales en rayon vecteur (33)

(rs 212,..., (N — 1) N). Parmi ces N (N = 1) intégrales il y a 2: (IN 1)
en coordonnées indépendantes, les autres (N — 1) (N — 2) intégrales étant
en coordonnées dépendantes.

Détermination de la potentielle ¥..

14. Comme une conséquence de (33) nous allons determiner la
potentielle #, dont nous n'avons jusqu'ici d'autre connaissance que
celle qu'elle doit être une fonction analytique du rayon vecteur R,, [n° 6].
Cette vaste généralité de la potentielle #, nous permet de la deter-
miner d'une maniere convenable sans restreindre la généralité de nos
formules. A cet effet, on reduira (33) à la forme,

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME DES N CORPS. 15

IR, \? pry (A 22 2 T

(n. <=) + Cys [ (e... oe Ry + (Ps Tor Pe). + (Yrs LS i] =
Don (quc em m eR

équation qui nous eonduit à poser

(94) hu ach,
et qui obtiendra par suite, en vertu de (21), cette forme bien simple
(Cty nnd ae ON)

) + e. nr...

Eom ( d log x, d log Ya dlog Ins

(35) (R.

2 Ol; + A Fer, <a JR .

A l’aide de (25), on aura done cette détermination de la fonction
inconnue F,, du rayon vecteur,

(36) ASC.

L'avantage que présente la détermination convenable de la po-
tentielle 7 dans (34) consiste en ce fait que le systéme (15), en
vertu de (36), deviendra exactement intégrable, et de plus que la forme
de l'équation (35) nous permet d'introduire la section conique comme
courbe-limite de la variation du rayon vecteur Z,.

Six inlegrales exactes des équations différentielles (13) et (15).

15. Les trois intégrales des forces vives (15) deviendront, en
vertu de (30) et (36), pour c,, c; , c; désignant les constantes d'inté-
gration, -

>> [177317 29 ee
N

(37) = lm; me, (2/8, — 992)] = cs

=|m,mc. 29,32) = Cs,
N

et les trois integrales des aires (26) prendront, en vertu de (32), la
forme suivante,

zm, i, {Crs (c5. är Bs. =F yn) xis KL Cos A, = ok, ,

(38) m,m, EES ERE FAN EN Cos brem.

= m.m, (e, (o2, + 82, + y?) + K2M Cos ¢,, = oh, .
N

16 GÖRAN DILLNER,

Elimination des coordonnees dependantes.
16. Les relations I (2), ecrites sous la forme
| Lys = Lps ET X pr ’

(39) | Yrs = Yps =~ M pr ?

e 2 2
CT USE pr 9

où nous supposons les coordonnées à droite indépendantes et par suite
celles à gauche dépendantes, donnent, d’après (17), les dépendances
suivantes,

| R,, Cos U,, 2 E,, Cos 9, — Ar Cos A. ,

(40) R,, Cos B,, = R, Cos B, — R,, Cos Bp, ,
| T, Cos: GO = PR, os Cr; Cost.

d’où

5 EN
(41) PPR) IRB Cor Ban.

ps pr ps

TEN ,
ou A,.R, designe l'angle entre R,, et E,. et sera considere comme un
nouvel élément angulaire; de plus, suivant (18), on a

(42) d 0?, = d Cos A, + d Cos Bi, + d Cos G3, .

De méme on aura, si l'on fait usage des différentielles du sy-
steme (39),

dS, AS, dS, — 208,, 197 GO SLAS pa UIS

? pr

où dS,
sera considéré encore comme un nouvel élément angulaire.

En s'appuyant sur les consequences nécessaires de ces formules,
on eliminera, à laide de (21), les coordonnées dépendantes et leurs
différentielles des six intégrales (37) et (38) et des N (N — 1) intégra-
les (32) et (35). Les 3(N — 1) coordonnées indépendantes et leurs
différentielles seront done liées entre elles par des relations determi-
nées, au moyen desquelles les différentielles seront convenablement
eliminees.

dS,. désigne l'angle entre les tangentes dS,, et dS

ps Spr angle qui

Nombre suffisant des constantes d'intégration.

17. Le nombre des équations differentielles du second ordre
distinctes de ce probleme étant 3(N — 1) [n° 1], le nombre des con-
stantes d'intégration doit étre 6 (N — 1). Parmi ces constantes distinctes

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME DES N CORPS. 17

il y a, suivant n° 2, cinq constantes provenues des systèmes (37) et
(38). En développant les coordonnées en fonction du temps, on ob-
tiendra une constante d'intégration de plus, à savoir le temps initial
commun de tous les corps. Done il reste 6 (N — 2) constantes d’inte-
gration pour compléter le nombre dû. Suivant n° 13 il y a N (N — 1)
constantes d'intégration en aire et en rayon vecteur, nombre qui pour
N = 3 et N — 4 est précisément égal à 6 (N — 2). Pour N > 4 le nombre
N (N — 1) excède le nombre 6 ( N — 2), cas qui exige une examination
particuliere.

II. CONSEQUENCES DES INTÉGRALES OBTENUES.
Section conique comme courbe-limite du rayon vecteur.
Equation caractéristique.

18. Si l'on pose l'équation en rayon vecteur (35) sous la forme

e) (Find Vrs)" E 2n “le los zy (d ors. yt wes yl

EB
TE

ms [OR SM

Ke

où V, représente une variable auxiliaire, on en est conduit à poser
l'équation différentielle de la section conique

Gite Ge D. Y.
(23) Ga j- puc ee

dV, étant par suite la différentielle de largwnent de cette courbe; alors,
en vertu de (43), l'équation en rayon vecteur- (35) deviendra

LORS I Ed =
44 RN SSG S WE
p) ( | der‘ ((d log x, i (d log y,) de (d log z, ^ E

où dV, doit sannuler en méme temps que dR, avec chacune des
différentielles dx, , dy, , dz, .

L'intégrale de (43) donnera la section conique suivante, la lon-
gitude fixe de perihelie a, étant la constante d'intégration,
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. '/xi 1902.

vo

[9/0

15 GÖRAN DILLNER,

(45) 1 © Toe COs Vee)

j To. Dre

est dit l'argument auxiliaire.

L’orbite (45) deviendra précisément celle du problème des deux
corps si l'on pose dans (44) et (32) le paramètre c, = 0 .*. dO, = dV}.

où V,

rs

19. L'équation (45) qui dépend des constantes d'intégration
8.3]. AG.[(82)] dit seulement que le rayon vecteur R,, en variant

gg De , Wer Ding ^ . .
entre un minimum QU et un maximum Le ou l'infini, a son lieu sur
+ e, == Cys

rs
la section conique (45), pendant que Vargument V,, est lié aux coordonnées
et au temps par l'équation différentielle (44).

Remarque. Si l'indice rs est celui des coordonnées dépendantes,
rien n'empêche en effet d'exprimer R,, par l'équation (45), parce que cette
équation dit seulement que R,, doit varier entre les limites données ci-dessus,
l'argument auxiliaire V,, pouvant être très different du vrai argument 06, .

20. La section conique (45) est à considérer comme la courbe-
limite de la variation du rayon vecteur R,,, et sous ce point de vue le
mouvement est dit elliptique ou hyperbolique suivant la valeur de l'ex-
centricite e,< 1 ou e,>1. En exprimant les paramètres e, et p,, de
la section conique (45) en les constantes d'intégration 8, et A7, dans
(43), on aura comme dans le probléme des deux corps les relations

$8,455, |?

et

dou l’on tirera les conséquences suivantes:
oO

2
79
rs

1° pour = )«&. — 0, le mouvement est elliptique,

2° pour &,,7 0, le mouvement est hyperbolique.

Puisque, suivant (47), K?, = a,, (1 — &,) c, le mouvement elliptique
et hyperbolique est caractérisé en méme temps respectivement par
o>0 et o<0.

21. Les différentielles d Cos 3L, , d Cos B, , d Cos G,, étant les pro-
jections de la tangente d 0,, dont nous désignons les angles avec les
axes des coordonnées par 4,,44,,»,, il en vient

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME DES N CORPS. 19

d Cos 3, = Cos 1,40, ,

(48)

d Cos $,, = Cos u,dO,.,

[rs
d Cos G,, = Cos y,,d0,, .

rs

Si l'on pose le quotient différentiel

LV is
49 Ee qui
(49) 6. — d.
l'équation en aire (32) s'écrira
E Fur CN mm. 5 =
u) (n. 577) = qos + 6 +72) + SE

qui, introduite dans (44), donnera, à l’aide de (22) et (48), pour résultat,

(51) c. (Rd a Au in, re, ee Cos del” | x,. }2

ul Een

oe

= ) Yrs ws ns | 2 Ke (1 Gis)
d Yrs) d 2.) = en

equation qui sera nommee caractéristique et qui, pour c,, = 0 ou le pro-

bleme des deux corps, donnera léquation due 467, = dV?, [n° 18].

Eléments angulares.

22. Les elements angulaires qui se sont présentés dans nos
formules sont argument auxiliaire V,,, le vrai argument O, , les angles
Y., Du, G, du rayon vecteur R,, les angles a,, 5,, e, de l'axe de
l'orbite et les angles 4,,, u,,, v, de la tangente d0,,. Nous allons pro-
poser les formules qui lient ces angles entre eux.

On tirera de (19), a l’aide de (48),

Cos a, = Cos 5, Cos v,, — Cos G,, Cos fe, ,
Cos b,, = Cos G,, Cos A, — Cos 9L, Cos 7, ,

Cos c, = Cos 9L, Cos u, — Cos $,, Cos 4,, .

Puisque la tangente d@,,, l'axe de l'orbite et le rayon vecteur
R, sont perpendiculaires l'un à lautre, on tirera de (52)

20 GÖRAN DILLNER,

Cos A, = Cos b,, Cos G,, — Cos c, Cos 5, ,

(53) Cos u,, = Cos c, Cos 9L, — Cos a,, Cos G,, ,

Cosy,, = Cos a, Cos %,, — Cos b,, Cos 9L, .

Les trois angles Y,,, B,,,©,, peuvent être remplacés par la lon-
gitude des noeuds Q,,, le vrai argument 9, et linclinaison i,. Comp-
tons ©, de l'axe X dans le plan XY; alors $, — c,,, et nous avons

Cos 9L, = Cos G,, Cos 0, = Sin o, Sin 0, Cos 7,
(54) | Cos 35, = Sin o, Cos 0, +. Cos ao, Sin 0, Cosi,,
Cos G,, = Sin ©, Sin 7,, .

23. Il y a pour chaque corps cing elements angulaires, à sa-
voir l'argument auxiliaire V,, et quatre angles indépendants pour la
determination du rayon vecteur et de l'axe de l'orbite.

Conséquences de l'équation caractéristique.

24. De l'équation caractéristique (51) on tirera ces deux con-
clusions.
I? PoursG, = 0), on7aura

=) 2 =
(99) Gale

c'est-à-dire l'argument ©, accroit plus vite que l'argument V,,, ces argu-
ments pris en leurs valeurs absolues.

De cette conclusion il proviendra cet énoncé: pendant que Var-
gument V,,, en sa valeur absolue, décrit l'angle 2x, l'argument ©,, en sa
valeur absolue, décrit un angle plus grand que 2m.

Cet énoncé explique le mouvement progressif du vrai périhélie.

2° Pour ¢, <0, on aura

(56) Uim

c'est-à-dire l'argwmnent ©, accroît plus lentement que l'argument V,,, ces
arguments pris en leurs valeurs absolues.

De cette conclusion il proviendra l’enonce suivant: pendant que
l'argument ©, en sa valeur absolue décrit un certain angle, l'argument Vs
en sa valeur absolue deerit un angle plus grand.

Cet enonce explique le fait que les masses peuvent s’eloigner
à Vinfini suivant des branches hyperboliques («<0), pendant que

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME DES N CORPS, 21

leurs arguments @,,(rs = 12 ,...,(N — 1) N) sont plus petits que les
arguments respectifs V, (rs = 12,...,(N—1)N), les arguments étant
pris en valeurs absolues.

25. Suivant (48) et (49) on aura les formules

D—1

dx, = Rd, (n Hose ACO Lem ) :
( rs
] P—1

(57) dy, = Rund 6, (Rz: Cos u,, — q,, Cos Dis e
dí ( j rs
=i

da, = hao. er Cos 95608 6, em) à
av rs

Au moyen de (57), l’equation caracteristique (51) se réduira au
Si degre par rapport au quotient différentiel ¢,, .
26. Pour dV, — 0, l'équation (44) donnera, aux points dx, = 0,
di, =0, dz,,=0, les trois équations
^ (Bs q.s
dloez,

MEL
“Sd log y,

Rea V se =
ca un 2 = Ke.

d log 2,,

2
=a

(58) i EO.

Ces équations seront d'importance pour la détermination du para-
metre c,.

27. En comparant (44) et (51), on aura, pour 2 V, = 0, aux
points dx, = 0,dy,, = 0 , dz,, = 0, respectivement Cos 4,,=0, Cos i, 2 0,
Cos x, = 0, et de plus q2, = 0, c'est-à-dire

(59) COV

Etant en méme temps dE, = 0 et dV,, = 0 (45), il s'ensuit que
le rayon vecteur R, pourra passer un maximum ou un minimum ow un
point d'arrét en même temps que son vrai argument ©,, en sa valeur ab-
solue, est toujours croissant.

D

GÖRAN DILLNER,
Determination du parametre c,.
28. Pour integrer les equations (58) au voisinage des points

dx, =0,dy,=0, dz,=0, nous introduirons, comme dans le pro-
bleme des deux corps, l'anomalie excentrique u,, en posant

(60) R,, = a, (1 — e,Cosu,),
d'ou Von tire l'équation différentielle
(61) Rd V, = (1 e,)talu, — e, sinu);
ayant en méme temps la relation entre les anomalies
iL ee vc Meer 1
(62) Tg (pm ERU Tg Ven

rs

29. Les integrales du systeme (58), au voisinage des points
ax, = 0, dy,,=0, dz, — 0, prendront, à l'aide de (61), la forme sui-
vante, pour K,,logc,,, K,logc,, K,logc, désignant les constantes
d’integration,

V6, @, (Cee) Ge, er, Sina) bec e
Ve d. (1 a e,.)? (2, Fa Ens Sin Us) m 1G log (CE Ys) *
V cha? (1 — e3)t(us = ex Sim us) Ke loo ores

équations qui, pour être indépendantes de la situation des points dx,, = 0.
dij, = 0, dz, = 0, doivent s'unir dans cette seule équation [n° 20],

(63) Yc,al =VoT,,

la constante I, étant en méme temps
p.c Joel SN CUT ERA)
15. 6), Sina, "vu, 28,Sin%, Tu, risnT

rs

relations qui, par les valeurs arbitraires des constantes c,,, c7,. €", seront
toujours satisfaites.

30. Maintenant il reste a determiner le facteur Z;,, dont nous
n'avons d'autre connaissance que celle qu'il doit s'annuler dans le pro-
bleme des deux corps, c'est-à-dire qu'il doit être une telle fonction des
N masses qu'il s'annule si l'on annule toutes les masses excepté deux
queleonques m, et m,. A cet effet nous posons

(N)
p — En T$ 9

MÉMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME DES N CORPS. 23

où PY = dx» [n° 29]. Puisque les équations du mouvement des N
corps I (12) jouissent de la propriété de changer en celles des (N — 1)
corps de méme forme pour une masse évanouissante, on en conclura

=D de même forme

que la fonction D doit changer en la fonction ;,
pour une masse évanouissante autre que m, ou M,.

D'un autre côté, si l'on observe que les équations du mouve-
ment I (12) sont homogènes par rapport aux coordonnées, aux masses
et au temps, c'est-à-dire que ces équations sont indépendantes de toute
constante multipliant en méme temps les quantités dites [n° 4], on en
eonelura que toutes les équations déduites de I (12) doivent jouir de la
méme propriété d'homogéneéité, les demi grands axes des orbites étant
de méme dimension que les coordonnées, et les constantes KA; et K,
étant de dimension respective 2 et 0 [n? 20]. De cette maniere le pa-
rametre c, doit étre de dimension (— 2) pour rendre homogenes l'équa-
tion en force vive (35), l'équation en aire (32) et l'équation caracté-
ristique (51). Done, le facteur 7,, qui ne s'annule qu'avec c, doit être
de dimension 0 par rapport aux masses, chacune divisée par une con-
stante finie P, de dimension 1. Par suite, si l'on pose

m x
= mm OO m m,

u

on satisfera a toutes ces conditions en mettant la forme linéaire

T,, = [o — (m; + m;) Vn, ,

où n, est une constante finie positive de dimension 0.
Donc, enfin, le paramètre c,, jouit de cette forme [(63)],

(64) = = for ME) aue

MG. : DOR ‘
Si l'on admet, pour rs = 12, que m, = — (u=3,...,N), c'est-
a
a-dire que m, soit la potentielle constante de la masse mu, il en vient

6 [Ms

9
My |
Cj = +... + sé

des dix
De cette manière on aura pour le problème des deux corps,
Co = 0,

pour le problème des trois corps,

24 Goran DILLNER, MEMOIRE SUR LA SOLUTION ANALYTIQUE ETC.

N Ne
Cie = = - Na,

^ Cie ys

pour le probleme des quatre corps,

12 29

" » I 9
_ My + My + M; + My > ae ZA "
T 1

(fs Az Cia

et ainsi de suite.

Remarque I. Pour o > 0, le parametre c,, sans changer de signe,
admet des corps à masses negatives (répulsives) qui n'ont d'autre
influenee sur les équations du probléme que de diminuer la valeur
numérique de o et en général de changer la valeur des constantes
qui dépendent de e et des masses négatives. Si en effet les cométes
sont de tels corps, c'est là une question qui mérite d'étre examinée. Deux
faits semblent affirmer cette hypothese: 1° le volume de la comete change
et presente son minimum au perihelie, puisque dans ce point la force
repulsive de la comete est le plus neutralisée par la force attractive
du soleil; 2° la queue de la comete, formée par la poudre cosmique re-
poussée, est dirigée suivant le prolongement du rayon vecteur, puisque
dans ce prolongement la force repulsive de la comete est le moins
neutralisée par la force attractive du soleil. Cette hypothese, une fois
vérifiée, serait un exemple important de l'existence reelle des masses
négatives que l'analyse comprend dans ces formules aussi bien qu'elle
le fait pour les masses positives.

Remarque II. Enfin, il reste à développer, à l'aide des inté-
grales obtenues, les coordonnées ou certaines fonctions des coordonnées
en fonctions du temps par des séries infinies, développement qui se
fera suivant des méthodes analytiques connues.

Be EN

ÜBER DIE BEDEUTUNG

DES

WARMELEITUNGSVERMOGENS DER ELEKTRODEN

BEI DEM

ELEKTRISCHEN LICHTBOGEN
GUSTAF GRANQVIST.

MIT ZWEI TAFELN.

(MiTGETHEILT DER KÖNIGL. GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPSALA AM 12 SEPT. 1902).

UPSALA 1903
DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI,
EDV. BERLING.

Inhalts-Verzeichniss.

Einleitung

118

Il.

Gleichstromlichtbogen.

Ik
Me

Il.

IV.

Die Wärmeabgabe durch die Elektroden SEGE ook es
Die Anderung der Anoden- und Kalhodsafläcken bei Änderung des
Wärmeleitungsvermögens der Elektroden S
Die Anderung der elektrischen Gróssen bei Anderung ire er bre
vermögens der Elektroden .

Über die Bedeutung des Wi ärineleitunssvermogens der Blektroden für
den stabilen und labilen Gleichgewichtszustand der Lichtbögen .

Wechselstromlichtbogen.

ll:
IL.

IH.

Der labile und stabile Gleichgewichtszustand im Wechselstromlichtbogen
Das Verhältnis zwischen Stromstärke und Potentialdifferenz während des
stabilen Gleichgewichtszustands .

Die Bedingung für den Bestand des Wee heeletromilterihopens

|

Die eiektrischen Kohlen- und Metalllichtbögen zeigen in mehreren Hin-
sichten grosse Verschiedenheit. Besonders tritt diese Verschiedenheit
hervor, wenn die Lichtbógen mit Wechselstrom hergestellt werden. So
z. B. bereitet es keine Schwierigkeit. mit Wechselstrom Kohlenlichtbögen
herzustellen, wenn beide Elektroden aus Kohle bestehen, oder Metall-
lichtbögen, wenn die eine Elektrode aus Kohle und die andere aus
Metall besteht. Dagegen ist es nicht gelungen, Metalllichtbögen zwi-
schen zwei Metallelektroden mittelst Wechselströmen gewöhnlicher Fre-
quenz und Spannung zu erhalten. Schon ZUCHRISTIAN!) hat die Ansicht
ausgesprochen, dass diese Verschiedenheit zwischen den beiden Arten
von Lichtbögen auf dem grossen Unterschied in dem Wärmeleitungs-
vermögen der Kohlen- und der Metallelektroden beruhe. Es erschien
mir daher eine Untersuchung über die Rolle, die das Wärmeleitungs-
vermögen der Elektroden sowohl bei Gleichstrom- wie bei Wechselstrom-
lichtbógen spielt, wünschenswert. Ich habe aus diesem Grunde eine
solche Untersuchung angestellt und will im Folgenden die Ergebnisse
derselben vorlegen.

Der grösste Teil dieser Untersuchung ist während des Sommers
1901 im Physikalischen Institut des Eidgenössischen Polytechnikums in
Zürich ausgeführt worden. Dem Vorsteher des Instituts, Herrn Professor
H. F. WEBER, spreche ich hiermit meinen wärmsten Dank für die grosse
Bereitwilligkeit aus, mit der er alle für diese Untersuchung erforderlichen
Apparate mir zur Verfügung stellte.

!) ZUGHRISTIAN. Wien. Ber. 102. S. 567—576. 1893,

Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. II. Impr. 15/12 1902. 1

I. Gleichstromlichtbogen.

I. Die Wärmeabgabe durch die Elektroden.

1

Die in dem Lichtbogen absorbierte elektrische Energie wird da-
selbst in Wärme umgesetzt. Diese Wärme geht von dem Lichtbogen
teils durch Strahlung, Konvektion und Leitung zur umgebenden Luft,
teils auch durch Leitung zu den Elektroden fort.

Die allgemeine Ansicht scheint die zu sein, dass der weitaus
grösste Teil der Wärme durch die Luft fortgeht und dass nur ein unbe-
deutender Teil durch die Elektroden fortgeleitet wird, deren Erhitzung
hauptsächlich auf Überführung von Wärme von den erhitzten Luftströmen
her beruhen soll.

Die Temperaturverteilung längs den Elektroden scheint mir in-
dessen dafür zu sprechen, dass ziemlich viel Wärme direkt von dem
Bogen zu den Elektroden weggeleitet wird. Wir wollen daher zu-
nächst eine Übersicht über die genannte Temperaturverteilung geben.

Nebenstehende Figur giebt ein schematisches
Bild von einem vertikalen Kohlenlichtbogen zwi-
schen Homogenkohlen mit der Anode zu oberst.
B bezeichnet den Lichtbogen selbst, s, und s, seine
Berührungsflächen mit der Anode und der Kathode.
Im Folgenden wollen wir für diese Flächen die Be-
zeichnungen Elektrodenflächen, Anoden- und Katho-
denfläche verwenden.

Die obere positive Kohle leuchtet am stärk-
sten in der Anodenfläche s, und ist dort weiss-
elühend. Ein Stück oberhalb derselben ist die Kohle
ebenfalls elühend, obwohl die Intensität bedeutend geringer ist und
mit dem Abstande von der Anodenfläche abnimmt.

An der negativen Kohle ist die Berührungsfläche zwischen Bogen
und Kohle gleichfalls weissglühend. Ein kleineres Stück unterhalb der-
selben ist auch hier die Kohle glühend mit abnehmender Intensität.

Nach ViorLe!) ist die Lichtmenge, die von der Flächeneinheit
der Anodenfläche s, ausgeht, immer dieselbe, unabhängig von Bogen-

O 1000 2000 2000 4000

Fig. 1

1) J. Vioe C. R. 119. S. 949—950. 1894.

t

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 2

länge und Stromstärke. Die Temperatur daselbst ist also immer die
gleiche. ViorLe meint deshalb, dass die Anodenfläche der Sitz eines
bestimmten physikalischen Phänomens ist, nämlich des Siedens der

1

Kohle. Nach ihm soll diese Temperatur ungefähr 3600? €, betragen.
Bei g, wo die positive Kohle zu glühen aufhört, ist die Tempe-
ratur ungefähr 500°. Der Abstand s, gy variiert mit der Stromstärke
und dem Diameter der Kohle. Je grösser die Stromstärke und je klei-
ner der Diameter, um so länger ist der glühende Teil der Kohle. Bei
einer Stromstärke von 6 Amp. und einem Diameter von 12 mm bei
der Kohle beträgt dieser Abstand ungefähr 2 em. In einem Abstande von
5 cm von der Anodenfläche ist dann die Temperatur ungefähr 250 ? €.
Werden diese Temperaturen senkrecht zur Längsrichtung der Kohle ab-
getragen, so erhält man die Kurve abc, die uns also eine ungefähre
Vorstellung von der Temperaturverteilung im Innern der Anode giebt.
Auf gleiche Weise ist die Kurve def erhalten worden. Sie zeigt
uns die ungefähre Temperaturverteilung im Innern der Kathode. Für
die Temperatur zu oberst an der Kathode ist hierbei nach VIoLLE der
Betrag von 2700 ? angenommen worden, Aus der Figur ersehen wir,
dass die Temperaturgefälle in den Elektrodentlichen selbst sehr gross
sein und auf Tausende von Graden per mm sich belaufen müssen.
Unter der Wärme, die durch Leitung zu den Elektroden über-
geht, verstehen wir in dem Folgenden die Wärme, die bei stationärem
Zustand durch die Flächen s, und s, geht.
bezeichnet z das Wärmeleitungsvermögen der Elektroden und u
die Temperatur im Punkte x derselben, wobei die Abstände x von den
betreffenden Anoden- oder Kathodenflächen nach dem Innern der Elek-
troden zu gerechnet sind, so ist die Wärmemenge, die durch Leitung zur
Anode übergeht,

(d 2
= 5, ae
4 ; du m ee : A rl b ;
wobei — —| das Temperaturgefälle in der Fläche s, bezeichnet. Auf
GT” ı

gleiche Weise erhält man für die Kathode

Nun sind zwar sowohl z wie die Flächen s kleine Quantitäten,
die Temperaturgefälle sind dagegen, wie wir oben gefunden, sehr gross.
Aus diesem Grunde schien es mir, als wenn recht viel Wärme auf die-
sem Wege fortgehen müsste.

4 G. GRANQVIST,

5)

Die Wärme, die in dem Lichtbogen entwickelt wird, ist nicht
gleichförmig über denselben verteilt. Die Untersuchungen, die Lussın!),
LECHER?) u. a. über das Potentialgefälle im Lichtbogen angestellt, haben
nämlich gezeigt, dass dasselbe nicht konstant von der Anode zur Ka-
thode ist. Beim Übergang von der Anode zum Bogen haben wir ein
grosses Potentialgefälle, das für Lichtbogen zwischen Homogenkohlen
ungefähr 32 Volt beträgt. Beim Übergang vom Bogen zur Kathode
ist ebenfalls ein grösseres Potentialgefälle vorhanden, das jedoch kleiner
als das bei der Anode ist und bei obengenanntem Bogen ungefähr S
Volt beträgt. Sonst ist im Bogen das Potentialgefälle konstant in der
Längsrichtung des Bogens und beträgt einige Volt per mm.

Da die Wärmeentwickelung in den einzelnen Teilen des Bogens
dem Potentialgefälle daselbst proportional ist, haben wir also unmittelbar
vor den Anoden- und Kathodenflächen eine grössere Wärmeentwicke-
lung. Im Bogen sonst ist dagegen die Wärmeentwickelung gleich ver-
teilt. Es liegt nun nahe, wenigstens als eine erste Approximation anzu-
nehmen, dass die Wärme, die unmittelbar vor den beiden Elektroden-
flachen entwickelt wird, auf diese übergeht und zu ihrer Erhitzung ver-
wendet wird, während der grösste Teil der in den übrigen Partieen des
Bogens entwickelten Wärme, die wenigstens bei kleinen Bogenlängen nur
einen geringen Teil der anderen ausmacht, zur umgebenden Luft fortgeht.

Wenn V, das Potentialgefälle in Volt vor der Anodenfläche be-
zeichnet und / die Stromstärke in Ampere, so ist die zur Fläche s,
per Sekunde gekommene Wärme gleich

0,24 V, Ler. cal.

Von dieser Wärme geht ein Teil durch Leitung zur Anode und
nie Teil durch Strahlung von der Anodenfläche fort. Bereichen wir
diesen letzteren Teil mit s, a

» 80 wird

du :
Sy ieee sa noH
ax
1
s, a, bezeichnet hier die Differenz zwischen der absoluten Strahlung von
der Fläche s, und der von der Kathode und dem Bogen selbst aus-
gehenden Strahlung, die die Fläche s, trifft. Ist die Temperatur im

1 Lusem. Wien. Ber. 98. S. 1192. 1889.
? LECHER. Wied. Ann. 33. S. 609. 1

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 5
Bogen selbst höher als die an der Anode, so muss zu dieser letzteren
Strahlung die Wärme hinzugefügt werden, die durch möglicherweise

e h i=) h
vorhandene Leitung und Konvektion zur Anodenfläche übergeht.
Für die Wärmeverhältnisse an der Kathodenfläche erhält man
den analogen Ausdruck
du : -
Si, == easi ( ) Y.

2 La 2 ;
da 4

Werden die Gleichungen zu einander addiert, so erhält man

- du du
S,Q, + Sy — 28, | — 48, ( |

= ÖDE ey
ax), dx lin D

Für sehr kleine Bogenlüngen kónnen wir ausserdem V, + V, approxi-
mativ V gleichsetzen, wobei V die Potentialdifferenz zwischen den bei-
den Elektroden bezeichnet, und erhalten dann

ae
51 a + So a, — #5, (7 "

—*, (= 0,24 VI.

Um den Einfluss festzustellen, den das Wärmeleitungsvermögen der
Elektroden auf den Bogen selbst hat, ist es zuerst von Gewicht, Kenntnis
von dem Verhältnis zu bekommen, das zwischen der durch Leitung zu
den Elektroden übergegangenen Wärme und jener, die durch Strahlung
von den Bogenflächen fortgeht, besteht. Ich habe daher versucht, den
Wert hierfür approximativ zu bestimmen, und teile im Folgendem die
Ergebnisse meiner Unterschungen mit.

Bei meinen ersten Versuchen in dieser Richtung ging ich darauf
aus, die Temperaturverteilung an den Kohlenelektroden zu bestimmen.
Kannte man diese und dazu das äussere und innere Wärmeleitungs-
vermögen für die Kohlen, so musste ja der Wärmetransport durch sie
zu berechnen sein. Es erwies sich indessen als unmöglich, auf diese
Weise zu verlässlichen Ergebnissen zu kommen.

Die Ursache hierfür lag teils in der Schwierigkeit, mit Thermo-
elementen die Temperatur an Punkten der Elektroden zu bestimmen, die
dem Lichtbogen selbst nahe lagen, teils auch darin, dass die Tempera-
turverteilung niemals stationär wurde. Dieses letztere beruhte auf der
Verbrennung der Kohlenelektroden, wodurch der Lichtbogen den be-
treffenden Punkten der Elektroden immer näher rückt. Ein Thermo-
element, das an einer Stelle in einer Kohlenelektrode eingeführt ist,
zeigt daher niemals konstante Temperatur, sondern eine successive
Temperatursteigerung,

6 (x. GRANQVIST,

Ich ging daher zu einer Art Kalorimeterme-
thode über, die schematisch in Fig. 2 dargestellt ist.
Hier bezeichnen e und e' zwei Kohlenelektroden, in
eine Bogenlampe mit Handregulierung eingesetzt.
Um die untere Elektrode ist ein ungefähr 7 cm
hohes und 5 em im Durchmesser haltendes Kalori-
metergefäss aus Kupfer befestigt. Als Kalorimeter-
flüssigkeit wurde Wasser angewendet.

Um Wärmestrahlung von der oberen Elektrode
zum Kalorimeter zu verhindern, war über dieses

letztere eine, oft mehrere Scheiben von Asbest ge-
lest. Diese sind in der Figur mit @ bezeichnet.
Fig. 2. Fr : i
Durch diese Anordnung kann offenbar die
Wiürmemenge, die durch Leitung zu der unteren Elektrode übergeht,
bestimmt werden. Je nachdem diese Anode oder Kathode ist, können
wir also den Wärmetransport zur Anode oder Kathode bestimmen.

Es muss indessen schon hier darauf hingewiesen werden, dass
es bei allen diesen Versuchen notwendig war, die untere Elektrode
einige Millimeter über die Oberfläche des Wassers emporragen zu lassen.
Infolgedessen war die im Kalorimeter erhaltene Wärmemenge in Wirk-
lichkeit geringer als die, welche wirklich zur Elektrode übergegangen
war, indem durch den über dem Wasser befindlichen Teil derselben
Wärme an die Luft abgegeben wurde.

Mit der beschriebenen Anordnung wurden nun die Wärmemengen,
die während einer bestimmten Zeit zur Anode oder Kathode übergingen,
bestimmt. Um auch die ganze im Lichtbogen entwickelte Wärmemenge
zu bestimmen, wurde die Stromstärke und die Potentialdifferenz zwischen
den Kohlenelektroden bestimmt. In die Leitung war zu dem Zweck ein
Amperemeter und zwischen die Elektroden ein Voltmeter eingeschaltet.

In untenstehender Tabelle sind diese Observationen aufgeführt.
I und V bezeichnen hier die Stromstärke und die Potentialdifferenz. €
bezeichnet die per Sekunde im Bogen entwickelte Wärme und ist aus
der Formel

Q = 0,24 VI
berechnet. @, und Q, sind ferner die aus den Kalorimeterbestimmun-
gen erhaltenen Werte für die durch die Anoden- und Kathodenfläche
per Sekunde transportierte Wärmemenge. In der ersten Kolumne be-
deutet das Zeichen A, dass die untere Kohle Anode gewesen, À dage-
gen, dass dieselbe Kathode gewesen.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN.

(
Tabelle I.
I I Q (), (> 00 Med.
A D 28 33,4 14,4 43,9
A D 33 39,4 16,3 41,4
A 5) do 39,4 16,9 43,0
A D 39 46,5 19,7 — 42,4 49,5
K D 22 39,4 14,3 36,4 =
K D 33 39,4 14,3 36,4 —
K D 33 39,4 15,9 39,4
K D 33 39,4 14,1 39,8
K > 39 46,5 16,8 36,2
K 3) 30 46.5 11,3 37,3 36,9
79,4

Aus den in Tabelle I aufgeführten Observationen ersehen wir,
dass die Wärmemenge, die durch Leitung zur Anode übergegangen,
ungefähr 42?/o der ganzen im Lichtbogen entwickelten Wärmemenge
beträgt. An der Kathode wurden ungefähr 37 °/o erhalten. Insgesamt
hat also die durch Leitung zu den Elektroden übergeführte Wärme unge-
fähr 79°/o betragen. Hierzu ist jedoch, wie schon oben erwähnt, zu
bemerken, dass die wirklich übergegangene Wärmemenge bedeutend
grüsser gewesen sein muss. Wir kónnen daher aus diesen Observa-
tionen den Schluss ziehen, dass der grósste Teil der Warme im Licht-
bogen durch die Elektroden fortgeleitet wird.

Tabelle II enthält einige auf dieselbe Weise wie oben erhaltene
Observationen, bei denen aber die untere Elektrode aus Kupfer, die
obere dagegen, in diesem Fall stets Anode, aus Kohle war. Wie aus
der Tabelle hervorgeht, betrug die durch Leitung zur Kupferkathode
übergegangene Wärmemenge bis zu 45 °/o der ganzen im Lichtbogen
entwickelten Menge.

Tabelle II.

I V Q (05 0,0 Med.
5 31 37 14,6 39,5 =
5 31 37 18,1 49,0 —
5 31 2l 15:5 19,0 =
5 31 37 16,2 43,8 =
5 36 43 20,7 48,4 =
D 36 43 18,7 43.5 —
5 36 43 19.3 44,8 —
5 36 43 20:3 17.9 14.8

8 G. GRANQVIST,

Das Ergebnis dieser Versuche ist also gewesen, dass die Elek-
troden im Lichtbogen zunächst als Abkühler für denselben wirken und
durch sie die meiste Wärme weggeleitet wird.

2.

Wir kónnen auch durch eine einfache Rechnung uns davon
überzeugen, dass die Wärmemenge, die durch die Elektroden fortge-
leitet wird, grösser sein muss als die, welche durch Strahlung fortgeht.
Wir fanden nämlich oben, dass für die Anoden- und Kathodenflächen
die Formeln gelten
du US = du no
su a ) = 0,247, T sa, — z 8, ( ln.
dx a QE. |

Die Potentialgefälle V; und V, sind von Frau Ayrton!) für Ho-
mogenkohlen bestimmt worden. Für Stromstärken zwischen 4 und 14
Ampere wurde danach erhalten

0 915
DARREN 9 xim he
ANNE ee

I

wobei 2 die Bogenlänge in mm bezeichnet. Diese ist hier als der ver-
tikale Abstand von der Kraterkante an der Anode bis zur Spitze der
Kathode definiert. Wir wollen in der folgenden Berechnung der Ein-
fachheit wegen 4 = 0 setzen, welches hier also nicht einer Berührung
der Elektroden entspricht, denn wenn man von der Nullstellung aus-
geht, muss die Spitze der Kathode dem Krater der Anode um eine der
Tiefe des Kraters gleiche Weglänge entgegengeführt werden, bevor
Berührung stattfindet.

Es ist nun für uns nötig, auch die Grösse der Flächen s, und
s, und deren Veränderung mit der Stromstärke zu kennen. Ich habe
daher für Stromstärken zwischen 5 und 15 Ampere dieselben in einem
Lichtbogen zwischen Homogenkohlen bestimmt. Das Ergebnis dieser
Versuche war, dass die Radien der Flächen linear mit der Stromstärke
wuchsen. Wenn 7, und 7, die Radien in em für die Flächen s, und
s, bezeichnen, so ist

1) Ayrron, The Electrician, 41. S. 720. 1898. Beibl. 22. S 899. 1898.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 9

r, = 0,085 + 0,016 7
Va = 0,043 + 0,008 T.

Die Unsicherheit der Bestimmungen von 7, ist indessen recht gross,
hauptsächlich deswegen, weil die Kathodenfläche oft eine unregelmäs-
sige Form hatte.

Der Radius der Kathodenfläche ist also ungefähr halb so gross
wie der Radius der Anodenfläche, diese letztere daher ungefähr vier
mal so gross als die Kathodenfläche.

Setzen wir nun die so erhaltenen Werte für V und s in unsere
Formel ein, so erhalten wir

31.28 9
Ty =e ES =, (Dal Se ar —
Chae, a (0,085 + 0,016 7}

du

Hier bezeichnet a —x( ) die Summe der per cm? ausgestrahlten und
1

AX.
durch Leitung fortgegangenen Wärme. In untenstehender Tabelle ist
diese für Stromstärken von 5 bis 15 Amp. berechnet worden.

Wie oben erwähnt, bezeichnet v, die per cm? von der Anoden-
fläche ausgestrahlte Wärmeenergie. Diese ist gleich der Differenz
zwischen der absoluten Strahlung der Anodenfläche und der Zustrahlung
von der Kathode und dem Bogen selbst her. Wir können also setzen

7774
Ng

wo « das Emissionsvermógen der Kohlen bei der absoluten Temperatur
T und @ die per cm? zugestrahlte Würmemenge von Bogen und Ka-
thode her bezeichnet.

Nehmen wir nun an, die Temperatur der Anodenfläche sei
3600? C. und ihr Emissionsvermögen dasselbe wie für absolut schwarze

Körper, welch letzteres von F. KURLBAUM!) auf x. 0408.10-” er. cal

bestimmt worden ist.
Unter diesen Umständen erhalten wir

sec

a, = 2.0,408 . 3873". 107” — oe = 288 —o

1

Aus der Tabelle III ersehen wir, dass die Summe der per cm?
ausgestrahlten und fortgeleiteten Wärme zwischen 464 und 346 gr. cal.

1) F. Kurısaum, Wied. Ann. 65. S. 746. 1898.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. 5/1 1903. 2

10 G. GRANQVIST,

variiert. Wäre nun keine Zustrahlung von der Kathode und dem Bogen
her vorhanden, so würde die Ausstrahlung 288 gr. cal. betragen, d. h.
etwas mehr als! die Hälfte der Wärme an der Anodenfläche würde
durch Strahlung und die übrige durch Leitung weggehen. Die Gegen-
wart der erhitzten Kathode und des Lichtbogens muss indessen be-
deutend die Ausstrahlung vermindern und daraus folgt, dass die Wärme-
menge, die an der Anodenfläche durch Leitung fortgeht, bedeutend grös-
ser sein muss als die, welche von dort ausstrahlt.

Tabelle III.

Enc), n)

5 464 579
6 459 552
7 449 526
8 437 501
9 493 478
10 410 456
11 396 136
12 383 117
13 370 400
14 358 384
ll) 346 369

Führen wir eine entsprechende Berechnung für die Kathoden-
fläche aus, so erhalten wir

2 3 [2m _ 034 AN ES 1326
NGG. OR OU SERO TOU SOT

Die per cm? der Kathodenfliche zugeführte Wärme findet sich
in Tab. III berechnet. Aus derselben ist ersichtlich, dass diese Wärme-
menge ungefähr ebenso gross wie die der Anode zugeführte ist. Wäre
nun da ebenso gross wie @,, so würde das Verhältnis zwischen der aus-
gestrahlten und der fortgeleiteten Wiirme ungeführ gleich dem an der
Anodenfläche sein. Nun muss indessen «m, bedeutend kleiner als a,
sein, denn teils ist die Temperatur an der Kathode etwas geringer als
an der Anode, teils ist auch die Zustrahlung von der Anode her be-
deutend grösser als die Zustrahlung von der Kathode her. An der
Kathodenfliche ist also die Ausstrahlung gering, die weitaus grüsste
Wärme wird hier durch die Elektrode fortgeleitet.

1 . mr . r ART 5
) d» ist = € Tj! — o,, wo 0, die Zustrahlung von der Anode und vom Bogen her

bezeichnet. Wenn 0, > & T,!, so ist a, negativ.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 11

: du ; du
Aus Tab. III ersehen wir, dass sowohl a, — «( ) wie d,— x ie )
qa AX

; |

kleiner wird, wenn die Stromstärke steigt. Da die Grössen a, und a,

2

: : : ; : d du (du
klein sind im Vergleich mit den Grössen «(5 ) und z (2) , so muss

AX’, (25. s

du : du : : T
auch sowohl s) wie auch ( ) mit steigender Stromstärke abnehmen.
(C GE

p. 5 (du >
Wir haben weiter gefunden, dass a, ir ) etwas grosser als
"Od. 2

9

0 2 = . d, aber bedeutend kleiner als a, ist. Es folgt hieraus,
( ;
=

dass ie) bedeutend erésser als a) sein muss.

d 35^» " Ga

Diese beiden letzten Sätze stimmen völlig mit der Erfahrung über-
ein. Danach ist der glühende Teil der Anode stets grösser als der der
Kathode, was natürlich zeigt, dass das Temperaturgefälle längs der
Anode geringer sein muss als längs der Kathode. Wird die Strom-
stärke vermehrt, so werden auch die glühenden Teile der Anode und
der Kathode grösser, d. h. die Temperaturgefälle längs ihnen werden
vermindert.

Il. Die Änderung der Anoden- und Kathodenflächen bei Änderung
des Wärmeleitungsvermögens der Elektroden.

Wir haben oben gefunden, dass in der Formel

5,4, +50, — (25, s pd m va n
40! ie

die Ausdrücke s, a, + 5,4, , welche die von den Flächen s, und s, aus-
gestrahlte Wärme darstellen. bedeutend kleiner sind als die Quantitäten
25, E Jon p , welche die durch Leitung zu den Elektroden über-
dx dla,

gegangene Wärme bezeichnen. Aus den Kalorimeterbestimmungen ha-
ben wir so gefunden, dass die letztere mindestens 80 ?/o der ganzen
im Lichtbogen entwickelten Wiirme ausmachen muss.

Hieraus ergiebt sich, dass eine Änderung des Wärmeleitungsver-
mügens der Elektroden, die natürlich auch eine Anderung der Tem-

ase du du IE v. ; a 2 TR
peraturgefälle | und s ‘) mit sich führt, eine Anderung in der Grösse
AX ax
ET

12 G. GRANQVIST,

der Flächen s, und s, zur Folge haben muss, alles natürlich unter der Vor-

aussetzung, dass die Verhältnisse im übrigen im Bogen dieselben bleiben.

Eine Vermehrung von x > muss also eine Verminderung der Bogen-
OX

flichen bewirken und umgekehrt.

Bei Kohlenlichtbögen variiert das Potentialgefälle V, + V, zwi-
schen 25 und 38 Volt, bei Metalllichtbögen von Pt, Fe, Ni und Cu zwi-
schen 27 und 23 Volt. Im grossen und ganzen bleibt also für alle diese
Bögen bei derselben Stromstärke die den Flächen s, und s, zugeführte
Wärmeenergie ungefähr gleich gross. Dagegen ist das Wärmeleitungs-
vermögen für Kohle ungefähr 100 mal kleiner als für die Metalle. In-
folgedessen werden, wovon man sich leicht überzeugen kann, die Ano-
den- und Kathodenflächen bei Kohlenlichtbögen bedeutend grösser als
bei Metalllichtbögen.

