NOVI COMMENTARII ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE ~ ■ TOM. V. ad Annum MDCCUV. et MDCCLV. 'Mk^^-. % jfaiiiiiiiaMP <^ <^ <<^ ^ ^^ <<^ ^^ t<^ ^i^ t*:^ «^?s ^ ^ ^ VcJi^ ^^ PETROPOLI TYPIS ACADEMIAE SCIEISITIARVM MDCCLX. rfi^.^»t.4t^C4sX^.i? SVMMARIVM DISSERTATIONVM QVAS CONTINET NOVORVM COMMENTARIORVM TOMVS V. MATHEMATICA. Demonftratio Theorematis Fermatlani mnem nmerum primum jormae 4 « -4- i ^ Jummam duorum quadrutorum. Au£lore Leonh. Eu!ero. p. 2* Dhoc infigni Theoremate iam in ruperi')ri Tomo a Cel. Audore egregi.ie obferuationis (unt pro- lai.e, quibus eius veiita!» tam folidis rationibub fuit com- probata , vt nuUum dubium relinqui vlderetiir ; ncque tameti hae rationes vicem firiiiae dem(:»nftrationis fufti- nebant In hoc niemorabile cernitur cxtmplum cius- inodi propofitionis , de cuius veriiate dubitare nefas fit , ctiamfi compieta demonftratione dcllituimur. 1 alibus antem propofKionibus nusquam minus , quam in Mathcfi, locum rtlinqui vulgo putatur , vbi omnia firmiflimis demonftrationibus munita videntur Verum hoc etiam tantum in dofttina numerorum vfu venire deprehendimus, in quomm natura fcrutanda Fermatius ita exciliuit , vt quam pliirimas proprietates dctexerit , atque etiam de- monftralfe fit profeffus , quariim plerasqiie ctiati nunc fine dcmonftratione veritati onlentaneas agnofcere de- bemus \ dum in reliquis Matliefeos pjriibus , ac multo magis in aliis (cientiae generibus , qu;jrum propofitionum veritas non per rigidas dcmonftrariones nobis eft per- Ipefta , eae merito fufpedlae videri debent , cum adeo pierumque , quandoquidem eas accuratius intutri licet , A 2 falfae ftlf^e deprehenduntur. In eo genere igitiir inprimis ift jd Thcorema Fermatianum , quoi omnis niimerus primus fv)rm.ie 4 « + i fit fumma duorum quadratorum, ftudiiim Geometnrum fuigault , atque Cel, h.ulerus m eius demonftratione inuclliganda multum diuque defudafle viJetur , cum in (uperiori Tomo plura Theoremata huc pertinentia ex profundiffimis numerorum mylleriis eli- cuilfet , neque tamen fcopum attingere potuiffet. Tam prope autem eo pertigerat . vt hic , quafi reliquo fpatio feliciter confee perpenfis , via mulro breuior ct planior eodcm peruenkndi nperiatur. Talis autcm di.monftratio breuior ac ccrte nobis plrfnior aditum ad abfcondita numeroium arcana eflet patcfadura, quae etiamnum , non nifi quafi per tenebras , contemplati licet. Verfuur ergo memorabile Theorema circa nume- ros formae 4 « -f- i , fcu eos numeros imparcs , qui vnitate excedunt mulcipla quaternarii , qni funt , 5- 5>. 13. 17. 21. 25. 29. 33 37- 41- 45- 49. etc. Itt his diftinguuntur numcri primi 5. 13 17 29. 37 4^- n compo!ltis 9. 21. 25. 33. 45. 49, ac de illis af^ firmatur firtgulos effe aggregata binor-im quadratorum , -veluti 5— -i + 4;i3-:=^4-l-P'^7==i-l-i^i2s> r= 4 -h 25 ; 37- -- I H- 36 ; 41 — i5 -t- 25. etc. qiiod eo magis mirum videtur , cum hatc quadrata nuUa X 5 X Wtione procedant. Inter compofitos aiitcm , etfi alii ipfi funt qnadrata , \t 9 25,496^0 alii \ero ttiam fummae duorum quadratorum aequantur : "vnde propofitio tan- tum ad numeros ptimos formae 4 « -4- i reftringitur. Huius ergo veritas nunc demum pro demonfirata eft habenda , fiquidem demonftratio Fermaliana penitus io' tercidit In praecedente autem Tomo demonftratio eo erat proluaa, vt oitenderetur, quotics 4«-4- i fit nu- merus primus, femper dari eiusmodi duos numeros a et b, vt «'" -f- Z»'" efilt per ^n-^-i diuifibile : hoc ipfum autem tum fine probationc relinquebatur. Nunc igitur negotium ita Audor abfoluit , \t cum multo ante demon- ftraffet , hanc formam «*" — 6**, feu produdum hoc («^" — 6^") (^^" -4- (^*") femper efle per numerum primum 4«-hi diuifibile , doceret , fempcr dari cafus, quibus alter fidor a"'~if^'' nou fit diujfibilis pcr 4« 4-1, tum enim neceffario fequitur , alterum fiAorem ^2n_^^2n i^^,fjj. diiiKorfm compledi. Qu(;d reliquum eft , iam ante erat praeftitum : quia enim ^'"-f-^*" eft fumma duorum quadrarorum , fimulque firma demon- ftratione euidlum eft , fummani talium binorum quadra- torum nullos alios diuifores admittere , nifi qui ipfi fint duor im quadratorum lummae , necclfe eft , numeriim 4«-+-! efife fummam duorum quadratorum. Hinc igi- tur iiquet , quam fubtilia et vndequaque conquifita ratio cinia ad huinsmodi demonftrationes requirantur , et quam longe adhuc a folida numerorum cognitione fimus reniuti. A 3 Huic Huic fcripto pag. 13 fine peculiari ticnlo adiuti* gttur noua diiTertatio , in qua refiJua , quae in diuiuooe fiumeiorum quadracoruiri per qnofais numeros remanent, cxamini lubiiciunmr , vnde iterum e^regiae numerorum propnetates deducnntur , vel omnino nouae , vel iam quidem cognitae, fed nouo modo demonftratac. Iv'§mo ignorat omnes numeros quadratos, qui per 3 di- vidi nequeur.t , in diuiiione femper vnitatem relinqueic, neque vllum daii nnmeram quadiatum , qui per 3 diuiiiis duo relinquat. Simili modo nuUus datur numerus qua- dratus, qui per 4 diuifus vel 2 , vel 3 relinquat , led refiduum femper efl; i , nifi diuifio fuccedat , quo cafii refiduum ccniendum eft o Deinde nullus datur numerus quadratus , qui per 5 diuilus relinquat 2 , vel 3 , fed refi- dua lemper (unt vel o , vel i , vel 4. Atque in genere per quemcunque numeium tiumeri quadrati diuidantur, a refiduis certi numeri excluduntur , quos Cel. Auctor hic imprimis C( nfiderat , et non refidiia appellar. Ti m pro quocunque diailore eximias proprietates tam int:.* f cfidua , quam non refidua obleruat , indeque plura egre- gia Tlieoremata demonftrat ; veluti nunquam euenire pofle , vt haec forma 4 w « — w — « , quicanquc etiam numeri pro m et « aflnnmntur, fi.it numerus qnadratus. His fpeculitionibus tantum non deducitur Auctor tandem ad illud elesjantifllmum Tlieorema , quod omnes numeri fmt aggre^ata quatuor vel pauiiorum quadratorum , quod ctiam Fermatius ex profundifllmis numerorum myfteriis demonftrafl!e affirmat , et cuius demonftrationis iactuca aeque eft dolenda , ac tot veterum fcriptoium , quibus nos temporum iactura priuauit. Etfi enim Auctor in poftremo K7X pofttcmo Theorcmatc demonftrat , omnem nomemm efle jummam quatuor quadratorum vel pauciorum , fiquidem quadrata jracta non excludantur , tamen haec adiecta conditio maximum discrimcn inter hauc demonftrationem €t eam , quam defideramus , facit. Supereft igitur de- monftrandum , qui numerus in fractis fit fumma quatuor quadratorwn^ eundem quoque in integris quatuor quadra- ioruot fummae aequari. IL Obferuatio de fummis Diuifbrum. Au£t. L- Eulero. p. 59. Diuifores cuiusque numeri ii vocantur numer! , pcr quos illum finc refiduo diuidere licet ; vndc in- ter diuifores cuiusque numeri reperitur primo vnitas, tum vero ille ipfe numerus, quandoquidem omnia nu- merus tam per vnitatem , quam per fc ipfum diuidi poteft. lam conftat eos numeros, qui praeter vnitatem et (e ipfos nullos afios diuifbres admittunt , vocari pri- mos , reliquos vero , qui praeterea per alios numeros diuidi fe fine refiduo patiuntur , compofitos ; atque in Anthmetica vulgari traditur methqdus, omnes cuiusque numeri diuifores inueniendi. Auctor igitur in hac dis- fertatione fiimmam omnium diuifonim cuiusque numeri cootemplatur , non eo confilio, vti alias in inueftigatione nameroium pcrfeciorum y vei amicabilium , aliarumue haiuB X 8 )( huiusmodi quaeftionum fieri folet , fed vt ordincm , ct quafi legcm , qua iftiie fummae diuiforum fingulib numeris conuenientes procedant , exploret , qui ccrte maxime abfconJitus videri delet , cum pro numeris primis , (um- ma diuiforum ipfos vnitate fuperet , pro compofitis autem eo magis , quo piures facflores primos in fe com- pledluntur. Qiioniam igitur ratio progreflionis nume- rorum primorum adhuc lummum eft mytlerium , in quiid ne Fennatio qnidcm penetrare hcuit , horum autem ratio manifelio in fummas diuiforum ingrcditur , quis dubitiret has quoque nuUi lege (ubiedlLis pronunciare ? Eo maiorem igitur haec difrertatio attentionem meretur, quod ita lex ibi i'i lucem eft protiaAa , ttfi nondum fummo rigore demi)nftrata. Audlori aufem hic idem vfu euenit , qunJ ante in Theoremate Fermatiano , vt mox deinceps defedum demonftrationis fuppleucrit Quod cnim in demonftratione hic tradita adhuc defideratur , ftatim in (equenti diflfertatione (uppleb-tur. Quo haec clarius exponi poITint , vtitur Audor figno / ad fum' mam diuilorum cuiusque numeri, cui praefigitur, indican- dam. Ita fn indicat fummam omnium diuiforum numeri « , vnde intdligitur fore vt fequitur : /« — /2 — I -+-2 — 3 li — I -t- 3 =r 4- f^ — I -+- C -f- 4 — 7 /s — l-+-f — (5 f6 — I -4- 2-+- J -^-6—12 Si — I -H7 = 8 /8 = 1 -+- 1 -+-4-t.8~lj S9 — I -f. 3-t-j>= 13 Jio— I -H2-+-5-I.IO— l8 Al — T -+-Il~ 12 /12 r=:i-t-2-f-3-+-+-Htf-»-i2— 58 /■3 = 1 -+-I3 =:: 14 /l4=I-+-2-t-7-Hl4 — 24 /i y =: 1 -+- 3 -+- 5 -+- I s =r 24 /,•6— I-+-2-+-4-+-8-+-I5 — 31 fiT=z i-+-x7:=: 18 /18 = 1 ^2-+-3-f- et difFerentiatione fit opus , quae res pamm ad noturam diuiforum pertinere \ideantur. Ex hoc trgo cafu in- telligere licet , quam ardo et rrinfico ncxu An?lyfis infinitorum, non folum cum Analyfi vulgari, fed ei.am cum dodlrina numerorum , quae ab hoc lublimi caltuli genere abhurrere videtur , fit coniunda. III. Demonftratio Theorematls circa ordi- iiem m fummis diuiforum obferuatum. Au£l. L. Eulero. P. 75' Hic Cel. Auftor id, quod in praecedente diflertatione adhuc dcfidcrabatur , cumulate praeftat , tt demon- flrationem conuenientiae modo inemoratae rigid flimam exponit. Quae etfi vulgaribus principiis innititur , ta- men non exiguafm fagacitatem prae fe ferre \idctur. Quod ad ip(um argumentun) attinet , id iam fupra latis «ft explicatum. B a IV ly. De Methodo Diophanteae Analoga m' Aiialyii iufinitorum. Alifl:. L. Eulero. pag, 84... M.thodus Diophantea-, ab audlore antiquo Graew Diophanto fic .dida , potiffimum ad dodrinarai numeiorum refertur , arque huiusmodi quaeftiones refol-- vcre docet , quibus numeri quaeruntur , qui certa ratione combinati, euadant quadrati, vel cubi , aliusue generis nu- meri \ veluti fi quaerantur duo numeri , quorum qua- drata addita iterum qundratum producant , cuiusmodi numeri fiint 3 et 4 , quorum quadrata 9 et 16 addita fiimmani. dant 25 itidera quadratum. In genere igituc" fi hi numcri ponantur x et /, id requiritur, vt .r.v-i-j'^' fiat quadratum , feu vr V ( .v .v ~\-y y ) fit numerus ra- tionalib , atque femper in, folutione huiusmodi proble- matum pcruenitur ad tales formulas radicales , fiue radix'- quadr.ua, fiue cubica , fiue altioris gradus fit exrrahenda,, numcrosque ifii figno implicatos ita determinari oportet, vt radix. re vera extrahi pofiit , omnisque irrationalitaS' euanescat.. Ex quo methodum Diophanteam ita defi- niri pnfle patet , vt fit methodus irrationalitatem toi- lendi. Qiiod autem in Analyfi communi func quantita- tes irrationales , id in Analyfi fublimiori fuut quantitates- tranfcendentes , quae oriuntur , fi qua formula difieren- tialis integrationem refpuat , perinde atque ibi quantita- tes irrationales nafcuntur , quando ex quapiam formula. ladicenrii )( 13 )( siadicem exjtrahg:? nop liceL Methodus igltiir in Ana- lyfi iatinitoriim Diophanteae anaioga in lioc verlatur , vt quiintirates formiilani quandum ditferentialera ingre- dlentes ita determinentnr^ vt integratio fuccedat , et in- tegrale Algebraige exliiberi pohit. Huiusmodi exempla ftatim occurrunt, quando vel curuae quadrabiies, vel re- (Sificabiles re^uiruntur, vbi pofuis coordinatis orthogona- libus X et / , eiusmodi relatio inter eas defideratur , vt priori cafi formulajrt^.u, pofteriori vero haec fV{dx'' -^d/) integrationem admittat. Problema quidem , quo curuae quadrabiles quaeruntur', efl: facillimum , atque adeo iam ante inuentam Analyfin infinitorum folui potuit , alterum vero de curuis reftificabiUbus nonnifi per plures ambages a Tiris celeberrimis Hermanno et BernouUio efl: folutum , vbijnuUum veftigiura methodi cuiuspiam certae deprehea- ditur. Hic ergo quafi nouus campus in Analyfi infini- torum aperitar antehac prorfus ignotus ; methodns fci- licet Dioplianteae analoga, cuius principia Audor in hac diflertatione non folum difliindle proponit , fed etiam co vsque profequitur , vt problemata , quae ahas vires Analyfeos longe fuperare viderentur , nunc fine vUo ferft' labore refolui queant. Interim tamen haec methodus y quousque hic efl: exculta , plurimum adhuc a perfedlione abeft , relinquiturque ampliirimus campus , in quo Geo- metrae vires fuas exerceant , atque etiam ex Iiac parte fines Analyieos proferant. Quanquam enim ab Audore innumerabiies formulae differentialcs ad integrabiiitatem fiint perducflae , tamen plurimae fuperfunt , quibus ar- tificia hic tradita nondum fufiiciunt j veluti fi eiusmodi quaeratur relatio inter variabiles x et j , vt haec for- B 3 mula» )( 14. X mnla f ( ^-^ + "^-^ ) integrationem admittat. Audlor fitetur (e niillo •aahuc modo id praeftare potuifle. Verum dantur fine dubio et in hac methodo cafus omnem rc- duclionem refpuentes , qiiemadmodum etiam in metliodo Diophantea plurimae formulae , quae nullo modo ad quadratum reduci poflunt. Plurimum igitur et hic prae- ftilifle cenfendus erit , qui , cuiusmodi fcirmulae ad redu- fcndum plane fint ineptae , dilucide oftendere potuerit. De curuis funiculariis et catenariis, vel illis 5 quae corporibus flexibilibus indu- €untur , cum potentiis quibufuis fbllici- tsntur. Auaore G- W» Krafft. Celebre' Catenariae problema , -primus quidem s^- greflus eft Galikeus , in catenae flexilis libete fulpenfie figuran) , aft , quod fufpicandi plures habemus cau(as , non geometriae auxilio , fcd tentaminum .arque experimentorum ope , inquirens. ^■'acile itaque cnncipi- tur , qui factum fit , quod vir fummus , a fcopo ab- errans , catenulae curuaturam , parabolae afiintm effe , ad- ftruxerit. Dicimus confulto, parabolae qffmem , incidimus enim in fcriptorum Galilaei locum quendam , qui lu- ,tulenter probat , non pro yera parabola habuiffe ipfum , catc- X 15 X catenariac ductiirn , qiiod qiiidem communiter vitio ipfi vcrti (blet. In libro enim de Motu locali , Dial. ly. p. m. 257. fequentia iniieniuntur veiba: Vraeterea tibi dicere voh , — jimem ftc tcnjum , et plus aut miniis tractum , hi linsas fs Jlectere , qiae ud paraboUcas accs- dunt quam pro > ime , tantamque ejje fimiHtudinem , vt fi in Jupsrjicie plana et hmzouti recta , lineam dejcribas parabohcam , eamque inuertas - ^ et txtremitatibus bafeos appendas catenuUm , caiH magis aut minus demittendo , fe incuruare et adaptare ad eandem videbis parabolam , eoque accuratiorem Jore ijlam adaptationem . quo defignata parabola minus fuerit curua , hoc ejt 7nagis tenja , ifa vt in parabolis ■, quae ad eleuationem ^5 gradus minorem ( loquitur hic Gahlaeus , de parabolis , quas dcfcribunt corpora grauia proiecta ) defcriptae funt , eatenula ai mgusm fere cum parabola congruat Totum hunc locum inferimiR , quo Galilaei partim exinde pa«^eat innocentia partim , vt de via, quam hiquireado cateaulae figuram fecutus eft , conrtet. Ex quo infinitefimalis methodi principia inno- tuerunt , denuo idcm problema tentarunt erudUi , atque mox , omnino a parabola diuerfam , ac ex tranfcenden- tium genere efle curuam , quae quaerebatur , deprehen- fum efl. Non folum autem plene (olutum dederunt problema Leibnitius , Bernoullii , aliique complures , fed fimilia quoque aiia excogitarunt , qu.Ues funt v. g. velariae > funiculariae , aliaeque huius geneiis curuae. Huiu» )( x6 )( Huius non eft loci , amplam methodorum , qua- rum ope huius geiieris probiemanim folutiones aflecuti funt geometra:e , inftituere recenfionem ; id tamsn mo- nemus , dupHcis efle generis , quae hactenus prolatae funt , folutiones. Aiii enim ex Statices praeceptis im- mediate ipfas deducunt , alii ex principiis aliunde co- gnitis , V. g. ex centri grauitatis figurae defcenfu ma- ximo poflibili , eas rcjietunt. Ad priorem cTaflem pertinent , quas ClariC ieripti huius Aiictor adhibuit methodos , qui in negotio , quod expediendum fibi propofuerat , iequenti ratione procedit, Confiderat primum filum flcxile , cui finitum numerum potentiarum , qualemcunque hae habeant ma- gnitudinem ac directionem , applicatam fupponit , et fbrmulam eruit , quae ftatum aequihbrii eius , quod hinc nafcitur , polygoni determinat. Tum generalem hanc nequationem , ad eafum , vbi numero infinitae vires in filum agunt, ( quo cafu non polygonum , fed curua prodit ) trani^fert. Ccnfiderat exinde cum piimo cafum , Tbi viies omnes in filum agentes cuiuaturae ipfius (imt normales , atque poftquam fupra inuentam formulam generalem cafui huic adaptauit , deducit ex ipfa curua- turam , quam afllimii filum , in quod agit fluidurn ela- fticum , quaqua veriiis aequali vi expandere fe nitens , fiue Velaiiam primi cajiis , proute ipfam vocat Auctor , fltque curuam , cui congruit filum , quod fliiidum impulfu fuo expandit , feu Velarhm Jecimdi ct^jits , et denique eam, quae dum fiium a fluido , ex folo fuo pondere agente, expanditur , oriri folct , quam Linteariam appellat. Abfo- Abfolutis his , ad confiderandum eum cafum , vbi vires omnes ui fiium agente» inter fe paralielae fuut, ClarKs. Auctor , tranfit , cui portquam aptauit formulam genera- lem , deducit ex ip(a catenariam mlgarem , atque non mlgares , quoium nominum priori , eam , cui fe adaptat iilum vniformii» \biuis cralfitiei , altero, quam aflumiint fila diuerlae in diuerfis punctis cralfitiei , denotat. Affines denique alias q^asdam curuas inuefiigat Auctor , ilajlicam nempe , quam fub hypothefi , expe- rimentis comprobata , atque Tom III Commentarionitn Acad. noftrae pag 7r. expofita , cum /i«/f<7ri/7 e.indem eflc demonftrat , atque curuam fo'nicibus conjl'uendis ap- tam ^ quam non folum , fub hypocliefi fbrnicis i ifi lite cenuis , (ed etiam datae , aft vniformis vbiuis crairuiei , cum Caten^ma