LACK «cc VE WS iM MU x [NS Son j S MAN Le C € c « € € € €. c [q 1 Laas % € € Le € re € « X« 4 MEA ORAT “a di We MM PLANT Ay FAIT v. \ a AES MUN ÿ v MAMIE TA es \ p Sv | Ny À u Wy: aed Yu TRUE DU U du V MIC UV MOON QU WT MAN RS PLV PL aV EURE EEE WS NS IY Lc dá 3v Wt V WW Vid VV VUE Sr YY yy yew LE A TA ACER NA wy VYVUVYHVL Y e t UMSO MA cz "V ESS Au M T uz WSU WVU Bye AA uU I Eo dy vv yas V MM | | = TS A MF UVUUD I V UY dT SSSR V. MUT) ut YUYWY Jou eee Seer et aw ur eet vds VU VU UR UT e - ARV UI VY ES © US UYU V2 À +: SUV LOU WIEN uu ve YO My WS LOPS wg UUM MU UYU, À ver AV "Mv UV v y vv. o, CM why | Me y Wy Vv Veyu hd Oe a Ny WY h s | Vv VU SN JN PA Qu \ 2 wv A. iis] Vd Ue Wy [vv ù WE j Vv % j uc OW vd UU UV EX wo c « ET NER CLE. | Dra SR CC CC WE xu CCE E^ oe pin Ee SS Li: "oC HEURE CE ‘CO « SEE TC € ET uc E XC CK wy Wows AE * NU Eas uy vr WWF we v Md VA AMAN V AMT V M" y vU UV VY wi CCL CH ae ETAC Q&&. «x (c CCE € aq = cx cC ««« 1 Cox 1 x. 4 x, CK OE «x S Adde Ve VUE MA ANIM Y I IJV j SV : I \ Jury Guay teres OD ay Mh) A vvv SSV NYSS EN daa MO ANN IS UY oe VM u d dvd x4 : CAE NOVA ACTA REGIAE SOCIETATIS SCIENTIARUM UPSALIENSIS. SERIEI QUARTAE VOL. V. UPSALA EDV. BERLINGS BOKTRYCKERI A.-B. 1923. 6. -1 INDEX ACTORUM. HILDEBRANDSSON, H. H.: Résultats des recher- ches empiriques sur les mouvements gé- néraux de l’atmosphere. 1918 a BERGSTRAND, Ö.: Sur le groupe des étoiles i hélium dans la constellation d'Orion. 1919 ZæiLon, N.: Sur les équations aux dérivées partielles à quatre dimensions et le pro- bleme optique des milieux birefringents. Première partie. 1919 ZEILON, N.: Sur les équations aux dérivées partielles à quatre dimensions et le pro- blème optique des milieux biréfringents. Deuxième partie. 1921. of ure JuEL, H. O.: Cytologische Pilzstudien. II. Zur Kenntnis einiger Hemiasceen. 1921 GisLÉN, Torsten: The Crinoids from Dr. S. Bock’s expedition to Japan 1914. 1921 Jugez, H. O.: Studien in Burser's Hortus sic- eus. 1922 Pag. 1—50 1—37 1—55 1] —128 1—43 1— 184 1 —144 Tab. 6 NOVA ACTA REGIAE SOCIETATIS SCIENTIARUM UPSALIENSIS SER. IV. VOL. 5. N:o 1. RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS GÉNÉRAUX DE L'ATMOSPHERE H. HILDEBRAND HILDEBRANDSSON. (PRESENTE A LA SOCIFTÉ ROYALE DES SCIENSES D’UpsaLa LE 12 Avrır 1918). UPPSALA EDV. BERLINGS BOKTRYCKERI A.-B. 1918. Introduction. N, Un KEPLER n'aurait pas été possible, si un Tvcuo BRAHÉ ne l'avait pas précédée. C'est la méme chose dans la météorologie, Avant qu'il soit possible d'étudier sérieusement les causes des mouvements gene- raux de l’atmosphere, il faut d'abord, et independemment de toute théorie préconçue, chercher à déterminer avec précision ce qui se passe ac- tuellement dans l'atmosphère, c'est à dire constater par observations direetes quels sont ces mouvements et quelle en est la nature. Depuis le com- mencement de la météorologie dynamique au milieu du siècle passé, le but principal pour notre génération a été de concentrer tous nos ef- forts sur wn objet: Savoir rassembler des matériaux suffisamment bons et d'une portée convenable; excercer notre patience à élaborer ces éléments en suivant les directions les plus diverses, afin de facili- ter les vues d'ensemble et de faire ressortir ies traits caractéristiques. Nous essayerons à exposer ici les principaux resultats concernant les mouvements généraux de l'atmosphère gagnés par ces recherches empiri- ques. Toutes les représentations des mouvements généraux de l'atmos- phére, publiées jusqu'iei, sont des résultats de considerations théoriques plus ou moins mal fondées. On a connu assez bien depuis longtemps la direction moyenne du vent, à un grand nombre de stations, dans presque tous les pays du monde, et aussi, grâce à la collaboration de toutes les marines et aux travaux classiques d'un Maury, d'un BRAULT, d'un KóePEN et d'autres savants, notre connaissance du regime des vents sur les mers a été longtemps très détaillée. Mais les mouve- ments des couches supérieures de l’atmosphere ont été jusqu'aux der- nières années presqu' inconnus. On connaissait les contre-alizés qu'on avait rencontrés sur les sommets des pies sur des iles, comme Tene- Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5, N. 1. Impr. */s 1918. 1 rn 2 H. H. HILDEBRANDSSON, riffe dans l'Atlantique et Mouna Loa dans le Pacifique. Ce phénomène fut considéré comme une preuve de la loi exprimée par HALLEY 1686: La température de l'air, qui dépend de l'influence calorifique du soleil, va en décroissant de l'équateur aux poles, or il doit constamment exi- ster un vent supérieur ou courant equatorial, soufflant de l'équateur aux pôles, et un vent inférieur, ou courant polaire, soufflant des pôles à l'équateur. De plus on a considéré le principe, émis de HADLEY en 1735: Quelle que soit la direction suivie par un courant atmosphérique, la rotation terrestre dévie ce courant à droite dans l'hémisphère boreal, à gauche dans l’hemisphere austral. Ce principe de HADLEY a été prouvé par la théorie mathémati- que et vérifié par les experiences bien connues de Foucauzr et d'autres. Le principe de HALLEY a aussi été admis par la plupart des météorologistes. Deja Dove ne l’adoptait pas. Il pensait que le con- tre-alize descendait aux tropiques à la surface terrestre, et les vents du SW ou de l'W régnant sur les mers de la zóne temperee de l'hé- misphère nord et les vents correspondant du NW ou de l'W de l'hémis- phère sud, sont considérés par lui comme les prolongements des con- tre-alizes descendus, et les courants équatoriaux avancent vers les pôles, tandis que des courants polaires marchent en sens contraire, des régions polaires vers les tropiques. Ces idées de Dove sont abandonnées, mais ces dernières années on a soulevé des doutes mieux fondées contre le principe de HALLEY. La découverte importante de Teisserexc DE Bort que l'atmosphère consiste de deux couches: La Troposphère depuis la surface terrestre jusqu'à la hauteur de S—10,000 m, et la Stratosphere au-dessus fait une circulation verticale si simple peu probable. En effet, toute la tro- posphère consiste de circulations cycloniques et anticycloniques avec ses courants ascendants et descendants, et, par conséquent deux cou- rants superposés marchant en sens contraire ne peuvent pas y exi- ster. Dans la stratosphere des courants verticaux n'existent pas, et les courants horizontaux ne sont pas encore étudiés, Il est vrai qu'au- dessus de la zone équatoriale la troposphere s'élève a de trés gran- des hauteurs, de maniere qu'on n'y trouve la stratosphère qu'à une hauteur beaucoup plus grande qu'en Europe, et qu'on a observé au nord de l'équateur sur l'Atlantique, et, par M. Burson sur le lac Victoria RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS etc. 3 Nyanza, des nuages cirriformes marchant à une grande hauteur de sud- ouest. Mais, même s'il y avait dans la stratosphère un mouvement général de SW vers le pôle, ce qui amenerait un courant descendant aux environs des pôles, cela n'indiquerait guère une circulation verticale de toute l'atmosphère entre l'équateur et les pôles. Il faut observer qu'à la limite inférieure de la stratosphère au-dessus de l'Europe la pression de l’air est dejà petite — 200 mm à la hauteur de 9,600 mètres — et à la hauteur à laquelle on trouve la stratosphère au-dessus de la zône équatoriale la pression de l'air a diminué jusqu'à 50 mm (à 17,400 m), et c'est à cette hauteur que ce courant equatorial supposé pourrait com- mencer dans la stratosphère. Mais à cet endroit la masse de l'air mise en mouvement est trés petite en comparaison avee la masse totale de l'atmosphère. Or, on ne peut pas parler d'une circulation générale de l'atmosphère selon le principe de HALLEY. Récemment une autre objection trés grave contre ce principe a été soulevee par Sir NAPIER SHaw et d'autres, Ils font observer que l'épaisseur de l’atmosphere est infiniment petite relativement à la gran- deur de la terre. En effet, elle est relativement de la méme épaisseur environ que celle du papier qui couvre un globe terrestre de grandeur ordinaire. Une circulation double, réguliere dans une couche si mince semble impossible. Il est déjà beaucoup qu'elle existe entre l'équateur et les tropiques. T. Les grands courants de l’atmosphere indiques par le mouvement des cyclones et des anticyclones. Les cyclones les plus réguliers et les plus dangereux sont les tempétes tournantes tropicales se déplacant le long d'une trajectoire. Déjà REDFIELD, Rem, PIDDINGTON et d'autres savants et aussi les navi- gateurs depuis Dampier, ont tous constaté que la force du vent est très différente aux deux côtés du disque tournant en marche. Le côté droit est appelé le demi-cercle dangereux et le côté gauche le demi- cercle maniable, On a expliqué cela en admettant que le cyclone soit un tourbillon entraîné par un grand courant d'air. Alors il est évi- dent que sur Phémisphére boréal, le mouvement de rotation et celui de translation sont dans le méme sens dans le demi-cercle. droit et opposés dans le démi-cercle gauche. Sur les deux hémisphères les cyclones marchent entre les tropi- ques de l'est à l'ouest, dévient à droite sur l'hemisphère boréale et à gauche sur l'hémisphère austral, selon le principe de HADLEY, et en entrant dans la zone tempérée ils marchent par conséquent successi- vement vers le nord, NNE, NE et E au nord, et vers S, SSE, SE et E au sud de l’equateur. La trajectoire est à peu près parabolique avec le sommet à Lat. 20°—30°, selon la saison, sur l'hemisphere nord et sur l'Océan Pacifique à Lat. 15°—25°. Dans la zóne tempéree les cy- clones, ou minima barometriques sont moins réguliers et leur marche plus variable, mais en général vers un rhumb entre NE et SE. Déjà en 1876 CLEMENT Ley a étudié le premier et plus en detail la marche de ces minima!, Il a trouvé que le centre se ment en général à peu prés à angle droit avec la direction vers laquelle les isobares sont les plus serrées. Si le gradient le plus fort se trouve à l'E, au SE ou ! The connection between the relative steepness of gradients in a depression and the course of the depression. Journ. of the Scottish Met. Soc. 1876. RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete. 5 au S du centre la dépression marche le plus souvent vers le N, le NE ou l'E, etc. Cependant si les gradients les plus forts se trouvent au NW, au N ou au NE du centre, celui-ci reste le plus souvent immo- bile, ou se ment (ordinairement lentement) vers une direction quelcon- que: pourtant un mouvement vers l'ouest, qu'on devrait trouver alors, est en effet trés rare. Ce fait a inspiré à CLEMENT Ley cette idée, »peut-étre plus simple que correcte», dit-il, que la direction du centre est la résultante de deux forces indépendantes, l'une la force du gradient (»gradient force») qui dirige le centre à angle droit de la direction à laquelle les isoba- res sont les plus serrées, l'autre »une force inconnue, un peu plus forte» que la premiere qui l'amène vers le NE ou VE. En étudiant plus en detail les parties boréales des minima' j'ai constaté que les dépressions ayant une basse pression au nord d'elles ne sont pas fermées en haut au nord du centre. Mais si au contraire la dépression passe au sud d'un maximum, le tourbillon a une hauteur plus considérable et il est fermé méme au N du centre. (Pl. I). Cela s'explique facilement en admettant que les dépressions soient des tourbillons dans un courant d'air, marchant de l'ouest à l'est. Alors il faut qu'elles aient comme les cyclones tropicaux un demi-cercle dan- gereux à droite et un demi-cercle maniable à gauche. Si le courant de 'W à IE — »la force inconnue» de ÜLEMENT- Ley — est un peu plus fort que la vitesse de rotation au nord du centre, le mouvement de l'air sera de l'W à l'Est relativement à la surface terrestre. Mais la vitesse de rotation dépend du gradient baro- métrique, et celui-ei doit en général être plus grand s'il y a un maxi- mum vers le nord; et alors la chance est plus grande que la vitesse de rotation dépassera celle du courant de l'W à l'E; mais alors le tour- billon est fermé au nord du centre. Les trajectoires des minima sont plus irrégulières sur l'hémisphère boréal à causa de la répartition irre- guliere des terres et des mers; sur l'hémisphère austral au contraire »les braves vent de l'ouest» des marins, engendrés par les vents de l’ouest au sud des maxima tropicaux et ceux au nord des minima de la zóne tempérée, sont d'une constance extraordinaire. ' HILDEBRANDSSON: Rapport sur les observations internalionales des nuages au Comité international météorologique. P. II. p. 22. Upsala 1903. 6 H. H. HILDEBRANDSSON, Le directeur de l'observatoire de Sidney H. C. Russez a étudie le premier la marche des anticyclones sur l'océan Indien" et en Au- stralie. Il a trouvé que les anticyclones fixes indiqués sur les cartes des isobares moyennes des tropiques sont causes par une série d’anti- cyclones qui passent continuellement de l'ouest à l'est à des latitudes pres- que constantes (au tropique du Capricorne), de la méme manière que la basse pression au sud de l'Islande en hiver est due à la série con- tinuelle de dépressions qui traversent cette partie de l'Atlantique nord. Les trajectoires se trouvent à 37°—38° Lat. S. en été et à 299— 32°. en hiver. Ces études ont été poursuivies par M. WILLIAM Lockyer dans son traité intéressant sur la circulation des vents de l'hémisphère au- strale®. En comparant les courbes barometriques de deux stations si- tuées sur presque la méme latitude, mais à une distance lune de l'autre de plusieurs degrés en longitude, il pouvait déterminer le temps auquel le maximum avait passé entre ces stations. Par un grand nombre de mesures semblables il a trouvé que la vitesse moyenne est par jour: au-dessus de l'Afrique australe 12? en longitude. » » lAustralie iil s >» » » > l'Amérique du sud 1191 » » Vitesse moyenne sur les continents 112,5 Au-dessus des oceans la vitesse est par jour 9°,2 en longitude pour tous les Océans au sud de l'équateur. Une recherche analogue sur les minima des ondes barometri- ques dans les regions antarctiques a donné pour la vitesse moyenne des cyclones à peu pres la méme valeur: 9°—10° de longitude par jour. Or, dans l'hémisphère australe il y a deux zones de tourbillons, anticycloniques autour du tropique et cycloniques au sud de 60? Lat. S. Cela est en accord parfait avec les cartes des vents moyens de l'hé- misphere austral. En effet, tout autour de la terre entre 40? et 55° Lat. S. règnent »les braves vents de l'ouest», les vents les plus con- stants qui existent. Ils résultent des gradients constants entre les maxima au nord et les minima antarctiques. Le régime des vents est ! Mouving anticyclones in the Southern hemisphere. Roy. Met. Soc. Lóndon. Quar- terrly Journal 1893 p. 23. ? Southern Hemisphere Surface Air Cireulation. Solar physics Commitee. London 1910. RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete. 7 done beaucoup plus simple sur l'hémisphère australe, presque tout-à- fait couverte d'Océans, que sur l'hémisphère boréale où les continents causent de grandes perturbations. Le Fig. 1, fait voir la circulation de l'hémisphère australe selon M. WILLIAM Lockyer. Or, l'étude des trajectoires des cyclones et des minima barométriques a prouvé quil y a un courant constant de TE à VW entre les tropiques et des courants en sens contraire de UW à l'E sur les zones tempérées. II. Les grands courants de lair indiqués par les directions moyennes des nuages. Pour étudier les directions moyennes des courants de l'air à des altitudes diverses au-dessus du sol on a discute les observations des mouvements des différentes formes des nuages. Les observations fu- rent organisées par moi en Suède en 1873 et un peu plus tôt en An- gleterre par CLEMENT Ley. Peu à peu de telles observations furent com- mencées en plusieurs pays. Mais au commencement les observations régulières étaient trop rares, souvent leur valeur n'était pas hors dis- cussion, et — ce qui était pire — la classification des nuages était differente en différents pays. D'un autre côté on ne saurait affirmer à priori que la direction moyenne d'une certaine forme de nuage observée soit celle du vent dominant à la méme hauteur. En effet, pour qu'on puisse déterminer la direction des courants supérieurs, il faut d'abord qu'il y flotte des nuages, parce que sans cela ils sont invisibles; ensuite il faut que ces nuages ne soient pas cachés par des nuages inférieurs. Or, il est évident que ces conditions ne sont pas toujours satisfaites. Malgré ces inconvenients, nous avons traité cette question d’une manière préliminaire. En 1885! nous avons discuté pour l'Europe les observations des mouvements des nuages supérieurs, faites à un grand nombre de sta- tions, et, en 1889* nous avons étendu ces recherches autant que pos- sible sur toute la surface terrestre. De ces résultats trés concordants je tirai les conséquences suivantes: I? Dans les régions supérjeures au-dessus des zónes tempérées il règne des courants dont la direction est en moyenne de l’ouest à l'est; ' The mean directions of Cirrus-clouds over Europe. Quart. Journ. Roy. Met. Soc. 1885. ? Sur la direction moyenne des courants supérieurs de l'atmosphere. Mémoires du congrès internat. météor. à Paris 1889. RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete. 9 2? Entre les tropiques leur direction est en sens contraire — ou de l'est à l'ouest; 3° La direction des courants supérieurs semble coïncider à peu près avec la trajectoire moyenne des centres de dépressions baromé- triques. En février 1887 R. ABERCROMBY et moi nous avons présenté deux mémoires devant la Société météorologique Roy. à Londres, dans lesquels nous avons proposé une classification nouvelle des nuages. La Con- ference météorologique à Munich en 1891 a recommande cette classifica- tion comme internationale, et elle nomma une Commission des nuages, dont j'avais l'honneur d'étre le président, pour prendre les mesures né- cessaires pour la publication d'un Atlas international des nuages en cou- leurs de dimensions et de prix moderes!, En méme temps la Conférence proposa que des mesures des mouvements et des hauteurs des nuages soient entreprises pendant une année à différentes stations, disséminées sur toute la terre, et on m'a demandé de rédiger des instructions pour ces observations. Toutes les préparations faites, le Comité permanent météorologique, ainsi que la Commission des nuages se sont réunis à Upsala au mois d'août 1894, On avait organisé pour cette réunion une exposition con- tenant plus de trois cents reproductions de nuages — en photographies, et en eouleurs — des diverses parties du monde entier. La Commis- sion, apres avoir choisi les figures destinées à étre reproduites dans latlas international des nuages, chargea une Commission de la publi- cation. Elle consistait de M. M. H. HILDEBRANDSSON, A. RIGGENBACH et LÉow TEISSERENCG DE Bort. De plus la Commission a fixe la description et les définitions des diverses formes des nuages, ainsi que les instruc- tions pour les observateurs. Toutes les propositions furent acceptées par le Comité permanent qui invita tous les établissements météoro- logiques du monde à exécuter des observations et des mesures des nuages du ler mai 1896 au ler mai 1897 selon les instructions adoptees. Comme, en plusieurs pays, beaucoup de stations n'avaient pas pu commeneer les observations à la date fixée à Upsala, la Conférence 1 L'Atlas des nuages publié par HILDEBRANDSSON, KórPrN et Neumayer à Hambourg en 1890 avec texte en quatre langues fut adopté comme point de départ pour arriver à une entente sur la classification et la désignation des nuages dans l'Atlas international. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5, N. 1. Impr. 5s 1918. 10 H. H. HILDEBRANDSSON. météorologique réunie à Paris en 1896, résolut qu'il serait désirable que les observations directes des nuages soient continuées aux stations secondaires jusqu'à la fin de 1897. Un grand nombre de pays ont pris part dans cette grande en- treprise, et les résultats furent publiés partout dans la forme proposée de la Commission des nuages. Jai publié les résultats principaux de cette masse d'observa- tions dans un Rapport au Comité international météorologique. La partie la plus intéressante de ce rapport est celle sur la circulation gé- nérale de l'atmosphère. Ces recherches ont abouti dans les résultats suivants. 1° Nuages supérieurs. Les résultats trouvés dans les mémoires de 1885 et 1889 sont pleinément vérifiés: Dans la région des nuages supérieurs, Ci et Ci S, la direction du vent est en moyenne de l'ouest à Vest dans les zones tempé- rées, et de l'est à l’ouest dans la zone tropicale. La Fig, 2 et les Tab. | et 2 en donnent les résultats pour quel- ques stations choisies. Tab. 1. - Direction moyenne des nuages supérieurs pour chaque mois. Blue Hill Upsala Irkutsk Hakodate Janvier . NN AUN W 41°N W 45°N WESS Hevrieri. 2 SWS W 43 N W 45 N VEN, MATS er NT AR SIN W 95 N W 45 N W 17 N Ayo one ac VE ASIN W 8N W 16 N W Mats cc 3 222 WESODEN WEISEN W 40 N W 6N dis G5 a AK SEN Wy He df NVISUINUN W 6N Juillet SANT ON W 24 N W 27 N W 14 N AOÛ SE BANE CES W 17 N W 13 N W 21 N Septembre. . W 138 W 23 N W 22 N W 6N Octobre 5 5 WW oS W 7N W 27 N W 2N Novembre. . W 2S W 41 N W 45 N W 6N Décembre . . W 68S W 36 N W 45 N W 14 N ! H. H. Hipesranpsson: Rapport sur les observations internationales des nuages au Comité international météorologique. P. I. Upsala 1903, p. 13. Voir aussi, The internatio- nal observations of Clouds by Dr. H H. HirpEBRANpssOoN. Quarterly Journal of the Roy. météorol. Society. Oct. 1904 et H. H. HIiLDEBRANDSSON et L. TEISSERENG DE Bort: Les Bases de la Météorologie dynamique. P. II p. 207 RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete. 11 Ainsi, à Blue Hill en Amérique (près Boston), à Upsala en Suede, à Irkutsk en Sibérie et à Hakodate au Japon, le vent à la hauteur des nuages supérieurs a partout une direction de l'ouest à l'est avee une composante du N ou du S selon les saisons. Au contraire le vent supérieur est de l'est à l'ouest aux stations tropicales: square 3 entre l'équateur et 10? N, lat. et 20°—30° W. Long. près de l'Afrique, Paramaribo dans la Guyenne hollandaise et San José en Amérique Centrale. 2 Upsala PEU TE ppt MICE ty 5 Hahodale Japare 5 4 NU dme | $ | | 4 Square 3 I 0-70? N Lat | 20-30” W Long I I ! 5 Pırama PERS LAS CEE boc 6°5 ” Tibo | 35° W Fig. 2 Tab. 2 Square 3 San Jose Square 3 San Jose Janvier . . E 782S E 10" N Juillet EM 1075 E Février . . E 60 S In US Août E 32 N E.30 N Marsa. = «x 323.5 E 45 N Septembre . E 17 N E 20 N Ave E 185S E 15 N Octobre en ZO E 10 N IINE 64th 26458 E 73 N Novembre E 60 S E 17 N une UB 7.9 E 25 N Décembre B15°S E 20 N Paramaribo: Hiver E Printemps E 1°S Été E 2S Automne EIN 12 H. H. HILDEBRANDSSON, A Mukimbungo, Etat du Congo, la direction moyenne des Cirrus est de l'E 37° S. Nous donnons encore pour la zone tempérée les données sui- vantes sur le mouvement moyen des nuages supérieurs, Tab. 3. Moyennes de toutes les stations Nora, Suède ER en Angleterre en Allemagne 59°32 N 50930. N Janvicn S VEN VUS W 49.N W 49"N Février . . . WION W 49 N W 39 N W 50 5 WEIS; E ANNE 2 EN Ve Us ay W 30 N W 345 Avila 358) a Wie O IN W 15 N W 19 N WEISEN! Mae NES W 36 S Wigan W 73 N JUG Lee M EVEN W 8S WAS W 37 S JUIL ee VV SUN WEIDES MESES W 20 5 AOÛLE "2 i © WESEN W I3 S WIPE S W. 2975 Septembre . . W IN W 6N Wie aN W 45 Octobreyae M WISEBEN W 35 S8 W 14 N W 9$ Novembre . . W 15 N Wins W 33 N E 70 S? Décembre . . W 58 N W 2N W 29 N W 10 S 20 Zone des Alizés. Dans l'Atlantique il n'y a pas de station située au milieu de la zone de l'alizé, mais dans l'alizé du SE de la mer Indienne se trouve l'observatoire excellent de Maurice. Dans le rapport officiel du Direc- teur, M. T. F. CLAxTON, pour 1897 nous trouvons les directions moyen- nes mensuelles des nuages supérieurs et celles des vents pour les an- nées 1877—1897. Le nombre total des observations sur les nuages s'élève à 3,393. Le Tab. 4 et PI. I B. en donnent les résultats. Tab. 4 Maurice. Mois Cirrus Vent Mois Cirrus Vent Janvier . . N 82"W S 87" E Juillet N 43 W S 65 E Février . . . N 80 W S 80 E Aout . N 15 W S 67 E Mang m NM NES SA S 78 E Septembre N 20 W S 7l E ANT RENE CS AW Sy) 18) Octobre . N 48 W S 78 E Male a E UND Oil WI S 64 E Novembre N 70 W S 82 E juin NEG DV S 61 E Décembre N 78 W E z RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete, 13 Ainsi au milieu de l'alizé de SE le contre-alizé souffle à peu pres de NW. Au nord de l'équateur il doit souffler de SW. _ Dans les theories de Ferret et de J. THomsex il est admis que le contre-alize continue, au moins en grande partie, comme un vent supérieur du SW jusqu'aux environs du póle nord, Nous verrons que cela n'est pas vrai. En effet, le contre-alizé de l'hémisphère boréale est comme tous les vents, dévié à droite, et aux limites polaires de la zone des alizes il est devenu un vent d'ouest. Cette déviation augmente, comme on le sait, avec la hauteur, car un vent supérieur dévie à droite d'un eourant inférieur. Au-dessus d'un vent du S. p. e. les nuages inférieurs marchent du SSW, les intermédiaires du SW et les supérieurs de Il'W environ, ce qui a été bien constaté depuis longtemps. A Teneriffe l'alizé souffle sur la mer, un vent du SW au som- met du Pic. Les Cirrus y sont rares, mais 76 observations d'hiver se partagent ainsi: N NNW NW WNW W WSW SW SSW 1 I 0 0 27 6 i 2 S SSE SE ESE E NE NE NNE 5 3 5 3 2 0 2 1 Ainsi à la hauteur des Cirrus la direction des vents supérieurs est de I'W 15°S en hiver au-dessus de Ténériffe, A San Fernando (36°37 Lat. N) à la limite boréale de l'alize nous avons (1876—85): Tab. 5. San FERNANDO. Mois Cirrus Mois Cirrus Janvier E M JON Juillet NUS Réwer eo) ANT UN IAN a aa WM. BAS NOTS TE ENV SES Septembre . W 4N "Avril een VG ede IN Octobre . . W 3N Maite et NV SES Novembre. . W 90 N AW NV EN Décembre. . W 35 N Des lles du Cap Vert nous n'avons pas d'observations sur les nuages, mais nous verrons plus bas que les observations avec des ballons sondes ont prouvé que le vent supérieur y est SE environ. 14 H. H, HILDEBRANDSSON, Ainsi le vent supérieur tropical de l'E dévie à droite et vient du SE aux lles du Cap Vert, du SW au centre de la zone des alizés et de TW à sa limite boréale. C'est la même courbe que celle suivie des cyclones tro- picaux, Or, une circulation verticale entre l'équateur et les pôles n'existe pas. 3° Moussons supérieurs. L'équateur thermique, les alizés et les hautes pressions aux tro- piques ont eomme on le sait, une oscillation annuelle, se déplacant toujours avec le soleil du nord au sud et vice versa. Ainsi une large bande au nord de l'équateur thermique est située sous le contre-alizé du SW en hiver et le courant tropical de l'est en été. Comme preuve nous donnons les observations suivantes. Dans les Tab. 6 et 7 et sur Pl. I. C. nous donnons les résultats des. observations des Cirrus en Square N:o 39 (10°—20° Lat. N et 20"— 30° Long. W) et les moyens des observations des nuages supérieurs et inférieurs faites 1875 —1884 à plusieurs stations à Mexique entre 230 et 19° Lat. N. - Tab. 6. Square No. 39 (109—909? N. et 20°—30° W.). Mois Cirrus Mois Cirrus Janvier . . . W 99?S Juillet . . E 94"S Février RAT ETATS Août I oN Mars DES WS DES Seplembre E6545 : Palo ER ETOEN Octobre Ta 6458 Mai ses Ts MS AWERZIZENN Novembre . W 62 S Junge e oe ol ROS Décembre . W 6358 Tab. 7. MEXIQUE. Mois N supérieurs N. inférieurs Vents à Matatzlan Janvier . . . W 55°S W 64"S W 80°N Heynierge a oc IN BES Is Gh SP E 70 N Mansı. a9 dag) ac We 208S W 76 S E 60 N Avr EAU SOS W 44 S By Sis} iN) Mais xs Ce NUES W 5258 TO SEN Juin SoM eS Ons hy 2405 E J9 N ANS ORNE TES E 23 5 BOFSSEN Aoüt SC COE ESI ES I 8) S E 26 N Septembre . . E 48 S DES E 30 N Octobre PCT UGS 1M SN S E 46 N Novembre . . W 63S E 705 E 63 N Décembre . . W 62S E 68 $ E 55 N RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMETS ete. 15 4° Moussons asiatiques. Le Rev. P. Marc DECHEVRENS, Directeur de l'observatoire de Zi-Ka- Wei près Chang-haï, a trouvé le premier que la direction moyenne des Cirrus n'y a aucune relation avee la distribution moyenne de la pres- sion de l'air à la surface terrestre. Malgré la haute pression en hiver et la basse pression en été au-dessus de l'Asie orientale, les courants supérieurs y vont en chaque saison constamment de l'ouest. (Tab. 10). Nous avons prouvé qu'il arrive partout dans ces parages que les moussons n'atteignent pas toujours la hauteur des nuages inter- médiaires. Prenons comme specimens Manille (14? 56' Lat. N) sous le régime des vents tropicaux de l'E, les moyens des stations Kurrachee, Deesa, Bombay, Poona, Belgaum, Nipur, Jubbelpore et Cuttack dans l'Inde centrale (20? Lat. N en moyenne) et Zi-ka-Wei (31? 11 !/»' N. Lat.) Tab. 8 Manure. (1890—1897) PI. I E. Mois Ci, CiS CiCu, AS, ACu Cu, Nb Vent Janvier IJ US E 10°N E 199N E 84"N Février Br 79S E 19 N E 10 N FES UN Mars . HT tS DAN FRS EN 1d, SES Avril . Wir dees E AN BIN E 38S Mai E cH N I 11 S$ RISUS W 75 S Juin E 15 N E 29 S E 50S E 65S Juillet E 14 N W 35 S W 36 S W 43 S Aoüt . E 6N W 36 S W 34 S W 39 S Septembre E 27 N W248S MITIS W 418 Octobre . E 438 E 129 N E 16 N E 76 N Novembre . . E 21S REINES E 7 N E 51 N Decembre . . E 35S 13) IM E 8N E 58 N Tab. 9. Stations de l'Inde centrale (oct. 1877—nov. 1879). Pl. L D. MOIS Nuages Nuages ; Vent supérieurs inférieurs Bombay 10 années Cuttack 15 années Janvier ne We SN E 40°N E 84°N E 45°N Hevirer X IWiLON B 335 S W 86 N W 74 S NES E NSW TSES E35 S W62N W 74 S PVR P WE 2058 E 15 5 W 38 N WATSES MIN EL WES E-70 S W 8N W 85$ nee E Wi AWS Wiis MEOTES W 59'S Je e We lons W 208 MIBIDES W 46 S Août . ; HD EN W 1558 MONS W 46 S Septembre. . E 485 W 15S VL OUS W 80$ OCTOBER er WE CARS E 85 S E 75 N E 58 N 16 H. H. HILDEBRANDSSON, Mois Nuages Nuages | Vent 1 supérieurs inférieurs Bombay 10 années Cuttack 15 annéss Novembre . . W 28S E 50S E 73 N W 89 N Décembre . . W 358 E 65 S E 73 N E 78 N Tab. 10. Zi-ka-Wei. (1895-1898). Pl. II A. Mois N. Supérieurs N. Intremédiaire N. Inferieurs Vent Janvier 5 . VN SS W 1"N W 82°N W 799N Février . . . W wis W 88 N E 78 N Mars POV ER TEEN W 5N E 64 N E 37 N JST Tu. ab W W 28 W 88 N E 15 N Maler. te W MARGES E 10 N E 33 N Tuin NV ES EN W 6585 LES E 36 S Juillet MWSASEN W.10 S E 80$ 1, BS) Nolte N W 345 cies 1D BIS Septembre Vee ON We ons E 46 N E 43 N Octobre M NE SEEN WW ISS E 56 N E 59) N Novembre . . W 7N W 18 S E 73 N -W 83 N Décembre . . W W W 78 N W 64 N Or, les moussons n’appartiennent pas aux mouvements généraux de l'at- mosphere; il faut les considérer comme des perturbations grandioses, et leur hauteur ne dépasse quère 4—5000 m. Au-dessus, les grands courants de l'ouest ou de l'est vont comme à l'ordinaire. 5°, Zone tempérée boréale. A Vexception des régions des moussons la direction moyenne du vent est dans la zone tempérée de l’ouest depuis le sol jusqu'à la hauteur des nuages supérieurs. Voici quelques spécimens. Tab. 11. Brive Hinr, Mass., U.S.A. Mois €i, Ci.-S Ci.-Cu. ANCEARS N. inférieurs Vent Janvier . . . W 4°N W 4°S W 1998 W 8°N W 10°N EME 5 ccm NS US WE € DS W 16 S W 9N W 920 N Mars CN CITE IN W 21 N W 97 N W 34 N W 41 N AN 5 5 ms ze IN W 38 N Wi 7S W 93 N W 39 N Ma 0 6-5 sor VAY POPP In EDS W 16 S W W 63 S8 Tuin ee NV SEEN W 5N W 148 W 8N W 438 Juillet WO DEN Wins W 11 N W 9N W 36 S Aout 5 ey AUTRES WABSOES W 7N W 5N W Septembre es 2 WEl32S W 14 S WARS Wy TN: NVASININUN! (rimus o7 s 5 Whe Bs Mans WW 65S W 6.N W 18 N Novembre . . W 2S W 3N W 16 S W IN W 7N Decembre . . W 685 W 14 S WEISS W 10 N W 11 N RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS etc. Tab. 12. Mois ae Janvier . . . W 25N Beynien ase e Wy SON Mars W 13 N Avril W 13 S Mai Wi des Juin W 2358 P ARIS. 1876—1880. Nuages inférieurs E539 Ni?) W 14 S W 40 S W 25 S W 41 S W 93 S (Renou) (Pl. II C). Mois Juillet Aoüt . Septembre Octobre . Novembre Décembre Nuages supérieurs W W 2805 NV? NY dil WIE Wir a Uu uuu Tab. 13. Danemark. (à 56° Lat. N.) 1886—1900 (M. H. Nielsen). Mois Janvier Février Mars . Avril . Mai Juin Juillet Aoüt . Septembre Octobre Novembre Decembre Mois Janvier Février Mars . Avril . Mai Juin Juillet Août . Septembre Octobre Novembre Decembre Nuages supérieurs W W W W Wi W W W W W W 399 N 36 N 97 N SS 18 S DES 10 N TES 4N 65 30 N W Tab. 14. Nuages superieurs W W W W W W W W W W W Wi: Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser, 4, Vol. 5, 41°N Nuages intreméd. Wy S S S S S / SN is 3 s S > 409 N 39 N 10 18 Nuages inférieurs W 22°S Wile Lee Wire Dis W 24 N MESE UNI WESEN WOES MEUS W 95 MWESOSS W 50 S W 49 S Upsala (PI. II B). Nuages : i intreméd. W W W W W W W W W W W MW: 22°N 46 N 28 3 8 eo zi ou ua uA uA UU» Ut a ils Nuages inférieurs WINS ME (DES W 99 N W 51 N W 5N W 19 N W 2158 BIDS MASIZES W 38S WE23ES WESIGS Vent W 42°S W.7 W 20 E 60 W 85 W 20 W W W 10 W W 5 W 57 [er] NDNNNNNARAAMMNM Vent W 32°S Woe BES S 37 W Arno nan s Un ww 05 c» Ww r9 "o 00 MA ro Co Or m HA ee EN Impr. ®s 1918, 17 Nuages inférieurs W 18°S WwW 30 S W 10 N W 4N MESES W 6N 18 II. H. HILDEBRANDSSON, Tab. 15. Marche des nuages au-dessus de Norvège, d'Islande et de Grönland. Avril —Septembre Octobre—Mars Nuages Nuages Nuages Nuages Nuages Nuages supérieurs interméd. infér. supér. interméd. infér. Lödingen . . W 63°S W 75°S W 54°S W 51°S W 6098 W?49? S Drontheim . W 25 S W 46 S W 28 S WI 22H W939 Wares Aasnes . . WISS W 15 S W 8058 WZSOUNCEOUWASDASS E 538 Christiania ©. W 9s We=9ES We ir S) IWESOUNIESUWOSZSUDS E 435 Thorsham . W 55$ E 25.8 W 25$ W 20 S W 70 S W 26.8 Reykjavig. . E 70 N W 8058 I Bl 8 E 50 N E 60 S S Stykksholm . W 3N — W 815 W 43 N = W 76 S Teigarhorni . W 29 N — W 355 W 70 N = W 2385 Upernivik . W 86 N E W 59S Ds) — E 46 N Coordonnées géographiques de ces stations D'odingene- cv oc ROS MA ING IST: 16° 1' E Long. Dronihelmme 99 -998099920 > 10599 B» Aasnes 20) 6018237 » i1 3-19. 5 Christiania 59 55 » 10 43° E Thorshavn 625395 » 6 45 W > Reykjavig 64 9 > 21 55 We» Stykkisholm . 6595 > 22 46 W » Dear ho e OL LOS» 14 19 W » Upernivik RC EC RUD ECT TRS 56) 7 Wi > On voit qu'il y a quelques stations, surtout Reykjavig sur la côte sud d'Islande, où la marche des nuages est de l'E ou de NE. Cette exception s'explique facilement. Au sud de Grünland et d'Islande est situé le grand minimum moyen barométrique sillonné presque sans cesse par des minima marchant de l'ouest à l’est. Au uord nous avons les terres vastes froides d'Islande et celles de Grönland, toujours cou- vertes de glace, au-dessus desquelles il y a le plus souvent, surtout en hiver, une forte pression barometrique. Mais dans une telle situation, nous l'avons vu plus haut, les dépressions sont fortement développées et fermées en haut jusqu' à la hauteur des Cirrus. Le passage de dépressions si fortes étant presque continuel, il s'en suit qu'on voit à ces stations les Cirrus marcher en général de l'est malgré la marche des minima de l'ouest à l'est. À Bossekop (69° 56’ N. Lat. 23°8’ Long. E. de Gr.), station nor- vegienne, M. Moun a trouvé des mesures des nuages en 1896—97 RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS etc. 19 Tab. 16. Hauteurs m. Directions du vent. 0— 1000 W 23°N 1000— 3000 Writes 3000 — 5000 WELI2ES 5000— 7000 W 19 S 7000 — 10000 W 9$ au-dessus de 10000 W 13 N 102]25 3e Tomsk (Sibérie) (56° 30° Lat. N 849 30' Long. E) Mois roe Nuages à LT pier Vent superieurs interméd, inférieurs Janvier . . W 42°N W 98"N WESESUS W 32°S Février. . . W 508 W 93 5 W 14 S W 85 S Marsa 4. 4) Wiest S E 24 S(?) W 48 S BE5228 AT WEISEN W308 W 18 8 W 59 S Mug RS VEUT SAN W 16 N W 39 N MUS TS S dne gna ENS Wie SEN W 99 S W 49 S JOEL 12 322055 W 19 S W54S E 3453 Nout ME 22 NS W 15 S W 28 S W 66 S Septembre. W 48 W 13 S TES W 52 S Octobres WAS? ES W 9 S W 21.S W 59 S Novembre . E 79 S W 45 S W 35 S Wo 72) Décembre . W 19 S W 19 N W 14 S W 625 Tab. 18. Irkoutsk (Sibérie) 52? 16° Lat. N. 1049 10° Long. E. Mois aps d AUS Nusses i e Nr Vent superieurs interméd. inférieurs Janvier . . W 45°N W 7"N W 99"N PEU) Février . . W 45 N W 924 N W 45 N E 36 S Mans? sue ae WERBEN W 32 N W 28 N E 78 N Avril oe Wr 16 IN W 14 N W 32 N | BS Maid EST WEEOUN W 41 N W 45 N W 93 N Juin Lor WELLEN W 27 N W 33 N E 80 S eas a WESTEN W 27 N W 53 N W 65S Aout S OW SH IN W 45 N W 34 N W 24S Septembre . W 22 N W 27 N W 28 N W 14 N Octobre 2 Wi 27 IN W 34N W 39 N W 34N Novembre . W 45 N W 34 N, W 49 N W 41 N Décembre . W 45 N W 45 N W 51 N W 69 N 20 NW du côté nord. Washington. Tab. 19. Métres 1,000 D» Nous avons vu que l'air au-dessus de la zone tempérée est en- trainé dans un vaste tourbillon tournant de l'ouest, dont le centre se trouve dans les régions polaires, et que dans ce tourbillon l'air des couches les plus basses se rapproche du centre et celui des couches su- périeures s'en éloigne de la méme manière que dans un cyclone ordi- naire. Or, nous devons attendre que les courants supérieurs envahissent la pente boréale de la haute pression des tropiques, qui serait ainsi alimen- (ée des deux cotés: par le contre-alizé du côté sud el par un courant de C’est précisément ce qui a lieu. Par des observations faites pendant »lannée des nuages» on a trouvé les directions moyennes suivantes à des hauteurs différentes, à 1000— 3,000 3000— 5,000 5000 — 7,000 7000—10,000 au-dessus de 10,000 Zone sublropicale. Avril—Sept. N N Selon des observations faites ete et du WSW en hiver. vents de la zone tempéreée. 499 W 66 W 84 W 89 W 80 W TIT NI à Fayal (Acores) et qui nous ont ete envoyées par M. Cuaves la marche des Cirrus est du NW en in hiver Fayal se trouve sur le régime des H. H. HiLDEBRANDSSON, Washington (38? 53' Lat. N.) Oct.—Mars Sy THU N 87 W SONT S 80 W N N 79 W Tab. 20. Perpignan, France (42° 41° Lat. N.) N. supérieur Janvier Février Mars . Avril Mai Juin Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre W W W W W W W W W W W W 349 N 39 32 31 28 18 17 23 11 15 34 27 vna Eu vna AE PLA UL EA intermédiaires W W 37" N 33 FAN Cay Pay re P) EA pe, s Pme, ey W W inférieurs 599N 36 24 30 18 10 27 18 12 14 26 N 32 N NAN Ez ANA A APA RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS etc. 21 Tab. 21. Madrid Pola Tiflis Mois (40°23' Lat. N.) (4129 Lat. N.) (41922 Lat. N.) Cirrus Cirrus Cirrus Havets. VE LG OIN W 77°N W 50°N HV ny VV 22 IN W 25 N W 70 N Murs wee es «> NV GARN W 95 N W 56 N AVG SCANS OUEN W 27 N W 25 N [= Maine a eee VE OS W 12 N — ja Tun e RIS) W 95 N W 28 N lus Woillete s c 2 | We 39 N W 19 N W 65 N > Mouse le, W W 90 N — Vv Septembre . . W IN W 10 N W 2158 (Octobre TREE WESTEN W 8N W 22 N Novembre. . W 36 N W 3 ON W 50 N Décembre . . W 35 N W 10 N W 43 N Selon M. Darras la marche des Cirrus au-dessus du Golfe de Perse est en toute saison du NW 7°. Régions polaires. Des régions polaires de l'hémisphère boréale les observations du mouvement des nuages sont très rares. Les expéditions aretiques sont en général anciennes, et alors ces observations n'étaient pas encore ge- nérales. Pendant »lannée polaire», août 1882—aott 1883, la direc- tion moyenne des nuages supérieurs, Ci et CiSt a ete Oct.— Mars Avril —Septembre à Jan Mayen W 23°N W 38? S selon M. A. SoBIECZKY à Cap Thordsen W 55°N W 7S > > N. EKHOLM (Jan Mayen 71? Lat. N.) Cap Thordsen (Spitsberg 78°28’ Lat N.) À la station la plus boréale, Treuremberg Bay, sur la côte nord du Spitzberg (799 57' Lat. N.) M. J. WESTMAN a trouve du Juillet 1899 -—Aoüt 1900. i Nuages Octobre —Mars Avril — Septembre supérieurs . . W 2°N W 75S intermédiaires . Ww 30 S W728 inferieurs . . Wwe (9 S W 48 S bo bo H. H. HILDEBRANDSSON, Nons donnons les résultats de L’expedition norvégienne polaire de M. Nansen, 1893—1896, qui flottait avec la glace de l'E à I'W des environs du détroit de Behring jusqu’ à Spitzberg, et de l'Expedition polaire de M. ZIEGLER au Pays de François-Joseph. L'expédition séjour- nait au Cap Flora (80° Lat. N, 50° Long. E) du 21 Mai au 31 Août 1904 et a Teplitz Bay (81 '/2° Lat. N. et 58° Long E.) Nons avons caleulé les observations des nuages comme faites à la méme station. Nansen: Expédition Polaire 1893——1890. Creuse SI Qiu IS MEN CIS INA GG N. inférieurs N 60° W Ci+ CiSt N 74° W Vente 4 “= he. Se) v Tab. 22. Pays Francois-Joseph. Nuages N NE E SE S SW W NERO M NW SE. +NW | Supérieurs — — 6 1 — — 2 1 7 3 Hiver Interméd. 2 — 10 3 2 — = = | 15 0 | Inférieurs 5 1609399949 $197, 9 9X4 4 91 37 | Supérieurs 3 3 | — — 1 6 1 4 8 Printemps , Intermed. 2 6 8 4 — - 4 1 18 5 | Inférieur MONS CSSS 5 98 66 p | Supérieurs 3 10 6 1 3 4 4 5 17 13 Eté Interméd. 9 3 4 5 1 I 6 2 | 13 9 il Inférieurs 10 39 50 53 7 995099 8 19 142 80 | Supérieurs 4 2 6 — — 1 2 — | 8 3 Automne Interméd. 1 3 5 6 2 1 1 — 14 9 | Interieuns. 16 29 707) 63. 294 20091999992 (0158 48 Vent. Dec.— Février E-S, Mars— Avril E-N (Teplitz); Oct. — Avr. E-NE, Mai—Juill. W-NW, Aout-—Sept. variables (Cap Flora) Les vents étaient en general de l'E en Octobre—Avril, de l'W—NW en Mai—Juillet et en Août et en Septembre tres variables. Or, le vent était partout du côte de l'est, sauf en été au Pays de Francois — Joseph. La direction la plus fréquente des nuages était là aussi celle de l'E—SE avec un maximum secondaire du NW en ete. Au Nord de l'Amérique l'expédition du »Fram», chef M. le Capi- taine Orro SvERDRUP, a séjourné sur les côtes de la Terre d'Ellesmere a l’ouest de la Baie de Baffin 1898—1902'. Les résultats sont résu- més dans Tab. I (hors texte). ! Report of the second norvegian arctic expedition in the »Fram» 1898— 1902. Vol. I N:o 4: H. Monn: Meteorology. RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete. 23 À toutes les hauteurs les vents du N sont en général les plus fré- quents, et aprés les vents du S. qui en été sont prépondérants. On a seulement considéré deux classes de nuages: supérieurs (Ci et CiSt) et inférieurs comprenant toutes les autres formes. On craignait que les vents ne fussent déviés par la direction N—S du détroit qui sépare la Terre d'Ellesmere du Heiberg Land, les sta- tions étant situées près de l'entrée méridionale de ce détroit, mais se- lon M. SverpRuP la méme direction du vent fut observée aux sommets des montagnes environnant le détroit, et comme les vents du N—S ont un maximum méme dans la hauteur des nuages supérieurs on doit accepter cette irrégularité dans le régime des vents, irrégularité qui sera expliquée dans ce qui suit. De la zone antarctique les observations sont plus nombreuses. Nous donnons dans les tableaux suivants un résumé des observations sur la marche des nuages et la direction du vent faites par les expédi- tions principales. Tab. 28, »Scotia». Vents N NE E SE Ds] SW W NW 1) à Cap Pembroke (51° 41° Lat. Sabi 49 Long: Wi) 2. 2198 9.9 2,8 2,3 Hp 128 9s pw 2) à Laurie Island, S Orkney (60° 43° Lat. S. 44?39' Long. W.) 10,9 9,7 2,1 9,5 E Ws tile BR 3) Deux croisades sur Weddel Sea 15 17 9 9 7i 12 12 13 Fevrier et Mars 1903 et Mars 1904 Calmes 6 °/, En 3) les vents de l'E sont observés seulement au S de 60? Lat. S. Tab. 24, »Snowhill» marche des nuages et des vents (64°22° Lat. S. 56"69' 45" Long. W) - Ci, Ci St. CiCu ACu ASt. S-Cu. Nb, S. Vent ®%o N 0 2 6 0,8 NNW 0 3 7 0,2 NW 2 4 6 0,3 NNW 2 8 6 0,4 W 11 16 15 0,4 WSW 3 4 7l 12,5 | SW 4 9 13 21,6 > 94,5 SSW 1 6 3 20,4 | S 1 2 3 4,9 SSE 0 1 9 0,7 SE 0 2 0 0,9 24 H. H. HILDEBRANDSSON, Ci, CiSt, CiCu, ACu,CiSt. StCu, Nb. S Vent °/o ESE 0 0 1 0,6 E 0 0 3 2,1 ENE 0 1 1 3,9 NE 0 4 E 8,7 NNE 0 0 4 4.5 Somme 24 62 80 Calmes 14,8 variable 2,3 Tab. 25, »Gauss» Vents °/o (66°2° Lat. S., 89938” E) N NNE NE ENE E ESE SE SSE Ou 0,2 0,5 3,9 47,8 10,5 4,5 4,8 S SSW SW WSW W WNW NW NNW Calmes 2,0 151 1,4 3,4 6,3 1,7 0,9 0,2 10,7 Composants en percent (sans calmes) Lat. 8. Long. E. de VE de TW Kergnelen 49° 95° 69° 53° 5,4 90,3 Heard Island 5302787 730 34° 90,5 73,8 »Gauss» 669 9* 89° 38* 73,8 16,0 Tab. 26. »Belgica», croisade de 69938' à 71936' Lat. S, 80° 30° à 96? 40' Long. W. Vents N NNE ENE E ESE SE SSE S SSW SW WSW W WNW NW NNW Hiver 949 996 131 181 184 149 193 198 94 984 954 621.389 393 294 Été 132) 147, 504502 408) (334 9298) 177 132" 200226272152 1332 1055284 Tab. 97. »Southern Cross». Cap Adare 71° Lat. S, 170° Long. E. N NE E SE Ss SW W NW Calmes Vents "/o 3.6 26 9.1 20.4 13.9 4.1 3.1 3.1 40.1 43.4 Tab. 28. Discovery» Ross Island. 77°50° Lat. S, 166° 45^ Long. E.' N NE E SE S SW W NW N. supérieurs jo 8 4 6 8 10 26 19 19 64 Fumée du Mont Ere- | A 4 i os m : bus (13,000 pieds) | os 2 4 8 12 36 28 6 16 N. inférieurs % 18 10 13 14 18 15 4 8 47 Vents ay Al 20 44 16 6 I 0 2 80 ! National antarctic Expedition 1901—1904 P. I p. 495. RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete. 25 S9. Maximum barometrique de U Atlantique Nord. Les mouvements des couches supérieures de l'air au-dessus du ma- ximum barométrique de lAtlantique nord étant de la plus haute im- portance pour notre connaissance des mouvements généraux de l'at- mosphere nous les avons étudiés spécialement", Pour cette étude nous avons employé, outre des résultats donnés plus haut, les observations néphoscopiques des Antilles publiées par M. BigrLow? et celles de M. Caves de Horta, ile Fayal des Acores?. Enfin nous avons calculé les moyennes des observations des nuages supérieurs publiées par TovxsEE déjà en 1876 pour les Carrés 38, 39, 40, 2, 3, 4, 301, 302 et 303. Les résultats sont insérés sur les deux cartes (Pl. V.) sur lesquel- les les directions des courants supérieurs au-dessus de la région en question semblent trés bien apparaitre dans ses traits généraux. Au-dessus des régions équatoriales le grand courant supérieur de l'E est trés bien indiqué. Au-dessus du Cap Vert il vient du SE pour devenir après le contre-alizé du SW au-dessus des pentes mérédiona- les du maximum barometrique, et enfin, dévié de plus en plus à droite, il souffle de l'ouest au-dessus de la crête du maximum. Aux Antilles, où l'alizé souffle de l'E ou de l'ENE, les courants supérieurs ont une direction tout à fait opposée. Cela a été connu depuis longtemps par le fait que les cendres des volcans aux Antilles tombent toujours à Pest du volcan. M. BIGELOW a publié les observations seulement sur tableaux gra- phiques. Nous reproduisons ici (Pl. IV) un de ces tableaux contenant les moyennes de quatre stations. On voit nettement l'opposition entre les courants inférieurs et supérieurs, et aussi entre les deux courants la marche irrégulière des nuages intermédiaires. 1 Haun-Baud der Meteorol. Zeitschrift 190 br. p. 117. ? Studies of the circulation of the atmospheres of the sun and of the earth. V. Results of the nephoscopie observations in the West Indies during the years 1899— 1903. Washington 1904. Weather Review of Weathers Bureau. 3 Communiquées en manuscrit. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N. 1. Impr. 7/8 1918. 4 26 H. H. HILDEBRANDSSON, Enfin, au nord du maximum barométrique, dans la zone subtro- pieale les vents supérieurs vont en general du NW ou de l'WNW, comme nous l'avons vu plus haut. Le plus au Sud, sur lile Ascension, les Cirrus vont du NE, ce qui correspond à leur marche du SE au Cap Vert. Les cartes font voir les variations des vents Supérieurs avec les saisons, le maximum barométrique étant le plus au N en été et le plus au S en hiver. III. Observations aéronautiques. 1° Zone tempérée. Il est bien eonnu que des ballons lancés à des hauteurs consi- dérables vont en general de l'ouest à lest. Plus la hauteur est grande, plus les vents supérieurs vont constamment vers TE. Cela est con- staté presque chaque jour à tous les observatoires aéronautiques de l'Europe et de l'Amérique. Citons seulement comme exemple les lancers pendant l'expedi- tion franco-suédoise à Kiruna à 68? Lat. N. en Laponie Suédoise, or- ganisée par mon ami regretté Lion TEISSERENC de Bort et moi’. Là, pendant mars 1907, février et mars 1908 et août 1909 on a lancé 72 ballons, dont on a retrouvé 47. De ces ballons il n'y a que 3 qui sont tombés sur un mérédien à l’ouest de Kiruna, un seul, après être monté à 10 km., retomba à presque la méme place d'oü il avait été lancé, mais tous les autres sont tombés à l'E de Kiruna à des distances plus ou moins grandes — quelques-un jusqu'en Finlande à plusieurs centaines de kilome- tres du point de départ. Comme les nuages supérieurs la direction avait en général une composante du nord en hiver et du sud en été. Pour étudier la constance croissante des vents de louest avec la hauteur nous avons calculé séparément le nombre des vents de NW—SW et de SE—NE a des hauteurs 0—5000 m des observations faites à Lindenberg en 1912 au moyen de ballons pilotes?. (N = N 22!/»? W — N 22!/2? E, NW = N 22 1/20 W — N 67'/2 W, etc.). ! H. Maurice: L'expédition franco-suédoise à Kiruna, avec une introduction de H. H. HILDEBRANDSSON — Nova Acta Reg. Soc. Scient. Upsala Ser. IV. N:o 7 1913. ? Die Arbeiten des K. preussischen Aeronautischen Observatoriums bei Lindenberg im Jahre 1919. VIII B. p. 197. 28 H. H. HILDEBRANDSSON, De la méme manière nous avons calculé les directions des nua- ges de la méme année à Upsala et celle faites à la station antarctique suédoise à Snowhill. Et enfin nous avons caleulé le percent des vents avec compo- sante est de tous les vents NW—SW + SE—NE. On voit comment déeroissent considérablement les vents avec com- posante de l’est avec la hauteur. Lindenberg. Vents 1000 1n 2000 m 3000 m 4000 m 5000 m NW--SW 65 78 59 49 30 21 SE—NE 52 43 25 16 11 8 Somme 117 121 84 58 41 29 0/0 44,4 35,5 29,8 2/735 26.8 97,6 N 25 10 8 3 4 2 S 22 10 9 7 2 1 Upsala Janvier —Mars Vents N. inférieurs N. intermédiaires N. supérieurs NNW—SSW 531 139 49 33 SSE—NNE 422 60 0 0 Somme 953 199 49 33 "lo 44,4 30,2 0 0 N — 7 2 5 S — 25 1 0 Juin— Août NNW—SSW 438 i 165 62 57 SSE—NNE 426 159 29 2 Somme 864 324 91 84 9/9 49,3 49,6 31,9 32,1 N — 15 1 3 S — 29 10 4 Snowhill Année NNW—SSW 55,8 57 50 23 SSE—NNE 21,4 14 8 0 Somme 77,2 71 58 23 Vo 27,1 19,7 13,8 0 N = 6 2 0 RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete, 29 Il semble qu'on doit conclure de là que les cyclones et les an- ticyclones sont des phénomènes qui naissent dans les couches inférieures de l'atmosphére et qui n'ateignent pas toujours les couches supérieures, On suit aussi que les anticyclones se forment et restent par préférence au-dessus des terres froides et sèches, surtout en hiver, tandis que les minima se forment le plus souvent au-dessus des mers. 2? Maximum barometrique de l'Atlantique nord. Comme nous lavons vu, les courants d'air au-dessus et tout autour du maximum barométrique du tropique du Cancer sont très compliqués, mais aussi très intéressants à connaitre, si l'on veut étu- dier les mouvements généraux de l'atmosphère. Aussi, à peine RorER eut-il réussi à lancer des cerfs-volants d'un steamer, que je lui ai proposé en 1901 de faire de telles expériences sur cette partie de l'Océan. Cependant ce programme etait alors trop difficile à exé- cuter. D'un côté les frais étaient très considérables et d'un autre côté les cerfs-volants ne montent pas en général à des hauteurs assez grandes. Mais à peine M. Assmann eut-il introduit pour ces experiences les petits ballons de caoutschouc qui montent à vitesse sensiblement constante, et dont on peut par conséquent déterminer la trajectoire d'un seul point sur terre ou du pont d'un steamer!, que S. A. S. le Prince ALBERT de Monaco accompagné de M. HERGESELL entreprit deux expéditions avec son yacht »Prineesse Alice» pour exécuter de telles ascensions. Ces expériences ont été poursuivies en 1904 dans le triangle Oporto — Teneriffe — Açores et en 1905 le long de la route Gibraltar — mer de Sagasso (26? Lat. N. et 43° Long. W.) — Açores. Voici les ré- sultats de la premiere expedition?. Dans la couche la plus basse règne l'alizé du NE d'une vitesse moyenne de 7 m/s ll y a une décroissance adiabatique de température et une humidité relative augementant de 70 à 80 °/o à 95 Yo ou souvent à 100?/o. Dans ce cas il se forme des Cumuli à la limite supérieure qui se trouve à une hauteur variable entre 100 m. et 600 m. Alors la température monte subitement de ! Nous ne traiterons pas ici les méthodes expérimentales employées dans ces recher- ches — méthodes bien connues à présent. * Comptes rendus de l'Acad. d. Sc. à Paris le 30 janvier 1905. 30 H. H. HILDEBRANDSSON, plusieurs degrés et lhumidité diminue à 20— 10 ?^/ seulement. Dans cette couche d'inversion d'une épaisseur de 1000 m. environ, le vent est irrégulier et très faible! du NE mais tournant avec la hauteur or- dinairement de NE par N vers NW, mais deux fois du NE à l'E vers SE ei S. Au-dessus de la couche d'inversion se trouve de nouveau une couche à gradient exactement adiabatique. Cependant lhumidité relative augemente avec la hauteur, de facon que la richesse hygro- métrique soit constante, ce qui permet de conclure à un courant de- scendant. Dans cette couche qui dépasse 4500 m. la plus grande hauteur atteinte dans cette expédition, il règne un vent de NW, Un contre-alizé du SW ne fut observé qu'une seule fois. Comme exemple, M. HERGESELL donne les résultats typiques du 9 aoüt 1904 à l'ouest des Canaries. Tab. 29. Hauteur m. Température en se 0 + 23,90 80 N 52°E 200 20.5 88 400 18,5 88 N 36 E 200 18,0 93 600 18,9 80 800 94,5 35 1 000 26,4 16 N 29 E 1 200 26,2 16 N 15 E 2 000 18,0 21 3 000 9.0 30 4 000 1,5? 40 e 4 500 5,6 47 N 25 W Ces résultats ont été pleinement vérifiés pendant l'expédition en 1905. M. HERGESELL donne le resume suivant des observations sur les directions des vents. ! En général, comme à Trappes à Hald ete., l'étude des hautes pressions a permis de constater, qu'en général, il existe une zone de vents faibles à une certaine hauteur, zone que les cerfs-volants ne peuvent pas franchir ordinairement. Ils forment une ligne horizontale appelée »la ligne de canards.» Voir aussi la marche irréguliere des nuages intermédiaires aux Antilles (Pl. IV) et C. J. P. Cave: The structure of the atmosphere in clear Weather. Cambridge 1912. RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete, 31 Août Lat. N. Long W. Vents dans les couches successives. ils 31°10" 19030’ 0—3 490 m. NE, 5000 NW, 6740 NE, 7370 N et à 10000 NNW 2; 29917 21950 0—3 540 m. NE 5450 NW—WNW, 9 420 NE, 10 200 E, 13 240 ENE—NE, au-dessus SE the 95058 3507 0—1 800 m. NE, 2 100 SSE, 5 000 SW, 6 000 SE, 6 600 SSE, 8 400 SW, 9000 WNW, 12 000 SW, 16 000 SE 8. 20041 36"36' 0—2 110 NE, 12 000 NW—WNW. 9. 91049; 38°34 0—5 600 NE—NNE, 9 000 NW--NNW 11. 3094 49930' 0—4 140 NNE, 4 240 N, 8 400 NNE 16. 31944 42039 0—4 540 ENE 23: Sys) 27°21’ 0—2 210 NE, 2800 NW, 3280 NE, 3840 N, 12330 NNW—NW. La vitesse des alizés étaient ordinairement 5—6 m. et celle du vent supérieur 10-—15 m. Une seule fois, à la station la plus méridionale, le vent supérieur soufflait du SW—SE; partout d'ailleurs du NW. Or, on n'avait trouve le contre-alizé du SW qu'une seule fois. Les expeditions d’» Otaria», le steamer de TEISSERENC DE Bort or- ganisees par lui et Rorcn, etaient plus importantes. La première expedi- tion commençait le 1er juillet 1905, et l'Otaria visitait successivement Madère, les Canaries, les iles du Cap Vert, les Canaries et les Açores. Les observations consistaient, en mer, en lancers de cerfs-volants et de ballons pilotes; ces derniers à l'exéption de celui du 13 aoüt, ont été lancés de la terre afin d'avoir une base qui permettrait d'en dé- terminer exactement la trajectoire. L'expédition suivante fut faite au mois de février 1906, Elle fut de courte durée, son but principal étant de vérifier si les lancers faits en pleine mer donnaient les mémes superpositions de courants que ceux faits à Teneriffe. Les ballons lancés en février démontrerent lexistence du contre-alizé au-dessus de l'alizé dans les régions des iles Canaries. Il restait à etudier la circulation intertropicale elle-même et à poursuivre les sondages dans la partie centrale de l'Atlantique. La troisième expédition a visité successivement Madere, les iles du Cap Vert, Sierra Leone, l!’Ascencion, les iles du Cap Vert, Tene- riffe, les Açores, puis elle est rentrée en Europe après avoir parcouru un grand quadrilatère a l'ouest des Acores, jusqu'au 47° Long. W de Paris. Partie à la fin d'Avril à Marseille, la mission est rentrée au Havre le 18 Octobre. à 32 H. H. HILDEBRANDSSON, Dans cette expédition on a fait 24 lancers de ballons sondes et 46 ascension de cerfs-volants. Par un temps presque calme on a aussi souvent employé des ballons captifs portant l'enrégistreur, qui a été de cette manière élevé à près de 5000 m. jusqu'au contre-alize. infin TEISSERENC DE Bort organisa tout seul encore une expedi- tion qui partit du Havre le 1° juillet 1907 pour les Açores, où com- mencerent les premiers lancers de ballons, qui furent continues surtout au sud-ouest des iles du Cap Vert, ce qui a permis de suivre, pendant deux périodes de 13 à 14 jours chacune, la circulation quotidienne à diverses hauteurs au-dessus de ces parages. Plusieurs ballons élevés atteignirent la couche isotherme d'une manière incontestable. Les ascensions furent au nombre de 41 dont 29 ballons sondes et de ces derniers 20 ballons furent retrouvés rapportant de bonnes courbes; les autres servirent de pilotes. Nous donnons ici quelques spécimens typiques des observations nombreuses. (Tab. II—V hors texte). Les résultats généraux concernant la circulation de l'air sont résumées ainsi par TEISSERENC DE BORT: — — — »le régime des vents est assez régulier dans une ré- gion donnée, et l'on peut ainsi résumer l'ensemble de la circulation sur la partie explorée (35? N à 8? S et cótes d'Europe à 47? W de Paris) qu'il suit. »L’alize régulier de N à NE, qui souffle au niveau de la mer, forme une couche, dont l'épaisseur moyenne n'est guere que dun mil- lier de mètres, puis vient une zone de vent ayant encore une compo- sante nord qui ordinairement souffle du NW. Ces vents de NW parais- sent cesser à une dizaine de degrés du point de convergence de l'alizé, qui en été se trouve vers 8? N, par conséquent au sud des iles de Cap Vert. Au-dessus, en hauteur, commence la région des vents à composante sud qui forment le contre-alizé. Ces derniers se ren- contrent à une altitude moindre lorsqu'on se rapproche de l'équateur: c'est ainsi que vers les iles du Cap Vert le contre-alizé se trouve aux environs de 1,800 m.; à la latitude des Canaries il souffle au-dessus de 3,000 m. ce qui concorde d'ailleurs avec les observations faites au Pic de Teneriffe!. ! Cependant, on voit des tableaux que cette haufeur est très variable. RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete, 33 »La région équatoriale, c'est à dire celle où a lieu le point de rencontre de l'alizé et dont la latitude varie un peu dans le cours de l'année, est occupée par des vents à composante E très prédominante jusqu'aux plus grandes hauteurs qu'on a explorées. Des le 5° degre sud on retrouve au-dessus des alizés proprement dits des vents à com- posante nord qui forment le contre-alizé; ces vents sont du NE et quelquefois du NW. Ces changements de rhumbs peuvent s'expliquer, parce que ces diverses couches superposées viennent de régions dif- ferentes du minimum barométrique. »L'équivalent des vents de NW qu'on rencontre dans l'hemisphere nord, au-dessus de l'alizé de NE, nous est donné par des veines de vent de SW qui se retrouvent aussi aux environs de l'ile de l'Ascen- sion au-dessus des vents de SE, alizes de l'hémisphère sud propre- ment dits. Ces vents sont d'ailleurs superposes à des filets d'alizé ou de contre-alize. »Ces intrieations de couches de vents différents se rencontrent aussi dans l'hémisphère nord. On en retrouve d'ailleurs des exemples dans les trajectoires des ballons déterminées par des visées faites à Trappes depuis une dizaine d'années, lorsque ces lancers sont faits dans les airs à fortes pressions. »En résumé, la circulation intertropieale est bien dans ces grands traits telle qu'on l'avait supposée jusqu'ici. »Le contre-alize dans son ensemble règne en grandes nappes venant du SE, puis du S, SW et enfin se terminant en vent dW à la latitude des Azores, Naturellement il y a quelques irrégularités jour- nalieres, et l’on rencontre des cas où lalizé s'étend jusqu'à 7 ou $ km et méme plus! et où le contre-alizé semble faire défaut: mais ce sont là des situations transitoires ou limitées à une portion de l'air de forte pression atlantique, comme on s'en aperçoit, lorsqu'on étend les observations sur plusieurs mois de trois années différentes, ce qui per- met d'établir le régime normal», — — — Ainsi, les résultats de M. HerGesezz que le maximum atlantique soit alimenté du côté nord par un vent du NW sont confirmés, Mais. grace à Ülétendue des recherches à des hauteurs plus grandes, à des latitu- ! Une fois, le 8 juillet 1906 pres Ténériffe on a trouvé un vent du N—-NNE jusqu'à une hauteur de 11,050 mètres. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5, N. 1. Impr. 7/s 1918. 5 34 H. H. HILDEBRANDSSON, des plus méridionales et à plusieurs années, tout le régime des vents con- state par les observations des nuages a été complètement vérifié. Quant-aux parages des Antilles, nous avons vu par les observations des nuages de M. BiGELow que le contre-alizé à la hauteur des CiCu ou des Ci St. (7 à 8 km) souffle de l'ouest ou de l'WSW parfaitement opposé à la direction de l'alizé qui souffle là de PE—ENE, et qu'il y a entre ces courants à la hauteur des nuages intermédiaires une couche avee des vents variables. En décembre 1909 M. HERGESELL a exécuté aux parages des An- tilles des lancers de la »Victoria Louise» de la Marine Allemande. L'empereur GUILLAUME avait payé lui-même tous les frais de l'expédition, qui embarqua sur »Victoria-Louise» dans le port de St Thomas et les résultats sont donnés dans le tableau VI hors texte. Comme on le voit, l'alizé soufflait de PE jusqu'à la hauteur de 7000 m, environ, Cependant la vitesse du vent était trés forte 9 m/s... jusqu'à 3000 m, mais faible et variable entre 3 et 7000 m. Au-dessus com- mencait le contre-alize de l'W qui tournait au-dessus de 10000 m. peu à peu au SW. Sa vitesse etait en moyenne 2 ™/sec. Pour vérifier ees résultats M. Jonas fut envoyé l'année suivante afin de faire des observations de contrôle avec des ballons pilotes. ll arriva avec »Freya» de la marine allemande le ler décembre à Cu- racao, oU il resta jusqu'au 9, en poursuivant ses observations le 11— IS à Port of Spain (Trinidad) et le 19—23 décembre en pleine mer autour du Trinidad. Les résultats de M. HrraEsELL furent complètement vérifiés. Jusqu'à 4000 m. le vent d'environ ESE restait constant et assez fort. De 4000 à 8000 m. les vents étaient faibles et variables et au-dessus ils venaient du NW ou du SW. Or, les résultats tirés des observations des nuages cités plus haut sont tout à fait d'accord avec ceux trouvés par M. M. HERGESELL et JONAS, RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS etc. 35 39. Lhémisphére australe. | Les officiers de quelques paquetbots trafiquant les lignes Ham- bourg—Amerique du Sud ont lancé 1906—1908 des ballons pilotes pendant leurs voyages selon des instructions du grand établissement de la marine allemande, la Deutsche Seewarle. Les résultats de 65 lancers sont publiés par M. KórrEN! Ces expériences furent continuées pendant 3 années, 1909—1911 par M. H. Meyer, instructeur de naviga- tion sur les vaisseaux d'école de la compagnie »Norddeutsche Loyd» pendant de longs voyages sur l'Atlantique et le Pacifique? Le Tab. VII hors texte donne les observations faites pendant 16 lancers à une hauteur assez grande au sud de Lat. 7? N. N:o 1—6 du tableau VII hors texte font voir le courant de l'est de la zone tropicale. N:o 7 présente les vents supérieurs du NE. cor- respondant aux vents du SE des iles du Cap Vert. N:o 8—16 con- tinuent des observations faites entre l'Amérique du Sud et l'Australie en plein alizé. On y voit l'alizé du SE et le contre-alizé du NW sous N:o 8, 9, 11 et 14. N:o 15 avec les vents supérieurs du SW corre- spond avec les vents supérieurs du NW aux environs des Acores. En deux cas, N:o 13 et 14, on a trouve des vents extraordinaires du S—E au-dessus de 7000 m. En N:o 10, limite polaire de l'alize, on rencontre au-dessus de 6000 m. les vents de l'ouest de la zone tem- pérée comme à la limite boréale de l'alizé de l'Atlantique nord. Enfin N:o 12 et 16 font voir des cas irréguliers comme nous en avons ren- contre au nord de léquateur. N:o 12 est un cas où lalizé du SE souffle du SW avec le contre-alizé régulier du NW. Nous avons vu que TEISSERENC DE Borr trouva une fois à la latitude de Teneriffe que l’alize du NE soufflait jusqu'à la plus grande hauteur atteinte; N:o 16 donne un exemple analogue pour l’alize du SE à 17? S sur l'Océan Pacifique. De ces résultats M. PERLEWITZ constate avec raison qu il y a une symélrie parfaite entre les directions des vents aw dessus de l'Atlantique nord el celles au-dessus de l'Atlantique sud et du Pacifique au sud de l'équateur. ! Aufstiege von Pilot ballons auf deutschen Handelsschiffen 1906 — 1908. Annalen d. Hydrographie und maritimen Meteorologie 1910 p. 201. * Dr. P. PERLEWITZ: Windbeobachtungen in den höheren Luftschichten des Atlantischen und südlichen Stillen Ozeans nach Pilotenballongaufstiegen von Dr. Harry MEYER 1909— HOI. — Ib. 1912 p. 454. 30 H. Hl. Hi, DEBRANDSSON, 4" Batavia et Samoa. Nous avons quelques observations faites au moyen de ballons son- des ou pilots de Batavia, 6° Lat. S. et de Samoa, 14 Lat. 8. Les observations de Batavia du 16 septembre 1911 au 5 juillet 1912 sont publiées dans les » Publications de la Commission internationale pour l'Aérostation scientifique 1911— 1912». | La station est sous le régime de la mousson de NW et Palizé de SE, mais comme nous lavons vu, les moussons sont confinées dans une couche relativement basse de l'atmosphère. Aussi voit-on du Tab. VIII hors texte qu’ au-dessus de 100—500 m. il regne “des vents d'E comme on aurait pu le prévoir, Batavia étant dans la zone équatoriale. Cependant le 2 mai un vent du SW régnait jusqu'à 4000 mètres où cessaient les observations. Le 1l avril on observait aussi des vents variables entre le NW et le SW au-dessus de 12 km, c'est à dire dans la stratosphère. Cette anomalie se présentait aussi à 5 et 6000 m. le 6 Juin. Du reste les vents de IE soufflaient aux plus grandes hauteurs atteintes. De 40 années d'observations horaires les vents de chaque mois sont en moyenne!. - Jan. Févr. Mars Avril Mai Juin Juill. N 480 W N 42 W N 29 W N 31 E N 50 E N 56 E N 53 E Août Sept. Oct. Nov. Déc. N 46 E N 34 E N 32 E NOV N 54 W En hiver la mousson de NW est bien visible, mais en été l'alize du SE divient NE par des causes locales, Batavia étant situé sur la cóte nord de Java. Nous avons aussi quelques observations de Samoa (14° S)? des années 1909 et 1910. Mais la situation de cette ile est trés excep- tionelle; on pourrait dire qu'elle se trouve en hiver dans l'hémis- phere australe et en été presque dans l'hémisphère boréale. En effet, l'équateur thermique qui se trouve en général au nord de l'équateur, ! Magnetical and meteorological observations Batavia. Append. Results of meteorol. observations Batavia 1901—1905 and 1866—1905 p. 95—140. Voir aussi Meteorol. Zeit- schrift Dec. 1917 p. 424. i ? Die aerologischen Ergebnisse 1909 u. 1910 am Samoa Observatorium von Dr. Kurr Wagener, Nachrichten d. K. Gesell. d. Wissenschaften zu Gottingen. 1910 u. 1911. RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS eic. 37 s'abaisse en été dans cette partie du Pacifique jusqu’ au sud de 14° Lat. S. Alors Samoa est situé à peu près sur l'équateur thermique, tantôt un peu au nord, tantót un peu au sud de celui-ci; les vents avec com- posante est sont, comme on doit l'attendre, dominants à toute hauteur. En hiver (mai—aoüt) la place se trouve au contraire le plus souvent sous lalize de SE et les vents supérieurs ont une composante ouest. Mais les vents à la surface terrestre sont souvent irréguliers à cause des brises de terre et de mer qui sont fortement développées. Mais les vents supérieurs, déterminés par la marche des Cirri sont aussi irréguliers. Ils ont le plus souvent une composante ouest déci- dée. Voici les observations des ci: Saisons de l'hémisphère australe. N NW W SW 5 SE 10) NE Eté 0 | 4 2 | 9 | 0 Hiver . 0 9 3) | 3 I 0 0 Les observations faites à l'aide de cerfs-volants et de ballons pi- lotes dépassent rarement 3000 metres. Nous en donnons ici quelques spécimens. 1910 1910 1910 1909 1909 I Décembre 10 Janvier 18 Février 20 Janvier 29 Mai 0— 400 m. NE (mibi: 0 m. E 0 m. NW 0 m. E 400— 1200 N 500 E 500 ESE 500 NW 500 E 1 200 — 2000 NNW 1000 E 1000 E 1000 NW 1000 j 2000 — 3000 NW 1500 E 1125 D 1500 NW 1170 E 3000 — 3480 E 1780 E 2500 NW au-dessus Cist W Cist ESE Ci SE Orage Cist WNW 1910 1900 1910 1910 19 Mai j 2 Juin 7 Juillet 1 Août IS Oct. 0— 100m S 0 m. E 0 m. E 0 m.— 300 Calme 0— 200 ENE 100— 200 Calme 500 E 500 E 300— 600 SSE 200 — 1200 E 220— 1870 ENE 1000 E 1000 E 600—2500 W-—SW 1200 — 1400 ENE 1870-—2750 NW 1500 E 15C0 E 2500 — 2900 Calme 1400— 2800 NE 9750—7100 NNW 1800 E 2000 S? 2900—5200 SSW —SE 2800 —4100 NNE CiCu W Ci WNW = Ci SSW = Nous voyons que le regime des vents de Samoa n’est pas un re- présentant des courants d'air tropicaux. Les vents sont trés chan- .geants d'un jour à l'autre en chaque mois et à chaque hauteur. Cela 35 H. H. HiLbEBRANDSSON, dépend de la situation de cette ile entre trois régimes de vents: l'alizé de SE, le calme tropical et la mousson de l'Australie, de la Nouvelle Guinée et des iles assez grandes à l'ouest. A cause de cela les gra- dients de la température et de la pression de l'air sont tres irréguliers, d'où provient souvent un vent de l'ouest au lieu de l'est dans les regions supérieures, Nons n'avons pas à discuter ici en détail ces anomalies locales, qui n'influencent pas les mouvements généraux de l'atmosphere. 5*. Observations simultandes en Grönland et en Islande. Nous avons vu que la marche des Ci à l'Islande et au Grónland est en moyenne de l'E au lieu de l'W comme on devait le supposer. Quelques expériences faites par M. HERGESELL avec des ballons sondes sur mer dans ces parages ont confirmé ces observations. Pour étudier plus prés cette anomalie M. DE QUERVAIN de Zurich et M. THORKELSEN, de linstitut météorologique danois, ont fait des observations simulta- nées, M. De QvERQVAaIN à la côte ouest de Grönland entre 64? 11’ et 68° 51’ Lat. N et M. THORKELSEN à Akureyri sur la côte boréale de l'Is- lande de la fin d'Avril jusquau commencement de Juillet 1909. Les ob- servations les plus complètes se trouvent dans le Tab. IX hors texte. (Godthaab 64° 11” N, Agto 67° 56' N et Godhavn sur l'ile Disco 68° 51” N.) On voit qu'à Akureyri les vents de l'E règnent souvent dans les couches inférieures, mais ils sont superposés de vents de PW—NW dans les couches supérieures. Cela est le régime ordinaire des vents au nord du centre d'un minimum qui est ordinairement ouvert en haut. Les grands minima passent aussi en general au S— E de l'Islande. Sur les eaux de la Baie de Baffin, presque toujours ouvertes et entourées à l'E de Grönland toujours couvert de glace et à l'W de la Terre d'Ellesmere tres froide, il se forme presque toujours une dépres- sion presque immobile' changeant seulement plus ou moins en profon- deur. Sur le Grónland s'étend au contraire une langue de haute pres- sion de la mer arctique. Mais, comme nous l'avons vu plus haut, une dépression ayant une haute pression au nord est fermée méme en haut. Cela explique que les vents de l'E étaient prédominants à toute hauteur, à peu d'exceptions prés, en Mai et en Juin. i Une seule fois, le 5 Mai, une dépression passa de la Baie de Baffin vers l'est au- dessus de Grónland. 1 RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete 39 Nous avons vu plus haut (Tab. I hors texte) qu'à la terre d'Elles- mere, située au NW de la Baie de Baffin, les vents dominants sont les vents du N depuis le sol jusque dans la région des Cirri. Seule- ment en été les vents du S sont souvent dominants Or, la Terre d'Ellesmere est située dans la partie postérieure de la dépression con- stante sur la Baie de Baffin. Cette dépression ressemble aux tourbil- lons continuels qui se forment dans une baie creusée dans le rivage d'un fleuve. Ici le fleuve c'est le grand courant de l'ouest dominant sur toute la zone tempérée et que nous avons trouvé dans les hautes régions, méme dans les régions polaires, Jan Mayen, Kiruna, Spitzberg, Terre de Francois-Joseph, etc. IV. Confirmation des résultats précédents par des phénoménes volcaniques. Les 29 et 30 Mars 1875 une pluie de cendres très intense tombait en Scandinavie. Les cendres venaient du volean Askja situé dans la partie orientale de l'Islande (65? 2'" N, 16? 40' W. Gr.) et dont la hau- teur est 1000 m. environ. ‘Il y avait une éruption tres forte le 29 Mars au matin. Les cendres tombaient à 7^ du matin sur la côte orien- tale de VIslande entre Seidisfjord au nord et Berufjord au sud AUS du soir elles tombaient sur la cote occidentale de la Norvège entre Brönö au N et Samnanger pres Bergen au S. Par conséquent elles avaient traversé la mer avec une vitesse de 23,« m. par seconde, À Stockholm les cendres commençaient à tomber à 11" du matin du jour suivant. Sur la côte de la Baltique elles tombaient entre Sollefteà au N et Sédertelje au S. Par conséquent en traversant la Suede le vent avait une vitesse de 14, m. par seconde. De lautre côte de la Bal- tique on n'avait pas d'observations. Cette fois les cendres ont été transportées par les vents des cou- ches inférieures ou intermédiaires de l’atmosphere. Par l'éruption du volcan Katmai aux iles Aléoutiennes le 6—8 Juin 1912 au contraire les produits volcaniques furent jetés dans les regions les plus hautes de l'atmosphère. Les poussières les plus fines y restèrent pendant 2—3 mois apres avoir été transportées trés vite successivement sur l'Amé- rique du Nord, l'Atlantique et l'Europe, en forme d'un éventail, jusqu'en Sibérie à lest. Le ciel clair avait tout l'été une couleur grisátre, et on voyait le soleil à travers de ce voile comme un disque de cuivre poli. Ce phénomène fut observé vers le sud jusqu'à Bassour dans l'Algérie australe, où il a endommagé sérieusement les travaux d'une expedition actinometrique de l'observatoire astrophysique du Smithsonian Institution, sous la direetion de son Directeur, M. le Dr. €. G. ABBOT —— RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS etc. 41 et M. A. Anesrrom de l'Université d'Upsala. En Septembre, quand le phénoméne avait presque disparu en Europe, on observait, selon une lettre de M. NAKAMURA, au Japon des crépuscules rouges ressemblant à ceux observés après la célèbre éruption du Krakatau. Cette éruption du Krakatau le 27 août 1883 est l'éruption la plus formidable en temps historique. Le volean est situé sur une ile dans le détroit entre Sumatra et Java pres de l'équateur. A 10" du matin une explosion énorme jeta une grande partie de l'ile dans l'air à une hauteur probablement plus grande que celle de l'atmosphère, Une masse énorme de la poussière la plus fine restait suspendue dans les régions les plus hautes et causa ces crépusules rouges qui ont duré pen- dant plusieurs mois. Ces crépuscules rouges faisaient le tour du monde entre les tropiques en 12 jours, c'est à dire avec une vitesse de 34,5 m. par seconde, C'est la première fois que le vent constant de l'est équatorial fut constaté tout autour de la terre. Le long des méridiens ce phénomène s'étendait au contraire très lentement. Il n'arrivait au Cap Nord et au Grönland meridional que vers la fin de novembre et à Buenos Aires et à Valparaiso au com- mencement d'octobre. Ainsi ces exemples qu'on pourrait augementer prouvent l'existence d'un courant de l'ouest à Vest dans la zone tempérée et d'un courant de l'est à l'ouest autour de l'équateur. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N. 1. Impr. ”/s 1918. 6 Conclusions générales. De ce qui précède ?l faut tirer les résultats suivants trouvés sans aucune théorie préconçue directement par des observations faites selon des méthodes diffé- rentes: 1" Autour de l'équateur thermique il y a un grand courant de l'est à l'ouest. Il est faible en général à la surface terrestre (> Calmes équatoriaux»), mais très con- stant et très fort dans les couches supérieures de l'atmosphère (34 m. p. s.). 2° Dans les zones tempérées il règne des courants de l'ouest à Vest. 3* Dans les régions supérieures ces courants sont déviés à droite dans l'hémisphère boréale et à gauche dans l'hémisphère australe. Ainsi le courant équa- torial de l'est devient successivement SE. S. SW et W, contre-alizé de l'hémisphère boréale, et NE. N. NW et W, contre-alizé de l'hémisphère australe. Ces courants supérieurs alimentent du côté équatorial les hautes pressions des tropiques. De la méme maniere les courants de VW des zones tempérées deviennent en haut resp. NW et SW et alimentent des côtés polaires les maxima tropicaux. 4" De ces maxima soufflent dans les couches inférieures les alizés du NE et du SE vers l'équateur et des côtés opposés les vents de SW —W dans Vhémis- phère boréale et de NW—W dans l'hémisphère australe. 5% Des régions polaires les observations sont encore peu nombreuses: par celles citées plus haut on voit cependant que les vents d'est sont fréquents à la sur- face terrestre au-dessus de 60°—70°, mais qu'en général des vents de NW—SW soufflent au-dessus dans les régions supérieures. Cela s'explique probablement par le passage fréquent de dépressions barométriques qui ne sont pas fermées en haut à leurs côtés polaires. Seulement, s'il existe un maximum au nord, les vents de l'E soufflent aussi en haut. Sur la Baie de Baffin, dont les eaux plus ou moins ouvertes sont entourées de pays très froids, il existe, surtout en hiver, une dépression pres- que immobile avec des vents de SE—E à Grünland et de N à la Terre Ellesmere. 6" Plus la hauteur est grande, plus les vents de l'ouest sont constants dans les zones tempérées, dont on doit conclure que les cyclones et les anticyclones sont des phénomènes qui naissent dans les couches inférieures de l'atmosphère. RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS etc. 43 ^ 79 Or, un courant supérieur direct de léquateur vers les pôles n'existe pas, ni wn courant inférieur en sens inverse des pôles à l'équateur. 89 Cependant, il y a un échange lent de l'air le longue des méridiens, causé par des tourbillons cycloniques et anticycloniques continuels dans les zones tempé- rées. En effet, chacun de ces tourbillons transporte à l'un côté de l'air du sud au nord et à l'autre du nord au sud. Du reste, comme l'air a un mouvement ascen- dant dans les cyclones et descendant dans les anticyclones on voit que les masses d'air des différentes latitudes deviennent peu à peu mélangées. 44 Hiver Printemps . Kiew Automne Anne Janvier . Fevrier . Mars Avril Mai . Juin. Juillet Aout Septembre . Octobre Novembre . Décembre . Année . Janvier . Février . Mars Avril Mai . Juin Juillet Aoüt Septembre . Octobre Novembre . Décembre . Année . H. H. HILDEBRANDSSON, Tab. Tableaux. I. Terre d'Ellesmere. Nuages supérieurs (Ci, Ci—St). NE 4 53,5 19 15,5 92 E 23 44,5 16 20 103,5 SE 6 18,5 13,5 15 53 S 13 46 60,5 18 137.5 Nuages inférieurs. E 5 3) a SE 1,5 12,5 4 13 13,5 S Vents (percents). E 3,9 4.0 4,0 SE 3,4 4,6 7,2 4,0 7.5 9,5 10,6 7,0 2,7 3,9 54 4,6 5,8 SW 1 42,5 24 0,5 68 NW 2 104 NW 5,4 5,5 5.1 5,9 8,4 6.0 8.6 7,0 17,6 8,1 5,4 6,5 + (4 Somine 74 287 236 130 727 Somme 27 9 1443 Somme 37,5 38,0 Bel 39,2 29,0 29,0 24,2 31,5 11,3 31,0 30,5 41,2 32,4 RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete, 45 Tab. II. Limite boréale de l’alize. Le 22 Août 1905. Le 22 Sept. 1907. Le 4 Mai 1906. Le 20 Sept. 1907. 91 44 N. 98"1' W. 32^49 N.] 32007 W. 81913" N. 23*7 W. 31°45 N. 2733 W. Acores. Hauteur Direction Hauteur Direction Hauteur Direction Hauteur Direction 40 m NE 5m, N75 E 5m N 40 E 5m N 82 W 270 N 35 E 500 N 86 E 500 N 34 E 500 N 82 W 500 N 40 E 1000 S 81 E 1000 N 45 E 750 S 66 W 880 N 40 E 1500 N 71 E 2230 INISO MIRI 1500 S 66 W 1000 N 70 W 2000 N 44 E 2420 N 73 E 3000 S 75 W 1285 N 60 W 4000 N 21 E 3000 N 65 E 4900 S 54 W 1500 N 15 W 4500 N 29 W 3200 N 15 E 5000 N 89 W 2000 N 25 W 5000 N 26 W 3350 S 89 E 7000 N88 W 2500 N 20 W 6000 N 30 W 5000 S 81E 9000 S 54 W 2600 N 20 W 8000 N 36 W 5900 SESIER 10000 N 75 W 3000 N 45 W 10000 N 15 W 6870 N-71 E 11000 S 67 W 3500 N 45 W 13450 N 13 W 7000 S 50 W 12000 Sy Tk NV 4000 N 50 W 13500 N 67 W 8000 S 52 W 14000 S 69 W 4150 N 45 W 14275 N 69: W 8980 S 41 W 15250 S 56 W Tab. III. Madére— Ténériffe. Le 16 Août 1905. Le 8 Août 1906. Le 7 Juillet 1905. Le 22 Février 1906. 32038 N. 19? 14 W. 39954 IN. 23913) Wi. 28? 28 N. 18035 W. S:te Croix de Ténériffe Madére S:te Croix de Ténériffe 5m (Calme 5m N40E 3m -— 5 m _ 500 N 75 W 500 N 39 E 500 N 500 N53E 1000 N 35 E 1000 N 42 E 1000 N 80 W 1000 S 65 E 1720 N 50 E 1440 N 197E 2000 INGO Wi 2000 N 80 E 2000 N 15 W 1500 N 21 W 3000 N 45 W 2500 N 40 E 3000 W 2000 N 44 W 3500 N 65 W 3000 S 50 W 4000 N 70 W 2500 N 75 W 3525 N 70 W 3500 N 50 W 5000 N 55 W 2820 N 85 W 4000 S 60 W 4000 N 5E 6000 S 5 W 3000 S 84 W 5000 S 60 W 5000 S 60 W 1000 N 15 E 3500 SR] RNV 6000 S 60 W 6000 S 30 W 8500 N 50 W 4000 S 74 W 7000 S 80 W 7000 S 75 W 10000 SRE 0 Wi 4500 N 80 W 7500 SIDE 8500 W 11000 N 75 W 5000 S 84 W 8000 S 70 W 10000 N 60 W 11640 S 80 W 5340 S 85 W 8460 S 65 W 13000 N 60 W 46 Tab. 1V. Le 17 Juillet 1905. 16° 53° N. 27° 20 W. Saint-Vincent (Iles du Cap Vert.) 3 m 500 1000 2000 3000 3500 4000 6000 6500 7000 8000 9000 10000 10915 NONANNNANW 22222 60 35 60 85 85 Le 19 Juin 1906. 1946 N. 24^ 55: W. 5m 1000 2000 3500 4000 5000 5500 7000 10000 12000 13000 14000 14500 15270 Op) PA Ad PY Py PEZ RIA EYEZA dp) (dp) 172). top) Ej Ej Ej Dd Ej Ed Ed EU E DE E [EH H. H. HILDEBRANDSSON, Saient-Vincent. Circulation Equatoriale. Le 25 Juillet 1907. 10° 6° N. 39°40 W. Le 29 Juillet 1907. 9393. N. 35°51 W. Le 23 mai 1906. 8057 N. 27° 44 W. 5m N55E 5m WN 62 E 500 N 64 E 1000 N 73 E 1000 S 66 E 2000 N 70 E 2000 I er id 3000 N 73 E 2500 S 52-E 3850 N 66 E 3000 S 80 E 4000 wp 73) 18 3900 S 70 E 6000 N 89 E 4000 S 9X0) 10; 7000 N 10 E 5000 S 45 E 7500 S 88 E 5900 S 50 E 10000 S also li 6000 S 10 E 12000 SETTORE 7000 S 10 E 13000 N88 E 8000 S 14 E 14000 S 48 E 8900 S 14 E 15330 N 59 E Tab. V. Alizé de SE. Le 4 Juin 1906. 4983 S. 17939 W. Le 18 Juin 1906. 1971582990 A0 Wi om 5 35 E Sion ts) Gi) 15 1000 SAONE 1000 S 68 E 1180 S 44 E 2000 S 30 E 1500 N 80 E 3000 SE GER 2000 N 73 E 3500 N 70 E 3390 N 48 E 4400 N 86 E 3500 S 75 E 4500 ss} teh VIN 4500 S 78 E 5000 S 18 W 5580 (S) Vei JU 5500 Calme 5900 N 23 E 6000 N 76 E 7000 SEO 7000 N 78 E 10000 S te ds 8140 N 55 E 10200 N 55 E 8500 N 10 W 11450 N 65 E 9460 N 63 W 4 1 Ej E 5m ENE 500 N 68 1000 N 77 1500 N 88 2000 N 78 2500 N 78 3000 N 84 3500 N 88 4000 N: 5000 N 85 6000 N 84 7000 N 79 8000 S 87 8390 S 88 ce e» tj Ed E] Pewee» Le 10 Juin 1906. 105578. 16°46 Ne Ascension 5m S 60 E 400 S 62 E 1000 E 2500 E 3500 N 72-ÀE 5000 S62 E 6000 E 6500 N 15 E 7000 S 85 W 7500 N 14 W 9000 N 32 W 11000 N 23 W 13000 N 58 W 15800 N 54 W RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS ete, 47 TAP VE Le 6 Décember 1909. Le 7 Décember 1909. Le 8 Décemcer 1909. Le 9 Décember 1909. 15911 N. 669058 W.Gr. 15°41'N. 66^57' W.Gr. 14°27'N. 68240 W. Gr. 15°10'N. 67?31' W. Gr. 1160m. E 39 N 1450m. E 25 N 1160m. E 12 N 2570m. E 33 N 2610 E 82 N 2610 E 30 N 2900 E 35 N 4400 E 648 4060 E 4920 E 13 N 5510 EO wis 4910 . Calme SOLON EN NOS 5510 E 85 N 6380 BUS N 6740 E 6960 W 78 N 6090 E 49 N 8410 m 58 8710 W 60 S 8410 W 40 N 6670 nS 8700 Calme 10920 W 28S 8990 W 15 S 7830 E 35 N 9280 WEISS 114702 Wee oN 9570, Wr 20 N 8120 E 45 S 10730 W 12900 NM HOTS Wi 7S 10730 Wie tN 12470 W 24 S 15000 W 40 $ al IW 13.45 11310 W 255 13630 WCS34 S 16800 E 83S 127605 We 227.9 12470 W 295 14790 WS 13630: W 68 S8 14210 WIESE S 15370 We Loan 16240 W 226 S 16530 E 47 S Tab. VI (suite). Le 10 Décembre 1909. Le 21 Déc. 1909 midi. Le 21 Déc. soir. Courbe moyenne des 15"45'N. 67021 W.Gr. 17956 N. 75"58 W.Gr. 18'8N. 75°30 W.Gr. lancers aux 6 —10 Déc. 2040 m. E 5N 1080 m. E 1000 m. E 1005 m. E 22 N 3760 BN oe Ni 2130 Er SON 1910 E20 N 2955 Bj ol Ni 7020 E 558 2650 E 84N 3040 W 68 N 4355 E 6N 8580 variable 3400 W 308 3720 W 40 5 5785 E 10470 W 30 N 5410 W 728 4200 I n) IS) 7145 E 15 N 11120 W 24 N 6410 W 22 N 5960 W 82 S8 8340 W 6N 13960 W 15 S 7190 Ww 4S 6730 W 12 N 10285 W 3 N 14570 variable 8520 WEHEN 7520 W 23 N 11600 W158 15180 W 10 S 9840 W 33S 8580 W 22 N 13540 W23 S 15500 W 60$ 10010 W 208 9900 W 16 S 14100 W45 S 11440 W 258 11950 W 20 S 11970 W 18 S 12560 W 15 S 48 Le 24 Avril 1906, 79 N, 29? 1/3 W. Gr. Om. NE 0 m. ‘SSE 500 N 57 E 500 S 42 E 1000 N 71 E 1000 S 36 E 1500 S 69 E 1500 S 76 E 2000 S 60 E 2000 N 46 E 2500 S 66 E 2500 N 65 E 3000 S 77 E 6 7 Le 4 Janv. 1910. Le 5 Janv. 1910. 5b. S. 30° W. 2,108 29:90 W Om. SSE 0 m E 500 S 62 E 500 N 73 E 1000 S 76 E 1000 N 42 E 1500 S 85 E 1500 N 17 E 2000 E 2000 N 47 E 2500 N 88 E 2500 N 35 E 3000 N 75 E 3000 N 35 E 3500 N 50 E 3500 N 35 E 4000 N 65 E 4000 N 35 E i H. H. HILDEBRANDSSON, Tab. VII. L'hemisphére australe. 9 11 Le 30 Oct. 1910. 2 1.4? S. 0 m. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 75 7000 W 8000 N 85 1144" W ENE N 82 S 70 S 28 S 15 N 80 N Le 31 Oct. 1907. 49 93' N, 290 52" W. 3 Le 25 Sept. 1907. 1" 18 N. 309 51' W. 0 m. 500 S 1000 S 1500 N 2000 S 2500 S 3000 S SE 42 E 64 E 35 E 2038 38 E 30 E 8 Le 6 Janv. 26222" S. 0 m. 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000 SSE 19 Le 3 Nov. 26° S. 1504" W. 0m. SW . 500 S 62 W 1000 S 82 1500 N 82 2000 N 48 2500 N 65 3000 N 62 1910. W W W W W 1908. 44?26' W. Le 6 Janv. 0,29 N. 0 m. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5500 4 1910. 29,5 ^W ESE 52 1 zu uU uu 1 oo N wo A © © O1 @ © ©: Où I © ost E E E E E E N E E E E u uz 9 Le 22 15,s? S. 0 m. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 6000 . 7000 8000 9000 Oct. 1910. 911° W. SSE S 85 E S 82 E 82 E E S Slaw) S 35 W N 85 W W S 75 W Ss 25 W 40 W 40 W 30 W 13 10000 11000 12000 Le 6 Ke 1907, 19 8. 890 VP 0 m. SSE 5007877 1000 S 75 1500 S 76 2000 S 75 2500 S 75 3000 S 75 t GENE 10 Le 1 Déc. 1910. 3198. 1619 E. 0 m. ESE 1000 N 25 E 2000 N 25 E 3000 N 74 E 4000 N 84 E 5000 S 85 E 6000 S 63 W 7000 S 87 W 9000 W N 88 W S 72 W S 80 W Le 16 Nov. 1910. 25.5 S. Om. SE 1000 S 50 1500 N 42 2000 N 12 3000 N 84 4000 N 84 5000 N 84 6000 N 15 7000 E 8000 E 1584? W. 242508 E RÉSULTATS DES RECHERCHES EMPIRIQUES SUR LES MOUVEMENTS etc. 14 x: Le 17 Nov. 1910. 25.08. 161° W. Om. ESE 1000 S 68 E 2000 S 3000 W 4000 Calme 5000 W 6000 N 66 W 7000 8 38 W 8000 * 8500 S 13 E Le 3 Janvier 1912. 100m. N 77 E 1000 N85 E 2000 N 89 E 3006 SOTASB 4000 Sr 130 5000 SES 18 6000 S 60 E 7000 S 89 E 8000 SOS 9000 S 21E 10000 Sr Sik 11000 SET 12000 S 72.5 13000 SHOPS hi 14000 N71E 15000 N65 E 16000 S 73 E 17000 N55 E 18000 = 19000 = Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups.. Ser. 4, Vol. 5, Tab. VII (suite). 15 Le 20 Nov. 1910. 26, 0 1000 1500 3000 4000 S 5000 S 50 5500 S 50 2 S. m. E S 87 E NO721B S 45 W W W Tab. VIII. 170,6? W. 49 16 Le 25 Oct. 1910. 17 S. 98,59 W. 0 m. 1000 2000 3000 4000 5000 6000 1000 8000 8500 uo Uu uu u uuu Batavia 62 11^ S; 7872105 E. Gr: Le 4 Janv. 1912. 2 W 79 AZANANNNDNNANAUHRANNDYDW Ej EJ Ej pj Ed EJ EJ zi EJ L3 ee eee ese 500 m. N. S uuzuzz at dpi A ay ep) a er Fah (gp ten l. Le 11 Avril 1912. 85 84 Impr. */s 1918. ESE 60 50 36 38 48 26 23 12 20 Ej EJ EJ rj Ed [E] Ed Ej EH Le 2 Mai 1912. 5008 35 W 1000 8 60 W 20008 65 W 30008 70 W 40008 70 W Le 6 juin 1912. 100m.S 77 E 1000 N67 E 2000 N43 E 3000 E 4000 N46 E 5000 N45 W 6000 S 36 W -1 Le 5 Juillet 1912. 50 100, 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Hauteurs Om— 100 500— 1000 1000— 1500 2000— 2500 3000— 3500 4000—- 4500 5000— 5500 6000— 6500 7000— 7500 8000— 8500 9000— 9500 11000—11500 13000 — 13500 14500—15000 Hautturs Om— 100 500— 1000 1000—1500 2000— 2500 3000— 3500 4000 —4500 5000 —5500 6000— 6500 7000—7500 8000 — 8500 9000 — 9500 iA Neal top) bet ETTA EAA 83 88 86 Ej Ej] Ed Ej Ed E] Ej EJ > Ed [Ej Godthaab 27 Avril N 30 E HE sunuE 2 Z Akureyri 12 Mai FAA Fy TAN EAN Fay ZWEI 26 29 62 51 36 30 28 30 28 31 E MW W W W W W W W W H. H. HILDEBRANDSSON. Tab. VIII (suite). Le 16 Sept. 1911. Le 8 Décembre 1911. 100m. S 25 E 500m. S 17 W 500 E 1000 STD 1000 N 7205 2000 8.72 B 2000 Sil Ww, 3000 N 89 E 3500 S 4000 N 82 E 4000 SOLDE 5000 N 74 E 5000 S 51 E 6000 N 82 E 6000 N 15 E 7000 N 88 E 7000 SE ib 15 8000 S 49 E 8000 N 82 E 9000 S 88 E 10000 N 81 E 11000 N 79 E 12000 S 74 E 13000 S 88 E Tab. IX. Akureyri Godthaab Godthaab Akureyri Godthaab 28 Avril 29 Avril 7 Mai 7 Mai 12 Mai S 82 W N E 309 N S99 E N 36°E N 27 W N 24" E E SIE N 42 E N 16 E N 24 E S 30 E S Wm N 28 E N 33 E N 44 E S 34 E S 51 W N 36 E N 16 E N 29 E S 15 E S60 W EC TEN N 15 E E S 4E S 55 W E 20 E E 18 S S 3E S Ww S 20 E E 37 S Ss. 13 W S 44 W S 18 E E 42 S SON S 37 W S 20 E E 45 S ‘Syeda ans S 48 W Eats S 25 E S 45 W N 38 E E 39 N S 59 W E 30 S E 44 N E 10 N Agto Akureyri Godthaab Akureyri Akureyri 29 Mai 29 Mai 21 Juin 21 Juin 22 Juin (soir) Si 25 W N 24 W S 43 W S 54 E N 35 W W 35 S S 18 W E 17 N S47 E Norns W 415 S 42 W RTS ES N 64 E N 68 W SMS ON S 30 W SY PEL NW - NE YS. 19, N 45 W We oes S 35 W W 345 N 43 E N 22 W W 258 S 23 W S 44 W N 40 E N 31 W W 28 N S 17 W W 455 N 36 E N 40 W W 27 N S 25 W Sy 8 WW N 32 E N 25 W S 38 W N 30 E N 22 W ; W 89 S N 26 E N 16 W W 418 N 29 E N 17 W Big Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. IV. Vol. 5. N:o 1. 1896 730. 13 Mars 6; 5 no) : H H H: EI ed 1 # 8000m.St.Petersbourg: : = i i H A. & W:s lit. anst. H. H. Hildebrandsson : Mouvements généreauz de l'atmosphére. ER À Lc Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. IV. Vol. 5. N:o 1. Bie: Maurice 1877—1897. 1. Cirrus. (Kurrachee—Bombay—Cuttack). D. AY vl i sf Nuages Supérieurs. fi a. Square No: 39. Cuttack. | 10°—20° Lat. N. N | 20°—30° Long. W. Gr. Nuages Supérieurs I 2. CiCu, ACu, AS H. H. Hildebrandsson : Mouvements généreaux de l'atmosphére. A. & W:s lit. anst. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. IV. Vol. 5. N:o 1. Pl. III. Zi—ka— wei (1895— 1898). 5 ^ 15 i, CiS . ( 1 ; 1 ) [2] 2. (CiCu, ACu, AS) | | | 35 EEE N À T 3. N. inférieurs. | | | | | | | | | | Madrid. N Cu, S, Nl CuN, SCu. | 0 | | | DFA Bol ia Ar AS | 0 I vl | | | Aq QC. a. Paris (Pare Saint Maur). (1876—80). N | I flis. ^ Nuages supérieurs. 2 NY | J [6] 2 Á M | | Nuages inférieurs. I Nuages supérieurs. ns | À | H. H. Hildebrandsson : Mouvements généreaux de l'atmosphère. A. & W:s lit. anst. sumere rni M ;ü y à E | : ur —— n Y oe KÖL ,00 ape dial MAT) atn] à qui —o 181) Ww ^ UU ere mugen fi” AY. Ye uote Au Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. IV. Vol. 5. N:o 1. JOE er. p quee TN "pee E i eee Ee oe Per: = = £. N -— "e 148 = 7 D JT EIL or, — ET. eb + HE SET 2 een / Wznd Wind Basseterre. Roseau. m | Han e s] ea LA N iv] e, Scale of Velocity O _/0 20 30 _40 meters per second. H. H. Hildebrandsson : Mouvements généreaux de l'atmosphère. A. & W:s lit. anst. tone tàn amies pue 1 I i N LK yy hugo ied b vara ig ee virens iti aM € wen ay . i al - I : ] L iD Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. IV. Vol. 5. N:o I. EVs Directions moyennes des nuages supérieurs. Eté Isobares d'été par L.Teis- serenc de Bort. H. H. Hildebrandsson : Mouvements généreauz de l'atmosphère. A. & W:s lit. anst. 3 ax ui i. ' i hi B Li D » > t & Ec ' ' a D m % i « B = 4 E LS $1 ji | | Li i ee A co AE DS WU HEN Ein FRE " Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. IV. Vol. 5. N:o 1. PAIE Directions moyennes des nuages supérieurs. 2 4 Hiver. 5 Isobares de Janvier par A p 760 L. Teisserenc de Bort. /C ; zei. K eh HI 12 2 H. H. Hildebrandsson : Mouvements genereaux de l'atmosphére. A. & W:s lit. anst. NOVA ACTA REGIAE SOCIETATIS SCIENTIARUM UPSALIENSIS SER: IV. VOL. 52 9 N:0:2: SUR LE GROUPE DES ÉTOILES A HÉLIUM DANS LA CONSTELLATION D'ORION ÓSTEN BERGSTRAND (PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPsALA LE 1 Nov. 1918) UPPSALA EDV. BERLINGS BOKTRYCKERI A.-B. 1919. Table des matiéres. Introduction Vitesses radiales . Détermination des changements des distances mutuelles apparentes . Détermination de la parallaxe du groupe due av. DITE atl: Ti n Ec A x m ry - * " L] 7 LPS LE j on nn *e SG ot: LI ) nan OM I CA a "| | À nr nm ^ Rand = TM = PE à RE i NE mu f s He # 7 ves " : 4 ‘ Sur le groupe des étoiles à hélium dans la constellation d'Orion. i Introduction. Depuis longtemps on a reconnu que la plupart des étoiles les plus lumineuses de la constellation d'Orion, p. ex. f, y, 9, e, € et x, appartiennent à la classe spectrale relativement peu nombreuse carac- térisée par l'existence des raies de l'hélium dans le spectre (classe I5 de Vocez ou B de CANNON-PICKERING). Par ce motif, on a méme sou- vent désigné ce type d'étoiles comme le »type d'Orion». | Un coup d’eil sur les cartes construites par M. CAMPBELL! et par M. Kaprryn? sur la distribution des étoiles à helium suffit pour faire reconnaitre que ces étoiles forment dans ladite région du ciel un groupe bien nettement défini. Ce groupe est caractérisé, d'ailleurs, par les mouvements propres excessivement faibles des étoiles y appar- tenant et par leurs vitesses radiales concordantes, dues principalement au mouvement du systeme solaire, qui est dirigé à peu prés vers la région opposée du ciel. Plusieurs de ces étoiles, situées dans la grande nébuleuse d'Orion, se sont montrées physiquement connectées à celle-ci. En outre, il ré- sulte des travaux photographiques de MM. W. PrckgniNG?, BARNARD * ! Lick Observatory Bulletin, N:o 195, 1911, p. 102—103. 2 Contributions from the Mount Wilson Solar Observatory, N:o 82, et Astrophys. Journal, vol. 40, 1914, pl. IX. 3 W. H. Pickerine, Investigations in astronomical photography (Annals of the Astr. Obs. of Harvard Coll., vol. 32, part I, 1895). 4 E. E. Banwanp, Diffused nebulosities in the heavens (Astrophys. Journal, vol. 17, p. 77, 1903). Cf. E. E. Banwanp, Photographs of the Milky way and of comets etc. (Publica- tions of the Lick Obs., vol. 11, 1913). Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N. 2. Impr. 4/1 1919. 1 9 OSTEN BERGSTRAND, et d'autres que la constellation d'Orion est en grande partie couverte de faibles nébulosités d'une énorme étendue, qui semblent émaner de la grande nébuleuse et qui sont évidemment connectées à plusieurs des plus lumineuses étoiles à hélium. M. KaprrEYN! a montré que, dans cette région, les étoiles des types B0—B5 sont 12 fois, et celles des types BS et B 9, à peu prés 6 fois plus nombreuses qu'ailleurs, et d'après les recherches de M. W. PrckERING?, les faibles étoiles »bleues» sont surtout amassées dans et autour de la grande nébuleuse. Ajoutons enfin que la vitesse radiale de la nébuleuse, détermi- née avec une haute précision par KrELER, Vocez et M. EBERHARD, MM. Buisson, Fasry et Bourcer, MM. Wricut, Frost, CAMPBELL et d'autres, est en parfait accord avec la vitesse radiale moyenne du groupe des étoiles à hélium. Ainsi, il est hors de doute que les étoiles appartenant à ce groupe forment dans l'espace un système local, physiquement lié à la grande nébuleuse et aux autres masses nébuleuses étendues autour de celle-ci. Aussi M. KAPTEYN a-t-il donné à ce groupe le nom de »Nebula-group». Nous avons ici affaire à un groupe local, analogue à ceux des Pleiades et des Hyades si bien connus. Spécialement le groupe des Pleïades offre une analogie par cela méme qu'il est com- posé d'étoiles à hélium, enveloppées dans de vastes nébulosités. Cependant, le groupe d'Orion, plus dispersé que les Pleïades, marche, par rapport au système solaire, dans une direction à peu prés coïncidant avec la ligne visuelle, de sorte que son mouvement propre sur le ciel devient extrémement petit. Dans cet état des choses, il parait peut-étre insensé de chercher à déterminer la distance, sans doute trés grande, de ce remarquable groupe d'étoiles, en pre- nant pour point de départ son mouvement, Néanmoins, en considé- rant la grande importance pour l'astronomie stellaire d'une connais- sance de cette distance et vu la possibilité d'obtenir en méme temps une détermination de la vraie position dans l’espace de la grande nébu- leuse d'Orion, je n'ai pas hésité à entreprendre cette recherche, en ! Astrophys. Journal, vol. 47, 1918, p. 106. ? Harvard College Obs. Circular 205, 1918. LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D ORION. 3 tenant eompte de certaines circonstances dont je vais faire mention en quelques mots. Vu que le groupe s'éloigne du systéme solaire avec une cer- taine vitesse, les distances angulaires mutuelles des étoiles se diminue- ront peu à peu: tout le groupe semblera se resserrer successivement, pour ainsi dire. Pourvu qu'il soit possible de déterminer ce resserre- ment, on pourra ainsi apprécier la distance moyenne des étoiles ap- partenant au groupe, la vitesse radiale étant bien connue par les me- sures spectrographiques. Il faut donc étudier d'une manière appro- fondie les mouvements relatifs apparents de ces étoiles. Or, bien que plusieurs d'entre elles soient des étoiles fondamentales, dont les posi- tions ont été déterminées par de trés nombreuses observations méri- diennes de haute précision, faites depuis le temps de BRrADLEY jusqu'à nos jours, on n'a guère encore pu fixer avec certitude leurs mou- vements propres. J'ai pensé qu'en calculant les variations des posi- tions mutuelles, on parviendrait peut-être plus facilement au but. En effet, ces étoiles, voisines entre elles, étant souvent observées dans des circonstances à peu près égales (aux mêmes journées d'observation, à des distances zénithales peu différentes etc.), on pourra s'attendre à ce que les positions relatives sont en grande partie delivrees des erreurs systématiques des divers catalogues. De plus, toute l'influence de la précession est éliminée, si l'on se restreint aux distances mutuelles. Quand méme le resserrement perspectif du groupe serait trop petit pour se révéler sürement de cette manière, la détermination des mouvements relatifs apparents serait d'une haute importance pour notre but. On. ne doit que supposer que les mouvements internes dans le groupe soient aussi probables dans la direction de la ligne visuelle que dans une direction perpendiculaire à celle-ci. Les vitesses radiales relatives, comptées en kilometres par seconde, étant connues, la comparaison de ces vitesses avec les mouvements propres relatifs pourra mener à une appréciation de la distance moyenne du groupe. Il y a bien des années que j'ai commencé ces calculs, inter- rompus ensuite plusieurs fois par d'autres travaux et repris aprés de longs intervalles. Pendant ce temps-là plusieurs travaux ont paru, qui traitent la question des distances des étoiles à hélium et de leur distribution dans l'espace. Parmi ces travaux il faut nommer en pre- 4 ÖSTEN BERGSTRAND, mière ligne les recherches de MM. PLUMMER!', CHARLIER” et KAPTEYN *. Ces savants astronomes ont attaqué le probléme en sortant de points de départ tout différents; cependant les résultats auxquels ils sont par- venus sont, en ce qui eoneerne les étoiles en question ici, tout à fait en désaccord entre eux, Il s'est donc présenté à moi un motif de plus pour poursuivre mes calculs d’après la méthode que je viens d'es- quisser. : Dans la région du ciel iei considérée les étoiles à hélium les plus lumineuses appartiennent principalement aux types B — B3, tan- dis que les types BS et B9 sont moins nombreusement représentés. Cette prépondérance des types dits plus jeunes se manifeste d'une manière si prononcée, qu'il faut la regarder comme une particularité spécialement caractéristique du groupe d Orion (on sait bien que le cas est précisément le contraire pour les Pleïades, où les types plus avancés sont tout prépondérants) Voilà pourquoi je n'ai pris en considération que les types B — B 5. ! H. C, Prummer, On the motions and distances of the bright stars of the types B— B5 (Monthly Notices of the R. Astr. Soc, vol. 73, n:o 3, 1913). 2 ( V. L. Cuaruer, Studies in stellar statistics III: The distances and the distribu- tion of the stars of the spectral type B (Nova Acta R. Soc. Scient. Upsal, Sér. IV, vol. 4, n:o 7, 1916). 5 J. €. Kapreyn, On the individual parallaxes of the brighter galactic helium stars in the southern hemisphere, together with considerations on the parallax of stars in general (Contributions from the M:t Wilson Solar Obs., N:o 82 et Astrophys. Journal, vol. 40, 1914). — J. €. Karteyn, On parallaxes and motion of the brighter galactic helium stars between galactic longitudes 150° and 216° (Contr. M:t Wils. Sol. Obs., N:o 147, et Astroph. Journ., vol. 47, 1918). II. Vitesses radiales. Le tableau I contient, d’apres la carte et le catalogue de M. CawPBELL!, les étoiles du groupe en question appartenant aux types DB — B5 et dont on connait les vitesses radiales. Le nombre de ces étoiles, que j'ai prises comme objet de mes caleuls, est de 15. Dans le tableau on a ajouté deux étoiles plus faibles (n:os 16 et 17), dont les vitesses radiales ont été déterminées plus tard, et l'étoile ı Orion (n:o 18), laquelle est du type spectral Oe 5, mais qui est indubitablement liée d'une maniere intime à la grande nébuleuse. Les colonnes 2—7 contiennent le numéro d’après le »Preliminary General Catalogue» de L. Boss, la désignation, la grandeur, l'ascension droite et la déclinaison pour 1900, , le mouvement propre en ascension droite et en declinai- son de chaque étoile selon Boss, la colonne 8, le type spectral, et la colonne 9, la vitesse radiale observée. Pour ce qui est de cette der- niere, je renvoie aux notes données ci-après. Tableau I. Boss | pak 5 : c 57A | 5 | | N:o PGC. Désignation Gr. a 1900 | à 1900 | u | u Sp V | A | | TES | 1| 1147} z* Orion | 3,8 | 4^452,9 | + 5926 | — 05,0003 — 07006, B3 | +23:m,3 DESI! rr e y 3,8 490 |+ 217 | — 0,0002 | - 0,003 | B3 | «24,2 31262) 7 » |3,7|512,8 |- 657 | — 6,0011 | — 0,007 | B5 | +18 4|1977| À Lièvre | 43. 15,0 |—1317 0,0000 | + 0,003 | B2 | +21 5 |1284| o Orion | 47 | 16,7 |— 029 | — 0,0003 | — 0,003 | B3 | +28 | 6 1301| 7 > 32 | 194 | 239 | + 0.0008 | + 0,001 | B1 (435,5) | 7 11303| y > | 1,6 198 |+ 616 | — 0,0005 | — 0,019 | B2 | +18 | 8 [1314 | y? » | 4,7 | 21,6 |+ 3 0 | — 0,0003 | 0,015 BRI ..12,0° | 9'1339| d > on 36 0292| 20.000102 000321 08 +18,7 10 | 1340|v » Pesale2271 7.2327 0.0003 | — 0,012 | B +17,0 1 W. W. Camesett, On the motions of the brighter Class B stars (Lick Observatory Bulletin, n:o 195, 1911). 6 OSTEN BERGSTRAND, [N:o yee, Désignation | Gr. | « 1900 | ) 1900 u | u Sp. | Y | | | | | 1111862! = Orion | 48 | 5"30m1 | — 6° 5'| + 08,0002! + 0",006 | B1 | +294 12 |1370| € » 16 | 731,15. — 16 0,0000 | — 0,002 | B 494,5 13 | 1898] € » oro ena |- 2 0 | + 0,0005 | — 0,007 | B | +17,5 14|1399| — » 5,1 | 35,8 |- 111 | — 0,0008 | — 0,008 | B3 | +26,1 15 1435 x » Di | 430 |— 949 | + 0,0002 | — 0,005 NBA | | | | 16/1295] — » |5,8| 18,6 |— 015 | — 0,0010 | — 0,001 | B3 | +22,4 17,1332»! » 5X 1960 1 23348 | + 0,0004 | — 0,007 | B3 | +21,6 18 | 1366 | £ > 110219 30,5 |- 559 | + 0,0002 | -- 0,004 | 0e5 | +21,5 Notes concernant les vitesses radiales. N:o 1. Étoile double spectroscopique, découverte par MM. Cur- ms et Reese (Lick Obs. Bull, 31, et Publ. Astr. Soc. Pac., 15, 1903) et par MM. Frost et Apams (Astroph. Journ., 17, 1903). L'orbite dé- terminée par M. Baker (Publ. Allegheny Obs., I, 1909) donna la vi- tesse + 23,27 + 0,25. N:o 2. Et. d. sp., découverte par MM. Frost et Apams (Astroph. J., 17, 1903). L'orbite déterminée par M. Lxx (Astroph. J., 38, 1913) donna + 24,20 + 0,70. N:o 3. Et. d. sp., découverte par M. Frosr (Astroph. J., 25, 1907). J'ai adopté la vitesse du centre de gravité, estimée par M. CAMPBELL (Lick Obs. Bull., 195, 1911) et désignée par lui comme in- certaine. N:o 4. La vitesse adoptée est déterminée par M. CAMPBELL (I. c.). N:o 5. Et. d. sp. d’après M. CawPnaELL (I. c.). La vitesse adop- tée est celle du centre de gravité, estimée par M. CAMPBELL et désig- née comme incertaine. N:o 6. Et. d. sp., découverte par MM. Frost et Apams (Astroph. J., 15, 1902). La détermination de l'orbite, faite par M. Apams (Astroph. J., 17, 1903), donna avec un haut degré de precision la valeur + 35,5 pour la vitesse du système, D’après les recherches de M. Bzar, de l'Observatoire d'Allegheny, la vitesse du système a subi un change- ment de 25'" dans l’espace de temps 1902—1915 (communication à American Astronomical Society; voir Astroph. J., 47, p. 335, 1918). L'étoile appartient à celles qui présentent des raies de caleium anor- males. Soit que le changement de vitesse soit dû aux conditions phy- LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D’ORION. 7 siques et mécaniques du système ou qu'il soit causé par l'influence d’un troisième corps, cette vitesse est inapplicable à notre but et doit être exclue. — Il s’agit iei de la composante plus lumineuse d'une étoile double visuelle, Les observations méridiennes, au contraire, se rapportent au centre du système visuel. N:o 7. Et. d. sp. découverte par M. FxosT (Astroph. J., 31, 1910). MM. Frost et Apaws (Publ. Yerkes Obs., II, 1903) avaient trouve la vitesse +180, plus tard un peu modifiée par M. Frost (I. e) en appliquant certaines corrections aux longueurs d'onde adoptées pour les raies de silieium. La valeur adoptée ci-dessus est celle déduite par M. CAMPBELL (l c.) de 4 observations de l'Observatoire Lick et de 13 observations de l'Observatoire Yerkes; elle est désignée comme in- certaine. N:o 8. Et. d. sp. découverte par M. Frosr (Astroph. J., 17, 1913). La determination de l'orbite, faite par M. PLAsKETT (Astroph. J., 28, 1908), donna la valeur + 12,015 + 1,177. N:o 9. Et. d. sp., découverte par M. Dzsrawpmzs (C. R, 130, 1900). L'orbite a été déterminée pour la premiere fois par M. Harr- MANN (Astroph. J., 19, 1904), qui a trouvé pour la vitesse la valeur +231. M. Jorvan (Publ. Allegh. Obs., III, 1914) a fait subir aux ob- servations de M. HARTMANN une réduction renouvelée, et il en a tiré la valeur + 22,85. Sortant d'une nouvelle détermination de l'orbite, basée sur les observations de l'Observatoire d'Allegheny, M. JORDAN (l. e.) a trouvé la valeur + 15,20. Enfin une troisième orbite, calculée par M. Curtiss (Astroph. J., 42, p. 135, 1915), donna la valeur + 20,15. Pour cette étoile on déduit des mesures des raies de caleium une vi- tesse constante de + 18,7 d’après M. Jorpan (l. c.). J'ai adopté cette dernière valeur, qui est en bon accord avec la moyenne des valeurs tirées des déterminations de l'orbite. N:os 10 et 11. Les vitesses sont déterminées par M. CAMPBELL Here): N:o 12. Et. d. sp. découverte par M; Frosr (Astroph. J., 31, 1910). La vitesse adoptée ici est celle du centre de gravité, déter- minée par M. CAMPBELL (I. c.) et désignée comme incertaine. N:o 13. Pour cette vitesse VOGEL et SCHEINER (Publ. Astroph. Obs. Potsdam, VII, 1892) avaient trouvé la valeur + 14,8, et M. Frost 8 ÖSTEN BERGSTRAND, (Publ. Yerkes Obs., II, 1903) + 18,3. La valeur adoptée ici est celle donnée par M. CAMPBELL (l. c.). N:o 14. Et d. sp., découverte par M. Frost (Astroph. J., 23, 1906). La détermination de l'orbite, faite par MM. PraskzrT et HARPER (Astroph. J., 30, 1909), donna pour la vitesse du système la valeur + 26,12. N:o 15. D’après MM. Frost et Apams la vitesse est de + 18,7 (Publ. Yerkes Obs. II, 1908, avec des corrections, Astroph. J., 31, 1910). Des observations de l'Observatoire Yerkés, combinées avec 6 observations de l'Observatoire Lick, M. CAMPBELL (l c.) a déduit la valeur adoptée ci-dessus. N:os 16 et 17. Les vitesses sont déterminées à l'Observatoire de Mount Wilson par M. Apams (Astroph. J., 42, et Contributions M:t Wilson Solar Obs., 105, 1915). N:o 18. Et. d. sp., découverte par MM. Frost et Apams (Astroph. J. 18, 1903). La détermination de l'orbite, faite par M. PraskETT (Astroph. J., 28, 1908), donna pour la vitesse du systéme la valeur + 21,34 + 0,856. Une réduction nouvelle, faite par MM. PLASKETT et Har- PER (Astroph. J., 30, 1909), donna + 21,552. Il est remarquable qu'il n'y ait pas moins de 11 parmi ces 18 étoiles, qui sont des étoiles doubles spectroscopiques. De plus, trois de ces étoiles doubles spectroscopiques (n:os 6, 8 et 18) et deux des autres (n:os 13 et 17) ont des compagnons visuels. Ainsi, au moins 13 des étoiles en question, ou 72 pour cent, sont des étoiles doubles. L'étoile 6 ayant été exclue (voir la note ci-dessus), la valeur moyenne des vitesses radiales observées devient Wen = — 21527 zi One f On aura la vitesse radiale vraie en appliquant à la vitesse obser- vée, V, la correction constante = / k = LL 4.7 ae LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D'ORION. 