Eine Vermehrung von z führt also im allgemeinen eine Ver-
minderung von s mit sich. Könnten wir also für denselben Lichtbogen
das Wärmeleitungsvermögen der Elektroden innerhalb weiter Grenzen
variieren, so würden wir ziemlich beträchtliche Veränderungen in den
Querdimensionen des Lichtbogens erhalten können.

Offenbar können wir nicht die beiden Elektroden durch andere
aus anderem Material ersetzen, ohne dass auch das Material, aus dem
der Lichtbogen besteht, verändert würde. Dagegen können wir in vie-
len Fällen die negative Elektrode durch anderes Material ersetzen, ohne
dadurch das Bogenmaterial selbst zu ändern. Denn wie bekannt, be-
steht der Liehtbogen hauptsächlich aus glühenden Gasen von der Anode.

Ich habe in dieser Hinsicht teils einen Kohlenlichtbogen, teils
einen Kupferlichtbogen untersucht. In dem Kohlenlichtbogen wurde der
negative Kohlenstab durch einen Kupferstab und in dem Kupferlichtbogen
die Kathode durch einen Kohlenstab ersetzt. Da das Wärmeleitungs-
vermögen für Kupfer ungefähr 100 mal so gross ist als für die ver-
wendeten Kohlenstäbe, wurde also bei diesen Versuchen z der Kathode
innerhalb ziemlich weiter Grenzen variiert.

Es zeigte sich nun, dass, wenn die negative Kohle in dem Kohlen-
lichtbogen gegen einen Kupferstab ausgetauscht wurde, die Kathoden-
fläche bedeutend vermindert wurde. In dem Kupferlichtbogen wurde
dagegen eine Veränderung in entgegengesetzter Richtung erhalten.
Wenn die Kupferkathode hier durch einen Kohlenstab ersetzt wurde, so
wurde die Kathodenfliche bedeutend grösser als vorher und sogar
grösser als die Anodentlüche.

E
~~

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN.

Es ist hier vielleicht darauf hinzuweisen, dass diese Versuche
bei verhältnismässig geringer Stromstärke angestellt werden mussten.
Bei grösseren Stromstärken (über 10 Amp.) schmilzt nämlich der Kup-
ferstab. In diesem Fall besteht natürlich der Bogen aus einer Mischung
von Kohle und Kupfergas, und die Verhältnisse im Bogen selbst sind
dann nicht dieselben wie in dem Kohlenlichtbogen. Bei einer Strom-
stärke von ungefähr 5 Amp. und bei den eben gebrauchten Dimen-
sionen der Elektroden tritt dagegen kein Schmelzen ein, sondern die
Kupferelektrode wird längs der Berührungsfläche mit dem Bogen mit
einer sehr dünnen Kohlenschicht überzogen. Wenn die Kupferelektroden
vor dem Versuch plangeschliffen waren, konnte nach demselben die
Kohleschicht abgenommen werden. Eine Untersuchung der Elektroden-
oberfläche nach dem Versuch zeigte da, dass sie noch immer plan
war, und keine Andeutung von Schmelzen konnte an ihr entdeckt wer-
den. Hieraus dürfte hervorgehen, dass bei obenstehenden Versuchen
mit dem Kohlenlichtbogen dieser in beiden Fällen nur aus Kohlegas
bestand.

Dasselbe gilt natürlich in gewissem Grad auch hinsichtlich des
Kupferlichtbogens, obwohl hier die Gefahr, ihn mit Gas von der Kohlen-
kathode vermischt zu erhalten, sehr gering ist, da die Temperatur
im Kupferlichtbogen wohl bedeutend unterhalb der Siedetemperatur der
Kohle liegt.

Wir haben also gefunden, dass, wenn das Wärmeleitungsver-
mögen der Kathode geändert wird, auch die Kathodenflächen daselbst
verändert werden. Wie auch zu erwarten war, wurde die Kathoden-
fläche geringer, wenn das Wärmeleitungsvermögen vermehrt wurde,
und umgekehrt. Auch in dieser Hinsicht hat sich also unsere oben
deduzierte Formel als richtig erwiesen.

III. Die Änderung der elektrischen Grössen bei Änderung des
Wärmeleitungsvermögens der Elektroden.

Im vorigen Abschnitt fanden wir, dass eine Änderung des Wärme-
leitungsvermögens der Elektroden eine Änderung der Grösse der Elek-
trodenflächen mit sich führt. Hierbei ändert sich auch die Potential-
differenz zwischen den Elektroden des Bogens, und wir wollen nun die
Art dieser Änderung untersuchen.

Zu diesem Zweck wurde zunächst bei verschiedenen Bogen-
längen und Stromstärken die Potentialdifferenz in einem Kohlenlichtbogen

14 G. GRANQVIST,

zwischen Homogenkohlen und in einem Kupferlichtbogen bestimmt.
Darauf wurde die Kathode im Kohlenlichtbogen durch einen Kupferstab
und die Kathode im Kupferlichtbogen durch einen Homogenkohlenstab
ersetzt und sodann von neuem die Potentialdifferenz zwischen den
Elektroden für dieselben Stromstärken und für verschiedene Bogen-
längen bestimmt.

Beim Austausch der Kathoden wurde also die Kathodenfläche im
Kohlenlichtbogen vermindert, im Kupferlichtbogen dagegen vergrössert.

Die Tabellen IV und V enthalten diese Bestimmungen. Der
besseren Übersicht halber sind diese Observationen in Fig. 1, Taf. I gra-
phiseh dargestellt. Die Bogenlänge 2!) ist hier nicht wie in Avrroxs For-
mel der vertikale Abstand von der positiven Kraterkante zur Spitze
der Kathode, sondern der vertikale Abstand zwischen den beiden
Elektroden.

Tabelle IV. Tabelle V.
Kohlentlichtbogen Kupferlichtbogen
(GL (Ge Cu + C wa
Hi CE Om I Cu— CE
À yÓ À yÓ App ye i | aia
a ee oet eee eee | |
4 2,6 56 D 65 4 1,4 35 1,8 ai
> 3,6 63 DA 71 » 2): 7| 45 DESI. mj
> 5,0 67 4,7 74 » 3,3 19 3,4 46 |
> 6,0 79 6,0 79 » 1,0 D4 4,5 Be) ||
> 7,0 74 7,0 84 » 5,6 61 — =
> 7,9 HT — - > es 70 = —
sc "9.85 Så EUM m 6 | 15 34 3 EST
6 2,0 | 43 2,0 53 » 9.6 40 1,9 38
> 36 | 54 3,8 63 » 3,5 4T 32 | 39
5:5 62 4,8 GS > 4,7 59 5,0 46
» TE NOS 6,8 76 » 8,5 61 6,5 52
» 10,0 80 — — > — — 11,4 62

Aus Fig. 1, Taf. I ersehen wir, dass die Potentialdifferenz für den

GE

: für gleiche Stromstärken und Bogenlüngen grösser ist als
Cites í E i ‘

Bogen

Al

für den Bogen m . Die Differenz zwischen der Potentialdifferenz der

beiden Bögen ist unabhängig von der Bogenlänge. Da die Verhältnisse
an der Anode in den beiden Bógen die gleichen sind, und da der Un-
terschied in ihrer Potentialdifferenz von der Bogenliinge unabhängig
ist, kann die Veränderung nur einer Anderung des Potentialgefälles

! A ist in Skalenteilen gerechnet. Jeder Skalenteil entspricht 1,2 mm.

Er

tg

fett. quU mm dip :

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 15

an der Kathode zugeschrieben werden. bei der Zusammenziehung der

Kathodenfliiche ist also das Potentialgefälle an derselben gestiegen.
Wenden wir uns nun zum Kupferlichtbogen, so sehen wir aus

Fig. 1, Taf. I, dass der Unterschied in der Potentialdifferenz zwischen

n Cu Cu DERI x a
den Bógen 7 * und TE gleichfalls unabhängig von der Bogenlänge
7 2

ist, und dass die Potentialdifferenz für den ersteren Bogen grösser ist
als für den letzteren. Bei der Erweiterung der Kathodenfliiche ist also
in diesem Fall das Kathodengelälle vor derselben kleiner geworden.

Aus diesen Beobachtungen geht also hervor, dass eine Ver-
grösserung der Kathodenfliiche eine Verminderung des Kathodengefäl-
les mit sich führt und umgekehrt, alles natürlich für die gleiche Strom-
stärke geltend.

Aus den Untersuchungen, die Stark!) über die Elektrizitätslei-
tung im Gasen angestellt hat, scheint als sehr wahrscheinlich hervorzu-
gehen, dass die Anoden- und Kathodengefalle im Lichtbogen der Haupt-
sache nach auf dieselben Ursachen zurückgehen wie die entsprechen-
den Spannungsgefälle bei der Elektrizitätsleitung in verdünnten Gasen.
Unter im übrigen gleichen Verhältnissen hängen diese letzteren von der
Stromdichte ab und wachsen mit ihr.

Die oben angeführten Versuche über die Abhängigkeit des Ka-
thodengefälles von der Grösse der Kathodenfläche im Lichtbogen zeigen,
dass auch in diesem das Kathodengefälle mit der Stromdichte steigt,
denn bei Verminderung der Kathodenfliiche, aber konstanter Strom-
stärke nimmt die Stromdichte zu und umgekehrt.

Wir haben also gefunden, dass das Kathodengefälle mit der
Stromdichte in der Kathodenfläche steigt und vice versa. Wie wir
unten finden werden, ist es höchst wahrscheinlich, dass dasselbe Gesetz
auch für das Anodengefälle gilt.

Die Grösse der Kathoden- und Anodenflächen kann, wie oben
erwähnt, auch dadurch geändert werden, dass man die Stromstärke
variiert. Hierbei wachsen die Elektrodenfliichen etwas schneller als
die Stromstärke, und folglich nimmt die Stromdichte in diesen bei
wachsender Stromstärke ab. Auf Grund des oben Gefundenen kön-
nen wir also erwarten, dass das Kathodengefälle bei wachsender Strom-
stärke abnehmen wird. Das Gleiche muss auch für das Anodengefälle
gelten, wenn es von der Stromdichte abhängig ist und mit ihr wächst.

1) I. Stark, Die Elektrizität in Gasen. Leipzig 1902.

16 G. GRANQVIST,

Die Anoden- und Kathodengefälle in einem Kohlenlichtbogen
zwischen Homogenkohle sind wie oben erwähnt für verschiedene Strom-
stärken und Bogenlängen von H. Ayrton bestimmt worden, welcher fand

= : Te ORIS
V, = 31.28 E -- a

317
ji *

Voie m coe

bei wachsender Stromstürke nimmt also sowohl das Anoden-
wie das Kathodengefälle ab, was also mit dem von uns oben Gefun-
denen übereinstimmt.

Die Potentialdifferenz zwischen den Elektroden im Lichtbogen
besteht ausser dem Anoden- und Kathodengefälle auch aus dem Po-
tentialgefälle in dem Bogen selbst. Dieses letztere ist von dem Wider-
stande im Bogen abhängig und ändert sich also mit der Durchschnitts-
area des bogens. Da diese von der Grösse der Anoden- und Katho-
denflächen abhängig ist, ändert sich also das Potentialgefälle im Bogen
auch bei Änderung der Elektrodenflächen. Aus den oben in Tab, IV
und V aufgeführten Beobachtungen geht indessen hervor, dass eine
Änderung lediglich der Kathodenfläche nur sehr unbedeutend das Poten-
tialgefälle im Bogen selbst ändert.

Bezüglich der Ursache der beiden an der Anode und Kathode
vorhandenen Potentialgefälle sind die Ansichten sehr auseinanderge-
gangen. Da diese zusammen ein von Stromstärke und Bogenlänge
fast unabhängiges Potentialgefälle repräsentieren, meinte EpLuxn!), sie
rührten von einer elektromotorischen Gegenkraft her, die durch Pola-
risation der Elektroden entstände. Eine derartige Polarisation hat in-
dessen von anderen Forschern nicht konstatiert werden können.

FussxER wieder nahm an, dass die Potentialgefälle vor den beiden
Elektrodenflächen zufolge von Verdunstung des Elektrodenmaterials
entständen. Die Energieabsorption vor der Anoden- und Kathoden-
fläche sollte also hauptsächlich für die Verdunstung der Elektroden
verwendet werden. Indessen ist es leicht zu zeigen, dass nur ein
unbedeutender Prozentsatz dieser Energie hierfür verwendet wird.

Die positive Kohle in einem Lichtbogen, der von einer Strom-
stärke von 10 Amp. unterhalten wird und in dem das Spannungs-

") EpLuwp, Pogg. Ann. 131. S. 586. 1867.

|
|

DER ELEKTRISCHE LicHTBOGEN. 17

gefälle 50 Volt beträgt, wird per Stunde um ungefähr 15 mm kürzer,
Da die Anodenfläche bei 10 Amp. ungefähr 0,19 cm? beträgt, ver-
dunstet an derselben während einer Stunde 0,29 em? Kohle. Wird
das spezif. Gewicht der Kohle mit 1,5 angenommen, so erhalten wir
also einen Betrag von ungefähr 0,5 gr Kohle.

Berechnet man die Verdampfungswärme der Kohle mittelst des
Troutonschen Gesetzes unter Annahme des Siedepunktes der Kohle
bei 3600° C., so erhält man ungefähr 4000 gr, cal. Wenn wir auch an-
nehmen, dass die Verdampfungswärme der Kohle ebenso gross wäre
wie ihre Verbrennungswürme, d. h. 8000 gr. cal, so würden demnach
doch nur 4000 gr. cal. per Stunde zur Vergasung der Kohle an der
Anodenfläche erforderlich sein.

Berechnet man hingegen die an der Anodenfläche per Stunde
absorbierte Energie, unter der Annahme, dass das Anodengefälle 30
Volt beträgt, so erhält man 270000 gr. cal. Hieraus folgt, dass höchstens
1,5 °'o der an der Anodenfläche absorbierten elektrischen Energie zur
Vergasung der Kohle daselbst verbraucht wird.

Endlich hat H. Ayrron') das Anoden- und Kathodengefälle durch
die Annahme von Übergangswiderständen vor oder in der Anoden- und
Kathodenfläche zu erklären versucht. Hier sollten wir also eine dünne
Schicht haben, deren spezif. Leitungswiderstand grösser als der des
Bogens wäre. Wären die Dicke und die spezif. Leitungswiderstände bei
diesen Schichten konstant, so würden diese Übergangswiderstände den
betreffenden Flächen umgekehrt proportional sein. Eine Verminderung
der Elektrodenflächen bewirkt dann eine Vermehrung der Widerstände
und folglich auch der Potentialgefälle und umgekehrt. W. Kaurmann?)
und I. STARK”) haben jedoch nachgewiesen, dass Gase im allgemeinen
nicht dem Ohmschen Gesetze folgen, und dass man also eigentlich nicht
das Recht hat, von Widerständen in gewöhnlicher Bedeutung bei densel-
ben zu sprechen.

Im Folgenden wollen wir indessen der Bequemlichkeit wegen
mit dem scheinbaren Widerstand im Bogen das Verhältnis zwischen
Potentialdifferenz und Stromstärke bezeichnen, also

ne
1

7) H. Ayrton. Proc. Roy. Soc. 68. S. 410. 1901.
?) W. Kaurmann. Phys. Zeitschr. I. S. 348. 1900.
3) I. Stark. Drudes Ann. 5. S. 90. 1901.

Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. Impr. ?/: 1903.

co

18 G. GRANQVIST,

(

Dem oben Angeführten zufolge steigt der scheinbare Widerstand,
wenn die Bogenlänge zunimmt, sinkt aber, wenn die eine oder die
beiden Bogenflächen vergrössert werden. Infolgedessen führt eine Ver-
mehrung der Stromstärke eine Verminderung des scheinbaren Wider-
standes, eine Vermehrung des Wärmeleitungsvermögens der Elektro-
den hingegen eine Erhöhung desselben mit sich.

IV. Über die Bedeutung des Wärmeleitungsvermögens der Elek-
troden für den stabilen und labilen Gleichgewichtszustand
der Lichtbögen.

l.

Bekanntlich erlischt ein elektrischer Lichtbogen, wenn man hin-
reichend den Abstand zwischen den Elektroden vergróssert oder die
Stromstärke hinreichend vermindert. Die Bogenlänge, bei welcher ein
Lichtbogen von bestimmter Stromstürke erlischt, und bei welcher also
der Gleichgewichtszustand in dem Liehtbogen vom stabilen in den la-
bilen übergeht, ist abhüngig teils von dem Bogen selbst, teils auch von
den äusseren Verhältnissen in der Leitung. So z. B. erlischt ein Licht-
bogen zwischen Homogenkohlen, der von einer Akkumulatorenbatterie
von 84 Volt bei einer Stromstärke von 4 Amp. gespeist wird, wenn
die Länge des Bogens grösser wird als 5,2 mm. Betriigt die elektro-
motorische Kraft der Batterie dagegen 110 Volt, so kann man unter
Beibehaltung derselben Stromstürke die Bogenlünge bis zu 12 mm ver-
grossern, ehe der Bogen erlischt. Ein Metalllichtbogen, z. B. ein Kup-
ferlichtbogen, von 4 Amp. erlischt bei 3,2 mm Bogenlänge, wenn die
elektromotorische Kraft der Batterie 84 Volt beträgt. Beträgt diese
letztere 98 Volt, kann die Bogenlänge bis auf 6,5 mm vergrössert
werden. | i

Zufolge der elektrodynamischen Verhältnisse in einer elektrischen
Leitung kann, wie W. Kaurmann!) gezeigt hat, ein elektrischer Strom
J, der durch ein leitendes Gas hindurchgeht, nur dann stationär sein,
wenn »
au +o> 0,
ol

1) W. Kaurmany. Drudes Ann. 2. S. 158. 1900.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 19

wo o den äusseren Leitungswiderstand und V die Potentialdifferenz
zwischen den Elektroden in der Gasstrecke bezeichnet.
Ist dagegen

so wird der Zustand in der Gasstrecke labil und der Strom wächst
oder fällt bis zum nächsten stabilen Gleichgewichtspunkt.

Wendet man diese Formel auf den elektrischen Lichtbogen an,
so soll für

der Zustand in dem Bogen vom stabilen im den labilen übergehen und
der Bogen folglich erlóschen. W. KavrMANN hat durch einige Ver-
suche die Richtigkeit der obenstehenden Formel für den elektrischen
Kohlenlichtbogen zu erweisen gesucht. In eine Leitung, die eine Elek-
trizitätsquelle, deren elektromotorische Kraft 130 Volt betrug, und einen
Lichtbogen von konstanter Bogenlänge enthielt, wurde successiv so
viel Widerstand eingeführt, dass der Lichtbogen erlosch, und die bei

: ^ : : 5 ay : =
dieser Gelegenheit geltenden Werte für 9 und 3T bestimmt. KAUFMANN
0

: DRE one
fand so bei genannter Anordnung o = 69 und —— mm 61.5 , ferner aus
0

: anl T. 91 SATIS = :
einer andern Serie o = 73 und — * c= 60,8. In Anbetracht der Schwie-
0

=

5 SAN : ; dz aon ANC :
rigkeit, aT genau zu bestimmen, muss man die Übereinstimmung zwi-
3l =

schen Theorie und Observationen als recht gut ansehen.

In Kaurmanns Versuchen waren die elektromotorische Kraft der
Elektrizitätsquelle und die Bogenlänge des Lichtbogens konstant, wäh-
rend die Stromstärke und der äussere Widerstand variiert wurden.
Wir wollen nun im Folgenden das Verhältnis bei konstanter Stromstärke,
aber bei verschiedenen elektromotorischen Kräften und verschiedenen
Bogenlängen untersuchen.

Wir schalten in eine Leitung, die eine Elektrizitätsquelle mit der
elektromotorischen Kraft E und einen äusseren Widerstand o enthält,
einen Lichtbogen ein. Den scheinbaren Widerstand in demselben be-
zeichnen wir wie oben mit À und seine Bogenlänge mit 4 Die Strom-
stärke in der Leitung ist dann bestimmt durch den Ausdruck

20 G. GRANQVIST,

pea
e+ B
also
Raa
Vergrössern wir nun die Bogenlänge um dA, so wird
oh oRdlI Nu
NAT gn m ER
oder
Ua DER
ENTRE
2 01

Wir haben nun oben gefunden, dass der scheinbare Widerstand
im Lichtbogen mit der Bogenlänge steigt, mit der Stromstärke aber fällt.
Von den in den obigen Ausdrücken vorkommenden Grössen ist daher

ah NN ERST ane eee sce DÖ :
— unter allen Verhältnissen positiv, — dagegen negativ, wenigstens
94 RE i

soweit die Stromvariation nicht augenblicklich geschieht.
Bei stabilem Gleichgewichtszustand im Lichtbogen muss die Strom-
stärke vermindert werden, wenn die Bogenlänge vergrössert wird. Folg-
€ © Le
lich muss die Bedingung

JTE EN
+ 9d
für den stabilen Zustand gelten.
Wenn
mare
of ?
so wird Ns , d. h. der Lichtbogen erlischt und der Zustand geht
dh

vom stabilen in den labilen über.

In nahem Zusammenhang mit der Änderung der Stromstärke je
nach der Bogenlänge steht natürlich die Änderung der Energieent-
wickelung im Lichtbogen. Wir wollen daher auch untersuchen, wie
diese sich mit der Bogenlänge verändert. Bezeichnen wir zu dem Zweck
die dem Lichtbogen zugeführte Energie per Sek. in Watt mit W, so ist

W=PR.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 21

Wird dieser Ausdruck nach 2 deriviert, so erhält man

ve p (ee d A a)

i DINE 7A

UN
d
Setzen wir hier den oben erhaltenen Ausdruck für = ein, so wird
ΠA
094 pok Hei
gä Oe > OR
d I

wo V die Potentialdifferenz zwischen den Elektroden im Lichtbogen be-

^

15; ait Jf

zeichnet.

Aus obigen Ausdrücken finden wir, dass bei wachsender Bogen-
linge die Energie im Lichtbogen anfangs wiichst, natürlich unter der
Voraussetzung, dass die elektromotorische Kraft und der äussere Wider-

1G

: à : : ELT . s 0W
stand in der Leitung konstant sind. Wenn £ —2 V 20, wird — = 0 und
u ny

W erreicht seinen Maximalwert. Bei fortgesetzter Vergrósserung der

= . tee 3 QU - Ta :
Bogenlinge wird E —2 V <0 und folglich d negativ. Die Energie
E 2 BRE -

; 4 s ; . Od
nimmt dann mit wachsender Bogenliinge ab. Wenn endlich E+ 7? SE UM
3 0A
or en : Er: £ MM
so wird — =, d. h. bei einer unendlich kleinen Vergrösserung

04
der Bogenlänge nimmt die Energie unendlich schnell ab. Der Zustand
geht dann aus dem stabilen in den labilen über und der Lichtbogen wird
offenbar erlöschen.
Wir haben also gefunden, dass der Gleichgewichtszustand in
einem Lichtbogen vom stabilen zum labilen übergeht, wenn

JEU RATE

und wir wollen nun experimentell diese Formel verifizieren.

Zu diesem Zweck wurden in die Leitung einer Akkumulatoren-
batterie ein Ballastwiderstand, ein Amperemeter und eine Bogenlampe
mit Handregulierung eingeschaltet, welche letztere mit einer Anordnung
versehen war, wodurch die Bogenlänge zwischen den Elektroden be-
stimmt werden konnte. In diese Leitung war ausserdem die feste
Spule eines Wattmeters von Ganz Er Torsa eingeschaltet, während die
bewegliche Spule nebst geeignetem Widerstand mit den Elektroden ver-
bunden war.

99 G. GRANQVIST,
Auf diese Weise wurde der Energieverbrauch in einem Kohlen- und
in einem Kupferlichtbogen bei konstanter Stromstärke aber wachsender
Bogenlänge bestimmt, bis es unmöglich wurde, mit der vorhandenen
elektromotorischen Kraft in der Batterie und mit der gegebenen Strom-
stärke weiter einen Bogen zu erhalten.

Diese Bestimmungen sind in untenstehenden Tabellen aufgeführt,
wo Tab. VI und VII die Versuche mit Kohlenlichtbögen enthält, deren
Elektroden aus Homogenkohlen von 15 mm Durchmesser bestanden.
Tabelle VIII enthält die Bestimmungen für die Kupferlichtbógen. Bei
allen diesen Versuchen waren die Liehtbógen vertikal und die Anode
zu oberst. Mit der Bogenlünge 4 ist hier der vertikale Abstand zwi-
schen den Elektroden bezeichnet.

Tabelle VI.

- . (Cie
Kohlenlichtbogen (c

———

El. Kraft i. d. I W is

Batt.; Volt Ampere Watt (1 Skalent. = 1,2 mm) |
carm Nee eS Fe urn 0 0o
110 6 294 1,0
> 292 D4
» 325 3.6
> 343 1,3
374 DD
445 8.8
> 480 10,4
3 570 15,0 Bogenlänge Max.
5 180 1,0
2 > 290 1,6
> > 974 313
315 5,0
> 326 5.6
350 7,0
> > 370 8.0 |
> > 438 12,4 Bogenlänge Max. |
> 4 200 2,0 |
> 224 IN |
; > 268 5,0
> 287 6,0
» 298 7,0
» B44 10,0 Bogenliinge Max
> 3 115 (FO
> > 160 2,0
> 180 2,8 |
> > 206 4.0 |
> > 234 6,0 |

» 257 8,0 Bogenlänge Max. |

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 23
Tabelle VII.

2 : C
Kohlenlichtbogen Ge

I Max. Bogenlänge.

‚El. Kraft i. d. I À W
| Batt.: Volt Amp. | Skalent. = 1.2 mm Watt.
110 3,0 8,0 957
» | 4,0 10,0 | 344
> 5,0 12,4 438
» | 6,0 15,0 570
99 3,0 5,6 939
> 3,25 6,0 948
» s) 6,4 264
» | 4,0 Heil 310
» 5,0 10,5 413
84 2.0 9.0 198
» Sl 30 196
» 3,45 3,6 215
» Sul 3,9 233
WP Tp 4,3 955
» 4,5 4,8 985
» | 4,9 5,6 329
54 | 9,6 isi 113
» | ays 15 155
> | 4,0 1,6 | 180
» | 4,9 1,8 990

Aus den Tabellen VI und VII ersehen wir, dass, je grösser die
elektromotorische Kraft in der Batterie und je grösser die Stromstärke
ist, um so grösser die Bogenlänge gemacht werden kann, ehe der
Lichtbogen erlischt.

Der besseren Übersicht halber sind die Beobachtungen aus Tab.
VI in Fig. 2 Taf. I graphisch dargestellt. Die Bogenlängen sind hier
längs der Abszissenachse und der Energieverbrauch in den Lichtbögen
längs der Ordinatenachse abgetragen. Jeder Punkt in diesem Koordi-
natensystem bezeichnet also einen Lichtbogen mit bestimmter Bogen-
länge und Energieverbrauch.

In Fig. 2 Taf. I stellt jede der Kurven 7 die Lichtbögen dar, bei
denen die Stromstärke dieselbe war. Die Kurven E hingegen reprä-
sentieren die längsten Lichtbögen, die mit einer bestimmten elektromo-
torischen Kraft in der Batterie erhalten werden konnten. Jede der
Kurven E teilt das Feld in zwei Teile. Von diesen Teilen bezeichnet
der nach links, also der Ordinatenachse zunächst liegende alle die bei
dieser elektromotorischen Kraft in der Batterie möglichen Lichtbögen,
für welche also nach unserer obigen Deduktion die Bedingung

24 G. GRANQVIST,

erfüllt sein müsste. Der andere Teil dagegen repräsentiert die Licht-
bögen, für welche

ne,

welche also mit der hier in Betracht kommenden elektromotorischen
Kraft nicht dargestellt werden können. Wie wir aus der Figur ersehen,
wächst das Gebiet für die möglichen Lichtbögen sehr schnell mit der
elektromotorischen Kraft.

Wir haben nun oben gesehen, dass die Kurven E die Gebiete
abgrenzen, innerhalb welcher die Lichtbögen in stabilem und in labi-
lem Gleichgewichtszustand sind. Für jeden Punkt der Kurven E muss
daher die Bedingung
> 0R

al

Ba] = 0

gelten. Um mit Anwendung der oben angefiihrten Observationen dieses

beweisen zu können, müssen wir einen Ausdruck für an zu erhal-
0

ten versuchen. Bezeichnen wir zu dem Zweck mit W die Energieab-
sorption in dem Lichtbogen, so ist

W=RP.

Wird dieser Ausdruck unter der Annahme, dass die Bogenlänge kon-
stant ist, differenziert, so erhält man

à W 9 2 0i
D — Zl Jii
Hu un
oder
qu 94e e We eo

QV c
Setzen wir diesen Ausdruck für p? EH in unsere Formel oben ein,
à
so erhalten wir

welcher Ausdruck also für jeden Punkt der Kurven E gelten muss.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 25

W und J, für die Kurven E geltend, können entweder aus den Tabel-

T ae av as
len oder aus Fig. 2 Tafel I erhalten werden. = wurde dagegen auf die
(

Weise erhalten, dass eine Serie zusammengehöriger Werte für W und
I, alle für dieselbe Bogenlänge geltend, längs den Achsen eines Koor-
dinatensystemes abgetragen wurden. Die solcherweise erhaltenen
Punkte lagen stets auf derselben geraden Linie. Die Tangente für

z: à E. ' : E = ne OW
den Winkel, den diese Linie mit der /-Achse bildet, ist also gleich =
0

für die betreffende Bogenliinge. Die Tabelle IX enthält die auf diese

oW

0)

Weise erhaltenen Werte für für verschiedene Bogenlängen. Zur

»

der T :
Berechnung von SE für andere Bogenlängen als die, die dort aufge-
= -

nommen sind. wurde die Formel

angewendet, welehe Formel, wie aus der Tabelle ersichtlich, ziemlich

M ENT os s. T ae
genau die Variation von —— mit der Bogenlänge wiedergiebt.
9 4 = É

Tabelle VIII.

EOM. C
Kupferlichtbogen (a). Max. Bogenlänge.
Cu

. Kraft |
in der I | m Skal tor.
Batterie: Volt Amp. | Watt |! Skalent. = 1.2 aa
| |
94 | = 162 3,8 |
> | = 191 4,9
» — 994 5,0
» = 265 6,0
» | — 988 1.0
84 — 161 2
> M 197 9,7
» | = | 974 4,1
» = 347 5,2
56 4,0 140 us
» 5,0 175 1695
» 6,0 999 iL 7/5
| > | 8,0 312 | 9,4

Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. Impr. %/ı 1903. 4

26 G. GRANQVIST,

Tabelle IX.

^ 5 d CASON
Kohlenlichtbogen ; (=) age = 99 + 3,5 A.
"nu QE m 0 PARTS
À di Oe Diff.
Obs. | Berech.
10 63,6 64,0 + 0,4
8 56,8 5/710 909 0
6 50,0 50,0 ae (0:0)
4 49,8 1773307 032

Auf diese Weise konnte für verschiedene Punkte auf jeder der
Kurven E der Wert für die elektromotorische Kraft in der Batterie be-
rechnet werden. Untenstehende Tabelle, die diese Berechnungen für
Kohlenlichtbogen enthält, zeigt, dass die Übereinstimmung zwischen
den berechneten und den direkt beobachteten elektromotorischen Kräf-
ten in der Batterie angesichts der vielen Fehlerquellen ziemlich gut ist.

Tabelle X.
Kohlenlichtbogen.

mm — ——

|
El. Kraft | A is | * El. Kraft
in der Batterie " NUM OR A d E | 2W L H ‚in der Batterie
Obs. FE opine mp & | il | di | Berechn.
| | | |

110 | 8,0 | 830 957 ill 56,8 | 114
» 10,0 | 4,0 344 172 63,6 | 108

; | 12,4 5,0 438 175 25 | “eos

» | 15,0 | 6,0 570 Neyo, o SN 109
99 5,6 3,0 239 155 48,6 | 106
3 6,0 205 P oa MSS SONO 103
» | 6,4 STE DA eh) $44 100

j 7:37 | 4,0 310% |, 2155. Jeno 99
10,5 5,0 le | 99

84 2,0 28 198 0 MID 36,0 | 92
N 3,2 | Sd 196 | 197 40,2 86
» 3,6 | 3,45 215 125 41,6 83
> 3,9 3,7 233 126 | 426 83
» 43 4,0 255 ON SNO 84
» 4,8 4,5 985 197 45,8 | 81
» | 5,6 4,9 322 131 48.6 83
54 | Ü 9.6 Ma 87 32,8 54
5 1.3 3.95 igs I 34.3 61

> | 1,6 EET, 1802 2 00 34,6 55
» 158 | 4,9 220 90 35,3 55

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. hl

Wir haben also gefunden, dass bei dem Übergang vom stabilen
zum labilen Gleichgewichtszustand im elektrischen Lichtbogen die For-
mel gilt

Es ist nun leicht zu zeigen, dass diese Formel, wenn 4 konstant ist, die-
selbe Bedingung wie die von W. KAUFMANN deduzierte enthält. Set-
zen wir nämlich

so erhalten wir nach partieller Derivierung nach I

ls OR
LUE
91 " a1
oder
ee
0 / ol
Setzen wir diesen Wert für I? DE in unsere Formel ein, so er-
halten wir 3)
a M m d
OPM BEN SR
ur |
welche Formel, da der äussere Widerstand o bestimmt ist durch
ae IB ay qu
= rr

übergeht in die von W. Kaurmann gefundene

aV
— = 0.

9)

Wir wenden uns nun einer Untersuchung zu über den Einfluss
den eine Anderung des Wärmeleitungsvermügens der Elektroden auf
den stabilen Gleichgewichtszustand im Lichtbogen hat. Wir haben oben
gezeigt, dass dieser in den labilen übergeht, wenn

R
Ho gg
+ al 9

28 G. GRANQVIST,

und wir wollen daher untersuchen, wie der Ausdruck J? ue mit dem
Wärmeleitungsvermögen sich ändert. am

Die Potentialdifferenz zwischen den Elektroden in einem Licht-
bogen kann wenigstens approximativ durch die Formel ausgedriickt
werden

p Vip Vs A,

wo V, und V, die Potentialgefälle bei Anode und Kathode und « eine
positive Konstante bezeichnet. Hieraus erhält man

2 070 - De
HSE e
1 ase EE

Wir haben nun oben gezeigt, dass, wenn das Wärmeleitungsver-
mögen der Elektroden gesteigert wird, die beiden Elektrodenflächen
vermindert und demzufolge auch die Potentialgefälle vor denselben ver-
erüssert werden. Eine Verminderung des Wärmeleitungsvermögens hin-
gegen führt eine Vergrösserung der Elektrodenflächen und eine Ver-
minderung der beiden Potentialgefälle mit sich. Eine Steigerung des
Wärmeleitungsvermögens bewirkt also eine Erhöhung des Wertes von
— = und umgekehrt. Daraus folgt, dass, wenn das Wärmeleitungs-

€
vermögen der Elektroden geändert wird, ohne dass die Natur des Bo-
gens selbst eine Anderung erfährt, der labile Zustand bei einer um so
grösseren Bogenliinge eintritt, je mehr das Wärmeleitungsvermögen her-
abgesetzt wird.

Am einfachsten lässt sich dieses verifizieren, wenn wir in einem
Liehtbogen die Kathode gegen eine von anderem Stoff austauschen.
Ersetzen wir die negative Kohle in einem Kohlenlichtbogen durch einen
Kupferstab, so wird, wie oben erwühnt, das Würmeleitungsvermógen
der Kathode ungefähr 100 mal so gross als vorher. Infolgedessen
wird die Kathodenfläche kleiner und das Potentialgefälle vor ihr grös-
ser. Wir kónnen also erwarten, dass der labile Zustand hier bei be-
deutend kürzeren Bogenlängen eintritt, als wenn auch die Kathode
aus einem Kohlestab besteht. Tab. XI, die einige Observationen hier-
über enthält, zeigt, dass dieses auch der Fall ist.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 29

Tabelle XI.

; (Cire)
Kohlenlichtbogen (o = | . Max. Bogenliinge.
TEN

El. Kraft i. d. 1 À W
Batterie; Volt Amp. | Skalent. = 1,2 mm Watt.

110 2 4 6.0 206
> 35 7,0 298
» 5,0 95 495

84 - IL) 158
» -— IIS) 169
» = 1,8 196

- 3,0 915

» — 215 952
OE 302

E ss 9.6 328
== D 365

Ersetzen wir hingegen in einem Kupferlichtbogen den negativen
Metallstab durch einen Kohlestab, so erhalten wir eine Anderung des
Wärmeleitungsvermögens der Kathode in entgegengesetzter Richtung.
Die Kathodenfläche wird grösser und das Potentialgefälle vor ihr kleiner.

: r > au ; :
Infolgedessen wird der Wert von — /? ^ kleiner bei derselben Bogen-
= :
linge wie vorher, und der labile Zustand tritt unter sonst gleichen
Verhältnissen erst bei grösseren Bogenlüngen ein als vorher. Auch für
diesen Lichtbogen wurde die grösste Bogenlänge bei verschiedenen
Stromstärken bestimmt. Tab. XII enthält diese Observationen.

Tabelle XII.

p MIRA Cu:
Kupferlichtbogen ( 5 ar Max. Bogenlänge.
os /

El. Kraft i. d. I A W
Batterie; Volt Amp. 1 Skalent.— 1,2 mm Watt.

si = 2,9 141
> = 4,0 226
> == 5,2 283
> = 6,5 343
54 3,5 1.7 131
> 4,5 2,35 166
> 5,5 3,0 212
> 8,0 1,2 312

30 G. GRANQVIST,

Des Vergleichs wegen sind schliesslich in Fig. 3, Tafel I die Kurven
20K
al
elektromotorische Kraft in der Batterie 84 Volt betrug. Hier bezeichnet
e
—* die Kurve für Kohlenlichtbogen zwischen Homogenkohlen, und Ü
= Ws

die Kurve für denselben Bogen, wenn die Kathode aus einem Kupfer-

i NET

= 0 für alle diese Lichtbógen zusammengestellt, bei denen die

Y

P = à : Cu (iA
stab bestand. Auf gleiche Weise bezeichnen NS und we die Kurven
QU D

für den Kupferlichtbogen vor und nach dem Austausch der Kathode.
Aus der Figur ersehen wir, dass das Gebiet für die beiden Bögen
| Cu ^ :

+ und —-* ungefähr gleich

gross ist. Dagegen ist das Gebiet für

Hm Cu
: : " (0) a :
die möglichen Lichtbösen —+ bedeutend geringer und das für die mög-
e D Cu e =) e
- Ber Cure | ME ES EB Cu, :
lichen Bögen ——* erösser als das für die Bögen == bezw. — =. Eine
E (opos = C (0/7

Vermehrung des Würmeleitungsvermógens der Elektroden, hat also
eine Verminderung des Gebiets der für eine gegebene elektromotorische
Kraft möglichen Bögen zur Folge und umgekehrt.

3.

Bevor wir nun zur Behandlung des Wechselstromlichtbogens
übergehen, wollen wir in Kürze die wichtigsten Ergebnisse über den
Gleichstromlichtbogen, zu denen wir oben gekommen sind, zusammen-
fassen.

1:0 Der grösste Teil der im elektrischen Lichtbogen entwickel-
ten Wärme wird durch die Anoden und Kathodenflächen zu den be-
treffenden Elektroden fortgeleitet. Da die durch Leitung zu den Elek-
troden übergegangene Wärmemenge bestimmt ist durch den Ausdruck

SEE Salas, E as E E = 0,24 (V, + Vj I
ada’, it,

so führt eine Anderung des Wärmeleitungsvermügens beider oder einer
von beiden Elektroden eine Änderung der Grösse beider bezw. der
einen Elektrodenfläche mit sich. Steigt das Wärmeleitungsvermögen,
so wird diese Flächen kleiner und umgekehrt.

2:0 Eine solche Veränderung der Flächen s, und s, führt auch
eine Änderung der Potentialgefälle vor denselben mit sich. Wird die

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. ail
Grüsse einer Fliiche vermehrt, so wird das Potentialgefälle vor ihr
kleiner und vice versa.
3:0 Der Gleichgewichtszustand in einem elektrischen Lichtbogen
geht vom stabilen in den labilen über, wenn

>
poop deg.
Y

IR ; ; 3. 48
Da ferner I” 7 approximativ auf die Form
QE

> 9)

ae

gebracht werden kann, so tritt diese Anderung des Gleichgewichtszu-
stands bei einer bestimmten elektromotorischen Kraft der Batterie bei
einer um so grösseren Bogenlänge ein, je grösser die Stromstärke ist.
Eine Vermehrung des Wärmeleitungsvermögens der Elektroden hat eine
Vermehrung von V, bezw. V, zur Folge. Der labile Zustand tritt daher
unter sonst gleichen Verhältnissen bei um so kürzeren Bogenlängen
ein, je grösser das Wärmeleitungsvermögen der Elektroden ist. Eine
Vermehrung dieses hat also eine Verkleinerung des Gebiets für die
möglichen Lichtbögen zur Folge und vice versa.

II. Der Wechselstromlichtbogen.

I. Der labile und stabile Gleichgewichtszustand im Wechselstrom-
lichtbogen.

Wir gehen nun dazu über, die Bedeutung des Wärmeleitungs-
vermögens für den Wechselstromlichtbogen zu untersuchen. Es dürfte
zu dem Zweck jedoch zuerst nötig sein, die Veränderungen im Gleichge-
wichtszustand des Lichtbogens zu untersuchen, die von der periodisch
wechselnden elektromotorischen Kraft verursacht werden.

Bezeichnen wir daher mit e und r die für einen bestimmten Zeit-
punkt geltenden Werte für die elektromotorische Kraft der Elektrizitäts-
quelle und den Widerstand im Bogen: bezeichnet ferner o den Lei-
tungswiderstand in der Strombahn, wobei wir der Einfachheit wegen
annehmen wollen, dass keine Selbstinduktion in ihr stattfindet, so ist
der momentane Wert für die Stromstärke i bestimmt durch
. €
IN :

"+0

Nehmen wir nun an, dass die Bogenlänge um di während einer
Zeit vergrössert wird, die so klein ist, dass wir die elektromotorische
Kraft während derselben als gleich betrachten dürfen, so erhalten wir
di
0A

als Ausdruck für

at 2 07 1

ra reet MR UR T

vA A, por

Hieraus ist ersichtlich, dass der Wechselstrombogen sich in sta-
bilem Gleichgewichtszustand nur in den Zeitpunkten befindet, für welche
9 07 : or
PRE > 0 3 — = (oa

01 on
Sowohl die elektromotorische Kraft wie die Stromstärke wachsen wah-
rend einer Halbperiode von Null bis zu einem Maximalwert, um dann

w
.
lI

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN.

or
DL
grössten Wert bei kleinen Stromstärken und seinen kleinsten Wert beim

wieder auf Null zu sinken. Der Ausdruck — i” dagegen hat seinen

: i x . 2080/72 : ae
Maximalwert der Stromstärke. Daraus folgt, dass — /* — seinen grössten
Du

Wert zu Anfang und Ende jeder Halbperiode hat. Er variiert daher in
entgegengesetzter Weise wie die elektromotorische Kraft.

Infolgedessen kann offenbar der Zustand im Wechselstrombogen
nicht wührend der ganzen Zeit einer Periode stabil sein. Zu Anfang
jeder Halbperiode, wo e noch einen verhältnismässig kleinen Wert
hat, kónnen nicht die Bedingungen

gelten und der Zustand muss demzufolge labil sein, welcher Zustand
fortfährt, bis die elektromotorische Kraft soweit zugenommen hat, dass
307

PRE)
a 91 :

wo der Zustand im Bogen in den stabilen übergeht. Offenbar wieder-
holen sich dieselben Phiinomene zu Ende jeder Halbperiode, obwohl in
umgekehrter Ordnung. Der Gleichgewichtszustand im Wechselstrom-
bogen ist daher eine liingere oder kiirzere Zeit stabil nur in der Mitte
der Halbperiode, labil dagegen zu Anfang und Ende derselben.

Fig. 3 giebt uns ein Bild von dem normalen
Verlauf von Strom und Spannungskurve für einen
Wechselstrombogen zwischen homogenen Kohlen,
der in eine Leitung ohne Selbstinduktion einge-
schaltet ist. e bezeichnet hier die Kurve für die
elektromotorische Kraft und 7 und v die Kurven für
die Stromstärke und die Potentialdifferenz.

Aus der Figur ersehen wir, dass die Strom-
intensität zu Anfang jeder Halbperiode überall
beinahe Null ist. Erst bei einer bestimmten elektro-
motorischen Kraft fängt der Strom an schnell zu
steigen. Dieses tritt offenbar ein, wenn die elek-
tromotorische Kraft den für den stabilen Zustand im Bogen erforder-
lichen Wert erreicht hat. Da die elektromotorische Kraft gegen das
Ende der Halbperiode zu sinkt, tritt natürlich bei einem bestimmten Wert

der elektromotorischen Kraft ein Übergang in den labilen Zustand ein.
Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. Impr. 1%ı 1903. 5

94 (1. GRANQVIST,

Dieser muss offenbar wieder durch einen plótzlichen Fall der Strom-
stärke gekennzeichnet sein.