vulgari , atque Felaria fecmdi cajus , con- gruere probat. VI Subfidium calculi finuum. Auctore L. Eulero pag. i6^. DHierfa genera quantitatum , circa quas Analyfis ver- (iitur. diuerfas etiam fpecies calcuH gignunt, in quo praecepta ad quodcunqi»e quantitatum genus accomm- ceptis continetur , Cel. Aurmulae fit valor , non nifi per profundis- finas inucfligatioues, ex Analyfi fubJimiori petins, d«.fiii- ri poffe videcur. Re igttur variis mndis tent.ita , Au- (ftor tandem omnino fingulari niodo per fnvd^oms con- tinuas inuenit , iauius ferici fumTam proxime effe cz:,o,59(J34.73(S2i 23, in quafradione decimah ern ir ne vitjmain Vkiinam qiudem iignram afficir. Progredknr deinceps ad aiias (eries latiiis patenres , eiusdem generis , qiiarum (nm- mam fimili modo alFignare doccr , voce Juinmae fcili- eet ea fignificatione accept'a , qnam liic (tabiliiierat , ec cpi omuts cuatrouerfme praeicinduncur. VIIIl Diilertatio de problematibus quibusdani calculi integralis. Auaore G. W. KrafFt. p. 238. Septem diuerfa , ac a fe inuicem non pendentia , cal-- culi integralis problemata , in Dilfcrtatione bac foluit Clarif Audor. Etfv autem problcmatum iftorum plenque , olim iam ab aliis tradata fint , a Perill. nempe' Goldbachio ■, Celeberrimisque Hermanno ■aiquq Benm/Iiis t nouae tarren funt, et ab had:enus cognitis diueriae IblutioneSj hic Juppeditatae , quod quidem inftkucum frudu non carere j fatis perfpicuum eft. Plura addere fiipcruacaneiTm ducimus. Led^ores jjntius ad commentationem Claiifs. Audoris ipfam abl&=' gaudos tlfe , putamus. BEYSICO^ )( ^4 )( PHYSICO - MATHEMATICA. I. De Cochlea Archimedis. Audore L, Eulero. p. 2S9. hiV>^^ Iiiter Machinis aquis hauriendis deftinatas, cochlca Ar- chimcdis, cum ob antiquitatem , tum frequentiliim m v(um , maxime eft cognita , vt vix vllus rerum hyorau- licarum fcriptor repeiiatur , qui euis mentionem non fjciat. Qiia autem rationc aqua hauriatur , et quantae vires ad eam agitandam requirantur , vt data aquae copia ad datam altitudinem eleuetur , nemo fere quisqram de- terminare eft conatus , ita vt, fi ad Theoriam fpedemus, haec machina nobis. adhuc omnino incognita fit cen- fenda. Hoc fciUcet faum cum plerisque aliis Machinis commune habet , vt muko ante vlii fuerit recepta , quarta ratione explorata. Tantum quidcm ab-^ft, vt rehqu.irum Machinarum hyoraulicarum perfedam habcanuis cogni- tionem , vt potius Theotia vix vltra prima tkmenta fit excuita : Verum de Cochlea Archimedi^ fateri togimur, m s vix quidquam de ratione , cui aftio eius innitirur , intelligere. Non ita pridcm enim demum vera motus fluidorum Theoria coli eft coepta , cum antehac nc prima quidem eiuh principia fuiflent cognita , et quac adhuc in ea lunr fummo ftudio explorata, vix finpljciftj- mis Machinis hyciruilicis iolide explicandis (ufficirnt. Cochlea autem Archimedis omnino ad imima huius fcien • X ^5 )( fcicntiae penctralia elt referendi , ciim aqua non per tubos iixos , vti in reliquis plerisque Machinis fit , led per niobiles promoueatnr , cuius motus nuio profundiflimas innelligationes polhilat. Audlor igitur minime huius Machin.ie Theoriam pcrfedc explicafle gloriatur , led operam dcdit , vt eam ex crafllflimis tenebris , quibus adhuc crat inuoluta , protrahcret , eique aliquam filtem lu- cem afFnnderet. Difiicuitas quidem praecipua non tam in principiis motus efl: fita , quam in ipfius Anaiyfeos fub- fidiis ; totam cnim Theoriam (atis fcliciter ad calculum reuocare licuit , cuius autem euoJutio vircs , quas adhuc fumus adepti , (uperare videtur. De modo autem , quo Audor hoc arduum argumentum pcrtra<5tauit , vix quid- quam afferre licet , quod , nifi vniuer(a Analyfis fimul cxplicetur , intelligi queat , vnde ledores ad ip(am Dis- fertationem remittimus , vbi compiura notatu digna , et quae maxime paradoxa videantur , inuenient. loprimis autem optandum ert , vt et alii Geometrae hac occafione excitentur, ad idem argumentum, quisque (iio more , fcru- tandum , quo tandem pkniorem huius Machinae Theo- riam confequamur , ex qua ipfa praxis perfici queat. II. De aptiffima figura rotarum dentibus tribuenda. Au&i, L. Euler. pag. 299. figura , quam dcntibus rotnrum dari conneniat , varii Auftores , vario confilio , funt commentati , D quQ- D )( =^ )( quonijin pliires fiint circiimdmtiae , ex qiiibus i(h figurs deteiminari potelL In liac Diflertatione duplex fiuis- proponitur , alter vt dum dentes dujrum rotarum in fe inuicem agunt, nulla oriatur fi-idio , (ed dentes ita alter fuper altero incedant , quemadmodum circulus (uper plano volui concipitur , dum cycloidcm de(cribit. Alter finis autem eo tendit . vt dum altera rota vnifi)rmiter cir- cumuoluitur , alteri rotae etiam motus vni(()rniis impri- matur. Qiiodfi has ambas conditiones fimul implcre li ceret , nullum e(t dubium , quin ea dentium figura , quae hoc praedaret , elTet peifecTridima. Miximi enim efl: momenti attntum in mutua dentium adiione euitare , quandoq-iidem hoc modo Machina diutiifime iu ftatu fuo conferuari po(ret. Haiid minoris autem efi momenti altera conditio , quoniam in omnibus Machiuis vnifbr- mitas motus multum ad e(fe(ftum augendum conferr. Ortendit autem Audor non folum vtrique conditioni fi- mul fitisfieri non pofl£ , fed etiam priorem folam niillo modo impleri pofTe. Cum igitur dcntium attritus eius modi fit incommodum , quod effiigere minime Ucet , Audor inquifitionem fuam ad (olam aheram couditionem dingit , ac dentes ita formare docet , vt , dum motus rotae impellentis efi vniformis , motus etiam propulflie fiat vniformis. Haec autem nimis videntiir (ubtilia ,, qfiam vt in. praxi vfus inde expedlari pofiit. PHYSICA )( »7 )( P H Y S I C A, I. Alkekengi , calyce profunde diuifb , frudu ficco. IL Thlafpi., filiculis ellipticis , foliis lan- ceolato - linearibus ^ integerrimis. Au£l. lo. Chr. Hebenftreit. p. 319. et 330. Cum non femper et \bique occafio fit Botanicis , nouas in medium proferre plantas , illarumque de- fcnptione rem herbariam audiorem reddere : illi quoque officio fuo fitis fecifle cenfendi funt , qui plantas ab aliis delcriptas iterato examini fubiiciunt, qui , quod in priori- bus defcriptionibus errarum eft , corrigunt , quod mancum, fupplent , qui icones ad viua exemplaria emendatiores dare allaborant, Hoc eft , quod Cl. Audor , in vtraque Differtatione fupra allegata , praeftare conatus eft. In priori cum Feui/Ifiio ipfi res ert , qui J/ke- kengi plantLim , originis Americanae , in obferuationibus fuis Pliyfico - Mathematico - Botanicis , primus defcripfit et delineatam dedit. Hunc nofter vbiuis corrigit et iup- plet Supplet eti.im , quae 111. Linnaeus in Spec. Flant. 1753 de hac planta dixerat , et Alkckengi proprio fuo D 2 generi )( 28 X geneii reftituere maunlt , quam cum 111. tmnaeo Jtropae, leu Belladonnac j adiungcre. Alterius plantae integram hiftoriam Hebenflreitius contexuit , nouamque eius de(criptionem et iconem ideo potiirimum fuppeditauit , quia 1!!. Linnaeus in Spec. planc. 1753. illam arteri(co notauerat , vt a^Tolet , fi plantas , a fe ipfo nou fufficienter exploratas, aliorum vlteriori per- fcrutationi commendat. Hinc laborem ab Audlore exant- latum omnibus rei Botanicae ftudiofis gratugi fore con- fidimus. III. Animalium quorundam quadrupedum defcriptio. Au£lore lo. Geo. Gmelin. p. 338. Pergimus in obferuationibus Gmelinianis ad HiftoriaHi animalium facientibus cum Hiftoriae naturalis ama- toribus communicandis : et hoc quidem loco nouem ani- niahum defcriptiones damus , maxmiam partem Sibiriae propriorum , quarum pleraeque etiam iconibus illuftratae lunt , infpiciente femper Audore , ad viua animaha , ma- xima cum cura adumbratis. Mujlela Zibellina. Vix Sibiriam ingrelTus erat Gmelinus , vix Tobolsk vrbcm , nietropoUn regni , primo limiae falutauerat , cum Guber- )( ^p )( Gubernator toti prouinciae regendae praefedus , vir integer- rinuiset fiquis alius laboribus noftris litterariii fauens, Jkxius Leotiis yi/ius Plejchtjcheeiv , dulce oculis fpccflaculum ex- hiberct , duas Martes Zibeliinas , viuas , Petropolin in aulam Imperatoriam mittendas. Non neglexit nofier tam opportune fibi oblatam occafionem ; animalis ex- ternam formam defcriptit , et depingi curanit , quae de moribus eius narrari andiuit , littcris confignauit. Plura pratflaffet , nifi deftinatio animalium id prohibuiffet, Euentus docnit , optime fecifle illum , quod defcriptionem non dillulcrit , donec perueniret in eas regiones ,. quae alias Zibellinarum copia celebres laudantur. Nam pofl- modum , tota licet peragrata Sibiria , nunquam amplius ipfi obtigit , Muftelam ZibcUinam vinam , imo ne mor- ttiam quidem , pelles excipio , videre. Quodfi cui mi- rum videbitur , notare operae pretium efl , haec ani- malia , quae olim omnia triuia occupabant > nunc tani f rocul habitare , vt non nifi pUirium dierum itinere , a qu;'uis , etiam remotiffima , Sibiriae vrbe , perueniatur ad ea loca , quae a venatoribus , Zibellinarum capturae intentis , frequentantur. Quid feciffet GmeUnus ? Aliquem ex noftris eo mittere , minus tutum videbatur ; iubere , Tt venatores animalia , quae caperent , integra adferrent, nulliiis vtilitatis fuiffet. Namque homiues ifli , Dcum hominiimque iram muneribus placare affueti , nihil fincflnm habent , nifi quod lucrum illis afFert , neque ficile a praefeftis vrbium ad aliud quid obligantur. Praeterea mira fuperftitio inter illos regnat , qua piaculo habent , fi, detrada pelle , cadauera Zibellinarum ab impuris ma- nibus attredarentur. Non fecus , ac fi propinquorum D 3 cada* \ 30 )( tadniiera cfferenda effent , illa fiiffitu coliint , et cum reucrentia terrae mandant. Sperauimus quidem , haec obdacula nos remoturos effe , C\ aliqunndo ipfi in iti- nere comprehenfi in lcca , \bi Zibellinae capcrentur, incideremus. Sed nec nobis tam fehcibus effe contigit, nec Stelkro , nec Krajchmmkouio , etiamfi hi in Kam- tfchatkam vsqiie penetrarint , \bi et nunc quoque Zibelii- narum infignis copia fjl\. Ecce quomodo fadlum , vt praeter Zibellinns Tobohi vilas, nemo noftrum alias pro- priis ocuhs lurtrauerit. Ecce rationem , cur Cl. GmelinuSy id quod alius lolet , partes internas animalis non exami- nauit. Aft inquies , multa alia neglexit ad pleniorem animalis cognirioncm facientia , quae deinceps in itinere fupplcre potuiffet. Non neglexiffet fanc , nifi reliquas de hoc tara raro animante notitias coUigere , mihi fumfis- fem. Has Jegat , cui volupe efl: , in Tomo III. Col-^ kclionis mtitiarum ad Hijioriam KujHicam pcrtinentium vbi diuerfitatem Zibellinarum pro diuerfis r^gionibus , in quibus habitant , et quae mercatoriam pellis cognitionem iuuant , defcripfi, P>a qu;\e ad venationem Zibellinarum fpedant , Gmelinus et ego , cum circa Lenam fluuium verfiremur , coninndlim explorare ftuduimus. Notaia lingua Ruffica digeffit intcrpres Elias lachontovj , et poft- modum in delcriptione Kamtfchatkae Stephanus Kra. Jcheninikow publicauit Hic hber hngua Ruflica confcri- ptus, omnino multa continet Hiftoriam tam poiiticam , quam naturalem , inprimis autcm Geographiam et mores gentium egregiae iilufhantia ; quare fuademus , vt aliquis, cui otium efl , illum in aliquam exteris quoque notam linguam transferre allaboret. Vacca X 3r X Vacca grunnieiis , villoja , caiida cqiiina. Feni elt C:iluiiiccicis Tantiiuicisc]iie tcriis iiidigcna ,, quam paritcr npud Excell. Gnbcniutoreni Sibiriac, fiiprn hur- diitiim Fkjchtlcheevj , 'lobolii vickie licuit. Vah ! qn.ini in- domitum ammnl ,. c]upd neque leni digito atrr- clnri lc patiebatur. Etiamfi autem deicriptio ob hanc ratuncm ex (olo externo adfpcdu confeda (ir : nihil tamen ad plenam de hoc animali cognitioncm dccffe adparet. Addita pnrtmodum nonnnlla ex ledione Rubntquifii et ex relatione Calmiiccoruin hauda. Hacc, vt defciiptio- nem a Gnielino confedara ^ mirifice iilurtrant , fic quoque 'Rubuquifii fides Gmelini opcra in tuto eft , etiamfi poft illum nemo huius fcrae memincrit , cui idcoque Zoologi nullum adhuc locum in fui,^ fcriptis tribuerunt. Genera- tim in hoc paflli fieculi noftri felicitas depraedicanda eft, quo plus , quam omnibus retro faeculis , in defcribendis Afiae remotioribus regionibus,, multi egregii \iri elabora- runt. Nunc quae M. Faulus J^enefus , quae loannes de Plano Carpinus , quae Guilielmus Rnbruquis , quac Baco^ quae Jfcelinus , quae Vincentais Bellouacenfis , quae Haito Armenus , lacculis iftis barbaris et inficetis men,ori:ie tradiderunt , non amplius fiirtidienda efle edocemur , cum potius occafio frcqucns fit , illonim relata illuftrare , cor- rigere , et nouis argurnentis confirmata denuo orbi eru- dito exhibere. Ouis laticauda.. Huius quidem notitiam dudum habent Hftoriac anl- imlium (criptores , at mancam , et ex parte anilibus fabulis coni' X 3^ )( -conrpiu-cat^im. Fuemnt , qiii fecundiim Ucrodotum L. 11. et Aelianum L. X. C. 4. finiiles nodris oues depiftas dcdere, caudas tiicubitales in vciiiculis po(t (e trahentes. An ergo natura anim.ilia producit , propriae fuae molis fultinend.ie imparia ? Prmium , fi non feras , tameu nuUius pafredionis , omnis generis beilias fuiflTe , in confeflo e(L Qiiis ergo , antequum in proprictatsm dominorum cedcrent, caudas vehiculis alligauit ? A(l errant , qui haec de noilris ouibiis intelhgunt. Nam Aucflores fupra excitati , longis cauJis praeditas, a iaticmdis , clare diduiguunt- Alius autcm erroris rei funt illi , qui , iisdem ducilxis , Arabiam (olam pro patria horum pecorum venditarunt. Nunc emm fatis con(tat , habcri oues laricaudas per omnem Afiam auftra- lcm ad Sinas vfque ; fi vero vltra quinquagcfimum ter- tium aut quartum gradum latitudinis transplantantur , de- generare. Cauda vuica fere corporis pars eft , quae illas ab aliis ouibus diftinguit. Sed qui cauda ? Alaffa potius e(l adipofa , nuiiis oiTibus inftruda , tantum non im- mobilis , cuius latitudo longitudinem fere aeqir.it. Septo quodam in duas partes ita diuiditur , vt pofl: pellem de- tradlam figura fua nates humanas referre videatur. Hinc quoque RuiTi non caudam , fed Kurduk , vocant , voca. bulo a Tataris mutuato , a quibus hae oues primum in Ru^Tiam illatae funt. Adeps huius MafHie duriuicula eft , illi , quae fternum tegit , non abfimilis ; com- muniter in efcam cedit , ab aliis autem , qui nefcio quid hircini fiporis fentire fe praetendunt , non aequc appetitam. Naturae fcrutatores explicent , quem haec maffa infbrmis atque ignaua animali vfum praeftet ? M. Taulus Venetus L. i. c. 22.de regione Catnandu; Arietes ' illius 1 S3 1( illius regionis non minorcs funt afinis , csiudam iferentes tam longam et latam , tt triginta Jibrarum pondus ha- beant. lonjlomis de Qiiadrup. L. II. c. 2. Art 3. Cauda aliqiiando vigvnti fex , aliquando quadraginta libras pendit. Haec nimium exaggerata praedicarc non dubito. Quae Gme' Unus dc duplici genere ouis laticaudae afferit , altero longiori, altero breuiori cauda inftrudo , me nefcire profiteor , nifi forte Turcomannicas oues intellexit , quae quandoque , vt Orenburgo amicus ad me pericripfit, npud Kirgificos Cafac- cos , portquam in praedam iilas acceperunt , venum proriant. Sunt autem Turcomanni gens , Ruflice rm^WfKsi dida, Turcarum veterum progenies , rapinis adfueta , littus orientale Maris Cafpii , ex aurtro lacus Aral , inhabitans. Oues iftae etiam Biicharicae adpeliantur , veluti per omnem Buchariam reperiundae. Magnitudine Rufllcas communes oues vix excedunt. Pedes his breuiores habent. Cauda ionga , duos digitos lata , minori denfitate. Lana valde •moUis eft et crifpa , in agnis praecipue , quorum itnque yelles , inprimis recens natorum , aut fottuum partui ^oximorum , caro pietio emuntur< .Sciurus minor virgatus. Animakulum praeter Sibiriam in Afi-ica qnoque et in America feptentrionali reperiundum. Non magnitudine tantum et ftriis in dorfo nigricantibu:-. , fed moribus etiam j .•dum fub terra habitat , a Sciuro vulgari differt. Conferri •poffunt, quae Catesby in Hift. nat. Carolinae Vol. II. •p 75 cui Sciurus flriatus dicitur , nec non V. Cl, Fetrus Kalm in Diario itin. Amer. d. 14 Nouembr. 