9 D valable pour les étoiles des classes spectrales B — B5'. Ainsi, on aura pour la vitesse radiale moyenne du groupe la valeur gii = = POGUE" : Selon M. CAMPBELL? les meilleurs déterminations de la vitesse de la grande nébuleuse d'Orion ont donné en moyenne la valeur + 17,4", qui est en bon accord avec la valeur trouvée de p, . 1 Voir CaweBELL, On the motions of the brighter Class B stars (Lick Obs. Bull., n:o 195, 1911), p. 123. 2]. c, p. 105. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N. 2. Impr. 17/1 1919. HL. Détermination des changements des distances mutuelles apparentes. Pour la determination des changements des distances mutuelles dans le groupe, jai parcouru tous les catalogues d'étoiles trés nom- breux qui m'ont été accessibles. Dans plus de 70 de ces catalogues jai trouvé indiquées des positions pour une ou plusieurs des 15 étoiles considérées. Ainsi j'ai trouvé que quelques-unes de ces étoiles, sur- tout les n:os 7, 9, 12, 13 et 15, ont été très largement observées, tan- dis que quelques autres, p. ex. les n:os 11 et 14, ne figurent que dans un nombre de catalogues assez restreint. Or, quant aux distances à calculer, on peut les choisir de plu- sieurs manières différentes. Cependant, il faut naturellement prendre les combinaisons de telle sorte qu'on puisse utiliser pour la détermina- tion des changements le plus grand nombre de catalogues possible. Je me suis enfin décidé à prendre l'étoile d Orion comme point de re- père commun pour toutes les distances à calculer. Pour cette étoile, située à peu prés au centre du'groupe, on dispose des positions les plus exactes et les plus nombreuses, et en comptant toutes les distan- ces par rapport à d Orion, le nombre des catalogues qu'il faut exclure, se réduit à un minimum. Quoique linfluence des erreurs systématiques des divers cata- logues soit en grande partie éliminée dans les coordonnées relatives, jai réduit toutes les positigns au système du »Preliminary General Catalogue» de Boss, pour augmenter autant que possible la précision des résultats. Les corrections systématiques nécessaires à cette ré- duction ont été determinées d'aprés les formules | da = dag + dos 17410, lao = 40, + 40, , LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D’ORION. (i les quantités daa, Ja,,... étant calculées à l'aide des tables de Boss}, De méme, tous les poids ont été calculés d’après le système de Boss Quelques catalogues qui n'ont pas contribué à ce systeme (la plupart en sont de peu de valeur) ont été exclus. Ce n'est que les catalogues très importants de l'Observatoire de Greenwich de 1900 qui ont été con- servés, sans corrections systématiques. Leurs poids ont été calculés d’après les mêmes principes que ceux du catalogue de Greenwich de 1890. Je vais énumérer ci-après les catalogues utilisés. Au nom de chaque catalogue on a ajouté l'équinoxe auquel il se rapporte et, entre parenthéses, l'abréviation employée dans ce qui suit, en général la méme qui a été employée par Boss. Enfin, j'ai indiqué les numéros de celles de nos étoiles que contient chaque catalogue, sauf n:o 9, qui y entre partout. Brapzey-Auwers 1755 (Br 1755) :1—8, 10, 12, 13, 15; Pıazzı 1800 (Pi 00):1—8, 10, 12, 13, 15; Ponp-Auwers 1815 (Grw 15): 7, 8, 12, 13; Srruve 1830 (Dpt 50): 15; HENDERSON 1833 (Cape 33):7, 12, 13, 15; Taytor-Downıng 1835 (Madr 35):1— 8, 10, 12, 13, 15; Rosınson 1840 (Arm 40):1—5, 7, 11, 13; HENDERSON-HaALM 1840 (Edinb 40) :1—8, 10, 12, 13, 15; Greenwich 1840 (Grw 40):7, 12, 13; Jounson 1845 (Radel 45) :3, 6, 10, 12; Greenwich 1845 (Grw 45): 12; Poulkova 1845 (Pulk 45) :2, 3, 6, 7, 12, 1: Paris 1845 (Paris 45):2—5, 7, 8, 12, 1 Greenwich 1850 (Grw 50):1, 3, 4, 7, 1 Gitiiss 1850 (Stgo 50): 12; Poulkova 1855 (Pulk 55)?:4, 5, 8, 10, 11, 14; Paris 1860 (Paris 60):3, 4, 5, 7, 8, 10, 12—15; Greenwich 1860 (Grw 60): 2, 4, 6, 7, 12, 13, 15; YARNALL 1860 (Wash 60): 4, 7, 12, 13, 15; Radcliffe 1860 (Radel 60): 3, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 15; Greenwich 1864 (Grw 64): 8, 10—13, 15; Cape 1865 (Cape 65):3, 4, 5, 12, 15; Querezer 1865 (Brux 65):1, 2, 3, 5, 6, 7, 12—15; ! L. Boss, Preliminary General Catalogue, Appendix III. ? Afin de pouvoir utiliser cet important catalogue j'ai pris pour l'étoile 9 la moyenne entre les catalogues de 1845 et de 1865. b ÖSTEN BERGSTRAND, Poulkova 1865 (Pulk. 65): 1, 2, 3, 6, ae 12192915; Greenwich 1872 (Grw 72): 7, s 13, 15 Paris 1875 (Paris 75): 2—5, 7, 8, de Goutp 1875 (Cord 75): 2-6 ne 15: Rocers 1875 (Harv 75):1, 3, 8, 12; Romprre 1875 (Pulk 75):1, 2, 3, 6, 7, 11, 12, 13, 15; Pocson 1875 (Madr 75):1—8, 10, D = 155 EASTMAN 1875 (Wash 75): = Mp a fs me illo PA, ils}. fle Greenwich 1880 (Grw E 6), 12. 15; Cape 1885 (Cape 85):1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 12, 13, 15; Poulkova 1885 (Pulk 85) : 1, 2, 3, 6, 7, 12, 13, d Strassbourg 1885 (Strassb 85):1, 2, 3, 6, 7, 12, 15; Greenwich 1890 (Grw 90):1—8, 10, 12, 13, 15; Madison 1890 (Madn 90): 1, 2, 3, 7, 12, 15; Küsrner 1890 (Berl 90): 1, 2, 3, 7, 15; Cape 1890 (Cape 90):1, 2, 3, 6, 7, 12—15; STONE 1890 (Radel 90):2— 6, 8, 10—15; BarrERMANN 1895 (Berl 95):2, 7, 15; Küsrner 1900 (Bonn 00): 1, x 15. lee Tucker 1900 (Lick 00):3, 5, 6, 10, 2 ilg ilie Greenwich mer. 1900 (Grw P nne tk, 22 au (s. 7, I JIB} las Greenwich altaz. 1900 (Grw 00 a): 1—7, 12, 13, 15. Tous les calculs préparatoires, mentionnés ci-dessus, étant termi- s, on a pour chaque étoile une série de positions valables pour di- verses époques et réduites au système de Boss, avec leurs poids. désignant l'aseension droite et la déclinaison de l'étoile 9 Orion (n:o 9) par a, %, on aura pour le calcul des distances s et des angles de position v, par rapport à cette etoile, les formules suivantes: AG = a — % 40 = à — à, Ü 1 \ On = 2 (9 + di) 1 sing s.sin y = sin 3 40 . cos 0, 1 1 sings. COS y = COS 5 Ja. sin 9 10 k LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D’ORION. 13 Ensuite, soient De, ps; Pa,» Ps, les poids de a, 0; av, do. On pourra alors, en considérant que les déclinaisons sont petites, calculer le poids p de la distance s d’après les formules Dy, = Da «Poy 20 Pa la Pa, by SPS aS Ps ps + pa, _ Pau - PAs p= : : P pa COS? y + pas sin? y Le tableau Il comprend pour chaque étoile les résultats auxquels je suis parvenu par ces calculs. La colonne 1 renvoie aux catalogues utilisés, les colonnes 2 et 3 donnent les époques! et les poids p, un peu arrondis, la colonne 4, les valeurs des distances s, déduites des observations de la manière indiquée ci-dessus, la colonne 5, les valeurs de s calculées à l’aide des formules données ci-après; la dernière co- lonne enfin renferme les écarts entre les deux valeurs de s dans le sens observation— calcul. Tableau Il. AEN | s—(s) s--(s) Cat. | ESSEN p | (cee | C ee 0.—C. | Étoile 1. (s) = 11° 46’ 19" Br 1755 1755 | 02 | + 0"99 | — 07503 | + 0595 Pi 00 1800 | 0,05 | — 1,90 | + 0,26 | = 2,16 Madr 35 1889.1 00:9 = RAR | + RAT | =083 Arm 40 | 1843 | 0,05 | + 3,18 | + 0,54 | + 2,64 Edinb 40 1842 | 0,2 fo OS LM Ge 058) 7101 Grw 50 "BL | OA 5.076. | 0,59 8: 0,17 Brux 65 1864 | 0:5 | + O38. +0,67. 0220,29 Pulk 65 1868 22:0 | + 0:60, |) + 0:70) 2° 20,20 Harv 75 | 1874 | 1,0 | + 0,82 | + 0,74 | + 0,08 Pub zb 01877 01:0, |. 0,08: | 20,76. 0020,84 Madr 75 MET Ole Lal — 0.86 Fr 07620 41062 ! Dans quelques cas, oü le catalogue ne donne pas les époques des observations, on a admis l'équinoxe comme coïncidant avec l'époque moyenne. 14 OsTEN BERGSTRAND, i ; Cat [Époque p | 3—(8) 8—(8) 0.—C. | | (obs.) (eale.) Wash 75 1879 | 1.02 13907989] 2.0077 1.0.0221 Grw 80 18822, 1.07 3490560 01 32.0790 | EESTI Cape 85 1882 | 1,0 + 0,96 +0,79 | NO LT Pul 85 | 1885 | 2,0 | + 0,66 a be O05: Strassb 85 | 1886 | 2,0 | + 0,78 + 0,82 — 0,04 Grw 90 | 1893 | 2,0 | + 1,38 + 0,86 + 0,52 Madr 90 1889 | 2,0 | + 0,76 | + 0,84 | — 0,08 Berl 90 | 1889 | 1,0 | + 1,08 | + 0,84 | + 0,24 Cape 90 | 1888 | 0,5 | — 0,82 | + 0,83 | — 1,15 Bonn 00 | 1895 | 2,0 | + 0,72 + 0,87 — 0,15 Grw 00 m | 1902 | 1,0 | + 1,42 | + 0,92 | + 0,50 Grw 00 a | 1906 | 0,5 + 0,94 + 0,95 = 0,01 Etoile 2 (s) = 9° 49' 33" Br 1755 1755-|:9/9 17 + 02.04] 207653 1220057 Pi 00 | 1800 | 0,05 | + 5,10 | EI ne Madr 35 | 1832 | 0,2 | — 0,16 | - 70:09-20:07 Arm 40 1842 | 0,05 | + 0,04 | — 0,04 | + 0,08 Edinb 40 1842 | 0,5 | + 0,54 | — 0,04 | + 0,58 Pulk 45 184255 20, 1002 a peo 0,00 Paris 45 1845120 1| 016 | 0.0901 Sane Grw 60 185810 MES MERDE Brux 65 1867 10,2 | 40,26, | .+ 0,11 1000715 | Pulk 65 | 1868 | 2,0 | + 0,38 | + 0,11 + 0,27 Paris 75 1878 10,50 | 198 3 OT Pulk 75 1877. | 1:0) | 0,547 (erase AN 3050 Madr 75 1877.1.0,2 | 550789 NEO IGI. = 003 Wash 75 1878] 120-4) 2.0371 204701039 Grw 80 188105 3| 5570.42 | 001920180022 Cape 85 1882| 2,0 5-8 10:98 |. 7.0419 1.2009 Pulk 85 1884 || 20) 100140) 20201006 Strassb 85 | 1886 | 2,0 | + 0,48 | + 0,22 | + 0,26 Grw 90 1893 | 2,0 + 0,74 + 0,26 + 0,48 Madr 90 1890.| 25047) + 0,24) | 2.034 0,00 Berl 90 1888 | 20 | + 046 | + 0,23 | + 0,28 Cape 90 1890 |, 1,0, \»-.0,12) | 3.0.24 | 220836 Radel 90 1885 | 0,5 | + 0,18 | + 0,21 | — 0,03 Berl 95 1895 | 1,0 + 0,10 + 0,27 (CT | Bonn 00 1896 :| 2,0 «| 4 0,04" || 4.0.27" 1 20:93 Grw 00 m | 1901 | 1,0 SOE se OMB) |) Se OLE Grw 00 a | 1905 | 1,0 + 0,16 + 0,32 = 0116 LE GROUPE DES ÉTOILES A HÉLIUM DANS LA CONSTELLATION D'ORION. s—(s) D s—(s) Cat. Epoque| p | fobs) | aie) | OC: Étoile 3 (s) = 7° 27° 54" Br 1755 1755 1 0717 | + 04/5 847) 1 270278 (ie 5^ 58 Pi 00 1800 0,1 "= 026% 2017 10:09 Madr 35 1832211 0:9: th 0.8210) 3.0930 = 31505 Arm 40 1848 1005011068 0 | #037 105 Edinb 40 IST MODE = AN EC SAN STA Radel 45 185221020) 1.08 || NOUS 02 Aloe Pulk 45 18455 1.00 | — 0,46)\| + O89 4| —' 0/85 Paris 45 18430.) |, — 0,08) | + 0,37 1070,45 Grw 50 1851-| 0:5— | 1,28 | + O47 | + 0,81 Paris 60 1859 | 0,2 + 1,08 | + 0,57 + 0,51 Radel 60 18084 0:22, 1,40 | 3.056 | = 1,96 Cape 65 1866 | 0,5 | + 0,20 | + 0,66 — 0,46 Brux 65 1865105. 177.927 13. 0:65. | + 0,57 Pulk 65 1868 | 2,0 | + 1,04 | + 0,68 | + 0,36 Paris 75 1877 0,5%] 20,48) 2.0.80: | = 1.28 Cord 75 18750 OA 22.2:0800 41 5. 0:80° Hie 1,28 Harv 75 1874 | 1,0 + 0,18 | + 0,76 | — 0,58 Pulk 75 1578 61.08212720520. 11 7.0,81. | 0.29 Madr 75 1876 08.3.0640 |) = 078 | = 014 Wash 75 | 1880 | 1,0 | + 0,84 | + 0,84 0,00 Grw 80 1882 | 0,5 | + 1,64 | 4-0,86 | + 0,78 Cape 85 1883 | 1,0 + 0,36 + 0,87 — 0,51 Pulk 85 1884. 2:0) |) + 0,907 |) 0:89. | 4 0,01 Strassb 85 | 1886 | 1,0 + 1,44 + 0,91 | + 0,53 Grw 90 1894 | 2,0 + 1,22 + 1,01 | + 0,21 Madn 90 FSCO 72.00 sr IAN CERO Me QR Berl 90 1889 | 20 | + 1,00 | + 0,95 | + 0,05 Cape 90 1888 | 0,5 | + 0,50 | + 0,94 | — 0,44 | Radel 90 1885 | 0,5 4.048.112 0,901. 30.42 Lick 00 18997 1,01 Seq esu er | > 061 Grw 00 m | 1902 | 1,0 + 0,80 + 1,11 — 0,31 | Grw 00 a | 1905 | 0,5 | + 0,54 | + 1,15 - 0,61 Étoile 4 (s) 2 139 14' 26" Br 1755 125459. 1 102.07. 36, ||| 2702870 020751 Pi 00 | 1800 | 0,1 | + 0,18 | + 0,64 | — 0,46 Madr 35 | 1832 | 0,2 | + 1,98 | + 0,48 | + 1,50 Arm 40 | 1846 | 0,05 ! + 1,62 | + 0,41 + 1,21 Ekamb 40 1841 00,5, | +0,26: | 540431012017 Paris 45 | 1844 | 0,5 | + 0,48 | + 0,42 | + 0,06 Grw 50 185% 10,5. |. + 0,88) 70,38% 05-200: DO. Pulk 55 1853. |.0,5 | 50,18 . |. 037 RENOM Paris 60 1860 | 0,2 | + 0,58 | + 0,34 | + 0,24 15 16 OSTEN BERGSTRAND, Cat. Grw 60 Wash 65 Cape 65 | Paris 75 Cord 75 Madr 75 Grw 80 Grw 90 Radel 90 Grw 00 a Br 1755 Pi 00 Madr 35 Arm 40 Edinb 40 Paris 45 Pulk 55 Paris 60 Cape 65 Brux 65 Paris 75 Cord 75 Madr 75 Wash 75 Grw 80 Cape 85 Grw 90 Radel 90 Lick 00 Grw 00 a Br 1755 Pi 00 Madr 35 Edinb 40 Radel 45 Pulk 45 Grw 60 Radel 60 Brux 65 Pulk 65 Époque 1857 1855 1866 1878 1877 1877 1885 1894 1886 1906 1755 1800 1835 1845 | 1841 1843 1856 1860 1866 | 1867 1878 1877 | 1877 | 1877 1882 | 1893 1887 | 1899 | 1906 1755 1800 1832 1842 1852 1845 1858 1856 1866 1867 1881 | aa i B (obs.) | | 02 | + 0"60 | 0,2 |*— 048 | 0,2 | — 0,42 0,2 | — 0,08 0,5 | — 0,16 02.030 ÖA | 3:.030 10%, 42 0:06 0,5 | + 0,30 015.7] = 0158 Etoile 5 (3) = BY Bey cui 01 | + 110 0,05 | + 3,20 0,2 | — 0,12 0,1 | + 0,42 0,23 4.072 0,5 0,00 05 27018 0,1 | + 0,66 05.3.1704 05 | + 0,18 TA 0,5 | — 0,56 XP ts 0,5 | + 0,56 0,5 | — 0,20 OAI 08 2,0 | + 1,06 052 | 1:08 0,5 | + 0,26 Que || seq Étoile 6 (s) = 2° 49° 5" 0,1 | + 0",92 0,05 | — 0,10 Qo IPIS 03 | ONS 0,1 + 0,80 1,0 + 0,52 05 (ÖN OX = 0 0,5 + 0,12 1,0 | +0,86 ++ ++++++++ HH HH HH oboe HH HH HH HH + + + (eale.) ++ ++++++++ s—(s) 0",35 0,36 0,31 0,24 0,25 0,25 0,21 0,16 0,20 0,10 | I F+ ++ I +++! + 1 se ae dl LE GROUPE DES ÉTOILES A HÉLIUM DANS LA CONSTELLATION D'ORION. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Cat. Cord 75 Pulk 75 Madr 75 Grw 80 Cape 85 Pulk 85 Strassb 85 Grw 90 Cape 90 Radel 90 Lick 00 Grw 00 m Grw 00 a Br 1755 Pi 00 Grw 15 Cape 33 Madr 35 Arm 40 Edinb 40 Grw 40 Pulk 45 Paris 45 Grw 50 Paris 60 | Grw 60 Wash 60 Radel 60 Brux 65 Pulk 65 Grw 72 Paris 75 Pulk 75 Madr 75 Wash 75 Cape 85 Pulk 85 Strassb 85 Grw 90 Madr 90 Berl 90 Cape 90 Berl 95 Époque | 1877 1877 1877 1881 1882 1884 1886 1894 1888 1886 1899 1901 1906 1755 1800 1815 1833 1832 1841 1842 1837 1845 1846 | 1852 | 1861 1859 | 1852 | 1857 | 1868 | 1867 1872 1876 1877 IF1877 1882 | 1883 | 1885 | 1886 1893 1890 1888 1889 1895 s—(s) : (obs.) 05 | 088 0,5 | + 0,68 OPQ | lt O15) 120.32 TO 720.04 2,0 + 0,46 2,0 + 0,96 20M | 0,72 fU) |) ce 0:40 0,5 | + 0,86 O5 + 0,88 120); + 0:30 0,5 | + 0,54 Étoile 7 (s) = 6° 52° 0" ORE es 0",98 | OPES OR | 1,077 2 1562 0,5 | +0,96 | 0,2 | + 1,62 0,05 | + 0,06 DOM ES OD 05.170,26 540) || 48 fied 1,0 + 1,48 Oo Lee 1,0 | + 0,50 053. 0 10 0537 172.0,92 Octet eet rgo Te QUE || xe S00 1,0 + 0,74 0,5 + 0,30 1O |) 0:00 20 | + 0,08 OP |) = Oe 0,5 + 1,26 0,5 | + 1,02 2,0 | + 0,62 2,0 + 0,72 2) Mee OO 1,0 | + 0,60 2 ON =O 20 | + 0,60 1,09 KESO RA Ups., Ser. 4, Vol. 5. NT: re 0.—C (eale.) + 0",54 | + 0",34 + 0,54 + 0,14 + 0,54 + 0,76 + 0,56 — 0,24 + 0,56 — 0,52 Wa = Oh + 0,57 + 0,39 + 0,60 + 0,12 + 0,58 | — 0,18 + 0,57 + 0,29 + 0,62 + 0,26 + 0,62 — 0,32 MO | 00) HE "0197 + 1,43 — 0,91 + 1,26 + 0,36 105 T0109 + 1,06 + 0,56 + 0,96 — 0,90 4 0,95 + 0,05 zd o | NU + 0,91 + 0,93 + 0,90 | + 0,58 + 0,83 — 1,01 + 0,73 — 0,23 + 0,75 — 0,66 + 0,83 + 0,09 + 0,78 + 1,04 + 0,65 + 0,35 + 0,66 + 0,08 + 0,60 — 0,30 + 0,56 — 0,56 + 0,55 — 0,47 + 0,55 | — 1,27 + 0,49 | + 0,77 + 0,48 + 0,54 + 0,45 | + 0,17 + 0,44 + 0,28 + 0,36 — 0,26 + 0,40 + 0,20 + 0,42 + 0,40 + 0,41 | + 0,19 + 0,34 + 0,40 Impr. 5/1 1919. 17 I8 OSTEN BERGSTRAND, Cat. Grw 00 m Br 1755 Pi 00 | Grw 15 Madr 35 Edinb 40 Paris 45 Pulk 55 | Paris 60 Radel 60 Paris 75 Harv 75 | Madr 75 | Grw 90 Radel 90 Br 1755 Pi 00 Madr 35 Edinb 40 Radel 45 Pulk 55 Paris 60 Radel 60 Grw 64 Paris 75 Cord 75 Madr 75 Cape 85 Grw 90 Radel 90 Lick 00 Arm 40 Pulk 55 Grw 64 Paris 75 Époque [2n [2.0] He [v] a [o 9] on [9.9] s—(s) | d | (obs.) | | 2,0 | — 016 | 1,0 | + 0,40 0,5 | — 0,38 | Étoile 8 (s) = 39 37° 56" EL. MES ETE A 41,30 0,5 + 0,52 Deke NO 0,5 | + 0,70 0,200 60 0,5 | + 0,48 0,5 | + 0,10 02) 50:40) 7) 0,2 >|" — 0,20 1,0 + 0,70 | DOME 10,1 70,24 0,5 | + 0,34 Etoile 10 (s) = 7° 0° 8" | 0,1 | + 0",56 0.1 |, + 098 OLI 32004 S ING 0222070 05 60 0,2 + 1,50 0217044 0,5% I 1582 | 0,5 0,00 0,5 | + 0,60 0,3 1010 0,5 | + 0,30 1,07 e062 0,5 + 0,06 0,5, | 1216 Etoile 11 (OS 89 A qur 0,05 | + 0",76 | 0,5 | + 0,66 | 05 | + 1,70 | 0,5 | — 0,42 | cT GG ete + + + B + + Took tt ko box 39 | | +++ oak (Sr ae Tl OP Ce LE GROUPE DES ÉTOILES A HÉLIUM DANS LA CONSTELLATION D'ORION. Cat. Cord 75 Pulk 75 | Wash 75 Radel 90 Br 1755 Pi 00 Grw 15 | Cape 33 Madr 35 | Edinb 40 Grw 40 | Radel 45 | Grw 45 Pulk 45 Paris 45 Grw 50 Stgo 50 Paris 60 Grw 60 Wash 60 Radel 60 Grw 64 Cape 65 Brux 65 Pulk 65 Grw 72 Paris 75 Cord 75 Harv 75 Pulk 75 Madr 75 Wash 75 Grw 80 Cape 85 Pulk 85 Strassb 85 Grw 90 Madr 90 Cape 90 Radel 90 Bonn 00 Lick 00 Grw 00 m Grw 00 a Époque 1877 1877 1878 1884 1755 1800 1815 | 1833 | 1832 1842 1838 1849 1845 1845 1845 1851 1850 1861 1858 1854 1856 1864 1864 1864 1868 | 1871 1876 1877 1875 1877 1874 1874 1883 1882 1885 1885 1894 1890 1899 1884 1895 1899 1901 1904 | | s—(s) ? | (obs) | 0,5 | + 0",50 2,0 | + 0,52 1,0 + 0,24 0,5 | — 0,50 Étoile 12 (9) Be PST 0,2 | + 9"34 0,1 + 0,76 0,5 | + 0,34 0,5 | + 0,92 0,2 | + 1,28 ROM 00:94 1,0 + 0,12 QS dt 36 TORNE OSA 0,5 | + 0,52 ONE > 1,00 LO ED: 0,2 | + 1,28 1.05% + 0,52 2,0 | + 0,56 1.0 + 0,16 0,5 | + 0,66 2.0 | + 0,88 1,0 + 0,58 05 | — 044 201) 57018 20 | + 0,54 1:09 850.76 0,5 + 0,56 1,0 + 0,32 1207 0::2.0,72 05 | + 0,68 HUM 20:26 2.0 | + 0,60 107 | 4- 1:08 2,0 4 0,62 2,0 + 0,64 30 | 4 0,64 1,0 + 0,66 1,0 + 0,70 1,0 | + 0,50 0:5. | + 71,06 0,5 | + 1,18 30 | + 0,20 02 | + 0,34 tttttttt HE EH HO HO HE EH HE HO HH oc + HH tt + + tt tt + + + + s—(s) (calc.) 0" 31 0,31 0,26 0,05 | + + + 1",00 0,82 0,76 0,69 0,69 0,65 0,67 0,62 0,64 0,64 0,64 0,61 0,62 0,57 0,59 0,60 0,59 0,56 0,56 0,56 0,55 0,53 0,51 0,51 0,52 0,51 0,52 0,52 0,49 0,49 0,48 0,48 0,44 0,46 0,46 0,48 0,44 0,42 0,41 0,40 tee ae al I +++ I ++ Itt tt + + + + + + | | Il ar se ae di ++] ++ + | 19 Cat. none Br 1755 1755 Pı 00 1800 Grw 15 1814 Dpt 30 1830 ape 33 1833 Madr 35 1832 Arm 40 1843 Edinb 40 1842 Grw 40 1837 | Pulk 45 1845 Paris 45 1845 Paris 60 1861 Grw 60 1859 | Wash 60 1855 Radel 60 1857 Grw 64 1864 | Brux 65 1866 | Pulk 65 1867 Grw 72 1872 Paris 75 1875 Cord 75 1877 Pulk 75 1877 | Madr 75 1877 | Wash 75 1874 Grw 80 1882 Cape 85 1883 Pulk 85 1885 Grw 90 1893 Cape 90 1889 Radel 90 1886 Lick 00 1889 Grw 00 m | 1900 Grw 00 a 1905 Pulk 55 1855 Paris 60 1861 Brux 65 | 1864 Paris 75 1878 Cord 75 1877 Grw 80 | 1883 Cape 90 1889 Radel 90 1885 OSTEN BERGSTRAND, à s—(s) (obs.) Étoile 13 (53) = 99 zu gj 0,2 | + 1"50 0,2} + 1,50 (Oy) 1282 0,5 + 0,08 0:5 +0,58 0,2 + 1,46 0,1 + 0,60 0,5 | + 0,58 0,5 | + 2,00 1,0 .| +: 0,58 1,0 | + 0,70 150. E 08 035 a) 158 OLS = al) 21502 6,2 + 0,74 0,5 | + 0,70 0,5 + 0,92 2,0 + 0,38 1,0 | + 1,34 Y Feilen 0,5 + 0,68 0,5 + 0,48 0,5 + 1,78 1,0 + 0,52. 1:0) |) + 2,06 0,5 + 0,38 2:0) a) eae 32 3,0 + 1,02 1,0 + 1,42 0,5 + 2,08 Qro 10 2,0 + 0,58 0,2 + 1,06 Etoile 14 (a) = A a gro" 0,5 + 0",54 0,10 10.720,02 05590220558 0,1 N 0,5 + 1,22 0,5 + 1,38 0,50 |) 7.080 0,5 + 0,90 | | uL M M EE CELL 8—(s) 0.—C. (eale.) 0488. = 201462 0,92 | + 0,58 0,93 + 0,89 0,94 — 0,86 0,95 | — 0,37 0,94 + 0,52 0,95 = 0,35 0,95 — 0,37 0,95 | 1,05 0,96 — 0,88 0,96 | — 0,26 0,97 * 0,11 0,97 | + 0,61 0,97 | + 0,05 0,98 — 0,24 0,97 — 0,27 0,98 — 0,06 0,98 — 0,60 0,98 + 0,36 0,98 + 0,22 0,99 — 0,81 0,99 — 0,51 0,99 + 0,79 0,98 — 0,36 0,99 + 1,07 0,99 — 0,61 0,99 | + 0,33 1,00 | + 0,02 1,00 | + 0,42 0,99 + 1,09 1,01 + 0,09 1,01 — 0,43 1,01 + 0,05 0,52 | + 0",02 0,64 | — 0,62 0,69 — 0,11 0,96 | + 0,74 0,94 + 0,28 1,05 + 0,33 116.206 1,09 — 0,19 ++ ++++++ LE GROUPE DES ÉTOILES A HÉLIUM DANS LA CONSTELLATION D'ORION. 21 | m s—(s) s—(s) FÅ | Cat. | pogue p | (obs) eae.) | 0.— C. Étoile 15 (s) = 10° 9' 23" Br 1755. | 1255.02 |.» 3" 60- || - 0/929. 1 1'789 Pi 00 | 1800 | 0,40 | — 1,88 | + 0,14 | — 2,02 Cape 33 1833) 05 1 115502817 7046 5910,92 Madr 35 | 1832002 01,53 | = 045 | # 1507 Rdinb 40, ~| 1842705 | 086: | + 055 | € 0,31 Pulk 45 | 1845 | 1,0 | - 0,16 | + 0,58 | — 0,74 Paris 45 1844 | 1,0 + 0.28 + 0,57. — 0,29 Erw 50, 21851705 | E, 1,70- 2 0 O64 | + 1,06 Paris 60 | 1858 | 0,2 | + 3,34 + 0,71 + 2,03 Grw 60 1359: 10.0: = 0:50. | +. 0:798 0) 0,22 Wash 60 | 1852 | 0,5 | + 130 | + 0,65 | + 0,65 Radel 60 1357203 820.622 1155907707 7.008 Grw 64 1864 | 1,0 + 1,22 + 0,76 + 0,46 Cape 65 | 1866 | 0,5 | + 0,60 + Or | = OE Brux 65 | 1867 | 0,5 | + 0,46 + 0,79 — 0,33 Pulk 65 1868 151,0, | +0,46 | -6*0:80. | = 0,34 Grw 72 CON ILO | = NTA | + HI | 018 Paris 75 1875 | 0,5 + 0,78 | + 0,87 — 0,09 Cord 75 | 1878 | 0,5 — 0,52 + 0,90 — 1,42 Pulk 75 1877 | 2,0 21856009 IEC RO 80 + 0,67 Madr 75 1878. 60:0. |. TN 0 00077600 Wash 75 | 1879 | 1,0 | + 0,32 | + 0,91 | — 0,59 Grw 80 18822 20 EE RON A 11272040 Cape 85 1882 | 1,0 + 0,52 | + 0,94 — 0,42 Pul 85 | 1884 | 2,0 | + 0,90 | + 0,96 | — 0,06 Strassb 85 | 1886 | 2,0 + 0:86, | + 0,98 10=.0,12 Grw 90 | 1894 | 3.0 | + 1.00 | + 1,05 | — 0,06 Madr 90 1890 | 1,0 + 1,04 + 1,02 | + 0,02 Berl 90 18896 1.00. 11750,6899 0-508015 80:33 Cape 90 1889-5970: 22.0.6841 ese do OBS 0,0133 Eadels90 9 ||) 1885: | O55) | + 0,8272 70,972 2.015 Berl 95 | 1894 | 0,5 * 0,04 + 1,05 — 1,01 Lick 00 | 1899 | 0,5 | + 1,88 | + 1,10 | + 0,78 Grw 00 m | 1901 | 3,0 + 1,00 seo ile il, — 0,12 | Grw 00 a | 1904 | 0,2 | + 0,94 | + 1,15 | — 0,21 Soient pour une étoile quelconque s,, s,,... les distances de- duites des catalogues, et 4, 4 ,... les époques correspondantes. On aura alors un système d'équations de condition: | Sm + (h— tn) 48 = 8,3; (poids = p) Beer. F( 2 mp.) etats et le) Ts “ot s] eie notre refonte Vera CS OD) 22 OsTEN BERGSTRAND, où ¢, est une époque initiale, s,, la valeur de la distance s valable pour cette époque, et 4s, le changement annuel de s. J'ai traité ces systèmes d'équations d’après la méthode des moindres carrés, en tenant compte des divers poids. Si lon détermine pour chaque étoile l'époque initiale £, d’après la formule = pl, v=1 Im T n 4 EE v=1 où x est le nombre des équations, et si l'on prend comme inconnus | x = 8, — (s) |y — 10. 45 1 on aura les systèmes d'équations normales sous la forme yall MI |v. Ep. C2) = e 39) — Ol - v= ie = Pr = = Pp [sy — (s)] En désignant par e l'erreur probable d'une equation au poids 1, on obtient les solutions suivantes de ces équations: Étoile 1 (n = 23; tn = 1882): Étoile 5 (n = 20; t, = 1877): [| æ = + 0789 + 0",064 j v= + 0",400 + 0",131 | y = + 0,065 + 0,036 | y = + 0,021 + 0,059 e = + 0",301. e= + 0,403. Étoile 2 (n = 27; tn = 1878): Étoile 6 (n = 23; tn = 1879): x = + 0",170 + 0",069 { æ = + 0",554 + 0,053 l'y = + 0,057 + 0,033 ly = + 0,033 + 0,026 & = + 0",374. & = + 0",214. Étoile 3 (n = 32; ty = 1878): Étoile 7 (n = 33; tn = 1874): { x = + 0",814 + 0"079 | x= + 0,580 + 0,057 ly = + 0,126 + 0,042 ly = — 0,115 + 0,025 & = + 07,392. & — +0",313. Etoile 4 (n = 19; tm = 1867): Étoile 8 (n = 14; tm = 1861): f x = + 0,302 + 0",072 { æ= + 0,484 + 0,158 ly = — 0,051 + 0,027 | y = — 0,260 + 0,056 Qs + 0",186. Be st IG. LE GROUPE DES ÉTOILES A HÉLIUM DANS LA CONSTELLATION D'ORION. Étoile 10 (n = 16; tm = 1871): x = + 0",193 + 0",152 | y = + 0,130 + 0,060 & = + 0",375. Étoile 11 (n = 8; t,, = 1875): 2 3 Etoile 13 (n = 33; tm = 1871): [ æ = + 05,982 + 0",060 | y = + 0,009 + 0,025 & = + 0",304. Etoile 14 (n = 8; tm = 1875): | x = + 0/,413 + 0",119 | x = + 0",900 + 0",082 y = - 0,507 + 0,171 y = + 0,188 + 0,067 ee 0270; e= + 0"146. Etoile 12 (n = 40; tm = 1872): Etoile 15 (n = 35; tm = 1876): { z= + 0",532 + 0",041 [ x = + 0",878 + 0",060 | y = — 0,040 + 0,020 | y = + 0,097 + 0,032 e = + 0,398. & = + 0",345. Les valeurs de « s'harmonisent assez bien avec la valeur + 0",3, indiquée par Boss comme l'erreur probable correspondant au poids 1. Les étoiles 11 et 14, dont on n'a que trés peu d'observations, ont été exclues des calculs qui suivent. Des valeurs de x, y on obtient enfin les valeurs initiales des distances s et les changements annuels 4s, contenus dans le tableau III. On y retrouve aussi les valeurs approchées des angles de posi- tion v. Tableau III. 1 e | Etoile |Epoque y S | As | | psu E | 1 1882 | 29994 | 11946” 19",79 + 0",06 | + 0",0065 + 0",0036 | 2 | 1878 | 285,5 | 9 49 33,17 +0,07 | + 0,0057 + 0,0033 3 1878 | 208,1 7 27 54,81 + 0,08 |! + 0,0126 + 0,0042 4 | 1867 | 192,8 | 13 14 26,30 + 0,07 | — 0,0051 + 0,0027 5 | 1877 | 267,4 | 2 33 44,40 + 0,13 + 0,0021 + 0,0059 6 | 1879 | 221,2 | 2 49 5,55 +0,05 | + 0,0033 + 0,0026 7 | 1874 | 344,8 | 6 52 0,58 +0,06 | — 0,0115 + 0,0025 8 | 1861 | 338,4 | 3 37 56,48 + 0,16 | — 0,0260 + 0,0056 | 10 | 1871 | 179,5 | 7 0 8,19 +0,15 | + 0,0130 + 0,0060 12 1872 | 129,9 | 102932995352 (0704 I 0,0040 + 0,0020 13 | 1871 | 126,2 | 2 44 9,98 + 0,06 + 0,0009 + 0,0025 15 | 1876 | 156,6 | 10 9 23,88 + 0,06 | + 0,0097 + 0,0032 IV. Détermination de la parallaxe du groupe. Le changement 4s de la distance s est provoqué par trois cau- ses: 1) le mouvement de l'étoile en question, 2) le mouvement de l'étoile de repère, d Orion, 3) le resserrement perspectif du groupe. Nous désignons par o la composante du premier mouvement le long du grand cercle joignant létoile à d Orion. Si cette derniere étoile a un mouvement ZG dans la direction dont l'angle de position est P, la composante de ce mouvement le long du méme grand cercle est =.cos (P— y). Enfin, la diminution apparente de la distance s, causée par le resserre- ment perspectif du groupe, peut, d'une manière approchée, être mise: MVA Or SN I a étant la parallaxe moyenne et o,, la vitesse radiale moyenne (ex- primée en kilometres par seconde) du groupe. Ainsi on aura Is =o—Z.cos (P — y) — 0,212 9,2 sin s. Dans le but de parvenir à une determination de 7, on pourra utiliser cette relation de différentes manières. Posons: | POM I PSE =.cos P=7 0,12 9,7 = CC. Pour chacune de nos 12 étoiles nous aurons une équation de la forme p Ssinvw+tncosyw+t6Gsins+4s=o. LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D'ORION. 25 Les quantités o sont tout à fait inconnues. En supposant que les mou- vements internes du groupe soient insignifiants et sans caractere systé- matique, de sorte qu'ils disparaissent en moyenne, on pourrait regarder les 6 comme des erreurs accidentelles. Ainsi on aurait un système d'équations de condition de la forme S sit, we cos u 1.6 sins 74s — 0. En résolvant, d’après la méthode des moindres carrés, ces équations par rapport à 5, 7, £ comme inconnus, on aurait une détermination de zr. Jai essayé une telle détermination. En prenant eomme unité 0"0:, on obtient le système d'équations suivant. Aprés chaque équa- tion on a ajouté son résidu v. SUIT e +049.7 + 0,20. + 0,65 = 0; v= — 0,98 — 0,96 + 0,27 + 0,17 + 0,57 — 0,58 250747 — 0,88 + 0,13 * 1,26 — 0,28 — 0,22 — 0,98 4 0,23 — 0,51 + 1,30 — 1,00 — 0,05 + 0,04 + 0,21 + 0,34 — 0,66 = 0,75 + 0,05 + 0,33 + 0,75 0.26 + 0,97 + 0,12 1415 + 0,09 =.0.37 + 0,93 + 0,06 — 2,60 + 1,75 + 0,01 1.00 + 0,12 + 1,30 — 0,45 + 0,77 — 0,64 + 0,02 — 0,40 + 0,61 + 0,81 — 0,59 + 0,05 + 0,09 E0101 + 0,40 — 0,92 + 0,18 + 0,97 — 0,52 Toutes les quantités 4s ont été prises avec le méme poids. Les équations normales deviennent: | + 4,9970 . $ — 1,4563. 7 — 0,4462 . C — 0,5936 = 0 — 1,4563 . § + 7,0227 . 7 — 0,2911. € — 5,9176 = 0 — 0,3911 . 7 + 0,2105. 6 + 0,3314 = 0. Un — (0,4482 . Solution (exprimée en secondes d’arc): | § = + 0",0056 + 0",0035 n = +.0",0105 + 0” 028 € = + 0",0157 + 0",0173 . Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N. 2. Impr. % 1919. 4 26 ÖSTEN BERGSTRAND, Erreur probable d'une équation: e = + 0",0082 . Or on a 0,212. Om 8,54, et ainsi, la valeur trouvée pour € donnera: an = + 0",0044 + 0”,0049 . La valeur de a étant du même ordre de grandeur que son erreur probable, cette solution prouve seulement que la parallaxe est très petite et que le resserrement perspectif du groupe est presque insen- sible en comparaison avec les mouvements mutuels des diverses étoi- les y appartenant. Aussi la valeur de « est-elle sensiblement plus grande que la valeur moyenne des erreurs probables des quantités As, qui est de + 0",0037 environ. Toutefois, il peut être regardé comme établi que la valeur de la parallaxe n’excede pas 0"o1. Une limite supérieure est ainsi approximativement fixée pour la parallaxe. Il faut cependant suivre l'autre chemin et prendre en con- sidération les grandeurs des mouvements internes du groupe afin de chercher à atteindre une détermination plus sure. D'abord, j'ai formé pour les vitesses radiales V, données dans le tableau I, les écarts de leur moyenne [EE ou — ce qui est la méme chose — les écarts des vitesses réduites o de leur moyenne OS Box Le tableau IV contient ces écarts V—V,, = o—?0, - [S] -1 LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D’ORION. Tableau IV. Im ls | Étoile || @—@m | Etoile | @—Om | | | Pal + 1,92» 11 + 7,6% 9, + 2,8 12 +03, 1 3 La 15. 7 uper. 4 04 14 UE 5 4 6,6 15 08 y Xu 16 +10 8 E gute ^ri cs Oro | 9 can MTS +01 | 10 Ad Si lon suppose que ces écarts soient distribués comme des erreurs accidentelles, on trouve que la valeur probable d'un écart est & = +2,92". Or ces écarts sont dus, d'une part, aux mouvements radiaux relatifs des étoiles, et de l'autre, aux erreurs d'observation. Soient @ la valeur probable du mouvement relatif et & l'erreur d'observation probable; on aura done: c — 2 2 PORE c Pour chercher à me faire une idée de l'influence des erreurs d'obser- vation, j'ai calculé les valeurs de V, et de « en supprimant les vi- tesses radiales désignées comme incertaines, c.-à-d. celles des étoiles 3, 9, 7 et 12. La valeur moyenne devient alors ae a E 2 toe ats LR e d et on aura avec les écarts suivants: - 28 Osten BERGSTRAND, 4 Tableau V. Étoile | @—@'m | Étoile | @—0'm | li | 1 + 2,1m | 13 — 3,74m 9 ala 1A TAS 4 00 BE =02 8 90 165 | x 3,9 9 —95 || M + 0,4 10 — 4,2 18 + 0,3 11 + 7,8 | L'écart probable devient dans ce eas Fe = + 2.000. Ce résultat est presque identique au precedent, ce qui semble indiquer que les écarts ont leur origine principalement dans les mouvements véritables des étoiles et que les erreurs d'observation jouent un róle inferieur. Par ee motif je me suis arrété à la premiere solution. En cherchant à apprécier la valeur probable 9 des mouvements relatifs comptés le long de la ligne visuelle, on parviendra done in- dubitablement a une limite inférieure pour cette valeur en supposant que ¢ soit dà en quantités égales aux mouvements véritables et aux erreurs d'observation, c.-à-d. que CE DT oc De l'autre côté, on aura une limite supérieure pour o en négli- geant tout à fait les erreurs d'observation, c.-à-d. en prenant 9 Opie com On aura done avec süreté: 2e |< 282: Probablement la valeur de |@| est assez éloignée des deux limites. Ainsi, sans trop tomber dans l'erreur, on pourra adopter la valeur moyenne entre les deux extremes, c.-à-d. 0 = 4 2,5 LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D'OnroN. 29 Cela implique que l'erreur d'observation probable est à peu près ee 1508 valeur bien plausible. On aura maintenant à comparer les vitesses radiales avec les mouvements perpendiculaires à la ligne visuelle. Suppose que les mou- vements mutuels des étoiles appartenant à ce groupe soient également probables dans toutes les directions, il faudra que la valeur probable 9 des mouvements c satisfasse approximativement à la relation 6 = 0,512 on. Or nous avons, d’après ee qui precede, pour chaque etoile: Seng M COSI AS in 0120 HN SIN ES: — Oo. L’appreciation de la grandeur des o dépend donc en partie de la con- naissance de z. Cependant, le terme multiplié par x étant très petit, l'interpolation nécessaire n'offre pas de difficulté. La méthode que j'ai suivie n'est qu'approchée, mais elle donne sans doute le meilleur résultat qu'on puisse tirer des mouvements seuls, en opérant avec les hypothèses les plus simples et les plus naturelles. En voici le principe, qui repose sur la supposition que les mouvements mutuels soient distribués selon la loi d'erreurs, supposition fréquem- ment vérifiée par M. KAPTEYN dans ses travaux sur les mouvements et la distribution des étoiles à helium. Jai formé le système d'équations à deux inconnus §, 7 de la forme $ sin van eos w+ 4s + 0,212 o, sim s=0, en y introduisant successivement différentes valeurs de 2. Les erreurs probables d'une équation, &,, obtenues pour les solutions successives, réduction faite pour l'erreur d'observation, peuvent étre considérées comme des valeurs approchées de o et qui correspondent aux valeurs données de 2. Par interpolation j'ai pu fixer sans difficulté la valeur de x, à laquelle correspond la valeur de oc, satisfaisant en méme temps la relation g = 0,212 on, 30 OSTEN BERGSTRAND, J'ai fait le calcul en mettant successivement I: 0,212 mo, = 1 je » = 3,0 III: » — 45 et j'ai trouvé les solutions indiquées dans le tableau VI. Les valeurs de z ont été caleulées en admettant que CE Le ILU S piene Tableau VI. ————————————— ———— —À — | | | | = | Solution TT | é 1 | Eg | (7 | * | | | | | | I 0",0042 | + 0",0056 + 0",0027 | + 0",0104 + 0",0023 | + 00059 | 0",0046 | ll | 0,0085 + 0,0072 + 0,0028 ni 0,0116 + 0,0023 | + 0,0060 0,0047 II | 0,0127 | + 0,0089 + 0,0029 | + 0,0128 + 0,0025 | + 0,0063 | 0,0051 | Or l'erreur d'observation est en moyenne | & = + 0",0087 . D’après la formule kl = &— & » on aura ainsi les valeurs de o données dans la dernière colonne du ‘ tableau VI. On trouve que 6, considéré comme fonction de x, ne varie qu'assez lentement avec a. Ainsi, l'intersection de la courbe représentant cette fonction et de la ligne droite déterminée par l'équation 6 = 0,212 on donne la valeur cherchée de la parallaxe avee un assez haut degré de süreté. Pour on obtient ainsi: a = + 0",0089 . La valeur correspondante de 6 est LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D'ORION. 31 La détermination de o dépend essentiellement des valeurs de As tirées des observations méridiennes. Les chiffres donnés dans le tableau III font connaitre que la précision avec laquelle les quanti- tés 4s sont déterminées n'est point la méme pour les différentes étoiles. Surtout pour les étoiles 5, 8 et 10 l'erreur probable de 4s est considérablement supérieure à celle des autres. Pour avoir un système de valeurs de 4s plus uniforme en ce qui est du degré de précision, jai refait les calculs en supprimant ces étoiles. Alors la valeur moy- enne de l'erreur d'observation probable s'abaisse à & = + 0",0030 . Ainsi j'ai obtenu les nouvelles solutions contenues dans le tableau VII. Tableau VII. | Solution | 7 E | N | eg | g | ; | | I 0",0049 + 0",0070 + 0",0095 | + 0",0068 + 0",0021 | 0",0047 | 0".0036 | II 0,0085 + 0,0090 + 0,0027 | + 0,0081 + 0,0023 | | = | # 0,0051 | 0,0041 | Il 0,0127 | + 0,0108 + 0,0030 | + 0,0095 + 0,0026 | + 0,0057 | 0,0049 | L'interpolation donne alors pour la parallaxe la valeur a= + "ore . Cette derniere valeur est sans doute plus süre que celle obtenue auparavant. Les valeurs de §, 7 et o y correspondant sont | & = + 0",0085 + 0,002 | n = + 0,0078 + 0,0023 6 = (",0040 . Pour z j'adopte comme valeur définitive le chiffre arrondi na = 0",008 . Il est difficile d'indiquer l'erreur probable de 2. Des deux quan- tités, o et o, dont x dépend essentiellement, la premiere est assez 32 OSTEN BERGSTRAND, bien connue par la discussion des observations méridiennes. Quant à @ nous avons admis la valeur - - Fe km C= 2,5 . D’après ce qui précède 9 est indubitablement renfermé entre les limi- tes 2,9 et 2,1", Si l'on fait le caleul en employant ces valeurs ex- tremes, on obtient pour x les valeurs 7t = + 0",0063 et n = + 0",0095 . J'estime que l'erreur probable de la valeur adoptée comme définitive peut être mise à + 0"on environ, En tous cas on exagererait sans doute beaucoup en la mettant égale a + 0",oo2 . Enfin, il résulte que la distance du groupe est de 125 parsecs en chiffre rond. Or l'étendue apparente du groupe étant à peu pres 20°, son diametre perpendiculaire à la ligne visuelle serait de 40 parsees. En supposant que le diamètre suivant la ligne visuelle soit du méme or- dre de grandeur, on peut donc admettre que la parallaxe des étoiles . les plus rapprochées soit de 0",009 et celle des plus éloignées, de (0",007 environ. M. PLUMMER! a cherché à déterminer les distances des étoiles du type spectral B en posant comme hypothèse que les mouvements de toutes ces étoiles soient parallèles au plan de la Voie Lactée. Ses cal- culs ont été basés sur les mouvements propres de Boss et les vitesses radiales de M. CAMPBELL. En employant une toute autre méthode M. CHARLIER? a éga- lement déterminé les distances des étoiles à hélium. M. CHARLIER a tout simplement supposé que les étoiles appartenant à la méme classe spectrale aient la méme grandeur absolue. Partant des étoiles à vitesse radiale connue, il a déduit des valeurs moyennes pour les grandeurs absolues. Ces valeurs moyennes étant prises comme vala- ! H. C. ProwwER, |. c. (M. N. of the R. Astr. Soc., vol. 73, n:o 3, 1913). ? (. V. L. CnanLrR, |. c. (Nova Acta R. Soc. Sc. Upsal., ser. IV, vol. 4, n:o 7, 1916). LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D’ORION. 33 bles pour toutes les étoiles appartenant à une même classe, la gran- deur apparente donne immédiatement la parallaxe. M. KAPTEYN! a traité la question des parallaxes des étoiles à hélium dans une série de mémoires importants, dont celui qui vient de paraitre s'occupe entre autres des étoiles iei en question. Il s'est établi que les étoiles à hélium ont une tendance fort prononcée à s'amasser en grands groupes ou courants, dont les membres ont des mouvements bien parallèles. En profitant de cette circonstance M. Kaprryn a pu déterminer les parallaxes d'un grand nombre de ces étoiles avec un haut degré de süreté. Quant à la région du ciel où est situé le groupe d’Orion, M. KAPTEYN a trouvé que les étoiles à hélium y forment un grand courant dont le vertex est à peu pres: [ «= 17^ 44” La=+it. La parallaxe moyenne des étoiles appartenant à ce courant est d’après M. KAPTEYN n = 0",0081 + 0”,0007 . Le groupe d'Orion (»the Nebula-group») est un groupe local situé si pres de l'anti-vertex, que M. KAPTEYN n'en a pu directement déterminer la parallaxe par la méme méthode. Cependant, en prenant en consi- dération les lois des luminosités valables pour les étoiles dans et en dehors de ce groupe local, il a fait une appréciation du rapport de leurs parallaxes moyennes, et il a ainsi déduit pour le groupe d'Orion la parallaxe moyenne a = 0",0054 + 0,0009 M. KaPrEYN a eu égard aux dimensions du groupe en attribuant la parallaxe 0",0057 aux étoiles ayant un mouvement propre plus grand que 0”,oos, et la parallaxe 0",0051 aux autres. Il a tracé les limites du groupe un peu plus étroitement que je ne l'ai fait ci-dessus, de sorte que les étoiles 1, 2, 4, 7 et 15 n'entrent pas dans son »nebula-group». 1 J. C. Kapreyw, l. c. (Contributions from the M:t Wilson Solar Obs, n:os 82 et 147; Astrophys. Journ., vol. 40 et 47, 1914 et 1918). Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N. 2. Impr. 1/1 1919. 5 34 OSTEN BERGSTRAND, Dans le tableau VIII, j'ai rapproché les valeurs trouvées par . MM. PLUMMER, CHARLIER et KAPTEYN'pour les étoiles en question. Les valeurs admises par M. Kapreyn pour les parallaxes des étoiles appar- tenant au »nebula-group», et qui ne sont pas directement déduites des mouvements, ont été mises entre crochets. Tableau VIII. I | I | TT 7E TT Etoile | PLUMMER CHARLIER KAPTEYN | rt nég. 0",0103 | 0",0053 NOS 0".0203 | 0,0098 0,0055 3 0.0753 0,0115 [0,0057] 4 0,0066 0,0042 0,0061 5 nég. 0,0071 ^ [0,0051] 6 0,0058 0,0053 [0,0057] ü 0,0267 0,0138 0,0087 8 0,0109 0,0036 [0,0057] 9 | 0,0006 | 0,0229 | [0,0051] |) 0,0057 | 0,0079 | [0,0057] In 0,0076 | 0,0030 | [0,0057] 19 0,0085 | 0,0344 | [0,0051] | 13 | nég. | 0,0258 | [0,0057] | 14 | (0,1670) | 0,0059 | [0,0057] | 15 nég. | 0,0258 | 0,0063 | WS | 2 | 0,0045 | [0,0057] | 17 — | 0,0047 | [0,0057] | 18 = — 1000 | On voit que les valeurs trouvées par MM. PLUMMER et CHARLIER sont en général complètement en désaccord entre elles et avec celles de M. Karreyn. De plus, ces deux méthodes ont donné pour nos étoiles, sans doute situées à des distances peu différentes, des paral- laxes tout à fait incompatibles. Cela parait indiquer que ces méthodes, dont on pourrait se servir pour déduire des valeurs moyennes des pa- rallaxes des étoiles à hélium considérées, sont inapplicables en ce qui est des parallaxes individuelles des différentes étoiles. L'étoile double p Scorpion pourra servir comme encore un exemple propre à jeter de la lumière sur la portée de l'hypothése de M. CHARLIER. Les gran- deurs apparentes des deux composantes sont 2,90” et 5,06". D’après ladite hypothèse, M. CHARLIER obtient pour le rapport des distances: 109: (9,00—2,90) __ 2,7 A n"—————rmo————————————————T——————K.—.——————————— V ————— ———————————————————————————dQERE-——— LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D ORION 35 Ainsi la distance du compagnon serait à peu près 3 fois plus grande que celle de l'étoile principale, résultat incompatible avec le fait qu'il s'agit iei d'une étoile double, dont les composantes forment un systéme physique et, naturellement, sont situées à la méme distance de nous. En effet, on ne pourra pas supposer que toutes les étoiles ap- partenant à une certaine classe spectrale aient approximativement la méme grandeur absolue. Les recherches de M. Kapreyn sur les lois des luminosités des étoiles à hélium ont mis à jour que les differences en grandeur absolue des étoiles appartenant à la méme classe s’ele- vent souvent à 4" ou encore davantage. C'est done à dire que la luminosité d'une étoile peut bien étre 50 fois plus grande que celle d'une autre, Dans certains cas, on trouvera méme des différences beau- coup plus grandes'. Dans cet état des choses, la determination des distances individuelles faite en partant simplement des grandeurs ap- parentes ne parait pas bien justifiée. Ainsi, il semble que les rap- prochements qu'a faits M. CHARLIER des valeurs de quelques-unes des parallaxes calculées d'après son hypothèse à celles déterminées à l'aide de mesures directes soient assez illusoires. On pourrait en dire autant des considérations qu'il a faites sur ces parallaxes (d'ailleurs n'embrassant que les étoiles les plus brillantes), comme donnant une sorte d'»image de squelette» du système de la Voie Lactée. Il parait à priori que la methode de M. PLUMMER: se preterait mieux à la détermination des parallaxes des étoiles à hélium. Sans doute, les mouvements de ces étoiles ont une tendance générale à se diriger parallèlement au plan de la Voie Lactée. Cependant, notre groupe est situé si près de l’anti-vertex des mouvements que la mé- thode n'est guére applicable dans ce cas. Voilà pourquoi cette mé- thode a donné pour nos étoiles des résultats si mauvais. Dans d'autres régions du ciel les parallaxes calculées d’après cette méthode seront peut-être plus sûres, En tout cas, c’est en étudiant les grands courants des étoiles à helium que M. KAPTEYN a pu le premier aller jusqu'au bout de la pos- sibilité de déterminer les distances d'un grand nombre de ces étoiles en se servant de leurs mouvements. U D'après les estimations de M. W. H. Pickenme (Harvard Coll. Obs. Circular 205, 1918), les plus grandes différences de grandeur absolue des étoiles du type B dans le voisinage immédiat de la nébuleuse d'Orion s'éléveraient méme à 11", ce qui correspond à un rapport des luminosités de 25 000 fois! 30 OSTEN BERGSTRAND, Pour me faire une idée des relations qu'ont, entre elles, les trois méthodes mentionnées, j'ai fait une comparaison des valeurs trouvées pour les distances de 66 étoiles communes aux catalogues des trois caleulateurs (je me suis borné au premier des catalogues de M. Kap- TEYN, embrassant le grand courant des étoiles à hélium dans l'hémis- phère australe). La distance moyenne de ces 66 étoiles est, selon M. KAPTEYN, à peu près = 100 parsecs. En prenant les valeurs de M. KAPTEYN comme des »standards», j'ai trouvé que les écarts s’elevent, aussi bien pour le catalogue de M. PLUMMER que pour celui de M. CHARLIER, en moyenné à 60 parsecs environ. On trouve aussi que les valeurs de M. CHARLIER sont systématiquement trop grandes, La valeur que j'ai déduite pour la parallaxe du groupe est presque identique à celle trouvée par M. Kapreyn pour la parallaxe moyenne du grand courant qui entoure le groupe. Il s'ensuivrait de là que le groupe d'Orion fait probablement partie, avec la grande né- buleuse, de ce grand courant, dont il constitue peut-étre une sorte de noyau. En effet, la différence des parallaxes que M. KAPTEYN avait déduite du rapprochement des lois des luminosités, ne semble pas si grande ni si indubitablement établie qu'elle rende inadmissible une telle hypothése. Quoi qu'il en soit, on pourra regarder comme sürement fixé l’ordre de grandeur de la distance du groupe des étoiles à helium et de la grande nébuleuse d'Orion. Il faut encore noter, à ce sujet, que les parallaxes hypothéti- ques que M. Herrzsprune a deduites pour quelques étoiles doubles ap- partenant à ce groupe sont du méme ordre de grandeur que la valeur trouvée ci-dessus. M. HERTZSPRUNG a trouve:! pour & Orion = Boss 1398: x = 0",0082 >» 6 » = » 31389: n = "oco » 82 > = » 1331: n = 0",0138 M. STEBBINS? a déduit des variations d'éclat de Ó Orion, étoile variable du type d'Algol, une parallaxe hypothetique plus petite, à savoir 7t = 0" ‚0032. Astrophysical Journal, Vol. 47, p. 170, 1918. ? J. Sresens, The eclipsing variable star 0 Orionis (Astroph. Journal, vol. 42, n:o 2, 1915). LE GROUPE DES ÉTOILES A HELIUM DANS LA CONSTELLATION D ORION. 37 La moyenne de ces 4 valeurs est valeur presque identique à celle trouvée ci-dessus. LE] Les valeurs que j'ai trouvées pour les quantités §, 1 donnent pour le mouvement annuel de l'étoile 9 Orion relativement au groupe: | la = + 0",0085 + 0",0026 | fs = + 0,0028 + 0",0023 . Dans le catalogue de Boss, on trouve pour le mouvement propre en a et en À de cette étoile: | w = 7% 0%,0015 +- 0" 0014 | u^ = — 0",0030 + 0". 0014 . Delà, on trouverait pour le mouvement propre total du groupe entier: u = 0",013 11107008, dans l'angle de position pau Certes, ces chiffres ne sont pas trés certains, Cependant, on ne peut guère nier que les mouvements propres donnés par Boss pour les étoiles de ce groupe indiquent une tendance assez marquée à se diri- ger dans cette direction. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N. 2. Impr. !" 1919. De ~ NOVA ACTA REGIAE SOCIETATIS SCIENTIARUM UPSALIENSIS SHR IV VOLS S N:or 3: SUR LES EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ET LE PROBLEME OPTIQUE DES MILIEUX BIREFRINGENTS PAR NILS ZEILON \ Premiere Partie (PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES D'UPSALA LE 7 NOV. 1919) UPPSALA EDV. BERLINGS BOKTRYCKERI A.-B. 1919. A Monsieur VITO VOLTERRA Hommage de reconnaissance ef de tespecf Introduction. 1. Les équations dont s'occupe le présent travail s'éerivent en forme symbolique: 0 0 0 0 Sa ? m 8 i xg ms Due) On a dénoté par f un polynôme homogene de degré quelconque, aux coefficients constants arbitraires, des quatre symboles de dérivation, tandis que q est une fonction arbitraire des quatre variables indépen- dantes. On sait que létude des équations A renferme des problémes fameux dans le développement de la Physique Mathématique. Il suffit de citer certains cas de mouvement ondulatoire, dont celui de la pro- pagation des ondes élastiques dans un milieu queleonque est le pro- totype bien connu et important. Sauf pour le cas le plus simple des équations de deuxième ordre, la théorie des équations ci-dessus, encore trés peu avancée au point de vue des généralités, se rapporte plutôt à des problèmes spe- ciaux dont la Physique exige la résolution dans des conditions toutes particulières. Le but que nous nous proposons ici est de déduire les propriétés communes aux équations de la forme A en tant qu'elles se manifestent par l'analyse de l'intégrale fondamentale. On sait que le probléme ainsi posé, tout en étant le plus simple dans l'ordre des idées genérales est aussi d'une grande importance pour la Physique. Rappe- lons par exemple un probleme historique qui a bien des fois attiré l'at- tention des mathématiciens sans que la résolution en ait encore été fournie. Le probléme du centre lumineux à l'intérieur d'un cristal à Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 3. Impr. !9/: 1919. 1 2 Nits ZEILON, deux axes renferme tout ce qui reste d’obscur et de mystérieux dans l'optique des milieux birefringents, et sera résolu dès qu'on connaitra les propriétés de l'intégrale fondamentale d'une équation de sixième ordre appartenant au type A. 2. La discussion suivante se rattachera à l'expression jT e gu(ax + By + ys + du) I. F- iss [e s.a P(e, B, y 8) — oo de dg dy dd ; expression d'abord purement symbolique et construite dans le but de satisfaire d'une manière formelle à l'équation 0050 flax ay’ az au) | re Los 1 — Yor E — 20, — o) P (Los Yo, £o» o) dg Lo dz dut = d (x, Y, 2, u) 9 (x, y, 2, u) étant un point arbitraire à l'intérieur du domaine D à 4 dimensions, et la fonction «q étant supposée developpable en forme d'une intégrale de Fourier octuple. L'expression I est symbolique, nous venons de le dire; en effet elle est le plus souvent divergente, et il faudra lui donner un sens en appliquant une méthode de sommation convenable. La fonction ainsi obtenue sera l'intégrale fondamentale de l'équation A, et il s'agira de discuter ses propriétés et en premier lieu le caractère de ses discon- tinuites. On verra que la discussion n'est pas sans présenter des dif- ficultés d'une nature souvent curieuse, résultant surtout de la nécessité d'admettre que l'équation A soit à caractéristique réelle. C'est là une nécessité essentielle vu le fait qu'une restriction à cet égard rendrait nos résultats dépourvus de tout intérét physique. Chapitre I. Géométrie de la caractéristique. 1. Il nous sera d'abord indispensable de rappeler certaines notions de la théorie des surfaces algébriques. On y retrouvera, dans une forme quelquefois modifiée pour notre but spécial, des applications bien eonnues et souvent fort élémentaires du principe de dualité. Soit l'équation A d'ordre x, supposée homogene et irreductible; la caractéristique est alors définie par l'équation tangentielle 1) Mer Bar, Oh =O equation dans laquelle, à cause de lhomogénéité, nous mettrons souvent Dans l'espace à 4 dimensions des v, y. z, u l'équation 1) représente une surface homogène, savoir un cône, dont l'équation ponctuelle s'ob- tient par l'élimination de a, f, y, 9 entre 1) et les équations 2) Tox Mie ME. dr we c da d da dB dy dd lesquelles, le plus souvent, nous ecrirons Tuus CSS AR Il suffira de connaitre la section de la surface conique par un plan queleonque qui ne passe pas par l'origine des coordonnées. Choi- sissons par exemple le plan 4 NILS ZEILON, nous aurons une surface algébrique dans l’espace à trois dimensions des (x, y, z). C'est cette projection de la caractéristique dans l'espace ordinaire que nous étudierons par la suite et à laquelle pour plus de brièvete nous donnerons souvent le nom de caractéristique. 2-501 PONT Xe: | | Nie, Us 20 VET la projection ainsi définie; les équations 1) et 2) expriment ce fait bien connu que I est l'enveloppe de l'ensemble de plans 3) ax + y--z4d-9u-— 0 dont les paramètres satisfont à la relation of (os PE MN dO Par l'élimination de « on arrive à l'équation y--2z4-0wu ul be Le SN) d'une courbe algébrique entre 9 et d dans laquelle x, y, 2, w entrent en qualité de paramètres. Les conditions pour que (x, y, 2, u) se trouve sur I s'expriment par les relations 4) xf, —yf, 7 0, uf, — xf, 0, soit 0 (a) 0 (Ca) 4 bis) Mn KM = = Ainsi la caractéristique se définit comme le lieu géométrique des x, Y, 2, u pour lesquels la courbe algébrique f? (ou ses équivalents f®, f9)) posséde des points doubles, La nouvelle définition est la conséquence immédiate de la récipro- cité des surfaces f et I, Coupons l’espace (e, f, 0) où l'on a dessiné la surface f(a, B, 1, 9) —f(«, B, 9) 20 par un plan arbitraire 3), x, y, 2, u étant des paramètres. L'équation /® nous donne alors la section dans le plan par la surface f. En vertu de la correspondance par EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 5 dualité ce plan est tangent à f chaque fois que (x, y, 2, u) se trouve sur I’, et la définition ci-dessus n'exprime que ce fait que la section par un plan tangent est une courbe algébrique possédant le point de contact comme point double. 3. Voici une première indication d'une correspondance impor- tante que nous aurons à approfondir plus loin. Le point double est un point isolé ou non selon le signe du déterminant HESSIEN eo | gif afm Gros ze op? 90° j c. à: d. selon que la surface f(a, B, 9) = 0 est convexe ou aux eourbures opposées dans le point («, f, d) con- sidéré. Or, on sait que les deux domaines: le voisinage de (a, f, d) et le voisinage réciproque de (x, y, 2, “) sur J’, qui se correspondent par dualité, sont ou tous les deux convexes ou tous les deux à courbures opposées. Done: la nature de T au point (x, y. 2) décide de la nature du point double de la courbe f™. Dans la suite, sauf un cas d'exception dont nous ferons bientôt mention, nous faisons pour la théorie générale l'hypothèse restrictive que la surface f(a, B, d) soit dépourvue de singularités ponctuelles. Cela revient done au méme que la surface T manque de singularités tangentielles (plans tangents doubles ete.); son ordre, ou la classe de f, est alors égal à n(n — 1)’, et elle possède un certain nombre de lignes doubles etc. corres- pondant aux singularités tangentielles de f. Parmi ces singularités tangentielles il importe de noter la courbe parabolique qui divise f en domaines alternativement convexes et aux courbures opposées, corres- pondant, comme nous venons de le remarquer, à des domaines de F de la même nature. Dans lhypothese admise ci-dessus, une sur- face l'arbitraire ne possède pas de courbe parabolique, mais les dits domaines sont séparés par des courbes qui constituent autant de branches d'une aréte de rebroussement. En effet, I' possède une aréte de rebroussement laquelle correspond à la surface développable envelop- pée par les plans tangents à la courbe parabolique de f. Sur cette dernière surface, le passage d'un domaine convexe à un domaine de a 6 NILS ZEILON, lautre catégorie se fait à travers la courbe parabolique, aux points de laquelle l'un des rayons de courbure est infini, tandis que sur I’ le passage analogue se fait par les points de l'aréte de rebroussement où le produit des rayons de courbure est nul. 4. Les cônes Ty. Pour approfondir les rapports qui lient notre théorie actuelle à celle des équations à trois variables, la représenta- tion particulière suivante de /'nous sera souvent utile. Considérons les équations JB Cra RE AN RES DNE I ax + bys 2+0u=0 may tf,—yfi=0. auxquelles il faut ajouter " cf — uf, = 0 pour avoir le système complet de la caractéristique. On vérifie immé- diatement que l'équation I’) s'obtient en écrivant que les équations I) subsistent pour les deux valeurs 0 et d + dd, de manière que I se presente comme l'enveloppe de la famille des surfaces I, où l'on a regardé 0 comme un paramètre variable. Prenons une valeur fixe quelconque de d ; nous reconnaissons que les équations I) ont la forme du système qui détermine la carac- téristique de l'équation aux trois variables z, y, 2': 0 0 0 0 fs !gg t gan? vm DER Pour la connaissance des cônes I, définis par I), il suffit done de se référer à la théorie connue! des équations à 3 dimensions. i Dans l'espace des a, f, 0, la premiere des equations I) repre- sente la section de la surface f(@, 2, 9) par un plan d = const. La courbe algebrique entre « et f, ainsi obtenue, ne possède pas en ge- néral de points doubles. Une exception ne pourra se produire que dans * Sur les intégrales fondamentales des équations à caractéristique réelle de la Physique Mathématique. Arkiv f. mat. Stockholm 1913. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. l'un des cas suivants. 1) La surface f possède une ligne double, 2) f possède un point double par lequel passe le plan 9 considérée, 3) Le plan 9 est tangent à f. Nous venons d'écarter les deux premiers cas, tandis que le troisième sera facilement inclus dans la discussion sui- vante en qualité de cas limite. Le cóne 7 sera donc, en général, donné par une équation homogene en x, y, z*: 5) I5(x,9y,2)-909 d'ordre n(n — 1); la section C3 de ce cône par un plan quelconque qui ne passe pas par le sommet x—y-z-—0, sera une courbe dépourvue de singularités tangentielles, c. à. d. qui n'a pas de tangente double ni d'inflexion. Nous connaissons d'ailleurs dans ses traits principaux la conformation des Cs; pour cela rappelons pour un moment l'importance algébrique du cône caractéristique d'une équation à 3 variables. 5. Dans l'équation 5) I3 (x, y, 2’) n'est autre chose que le discriminant irréductible du système algébrique aux deux inconnues « , f: a , p 0) = ( , AR Bi — 0 6) ) ayant toujours sa valeur parametrique fixe. Au point de vue algé- brique 7/5 est done le lieu des x, y, z' pour lesquels deux paires de racines (a, B) se confondent. On sait que les deux racines (e, , Bu); («,. P,) qui deviennent égales au passage d'une branche ls, de 13, sont réelles sur le côté convexe et deviennent complexes et conjuguées sur le côté concave de /5,,,. Deux branches C5, „ et C5, x qui per- mutent la méme branche (ay, Pu) avec deux autres, (a, f.) soit («,. B,), se rencontrent en un point de rebroussement autour duquel on aura en général une permutation cyclique entre les trois racines. Definissons les branches de Cs qui permutent une méme branche a, en fixant cette branche par exemple au moyen d'un prolongement analytique exécuté à partir d'un point Q où a, est complexe, et étendu 8 Nits ZEILON, dans toutes les directions jusqu'à ce qu'on rencontre partout des branches de Cy qui permutent «,. L'ensemble des Cy,» ainsi trouvés formera un polygone, dont les angles seront des points de rebrousse- ment, et qui tourne toujours son cólé concave vers (9. On a ainsi, pour la configuration des J, une idée assez precise qui nous permettra des conclusions sur les circonstances algébriques de notre probléme actuel. En résumé, nous avons choisi de représenter fau moyen de l'ensemble de ceux de ses cônes tangents, au nombre o,!, dont les sommets se trouvent sur une droite passant par l'origine de l’espace ordinaire; droite d'ailleurs arbitraire, car le choix de l'axe des z ne représente évidemment qu'une simplifieation purement for- melle qui dans tous les eas pourrait étre effectuée au moyen d'une transformation homographique convenable. Les sommets des cónes appartenant à notre système particulier remplissent done l'axe des 2, mais il est évident que pour certains intervalles de l'axe les cônes correspondants pourront étre tout à fait imaginaires. Un tel intervalle est alors limité par des points dans lesquels l'axe des 2 pénètre J’ et où la partie réelle du cône tangent a degenere dans le seul plan tan- cent mené à J par ce point. Prenons toujours une valeur particulière de 9 et soit z la va- leur de z qui définit le sommet de 7/5; on aura les coordonnées du sommet 7) z=0,y=0,2+0u=0. 6. Tout point de I appartient ainsi à deux cônes infiniment voi- sins. Pour les questions algébriques qui se rattachent à cet arrange- ment il sera commode de se laisser guider par la construction géo- métrique. Prenons un point (z', y", 2') voisin du point (x.y, 2) de I’ dans l'espace u = const, et coupons par un plan passant par (x' y' 2') et l'axe des 2. Ecartons d'abord le cas où la section de I par ce plan possède un point d'inflexion voisin de (x'y'2'); on aura done une courbe qui, selon le cas, est convexe ou concave vers ce point, tandis que les differents cônes /5 sont coupés le long de génératrices rectilignes issues des points de l'axe des z et tangentes à la dite section de /'. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 9 Pour définir les cônes 7, qui passent par (x', y', 2') il suffit de faire, dans la section plane, la construction des tangentes menées par (x'y'2'). Si ces tangentes découpent sur l'axe des z les ordonnées z,, 2 ete., les valeurs 0 correspondantes résultent. immédiatement de la relation 7), savoir i = [i] rö 8) ’ 9;— —— , d,—=—— , etc. = = Parmi ces valeurs 0 on en trouve deux qui se confondent quand (x, y', 2'), en se tenant dans le plan choisi, vient coincider avec (Pl. I) (r. y, 2). La fig. 1 (Pl. I) accuse la différence entre les côtés convexe . et concave de la section de /; l'un sera le domaine de deux tangentes réelles donnant des d,, d, voisins et réels, tandis que sur l'autre les deux tangentes sont devenues imaginaires en méme temps que 0,, 0, sont devenus complexes (et conjugues). Par ee raisonnement nous arrivons à une définition modifiée de I, savoir comme le lieu des points (x, y, 2) pour lesquels deux points de branchement à se confondent. Ce qu'on a voulu dire par »point de branchement» résulte nette- ment de ce qui precede. Au lieu de faire varier (x', y', 2’) et tenir 9 fixe, tenons ce point fixe et faisons varier 0. Les racines (c, P) des équations 7) deviennent alors des fonctions-algebriques de 0, dont deux branches coincident quand on se trouve sur un cône 75. Cela, pour x = x, ete., arrive quand à, die s DE de maniere que ces deux valeurs nous donneront des points de bran- chement des deux fonctions algébriques «, f. On retrouve la defini- tion de I comme le lieu des points doubles d'une courbe algébrique, mais la nature des points doubles est maintenant, pour ainsi dire, pré- cisee de maniere qu'on se les figure comme le résultat de la fusion de deux points de branchement, 7. Prenons toujours la fig. 1, où la droite OC représente la génératrice rectiligne d'un cône 75. Faisons tourner le plan secteur autour de l'axe des z; on aura des figures successives du type 1, et OC engendrera une branche /5,,,, des que, comme nous le suppo- Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 3. Impr. !?/12 1919. 2 10 Nits ZEILON, sons, on ne dépasse aucune des arêtes de rebroussement de JL. Con- sidérons le domaine de J’ qui est ainsi engendré par /5,, et la méme branche des cônes voisins. Parmi l’ensemble de généra- trices des cônes /'5, qui enveloppent cette partie de I on ne trouve alors aucune tangente principale (ou d’inflexion) de 7, car d’après un théorème bien connu une telle tangente n'est autre que l'aréte de rebroussement d'un cône tangent. Il résulte alors que le domaine con- sidéré de I’, soit 1,,, se trouve entièrement d'un seul côté d'un P wy ar- bitraire, et qu'il est tangent à 1% ,, le long d'une courbe engendrée par le point de contact C de la fig. 1, laquelle tourne son côté con- cave vers la méme direction que les Z5 ,,. On en tire que la partie de I engendrée par la fig. 1, est convexe, si les l5,, sont concaves vers la gauche, et qu'elle est à courbures opposées dans le cas con- traire, résultat qui s'exprime en disant qu'un domaine de I est l'enve- loppe des côtés concaves ow convexes des branches de cônes correspondantes, selon qu'il est convexe où à courbures opposées. L'orientation différente des 7% envers I entraine des circonstances algébriques différentes. Appelons, par abréviation, le «côté exte- rieur» de Z, celui qui tourne vers les Z5, et supposons que (x'y'2') franchisse 7 en allant du côté extérieur au point (z'"j"z") du côté intérieur. Au commencement on a done deux valeurs Ó,, d, voisines et réelles qui deviennent complexes et conjuguées après le passage de I'par C —(ryz). La nature de T en (x, y, 2) se fait remarquer dans la manière dont se comportent les fonctions algébriques (a, , f). Soit p. ex. le cas d'un domaine convexe. En se reportant à la figure on reconnait que (x, y", z") se trouve du côté concave de toute branche J’) „ en question, tandis qu'à l'extérieur les cônes 1% qui satisfont à la relation O0 0, tournent leurs côtés convexes vers (x'y'z). Ainsi le passage de (x" y" 2") en (x'y'z') fait franchir, en allant des cotés concaves aux côtés convexes, certain petit intervalle de cônes ls, intervalle dont l'étendue est déterminée par les deux cones réels et voisins qui passent par (r'y'2'). Le cas des courbures opposées diffère par ce que le pas- sage des cônes de cet intervalle se fait dans la direction contraire. Rappelons ce que nous venons de dire sur la réalité des (au, Pu), nous concluons que re EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 11 dans le cas d'un domaine convexe les fonctions algébriques au, Bu, en général complexes dans le domaine de valeurs réelles 0 considéré, de- viennent par le passage de I’, réelles pour tout 0 à l’intérieur de Vinter- valle à; < 9 —0,, tandis que dans le cas des courbures opposées ces mêmes fonctions, en général réelles, deviennent complexes pour 0, <0 < 0,. 8. La construction du n? 6 nous servira à étendre au cas de 4 dimensions une notion qui nous a été utile dans la théorie des équa- tions à trois variables. Soit, à l'extérieur de P, (x, y, 2) un point au voisinage d'un cône I’; dont le sommet définit la valeur 0 correspondante, et parmi le nombre des cônes passant par (x, y, 2) distinguons D, et 15. Quand (x, y, 2) s'approche d'un point de L5, l'un de ces deux cônes coïncidera avec l5, c. à. d. d,, soit d,, deviendra égal à 9, Nous di- sons, selon le cas, que la racine 9, ou 0, est adjointe a I's en ce point. La construction géométrique montre! que J’, et 7/5, ont des sommets qui sont situés: du meme côté de à quand (x, y, 2) se trouve entre I et I"; de l'un et de l'autre côté, quand (x, y, 2) se trouve à l'extérieur ende I et de 75. Supposons que nous restions dans ce dernier domaine. L’ob- servation ci-dessus sert alors à séparer les branches 0, et d,; stipu- lons p. ex. que 0, soit infériéur à 0. Cette stipulation faite, les deux branches sont définies par prolongement analytique, sans aucune am- biguite, dés qu'on s'abstient de toucher a I. Or, faisons tendre (x, y. 2) vers 15; le résultat sera different selon qu'on s'approche de l'un ou de l'autre côté de la courbe de contact C5 de 15 avec I’. En effet, en s'approchant dans la fig. 1 de la partie de J’; au-dessus de C5, c'est évidemment le cône dont le sommet est au-dessus de qui y coïncide avec 75 tandis que les circonstances sont renversées au-dessous de Cy. Il y a done, sur la courbe C3, entre les deux branches 0, et d,, un échange du rôle de racine adjointe; Dans la fig. 1, 0, est la racine adjointe à Z5 au-dessus de C5, et 0, remplit la méme fonc- tion au-dessous de cette courbe; c'est le résultat d'une permutation entre les deux branches, effectuée sur Cy en vertu du contact avec 77. [07 ! Le cas singulier d'une tangente d'inflexion étant toujours écarté. 12 NILS ZEILON, Tout cela nous a donné des résultats que nous retrouverons plus loin au moyen du calcul effectif. Appelons encore l'attention sur une formule qui jouera alors un certain róle. Soit, par abréviation d=0, il résulte de ce que nous venons de dire que 0, et d, sont alors de signes contraires à l'extérieur commun de J’ et Z5 et de méme signe entre ZJ et Ts. Tenant encore compte de ce que ces deux valeurs sont complexes et conjuguees à l'intérieur, il vient: 0; 0, < 0 à l'exterieur de 45 — 1, 4,0, < 0 à l'interieur de 75, «l'intérieur de L5» étant alors défini comme ce voisinage de 1% qui contient la partie de T enveloppée par les branches considérées des Ps. 9. Introduction d'un cas singulier. Jusqu' ici nous avons laissé de cóté les singularités tangentielles que pourra présenter la section plane de notre représentation géométrique. Dans le cas général les singularités du cône 75 appartiennent aux deux categories des arêtes de rebroussement où deux branches J5,,,, 15,2, se confondent et des génératrices doubles où deux branches se pénétrent sans se confondre. A ces singularités correspondent, dans la section plane des 7%, des singularités tangentielles: laréte de rebroussement devient une tan- gente principale, e. à. d. tangente d'inflexion, tandis que la génératrice double touche J’ en deux points qui ne se confondent pas. Commencons par la tangente double, qui dans le cas d'une sur- face f sans singularités, ne comporte pas grande difficulté, les branches de P5 ne s'y confondant pas. Prenons la fig. 2, où l'on a dessiné deux »branches» de 1’, enveloppees par des branches distinctes des Ty. La construction mènera, pour chaque point de la génératrice double, à deux racines adjointes qui deviennent égales quand on s'en approche. Néanmoins il n'y aura aucune confusion puisque ces deux racines appartiennent à des branches distinctes de 2'5 et ne deviennent égales que par accidence due au rôle double que joue OC comme apparte- nant aux deux branches qui s'y coupent. Les conclusions ci-dessus EQuaTIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 13 subsistent done sans modification à condition, bien entendu, que l'on veille à ce que la définition de la racine adjointe se fasse expressé- ment pour une branche déterminée T5. ay de d Le eas de la tangente double, peu intéressant en lui-méme, nous donnera cependant l’occasion d'introduire un cas singulier, im- portant par l'intérêt des applications qui s'y rattachent, et qu'il sera eonvenable de traiter dés maintenant. En prenant, dans le cas ordinaire, une section voisine de celle dessinée dans la fig. 2, la tangente double voisine de OC ne passe plus par 2. Supposons maintenant que cela arrive au contraire pour toute section voisine; l'ensemble des tangentes doubles passant par d engen- drent une partie de cône correspondant à deux branches J5,,, qui sont venues se confondre totalement, On a alors un cas singulier, et les circonstances algebriques se sont modifiées. Laissant de côté le eas où la surface f possède des lignes doubles, passons de suite au cas qui réalise les conditions formulées ci-dessus; c'est celui où f possède des points (coniques) doubles. Dans la surface réciproque correspondra à ce point un plan tangent double qui touche I’ lelong d'une courbe plane, laquelle par dualité correspond au cóne tan- gent à / mené par le point conique. C'est donc une courbe de se- cond ordre, ce cóne tangent étant de cet ordre, et par sa correspon- dance à une surface développable c'est nécessairement une courbe parabolique. Soit 2 le point où le plan tangent double coupe l'axe des 2; tout vecteur, issu de z, qui coupe la courbe de contact C de second ordre, sera une tangente double de 7; on se trouvera done dans le cas décrit ci-dessus où l'on aura tout un intervalle de sections planes de la forme 2. Le cas classique est représenté par la fig. 3 (Pl. I). ©, et C, sont les deux sections du plan secteur OC, C, par la courbe C, la- quelle dans un cas spécial celebre est un cercle. Pour avoir une idée de larrangement on s'imagine que la fig. 3 représente une surface de revolution autour d'un axe mené par le point conique Q (lequel d'ailleurs est l'image par reciprocité d'une courbe parabolique de / à propriétés analogues à la courbe C. Vu de l'extérieur le domaine entre Q et C montre l'aspect d'un trou circulaire au centre Q aux 14 Nits ZEILON, parois à courbures opposées et dont la courbe parabolique forme la lèvre supérieure cireulaire, le tout couvert par la plaque plane du plan double. Au delà du trou la surface est partout convexe. Cela posé, la fig. 3 servira à étudier les racines adjointes au plan double. Au voisinage de C,, p. ex., on aura 3 racines 0 qui se confondent en d, et par conséquent il y aura 3 branches 9 entre lesquelles il faut partager le róle de racine adjointe. Fixons ces bran- ches d,, d,, d, au point À, voisin de C,, choisi arbitrairement à «l'ex- térieur» du plan P, de manière que 0,, d, représentent les deux ra- cines qui se confondent sur J’, au voisinage de C,. On reconnait que le róle de racine adjointe s'échange toujours d'aprés le méme prin- cipe entre 0, et d,, le passage a travers C, permutant ces deux raci- nes entre elles. On aura en outre la branche d,, adjointe au plan double, et cela aux deux côtés de €. Ill y aura de méme trois branches à discuter autour de C,. Quant à la maniere dont ces branches resultent par prolongement ana- lytique des racines existant au point A,, on rencontre là une question quelque peu délicate qu'il nous faudra renvoyer à un moment ultérieur aprés quelques préliminaires indispensables. 10. Circonstances particulières au voisinage d'un domaine de I à courbures opposées. La cas singulier du n° précédent montre que la définition de I comme lieu des points 0 confondus n'est plus absolu- ment juste, puisqu'elle inclut aussi le plan singulier. Nous allons pour- tant voir plus tard que le plan double conserve lanalogie avec I aussi sous des rapports moins artificiels, ce qui pourrait servir à mo- tiver la définition. Seulement elle reste en défaut par d'autres raisons encore; c'est ce que la discussion des tangentes principales, laissée jusqu'ici de côté, nous fera voir. Soit en effet la section plane de J’ par un plan passant par l'axe des 2, et supposons que cette section contienne une tangente d'inflexion. La section découpe alors nécessairement un domaine de I à courbures opposées; on va reconnaitre qu une coincidence entre deux racines 0 peut alors avoir lieu sans l'intervention de I. “En effet, dans ladite section, le passage de (x, y, 2) à travers la tangente d'inflexion, exécuté sans toucher à J’, confond, eu les faisant changer de réalité, deux tangentes 9, qui, tant qu'elles sont réelles, touchent I' aux deux cótés du point d'inflexion. Ce dernier, point de contact entre EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 15 7 et une tangente d'inflexion, correspond evidemment à trois racines confondues, Considérons maintenant des sections voisines successives et tracons partout les tangentes d'inflexion. L'ensemble des tangentes engendrera une surface réglée I; tangente à J’ le long de la courbe is des points d'inflexion. Le côté réel de I (par rapport aux racines 9) étant toujours celui que tourne J’ vers le cône tangent, on reconnait que par le passage à travers ij les côtés réel et complexe s’echangent entre eux. La surface Jj est encore un lieu géométrique qui fait confondre deux valeurs 9. Appelons «l'intérieur de /5» le domaine contenu entre Ij et P; la fig. 4 montre immédiatement qu'à un point de ce domaine correspondent trois racines qui se eonfondent et deviennent imaginaires par le passage à travers l'une des génératrices de Jy. On poursuit facilement la connexion des branches en faisant un circuit autour du point d'inflexion. Partons de Q, (fig. 4) avec les trois branches d,, da, 0; qui coincident toutes les trois dans le point d'inflexion C; et dont d,, 0, correspondent à des tangentes touchant I' au voisinage de C,. En franchissant Jy en Q', d, et d, se confondent de manière qu'en Q" au delà de Jy il n'existe qu'une seule branche réelle qui s'appelle toujours 9,. Franchissons J’; on retrouvera de nouveau en Q, les deux branches do, 0,; soit p. ex. 9, celle qui est la plus voisine de la valeur commune en C;. Franchissons Jy en Q''; ce sont maintenant les branches 0, et d, qui deviennent complexes, et la seule branche réelle qui nous reste en Q'"'" s'appelle d,. Franchissons I en retrouvant 9, et d,, et en choisissant, comme il nous sera permis, 9, pour celle dont la tangente touche pres de C;. Par les quatre passages on fait done confondre successivement (dross (UNS (0:03) 7 0.103), > et l’on reviendra en Q sans permutation entre les racines, apres avoir fait le circuit complet autour de C,. La surface I; ressemble donc à J’ par une propriété importante; elle en diffère, d'abord en ce qu'elle est tout particulièrement liée au choix de l'axe des z comme directrice et puis par la manière dont les deux valeurs 9 s'y approchent de leur valeur commune. En effet, nos 16 NILS ZEILON, figures montrent que les valeurs en question se tiennent toujours, au voisinage de Jy, du méme côte de la valeur commune, tandis que, pour la caractéristique, les circonstances varient selon la position du point considéré par rapport à la tangente qui définit la valeur commune. 11. Pour fixer nos idées prenons le cas particulier du domaine hyperboloïde autour du point double conique circulaire du n° précédent. En se reportant à la section principale de la fig. 3, on construit fa- cilement la forme de sections différentes par des plans passant par l'axe commun des z. On a obtenu ainsi, dans la fig. 5 (Pl. II), une suite de sections voisines, (0), (1), (2), etc. On s’imaginera p. ex. que (0) soit la section par le plan du papier, les autres sections étant obtenues en tournant le plan secteur par des petits angles convenables dans une méme direction. Supposons par exemple qu'on ait fixé une tangente d’inflexion I; dans la section (4), correspondant à une racine 0. Par le sommet z on mene done deux tangentes voisines de J; dans toute section (3), (2) etc., située, dans la fig. 5, à gauche de (4), tandis que pour une section arbitraire au delà de (4) ces tangentes ne sont plus réelles. La tangente d'inflexion marque ainsi la limite d'un cône 75, dans laquelle deux branches de ce cône coincident; c'est par un fait bien connu une aréte de rebroussement du cóne. Si, dans notre figure, nous rangeons les diverses génératrices de l5 en deux groupes selon que le point de contact se trouve en haut ou en bas, le premier groupe nous donne une branche de 15 qui touche le côté droit de I tandis que l'autre groupe touche son côté gauche. Or, les J’) étant convexes vers J’, il s’ensuit que la pre- miere branche de‘! est convexe vers la gauche et l'autre vers la droite, conformément à l'assomption d'une aréte de rebroussement en 15. Entre deux points de contact, dans une section quelconque, on a necessairement franchi une tangente d'inflexion, c. à. d. on a franchi la courbe i; échangeant les côtés réel et complexe de Z'. Evidemment c'est là ce que nous exprimons par le fait que les deux branches de cône touchent des côtés (géométriquement) différents de I. ! C. à. d. selon qu'on s'approche de J” dans une direction faisant un angle fini ou nul avec J’. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 17 12. Revenant aux circonstances qui correspondent au point double (n? 9), nous sommes maintenant en état d'expliquer la con- nexion des racines se permutant sur le plan double. La fig. 6 nous donne une section voisine du plan central par le point double; c'est une courbe à deux inflexions et à une tangente double, trace du plan P singulier. On reconnait qu'au voisinage de C, on a quatre branches réelles d,...40,, dont les trois premieres coincident en C,. Le pas- sage de Q, en Q, voisin de C, ne peut évidemment se faire sans franchir les deux tangentes d'inflexion tracées par la surface Is. . Si d'abord Q, s'approche de P, sans franchir Is (c. à. d. s'ap- proche d'un point à droite de C,), on voit que d, et 0, coincident. Franchissons Jj» pour suivre le chemin pointillé jusqu'en Q* d, et 0, se confondent sur Is, et il ne nous restera en () que les prolongements analytiques de 9, et d,, restés distincts pendant tout le passage. Si Q' s'approche de P, ce seront toujours à, et 3, qui y deviendront égaux et l'on arrivera en Q" avec deux branches réelles qui s'appellent toujours 2, et d,. Allons de Q' en Q,; on retrouvera par le passage de l’autre branche de 7; les deux branches d,, à, devenues de nou- veau réelles. D'autre part, on pourra franchir I" en allant p. ex. en Q''; on a alors permuté et rendu complexes à, et 2, ét l'on arrivera en Q' avec 2, et 2,, qui évidemment coincident si l'on s'approche de I au dessous de C,.' En suivant cet argument on arrive au résultat de la fig. 6, où, sur les différentes parties de ID, I; et P, on a marqué les branches ó qui se confondent. La connexion entre les racines est ainsi complètement éclaircie; on voit qu'il est possible de définir partout, sans ambiguite, les racines réelles par prolongement analytique des racines au point de depart Q,. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups.. Ser. 4, Vol. 5. N. 3. Impr. 17/12 1919. 3 Chapitre II. Préliminaires algébriques. SUL L'équation approximée de la caractéristique. 1. L'analyse des indications géométriques du chapitre I ne sera au fond autre chose que la théorie bien connue des surfaces algé- briques telle qu'elle se présente par développement au voisinage d'un point arbitraire. Seulement, pour notre probléme actuel, il nous faudra pré- senter la théorie sous un point de vue particulier et dans une forme modifiée par la nécessité de considérer des fonctions algebriques qui sont liées à des manières particulières de représenter la surface étudiée. Rappelons d'abord quelques généralités d'une nature élémentaire. Soit, dans l'espace des a, B, 0, 1) f(a, B, 9)=0 l'équation d'une surface algébrique d'ordre n, et soient pour « = f = =d=0 a a fo ae lus ete., les valeurs des diverses dérivées de premier et de deuxième ordre. On sait que la Hessienne: B T QU EE ET EXT | fi fa fa fa | Fra, EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 19 décide de la nature de la surface à l'origine. Or, soit naeh te Tate O Yequation du plan tangent à l'origine, et posons pon EE, 8, 6). Pour de petites valeurs de «, f, 9 satisfaisant à l'équation 1) est une quantité de deuxieme ordre et on aura un développement de la forme: ALES 1 d oo ; . oo " oo = fi aaa E+5( Non 2 0500 | pm | avec les coefficients: gi 1 Ai 1 2) dp cR fa fa) = Fe (fifa if + fS) lh fa he ue NE omn a fu he = A (ifa — Abbe t fifi) Ifa Tan Ju Ins fed fe dut | EX Pin ar Rh fu fis | = Aie hha — fa + fifi). \ fs fa fe On a, par un calcul élémentaire: gos gue gro du? d'a du A BE SE SE lame | Vers m Br |) (eos Mr ERA => ES sas 93° 00° Jeu apad) — ap? a) 20 Nits ZEILON, 2, Il s'agira d'abord d'avoir l'équation approximee de la carac- téristique. Soient f,, fa, x, À = 1, 2, 3, 4, les dérivées de premier et de deuxième ordre de la fonction homogène fle, B. 7, d), et con- siderons, pour y = 1, l'équation: 4) fiant 0 dont la Hessienne s'écrit: (n — 12H =) få | = tue La Soit a, D, 0, un systeme de valeurs, solutions de 4) et soit (x, ¥, 2, 4) un point correspondant de Z', c. à. d. tel que le plan tangent mené par lui ait des cosinus dilectus proportionnels aa, f, 1,0. On aura au voisinage: Oat Os ar Uy pM CE c. et l'équation de 7 s’obtiendra par l'élimination de «', p', 0’ entre 5) eger LE u ne da’ Of dd” avec: 6) Q em — hacc ver 1 alle” + aß” + fd? + 2,5'0' + fade + 2f" B]. L'équation du plan tangent étant: Z = ax + By + 2+ du = ax! + fly! + 2! + du! = 0, on tire de 5) et 6): EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 21 a y u fi-Fa'fa + Bla td fu fo fad B fad ofa fitefat Pfad fu * A MEE SUEDE soit ze de manière à nous mener au système: MS ne Het VET ed e | 0 0 whit Bhat "f, — x x + f, =0 ovs fifa id wx f c desi Ouf MI. fas d'ou résulte comme équation de I: 7) ff Sete Cee fae T U Efe 3. Dans le determinant 7) il faut retenir les termes des deux . premiers ordres en z', y', etc. En observant que dp utu n el pc GTA ONE fs) 2% et que les termes en Zz', Z? etc. sont d'ordre supérieur à 2, il vient facilement comme première approximation: 22 NILS ZEILON, LARA AUN UAE 7 A) Dia Ee rl 2H Li = FN ae AREA CES at Pal e jam fu u En forme développée et dans la projection w — const, c. à. d. pour uw! = 0, cela nous donne pour la caractéristique l'équation sulvante, v ( Ap afe Ji ‚re 12 no) = omui fy! 25 = __ 2% / 9 en el Pres caen DUE qe Men où les coefficients, analogues à ceux de 2), sont 9f) 1 3 i EX f (Fifa — 2fafafos + Fifa) , etc., etc. enter LUE f9 dénotant la fonction f(e, f, Partons de I pour le calcul de la Hessienne de I en (x, y, 2); on tire de la formule 3): ll. WEN EY De L'équation du plan tangent nous montre que dans la projection dans l’espace des x, y, 2 on a dz’ = oz" = Ro a ae pour la normale au point (x, y, 2). Done, on aura pour le produit des rayons de courbure principaux de I’; EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 23 Ir 229 M zur E: RR (I+@+py À Les relations II et II’ nous donnent la connexion entre la con- vexite de I et celle de la surface f. Les deux Hessiennes étant de méme signe, les domaines correspondants des deux surfaces sont de méme; nature et en particulier la réciprocité de la courbe parabolique et de l'aréte de rebroussement s'établit de suite par le fait que l'une des Hessiennes est linversion de l'autre. 2. UM Développement des fonctions algébriques au voisinage de J’ et des cônes 1%. 3. Nous allons retrouver l'équation de la caractéristique en cherchant à approfondir l’algebre de celles des racines a, 6, 0 de 5) filers 1B T. dy 0. qui en vertu de la relation 9) 5 ex + By + 2+ du = 0 définissent l'ensemble des plans tangents a I. Il suffira, pour les gene- ralités, de développer jusqu'au deuxième ordre des petites quantités. Précisons cet énoncé. Nous étudions des valeurs a=ate’, B=p+p!, d=0+0" voisines d'une combinaison arbitraire de valeurs (2, f, d) racines de 8). La stipulation que «', f', 0’ seront à regarder comme de petites quantités du premier ordre entraine pour tout point (x, y, 2, u) considéré l'obligation que ce point appartienne à un plan tangent 24 Nits ZEILON, dont les cosinus directeurs différent infiniment peu de ceux du plan p B, 8: 9') Z= ax + By + 2+ du = 0 passant par le point (x, y, 2) de T. Dans P; 3 5 nous distinguons l'ensemble de valeurs (25, 45, 25) telles que 10) zf,— uf, — 0, (h=hle, B, 1, 8), ete), lesquelles dans P; g x tracent une génératrice rectiligne de Ts; sur cette génératrice se trouve particulièrement le point de contact avec I, (x, y, 2) tel que 11) xf, — uf, = 0. Soit, comme ci-dessus: fle’, B8', 6)=-flete, B+B!, 1, 5 +6!); 0 = ax + fy +2 + 04 = ax + P'y tou + Z. En éliminant «' nous étudions l'équation: Heu A. A zB) qui nous définit 9’ comme fonction algébrique de 6’, dépendant des paramètres x, y, Z, w. Pour plus de brièveté, nous écrivons au lieu de A simplement AG f B s 0) 05 et d'une manière analogue les dérivées de la fonction.8) nous donne- ront des fonctions: EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 25 y+Z+s Ixus ws BN ee, Bde ete, Quelque fois la clarté exigera que la notation indique le procédé d'élimi- nation employé; nous écrirons alors /(9, file) etc. au lieu de f, fi, respectivement. 4. L'intérêt de l'équation A) se rattache aux conditions dans lesquelles elle possède une racine double. En développant au voisinage de f' = 0 on aura: A) 0- AP. a) 10, o) Poo) +28" (as). savoir: à à af y A") (20) p = (D) + V (26) — 2/0, an (72) Le diseriminant: B’) Ag = Ex — 2/(0, 9) (og À mis égal à zéro formule done la condition de deux branches (e,, Bu), (@,, B.) confondues en (x, y, 2, u) pour la valeur 6 + óà' de 6, En langage géométrique, B') nous donne l'équation du cóne Prix voisin du cône I's qui passe par (x, y, 2, u). Développons B') par rapport à ó'. Il vient: B") 4g = R+26'Q+ à"P—0 avec M ( 9?f («) ) Mr oft) gf») 2) 3500) af oe ? Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 3. Impr. 77/12 1919. 4 26 NILS ZEILON, af af) àf(a) IL 9f ooo 00 df? ° afl) v? 9f (0) Al ap ) afe Op? où lon a supprimé les accents superflus, et où les valeurs de la fonction /'*? et de ses dérivées se deduisent de la fonction C) a Z W259) pour «' = B'=6'=0. On a négligé toute dérivée d'ordre supérieur à deux: €. à. d. ona ‘. admis pour f le développement 6) du n° 2. Ainsi: fo = f(— = 0, NER 2 Xon zer x d gf (^) y of 5 Uf / Yu o Ite) feta IR Re d et, en analogie avec les formules 2) du n° 1, Qf e) 1 à a o?f(e) 1 e ap = x, (fe — 2xyfua + Erf ie ETE = x? (x fa — 2xuf, + fy) E HAE 1 0506 … X x (xf. — xyfıa — LU + yup) , frs la = = fas fo, ete. étant les coefficients du développement 6). Or, dans ces formules, on admettra que le point x=x+x, y=y+y', etc. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 27 se trouve au voisinage, soit de 7, soit de 7. Dans les deux cas on aura des fonctions algébriques «, ß complétement déterminées par la position de (x, y, 2, u) et par la valeur 6. Il suffira. en premiere approximation, de mettre dans toute dérivée de deuxième ordre de /(?. Ainsi en particulier où H n'est autre que la fonction Hessienne du n° I modifiée par la substitution de x, y, u pour fi. f, f, respectivement et donnée en forme explicite par l'expression 2) H(x 2 ds a) Ele fa l'a) ieu (aay — fu fa) ene (fan ee fu fa) Ar mm 2uy (fifa E fs) HT 2zu(fafs Fe fra fe) T 2y x (faa fis PE Pata): 5. Appliquons les formules ci-dessus à la déduction de l'équa- tion approximative de 7. Pour un point voisin de 7 les expressions y 1 - 5 / u 1 ; ^ Ehe unse chis fad a) deviennent de petites quantités de premier ordre; l'équation B') nous donne done deux racines ó' voisines de zéro correspondant aux deux cônes PL; , y passant par le point (x y, 2, u). En annulant le diseri- minant de B’): 28 Nits ZEILON, 4 ^ Qf (e) Vf) 2 afl) Pl Me a; (re (Gras) — OR 08 ] af) af? DL af afta) 00 ‘Op ETE óp 06 flo afla) ? ap: Cao 1) + i e nous trouvons done la condition pour que ces deux points de branche- ment coincident dans un point double. Or, au voisinage de I la di- stance Z du plan tangent est à considérer comme une quantité de deuxi- eme ordre. En négligeant les termes Z’, Zx', etc. projetons pour un moment dans l'espace des x constants, et posons, en nous repor- tant au n? 1, zw Ae rer tn A(z, y, u) ERO HT H(h, h, fJ) Il vient, avec x’ = 0, par un calcul facile J Qf Bre m Q^f(«) 2y'u' JACO u” E Sa the pT wag — x fo ^ af] =D, Or, les differents axes de coordonnees n’entrant d’aucune maniere particulière dans les calculs ci-dessus, l'équation de 7 dans l'espace des (x, y, 2) doit se déduire par permutation cyclique. On trouve, en annulant l'expression entre les crochets, eo P72) 9) ae tte 0 D o JBL = z (2 ap? 2x'y RR Y yet) ’ conformément au résultat du n° 1. 6. L'équation B') possède une racine zéro à condition que C') R=0. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 29 Nous avons alors une racine 6 = 6; c. à. d. nous nous trouvons sur le cone T5, et ©’) nous donne son équation approximative, valable à condition que les (x, y, 2) considérés ne s'éloignent pas trop du plan P7 5 5, Regardons done la distance Z de ce plan tangent comme une quantité de deuxième ordre; C') nous donnera alors l'équation d'un cône para- bolique représentant Z'3 pour toute génératrice voisine de celle tracée dans D. B, 3. Dans un point arbitraire, voisin de P; g 5 mais non de 4”, l'expression xf, — uf, n'est plus infiniment petit. Par conséquent le coefficient Q a une valeur finie, et B' ne peut servir que pour déterminer une seule ra- cine 6’. Au voisinage de Z5 on trouve ainsi équation determinant le déplacement du sommet d'un cône 1% en fonc- tion du déplacement d'un point arbitraire par où passe le cône. Les équations simultanées déterminent la courbe de contact entre Z5 et P. Les expressions ci- dessus montrent qu'on a alors 0") Q- 0. C") nous donne done l'équation d'une surface qui passe par la courbe Cs. Or, reportons-nous à l'expression €) de Q; nous reconnaissons immédiatement que @ ne disparait pas du premier ordre pour Z = 0. La surface Q, en passant par Cy, coupe done I' par un angle fini. Il s'ensuit qu'en marchant soit sur I soit sur Z5 à travers la courbe Cs on doit nécessairement franchir la surface Q; e. à. d. le coefficient Q de B') change de signe par le passage à íravers la courbe de contact. 30 Nits ZEILON, Cet énoneé résulte d'ailleurs immédiatement des considérations. géométriques du chapitre précédent. En effet, prenons un point de I Q avec la valeur commune ó' = — p voisine de la valeur zéro en (5; la construction géométrique fait voir que cette valeur prend des signes différents aux deux côtés de C;. 7. Elucidons ces généralités au moyen de l'exemple fourni par les deux eas typiques des équations de deuxieme ordre. Soit CREER) EN ege La théorie approximative est alors exacte, et nous trouvons pour 6 l'équation: 12) (2 +6)? + (1 —8)@"? + y) = 0, laquelle pour une valeur 6 fixe nous donne l'équation du cône cor- respondant. En vertu de 12) les Z5 sont des cônes circulaires aux sommets 22——óju, xy29y70; la tangente de l'angle d'ouverture est proportionnelle à I. Soit en 12) le signe positif. Les JL deviennent imaginaires pour | Ó| <1 , tandis que pour |à| = 1 on retrouve les deux plans EQUATIONS AUX DÉRIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 31 correspondant aux deux points par lesquels l'axe des z pénètre l'enve- loppe sphérique ey Ene IN Il. Dans le cas du signe —, les cônes circulaires 12) sont tous réels et enveloppent l’hyperboloïde aux courbures opposées | ty — À = ww Remplacons maintenant dans 12) 6 par 6+ 6’; nous aurons pour à’ P395 - L0 R= 05 avec P=w — 2’ — y’ Q = 6(@ — x? — y) + ue T (2 | ou) | GE 1 — (y? + 2) HR gU pe (2° si y) (u ep y ae 2) - + L’equation Q — 0 nous donne ainsi certaine surface de second ordre, savoir un paraboloïde coupant la caractéristique d'abord le long d'un cercle situé dans le plan et puis le long du cercle ui — y— y? = (() dans le plan 2 — 0; en outre le paraboloide passe par le point x = y = 0 ze+6u=0, c. à. d. par le sommet du cône. 8. Les racines 6' au voisinage de la courbe de contact. Par la résolution de l'équation 5") du n° 4 nous avons obtenu: 5 ie ^ 1 DRE D) y =— p(o+V@— PR) 32 NILS ZEILON, expression dans laquelle Q=0 représente surface passant par Cs RU » cône I's Q?—PR=0 » caractéristique I tandis que le coefficient P est proportionnel à la Hessienne H et de méme signe qu'elle, cette Hessienne étant à son tour inversement proportionnelle à la Hessienne $ de 7. Pour fixer le signe des ó' stipulons que la racine carrée de D) prenne le signe + à l'extérieur commun de J’; et de J’. Tant que nous nous déplacons dans ce domaine sans franchir P, le radical conserve un signe invariable. Faisons done coïncider (x, y, 2) avec un point de Z5 où E = 0; il s'ensuit que 5’, s'annulera à condition que l'on se trouve du côté des valeurs Q négatives; ó', est alors la racine adjointe à ls. Franchissons Cy c. à. d. la surface Q; conformément aux resul- tats du n° 8 du chapitre I, 6’, remplira la méme fonction pour l'autre domaine de 15. Il s'agira dans la suite de connaitre la maniere dont se com- portent les trois quantités que voici: etse eate a) en ie Oa = 2 R b) yó^o, = VE c) A= ANOR a Pour éviter toute ambiguité dans la détermination des branches nous projetons dans le domaine eomplexe par la substitution de RE En Men pio à) >= 0 . Pour tenir compte de la modification ainsi introduite dans nos formules observons que l'équation A’) du n° 4 change par l'addition de l'ima- EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 33 ginaire ie, qui par conséquence apparait dans le terme constant de 9 B' multiplié par le facteur ap Toute la différence consiste done dans la substitution de 2 R+ie: ad ap? a HR. Ainsi: R + ieAg Be) Y 6,6, = V p 8 es) ó', — à, = 2y Q^ — P(R + ieAg)) . a) La somme des racines n’a pas changé; elle reste réelle et s'annule et change de signe par le passage à travers C5. b) Le radical paraissant dans le produit b"* possède une partie imaginaire de signe invariable tant que l'on ne franchit pas le cóne T;. L'expression V R T5 est imaginaire à l'un et réel à l’autre côte de 25. Rappelons que la dernière circonstance se produit du côté que tourne Z5 vers 1° puisque les 6',, 6’, sont complexes et conjugués à «l'intérieur» de J’. R Partons done d'un point de ce domaine réel pour lequel p? 0, et posons R ar ie Age xps c Se Nous sommes partis d'une valeur @ finie avec 9 voisin de zéro, soit positif, en supposant que 13) c Franchissons A = 0; le radical, proportionnel à Vi pour E — 0, de- viendra à peu prés purement imaginaire sans avoir jamais pris des valeurs réelles. Il y a done les deux possibilités que voici, Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N. 3. Impr. ?'/z» 1919. 5 94 Nits ZEILON, 1. On aura l'inégalité 13) avec Vds = + Vee? au point de départ; en s'approchant de 7, @ va en diminuant et 6 s'ap- proche de 5 - A l’autre côté de 75 9 s'approche de plus en plus de a—&, & étant une petite quantité > 0. On trouve done pour les valeurs du radical les variations indiquées par le chemin supérieur de la fig. 9. 2. On aura avec Rt led — on). Wate gies RUP] V0", = Voe 7; on revient done au chemin symétrique dans le demi-plan inférieur. c) La différence des racines se comporte de nianiere analogue par rapport au passage à travers J’, On trouve selon le signe de & un chemin situé dans le demi-plan supérieur ou inférieur de l'argu- ment, équivalent pour «=0 au quart d'un circuit entourant l'origine. 9. Etude d'un argument particulier. Prenons encore la fonction algébrique suivante: T q- d dh NT. où en disposant convenablement le signe de e nous avons obtenu que la valeur du radical reste toujours dans le premier quadrant de son champ complexe. L'expression q ne s'annule sur I qu'à condition que Demo > D V6 étant réel et > 0 au voisinage de Z. Selon le signe de P q s'an- nule donc du côté négatif ou positif de Q, soit pour le domaine I’, de I. La fig. 10 (Pl. III) représente dans le champ de la variable com-. u « * 4 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 35 plexe 4 le résultat d'un circuit fait autour de la courbe de contact, dans une section arbitraire coupant 1’ et Z5. On est parti, dans la fig. 10a, du point 0 avec 6, — 0 et q = 95, 2 0, ce point appartenant par hypothèse au côté positif de Q. On observe que g = 0 sur I, = 6(0) 0 sur 75, done 0 — 9-0, entre L, et I5. Avec une partie imaginaire trés petite et positive on se déplace donc de manière que la partie réelle va en diminuant jusqu'au voisinage de Z', où à peu près q = 0. Franchissons J'en ad; après la traversée on a (pour e — 0) g<0; on a done fait un demi-circuit dans le demi- plan supérieur des g. A l'intérieur de Z' l'argument reste à peu pres reel et négatif méme au dela de T_ jusqu’ en 11 où V5',0, devient imaginaire. On a donc les circonstances qui se traduisent par le chemin complexe de la fig. 10 b Sp 3. Les fonctions algébriques dans le cas du plan tangent double. 10. Nous avons insisté, aux n? 11—13 du chapitre I, sur le eas singulier d'un point double conique. Soit «, f, 1, 6 le point singulier et mettons a + a! ete; au lieu de a... ete; nous avons 14) qos EET et nous trouvons au voisinage du point double le développement: [AC TORT Ne ie er fad ARD OR so DU Pr oM AS : = 0. 36 NILS ZEILON, Les termes de deuxième ordre nous donnent done l'équation du cône tangent à f en (ae, B, 6). Par rapport à ces termes l'analyse du eas actuel n'est que celle du point ordinaire où l'on a tenu compte des relations 14); il n'y a done rien de nouveau en matière de calcul. Il s'agit de répéter l'analyse du n° 4, avec: ex + By tz ou. (x, y, 2) étant voisin du plan double P; ; 5 dont l'équation s’eerit, soit 15) Z — az 4 fly 4- 24-00 — 0, soit aussi: 15!) Cap Y alu = Os De plus l'introduction des relations 14) dans nos formules du n° 4 nous donne de suite pour 6’ l'équation: F) dg = RZ? + 2020 + o^ = 0 avec Y= He. y. ou) il = = F) — arf — Fifi) + Y fafa — haha) + Uf? — Faa) 1 2 JU p (fi! — fuhr) Puisque, pour les points differents de Pags » on developpe toujours au voisinage du même point «, f, à, les expressions F), F') restent valables encore que l'on fait varier (x, y, z, u) arbitrairement dans le plan double. L’equation F) fait voir les deux racines ó' qui pour un point arbitraire de Z — 0 coincident dans leur valeur commune zéro pour changer de signe par le passage à travers le plan double. Seulement l'équation devient illusoire au voisinage de 16) $-0, Z=0. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 37 La disparition de 9» indique la nécessité de procéder à des termes d'ordre supérieur, les points de la courbe 16) correspondant au moins à trois racines 6’ qui se confondent. On conclut, en se reportant aux considérations géométriques du chapitre I que les équations 16) nous donnent la courbe de contact © de P55, avec 47, L'expression de P fait retrouver le fait bien connu que © esf wne conique dessinée dans le plan double, laquelle divise ce plan en deux domaines à proprietes différentes. Appelons le domaine intérieur celui vers lequel © tourne son côté concave. Il importe d'insister sur le signe de la fonction Ÿ dans les deux domaines. Pour cela rappelons que G correspond par dualité au cône tan- gent mené par le point double «, f, 6. On doit done retrouver son équation en éliminant «', f', 6! entre les équations: x y 2 17) fle', p^, à!) = MJ af = af = af ? a'z + Bly + óu = 0, da’ op 00’ dont la derniere est équivalente à Z — 0. Or, ces équations établissent une correspondance réciproque entre le cóne f dans lespace à trois dimensions (e', B', à' et un autre cône dans l'espace des (x, y, u), dont l'équation doit s’écrire »-o. Les équations 17) sont équivalentes à la condition que le diseriminant Ag de Bin OU CT 18) cens cross o) 0 anc s'annule. Pour former ce diseriminant il suffit de se reporter aux formules du n? 4 en y introduisant pm 0: (gm On trouve immédiatement Q — R=0 et le discriminant se réduit bien à 9$. 38 NILS ZEILON, Considérons maintenant un point de l'espace (x, y, u) distinct du cône 9). Les racines p’ de 18) sont alors réelles ou complexes selon que $20. Or, au point de vue géométrique, nous savons que des valeurs réelles ou complexes de f correspondent à des plans tangents menés par le vecteur (x, y, u) au cône 3», plans réels ou imaginaires selon que (x, y, u) se trouve du côte convexe ou concave du cône. De là cette conclusion: La fonction Hessienne P du plan double prend des valeurs, néga- lives dans le domaine intérieur et positives dans le domaine extérieur. 11. Pour décider de la réalité des racines de F) on formera le diseriminant A = 7 (9 — 99); qui se calcule facilement d’après le n° 4. Il suffit de noter que le second facteur est une expression homogène de deuxième ordre qui ne contient ni z ni #. Dans l'espace u l'équation 19) SR 0 represente done deux plans passant par l'axe des z, lesquels, par une analyse facile, coupent le plan double le long de deux tangentes menées à la eonique G. Soit par ex. G une ellipse; les deux tangentes découpent done dans le plan double un certain angle contenant l'ellipse G; au delà de cet angle les racines 6° deviennent imaginaires". L'artifice du n° 9 servira enfin à élucider la connexion des ra- eines a travers le plan Z — 0. Par l'introduction de l'imaginaire ie on écrira au lieu de F) pes) Ap = RZ? + icAp + 939! + Po". 1 On vérifie immédiatement cette conclusion par la construction géométrique. On reconnait d'ailleurs que les deux tangentes dessinées dans De, 5,3 par 19) et qui limitent la partie plane de J’) sont des génératices singulières de ce cône résultant en effet chacune de la fusion de deux arêtes de rebroussement. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 39 8 4. Développements au voisinage d'une tangente d'inflexion et d'une courbe parabolique. 12. L'analyse que nous venons de faire, n'est au fond que l'application de la théorie élémentaire des surfaces de deuxième ordre. Nos resultats, suffisants pour les généralités, deviennent illusoires s'il arrive que le coefficient de 6” dans l'équation B', savoir la Hessienne A, s'annule. I faudra alors procéder jusqu'aux termes de troisième ordre. Nous avons déjà signalé deux cas importants qui exigent une telle discussion plus complète. Il nous suffira d'illustrer le procédé en choisissant des circonstances quelque peu particulières. Soit d'abord la surface des tangentes d'inflexion; une aréte de rebroussement de 1% passant par (x, y, 2) con respond à un point d'inflexion de la pte E as Lot net n e QS 20) I = (0 a à!) Am p ap’ aE |2 9 Le ap” * [gf ap" d . c. à. d. a la condition que pour x' = y' = z/—0, $'- 0 on ait gf op” = 0. Ce coefficient est done de premier ordre par rapport aux petites quan- tités z', ete. De plus on trouve en développant: 1 07 Ld des utem en ah — uf) rad". Ae +.. 21) — ZZ + wö' + v6” dp" ‘eh yf) + à Ago 4- . . 1) — 6 Eté +. 40 Nits ZEILON, En négligeant d'abord le terme en f^ on trouve un discriminant de la forme: 1 [ 22) Ag = 422+ nó! + vå”) + (0 + ré), qui égalé à zéro nous donne le cône Ty. Ici le coefficient u est fini à l'exception du voisinage de I où il s'annule comme z'f—wuf; o est du premier ordre et » et r sont finis. Au voisinage de J'y on conclut done que aie To) est de l’ordre des x’, y' etc., et on satisfera à 20) en prenant f^ de l'ordre de f(0, 6’), c. à. d. f' de l'ordre de (05:950) 5. en vertu de 22). Par cette assomption les termes af) 9° la) 10, 8), P. BY. Gi deviennent tous de l'ordre 5 par rapport aux petites quantités, tandis que D| co le terme en f" devient de l'ordre 2. L’omission faite est done ad- missible. On tire de 22) que, pour $' =, = gi y27 ce qui, dans le plan des Z, ce, nous donne bien une courbe au point d'arrêt Z = 6 = 0. Posons zZ 1 FO oL = 6 N nous aurons au lieu de 22), EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 41 on) (COS MES EC HOT avec ne NO V2T 20 LE 3 (22 — =) par a le Es e 13. Retenons jusqu'à la 3'"* puissance de 6” et calculons le discriminant de 24). On trouve une expression de la forme: où D est une fonction entiere rationelle des £, 7, qui s'annule pour S=-n=0. Or § est toujours infiniment petit; il s'ensuit que D ne sannule que pour de tres petites valeurs de 7, c. à. d. il faut que uw, soit xf,— wf, soit très petit. On se trouve done au voisinage de Ty et par conséquent | nous donne l'équation de la caractéristique. Pour une valeur finie de 7 on trouve encore deux racines égales quand : A b 2 AG. 25) S= 0, soit 2Z = Pert Or l'équation 22) représente dans le plan des Z , o une courbe, laquelle en premiere approximation s'obtient en faisant subir à la courbe 23) une translation proportionelle à ö’ dirigée la long de la droite 25); en effet c'est une courbe parallèle à 23) ayant un point d'arrêt en L'équation 25) nous donne done bien le lieu des arétes de rebrousse- ment; c'est en première approximation l'équation du plan tangent de la surface Is. Pour les différentes valeurs de 6’ l'équation 22) dessine dans le plan des Z, o une famille de courbes dont les points d'arrét décou- pent sur la droite 25) des longueurs proportionelles aux valeurs 6’ corres- pondantes. Par un point arbitraire du plan passent deux courbes de Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups, Ser. 4, Vol. 5. N. 3. Impr. “/12 1919. 6 42 Nits ZEILON, la famille, déterminant deux valeurs 6’ qui évidemment sont aux signes égaux ou contraires selon que le point se trouve à l'extérieur ou à l'intérieur de l'angle de rebroussement de la courbe 23) au point d'arrét à l'origine. Les équations simultanées 57:6; 8: dees) =a représentent le contact entre 75 et P. Il suffit de se reporter à l'équa- tion 24) pour reconnaitre qu'on a alors, comme il faut bien, (rois racines o" égales et nulles. Pour achever la discussion des branches 6" il faut résoudre l'équation; par une discussion facile on retrouvera pour la connexion des racines autour de la courbe de contact des resultats déjà déduits par des considérations géométriques. 14. Une remarque importante concerne les racines f! de 20) au voisinage du cône J'y. Négligeons toujours le terme en f^; et posons Preuve Er rete. la formule de CARDANI nous donne: P 1 n e = = — je B co! E V4g) = — gig 9609" + VAR) ap" dp” Au voisinage de Jj, c. à. d. pour 5 = 0, 24) nous a fait voir que Ag est (2) ue de l'ordre 6”; il s'ensuit que w et v sont de l'ordre yo". L'aréte de rebroussement passant par le point correspondant appartient au cóne o : 5 ; 6'=0, 6 =——, valeur à' qui nous donne bien trois valeurs f con- T ? fondues. Formons, au voisinage de ó" = 0, la fonction: 0 Ne) À i; 5 pour Pepe urv: eee EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 43 On trouve immédiatement op [3 ap” (£^, DE B^) (B^, A f^.) gr ET 4g étant de l'ordre 6”, w — v de l'ordre Vs” on a donc une fonction ; 7 B " 112 qui pour 6 — 0 s’annule de l'ordre à 3. 15. : Séparation des racines autour d'une courbe parabolique. | Soit toujours cette courbe due au point conique réel du n* 10, point aux coordonnées « = f'-— 4 = 0. Nous mettons, après une transformation homographique convenable, 26) 2f(o^, B', 8) = a" 4- B" — 62+ f? (s^, B', 4. Considérons le voisinage d'une génératrice particulière du cône tangent 27) a? + p^ = o^? = je soit 21) a’ — ÿ cos p, B' = sin @ et introduisons les relations 27') dans les termes f® de 3""* ordre. Il vient 26") 2f = 0 = a? + f? — 9” — us” où 4 ne dépend que de langle y d'un plan tournant autour de l'axe M des 0 En introduisant (i = py + Z+ d'u a 44 NILS ZEILON, on observe que la substitution de — x, — à x, y respectivement va changer, pour Z, u, ó' fixes, a’, B' en — «', — f' respectivement, e. à. d. p en py+n, ce qui en général nous donnera une valeur diffe- rente de «. L'équation 26°") ne reste done valable qu'à condition que les x, y soient à signes déterminés, Cela posé on trouve pour / le discriminant: | 28) Ag = » (6° . u (x? + y^) — 6” (u? — x? — y?) — 26'uZ — Z?) de manière que l'équation 29) aye) nous donne trois racines zero pour 30) Z=0, w-—23—y = 0. La courbe parabolique 30) est donc une ellipse, section du plan double par un cylindre circulaire. Pour de petites valeurs de (uw? — x? — y?) on satisfera à 29) en supposant que 6’ soit de l'ordre de (u? — x? — y?) et Z de l'ordre de (u? — x? — y?)’