Wir kónnen auch auf eine andere Weise uns davon überzeugen,
dass die Zustünde im Bogen sich auf diese Weise verhalten. Nach

: opea eed ; ; : oV
KAUFMANN ist nämlich der Zustand im Bogen stabil nur, wenn _+0>0.
: 91
be

Da o den in die Leitung eingeführten Widerstand bezeichnet und D.
i " on

eine negative Grösse sein muss, tritt der stabile Zustand erst ein, wenn
oV
al
wir, dass die Kurve fiir die Potentialdifferenz zwei scharfe Maximipunkte
hat, den einen zu Anfang und den andern zu Ende der Halbperiode.
Zwischen diesen liegt ein Minimipunkt ungefähr in der Mitte der Halb-
periode. Vor dem ersten Minimum steigt die Potentialdifferenz mit der

einen bestimmten negativen Wert erhalten hat. Aus der Figur sehen

' we t a . : 3] 4 -
Zeit. Da die Stromstärke hier auch steigt, wird also — positiv. Das-
i ny

selbe Verhältnis tritt offenbar nach dem zweiten Maximum ein, wo so-
wohl die Potentialdifferenz wie die Stromstürke mit der Zeit abnehmen.
Zwischen den beiden Maximipunkten hingegen haben die Anderungen
von Potentialdifferenz und Stromstärke entgegengesetzte Vorzeichen,

. a} 5 NE 5 :
und dort ist also = negativ. Der stabile Zustand tritt also gleich nach
Ol »

dem ersten Maximum der Spannungskurve ein und hórt gleich vor dem
zweiten Maximum auf. Aus der Figur ersieht man, dass diese Punkte
einem sehnellen Anstieg oder Abfall der Stromstürke entsprechen.

Il. Das Verhältnis zwischen Stromstärke und Potentialdifferenz
während des stabilen Gleichgewichtszustands.

Bevor wir in unserer Untersuchung fortfahren, wollen wir nun
zeigen, dass jedem momentanen Wert der Stromstärke in Lichtbögen,
die von Wechselströmen niedriger Frequenz unterhalten werden, während
des stabilen Gleichgewichtszustandes ein momentaner Wert für die Po-
tentialdifferenz entspricht, der approximativ derselbe ist wie für die Poten-
tialdifferenz in einem Gleichstrombogen bei entsprechender Stromstärke.

Der obige Satz schliesst in sich, dass der Zustand im Lichtbogen
während dieser Zeit völlig der Stromvariation soll folgen können, d. h.
dass die Elektrodenflächen, die Temperatur und Temperaturgefälle in

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 35

in denselben, der Querschnitt des Bogens u. s. w. während der Strom-
variation in jedem Zeitpunkt approximativ die Werte annehmen, die für die
entsprechende Stromstärke im Gleichstrombogen gelten. Offenbar kann
ein solcher Zustand nur vorhanden sein, wenn die Stromänderungen
verhältnismässig langsam vorsichgehen. Bei einer plötzlichen Strom-
änderung können natürlich die Temperaturgefülle z. Db. in den Elek-
trodenflächen der Stromvariation nicht folgen. Während des labilen
Zustandes. zu dessen Anfang und Ende die Stromänderungen bedeu-
tend sind, desgleichen während des stabilen Zustandes bei Licht-
bögen, die von Wechselströmen sehr hoher Frequenz unterhalten wer-
den, können wir daher nicht erwarten, dass obenstehender Satz Gel-
tung hat. Die Stromänderungen, die während des stabilen Zustandes
vorkommen, wenn die Wechselzahl, wie das gewöhnlich der Fall ist,
50 bis 60 beträgt, sind indessen, wie wir weiter unten zeigen werden,
als langsam zu betrachten.

Wir geben nun zunächst eine kurze Übersicht über die Unter-
suchungen, die bisher in dieser Richtung angestellt worden sind.

Die Wirkungen, die schnelle Stromänderungen auf die Potential-
differenz zwischen den Elektroden des Bogens, auf die Lichtintensität
und auf die Gashülle des Bogens ausüben, sind von mehreren Physi-
kern studiert werden.

Geht die Stromänderung sehr schnell vor sich, so vermag der
Zustand im Bogen nicht derselben zu folgen, und eine schnelle Ver-
mehrung der Stromstärke muss dann einen schnellen Anstieg der Po-
tentialdifferenz zur Folge haben und umgekehrt. Dieses haben Ayr-
TON!) und DupELL?) nachgewiesen. In einem Lichtbogen zwischen
Homogenkohlen erhielt Dupezz nämlich eine vorübergehende Steige-
rung der Potentialdifferenz bei einem sehr schnellen Anstieg der
Stromstärke, welch letzteren er durch Entladung eines Kondensators

gr a
— el. sank je-
5000
doch die Spannung wieder. Hieraus geht hervor, dass die Strom-
variationen äusserst schnell vorsichgehn müssen, soll nicht der Zustand

durch den Lichtbogen erhielt. Nach einer Zeit von

: ; 1 : :
im Bogen ihnen foleen, und dass schon nach —— Sek. der Bogen in
> I 5000 =

seinen stationären Zustand zurückzukehren anfängt.

1) Avyrron, The Electrician 34 S. 471, 541. 1895.
2) Dupezr, The Electrician 46 S. 269, 310. 1900.

36 G. GRANQVIST,

PETAvEL') und Burnie?) haben den Einfluss von Stromände-
rungen auf die Lichtintensität im Bogen untersucht. Aus ihren Ver-
suchen geht hervor, dass die Änderungen der Lichtintensität den Än-
derungen der Stromstärke beim Wechselstrombogen folgen, aber um

ungefähr Sek. den letzteren gegenüber verschoben sind.

1
1000
Nun ist, wie bekannt, die Lichtintensität proportional der Grösse
der Anoden- und Kathodenflächen. Der Hauptteil der Lichtmenge geht
nämlich von diesen aus, die stets per Flächeneinheit dieselbe Licht-
menge aussenden. Wenn also nach den oben erwähnten Versuchen
die Lichtintensität um en Sek. hinter der Stromintensität zurückbleibt,
so muss das bedeuten, dass die Änderungen dieser Flächen, also der
Querdimensionen des Bogens ungefähr Gus Sek. nach den Stromvaria-
tionen stattfinden. Indessen hat DupezL*) auch dieses Phänomen stu-
diert und ist zu bedeutend kürzeren Reaktionszeiten gekommen.
DUDELL projizierte das Spaltbild des Bogens auf eine fallende
photographische Platte, auf welcher mit Hülfe eines Oscillographen die
gleichzeitigen Werte für die Stromstärke registriert wurden. Die schnellen
Stromänderungen wurden durch oszillatorische Kondensatorentladungen
durch den Bogen hindurch bewirkt. Auf der solcherweise exponierten
Platte zeigte sich deutlich die durch die Stromänderung verursachte Ande-
rung der Lichtintensität sowohl an der Anode wie an der Kathode. Doch
konnte nicht mit Sicherheit eine Phasenverschiebung zwischen der Än-
derung der Strom- und der Lichtintensität nachgewiesen werden. War

eine solche vorhanden, musste sie weniger als ee betragen
haben. 2

Was endlich die Gashiille selbst im Bogen betrifft, so verursacht,
wie wir oben gezeigt, eine Anderung der Stromstiirke eine Anderung
des Querschnitts der Gashülle. Eine Steigerung der Stromstärke hat
also eine Vergrösserung dieses Querschnitts und folglich auch eine
Vergrösserung des Volumens der Gashülle zur Folge. Ein variabler
Strom, der durch einen Lichtbogen geht, bewirkt daher entsprechende
Volumänderungen der Gashülle. Bekanntlich hat man diese Eigenschaft

!) Peraver, Proceed. of the Phys. Soc. 14 S. 115. 1896.
?) Bunwr, The Electrician 39. S. 849. 1897.
5) Duperr, The Electrician 46. S. 310. 1900.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 37

der Gashülle angewendet, um sogen. singende oder sprechende Licht-
bögen zu erhalten.

Die ausserordentliche Empfindlichkeit und die Korrektheit, mit der
ein solcher Bogen eine Rede wiedergiebt, dürfte wohl vor allem zeigen,
wie äusserst schnell der Bogen selbst den Stromänderungen in ihm folgt.

Aus den oben angeführten Versuchen darf man wohl den Schluss
ziehen, dass in dem gewöhnlichen Wechselstromlichtbogen, wo die
Perioden 50 bis 60 per Sek. betragen und wo also die Stromvariatio-
nen ziemlich langsam vorsichgehen, der Zustand während des stabilen
Gleichgewichtszustandes der Stromstärke folgt, und dass also einem
bestimmten momentanen Wert für die Stromstärke ein Zustand im Bogen
entspricht, der der gleiche ist wie bei einem Gleichstrombogen von
derselben Stromstärke.

Ein sicherer Beweis hierfür kann natürlich nur erhalten werden
durch Bestimmung der Stromkurve und der ihr entsprechenden Span-
nungskurve im Wechselstrombogen und eine Untersuchung des Ver-
hältnisses dieser beiden Kurven zu einander. Ich teile daher im Fol-
genden die Resultate einer solchen Untersuchung mit.

In den Figuren 1 und 2 Tafel II sind für einen Wechselstrom-
lichtbogen zwischen Homogenkohlen die Kurven für die Potentialdiffe-
renz mit V und die Kurven für die Stromstärke mit J bezeichnet. Die
Kurven in Fig. 1 sind mittelst eines Siemensschen Wechselstromgene-
rators erhalten, der bei nicht induktivem Widerstand eine Stromkurve
giebt, die sehr wenig von einer Sinuskurve abweicht. Die Kurven in
Fig. 2 hingegen sind mittelst einer Ganzmaschine erhalten, die unter
den gleichen Verhältnissen eine spitzige Stromkurve giebt. Die effek-
tive Potentialdifferenz in den Bögen war bei der ersteren Maschine 52
und bei der letzteren 53 Volt.

Die Kurven wurden auf die Weise erhalten, dass die Pole eines
Kondensators für eine kurze Zeit während jeder Periode entweder mit
den Elektroden des Lichtbogens, wenn die Spannungskurve bestimmt
werden sollte, oder mit den Endpunkten eines nicht induktiven Wi-
derstandes, wenn die Stromkurve bestimmt werden sollte, verbunden
wurden. Der bei der Entladung des Kondensators erhaltene Aus-
schlag an einem ballistischen Galvanometer gab dann ein Mass für die
bei der Ladung des Kondensators herrschende Potentialdifferenz im Bo-
gen und für die Stromintensität bei derselben Gelegenheit.

Diese Kurven sind im Physikalischen Institut des Eidgenössi-
schen Polytechnikums in Zürich erhalten und von Herrn Professor
WEBER mir gütigst zur Verfügung gestellt worden.

38 G. GRANQVIST,

Nach Avmrow gilt für einen Gleichstrombogen zwischen Homogen-
kohlen die Formel:

o 7 2 = ^ :
TL , wo @,P,y und 9 pos. Konstanten sind.

yc cu ace t

Wenn unser Wechselstrombogen den Stromvariationen folgt, müs-
sen wir natürlich auch hier dieselbe Beziehung zwischen den momen-
tanen Werten für Potentialdifferenz und Stromstürke haben. Die obige
Formel giebt uns indessen kein gutes Kriterium hierfür, da das letzte
Glied rechtsseits verhiiltnismiissig klein gegenüber dem ersten ist. Ich
habe daher statt dessen den Ausdruck für die Energie gewiihlt

Ww yeux da

Wenn also der Zustand im Wechselstrombogen den Stromvaria-
tionen folet, muss der momentane Wert für die Energie eine lineare
Funktion der momentanen Stromstürke sein.

Tabelle XIII.

i V We 10S 259)

51,0 117) 8,9 Ganz-Maschine
62,5 17,0 10,6

7275 1702) 12,5

79,5 il 13,6

68,0 17,0 11,6

50,0 TTA) 8,8

35,0 18,0 6,3

98,5 57,0 16,3 Siemens-Maschine
40,5 54,5 99,1

5155 59,5 27,0

62,5 51,0 31,9

1108 51,0 36,5

18,5 51,0 40,0

82.0 50,5 41,4

83,0 a 49,7

82,0 51,0 41,8

78,8 5165 40,2

Til 59,5 31.2 |
60,0 59,5 2IP5

5X5) || 5x93 95,3

30,0 58,5 17,6 |

DER ELEKTRISCHE LIcHTBOGEN. 39

In Tabelle XIII sind für die obengenannten Lichtbögen eine Reihe
momentaner Werte für Stromstärke und Potentialdifferenz in willkür-
licher Einheit mitgeteilt. Aus diesen sind dann die momentanen Werte
für die Energie berechnet und in der Tabelle unter der Rubrik W auf-
geführt.

In den Figuren 3 und 4 Tafel II sind diese letzteren Werte längs
der Ordinatenachse und die ihnen entsprechenden Stromstärken längs
der Abszissenachse abgetragen worden. Fig. 4 bezieht sich auf einen
Wechselstrombogen von der Siemensmaschine, Fig. 3 auf einen solchen
von der Ganzmaschine.

Aus Fig. 3 geht nun hervor, dass die erhaltenen Punkte auf
derselben geraden Linie liegen. In Fig. 4 ist mit a die Kurve für
wachsende Stromwerte und mit b die Kurve für fallende Stromwerte
bezeichnet. Auch hier liegen die beobachteten Punkte auf geraden Linien.
Abweichend von dem Verhältnis in Fig. 3 fallen hier indessen nicht die
Beobachtungen bei wachsender und bei fallender Stromstärke zusam-
men. Die Ursache hierfür muss darin liegen, dass die Bogenlänge
während des Versuchs grösser wurde, wodurch die Potentialdifferenz
wuchs. Hierdurch sind natürlich die für dieselbe Stromstärke berech-
neten Energiewerte für die Observationen zu Ende der Serie grösser
geworden als zu Anfang derselben. Die oben erwähnte Verschieden-
heit bei wachsender und fallender Stromstärke ist dagegen unter keinen
Umständen dadurch zu erklären, dass der Zustand im Bogen den Strom-
variationen nicht zu folgen vermöchte, denn wäre das der Fall, so
müssten unbedingt, wie leicht einzusehen ist, die Energiewerte bei stei-
gender Stromstärke grösser sein als die bei fallender — ein Verhält-
nis, das also gerade das entgegengesetzte ist wie das hier beobachtete.

Aus dem oben Angeführten geht also hervor, dass in Wechsel-
stromlichtbögen von geringer Frequenz während des stabilen Gleich-
gewichtszustandes Stromstärke und Potentialdifferenz wenigstens appro-
ximativ einander auf gleiche Weise korrespondieren, wie bei Gleich-
strombögen, Wir können also, wenn es sich nicht um grössere Genauig-
keit handelt, bei diesen Lichtbógen wiihrend der Zeit, wo der Zustand
stabil ist, die Gesetze anwenden, die wir oben als für Gleichstrom-
bógen giltig gefunden haben.

40 G. GRANQVIST,

III. Die Bedingung für den Bestand des Wechselstromiichtbogens.

Wir haben oben gezeigt, dass der Zustand im Wechselstrom-
bogen abwechselnd stabil und labil ist. Es ist nun klar, dass der Licht-
bogen als solcher nur während des stabilen Zustandes existiert. Während
des labilen Zustandes haben wir es mit einem erloschenen Lichtbogen zu
thun. Während dieses Zustandes ist die Stromstärke sehr gering, und
folglich kühlen sich der Bogen und die Elektroden während dieser Zeit
ab. Die Bedingung dafür, dass die elektromotorische Kraft während
der darauf folgenden Periode einen Strom durch den Bogen zwingen
und aufs neue einen stabilen Zustand bewirken könne, ist offenbar die,
dass die Abkühlung nicht eine bestimmte Grenze überschreitet.

Der Bestand des Wechselstromlichtbogens ist also in erster Linie
abhängig von der Länge der Zeit, während welcher der labile Zustand
andauert. Je kürzer diese Zeit, um so stetiger brennt der Bogen.
Wird diese Zeit über eine bestimmte Grenze hinaus verlängert, hört
der Bogen zu brennen auf. Die längste Zeit, die der labile Zustand
andauern darf, ohne dass der Bogen zu brennen aufhöre, ist abhängig
teils von dem Wärmeleitungsvermögen der Elektroden, teils auch von
der Wärmeenergie, die die Elektroden während des stabilen Zustandes
erhalten haben.

Die Geschwindigkeit, mit welcher der Lichtbogen und die Elek-
troden sich abkühlen, ist nämlich in hohem Grade abhängig von dem
Wärmeleitungsvermögen der Elektroden, und diese spielt daher beim
Wechselstrombogen eine bedeutend grössere Rolle als beim Gleich-
strombogen. Je geringer das Wärmeleitungsvermögen der Elektroden,
um so langsamer wird eine Änderung der Temperatur durch dieselben
fortgepflanzt und um so langsamer kühlen sich daher die Elektroden
und die sie umgebenden Gase ab. Bei Elektroden mit geringem
Wärmeleitungsvermögen kann daher die Zeit für den labilen Zustand
länger gewählt werden als bei Elektroden mit grösserem Wärmelei-
tungsvermögen.

Ist das Wärmeleitungsvermögen sehr gross, wie z. B. bei Metall-
elektroden, so vollzieht sich die Abkühlung äusserst schnell. Als
Beweis für die grosse Geschwindigkeit, mit welcher ein Metalllichtbogen
zwischen zwei Metallelektroden im Verhältnis zum Kohlenlichtbogen
sich abkühlt, kann folgender Versuch angeführt werden. In einer
Leitung von einer Elektrizitätsquelle mit konstanter elektromotorischer

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 41

Kraft hatte ich einen Lichtbogen eingeschaltet. An einer Stelle der
Leitung wurde ferner ein Unterbrecher eingeschaltet, so angeordnet,
dass die Leitung nur eine kurze Zeit unterbrochen war. War in die
Leitung ein Kohlenlichtbogen zwischen Kohlenelektroden eingeschaltet,
so brannte der Lichtbogen sowohl vor wie nach der Unterbrechung. Die
längste Zeit, die die Unterbrechung dauern durfte, ohne dass der Bogen
erlosch, war abhängig von der Stromstärke. Je grösser diese, um so
linger konnte die Unterbrechung dauern. Wurde dagegen ein Metall-
lichtbogen zwischen zwei Metallelektroden eingeschaltet, so erlosch er
stets, wie kurz auch die Zeit der Unterbrechung gestaltet wurde.

Die Abkühlung des Lichtbogens zwischen Metallelektroden muss
daher äusserst schnell vor sich gehen. Dass diese schnelle Abkühlung
wirklich auf dem grossen Würmeleitungsvermógen der Elektroden und
nicht darauf beruht, dass das Metallgas sich dem Kohlegas gegenüber
verschieden verhält, zeigt der Umstand, dass, wenn man in obenge-
nannte Leitung einen Metalllichtbogen einführte, bei dem die Anode aus
Metall, die Kathode aber aus Kohle bestand, der Bogen nicht erlosch,
wenn die Zeit der Unterbrechung geeignet gewählt wurde. In diesem
Fall ist es die langsam sieh abkühlende Kohlenkathode, die eine lang-
samere Abkühlung des Metallgases bewirkt.

Ein Lichtbogen zwischen zwei Metallelektroden wird also, wie
wir oben gesehen, äusserst schnell abgekühlt. Will man einen Wechsel-
strombogen zwischen Metalleiektroden erhalten, muss daher die Zeit
für den labilen Zustand äusserst klein gewählt werden. Eine derartige
genügend kurze Zeit kann mit Wechselstrómen gewöhnlicher Spannung
und Frequenz (50 bis 60 Perioden per Sekunde) nicht erhalten werden,
und dieses ist also die Ursache, weshalb es uns nicht gelang, mit ihnen
einen Lichtbogen zwischen Metallelektroden zu erhalten.

Wir erwühnten bei dem oben angeführten Versuch mit Kohlen-
lichtbogen, dass je grósser die Stromstürke war, um so grósser die Zeit
für die Unterbrechung gewählt werden konnte, ohne dass der Bogen
erlosch. Es folgt daraus, dass, je grósser die Wiirmezufuhr zu den
Elektroden ist, um so langsamer die Abkühlung geschieht. Beim Wech-
selstrombogen kann daher die Zeit für den labilen Zustand um so länger
gewühlt werden, je grósser die Energie ist, die dem Bogen und den
Elektroden während des stabilen Zustandes zugeführt wird.

Wir gehen nun dazu über, zu untersuchen, wie die Zeit für den
labilen Zustand sich in einigen besonderen Fällen ändert.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. ??/: 1903. 5

49 G. GRANQVIST,
Die elektromotorische Kraft.

Oben ist gezeigt worden, dass während des stabilen Zustandes die
Momentanwerte für Potentialdifferenz und Stromstärke approximativ
einander in gleicher Weise entsprechen wie beim Gleichstromlichtbogen.
Hieraus folgt nun zunächst, dass der Maximalwert der elektromotorischen
Kraft grösser sein muss als der Wert der elektromotorischen Kraft, der
erforderlich ist, um einen Gleichstrombogen von derselben Bogenlänge
und von der Stromstärke herzustellen, die zu Anfang des stabilen Zu-
standes existiert.

Von dem Aussehen der Kurve für die elektromotorische Kraft
hängt natürlich die Zeit für den stabilen und labilen Zustand in hohem
Grade ab. Je schneller die elektromotorische Kraft ansteigt und je
später sie abfällt, um so länger wird der stabile Zustand und um so
kürzer der labile unter sonst gleichen Verhältnissen. Einen schlagenden
Beweis hierfür haben wir in den oben erwähnten Kurven in den Fi-
guren 1 und 2 Tafel U. In Fig. 1, wo die Kurven sich auf eine Sie-
mensmaschine mit einer elektromotorischen Kraft beziehen, die ziem-
lich genau einer Sinuskurve folgt, beträgt die Zeit für den labilen Zu-
stand nur ein Drittel der Periode, während in Fig. 2, wo die Kurven
von einer Ganzmaschine mit sog, spitziger elektromotorischer Kraft er-
halten sind, der labile Zustand */s der Periode beträgt.

Die Bogenldnge und die Energiezufuhr.

Bei der Behandlung des Gleichstromlichtbogens wurde gezeigt,

>
dass /? = wenigstens approximativ auf die Formel
= :
20 y r 2ai
N ee
97 it

gebracht werden konnte. Bezeichnen wir nun mit V, und V, die mo-
mentanen Werte der Potentialgefälle vor Anode und Kathode, so muss
während des stabilen Zustandes im Wechselstromlichtbogen die ent-
sprechende Formel gelten

Bezeichnen wir ferner mit e den momentanen Wert der elektromoto-
rischen Kraft, so ist, wenn der Gleichgewichtszustand aus dem labilen
in den stabilen übergeht oder umgekehrt,

sul n rp EIS NÉ a e us Pe RARI he ote cà

in

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 43

e i? p =)
01
und daher
- " 2 ai
e= V + Ve+

Hieraus folgt, dass, je grösser die Bogenlänge ist, um so grösser der
momentane Wert der elektromotorischen Kraft zu Anfang und zu Ende
des stabilen Zustandes sein muss. Unter sonst gleichen Verhältnissen
wird daher, wenn die Bogenlänge vergrössert wird, die Zeit des sta-
bilen Zustandes vermindert und die Zeit des labilen vergrössert werden.

BLONDEL'), der mits einem Oscillographen die Strom- und Span-
nungskurven in Wechselstromlichtbögen unter verschiedenen Verhält-
nissen untersucht hat, hat mehrere derartige äusserst interessante Kur-
ven publiziert. Um das Resultat zu beleuchten, zu dem wir oben ge-

Fig. 4. i
Fig. 5.

kommen, sind aus BrowpELs Arbeit einige Kurven abgebildet worden.
Fig. 4 stellt die Kurven für einen Kohlenlichtbogen zwischen Homogen-
kohlen (Homogenes durs) bei kleiner Bogenlänge dar, Fig. 5 denselben
Lichtbogen bei grosser Bogenlänge.

In Übereinstimmung mit dem, was wir oben gefunden, ergiebt
sich aus den Figuren, dass die Zeit für den labilen Gleichgewichtszustand,
die bei der kürzeren Bogenlänge ungefähr '/4, und bei der längeren
ungefähr !/» der Periode beträgt, mit der Bogenlünge grösser wird.

Es würe vielleicht auch hier darauf hinzuweisen, dass bei allen
diesen Bögen, bei denen keine grössere Selbstinduktion in der Leitung
vorhanden war, das Maximum der Spannungskurve stets grösser zu

Se BEONDELA CH EID 9291011029 1598:

44 G. GRANQVIST,

Beginn des stabilen Gleichgewichtszustandes ist als zu Ende desselben.
Dies beruht offenbar darauf, dass der Lichtbogen zu Ende des labilen
Zustandes mehr abgekühlt ist als zu Anfang desselben und folglich eine
grössere elektromotorische Kraft zur Wiederherstellung des stabilen Zu-
standes erforderlich ist, als die, bei welcher der Bogen in den labilen
Zustand übergeht. Je grösser die Bogenlänge gewesen, d. h. je län-
gere Zeit der labile Zustand gedauert, um so mehr tritt diese Verschie-
denheit hervor.

Eine Vergrösserung der Bogenlänge führt, wie oben gezeigt, unter
sonst gleichen Verhältnissen eine Verlängerung der Zeit des labilen
Gleichgewichtszustandes mit sich. Wir haben aber auch gesehen, dass,
je grösser die Energiezufuhr während des stabilen Zustandes ist, um so
langsamer der Lichtbogen sich abkühlt. Hieraus kann der Schluss ge-
zogen werden, dass, je grösser die Energiezufuhr ist, um so grösser
die Bogenlänge gewählt werden kann, ohne dass der Bogen zu brennen
aufhört. Die Bogenlänge, bei welcher ein Wechselstromlichtbogen er-
lischt, ist daher abhängig von der Energiezufuhr und wächst mit dieser
letzteren, natürlich unter der Voraussetzung, dass wir dieselbe elektro-
motorische Kraft haben.

Um experimentell die Richtigkeit dieses Satzes beweisen zu können,
habe ich die folgenden Versuche angestellt, bei denen als Elektrizitäts-
quelle ein 10 & W-Transformator von der Maschinenfabrik OERLIKON an-
gewendet wurde, “Der Strom durch die primäre Spule des Transfor-
mators wurde von dem Züricher Elektrizitätswerk erhalten. Der Wider-
stand und die Selbstinduktion in der sekundären Spule betrugen 0,0084
{2 bezw. 0,05 Henry. Die effektive Potentialdifferenz zwischen den Polen
der sekundären Spule betrug ungefähr 110 Volt, und die Kurve für die
elektromotorische Kraft in derselben wich nur unbedeutend von einer
Sinuskurve ab.

Die Pole der sekundären Leitung wurden nun mit einem Ballast-
widerstand und einer Bogenlampe mit Handregulierung verbunden. In
die Leitung war ausserdem ein Dynamometer zur Bestimmung der effek-
tiven Stromstärke und ein Wattmeter von Ganz u. Torsa zur Bestim-
mung des Energieverbrauchs im Lichtbogen eingeschaltet. Die in die
Bogenlampe eingesetzten Kohlen waren Homogenkohlen von SIEMENS
u. Hatske und massen 10 mm im Durchmesser. Mit dieser Anordnung
wurde nun bei verschiedener Energiezufuhr die Bogenlänge bestimmt,
bei welcher der Lichtbogen zu brennen aufhórte. Untenstehende Ta-
belle enthalt einige von diesen Bestimmungen.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 45

Tabelle XIV.

Homogenkohlen. Max. Bogenlänge.

A I Ww

| Skalent.— 1,» mm | eff. Amp. Walt.
157 4,6 148
159 5,0 166
2,0 5,2 182
2 6,0 201
2,5 6,45 230
9,1 1.5 254
2,8 8,0 978
3,25 9,6 320
3,9 = 345
3,75 — 354
4,15 — 410
4.6 —- 454
5,0 — 598

Der Anschaulichkeit wegen sind diese Beobachtungen in Fig. 5,
Tafel II graphisch dargestellt worden, wo der Energieverbrauch im
Bogen, eben bevor dieser erlosch, längs der Ordinatenachse und die
entsprechende Bogenlänge längs der Abszissenachse abgetragen sind.
Die Observationen von Tab. XIV stellt hier die Kurve A dar. Aus ihr
geht also hervor, dass, je grósser die Energiezufuhr im Bogen ist, um
so grösser die Bogenlänge ist, bei der er erlischt. Diese Versuche be-
stätigen also vollkommen, was wir oben als Bedingung für den Be-
stand des Wechselstromlichtbogens gefunden haben.

Aus dem Obigen finden wir also, dass eine Vergrösserung der
Bogenlänge eine Verlängerung der Zeit des labilen Zustandes mit sich
führt. Wird diese Zeit über eine bestimmte Grenze hinausgeführt, so
erlischt der Bogen. Je grösser die Energiezufuhr ist, um so langsamer
kühlt sich der Lichtbogen ab und um so länger kann die Zeit für den
labilen Zustand und um so grösser die Bogenlänge gewählt werden,
ohne dass der Bogen erlischt.

Die Wirkung der Selbstinduktion.

Um den Einfluss zu untersuchen, den eine Selbstinduktion auf
den Wechselstromlichtbogen ausübt, wurde in der oben genannten
Anordnung eine Spule in die sekundäre Leitung vor die Bogenlampe
eingeschaltet. Auf dieselbe Weise wie vorher wurde nun die Bogen-

46 G. GRANQVIST,

länge bestimmt, bei welcher der Lichtbogen, bei verschiedenem Energie-
verbrauch in demselben, zu brennen aufhörte.

Die Ergebnisse dieser Beobachtungen sind in den Tabellen XV
und XVI aufgeführt. wo Tab. XVI sich auf den Fall bezieht, dass die
Selbstinduktion in der Spule 0,055 Henry betrug. Bei den Versuchen,
die in Tab. XV dargestellt sind, waren in die Leitung zwei Spulen ein-
geschaltet, deren Selbstinduktion insgesamt ungefähr 0,11 Henry betrug.

Tabelle XV. Tabelle XVI.
Homogenkohlen. Max. Bogenlänge. Homogenkohlen. Max. Bogenlänge.
L = 0,11 Henry. L = 0,055 Henry.
i 7 W À I W
| Skalent. 21» mm | eff. amp. Watt. 1 Skalent. 21, mm | eff amp. | Watt,
2.0 9,8 116 2,4 4,8 173 |
3,1 3,9 141 3,2 5,8 DITS)
3,45 3,35 160 1,2 6,4 268 |
4,1 3 176 5,9 7,3 9900
4,3 3,9 178

brauch der Lichtbogen bei bedeutend grösserer Bogenlänge erlosch,
wenn Selbstinduktion in die Leitung eingeführt war, als wenn keine
um so

Aus den Tabellen geht hervor, dass bei gleichem Energiever-

solche bestand. Je grösser die Selbstinduktion in der Leitung,

grösser wurde auch die Bogenlänge.

Der Deutlichkeit wegen sind auch diese Beobachtungen in Fig.

5 Tafel II in Kurven umgesetzt, wobei Kurve C die bei der geringeren
Selbstinduktion, Kurve D die bei der grösseren angestellten Beobach-
tungen wiedergiebt. Aus der Figur ersieht man, dass bei Einführung
genügend grosser Selbstinduktion die Bogenlänge und daher das Gebiet
für die möglichen Lichtbégen bedeutend vergrüssert werden kann.
Um diese Wirkung der Selbstinduktion zu erklären, wollen wir
uns zwei Lichtbögen zwischen Homogenkohlen denken, mit derselben
Bogenlänge und beide mit den gleichen elektromotorischen Kräften

gespeist. In die Leitung des einen denken wir uns ferner eine Selbst-

induktion eingeschaltet, während in der Leitung des anderen kein in-
duktiver Widerstand vorhanden ist.

Die Strom- und die Spannungskurve für diesen letzteren Bogen
sind in Fig. 5 gegeben. Wie bereits oben angeführt, sehen wir, dass der

Strom hier plötzlich kurz vor dem Beginn des stabilen Zustandes ansteigt.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 47

und ebenso plötzlich gleich nach dem Ende desselben abfällt. Offenbar
kann nun eine derartig schnelle Veränderung in der Stromstärke bei
dem anderen Bogen, wo eine hinreichende Selbstinduktion in der Lei-
tung vorhanden ist, nicht vorkommen, denn bei den Stromänderungen
hier werden infolge der Selbstinduktion elektromotorische Kräfte indu-
ziert. die schnellen Veränderungen der Stromstärke entgegenwirken
müssen.

Wenn also zu Ende des stabilen Zustandes die Stromstärke fällt,

À À ; di 3 : :
entsteht eine elektromotorische Kraft — 7/7, die sich zu der bereits
(

vorhandenen hinzuaddiert, und daher bleibt die Stromstärke hier grös-
ser als sonst während des labilen Zustandes. Demzufolge kühlen sich
Bogen und Kohlen langsamer ab als sonst, und der nächste stabile
Zustand kann früher beginnen. Die Einführung einer Selbstinduktion
hat also zur Folge, dass die Zeit des stabilen Zustandes verlängert und
die des labilen vermindert wird. Die Selbstinduktion hat also die ent-
gegengesetzte Wirkung wie eine Vergrösserung der Bogenlänge.

Dass diese Erklärung die richtige
ist, ersieht man am besten aus den Kur- ;
ven, die BLONDEL mit seinem Oscillogra-
phen erhalten hat. Fig. 6 zeigt uns das
Aussehn dieser für einen Bogen zwischen
Homogenkohlen, da Selbstinduktion in der
Leitung sich vorfand. Aus dieser Figur
ersehen wir, dass die Stromkurve zufolge
der Selbstinduktion hier fast die Form einer
Sinuslinie angenommen hat. Eine Vergleichung dieser Kurve mit der,
die BLONDEL unter sonst gleichen Verhältnissen, aber ohne Selbstinduk-
tion in der Leitung gewonnen hat (Fig. 5), zeigt deutlich den grossen
Einfluss, den eine Selbstinduktion auf die Strom- und Spannungskurven
im Lichtbogen hat.

Fig 6.

Wechselstromlichtbögen zwischen Kohlen-Wetall-Flektroden.

Ein Wechselstrombogen zwischen zwei Elektroden von verschie-
denem Stoff oder von verschiedenem Wärmeleitungsvermögen muss na-
türlich während zweier auf einander folgender Halbperioden sich ver-
schieden verhalten. Besonders deutlich tritt diese Verschiedenheit
hervor, wenn die eine Elektrode aus Kohle und die andere aus Metall

48 G. GRANQVIST,

besteht. Wir wollen daher hier die wichtigsten Eigenschaften eines
solchen Wechselstrombogens erörtern.

Nehmen wir an, die eine Elektrode bestehe z.B. aus Homogen-
kohle und die andere aus Kupfer. Wenn der elektrische Strom von
der Kohlenelektrode zur Metallelektrode geht, die Kohle also Anode
ist, besteht der Bogen selbst aus erhitztem Kohlegas. Während der
nächsten Halbperiode geht der Strom von dem Metall zur Kohle. Da
nun die Kupferelektrode Anode ist, besteht der Lichtbogen während
dieser Halbperiode hauptsächlich aus erhitztem Kupfergas. Wir haben

ai

5 , 3 C C
es also während der ersten Halbperiode mit dem Lichtbogen dm und

"

x ; à : Cu
während der darauffolgenden mit dem Lichtbogen — * zu thun.

Wenden wir nun auf diese beiden Wechselstrombégen die Gesetze

an, die, wie wir oben gefunden, für dieselben Gleichstrombögen gelten.
Die Bestimmungen über die Potentialdifferenz für die Bögen

Y

Cu . : se 1 E cs
à und T bei verschiedenen Bogenlüngen und Stromstirken, über
Cus ;

die wir im ersten Abschnitt berichtet, zeigen, dass der scheinbare Wi-
: . I - . S :
derstand im Lichtbogen n grösser ist als derselbe für den Lichtbo-
2 Qu NE

Fr Chie 2 ; ren

gen G Ferner haben wir gefunden, dass für dieselbe elektromoto-
BER x 2 2 5 PNE : ^ Cu 5 :
rische Kraft das Gebiet für die möglichen Lichtbögen m grösser ist

cd : - Q 5 2 E
als für die Bögen —* . Es folgt hieraus, dass der Wert für den Aus-

Cu_
lruck 72 af me T xs : ss : "s 5 ze
druck E unter sonst gleichen Verhältnissen grösser ist für die Bögen
C e Lee Ci
“+ als für die Bögen +.
Qu = C

Auf Grund dieser Verschiedenheit des Wertes für I? = kann

offenbar die Zeit des stabilen Zustandes während der beiden auf ein-
ander folgenden Halbperioden nicht gleich werden. Während der Halb-
periode, wo der Strom von der Kohle zum Kupfer geht, muss die Zeit
des stabilen Zustandes bedeutend kürzer sein als während der Halb-

periode, wo der Strom vom Kupfer zur Kohle geht. Da ausserdem
y
der scheinbare Widerstand für den Bogen + grösser ist als der für

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 49

Hs

den Bogen = , muss auch die Stromstärke während des stabilen
Zustandes geringer sein während der ersteren Halbperiode als während
der letzteren.

Zufolge dieser Verschiedenheit teils der Stromstärke, teils der
Zeit für den stabilen Gleichgewichtszustand, zeigt ein in die Leitung
eingeschalteter Gleichstrommesser einen konstanten Strom von der
Kupfer- zur Kohlenelektrode an.

Während des labilen Zustandes sind die momentanen Werte der
Potentialdifferenz zwischen den Elektroden bemahe ebenso gross wie
die momentanen Werte der elektromotorischen Kraft. Da der labile
Zustand länger dauert während der Halbperiode, wo der Strom von
der Kohle zum Metall geht, als während der darauf folgenden, so wird
der Mittelwert für die Potentialdifferenz während der ersteren Halb-
periode grösser als während der letzteren. Wird daher ein Voltmeter
für Gleichstrom zwischen die Elektroden eingeschaltet, so wird er eine
konstante Potentialdifferenz im Bogen in der Richtung von der Kohle
zum Metall angeben. Ein in die Leitung eingeschalteter Gleichstrom-
messer hingegen giebt, wie oben erwähnt, einen Strom in entgegenge-
setzter Richtung an. Diese verschiedenen Richtungen des Stroms und
der Potentialdifferenz sind von SaHuLKA!) nachgewiesen worden, der
wohl der erste gewesen ist, der Wechselstrombögen zwischen Kohle-
und Metallelektroden untersucht hat.

Wir nahmen oben an, dass die Metallelektrode aus Kupfer be-

RON EE PT 3 C Cu
stand, weil wir früher die Lichtbögen A nd " * untersucht hatten.
u.. om

Natürlich bleiben die Verhiiltnisse in der Hauptsache dieselben, wenn
andere Metalle angewendet werden.
Eine Vergrósserung der Bogenlünge führt, wie wir oben gezeigt,
: 7 - ; 23 aJ Lo c a ;
eine Vergrüsserung des Wertes für 1297 mit sich. Wird daher die
à
Bogenliinge kontinuierlich vergrössert, so wird für beide Bögen die

Zeit des stabilen Zustandes vermindert. Da der Wert für 7? stets

grösser für den Kohlen-Kupferbogen ist als für den Kupfer-Kohlenbogen,
muss daher bei fortgesetzter Vergrösserung der Bogenlänge der erstere
Bogen früher erlöschen als der letztere. Bei hinreichend langem Bogen

\) Sanurka. Sitz. B. Wien. Ak. Bd. CIIL S. 926. 1894.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. 1%/1 1903.

=

50 G. GRANQVIST,

haben wir daher nur den Kupfer-Kohlenbogen. In diesem Fall geht
ein elektrischer Strom zwischen den Elektroden nur während der Halb-
periode, wo das Kupfer Anode ist.
Die Richtigkeit dieser Schlüsse er-
U giebt sich deutlieh aus den Strom- und
Spannungskurven, die BrowpEL!) für
Wechselstrombógen zwischen Kohlen-
und Metallelektroden erhalten hat. Fig.
7 zeigt das Aussehen dieser Kurven für
einen Wechselstrombogen zwischen Elek-
troden aus Dochtkohle- und Eisen, wo
die Bogenlänge gering war. Aus der Figur ersieht man, dass die
Stromstärke grösser war während der einen als während der andern
Halbperiode. Während der Halbperiode, wo die Stromstärke am grós-
sten war, ging der Strom vom Metall zur Kohle, was ja vollkommen
mit dem, was wir oben gefunden, übereinstimmt.

Fig. 8 zeigt uns das Aussehen der
Kurven fiir den gleichen Bogen, aber bei
grösserer Bogenlänge. Hier war die Strom-
stärke während jeder zweiten Halbperiode
gleich Null, nämlich während der Halb-
periode, wo das Metall Kathode war. In
diesem Fall existierte also nur der Metall-

FAG A. lichtbogen. Infolge der allzu grossen Bo-
genlänge war der Kohlenlichtbogen erloschen. Offenbar muss dieser
Metalllichtbogen, bei dem die Zeit des labilen Zustandes so lang ist,
nahe dem Stadium sich befinden, wo er zu brennen aufhört. Auch
sagt BLONDEL, dass diese Bögen schwer zu erhalten waren und gerne
entweder erloschen oder in Bögen mit geringerer Bogenlänge über-
gingen.

Ich habe auch für Wechselstrombögen zwischen Homogenkohle
und Kupfer die grösste Bogenlänge bei verschiedenem Energieverbrauch
bestimmt. Die Beobachtungen wurden mit derselben Anordnung und
auf dieselbe Weise ausgeführt, als da der Wechselstrombogen zwischen
Homogenkohlen untersucht wurde. Die Leitung war ohne besondere
eingeschaltete Selbstinduktion. Tab. XVII enthält diese Beobachtungen,
wobei die Bezeichnungen dieselben sind wie oben.

Is Che

L

1) Brow»z.. C. R. 198. S. 797. 1899.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 51

Tabelle XVII.

(£9!
Homogenkohle- Kupfer. lio ) . Max. Bogenlänge.
2

2 W

1 Skalent. = he mm Watt.
0,75 158
0.85 177
0,95 204
1,15 211
i 296
1.5 339
1*6 358
1.8 437
1,9 466
26 699

Der Anschaulichkeit halber sind auch diese Beobachtungen in
eine Kurve umgesetzt in Fig. 5 Tafel II (Kurve B).

Sowohl aus der Tabelle wie aus Fig. 5, Tafel II ersieht man,
dass der Wechselstrombogen zwischen Kohlen- und Kupferelektroden
bei bedeutend kürzerer Bogenlänge zu brennen aufhört als der Wech-
selstrombogen zwischen Kohlenelektroden bei derselben Energiezufuhr
und unter sonst gleichen Verhältnissen. Eine von den Ursachen hier-
für ist die lange Zeit des labilen Zustandes im Kupfer-Kohlen-Bogen,
der, wenn die Bogenlänge sich ihrem Grenzwert nähert, über die Hälfte
der Periode dauert. |

Die Wirkung einer Anderung der Frequenz.

Eine Änderung der Frequenz des Wechselstroms hat natürlich
eine Änderung der absoluten Zeit des labilen Zustandes zur Folge. Wird
die Frequenz vermindert, so wird die Zeit des labilen Zustandes ver-
längert. Daraus folgt, dass jeder Lichtbogen zu brennen aufhört, wenn
die Frequenz genügend vermindert wird. Je schneller der Bogen und
die Elektroden sich abkühlen, d. h. je besser das Wärmeleitungsvermögen
der Elektroden ist, und je geringer die effektive Stromstärke ist, bei
um so höherer Frequenz erlischt der Bogen unter sonst gleichen Ver-
hältnissen. Eine Vermehrung der Frequenz hat daher ihre grösste Be-
deutung in dem Fall, da wir es mit schnell sich abkühlenden Lichtbögen
zu thun haben.

52 G. GRANQVIST,

Derartige Bögen sind Metalllichtbögen zwischen zwei Metallelek-
troden, und wir haben oben erwähnt, dass es bisher nicht gelungen
ist, derartige Bögen unter Anwendung von Wechselstrom gewöhnlicher
Frequenz und niedriger Spannung zu erhalten. Man kann nun die
Frage aufwerfen, ob es nicht möglich sein sollte, derartige Lichtbögen
zu erhalten, wenn man die Frequenz vermehrte. Dass man dabei eine
sehr hohe Frequenz anzuwenden hätte, dürfte klar sein.

Oszillierende Ströme, durch Entladung des Kondensators entstan-
den, sind bekanntlich Wechselströme von hoher Frequenz, und es er-
scheint mir daher nicht unmöglich mit solchen von grosser Intensitet
und niedriger Spannung Wechselstrombögen zwischen Metallelektroden
zu erhalten. Der elektrische Funke, der zwischen zwei Metallelektroden
sich bildet, die in eine von oszillierenden Strömen durchflossene Lei-
tung eingeschaltet sind, muss demnach ein Wechselstromlichtbogen
sein, obwohl die Lichtintensität infolge der schwachen Stromstärke ver-
hältnismässig gering ist.