1748. E verli X 3+ )( rcrf. germ. Goetting* p. ^62. de hoc Sciiiro habent. Viriiisqiie defcriptio ex hac noftra Gmeliniana fuppletur. IcoJ quoque a ^Gwelino fnppeditata poll Catesbianam » quantumiiis perelegantem , vt quae hoc animalculum in naiurali magnitudine fifht , non fuperflua videri poteft. Gmslinus adfcipfit nomen Furunculi Sciuroidis '\ Mejjef' Jcbmidio miituitum Nos ex (chedis iVle(rerr».hmidia-is etiam rcUqua ad h-^c animal pertinentia huc transfcri- bemus : ,, D/irj{k:i M >ng )lis in Dauuria; lira-ku Burae- „ tis ; Kaerjk , Klhm Tataris ; Bwundu\. Kuflls, Indis „ cis Gangtm Koetho ; Tungulis UlgUikJ \ Dencka Atti' ,, accis ad lenileam ; Kdop Ket - Aftiaccis ; Narim- „ Aftiaccis Scbeepek ; Sur^ut-Artiaccis Kudfcbeger ; Fu- „ runculuh Sciiiroides Sibiricus , vixoycufcy^q , bucca vtrin- „ que mofclntae nucis capace, (iipine Itriis quinque nigris , ,, toridi.mqne fufcis , a nucha ad caudam lyratim pidus, ,, cauda dcbilius varieg;ita , pilof^i plane , prdie in cinereo ,, pill-ns , pedibus vbique pentadadylis , miti genio , nudis „ man.bu:i traclibilis ct domelhco conuidui ficile affues- ,j cens. Mufiela Afncana Clus Mufiela forfan Libyca „ Nicremb. Sciurus getulus lonfl:. „ Hadlcnus Mejfer- Jcbwdius. Obferuabit prudens leftor , ct hic quDque extare quaedim a citatis au(floribub , imo a QmeJino quoque , piaetcrmiflli. Vnum eft , in quo GmeUnus M.Jerfcbwdo contradicit. Notandum autem, non omnibus fcriptis Mc(rerl"chmidianis Gmelimim in itinere infirui^um fuitie. Si haec t,dialegi(ret. certe difTenfjm fuum a praede- ce^Tore in re , quae notam charadlerifticam animalis con- ftituit , digitorum nunierum pnta , pluribus iiluftrafret. luuat quidem Mefcherjchmidimn , quod iu icone quoque Cates- X 35 X Catesbiana pedes vtrinque pentadrdyli repraefentantur. At hic error poteft c&e pidloris. Catesb}' iieqiie ac Kalmius de numero digitorum filent. E contnirio pu- gnat pro GmeHno , quod iliuflris etiam lAnnaius ni^y^, nat. ed. nov. p. 64. palmas tetradadlyicis habtt, plantas pentadadylas. Praeterea in numero ftrianim diirenfus xegnat. Linnaeus \. c. et in Mufeo Serenifs. Regis Succiae p. 8. non nifi quatuor numerat , GmeHnus cum Mejjer- Jchmidio , imo Kalmius , quinque. An forfitan fhia in medio dorfb non in cenfum venit , veluti aliis quoque animalibus communis ? Denique Mejfrrjchmldio , mitem animaiculi genium laudanti , contradicit Kalmiiis p ^6$. Ex lioc nihil aliud confequitur , quam quod mores Sciuri flriati Sibirici , a moribus animalcuJi congeneris Ameri- cani fiQt diuerlL Ibex imberbis, Dc hoc animali iam diximus nonnulla in Summario Tomi IV. Comment. p. 5o. i^orreximus^ue errorem Stelleri , qui illud pro Caprea Monocerote vt ndiderat. Nunc , quod ibi promifimus , plenam eius defcripri >nfm damus. Vnicum deefle videtur, quod praetereunjum nobis non e'\. Ibex hic , pafccns in campis , nunquam anticipat gradum , fed femper retrogreditur , neque aliter herbas refecjre potert , ob prominentiam labii fuperioris , quae impedimento foret vltra progredienti , at recedenti gramina colligere opitulatur. Gmelinus citat Herber/Iei- nium. Lociis eft in Script rer. Mofcou. p 84. et apud lonjlon. Tom. II. Ed. Ruyjchii p. 45. Cornua Sinenfes E a emuot, )( 3<^ )C emiint , fiue ad vfum medicum , vt nonnulH putant , fiuc ad laternas confkiendas , qiias quo artificio fabricare fo- kant , h-iiid ita pridem edocli iHmus a R. P. d^Incarville in Comm. Academiae Scient. Parifienfi. ab exteris com- municatis Tomo II. p, 350- Pigura animalis deficit. Accidit enim GmeUm ^ quod in rebus quotidie nobisob- viis , \t illns procraflinemus , fieri (olet. Dtlineatio cum de die in diem difF^irretur , nuUa fada efl • neque ia reditu fieri potuit , quia tunc rcgiones magis ad feptem- trionss fitae iniiifentJae erant , vbi huius aiiimalis nec voh, nec veftigium. Nam vltra 54. gradum latitudinis Hjn. excurrii. Orientem verliis Qbium fluuium raro tuperat, Capre.a campeflris gutturofa. Hiec nulla alia efTe videtur, quam caprea flaua ^^xmi- Hoang yang dida , de qua apud Du HaJdium Tomo' rV. p. 34. 119. 159. 333. Ed. in forma quadripartita, varia. leguntiir, non inutilia quidem , atl Hifloriae anima' lium fcrutatori minus accommodata. Defcriptio Gmeli- niana omnia praeflat , quae iure expedare pofTis, Nam- que non in externa tantum forma depingenda verfatur , ffd anatomen quoque gutturis fiftit , charaderem animalis- ingredientis. Fatendum autem , hanc pleniorem fiiturara fuiire , nifi itineris ratio et tempus , quo inftituta eft , aertiuum id impediuiffent. Adfert Gmelinus -nomen ,. quod Mejjerfchmidius iconi animalis a fe* fadae ad» fcripfit. Alt hoc mancum cfl. In codice Manufcripto Bibliothecae Academicae , qui Sibiria perlujlrata infcri^ bitur , ita Mejjerjchmidius : „ Ohna , Dtefen et Schar»- ,, choe» )( 37 )( '„ choechtfchi Mongnlis in Dauuria ; Caprea campeftris „ hydrophobos gutturodi , cornibus non ramofis , circcU „ ktim vnduhtis , finu gemino leuiter inflexis , bidilca , „ aigiirinos , ruminans » pclle pilisque capreoli , folliculo „ vmbilicali , at fatuo , praeditii ; an Caprea Bezoardici „ Maioris , Fph. Nat. Cur. Aoni Vlll. et Lochneri ,., Rariora Mufei Besleriani Tab. X. N. 3. et 4.,, Si habitum corporis fpedes, ab Ibice imberbi non multufn differt. Caro etiam vtriusque boni faporis eft , eiusdem fere , quo Caprea P/inii , quae rara eft in regionibus trans Baikalem lacum fitis , cis Baikalem autem , vbi TDJfiren non habitat , abundat. Cuniculus pumilio faliens. Conferri merentur , quae Haffelqmjlius de hoc animalculo , in Aegypto etiam reperiundo , obferuauit. Ada Acad Scient. Suec 1752. Ed. Germ. p. 129, 111. Linnaeus , qui illud in Syfl:. nat. Strahlenbergium' lequutus , Leporum fimiliae adnumerauerat , nunc in vl- tima editione libri fui fecundum HaJJelquiJiiutn , muribus accenfet. Et certe leporem folo capite et auribus aemu- latur , toto corporis habitu differt , vt longiori , refpedlu molis , ac tenero valde , imprimis autem pedibus et cauda, ficut tam ex defcriptione , quam ex iconc , Hquet. No- men Leporis volantis apud Strahlenbergium illis tantum placere potefl , qui miracula fedantur , naturae regulis minus contenti. Nullis enim ad volatum organis in- flrudum animal efl. Melius RuflTi , qui Leporem fiib terra degentem , acwAaHoM sacyb , adpellant , quos imi- E 3 tatus X 3» )( tatus Qmellnus , Mefferfchmidii cxemplo , Cumcubm Tocauic. Iiiciindum , fi quod aliud , adfpedu animal eft, quod nos faepe numero non minus agilitate in cuniculis fodiendis , quam in faliendo, in ftuporem coniecit. For- mauimus aliqnando circulum in campo plano , quinquaginta ct amplius hominum , prelTe fibi inuicem adftantium , animalculum in centro reponentes , quod cum poft quae- dam tentamina inutiliter fada , ^fFiigere dcfpcnm , mox ad cuniculum fodiendum le adplicauit , et breui valde temporis interuallo labortm ita promouit , vt in terram prorfus fe occultaffet , nifi a nobis mora inieda fuiflet. Cum digitorum numerus ab III. Lirtnaeo aiiter , ac a Gmelino , tradatur , non inutile crit obferuare , quod Hajfe/quijlius e contra Gmelino aflentit , eoque ipfo ac- curationem noftri ia obferuationibus faciendis €t defcri- bendi&.confirmat. Cuniculus infigniter caudatiu. Animal campis Mongolenfibus , qua fub Ruflbrum dominatione funt , proprium , quod habitu corporis et colore pilorum leporem exade refert , cauda tantum et moribus ad Cunicukim magis accedentibus differr, Hac firailitudine indudti Mongolenfes vocabulum Toki , quo leporem vulgarem defi^nant , huic quoque adplicant. Rufli autem iftarum regionum , ad diuerfitatem allegatam j:efpicientes , Mongolicum nomcn retinere maiunt , quam fuum dare. Haec notare fufficiat •, reliqua , quae ex ipfa defcriptione pateicunt, (iiperuacaneum foret huc transfcribere. IJatis X 3P )( Ifatis t Ruffis Pejez, Agmen animalium hoc loco exhibitorum claudlt JJatis , non ignotum qiiidem Zooiogis animal , quia Nor- vagiam quoque et Lapponiam iuhabitat , at a nemine adhuc defcriptum. Putarunt' forfitan viri dodi , dum Tulgus illud vulpibus accenfet , non opus efle fingulari dcfcriptione ; fufficerc , fi colorem pilorum indicent. Ac erraffe illos , Gmelinus luculenta expofitione eorum, quae de hoc animaU obleruauit , aut narrari audiuit , demonllrat. Rede Ruffi et omnes gentes alienigenae , maris glaci» alis acc )lae , nomen ipfi a vulpe diucrfum indidere. Ruiricum Vejez ex Slauonico P« , quod canm denotat, dignititem rei minuendo , confedum efle videtur , ob fjiciem fortaflis , caninam magis , quam vulpinam ; reli- quae enim diuerfitates Ifatidis a vulpe , a Gmelino enu- meratae , non ita in fenfus cadunt , fatendum potius , externum corporis habitum , imo et latratum , a vuipe difiimiiem non efle. Venatores Sibirici Ilatides etiam inter fe , caudidas a cinereis , (pecie diflerre aflerunr. Sane fi certum eflet , quod nonnulh' voJunt , a candidis femper candidas , et a cinereis (emper cinereas , nifi vtrarumque mixtio accedat , gigni , nuilus dubitationi locus relinqueretur : aft fuere , qui affeuerarunt , num- quam omiiem prolem vnius matris eiusdem coloris obler- vari, hoc vero certum efle , catulos cinereos inter can- didos rariores confpici ; et haec ratio efl , cur GmeUnus nihil certi de hac diuerfitate ftamit , imo magis iis , qui diuerfitatem pilorum pro fbla varierate hnbent, fniere videtur. Dum in partcs animalis internas audor iuquirit , de X 40 )( de \hi fblliculorum , fortem odorem fpirantinm , tanquam in tranfcurfu, quaedam difputat , ledlori, vt opinor, noningrata fiitura. Apparet illum emendare voluifle, quae lo. Raius ia Synopfi Quadrup. de eadem materia tradidit. Conftat autem tradidifife neminem iilo melius. Sicque Gmelini opera magni aeftimanda , fi vfum folliculorum certius , ac alii , demonftrauit. Reftat verbulum dicere de nomine Ijaiidis , quod ex lonjlono fc defumfifle Gmelinus. ait. Veium quidem , fi lonflonum conftilimus , nomen hoc , tamquam vulpis fpeciem indigitaturum , ibi reperiri : at codem loco etiam vulpes albae mcmorantur , in Suecia, Noruagia et circa Nouam Zemlam reperiundae , quae tamen nullae aiiac fuiit , quam Ifatides a Gmelino de- fcriptae. Praeterea non liquet , vnde lonjionus hoc no- men defumfit. Hoc certum eft , ab antiquitate illud abhorrcre , quae non nifi plantam fub hoc nomine co- gnitam habct. Qiiod fi ergo dubitauerint ajii , Gmelinum jn hoc paflu fequi , per nos licet. Contra audloris lea» tentiara oomen immutare duximus nef^s. Cbferuationes Meteorologicae Petropoli fadae. Au6lore L A. Braua P- 373' Non neceffarii^m videtur , de his ah^quid monere^ , praetcrqunm , quod Cl. Audor proprias fiias obleriiaticne^ communicet , ex eo ttmpore , quo Petio- polin X 41 X polin aduenit inftitiitas , ciim in praecedente Tomo Commcntarioruni non nifi alienas dederit , ex tabiiiario Acadennco feciim communicatas. Accedunt obferuationes Barometricae et Thermo- metiicae itemque magncticae a R. P. Jmioto S. 1. Peki- ni habit.ie , et cum Fetropolitanis , quoad mngneticas eiiam cum Sibiricis , comparatae. V. et VI. Obferuationes Meteorologicae Tubin- genfes annorum i/$o. 1/51. et 1752. Au<£l. Geo. Wolffg. Kraft, p. ^oo.et^o/. Piaeter accurationem , qiia hae , vt omres aliae a Cel KrafFtio inftitutae oblcruationes , fe commen- dant , notari merentur vtilitates , quas per odennium cx fuis laboribus haufilTe AuSTKO' X 4^ )( ASTROMOMICA. i. Solutio noui cuiusdam problematis Aflro- nomici , in vfum praecipue nauticum propofiti , in Diilertatione de progreflu artis nauticae , in determinanda. Maris. et Longitudine, et Latitudine.. AuQore. A. N. Grifchow. p. 417.. Iadicaiient Clarifs. .Andor , in fermone , de artis mu-- - ticae prog-effii , in longitudine et latitudine Maris determinandis , quem A, 1751. d. 6. Septembris , in publico Academine Conuentu , pratlegit , dtfcdus quosdam ,, quibus vulgares Methodi , quarum ope vtuntur nautae , ad tempus dcterminandum , laborant. De fccu- riori itaque Metliodo inuenienda follicitus , in aliquanci incidit , quae erroribus , qui a confuetis Methodis ti- mendi fnnt , fere immunis efh lubet nempe , vt duae elignntur fixae , eandem circiter habcntes altitudinem , altera ortum verfus , altera ad occafum , a Mc- ridiano diftans , harumque vno eodemqae inftrumcnto fuccefriue obferuentur akitudines , notato, quod inter vtram' que obferuationem intercedit , temporis intcruallo. Per- a, 6, etc. terminus generalis difFerentiarum primiriim erit rr: 1 ' — i .0' rz i ; vel =r 2' — i i ' ^ i . Si w — 2, feriei i ; 2*; 3*; 4*- 5'; etc. diffcreiinue lecundae funt vel a'-2. i', vel 3'- 2.2' + i.i '; ateft^*— 21* — 2(2'— i.i'), vnde hae differentiae fecundae funt rza.i. Sit t;^— 3, et feriei i, 2% 3% 4% 5% etc. differen- tiae tertiae erunt \el ~ 3' — 3. 2* + 3 . i^ vel^'— 3. 3* -f-3.2'- 1 .1' ; nt ^' - 5.!z' + 5 .1' = :i {3- 2.z'+ 1.1') z=: 3. 2. I, quia ex cafii praecedente cft 3*— 2. 2' +1.1' rr 2- I. Simih modo fi m=: 4 feriei i, 2*, 3*, 4*, 5% B a etc. is DEMON STRJTIO ctc. difTcrentbe quirtiie erimt vel 4-* -4. 3* -f- <^- 2*— 4. i*; vel 5*-4. 4* 4- 5. 3*-4. 2* 4- 1. 1*- At efl: 4*— 4. 3* -^ (5.2*- 4.1* rr 4 (4'-3-S'-i- 3-^'- i-t') = 4 3. 2. I. §. 14. Quo hic progiieflus melius perfpiciatur^ fint feriei i, 2"", 3"*, 4™, 5"* etc, difFerentiae ordinis m = ? ; feriei i ;. 2™"+-; 3™"^^ i +"'*^' i 5""'"^" etc. difFerentiae ordinis ;« -f- i :zr Q. erit P — (/« + i )** Q_r=:f f» + I ) "^'-(/«-h i ) w'^"'+(^±:^ (?« - I ) "-^^ _(m-H,]m(7n-.) (^ _ j ) m^-i _j_ gfj,_ 'yjj| p gx forma pofteriori, at Q^ ex forma priori expreflimus. Hic prii- mo patet, in vtraque expreflione parem efle termino- rum numeium , et llagulos terminos expreffionis P eflb ad fingulos terminos expreflionis Q_, vti i ad m 4- i.r Namque efl: (w-f-i)™: (;«-{-i)'"-^' — r : ra+i; m. w'" : (m-{~ i)m "'-'-'n: i : w/-h i ; W^r— ■K'7i-.)/-„^_gsm. *(ii±:iW!:!=L) f„/_ 2 )»"-*-■ — I : m-\-t\. etc. Hanc ob rem crit P : Q^ zr i ; w -V- i, ideoque; Q_=:(?;i-M)P. §. 15. Hinc crgo patef fore feriei Differentias ^\ ^\ ^\ 4; 5 «, 2'; 3'; 4'; 5' ete. €tC. primas rr r fecundas — i. s lia- THEOREMATIS FERMATIANI. 13, 1; 2*; 3'; 4% 5^ etc. tertia;, =: i. 2. 3 i; 2% 3% 4*; 5*t etc. quartds = 1. 2. 3. -V I ; 2'"; 3"*; 4™- 5"»^ etc. ordinis m — i. 2.3 . . . w, ergo X ; 2'"; 3*"; 4'* S""; etc. ordinis 2 « =r 1.2.3... 2^. Atqiie ita quoque demoiiftrauimus , feriei poteftatum ,. 2=«^ jjjn. ^in^ ^,n g^^.^ differentias ordinis 2« noa folum eflfe Gonftantes , (ed etiam aequari produdo I. 2. 3 • ... 2«, "vti in demonftrationc tliGorematis propofiti aflumfimus, T H E O R E M A r. 1. Ex ferie quadratorum i, 4, 9, 16, 25, etc. flulli numeri per numenim primum p iimt diuifibiles, nifi quorum radices Cmt per eundcm numerum p diuifibiles. DEMONSTRATIO. Si enim quispiam numerus quadratus aa fuerit per numerum primum p diuifibilis , quia ex fadoribus « et ^ conftat , ncceffe eft, Tt alteruter fador per p fit diuifibilis, quarc numerus quadratus aa per numerum primum p diuifibilis efle nequit , nifi eius radix a fit diuifibilis per p. C O R O L L. I. 2 . Numeri crgo quadrati per numcrum primum f diuifibiles nascuntur ex radicibus p, 2 p, 3 P» 4p etc. fontque ergo />p, 4/>p, ppp, i6pp^ etc. et reliqui Bumeri quadrati omnes per nunierum primum p noa erunt diuifibiles, B 3 COROLL, X4 DEMONSTRATIO C O R O L L. 2. 3 . Si ergo numcri qiiadrati , quorum radices in hnc progrefllone arithmctica p, zp^ 3/), 4p, etc. non continentur , per numerum primum p diuidantur , in diuifione femper refiduum remanebit, quod erit minus, quam numerus p. S C H O L I O N. 4. Cuiusmodi fint haec refidua, quae ex diuifionc fingulorum quadratorum per numerum primum qucmcun- que p nafcuntur, in hac diflcrtatione diligentius inueftiga- re conftitui. Plurima enim hic infignia phaenomena occurrent, quorum confideratione natura numerorum non mediocritcr illuftratur. Tam eximia autem in dodlrina numerorum adhuc latent myfteria, in quibus euoluendis opera non fruftra impendi videtur. T H E O R E M A. 2. 5. 51 (eries quadratorum in infinitum continiiatn in membra difpefcatur , quorum fingula ex p terminis conftent, iioc modo tum fi vniuscuiusque membri termini finguH per nume- rum primum p diuidantur , eadem refidua eodemquc ordine recurrent. DEMONSTRATIO. Singulomm enim mcmbrorum termini primi I, (p-i-i)*, l2p-{-jy, iap-^-iT:, etc. fi per/) diui- dantur. TKEOREMATIS FERMATIANL 15 dnntiir , idem dabiint refidtuim rr i . Similique modo tcrmini fecundi 4, (/)"!- 2 1*, ( 2p+ a)', (^p-f-a)* etc. pcr p diuifi aeqLuilia producent rcfidua =: 4, fi quidcm fit p -ix 4. Eodemque modo p;uct, terminos tcrtios aequalia praebere refidua, itemque quartos et quintos etc. Atque in genere, fi primi membri terminus quotuscunquc fit nUy rcliquorum membrorum termini analogi erunt {p-\-n)\ {^p-\~ny, (apH-w)* etc. qui omnes per p diuifi idem rclinquunt refiduum, quod tcrminus n n. In fingulis ergo mcmbris eadem redeunt refidua eodem- que ordine. C O R O L L. I. 6. Si igitur nouerimus refidua , quae ex terminis primi mcmbri nafcuntur , fimul habebimus refidua, quae cxdiuifione omnium reliquorum membrorum per numerum p fa(fla oriuntur. C O R O L L. 1. 7. Qiiia poftremus cuiusque membri terminus per numerum p diuifibilis exiftit , refiduum erit n: o\ quemadmodum primi cuiusque mcmbri termini refiduum eft — I. Secundorum vero terminorum cuiusquc mem- bri refKluum erit — 4 , et tertiorum — 9 , quartorum z:zx6tx.c. fi quidem fit |) > 4, etjf)> 9, etp> i(JetC. C O R O L L. 3. 8. Quamdiu enim numeri quadrati i, 4, 9, i— i)*i quorum numcnig efl — /> — i . COROLL. THEOREMJTIS FERMATIANl 17 C O R O L L. 5. 1 1 . Plura ergo diuerfli refidua oriri nequeutit, quam p— i : quod quidem per fe e(i manifefium. Cum eaim omnia refidua fint ipfo diuifore p minoni , omnium autcm numerorum ipfo p minorum numerus fit zr ^ - r, ctiam numerus reliduorum diuerforum numerus maior cfle nequit. T H E O R E M A. 3. 12. Si omnes termini feriei quadratorum 1,4,9,16', etc. per numerum quemcunque p duuidantur, ac rcfidua notentur, inter haec refidua non omnes numeri miuores, quam p, occurrcnt, D E M O N S T R A T I O. Omniii cnirn vcfidu:! , qu;ic quidem cx diuifione omnium qui^dratorum per numerum p oriuntur , ex his terminis refukant : , 1, 4, 9, i^. . • . (p--4)%(/'-3)%(/'-i)S(/'-i)^, quorum terminorum numerus eft 'zr.p—t'. ideoque iude totidem refidua proueniunt. Verum haec refi- dua uon omnia inter le funt diuerfii : nam terminus vltinnis {p-i)- —pp—^p-^- 1 per p diuifus refi- duum relinquit — i idcm rci'icet , quod primns tcrmi- nus I. Simili modo terminus pcnultimus (p—^y rr /)^ — 4^ -H 4 idem praebet refidunm , quod tenr.i- Hus (ecundus 4 ; et ternMnu? antepcnultimus {p — s ) * idem dat rcfiduum , quod terminus tertius 9. Atque: . Tom . V . N ou . Com . C iil 18 DEMONSTRATIO in genere terminus ordinc », qui eft nn, idem dar refi- duum , quod terminus ordine p — n, qui eft (p — « ) *- Cum igitur omnia refidua , quae ex his termiou» I, 4, 9 (p— 0" oriuntur, et quorum nume- rus eft —p—i, non fint inter fe diuerfa , in iis noa cmnes numeri ipfo p minores , quorum numems eft z=:p — 1 y occurrere poffunt. C O R O L L. I. 15. Cum igitur binii reildua femper fint aequa- lia , numerus diuerforum refiduorum ad femiiTem 2^' redigitur , fiquidem (it p — i numerus par • at fi p — s fit numerus impar , feu p par , tum numeriis diuerforum refiduorum crit — -t : hoc enim cafti dabitur refiduiHB mediura , quod fui aequale non habet. C O R O L L. 2. I4. Cum igitur omnium ilumerorum ipfo p mP norum numerus fit zr p — i , patet femilTem horum numerorum in refiduis, locum habere : dabunturque ergo numeri , qui ex diuifione numerorim:i quadratorum pcr numerum p nunquam telinquentur , folo excepto cafif^ quo p ~ 2) qiiia p — i zi^zX^ i. C O R O L L. $. 