. Dans l'expression entre crochets de 28) tous les termes sont alors de l'ordre de (u? — x? — y? à l'exception du terme Z? qui devient d'ordre supérieur. Aprés l' omission de ce terme l'equation 29) a done une racine Dans une section telle que celle de la fig. 6, cette racine correspond au voisinage de Q, à la tangente touchant I pres de C,; la figure confirme le fait que cette tangente donne une valeur ó' infiniment petite et d'ordre supérieur relativement aux 95, 0’, des tangentes qui touchent prés de C,. Ainsi l'équation DENT QUE — 7 — y 202 = 2) (0 TTC ET utt 2) T nous donne: d, we r V (e EE) SZ): 31) 9", zi 2u (x? ae y) Au? (a? + pP)? E EQUATIONS-AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 45 ces valeurs se confondent sur la caractéristique dont l'équation au voisinage de la courbe parabolique s'écrit ue — x — y) jp nia 32) p< ee Lc Suu (a + y) Suw On écrira encore, au voisinage de r =, | 2uu 32’) Z = — (u -— ry équation donnant, dans le demi-plan négatif d'une section normale au plan double, deux arcs de parabole dont, par la remarque faite, l'un seulement fournit la section cherchée de I. La coefficient de 0? en 28) nous donne la fonction Hessienne Ÿ du plan double, fonction négative pour l'intérieur de l’ellipse ©, Peel eu ne Caleulons, par comparaison, la fonction 5 HET) EEE Tao Uo x? zi? aux points avoisinants de I’. L'expression de f(? nous donne 959 a op? 90° 3 x? E 2 92/ (0) Qf a) ud (a? de y) EX (u? EON y) = NLIS FRE " OU 5 , où il faut introduire pour 0” la valeur commune que prennent les ra- eines 31) sur /' savoir : 33) dm Done 46 NILS ZEILON, H (f, 9 ja fA) SP ER Les fonctions Ÿ et P sont donc au voisinage de la courbe ($' de signes contraires; le signe de P étant d'ailleurs fixé par la nature de 1, néces- sairement à eourbure hyperbolique à l'intérieur et à courbure elliptique à l'extérieur du cylindre circulaire. On tire de 33) \/ 9 D a dr W — 3? — f u U one ay x d'où, d’après la formule II, du n° 1 . 0 aM KY Er 2000 + y?) Sur la courbe ©, z' et H disparaissent simultanément, mais z* s'annule d'ordre supérieur de manière que $ s'annule. © est done bien une courbe parabolique, comme on vérifie d'ailleurs immédiatement en par- tant de l'equation 32^) de I. Par la formule 31) avec la valeur zéro pour 9, la séparation des branches est achevée. On aura toujours d, = d, sur I’ tandis que pour Z — 0 on aura selon que #— x’ — 3 Z0. La racine 0’, est done adjointe au domaine intérieur du plan double, et 0’, remplit la méme fonction pour le domaine éxtérieur. Tout cela s'accorde avec les conditions au point C, telles que nous les avons représentées dans la fig. 6. 8 5. Préliminaires sur les intégrales des fonctions algébriques appartenant à la surface f. 16. On s'attendra, par analogie avec les équations à trois dimen- sions, à ce que l'expression fondamentale F de l'introduction se ré- duise à certaines intégrales abéliennes possédant, dans l’espace des EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 47 (x, y, 2, u), la caractéristique comme cône singulier, Nous discutons iei préliminairement quelques cas typiques élémentaires, Prenons, dans la notation du n° 4, Of 1 / V 7 I NM gau dm da = 7 Ci (8,9) EB) avec Ag = P(d — d”;) (0 — 9^), E o oo oss » où P par le facteur positi => differe de la Hessienne H de f(a, B, 9) en («, 5, 9). Nous considérons les deux intégrales que voici: E | dd” E JEN == dre do —— (93-9 y Va Ecrivons de nouveau 0 au lieu de 9 + 0^; nous avons dà LATE EUR E 1 . 20,0, — (0, + 0;) 9 + 20,0, ve — d;) (9 — 9) | VPVoa, ^ | ae dà OE ne BP: OV ve — = ) (9 — J») VP. à, Oy E Ó à, +d, jm 20,0, = (SE 0,) 9 de 2/00, V(d — 9) (d — à) 2Vd,0, e ö On suppose que les integrales soient étendues le long de chemins aboutissant dans lun des points de branchement. Soit p. ex. un chemin allant de 6, jusqu'à un point arbitraire a; on est ramené à 48 Nits ZEILON, | 26,6,— als; Fö) + 2V80.V(a — 6) (a — &i) Sg AM nn ee — RD, V PY 6,02 al à, 27 0i) Le choix de la valeur a u'influe pas sur la singularité logarithmique pour ó, —ó,. En effet, on constate de suite que l'integrale étendue entre deux points a, b, tous les deux distincts de 6, et de 6,, reste régu- liere méme pour 6,=6,. Soit done particulièrement 4 = ; nous aurons: lo ài + 6: = 266, A= Vo,o, P log à s et pour la méme raison: 5 + PERO B VP is 1 | ÖL är Ó5 loc 0; 3F Ös > 4 J 010» ; "E 0; 0» | 2 (6,62)? E 0 CX 0» 17. Soit d'abord la valeur commune à de 6,, 6, distincte de zeros les intégrales ci-dessus n'ont, dans l'espace des x, y, 2, d'autre singularité que linfinité logarithmique en à, = à, apparaissant quand (x. y 2) coïncide avec le point (Z 5:95 2)» de 4. On écrit done: fo) ài 4:6. se 2V6) 2 ] o V6, ae Vo, l 3 i — 6, 1 o 0; EE: Ós A BER Vas Va ^ 29 mn), © 46 Reportons-nous à la discussion du n° 8 pour la marche dans le champ complexe de l’argument 6, —6,. Par la manière dont l'imaginaire é entre dans nos équations on reconnait que les 6,, 6, ont de petites parties imaginaires à signes contraires dans le «domaine réel» extérieur à I’. Stipulons que le point 6, choisi comme limite d'intégration soit celui situé dans le demi-plan complexe positif. L'argument 6, — 6, suivra alors l'un des deux chemins dessinés dans la fig. 9; le choix entre les deux étant fixé par le signe de ; ei. EQUA'TIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 49 Supposons que ce soit le chemin supérieur; nous trouvons, dans la limite de « = 0, » 1 . dh ni A= — EUR (08 "3 +4) soit 1 à; — 65 A = M ] _ SS selon que (x, y, 2), voisin de (x, y, 2), est intérieur ou extérieur a T. Quant à la réalité de nos expressions le résultat diffère selon la nature du point x, y, z. a) Soit (c, y, 2) un point à courbure elliptique de T; la Hes- sienne H est alors négative et VP a une valeur imaginaire pure. ll s'ensuit que le passage à travers un point du domaine convexe de la caractéristique fait subir à l'intégrale A un saut brusque réel dont la grandeur s'exprime algébriquement: TT 43 — P b) Dans un point à courbure hyperbolique, VP sera au contraire réel; on aura done une infinité logarithmique réelle. Soit D Tw. y) =0 l'équation approximée de la caractéristique, et soit au voisinage de (x, y, 2) Z—I(z,y)-6& on trouve que par le passage à travers un point aux courbures opposées de T Pintégrale A devient infinie comme ———— ars Eg [DOES , A , E § denotant la distance de (x', y', 2) à I. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol 5. N:o 3. Impr. */12 1919. - 50 NILS ZEILON, Les conclusions subsistent sans altération essentielle pour l'inté- 1 r = par =. 18. Le eas de à — 0 se complique par l'intervention d'un cóne tangent particulier savoir /5 = I, qui devient aussi une surface singu- liere pour nos intégrales. En effet, au voisinage de ce cóne on a tou- jours une racine 6’, soit ó', voisine de zéro de maniere que le facteur 1 V66 prend des valeurs infiniment grandes. Soit d'abord un point z', y', 2 voisin de J) mais à distance finie de J’; on écrit 4g — 2Qo' +R, grale B; on n'aura évidemment qu'à remplacer le facteu ! de manière que À va dégénérer en ao b dö a da à'Y2Qy ó'— Öh eZ y2 96, à Ecrivons, pour le voisinage de /;, c. à. d. pour les valeurs trés petites de À, conformément aux formules C), D) du n° 4, AZ T(x', 7H sre R= Ap CE nous tirons que, au passage à travers Iy-o, l'intégrale A devient algé- briquement infinie de l'ordre 7t VS &, denotant la distance de z', y', 2 à 1}. Par le méme raisonnement on voit que dans les circonstances analogues, lintégrale B devient infinie de l'ordre zt VE à EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 51 19. Revenons maintenant aux circonstances près de Fr. Il s'agit de la manière dont se comporte l'intégrale A quand on franchit T par un circuit complet autour de la courbe C de contact. Nous savons d’après la fig. 10b qu'un tel circuit correspond pour l'argument oe à deux chemins identiques décrits dans les directions contraires dans le premier quadrant des valeurs complexes, et pour l'argument 0, + 0, — 20,9, à une courbe fermée située tout entière dans le demi-plan complexe supérieur. On revient done au point de départ avec la méme déter- mination du logarithme. L'intégrale A reste uniforme dans l'espace des Eo y; 2, u). Partons done d'un point situé entre I, et I’, soit cóté positif de la surface Q. On franchit I en faisant un demi-circuit autour de la valeur nulle de l'expression q — 0, + 0, — 2y0,0, tandis que 0, — 0, décrit le quart d'un cireuit dans le demi-plan positif. C'est pourquoi la différence log (3, + 6, — y9,9;) — log (9, — 93) saugmente du quart de la période: i 4 9 la variation se faisant dans le sens positif pour les deux arguments. Apres le trajet à l'intérieur de 7' on franchit cette surface de nouveau du coté négatif de Q; le premier argument reste alors fini et le second déerit de nouveau le méme chemin qu'auparavant mais dans le sens inverse en allant de valeurs imaginaires et positives à des valeurs 52 , Nirs ZEILON, réelles positives. La somme s'augmente done encore du quart de pé- À mM x : Cor riode j-. Finalement, aprés la traversée de J’, du côté négatif de Q, on aura un second demi-circuit dans le demi-plan supérieur des q lequel réduit la premiere integrale de la demi-période 5 , sans changer l'autre intégrale, de maniere qu'on revient bien à la valeur initiale au point de départ. Puisque, au voisinage de J’, on a toujours, dd, > 0, on a ainsi au passage de I’ des discontinuités logarithmiques, qui dans le eas d'une courbure elliptique nous donnent des sauts brusques algé- briques réels. Seulement ces sauts se prennent aux deux côtés de C dans les directions contraires, ou, si l'on veut, tous les deux dans la direction precisée par un sens de rotation autour de C. On arrive ainsi avee des déterminations différentes du loga- rithme dans les points voisins de Z,, selon que l'on se trouve à l'un ou l'autre côté de C, résultat qui s'accorde avec la maniere dont se comporte le logarithme à l'extérieur du cône singulier. On a donc, pour le eas d'un domaine convexe de J, obtenu larrangement qui suit. A l'intérieur de I’, on a Vd,0, réel et de ne reste autre partie réelle' que la fonction discontinue composée de differentes fractions de la période algébrique. Traversant J’, avec les infinités algébriques différentes correspondant à y90j9; = 0 on arrive aux valeurs réelles de D TES 0? réelle d'un logarithme, à l'argument complexe, qui par un demi-circuit dans ce domaine extérieur s'augmente d'une demi-periode imaginaire. l'intégrale s'exprime donc, à l'extérieur de T,, au moyen de la partie l'l'argument q du logarithme étant, dans ce domaine, ou réel ou imaginaire pur. q , , EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 53 On revient toujours à ce logarithme réel dans le domaine con- sidéré. En discutant ci-dessus les distances finies de I le côte exte- 2 : L ; - rieur de I, correspond à 9, < 0; avec ——- réel nous aurons comme partie Va reelle de l'intégrale un logarithme réel infiniment petit au voisinage uc. T,. 20. Pour un point hyperbolique de /, le facteur S yo, VP étant réel, on trouve à l'intérieur de T° le logarithme réel ew 1 ios oy Wee Opa: LI à largument réel et aux périodes imaginaires. On retrouve done sur J’ des infinités réelles logarithmiques. Or, en franchissant J), l'argument devient complexe, et le facteur du logarithme devient imaginaire. Il nous reste done comme partie réelle un are cot reel par la variation duquel on arrive à des discontinuités algébriques sur I, différant aux deux côtés de C par la demi-période (infiniment grande). Notons encore la maniére dont se comporte le logarithme réel quand on s’approche de I, du côté intérieur. Supposons qu'on fasse tendre d, vers zéro avec d,==0; on aura | 9, +0, — 2y0,0, 1 9, D N = N ET Em —— ] 4 1 ET DD 2 2 ’ y9,9, 108 oo, yd,d ES | V3) lig expression qui pour 0, = 0 tend vers une valeur finie. 54 NILS ZEILON, Finalement, pour les singularités réelles au passage de I, Yar- rangement diffère selon la position par rapport à C. Soit, 0, = 9, + & on constate que l'un cóté de € correspond à 0,-- d,— 20,0, = 0. c. à. d. Yo, —y0, = 0 et l'autre côte à J, + 0, — 20,0, 2-0, 0, —0, — 0 — Ya +ye, = 0. 2 On trouve donc une infinité de l'ordre 1 ——— |] 5 2.5; A 08 5 selon que l'on se trouve de l'un ou de l'autre côté de la courbe de contact. Remarquons que beaucoup des résultats ci-dessus se laissent prédire sans l'artifice choisi pour la détermination des branches. Con- sidérons par ex. la fonction ! 9, + 0, — 2y0,0, IDE congue mg à l'extérieur de 7°. L'expression tend vers loser) pour d,= 0, c. à. d. pour la partie de 7, à laquelle 0, est la racine adjointe, et vers log (— 1) = zi quand la racine adjointe s'appelle 0). 21. La discussion de l'intégrale B) s'achève d’après les mêmes principes. La différence consiste dans l'apparition de la singularité algébrique il À =, VP EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 55 infinite du premier ordre, réelle seulement dans le cas d'une courbure hyperbolique, et dans la multiplication du terme logarithmique par le facteur OF SEE 010, Ce facteur a l'effet de supprimer le changement de signe à travers C. En effet, par ce passage le facteur change lui-méme de signe et renverse de nouveau le sens dans lequel se présentent les discon- tinuites. 22. Ajoutons un mot sur les circonstances relatives à la sur- face des tangentes d'inflexion. Nous avons vu au n° 14 que afi) pe ax s'annule alors de l'ordre à'3; pour l'étude de pe on revient done a l'intégrale di qui reste finie. Il s’ensuit que les intégrales abeliennes de la courbe f(e) restent régulières dans les points de la surface Is. ova Acta Heg. Soc. Sc. Ups. N. Zeilon. arene, 25, Wao We, NG SH Fig 4. JE Nova Acta Heg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4 Vol B. N. 3. PL. H: Po >. EN en DD SES NL Porc d AA RRD + 4 "Ld "ut. An Pr aM WP So p 2 Bow ETE SEA XC 24 EN > V > A \ \ ET Se » UM l— iom wey Fig. 5. ccm ~ ANS ERN urs M ~~ M. + I Fig. 6. N. Zeilon. 36 200€ Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4 Vol B. N. 3. 'q 0r "Pur ‘6 “bu o = 0» Dev ME e Ti 2bv rid = 0cocs We as Cr di ta E +p N Y / (TS . 04d pm > . al ea un 0-y 'S byg "4 bug N. Zeilon. NOVA ACTA REGIAE SOCIETATIS SCIENTIARUM UPSALIENSIS SER. IV. VOL. 5. N:o 4. SUR LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS BR LE PROBLEME OPTIQUE DES MILIEUX BIREFRINGENTS PAR NILS ZEILON Deuxieme Partie (PRESENTE A LA SOCIÉTÉ ROYALE DES Sciences D'Ursara LE 4 FEVRIER 1921) UPPSALA EDV. BERLINGS BOKTRYCKERI A.-B. 1921. Chapitre III. Les singularités de l'intégrale fondamentale. UN — Application du calcul des résidus aux dérivées d'ordre n— 3. 1. La première partie du présent ouvrage a fourni des preli- minaires nécessaires d'une nature algebrico-geometrique. L’artifice décrit au n° S, chapitre IL, servira maintenant à constituer une mé- thode de sommation de l'expression divergente ]bis ET: 00 1 | | gr By +72+6u) Er BGB) de dp dy do . — 00 Ainsi nous partons de la définition F=lim F,, e=0 Bann 1 s eitex+By+y2+0u) pu — ee AGO e gr 5 4 (f(a; B, 7, 0) + te") DOE — 00 Le calcul se rattache le plus convenablement aux dérivées de cette expression de l'ordre n 3 par rapport à x, y, etc.; ce sont là comme on le vérifie aisément des fonctions homogènes d'ordre — 1. Soit done | CUP A MAL pu = "a DANA Ew dy” de’ du : Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. */s 1921. 1 2 Nits ZEILON, une combinaison linéaire arbitraire des dérivées d'ordre » — 3, à coef- ficients constants; nous partons de 3 — 1: Fg = lim us n—3 £20 +0 = 1 apr) (ars p y, 0) E A odd : M HE | | | | Daran expression qui se prête immédiatement à l'application du caleul des résidus, Il semblerait tout d'abord assez naturel de définir une valeur principale de l'expression primordiale divergente en modifiant insen- siblement les chemins d'intégration de maniere à éviter les zéros du dénominateur f. Mais on rencontrerait là cette difficulté que pour arri- ver à un résultat correct et bien défini il faut essentiellement calculer au moyen d'un procédé de limite dont on puisse facilement pénétrer la portée algébrique et qui soit sans ambiguïté, c. à. d. tel qu'il ne se modifie pas insensiblement pendant l'exéeution du calcul. C’est pour cela qu'on a préféré projeter les zéros de f dans le domaine com- plexe d'une manière absolument fixée. Toutefois il faut observer que la convergence de l'expression II n'est pas encore assurée, vu le fait que le domaine d'intégration con- tient le zéro a=P=y=d0=0 ^ point multiple d'ordre n. Seulement cette singularité, étant ponctuelle, ne fait aucune difficulté. Il suffit, comme dans les cas analogues des équations d'un nombre moindre de variables!, de former un certain terme de correction, solution de l'équation sans second membre, lequel ajouté à II donne une expression convergente, permettant le calcul au moyen des procédés ordinaires. Ce terme correctionnel ne paraitra plus après l'application du théorème des résidus, et en nous référant aux dits cas analogues nous sommes en droit de nous dispenser de donner ici son expression explicite, son existence seule étant admise implicitement. |. L'intégrale II se traite d'abord comme l'expression correspon- dante dans la théorie des équations à trois variables. Remplacons go 70 ! Voir: Les intégrales fondamentales des équations à caractéristique réelle, ete. Arkiv f, Matematik, Stockholm 1913, EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 3 par ay, By, Ó respectivement; apres une transformation facile il vient 00 -Foo + oo + + 0 ca Es a | EN Un esc mea zu ij fle, B; Dra ana coo +» 0 +n ‚n—3) y 250 d "ee (e , E TE 2 eirtextßytztöu) dy dp dy dà FR QE DO Pour avoir la partie réelle, on fournit le résultat désiré au moyen d'une seule intégrale réelle pure par la substitution de x | E : FER de manière-à obtenir l'expression i D ca ra -o +00 | )(n—3) 3 ) ET = | | E ale: Bs MOL P. JE y(ax + By + 2 + 0u)dadpdy dd 2. Exécutons maintenant l'intégration en «, et supposons d’abord que Ga Or Pour des valeurs fixes de /?, d on aura certaines racines, soit de 2) f+ie=0, soit de 2!) f—ie=0, lesquelles deviennent en partie réelles pour « = 0, tandis que les autres restent complexes et se divisent en paires conjuguees. 4 NILS ZEILON, Soit d'abord e, une racine de 2), choisie à partie imaginaire positive pour des valeurs particulières de f, 0, et considérons—la comme fonetion algébrique de f en tenant 0 arbitraire mais fixe. L'introduction de l'imaginaire ie a effectué que fıle,) ne disparait plus pour des valeurs réelles de f. ll s'ensuit done que les diverses racines, solutions de 2) ou de 2’), restent des branches “distinctes dans tout le domaine réel des f£, et qu'en particulier elles conservent des parties imaginaires de signes invariables, tant que « reste distinct de zéro. Il importe de noter ce qui résulte des «,, solutions de 2), et des a,, solutions de 2’), quand on fait marcher e vers zéro, par rapport aux diverses branches de la fonction algébrique @ définie par 3) f(a, B, d)=0. Pour cela, considérons le voisinage d’un point de branchement, réel pour « — 0. Supposons que deux racines de 3) deviennent égales à a pour f = B(d); on aura un développement de la forme: 1 fe d fuc reus =U) Al f, et g s'annulant pour f = f, de manière que edes eee pete tht ES Sa Ce ie um YA + 2ifiie 11 11 Fixons les signes de manière à prendre les racines à partie ima- ginaire positive. Une discussion analogue à celle du n° 8, montre que parmi les quatre determinations possibles les deux que voici EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, — 5 donnent le signe désiré. En faisant passer f par la valeur f, de maniere que À passe de valeurs positives à des valeurs négatives, on reconnait, p. ex. pour / > 0, que des deux radicaux odio. p YA + 2ifie, pom YA — 2ifise le premier, en se tenant toujours dans le premier quadrant de ses valeurs complexes, passe de valeurs à peu près réelles et positives à des va- leurs à peu prés imaginaires positives. Le second, au contraire, restera toujours dans le deuxième quadrant en allant de valeurs à peu près réelles négatives à des valeurs voisines de l'axe imaginaire positif. On en conclut que les racines @,, &,, pour e = 0, se compor- tent différemment selon que l'on se trouve de l'un ou de l'autre cóté du point de branchement. Soit d'abord le côté réel; om y retrouve en a,, a, deux branches différentes de la fonction algébrique a, donnant au voisinage de f| — B des signes différents à file, P. 9): en effet, pour «= 0 file, , B, 9) — —YA, fil, B, 9) = +VA. Au contraire, du côté complexe du point de branchement les a,, e, devien- nent identiques, tous les deux fournissant celle des deux branches « conjuguées qui est à partie imaginaire positive. Après cette digression, revenons à l'intégration de l'expression 1), exécutée par rapport à e autour des demi-plans supérieur ou inférieur selon le cas. On trouve des contributions du type 4) JE I 8 Iö |y N'y, B. 9) gro But 24 bu) 4- — 103 PCA Do NS vilar > p = 0) 2 E : grec t By +2+6u) ad 3 dd d / u | (Oo 5 Be, 0) 6 Nits ZEILON, permettant l'exécution immédiate de l'intégration par rapport à y et donnant: > -Foo b) y(a, , P s 2) i iie ty, B, 0) (e. + By tet ow | NY au v(o, p > à) | cmi f (0, , P. ect py + 2+ du) dp dà Les «,, a, étant, d'après ce qui précède, des branches bien définies des deux fonctions algébriques appartenant aux équations 2) et 2), on aura obtenu des formules qui permettront l'application du théorème des résidus à l'intégration par rapport à f. Integrons done 2 autour du demi-plan supérieur des f; il faudra tenir compte des points de branchement, tels que rl, B, 9) =0, f(x, B, 2) = et des póles, tels que act ßytztdu=0, ax+ pytzet+ou= A? Discutons d’abord les résidus. Pour une valeur arbitraire de 0, toute valeur f? satisfaisant à l'une ou à l'autre des équations est contu parmi les zéros des équations: 5, EE ) qe mel Aus" 3. ll importe surtout de connaître la manière dont ces zéros qui sont réels pour e= 0, se déplacent dans le domaine complexe. Soit Bi Poo the une racine quelconque; on trouve: Te + ex DON ET SE US FER CET | a rece p ge nos EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 7 Done pour ex > 0 on a obtenu un pole a partie imaginaire positive ou négative selon le signe de vff»(B^, 9) — YA’, 9), en adoptant les notations du chapitre II. Or, une branche c, quelconque, racine de 2), possède une partie imaginaire de signe constant en tout point f réel et par con- séquent aussi de ce méme signe en tout point f voisin de l'axe réel et à distance finie des points de ramification annulant ACE Slots d). Il s'ensuit que les «,, une fois determines pour un point arbi- traire réel 3, 9, restent des branches bien définies dans le domaine d'intégration réel, et il sera loisible de déformer le chemin d'intégra- tion des f dans le demi-plan complexe supérieur en évitant les points de ramification f,, tels que 6) les ue e eee et les pôles f, , racines de 7) ät + Pyret du = 0. Pour les résidus, on prendra les zéros de la fonction rationelle ra. du 8) = Bu ae ek 22 BO Le Soit une racine queleonque de 8); en vertu de EX Do. EBEN Es, Af — yf 8 Nits ZEILON, on à pour ex > 0 obtenu un pôle à partie imaginaire positive, si 9) xff? — yff? <0. Ici, quant à la branche particulière «a, choisie, la partie imaginaire a toujours retenu le méme signe en tout point fj réel et par conse- quent aussi au pôle /4, voisin de l'axe réel et à distance finie des points de branchement f,. Mais, en vertu de 7), c, et f au pôle en question possèdent des parties imaginaires de même signe ou de signes contraires selon que x et y sont de signes inverses ou égaux, Supposons que ce soit le premier eas qui ait lieu; il s'ensuit que f, n'annule l'expression 7) que pour celles des racines «, qui donnent une valeur negative à ff^. Ces conditions sont renversées pour les branches du type «,, dont les parties imaginaires, pour le même signe de /í?, sont con- traires à celles de a,. Si f, est une racine de " Za d) 6) = Puma xn = , p > 0) = te = 10 x à partie imaginaire positive, c. à. d. telle que TB REO ts Un > 0 : on est assuré que, pour zy <0, ax + By + 2 + du = 0 détermine une valeur «, à partie imaginaire positive, qui se retrouve parmi les e, correspondant à ff? 2 0. 3. Cela posé, achevons l'intégration de l'expression 1) par rap- port à «. Pour la première intégrale on aura à tenir compte (pour x20) des racines a, à partie imaginaire positive, c. à. d. de celles qui donnent une valeur négative à /f?(c,, 2, 0), et d'une manière analogue on prendra pour la deuxième intégrale les «’, qui rendent f, positif. Il. vient EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 9 : +00 +0 « 1 | VY vo, \ Be 9) ) +Byt2+6u) ; AND i ger Bu u 1 1d ly 4') B. n—3 RUE (SE Jo. EO dp c c zit | oc | U (a v9 B's 0) e» «^, r+B8y+24+6u) ee fy ddd dy; + DES B, 3). CUR en intégrant autour du demi-plan positif et négatif respectivement, L'expression 4') permettra l'intégration immédiate par rapport à y, menant à +o +00 ] v(e, , B, 9) dp dà N : Xm IDE mA coo d (Creo BY ac ou), 2 — 00 —00 où le signe + se prend maintenant selon que, pour les branches réelles, 2 M» fie, B , 9) z 0. Done, prenons la partie réelle de 1) en tenant compte aussi des « a On remplacera 5) par +0 +00 = D t WAT, 1 p : à) 10) ys n-3 . 1673 jd: S ali fil(er, p i 9) (ea: + By a E du) | = ye ar. ; OA = Mes ae | Big p ee ee l- 2-4 du u) dB dd, le signe + se référant toujours à une branche à partie imaginaire [2] D fo} positive, et par lintégration autour du demi-plan supérieur des f on obtiendra une somme des résidus aux póles voisins de l'axe réel: v6, , à) BUS CU EC mum “712 YA (Pm 9 +2 yop, : ( )) — Hd = ÿ PE yf" (B, , dy) Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. :o 4. Impr. ‘/s 1921. 2 10 NILS ZEILON, en vertu de la relation fide + f;dB = 0, et ici, pour récapituler, les ?, correspondent à nt 2o all, el, one et les 6, a - gm NE, yfio = 0 4 (a) = 0 Pour x et y de méme signe, on obtiendra une expression de méme forme avec cette difference que les f, , f, correspondent main- tenant à des &,, a, à partie imaginaire négative. L'intégrale sera done prise avec le signe négatif en méme temps que les contributions obtenues correspondent à des f,'? de signes renverses. ll s'ensuit que l'expression 11) reste toujours valable, avec cette stipulation que pour les contributions réelles à F', , 4 les branches B se prennent toujours de facon que xp KZ yf? soit positif ow négatif selom que, aw póle considéré, (e) 1 us est positif ow négatif. Dans cet énoncé on a ajouté à /j? le facteur l Xx dans le but, aisément expliqué, de rendre le théoréme indépendant du signe de x. On trouvera encore, dans le demi-plan, des póles qui restent complexes méme pour s -— 0. On aura une contribution P", , 4 de forme analogue à 11), intégrale dans laquelle il n'est évidemment plus nécessaire de retenir l'imaginaire ie. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 11 4. La discussion précedente a tenu compte des résidus de la fonction intégrée par rapport à f. En déformant tant qu'il sera possible le chemin d'intégration, il nous restera une intégrale double +a INT (NT Fy? le, 8,0) > > eee (Br) ne (Bk Se (Coe ena 5 DD fi (a,x + By + 2+ du) a +o = dd Q(x, y, 2, u, d) t ~ 16% —o0 étendue le long de lacets entourant les divers points de ramification, annulant lc, B, 9) et fila, B, 9) respectivement. Par la formule III. Hors = T + fe n—3 un ds n—3 une dérivée d'ordre n—3 est ainsi exprimée par la somme d'une intégrale abélienne simple et d'une intégrale abélienne double, dont la pre- mière est due aux périodes polaires de l'intégrale simple de troisième espèce EVE Ge OT \ ewe ence pd) 2: (lx fv (e,x + By +2 + du) Zu fy (exc + By +2 +du)) SP : L'étude des intégrales du type 7P"",, s joue un rôle important dans la théorie des fonctions algébriques à deux variables. On sait que Q(x , y, 2, uy, 0) , 12 NILS ZEILON, considère comme fonction de d, possède certains points critiques, points logarithmiques dans lesquels on a des développements de la forme 2 = o(0—0,) + e(09—9,) log (9—9.), w et o, étant holomorphes en 9, et composés par les périodes cyeli- ques de £2; ces points 0, sont des valeurs (indépendantes de z, y, z, u) pour lesquelles deux points de branchement coincident. On en tire comme résultat général que Vintegrale en 9 sera composee d'une part de lacets entourant les points critiques, la fone- tion integree différant aux deux bords par une certaine période cyclique de £2, et d'autre part de lacets autour des points de ramification 0,,, 0, annulant les dénominateurs a Erd yf, A 5. C’est, dans l'expression de F,, s, l'intégrale simple qui nous intéresse surtout. En prenant (x, y, z) voisin de /', on sait par les résultats du chapitre II, que deux points de ramification de la fonction algébrique intégrée vont en s'approchant infiniment l'un de l'autre de maniere à fournir, pour e= 0, un pôle au travers duquel le chemin d'intégration, mené entre les deux points, est pour ainsi dire forcé de passer. A cette circonstance correspondent des singularites d'une nature logarithmique, dont nous ferons l'étude approfondie dans un prochain chapitre, en nous restreignant cependant à une classe parti- culiere d'équations. Pour le cas général la presence des fonctions multiformes dans l'expression HI rend quelque peu délicate la question de savoir si l'intégrale simple épuise les singularités de 7, s; pour éviter de nous engager trop dans les difficultés de la théorie des inté- grales abeliennes doubles, nous y repondrons par la reference au chapitre IV et par la déduction, dans le prochain paragraphe, des singularités réelles de F,_, par une voie plus directe et plus élémen- taire. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 13 § 2. Les singularités de F, 3; au voisinage de la caractéristique. 6. Considérons le voisinage d'un point (x, y, z) arbitraire de I. Nous partons de l'hypothèse qu'une singularité en ce point doive provenir de ceux des éléments d'intégration qui sont voisins du point double que possède FOB, 9) en 2, y, 2, €. à. d. qui sont voisins des valeurs a, f, 0 du plan tangent par ce point. En vertu de cette hypothèse on écrira, en rete- nant, comme au n? 2, la partie réelle des expressions, mute Be E Ps UT 4694 -Roo -Roo +o +0 i 1 1 ip(a’x+ B'y4- Z-4-Ó'u A ! JAN : Kehl givle'z+B'u+Z is FOIE ar fe À, 3) — =) da'.. dà —a — co 0 — = fonction continue au voisinage de (x, y, 2). LU r 77 M. Dans la formule ainsi admise on a supposé que f(«', B', 9") se réduise au développement approximatif: 7058] ! T7 ! , > MV 1 19 fie, Ee ÖNS fe + fa xis o + 5 fuc lequel, par une transformation homographique, nous supposons main- tenant écrit dans la forme: 1 ^ ^9 | d 19 M9 Fe > p' : à") > fie xl: fap" d 170% Ar 2 ait ERE fs PT fad Jm 14 Nits ZEILON, 4 restriction peu essentielle qui servira à simplifier beaucoup nos calculs. 4 En remplacant ! Li M a, p , 0 N par ee d MN E mua RAT 14) J[ e — e où l'on a denote par K l'intégrale triple +0 gr + By + 6'u) , ile Rz ic Hz do df'dd s 1 usps ep nel nt OU Ar mE Le fa las las expression dans laquelle, d'accord avec nos formules antérieures: AA, AR): eH = ee s e Hs te = hal ps + fö t fa ue (Tala + Pie RE Pee : Quant à l'intégrale K, elle est facile à évaluer; seulement le calcul en est différent selon les signes des fi. foo, fir. ll faut dis- euter séparément les deux cas suivants: a) fits foo, fj, Sont tous les trois de méme signe, soit positifs; b) l'un deux, soit f,,, est négatif. m] i. Calcul de K. Nous partons d'une transformation linéaire | orthogonale d'un caractère bien connu. Soit: EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 15 EU E See We UR ——— : rA er 1 Cel En Qu UNE (2) Ex ch Vene T ya? + y? d =« - Ó ya? EUN. j^ - arr ae On sait que les formules ci-dessus représentent une rotation qui fait coïncider l'axe des « avec le vecteur (x, y, z). En effet: act By du = ar a? + B + 62 = a + B24 = da' dp' dö = de dfi do. La transformation ci-dessus s'applique directement au cas (a) suffira de remplacer 2H ! a [A c par -—— ete: Vf, Dans le cas (b) nous modifions la transformation par la substitution de DO Oe UU a 0I ay U respectivement. Ainsi: ; X Y ; CU a =a- — SS 5 7 Va? + y? | r yx? + y? 1 y qu yu b EM eng (b) p py / Va? + y? r Ya? + y? U EDI LE pre ó' Ya 4 Y : ] rV 16 Nits ZEILON, de manière que a'x + B'y + ó'u = ar 2 ZE pue & + o"? — "nz d- p? ET 6 da'dp'dé' = dedfidó. Les formules (b) fournissent une transformation réelle tant que r est réel. Au contraire, pour 7 imaginaire, on aura une transformation complexe, laquelle, pour «', /j', d' réels, rendra « et 9 imaginaires pures; il faudra done alors varier «, d entre +10. 8. Soit d'abord le cas (b) avec fj, <0. Posons, au lieu de a’ etc., a! p OM Vis Jae S ume nous trouvons evales+ BY +8) al dB" dd" IER pacc Hx J a! gló! a’? 7 —@ Flared 16) R= + Die en posant pour le moment x TUS : u Tr 9 HA 1 XU Wat mu mS On observe d'ailleurs, avec la notation correspondante, que B= J8l = y? a A x VE | | = - ty —-W)=--n; fialool as Lu eae uta (xi + yi 1) : il s'ensuit done que H et 7? sont de méme signe. Avant de procéder, remarquons que pour avoir l'intégrale singulière complète de l'équation (13), il faut ajouter à K lintégrale qui résulte de K par la substitution de — « à e. Or, en + co CR ) y— n len Are = ga + He p ;- — 2ie 2 faim 17) K= da'dp' dd” EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 17 le remplacement de a’, f', 0’ par —«', — f', — 0" fait reconnaitre que K est la conjuguée de K. On en conclut que l'intégrale J fournit la partie singulière désirée à condition qu'on y remplace K par la partie réelle de 2K. Cela posé, soit d'abord (x, y, 2) un point à courbure hyperbolique, de manière que H soit positif et que par conséquent Var voisin de r,, soit réel. L'application de la transformation (b) nous donne +o Ses! e""dedfaó | Y— fufssfaas "T MU Si Oe AL JE = Modifions le chemin d'intégration des d , en tenant compte des deux pôles 1 m + p? — 2 DESC ATE En vertu des considérations du n? 8, chapitre II, ces deux pôles, pour £2 0, sont situés, l'un dans le premier et l'autre dans le troisieme quadrant des d complexes. Par déformation à travers les deux autres quadrants on remplacera donc l'axe réel des 9 par l'axe imaginaire parcouru de + too à — too, de manière que +o + o» —ioo E Lis Spas ay ae e'"^dadfidó YS apri m ane Les — 0 — +10 d’où, en écrivant — id au lieu de 9: +0 +0 +0 e'""dadfidó EROS cm sul. Jes ET 03 Sr ale — 0 oo on Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. */s 1921. 3 18 Nits ZEILON, Introduisons maintenant les coordonnées polaires a — g cos 9 = 05, P = osin 9 cos p, etc. dadpdd = g? sin I dgd9dg = — e*dedgdy . Nous trouvons: "ESL. gie5ny SEES e rer — ay + De® "pneum 2n odo = een — e —ieny Lp y— FE — Ari 2i ( To rd TE 2n gto do riy Y— fisloof as 0? — # rit Die” L'intégration autour dw demi-plan supérieur complexe des e donnera un résidu provenu du póle = Vz} — ie ’ à peu pres réel et négatif, égal à — |. rı pour e=0, dont l'introduction nous donnera enfin 9n*i ————————— el "y rn fisfoofas avec la partie réelle double: 47? 18) P.R.2K = Saar sin (kr: r17) 9. Passons au point elliptique, à une valeur r, imaginaire. la même transformation, complexe dans ce cas, il vient Par EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 19 Hin +io +m edadpdd VERT fU Pr — 0? — xy? + Die? io —io oo ou en posant — ie, if au lieu de «e, f, e* * dadBdo mess — dH DR EDI PE r, étant supposé imaginaire positif. L'introduction des coordonnées polaires mènera au calcul identique avec cette différence cependant qu'un facteur i a disparu. On trouve done comme partie reelle — 4a? 19 PR AK = - — COS DA TU irsyV— TERT. Gr On remarque que, indépendamment de la réalité de »,, la partie reelle en question est fournie dans les deux cas par l'expression 4 PX 20) PUE pL. gung V1 YV — fafssfa 10. Le calcul de l'intégrale J s'achève maintenant en peu de mots. 1. r, est réel. En tenant compte des relations [far 22 etes et en introduisant la valeur 18), il vient oo E WER ”giv(Z- - (a m, - tu) + zur, n) I+I= u ng, 4n?r, Y — BLA / Le 21) 0 oo a = (+ Va ytuu)—|z|r, r 7.) € nap ——- — >= - dy c Ü / : intégrales singulières pour la valeur zéro des exposants. Or, au voi- sinage du point considéré, c. à. d. pour 20 Nits ZEILON, Z=0,x = 2, , etc. c’est, selon le signe de x, le premier ou le deuxième exposant qui s 'annule, " Soit p. ex. z 2 0; on aura approximativement ^ = M Ex a r. x 9? ^ dr > AA eS Ma or ae, SÅ Ar urbe 2 yi 1) ) n dx; t= ay; Wa" } en posant , 9, 5:3 +25 ve. Gs d. V T Tus etc. 11 uw = 0 Avec: “9 79 Pa JEL (X c as E eT. cela nous donne 22) His x (a^ ar == 025) y — 72) FER q, expression qui égalée à zéro, en tenant compte des conditions parti- culières actuelles, nous ramène à l'équation bien connue de la carac- téristique (équation I, p. 22, 1** partie). 1 Or, reportons-nous aux propriétés de l'intégrale | cos yq E dy , 0 dont (en supposant p. ex. que nous ayons retenu l'imaginaire te) il faut prendre la valeur principale!; nous trouvons qu'au voisinage de F . La . . . & l'intégrale I contient le terme singulier Be ee än? Dee: 7 riY— fufssfas Falls Y log q. Pour «0, la deuxième intégrale 7 donnera par le méme calcul le terme UNE ! Voir: Das Fundamentalintegral ete., Arkiv f. Matematik, Stockholm 1911. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 21 (n—3) £c 428? H log q, N q ayant toujours l'expression 22). 2) r, est imaginaire. L'introduction dans 14) de 20) nous donne: Jo ives fo 1 - — À = + n(n—3 | iv(Z— (tin nyt) nr) — iy 2) e x Zz | | 0 JL I = = — E = — dy + 42r, y — fufssfas 7 23) co sl 1 — — 1 — iy(4— (Gr d. uuu) n, n) | e Zz % + wy, Y * 0 expression qui, pour 20, nous mène à l'intégrale oo sin yq dy , / oe 0 égale à " ai 9 pour g 20. On trouve done, en allant des valeurs négatives de q aux valeurs positives, une discontinuité en forme d'un saut brusque algébrique. vA Or, reportons-nous aux formules du n° 5, chapitre Il. On y a /— ©. trouvé deux racines 6 réelles pour m iz aee H e ma 5 ö ap? x? xq >0 € Or ici o? PU po 358 ^3 (fas - fu^) est essentiellement positif, et par consequent le côte réel de I cor- respond à selon que 22 Nits ZEILON, 11. Les résultats ci-dessus ont été obtenus en supposant pour f un développement particulier valable au voisinage de a, 8, 6. Leur validité n'en dépend cependant pas, la Hessienne H étant invariante par rapport aux substitutions orthogonales. Nous avons donc l'éénoncé suivant: (a) En franchissant la caractéristique en un point à courbure elliptique une dérivée d'ordre m — 3 subit, en allant du côlé complexe au côlé réel, un saut brusque algébrique, de grandeur i ‚VG, 3. 3) BE = ny) selon que, au point considéré 23) x(5,9,2,u)20. (b) Au voisinage d'un point de I’ a courbure hyperbolique une telle dérivée possède une singularité logarithmique réelle de manière à y devenir infinie comme (n—3) He 4a?y H log q, pour q = 0, selon que l'une ou l'autre des inégalités 23) a lieu. 8 3. Application aux équations de deuxiéme ordre. 12. Les développements du $ précédent nous fournissent en méme temps la méthode la plus commode pour évaluer les solutions fondamentales des équations typiques de deuxième ordre. Il suffit de dériver l'équation en question par rapport à z; en égalant v^? à 1 et en admettant pour /(@, 7, 9) un développement exact de second ordre, nos formules donnent immédiatement les intégrales fondamentales EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 23 cherchées. Par une disposition convenable des coefficients nous ré- duisons.les dites équations aux trois cas typiques que voici: Q9 (0? 9? 9? 9? ig Gas. 3c Ga ay! de 287) U=y ième 9 9 - 9 E : S mem ray? | 02? T US áo 9 (0? 9? 9? 9? es 3 E 02 sz: | Oy? de? xa) Ver et évidemment, pour ces trois équations, on sera ramené aux formules du $ précédent en y introduisant a le: Z-2; f, hf o0, et puis, selon le cas: 1° cas. a fee = fae er = Dems cas. fra Ej Ss fas ar at: gem cas. fucci. —1lix-—4: Pour avoir les solutions fondamentales des diverses équations de deuxieme ordre les fonctions obtenues exigeront une dérivation par rapport à 2; seulement elles présenteront en général des singularités- qui rendront cette opération impossible au voisinage de la caracté- ristique. 13. 1% cas, L'équation est à caractéristique imaginaire; = Vrai y? Fu? 24 Nins ZEILON, est toujours réel, et l'on trouve P.R.2K = en re "TT p pur" et en introduisant en J, il vient [ro] 2 ge tere) F = Zn — In? ya? LE y? + u? y dy 0 1 z eye Vat Pee fondamentale bien connue ee es de 2a*(x? + y? + 2? + w) appartenant a l'équation 0° 0 0° 0? ss 1 dy” 2 2 ag PjU-s. 2” me cas, Le résultat va différer selon que = Ve re est réel ou imaginaire. On aura, soit An? rae yeaa Pa 2Ke = JB. fp. (4, —À— e-»Vx Ty'—w dy Va? + y? — u? dans le eas réel, soit ne NEN JB OME = Asien cos yYu? eS y? y Yu? E x? ut y? EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 25 dans l'autre cas. Done, pour on trouve: 83 00 = i go e Vay") EVE y) dy Le F m = 3 dy 4n? Yu? — x? — y? / 4 u ü ü Done on aura pour les valeurs de FP: 0 pour 4? — x? — y? «0 9 > m gg 9>0,. 2M WEI— XR z= 0 >» U—L—y? 290 — yu?--a4?— y*«2«-yu-—a?—: 1 4nyu? — x? — y? >» w*—3?*—3*»0, z«—yw?—a?—*y On a done obtenu la valeur zéro dans l’intérieur de la sphère caractéristique Co y ie Bo et en franchissant cette surface, à courbure elliptique, nous retrouvons les sauts brusques algébriques qu'exige la théorie générale. Outre ces singularités nous avons encore des singularités algébriques au passage du cylindre tangent à la sphère. L'apparition de ce cylindre singulier est due au facteur c. à. d. au facteur y en 02’ fe: Bi y.) Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. ®/s 1921. 4 26 Nits ZEILON, c'est le cone tangent à I correspondant à y = 0, ce qui évidemment revient à 9 =. Nous nous trouvons done bien au cas du n° 19, I partie, dont le résultat présent sert a verifier les conclusions. En particulier nous constatons de nouveau ce fait que le contact entre la caractéristique et le cóne tangent singulier renverse le sens dans le- quel se prennent les discontinuités: en effet le passage à travers I' au-dessous du cercle gc = qure fait augmenter la fonction PF, tandis qu'elle diminue d'une quantité correspondante au-dessus de la courbe de contact, en allant toujours, bien entendu, de l'intérieur de la sphère à l'extérieur. Vu l'importance de l'équation actuelle il n’est peut-être pas sans intérêt de confronter la fonction 7 obtenue avec les faits classi- ques de la théorie des vibrations lumineuses. On sait que KIRCHHOFF a intégré l'équation en introduisant la fonction «e(r — U — — I = ) = Vu? ae yf? 22 aux proprietés suivantes. La fonction « est partout zéro sauf pour r=u, où elle devient infinie de manière que l'intégration par rapport à r à travers cette valeur nous donne le résultat 1. Cherchons ce qui résulte de la fonction de Kirchhoff par l'intégration par rapport à z. Nous trouvons C=) 24 (Coe 7 = y? | formule dans laquelle il faut prendre le signe négatif pour æ «0. L'intégration nous donne € bo -1 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 0 pour r0 = ya We ZN d : e.a. d. une fonction identique, à un facteur numérique pres, à celle obtenue ci-dessus. 34"* cas. On trouve r = Va? Fy? — u 4n® rer P.R.2K = ————————- sin yVz? Fy? — w? y Ya? + y? — u? 4 y pour z+ y? —w>0 et DI dm ES Que ? Y us x? a. y pour PN Nee). soit par conséquent = = pivle+V Fy W) Ja, jiyla VETE) 74, i m OSS 4 ————————4 € a d; —— 2 — —— dy — 2 D E 4n? Vx? + y? — u2 7 ? j/ Ü 0 | | z -F ya? Er Ua ae E = QE ———— Ve ay ue fn ou L | "C +iVw Y y2) F= DE = Rd dy Paire 1] 7 0 | 2 = A (OM == In Vid — a? — af Ve — a? — y? 28 Nits ZEILON, selon la position par rapport au cylindre +R -u. CET elles au passage au travers de p En effet, pour 2 0 E c. à. d. au-dessus de la courbe de contact avec le cylindre noi retrouvons en franchissant /'la singularité logarithmique 1 . m 43V a2 + Pa log q, pour g — 0 tandis que pour 2 £0, F devient infini de l'ordre il 4n? V3? + y? — u 78.8 1 ; Ä ; ; l'ordre 5, conformément au rôle de cône tangent singulier que joue - * encore ce cylindre. Chapitre IV. Équations à caractéristique essentiellement réelle. Introduction d'un cas particulier important. 1. Revenons aux equations 11) et 12) du n° 4. Nous nous occuperons dès maintenant d'une classe d'équations pour lesquelles l'in- tégrale double FJ, 3, rentrant dans l'expression de F, , 4. disparait. Supposons que pour des valeurs 5, 0 quelconques réelles toutes les racines a de 1) f(e, B, d)=0 soient réelles. Dans ce cas la fonction algébrique « définie par 1) ne possède pas de points de ramification réels, et une branche réelle quelconque reste distinete dans tout le domaine d'intégration. Nous disons que la fonction f(&, 3, 9) et par consequent la caractéristique correspondante, est essentiellement réelle. Pour une valeur arbitraire de 9 (exception faite des points doubles de f) la fonction intégrée par rapport à £ dans la formule 10) ne possede donc au voisinage de l'axe réel d'autres singularités que les divers zéros, réels pour « = 0, de Rudi CCR SE EM amer CE En deformant le chemin d'intégration dans l'intérieur du demi-plan supérieur, on dépassera d'abord certains de ces póles donnant la somme de résidus représentée par 11). Continuons la deformation sans atteindre toutefois aucun des points de ramifieation, ni des pôles complexes, tous à distance finie des f réels; nous aurons obtenu un chemin d'intégration C', se trouvant tout entier dans le demi-plan su- 30 Nins ZEILON, perieur, le long duquel la fonction intégrée est partout finie. Or, l'ima- ginaire ie n'a d'autre mission que celle de fixer les branches au voi- sinage des valeurs réelles, et il n'y a plus rien pour nous empécher de mettre « — 0 dans l'intégrale le long de C'. Mais dans ce cas les branches des types e, et a, deviennent identiques en fournissant l'en- semble des branches, toutes réelles, de 1). Cela posé, reportons-nous à la manière dont les signes de 10) ont été fixés, ll s'ensuit qu'une branche arbitraire de 1), correspon- dant sur l'axe réel à un signe déterminé de f,, figurera dans 10) deux fois, savoir sous la notation de a, et sous celle de a, avec le signe con- traire. Le procédé décrit n'a évidemment occasionné aucune confusion parmi les branches, ainsi les a, et «,, affectés du signe +, épuiseront nécessairement l'ensemble des branches, restées distinctes, de I). L'inté- grale le long de C est donc nulle pour e = 0, et il ne nous restera que la contribution 11) comme expression de F, , , dans la limite. Le cas actuel entraine done une simplification considérable. Pour une équation à caractéristique essentiellement réelle les dérivées d'ordre m — 3 de l'intégrale fondamentale s'expriment au moyen d'une intégrale abélienne simple de première espèce. 2. Modification du procédé de limite. Dans l'équation 10) les résidus correspondant aux diverses branches réelles « sont provenus de deux expressions analytiques différentes. Le calcul indique cepen- dant la possibilité d'atteindre le but par une seule expression; c'est ce qu'on effectuera en faisant changer de signe l'imaginaire ie avec la dérivée fila, P, 6). Dans la suite nous supposons que ce soient les racines 6, de fe, EN) qui pour des valeurs «, ß arbitraires soient réelles; la modification en question s'obtient en écrivant tere D 0) au lieu de ie. Ainsi nous partons de l'expression: ! 7 ma - Ite Fac = 4 3 L I iy(ax+By+z+du) 3 HG ee) er === | , gest Pyvet Ode qeu uL MN Er a EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 31 Par hypothèse Mer 3, 6) et-Z(&.- B, 5) n'ont pas dans le domaine réel des racines 6 communes, et on est assuré que, pour une racine 6, de f, file, 2, ö,) retient un signe in- variable. Une exception pourra avoir lieu si / possède des points doubles. Le dénominateur s'annule alors, mais il n'est question là que d'une singularité ponctuelle que, d'une manière connue, on mettra de côté par l'addition d'un terme de correction convenable. Si la singu- larite est du type des points coniques étudiés dans la 1°" partie, les branches 6 qui y coincident ne permutent pas d'ailleurs, et la suppo- sition d'un fs à signe invariable reste toujours vraie. Un zero 6, réel de f, possède approximativement la partie ima- ginaire très petite PA EDI PAR -— ECCE s iv La première intégrale de II') possède done exclusivement des pôles à partie imaginaire négative. Pour “> 0, l'intégration par rapport à 6 autour du demi-plan supérieur nous donnera la contribution nulle, tandis que la seconde intégrale nous ménera à 1 t yr) 9( Ri ó pie” ylax+ gu Mz +6, " do dp dy F, n Fr 3 NS EE s I J- — MICA i5 en = als | s yo, B : b da dj ] = — Sti}. Wer Pyr 2 4,00) (f e , B, à) — fu) , sry OU as E a | | i ple, för i ei ip la somme des residus de la fonction rationelle wera, 8. à (ex + By + 2 + 6u)(f — ief,) étant nulle. 32 Nits ZEILON, Pour w<0, on aura le calcul identique par rapport à la pre- miere intégrale de Il’, sauf en ce que l'intégration se fera autour du demi-plan inférieur dans le sens contraire. On combinera le résultat dans la formule commune: » a SM BY © i f; yos De S | de dp 5 Fe, n-8 Su | | 1 ec CURE WERT. en observant que le signe de i est sans importance pour la partie réelle de l'expression. Pour revenir aux notations de la 1"* partie nous ecrivons en- core au lieu de IV py--z--ów | j © ees Pl erde a} de dp } 4 \ Xx Sn3lz | | Til: lo e D TT a} + def, IV : FP = - nt N wu PTE SF Ol donee eor. x Procédons à l'intégration par rapport à 9; nous retrouvons comme ex- pression de EF, une somme d’integrales abéliennes simples de premiere n—8 espéce +% 3 ; V p = I | \' ye" "DE , 6) dö / 1 a 7 TT E ETATS u 3 E^ SEO Pena 00 Pesca T Tag] af, 2) — wf (Bs, 8) + EYE en prenant le signe — ou + selon que x 20. 3. Dans la formule ci-dessus on a écrit, comme au n° 3 du chapitre II, ^ py + 2+ ou a , Bs 8) =f; 9), et, pour une valeur arbitraire réelle de à, on a denote par fj, les ra- cines à partie imaginaire positive de 2) (8, à) + isfr(B s à) = 0 Tout d'abord la formule V se simplifie. En vertu de nos préliminaires algébriques l'intégration porte sur un dénominateur qui pour des va- EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 33 LE 1 leurs arbitraires de x, y, 2, u s'annule au plus de l'ordre 5. La re- _ tention de l'imaginaire ie n'a done d'autre mission que celle de fixer les branches f, qui doivent rentrer dans l'expression. On écrira done, pour un & assez petit: | yn (B,, 6) dà V! Ke B en a yf t (Bus 6) Le choix des branches fj, pour une valeur particulière de 6 ne pré- sente de difficulté que pour celles qui sont réelles pour « = 0. Mais on tire de 2) qu'en posant NS = (öv RUE 187. avec f", tres petit, on aura en premiere approximation " eft? (B^, 0 ) = 3) Bla = x, à —uft ad On peut tirer de là que V') mène au fond à la méme expression des deux côtés de x — 0. Prenons-en la partie réelle, en écrivant pour un moment dans IV' 1 | il 4) =| Use mo pr) sudieu de az. fuf fo —if, Pour l'intégration relative à f), il est évident qu'on pourra mettre « = 0 dans les résidus correspondant aux racines f complexes de f'?. Mais dans ces póles NES Ae ante ief , FE E SESS. fournissent les résidus identiques aux signes contraires Donc cet énoncé, Une branche f, rentrant dans V', me donne par l'intégration le long des à réels, de contributions réelles à l'expression que dans ces inter- valles de 0 où la branche est réelle. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. ?/s 1921. 5 34 Nits ZEILON, Il s'ensuit que pour le prolongement de V') à travers x = 0, il suffit que les intervalles réels mènent aux mêmes expressions analy- | tiques. Tout d'abord il faut préciser ce qu'on entend par une branche B relativement à un tel prolongement. Dans le langage géométrique - du chapitre I, les valeurs réelles 5, sont déterminées par les plans tangents menés par (x, y, 2) au cône 75. Si ce cône passe au voisi- nage du point, on a, apres l'introduction de l'imaginaire ief, du n° précédent, en vertu de A”), 1”° partie p. 25 a 1 of FEX 5) en EUIS (-% E Le V4 — 2ieff B , 0) ar): où Ay 602 2100 REA nous donne l’equation du cône 7; , les fonctions fto ae oy A, op ’ dp? se prenant pour la valeur réelle commune // —0 sur 7/;. Modi- fions un peu la notation ci-dessus par l'observation que les fonctions 92e Veo e ure ag contiennent toutes D en faeteur. Soit A = @ dy = Ho? + 2005 + Ra? ; on trouve immediatement (6) xf? — yf = V4 — 2if. Ap , EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 35 tandis que le radical rentrant dans l'expression des /7, , f', devient 6' hg 9; (a) 4 ) Sr y A —— 21€ Ta ge ? L'expression 6) étant continue et bien définie pour x = 0, on tire de 6') que pour une branche définie et representée d'une manière continue par un plan tangent variable il faut admettre que le radical et en particulier la petite partie imaginaire associée change de signe des deux cotés de x = O0. En cela, d'abord, on a suppose que (x, y, 2) soit un point voisin dun cône J; particulier, et on y a précisé une branche et un plan tangent individuel par le choix du signe de l'expression 7) xfs — yf? . Mais il n'y a rien qui empêche de s'eloigner de /; le long de ce plan partieulier; du moins tant que l'on ne rencontre pas d'autres branches de 1 qui touchent le plan, on est assuré que 8) reste réel et à signe constant. Cela pose, dépassons x = 0; on conclut que la petite partie imaginaire associée à la valeur réelle f, restée constante sur le plan, change de signe à ce moment, en vertu de 3). Or, pour aura toam D DES la relation ax + By +2+ 6u=0 nous donne 8) o ead OM Si a, B sont une paire de branches complexes au voisinage de x=0, elles ne deviennent pas réelles à la fois pour «= 0, sauf dans des conditions singulières, Car alors leur valeurs réelles définiraient un plan tangent double isolé relatif au 7, considéré. On en tire que, pour des 6 arbitraires, et si x = 0 n'est pas un plan tangent singulier de 7%, ©. 0 pour z=V0. 36 Nits ZEILON, D'autre part, pour une paire (c, ß) réelle, on a par la formule ana- logue à 3) OU à vf, — yfı + «" reste done toujours distinct de zéro. En vertu de 8) une branche f arbitraire est réelle pour x = 0, et sa partie imaginaire change de signe à travers ce plan. | En particulier, pour retenir dans l'espace entier les mêmes branches P, correspondant à un 6 particulier, il faut leur associer une partie ima- ginaire négative du côté des x négatifs. Ainsi, dans V'), remplacons le résultat relatif aux © < 0, par celui obtenu en intégrant autour du demi-plan négatif des f. On re- trouve la méme formule To | DONO ven, à) do [m ] SS TET 1) ys v") Don is J DE mem valable pour des x quelconques, et, en se reportant à la relation 8), l'expression est fixée partout par la règle suivante. (A.) Les branches réelles rentrant dans V" pour une valeur à arbi- traire doivent être choisies de façon que 6) fu) — YA (Bu, 6) = 0 selon que pour cette valeur 6 9) (2B 0) =A ores es) tess Ds Il importe avant tout de connaitre la connexion des f, regardes comme des branches d'une fonction algébrique de 6 et des x, y, 2. D'abord, en un point (x, y, 2) fixe, la fonction 6) s'annule en certains points de ramification, et on sait qu'elle reste réelle et à signe inva- riable dans lintervalle inclus entre deux points permutant la méme branche f,. On verra que la règle (A) suffira pour bien définir le prolongement des /, partout dans le domaine d'intégration réel ainsi que dans l'espace des (x, y, 2) réels. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 37 9 § 2. Sur la connexion des branches j,. 4. Pour decider laquelle des inégalités 9) a lieu pour les di- verses valeurs de 6, rappelons que l'équation de 7; est homogène en 10) quu 21 OU, ainsi que pour f = f;, la fonction pacer vog p; étant aussi défini par une équation homogene par rapport aux variables (10). Soit (x, y, 2) un point situé sur une génératrice particulière quelconque de /5; en déplaçant ce point le long de la génératrice on ne change done pas les rapports des x, y, z-Fów, et la fonction /1? reste invariable. Finalement on arrivera au point de contact avec r, où l'on a l'équation non homogene un tel point appartient par conséquent à un plan double tangent à T. Ainsi, toute branche de I’; qui west pas un plan double, porte sur toute génératrice une valeur x de méme signe, et pour trouver ce signe il suffit de se reporter au domaine de T que touche la branche en question. Par cette stipulation la distribution des valeurs de x sur I’ est fondamentale pour le choix des branches f,. En variant 6 on aura 38 Nits ZEILON, une suite indéfinie de branches de cónes. Une branche variable re- tiendra en général une fonction z de signe constant, Outre qu'au cas qu'une branche variable traverse un plan double, une exception à cette règle pourra avoir lieu au passage par x =. Cela peut évidem- ment arriver pour 6 = c», cas particulier auquel nous reviendrons plus tard. Notons seulement que la courbe de contact entre I' et /% divi- sera en général I en domaines portant des z à signes différents. 5. Considérons maintenant une branche f, réelle comme fone- tions de valeurs x, y, 2, u, 6 variables. Comnencons par varier (x, y, 2) le long du côté réel du cône particulier au voisinage duquel une formule telle que 5) a servi à la détermination de la branche. Par ce déplacement on se tient toujours dans le domaine des f, à signe invariable, et l'équation 5) détermine toujours la méme branche, du moins tant quon ne dépasse pas les plans tangents aux arêtes de re- broussement du cóne oà lon a 9? [9 11) apo A ce moment, dans une section plane à travers le cone, 5, devient tangent à une autre branche de /;, c. à. d. commence à’ toucher un autre côté du polygone courbe tracé par 7, dans le plan de la section, Le point de contact de la tangente a donc dépassé un angle du po- lygone dans lequel la fonction 10) s’annule pour prendre des valeurs de signe contraire sur l'autre côté du polygone. Pour expliquer ce qui arrive alors, on pourrait se servir des formules des n” 13, 14 du chapitre Il, pour la marche des trois branches se permutant autour d'un angle de rebroussement. Il est cependant plus commode d'employer la représentation géométrique. Soit le triangle de la fig. 1, Pl. I, un tel polygone, dessiné dans le plan z+ du = const, et se trouvant par hypothèse tout entier dans le domaine des x posi- üfs, afin que dans la formule 5) on ait à prendre le signe supérieur. L’equation ax + Byt2+ ou = 0 EqvATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 39: nous donne pour x — 0 RES TR nel), relation qui determine une branche f, au moyen de la section dé- coupée par la tangente sur l'axe des y. Cela posé, faisons se déplacer le point Q le long du côté inte- rieur du triangle dans le sens positif indiqué par les fléches, et con- struisons au voisinage des deux côtés de l'angle A, les deux tangen- tes passant par un point variable (Q, Q'). On voit que la section découpée augmente quand Q tourne dans le sens positif. En dirigeant les tangentes dans les directions allant de Q et de Q' aux points de contact respectifs, on conclut que tant que les sections respectives sont de même signe, la tangente dirigée dans le sens positif fournit numérique- ment la plus grande des deux valeurs p. Or, une branche B se définit geometriquement sans ambiguïté par déplacement continu du point de contact. En fixant de cette ma- niere une partieuliere des tangentes, on voit que, par la variation de (x, y, 2), elle change de direction au passage de l'angle 4,, et qu'elle fournit la plus grande ou la plus petite valeur f selon qu'on se trouve de l'un ou de l'autre cóté du polygone. Le radical , ee = EM Ta, icf, op retenant une partie imaginaire de méme signe mais changeant le signe 2 (a) de sa partie réelle avec le facteur gs» om en tire que la racine f,, définie par 5), reste bien la méme branche au point de vue géométrique, méme par le passage d'un angle de rebroussement. On pourra de méme faire procéder le point Q vers l'intérieur du polygone. Par variation continue d'une méme tangente on definira une branche distincte, à partie imaginaire de signe constant puisque le déterminant Xf, — yfı 40 Nits ZEILON, ne s'annule que par le passage à travers /;. La construction géo- métrique sert donc immédiatement à fixer les branches à partie ima- ginaire positive en un point arbitraire à l'interieur du polygone; il suffit de se déplacer le long des diverses tangentes menées par le point jusqu'au voisinage immédiat des points de contact respectifs (mais sans les dépasser) En fixant alors la grandeur numérique d'une section par rapport à celle de l'autre tangente voisine, on arrive done à la conception d'une tangente quelconque comme porteur. d'une partie imaginaire de signe constant, transporté vers l’intérieur du polygone, et invariable envers une variation arbitraire de la tangente. 6. Il y a cependant une exception importante à cette règle. Considérons le point Q" voisin du point O, dans lequel la tangente p^ menée par l'origine x = y = 0, touche le polygone. En fixant les parties imaginaires des deux tangentes f, f, par Q" à partir des deux côtes 4,4, et A,A,, la règle ci-dessus donne le signe — aux deux parties imaginaires. Faisons s'approcher Q" de 4,4,, p. ex. à la gauche de 0, en franchissant f de manière que f, passe par cette tangente. La sec- tion de ß,, d'abord négative, changera de signe par ce procédé, Evi- demment les conclusions du n? précédent ne sont plus directement applicables aux conditions en Q". Il faut que B, change le signe de sa partie imaginaire au passage de BP, puisqu'on doit nécessairement au voisi- nage de AO retrouver deux tangentes à parties imaginaires de signes contraires. | La tangente f". dont la section est nulle, correspond à une ra- cine (3 infinie. Prenons le terme f" de [e = 0 E il s’ensuit que / possède une racine infinie à condition qu'un certain polynome homogène d'ordre n, indépendant de 6, s'annule, soit 12) JEN Ec ei L'équation 12) nous donne n plans, passant par l'axe des 2; un tel plan a trace dans la fig. 1 la tangente singulière f. | ide EQUATIONS AUX DEVIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 41 Une analyse facile montre que le long de 4,4, la fonction of e OF change de signe en passant par des valeurs infinies. La discussion des conditions auprès de 4,0 et de OA, montre alors que les résultats du n° précédent subsistent généralement dans tout l'intérieur du poly- gone avec la stipulation particulière que toutes les fois qu'une tangente coincide avec B", la branche correspondante, en méme temps qu'elle atteint des valeurs infinies, change le signe de sa partie imaginaire. Les plans 12) touchent l'ensemble des 7’; dont les branches re- spectives restent réelles, et ils forment des lieux singuliers pour la connexion des /?, dans l'espace. Quand (x, y, 2) s’approche d'un tel plan, une certaine branche réelle %, pour des valeurs arbitraires de 6, va s'éloigner vers l'infini réel pour se retrouver dans l'autre demi-plan complexe de l'autre côté du plan. Il y a done un certain inconvénient dans ce fait que les branches ne se définissent pas d'une manière unique et monogène pour l’espace entier. Quant à l'expression V, elle reste cependant, comme il le faut bien, continue. En effet, le résidu, disparaissant ou apparaissant selon le eas, est évidemment nul. Nous verrons d'ailleurs plus tard que la classe d'équations par- ticulierement en vue est exempte de ces conditions singulières. 7. Les développements ci-dessus ne dépendent au fond que du déplacement relatif de (x, y, z) et du cône 73. Il n'y aura done aucune nouvelle difficulté à rendre valables les résultats pour une variation arbitraire des 7%. On tire, d'une manière générale, la conclusion que, pour un point (x, y, 2) à variation quelconque, assu- jetti seulement à la condition de ne pas franchir les plans P,, une branche /, réelle, introduite dans l'expression V pour des valeurs particulières de x, y, 2, u, 6, y figurera aussi tant quelle restera reelle, et elle sera dans ces conditions identique à une branche réelle à prolonge- ment analytique bien précisé par la construction géométrique faite d'une facon continue par rapport à l'ensemble des 7%. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups, Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. !%s 1921. 6 42 Nits ZEILON, 8 3. Déplacement des points de branchement. 8. Passons dans le domaine des f, fj, complexes en faisant franchir 7, par (x, y, 2). Les développements du n° 8, chapitre IT, mon- trent que f,, affecté d'une petite partie imaginaire positive à l'intérieur du cóne, passe dans une branche complexe à partie imaginaire de méme signe. En variant 6, cette racine restera complexe jusqu'à ce qu'on arrive à une nouvelle valeur 6 dont le cône correspondant passe par (x, y, 2) et permute la branche avec une autre; à ce moment f, de- viendra encore réel sauf à une petite partie imaginaire positive. Le prolongement de la branche se fait done d'une maniére unique aussi au delà des points de ramification; la branche retiendra, tant qu'elle restera finie, le signe de sa partie imaginaire pour des valeurs quelconques réelles des variables, et elle figurera toujours dans V, si elle y rentre pour des valeurs particulières. Il suffira done de prendre une certaine branche dans son do- maine complexe, en la précisant en tout autre point par la disposition des points de ramification. Menons par un point (x, y, 2) de 7%, la génératrice correspondante, découpant sur laxe des z la section 2,; on à de *» , (pour e = 0). Pour décidér de la manière dont 6, a été projeté dans le domaine complexe, on fera glisser (x, y, z) le long. de la génératrice. 6, res- tera constant, et au voisinage de J’ on aura 3281205920 16 1. — 7 où les coefficients R, Q, H résultent des formules C) du n° 4, cha- pitre IL, par la substitution de f "^(f. 8) Fe xeff (f 2-0) Bf 1620) gf of 0f * 96 En négligeant les produits des très petites quantités /'^ , par e, on arrive à EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 43 D) 1 B x- gl- «9 x VAG RER + WHF, 54). Q et E ayant les valeurs C du chapitre II. Fixons les signes de 13) de maniére à partir, dans le domaine réel, de la valeur positive du radical yz!Q? — HR. Il s'ensuit que, pour «= 0, d, est la plus grande ou la plus petite des deux racines 0 selon que c. à. d. selon que la génératrice en question touche un domaine de I’ à courbure hyperbolique ou elliptique. Cela posé, le signe de la partie imaginaire du radical en 13) dépend manifestement du signe du produit iB , 9)4s. On obtient ainsi la regle suivante. B. Si deux cones infiniment voisins louchent un domaine convexe de DL, le plus grand des 0,, 0, est déplacé au-dessous, et le plus petit au-dessus du chemin d'intégration des d , et inversément selon que HP, 0)4, 2.0 Si le domaine est à courbures opposées, on a le théorème ana- logue, sauf en ce que les mots «plus grand» et «plus petit» s'échangent mutuellement. A partir du côte concave de 7, soit de 75,, avec une valeur complexe de /,, les valeurs réelles de la branche de l’autre côté doivent done se déduire en faisant un demi-circuit dans l'un ou l'autre sens autour du point de ramification. On obtient ainsi le tableau suivant ZzuApg > 0 xWAg < 0 P — B) H< 0 : ; - C — a =; - E < +imag > — réel +imag - imag + réel ~* + imag H> 0 ; 6 ig : ; ut E La, 7 — réel +imag ~ —réel réel T imag + reel. 44 Nits ZEILON, Les notations «+ imag, — réel», etc, se reportent alors au radical rentrant dans l'expression approximative de f,. Ainsi, p. ex. »— reel» veut dire que des deux branches / on prend la plus petite. 2 r(a) P Pour les valeurs negatives de ap? > on sait que les signes + dans la formule 13) correspondent aux signes + de la fonction «ff — ff^ . Le tableau (B) nous fait donc, comme il faut bien, retrouver la règle (A). 9. La règle du n° précédent s'applique d'abord aux conditions au voisinage de J’. Avec cette restriction on vérifie sans peine qu'elle reste valable indépendammant du signe de x. Or si l'on se déplace le long d'une tangente individuelle, la partie imaginaire, dé- terminée par des fonctions homogènes sur le cône 7, ne changera pas. La tangente portera done en tout point une partie imaginaire de signe constant, du moins tant qu'on ne dépasse pas l'axe des z, où évidemment l'expression 13) devient indéterminée. Il faudra en effet admettre qu'à ce moment le radieal de 13) change de signe. Dans la fig. 2) supposons des génératrices 7, touchant I du côte des «<0, et prenons sur une tangente particulière deux points Q(x 20). Soit OU disse et supposons, pour fixer les idées, que la nappe supérieure des 7°, vari- ables soit convexe vers le bas de la figure. Par consequent les 7, = 7%, à 6,<6, présentent leurs faces convexes vers Q(x > 0) tandis que les I; Sont orientés de la facon analogue vers Q(r- 0). Ainsi, du côté des x positifs, 6 se trouve à l'extrémité droite d'un intervalle réel et à l'extrémité gauche pour x c0. Or, d’après la stipulation sur les bran- ches p, il faut (pour 445 2 0) avoir des branches à partie imaginaire positive dans le premier cas, menant à un radical réel positif dans l'intervalle réel, et dans le deuxième cas des branches à partie ima- ginaire négative avec un radical correspondant négatif dans linter- valle réel. Ainsi l'arrangement dans les deux cas sera 3 5 22541) 7 : = x < 0 ; ON ; B -- réel ~ + imag > ime — réel ' et 6 est déplacé de côtés différents selon le signe de x. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 45 La règle B) est done toujours valable; pour l'appliquer à une tangente arbitraire passant par (x, y, 2) il suffit de se déplacer 8 Ia I jusqu'au voisinage de /', seulement il faut renverser la direction du déplacement trouvé, si par ce passage on a dépassé luxe des 2. Dans les conditions de la figure, où la section de J’ coupe l'axe des z, on vérifie facilement ce théorème en faisant glisser la tangente ? eo [o] Ts, en emportant avec elle le point Q(x- 0), jusqu'à arriver dans la position pointillée dont le point de contact se trouve par rapport au p H I PI plan æ=0 du méme cêté que Q. Cette variation, par les méthodes de la discussion suivante, ne changera pas le signe du déplacement , 8 8 I imaginaire. La détermination alors obtenue au voisinage du côté droit de 7 sera conforme à celle ci-dessus. 10. Complétons la discussion dans un détail important. Soit dans la fie. 3 la section d'un domaine à courbure hyperbolique; fixons 8 yl I les idées par la supposition d'un point conique double. Les tangentes OA, OB, OC sont des generatrices appartenant au cône 7; au sommet O. 2 2. 1 En vertu de la forme du cône tangent passant par un domaine 8 I I à courbures opposées (fig. 5, 1"* partie), OB et OC, qui se trouvent des deux côtés d'une tangente d'inflexion, appartiennent à deux bran- 8 > APT ches de 7, se rencontrant en une aréte de rebroussement. En faisant glisser OB sur la surface du cône on arrivera done à la position de OC après avoir dépassé l'aréte, pour les points de laquelle on a Ap: — d). La formule 13) donne alors une partie imaginaire nulle de 5, comme indieation de ce que l'approximation est devenue insuffisante. Soit maintenant Q un point de OB voisin du point de contact C,. La figure montre que, relativement à l'autre tangente construite en Q, z, se trouve du côté des z positifs, c. à. d. 6, est la plus petite des deux valeurs en Q. Faisons glisser Q sur 7%, en restant voisin de la courbe de contact, mais sans la franchir; nous arriverons en Q' aprés avoir tourné autour de l'angle de rebroussement. La construc- tion des tangentes en Q' fait voir que dans la nouvelle position 6, est devenu le plus grand des deux 6, c.à.d. par les règles ci-dessus et 2 f(a) en tenant compte du changement de signe du facteur a 6, a tou- 46 NILS ZEILON, jours relenu le signe de sa partie imaginaire. Par la marche autour de l'angle de rebroussement on a fait glisser l'autre racine 6, le long du côte inférieur de l'axe réel, en la faisant dépasser 6, pour atteindre une valeur réelle supérieure à celle de 6,. Par la définition de la branche à, au moyen d'une tangente à variation continue, on a done conclu que 6, se projette dans le domaine complexe de la facon iden- tique pour les deux branches d'un cóne se rencontrant en un aréte de rebroussement, 10. On peut aller plus loin. Soit le point Q" au voisinage de OA, génératrice touchant un domaine elliptique, On a done H <0, tandis que H> 0 sur OB, OC. De plus, en vertu du n° 15, chapitre II, x change de signe! à travers la courbe elliptique ©. Nos règles mènent done en Q" à une partie imaginaire qui est encore du méme signe qu'en Q ou Q'. Un point de ramification à, est donc projeté dans le méme demi- plan complexe, indépendamment de la position de (x, y, 2) par rapport aux diverses branches du cone I's, . L'énoncé implique cependant une certaine réserve; il faut bien que le point choisi pour fixer le signe imaginaire en question se trouve toujours dans la méme position par rapport à la courbe de contact de 7, et P. Par le passage à travers cette courbe les mots «plus grand» et «plus petit» doivent évidemment s'échanger, si l'on ! Tl est vrai que les développements à cette occasion s'appliquent au cas particulier que l'axe des z pénètre par le centre de l'ellipse. On saura cependant toujours déplacer I laxe des z dans cette position par une substitution homographique x = ax, + by, + cz, + du; ; a= ad, + bB, +¢ + dd, ; Il y - au, by, cz, + d'y; B=aa, +B, + c +d; elc., etc., avec ax + py 2+ du = aa + Bıyı + à + din - Les relations fi A fi = f3 = få = af} a bf) 3 cfs Da dfi = f = 5 cy 4 ep Uy aan by, + ce, + LT valables pour les points de J’, montrent que x reste invariant relativement à la substitution, Li EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 47 se tient toujours sur un cône individuel 7%,. Ce fait s'explique par la permutation des à par le contact avec T; on établira, comme à une oecasion antérieure, la vraie connexion en stipulant que le radical change de signe sur la courbe de contact, Notre théorème ci-dessus reste toujours vrai à condition que le point (x, y, 2) choisi soit pris entre T et le sommet de Ds,. | - 11. Le théorème du n° précédent entraîne une conséquence un peu fâcheuse pour la marche des branches à travers la surface des tangentes d'inflexion. Soit (fig. 3) Q'' voisin de l'aréte de rebrousse- ment /,; en faisant coincider Q"' avec cette tangente on sait que deux tangentes, d'abord réelles, viennent se confondre pour devenir com- plexes et conjuguées de l’autre côté de 7;. Or, ces deux tangentes, d'après ce que nous venons de dire, sont affectées de petites parties imaginaires de méme signe tant qu'elles se trouvent du cóté réel, c. à. d. il faut admettre que l'un des points de ramification au passage de J; franchisse l'axe réel pour entrer dans l'autre demi-plan. Conforme- ment à cette notion, nos formules donnent aussi une partie imaginaire nulle pour > oo ga c 0. Conditions particulières au voisinage de la surface J;. 12. Reportons-nous à la section de la fig. 9. Par un point Q voisin de /; passent deux courbes, dont les points d'arrét découpent sur la trace de I; des longueurs proportionnelles aux valeurs ó;, dy corre- spondantes (Cf. n^ 12, chapitre II). Relativement à un cône quel- conque intermédiaire à 6, et ör le point Q se trouve évidemment à l'intérieur de l'angle de rebroussement avec trois branches réelles, soit, par une notation conforme à celle d'une application ultérieure, B» , Bs, P, ces branches. D'autre part, par rapport à tout cône en dehors de lintervalle 6:67, Q se trouve dans la position extérieure. La seule 48 Nits ZEILON, branche réelle qui reste dans ce cas s'appelle f, pour les cônes à la droite et ß, pour ceux à la gauche. Soit 67; > ör, et commençons en ó- sr avec la branche réelle #,. En arrivant en 6, on retrouvera les deux autres branches réelles f,. f,, et en dépassant 67, f, et f, deviennent complexes de manière que f, reste seul réel. Ainsi on écrira Of 03, > Ory = Onn 4; en mettant en évidence les branches permutees. Tout cela s'applique au «côté réel» de /;. Faisons déplacer Q dans la position Q'; on n'aura plus de courbes réelles passant par Q'; ör et 67 sont devenus complexes et conjugués. En vertu du n° 12, chapitre Il, 6, et ör, sont deux racines de l'équation! il 2 14) Agi = 7 (#7 US Ee pee af (02.208), 02 9 gps dans laquelle on a AP Ne, o= (fs — Vh) — vs fio — Mf) +++, t= As, Uu — Xf, — ufa, ce dernier coefficient étant fini pour des distances finies de 7. Posons VÄSER HEURE n On trouve immédiatement qu'au voisinage de /;, c. à. d. pour 7/1 gm et u tres petit, on a y 5 ZZ 3 air el 2377) Velen 9p? soit ó, je ees i ES Es jj ô u "JAN II Zu a5 ! On a corrigé dans la suite quelques erreurs qui se sont glissées dans les formules des n° 12—14 du chapitre Il, erreurs d'ailleurs sans conséquence pour les conclusions faites à ces endroils. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 49 En vertu de 21), n° 12, on a posé En remplaçant x, u par — x, — u, on aura done un coefficient x du méme signe que x=/fiu. On projetera donc dans le domaine complexe en écrivant tout simplement Z— 1e au lieu de Z partout où Z figure explicitement. Du côté réel de I;, c. à. d. pour on voit immédiatement que le premier terme de 15) * . E: Conte) décide du signe de la partie imaginaire. Les deux points de branche- ment sont projetés tous les deux au-dessus ou tous les deux au-dessous de l'axe réel selon que résultat qui s'accorde avec les stipulations des n^ précédents. Le passage par uw =0 correspond au passage à travers le point d'inflexion, point de contact avec 7’, des deux côtés duquel il faut échanger dans nos règles les mots «plus grand» et «plus petit». Dans le domaine complexe où AC (e c ee le radical imaginaire de 15) fixera le signe en question, et on aura bien pour £=0 les deux racines conjuguees. Il faut établir la connexion des branches f entre les deux côtes de 7,. -1 Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. 7/3 1921. 50 . Nits ZEILON, Soit, comme au n° 14, chapitre II Bu u Ori d 17) Pa = ou + gv quu B, = ou + ov avec À 3 : 18) "E 93/0 jo (#29 e + uô + \ ego te) RO)? Sic een en (c + E ») : D ar 9 [r^ Prenons d'abord une valeur réelle à fixe, et faisons varier (x, y, z) relativement uu cône 7% (fig. 4). Nous, supposons que les e p. représente la racine réelle (oma S et que B, et B, possèdent E. parties imaginaires de signe positif. Evidemment en Q on a ii (o+ 18) > 0 7 puisqu'il faut que u?, v? soient réels méme pour zZ + ud = 0. Pour trouver les soris pour que l'arrangement ci-dessus ait lieu, mar- chons vers le point a au voisinage de la droite, 04-10-20 droite qui évidemment n'est que la trace de I,. Pour que fj soit à partie imaginaire positive il faut que u>v, ce qui, en prenant dans 18) le radical positif, exige qu'en a c) 24-40 — STEN et par conséquent ; 9? (@) e!) y > 0 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 51 Or, en ce méme point = is) x(Z — is) + ud B=u+v—= ir VE CICR 2 ED possède, en prenant la racine réelle pour «2 0, une partie imaginaire positive, si ? e" Paese] e Les conditions c — c" suffisent pour préciser partout les signes des parties imaginaires en question. Or, au point de départ Q,les valeurs réelles u”, v? sont de signes contraires, et en vertu de c) 23: 520: 93-07 En mettant U = ree, y= r'eie! on prendra pour acr. 8-0. a —m. et il faudra poser, pour avoir les racines réelles nécessaires, i9 9ni iB! 19) u-Yre?,v-2e?e?, Au moment du passage à travers /; on a approximativement 4 | a v3 —A(0 7.20) (ED ere ua de manière que l'argument 6' de v? va différer de 3x entre a et a. Ainsi procédons avec vers le cote droit de la courbe J;, et penetrons dans l’intérieur de l'angle de rebroussement avec des valeurs complexes conjuguees de Ww. v. Pour déterminer maintenant les signes des parties imaginaires prenous p. ex. les points de la tangente par le point d'arrét oü 27 + uô =0. 52 Nits ZEILON, On y trouve u? 3 f; = FR 5 20) p = Yo ie + A (o + 10 28 of 99° Quant au signe du radical imaginaire pur, on sait par un argument souvent employé, qu'il est le méme que celui que possède la partie iniaginaire de ce radieal en un point arbitraire en dehors de l'angle de rebroussement. Or, dans ce domaine réel le radical fe. 5% S : V (x (Z — te) + ud)? 4 — (0 + 76)? = Qo 0 5? 2a («Z + uo)? + D RA co uô) I possede une partie imaginaire de signe egal à celui de — x(xZ + uà), signe positif au voisinage du côté droit de l'angle. On aura ainsi, en b, 21) uw = (ed T v) : : Zz FS UED) NE quo amus 20. 0/33 En faisant marcher, à l’intérieur de l'angle 7t x 9- len Os pare Pare (pour & = 0) : — 5x . à 0 > nor Aa on a obtenu que 19) fournit, comme il faut bien, des w, v complexes et conjugués; de plus en vertu de 21) Jul > Jo], u se trouvant dans le demi-plan positif. On en conclut facilement que P». B, sont bien encore les racines à partie imaginaire positive. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 53 Tenons maintenant (x, y, 2) fixe en Q du «côté réel» de J; (fig. 4) et faisons varier à en commençant en à < ör. La courbe vari- able de la fig. 4b glissera au-dessus de Q, qui va traverser l'intérieur de langle de rebroussement dans la direction de droite à gauche en amenant la détermination des arguments que donne la fig. 4. On en tire que pour 6 = à; 3 97 3 __ nt 3 8-20, 9'——2m,u-Yr, v2 e? Yre 3 =Vr MURS Ps = Py, et que pour 6 = dy 3 zi 3 mi Dem, ae NPE? wire: 9zti u-ve? -ov, f, — f,. La représentation des racines par les formules 17—20 établit done bien les permutations de la fig. 4 b. En dépassant ör, les valeurs réelles de Vu, Vo s'appellent Ari 4zti e?u=gu,e’v=oW, valeurs toutes les deux negatives pour CL AF tion Oi La branche réelle est maintenant 3,, conformément aux stipulations initiales. D'autre part, soit le point fixe Q' voisin du côté complexe de J; . Pour une valeur 6 réelle, l'équation 19) nous définit deux valeurs uv, v réelles, telles que Uu>v et que f, et f, sont à partie imaginaire positive. Partons de l'axe réelle des 6 vers l'un ou l'autre demi-plan complexe jusqu'aux points de ramification complexes. D’après 18) on y a «43 —v5-— + imaginaire pur selon que zZ+ uwö=-+ imaginaire pur. 54 Nits ZEILON, Apellons done 5, le point de ramification tel que “dé; se trouve d le demi-plan positif. On tire de 18) qu'en faisant varier 6 de 6, en zZ s , on fait marcher u à travers l'axe réel, soit par d = — ode 5 par 0 en —5 , Q^f “Zt M. ae er **) > 0) * de maniere que pour 6 = ör = I I [as] Ed M» S ll fas} wo I = Dd E E | ~ eee Pay, ps = Ps. et que pour 6 = ór u=e v=w, p=, Ainsi, les expressions 17) servent à représenter les branches Ba, p, des deux côtés de I, de telle manière que ces racines retiennent toujours les signes respectifs de leurs parties imaginaires. Seulement, pe de fonction; du côté réel de 1, on a les deus points réels 034 + Oo4 (632 < 694) et du côté complexe les deux points conjugués 023 9 054 * Les deux points réels étant déplacés dans le demi-plan complexe po sitif pour zu < 0, on reconnait que des deux points complexes, des situé dans le demi-plan contenant initialement les deux points de ramu- fication du domaine réel. : : On voit sans peine que les énoncés ci-dessus restent valables. 930 D pour des signes quelconques des coefficients x, w, EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 55 Y DJ Les intégrales P, ; et la solution fondamentale F. 13. On integre, dans la formule V), les mêmes branches bien définies, d'une fonction algébrique de 0 aux paramètres x, y, z, uw. Il vient ONSE (959a 7 == I VI F 2 | i xf? (B, , 6) — yf (B,, oj" 7 0). Les intégrales sont étendues le long de lacets joignant eertains points de ramification à l'infini, et pour chaque lacet on tiendra compte des branches f, qui s'y permutent. L'intégrale VI, abélienne de première espèce, reste en général finie et continue pour des valeurs arbitraires de l'espace réel. Il sera done en général loisible de mettre « — 0 dans VI), définissant ainsi une valeur limite F,_,, valable aux points arbitraires de l'espace réel, avee la restriction pourtant que l'existence des plan P, peut intr oris dans le choix des branches f,. Il faut faire exception pour les points de /' et de J;, dans lesquels un 6, se confond, pour «2 0, avec un autre point de ramification, Faisons s'approcher 9, du point 6, dans le demi-plan inférieur. On est mené, pour le voisinage des deux points, à des intégrales des types déjà étudiés au chapitre II. D'abord, en vertu du n° 22, une {elle intégrale reste réguliére au passage de la surface I;. D'autre part, soit un point de 7', p. ex. de la catégorie H < 0 avec z > 0. En vertu du tableau B, l'expression VI) contient du côté peel le lacet (ee d à entourant la plus petite des deux 6, et mené p. ex. parallele à l'axe réel; on aura à prendre des valeurs négatives du radical intégré sur 56 Nits ZEILON, le bord inférieur du lacet. On obtiendra comme partie réelle la pé- riode entière de l'intégrale relative aux deux points à,, 6,. Du côté complexe le lacet ur (Gen é 2 calculé avec un radical imaginaire et positif sur le bord inférieur, possède une partie réelle équivalente à la demi-période. On retrouve done entre les côtés réel et complexe de T la différence brusque dune demi-période y" (a : B : à) 22 == A : ) Dr eru bM Et ainsi de suite, pour les différents cas, conformément aux résultats du chapitre III. LA 14. Ajoutons un mot sur le rôle particulier que joue en appa- rence le cône 7; = T',, correspondant à x = oo, à cause du changement de signe de x à travers des valeurs infinies. Il semble que la courbe de contact de ce cône avec Ir doive diviser 7 en domaines dont les singularités soient de signes contraires. Or, un tel arrangement est im- possible puisque l'axe des z, contenant le sommet du cône, n’occupe aucune position particulière relative a T. Tout d'abord l'expression 22) a l'apparence de s'annuler sur la dite courbe. Il n'en est rien, car en effet, pour 6 =, l'introduction de ar ar SOR =: > Se RED zu 4 CE. opcm du du Side t EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ele. 57 nous mène à amo or Po es edam 07 n—3 nu 3) E ——— , 0 5 ] 3 Nu Ou : 23) 4nY— H 1 et dans cette expression, 6 changeant de signe en méme temps que x, On a trouvé une discontinuité de méme signe des deux côtés de la eourbe de contact. Mais la Hessienne Te Fr Bro ag (5, > go Ms 1) || 1 : : Pre a devient, pour u=0, la Hessienne d'une surface cylindrique en i savoir de de Pei ER Hessienne qui par conséquent s'annule, et cela d'ailleurs, par un caleul facile, de l'ordre u”. On a done bien H = SECRET à H' restant fini pour à = 2, et on revient, comme il est bien nécessaire, au même saut brusque, pris dans le méme sens des deux côtés de la coûrbe de contact. 15. Pour l'expression de la solution fondamentale on pourrait partir de la formule IP", en la réduisant le plus possible par des mé- thodes analogues à celles du chapitre III. Il est cependant facile de remplacer ce calcul par lintégration directe des dérivées F, ;. On vérifie sans difficulté que +00 +00 1 D 3 | Vv (ext By + 24 du “log (e,z + byte UB) dep | | | a ACL) VII. Frs (2 + By +2+ ou)" log (a,x + By + 2 + ou) | p SU | dB do mene, pour la dérivée generale d'ordre n—3, à l'expression 10) du § 1. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. !?/s 1921. 8 58 Nits ZEILON, L'intégrale fondamentale s'exprime donc dans le cas général au moyen dune intégrale algébrico-logarithmique double. Si l'équation est essentiellement réelle on a un résultat | plus simple. Dans VII) vont alors figurer toutes les branches «,, «,, et fonction intégrée par rapport à £ n'est au fond plus multiforme, Li tegrale +00 + oo i (ext Pye) Fa Le + By + 2 + ó,u) 16|n—4 . 75 > fila, B, ö,) —00 —00 du E 6, étant l'ensemble des racines de fle, P, 6) tief, = 0 , mènera manifestement à RATE) ^de dp dö ee 5? Hn (GERD 9 6) tief, 2 En et se Bee A es pour x20, u>0 en n +n +0 ae) SE df dö 16[n—4 . nr ee | £=0 —o —o r( x ? P. ) rief, en integrant par rapport a S=0x + Pytet ou le long d'un chemin mené vers c» dans le demi-plan supérieur et évi- tant les zéros du dénominateur. tées ci-dessus, et l'on trouve: avi VIIL poe c oec ed 5 mn 4 [n—4 a? f e jos Hin | 0 (dvs) Sas t ct E fa = e e ‚Bu 8) , ete. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 59 Ici, óà,* sont certains points de ramification qui dépendent de § et qui sont tels que de = 6, pour $- 0. * « Li , . Les parties imaginaires de ces points de branchement se déterminent d'aprés les principes des SS précédents; on retrouvera pour § = 0 les mêmes branches qu'à ces endroits; en effet l’algebre de la fonction (| Sem Et dig o) X est celle d'un / avec la variable 2 remplacée par et nous venons de voir que la détermination des branches se fait d'une maniere unique et bien fixée pour tout l'espace reel. L'expression est done précisée sans ambiguïté; par sa dérivation on retrouve d’ailleurs facilement les fonctions VI du n° 13. En faisant e=0, il vient done que: L'intégrale fondamentale d'une équation essentiellement réelle est fournie par une intégrale abélienne double, de première espèce pour des x,y, 2 arbitraires. La formule VIII montre qu'elle est partout finie et continue, ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre n — 4 inclusivement, dans l’espace entier réel, y inclus les points de la caractéristique, où ses dérivées d'ordre n — 3 deviennent infinies d'ordre logarithmique. Par la discussion du $ précédent nous savons que les lacets intervenant dans nos formules se définissent toujours d'une maniere unique et que les fonctions algébriques intégrées le long de ces lacets sont toujours choisies de la méme maniére, indépendante de la varia- tion de (x, y, 2). De là enfin cette conclusion generale: L'intégrale fondamentale et ses dérivées sont des fonctions uniformes el monogenes dans l’espace réel correspondant à une valeur u positive ar- bitraire. ; De plus on reconnait facilement que la formule VIII est encore valable pour u < 0 à condition de la prendre avec le signe contraire. 60 Nits ZEILON, 6. UN Équations réductibles. Vérification de la propriété fondamentale. 16. Jusqu'ici nous avons supposé que /(«, f, y, ó) soit une forme irréductible. Dans la théorie des équations de trois variables l'étude d'une combinaison différentielle à deux facteurs joue un rôle important. Nous nous bornons ici aux équations de la forme IX ME ee s eg au! ox? ay? de^ du résultant de la combinaison de l'équation f avec l'équation particulière auxiliaire L’equation est d'ordre »-- 1, et elle ménera à une expression fonda- mentale qui permettra la formation immédiate d'une derivée quelcon- que d'ordre 7 — 2. Pour avoir des intégrales sommables on écrira p. ex. (6+ iu) (fe, B, 6) tr iefile, B, 6)) au lieu de f (c 9 p E 6) 2 Si u est positif, l'intégration par rapport à 6 autour du demi- plan positif (pour 4» 0) ne donnera pas de résidu pour à - 0. Les ealeuls précédents s'appliquent done directement à l'équation actuelle, On aura au lieu de VI des expressions de la forme 3 = z ye n- 3( (Bu ó) dó x F BE MA a De 4E. ige) (x (xfi? PAPE yft?) *, (dv) représentant une certaine somme d'intégrales abéliennes de troisième espèce appartenant à la courbe algébrique f? =0 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 61 L'expression X est valable à condition que / soit du type essen- tiellement réel. Dans le cas général on conclut quelle représente les singularités réelles de l'intégrale fondamentale de LX. Pour ces singularités on revient aux intégrales étudiées aux n°* 18—20 de la 1?* partie. L'équation réductible se distingue par l'inter- vention, en outre des singularités ordinaires de la caractéristique, d'un cône singulier DT, ö (11T Sur ce cóne on a trouvé des singularités algebriques de la méme nature que celles que présente la solution fondamentale de l'équation gos gue g 1 dy ^ 5 JU = gla, yy 2) sur le cone caractéristique correspondant, et ces singularités se prennent dans des directions contraires des deux côtés de la courbe de contact de Ty avec T. On a là l’analogue complet d'un théorème de la théorie des équations à trois dimensions. A présent l'intérét de l'équation IX repose surtout sur ceci qu'elle va nous faciliter la discussion de la formule de GREEN relative à l'équa- tion f. Pour cela la supposition d'un f essentiellement réel entrainera encore une simplification considérable. 17. Soit done f(«, f, 6) une surface du type essentiellement réel (par rapport à 6). Nous disons qu'il est possible de déterminer une sphère de rayon g suffisamment petit pour que, par un point ar- bitraire à l'intérieur 24) Tp PET projeté dans un espace «= const. quelconque, on ne puisse mener aucun cône 7, réel. Car dans le cas contraire on aura un cone tangent réel passant par le sommet x-y-22-20, 62 Nits ZEILON, P et la LM I étant homogène dans Mes à quatre dir eme coïncidera avec la trace conique de r dee cef espace. Deep r comma le plan E = V0 par une trace réelle. Or, pour la surface f réciproque, en vertu de relations [gel PRE DOC CHO TEE d une telle section réelle u — 0, correspond à a s l'équation n'est plus du type désiré. Le cone tangent par «= y — 2 — 0 étant imaginaire, on conclut en particulier que les conditions du n° 6, chapitre IV, ne sont pas realisées; les plans P, sont imaginaires. De plus les équations fe, B, 1, 6)=0 OL Hie aret = 0) ne sont, à l'intérieur de la sphère 24), satisfaites pour aucun système de valeurs «, f. 6 réelles. En particulier la fonction f(a, B, 1, 0) ne s'annule jamais dans le domaine réel, et elle mènera à une carac- téristique à trois dimensions | 25) SUR Eee sed e) (u = const.) dont toutes les branches sont imaginaires. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 63 18. En adoptant l'équation auxiliaire du n° 15 on sera mené a l'intégrale 7 A SM 3 D a +00) doy dp dy dà 4 (6 + iu)(fle, B, 6) + ief,(a, B, 8)" L'équation étant d'ordre n +1, on en formera les dérivées d'ordre n— 2, et on trouvera une expression de la forme: Ya + By + 2 ym fe, ius pas: x = ) de dp 27) Bean 8 c ux XE "TIE aa Tea = 2 Al apes pu Te SE p.— NN = = EE ie] oo + % Io = tie OF. A l'intérieur de Ja sphère 24) le terme x B, g ief = ief, (« ine u peut évidemment être supprimé, la fonction f" ne possédant que des racines complexes. Une discussion facile montre que dans ces con- ditions l'expression 27) tend vers an MS E - wa, B, 0) da dp | 27') te = oe eae BO): —00 —o 19. L'intégrale 27) formellement solution de l'équation us UT NECEM LM ae ss dy’ 02^ du possède done dans l'espace des (x, y. 2), pour un u quelconque, outre la singularité superficielle de 7, le seul point singulier = y —2 —0, point réel isolé du cône singulier 7j. En écrivant la formule de GREEN. relative à 28) on aura done à intégrer le long de trois hypersurfaces, savoir 64 Nits ZEILON, 1) Une hypersurfaee quelconque fermée S entourant un point arbitraire 29) X—X9.,9 — Yos À — 29, U — Mt. 2. Une hypersurface double, parallèle à la caractéristique et suivant à petites distances les deux côtés de la portion d'elle qui se trouve à l'intérieur de S. 3. Un cylindre parallèle à l'axe des u et en renfermant la see- tion découpée par S: ce cylindre se projetera dans l'espace u — const, dans la forme de la sphère 24). Le long de ces surfaces on aura, outre les intégrales conte- nant des dérivées d'ordre inférieur, à exécuter des intégrales de la forme: N | | | la, > Wo» 25 Ig) (eos. (N, x)F, + cos (N, y)F. + eos (N°2) 7 c0s (N. 4) Ry a0: où par F,— F,(*@— 2%, Y¥—Y%, Z—%, U—U) = Qr AO MOL ERO == f la: 2 dy 2 02 > ail P(x tnt cct o ei ud o Up) 9 ete., on a dénoté des combinaisons linéaires des dérivées de premier ordre de 27), y"? y étant remplacé par Lotes eue eich 20. On démontre d'abord que l'intégrale relative à I disparait. On prouve cela le plus facilement par l'intégration de l'expression F encore une fois par rapport à 6, de manière que la formation directe des dérivées d'ordre » — 1 soit permise. On aura ainsi des intégrales de la forme 30) | etc. Yor 20, 1 (cos (T,.a)fi” + eos (T, y)f?? + eos (n, z)f$? + Y dO dö " (x — x,)ff? —(Y—Yo) I”) * s eos (7 jr) x EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc, 65 le chemin d'intégration des 9 tournant toujours d'une facon définie autour du pôle double 6=0. Or, la surface étant parallèle à 7, on a cos (P, 2) «, cos (I, y) eB, cos (T, z) e 1, cos (P, od, et, dans les points singuliers, la fonction intégrée se trouve multipliée par le facteur "eos (T, x)f, + cos (P, y)f + eos (T, z)fa + cos (T, wf, f(a, B, 0) - 0, qui sannule du premier ordre. On a done des intégrales continues sur 7’, et l'intégration étendue sur les deux surfaces, aux directions normales eontraires, donnera un résultat zéro. Cela posé, on peut faire disparaitre l'intégration momentanément introduite. Considérons p. ex. les conditions dans l'espace des (x, y, 2). En donnant un petit accroissement quelconque à wu, la projection de 7 dans l’espace w se déplacera dans l’un ou l’autre sens, transportant avee elle les valeurs continues des intégrales 9). On retrouvera la méme dérivée indépendamment du sens dans lequel on fait varier la variable w. 20. Quant à l'intégration le long du tube entourant l'axe des u, on y a cos Neu) et on est ramené à étudier l'intégrale 31) Plu-— up, 0) = {(cos (0, %)F, + eos (o, %)F, + cos (o, 2%) F,)e do étendue sur la surface de la sphere o (x — zy + (y — y) + (2 — 2) =e. Choisissons pour o une valeur fixe, tres petite, et considérons l'expression ci-dessus pour des w variables. Tout d'abord, elle est une fonction continue de u. En effet, une discontinuité ne peut provenir que de l'intégration sur o à travers la section par 7. Soit done r la trace de 7' sur o, Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. ?!/s 1921. 9 66 NILS ZEILON, variable avec w — w; les dérivées d'ordre » — 2 de F y deviennent infinies d'ordre logarithmique, et par conséquent les dérivées Ff’, , ete., deviennent infinies au plus du premier ordre. Il s'ensuit que l'inté- gration sur une bande de largeur faible renfermant 7, donnera un résultat en general fini (non nul), En donnant à w un accroissement tres petit, la bande se déplacera très peu sur c en renfermant toujours t à son intérieur. L'intégrale correspondante aura retenu une valeur finie qui n'aura changé qu'infiniment peu par la variation de u. En particulier la continuité subsiste encore pour u — uy — 0 1. Or soit Iu — un | trés grand relativement à ep. Dans l'espace (x, y, 2) la caracteri- stique a passé tout à fait en dehors de la petite sphère, les courbes 7 sont toutes imaginaires, et en vertu du n° 18, les dérivées d'ordre n — 2 s'expriment par des intégrales de la forme 27’), indépendantes de u. Dans l'expression de $ on écartera done en F,, F,, F, toute dérivée par rapport à w. Mais alors l’equation 31) se réduit à la formule analogue, formée dans l'espace à trois dimensions, relative à une solution fondamentale à caractéristique imaginaire. Il vient, en ce referant à 27), Ael 32) du — uy, o) = Fu — up, 0)p == U 9 GLa ea VU) Iu — y. — Sireszerand® le signe étant choisi selon que Tied c 1 I] parait de prime abord que le plan « = 0 doive intervenir comme surface singulière. Il n'en est rien; la discussion de l'expression 27) montre que Fe, x, w—2, ainsi que ses dérivées de premier ordre, tend vers des valeurs continues (d'ailleurs nulles) pour «= 0, x+y? + z* > 0. En particulier, dans le cas important étudié au chapitre VI, on integre, pour # = 0, des fonctions identiquement nulles. de clins dl EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 67 Intégrons finalement dans la direction du tube. On aura 33) {ole $4.42, Up) P(u — U; 0) dus - où ¥, défini par 32), s'approche vers les deux bouts du cylindre des I valeurs asymptotiques +5, valeurs d'ailleurs que pour une valeur u Se al arbitraire on atteindra avec une approximation quelconque en diminuant suffisamment le rayon o. Dérivons 33) par rapport au; après une intégra- tion partielle on aura l'expression D fe P(u — Uy, o)du, dans laquelle on peut maintenant faire tendre 9 vers zéro. On trouve finalement 1 | dp 34) 3 lau, Po — 3 |au, Mo — PU, Y > 2, 1. En vertu de 34) on est done parvenu à une intégrale fondamentale. On a obtenu une formule de GREEN de la forme 0 O0 EOS EE NO g(x, Yy, 9, u) zm Qu Fix malo: die QUEE 02, , LC Yo» Sos Uy) aV + Y 01 15,7% = = La dérivation peut d'ailleurs s'exécuter ol : V est alors le volume limité par S, et l'intégrale I, étendue sur S renferme des derivées d'ordres divers de F et de g. ? Chapitre V. Equations essentiellement réelles possédant des plans singuliers. m > Variation de J’; à travers un plan double. 1l. Dans le § 3 du chapitre II nous avons étudié l’algebre d'un plan tangent double dü à un point conique de la surface f. Pour la classe d'équations qui nous occupe ici cette discussion se complète dans un detail important. Notons que la conique ©, courbe de contact avec I’, est nécessairement une ellipse. En effet, l'équation approximative fd? + 26 (fa + fab’) + fare? + 2f,20'B' + fa, ^ = 0 doit toujours donner deux racines 6’ réelles. Il faut donc que a (fis == Jaa sa) zr 2o (Fifa, CFA faof as) SE p^( d feof 14) soit une forme positive, savoir que a ml EEUU fan) D ce qui, par référence à l'équation de ©, prouve la proposition. 2. Aux points du plan double on a h=h=h=h=9, les parties imaginaires des branches reelles disparaissent et nos in- tégrales deviennent indéterminées. Il faudra donc fixer leurs valeurs EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 69 en s'approchant du plan de l'un ou de l'autre côté. La discussion pré- sentera certains points assez délicats, dont l'éclaireissement demandera avant tout une conception bien nette du mécanisme du cóne tangent. Supposons que l'axe des 2 passe en dehors de l'ellipse centrale et reportons-nous à la fig. 5 de la première partie pour avoir la forme du cône 7, franchissant en partie le domaine hyperboloïde autour du point double &. Par la symétrie de l'arrangement ce cône possède deux arêtes de rebroussement, et deux de ses branches se rencontrent dans la génératrice par $ pour toucher ensuite la nappe intérieure de la surface. On a donc, dans une section arbitraire, (menée par simpli- cation par le point double) des traces de la forme des fig. 5—6. Dans ces figures, les branches telles que 44' sont provenues de génératrices de la catégorie OA (voir fig. 2), et les branches BB’ et BC (B'C') sont engendrées par des génératrices OB, OC respective- ment. On a pour AA’, H<0, 220 BB', B®, Bid, H>0,x<0 DO, DC", H«0,2£0, et les OA, OB, OC sont des tangentes de 7', définies par la supposition que O soit supérieur au point 7 par où laxe des 2 pénètre le plan double. Cherchons maintenant à poursuivre la déformation du cóne en faisant marcher O d'une position trés peu au-dessus de 2 à une nouvelle positition immédiatement au-dessous de ce point. Nous consi- dérons deux cas. a) La section coupe lellipse ©. En s'approchant, par la marche de O vers 2, du plan double, OA reste tangent à un domaine elliptique de 7’ et servira par conséquent à former partie d'une branche Ad’, évi- demment, d'apres la fig. 3, au-dessus du domaine central elliptique et tournant son côté concave vers la face supérieure de ce domaine. Quand OA, pour O=2, passe par la position C,C, dans le plan double, on aura toujours à définir la connexion des branches par déplacement continu des point de contacts respectifs, Donc aprés le passage, OA devient tangent au domaine hyperbolique de 7 pour appartenir à une branche de cóne de l'autre catégorie, concave vers la face inférieure du 70 Nits ZEILON, disque elliptique. Nous avons désigné cette branche (pointillée) par aa’, De la manière analogue, OB commence par former la branche BB’ pré- sentant son cóté concave vers le cóté inférieur du disque, et finit par former la branche bb', de la première catégorie, au-dessus du disque et concave vers celui-ci, La fig. 5) montre ce procédé par lequel la courbe en plein passe graduellement dans la courbe pointillee. Ainsi, en se dépla- cant dans le sens indiqué par les petites flèches, BB' et une certaine partie 4, A; de AA’ s'approchent, en s’aplatissant de plus en plus, mu- tuellement et du plan double pour s'y confondre pour O=2. A ce moment les deux branches échangent, pour ainsi dire, entre elles leurs caractères respectifs, et on retrouve ensuite deux branches qui s’eloignent l'une de l'autre et du plan double. Les points A,A', ne sont, pour O = 2, autres que les points par ou les tangentes zL, zL', menées à © par 2 (fig. 5 b), coupent le plan de la section 5). En effet, dans une trace telle que celle de la fig. 3, trés voisine de l'une de ces droites, les points C,C, se sont approchés infiniment l'un de l'autre, et la courbe entre ces points s'est infiniment aplatie. En méme temps deux tangentes d'inflexion se sont mutuellement rapprochées pour se confondre, soit en 2 L, qui par consé- quent appartient comme droite double (aréte de rebroussement) à J;. Ainsi, dans la limite, 4,, A’; coincident avec les angles B, B' respective- ment, et la trace de J; possède ces points comme points d'arrét, La fig. 5 b), représentant les conditions telles qu'elles se dessinent dans le plan double, servira à décider comment l'intérieur de l'ellipse est orienté par rapport à la section 5), dont la trace est marquée en 5b) par la corde 4,4. Prenons un point E entre C, et 4;; ce point se trouve par rapport à la section 7H dans la méme position que F à la droite de C, dans la section 2C,C, de la fig. 3. Dans cette figure une génératrice voisine de OC,C,, coupant le plan double en un point /rés voisin de C,, passera à la gauche de F dans la posi- tion OA(O > z) et à la droite de F dans la position Oa (O <2). On revient facilement à larrangement de la fig. 5, et C,, C', y figurent comme les sections de la corde A,A’; avec des courbes AA’, aa’ infini- ment voisines de 4,4/. Le resultat principal de tout cela est que, pour tout point entre C, et C',, on trouve du cólé supérieur du plan exclusivement des courbes NP EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 71 aux caractères H «0, x20, s'approchant ou s'éloignant du point selon que O = Zz, et du côté inférieur, variant de la même manière, exclusivement des courbes aux caractères contraires H >0,230. b) La section passe en dehors de (6. Prenons p. ex. une section par $ et 4, 4; (fig. 5a). On trouve facilement une figure telle que 6). L'arrangement differe d'une manière typique du cas précédent. Les courbes aux différents caractères marchent toujours dans la même direction, celles à H « 0, x 2 0 avancant sur celles de l'autre catégorie. 9. Prenons maintenant dans les divers cas des points trés voisins du plan singulier. Nos figures permettront inmédiatement des conclusions sur les points de ramification 6. a) Q'. fig. 5), est au voisinage de la face supérieure du disque elliptique. On voit que Q' est «balayé» deux fois par une courbe Hl. 82107; d'abord par AA’ dans sa marche vers 4,4/’, et ensuite par bb’ dans la direction contraire, Les à correspondants s’appellent (fig. 6, 1°° partie) 6, et à4. Les deux tangentes infiniment voisines, passant par Q', sont évidemment réelles pour les 6 contenus dans l'intervalle ÉCRIT 2 0, a’) Par Q", sur la face inférieure du disque, passent de la même manière deux courbes de la catégorie ze ER Qux OPE et on retrouve toujours un intervalle réel entre 6, et 6,. L'apparition, en Q et Q". d'un tel petit intervalle réel exprime géométriquement le fait que la Hessienne du plan double - PLANTE T) cedo est négative pour le domaine central. Les observations ci-dessus suf- fissent pour faire reconnaitre que le passage de Q" à Q' est lié à une discontinuité analogue au passage du côté complexe de T au côté réel. En effet, la contribution réelle en Q" proviendra de l'intégration étendue entre à, et à, sur un radical Lhe — V f 72 Nits ZEILON, devant prendre le signe +, d'apres la règle fondamentale, selon que z $ 0 pour les courbes en question. L’expression analogue en Q" se prendra avee le signe contraire, x étant 20. 1l s'ensuit que l'intégrale réelle augmentera par la période associée aux deux points de ramification 6, 63. b) Q, (fig. 6) extérieur à ©. est voisin de A, A/. Le balayage dans ce cas est fourni de la méme facon pour les deux faces du plan par deux courbes marchant dans la méme direction, d'abord par une courbe H<0,z>0 et ensuite par une courbe de l'autre catégorie. Les branches s’appellent 6,, 63, mais lintervalle entre 6, et 63 est maintenant imaginaire, correspondant au signe positif de la Hes- sienne H(r, y, z, u) du plan double. La fig. 5), quoique moins claire dans ces détails, fait voir que les points voisins de 4,0,, soit de C', A, sont assujettis aux mêmes conditions. Le résultat 6) est donc valable pour tous les points exté- rieurs à C' et inclus dans le secteur LzL'. § 2. L'intégrale F, 5, au voisinage du plan double. En un point arbitraire, voisin du plan double, on a, d'apres le n° 10, chapitre II, pour £2 0 1) zf,—wyf = C VA = x VRZ?