In der That habe ich auch bei einer Untersuchung über die sog.
Disjunktionsstróme!) im elektrischen Funken gefunden, dass die Strom-
kurven, die von oszillierenden Strömen erhalten werden, wenn in die
Leitung eine Funkenstrecke eingeschaltet ist, in vielen Hinsichten den
Stromkurven bei Wechselstromlichtbögen ähnen, und ich will daher hier
in grösster Kürze über diese Untersuchungen berichten.

Nebenstehende Figur giebt eine
schematische Darstellung der Ver-
suchsanordnung. I bezeichnet hier
ein grösseres Ruhmkorffsches Induk-
torium, in dessen sekundäre Leitung
der Kondensator L, das Funkenmikro-
meter @ und der Indikator 7 nach
einander eingeschaltet waren. Der
Indikator bestand aus einer Spule von
dünnem isoliertem Kupferdraht. Um
die Isolierung zwischen den einzel-
nen Windungen zu erhöhen, war die
Spule nach Aufwickeln des Kupfer-
drahts unter Luftverdünnung in Pa-
raffin gekocht worden. Der Indikator
Fig. 9. wurde nun in horizontaler Lage vor

dem Diaphragma / in einer Braun-

ESS

1) Granovist. Bihang till K. Sv. Vet.-Ak. Handl. Bd. 26. Af. I. N:o 9. 1901.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 53

schen Röhre placiert. Wird die sekundäre Leitung von Induktionsströ-
men durchflossen, so erzeugen diese infolge der Wirkung des Indikators
ein variables magnetisches Feld bei I. Die durch das Diaphragma
gehenden Kathodenstrahlen werden daher nach oben und unten ab-
gelenkt, und man erhält auf dem fluoreszierenden Schirm in der Braun-
schen Röhre eine vertikale helle Linie. Um nun aber die Stromform
selbst bei diesen Entladungen bestimmen zu können, war es notwendig,
gleichzeitig auch die Kathodenstrahlen in horizontaler Richtung ablenken
zu können. Da diese Entladungen nur äusserst kurze Zeit währen, so
lag die grösste Schwierigkeit darin, eine Anordnung zu finden, bei der
die Kathodenstrahlen schnell genug zur Seite abgelenkt werden. Ich
wandte zu dem Zweck folgende Methode an.

Unter dem Diaphragma der Braunschen Röhre wurde vertikal
ein Eiektromagnet j aufgestellt. Wird ein elektrischer Strom durch
den Elektromagneten geschlossen, so werden die Kathodenstrahlen in
horizontaler Richtung abgelenkt. Da der Magnetismus in dem Eisen-
kern des Elektromagneten nicht augenblicklich seinen Maximalwert an-
nimmt, so erhalten auch die Kathodenstrahlen nicht sofort ihre Maximal-
ablenkung. Je dicker der Eisenkern ist, um so länger dauert es, bis
er seine grösste Magnetisierung erreicht, und um so langsamer werden
die Kathodenstrahlen abgelenkt. Durch geeignete Wahl der Dicke des
Eisenkerns im Elektromagneten kann man also dahin gelangen, dass
die Zeit, die die Kathodenstrahlen brauchen, um ihre Maximalablenkung
in horizontaler Richtung zu erhalten, ungefähr gleich wird der Entladungs-
zeit für die Ströme in der sekundären Leitung.

Der Strom durch den Elektromagneten muss natürlich in dem-
selben Augenblick geschlossen werden, wo die Entladung beginnt. Zu
diesem Zweck war eine besondere Anordnung getroffen, die sich in
oben erwähnter Untersuchung ausführlich beschrieben findet, und die
ich daher hier übergehen kann.

Der Kondensator L bestand aus 6 grösseren Leidener Flaschen.
Ihre Gesamtkapazität betrug 0,004913 Mikrofar. Die Selbstinduktion in
der sekundären Spirale des Induktoriums und im Indikator, die nach
Maxwetts Methode bestimmt wurde, betrug für das Induktorium 377,7
Henry und für den Indikator 5,91 Henry. Hieraus berechnet sich die
Schwingungszeit für die oszillierenden Entladungen auf 0,0086 Sek.

Wir wollen nun annehmen, dass die Messingkugeln im Funken-
mikrometer so nahe aneinander geschoben sind, dass sie Kontakt bilden,
ein Funke also zwischen ihnen nicht gebildet wird. Wir erhalten dann

54 (4. GRANQVIST,

auf dem fluoreszierenden Schirm in der Braunschen Röhre eine Strom-
kurve, deren Aussehen aus Fig. 10 hervorgeht. Sie stellt also die
Stromkurve bei einer oszillierenden Kondensatorentladung dar.

Nun ist jedoch zu beachten, dass,
wenn der Strom im Elektromagneten j ge-
schlossen wird, der Magnetismus in ihm
nicht proportional mit der Zeit wächst. Be-
zeichnen wir mit M den Magnetismus in
dem Eisenkern zur Zeit t und mit M, den
Maximalwert für M, so ist für denselben
Strom

MM en
worin « eine Konstante darstellt.

Da die Ablenkung x der Kathoden-
strahlen proportional M ist, so können wir
die Ablenkung zur Zeit ¢

A= A (1 -— CEA)

Fig. 10.

ansetzen, worin À den Abstand oc bedeutet. Die Geschwindigkeit, mit
der die Kathodenstrahlen abgelenkt werden, ist also

al

h= az = Aae
dt

Die Geschwindigkeit, die am grössten zur Zeit / = 0 ist, nimmt mit
der Zeit ab. Infolge hiervon sind die einzelnen Perioden in Fig. 10
von ungleicher Länge und nehmen gegen c hin ab. Da die verschie-
denen Schwingungen in einer oszilierenden Entladung von gleicher
Periodendauer sind, so reprüsentieren die von der Kurve auf der Linie
oc abgeteilten Stücke mn, np, u. s. w. gleiche Zeiten.

Die Kugeln im Funkenmikrometer wurden nun etwas von ein-
ander entfernt, so dass ein Funke zwischen ihnen auftrat. War die Lange
dieses Funkens kleiner als 0,8 mm, so wurde dieselbe Kurve erhalten
wie vorher, nur mit dem Unterschiede, dass die hintersten Oszillationen
bei « fehlten. Wurde die Funkenlünge darüber hinaus erhóht, so ver-
sehwanden mehr und mehr von diesen Oszillationen, und bei einer Fun-
kenstrecke von ungeführ 2 mm wurde eine Stromkurve von dem Aus-
sehn wie in Fig. 11 erhalten. Hier fehlen alle Oszillationen mit Aus-
nahme der ersten und zweiten.

DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN. 55

Noch in anderer Hinsicht unter-
scheidet sich die Kurve in Fig. 10 von
der Kurve in Fig. 11. In letzterer Kurve
nimmt nämlich die Stromstärke am Ende
der ersten Oszillation schneller ab als in
ersterer. Ebenso beginnt die zweite Oszil-
lation etwas später. Die Stromstärke steigt
hier schneller zu Beginn der Oszillation
und nimmt ebenso schneller ab. Die Lage
für die Maxima und Minima war in bei-
den Kurven die gleiche, auch waren ihre
Amplituden gleich gross. Eine Phasen-
verschiebung bestand also nicht zwischen den Kurven. In Fig. 11
stellt die gestrichelte Linie die Kurve der Fig. 10 dar.

Aus Fig. 11 ersehen wir also, dass die Stromstärke zu Anfang

Fig 11.

und zu Ende jeder Halbperiode während einer gewissen Zeit gleich

Null war, ganz wie beim Wechselstromlichtbogen. Wir haben demnach

auch hier abwechselnd stabilen und labilen Gleichgewichtszustand.

Dürfen wir für den elektrischen Funken, was wohl sehr zu vermuten

ist, ähnliche Formeln anwenden wie für den Lichtbogen, so sollte also

der Übergang von der einen zur andern Gleichgewichtslage geschehen,
| 207 — 0

wenn « 11° — 5
91

Mit zunehmender Funkenlänge wächst der Wert für 7? = und
folglich auch die Zeit des labilen Zustandes. In Übereinstimmung hier-
mit zeigte es sich auch, dass die Zeit, da die Stromstärke gleich Null
war, mit der Funkenlänge zunahm.

Bei der oszillierenden Entladung nimmt die elektromotorische
Kraft & periodisch mit der Zeit ab. Wir können also setzen

ez He“ sin pt.
Wenn
or

UN
a?

"oor 02

kann auf Grund des oben Gefundenen keine Entladung mehr zwischen
den Elektroden des Funkenmikrometers stattfinden. Je grösser die

Funkenlänge, d. h. je grösser i? ar ist, um so weniger Perioden hin-
; 91

56 G. GRANQVIST, DER ELEKTRISCHE LICHTBOGEN,

durch dauert die Entladung, was ja mit dem, was wir oben gezeigt,
übereinstimmt.

Die Stromkurve für den elektrischen Funken zwischen Metall-
elektroden bei diesen Entladungen zeigt also wenigstens qualitativ die-
selben Eigenschaften wie die Stromkurve beim Wechselstromlicht-
bogen, und wir dürfen ihn daher wohl zunächst als einen Wechsel-
stromlichtbogen mit geringer Intensität betrachten.

Die oben gegebenen Untersuchungen über die Bedeutung des
Wärmeleitungsvermögens der Elektroden im Wechselstromlichtbogen
können wir nun in Kürze folgendermassen zusammenfassen.

Im Wechselstromlichtbogen ist der Gleichgewichtszustand ab-
wechselnd stabil und labil. Während dieses letzteren Zustandes kühlen
sich der Lichtbogen und die Elektroden ab. Uberschreitet die Ab-
kühlung eine bestimmte Grenze, so hört der Lichtbogen zu brennen auf.

Je geringer die Energiezufuhr während des stabilen Zustandes
und je grösser das Wärmeleitungsvermögen der Elektroden ist, um so
schneller kühlt sich der Lichtbogen ab, und um so kürzer muss die
Zeit für den labilen Zustand gewählt werden, wenn der Bogen nicht
aufhören soll zu brennen. Das Wärmeleitungsvermögen der Elektro-
den spielt daher bei dem Wechselstromlichtbogen eine bedeutend grös-
sere Rolle als beim Gleichstromlichtbogen.

Physikalisches Institut, Upsala.

Tafel I

Nova Acta Reg. Soc. Sc.Ups. Ser. II.

Re. Grangvist.

Tafel II.

Nova ActaReg. Soc .Sc.Ups.Ser.]II.

G.G ranqvist.

ENERGIE DANS LE SPECTRE VISIBLE
DE L'ÉTALON HEFNER

KNUT ANGSTROM

(AVEC DEUX PLANCHES)

(PRÉSENTE A LA SOcIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'Upsara Le 6 Mar 1903)

Mod 4.4 :

LUC

m»

> A9

"Pr

1. Introduction

On sait que la sensibilité de l'œil variant avec les différentes
longueurs d'onde, il n'est possible de comparer entre elles que les
intensités de sources de lumiere ayant de la méme couleur. Nous som-
mes done réduits, dans les recherches photométriques, à comparer la
lumière de méme couleur ou bien, quand il s'agit de travaux spectro-
photométriques, des intensités de lumiere dans le méme domaine spec-
tral. Cela ne nous donne pourtant pas une idée de la distribution de
l'énergie de la radiation dans le spectre, puisque aucune source de
lumiere propre à servir comme étalon n'est déterminée quant à la
distribution spectrale de son énergie. Malheureusement l'intensité du
rayonnement dans le spectre visible de nos étalons photometriques est si
faible qu'une telle détermination n'a jamais été faite jusqu'ici, bien que
le probléme de la distribution de l'énergie dans le spectre ait été traite
depuis longtemps et que, dans ces dernieres années on soit arrivé à des
résultats de la plus haute portée. Je rappellerai seulement ici les re-
cherches expérimentales si importantes sur la relation entre la radia-
tion, la temperature et la longueur d'onde, faites par PascHEn, LUMMER
et PRINGSHEIM ainsi que les non moins admirables développements theo-
riques de Wren, PLANCK, Lorenz et autres encore. Pour le spectre
infra-rouge, où l'intensité de la radiation est relativement grande, les
formules établies pour exprimer les rapports de l'énergie à la tempe-
rature et à la longueur d'onde, ont été rigoureusement examinées. Les
méthodes expérimentales employées jusqu'iei ont été insuffisantes pour
l'étude du spectre visible.

Il est pourtant d'un double intérét d'étendre les recherches des
spectres d'énergie jusqu'au spectre lumineux. Ce n'est qu'aprés ces

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. 15/5 1903. |

2 K. ÅNGSTRÖM,

recherches qu’on pourra determiner par des mesures photometriques
la distribution de l’energie dans cette partie du spectre. En second
lieu, il nous sera possible de décider si et comment les formules établies
pour «le rayonnement des corps noirs» sont applicables aux spectres
visibles de nos sources de lumiere ordinaires provenant du rayonne-
ment d’un corps solide.

Le but des presentes recherches est de contribuer a la solution
de ces questions. La lampe Hefner nous fournit un étalon qui se
prête bien à la photometrie pratique, et c’est la distribution de l'énergie
dans le spectre de cette lampe que j'ai cherché à déterminer. Je me
suis aussi proposé d'évaluer l'énergie dans la radiation totale de la
«bougie-metre» (Lux) de méme que de donner l'énergie dans le spectre
de cette radiation en mesures absolues. Comme résultat secondaire,
jai obtenu les valeurs correspondantes pour une lampe électrique à
incandescence.

Junius "TuowsEN!) essaya déjà en 1865 à determiner l'énergie
de la radiation lumineuse, ou, comme on la aussi exprime, l'équivalent
mécanique de la lumière, et en 1889 O. Tumuırz?) determina la méme
quantité pour la lampe Hefner. Celui-ci détermina la radiation totale
() en mesures absolues par une espece de thermometre à air et la ra-
diation lumineuse L en supprimant le rayonnement infra-rouge par
l'absorption dans une épaisse couche d'eau. Cette méthode de séparer

le rayonnement lumineux du rayonnement infra-rouge — méthode qui
du reste a été employée méme tout récemment — laisse, on le com-

prend aisément, beaucoup à désirer, le rapport L/Q entre le rayonne-
ment lumineux et le rayonnement total ainsi trouvé étant trop grand.
La valeur de L/Q aura pourtant toujours en une certaine mesure
quelque chose d'arbitraire, comme dépendant du choix de la limite
entre le spectre visible et le spectre infra-rouge. Dans ce qui suit,
nous fixerons cette limite comme cela se fait d'ordinaire à 4 — 7600
unités d ÅNGSTRÖM ou À — 0,76 u.

La lampe Hefner que nous avons employee est une lampe nor-
male de Siemens & Halske, de la forme adoptee par le «Physik. Techn.
Reichsanstalt», de Charlottenbourg, munie d’une disposition pour ajuster
la hauteur de la flamme. Une piece auxiliaire permet de contröler
l'exactitude des différentes parties de la lampe. Le diamètre extérieur
du tube du bec est de 0,82 em, le diamètre intérieur de 0,8 cm, la

1) J. Tuonsen, Pogg. Ann. 125, 348, 1865.
?) O. Tuncırz, Wied. Ann. 38, 640, 1889.
,

ENERGIE DANS LE SPECTRE VISIBLE. 3

hauteur au-dessus du reservoir de la lampe de 3 cm, la hauteur de la
flamme de 4 cm. L’acetate d'amyle employé provenait de la pharmacie
de l'Université d'Upsal. C'est la radiation de cette lampe tombant sur
une surface de 1 cm’ à la distance d'un metre qui constitue l'unité
d'éclairement ou la bougie-metre (Lux) examinée ici.

2. Caractère général du rayonnement de la lampe Hefner.

Les spectres d'énergie des flammes provenant de la combustion
des divers composés hydrocarbonés présentent tous essentiellement le
méme caractere. Par dessus le spectre d'énergie continu des parti-
eules incandescentes du carbone, se posent les spectres des produits
gazeux de la combustion, c'est-à-dire les spectres discontinus de la
vapeur d'eau et de l'acide carbonique. Le rayonnement de la lampe
Hefner ne fait pas exception à cet égard.

Pour donner une idée du caractère general du spectre infra-
rouge de la lampe Hefner, je me suis servi du spectro-bolometre à
enregistrement photographique décrit ailleurs!) En méme temps j'ai
enregistré le spectre d'énergie d'une lampe à incandescence, je l'ai
compare avec le spectre continu de la lampe Hefner et j'ai cherché à
déterminer l'intensité du courant dans la lampe à incandescence pour
laquelle les deux spectres d'énergie sont aussi identiques que possible.
La lampe électrique employée à cet effet et dans les recherches pour
lesquelles je rendrai compte dans ce qui suit venait de la «Bayrische
Glühlampenfabrik» à Münich. Le fil de carbone de cette lampe est
trés mince et maintenu parfaitement rigide par un autre fil de carbone
plus gros en forme d'are. Dans des conditions normales, cette lampe
exige avec une tension de 16 volt un courant de 0,25 amp. J'ai
remplacé le globe de verre de la lampe par un tube fait expres, tel
qu'on le voit fig. 3, Pl. I. Une lame de spath fluor est hermetique-
ment cimentée à l’embouchure A, le tube B contient de l'anhydride
phosphorique et le fil d’incandescence est entouré par un tube cylin-
drique de métal noirci au platine à l'intérieur et muni du cote tourne
vers la fenétre d'une petite ouverture rectangulaire.

La lampe a été alimentée par un courant de huit grands accu-
mulateurs. Le courant réglé par resistance a été déterminé par un
milliamperemetre de précision. Par un miroir concave argenté d'une
distance focale — 67 em, on a projeté l'image de la source de lumiere

') K. ÁwesrRów, Acta Soc. Upsal. 1895. The Phys. Review III, 137, 1895.

4 K. ANGSTRÓM,

à étudier sur la fente du bolometre. La fig. 1, planche I, reproduit
quelques courbes enregistrées du rayonnement, savoir:

a: de la lampe à incandescence avec un courant de 0,25 amp.

b: de la lampe à incandescence avec un courant de 0,21 amp.

c: de la lampe Hefner.

Dés le commencement du spectre infra-rouge jusqu'à environ

4 = 1,50 4, le spectre d'énergie de la lampe Hefner n'est pas troublé
par des bandes d'émission. Dans cette partie, le spectre s’accorde
aussi tres bien avec celui de la lampe à incandescence pour un cou-
rant de 0,21 amp. comme on le voit par le petit tableau suivant, qui
indique les moyennes I de l'intensité obtenues par des mesures de trois
plaques photographiques du spectre de la lampe à incandescence et

I, de cing plaques de celui de la lampe Hefner.
Tableau I
: 1
Dev. À if Ih, IT,
jt 0,90 6,9 7,9 0,875
11035) 0,96 9,1 10,5 0,850 |
1? 10° 1,06 12,2 145 | 0,844
dS is 0/200 00 ET XO NE 20552
12520; 1,33 92,8 DIS 0,830
sy 1,50 2190) - [- S3: 0,846

La distribution spectrale, étant identique dans les deux cas 1/7,
doit être une constante, ce que montrent aussi les nombres inscrits
dans la quatrième colonne.

3. Distribution de l'énergie de la lampe à incandescence et
de la lampe Hefner dans le spectre visible.

Pour déterminer la distribution de l'énergie dans le spectre vi-
sible, j'ai employé la disposition représentée fig. 2, Pl. I. MPM, est un
spectroscope catoptrique à miroir argenté. Comme source de radiation,
je me suis servi de la lampe à incandescence décrite plus haut. Le
fil de carbone étant tres ténu, il n'a pas été nécessaire de munir le
spectroscope d'une fente particuliere, ce qui n'a pas empeche d'obtenir
un spectre assez pur. On obtient ainsi un spectre réel qu'on peut
intercepter en partie au moyen d'un double écran £, mobile perpendi-

ENERGIE DANS LE SPECTRE VISIBLE. 5
culairement au faisceau lumineux au moyen d'une vis mierometrique V.
Les rayons qui passent à cóté de l’ecran sont concentrés en B en
une image unicolore par la lentille cylindrique €. En B on peut placer
un bolometre ou un photometre F. Pour éviter l'influence perturbatrice
de la radiation des parties échauffées de l'instrument, une cuve d'eau
est placée en A.

Un écran E, permet d’intercepter à volonté la radiation émise
par S. Toutes les parties de l'appareil sont montées sur un banc
optique trés solide (de Lütz à Paris), ce qui permet facilement l'ajustage.

Si l'on fait reculer E de sorte que le spectre visible passe inte-
gralement, il est évident qu'on obtiendra en B une image blanche. En
placant en H une lampe Hefner et en remplacant le bolometre B par
un photometre F on pourra régler l'intensité du courant dans la lampe
à incandescence 5, de facon que la lumière de cette lampe en B ait la
méme couleur que celle provenant de la lampe Hefner. L’intensite de
courant nécessaire s'est trouvée = 0,21 amp. et une comparaison spec-
trophotometrique des deux lumieres a aussi prouvé que la distribution
spectrale de l'énergie dans ce eas est la méme, ce qui concorde par-
faitement avec les résultats déjà obtenus dans le spectre infra-rouge.

Ensuite on remplace le photometre par un spectroscope muni
d'une échelle évaluée empiriquement en longueurs d'onde. On fait
avancer l'éeran E et pour chaque ajustage de l'éeran par la vis mi-
crométrique on peut déterminer la longueur d'onde de la limite de la
lumiere qui passe.

Cela fait, on remplace le spectroscope par un bolomètre tres
sensible et l'on détermine la radiation pour différentes positions de
l'écran E. On mesure ainsi l'énergie totale qui se trouve dans le
spectre examiné entre la limite extréme ultraviolette et une certaine
longueur d'onde déterminée par la position de l'écran, c'est-à-dire

À
À I,di. Ces valeurs sont désignées par L ou L; dans ce qui suit.
Le rayonnement qui passe à côté de l'écran et qui produit l'in-
dication du bolometre n'est évidemment pas tout à fait pur, il est
mélé de lumière étrangère, c'est-à-dire de lumière qui aurait du etre
interceptée par l'écran. Voici comment j'ai procédé pour corriger les
erreurs causées par cette lumiere étrangère.
Un spectroscope muni de la double fente Vierordt et d'un dia-
phragme rectangulaire, introduit dans le plan focal de l'oculaire, fut
placé de sorte que l'ouverture de la fente se trouvat en B (fig. 1), ou

6 kK. ÅNGSTRÖM,

la moitie de cette fente recevait la lumière de la lampe à incandes-
cence et l’autre moitié celle de la lampe Hefner, qui servait de source
de lumiere comparative. On determina alors l'intensité de lumière dans
diverses parties du spectre, l'écran E étant complètement reculé, puis
l'intensité dans les mêmes parties pour différentes positions de l'écran.
On obtint ainsi le rapport entre la lumiere etrangere et la lumiere
dans le spectre primitif pour différentes longueurs d'onde et différentes
positions de lécran. En introduisant les valeurs trouvées pour L
comme ordonnees et les longueurs d'onde comme abscisses, on obtient
une courbe par laquelle on peut, avec une exactitude suffisante pour
notre but, construire geometriquement la courbe ordinaire de l'intensité

as dL :
I, la tangente de la premiere courbe ( =| donnant directement I. Ad-
di.

mettons que abc (Fig. 4, Pl. I) soit la courbe ainsi trouvee et que
l'écran E intercepte le spectre en 4. A laide des determinations pho-
tometriques citées plus haut, nous pouvons tracer la courbe représen-
tant l'intensité de la lumiere étrangère dans la partie ombragée 4, 4. Le
rapport entre la surface bei, et «bà, donne évidemment le terme de
correction pour la lumiere étrangère, correction qu'il faut soustraire de
la valeur primitive de L.

La correction dont il s'agit ici a été assez insignifiante, savoir
à la position de l'éeran

A= PT ONT 1590/9
207659 1,4 9/o
0,60 u (ee hy.

Laissant de côte les déterminations assez nombreuses de nature
préliminaire, je donnerai dans les tableaux suivants sous L, quelques-
unes des séries d'observations les plus süres, düment corrigees pour
la lumière étrangère, Chaque valeur de L, est la moyenne de 6 à
10 determinations.

Tableau II
| j= 0203 te = MON i-0930 L 259918
A i b. *1| ee —
L, Joes MO? JEn ers NO) Jb, MINE OP Diy IL, es ME |

0,752 65,2 | 47,7 61,4 | 45,0 41,0 | 30,2 | 97,2 | 20,0
0,690 39,1 24,9 30,6 99.5 90,0 | 147 19:3: 2941
0:636 Wigs) IO 16,9 11,9 9.9 763 6,2. | 4G
0,556 5,5 4,0 1,9 3,6 9 Qe Di ad | 1:3) |
0,480 1,2 0,9

= Es = — | (0,34)| (0,25)

ENERGIE DANS LE SPECTRE VISIBLE.

~

Tableau III

0955 | 2-202110)
| A — — A — —
L, L x 108 | L, L x 108
|
| ae els ES ON NO eo 20,9
0,695 34,5 25,4 | 0,730 20,5 | 149
Dal |) 18.8 13,8 | 0,700 | 142 10,3
Day | 10,7 | 7,9 | 0,670 eu. 7,0
0,563 6,0 4,4 || 0,645 | 7,0 5
dasse a5 is us | 0,600 | 36 2.6
| 0509 | 23 17 || 0,553 21 15
Mousse | 1,3 10 | 0,529 1,1 0,8
|

|
| ; | ED E

Les valeurs introduites sous L,, sont les indications du galvano-
metre et ne donnent ainsi que la distribution relative de l'intensité dans
le spectre. Les valeurs sous L x 10° donnent le rayonnement en gr.
cal. par sec. et par em?. Pour déduire les unes des autres, il est né-
cessaire de connaitre la valeur absolue de Z pour une certaine lon-
gueur d'onde.

4. Détermination en mesures absolues du rayonnement
de la lampe Hefner.

Pour réduire les déterminations relatives en mesures absolues,
jai d'abord determine le rayonnement total Q de la lampe Hefner à
l'aide du pyrheliometre de compensation électrique de mon invention!)

40,76

et ensuite le rapport du rayonnement lumineux au rayonnement total.

Ainsi j'ai obtenu L,;, apres quoi il est facile de transformer les autres
valeurs de L en mesures absolues?).

a. Détermination du rayonnement total.

Le pyrheliometre employé a cet effet était un tres bon instru-
ment avec toutes les perfections dues à l'expérience. Les bandes ab-
sorbant la chaleur étaient de manganine et d'une largeur de 0,1497 em,
la résistance était de 0,0815 ohm par em. Ces valeurs m'ont permit

de déterminer la constante k de linstrument = 0,1314 et j'ai obtenu

1) K. Anasrrim, Acta Soc. Upsal. 1893. The Phys. Rev. I, 365, 1893.

ORT

?) Voir la note preliminaire: K. Anssırön, Phys. Z. S. 3, 257, 1902:

8 K. ANGSTRÓM,

lintensité du rayonnement en connaissant celle du courant électrique
compensateur par l'équation:
. OT 3a
0 ke 8 eme
see. x cm?

L'intensité du courant i a été déterminée par un amperemetre
de précision de Siemens & Halske. L'égalité de la temperature des
deux bandes a été indiquée par un galvanometre à miroir d'une grande
sensibilité.

Les déterminations ont été faites à deux distances differentes de
la lampe, savoir à 100 cm et a 50 cm.

Voici le résultat pour une distance de 100 cm:

la bande droite du pyrheliometre étant éclairée i = 0,0127 amp.

» » gauche » > » > i = 0,0128 >»
IAM A S ues er. cal.
dou Q,,, = 0,1314 . (0,01275)* = 050000214 ©

sec . cm”
Pour la distance de 50 cm on a trouve:
la bande droite du pyrheliometre étant éclairée i = 0,0253 amp.
>> gauche » > > » i = 0,0259 »
d'où
gr. cal.

Q,, = 0,1314 . (0,0256)? = 0,000086 —— "=
sec. ¢m

Si, par la derniere détermination, on calcule le rayonnement pour
une distance de 100 cm on obtient évidemment:
er. eal.

Qo) = 0,0000215

see . em

par consequent en bon accord avee la valeur precedente.

Nous avons done ainsi determine le rayonnement total de la
bougie-metre.

b. Détermination du rendement photogénique L/Q.

Pour déterminer le rapport entre le rayonnement lumineux et le

rayonnement total, on se sert de la méme disposition que celle qui .

a été décrite plus haut (chapitre 2). L'écran E a été ajusté pour
4= 0,764, de manière à n'intercepter que le spectre infra-rouge; on a
place en B le photometre F et en H (voir fig. 2) une lampe Hefner.
Le photometre (fig. 2, F) se compose tout simplement d'un prisme

F

ENERGIE DANS LE SPECTRE VISIBLE. 9

rectangulaire de craie P enfermé dans une petite boîte noircie, avec
trois ouvertures circulaires, deux en face l'une de l'autre pour le pas-
sage des faisceaux de lumière à examiner et la troisième pour observer
l’eclairement des deux moitiés du prisme. On ajuste la lampe Hefner
pour que l'éclairement des deux côtés du photometre soit uniforme.
Dans ce eas, le photometre reçoit d'un côté le rayonnement total de la
lampe Hefner, de l’autre seulement la partie lumineuse. En rempla-
cant le photometre par un bolometre sensible par lequel on mesure
l'intensité des deux faisceaux physiologiquement identiques on obtient
done la valeur L/Q.

Comme moyenne de quatre déterminations faites à différentes
occasions j'ai obtenu

L/Q = 0,0096 .

Cette détermination s'est heurtée à de grandes difficultés, le
moindre défaut dans l’ajustage de l'écran causant d'assez grandes
erreurs dans le résultat; je crains que l'erreur de la valeur L/Q don-
née ci-dessus ne s’eleve jusqu'à 4 ?/».

Q et L/Q étant connus, on en déduit L pour 4 = 0,76. Nous
obtenons donc

Lars = 0,0096 x 0,0000215 =

0m 10 Enea.
see . cm?
C'est de cette valeur de L,; qu'ont ete deduites les valeurs
L.10° introduites dans les tableaux II et III.

5. Le rayonnement dans le spectre lumineux de la lampe Hefner
exprimé comme fonction de la longueur d’onde.

On pourrait bien a priori admettre comme probable que la distri-
bution spectrale de l’energie du rayonnement, tant de la lampe à in-
candescence que de la lampe Hefner, trouve, par un choix convenable
des constantes, son expression dans les formules donnees pour le
‘ayonnement des corps dits absolument noirs. Pour le spectre visible
ou les longueurs d'onde sont relativement petites, la formule de Pranck

(1) r= Cal ci)

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. !9/s 1903. 2

10 K. ÅNGSTRÖM,
et celle de Wren

(2) TTC en

conduisent au même resultat dans la pratique. Cette derniere étant un
peu plus simple, jai essaye d'y determiner les constantes C, et c, de
sorte que la formule représente les observations aussi bien que possible.
Ce n'est pourtant pas l'intensité I qui a ete l'objet de nos observa-
tions, mais:

^A À _ 60
; = scm E
(3) Ly = I, dh = C, | A e di 5

w

‘0 0

La temperature 7 pouvant étre regardee comme constante dans

nos sources de lumiere, on peut remplacer c,/T par une constante c,
d'ou l'on obtient par integration

4 3 2 \3
y € \ C % € (GNT a [C\ a |
(4) i iG) a 3 (©) 6 (5) 6!
i À À
Des valeurs de L directement observées on a déterminé par
interpolation les moyennes pour 4 = 0,50, 4 = 0,55, 4 = 0,60, 4 = 0,65 et
4=0,75. Suivant la méthode des moindres carrés, j'ai déduit de ces
valeurs les constantes C, et c à l'aide de valeurs approximatives. Ce
calcul a donné pour résultat:
C, = 0.0160

-

C= 1585).

Le tableau suivant indique les valeurs observees et les valeurs
calculees avec leurs differences.

Tableau IV

L x 108 |

A - — | Obs.—Cale.| I x 10"
Obs. | Cale. | |

0,75 | 1837. 18,46 + 0,24 19,26
0,70 10,4 10:67, | — 0:27 12,83
0,65 5,44 5,46 | — 0,02 7,85
0,60 2.61 9 54 «P 39910 4,98
0,55 iii C E GI + 0,20 202 |
0,50 0,34 0,30 |. 0:04 0,78

ENERGIE DANS LE SPECTRE VISIBLE. 11

On le voit, les ecarts entre le calcul et les observations ne pa-
'aissent pas dépasser les limites des erreurs d’observations. Par suite
on peut, avee le degré d'exactitude que permettent les expériences,
exprimer l'intensité d'une certaine longueur d'onde dans le spectre
visible de la lampe Hefner par la formule:

(5) I, = 0,0160 4e

La dernière colonne du tableau précédent donne les valeurs de
I calculées suivant cette formule. Les formules (4) et (5) sont gra-
phiquement representees sur la Pl. II, celle-ci par la courbe désignée
par /, l'autre par celle marquée par L. La première donne immedia-
tement l'énergie entre deux iongueurs d'onde A, et 4, par la différence
entre les ordonnées correspondantes. La courbe / est une courbe
ordinaire d'intensité.

Par une methode photométrique, PAscHEN et WaxxER ont déter-
mine la constante c, dans la formule (2) pour la radiation d'un corps
absolument noir!) et ont trouve c, = 14440. Comme dans la formule (5)

C , . ,
nous avons c = 7,85 = T . nous pouvons determiner la temperature

absolue d’un corps noir émettant une radiation égale à celle de la
lampe Hefner. Nous obtenons donc

T = 1830°.

Cette valeur est aussi en bon accord avec les determinations de
LuwwER et PRINGSHEIM*) qui partant de la loi de PASCHEN

"dre “Const
ont déterminé 7 pour diverses sources rayonnantes en supposant que
leurs constantes sont comprises entre 2940 et 2630, valeurs trouvées
pour les rayonnements respectifs du corps noir et du platine. Pour
une bougie, dont les conditions de rayonnement semblent se rapprocher

le plus de celles de là lampe Hefner, on obtient

d t = 1960 * Mn = 1750.
1) PascHhen und Wanner. Sitzungsber. d. k. Akad. d. W. Berlin 1899.
?) Lummer und Prinesuem. Verhandl. d. deutsch. Phys. Ges. III, p. 37. 1901.

12 K. ANGSTROM, ÉNERGIE DANS LE SPECTRE VISIBLE,

Jai aussi cherché de déterminer la constante c pour la lampe
à incandescence alimentée par un courant électrique de 0,253 amp.,
jai trouvée c = 7,24 en mettant C, = 0,0160 comme dans ce qui pré-
cede. Les courbes correspondantes L, et I, sont aussi représentées sur
la Pl. II avec les valeurs observées, ce qui permet de comparer les
valeurs observées et les valeurs calculées,

La temperature, dans le dernier cas, correspond à 20002,

Nos recherches montrent done que la loi de Wien représente
tres bien la distribution de l'énergie dans le spectre lumineux de la
lampe Hefner et de la lampe à incandescence.

Apres avoir ainsi déterminé en mesures absolues le rayonne-
ment et les constantes dans la formule de Wien pour la lampe Hefner.
il est facile de déterminer photométriquement l'énergie du rayonnement
et sa distribution dans le spectre visible d'une source rayonnante quel-
conque avec une exactitude suffisante pour diverses questions. Il
suffit pour cela de comparer la source de lumiere en question et la
lampe Hefner pour une certaine partie du spectre 4 — 4,. La con-
struction graphique (la courbe L, Pl. II) permet de trouver avec facilite
l'énergie dans cette partie du spectre par la difference entre les ordon-
nées correspondantes.

Il est clair que les présentes recherches sont d'une nature
préliminaire. I est par exemple évident que les bandes qui dans le
spectre visible de la lampe Hefner se superposent sans doute au-dessus
du spectre continu, produisent des écarts, si petits qu'ils soient, de
la loi de rayonnement d'un corps noir. J’espere pourtant que ces résul-
tats seront d'une certaine importance pour l'étude des sources de lu-
miere faible, de certains phenomenes de luminiscence de méme que
pour la physiologie optique.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II. ela

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UBER DIE BAHN

ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL

VON

ÖSTEN BERGSTRAND

(MITGETEILT DER KÖNIGL. GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU UPPSALA AM 6 Nov. 1903.)

UPPSALA 1904
DRUCK DER AKADEMISCHEN BUCHDRUCKEREI
EDV. BERLING.

Inhalt.

Die Normalgleichungen und ihre Auflösungen
Entwickelung der Störungsausdrücke
Ableitung der Endresultate

Berichtigung.

S 117 (6. Ties! 279-75) statty 22036:

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pr.

Einleitung.

Die beiden inneren Uranussatelliten, Ariel und Umbriel, wurden
von LASSELL im Jahre 1851 entdeckt. Sie sind bedeutend lichtschwä-
cher als die beiden älteren, Titania und Oberon. Überhaupt sind Ariel
und Umbriel zu den schwierigsten Objekten des ganzen Sonnensystems
zu rechnen. Im Zeitraume von der Entdeckung bis 1894 liegen auch
recht spärliche Beobachtungen über diese Satelliten vor. Von dem
genannten Jahre an hat man aber auf der Licksternwarte in fast jeder
Opposition schöne Beobachtungsreihen an denselben angestellt, die die
älteren Messungen an Genauigkeit übertreffen.

Die einzige bisher ausgeführte Bestimmung der Bahnelemente
dieser beiden Satelliten ist meines Wissens die von Herrn Newcoms
in der Abhandlung »The Uranian and Neptunian Systems» |) veröffent-
lichte. Die zu Grunde liegenden von Herrn NEwcomB in den Jahren
1874—75 ausgeführten Beobachtungen haben eine Bestimmung der
Excentricitäten nicht gestattet, und die Bahnen sind als rein kreisför-
mig angesetzt worden. Auch konnte Herr NEwcows keine merkbare
Abweichung der Bahnebenen der vier Satelliten von einander kon-
statieren.

Da die in den letzten Jahren ausgeführten ziemlich zahlreichen
Beobachtungen der Lasserv’schen Satelliten einer Bestimmung der
Excentricitäten günstig sind, habe ich eine Bearbeitung des ganzen
mir zugänglichen Beobachtungsmaterials für nützlich gehalten. Ich
habe dabei in erster Linie die Ableitung der Excentricitäten und der
sekularen Bewegungen der Apsiden beabsichtigt. Leider sind die vor-
handenen Beobachtungen zur Bestimmung der Lage der Bahnebenen
nicht gut geeignet, und ein recht langer Zeitraum wird vergehen, ehe

!) Washington astr. and meteor. Observations 1873, Appendix I (Washington 1875).
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. 81 1904. I

2 ÖSTEN BERGSTRAND,

man zu einer solchen Bestimmung wird schreiten können. Es ist zu
hoffen, dass der neulich von Herrn H. Srruve gemachte Vorschlag
zur Beobachtung dieser interessanten Satelliten!) in der nächsten Zeit
realisiert werden wird. Dadurch werden ohne Zweifel unsere Kennt-
nisse von dem Uranussysteme sehr erheblich bereichert werden.

Im Folgenden teile ich die Resultate meiner Untersuchungen
betreffs Ariel mit.

1) Publications of the Astr. Soc. of the Pacific, Vol. XV, N:r 91.

Vergleichung der Beobachtungen mit den Newcoms schen Tafeln.

Herr NEwcomB hat in seiner oben citierten Abhandlung Tafeln
der Uranussatelliten mitgeteilt, welche auf die von ihm abgeleiteten
Bahnelemente gegründet sind. Ich habe meine Untersuchung derart
angeordnet, das ich die Beobachtungen mit den Newcome’schen Tafeln
verglichen und die Elementenverbesserungen aus den Abweichungen
abgeleitet habe.

Die von mir bearbeiteten Beobachtungen sind in der nachstehen-
den Tabelle zusammengestellt. Dabei habe ich alle mir zugänglichen
Messungen berücksichtigt, ausser einigen offenbar fehlerhaften, die aus-
geschlossen worden sind. Alle Beobachtungen, die nicht als Mes-
sungen, sondern als blosse Schiitzungen bezeichnet sind, habe ich un-
berücksichtigt gelassen. Als solche Schätzungen habe ich diejenigen
der von Lassezz im Jahre 1852 angestellten Beobachtungen, die nicht
mit genauen Zeitangaben versehen sind, ansehen zu dürfen geglaubt,
obgleich sie im Originale nicht ausdrücklich als Schätzungen bezeich-
net sind. — Alle bisher ausgeführten Messungen dieses Satelliten sind
mikrometrische Bestimmungen der Distanzen und der Positionswinkel
in Bezug auf das Centrum des Planeten.

Die Beobachtungsepochen sind in der Tabelle in Washingtoner
mittlerer Zeit angegeben worden.

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1) Monthly Not. of the R. Astr. Soc., Vol. XIII, N:r 5 und Astr. Nachr., N:r 852.

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1) M. N. of the R. A. S., Vol. XXIV, N:r 9.

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2) M. N. of the R. A. S., Vol. XXXV, S. 300.
3) Washington astr. and meteor. Observations 1874.
^) Washington Observations 1875.
5) Washington Observations 1876.

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL.

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1) Washington Observations 1876.

?) Washington Observations 1877.

?) Washington Observations 1878.

*) Washington Observations 1879.

5) Astr. Nachr., Bd 98, S. 25.

°) Washington Observations 1881.

7) Bulletin astronomique, tome I, p. 178.
8) Bulletin astr., t. I, p. 329.

5

1) Bulletin astr., tome IV, p. 339.

?) Astr. Journal, Vol. XVI, N:o 10.

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1) Astr. Journal, Vol. XVI, N:o 10.
2) Astr. Journal, Vol. XVIII, N:o 1.

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1) Lick Observatory Bulletin, Vol. I, N:o 17.
2) Astr, Journal, Vol. XVIII, N:o 1.
*) Astr. Journal, Vol. XIX, N:o 10.

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| 256 » 10 170455 14,37
| 257 > LE 13 27,5 298,00 | SEE?)
1) Astr. Nachr., Bd 151, N:o 3607.
2) Lick Observatory Bull., Vol. I, N:o 7.
3) Astr. Nachr., Bd 159, N:o 3806.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. ?/r 1904. 2

ÖSTEN BERGSTRAND,

| l

Nir M. Z. Washington p | s Beobachter

| I
258 | 1901, Mai 14 | 1342776 | 148100) Ser!)
259 » a | 13) 6,5 | 14,58 | »
260 | MENTON EE SO | »
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263 > 98. | 12) 15:8 86,55 | | »
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1) Astr. Nachr., Bd 159, N:o 3806.
2) Lick Obs. Bull., Vol. I, N:o 7.

oe Ze

UBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 11

Den Newcoug’schen Tafeln liegen die folgenden Bahnelemente
zu Grunde:
a= 13”,78
CASIO). c. oh
759,14 | Aquin. von 1850,0)
up = 229.96 (Epoche 1871, Dec. 31,0 M. Z. Washington)
UE 2920388:

I

Dabei bedeuten « den angularen Radius der Bahn in der mitt-
leren Entfernung des Planeten, £2, und 7, die Länge des Knotens und
die Neigung bezüglich des Aquators, w, die Länge des Satelliten in
seiner als kreisfürmig angenommenen Bahn, vom Knoten aus gerech-
net, und U die Umlaufszeit. Die Bahnebene ist als für alle vier Satelliten
gemeinsam angenommen worden.

Die Distanzen s und die Positionswinkel p werden mittels der
Formeln

HR
| s sin p = j f sin (u, + A)

R ; =
| S COSP = : g sin (u, + G)

abgeleitet, wo 4 die Entfernung des Planeten von der Erde und R den
angularen Halbmesser der Satellitenbahn, in der Entfernung 1 gesehen,
bedeuten. Der Wert von wu, ist für eine beliebige Epoche von 1784
bis 1960 aus den Tafeln sehr bequem zu entnehmen, und die Gróssen
F, G, log f, logg sind mit der scheinbaren Rektascension des Plane-
ten als Argument für den Umlauf von 1843 bis zu 1927 tabulirt.

In der folgenden Tabelle gebe ich die wegen Lichtzeit reducirte
Washingtoner M. Z. und die nach den NEwcowp'schen Tafeln berechneten
Werte von p und s an. Mit 4p und 4s bezeichne ich die Differenzen
zwischen den beobachteten und den berechneten Werten, und zwar
im Sinne Beob. — Rechn. Die in Bogensekunden transformierten Werte
von 4p sind nach der Formel

Ap” = s. sin 1°, 4p
berechnet worden.

Für die von Herrn Hussey ausgeführten Messungen und für die
ArrkEN schen. Messungen aus den Jahren 1899—1901 sind die Ver-
gleichungen mit den Newcome’schen Tafeln bereits in den Originalmit-
teilungen ausgeführt. Für diese Beobachtungen habe ich deshalb die
Werten von p,s zu berechnen nicht nótig gehabt.

ÖSTEN BERGSTRAND,

tA,
=

© 00 -1 Où À $5 t2 E

| 1874, Jan.

Red. M. Z. Washington

1552 cp:

»

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1853, Jan.

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1863, Dec.

1864, Febr.

März
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1873, Jan.

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| 1875, Febr.