15- Qiiicunque ergo praeterea fit immcmsp, pei qucm numeri qiiadrati diuidantur, ex numcris ipfo p mino- ribus , fempcr erunt ad minimum t^, i/el | numeri, qui inter refidua non reperiuntur. Prior cafus \alet, {\p eft numerus impar, pofterior fi par. COROLL. THEOREMJTIS FERMATIANL x^ C O R O L L. 4. j6. Hinc igitur niimeri ipfo diuiforc p minores, Cjiiorum multitudo eft in ^ — i , fponte fe in duas .clalTes difcriminant , quarum altera continet numeros in refiduis looim habentes ; altera Yero eos, qui in claffe refiduorum non occurrunt. Hos numcros non-refidua hic appellabo. S C H O L I O N. 17. Quo haec ckrius 'pcrcipiantur , inuabit non- nulla exempla , in quibus refidua et non - refidira dillin- guuntur , infpexifle. ^'* />= 3 I ? = ^ \ p—S I T-= 6 I I» 4 I I, 4, P| ij^j^jKS" I I,4}fji0,25 I refidua 1, 1 | i, o, i | l,4,4, i | i,4j3j 4. i I non-refid. 2 I 2, 3 I ■ 2, 3 | 2. 5 | Sit J> = 1 I ' p =: 8" 1 I, 4, p, \6, 25', 3 4,9} i<5^ 25, 36, 49 1 Refidua 1,4,2, 2, 4, 1 1 1,4,1) o, i, 4, i 1 non-refidua.. 3, 5, 6 j z, 3> *;> 6, 7 I Sit - - - ;> HZ 9 I p zn 10 i,4,P, 16,25,35,49, 54, I 1,4» 9.i,(54,8i[ Refidua 1,4)0, 7, 7, c, 4, l j 1,4,95 6, 5, 6, 9, 4, jj non-refidua 2,3, s;, 6, 8 j 2,3, 7, 8 1 Sit "T^^i i 1 I) 4, «3, 15, 25:, 3, irrr 2^+1, omnia refidua ex his tantum quadratis I, 4, 9, i<^ qq cognofcentur. At fi p fit numerus par, puta p — 2 ^, haec quadrata i, 4, 9, i<5 qq omnia produ- ccnt refidiia. C O R O L L. 2. 20. Si haec refidua omnia inter fe fuerint in- acqualia, cum eorum numerus fit — q, cafu priori, quo p z::^ 2 q ~\- i^ ctp— i — 2^, numerus non-refiduo- rum erit — q. Cafu polleriori, quo —pznzq^ ec p — 1 ~ 2q — jy omnium non-rcfiduorum numerus erit- zizq-i. CO R O L L. 3. ar. Si a fit numerus quicunque non maior, quam -fc',vel t-> atque refiduum conftet , quod ex diuifione quadrati aa pcr numerum p refultat, omnia quadrata in hac forma generali {np ^a)" contenta idem prac- bebunt rcfiduum. At numeri omnes omnino in forma np ^a includunturj ita \t a non excedat vel L—-, vel |. S C H O L I O N. 22. Quo indolem numerorum , qui funt refidua, facilius explorare hceat , (eriem refiduorum repraefente- mus his litteris i. a. ^. y. ^. e. ^. etc. pro diuiforc; C 3 pp DEMOnsTRATlO p, ita vt numeriis horum termiaorum fit vel ^^, vel t, prout p fit vel numerus impar, vel par. Primo igitur patet, in hac ferie r. a. (3. y. §. e. etc. occ!:rrere ordine omnes numeros quadratos i, 4, p, 16 etc. qui quidem fint ipfo numerc p minores : reliquos autem efle refidua, quae in diuifione maiorum quadratorum per eundem numerum p relinquuntur. Reliquas proprietates refiduorum in fequentibus theorematis indagabimus. THEOREMA. 5. 23. Sf in ferie refiduorum i, a, p, y, ^, etc. oc- currat numerus quicunque r, ibidem quoqne reperientur omnes potelhites ipfius r% r', r*, r\ etc, feu refidua, quae ex harum poteftatum diuifione per numerum pro< pofitum pj nafcuotur. DEMONSTRATIO. Em.ergat refiduum r ex quadrato a a, ita vt fit aa — mp-^r; et quadratum a* ~ (in p -{- r)' per p diuifum idem dabit refiduum , quod oritur ex r r ; atquc ex quadrato a" zr: (m p -{- rf idem oritur refi- duum , quod ex r ; fimilique modo refidua quadratorum ■«', a'°, a", etc. conuenient cum refiduis terminorum r*, r% r\ etc. At refidua ex omnibus quadratis quan- tumuis mngnis oriunda iam proueniunt ex quadratis mini- mis I, 4, 9, i(J (~-)\ vel (|)% ideoque continentur in ferie refiduorum i , a, p, y, 5", etc. Ergo fi in hac ferie occurrit numerus r, ibidem quoque occurrent termini r*, r*, r*, r*, ctc. feu refidua, quae ex eorum diuifione per diuiforem propofitum p relinquuntur. COROLL. THEOREMATIS FERM.ATUNI. 23 C O R O L L. I. 24. Qiiae igitur poteftatuin r% f^, r% r% etc. fuerint minores, quam p, eae ipHie in ferie refiduoruni I, ct, p, Y) ^> ^^^- reperientur. At altiores potefta- tes fua refidua , quae diuifae per p relinquunt , ibidem iatroduceuc. C O R O L L. 2. 2.5. Si fit r rr I , quia omnes eias poteftatcs lunt ~ I , ex iis nonnifi vnicus terminus i in ferie refiduorum i, a, p, y, 5", etc. nafcitur. Neque er- go ex hoc cafu nouus terminus in ferie refiduorum cognofcitur. C O R O L L. 3. t6. Quia in ferie refiduorum plures tcrmini non occurrunt, quam vel ^^, vel | , pkira quoque re- fidua diirerfa ex poteftatibus t\ r% r\ r% etc. etiamfi in infinitum continuentur, prodire non poffunt. Vnde rnfinitae harum poteftatum per p diuifae aequalia prae- feebunt refidua. C O R O L L. 4. 27. Praebeant ergo hae poteftates r^etr" idem rcfiduum atque earum difFerentia r"^— r" per numerum p erit diuifibilis, feu r" (r'"^"-i). Vnde fi fador r" fit ad p primus, quod euenit fi refiduum r foerit ad p pri- mum, alter fador r™"^-i per p erit diuifibilis, ideoque poteftas r"^" per p diuifa vnitiuem relinquct. COROLL. «4 T)EMOnSTRATlO C O R O L L. 5. 28. Dabitur ergo poteftasr^, quae per p diuifi vni- tatem relinquit , quiie vtique in ferie refiduorum Gonti-^ netur , fiquidem r fit numerus ad p primus. Tum gutem potefliis r^"^' dabit reuduum r, poteHas r^-^^ refiduum r*, et r^"*"* refiduum r* etc. ficque hae po- teftates altiores eadem refidua reproducunt, quae potefta- tes inferiores r, r% r', etc. C O R O L L. 6. 29. Cum igitur plura refidua diuerfi prouenire nequeant, quam vel ^^, vel |, patet, dari numerum X, non maiorem, quam ^7-, vel t, ita vt poteftas r^ per p diuiiii vnitatem relinquat. S C H O L I O N. 30. Hinc ergo intelligitur , quomodo fieri poflir, vr etiamfi potelbces r% r\ r\ r' etc. in intii-iitum progrediantur , tamen ex iis refidua numero finita ori- antur , fi per diuiforem p diuidantur. Demonliraui qliidem in diflertatione fuperiori, fi r fit numerus ad p primus, dari fcmper eiusmodi potefiatem r^, quae per p diuifi vnitatem relinquat, ita vt fit X . Niinc flUtem jidcmus , fi r iam in (erie refiduorum ex qua dratis natorum contineatur , tum exponentem X eciam ininorem fieri, quam |. T H E O R E M A. 6. 51. Si in ferie refiduorum i, a, (3, y, $, etc. quae ex diiiifionc nUmcrorum quadratorum per nume- rum TUEOREMJTIS FERMATIJNI. 25 rum p oriuntur, occurrant num-:ii r et j, ibidem quoque occurret horum numerorum produdum r j , vel refi-- duum quod ex eius diuifione per numerum p ena- fcitur. DEMONSTRATIO. Proueniet refiduiim r ex quadrato aa y ct refi- duum s ex quadrato l; b, erit a a — m p -{- r, tt b b z=: fip -{- s ] hinc fiet quadratum aa bb ~ mnpp -^-msp-^-nrp-^-rs, quod ergo per p diuifum refi- duum relinquet rj , vel fi rs ^ p, idem relinquct re- fiduum , quod oritur ex rs. Quare cum refiduum ex quadrato aabb natum in ferie refiduorum contineatur, ibi quoque rs, (eu refiduum inde ortum reperietur. C O R O L L. I. 32. In ferie crgo refiduorum i, a, (3, y, ^ etc. fi occurrant duo numeri r et j, ibidem quoque occurrent nonfolum poteftates r, r% r\ r* etc. et j, j% s\ j*, etc. fed ctiam produdla ex binis terminis quibuscunque rj, rV, ri,* r' j, r'/^rs^ etc. C O R O L L. 2. 5 3 . Hinc igitur patet, fi formula (,_^ )';,_;) in feriem refoluatur. i H- r -4- j -f- rr 4- r j -|- j j 4- r' -j- r^j -}- riJ 4^ J' -f- etc. fingulos terminos huius feriei jn ferie refiduorum occurrere , vel etiam refidua ex his terminis diuifione per p orta. Tom.V.Nou. Com. D COROLL. 25 DEMONSTRATIO C O R O L L. 3. 54. Etiamfi autem horum terminorum niimeras fit infinitus , tamen conftat, plurii ex iis refidua diueda produci non polfe, quarn vei ^^, vei f , prout p fuc« rit numerus vel impar, vel par. S C H O L I 0 N. 35, Qiio clafius appareat > qtiom, 3 fequens fcilicet refiduum femper inuenitur, fi praecedens per 5 multiplicetur, et produ(f^um, fi fit > 19, infra i^ deprimatur. Simili modo ex potei^atibus numeri 6 ha& prodibunt refidua; ^ 17, 7, +, 5, II, ?; I^, I Porro rnEO^nMATn FERMATUNI 27 Porro fi hiiec fingula rcfidiiii per fingula fuperiora mi]itip]icentur , et produda infra 19 deprimiintur, iidem pr<3deunt numeri ; roultiplicetur lenim inferior fcries pri- 1x10 pcr 5, tum per 6, et 11, 17, etc. vt lequitur : per 5 •• ^h 9, ^ rr -a ^ -f- 1 , per quem omnes nnmeri quadrati diuidantur , nascatur feries refiduorum i," a, §, y, S, e, etc. qaqrum mimerus efl: m^, omnia haec reiidua inter fe erunt inaequalia. DEMONSTRATIO. Primo patet, nullum rcfiduura in hac ferie efle pofle ::= o, cum enim nascantur ex quadratis ipfo q-q non maioribus, nullum hoium quadratonim pernumerum prim.um p zzz 2q -^ i eft diuifil)i.le ; igitur cyphra inter refidua multo minus bis occurrere poterit. Pon.imus autem (iuo • refidua, quae ex quadratis a a et ^ ^ ofiumur, efle j^equalia , eritque differentia horum quadratorum ^^— ^^ per ^iiuiforem p zz 2^-1-1 diuifibilis, At ciim omnia, haec refidua I, a, 6, y, ^, etc. cx^quadratis minimis, quae THEVKEMATIS FERMATIANL 3t quae tj q non cxcediint, (^riantirr, quadrata ilh aa c\. bb non ruperubiint qq^ eritquc proptcrea neque ^ ^ ^^ ne- que b )> q, nequc idcirco a -{- b ^ 2 ^ ; vnde certo erit» a -\- b <^p. Cum igitur differentia quadratorum aa — bb cfTct per p diuifibilis , fiquidem refidua inde nata eHent aequalia , et p fit numerus primus, vel fumma a -\~ b^ yd difFcrentia a ~ b foret per p diu fibilis ; vtrumque autem, ob tam a — b <^ p, quam a -h b <^ p, fieri nequit. trgo omnia refidua , quae ex diuifione quadratorum I, 4, 9, 1(5, .... ^^ per numerum primum p — 2^-f- 1 •reiiikant, inter fe funt inaequalia. C O R O L L. I. 43. Numerus igitur omnium refiduorum ditierlb- rum , quae ex diuifione quadratomm per numerum pri* mum p — zq ^ I orruntur, certo elt — ^; ante enim ofienfum eft, cum non cflc maiorcm, quam q-^ hic autera cuicimus, eum tton effe minorem, quam q. C O R O L L. &, 44. Cum niimerus omnium numerorum ipfo di- vifore pzn 2q -{^ \ minorum fit z^ /> — i rr 2 ^, patet, borum numerorum femiflem tantum in ferie refiduorura I, a, ?, y, etc. occurrere cimque confliituere, alterum vero femiflem , conftituere feriem non - refiduorum : ideoque fi p fit numerus primus, fcriem non-refiduorum, §tiam ex q uumeris conftare. C O R O L L. 3» DEMONSTRATIO C O R O L L. 3. 45. Si ergo X fit numeriis quicnnque ex feric non - refiduorum diuifori p refpondentium, certo affirmara pofllimus, quicquid fit «, nulkim numerum in hac for- ma «p-i-.veffe poffe qiwdratum. S C H O L I O N. 45. Qiiia nunc inueftigationes noftras tantum ad diuifores pnmos dirigimus, expediet tam refidua, quam non-refidua, quae minoribus numeris primis refpondent, hic exhiberc. In genere fcilicet fi diuilbr fit p, feriem refiduorum per 1, «, 6, y, S, etc. et feriem uon refi- duorum per a, b, c, » 3> 12. 10? _ C I, 4, 9, 15) 8, 2, 15,137. *3 i ly S, 6, 7, 8, II S ' 7 ^ 3^ 5, 6, 7, ,c, I,, 12, 14S' S i> 4)9, Iff, 25, 7,20, 6,23,13, 5)28,24,2"? *' < l; 3)8, 10, 11,12, 14. I5j 17j 18, ip, 21,26, 27S» Refidua THEOREMATIS FERMATIANL 33 Reftdua hic co ordine , quo ex quadratis nafcuntur, funt pofita, non - rcfidua autem , quia duUo ordioe connedun- tur, a minimis ad maiora progrediendo coilocauimus. Exempla haec quoque in eum finem feruire poterunt, Tt in iis proprietates refiduGrum ante demonftratae exa- mineatur. THEOREMA 9. 47. Si ex diuifione quadratorum per numerum primum prra^H-i nascatur haec ieries refidnorum, I, a, S, Y, $y etc. haecque feries non - refiduornm «, b, c, relifta. DEMONSTRATIO. Quicunque enim horum numcrorum, vt a.r^ vel in (erie refiduorum continetur , vel in (erie non - refi- duornm. At cum a in lerie refiduorum contineatur, fi a.r ibidem contineietur, necefllirio qnoque r in ferie re- fiduorum esifteret. Qiiare cum per hypothefin r fit numerus ex (erie ncn - refidnorum, numerus ar non erit in ferie rcfiduorum , habebit ergo a.r locum in ferie non - refiduorimi , qiiod idem de numeris §;-, yr (J"/-, etc. valet : Qiiod autcm demonftrauimus de his produdis pA Y^ ^'>\ ei^c- fi fint maiora, qu.im p, id intelligen- dum eft de refiduis , quae haec produfta per p diuifa relinquunt. Tom.V.Nou.Com. E COROL. 34- DEMON STRATXO C O /? O L L. I. 48, Qiiia omnes mimeri i, a, (3, y, (5", etc qiiorum numerns eft ~ (^, funt inter fc diucrfi ; fequi- turqiioque, omnes hos numeros r, ar, S/, yr, ^r, etc, elTe inter fe diuerfos ; vode, fi omnia refidua habeantur, ex vnico non - refiduo co^aito reliqua omiiia non-refi- dua definiuarur. C O R O L L. 2. 49. Dabilt ergo feries r, ar, ^r, yr, 5"r, etCc omnia plane non refidua ; cnntinet enim q numeros di- verfos , totidcmquc et non p)ura exiflunt noQ-rcfidua, fiquidem diuifor p eft numerus primus. C O R O L L. 3' $0. Si ergo cx ferie non-refiduorum qutlibef afirss nnmerus s capiatur , eius produda as, §i, yj, etc. alios numeros pro rcfiduis non praebent , nifi qui ex quouis aho r hoc modo funt repcrti. THEOREMA xo, $1. Prodihfla ex binis numeris (eriei non-refiduo- rum continentur in fcrie refiduorum , fiquidcm haec refidua nafcantur ex diuifinne numerorum quadratoruni per quempiam numerum primum. DEMON- THEOREMATIS FEKMJTlJm. 35 DEMONSTRATIO. Sit cnim p r= 2 ^ •+- i diuilbr primus , atque ieries refiduoriim fit i, a, 6, y, S, etc kries autem noivrefiduorum fit ^, /;, f, jp, tum hoc refidiium negatiue exprimi porcrit per r—p, quod erit minns, quam ^p. Ita fi expreffi .nes negatiuae in -vfum vocentur , omnia Yefidua per niimeros exhiberi jpoterunt THEOREMATIS FERMATIANL 37 Ip non maiores. Sic pro diiiifore ^ = 23 habebuntur haec rcfiduii per nuirseros uoa m:iiores, quani -^exprefla: J, 4-, P> - 7, 2, - 10, 3,-5,-11, 8, 6. C O R O L L. 4. 59. Siniiliquc modo non-iefidua etiam per nu- meros ipR) | p nou maiores exhiberi poterunt , erunt- que pro diuiiore /> m: 23 haec non-rcfidua •. y, 7, lo^ 11,-9,— 8,-vis ergo refidui complementom fimul in lerie reridoorum reperietur , fiquidem vuici termini complcmentum ia ea occurrat. C O R O L L. I. 62.. Si ergo vnici termini r complementum -r in ferie refiduorum contineatur , tum quiiibet numerus huiiis feriei bis occurret, primo fcilicet affirmatiue, tum vero etiam negatiue. In ferie nempe refiduorum I, a, (3, y, (5", etc. etiam concinebuntur termiai -- i, *-«, -(3, -y, -^, etc. C O R O L L. 2. 63. Cum igitut hoc cafu in ferie refiduonim quilibet terminus bis occurrat, numerus on.nium termi- norum neceffario erit par. At numerus omuium termi- norum eft — ^ , ergo nifi fit q numerus par , fieri ne- quit , vt complementa refiduorum fimul in ferie refiduO' rum contineantur. COROLL. TBEOREMJTIS FERMATIAKL 59 C O rl O L L. 3. 6^. Si igitur ^ eft nurntrus impar, puta q~zn 4- i, ira ■vt fit /)— 4H-J-3, in ierie reriduorum nulius plane occutiit numerus, cuius complemcntum fimul in ca ferie contineatur. Omnia ergo complcmenta hoc ca(u in feriem non refiduorum ingredientur, critque vtrinquc termiuorum nun^erus impur — q ~ 2 n -i~ i» S C H O L I O N. 6$. Hinc ergo fummum difcrimen agnofcitur, quod inter numeros primos p—zg-i-i intercedit, prout 4» fticrit numerus par, \Gi impar : cum portcriori cafu certo iciumus , nullius refidui complementum iti reiiduorum ferie contineri Qiodfi ergo priori cafu po- namus , qui f;i(flortm primum habet foimae 4« — i , erit djui- F 2 fibiiis. 44 DEMONSTRATIO fibilis , fj enim per hunc numerum p eflet diuifibilis, edam per eius fadorem 4 « — i diuifibilis foret. T H E O R E M A i^. 73. Siue numerus 4. « — i fit primus , fiue com,pofitus, nulla datur fufrma -duorum quadratoiuiii, inter (e primorum per eum numerum 4 « — i diui- fibilis. DEMONSTRATIO. Si enim numerus 4 « - i fit primus, iim de- monftrata eft veriras theorematis. At fi 4 « — i non fit numerus primus , erit productum ex aiiquot numeris primis, et quidem imparibus, cum ipfe nun erus 4;;— i fit impar. Omnes autem numeri primi funt vel fbr- mae 4/«-!- i, vel ^m— 1 : fed omnes facflores nu- meri 4« — i effe nequeunt foimae 47/7-f i, quotcun- que enim numeri huius formae 4 w -f- i in fe inui- cem multiplicentur , produdlum femper erit numerus fbrmae 4 « 4- i, Teu vnitate excedet multiplum qaaier- uarii. Quare neceflTe eft.^ vt numerus 4«—! vQum ad minimum li.ibeat fadorem primum forn"ac 4/«— r. ct quia per talem numerum primum nulla fumma duo- rum qnadratomm inter fe primorum eft diuifibilis, nulla etiam datur, quae. per numerum compofitum 4«— t efTet diuifib;lis. C O R O L L. I. •74. Cum nulla detur fumma duorum qtwdnito- nim inter fe piimorum per numerum 4.«— i, fiue Gt priraua TREO^EMATIS FERMATIANI 45 primus, fuie compofitus, diuifibilis, multo minus nume- ees 4.« — ! ipfe eric fumm:i duorum quadratorum. Si i<7iim eflet 4« — i — aa ~\- bb^ vtrumque quadratum roqnet bb feOrfim per 4 « — i diuifibile efle deberet, uu d, cum vtrumque fit minus qiuim 4« — i, fieri fbre per numerum p diuifibilcm. C O R O L L. I. 80. Si p fit numerus primus, (latim atque vnius refidui cnn)piemcntum in fene refiduorum occurrir, etiam fingulorum refiduorum complement.i ibidcm in- erunt. Sumto ergo quadnuo c;jocunque a a, cuius refi- dimm fit ~r^ dabitur aliud xx^ cuius refiduum erit rr — r , ita \t .v fit non maius, quam -f, atque fumma aa ^ XX erit pcr p diuifibilis. C O R O L L. 2. 81. Si igitur detur fumma duorum qu;idratorum aa -V- bb per numerum primum p diuifibilis, qula refi- duorum cx a a ti b b ortorum alterum alterius eft complenientum ; refidui ex quocunque aiio quadrato cc orti complementum lii ferie refiduorum quoque repcrie- tur. D.ibitur ergo f mma duorum quadratoriim f ^-+-.rA' per numerum p diuifibilis. C O R O L L. 3' ^ 82. Ex praecedentibus autem pacet, hunc cafum locum obtinere non pofle , neque fi p fit numerus for- mae 4 « - i , neque fi p filtem habeat tatoem huius foimae. quia neutro cafu datur fun/ma duorum quadra- m\iva 4$ BEMONSTRATW torum per p diuifibilis , quae quidem quadmta fint in- ter fe prima. C O R O L L. 4. 