+20Z5 + Po? . Projetons dans le domaine complexe. Le terme imaginaire in- troduit dans l'équation F"*) du n° 1) aura un signe fixé par les règles du chapitre précédent. Or, nous venons d'admettre que le passage d'une génératrice partieuliere par le plan double correspond au passage du point de contact, d'une manière continue, à travers la courbe ©. Donc, puisque x et H changent de signe à la fois, la partie imaginaire de 6 conserve le méme signe des deux cótés du plan, et l'énoncé du n? 10, chapitre IV se complète de manière à rester valable méme si (x, y, 2) franchit un plan singulier. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 73 Soit toujours, dans la fig. 6, 1°" partie, l'axe des y dirigé vers le haut, et prenons le point (x, y, z) dans la position Q,. On y trouve selon nos règles que ! ó, est à partie imaginaire positive, (9) Doudsrd, sonb > >» » négative. La partie de F, , dont la continuité est douteuse s’ecrit par conséquent (NET 4 2) il uo (9,) a) Soit d'abord le voisinage du domaine central, où 6, coïncide avec 6;. On a, en vertu de 1) 9, 3 UE Z E — D formule qui représente, au point de vue géométrique, la vraie con- nexion des branches. On y a choisi les signes + dans la supposition que la face supérieure corresponde à Zac 1 9, devant être numériquement inférieur à 6’, en tout point situé, tel que Q', sur la face supérieure du disque central. ! On a supposé, pour le choix des branches, que le domaine à courbure elliptique de J’ en dehors de ($ corresponde à pS On, ques e Le signe admis pour Z s'accorde bien avec cette hypothèse. En effet, soit le cas du n° 15, 1?'* partie; on a trouvé à l'extérieur de © 2 2 u 1 2 2uu(x?-r y?) ? # = - 2 — y < 0. LÀ * étant positif, l'équation (u2 — a? — y?)? Suu(x? + y?) montre que la caractéristique est située relativement au plan double du côté des Z négatifs. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. ??/s 1921. 10 74 Nits ZEILON, Pour le domaine complexe, on écrira au lieu de 3) , 3) 1. Z (0 ygr — PR) + ie > & étant trés petit et assurément positif des deux côtés du plan. L'intégrale 2) contient done le terme logarithmique __ du? (a. B. 6) 2z?zY— P log (', xe 6’) n Xo ty ^ (a, B. d) aoo 9 4 rcm AVE og M = 0). La partie imaginaire du logarithme est singulière, et nous donne pour e=0, 0 ou ai, selon que ZZ 0. On a done retrouvé la singularité dont l'existence a été prévue dans le $ précédent. En franchissant le disque central elliptique du plan double, une dé- rivée P, 4 augmente par un saut brusque algébrique de la grandeur 4) LR Ce saut se prend dans la même direction que les sauts brusques dans les points elliptiques de T immédiatement en dehors de la courbe G. Si x > 0 en ces points, le saut du plan se fait done dans la direction menant de la face intérieure vers l’extérieure. On a suppose ci-dessus que Q, se soit approche du plan double sans avoir franchi préalablement la tangente d'inflexion 7o. En allant dans la position Q', on sait que 6, et à, sont devenus complexes, l'une des deux racines, soit 6,, étant projetée dans le demi-plan supérieur. Ce fait est sans importance, ó, ne se permutant pas sur la partie en question du plan double. D'ailleurs on verra plus tard que la fone- tion intégrée reste uniforme en un tel point de ramification. 5. Dans le eas b), Q, s'approche d'un point extérieur à G mais interieur à L2L,, soit à la droite de C,. L'intégrale I, ainsi que F_3, reste continue, puisque 6, reste distinct en un tel point. D'autre EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 75 part faisons marcher Q' dans la position Q,; à, et à, sont devenus réels de nouveau et on a (Q1) 9, , d d, à partie imaginaire positive 63 >» » » negative. Quand Q, passe a travers le plan double a la gauche de C,, 6, et 6, coincident; P, 4 reste cependant continu, puisque dans la somme de lacets les points confondus figurent tous les deux; les deux lacets correspon- dants deviennent équivalents à la période (d'ailleurs imaginaire) relative aux deux points. 6. Pour Q — PR «0 on se trouve à l'extérieur du secteur LzL'. L'équation I; = 0 donne deux points de ramification complexes et conjugués, qui pour Z = 0 coincident accidentellement en une valeur réelle commune. On revient ainsi à un seul lacet entourant l'un de ces deux points, et ce lacet, emprisonné entre les points confondus, fournira en apparence une singularité logarithmique réelle pour Z=0. Or, il est évident qu'un tel état des choses est impossible, puisque la forme du secteur LzL' dépend du choix accidentel de l'ordre d'intégration adopté. Pour l'explication, il faut se reporter aux fig. 5, 6 des cones 77. Dans les cas étudiés aux n° précédents on n'avait à tenir compte, par rapport à un cóne particulier, que d'une seule branche f, inter- venant dans lexpression 2) et donnant, pour le domaine réel, le vrai signe au radical rf,— yf,. Il en est autrement dans le cas present. Par tout point extérieur Q,, suffisamment voisin du plan double, il est possible de mener deux tangentes réelles à une courbe quelconque voisine du plan double, et ces deux tangentes restent réelles pendant la variation des courbes à travers 4;4';. et elles ne se confondent pas, sauf par accident, quand O — et que Q, se trouve sur le pro- longement de 4,4',. Montrons que sí lune de ces deux branches rentre dans l'expression de P, , 5, l'autre y figure aussi. Soit par exemple les tangentes p, et 76 Nits ZEILON, p, de la fig. 5), B, tangente à bb’ avec x > 0, et f, aaa’ avec x < 0. Les deux courbes aa’ et bb! infiniment voisines donnent nécessaire- ment le même signe à 0°f ap?’ car autrement cette fonction disparaitrait sur le plan double. Cela posé, les régles du chapitre IV donnent à f, et à f, des parties ima- ginaires de méme signe. Mais ces deux branches touchent des courbes correspondant à des zx de signes contraires; l'intégration le long de l'axe réel des 6 doit done introduire des valeurs de signes contraires de - xf, — yfı pour ces deux branches. Il s'ensuit que, pour « — 0, on a retrouvé au voisinage de ó' — 0, les deux branches: i 2 $ (-- ney ae ap se confondant pour Z — 0, 6 — 0. Pour le lacet autour du point de ramification complexe le radical V4, figurera dans deux termes aux signes contraires, et l'intégrale restera bien finie. Une dérivée F, 3 est donc continue en tout point du plan double en dehors de lellipse ©. 6. Le caractere singulier du plan double se vérifie d'ailleurs par les formules du § 2, chapitre III. En y mettant x — 0, les équa- tions 21) et 23) donnent immédiatement une intégrale, continue pour H » 0, deux singularités logarithmiques réelles se détruisant mutuelle- ment, et discontinue pour H<0 d'une manière qu'on peut décrire comme l'effet de deux singularites du type elliptique confondues et ajoutées l'une à l'autre. Ces circonstances s'interprétent immédiatement par la concep- tion du plan double comme un cas limite. Au lieu de f(a, B, o) - 0 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 77 écrivons 5) fla; 9. pg B= 0. Le développement approximatif du n° 6, deviendra 6) 10° + foy? + fs? + P=0, donnant pour f,, <0, deux racines 6 réelles. On se trouve done dans le 25» cas du 8 3. Au voisinage de a, B, à, les F, ; doivent se comporter d'une manière analogue à l'intégrale de la fonction de KırcH- HOFF construite au $ cité. Or à 6) correspondra une caractéristique en forme d'ellipsoide DE M tLe u I — Fa | fos ae fan.” tres aplatie, se rapprochant infiniment du plan Z — 0 pour 4 — 0. Par la substitution 5) on a donc fait disparaitre le plan double. Une analyse facile, étendue aux termes de 3*"* ordre, montre qu'au voisinage de la courbe parabolique originale la nappe extérieure de f passe graduellement dans la face supérieure de l'ellipsoide et forme avec elle une seule nappe extérieure continue, complètement séparée de la nappe intérieure, laquelle est constituée par le domaine à courbure hyperbolique communiquant avec la face inférieure du disque ellipsoi- dal à travers une aréte de rebroussement en forme d'ellipse plane. Une section à travers la surface modifiée donnera done une section ressemblant beaucoup aux tracés des cônes 7 dans les figs 5, 6. Or, en vertu du n° 14, chapitre IIL, les faces supérieure et in- ferieure de l'elipsoide possèdent un x 2 0 respectivement. Les sauts brusques correspondants sont donc positifs dans la direction des Z croissants, et en pénétrant le disque leur somme donnera bien la dis- continuité double. Remarquons finalement que les signes des discontinuités au passage de Ir ou d'un plan double, se fixent toujours par les signes de H et de x, indépendamment du signe de u. En effet, le signe du radical xf, — yf, à choisir dépend de H et du produit xu. Or, pour € «0, l'intégrale VI discontinue se prend avec le signe contraire; on revient done à la méme loi pour wu Z 0, Chapitre VI. Le probléme du centre lumineux dans un milieu anisotrope. Sp: Les équations de Lamé. 1. La discussion du chapitre précédent a surtout tenu en vue l'application au probléme particulier indiqué dans le titre de cet ouvrage. Pour les milieux anisotropes les recherches classiques de Lam, de FRESNEL etc. basées sur la conception du rayon lumineux, avaient posé les fondements d'une optique géométrique souvent en accord éclatant avee les faits physiques et présentant l'apparence d'une grande ana- logie avec la théorie ordinaire des milieux transparents. Il était done assez naturel de s'imaginer que les lois optiques fondamentales du milieu biréfringent devaient se déduire des équations différentielles par une extension du principe de Huyghens formulé d'une manière ana- logue à la célèbre déduction de KIRCHHOFF pour loptique isotrope. Dans cet ordre d'idées le probléme à poser était celui de trouver la manière de propagation dans un milieu quelconque indéfini de la lu- miere émise par une seule source ponctuelle et instantanée. On sait que la résolution de ce probléme s'est heurtée à des difficultés d'une nature surprenante et méme inexplicable du point de vue classique. C'est à M. VorrERRA! qu'est due l'explieation pourquoi les tentatives dans cette direction ont échoué. C'est qu'on était guidé par une fausse analogie et qu'au fond pour les milieux anisotropes la question, est d'une toute autre catégorie, pour laquelle les notions élémentaires de l'optique géométrique ne sont plus rigoureusement vraies. En effet, selon M. VOLTERRA, la perturbation lumineuse émanant de la source ne sera plus distribuée sur la seule surface des ondes comme le suppo- ! Sur les vibrations lumineuses dans les milieux biréfringents. Acta Math. 16, 1892/93. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 79 saient les conceptions classiques, mais il y aura encore de la lumière diffuse répandue à l'intérieur du front d'onde. On verra que la solution explicite présentée dans la suite vérifiera bien les conclusions de M. VOLTERRA. 2. Au point de vue formel le problème à résoudre est le sui- vant. Partons du système des équations de Lama’ en y ajoutant des membres droits arbitraires a aw, av ay ou, ow _ à ‘© ay | ie = Ao" ape ee, Sian te a av, „au A) quid ae” dy =, avec 07 ac U-3 ay? e» Ici u représente le temps, 5, 7, € sont les composantes du déplace- ment lumineux, et X, Y , Z sont les forces sollicitant l'unité de masse. Il suffira, pour les vibrations transversales, d’admettre que X, Y, Z sexpriment par un potentiel vectoriel aux composantes A, u, v, de maniére que 1) = =, EC: Cela posé, les intégrales du système A) se présentent dans la forme suivante. Considérons la forme différentielle 9 9 2 9° 2,2 9 272 P OF (7 20] 12 9 aaa age oo gpl ae 32 — Fal teg Eg 2 x m sete pe à) igh sm (05 62) 2) xls = É dy” 02° out’ et soit le vecteur p, v, x tel que B) Og). Ou Zu) Qv 80, 4 Nits ZEILON, En posant: 2) ran ace a cc ete un ealeul facile mene a! = — AFP, + = (a = + p? ae + e en De €) A m AP, + alé = + p p. 2 = tg -o Ainsi soit les composantes pip de ce potentiel avec ov —gXx = 2 dy 5 etc, on écrit au lieu de C Op , oF; oF, 3 Pow ay Po avec des formules analogues pour # et X. En introduisant les . . 4 > pressions des F,, F,, F, on donnera aux relations 3) une forme symétrique = ! Voir Vorrerra, Drei Vorlesungen über neuere Fortschritte der mathematischen Physik. Arch. f. Math. u. Phys. III. Leipzig 1914. à EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. Sl 2 0° 0g 4) D= 5 — (or 4-22 + (e i) QE +e YS 4) 4 dtp — ae dre nds cote eint. Or, pour la formation du curl, dans ces expressions le vecteur potentiel 0 9 Ip 2 $95 Qv ac + er Het n) +(e +> n) est sans importance. Nous mettons donc a? a Er Gi tra (e + 0) 45) + 4o (4 = = "n - t 22) D) —— (+ e + ern SE + Uw ++) + A dp | dy a ud ss cibos us) E. (v Sick s a Lit sp 4) d + (e +0954) + ap | Qv , I) + e (4 RR a ta Pour parvenir maintenant à la théorie du centre lumineux, sup- posons que le milieu soit sollicité par un potentiel vectoriel, toujours nul, sauf à l'instant u — 0 à l'intérieur de l'élément de volume conte- nant lorigine. Admettons que dans ces conditions ses composantes soient infinies de manière que f^dxdydzdu —1, fudxdydzdu-— m, fydxdydzdu=n, Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups, Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. ?*/s 1921. 11 82 Nits ZEILON, où 7, m,n sont certaines constantes et où le domaine d'intégrat infiniment petit du quatrième ordre, contient le point x = y = 2 —u En posant 1 = li = Kart By +72 +6 Jo q fq. A 5) | 5 » lin 165i «fif a dB dy dà E on aura effectué ces conditions, et en vertu de B) 7 q l 6) prem Bl HY eee ML) a 0 F élant la solution fondamentale de l'équation de quatrième ordre 079 an? ay? = aT 02 al? On arrive ainsi, pour les composantes du potentiel vectoriel représentant lémanation d'une source ponctuelle momentanée, aux formules = | 1 ä —(e ak Des m a (Ge quer 7 ar (a? + 52) M T4 4-— Qu? ,0 Le . 0 | , dax LI n = Ju DU L los - x c = ale 12.0.) set (a? + D?) 5 is ba) E ae ES mss Oo ke QUU rn JF a x=|n {os — (e+ a+ e+e oat (it + - ev Ems. ya aJ. Ces composantes s'exprüment donc par cerlaines combinaisons des dérivées de deuxième ordre de F. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 83 Dans le cas partieulier de (oe sais. on pourra retrancher de D’) le vecteur potentiel 0 DM. OE S a — a rar? et on aura qo 32 X =m [P ur. p ^q Mm Mais dans ee cas 9? N) = = — 4 2 * Q Ge 4 U; on revient done pour les fonctions D, X, *7 à des multiples de la solution fondamentale de E AU —0 GU LH | ? c. à. d. qu'on retrouve la fonction de Krncunorr étudiée au chapitre III. La discussion des fonctions D') se fait commodement en les intégrant par rapport au temps w. Ainsi les expressions E) fddu, f du, f Xdu seront fournies par les membres droits de D’) en y remplaçant F par la solution fondamentale G de 9 e (C) f an DU On aura l'avantage que les expressions qui résultent permettent l'exécu- tion immédiate des dérivations figurant en D'). Les fonctions E) devien- 84 Nits ZEILON, nent ainsi les analogues de la fonction de KircHHorr intégrée, c. à, d. de la fonction discontinue, définie par * 0 pour m* gre se 1 9 | 2 2 + > Dat eT M e 4nYa? + y? + 2 : 3. L'équalion {2 appartient à la catégorie essentiellement réelle. C'est ce qu'on reconnait immediatement en résolvant par rapport à d. La proposition résulte encore des propriétés bien connues de la surface des ondes réciproque à 2. En effet, l'équation de 7’ s'obtient par la substitution de Done Pee — ia bos GE RIE s IP clear. (ey ere) (ben ce) EN J est une surface dont la projection dans l’espace des (x, y, 2) est tout à fait analogue à celle de Aa, B, 7, 9) dans l’espace des a, B. y. Or, on sait que, pour # > 0, la surface I’ passe deux fois par un point arbitraire (x, y, 2) selon que le point va appartenir à l'une ou l'autre des deux nappes réelles. La surface étant paire par rapport à u, on a encore les deux racines u négatives, numériquement égales aux deux racines positives. La méme conclusion subsiste pour la variable 6 en .2; on a done bien quatre racines 6, toujours réelles dans le domaine des a, f, y réels. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 85 SI La surface de Fresnel. Disposition des points de ramification. 4. La formation des intégrales de notre probléme exigera la connaissance préliminaire de la manière dont les signes des fonctions Ct a H > OR? 74 -1 — 2 sont repartis sur la caractéristique. Dans ses traits généraux cette question est résolue par les propriétés classiques de 7. On sait que c'est une surface à deux nappes, à quatre points doubles coniques réels, partout convexe sauf pour ces domaines de la nappe extérieure, de forme hyperboloide, qui entourent les points doubles. Un tel do- maine, à courbure hyperbolique, est limité par la courbe circulaire de contact avec lun des quatre plans doubles. Ainsi la Hessienne H, en général négative, change de signe à travers les quatre cercles paraboliques, pour prendre des valeurs positives sur les parois de chaque cavité. La nappe intérieure étant convexe, H change aussi de signe en allant de l'une à l'autre nappe à travers un point double. Quant à z, nous avons vu que cette fonction s'annule et change de signe en franchissant un des cercles ©. Partout ailleurs les fj. fa, etc., restent de signe constant; x ne sannule done en aucun autre point. Il faut noter cependant que, par la symétrie des choses, la section de 7 avec le plan z — 0 fournit la courbe de contact avec le cône T,. Il s'ensuit qu'en traversant ce plan x change de signe en passant par des valeurs infinies. Vient finalement la troisieme des fonctions 7). Dans une section arbitraire menée par l'axe des 2, elle ne s'annule que si la section coupe un domaine à courbures opposées, auquel cas elle change de signe aux deux points d'inflexion communs à 7' et à la branche correspondante de J;. On a ainsi une connaissance assez, précise des lieux geome- 2 (a) triques qui font changer de signe aux fonctions z et OR: Pour decider du choix à faire en un point arbitraire, il suffira de considérer une section particulière. 86 . i Nits ZEILON, 5. Soit a>b>c. On-a,“pour p =, 9^ (e? ó* = 8) Aa, B, à) = arbe (et — ale a — 3a) = 0,5 — de manière que le plan £ — 0 contient les quatre points doubles de / = RD MN a’ — Cc » Ve ie Ve B—0 Par réciprocité la section y — 0 contiendra les points doubles réels de Br SOM aa 10) T= (2 +2 — bu) + ce? (KET) = 0, section constituée par un cercle et une ellipse se coupant aux quatre - points réels 11) Eier UE za ou) Det — GENE — GF (6 y On calcule aisément les valeurs de z que porte la courbe 10) en un point arbitraire (x, 0, 2). Soit d’abord un point du cercle 107) CHE bu — 0. On trouve or or or x Qu bu 12) Cie Sai =) (P= Us. CD aes 92 2 tandis que pour f — 0, AM 9? 1 Re) E QUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, $7 L'introduction des valeurs 12) nous donne ie PUT IUETSCA D, ZEN TE 13) ne 2 ( c ge b expression qui fait d'abord retrouver le fait que x est de signes diffé- rents des deux côtés de z — 0. En tenant compte de l'équation du cercle on écrira au lieu de 13) 2p? = 13') ed E (Va? — + Vo? — e) (Va? pe my Å Les deux droites : a? — p? an We coupent le cercle en quatre points appartenant aux quatre courbes © respectives. La discussion analogue relative à l’ellipse 10") GE aCe (0 CR = 10) montre que les signes de z se disposent selon la fig. 7. Donc, pour £20, x est positif sur la nappe intérieure et sur les parties hyperboliques de la nappe extérieure, négatif partout. ailleurs. 6. Par les formules du chapitre II on a Qi D ; ap = P (ee = Ene am EAS hoe » dans la section 10). Pour f = 0, on trouve Ree leet Medo eer dT fa» £3 Ar ai 5) T p RE c "a "E 2 är 3) R I en vient pour les points du cercle 10’) ~ 2a?p?c? I 1 1 || 2b? t ee er t 5 — : ar G = =) = x (we? — a’x? — cz) Tin QUILA IO“ 9US x = BH Y sen LU LIBRAF Z\ GAN >. \ Gans: x s 88 Nits ZEILON, tandis que, sur l'ellipse 10"), 2 f(a) op sur cette partie qui se trouve à l'intérieur de l'autre courbe, de maniere que, dans la section particuliere en question, /a fonclion est positive sur la nappe intérieure. Chaque courbe porte done des valeurs positives de la fonction 2 fie) Pour y 2 0, of change donc de signe aux points doubles, Dans une section voisine de y - 0 le changement de signe s'opére, comme nous venons de le dire, aux divers points d'inflexion. Il resulte 2 £ (ce) que Era est positif sur toute la nappe intérieure, ainsi que sur certaines parties des domaines hyperboliques limitées par les courbes de contact, évidemment fermées, entre T et I;. Ainsi, toute branche de 7, tangente 2 à la nappe extérieure, porte des aff négatifs, sauf celles qui touchent la face intérieure de cette nappe. ! 7. Pour l'étude des 12 points de ramification que possède la fonction algébrique f définie par fe = Qo = 0 ? commençons par considérer des sections ypar l'axe des z à travers les quatre domaines hyperboloides. Par raison de symétrie toutes les cavités sont de méme forme et de mémes dimensions, et elles sont toutes incluses dans le méme angle découpé de l'espace des (x, y, 2) par un plan tournant autour de l'axe des z. La fig. 8 montre la trace correspondant à une position arbitraire de ce plan. On y a dessiné les 8 tangentes d'inflexion, orientées d'une facon symétrique et déter- minant quatre valeurs que prend 6 sur cette section particulière de la surface /,; nous désignons ces valeurs par ordre croissant par ni A MUR 1 On a indiqué ces résultats dans la section 9 b d'un cône J's en tracant en plein o? f (o dB” les parties de 7"; correspondant aux valeurs négatives de EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 89 Quelquefois il nous faudra distinguer les deux tangentes à gauche ou à droite portant la méme valeur /; dans ce cas employons la notation Ls ? La ? ete. Si la section variable vient coincider avec le plan y = 0, les tangentes 7 deviennent les tangentes aux points doubles, ENG BARG Oda > BC. 19 9 portant les quatre valeurs 6=G,, G,, G5, G,. Comme à des occasions antérieures nous désignons sous le nom du côté réel de I, ou d'une tangente individuelle I côté où les deux tangentes qui s'y confondent sont réelles. Deux tangentes, soit [,,, Isa, touchant la méme cavité, désignent la trace de la branche de 7; relative à ce domaine. Dans l’espace en dehors de la nappe extérieure de I’, la condition de se trouver du côté réel des deux tangentes définit ce qu'on peut appeler l'intérieur réel de la branche. De cette facon, le domaine extérieur haché de la fig. 8 est l'intérieur réel commun à deux branches I,. Sur la face intérieure de la nappe de 7' considérée les conditions sont plus compliquées; nous y reviendrons plus tard. Precisons encore le terme de domaine ou espace extérieur. Nous voulons dire par là l'espace en dehors d'une surface fermée, constituée par les parties convexes de la nappe extérieure de J’ en combinaison avec les quatre disques plans circulaires qui couvrent les cavités hy- perboloides. Soit Q un point de ce domaine. La fig. 8 fait voir qu'on saura mener par Q 8, 6 ou 4 tangentes réelles selon que Q se trouve a l'intérieur réel par rapport à deux (position Q), à l'une seulement (po- sition Q') ou à aucune (position Q") des branches de J;. On observe qu'on n'aura de tangentes doubles qu'au cas où Q sera situé sur un plan double. Car autrement on aurait des sections de Aa, f, 6), réciproques aux 7, possédant des points doubles autres que les points coniques de la surface, ce qui n'a pas lieu. En particulier les tangentes d'inflexion ne coupent, ni ne touchent la nappe intérieure. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. ?"/s 1921. 12 90 Nits ZEILON, Soit maintenant le sommet d'un cône variable; en partant de 6 = — o ce sommet glis- sera vers le bas de la fig. 8. Désignons la trace du cône dans un plan secteur arbitraire, p. ex. perpendiculaire à l'axe des z. Au départ on aura une figure identique à la section de Ir par le plan z=0 c. à. d. constituée par un cercle et une ellipse: ? (a? + y? — Cu’) (aa? + by! — abu’) = 0; seulement il y faut ajouter les projections des 4 points coniques, points doubles isolés de la section actuelle. Ces projections d'ailleurs coin- cident deux à deux à l'intérieur du cercle (fig. 9 a). En faisant croître 6 la trace retient d'abord la forme de deux courbes fermées convexes, l'une à l'intérieur de l'autre, mais les points doubles confondus se sont séparés et deux de ces points se sont approchés de la courbe intérieure pour coïncider avec elle au moment que DCE Dès maintenant on aura des génératrices touchant deux domaines à courbure hyperbolique, et la courbe intérieure présentera des deux côtés, d'une façon symétrique, la formation triangulaire caractéristique, à deux points d'arrêt et à un point double, des fig. 5 et 6 (fig. 9b). Ces deux triangles, par la variation continue de 6, vont en crois- sant en dimensions relatives, pour atteindre leur plus grande étendue au passage de 6 par sa valeur sur les plans doubles supérieurs, Par la diseussion du chapitre précédent, les courbes intérieure et ex- térieure se sont alors en partie confondues dans la trace droite du plan double, et en méme temps les parties confondues, limitées d'ailleurs par la section du cône avec la surface J,, se permutent d'une facon cor- respondant à l'échange des à sur le plan double (fig. 9 c). Après cela, on retrouve encore une trace de la forme 9 b, les triangles vont en diminuant pour se rétrécir de nouveau en un point double pour 4 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 91 Seulement, avant que cela arrive on a évidemment franchi la nappe extérieure de 7; la courbe fermée extérieure de nos figures est done devenue imaginaire en s'éloignant graduellement vers l'infini. Finale- ment, pour 6 > G,, on retrouvera le point double isolé comme au- paravant, avec cette différence pourtant qu'il se déplace à l'extérieur de la courbe intérieure, seule trace réelle, marchant à son tour vers l'infini et devenant imaginaire au passage de 2 par la nappe intérieure uec. On retrouve évidemment la méme marche du cône en faisant ensuite décrire les intervalles réels symétriques des 6 positifs. En cherchant à se rendre compte de la facon dont le cóne variable glisse au-dessus d'un point tel que @ il suffit cependant de considérer les cônes aux sommets positifs. Il s'agira done en particulier d'en étudier la trace dans un plan contenant Qj, soit toujours perpendiculaire à laxe des z. L'interprétation de la discussion ci-dessus est compliquée par le fait que le sommet variable passe à travers ce plan. Pour la trace dans le plan g — Bo il faut done s'imaginer que les dimensions des fig. 9 vont en diminuant pour 6 < ó, pour se rétrécir en un seul point pour 6=6,. Apres le passage de cette valeur, les traces vont en s'élargissant de nouveau, mais c'est maintenant la nappe supérieure du cóne cui coupe le plan par Q. On se servira toujours des fig. 9 en s'imaginant qu'un point queleonque du cóté gauche d'une figure se remplace par son image symétrique par rapport au sommet du cône, c. à. d. par rapport au eentre O du dessin. Ainsi, p. ex., le triangle gauche de 9 b est projeté du côté droit et glissera, pour 6> 6,, au-dessus des points à l'intérieur réel de la branche 7, correspondante. Selon sa position par rapport aux branches de J;, un point fixe sera balayé par un cóne variable de l'une ou de l'autre des formes 9). Or, ce qui nous intéresse n'est que la position relative du cône envers Q, et on représentera aussi bien les choses en faisant marcher Q. selon le cas, à travers lune ou l'autre des figures diverses. Les chemins ainsi obtenus, différeront surtout par l'apparition ou l'ab- sence de domaines triangulaires parcourus. Sous ce point de vue, la fig. 9b, est la trace réelle la plus générale possible, et il suffira 92 Nits ZEILON, de symboliser les conditions différentes par des chemins traversant les divers domaines de cetle figure. Soit ainsi le point Q à l'intérieur de deux branches J;, et soit y 2 0. La fig. 8 indique qu'on commence en ó - — c» avec 4 branches f complexes; il faut done partir à l'intérieur de la figure en a. Le glissement à travers Q du domaine triangulaire et de la branche extérieure convexe de la nappe inférieure de 7, sera figurée par le vecteur aa’. En allant de a' en c» on a évidemment établi la correspondance à la position 6 =6,, aux dimensions nulles de la trace 75. Dans cette position les 4 tangentes f| réelles deviennent identiques de direction, conformément à ce que la droite joignant Q au sommet du cóne est commune à tous les plans tangents par Q. Toute- fois ces plans, ainsi que les f, restent distincts, ne se confondant que dans cette projection particulière. Pour la marche à travers la nappe supérieure du cóne on revient done du cóté gauche de 9b par le chemin oe aa" , sans confusion entre les branches. Numerotons les points de ramification figures par les divers pas- sages de la fig. 9b dans l'ordre Or, On, Ont, Ory, Ov, Óyr » Óyrr Óymmrs que les dépasse le chemin aa’ oo a"a"'. Supposons que pour 6 = ó;, les racines se permutant et devenant reelles s'appellent £,, 6,; on retrouvera les deux autres branches réelles ß,, 6, pour 6=67. Les dénominations étant celles de la figure, on a, d’après les règles du chapitre IV, fait en sorte que, pour x > 0, Ds. Bs sont à parties imaginaires positives. En effet, dans une section par la nappe inférieure on à 2-1: dues de plus, sur la branche intérieure du cóne (pointillée dans la fig. 9 b) on a Qf («) op? Ac Um 2-0 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 93 Mais évidemment la section y de la racine 2 + bu y bi TS est inférieure a celle de f,, donc (le long de aa’ entre I et II) Pi > Pa et par les dites formules fj, est à partie imaginaire negative. En rappelant qu'on revient vers le cóté gauche de la fig. 9 b sans permutation entre les branches du cóté droit, on trouve que les per- mutations aux points ör, dr, ete., se représentent par les symboles ör = (1, 2), ör = (3,4), dn = (2,4), óry = (2, 4) ör 7 (2. 4), dvr=(2, 4), 6rm=(8 , 4), övur= (1 , 2). 8. Pour avoir le résultat analogue par rapport à d'autres posi- tions de Q, il faut bien comprendre le sens de la fig. 9 b. Notons que la trace fermée extérieure représente une branche 7 qui touche tou- jours P7 aux points convexes de la nappe extérieure. Donnons à 6 une valeur queleonque fixe, et faisons varier Q en restant toujours en de- hors de ce cône convexe. On peut p. ex. faire tourner Q dans le plan . de la fig. 9 b le long de la courbe pointillée; quelque soit le déplacement de Q, méme à travers les branches de /,, toujours est-il que les deux tangentes menées à cette branche extérieure se déplacent avec Q d'une ma- niere continue sans permutation, et que par conséquent elles représentent partout les mêmes branches B. En d'autres termes, en retenant la déter- mination ci-dessus, il faut admettre que la circonférence extérieure de la fig. 9 b permute en tout point les branches f, et B,. Cela pose, en retenant bien le caractere relatif de la fig., un point Q' à la droite de 1, c. à. d. extérieur au domaine réel de la branche J; correspon- dant au point double à la droite, est tel qu'il ne sera pas traversé par le domaine triangulaire à la droite du cône variable, c. à. d. que sa marche relative se fera à l'extérieur d'un angle limité par les deux vecteurs marqués I, dans la fig. 9b. Ces vecteurs, ainsi que leurs prolongements du côté gauche de la fig. représentent d'une manière schématique la trace de deux branches /,, toujours avec la stipulation 94 Nits ZEILON, que le côté gauche du dessin (x — 0) se reporte à la variation de la nappe supérieure du cône. Les racines réelles du côté concave de la eireonférence extérieure s'appelant partout f,, f,, on conclut que les points d'arrét et les points de section avec les quatre demi-droites J, divisent la trace intérieure de la fig. 9b en différentes parties aux permutations bien définies, telles qu'on les a marquées par les chiffres de la figure. La marche relative d'un point tel que Q' est ainsi symbolisée par le chemin bb'o a"a"" , et les points de ramification réels sont ör - (1, 3), öry = (2, 4), 6r= (2,4), övr - (2, 4), by = (3,4), övar = (1,2). De méme, dans la position Q", on aura le chemin bb’ © reve- nant d'une facon symétrique par 6'b'” en dehors du triangle gauche, avec àr— (1.3), 60172, D = A, m lee 9. Revenons maintenant à la fig. 8 pour la projection des 6 dans le domaine complexe. Il faut alors décider si une tangente par- ticulière, au voisinage du point de contact, fixe la plus grande ou la plus petite des deux 6. Soit en Q, 2 > 0, u > 0; la relation S| ESI = fait voir que le sommet inférieur correspond à la plus grande des racines. Nous indiquons par les notations «max» et «min» la grandeur relative d'un à particulier. Les signes des parties imaginaires respectives dépendent des signes de H, xu, Ap aux points de contact des différentes generatrices. On aura encore l'un ou l’autre signe selon que Q et le point de contact se trouvent du méme côté de x = 0 ou non, ce qu'on a indiqué par le signe + de la colonne «x» ci-dessus. La partie imaginaire cherchée est fournie par la derniere colonne. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 95 m Jel zu Ag: "DI 4 mmo + xL oc Örr max ai ai am Zi As Our min ae us pis == stc dry min + x m = i Oy min — = — — — Övr min — d + — = Ovi max — a + + = Oyu min — — + + — On a donc ce résultat que les quatre points à la droite (x > 0) sont déplacés dans le demi-plan supérieur. La disposition des points de ramification réels est ainsi complétement élucidée. On a l'arrange- ment que voici / u Il IV a2 34 (Q) (- 00) det (6 (9) (9 4 ait a a) V vi Vil vu (2) (quy Eee, 10. Dans la position Q' les deux points 67, dnr sont devenus LE ys UTTER complexes et conjugués. En méme temps, d'aprés les résultats du chapitre IV, 8 4, ces deux points par le passage de 7/,, ont change leur manière de fonctionner. On aura la figure suivante: (Q') x0 | V Vi vu 7 420 i (94) (24) (34) (1?) 213 Ml ll faut noter seulement, que relativement à la discussion antérieure, il y a ici une difference de notation, f, et f, sont toujours les racines à partie imaginaire positive, mais la racine réelle dans l'intervalle d’où dr et dy, sont disparus, s'appelle maintenant f, au lieu de f, c. à. d. la notation nouvelle à permuté les chiffres 2 et 3. La fig. Q' est done bien conforme au résultat obtenu à cette occasion. Or, on sait que 96 Nits ZEILON, les permutations associées de cette facon aux ó;;, ó;j; déplacés, sont essentiellement définies en prolongeant les branches B à partir d'un point d=a, réel au voisinage de la valeur réelle commune des ör, Ör au mo- ment du passage à travers Ij. On peut interpréter ce fait d'une manière qui importera pour certaines conclusions dans la suite. Joignons ör à un point b à la droite de ó;,, par un lacet direct au-dessus du point à partie imaginaire positive 67, mais tel qu'il n'y ait aucun autre point de ramification entre le lacet et l'axe réel. A partir de b, ce lacet est équivalent au lacet entourant IV (2, 4) suivi du lacet passant par a autour de II (3, 4) en combinaison avec le lacet (2, 4) décrit de nouveau dans le sens contraire. Le chemin ainsi obtenu permute évidemment les branches Pa, Bs. Cela posé, cherchons à identifier les deux paires de racines ó conjuguées qui nous restent encore à retrouver, Il est naturel de présumer que ces points doivent étre associés aux deux autres branches de la surface des tangentes d'inflexion. Ainsi faisons procéder Q’ vers J,,, tout en restant à l'intérieur réel de /,,, J,,. En arrivant dans une position Q"' à la gauche de 7, et à la droite de 7,, on verra apparaitre deux nouvelles racines 67r, óy dont les tangentes touchent la cavité inférieure droite. Ces deux points sont distincts des 8 points considérés jusqu'ici. Car autrement on aurait évidemment retrouvé de nouveau les ör, ô devenus complexes au passage de Ia. Or, en retenant l'imaginaire ie, un point de ramification individuel se définit partout dans l'espace des (x, y, 2) réels par prolongement ana- lytique bien defini et se représente sans ambiguité par une méme tangente bien fixée dans tout domaine où le point est réel. Restons done du côte réel de J,, et marchons vers Q'" du côté réel des deux tangentes J,,, l,,; les tangentes IX et X sont assurément distinctes des tangentes se permutant sur ha, La. Quant aux branches permutées par ön, dx il faut seulement un peu de précaution pour appliquer la fig. 9b. Les tangentes IX et X appartiennent manifestement à la nappe supérieure d'un 7% à sommet négatif, s'eloignant vers l'infini négatif avec des 6 croissants. La trace dessinée variable sera toujours celle de la fig. 9 b, mais avee une différence importante: c'est que dans les points correspondants on a partout change le signe de z, tous les points de contact des géné- ratrices qui interviennent étant du côte des 2 < 0. Les signes des autres EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 97 fonctions H ete., qui servent à préciser le prolongement des branches sont au contraire disposés de la méme manière qu'auparavant. Or, on sait que, pour une tangente réelle, orientée d'une facon géomé- trique définie, le changement de signe de x fait changer de signe la partie imaginaire de f associée. ll s'ensuit que pour avoir toujours, dans 9b, les Pa, p, à parties imaginaires positives, il faut pour un cône à sommet négatif les représenter par les tangentes dénotées par p,. B, pour les cônes superieurs. On a done, entre les z positifs et négatifs la permutation poe. 4 BA 2 Il n'est peut-être pas superflu de remarquer qu'il n'y a là aucune discontinuité dans la représentation géométrique d'une branche f. 5 1 Les domaines des cones positifs et négatifs sont séparés par un inter- valle où tous les cônes sont imaginaires. Cela posé, la situation de Q'' est telle qu'on commence en BOSE: 1 ó-2 —oo avec des racines f réelles, et le résultat ci-dessus s’inter- prete par les permutations rencontrées le long du chemin o» «a'a me- nant à l'intérieur de la figure, suivi du chemin cc’, lequel évidemment QUE | parcourt un domaine présentant la substitution desiree. Pour la pro- jection relative à l'axe réel on a x H zu As TEL. Oy min — ~ — — — óy; min — E ate abe 11 Öyır Max = == a =F =a Ovi min = = + + — Ör min + = = + = Örx max a I -— + — Ööx min Je = = ar Rm Ööpr min E ar SE ats Mem Quant aux 6,, 6, perdus de vue, on sait toujours qu'ils ne se sont pas confondus avec d'autres points de ramification. La marche de Q n'a pas pu affecter le prolongement des f à partir du point b, resté à la gauche de tous les points de branchement complexes. On conclut Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. 5/3 1921. 13 98 Nits ZEILON, que les lacets menés de b autour de ö,, et de à,,, permutent toujours f. et Ps. On a ainsi (n) 7 yu vu / Wi. À iv 2 (24) (24) (34) (19) GBH (19 (24) CH 0) 11. Précisons maintenant la disposition de 6;; et de à, dans le domaine complexe en revenant vers le côté complexe de 7,;. Les deux points redevenus complexes, on se reporte encore aux conditions du $ 4, chapitre IV. Seulement les racines qui se permutent autour de l'angle de rebroussement s'appellent dans le cas présent f,, f,., Pa, lesquels le long de cc’ se comportent de la méme manière que f,, f,. f, rela- tivement à l'angle symétrique, C'est pourquoi on trouve (ur) i Vi Vl / (12) (19 V (24) (24) = c5 (Il) Joignons IX et X à b dans l'intervalle à 4 branches réelles à la gauche de 6,; les lacets directs obtenus permutent f, et p,. En poursuivant ce genre d'argument il n'y a finalement aucune difficulté à identifier les deux points 6yr, dx qui restent encore. Par rapport aux figures ci-dessus on remarque que la position de b est dans une certaine mesure arbitraire. Soit p. ex. b’ entre 6y et dyn. Des lacets menés de ce point directement à 67, dörr ainsi qu'à EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 99 örr et dy permutent encore Ba, p, et B,, B,. Entre dp; et óyj; on a encore, selon la fig. 95, 4 branches £ réelles, et apres avoir tenu compte aussi de dy, et de 6x7; on est finalement conduit à ce théorème: Dans l’espace extérieur des (x, y, 2) des lacets, issus d'un point ö=b dans un intervalle à 4 branches P reelles pour & = 0, et menés directement aux divers points de ramification complexes, permutent toujours deux branches a parties imaginaires qui en b sont de méme signe. 12. La demonstration ci-dessus est cependant particulière en ce que la marche à travers les domaines triangulaires de la figure schématique 9b s'est toujours faite du côté des x, y positifs. Il y a certaines modifications pour zy — 0. Soit x>0, y<0. Un point intérieur aux deux branches /; supérieures introduira dans ce cas le chemin cc'oc"c"' Les 8 points de ramification qui en résultent se trouveront dans la disposition identique à celle donnée par la fig. S au point Q, mais les permutations correspondantes se sont modifiées 0) à 5.5 & (y « 0) onde mm (94) (12) (54) de manière que les points du type (12) et (34) ont pour ainsi dire changé de place. Au moment où Q passe à travers y — 0 les deux points I et II se dépassent l'un l'autre en coincidant en une valeur ó commune fixée par la génératrice joignant Q au point double. Si maintenant Q, dans les conditions actuelles, franchit /,;, on marquera dans la fig. 9 5 le chemin dd'æ c''c"', et les points réels sont ceux de la figure suivante "n Vy y 27 Vil (24 (24) (19) (34) Au point a la racine réelle, affectée d'une petite partie imaginaire: po- sitive, s'appelle donc toujours f,, tandis que fj, est à partie imaginaire 100 Nits ZEILON, négative. Les racines f,, P,, Pa so permutent autour de l'angle de rebroussement et on a done le schéma ci-dessus, Les lacets issus du point b permutent f, et f,, et le théorème du n° précédent reste vrai. En prenant de la manière analogue Q du côté des x négatifs, on aura encore, avec y > 0, le méme vecteur cc' oo c"c"' de la fig. 9 b Le côté gauche est alors associé à la nappe inférieure de 7, et nous retrouvons les mêmes conclusions que pour y < 0. La sorlie d'une branche quelconque de I, fait toujours transporter dans le domaine complexe des points de ramification des types (2, 3) et (1, 4). On a trouvé ci-dessus que les conditions en Q différent d'une manière caractéristique pour y 20. Soit toujours Q à l'intérieur com- mun des deux branches de /;, mais se trouvant dans le plan y — 0; la marche à travers la fig. 9b fait à deux occasions coïncider deux points de ramification réels, des types (12) et (34), c. à. d. ör avec ör et Opry UEC Or. Nous sommes par cela dans la nécessité de considérer un lieu singulier d'une nature laissée jusqu'ici de côte. 13. Caractère singulier du plan y 2 0. L'existence d'une telle singularité est la conséquence nécessaire de la présence des points doubles de 7, c. à. d. des plans tangents doubles de 9. Pour un cône 7, arbitraire la droite ménée du sommet z à un point double est à regarder comme une génératrice double du cóne. Dans le cas actuel le plan des y — 0 est le lieu géométrique de toutes les gé- nératrices doubles. En un point arbitraire de ce plau les quatre droites menées aux points doubles définissent ainsi quatre valeurs à doubles, en général distinctes, et ces quatre génératrices doubles restent réelles méme si les cónes tangentes autrement sont devenus imaginaires. Le cas du n° précédent montre qu'au plus deux des valeurs doubles peuvent correspondre à des points 6 réels coïncidants; pour une valeur double de lautre catégorie la génératrice double isolée correspond à deux 6 complexes devenues momentanément réelles et égales. L'exemple réel montre que la coincidence se fait sans permu- tation des branches. On a bien pour (3, 4) — (1, 2) Bs = Bag ass B, FB3. ss... UL eee SS eee à 1 ie m EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 101 On a les conditions analogues dans le cas complexe. Soit (x, 2) un point arbitraire du plan y = 0, et prenons la droite menant au point double X = cu Pat Z = au V Y x : a? — ge? (p = EE N coupant l'axe des z en 2 — — du. L'équation de cette droite sera : &-Fóu 4+ du as TB 11) L'introduction de Prec SE ae Z + du P L Perk Co montre par un calcul élémentaire que QO = 0 - fournit bien deux racines f? égales ER Arek) ab + ce = (6 = me ac? 1 g-— « ayant la valeur 11). L'expression 12) est positive si Ve ; b? Ve — À pet quy gama et négative en tout autre cas. Il s'ensuit que les racines f ne sont réelles sur la droite double que si G, << G,, G,, G, étant les valeurs correspondant aux tangentes à la section de I' par le plan double. On se trouve done alors dans le cas réel dont nous venons de faire mention. Au contraire, toute droite double isolée mène à une valeur f? négative. On a done alors une paire de valeurs f égales à partie 102 NILS ZEILON, imaginaire positive, et une autre paire de f confondus à partie imagi- naire négative. On en conclut que lun des points de ramification coïncidants permute f, avec p, et l'autre f, avec f,. Le» caractère singulier du plan y = 0 est ainsi représenté par les relations symboliques d(3, 4) = 0(1, 2) pour les points réels el J(2, 3) = d(1 pour les points complexes. Dans ces relations les branches sont d'abord définies à partir d'une valeur 9 réelle au voisinage de la valeur commune des deux points confondus. Ainsi, au cas complexe, on a prolongé les f en partant d'un intervalle à 4 branches complexes. Or, en se reportant aux diverses figures ci-dessus, on reconnait de suite qu'une telle stipulation est équivalente à celle de partir d'un intervalle à 4 branches réelles. Ainsi, dans la fig. (Q) p. 95., déplacons b dans lintervalle complexe à la gauche de I; un tel déplacement mettra en jeu les lacets successifs (2 4), (2 4), (3 4) (1 2) et chan- gera un lacet du type (2 3) en un lacet du type (1 4) et inversement, 14. L'existence des points doubles a donc rendu particulière- ment facile l'identification des points de ramification dans ce plan. D'une manière analogue on sait que le plan x = 0 contient 4 points doubles complexes. En raisonnant sur la fonction algébrique «, dont les points de ramification sont identiques à ceux de /7, on conclut que toute droite joignant un point arbitraire (0, y, 2) à l'un de ces points complexes coupe l'axe des 2 en un point complexe z et que les 4 valeurs complexes 6 = — Zu sont des valeurs doubles des 8 points de ramification complexes. On aura encore deux valeurs égales non nulles de «?; les deux « correspondant à l'un des points confondus sont done à parties imaginaires de méme signe, de manière que (1, 4)= 0Q, 3) aux 4 points à en question. Ces points étant distincts, on a done re- trouvé l’ensemble des points de ramification complexes. Dans cette EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 103 derniere relation symbolique le choix des branches pour des valeurs réelles de 9 reste d’abord indéterminé. Or, faisons varier (x, y, 2) librement dans l’espace extérieur; la valeur commune des deux f au point de branchement complexe, variant avec (x, y, z), retiendra une partie imaginaire de signe constant, tant qu'on reste du méme cóté de x = 0, et tant que à reste complexe, puisque des valeurs réelles confondues de B et dea définissent toujours un point de ramification réel. On déplacera done à avec les deux branches confondues, retenant au voisinage de 6 leurs parties imaginaires de méme signe, jusqu'à arriver en une position (x, y, 2) où à devient reel. Le plan (x = 0), d'où nous sommes partis, passe à l'extérieur de l'angle contenant les branches 7,. Un resultat constaté à une occa- sion antérieure nous a fait retrouver des points de ramification com- plexes dans ce domaine. En effet, par le $ 6 du chapitre V, deux racines 0, complexes ailleurs, deviennent réelles et égales sur le sec- teur extérieur d'un plan double. On a vu alors que les deux points de ramification confondus permutent les mêmes branches f réelles, alfectées de petites parties imaginaires de méme signe, et que la va- leur réelle commune des deux d est située dans un intervalle à 4 branches // réelles. Toutes ces conditions se représentent immédiate- ment en faisant circuler (x, y, 2) à l'extérieur de la fig. 9c (corre- spondant à 2> 0); on voit que les tangentes confondues dans les di- vers points extérieurs des deux plans doubles visibles dans cette sec- tion particulière s'appellent £,, 9,, soit f,, f, selon que xu = 0. On a donc, sur les secteurs exterieurs des plans doubles 9(1, 4) — 9(1, 4) pour zy < 0 0(2, 3) = d(2, 3) > 790 Il n'est pas difficile de démontrer que les divers secteurs en question font retrouver l'ensemble des 8 points complexes. 15. Cela posé, il se peut qu'un point 6 particulier, avec lequel on est parti de x — 0, se confonde sur le premier plan double ren- contre (en b, fig. 9c), en prenant la valeur réelle d définie par la section de ce plan avec l'axe des 2. Si tel n'est pas le cas, on 104 Nits ZEILON, continuera de varier (x, y, 2) en se tenant toujours à l'extérieur des I;, ce qui se fera en passant par des points tels que Q' (fig. 8). Finalement on arrivera au plan y = 0, sur lequel tous les points de ramification prennent deux à deux des valeurs communes réelles. Dans ce cas, la valeur commune des deux branches associées à 6 est toujours complexe et sa partie imaginaire a retenu le signe initial au voisinage de x = 0. Il s'ensuit que, en variant arbitrairement les (x, y, 2) dans cet angle extérieur de l'espace extérieur, un point de ramification reste en général complexe et ne devient réel que par accidence sur le plan y — 0 el sur un plan double. Sa valeur réelle se trouve alors dans un intervalle à 4 branches B complexes ou à 4 branches réelles selon le cas, et les deux branches ß se permutant autour du point dans une position arbitraire, se définissent par prolongement analytique de deux branches à parties imagi- naires de même signe à partir d'un intervalle de l'une ou de l'autre catégorie. Cet énoncé nous ramène par une autre voie aux propriétés des points complexes retrouvées en franchissant les /;. Ainsi on pourra d'abord fixer les branches dans les intervalles complexes pour y = 0. ll arrivera alors que les valeurs réelles confondues de 6 se trouveront dans des intervalles différentes à 4 branches complexes. Or, en vertu des considérations ci-dessus, des lacets issus de deux intervalles de la même catégorie sont de même type; on pourra donc choisir un point de départ commun à tous les lacets dans le domaine complexe, tel que ces lacets permutent tous, ou B, avec B,, ou Pa avec Ps. En variant ensuite (x, y, 2) à partir de y = 0, les points de ramification restés réels se deplaceront le long de l'axe des 0; il se pourra done qu'un tel point dépasse la valeur b initiale, Pour ne pas faire changer de caractere aux lacets, il suffit évidemment de faire varier b en méme temps, de manière à rester toujours dans un intervalle de méme caractere. On a maintenant une idée assez précise de ce qui arrive quand Q franchit une branche de I;. Une paire de points conjugués s'ap- prochera d'une valeur d réelle, incluse dans un intervalle où antérieure- ment deux branches B sont réelles. On aura ainsi les deux cas typiques (9) (i9) 09) 9/5 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 105 On vérifie immédiatement que le départ de a ou de a’ mène aux per- mutations discutees au chapitre IV. On note seulement que l'arrangement ci-dessus suppose que Q se trouve à l'extérieur du cylindre 7. Le passage dans l'intérieur de ce cylindre entraîne des modifications non essentielles et faciles à discuter. Era La solution du probléme optique. 16. En vertu du $ 1 du présent chapitre l'émission du centre lumineux est représentée par la formule F) {[Pdu = $27 | fits (D+ )a (cea?) Pita +b") +a (o Pit 1)|-a?a,(lo,,+mp,-+n) 2 "An? (Jiu) GO. 9) — yQe (Bu, 9)) en connexion avec les équations analogues pour ffdu, fXdu, obtenues par permutation cyclique des coefficients Ime net q. 0,6 comme indiquent les expressions D'). On a i EAA UR ar Ol = E | Q + 4e, = (o? + f? 4- E (Gee Crea at) benne =| A?) > rat) 12u:0(202 ((b* 7 la (Ear PA a2 db) | = 0 et la sommation en F) s'étend aux deux racines Par P3 Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. ®!/s 1921. 14 106 NILS ZEILON, à partie imaginaire positive du système F'. L'expression F) est ainsi une somme de deux intégrales abéliennes appartenant à la courbe By + à + du Q» = o(— “A , 8, 1, =O; du 4°™° ordre et du genre p = 3, étendues le long de lacets autour de certains points de ramification dont le choix est fixé par les conventions du $ précédent. Soit u> 0. L'intégration autour du demi-plan inférieur introduira le résidu pour Ó = — iu à la limite. Soit À cette fonction, de méme que B et C les résidus correspondants de [Pat et de f/Xdt. Il résulte de F') que A, B, € sont des expressions indépendantes de w, purement algébriques, con- stituées par certaines sommes de résidus aux zéros f, de | on + py +e= 0 | Qa, 8, 1, 0) = (a? -F + 1) (ca? + ca? B? + a?b?) = 0. Les A, B, C se calculent done immédiatement par la résolution des deux équations de deuxieme ordre. Pour a — 0 — c — 1, ces fonctions se réduisent, en négligeant les composantes d'un vecteur potentiel, à + A 1 Mm. n dn yx? + y? + 22 L'étude des fonctions F) va différer selon le domaine de l'espace dans lequel on se trouve. La caractéristique combinée avec les quatre disques circulaires des plans doubles divise l'espace des (x, y, z) en trois parties, savoir les domaines extérieur (=), intermédiaire (T), et intérieur (Y). Les deux premiers sont séparés par ce que nous ap- pelons le front d'onde antérieur, constitué par la partie convexe de la nappe extérieure de I rendue surface fermée par les disques couvrant EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS etc. 107 les cavités, tandis que le domaine intérieur est limité par le front d'onde postérieur, c. à. d. par la surface fermée de la nappe intérieure. Le domaine intermédiaire se divise encore en cinq parties séparées, savoir en quatre cavités 7, aboutissant dans les quatre points doubles respectifs et recouvertes chacune par l'un des disques circulaires, et en un domaine 7; à connexion multiple, intermédiaire entre les deux nappes de /. Nous allons voir que les fonctions F) prennent des valeurs très simples dans les domaines = et Y. 17. (Domaine X.) La discussion du $ précédent nous mène au théoréme suivant, important au point de vue physique: Les fonctions fd»du, fSfPdu, [Xdu sont identiquement nulles dans l'espace extérieur. En effet, soit p. ex. la fig. (2) du n° 7, et partons de b avec les deux branches (2, 3). Des points de ramification à partie imaginaire positive menons des eoupures vers l'infini; en allant de 5 directement vers les points complexes on sait que ces points complexes permutent P, avec |, de manière que la somme F), symétrique par rapport à ces deux racines, prendra la méme valeur aux deux bords des cou- pures respectives. On n'aura done à tenir compte que des lacets joig- nant les quatre points J, II, III, IV à co. 243 TE Q4 4— | — Jan 1+4 id ) LED HRS iv (49) Le chemin d'intégration déformé mène immédiatement aux deux lacets allant de J et de II, à — co, et à la période relative aux deux points III et IV. Or, ces trois chemins, pour «= 0, peuvent être ramenés à coïncider avec l'axe réel des d. Notons que, tous les points de ramification étant négatifs dans ce cas, il n'y a aucune collision avec le point singulier d = — iu. Cela posé, la fig. 9b montre de suite que par les chemins ainsi obtenus on intègre partout les branches en question dans des intervalles où elles sont complexes. Il s'ensuit qu'une racine particulière s'est permutée avec sa conjuguée sur l'autre bord du chemin et qu'on intègre partout une différence de racines imaginaire pure, conformément à l'observation du n? 12, chapitre IV. 108 Nits ZEILON, Si lon sort de I; pour aller dans la position Q') les conditions se simplifient. La figure (Q') réduit le chemin d'intégration aux deux lacets -«— 243) Ing < 244 — 344 + If [1 dont le résultat est toujours imaginaire pur. Finalement, dans une position telle que Q"', en dehors du cy- lindre 7°, tous les points de ramification réels se sont posés dans le demi-plan inférieur. Les branches définies en b ne possèdent done que des points de ramification du type (2, 3) dans le demi-plan positif; la fonction intégrée y est uniforme, et l'intégrale le long du coutour fermée est nulle. On reconnait sans difficulté que les trois cas ci-dessus sont typiques pour les conditions diverses que présente l’espace x. Notre théorème est donc prouvé. 18. (Domaine Y). L'expression P) se simplifie par le fait que tous les points de branchement sont complexes. On pourra done mettre « directement egal à zéro, et on ecrira p. ex. +2 +» 13 TEE vane ) [Pau 372 | (d + du).2'9(B , 0) formule dans laquelle on a dénoté par v^ le polynóme de deuxieme By + 2+ du ordre de p, a= 3 , figurant dans F), et où la fonction réelle © ne s'annule maintenant pour aucune combinaison de valeurs f, 0 réelles. La partie réelle de 13) s'éerit f dbdu = Im df dà ye o m yore | 16x? (9 + iu)420 (0 = ju) 2 Dans cette intégrale, en exécutant l’integration par rapport a à, les racines de £2? mènent évidemment, à la limite «= 0, à des contri- EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 109 butions qui sont égales et de signes contraires pour les deux termes y figurant. Par l'intégration autour du demi-plan supérieur il ne nous restera done que le résidu par rapport à jw, nous donnant: 1 (a48-w99(8,0) A ES | Re 0) 12: Les parties réelles des [@du, [ Pdu, f Xdu se réduisent dans l'espace 1 1 intérieur aux expressions algebriques, indépendantes de u, 3 A, 4 B, 50. di a -_ 19. (Domaine T,.) En partant d'un point de l'espace x, soit de Q", franchissons maintenant la partie centrale d'un plan double pour rentrer dans l'intérieur de la cavité 7,. Par ce passage, deux points de-ramification, appelés ci-dessus d,, et dy, en coïncidant pour € —0, se dépassent mutuellement, en retenant toutefois les signes de leurs parties imaginaires. L'effet sera répresenté par les deux figures (domaine x) | (domaine 7) la» 1769 Ta2) IV(u) Y (34) VIL (19) Vay Villa, on aura toujours les lacets autour des points I et IV, mais le dernier lacet ne porte plus sur des racines partout complexes. En effet, les bran- ches se permutant autour de IV sont réelles entre IV et V; le lacet étant toujours mené de dr à — c, on conclut que la partie réelle de l’integrale sera representée par le chemin double entre V et IV, e. à. d. par la période relative à ces deux points. Si le passage à travers le disque central se fait à l'intérieur de J; il n'y a aucune modification essentielle. On aura les figures respectives (domaine x) (domaine T,) lg) Hy, Hoya We,» lg Hey Wey IV) V(24) V (94) La partie réelle de la période relative aux points IIL IV sera à l'intérieur de 7,, pour e — 0, égale à la periode calculée autour de Met IV. 110 Nits ZEILON, L'intégrale [du s'exprime à l'intérieur d'un domaine T, par la période de l'intégrale abélienne F) relative aux deux points de ramification qui se confondent sur la partie centrale du plan double correspondant, On voit sans peine que ces périodes sont de signes symé- triques dans les quatre domaines 7,. Il suffit de comparer deux domaines symétriques par rapport au plan z — 0. On y a des valeurs Zz de signes contraires, mais en méme temps on intègre le long de valeurs 0 de signes contraires; le dénominateur d (pour w = 0) a done changé de signe en allant de l'un à l'autre domaine. Or, d’après la règle fondamentale A) on intègre toujours de facon que zQp — 9920, x$0 dans les intervalles réelles. Mais dans la cavité du point double supérieur on a 7 0, 0 0 On en tire facilement que fdbdu = UI, — mi, — nll,. où /1,, II, , sont pairs, tandis que ZZ, est impair par rapport à Z. 20. (Domaine T;) Partons de Q (fig. S) et penetrons la nappe extérieure de J’ en restant à l’intérieur du domaine haché, Par cette marche on franchit d'abord le plan double P, ce qui fait changer l'orientation relative de d et de d,,; en franchissant ensuite 7' on fait coïncider dy, avec dy. On a ainsi I II aye uns a 6) 05 CA b y IV VII VIII avant le passage de J’ et 4 2 I If y 09 04 (om A i yi vu Vin (24) CH (12) V (24) ads Ad diui i € EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 111 aprés. On a maintenant 4 branches réelles entre VI et VII ou entre II et IV et on peut choisir b dans l'un quelconque des intervalles. Onretrouve comme contribution réelle la période autour de dn, et dj. Fran- chissons maintenant J,,; dyr et dyr deviennent complexes et d'y p. ex. se posera, avec la notation (2, 3) dans le demi-plan supérieur. On aura ainsi toujours la méme période. Enfin on pénètrera /,, en faisant coïncider 9, avec dy. On aura dans le demi-plan positif un nouveau point de branchement dr, obtenu par deplacement continu d'un point antérieur, dont le fonctionnement est toujours représenté par le symbole (2, 4), à partir des points 5 ci-dessus. i Ill IV (4) — 89 Vil = (29) [ (2) v b St] V (19) "n vi Q3 ov (24) (94) On retrouve donc encore la période relative aux deux points complexes On, Or. On note d'ailleurs que par déformation du chemin d'intégration cette période s'exprime, à part du résidu pour 9 — 0, au moyen de la période relative aux deux points I et VIII. On arrivera done à la nappe interieure de T avec la période relative aux points qui s'y confondent, et on retrouvera inmédiatement la singularité algébrique qu'exige la théorie générale. 21. En particulier, on revient pour les points de J à certaines intégrales hyperelliptiques. Soit p. ex. un point du domaine convexe du front d'onde antérieur; on y a obtenu deux (demi-)périodes, dont l'une est relative aux deux points de ramification confondus, et l'autre se reporte à deux points restés distincts. La premiere est liée à la singularité au passage de I; c'est une fonction algébrique en x,¥y,2. La seconde intégrale, continue au point considérée, doit de méme être algébrique, la somme des deux périodes étant nulle à l'extérieur du front d'onde. 2 112 Nits ZEILON, Vérifions ce fait important par une autre voie. Il suffira pour cela de considérer des points extérieurs aux 1,, puisque par une trans- formation homographique on peut toujours faire en sorte qu'un point arbitraire soit extérieur à la nouvelle surface ],. Soit d'abord un cas particulier. Prenons le plan y — 0, en supposant que les points coniques réels soient situés dans le plan X — 0, c. à. d. que l'on ait bac. On aura l'avantage des notations employées ci-dessus, et le résultat sera identique à celui pour le plan x = 0 au cas So zm Cx La section de T est fournie par le cercle de rayon b renfermant à son interieur l'ellipse concentrique aux axes 2a, 2c. Soit 6 la valeur double en un point du cercle; la substitution de 6 — 6 a6 nous donne une équation de la forme Q co + 2f?(pd?+ 206 + r) + (p's? + 296 + 7)? = 0. Les deux autres points de ramification réels, représentés par les tan- gentes à l’ellipse, donnent f = 0; ce seront les deux racines ör, övr de p'ó? +2q'6 +r — 0, avec les branches coïncidantes /2 1 f = +V— (p? + 298 + r) + V(pà + 298 + r)? — ó?(p'o? + 296 +7) 3 Supposons, pour fixer les idées, que le point en question soit à l'intérieur de la branche 7, tangente à la nappe intérieure. On a done b?u j= — buy? -7) = ee, (art2getr-0), pô? + 2qô + r = arc 0? — c?) + a? (D? — c?) > 0, EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 113 tandis que, pour à— 0, « ==, "n a g a^ (c? — D?) + c?*(a* — 5?) <0. x «Diss Ud iR e On vérifie aussi, d'aecord avec la construction géométrique, que 61, Ovm, sont situés des deux côtés de à — 0. Les racines f,, Ps restent réelles et distinctes dans l'intervalle 6, övr; cet intervalle con- tient le point 6 — 0, point double pour les deux autres racines B = Y — (p? + 246 +7) — V (po? + 2på Er)? — (port 2gotr) 4 Soit comme cas typique l'intégrale on 02 ? et considérons la demi-période Ör ING dö An? jue ÓVIII y Op Ba On revient à une intégrale hyperelliptique en posant an La courbe ó? qa (l + 222 (po? + 299 + v) + à*(p'ó* + 298 + r')) = 0 “nous donnera dé Iu uv Odi n1 of = 4s of ue » ap | d6 | À OB 1 / 3 2 Wav ee Fra + 20/8 + WD), of"? 1f" ag ag ax x! Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. ?!'/s 1921. 15 114 Nits ZEILON, Le signe du radical est alors choisi de facon que à 0 pour 2>0. Soit, en effet, i B, 0, ED dans lintervalle övr ör. Avec Ov 0 , 0,7. 0 on à À = — © pour ó = Öyyır À — +o pour ó = 6;, et il faut toujours intégrer avec des valeurs positives de 21 Ainsi, 6 et 4 devant changer de signe en méme temps, on conclut que l'expression à ci-dessus reste valable dans toute l'étendue de l'intervalle. Il vient done l'intégrale 4 d'où en remplaçant A par — 4, +00 Adi 1 d == (p'à* + pa? + 1 EE E I UU Ga + 2002 —ıyD q'é + 200 + Tp) +00 a(r'à? + 2r) L'expression est done bien algébrique. 22. L'étude que nous venons de faire peut servir à ébaucher une démonstration directe de la disparition de nos expressions à l’ex- térieur du front d'onde antérieur. Soit un point de ce domaine exté- rieur; la courbe / est réciproque au cône tangent méné par le point EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 115 à I et représente la section réelle de la surface f ménée par un point («, B, 9) intérieur à la nappe intérieure de f. On peut supposer que la courbe f de 4*"* ordre eonsiste en deux traits fermés distincts, l'un à l’intérieur de l'autre; si tel n'est pas le cas on peut toujours atteindre le but par une projection différente, soit en considérant /'? ou /?, soit en faisant une transformation linéaire convenable. Pour plus de généralité, considérons dans l'espace à 4 dimensions la section de I' par le plan 22 py 72+ Ou 0 dans l'espace des «, f, y; on aura un cone, p. ex. dans l’espace des B, 7, d, dont la section par le plan y= I nous donne la courbe 9, Supposons résolu le probléme géométrique suivant: déterminer un point E extérieur aux deux branches fermées de /'?, tel que les quatre tangentes menées à f par E touchent en quatre points en ligne droite. Par le point E ainsi déterminé menons la droite OE par le sommet du cône f®(B, 7, 0), et coupons le cône par un plan arbitraire parallèle à OZ, soit par le plan y'=ßcosp+tysinpy=1. Dans la nouvelle section, E est rejeté vers l'infini, et par une trans- formation linéaire préalable entre £ et y on a fait en sorte qu'au point (v, y, 2) correspond par réciprocité une courbe /, constituée toujours par deux traits fermés, telle que par les 4 points réels dans lesquels elle est coupée par une certaine droite, passent 4 tangentes qui sont toutes paralleles. La transformation linéaire, soit p'-— —p sin p+y cos q "AB. eos q»- Sum p variera en général avec x, y, 2 mais sera toujours possible, pour un point arbitraire de la catégorie en question. Avec Li xz — IL Sin p +2 eos q sin @ a I & e & [67] Ss oo cy) 116 NILS ZEILON, on sera revenu aux formules des chapitres précédents. On peut done supposer d'avance que / ait la propriété désirée. : Cela posé, introduisons le système suivant de coordonnées obliques. Prenons la dite droite comme l'axe des 9" et la direction commune des 4 tangentes comme l'axe des fj; soit de plus l'origine située à l'intérieur de la courbe intérieure. On a ainsi fait en sorte que la fonction algébrique A” de 9' définie par la courbe /'^, prend toujours la valeur 0 aux quatre points de ramification réels. Denotons encore par RO O^. d'y ya ces 4 points, dont deux, soit d,, dyyr, appartiennent au trait exté- rieur et correspondent par réciprocité à certains plans tangents à la nappe intérieure de I. On a encore fait en sorte qu'une droite mobile sus f = n2 ’ au paramètre A, coupe /'? en 4 points réels, pour toute valeur reelle de 4 entre + o»; deux de ces points appartiennent à la courbe exté- rieure et deux à la courbe intérieure, Les deux traits de /'? étant distinets, il n'y a certainement pas de permutation entre les deux catégories; les quatre points restent des fonctions distinetes, bien dé- terminées, de A. Une droite 0” = const, coupe la courbe intérieure en deux points, réels pour OW < 9" < d'y ^ correspondant aux valeurs f',, f',; soit // / B,«0,59,-0, de manière que la droite mobile, pour 4 arbitraire, coupe la courbe en question aux deux points (P^, , 01) ; (8's E ds) EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 117 avec 0, = 0, , 0, = dy pour f = 7',=0,4=+0 ’ 0,—0,,Ó0., ln > » » Az 994. en faisant tourner la droite d'une maniére continue; pendant cette marche un point particulier d’,, défini sans ambiguïté, change de signe pour à = 0. Cela posé, la racine f’,, figurera dans une période en forme d'intégrale y ue | MOON 4n?x ENE s s Gr). où 4 est le déterminant de la transformation obliquangle. Soit CF), = OF: on aura nécessairement (Car), < (0) pour une valeur d arbitraire dans l'intervalle en question. Par la transformation SE P’; À on obtient dus = due * 9f, 1/3 3 +—,dd =0 dd” — idp’, = Psdå gos bed |. Orda TANE oy Oo Lag. quai "am. 90” 118 NILS ZEILON, en posant , 9” \/ q(0, à) = Mf? (= ; D) ; L'intégration par rapport à 9' entre d” et 9", relativement à la racine «supérieure» ff, fait marcher A entre — et +»; on integrera le long de la courbe avec le point variable (f',, d”,), et il vient l'inté- grale +00 ^ AU ROCA x | ee o’, étant la racine «supérieure» de M = pd 9 2) = 40 , relative à la courbe intérieure, racine fixée par la condition que On ; Ip 7 > 0, et par conséquent 16%) 0 Pour completer la periode il faut encore integrer la racine negative pP, dans la direction contraire de dy à dy. On suivra alors le point (P,9,) le long de la partie inférieure de la courbe, en faisant tourner la droite dans la méme direction. En dépassant l'axe des d”, 4 change de +a à —o, et en décrivant la courbe on fait encore marcher 4 de — o» à +». On a maintenant M an ce Pi : de’ 120’, da fa Xy a; e), différentielle dans laquelle af dd’ ei cee ye EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 119 sont tous les deux négatifs. D'accord avec cela Ó' jg e LP et le terme asymptotique de y, pour À — c , étant de quatrième ordre, 1 = aps. change bien de signe à travers 4 = +. On trouve done +00 2 4 i330, dài 4a?x m Sm Ys. ? intégrale qui porte encore, comme il faut bien, sur des contributions exclusivement positives. Le raisonnement identique relatif à la courbe extérieure donne encore les deux intégrales portant sur les racines Ó',, 0”,. Ces inte- grales sont négatives, puisque cette courbe correspond au signe con- traire de z. La somme des quatre intégrales 4 +» ; dE NNI Md dA 4n?3; = E Vo 00 / 9, est bien nulle, puisqu'elle est étendue sur la somme des résidus de la fonction rationelle de 0” Ó' pd, 2) Si maintenant (x, y, 2) s’approche de la nappe extérieure de I, la courbe intérieure va se rétrécir en un point double isolé, par lequel passent les axes de coordonnées. La substitution aye 120 Nits ZEILON, réduit la courbe / à une courbe hyperelliptique o? > E = 9 = P, 2) +.228/(1, 2) + DO (1, 2)) 20, u et nous définit les deux racines 9", 1 = i> ome (bsc) "dye La période correspondante To 4 Odd d',2dà es | (ön, ay) —c 00/5, 00/6. se réduit a +00 Zh då Tex p FOL) A) Or f®(1, 4) est provenu du polynôme /'?(f'. d') des termes de deuxième ordre au point double 5' = 9" — 0; on a donc 1 aero 920 92 fi 1 TD DE Speo TM age > ! et pour la Hessienne a? de cette expression on a Je Be ac^ 1 On trouve donc le résidu 2 an Ne 4n y—H Á égal et de signe contraire au résidu relatif au point double que fournit. la période autour des points de ramification confondus. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 121 — 23. On reconnait encore le théorème ci-dessus en partant direc- tement de l'intégrale double +0 40 D ; dp do za Sn x | f(B, d) +ieff —o0 —o00 transformée aux eoordonnées obliquangles + co +o 14 ; dp" dd” Sa) f (p' à 9") 3- je (2 mes mri Dans le cas le plus simple /\® sera de méme signe le long de l'un des traits fermés de //?. Sur la courbe extérieure on aura, pour 2 > 0, 02 f 9 02 par une discussion d'un type connu, x» 0, Of?’ ae > 0. On en tire qu'en coupant par la droite mobile, les racines ó' négatives seront projetées d'un côté et les racines positives de l'autre côté de laxe réel des 5’. Or, la substitution fait décrire par 4 le chemin de + à — pour ó' > 0, et le chemin de —o à + pour 9'« 0. Il vient done , +00 0 ; r oo d ? 1 di Ó'dà 0’ do m 5?» 1 3 ro. à à) + def, " 4 ro j y + def, Dans cette intégrale on pourra faire « = 0 dans tout intervalle exempt de ceux contenant les quatre racines, toutes réelles, 0, , 6%, 63, 0',. On aura done des contributions partout imaginaires, sauf aux demi-résidus correspondant au passage immédiatement au-dessus ou au- dessous des pôles. Chacun des deux termes passe de cette manière par deux zéros, situés par rapport à la première intégrale de l'un et par rapport à la seconde intégrale, de l'autre cóté de l'axe réel. Les deux Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 4. Impr. ?!/s 1921. 16 122 Nits ZEILON, intégrales étant de signes contraires, on aura 4 demi-résidus de méme signe, à somme nulle. L'essentiel dans ce raisonnement est la réduction possible à une courbe entre 6° et 2, telle que les quatre racines restent réelles et distinctes dans tout le domaine réel des 4. Cette possibilité est évidemment liée au fait que le front d'onde antérieur présente vers l'extérieur une face partout convexe. On observe d'ailleurs que la démonstration n'est pas affectée par la présence de points d'inflexion de la courbe f'?^: la restriction à des points (x, y, z) extérieurs aux branches /, n'est done pas essentielle. § 4. Propriétés de la solution. Résumé. 24. La preuve que nos fonctions représentent la solution fonda- mentale du probleme de Lami est fournie par la méthode du S 6, chapitre IV. La supposition essentielle était alors que le cône 7; fut imaginaire, le sommet seul excepté. Dans le cas présent il y a cette modification que les droites menées de l'origine aux points coniques, c. à. d. les axes optiques de J’, sont à regarder comme des droites doubles isolées du cóne; en effet, en correspondance à la nature singu- liere du plan y ^ 0, on y a des points de ramification confondus. Il n'y a là cependant aucune singularité pour nos intégrales, puisque les valeurs f qui s'y confondent sont complexes et que par conséquent les discontinuités possibles ne peuvent pas apparaitre par l'intégration dans le domaine réel. ! Il a résulte des SS précédents que les dérivées de deuxième ordre de la solution fondamentale de 0 a a, fU = 3, QU = 0 du sont partout nulles pour u=0, et qu'il faut les prendre toutes avec le signe contraire pour w<0. Ce dernier fait est d'ailleurs évident par cette raison que nos fonctions sont provenues de l'intégration par rappert à w de fonctions qui, par raison de symétrie, sont nécessaire- Pr EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete. 123 ment paires par rapport à w. Cette observation nous permettra une modification importante au point de vue physique. Le point capital de la discussion du chapitre IV est la déduction de l'équation 14, 8 6, en conséquence des valeurs que prennent les dérivées de deuxième ordre sur l'axe des v. Or, prenons la fonction paire de u, définie pour des u quelconques par |u| f F(u)du , et ajoutons-la à la solution fondamentale du § 1. Les composantes d. V. X du potentiel vectoriel contenant seulement des dérivées d'ordre pair par rapport à u, cela revient à ajouter à f@du, etc., des inté- grales de la forme |u| [ Bdu . - Les fonctions ajoutées, toutes nulles pour u — 0, sont toujours conti- nues à travers ce plan, et on a ajouté des solutions de l'équation 0 ac eth 0 du telles que les solutions qwi résultent sont toutes nulles pour u<0. On a encore des dérivées d'une solution fondamentale; en effet l'équation 14) du 8 6 (chapitre IV) est évidemment remplacée par op | # au =G(%,Y, 2, U. Pour des valeurs positives de u on a simplement multiplié par 2 les fonctions diseutées dans les $$ précédents. La solution modifiée répond ainsi à la condition physique d'une perturbation nulle en tout moment w antérieur au moment d'émission u —0. 25. Résumons finalement les propriétés de la solution obtenue. Le vecteur lumineux à été exprimé par le cw d'un potentiel vectoriel aux composantes ®, #, X, s'exprimant à leur tour par cer- taines dérivées de 2*™° ordre de la solution fondamentale F de l'équation QU -—0, 124 NILS ZEILON, soit 4 DIO 0-10 : — (2) v=0 aa ay? a2” au) ^ etc., etc., | En formant les intégrales [du , ete., on est arrivé aux expressions poe T. "(B,, dd PT en — a0)’ intégrales abeliennes de troisième espèce, associées à la courbe de genre 3 | [4 = Q [s fx + 2+ du Ces intégrales sont des fonctions uniformes des x, y, 2, u partout conti- - nues, sauf aux points appartenant à la caractér uu Jp et aux domaines. centraux circulaires des plans doubles. En tout point exempt de ces lieux singuliers la différentiation par rapport au temps w, ainsi que la differentiation figurant dans l'opération du curl, peut s 'exécuter immédiatement, z Le potentiel db, #, X est nul pour toute valeur négative du temps u, ainsi que pour une valeur arbitraire positive u, en tout point (x, y, 2) à l'extérieur du front d'onde antérieur et en tout point intérieur au front d'onde postérieur. Les fonctions fd»du, ete., présentent les discontinuités suivantes. franchissant, dans l'espace x, y, 2, la caractéristique en | point convexe, en allant dans la direction des valeurs croissantes d -\e Fyre, ces intégrales subissent des sauts brusques algébriques, d'ordre — 1, la grandeur Da, B à) EQUATIONS AUX DERVIVEES PARTIELLES A QUATRE DIMENSIONS ete, 125 H étant la Hessienne au point considéré, et a, 8, 6 étant les valeurs or or or Ee m low Cea Pare. Gr: a dre Nds Le signe + se prend selon le signe positif ou négatif de x. Le passage à travers le disque circulaire d'un plan double correspond de la méme manière au saut brusque de la grandeur double 1 Ba, B, 3) INE H Aux points à courbure hyperbolique de I, les intégrales deviennent infinies d'ordre logarithmique + 975 DINE = lop; pour q.— 0. Les divers lieux singuliers se rencontrent aux quatre cercles © de contact entre /' et les plans doubles; on y trouve une infinité d'ordre 5, la Hessienne H s’annulant sur ces courbes. - En comparant ces résultats avec les faits classiques dans la théorie des milieux isotropes, on a vu que les singularités des do- maines convexes sont tout à fait analogues à la manière dont se comporte, sur la surface d'onde sphérique, la fonction de KIRCHHOFF intégrée par rapport aux temps. Soit EVANS) l'équation de I en un point convexe, et soit E(u — I7) une fonction de la nature de celle introduite par KIRCHHOFF, c. à. d. nulle partout sauf en w = 1,, valeur à travers laquelle l'intégration par rapport à w donne la valeur 1; on peut exprimer lanalogie en 126 Nits ZEILON, question en disant que, au voisinage d'un tel point convexe, les ö, J, X se comportent comme aux points des disques circulaires on aura les fonctions analogues 1 ö (u | em, Les surfaces que nous avons appelé les deux fronts d'onde sont donc de vraies caustiques, dans le sens de la surface sphérique du principe de HUYGHENS; on y a de la lumière concentrée selon une loi algébrique analogue. On a encore de la lumière résiduelle répandue dans l’espace intermédiaire aux deux fronts d'onde. La distribution en est représentée par certaines périodes d'intégrales abéliennes du genre 3, et se fait, exception faite pour les domaines singuliers logarithmiques ci-dessus, d'une manière partout continue. En faisant l'une des constantes a, b, c, soit a, égale à une autre b, on revient d'une manière continue au cas bien connu d'un milieu aux axes optiques confondus, On sait que toute la perturbation se réduit alors à la distribution discontinue sur la surface d'onde partout convexe, On en conclut que, pour a voisin de b, la lumière diffuse continue deviendra relativement peu importante, sauf au voisinage des domaines logarithmiques, devenus, dans ces conditions, de dimensions irés petites, Les quatre disques jouent alors, pour ainsi dire, le róle de couvercles empéchant la lumiere diffuse de se propager en avant du front d'onde antérieur. " à 2 LM Note. Sur la permutation des points de ramification à travers 15. Il n'est peut-être pas superflu de remarquer que le résultat du § 4, chapitre IV, relatif à la manière dont se comportent les dr, dirr au passage de Js, doit nécessaire- ment s’accorder avec le prolongement analytique des branches 8 permutées. Il faut done que des lacets issus d'un point fixe, entourant les deux points de ramification et se déformant continüment avec le déplacement continu des dr, dr, permutent toujours les mêmes branches 8, définies au point de départ. L'équation 15) du § 4 peut s'écrire nes = a + te F (b + iu) , b passant de valeurs positives à des valeurs négatives en allant du cöté réel de 7; au côté complexe. Quand b marche à travers zéro le radical 3 3 3ie + (b+ iu) = re décrit dans le champ complexe un chemin tel que À À A’ ci-dessous (pour u > 0). La B marche correspondante de dir sera simplement figurée par une certaine translation de ce chemin. De la manière analogue BBB’ représente la marche de dr. On voit qu'au moment de franchir I; les deux points exécutent un mouvement rotatoire l’un autour de l’autre, et le sens de cette rotation dépend manifestement de signe du w, c. à. d. du coeffi- cient = de la formule 15). Si, pour b>0, dr, dir se trouvent du côté inférieur du l'axe réel, on partira avec les deux lacets QB(3, 4), QA(2, 4), issus d'un point au-dessus des positions initiales de 6; et de dir. En suivant la marche des ör, Örr, ces lacets se deformeront dan, les positions QB, QA. On remplace immédiatement QB par un lacet pointills 128 évidemment permutant f, f,, lequel par déformation continue deviendra le | joignant Q à B’ directement. Le lacet QA au contraire permet immédiatement déformé dans la position QA’ et permutera toujours f, avec ß,. On revient or, dr, on aura les lacets QD, QA , soit Q,B, "Wi ci-dessus. Le second se re place par le lacet direct pointillé QA, permutant f, et B,, et ensuite on remp QB par le lacet pointillé au-dessus de Q,4(2, 3); on obtient ainsi un nouveau. Q,B permutant f, et B,. On vérifie facilement que le sens de rotation est sans conséquence pour conclusions; on revient donc toujours à l'énoncé du § 4. EIRE Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser 4. Vol. 5 N. 4. = Convexe convexe / Fig. 2. O+t5 +O N. Zeilon. Jel, JOE Ser 4. Vol. 5 N.4 Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Fig. 5b. lobe double Plan double Nova Ácta Beg. Soc. Sc. Ups. Fig. 8. Fig. 9 a. Set zt. Wo), Is. Ju 245, je». 300€ (14), x=0 (23) x SEE ~ 3 3 3 1, © >, Ss BR FE Se = f 3 Be à (23) (14) Fig. 9 c. 13 pr ESS Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page Page 96, 28, 28, 31, 32, 33, 35, 35, 39, 51, Errata. Premiére Partie. : : Im. 1 ligne 5, en remontant, lisez 2 (XC för «+ .) au lieu de = (Bene) " wo 27(6) Ir) ligne 4, en remontant, lisez y? au lieu de y! = 2 : I da? 9 Qe 9 yw of (02) " ; 9 yu of ——— umen UA AN qum == : x 0800 x? dB00 ligne 9, en descendant, lisez a'P = x* + y* -u au lieu de P = 1? — x° — y; —a'Q, —a*R, a (PR — Q?) au lieu de Q, R, PR — Q? respectivement. ligne 10, en remontant, lisez — formule e, lisez — à; + 0, = p! Q* — PR au lieu de — 0, + 0, -YQ'—PR. formule cs), Zisez P(0', — 0,) au lieu de 0’, — Ó',. formule 14, lisez f, au lieu de f, . ligne 3, en remontant, lisez fj &'? + fj40? + 330 © au lieu de fia? + få + f. . tenez compte de la note de la page 48, 2i®me partie. - ligne 8, en remontant, lisez log (0, — 0,) au lieu de log (0, — 0,) ligne 6, en remontant, lisez = au lieu de T. z : SENE LO 3 Tet ligne 2, en descendant, lisez > AU lieu de ru: ; ——- 1 Ni ligne 4, en descendant, lisez ni au lieu de Deuxième Partie. +00 +n 9, formule 11), Zisez Je au lieu de ji 31, 31, 32, 32, 32, 60, — 00 + : 2 5 1 : =i ligne 5, en remontant, lisez — au lieu de — ST Sri 2 2 —1 : 1 ligne 4, en remontant, lisez —— au lieu de = 8 v4 84 = au lieu de — — Sm u Sz? | 2 ligne 8, en descendant, lisez: Pour revenir aux notations de la 1° partie nous écrivons encore au lieu de IV, pour u > 0, formule IV’, lisez dBdd au lieu de dad formule X, lisez Fe u,n—2 au lieu de Fee, n—2 - formule IV, lisez NOVA ACTA REGIAE SOCIETATIS SCIENTIARUM UPSALIENSIS SER. IV. VOL. 5. N:o 5. CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN II. ZUR KENNTNIS EINIGER HEMIASCEEN VON H. O. JUEL. MIT 9 TAFELN UND 4 TEXTFIGUREN. (Der KôniGz. SOCIETÄT DER WissENSCHAFTEN ZU UPSALA MITGETEILT AM 1. ÅPRIL 1921.) UPPSALA EDV. BERLINGS BOKTRYCKERI A.-B. 1921 Bm o über die hóheren oder eigentlichen Askomyceten schon mehrere eingehende cytologische Untersuchungen vorliegen, so dass die Cytologie dieser Abteilung der Pilze in ihren Hauptzügen ziem- lich klar darzuliegen scheint, so kann man dasselbe nicht sagen von den Hemiasceen oder niederen Askomyceten. Zwar fehlt es nicht an eytologischen Untersuchungen über diese Pilze, die Resultate derselben sind aber bei weitem nicht so gut, wie bei den eigentlichen Askomy- ceten, was wohl der Kleinheit dieser Objekte und den technischen Schwierigkeiten, die mit ihrer Untersuchung verbunden sind, zuzuschrei- ben ist, In meinen früheren Mitteilungen über die Cytologie von Dipo- dascus und Taphridium hatte ich über Kernteilungen bei diesen Pilzen sehr wenig zu berichten. Seit der Zeit habe ich neue Präparate dieser beiden Hemiasceen gemacht und auch meine älteren nochmals durch- mustert. Ausser diesen Objekten habe ich auch eine Ændomyces-Art und mehrere Arten von Taphrina untersucht. Dank der besseren op- tischen Hilfsmittel, die mir in den späteren Jahren zur Verfügung stan- den, bin ich jetzt zu weit besseren Resultaten als früher gelangt. Bei Endomyces und Taphrina konnte ich die Kernteilungen genauer be- schreiben, als es früheren Forschern gelungen war. Und meine Studien an den Taphridium-Arten haben unsere Kenntnisse über die Kern- teilungsvorgänge in ihren Asken nicht unwesentlich gefördert. Freilich gibt es bei allen diesen Pilzen in Bezug auf diese Verhältnisse noch vieles aufzuklären. Ich glaube aber nicht, dass ich es durch fort- gesetzte Studien an meinem Materiale weiter bringen würde, sondern habe mich dazu entschlossen, meine Resultate jetzt zu veröffentlichen. 4 H. O. JUEL, Endomyces decipiens. AVE WIG Ms Less har GUILLIERMOND hat in seiner Arbeit über die Endomycetaceen (1909) neben den Resultaten seiner eigenen Untersuchungen eine Ubersicht geliefert von allem, was damals über die morphologischen Verhältnisse dieser Pilze bekannt war. Er hat ferner daran einen »Essai sur la phylogénie des Levüres» geknüpft (1909, p. 46), in welchem er die ver- schiedenen Gattungen der Saccharomycetaceen von verschiedenen Typen der Endomyeetaceen abzuleiten versucht. Es kann nach diesen Untersuchungen und Ausführungen GUILLIERMOND'S keinem Zweifel un- terliegen, dass jene beiden Familien mit einander aufs engste ver- wandt sind. Die Verfasser, welche die vegetativen Kernteilungen der Sac- charomyces- -Hefezellen studiert haben (wie Janssens et LEBLANc 1898, Wacer 1898, Wacer and PENISTON 1910, GUILLIERMOND 1903, 1904, 1910), sind der Ansieht. dass diese Teilungen in den meisten Fallen amitotisch sind. Nur bei Saccharomyces Ludwigii und Schizosaccharomyces octo- sporus wollen JANSSENS und LEBLANG »une division indirecte tres réduite» beobachtet haben. Und nach GUILLIERMOND (1905, p. 362) ist die Teilung in den vegetativen Zellen von S. saturnus öfters mitotisch. In den Hyphenenden von Endomyces-Arten hat er Kernteilungen gesehen, die Bilder die er davon bekam, waren aber wenig deutlich, und er be- zeichnet sie als amitotiseh (1909, p. 11, 21, 28). Im Askus von Saccharomyces haben JANSSENS und LEBLANC (1898) und Wager (1898) zwei successive Kernteilungen beobachtet. Die ersteren nennen diese Teilung »une sorte de cinese très réduite». Wacer bezeichnet den Vorgang als eine Teilung »by elongation and constrietion», findet es aber móglich, dass hier »a simple intermediate stage of karyokinesis» vorliegt. GUILLIERMOND (1910, p. 558) nimmt an, dass die Teilungen im Askus der Saccharomyceten Mitosen sind, scheint sie aber nicht besonders studiert zu haben. Er hat dagegen Mitosen in den durch Kopulation der Sporen gebildeten Zygoten von S. saturnus abgebildet (1905, Pl. S Fig. 74). Die Bilder von Kern- CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 5 teilungen in jungen Asken von Eremascus fertilis, die Frl. SrorrEL ge- sehen hatte, waren ziemlich undeutlich, liessen aber mit Sicherheit auf mitotisehe Teilung schliessen. GUILLIERMOND (1909) hat in den Asken von End. fibuliger, End. Magnusii und Saccharomycopsis capsularis Bilder gesehen, die an Kernspindeln erinnern, wagt aber nicht zu behaupten, dass wirkliche Mitosen vorliegen. Wenn die hier referierten bisherigen Versuche, die Kernteilungs- vorgänge bei den Endomycetaceen und Saccharomycetaceen aufzu- klären so wenig Erfolg gehabt haben, so liegt dies gewiss an den technischen Schwierigkeiten, die mit dem Studium dieser Objekte ver- bunden sind. Bei meiner Arbeit mit Dipodascus hatte ich die Erfahrung gemacht, dass für Kernstudien die Mikrotomschnitte weit geeigneter wa- ren, als die Präparate, die ich durch Totalfärbung und nachheriges Über- führen in Glycerin oder Balsam verfertigt hatte. Es gibt aber eine Endomyces-Art, die sich zum Herstellen von Mikrotomschnitten vor- züglich eignet, nämlich E. decipiens Tur., die in Armillaria mellea para- sitisch lebt. Die angeschwollenen Lamellen, in denen der Parasit seine Mycelien und Asken entwickelt, können fixiert und in Paraffin ein- gebettet werden. Meine Vermutung, dass von diesem Pilze hergestellte Mikrotomschnitte einige neue Tatsachen in Bezug auf die Kernteilungen erschliessen würden, hat sich als richtig erwiesen. Ich will die Re- sultate dieser Untersuchung jetzt mitteilen. Das Material wurde in verdünntem Zinkehlorid-Essig-Alkohol fixiert, und die Mikrotomschnitte mit Eisen-Hämatoxylin und Lichtgrün- Nelkenól gefärbt. Meine Prüparate enthalten junge vegetative Mycelien und ältere Mycelien mit Massen von Asken in verschiedenen Entwick- lungsstadien. Die jüngsten Entwicklungsstadien konnte ich jedoch leider nicht finden. : Die Zellen des Mycels sind immer einkernig. Die Kerne sind sehr klein, zeigen aber deutlich einen Nukleolus und Chromatinkórner. In den peripherischen Teilen der Mycelmassen, wo die Hyphen noch im Wachstum sind, habe ich nach Kernteilungen gesucht, diese scheinen aber in meinen Präparaten nicht häufig vorzukommen und sind auch wegen ihrer Kleinheit sehwierig zu erkennen. Die Bilder von solchen, die ich hier reproduziert habe, waren etwas undeutlich, ich habe aber den bestimmten Eindruck, dass hier keine einfache Durchschnürungen, sondern wirkliche Mitosen vorliegen (Fig. 1—3 Taf. I). 6 H. O. JUEL, Bei den Eremascus-Arten entsteht der Askus, gerade wie bei Dipodascus, durch die Kopulation zweier kurzer Mycelzweige, deren beide Kerne im Askus verschmelzen. Endomyces Magnusii Lupw. verhält sich ähnlich, nur sind die beiden Zweige verschieden, die Be- fruchtung ist heterogam. Bei End. fibuliger LiNbN. entstehen an den askusbildenden Hyphen paarweise stehende kurze Aste, die sieh an- einander legen, und die den kopulierenden Asten der vorigen deutlich entsprechen. Nach GUILLIERMOND’S Angaben soll aber keine Fusion eintreten, der Ascus entsteht an der Spitze des einen Astes und ist von Anfang an einkernig. Jene Kopulationszweige sind also rudimentär, und Apogamie ist eingetreten. End. capsularis (ScHiönn.) hat keine solche kopulierende Aste, die Askusbildung ist ganz ungeschlechtlich. Nach den Angaben TuLasne’s und Brerenp’s verhält es sich so auch mit E. decipiens. Ich hielt es für nótig, diese älteren Angaben über die Entstehung der Asken bei E. decipiens nachzuprüfen. Aus GUILLIERMONDS Ab- bildungen (1909, Pl. 14 und 15) ersieht man, dass bei E. fibuliger die kopulierenden Aste, die bei jener Art funktionslos sind, ziemlich un- scheinbar sein kónnen, und es wäre daher müglich, dass solche Organe bei E. decipiens übersehen worden sind. Ich untersuchte in Formalin konserviertes Material des Pilzes, fand aber am Grunde der Asken keine Spuren von Kopulationen. Dagegen habe ich in den Mikrotom- schnitten an ein paar Stellen wirklich einige Kopulationen gefunden (Fig. 4—6). Einmal sah ich sogar einen Askus, der als das Resultat einer Kopulation entstanden zu sein schien. Dies sind aber entschieden nur Ausnahmsfülle, die als Atavismen aufgefasst werden kónnen. Die allerjüngsten Entwicklungsstadien der Asken habe ich in meinen Präparaten nicht gefunden. Vielleicht werden die Asken in den fertilen Myzelmassen ziemlich .simultan angelegt, und war mein Material schon zu weit in seiner Entwicklung vorgeschritten. Die jüngsten Asken, die ich gesehen, sind schon ziemlich gross und ent- halten einen Kern, der weit grósser und auch reicher an chromatischer Substanz als derjenige der vegetativen Zellen ist. Von der ersten Kernteilung im Askus habe ich nur selten Pro- phasen gesehen, wahrscheinlich weil der Kern in diesen Stadien empfindlich ist und meistens schlecht fixiert wird. Die beiden Bilder, r die ich reproduziert habe (Fig. 7, S), zeigen einen recht grossen Kern ÜYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. fl mit einem ausgeprügten Chromatinfaden und sind dadurch den Spirem- stadien heterotypischer Teilungen ähnlich. Kernspindeln in verschie- denen Stadien habe ich oft gesehen. Die Kernwandung bleibt während des ganzen Teilungsprozesses erhalten, und die Spindel liegt anfangs diametral im Kern mit ihren Polen in der Kernwandung. Am Äquator liegt eine dichte Chromatinmasse, in der die einzelnen Chromosomen nieht zu unterscheiden sind. Ebensowenig kann man die Fasern unter- scheiden, welche die achromatische Spindel bilden (Fig. 9). In späteren Stadien verlängert sich die Spindel erheblieh (Fig. 10—12). Zuweilen dehnt sich dabei auch die Kernwandung entsprechend aus, ófters dringt aber das eine oder beide Enden der Spindel durch dieselbe hervor. Wie sich die Chromosomen während der Teilung verhalten, konnte ich wegen der Kleinheit dieser Objekte nicht ermitteln. Die Tochterkerne und die Kernfiguren der zweiten Teilung sind weit kleiner (Fig. 15). Auch bei dieser Teilung verlüngern sich die Spindeln, aber nicht so stark (Fig. 14, 15). Es entstehen vier Kerne, die ungefähr so gross sind wie die vegetativen (Fig. 16). Die jetzt folgenden Vorgänge sind sehr schwierig zu beobachten. Es werden bei dieser Art immer nur 4 Sporen im Askus gebildet, und man sollte daher erwarten, dass nach der zweiten Kernteilung sofort die Sporenbildung eintreten müsste, dass also die in Fig. 16 und Fig. 22 dargestelllen Stadien unmittelbar auf einander folgen würden. Dem ist aber nicht so, denn dazwischen liegen Vorgünge, die schwierig zu verfolgen sind, weil das Plasma nach der zweiten Teilung sich zu einem dichten Klumpen in der Mitte des Askus ansammelt, und die kleinen Kerne innerhalb dieser Masse gehäuft liegen. Was diese Vorgänge, von denen einige Bilder in Fig. 17—21 dargestellt sind, zu bedeuten haben, ist schwierig zu verstehen. Es entstand bei mir der Verdacht, dass vielleicht eine dritte Kernteilung hier vor sich geht, und ich habe viel Mühe darauf verwendet nach Bildern zu suchen, die eine solche Vermutung bestätigen könnten. In einigen Fällen glaubte ich in der Tat in Kernen des Vierkernstadiums diametral liegende stabfórmige Körper zu sehen, die Kernspindeln sein könnten. Fig. 17 stellt einen solchen Askus vor. In anderen Füllen glaubte ich in der zentralen Plasmamasse mehr als vier, vielleicht doppelt so viele, Kerne zu sehen, wie Fig. 18 es zeigt. Diese Bilder waren aber nicht so deutlich, dass ich zu behaupten wage, diese Deutungen seien richtig. 8 H. O. Juez, Nach Abschluss der Kernteilungen tritt die Ausbildung der vier Sporen ein. Ein Entwicklungsstadium, das ich mehrmals beobachtet habe, zeigt in der zentralen Plasmamasse vier parallel liegende eng spindelfórmige und dunkel gefürbte Kórper (Fig. 19). In anderen Stadien, die ich als spätere auffasse, teilt sich die Plasmamasse in vier parallele Portionen, und die färbbare Substanz sammelt sich in der Mitte jeder Portion, und noch später findet man an jeder dieser Stellen einen Kern (Fig. 20). Diese Portionen sind die Sporenanlagen. Die Sporen werden dann von Membranen umkleidet, behalten aber zuerst ihre lüngliche Form und parallele Lagerung bei (Fig. 21). Später werden sie dicker und werden umgelagert, so dass sie den Askusraum ausfüllen (Fig. 22). Von überzähligen Kernen war während der Ausbildung der Sporen nichts zu sehen. Weil ich in meinen Prüparaten dieses Pilzes die Chromosomen nicht deutlich sehen und noch weniger zählen konnte, so kann ich über die Kernphasenverhültnisse nur Vermutungen aussprechen. Der Askusbildung geht keine Kopulation voraus, und es wäre daher am einfachsten anzunehmen, dass die Chromosomenzahl während der ganzen Entwieklung unverändert bleibt, Die erste Teilung im Askus zeigt aber einige Züge, die unstreitig an eine heterotypische Teilung erinnern, nämlich die Grósse des Kerns und der Kernfigur, sowie das Auftreten eines Spiremstadiums. Wenn wir daher annehmen, dass im Askus eine Reduktion stattfindet, müssen wir auch annehmen, dass die Kerne sowohl im jungen Askus als in den Zellen des askusbildenden Mycels diploid sind, die aus der Reduktionsteilung im Askus hervorgehenden Kerne dagegen haploid. Wenn die Sporen haploide Kerne haben, so müsste aus ihnen ein Mycel mit haploiden Kernen entstehen, und der Übergang von der haploiden zur diploiden Phase müsste dann im vege- tativen Mycel stattfinden, z. B., dureh Kopulationen zwischen Mycel- zellen. Die Kopulationen, die ich beobachtet habe (Fig. 4—6), haben ganz den Anschein’ rudimentärer Gebilde und sind auch zu selten, um zur Erklärung herbeigezogen zu werden, denn wenn solche Kopulatio- nen eine Rolle im Kernphasenwechsel spielten, müssten sie regelmässig auftreten. Wenn also dieser Wechsel nicht im Mycel stattfindet, so müssen wir annehmen, dass das ganze Mycel diploid ist, und dass der Übergang zu dieser Phase der Bildung des Mycels vorangeht. Sporen- kopulationen sind nicht bei Endomyces-Arten beobachtet worden, kom- CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 9 men aber unter den Saccharomyceten vor. Nach GUILLIERMOND (1905) kopulieren die Sporen von S&S. Ludwigii fast regelmässig, und dieser Vorgang ist mit einer Kernfusion verbunden. Die Kopulationen finden bei dieser Art oft schon innerhalb des Askus statt. Dass die Sporen von E. decipiens nicht kopulieren, dürfte sicher sein, denn BREFELD (Untersuchungen IX, p. 134) hat bei seinen Kulturen des Pilzes solche nieht gesehen. Es bleibt dann nur der Ausweg, eine Kernfusion im Askus vor der Sporenbildung anzunehmen. Einige Bilder, die ich oben erwähnt habe, deuten auf eine dritte Kernteilung im Askus hin (Fig. 17 und 18) Während der Sporenbildung sah ich keine übriggeblie- benen Kerne im Askus, obgleich nur vier Sporen gebildet werden. Dies könnte erklärt werden, wenn wir annehmen, dass die acht Kerne im Askus paarweise mit einander kopulieren, so dass die vier Sporen diploide Kerne bekommen. Das Resultat dieser Erwägungen ist also, dass bei E. decipiens zwei Alternativen möglich sind, entweder gänzliches Fehlen eines Kern- phasenwechsels, oder dieser Wechsel findet ausschliesslich im Askus statt, nämlich durch eine Reduktion und eine gleich darauf folgende Fusion. Im letzteren Falle wäre diese Art mit Saccharomyces Ludwigii zu vergleichen, denn dieser Pilz dürfte in den vegetativen Zellen diploide und nur in den Sporen haploide Kerne haben. Dipodascus albidus. Taf. I, Fig. 33 und 34. Bei meiner früheren Untersuchung über diesen Pilz (Juez 1902) konnte ich keine Kernteilungsstadien finden. DANGEARD gelang es später ein solches Stadium zu beobachten, er hat nämlich eine Telo- phase der dritten Teilung im Askus abgebildet (DANGEARD 1907, Pl. II Fig. 3). Bei einer späteren Durchmusterung meiner Dipodascus-Präparate traf ich einmal auf ein paar Kernteilungsbilder, die ich hier reprodu- ziere. Das eine zeigt den Fusionskern, der ziemlich gross ist und einen spiremartigen Chromatinfaden besitzt (Fig. 33). Der zweite Fall Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups, Ser. 4, Vol. 5. N:o 5. Impr. °%/ 1921. 2 10 H. O. Juez, zeigt diesen Kern in der Telophase seiner Teilung (Fig. 34). Aus der Grösse dieses Kerns und aus dem Aussehen der Prophase darf man wohl schliessen, dass hier eine Reduktionsteilung vorliegt. Ich habe auch spütere Mitosen im Askus gesehen, die Kernfiguren waren aber sehr klein und bildeten nur kleine an den Enden verdickte Stäbchen. Taphridium. Taf. I, Fig. 23-32. Die Gattung Taphridium wurde von LAGERHEIM und mir (JuEL 1901, 1902) aufgestellt. Der Typus der Gattung ist Taphrina umbellife- rarum Rosre., in welcher wir einen zu den Protomycetaceen gehóren- den Pilz erkannt hatten, und für welche wir die neue Gattung bildeten. Der von uns untersuchte Pilz wüchst auf Heracleum sibiricum L., die auf Peucedanum-Arten wachsenden Formen werden vorläufig zu der- selben Art gerechnet. Als besondere Art schied ich aber eine auf Ferula communis L. wachsende Form aus, die ich T. algeriense nannte. Vorkarr (1903) beschrieb einen auf Crepis blattarioides (L.) wach- senden Pilz als Taphrina rhetica, erkannte aber später, dass er zur Gattung Taphridium gehört, und von Biren (1915, p. 69) nennt ihn T. rheticum VoLKART. Ohne Zweifel ist es dieselbe Art, welche LAGER- HEIM auf C. succisifolia (ALL.) gesammelt und in VESTERGREN’S Microm. sel. Nr. 719 unter dem Namen Taphridium Crepidis ohne Beschreibung distribuiert hat. Marre (1908, p. CXLVI) fand sie auf C. pygmea L. und bildete für sie die neue Gattung Volkartia, weil sie sich von Taphri- dium dadurch unterscheidet, dass die aus den Sporangien hervortretenden Schläuche lünglieh sind und ein Taphrina-ähnliches Hymenium bilden. Ligo (LinprotH 1904) beschrieb eine auf Cicuta virosa L. wachsende neue Art als T. Cicute Linpr., die jedoch, wie ich unten zeigen werde, nicht in diese Gattung gehören dürfte. Endlich hat von Büren (1915, p. 70) die von Sappry-Trourry und DANGEARD behandelte auf Helo- sciadium inundatum (L.) Koch wachsende Protomyces-Form, für welche der letztere den Artnamen P. inundatus vorgeschlagen hatte, in die Gattung Taphridium unter dem Namen 7. inundatum (DANG.) BÜREN CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 11 gestellt, weil sie nach den Angaben der beiden franzósischen Verfasser ihre Sporen innerhalb der Chlamydospore bildet. Später hat er aber festgestellt, dass diese Art sich nicht immer so verhält, sondern dass ‘sie oft nach Art eines Protomyces einen Schlauch aus der Chlamydo- spore heraustreten lässt, in welehem die Sporenbildung stattfindet, und er (von Büren 1917) bringt sie daher in die Gattung Protomyces zurück. von Biren (1915) will die Taphridium-Arten auf zwei Gattungen verteilen, für die Arten umbelliferarum und rheticum bildet er die Gattung Volkartia Marre (emend.), in der Gattung Taphridium behält er die Art algeriense. Über die Berechtigung dieser Teilung der Gattung will ich mich jetzt nicht äussern, sondern vorläufig nur die Nomenklaturfrage behandeln. Der Gattungsname Taphridium wurde von mir zuerst in einer Mitteilung über algerische Pilze (1901) publiziert, und dort wurde auch die neue Art T. algeriense zuerst beschrieben. Aber sowohl dort als in der ausführlicheren Abhandlung über Taphridium (1902) habe ich recht deutlich hervorgehoben, dass die neue Gattung für die Art Taphrina umbelliferarum Rosrr. aufgestellt worden war, und dass ich die auf ferula wachsende Form von jener Art ausscheiden und mit dem Namen algeriense belegen wollte. Der Typus der Gattung Taphri- dium ist also die Art wmbelliferarum. Wenn Volkartia rhetica Marre in diese Gattung gestellt wird, wie es von Biren will, so wird der Name Volkartia nur ein Synonym zu Taphridium. Wenn aber die Art alge- riense eine selbstándige Gattung bilden soll, so muss sie einen neuen Gattungsnamen bekommen. Durch die trefflichen Arbeiten vox BÜRENS sind unsere Kennt- nisse über die morphologischen und biologischen Verhältnisse der Pro- tomyces-Arten wesentlich erweitert worden. Er hat diese Arten auch eytologisch studiert und hat unter anderem die Vierteilung der Sporen- mutterzellen konstatieren kónnen. Dagegen scheint mir sein Versuch, die Vorgänge im Sporangium zur Begrenzung der Gattungen zu ver- wenden, verfehlt zu sein (von Biren 1915, p. 71, 1917, p. 22). Er stützt sich nämlich dabei auf Angaben und Vermutungen, die ich in meiner früheren Arbeit ausgesprochen habe, die aber unten berichtigt werden sollen. Wichtig ist seine Entdeckung, dass Prot. inundatus so- wohl Dauerchlamydosporen als Sommerchlamydosporen bildet, und er zieht mit recht daraus den Schluss, dass dies Merkma! zur Gattungs- begrenzung nicht zu brauchen ist. Als unterscheidendes Merkmal zwi- 12 H. O. JUEL, schen Protomyces und Taphridium bleibt dann nur die Bildungsstätte der Chlamydosporen übrig, bei Protomyces liegen sie in den tieferen Geweben unregelmässig gehäuft, bei Taphridium bilden sie unter der Epidermis eine zusammenhängende Schicht. Zwischen diesen beiden Typen sind bisher keine Zwischenformen bekannt. Taphridium Cicutæ Linpr. bildet die Chlamydosporen im Mesophyll und dürfte daher ein Protomyces sein, wahrscheinlich mit P. inundatus nahe verwandt, weil die Chlamydosporen nicht überwintern. Über die Berechtigung der Gattung Volkartia Marre (nicht vox Buren) kann ich mir keine bestimmte Meinung bilden, da ich die dazu gehörende Art V. rhætica nicht gesehen habe. Die Abbildung Vor- KART's lässt vermuten, dass die Schläuche hier ganz nach Art einer Taphrina gebildet werden, also ohne Trennung zwischen Endo- und Exosporium. Wenn es sich so verhält, so unterscheidet sich diese Art hierdurch von allen anderen Protomycetaceen und Marne's Gattung dürfte dann mit Recht bestehen. Ich will jetzt meine neuen Resultate in Bezug auf die Cytologie von Taphridium umbelliferarum und algeriense mitteilen. Taphridium umbelliferarum. Taf. I, Fig. 23—29. Das Entwicklungsstadium des Sporangiums. das ich in meiner früheren Arbeit (1902) in Fig. 2 abgebildet habe, bezeichnet offenbar eine neue und wichtige Phase in der Entwicklung. Die Kerne sind weit grüsser als in den vorhergehenden Stadien und befinden sich in einem Spiremstadium. Beides kann vielleicht als Vorbereitung zu einer Reduktionsteilung erklärt werden. Der Übergang von dem kleinker- nigen Stadium scheint sich aber ziemlich schnell zu vollziehen, und man bekommt den Eindruck, dass die grossen Kerne nicht so zahl- reich sind, wie vorher die kleinen Dies erweckt den Verdacht, dass die grossen Kerne durch Fusionen der kleinen entstanden sein kónnten. Ich habe mich bemüht solehe Fusionen zu entdecken, bin aber zu keinem sicheren Resultate gelangt. Eine paarige Verteilung der Kerne konnte ich weder in vegetativen Zellen, noch in den jungen Sporan- gien bemerken. In den Stadien, die dem Auftreten der grossen Kerne vorangehen, sah ich zuweilen Kerne von etwas verschiedener Grósse, wobei die grósseren durch Fusion von kleinen entstanden sein kónn- CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 13 ten, die Verschiedenheit könnte aber auch dadurch erklärt werden, dass nicht alle Kerne gleichzeitig in die Zuwachsperiode eintreten, Bei meiner Darstellung beginne ich jetzt mit der eben erwähn- ten spiremähnlichen Phase (Fig. 23). Die Vorbereitungen zu den bald erfolgenden Kernteilungen zeigen sich darin, dass die Kerne gegen die Peripherie wandern und dabei eine Kontraktion erleiden (Fig. 24). Der Chromatinfaden zieht sich zu kürzeren Fäden oder Klumpen zusammen, die intensiv gefärbt sind, und der ganze Kern erscheint dabei kleiner als im Spiremstadium. Über die Kernteilungen im Sporangium hatte ich in meiner frü- heren Arbeit nur wenig mitzuteilen, und die Abbildung, die ich dort in Fig. 3 gegeben habe, ist insofern unglücklich, als sie die Vorstellung erweckt, als lägen die in Teilung begriffenen Kerne im Sporangium zer- streut. Die Figur war nach einer Reihe von Schnitten zusammengestellt und sollte die Oberfläche des Sporangiums darstellen. Wenn die Kerne sich teilen, liegen sie nämlich alle, oder wenigstens die allermeisten, an der Peripherie. Es werden zwei Teilungen ausgeführt, die wahr- scheinlich ziemlich schnell aufeinander folgen. Sobald die Kerne an die Sporangiumwand gelangt sind, teilen sie sich. In dem in Fig. 25 dargestellten Sporangium liegen die Kerne im allgemeinen an die Wand gedrückt und enthalten innerhalb der noch erhaltenen Kernwand eine meistens tangential gerichtete Kern- spindel. Eine Anzahl Kerne sind noch im Innern des Sporangiums zurückgeblieben und auch einige von diesen scheinen Kernspindeln zu enthalten. Nach dieser Kernteilung folgt wahrscheinlich sehr rasch eine zweite, die in Fig. 26 dargestellt ist. Die Kernfiguren liegen hier weit dichter und sind doppelt so klein als diejenigen der in Fig. 25 abge- bildeten ersten Teilung. Die zweite Teilung ist ausgeprügt simultan. Alle Kernfiguren liegen an der Wand, im Innern liegen nur einige Kerne, welche die erste Teilung nicht mitgemacht haben, und die wahr- scheinlich nicht mehr entwicklungsfähig sind. Die Kernspindeln liegen auch bei der zweiten Teilung ziemlich tangential und sind noch von ihren Kernwandungen umgeben. Ein Schlussstadium dieser Teilung zeigen Fig. 27 und 28. Die Kerne liegen hier alle an der Peripherie, sehr dicht und in gleicher Entfernung von einander geordnet. Sie be- stehen nur aus einer dichten Chromatinmasse ohne Kernwand und scheinen dureh Plasmazüge miteinander verbunden zu sein. Später 14 LIES EDS bekommen sie Wiinde und die verbindenden Plasmazüge verschwinden, Das Innere des Sporangiums enthält in diesen Stadien nur degenerie- rende Kernreste. Wührend dieser letzteren Vorgänge hat sich das Plasma im Spo- rangium in eine dichtere peripherische Zone und eine inhaltsärmere, von grossen Vakuolen erfüllte innere Partie abgesomdert. In der peri- pherischen Zone, welche sämtliche Kerne enthält, tritt jetzt die Spo- renbildung ein. In keinem Falle habe ich etwas bemerkt, was auf eine vorhergehende Bildung von Sporenmutterzellen deuten könnte, Die Sporen müssen also direkt in der peripherischen Plasmamasse ent- stehen. Wie dies zugeht, ist wegen der Kleinheit der entstehenden Sporen schwierig zu beobachten. In dem in Fig. 29 abgebildeten Schnitte sieht man in dieser Plasmamasse zahlreiche kleine runde Kör- per, die wahrscheinlich junge Sporen sind. Sie sind nur schwach und diffus gefärbt, so dass ich keinen Kern in ihnen wahrnehmen konnte. Sie liegen nicht mehr in einer einzigen Schicht, und scheinen auch zahlreicher zu sein, als die Kerne im vorhergehenden Stadium (Fig. 28). Ich vermute daher, dass zwischen diesen Stadien noch eine Kerntei- lung liegt, wahrscheinlich mit mehr oder weniger radial gerichteten Kernspindeln. Später wird die peripherische Zone allmählich breiter, und die inhaltsarme Partie in der Mitte wird kleiner. Die Sporen ver- lassen die Peripherie und verteilen sich im Sporangiumraum. Sie sind jetzt gewachsen und stellen kugelförmige Körper mit einem deutlichen Kern dar. Dieses Stadium ist in meiner früheren Arbeit (1902) in Fig. 4 abgebildet. Ausser den Sporen enthält das Sporangium auch übriggebliebene Kerne. Man kann diese auch in etwas älteren Sporan- gien finden, zuweilen zu grösseren Klumpen zusammengeballt. Wahr- scheinlich werden sie dann bald aufgelöst, denn in reifen Sporangien fand ich keine Kernreste mehr. In meiner früheren Arbeit hielt ich es für möglich, dass jene runden jungen Sporen, die jetzt überall im Sporangium zerstreut lie- gen, Sporenmutterzellen sein könnten, und dass die wirklichen Sporen aus ihnen durch Teilungen entstehen würden. Zwar hatte ich keine solchen Teilungen gesehen, aber die auffallende Unähnlichkeit dieser jungen Sporen mit den Sporen im reifen Sporangium erweckte in mir einen Zweifel an der Identität dieser Gebilde, und ich nahm daher meine Zuflucht zu der Annahme, dass hier ein Teilungsstadium vor- ÜYTOLOGISCHE: PILZSTUDIEN. 