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1876, Jan.
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398,60 |
|
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163,77
351,95
186,15
336,73
341,51
198,9

178,9

350,6

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195,0

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46 |

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|

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13,65

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+ 0,04
— 01a

0,00
— 0,08

+ 0,27
+ 0,36
+ 0,22

— 0,06

— 0,54

= 0770

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 13
| |
N:r | Red. M. Z. Washington | p (ber.) | s (ber.) | 4p ap | 45
| | | |
46 | 1876, Febr. 18 7u,57m 15",00 | | + 0”,15
47 IS 897 20 5 a0 066 |
48 Mirz 3| 7 59 173,2 — 0,5 = 0,12 |
49 ro sas 13,12 | 1 = "0,95
50 4 8 9 11,6 = er
51 9 6 56 18,0 03 220.08
52 9 Dee 14,45 | + 0,04
53 13 5 47 185,9 5314 0,89
54 » 18 6 4 | 14,96 0,15 |
55 14 6 21 23,9 | xb (0:9 + 0,05
56 14 | 6 49 13,85 | | 0,13
57 2240 T 349,8 | — 2,2 | - 0,51
58 22.316443 12,84 | | — 0,34
59 » 23 5 50 191,3 | NECS 039
60 230) rte | 14,88 | + 0,04
| |
61 | 1877, Apr. 5 6 40 193,5 HE + 1,49 |
| |
62 | 1878, Dec. 25 | 7 25 8,8 +10,9 ze OS |
63 | 1879, Apr. 6| 6 57 190,6 = Ou = PH
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|
65 | 1880, März 20 Or 12,9 202 + 0,05
66 | » 20| 847 15,02 + 0,13
67 | 3: 9X 9 5 11,9 + 1,8) + 0,34
68 Apr. 8 6 54 191,5 = SM = nr)
69 SES 7 15 14,70 = Sp)
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72 » 16 5 51 14,94 | + 0,60
73 Mai 25 6 1 14,8 + 0,4 + 0,10
74 | » 95 0857 14,50 | = O08
75 | 1884, März 17 3 40,0 13,86 + 0,08
76 | Seel 3254 191,1 — 8,9 — 0,95
di | » 21| 4 20,5 15,06 = ie
78 Apr. 23 | —t 13,1 13,76 Sia
79 | 930, ln 26,6 19,8 = di — 0,40
80 | 25 3 53,8 | 12,62 = Ay
81 | » 95 LE LT 10,1 = dL = O25
82 | » 98 1 37,5 14,05 — 0,03
83 | » 28 1 50,6 19,1 + 1,8 + 0,44
84 | Mai 23 1 54,0 14,69 — 0,20
85 | » 23 2 6,8 14,8 | s OF + 0,93
86 | 28 | 2 31,2 14,55 + 1077
87 | 28 2 42,9 14,5 = 18 0:33
88 | 1887, Apr. 19 1 47 14,69 + 0,34
89 Mai 17 | 1 18 14,20 | — 0,39

14 ÖSTEN BERGSTRAND,

|
N:r Red. M. Z. Washington p (ber.) s (ber.)
|

90 | 1887, Mai 17 1^.46m 240.93
91 X 1 13 | 14",38
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96 » 93 2 12 188,22 |
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99 Juni 11 1 46 14,78
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131 | 1895, März 31 | 15 15,0 | 5,6
132 > 1581. 9615291729) 14,75
133 » 31 15 26,0 | 14,75

| 134 Apr. 8 | 15 42,8 69,8
135 » 8 15 49,3 13,27
136 Sn del 1553-0 13,27
137 5 O88) | i LO |) TES

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 15

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N:r Red. M. Z. Washington p (ber.) s (ber.) Ap ap 4s
138 | 1895, Apr. 29 1528208 14,88 0",54
139 SIE ar 70 14,89 + 0,28
140 | Mai 5 13 14,9 3179,9 09.9 04209
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142 5 | 13 27,8 14,05 — 0,28
143 » 6| 12 42,6 94,2 1,8 + 0,41
144 Gr 197493 12,99 + 0,29
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16

ÖSTEN BERGSTRAND,

Red. M. Z. Washington

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UBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 157
N:r Red. M. Z. Washington p (ber.) s (ber.) dp Ip 4s |
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278 a 7 52,7 14,52 | - 0,46 |
279 Soule ti ME | | = |
280 » 5 ibl 6 | + Sl 0,77 I
281 » 9 7 32,8 14,50 O75) |
282 » 10 6 58,7 88,85 | 412,46 3,14

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser, III.

Impr. #1 1904.

e

18 ÖSTEN BERGSTRAND,
Nix | Red. M. Z. Washington p (ber.) s (ber.) 4p

|
283 | 1901, Juli 10 (FANA 14,46
284 » 14 10 10 | + 028
285 | OM no 310)
286 » 15 6 22,9 800,05 + 1,35
287 » 15 6 23,0 14,39
288 > 2 6 20,3 14,25 |
289 | 3 9f 6 20,4 216,68 = 895
290 | Aug. 2 6 14,9 130,03 — 3,39
291 eG) Te 14,32
292 20 500 CRT 194.18 +11,09
293 | > fi G ieee 14,22
294 | oa! 266,60 + 0,87
295 Sal Has 14,16 |
296 > ali 5 45,5 14,10 |
297 SG ee 253,20 + 9,50
298 | » 18 5 47,4 14,01
299 » 20 5 38,6 177,35 IS
300 | » 20 | 5 38,6 13,96

II.

Aufstellung der Bedingungsgleichungen.

Zur Ableitung der Elementenverbesserungen habe ich im allge-
meinen die Beobachtungen für jede Opposition des Planeten besonders
bearbeitet. Man kann da die mittlere Bewegung des Satelliten als für
eine Opposition genau genug bekannt voraussetzen, und hat die Kor-
rektionen von sechs Elementen zu bestimmen. ;

Bei der Berechnung der Differentialquotienten der Positionswinkel
und der Distanzen in Bezug auf diese sechs Elemente diirfte die von
MamrH!) gegebene Methode vielleicht im allgemeinen die bequemste
und einfachste sein. Wenn ich mich trotzdem der von BESSEL in seiner
Abhandlung »Bestimmung der Bahn des Hugenischen Saturnssatelliten»?)
gegebenen Formeln bedient habe, so geschah dies aus folgenden Grün-
den. Einerseits wird die Anwendung der Besserschen Methode hier
durch die Einrichtung der NewcomBschen Tafeln erleichtert, und ande-
rerseits hat v. AsrEN die Bessezsche Theorie vereinfacht und ihr eine
modifizierte Form gegeben, die in diesem Falle sehr anwendbar ist”).
Die Herleitung dieser Formeln, deren auch Herr Newcoms sich bedient
hat, will ich hier als bekannt voraussetzen. Sie gelten nur für den
Fall, dass man von cirkularen Elementen in elliptische übergeht.

Die Grössen f, 9, F, G seien durch die folgenden Formeln be-
stimmt:

*) Marte, Researches on Satellites (Astr. Nachr., N:r 1040—1042); auch in Monthly
Not. of the R. Astr. Soc, Vol. 47, N:o 6.

2) Astr. Nachr., N:r 193.

5) v. Asren, Resultate aus O. v. Srruve’s Beobachtungen der Uranustrabanten (Mém. de
l’Acad. imp. des Sciences de S:t Pétersbourg, VII* série, tome XVIII, N:o 5.)

20 ÖSTEN BERGSTRAND,
Rene — mnm
pcos BL cosiie = reas
—cos(e 2) sind)

g Sin G =
— sin (a 2) sind cost) 1 cosid sm.

|

g cos G=

wo a, 0 die scheinbare geocentrische Rektascension und Deklination

des Planeten sind. Ferner hat man:

| s sin p = ^ a f sin (4, + F)

Ad . ; =
| S cos p = e ag sin (u, + G) ,

wo d, die mittlere Entfernung des Planeten von der Sonne bedeutet.
Die übrigen Bezeichnungen haben dieselbe Bedeutung wie in dem vor-
KPA > .. B . B . L)

igen S. Für die Differentialquotienten hat man die folgenden Aus-

e

drücke !):

Op 1 an
2 2) | f eos (u, + F) cos p — g cos (wu, + G) sin P|

s— = a
du, 4
Op Co | : ;
Br S 'OS D S DICO
um zy Ol SMU COSS (a — £2,) eos ?, +
COS COS Deos (cn) —
— sin u, sin p cos (« — 2,) sin d eos 1, +
+ cos «t, sin p sin (ec — €, )sin »|
op a : gu
BE esed a| Sin «cos p cos) (unis
01, A
— sin #, sin p cos À eos à —
— sin #, sin p sin (a — 2,) sin 9 sin i|
ap
0 a

1) Ich möchte bei dieser Gelegenheit darauf hinweisen, dass Herr Newcowe seine
Rechnung unter Anwendung etwas fehlerhafter Ausdrücke für die Differentialquotienten in

Bezug auf i, durchgeführt hat (The Ur. and Nept. Syst, S. 17).

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 2I

er | f cos (u, + F)sinp + g cos (u, + G) cos |

ou, A
95 (s. Pace : :
1 : ; O 7
Xk ou a| sin «, Sin p sin (« — S2,) COS tj +
a Z
+ cos 4, sin pcos (a — 2.) +
+ sin «, eos p cos(¢ — 2.) sind cos ?, —
— COS u, cos p sin (« — £2.) sin »|
0s a : ; m1
Een en al sin %, sin p cos (a — 2,) sin à +
dt, A
+ sin 4, eos p cos 9 cos à +
+ sin u, cos p sin ( «— £2.) sin d sin i|
ds Oy le let E: Are S
ep f sin (m + F) sin p + g sin (u, + G) cosp| = 21

Wir bezeichnen ferner mit e die Excentricität der Satellitenbahn
und mit «cv, den Abstand des Periuraniums vom Knoten dieser Bahn
mit dem Erdáquator, im Sinne der Bewegung gerechnet. Wenn man
dann
| £ = e sin a,
|

7] = (GCOS;

ap c 0»
pe = 2 COS ,.- Be
as du,
0p GY 0p
CPAM Sn: CP
07 gu,

S . 0s c HS: 0s
DN =—a@sinu, .— —2 cosu, .——
0s 94 Uy

s 0s : às
P MENS ES BAS IT >,
07) dd du,

Für die numerische Rechnung habe ich das folgende Formelsy-

stem zusammengestellt:

bo
bo

OsTEN BERGSTRAND,

k = sin u, sin p

| = sin u, cos p
m — COS u, sin p
N = COS u, COS p

a :
Ves Sn Ie
A 3

i

[1] = sin (a — £2,)
[2] = # cos(a — 9)
[3] = [1] sin 9
[4] = [2] sind
[5] = [3] eos 4, — 4 cos d sin i,
[6] = [9] sin à + « cos 9 cos i,
A, = — [4]. E + [1] - 1 4- [5]. m + [2] eos 2, - m
B,= [eos kr [t] eos d 7-53] mp]

eG = EN PAS 1:5

D == 2A Tease

qo = cA sın da, >
Ar 1 [11.22 14]. 2 eos tm len

B,=-+ [1] eos 4; - & + [£]eos 4 .1 + [2] m [8] =n

Q, = — [2] sin % -& + [6] 2

D, =—2 A, cosu, —s sin 1^ sin

HA, sin, —'ssin 1" 60s a,

pc

a

Die Bedingungsgleichungen für die Bahnverbesserungen erhalten
dann die folgende Form:

A, AU Bd OC A Dee = dp”
Agi AU LB Or SAUCE DÉC Bm a ANS a

Dabei sind 4u,, 42,, 4i,,£,n in Graden, 4a aber in Bogen-
sekunden ausgedrückt.

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL 23

Die Werte von «,0 und log 4 hade ich dem »Nautical Alma-
nae» entnommen. — Die Grössen [1], [2],... sind grösseren oder
kleineren Gruppen von Beobachtungen gemeinsam; ihre Werte sind in
der folgenden Tabelle zusammengestellt:

Nr [1] [2] [3] [4] [5] [6]
| | ar
I diem. dS = Oaks 0,16 0:04 | = 004 | — 0.94 | + 0,09 |
9— 15 08 EX) X116) 0,04 — 0,04 — 0,24 + 0,02
16— 21 — 0,24 + 0,02 | — 0,09 + 0,01 — 0,24 —
99— 93 | — 0,16 | + 0,20 0,05 | + 0,07 | — 0,24 | + 0,01
| 94— 32 | — 0,15 + 0,21 0,05 + 0,02 | — 0595 | = 001
SO 20,142 720,222 00,027 0,0727 0,252 70:01
41— 47 — 0,11 + 0,94 0,03 20:07 — 0,25 + 0,03
A (640) | ae NN QoS |) = OKO | =) =
61 — 0,10 + 0,24 | -- 0,09 + 0,06 1027 + 0,05
62— 64 — 0,05 + 0,95 0.01 + 0,05 — 0,24 + 0,06
65— 70 — 0,04 + 0,26 -0,01 + 0,04 0:25 006
71— 74 | — 0,02 + 0,26 0,00 | +0,04 | — 0,95 + 0,07 |
i587. + 0,04 + 0,24 0,00 | + 0,01 — 0,23 + 0.06 |
ss—102 | + 0,10 | : + 0,24 0,00 | — 0,01 — 0,25 | + 0,07 |
103—191 | + 0,22 | + 0,15 | — 0,06 | — 0,04 | — 0,26 | + 0,01
OOM 50.910 TORT 005 10:02 7095, CT OT
131—139 | + 0,93 | + 0,13 | — 0,07 | — 0,04 | — 0,26 0,00
140—157 | + 0,22 + 0,13 — 0,06 — 0,04 | = 0,26 | 0,00
158 166 | + 0,21 | + 0,13 | -006 | = 0,04) —0,25 | 0,00 |
| 167—179 | + 0,24 +0,09 | — 0,08 | — 0,08 | - 0,26 | — 0,09 |
180—194 + 0,24 + 0,10 — 0,08 — 0,03 — 0,26 — 0,01
195 1990 22.0525 + 0,07 — 0,09 | — 0,02 | — 0,25 | - 9:09
200—214 | + 0,24 | + 0,08 0,08 | — 0,03 | — 0,95 | — 0,09
915—926 + 0,95 + 0,05 | — 0,09 | — 0,02 — 0,25 — 0,03 |
297—940 | + 0,95 0:06. = 0.0927 0:02 — 0,25 — 0,03
gm 2500 2005 | 0.03 | - 009 | -001 | —025 | = 0.03 |
951—266 + 0,25 0,00 - 0,10 0,00 | — 0,25 | — 003 |
967—300 | + 0,25 + 0,01 == (01110) 0,00 | — 0,25 | — 0,03

Ich gehe nun dazu über, die Bedingungsgleichungen mitzu-
teilen. Sie sind hier in der Weise geordnet, dass im allgemeinen für
jede Opposition die Gleichungen der Positionswinkel und die der Di-
stanzen je für sich zusammengestellt sind. Nur in zwei Fällen sind
aus später anzugebenden Gründen Beobachtungen aus verschiedenen
Oppositionen zusammen behandelt worden. Dagegen sind die Beob-
achtungen vom Jahre 1901 in zwei Gruppen getrennt, die eine die
Messungen von Herrn ArrkEN auf der Licksternwarte, die andere die
Messungen von Herrn Ser in Washington enthaltend.

Bei jeder Gleichung ist der nach der schliesslichen im folgenden
S gegebenen Auflösung übrig bleibende Fehler v angegeben worden.

24 ÖSTEN BERGSTRAND,

Opposition 1852—53 (Beobacht. N:r 1—15).

Positionswinkel:

— 0,21 . du, — 0,15. 40, + 0,08. di, — 0,33. 5 + 0,26. 7 + 0,73 = 0; v =— 097
— 0,20 + 0,02 + 0,12 0:90 034 — 1,20 — 0,63
—0,20 +0,01 013 9 330899510136 — 0,70 — 0,20
— 0,21 = Öl + 0,08 032 = O27 — 0,32 — 0,72
—0,19 = 0.10 + 0,15 0,19, +0,36 SUT — 0,64
—0,19 = (Ort +02 0 T0 084 — 0,05 —0:07
= Wik — 0,19 013-000. 40:33 + 0,42 + 0,23
— 0,19 — ll 01k +1015 9,95 + 0,99 + 0,71
— 0,19 — 0,03 +0,16. 0:05. 710,38 — 0,29 + 0,77
018 — 0,06 +0,16 +0,02 — 0,36 + 0,85 + 0,77
Distanzen:
— 0,06 . Au, = 0,10. 42, - 0,07 . di, — 0,22. 5 + 0,09 . 9 + 0,87 . Aa + 2,05 20; v= + 0,54 |
— 0,05 — 0,05 — 0,06 —0,25 +0,03 +0,96 Ns, -012 4
+ 0,03 — 0,01 + 0,03 —0,25 =0,02 +0,99 + 0,01 = 053
— 0,02 001 — 0,03 +0,94 0.01 721.00 + 0,55 + 0.56
+ 0,01 — 0,05 + 0,08 +0,19 +0,11 40,99 — 0,86 — 0,44

Opposition 1863 —64 (Beobacht. N:r 16—21).

Positionswinkel:

— 0,24. Au, — 0,13 = 0; v= — 0,18
— 0,24 + 0,09 + 0,04
— 0,24 + 0,84 + 0,79
— 0,24 = (O02) — 0,07
— 0,24 — 0,39 — 0,44

0,24 — 0,07 — 0,12

Oppositionen 1873—75 (Beob. N:r 22—40).

Positionswinkel:

=O Situ = 00.40 Onl > 4 + 0,32 = 0; v= + 0,37 i
ESO b SCOPI os + 0,73 + 0,64 |
— 0,16 — 0,15 — 0,16 = 012 — 0,30 !
TOMS + 0,02 — 0,15 + 0,30 + 0,38 H
— 0,19 + 0,03 OZ =O — 0,39
— 0,16 — 0,03 — 0,21 — 0,98 — 0,20 |
= ONIS + 0,05 = (0,115 = (0,25) — 0,12 ¢
= O08 + 0,05 — 0,16 047 — 0,33 |
— 0,16 = st = 015 — 0,07 — 0,29 |
015 — 0,08 — 0,21 + 0,15 + 0,16 i
I
|

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL.

Distanzen:

+ 0,06 . du, + 0,01 . 42,

— 0,02
— 0,05
— 0,05
+ 0,09
+ 0,10
+ 0,11
— 0,08
+ 0,01

+ 0,04
+ 0,06
+ 0,06
+ 0,02
+ 0,04
+ 0,05
+ 0,07
+ 0,02

— 0,05. di, + 1,04. da — 1,00 = 0; *

+ 0,01
0,03
0,03
— 0,08
— 0,09
— 0,10
+ 0,04
— 0,02

+ +

+ 1,08
+ 1,05
+ 1,05
+ 0,94
+ 0,88
+ 0,87
+ 0,99
+ 1,06

Opposition 1876 (Beob. N:r 41—60).
Positionswinkel:
— 0,15. Au, + 0,06 . 42, — 0,19. MN, + 0,14 . £ — 0,26.
+ 0,27 + 0,18

— 0,16 — 0,21 — 0,12
— 0,13 — 0,11 — 0,22
— 0,13 — 0,12 — 0,21
— 0,14 — 0,18 0,17
ES — 0,05 — 0,23
— 0,14 0,00 — 0,23
E013 — 0,09 — 0,22
— 0,14 + 0,03 — 0,91
— 0,15 — 0,19 — 0,15
— 0,13 — 0,05 — 0,93
Distanzen:
+ 0,12. du, + 0,06 . 42, —0,07 .
— 0,13 + 0,06 + 0,05
-- 0,03 0,00 + 0,01
E011 + 0,03 + 0,05
+ 0,06 + 0,02 — 0,04
— 0,02 0,00 + 0,01
+ 0,09 + 0,04 — 0,06
eo + 0,03 + 0,05
+ 0,02 — 0,01 — 0,01

Oppositionen 1877—81 (Beob.

Positionswinkel:
— 0,11 . du, — 0,03. 42, — 0,93 . di,

— 0,06
— 0,06
— 0,04
— 0,04
— 0,04

eS
— 0,08
— 0,06
— 0,08
— 0,09

— 0,09 —0,94
— 0,10 — 0,24
+ 0,18 + 0,21
— 0,02 — 0,26
+0,04 — 0728
+ 0,07 0,95
+ 0,09 —0,27
— 0,21 — 0,21

+ 0,02 + 0,26

Mi, — 0,30 . 5 + 0,12. n + 0,93. 4a

+0,23 —0,05
0,97 2.003
+0,32 -- 0,02
—0,96 4 0,09
+0,26 —0,04
“028 +01
- 0,32 +0,02
+0,26 —0,07

— 0,21
— 0,23
— 0,25
— 0,24
— 0,94

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III.

1

Impr. ?/n 1904,

— 0,04
+ 0,11

0,00
4 0,08

0,27
— 0,36
— 0,29
+ 0,06

+ 0,82
+ 1,09
+ 0,95
+ 1,05
+ 1,09
+ 1,01
+ 0,93
+ 1,08

N:r 61—74).

— 1,49
— 9,65
+ 2,55
— 0,05
— 0,34
+ 0,79

v= — 0,81

+ 0,09

+ 0,20

+ 0,09

+ 0,34

+ 0,04

— 0,02

— 0,15

+ 0,19

—0,04=0; v=
+ 0,04
+ 0,55
+ 0,65
+ 0,12
+ 0,21
+ 0,08
+ 0,89
— 0,05
+ 0,51
+ 0,39

+0,54=0; v=
+ 0,70
—0,15
+ 0,25
— 0,04
+ 0,15
+ 0,13
+ 0,34
— 0,04

0; v=—1,95

— 2,15

+ 2,64

— 0,03

— 0,18

+ 1,02

25

+ 0,05
— 0,29
+ 0,24
+ 0,35
— 0,25
— 0,07
— 0,17
+ 0,45
— 0,26
+ 0,16
— 0,05

+ 0,40
+ 0,52
— 0,45
+ 0,10
— 0,26
+ 0,07
— 0,05
— 0,05
— 0,18

26 OSTEN BERGSTRAND,

— 0,06 . Au, — 0,14 . 40, — 0,22. Ai, 0109) 10 0 02 8 200) AST

— 0,03 — 0,05 — 0,96 + 0,37 + 0,35

— 0,03 — 0,02 — 0,26 — 0,10 — 0,32

Distanzen:

— 0,03. Au, — 0,01 . 42, + 0,02. 42, + 1,08. Aa — 0,31 = 0; v = — 0,26

— 0,04 — 0,01 + 0,01 + 1,09 3 TS

— 0,06 — 0,01 + 0,01 + 1.07 + 0,82 + 0,78

— 0,01 0,00 + 0,01 + 1,08 — 0,60 — 0,54

+ 0,02 0,00 + 0,01 + 1,05 + 0,05 + 0,22

Opposition 1884 (Beob. N:r 75—81).

Positionswinkel:
+ 0,04 , Au, + 0,09. 49, — 0,24 . Ai, + 0,03 .£ — 0,08 . 7 + 0,95 =0; v=+ 0,67
+ 0,04 = (1} 12 — 0,23 +0,04 +0,07 + 0,40 + 0,40
+ 0,04 + 0,13 — 0,23 — 0,0%. 007 + 0,25 — 0,13
+ 0,04 = (0 lil — 0,23 +0,04 +0,07 — 0,44 — 0,46
+ 0,04 + 0,01 — 0,26 0,00 — 0,08 — 0,93 — 0,48
+ 0,04 + 0,02 — 0,26 0,00 +0,08 + 0,33 + 0,06

Distanzen:
+ 0,11 . Ju, + 0,02. 4Q, + 0,01 . Ai, + 0,31. £— 0,13. + 1,01. 4a—0,08 =0; v= 0,08
— 0,04 — 0,09 — 0,01 20,97 “Angi 7109 + 1,32 + 0,85
anal — 0,01 — 0,02 —0:94. 0/07 200 t Dt + 0,47
+ 0,14 + 0,02 + 0,02 —0,32 +0,15 +0,94 + 0,47 + 0,57
— 0,09 — 0,03 — 0,02 093, Nie ee + 0,03 4 — 059
+ 0,02-— — 0,00 0,00 — 0,96. 00% 4 1.07 + 0,20 — 0,10
+ 0,03 + 0,01 0,00 —0,95. +0,05 + 1,06 077 = 1,05

Opposition 1887 (Beob. N:r ee

Positionswinkel :
* 0,10 . du, — 0,07 . 42, — 0,22 . Ai, + 0,09 .§ + 0,18 . 7 +0,24=0; v=+ 0,11
+0,10 + 0,07 0.22 * 003. —9/20 — 0,08 + 0,24
+0,11 — 0,05 — 0,22 +0,07 +0,21 + 0,20 + 0,14
+ 0,10 + 0,09 =023 0.005, 2049 — 0,65 — 0,29
+0,10 — 0,04 — 0,23 +0,06 +0,19 + 0,08 + 0,04
+0,10 * +0,04 — 0,24 — 0,01 +0,20 — 0,16 + 0,02
+0,11 — 0,07 — 0,21 — 0,10 — 0,20 — 0,29 — 0,24

Distanzen:
+ 0,06 . du, + 0,01 . 49, + 0,03. 42, — 0,28. &+0,06.9 + 1,07. da — 0,34 =0; v= 0,27
— 0,07 — 0,03 10/0277 759/29. "0.03 :01503 19 95:509 * 0,7
+ 0,07 +0,01 +0,03”. 4028. —:0,07-51 33-4504 02-017 + 0,04

— 0,05 — 0,01 — 0,01 —0,27 —003 -+1,06 '. +0,23 + 0,08

UBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL.

+ 0,07 . Au, + 0,01. 42, + 0,04 . di, + 0,28

— 0,04
+ 0,03
— 0,08

+ 0,23
+ 0,26
+ 0,26
+ 0,25
+ 0,22
+ 0,23
+ 0,25
+ 0,22
+ 0,22
+ 0,21

— 0,02
— 0,02
+ 0,03
+ 0,03
— 0,05
— 0,05
+ 0,01
+ 0,01
+ 0,03
+ 0,03
+ 0,03
+ 0,03
+ 0,01
+ 0,01
— 0,02
— 0,02

0,00

0,00

+ 0,23
+ 0,26
+ 0,24
+ 0,23
+ 0,26

— 0,01
+0,01
— 0,03

Opposition 1894 (Beob. N:r 103

— 0,01
+ 0,02
— 0,02

Positionswinkel:
. Au, + 0.05 . 449, — 0,14 . Ai, — 0,02

+ 0,10
+ 0,13
+ 0,01
+ 0,03
+ 0,12
+ 0,14
+ 0,09

0,00
+ 0,06

Distanzen:

0,00
— 0,01
— 0,05
le)
— 0,12
— 0,03
— 0,14
— 0,11
— 0,15

. du, — 0,00 . 4, + 0,03

0,00
— 0,18
— 0,18
— 0,10
— 0,10

0,00

0,00
— 0,01
— 0,01
— 0,10
— 0,10
— 0,01
— 0,01
= 0410
— 0,10

0,00

0,00

+ 0,03
— 0,02
— 0,02
+ 0,07
+ 0,07
+ 0,05
+ 0,05
— 0,03
— 0,03
— 0,04
— 0,04

0,00

0,00
+ 0,09
+ 0,09
+ 0,02
+ 0,02

— 0,26
— 0,26
+ 0,29

+ 0,52
+ 0,51
— 0,39
- +0,08
+ 0,93
— 0,46
+ 0,13
— 0,22
— 0,04

. di, + 0,26.

+ 0,26
+0,11
+0,11
+ 0,22
+ 0,22
— 0,25
— 0,25
+ 0,26
+ 0,26
—0,14
— 0,14
+ 0,26
+ 0,26
+ 0,23
+ 0,23
— 0,25

— 0,25

-§—0,06.. 4
— 0,01
+ 0,05
— 0,03

.£ —0,46.m
— 0,04
— 0,10
— 0,33
+ 0,43
— 0,40
+ 0,18
— 0,49
— 0,38
+ 0,49

+ 0,02
+0,21
+ 0,21
— 0,12
— 0,12
+ 0,07
+ 0,07
+ 0,07
+ 0,07
— 0,18
— 0,18
+ 0,06
+ 0,06
— 0,07
— 0,07
— 0,02
— 0,02

+1,03
+ 1,06
+ 1,07
+ 1,00

130).

+ 1,08
+ 0,93
+ 0,93
+ 0,96
+ 0,96
+ 1,07
+ 1,07
+ 1,06
+ 1,06
+ 0,94
+ 0,94
+ 1,07
+ 1,07
+ 1,00
+ 1,00
+ 1,06
+ 1,06

Opposition 1895 (Beob. N:r 131—166).
Positionswinkel:
. Au, + 0,06 . 49, — 0,13. di, — 0,01 . 5 + 0,46. 7

+ 0,03
+ 0,09
+ 0,13
+ 0,08

— 0,02
ie
— 0,06

0,00

+ 0,47
+0,11
— 0,37
+ 0,52

+ 0,23
— 0:47
+ 0,27
+ 0,04

. da + 0,02 = 0;
+ 0,42
+ 0,28
+ 0,03

— 0,10 = 0;
— 0,57
— 0,59
— 0,32
— 0,49
— 0,59
— 0,81
— 0,49
— 0,84
— 0,51

5 +0,02. 7 + 1,08 . da + 0,05 20;

+1,25
— 0,37
— 0,18
— 0,06
+ 0,23
+ 0,38
+ 0,08
+ 0,24
+ 0,62
— 0,14
— 0,29
— 0,03
— 0,15
+ 0,13
+ 0,42
+ 0,01
— 0,19

— 0,98 =0;
— 0,58
— 0,47
— 0.22

aa

— 0,41

p

vU

I!

he

V=

- 0,31

0,09

- 0,16

- 0,32

0,13

— 0,30

0,18
0,17
0,15
0,05

0,99
0,98
0,98

0,09

— 0,28

xe up ap

0,01
0,30
0,00
0,11
0,49
0,13
0,28
0,21
0,33
0,00
0,29
0,13
0,33

0,21
0,10
0,35
0,44
0,14

28 ÖSTEN BERGSTRAND,

+0,25. Au, + 0,01 . 40, — 0,08 . di, — 0,31. £ — 0,39 — OF = Orr alee
+ 0,23 + 0,14 = 007 +0,34 —0,31 — 0,50 — 0,22
+ 0,23 + 0,13 — 0,10 — 0,26 +0,38 — 0,26 + 0,46
+ 0,25 + 0,12 — 0,04 +0,44 —0,93 — 0,73 — 0,36
+ 0.22 + 0,04 — 0,13 +0,04 +0,44 — 0,91 = OIL
+ 0,21 + 0,08 — 0,13 —0,10 +0,41 — 1,11 — 0,42
+ 0,23 + 0,14 — 0,05 +0,39: — 0,25 — 0,16 + 0,16

Distanzen:
— 0,01 . Au, — 0,00 . 42, + 0,01 . di, —0,25 .§ —0,02.4 + 1,07. da + 0,31 =0; v= + 0,30

— 0,01 0,00 + 0,01 —0,25 --0,02 +1,07 + 0,15 + 0,14
— 0,03 — (hi + 0,05 —0,15 +0,18 +0,96 — 0,59 — 0,50
— 0,03 — 0,11 + 0,05 = 015 CO LS 70,96 — 0,07 * 0,02

0,00 0,00 — 0,01 +0,25 +0,05 +1,08 + 0,54 + 0,57

0,00 0,00 — 0,01 +0,25 +0,05 +1,08 — 0,28 — 0,95
+ 0,03 — 0,06 — 0,05 —0,19 —0,15 +1,02 + 0,43 + 0,43
+ 0,03 — 0,06 — 0,05 —0,19 —0,15 +1,02 + 0,28 + 0,28

0,00 — 0,12 +0,01 —0,01 +0,23 +0,94 — 0,29 — 0,12

0,00 — 0,12 + 0,01 —0,01 +0,93 +0,94 — 0,11 + 0,06
0:03 — 0,07 + 0,07 +0,92 —0,10 +1,01 + 0,30 + 0,19
— 0,03 — 0,07 + 0,07 +0,22 -0,10 +1,01 — 0,03 — 0,14
+ 0,04 — 0,04 — 0,05 +0,23 +0,19 +1,03 + 0,21 + 0,38
+ 0,04 — 0,04 — 0,05 +0,93 +0,12 +1,03 — 0,12 + 0,05
+ 0,02 — 0,03 — 0,04 —0,24 —0,11 +1,06 +0,15 +0,14
+ 0,02 — 0,03 — 0,04 —0,24 —-0,11 +1,06 — 0,33 — 0,34
+ 0,04 — 0,08 — 0,05 +0,18 +0,17 +0,98 — 0,10 + 0,11
+ 0,04 — 0,08 — 0,05 +0,18 +0,17 +0,98 + 0,20 + 0,41
— 0,01 — 0,01 + 0,03 — 0,25 0,00 +1,05 — 0,50 — 0,50
— 0,01 — 0,01 + 0,03 — 0,25 0,00 + 41,05 + 0,06 + 0,06
+ 0,01 0,00 — 0,01 —0,24 —0,04 +1,05 — 0,40 — 0,38
+ 0,01 0,00 — 0,01 —0,24 —0,04 +1,05 — 0,38 — 0,36
+ 0,03 — 0,06 — 0,05 +0,18 +0,16 +0,97 — 0,19 — 0,02
+ 0,03 — 0,06 — 0,05 +0,18 +0,16 +0,97 — 0,58 -— 0,41

Opposition 1897 (Beob. 167—194).
Positionswinkel :

+ 0,24 . Au, + 0,08 . AA, — 0,09 . di, —0,09 £ + 0,47. 7 —0,82=0; v=— 0,06
+ 0,24 + 0,07 — 0,09 —0,06 +0,48 — 0,56 + 0,21
+ 0,26 +0,10 001 —0,51 +0,08 — 0,30 + 0,07
+ 0,26 + 0,10 — 0,01 —0,51 +0,10 — 0,28 + 0,10
+ 0,26 + 0.11 — 0,01 en ano — 0,62 — 0,40
+ 0,26 + 0,09 — 0,01 —0,44 —0,27 +0,17 + 0,39
+ 0,25 + 0,03 — 0,05 +0,29 +0,40 08d — 0,09
+ 0,95 + 0,03 — 0,04 +0,30 +0,40 — 0,63 + 0,09

+ 0,24 + 0,09 — 0,09 +0,16 —0,45 — 0,32 + 0,08

+0,25. Au, + 0,11. 49, —0,02.

+ 0,25
+ 0,26
+ 0,26
+ 0,24
+ 0,24
+ 0,24
+ 0,26

0,00
+ 0,02
0,00
— 0,02
- 0,02
+ 0,01
+ 0,02
— 0,02
0,00
— 0,01
0,00

+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,24
+ 0,24
+ 0,24
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25

0,00
0,00
0,00
— 0,02
— 0,01
0,00
— 0,01
— 0,02
0,00

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL.

+ 0,11 — 0,02
+ 0,09 0,00
+ 0,08 0,00
+ 0,05 -- 0,08
+ 0,06 — 0,09
+ 0,05 — 0,09
+ 0,04 — 0,02
Distanzen:

. Au, — 0,00 . 49, — 0,02.
— 0,07 + 0,01
201077 — 0,05
— 0,05 — 0,06
— 0,06 + 0,03
— 0,09 — 0,02
— 0,08 + 0,02
— 0,01 + 0,01
— 0,01 — 0,02
— 0,01 — 0,03
— 0,07 — 0,05

di,

4i

— 0,46
— 0,45
+ 0,51
+0,51
— 0,08
— 0,03
— 0,06
— 0,41

— 0,26.

— 0,08
+ 0,13
— 0,22
— 0,06
— 0,03
— 0,08
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,15

Opposition 1898 (Beob. N:r
Positionswinkel:
. Au, + 0,05 . 42, — 0,05 . di, + 0,11

+ 0,04 — 0,03
+0,11 — 0,04
+ 0,06 0,00
+ 0,04 — 0,05
+ 0,07 — 0,07
+ 0,05 -- 0,06
+ 0,05 — 0,06
+ 0,08 0,00
+ 0,04 — 0,04
+ 0,04 — 0,03
Distanzen:

. du, — 0,04 . 49, —0,04.
— 0,02 + 0,02
—0,07 + 0,02
— 0,03 + 0,02

0,00 — 0,02
— 0,01 +0,01
— 0,08 +0,01
— 0,03 + 0,02
— 0,04 +0,03

4i,

— 0,27
+ 0,39
+ 0,47
— 0,92
— 0,07
— 0,11
—0,12
— 0,50
+ 0,29
— 0,29

+ 0,21
+0,17
— 0,08
+ 0,24
— 0,25
+ 0,24
+ 0,22
— 0,24
+ 0,19

. E-- 0,19
+ 0,20
+ 0,11
+ 0,09
—0,47
— 0,48
— 0,48
— 0,33

mU

£— 0,04. 7 +
—0,24 + 1,02
-0,20 +1,01
+0,09 + 1,04
—0,24 + 1,04
+0,24 +1,01
+0,23 + 1,02
--0,01 + 1,06
—0,04 + 1,06

0,00 + 1,06
—0,19 + 0,99

195—214).

.E-- 0,49
— 0,42
— 0,31
+ 0,17
— 0,45
+ 0,48
—0,47
— 0,46
— 0,04
+ 0,45
+ 0,41

.§-0,14
+ 0,20
+ 0,24
— 0,08
— 0,05
— 0,06
— 0,25
+ 0,08
—0,14

. 1]

Nn +1,04. da
+ 1,06
+ 1,03
+ 1,05
+ 1,07
+ 1,05
+ 1,02
+ 1,03
+1,01

— 0,17 20;

— 0,61
EIOS
— 0,723
— 0,34
— 0,26
— 0,56
O0

+ 0,15
+ 0,58
— 0,62
+ 0,13
— 0:91
+ 0,21
+ 0,02
— 0,02
(al
+ 0,43

1,07 . da + 0,1920;

— 0,8820;

— 0,63
— 0,13
= 0257,
— 0,71
— 0,64
— 0,30
— 0,52

0,00
— 0,77

— 0,86

=

v=

v=

20

0,28
0,17
0,19
0,12
0,06

+ 0,04

0,27

+ 0,08

0,06

- 0,10

0,49
0,68
0,20
0,20
0,15
0,02

00

0,18
0,95

0,10
0.19
0,19
0,07
0,29
0,01
0,16
0,06

+ 0,99
+ 0,06

0,90

0,34
0,95
0,43
0,35
0,11
0,50
0,18
0,14
0,04

30

+ 0,24
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,25
+ 0,95

0,00
+ 0,01
— 0,01
— 0,01
+ 0,01
0,00
+ 0,01
+ 0,01
— 0,01
0,00
+ 0,01
0,00
+ 0,01

ÜsrEN BERGSTRAND,
Opposition 1899 (Beob. N:r 215—240).
Positionswinkel:
. Au, + 0,10. 49, — 0,04 . di, —030.£ + 0,37. 4 — 080=0; v= 0,14
+ 0,07 0,00 — 0,45 — 0,21 — 0,65 — 0,10
+ 0,05 — 0,02 + 0,25 + 0,44 — 0,83 — 0,07
+ 0,07 — 0,05 +0,07 — 0,49 — 0,90 — 0,16
+ 0,09 0,00 + 0,49 + 0,07 — 0,60 + 0,03
+ 0,06 — 0,05 + 0,01 + 0,50 — 0,82 + 0,01
+ 0,10 — 0,01 — 0,50 + 0,07 — 0,43 + 0,12
+ 0,06 0,00 +0,44 +0,24 — 0,92 — 0,93
+ 0,05 — 0,05 — 0,07 — 0,50 — 0,73 + 0,02
+0,10 — 0,06 — 0,27 + 0,42 — 0,92 — 0,16
+0,11 — 0,02 +0,48 — 0,15 — 0,40 + 0,94
+ 0,08 — 0,06 +0,11 — 0,49 — 0,56 + 0,19
+ 0,10 0,00 + 0,50 — 0,03 — 0,42 + 0,19
Distanzen:
. du, — 0,00 . AQ, + 0,00 . di, — 0,20 . £ — 0,16. 4+1,07. da + 0,13=0; v=— 0,06
— 0,05 — 0,02 + 0,11 — 0,22 +1,04 — 0,15 — 0,14
— 0,02 — 0,04 — 0,23 + 0,12 +1,05 + 0,95 + 0,21
0,00 0,038 +0,95 +0,04 +1,07 zs — 0,20
— 0,05 — 0,01 — 0,04 + 0,25 +1,05 + 0,23 + 0,20
0,00 — 0,03 — 0,25 0,00 +1,06 — 0,04 — 0,12
— 0,05 + 0,01 — 0,04 — 0,25 +1,05 — 0,08 — 0,17
— 0,06 — 0,03 -- 0,12 + 022 +1,04 + 0,35 + 0,43
— 0,01 — 0,04 + 0,25 — 0,04 +1,05 — 0,16 — 0,18
0,00 0,00 — 0,21 — 0,14 +1,06 + 0,33 + 0,14
— 0,04 + 0,01 + 0,08 + 0,94 +1,05 + 0,11 + 0,05
0,00 — 0,02 + 0,25 + 0,06 + 1,05 + 0,07 0,00
— 0,05 0,00 + 0,01 + 0,25 + 1,03 — 0,17 — 0,18
Opposition 1900 (Beob. N:r 241—250).
Positionswinkel:
+0,25. du, — 0,33. E + 0,37.9 - 0,52=0; v= 0,10
+ 0,25 + 0,50 — 0,02 — 0,62 + 0,10
+ 0,25 + 0,16 + 0,48 — 0,57 + 0,08
+ 0,25 0585. 55035 — 0,30 + 0,32
+ 0,25 + 0,37 + 0,33 — 1,13 — 0,42
Distanzen:
0,00 . Au, — 0,18.§ — 0,17. n + 1,06. da + 0,85=0; v=+ 0,46
0,00 +001 +0,25 + 1,06 + 0,14 — 0,10
0,00 = 0,24 4 008) 4 106 + 0,29 — 0,08
0,00 + OGM ON T0 + 0,24 + 0,06
0,00 a 5 lie eet HORS — 0,03 — 0,34

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 31

Opposition 1901 (Beob. N:r 251—256, 267, 268, 273, 274, 279,
280, 284, 285).

Positionswinkel:

+ 0,25. du, — 0,46 . 5 — 018.7 —0,5620; v= 0,36
+ 0,25 — 0,41 + 0,29 + 0,12 + 0,33
+ 0,25 + 0,45 +0,92 — 1,19 — 0,25
+ 0,95 — 0,43 + 0,25 + 0,20 + 0,40
+ 0,25 + 0,04 + 0,50 — 0,93 — 0,36
+ 0,25 + 0,44 — 0,24 — 0,77 + 0,18
+ 0,25 O94) 100937 — 0,20 + 0,07
Distanzen:
0,00. Au, + 0,09 .€ — 0,93. n + 1,04.4a+ 0,65 =0; v=+ 0,53
0,00 = DEN = 0120 104 + 0,16 3 0-06
0,00 SE 02H os 4195 + 0,14 — 0,18
0,00 = 195813090 1095-9008 + 0,18 OS
0,00 = O25N 0% 0,02 "+ 1,05 + 0,28 015
0,00 70137 NO 22e 105 + 0,42 + 0,29
0,00 =O leer 07 221,05 + 0,15 = 0) Di

Opposition 1901 (Beob. N:r 257 —266, 269 —27/2, 275—278, 281—
283, 286 — 300).
Positionswinkel:

+ 0,25. Au, — 0,47.5- 017.9 —0,8120; v=— 0,27
+ 0,25 + 0,25 + 0,43 + 0,16 + 0,81
+ 0,25 + 0,50 — 0,02 — 0,42 + 0,44
+ 0,25 + 0,50 + 0,06 — 0,81 + 0,04
+ 0,25 + 0,01 + 0,50 + 1,39 + 1,94
+ 0,25 — 0,10 + 0,49 — 2,30 — 1,79
+ 0,25 + 0,34 — 0,36 — 1,78 — 0,89
+ 0,25 — 0,22 + 0,45 — 0,06 + 0,42
+ 0,25 + 0,49 — 0,08 — 0,99 — 0,12
+ 0,25 + 0,50 + 0,02 — 3,14 — 2,28
+ 0,25 + 0,49 + 0,10 — 0,34 + 0,49
+ 0,25 — 0,29 — 0,41 + 0,55 + 1,21
+ 0,25 + 0,39 — 0,31 + 0,85 + 1,75
+ 0,25 + 0,42 — 0,27 — 2,75 — 1,85
+ 0,25 — 0,50 — 0,05 — 0,22 + 0,27
+ 0,25 — 0,47 — 0,16 — 2,32 — 1,78
+ 0,25 + 0,03 — 0,50 + 0,13 + 0,93

32

Distanzen:
0,00 . Au, + 0,08
0,00 — 0,21
0,00 + 0,01
0,00 — 0:03
0,00 — 0,25
0,00 — 0,25
0,00 + 0,18
0,00 — 0,22
0,00 + 0,04
0,00 0,18
0,00 — 0,02
0,00 — 0,05
0,00 + 0,20
0,00 + 0,15
0,00 ^ +0,14
0,00 + 0,02
0,00 + 0,08
0,00 + 0,08

0,00 + 0,25

ÖSTEN BERGSTRAND,

.£ — 0,23 .9 +

+ 0,13
+ 0,25
+ 0,25

0,00
— 0,05
+ OT
OUT
+ 0,24
— 0,20
+ 0,25
+ 0,24
— 0,15
+ 0,20
+ 0,21
— 0,25
+ 0,23
-- 0,23
+ 0,02

X ES eee see ÄR E Tt M

1,06 . da — 0,25 = 0;

1,05
1,05
1,06
1,05
1,05
1,06
1,05
1,05
1,05
1,05
1,04
1,03
1,04
1,03
1,03
1,02
1,02
1,01

— 0,12
+ 0,58
+ 0,29
+ 1,21
+ 0,18
+ 0,65
+ 0,28
+ 0,46
+ 0,75
— 0,01
+ 0,48
+ 0,38
+ 0,78
+ 0,60
+ 0,32
+ 0,20
+ 1,24
+ 0,75

v =— 0,61
— 0,68
+ 0,07
— 0,23
+ 0,67
— 0,35
+ 0,23
— 0,22
— 0,04
+ 0,29
— 0,53
— 0,05
+ 0,05
+ 0,34
+ 0,16
— 0,05
— 0,27
+ 0,89
+ 0,41

Hl.