83. Nulli ergo alii niimeri primi relinquuntur, ad quos theorema iioc accommodari queat, nifi qui contineantur in liac forma 4 w -4- i . S C H O L I O N. 84. An autem omnes numeri primi formae ^«-f i hanc habeant proprietatem , vt in feriebus refiduorum inde ortis cuiusque termini complementum finuil ibidem reperiatur , hic nondum efl: demondratum , neque delpe- randum videtur, quin ex his iisdem principiis demcnftra- tio elici queat , etfi nondum milii quidem eo pertingere licuit. Series autem refiduorum ex fimplicioribus nu- meris primis huius formae ortae fequenti modo fe ha- fctent , vbi quidem refidua femiffe cuiusque numeri ma- iora per numeros negatiuos exhibere vifum eft , quo fiicilius, quaenam fint aliorum complementa, appareat : 5 [i>-i]; 13 [1,4,-4,3,-1,-3]; 17 [1,4,-8,-1,8,2,-2,-4] 29 [1,4. 9,-13,-4,7,-9,^,-^, 13, 5,-1,-5,-7] 37 [i,4,9,i<^,-i 2,-1,1 2,-10,7,-1 1,10,-4,-16,1 1,3,-3,-7,-9] la his igitur feriebus perfpicuum e(t, cuiusque termini compiementum fimui in iis occurrere. Quod autem hoc neceffirio eueniat, fi diuifor (It numerus primus for- mae 4 0 -1- i, demonfiratio diiecla adhuc defideratur, quae hoc modo in(titui debere videtur. Prodeat ex nu- mero prirno 4 « -}- i haec feiies refidiiorum i,a,(3,y,<5", etc. TEEOREMATIS FERMATIANL 49 ctc. quoriim terminorum numerus efl: 2.11, iam fi quis ncget horum termiuorum complementa fimul in eadem ferie contineri , is dicere debet , omnia complementa - I, - a, - (3, - y, - «S", etc, fericm non-refiduorum con- flituere ; quorum terminorum numerus cum fit — 2 w, ■ ftqueretur, nulla alia praeterea dari non-refidua , quare, fi affignari poffet quispiam numerus , in ferie non refi- duorum contentus , qui non eflet complementum cuius- piam termini in ferie refiduomm contentus , fimul fe- , fi non dirorum quadratorum inter fe primorum fumma per eum diuifibilis exhiberi poteft , certo lemper (umma trium quadratorum per eum diuifibilis afilgnari poteft, ita vt non fingiila feorfim per p fint diuifibilia. DEMONSTRATIO. Sit I, a, p y, 5", e, etc. feries refiduorum cx diuifione quadratorum per numerum propofitum primum p orta. lam in hac ferie vel occurrit — i, vel non occurrit. Si — i ibi occurrit, fingulorum refiduorum complementa fimul ibi occurrunt , ideoque pluribus mo- dis fumma duorum quadratorum per p diuifibilis datur. G * Sin $z DEMONSTRJTIO S'r\ nutein — i non iii ferie refidiioriim contineatnr, ia fcrie noti-rcfiuiiorum reperietur , vbi (imnl complemen- ta oirinium reriduoriim occurrent : hoc ergo cilii nulh dabitnr liimiiu duorum quadratornm per numeruin p. diuifibiliv ^ nifi vtrumque feorfun diuiiorem admittat. Dari autcm his cafibus fjmm.im trium quadratorum per numeriim primum p diuiilbilem ita ollendo. Frimo notetur , fi quis numerus r in ferie reliduorum occur- rat , eius ccmplemcnti:m — r certo in ferie non refiduo- fum efle , et viciffim fi r fit non refiduum , cerLo fore" ~r refiduum. Ponamus iarr: ncgari, vlhm dari fum^ mam trium quadratorum per p diuifibilem ^ et quia iti ferie refiduorum primo adeft numerus i, numerns — a Ibidem noa occurret , (alias enim d-4retur lumma triuni quadratorum per p diuifibili?, contra hyp.) Occurret igi- tur — z ia ferie non-refiduorum , ac propterea numerus -4- 2 in ferie refiduorum, lum cum in (erie refiduorum tiabeantur numeri i et 2, fummae eorum complcmen- tum — 3 , erit non-refiduum , idcoque -)- 3 refiduum. Eodem modo ex refiduis i et 3 conduditur fore — 4 noii- refiduum ac proinde -4- 4 reliduum. Atque in generc fi refiduum x^uodcunque fit r, debebit — r — t elfe noa- refiduum , hincquc i -+- r foret refiduum. Ex hnc ergo hypothefi fequitur, omnes plane nnmeros i, 2, 3, 4, 5» 6, etc. in ferie refiduorum coatinerl , ficque nullos plane numeros pro ferie non-refiduorura relinqui ; quod cunj fit abfurdum , concludere debenjus dari vtique triunj quadratorutTi {i;mmam per numcrnm primum p diuifibi- lem , quorum quidem nullum Icorfun fit per p diuifi- bile. ^ Qiiae fi forte non fiieiint priaia iUier fe, per eoi-una THEOREMJTIS FERMATIANL 53 eoiLim miximum conimi:neiii diuiforetn ad prima de- primi poicrunt , c^uIa imximm comniunis diuiloi- qua- dratorum ceiio efl qcadniius. C O R O L L. I. 91. SimiU nuiocinio euincitur, multo magis repngniite , fi qais i-egrtret, dari quatuor quadratOiUm fummam per niimcrufn primum diaifibilem. Ergo pro- poGto niimero quocunque primo p iempcr dabitur llim- ma quatuor quadratorum per cum diuifibilis. C O R O L L. 2. pa. Si numems primus p non fit diuifbr vUius ftimmae duorum quadratorum, tria illa quadrata aa, bh, cc^ quorum fumma aa -'— ^b -\- cc eit per p diuifibilis, fingula erunt minora, quam \ pp. Hinc ergo erii: a a -^ bb -^ c c <^ l pp ^ vnde quotus, qui ex diuiftone huius aggregati aa -^ bb 4- cc ^<^tp oritur, erit <^lp. T H E O R E M A 19. 93. Si fumma quatuor quadratorum per fummani qnanior qnadratorum diuidatur, quotus crit quoqlic imx' ma quatnor quadratorum laltem in fraiflis. DEMONSTRATIO. Sit aa ~\- bb -\- cc -\- dd fumma quatuor q',n- dratoram , quae diuidenda fit per hanc fummam quauior qujdntorum pp -\- qq-\-rr -\- ss^ efit quotus ^ fPR7"P^«? 9"^ "^'^ "t^ numerus integcr, f;ue fraaus^ G 3 fenrper 54- DEMONSTRJTIO fernper in quatiior qiwdrata ^iltem in fradis refolni poteft. Multiplicemns enim niimcratorem et denominatorem per pp -i- ^q ~i- rr -+- ss, vt denominator iiat quadratu?, erit quotus ifte - ^ ^^——^77^"^^- --, quod fi iam. numcrator in qiiatuor quaurata relolui queat, ipfa fradio aequabitur aggregato quatuor quadratorwn. At nuirerator pluribus modis in quatuor quadrata refolui poteft ; fi enim ponatur {aa -\- bb -\- cc -\- dd) [pp H- ^^ -f- rr -h ss) — xx -^- yy -^ zz-^- ^ov^ erit qui quatuor numeri, fi rmguli X— ap-\-bq-\-cr-\-ds diuidantur per communem y __aq — bp -{-cs-i-dr J denominatorempp + ^^H-rr z — ar^bs— cp^dq C. +ss, dabunt radices quatuor vz=:as -\- br^cq-dp J quaijratorum,quorumfumma ■ aequatur quoto propofito. Nifi igitur hi numeri x, y, z, et v fint diuifibiles per pp -\- qq -\-rr -\- ss, faltem in fradis aflignari pof- funt quatuor quadrata , quorum fumma aequalis eft qumu pp^^q^rr-^ss' C O R O L L. I. 94.. Quae hic de quatuor quadratorum fummis funt demonftrata, etiam ad fummas trium, vcl etiam duorum patent, cum nihil im-pediat, quominus vnus, vel duo ex uumeris a, b, c, d, et p, q, r, s fint acquales nihilo. C O R O L L. 2. 94. Si igitur fumm.i trium quadratorum per fummam quatuor, vel etiam trium quadratorum diuida- tur, quotus certe erit fumma quatuor quadratorum. COROL. TUEOREMATlS FERMATIANL 5% C O R O L L. 3. 95. Qiiia produdiim ex dinibus rnmmis qua tuor qnadratoriim ert quoque (umma quatuor qaadnuorum, patet, fi omues numeri primi fint (iimmae quiUuor quadra- torum , vel etiam pauciorum , tum etiam omnes omnino numeros elTe tlimmas quatuor qu.idratorum , vel etiam pauciorum. S C H 0 L I O N* g6. Si fumma quatuor quadratorum aa -{- bb •4- cc -»f- dd fiierit diuillbilis per (ummam quatuor qiiadra- torufPi pp-^qq-\-rr'+-ss, tum quotum non folum in fradi?, fed ttiam in integris ^ c^Te (ummam quatuor quadratorum , tft theorema elegantiflimum Fermatii, cuius derr:on(traiio cum ipfo nobis e(l ereptu. Fateor, me adhuc hanc demondrationem inuenirc non potuiflTe Verumtainen hinc via apentur ad theorema (equens demonftrandum , quo quilibet numerus fumma quatuor qnadratorum, vel pauciorum a^Tcritur • cafu lcilicet, quo quadrata fr;i«fla non excluduniur : ctfi enim hoc theo- rema in integris quoque femper verum fit, tamen non parum mihi praeftit.fle videor, quod id (cmota quadra- torum integrorum ratione demonftrauerim. Cum enim demon(tratio adhuc port Fermatium fit fruftra hidagata, tne proximc ad hunc fcopum pcrrigifre arbUror. T H E O R E M A 20. 97. Omnis numerus eft fumma quatuor qiifldratorum, vel etiam pauciorum, fiquidcm quadrata ftada non ex- cludantur. DEMOH* $ 2 «, vel/« < 2 «, numerus « erit vel redundans, vel dcfiticns. Huc crinm rtferri potcft quaeftio dc ni:meris , qui an iiaHcs H 2. vccari 6o OBSERVATIO Yocari folcnt, qiiorum alter fummae partium aliquotarum alterius aequatur. Si enim fint m et n numeri ami- cabiles,, cum numeri m fit fumma partium aliquotarqip — /;;; — ?;;, et numeri ;/ —fn — /;, eiit ex natura ho- rum numeroxum n -zjm — ;;; et m ~Jn — ;; : ficque habebitur //;; ~/« ~ m -\- n. Duo ergo numeri ami- ciibiles ejndem diuiforum fummam habent, quae fimul fummae amborum numerorum eft aequalis. §. ^. Qiio fumma diuifGrum cuiusque numeri propofiti ficilius inueniri poffit , id commodilfime fiet hunc numerum in duos fudores, qui inter fe fint pri- mi, refoluendo, Si enim fint p Qt q numeri inter fe primi, feu qui praeter vnitatem nuUura habeant diuifo- rem communem , tum fumma diuiforum produtfli pq^ aequale crit proJudo ex fommis diuiforum Ytriusque feu tm Jpq — jp.fq. Hinc inuentis fummis diuifo- rum numerorum miuorura, inuentio fummae diuiforum non difficulter ad numeros maiores extenditur. §• 4- Si fint a^ b, c^ d, etc. numeri primi, omnis numerus , quantuscunque fuerit, femper ad huius- modi formam a"- b^' c^ d^ etc. reducitur : qua foriiia ia- venta erit huius numeri fumma diuiforum feii /«« b^ c^ d^ etc. - Ja\Jb^.Jc^.JdK etc. At ob a, b, c, d, etc. numeros primos erit /«*:== 1 .^^a + a^ + . . . . -[-««— — — , ideoque a - X b - X c -- 1 d - i Sufficiet ergo fingularum poteftatum nuraerocuiU primoruiTi tantum fummas diuilbiimi inueuilfe. §,5- DE Sf^MMIS DIVISORVM. 6t $, <$. Hanc autem indagationem vlterius non per- fequor, fed , vt ad id , quod hic tiadare iufltitui , pro- pius accedam, numerorum fecundum ordinem natuiaiem progredicntium fummas diuiforum hic confpedui expouam. / r= I / 25 rr 4- /51 = 72 /76 =: 140 / ^= 3 7 ^7 = 40 JS2 = 98 /77 = 9^ / 3= 4 / 28 = 5^ /53 = 54 /78 — 168 / += 7 y 29 — 30 /54 = 120 /79= 80 / 5=: « / 30 = 72 /55 = 7^ /80 — 186 /6=12 /31 =32 J S6 — 120 1 %i — 121 / 7= 8 /32 = ^3 /57 = 80 /82— 12(5 /8 = 15 /33 =^ 48 /58 = 90 /83= 84 / 9=13 / 34 = 54 /59 =: 60 /84 — 224 /lo = i8 /35 = 48 f6o — 168 /85 — 108 /xx = x. / 3^ = 91 /5i = 62 /86 zz 132 /i2r= 28 /37 = 38 /62 :=z 9^ /87 — 120 /X3==i4 /38 = 5o /63 — 104 /88 — 180 /14—24 / 39 — 56 /54 zir 127 /89— 90 /15 = 24 / 40 = 90 f6S = 84 /90 = 234 /iE SVMMIS DIVISORVM. 6^ \idetur , nihilominus in hoc ferierum genere contineri eiusque fcalam relationis dffignari poffe ? §. 8. Cum huius feriei terminus indici n refpon- dens , qui indicat (umm.im diuiforum numeri n fit z=:jn^ eius termini antecedentes ordine retrogrado erunt 7(«-i),/(«-2),/(«-3 ,/(«-4),/(«-5) etc. Qiiili- bet autem terminus iftius feriei fcilicet /« ita ex aliquot antecedentium conflatur, vt fit : fnzz f{n- i)+f[n-2)-J{n- 5)-/(«- l)-\-j{n^ xi)^fOu 15) - Jfn-z^^-fn-z^^^f n-ashfCn- ^o)-j{n- 5i)-l{n- 57) H-/(« 70;+/(«-77 -/« 92)-/.«-ioo)+/(«-ii7)+/(«-i26)-etc. Vel cum figna H- et — alternatim binos terminos af- ficiant, haec feries commode in duas diuellitur, hoc modo: fn -^'^'^^' ' ''^'"-^^'^•f^ "'^ ^^ ~-f^"'- ^ '+A''^-3 5 )-/ «-5 0+ ctc. /(«-2)-/v«-7;-HJ«-i5)-y(«-26)4/(«-4o)-/«^57j-j- etc. §. 9 Ex hac pnfteriori foima ordn numerorum, qui in vtraque ferie fucceffiue a numero n fubtrahuntur, fecile perfpicitur, vtraque enim leries efl fecundi ordinis, differentias fecundiis habens conlbntes. Namque prioris feriei numeri cum luis differentiis tam primis , quara fecuodis, funt; I, 5, 12,, 42, 55, 51, 70, 9«, 117, etc. difF.i. 4, 7, 10, 13, i(S, 19, 22, £5, etc, diflfa. 3, 3, 3, 3> 3, 3, 3> etc. Vnde rllius feriei terminus generaiis eft zi: ■^■''^\ con- tinetqne adeo omaes fiumeras peutagonales. Alteca fej;ies ofi '€"4. OBSERVJTIO 2, 7, 15, 5^, 40, 57, 77, 100, ii5,etc. difF. i: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 2<^ etc. difF.2: 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, etc. ideoqiie terminum generalem habct l2^^±i, ac ferierti numerorum pentagonalium retro continuatnm continct. §. 10. Omnino hic notatu eft dignum, feriem numerorum pentagonalium tam ipfam, quam retro con- tinuatam, ad ordinem feriei (iimmarum diuiforum potis- fimum adhiberi, cum fane nullum nexum inter numeros pentagonaies et fummas diuiforum ne fiifpicari qiiidem Jiceat. Si enim feries numerorum pentagonalium tam antrorfum, quam retrorfum, contiriuata ejfponatur hoc modo : etc^ 77I 57,40, -^; 1 5,7, 2,0, 1, 5 , 12, 22, 35,51,70, 9=, etc. fbrmula noftra ordinem fummarum diuiforum complc- dens fignis alternantibus hoc modo ordinata exhibere poterit : ,-i 5) -/(«-^=)-y(«-2<5)+/("-:^5)+/(«- 4o)-7(«-5i) -/«-57) 4-/(^'-7o)+/(«-77)-/(«-92)-/«-ioo)-f etc.^ Summam diuiforum nurheri « inuetlire velimus ex co- gnitis diuiforum fummis numerorum minorum , plurcs termi- terminos hains formul^e accipere non oportet, quartl qaoad a<.i lummas diuiforum numerorum negatiuoruin perueni.inir. Omnes fcilicet termini, qui poit fignum / numeros negatiuos continent , funt reiiciendi •, vnde patet fi n fit numerus exiguus , paucilTimos terminos fufficere, quo maior autem foerit numerus n, eo plures termiiios ex formuh noftra generali ad •vfum adhiberi debcre. §. 12, Summa igitur diuiforum numeri propofiti Jt ex fummis diuifbrum aliquot numerorum minorum, quas cognitas e(fe alTumo , conflatur ; quoniam quouis cafu fummae numerorum negatiuorum reiiciuntur. Qiiae cautio cum eo fit facilior, quod numerorum negatiuorum fumma diuiforum ne concipi quidem poffit, infuper moneri Oporret , quomodo operatio fit dirigenda iis cafibns, quibus formula noftra praebet terminum /(«-«) feu /o, qui cum cyphra per omnes numeros fit diuifibilis , vel infinitus -vel jndetcrminatus videtur. Cafus hic autem loties occuirit: , quoties « eft numerus ex fcrie numero- rum pent:igon;ilium Yel ipfa, vel retro continuata ; his igitur cafibus tenendum eft , femper pro termino J{n—n) feu /o ipium illum nunierum «, qui proponitur , efle fcribendum , et quidem cum eo flgno , quo lerminus [n-n) in formula noftra afficitur. §. 13. His expofitis praeceptis , quac ad vfum formube noftrae obferuari debent , exempla a numeris minimis inchoando apponam , quo ficilius vis formulae noftrae perfpiciatur, fimulque eius veritas agnofcatur. /« Tom.V.Nou.Com. I iS6 O B S E R F AT 1 0 f izzj o feu /1=1 =1 _> / 2 =/ I H- f o feu /2=lH- 2= 3 / 3 =/ 2 -+- / I leu / 3 =: 3 -H T = + y 4 --y 3 >i- j 2 leu / 4:^ 4 -f- 3=7 / 5 =/ 4 -+- / 3 - / 0 /5=7-4-4- 5 leu ■ — 6 y^-j 5-^/4-/1 / 5= 6 _h 7 - I ieu zr 12 / 7 =y (J -4- / 5 - / 2 /7zri2-+- 6- 3- -/0 leu S f S=:f7 H- J 6 -73 / 8=: 8 -h- 12 - 4 -/ ^ — 1 rr leu : 15 /9=/8-i-/7-/4 /9=15 -f- 8- 7 -/^_ (eu 13 /10 =/ 9 -H / 8 - / 5 jio =13-4- 15 — 6 ~/3 - 4 rr feu i3 Jitzzzjio -^ f 9 -f6 fit — 18-4- i-^—ia -74 feu 12 fi2—jn ^-^io - j 7 - / 5 4-/o feu /i2rr:i2-j- 18- 8- ^4-12 = 28 $. 14. Exempla hucc attcntius infpicienti, atque etiiim ad numeros maiores progredienti, non fine admi- raticae patebit . quemadmodum femper qnafi praeter expedi- DE SVMMIS niVlSORV M. 6y cxpedationem ad veram diuilbrum fummam numeri propofiti perueniatur ; et quo hic confenfus facilius de- prehendatur , fupra iam omnium numerorum centenario non maiorum fnmmas diuiforum exhibui ; vnde veritas noftrae fbrmulae in numeris maioribus explorari poterit. Imprimis autem non fine dele"— /" - /t— /J- /3- /4- /5— /6- /.- / «- /9- /<0 -+- /i-<- /2-+- /J-»- /+-»- / 5-4- / «-H S r -f- /'-+- /3-4- /3-1- /♦-+- Jf aequale • §. 44. Cum iam fingularum poteftatum ipfius a; coefficientes fe mutuo deftruere debeant, hinc fequentcs eliciemus aequalitates : /ii=i T)E SVMMIS DIVISORVM, 73 / j rr > ") S 7 r=/ )+/(j-j) ' 3 / 9— /( P-.^-f./^ S-2)-/( S-5)-/( 9-7) 7+ zr: /(4 -.)+/(+ -2) 1 /.o—;(i°-. )-»-/(. o-j)-/(.o-5)-/(. 0-7) /si=:/(s-.)+/[j -2)-s >■ /t. ==/(>■-. )+/(..-2)-/(.'-5)-/(.. -7) /6 Z=:/(6-') + J(6-=')-/(6-5) 3 /.2— /(.»-.)+/(. 2-2)-/(.2-s)-;(. 2-7)-+-.. §. 25. Hic perlpicuum eft, numeros, qui conti- nuo a numero propofito , cuius diuifbrum fumma quae- ritur, fubtralii debent, effe ipfos numeros feriei i^i.^$^ •7, 12, 15, 22, 25^etc. ex quibus tot quouis cafu funt fumendi, quoad numerum propofitum non excedant : at- que etiam figna eam tenere rationem , quae fupra eft defcripta. Hinc ergo propofito numero quocunque n manifeftum eft, fore Jnz=:f{n-i)-i-f{n-2)-J(n-s)-/in~^)-h-f{n-ii)-]-S{n-i5)-ttc> hos terminos eousque continuando , donec numeri fignum / praefixum habentes, fiant negatiui. Simul er- go ex origine feriei huius recurrentis ratio patet , cuf ifta progreflio quouis cafu \iterius continuari non debeati. §. 25. Quod porro ad numeros abfolutos atti- net, qui in formularum inuentarum aliquibiis fub finem anneduntur , manifeftum eft, eos ex numeratore fradio- nis , i2,8,i5,i3,i8,i2,28,i4,£4-,24>3i,i8etc. hanc feriem effe recurrentem , eiusque fingulos terminos ex praecedentibus fecundum quandam fcalam relationis determinari. Atque hic oido non folum ideo maxime notatu dignus eft vifus , quod vix quisquam fufpicatus fuerit , hanc feriem certae cuipiam legi efle adftridam, fed etiam , quod iftius ordinis nuliam demonftrationcm firmam mihi quidem tum temporis reperire licuerit, ctiamfi pluribus modis rem tentauerim. Perdudlus qui- dem fui ad huius ordinis obferuationem, dum fequentem formulam in infinitum produdam fum contemplatus : szz {i-x){i-x'){i-x'){i~x*)[i-x'lx-x'){i-x) ctc, €X cuius euolutione per indudionem conclufi, fore s- i-x-x'^'{-x'-\-x'-x"-x"'^x"~{x'--x''-x*''i' etc. K 2 vbi 7^ DEMONST?.ATtO THEOREMATIS ^ lii exponentinm ipfius x ordo eorum diiferentiis fu- niendis fit maniteftus \ erit enim ieries differentiarum I, ^ 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, u, 7, i5, 8, etc. Excerptis enim terminis alternis patet, hanc feriem efTe permixtam ex lerie numerorum imparium , et ex ferie niimerorum omnium integrorum. Verum quod fit (ecun* dum hanc legem : s— i-x-x^-^-x^-^-x^-x^^-x'^-]- ctc, fKjindem fuerit s zz:: {i-x){x-xx){i-x^){i-x*){i~x') etc, per indudiionem tantum collegi , neque aequalitatem ha- rum duarum formularum fohda demonftratione euincere potui. Qiiam ob caulam etiam ordinem illum, quem ia fummis diuiforum hinc elicui , firmiter demonftrare noa valui ; fed eius demonftrationem iam tum inniti decla- raui demonftrationi aequalitatis inter binas illas formuks infinitas modo exhibitas. Cum igitur nunc iftam de- inonftrationem fim adeptus , ordinem quoque illum ia fummis diuiforum detcdlum non amplius illis Yeritatibus, quae agnofcuntur, neque tamen demonft:rari pofilmt , ac« cenferi conueniet , quemadmodum tura teraporis ftm arbitratus , (ed iam merito ipfi locus inter veri:atcs ri- gide demonftratas afifignari poterit. Cuius rei ne vllum. dnbium relinquatur , fingulas propofitiones , quibus de- Cnonftratio huius veritatis innititur, hic ordine apponatri atque denionftrabo : PROPOSITIO I. Sifiti=:(i4-«)(i+P)(i+y)(i-+-^){:i-feXi+<^ (i-f-vi) etc. proJiicliim hoc, ex infinitis fadoribus conftans, iti feriem leq^ipntera conuertitur: S — (■'-*-*) -t- (3 ( .