15 komme, obgleich ich es in meinen Präparaten nicht gefunden hatte. Ich bin jetzt überzeugt, dass keine solchen Teilungen vorkommen, son- dern dass jene runden Zellen wirklich die eigentlichen Sporen sind, Sie sind aber nicht, wie ich früher annahm, überall im Sporangium enistanden, sondern, wie oben beschrieben ist, an der Peripherie des- selben und nach einer Periode von Kernteilungen, die ich früher zum Teil übersehen hatte, weil diese Teilungen nur selten zu beobachten sind. | Es bleibt aber zu erklären, wie die ei- oder birnförmigen Spo- ren, die das reife Sporangium erfüllen, aus den runden Sporen im jungen Sporangium entstehen. Die letzteren färben sich nur schwach, ihr In- halt scheint homogen und ihr Kern tritt wenig deutlich hervor, wäh- rend die Sporen im reifen Sporangium eine weit deutlichere Struktur und eine kräftigere Färbung zeigen. Übergänge zwischen den beiden Typen konnte ich nicht finden. Ich muss daher auch jetzt bezweifeln, dass diese Gebilde identisch sind. Rosrrup (1890) und MASSALONGO (1889) haben behauptet, dass die Asken von Konidien erfüllt sind, welche durch Sprossung der Sporen entstanden sind. Sie haben aber den Pilz für eine Taphrina angesehen, und konnten die Vielsporigkeit der Asken wohl nicht anders als durch Konidiensprossung erklären. Ob sie eine solche wirklich wahrgenommen, ist daher zweifelhaft. Da- gegen scheint mir eine Angabe von Marre über Taphridium rheticum zuverlüssiger, weil.er weiss, dass es sich um eine Protomycetacee handelt. Er sagt nämlich (1908, p. CXLVI) von den Sporen: »Elles apparaissent de suite en nombre considérable, et se multiplient encore par bourgeonnement.» Ich vermute, dass ein solcher Vorgang auch bei T. umbelliferarum stattfindet, obgleich ich in meinen Präparaten keine Sprossungsstadien wahrnehmen konnte. Vielleicht können diese Verhältnisse besser an frischem Material als an Mikrotomschnitten beobachtet werden. Die birnfórmigen Zellen im reifen Sporangium dürften also nieht Sporen, sondern Konidien sein. Taphridium algeriense. Taf. I, Fig. 30—32. Auch bei dieser Art tritt in den Sporangien ein Stadium ein, in welchem die Kerne an Grüsse zunehmen und eine deutlichere Struktur mit einem Nukleolus und einem spiremartigen Chromatinfaden bekom- men. In meiner früheren Arbeit ist dieses Stadium in Fig. 8 abgebil- 16 H. O. Juzr, det. Das nächste damals beobachtete Stadium zeigte erheblich klei- nere, in der Peripherie gelagerte Kerne, und ich vermutete, dass diese durch eine Teilung der grossen Kerne entstanden seien, Ich habe jetzt diese Teilung gefunden. Sie ist ausgeprügt simultan, alle Kern- figuren liegen dabei in der Peripherie, sind tangential gerichtet und liegen. diametral in der noch ziemlieh deutlich begrenzten Kernhóhle (Fig. 30). Diese Teilung dürfte der ersten Teilung bei T. wmbellifera- rum entsprechen, die Spindeln liegen in ungefähr derselben Entfernung von einander, wie bei dieser, sie sind aber etwas kleiner. Auf diese Kernteilung folgen die Entwicklungsstadien, die ich früher beschrieben und abgebildet habe (1902, Fig. 9—12), und die in der Bildung der peripherisch gelagerten Sporenmutterzellen resultieren. { Etwas später treten in den Sporenmutterzellen Kernteilungen ein. Ich habe nur in ein paar Sporangien solche Teilungen beobach- tet, und die Bilder waren nicht sehr deutlich. Der in Fig. 31 abge- bildete Fall zeigt in mehreren Mutterzellen Kernspindeln, die an der Wandung der Zelle liegen. Der zweite Fall ist in Fig. 32 dargestellt. Dies ist eine Telophase, die Chromatinmassen liegen an der Wandung und sind noch durch Faserzüge verbunden. Vielleicht ist es die Telo- phase einer zweiten Teilung in den Mutterzellen, denn zuweilen glaubte ich die Reste zweier Spindeln in einer Zelle zu sehen. Über die Weise, in welcher die Sporen, dann erzeugt werden, konnte ich keine Klar- heit gewinnen. Aus der Zahl und der Anordnung der eben gebildeten Sporen (vergl. Fig. 11 und 13 meiner früheren Arbeit) bekommt man den Eindruck, dass mehr als zwei Sporen aus jeder Sporenmutterzelle entstehen müssen. Diese Annahme stimmt mit von Btren’s Beobach- tungen (1915, p. 15) überein, denn nach ihm bildet jede Mutterzelle bei P. macrosporus vier Sporen. Eine dem Stadium der Sporenmutter- zellen vorausgehende Kernteilung, wie sie bei T. algeriense vorkommt, hat er bei Protomyces nicht beobachtet, aber es ist wohl nicht ausge- schlossen, dass er dieses Stadium übersehen hat. Durch die neuen Tatsachen und Berichtigungen früherer Angaben, die ich oben hervorgelegt habe, hat es sich herausgestellt, dass Taphri- dium umbelliferarum sowohl mit 7. algeriense als mit den übrigen Protomy- cetaceen näher übereinstimmt, als ich früher geglaubt hatte, Auch bei T. wmbelliferarum sammelt sich die Hauptmenge des Plasmas zu einer dichteren Schicht an der Peripherie des Sporangiums, und hier CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 17 finden die Teilungen und die Sporenbildung statt. Eine Aufteilung jener Plasmaschicht in Portionen oder Sporenmutterzellen scheint dagegen nicht stattzufinden, und dies bildet einen wichtigen Unterschied zu den meisten übrigen Repräsentanten der Familie. In dieser Beziehung scheint aber Protomyces inundatus eine Mittelstufe einzunehmen, denn bei dieser Art fand vow Btren (1917, p. 5) die Plasmaportionen nur undeutlich gegen einander begrenzt. Ich habe in meiner früheren Arbeit (1902, p. 25) angenommen, dass die Sporangien der Protomycetaceen mit Sporangien der Phyco- myceten (z. b. Saprolegnia) homolog wären, also gonidienbildende Organe, die mit dem geschlechtlichen Cyclus der Pflanze nichts zu tun hätten. Seit der Zeit sind aber viele neue Tatsachen in Bezug auf die Entwieklungsgeschichte der Pilze bekannt geworden, und neue Gesichts- punkte sind in den Vordergrund getreten. Wir suchen jetzt bei den Pilzen einen Kernphasenwechsel festzustellen. Von Biren (1915, p. 73) hat schon die Protomycetaceen von diesem Gesichtpunkte aus betrachtet. Er nimmt an, »dass in der jungen Dauerspore die Kernverschmelzung stattfindet, und dass ferner die Reduktion bei der bildung der Sporen im Moment der Vierteilung der Sporenmutterzelle erfolgt.» Bei der Betraehtung der Frage, an welcher Stelle die Kerne, die spüter ver- schmelzen, in die gleiche Stelle zusammengeführt werden, weist er darauf hin, dass dies wohl bei der Kopulation der Sporen, die ja bei mehreren Protomycetaceen beobachtet wurde, geschehen kónnte. Er hat ferner in den Sporangien von P. macrosporus zu wiederholten Malen Bilder angetroffen, die eine deutliche paarige Annäherung der Kerne zeigen, hält aber diese Beobachtungen nicht für entscheidend, weil es sich auch um späte Telophasen handeln könnte (l. e., p. 18). Für die Auffassung, dass die Kernteilungen, die zur Sporenbildung führen, eine Reduktionsteilung darstellen, sprechen mehrere Umstände. Solche sind der plötzliche Zuwachs der Sporangiumkerne, das Spirem- stadium, das sie dann durchlaufen, das Auftreten zweier aufeinander folgender und simultan ausgeführter Teilungen. Diese Sporangien sind daher nicht mit den Sporangien der Saprolegnien zu vergleichen, sondern müssen vielmehr ein Glied in der geschlechtlichen Entwicklung dar- stellen. Es gibt dann zwei Alternativen, indem man sie entweder von Gametangien oder von Oogonien ableiten kann. Das einfachste wäre, Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 5. Impr. ?/s 1921. 3 18 H. 0. JuEL, rm mit DANGEARD (1906, p. 277) eine nahe Verwandtschaft zwischen den Chytridieen und den Protomycetaceen anzunehmen. Die Sporangien der letzteren könnten aus Gametangien entstanden sein, und die kopu- lierenden Sporen könnten einfach als umgewandelte Zoogameten aufge- fasst werden. Bei der zweiten Alternative, Ableitung von Oogonien, - wird die Sache etwas komplizierter, weil wir dann Verlust der männ- lichen Geschlechtsorgane und andere damit verknüpfte Veränderungen annehmen müssen. Diesmal will ich mich doch nicht weiter auf solche Spekulationen einlassen. Was nun den Kernphasenwechsel bei den Protomycetaceen betrifft, so scheinen mir zwei Alternativen vorzuliegen. 1) Bei der Sporenkopulation erfolgt auch Kernfusion; die Kerne im Mycel und in den Sporangien sind also diploid, Reduktion erfolgt bei der Bildung der Sporen, welche haploide Kerne bekommen. 2) Bei der Sporenkopulation erfolgt keine Kernfusion; im Mycel und in den Sporangien sind Kern- paare vorhanden; Kernfusionen erfolgen im Sporangium, die diploiden Kerne erleiden sofort eine Reduktionsteilung, wodurch haploide Sporen erzeugt werden. Ich halte die letztere Alternative für die wahrschein- lichere, weil eine Entwieklungsphase mit konjugierten Kernen eine sowohl bei Asko- als Basidiomyceten häufige Erscheinung ist, und besonders weil die Taphrina-Arten immer gepaarte Kerne im Mycel haben. Die erstere Alternative ist doch nicht ohne weiteres von der Hand zu weisen, da eine mit Kernfusion verbundene Sporenkopulation bei gewissen Saccharomyceten konstatiert ist, Wie sich die Proto- mycetaceen in dieser Beziehung verhalten, bleibt also eine offene Frage. Sie könnte vielleicht am leichtesten gelöst werden, wenn man feststellen könnte, wie die Kerne in den kopulierenden Sporen und in den aus ihnen hervorwachsenden jungen Mycelien sich verhalten. Von BÜREN’S Bestrebungen in dieser Richtung (1915, p. 7) waren leider ohne Erfolg. Taphrina. Patel Schon aus den S0er Jahren, also aus einer älteren Epoche, liegen Angaben über Kernteilungen in Asken von Taphrina-Arten vor, SapEBECK (1884, p. 100, Taf. 3 fig. 20) behauptet bei 7. turgida Mitosen o CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 19 gesehen zu haben, und die Abbildungen kónnen vielleicht Telophasen einer ersten Teilung im Askus darstellen, wenn auch seine Abbildungen mit den Bildern, die man an Mikrotomschnitten bekommt, wenig Ahn- lichkeit haben. Fiscx (1885, p. 50, Taf. I Fig. S—14) hat bei 7. Sade- beckii JOHANS. ') grosse tonnenförmige Kernspindeln mit recht grossen Chromosomen abgebildet, diese Bilder dürften aber ziemlich frei kon- struiert sein, DANGEARD konstatierte (1894, p. 50), dass bei 7. deformans (BERK.) Tur. die Zelle, die sich zum Askus entwickeln wird, anfangs zwei Kerne enthält, dass diese verschmelzen, und dass dann drei Kerntei- lungen im Askus stattfinden. Die Vorgänge der Teilung beschreibt er nicht. Ikexo (1901) untersuchte 7. Johansoni San., konstatierte die Kernverschmelzung und beschrieb die Vorgänge, welche der Sporen- bildung vorausgehen. Er fand keine Anzeichen von Mitosen, sondern nur eine »Zerklüftung des Chromatinkórpers» und dann eine Vermehrung desselben durch Sprossung. Um die so gebildeten Chromatinkórper oder Kerne bilden sich Sporen und diese gehen sofort zur Konidien- sprossung über. In einer späteren Arbeit behandelt Ikgxo (1903) ausser derselben Art auch 7. Kusanoi IkENo, T. Cerasi (Fuck.) Sap., T. Pruni Tun. und T. deformans (Berx.) Tun. Bei allen konstatiert er die Kern- verschmelzung. Er findet auch bei diesen Arten jene Zerklüftung des Chromatinkórpers, welcher als ein Zellkern einfacher Art betrachtet wird. Die Teilung desselben erfolgt bei T. Johansoni und T, Kusanoi durch Sprossung, bei 7T, Cerasi und T. Pruni hat er aber Kernteilungs- liguren abgebildet, die Teilung wird jedoch als eine Karyokinese ein- facher Art bezeichnet Jede Zelle der vegetativen Hyphen soll einen Chromatinkörper enthalten, wo solche mit zwei Kórperchen vorkommen, wird dies auf eine Teilung zurückgeführt. Wie hieraus zu ersehen ist, sind unsere Kenntnisse über die Cytologie von Taphrina noch recht mangelhaft. Vor allem muss geprüft werden, ob diese Pilze typische Kerne haben und ob wirkliche Mitosen vorkommen. Auch gilt es nachzuforschen, woher die beiden Kerne stammen, die im jungen Askus verschmelzen, um dadurch den * Jüngere Stadien, wo er die subkutikulare Lage des Pilzes erkennt, identifiziert Fisch richtig mit Æxoascus flavus Sap. = T. Sadebeckii Jon., bei älteren hält er dagegen die mit verdickten Wänden versehenen askogenen Zellen für Epidermiszellen, und bildet aus diesen Stadien seinen » Ascomyces endogenus». 20 H. O. Jur, Kernphasenwechsel bei dieser Gattung aufzuklüren. Bei meinen syste- matisehen und floristischen Studien über Taphrina! hatte ich vielfach Gelegenheit cytologisches Material zu sammeln, und ich will jetzt die Resultate mitteilen, die aus der Untersuchung dieses Materiales hervor- gegangen sind. Es stammt von den folgenden Arten: Auf Prunus: Pruni Tuu., Rostrupiana (SAp.), Cerasi (Fuck.) San. > Potentilla: Potentille (FARL.) JOHANS. » Pyrus: bullata (B. et Br.) Tur. » Alnus: alnitorqua Tur., epiphylla Sap., Sadebeckii JOHANS. » Betula: belulina RosTR., carnea JOHANS. » Populus: aurea (PErs.) FR. In Bezug auf die Terminologie ist folgendes zu bemerken. Das Anfangsstadium des Askus ist eine kleine zweikernige Zelle. Diese sehwillt zu einer Chlamydospore an, die Kerne verschmelzen und die Wandung wird etwas verdickt. Dann keimt die Chlamydospore unter der Bildung eines Schlauches, des Askus in beschrünkterem Sinne. Taphrina Pruni und Rostrupiana. Fig. 35—40. Die erstere wiichst auf Prunus domestica, die letztere auf P. spinosa, Sie stehen einander sehr nahe und werden hier zusammen besprochen. Wenn der Parasit nur einen Teil der jungen Pflaume befallen hat und sich noch in einem frühen Entwicklungsstadium befindet, kann man in der Peripherie des kranken Teils noch vegetatives Mycel finden. An Flächenschnitten (Fig. 35) sieht man bei starker Vergrósserung, dass die langen und sehmalen Hyphenzellen in der Mitte je ein Paar von Kernen enthalten. Die beiden Kerne liegen dicht aneinander gedrückt. Im Kern sieht man einen ziemlich grossen Nukieolus und eine körnig-fädige Chromatinmasse. Im allgemeinen liegen die Chroma- tinmassen der beiden Kerne gegen einander gerichtet, und bei schwacher Vergrüsserung fliessen daher die Bilder der Kerne zusammen, so dass man leicht den Eindruck eines einzigen Kerns bekommt. ! Juez, Om Taphrina-arter på Betula (Sv. botan. tidskr. 3, 1909); Beiträge zur Kenntnis der Gattungen Taphrina und Exobasidium (Ibid. 6, 1912). CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 21 Der Umstand dass die Kerne eines Paares immer dicht neben einander liegen, macht es sehr wahrscheinlich, dass sie konjugierte . Kerne sind und nicht durch eine Teilung entstandene Schwesterkerne. Es ist dann zu vermuten, dass sie auch konjugierte Teilungen ausführen, wie diejenigen der Basidiomyceten. Es ist mir aber nicht gelungen, Teilungsstadien in diesen Zellen zu beobachten. Ich gehe jetzt zur Beschreibung der Asken dieser Arten über, und beginne mit einem Stadium, wo er fast ausgewachsen ist. Der Schlauch ist dann gleichmässig von Plasma erfüllt, der Kern liegt in der Mitte. Er ist gross und zeigt einen vüllig typischen Bau, hat einen grossen, runden Nukleolus und ein körniges, vom Nukleolus getrenntes Chromatin. .In einem etwas späteren Stadium bildet das letztere gleich- dieke Fäden (Fig. 36). In den folgenden Prophasenstadien sammelt sich das Chromatin an der einen Seite des Kernraums, während der Nukleolus an der anderen Seite liegt und eine abgeflachte Form ange- nommen hat (Fig. 37). Vielleicht entspricht dieses Stadium einer Synapsis. Ich habe dagegen vergeblich nach Bildern gesucht, die als Diakinesen gedeutet werden kónnten. Während dieser Vorgänge hat der Askus sich in Bezug auf seine Form und seinen Inhalt etwas veründert. Wenn die Kernteilungen beginnen, ist er oben etwas breiter und stumpfer geworden, das Plasma hat sich im oberen Teil angesammelt, erscheint aber dabei etwas substanzármer als vorher. Die erste Kernfigur hat in der Regel eine transversale Lage (Fig. 38). Sie dürfte noch innerhalb der Kernhóhlung liegen, diese scheint aber von keiner Kernwand umgeben zu sein. Der Nukleolus liegt nicht mehr in dieser Hóhlung, sondern öfters neben ihr, und seine Form kann ziemlich verschieden sein, Die schmale und zarte Spindel ist an den Enden spitz, und die Spitzen sind etwas dunkler gefürbt. Die Chromosomen sind winzig, ihre Zahl und Form konnte nicht konstatiert werden. Die Kernfiguren der zweiten Teilung sind kleiner als die erste. Sie liegen einander gegenüber in gleicher Hóhe an der Askuswand und sind meist auch transversal gerichtet. Die dritte Teilung (Fig. 39) zeigt noch kleinere Kernspindeln. Ich fand sie meist in der Längsrichtung liegend. Sie scheinen in sehr schwach begrenzten Kernhóhlen zu liegen, und neben jeder von diesen liegt ein runder Nukleolus. [S] H. O. JuEr, Die Sporenbildung ist schwierig zu untersuchen, weil in diesem Stadium das Plasma offenbar sehr dünnflüssig ist, so dass die Asken leicht schrumpfen. In günstigen Fällen findet man aber das sporenbil- dende Plasma an der Wand gelagert, einen Hohleylinder darstellend (Fig. 40). In dieser Schicht liegen die Kerne gelagert, um sie sammelt sich dichteres Plasma zu runden Massen, in welchen dann die Sporen ausgeformt werden. Die fertig gebildeten Sporen liegen in einem spärlichem Epiplasma eingebettet. Der Umstand, dass das Plasma während der Sporenbildung eine wandständige Lage einnimmt, scheint nicht vorher beobachtet worden zu sein, verdient aber hervorgehoben zu werden, da dies bei den eigent- lichen Askomyceten nicht der Fall sein dürfte. 4 Taphrina Cerasi, In meinen Präparaten von dieser Art fand ich keine deutlichen Kernteilungsbilder. Ich will hier nur die Bildung der sogen. Stielzelle erwähnen. Wenn der Askusschlauch hervorzuwachsen begonnen hat, entsteht im untersten Teil der Chlamydospore eine Vakuole, die sich schnell vergróssert, bis sie, den Plasmainhalt vor sich naeh oben trei- bend, fast den ganzen Raum der ursprünglichen Chlamydospore einnimmt. Sobald die Sporen gebildet sind, sieht man das Plasma durch eine sehr dünne nach oben gewölbte Wand gegen den unteren Zellraum begrenzt. In diesem ist nur ein sehr spärlicher Rest von dünnem Wandplasma übrig. In älteren Asken ist der Schlauch nach unten von einer etwas dicker gewordenen und jetzt nach unten konvexen Wand begrenzt. Diese bildet eine direkte Fortsetzung der übrigen Wandung des reifen Schlauches. Der untere Zellraum, der die »Stielzelle» darstellt, erscheint ganz leer. Taphrina bullata. Textfig. 1. Von dieser einjährigen, fleckenbildenden Art habe ich junge Ent- wicklungsstadien untersucht. In der Peripherie eines sehr jungen ÜYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 23 Fleckens besteht das Mycel aus langen und dünnen, etwas verzweig- ten vegetativen Hyphen (Textfig. I a). Diese sind nur spärlich septiert, | =) 8 | Flàehenschnitte von Taphrina bullata. a Sehr junges vegetatives Mycel. Zellen mit Textfig. 1. mehreren Kernpaaren (900: 1). b Übergang vom vegetativen zum askusbildenden Mycel, Zellen mit mehreren oder einzelnen Kernpaaren, eine Zelle gelappt, in Teilung begriffen (825: 1). € Zusammenhängende Schicht von jungen Asken (Kerne nicht in diesem Schnitt), darüber ein Rest vom vegetativen Mycel (825: 1). und jede Zelle enthält mehrere Kernpaare, die in ziemlich gleichen Abständen von einander liegen. Etwas weiter nach innen findet man breitere und weniger regelmässig gestaltete Zellen, in welchen die Kernpaare nieht mehr in einer Reihe liegen. Auch treten kürzere, oft gelappte Seitenzweige auf (1 5). Alle diesen Hyphenelemente enthalten in jeder Zelle mehrere Kernpaare. Bald müssen aber in ihnen Wände gebildet werden, denn wenn man sich dem Zentrum des Fleekens nühert, findet man dicht gedrängte ziemlich isodiametrische Zellen mit je einem Kernpaar. Nur hie und da kan man zwischen ihnen Reste der ersterwähnten dünnen vegetativen Hyphen entdecken (1 c). Diese Art ist unter den von mir untersuchten die einzige, die in jüngeren Stadien mehrkernige Zellen hat. Die gelappten Zellen entsprechen denjenigen, die SApEBECK (1893, p. 23, Taf. I. Fig. 8, 9) bei der nahe verwandten T. Crategi beschrieben hat. Aus jeder solchen Zelle entstehen mehrere. Asken, während die gelappten Zellen von T. aurea, die unten beschrieben werden, die Anlage eines einzigen Askus darstellen. Stadien der Kernteilung und Sporenbildung konnte ich in meinen Prüparaten von dieser Art nicht finden, obgleich in ihnen einkernige 24 H. O. JUEL, Asken und solche mit Sporen zusammen auftreten. Wahrscheinlich geschehen die Kernteilungen simultan in der Nacht. Die »Stielzelle» wird wie bei der vorigen Art gebildet. Sie enthält einen deutlichen Rest von Plasma, aber keinen Kern. Wenn eine Menge von Asken im Hymenium gleichzeitig reifen, durchbrechen sie nicht jede für sich die Kutikula, sondern diese wird auf einer grösseren Strecke erhoben, und unter ihr sammelt sich dann eine dicke Masse von Sporen und Konidien, die also nicht ausgeschleudert werden, sondern entweder durch Regen oder durch Tiere verbreitet werden müssen. Taphrina Potentille. Fig. 41—44. Diese Art wird von SADEBECK und GIESENHAGEN in die Gattung Magnusiella gestellt, weil ihre Asken nicht aus einem subkutikularen Hymenium, sondern einzeln als Endzellen aufsteigender Hyphenäste gebildet werden. Übergänge zwischen diesen beiden Formen der Askusbildung scheinen jedoch vorzukommen, z. B. bei T. flava FARE. Das vegetative Mycel ist im Parenchym der befallenen Teile der Pflanze verbreitet, unterhalb der Epidermis bildet es aber eine dichtere zusammenhängende Schicht, und diese ist die Bildungsstätte der meisten fertilen Zweige. Zahlreiche solche Hyphenzweige wachsen zwischen den Epidermiszellen gegen die Kutikula empor. In jungen Stadien besteht ein solcher Zweig aus einer langen und schmalen Zelle mit einem Kernpaar in der Mitte (Fig. 41). Später erweitert sich diese Zelle nach oben, und in der dicht unter der Kutikula liegenden Erweiterung findet man einen grösseren durch Verschmelzung gebilde- ten Kern (Fig. 42). Der erweiterte Teil verlängert sich dann zum Askus. Die erste Kernspindel liegt transversal (Fig. 43), bei der zwei- ten (Fig. 44) ist dies nicht immer der Fall. Die Asken bilden bei dieser Art keine so regelmässige Schicht, wie bei anderen Arten. Auch kann es vorkommen, dass die askus- bildende Hyphenschicht an einzelnen Stellen zwischen den Epidermis- zellen hervordringt, so dass ein lokales subkutikulares Hymenium ensteht. ÜYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 25 Taphrina alnitorqua. Textfig. 2. Taf. Il, Fig. 45. In den erkrankten Blattscheiben dürfte kein rein vegetatives Mycel vorkommen, denn das ganze Mycel scheint bei der Askusbildung verbraucht zu werden. In den jüngsten untersuchten Entwicklungs- stadien findet man enge verzweigte Hyphen, die in jeder Zelle ein Kernpaar enthalten (Textfig. 2 a). In einem älteren Stadium sind die Textfig. 2. Flächenschnitte von Taphrina alnitorqua. a Sehr junges Mycel (750: 1). b Älteres Mycel, in Askusanlagen zerfallen (750: 1). Zellen kürzer und angeschwollen, ohne Zweifel haben seit dem vorigen Stadium Querteilungen stattgefunden. Diese Zellen sind junge, noch zweikernige Chlamydosporen. Sie verbreitern sich später noch mehr, so dass sie zur Zeit der Kernfusion eine fast zusammenhängende Schicht bilden. Die erste Kernteilung im Askus habe ich einige Male gesehen. Die Spindel steht meistens transversal und liegt diametral in der Kern- höhle (Fig. 45). Schon vor der Kernteilung ist alles Plasma in den Schlauch ausgewandert, so dass der Raum der Chlamydospore ganz leer ist. Wenn etwas später der Askusschlauch seine Wandung ver- dickt, bildet er unten eine neue Wandpartie, wodurch die leere »Stiel- zelle» abgegrenzt wird. Taphrina Sadebeckii. In meinen Präparaten dieser Art habe ich die Kernteilungssta- dien in den Asken nicht gefunden. Nach der ersten Teilung findet man die beiden Tochterkerne einander gegenüber in gleicher Höhe, die erste Kernfigur muss also transversal sein. Die Bildung des Schlauches und der Stielzelle findet in dersel- ben Weise statt, wie bei der sehr nahe verwandten T. epiphylla. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 5. Impr. ?/s 1921. 1 26 : H. O. JUEL, Taphrina epiphylla. Textfig. 3. Taf. II, Fig. 49—51. Diese Art befällt ganze Sprosse. Sehr junge, noch im Wachs- tum begriffene Sprosse wurden fixiert, um das vegetative Mycel zu studieren, Es zeigte sich, dass dieses nur an der Oberfläche des Stam- mes auftritt, gerade wie es SADEBECK (1884, p. 96) für 7. alnitorqua angegeben hat. Die Hyphen folgen meist den seichten Furchen zwi- schen den Epidermiszellen und schmiegen sich der Oberfläche dicht an (Textfig. 3 a). Sie sind jedoch wahrscheinlich von einer sehr dün- nen Kutikula bedeckt. JOHANSON (1887, fig. 1) bildet das vegetative Mycel dieser Art unter der Kutikula eines Blattstiels wachsend ab, Der Flächenschnitt zeigt, dass diese engen und wenig verzweigten Hyphen in jeder Zelle ein Kernpaar führen. Im Gegensatz zu dem Verhalten bei den vegetativen Mycelien anderer untersuchter Arten liegen die beiden Kerne nicht in einer Reihe nach einander, sondern in gleicher Höhe in der Mitte der Zelle (3 5). Die fertig gebildete Chlamydospore ist mit einer ringsum gleich- dicken Membran bekleidet, und wo zwei gegen einander stossen, hat jede ihre eigene distinkte Membran. Nach innen sind diese Membranen gegen die Zellwände der Epidermis deutlich begrenzt, nach aussen ist die ganze Chlamydosporenschicht von der sehr dünnen Kutikula bedeckt, Das Hervorsprossen des Schlauches hat bei dieser Art, wie bei der vorigen, besonders grosse Ähnlichkeit mit einem Keimungsprozesse, In der Mitte der Aussenwand entsteht nämlich ein kleines Loch, und durch dieses dringt das Plasma, mit einem dünnen Endospor bekleidet, papillenfürmig hervor (Fig. 49). Die Papille vergróssert sich zum Sehlauch, und das Loch in der Wandung wird dabei allmihlich weiter. Im unteren Teil der Chlamydospore entsteht dabei eine Vakuole, welche grösser wird, je nachdem das Plasma in den Schlauch auswandert (Fig. 50). Endlich ist die Chlamydospore ganz geleert, und dann bildet das Schlauchplasma nach unten eine Wand gegen den leeren Zellraum. Die ganze Wand um den Schlauchinhalt. erfáhrt dann eine gelinde Verdickung. CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. DAT, Auch bei dieser Art konnte ich die Stadien der Kernteilungen nicht finden. Aus der Lage der Tochterkerne schliesse ich auf eine transversale Richtung der ersten Kernfigur (Fig. 51). Textfig. 3. Taphrina epiphylla. a. Querschnitt eines jungen, noch wachsenden Zweiges, Mycelfäden an der Oberfläche (700: 1). b. Flächenschnitt desselben Zweiges mit vegetativem Mycel (750: 1). Taphrina betulina. Fig. 46—48. Wenn die Chlamydospore fertig gebildet ist und der Schlauch hervorbrechen soll, geschieht dies nicht ganz wie bei den beiden vori- gen Arten. Man sieht nümlich, wie die ganze Aussenwand sich ver- dünnt und hervorwólbt, so dass der Schlauch von Anfang an dieselbe Breite hat, wie die primäre Zelle. Die »Stielzelle» entsteht wie bei anderen Arten und ist leer an Inhalt. Der Askus ist bei dieser Art sehr gross im Verhültnis Zu seinem Plasmainhalt. Während der Kernteilungsphase bildet das Plasma nur eine dünne wandstündige Schicht, in der die Kerne liegen. In den Prüparaten sind die Asken daher in den vorgerückteren Stadien sehr geschrumpft. Die Kerne sind ziemlieh klein, was wohl mit der gerin- gen Plasmamenge zusammenhängt, und die Kernfiguren (Fig. 46—48) sind kleiner als bei anderen Arten. Die erste liegt transversal, die folgenden verschieden orientiert, Bei allen Teilungen lagen die Spindeln noch innerhalb der Kernhóhle. Taphrina carnea. "o. 59 Fig. 22. Diese Art bildet keine »Stielzelle». Beim Hervorbrechen des Schlauches wölbt sich die ganze Aussenwand der Chlamydospore her- vor, wie bei der vorigen Art. In der Chlamydospore treten dann die- 28 H. 0. Jurt, selben Vorgünge ein, wie bei den mit Stielzellen versehenen Arten, so dass der ganze Zellraum entleert wird, bis auf unscheinbare Plas- mareste, die an der Wand haften bleiben. Die Sporen- und Konidien- bildung geschieht ausschliesslich im Schlauch, und bei der Reife liegt die Konidienmasse nur im Schlauch, während die Chlamydospore leer ist. Dies ist an meiner Abbildung (Juri 1908, Taf. 7, Fig. 5) zu sehen. In diesem Stadium wird wahrscheinlich die Konidienmasse ausgeschleu- dert. JOHANSON (1885, Fig. 6) bildet einen Askus ab, der ganz mit Konidien erfüllt ist, Wenn dies richtig ist, dürfte es ein überreifes Stadium darstellen. Ein Ausschleudern dürfte dann nicht mehr statt- finden kónnen. Das Fehlen der Stielzelle beruht also nur darauf, dass das Plasma sich nieht durch eine Wand vom leeren Zellraum der Chlamydospore abgrenzt, sonst entspricht dieser Raum vüllig einer »Stielzelle». Die Asken dieser Art schrumpfen betrüchtlich zusammen bei der Behandlung und bilden deshalb kein gutes Objekt für Studien über Kernteilungen. Einmal habe ich die erste Kernspindel in einem Askus gesehen, sie lag in der Kernhóhle und war transversal gerichtet, Ein Askus mit vier Kernen zeigte diese in gleicher Hóhe an der Wand liegend, im Achtkernstadium sind die Kerne unregelmässig gelagert, Die Sporenbildung scheint nicht in der typischen Weise vor sich zu gehen, indem nur einige der acht Kerne zur Sporenbildung verwendet werden, die übrigen dagegen degenerieren. In dem abge- bildeten Askus (Fig. 52) sind nach meiner Auffassung die etwas klei- neren, dichteren und dunkler gefärbten Körper Sporen. Es sind deren vier vorhanden, der vierte ist vom übrigen Inhalt verdeckt, Ein Kern ist in diesen: Sporen nicht deutlich zu unterscheiden, was aber in jungen Sporen oft vorkommt. Die vier übrigen, etwas grósseren und helleren Kórper, sind Kerne mit deutlichen Nukleolen. Die Anzahl der Sporen dürfte verschieden sein kónnen. Sehr bald nach diesem Stadium tritt an den Sporen Konidienbildung ein, und die überflüssigen Kerne wer- den aufgelóst. Taphrina aurea. Textfig. 4. Taf. Il, Fig. 53— 55. Von dieser einjährigen und fleckenbildenden Art untersuchte ich sehr junge Entwicklungsstadien. Das jüngste Mycel, das ich gesehen CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 29 habe, besteht aus dünnen Hyphen mit einem Kernpaar in jeder Zelle (Textfig. 4 a). ? : Einmal glaube ich in einer solchen Zelle eine Kernteilung gesehen zu haben. Statt des Kernpaares lag in der Mitte der Zelle ein Paar sehr dünner parallel liegender Stäbchen, und neben ihnen die Nukleo- len. Die Kernhóhlen waren zum Teil erhalten (Taf. II, Fig. 53). Ich lasse dieses Bild als die Telophase einer konjugierten Teilung auf. An älteren Stadien findet man etwas breitere Hyphen, an noch ülteren sind die Hyphen in kürzere und mehr verbreiterte, oft gelappte Textfig. 4. Taphrina aurea (750: 1). a Sehr junges, vegetatives Mycel. b Älteres Mycel in unregel- mässig geformte Zellen zerfallen. c Flüchenschnitt durch die Epidermis, die grossen runden Zellen sind Chlamydosporen, zwischen ihnen kleinere Epidermiszellen. d Dasselbe Stadium wie c, Epidermis in Querschnitt, Zellen paliss adenfórmig, einige quergeteilt. Zellen zerfallen (4 5). In jeder dieser Zellen liegt ein Kernpaar. Später runden sie sich ab und werdenzu Chlamydosporen (4 c). Anfangs liegen die jungen Chlamydosporen über den radialen Wänden der Epidermiszellen (4 5b). An späteren Stadien, wenn die Kernfusion eingetreten ist, sieht man sie keilfórmig zwischen diese 30 H. O. JuEL, Zellen. eindringen (4 d). Zum Teil dürfte dieses durch den Zuwachs der letzteren verursacht sein. Die Epidermis wird nämlich unter dem Einflusse des Parasiten stark verändert, ihre Zellen verlängern sich und kónnen bei starkem Angriffe palissadenfórmig werden. Sie kónnen sogar tangentiale Wünde bekommen, so dass sie an gewissen Strecken zwei- bis dreischichtig werden (4 c). Von den Entwicklungsstadien, in welchen die Kernteilungen stattfinden, habe ich mehrere gute Präparate. "Trotzdem ist es mir nicht gelungen Kernteilungsfiguren zu finden, obgleich ich auf das Suchen nach solehen viel Mühe verwendet habe. Ich muss daher annehmen, dass bei T. aurea die Kerne im Askus in anderer Weise als bei ande- ren Arten geteilt werden. Die Bilder, die man bei dieser Art von eben geteilten Kernen bekommt, sind etwas variierend, ziemlich oft kommt es aber vor, dass vier oder mehr kleine Kerne mitten im Askus dicht zusammengehäuft liegen (Fig. 54). Durch Mitosen gebildete Kerne pflegen immer weiter auseinander zu liegen, und ich nehme daher an, dass diese Kerne amitotisch, durch Zerfall des Askuskerns, entstanden sind. Wie dies zugeht, lasse ich dahingestellt sein, ich konnte mir keine klare Vorstellung darüber bilden. Wahrscheinlich sind es solche amitotische Teilungen bei der nahe verwandten 7. Jo- hansoni SAp. von denen Ikeno eine Beschreibung gegeben hat, ob- gleich ich seine Beschreibung der Vorgänge im Askus nicht mit mei- nen Beobachtungen bei 7. aurea in Übereinstimmung bringen kann. In Bezug auf die Sporenbildung zeigt diese Art dieselbe Ab- weichung vom typischen Vorgang wie die vorige Art. Nur wenige, in vielen Fällen nur zwei Kerne werden zur Bildung von Sporen ver- wendet, die übrigen verkümmern. Die Sporen sind kugelförmig. Sie beginnen sofort lüngliche Konidien zu bilden (Fig. 55), so wie IKENO es für T. Johansoni beschrieben hat. ; Die »Stielzelle» wird in derselben Weise, wie bei anderen Arten, gebildet. Sie ist bei T. aurea sehr klein und kann mitunder ganz fehlen. D ÖYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 31 Allgemeine Bemerkungen. Die Abteilung Hemiasei umfasst nach meiner Auffassung die primitiven Typen der Mycomyceten, die wahrscheinlich den Phycomy- ceten am nächsten stehen, obgleich es ziemlich unklar ist, aus welcher oder welchen Ordnungen unter den letzteren sie hervorgegangen sind. Von den eigentlichen Askomyceten unterscheiden sich die Hemiasceen dadurch, dass ihre Sporangien oder Asken direkt am Mycel entstehen, während bei den Askomyceten Fruchtkörper mit askogenen Hyphen gebildet werden. Zwischen Sporangien und Asken dürfte bei den Hemiasceen kein prinzipieller Unterschied zu machen sein. Man nennt diese Organe Sporangien, wenn sie von Anfang an mehrkernig sind und zahlreiche Sporen erzeugen, Asken wenn sie anfangs nur ein Kernpaar enthalten, und nur acht oder weniger Sporen erzeugen. Die Asken dürften aber aus den Sporangien durch eine Reduktion in Bezug auf die Zahl der Kerne und Sporen hervorgegangen sein. Die Abteilung Hemiasci möchte ich vorläufig. in drei Verwandt- schaftskreise teilen. Den ersten bildet allein die Gattung Ascoidea, den zweiten Dipodascus, die Endomycetaceen und die Saccharomyce- ten, den dritten die Protomycetaceen und die Exoasceen. Ob Ascoidea mit irgend einer der anderen Reihen verwandt ist oder nicht, scheint mir ganz unklar, da die Cytologie dieser Gattung noch unvollständig bekannt ist. Zwischen den beiden übrigen Reihen bestehen ohne Zwei- fel nur entfernte verwandtschaftliche Beziehungen. Eine natürliche Abteilung der Pilze stellen also die Hemiasci nicht dar, ebensowenig als, z. B., die Abteilungen Zygomycetes oder Chytridinæ. Die Gattung Ascocorticium, die bisher nur durch BREFELD’s Be- schreibung (Untersuchungen IX, p. 145) bekannt ist, gehört wohl gar nicht zu den Hemiasceen, sondern ist wahrscheinlich ein Discomycet mit sehr reduziertem Fruchtkórper. DANGEARD (1907, p. 30) stellt die Gattungen Dipodascus und Eremascus in die Abteilung »Gametangiees» zusammen, wobei er aller- dings von der Annahme ausgeht, dass Eremascus albus, deren Cytolo- gie nicht erforscht ist, mehrkernige Kopulationszellen habe, wie Dipo- dascus. Auch Ep. FiscHER (Handwörterbuch der Naturwissenschaften, 32 H. O. Just, Bd. 7, p. 896) und ATKINSON (Phylogeny in Ascomycetes, Ann. Missouri Bot. Gard. 1914, p. 364) sind geneigt, verwandtschaftliche Beziehungen zwischen Dipodascus und den Endomycetaceen anzunehmen. Auch ich schliesse mieh dieser Auffassung an. Dipodascus ist ein sehr primitiver Typus unter den Mycomyceten, denn dieser Pilz ist durchaus aus Zel- len mit mehreren Kernen aufgebaut, dies gilt nämlich sowohl von sei- nen vegetativen Zellen, als auch von seinen Oidien und Sexualorganen. In den letzteren ist jedoch schon eine Differenzierung der Kerne einge- treten, denn nur je einer der Kerne hat sexuelle Funktion. Von diesem Typus kónnen die Endomycetaceen abgeleitet werden, wobei man eine Reduktion in der Zahl der Kerne anzunehmen hat. Æ. Magnusii steht Dipodascus am nächsten, denn bei dieser Art sind die vegetativen Zel- . len zum gróssten Teil mehrkernig, und die Oidien enthalten meist 2 bis mehrere Kerne. Die Sexualzellen dagegen haben nur je einen einzigen Kern, und der Ascus bildet nur vier Sporen. Bei den übri- cen Endomycetaceen ist die Reduktion noch weiter gegangen, sie bestehen in allen Teilen aus einkernigen Zellen. Eine Ausnahme machen die Endglieder des Mycels bei Eremascus fertilis, welche mehrere Kerne enthalten. Diese Angaben stammen von DANGEARD (1907) und GUILLIERMOND (1909). Den Endomycetaceen schliessen sich die Saccharomycetaceen an, als reduzierte Formen, bei denen das typische Mycel dureh andere Wuchsformen ersetzt worden ist, Eine andere Reihe der Hemiasceen bilden die Protomycetaceen mit den Gattungen Protomyces, Protomycopsis und Taphridium, und die ixoasceen mit der einzigen Gattung Taphrina, aus welcher man jedoch vielleicht einige Arten unter dem Gattungsnamen Magnusiella ausschei- den kann. Die Exoasceen werden im Allgemeinen als Pilze von ganz unsicherer systematischer Stellung betrachtet, Ich will jetzt die Gründe anführen, warum ich sie in die Protomycetaceen-Reihe stelle. Ich brauche kaum auf die habituelle Ahnlichkeit zwischen Taph- ridium und Taphrina hinzuweisen. Taphridium umbelliferarum und T. rheticum wurden ja zuerst als Arten von Taphrina beschrieben. Die Gattung Taphridium wurde wegen der ausgeprägten Protomycetaceen- merkmale von T'aphrina ausgesondert. Diese Merkmale sind: die zahl- reichen Kerne in den Mycelzellen und den Sporangien; die Chlamydo- sporennatur der Sporangien, und ihre Keimung durch Ausstossen des Endosporiums, welch’ letzteres Merkmal die Hauptart der Gattung mit CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 33 Protomyces verbindet; und endlich die Art in welcher die Sporen ge- bildet werden, welche bei T7. algeriense ganz mit Protomyces überein- stimmt. Auch in der Lage der Sporangien nähert sich Taphridium an Protomyces, da sie nicht ausserhalb, sondern innerhalb der Epidermis gebildet werden. Die Gattung Taphrina ist durch das subkutikulare Wachstum ihres Mycels charakterisiert, und die Anpassung an diese ungewöhn- liche Art des Parasitismus dürfte mehrere Eigentümlichkeiten dieses Typus erklüren. Es gibt aber in dieser Beziehung eine gewisse Ver- schiedenheit zwischen den Arten der Gattung. Den extremen Fall bilden die Arten, die ausschliesslich subkutikulares Mycel haben, wie, z. B., T. epiphylla. Andere, wie T. Pruni, haben vegetatives Mycel im Parenchym, während das askogene Mycel nur unter der Kutikula entwickelt wird. Eine dritte Stufe nimmt 7. Potentillæ ein, hier ist die Bildungsstätte der Asken eine unter der Epidermis liegende Mycel- schicht. Diese Art steht also in Bezug auf die Lokalisierung nicht weit von Taphridium. Wenn wir die Protomyces-Form, die in den inne- ren Geweben diffus auftritt, zum Ausgangspunkt nehmen, kónnen wir hier eine Entwicklung erblicken, die durch verschiedene Stufen eine immer mehr oberflächliche Lokalisierung anstrebt. Bei Taphrina, wie bei Taphridium, werden die Sporangien oder Asken interkalär angelegt, der Unterschied ist nur, dass sie bei Taph- rina oft in ununterbrochenen Reihen liegen. Sie können auch bei dieser Gattung im früheren Entwicklungsstadium als Chlamydosporen aufgefasst werden, und das Hervorwachsen des Schlauches oder eigent- lichen Askus als ein mit der Keimung einer Chlamydospore ganz homo- loger Vorgang. Diese Auffassung ist bereits von Pierce (1900, p. 37) ausgesprochen worden. Ich zitiere nach ihm das Folgende: »the walls of the ascogenous cells are heavy. The early steps in the development of the asci from these cells (the deve- lopment of a papillalike elevation on the upper surface of the cells) cause the rupture or dissolution of the heavy wall where the elevation occurs. The phenomenon is that of the germina- tion of a heavy-walled spore, or, perhaps, more properly, the outgrowth or prolongation of an endospore through the rupture of the epispore. The fact to be noted is the perfect resting condition into which the ascogenous cells may pass before the Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 5. Impr. ?/s 1921. 5 34 | H. 0. Jun, development of the ascus, as shown by the marked delimitation between the thin wall of the forming ascus and the heavy wall of the ascogenous cell.» Bei den Protomycetaceen finden wir in Bezug auf die Keimung der Chlamydospore verschiedene Verhältnisse. Dauersporen, die nach einer Winterruhe keimen, haben die meisten Prolomyces- und Proto- mijcopsis- Arten, direkt sporenbildende Chlamydosporen haben Protomyces inundatus (Sommerform), P. Cicute und die Taphridium-Arten. In Bezug auf die Keimungsweise finden wir folgende Fülle. Bei P. macrosporus, P. inundatus (Dauerform) und T. umbelliferarum tritt das Endospor als ein kugelrunder Schlauch ganz aus dem Exospor heraus. Bei P. pachydermus und anderen Arten ist der Schlauch länglich und bleibt mit seinem unteren Ende im Exospor stecken, eine Spaltung der Chlamydosporenwand scheint jedoch auch hier einzutreten, Bei T. rheticum ist die Form des Sehlauches dieselbe, hier dürfte aber bei der Keimung keine Spaltung der Wandung in Endospor und Exospor stattfinden, wenigstens bekommt man durch Vorkamrs Abbil- dung (1903, Fig. 3) diesen Eindruck. Endlich haben wir den Fall, dass kein Schlauch gebildet wird, sondern die Sporen direkt aus der Chlamydospore entleert werden, wie bei 7. algeriense, P. inundatus (Sommerform) und P. Ciculc. Bei den Taphrina-Arten trennt sich das Endospor nicht vom Exospor. Im übrigen zeigt das Hervorwachsen des Askus grosse Übereinstimmung mit der Keimung einer Chlamydospore, besonders ist dies auffallend bei 7. epiphylla und T. Sadebeckii, wo der Schlauch sich dureh ein kleines Loch im Exospor hervorzwängt. Durch den Besitz einer »Stielzelle» unterscheiden sich die Mehr- zahl der Taphrina-Arten von den Protomycetaceen. Ich betrachte aber die Arten ohne »Stielzelle» als einen ursprünglicheren Typus. Wenn wir den ausgewachsenen Askus von T. carnea mit der gekeimten Chlamydospore von T. rheticum vergleichen, so finden wir eine völlige Übereinstimmung im Bau: der Schlauch bildet die direkte Fortsetzung der entleerten Chlamydospore. Die wahre Natur der »Stielzelle» ist schon von Pierce richtig erfasst worden. Er sagt nämlich (l. ¢., p. 38): »The contents of the forming ascus are finely granular, and as the ascus elongates these contents crowd into the upper d " CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 35 portion and a septum is formed across the basal part in such .a manner as to cut off the now emptied ascogenous cell as a stalk cell for the ascus». Meine Beobachtungen haben diese Auffassung völlig bestätigt. Die Wandpartie, welehe den Schlauch gegen die leere Chlamydospore abgrenzt, ist wahrscheinlich eine spät eingetretene Neubildung, die nicht bei allen Arten eingeführt ist. Sie bietet offenbar den Vorteil, dass sie das Rückfliessen der Sporenmasse in die Chlamydospore ver- hindert. Vergleichen wir jetzt die Protomycetaceen und die Exoasceen in Bezug auf die cytologischen Verhältnisse. Bei Taphrina treten die Kerne immer in Paaren auf. Für die Protomycetaceen ist dies nicht sicher nachgewiesen. Dafür sprechen jedoch vow BËRENS oben er- wühnte Beobachtungen von gepaarten Kernen in den Chlamydosporen von Protomyces. Weiter sprechen dafür die bei mehreren Protomyce- taceen eintretenden Kopulationen der Sporen, welche wohl wahrschein- lich. keine Kernfusion, sondern nur eine Paarung der Kerne herbei- führen. Wie die Paarung der Kerne bei Taphrina zu Stande kommt, ist nicht bekannt. Weder Brerezp (Unters, IX, p. 141) noch Pierce (1900, p. 38) haben bei ihren Kulturen der Sporen Kopulationen beobach- tet. Dass solche doch vorkommen können, halte ich für wahrscheinlich, weil ieh in der Litteratur zwei Angaben gefunden habe, welche nach meiner Ansicht auf solche Kopulationen hindeuten. Fiscu, dessen Beschreibung vom Keimungsvorgang einen zuverlässigeren Eindruck macht, als seine Bilder von Mitosen, gibt an, dass der von der Konidie getriebene Keimschlauch sich vor dem Eindringen in die Wirtpflanze blasenförmig erweitert. Seine Abbildung (1885, Fig. 15) gibt aber den Eindruck, dass zwei Konidien hier mit einander kopuliert haben. Und JoHANSON (1887, p. 15, fig. 2) teilt mit, dass die Konidien von 7. borealis JOHANS. (= epiphylla Sap.) oft paarweise zusammenhängen. Dass solche Kopulationen bei Taphrina, wie bei einigen Protomycetaceen, nicht regelmässig auftreten, hat vielleicht seine Erklärung in einer solchen geschlechtlichen Differenzierung derselben, wie sie KxrEP für gewisse Ustilagineen nachgewiesen hat. Über die Kerne im vegetativen Mycel von Taphrina war bisher fast nichts bekannt. Die von DANGEARD (1894, p. 32) abgebildeten 2-kernigen Zellen gehören dem askogenen Mycel an. IkENo's Angaben 30 H. 0. JUEL, sind unklar, er spricht von Chromatinkórpern in den vegetativen Zellen (1903, p. 19), seine Abbildungen lassen mich aber in Zweifel, ob diese Kórper Kerne sind. Dagegen habe ich oben erwiesen, dass das Mycel in den jüngsten, noch ganz vegetativen Stadien bei 7. Pruni, T. alni- torqua, T. epiphylia und T. aurea aus Zellen mit je einem Kernpaar besteht, dass aber T. bullata in den entsprechenden Stadien mehrere Kernpaare in jeder Zelle aufweist. Wenn wir annehmen dürfen, dass die Kerne bei den Protomyce- taceen, wie bei Taphrina, zu Paaren auftreten, so kann der letztere Typus von dem ersteren abgeleitet werden, indem man eine Reduktion in der Anzahl der Kerne annimmt. Dieser Reduktionsvorgang wäre dann demjenigen, den ich in Bezug auf die Dipodascus-Endomyces-Reihe angenommen habe, analog. Für Taphrina hängt diese Reduktion ohne Zweifel mit dem Übergang zum subkutikulären Wachstum kausal zu- sammen. T. bullata steht in Bezug auf die Zahl der Kerne im vegeta- tiven Mycel den Protomycetaceen näher als die übrigen untersuchten Arten. Was endlich die Vorgänge in den Sporangien und Asken betrifft, so sind die Unterschiede zwischen den Protomycetaceen und den Taphrina-Arten vielleicht nicht so gross, wie es den Anschein hat, weil sie lediglich auf verschiedene Zahlenverhältnisse zurückgeführt werden können. Bei den ersteren enthält die Chlamydospore von Anfang an zahlreiche Kerne, welche vermutlich paarweise zusammen- gehören. Das sporenbildende Plasma sammelt sich an der Peripherie, bei den Arten mit länglichem Schlauche im oberen Ende desselben, und hier finden wahrscheinlich nach einander drei simultane Kerntei- lungen statt. Das Auftreten von Sporenmutterzellen, das für die meisten charakteristisch ist, fehlt wenigstens bei einer Art, Taphridium umbelli- ferarum, gänzlich. Die Sporen erzeugen bei einigen Arten schon im Sporangium Konidien. Bei Taphrina ist die Zahl der Kerne in der Chlamydospore auf ein einziges Paar herabgesetzt. Im Schlauch wandert das Plasma gegen das obere Ende und sammelt sich, wie ich oben hervorgehoben habe, an der Peripherie, wo drei simultane Kernteilungen ausgeführt werden. Konidiensprossung im Askus ist eine häufige Erscheinung in dieser Gattung. Ein Versuch, den Taphrina-Typus vom gewöhnlichen Askomy- cetentypus abzuleiten, stösst auf weit grössere Schwierigkeiten, weil CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 37 man dann nicht nur ein gänzliches Unterdriicken des Fruchtkórpers, sondern auch das Verschwinden der fiir diesen Typus charakteristischen Hakenbildung an den askogenen Hyphen annehmen müsste. Die Ableitung vom Protomycetaceentypus muss im Vergleich hiermit viel o D I oO ungezwungener erscheinen. Zusammenfassung. Endomyces decipiens hat mitotische Kernteilungen in den vegeta- tiven Zellen. Der Askus hat einen grossen Kern, der ein spiremähn- liches Stadium durchläuft, wenigstens zwei Mitosen werden ausgeführt, die wahrscheinlich eine Reduktionsteilung darstellen. Weil dieser keine Kernfusion vorausgehen dürfte, wird die Hypothese aufgestellt, dass eine dritte Teilung erfolgt, und dass die acht Kerne im Askus paar- weise kopulieren, um die vier Sporenkerne zu bilden. Bei Dipodascus zeigt der Fusionskern eine spiremähnliche Phase und bildet dann eine verhältnissmässig grosse Kernfigur. Bei Taphridium umbelliferarum findet die Sporenbildung, wie bei übrigen Protomycetaceen, in einer peripherischen Plasmaschicht statt, Zwei simultane Kernteilungen mit tangential liegenden Spindeln werden ausgeführt. Es wird vermutet, dass eine dritte mit mehr radial gerich- teten Spindeln dann erfolgt. Sporenmutterzellen werden nicht gebildet. Die birnfórmigen Zellen, welche den reifen Askus erfüllen, dürften Konidien sein, welche von den runden Sporen wahrscheinlich durch Sprossung gebildet sind. Bei Taphridium algeriense geht der Bildung der Sporenmutter- zellen eine simultane Kernteilung mit tangentialen Spindeln voraus. In den Sporenmutterzellen finden Kernteilungen statt, wahrscheinlich‘ zwei auf einander folgende. Bei den untersuchten Taphrina-Arten enthalten die vegetativen Zelen typische Kerne, die immer paarweise dicht neben einander liegen, und ohne Zweifel konjugierte mitotische Teilungen ausführen. T. bullata hat in jeder solchen Zelle mehrere Kernpaare, die übrigen Arten nur ein Paar. Im Askus finden bei der Mehrzahl der Arten drei typische Mitosen statt, die erste Kernspindel steht fast immer trans- H. Ox Jump. 39 versal. Wührend der Sporenbildung ist das Plasma zu einer peri- pherischen Schicht im Askus gesammelt. Bei 7. aurea dürften die Teilungen im Askus amitotisch sein. Bei dieser Art und bei T. carnea bilden nur einige der acht Kerne Sporen, diese beginnen sogleich Koni- dien zu erzeugen, die übrigen Kerne degenerieren. Die askogene Zelle der Taphrina-Arten ist eine Chlamydospore, welche bald keimt, indem das Endospor zu einem Schlauch, dem Askus, auswüchst. Bei den meisten Arten wird das in den Schlauch hinausgewanderte Plasma nach unten durch eine Wand gegen die jetzt leere Chlamydospore abgegrenzt. Die »Stielzelle» ist nur die leere Chlamydospore. Der Endomyces-Typus dürfte aus dem Dipodascus-Typus durch eine Reduktion in Bezug auf die Anzahl der Kerne hervorgegangen sein. In ähnlicher Weise dürfte der Taphrina-Typus vom Protomyce- taceen-Typus abzuleiten sein. Die beiden letzteren Typen dürften in den Mycelien konjugierte Kerne haben, und diese Phase dürfte in beiden Füllen durch Sporen- oder Konidien-kopulationen eingeleitet werden, Verzeichnis der zitierten Litteratur. 1. Zu Dipodascus. DawcEAnp, P. A., 1907. Recherches sur le développement du périthèce chez les Ascomycètes. Le Botaniste, sér. 10, p. 30. Juez, H. O., 1902. Über Zellinhalt, Befruchtung und Sporenbildung bei Dipodascus. Flora, 91. 9. Zu den Endomycetaceen und Saccharomycetaceen. Dawaranp, P. A., 1907. Recherches sur le développement du périthèce. Le Botaniste, ser. 10: GuinuERMOND, A., 1902. Recherches cytologiques sur les levures et quelques moississures à formes levures. Thèse, Lyon. ——, 1904. Le noyau de la levure. Annal. mycol., 2. ——, 1905. Recherches sur la germination des spores et la conjugaison chez les levures. Revue gén. de botan., 17. ———, 1909. Recherches cylologiques et taxonomiques sur les Endomycétées. Revue gén. de botan., 21. ——, 1910. Remarques critiques sur différentes publications parues récemment sur la cylologie des levures et quelques observations nouvelles sur la structure de ces: champignons. Centralbl. für Parasitenk., 26: II. ————, 1911. Le développement et la phylogénie des levures. Revue des sc. pures et appl. 22. , 1912. Nouvelles observations sur la sexualité des levures. Arch. für Protistenk., 98. Janssens et LEBLANC, 1898. Recherches cytologiques sur la cellule de levure. La Cellule, 14. STOPPEL, Rose, 1907. Eremascus fertilis nov. spec. Flora, 97. Wacer, H., 1898. The nucleus of the yeast-plant. Annals of botany, 12. Wacer and Pemsron, 1910. Cytological observations on the yeast plant. Annals of botany, 24. 3. Zu den Protomycetaceen, von Biren, G., 1915. Die schweizerischen Protomycetaceen mit besonderer Berücksichtigung ihrer Entwicklungsgeschichte und Biologie. Beitr. zur Kryptog.-Flora der Schweiz 5. ——, 1916. Beitrag zur Kenntnis des Mycels der Gattung Volkartia. Mitteil. der naturf. Gesellsch. in Bern. CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 41 von Biren, 1917. Beitrag zur Biologie und Entwicklungsgeschichte von Protomyces inun- datus. Ibid. DawcEAnp, P. A., 1906. Recherches sur le développement du périthèce. Le Botaniste, send! Juer, H. O., 1901. Contributions à la flore mycologique de l'Algérie et de la Tunisie. Bull. Soc. mycol. de France, 17. ——, 1902. Taphridium Lagerh. et Juel, eine neue Gattung der Protomycetaceen. Bihang K. Sv. Vetensk.-Akad. Handl., 27: lll. LiwpRorH, J. L., 1904. Mykologische Mitteilungen, 12. Acta Soc. Faun. et Flor. Fenn., 26. Maire, R., 1908. Contribution à l'étude de la flore mycologique des Pyrénées. Bull. Soc. botan. de France, 55. . Vorkanr, A., 1903. Taphrina rhætica und Mycosphærella Aronici. Ber. deutsch. botan. Gesellsch., 21. 4. Zu Taphrina. DanGearp, P. A. 1894—95. La réproduction sexuelle des Ascomycètes. Le Botaniste, sér. 4. : Fisch, C.. 1885. Ueber die Pilzgattung Ascomyces. Botan. Zeitung. 43. GIESENHAGEN, K., 1901. Taphrina, Exoascus und Magnusiella. Botan. Zeitung, 59. Ikeno, S., 1901. Studien über die Sporenbildung bei Taphrina Johansoni Sad. Flora, 88. ——, 1903. Die Sporenbildung von Taphrina-Arten. Flora, 92. JOHANSON, C. J., 1885. Om svampslügtet Taphrina och dithórande svenska arter. Öfversigt K. Sv. Vetensk.-Akad. Fórhandl. —— ——, 1887. Studier öfver svampslägtet Taphrina. Bihang K. Sv. Vetensk.-Akad. Handl., 13: Ill. Juer, H. O., 1909. Om Taphrina-arter på Betula. Svensk botan. Tidskrift, 3. Pierce, N. B. 1900. Peach leaf curl: its nature and treatment. U. S. Dep. of Agric., Bull. n:o 20. SADEBECK, R., 1884. Untersuchungen über die Gattung Exoascus und die durch dieselbe um Hamburg hervorgerufenen Baumkrankheiten. Jahrb. Hamburg. wissensch. Anst., 1. — —-, 1893. Die parasitischen Exoasceen. lbid. 10: 2. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 5. Impr. ?/5 1991. 6 Erklàrung der Tafeln. Tafel: Fig. 1—22. Endomyces decipiens. Fig. 1—3. Mitosen ih vegetativen Hyphen. Vergrösserung 1900: 1. > 4—6. Kopulationen zwischen Hyphenzellen, als Atavismen aufzufassen. 1200: 1. » 7—22. Asken in verschiedenen Stadien. 1200: 1. » 7, 8. Spiremähnliche Phase des Kerns. » 9—12. Phasen der 1. Kernteilung. » 13. Askus mit 2 Kernen. » 14, 15. Phasen der 2. Kernteilung. > 16. Askus mit 4 Kernen. 17. Die vier Kerne in Mitose? > IS. Askus mit 8 Kernen? » 19—21. Stadien der Sporenbildung. 22. Askus mit älteren, jedoch noch runden Sporen. Fig. 23—29. Taphridium umbelliferarum. 1900: 1. Fig. 23. Partie eines Querschnitts von einem Sporangium mit grossen Spiremkernen. » 24. Späteres Stadium, Kerne mit klumpenförmigen Chromatinrnassen. 25. Flächenschnitt eines Sporangiums mit peripherisch gelagerten Kernspindeln der 1. Teilung. » 26. Flichenschnitt mit Kernspindeln der 2. Teilung. » 27. Flächenschnitt, Telophase der 2. Teilung. » 28. Dasselbe Sporangium in Querschnitt. Eukelkerne an der Peripherie, im Innern desorganisierte Kernreste. » 29. Querschnitt, späteres Stadium, Kerne oder junge Sporen im peripherischen Plasma unregelmässig gelagert. Fig. 30— 32. Taphridium algeriense. 1900: 1. lig. 30. Flüchenschnitt eines Sporangiums vor der Bildung der Sporenmutterzellen, Kernspindeln der 1. Teilung an der Peripherie lagernd. » 31, 32. Flüchenschnitte, Phasen der in den Sporenmutterzellen stattfindenden Kernteilung. CYTOLOGISCHE PILZSTUDIEN. 43 Fig. 33 und 34. Dipodascus albidus. C:a 1200: 1. 33. Askus mit grossem Fusionskern in spiremühnlicher Phase. 34. Telophase der ersten Teilung. Tat IE Fig. 35—40. Taphrina Pruni. . 35. Junge, noch vegetative Hyphen mit Kernpaaren. 1900: 1. 36. Spiremähnliche Phase des Askuskerns. 1500: 1. 37. Spätere Phase, vielleicht als Synapsis aufzufassen. 1500: 1. 38. Erste Kernteilung im Askus 1900: 1. 39. Dritte Kernteilung im Askus. 1900: 1. 40. Sporenbildung. 1900: I. Fig. 41—44. Taphrina Potentillæ. . 41. Sehr junger Askus, vor der Kernfusion. 1500: 1. 49. Etwas älterer Askus, mit Fusionskern. 1500: 1. 43. Erste Kernteilung im Askus. 1900: 1. 44. Zweite Kernteilung im Askus. 1900: 1. Fig. 45. Taphrina alnitorqua. 1900: 1. . 45. Erste Kernteilung im Askus. Fig. 46—48. Taphrina betulina. 1900: 1. . 46. Erste Kernteilung im Askus. 47. Zweite Kernteilung. 48. Dritte Kernteilung. Fig. 49—51. Taphrina epiphylla. 1000: t. 49. Erstes Hervorbrechen des Askusschlauches. 90,51. Weitere Entwicklung des Askus, Bildung der »Stielzelle». Fig. 53—55. Taphrina aurea. . 52. Zelle des jungen vegetativen Mycels, die Kerne dürften eine konjugierte Teilung ausführen. 1900: 1. 54 Askus mit »Stielzelle», die einen leeren Raum darstellt. Die vielleicht amitotisch erzeugten Kerne bilden einen Haufen in der Mitte des Askus. 1000: 1. Ein Askus, der drei sprossende Sporen und fünf degenerierende Kerne enthält. 1000: 1. ot Sh m. 34 - (, Juel delin. Ljustr. A. B. Lagrelius & Westphal, Stockholm oc. Sc. Ups. Ser 4. Vol B. N. 5. [o] S » * = NOVA ACTA REGIAE SOCIETATIS SCIENTIARUM UPSALIENSIS SER. IV. VOL. 5. N:o 6. THE CRINOIDS FROM DR. S. BOCK’S EXPEDITION TO JAPAN 1914 BY TORSTEN GISLÉN WITH 2 PLATES AND 162 TEXTFIGURES (PRESENTED TO THE ROYAL SOCIETY OF SCIENCE or UPSALA NOVEMBER 4th 1921) UPPSALA EDV. BERLINGS BOKTRYCKERI A.-B. 1922. 7 nds > gs EI ie d The Crinoids from Dr. S. Bock's Expedition to Japan 1914. This systematie work is an investigation of the fine and very interesting Crinoid material that was brought home by Dr. SrxTEN Bock's Japanese expedition of 1914 and which has kindly been deli- vered to me by Dr. Bock for determination. On many occasions the determination has been facilitated by comparison with the crinoids that Dr. MORTENSEN of Copenhagen has collected in the same regions and also kindly delivered to me for determination. I am much indebted to Mr A. H. CLark of Washington for the very valuable information he has always readily rendered me. To Professor A. WiRÉN of Uppsala I also wish to express my thanks for the kind interest with which he has followed my investigations. The translation has been made by myself with the assistance of my sister Miss MärtHa GrstÉN. The work was afterwards revised by Mr HENRY ALEXANDER M. A. and to both these helpers I herewith offer my heartiest thanks. Finally I beg to express my gratitude to Miss SiGRID OHLsSON and Miss A. Srarup, who have kindly drawn in Indian ink the text- figures made by myself in pencil. The points of view that I have followed in my investigation have chiefly been the same as I applied when revising the crinoid material brought home from Australia by Dr. MJÖBERG, though I have been able to begin and complete the determination of the Japanese Crinoids with a deepened knowledge and also to apply a more tho- Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups, Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. '"^ 1922. 1 2 4 T. GISLEN, roughly worked out systematieal method. "Thus I have for each spe- cies given a more or less detailed description of a typical specimen and for the rest of the individuals belonging to the same type I have given an account of the divergences from the normal type. I have also given numerical specifications for such characteristies as were the subject of statistical treatment, What I have often felt as a deficieney is, that the authors of the species-deseriptions within this group, especially during the last few years, have not given any specifications either as to which cha- racteristies they have considered to be significant for the species or to which previously described species the newly described type might be most closely related. It has therefore become unnecessarily tedious to find out from the multitude of the stated characters those which are specific for the species. Because of this I have added to the description of every new species or variety a short summary and dis- eussion of the characteristics that I have thought to be distinguishing ones for the species, and a statement as to which previously deseribed species the new one might be most closely related to. Since the days of the Challenger papers there are few works that have given any figures of the newly described Crinoids and in the cases where this has been done it is almost without exception only habitus-figures that have been reproduced as drawings or photos. When it is necessary to reproduce a habitus-picture of a Crinoid a photo is doubtlessly most suitable, n. b. if well taken. A picture of an entire animal must always involve great schematization, which be- comes more visible in Crinoids than in other animals because the Crinoids consist of such an innumerable quantity of ossicles, the num- ber, sculpture and form of which represent the proper genus and spe- cies characteristics. A good photo, on the contrary, can quite cor- rectly reproduce a habitus-picture and, in addition, a good many of the more microscopical characters. But when it is a question of giving a complete picture of a newly described species the macroscopical photo is, however, not satisfactory alone, at least not in the ease of a Coma- tulid species. Then one must also add to the habitus-picture drawings (or mierophotos) to visualize the specifie characters for the species, which one usually takes from the appearance, form, number and size of the Cd and cirrals; from the sculpture of the arms and especially THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO Japan 1914. 3 from their proximal parts; from the occurrence of the pinnules and their relative size and ornamentation. It will therefore be seen that in most species I have given drawings of Cirri, of the proximal and distal pinnules that are especially characteristie, and of Br joints and Centrodorsals, where they have any characteristic sculpture or other- wise show any appearance specific for the species. As to the systematical classification I have followed A. H. CrARk's system. Though in some particular cases this perhaps needs criticizing, still it is certainly right in its principal traits. In his large work on the Comatulids of the Siboga Expedition, CLARK has brought together a good many of his systematical observations previously published in numerous investigations and now one can more easily estimate the value of the new system. In certain cases he has perhaps, however, gone too far in subdividing the genera; the recent known Crinoids comprising about 600 species are distributed in 132 genera. The appa- rent disproportion between the number of species and genera will in the future be diminished by new expeditions adding many new spe- cies to the small genera. By this the division into genera will cer- tainly persist in many cases, but on the other hand I do not think that in course of time one will be able to keep apart genera in which for instance the difference in genus À is only that P, is the longest pinula on B: P.,in C: Py. Though I have studied about 40 of the above-mentioned genera, I do not consider that I have yet sufficiently detailed knowledge to put the system through a suitable criticism and apply new restrictions to certain genera. Besides, it seems to me as if the study of the in- ner anatomy (in the Comatulid genera and families still quite a terra incognita) ought to precede a discussion of the mutual relation bet- ween the different groups. I hope in the future to be able to begin this study and throw some light upon the matter. Dr. Bock’s Japanese Expedition brought home 53 different spe- cies and varieties of Crinoids, distributed in 29 genera. I have given below a list of the contents of the collection and at the same time the depths at which the specimens were swept. (In the case of the specimens from Kiu-Shiu there are sometimes no statements of the 4 T. GISLÉN, depths, but according to Dr. Bocx they are said to be taken from at most a depth of 200 metres)’. Comatella brachycirra n. sp. 145—209 metres Comatella maculata (P. H. Carp.) 145—182 metres Comatella stelligera (P. H. Carp.) 145—209 metres Commissia peregrina var. maginifica n. var. 192 metres Comissia parvula A. H. CLARK 209—728 metres Comissia gracilipes A. H. CLARK 728 metres Comissia ignota var. minuta n. var. 127—209 metres Comaster delicata var. grandis n. var. 72—182 metres Comaster serrata A. H. CLARK 127— 209 metres Comantheria grandicalyx (P. H. Carr.) 54—72 metres Comantheria grandicalyx var. flagellipinna n. var. 20—63 metres Comanthus solaster A. H. CLARK 2—4 metres Comanthus pinguis A, H. CLARK 136 metres Comanthus (Vania) annulata (BELL) 127 metres Comanthus (Vania) parvicirra e comasteripinna (MÜLLER) n. n. 0—63 metres Comanthus (Vania) parvicirra B comanthipinna n. subsp. 63 metres Catoptometra Harllaubi A. H. CLARK 245 metres Catoptometra magnifica var. minor n. var. 127 —182 metres Eudiocrinus indivisus SEMPER 182 metres Eudiocrinus gracilis var. pulchellus n. var. 127—182 metres Eudiocrinus Loveni n. sp. 145 metres Liparometra grandis A, H. CLARK, ?—145 metres Cenometra bella (HARTLAUB) 63 metres Cyllometra disciformis (P. H. Carp.) 162—728 metres Cyllometra manca (P. H. Carp.) 47 metres Cyllometra albopurpurea A, H. CLARK 163—182 metres Cyllometra pulchella n. sp. 196 — 163 metres Tropiometra afra var. macrodiscus (HARA) 3—5 metres Tropiometra encrinus (LUTKEN) 163 metres Neometra multicolor A. H. CLARK 163 metres ! The statements as to the depths, according to Dr Bock, ought not to be taken too. striclly, with the exception of the depths from the Kiu-Shiu loeality. In other cases they only signify the length of the wire let out of the trawl. 2 ——— THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. BocK's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 5 Pectinometra flavopurpurea A. H. CLARK 964—728 metres Pterometra trichopoda A. H. CLARK 145—182 metres Asterometra macropoda A. H. CLARKE 163 metres Asterometra anthus A. H. CLARK 127—209 metres Stenometra dentata n. sp. 182—209 metres Crossometra sepientrionalis A. H. CLARK 364 metres Perissometra aranea n. sp. 200 metres Diodontometra Bocki n. gen. & sp. 209 metres Compsometra parviflora A. H. CLARK 127—145 metres Compsometra serrata A. H. CLARK 0—3 metres Toxometra cquipinna n. sp. 273 metres Iridometra melpomene A, H. CLARK 182—728 metres Dorometra nana (HAarTLAUB) Diver (about 0—5 metres) Dorometra briseis A. H. CLARK 728 metres Dorometra parvicirra (P. H. Carp.) 145 —163 metres Psathyrometra Wireni n. sp. depth? Erythrometra rubra A. H. CLARK 163 metres Clarkometra elegans n. gen. & sp. 127—169 metres Thaumatometra comaster A. H. CLARK 275—728 metres Metacrinus nobilis var. tenuis n. var. 182— 400 metres Metacrinus rotundus P. H. Carp, 182—254 metres Metacrinus interruptus P. H. Care. 145—400 metres Metacrinus interruptus form. ornatus new form 182—400 metres. If I disregard Compsometra serrata, which is also found on the shore at Shimonoseki, the above-enumerated species are scattered over 3 different localities. These 3 localities are the Sagami Bay, the district round the Goto Islands, and the Bonin Islands. From Sagami the following species were brought home: 1) Co- missia parvula, 2) C. gracilipes, 3) Comanthus solaster, 4) C. parvicirra a comasleripinna, 5) Liparometra grandis, 6) Cyllometra disciformis, 1) Tro- piometra afra macrodiscus, 8) Pectinometra flavopurpurea, 9) Crossometra septentrionalis, 10) Compsometra serrata, 11) Toxometra cquipinna, 12) Iri- dometra melpomene, 13) Dorometra briseis, 14) Thawnatometra comaster and 15) Metacrinus rotundus. Further there is a young Comasterid from a great depth, which is probably Comatulides decameros sp. juv. In all therefore 15 or 16 species from Sagami, one of which is new (N:r 11). 6 T. GISLÉN, From Kiu-Shiu and the Goto Island are collected: 1) Comissia parvula, 2) Comanthus pinguis, 3) Catoptometra Hartlaubi, 4) Cyllometra manca, 5) Cyllometra pulchella, 6) Neometra multicolor, 7) Asterometra macro- poda, 8) Perissometra aranea, 9) Psathyrometra Wireni, 10) Erythrometra rubra, 11) Metacrinus nobilis tenuis, 12) M. interruptus, 13) M. interruptus form. ornatus and 14) M. rotundus or 14 species, including 3 new species and a new form. N:r 1 und 14 are common with the Crinoid fauna of the Sagami bay, n:r 11, 12 and 13 with that of the Bonin Islands. From the Bonin Islands there are: 1) Comatella brachyeirra, 2) C. maculata, 3) C. stelligera. 4) Comissia pere- grina magnifica, 5) C. ignota minuta, 6) Comaster delicata grandis, 7) C. serrata, 8) Comantheria grandicalyx, 9) C. grandicalyx flagellipinna, 10) Comanthus annulata, 11) C. parvicirra a comasteripinna, 12) C. parvicirra p comanthipinna, 13) Catoptometra magnifica minor, 14) Eudiocrinus indi- visus, 15) Eu. gracilis pulchellus, 16). Zu. Loveni, 17) Liparometra grandis, 18) Cenometra bella, 19) Cyllometra albopurpurea, 20) C. disciformis 21) Tropiometra encrinus, 22) Pterometra trichopoda, 23) Asterometra anthus, 24) Stenometra dentata, 25) Diodontometra Bocki, 26) Compsometra parviflora, 27) Dorometra nana, 28) D. parvicirra, 29) Clarkometra elegans, 30) Meta- crinus nobilis tenuis, 31) M interruptus, 32) M. interruptus form. ornatus. Among these 32 species there are 2 belonging to new genera, 5 new species, 7 new varieties, and one new form. N:r Il and 17 are also found in the Sagami-list, N:rs 30, 31 and 32 in the one from the Goto Islands, As to the Sagami-species one can note some forms from a depth of 100—400 fathoms (182—728 metres) which have not before been found north of the archipelago of the Sunda-Islands. Probably it is the warm Kuro-Shio stream which passes northwards along the eastern shore of Japan that has brought up the larva-stages of these southern species and that makes their duration in this northern waters possible. According to the statement of Mr A. H. CLARK and the holothurian specialist Dr. H. OnsHima a southern woof continues to assert itself in the marine fauna up to the Sendai Day, i. e. somewhat north of the 38" latitude, The prominent point and Kingwa-San here prevent fur- ther penetrating of the warm. water and of southern forms and marks the northern boundary of Indo-pacific animals. Comissia parvula was previously found at the Philippine Islands and the smaller Sunda-Islands at a depth of 73—522 metres, In the Bockian Collections the species THE ÜRINOIDS FROM Dm. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 7 was swept from Sagami at a depth of 209—728 metres. Comissia gra- cilipes, collected at the Kei-Islands at a depth of 595—984 metres, is found at Sagami at 728 metres, Cyllometra disciformis occurs at the Philippines from 0—325 metres, at Sagami the species is found from 182—728 metres and, finally, Toxomelra at the Philippines and the Sunda-Islands, where the genus is represented by the species paupera, oceurring at a depth of 0—502 metres, was brought home from Saga- mi from 273 metres. A woof of southern forms is also visible at the Goto Islands by the occurrence of the species Cyllometra manca, Psathyrometra Wireni, Metacrinus interruptus and M. nobilis var. tenuis. The Crinoid fauna of the Bonin-Islands was quite unknown be- fore, The 32 species that have been brought home from these islands, show that the crinoid fauna forms a mixture between the South Japa- nese fauna and that of the Sunda Islands and Oceania with a woof of some more peculiar and diverging forms. South Japanese species or ones closely related to these are Comatella brachycirra, Comaster ser- rata, Comantheria grandicalyx, Cyllometra albopurpurea, Asterometra ant- hus and Stenometra dentata. Most of the rest are represented by the same or closely-related forms in the waters round the Sunda islands and the Philippines or belong to species with ubiquitous distribution. Eudiocrinus gracilis, formerly reported from Burma, is represented by a somewhat diverging form. Of the same genus there is a new spe- cies Ew. Loveni, which reminds one both of Eu. gracilis and venustulus, but is otherwise a special type. It is strange that a variety of the East African Comissia ignota is found at the Bonin Islands. As a parallel in the distribution one might quote Tropiometra afra and Tro- piometra afra macrodiscus. Both the new genera of the collection also originate from these islands. The genus Diodontometra is a Charito- metrid form, most closely related to Charitometra, a genus known from great depths at the Kermadec and Fiji islands, though the new genus differs from Charitometra by having XX arms and a double opposing spine, an almost unparallelled condition, formerly observed only in the genus Epimetra fam. Colobometridæ. The new genus Clarkometra is also interesting especially from an animal-geographical point of view. The genus belongs to the subfamily Perometrinæ of Antedonide and is most closely related to the East American genus Hypalometra, 8 T. GISLÉN, from which it differs, however, in several characteristics. A small num- ber of genera from the Indian ocean are already known with corres- ponding types in the Caribbean sea. The above-mentioned genera still show à couple of these interesting correspondences, Some of the species found at the Bonin islands (e. g. Tropio- metra. encrinus, Vania annulata) are met with here at greater depths than those formerly reported in the literature. A tendency to abbreviation of the cirri can be traced in several species from the Bonin islands. Thus Comatella brachycirra, Catoptometra magnifica minor, Eudioerinus gracilis pulchellus, and Stenometra dentata differ from closely related forms by the cirri being unusually short in comparison with the arms (compare several newly described species in ÖLARE'S Siboga work, where in forms from the Sunda islands an opposite tendency prevailed). Some of the Bonin localities seem to have had a very rich eri- noid fauna. From St. 59 one notes no less than 13 species. It may be of some interest to note that while the crinoid fauna from this rich locality only shows full-grown specimens, the list from e. g. St 47 only includes the young of large species and mature individuals of small forms. Obviously a current favourable for the one as well as for the other has brought larvæ of numerous forms. In the latter case quoted this. has occurred rather recently and it is therefore only the small spe- cies that have reached maturity. The collection as a whole gives a good idea of the abundance of crinoids that prevails in Japanese waters. The family Comasteride is represented by 16 species, one of which is a new species, and 5 can be considered as new varieties. In the systematical investigation of this family I have discussed in special detail the forms of Comanthus (Vania) parvicirra and the value the characters may have in this sub-genus. The collection is rich in young forms and an especially great number of young Comasterids have been placed at my disposal. All these young forms, like all young forms of Comasterids, are exceedingly difficult to identify and one may usu- ally think oneself very fortunate if the young Crinoid is determinable as to genus. Hitherto descriptions are chiefly published only for grown- up forms and therefore the characteristics that might possibly be used to distinguish young ones are unnoticed or unknown. If the fauna = TO 0 Pa asi di. THE CRINOIDS FROM DR. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 9 at a certain place is approximately known and evolution-series are brought home, the prospects of identifying young forms are consi- derably brighter. I therefore considered it of a certain interest to make a combination of the young Comasterid forms from the Bonin Islands and, partly by comparing them with one another, partly by studying given evolution-series, try to produce the characteres that might be of systematical value. Thus, among other things, I think I have found that the appearance of the disk can give certain. fixed points for jud- ging the systematie position of the young Comasterids. The family Zygometridæ is represented by 5 forms including one new species and two new varieties. As always, here too I have been very cautious in establishing new species and have preferred to set up a new form as a variety rather than as a species if the disting- uishing characteristies have seemed to me to be less decided or I have otherwise had any doubt about the value of the distinguishing marks quoted. Therefore it is very possible that some of the new forms des- cribed as varieties will in future turn out to be new species. Of the families Mariametride, Colobometride, Tropiometridæ and Calometride there are, except Cyllometra pulchella n. sp., only previously known species with a number of species 1, 5, 2 and 2 respective- ly. Cyllometra disciformis is swept from greater depths than were previously known and because of this the cirrals are exceptionally short in correspondence with A. H. CLArks statement on the Siboga material. Antedon macrodiscus, described by the Japanese Hara 1895, I have put as a variety under Tropiometra afra, from which it only differs by having a greater number of cirrals, a character that in this ease I cannot consider to have a species-distinguishing value, as it is the only differing one. The relation between the genera Calometra and Neometra I have discussed in connection with the description of spe- eimens of Neometra multicolor. The family Thalassometridæ appears with 4 species, one of which is new, Stenometra dentata, in a certain way intermediate between the genera Stenometra and Daidalometra. Of Asterometra anthus I have had an opportunity to study a very rich material, which has been subjected to statistical investigation. This has given the result that both the Clarkian species A. acerba and A. lepida cannot be considered as forms differing from the above-mentioned species but might become absorbed Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. 4/2 1922. 2 10 T. GISLÉN, in A. anthus. Both in this and in the first-mentioned, newly described species there are some very tender young forms with defective pinnu- lation and orals not yet resorbed. I have also observed these ossicles in some small Comasterid youngs and in a young Compsometra serrata. Of Charitometride there are 3 species, one of them belonging to a new genus, the above-mentioned Diodontometra. Moreover a new species of the genus Perissometra is also described. The family Antedonidæ counts in the collection 12 species, distributed over 4 sub-families: 1) Antedoninæ: 7 species, including a new one, 2) Zenometrine: one species (new), 3) Perometrinæ: 2 species (one new genus, the above-mentioned Clarkometra) and 4) Batymetrine : 1 species. Compsometra serrata as also the above-mentioned Cyllometra pulchella were brought home in great numbers and the statistical investigation that I have carried out shows here, as almost every where when one has to do with nearly fullgrown crinoids, an asto- nishing constancy in the number of cirri, cirrals, pinnulars, ete. A certain variability is, however, always visible and to establish its range seems to be of rather great importance. Psathyrometra Wireni is peculiar in so far as it has sexual products on P,, a character restricted otherwise to the subfamily Bathymetrine or occurring excep- tionally in Antedonin«. Of stalked Crinoids there are only representatives for the Penta- crinoid genus Metacrinus, which is represented by 4 different species or forms (including a new variety and a new »form»). Melacrinus Ste- wart, for reasons quoted is considered to be an unimportant form-de- viation from the M. rotundus type and is therefore treated as a syno- nym of this species. As to M. interruptus (P. H. Carp.) I have on the contrary considered that there are reasons for not agreeing with Mr. SrERRY's views as to the identity of this species with M. rotundus and I have therefore treated it as a separate species. The material of Metacrinus-forms is extraordinarily fine and inte- resting from an ontogenetical point of view. A young specimen of M. interruptus may be the youngest known specimen of a Metacrinus spe- cies and shows many interesting conditions of organisation. In a eouple of species it has been possible to follow the increase in the thick- ness of the stem and an estimate of the total length of the grow- THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO Japan 1914, 11 ing stem has given figures from 2 to 2,5 metres. It is, however, to be noticed that large forms, such as M. rotundus, probably have stems which during their increase of thickness become a good deal longer. Concerning both the first-mentioned species and the latter ones it is very possible that the length-increase of the stem is continued even after the increase of thickness has ceased. A couple of measurements have shown that the thickness of the stem can even decrease proxi- mally, which ought probably to be regarded as a phenomenon of old age. The study of the components of the division-series has led to interes- ting results which will be treated in a special investigation in connection with the question of the new formation and augmentation of the num- ber of arms in the genus Metacrinus and in the discussion of the rela- tion between pinnulæ and arms. Coneerning the terminology I have used the same names as in my work upon the MJöBERGIAN Crinoids, i. e. about the same as BATHER, A. H. CLARK etc. have employed. Thus R (the radial) is the first ossicle of the arm. The ossicles between the radial und the first arm-ramification are denoted as primi- brachials 1, 2, etc. (I Br 1, I Br 2). The last ossicle before this arm- division is an axillary (I Brax), carrying on its distal surface two se- condary arms. lf the animal has only X arms there are no further arm-ramifications, otherwise after the I Brax the secundibrachials (II Br:s) follow with the 2 nd, 4th or, among the stalked crinoids, even a more distal segment forming an axillary. On this a new division-series, the tertibrachial (III Br), may possibly arise, then perhaps a IV Br series and so on. The segments of the arm-branches that are not further divided are signified as brachials (Br) with the number of the segments counted from the last axillary. The number of the Cirri (C) as well as of the arms is written in roman figures, the number of the segments in arabie ones. By the word »whorl» in the description of cirri I mean their arrangement in a horizontal line, but I speak of »row» when referring to their arrange- ement in a vertical line. The pinnules (P) are denoted on the outside of the arm by ordinals, on the inside they are indicated by letters (a, b, c). I Br (Cos- tal), II Br (Distical), IL Br (Palmar), and IV Br (postpalmar) pinnules I 12 T. GISLÉN, have, however, contrary to my procedure in the Mjóbergian work, denoted by P; (72 P,), Pi (= P5), Pin (7 P») and Pıy (= Ppp).' In order to demonstrate the ramifications of the arms I have used the same schemes that I demonstrated in my Mjóbergian inves- tigation. In these schemes synarthries are indicated by hyphens, sy- zygies by the plus sign. Though synartries and syzygies have diffe- rent marks they can, however, in cèrtain species pass over to each other to an unlimited extent and in such dubious cases I have often put a query instead of one of the above-mentioned marks. The »pseudo-» syzygy when fully developed is denoted as a »true» syzygy. Roman numerals signify the number of division-series, thus for instance II — II Br, arabic ones = the ordinals of the segments. Br as usual — brachial, R=radial. I have marked the regenerate by adding an index to the number of the segment. The index mark 1 forms the sign of a first regeneration, 2 of a second one and so on. The distribution of the pinnules is indicated by horizontal lines which are applied below or above the symbol of the segment according as the pinnula is fixed in- side or outside the arm. The abreviations that I have used are the following: B — basale br — breadth Br — brachiale h = height D = Dorsal cirrus whorl C = cirrus L = length V = Ventral cirrus whorl Cd = Centrodorsale N = number IR — interradially S = number of segments P — pinnula T = teeth. R = radiale 1 For the pronunciation of these symbols I suggest: primi-p., secundi-p., terli- p. etc. Comasteridæ A. H. Crank. Subfam. Capillasterinæ A. H. CLARK. Comatella A. H. CLARK. C. brachycirra n. sp. Fig. 1—3. Photo 1. From St. 53 (5 sp.), 55 (2 sp.), 56 (2 sp.), 59 (7 sp.) = 16 specimens. Sp. 1 (St. 56) Cd flattened, free dorsal surface small, smooth, peripherieally somewhat furrowed, diameter 1,5 mm. Cirri XVIIL, 10—12; 5—7 mm. in a close, irregular whorl (most are broken) The first segment somewhat shorter than long, 2° seg- ment L —2 X br, somewhat hour-glass shaped, 3" and 4" segments L = 3 —3 !/2 X br. (4 segment with the disto-dorsal part bent outwards), 5" segment L = 2 X br, 6" and following segments L about = br with unimportant, obtuse, dorsal spines. The dorsal spines of the two last segments more pointed. Terminal claw strongly bent, quickly tapering, L=2x the penultimate segment. B—s appearing IR as knobs. R—s almost hidden by Cd on the middle, or presenting themselves as narrow bands. I Br 1 L='/s br, laterally free, united with I Br 2 by a sy- narthry. I Brax h = ?/s br, forming a low pentagon, the distal margins a little bent outwards. The II Br:s are 2, appearing in 2 cases (the arms are partly broken). Arms at least XH, 50—60 mm:s. Br 1 on their inner side standing together or free, 6—7 first Br-segments discoidal then oblique joints, h (the longest) — br. Syzygies 1+2 on the inner side of the ramifications on the II Br:s, 3 + 4 on the outer side, then 12 + 13, 17 + 18, 21 + 22 ete. with an interval of 3 oblique joints. The breadth of the arms is 0, mm. 16 Br-segments pro em (12 if the syzygial pairs are counted as units) in lateral view not overlapping. The bases of the arms remarkably smooth. 14 T. GISLÉN, P,—P, with a comb. P, 22 (+7 T, their L = 1'/e x the br of the segment) 5, mm, (Segments 1 and 2 short, the following ones > br), P, 17 (0 T) 3,5 mm., P, +17 (6 T) 3,5 mm, P, 16: Armee little spiny, P, 14; 3,5 mm. Distal p-s. 18; 5—6 mm:s (1 segment short, the following ones L = 1'/z br; unimportant hooks on the last segments, compare the figure). Mouth central. Disk 4 mm., dark brown with lime-granules, Anal funnel short, 1,2 mm. The arms a lighter, uniform brown (in spirit). Sp. 2 (St. 56) C. XVI, 11; 6,5 mm. The arms-XV, 35—40 mm. P, 24 (8 T) 6 mm. P, 19 (6 T); P, 18 (6 T) 4 mm. The distal p. IB: 6 mm., Cd. peripherically rutty. Disk 3,5 mm. Sp. 3 (St. 59) C. XXV 11; 6—7 mm. C. in two whorls, The arms XIV +60 mm. P, 22—24 (8 T) 7 mm. The distal p. 20; 7, mm; P, 15; 4 mm. without a comb. Sp. 4 (St. 59) C. XVII, 9—11; 4—6 mm. The arms XIV or XV, 50 mm. P, 25 (7 T) 5, mm. P, and P, with 5—6 T, P, 14; 35 mm. Distal p. 17; 5,5 mm. Sp. 5 (St. 59) C. XX 10—11; 4,5—7 mm. The arms more than XII, broken. P, 23 (7 T) 5,5 mm. Sp. 6 (St. 59) C. XII in a single whorl. The arms XII, 50 mm. P, 23 (7T T) b, mm. P, 18 (6 T) 3». mm., P, 18 (5 T) 32 mm. ee Distal p. 15; 5,5 mm. Disk 3,5 mm. The specimen somewhat more slender than the foregoing ones. The Br-segments in the distal arm- part L = 1'/2 br, somewhat spiny in the distal margin. Sp. 7 (St. 59) C. XV 11; 5 mm. The arms XIII, 45 mm. P, 22 (8 T) 5 mm., P, 19 (7 T) 3,5 mm., P, 6 T, 3 mm. Distal p. 18; 6,5 mm. Sp. 8 (St. 59) C. XXI, 10—11; 5—6 mm. The arms > XII. P, 28 (7 T) 5,5 mm. P, 22 (7 T), 3,7 mm., P4 21 (7 T) 3,5 mm., P, 14; 3,5 mm: Distal p. 12; 3,5 mm. In this and the following specimen shorter Br- segments which are bent more outwards. Sp. 9 (St. 59) C. XVII, 10—11; 4—5 mm. The arms XII +, 25—30 mm. P, 23 (8 T) 4, mm., P, 21; 9,5 mm., P, 20 (7 T) 3,5 mm. Dis p. 15; 5 mm. Sp. 10 (St. 55) Cirri XVIII 10—11; 6 mm. The arms XIV mm. P, ST, 6 mm, P, 21; 5 mm. P, 15; 45 mm. Distal p. 18: 00088 Sp. 11 (St. 55) C. XVIII 10—11, 5,5—6,5 mm. The arms XII, 60 mm. P, 25 (8 TJ 6 mm., P, 15; 4,5 mm, Distal p. 20; 7 mm, THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 15 Sp. 12 (St. 53) C. XIII 11; 7 mm. The arms XVIII, 65—75 mm. Pp, 25—2 oupsosmm. B. 22. P, 21 (0 T) A mm. P, 15. Distal p. 18; 7 mm, Occasionally P, "n. a comb 5 T, 17 segments. The specimen is lighter coloured. Perhaps a hybrid with some of the following species. The Br-segments somewhat more spiny than those of the preceding specimens. Sp. 13 (St. 53) C. XVII 10—11, 5—6 mm. The arms XV, 45 mm. P, 7 T, P—P, with teeth. Distal p. 16; 5 mm. These sp. and the 3 following ones more reddish-brown than the preceding. Sp. 14 (St. 53) C. XIV 10—11, 5—6 mm. The arms XV, 50 mm., Beine, (and P.) with teeth. Distal p. 17; 5,5 mm. Sp. 15 (St. 53) C. XVII 10; 6 mm. The arms X, 55 mm., P,—P, with teeth. Distal p. 19; 6 mm. Sp. 16 (St. 53) C. XIV 10; 5 mm. The arms XV, 20 mm. P, 20 (6 T) 3,5 mm., P, is sometimes lacking, P; always absent. Distal p. 12; 3 mm. Disk 2,» mm. An illustration of the division of arms from Sp. 2. [Br [259545101457 2% 421-122... 201205 Ie 3 | se 3:14. 17-048 191-920 D, nv , Brive... 18 -+14.. Rip i92 3E 4^ 19-E14. In sp. 7 exceptionally one case with II Br 4 (1—2 3—4) | Br 1—2 9 -F4...183 F 14... II 1—2 | Br 1—2 3-- 4...12-- 18.. I 1—2 5 hee [ET AE oes Lob Wot 20€ II 1—2 3 | ROSE LE obo md rc ER Cd varies in diameter between 1 and 2 mm. Cirri appearing in one or two whorls. Cirrale 2: L = 1!/z — 2 X br; Cirrale3:L = 2'/2 — 3 X br; Cirrale 4 : L = 3!/e X br; Cirrale 5:L —1!/2— 2 X br. This species is most closely related to C. decora A. H. CLARK from Japan but is separated from this species, by 1): the cirri, which 16 T. GISLÉN. compared with the arms are much shorter and always have 10—11 segments (with very long 3° and 4" segments) instead of 12—13, 2) never III Bris, 3) syzygies between Br 1 and 2 or 3 and 4, only ex- ceptionally between 2 and 3, 4) P, is much shorter and with fewer segments in ©. brachycirra than in C, decora. Teeth 6—9 instead of 12. 5) P,—P, with a comb (C. decora has teeth on P,—P,). Comatella maculata (P. H. Carp.). Syn.: see Siboga Exp. Vol. 42 B (A. H. Crank: Unstalked Crinoids) p. 7. Fig. 4—6. From St. 53 (1 sp.) 59 (2 sp.) = 3 specimens. Sp. 1 (St. 59) Cd 3,5 mm., free dorsal pole 2,5 mm. Cirri XXI, 19; 10—12 mm. in a single or double whorl. First and 2° segments short, 3° cubical, somewhat hour-glass-shaped, 4" a little longer, 5—7™ segments L = 11/2 br. Then shorter segments again with dorsal spines, Penultimate segment L = br. Terminal claw coarse L = 1!/2X the foregoing segment. A young cirrus has the 4—7™ segments some- what longer, L = 2 X br. B-s and R-s as in the preceding species. I Br 1 h = !/s br. laterally free. I Brax h- !/s br, the border against II Br 1 a little bent outwards. I Br 2 forms with I Br 1 a small synarthrial tubercle. II Br:s are 2. The arms are XV (or perhaps XVI), partly broken, 65 mm. Primipostaxillaries inside for the most part united. Syzygies 1—2, 3 4, 14 -- 15, 28 + 24 or 13 + 14, 18 + 19, then with an interval of 5 to 6 oblique articulations. The proximal part of the arm not quite smootli, Br:s 1—S discoidal, then oblique joints. Distal segments tolerably short, the margins a little spiny and somewhat bent outward like a collar. 16—17 segments pro em (If syzygial pairs are counted as units there are 14) Breadth of arms 1,2 mm. P,—P, with combs. P, 36—38 (18 T) 9 mm. Teeth rather nar- row, !/z—!/s of the segment's breadth. P, +30 (15—17 T) 6,5 mm. P,—P, with decreasing length. P, 22 (12 T) 45 mm. Distal p. 17—18; D Came THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. BocK's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 17 Disk 8 mm. Anal funnel 15 mm. Mouth and anus subeentral. Colour dark brown, regenerated parts white. Sp. 2 (St. 59) Cd. 3 mm., pentagonal, flat dorsal pole 2 mm. ©. XXV. 15—19; 9—11 mm. The 4"—5'' segments are ‘the long- est L = 1?/4 br, 6" segment a little shorter, a transition segment. After this (as in sp. 1) highly polished segments. The arms are XIII, 55 mm. Syzygies with an interval of 4—6 oblique articulations. P:598.(10—22 T) 9 mm.; P, 30 + 18 T) 7,5 mm., Pj 17; 4,5 mm. and P, 15; 4 mm. without combs, but with dorsal hooks and as in the preceding p. with small spiny knobs on the outer side of the proximal segments. Distal p. 19; 6 mm. The 6 last segments with dorsal hooks. The segments somewhat longer than broad, with spiny borders. — Disk 6, mm. Sp. 3 (St. 53) C. XXIII 15—16 (D), 17—18 (V), 7—9 mm. The 4% and 5" segments longest, L = 2 X br. From the 5" segment a dorsal transverse crista. The arms X, 40 mm. +. Syzygies with an interval of 5 to 6 oblique joints. Axillary h —!/» br. I Br 1 h — !/sbr. Primipostaxil- laries free inside. P,—P, with a comb. P, 30 (18 T) 5 mm., P, + 13 T, a little shorter. P, and P, with still shorter combs, P, 11; 3 mm. Distal p. 13; 5 mm. Disk 5 mm. Mouth subcentral. The base of the arms tolerably smooth. Synarthrial tubercles unim- portant. The arms as in the preceding specimens rather coarse. Distal Br-segments a little overlapping, not bent outwards, with spiny borders. The specimens agree with those of CARPENTER and CLARK except that the joint between Br 1 and 2 is of a synarthrial not of a syzygial nature and that the proximal pinnules are somewhat shorter. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups , Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. 15/5 1999, 8 IS T. GIsLÉN. Comatella stelligera (P. H. Canr.). Fig. 7—9. Syn.: see Siboga Exp. 42 D, A. H. Crank, Unstalked Crinoids, p. 5. From St. 43 (1 sp.) 56 (1), 59 (2) — 4 specimens. Sp. 1 (St. 59) Cd discoidal 3,7 mm. Free dorsal surface 2 mm. C. XXVIII 20-—24, 15—20 mm. in two whorls. 1% and 2? segments shorter than long, 3* one somewhat longer, like the nearest one fol- fowing in the centre a little squeezed together, 4°—6™ segments L = + I Va br, 7" segment a transition segment, the 8‘ and the following ones highly polished. From the 7 segment a small dorsal spine, which at first consists of a minute, transverse, spiny crista, about the 11% seg- ment constricted to a simple spine protruding from the distal part of the segment. Distal cirrals L = !/z—?/s X br. The height of the spine = !/4—!/3 of the breadth of the segment. Opposing spine more pointed and a little smaller than the preceding ones. Terminal claw curved L = I?/s X the penultimate segment. R-s visible as narrow bands. I Br I h = !/s X br, baso-laterally united, like all the following ossicles of. the proximal part of the arm with the ends somewhat thickened, bent outwards, and with small spines. A distinct synarthrial tubercle. I Brax triangular or low penta- gonal, h = '/s br, laterally somewhat squeezed together. II Br-s are 2, appearing in 8 cases. II Br 1 as Br 1 on the inside united. Br I and 2 narrow, a little broader on the outside. After Br 7 oblique segments with the distal margins widened, overlapping and spiny. An example of the arm-ramification (a little differing in one branch) is given below. je I 2a EE 26, + 27,.. 36, +37... I 5-9 | evap ease eas Er SERIE EXEESS (bred grec 163-17 ..23 + 24..32 7, Some Br 1—2 3--E..17--18 .. 25726 .. 91-1-32 -—- 20772188 THE ÜRINOIDS FROM DR. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914 19 In some exceptional cases Br 1 +2, 3 +4 on the inner side of the divisions. Syzygies distally ‚with an interval of 5 —6 oblique joints. Arms XVIII, 80 mm. 17—18 segments pr. em. (14—15 if the syzygial pairs are counted as units), Segments short, longest side L = ?/4 X br. The breadth of the seg Br Bor Pe with eombs., P, + 37 (A1—18 Te 9rseime prp (22077) 65 mm. P, 37 (Teeth from 11^ segment), P; + 30 un from 12: segment), P, 28 (15 T) or 17 without a comb, 4,5 mm. Teeth tole- rably high, narrow, h — 2/3 of the br of the segments. P, 16, P, 15: 4» mm. Segments not longer than broad. Proximal segments knobby and spiny, distally widened, not as in CaRPENTER's figure with a small wing-like process but with a longitudinal spiny crista. Distal p. 18—20; 5 mm. The last 4—5 segments on each p. with paired dorsal hooks. Disk 10 mm. Anal funnel 2,5 mm. Mouth and anus sub-central. Disk smooth without incrusted granules. Sp. 2 (St. 59) C. XX 14—18, 6—12 mm. in a whorl only partly double. Arms XVI 65 mm. (VI young regenerated arms). Syzygies most len 1—2, 3 +4... E27 wien combs, P: 91 (15 T) 6 mm., P, 30 (17 T) 5 mm... P, 29 (14 T) 42 mm. Teeth narrow, pointed. P, 13; 4 mm. Distal p. 16; 5 mm., with small spines. The proximal parts of the arms some- what smoother than in the preceding specimen. Example of the arm-ramifications and distribution of syzygies in a somewhat abnormal arm. Br 3 4716 10... 20s 20.:01:92- 995 98:1 39. I 1—2 £. | Br Io oc MOSE IN ETS 207 SRE TEE Nele 2; a [EIE M IS PE ote On eee DAN To this species I have also referred a X-armed specimen differing chiefly only by being smaller than the ones described above. Sp. 3 (St. 56) Cd very slight vaulted, 1 mm. €. XXV (III of them very small): 13 (D) 16 (V), 6—9 mm., usually in two whorls, 1* and 2! segments short; 3° one L = 11/2 br, a little hour-glass-shaped, 5° and 6" segments L = 2 X br with widened distal parts, 6" segment with a 20 T. GISLEN, spiny, transverse, dorsal erista which at the 10% one is constricted to a simple spine (h = '/4 of the br of the segment). Terminal claw L= 1'/2 X preceding segment, blunt, somewhat curved. I Br 1 h!/s br, laterally separated by the R—s. A weak synarthrial tubercle and a close articulation with the axillary. I Br 2 h = !/s br low pentagonal, distal margins form an obtuse angle. Arms X. about 35 mm. Br 1 and 2 in close articulation with one another, Br 1—6 diseoidal, then oblique joints. Syzygies with an interval of 4—6 oblique articulations. The outer margins of the distal segments very much bent outward and finely spinous. DD 354-445-1520 Joop anne Br 12932 AAA AID ES 219552509 5 1 NN P,—P, with combs. P, 32 (18 T: h = or ?/s of the segment) 6, mm. P, 31 (18 T) 5 mm., P4 24 (15 T) 4 mm., P, similar, P 22212275 35 mm. Distal p. +17; 45 mm. 3-—5 distal segments with dorsal hooks. Mouth. and anus subcentral. Colour yellow-brown with white spots. Cirri white. Sp. 4 (St. 43) C. XVIII 14—17, 6—10 mm. Dorsal spine from the 6 segment. Arms XII, 55 mm. II Br:s are 2. Syzygies with an interval of D 3—4 oblique joints. The segments fairly strongly collar-shaped and spiny. P, and P, with long combs composed of 15—20 teeth. P, 5,5 mm. P, 45 mm., P, with +10 T; 3 mm., P, without a comb. Distal p. 13; 4 mm. Mouth and anus subcentral. Disk 4—5 mm., brown-green. Caleareous parts lighter, olive-brown. Somewhat approaching C. ma- culata but with more slender arms. : The young forms of the above-described species are very simi- lar to one another and probably cannot be distinguished from each other. Presumably the two last-described species pass through a stage with cirri built as in C. brachycirra. A comparison between the characteristics for the species deseri- bed above also shows that C. maculata comes near to C, stelligera and THE CRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914, 21 except for the number of cirrals chiefly differs by having thicker and coarser arms, smoother arm-bases, and by having the distal Br-seg- ments less bent outward. It is to be supposed that the 3 species described above make hybrids. A specicimen (Sp. 12) of C. brachycirra approaches the 2 other Comatellas by having somewhat spiny Br-segments. Compare also Sp. 4. of C. stelligera. Comissia A. H. Cramnx. C. peregrina var. magnifica n. var. Inc sobre Photo 2: From St. 59:2 specimens. Sp. 1. Cd pentagonal with somewhat prolonged corners. Dia- meter 5,» mm. Free dorsal part 2,5 mm. Height 1.5 mm. Cirri thrown off, pits of XXXV—XL in 2 whorls. R—s appearing as small flaps in the corners. I Br I h = '/e br laterally united with each other, forms with I Brax a low synarthrial tubercle as Br 1 with Br 2. Axillary h = !/s br, low pentagonal. Br 1 grown together inside. Br 2 on the outer side 9 X broader than on the inner side. Br 3 ++ narrow bands; 4" and 5" segments form a weak tubercle directed inwards, 5" and 6% give rise to a similar one directed outwards; 6—7™ and 8—9™ form inward directed, 7'^—8'^ and 9%—10% outward directed knobs, then rounded segments with more or less oblique articulations. Syzygies 3 + 4..13 + 14... 17 +18 ete. with an interval of 3 to 4 oblique articulations. Distal Br-segments triangular, the long side ?/s X br. The arm-profile distally smooth, proximally somewhat serrate. Arms X, 150—170 mm. 16 segments pr. em. (if syzygial. pairs are counted as units 11 or 12). Breadth of the arms 2,5—1,5 mm. P, 50—55 (22—25 last segments rolled in a double spiral with large rather pointed teeth, h — the br of the segment. 2°—7'" or ST segments with dorsal knobs, weakly projecting. The remaining seg- ments smooth, though distally weakly collar-shaped, not at all or only a litle longer than broad) 17 mm., P, 13 mm. P, and P, still some- 22 T. GIsLEN, what shorter with combs which, as on all the comb-provided pinnules, are rolled a couple of turns; Pj; 27; 12 mm. without a comb. Distal p. 25—28; 12—13 mm. The first 20—25 pairs of pinnules with the proximal segments distally somewhat bent outwards and with small spines. The segments of the distal p-s somewhat hour-glass-shaped, their ends distinctly spine-crowned, Last pinnulars with weak hooks. Mouth subcentral. Anal funnel lateral, small, short, 2 mm. standing stiffly upright. Disk 11 mm. with small calcareous granules, Colour (in formol) yellowish brown. Sp. 2. Cd more flat and rounded than in the preceding speci- men. Diameter 5,5 mm. C. broken. Pits of + XXX ones in a single or double whorl. There are 5 segments of a cirrus left. These segments slowly increase in length, the 5™ segment L about = */3 br., a little hour-glass-shaped. Arms X, 145 mm., most of them broken. Syzygies with an interval of 3 oblique articulations, 16 segments pr. em. P,—P, with a comb, P, 40 (22 T) 12 mm. Distal p. + 30; 14 mm. Though except for a small stump in Sp. 2 cirri are lacking, it is evident that both these specimens ought to be connected most closely with C. peregrina. From this species they differ, among other things, by having a more considerable size (Arm-length about 160 mm. against 120 mm. in the main species) and more cirri. Judging from the Clarkian descriptions the proximal arm-parts and pinnules also seem to be considerably more spiny. C. peregrina has also cirral 5 indicated as a transition segment, while the above-described specimen has a 5" cirral that does not show a trace of being a transition segment and has the br only ?/s of the L. Presumably therefore the cirri are also longer and composed of more segments. THE CRINOIDS FROM Dm. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 23 Comissia parvula A. H. CLARK. EIS Fig. 12—14. Syn. Comissia parvula 1912 A. H. Crank Proc. Biol. Soc. Washington. Vol. 25, p. 19; 1918 A. H. Crank Siboga Exp. Bd 42 B, p. 23. From St. 4 (1 sp.), 8 (1), 36 (1), 37 (1) = 4 specimens. Sp. 1 (St. 37) Cd discoidal, 2.5 mm., free part 1,5 mm. C. XXI 10—13; 6,—5 mm. in a partly double whorl. 15 seg- ment shorter than long, 2* L — 1!/» br, 3° longest and narrowest L = 3 X br, 4" segment L = 2 br, 5" and the following ones broader and shorter L = 1'/2 br. Antepenultimate segment L about = 1!/s br. A small dorsal knot from about the 5" conspicuous. Terminal claw curved, pointed, somewhat longer than the preceding segment. R—s concealed. I Br 1 slightly visible, narrow bands, h about ‘eX br. Axillary low pentagonal or triangular, h = 1/2 X br. Br:s 1 al- most free inside. Br 2 about twice as broad on the outer side. After Br 7 or 8 oblique articulations. Distal segments smooth, not overlapping. Son ex a 4.2 12-..14-r 15..185--19..22-1-23' vete. with an interval of 2 to 3 oblique articulations: 15 segments pr em. (il if the syzygial pairs are counted as units). Arms X, 45—50 mm. The breadth of the Br:s at the middle parts of the arms about 1 mm. The longer side of the distal segments — br. P,—P, with a comb. P, +30 (9—10 T) 7 mm. P, + 26 (9 T) 6 mm., P, +25 (9 T) 4, mm. with a genital gland to the 4" segment. The height of the teeth about = the br of the segment, P; 13; 4,2 mm. 3 to 4 last segments with dorsal prominences. Broad, coarse seg- segment. Opposing spine in- ments, the most proximal ones notched on the distal side and some- what widened in the distal part, by which the bases of the pinnules somewhat resemble those of Compsometra serrata. Distal p. 17; 5,5 mm. The bases of the pinnules from P, to P,, swollen by gonads. Disk smooth, 5,5 mm. Mouth central. Sp. 2 (St. 36) Cd 2,» mm., free dorsal part 1,5 mm. C. XXII 12; 5 mm. (only one cirrus left) in a single whorl. 