Die Normalgleichungen und ihre Auflósungen.

Opposition 1552—53 (Beobachtungen von LassELL).
Normalgleichungen :
+ 0,389 . Au, + 0,163 . 42, — 0,240. di, + 0,001 . £ + 0,000. 7 — 0,081 . Aa — 0,097 = 0

+ 0,111 — 0,089 10:07 1201092 — 0,201 — 0,430
+ 0,191 + 0,042 + 0,011 — 0,045 — 0,354
+ 0,659 — 0,516 — 0,264 — 1,302
+ 1,158 + 0,178 + 0,101
+ 4,505 + 2,626
Auflösung:
Alp = ae OPES) ae ONS
AR, = + 6951 420,85
Mi, = + 50,30 + 20,48
E — + 15821 + 09,766
n— — 199165.02,578
da = — 0",168 + 0”,245 ;
w. F. einer Gl. = + 0",472 ;

| e= 0,039 + 0,015
Kor PI MG.

Opposition 1863 —64 (Beobachtungen von MARTH).

Die sechs Beobachtungen von Marrx sind ausschliesslich Posi-
tionswinkelmessungen. Von diesen sechs Beobachtungen habe ich nur
den Wert von Ju, abgeleitet, indem ich die übrigen vier Verbesserungen
gleich Null gesetzt habe. Bei einem Versuche, 5 und 7 zu berücksich-
tigen, ergab es sich, dass die Beobachtungen dadurch nicht wesentlich
besser dargestellt wurden. Es ergab sich also:

Au, = + 09,29 + 09.48 ;

w. F. einer Gl. = + 07,282 .

Oppositionen 1873—75 (Beobachtungen von CoPELAND, NEWCOME,
PETERS, HOLDEN).
Diese Beobachtungsgruppe besteht hauptsächlich aus den der
NEgwcowB'schen Bahnbestimmung zu Grunde gelegten Beobachtungen.
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II. Impr. !%ı 1904. 2

94 ÖSTEN BERGSTRAND,

Um die CorELANp'sche Beobachtung vom 16 Jan. 1873 und die beiden
Positionswinkelmessungen von HorpEN berücksichtigen zu können, habe
ich sie mit den Newcome’schen Beobachtungen zusammengestellt. Da
eine Bestimmung von $ 7 hier nicht möglich ist, sind die Bedingungs-

gleichungen mit vier Unbekannten ausgeglichen worden.
sich die folgenden
Normalgleichungen:
+ 0,336 . du, + 0,060. 49, + 0,247. di, + 0,135 . da — 0,063

+ 0,096 + 0,067 + 0,368 — 0,148
+ 0,319 — 0,201 + 0,101
+ 8,972 — 1,597

Auflösung:
Au, = + 09,74 + 09,69
| 4Q, = + 19,64 + 1501
| Ai, = - 19,18 + 0°,76
da = + 0,073 + 0,101 ;

wa BR. einer’ Gl. = 5 07,259

Opposition 1876 (Beobachtungen von Harr und HorpEx).

Normalgleichungen:

+ 0,283 . Au, + 0,196 . 42, 0,265 . di, — 0,159. £ + 0,154.» — 0,081 . da — 0,529 = 0

* 0,168 + 0,157 — 0,046 | — 0,016 + 0,212 — 0,982
+ 0,463 — 0,014 + 0,172 = — 0,022 — 0,672

+ 0,904 — 0,019 — 0,370 — 0,117

+ 0,698 + 0,189 — 0,057

+ 8,970 + 1,676

Auflösung:
Au SB) se re
AQ, = + 09,17 + 09,76
di, = + 00,67 + 09,51
E = + 05345 + 09,304
n = — 05,364 + 0,306
da = — 0",154 + 0,078 ;
w. F. einer Gl. = + 0",217 ;
[| e= 0,009 + 0,007
low, = 136095 +2690.

Oppositionen 1877—S1 (Beobachtungen von Harr, HOLDEN, BURN-

HAM, HouGx).

Um aus diesen isolierten Beobachtungen ein Resultat ziehen zu
künnen, habe ich sie mit einander zusammengestellt. Da ich keinen

Es ergaben

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL, 3D
plausiblen Ausgangspunkt fiir eine ungleiche Gewichtsverteilung finden
konnte, habe ich allen Beobachtungen das Gewicht | gegeben.

Normalgleichungen:

+ 0,036 . du, + 0,037 . 42, + 0,108. di, — 0,130. da + 0,013 = 0

+ 0,068 + 0,159 — 0,032 + 0,163
+ 0,512 + 0,064 + 0,162
+ 5,768 — 0,195

Auflösung:

du, = + 40,25 +8,23

| 42, = — 69,63 + 60,58
di, = + 09,83 +2,85
da = + 0,084 + 0",428
w. F. einer Gl. = + 05,877

Opposition 1884 (Beobachtungen von HENRY).

Da alle diese Beobachtungen mit einer einzigen Ausnahme in
nahezu demselben Positionswinkel ausgeführt sind, war eine Bestimmung
der Excentricität nicht möglich. Aus Gründen, die ich unten entwickeln
will, habe ich die Werte von & » für diese Epoche auf etwa

[£9 — 0,152
\ » =— 0,438

Un

veranschlagt. Freilich sind diese Werte wahrscheinlich recht unsicher;
ich bin aber der Ansicht gewesen, dass es richtiger war, die Beob-
achtungen mit diesen Werten zu korrigiren, als die Excentrieität ein-
fach gleich Null zu setzen.
Normalgleichungen:
+ 0,064. Au, + 0,011 . 42, — 0,050. di, + 0,050. da — 0,112 = 0

+ 0,054 + 0,006 — 0,013 + 0,038
+ 0,353 01029 = (0:715;
+ 7,401 + 2,541
Auflösung:

Au = 4 BS ap Ve)

| AND = = 1069 + 07

| Mi, = + 19,25 +0°,80

da = — 0',364+ 0165 ;

w. F. einer Gl. = + 0",446 .

36 OSTEN BERGSTRAND,

Opposition 1887 (Beobachtungen von PERROTIN).

Da auch diese Beobachtungen zur Bestimmung der Excentricität
nicht gut geeignet sind, bin ich wie im vorigen Falle verfahren und
habe mit den Werten

| &= — 0,416
| = — 0,207
die Beobachtungen korrigirt.

Normalgleichungen:

+ 0,104. du, + 0,004. 42, — 0,152 . 4i, — 0,006 . da — 0,152 = 0

+ 0,031 + 0,006 — 0,040 — 0,093
+ 0,367 + 0,064 + 0,162
+ 8,740 + 1,519

Auflösung:
Au, = + 19,67 + 09,86
AR, = + 22,48 + 00,98
Ai, = + 0991 + 0946
| da = — 0",163 + 0",058 ;
Vio Wo Guise Ch 1210, 171

Opposition 1894 (Beobachtungen von BARNARD).
Normalgleichungen :
+ 0,568. Au, + 0,175. 4Q, — 0,214. di, + 0,065. E — 0,242. n + 0,039. da — 1,187 = 0
40,165 — 0,071 01011, 0 01 0 01846 — 0,385
+ 0,148 + 0,049 + 0,086 + 0,353 + 0,499
+ 1,942 + 0,003 + 1,428 + 0,367
+ 1,427 + 0,109 + 0,248
+18,747 + 2,929
Auflösung:
Au, = + 2°,74 + 0,57
AQ, = — 19,31 + 05,85
di, = + 0,30 + 09,93
E = — 09,166 + 0°,166
n = + 09,246 + 09,195
4a = — 0",178 + 0",071 ;
w. E. einer Gl. = + 07,299;
| e= 0,005 + 0,003
| w, = 326,0 +3308.

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 37

Opposition 1895 (Beobachtungen von BARNARD).
Normalgleichungen:
+ 0,690 . Au, + 0,239. 42, — 0,240. di, + 0,348. 5 + 0,126.7 + 0,183. da — 1,510 = 0

+ 0,210 — 0,076 0,107 20093 101 — 0,417
+ 0,138 — 0,028 — 0,106 — 0,187 + 0,567
+ 9,332 — 0,097 — 0,607 — 0,587
+ 1,836 — 4 0,909 1,349
+ 24,936 — 1,268
Auflösung:
Au, = + 2°16 + 00,77
49, = — 0°,16 + 00,84
Ai, = + 09,03 + 10,03

E = — 05,034 + 09,155

7 = + 09,618 + 09,179

da = + 0,007 + 0,061 ;

Wi H5 gue (iL ae 9l
| e= 0,011 + 0,003
Lo, = 3569,8 +1495,

Opposition 1897 (Beobachtungen von Hussey und SCHAEBERLE).

Normalgleichungen :
+ 1,071. Au, + 0,393. 49, — 0,167. Ai, — 0,457. E — 0,053. 7 — 0,022. 4a — 1,920 = 0

+ 0,146 — 0,039 = 0205) 0.0017 = 0530 — 0,626
+ 0,065 + 0,018 +0,052 — 0,206 + 0,339

19 BRA 20317 4 0-319 + 0,041

+92,347 — 0,410 — 1,056

+11,780 + 1,040
Auflösung:
Au, = + 1949. + 0041
49, = + 00,73 +1914
Ai, = — 1981 + 00,95
E = + 00,258 + 00,121
+ 05,474 + 09,119
da = — 0”,074 + 0,073 ;
w. F. einer Gl. = + 0",178 ;
[ e= 0,009 + 0,001
2806 +794.

=
i

SS
il

38

Opposition 1898 (Beobachtungen von ArrkEN und Hussey).

Normalgleichungen:

+ 0,674. du, + 0,158. 42, — 0,106.
+ 0,058 — 0,027
+ 0,027

Auflösung:

| (On

Opposition 1899 (Beobachtungen von AITKEN).

Normalgleichungen :
+ 0,809 . Au, + 0,257. 49, — 0,089.
+ 0,104 — 0,024
+ 0,024

Auflösung:

WS
J [2

E

Opposition 1900 (Beobachtungen von AITKEN).
Da diese wenigen Beobachtungen mit einer Ausnahme auf einer
und derselben Seite des Planeten ausgeführt und daher zur Bestimmung

OSTEN BERGSTRAND,

5 Gung (Ci, = SE 0) STE

. einer Gl. = + 07,132 ;

4i, — 0,085. € — 0,030. -- 0,062 . da — 1,499 = 0

0036 01005. = 0330 — 0,359
+ 0,025 +0,03 + 0,071 + 0,260
+ 1,320 +0,162 + 0,722 — 0,019
+ 1,997 — 0,201 — 0,323

9,737 + 2,024

3130230256
SIE I
20.00 + 19,90
09,281 + 09,168
- 09,960 + 09,134
07,365 + 0,086 ;

0,007

= 470
= 479,9

+ 0,003
ta OU Te

Mi, + 0,190. € + 0,064.7 + 0,031 . da — 2,234 = 0
+ 0,062 0,000 — 0,344 — 0,711
+ 0,007 —0,003 — 0,210 + 0,263
+ 2,033 + 0,001 — 0,140 — 0,647
+ 2,030 + 0,380 — 0,321
+14,376 + 0,781

+ 90,93 0941
19,73 + 19,15

— 35,93 + 19,20
0°,099 + 09,095
0°,089 + 09,093
OAS es 0050)

ic
+

0,002
= 48° 0

+ 0,002
+ 39°,9 .

UBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 39
der Excentricität nicht gut geeignet sind, habe ich sie aus unten be-
sprochenen Gründen unter Anwendung der Werte

| £= + 0.435
| » = + 0,162

Ore

korrigirt. Ferner habe ich für diese Opposition, wie auch für die fol-
gende, J2, und Zi, ganz unberiicksichtigt gelassen, da die Einführung
dieser Unbekannten die Darstellung der Beobachtungen nicht verbes-
sert und da ihre bei der Auflösung abgeleiteten Werte rein illusorisch
wären.
Normalgleichungen:
+ 0,813 . du, + 0,000 . da — 0,630 = 0
+ 5,555 + 1,476
Auflösung:
| Au = + N SU
| da = — 0266 + 0”,081 ;
w. F. einer Gl. + 0,193 .

Opposition 1901 (Beobachtungen von AITKEN).
Normalgleichungen:

+ 0,437. du, — 0,177 . € + 0,302 . 7 + 0,000. da — 0,832 = 0

+ 1,941 - 0,196 — 0,620 -- 0,769
+ 0,935 — 0,365 — 0,546
+ 7,697 + 9.073

Auflösung:
| Au, = + 2°98 +0°39

E — + 00,834 + 05215
n=- 09.058 SE OY E?
da = — 07,205 + 0,084 ;

w. F. einer Gl. = + 05,296 ;
| e= 0,015 + 0,004
lw, = 9450 +1897.

Opposition 1901 (Beobachtungen von SEE).
Normalgleichungen:

+ 1,125 . Au, + 0,467. .& — 0,070 . n + 0,000. da — 3,215 = 0
+ 3,014 0,000 + 0,032 — 2,364
+ 2,403 + 1,019 + 1,225
+20,636 + 9,104

=

40 ÖSTEN BERGSTRAND,

Auflösung:

Au, = + 2°69 + 09,64
| E — + 09,372 + 09,392
n = — 09,249 + 09,425
| — 0",429 + 0,144 ;
w. F. einer Gl. = + 07,653 ;
e= 0,008 + 0,007
me Ba ea

EN
à
Il

IV:
Entwickelung der Störungsausdrücke.

Ehe ich an eine Zusammenstellung und Vergleichung der ge-
fundenen Elementenverbesserungen gehe, will ich die Ausdrücke für
die durch die Störungen verursachten Änderungen der Elemente kurz
angeben. Ich werde dabei die kurzperiodischen, von der Länge des
Trabanten abhängigen Störungen unberücksichtigt lassen und nur die
sekularen Glieder und die Glieder längerer Perioden betrachten.

Die Störungsfunktion ist aus den folgenden Teilen zusammen-
gesetzt:

2Q= 2, (Sonnenstörungen)
+.’ (von der Abplattung herrührende Störungen)

+32, (Störungen durch den Trabanten).
3

Wir betrachten zuerst die Sonnenstörungen. Man hat:

1 SET
NM ders
DZ, E- TH—23rrnH r2 | E

(H = eos (r r;)) >

wo m, die Masse der Sonne, in der Uranusmasse als Einheit ausge-
drückt, bedeutet. Ferner sind 7, 7, die Entfernungen Satellit-Planet und

‘ ir c ce
Planet-Sonne. Wenn man nach Potenzen von = entwickelt, geniigt es
0

das folgende Glied beizubehalten:

; Br WEL y?
LEE AT none:
ei eme
Von diesem Ausdrucke ausgehend, erhält man die folgende Entwickel-
ung nach Potenzen von den Excentricitäten e,e,, wenn man von den
kurzperiodischen Gliedern absieht:

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II. Impr. 1% 1 1904.

e

42 ÖSTEN BERGSTRAND,
a ER ae By ae
(De = IE GOS Yoo re © ; € cos?y
Q, = fn- s uL E E

15 :
Sr 16 2 cos 2 (P.— jy sint», =

€

3
roll 36085 %)c08lh scat d) Sin * 4, COS (hr 210, + Po) +

3 3 15
+ sin (1 +56 )eos(21— 20) +35 (cosy) cos (21,2 P)+

an 39 e (1 — cos yo)” eos (21, — 40, + 2P) ji

5x

n 16 % Sin” 7 cos (31,—20,— P.) ]

Dabei bedeuten: a, e, P die grosse Halbachse, die Excentricität und

die Länge des Periuraniums in der gestörten Bahn, &, €, DP, die ent-

sprechenden Grössen bezüglich der störenden Bahn, yo © die Neigung

und die Länge des Knotens der Satellitenbahn in Bezug auf die Bahn

des Planeten. Der obige Ausdruck, wo Glieder von der Ordnung e, &

vernachlässigt worden sind, ist übrigens vollständig in Beziehung auf 7».
Für 2° hat man bekanntlich den folgenden Ausdruck !):

)*

mni TE = ic ap lee a’)

wo z die Abplattung des Planeten und q das Verhältnis der Centri-
fugalkraft zur Schwere am Âquator desselben bedeuten; o, ist der
Äquatorialhalbmesser des Planeten und 0” die Deklination des Satelliten
bezüglich des Uranusiiquators. Durch Reihenentwickelung erhält man,
wenn man die Glieder von der Ordnung & vernachlässigt:

are ONG baer)

wo y die Neigung der gestörten Bahn in Bezug auf den Uranus-
üquator ist,

Schliesslich kann man nach der LEVERRIER schen Bezeichnungs-
weise der Funktion £2, die folgende Form geben:

1) Siehe z. B. H. Srruve, Beobachtungen der Saturnstrabanten. Erste Abtheilung
(Supplément I aux Observations de Poulkova), S. 68

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 43

1 | | E
= A1) p2 — 31) ain? ar
2, = fmy E A + S pog q 27 Sin” 9 4 4

wo m, die Masse des störenden Satelliten und y, die gegenseitige Nei-
gung der störenden und der gestörten Bahn sind. Die Excentricitäten
der störenden Satellitenbahnen sind hier vernachlässigt worden.

Nach der LAGRANGE'schen Methode der Variation der Konstanten
hat man die folgenden Ausdrücke für den Differentialquotienten der
Bahnelementen:

dE 290 937 40
QR 31a ta ja: y 1 —éay
40 1 aQ

di 44 sinyy1--e'34

dy _ | a2 #27 30
dt id siny V1— 2020 Ja V T= ep?
de _ Vi-— ea
dt = ide AP

Dabei bedeutet A die mittlere jährliche Bewegung des gestörten Satel-
liten und E die Epochenlänge.

Wir betrachten zunächst die sekularen Sonnenstörungen und haben
dann für diese die folgenden Ausdrücke !):

E ) = 2 E qoos yo cos’ 5
En s

dt 5 E ZR COS Yo

DD ege 15

E ) = : | g— zeos vot x Sos 5]

1) Hierbei ist zu bemerken, dass die Glieder, welche P enthalten, in Folge der
Bewegung des Periuraniums zu den periodischen Gliedern gerechnet werden müssen.

44 ÖSTEN BERGSTRAND,

wo 4, die mittlere jährliche Bewegung des Planeten bedeutet. Die
von € abhängigen Glieder sind in dieser, wie auch in den folgenden
Formeln vernachlässigt worden.

Für die periodischen Sonnenstürungen ergeben sich, wenn man
die jährliche Bewegung des Periuraniums mit bezeichnet, die folgen-
den Ausdrücke:

Agro 3 3
dE = 715 £, (1 5608179 cos? 7) SI — 2a) se
: if! 1 ;
ar 4 % (4 = COS the CUS: 7.) Sim (oes Ar ÄN

1 il ,
= (1 —$90087,— 5 cos’ 1 sin (2, — 2@;) —

7 il 1 N

7% (1 — 5 COS Y, 5 COS” y.) sin (3, = 20; — P]

9 | MS | | à
90, — ^ = 4 % COS 7 sin (Ir Pie g % COS yo sin (0 OR

. 7 ;
t g cos y, sin (21 — 20.) + g e, cos % sin (34 — 20, — P]

€
LI

À 3 E : 1
9% ie g & Sin 7, COS (h = 20,5 A) g Sin 7, cos (24, — 20,) +

+ g Co sin 7 eos (34, — 20, — Py) |
1 15

ae E CET TOS) cosi(2); = 2) —

"wi (4 — v)

e(1.— eos v eos (2/740 EP)

>

SS

e

TE |

—
ales wm cw
S| Ot BS] Or ND

e sin? y, cos (2P — 20,)

3
—g e» COS 7 (l—cosy,)ism(,—20,4- JAN
3/3 5 \ N
+a(5 + COS Ya cos” yo) Sill (2, — 20,) +

i ;
T g cos yo (1 — cos 7) sin (3% — 20, — E IF

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 45

Ae db hei
Th =p) 32 2 (1 + cos j)* sin (2h — 2P) +

a > x
i (A + yw) ? 32 e ( | — COS 4)" sın (21, == 40, + 2P) +
ie EDS. re = |
ER Ü "7g 2 sin’ 7 sin (mS ON

Für die sekularen von der Abplattung herrührenden Elementenvaria-
tionen erhält man die folgenden Ausdrücke, wo y’

7, © sich auf den
Aquator des Planeten beziehen:

d EV k xo qe iom
Ga 2. 59) SN sin 3 7 |

E = À " = - 2 e [1 = - sin? y + 2 sin? : 71 :

Schliesslich haben wir die folgenden Ausdrücke fiir die sekularen
Satellitenstörungen:

dE el ECS 1 TON
C = ESL. m Ue sis i Oa. sin: 7,5 B? cosy, sin? |

== aY
Qd 24

a
= m
IS

> | ©
|

= — i Am, @.B” cos y,

dP. ii oe ae
icy = gai, a JD n — sin’ 7, + 2 sin? 37] ;

Ehe ich zur numerischen Darstellung der obigen Formeln gehe,
will ich einige durch die Umstände bedingte Vereinfachungen in der-
selben ausführen. Da die gegenseitige Neigung der Satelliten- und
der Planetenbahn y, nahezu gleich 90° ist, werde ich alle Glieder, die
cos’ y, enthalten, vernachlässigen. Da ferner die gegenseitigen Neig-
ungen der Satellitenbahnen und die Neigungen in Bezug auf den
Uranusäquator völlig unbekannt und höchst wahrscheinlich sehr klein
sind, werde ich sie gleich Null setzen. In den Ausdrücken für die
periodischen Sonnenstörungen will ich ausserdem die von e, und e
abhängigen Glieder vernachlässigen.

46 ÖSTEN BERGSTRAND,

Es ergeben sich also die folgenden vereinfachten Ausdriicke
fiir die Variationen der Bahnelemente:

Sekulare Variationen :

= ep 3 cos + 22-50) — Sama 3ü
dP 3 2 1 ly
sit 2 cs] tal 50) +52 im, a BY
do, 3)

GER cU OS y

Periodische Variationen:

Bad 1 4

dE = nl! m0) 0 cos y, | sin (24 — 2@,)
Och |

80, = . 37 cos 7, sin (21, — 20)
3A |

do = urn cos (21, — 20,)

Nach diesen Formeln erhält man die folgenden numerischen
Ausdrücke:

Sekulare Variationen:

= = + 0°,00021 + 24209.

— 43196? ,
55840.
21390,

= = — 0°,00009 + 12109.
+ 573349.
+ 4852 .
+ 417212.

| dO,

auge 0
nun 0° 00004 .

UBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 47

Periodische Variationen :

| QE = — 09,0038 . sin (27, — 20,)
90, = — 0,0002 . sin (24, — 20,)

270 = + 09,0018 . sin (21, — 20,) .

Die numerische Berechnung der Koefficienten ist unter Anwendung der
o o
Newcomp’schen Bahnelemente der vier Satelliten ausgeführt worden.
Nur in den von der Abplattung abhiingigen Gliedern habe ich den im
foleenden § hergeleiteten verbesserten Wert
lan
verwendet. Für o, ist der Barnarp'sche Wert!)

0) E 2 SOS

benutzt worden. Es ist hier hervorzuheben, dass eine Unsicherheit
in den Werten von a und o, die Genauigkeit der Koefficienten von

1 (
te —5 ?) beträchtiich beeinträchtigt.

Wie man findet, sind die Sonnenstörungen, die sekularen wie
auch die periodischen, verschwindend klein. Unter den gegenwärtigen
Umständen sind also die durch die Abplattung und durch die Satelliten-
störungen verursachten sekularen Änderungen der Epochenlänge und
der Länge des Periuraniums die einzigen Störungen, die in Betracht
kommen.

1) Astr. Journal, Vol. XVI, N:o 10.

V.
Ableitung der Endresultate.

Epochenlänge und Umlaufszeit. — Ich gebe in der folgenden Ta-
belle eine Zusammenstellung der in $ III hergeleiteten Werte von Au:

| Beobachter Epoche | Au,
| | |
LassELL | 1859.9 OS ae PPS |
Marri | 1864,2 | + 0,22 + 0,48
NEwcowB u. A. | 1874,5 + 0,74 +0,69
Hart, HorpEN | 1876,2 | e525 520,705
Horoen, Hoven, u. A.| 1880,11 | +4,25 + 8,23
Henry 1884,3 + 3,28 +1,92
| PERROTIN | 1887,4 +1,67 + 0,86
| RTE | ;
| BARNARD | 18944 | + 2,74 +0,57
| BARNARD | 1895,4 2,102 3220,07
Hussey, ScHAEBERLE | 1897,4 | +1,42 +0,41
Arrken, Hussey | 1898,4 | + 3,13 + 0,56 |
| AITKEN | 18994 | +2,93 +041 |
AITKEN | 1900,4 + 2,01 +0,35
AITKEN |. 1901,4 | + 2,28 0,39 |
SEE | TSO) SE BOS) STET |

Ich vereinige diese Werte in den folgenden Normalwerten:

Epoche Au,
1863,7 + 00,24
1875,7 | +1,09
1886,8 se IT
1894,7 + 2,54.
1897,7 | + 2,01 |
1900,0 | + 2,39 |
1901,4 | + 2,39

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 49

Wenn alle diese Werten dasselbe Gewicht erhalten, erhält man
nach der Formel
4u + (¢ — 1872,0) . A = Au,
die folgenden Bedingungsgleichungen :

(10.1 = 43°)
Je HO) à du — 0,83. 447 — 0,24 = 0

+ 1,00 + 0,37 — 1,09
+ 1,00 + 1,48 = eye
+ 1,00 11907 = 951
+ 1,00 + NO — 2,01
+ 1,00 + 2,80 — 2,39
+ 1,00 + 2,94 — 2,39

Die Normalgleichungen lauten:

ROO ned) 1560 554225 12.0350
+ 11,60. au? + 31,26. 10 — 27,77 = 0 .

Es ergeben sich durch die Auflösung dieser Gleichungen die folgenden
Verbesserungen der, Epochenlänge wf? und der mittleren jährlichen
Bewegung 1:
| Zu — 09801 = 02.110
, 2 056€ 0 005:
4i = + 0,0569 + 0,0052
Die Darstellung der Normalwerte von 44, durch die Formel ist
die folgende:
(Beob.—Rechn.)

+ 0°15
— 0,02
— 0,27
— 0,39
+ 0,31
+ 0,06
+ 0,14.

Die verbesserte Epochenlänge wird also:

— 220611 (1871, Dec. 31,0 M. Z. Washington).

Uy = UV

Herr NEwcowB giebt die mittlere Bewegung in vier julianischen Jahren
oder 1461 Tage zu

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. ?"/n 1904.

50 ÖSTEN BERGSTRAND,
208682°,590
an. Der verbesserte Wert wird
208682°,8176 oder 579.674493 Umläufe.
Man erhält also den folgenden Wert für die Umlaufszeit von Ariel’):
U = 2°,52038000 .

Lage der Bahnebene. — Leider sind die vorhandenen Beobacht-
ungen nicht geeignet, eine Bestimmung der Lage der Bahnebene oder
etwaiger Veränderungen in derselben zu ermöglichen. Ich gebe hier
eine Zusammenstellung der erlangten Resultate:

sx |
ES
ES

| Beobachter Epoche

LASSELL 1852,9 + 69,51 + 29,85 + 59,30 + 20,48 °
NEWGOMB u. A. 18748 | +1,64 +1,01 Salis ET

| Haut, HoLDEN 1876,2 TUR Wy ai Od +0167 ue OS

| Horne, Hoven u. A. 1880,1 = 6:69. 22 656 + 0,83 - 9,84
Henry 1884,3 s 209: S Tor 1.250 ae (0) 610)

| PERROTIN 1887,4 + 248 +0,98 SEO ue (0) 245

| BARNARD 18944 | 131 20,85 0,30 - 0,93
BanNARD 1895.4 — 0,16 +0,84 NOÉ Gr at 08)

| Hussey, ScHAEBERLE 1897,4 + 0,3. +1,14 aa Se 01S;

| Aitken, Hussey 18984 = Bile! zu 1,80 — 2,00 + 1,90 |
AITKEN 1899,4 MTS ar = 52 cd

Wie man findet, sind die gefundenen Werte von 42, und 4i, von
etwa denselben Beträgen wie ihre wahrscheinlichen Fehler,

Excentricitdt und Lage des Periuraniums. — Für e und c, sind
die folgenden Werte erhalten worden:

Beobachter Epoche | e 0n |
LASSELL Ires | ORBIS am (CHOR. | Bí) ae OS
Hatt, HorpEN 1876,2 | 0, ‘009 + 0,007 136,5 + 26,0
BARNARD | 1894,4 | 0,005 + 0,003 326,0 + 33,8
BARNARD | 1895,20 0.001: 0.003 | 856,8 #145
Hussey, ScHAEBERLE | 1897,4 | 0,009 + 0,001 28,0 + 7,4
Airey, Hussey | 1898,4 | 0,007 +0,003 | A) qe eru
AITKEN | 1899.4 0,002 + 0,002 48,0 +39,9
AITKEN 1901,4 | 0,015 + 0,004 94,0 + 18,7
SEE | 1901,5 | 0,008 + 0,007 | 123,8 + 52,9

1) N. B. bezüglich des Knotens mit dem beweglichen Erdäquator.

UBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 51

Ich habe in Astr. Nachr., N:r 3889 die folgende, unter Anwen-
dung wesentlich der obigen Werte!) abgeleitete, Formel mitgeteilt:

09, = + 60,6 + 149,31 (¢— 1896.0) .
Die Formel giebt den Werten von c, die folgende Darstellung:

(Beob.—Rechn.)

Diese Darstellung ist in Anbetracht der Unsicherheit der ver-
schiedenen Bestimmungen ziemlich gut. Mittels dieser Formel und dem
unten anzugebenden mittleren Werte von e sind die im § III ange-
nommenen Werte von &, 7 für die Oppositionen 1884, 1887 und 1900
berechnet worden.

Die Resultate der nicht auf der Licksternwarte ausgeführten
Beobachtungen zeigen indessen ziemlich grosse Abweichungen, was frei-
lich nicht allzu auffallend ist, da die Lick-Beobachtungen an Genauig-
keit überlegen sind. Besonders gross sind die Abweichungen der bei-
den älteren Bestimmungen. Das Resultat der Lassezz'schen Beobacht-
ungen scheint durch den augenscheinlich zu grossen Wert von e recht
fraglich. Andererseits waren die Beobachtungen im Jahre 1876 zur Be-
stimmung der Excentricität nicht sehr geeignet. Ich habe daher eine
neue Formel abgeleitet, die nur auf den der Bestimmung der Excen-
trieität günstigen, neueren Beobachtungen beruht.

Wenn man

w, = wf + (159,00 + Aw) (t — 1896,0)

setzt, so erhält man, mit Rücksicht auf die verschiedenen Gewichte,
die folgenden Bedingungsgleichungen:

1) Die Werte für die Epochen 1852,9 und 1895,4 waren in Astr. Nachr. etwas

fehlerhaft angegeben. Die Fehler sind aber unbedeutend.

or
bl

OsTEN BERGSTRAND,

+ 57.00 91 Aw + 57,0=0
+ 6,3 — 3,8 — 30,2
+ 14,4 + 20,2 — 109,4
+ 6,3 + 15,1 — 70,6
+ 10,9 + 37,1 + 32,7
3s Bhi + 20,0 — 481
+ 2,4 ie dero — 99.1

Normalgleichungen:

+ 457,5 oi + 820,3. ay — 1944,9 = 0

+ 820,8 . of + 2684,0 . ay — 4736,8 = 0.

Die Auflösung giebt die neue Formel fiir den Abstand des Periuraniums
vom Knoten:

0 = 3:204 -1-169:0935(7 — 189620):
Für die Differenzen Beob.—Rechn. erhalt man:

(Beob.—Rechn.)

— 100,8
4,0
3,8
6,3
— 8,9
+ 5,0
33,2.

+ + +

+

Welcher der beiden Formeln der Vorzug zu geben sei, scheint gegen-
wärtig ziemlich gleichgiiltig zu sein; ich bin jedoch aus den oben
ausgesprochenen Gründen geneigt, die spätere Formel als sicherer
anzusehen. Jedenfalls scheint es zweifellos festgestellt zu sein, dass
die Apsidenlinie von Ariel eine jährliche Bewegung von ungefähr
15° hat.

Für die ÆExcentricität erhält man den folgenden Mittelwert:

e = 0,0081 + 0,0008 .

Halbachse der Bahn. — Für die Verbesserung dieses Elementes
haben wir die folgenden Werte gefunden:

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 59

Beobachter Ja

LASSELL = (OGG aE 0” 245
NEWGOMB u, A. + 0,073 0,101
Harz, HoLDEN 0,154 +’0.078
Horpen, Hoven u. A. + 0,084 +'0,428
HENRY GS OL MIG
PERROTIN — 0103, = OLO58
BARNARD er ar ON
BARNARD + 0,007 + 0,061
Hussey, SCHAEBERLE 0074 == 01073
ArrkEN, Hussey - 0,365 + 0,086
AITKEN = 0,151 + 0,050
AITKEN — 0,266 + 0,081
AITKEN — 0,205 + 0,084

SEE - 0,429 + 0,144

Ich habe aus diesen Werten den folgenden Mittelwert berechnet:
Aw — 0 56-510: 0297
Der verbesserte Wert für die Halbachse der Bahn wird daher:
= IS SOLA
Als Endresultate der Bahnbestimmung sind also die folgenden

Bahnelemente von Ariel zu bezeiehnen:

m 91510021

u® = 220,611 (1871, Dec. 31,0 M. Z. Washington)

2 = 10,0081
20 4 + 160,03 (1—1896,0)
U = 2152038000.

c
=
=

Die Bestimmung der Lage der Bahnebene muss auf einen zu-
künftigen Zeitpunkt aufgeschoben werden.

ME
Bestimmung der Abplattung und der Masse des Planeten.

Die Abplattung. — Nach den Entwickelungen in 8 IV hat man
für die jährliche Veränderung von c, den Ausdruck:!)

E = 12109. (2 — 1.9) + 57334? .m, + 4852? ma + 17219 my.

Die Massen der Satelliten sind unbekannt. Herr Ngwcows schlägt die
sm an. Wenn man
dieselbe Dichtigkeit und dieselbe Albedo für alle vier Satelliten annimmt,
würde man hiernach für die Masse von Umbriel einen Wert von etwa
m um erhalten. Ein Vergleich mit den von Herrn H. SrRvvE be-
180000
stimmten Werten der Massen der Saturnssatelliten?) lässt vermuten,
dass die obengenannten Werte eher zu gross als zu klein sind. Je-
denfalls dürfte man mit grosser Wahrscheinlichkeit annehmen kónnen,
dass die von den Satellitenstórungen herrührenden Glieder im obigen

Massen der beiden äusseren Satelliten auf je

do,
tah
nach dem vorigen § die totale jahrliche Bewegung der Apsidenlinie
gleich 169,03 setzt, kann man also den von der Gestalt des Planeten
abhängigen Teil dieser Bewegung auf etwa 15°,6 veranschlagen und
bekommt daher:

Ausdrucke für zusammen nicht grösser als 0°.4 sind. Wenn man

pu = 0,013.

- 7 As . ae . : 5

Das Verhältnis © ist bekanntlich von der Massenverteilung im Innern
(p

des Planetenkörpers abhängig. Wenn die Masse homogen wäre, so

hätte man sehr nahe:

E : ; 1 "J2 . ;
1) Der Unterschied zwischen SN E und E ist hier ohne Bedeutung.
( d

2) H. Srruve, Beobachtungen der Saturnstrabanten am 30-zöll. Pulkowaer Refractor
(Publ. de l'Obs. centr. Nie., Ser. II, Vol. XI), S. 228.

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL.

D
Cut >
q DUST

und also

%— > P= UO er
Man wiirde daher, wenn man die Uranusmasse als homogen anniihme,
fiir die Abplattung den Wert
1
DC e
46
erhalten. Dieser Wert ist also als eine wntere Grenze für die Abplattung
anzusehen. Da aber die Homogenität unwahrscheinlich ist, so muss
man annehmen, dass die Abplattung viel grösser als dieser Grenz-
wert ist. Unter der Annahme, dass die für Saturn annäherungsweise
geltende Relation
1

2— > P= DDR

auch für Uranus gilt, ergiebt sich für die Abplattung des Planeten Ura-
nus der Betrag
zu
15

Bekanntlich haben die direkten Messungen der Abplattung zu mit ein-
ander in Widerspruch stehenden Resultaten geführt.

Wenn man für die jährliche Apsidenbewegung den Wert 145,93
statt 16°,03 angenommen hätte, so würde man für die Abplattung den

7
nommene Wert des Planetenhalbmessers den Wert von z stark beein-
flusst, so muss man freilich zugestehen, dass der oben angeführte
Wert von z um mehrere Einheiten im Nenner unsicher ist; doch dürfte
wohl wenigstens die Grössenordnung der Abplattung als ziemlich sicher
festgestellt anzusehen sein. — Diesem Werte der Abplattung entspricht,
nach der Formel

pene

fra
für die Umdrehungszeit des Planeten ein Wert von etwa

qc di.

1 , ;
Wert 17 erhalten haben, Wenn man ferner bedenkt, dass der ange-

56 OSTEN BERGSTRAND,

Die Masse. — Nach dem dritten KEPrLER'schen Gesetz hat man,
wenn man die Satellitenmassen ganz vernachlässigt, die folgende For-
mel für die in der Uranusmasse als Einheit ausgedrückte Sonnen-

masse m:

De ee vor }
o? Tal E Er
n,
wo c,» die grosse Halbachse und die mittlere siderische Bewegung
des Satelliten,‘ N, M die mittlere siderische Bewegung und die Masse
der Erde bedeuten.
Die aus den Beobachtungen abgeleitete Bewegung 2 ist aber

die gestérte mittlere Bewegung des Satelliten und ist daher von der

x : ek Ee ee alee :
ungestörten Bewegung n durch die sekulare Variation =F unterschie-
; (

den. Man muss also
dE
dt

i) mm ih

setzen.
Ferner ist der aus den Beobachtungen abgeleitete Wert der Halb-
achse a, sin a streng genommen ein wenig verschieden von «e. Die
in der vorigen Darstellung vernachlässigten kurzperiodischen Störungen
geben nämlich zu einer konstanten Änderung in der Entfernung des
Satelliten Anlass. Es ist aber, um diesen Umstand zu berücksichtigen,
nicht notwendig diese Störungen zu berechnen, indem man, wie Herr
H. Srruve in interessanter Weise darlegt!), die folgende Relation hat:

M i mo)
GS ID = ||?
24 dí
Es ergiebt sich also, wenn man die hóheren Potenzen von 15 M
d
nachlässigt:
naar ee uk 1248
o? n? = 4 (a, sin a? | pi 1 .
| 24. di

Indem man die annäherungsweise geltende Relation

1) Beobacht. der Saturnstrabanten. Erste Abtheilung (Supplém. I aux Observations
de Poulkova), S. 115.

i
|
|
|
|

ÜBER DIE BAHN DES ERSTEN URANUSSATELLITEN, ARIEL. 57

do.
dt
man den folgenden Ausdruck für die Planetenmasse:

" = (3) (a, sin a? (1 = 2) (1 at 4) :

berücksichtigt, und nach § V für den Wert 162,03 annimmt, erhält

Mit Benutzung folgender numerischen Beträge:
| à = 521690,59

N = 359°,986
a = 137,624
a, sina = 0,0012677
M I
m, 332000
erhält man also für die Masse des Planeten Uranus den Wert
1 1

m, 23383 + 115 '

FPS

|
I

RECHERCHES
LES SOLUTIONS PERIODIQUES
DE LA TROISIEME SORTE
DANS LE PROBLEME DES TROIS CORPS

Ho vy. ZEIPET.

(PnÉsENTÉ A LA Société ROYALE DES SCIENCES p’Upsara LE 8 Avr. 1904)

UPSALA
IMPRIMERIE EDV. BERLING
1904.

E. solutions périodiques et asymptotiques sont, on le sait, les seuls
cas, où il est possible de calculer pour un temps illimité avec une
précision illimitée les mouvements des corps célestes, Bien que ces
cas ne se présentent jamais dans la nature, ils peuvent cependant
rendre d'importants services à l'astronomie. Par exemple on peut avoir
avantage à prendre comme point de départ pour l'étude approximative
d'une certaine orbite une solution périodique qui pendant longtemps se
rapproche de la premiere. Mais la plus grande importance de ces
orbites exactes pourrait bien venir, comme le déclare M. PorxcaRn£, de
ce quelles peuvent être employees comme base sûre de nouvelles
recherches théoriques, de ce «qu'elles sont, pour ainsi dire, la seule
bréche par oü nous puissions essayer de pénétrer dans une place jus-
qu'ici reputee inabordable».

Etant donnee leur grande importance a ces points de vue, les
solutions périodiques ont en ces derniers temps été l'objet de nombreuses
recherches. C'est ainsi que des 1877 M. G. W. Hinr!) dans un mé-
moire trés important utilisait une solution périodique comme point de
départ d'une étude de l'orbite de la Lune. Mais c'est surtout depuis
le travail qui fait époque de M. Porxcan£?) sur les orbites périodiques
que les astronomes leur ont consacré une grande attention. MM. Hrrr?)
et Tisseranp*) les ont prises comme point de départ du calcul des
mouvements de Hyperion. M.M. Simoxix”), HıLL‘“) et SCHWARZSCHILD *)
ont montré qu'elles sont particulièrement utiles pour calculer les per-
turbations des petites planetes dont la durée de révolution est en
rapport presque rationnel avec celle de Jupiter. Enfin MM. Hi,

1) American Journal of Mathematics, t. I; Acta mathematiea, t. VIII.

*) Bulletin astronomique, t. I; Acta mathematica, t. XIII; Les méthodes nouvelles de
la mécanique céleste.

3) Astronomical Journal, No. 176.

^) Bulletin astronomique, t. II.

^) Annales de l'observatoire de Nice, t. VI.

5) Astronomical Journal, Nos. 516, 519.

) Astronomische Nachrichten Nr 3839.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. II. Impr. *" s 1904. 1

2 H. v. ZEIPEL,

Darwın!), Burrau”), PERoHor?) et Mascartr*), CHARLIER‘) ont nume-
riquement et analytiquement étudie les orbites periodiques souvent
curieuses dans lesquelles une masse infiniment petite peut se mouvoir,
si elle est attiree par deux masses finies gravitant autour de leur
centre de gravite commun.

Dans tous ces travaux sauf un on a admis que les trois corps
restent toujours dans un même plan. Par consequent on n'a étudié
ou employé dans ces travaux que des solutions périodiques de la pre-
micre et de la seconde sorte.

Par contre les solutions de la troisième et de la quatrième sorte
(caractérisées l'une et l'autre par des inclinaisons entre les orbites, les
premieres en outre par de petites, les secondes par de grandes excen-
tricites) ont au contraire peu ou point attire l'attention. C'est seule-
ment dans le travail bien connu de M. Pomcark «Les méthodes nou-
velles etc.» que ces solutions ont été traitées. Qu'il existe de telles
orbites, cela est démontré notamment en ce travail (t. I, 8 48) par un
exemple de solutions périodiques de la troisieme sorte à petite incli-
naison.

Tandis que les solutions périodiques de la quatrieme sorte doi-
vent étre, par suite de la grandeur des excentricites, tres difficiles à
etudier, la théorie des solutions de la troisieme sorte est au contraire
naturellement trés élémentaire parceque les excentricités des orbites
sont petites et que la discussion peut par conséquent étre basée sur
les premiers termes simples du développement de la fonction perturba-
trice d'apres les puissances des excentricites. Cependant ces solutions
périodiques de la troisieme sorte meriteraient quelque interét en vertu
du grand nombre de types différents qu'elles peuvent présenter. Peut
étre aussi une discussion des conditions de stabilité de ces orbites,
quand linclinaison cesse d’être petite, pourrait elle contribuer à jeter
quelque lumière sur la question de la constitution du systeme planétaire.
L'auteur a done considéré que les solutions périodiques de la troisieme
sorte devaient étre l'objet d'une étude approfondie. Le présent travail
vise à donner 1" une classification des types différents de ces solutions,
2° une discussion des conditions de stabilité des divers types, fondée
sur une recherche des exposants caractéristiques des orbites.

1) Acta maiematica, t. XXI.

?) Astronomische Nachrichten, Nr 3230, 3251.

?) Bulletin astronomique, t. XII.

4) Ofversigt af K. Svenska Vet.-Akad. Fórhandl. 1900. N:o 9.

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3" SORTE. 3

1. Les elements képlériens d'une solution périodique degeneree
(c.à.d. la valeur limite d'une solution périodique quand les masses pla-
nétaires m et m’ tendent vers zero) doivent on le sait satisfaire aux
équations conditionnelles suivantes:

Co = = = Ze > (1)
a Dg
ud otv oU ENTRE | (2)
à 909 Q9 0 ow ' à
où

1 = (p aE Q) ko — Ph 9 (3

Qq-—e6ec08g , =e cosg ,
(4)

w-esng , w =e sing

p et q sont des entiers positifs, premiers entre eux, @, €, g, à,
le demi grand axe de l'orbite intérieure, l’excentrieite, la longitude du
perihelie et la longitude moyenne à l'époque comptees du neud commun
des trajectoires, a’, €", g’, 4’, ayant la méme signification pour la
planète extérieure.