-4-a) -f- 7 (-t-a) («-J-P) -f- 5 (-4-*) (<-+-P)( ■-f-7) -4-s('-4-aX>-(-0)U-J-V)(«-lr5)-H^('H-a)l-+^X.-t-'yX.-»-5-X.-f-f)-t-ff^.. DEMQN- DE SFMMIS DIFISORFM, 77 D E M O N S T R A T I O. Ciim enim feriei primus terminiis fit (i-}-a) et feciindus — (3 ( I -f- a ) , erit fumma primi et fecundi — (i-4-a) ( i-h^) : fi mr\ addatur tcrtuis terminus y (iH-a) (i-4-(3), prodibit (i-t-a) (i-f-(3) (i_|-y) : addatur infuper terminus quartus, qui eft ^(i-i-a)(i -+-(3) (i-l-V), crit fumma=:(iH-a;(i-+-j3)(i-|-y)(i_|-a^). Atque fic in infinitnm procedendo, lummn totius feriei, feu omnium eius terminorum, perducetur ad hoc pro- dudum: (i-f-a)(i-i-pj(i-f-Y)(i-i-^)(i-|-£)(i-i-^) etc. Vnde manifefturn eft, fi fuerit fbre viciiTim: fi::^('-+-a)-*-P(i-t-a)-»-r(.-+-a)(.-f-P)-H5'(.-f-a)(.-t-S)(.-4-^)-4. efe, PROPOSITIO II. Si fuerit s =: (i-x)(i-.xu-)(r-/)(i-.v*)(r-v')(i-A'*jetc. produftum hoc, cx infinitis fadoribus conftaas , re- ducetur ad hanc feriem : s — i-x-xr(x-x")-x*(r-.x')(i-v'}-.v*(r-A:)(i-.v*)(i-.r^) etc. DEMONSTRATIO. Si haec forma j — (i-a")(r-A'A')(r-.r';(i-.v*)(r-v*)etc. cum forma praecedente j zz (i -ha)(i-i-p)(i -+-y) (i-f-^^^^r-he) etc. comparetur , manifeftum eft fore: a :=z —X-, (3 — — x' j y — — x'; ^z=-.v*; e:=z-x^ , etc. His igiiur valoribus in ferie ibi data, quae produdo s aequalis eft inuenta, rite fubftitutis , patebit propofitionii veritas, fcilicet efle; j— i-a:-.vx(i -x)-x\i-x){i -x')-x\i-x){i -x^)[i~x')- etc. K s PROPO- 7S DEMONSTRATIO THEOREMATIS PROPOSITIO III. Si fuerit s z=: (i-;i;) (i-a-') (i-a^')(i-^*)(i-v*) (i— A*)(i— /) etc. erit hoc produdum infinitum per mulnplicaticnem enoluendo, terminosque fecundum po- teftates ipfuis x difponendo: cuius feriei ratio eft ea ipfa, quae (upra eft expofita. D E M O N S T R A TI O. Ciim fit j -{i-x)ii-x'}{i-x')(i-x*){i-x') (i— x*)(i— x') etc. erit s rr i~x—xx{i-x]-x\i-x){i-x) —x*{i~-x){i-x')ii—x') -\- etc. Fonatur /~ i — -j:— Aaa', crit: A — ' — «-<-«(' — *)('—«»:)-+-'='(■ — «H<—K»)(l—Xl) -f.?f«. Euoluantur finguli termini tantum fecundum fadorem j—x, ac fequenti modo difponantur: A —X ^x^U—xx) _x»f, _.-«:»))— X») —etc. A — _j_, -t.x(.—xx)_Hx»('—x')(i—**)-<-^^('— «*){'— »^)(i-»-a*}-t-eJ«. firitque terminis fubfcriptis colligendis: A -;^ ,— -x^ — xS(i— x')— x7(i— X') (i— x')— x»(i— x»X'— x^)^!—- *♦) — efc. Ponatur A =r i -.r'- Bx\ erit B— T— x».+-x'(, — x*;(,— x«)4-x*(,— x')(,_xJ)(,— ?:♦) ^etc. in quibus terminis fubfcriptis i — x* tantum euoluatur, ac fiet T> -** -x-n.-x») _x«(,_x^X'-5:*), ^, denuoque terminis fubfcriptis colligendis habebitur: B— ,—x5—x»(,—x»)— x"(,—xJX'—5c*)— «'*('— *'X>—**X'—^')—rt« Ponatur B= i-a,*-Ca;', erit C—i-*»-f-x»(.-xJ)(,_x*)-4-^<( ■-«*)('-**)('-*')-+- ^^' \bi io fingulis terminis fador i - x' euoluatur , yt fiat fcribendo vt fupra: DE SVMMIS BIVISOKV m, 79 \-nde colligetur: C — I— x'-x« ^,-cc«>-x'S(,— *«)(.--xS)— x'»U— x*U>— 5C«)(t— ^«)-ff- Ponatur Cz=. i ~ x —T> x'\ erit D— ,^_-**_t-x*(«—x*)(i—x5)H-x«(i— *♦)(<— «*){' — x«) -t-efc. qme abit in hanc formam : —X* _x»(i_x5) _x"(i~x5Xi— a«) — etC' , _j.x*(i_f.xS)-t-j;»(i— xSXi— x«)H-x'^(;— *5)(, — x«Xi— x^) -f-€tc. ficque crit D — ,-**-x'*(.-x5)-x'J'(,-xS)(,_s.«)-x»«(.-xS)(,-x«)(.-x') - etc Qiiodfi porro ponatur D :=: i — a* — Ex'*, reperietnr Cniili modo : E — I — x" — Fx" ; hincque \ltra : etc. Reftituamns iam (uccefliue hos valores, eritque: J =: 1 — AT — A.v^ Aji;' — X* (i - x") - Bx' b/=ia'(i -.v^j-a'* CAr'^=.t''\i-/)-D.v'* Da,-'*=:v''(i-a-VE-^''' etc, Qiiamobrem h^ibebimus : »:= • -X - -^'(^ -x^) -+-x^(,-xS)_x'S(,-x»)_|-x»»[,-x9):-x«9(i-x") -H efc. fiue id ipfum , quod demonftrari oportet : f— i-x-x»4-x5-t_x7_x's_x'5_,_x52-4-x»<-x35_x*o_HxS'-»-efCi vnde fimul lex exponentium fupra indicata per differen- tia» luculeute perlpicitur. PRO- $o DEMONSTKATIO TUEOKEMATIS PROPOSITIO IV. S E V THEOREMA PRINQPALE DEMONSTRANDVM. Oi haec fcribendi fbrmula fn denotet (iimmam omnium diuiforum numcri « , fimilique modo numerorum mino- rum, veluti n-a, defignentur per /(«-«), fumma diuifo- rum numeri «, feu /«, ita pendebit a fummis diuiforum numerorum minorum, vt fit /«r/(«-i)-f-/(«-a)-/{« - 5) -/(«-7)+/(«-il)-f/(«-i5) ~/(«-2 2)-/(«-2d)+/(n-35)-h/"(«-4o)-/(«-5 i) -/(«-57)etc.' Vbi fequentia funt notanda : 1°. Signa -H et — gcminata terminos huius progres- fionis alternatim afficere. a». Legem numerorum i, 2, 5, 7, 12, 15, aa, 2(J, etc» ex eorum differentiis, quae funt i, 3> 2, 5, 3, 7, 4, etc. iieri manifeftam ; vnde coUigitur hos numcros omnes in formula hac generali '-^~' contineri. 3". Quouis cafu iftius progreflionis eos tantum terminos ab initio efle accipiendos , qui poft fignum / numeros flffirmatiuos retineant ; reliquos vero omnes , quibus fignum / numeris negatiuis praefigitur, efle omittendos ; ita fi fit « — 10, erit /10 r^/p -1-/8 —f$ —/3 ;= 13 -4- 15 -<^- 4=1 8- 4*. Quibus cafibus occurrit terminus /(«-«), 'quod eue- nit, fi « fuerit numerus huius feriei i, 2, 5, 7, 12, 15 etc. iis cafibus pro valore huius termini /(«-«), feu /- II x"-H isJ:'^ i; x» -etc. * I _x _ 3c»-f- x« _f_ x'- x'» - x'5 _t_ *«» -4-efc. qui valor fi aequalis ponatur affiimco , et vtrinque per denominatorem i — A' — A"* -i- x' -h x^ — a" etc. mul- tiplicetur , reperietur terminis fecundum poi:e[lates ipfiu» X dilponendis, omnibusque ad eandem partem collocandis: O — */i -♦- x*/2-+-x Vi-»--^*/* -f-*'/s-Hx«/«-f-x V7-Hx'/«-4- -'j9-(--'«"'j''<"?'c- • - /.- Ji- St- /♦- /s- /6 - /7 - /3 - j» •- /.- Sz~ h- U- Ss - S6 - S? - /. -H /. -4- /= -f /: -f A + /5 . . . . . . . + A 4- /, + / , — I — 2 * ^ —1— ^ *-i-7 * * ^ Tnde fingularum poteft.itum ipfius x coefficientibus ni- hilo acquatis, fequitur fore fi=x j6-JS-hU~fi /2-/i-Ha /7->4-/5-A- 7 /3 -f2 -h/i / 8 -/7 4-/5 -/3 -/i /4 -/3 -f-/2 / 9 ==/S -t-./'7 - /4 -/2 /5 =/4.-1-/3-5 /iorr/9-4-/8-/5-/3 atquc indolem illius aeqiiatiauis vel leuiter atteivdenti patebit, eflc generatim : /«z/(«-i)H-/«-2)-/(«-5)-/(«-7)+/(n-ia)4-/(«-i5)etc. hac progrcllione quouis cafu eousque continuata, donec perueniatar ad fumma* numerorum negatiuorum. Dein- dc per fe eft perfpicuum, nuraeros ^bfolutos 1, 2, 5, 7^ etc. DE SVMMIS r>IFISORVM 8,1 etc. qiii in illis forrrnilis confpiciuntur , viccm tenere tcrmini/o; vnde concluditur, in cafibus quibuspro/n in progreflione illa reperta occurrit terminus /(« — «), feu Jfo, \ulorem eius lemper ipfi numero propofito n ae- qualem elTe capiendum : ficque habetur plena ac per- feda demonftratio theorcmatis propofiti , quae , cum practtr tradlationem ferierum infinitarum , per loga- rithmos et difFcrcntialia proccdat , minus quidem na' turalis, fed ob hoc ipfura mdto raagis aotabilis eft aeftimanda. L • DE D E METHODO DIOPHANTEAE ANALOGA IN ANALYSI I N F I N I T O R V M AVCT. L. EVLERO. Qiuint.a affiaitas inter analyfin finitorum et infinito- nim intercedat , ciim vtraqiie ex iisdem pria- cipiis fit nata , atqiie fimilibus operationibus contineatur, nemo ignorat, qui in vtroqiie calculi genere vel leuiter fuerit verfatus. Multo latius autem hanc affinitatem patere deprehendi , qixim vulgo putari folet, et quem- adijm ia analyfi fim^oriwn ea methodus, quaQ DiQ- phanto accepta refertur , infignem occupat locum, it;i etiam iu analyfi infiintorum eiusmodi dari calcuH genus obleruaui , qui methodo Diophinteac penitus fit fimilis, fimilibusque operationibus abloluatur. Qiianquam autem huius metliodi in aualyfi. iufinitorum. nonnuUa iam paC- fim occurrunt fpecimina, quorum deinceps mentionem fiim ftcflurus, tamen in iis nulla certa folutionis via cer- nitur , fed folutiones cafu potius ac diuinatione inuentae videntur , ita vc in hoc calculo certa ac tuta methodus adhuc defideretur. Qiiamobrem mihi quidem nouum calculi genus in medium profcrre videor , qui omnino dignus fit , in quo vberius excolendo Geometrae vires fuas exerceaut. Mihi quidem tantum contigit prima eius fundamenta eruere, quae autem iam ad plurima fii- tis illullria ac non parum recondita problemata foluen- da DEMETHODODIOTHANTEAEANAIOGA 85 da fufficiunt ; eaque hic quiintum potero , breuitei et dilucsdc exponiun, quo alioruin, qui in hoc genere ela- borare voliierint, opera prumoueatur ac fubleuetur. Vt igitur prinnim indolem et naturam huius no- uae methodi definiam, ea ex fimilitudine methodi dio- phanteae commodilhme petetur. Qiiemadmodum enim methodus Diophantea ad problemata indeterminata eft accommodata , atque ex infinita folutionum multitudine eas elicere docet , quae quantitatibus rationalibus conti- neantuf : ita noua noltra methodus quoquc nonnifi in- determinata problemata complecflitur ; et cum dilcrimi- ni, quod in analyfi finitorum inter quantitates rationales et furdas ftntui folet, in analyfi infinitorum difcrinien in ter quantitates algebraicas ac transcendcntes refpondeat, nouae noftrae methodi vis in hoc erit pofita , vt ex infinita cuiusque problematis folutionum copia , eae fe- cernantur , quae quantitatibus algcbraicis contineantur. Huiusmodi igitur probiemata indeterminata methDdo noftrae (iint propria, quorum folutio in gcnere concepta formulas transcendentes, fen integrales inuoluit, ex qnibus deinceps eos cafus elici oportet, quibus qujntitates illae transcendentes in algebraicas abeunt , feu, quod eodem redit, formulac illae integrales integrationem admittant. Per exemplum *tam natura huius nouae methodi, qiiam eius affinitas cum methodo diophantca clarius elucescet. Vti enim in methodo diophantca quieri fo- let , quomodo quantitates x ct j inter fe debeant effe comparatae, vt haec formula V (x x -{■;}' j) fiat rationa- .. lis , ita in noua noftra methodo huic fimilis erit ifta . quaeftiOj qua inter quaotitatcs variabiles x et j ea quae- L 3 ritur So DE JlETHOnO DJOTHANTEJE JNJLOGA ritur conditio , vt rormula fpccie transcendens jy[dx'-{~dy) fiat algebraica , icu vt huius formulac valor fllgebraice exhiberi qucat. Manifeftiim eft, hoc problemate , quod inftar excmpli attuiimus, quaeri cur» vas algebraicas, quae fuir redtiticabiles \ relatio enim in« ter X et j , quae coordinatas curuac denotabunt, rcqui- ritur aigebraica , vnde qiiaeftio circa curuas aigebraicas verlatur , et cum huius curuae arcus indcfinite pei: JV [d x"- -{- dy-) exprimatur , quoties ifta formula alge- braica reddctur, toties ipfa curua erit redificabilis. Simili modo fi omnes eae curuac algebraicae de- flderentur, qirae fint quadrabiles, perrpicuum cft, quaeftio- nem huc redire , vt eac relationes intcr quantitates va- riabiles x ti y afilgnentur, quibus haec forii ulu integralis Jydx integrationem admittat, attjue ad valorem algebrai- cum perducatur. Etfi autem hic potifiimum quantitates algebraicae ftint propofit.ie , perinde atque in mcthodo Diophantea quantitates rationalcs fpcdari foknt ; tamcn eo quoque referendae funt eiusmodi quai fiiones , quibus formulae quacpiam integrales non algebraice exprimi , fed pro- pofitam quandam tran^cendennum quantiratum fpeciem implicare debenr •, veluti fi quaerantur eiusmadi curuac algebraicne, quarum recflificatio non algebraice perfici queat, fed a quadratura circuli pendeat. Variae enim transcendentium quantitatum fpccies commodifiiimc per quadraturas cognitarum curuarum defignantur. Facile autem inteliigitur, eandem metliodum, qune curuas rcdti- ficabiles inuenire docct , quoque ad eas curuas, quarum redifi- IN JNALTSI tNFINITORyM. S7 redificatio a data quadratiim pendeat, inueniendas nptam fore, id quod ex (equentibus clarius pcrfpicietur. Huiusmodi problema iam ante coraplure« annos a Ccleb. Bermanno extat propofitum, quo eiusmodi curuum algebrai- «m quaefiucrar, quae non eflet redificiibilis, fed cuius reclift- catio a quadratura datae curuae pcnderet, quae tamen ni- hilo minus tot , quot lubuerit, arciis abfolute redificabi- les haberet. Propofitione huius problematis tuni tem- poris fummus Anaiyfeos promotor loh. Bernoullhis b. m. adeo obrtupuit , vt non iblum hoc problema ab Her^ manno folutum efle noa crediderit , fed etiam figacita- tem humanam longe (uperare pronunciauerit ; quod qui- dem nemini mirum videri dcbet , cum illo tempore nulla plane vllius methodi veftigia patuiffent , cuius ope huiusmodi problemata tradlari poflent. Herniannus ctiam eius fblutionem per longa.s ambages ex quadam linearum curuarum contemplatione haufcrat, vnde primo intuirtu nihil plnne emolumenti ad propofitum expedarc licuerat , ita vt inopinato ad folutioncaj ante peruenif- iet, quam de ipfo problemntc cogitaflct. Vifa autem irta Hermanni Iblutione, Bernou!'iiis eciam aliam publicauit folutionem ex (oja analyfi petitam: (ed cuius fundamen- tum tantopere ert abfconditum , vt diu!natii>ne potius, quam vlla certa \ia, formulas fuas folutionwm continentes eruilTc videatur. Cum hoc problema non folum obfummam, qua implicabatur , difhcultatem , fed ctiam ob eximium vfum , qui inde in analyfin redundare videbatur, omnium tum temporis Geometrarum admirntioncm exciraffet, mmo tameu quaatum conflat , in certam atque ad hu- ius 88 DE METHODO DIOPBANTEAE ANJLOGA iusmodi problemata accommodatam methodum inqui- fiuit , qua nouiis omnino analyfeos infinitorum quafi campiis aperiretur. Fgo igitur longo port interuallo fortafle primus de principiis nouae huiu» metliodi co- gitarc coepi , quorum beneficio memorati illius proble- matis folutio direde fine ambagibus ac diuinatione obti- neri poflet. Detexi quoque regulas quasdiim non con- temnendas , quae ad nouae iftius methodi fundamenta iacienda idonea funt viHr , earumque ope non folum plures problematis illius , quod erat agitatum , folu- tiones fum adeptus , fed etiam nonnulla alia eiusdera generis probiemata dedi Ibluta , cuiusmodi eft illud , cuius folutionem exhibui in Diflertatione de duabus curuis algebraicis ad communem axem relatis inue- niendis , quae non fint redlificabiies , fed quarum redificatio a data quadratura pendeat , ita tamen vt amborum arcuum eidem abiciflae refpondentium fumma algebraice exprimi poflTit. Fontem (bUitionis , quam ibi dedi , de induflria celaui , cum mihi elfet propofitum prima quafi huius methodi elcmenta feorfim explicnre, quo eorum vfus amplifllmus clarius perfpiciatur , nequc Jittera Z ed: fiindio non fblum ir"'^'^ -*■ ^*- -^' ^^*^ etiam ipfius p. Vbi notan- dum ef ^*^"' foluni fbrmulam /Z^x, fed etiam hanc it)dx-y ^Jg^braicos habere debere valores. Huc reducuntF ^^^ formulae integrales , in quibus ambo dif- ferentialia'^-^' ^^ '^y occurrunt, veluti /V () reuocatur. Ordo porro tertius ciusmodi comprehendet formu- las integrales "^ quibus etiam difFerentialia fecundi gra- dus infunt, qua\ ^"fem, pqnendo ^j— p^x et ^/) — ^t/.v, ad hanc formam^Z^a- perducentur, vbi littera Z erit fundio quantitaturl. ^' ^» P^ ^t q. His igitur cafibus non folum formuIae/Z '/a', fcd etiam harum formula- rum- Jp d X et Jq i ^ '^'^^^^'«s algebraici effici de- bebunt. Ordo quirtus compF<^etur eas formulas integraks, quae quantitatum x et y d^erentialia etiam tertu gra- dus inuohiunt; haeque ad fo"^3m /Z d^.v reducentur, ponendo dyr~pdx; dp ^- '7 ^ ^ ^^ dq—rdx, vbi quantitas Z contincbit prarter quantitates x et y etiam Tom. V. Nou. Com. M Iias '^HODO DIOPHANTEAE ANALOGA has p, q^ et r. hu. fimul ratio fequentium oru'inum intelligitur. Praeter hos ordines pe»... , _. ,,. j. ^ , /-'7 j • •r'^m ckflem conftituunt ciusmodi formulae j Zd x, inquibus , ^ , »•..„, 1 1 • I lon folum quan- titates algebraicas x,j,p,q, etc. vti ,. ,. -, . , ^r , '-^.'^' V . his ordinibus, continet , fed etiam formulas integrules, , „ . * «imi fi fierit Z=.v/V [), ita Yt haec quantitas fx dxjd x, / j _1_ **^ efficienda fit algebraica , pro quo relatio inf' ■ tes .V et p definiri debeat. In hoc exemp .• patet, cum fit ^/ rr/> rt' .v, valorem W ||™"^ Jpdx effe debere algebraicum. Deinde etis , hmmJdxVii -\-pp) efle oportebit algebr^ J^ ^^^q^j fi ponatur = j, tandem haec formula Jx s u^ ^^ ^a- lorem algebraicum erit perducenda , ita vt .^^^^ j^^g^ formula Jx d xJV ^d x' -\- dr) reduaion^ ^^^^^^ trium formularum I. fpdx =-r iijdx y u +PP) = s- ,nj,sd. ad valores algebraicos requirat. Ex „0 • ,,• • etiam huimmodi formulas ad ordine* '^ ^"'^^^^'S'^"^ reuoc^ri pofie. ■ '°'' enumeratos Totum igitur negotium xk r u ■ , .. quam examini Analyftarum proro, '' ^"'f "'"^'^'^^ ' vt eiusir.odi rehtio inter binr ^.