3" segment longest L — 3/2 br. Distal segments laterally compressed and shorter. Ante- penultimate segment a little longer than broad. 24 'T. GISLÉN, R—s appearing as small flaps in the corners. I Br 1 h = !/s br, latero-basally united with one another. I Br 2 low triangular, h —!/s X br. A weak synarthrial tubercle with close articulation between I Br 1 and 2. The arms X, smooth, broken, about 25 mm. Syzygies with an interval of 3 oblique articulations. P,—P, with a comb. P, 26 (9 T) +4, mm., P,4- 22 (8 T) +33 mm, P, similar, 3 mm. Distal p. 15 segments. Disk 3 mm. Sp. 8 (St. S) C. + XX 12—13; 5—5, mm. (some of the dorsal ones very small 9; 2 mm.; these have an antepenultimate segment whose L = 1!/» X br), 2? segment L = 2 X br, 3° L=3 X br, 4^ L 2X br; antepenultimate segment as in Sp. 2. : The arms X, 15—20 mm. I Br 1 h = !/s br. Axillary triangular h = 1j2 br. Br 1+ or —2. Br 1.h=!/s br; Br 2 = 4/e bro (onmes outer side) or ';s br (on the inner side). Syzygies with an interval of 3 oblique articulations. P,—P, with a comb. P, +24 (10 T) 5 mm., P, 17 (8 T) 3,5 mm. P, 11; 3,5 mm. The segments coarse, smooth, somewhat swollen. Sp. 4 (St. 4) A specimen corresponding to Sp. 1 which has crept into a calcareous sponge. C. 12; 5,5 mm. Antepenultimate seg- ment L — br. Arm-length about 50 mm. P,—P, with a comb. Comissia gracilipes A. H. Crark. Fig. 15—17. Syn.: Comissia gracilipes 1912 A. H. Crank Proc, Biol. Soc. Washington. Vol. 25, p. 19; 1918 A. H. Crank Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 22 aa. From St. 35: 2 specimens. Sp. 1. Cd 2 mm., free dorsal part 1,3 mm. C. XVIII 9—12: 4—6 mm. in a single whorl. 3" segment L = 3 X br, 4" segment L=2 X br, a transition segment. Antepenultimate segment L = !/2 br. R—s and I Br 1 almost completely hidden by Cd. Axillary tri- angular h = !/3 X br. Br:s 1 united inside, h = !/4 X br, in close arti- culation with Br 2, the height of which (on the outer side) is !/2 X br. Arms X, 95 mm. The br of the Br:s at the middle parts of the arms THE CrInoIps FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914, 25 0,5 mm. 16 segments pr em. (12, if the syzygial pairs are counted as units). The longer side of the distal Br-segments = 1!/3 X br. P, 25-27 (9—11 T) 5 mm., P, 23 (11 T). Teeth somewhat longer, narrower and more pointed than in C. parvula. P, (16; 3 mm.) and the following ones without a comb with swollen pinnule-bases. Distal p. 13—15; 4—5 mm. The segments are long (L = 2 X br), swollen into knots at the ends. Disk 3,5 mm. Sp. 2 Cd 1,8 mm. C.+ XX 9; 4 mm. (only one cirrus remaining). Antepenultimate segment L — 1'/2 X br. R—s concealed. I Br 1 appearing at the margin of Cd. Axillary h = '/3 —'/4 X br, with strongly concave distal sides. Br 1 d- or — 2. Brel m united by skin on the inside. Arms rather smooth, broken, X, probably about 15 mm. Syzygies with an interval of 3 oblique articulations. P, and P, with combs. P, 26 (9 T) 4 mm. P, +22 (7—8 T) 3 mm. P, 10— 12: 2; mm. Disk 2, mm. The specimens are habitually more slender and provided with more spiny distal pinnules than in C. parvula. A comb only occurs on P, and P,. The genital glands are well developed in Sp. I. Though C. gracilipes is rather closely related to C. parvula, it can, however, searcely turn out to be a young form of this species. For, in the first place, Sp. I of C. gracilipes described above is mature, secondly in this specimen Cd still hides more of the I Br-series than in C. parvula (If. the first-mentiöned species were a young form one might expect the opposite conditions). In other respects the above-described speci- mens of C. gracilipes agree with A. H. CrARK's short diagnosis. Commissia ignota var minuta n. var. Fig. 18—20. Photo 3. From St. 42 (1 sp.), 45 (9), 45 A (1), 47 (5), 55 (11), 61 (2) — 29 specimens. Sp. 1 (St. 45) Cd 1,5 mm. Free dorsal part 1 mm. C. XV 10; 35 mm, 2* segment hour-glass-shaped L = 1!/2 X the distal br, 3° seg- ment L — 3 X br, 4" L = 2 X br, 5% L = 13/4 X br, 6 and 7" segment Nova Aeta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. !5/s 1922. 1 26 T. GISLÉN. L=1'/3 br. Antepenultimate segment L = or somewhat larger than br; last 3 to 4 segments with a small, dorsal spine, Terminal claw strongly bent, somewhat longer than the preceding segment. R—s appearing as small corner-flaps. I Br 1 h = !/s X br, later- ally free, the angle between them about 45”. United with the axillary by syzygy. I Br 2 triangular h = !/z X br, with very concave distal sides. Br 1 and 2 rather narrow, h = !/4X br, on the outer side twice as broad. Arms X, + 20 mm. The arm-bases fairly smooth. Syzygies, for instance, 3 +4...11 + 12... 15 + 16.. distally with an interval of 9 oblique articulations. The longer side of the distal seg- ments L= 2x br. 20 Br-segments pr cm. (15, if the syzygial pairs are counted as units). The br of the segments 0,5 mm. P,—P, with a comb. Teeth 8—10. P, 27; 4 mm., P, 23; 3,5 mm. P, 11; 2,5 mm. with a genital gland. Distal p. 14; 45 mm. 2° to 4" pinnulars somewhat notched on the outer side (especially on P, and P,). The bases of the p—s however smooth because of connec- ting skin. Disk smooth, + 2 mm. Mouth central. Cushion-formed swel- lings along the ambulacral furrows, Anal funnel broad, coarse, short, Sp. 2 (St. 45) P,—P,, with genital glands. For further details of these as well as the following specimens see the table. Sp. 9 (St. 45) P, very small. Disk 2 mm. Sp. 4 (St. 45) I Br 1 h^ !/s X br. P,—P, with genital glands. Sp. 5 (St. 45) Disk 3 mm. Sp. 6 (St. 45) Disk 3 mm. Specimens 6—10 young, more slender individuals. Sp. 7 (St. 45) Antepenultimate cirral in the smallest cirri L = | 'i2 X br. I Br 1 bent outwards almost at a right angle. Disk 2,5 mm. Sp. 8 (St. 45) Segments somewhat more spiny than in the pre- ceding specimens, Sp. 9 (St. 45) —. Sp. 10 (St. 45 I Br I h = !/4 X br. Disk 2 mm, Sp. 11 (St. 42) 1 Br 1 almost completely hidden. P, with 23 segments, Disk thrown off. Basal star visible. Sp. 12 (St. 47) Cd 2 mm., free dorsal pole 1,5 mm. IV C. very small. IBrih=!/s br. Usually Br 1 + 2, 3 + 4; P, with 24, P, with 20 segments. The bases of the pinnules with strong genital swellings. Disk 9 mm. Colour brown. THE ÜRINOIDS FROM DR. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914 — 27 Comissia ignota var. minuta. Number of Spe- Cirri | Arms I Br ob | p iB Dist. p. cimens and E x EET A eine ure Stations N S | DL UNDE [Be brie m | L | T | BS ESL L | | | ros [RAT | Sp. I St. 45| XV 10 | 3,5mm.|X|* 20 1:2/8—10) 4 |8—10/3,5|11|2,5| 14 4,5 Sp. 2 StL45|XVI| 10 | 3,5 » |X|+ 30, — |8—10| —|8—10) — |- — | — Sp SSL 45|XIX|/9—10/9;-3> |X| 15) — | T EE |—| Pepe XW| 9 | 3s» X| 290 — |.T | | T |— Bes XIV) 10 | 3,5» |X | 8—10| — |8—10| — | Sp 6 St45|XVI10—1234-45» IX) —| — | T -| p = | Sp. 7 St.45 XVII| 8-9 2—3 » |X} 25 — T |—| T |- | | -- Sp. 8 St. 45 |xı1 9-10 8-3 » |X} 95| T 35, T |2 —— | 12 35 Sp 9 St45|XVI| 8—9 | — |X| 90 —| 7 |—| T | Sp.10 St 45 | XV |9—10| 3» X £202:3| 8. — T | Sp. II St.42|XVij10—12| 4 » |X|+9011:2|) 8 A T |——-—| 13 | 3 Sp13 SEAT | XX 10-11 4 » |X| 301:5| 9 | 4] 9 185111] 3 |I4—15| 35 BA RX 8 9 2 35>1%| 97|1:3| T |—| T |—/|9|35| 13 | — Sp. 14 St. 47|XIX|9—10 3—4 » |X| 25|1:3. 8 | 4] 7 |85|12/ 3 | 12 | — Sp.15 St. 47|XUl}9— 10/23 > X £301:2| 8 |—| T |— —|—| — |— Sp lGest Ar XIV 910 25 3 |X| —/1:2| 8 |—| T |— 10/9 |: — | — Sp.17 St 558|XIX| 10 | 3» |X| 25| — | 8 |—| 8 |—|——| 12 | — E55 9 10/3—4-34|X | 30) 1:3) T- || ^T | - Base 8-9 -35X| 181:3^ T |— ^T -| | | Sjö AT |) — | = = Eg ee = ye ec c 0 = IST St» SVE = Re Tål = TT I = = [Sp.22 St. 55|XVI| 8 ges hoe esae nq o es | | Sp. 23 St. 55| — | — = RR NET ISSUE ede EN FNS SPANSK SS XE 9.1073 a 81:38) T || T | | SR SH kV S9 [16 2,5» |X| 19/|1:2| T | Sp. 26 St.55| XIX} 10 So ee cp esee | | ES S S elle 15:39. 92 D ||) = = SpeJorsmol | XU 107 EE » De 15) 123: 8 = 12 3 Ep 29 St. 61 | XII] 8—9 |2-2,-» |X| 19|9:3| 8 |=| - À Catoptometra magnifica minor Sp. 5—8. Number of Spe- Cirri Arms I pr | pe P, |Dist. p. cimens and SS = N = mm I Br - we 1 7 ST E — CE Stations | N S PEERS TRE bs ese e m SE MEERES LS. ee) Ro 133 7 |X (635.121) — | — | 18 1— L9 [—|— 18| 5,5 |Sp. 6 (St. 47) XXIII|II—13|3— 45 XI 28 |1«:1| — |—| 3 — ||) 8) em [Sp-7 (St. 47)| XIX 11—14| 5—8 |X| 35 [2 73) + 20— 3,5-416—19 — |3s-516 4 |—| — | Sp-8 (St.61)| XXV |11 - 14| 4—8 XII 45 2:3| — —| 4 — |—| 5 --|8|6,| ES, i 1 Fig. 1—3. Comatella brachycirra (St. 56 Sp. 1) 1a) The comb on the distal part of P,. X 17 Ye, 1b) The proximal part of P,. X 17/2, 2) A cirrus #/1, 3) A distal pinnule “A; Fig. 4—6 Comatella maculata (8t.59), 4) Distal pinnule #41, 5) Cirrus %ı, 6) P, with the comb, X 17's; 7—9 Comatella stelligera (St. 59), 7) Cirrus %/1, 8) Distal pinnule “/1, 9) The tip of P, (17 T.), x 17 !/s; 10—11 Co missia peregrina magnifica (St. 59 Sp. 1) 10) The tip of P, “4/1, 11) Distal pinuule 4/1; 12—14 Comissia parvula (St. 37 Sp. 1) 12) Distal piunule with a small genital gland 1, 13) The tip of P,, X 17 Ya, | 14) Cirrus !/:; 15—17 Comissia gracilipes (St. 35 Sp. I) 15) Cirrus /1, 16) P, “/1, 17) A distal pin- nule 7/1; 18—20 Comissia ignota minuta (St. 55) 18) Cirrus 4/1, 19) The tip of P, x 17 '/s, 20) DE stal pinnule 4 1. LI THE Crinorps FROM DR. S. Bock’s EXPEDITION TO Japan 1914. 29 Sp. 13 (St. 47) I Br 1 as in the preceding specimen. Sp. 14 (St. 47) I Br 1 h = '/s br; Br 1 and 2 each h = !/4 x br. P, with about 25, P, with 20 segments. This and the two following specimens young individuals with gonads only slightly prominent, coast) Br T h.—.!/s "br Cd 1,5 mm. Sp. 17 (St. 55) With genital glands well developed like both the following specimens. Sp. 18 and 19 (St. 55) I Br 1 almost completely hidden. Sp. 20 (St. 55). Fixed on a worm-tube. Sp. 21 and 22 (St. 55) Pinnules a little swollen by genital glands, Sp. 23 (St. 55) P, sometimes lacking. Sp. 24 (St. 55) R—s some- what visible. I Br 1 h = '/e x br. Sp. 25 (St. 55) R—s narrow bands. IBr1 h = !/s X br. 34 eirral the longest L = 3'/2 br. Antipenultimate cirral L = 1!/s x br. P, lacking. Sp. 26 (St. 55) Pinnules genitally swollen. Sp. 27 (St. 55) Anti- penultimate cirral L = 1'/s X br. I Br 1 h = !/e X br. Sp. 28 (St. 61) R—s concealed. I Br 1 h = !/4 br. Syzygies with an interval of 3 oblique articulations. P, inconspicuous or lacking. Sp. 29 (St. 61) I Br 1 h = !/s X br. P,—P, lacking. As is evident from the comparison given above, the number of cirri varies between XII and XX (usually XV —XVI) and the number of cirrals between 8 and 12 (usually 9—10). The specimens seem to be mature at an arm-length of 25—30 mm., as in such specimens the pinnules are strongly swollen, but even with shorter arms the genital gland is quite visible. All specimens with complete pinnulation have combs on P, and P, but no teeth on P,. The number of teeth varies between /—10 and is usually 8. — It is interesting to observe the relation between the length and breadth of the most proximal br-seg- ments. The smallest specimens (e. g. Sp. 25 and 29) have the R—s plainly visible. I Br 1 is rather long in minor specimens (h = 1/2 — '|s X br, but becomes more and more short during growth (in full- grown specimens the h is = !/s — !/s X br or the ossicle is almost completely hidden by Cd). The length of the axillary also usually decreases (from L = ?/s to !/5 X br) but is never hidden by Cd. The specimens approach C. ignota, from which they differ by having, on an average, more cirri, by some differences in the condi- tions of length of the cirrals, by smaller size ete, 30 T. GISLÉN, Finally a few words about the relation between the genera Co- matella and Comissia. When A. H. CLARK in 1909 proposed these two genera he characterized the first-mentioned one (Smiths, Mise. Coll. Vol. 52 p. 207) thus, that species belonging to this genus should have the first syzygy between Br 3 and 4 in arms situated on I Brax, but the first syzygy between Br 1 and 2 in arms coming from axillaries of higher numbers. According to CLARK’s view some arms should there- lore be divided by »extraneous» some others by »intraneous division» and thus one might in this genus have crinoids with so-called »com- pound arms». In the later proposed species Comatella decora CLARK has found a syzygy between Br 2 + 3 or on the outer side of the arm- divisions between Br 3 + 4. Comatella brachycirra Mint usually, but far from always, has Br 1-- 2 on the inner side, 3 + 4 on the outer side of the arm-divisions. The specimens of C. maculata and C. stelligera that I have investigated usually have Br 1—2 5 +4, in the case both of the inner and outer side of the division-series; in a few cases, however, we find Br | + 2. — Most often, therefore, the »compound» nature of the arms is visible, but by no means always. From what is mentioned above it is evident that the compound nature never appears in X- armed young Comatellas. How are then the latter to be distinguished from the genus Comissia, the species of which always have X arms? As to this A. H. CLARK in the Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 23 has re; marked that the young of Comissia can be distinguished from the X- armed young of other genera by very short and broad I Br-series, the ossicles of which are said to be united in very close articulation, As I have tried to show in deseribing Comissia ignota minuta this only holds good in full-grown specimens of the species. The small young of large Comissia-species might therefore have rather long I Br-segments and are consequently similar to young Comalellas. Just as the immanent tendeney to »eompound arm-division» did not appear in X-armed young Comatellas it cannot, if it exists, assert itself in Comissia-species which never reach beyond the X-armed stage. In reality, therefore, the dif- ference between the genera turns out to be a difference between a group of X-armed and a series of multibrachiate forms of Capillasterine. Joint characteristies by which both the genera are distinguished from other genera within the subfamily are as follows: P, on Br 2, short Br-segments, complete pinnulation, cirri of normal comasterid type, at THE Crinors FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 31 least P, and P, with a comb, proximal pinnulars never with strong prominences. — Whether the limit between the genera Comatella and Comissia is a natural one I must leave an open question. This seems to be the place to mention a young Comasterid swept from a depth of 400 fathoms in Sagami Bay (St. 37). If this young specimen described below belongs to any previously known Comasterid species there are only a few of which one might expect that it may be a young form, for the number of Comasterids found at a depth of more than 150 fathoms is only about 10. Since the proximal segments are rather high and narrow and the arm-bases widely separated, one can eliminate both the above-described Comissia- species (which are deep-water forms); of the remaining ones it approaches closest to Comatulides decameros, known from great depths off Japanese coasts. There is, however, in the young specimen an im- portant difference from this species: there are dorsal spines on the cirrals. It is however, rather likely that the absence of dorsal spines is not a primary feature in Comactiniinæ. Under such circumstances it is possible that dorsal spines can appear in the young specimens and then again disappear. The formation of the cirrals in the other Comatulides-species (C. australis) perhaps also points in this direction; A. H. Crank remarks that: »the last 4 or 5 segments before the pe- nultimate have their distal dorsal margin very slightly thickened.» Description as follows: C. XIX 11—14; 5—6 mm. The 4" segment longest L = 2 1/2 X br. 3° and 5" somewhat shorter. From the 7" segment a weak dorsal prominence. Terminal claw curved, pointed, somewhat longer than the preceding segment. R—s h = !/s br, at the middle hidden by Cd. I Br 1 h = !/s X br, laterally free, united with I Br 2 by synarthry. This ossicle low pen- tagonal, h = !/» br. Br I free inside, like the following ossicle on the inner side somewhat narrower. Br I and 2 united by a close articu- lation. All the segments after Br 4 somewhat hour-glass-shaped, di- stally bent outwards and spiny. Arms X, 35 mm., proximal parts rather narrow, well separated from each other. Syzygies 3+4..11+12.. 154-16 etc. with an interval of 3 oblique articulations. Segments distally somewhat longer than broad. 32 T. GISLÉN, P, 25,-5 mm. with 8—10 T, the tip smooth. P, and P, with combs. P, S T. P, 11; 3 mm, without a comb. P; 14; 4,2 mm. Distal p. +15; 5 mm. Basal segments short, spiny, the distal ones longer (I; INA bn) Disk 5 mm., swollen, somewhat cushion-formed, without granu- les; clearly visible from the dorsal side in the broad interspaces bet- ween fhe arms, reaching to Br 4. Mouth and arms subcentral. Anal funnel 2,5 mm. Subfam. Comasterinæ A. H. CLARK. Comaster (L. Acassiz) A. H. Cranx. Comaster delicata var grandis n. var. Fig. 26—29. Photo 4. From St. 45 (3 sp.), 51 (1), 59 (1), 60 (1) = > c specimens, Sp. 1 (St. 51) Cd thickly discoidal, 10 mm., free dorsal pole 5 mm., flat with somewhat raised margins. C. XLI 27—28 (D) 30—32 (V) 35—40 mm. in 2 to 3 whorls. {5 and 2° segment shorter than long, 3° and 4" cubical, 5" —9'" some- what longer than broad to L = 1 !/ X br. Dorsal spine from the 11" segment (Length of this segment = br). From about the 15™ segment L-!/eX br. Dorsal spines and opposing spine very small, h = !/6 X the breadth of the segment. Terminal claw L = 1!/4 X preceding seg- ment. I Br I almost completely hidden by Cd. I Brax pentagonal h —!/2 br, distal margins weakly eoncave. The disk visible in the narrow inter- spaces between the outer sides of the II Bris and I Brax. II Br:s are 4 (3-- 4). II Br 1 and 2 with distinct synarthrial tubercle. Primi- postaxillaries completely grown together inside, From II Br 2 the distal margins of the segments are somewhat collar-shaped, bent outwards and provided with. small spines. III Br:s are 2 (1—2) in 8 cases of 13. IV Br:s: 4 (m all. 13 cases), Arms XLYI 130 mm: "Brot discoidal, then oblique joints. Syzygies for instance: 3 + 4..12 7 13... .. 17 + 18 etc. with an interval of 4 to 5 oblique articulations. The THE ÖRINOIDS FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 33 height of the segments = 1/2 — !/s X br. 13—14 segments pr em. (11, if the syzygial pairs are counted as units). The breadth of the arms proximally 3—3,> mm. In the middle arm-parts 2 mm. Pr + 40 (6—8 T) 14—17 mm., Pj, 32 (5—6 T) 10 mm., P, and P, decreasing, P, about 20 (5 T) 5 mm. This, however, not always so decided, but P, or P, are most often the shortest. In the posterior arms the pinnules are genitally swollen after Py. Combs to P4, — P,;, most often on every two p., here and there even to P4,. The basal segments of the pinnules distally sómewhat bent outwards and bor- dered with spines. Genital p. 7 mm. Distal p. 20—25; 9 mm. Dorsal hooks on the last 9—12 segments. Disk smooth, without caleareous granules or papillæ, 25 mm. Anal funnel central, short, verruciform, L — 4 mm. Colour yellow- brown. Cirri whitish with brown transverse bands. In the pinnules and arms an ento-parasitic new myzostomid, compare Protomyzostomum. Sp. 2 (St. 45) The free dorsal surface of Cd 4 mm. C. XXVII 23—25 (D) 25—27 (V), 25—30 mm. in 2 whorls. R—s appearing in the corners. I Br 1 h = !/4 X br, united by synarthry with I Brax. Laterally of half their height fused with each other. Disk somewhat more visible in the interspace between the arms than in the preceding specimen. I Brax flattened pentagonal, h = ?/s X br. Primipostaxillaries united inside for the most part. II Brs are 4 (3+ 4) 9 cases, III Br:s: 2, 13 cases, IV Br:s:4, 3 cases. Synarthrial tubercle between II and III Br 1—2. Arms XXXV + (pro- bably XXXIX in the complete specimen) 125 mm. Arm-bases in this and the following specimen smoother than in the preceding one. The breadth of the arms proximally 2,2 mm., in the middle of the arm 1.7 mm. Py + 40 (7 T) 16 mm. P,, + 38 (7 T) 15 mm., P, + 25 (6 T) 5 mm. P, 18; 3 mm. Then longer p. again; combs here and there at least uu Distal p. 18; 7 mm. Disk IS mm. Anal interradius large, swollen, with calcareous papillae. Colour grey-yellow. Sp. 8 (St. 45) €. XX 19—20 (D), 26—27 (V), 12—25 mm. II Bris are 4 (9 cases), II Br:s:2, IV Br:s:2, V Bris:2 (1 ease). Arms XLVII 105 mm. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. ?*/» 1922. on 34 T. GISLÉN, Pj 24—37 (6—7 T) 11—13 mm., P, 20—35; 5—9 mm., P, and P, very short (4—6 mm). Combs here and there to P,, or P,,. Distal p. 16—18; 6 mm. Disk 14 mm.. Anal interradius with coarse and large caleareous plates. In this specimen there is a fine example of »multiplicative» arm- regeneration. Instead of the usual method of arm-division in this ge- nus with an undivided arm now on the right now on the left from a II Brax, we have in this ease a type of arm-division that continually gives unramified arms to the inner side, but which on the outer side continues to ramify. (Br, 1-2 3 +4... 11412... | Ve, oy |Br, 1-2 8+4...10+11... Br; 15259514 wl lee Bi yet 200 Ira x 1280 [Vd 2 (Br; 1—2. 5.10 + 11... lv, 1-2 (Br, 1221324 eee [Br E29 4 12 1 —2 [Br 1-2 3+44....10+11.. | (Bl as ACER TH x (Br 1-2 34-4....124-13..17-- 18.22 4-23... mon ts em [142 II 1—2 343-4 Sp. 4 (St. 60) Cd 4 mm. free dorsal surface 1,5 mm. C. XXII 20—21 (D) 26—30 (V) 13—26 mm. i 2 whorls. 4* segment a little longer than broad, 5% to 7" or S8" one L = 1!/ X br, then shorter again. From the 7" or 8" segment polished segments with transverse cristas with small spines. Opposing spine h = 1/4 X the br of the segment. R—s visible in the corners. I Br 1 h = !/s br, laterally free from each other. I Brax pentagonal h = !/» X br. Lateral margins form an obtuse angle with I Br 1. Distal borders with small spines as in the following ossicle; for the rest the arm-bases are rather smooth. THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO Japan 1914. 35 Primipostaxillaries united inside. II Br:s are 4, III Br:s:2 (in 4 cases) Arms XX 90 mm. Syzygies as in Sp. I. 14 segments pr em. (11, if the syzygial pairs are counted as units). Breadth of the segments 1,2 mm. Pr 35 (8 T) 10 mm; P, 31 (6 T) 9,5 mm., P,—P, 4—3, mm. decreasing, with 5 T and 15—20 segments. A short comb here and there to P,,; the interspaces are, however, very large after P,;. Distal p. 17; 6,5 mm. Disk 11 mm., finely papillous. Anal funnel central. Colour yellow-red. A Protomyzostomum ineysted. Resembles Comantheria grandicalyx var. Sp. 1 in general appea- rance. Sp. 5 (St. 45) Cd covered with small cavities, 2,5 mm., free dor- sal pole 1,5 mm. C. XVII 15—20; 10—19 mm. 6" to 8 segments the longest ones, L = 11/2 X br; 9" segment a transition segment. Opposing spine h=1/3— 1/4 X br of the segment. I Br 1 h = !/4 X br, laterally free from each other, a weak sy- narthrial tubercle with I Br 2. II Br:s are 4 (3 +4). Arms XIII 65 mm. Syzygies with an interval of 3 to 4 oblique articulations. P, 25° (6—7 T). P, 5 T; 55-9 mm. P, and P, 4 T; 45 mm. P,—P; with small, spiny, dorsal processes on the 2" to 5" segment. A comb here and there to P,;. Disk 9 mm. Anal interradius with large calcareous papillæ. Mouth marginal. Colour (in spirit) white. Sp. 6 (St. 59). C. XXIV.11—15; (4)—10 mm. 3* segment L= 1!/j2 X br. 4% and 5% L 22 X br. 6% or 7*' a transition segment. Dor- sal spine very indistinct. Opposing spine h = !/ X the br of the segment. R—s nearly hidden by Cd. I Br I h=1/3 X br, laterally almost free. Axillary h='/2 X br, its lateral sides bent sidewards at an angle to I Br 1. Primipostaxillaries united inside. IT Br:s are 4, III Br:s:4 (in one ease on an inner arm). Arms XXI 55 mm. Syzygies as in the preceding specimen. Distal segments L - 1!/» X br, narrow, almost smooth, somewhat overlapping distally. IESUS P) mm. P, + 30 (7 T) 7. mm. or shorter; P; 21 (7 T) 4 mm. P, 18 (5 T) 3,7 mm. P, 21 (6 T) 45 mm. Spiny proces- ses on the proximal segments. Combs with 5—6 T here and there at least to P,,. Distal p. 16—17; 5,5 mm. The last two segments with dorsal hooks, 36 T. GISLÉN, Disk 7.5 mm., papillous. Mouth marginal. Anus central. To this species one might also assign a very young specimen from St. 44, described among the young ones (see below). An examination of the occurrence of the combs gives the follow- ing result: | Sp. 1 On an. arm situated. on Ul Brax: P, P, P; P, P; P. EZ Pis Pi; (Pıs-ı are lache Poy Pos Par Pe, (Attente comb). The same arm on the other side P, —P,-P, Pio Py POSEE P,, then usually more sparse, Sp. 2 On an arm situated on III Brax PP; P, P, Pu PEDE Pis Poo Poo Pose Sp) > » > » » P,—P,P, (Pbroken etes Pj... Pip Por (Poo so bro- ken) aa Sp.4 >» » » » » TBrax Py, P,—P, P; BEDS Spb. > m» » » » Py P, (P, and P, usually very small, sometimes without a comb) P4 P, (P; ,; broken) PH Other arms of this specimen show that more than 6—8 p. on each side of the arm do not occur, | Example from sp. juv. St 44: P, (P,.P, are lacking), no more combs, — This species is most closely related to C. delicata but differs by having larger dimensions and more cirri and cirrals, as well as by — the abundant occurrence of 4 IV Br:s. THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION ro JAPAN 1914, 37 Comaster serrata A. H. CLARK. Fig. 21—25. Syn.: Comatula serrata 1907 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 33, p. 154. Comaster serrata 1908 A. H. Crank Proc. U.'S. Nat. Mus. Vol. 33, p. 686; 1912 Ori. Ind. Oc. p. 89; 1915 Journ. Acad. Sci. Vol. 5, p. 214; 1918 Siboga Exp. 42 B, p. 87. Comaster parvicirra 1908 A. H. Crank Proc. U.S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 306. From St. 45-(1 sp.) 55 (1), 59 (1) 23 specimens. Sp. 1 (St. 59) Cd 2,2 mm., free dorsal pole | mm. C. XVII, 10—11; 5—7 mm. in a single or double whorl; 1°‘ segment short, 2° strongly hour-glass-shaped L21!/ X br; 3* L=3 X br, 4" somewhat shorter L=2'/2 X br. 5'" segment a transition segment. Dorsal spine small, indistinct, on the distal part of the segment, Penultimate seg- ment L=br with opposing spine; h of this one about - !/5 X the br of the segment. Terminal claw L=- 2 X the preceding segment, strongly curved. R—s concealed. I Br 1 h 2 !/4 X br, partly hidden by Cd. I Brax h-2!/s X br, almost triangular. A syzygy between I Br I and 2. All the way from I Brax the margins of the segments are distally bent outwards and very spiny. II Br:s are 4, III Bris 2 (1-- 2). Arms XXVIII 50—70 mm. Br: 1 +2 except when the arm originates from a I Brax; then occurs Br 1—2 3+4. Br 1—7 discoidal, then oblique joints. 16 segments pr em. (12 if the syzygial pairs are counted as units) The breadth of the arms 0,7 mm. Segments distally: L = 11/2X br, slender, hour-glass-chaped. Br 1—2 3-4 5 9 Borde 55. Bu m 142 | Br ET 1159 3--4 Br 142345... E | lee tee 9 45. Mo oie ia TIN eer: 38 'T. GISLÉN, Py and P, 25—30 (6 T) 6 mm., 11—13 first segments with very spiny distal collars, P,-- 28; 5 mm. (The 7 most proximal segments spiny), P4 + 20; 3 mm., P, + 15 (5 T), 2^, mm. P,—P, or P, with combs, then on every two or three pinnules to about P,,. The teeth of the combs: h=11/2 x the br of the segments, Distal p. 20; 6,5 mm. the segments (except the most proximal): L=2 X br, at the ends knotty swollen and spiny. Mouth central. Anal funnel lateral, papillated. Disk smooth without granules, 6 mm. Colour brownish. Sp. 2 (St. 55) C. XIV, 9—10, 4—6 mm. 3° and 4" segments 23 X br. R—s narrow bands. I Br:s 1 laterally free, h=1/3br. I Brax h-!/?br, pentagonal. Primipostaxillaries united inside. lI Br:s are 4 (3 cases); II br:s: 2 (2 cases). The arms are XV 45 mm. Syzygies with an interval of 3 oblique articulations. P,—P, with combs; afterwards here and there but scarcely farther than to P,,. Example P; P; P, P; P, Pj. P, with 5, P, with Ze Mouth subcentral. Anal funnel large, papillated, swollen, 1,5 mm. Disk 5 mm., dark brown. Colour for the rest light grey-brown. Sp. 3 (St. 45) C. XVI 8—9; 2—3 mm. 3* and 4 segment L= 9 X br. I.Br 1 laterally free, h'-!/s br. Axillary h=*/2 br Ernie postaxillaries free inside. II Br:s are 4, III Br:s: 2. Arms XIII 25 mm. Br-segments strongly bent outwards and serrate. Syzygies as before. (After III Brax 1+2345..). Length of the distal segments = 11/2 — 2 X br. P,—P, or P, with short, high combs of 4—5 T. P, + 25; 2,,—3 mm. No distal pinnules with combs. Distal p. 12—14; 4—5 mm. Disk 2,5 mm., a little cushion-shaped. Mouth central. Anal funnel short, coarse, smooth, length 0,s mm., breadth about the same. See for the rest the description of the young forms from Bonin Island (p. 58), some of which certainly belong to this species. As in the preceding species, the young forms of this one seem to lack combs on distal pinnules. The finest example of this is Sp. 3 of Comaster serrata. The specimen in question is a connecting link bet- ween the X-armed young forms (it has like these only a couple of proximal pinnules provided with combs) and the full-grown specimens THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914, 39 (in conformity to which it has the III Br series with following Br 142 developed and is therefore certainly determinable). — The combs occur more and more abundantly on larger specimens and, finally, in full-grown specimens reach far out on the distal parts of the arms, Usually a comb occurs on every second pinnule. — The late onto- genetical occurrence of combs on distal pinnules probably has a corre- spondence in the phylogenetical evolution and might stand in a certain relation to an altered manner of living and a different mode of catch- ing the food, a question that I shall discuss in another connection, Comantheria A. H. Cranx. C. grandicalyx (P. H. Carp) Fig. 30, 31. Syn. Actinometra grandicalyx 1882 P. H. Carpenter Journ. Linn. Soc. Vol. 16, p. 520. Comantheria grandicalyx 1912 A. H. Crank Crin. Ind. Oc. p. 90; Smithson. Mise. Coll. Vol. 60, N:o 10, p. 7; 1915 Journ. Acad. Sci. Vol. 5, p. 214; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 43. From St. 52: 2 specimens. Sp. 1 Cd 10 mm. in diameter, the dorsal surface very concave, free dorsal pole 6 mm. €. + LXXV 26 (D) 25 mm., 30—31 (V) 29—34 mm., in about 3 close whorls. 1* to 5" segments shorter than long to cubical. 6” to 11% or 14" a little longer than broad, the following segments decreas- ing, L — ?/s — !/z X br. From -the 20 or 25 segment a very weak and indistinct dorsal spine. Opposing spine a little stronger. Termi- nal elaw rather coarse, somewhat longer than the penultimate segment, I Br 1 almost concealed. I Brax low pentagonal L = !/s X br, the distal margins concave. II Br 1 basally united in pairs inside. III Br 1 and 2 and sometimes also Br 1 and 2 fused in pairs on the inner side. II Br:s: 4 (8+ 4), III Br:s:2 (1—2, a weak synarthrial tubercle), IV Bris : 4 (3 +4). The components of the division series smooth, broad, 40 T. GrsrÉN, tolerably flat. Disk only appearing slightly between the inner sides of the II Br series. Arms LVIIL 120 mm. Syzygies for instance 3+4..16+17..22+23.., distally with an interval of 4 oblique arti- culations, 16 segments pr em. (13 if the syzygial pairs are counted as units). The breadth of the arms at the middle 2,2 mm. Br seg- ments very short, L = 1/3 — 1/4 X br. Pır+ 60; 30 mm., about 20 T (37% to 58" segment) the tip smooth; the teeth rather thin, low, h = !/ of the br of the segments. Py or P, 22—28 mm.,4-20 T. P,-- 15 mm. with about 15 T. P, 6 11 mm. If Py is lacking only 4 pinnules (Pi, —P,) with teeth, P, 9,5 mm. Genital p. 14 mm. Distal p. 25; 11 mm., the 3 last segments with small dorsal hooks. The proximal pinnules have the first 5—12 seg- ments provided with small prominences; the notches between these partly filled up by skin. Disk 40 mm. Mouth marginal. Anal funnel central, sharply set off from the anal interradius, L = 14 mm. No calcareous granules or papillæ in the skin. Colour brown; a somewhat lighter middle-line on the dorsal side of the arm. On about 10 of the posterior arms 25—30 pairs of pinnules are without ambulacral furrows. The ambulacral furrow of the arm, however, always remain. Sp. 2 The dorsal free surface of Cd slightly concave, 9 mm. € + LXX 27 (D) 30 (V) 25—30 mm. II Br—s:4 (3 +4), HI Br—s:2 (20 cases), IV Br—s:4 (3 +4) 26 cases, V Br—s:2 (2 cases). Arms LXVIII, 130 mm. or shorter. The formation of the arms as before. P235 mm. >80 segments. Teeth from the 40" or 55" to the segment. Comb best developed about the 60" segment. Py—P; decreasing, with teeth. All the arms with ambulacral furrows. Disk 42 mm. Anal funnel 17 mm. 75 lite dd c£ — — '—áÀÀ THE CRrNorps FROM De. S. Bock’s EXPEDITION To JAPAN 1914 41 Comantheria grandicalyx var. flagellipinna n. var. Fig. 32. From St. 51 (1 sp.), 62 (1) = 2 specimens. Sp. 1 (St. 51) Cd 12 mm., free dorsal surface 9 mm., h = 3 mm. C. LI, 23—33; 27 —35 mm. in 2 or 3 whorls. 1* segment L ^ ! e X br 21-11" cubical, a little thicker at the ends, 12^ —14*' somewhat longer than broad. About the 20 segment a transition-segment, Dorsal spine weak, but rather distinct. The spines on the distal cirrals poin- ted. Terminal claw curved, L = 1!/2 X the penultimate segment. I Brax h = 1/2 br, distally protracted at an acute angle. II Br 1 inside almost completely free. II Br—s:4, III Br—s 2 (20 cases) IV Br—s 4 (24 cases). Arms LXIV 140—190 mm., dimorphous. Example of armdivision: (Br 12 3--4... SUB de ee [Beta > ure ms lary 1—2 3 +4 E 1—2 II 1—2 3 +4 et 2 Bere ae oe ard LU 351—292 9E WI Br 1—2 3--4.. liv 1—-2 3 +4.. I 1— [89] [IV 1—2 a II 1—2 Br Br 1—2 3 + (Br 19) BA diee pes ET [Br 9 3 40% 2 syzygy at the 223—24'" segment, 3° at 28 or 30% segment then with an interval of 4 (to 5) oblique articulations. 19—23 seg- ments pr em. (15—17, if the syzygial pairs are counted as units). Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. 18/2 1922. 6 42 T. GISLÉN, Breadth of the Br—s 50 mm. from the base of the arms 1,8 mm. Distally 0,6 mm. The joints very swollen, thick and coarse. P, 75—80; 30—33 mm. with a very indistinct comb, partly hidden by skin; +12 T, the tip of the pinnula smooth, Pyy + 12 T similar to the preceding p. P, with 18 T, which are more strongly developed, + 23 mm. P,--40 (6 T) 16 mm., the tip smooth. P, shorter with some few, small teeth, P,-- 25 (no T) 6 mm. Genital p. 12 mm. Basal segments as in the chief species. Distal p. + 30; 14 mm, Length of the pinnulars = 1 !/ X br. Dorsal hooks indistinct. Distal p. spirally rolled. Disk 38 mm. Colour red-yellow. Sp. 2 (St. 62) Cd 11 mm., free dorsal pole 7 mm. C 4- L, 27 24--29 mm. 13'—18™ segment a transition segment. II Br—s:4, III Br—s:2, IV Br—s: 4 (3+4), in one case 2; V Br—s 2 (one case). Arms LXVIII 90—110 mm. 19 segments pr em. Py, + 65 (10—17 indistinct T) 32 mm., Pyy 28 mm. + 55 (12 pin- nules with small T), P, 31 (8 T) 12 mm., P4 25 (5 T) 8 mm., P, no 7 6 mm. Genital p. +20; 8, mm. Distal p. +25; 11 mm. Disk 33 mm. Anal funnel 12 mm., somewhat swollen but well marked out from the disk, Mouth adradial, marginal. Colour brown- 32; orange to grey-brown. Both these specimens are distinguished from the chief species by the néarly smooth distichal pinnule, by very short Br-segments, by a more slender constitution and by the trifling size of the disk when compared with length of the arms. (The last-described specimen, how- ever, somewhat approaches €. grandicaly«). | + md Arg THE CRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO Japan 1914. 43 Comanthus A. H. CLARK. C. solaster A. H. Cranx. Fig. 33, 34. Syn.: Comatula solaster 1908 A. H. Cranx Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 33, p. 153. Comanthus solaster 1909 A. H. Crank Videnskabl. Meddelelser Kobenhavn, p. 147; 1912 Crin. Ind. Oc., p. 94; 1915 Journal Acad. Sei. Vol. 5, p. 214; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 49. From St. 20 (1 sp.), 28 (1) 38 (2) = 4 specimens. Sp. 1 (St. 38) Cd 11 mm., free dorsal pole a little concave 7,5 mm. C--LXX 18—23; 12—21 mm. in 2 or 3 whorls. Cirri very diversiform in appearance, often slender, straight, weak; sometimes of the usual type; coarse, thick and strongly curved (compare Fig. 34). The first- mentioned ones have the 1** segment short, 2'—3" or 4" cubical or a little longer. 59—8'" segment L=+2 X br (when the C are of the later type these segments have only L=11/4X br). From about the 10" segment L='/2 X br. Dorsal transverse ribbon or knot occurs from 12% or 16% segments. Terminal claw rather coarse, somewhat longer than the penultimate segment. I Br 1 hidden by Cd. I Brax triangular h 2 !/2 X br, distal angle very acute, separating II Br—s 1, which are only narrow tips inside. The other primipostaxillaries united inside, II Br—s:4, III Br—s : 4, IV Br—s:4. Arms L 110—130 mm. Division series smooth, very close. From the dorsal side only the bases of the distichal pinnules visible (the first 6 segments). Disk concealed in dorsal view. Syzygies: SEU at + 18 -283-L-240r3--4..14 4- 15.. 18-1- 19 etc. with an in- terval of 4 oblique articulations. Br 4 — + Br 70 with distally over- lapping. thickened segments with small spines, then smooth arms. 20—21 segments pr em. (15—16 if the syzygial pairs are counted as units) lI Br—s:br-4 mm. Br 1 br=2,3 mm.; 50 mm. from the arm-base the br is = 1,5 mm. Pj + 60; about 25 mm. with 8—16 weak teeth, 2 to 5 last pin- nulars smooth, the basal segments angular, a little knotty. Pr, similar somewhat shorter. Pj, or P, about 20 mm. (11 T). P, with 8 rudi- I^ Fig. 21—25. Comaster serrata (St. 59) 21) Py #41, 22) The tip of Pi) (9 T), x 17!/s, 28) Cirrus 9/1; - 24) An arm-stump with distal p—s 1, 25) The base of an arm with I and II Br series. The Spines | which occur at the distal margins of the segment are most often broken 1; 26—929 Comaster deli- cata grandis (Sp. 1) 26) The tip of a distal pinnule */1, 27) The tip of Pi #1, 28) Cirrus 7/1, 29) The | tip of a genital p. with a comb, X 17 1/2; 30, 81 Comantheria grandicalyx (St. 52) 30) Distal pin- | THE CRINOIDS FROM De. S. Bock's EXPEDITION To Japan 1914 45 mentary teeth, still shorter, P, 6,5 mm. without a comb. Genital p. 11—12 mm. Distal p of about equal length. On all pinnules 2°—5™ or 7% segments with small prominences. Disk 30 mm., without granules. Mouth admarginal. Anal fun- nel subeentral, 7 mm. Sp. 2. (St. 38 AJ. Cd 10 mm. dorsal pole a little concave, 6,5 mm. €. LXV 22 - 24; 12—25 mm. NEED h-'hwoo br. I Brax h-!/» br. II, M and IV Br—s- 4 (the last-mentioned division-series appearing in 2 cases). Arms XLII .125—155 mm. | Disk 32 mm. Anal funnel 8 mm. Colour as in the preceding specimen violet-brown. Cirri and regenerated parts somewhat lighter, — A splendid specimen. Sp. 3 (St. 28) Cd 10 mm., free dorsal pole 7 mm. C. LV 20—26; 12—22 mm. I Br 1 slightly visible. Axillary almost triangular h = ?/s X br. II and HI Br—s:4. Arms XL 105—125 mm. Sutures between the distichal and palmar segments slightly visible, division-series not quite so smooth as in Sp. 1. Pı+55 (10—12 T) 24—25 mm. T indistinct, h about !/s of the br of the segment. Pj, to P, shorter; also P, with a small comb. Genital p. 10 mm. Distal p. 11—12 mm. — Disk 32 mm. Anal fun- nel 6 mm. Sp. 4 (St. 20) Cd 10 mm., dorsal pole 8 mm. C. -- LX 20—24, 14—23 mm. in 2 whorls. A great many empty joint-cavities. II and II Br—s:4 Arms XL 105—120 mm. Division series and arms as in Sp. 1, P, +50; 28 mm. Py, with 6—8 very low T.; 5 to 6 top-seg- ments smooth; + 20 mm., P,—P, decreasing (P, +10 mm., P, 7 mm. without a comb.) Distal. p. 9 mm. — Disk 28 mm. Anal funnel 6 mm. nule */1, 31) The tip of Pır Yı; 32 Comantheria grandicalyx flagellipinna (St. 54) 32) The tip of Pry ?/15 33, 34 Comanthus solaster 33) The tip of Pr "i: 34a) Dwarf cirrus b) Cirrus of the larger type %/1; 35, 36 Comanthus pingwis (St. 58) 35) Distal pinnule (observe the dimpled perisome; common to all larger comasterids) b) The tip of the pinnule in lateral view to show the slight dorsal hooks (observe stout cirri) ?:, 36) The tip of Py %1; 37—40 Comanthus annulata (St. 42) 37) The tip of Pi, X 17 1/2, 38) The tip of Pr viewed from the inside, showing slight teeth-like swellings which constitute ridges supporting the teeth on the outside of the pinnule, X 17 '/s, 39) The same pinnule viewed from the out- side with 7 stout teeth, X 17 '/2, 40) Distal pinnule with stout dorsal hooks (observe small cirri) 91. 46 T. GISLÉN, In all these specimens one finds the variable appearance of the cirri peculiar to C. solaster. The only difference from the specimens described by A. H. CLARK is the number of C, which in the Bockian species are more numerous and arranged in 2 to 3 whorls. The above- described specimens might perhaps therefore be characterized as a forma mullicirra. Comanthus pinguis A. H. CLARK. Fig. 35, 36. Syn: Comanthus pingwis 1919 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 37, p. 29; 1912 Crin. Ind.- Oc. p. 94; Smiths. Mise. Coll. Vol. 60, N:o 10, p. 9; 1915 Monograph; Journ. Acad. Sci. Vol. 5, p. 214 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 49. From St. 14 (2 sp.), 15 (1) [18 (1)] 2 4 specimens. Sp. 1 (St. 14) Cd almost hemispherical, 9 mm., free dorsal pole 5 mm., a little hollowed in the middle. C. XXXVIII 28—33; 30—36 mm. in 2 whorls. 1* and 2* segments short, 3° to 5™ cubical or somewhat longer., 6%—10" segment L2 1!/» br. Distal ones L = !/2 X br. Dorsal prominences from the 15™ to 20" segments, L 2 4 !/s of the br of the cirral. A weak opposing spine. Terminal claw slightly curved. Lz1!/2Xthe preceding segment. R—s slightly visible at the corners. I Br 1 h=1/4 br, in the basal half united with each other. Between them a depression in the perisome. I Brax h="/3 X br, pentagonal, the distal margins slightly concave. The br 6,5—7 mm. Primipostaxillaries united inside. On their distal, interdistichal side a depression as between the primi- brachial series. Divisions-series broad, smooth, flattened, but the pe- risome between them is quite visible. The distance between II Br 3 in two different division-series is 3,5 mm. Disk reaching to II Br 2 or 3. II and HI Br—s:4 (3+4). Arms XXXVIII 125 mm. +, very fragile: Br-segments distally somewhat, but only slightly, thickened. Syzygies distally with an interval of 4 oblique articulations. Example of arm- ramification and proximal syzygies: 3 7 THE Crinoips FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 47 j Br 2 LM 1-28, 2. DIE E22 6 III 1—2 3-4 | Rialto 94 la ru Yeon on A 2 3 +4 é | Br 1—2 a3+4...8+9...19 + 20...25 4- meos 4 ES Se ae 19 +20...24 4- 21 DANS EN NE Pee hee HI 1—2 3-14] RU GE RP co wo 18 + 19 mE 934 | | IE rc E 14 -- 15 BUT 93-14 ER a.) a) puo 15 -- 16 16 segments pr em. (13, if the syzygial pairs are counted as units). P, 50—55; 30 mm., last 5 segments smooth. 'T 20 low, thin, h=+'/4 of the br the pinnular, Pj, 45, last 6 segments smooth, 15 T, +25 mm. P, 45 (15 T) 22 mm. (last 5 segments smooth), P, S T, 10 mm., P, 6 T, 8 mm. (h of T=!/a—!/3 of the br of the segment. One or two distal segments without teeth), P, and P, usually with a rudi- mentary comb. Distal p.+25; 10 mm. 3° to 5™ pinnular with skin connecting the knots as in Comantheria grandicalyx, most distinct on proximal p. i Disk 32 mm. without granules. Mouth adradial. Anal cone 6 mm. Colour: dorsally light yellow, ventrally yellow-red with a sharp colour-border, especially on the lateral sides of the division-series. Sp. 2. (St. 14) €d 9 mm., free dorsal pole rather flat, 6 mm., h=2 mm. C. XXXIV 28—31; 30—38 mm. Arms XXXVII 140 mm. The components of the division-series a little thiekened in the articulations and therefore the arm-bases are not quite as smooth as in. Sp. 1. Pr +50 (16 T) 35—42 mm. P,, 12 T, 5 to 6 top-segments, as usual, smooth, 30 mm: P, 13 T (3 top-segments smooth), +25 mm. P, S T, P 6 T., 7 mm. P, and P, still a little shorter also with combs. P, longer without a comb. Disk 32 mm. Anal funnel 5 mm. Colour as in Sp. 1. Disk, however, spotted with olive-brown. CX 48 T. GISLÉN, ‚Sp. 8. (St. 15) Cd 8 mm., free dorsal pole 5 mm, C. XXXII 23—28, 18—25 mm. Dorsal spines a little stronger than in the pre- ceding specimen. I Br 2 h=!/s br, the distal angle somewhat prolonged, br =6 mm. Arms XXXII 115 mm. The interspaces between II Br 3:2,5 mm. The arm-branches somewhat more slender than in the preceding specimens, Pr +45 (5 to 14 T, the tip smooth) 26—33 mm. Py; or Pj (+10 T) 23 mm. P, 8—9 T, 18 mm.; P,—P, with a small, short comb (3—5 T); P, without a comb 18; 5,5 mm. Disk 28 mm. Anal cone 4, mm, Colour a little more grey- brown than in the foregoing specimens. One may possibly also assign a young Comasterid (St. 18) to: this species. Sp. 4 ? (St. 18) C. XIII 10—12; 2,,—3 mm. 3°—-5 segment longest L= 11/2 X br. R—s h=!/sXbr. I Br 1 hs!/eXbr, latterally free bee h=?/sx br, pentagonal, the distal margins straight. Br 1 inside almost free. Arms X, 7 mm. 1* syzygy -between Br 3 and 4. The segments distally collar-shaped, spiny, and overlapping. P, with an indistinct comb, the tip is smooth, the pinnule rolled. T 7 low, sparse, obtuse. P,—P, to P, are lacking. Disk 2, mm. Mouth and anus subcentral. Anal cone 1 mm. Disk rather »lean», weakly papillated. A comparison with specimens in Dr Morrensen’s collection from Japan showed that it is only the very largest specimens of C. pinguis that have the ossicles of the division-series so broad that they grow together laterally. The division-series are, however, always (even when not in lateral contact) strikingly broad and flat. C. japonica, according to the scheme in the Siboga volume, has narrow division- series, leaving broad parts of the perisome unprotected. Nevertheless A. H. Crank says about the original specimen (Leyden Mus. Vol. 33, p. 181) that »the division-series are rather broad». The formation of | Brax seems to be a charac-teristic of species more certain than this one. While C. pinguis has an axillary that in old specimens gets almost straight distal margins, these in C. japonica are very concave, and therefore the distal angle of the axillary becomes very prolonged (As also in C. solaster). EE THE ÜRINOIDS FROM DR. S. Bock’s EXPEDITION TO Japan 1914. 49 Comanthus (Vania) annulata (BELL). Fig. 37— 40. Syn: See 1918 A. H. Crank Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 53. From St. 42 A = 1 specimen. Sp. 1 Cd flattened, 4 mm. Dorsal pole 5 mm. €. XV 15; 9—10 mm. in a single whorl, 1° and 2" segment shorter than long, 3° seg- ment cubical, 4" and the following ones longer, a little hour-glass- shaped, 6" segment the longest, L = 1!/ X br. From 7" or 8" segment a weak and indistinct dorsal prominence. The L of distal segments = 2/3 X br. The cirrus in the distal part somewhat pressed together and in lateral view somewhat thickened. The terminal claw short, coarse, a little longer than the penultimate segment. Cirri weak, small. R—s somewhat projecting at the corners, I Br 1 laterally fused with each other, distally broader, h = '/s X br. I Brax low pentagonal, h = 1/3 X br, laterally united as usually also II Br:s 1. Primipostaxil- laries fused inside. Bases of the arms smooth. The branches of the arms close together. Syzygies 3 + 4, 11 + 12, 16 + 17 ete. with an interval of 4 oblique articulations. Br 1—7 discoidal, then oblique joints. II Br—s:4 (3 +4), Il Br—s:(3 +4). Arms XL 80—120 mm. dimor- phous. Distal segments slightly thickened at the distal ends. 14 Br- segments pr. cm. (11, if the syzygial pairs are counted as units). The br. of the arms proximally 2,5 mm., distally 1 mm. or less. Pj + 50 (6—8 T) 16—18 mm., Py, 45 (5—6 T) 12 mm., P, +35 (7 T) 10 mm. P, +20 (7 T) 6 mm., sometimes without a comb, P, with or without a comb. Teeth then on every second or third pinnule to P. Distal p. +20; 8 mm. (1° and 2° segments short, the rest longer than broad, the last 4 to 5 segments with dorsal hooks). The bases of the p. rather smooth. Disk 20 mm. Anal funnel central. Mouth interradial. Colour (in spirit) grey-brown. The shorter, posterior arms coarser, their p. often without ambulacral furrow. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. 7/2 1922. 7 50 T. GISLÉN, Comanthus (Vania) parvicirra (J. Mörner). Syn.: See 1918 A. IT. Crarx Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 54. C. parvicirra « comasteripinna n. subsp. Fig. 41—43. Syn. Comaster multifida and typica 1919 'T. Gist£x K. V. A:s handl. Bd. 59, N:o 4. p. 14 and 9. From St. 40 (1), 49 (broken arms), 63 (1) = 2 specimens +. Sp. 1 (St. 40) Cd 3 mm., only sligthly raised above the dorsal surface. C, IX 13—15; 4—7 mm., in a single, incomplete whorl. 1* segment short, 2" and 3" about cubical, 6" longest L = 11), X br. From the 7" segment a weak dorsal prominence. Opposing spine h = !/5 of the br of the segment. Terminal claw curved, L = 1 12 X penulti- mate segment. R—s h = !/e br. I Br. I h = !/4 br, laterally united. I Brax h = !js br, laterally free, low pentagonal. Primipostaxillaries united inside. II Br—s 4 (9 cases), 2 (1 case), III Br—s 4 (4 cases). Arms XXIV 90 mm, Division-series smooth. The basal arm-segments somewhat »chub- by.» then slightly overlapping and with small spines distally. The br. of the arms proximally 1,8 mm. Syzygies 9 +4 (sometimes 4 +5 or still Jater... 11 2 12. . ete. with an interval of 4 oblique articula- tions. 14—15 segments pr em. (11. if the syzygial pairs are counted as units). Pr +45 (9—10 T) 12 mm. P, 8—11 T; 10 mm.; P, 8—9 T, 20— 25; 5—' mm. P, or P, shortest, the latter with 15 segments (S—9 T) 4—5 mm. Combs on about every second p to P,, or P44: Example P,B,P,B,P BP, B, ele. Distal combs "with aboutit tal p. 22—28; 10 mm. : Disk 15 mm. without granules, hemispherically swollen. Anal funnel central, 3 mm. Colour: dark sepia. Disk in dorsal view some- what visible between the arms, not reaching farther than to III Brax. St. 49 (Broken arms) Arms 100—140 mm. The proximal parts of the arms br = 2,2 mm. Syzygies as before 16 (resp 13) segments pr em. Combs with 8—10 T at leasto P, or P. Pal fran + wa quis THE ÖRINOIDS FROM DR. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914 51 To this species there also belongs very probably a young speci- men from Sagami which shows a great resemblance to larger indivi- duals in Dr MomrENsEN's collection from the same locality referable to C. parvicirra. Description as follows: Sp. 2 (St. 63) Cd 1,» mm. free dorsal part 1,5 mm. C. lacking. Pits of XVII in a single whorl. R—s narrow, at the middle almost concealed bands, I Br I h = Us br, laterally free. I Brax h—1}2 X br, pentagonal, br — 1,5 mm. Disk visible in the interspaces (br — 0,5 mm.) between the arms. II Br—s : 4 (4 cases). Arms XIV 20 mm. Primipostaxillaries united in- side basally. I Br 1 h—1/s br. II Br 2 and Br 2 distally and dorso- laterally broader. Syzygies 3 +4..10 +11 ete. with an interval of 3 to 4 oblique articulations. Arm-segments after Br 4 distally bent outwards and a little small-spiny 20 (resp. 16) segments pr em. P, with 8—10 large T., tip not smooth.. P, similar, somewhat shorter, 3 mm., P, 12; + 3 mm., basally a little x (by a gonad?) — Basal pinnulars weakly carinate. Distal p 12—14, 3,5 m. coarse, short segments, distally dorsal hooks (cf. fig. Disk 5 mm. Anus central. Colour yellow-brown, The last mentioned specimen most probably referable to the 3° subspecies (7. vanipinna represented in Dr. MorTexseN’s collection from Sagami; other- wise ef. p. 52). Comanthus (Vania) parvicirra 5 comanthipinna n. subsp. Fig. 44, 45. From St. 40 | specimen. Sp. 1 Cd 3 mm. C. VII 13—14; 8—9 mm. coarser and more curved -than in the preceding sub-species. B—s projecting IR. II Br—s:4 (4 cases), 2 (6 cases), HI 'Br—s: + (2 cases). Arms XXII 105 mm., most of them loose, broken. Syzy- gies with an interval of 4 oblique articulations. 12-13 segments pr em (10, if the syzygial pairs are counted as units). Breadth of the arms 2,5 mm. Pj + 40; 13 mm. with a comb as in typical Comanthus-Cenolia- species, that is in this case + 12 low, thin teeth which on both sides 52 T. GISLÉN, (proximally and distally on the pinnule) obliterate. "The tip of the p. with 2 or 3 smooth segments. P,--12 mm. P, 5, mm. P, and the following ones without a comb. Distal p. 27: 11 mm. The segments: L—1'/2 X br, the 4 outermost ones with distal hooks. Disk thrown off. The pinnules of some arms without ambulac- ral furrows. Both these newly proposed sub-species of the polyform C. parvi- cirra differ in many characteristics from each other. "Thus for instance 5 has coarser arm-bases and somewhat fewer Br-segments pr em. but it is chiefly the different appearance of the comb that has caused me to separate these two types and to denote them by different names. Within the sub-fam. Comasterinæ of the fam. Comasteridæ one can distinguish chiefly 3 different types of combs. The first of these, which I should like to call the Comaster-type, is characterized by a short, strongly rolled comb, with some few, large and close teeth. "The combs oecur on every second or third p. to rather far out on the arm. The second, the Comanthus-type, has combs with a greater number of teeth, which are small and low, and therefore thinly placed. They become smaller proximally and distally and obliterate towards the tip of the pinnule, leaving the latter smooth. The combs occur on a very few proximal pinnules (never farther than P,) and in an unbroken series, that is never on every second or third p. as in type 1. The 3° type — to a certain extent an intermediate one — is the Vania-type, which has rather high and large teeth right out to the tip of the pinnule. Combs occur as in type 2 in an unbroken series, both the first-mentioned types are usually very regularly asso- elated with certain genera within the above-mentioned sub-family Comasterine. Type 1 is found in the genus Comaster, type 2 is, as far as I have been able to verify, characteristic of the genera Comantheria, Comanthina (?), and Comanthus (Cenolia). In the genus Comanthus (Vania) the use of this characteristic, like so very many others, becomes, how- ever, impossible in the diagnosis. To Comanthus-Vania are assigned two species distinguished from each other by such an artificial charac- ter as the number of arms, "The facts of the matter are undoubtedly, however, that Comanthus (Vania) annulata represents one group of forms THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION To JAPAN 1914. 53 with a generally greater number of arms which are longer and coar- ser, C. (Vania) parvicirra another one with à smaller number of more slender arms. Nevertheless, both the »species» vary so considerably that they often intrude upon each other's spheres. The specimens obtained by the Bockian expedition, show that within the subgenus Vania there occur types of combs of both the Comaster-, Comanthus- and (of this I have been convinced by observa- tions on Dr Morrensen’s Japanese specimens of this species) of the Vania type too. In revising the Bockian collection I have distinguish- ed type 1 and 2 in C. (Vania) parvicirra by ranging them in two diffe- rent sub-species. I have been neither able nor willing to discuss the innumerable synonyms of this species — A. H. CLARK has given an imposing synonym list in Siboga Exp. Vol. 42 B. It is not possible to distribute the names of this list among the 2 new sub-species because most of the authors have given no information about the occurrence and appearance of the combs, Even A. H. CLARK, who has described hundreds of specimens belonging to this species, has hardly given any other information except about cirri and division-series. It is there- fore natural that he has escaped making the observation that a comb of the Comaster-type also occurs in the sub-genus Vania. Already in my work upon the erinoids of Dr MJÖBERG's expedition I recorded the statement of P. H. CARPENTER about the occurrence of the Comaster- type in 3 of the species referred by A. H. Crank to the parvicirra- group, viz. Actinometra elongata, simplex and quadrata, All the Mjó- bergian specimens, however, had 4 components in the II Br-series and the Comaster-type in respect of the distribution of pinnules, and conse- quently, trusting to the Clarkian genus-diagnosis, I referred the above- mentioned species, most suitably referable to Vania parvicirra, to the genus Comaster and assigned the specimens with coarser cirri to C. multifida and those with rudimentary cirri to C. typica. Since then I have had an opportunity to establish that the occurrence of combs far out on the arms is not exclusive to the genus Comaster but is also found in the genus Comanthus subgenus Vania. It is not curious that both these species of the subgenus. Vania have eaused great trouble to all authors by their extreme variability in practically all distinguishing characteristies otherwise succesfully used. Not only are cirri and cirrals, division-series and Br-segments 54 T, GISLEN, very variable in appearance and number: to this is added, as mention- ed above, the varying development and distribution of the pinnule- combs. In Vania annulata the combs in the above-described specimen reached as far as Pj. In a specimen from Java of the same form- series (still not described; possibly, however, belonging to a new spe- cies on account of the very long, slender and well-separated arms) the combs occurr on every second pinnule and reached at least P,,. As to Vania parvicirra I refer to the descriptions given above. A. H. CLARK in a letter to me writes about both these species as follows: »The species of Comasterinw are the most difficult of all Cri- uoids — I may even say of all the Echinoderms — to determine. The two species which I call parvieirra and annulata are very likely arbi- trary divisions of one type; but it is convenient to call the smaller individual with 30 or fewer arms parvicirra and the larger with 30— 10 arms! annulata.. Many specimens of the latter with the III Br series 2 are practically indistinguishable from certain species of Coman- theria . .» According to this division Comastler typica Sp. 2 Mihi 1919 would be assigned to Vania annulata. Nevertheless it corresponds closely with the other specimens in the Mjóbergian collection and has also unusually short arms and therefore I should be disposed to include it in Vania parvicirra. As to the reason of the polvformity of this subgenus I will only point to the following: It is possible that the two species of Vania have become a rub- bish heap for divers species difficult of solution or types inconve- nient for the systematist. In such a case it would be possible to put order into the now confusing multitude and to get a survey over the existing types by a detailed description of specimens. Characteristics that might perhaps be applied would be the number, presence or ab- sence of cirri, the br of the arm-bases, the appearance and formation of the Br-segments, of the division series, of the proximal (and also distal) pinnules and pinnulars, of the disk and eventually of calcareous spicules, that is to say the inclusion of all characteristics and then an examination of a large material. ! According to the Siboga work 35—60 arms. THE ÖRINOIDS FROM DR. S. BocK's EXPEDITION To JAPAN 1914. 55 Further it may be that these possibly existing small species partly make hybrids between themselves and perhaps partly also form erossings with proximal species in the genera Comaster, Comantheria and Comanthus. If these hybrids are fertile they will after a couple of generations be split into countless different types. Supposing, for instance, that a form without cirri, with IIl and IV Br-s: 14, and with a Comanthus-comb (restricted to proximal pinnules) were crossed with a form with cirri, with III and IV Br-s:2, and with Comaster-comb (that is short, high combs dispersed to distal pinnules). Further, sup- posing that such a hybrid were fertile and therefore in the 2" gene- ration was normally split in the different possibilities of combination. Then one would get forms that might be referred to all the genera known within the sub-fam. Comasterine. (If, e. e, the first 3 gens as heterozygotic might be represented with different forms: rudimen- tary cirri, mixture of 2 and 4 components in the III and IV division- series, one would get 108 different possibilities). The great variability in the division-series even in the same specimen seems to be a proof of the probability of the heterozygotieal nature of certain specimens of C. parvicirra. In a special paper I will treat a 3" possible influencing cause, viz. alteration in the mode of eatehing food, Though in many cases the Comasterids show primitive charac- eristics such as clumsy formation, frequently (in the genus Comaster) a primitive way of arm-division, a number of components in the divi- sion-series that is very indefinite, it is evident that in other charac- teristics the family is in fast development and has entered quite a specifie direction of evolution. A lot of the characteristies which are engaged in such a development have this apparently caused by the changed manner of catching food and are treated in connection with this question. The variability of the cirri is probably eaused by another factor and their regression, which is observable in different species of the Comasterid family, I suppose to be caused by the dorsal hooks on the distal pinnules having taken over the anehoring function that otherwise falls upon the cirri. These dorsal hooks are to be found in most of the Comatulids, though usually visible only by strong magni- m ry. U 56 |. GISLEN, fication, In the Comasterids they are large and well developed, they appear smallest in species with powerful cirri as in Comanthus pinguis, Everyone who has worked somewhat with species of this genera, knows that for instance a Comaster or Vania parvicirra has a strong power of attaching itself by means of the dorsal hooks of the distal pinnules. Consequently the cirri will become superfluous or perhaps even be a hindrance if the animal wishes to creep about, which by the observations of H. L. CrARK is proved to be the manner of locomotion of some Comasterids. Because of this they become reduced and in many genera they have totally obliterated (as in species of Capillaster, Comatula, Comaster, Comantheria, Comanthina and Vania). As appears from the above investigation the subgenus Vania is a very critical genus, forming to a certain extent a middle link be- tween Comantheria-Comanthus and Comaster. The reason why I have not united all these genera is that I perceive the possibility of Vania representing a rallying group of hybrids and hybrid-splittings with com- binations of characteristics from different form-circles. I should have liked to put Vania as a separate genus between Comaster and Coman- theria-Comanthus, In this case I would have distinguished it from the the first-mentioned genus by the III Br—s chiefly consisting of 4 com- ponents, from the two latter ones by comb-provided pinnules often occurring far out on the arms. Nevertheless the characterizing in such a ease is not satisfactory, if one does not transfer all the Vanias of comanthipinna-type to the genus Comanthus (Cenolia). Perhaps there- fore, it is for the present quite as good to keep the classification made by A. H. CLARK and put Vania as a sub-genus' under Comanthus, Still it is then to be observed that, according to his scheme of exa- mination, V. parvicirra a comasteripinna ought to be referred to Co- manthus if one pays attention to the division-series, to Comaster if one takes into consideration the occurrence of the combs. Compare also in this connection the above quoted statement of A. H. CLARK. Ano- ther solution; and this a rather good one, might be possible. This would be to subdivide Comasterine into 2 genera: Comaster and Coman- thus, the first one characterized by eomb-provided pinnules occuring distally on every second or third pinnule, the latter one with comb- provided pinnules in an unbroken series. With such a division the THE ÜRINOIDS FROM DR. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 31 two types would also be easy to keep apart if it were a question of systematieally proximal forms, for, as is shown above, such forms are to be found, no matter how the division is made, On the same specimens the combs seldom or never vary in occurrence on different arms and so to this extent they offer a bettér distinguishing feature than the division-series, The sub-division proposed above is still, however, impossible to carry out because of the incompleteness of the prece- ding species-descriptions in the statements as to the appearance and occurrence of combs. So much, however, can be said, that to the first mentioned genus might be referred the genus Comaster sensu A. H. Crank, Vania (pro parte) and eventually Comanthina (and Coman- theria) pro parte. To Comanthus sensu nova should be referred Coman- theria, Comanthina (p.p.), Comanthus (Cenolia) and Vania p.p. ^ Young Comasterids from the Bonin Islands: From St. 44 (1), 45 (15), 47 (6), 50 (1), 53 (1), 54 (1), 61 (1) — 26 specimens. Comatella sp. Sp. 1 (St. 53) C. XI 8—9; 2—2,5 mm. 3° segment L — 2 !/» X br. Terminal claw curved, longer than the penultimate segment. B—s projecting between the R—s as small corners. R--s nar- row bands. I Br 1 h—!/sX br. Arms X,+15 mm. Syzygies with an interval of 3 oblique articulations. The segments somewhat folded outwards and spiny. P, with a comb of 5—6 T. P, and P, absent. Disk smooth, dark-brown, Mouth central. Anal funnel small, not papillated. Comatella sp. juv. or the young forms of a large Comissia sp. Sp. 1 (St. 45) C. XIX 14—16; 6—8 mm. 4" segment the longest, L—2!/ X br. Dorsal spine from the 4" segment. — R-s narrow bands. I Br 1 h—1/4 br, laterally free. Axillary h — 1/2 X br, forms with the preceding segment a low synartrial tubercle. Br 2 on the outer side Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. 78/2 1922. 8 58 T. GISLÉN, twice as broad. Arms X, 45 mm. Syzygies with an interval of 3 oblique articulations. Distal segments L — 11/2 X br, weakly spiny, but not bent outwards, — P, and P, with a comb; P, usually, P, always ab- sent, P, 25—30 (10 T), 5,5 mm. strongly rolled at the tip. — Mouth subeentral. Anal cone, small, marginal, Disk 4 mm. Probably a young form of Comissia peregrina magnifica like both the following ones. Sp. 2 (St. 45) C. XIII 12—14; 4 —5 mm. 3 and 4" segment L—2Xbr. Arms X, 25 mm. P, and P, with a comb. P, and usually P, absent. P, with 9 T. Mouth central. Disk 2,5 mm. Sp. 3 (St. 45) C. XII. 10—11; 2,5 mm. Arms X, 15 mm; Py with a comb, then a gap to Br tl or 15. Mouth central. Disk 2,5 mm. Sp. 4 (St. 47) C. XVII 12—15; 6—7 mm. 3° and 4" segment L—1!/2—2 X br i I Br 1 h=1"/3 br, laterally free. Axillary h — ?/s br, pentagonal. Br 1 h—!/4 br, Br 2 h—!/s br. Arms X, 30 mm. Arm-bases smooth. Syzygies as in Sp. 1 (St. 45). P,-P, with.a comb (PR, + (> eu S—11 T), P, lacking. Distal p. 12—14; 3, mm. Strong dorsal hooks on the 3 last segments. Disk smooth, dark-brown, 3,5 mm. Mouth subeentral. Anal funnel short. (Disk half thrown off, under this a new regenerated one). Sp. 5 (St. 47) C. XI 5—9; 2 mm. 3° segment the longest L — 3 Xbr. — I Br 1 h—!/4 br. Axillary triangular with very concave distal margins forming an acute distale angle, h —'/2 br. Br-segments spiny and bent outwards. Arms X, 10 mm. P, 7 T, 2,5 mm. P, absent, P, without a comb. Sp. + and 5 perhaps young Comaiella maculata (or stelligera). Sp. 6 (St. 61) C. XV 9—12; 2—3,5 mm. — R—s h—!/4 br. I Br 1 h=!js br. Axillary h—/[» br. - Syzygies as in Sp. 1 (Sees Arms X, 20 mm. — P, with 9 sparse T. P,—P, lacking. Mouth central. Disk 2 mm., dark-brown, pentagonal. Anal funnel small. Young Comaster serrata, the two last ones probably C. delicata grandis. Sp. 1 (St. 45) C. XIV 9; 2mm. R=-sh=1/ br. T Dra E !/s br. Arms X, 10 mm. Br- segments strongly serrate and bent out- wards. P, (and P, if not absent) with a short high comb; P, and P, lacking. Mouth central. For the rest like Sp. 3 of Comaster serrata. THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914 59 Sp. 2 (St. 47) C. XIII 9; 25,—3 mm. 3? and 4% segments L — 21/2 X br. Arms X, 15—20 mm. The arm-bases rather serrate, Between Br I and 2 a close synarthry. Syzygies with an interval of 3 oblique artieulations. P, (and P, when present) with a short, high comb of 4—5 T. P,lacking. No distal pinnules with combs Mouth central. Disk 1,2 mm. Anal funnel short, wart-shaped; the anal interradius with calcareous plates in the skin, but no papilla. Sp. 3 (St. 44) C. XIII 9—10; 3—4 mm. 3!—5'" segments L — 2xbr Rs" h—!/[; br. I Br 1 h=1/s br, laterally free, articula- ting closely with the axillary, which is pentagonal h — "/3 br. Br I basally united inside. Syzygies as in 5p. 2 (St. 47) Arms X, 22 mm. Br- segments rather long, distally somewhat bent outwards and spiny. Proximal parts of the arms well separated. Disk reaching to Br 2. EI (5 large T) 2,5 mm. The height of the teeth — !/a X the br of pinnular. P,, Pj, and sometimes P, absent. Pinnulars very spiny. Distal p. 14; 3 mm. (The 3° and following segments L—4 X br). No combs on the distal p. Disk 3 mm. Anal cone subcentral, swollen, papillated. Young forms of Comantheria (doubiful whether sp. 2 belongs to this genus). Sp. 1. (St. 45) C. XIV 11—17; 3—6.5 mm. 4" segment the lon- gest, L — 1 1/3 — 1 !/ X br. From the 7 segment a dorsal prominence fixed a little before the distal margin. Opposing spine h—!/s of the br of the segment, coarser and more pointed than the preceding ones. Cirri from the dorsal whorl considerably more tender. R—s h=!/ br. I Br 1 h—!/s br, laterally free, a weak synar- thrial tubercle with the axillary, which has the h — !;? br, with some- what concave distal margins. Syzygies 3 +4, 11 + 12, 16 + 17 ete. with an interval of 4 oblique articulations. Br:s 1 united inside to ?/s. Arms X, broken, 15 mm.--. The arm-bases tolerably smooth, after Br 7 with the distal margins a little bent outwards and spiny. Breadth of the arms proximally 0,6—0,s mm. P, 27 (9—11 rather low, triangular T, h —?/« of the segment) 5,5 mm. P, 6 T; 3 mm., P, rudimentary, P, without a comb 11; 1,5 mm. 60 T. GISLÉN, Disk 4 mm. Anal tube chimney-shapéd, 1,5 mm., subcentral The skin smooth, without papillae. Mouth somewhat marginally dis- placed. Sp. 2 (St. 45) C. XIX 9-—12; 2—4,5 mm. — B—s visible in the corners. R—s h—!/[s br. I Br 1 h—!/» br. Arms X, 25 mm, The distal borders of the axillaries spiny and bent outwards. Syzygies 374, 1112, distally with an interval of usually 3 oblique articula- tions. Distal Br-segments L — 2 X br, strongly hour-glass-shaped and spiny. P, + 20 (about 5 coarse T) 3 mm., P, absent, P, without a comb 7; 1,5 mm. Distal p. +; 2,2 mm. — Disk 2, mm. Anal funnel 1 mm. Mouth somewhat dislocated. A young form of Vania. Sp. 1 (St. 50) C. XII 9; 2—3 mm. slender, in a single whorl 4" segment the longest L — 2 X br. . Cd low, flattened. — R—s narrow bands h— !/s br. I Br 1 h — tje br, laterally free. Axillary bh 9s pentagonal. Primipostaxillaries well separated inside. The synarthry between Br 1 and 2 usually rather similar to the syzygy between Br 3 and 4. Br 1 and 2 h— 1/3 br, the outside somewhat broader. Arms X, 12 mm. Br-segments serrate, only slightly overlapping. Syzygies with an interval of 3 oblique articulations, — P, +6 T, P, and P, rudi- mentary or lacking. The following pinnules without a comb. Distal p. 2,5 mm. — Disk 2, mm., reaching to Br 1. Anal cone smooth, 1.2 mm., sharply set off with a papilla whorl round the opening. Mouth marginally displaced. Colour yellow-brown. Unrecognisable Comasterid young forms. Sp. I (St 47) C. XVIII 12—17 (usually 15—17), 4—8 mm. Op- posing spine a little longer than the preceding ones, — Axillary h — !/2 br. II Br—s in a regenerate 2 (2 cases). Arms XII, 30 mm. Syzy- gies with an interval of 3 or 4 oblique articulations. — P,—P, with a comb, P, and P, often very small (1—2 mm.) P, + 26 (6 -7 T) 5,5 mm. Distal p 12—13; 4,5 mm. Disk 3,» mm. Anal tube papillated, subcentral, narrow, 2 mm. sharply set off from the disk. Mouth marginal. THE ÖRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION To JAPAN 1914 61 Differs by the formation of the disk from the above-described Comatellas. Sp. 2 (St. 54) Cd Os mm. C. XIII 9—10; 2,5—3 mm. 31 seg- ment L,— 2 !/4 br. R—s h—!/4 br, partly concealed by the angular Cd. I Br | h—1}2 br. Axillary h—?/s br. Distal margins somewhat concave. Arms X, 15 mm. Br | h — ! br, contiguous in pairs inside, not broader on the outside. Br 2 h — !/? br, a little broader on the outside. Syzy- gies usually 1—2, 5--4; Distally with an interval of 3 oblique arti- culations. Br-segments long, serrate and bent outwards. — P, with 8 heart-shaped T. P, and P, wanting. Distal p. 5 mm. — Disk 2,2 mm. Anal funnel I mm. I R calcareous plates. Sp. 3 (St. 47) €. XI 8—9; 2,5—3 mm. — R—sh--'/4br. I Br1 h=—1/2 br. Axillary h—?/s br. Arms XI. II Br—s 4 (1 ease). The segments very serrate. P, with 4—5 T. P, missing — Disk coarsely granulated with calcareous grains and plates. Small oral plates. Probably a (o- master. Sp. 4 (St. 47) C. XIII 10—11; 2—2, mm. — R—s h— !/2 br. I Br 1 h —?/s br. The arm-bases serrate. Arms X, + 10 mm. — P, with some few T (probably 5 to 6) rolled to a close globe. P,—P, want- ing. — Mouth central. Disk 1,3 mm. Orals! From St. 45 there are, besides, 9 small young Comasterids. Some of these specimens apparently belong to the sub-family Comaste- rine (Comaster and Comantheriu), but some of the others are practically impossible to determine either with regard to subfamily or to genus. Sp. 5 (St. 45) C. XIV, 9, strongly bent. Arms XII, 15 mm. Il Br-s 4. III Br-s 2, P, and P, and perhaps P, with a short comb. Mouth central. Anal cone smooth (a Comantheria or Comaster). Sp. 6 (St. 45) C. XII 8—9; +2 mm. 4% segment the longest L=3Xbr. 3" and 6" segment L = 2 X br. Antepenultimate one L = 12 — 2 X br. — R—s band-shaped, h = !/4 br. I Br 1 h = !/3 br, laterally free. II Br-s:4. Arms XII, 14 mm. — P, with 6 high T, 3 mm. P, and P, usually absent. P, with 4 T. No distal combs on the distal pinnules, — Mouth and anus subcentral, Disk 2 mm. Anal funnel papillated. — (Probably as sp. 7 a Comaster). 62 T. GISLÉN, Sp. 7 (St. 45) C. XII 9—10; 2,,——4 mm. Arms X, 20 mm. some- what smoother than in the preceding sp. — P, 7 T, P, 6 T, P, and P, wanting. — Mouth a little displaced. Anal cone strongly papillose. Sp. 8 (St. 45) C. XIV 8—11; 2,5—4 mm. Arms XII, 16 mm. Il Br-s 2. — P, 7 T. P, and P, missing. Anal cone papillated. Sp. 9. (St. 45) C. XVII 10—14; 3—4,5 mm. 3* and 4 segment, L = 2.br. Arms X, 15 mm. of serrate type. P; 5 high) Pam absent. Sp. 10 (St. 45) C. IX 7—9; 2—2,5 mm. Arms X, 12 mm, — P, + 6 T. P, and P, wanting. Mouth central. Sp. 11 (St. 45) C. XVI 10. Arms X, 10 mm. P,—P, wanting. Sp. 12 (St. 45) C. XVII 8—9. Arms X, + 15 mm. P, 9 T. P, mis- sing, P, without a comb. — Anal tube smooth. — Perhaps Commissia ignota, minuta. Sp. 13 (St. 45) C. XIII 9—10; 3 mm. Arms X, broken. R—s con- cealed. — P, +67, P; rudimentary. Above I have brought together all the young Comasterids from the Bonin Island that I have not been able without doubt to identify to a certain species. With regard to some specimens, however, I am rather sure as to which species they belong by comparison with somewhat larger, systematically determinable specimens from the same locality. (This is for instance true of Comaster serrata sp. juv 1). At the same time as the investigation made above I also tried to establish some characteristics of systematical value for the determina- tion of the young Comasterids. Even a hasty reflection tells us at once that this is a very difficult task. For the systematical charae- teristies in the Comasterids, as in all Comatulids, are taken from the length, breadth, appearance and order of magnitude of the calcareous ossicles which combine to constitute the animal, and these are very different in young specimens and in full-grown ones. — If guided by the figures and statements given above one examines the characters, the following facts are evident. 1) The cirri in all young forms correspond to a type about the same as the one in Comaster serrata or Comaiella brachycirra, that is to a number of segments of + 10, where the 3° and 4" segments are the longest, L = 2 or 3 X br. THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914 63 2) The higher division-series, which are an important charac- teristie of classification, have not yet appeared. 3) The proximal ossicies of the arm become longer compared with the breadth, the younger the animal is. This is also applicable to a still greater extent to the distal Br-segments. The distal ends of the Br-segments are serrate and bent outwards. 4) The comb on the proximal pinnules, a very reliable charac- teristic in adolescent and full-grown specimens, tends at an early stage to a uniform type and therefore all small young forms have eombs with a few, high, rather large teeth. The young forms of the Comaster-genus only have combs on the proximal pinnules. 5) In the very earliest stages the disk has a central mouth and a marginal anal tube. As a general rule one can say that young Comasterids which have a pinnule-gap on the proximal arm-parts (here of course exclud- ing Comasterids of the Comatilia type) are impossible to determine even with tolerable certainty. The comparison between the appearance of the disk shows, however, that here perhaps, one might get certain fixed points for the judgement of the systematical position of the animal. The young of the species of Comatella and large Comissia have a central or subcentral mouth and a short, narrow, inconspicuous anal tube. The skin is tightly stretched on the ventral side between the arms so that the disk gets a characteristically lean appearance. The young forms of Comissia ignota minuta are also in the early stages recognized by having the ambulacral furrows surfounded with cushion-shaped slopes, probably marking the extension of the gonads on the disk, and this condition together with the characteristic proxi- mal Br-ossicles (already at an early stage very short), the eoarse pin- nule-bases, soon thickened by the genital glands, and the smooth proxi- mal arm-parts make them fairly easy to distinguish from young forms of other species in the collection. The young forms of Comaster and Comantheria in the early stages also have a »fat» (swollen) disk. The anal tube is large, thick and coarse, a little swollen, often (especially in Comaster delicata gran- dis) strongly papillated or plated. In Comaster — species the length- growth of the anal tube soon ceases, and in larger individuals the tube 64 T. GrSLÉN, gets a characteristic wart-shaped appearance, while in Comantheria it continues to lengthen to a long, large chimney. In smaller young forms the mouth is central, but except in Comaster serrata it is soon dislocated marginally. ; The young of Vania has, if my determination is correct, a rather long unswollen anal cone, and a tolerably »lean» disk. Naturally the fixed points obtainable by an examination of the disk, are only to be used together with the other characteristies which are found. If, however, in the comparison and systematizing of the Comasterid youngs one takes into consideration the appearance and formation of the disk, I believe that we will be able to predict with greater probability than otherwise to which species or genus the young Comasterid in question might be referred. Zygometridz A. H. Cramx. Catoptometra A. H. CLARK. C. Hartlaubi A H. Cramx. Fig. 48—51. Syn: Antedon Hartlaubi 1907 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 33, Zygometra Koehleri 1907 A. H. Crank Smiths. Mise. Coll. Vol. 50, p. 339; Catoptometra Hartlaubi 1908 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 317; 1912 Crin Ind. Ocean, p. 106; 1915 Monograph pp.; Journ. Acad. Sci. Vol. 5, p. 214; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 68. From St. 5 = 1 specimen. Sp. 1 Cd. large, flattened, a little deepened in the centre, with ealeareous granules which towards the margin are arranged in about 10 rays. Diameter 5 mm. free dorsal pole 3,5 mm. h = 0, mm. C, XXVIII 14—15 (D) 16—17 (V). 11—17 mm. in two ‘close; alter nating whorls, 2? segment cubical, 3° a little longer, slightly hour-glass- shaped (= most of the following cirrals), 5'"— 7" segment L = 2 br, then shorter again L = 1 !/» — 1 '/4 br, without dorsal spines. Penul- timate segment L— 11/5; br with dorsal medially placed, very weak opposing spine, h about !/ of the br of the segment. "Terminal claw narrow, somewhat curved, longer than the preceding segment. Mi md ben mé. + AVE es pme HOM THE ÜRINOIDS FROM De. S. BocK's EXPEDITION TO JAPAN 1914 65 R—s and I Br 1 concealed by the overlapping Cd. The distal margin of I Br 1, however, visible, in syzygial articulation with I Br 2, which is triangular, h = !/4 br. I Br-s 1 laterally united. II Br-s : 4. Primipostaxillaries united inside, twice as broad on the outside. II Br 1 h='/e br, forms with the somewhat broader II Br 2 a projecting synarthrial tuberele. An inconspicuous similar one also between Br 1 and 2. Arms XX (or XIX, one arm broken in II Br 3 +), 70 mm. Br 1—8 discoidal.. All the distal segments somewhat squeezed together at the middle with the ends furnished with small spines and bent out- wards. Proximal segments short. Distal segments L = + br. Example of syzygies: 3 + 4, 11 + 12, 21 + 22, 30 + 31.. distally with an inter- val of about 7 oblique, articulations. 17 segments per em. (15, if the syzygial pairs are counted as units). Pj 29,+ 7 mm. (7 first segments coarse, then more narrow). P, 33; 13 mm. (The segments a little longer than broad, 2* — 4^ with small prominences resembling those on the proximal pinnules of, for instance, Comatula pectinata, but very much less developed). P, of about the same length. P,+ 10 mm., P, +20; 5,5 mm. Genital pinnules 12 mm. Distal p. 20; 8 mm. (Basal pinnulars especially on proximal p. with small, spiny prominences). 3 pairs of small saceuli per segment. — Disk thrown off. Colour (in formol) white. Closest to C. Hartlaubi, from which it differs by the occurrence of an opposing spine and the pinnules which, compared with the arm- length, are somewhat longer. Catoptometra magnifica var. minor n. var. Fig. 46, 47. From St. 46 (1), 47 (3), 59 (3), 61 (1) =8 specimens. Sp. 1 (St. 59) Cd flat, dorsal free pole granular, 3,5 mm. C. XXV 20—21; 17—22 mm. in a partly double whorl. 1% and 2" segments short, 3° cubical, 4" a little longer, 5" and 6" segment L = about I '/ X the distal br, the length then slowly decreasing. Proximal seg- ments hour-glass-shaped with the distal ends especially widened. Usu- ally no dorsal spine except on the antepenultimate segment, This eirral L = 11/4 br. Opposing spine inconspicuous h = '/4 of the br of Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. '/s 1922. 9 66 T. GISLÉN, the segment. Terminal claw pointed, L about the same as the preced- ing segment, R—s very narrow bands, partly hidden by the able-formed Cd. I Br 1 laterally free h = !/4 br, in syzygial articulation with I Brax, which is low pentagonal h = !/s br. II and III Br-s: 2. Arms XXIV, broken. II Br I and 2 with a weak synarthrial tubercle. Ex. of syzygies: 34-4, 8 +9, 14+15.. then with an interval of 4 to 5 oblique articulations. Br 1—10 discoidal, then oblique segments, distally with small spines and somewhat overlapping. P, 22; b, mm, P, 36; 10 mm; P, 40; 13 mm; PD mm., Pio 15; 6 mm. P, to about P, with 1** to 5™ or 6% segments provided with large prominences, h = '/s—'/4 of the br of the segment. Distal p.+ 20; 6 mm. Proximal segments distally somewhat serrate and widened. Disk incised, largest diameter 13, shortest 8 mm., with fine cal- careous granules, Mouth central, Sp. 2 (St. 59) Cd as before, 4 mm, dorsally with small papillze. Free dorsal pole 3 mm. €. XXIV 15—19; 9—11 mm. Opposing spine h = !/s of the br of the segment. II and III Br-s: 2. Arms partly broken, XXI (perhaps still II) arms, 60 mm. I Br 1h =!/3 br. Lateral borders of the I and II Br series a little spiny. Syzygies with an interval of 4 to 5 oblique articulations. P, 22—24; 3,—4 mm. P, (in a regenerate) 25; 5 mm., P, 22; 6 mm. The carination on the proximal p. only from P,—P,. Distal p. 45 mm. (The length of the segments = 3 X br). — Disk 6 mm. Anal eone 1,; mm. Sp. 9 (St. 59) Cd 5 mm., free dorsal surface 3,5 mm., radially furrowed. C. XXII 19—20; 16—18 mm. in a double whorl. — Arms XXIII, broken. I Br 1 h = !/s br, laterally free. I Brax h — *jstbr n and III Br-s 2, in one case, however, II Br 3 (1—2—3, without a p.). Proximal segments with 3—4 small lateral knots, which on I Br 1 ornament the whole proximal margin, a similar ornation, though less distinet, on II and III Br 1. Primipostaxillaries grown together inside in}, — P, 25, # 5mm. Disk incised. Longest diameter 12, shortest 6 mm. This specimen differs from the preceding ones by its lighter colour and by the ornation of the proximal ossicles. -—————————— EN ^. ^b AR rm RR nt ee THE CRINOIDS FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION To JAPAN 1914. 67 To this species belong a number of young forms with X—XII arms, of which I describe a specimen from St. 46: Sp. 4 (St. 46) Cd almost hidden by Cirri C. XXIII 10—14; 3—7 mm. 1° segment short, 2" cubical and hour-glass-shaped, 3° seg- ment L=1! br, 4° L 22 X br, strongly hour-glass-shaped, then shorter segments. Antepenultimate one L = 11/4 br. Opposing spine h = !/s of the br of the segment. Terminal claw a little shorter than the preceding segment. R—s rounded, smooth, disto-laterally well separated. I Br 1 h = 1/3 br, united with I Brax in syzygial articulation. I Br 2 h = 1/2 br. Example of syzygies: 3 + 4, 10 + 11 ete. with an interval of 6 oblique articulations. II Br-s 2 (a very young regenerate). Arms XII, 35—40 mm., slender. The segments smooth, rather long, and a little hour- glass-shaped. The arm-bases well separated, leaving broad spaces of the perisome visible, P, 22; 4 mm., P, 20; 42—5,5 mm., P, 19; 4,3 mm., P, 15; 3,8 mm., P, 9 mm. Basal segments with weak prominences. The L of the distal segments = 2 X br. Distal p. 18; 5 mm. with very long pinnu- lars, L = 4—5 X br. Disk incised, with calcareous granules at the ambulacral furrows. Anal eone long, narrow, 1, mm. Sp. 9 (St. 47) I Br 1 h — !j» br. Syzygies with an interval of 3—4 oblique articulations. Otherwise as for the following sp. see the scheme p. 27. Sp. 6 (St. 47) I Br 1 h —?/4 br. Syzygies with an interval of 4—8 oblique articulations. Sp. 7 (St. 47) I Br 1 h = !/» br. Syzygies with an interval of 6 oblique articulations. P, 14; 3,5 mm. Disk »lean», incised 2—3 mm. Anal funnel 1,5 mm. pp. os (St. 61) I Br i h —!/»br. Syzygies with an interval of 5—7 oblique articulations. In these small specimens the prominences on the proximal p-s are indiscernible. The above-described specimens differ from C. magnifica by having fewer arms, shorter cirri, and very much shorter proximal pinnules. These differences are also to be found in specimens in Dr. MonTENSEN's collection, and therefore I wish to separate the form as a new variety: minor. 68 T. GISLÉN, Eudioerinus P. H. Carr. Eu. indivisus (SEMPER). , Fig. 52. Syn.: Ophioerinus indivisus 1868 Semper Arch. Naturgesch. I, p. 68. Eudioerinus indivisus 1882 P. H. CARPENTER Journ. Lin. Soc. (Zoól.) Vol. 16, p. 495; 1888 Chall. Rep. Vol. 26 p. 81 ff.; 1912 A. H. Czarx Crin. Ind. Oc, p. 102; 1915 Monograph. p. 37, 42, 50; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 65. ? Eudioerinus granulatus 1894 Barr. P. Z. S. p. 397; 1913 A. H. Crank Smiths. Mise. Coll. Vol. 61: 15, p. 21 From St. 59: 1 specimen. Sp. 1 Cd 3 mm., free dorsal pole 2 mm., flattened, with a some- what arched dorsal surface. C. XIX 19—21; 11—15 mm. in a single or double whorl. 1% 31 segments short, 4" —7'^ L = 11/2 — 2 the median br, like the following cirrals strongly hour-glass-shaped. The distal segments shorter, Ante- penultimate one not very much longer than broad (L = 1'/s br). 14%— IS!" segments less swollen at the ends. Opposing spine h = !;3 of the br of the segment. Terminal claw somewhat longer than the preceding segment, R—s nearly concealed, the visible border adorned with small knots. I Br 1+2 with a weak median prominence. The arm-bases smooth, without longitudinal prominences as in Eu. variegatus. A pro- minenee between Br 2 and 3 formed in the oblique articulation on the right. A similar knot on the left between Br 4 and 5, and one more on the right between Br 5 and 6, then less pronounced, Arms V, broken. Breadth of Br 1:1,» mm. Ex. of Syzygies: 3 +4, 8-9... After Br 10 oblique articulations. Out to Br 4 small, ventro-lateral rows of knots. P, 10: 4 mm, P, 10; 4 mm.-P; 10; 7,5 mm^ P; 15-5 ern ee eee p. extraordinarily coarse and thick, sharply triangular; 3° segment on P, and P, about cubical. The distal segments, L = 1?/4 br, without distal, spiny borders. P, and P, much more slender, the latter 17; 8 mm. L of the segment 2!/2 — 3 X br. Disk thrown off, probably about 3 mm. Colour yellow-brown. This specimen is closest to Hu. indivisus, though the longest cir- rals are rather short to belong to this species. Nevertheless it has ee —ÉEÓERRRNMRND THE ÜRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914 69 considerably longer cirri than the above-mentioned species and in this respect approaches Hu. granulatus BELL which, according to A. H. CLARK, is synonymous with the first-mentioned species. On the figure of Eu. granulatus by BELL P, (? P,, for, though the arm is drawn from the left side, still the pinnules stand on ossicles corresponding to P, and P,; a faulty drawing?) has 26 segments and has a length of 22 mm, P, (P,) has 16 segments. If the figure is correctly drawn, the existence of granulatus ought to be authorized at least as a variety. Eudiocrinus gracilis var pulchellus n. var. Fig. 60—63. _ Photo 5. From St. 45 (5), 46 (2), 47 (2), 48 (1), 53 (1) = LL specimens. Sp. 1 (St. 46) Cd flattened 1,5 mm., free dorsal pole 1 mm. C. XIX 13—15: 5,5—6,5 mm. 1° and 2! segments shorter than long, 3° L — br, 4"—6* segment L=-+ 2 X the median br, then the segments shorter again. Antepenultimate cirral L about = br. R—s smooth I Br 1 h — br. Br-s not overlapping even in distal segments. The proximal muscular articulations dark-coloured. From Br 7 oblique joints with a couple of dark longitudinal bands. Syzygies: 3 + 4, 9+ 10, 13-- 14 ete. with an interval of 3 oblique articulations. Arms V, 40 mm. Breadth of Br 1 = 0,3 mm. Etro» mm. P, 10; 3-mm. P, 10; £ mm,, P, 12; 4- mm. (2? segment of P, and P, L not fully as large as br, 3° segment some- what longer than broad — L = 1!/s — 1'/2 br — distal segments L = 3 X br, a little widened at the distal ends but only slightly spiny), P, 11; 3,5 mm., P, 12; 8,5 mm. Distal p. 15—16; 5,5 mm. (The L of the pin- nulars = 3 — 4 X br. The last segments with dorsal hooks. 3 pairs of large sacculi per segment). Disk thrown off, has been about 2 mm. Sp. 2 (St. 46) 3° segment on P, and P, L = 1'/s br. Anal fun- nel 0, mm. Disk 1,» mm. For further details see the table as for the following specimens. Sp. 3 (St. 45) Cd 1 mm., free dorsal pole 0,5 mm. 3° segment Ory, and P. as-in Sp. 2. Disk 2 mm. 61 | Fig. 41—43. Comanthus parvicirra a comasteripinna (St. 40) 41) Distal pinnule Yı. 42) Pr; the tip with 9 T., x 17 1/2, 43) The tip of P,, also with 9 T. (observe the supporting ridges), X 17 '/s; 44, 45 Comanthus parvicirra 8 comanthipinna (St. 40), 44) The tip of P, '*ı, 45) Distal pinnule; coarse, short segments 14/1; 46, 47 Catoptometra magnifica minor (St. 59), 46) Cirrus ‘1, 47) THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914 71 Sp. 4 (St. 45) The segments of distal pinnules L — 3 X br. Disk 2 mm. Sp. 5 (St. 45) Disk as in Sp. 4. — Sp. 6 (St. 45) the proximal border of I Br 1 very slightly bent outwards. P, and P, with rather serrate distal segments. Disk 2 mm. Sp. 7 (St. 47) Cirral 5 L — 2 br, hour-glass-shaped. 3° seg- ment on P, and P, L — 1'/s br. P, 12—13; 4,5 mm. Distal pinnulars (on the distal p) L = 3 —3'/z X br. Disk 2 mm. Sp. 8 (St. 47). The cirrals a little shorter (L = 1'/2 — 1/4 br). 3° segment of P, L — 1';» br. Disk 1,8 mm. Sp. 9 (St. 48). 3* segment of P, L=1-—-1!/ br. The seg: ments of the distal p. L = 2 X br. From St. 45 and 53 there are 2 very small specimens with very serrate arm-bases. Sp. 6 (St. 45) presents a transition form to these ones and shows that they are young forms of the above-described species. Description as follows (for statements as to the figures see the table): Number of | Girri [Arms Py | Br BE BS Py P3 Dist. p Specimens and | D SX reset ere = EEE T mine NOs L | ib js es) LS} r|s| L js|]p se | 5 | | | | | | | | | al | | | | | | |Sp. 1 (St. 46) XIX 13—155,5-6,5 40 | 10 25 10 3 to 4 12) 4 11| 3,5 12) 3,5 15—16, 5,5 SP 2 (st 46) XVII |I0—14/45 -65| 30 | 8 | 2/8) 2 10/35 10| 3s 12 —|—| — | 14 | 5 BSD. 3(St.45) XIX |13—15| 4£—6,5| 35 |7—8, 2 9 3511135 || — 19 —|—| —| 18 | 6| Sp. 4(St.45) XV |4—15|5—6,| 40 | 8 22 9/27 10 4s 114,5—5.—| —|—| —| 18 | 62] Sp. 5(St.45)XVIII 12—133,5-5 | 25 | 9 |229 2,110 35 10 3 ]|12/ 3, 13 3,2) — | = EUEGISDA5)-XX|I3—14! 4-5 | 23 |6—7| 1,5 1812, |9 32/9) 2, 10 3 11 35) — | —| Sp. 7 (St. 47)| XVI 13—166,—8 -40 | 8 |25/8| —|—| — 13) 5 j—| —/—| — | 18 | 7| SRB (SAT) XVE|I2—15| 5-6 | 35 | 7 | 2|8| —|13/ 42 12 — 2 A |—| —| — |— Sp. 9 (St. 48)| XIV 14—16| 6-7 | 30 | 8 | 2/9/ 22113) 37 |—| — |11,35|— — | 14 |4,5 Psp. 0 (St. 45)) XX |11—19|2,5—3 |: 90| 6 |1,5|6| — |8 2 |—| — | Sp.11 (St. 53) XV | 8— 19) 2-4 |10+| 6 |12|711217| — — : Genital pinnule #41; 48—51 Catoptometra Hartlaubi (St. 5), 48) Some Br-segments and the base of a distal pinnule 4/1, 49) Cirrus ?^, 50) Distal pinnule (the tip missing) /1, 51) Genital pinnule (observe fewer and stouter segments than in the distal pinnule; fig. 48 from the intermediate territory) #41: 52) Eudiocrinus indivisus (St. 59) Cirrus *"à1; 53—56 Eudioerinus Loveni (Sp. 1) 53) Distal pinnule “#41, 54) Py (observe the peculiar form of the basal segments) “/1, 55) Pa “1, 56) Cirrus ?A; 571—859 CenoMetra bella (St. 49) 57) P, ‘1, 58) P, (!/s of the first segment cut away) ‘1, 59) Distal piunule (4 pairs of sacculi per segment, the last pinnular a little incised) ?/1; 60—63 Ewdioerinus gracilis pulchellus, 60) Distal pinnule 14/1, 61) Cirrus !*^i, 62) Pr /1, 63) Pa '/1. (2 T. GrsrÉN, Sp. 10 (St. 45) 3° cirral: L = 1'/ X the distal widened part of the segment. 4" segment, strongly hour-glass-shaped, L = 2 X the diameter of the distal part. 5” and 6" segment proximally a little narrower, 7" to antepenultimate one laterally compressed L = 1!/2 br, Opposing spine sharp, h = '/2 of the br of the segment. Terminal claw pointed, curved, somewhat longer than the preceding segment. R a narrow band with a median prominence, separated at the corners by the B—s. I Br 1 proximally bent outwards with a median keel, h = !/s of the thickness of the segment, laterally viewed. A similar prominence on the distal part of I Br 2 and Br 1 and 2, where laterally, however, it has no distinct border. The ends of the segments a little bent outwards. From Br 8 oblique joints. Ex of syzygies: 3 +4, 13 +14 and then with an inter ral of 3 (to 4) oblique articulations. Arms V, +20 mm., distally tolerably smooth. 23 to 4% pinnulars of P;: L = 1'/ br. 3% to 5™ segment of P, L=2xbr. The distal ends of the segments spiny and somewhat bent outwards. The pinnulars of the distal pinnules very long (L — 4 — 5 X br). — Disk 1 mm. Colour (in spirit) yellow-white. The sacculi are dark. The anal cone smooth, subcentral. Mouth subcentral. Sp. 11 (St. 53) Strong prominenees on the proximal ossicles as in Sp. 10. 3 segment of P, L = 1/2 X 1?/4 br. The two last-described specimens are of an ornate type but evidently young forms of the preceding specimens. The full-grown specimens differ from Eu. gracilis by their smal- ler size, by having more but shorter cirri, and by P, and P, being not much longer or more slender than the rest of the proximal pinnules. Eudiocrinus Loveni n. Sp. Fig. 53—56. Photo 6. From St. 47 =1 specimen. Sp. 1 Cd 1,8 mm. C. XX 20—21; 9—10 mm. 1° and 2° seg- ments shorter than long. 3% cubical, 5%—7% L = 1'/4 X br. The seg- ments are smooth, slightly hour-glass-shaped, rather coarse. Oppos- ing spine h — ?/s of the br of the segment. Terminal claw curved, L — the preceding segment. THE CRINOIDS FROM Dn. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914, 73 R—s narrow, smooth bands, h = !/sbr. I Br 1+2 h — br, as Br I and 2 with ventro-lateral, rather pronounced ledges. Br I br = l4 mm. Syzygies: 3 +4, 83-9, 12+13 etc. with an interval of 3 oblique articulations. Arms V, 40—45 mm. smooth. P, 9; 35 mm. (1—3 or 5 segments with a distally directed crista. 1* segment much decreasing proximally, 2" segment broadest. The h of the erista — !/s of the br of the segment, compare the figure), P, 10; 4 mm., similar to the preceding, P, 11; 5 mm. (3* segment L = 1!/2 br, distal segments with a somewhat spiny border, L = 2 — 2'/ br), P, 11; 5 mm., P, 12; 5 mm., P, 11; 5 mm. (with a small spiny gar- land on the distal segments). Distal p. 16—17; 4,5 mm. (the segments’ L=3 br, the 3 last ones with dorsal hooks; 4 pairs of large sacculi per segment). Colour: Cirri white. Arms dorsally brown with white trans- verse spots. The pinnulars whitish, the sacculi dark-coloured (in alcohol). At first I had some doubt whether this specimen was not only a full-grown specimen of those described as Hu. gracilis pulchellus. Nevertheless some differences are of such a nature that I have been obliged to believe that the specimen differs not only by characteristics of age. The most important differences are as follows: 1) The cirrals are short, not very much longer than broad, not at all or only slightly hour-glass-shaped (Cf. Ew. pinnatus and varie- gatus). 2) P, and P, are on the proximal segments provided with pro- minences that are lacking in Eu. gracilis pulchellus. By these promi- nences it approaches Ew. venustulus. 3) Further Eu. Loveni differs from Eu. gracilis pulchellus by the arms which, though of about the same length as in the last-mentioned species, are much coarser, 4) by the more spiny borders of the distal segments of P, and P,, 5) by the relatively short distal pinnules. The newly proposed species, which I have called after the late Prof. S. Lovin, is thus a peculiar type connected with many species within the genus Hudiocrinus. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. */s 1922. 10 14 T. GISLEN, Mariametride A. H. CLARK. Liparometra A. H. CLARK. L. grandis A. H. Crank. Fig. 85, 86. Syn: Himerometra grandis 1908 A. H. Crank. Wash. Proc. Biol. Soc. Vol. Dichrometra grandis 1909 A. H. Crank Proc. Biol. Soc. Vol. 22, p. 13; 1912. Crin. Ind. Oc, p. 150. ; Liparometra grandis 1913 A. H. Crank Wash. Proc. Biol. Soc. Vol. 26, p. 143; 1915 Journ. Acad. Sci. Vol. 5, p. 214; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 103. From St. 39 (1), 47 (1) = 2 specimens. Sp. 1 (St. 39) Cd discoidal, free dorsal pole 2,5 mm. C. XXIX 271—930 (D) 31—38 (V), 16—24 mm. in two close whorls, 1*—3! seg- ment with a little convex proximal and concave distal margins in lateral view. 4^" and the following segments slowly increasing to 4 = br (at the 15" or 20" segment). No dorsal spine. Opposing spine small, coarse, blunt-ended, h = !;s of the br of the segment. Terminal claw short, coarse, L — the preceding segment. R—s narrow bands. I Br | h=!)j br, in lateral apposition. I Brax low pentagonal, h = !/, br, with concave distal margins. I Br I and 2 form a low synarthrial tubercle. II and III Br—s: 2, (III Br—s in 6 cases on the outer sides). Primipostaxillaries united inside. Arms. XXVI, 120 mm. The br of Br 1 = 1,s—1,s mm. Br 2 twice as long on the outside. The first 10 Br-segments rectangular, h = !/2 br, then slightly oblique joints. l* syzygy usually between Br 3 and 4 but often exceptions (see the example). Distally with an interval of 7—12 oblique articu- lations, Example of arm-division: | Br 123450784-9...20-1-21: ^ 30 5:99 E WES: | ue [Br 123456 778--9...18-- 19...28-- 29... = | |Br 123456... 21-22... 30-91: A000 | | E TIS | THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914 75 Example of the distribution of the distal syzygies (from arm 3, in the above-quoted example) ..30+31...41+42....52+ 53... Poona io. 90-191... 101 -- 102 ...109 +110: . Distal seg- ments discoidal, short, L = ';z — !/s br. Lateral profile rather smooth. 17-—18 segments per em. (16, if the syzygial pairs are counted as units). The arms are very close to one another (interspaces chiefly between I Br 2—Br 4 on the outer side of the divisions). P, (9—)18—21; (4—)11 mm. (the 4" and the following segments slender, L = 1'/2 —2 br, like the segments of following pinnules smooth), P, 19—25; 11—18 mm., P, 17—20; 14--16 mm. (in a single case only 8; 4 mm., is a young regenerate), P, 14—16; 10—13 mm., P, 14; 6,5 mm. Distal p. + 20; 8,—10, mm. (The L of the segments = 2 X br). Disk strongly incised, smallest diameter 5, largest 7 mm. The soft parts do not cover the whole ventral surface of the division-series. Colour: violet with lighter and darker transverse bands on the arms. Sp. 2 (St. 47) €. XXIII (11—)14—17; (3,5—)5,5—7 mm. 57% segments longest, L = 1'/2 br. No dorsal spines; the segments are, however, laterally compressed, forming a very weak carina. Opposing spine: h = 1/3 — !/4 of the br of the segment. R—s as before. I Br 1 h='/s br, with slight, lateral prominen- ces. I Brax h = 3/4 br, almost 6-angular by the backward directed median synarthrial tubercle. Arms X, 27 mm. Br 1 united inside, 1/2 as wide outside with a convex outer margin (= an indistinct lateral prominence). 1* syzygy between Br 3 and 4 distally with an interval of 5—7 oblique articulations. The Br-segments smooth. P, 13—15; 4,5—5,5 mm. (Longest segments: L = 21,2 br), Bst: 5 mm. (Segments to 3 X br), P, 10; 3 mm., P, 9; 2 to 3 mm, Then lon- ger p-s again. Distal p. 15; 4,5 mm. Disk incised 2,5—4 mm. whitish. Otherwise the animal is red- brown. The specimen described last might perhaps, because of the short 3° pinnula, be a young of Lamprometra protectus, It is, however, to be notieed that it is not until a rather advanced stage that the young forms obtain the relation between the lengths of the proximal pinnules which is peculiar to the full-grown species. For P, is first formed, then P,, and finally P,. The above-mentioned shortness of P, might therefore be ascribed to the youth of the animal. 16 T. GISLÉN, The length of the proximal p—s in Sp. I is, as shown above, very variable, lt seems to me to be rather unfortunate within this family to base the characteristics of genus on the relation between the length of P,, P, and P,, as has been done in the genera Liparo- metra, Lamprometra and Dichrometra, which surely are very closely related to each other. Colobometridae A. H. CLARK. Cenometra A. H. Cranx. C. bella (HARTLAUB). Fig. 57—59, 74. Syn. Antedon bella 1890 HamrrAvs Nachr. Ges. Göttingen 1890, p. 174; 1891 Leop. Carol. Cur. Vol. 58: 1; p. 43. Cenometra bella 1909 A. H. Crarx Wash. Proc. Biol. Soc. Vol. 22, p. 8; 1912 Crin Ind. Oc. p. 153; 1915 Journ. Acad. Sci, Vol. 5, p. 214; Monograph pp. 48, 67. From St. 49: 1 specimen. Sp. 1. Cd thickly discoidal (h = 1.5 mm.) with raised margins round the free dorsal surface, the diameter of which is 2 mm. — €. XXVI 34—38; 16—18 mm. in two whorls. The 12 first segments: L about !/? — ?/s br, the following ones similar or a little shorter. The distal half of the cirrus with a low transverse ribbon, which is indis- tinetly (or not at all) divided into two tubercles (slightly projecting in lateral view). Opposing spine: h = !/ of the br of the segment. Ter- minal claw coarse, blunt-ended, L about the same as the preceding segment. R-s h= 1/4 br, most apparent in the corners, baso-laterally united. I Br I h = !/s br, laterally free, forming with I Brax a distinct synarthrial tubercle. I Brax h = ?/s br, pentagonal. A ventro-lateral prominence on each. ossicle from I Br 1 — Br 1, largest on II Br 1, where it occupies the whole side of the ossicle and reaches !/5 of the lateral h of the segment. II and III Br—s: 2 (the latter ones on the outer sides). Primipostaxillaries basally united inside. Arms XXVI, 90 mm. Syzygies: 3+ 4, 12 +13, distally with an interval of 7 (—10) THE CRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 77 oblique articulations. The Br-segments rather smooth, 21 segments per em. (18, if the syzygial pairs are counted as units). The longer side of the distal brachials, L = ?/3 br, the shorter one L = !/» br. P, 18; + 5 mm., P, 15—16; 9 mm. (very much stiffer and twice as coarse or more than the other p—s. The distal ends of the pin- nulars from the 6 segment thickened and with a spiny garland), P, 12; 4 mm., P, similar, P, always present though often only 2—3 mm. Distal p. 17—18; 7,5 mm. (distal pinnulars L = 2—3 x br). Disk incised $—11 mm. in diameter. Colour white with small brown spots. Anal cone short, pointed, 2,5 mm. The distal half of the p. quite violet-brown, the arms lighter with brown spots. Differing from C. bella only by somewhat more cirri, which usu- ally have transverse erista instead of a pair of tubercles, and by the primipostaxillaries, which are only united basally. Cyllometra A. H. CLARK. C. disciformis (P. H. Carp.). Fig. 68--69. Antedon disciformis 1888 P. H. Carpenter Chall. Rep. Vol. 26, p. 228. Cyllometra disciformis 1912 A. H. Cuank Crin. Ind. Oc. p. 158; 1913 Smiths. Mise. Coll. Vol. 61: 15, p. 34 1915 Monograph; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 116. From St. 12 (1), 33? (1), 35 (1) = 3 specimens. Sp. I (St. 35) Cd discoidal, free dorsal part 2 mm. €. XV 25 —27; 13—15 mm. in an almost single whorl, 3° and 4" segments eubieal, 5%—7% one slightly longer than broad, then shorter again, the distal ones L = ?/s br. The 5™(or 7) to the 12 segment with: a small dorsal transverse ribbon with an excavation in the middle forming an indistinet double tubercle, from about the 13" segment a simple dorsal spine, h='/4 of the br of the cirral. Opposing spine h = !/» of the br of the segment. Terminal claw about as long as the preceding segment, The distal borders of the R—s visible under the Cd. I Br 1 h=!/ br, laterally free. I Brax h = !;s br. Primipostaxillaries united 78 T. GISLÉN, inside, II Br—s: 2. Arms XVI, 90 mm. slender, smooth, well sepa- rated basally. Inconspieuous synarthrial tubereles. The br of Br 1: 1,:—1,2 mm. Example of syzygies: 3+4, 11 + 12, 17 + 18 etc., dis- . tally with an interval of 3—4(—5) oblique articulations. Br 1—7 dis- coidal, then oblique joints, The longer side of the distal Br—s: L= br. 19—20 segment per cm, (15, if the syzygial pairs are counted as units). P, 15; 5,5 mm. smooth, P, 19; 9—9,5 mm. (5—12™ segment: L = 2—21')/2 br, with spiny prominences on the distal ends of the seg- ments. The tip of the pinnule usually smooth), P, 14—15; 7—7, mm. similar to the preceding. P, (12; 4 mm.) and the following ones smooth. Distal p. 20—22; 8 mm. (1° and 2" segment short, coarser than the following ones, the distal end of the 2° segment therefore forms a weak notch against the outer segments which are longer, L = 2 — 3 X br; the last segment provided with mieroscopie dorsal hooks). Disk thrown off. Cirri and division-series white. The distal parts of the arms spotted with red-brown. Proximal pinnules white, the other p—s with strongly coloured saeculi (which are about 4 pairs per segment) and otherwise light brown-violet. The scheme given below is an example of the pinnulation of the proximal arm parts. P, is always lacking on the inner side, when there are 4 arms on a I Brax. Br 1-23+4567 [Br 1—2 3+ 4567 JIE there- = =.= DRE) FL ERT Foret Bra 2 daa 50u d Do Br1—2 374561 n 1—2 s | [Br 1—2 3--4567 [Br ]1— 23" DI 119 à IBr1—2 3-- 4567 Sp. 2 (St. 33) Probably also belonging to this species (possibly a young C, albopurpurea). Cd 0, mm. C. XX 15—18; 5—6 mm. (the dorsal C. 12; 2,5 mm.). The L of the segments at most 1!