R est «la valeur moyenne» de la fonction perturbatrice c.a.d.

R=[F], (5)
Li ,
6 arcosH 2
P= / = / 5 ME = ze s (6)
NA = ay COS Jal [5
Dans la formule ordinaire

cos H = cos v cos v' + sin v sin v' cos J (7)

on a en vertu des integrales des aires introduit

COS ff = — a ee (S)

4 H. v. ZEIPEL,

uva 5

= fonction de la constante des aires de m, m’, a et a’,

mı/a
Ve
i a

11

|
|

On sait que la fonction perturbatrice F peut ce developper de la
maniere suivante

ac +n
A a Vl ig de UT UT 5 OS ALS En 5
PS ep er waren. = (sa sie (11)
s=—x s’=0 :

Pour obtenir £ on doit introduire ici

Tu e ik
i+ do = (Pp + Ot ——

à — 2(p 4- q)a ;
jl p

et ensuite ne conserver que les termes, d'oü
scc erp ste AD edu Es a use] ue E

On trouve ainsi

x
WW D 3 D 2
R= > gp" y^ y wy! N,

#=0

COS
sin

(eae (13)

On a a employer

cos, sik-+k’ = nombre pair ,

|

B Li , -. *
sin, Sik + = nombre impair .

On a en outre

^]

hoh +k+tk +21 =|s—s' | 4+ 2u=42p 0) 424 , 3
fes ker ay sees) ED = 20 Sh a

u et w' étant des entiers positifs.
La fonction À contient ainsi outre les variables gy, g', w, y, 4
les paramètres v et & et les entiers p et q. Les coefficients N, sont

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 3” SORTE. 5
des fonctions analytiques de ces variables et de ces parametres, holo-
morphes dans le domaine

Mer (16)
US ECS (17)
pourvu que 9, q', v, wy’ soient suffisamment petits.

Dans chaque solution du système d'équations (2) 4, 9, Pp. w,w

peuvent être considérés comme des fonctions de » contenant le para-
metre « et les entiers p et q.

,

Définition: Par «solution périodique correspondant à la valeur
y=» on entend un systeme de fonctions 2,7, q^, y, w' qui satis-
font aux équations (2), correspondent à des orbites réelles et sont
telles que

LA 1
p=p=w=wy =0, quand D^ mm e

Mon intention est de montrer comment on peut trouver toutes
les valeurs 7, auxqu'elles «correspondent des solutions périodiques» et
d'étudier de pres les dites solutions périodiques.

6 H. v. ZEIPEL,

II.

2. Par suite de l'équation (8) on voit immédiatement que chaque
valeur »,, à laquelle correspond une solution périodique, doit néces-
sairement appartenir au domaine

(So, Si (18)
car autrement on aurait

litis cos) ale

v=V,
ce qui ne peut se produire pour une solution reelle.
3. Des relations (5), (6), (7), (8) et (12) il ressort que la partie

de la fonction R indépendante des excentricites, et que nous désignons
par R,, a la forme

Ro = i jä 7 = a Aa (19)
27/0 V 1 + o? — 2a E cos (ar — à + 7 COS (Gp ge »)]

Si les coefficients b” sont définis par l'identité

5 |
D? = {14 a? —2e(u cos x + v eos y)} ? = 6% +

LA:
LEA

+2 Xi cos ix + 2 Ÿ 0% cos jy 43 bY cos ix cosjy ,

i=1 J=1 i

Il
=

j

on a par suite

Ry = 0292 DOO" cosesn (21)2
s=] +
si
q = nombre impair,
et
< E VE ae =
PR, poo it 3 NO s( +) 2 COS SÅ , (22)
=
si

q = nombre pair.

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3" SORTE. fi

4. Il est clair que dans toute solution périodique qui correspond
à une valeur 7, dans le domaine

0 < Ny = || (23)
on a
lim À — À,
LM
où 4, est une racine de l'équation
)
CN (24)
p
Cette équation est évidemment satisfaite par les racines
Pi TT : . .
à T5, si ¢= nombre impair
mos ce Ge So Pes ie (25)

et par
À-r2., si ¢ = nombre pair.

On peut maintenant démontrer que ces racines sont les seules ra-
cines de l'équation (24).

Pour démontrer cette proposition nous donnerons les coefficients
b" des formules (21) et (22) sous une forme qui manifeste clairement
l'ordre de grandeur de chaque coefficient. D’après un théorème ge-
neral de Jacopr!) on a

bY — B [ | D^ eos iz eos jy d x d y
TU 10, 40:
loot se ute EP y THER D NER DR m ee x
= |) = DEP Sin sin? day 7. (26
een m 5 es) jJ en

Il est avantageux d'utiliser la formule de STIRLING ?)

1 [n
xri t us re
n = V2z e m m^ 2 12m o 0 = 0 = 1 (2 )

pour transformer le facteur numérique de la formule (26). On obtient

1) Gesammelte Werke, t. VI p. 103 ou Crelles Journal, t. XV p. 1—26.
?) Dans ce chapitre € désigne la base des logarithmes naturelles.

8 H. v. ZEIPEL,

1.3 d Er zu d
"TC a Oran) = t+) 2i 2j
P (28)
1 fiagy (rg |
Ce
où
La, < ætr+3 +) 1. (29)

On peut aussi donner les développements (21) et (22) sous la
forme

x

Ry 0M E v2 aie p^ E (1-9) ecos2s2dxdy , sig = 2q +1, (30)

ALT 0 vo s=1

Nye WE E | De > p"(1 +0) cossidxdy, siq-2q' , (31)

vg c0 s=1

où l'on a utilisé les notations

2 apg I t
Den 2p+2q sin +) . («Dy PTE gin 2y) , 32
>= («Du SE sn). ( : )j. e»

B'= («Du PTT A - sin 2x). ep?» ee VS sin wy . (33)

M \ / \ 4
0 — Olan ene " 0. = RAR x (94)
D'après l'inégalité (29) on a evidemment

1 , i /
(HO ed ee D ES 39
| à, | em | 0, FÖR : (35)

où
"yd Le efi ye 1
Ome gaa rer asap) ber grs er rm) nuls (36).

Pour obtenir une limite supérieure de la valeur des fonctions ^.
et P' nous cherchons la valeur maxima que la fonction

BG Yo) (ee elis PID sse

peut prendre, quand x et y sont réels et que 0€» «1.

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3” SORTE. 9
Les valeurs de =, y et » qui donnent
FY (x,y.r)zmax.
s'obtiennent au moyen des relations

alog P^ —

=2icotxz—2((+))D?°acusnz=0, (37)
Ov
d log F* — 27, COLY — 21] 2 Dar SNES (38)
0) |
se P = ES S TD (i+j) Da(cosx— eos y) 20. (99)
Qr = DT

Pour Ja valeur maxima cherchee qui est > 0 on a necessaire-
ment

ur sin x cos x sin y.eos y == 0.

Les trois équations conditionnelles, multipliees par

| |
+—tgx,— —tgy,+2
4 nds
et additionnees donnent
sin? © sin? ? : :
= y +2cos% —2cosy = 0
COS & COS Y

d'ou suit

COS x = cosy.

A l'aide de l'équation (39) on obtient ensuite

en sorte que l'équation (57) peut s'écrire

c Sin x DM 0

DM
ZN COL DE 3——
( oa eos a

i.d.
DA 1 ;
COS ig p Ies ot 0"
[04
La valeur maxima de la fonction FY (x,y,») est done obtenue,

quand

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. HL Impr. *,4 1904. 9

10 H. v. ZEIPEL,
cosy —cosy-c,

I : j
u = - dE = 25
à 3E +)

et la valeur maxima elle-même devient
M ive j y
c sso Eee d

Vr ay)
Nous arrivons ainsi au résultat
(reus e

Q € D'< arr?

Or d'apres la formule (1) on a
hG-2)
m UEM q |
Dg
En outre on constate que

Ota DAT UN) .p4-4
log = LL zer)
ap - : ES j p PT i

parceque

]l suit de là que

' p+ 2
lim ee = Che

qi
nn p + qd

Les inégalités cherchées pour d» et & sont ainsi

4

4
0<p<g5,0<D'<es. (40)

Pour démontrer maintenant que l'équation (24) n'a pas d'autres
racines que celles indiquées dans la formule (25) nous différentions par
ex, l'équation (31) par rapport à 4 et nous trouvons

17 . - ca u ,
zn E sini | | DTU Gedy
0 v0
où

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 9"

SORTE. 11
2 Le ner ER sin så
WF = ee > Sx *^sinsz- Ws gnis =
Sim Aq = sin À

(1 — q^ Sc)” q^ sin $4

(1 — 2 @’cosa =e Die) 2 eas sin À
Mais
SIS
=
sin A

et par suite, si l’on considère aussi la seconde des inegalites (35)

= . Er - /
La sin S4 VIS : qo

> sd", pest <= DNS qi =) es ds
= sin A = (1 — 4)

Nous avons ainsi démontré l'inégalité

DS T D ile s = = 0”
e. à. d. en vertu des relations (36) et (40)
Les (41)
= a sr . 0,048937 . ..

On voit par là que l'équation (24) n’a pas d'autres racines que
4=rn,si gus.

On démontre de méme que l'équation en question (24) n'a pas

lautres racines c 7 un ZU © 9 4 |
d'autres racines que 4=r=, sin y=27 +1.

=

12 H. v. ZEIPEL,

II.

5. Nous en venons maintenant a montrer comment on peut
trouver toutes les valeurs de », auxquelles correspondent des solutions
periodiques. Cette recherche est tout a fait differente dans les deux
PAS dj 2g Or = quse

Dans ce chapitre on admet que

q=2¢ . (42)

D'après cette hypothèse la valeur moyenne À de la fonction
perturbatrice ne contient en vertu des relations (15) que des termes
de degrés pairs en 9, y , w, w et peut évidemment s’écrire de la
facon suivante:

09?
Ro200 Pp

o
-

il ; ; 1
R= Ro,0,0,0 + TA 20,00 q? + JY, pp +-

f 1 9 n il D
4 9r Ro020 wr + Tis onn ww + 3 Tee orm y (43)

, 7 /?
+ Boa pwt+ Ri onn Pp yr + Ron Pp Ÿ + Ron py
, . LA
+ des termes du 4° degré au moins en 9, D, Wu
Le premier terme 2,5, est la fonction À, étudiée dans le cha-
pitre II (voir la formule (22)). Les autres coefficients sont donnes par
des developpements analogues de la forme

NV no Ne ad. jt (AY de Ta 4
Rud pp = woe gg COSSK, si 3 4+ = nombre pair, (44)
s=0

et de la forme
à (5) oO FR an 21 a 1 air
Ress = > Ree ag Sins’, si ß+P = nombre impair. (45)
s=1

E à Le
Les coefficients E, ,, sont des polynomes de e et — dont les
, , à €

coefficients sont des fonctions analytiques de » holomorphes dans le
domaine

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3” SORTE. 13

0<»v<1 (46)

ata+p+ 23 at+a+p+ 8

AN . ne Ee (47)

6. Pour les recherches suivantes il est important de connaitre
les valeurs des coefficients des termes du second degre du developpe-
ment (43) dans les deux cas y» = 0 et y= 1. Nous posons

R=R, + pos dq oe sleds quand » — 0,

1 (48)

JO dE ETE soc quand »

où R, et A, sont du degré 2s en 9,9, y,w
Par suite de l'existence du facteur (47) dans les coefficients
Russ nous pouvons dans le caleul de À, (si q >1) et de R, nous bor-
ner à la partie dite séculaire de la fonction perturbatrice!). Nous ob-

tenons ainsi

1 19 , | (2) / 72
E coe (v! ey zer Fur)

€

il, 5 1 12 ll eR (49)
+, | ege eu e (Le) Tv | TOS

il a) 9 9 12 '9 1 (2) / ,
= a ec (q* + w* +g" + y") — 3 «c? (qo — wy)

xU — €) (g? + v?) + (1 = B (q? + v Pr ue (50)

Les termes de la deuxième ligne de ces expressions proviennent
de l'existence de e et e? dans l'expression (8) pour cos J. Mainte-
nant on a

a’
NL EI 1 )
acosJ àcos J'y1 + o? — 2a (cos À cos 4' + sin 4 sin À cos J)

e=e=(

[få sin À sin A

nie I a (cos à cos # + sin 4 sind’ ¢ cos J)} ”

1) Tisserand, Mécanique céleste, t. I p. 406.

14 H. v. ZEIPEL,

et ainsi

oe ie 1% c sin 4 sin Z^ didi’ du qoo
paru western:
en

OU NR: ine fs asinAsint did — _ 11%
pos At. + (tee) Aue
e=e=0

Si nous introduisons ces valeurs dans les formules (49) et (50)
nous obtenons en vertu des relations (43) et (48) les expressions
suivantes

1 &
Ryooo = fono = D «c (1 + 2) = (y

-

1 be AS:
Rio = Roo = — 4 ac” = —0 (51)

0

I 1
Ros00 = Fes = > CC (1 xis 5; == 40

sup et ge leet
1 ds €
Ri000 = Ron.» = soe en (1 = =| = Aj

Rio =— Roos = 15 = — bi (52)

Hosoo = oues = ES (d e — m) =

si mm ds
=

i. Nous en venons maintenant à rechercher les solutions perio-
diques qui correspondent à une valeur 7, dans le domaine

(Wee | (23)

Pour une telle solution periodique on a d’apres le § 4 du cha-
pitre II
hist) ue

v=,

et par conséquent en vertu des developpements (44) et (45)

lim Ru, = Bag + BRE Ar PT as P Sip bic (53)

L3

(+)

= B Bf a

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3” SORTE. 15

si 2+’ = un nombre pair, mais au contraire

lim E, Bg zu. (54)

v=r,
si # + "= un nombre impair.
Dans la formule (53) le signe + correspond au cas ou r= un
nombre pair, le signe — au cas oü 7 = un nombre impair.
Ces formules (53) et (54) sont valables mème si v, = 0 (quand
, N <
D d)'et si sv = 1.

Nous posons maintenant

| Do D(4.) (+) DG)
TOS E) , R 1,1,0,0 Rvs, , ts

UN | ed) (i =
4; ) (v) = on (+) A AN (r) E (+)

RE : (99)
V1,1,0,0 9 0,2,0,0 Lod $ £%0,0,0,2

Ces quatre déterminants sont évidemment des fonctions linéaires

de « et — avec des coefficients qui sont des fonctions analytiques de
€
x, holomorphes dans le domaine (46).

Des que », dans le domaine (23) a une valeur telle que
AP (v,) ID (v,) 4? (v,) a2.) 0% (56)

toutes les solutions périodiques qui correspondent à la valeur x
évidemment comprises dans le systeme de formules:

» » sont

e=e =O0,4=ra,o0ur=0,+1, +2... (57)

Ces orbites forment des cercles autour du soleil comme centre,

et l'angle J, entre les plans des orbites s'obtient à l'aide de la formule

coss il S

Toutes ces orbites peuvent étre tirées à l'aide de transforma-

tions simples de coordonnées de deux types indépendants l'un de l'autre:
(4,)

(DE QAR — pa e 0 ee 0;
(4,)

(LEE — D4, = quee = UE

(95)

En (4,) apparaissent des conjonctions symétriques!) sur la ligne
des neuds; et si q' est impair des oppositions symetriques, si q' est
pair des conjonctions symétriques à 90° de la ligne des neuds,

!) Poincaré: Les méthodes nouvelles etc. t. I, p. 101.

16 H. v. ZEIPEL,

ll en est de méme pour la solution (4,) si l'on intervertit les
termes conjonction et opposition.

Dans ces deux solutions les planètes reprennent leur position
de départ relative apres p révolutions de la planète extérieure c. à. d.
p + q revolutions de la planète intérieure.

Etant donné que les valeurs (57) constituent une solution simple
du systeme d'équations (2), chacune des orbites (4,) et (4,) est la
valeur limite, les masses planetaires devenant infiniment petites, d'une
seule solution périodique (4,) ou (4,). Dans ces dernieres les ex-
centricites sont de l'ordre des masses planetaires. Des oppositions et
des conjonctions symetriques apparaissent dans ces orbites sur la ligne
des neuds ou à 90° de cette ligne de la méme facon que dans les
orbites (4,) et (4,)').

Dans les solutions (4) et (4,) les périhélies sont animes d'une
rotation. par rapport au neud. Les moyens mouvements par rapport
au neud d'une planète et de son perihelie sont d'ailleurs en rapport
rationnel. Ainsi quand la planète extérieure a fait p et la planete in-
térieure p + q revolutions par rapport au neud les perihelies ont aussi
effectué exactement un nombre impair de revolutions par rapport au
méme neud,

En les solutions (4’,) et (4°) les valeurs minima des excentri-
cites sont toujours tres petites. Par contre leurs valeurs maxima de-
viennent sous certaines conditions assez considérables.

Ainsi dans les solutions (4°) les excentricites acquierent des
valeurs maxima considérables

. . . . . (+) f H
l^ quand il y a conjonction sur la ligne des neuds si 4, (r,) est petit;
. J . 5 (+) / À
2° » opp. ou conj. à 90? de la ligne des neuds si 4, (r,) »

De méme les excentricités prennent des valeurs maxima consi-
derables dans les solutions (A5)

. oa B . (—) .
1° quand il y a opposition sur la ligne des neuds si 4, (»,) est petit:
9o : : 5 : = (Sure
2 » conj. ou opp. à 90? de la ligne des neuds si A, (1) »

En tous ces cas les valeurs maxima des excentricites sont deve-

, . . DE u \ D ,
loppées suivant les puissances positives de ^! (oum — yu m yu).

e (T0)

1) Poncaré: Les méthodes nouvelles ete. t. I p. 101.

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 3" SORTE. 17

Plusieurs de ces faits sont analogues a ceux qui se produisent
pour les solutions periodiques de la premiere sorte si le rapport entre

les durées des revolutions s’approche de -, où s est un nombre

S +
entier!).

S. Si r, est une racine de l'une des équations (67) et (68),
existe outre les solutions périodiques étudiées an § précédent, d'autres
solutions périodiques qui correspondent à cette valeur v,. Avant d'é-
tudier ces nouvelles orbites il est cependant utile de rechercher si les
équations (67) et (68) ont des racines dans le domaine (23).

D’apres les formules (51), (52) et (55) on a evidemment

2. (Oa (Ola (OA DE 2

(59)
= My Cy — Do = vU si q > 1 ,
et
ie (=) (C? AD
(1) = (1) = 4, (1) = 4, (1) = (60)
= ay C, — bi E p
On a D ici les notations
Ay e [2 +4) TE) GI SQUE le (61)
€
7e : SE (62)
16 €
On a done toujours
due Orc parceques =O co sc". (63)
L’equation
4, — 0 (64)
a toujours deux racines positives & et ER ou 2 Se.
On a
4,>0
= (65)
- 1
STA
€

1) Poncaré: Les méthodes nouvelles ete. t. I p. 153; Tisserayp: Bulletin astrono-
mique, t. III p. 425; Scuwarzscuitp: Astronomische Nachrichten Nr. 3839.
Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. III. Impr. *,4 1904. 3

18 H. v. ZEIPEL,

mais au contraire

4, «0
3 (66)
- 1
Ness ON RES
€

Si done q' > 1 et si e appartient à l'un des domaines (66)
,
x > Mm m a ER ;
(c. à. d. si = ou — est une quantité assez petite) chacune des équa-
| m m

tions
1, (W205 4, VESNA (67)
A; (v) =0, 4, &) =0 (68)
a un nombre impair de racines dans le domaine (23).

1

€
équations (67) et (68) a une racine qui merite plus que les autres l'at-
tention. Ces racines désignées par 17, v; v, , v? ont la pro-
priete que

9. Quand e ou est une quantité trés petite, chacune des

lim 947? = lim »7» — 357

à (69)
1 I) 1 KC Y
lim 7, = lim wav”,
quand « tend vers 0 ou vers +o, où v'* est la racine de l'équation

à RH)
_=0 70
et, (70)

tandisque »” est la racine de l'équation

= Ro = 1 Sank
Tis ao an = Ir Rio = Rus — = i
LEE) ED p Ir D E Vane 2) a Y
~ TE :
nn = R;0,0 9 Rooaa = Rooaa p) (72)
ES il ak = 1 0 Ro
Jf my = JA rt R = Roos — = =—
0,2,0,0 0200 — 91 3o? 0,0,0,2 0,0,0,2 3i DW

où les fonctions &,, 55 , sont indépendantes de €,

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3° SORTE. 19

oe = 2 ‘
Chacune des equations (70) et (71) a une et une seule racine,
car en vertu de la formule (19) on a d'un coté pour vr = 1:

RN toe nd. 1
x mi COS (ge — =) + cos | (2p + q)r — —
oh, = | d | ) dt==300>0
? LI | = = = 5 Vy Cen
eG uen ye
Demo 20€ COS (2p ge NM
p'
et pour » = 0: N (73)
IR, e (agii cos (a == a cos ( (2p uod) n] :
= dr

00/09 271.0 V FINE
I rei Zecos "T = 2)
p

en eL SN) Aeyt Gö = IS

G2 m 5 = 2
== (er =«*™ cosa) <0 sig =1

tandis qu'on a toujours d'un autre cote
Å
)

2: i- cos (ar —2) + cos (Gp + ar — =) dr

2° R, 3o? 2; 2
En 9 TI ————— 41110
ant viv 74 1] 5 € À . À M

(V 1-Lo? 2o r COS (gz ED COS (24 a)r = 2)
P D
Quant à la grandeur des racines »^* et 7 on peut observer que
Tl | ae
lien? dump 0 (75)
p- cm p= c = :
q= © q=n

Cela ressort des relations
lim R, = 0°,

ar
Se

Coe ar. cos — COs & |

E = = | DR 5 dxdy=0, quand w = » = — .

dy ach te D 2

On peut montrer par le calcul numerique que les equations
(67) et (68) ont souvent aussi d’autres racines que celles considerees
dans ce 8. Mais je n'entrerai pas d'avantage dans le detail.

10. Les racines des équations (67) et (68) sont fonctions de «
et c’est seulement pour des valeurs spéciales exceptionelles de ¢, pas-
sées ici sous silence, qu'il peut arriver qu'une racine devienne une
racine multiple ou que deux déterminants 4, et 4, disparaissent si-
multanément.

20 H. v. ZEIPEL,

Admettons done que

EUM sy an (76)
mais que

+) \ I d Cia) 1 m

di SZ ae Ap (r,)==0 1 (77)

Dans toute solution périodique qui correspond à cette valeur y,
on a nécessairement

w= T i) (78)
parceque en vertu de la premiere des inegalites (77) cette solution
des equations

est la seule possible avec la propriété que y = w =0, quand y =>, .

Les équations qui déterminent q et q' deviennent
(a + a (v—,) --)9-- (+ b' (v—v) 4-..) 9' + 449? 4-3Bg? pr
T3099? + Dg? +...=0, (19)
(b4- b (v —n)4 -)v (C c n) Je + Bg? 20g qf +
ODA Croce e
où l'on a employé les notations
Bono TOME
Rin cub Bole ne (80)
bacon) 34.
et oà A, B, C, D, E, sontles coefficients des termes du 4° degre de

la fonction À indépendants de y et yw’.
En vertu des hypothèses (76) et (77) on a

ac—b? = 0
(S1)
al 74 *) (2A
quo^ «pa 2b, UE
Les quantités a et c ne peuvent done pas être simultanément

égales à zéro. Si c == 0 la résolution des équations (19) donne soit
p=p=0, (82)
soit

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3" SORTE. 21
go ur JG (ac' + a'c — 2b b') Kr KE (ye (27) ae ea s
giae A Ted + ac 2bb') IN S K^ (r—)-c.. \ > (55)
gor» —»)-J-6 (ac + a’c— 260) K+ Ki v—v,)+..},

où l'on a employé les notations

1 2 2 3
F = Tos VAL Di LEE CD RME Tele (S4)
erm LR a
ne:
A, =| A, ete.

Il faut remarquer ici que l'on a

Re ten m (Må (85)
£=0 FRE

ou =
dès que « ou | jl ité ite i i :
N — est une quantité petite et si », est la racine v5 etu-
diée au § 9. Les coefficients 4. D, C, D, E sont en effet des poly-

N 1 De SA - 1 9 a b a 1 5 :
nomes du 2° degré en « et —: n apparait quen 4, — qu'en E. On

€ ce
a en outre en vertu de l'intégrale des aires (8)
MAS
A = 55 2.» + termes de degré inférieur en &
32 dv? 5 j
nl il aR I 1
= — x » » » » en

29 ie 5
334 De &

a . = 9° Der r r
En outre (ainsi qu'il ressort du calcul numerique) on a en general

2 b RT :
lim E Cio
t= ox C D +)

Lü,9,0,0
5 b a. (B RO) : 4
lan — = Mag ee an ua
==) ¢ s=0 O TE)

U1.1,0,0

De là et de l'expression (84) de K ressort l'exactitude de line-
galité (85) suivant les hypotheses admises,

Des équations (83) et d'équations analogues il ressort que d'un
coté et dans le voisinage de chaque racine v, de l'une quelconque des

22 H. v. ZEIPEL,

equations (67) et (68) il existe (si A ==») une solution périodique cor-
respondant à la valeur »,. Cette solution cesse d’être réelle quand
r, est dépassé dans une certaine direction. Les excentricités des or-
bites sont développées suivant des puissances positifs impairs de la
racine carrée Yr — 7, en commençant par la 1** puissance.
D'après l'équation (67) ou (68) d'ou l'on part on obtient ainsi 4
types differents de solutions périodiques:
y] I |
(Br): 4, (2) 05
e cos g = yy —34 39 (v —314)., Mein ges
(fö =E GA = = 0)
{ 0 0 9 .
e* cos. g^ = Vy — 7 Pr»), e sing =e
(B,) 9 4, (rg) =.) 9
e cos g — Yr —v, 9, (v—y,) , e sing =0
(p 4- q) 4, —p^ —7,
| el cos g' = Yv —v, 9, (v —v;) , e" sing
f f
(B). 4° (3) =0,
2 COS. = Mad sg je N, (=e
(p 9), — pA, — 0, : IRE
e cos g’ — 0), e" sing = yy yn (LM
(3,)% 4d (r,) 2 0,
e. cosg = (re sing = yv —3», POLAR

p ( ms — DAS = a s 7 = ;
(7 är ] 0 l 0 e! eos gy! — (0) E e! sin ta = Yr == y, DUR (r = »,) E

I

Dans les solutions (B,) et (B,) les lignes des apsides coincident
avec la ligne des neuds; en (B,) et (5,) les lignes des apsides sont
perpendieulaires à la ligne des neuds. En outre ees types sont ca-
ractérisés par

conjonctions symétriques sur la ligne des neuds en (B,)

oppositions » » » (B.)

oppositions » à 90? de la ligne desneudsen (5,) , si g’= nombre impair
conjonetions » » » (Bs) Sig'= > pair
conjonctions — » » >» (B,),sig= > impair

oppositions » » > (Bu) Sig. M» pair.

RECHERCHES SUR DES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 3" SORTE. 29
La durée de la période est dans toutes ces orbites égale à p
révolutions de la planete extérieure.
Pour chaque type il y a pour une valeur générale de & un
nombre impair de telles solutions si (voir (66) )

(y etie où 1 Ke eo)
€

et un nombre pair (peutetre = 0) si

Comme les valeurs obtenues de 2, 9. g^. v, w’ dans chacune
de ces orbites. constituent une solution simple des équations (2), des
que »—7, est une quantité petite mais 2 — 0, chacune de ces solu-
tions (5) est la valeur limite (quand dans les expressions des masses
planétaires: m=yu, m’=y'u, la quantité u, tend vers zéro) d'une
seule solution périodique correspondante (B') qui existe quand vr — 7,
et —"' _ sont suffisamment petits. Dans ces orbites (B’) les excentrici-

y — y,
tés sont données sous la forme

U
= D ( em Yo b ipd i i ) 3
E,

où en general
1020) NR (0020) = 0

de sorte que e et e' peuvent dans certaines conditions devenir assez
considérables. Ces orbites (B’) ont enfin les mêmes propriétés syme-
triques que leurs valeurs limites étudiées ci dessus.

Il y a une grande difference entre ces solutions (B*) et les solu-
tions (4°) étudiées dans le § 7. En effet dans les premières les pe-
rihelies n’ont pas ce mouvement de revolution par rapport au neud que
nous avons trouve dans les dernieres. Au contraire dans les solutions
(B^) et (B’,) les périhélies font de petites oscillations autour de la
ligne des neuds, tandis que dans les solutions (B^,) et (5^) les lignes
des apsides sont toujours à peu prés perpendiculaires à la ligne des

neuds.

24 H. v. ZEIPEL,

11. Nous avons trouvé que les solutions (4') et (B’) contien-
nent a une exception pres toutes les solutions periodiques de la troi-
sieme sorte.

Des solutions périodiques de la troisième sorte d'un autre type
ne peuvent exister que dans le voisinage de y = 0 quand q — 2. En
ce eas notamment les relations (53) et (54) cessent d'étre valables.

Si toutefois avec les hypotheses admises quelque solution pério-
dique autre que celles étudiées au § 7 pouvait correspondre à la va-
leur » = 0, cette solution devrait évidemment, en vertu des formules
(44) et (45) posséder la propitété que

lin a,
v=0

où 4 est une racine de l'équation
| Tis ooo 2 R;1,0,0 5 Eo » Ioa
Ry x00 5 Ro 2,00 » Ron, Fa
| = 0
2: er)
Rio , Roos Roses Poor |
| os * Ron 9 nn 9 Tonos
où l'on doit poser » = 0.

En vertu des formules (44), (45) et (47) les éléments du déter-
minant du premier membre de cette équation sont des fonctions liné-
aires en cos 4 ou en sin 4 dont les coefficients dépendent du para-
metre « et du nombre entier p.

On peut montrer que cette equation ne peut pas étre satisfaite
par des valeurs réelles de 7 pour de grandes valeurs de p. Je ne
ferai pas de recherches sur la réalité des racines quand p n'est pas
un nombre considérable.

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3° SORTE. 25

me

IV.
12. Venons en maintenant a la determination de toutes les
valeurs de », qui correspondent à des solutions périodiques quand

gage

En ce cas il y a en R aussi des termes de degré impair et
spécialement des termes du 1* degré en sorte que

^| y , ,
R= Je + Ji coo Gy + Jana gy + NONE V E TER w

+ des termes de degré supérieur .

(57)

Si 2.g.9 .w.w sont un systeme de racines de l'équation
(2) possedant la propriete que

g=y =w=yw =0, 2 = 2, quandr=",

les quantités 7, et », doivent évidemment satisfaire aux cinq equations

pre
== pure = IR 150.006 = Ro => Je) = Ji — Ü . (55)
97,
A priori il est peu probable que ces équations puissent avoir
une solution commune dans le domaine

orco se Ds (59)

Cependant nous devons démontrer rigoureusement l'inexistence
d'une telle solution commune des équations (SS) dans le domaine (89).

13. Il devient donc nécessaire de former les expressions des
fonctions &,,,,.. Pss; €. à. d. de développer la fonction perturbatrice
en admettant une inclinaison arbitraire jusqu'aux termes du 1* degre
inclusivement. En partant des formules bien connues pour le mouve-
ment elliptique et des formules (4), (5), (6) et (12) on trouve presque
immédiatement les expressions suivantes pour les fonctions cherchees.

4.

26 H. v. ZEIPEL,

Fs ojo = — fr le — COS À Le — „cos 1 (dr
Do
T mit 3 +04
Ro,,00 = — Aa: Jo \p- a: 2 cos 4 + = COS 7) A (90)
; d 2a \( 1 a: le, TU
Ro = — =e il ie = ct) Sin are 7 (uw) sin A | dt
1 pi 84a!
JR = — Yan) N ie pa i ) sin a + fu — r) sin il dt

où
2 À
D 0 al cos (qu Cole DEP) 91
pe 20[n cos (or À) +» em (ford 2]- D
Dans le cas ou
p= d= 1
on tire de la partie complementaire de la fonction perturbatrice les
termes de correction

\ > m 94 “A m =
dune = 2 uu Cos (20 =A) - 2 coe
Mm i m (92)
\ m : 3 m _ =
OR oon = = 2 — oe sin ar, 4) See SD ae
nx m m

En employant l’equation de definition (20) et le developpement
analogue

De Xon eos ix Y ow COS jy 4N Se COS ix COS jy 93
+2 stn

Je = et 1
on peut evidemment ecrire les equations (20) sous la forme

1 sm; =
R10,00 = > 2 Bi, COS SR

1
REESE oN Pad: | COS SÅ

x

b

ra, ©
Rooao = m D Pi, Sin sa

1 es
Ri = N Hi sınsı

©) amb 0,0,0,1

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 3" SORTE. 2

où
: Syn Se ol) dE e St 1 T
REA er: nei Se er it à (95)

ng = SÖTT (1 3539) (ch 3 guys dg (el ae c)
Fi EN Eu n (3 E o?) (c1 js c?) ir (Ga + Gen.) (96)
)

x
j 0,0,1,0 =

en eee ES EN RS Tr) = Ce)
Ep = OW + bY 4 (3 + a?) (CHI 69). Ao (u —v) (C79 — c7).

14. Les fonctions 5b", c? peuvent se développer en séries ana-
logues aux séries hypergéométriques.
Si en effet on introduit dans la formule (26) l'expression
pes 2 9 ESTATE 2 sna? À panel
DP = 14 o&? —2a(ucosz +r cosy) = (1-0)? 31 — 4ou cos 5 — 407 COS 9 ”
où
[64 =
0 = en (97)
(era).
on obtient

| i oe
1 ie 2 J =e
Bum ise ity ee QUE

Dee

TE jn (ou) (ov) sin" x sin" y dx dy
JE vi 0 MH = yf + =
(1 — dou cos’ 7 — For cos? 2) [
- -

= m 1.8.5... (274 2j 42m 4 2n —1) garmin
= Pala ies = am

m=0n=0

1 & 2 \itm a een oh x N ca 2i+2m X 2j y 2j+2n Y
= (vu) FTov)'” sin* — cos? *?^ 7 sin? cos" ^ da dy
X d PNE A 2 2 2 2

=> D Ket m + 1) (n + 1) (on) (or) ,

m=0 n=

où pour cause de brievete on a introduit la notation

1599272527520 L2n —=6)1.3 2277 2m — 3) lo ..(2)--2n—3) (98)
min 2i-pm—1pj-pn—1 >;

K mn
No

28 H. v. ZEIPEL,

On voit done immediatement l’exactitude des formules suivantes

(ea ae N > Kr (aom NIMM or

m=0 n=0

(tao = > > kr, pA Reise Ec No) om
; m=) n=0 (99)

i

(1 + a) DE = 2 15605 "y (2% ME m — 1) (ou (av) 1 K

0 n0

(1 + a) biv = Y SK Á wu (ox) 1 (or ) j+n—1 4

m=0n=0

En partant de la formule

gj Sio Dos (EAD es yi E ab a ;
(^ = EE : A au) (av)
Qi-1)1.3..Gj 9 Ve (100)
a É i DI emo sn gr bros
T0 vo

qui comme la formule (26) découle du théorème de Jacopr on arrive
| J
pour les fonctions

(eo) ET (SG o

à des expressions (99°) qu'on tire des développements anologues (99)
en y remplaçant Kj?" par KW" (21 + 2j + 2m + 2n — 3).

15. En combinant deux à deux les équations (96) on obtient
après avoir introduit les développements (99) et (99°) les relations
suivantes

( 1 + a)? (Foo + ne) = > V ME y Pr m (one) ens 1 (o1 ASE

(1 Sr a)? (— PF a 0,0 + Fy aue ij = AA NN Kr Tt Qe 5 Nau pedet lo (o? opens a:
m=0n=0 (101)
(1350) Cys oh as eeu mee (ope (ope

m=0n=0

(1 Zum) (= lina Lona) = = MM SSK myn 5n E (GA 1 (Cae -

m=0n=0

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3° SORTE. 29

où l'on a employe les notations
a D). —(1-Eoy ] M;N;-- (1 —e)(M 4 -N;, —1)2i—1)(2j — 1) ,

Or [LE oy LN, 1)(1+0f] (2 necp ata De ;
(102)

Ri; = [16 —2e(u—r)(L N;-1)-(0 0 |M(2j 1) (0. —) MAN ANA),
SM f2 (14-6 26(u—v)) M ;d-N;—)—- (0 2-2) | N(2i—1) (1-5) 0M 4- N, 1) M(2j-1),
M,-2i-p2m 1, N,—23j--2n— 1.

Dans les formules (94) entrent 7, et j, au lieu dei etj. Or ona
d’après les formules (95)

Par conséquent il est évident que les inégalités suivantes sont
valables

Qi fe c 0,

Re > 0 SNL tee (102’)
S T 0 Sie Se

e. à. d. en vertu des développement (101):

ST ud He uU SINN

0,1,0,0

E
T Tes 3. D tue (103)

bs Js LATE T1 f 1
= Be + Bus > 0 N lee

0,0,0.1
=

16. Si maintenant les équations (88) pouvaient avoir une so-
lution commune dans le domaine

30 H. v. ZEIPEL,
Nee peel

4 devrait d'apres le 8 4 du chap. II avoir l'une des valeurs

ec
I 3
Un 1,1, A

Cependant on a d’apres les formules (94) et (103)
POUR iss: OE Rao Rt SiO yale

pourj- 7: But Royo <0 sical, (104)

= 8

pour 1 = => : Bison + Roooı = Ar); — Rose + Rosoı = Bir) .

pour 7 = y Boso + Roooı = — A(v) s — Poono + Roooa = — Biv),

où les fonetions A(v) et Biv) sont définies par les equations:
A) = + E C1) Umi, + Fein) »

ee ei (105)
Biv) y=5 À (—1) [— Ty MEM

17. Nous posons maintenant que

Al) a) si : «cca (105!)
B(r) > 0 NM VE VE En (105^)

Pour démontrer cette proposition on écrit A(r) en employaut les
formules (101) et (105) sous la forme

zl spt stl Eta =

2 x C2 = 5 —+m—1 ———+n—1
20e 460) = 2 2 25 (ET ee en) (ov)
1-0 n=05=1,3,5... Fe
développement qui peut évidemment être remplacé par
2p+q—1 4— [2 (Es Rie Dera SS +u—1 Qi Det! +t—l
"ES 2 2
2(1+0)4()= X y Nos (ou) (or) n (106)

u=0 v=04=0 1-0

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3" SORTE. 31

si seulement l'on pose que

qd _ FR2p+q)+ulg+e DACp LY
Pi = 2p+q +1 gH BR del hs g+1
> Li + 9
7(K—=1)(2p+q) + iD X(k — 1)(2p4- q)M u,(0—10)9 4 v rm
VaQpg) El Hl Ry 2p+4)+1 3g4-1 (107)
2 9 2 2 2 2

À T(k—22)Y2p-4 9) u,1—2)y 4» DU AXE ACER Fe
+ Ace 041 572-1 S(2p-kg)-21 591 Con
9 2 2 CL TE

Le membre de droite de la dernière formule contient + 1 termes
si />k, mais / + 1 termes si I<k.
Maintenant il est evident en vertu de l'expression (102) que

+— Lu, (l—r)q + Fe DA(2p + q qv
Reps Gu» = (27 +1) BGB Y (108)

9 9 9 DEO

en vertu du quoi le développement (107) peut être remplacé par

uv k(2p4-q) +ulq+v Tk(2p--q)u,lqdv (k—1)(2p- q)-Fu,(1—1)g4- v
(= = EN q+ ne +q4+1 g+1 —9K B2p+qQ4+1 3941 +
J) aay 2 era E! e| ay

ru PEE : 2 (109)
+ 5 Ke pee T ee S |

»(2 2p+q)+1 UE

2 Sn \

Mais d’apres la formule (95) on a

(ue PA 2m = | 2j 2m — il
KT = Er )( : 2s jen e

n n

u & 4- B
)= ap
l 1 1 2e42p

Tea = = === —
M Der Ser ey (2 p

(110)

On obtient ainsi

? k(9p-Fq)4-u.104- v T Y2p + q,q,u,v
kl = diopkgdl 941 * Dr Denon (24 Dg+1 . Ce 1 (H il )
ee ARTE FE maze ous zb

ou la notation suivante a ete employee

(E Ty dy zd (20 +. 1) (26 + 1) + 2v
k(2a+ 1) Ew : 2265 EN) y )

Et mE rey pee dan (112)
ea Bea le (N ae NE =

5 Ea Der ee
RE REN): (252: 1). m

(Qa: E1,20-T- 195v c
kl

32 H. v. ZEIBEL,

Dans le membre de droite on ak + 1 termes si / 72 £, mais I + 1
termes si | « k. En outre

18. Les quantités Cebe sont des nombres entiers, et ily à

toujours

(Opus e De (113)
On a en effet
2a+1,2b +1,u,r 4 3 S de IT ^ 114
Qe BEST Adice eum i _x)dæ, (14)
2L 0 DE dx a 2
ou
k 4 M er
Fig, (% N (2E + 1) (2a 4- EEK any Er =
Bau (X) = ah inm ‘) eos (2r + 1) x, (115)
et nous démontrerons que
A d 7
Je (2) 07 ag Pr (2) < 0) si 0 = x = 5 - (116)
Evidemment
22g; = Bee (x) (117)

si la fonction du membre de droite est définie par l’equation

Gt. (x) = 2 cos 3 ST ss n . (118)

Goes

Car cette definition fait apparaitre les proprietes suivantes
Gin (x + 27) = Gr (X)
ea) =62.@ (119).
Ga (xa) = GER (e+ (2a-p1)2) = (—1)" Ga (OR
en sorte que le membre de droite de la formule (117) peut s'éerire

Gier) (x) = g, COS a + g, cos Bx +... + fun cos (2 + 1)x; (120)

et en vertu de la formule

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3" SORTE. 33
3 Pipe || 20-01 5
(2 cosy) tt = 2 ( ar ) COS y + le E ) COSSU--..--
| Pa | er

JY
an & “| cos (2r — 1) y+ eos (27 £1)y
on a en outre

a ea
Gun = 2 | een) ey, Ibs eee eet (121)

Saye (2k + 1) (2a + 1) +
Qa 08 ino IM

d'où découle l'identité (117).

19. Pour démontrer les inégalités (116) ou leurs équivalents

Y l J ç
Gere, Gr (2) <0 quand 0<r < s (122)
AL

nous voulons employer l'équation algébrique
ges. S, (x) 2 gu +5, (X) 2 eec + Sva + Sona (x) =
dont les racines sont
D) x . 2n ] 5) 9
2; = 2 cos |, lie ): y 280717225. 20
2-5 Zar]

Les coefficients de cette equation ont evidemment les proprietes
suivantes:

S, (x + 27) =S,(x) ,
SLE) Spl
S.(e+a) =(— 18),
d'ou l'on conclut aisément que l'équation en question est de la forme

CC MC CE |. LG et ¢cos x — 0, (123)

ONG, , C,,.-C, et C sont constants.
Il nous suffit de connaitre la valeur de c. En vertu des for-
mules (120) et (121) on a
ll = Gala. Ga,

72a--1

Gg (z) z 2 (2a + 1)eosz.

21 H. v. ZEIPEL,

Mais d’après l'équation (123) et la dernière formule on a

E ert 1c (2a--1)eosxe-(2- c) (2a+ 1) cosa,

i=0
dott l’on tire

GR (124)
20. Pour raecourcir on introduit les notations

ym (m (3 m d n a 195)
Ge Ge aoe ee = CEE (125)
L’equation (123) multipliée par 2" donne 24 + 1 équations si l'on
introduit d'abord z= 2, puis z = z, et ainsi de suite. Si l'on additionne
toutes ces équations et si l'on differencie ensuite leur somme on obtient
l'une des relations suivantes:

Lote) ar 65 Her? ic Cy Eee) 3E sak + Ps Hoe» ct 5
(126)
= 2G sing += 2 cos a, R= Le artes

Parmi ces équations on multiplie la (2m + 2)"* par e, la 2m
par e,, etc... et la 2 par e,,, puis on additionne les m+ 1 equa-
tions ainsi obtenues.

Si les coefficients

Co » Ca se + Cam
sont choisis de sorte que
e, = 1
Ga EN ANT EN 1)
€, E 6, 6, 456, eo = 0 (127)

Ch Cee peel

Can cL C» Como + C4 Com—4 + O99 + Com €, = 0 3

Co = O SEEMS

on obtient de la facon indiquée ci-dessus l'équation suivante

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3" SORTE. 3)

eee (Gg Sil 22H” eos) 6» LG SI Det HU COS L) Crna
3 (128)
3E (G 2i 1) sin zx at Ho») COS xv) exe

On trouve de la méme maniere:

fae —(G sma HW cos 2) en (G4 sin 2ER eos «t 20...
= (129)
(GE En r Pico) ai

Les nombres %,e,.. définis par les équations (127) sont tous
des quantités positives, car d'un coté on a précisément en vertu des
dites équations

oo

Dee Sl e yee CU oe Gary (130)

k=0

tandisque d'un autre coté en introduisant dans l'équation (123)
TED NM IT
x = (2a+ 1) 9

on obtient l'identité

I + ec yt oy 3-..- Fe y" =
+ x Qa dere 27 hye ee! :
= (1 — 4y sin? E ) (1 — 4ysin?2 "m LL an (1 —4ysin a — , (131)

en sorte que dans le développement du second membre de la formule
(130) suivant les puissances croissantes de y on ne trouve que des
coefficients positifs.