^Z^ '" *'°' '°"^'"^^ gemr, quae vnam plnresu^s ^-•^'f'''^' ^' ^' ^ 'tiuefti- modi in ordinibus fum-j- -''•''"'"'? mtegrales , cuitis- gebraicas leddat. Hic ''Ptis fum complexus , al- occm-runt difficillima ''-'^'"" non folum problematt lon^e fum rcmotL^ ,' fed'^""^ ^lutjone equidem adhuc o uc. , lea eva^ ^^^^^^^ eiusmodi exco. gitari IN ANJLTSI INFINITORVM. pi gitari polTunt , qiiae nullam plane folutioncnn admittuntj omnino vti \fu venire folet in problematibus ad mctho- dum Diophanteam pertinentibus. Vnde etiam fine uu- bio haec fimilitudo locum inueniet , \t alia problcmata folutionem gea'ralem , alia •vero tantum folutiones fpe- ciaJes permi' Tnt. Huiusmodi igitur problcmata hic tantum proferam, quorum folutionem iniieni , -vt hoc modo fpecimen ac prima quafi elementa nouae methodi , quam vlterius excolendam propono , exhibeam , quae etfi exiguam tantum pirtem huius methodi conftituere videntur , ta- men vi .r\ , qua vlterius progredi hceat , pate&cient. Certa au ;m indc earum operationum ratio perfpicietur, quae direcfle nihiiqne diuinationi tribuendo ad (olutiones corum problematum, quae ante commemoraui, perducant. L E M M A. 1. Tortnula Jy d x erit algehraka^ fi haec Jxdy fuerit talis, et ^. •eratim, a qua quadratura pendebit inte- gratio alterius joimulae fydx^ ab eadem quoque alterius fx dy integratio pendekt. Demonftratio ft manifefta, cum (\t fydx — xy —fxdy, vnde patet, ''• (oimuhfxdy fuerit vel alge- braica, vel datam quadraiuram implicans , eandem quo- que naturam haberc altei. i {oimuhm fy d x. COROLL RIVM. 2. Simili modo integratio huius formufae/j.v^.v, tel huius /j' a: " erit huiu* curuae area zi.Jy dx^ cuius valoieia IN ANALTSl INFINITORVM. p3 valorcm nlgcbraicimi cfle oportet : quod qiiidem flicilli- me impetratiir. Denotet enim X fundionem quamcun- que ulgebraicnm ipfius a.", huicque fundioni X aequalis ponatur area Jy d .v, \t fit fy d x — X^ erit, difFeren- tialibus fumendis, j d xz=z duL, \nde fit j = -^ ^ fic- que applicata j aequabitur fundioni algebraicae ipfius x^ ex quo curua erit algebraica , eiusque area Jjdx^ cum fit " X, algebraice quoque exprimetur. A L I T E R. CuiTl ut arCii Jydxznjx -fxdj, ponatur fvdv fiindioni cuicunque ipfius j , quae fit rr Y, aecjualis, feu C\t: fx dj z=. Y , \nde fit .v z= ^-^, ita \t iam ab- fcifla .V functioni algebraicae ipfius j aequctur , curuaque fiat algebraica. Pofita autem x — j^, erit curuae aiea fjdx ~j .V — Y rr -^ — Y, ideoquc etiam algebraica, C O R O L L. I. 5. Si X in priori folutione, \el Y in pofleriori, non fuerit fundio algebraica ipfius .v, \el j, fed trans- fcendens, ita tamen vt jj, \el jj, fiat fundio ajgebraica, curua quidem erit algebraica , led eius quadratura quan- titate transcendente exprimetur. C O R O L L. 2. 6. Scilicet fi in priori folutione fit X =z P +fQdXy exiftentibus P et Q fun^flionibus algebraicis ipfius A*, ita taraen , \t fQ_dx fit quahtitas transcendens, aequatio pro curua j — j| -4- Q erit quidem algebraica, M 3 M 94- OE METHOBO DIOfHJNTEAE ANALOCJ fed eiiis area/yi/.v rr V~\-fQ/ix a qnantitate transcendcnte jQJx pendebit. C O R O L L. 3. 7. Simili inodo in akera folutione fi ponatur Y = p _j_ JQ_dj, exilkntibus P et Q^ fimftionibus algebraicis ipfius y , ita tamen Yt jQ^dj fit quantitas transcendens, aequatio pro curua jv = ^ -}- Q. erit algebraica , fed area, quae erit Jydx — ^^ -hjQ,— P -JQJy a quan- titate transceudente jQdy pendebit. S C H O L I O N. 8. Vti huius problematis folutio cft facillima nuUoque artificio indiget, fequens problema , quod qui- dem alius eft naturae, adiungam , cuius vero folutio in aliis problematibus, quae ad hanc methodum referri (b- lcnt, infignem vfum praeftabit. Veluci fi quaerantur curuae algebraicae generatim non redlificabiles, quae tamen, quot lubuerit, habeant arcus redificabiles •, aUaeuc huius generis quaeftiones proponantur , principium folutionis ex fequente problemate erit petendum. PROBLEMA. £. 9. Inuenire curuas algebraicas in gencre non qua- drabiles, fed quarum quadratura generalis datam quantita- tem transcendentem inuoluat, in quibus tamen, quot lu- bucrit, areas abfolute quadrabiles aflignare liceat. S O L V T I O. Ex folutione praecedenris problematis liquet, hanc quaeftionem huc redire, vt eiusmodi formula transcen- dens IN AKALTSl innmTORVM. P5 dcns /Q ficque vtraque per nouam variabiiem z cu- ius L et M funt fundiones algebraicae , exprimatur, ambae formulae integrales propofitae valores obtinebunt algebraicos fcilicet j> P «y A- =: L et jy Q_d x z=. M C O R O L L. 2. 20. Per eandem crgo folutionem (umcndis pro L et M fundionibus transcendentibus ipfius x:, ita tamen Vt j^ et ^ fint funcfliones algebraicac , effici poterit, vt integratio vtriusque formulae propofitae Jy Y d x et fy (^d X a data quadratura pendeat ; vel vt altera fit algebraica , altera vero datam quadraturam inuoluat. C O R O L L. 3. 21. Si ambae hae formulae debeant eflfe alge- braicae , folutio pofierior eundem praeftat vfum ; fumta enim pro V funftione quacunque algebraica ipfius x., erit L rr ' P ^ ^ = L ct /j' q^ jc — ^ - V feu Jj?dx — ^~^ etfjQ^dx — 9^ - V d.^ Vd.^- C O R O L L. 4. 22. Sin autem in hac folutione pro V capiatut fiindlio transcendens ipfius x , ita tamen vt ^-^ fit fundio algebraica , ob ^^§~ etiam fundtionem alge- braicam , fiet quoque Lz=zdY:d y, ideoque etiam^ fundio algebraica ipfius x', vnde prioris fbrmuhe jj?d.v~L valor fiet algebraicus , atque altera tantum fj Q^d x a praefcripta quadratura V pendebit. C O R O L L. 5. 23. Per hanc ig'tur alterara folutionem effici noa poteft , vt vtraque formula integralis propofita dataiii quadraturam inuoluat , dum alterius valor femper repe- ritur algebraicus. Qiiare fi vtraque debeat habere valo- tem transcendentem , folutione priore eric vtendum. EXEMPLVM. 24. Inmnire ciiruas a^gelfaieas , in quihus nofi' folum area fj d x, fed etiam areae mmenttm fjxdx algebraice exhiberi pofflt. Pcr priorem (oiutionem ponatur 5 fjdx^L tt fj x d x~M, €t\tj — ii=z^ vnde fit ;»::=: Ix €£ S64. DtMtrmhO momAVTEAE ANAWGA y — dL: (i{j~), vbi pro L et M fundliones quae- cunque atgebraicae nouae v;iri;ibilis z accipi polTunt. Ni- hil ergo impedit quo minus (htuatur L~z, et pro M fumntur fun(5lio quaecunque ipfius z, quae fit — Z, quo fado crit x z= f| et fumto elemento dz conftante J = ddl- Per alteram folutionem ponatur /j^.v— L, vt fit yrz^^, erit fy x dx —Jx ^ L z= a- L — /L dx. Statuatur -iam JL d XZZ.W func^ioni cuicunque ipfius x , erit L==g,ideoque/,'^.v = l^ tt Jyxdx-=^l -\, vti- de pofito elemento dx conftante applicata j iia per abfciffam x definietur, vt fit y — ^^. "* S C H O L I O N. 25. Me non monente intelligitur , fimili modo huiusmodi formulas JY V d x et JY Q_d x ad valores algebraicos reduci pofle , fi Y fundlionem quamcunque alterius variabilis j defignet , dummodo P et Q_ fint fundliones ipfius .r; determinationes enim ante pro j inuentae nunc ipfi Y funt tribuendae. Qiiin etiam, fi Y denotet fundionem quampiam ipfarum .v aj,{bhmo pari modo ablbluetur : ita redu(flio harum fiirmularum J? d X V {x X -^yy) et / Q_^ .v V {x x -^jj) ad va- lores nlgebfaicos miliim habcbit difficultatem , quoniam hae formulae fimiles euadent propofitis, fi pro V {xx-{-jj) fcribatur vnica iittera veluti v. Vnde colligitur ope huius problematis femper binas huiusmodi fiypmulis jy d X etJZdx ad valores algebraicos perduci polfe, quaecunque V et Z fuerint fundiones ipfarum x et j, dummo- IN Jj^AtrSl INFINITORVM. 105 dnmmodo |- fit fundio ipfius x tantum. Si enim x fit iftii fimdlio , feu J m a,', loco alterius variabilis y introducatur noua 17, Tt fit v zz:^ feu ^' =: Z , atqne formulae reducendae erunt^i'X^a' etfvdx\ qiwrum refolutio iam erit in promui. Inueftigemus \ero etiam alia formularum integralium paria , quae fimili modo ad \alores algebraicos reduci queant , qnod eueniet fi qaapiam transformatione ad huiusmodi formas rcuocari potnerint, PROBLEMA 5. 25. Si P et Q^ fuerint futKaiones qnaecunque ipfius jt:, inuenire rektionem idoneam inter \ariabiles x etj, vt ambae hae formulac /P ^j' et /Q_r/j valores al^braicos adipilcantur, S O L V T I O. Cum per lemma pracmifliim fit /? dj ~Vy '^fj' // P et /Q^dy =z Qj —fy d Q , cjmeftio huc re- dit, vt liae duae formulae integrales fy dV ^t fy d<^ valores algebraicos confequantur , quod per probkm* praecedens duplici modo efficietur. I. Statuatvir enim jy dV — h et // ^z^etjf^—x'^z'^ atque formulae propofitae abibunt in has : 7nv-fi.n_ wv-fj.it Jx '"-'* z^^dx ttjx w-** z^dx lam vero eft : ■rry-jxn — j mv-)ni wv-yin /^ TT-K ^w ^^ _ _rs^ ^ _ n.(v;-]x) /V-i:^;>«-'^^ O 2 JX loS DE METHODO DIOPH.JNTEAE ANALOGA J-^ wiv-fjin.'* mv-fj.n J Nifi crgo fiL mv z=: ixn^ qiio cafu haec reduiflio locunn jnv-jiit non 1-uibet , fi ponatur jt '""'* — «y, quaeftio perducetur ad has formnlas : /'y s"*— r/ s et /i; z *^-'d z ^e per prdjkraa fupedus fme diflacultate refoluuntur. A L I T E R. Si neqiie n neque v fuerit ~ o, ali* fokitiO' GmiK tnodo adhiberi poteft. Scilicct cum fit Jfx^^d X —'■^yx- ^jx-y^dy et Jy>^x'-dx z= iy^x^^t^fxy^-^dr quaeftio redit ai has 4uas formulas i Jxy^^—dj et Jx^j^—dy )x — m qjuac pofito x—j'""''^, perinde atquc ante tractaittusv. C Q R O L L, I. Si. Si dt vel «z— - |JL vel « — • i', fbrmulae pro- pofitae ftatim. per fuperius. ptoblema reduci .pofrunt,, fme; Tlla praeuia praeparatione. Calu; tamen pofteriori quo» a—: V excipiendus eft cafiis quo n~v — cr\ quii rc- diidio fupra praefcripta liic non fuccedit. ^ C O R O L L. 2. 52. Per praeccpta ergo adhuc tradita huiusmodi binac fermulae JyJ^ dx et Jy ^ dx ad valores alg,ebraicos reduci K. ~ £ £E£q,)3£U]ltc. COROL. IN ANALTSl INFINITORVM. 109 C O R O L L. 3. 33. Praeterea vero etiam excipiuntiir cafus , qui- feis wy c= (JL «, feu m : n rr ^ : y, qui ob eandem ra- tionem redudionem non permittunt. Qiii cafus quo fo- dlius cognofcantur, fit w — ctjx, et «ir:»^, eruotformiT-' jiiulae hoc pado irredudibiles : Jy '"^ x'^'-' d X et Jj ^ X *-' d x. C O R G L L. 4. 34. Sit breuitatis gratia j ^ rz 2; et Ar^^rri;, erit: —-——^ vude formulae hae irredudibiles' funt. f / c "^ 1;«— ^a; et 7 jzdv. Ac fi vlterius ponatur z-zz^., hae formulae abibunt m a -^ y^^~ir et \-J~~ y quae iam; in forraulis' Coroll. 2., «xclufis continentur, C O R O L L. 5^. 35. Reliquis igitur cafibus omnibiis ,: qui in hls CTceptionibus iocum non habent , reduSiO' ad valores algebraicos femper abfolui poterit,, idque duplici modo pro vtraque folutione hic tradita ,, atque vtroque modiO' gemini refolutio valebit fecunduni' binas problematiS' ferperiori& folutionei. P R O B L E M A T. 3', vt hae duae forroulae fV dx et fZdj fiant integrabiles. S O L V T I O. Ponatur vt ante j=zt x/ fietque V = x^^V ct ^ — .r^Q^ exiftentibus P et Q^ fundrionibus nouae va- riabilis t, et ob dj — t d x -^ x dt formulae redu- ^ndae enmt : fVx^dxzzi^, fx^^^" —fx^-^^d P m JNJtrSI INFINITORVM. nj vnde habebimus ; /(Ix^dj = -^- Q./ x^-^'--^Jx^-^itd(l-it(ldt) Atque adeo fomiulae ad valores gebraicos perducendae erunt/A"-^'

'^nde pro M inucnitur fundio ipfuis x , qua inuenta erit L — dfT": n ac denique y zz: fj^. Tum vero valores al_^eoraici trium formularum propofitarum erunt. /y?dx-L jy (Id X z^-^f- - M JyKdxzz^f - Ki%f,-n C O R O L L. I. 45 . Cum in priori folutione pro litteris M et N fundliones quaecunque ipfuis z accipi queant , fi iis va- lores transcendentes tribuantur , ita tamen vt ^l et ^-^ fiant fundjioncs algebraicae , effici .poterif vt trium fbr- raularum integraliura propofitarum duae fjQ_dx et JyKdx a datis quadraturis pendeant. Qiiod etiam per probl. 2. ita expediri poterit , vt vtraque tot quot lubuerit cafibus nihilominus valores algebraicos adipifcatur. P 3 COROL. I X 8 D£ MEIHODO DICTHANTEAE ANAUOGA C O R O L L. 2. 45, Sin autem folutionem pofteriorem adhibeamus, qnoniam vnica littera N arbitrio noftro relinquitur , fi pro ca fiincniio tranhcendens ipfius x accipiatur , vnius taatum fortnulae propofitae integratio datam quadratu- ram inuoluet , reliquae vero duae neceflario valores al- gebraicos obtinebunc. C O R O L L. 3. 47. Patet etiam fi Y fiierit fundio quaecunqo* ipfius y, fimili modo has tres fbrmulas : JY?dx\ fYq_dx] /YKdx ad valorcs algebraicos reduci. Quin etiam cadem rc- dudio kxum habebit, fi Y fit fuadio quaecunque am- barum variabiliura x et/. P R O B L E M A XI. 4.8. Si P, Q^, R fuerint fuudliones quaecunque tlgebraicac variabiiis x , inuenire relationem algebraicam inter ji: et j, vt hac tres formula* intcgrales: - fVdy, f(ldj; jKdj Talores algelaraicos obttneant. S O L V T I O. Formulac iftae per lemma praemilUim transfbr- mantur in fequentes. iTdj — ?jy -fjd? JQ^dj' = (ly "Jjdil ^Kdj zz Kj -JjdK Quaefiio IN AnALTSI INFINITORyiH. tt9 Quacftia ergo redtt ad has tre* formulas : Jyd?; Jyd(l; JjdR algebraicas efficiendas , quae cimi (imiies fint iis , qime in probl. praec. funt tradatae , refolutio nullani) habebit difficultatem, atqne adeo duplici modo abfolui poterit. C 0 R O L L. I. 49. Qurn etiam fi ordo inter has formulas im- mutetur, quoniam perinde efl; a quanam earum opera- tio incipiatur, nouem omnino folutiones exhiberi pos- funt. Incipiendo enim a prima ponendo /y r/P — L, foUnio prior ante tndita vnam praebet folutionem, po- fterior vero duas , prout duae reliquae fbrmdae fumun- tur , y^l Jy d Q_ et Jy dK^ vel ordine inuerfo Jy d R et Jy d Q, ficque hinc tres folutiones impetrantur. At- que cum operatio a qualibet harum fbrmularum inchoa- ri queat, omnino nouem folutiones exhiberi poterunt. C O R O L L. 2. 50. In hac ergo methodo perinde eft , fiue fbr- mula quaepiam propofita CxtJyVdx fiue /P rfj, quia poflerior J? dj facile ad fijrmam prioris fjd? redu- citur. Hmcque inpoflerum nuUum amplius difcrimen inter duas huiusmodi fbrmulas conftituam , ne praeter neceffitatem hanc tradlationem prolixiorera reddam. C O R O L L. 3. 51. Perinde ergo problema refoluetur, fi ad va- lores algebraicos reduci debeant huiusmodi formulae teroa^ vel f ao DE METHODO DIOFHJNTEAE ANALOGA yc\fj?dx- fjqdx; fKdy ydfyVdx- f(ldy- fKdy Siiperfluum ergo foiet diiierfa hinc problemata conftituerc. PROBLEMA 12. 51. Ad valores algebraicos reducere quatuor bu- iusmodi formulas integrales: fyVdx; fy(ldx; fyKdx; fySdx in quibus litterac P, Q, R, S denotent fundiones quas* cunque algebraicas ipfuis x. S O L V T I O. Incipiatur operatio a quacunque harum quatuor fbrmularum propofitarum, ponendo /y V dx=:L^ vt fit y — pj^ , atque tres reliquae fbrmulae transformabuntur fcquenti modo : fyildxzzffdLzzz^^^-fLd.f fyKdx-f^dL-^^i -fLd} fySdx^f^dL^^f -fLd.l Cum igitur nunc ad vtlores algebraicos reducendac fint hae tres fbrmulae: fLdf; fLd.}- fLd.i haeque congruant cum iis , quac in proh'. 10'*' fimt pertradatae , refolutio erit in promru; et qnoninm hic nouem diuerfae folutiones fuppeditantur , totidenique re- periantur, a quanam alia quatuor fbrmularum propofita- rum initium capiatur , omnino huius problematis quater, nouem, feu ^6 folutiones cxhiberi poterunt. COROL. IN JNALTSI INFINITORVM. i2t C O R O L L. I. 53. Si Yna qiiaedam formularum propofitarum, "Veluti fy S d x, a data quadratura pendere debeat , ea in operatione ad finem vsque eft referuanda , id qiiod 12 modis diuerfis fieri potefl. Sin autem duae fbrmu- lae datae , veluti JyK d x et fyS d x, a datis quadra- turis pendere debeant, hoc nonnifi duobus modis diuerfis praeftabitur. C O R O L L. 2. 54., Hinc etiam patet, eundem foluendi modum ad quinque , pluresque , quotquot proponantur , fimiies fbrmulas extendi , dummodo quaelibet formula habeat (peciem JjTdx vel JV dj , exiftente P fundlione ipfius X, ita vt in fingulis fbrmulis altera variabilis / nonnifi vnicam obtineat dimenfionem. C O R O L L. 3. 55. Quemadmodum in cafu duarum huiusmodi fbrmularum propofitarum reperiri poffunt 3 folutiones et in cafu trium formularum 9 folutiones ; fic in calii 4 formularum inucninntur 4. 9 — 3d (ohitiones. At- quc porro in cafu 5 formularum 5. 3^— "iSo folu- tiones , in cafu 6 fbrmularum 6. 186—1080 folu- tiones, ct ita porro. PROBLEMA 13. 56. Si propofitae fuerint quotcunque huiusmodi fiirmulae integrales JZd x vel JZ dy , in qiiibus omnibus Z fit fundio homogenca ipfarum x et j, et Tom.V.Nou.Com. Q in 122 DE METHODO DIOPUANTEAE ANAtOGA in fmgulis idem dimenfionum nnmerus n deprehendatury in-uenire relationem algebraicam inter x et j , vt fingu' larum harum formuiarum valores prodeant algebraici. S O L V T I O. Cum 2 fit fundio homogenea « dimenfionnm ipfflfum .V et / , fi ponatur y — tx^ ea tranfibit in huiusmodi ' expreflionem .r^T, exiftente T fiindione quapiam ipfius t tantum ; ideoque quaelibet formula hu- ius generis /2 r reducitur (equenti modo: JZdx =/T .rV x — ~Tx "-*- - n^Jx''-^' d T Deinde ob d y — t d x-\-x d t formulae huius generis fLdy fimili modo transformabuntur : /Z dy =/T *" {tdx-\-xdt) =Jx''-^'Tdt-\-jTtx''dx at /T / x^dx z=:~,-Ttx "-^' - r^J x^^-^XT dt-\- tdT) vnde fiet /2 dy rr ~.- T/.v«^-- ^-Jx--^^[tdT-nTdt) Qiiare quotcunque proponantur formulae integrales, vel huius/2^A', vel hi\w%JZdy fpecici , quaeftio reuo- cabitur ad totidem formulas iftius fpeciei /a'""^'0 '^X, fiquidcm X fit fundlio quaecunque ipfius x. Atque lu funt cafus , qnibus duas piuresue formulas integrales pri- mi -ordinis mihi quidem adhuc ad valores algebraicos reducere contigit. Dantur vero etiam fbrmulae fecundi fuperiorumque ordinum, quas flicile ad formulas primi ordinis formae /('X^at reducere licet , ex qno, fi eius- modi fbrmulae integrales fupcriorum ordinum occurrant, refolutio problematum hadenus allatorum perinde fuc- Q_ a cedet. \ 124* DE METHODO DIOPKANTEAE ANAIOGA cedet. Eas igitur formulas fuperiorum ordinum, quae huiusmodi redudionem admittunt , hic indicari conueniet. P R O B L E M A. 14. 60. Si P fit fundio qnaecunquc ipfuis x, elemen'- fiumque dx fum.'.rjr conftans, reducere integrationem hiiiusmodi formularum integralium /^-^,y^p^,/-^^r et fngenere huius / ^^^ ad integrationem. formulae primi ©rdinis- huiusmodi fjQj^x, exiftente Q_ fundione ipfius ju. S O L V T I O. Confiderctur fbrmuk prima , eaque per kmma ita; jeducetur : f^ddy Tdy fj df . r, d? ydt fyddP\ iScque erit ; ,rddy Pd> ydP . ryddV J dx dx ~ dx rj dx. ' At j^ eft exprclTio difFerentialis formae Q_d x:, ideoquc fiwmula f~^ redudla eft. ad formulam fyQJx. Simili modo formula (ecunda reducitur : ffd^y ?ddy _ ,d? ddy, J dx — di* J dx» J ^f ■fdPddy dPdjy _yddP , /yd'P ., ^ J dx* — ^i^- ^ -^fd^y ideoqu» fPdfy Pddy — dPd^v-j-yddP ryd'P J' dx* J^ J dx*y ixbi/^ eft iterum forraae /j Q 0^3. hisi i^6 DE AIEJVODO DIOPHANTEAE ANAWGA his cafibus in noftris probkmatibus locum non habebit. Hoc auteni eucnit, fi P fiierit ipfuis x huiusmodi fundio P rr_ a -h (3 X -4- y x^ ^- (J x' 4- • • • • H- \t- x''-' tum enun j— ;ir~ integrationem abfolivte admittet. € O R O L L. .5. 