/s br. 4%—S™ segment with a double dorsal spine, then a single prominenee in the middle of the segment, Antepenultimate segment usually smooth. Opposing spine h=t/2 of the br of the cirral. Terminal claw as long as the pre- THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION To JAPAN 1914. 79 ceding segment. The first segments proximally somewhat narrower, and therefore a rather serrate proximal profile. R—s narrow bands. I Br 1 h —?/4 br, laterally free. Axillary h='/4 br. Br I h='/2 br, basally united inside. Arms X, 25 mm. Syzygies with an interval of 3—4 oblique articulations. Distal Br-seg- ments L = 1 !/2 br, smooth. Pr 6-7: mm? Py 10; mm. «P3: 7-87 2.5mm. P, lacking, P, 9; 2,5 mm. (3° and the following segments L = 2—3 X br, smooth). Distal p. + 3,5 mm. Disk thrown off. Colour: violet spots on a white ground. A young specimen of Colobometride, probably referable to this species, is also: Sp. 3 (St. 12) Cd discoidal, br 1,5 mm. — C. X 16— 18; 5,5—6 mm. The cirrals are rather short, the longest ones L = the distal br. From the 4*—7 segments a transverse crista. A single dorsal spine from the 7 cirral. I Br 1 and 2 with a weak longitudinal carination. Arms X, broken. Syzygies: 3 +4, 9-- 10, 14-r 15 ete. with an interval of 3 oblique articulations. PI 10, shorter than P,, which is 11; 4 mm. P, 9; 3 mm. P, 11. P, absent. Disk thrown off. Fixed on an Acanthogorgia Dofleini Kükrx. & Gonz.! Though C. disciformis is evidently very closely related to C. manca I have, however, kept them as separate species. A. H. CLARK distinguishes the first-mentioned one from C. manca by the long proxi- mal cirrals. Nevertheless at the same time he states (Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 116) that the length of the cirrals rapidly decreases in specimens of C. disciformis from deeper water. The deepest localities from which this species has previously been dredged are 180 fathoms. The above-described specimens are found at depths of 400 and 90 to 200 fathoms respectively and have therefore very short cirrals approach- ing those of C. manca. I have described below a specimen from Kiu Shiu Islands belonging to this species. In this one the cirrals are never longer than broad. It is moreover a smaller form than the above- deseribed species from shallower water but in spite of that with shorter cirrals. The larger C. disciformis seems also to have fewer arms in 1 For this information I am indebted to my friend Mr. MaGnus AURIVILLIUS. 80 T. GrsrÉN, proportion to the length of the arms. A distinguishing characteristic of value might also be the distribution of the syzygies. In C. disci- formis the syzygies are separated by 3 to 4, in C. manca by 9 to 10 oblique articulations. This difference is also to be found in the ori- ginal descriptions, where the first-mentioned species is said to have syzygies with a syzygial interval of 2—6, the latter with an interval of 4—10 (usually 7—8) joints. The preceding species also seems to be more slender and to have longer and narrower distal pinnules | than the one described below. It might be worth while to call attention to the fact that the genus Cyllometra, as also many other Colobometrids, approaches in many respects the Antedonid subfam. Perometrine. Both groups have an inconstant P,. "The Colobometrids, being an Oligophreat family, have unusually long pinnulars and cirrals, where the first-mentioned ones especially are very similar to those of the Anfedonide. Perometrine, on the other hand, being a Macrophreat family, has short cirrals and pinnulars. The basal rays are often absent in the Colobometridæ and the rosette’ very similar to that of the Macrophreats. Also the centrodorsal cavity is unusually large. A feature distinguishing Co- lobometridæ from Perometrine is the occurrence of a double spine-row or a transverse crista on the proximal cirrals. On the distal segments, however, the dorsal spine is single. lf a reduction of the spines of the proximals cirrals took place, we might probably refer a Colobo- metrid to Perometrine. It seems therefore as if we should find con- nections between Colobometridæ and Perometrine; the latter is possibly in this case to be deduced from the former and has developed con- vergently with the Antedonid typus (ef. p. 89 ff.). Cyllometra manca (P. H. Carp.). Fig. 66, 67. Syn.: Antedon manca 1888 P. H. Carpenter Chall. Exp. Vol. 26, p. 226. Cyllometra manca. 1907 A. H. Crank Smiths Mise. Coll. Vol. 50, p. 357; 1912 Crin. Ind. Oc., p. 156; 1913 Smiths. Mise. Coll. Vol. 61: 15, p. 34; 1915 Mo- nograph p. 89, 374; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 116. From St. 19: 1 specimen. Sp. 1 Cd large, discoidal, free dorsal pole 2,5 mm. €. XXIII 23 —25; 10—11 mm. in two whorls. All segments are shorter than long, THE CriNoips FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914 SI the proximal ones are longest, L=°% 4 br. From the 6" segment a double dorsal spine, which at the 15'(—17'") segment becomes a single one, h = '/4 of the br of the segment. The paired prominences distinct, close to one another, only on the 6'"—9'" segment indistinct, almost forming a transverse ridge. "The antepenultimate and the near- est preceding segments with weaker spines. Opposing spine h — !, of the br of the segment. Terminal claw coarse, somewhat curved, about as long as the preceding segment. R—s narrow bands. I Br 1 free laterally, h = 1/4 br (br = 0,s mm). I Brax h = ?/s br, as II Br 2 with a slight synarthrial tubercle. Primi- postaxillaries united inside. II Br—s:2. No III Br—s. I Br I h = 1/3— 1/2 X br (narrower on the inner side, broader on the outer side). Arms XIX, 50 mm. smooth. After Br 7 oblique segments. Distal seg- ments triangular with slightly swollen articulations. Syzygies: 3 +4, 15 +16 or 18 + 19, distally with an interval of 7—10 (usually 9—10) oblique artieulations.* 18 segments per cm. (16, if the syzygial pairs are eounted as units). P, 12: 4 mm. Is occasionally missing on the inner side of a II Brax. P, 14; 7 mm., outer segments with spiny collars, P, 12; 4,5 mm., P, 11; 4 mm., P, is most often absent, P, 12; 5,5 mm., P, shorter. P, and P, very much coarser than the other pinnules, longest segments L = 2 br, somewhat angular and spiny. The other pinnules with smooth segments. Distal p. 14—17; 4,5—6 mm. Disk thrown off. Colour yellow with black-red spots. Example of the distribution of pinnules and division of arms. Br-1--2.3-- 45 Gn. I 1-2! A PRE san > | E E AR Eq qae BEM id ue aes In this as in the following species the specimens that are found in the collection have the double prominences of the cirrals not very distinetly marked. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. °/s 1929. 11 82 T. GISLÉN. Cyllometra albopurpurea A. H. CLARK. Fig. 64, 65. Syn.: Cyllometra albopurpurea 1908 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 239; 1912 Crin. Ind. Oc, p. 158; 1913 Smiths. Mise. Coll. Vol. 61 : 15, p. 34; Wash. Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 43, p. 400; 1915 Monograph pp. 54, 289; Journ. Acad. Sei. Vol. 5, p. 214; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 115. Cyllometra manca. 1907 H. L. Crank Bull. Mus. Comp. Zool. Vol. 51, p. 289 (according to A. H. Crank 1915 Monograph p. 54 = albopurpurea). From St. 53 (2), 59 (2) — 4 specimens. Sp. 1 (St. 59) Cd discoidal, 4,5 mm, free dorsal surface 3 mm., h = 1,8 mm. C, XXIX 31—35; 19—21 mm., 3° and 4" segments cubical, 5'^ — 9% slightly longer, then shorter segments again, 10" — 12" segments with a dorsal transverse ridge, 13" — 16" with a 3—pointed prominence, 167—24'" with a double spine then a single dorsal spine. The double prominences sometimes not distinctly separated. Dorsal spine very small, but in side view well bounded, fixed at the middle of the cirral, h ='/s of the br of the segment. Opposing spine considerably larger h = !/e—?/s of the br of the segment. Terminal claw pointed, eurved, about as long as the preceding segment. R—s projecting under the margin of Cd. I Br 1 h — !;e br, late- rally free. I Brax h — !/2 br, the lateral sides bent at a slight angle to the preceding ossicle. A well-developed synarthrial tubercle be- tween I Br 1 and 2. II and III Br—s: 2, the later ones on the outer sides. Arms XXVI, broken (probably XXVIII in a complete specimen). Ex. of syzygies: 3 +4, 18 +19, distally with an interval of (6—)9 obli- que articulations. Arms smooth, after Br 9 oblique joints. P, 17; 6 mm., (P, on Br 2 from the ianer.side of a II Brax: 14; 6 mm.), P, 17—18; 9,, mm., P, 16— 18; 7—8 mm. The distal segments of P, and P, very long, L=3 br), in the distal margin serrate. P, lacking, P, = P,. P, usually absent on the inner side after a III Brax. Distal p. + 20; 7 mm. Disk very much incised, smallest diameter 1, largest one 10: mm. Colour: red-violet with yellow longitudinal bands. Distally with yellow and red spots mingled. Example of division of arms and distribution of pinnules: THE CRrNorps FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO Japan 1914. 83 | B 1—2 3+4 5 6 7.. [mme 2 zd TOME [Br 1—2 3445 6 7 E Br 1—2 8+4 5 6 7 | nog eo Scr OUT H 1—2 (Bea 2 3,2 aeque uro | HA Bro sa Sp. 2 (St. 59) Free dorsal pole of Cd 2 mm. C. XXV 25-31; 15-—20 mm. Usually a single dorsal spine from the 16" segment. The middle prominence larger on the proximal segments. R—s projecting in the corners. I Br 1 h=1/4br. The division- series of rather uniform thickness. Arms XVI (possibly two more), bro- ken. II and III Br—s : 2. P, 14—16; 5,5—6 mm. (missing in cases comparable with those in the above-quoted scheme). All the ossicles after Br 3 broken. Disk thrown off. Colour: light brown. Sp. 3 (St. 53) A young specimen, like the following one. €. XIV 9; 2 mm. No dorsal spine, the ends of the cirrals somewhat swol- len. Opposing spine h = !/ of the br of the segment. Terminal claw a little longer than the preceding segment. Cirral 3 and 4 L — 2 br. R—s h=!/ br. I Br 1 h—br. Axillary h —1!/z br, forming a slight synarthrial tubercle with the preceding ossicle. Arms X, 13 mm. P, 10+; 1,5 mm. P,—P, wanting. Disk not incised, 1,5 mm. Sp. 4 (St. 53) C. XVI 9—11, in a single or partly double whorl. Arms XII, 15 mm. +, II Br-s:2. Syzygies with an interval of 4—5 oblique articulations. The segment very much hour-glass- shaped. P, 14; 3,5 mm., P, 13; 2,5 mm. Disk incised, dark-red. The young of this genus seem to have longer proximal brachials (I Br 1 and 2 especially longer) than other young forms I have exa- mined. The cirri in sp. 1 somewhat resemble C. manca and so there might be some doubt whether the two species are distinguishable (Sp. 1 corresponds in all the other characteristics with sp. 2, which is a younger individual of the same type, but with pronounced albopur- 84 M, GISLEN, purea-cirri). Nevertheless certain differences might be given which speak in favour of the preservation of the species albopurpurea. — C. manca in the above-described specimen has 25 cirrals at a cirrus- length of 11 mm; the cirrals are shorter than long; €. albopurpurea does not have the same number of cirrals until a cirrus-length of 15 mm.; the proximal cirrals are longer than broad. Both the species during their evolution show a tendeney towards short cirrals, but reach this stage at different cirrus-lengths. The characteristic dorsal spine of C- albopurpurea (and gracilis) is, in a somewhat similar form, to be found in the above-described young stage, referred with some doubt to C. disciformis. As to the young stages it may be noted that young forms of C, albopurpurea have more than X arms already at an arm-length of about 15 mm., when the brachials are still very juvenile, long, and strongly hour-glass-shaped. The young of C. disciformis even at an arm-length of 25 mm. has X arms and rather smooth brachials, Cyllometra pulchella n. sp. Fig. 135—140. Photo 9. From St. 6 (7), 12 (1), 13 (33), 16 (2), 17 (3) —46 specimens. Sp. 1 (St. 13) Cd thickly diseoidal, the free, flat, dorsal surface ls mm. €. XXIV 25—29; 10--12 mm. in two whorls. 1* —3? segment shorter than broad, 4" about cubical, 5" somewhat longer, the fol- lowing ones L about 1!/s br. Antepenultimate segment a little longer than broad. From about the 7?" segment a slight dorsal transverse carination, at the 12% or 14" segment a little thickened on both sides of the median line, appearing there as two inconspicuous tubercles (visible only by high magnification); from the 15% or 20" segment a single swelling which disappears again on the outermost cirrals. Penul- timate segment about as long as broad, with an opposing spine, h — !3—1/, of the br of the segment. Terminal claw pointed, curved, 11/2 times as long as the preceding segment, R—s very narrow bands, laterally united in the proximal half. I Br—s 1 laterally free, h — !/s—!/4 X br. I Brax pentagonal, h — ?/s br, forms vid I Br 1 a small synarthrial prominence with an indis- THE CRINOIDS FROM DR. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914 85 tinctly limited tubercle, not at all or only slightly prominent in lateral view. Br 1 and 2 with a similar though still smaller prominence. Br--s inwardly united basally: Ex. of syzygies: 3 + 4, 9 + 10, 14 +15 ete. with an interval of 3 (exceptionally only 2) oblique articulations. Arms X, 40—45 mm. First 10 Br— s discoidal, not »wall-sided», then oblique joints. Arms smooth. P, 15—15; 3—5 mm. (The pinnulars smooth, cubical to L = 112 X br), P, 16; 5—6,5 mm., longer and stouter than the preceding pinnule, the middle segments often with small, distal tubercles, P, 12; 3—4 mm. as the following ones smooth: P, 13; of the same length or shorter. P, and the following pinnules again longer. P, absent, P, 14: 45 mm. Distal p-s+ 20; 5 mm. (1° and 2" segments short, 3* cubi- eal, the following pinnulars long and slender, L about — 2 br). Disk incised, smooth, without calcareous granules, 3 mm. — Colour light-brown (in the preserved animal). Sp. 2 (St. 13) Cd knob-formed, free dorsal surface 1,3 mm. Ter- minal claw about as long as the penultimate segment, — Axillary a low hexagon, h = ?/3 br. II Br—s:2. Syzygies with an interval of 2—3 oblique articulations. Br 1—S8 diseoidal. — Distal p—s with a notch between the 2" and 3" segment (a similar condition though not so decided in Sp. 1 too) by which the 2* segment seems to form a small prominence. For further details as in the following specimens cf. the table. Sp. 3 (St. 13) The distal pinnules as above. Sp. 4 and Sp. 5 (St. 13) —. Sp. 6 (St. 13) All the cirri with the exception of a young one, broken. Some arms with widely separated syzygies. Example: Bali 2032,17 Om ah. 3. 20 311 4-28 25,89 dne I En ne [E12 3-482). 23-2428 20 0 st 19007. az sg. 264697 1:99: 94 910591 - nur oo 48.2.9510... 1218. 52357 247%. or I 1—2 | WES Dos NE RENE 15 -- 16... 22 23... AI the other specimens with normal distribution of syzygies. Colour of the specimen : whitish with red spots. 86 T. GISLÉN, Sp. ?, Sp. 8 and Sp. 9 (St. 13) —. Sp. 10 (St. 13) P, in one case present (10 segments); L — 2,2 mm. Sp. 11 (St. 15) P, in one case present — the preceding specimen, Sp. 12 (St. 13) —. Sp. 13—28 (St. 13) P, exceptionally present. P, in rare cases lacking on a Br 2, when this ossicle stands on the inner side of a II Brax. Arms X:7 cases, XI:3 cases, XII: 3 cases, XIII: 1 case, XIV: 1 case, XV : 1 case. Sp. 29—33 (St. 13) not examined. Sp. 34 (St. 6) The free dorsal surface of Cd 2 mm. Syzygies with an interval of 3—4 oblique articulations distally. P, about — P,. Sp. 35 (St. 6) P, 12; 4 mm. Colour, as in most of the preceding specimens, yellowish, with small, sparse, crimson spots here and there. Disk thrown off. Sp. 36 and 37 (St. 6) Syzygies with an interval of 3 oblique articulations. Colour as in Sp. 35. Sp 38 (St. 6) In arms situated on II Brax ex. of syzygies: 3 +4, 13 +14, 18+ 19... ete, with an interval of only two oblique articula- tions. The proximal pinnules on the distal side slightly carinated. Disk thrown off. Colour (as in Sp. 59—43) more uniformly yellowish (in formol-spirit). Sp. 39 (St. 6) Syzygies with an interval of 3—4 oblique artic- ulations. Sp. 40 (St. 6) Syzygies with an interval of 2—3 oblique arti- culations. The segments are rather long, juvenile. P, relatively small. Sp. 41 (St. 12) Cirri in a single or double whorl. R—s broad bands. I Br 1 h=!/ br. No synarthrial tubercle. Sp. 42 and Sp. 43 (St. 16) R—s appearing as narrow bands. Sp. 44 (St. 17) Disk 4 mm. Colour as in the preceding speci- mens tigered (white, with small, rather sparse violet spots). Sp. 45 and Sp. 46 (St. 17) Arms X, 28 and 32 mm. respectively. A comparison of the number of arms shows the following distri- bution: X arms: 15 cases, XI: 8 cases, XII: 10 cases, XIII: 5 cases, XIV: 1 case, XV: 2 cases. Here, as in Astererometra anthus, one ean observe the condition that it is not always the largest specimens that 2 [o] e = = = — | - | = e er |—|— | s‘¥ Ar die Wey GE | X | 8-2 [6506 QG) WAX (LT 19) vy “ds | Eve peter etian AE e | 6 |*cOr| v | er Feel of | oe |x| s—z ec—oz TAXX (or 9er ds AY ain 6181 See TT TC Prien] Su El ce RSS (0) ST | IX |61—8 T6—8I!| XX — (9r13S)ey de. = UE E rc Or TON iE MEC E RO Eee (GT 4S) 19 “ds | E Seer *| = = 6 6 |*6/6-| UN SE AC OS Se eX ure ol (D IS Oy, ds) & G I6 | #5 OT DICES ON USE RTC ECTS te or | or | x | 6—2 66—8I|AIXX (9 19) 6g “dg | a NS Ms pis ck: | "6 | eI COE DIS CN MCI SO Eme RSC RTS 08 PUT SOS (66—61 MAXX (9 1S) 8e ds | E 4 Sr. sg WESS 28 near en rc DINE En SC TITRE dc CSS Nee IPTE Poss DAKO (Ge Te) Oden E s'y SL | 8% OT 2G ks PAS} © e ell aa IT | 8% |X jol—8 |£6—61| XIXX |(9 38) 9¢-ds = ?G |06 + [SA tie lo OM T GI |9G TT sic EIE es Eoo CT RECTA EXAM (ITE OT GO ol AXX (ORIS) Ge de E NS Te Mete te rales DL DE cd EC E CE MOT cre 602 er (OS) ER US = a Wd ue el Ec ET ES EU SECO ee al ooa EXE Ges Ln icon OGWAIKx (ETS) op ds „m“ == = == = 3G DE em LOT TN FPS a | EG ON TIS SSR CMS ti S s = eta OI eg ET SD er XE EL 07 RTL CT 61 TX XX. (GT 28) 0108. © G 8I L'G £I € $I SG) GI e fe TAN ES Se St OY TIG 6—4 £6—81 AXX |(8115)6 ‘ds ea q LV LES eI os I za VM ES ON p STI GE | IX | 6—8 |£6—09 AIXX (er 38) 8 ‘ds| oj q 9t "6 | el T Gr VANS Sh ec tud ea te cou SE | IX |I1—9 96—8! MAXX (eT 19) £. "ds | E pec le — = c IT |*—e|eI 7. cea EA I at OTI NO) ET LG |IIAXX (ET 19)9 “ds | a 2% (ST +| s'6 M RECON 7 un UCM Eo SK cus 18106 ET HINASCX (ETATS NES 5 a eem x T gr |#G|9r 9 RL AE A Gy |IIX| 6 |66—16| AIXX (er 18)7 ‘ds 6 sq Ie or AN "6 LS ete TS ER eese ate IT OF | IX | 6 + |66—61I|IIAXX (eT IS)E ‘ds = Se CR P ER Rec A EHE OAS A eee tS) esl e ERE OF | IX 0I—8 Tv6—06|IAXX (ET IS) ds. 2 SRE FB AN SK ze ae ar ine OK GRE Bee OM X IGI— 01/66 —96| AIXX (eL 1S) T. ‘ds A | o fru — a Bl S 7 S T SCH PROBES 4l SEEK S ai N 7 S N SUIS = ES - ed — = ———M———— puesuawnads S 'd jejstq "al ECT "ld ST Td SULLY Taaın Jo 1equimw a ^ = — — — = = — = Ei E Fig. 64, 65. Cyllemetra albopurpurea 64) Large cirrus (St. 59) 7/1, 65) Cirrus from a young — — specimen (St. 53 Sp. 4) Wı; 66, 67 Cyllometra manca (St. 19) 66) Distal pinnule 1, 67) Cirrus ‘A; : THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 89 have the most arms, but rather the reverse. It is probable, as I have suggested when treating the above-mentioned species, that the question of catching the food plays a certain rôle, but possibly (though not very likely, eosidering that I have often seen »duplicative» regenerates situated on Br 1, but never a single arm regenerated from the same ossicle) one might also connect the phenomenon with the fact that the family Colobometridæ strongly tends to a X-armed type and that this is reached only after a transition stage with more than X arms. By the small transverse carination (on some segments replaced by a pair of microscopic tubercles) on the proximal eirrals the new species proves itself to be a form of an Oligophreat type, though other- wise it presents much that reminds us of certain Perometrins (the rela- tively large size of the centrodorsal cavity and the position of the rosette, which only radially forms »spout-like» processes). The new species approaches most to C. manca, from which it differs by a smaller and less discoidal Cd, by longer cirrals, which have only inconspicuous carinations, by the absence of III Br—s, by the short interval between the syzygies, and by P, being almost smooth. The species is an interesting form, showing a strong tendency of convergence towards the Macrophreat type. 68, 69 Cyllometra disciformis (St. 85) 68) Arm-stump with a genital pinnule /1, 69) Cirrus ?/1; 10, 71 Tropiometra encrinus (St. 45), 70) Cirrus %/1, 71) Distal pinnule %/1; 72, 73 Pectinometra flavopur- purea 72) P, A, 73) Distal pinnule (4—5 pairs of Sacculi per segment) "4/1; 74) Cenometra bella Cirrus 1: 75. 76 Neometra multicolor (St. 12), 75 a) Distal pinnule (the tip broken) */1, b) The tip of the pinnule from another specimen (in Dr Morrexsen’s collection) #1, 76) P, 145: 77, 78 Crosso- metra septentrionalis (St. 36), 77) Pr (the 7 last segments broken) '*/1, 78) Distal pinnule 14/1; 79—83 Diodontometra Bocki (St. 56) 79 a) The penultimate segment viewed from the proximal end, b) The same segment viewed from the distal end, X 17 !/2, 80) P, '*A, 81) Cd with the cirri arranged in radial groups (observe the distal face of I Br 1) “1, 82) Genital pinnule 1, 83) Distal pinnule Ne a Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. */s 1922. 12 90 T. GisLÉN, Tropiometridæ A, H. Cranx. Tropiometra A. H. Cranx. Tr. afra var. macrodiscus (lana). Syn.: Antedon macrodiscus 1895 Hara Zool. Mag. Tokyo Vol. 7, p. 115. Tropiometra macrodiscus 1907 A. Hl. Crank Smiths. Mise. Coll. Vol. 50, p. 349; 1908 IH. L. Crark Bull. Mus. Comp. Zool, Vol. 51 (N:o 11), p. 279; 1912 A. H. Crarx Smiths. Mise. Coll. Vol. 60, N:o 10, p. 28; 1915 Journ. Acad. Sci. Vol. 5, p. 214; Monograph pp. 52, 54, 275; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 131. Tropiometra afra (part) 1908 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 315; 1912 Crin. Ind. Oc., p. 176. From St, 2729 specimens. Sp. 1 (St. 27) Cd diseoidal, flat dorsal surface with slight radi- ating swellings, 10 mm. C. XLIII 36—39, + 40 mm. in two whorls. The segments are uniform, cubical or somewhat (L="/2— ?/s br) shorter. No dorsal spine. Terminal claw a little longer than the penultimate segment. Cirri coarse. Ventral cirri shortest and with a less number of seg- ments, R—s somewhat projecting in the corners. I Br 1 h=!/s br, laterally grown together as are also the bases of the axillaries. The articulations between the proximal ossicles indistinct. I Br 2 h=1/3 br, pentagonal or almost triangular with a small median tubercle well marked off from I Br 1. The proximal segments flattened, granular, as is often the case in Oligometrides. Arms X, 190—210 mm. Br I united inside in pairs, their br 5,5 mm. Br 1 and 2 on the outer side twice as long. All the distal segments short, discoidal. Ex. of syzy- gies: 3 -4, 8-9, 13 14 90-1-91, 39 4-40, 507.51 or 3 1 4,9720 15 + 16, 28 + 29, 41 + 42, 51 +52... Distally with an interval of about 8 oblique articulations. The L of the segments = !/« br. 14 segments per em. (12, if the syzygial pairs are counted as units). P, 25-27; 20 mm., P, 34; 26 mm. (L. of the segments = 1!/2 br). P,—P,, slowly decreasing, larger and coarser than the following pin- nules. Ambulacral furrow does not appear until P,(—P,,) (with the exception of on an arm shorter than the other ones). Distal p. + 35; 15 THE CRINOIDS FROM Dr. S. BocK's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 91 mm, (3—5 last segments with weak dorsal hooks, the other segments DL = 11/2 — 2. br). Disk 22 mm. Mouth subcentral. Anal cone 5 mm, Colour: dark chocolate violet. Sp. 2 (St. 27) P,—P,, without ambulacral furrow, For further details see the table. Sp. 3 (St. 27) P,—P,, without ambulacral furrow, Sp. 4 (St. 27) P, 28; 22 mm. P,—P, or P, without ambulacral furrow. Example of distribution of syzygies: 3 +4, 9 + 10, 18 + 19, 28+ 29, 36 + 37, 42 + 48, 48 + 40, 54 + 55, 59 + 60, 69 + 70, 77 +78, 283.99 + 100. . Sp. à (St. 27) P,—P, or P, without ambulacral furrow, Disk 26 mm. Sp. 6 (St. 27) P, 33, 23 mm. P,—P,, or P,, without ambulacral furrow. Disk 25 mm. Number of | Cirri | Length P, P; | Dist. p. Diam. of specimen | N E RU of arms M RS L SN RU OE | | | | Sp: I XLII |26—39| + 40 190—210 25-27 | DAO) || Bx I) Gh ae 35, 15 |10 mm. Spee XXX 34— 40/30 —50/150—180, + 30 | WO} sg) RES Où a |) Sp. 3 | XLV 34—38,39—42/1130.-950| 34 | 26 | 49 | 30 |40-45 16-187 Sp. A |XXXVI 37—40135—49| — 24-98 94 | 33 | 97 |+35| 15 |7 Sp. 9 XXXII|36 —4130—40|1120— 180 34 ONE 21 35 14 |9 Sp. 6 XXXIV |38—40, + 40 150—220, 26 | NS SO) 28) 33 LG Sp. 7 | L /|33—3835—45|180—9240| 35 | 23 05) se 37-40} 18 |7 Sp. 8 XLIII |28 — 40 30 — 50 245 — 265 33-42 25-30 + 3525-30 36 a} |) Sp. 9 XXXVII28—39/38—45/190—9215| 27 | 18 |+30| 21 32 18 | 7,5 Sp. 7 (St. 27) P, 38; 30 mm. P,—P, or P,, without ambulacral furrow. Sp. 8 (St. 27) Diameter of Cd 12 mm. Some cirri with a slight opposing spine. In the pharynx a couple of very large Myzostomas, P,—P, without ambulacral furrow, Disk 29 mm. Sp. 9 (St. 27) P,—P,(—P,,) without ambulaeral furrow, Disk 241 mm. The relative size of the proximal pinnules is very variable. P, is, however, always more slender because of the lack of a gonad. Tropimetra afra macrodiscus differs according to A. H. CLARK from Tr. afra by the presence of longer and coarser cirri which have more cirrals, This difference is also to be found in those that 92 T. GisrÉN, were brought home by the Bockian expedition. Nevertheless I cannot consider that a form that only differs in a characteristic of such a low systematic value as this is to be counted as more than a variety. Besides one must bear in mind that Tr. macrodiscus is only known from Sagami Bay, while Tr. afra is known from the coasts of Africa, Australia and New Guinea, "Therefore itis very probable that transi- tion forms may be brought home from the intervening territory. Com- pare also A. H. CLARK's own descriptions of specimens from Sagami (Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 315), which are not very different from Tr. afra. Accordingly I am of the opinion that the differences of Tr. macrodiscus certainly cannot be given more than the value of those of a variety. Tropiometra encrinus (LürkEN). Eig 705 11: For the older synonymy see 1912 A. H. Cramx Crin. Ind. Oc. p. 177 pro parte (only specimens east of India belonging to this species). Tropiometra encrinus 1911 A. H. Crank Austral. Mus. Mem. Vol. 4, part 15, p. 780; (?) Fauna Süd-West Austr. Bd 3, Lief. 13, p. 440; 1912 Rec. Ind. Mus. Vol. 7, p. 270, (2) Smiths. Mise. Coll. Vol. 60: 10; p. 29; 1913 Proc- U. S- Nat: Mus. Vol. 43, p. 402; 1914 A. Retcuenspercer Crin. Aru u. Kei-Inseln, Senckenbg. Vol. 35, p. 106; 1915 A. H. Crark Monograph pp.; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, [is alayılz j From St. 45: 1 specimen. Sp. 1 Cd flattened, free dorsal pole 2 mm., with indistinet sears after fallen cirri, — C. XX 25—29 (one cirrus regenerated from the [1 segment), 18—24 mm. in two whorls. Cirrals uniform L= 1/2 — (distally) ?/s br, antepenultimate segment L= br. Opposing spine an in- distinct prominence. Terminal claw L= 11/2 X the preceding segment, curved, pointed. R—s h=!/sbr, broadest in the corners. I Br 1 h = !/s br, laterally free. Axillary triangular h 2 !/ br. Arms X, 105 mm. Br 1: br 2,7 mm., united inside in pairs to '/s of their height, on the outside twice as long like Br 2. Example of syzygies: 3 4-4, 8+9 (or 9 + 10), 16+ 17, distally with an interval of 5 to 9 oblique articulations. The brachials distally somewhat overlapping, giving the distal parts of the arms a somewhat serrate profile. The proximal arm-parts smooth, a little THE CRINOIDS FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914, 93 flattened. I Brachials laterally with a sharp edge, never a medio- dorsal earination. 15 segments per em. (12—13, if the syzygial pairs are counted as units). P, 24—25; 12,5 mm. smooth, 2°—4™ segment with a slight keel on the side which faces the distal parts of the arms, P, similar, P, 25, 12 mm. P, 21; 11 mm. P, 23; 8 mm. P,—P, without ambulacral fur- rows, larger and eoarser than the other pinnules, with gonads. Never- theless not so marked as in Tr. afra macrodiscus, Distal p. + 30; 14 mm. (1* to 2* or 3* segment short, then L - 1'|2 —2 X br). Disk 13 mm. Colour: red-violet. I have kept this Tr. encrinus as a species, though it is obvious that intermediate forms are to be found in territories between the re- gion of distribution of Tr. carinata and that of Tr. encrinus. According to A. H. CLARK (Siboga Exp. Vol. 42 B) Tr. encrinus is said to be restricted to the territories east of India, Tr. carinata to occur west of this peninsula. In Crinoids of the Indian Ocean (1912) he is not of the same opi- nion. In this work he certainly separates Tr. carinata from encrinus, but of Tr. encrinus he says that it appears to the westward to Aden, the Red Sea ete. About the cirrals he states that: »the outer seg- ments are about twice as broad as long as in Tr. carinata». In the Siboga work he distinguishes the species by the distal cirrals, which in the former species are »much less than twice as broad as long» in Tr. carinata: »more than twice as broad as long». It may be ques- tioned which distinguishing feature he used in 1912 to keep the two species separate. REICHENSPERGER (1914 p. 107) states that specimens from Ceylon that he has examined present some variations in the relation between L and br of the cirrals. In a table he has given the cirrus-length and the number of cirrals of the different specimens, but his assertion that one »aus einem Vergleich der Gliederzahlreihe mit der Cirren- länge ohne weiteres einsieht» that the relation between L and br of the cirrals varies is not, however, quite correct. The proportions bet- ween L and br might have been the same even if the number of cir- eals and length of cirri has varied, for the coaseness of the cirrus is also subject to variability. REICHENSPERGER's second criterion of the identity ot the two spe- cies (that P. H. CARPENTER has described a young specimen from Bahia 94 T. GISLÉN, with longer cirrals) shows nothing, for, as is well known, all young Crinoids have longer cirrals, As a general opinion one may say that the difference given by CLARK 1918 seems to be the only distinguish- ing feature, but that it is probable that the difference is only a func- tion of different geographical and ecological factors. Here, as always, one has, however, also to keep in mind the probability of hybridisa- tion between two separate forms, which would give intermediate forms in the transition territory, Such intermediate forms are, according to REICHENSPERGER, found at Ceylon, but whether they are caused by geographical factors or by hybridisation cannot yet be determined. Calometridæ A. H. CLARK. Neometra A. H. CLARK. N. multicolor A. H. Crank. Fig. 75, 76. Syn.: Antedon discoidea (part) 1906 Mc CLexpox Bull. Amer. Mus. Vol. 22, pp. 120, 125, 126 according to A. H. Cranx. Antedon multicolor 1907 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 33, p. 130. Antedon thetis 1907 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 33, p. 151. Calometra multicolor 1907 A. H. Crank Smiths. Mise. Coll. Vol. 50, p. 963. Neometra multicolor 1912 A. H. Crank Crin. Ind. Oc. p. 183; Smiths. Mise. Coll. Vol. 60: 10, p. 29; 1915 Monograph pp. 67, 329, 363; Wash. Journ. Acad. Sci. Vol. 5, p. 214; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 133. From St. 12 - 2 young specimens, Sp. 1 (St. 12) Cd slightly arched, dorsally flattened, 1.5 mm., C. XII 27—30; 11 mm. in a thin whorl. 1* segment short, 2° cubical, 3* a little longer, 4" and the following ones L= 11/2 br, distally shorter. The distal parts of the cirrals from the 5" segment somewhat collar- shaped and bent outwards. Dorsal spine single, from about the 15" segment, Opposing spine h = !/2 of the br of the segment. Terminal claw eurved, shorter than the penultimate segment. R—s h-!/4 br, IR prolonged to tips which separate I Br 1 late- rally. I Br 1 h="/3 br, widely spread out from each other, provided with slight lateral prominences and an inconspieuous medio-dorsal list |DI"———————— — — EI THE ÜRINOIDS FROM Dm. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914, 95 (as is also the case in the preceding and following ossicleJ. Between I Br 1 and 2 a close articulation, Axillary h = ?/4 br, without a late- ral flange. II Br—s: 2. Arms XII, 50 mm. Primipostaxillaries basally united inside. Br 2 on the outside twice as broad than on the inside. Ex. of syzygies: 3+ 4, 12513, 17 IST 21 +22.. ete. with an interval of 3 to + oblique articulations. P, 19; 4,5 mm. (the 2 first segments strongly enlarged. 1° seg- ment h=1'/s br with a wing which is broader than the br of the seg- ment, 2" segment h="/2 br with a smaller wing, the following seg- ments slender h = 1'/2 br, rather smooth, though angular). P, 17; 7 mm. eoarser than P, (1* and 2" segments as in P, but more slightly alated, 3! and the following segments L=3 — 4 X br, distal segments shorter, with small distal, spiny whorls). P, 10; 5 mm. (only the 15 segment with a wing) A wing on the I" segment more and more inconspi- euous out to P,, or P,4. Distal p. 15; 7 mm. (1* and 2* segment a little enlarged L2!/2 — !ıı br, 3" and following segments L= 2 — 2!/2 br. Last 4 segments shorter and more delicate, with distal, spiny whorls). Disk thrown off. Ectoparasitical Eulima. Sp. 2 (St. 12) C. X 28—31, +11 mm. A dorsal spine from the 12" segment. The R—s IR projecting. The carination on I Br 1 and 2 very slight and indistinct. Arms X, 32 mm. Syzygies: 3 +4, 9 +10, 13+14 etc. with an interval of 3 oblique articulations. Eee oam. cb 142: 6 mm... D,.19;:4.7 mm.-? Distal p^ 19:05 6 mm. Disk thrown off. — The specimen sticking to an Acanthogorgia Dofleni KüKkTH. & Gonz. The description evidently corresponds on the whole to A. H. CLARE's description of Antedon thetis which is a young form of N. multi- color. A characteristic in which specimen 1 differs from both the CLARKIAN descriptions, is a slight medio-dorsal carination of the radials and the I Br series. Possibly the original Clarkian opinion that Calometra and Neo- metra ought to be united in one genus is the right one. The diffe- rence between the two genera, namely that P, and P, in Calometra are about as long as the following pinnules, in Neometra considerably longer, scarcely holds good (see the comparison given below). 96 T. GISLÉN, P, P, P, P, À Ppist, C. callista 5 mm. 6—7 mm. slightly decreasing — — N. (C.) diana 10 mm, 13—15 mm. 17 mm. — — N. siboge 11—12 mm. 11—12 mm. 15 mm. 11 mm. — N alecto 7 mm. 10 mm. 12 mm. 10 mm. = N. multicolor — much longer than usually conside- — P, very variable, rably smaller usually twice N. spinosissima 10 mm. a little longer 20 mm. similar = My specimen 1 of N. mult. 4,5 mm. 7 mm. 5 mm. == 7mm. When one takes into consideration that the length of P, in N. multicolor, as stated by CLARK, is very variable, I cannot think that the above quoted characteristic can be a genus-separating one. It may be true and applicable to full-grown individuals that the arms are X—XI in Calometra but XVI—XL in Neometra but this characteristie alone is hardly of genus-separating value. The other distinguishing marks whieh are given in the diagnosis of the two genera are (with the ex- ception of the one cited below) common to both of them. Calometra diana seems to be an interesting intermediate link between Calometra and Neometra. In one characteristic, however, both the genera seem to be separated and for the present I have not brought them together. The R—s are of different formation. In C. callista the interradial processes from R characteristic of Neometra are lacking and I Br-s 1 are there- fore in lateral opposition. Judging from the figure given by CARPENTER (Chall. Exp.) the R—s in C. discoidea also seem to have a similar for- mation, though an evident approach to the Neometra type may be tra- ced (cf. A. H. CLark Smiths. Misc. Coll. Vol. 61: 15, p. 42). It is, however, also to be noted that other Calometrid genera (e. g. Pectino- metra) often have an interradial prominence on the R —s. —— -1 THE ÜRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 9 Pectinometra A. H. Cranx. P. flavopurpurea A. H. CLARK. Big 122 78. Syn.: Antedon discoidea (part) 1906 Mc Crenpon Bull. Amer. Mus. Vol, 22, pp. 120, 125, 126 according to A. H. Cranx. Antedon flavopurpurea 1907 A. H. Crank Proc. U.S. Nat. Mus. Vol. 33, p. 134. Calometra flavopurpurea 1907 A. H. Crank. Smiths. Misc. Coll. Vol. 50, p. 363. Pectinometra flavopurpurea 1912 A. H. Crank Crin. Ind. Oc., p. 188; 1915 Wash. Journ. Acad. Sci. Vol. 5, p. 215; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 138. From St. 54 (5 sp.), 35 (1), 36 (1) 2 7 specimens. Sp. 1 (St. 36) Cd flattened, 2,2 mm., free dorsal pole 1,5 mm. C. XIX 21—24 (D) 25—27 (V), 9—12 mm. in two whorls, arranged in 10 rows. 4" segment a little longer than broad, 5% and 6” longest, L = 11/4 br, then shorter again, distally L = !; br. From the 7" segment a dorsal spine, compressed from the sides and therefore crista-shaped, distally shortened to a spine. Opposing spine similar to the prece- ding ones, h=!/3 of the br of the segment. Terminal claw shorter than the penultimate segment. R—s with a pointed interradial prominence which separates I Br-s 1. These ossicles with a medio-dorsal, slightly two-topped crista and small lateral prominences which meet above the radial processes. I Br ! h=!sbr. I Br 2 h=1/2 br, in the proximal half a crista continuing this one on I Br 1. II Br-s: 2. Arms XVIII, 50 mm. II Br 1 basally con- tiguous inside, with a lateral process on the proximal outer margin. A similar though indistinct one on Br 1. II Br 1—2 with an indistinet synartrial prominence. Br 2 twice as narrow on the inside, thickened on the outside to receive P,. Example of division of arms and distri- bution of syzygies: (Br 1—2 3--4...13-- 14.. 19 + 20..95 + 26, RER ea aoe is 18 E39. 59801597 7: | Br 1-2 SENSE) 172519 9099: :95 E9019 9 398893 5 I 1—2 I ES The segments not overlapping, distally somewhat longer than broad. Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. !5/s 1922. 13 98 T. GISLÉN, P, 13; + 4 mm. (much more slender than the following p. Two first segments with wing-like processes, 1" segment br 23h, 21 one br 22! h, 3° segment about cubical. Distal segments slender, longer than broad), P, 10; 4,2 mm. P, 9; 3,7 mm. P, 9; 3,8 mm. with still more insignificant wings. Distal p. 15—16; 6,5 mm, (1* and 2° segments short and somewhat swollen, last 3 slender with distal spiny whorls, The other segments smooth, L=3 — 4 X br). Disk thrown off. Colour (in spirit) yellow-brown, cirri with white and red-grey bands alternating. Two Myzostomas on the pinnules. Sp. 2 (St. 35) Cd 3 mm, free dorsal pole 2, mm. C. XX 25—30; 14—18 mm. arranged in 5 interradial groups, separated by radial inter- spaces. R—s not very much IR prolonged. Arms XVII, 65 mm. II Br-s: 2. Dr segments about 100. The bases of the arms bent outwards from Cd at almost a right angle. Syzygies with an interval of 4—6(—11) oblique articulations. The segments slightly overlapping and serrate. P, 14—15; 4—5, mm. (3* segment h = 1!/2 br), P, 14; 6,8—7 mm. (4^ —10'^ segment L=2— 21/2 br), P, 13; 6,5 mm. coarser than the two preceding ones, P, 9+; 47 mm. A wing on the first two seg- ments out to P,. Distal p. 15—17; 7,5—8 mm. The pinnules are stiff. Disk 5 mm. with close ealeareous granules. Anal cone 2 mm. narrow, with coarse calcareous granules. Colour: arms with yellow and violet bands alternating (= all the following specimens), cirri as in Sp. 1. Sp. 3 (St. 34) Cd 2,3 mm., free dorsal part 1,5 mm. C. XX 22—31; 9—17 mm., indistinetly separated in groups. R—s with small interradial prominences. ‘Arms XVIII (+ 12), 75 mm. P, 18; 5,5 mm. P, 19; 8 mm., P, 17; 8,5 mm., P, 15; 8 mm. Distal p. 15-—16; 9—9,5 mm. Sp. 4 (St. 34) Cd 3,2 mm., free dorsal pole 2,5 mm. C. XXIII 29—33; 14—18 mm. Arms + XX, 85 mm. R—s not very much IR prolonged. I Br-s 1 contiguous basally. Syzygies with an interval of (6—)11— 14 oblique articulations. — P, 19 segments, P, 21; 9,5 mm. P,, 13; 62 mm. Distal p. 15; 9—9,5 mm. Sp. 5 (St. 34) Cd 4 mm., bare pole 3 mm. €. XXII 27—37; I7—24 mm. The cirrus-groups IR well separated. I Brax almost without median tubercle, h=*/2 br. Arms = XX P, 227 nm Disk coarsely granulated, strongly incised, largest diameter S mm., smallest 4 mm, THE ÜRINOIDS FROM De. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 99 Sp. 6 (St. 34) C. XXII 25—31; 14—20 mm. Arms + XX, 90 mm. Br-segments about 130, from about Br 100 a slight median carination. Syzygies.with an interval of 4—10 oblique articulations. — P, 18; 5,5 mm P. 17:95 mm, P, 16—17; 8,5—9 mm., P, 16; 9,5 mm., P; 13; 6 mm. Distal p. 17; 9—10 mm. — Disk regenerating, 3,5 to 7 mm. in diameter, Sp. 7 (St. 34) The dorsal, free surface of Cd 2 mm. C. XIX 25—35; 14—18 mm. Arms + XVI, 45 mm. — P, 15; 4,5 mm. P, 17; 7 mm. Distal p. 14; 85 mm. P, small 3,5—4 mm. P, and P, 17, + 9 mm, Disk regenerating. i The interradial prominences of the R—s most distinct on the youngest specimens, then the I Br-s 1 increase more rapidly and come in lateral apposition. In the largest specimens I Brax is almost rhombic with variable carination. The wing-like prominences on the 1% and 2" segments of the promimal pinnules are in Sp. 6 distinct out to about P,, but still noticeable on the distal pinnules, Thalassometridæ A. H. CLARK. Pterometra A. H. Crank. Pt. trichopoda A. H. CLARK. Eig. 101, 102. Syn. Ptilometra trichopoda 1908 A. H. Crank Wash. Smiths. Mise. Coll. Vol. 52, p. 224. Pterometra trichopoda 1911 A. H. Crark Wash. Proc. U. S. Nat. Mus. Vol 39, p. 545; 1912 Crin. Ind. Oc., p. 190; 1915 Monograph, p. 81; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 145. From St. 75 (1 sp.), 48 (1), 59 (3) 2 5 specimens. Sp. 1 (St. 45) Cd h = 2 mm., br = 2 mm. with 5 radially arranged warts on the dorsal cone. C. XXIV 67 (D)—75 (V), 38—44 mm. arranged in 10 rows, 2 rows in every radius, and 2 or 3 cirri in every row. 4" segment cubical, 5% to about 20" L = 1!/2 br, then shorter segments again. Distal 100 T. GISLÉN. segments L — !» br with a strong dorsal spine (h = !/4—!/s of the br of the segment) from the 30" or the 40" segment. 5'"—12' with a large ventral spine in the distal margins of the segments. The ventral spine curved and projecting over a part of the following seg- ment, L — /s of the br of the cirral, Terminal claw about as long as the preceding segment. B—s projecting in the corners. R—s h = !;s br with a medio- dorsal tubercle, sharply set off on the ossicle. I Br 1 h = !/4 br, later- ally contiguous in the basal parts, with a longitudinal crista. I Br 2 h = !/3 br with a similar crista on the proximal ?/s of the ossicle. A similar prominence also on the II Br—s and on Br 1—2. II Br—s: 2. Arms XX, 60 mm. Br 1—9 discoidal, then oblique joints. Distal seg- ments (from about the 40 segment) provided with a slight dorsal spine as in an Asteromeira-species. Ex. of syzygies: 9 +4, 16 + 17, 23-1. 22. 90/7 49 b eto: Pi 11, 435 mm. P,106; S8 mm. 'P,.11; 85mm; P, 12; 9 mun (ieee ment L — !/ br, 2* about cubical, 3* and the following ones L = I 1/2 —2 X br, prismatic, smooth). Distal p. 18; 10 mm. (the last 6 seg- ments more delicate, slightly collar-shaped). — Disk thrown off. Colour (in spirit): arms and p—s white-grey. Cirri violet. Sp. 2 (St. 48). €. XV 64—70; 35-—44 mm. Arms XIV, 50 mm. II Br—s: 2. P4 8: 42 mm. (Pe 11055572 mm: = P50: $558 mm. Sp. 9 (St. 59) C. XVI 61—68; 30—35 mm. A dorsal spine from the 22'(—26'") segment; the ventral spine from the 4"—the 10" (or 12) one. R—s h = le br, I Brax h = ![z br. Arms XIV +, broken. — P, 7-+, 3, mm. Disk 6,5 mm. with calcareous granules. — Differing from Sp. I by the lower and dorsally smooth Cd. A younger spe- cimen. Sp. 4 (St. 59) Cd h 23 mm, dorsally as in Sp. 1. ©. XX 66—84; 30—48 mm. The ventral spine from the 4" to the 13" seg- ment, — Primipostaxillaries basally contiguous inside. I Br 1 and II Br I with the proximal borders somewhat bent outwards on both sides of the median line. In the latter ease (II Br 1) this condition only on the outside. Arms XX, broken. II Br—s: 2. Syzygies with an in- terval of 6—7 oblique articulations. The Br—s with a blunt dorsal I EE THE CRrNOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 101 spine from about the 15" segment. P, 104,5 mm. Disk 10 mm., thrown off. Sp. 5 (St. 59) Cd h=1,5 mm., with 5 indistinct, radial tuber- cles, and a slight central prominence. — C. XV 68—75; 32—37 mm. The ventral spine from the 4"—10*' segment, Dorsal spine from the 200—935. Arms XVII, broken. II Br—s:2. P, 9; 4 mm. Disk very much incised and granulated. Longest diameter 6, shortest 3 mm. The proximal parts of thé animals narrow; the arms after about Br 8 strongly bent outwards. Differ from the original specimen chiefly by having fewer arms and a somewhat smaller size. Asterometra A. I. Crank. A. macropoda A. H. CLARK. Fig. 99, 100. Syn: Antedon macropoda 1907 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 33, p. 136. Ptilometra maeropoda 1908 A. H. Crark Wash. Smiths. Mise. Coll. Vol. 50, p. 359. Asterometra macropoda 1908 A. H. Crank. Bull. Mus. Comp. Zool. Vol. 51, p. 245; 1912 Crin. Ind. Oc. p. 193; 1915 Monograph pp. 155, 235 etc; Wash. Journ. Acad, Sei. Vol. 5, p. 215; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 141. From St. 12 = 2 specimens. Sp. 1 (St. 12) Cd: br = 3 mm., visible h — 2 mm. 5 dorsal, close, radial tubercles arranged round a small, central cavity. — €. XVI 55—75; 45—55 mm. in 5 groups separated by inconspicuous radial interspaces. The 10% to the 25% segments: L = 1 '!/s—1 !/ br. From about the 30% segment L — br, from the 40 L — ?/s br, the distal segments L = !/» br. About the 25 segment the cirrus becomes ser- rate on the dorsal side in lateral profile. The dorsal spine h = !/4 of the br of the segment, on the distal segments smaller. Opposing spine h=!/s of the br of the segment. Terminal claw a little shorter than the penultimate segment. Cirri laterally pressed together. R—s h=!/3 br, with a small tubercle well limited. I Br—s 1 baso-laterally fused, somewhat broader than the R—s, in close synar- thrial articulation with the axillary. No synarthrial prominence. Axil- 102 T. GISLÉN, lary h=!/a br. Arms X, 65 mm. Br—s 1 inside united in pairs to !/s of the h, like Br 2 broader on the outside, The ossicles laterally flattened out to Br 4. After br 10 oblique joints. Syzygies usually 3 +4, 21 +22, 32 +33, 42 + 48 ete. with an interval of 8—10 oblique articulations. In one abnormal ease, however: | Pr ]—2 -9.3-44(5.1- 0), 227 232008 BRE 2 (AB ol oum eM ee 27+28.... After Br 50(—60) a prominent, distally directed, median, dorsal claw which on the outermost segments becomes a strong spine, h = !;s—!/2 of the br of the Br, when viewed in lateral profile. 7—8 of the most distal Br—s with rudimentary pinnules. P, 9—10; +5 mm. (P, 10; 5 mm., a little more slender) coarse and thick with prismatic pinnulars. 1* and 2% segments short, the other ones somewhat longer than broad. P, 8—10; 5 mm., P, similar, Distal p. 16; 6,5 mm. Disk thrown off. Colour (in spirit) white. Sp. 2 (St. 12) €. XV. 85—90; 75—80 mm. A dorsal spine from about the 40™ segment, I Br 1—2 with a slight synarthrial prominence. Each of the two ossicles with a central, inconspicuous, small wart. I Br 2 more- over with 2 low ridges starting from the wart and running proximo- laterally. Arms X, 70 mm. Ex. of syzygies: 3 +4, 9 +10, 13+ 14 19 -1- 20... 7.--or 34, (72-8): MESE 15. 19-1207 20] 200928 EO NEEEER +45,... A dorsal Br spine from about the 50" segment. The rudi- mentary Br—s are 8. P, 18; 55 mm. LIRA 57mm... BP D-6 mm: PMP AS of about the same length. Distal p. 16—20; 7 mm. (l* and 2° seg- ment shorter and a little thicker than the following ones, the L of which is 11/2 X br). The pinnules laterally compressed and therefore with a dorsal rim. — Disk thrown off. The specimens are closely related to A. macropoda, from which they differ by having almost smooth proximal brachials. Sp. 1 is a rather young individual with cirri shorter than the arms. The radial, dorsal tubercles of Cd are, however, well developed and by this it can easily be distinguished from A. anthus. The dorsal spines of the cirri are not so prominent and pointed as in A, anthus (cf. the figures). "mm THE CRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION To JAPAN 1914 103 Asterometra anthus A. H. CLARK. Fig. 92—98, Photo 16. Syn. Antedon longicirra (part) 1893 Bett Journ. Linn. Soc. Vol. 24, p. 339. Antedon anthus 1907 A. H. Crank Proc. U. 8. Nat. Mus. Vol 33, p. 136. Ptilometra anthus 1908 A. H. Crank Smiths Mice Coll. Vol. 50, p. 359. Asterometra anthus 1912 A. H. Crank Crin. Ind. Oc., p. 193; 1915 Wash, Journ. Acad. Sci. Vol. 5, p. 215; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B. p. 141. Asterometra acerba 1909 A. H. Crank Proc. Biol. Soc. Vol. 22, p. 147; 1912 Crin. Ind. Oc, p. 195; 1915 Monograph p. 181; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 141. Asterometra lepida 1908 A. H. Crark Wash. Proc. Biol. Soc. Vol. 21, p. 229; 1909 Videnskabl. Meddelser, Kobenhavn, p. 181; 1912 Crin. Ind. Oc., p. 195; 1915 Wash. Journ. Acad. Sei. Vol: 5 5, p. 215; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 141. From St. 45 (5), 46 (2), 47 (5), 53 (11), 54 (2), 55 (1), 56 (7), 57 (1), 59 (20) = 54 specimens. Sp. 1 (St. 51) Cd pointedly conical, br 3 mm., visible h = 3 mm. Dorsal pole smooth, arched, somewhat hollowed at the top. C. XVII 80—81; 50—55 mm. arranged in rows which are sepa- rated by radial interspaces. 1” and 2" segments short, then increasing to cubical or a little longer (5"— 20" segment), distally decreasing again, from about the 40" segment L = !/ br. Usually the 3"(or 5™)- about the 15" segments have a dorsal crista, which is most marked on the proximal segments. The 157—225" segments are most often more or less smooth, then a dorsal crest appears, which distally be- comes pronounced to dorsal spines. Opposing spine larger than the 5 last segments preceding ones, h = !/ of the br of the segme before the penultimate one have very slight dorsal spines or lack them entirely. Terminal claw short, as long as the preceding segment). R—s h = !/4 br with a tubercle on the medio-dorsal part. I Br 1 baso-laterally united, br = 2 1/2 XL. I Brax low pentagonal, like the pre- ceding ossicle with an indistinct, median, longitudinal erista. II Br—s : 2, similar to the I Br—s. Arms XVI, 65 mm. Primipostaxillaries con- nected basally in pairs. Arms laterally sharply flattened out to about Br 10. Ex. of. syzygies: 3 + 4, 12 1- 13, 22 +23, 30 + 31, 37 738... Be 051314291792, 281.29, 85.1.90, 414-42, 485 49; 55 +56.. in a single case 4+ 5, 13+14... After Br 10 decidedly 104 T. GISLÉN, iriangular segments. The Br—s with a median, dorsal, distally directed spine after the 40%(—50%) segment. The last 10 Br—s with rudimen- tary pinnules, P, 12; 5 mm, (1° segment shorter than long, the following ones L=11/2—2 br, smooth, prismatic), P, 12; 5, mm. P, 12; 6 mm, P,, 15; 8 mm. Distal p. 18; 10 mm. (The L of the segments = 2 br). Disk 8,5 mm. Colour (in spirit) yellow-brown. In life probably flame-coloured (the spirit and still more the formalin in which the fol- lowing specimens are preserved brightly red-coloured). — One arm with an entoparastical gastropode (Siylina?). Sp. 2 (St. 56) Cd br 4 mm., h 4mm. The dorsal cavity slightly developed. No distinct dorsal spine on the cirri before the 20"(or 25") segment (the 6"— 12% segment with a slightly indicated dorsal crista). Syzygies in some cases 1+ 2 3+4.. or 3+4 5+ 6. Example: Ret 10 Br 1—2 844...748 9 4-10... BI 1a Do DT ALG ek Shae sale Sore EE LES Br 1--23-F4..9--10..15-L-10.. 20210028 #20 EE 34 35... 40 + 41... 45 + 46... Bel ase MM 10+ 11...17 2-18... 25 + 26..32 + 33. 38 + 39..43+44..48+49.. Parasitic Stylinas. For further details, as in the following speci- mens, see the table. : Sp. 3 (St. 56) Cd without dorsal cavity. Cirrals with a dorsal crista on most of the ©. from the 45% segment. No gap between this and the dorsal spines, which occur from about the 15" segment. The arms laterally flattened to Br 4. A dorsal spine on the Br—s from about the 60" segment. Last 8 segments with rudimentary p—s. — Parasitic Stylinas. Sp. 4 (St. 56) Cd lower than in the preceding specimen, not conical at the top. H: 1,5 mm., br 2,5 mm. No dorsal cavity. — Cirrals 3—5 with a dorsal spine, then a crista. About the 15" seg- ment smooth cirrals which gradually become dorsal spines distally. — R—s with a slight tubercle. Dorsal spine from the 40% Br. THE ÜRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 105 Sp. 5 (St. 56) Cd and C. as in Sp. 4. R—s with a very high and well marked tubercle. I Br 1 with a trace of a crista. Br—s with a dorsal spine from about the 20" segment. Last 7 segments with rudimentary pinnules. Sp. 6 (St. 56) 3'—5'" cirral with a small dorsal spine; 6—10™ (or 15") segments smooth. R—s with a very small tubercle. Dorsal spine from the 40^ Br. Sp. 7 (St. 56) A rather small specimen. The cirrus-segments longer than in the preceding specimens. 2°—6" cirral with both a ventral and a dorsal crista, 7'—10^(or 12") segments smooth. — R—s with a high RUES I Br—s almost smooth. Example of syzygies: 3 + 4, 14+ 15, 22 +23, 31 23- 32... Dorsal spine from the 35 Br. 2.—4 segment with rudimentary p—s. — Parasitie Stylina. Sp. 8 (St. 59) Cd pointedly conical, h = 3 mm. Cirri with a dorsal spine from Seon aos 15%) segments, after these usually some smooth cirrals. 9%—25 segments longer than broad. All the distal segments with spines. Opposing spine usually not longer than the preceding ones. — R—s h=!/3 br. Arms laterally flattened out to Br 8. Dorsal claw from the 60™ Br. Colour red-brown. Sp. 9 (St. 59) More often than in Sp. 8 weak spines before the opposing spine. R—s: h=!/s br with a dorsal. crista. Dorsal claw from the 50% or 60% Br, h='/s of the br of the segment. The L of the distal pinnulars = 2 !/2 br. Sp. 10 (St. 59) H of Cd 2,5 mm. No dorsal spine before the 20'((—25'^) cirral. From about Br 65 a dorsal claw, h=1'/s of the segment. Sp. 11 (St. 59) R—s: br-2!/2XL. Dorsal claw from about Br 50, the h as in sp. 10. Sp. 12 (St. 59) Cd rather bluntly conical, h - 2 mm. R—s with a very slight dorsal tubercle. The proximal Br—s a little knobby. Dorsal spine from the 50(—60™) Br. The L of distal pinnulars 2 1/2 — 3 X br. Differs by having a somewhat lower and more rounded Cd and a weaker radial tuberele. Sp. 13 (St. 59) H of Cd 3 mm. R—s:h^-!/4 br with a slight dorsal tubercle. Arms broken. 1° syzygy in one case between Br 1 and 2, Fewer pinnulars on P, (8) after II Brax. "Disk 7 mm. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. !*/s 1922. 14 106 T. GISLÉN, Sp. 14 (St. 59) Cd pointedly conical, h=2, mm. The proximal row of prominences on the cirri indistinetly separated from the distal one, R—s h='/s br with a dorsal tubercle, indistinctly limited distally. Dorsal spine from the 50^ Br. P, 10; 6 mm., P, 14; 7,5 mm. The longest segments on the distal p—s at least L23 br. Disk 6 mm. Sp. 15 (St. 59) R—s h='/4 br with a dorsal crista. Dorsal spine from about the 40" Br, P, 11; 6 mm. The L of the distal pinnulars = 21/g—9 ![2 br. Sp. 16 (St. 59) H of Cd 3 mm., bluntly conical. R—s: h « !/5 br with a dorsal tubercle. A dorsal claw from the 60" Br (h = !/s of the br of the segment). P, 15; 8,5 mm. The L of the distal pinnulars 2—2 1/2 br. — Parasitie Stylina. Sp. 17 (St. 59) R—s. h = !/4 br with a dorsal tubercle. Dorsal claw from Br 50. The L of distal pinnulars 2 !/?—3 br. Sp. 18 (St 59). Cd bluntly dome-shaped, h = 4,5 mm. Cirrus- marks arranged in 5 groups; in each group 3—5 C. All the cirri thrown off. R—s h — !/ br. Arms sharply flattened laterally out to Br 4. Dorsal spine from about Br 55. An example of multiplicative regeneration of arms: Il Sp. 19 (St. 59) Cd a pointed cone. R—s: h=1/3 br with a dorsal crista. A dorsal claw from about Br 55. The L of distal pin- nulars 21/2 br. Sp. 20 (St. 59) H of Cd 3,5 mm. R—s h = !/s—!/s br with a dorsal crista. A dorsal spine from Br 55. The L of distal pinnulars 21/2—83 br. Sp. 21 (St. 59). Dorsal Br spine from about the 40 segment, slowly increasing. The L of distal pinnulars 2 1/2 br. Sp. 22 (St. 59) H of Cd 2,5 mm., pointedly conical. R—s h= 1/4 br with a dorsal tubercle. Dorsal Br-spine appearing first about the THE CRINOIDS FROM De. S. BocK's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 107 75" segment, rather low. P, 12; 6,5 mm. The L of distal pinnulars 3 >22 Mr, Sp. 23 (St. 59) R—s h—1/s br with a slight tubercle. Dorsal Br-spine from the 50? segment. The L of distal pinnulars 2 br. Sp. 24 (St. 59) H of Cd 9 mm., cylindrical, dorsally rounded with a small cavity. R--s h—1/6 br with a dorsal crista; a slight carination on 1 Br 1 and 2. Dorsal Br-spine rather weak, from about the 50% segment. The L of distal pinnulars 2 br. — Parasitic Stylinas. Sp. 25 (St. 59) R—s h— !/4 br with a dorsal tubercle. I Br 1 smooth. Arms broken. Sp. 26 (St. 59) Cd a rather low (h—2 mm.), pointed cone. The short dorsal cirri with the 7% —14'" segments slender, L — 2 br. — R—s h—!/s br with a dorsal crista. Dorsal Br-spine from the 50% segment. The L of the distal pinnulars 2—2!/3 br. Disk 7 mm. Sp. 27 (St. 59) H of Cd 3; mm. R—s h=!/s br with a dorsal erista, Dorsal Br-spine from the 50% segment. The L of the distal pinnulars 2—2 !/2 br. Sp. 28 (St 46) Cd: h: 3, br: 3 mm. Most cirri broken or very small, From the 7" eirral a dorsal crista which is gradually trans- formed into a dorsal spine. R—s h— !/2—!/s br with a small dorsal tubercle, B—s IR visible. Dorsal Br-spine from about the 55” seg- ment, strongly eurved, slowly increasing. The L of the distal pinnu- lars 21/2 —3 br. Sp. 29 (St. 46) A young individual. Cd smaller, h —1 mm. Cirri slender, as in the dorsal whorl in older specimens. R—s: h —!/, or */, br with a dorsal longitudinal erista. The arm-bases laterally flattened out to Br 4. Dorsal Br-spine from the 50" segment; because of the shortness of the arms only a small part of the arms spiny. The L of the distal pinnulars 21/2 br. Sp. 30 (St. 53) R—s h—!/s br with a dorsal tubercle. Dorsal Br-claw from the 45" segment. The L of distal pinnulars on the distal pinnules 2 br. Sp. 31 (St. 53) €d with an arched and rounded dorsal pole. The proximal and distal series of prominences on the cirri not distinctly separated. R—s h—'/4 br with a dorsal spine or crista. II Br—s as always:2. A pair of new regenerated arms of somewhat unequal size, 108 T. GISLÉN, Dorsal Br-claw from about the 50" segment P, 10; 7 mm. P, 13; 7,5 mm. The L of distal pinnulars — 2—2!/2 br. Sp. 32 (St. 53) R—s h—1'/3 br with a dorsal crista. Dorsal Br-claw from the 50" segment. The L of distal pinnulars 2 br. Sp. 33 (St. 53) R—s as in the preceding specimen. Dorsal Br- spine from the 50" segment, P, 14; 7 mm. — The L of distal pinnu- lars 2—2!/» br. P, of an arm grown out to a complete new arm. Sp. 34 (St. 53) Cd rather low. Cirri typical. R—s h=!/2 br with a dorsal eristía. A very indistinct carination of I Br 1 and 2 and Br | and 2. Dorsal Br-spine from the 50" segment, rather low but rapidly increasing the last em. The L of the distal pinnulars 21/2 br. Sp. 35 (St. 53) H of Cd 2,5 mm., pointedly conical, R—s h !/s br with a dorsal crista. Dorsal Br-spine from the 50" segment. The arms with S0—90 Br—s. The L of distal pinnulars 2 br. — Para- sitie Stylinas. Sp. 36 (St. 53) Cd as before. Dorsal Br-spine from about the 40" segment. The Br-segments 70— 75. Adolescent or juvenile specimens. Sp. 37 (St. 53) Cirri: 15 segment short, 2? somewhat longer than broad, 34 L — 21/2 br, 4" and 5™-cirral L — 2 br, 6" segment L — 11/2 br; distally widened, 7% and the following ones L— br, with an inconspi- cuous dorsal carination, which is transformed distally into a dorsal spine. Opposing spine h=1"/2 of the br of the segment. Terminal claw about as long as the penultimate segment. B—s especially projecting in the corners, form basally a narrow, continuous ring. R—s h— 1!/2br, with a strong, longitudinal erista in the proximal ?;; R—s laterally contiguous, enclose practically the whole intestinal sac. I Br—s 1 with a medio-dorsal crista, like the axillaries well separated from each other laterally. The entire arm only 19—18 segments. P,—P, usually absent. Sometimes, however, P, and P, deve- loped. Observe the considerable length of the distal pinnules, when compared with the arm. The Br—s, especially Br 8 and 11, appear almost as axillaries because of the relatively great size of the pinnules. Example of pinnulation: eere a | THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION To Japan 1914, 109 , | Br 1—3 87-45 6 7 89 10 +11 12 13 14 15 16 17 |Br 1—2 3--4 56 7 8 9 10-- 11 12 13 Disk concealed, probably with orals; compare for instance sp. 38, 44, 45, 50, 51. Sp. 38 (St. 53) The L of the distal pinnulars —3 br. Rudimen- tary orals. Sp. 39 (St. 53) and 5p. 40 (St. 53) The L of the distal pinnulars on the distal p—s 21/2 br. Sp. 41 (St. 45) L of cirral 5—7— 1!/» br. The L of the distal segments — br. A dorsal spine from cirral 10, — B—s projecting IR as small prominences. R—s h —1'/? br, in lateral apposition, with a strong longitudinal erista, proximally ending in a blunt spine. I Br—s 1: h=!/ br. I Brax h = ?/s br. A slight synarthrial carination. Arms »wall-sided» with small lateral crests out to Br 2. The entire arm with 40 Br—s. A dorsal Br-spine from the 25” segment. The distal pinnulars with small spiny whorls in the distal ends. 3° and 4" pin- nular L — 3 br. Sp. 42 (St. 45) — Sp. 43 (St. 45) —. Sp. 44 (St. 45). The L of the segments of the dorsal cirri 1 1/2 — 2 br. Complete pinnulation. Small ovals, Sp. 45 (St. 45) P, wanting. Orals large and well developed, covering '/3 of the radius of the disk. Sp. 46 (St. 47) R—s:h-—?/s br with a dorsal erista. The L of the distal pinnulars of the distal pinnules 2 br. Sp. 47 (St. 47) R—s h—1!/2 br. An indistinct median crista on I Br 1 and 2. The L of the distal pinnulars — 2 !/2 br. Sp. 48 (St. 47) R—s h —1!/» br. The L of the distal pinnulars 21/2—3 br. Orals resorbed. Sp. 49 (St. 47) R—s: h— br. I Br—s 1 and 2 rather smooth. Sp. 50 (St. 47) R—s: h» br. A crista on I Br 1 and 2 with slight medio-dorsal tubercles. P, sometimes lacking. The L of the distal pinnulars 2!/2 br. Orals thin, but well preserved, Sp. 51 (St. 54) 4" cirral the longest L—3 br. Dorsal spine from the 6™ (— 10%) segment. — R—s h—11/2 br, with a well bor- dered median tubercle. I Br—s I and 2 similar, but with a median keel, h— ?/s and !/1 X br respectively. A slighter keel on Br 1 and 2. 110 T. GISLÉN, I Br 1 and Br 1 with a slight lateral carination. P, lacking. Small orals. Sp. 52 (St. 54) R—s h—br. I Br 1 and 2 with a rather dis- tinct median erista. The L of the distal p—s — 2 br. Sp. 53 (St. 55) 3°—6™ cirral the longest, L — 21}: br. L of the distal segments 1!/ br. A dorsal carination from cirral 9. Oppos- ing spine: h — !/» of the br of the segment. B—s as in Sp. 37. R—s h=1}2 br, with a high carina, IR somewhat extended and projecting as flaps between I Br—s 1. The very last Br-segments with a small dorsal spine. The pinnule-suppor- ting Br-s usually shaped like axillaries. — The first pinnule most often on Br 7 (sometimes also a small P,). An axillary partly supports a long arm on the left, which is 5 mm. long, and provided with a small P, and distal pinnules, and partly a smaller arm on the right, 2 mm., without pinnules. Of the remaining arms too the right ones are usually a little shorter than the left ones. P, 12; 2 mm. Example of pinnu- lation: -l es 1—2. 3-45 6789101112 1-19 149416 R I 1—2 Brae) Be 1 | I 89 10 11 12 13 14 15 Sp. 54 (St. 57) R—s h = br. I Br 1 and 2 rather smooth. P, missing. The L of the distal pinnulars = 2 br. Disk 1, mm. Orals resorbed, A small intumescense for a parasitic Séylina. Generally the radial crista is more distinct on the R—s in younger specimens since the R—s are longer then. With increasing age the R—s are more and more concealed by Cd, and shortened by the rapid inerease in the breadth. By this the crista also grows smaller and finally only remains as a rounded tubercle. An investigation of the number of arms in the (nearly) full-grown specimens 1—36 shows the following distributions. X arms: 18 speci- mens, XI: 9 sp. XIE 5 sp. XII: 2 sp. and XVI: 2 sp. It is rathes peeuliar that the largest specimens often have only X arms, while the multibrachiate specimens have shorter arms. A similar condition is also noticed in Cyllometra pulchella and has perhaps something to do with the catehing of the food. > Cirri Arms THE CnrNorps FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. |Interspace of] obliq. artic. XVII RX RR ) XVI ) XVI ) XVI ) XII ) [XVII XIX ) XVII ) XVIII ) xx ) XXI 9) |XX XVIII XXII XX XX XVII XXII XIX XXI XVIII XXIII XVIII XV XVII XXII XV XXI XVI . 53) XVII ) XVIII ) XIV ) XI ) XVI ) XI ) (XIV ) XI . 53) XIII ) ) ) ) ) ) ) ) or © or eo Qo c3 & © © « TZ EEE XI XII XVI XIV XIII XIV XII XIV . 47) X IXVI XV XI XV . 59 57 ————— S L 80—81/50— 55 85—90 60— 70 C 71—86/|40— 56/X 69— 76,40 —55 59—82|26—-54)) 57— 68/35 —48 39—62|14—99 71—90/45— 65 56—17540—50 65— 85 45 — 60 65— 85.40 — 65 65— 80/40 —55 5-+ |35—4 60-— 70: 50 —65 30- 50) 61—82/40— 65, XII 55 X 35 X 95 XI 75 XI 85 X 85 X 95 XIII — IX 85 — = [Xu | 100 65—83 38 —68)X 85 72—8255—73x | 105 75—86,38—63 X 85 55 —75/30—57|X 75 56—76/32—57|XI | 65 68—77|45 —60)X 70 70—100/55—70 56—70/25—47| 67 —82/48— 62) —80| 45 41—46|14—18|lX | IXII | 90 XII} 80 XII 55 69—85|45—70 62 —81/40 — 65 65 — 72/95 —40 65—85|36 —53 55—64|30—35 60—65|25— 35 X 75 XI 70 XI 50 50 —60 20 —30 X 45 90— 21/2,5—3,0 X 7 20—35 7—10X 15 25—35 | 8—13X 15 17—31| 3—11X 15 27—34| 7—10X 15 26—36| 7—11|X 18 23—32| 5 —10/X 15 13—30| 2—8 X 12 19—96 | 2—5 X 8 | 482—4615—923 XII | 35 | 27—34| 5—9 X 20 Nase sel, AUX 12 — | 12 X 25 | 20-32) 4—10X 15 (14)—27(3)—7 X 8 | — |10—16X 25 | 16—22| 4—5 X 7 | 17—32| 4—10X 12 ibetween the) syzygies ot ex OU OU ME e | T" oen 2 cm PN C ES EN ot E = = c P or NORRA oo -1-19?goS9' -30»00 ol octo o9 oí de) E a | on a | aoe | or or or & bo or 99 gr Ot OT e oo OT 22 or [er D Amann 23597 M. Fig. 84 Diodontometra Bocki Cirrus ?h; 85, 86 Liparometra grandis (St. 39) 85) The distal M part of a cirrus with two abnormally longitudinally split cirrals 7/1. 86) The proximal part of an arm — — with P,—P, (P,—P, with broken tips); observe Br 1 + 2 8 + 4, 7ı; 87—91 Stenometra dentata (St. 56). 87 a) The most proximal 20 cirrals, b) The distal part of the cirrus ?/1, 88) Br 2—4 with the base of | P, 4/1, 89) The proximal part of the arm %ı, 90) P, #1, 91) Distal pinnule 4/1; 92—97 Asterometra — anthus 92) Distal pinnule of the type of A. anthus (St. 56) %ı, 93) Distal pinnule of the type of A. acerba (St.59) ?/1, 94) Cirrus of a very young animal (Sp. 51), X 17 !/s, 95) Cd of Sp. 34 (lepida type) */1, 96) Cd of Sp. 27 ‘A, 97) Cd of Sp. 18 */i. : D "h # THE Crinorps FROM Dr. S. BocK's EXPEDITION To JAPAN 1914 113 The L of the distal p-s with some irregularities follows the L of the arms; nevertheless it shows great variability in specimens with an arm-length of 70—90 mm. A. H. CLARK has distinguished the two species A. anthus and A. «acerba by the following characteristics: A. anthus A. acerba A) Distal pinnules 9 mm. a) distal pinnules 15 mm. B) The outer segments of distal b) the outer segments of dist. p-s ps: L = 2 X br. L23 X br. C) The Br dorsal spines long and — c) the Br dorsal spines blunt, short, strongly curved not much curved. D) R—s with a rounded tubercle © d) R—s with a dorso-ventrally elongated tubercle. E) I Br-s without median carina- e) I Br-s with a faint, low median tion carination. (F) Arms more than X. f) Arms X). Some examples from the above-described specimens may be quoted and may be denoted as follows: Spe re (a) Bod Bl 7 Sp. d4 a bic D Hf Sp. 9 Aa Bb CdEF Sp. 15 Aa b Cd EF Sp. 24 A(a)Bede(F)t Sp..94 (A)a BbCcdeF Sp. 12 a (Bb CDEt Sp. 20 abCdEt From the above cited examples it seems evident to me that the characteristics of A. anthus and acerba are irregularly mixed in the different specimens. CLARK lays special stress upon the fact that the L of the distal pinnules and pinnulars and the blunt spines on the distal Br-s are characteristic of acerba. This combination scarcely ever oceurs in the above-described specimens, but often long p-s to- gether with strongly developed Br-spines. From what is stated above — the examples could be multiplied — it seems to me to be clear that À. anthus and acerba ought to be refer- red to the same species. A. lepida is a third species of the genus Asterometra that A. H. CLARK has described. It is a form differing from the two previously mentioned species (which have a large cylindrical Cd with a conical end) by a small and conical Cd. It is further mentioned that the cirrus-sockets Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. !*/s 1922. 15 114 T. GrsrÉN, are smaller and therefore the cirri too, which are lacking on the only known specimen, are probably more slender than in the other species, With regard to the last characteristic I may emphasize the following facts. It is a general rule that cirri formed in the dorsal cirrus-whorl (also dating from a younger stage) are more slender than the ven- tral ones, which are formed at an older stage. The more robust the specimen is, the more coarse are also the cirri. Thus for instance the cirri in sp. 24 are thin and slender, in sp. 11 and 12 very much coarser and thieker. This character is therefore not necessarily so very important, when other distinguishing features which support the suggestion of a real differenee between the species are not added. — With regard to À. lepida it is also stated that Cd should have a spe- cifie formation. A glance at the collected facts given above in the descriptions of the specimens shows that the appearance of Cd is also subject to great variation. I have selected sp. 18, 27 and 34 to be reproduced. The last-mentioned specimen, which has an arm-length of 70 mm. and is therefore of the same size as the single specimen of A. lepida found, has a small, conical Cd with relatively small cirrus- sockets. Cd of sp. 27 (arm-length 85 mm.) is a transition-form to Cd of Sp. 18 (arm-length 100 mm.) which is of typical A. anthus-acerba formation. As all transitions between these two types are found among the above-described specimens, I cannot consider A. lepida to be a se- parate species but regard it only as a younger individual of Asiero- metra, anthus. Finally some words about the above-described very young spe- cimens. One can plainly follow the growth-abbreviation of all ossicles, already observed by P. H. CARPENTER. Perhaps one finds this fact demonstrated best in the proportion between L and br of the cirrals (cf. e. g. sp. 1; 37 and 53), but one can also get good subjects for demonstration in the R—s and proximal Br-s. In the latter one can also follow the disappearance of the juvenile carina on I Br 1 and 2 and the appearance of certain marks of old age (the indistinct crista on íhe same ossicles in certain old specimens). The pinnulars seem to be but slightly affected by this abbreviation (cf. e. g. sp. 1 and 54). The occurrence of orals is also very interesting. In specimens of an arm-length of less than 10 mm. they are well preserved, but [67] THE CRINOIDS FROM De. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914 115 usually begin to be resorbed at an arm-length of 10—12 mm. and are eompletely lost when the arms measure 15. mm., that is at about the same time as the arms get a complete pinnulation. — The smallest specimens have also large B—s which form a continuous ring visible under the radial whorl. In the smallest specimens the latter practi- cally encloses the whole intestine sac. All these primitive charac- teristics thus persist rather late. Stenometra A. H. CLARK. St. dentata n. sp. Fig. 87—91. Photo 7, From St. 55 (1), 56 (5), 59 (5) = 9 specimens. Sp. 1 (St. 56) Cd cylindrical, the flattened, dorsal pole with small spines; diameter of the dorsal surface 2 mm. H of the free part of Cd 1,5 mm. C. XXIV 74—76; 25—34 mm. in two close whorls, which are ventrally divided in groups, separated IR. by ribbons of Cd. 1*' seg- ment short with a distal collar which, especially ventrally, has a some= what serrate border. 2% and 3% segments L = !/ br, similar to the preceding segment but with a slighter distal collar. 4" and 5 seg- ments cubical or a little longer. 6'—10"™ slightly hour-glass-shaped, L=1'/2 br. 1*—7" segments with a small ventral spine, slightly pro- jecting in lateral profile, because of the above-mentioned collar. S®— 13 (—16") segments smooth, then a dorsal spine. Distal segments L = 1/2 — '[a X br. Dorsal spine small, distinct, distally curved, h = !/s — 1/4 of the br of the segments. Opposing spine somewhat coarser, h = 2 of the br of the segment. "Terminal claw about as long as the pe- nultimate segment, R—s narrow bands, IR somewhat bent outwards by the inter- radial ribbons on Cd, L — = !/s br.. I Br 1 h ='/4 br, laterally free, with a median carination and moreover both proximally and distally a vertical 4—5-lobated calcareous plate, constituting the enlarged and overlapping ends of the segment, I Brax h = '/2 br, rhomboidal, in the 116 T. GISLÉN, proximal part with a well-bordered, strong, median tooth visible in side view as a high bidentate wing, which, together with the disto- median tubercle of I Br 1, forms a strong synarthrial prominence. The distal border of I Brax obtuse-angled, with 6—7 pointed promi- nences. Il Br-s: 2, similar to the I Br-s, but with smaller and weaker synarthrial tubercles. Arms probably XX (II branches broken), 65 mm., indistinctly flattened laterally. The first 6 Br-s smooth, but with prominent, lamelli-shaped lobated prominences both proximally and distally (cf. above). In addition the most proximal Br-s partly with a median, dorsal prominence, which develops more distally to a dorsal spine, partly with a pair of similar medio-lateral prominences, alter- nately most developed on the left and on the right. These lateral tu- bereles, situated on both sides of the median dorsal spine, disappear at the 15% to 20% Br-segments and from these only the median dorsal spine remains. The distal segments rather strongly pressed together from the sides. Ex. of syzygies: 3 +4, 22+ 23 or 3+ 4, 35 4- 96 ete, with an interval of 6—-11 oblique articulations. About 5 distal seg- ments with rudimentary pinnules. P, 12—13; 8 mm. (5—7 first pinnulars concave on the outside, the eoneavity bordered by a more or less lobate wing-like prominence; 6 and the following segments a little longer than broad, smoother with a smaller wing and somewhat spiny distal collars); P, 11; 5,5 mm. P, 6; 45 mm. P, 7, a little longer. Distal p. 12; 5 mm. (1° and 2° segments short, the following ones L = 1!;2 — 2 br, the two last seg- ments short again. The pinnulars smooth, in the proximal part trian- gular, in the distal part rounded). Disk enerusted with coarse granules, like the other weak parts dark-brown. The ossicles are a lighter brown. Sp. 2 (St. 56) C. XX 57—61; 20—25 mm. A dorsal spine al- ready on the 12™ cirral Arms + XX, 65 mm. I Brax rhombieal. Already about Br 10 the dorsal claw is the only remaining prominence, Ex. of syzygies: 3 + 4, 31 +32 or 3 +4, 6 -- 7, 32+ 33 etc; distally with an interval of S—11 oblique articulations. P, 13; 7, mm. P, 10; 5 mm. P, 8; 4 mm. P, 7; 3 mm. P, 8; 3,5 mm. Distal p-s 11; 6 mm. Sp. 3 (St. 56) C. XXVII 37—56; 14—24 mm. Dorsal surface of Cd 1,5 mm. Arms XX, 50 mm. Br-s with shorter processes than in the preceding specimens. A single dorsal spine from Br 10. Arms THE ÜRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914 117 distinctly flattened laterally out to Br 5. Syzygies with an interval of 13—16 oblique articulations, P, 13-—15; 5,5—7,5 mm. P, 9—11; 4,5—5 mm. P, 8—9, 4—5 mm. Distal p-s 11; 5 mm. Sp. 4 (St. 56) C. XXI 43—57; 18 — + 22 mm. The 6 first eirrals with a real ventral spine. Dorsal spine from about the 10%-20% seg- ment. Arms XV, 45 mm. The median keel on I Br 2 somewhat lower than in Sp. 1. Arms after Br 6 without lateral prominences. The dor- sal Br-spine low. Syzygies with an interval of 5—18 oblique articula- tions. About 90 Br segments. The distal segments with rudimentary p-s are about 5. Example of arm-branching: zx NINE 35-590 HOLD. a „| Xd ev ME 33 --34..44 4-45... 53 4- 54. | [Br 1—2 3 +4... 29 + 30... ji | NÉE arte s cur. SOSTA an, P, 12; 4 mm. (last 8 segments collar-shaped, their distal parts overlapping; a similar condition, though not so marked on P,—P,). Pe 9-3, mm. P, 9:3 mm. P, 8; 3 mm. - Distal. p. 12; 5,5 mm. Sp. 5 (St. 56) C. XVIII 54—65; 25—30 mm. Arms XV, 60—65 mm. A regenerate from a II Br 1 with 2 small, still smooth arms. P, 8—13; 4—6 mm. P, 8; 4 mm. P, 7; 3 mm. Distal p. 9—10: 5,5 mm. Sp. 6 (St. 59) C. XVIII 62—65; 24—28 mm. Arms XVI, broken. Il Br-s: 2. P, 13; 5 mm. Disk 6 mm. Sp. 7 (St. 59) C. XVII 53—60; 23—28 mm. Arms XV +, broken. NUES 2. P, 13: 6 mm. Disk 7-mm. Sp. 8 (St. 59) C. XIV 40—43; 15—18 mm. in a partly double whorl, hardly divided in groups. The dorsal surface of Cd 1 mm. — Arms XII, 40 mm. The calcareous lamels on the proximal ossicles only slightly serrate. A single dorsal spine from Br 8. Syzygies with an interval of 5—8 oblique articulations. Example: 118 T. GISLÉN, Br1—2 3--4....16 + 17..23 + 24 ete. with an interval of 5 oblique artieulations Br 1237 42..21- 222 ete. with an interval ot ko 7—S oblique articulations | Br 1—2 3+4...21+22., etc. with an interval of 8 oblique articulations. P, 10; 4—4,3 mm. P, 9; 3,5 mm. P, 7; 25 mm. Sp. 9 (St. 55) C. XV 20—21; 3,5—5 mm. (2° segment with a small ventral spine, 3*—5'" segment L — 2 br, hour-glass-sbaped, then shor- ter segments, from about the 10" L = br or shorter. A dorsal spine from the 6% segment, h='/4 of the br of the segments. Opposing spine h = !/2 of the br of the segment. R—s h-'!/2 br with a median erista and small distal promi- nenees, IR fused and elongated, separating I Br-s 1. I Br 1 h = ?/s br with a median tubercle and latero-distal prominences. Similar, still larger, lobate flanges on I Brax, Br 1 and Br 2, I Br 2 h= br, trian- gular with a small eavity in the distal angle. Arms X, 15 mm. Br (1—2) h=br, as the syzygial pairs Br 3 +4. From Br 15 a medio-dorsal claw. The left arm often a little longer and better developed, in one ease, however, the reverse. P, 5;1 mm., P, and P, as P, and E; usually lacking. Distal p. 10; 2 mm. Example of pinnulation: [Br 1—2 3+45678910111213+14...20 421... . 29 I, 5 Ade YA E [Br 1-2 344567891011 1213 1435 16-17 2 22/22 909 Orals h='/4 of the radius of the disk, only the acute angle remaining (the base and the inner parts resorbed). With regard to the number of the cirrals this species is most closely related to Si. diadema, but well separated from this by the formation of Cd, by the shortness of the cirri, when compared with the arms (the latter are at least twice as long as the cirri) and by the large and many prominences on the ossicles of the arm-bases. By this the new species approaches Daidalometra (hana), a genus properly distinguished from Stenometra only by a smaller number of arms. The above-described species is to a certain extent a transition-form between the above-mentioned genera. THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 119 Charitometridæ A. H. CLARK. Crossometra À H. CLARK. Cr. septentrionalis A. H. CLARK. Bios. Syn.: Charitometra distincta (preoccupied) 1908 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 312. Pachylometra An 1911 A. H. Crarx Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 39, p. 554; 1912 Crin. Ind. Oc., p. 215; 1915 Wash. Journ. Acad. E Vol. 5, p. 215: Crossometra QUAM S 1918 A. H. Crank Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 176. From St. 386-1 specimen. Sp. 1 (St. 36) Cd br 3 mm., h 1,5 mm., rounded conical, free dor- sal surface without tubercles, l5 mm. C. XIX 14—16; 14—17 mm. very coarse, in a single or double whorl and 10 rows. 5" segment the longest L=1!/ br. From the S" segment a dorsal, longitudinal crista. The ventral margin of the distal segments about as long as the br. Opposing spine h-!/s of the br of the segment. Terminal claw curved, somewhat longer than the preceding segment. B—s projecting as large interradial prominences. R—s: h=!/s br with a median tubercle. I Br 1 h=1/s br, laterally united, as on the proximal part of I Brax with a median tubercle. I Br 2 h=!/s br. II Br—s: 4 with similar median prominences. Primipostaxillaries united inside. III Br—s: 2, developed on the inner: sides. These ossicles and Br 1 and 2 with still slighter median tubercles. Arms XVIII +, 70 mm., strongly wall-sided out to Br 2. The bases of P,, visible be- tween the arm-bases. Br 1——-12 discoidal, then one joints. 15 sy- zygy on the inner side usually between Br 1 and 2. Distally with an interval of 4 oblique articulations. Example: Br 1—2 3 +4...11+12.. 16-,.17..21 722... The distal Br-s with a low, not oU dorsal spine. Example of arm-branching and regeneration: Bry de 2:514 mee le 1—2 3+4, c 1122594 ur. es | à (Br, 172345 TIME ju lu eg 120 T. GISLEN, P, 22; + 5 mm. 1*'—5"' segments thickened with dorsal promi- nences similar to those in the fam. Calometridæ (cf. the figure). 1* segment L2 !/» br. The 7" and following segments more slender, a little flattened. Distal segments: LZ br. P, +18; 4 mm., P, 14; 3,2 mm. Distal p. 13—14; 45 mm. (The first 2 and last 2 segments short, the other ones L=2 — 2!/2 br). Disk very closely and coarsely granulated, »lean», somewhat incised, diam. 4 mm., not completely regenerated, dark-brown. The animal otherwise white (in spirit). The above-described specimen is as a young of Cr. septentrionalis. Though the species-name Cr. distincta is older still, in conformity with A. H. Cramk, I do not wish to use it, partly because it is a no- men nudum, partly because the name distincla was given by P. H. CARPENTER to a species in the closely-related genus Pachylometra (CLARK did not separate this genus from Crossometra before 1918). Perissometra A. H. CLARK. P. aranea n. sp. Fig. 103, 104. From St. 7a: 1 specimen. Sp. 1 (St. 7a) Cd a low cone, br 2 mm. Dorsally with a cen- iral eavity and small side-cavities. C. XIV 17—21; 10—11 mm. in a single or double whorl and in 10 rows. 1*—3* segments L shorter than br, 4* one somewhat longer, 5" L= 11/2 br, 6 one L —2 br, distally a little widened, with an inconspicuous dorsal spine. Then shorter segments with a dorsal spine. The cirrals from about the 9™ about cubical, antepenultimate segment L —?/4 br. Opposing spine h =1/s of the br of the segment. Terminal claw curved, somewhat longer than the preceding segment. R—s narrow bands, almost concealed. I Br-s 1 contiguous, h—!/4 br, with a low median carination. I Brax pentagonal, h — !/s br, with a similar, low longitudinal tubercle; a slight thickening of the distal border, the rest of the ossicle smooth; laterally flattened like » ee THE Crinorps FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 121 Br 1. Arms X, 70 mm. Br 1 and 2 with a carination similar to the one on the I Brachials but very much slighter. Br-s 1 inside conti- guous in pairs, outside broader, as also Br 2. Syzygies: 3 + 4, 13+ 14, 184-19... distally with an interval of about 5 oblique articulations. Br 1—10 discoidal, then irregularly oblique joints. The proximal ossicles rounded and smooth; from Br 15 a low, median, longitudinal crista, slightly projecting in lateral profile. pP, 18; 5 mm. P, 13; 5 mm. P, 8—9, 3,5 mm. P, similar. P, coarser than P,. The segments rather uniform, smooth, a little longer than broad, distally somewhat angular. P,—P,, + 10; 3—4 mm. (Proxi- - mal segments very slightly dorso-ventrally flattened). Distal p-s + 14; 5—6 mm. (15 and 2° segments shorter and a little coarser than the following ones, which have the L = 2 br). Disk a little incised, with large calcareous granules, diameter 4 mm., colour brown. Otherwise the animal is light yellow-brown. This new species resembles most closely P. lata from which, however, it differs sharply by the cirri, very short in comparison with the arm-length but in spite of this with relatively many segments, by the rather smooth proximal arm-parts, and, above all, by the proximal pinnules, which have a few, rather long pinnulars. After a comparison with specimens of Dr MonTENSEN'S collection I am convinced that this species often has XI or XII arms attaining a length of > 70 mm. II Br-s are 2. P, might get 15 segments and attain a length of +6 mm. P,—P,, are short, with the 5—6 first seg- ments somewhat thickened in dorsal view. In the short genital pinnules has the species an unusual resem- blance to a spider, whence the name. ° Diodontometra nu. gen. This exeedingly peculiar type of the family Charitometridæ re- sembles the genus Charitometra by the strongly expanded proximal segments on the genital pinnules. From this genus it differs, however, in several characteristics. The arms are XX, the II Br-s: 2. Cd is high and pointedly conical and the cirri arranged in radial groups, separated by large interradial interspaces. And, finally, the opposing spine is divided into two prominences standing side by side and usu- Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. ?/s 1999. _ 16 Hale, VIS 114 Fig. 98) Asterometra anthus a) The proximal, b) the distal part of a cirrus; some of 3 the proximal segments with a slight dorsal spine 7/1; 99, 100 Asterometra macropoda (St. 12), — 99) Distal pinnule */1, 100 a) The most proximal 20 segments, b) the distal segments of a cir- - THE CRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914 123 ally flanked by an additional side-spine on each outer side. (A bifuca- ted opposing spine has been previously noticed only in the genus Zpi- metra fam. Colobometride). D. Bocki n. sp. Fig. 79—84. Photo 10. From St. 56: 1 specimen. Sp. 1 (St. 56) Cd pointedly conical, h 3.5 mm., br. 3 mm. C. XXVI 10—12 (D) 15—17 (V); 5—6 or 15—20 mm. respec- tively, in 3—4 whorls. The cirri are arranged in 5 radial groups se- parated by interradial interspaces which are almost as broad as the area oceupied by the C. In each group 5—6 cirri, often forming an almost single row. 1* and 2° segments short, 3" cubical, 4" increasing, 55 — [^^ L = 1?/s br, 8*(—9'") — the antepenultimate segment not much longer than broad. The dorsal surface of the distal cirrals slightly carinated and overlapping. No dorsal spine. Opposing spine in the distal part of the penultimate segment, large, in the middle deeply in- cised and therefore bifurcated, on the lateral sides moreover often a small additional spine. Terminal claw slender, curved, pointed, longer than the preceding segment. R—s visible as narrow bands in the corners. I Br 1 h = '/4br, in the basal half laterally grown together, at the middle somewhat narrower because of the synarthrial tubercle from I Brax. I Br 2, pentagonal, h = !/2br as the preceding ossicle with a slight median earination, the rest of the ossicle rounded dorsally. The II Br-s are 2, similar to the I Br-s. Primipostaxillaries in the basal half grown together in pairs. Arms XIX + (probably originally XX), 60 mm., in 4 cases broken between I Br 1 and 2 (the synarthrial articulation well rus 7/1; 101, 102 Pterometra trichopoda (St. 45) 101 a) The 15 most proximal cirrals, with a ventral spine from the 4th—the 12th segments b) The 20 most distal cirrals */1, 102) Distal pin- nule /1; 103, 104 Perissometra aranea (St. Ta. Sp. 1) 103) Distal pinnule 41, 104) Cirrus %1; 105—108 Compsometra serrata (St. 25. Sp. 3) 105) Genital pinnule 4/1, 106) P, (observe the indistinct stripe under the sacculi; a rudimentary genital cord?) !'/íi, 107) P, '* 1, 108) Cirrus 141; 109—113 Compsometra parviflora (St. 47) 109) A stump of the arm with a distal pinnule 5/1, 110) The base of an arm from I Br 1—Br 5 14/1, 111) Cirri a) St. 47, b) from the dorsal whorl of a specimen from St. 45; long cirrals ‘4/1, 112) Br 4-8 with P, and P, 1, 113) P, 'Yı; 114—116 Toxometra æquipinna (St 4, Sp. 1) 114) Cirrus #1, 115) P, A1, 116) Distal pinnule with a small genital gland 1. 124 T. GISLEN, developed). Br 1 and 2 with a slight synarthrial tubercle. Arms out to Br 4 laterally flattened. Br 5-10 with the distal ends a little over- lapping. The 12 first Br-s discoidal, then oblique joints, The distal segments smooth. 7—8 of the distal Br—s supporting rudimentary pinnules. Ex. of syzygies: [Br 1-2 84.21 922,915 927 Td e [Br 1—2 3—4...17 +48 ...26--27...35--:96. Meer P, 13; 35 mm. P, 12; 45, mm. P, 11; 4 mm. P, 10:5.» The segments on P,—P, or P, rather uniform, L = !/z — '/ı X br. On the outer sides of the 3° and following pinnulars small wings partly caused by small notches between each segment. From P, — about P,, (10—11 segments, L 3,—4 mm.) the 3*—5"'(or 6") segments are flat- tened dorso-ventrally, cupular, with winglike borders, the 7"— 11" pin- nulars are narrow and long again. The eupular segments are in dor- sal view about cubical, the distal ones L = 2 br. Distal p. 11; 4 mm. (15 segment short, 2° cubical, 37—10'" L = 1'/2 br, last segments short, all segments smooth). Disk thrown off. The colour of the animal light brown; sacculi rather sparse. | Antedonide A. H. CLARK. Antedoninæ A. H. CLARK. Compsometra A. H. CLARK. C. parviflora A. H. Cranx. Fig. 109—113. Syn.: Compsometra parviflora 1912 A. H. Crark Notes from the Leyden Mus. Vol. 34, p. 133; 1918 Siboga Exp. Vol. 42B, p. 207. From St. 44 (1), 45 (2), 46 (1), 47 (2), 54 (1) = 7 specimens. Sp. 1 (St. 46) Cd: br about 1,4 mm. C. + XXXV 9—10; 2225 mm. in two close whorls. 3?—5'" segments very much hour-glass- shaped, L = 21/2 — 3 X the distal diameter. The distal cirrals of more uniform thickness. The 7 segment L = 1!/2 br. 2 H 1 4 > . : 4 2 > Ue ee, A eer t Li Tue ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION ro JAPAN 1914. - 125 Axillary h = 1/2 br, rhombical, the proximal angle covering a part of I Br 1. The axillary is broader than I Br 1. Br-s 1 inside well separated. Arms X, 20 mm.--, but not very much longer. P, 10; 4 mm. (a distal, spiny whorl from the 6% pinnular), P, 7; 2 mm., without genital gland, P, 7; 2 mm. with a genital gland from the 3'—the 5" segment. P, 15; 4 mm. (1° and 2! segments short, the other ones long). Disk 4 mm. Anal funnel long. Sp. 2 (St. 47) C. XXXVII 8—11; 2—4, mm. (4% cirral the longest, L = 3 — 4 X br). R—s concealed. Axillary h = ?/s br with strongly concave distal margins, Br-s I basally contiguous inside, h of the outer border !/2, of the inner one '/4 X br. Arms X, 25 mm. P, 7—8; 2 mm. (The L of the segments with the exception of the two first and the very last ones 2—3 X br), P, 6; 1,2 mm. P, 8; 2,2 mm. with a genital gland, P, 8; 2,2 mm. Distal p. 14; 4 mm. Sp. 3 (St. 47) C. XXXI 9—10; 2,51—3,5 mm. Axillary as in the preceding specimens. Arms broken, probably between 20 and 25 mm. P, 8; 3 mm. (3* segment L = 2!/2, 4 one L = 3!/2 br) P, 5—6; 1,2—1,5 mm. P, 7; 2 mm. No pinnules genitally swollen. Disk 1,s mm. Parasitical Myzostomids. Sp. 4 (St. 45) C. about XXV on a hemispherical Cd; arranged in two whorls: 9—11; 2—4,5 mm. The segments very pronouncedly hour-glass-shaped, those before the antepenultimate cirral L = 2 br, antepenultimate segment L = 1!/2 br. Cirri from the dorsal whorl with very much longer segments (cf. the figure 111), in this case the ter- minal claw and opposing spine are relatively large. I Br 1 h = !/e br. Axillary rhombical, h = '/2 br (lower, and with smaller lateral angles than in the preceding specimens). Arms X, 15 mm. +. Br-s I inside basally contiguous. Syzygies with an interval of 3 oblique articulations. Br-s rather smooth. P, 8; 1,5 mm. P, 6; 1 mm. P, 7—8; 1, mm. with a genital gland. Disk 2, mm. Anal cone 1,3 mm. Sp. d (St. 45) C. + XXV 10—11; 2—3 mm. (4 segment L=+4x br). Arms about 15 mm. P, 6; | mm. P, 4; 0,5 mm. or lacking. Disk 1 mm. No gonads developed. 126 T. GisLÉN, Sp. 6 (St. 44) Cd with sears of about XXV C. Arms X, broken, 3 mm.+. I Br 1 h = !/ br with a thickened rim against the R. Axil- lary h = !/s br, rhombieal. P, 7; 1,2 mm. P, 4—5; 0,8 mm. P, 6; 1,2 mm. Sp. ? (St. 54) Cd 0,5 mm. low, rounded, with scars of about XXXV C, arranged in 3 whorls. The central, dorsal pole is occupied by a small rounded star with a scar of the central canal of the stem. — R-s at the rim of Cd. I Br 1 h = !/4 br, latero-distally squeezed together. Axillary h — !/e br, rhombical with one proximally and one distally directed lappet. Arms X, about 5 mm. Br-s 1 inside conti- guous, h = !/6 br, on the outer side twice as broad. Br 2 with a back- ward direeted synarthrial prominence, P, 7; P, 5, shorter, P, 7, about as long as P,; Pj somemines missing. | The above-described specimens agree well with A. H. CLark’s deseriptions of C. parviflora. By my specimens the cirrals are a little shorter; one may, however, also find cirri with longer segments, as > my figure of a cirrus from Sp. 4 shows. None of these 7 specimens has a genital gland on P,, contrary to the type specimen from the Siboga St. 50. From some other Siboga- localities, however, there are specimens with a gonad first on P,, as in the Bockian specimens. Might this difference perhaps have the value of variety? The disparity is probably not a difference of age, since for instance Sp. 2 is completely mature and nevertheless has no trace of a genital gland on P,. Compsometra serrata A. H. Crank. Fig. 105—108. Syn.: See 1918 A. H. Crank Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 209. From St, 1 (4), 2 (3), 3 (1), 21 (1), 22 (3), 23 (1), 25 (3), 26 (2) = 18 sp. Sp. 1 (St. 25) Cd hemispherical. C. XXIII 12—15; 7 mm. in a single or double whorl. 4” and the following segments a little squeezed together in the middle, L — 1'/» X the distal br. Antepenultimate segment L = 11/5 br. Penultimate one with a very inconspicuous op- PRÉS = € Se callin tat a THE CRrNorps FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 127 posing spine. Terminal claw narrow, curved, somewhat longer than the preceding segment. R—s concealed. I Br 1 h= !/s br, laterally almost free. The axillary h = !/s — !/» br, triangular. Arms X, +25 mm. Br-s 1 united inside in pairs, like the following ossicle on the outer side twice as broad. Br-s 2 on the inner side separated by a rather wide inter- space. The first 8 Br-s discoidal, then oblique joints. Ex. of syzygies: 3 + 4, 9 + 10, 13 + 14, 17 3- 18.. ete. Arms rather smooth. P, 15; +5 mm. 1* and 2" segment short, the other segments L=2 — 2'/2 br, the distal parts widened, spiny. P, 9; 2,3 mm. The proximal cirrals with strongly spiny borders. P, (11; 3,5 mm.)—P, with a similar dorsal carination on the 6 first segments. From P, there is a large genital gland. Genital p. 13—15; 4 mm. The dorsal carina- tion of the proximal pinnules continues at least out to P,,, then more indistinct. Disk 3 mm., white-coloured, without granules, à little swollen. The arms darker. Each cirral with a dark spot proximally. Sp. 2 (St. 25) The cirrals somewhat more hour-glass-shaped. Syzygies with an interval of 3—4 oblique articulations. P, and the following ones with a gonad. P,—P, with strong spiny whorls on the distal parts of the 2'—5'" segments. For further details see the table. Sp. 3 (St. 25) I Br 1 h='/e br. Syzygies, as in Sp. 2. P, and the following pinnules with a genital gland. Colour: somewhat more red-brown than in the preceding specimens. Sp. 4 (St. 1) The syzygies, as in sp. 5—8, with an interval of 3 oblique artieulations. Cirri more than in the preceding specimens, in a double whorl. P, and the following ones with very large spiny prominenees, P, 9; 3 mm. Disk 5 mm. Colour reddish. Sp. 5 (St. 1) Cirri arranged in about 3 whorls. P, as in sp. 4. 5926. (St. EP, 8: 2:5 mm. Disk 4.5 mm. Sp. ? (St. 1) Cirri in a double, incomplete whorl. P, 7; 2 mm. Sp. 8 (St. 2) Cirri in a partly double whorl. P, 11; 5 mm. with a genital gland. P, small. Anal cone large. Disk 5 mm. lighter than the red-grey arms, which dorsally have greyish segments and light articulations. Sp. 9 (St. 2) P, with a gonad. Disk 4,5 mm. 128 T. GISLÉN, | Number of | Cirri Arm. | P PIS | ER Dist. p. Specimens?) ANG: EE |— |———— ———À "Stations N ].s Loggen s STI ae | | | | | | | Sp. 1(8t.25)| XXII |12—15 7 l'es) 15 | 4809 |2,5| 11] 3,5) 15 | 4 Sp. 2(8t.25)| XXII | 9-12] 3,5—4,5 90] 12 | 8s | .8 M5) No |Sp. 3(S. 25) XXVI |12—15|6,—7,| 35 23—288—10 9 |2,|12| 3| 18 | 5 | Sp. 4(St. 1) XXXVIIL|I2—14| 4—8 | 35.| 98 | 10 | 8 | 3 |10| &| 16 | 5s Sp. 5(St. 1) XLV -|11—14| 67 | 40 | 27 |ı. 9 1103 nn) ee Sp. 6(St 1) XLI |11—14) 4—7 | 35| 98 | 11 |9 | 3 |19| 4 | 16. | %% |Sp. 7(St 1) XVIII |t1—12| 4—5 | 15 | 16 5 |8|2,|10| 3,5) — RH Sp. 8(St 2)| "XXXELC 41-14] -4— 7 9 0801] = 20 6 | 7:19 | 9| 2.5) NN Sp. 9(St. 2) XXVII 11—13| 5 | 20 | +18) 5 | 6|1| 8) 2| 16) 35] Sp. 10(St. 2) XXXI 11—13 +5 | 95 | 17 | 4 | 912 | 9| 2.| as Sp. 11 (St. 3) XXV |11—13/ 7 | 30 13—15| 45 | 9 |9,5|11 | € 4| 17) 4 4 Sp.12(8t.23) XXII |12—13| 5-6 | 95 | 90 | 65 | 8 |25|11| 3,5 | — | 3 | | Sp. 13 (St. 26) XXIV 11-13) — | 27 15—204—65 7 | 2 | 9| #3 215 4 | | Sp. 14(St. 26) XXXII |11—13| 5—6,5 |+ 20 | 16 6 |8|22|—) is er Sp UD (SE 02) ESS EIS 5 | 25 12—16 3—4|8 |1,8| —| — | — | 2,51 | Sp. 16 (St.22)) — | 12 5% 95. 475 | &s | 8) 94 2 EN Sp.17(S.22) XII | 9 la | SE Sp.18(St.21)| -XIX | 9—10.- Ls | Sefer Sp. 10 (St. 2) P, 12; 4 mm., like the following ones with a gonad, Disk 4, mm., dark brown. Sp. 11 (St. 3) P, and the following ones with a genital gland, The specimen is a 9 with many eggs fixed outside the pinnules. Syzygies with an interval of 3—4 oblique articulations. Disk 7 mm. Sp. 12 (St. 23) P, 8; 2 mm. Disk 6 mm. Colour: greyish red- violet. Sp. 13 (St. 26) As is obvious from the table, the L of P, is very variable. P, 7; 2 mm. A genital gland from P,. The proximal parts of the Br-s darker than the distal parts and by this the arms get a spotted appearance. This condition also often in the preceding spe- cimens. A light longitudinal stripe on the dorsal side of the arms. Sp. 14 (St. 26) Disk 5 mm. A light-coloured specimen. Sp. 15 (St. 22) A genital gland from P,. Disk 3,5 mm. Anal cone 2 mm. swollen at the base. Sp. 16 (St. 22) Disk 4 mm., anal cone 3 mm. Colour: spotted in light olive-brown and dark-violet (specimen in spirit). Sp. 17 (St. 22) After P, a large pinnule-gap. B-s visible as small tongues IR. Small curved remains of the orals. THE CnriNorps FROM De. S. BocK's EXPEDITION TO JAPAN 1914. 129 Sp. 18 (St. 21) All the proximal pinnules present, though P, and P, especially are very small and incompletely calcified. Disk swollen. No orals. The specimens from Shimonoseki (St. 1) obviously differ from the other ones by having more cirri; they are also a little larger and coarser than the rest of the specimens. It is interesting to observe the great variability in the number of pinnulars and relative lengths of the proximal pinnules. Toxometra A. H. CLARK. T. æquipinna n. sp. Fig. 114—116, Photo 11. From St. 4: 2 specimens. Sp. 1 (St. 4) Cd almost discoidal, free dorsal pole + 1 mm. — C. XXVIII 10—11, 5—6,5 mm. in a double whorl. 1% segment L = !/ br, 2* one L about = br, 3° and the following ones L = 1!/s — 1 '/2 X the median br. No dorsal spine. Antepenultimate segment L= br. Opposing spine h = !'/s of the br of the segment. Terminal claw eurved, a little longer than the penultimate segment. R—s narrow bands (the distal borders concave), almost con- cealed by Cd. I Br—s 1 laterally free, h = '/s br, with a small late- ral tubercle and a strong, median, longitudinal crista which continues on the proximal ?/s of the axillary. This ossicle is hexangular, h of the middle line ?/s of the br. The distal margin concave. The proxi- mal and distal edges strongly bent outwards. Arms X, 65 mm. Br—s 1 inside basally contiguous in pairs. Br 1 and 2 with a median tu- bercle similar to the crista on the I Br series, but more slightly de- veloped than this. After Br 9 oblique joints. All the distal edges of the segments strongly bent outvards, a little proximally directed and finely spinous. This condition most pronounced on the proximal seg- ments. The distal Br—s long (L = 1!/» — 2 br) somewhat hour-glass- shaped. Ex. of syzygies: 3 + 4, 9 + 10, 14 + 15, 19 + 20 ete. with an interval of usually 3 oblique articulations. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. "!/s 1922. 17 130 T. GIsLEN, P, 8—9; 3 mm. (3* and 4" segment the longest, L = 2 br, all the segments smooth), P, 11; 4 mm. similar to P,, but coarser, P, 10; 3,3 mm. P, 9; 2, mm. with a genital gland from the 4 to the 6" segment, much more slender than the preceding ones. Then the pin- nules increasing again. P, 8; 2,5 mm. P, 8; P, 8 about as long as P,. The distal p. 16—17; 6,5—7 mm. (the 3 first pinnulars rather short, the other ones L = 3 —4 X br, a little swollen at the joints). Disk dark brown, otherwise the animal is light brown (in spirit). Sp. 2 (St. 4) C. XIV 10—11; 4—5 mm. I Br 1 h = "!/4 br, with a dorsal tubercle (not a crista) together with the axillary. Arms X, 40 mm. P, 8; 2,2 mm. P, 9—10; 2,7 mm. P,.8; 2 mm. P; 6; 2 mm. Distal-p. 5 mm: The specimen sticking to a calcareous sponge. The placing of this species has caused some trouble. A. H. CLARK, whom I have consulted about this question, writes: »Your new antedonid from Japan may very well be a new species of the genus Argyrometra, now known from Hawaii and from New Zea- land, The occurrence of this genus in southern Japan is highly prob- able. This genus belongs to that section of the Antedoninæ in which P, is similar to the succeeding pinnules. There are two species A. mortenseni from New Zealand and A. (»Compsometra») crispa from Ha- waii, Smaller species of this genus may well have a more or less discoidal centrodorsal. The large size of P, seems to be an especially well marked character both of Toxometra and Dorometra». I eannot believe that the species in question ought to be re- ferred to Argyrometra. Cd in this genus is conical already at an arm- length of 30 mm. and my species, which has an almost discoidal Cd, is not a smaller species of this genus but has an arm-length of 65 mm. The number of cirri does not amount to XXX; it might have been larger if the species had been a large form of Argyrometra, where even small species with an armlength of 30 mm. have a number of LX—LXXX. P, has not the same character as the following pinnules, which are genital pinnules and, finally, the Br-structures does not resemble that of Antedon petasus but much more that of Toxometra. The above-described species differs from Toxometra by the 3 first pinnules, which are of about equal length, and in this it resemb- les Andrometra psyche (and Iridometra). The genus Andrometra, how- THE Cros FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 131 ever, has a conical Cd, while the above-described species, like Toxo- metra paupera, has a discoidal one. (Iridometra has smooth arms and at least 13 segments on P,—P,.) — To the relation between the rela- tive length of the proximal pinnules is, generally, attached a rather great value in judging the genera within the Antedonid family. When characterizing the genus Toxometra A. H. CLARK says that P, should be the longest p. The case in question shows that one must be rather cautious in using such a character as a generic mark. If my species really belongs to Toxometra then P, is the longest pinnule only in T. paupera and may not be used as a mark of genus. A comparison between the different species described as T. paupera shows, moreover, that within this species too there is rather great variability in the re- lative length of the proximal pinnules. The largest specimen has P, 15; 5,5 mm., P, 16; 7,5 mm. and P, 22; 12—13 mm., the smallest one with an arm-length of SO mm. has P, 12; 4,5 mm. P, 14; 6 mm. P, 17; 7—75 mm. With shorter arms we therefore get a proportionally greater abbreviation of P, than of P, and P, within this species. (Cf, p. 76). I have also demonstrated the same general rule concerning P, in Cyllometra pulchella. Nevertheless, because of the following facts, I have not thought the specimens in the Bockian collection to be young forms of T. pau- pera. 1) The cirrals are somewhat shorter than in the species men- tioned (if we had been concerned with a young form, they ought to be longer) 2) The distal pinnules are longer than in T. paupera when compared with the arm-length. 3) The genital glands are rather well developed. 4) The photo in the Siboga work shows that 7. paupera, though very much larger than T. «quipimna, has smaller prominences on the Br-segments (if the last-mentioned species had been a young form, the condition ought to have been the reverse), and 5) the geographical distribution is rather different, as T. paupera is only noted from the Sunda Islands and the Philippines. 182 T. GIsLEN, Iridometra A. Il. CLARK, I. melpomene A. H. Cranx. Fig, 117—119. Syn.: Zridometra melpomene 1911 X. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus.- Vol. 39, p. 559; 1912 Crin. Ind. Oc. p. 230; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 212. From St. 32 (1), 37 (1) = 2 specimens. Sp..1 (St. 32) Cd low, bluntly conical. C. XXXII 10—18 (usu- ally 17—18), 9—11 mm. (The dorsal €. with 10 segments, 2 mm). 1* and 2° segments short, then the L 2^ 2 — 2!/2 br. The segments distally much broader, not hour-glass-shaped. No dorsal spine. Ante- penultimate segment L = 1*/4 br, Penultimate segment L = 1'/s br, with an opposing spine, h = !/s of the br of the segment. Terminal claw slightly curved, somewhat shorter than the preceding segment, R—s not very visible. I Br 1 h = !j4 br, a little narrower at the middle because of the slightly backwards directed synarthrial tubercle on I Brax. I Br 2 L = br, rhombic, with a long, low carina- tion on the synarthrial tubercle, the distal angle prolonged. Arms X, + 40 mm. Br—s 1 basally united inside; Br.2 considerably longer than the preceding ossicle, with a proximal border of the same form as in I Br 2, inside widely separated. Ex. of syzygies: 3+4, 9--10, 142-15 etc. with an interval of about 3 oblique articulations. The distal parts of the arms smooth. P, 14—15; 5,5--6 mm. P, 14—15; 6—6,5 mm, P, 13; 6 mm. All these p-s very slender, the two first segments short, the following ones L — 3 br. P, S—11; 4 mm. with a genital gland. Distal p-s 16; 6.5 mm. Disk without caleareous granules, 4, mm. Anal cone 2,7 mm. Colour: arms white with red transverse bands. Sp. 2 (St. 37) C. XXXVIII 10—16; 3—8 mm. Arms X, 37 mm. P, 12; b, mm. P, 11; 5 mm. P, 10, 5 mm. P, 10, with a ges nital gland from the 3°—6'" segment. Distal p. + 15; 5,5 mm. On account of the few segments of P, and P, and the relatively short P4 the above-described specimens appear to come next to I. mel- pomene, previously found at Hongkong. 7. adrestine is a not very dif- ferent species from south Japan. It is distinguished by some more j i =" Dh RE ef ne Gp ct THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 133 (18 —20) pinnulars on P,—P,, (P, > P, > Pj), and usually has somewhat fewer cirralss An examination of more ample material will probably show that the two forms belong to the same species. A. H. CLARKE 1918 in the Siboga work gives Antedon minuta as a synonymous form of J. «drestine. If this is correct there might be a mistake in the description of the first-mentioned species. I. adrestine is said to have P, 19; 10 mm. and in this case A, minuta ean scarcely have P, 18; 3 mm. because of a rule that one always finds verified in the examination of growth-series of Crinoids and that runs thus: Length and number of segments of a cirrus, an arm or a pinnule stand in a certain relation to the ontogenetical development and in a certain relative proportion, viz. that younger specimens have shorter cirri, arms, and pinnules and fewer cirrals and pinnulars, than the full- grown ones. The figures obtained by these characteristics are rather constant in relation to one another at a given size and when compared with the same characteristic in older and younger individuals of the same species they can be fitted into an arithmetical series. Dorometra A. H. CLARK. D. nana (HARTLAUB). Fig. 123, 124. Syn.: See 1918 A. H. Crank Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 216. From St. 41: 3 specimens. Sp. 1 (St. 41) The free, flat, dorsal pole of Cd about 0,5 mm. €. LI 10—14; 4—8 mm. 1* segment short, 2° cubical, 34 L = 1!