Admettons maintenant qu'on a réussi à démontrer que

DELE ERES REI Sont 0 quand «arse = ; (132)

Alors en vertu de la derniere des définitions (125) celles des fonctions
Gor. Gre Cr Gm
dont Vindice est impair sont aussi >0 dans le méme domaine, car

lesdites fonctions sont > 0 quand x = 0 et = 0 quand x = = . Les fone-

tions GM, G?.... a indice pair sont naturellement toujours > 0 par
suite de la definition (118).

26 H. v. ZEIPEL,

En vertu de Vhypothese (132) il suit done des équations (128)
et (129) que

(n+1) n+? n+2a+1) à À TL
ES Oa ay, PP ES ont N equand O<2<5.

On voit ainsi que toutes les fonctions H” à partir de la pre-

PES "7 . Ya en san ^ jt .
miere H” qui nest pas = 0 doivent être > 0, quand 0<zx> 5 > Si seu-

lement H^ > 0.

Mais maintenant on voit aisément que

EEO = HOT HAN
tandis qu'au contraire
[glee = 2(2 ad + 1) sin dU em Ho > 0

dans le domaine en question.

Ainsi sont démontrées les inégalités (122), (116) et (113).

Une conséquence des formules (113), (111) et de la seconde
des inégalités (1027) est maintenant que

Pis > 0 si evel.

Mais par là est aussi demontree en vertu du développement
(106) l'inégalité (105).

On démontre d'une facon toute-à-fait analogue l'inégalité (105^).

De là découle enfin en vertu du § 16 que les équations (88)
ne peuvent pas être simultanément satisfaites si », appartient au do-
maine (89).

Aucune autre valeur que

¥,=0 et»,—1

ne peut ainsi correspondre à des solutions périodiques, si y = 24 +1.
Cette proposition n'est pas demontree si

DER il
a cause de la presence des termes de correction (92) en ce cas.
21. On voit d’apres les formules (21), (94), (95), (96), (26) et

(100) que les équations (88) sont satisfaites par 7, = 0 quand q > 1 et
par 7) = 1 pour toutes les valeurs des entiers p et q’.

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 3" SORTE. aj

Dans le eas où
qe
on a d'apres la formule (95)
n=p+t,j =1
et ainsi d'après les formules (94) et (96) pour » = 0
Ro — T. COS 7 ^ Tira => K, COS 7 .

on = dale sin 2 5 nes = JG sin A LI

1H, a) + (1 + 30?) CPt) _ 4a cO»

ie RER ar aces PS rR

(133)

(134)

Comme, on le voit aisement, les quantites H, et K, ne peuvent

JL

pas simultanément disparaitre, il n'existe aucune solution périodique

»qui correspond au valeur y, = 0» si q— 1l.

H. v. ZEIPEL,

38
V.
22. Recherchons maintenant toutes les solutions périodiques qui
correspondent soit au valeur », = 0 ou au valeur v, = 1 si

= 2g 41.
Le développement (13) peut s'écrire d'une facon plus complète:

il 7 il f;
R = Ago + > dp + 44199. + > os :

1 2
+ 5 bo + bury! $3 bos +.

2p44—1 Qa 2p+q—8 93 *
DE 2E (CARMAN) ae 2 y? PP Os hens
(135)

+}

EE 0-1 20403 03 LER
ju 2 y? (Bro? + Pore’) + w 2 y? Qs)... sina
|

+

u 2

air

ST Ai EU on [PPI een 4 eos 274

aD UT QD Mr sin 24 s

ou P et Qi” sont des polynómes de degré i en $,q', v.v
Il est avantageux en introduisant les notations

Serge q ;

C= Fav cose. Pi =, MM = HH
Yur Vur

(136)
2p+q—2 92 y 7 [7
you o? vw? smd, PE, Y ==
Yan Var

d'écrire ce développement de la facon suivante

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3" SORTE, 39

R Tor | 3 | 12
M I ro. = y of +A Pi +5 09201

ur 2 2

| a / | 7
EIE 9 Da Wi + Dra vv + By bs A E

sf ’
Hox + aq) + Ps ++.
2 ; 2 / 2
+ Y AM. Pos + +
f / , - 7
+ U VPP, ’ Pr * Yr 2 YU, 3 €, UE | Us v)
Ici P, et Q, sont des polynómes du 3*" degré en 9 ,9ı' , V, Wr
La série P ne contient que des termes de dimension pair en
Us fis pi et en y, Yi, Wie
Dans les cas dont il s'agit ici, à savoir

(137)

1° ry à peu près =0 , q >0
(138)
2 y a peu pres = 1
les quantités z et y sont petites.

93. Maintenant les équations (2) peuvent s'éerire sous la forme

ak, aR,

Få qms 39
d 9% i ay (13 )

Bob cue a CEE c E
, : (140)

Hifi + lo, (1 d ox XL + ec. =E 0 4

bo + bia yr! + od Te I)
(141)

UE Wy + boo =F Poa +...= Om

On voit aisément que les coefficients @ ... 02. ne sont autres
que ceux étudiés aux 88 5, 6 Roo... Boro. et que l'on a ainsi

My = dan = 43 Ma = 0 = — 0,3 Goo —0,—0,; quand y= 0
(142)
Mon = do = 3 Ga = — Dia = — 0,5; os = Vos =; quandy=1.

De là suit si l'on emploie les notations

Ayo, 033 Doo, Din

1 — ee (143)

a
An, 09 Dia > Vos

40 H. v. ZEIPEL,

que (voir § 5)

D

lim I, = lim 5 — ^ == 0
v=0

= (144)
lim 4,—lim 4=% -- 0 si (—2)(e JEN.
v=1 VET €

Pour toutes les deux hypotheses (138) on a done nécessairement
en vertu des équations (140) et (141)

qu X {f+ (a: ° il) ar (a? * Wf). är “ils 5} *
ae ae De
yr = ylg tle, vt le, Yl+---} >
w= ylg +, Hl, +}

Ici on a employe les notations

(145).

re

4, f = — doses + 011001 >
4. f — Mo Lgr s
i à (146)
Ay. J = — Dosis + Oi Gor >
d,. g- Din Pio — Deoßon -
En outre (2?, ^), etc. sont des polynömes homogènes du degré
k en a? et s? dont les coefficients sont des fonctions uniformes de »
dans le domaine 0 c » <1, n'ayant d'autres points singuliers dans ce
domaine que des pôles. Ces pôles sont du reste les zeros de l'équation
Au 4, = 0 .
En introduisant les développements (145) dans Féquation (139)
cette équation qui détermine 7 prend la forme
; 2 2 n p
cy{ A+ Ba? + Cy? dx ans...)

24. Les coefficients A, B, C,... du premier membre de cette
equation peuvent se développer d'un coté d'apres les puissances entiers
positifs de » et d'un autre coté si

(c —z)(. - 2-0

€

Qi (141) ©

d'après les puissances entiers positifs de w.

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 3” SORTE. 41

On a evidemment

2 *) 2 Q2 D] a] 2 Ar}
Bar Ao Co — 2 044093010 + (55 Gio A OPEN — 2 D, 1 Poa Prot Doo [55 An 2) | 148)

1 1 ^( 0

x <b

EET aed ov vv. ål at Er abu un:
Maintenant on a toujours

en vertu des équations (142) et des formules

Cg = aoe. vs Oo. = [Pon quand » = 0 BER
(150)
2 J |
Gu Broke Oo, = Pon quand » =1 ,

lesquelles se tirent aisément des relations (94), (95) et (96).

Pour rechercher si A’, et A’, disparaissent aussi, nous examine-
rons de quelle facon ces coefficients contiennent le paramètre & Evi-
demment les fonctions «,,, @15 Pros Poa sont indépendantes de e, puis-
qu’elles sont les coefficients des termes du premier degre dans le de-
veloppement (135) de la fonction R. Au contraire il ressort de la for-
mule (S) que les coefficients d,,, Goss 0,,. do, et les déterminants 4, et
4, sont des fonctions linéaires de « et i. Les coefficients A’, et 4°

€
peuvent done être considérés comme des fonctions rationelles de « où
les numérateurs et les dénominateurs sont du L"* degré. Pour que
par exemple 4’, soit = 0 pour toutes les valeurs de e, il faut que les
entiers p et q satisfassent à 5 conditions. L'une de ces conditions se
manifeste sous la forme

(2) 3 2/8
ER eese Non Ne oe pers)
P+4

H(9, a) étant un polynôme de 9 et e, Cette équation ne peut évi-
demment étre satisfaite que par un nombre fini de valeurs de « dans
le domaine 0<a<1, c.àd. que par un nombre fini de valeurs des
entiers p et q.

Si p et q sont suffisamment grands on a done H(9,«) == 0 et
avec cette hypothèse 4’, et 4’, ne peuvent par conséquent disparaitre
que pour des valeurs spéciales de &

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. 5 1904. 6

42 H. v. ZEIPEL,

Bien que l'on n'ait pas réussi à démontrer rigoureusement que
les coefficients A,’ et A,’ dépendent de « pour toutes les valeurs des
entiers p et q on peut cependant considérer comme très improbable
que les valeurs exceptionelles de p et g qui rendent H (9 , «) = 0 satis-
lassent aussi aux 4 autres conditions qui doivent étre remplies pour
que A,’ et A,’ soient indépendants de «

25. L'expression (196) de x et y montre que dans le membre
gauche de l'équation (147) les termes du degré s en 2? et y? c.à.d. le
polynôme (2? , y?}, contiennent le facteur

8:22 -4—9) ,,s(4—9.
ur» a»)

C'est done seulement dans le développement du terme
Ba y

d'apres les puissances de « ou de » que l'on peut trouver la puissance
l^* de w ou de v.
Cependant on peut démontrer que dans les développements

BP AB) ar aer cep eT te Eee

|

C= C, + CERN Cu Cy RET Hs

on a toujours
ID cO et Br ie: (151)
La démonstration se fond sur ce fait que la fonetion
c 9 19 € / D
HT pr?-2rrin cos(w+-g—w—g) tv (wg wo

Des / n Y . , 5 , 5
ou u et » sont consideres comme indépendants l'un de l'autre est
invariante si

: 7t
g est remplacé par g +;

aft , TT

9 > 94.

E]

à > E

, EY; TT

2 » Å + 9
D ,
u » au
7 ,
Vv » ERNA

RECHERCHES SUR DES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 3" SORTE. 43

d'où suit que la fonction R est invariante si

2 est remplacé par 244;

q » — Uy
Ww » g
/ /
g » —— U
,
uU » q
, /
a » u
V » — V

Mais jomets le detail de cette démonstration qui est extréme-
ment simple. On trouve pour B, = €, et pour DB, = C, des expressions
qui sont des fonctions rationelles de « où les numerateurs et les déno-
minateurs sont du sixième degré en &

26. De ce qui précède il ressort maintenant que l'équation (147)
peut s'écrire sous la forme

De = DP TES - a
[PER Sin COS 114) Vit Ane Weems (ALE Ty hae

(152
Sia yi 3», (v | 4) = 0
si y est à peu pres = 0; et sous la forme
Posen eos (Au A ut ee, (ARTE Bae
(153)

= ert (a2) = 0

si » est a peu pres=1.

En general uy étant une quantité suffisamment petite toutes
les racines d'une queleonque de ces équations sont données par la
formule
pe lo IG EK Aiga (154)

C'est seulement dans certains cas d'exception dont VPexistence
est du reste fort improbable que l'équation (152) ou (153) peut être
satisfaite par d'autres valeurs de 7.

44 H. v. ZEIPEL,

27. Les diverses valeurs de 7 dans la formule (154) combinées
avec les valeurs correspondantes de gy, 9. y, w tirées des formules
(145) et (136) nous donnent ainsi (sauf exceptions extremement impro-
bables) toutes les ellipses kepleriennes qui sont des solutions perio-
diques dégénérées de la troisième sorte lorsque

n° Be p
N p rg al

Mais toutes ces solutions ne sont pas distinctes. Evidemment

3 : m 5 dii A 2 7t
les solutions eorrespondant respectivement à 4 — ES et à 2(i--4r) -
-—

ne different entre elles qu'en ce que les longitudes moyennes à l'époque
À, et A, ont été modifiées par des multiples de 2rz. De même on

0

. NE 1 . FETT : = + IT
voit aisément que les solutions caracterisees par respectivement 4 = 5

-

- 25 WD ons ,
et 2 = (i + 4r + 2) 3 ne different entre elles qu'en ce que la seconde

regardée d'un certain point de l’espace est l'image de la premiere
reflétée par le plan invariable. En conséquence nous n'obtenons que
les types notablement différents suivants:

Orbiles à inclinaison voisine de O0".
pec Sa TRI. C= ge ao ine
Y
(C,)

FU :
ERIS = I (fay aia! tees] e esing20,
(p+ q)A — pho —-0, e

e eos g' 2v * (ve -Eyi Y 35») é sing: = Ue

(C)

= ~
; " ecosg =0, esing =V? (vs J- Ya WE)
(p + Dro —Ph=5 >

~

q—1
- . — '
ecosg=0, e sing =v? (y +7, v4...

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 9° SORTE. 45
Orbites à inclinaison voisine de 180°,

mel, Dede Ge aero iq nt

(D,)
2p+q—1
ecosg= mu > (0, + 0, u = 3 e e sin f = 0 ?
(p + ho = Pho =!) , 2p4-4—1

, '
(c (EO) c c

(d; 220; ue s.) 5 e sing! = OF

(D,)

2p+q—1 ~

( Y. COST 0 ema cine ge SEO TS dm en),

DA ==
a ‘0 if 0 5 LI DTE. »

eos =, -¢ Sing = DE (0, ae o, u ME) de

Dans toutes ces solutions la durée de la période est égale à p
révolutions de la planète extérieure. i

Dans les solutions (C,) et (D,) les lignes des apsides coincident
avec la ligne des neuds; des conjonctions et oppositions symétri-
ques se produisent sur la ligne des neuds a un intervalle d’une demi
periode.

Dans les solutions (C,) et (D,) les lignes des apsides sont per-
pendiculaires a la ligne des neuds; des conjonctions et oppositions
symetriques se produisent a 90° de la ligne des neuds a un intervalle
d’une demi periode.

Nous avons jusquici etudie les solutions (C) et (D) seulement
dans l'hypothèse où les masses planétaires sont = 0. Mais en utilisant
la maniere de voir de M. Porxcan£!), on trouve que chacune de ces
solutions est la valeur limite d'une seule solution périodique (0, '), (C;),
(D, ) ou (D;') dans laquelle on fait tendre les masses planétaires vers zero.
Dans ces solutions périodiques (C') et (D') respectivement les excen-
tricites sont développées d'apres les puissances positives de v et u,
(facteur des masses) respectivement u et w. Des conjonctions et oppo-
sitions symétriques se produisent sur la ligne des neuds ou à 90° de
cette ligne de méme que dans les orbites (0) et (D).

28. Les fonctions e et ce’ des formules (C) et (C,) sont holomor-
phes dans le voisinage de v = 0 pour toutes les valeurs positives de e,

1) Les méthodes nouvelles etc. t. I p. 101, 102.

46 H. v. ZEIPEL,

parceque 4, == 0 quand «> 0 (voir § 8). Toutefois les solutions pe-
riodiques (C,) et (C,) ne sont réelles que dans le cas où v > 0, car x
étant < 0, on a d’après la formule (8) cos J>1.

De méme les fonctions e et e' des formules (D,) et (D,) sont
holomorphes dans le voisinage de w = 0 pour toutes les valeurs posi-
tives de « a l'exceqtion de & et + Mais les solutions périodiques (D,)

€
et (D,) ne sont réelles que si w>0, car « étant <0, on a eos J<— 1.

Les fonctions en question e et e’ peuvent se prolonger analyti-
quement le long de la ligne droite entre » = 0 et y= 1. On trouve de
cette maniere des solutions périodiques à excentricites considérables
qui pour certaines valeurs singulieres de » se confondent avee des
solutions périodiques d'une autre nature.

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3° SORTE. AT

MI

29. Apres avoir recherché dans quelles conditions peuvent se
produire des solutions périodiques de la 3'"* sorte, nous en venons à
la discussion des exposants caractéristiques de ces solutions. Nous
devons en particulier porter notre attention sur la question suivante:
Combien d'exposants caracteristiques d'une solution périodique donnée
sont réels et combien imaginaires? Car des propriétés des exposants
en question à cet égard dépend sans doute le caraetere des orbites
générales, qui se rapprochent beaucoup de la solution périodique con-
sideree.

La discussion suivante sera notablement simplifiee si au lieu
des variables ci-dessus employees

, ,
(QUE EC ES
^ of /
A. kh, Wry tl
nous choisissons comme point de depart le systeme des variables ca-
noniques de M. Porxcan£!)

: SE ; (155)
ou

2 )
UE , 232 ft 12 n
A= p Va s À = p \ Gs (12 ap e

a yi a= @)cosg, & =V2A'(1—Yyi — e?) cos g , (156)

— = Y2Al — VER) sing, — 4 = V24’'(1 — V1 — e?) sin g' .

Admettons maintenant que les quantités (155) sont les valeurs
initiales des variables canoniques dans la valeur limite (quand m = m’= 0)

1) Les méthodes nouvelles etc. t. I p. 43.

48 H. v. ZEIPEL,

de la solution périodique considerée à période 7. En une solution

queleonque corréspondant aux valeurs initiales

21 30 718 A + le + Ose E = Oe

(157)
Mae UA. a Dr n +07, n ic ou ;
les valeurs des variables à l'époque 7 soient
WS AAA A AN MEAN NS OG AERO A (158)

2(p+q)a+i+di+A41,2pa+k 4-02 LI ,n+0n+ Any 4-05) Lan.

Si dans le mouvement keplérien correspondant aux elements
(155) il n’y a pas de choes (et dans les orbites peu excentriques au-
paravant considérées les corps ne peuvent jamais se choquer), les fonc-
tions 44,44... di peuvent, on le sait!), se développer d'apres les
puissances positives du facteur des masses u, et des petites quantités
jo Rr DS e e On’ a

Maintenant les exposants caractéristiques « de la solution pé-
riodique s'obtiennent à l'aide de l'équation?)

044 |, 4 Qe 044 044 044
Teas DOA ADRIA
Qd 944 1 ap 944° V4 4
ERU eT 004 007
G(e,m)= | 042 042 (IAN | 4 ger 244 | =0 — (189)
| 004 * 004? 004 091
(COA im LE EI 0An „ar
| 002202 RT NE

où 0.4, 0. 4',.. 01 sont des quantités telles que les valeurs (157) con-
stituent précisément les valeurs initiales de la solution périodique con-
sideree.

Pour l’etude des premiers termes des developpements des ex-
posants caracteristiques suivant les puissances de Vu, il faut connaitre
les premiers termes des développements des fonctions 44, AA’ 42...
4i suivant les puissances croissantes de 4.

1) Pocaré, Les méthodes
?) Poncaré, Les méthodes

nouvelles ete. t. I, p. 63.

nouvelles etc. t. I, p. 179.

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 3° SORTE. 19

On tire maintenant immédiatement des équations différentielles
du mouvement les premiers termes de ces derniers developpements:

Eon 2 TS
BR uum Vat oa. 48 = | Chie SE
i ‘| 04 2s oe on a
T nj ; 7 3
da=u, [ E , Ot ius, AS =, u Joe
0 04 vo 0)
3 3. 73] (160) !)
| es Y" (orm oF
E = / BERN] en usb cu
[PENNE of) i | OS +
>, ( y 73) re / (eee
A4 = )- ’ y ed ate ee Aly =— u = Kohl em
(A oa): 29) + / AU JE +

F est la fonction perturbatrice definie dans la formule (6).
Dans les intégrales on doit se représenter A+ 04,..7' +Jd au lieu
de A,..n.

2 I
Des recherches générales de M. Porycarh il ressort que si l'on
S l
designe les exposants caractéristiques par

ce me Se Se,
on a toujours

a, = {|},

Co = 8 Vin + D, (Vu) E
aues Sein tay Vas)

der 9, Mı + Mı N, (Vu) :

(161)

30. Pour déduire les équations qui déterminent o et 9 nous
suivons constamment les principes posés par M. Porxcan£?),
Nous introduisons ainsi dans l'expression (159) de G (e , u;)

(2 = (ö Tp t NE MINES UE TE

Apres avoir divisé par Yu, les colonnes 3 et 4 et les lignes 1,
2. 5—S8, on obtient aisément:

(2 he
1) Dans ce chapitre on a écrit u, au lieu dee filz à
a

3j

Les méthodes nouvelles ete. t. I $$ 76, 77.

Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. Ill. Impr. !3/5 1904.

50 H. v. ZRIPEL,

9 2R 2
zl EU p rip at
da? |
E age
| G (ou, 272] 4 ^ |
| T8 i sal |
| Ten: ETE |
di a ME i , 0
0. |
QUE pa 3 0 : =
CES E DE)
xj o has sis TG m \ ?
où
oe
Ke = 3p? À ++ : (162)
2
L’equation qui determine @ devient done
go ke — (163)

31. Pour trouver l'équation en 9 on introduit dans l'expression
de G (oe , 4)

(rc NY TTE ec acte NEON IE

Dans le déterminant 6 («,4,) on multiplie la 2° ligne par EC

DEM

et l'ajoute à la 1^* ligne. On obtient ainsi une nouvelle 1% ligne di-
visible par ut (à l'exception du terme — T9u, de l'élément diagonal).
Dans le déterminant ainsi modifié on multiplie la 4°"° colonne par S
P+4

et on l’ajoute à la 3” colonne. On obtient ainsi une nouvelle 3°* co-
lonne divisible par uj (à l'exception du terme — Tu, de l'élément dia-
gonal. Apres avoir transforme le determinant de cette maniere on di-
vise la 1"* ligne et la 3'"* colonne par uw, , les colonnes 4,5,6,7,8

et les lignes 2, 5, 6, 7, 8 par Ya, . On trouve ainsi

| G (Bu, . uw)

N a)
et A EE

u,=0

où

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 3” SORTE. 51

Pre OM TT S U
-— 3 i " Ü —(p+tq)v |
D Ps |.
0 ee 3 wem
QR QA oR 92m OR
NC ES E MUI EET ee,
QA vr 9 ek aye Je QR
0504 070$ ATEN an? ° andy
D, = SR rk oR _ 9. zu AED . (164)
an 94 97098 07 0S 0707, 97°
aR QA d À DE 9. QR
a ee oson'
QR PR QA QA oR EE 9
— Q n = ^ 1) * > = " Li
05802 0S$0$ 95” 0897 0597

La quantite U comprise dans l'expression de D, , et que nous
n’avons pas besoin de connaitre davantage, a la forme

a OA 0 At

a ND é TED í 044
ui U = Uc uid eer. icm E SE

Nous savons déjà que deux des quantités 9 sont =0. Ou on
montrera plus tard que l'équation

D, —-0 (165)
n'est pas satisfaite par 9 = 0. Done on a nécessairement
D,=0 quand 920,

L’equation cherchée satisfaite par + 9, et + I, est done don-
nee par les formules (164) et (165).

La fonction // qui apparait dans les équations (163) et (165)
s'exprime au moyen de la formule (13) comme fonction de q, q^, v. w“.
Ces variables doivent maintenant être remplacées par $, $^, 7, n° au
moyen des formules (156) qui donnent

52 H. v. ZEIPEL,
5 cs
ES yy je Sn y
q VA I + D} 9 (f VA il + js a '
66
y= 4». v-—L 43
VA VA
ou
Ve
A A
22 12 zu 4242

32. Si lon veut maintenant étudier les quantités o et 9 pour
les solutions périodiques des types (4^) et (4%) du $ 7 on doit intro-
duire dans les équations (165) et (165)

et

4-20 pour la solution (44),
7= 2 pour la solution (4%).

Nous rappelons que dans ce cas À ne contient que des puissan-
ces paires de p, 9, Ms y/ cad. de &, & 7, «f.

Dans l’expression (164) du déterminant D, les éléments de la
premiere ligne et de la premiere colonne deviennent par conséquent
— 0 à l'exeeption du premier element qui est == ainsi qu'on le de-
montrera immédiatement,

En outre en vertu de la transformation (166) il vient

a RT oe I rR

Of A dye? gom — Yaa ou? ^
On voit done aisément que les équations en @ et 9 peuvent
s'écrire:

pour les solutions du type (4%):

2 IRK? W 2ps(pta),sa! 167
OF de DIKE DA cp (167)
s=1
| ,9. ; hol
(—49. 0, Rio, Ron
| 0 mer M Ri» (+)
Dt) (92) = , dbi cest (168)

|
|
|
(+) (+) €
| Jig 00 5 1,1,0,0 9 + ASD 3 0 |
| (+) +) 4 €.
| cee ona dits oreet Er daa

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 9" SORTE. 59

pour les solutions du type (4):

gres DURUM CINCTUS DIEI NIU. (169)

ccu I . 0 ^ men + men
Be . TROT NO Rae
le = = {|}
| ) RZ R: ) 2 9: 0
2,0,0,0 9 011,00 9 + AU,

Toys * Var E 0 5 + A

(170)

On a employe ici les mémes notations que dans les formules

(20), (22) et (53).

33. Le second membre de l'équation (167) est évidemment > 0.
Pour trouver le signe du second membre de l'équation (169) on peut
partir de la formule (31) qui donne

x [9 T PT =
B sperme vs JE ene qtd ep quu
T 9 vo s=1 3

s=1

En vertu des relations (35), (36), (40) et (41) la somme qui
apparait dans lintégral double satisfait à l'inégalité suivante

Demo) er > (EDER ys a
s=1 s=1 s=]|
d» jp Qs "7
= —— ENG a y
= PY s 4t =| ; )
&' 2
>= — 0.048937... 2.0
dep 8937
Il ressort de la que
o> 0 pour le type (41, 471)
(17

og «0 pour leitype (4),

et que ces inégalités sont valables pour tout le domaine 0 <r<I,
c.à.d. quelle que soit l'inclinaison mutuelle des orbites.

*
51 H. v. ZEIPEL,

31. Discutons maintenant les équations (168) et (170) dans les
deux cas oü

1°: > est voisin de 0
9°. „ est voisin de 1 .

En tenant compte des formules (51) et (52) et de la relation

on trouve pour » = 0 et quand q > 2:

D (92) = DC (9?) = (44 9)? + (44 DUE VEA UFU SE ih + (a Cx b

et pour v= 1:

D? (9?) = DO(92) = (44 9)? + (44 9°) i di—230 + 60 + (o o
Or il est évident que

igq28pibm0 à
€

9 9 Ji | 3 9 9 (939A
ees (vi = 7 4c = on (0995 ce eee
| € Li

1 d 2b + ec
Ser a D wi

i: ERIS (i ME ec) ^ed (moo, — bi = sic Wc ü c Vec,) 4-4 dr a+Ve )>0,

2

( Cine E zl Lance IC a, + Vee.) — Wi iy = ea)

= CMS = ee E

2200 SIE

;
— (|) Sl mu 1 :

Les racines 9% et 9j; des équations (168) et (170) sont done

réelles, inégales et negatives toujours dans le cas où » est voisin de 0

et g > 2; et dans le cas où » est voisin de 1 si « n'a aucune des va-

leurs & , n etal:
€

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3” SORTE. 55

35. Sir croit en partant de » = 0 ou décroit en partant de
r = 1, on peut se demander quand les racines 9j et 91 de l'une des
equations (168) et (170) perdent leurs propriétés originelles ci-dessus
démontrées d'étre reelles, inégales et négatives?

Etudions par ex. à cet egard les racines de l'équation (170)
quand » croit en partant de v = 0.

Nous introduisons pour simplifier les notations provisoires sui-
"antes:

| 2 =p
a) 25,0,0,0 , b= Rio, > C=Ye en 5
Ve
/ il = L D(— , Er =
CL = — RON .” b = an * C = Ve 00.008 ^
VE

et trouvons que l'équation (170) peut s’ecrire
beau + 2060 069) 3 (me NIE = 071-0.

Pour le discriminant du premier membre nous obtenons l'ex-
pression
a= (qas 266°. cc) — 4 (aie (aret — 07)
(da ce); 2 Alaeb aude reo CO.

Si maintenant

ie, Ss (0)
on a
Wea CGN
Gu + (a a! d (EG) e; + NC (aa — GS JE :
lac
On trouve ainsi que
: p? 3 nee) (ener! — EC
A = (aa BGE). E (aa GA), = I C l ‚(aa - > ) > ()
: ac ONG eH
si
(ES DENS

En outre on a

ad” + 2 bb! + (ee N)

56 H. v. ZEIPEL,
tant que » n'a pas atteint la plus petite racine de l'équation
(Ge D^) (a! Chis) aa eke (172)

On peut discuter de la méme maniere les racines de l'équa-
tion (168).

Si done x» croit en partant de » = 0, les racines 9j et 9j de
l'une quelconque des équations (168) et (170) sont réelles et negatives
jusqu'à ce que l'une de ces racines devient = 0. C’est seulement pour
des valeurs speciales de » et « qu'il peut arriver que 45 = 9j avant
que l'une des racines a dépassé 0.

Il en est évidemment de méme si » decroit en partant der = 1
quand e<e< Le et même quand 0 «s «e ou <e<o, à moins que

€ €
ne, » décroissant de » = 1, le discriminant de l'équation (168) ou (170)
en question devient <0 de sorte que les racines deviennent complexes
avant que l'une des racines ait dépassé 0,

Par solution périodique sfable on entend une solution périodique
dont toutes les exposants caractéristiques, qui ne sont pas — 0, sont
des quantités purement imaginaires.

Concernant la stabilité des solutions (4,‘) et (4,^ nous pouvons
maintenant enonce les théoremes suivants:

Les solutions périodiques du type (4) sont «instables» quel que soit
l'inclinaison entre les orbites.

Au contraire les solutions périodiques du type (As) sont «stables»
pour de petites inclinaisons !) tant que O<r<r,, où v, est la plus petite
racine de l'équation

4, (v4, (v) — 0 s (173)
Ces orbites du type (A) sont en outre «stables» quand l'inclinaison
ve en 1 ang
se rapproche assez de 180° lorsque «== & et e===, et cette stabilité per- .
é

siste. dans le domaine v, <r << 1 où v, est la plus grande racine de
l'équation

[O° MY — £450) 4^ ()] 4? (45? (7) = 0% (173°)

'

M N
) Nous avons exclu les cas ou — = ——.
»

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3" SORTE. Dil

On a ici employe la notation

| 7
CE TS, D (4 (4) € +) 1 (4) 33) me
0 EIU ) = = Ross a. 2 eon RES + € un To en Li ( | 13 )

Il est à remarquer que la plus grande racine dans le domaine
0 <r <1 de l’équation (173) est aussi la plus grande racine de

l'équation (173) sie < e <

Il serait intéressant de traiter par le calcul numérique un cas
spécial (par ex. p — 1, q = 4) et d'étudier pour une suite de valeurs
du paramètre « comment se comportent les quantites o', 93 et 9
quand » croit de » =0 à y —1. Mais pour le moment je n'entrerai
pas dans cette question.

36. Nous allons maintenant exposer en quelques mots les resul-
tats qu'a donnés une etude des exposants caractéristiques des solutions
périodiques des types (B,/), (By), (B,") et (B,‘).

En ce qui concerne d’abord les exposants + «, definis dans la
formule (161), on voit en vertu de l'équation (163) et des recherches
des SS 32, 33, que

03.0. pour les types (&,)et (BE oe
« <0 pour les types (B,’) et (B;'). en
tantque les excentricites sont assez petites.

D'où il ressort par conséquent immédiatement que les solutions
périodiques des types (B,') et (B,') sont »instables».

En étudiant les exposants e, et @, nous pouvons nous en tenir
à une orbite du type (B,) parceque les autres types peuvent être
traites de facon tout a fait analogue.

Admettons done que », est une racine simple de l'équation

Zar ec es
et que
496) 0.
En étudiant l’équation (165) dont les racines sont d'ailleurs 9;

et 9i nous devons par conséquent introduire dans l'expression (164)
du déterminant D,

A em s n=n =0,
Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. !9/s 1904. - 8

Or
[0 0)

H. v. ZEIPEL,

et pour § et & les développements suivant les puissances de y» — v,
valables pour la solutien (B,). (voir 8 10).
On trouve ainsi
QE I gue ne MEE UNE OA VE _9

QAdE DADE dndE Oq0F or 070€

9

en sorte que l'équation en 9 devient

IW M M bt oe
94° 020% 0407 |
ok NS 0 vk of
9497 a’ Andy
ER h 5 SR XR = 0 (175)
0201 ee
rk ok
) ees Gh )
1 08 ede ° 25 i
cR QA
) = ous ) n ge |
( PESE C OF? ( +9

On aurait pu aussi bien faire les recherches du § 10 en em-
ployant les variables & et € au lieu de q et gy. Il aurait suffi de
poser:

y A

SS . re (t :

a= au lieu dea, a —— au lieu de a’
z A

ei b = b' ;

b = —— » b 5 be = — » b
VAA AA

~ a m c.

eom er fet SN
A E A

A au lieu de 4 , B au lieu de D Oleh en

19

On aurait ainsi obtenu pour &, 5? et && des développements
analogues aux développements (83). Si maintenant nous introduisons
ces expressions non détaillées de &, 5” et ££ dans les développe-
ments

YR
E

Lo

Sn
Wry
[53
+

= aly ae es Ie eee ee

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3" SORTE, 50

= =b+ b (vy —») WDM OBERE 4,3 Ds" A,
a a oe Oe emo Mee Wo

af ? 5808 K^ |
AA Sy das) (ac OC 2bb |o if |) sis [s P D (a7 — A)

ay die oR

née gg?

Comme maintenant dans le déterminant du premier membre de
l'équation (175) les elements
Gd nl
= (pp =,
9497 0401,
sont du 1” degré en § et § et par consequent contiennent le facteur
Vv —n,. on peut apres avoir multiplié l'équation en question par
OR

(

2 10]
7 dias

l'écrire:
Econ perso ny. 33.9? — 2 (Ge 2 @ 6 206) a).
7 0)

Les termes principaux des exposants caractéristiques c, et a,
de la solution périodique considérée (5^) ressortent done des dévelop-
pements suivants:

A A! 05 = — OP (v) + (v =) 93,
eo, = 2 (ac ac 250^ ASP (04) - (v — 0) + (v Su) Dy.

(176)

Les développements correspondants pour la solution périodique

(4) déjà étudiés au § 32 sont en vertu de l'équation (168) et des
rélations (80) :

44! 95 = — OP (vj) + (v — %) Ps 77)

1 i) + 1 ( 177)

505429392 = (de «aho 200) 4 (n) «(v = 14) + (vy — vy 4...

60 H. v. ZEIPEL,

Entre les exposants caractéristiques c^ d'une solution périodique
du type (B^) où (B^) correspondant à une valeur » = », et les expo-
sants caractéristiques « de la solution périodique simultanée du type
(4) il y a done les relations:

lim (a5 — a) =

u=0
[s
2 12 n -
Im (5 Zen) U (178)
in
4/12 €) 12.
. [64 0.
lim + =e
Fan

Les memes relations de limites existent entre les exposants ca-
ractéristiques o^ d'une solution périodique du type (B,‘) ou (B; et les
exposants caractéristiques c' de la solution périodique simultanée du
type (4).

Une solution pér iodique du type (By) ou du type (By) ne peut done
pas ètre »stable», si la solution périodique du type (A) existant dans le
meme domaine de v Ee »stable».

Il serait difficile de déterminer par la methode analytique s'il.
existe des solutions périodiques »stables» des types (D, ou (B,‘). Mais -
par le calcul numérique on peut montrer que de telles solutions exi-.
stent vraiment si p et q sont des entiers trés grands et si e est tres
grand ou tres petit. Dans les orbites stables en question linclinaison
est voisine de 90°. Mais nous ne pouvons insister ici sur ces details.

37. Nous en venons maintenant à la discussion des exposants
caractéristiques des orbites périodiques des types (C,‘) , (0) (D;') et (Dy).

Pour étudier les exposants + «, nous en revenons done encore
a l'équation (163).

En diffférentiant deux fois par rapport à 7 le développement
(135) de la fonction R, et en introduisant ensuite les valeurs de
qv. 9, wv. w' conformément aux formules (145), (146) et (136), on.
obtient

ie fee ee Le COS a, SIN EEE

Que
avec les notations
05:9 EL = 20:0 00 10 OR no ay

ep, = Poo Ga ue 2 G0 >
yy Co» — Ga

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3” SORTE. 61

22 € /2 2 22
d b. o Po — 2 Dix Poa Pio + boa [Pio
p =: T I a ee Toe — 8
Dog Dox — Via
Apres avoir introduit les notations
0 = Up 5 Co, = Wo .
v=0 v=0 (179)
io = bh, | Con = Wi ,

„2 2 2
Py = 4,10, + 205 Wy Uy + CoUo > (180)

^ 32 € 3 YT
Pusat sp un ec Ur,

on trouve done en vertu des relations (142), (143), (144) et (150) que

E Ly = +29, (v) quand » est a peu pres = 0
; Ae (181)
AM yer À + we, (u) quand > est à peu pres — 1.

an 4

Les quantités a), b, Co; 4, 01, G; 4 et A, sont deja définies
au moyen des relations (51), (52), (61) et (62).

Conformement a la formule (163) on pourrait maintenant ecrire
les expressions de o dans les types (Cj), (Cs), (Di) et (Dj) et
aussi étudier les signes de ces expressions, mais pour ces recherches
nous renvoyons au prochain §.

38. Pour trouver les expressions des racines 9; et 9j de l'équa-
tion (165) pour chacune des solutions périodiques (C), (C^), (D,‘) et (D./)
nous devons introduire successivement dans l'expression (164) du de-
terminant D, les valeurs correspondant à ces solutions de 7, §, &^, 7 et sj".
Entre outre on à

420. —m—0 pour les types (€;)) et (Dy).
tandis que

4==,§=8=0 pour les types (C;‘) et (D/).

Par la et en conséquence des proprietes generales de la fonc-
tion R exprimees dans les formules (14) et (15), quelques uns des

éléments du déterminant D, deviennent identiquement = 0. Ainsi on
trouve que

62 H. v. ZEIPEL,

oR d À oR len. 0

REDDERE 0507 m dE0n — OE

pour les types (Ci), (C), (Di‘) et (D,'), tandis qu'en outre

XR Xm =
0405 040&

pour les types (C,) et (D,‘) et

E = ok = (0)

0497 X 9797 2
pour les types (0%) et (D).

Quant aux autres éléments on a par ex. pour le type (C,^) ou

(D,‘) en vertu des développements (135) et (145) et des notations (136)
et (146) (ou plus exactement en vertu des formules absolument ana-
logues que l'on obtiendrait si l'on employait dans le Chap V. les va-
riables §, £^, 7, g^ au lieu de q, q^. w, wy’)

QA SDL 1-0 1 9 a
= u Ba MAGUS a Gy

0
E nus Bust mer =
a)
er dudo |.
Vet VE ff + A)
el

2B 1 VRP =
en S EL VAA Qe dr disp X elc:

dou GENE
Un examen attentif de l’ordre de grandeur des divers termes
par rapport à » on u dans les développements (135) et (145) conduit
au résultat que les fonctions X,. X,,... X, données dans les expres-
sions ci-dessus contiennent le facteur 7 si q > 3, et le facteur & si

2p+q>3.
Nous trouvons ainsi pour les types ((,') et (D,’):

#4°D, = err po + Y, ; (184)
et pour les types (C,’) et (D,):
A1 ID) = TRE a yO De) 2E Ws d (185)

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3° SORTE. 63

n

Les fonctions Y, et Y, contiennent le facteur vt! si q > 3: et
le facteur u?" si 2p +q>3.

Les fonctions DS? et DY sont données au moyen des expres-
sions suivantes:

db. Re OP (Qu x 07 [Dios Et

Pro EN TRE UAL DS se o3. (Oia
DY = Poa a WW e er Dist DES
0 n EU qr e a

| () n Che s len ce Wl eee ey

DE PON ENT me UNT es 0, 0
0 ee OMY le ONDE
JE 0 5 QUE EAA Ön URS
€ a so » Geo SE AD, 0
Con . dir > Mo a OU s SF A)
lesquelles développées suivant les puissances de
6—=VA4 I
peuvent s’ecrire de la manière suivante:
DY = (d, — 4uvag)e* + , —turan)(. A» 000 + 2 1011 + Eo. bu.) =
(185)

1 i P T
22 ‘ 2) 2 22 2 OM 77 9
= (= Enr Por 2879) g tid — d, — Auvas 44, ,

DP = (b, + urvalet + f(b, + tuva) (lande + Zub + 02003) —
€
(159)

il $2 € 2 D 9
EE ( Doo Oto + 20 Oia =S | +, — e, + Aura) Fad, -
€
La partie des fonctions D?" et D? indépendante de 4 contient
comme facteur la fonction déjà étudiée au § 24:

A= , — P, — tuvan . (190)

64 H. v. ZEIPEL,

Dans ledit 8 on a montré que d=0, quand w = 0 ou y» = 0,
de sorte que

AA u e^ pu hy SA RTI A TE | (191)

On voit ainsi que l'une des racines 9; et 9j de l'équation (165),
disons 9%, contient le facteur » dans les solutions (C,') et (C,') et le
facteur w dans les solutions (D,’) et (D,)).

En vertu des relations souvent utilisées (142), (143), (144), =
et (179) et en employant le systeme de notations

7 > 2 7 2
4, = Cy Sar by 5 4, E a, Cy == bi ;
Py =O, Uy 20 10, 4) Cy Pau Pb Gy ie
EN
] il 2 9 2 1 Dont 9Y m 192
iSc taps = 2 Doo MS een , S, = 5d + 20 ui eG EE
€ €
1% DE 2 i 2 2
De al a OF == 6 Don ee:
€ €
Qo = On Po = Ay So 9 Mn = OF = 4, Si

on obtient enfin les expressions suivantes pour g', 6; et 6; (où les ex-
pressions de eg’ résultent du § précédent.)

(Cr):
* [p e Q BA,
ee ; P ERIT es s
[n a + 3 Be 5 0, +
(I:
9 2 1B — D Q 9 A A,
CN er RE TI AU pt ae en 193)
0 po + , 3 P i . 4 SS Qo +... ( )
(Di:
(= Ro a I gd
4 P, Qi
(DN):
; p 2 Q 5 AA
RS AT ee Ea Rg 144 a
9 zd nu 3 D = + 0, u +

Si q = 3 les expressions données pour 9j ne sont pas complètes
dans les types (0,) et (C,’).

RECHERCHES SUR LES SOLUTIONS PERIODIQUES DE LA 3" SORTE. 65
i

De méme les expressions de 93 dans les types (D) et (D,') sont
incomplètes, si p = q = 1.

Les quantités P, et Q, sont des formes quadratiques de w, et
Wo: le déterminant de la première forme est — 4,; le déterminant de la
seconde au contraire — 45. Comme le coefficient de »; dans la pre-
miere forme est c, c.à.d. > 0, et dans la seconde

3 DEA 1 2
€C) + 20,6, + = DA
é

cad. >0, et que 4, > 0 quand «>0, on a aussi

PSN Oc Quse

Des formes P, et Q, la premiere a pour déterminant — 4, , la
seconde — 4j. Le coefficient de w; dans la premiere est ¢,, et dans
la seconde

|

3 L 2^ 2

EG sa ode.
€

Ces deux coefficients sont > 0 si 4, > 0. On a done

3 us s 1
Pee eS. Gel sl ei eS =.

[25]

D'un autre coté on a évidemment

: 1
sh EMS SNS OF <0 sis OW= sont petits:
€

De ce qui precede resulte maintenant le theoreme:

Des deux solutions périodiques (C,') et (C,') l'une est «stable» ; parmi
les exposants caractéristiques de l'autre, qui sont —-— 0, il y en a deux
réels et quatre purement imaginaires.

e - 1 1 MET

Si e Ce« 5, ou si e ou — est une quantité petite, l'une des solutions

€ €
périodiques (D,') et (D,') est «stable» tandis que l'autre a deux exposants
caractéristiques réels et quatre qui sont purement imaginaires. En certains
domaines de e dont les limites sont les racines de l'équation algebrique en &

du copo. Ae. 0

qui a certainement 6 racines positives, le nombre des exposants caractéri-
stiques réels devient plus grand.

Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. III. Impr. 15 1904. 9

66 H.v.ZEIPEL, RECHRCHES SUR LES SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE LA 3 SORTE.

D'une facon generale il n'est pas aisé de déterminer laquelle
des solutions (C,') et C,') ou des solutions (D,') et (D,') est »stable» à
cause de la difficulté qu'il y a en general à donner le signe des coeffi-
cients 4, et A,. Quelques eas peuvent être indiqués (par ex. quand

é, p et q sont de quantités assez grandes, ou quand e et 7 sont assez
p

considérables) dans lesquelles 4,' < 0, et dans ces cas c'est la solu-
tion (C,') qui est »stable».

»

»

»

»

À » e © ge
* |
ui! nma

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124 rs Baa ye :
Pag. 4 ligne 5 au lieu de ce lire

Le Ve = COMES

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