/; — 2 X br, 4%—7™ segment: L=2— 3X br, then shorter again. Antepenul- timate cirral L = 1'/2 br, penultimate segment L = 11/3 br, with a pointed opposing spine, h = '/2 of the br of the segment. Terminal claw cur- ved, somewhat longer than the preceding segment. I Br 1 almost concealed by Cd. Axillary rhombic, h = ?/s br with a slight synarthrial tubercle in the proximal part. Arms X, 30— 35 mm. Br—s 1! basally united inside. Br 2 with a small, backward directed synarthrial tubercle; this ossicle is narrower than Br 1, by which a broad interspace (= '/2 of the br of the arm) arises between the arm-bases. Syzygies: 3 + 4, 9 + 10, 14 + 15 etc. with an interval Fig. 117—119 Iridometra melpomene (St. 32) 117) Cirrus ‘1, 118) P, ‘1, 119) Distal pinnule Yi; - 122 Dorometra briseis (St. 37) 120) Cirrus a) long one (from the ventral whorl), b) short one (from the. whorl) %ı, 121) P, 14/1, 122) Distal pinnule #1; 123, 124 Dorometra nana (St. 41) 123 Cirrus '/1, 194) Di nule ?A; 195—127 Dorometra parvicirra 195) P, (St. 58), X 17 Ye, 126) Cirrus (St. 47) #1, 127) Distal pi (St. 53) 1; 198—132 Psathyrometra Wireni (St. 6) 128) P, !*A, 129) P, with a genital gland from the 5th- segments '%ı, 130) Distal pinnule 7/1, 131) Cd with the cirrus-groups and the bases of the arms #1, 1 younger and more slender but complete cirrus, b) the 7 first segments of an out-grown cirrus 14/1; Cyllometra pulchella (St. 13) 133) Cd with the cirrus-sockets and an arm-base ?/i, 134) The proximal faces radials and half of the rosette 4/1, 135) Half Cd seen from the ventral side ‘4/1, 136) The distal articulatio: R #1, 137) Half of Cd in lateral view, showing the central cavity !5/, 138) Br 2—8 with P,— P, “1, 139). /1, 140) Distal pinnule 1/1 THE ÜRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO Japan 1914. 1535 of 3 oblique articulations. The segments are smooth, rather short, never much longer than broad. PRESS Emme ‘and: "P. broken. Py 0:9 275mm. Py- 10, of about the same length or a little longer. P, 13; 5 mm. much larger and coarser than P, and P,, like these p—s rather smooth. P, with a small genital gland. P, and the following ones about 5 mm. Distal 17; 4,5—5,5 mm. Disk somewhat swollen with a smooth, ungranulated skin, pentagonal, 5 mm. Colour: like the specimens of the Siboga Expedi- tion with close, small spots of violet-brown on white ground, the soft parts olive-brown (specimens in spirits). Sp. 2 (St. 41) C. XLIX 12—14; 4—9 mm. Arms X, broken. P, 10; 3 mm. For the rest as the preceding specimen. Sp. 3 (St. 41) C. about L 10—12; 4—8 mm. Arms X, 35 mm. Syzygies as before. P, 8; 3 mm. P, 6—8; 2,5; mm. P, 15; 6 mm. P, 12; 3,7 mm. Distal p. + 16; 5 mm. Disk 5 mm. Somewhat smaller spots, appearing only at the articulations, by which the specimen seems to be lighter. Differs from D. nana only by greater number of cirri and by the Br—s 1, which are basally united inside. p. 15 Dorometra briseis A. H. Crank. Fig. 120—122. Syn.: Antedon briseis 1907 A. H. Crank. Proc. U. 8. Nat. Mus. Vol. 33, p. 83. Iridometra briseis 1908 A. H. Crank Wash. Proc Biol. Soc. Vol. 21, p. 131; 1912 Crin. Ind. Oc., p. 231; 1915 Wash. Journ. Acad. Sei. Vol. 5, p. 215. Dorometra briseis 1918 A. H. Crank Siboga Exp. Vol. 42 D, p. 216. From St. 35 (1), 37 (2) = 9 specimens. Sp. 1 (St. 37) C. XLVII 10—17; 3—11 mm. 1* segment L - br, 23 one L=2 br, 3! —5'^ segments the longest, L = 3—3 !/ br. The segments somewhat hour-glass-shaped, specially widened distally. R—s indistinctly visible in the corners. I Br 1 h= !/e br, partly concealed at the middle by the tongue-like prominence from the axil- lary, laterally free and provided with a small tubercle. I Br 2 about rhombie, h = ?/s br, with concave distal margins and a backward directed 136 T. GISLÉN, tongue. Br—s 1 free inside. Br 2 with a backward projecting promi- nence, similar to that of the axillary. Arms X, 40 mm. smooth; the syzygies: 3 +4, 9+ 10, 16 + 17 etc. with an interval of 3 oblique arti- culations. The longer side of the proximal Br—s L about = br, on the distal segments L = 1 !/2 br. P, 8; 2,7 mm., P, 8; 25 mm., P, 13; 4,7 mm, P, 14 50m Distal p—s + 18; 6,5 mm. | Colour: yellow-white; the arms with transverse bands of brown- red /arge spots. Sp. 2 (St, 37) C. XXXIV 9—12; 2—7 mm. Arms X, 20 mm. P, 7; 2,2 mm., P, 7; 2 mm., P4 10; 3 mm. Distal p—s 15; 5 mm. Sp. 3 (St. 35) C. about XXXV 11—14; 6—10 mm. built as be- fore. H of the opposing spine ?/3 of the br of the segment. Axillary with concave distal margins, h = ?/s br. Br—s almost free inside, twice as broad on the outer side; the outer half partly hidden by the backward directed tongue from Br. 2. Arms X, 45 mm. Syzygies with an interval of 3(—4) oblique articulations. P, 9—10; 3—3,5 mm., P, 8—9; 2,5—3 mm., P, 11—12; 4,2—5 mm. P, 10; 4,5 mm. with a genital gland. Distal p. 17; 5,5 mm. Disk 5 mm. Colour as before. All these specimens differ from D. briseis by having more cirri and by longer P,, by which they resemble D. nana. Nevertheless the size of P, in the latter species always differs much more from the other p—s than in D. briseis, the cirrals are shorter in D. nana (cf. the descriptions of the two species), and the colour seems to be consistently different, as D. nana has small, closely-arranged spots, while D. briseis has some few, large dark flecks separated by large white parts of the arms and pinnules. Dorometra parvicirra (P. H. Canr.) Fig. 125—127. Syn: See 1918 A. H. Crank Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 216. From St. 47 (1), 53 (1) - 2 specimens. Sp. 1 (St. 53) Cd hemispherical, C. about XXX, fallen. Cirrus- sockets arranged in two irregular whorls. A loose cirrus 14; 5,5 mm. f fe 4 ~ THE CnrNorps FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 137 3! and 4 segments the longest ones, L = 2—2 !/» br, like the pre- ceding ones a little hour-glass-shaped. Antepenultimate segment L= 1/2 br. Opposing spine h-!/» of the br of the segment. Terminal claw narrow, pointed, somewhat curved, as long as the penultimate segment, R—s h = }7 br. I Br—s 1 h =1/s—1/s br, laterally free, but in close contact by a small, lateral tubercle, at the middle partly hidden by the synarthrial tubercle from the axillary. Axillary rhombic, h = br. The lateral angles a little pointed by a small prominenee. Arms X, broken, probably between 20 and 30 mm, Br—s 1 united on the inside, twice as broad on the outside, medio-laterally narrower by the tubercle from Br 2. Ex. of syzygies: 3 +4, 9 + 10, 14 4- 15 etc. with an interval of 3 oblique articulations, First 10 segments about dis- coidal, then oblique joints. Arms rather smooth. P, 8;2 mm. (1* segment short, 2* one cubical, 3* L = 1 1/2 br, 27" segment L22—3 X br) P; 7; 1,5 mm., P, 8; 2, mm., P, 10; 4 mm. (The segments somewhat hour-glass-shaped, L = 3—4 br), P, 7; 2 mm. P,+9; 3 mm. Distal p—s about 15; 5 mm. (Longest seg- ments L2 3—3 !/2 br). Disk 3 mm., rather much incised, granulated both IR and inter- brachially. Colour: brown. — With some large Myzostomas. Sp. 2 (St. 47) Cd rounded, dome-shaped, dorsally papillated. C.+ XXV, 11—14; 2,5—7 mm. in 2 or 3 whorls, 3?—6% segments the longest, L— 1/2, 2 and 2!/2 X br. Opposing spine h—?/s of the br of the segment, directed obliquely outwards. Axillary rhombic, h —?/s br, with a low synarthrial tubercle, located somewhat in front of the tongue-like posterior prominence (the same in sp. 1). Arms X, 35 mm. Syzygies as before. P, 9; 2,7 mm. (The L of the segments 3—3 1/2 br), P, 7; 2 mm. EIUS nmm. P, 14; 5.5 mm. P, 9; 2, mm. Distal p. 16; 5 mm. (Longest segments L — +4 X br). The genital glands not very pro- minent, Disk smooth, somewhat incised, without granules. Colour: brown. — With Myzostomas. Properly speaking, the above-described specimens only differ from D. parvicirra (P. H. Carp.) by their smaller proportions. Therefore I have not separated them as a special variety, though the axillaries Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. 29/3 1992. 18 138 T. GISLEN, and I Br 1 are of somewhat different form, not so much pronounced, however, in the larger specimen. These differences are therefore > 8 | probably due to the animals’ different ages. Zenometrine A. H. CLARK. Psathyrometra A. H. Cramx. Ps. Wireni n. sp. Fig. 128—132. Photo 12. From St. 6: 1 specimen. Sp. 1 (St. 6) Cd pointedly conical, h — 2 mm., br=2,2 mm. The cirrus-sockets in 5 radial groups, separated by narrow, interradial interspaces. Each radial group with 7—S8 cirri. (The most dorsal cirrus-sockets more or less indistinct or disappeared). In each group there are two rows (with 3—4 cirrus-sockets), forming an angle with each other, and between these rows there is an incomplete one with 1—2 cirri. Cirri fallen or broken, marks after XXXIX. A young, complete, fallen cirrus with 18 segments, 10 mm. 1* segment short, 2° cubical, 31 L—15/4 br, 4^ segment L —2 !/» br, 5%—7™ eirral L — 3—3 1/2 br then slowly decreasing; antepenultimate segment L — 2 !/4 br; penulti- mate one L —2 br. Terminal claw almost straight, L — '/ of the pre- ceding segment (cf. the figure). The first 7 segments of a full-grown cirrus also remaining. These are larger and coarser, but otherwise of about the same proportions as in the young cirrus. (Except the 3° segment, where L-— 1 !/s br). This cirrus has probably been of a L of about 15 mm. R—s somewhat visible in the corners. I Br--s 1 laterally free, latero-distally a little squeezed together, h — !/«4 br. Axillary h — ?/4 br, broader than the preceding ossicle, rhombic, the posterior margin slightly curved, because of the low, backward directed, synarthrial tubercle; distal tongue narrow, very much prolonged. Arms X, 40 mm., (broken, probably about 60 mm.) Br—s 1 basally contiguous inside, the outer border twice or three times as broad as the inner one. Br 2 "TTD THE ÖRINOIDS FROM DR. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914, 139 also very much more narrow on the inside; slight synarthrial tubercle between Br I and 2. The distance from the R—s to the first syzygy is 3,2 mm. After Br 12 oblique joints. Ex. of syzygies: 3 + 4, 9 + 10, 14+ 15, 21 + 22 or 3 + 4, 9 + 10, 16 + 17, 20 + 21 etc. with an interval of 3 oblique articulations. The first 10 Br—s with the distal margins somewhat thickened and bent outwards; distally the arms are smooth. P, + 90; 6 mm. The 5 first segments with notches (as in for in- stance Ps. mira), shorter than long to cubical; then the segments are slender, more or less hour-glass-shaped, L — 1!/2— 2 br, the whole pin- nule very slender and whip-shaped, P, similar, + 25; P, 11—12; 3,5—4 mm. (First 9 segments shorter than long, the following ones L — 2— 2! br. From the 5"—the 8 segment a large genital gland; P, stouter than P,). P, similar, 11 segments. P411: 3,7 mm. Distal p. 16; 5,5 mm. (1 and 2 segments short, 3° and the following ones long and slender, L—2!/2—3 br, the articulations somewhat swollen). : Disk a little incised, 4, mm., without granules. Anal tube 2. mm. The ossicles white, the weak parts yellowish (on the pre- served specimen). The above-described new species is a rather interesting type. By the formation of Cd it documents its relationship to the subfam. Zenometrinæ. The formation of cirri and P, both hint at the above- mentioned subfamily as well as the subfam. Thysanometrin«e (Both these characteristics are however common both to Thysanometrinæ and to a couple of genera in Zenometrinæ). And finally — and this is the really strange condition — the animal has a large genital gland on P,, a phenomenon elsewhere found in Ps. anomala, in Bathymetrine, and exceptionally in Antedoninæ (Compare Compsometra parviflora), Of late A. H. Crark has shown that a genital gland on P, does not occur in all species of Bathymetrin® (as he at first supposed), though it is a very usual characteristic in the subfamily mentioned. It is perhaps not an accident that this characteristic, otherwise common to the Bathymetrine, is found in Zenometrin forms. This is an additional support for A. H. CLARE's supposition (though possibly not a very important one, considering that a genital gland is also found exceptionally in the Antedoninw) that the two first-mentioned subfamilies might be more closely related. To be correctly understood, I will say, however, that, contrary to A. H. Crarx, I am more inclined to think 110 T. GISLÉN, the Zenometrine to be the original type because of the formation of the Cd which probably more than that of the Bathymetrinw, resembles the Cd of the more primitive (Alelecrinoid?) forms from which the Ma- crophreats originate. The new species, which I have named after Prof. A. WriRÉN of Uppsala, is in other respects approaches closest to Ps, inusitata and Ps. anomala. Perometrinæ A. H. CLARK. Erythrometra A. H. COranx. E. rubra A. H. CLARK. Fig. 150—152, Syn.: Antedon ruber 1907 A. H. Crark Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 33, p. 146. Erythrometra ruber 1908 A. H. Crank Wash. Proc. Biol. Soc. Vol. 121, p. 126; Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 316; 1909 Kobenhavn, Videnskabl. Meddel. p. 190; 1912 Crin. Ind. Oc. p. 233; 1915 Wash. Journ. Acad. Sci. Vol. 5, p. 215; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 236. From St. 11 2 3 specimens. Sp. 1 (St. 11) C. XX 24—25 (D), 34—36 (V); 7—11 mm. . 1** and 2* segments short, 3° cubical, 5" the longest, L — 1 !/s—1 2/3 br, then slowly decreasing, 10" segment about cubical. From this segment a dorso-distal swelling on the cirrals, and this prominence gradually de- velops into a blunt, longitudinal crista (most prominent about 9—10 segments from the last one). Antepenultimate segment almost smooth. Opposing spine stout, h —?/s of the br of the segment. Terminal claw eurved, L about the same as the penultimate segment, R—s h=!/s br. I Br 1 h— !/z br, laterally almost free, though nearly standing, distally somewhat incised in the middle by the obtu- se-angled proximal border of the axillary. The synarthrial swelling inconspicuous. Axillary rhombic, h — ?/4 br, lateral angles with ve- ry slight, small spines. Arms X, 25 mm. +. Br—s 1 inwardly united by pairs, outwardly 11/2 X broader. The proximal border of Br 2 THE CRINOIDS FROM Dm. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914 141 similar to that of I Br 2, Joints after Br 10 triangular, smooth. Sy- zygies: 3 + 4, (9 + 10), 15 + 16, 21 +22, distally with an interval of usually 9—4 oblique articulations. P, 11—12; 42 mm. (1* and last segments short, the other ones L = 2-2 !/» br, smooth eirrals), P, 11; 4 mm. (Distal segments slightly swollen and spiny), P, 8—9; 2,2 mm., P, still a little shorter, then again longer p—s. Distal p +13; 3 mm. (L** and 2" segments some- what stouter than the following ones), P, usually absent, The proximal pinnules are stiff. Colour (on preserved material) yellow-brown. Cirri white. Disk 5 mm., finely papillous. Anal cone narrow, L = 0,* mm. Sp. 2 (St. 11) C. XXXII 15—16 (D), 25—28 (V); 2,5 and 7 mm. respectively. I Br 1 with 3 small lateral tubercles on each side. Arms X, broken. After Br 7 wedge-shaped segments. Ex. of syzygies: 3 +4, 21210, TEE TE, P, 9; 3,5 mm, (Distal segments slightly collar-shaped and a little spiny). P, 8; 2, mm. Similar to P,; P, 9, about as long as P,. P, absent. Disk with large caleareous granules also interbrachially, where the perisome reaches to Br 4. Colour salmon-red. Cirri white. Sp. 3 (St 11) The free dorsal surface of Cd small-grained, 0.s mm. C. XIV 17—19 in a single whorl. 4" segment the longest, with a dorsal tubercle, which at the 7" segment passes over to a stout dorsal spine, less developed on the antepenultimate segment. Arms X, broken. Syzygies with an interval of 3—4 oblique articulations. P, 11; 9 mm. P, 11; 42 mm. (the distal borders of the pinnu- lars with small spines), P, 9; 3 mm., P, 10; 2 mm., P, absent, Colour white, with pale pink spots on the arms. Though the above-described specimens differ from Erythrometra rubra by having almost smooth arm-bases and proximal pinnules, I have referred them to this species, as the other characteristics coin- cide, and considered the differences to be ascribable to different ages in my specimens and those described of A. H. CLARK. A. H. CLARK originally called the species Antedon ruber. When a litle later he created his new classification of the Comatulids and 2 , 142 T. GISLÉN, referred the species to a new genus of feminine gender, he still pre- served the second name ruber with a masculine inflection. To adapt the adjectival second name to the genus-name, I have therefore called the species JE, rubra. Clarkometra n. gen. In all morphological chararacteristics this new genus proves to be a Macrophreat form and is to be included in the subfamily Perome- trine. (Nevertheless I will call attention to the fact that the dorsal prominence on AS" cirral is a transversely curved, even crista. This reminds one of the condition in the family Colobometridæ, where the crista is, however, always forked or serrate.) Clarkometra agrees with the Central-American genus Hypalo- metra in the absence of P, and P,, but differs from this one by a low, flattened Cd, by short cirri, which are composed of a rather small number of about cubical segments, and by the occurrence of 2 pairs of oral pinnules. Of the other distinguishing marks I ought, perhaps, to mention the appearance of the cirrus-sockets on Cd. (The per- foration for the central eanal is situated in the middle of a relatively large calcareous wart located in the central part of the cavity in which the cirrus is fixed) — A. H. CLARK in a letter to me has supposed that the species described below might possibly be identical with, or nearly related to, »Antedon impinnata» mentioned by P. H. CARPENTER from Mauritius (Chall. Exp. p. 206). It is possible, though not very likely, that the new species might be nearly related to CARPENTER's species — from his very incomplete description one only learns that P,, P, and P, are absent — that it is identical with my species I con- sider to be out of the question, partly because of the statements about the number of cirri and cirrals, partly on aecount of the geographical distribution. Besides, the statements about the pinnulation rather point to a young animal than to a full-grown individual. For in connection with the notice of absence of P,, P, and P, nothing is said about P,, and one must therefore suppose that this pinnula is present. This new, very interesting genus I have called after A. H. CLARK, who has done such very meritorious work on the systemisation of the Comatulids. THE Crinors FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 143 Cl. elegans n. sp. Fig. 141—149, Photo 8. From St. 43 (15 sp.), 53 (2) = 17 specimens. Sp. 1 (St. 43) Cd low, arched, br = 1,8 mm., free dorsal surface 1 mm., somewhat granulated. H of Cd 1 mm. (from the R—s to the dorsal pole). C, XXX 15—18; 9,5—5 mm. in two close, alternating whorls. 15! segment shorter than long, 2" and 3" cubical, 4" L = 1 !/4 X br, then slowly decreasing. 5"—7" (or 8") segment with a low, transverse, cur- ved crista which from the S" cirral concentrates to a small, simple dorsal tubercle. Opposing spine pointed, rather large (h = !/2 of the br of the segment). Terminal claw curved, rather stout, length about the same as the preceding segment. The whole cirrus rather stout. R—s almost concealed at the middle by Cd, a little tongue-like in the corners. I Br-s I baso-laterally contiguous or free, h = + 1/4 br, with a small medio-dorsal tubercle. Axillary h = ?/4 br, almost hexagonal with a low, synarthrial, longitudial crista (rather slightly bordered) in the proximal ?/s. Arms X, 30—35 mm., smooth. Br-s 1 united inwardly to ?/s Br 2 on the outside twice as broad. Br 1 and 2 with a slight synarthrial prominence similar to that of the I Br series. Ex of syzygies: 3 +4, 9 + 10.. distally with an interval of 3 oblique articulations. The proximal segments rather long. P, and P, absent. P, 12; 6,5 mm. (1** segment short, 2° a little longer than broad, 3° L=2 br, 4" and 5 segment L = 3—4 X br, slender, at the ends somewhat widened. From the 3° segment the distal ends are indistinctly collar-shaped and have spiny borders), P, 6 mm. P, 11; 5 mm. P, 10; 3,2 mm. with a genital gland and con- siderably shorter segments. Distal p-s. 16; 5, mm. (1*, 2" and the last segments short, the other ones L — 2 br). Disk without calcareous granules, incised, longest diameter 4, shortest 2,5 mm. Anal cone long, +2 mm. Cirri white, the arms red-violet. Sp. 2 (St. 43) The size of the disk as before. Anal cone 1,5 mm. Colour a little lighter: red-grey with a light, dorsal, longitudinal band. For further details compare the table, 144 T. GISLÉN, Sp. 3 (St. 48) R—s narrow bands. I Br-s I laterally free. The synarthrial tubercle indistinct. P, 9; 3 mm. Sp. 4 (St. 43) R—s well visible, h = 1/6 br. No synarthrial tub- ercle. Broken arms. Sp. 5 (St. 43) R—s as in Sp. 4. P, 7; 2,7 mm. Sp. 6 (St. 43) P, 9; 4» mm. Sp. 7 (St. 43) P, 8; 3,3 mm. Disk:longest diameter 3,5, short- est one 2 mm. Sp. 16 (St. 53) Opposing spine h = ?/s of the br of the segment. P, 8; 3 mm. Disk 3 mm., not so distinctly incised. Anal cone 2 mm. Sp. 17 (St. 53) Disk 2,5 mm. I PAS Camm | Arms | Pp ba På Dist. p Number of speei- Men 5| | | mens & stations | N S | n Neem, S | n eua OT SIE jr S | ib mm | | | | Sp. PA(St 435) | XXX |15—18 3,5—5 |X|30—35 12 | 6,5 | 11 5 10 | 3,2 16 | 5, Sp. 2 (St. 43.) | XXVIII|16— 19]3,5—5,5X | 25 | 12 | 55 | 10 | 47 |-10 | 3 |LS=17 25 Sp. 3A (St:49.) | * — 4415. s X7. 390: | do: L| eR ST ee MEN | 4 Sp (SEA) ENT 9 (AES Ss XE REM) | | | — Sa . 5 (St. 43.) | XVII ey EBD el 2% 8 152022100) | 9, 6 (St. 435) |XXVIIL 13— 16 3,5 —6 Xe | 7] 9 | 4,2 |7—8 3,2 | 8 2,5 | 16 5 . 7 (St. 43.) | XXIII |14— 16/2,5—3;5/X — | 8 3,3 8 3 = — | — | = (NTE NN SA |) 77 8 | Shy te | 3 87 2270115 | 4 17 (St. 53.)| XIV |12—15| 3—4,5|X |15—20| 9 3 | 9h25 Et | + LI CK Bathymetrinæ A. H. CLARK. Thaumatometra A. H. Crark. Th. comaster A. H. Cranx. Fig. 153—150. Syn: Thaumatometra comaster 1908 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 232; 1912 Crin. Ind. Oc. p. 246; 1915 Wash. Journ. Acad. Sci. Vol. 5 p. 215; 1918 Siboga Exp. Vol. 42 B, p. 256. From St. 37 (and 4) = 2 specimens. Sp. 1 (St. 37) Cd very low and flattened, conical, br = 2 mm h about 0,6 mm. The free, dorsal surface 1,1 mm. C. + XXXV 12—15; 7—8 mm. in a double whorl (1*' segment short, 2" cubical, 3° L = THE CRINOIDS FROM DR. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 145 2 br, 4"—6" L — 9 X br, rather much hour-glass-shaped, 7" segment L = 21/2 br, antepenultimate one L very slightly greater than br. Ter- minal claw curved, about as long as the preceding segment). The distal cirrals smoother, in side view thickened. R—s concealed. I Br-s 1 laterally free, in the middle incised by the backward projection from the axillary. Their lateral h = '/4—1/s of the br of the segments. Axillary h = br, with a tongue-like pro- minence both proximally and distally; the proximal projection is longer than the distal one. The side-angles of the axillary overlapping the I Br-s 1. Arms X, 45—50 mm. Br-s 1 inwardly contiguous basally, on the outside three times as wide. Br 2 with a stout synarthrial tongue. The first syzygial pair (3+4) a little broader inside than outside. The following segments irregularly squarish. The distal Br-s knotty and swollen, somewhat longer than broad. Ex. of syzygies: 3+4, 92-10, 14+15 ete. with an interval of 3 oblique articula- tions. P, 15; 7 mm (1** and 2? segments short, 33 L = 2—21/2 br, 4% and the following ones L —3— 4 br), P, 8; 4 mm. (with a genital gland from the 3° or 4% to the 7" segment), P; 9; 4,5 mm. (a gonad from the 3° to the 7" segment). The distal segments a little spiny distally. Distal p-s. + 16; 6—7 mm. Disk 3,8 mm., smooth, without stouter granules. Anal cone 3,2 mm. Sp. 2 (St. 4) A very young specimen, probably belonging to this species. C. + XXVI 7—10; 2—3 mm. in 2 whorls. Cd low, flattened, almost hidden by cirri. (2* cirral L — 1 ?/4 br, the following segments L—4X br, distally somewhat expanded. Antepenultimate segment L— 1%/4 br. Penultimate segment L — br, with an indistinct opposing spine). I Br 1 h—!/s br. Axillary h —?/4 br, the backward directed eorner with a large synarthrial tongue, about twice as long as the distal angle. Arms X, 10 mm. +. Br-s 1 almost free inside. Br 2 with a synarthrial tongue. — P, + 10; 1, mm. (L of the segments — 21/2 br) Between P, and the distal pinnules a gap. Disk 1,3 mm. Anal cone 1 mm., narrowly sausage-shaped. Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. ?j 1922. 19 Fig. 141—149 Clarkometra elegans (St. 43) 141) Half Cd viewed from the ventral side 4/1, 142) Half Cd viewed laterally, showing the extention of the central cavity !%/ı, 143) Br 4—11 with P,—P, 1, 144) The distal face of the R #1, 145) Some Br segments and a distal pinnule 4/1, 146) A part of Cd viewed from the dorsal side (observe the calcareous warts at the bottom of the cirrus-sockets), X 17 Ya, 147) Cirrus “4/1, 148) Proximal radial faces with the rosette in situ, X 17 !/s, 149) The arm-bases out to Br 3 "4/1; 150—152 Erythrometra rubra (St. 11) 150) Distal pinnule #1, — — THE ÜRINOIDS FROM Dr. S; Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 147 It seems to me as if Th. cypris were rather indistinctly sepa- rated from the above-described species. The dorsal prominenees of the cirrals are not developed in the above specimens, Is this condition, perhaps, common to all small spe- cies of the genus Thaumatometia? If Pj may have a genital gland in Antedonine, and the dorsal prominences of the cirrals may be absent in Bathymetrine the limit between the two sub-families becomes rather vague. Pentacrinidæ (p’Orpicany). Metacrinus P. H. CARPENTER (Wyv. Tuows. M. S.). M. nobilis var tenuis n. var. Fig. 161, 162. From St 7 (2), 9 (5), 56 (1), 58 (1) —9 specimens. Also a stem- less crown without indication of the locality. Sp. 1 (St. 9) Full-grown internodes with 10—13 internodal joints, 13—18,5 mm. (8, 9 and 10 internodals each 1 case, 11:5 cases, 12:5 cases, 13:4 cases). Interarticular pores to the 12% internode. The 3 most proximal nodals without cirri Full number of internodal joints in the 6" internode. The stem with 22 internodes; total length 275 mm. Diameter of the stem 3,5—41, mm. The segments are pentago- nal, smooth; the 10 most distal internodes, however, with the joints in the radial line a little concave and provided with small tubercles. Here and there on the internodals tubercles also IR. ; Cirri reaching over 2—2'/» internodes, 50 segments (IX nodal) 44 mm., 44 (XIII) 36 mm., 44 (XVI) 36 mm., 40 (XVII) 31 mm., 40 (XVIII) 30 mm. 7 segment L-— br; 15 last segments with dorsal spines. L of the terminal claw = 1'/» times the preceding segment. 151) Cirrus ‘1, 152) Br 2 and 3 with P, ‘1; 153—156 Thawmatometra comaster (St. 37), 153) Cirrus %ı, 154) P, '4A, 155) P, with a genital gland !*A, 156) An arm-stump with distal pinnules (a small genital gland from the 34—the 5th segments) %/1; 157, 158 Metacrinus inter- ruptus (Sp. 10) 157) P, (I Br 3) viewed somewhat more laterally than in the two following spe- cies, X 4 1/2, 158) Cirrus a) Proximal part b) Distal part, X 41/2; 159. 160 Metacrinus rotundus (Sp. 2) 159) P, X 4!/s, 160) Cirrus a) Proximal b) Distal part, x 4'/se; 161, 162 Metacrinus no- bilis tenuis (Sp. 1) 161) P,, X 4 !/s, 162) Cirrus a) Proximal part (observe: by the position of the basal cirrals the cirrus is bent downwards, not, as in the two preceding species, upwards) b) Di- stal part, X 41/2. 148 T. GISLÉN, No opposing spine. The cirrus-socket entering somewhat into the supra- and infra-nodal joint. B—s contiguous, shield-shaped, h: 1,3, br: 3,5 mm. R—s sold- ered together laterally, h = 1,8 mm., br = 4 mm. I Br-s 4 (1 + 2); 7 mm. II Br-s 7(2+3) or 7(3 +4) each in 4 cases, 9 mm. The two re- maining divisions broken. III Br-s 11 (3 +4) 3 cases, 13 (3 + 4) 2 cases, 15 (3 + 4) 2 cases; 11—15 mm., the other ones broken. IV Br-s 13 (3 + 4), 15 (3 +4) each in one case. The Br-s smooth. The perfect specimen probably with LV arms; the total arm-length is 95 mm. L of an unramified arm from III Brax 65 mm. P, (to the right on I Br 2 and to the left on I Br 3 in 2 cases, the reverse condition in 3 cases) 14—15; 13 mm. (1° and 2° segments stout, square, the L in total 3 mm., the rest of the segments strongly compressed), P, 17; 18 mm., P, 17—18; 18 mm., P, 14; 12 mm. — Disk with small calcareous granules. — Colour, in spirits, white with a green-bluish tinge. Sp. 2 (St. 9) 18 Internodes; 240 mm. Internodal joints 13 (1 case), 14 (12 cases); 15,5—18 mm. Interarticular pores to the 10% in- ternode. Full number of internodal joints and number of proximal no- dals without cirri as in Sp. I. Diameter of the stem 4,;—4,s mm. Cirri extending over 2 internodes. Length on the X" nodal 40 mm., 43 (XII" nodal) 38 mm., 48 (XIII) 35 mm. The fixing point for the cirrus just touching the supranodal. The infranodal joint sloping towards the fixing point. I Br-s 4 (1+ 2) 9 mm. only remaining in one case. II Br-s 7 (3 +4) 11 mm. (1 case). P, to the right on I Br 2, to the left on I Br 3 in the only occurring case. Sp. 9 (St. 9) 23 internodes, 295 mm. Internodal joints 12 (1 case), 13 (11 cases), 14 (5 cases); 12,5—16,? mm. Interarticular pores to the 10" or 11” internode. The joints are pentagonally rounded, smooth. Diameter of the stem 4,5—5,5 mm. Cirri 55 (X" node) 59 mm., 53 (XI) 58 mm. 51 (XX) 55 mm.; extending over 2°/4—3'/2 internodes, From the 8" segment the cirrals are as long as broad The 20 last joints with a slight dorsal carina- tion. The erown thrown off from the B—s. Sp. 4 (St. 9) 17 internodes, 225 mm. Internodal joints 13 (6 cases), 14 (6 cases), 15 (1 case); 15--18 mm. Interarticular pores to = THE ÖRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION To JAPAN 1914. . 149 the 9" internode. Diameter of the stem 4,7—5,0 mm. The segments are smooth, distally almost perfectly round or 10-agonal by a slightly developed radial tubercle. The interradial tubercles usually smaller than the radial ones, all of them very inconspicuous, Cirri 47 (IX node) 48 mm., 46 (XI) 46 mm., 46 (XIV) 46 mm. Reaching over 2'/2 internodes. — Crown thrown off. Sp. 5 (St. 9) 13 internodes; 125 mm. Internodal joints 15 in all the full-grown internodes; 14,7—15 mm. Interarticular pores to the 10% internode. Diameter of the stem 4,0—4,4 mm. 3 proximal nodal joints without cirri, Full number of nodal joints in the 6™ internode. The segments as before smooth or slightly swollen in the middle. Cirri 44 (IX), 43 (XII) 40 (XIII, 35—40 mm. Extending over 2'/4 inter- nodes. The crown thrown off. Loose crowns (St. 9) 1) R—s h: 1,3, br: 4,5 mm. I Br-s 4 (1 +2); 13 mm., occurring in 5 cases. II Br-s 5 (3 +4) 2 cases, 6 (1 case), 7 (7 cases) with sy- zygies between the 21 and 3! segment in 4 cases, between the 3° and Eun 3 cases: 7—10 mm. Il Br-s 9 (3 +4) 4 cases, 10: 1 case, 11 (3 +4) 8 cases, 13 (3 +4) 5 cases; 9—11 mm. The higher figures usually on the inner side. IV Br-s 11 (3-- 4) 4 cases, 19 (3 + 4) 3 cases, 15 (3 +4) 5 cases, 17 (3 +4) 2 cases, 19 (3 + 4) 5 cases, 21 (3 +4) 3 cases; 10—20 mm. Arms LX, 140 mm., smooth. Length of an undivided arm from IV Brax 90 mm. 40—50 last mm-s. with rudi- mentary p-s. Syzygies: 3 + 4, 17 4- 18, 37 +38, 56 + 57 etc. P, to the right on I Br 2 in 5 cases. Distal p-s + 15; 10 mm. Disk + 14 mm., coarsely granulated. Anal tube 12 mm. Colour lightly red-grey. 2) A very broken specimen. I Br-s 4 (1 +2) 1 case; 8,5 mm. Meeres 8 (23,5 +6) or 8 (1 + 2, 445) 2 cases; 12 mm. — IN Br-s 15 (344) 1 case; 17 mm. P, to the right on I Br 2 in the only oc- eurring case. Example of pinnulation: E con 11+234 [m 123+ 150 , T. GISLÉN, Sp. 6 (St. 7) A stemless crown, — R—s 1 X 3 mm. 1 Br-s 4 (1+ 2); 7 mm.; present i 4 cases. II Br-s 7 (2+ 3) 4 cases, 8: 3 cases, of which the syzygies between 1 +2, 4+ 5 in I case, between 2+ 38, 5 + 6 in 2 cases; 10 mm. The other ones broken. UI Br-s 9 (3 +4) 1 ease, 11 (3 + 4) 7 cases, 18 (3 -- 4):6 cases; 5—11 mm. IV Bes (3 +4) 3 cases, 13 (3 + 4) 10 cases, 15 (8 + 4) 1 case, 17 (3 + 4) 1 ease, 18 (3+4, 8+ 9, or 3+4, 19 14) 2 cases 2037 4, 12 715) cz 22 (8--4, 15+16) 2 cases, 28 (91-4, 0 17, 16 17), 3 ense M (8 -- 4, 6+7, 17 +18 or 3 +4, 10 +11, 20 + 21 the former condition in 2, the latter in 1 ease), 27 (3 4- 4, 11 +12, 28 + 24) 1 case; 10—22 mm. The higher figures on the inner sides, e. g. 13—22—25—13; 13—23—22—11; 15—27—25—11 Arms LVI (probably about LXXV in the complete specimen), total length 115 mm. +. The length of a free arm after a IV Brax 75 mm. Rudimentary pinnules on the last 30 mm. The distal Br-s somewhat collar-shaped. P, 12; 10 mm. (to the left on I Br 2 in 3 cases of 4), P; T4; Pope 15 mm, P, and the following ones 12—15; 10 mm. At the transition to the rudimentary pinnules the number of segments are 14....12, 0 Sor 134778. 2. 10770,5705 OS NOLO eu Sp. 7 (St. 7) A stemless chalice. I Br-s 4 (1 +2); 7 mm. II Br-s 6 (3 +4) 1 case, 7 (8 + 4) 5 cases, 7 (2 + 3) 1 ease; 8—9 mm. III Bres 9 (3 +4) 1 ease, 11 (8 +4) 3 cases, 13 (874) 1 ease; 10—12,5 mm. IV Br-s 11 (3 + 4) 2 cases, 13 (3 + 4) 2 cases, 17 (8 + 4) 1 ease; 10— 14 mm. A perfect specimen, probably, with about LXX arms; total length 105 mm. L of the unramified arm after IV Brax 65 mm, Part of the arm with rudimentary p-s 35 mm. Syzygies after a IV Brax: 3 + 4, 29 + 30, 41 + 42 or 3 + 4, 23 + 24, 42. + 43... P, 8—10 (to the right on I Br 2 in 2 cases, to the left in 8 cases); 7 mm. Distal p-s + 12; 9,5 mm. A loose crown without indication of the locality: I Br-s 4 (1 +2); 7 mm. II Br-s 5 (2 +3) 1 case, 7 in 9 cases, of which in 1 case the syzygies between 1 +2, in 3 cases between 2 +3, and in 5 cases bet- ween 3+4 8—10 mm. III Br-s 9 (3 + 4) 2 cases, 11: 9 cases (the syzygy in 1 ease 2 4-3, in 8 cases 3 +4), 13 (3 + 4) 8 cases; 10,5—13 mm. IV Br-s 11 (84-4) 1 ease, 13 in 12 cases (2 cases: 4+5; 10 cases: 3 +4), 15 (3 + 4) 7 cases, 17 (3 + 4) 1 case, 19 (3 + 4) 4 cases, 20(8--4, 14-F 1b or 3-F4, 16417: 2 cases, or öar 4, 17a IS oc THE CRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION To Japan 1914. 151 3+4, 18 + 19) 5 cases, 21 (3 + 4) 1 case, 22 (3 + 4, 13 + 14 or 3 + 4, 15 + 16) 2 cases, 24 (3 +4, 15 + 16) 1 case; 10.—17, mm. V Br-s 13 (3 + 4) 1 case. — Arms LXXIV. Total length 135 mm. Free arm- length after IV Brax 75 mm. The arm-part with rudimentary p-s 35 mm. Peeuo. the right on I Br 2 in-5: cases) 10;°13¢mm., P, 14: 17 mm. Distal p. 19; 11—12 mm. Disk 10 mm. Anal cone 7 mm. Sp. 8 (St. 56) [5 internodes, 160 mm. Internodal joints 11: 3 cases, 12: 3 cases, 13: 6 cases; 9—13 mm. Interarticular pores to the 7% internode. 3 proximal nodals without cirri. Full number of inter- nodals at the 4" internode. Diameter of the stem 2,5—2,s mm. Cirri 38 (VI) 28 mm., 37 (VII) 29 mm., 36 (IX) 30 mm., 34 (XI) 26 mm., 36 (XIII) 21 mm., 35 (XV). Cirri extending over 2 internodes. B—s 1 X2 mm. R—s 1X3 mm. I Br—s 4 (1 + 2); 6 mm., in 4 cases. II Br-s 7 (2+3); 6 mm. in 1 case. III Br-s 11 (3 + 4) 2 cases; 9 mm. IV Br-s 11 (3 + 4) 1 case, 15 (3 + 4) 1 case, 21 (3 + 4) 2 cases. The other arm-divisions broken. Total L of the arms 80 mm. Free part from a III Brax 55 mm. Part of the arm with rudimentary p-s about 10 mm. Ex. of syzygies: 4 + 5, 24 + 25, 34 + 35... P, (to the right in 2 cases of 4) 12—14; 10—11 mm. P, 15; 11 mm. Distal p-s 11; 6 mm. Sp. 9 (St. 58) 14 internodes, 100 mm. Number of internodals 6—11; 5,5—10 mm. Interarticular pores to the 6" internode. Diame- ter of the stem 0,5— 1,6 mm. Number of internodal joints, counted proxi- mo-distally (from the chalice), are: 0, 0, 0, 1, 3, 7, 9 (6 mm.) 10 (8,2 pu) 11(9) 10 (8) 11 (9), 10 (85); 9 (T), 7 (5,5), 6 (b), 11 (10), 10 (9). Stem smooth. Cirri 26 (VII) 18 mm., 25 (X) 16 mm., 23 (XIII) 14 mm., 21 (XV). From the 4* segment the L of the segments are = 1'/2 br, last 7 seg- ments L — br or shorter. A dorsal spine scarcely developed. Cirri extending over 2 internodes. I Br-s 4(1 +2) in 4 cases, 5 (1 +2 83 +4) 1 ease; 5 mm. II Br-s 7 (2+ 3) 5 cases, 8 (1 +2, 4 +5 or 2 + 3, 6 + 7, the former con- dition in 1 ease, the latter one in 3) 4 cases; 6 mm. III Br-s 11 (3 + 4: 8 cases, 2 4-3: | case) 9 cases, 13 (3 + 4) 7 cases, 15 (3 + 4) 2 cases; 8— 10 mm. IV Br-s 11 (3 + 4) 1 case, 13 (3 + 4) 12 cases, 14 (3 +4, 10 + 11) 1 case, 15 (3 + 4) 3 cases, 17 (3 + 4) 7 cases, 19 (3 + 4) 1 ease; 6—7 mm. Arms LXII +, total length 30 mm. Free L after a III Brax 152 T. GISLÉN, 10—12 mm. The part of the arm that supports the rudimentary pin- nules 3 mm. The arms derived from IV Brax of very different lengths, cf. the table below: d 13 | Br 3 re 3 mm. [Br 1234 0 mm. al Je 7 1,2 mm. Da epa S \Br123+4.....13 bo om. | I ER 1 2:9 E4714 P, (to the right on I Br 2 in 5 cases) 9; 5 mm., P, 10; P; 10; precum. Disk coarsely granulated, with a long, plated anal tube. No orals remaining. As is evident from the deseriptions given above the number of cirrals and cirri is to a certain degree proportional to the thickness of the stem, that is to the age of the specimen. The different stages of age that the present specimens represent permit a rough estimate of the L of the stem in a full-grown specimen. Specimen 3 has a L of the stem of 295 mm. and an increase of 4,5—5,5 mm. of the stem-diameter. Sp. 2 has a 240 mm. long stem and a diameter of 4,5—4,s mm. Sp. 1 has a stem-length of 275 mm. and a stem-diameter of 3,5—4,5 mm. In Sp. 8 the stem on a L of 160 mm. has increased from 2,5—2,s mm. and in Sp. 9 from 0,8—1,6 mm. on a L of 100 mm. To judge from these specimens the increase of the diameter of the stem is thus rapid to 1,5 mm. rather slow at about 2,» mm., again somewhat more rapid between 3,5 and 4,5 mm. retarded between 4,5 and 4, mm., and a little faster between 5,0 and 5,5 mm. Nevertheless there is a general de- crease in the rapidity of the thickness-growth of the stem, i. e. younger specimens grow faster, older ones usually more slowly. The total length of the stem, judging from the above figures, might be between 1,5 and 2,0 metres. To the so-called nobilis-group DODERLEIN has assigned 4 species: M. nobilis, varians, suluensis and superbus. I can here leave the two last-mentioned ones out of the question, as they are well separated from the 2 preceding species and from the above-described variety. Metacri- LP THE CnrNorps FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914, 153 nus nobilis with varieties and M. varians DÖDERLEIN has distinguished according to the below combined scheme: I Large species. Diameter of the stem 5—7,; mm. IV Brachials ordinary. Internodals smooth, without distinct furrows between the joints. M. nobilis 1) 8 internodal joints. Cirri extending over 4 internodes. Diameter of the stem 5—6 mm. 5 »Radials» M. nob. var. sumatranus 2) 9—-10 internodal joints. Cirri extending over 3—4 internodes. Diameter of the stem 6 —7,5 mm. 6(— 7) »Radials» M. nob. var. timoriensis 7 3) 10—12 internodal joints. Cirri extending over 3 internodes, Diameter of the stem 6—7 mm. 5 »Radials» M. nob. var. nobilis. 4) 13—15 Internodal joints, otherwise as in the preceding va- riety. Here is to be mentioned also the sp. from Siboga Stat 251, 253, 254. M. nob. var. murrayi. II Small species. Diameter of the stem 4—5 mm. Rarely IV Br-s. Internodal joints 6—8. Distinct furrows between the internodals. Cirri extending over 4—5 internodes. M. varians. To which species ought the above-described specimens then to be referred? From the point of view of the diameter of the stem and the number of pinnulars they are most closely related to M. varians, but by the number of internodals, L of cirri and number of cirrals, by the occurrence of IV Br-s, by the number of internodes with interartieular pores they approach M. nobilis and especially the varieties nobilis and murrayi of this species. Why have I not referred them to these two varieties, which moreover may scarcely be considered as more than types of individual variation? "The smaller diameter of the stem in my specimens is an important distinguishing mark, but merely because of this I would not establish a new variety, as the difference might be due to a difference in age. As I have pointed out above, the number of the cirrals is to a certain degree in proportion to the size of the animal. When therefore, in spite of the delicate stem, the Bockian specimens have a number of cirrals reaching or exceeding that stated lor M. nobilis, the different diameters of the stems cannot be consi- dered as due to differences of age. Besides, the proximal pinnules in the new variety are shorter than both in M. nobilis and varians. Two of the previously described varieties of M. nobilis show in separate characteristics an approach to M. varians: M. m. var. suma- Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. */« 1922. 20 154 'T. GIsLEN ” iranus by the number of internodal joints, by the diameter of the stem, by the L of the cirri when compared with the L of the internodes; M. n. var. timoriensis by the variability of the I Br-s. It ought therefore not to be so surprising that the new variety of M. nobilis established here approaches JM. varians in a couple of characteristics: a slender stem and short pinnules. Metacrinus rotundus P. H. Carr. Fig. 159, 160. Syn: Metacrinus rotundus 1884 P. H. Carpexrer Chall. Exp. Vol.11, p. 344; 1885 Trans. Linn. Soc. Ser. 2 Vol. 2, p. 436; 1902 (04) Frank Sperry Proc. Mich. Acad. Sei. p. 195; 1908 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 529; 1911 Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 39, p. 487; Notes from the Leyden Mus. Vol. 33, p. 192; 1912 Crin. Ind. Oc. p. 270; Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 43, p. 408; Smiths. Mise. Coll. Vol. 60, N:o 10, p. 33; 1913 Smiths. Misc. Coll Vol. 61, N:o 15, p. 69; 1915 Monograph p. 89. Metacrinus Stewarti 1884 P. H. Carpenter Chall. Exp. Vol. 11, p. 344; 1885 Trans. Linn. Soc. Ser. 2. Vol. 2, p. 443; 1908 A. H. Crark Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 529; 1912 Crin. Ind. Oc. p. 270. The Vega specimen 1884 P. H. Carpenter Chall. Exp. Vol. 11, p. 344. - From St. 10 (1 sp.), 24 (1), 29 (1), 30 (1), 31 (2), 32 (1) = 7 specimens. Sp. 1 (St. 30) 24 Internodes; total length of the stem 400 mm. 3 nodal joints before the first cirrus-bearing node. Full number of inter- nodals in the 5" internode. Interarticular pores to the 12 internode. Internodal joints 11:3 cases, 12:9 cases, 13:3 cases, 14:3 cases, 15:2 cases; 14—17 mm. Stem after the 16% node decumbent in the bed-ooze. Full-grown segments rounded. The socket for the cirrus extending to the supra-, but not to the infranodal joint. Interradial swellings or tubercles on the nodals (slightly developed distally). Cirri 44 (VIII node), 48 (XI), 37 (XII, 44 (XV); 49—56 mm. L of the 5 first segments = !/s br, about the 12™ cirral L = br. A dorsal longitudinal carination, more or less divided into 2 prominences, on each ossicle appearing after the 20'" cirral. Cirri extending over 2!/2— 3!/4 internodes. B—s contiguous, L = ?/s br. I Br-s 7 (14- 2, 4 4- 5) in 5 cases; 16 mm, Primipostaxillaries free inside. II Br-s 7 (3 +4) 1 case, 10:1 med Lb m m THE CRINOIDS FROM Dg. S. Bock’s EXPEDITION TO Japan 1914. 155 ease, 11 (8 + 4) 6 cases, 13 (3 + 4) 1 case, 21 (3 + 4) 1 ease; 19—32 mm. IN Br-s 9 (3--4) 1 case, 10:1 case, 11 (3 + 4) 2 cases, 12:1 case, 18 (8 + 4) 9 cases, 15 (3 + 4) 1 case, 16 (8 + 4, 6 +7) 1 case, 17 (8 + 4) 1 case, 18:1 case, 25 (3 +4) 1 case; 17—32 mm. IV Br-s 13 (3 +4) 1 case, 15 (3 + 4) 1 case, 16 (4 + 5, 8 +9) 1 case, 17 (3 + 4) 1 ease, 18 (3 +4, 13 + 14: 1 ease, 4+5:1 case) 2 cases, 19 (3 - 4:2 cases, 4--5:1 case) 3 cases, 21 (3 + 4) 1 case, 25 (3 + 4) 1 ease, 26 (3 +4, 12713) 1 ease. V Br-s 19 (4 +5) 1 case, 23 (8 +9) 1 ease. Arms LIII. Total length 180 mm. Arm-length after a III Brax 110 mm. with 107—116 Br-s. The arms proximally wall-sided thus, that the lateral borders of I Br 1 are contiguous, and the left side of I Br 2--the first segment of the pinnule correspond to the right side of Br 2 and 3. Syzygies after a III Brax 3 +4, 37 +38, 52 + 53, EU 71. 107v or 3-4, 2627,50 4.51, 14 -- 75, 87 +88, 119 -E114. 116. After a IV Brax the figures are: 3 + 4, 20 + 21, 45 + 46, 79 + 80, Mes 4. 8-19. 18+ 19,28 -- 29; 38 1-39... P, 24—32; 30—35 mm. The 10 most proximal segments sharply quadrangular, strongly compressed laterally after the 2" segment, with ambulacral furrow, (to the right on I Br 2 in 5 cases), P, 24—30; P.—P,, the shortest ones, then longer p-s again. The most distal seg- ments on P,—P, with collars with small spines. From P, smooth segments. The p-s from the middle parts of the arms 12—15 mm. The last 20 pairs of p-s rudimentary with 2—4 segments. Chalice in transverse section about 20 mm. Colour (in spirits) whitish, the arms light brown. Syzygial pairs white. — Disk with eoarse granules. — The specimen handed over to the museum at Gothenburg. Sp. 2 (St. 31) 23 Internodes, 350 mm. Interarticular pores to the 11" internode. 4 nodal joints without cirri, Full number of in- ternodals in the 6 internode. Internodal joints 11:10 cases, 12:6 cases, 13:2 cases (11 distally, 12 proximally); 15—18 mm. Diameter of the stem 6,0—6,2 mm. Cirri 53 (IX node), 55 mm., 49 (X) 53 mm., 46 (XIX) 50 mm. 49 (XXII) 50 mm. Extending over 2!/2—3 internodes. Cirrals 1,5—1,8 mm. in cross section. The last 20 —30 segments with a double dorsal spine as in Sp. 1. The facet for the cirrus extending over ?/4 of the nodal and over !/4 of the supranodal joint. Interradial tubercles on 156 T. GISLEN " the nodals stoutly developed often as far as the XX" node, Inter- nodal joint with slight interradial swellings and indistinct ring-ridges, often disappearing radially. B—s 3 X 6 mm. hardly contiguous. R—s 1, x 8 mm. band- shaped, with a concave distal margin. I Br-s 7 with syzygies between 1 4- 2, 4+5 in 4 cases, between 1 +2, 4 +5, 6 +7 in I ease; 17—19 mm. II Br-s 2 (14-2) 1 ease, 6 (1 +2, 5. 6) 1.ease 7 (1 4-2 sea 3 + 4 :5 cases, 5 + 6:1 case) 7 cases, 8 (3 + 4) 1 ease; 5—15 mm. III Br-s 7 (3 + 4 or 5 + 6) 2 cases, 9 (3 + 4) 3 cases, 11 (3+ 4) 6 cases, 12:1 case, 1318 44:38 cases, 1--2:1 case) 4 cases ANS cases, 17 (3 +4) 1 case; 12—24 mm. IV Br-s 9(8 +4) 1 case, I (3 +4) 1 ease, 18 (1 2- 2:2 cases, 3-1- 4:3 cases) 5 cases, 15 (3 +4) 2- cases, 17(1--2 or 44-5) 2 cases, 18(5 56, 11-1-42) “eases 20 (3 + 4, 9 + 10) 1 case, 23 (3 + 4) 1 ease, 25 (3 + 4) 1 ease, 26 (8 +4 15 + 16) 1 case, 29 (3 + 4, 14 + 15, 19 + 20) 1 case, 32 (3 + 4, 21 + 22) 1 case; 12—34 mm. V Br-s 10 (7 + 8) 1 case, 14 (3 + 4, 10 + 11), 17 (3 + 4), 18 (8 +4, 8 +9), 22 (3 + 4, 15 + 16), 24 (3 +4, 13 + 14) each in one case; 16—26 mm. Arms LIV, total L 170 mm. Free, undivided part 80—120 mm. The distal parts of the Br-s somewhat overlapping and provided with small spines. P, (to the right on I Br 2 in 5 cases) 32; 35 mm. Disk finely granular, Colour: uniformly duskish grey. The arms regenerated from the III Br. Sp. 3 (St. 31) 25 internodes, 375 mm. 3 proximal nodal joints without cirri. Full number of internodal joints in the 6" internode, Number of internodals 10:4 cases, 11:13 cases, 12:3 cases; 14—17 mm. Interarticular pores to the 9" internode. Diameter of the stem 6,8—6,5 mm. The intercirral tubercle not very prominent after the 7™ node, The ring-ridge slightly developed. Cirri 46 (IX) 54 mm., 53 (XII) 54 mm., 50 (XXI) 52 mm. Ex- tending over 5 —93!/2 internodes. B—s 3x5 mm. Rs: 2, X05 mm. I Br-s 7 (1-2 LE 4 cases, 8 (1 + 2, 4+ 5) 1 case; 18—21 mm. II Br-s 5 (2 +3) 1 case, 7:(9 +4): 1 case, 8:1 ease, 9 (d- 4 or 44-5 0r 5.66 or 6.00 cases, 11 (4+5) 1 case, 12 (1+ 2,-11+ 12 or 1 +2, 4-1- 5) 2 cases 10—20 mm. III Br-s 13 (3 +4) 3 cases, 15 (3 + 4; 1 case 2-- 3) 9 cases, 16:1 case, 17 (3 +4) 5 cases, 18 (3 + 4, 13 + 14) 1 case, 19 THE Crinorps FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO Japan 1914, 157 (+4) 1 case; 19—28 mm. IV Br-s 13 (5 + 6) 1 case, 17 (3 T4 or 3 +4, 12 + 13) 2 cases, 18 (3 + 4, 14 + 15) 1 case, 19 (3 + 4 or 3 + 4, 9+ 10, 15 + 16) 2 cases, 20 (3 + 4, 9 + 10 or 3 + 4, 15 + 16 or 3 + 4, 16 + 17 or 3 + 4, 17 + 18) 4 cases, 22 (3 + 4, 19 + 20 or 3 + 4, 20 + 21) 2 cases, 24 (3 + 4, 17 + 18) 1 case, 25 (3 + 4, 12 + 13, ne | case, 26 (3 + 4, 22 + 23) 1 case, 28 or 29 (12(3) +45 6+78..) 1 ease (the 3' segment rudimentary); 17—32 mm. Arms LVI, ee L 175 mm., a regenerated part only 140 mm. The undivided part of the arm 75—110 mm. Example of the decrease in the number of pinnulars: E5100. 8, 7, 5, 7E 4. 3, 3,.. (7—1,5 mm.) P, (to the right on I Br 2 in 4 cases of 5) 22—24; P, (on II Br-5)-15; 15 mm. P,, 47; 12-mm. Sp. 4 (St. 32) 28 internodes, 460 mm. 3 nodal joints without eirri. Full number of internodals at the 6" internode. Internodal joints 11:14 cases, 12:8 cases, 14:1 case; 14—17 mm. (distally the shortest indernodes). Interarticular pores to the 9'' internode. Diameter of the stem 6,7—6,0 mm.! (Thus a more slender stem proximally. Slight, incomplete ridges on the internodals.) Cirri 45 (VII), 44 (XII), 48 (XV), 45 (XXV); 46—4 9 mm. Extending over 2'/2—3 internodes. Ba 0 mm, Res 2207 mm. T Brut (LE 2 4-15: 4 cases; 14-2, 3+4:1 case) 5 cases; 18—19 mm. II Br-s 6:1 case, 7 (3 + 4; case 4+5) 9 cases; 13—15 mm. IH Br-s 1l (5 +6) 1 case, 13 {8 +4; 1 case 5 + 6) 9 cases, 15 (8 +4) 5 cases, 17 (8 + 4: 2 cases, 772, 44-5, 14-- 15:1 case) 3 cases, 19 (3 +4) 1 case, 20 (3 +4, 27-718) 1 case; 26 mm. IV Br-s 18(3+4, 7+ 8) 1 case, 19 (5 aret 1+ 8, 15416 or 5+ 6) 2 cases, 20 (8 4 or 3 +4, 16 + 17) 2 cases, 28 +4, 9+10 or 5+6, 18 + 19) 2 cases, 24 (6 +7) 1 case, 30 (3 4- 4, 18 + 19) 1 case; 19—25 mm. Arms XLIX, total L 185 mm. Free arm-length 90—120 mm. A lot of new regenerated arms. Ex of syzygies: 3 +4. 23+ 24... P, (to the right on I Br 2 in 3 cases of 5) 18 ISP NIS D. 18. 15 mm. One radial branch shows an irregular pinnulation; 24 mm, P, — St Qo T. GIsLEN, HIS X VE ! Um 5: RI1+234+567 I 19 DET "d ts : m 154 Sp. 5 (St. 24) 17 internodes, 220 mm. 4 nodal joints without cirri. Full number of internodals in the 5™ internode, Internodal joints 9:1 case 10:3 cases, 11:9 cases; 12—15 mm. Interarticular pores to the 10" internode. Diameter of the stem: 5,1—5.4 mm. Every second internodal joint somewhat lower as far as the 10” internode. Cirri 44 (IX), 47 (X), 45 (XI), 44 (XVII), 32 (XVIII); 37—46 mm. Extending over 2'/;2—93 internodes, B--s heart-shaped, not contiguous laterally. I Br-s 7 (1 +2 4-+5:3 cases, 1 F2) st 4:1 case) 4 cases; S (1 12, 22 oe ieee: 15—17 mm. II Br-s 9 (8 +4) 1 case, 11 (3 + 4) 8 cases, 13 (3 +4) | ease; 15—21 mm. III Br-s 11 (8 +4) 1 case, 13 (3 + 4) 3 cases, 15 (3-F 4) 5 cases, 16 (8 +4, 14 -- 15) 1 case, 17 (3 4-4) 1 case, 18 (RASE EME ore A, [ucc or 3 +4, 15 + 16) 3 cases, 20 (3 + 4, 16 +17:2 cases 3 +4, 13 + 14:2 cases) 4 cases, 21 (3 + 4, 13 +14) | case, 22 (8 + 4, 18 + 19) 1 case. Arms XL, total L 155—175 mm. Br-s about 115. Ex. of syzygies: 3 + 4, 13 + 14, 22 + 23 etc. with an interval of 6—10 oblique articulations, The arm-segments distally somewhat spiny and overlapping. P, (to the right on I Br 2 in 4 cases of.5) 18; 22 names 22+; 27 mm., P, 23; 23 mm., P, 20; 18 mm., P; 23; 19 mm. (smooth= er), P, 20; 17 mm. P, (to the left. on I Br 2: 1 case) 24; 25 mum P,, 21; 16 mm. Disk coarsely granular. Light spots at the syzygial pairs. Sp. 6 (St. 29) 23 internodes, 370 mm. Interarticular pores to the 9 internode. 4 nodes without cirri. Full number of internodals in the 5% or 6" internode. Number of internodal joints 10:2 cases, 11:4 cases, 12:7 cases, 13:1 case, 10:1 case, 17:2 cases. 19m N case; length of the internodes 14—24 mm. Diameter of the stem 6,5—6,5 mm. The ring-ridge of the internodals divided in a radial middle tubercle and a low ridge on each side of the tubercle. A sim- ilar condition also often in the preceding specimens. THE ÜRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 159 Cirri 52 (IX) 53 mm., 49 (XI) 50 mm., 47 (XV) 50 mm. Extend- ing over 2'/2—3 internodes. B—s 3x6 mm. R—s 1,5 X 6 mm. I Br-s 7 (1-2, 4 + 5) 2 meses Od 24 Oi 8 Or 1 +2, 3-4-4, 6-F 7) 2 cases, 10(E-t- 2, 3+4, 6+7, 9 +10) 1 ease; 21—25 mm. II Br-s 7 (3 + 4) 4 cases, itd on 24-3, 1 + 8) 2 cases, 9 (34-4) 3 cases, 10 (1-E 2, 6 4-1) meease; 12 _17 mm. II Br-s 11 (8-F 4) 1 case, 126 +4, 7+ 8) 1 ease, 13 (3 +4) 8 cases, 14 (3 + 4, 8+ 9) 1 case, 15 (3 + 4) 3 cases, Peo +, 12-4 to. or 3 +4, 13 +14), 2 cases, 17 (3-1-4) 4 cases: 17—26 mm. IV Br-s 15 (3 +4) 2 cases, 16 (3 + 4, 14 + 15) 1 case, 17 (3 + 4:4 cases, 5 + 6:1 case, 10 + 11:1 case) 6 cases, 19 (3 + 4) 1 case, 20 (3 + 4, 6 + 7) 1 ease, 21.(3 +4, 15 + 16, 20 + 21) 1 case, 23 (3 + 4) Base, 244(3 +4, SHI or 34-4; 16 4-17) 2 cases, 26 (3 +4, 647) 1 ease; 20—29 mm. Arms LVI, total L 205 mm., Free undivided part of the arm 95—140 mm. 35-40 mm. of the distal parts of the arms with rudimentary p-s. The number of pinnulars in the transition reg- Ennis £4. 13, 15. 12,.9. 10; 10, 7; 4,-4 3, 3,... P, (to the right on I Br 2 in 5 cases) 23; P, 24. Disk stoutly granulated. The arms light-brown, darker in the proximal parts (the transition usually at II or III Br 3 +4). Syzygial pairs white. Sp. 7 (St. 10) 30 internodes, 360 mm. 6 nodal joints without cirri. Full number of internodals in the 6" or 7'* internode. Inter- nodal joints: 9:2 cases, 10: 14 cases, 11:9 cases (in 2 of the cases au internodal joint visible only on one side of the stem). Length of the internodes 11,5—14 mm. Interarticular pores to the 11% internode. Diameter of the stem 5,5—6,5 mm. The stem with somewhat stouter ridges than in the preceding specimens (similar to the distal part of the stem i Sp. 2). Cirri 48 (XI) 51 mm., 54 (XIV), 56 mm., 40 (XIX) 46 mm., 37 (XX) 42 mm., 47 (XX) 52 mm., 33 (XXI) 38 mm., 44 (XXII) 46 mm., 47 (XXII) 51 mm., 43 (XXIII), 46 (XXIV) 50 mm. Extending over 2?/4— 3! /4 inter- nodes. The thickness of the cirrus 1,5—1,8 mm. Bee bob mmo Res. 1 or2 5-or mm. IBr-s.24. (T 1-2), Ponta” 5 (12, 4+ 5), 912(9--10 or perhaps 13:12, 10+,11 the two first ossicles in this case almost completely grown ! 849 almost grown together. 160 (NGISTEN: - together, probably I+II Br-s, see below); 15—30 mm. II Br-s (3+4:2 cases, 2+3:1 case) 3 cases, 8 (8 +4) 1 ease, 9 (8 +4): cases, 11 (3 + 4) 2 cases, 13 (3 + 4 or 5 + 6) 2 cases, 20 (3 + 4, 14 + 15) | case; 18—34 mm. III Br-s 11 (3+4) 1 case, 13 (3 + 4) 5 cases, 14 (8 + 4) 11-- 12) 1 ease, 15 (8-T-4) 3 cases, 17 (8 74.2 cases 5+6:1 case) 3 cases, 18 (16 IT) 1 ease, 19 (8 FA) 2 cases 24 (3 + 4) 4 cases: 20—28 mm. Arms XLIV, total L 170 mm. Undivided part of the arm 100—110 mm. The transition to rudimentary p-s he rapid: 13, 12, 5, 4, 4, 8, 2... 6,5—1,5 mm. The arm-part with short p-s 90—40 mm. P, (to the right on I Br 2 in 1 ease and on I Br 1:2 cases; on I Br 3 in 3 cases; therefore the first p. 5 times to the right, 3 times to thes left) 26; 35 mm. (on I Br 2), P, 25; 29mm, DIE TEE mm., P, 25; 23. mm., P, 21; 19 mm., P, 20; 17 mm. Py; (ond PESE 23; 27 mm, The distal segments with rather strong, distal collars, P,, 15; 19 mm. Disk 15—20 mm., coarsely granular. Colour in spirits white. The XX node has a short, deformed cirrus in the same radius as I Br = 12. The XXI and XXII nodes have no eirrus in this radius. The infranodal facet of the last node is not newly broken, but over- grown by some Bryozoan colony, which also occurs in the empty cirrus-facets on the XXI and XXII? nodes. The internodal joints at the XX" node are a little shorter than in the other parts of the stem. The I Br-series with 4 and 12 components stand alongside of each other and are normally directed upwards; the bases of the other ones are horizontally directed and 2 (the 4" and 5") are a double-arm standing on 4 radial small ossicles. Thus the whole crown turns, as if it had been lying on the side on the 4" and 5” radius and by the continued growth had tried to rise into a vertical position. Possibly one might infer from what is said above that the crown was injured, when it was on the present XX" node and that at the same time the stem was broken at the present XXX"'(last) node. If this is the case the abnormal divergences are to be explained by this accident. In some specimens there occurs a large Myzostoma, probably M. cirripedium, v. GRAFF. 4 4 LJ > Tue CnrNorps FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 161 Example of arm-division and distribution of syzygies from Sp. 2: . = — : e | 3 oo = = 25 A ER 1e - =H e I+ € a ae B + + Ar) ho En | FA a IN a : NII INT Ages = | | = Em ac) Cro = = jas} AA A! IN = = = Wes = a || Ce) Où = = zt 2 = : 1 |) e . : p m zs 2 S| is 2 Eo X : -— = AS MS Pe m ma . E p- [9 6] Ts ER M p crop Mig Iz — 19 Ss Io : = m i (SEGA. MM cete 00 : tee ais : : B 7 d . . + -— ~~ I—+ ZN . : NOESIS Di = MET EU NE Sl . . 4 ml u dp a ale . . BE JE + Hl LOS ACC ae c = ero 4i + 25 p. E: Al ny oe Ps 3 um we ne nm on — IN — — . um T | ES SUIS oes i eR fe puel des | Gu Wc» M a IN | ml | — 5 ca jaa] — T ea len co EN RM I ge ES MEME: — R E ae) fae Gm. ee C QD CENE NA I, co e Se == —— | — = t- Ar) . 7 je e — = : T . he cm E | It cart il) er ii == . + sis M de + eo e IN eo ae ce pe e» | A yin zu lea Er Ut JA m = 2 at hm Ber xil = = > > > > = cd à > — = rz Tz — — — So = | — . eo eol . . 1 | aL : : I 1® GE pst d i+ sit “lp e e | e eo ex | lea e | Ies. I il | | = = = = IL 1 +2 IL 142..7 RI142344567 Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups., Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. "ja 1922. 21 162 T. GISLÉN, In 1884 P. H. CARPENTER in the Challenger Exp. mentioned the so ealled Vega-specimen as a separate species (in the table p. 344), and then the following year (Trans. Linn. Soc.) he discussed its separate position, According to him the species in question had higher internodal joints (both relatively and absolutely), whieh was of less diameter than in M. interruptus and regularly 6 radials, that is according to a more modern indication I Br 7 (13-2, 4— 5). In the collections of the Upp- sala museum there is also a specimen of a Metacrinus taken by the Vega-expedition in the Yedo-Bay at a depth of 65 fath. With regard to the diameter of the stem it approaches most to M. rotundus (the diameter is 6,0—5,s mm.) The internodal joints are really somewhat higher (1,.— 1,55 mm.) than in M. rotundus, where, according to my calculations, the h of the segments is 1,3—1,4 mm. (The last described specimen 7 differs by the segment being only 1,:5— 1,35 mm.)'. Neverthe- less it does not seem advisable to distinguish the Vega-Specimen even as a variety on the basis of such vague features. (Observe that the original Vega-specimen is said to have a slender stem. If it is a young specimen of M. rotundus it is perfectly natural that the joints are rather high, at least relatively.) As to the »Radials» they are in the Vega-specimen at my disposal: 6:4 cases, 7:1 case (according to CARPENTER's indication) or I Br 5:1 case, 6 (8+ 4) 3 cases, 7 (8 +4) 1: ease (modern indication). Il Br-s are in the case at hand 7 (3 + 4) 3 cases, 9 (3 +4 or 4+ 5) 2 cases, 11 (3 +4 or 2 +3) 2 cases, the other ones broken. Thus it differs in no essential way from M. rotundus, to which species I therefore refer the » Vega-specimen» of P. H. CARPENTER. In the same work as he described M. rotundus P. H. CARPENTER gives an account of the appearance of a stem-fragment of a Metacri- nus from Singapore, which he calls M. Síewarti. This species is said to be distinguished from M. rotundus and interruptus (which it approaches most closely) by the statement that, »the joints have much more distinct horizontal ridges (p. 443). They give it a certain amount of resemblance to the stems of M. Wyvilli and cingulatus». The separate position of the species is evidently considered by the author to be most clearly demonstrated by the different appearance of the infranodal 1 The h. of the joints is obtained by measuring the whole internode and dividing its L by the number of internodal joints. Ê 3 THE CRINOIDS FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914, 163 faces of the nodal joint in M. rotundus (Pl. 52, fig. 3, not as stated in the description fig. 2) and in the debated stem-fragment (PI. 52, fig. 15). According to the description this face in M. Stewarti (p. 444) is »quite different from the circular syzygial surface in M. rotundus (Pl. LIT, fig. 3) and resembles that of M. interruptus. The syzygial surface of the nodal joint, however, is somewhat lobate as in the Vega-spe- cimen». It appears from the figures that this stem very much resem- bles that of the above-described Sp. 7, which has more angular inter- nodal joints with stronger ring-ridges than the typical M. rotundus. The importance that CARPENTER attached to the appearance of the nod- als and internodals has proved to be a little exaggerated and to some extent is subject to individual variation as well as the tubercles and ridges on the sides of the segments. At first I supposed that M. Stew- arti ought to be considered a variety of M. rotundus and referred to Sp. 7 here. By a comparison of the different stems in the collection I become, however, convinced that one ought not to separate M. Stew- arti even as a variety. With regard to appearance and formation of ridges and tubercles the most distal part of the stem in Sp. 2 agrees completely with Sp. 7, on the other hand the 11”—17" internodes are roünded, without radial ridges or corner-tubercles and therefore of the usual M. rotundus-type. Sp. 3 has indistinct ring-ridges and sharply pentagonal segments in the 10-16 internodes, but in the most distal internodes rounded segments without ridges again. H. L. CLARK in 1916 described a new species most closely related to M. rotundus as M. cyaneus. (Commonwealth of Austral. Fisheries Vol. 4, part. 1 p. 9). The Radials in this species are usually 6 (1 + pee a) but often 7 (14-2, 44-5); P, 20 mm. < B, « P; P, 25 mm. = P, P, shorter; the Br-s a little overlapping in the middle of the arm, the longest cirri with 60—64 cirrals, internodals 7—15 (usually 9—14). These are the most important features that the author gives to charac- terize the species. The only real differences between my specimens of M. rotundus and M. cyaneus are the number of cirrals and radials. The number of internodals are about the same in both species, the arms are in M. rotundus (the type) »tolerably smooth», in my specimens a little serrate in lateral profile, in M. cyaneus »the brachials have some- what flaring distal margins.. becoming smooth near the armtip.» The L 164 T. GISLEN, of the proximal p—s is subject to too great a variation to be given any great importance (compare Sp. 5 and 7). Considering that the locali- ties for the two species are widely separated, it is highly probable that the differences in the number of cirrals [45 in the type specimen, 47 mm.; (32—)43—53 in my specimens (87—)46—57 mm.; ?—60 or 64 in M- cyaneus, 50—65 mm.] and radials (5—6 in M. rotundus type; 4—12, usually 7, occasionally 5 or 8, in my specimens; and 4—7, usually 6, often 7, occasionally 5, in M. cyaneus will turn out in the future to be deviations of merely edafie value. For the present M. cyaneus ought to be considered as a variety of M. rotundus. Metacrinus interruptus P. H. CARPENTER. Fig. 157, 158; Photo 13—15. Syn. Metacrinus interruptus 1884 P. H. Carpenter Chall. Exp. Vol. 11, p. 367; Trans. Linn. Soc. London Ser. 2. Vol. 2, p. 438 ff.; 1902 (04) Sperry Proc. Mich. Acad. Sci, p. 195; 1908 A. H. Crank Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 34, p. 528; 1912 Crin. Ind. Oc. p. 269. From St. 9 (1 sp.), 45 (10), 56 (4), 58 (2), 59 (3) — 20 specimens. Sp. 1 (St. 45) For the L of the stem, the number and L of the internodes and internodal joints, and the thickness of the stem in this as in the following specimens see the table. The medium height of the internodal joints 1,.—1,; mm. 3 proximal nodals without cirri, Full number of internodals in the 4 internode. The distal face of the nodal round, The intercirral tubercle on some nodals slightly promi- nent, Stem rounded, tolerably smooth, but with small radial promi- nenees, Interartieular pores to the 8^ internode. Cirri 36 (VIII cirrus-bearing node) 32 mm., 37 (XI) 32 mm. 37 (XV). Extending over 2—2 !/4 internodes. I Br—s 7 (1 F2, 4 4- 5) 5 cases 9 mm. II Br—s 9 (8-4) 1 ease, 10: 1 ease; T1 (3-1 M cases; 10—12 mm. III Br—s 11 (8+ 4) 4 cases, 13 (3 + 4) 8 cases, 15 (3 +4) 5 cases, 17 (3 + 4) 2 cases, 18 (8 + 4, 14 + 15) 1 case; 10— 14 mm. IV Br 17(3 +4) I case; 13 mm. Arms XLI, total L 90 mm. L of the undivided arm 55 mm. Part of the arm with rudimentary p—s 20 mm. I Br series smooth. II Br—s and the following segment a little overlapping distally. THE CriNoips FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914, 165 P, (in 5 cases to the right on I Br 2) 14; 12 mm. (1 segment short, 2° one largest), P, 14; 10 mm., P, 13; 8 mm. Brachial p—s 10; 6 mm. Disk coarsely granulated, 11,5 mm. Sp. 2 (St. 45) The medium h of the internodals 1,3—1,45 mm. 4 nodal joints without cirri, Full number of internodals in the 5™ in- ternode. Internodal joints with rather prominent interradial swellings, which disappear in the 8" internode, and low ring-ridges on the sharply pentagonal stem. Interarticular pores to the 7 internode. Cirri 37; 32 mm. I Br—s 7 (1+ 2, 4+ 5) 5 cases; 10 mm. II Br—s 9 (3+ 4) 1 pase, 10: 1 case, 11 (8+ 4) 8 cases; 11 mm. II] Br—s 11 (8 +4) 1 ease, 12: 1 case, 13 (8 +4) 7 cases, 15 (3 +4) 1 case, 19 (8+ 4) 3 cases, 20 (4 +5, 18+14) 1 case, 21 (3 + 4: 2 cases, 4+ 5: 1 case, 5+6: 1 case) 4 cases, 23 (3 + 4) 1 case, 24 (3 + 4, 19 + 20) 1 case; 12—17 mm. Arms. XL, total L 100 mm. Undivided part of the arm 60 mm.; 20 mm. with rudimentary p—s. P, (to the right on I Br 2 in 5 cases) 17; P, and P, 17; P, 14. Br—p. 14; 9 mm. One pinnule swollen by an entoparasitie Myzostoma. Sp. 3 (St. 45) 5 nodals without cirri. Full number of internodal joints in the 3° internode. The segments tolerably smooth. The syzy- gial face of the nodal rounded. Interarticular pores to the 7" internode. Cirri 35 (IV) 28 mm, 36 (VII) 32 mm., 35 (IX) 29 mm. 89—11*" segments the longest L = 1'/2 br. B—s 1X 15 mm. Es 1,X2, mm. I Br—s 7 (1 +2, 4 + 5) 5 cases; 10 mm. II Br—s 9 (3 +4) 7 cases, 11 (3 +4) 3 cases; 10— fmm. Il Br—s 11 (8 +4). 2 cases, 13 (3 + 4) 8 cases, 15 (3 + 4) 2 cases, 17 (3 + 4) 3 cases, 18 (3 + 4, the outer arm more weakly deve- loped) 1 case, 19 (3 +4) 3 cases, 20 (3 + 4, the new arm bending out- wards on the outer side) 1 case; 10—15 mm. IV Br—s 15 (3 +4) 3 cases, 17 (8 +9) 1 case; 12—13 mm. Arms XLIV, total L 95 mm. Unbranched arm 55 mm. Part of the arm with rudimentary p—s 20—22 mm. P, (to the right on I Br 2 in 4 cases) 11; 9 mm. Br—p 10; 6 mm. i In the same pot also 2 stem-fragments, one with 4 internodes, 11 internodals, L of the internodes 14 mm; diameter of the stem 3 mm, Cirri 36; 32 mm; the other with 6 internodes, 11—13 interno- 166 T. GISLEN, dals; L of the internodes 15—17 mm. Diameter of the stem 3,5—4,0 mm., Cirri 39; 36 mm. Sp. 4 (St. 45) Infranodal joint pentagonally rounded. ‘The cirrus socket hardly touches the supranodal joint. Interarticular pores to the 7" internode. 4 nodals without cirri. Full number of inter- nodals in the 4" or 5" internode, Cirri 41 (V) 26 mm., 39 (VIII) 31 mm., 42 (XI) 32 mm., 41 (XII) 31 mm., 37 (XV), 35 (XVIII) 28 mm. A dorsal carination from the 20^ or 25% cirral. B—s 1,3 X 1,8 mm. R—s 1,8 X 3,2 mm. I Br—s 7 (1 + 2, 4 + 5) 5 cases; 10,5 mm. II Br—s 9 (3 + 4) 1 case, 11 (2 +3: 6 cases, 3+ 4; 3 cases) 9 cases; 9,5—11, mm. III Br—s 9 (3 +4) 1 case, 13 (3 + 4) 7 cases, 15 (8 + 4) 3 cases, 19 (3 + 4) 1 case, 20 (3 +4, 14 +15 or 3+4, 17 +18) 2 cases, 21 (3 + 4) 2 cases, 23 (3 + 4) 1 case, 24 (3 +4, 14+15) 1 case; 7,—21,5 mm. Arms XXXVIIL total L 90 mm. Unbranched part of the arm 50—55 mm., 15—20 mm. with rudimen- tary pinnules. Ex. of syzygies: 3 +4, 34 + 35 or 3 + 4, 28 + 24, 36 + 31, DART P, (to the right on I Br 2 in 5 cases) 13; 11 mm. P, similar. Br—p. 11; 7 mm. One P, with an entoparasitie Myzostoma. Sp. 5 (St 45) 3 nodal joints without cirri, Full number of inter- nodals in the 5‘ internode, Interarticular pores to the 9™ internode. Stem rounded, — Cirri 45 (VIII) 35 mm., 45 (IX) 42 mm., 43 (XI) 40 mm., 42 (XIII) 37 mm., 42 (XVII) 36 mm., 40 (XX) 34 mm., 39 (XXII) 33 mm., 38 (XXVI) 27 mm. B—s 1x2 mm. R—s 1,—3 mm. I Br—s 6 (1 +2, 4 3-5) 1: ease, 7 (1 +2, 4+ 5) 4 cases; 10—12 mm. II Br—s 7 (3 + 4) 1 case, 11 (3 +4) 9 cases; 10—15 mm. II Br—s 10 (6 +7, peculiar pinnula- | Br | Br ) 1 case, 11 (3 + 4) 1 case, 12 (8+4, 84-9) 1 ease, 13 (3 +4) 5 cases, 14 (3 +4, 10-- 11) 1 ease; 15 (3-- 4) 1 case, 16 (3-- 4, 11 +12) 1 case, 17 (3 +4) 3 cases, 18 (8--4, 14 + 15: 2 cases or 344, 15 +16: 1 case) 3 cases, 1I ET 14+15) 1 case; 9—16 mm. IV Br—s 13 (3 +4) 1 case, 14 (8+ 4, 11 +12) 1 case, 18 (3 + 4, 15 + 16) 1 case; 13—16 mm. Arms XLI +, JO QUE I m 3 en feng ee 6+ 7 8 9 10 | j 4 re THE CRrNorps FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 167 total L. 130 mm. Unbranched arms 100 mm., 30 —40 mm. with rudi- nentary p—s. P, (to the right on I Br 2 in 4 cases) 19; many p—s with eneys- ted Myzostomas. Sp. 6 (St. 45) 4 nodals without cirri. Full number of internodal joints in the 5" internode. Interarticular pores to the 9 internode. Stem somewhat more rounded and smoother than in the preceding specimens. Cirri 43 (X) 37 mm., 44 (XII) 40 mm., 42 (XV) 38 mm. First 6 cirrals short, L = !/s br. I Br-s 5 (1+ 2, 475) 1 case, 7 (1 +2, 4 +5) 4 cases; 9—11 mm. Il Br-s 9 (3 +4) 5 cases, 11 (3-- 4) 5 cases; + 10 mm. III and IV Br-s bent down, impossible to count. Arms XLIV, total L 110 mm. Unbranched part of the arms 80 mm. P, (to the right on I Br 2 in 4 cases) 14—17; 12—13 mm. P, 16—19; P, 16; 10 mm. Br-p. 13; 7 mm. Disk 10—12 mm. Anal tubus 4 mm. Sp. 7 (St. 45) 6 nodal joints without cirri. Full number of inter- nodals in the 4" internode. Average height of internodal joints 1,5— 1,5 mm. A slight intercirral tubercle to about the XV node. The distal face of the nodal joint lobated. Ring-ridge inconspicuous. Interarti- cular pores to the 8^ internode. : Cirri 41 (VI) 35 mm., 42 (IX) 37 mm., 41 (XI) 34 mm., 41 (XIV) 36 mm., 39 (XVII) 35 mm., 40 (XIX) 34 mm. B—s 1, X 2 mm, contiguous. R—s 2 X 4 mm. I Br-s 7 (1 +2, 4+ 5) 5 cases; 12 mm. II Br-s 11 (3 +4) 10 cases; 14 mm. II Br-s 11 (3 +4) 3 cases, 13 (3+4) 3 cases, 15 (3 + 4) 4 cases, 17 (3 +4) 9 cases, 19 (3 + 4) 5 cases, 21 (3 + 4) 2 cases; 11—19 mm. IV Br-s 18:1 case, 15:2 cases, 17:1 case, 21:1 case, all with a syzygy between 3 +4; 12—14 mm. Arms XLV, total L 115 mm. Unbranched part of the arm 75 mm. Syzygies with an interval of 17—25 oblique articulations. P, (to the right on I Br 2 in 4 cases) 16; 14 mm. Br-p. 13; 7 mm. Sp. 8 (St. 45) 3 nodals without cirri, Full number of interno- dals in the 5” internode. Interarticular pores to the 9 internode, Infranodal joint rounded. The segments are remarkably smooth and rounded, 168 T. GISLÉN, Cirri 44 (IX) 36 mm., 41 (XIII) 35 mm., 41 (XVI) 32 mm., 39 (XVIII) 31 mm., 38 (XX) 28 mm. B—s 1x2 mm. R—s 1,5 X3 mm. I Br-s 7 (14-2, 43-5) 4 cases, 8 (1-2, 4-- 5) 1 case; 11-13 mm. II Br-s 9 (3-1- 4: 2) cases 5+6 1 case) 3 cases, 10:1 case, 11 (3 +4) 6 cases; 11—13 mm. III Br-s 13 (2+3:1 case, 3+4:8 cases) 9 cases, 15:1 ease, 17:4 cases, 19:6 cases, syzygies between 3 +4; 12-18 mm. IV Br-s 13 (8 + 4) 1 case, 17 (3:- 4) 1 ease, 28 (3 +4, 15 + 16) 1 ease; 12— +25 mm. Arms XLII, total L 150 mm. Unbranched part of the arms 95 mm., with about 120 Br-s. Syzygies with an interval of 8—23 oblique articulations, 80—35 mm. with rudimentary p—s. P, (to the right on I Br 2 in 3 cases) 20—21; 18 mm. P, 22; 17 mm. P, 21; 14 mm. Br-p. 16; 8, mm. The syzygial pairs lighter coloured. Sp. 9 (St. 45) 4 nodals without cirri. Full number of internodals in the 4" internode. Interarticular pores to the 7 internode, Cirri 42 (VII) 35 mm., 42 (IX) 34 mm., 41 (XIII) 35 mm., 38 (XV) 30 mm. Extending over 1!/2—2 internodes, I Bres 7. (1+ 2, 41-5) 5 cases; 11 mm. I Br-s 9 (Sm cases, 11 (3-- 4:3; 4+ 5:2; 6+ 7:1) 6 cases; 10—12 mm. III Br-s {1 (3 -+4) .1 case, 12:2 cases, 13 (3'4-4:3; 4--5:1; 5 1-64) EP ses, 14:1 case, 15 (8 +4) 2 cases, 17 (3 + 4) 2 cases, 19 (3 +4) 1 ease, 22 (3 +4, 20 + 21) 1 case, 23 (3 + 4) 2 cases, 25 (3 + 4) 1 ease; 10—23 mm. IV Br-s 17 (8 +4: 2; 11 + 12:1) 3 cases 19 (b EM case; 12—14 mm. Arms XLIT+,110 mm. Unbranched part of the arms 70 mm. Syzygies with an interval of 12—30 oblique articula- tions. P, (to the right on I Br 2 in 5 cases) 15; 11 mm. Br-p. 14; 6,5 mm. Sp. 10 (St. 59) 2 nodals without cirri. Full number of inter- nodals in the 6" internode. Interarticular pores to the 10% internode. Internodal joints pentagonally rounded with a slight ring-ridge. No intercirral tubercle. Cirri 38 (XI) 37 mm., 39 (XIII), 37 (XIV) 34 mm., 39 (XVIII), 38 (XX) 35 mm., 38 (XXII), 37 (XXIII) 33 mm. The dorsal longitudi- nal earination is indistinct. 2 L H THE CnrNorps FROM Dr. S. BocK's EXPEDITION To Japan 1914. 169 B—s 1x2 mm. R—s 1,5 X 4 mm. I Brs 7 (14 2, 4+ 5) 5 cases; 10 mm. Breadth 5 mm. II Br-s 9 (3+4) 2 cases, 13 (3 +4) 3 cases; 11—12 mm. The other ones broken. III Br-s 11 (3 + 4) 1 case, 13 (3 4) 3 cases, 16 (3 + 4, the outer arm somewhat weaker) i ease, 19 (8-L4) 1 case, 26 (3 + 4, 22 +23) 1 ease; 13—25 mm. IV Br-s 13 (3 + 4) 1 case, 17 (3 +4) 2 cases; 12-16 mm. The arms partly broken, total L 120 mm. A complete radius with X arms. Unbranched part of the arms 85 mm. P, (to the right on I Br 2 in 3 cases) 17; 16 mm.; P, (to the right on I Br 3 in 2 cases) 15; 14 mm. Br-p. 14; 9 mm. Sp. 11 (St. 59) 4 nodal joints without cirri. Full number of internodals in the 7 internode. Interarticular pores to the 12% in- ternode. Cirri 48 (IX) 47 mm., 46 (XII) 50 mm., 44 (XVI) 49 mm., 45 (XVIII) 49 mm., 41 (XXI) 42 mm. Cirri extending over 2'/2—3 inter- nodes. B—s 1X1, mm., small, not contiguous. R--s 2 X 4 mm. I ' Br-s 7 (1+ 2, 4 d- 5) 4 cases; 12 mm. One radius broken. II Br-s 7 (3 + 4) 1 case, 11 (3 +4) 2 cases; 9—13 mm. The other ones brok- en. III Br-s 11 (8 +4) 1 ease, 13 (3 + 4) 2 cases, 20 (3 + 4, 13 + 14 or 874, 15 + 16) 2 cases; 13—22 mm. IV Br-s 16 (3 +4, 11 + 12) 1 case, 19 (1 + 2, 4 +5, 15 + 16) 1 ease; 15—16 mm. Arms 155 mm. (A complete radius with IX arms.) Unbranched part of the arms 100 mm.; 25—30 mm. with rudimentary p—s. Syzygies with an interval of 5—8 oblique articulations. P, (to the right on I Br 2 in 4 cases) broken. P, (to the left on I Br 3) 24; 23 mm., P, 27; 23 mm. Br-p. 15; 10 mm. Sp. 12 (St. 59) 6 nodal joints without cirri. Full number of inter- nodals in the 5" internode. Interarticular pores to the 8" internode, Stem smooth, pentagonal, the joints proximally with a slight radial con- cavity. The distal face of the nodal joint almost round. Cirri 38—39; 28—29 mm. B—s 1 X 1,2 mm., laterally contiguous. R—s 1 X 2,5 mm. I Br-s 5 (1 +2, 4+5) 1 ease, 7 (1 +2, 4 +5) 4 cases; 8—11 mm. II Br-s 9 (3+4) 5 cases, 11 (3+4) 4 cases; 11—13 mm. The 10% radius broken. II Br-s 11 (3+4) 2 cases, 13 (3 +4) 7 cases, 15 (344) 2 cases, 16 (3--4) 1 case, 17 (3 +4) 2 cases, 19 (3 +4:2; Nova Acta Reg. Soc. Se. Ups. Ser. 4, Vol. 5. N:o 6. Impr. 7/4 1922. 22 170 T. GIsLEN, 9 4-4, 1 4- 8:1 case) 3 cases; 13—18 mm. IV Br-s 17 (3 + 4) 1 case, 18 (3 + 4) 1 ease, 23 (3 +4, 13 + 14, 20 + 21) 1 case; 15—20 mm. Arms on a perfect specimen probably + XLV; total L 115 mm. Unbranched part of the arm 80 mm. Syzygies with an interval of 6—12 oblique articulations. The Br segments after II Brax with somewhat overlap- ping distal margins. P, (to the right on 1 Br 2 in 5 cases) 20; 16 mm., [P, (on I Br 3) 16; 13 mm.] P, 19; 14 mm. Br-p. 14; 6—7 mm. Sp. 13. (St. 56) 4 nodal joints without cirri. Full number of internodals in the 4% internode. Interarticular pores to the 7" inter- node. The distal face of the nodal joint pentagonally rounded. Cirri 29 (V) 27 (VI) 28 (VII); 21—22 mm. 4 segment L = br 5! 8" segments L = 1?/s br. Cirri extending over 1!/2—2 internodes. B—s 0,6 X 1,0 mm. soldered together laterally, R—s 1 x 2 mm. a little bent outwards, thus forming an angle with the basals. I Br—s 7 (1+2, 4-- 55; 8 mm. in the 3 perfect radi. I Br—s 11 (8 722 cases, 13 (3+4) 1 case, 14 (3 +4) 1 ease; 10—11 mm.; the other ones broken. III Br—s 13 (8 +4) 3 cases, 15 (3 + 4) 1 case, 19 (8 + 4) 2 cases, 20 (3 +4, 16 +17) 2 cases; 9—14 mm. IV Br—s 18 (8 4- 4, 13-- 14:1; 9--4, 14-- 15:1; 3--4, 46 + 17:1) 8 cases AIRES arms om the inside of IV Brax reinforeed p—s, very small with 5—6 segments, 2 mm. The outer arms = the original arms: 12 mm. Arms in the complete specimen probably XLV, total L 55 mm.; 12 mm. with rudimentary p—s. The small, new arms appear on the border to the rudimentary pinnules. (The preceding pinnule of the original arm with 7, the succeeding one with 9, and the ones that then follow with 2 segments; the young arm itself with 6— segments). These new arms differ from the other adjacent p—s by the distal spinosity and by supporting one or two small p—s with 2—3 segments: The syzygy between Br 3 and 4 is usually developed. P, (to the right on I Br 2 in 5 cases) 9; 6 mm. Br-p. 9; 555 mm. Example of arm-branching: THE ÖRINOIDS FROM De. S. Bock's EXPEDITION TO JAPAN 1914, 171 ara 13414 1s [D ott 81919-1928 E I = IL. 3 2-4. 13] [Br.8+4..7 > Re ld 38 à | Neto s B Ul. 3+ 4.19 E BAS Sr MENSES. 4 20 E | [Br..3+4....87 | II .3-- 4.16 2-17. 20 E Br. Salz 4a. 225 3 =| Fito see Sie M 32 S(T 8b 43) + [Br..6 = LIV.3 + 4.14+15.18 | Br.3-+4. 144-15. 17--18..26 Sp. 14 (St. 56) Interarticular pores to the 6" internode. 5 inter- nodals without cirri. Full number of internodals in the 38° internode. Cirri 34 (VII cirrus-provided node); 84 (IX) 22 mm., 32 (XII). B—s 1X 1,5 mm. R—s 1 X 3 mm. forming an angle with the B—s. The arms broken. P, (to the right on I Br 2 in 5 cases) 12; 9 mm. Disk 7 mm. Anal cone 5 mm. Sp. 15 (St. 56) 3 nodal joints without cirri, Full number of inter- nodals in the 3^ internode. Interarticular pores to the 6" internode. The distal internodes often have one of the middle internodal joints provided with tubercles; this is an indication of the formation of a nodal joint. One such middle node is perfectly developed between the 2! and 3° internodes, counted from the distal end of the stem. (Here there- fore only 4 and 3 internodal joints appear.) The distal stem-joints al- most perfectly round. Cirri 34 (IV) 22 mm., 32 (VII), 30 (XI), 30 (XIII) 17 mm., 28 (XV). The cirrus-sockets of the distal nodals do not quite reach to the proximal border of the joint. Nevertheless, the usual type is to be found already at the IX‘" node, where the joints also begin to become some- what pentagonal. The arms broken. P, (to the right on I Br 2 in 3 cases) 12; 7 mm. Disk 6 mm. Anal cone 5 mm. Sp. 16 (St. 56) 8 nodals without cirri. Full number of inter- nodals in the first internode. Interarticular pores to the 2° internode. The number of internodals when counted proximo-distally runs as fol- 172 T. GISLÉN, lows: 12, 11, 11, 9, 8, 7, 7, 7, 5. The internodal joints are longer than broad. Also the nodal joints are long (compare photo 14). The cir- rus-sockets do not reach the proximal border of the nodal. The two most distal internodes with attempts at formation of nodal joints on some joints. Cirri 22 (II) 9,5 mm., 19 (III) 11 mm., 19 (V) 10 mm. 2% eirral L- br. 49—8" one L = 2 br. B—s 0,5 X 05 mm. R—s h=1, mm., br (at the base) 1 mm., forming an angle with the basals. I Br-s 7:(1 +2, 4+ 5) 2 cases, 8 (1+2, 3 +4) 1 case, 9 (172,475) 2 cases; 5—7 mm. I Brees aoe 4 cases, 11 (2+8:1; 3-- 4:3; 4 3- 5:1) 5 cases, 12:1 case; 7—8 mm. Arms XX; 18 mm. Unbranched part of the arm 1—4 mm. P, (to the right on I Br 2 in 5 cases) 9; 3.7 mm. B, 11; 4» mm, Example of arm-branching: 3 ees ; Bri 235 ae TR A AA ef 9 10 ^ Ex | Br 12 3+4..7 Dcus pa S9 B Br 12342. 2 1: e 0301 2 M Fv |Br 12 34-4..9 The inner arms a little shorter, 2 mm., the outer arms about 3 mm. Disk reaching to I Br 2. Sp. 17 (St. 58) 6 nodal joints without cirri, Full nümber of internodals in the 3% internode. Interarticular pores to the 4^ inter- node. Number of internodal joints counted proximo-distally as follows: 05590210 50509 S RO ES dy IS Vg Oe Cirri 27 (IV) 15 mm., 23 (VI) 13 mm., 24 (VIII) 11 mm., 21 (X) 10 mm., 19 (XII) 5 mm. B—s pentagonal, directed straight upwards. R—s forming with the B—s an angle of about 135°. I Br—s 7 (1 + 2, 4+ 5) 5 cases; 6 mm. II Br—s 11(3 + 4:2; 2 4- 3: 1) 3 cases; 1242 43,7 1 8:1:2 779. 5022 2+ 3, 6 3-7: 1; 9-54, 6-I-7: 13) 4 cases, 13 (84-4) 1 ease; LR 8 +9) 1 case; 7—10 mm. III Br—s 14 (8 +4 10 +11: 2,374, 11 + 12: 1; 844, 12-18: 1; 3-44, 13+ 14: 1) 5 cases, 15 (Sea cases, 16 (3 +4, 8 +9) 1 case, 20 (3 +4, 10 + 11) 1 case; 7—9 mm: Arms XXVIII, in the complete specimen, probably, XXIX; total L 30 THE CRINOIDS FROM DR. S. Bock’s EXPEDITION TO Japan 1914 173 mm.; last 5 mm:s with rudimentary p—s. "The new arms on the inside of III Brax very short, about 1 mm. (the main arm from the same III Brax 5 mm.) An outer ramification in one case shorter, though with normal pinnulation, elsewhere always shorter branches on the inside. Example of arm-branching: jBr..8+4...12 5 mm. JM. 8 +4... 10+. |Br12345 | mm. nt Sa Mrs... P, (to the right on I Br 2 in 4 cases) 9; 4,5 mm. P, 9; P, 10; fe 10; 5 mm. Disk 2—3 mm. in diameter with calcareous plates. No orals. Sp. 18 (St. 58) 3 nodals without cirri. Full number of inter- nodals in the 4" internode. Interarticular pores to the 7 internode. Cirri 32 (VI) 21 mm., 30 (VIII) 19 mm. 4 segment cubical. I Br—s 7 (1 +2, 4 + 5: 3 cases; 1 + 2, 3 + 4: 2 cases) 5 cases; mm. Il Br—s 9 (3-54) 4 cases, 11 (3 +4: 4; 243: 2) 6-cases: 8—10 mm. II Br—s 11: 1 case, 13: 7 cases, 15: 2 cases. 17: 7 cases, 18 (3 +4) 1 case, 19: 2 cases, everywhere the syzygies 3 + 4; 8 — 12 mm. Arms XL, total L 55 mm. Rudimentary p—s on the last 12— 15 mm. P, (to the right on I Br 2 in 4 cases) 11; 7 mm. P, 11; 5 mm. Br—p. 9; 5 mm. To this species probably also belongs 5p. 19 (St. 9) 3 nodals with- out cirri, Full number of internodals in the 6" internode. Interartieular pores to the 10' internode. The segments are rounded with a slight ring-ridge. Distally of the fixing point for the cirral there is a slight, swollen ridge effaced at the middle. The cirrus-socket extends up over the distal part of the supranodal but does not reach the infra- nodal joint. Cirri 43 (XI) 45 mm., 40 (XVIII) 40 mm. Extending over 2— 2 1/4 internodes. B—s 1,8 x 3,7 mm., laterally not contiguous, except on the super- numerary side. There are 6 R—s. I Br—s 4 (1+2) or 13-234 —; the other ones broken in the 1" syzygy. 174 T. GISLEN, Sp. 20 (St. 45) 4 nodal joints without cirri. Full number of in- ternodal joints in the 5‘ internode, Interarticular pores to the 10% internode. Between the internodal joints there are in several cases incomplete internodals, only visible, however, on one side of the stem, The joints pentagonally rounded with low ring-ridges. Cirri 45—48; 37—45 mm. The 8” segment cubical. I Br 7 (123-2, 4 3- 5), 1 case, 8 (1+2, 4 3- 5), 1 case, the other arms bent downwards and their dorsal parts hidden. Arms Lll; 160 mm. Rudimentary p—s on the most distal 30 mm, of the arms. P, to the right on I Br 2 in 4 cases; in one case the reverse. Disk 14 mm. Anal funnel 5 mm. Colour in life bright green. To a certain extent forming a transition to the form ornatus. Metacrinus interruptus forma ornatus. From St. 9 (1), 59 (1) = 2 specimens. Sp. 21 (St. 9) 4 nodals without cirri, Full number of interno- dals in the 7 internode. Interarticular pores to the 11" internode. Stem proximally narrower. The joints, especially the distal ones, markedly pentagonal. Every second internodal joint provided with an unbroken ring-crista. The infranodal face of the nodal joint lobate, The supranodal joint somewhat incised by the cirrus socket. The nodal joint a little thicker than the other joints. No distinct inter- cirral tubercle. Cirri 41 (NI) 42 mm., 41 (XV) 40 mm. Extending over 3 inter- nodes. S^ cirral L= br.: The dorsal carination divided in a distinct proximal and distal portion. B—s laterally not contiguous. R—s 1, x 45 mm. The arms broken at the first syzygy (I Br 1 +). Sp. 22 (St. 59) 5 nodals without cirri, Full number of interno- dals in the 5‘ internode. Interarticular pores to the 8” internode. The joints decidedly pentagonal. Intercirral tubercle well developed. Every second internodal joint with interradial tubercles. 8'— 10^ in- ternodes a little smoother. Cirri 39 (IX) 32 mm., 40 (X) 34 mm., 34 (XII) 28 mm. Ex- tending over 2 internodes. 6" cirral L = br. B—s 1,5 x 2,5 mm., R—s 1,5 X 3, mm. I Br—s 6 (1 + 2) 1 case, Tue CRINOIDS FROM DR. S. BocK's EXPEDITION TO Japan 1914, 175 7 (14-2, 4+ 5) 4 cases; 12 mm. II Br—s 7 (3 + 4) 3 cases, 9 (3 + 4) 2 cases, 11 (8--4: 2; 2+2: 1) 3 cases; 9—13 mm. III Br—s 9 (8 +4) 1 case, 11 (8-1- 4) 3 cases, 12: 1 case, 13 (3 + 4) 5 cases, 15 (8--4) 3 cases, 17 (3 + 4) 1 case, 19 (34-4) 2 cases; 9—17 mm. IV Br—s 15 (8 +4) 4 cases, 16 (4 +5, 10 + 11) 1 ease, 17 (3 +4) 2 pases, 19 (3 + 4) 1 case, 21 (3 +4) 1 case, 23 (3 +4) 1 case, 25 (8--4) 1 case, 27 (3 +4) 1 case: 14—24 mm. V Br—s 15:1, 17: 1, 19: 2 cases (syzygy between 3 +4); 15—19 mm. Arms partly broken, in a complete specimen probably about LX; total L 105 mm. Un- branched arms 60 mm.; 10—20 mm. with rudimentary p—s. The number of the segments of the p—s at the transition 11, 11, 9, 8, 7, 4, 3, 2, 2. Syzygies with an interval of about 20 oblique articulations. Ix (lo the zieht on» Br 2-in-9-eases) 16—17; 12: mm; P; 15; 9 mm., P,, 14; 8 mm. Disk 13 mm. Anal cone 4,5 mm. The present material of M. interreptus forms an extraordinarily fine and interesting series. Sp. 16 may be the youngest known stage of recent pentacrinoids' or at least of the genus Metacrinus. As to the thiekness-growth of the stem one can observe that the increase is most rapid among the young specimens and generally decreases with growing age. When the diameter of the stem is less than 1 mm. the stem thickens with 0,1 mm. for a length-growth of about 15 mm. From 1,0—2,5 mm. generally the same enlargement of the dia- meter of the stem is reached with an length-growth of 25 mm. (An exception is, however, Sp. 13, but one must notice that the preserved part of the stem is relatively short and the whole thickness-growth only 0,1 mm.; the divergence might therefore be ascribed to errors of measurement.) From 2,5—3,0 mm. the diameter of the stem increases with 0,1 mm. on 30—35 mm. Between 3,» and 4,0 mm. the same growth takes place on 60— 120 mm. and over 4,0 mm. an.equivalent thick- ening is attained on a length-growth of about SO mm. Exceptions are Sp. 11 with a thick stem, but rapid growth (0,1 mm. pro 33 mm.) and Sp. 21, where the diameter of the stem is proximally decreasing. A ! A figure of a very young specimen of /socrimus decorus of about the same size is also presented by A H. Clark in 1908 (Proc. U. S. Nat. Mus. Vol. 35, p. 88; a stem frag- ment) and in 1915 (Monograph p. 205; the same stem, here the figure is correctly placed) and by H. L. Crank in 1918 (Bull. Lab. Nat. Hist. Iowa Vol. 7, Rep. Crin & Echin. of the Bahama Exp.). SLÉN, T. Gr Number of Spe- Internodes Internodal joints Diameter Cirri Arms D Pg; eimen and m i Total = of the §|————- I Br | I Br | feral = Station N. L N D stem S ib. N ily S | Ib S L EDT EO RTC PEN ER ENS RSS | VERTIEFTEN ge Sp. 1 (St.45)| 18 | 205 oa > 11—14, | 3,021—3,|36—37, 32 7 | 9—11| 40 | 90 | 14 12 0101 6 Sp. 2:81.45) 9. 110 iiber 14,5—16| 3,51—3, | 37 | 32 7 | 9—11| 40 |100| 17 — |14/ 9 Sp. 3 (St. 45) | 9 | 100 112123 13,5 —15 | 2,7—3,0 135—3629-32 75 | 9—11! 44 | 95 | 11 9 |10| 6 Sp. 4 (St. 45) 18 | 225 | 11°12°13*14* 312,5—16,5 2,1—3,0|35—42.28—32| 75 | 9—11| 38 | 90 | 13 nt Sp. 5 (St. 45) | 26 | 345 OSes 12,—15| 2,8 - 3,6 38—4527—42) 617 | 711/41 +|130) 19 === Sp. 6 (St. 45) | 14 | 160 BR 14—15 | 4,0—4, 42—44837—40| 5174 | 9—11| 44 | 110 14—17/119—13|13| 7 Sp. 7 (St. 45) 23 | 345 11712913? |14,1—17,5| 3,5—3,:|39—49|34 —37| 75 Ile TS NP A TIG 14 |13| 7 Sp. 8 (St. 45)| 20 | 300 | 11912913914? |14,5—18,5| 3,5—3,8 38—44|98— 306, 718! 9—11 43 |130 20—21' 18 16,8, Sp. 9 (St. 45) 17 | 285 | 12*13?]4*15* | 15—20 | 3,0—3,5 |38—492/30—35| 75 | 9—1142 «| 110| 15 11 |14|6, Sp. 10 (St. 59) | 26 | 360 1011712 — !14,5—16,5| 3,2—4,0 |37—39133—37) 75 | 9—11|- 45/190 17 16 |14| 9 Sp. 11 (St. 59) | 23 | 300 102.78 3—16 | 4,1—5,0 }41—48/42—50) 74 | 7—11|x45|155| 24 23 | 15/10 Sp. 12 (St. 59) | 19 | 210 10-1 11,5—13 | 2,1—3,5 Bend 28—29| 5!7* | 9—11|+45 115| 20 16 |14]6-7 Spas 58) 7215157 a2 11,3-12,5] 1,8- 1,0 2720901909) 7° 11—14|x 45) 55 9 67 NR Sp. 14 (St. 56) | 12 | 130 10!11° 12—13 | 1,5—9,5 3934) 99 — — |—|-—,| 12 9 |—|— Sp. 15 (St. 56) | 15 | 120 | 31417?8!107111 | 3—11,5 | 1,.—2,0 28—3417—99 — — |—|-—/| 12 7 |— — Sp. 16 (St. 56)| 9 | 60 | 5!735!8111?19! | 3—7,5 | 0,4—0,s 119—-22 9,5- 11| 728291 110—12 20 | 18 9 Be p= Sp- 178.58) 12)) 85 || 6172849210! 5—8 | O,6—1,2 |19—27| 8—15| 75 |11—14/28 «| 30 9 45 |10| 5 Sp. 18 (St. 58)| 7| 47 Ka! 10—12 | 1,s—1,7 830—32119—21| 75 | 9-11 40 | 55 | 11 Ve 0985 Sp.19(St. 9)| 17 | 230 102,120 15,5—17,5| 4,7—5,0 40—4340—45 41 | | |— | — Sp. 20 (St. 45) | 23 | 390 | 11°12*13°14715") 16—91 | 4,4—4,9 45—48/37—45) 7181 | — | 59 160) | SANS ON 8205: 1201081181227 - He ae. A |40— 42) — — | | | —|— Sp. 22 (St. 59) | 13 | 150 18 I14—14,5| 3,-—3, 134—40/28—34 617* | 7—11 + 601 105 16—ı7! 12 |14|8 ^» oy THE Cros FROM De. S. BocK's EXPEDITION TO Japan 1914. 177 full-grown specimen therefore continues the length-growth of the stem, but the diameter of the stem is very little or not at all increased and might (in old specimens?) even decrease. An full-grown M. interruptus migth thus have a total stem-length of 2—2, metres, but from what is mentioned above it is probable that in older specimens it might be considerably larger. The previously described specimens of M. rotundus probably have much longer stems, for these only show an inconspicuous or no increase of the diameter. The fact that large specimens exhibit a decrease of the diameter of the stem (cf. M. rotun- dus Sp. 4, M. interruptus Sp. 21) has also been observed by DÖDERLEIN (Siboga Exp. Vol. 42 A, p. 29 ff). I have not established any periodi- city in the growth of the stem-diameter in M. interruptus. The proximal segments of the cirrals are short and discoidal, but the number of these short segments is evidently a function of the age of the animal. In e. g. Sp. 16 cirral 2 is already as long as broad, in Sp. 17 the 3°, in Sp. 18 the 4%, in Sp. 14 the 5'^, in Sp. 5 the 6", in Sp. 6 the 7" and in Sp. 19 the 9" segment is cubical. In the corresponding specimens the number of cirrals and their L are on an average 20 (10 mm.), 23 (12 mm.), 31 (20 mm.), 33 (22 mm.), 42 (35 mm), 41 (38 mm.), 42 (43 mm.). — The distal cirrals are, as in the comatulids, longer in younger specimens; e. g. Sp. 16 has the L of the 4"—S" cirrals = 2 br (cf. Sp. 3). The same prolongation is also seen in the stem-joints, which in the youngest specimens are longer than broad. Therefore the cirrus-sockets on the.nodals in the young specimens do not reach the proximal border. The interartieular pores cease very constantly at the 7" or 8, in some rare cases in large specimens (10, 19, 20, 21) not until the 9 or 10 internodes. In the very young specimens 14—17 the pores have disappeared already at the 2" to 6" internodes — a manifesta- tion af more rapid stem-growth. Full number of internodal joints in the largest specimens (6, 10, 11, 19, 20, 21) appears in the (5—)6—7™ internodes, on the other hand in the smallest specimens already in the (4"—)3" or even in the first internode (Sp. 3, 13—18). SPERRY has doubted whether M. rotundus and M. interruptus should be considered as different species. I grant he is right inas- much as there is no essential difference in the number of components Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. Ser. 4, Vol. b. N:o 6. Impr. 7/4 1922. 23 178 T. GISLÉN, of the II and III Br-series in the two species. The number of I Br—s, however, in M. rotundus is somewhat more variable (2—7—11 —21) than in M. interruptus, where, with rare exceptions, it stops bet- ween 9 and 1l. Further I quite agree with Sperry in his statement about the variability of the infranodal face. But — nevertheless — there are some differences. In the ori- ginal specimens of M. rotundus and interruptus there was measured a stem-diameter of 5, and 425 mm. respectively. This difference might seem slight, but my measurements of both the species show that it is of rather great importance: only 4 of the 22 specimens of M. interruptus have a stem-diameter of more than 4,2 mm., and these 4, evidently very old specimens, do not attain a stem-thickness of more than 5, mm. In M. rotundus, on the other hand, there are only 2 specimens (with relatively rapid growth of the stem) which do not come up to 6 mm. (CanPENTER's specimen is evidently to be compared with the Bockian Sp. 5); all the full-grown ones have a diameter of the stem of 6,0—060,7 mm. : M. rotundus is therefore a larger species and from this some other differences also follow. Thus the cirrals often number 50—55, cont- rary to M. interruptus, where they very seldom exceed 45, The inter- articalur pores in the latter species disappear at the 7 or the S" in- ternodes (seldom at the 9 or 10%), in the former species they dis- appear first at the 9%—12% internodes. As to the number of the ossicles in the I Br-series a compa- rison between the two species turns out thus: AM. rotundus has 7 I Br-s in 26 cases, 8 or 5 each in 4 cases; 4, 10 or 12 each in 1 case. (It is, however, to be noticed that here are included the figures from the abnormal Sp. 7). M. interruptus has 7 I Br-s in 76 cases, 8 in 5 cases, 5 and 6 each in 2 eases, 4 and 9 each in 1 ease. (Here the young specimen 16, however, contributes 3 figures differing from 7). Thus it is impossible to deny that in M. rotundus there is a somewhat greater variability in the number of the I Br—s. The cirri extend over 2!/;z—3!/ internodes in M.rotundus, over 1!/2—2?/s internodes, only exceptionally over 3 internodes, in M. inter- ruptus (Sp. 11, 21). (The last-mentioned L only occurs in the largest specimens). pu THE CnrNorps FROM De. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914, 179 I have therefore preserved the two species as different types of species value. The newly proposed form ornatus I might possibly have been able to consider as a variety, if I had had more plentiful material at my disposal. It differs from the chief species by the well developed orna- mentation of the internodal joints and, probably, by a somewhat greater number of arms (Sp. 22 with about LX arms). Nevertheless it might be considered that the greater number of arms is a mere chance; cf. the 20" specimen (observe also that Sp. 20—22 are rather large spe- eimens). Therefore, keeping in view the appearance of the stems in M. rotundus, I will not set up a new variety based only onthe orna- tion of the internodals and because of that I have preferred only to note the new type as a »form». I do not consider that the change in the number of internodals in the above-described specimens causes any sub-dividing into varie- ties. (Sp. 5, 9 and 20 show specially high figures). It is to be noticed that the very youngest specimens have a smaller number of inter- nodal joints. That is because the middlemost internodal joints have got a complete cirrus-whorl. There are often on the other internodals: too small prominences where the cirrus ought to have been inserted if the joint had been a nodal. I do not doubt that the still unknown, very small young forms of this family will turn out to have all or most internodal joints provided with cirrus-like prominences, thus appoaching the type that is shown in the distal part of the stems of Rhizocrinus. The differentiation into nodal and internodal joints is certainly a secondary phenomenon. — List of the stations where Crinoids were obtained. Chronologically arranged and numbered. Station 1 Japan, Shimonoseki, on the shore at low tide, ??/s 1914; formol-spirit. Compsomelra serrata 4 sp. St. 2 Japan, Sagami, Misaki, Aburazubo 2— 3 Metres, !?/a 1914. Compsometra serrata 3 sp. St. 3 Japan, Sagami, Misaki, on the shore, low tide */s. Formol-spirit. Compsometra \ serrata 1 sp. St. 4 Japan, Sagami, Misaki, 150 fathoms (the Metacrinus-shoal) ?/5; 96°'o Ale. « Comissia parvula 1 sp. Toxometra œquipinna 2 sp. Thaumatometra comaster sp. juv? 1 sp. St. 5 Japan, Kiu Shiu, Kagoshima, 135 fathoms P/5. Formol. Catoptometra Hart- | laubi 1 sp. : St. 6 Japan, Kiu Shiu, Kagoshima and Okinoshima, Scraper I and II, 1#=14/; and 18/5 (In the same pot). Formol-spirit (60 or 110—220 fathoms). Cyllometra pulchella 7 sp. 1 Psathyrometra Wireni 1 sp. St. 7 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands, 23 Miles N. W. (128° 11’ East; 32° 17 N). - 110 Fath. Oseaki, Trawl III 14/5. Formol. Metacrinus nobilis var. tenuis 2 sp. St. 7a Japan, Kiu Shiu, Goto Islands, Trawl. IV, 110 fathoms, !5/s. Formol. Peris- = sometra aranea 1 sp. St. 8 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands, Trawl Il, Bottom-temp. 13,7? C, 115 Fathoms - 14/5. Formol-spirit. Comissia parvula 1 sp. St. 9 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands, 90—115 fathoms, !'4-!5/s. Formol. Metaerinus nobilis var. tenuis 5 sp, Metacrinus interruptus 1 sp, Metacrinus interruptus form ornatus | sp. St. 10 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands, about 100 fathoms. May. Metaerinus rotundus | sp. St. 11 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands. Scraper, Pallas rock, 5 Miles E. to S. 90 2 fathoms. !*/s. Formol spirit. Zrythrometra rubra 3 sp. St. 12 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands, the coral bank. 90 Fathoms s. Formol- spirit. Cyllometra disciformis 1 sp., Cyllometra pulchella 1 sp., Asterometra macropoda 2 sp., Neometra multicolor 2 sp. : St. 13 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands. 198? 50’ E, 33^ 41' N. Trawl II, 75 fathoms. Sand. Bottom-temp. 15,9? C., 17/5. Formol or Formol-spirit. Cyllometra pulchella 33 sp. St. 14 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands, 128? 50' E, 33° 41' N. Trawl Ill, 75 fathoms. Sand. 17/5. Formol. Comanthus pinguis 2 sp. St. 15 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands. The same locality, Trawl IV. 17/5. Formol. Comanthus pinguis 1 sp. 3 THE CRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO JAPAN 1914. 181 St. 16 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands, The same locality. Trawl VII, 17/5. Formol. Cyllometra pulchella 2 sp. St. 17 Japan, Kiu Shiu, Goto Islands, The same locality. Trawl I, '*/s. Formol-spirit. Cyllometra pulchella 3 sp. St. 18 Japan, Kiu Shiu, Okinoshima, Scraper I and II, 50— 60 fathoms, Bottom-temp. 16,6? C., 18/5. Formol-spirit. cf. Comanthus pinguis sp. juv. 1 sp. St. 19 Japan, Kiu Shiu, Okinoshima, Scraper V, 26 fathoms. Bottom temp. 17? C., !8/s. Cyllometra manca 1 sp. St. 20 Japan, Sagami, Misaki, 2 Metres, !!/5. Formol. Comanthus solaster 1 sp. St. 21 Japan, Sagami, Misaki, on the shore at low tide, ?5/s. 70 ®/o spirit. Comp- sometra serrata sp. juv. 1 sp. St. 22 Japan, Sagami, Misaki, O—2 Metres, 78/5, 96 9/o alcohol. Compsometra ser- rata 3 sp. St. 23 Japan, Sagami, Misaki, Corallina, ?/e, spirit. Compsometra serrata 1 sp. St. 24 Japan, Sagami, Misaki, straight off the shore, 140 fathoms, 5/6, 70°/o Ale. Metacrinus rotundus 1 sp. St. 25 Japan, Sagami, Misaki, on the shore at low tide, 18/6, 70 ?/o Ale. Compso- metra serrata 3 sp. St. 26 Japan, Sagami, Misaki, on the shore at low tide (Corallina) 1/6, spirit. Compsometra serrata 2 sp. 4 St. 27 Japan, Sagami, Misaki, Diver, 3—5 Metres, !*/s. Tropiometra afra var. ma- crodiscus 8 sp. St. 28 Japan, Sagami, Misaki, Rocky bottom, 2—3 M. 14/6, formol-spirit. Coman- thus solaster 1 sp. St. 29 Japan, Sagami, Misaki, mud, 200 Metres, 73/6. Metacrinus rotundus 1 sp. St. 30 Japan, Sagami, Misaki, straight outside the shore, sandy bottom, 200 M. ?3/s. Metacrinus rotundus 1 sp. St. 31 Japan, Sagami, Misaki, straight outside the shore, 100 fathoms Metacrinus rotundus 2 sp. St. 32 Japan, Sagami, Misaki, Okinose, 100 fathoms, ?*/e. Alcohol. Zridometra mel- pomene 1 sp., Metacrinus rotundus 1 sp. St. 33 Japan, Sagami, Misaki, Okinose, 100—200 fathoms, ?9/e.. Alcohol. Cyllometra disciformis? sp. juv. 1 sp. St. 34 Japan, Sagami, Misaki, Okinose, 400 fathoms, °%s. Alcohol. Pectinometra flavopurpurea 5 sp. St. 35 Japan, Sagami, Misaki, Okinose, 400 fathoms 78/6. Alcohol. Comissia gracilipes 2 sp., Cyllometra disciformis | sp, Pectinometra flavopurpurea 1 sp., Dorometra briseis 1 sp. St. 36 Japan, Sagami, Misaki, straight off the shore, 200 fathoms '/7. Alcohol. Com- issia parvula 1 sp., Pectinometra flavopurpurea 1 sp., Crossometra septentrionalis 1 sp. St. 37 Japan, Sagami, Misaki, Okinose, 400 fathoms 5/7. Alcohol. Comissia parvula 1 sp. ?Comatulides decameros sp. juv. 1 sp, Iridometra melpomene | sp, Dorometra briseis 23/ 6. Alcohol. 2 sp, Thaumatometra comaster 1 sp. 182 T. GISLÉN, St. 38 Japan, Sagami, Misaki, rocky bottom, 2—4 Metres, */7. Alcohol. Comanthus solaster 1 sp. j St. 38 A. Japan, Sagami, Misaki, rocky crevices, 3—5 Metres. Comanthus solaster 1 sp. St. 39 Japan, Sagami, Misaki, Liparometra grandis 1 sp. St. 40 Japan, Bonin Islands (Ogasawara), Taki Ura, Diver, coral-bottom, ?5/z. Alcohol. Comanthus parvicirra 2 sp. St. 41 Bonin Islands, Taki Ura, Diver, coral-hottom, 78/7. Alcohol. Dorometra nana 3 sp. St. 42 Bonin Islands, West from Port Lloyd, 65 fathoms, ?'/z. Alcohol. Comissia ignota minuta 1 sp. St. 42 A. Bonin Islands, West from Port Lloyd, 70 fathoms, ?'/z. Alcohol. Comanthus annulata 1 sp. St. 43 Bonin Islands, NW from Ototojima, 80 fathoms, ?!/. Alcohol. Comatella stelli- gera 1 sp, Clarkometra elegans 15 sp. St. 44 Bonin Islands, NW from Olotojima, 70 fathoms,?!/z. Young Comasterid 1 sp., Compsometra parviflora 1 sp. St. 45 Bonin Islands, East from Chichijima, 80 fathoms, ?!/z. Alcohol. Comissia ignota minuta 9 sp, Comaster delicata grandis 3 sp., Comaster serrata 1 sp., Young Comasterids 15 sp. Zudiocrinus gracilis pulchellus 5 sp., Pterometra trichopoda | sp, Asterometra anthus sp. Juv. 9 sp., Compsometra parviflora 2 sp., Metacrinus interruptus 10 sp. St. 45 A. Bonin Islands, East from Chichijima, 90 fathoms *'/7. Alcohol. Comissia ignota minuta 1 sp., Tropiometra encrinus 1 sp. St. 46 Bonin Islands, East from the Channel, 70° fathoms, !/s. Alcohol. Eudioerinus gracilis pulchellus 2 sp., Catoptometra magnifica minor sp. juv. 1 sp., Asterometra anthus 2 sp. Compsometra parviflora 1 sp. St. 47 Bonin Islands, East from Channel, 80 fathoms, !/s (August). Alcohol. Comissia ignota minuta 5 sp. Young Comasterids 6 sp., Eudiocrinus gracilis pulchellus 2 sp., Eudio- erinus Loveni 1 sp, Catoptometra magnifica minor spp. juv. 3 sp, Liparometra grandis sp. juv. 1 sp, Asterometra anthus spp. Juv 5 sp, Compsometra parviflora 2 sp., Dorometra par- vicirra 1 sp. St. 48 Bonin Islands, East from Chichijima, 100 Metres, !/s. Formol. Æudiocriuus gra- cilis pulchellus 1 sp., Pterometra trichopoda 1 sp. St. 49 Bonin Islands, the Channel, 35 fath. ?/s. Alcohol and formol. Comanthus par- vicirra a comasteripinna, broken arms, Cenometra bella 1 sp. St. 50 Bonin Islands, Chio-ta-jima, on the shore at low tide, ®/s. Alcohol. Young Comasterid l sp. St. 51 Bonin Islands, the Channel, 40 fath. ®/s. Alcohol. Comaster delicata grandis 1 sp. St. 51 A. Bonin Islands, the Channel, 35 fath.?/s. Formol. Comantheria grandicalyx var. flagellipinna 1 sp. : St. 52 Bonin Islands, Taki-no-ura Channel, 30—40 fath. ?-*/s. Alcohol. Comantheria grandicalyx 2 sp. St. 53 Bonin Islands, Higashijima (2 Miles East), sand + broken shells, 90 fath., ‘/s. Alcohol. Comatella brachycirra 5 sp. Comatellu maculata 1 sp. Young Comasterid 1 sp., THE CRINOIDS FROM Dr. S. Bock’s EXPEDITION TO Japan 1914, 183 Eudiocrinus gracilis pulchellus sp. juv. I sp., Cyllometra albopurpurea spp. juv. 2 sp. Aste- rometra anthus (some young ones) 11 sp., Dorometra parvicirra 1 sp., Clarkometra elegans 2 sp. St. 54 Bonin Islands, East from Chichijima, 70 fath., */s, broken shells sand. Young Comasterid 1 sp., Asterometra anthus spp juv. 2 sp, Compsometra parviflora 1 sp. St. 55 Bonin Islands, ENE. from Chichijima, 115 fath., shells--sand, !5/s, Alcohol. Comatella brachycirra 2 sp., Comissia ignota. minuta 11 sp., Comaster serrata 1 sp., Astero- metra anthus sp. juv. 1 sp., Stenometra dentata sp. juv. I sp. St. 56 Bonin Islands, East from the Channel, 115 fath. !?/s, Alcohol. Comatella brachycirra 2 sp., Comatella stelligera 1 sp., Asterometra anthus 7 sp., Stenometra dentata 5 sp, Diodontometra Bocki 1 sp, Metacrinus nobilis tenuis | sp., Metacrinus interruptus 4 sp. St. 57 Bonin Islands, East from Chichijima, 100 fath., !?/s. — Asterometra anthus sp. juv 1 sp. St. 58 Bonin Islands, the islands East from Chichyjima, 180 Metres, !?/s. Metacri- nus nobilis tenuis 1 sp., Metacrinus interruptus 2 sp. St. 59 Bonin Islands, ENE from Anojima, 100 fath. 1°/s, formol or alcohol. Coma- tella brachycirra 7 sp., Comatella maculata 2 sp., Comatella stelligera 2 sp., Comissia pere- grina magnifica 2 sp, Comaster delicata grandis sp. ad. 1 sp., Comaster serrata 1 sp, Ca- toptometra magnifica minor 9 sp., Eudiocrinus indivisus 1 sp., Cyllometra albopurpurea 2 sp., Pterometra trichopoda 3 sp, Asterometra anthus 20 sp., Stenometra dentata 3 sp., Metacri- nus interruptus 4 sp. St. 60 Bonin Islands, ENE from the Channel, 100 fathoms, !5/s. Formol. Comaster delicata grandis 1 sp. St. 61 Bonin Islands, ESE from the Channel, 83 fath., 1%s. Formol. Comissia ignota minuta 2 sp., Young Comasterid 1 sp., Catoptometra magnifica minor sp. juv 1 sp. St. 62 Bonin Islands, the Channel between Chichijima and Anojima, 20 Metres, August. Comantheria grandicalyx var. flagellipinna. 1 sp. St. 63 Japan, Sagami, Misaki, on the shore at low tide, 14/9. Alcohol. Comanthus parvicirra a comasteripinna sp. juv. 1 sp. Misprints. p. 66, 31 line from below for able-formed read table-formed. p. 75, 164 > > > » inside, !/2 » inside, 1 !/s. p 99, 6 » 5 » > b) » 45. p. 123, 1st » » above » bifucation » bifurcation. p. 159, 72 » » below > 54(XIV)56 mm.» 51 (XIV) 56 mm. Photos: Plate I. Comatella brachycirra (St. 56 Sp. 1 and 2; 1 in lateral view) about x 2. Comissia peregrina magnifica (St. 59 Sp. ! and 2) nat. size. Comissia ignota minuta. (St. 47) 7/1. Comaster delicata grandis (St. 45 Sp. 3) nat. size. Eudiocrinus gracilis pulchellus (St. 45) */1. Eudiocrinus Loveni (St. 47 Sp. 1) 7/1. Stenometra dentata (St. 56) 7/1. ~ Clarkometra elegans (St. 43 Sp. 1) #1. Cyllometra pulchella (St. 13) 7/1. Plate II. Diodontometra Bocki (St. 56 Sp. 1) 2/1. Toxometra cequipinna (St. 4, Sp. 1) P, visible to the left, ?/1. Psathyrometra Wireni (St. 6, Sp. 1) 7/1. Metacrinus interruptus (St. 56 Sp. 16) the newly formed arms of somewhat unequal size; about x 19/4. Metacrinus interruptus (Sp. 16) the same specimen viewed from another side, 7/1. Metacrinus interruptus (St. 56 Sp. 13) the ne warms of very different length, 3/2. Asterometra anthus (St. 55 Sp. 53) a very young specimen, *ı. a | Nova Acta Reg. Soc. Sc. Ups. VIG tS INE, {Sy HOI Library - Serials TIRE 5 WHS I ñ f NYPA AN : TRARAS SAR VARA Er WAR ANS SARA ARA MA EN AMMA ER N Ni aaa c, MW ain MM AN N AA AM NASA AA ARRÅ AARALAÉ m af AAA ANAMMA nANANA RARE AA AAA AAA AR Aan r à. A AAN, ANM AAA A AAA ^ MAR AAAAA MA AAA S AARAAAAAPAR ARRA SEM twr MA Va PvP, A NE \ A la BETALA 2p ARAS ARAAP AAA. JA AAA LU UM, nn’, AAA AAA FSU TELLER f 025: PARAAAAAN 528^ ana | A NS Pu id Anan Aa ARA MARE ae Br N: 6 Ra: AQ ^ AA et AND | i MAAN AG a NE SAS RA AAARSAAAAAS MAY | ES à lä AAA ANA " AN ARA AG NANA RASA PARADA Enn At À) AN tatatutrenass 15°