63. FoTTOulac ergo integrabiles cum fuis integra- • libus erunt pro variii ipfius n valoribus fcquentes : Jady — ay -^{iy-^6$x)%-6dy S C H O L I O N. 64. Progrediamur ergo ad formulas ordinis fecundi, cum redudioni earum, quae funt primi ordinis, iam tantum fimus immorati, quantum quidem profedus in hac methodo fadi adhuc permiferunt, Qiioniam vero ad ordinem fecundum eas retuiinnis forxTiulas, in quibus vtriusque variabiHs x et y differentialia dx et dy infunt, eae fine dubio funt fimpliciiTimae, in quibns hacc bina differentialia plus vna dimenfione non obtinent, cuiu5,modi in genere eft haec formula /(V d x ~\- Z d y)y vbi V et Z fint fundiones quaecunque ipfarum .v et y. 'Nam fi vnicum adfit differentiale dy,- quanqu;im inde pofito dy — p dx , littera p in fundionem ingreditur, tamen manifeflum efl, binas variabiles x et y effe com- muta- IN ANALTSI INFINITORFM. 127 tnutabiles, atqiie forfnulas /2 ^7 perindie tnvdtari poflTe,. ^tfZdx. Qiiibiis ergo ciifibus- buiusmodi formulis /(V Talorem algcbraicum obtineat, neque enim video , quo- modo huic quaeftioni fatisfiiciendum fit. Qiiamobrcm multo minus talia attingo problemata, in quibus duae pluresue huiusmodi formulae ad integrabiiitatem perduci debeant. Neque etiam formulas fuperiomm ordinum generaliter pertradare licebit, praeter cafum in fcquend problcmatc contenium. P R O B E M A 15. (57. Si 2 fit fiinAio nuUius dimenfionis ipfarum dx ct //j, ita vt ipfae quantitaies finitae a; et y in cam non ingrediantur, ad integrabilitatem reducere hanc fbrmulam j^Ldx. S O L V T I O. Cum formula differentialis Xdx ita fit compara- ta, vt praeter quantitatcs conftantes nonnifi differentialia dx ti dy contineat, quae propterea vnam dimenfionem adimplebunt, cuiuemodi fnnt hae formulae : '^^; V^adx^ ~\-bdxdy~\-cd/)\ 5fe-+^rfj'^ ^^^' P«natur dy~pdx^ atque formula propofita J Zd x induet hanc fpeciem f?dx, ita vt P fiat fundio quantitatis p tantum , ne- que x neque y inuoluens. Efficiendum ergo erit, vt non folum haec fbrmula J?dx^ fed etiam ob dj"z:zpdx haec Jpdx, algebraicum nancilcatur valorem , quod per problema 4.. ita dupHci modo praefiabitur, Cum enim fit JZdx — JVdx nr Vx - JxdV y — Jpdx — px — Jxdp Tom.V.Nou.Com. R Fial 130 DE METHODJ DIOVHANTEAE ANALOGA Fiat primo: fxd? r=: M et fxdp — N, dM dN ji-rfP d^i . dr entqiie .v =r ^-^ =: ^ , vnde tic ^p = ^ , et qiiia jj ei\ fandio ipfius p, inde valor ipfius p enii deLet, quo inucQto hibebitur a" =: 57 , feu x zz: j~- , ac deinceps y — px — N: qui viilores praebebunt /Z dx ~ P .v — M. Pro altera folutione ponatur: fxd? nr. M,, vt Cit X — jf, ttfxdp—f^j^. dM = M. s^ -fMd. fp. lam ponatur /M^-Jf- — R fun- ftioni ipfius p cuicunque , ac reperietur M — ^R : d.j^y quo valore ipfius M inuento, prodibit porro : vnde fit/Zrf.vi=PA;-M. Vel ponatur fxdpz=:N,et ob .v — j^, fiet/v^P — rr fd N. ^J- rz: N.^f| -/N ^. g. ^ Sit /N ^. g = S erit N = ^S: d.jj\ hincque x =: jj et j — p x-N cx quibus efBcitur /Z > •^ (i+pp) d? fietque M— Ti(i-h/»p)% tndc erit porn> et * = ^y^i^pp) =: y^^ 4- R a 1 Sen 134 i^£ METHODO DIOFHANTFJE AKAtOGA dd? Seu pofito dp conllnnte ob dM — -~T~ {^-^PPy-^ ^ pdV y{i -{-pp) erit: dd? ^ I 3p^P , r/rfP. ,, ^p(\-\-pp)dV iir. Sit /,-^- = N, erit X r= i^f-^^', ideoquc jxdp =z j%^ y[.^v-pp)^1 yi^-^PP) -f- (/ppv'i>i) Ponatur / ^py^ f j.-^^) — P fr.ndioni ipfius p , eritquc N in {tlASJ-^-r*zl&\ ^ ex quo valore erit porro: ^- ^^if ^"^ jrpa-^V(i+pp)-Pet^r^^V(i+;,/,)-N Pofito autem ^p conllante ob dH - ^-^y' ^ {^-^PP) __ PJ^JXSlI^^I^ dV{2-h5pp) ^' — df~ "^" ^p __ ppdd? (i-{-pp) pd?[i-\-2pp) ^ __ pdd?{i-^ppY ^dVji-^-pp^ ^ — dp' "^ dp ^ IV. IN ANALVSl INFINITORrM. 135 IV. Ponatur dy— i^-p^l erit ^ z — ^^^L±i> ■ Hinc fit z -^y^jq d X et .=;—/—/--; duae ergo hae formulae integrabiks funt reddendae. Ponatur fq d X zn qx —Jxdq z=iqx -M J q ~- q -r-J qq q -\^ ^^ Tt fit X -- j^ — '-^ ; ergo q — ^^ Sint iam M et N fundiones quaecunque ipfius u^ et ob j dNddM— i MddN « ^ = -TdNTT^ >nN— erit : . dNdd.M— a..!idN ^ , • . d M' d N f. -' -t- y dNjJM— JMddN ~ •^''^ 2ji.Mdj^ _ _, ivT ^—7 dNddM — iMddN -T- i^ d M d -J ( j M — :iN) _ M — N ergo j' — dividjM-jMddN 1 dM dN Mivi-4-i.xl) M-+-N eC C — 'dNddM— dMddN ^ V. lisdem pontis fiat Jxdq ~ /VI, vt fit //^^a' — qx lam fit /^— ?-' =r Q_, ideoque M c:::: ^-JT' •> 9"0 valore per ^ inuanto, cum Q_ fit fundio ipfius )ddQ,__ ai^ I.O * rdq* dq ~r-\i. VII. Ad alias formulas inoeniendas ponamus : Jx=z tipdu j dy -zz duipp-x) tt dz -^z du{pp -^-i) eritque : xz^ ^Jpdu^y-^-z — z fppdu; z-yzz^u ergo quaeftio ad has duas formulas reducitur : Jpdu=zpu -Judp \ Jppdu — ppu- vijupdp. Sit nunc Judp — M, et fupdp — N, erit : dn dN . 1 dH i^ dMddfi — dyidin U^Tp= pfp^ ideoque p-^€tdp=z aK' , dHl . z»-j> Tuae u — iti^dd^dHddn. — • Porro J^' AKALTSl INFINirORVM, 137 Porro eft fp(fii = r ~ d^^^^d^n - M, et Jpp c/u =: '-^^ — ■ ^^j^j loJyi - 2 N ^ ergo TJW^dH j^ dM(dN' — rfM»)_ .. X dM.irfN — JMddM - ^''- ) J' ^MdUN — .iNdrfM ^ iM <:( M(rfN'-f-iM') TVT atqiie z zz djrd-dN^lNridM - ^ N. Si elementiim /3' M fiimatur couftans, ^rit jdMdN ,, X^ -dlH- -- 2M dN' — dJl» -, /-- -—dTTN— - ^N jN^-HJMI _ „ ^ •* — ddH — irsi VIIL In praecedente folutione ponatur, m antc, fudp-M. leu //= jj. iiufupdp=fp(iM=:pM-J'M.dp lam fit/Mr//>z=P, erit M~f^; et .//M = -^^ vnde iit « - -^ , atqiie porro : z-HJ' _ p?ddP _ 2pd? , ^ p Ct , — dp^ _ df -r~ ^ ^ hincque eliciiintur iftae formulae: 2_pdd_P idP ^ {pp—<)dd?'' -^Pd? . p ~_ fj>fi-4-. ddP ^ ■ p IX. Loco praecedentis operationis fiat fupdp ~ N, feu u—ffp^ eritque fudp—f^=-}~hfj^' lam fit J^; .= P, fietque N =r 'i^ et ^N = ^H- ./,^P, vnde u^'-^ -h ^/^ = ^-^^ ; at erit •~7~ — dp* -t- ei iA — d^, -T- df> * » Tom- V. Nou. Com. S Ergo 238 ©E METHODO DIOPHANTEAEANALQGJJ Ergo .r— jp2 -+- rfp — 2r -, p{pp-i-i)ldj_ 2d^ *> — "3j' "•^ £?!> C O R O L L. I. 71. Si redifieatio curuae non debeat efle algc-. braica, fed a data quadratura pendere , hoc ope regulae j primae ac fecundae facils praeftabitur.- In prima enim i regula pro V eiusmodi capiatur fundlio transcendens ■ ipfius iiy quae datam quadraturam puta J\Jdu inuoluat, ita tamen \t j^ H^t quantitas algebraica, fi (ecunda re- gula vti velimus , pro P eiusmodi. fundtib transcendtns ipfius p acdpi debet. C O R O L L. 2. 7:2. Vtr.nuis autem - reguJa adliibeatur ; id facile cxpediri poterit ope probl.. 2.. vt curuae redificatio in- definita non foli,im a dat.i quadratura pende.it, (ed \t in eadem curua tot , quot lubuerjt ^ extent arcus,; quorum. longitudo .ilgebr?.ice exprimi queant. S C H O L I O N. 75. En ergo ^ noiiem forxnulas, fpecie q^ideni' diweifas quibus curuae algebraicae,. re^tificabiles, continen- tu« i veiuaitamea . quaeiibet eafum . tam Jate patet, ,vt.. omnes wn-aino curuas algebraicas, qyae. fint redificabiles, ■ tomplcctatur. laterim- tamen quaedam in iis reperiun- tuf , quae ope ietiis lubftitucioais^ ad ■ fe^, inuicem redu-- curitiu" 'IN ANAITSI INVmtrORFM. ^39 -Tiinlur. Iti folutio qnam ad prim.im reducitur ponen • do M rr tt -{- V et N zr: « — V. Deinde G in fextx ponatur .Q^nz Q_/7'^, ea redigicur ad qnintam. De his -autem . folutionibus notandnm eft, en fuigdis relationcm finitam feu fuiitis quantitatibus exprefllim inter tres quan- tit;vtes x,-j ct':z reperiri 'pofic , cam difFerentialia inde eliminari queant , pro fingulis igitur folutionibns hae re* lutiones finitae ita fe . habebunt : Solutio I. -dat (;3 + V)' — x^ + tj-f-Ky Solutio II, datzV{i'-\rpp)z=zx-r\-^y +?Vii+pp) Solinio III. dat s;y(i+^/>)=*-hpjH-P:p : Solutio IV. dat (s -f-j + M ) {z -j - N)-:xx Solutio V. &it zii-^-qq^ — ^qx + iq^—ily-^-^Qji^ Solatio VI. dat s(i -{-q.q) — ciqx+(qq—i]y"\-2^(^ SolutioVII. dat (2:+j/+4N)(2;-j)— (:r4-2 M)» SoIatioVIII.dat (pp-^-i^z—^px-^-ipp-i^j-h^? /Solutio IX. dat [ppi-i^z^zzzpx-^-^pp—i^y-h^Vp Hinc patct folutiones II et III in vnam coalefcere fi -in fecunda ponatur P =r y^-pj,, vebin tertia P — ^.; ind» *eflim ^prodit haec folutio fimplicior : (■i-{-pp)ddK pdK _ ^'- dp'^ -^ :df^^ — p[^+PP^ddK __ dK_ -^ ~~ dp\ " dp S ^ Bduao X40 DE METHODO DIO?HANTEAE ANALOGA Deinde foluriones V, VI, VIII et IX manifefto inter fe conueniunr, et ad VI, quae eft fimplicitrima, redeunt. Denique folutio IV ;id primum eft redud;i it;i vt tan- ''.um remaneant 4. folutiones quae pro diuerfis haberi queant : (I, IV); (II, III); (V, Vr, VIII, IX) et (VII). Qiiatuor igitur has Iblutiones, principales h.c con(J3edui exponere conuenict, fTirmis earum ita parumper imma- tatis,, vt in fingulis fit P fundia quaecunque ipfius p, S O L V T I O L ^— ~ dpdd? _d?idp'-d?') ^ — dpdd? " ^ dp^-dV* _ («4-Pr-A- -+-(/-}-/>)* S O L V T I O IL dpd? *^-dd?-^ ^— 2dd? __d?'-\-dp' _ p C«H- P)^— (^ -i-/))"4- Cr^- P)* SOLY» lA' AKALTSl INFmnORVM. 14.1 5 O L V T I O IIL X — - -^ -4- — — P *— dp" dp ^ _p(i'+-pp)dd? d? ^ - dp^. ~ ~ Tp _(T-hppyddF ^ - dp- zy{i-^pp)=x-i-pj-{-v S O L V T 1 O IV. _ p_dd?_ ^ d? ^— dp- dp _ (pp-i)dd? pd? •^ ~~ 2dp' df ' ^ — {PP^-^^jJl^ _ P^^ 2 dp^ dp (pp-{-i)zz::2px-^{pp- jjz-h 2P Hincigitiir,fi pro P fundiones fimpliciorcs ipfius/» fubflituan- lur, curuae algebnuctie firfp^iciorcs, quae funt ledrificabiles, cbtinebuntur», ac p:\rubolicasquidem ex 111 erui obferuo, li ponamr P— A-i-Bp*-|-C/)*-f Dp*-i-etc. et coetficiente» debite determinentur. P R O B L E M A 18. 74. Inuenire duas curuas algebraicas ad eundcm axem relatas , quarum vtriusque re(ftificatia a data qua- dratura pendeat, ita tamen' \triusque arcuum eidcm ab- fciflae. relpondentium fumma algebraice exhiberi quear. S 3 SOLV- P • P .sj^rBE METHODODIOPHAUTEAE ANJLOG^ SOLVT 10. Sit abfeiffa .G«mrmuias zizx , et viiiiis • curuJe ap- plicata —y, arcus — :r ; pro alteri ctiriu fit npplicuta — u, et arcus — ?y ; VonMm dy—pdx, 'ti.du~qd.\^ .critque pro cnrna I y~p-^-Jxdp ,, , fxpdp •pro eimia II uz-qx-fxdq fxqdq NecclTe eft ergo primo , vt formiilne fxdp et fxdq >valores n.incifcantur al^ebraicos , , deinde vt fumma ar* cuum s-f-ry fit p.iriter algebr.iici , tertio vt vter- que arcus feorfim rumtus, vel, quod eodem redit, arcuum • difFerentia z — w ^ data qiiadratura pendeat. Ponatur breuitafis gratia -yit-\-pp)-^y{i-\-qq)^r V{t-\-pp) - V{i^qq) — s ftCit y = px —fxdp ; u — qx —fxdq .^ _ -Jr^-ti) _ if;xidr-^ds); w:=^'-^^^lfx(:dr^ds) « ~{~-u>=: xr —fxdr ■z — w ^zz xs —Jxds Efficiendum ergo efl:, vt hae tres formulae: fxdp] fxdq etfxdr fiant algebraicae, fimulque vt fbrmula fx d s a data quadratura pendeat. Ad hoc ponatijr/x-- fiindiQnes ipfuis />; quiiie pio P cnpi debebit fundio transcendens ipfius p, quae quidcm propofitam qnadra- turam inuoluat , iiocqnc modo N jdabitnr per P, vnde deinceps \traque cnrua definictur. Hinc autem ciim ^^ fit fuiidio ipfius p y alia Iblutio exhiberi potcrit. 5ciHc«t ponatur; /M ^^ qua aequatione qiKintitas p dcfinietur per nouam varia bilem v , fiquidem pro R et S capiantur fundioncs ipfius f, vnde denuo determinationes pro vtraque curua jnuenientur. S C O L 1 O N. 75. Haec iam fufficere videntur, ad oftendendiwn -quonsque mihi quidem in cultura huius nouae methodi adhuc pertingere licuit ; neque .dubito, quin haec (pe- cimina .aliis an(am fint praebitura , vires (uas ad hanc methodum vlterius promouendam intendendi. Si eniin methodns , quae Diophantea appellari folet , quondam ab excellentiirimii ingeniis omni ftudio eft exculta, haec ccrtc noua methodus, quae in quaeftionibus longe fubli- mioribus verfatur , niinore attentione digna non eft aeftimunda. VR «^ X o )( ^^ 145 D E CVRVIS FVNICVLARIIS ET CATENARIIS, VELILLIS, qVAE CORPORIWS FLEXIBILIEVS INDVCVNTVR, CVM A FOTENTIIS QVIBVSVIS SOLIClTANTVR. j^u&ore G. W. KRAFFT, Vti principii compofitionis et refolutionis potcntia- Tum ingens vfus eft in tota Mechanica theoretica : ita idem •vtiliffime etiam ad curuas varias , funkularias didas , applicari poteft , adeo Yt ex legibus pure jne- Tab- L chanicis iliae deriuentur; quod praefenti fcripto exponere conftitui. Concipio igitur lilum tenuiffimum aliquod Fig. i, ABCDEFGH, periede flexile, rufpenfum in duobus pundis fixis A et H, in quod agunt potentiae BP, CP, DP, EP, FP, GP, pro lubitu variae , ratione tam intenfitatis, quam diredionis, quae vero ope clauorum in A et H omnes fefe teneant in aequilibrio. ,Has potentias fingulas ' refoluo in fuas laterales BQ^ et BR, CS et CT, DV et DW, EX et EY, F2 et FM, GN et GO, per parallelogramma Q^R, ST, V W, X Y, 2M, et NO, ex produdis redis AB, BC, CD etc. hinc et inde, exorta. §. 2. Atque primo quidem obferuo: ob aequilibrium praefcns neceffe effe, Tt duae quaelibet -vires fibi di- Tom.V.Nou.Com, T reae H^ DE CVRVIS FVNlCi^LARllS rede oppofitae, qiiales fimt EQ^ et CT, QS et DW, DV et EY, EX et FM, FZ et GO, inter ie fint aequales ; vires antem BR ac GN, immediate agant in chuios firmos A et H. Producantur deinde etiam fmguliie dirediones potentiaruin verfus interiora fili \ Ynde in qualibct orientnr duo anguli , quos breuitatis caufHi per litteras m et «, in figura adfcriptas, o et p, ^ et r, j- et t^ u et zr, x et j deflgnabo. § S.His ita praemilTis,tidco in triangulo EPQ, ex- preftis iterum compendii gratia linibus angulorum AEC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, per /B, /C, /D. /E. /F, /G, refpeaiue, efTe /Q^ ("/RBC=/ABC rz:/B): BP =z/QPB (~/PBR = /i«): BQ^; vnde BQ^— ^g--. In tnanguio autem EPR cfl , fimiii Jinalogia^/R (=r/B): BPr=yBPR (=/Q^BP=r»: BR, hinc BR=;^/^. Sunt igitnr tves potentiae BQ, BP, BR, inter fe refpcaiuc , "vti -j/-, B P, et 5j-^'; veJ diuidendo per jl , vti /?//, /B. /«. ^. 4. Ex hac igitur detecfba proprietate, crunt etiam hi fecundo parsUelogrammo ST, potentiae CS, CP, CT, proportionaies ipfis /0, J C, Jp\ vnde dedutuntur hi duo valores CT nr. ^j^-^, nec non CS n ^t^ ; Eft vero per praecedentia (§. £.) CT zi:EQ^:=. •^— (^.3.) hinc habemns -—-^ z:i — ^^ , aut vero B P . C P = jc •/!'• Pori'0 itiUiiitur ex pari ratione^effe DV , D P, DW ET C ATEN ARITS. ■ 147 DW proportionales iprius/^,/D,/f; ex quo iterum con- ficitur D W - ^x/-, iK D V=z ^-y^^A «'ed ob CS^DW oritur nunc etiam ^-^^- ;nit C P: DP— {^-jl, modo ante autem ell BP: CPrr^/c'/B, adeoque multipliaindo has duas proporticxies, diuidendo tum, multiplicandoque per aequalia CP ct /C , cxfurgit BP : DP - ^-j^ : ^)^- Dcnique tertio funt etiam EX, EP, EY proportiona- les ipfis fs, /E, Jt ; hinc deriuatur EY rz ^f-^ ; dtinde ob EY r:: DV, prcdit haec aequalitas ^-^* — ^^-jf' , aut talis analogia , DP :.E P = ^^ : f| , erat ^Yero antea BP : DPrr;^^. /^ , hinc iterum mul- tiplicando omnes hos terminos in fe , ac per eandem DP diuidendo, per /D vtrinque multiplicando enafcitiir haec proportio, BP : EP— ^— jg— : " -}b'~? ex quo lam ratio quarumcunque aljarum talium potentiarum eft ma- nifefla. §. 5. Fiuit cx hac gcnerali confideratione, vt fi em- modi potentiae infinite multae, in fingulis quippe fili per- fe.fte flexilis pundis vna , fuerint appiicatae : polygonum ABCDEFGH futurum efle infinite multorum inte- lum infinite paruorum , lioc efl: orituram cfle ex liac ad:ione potentiarum, in aequilibrio confiftentium, lincam curuam , qunc filo repraefentabitur. Et fi quidem po- namus , potentias iiafce quaslibet tali curuae applicatas efle normaiiter , vti B P et E P, habebimus ex priori legula generalj B P : EP - ^± : ^-^^fj^^ ; quoniam T 2 autcm 148 DE CFRFIS FVmCVLARUS aiuem , ob omnes potentias curiiae normales, nnguli in> Fig. I. termedii r,q,p,o, fant aequales, vtpote bifecli aequulium' anguiorum : erunt etiam eorum. finus- aequales , aut Jr ^fq ; jp — /o ; adeoque in hoc zA\ erit,, fada. dl- % =- Yifione per aequalia,, BP : EP — /g : ^~: f- 6. Ponamus porro curuae huius duo elementa quae- m B^, E^ ; atque duo alia his contigua B(3 , Ee > producantur fingula in tangentes j3BT, B^R , nec non; eEt, E^r, qnae conltituent anguius infinite paruns TBR et ^E^i fintquc pnieterea. eiementonim horuin radii. ofculi BO, EQ, et infinite Vicini /;0, ^ Qi Atque. erit fic, BP : EP -/-1 : % (§. 5.) =: /B : /E , ,:)b. t et: mi rec^os, ~ fRBT:frEt,-jBO/;:jE(le = U: ^^ pofito finu toto ir i ; quod idem elt , ac duas poten- tias quasuis BP et EP efl^e in ratione coinpofita, dire- <3:a quidem elementorum , ac inuerla radiorum ofculi ^, aut, fi vocare velimus elementum curuae Bb — ds ra.- dium ofculi BO— r, erit potentia BP vti y^ ^^ quodl eft Theorema Varignonli. in. NouueJk Mechanique. P.. L §. 7. Solui poffunt ex his praemiflls quaefilbnes omnesi de genere curuarum aut funic-u/ariarum, aut catenariartmy quas ita vocat loh. BernoulUus in Operum Tom. III. p. 491. Dicitur eniin: cmm fmicularia, quam affumit funis perfede flexilis. , non grauis, fed fluido, quo ex.» tenditur „ ad certam. quandam. fig;^^ram. redadus ;, curuai catenar- KT CATENARIIS.. 1^9 ca^naria' vero , qiism recipit fua fponte tunis , etiam' pecfede flexHis, fed, quacimqiie plicueric, gniuitate dona- tiSj et folus. Ibi potcntia agit ex legibiis HjJroJlatu-ae, in fingula elementa curuae normaliter j hic autem ex praelcriptis- Staticae,. in. eadem. fingpla- elementa- \ertica- licet^ ■ f, $ Ciim itaque ad mutandam: figur:im, rcdte ex- Ccnfam, fili perfede flexilis, non graus,, accid^re debeat canflli aut extrinjsca , fluidum nempe ;, aut intrinfecay pondus fcilicet proprium \. agemus de illo prius. In ta- fcm autem reftim, fiii inflar confideratam', fluidum ex- trinfecum poteft agere vel e/ajlicitate, vel impii/fu , vel pondsre. Sin igitur in hic diuifione caufTie extrinfecae et intrinfecae, vti hucusque fidlum fuit, acquiefcere veli- mus : confideremus priiu') , fluidum fua elajlicitate agens. Haec in- fingiila curuae elementa, in aeqiilibrio confirten- tis , vbique aequaliter aget, confequenter erit vti ds in fcnfu Phyfico.. Sed eadem in fenfu Statico debet efle ad aeqnilibrium conferuandum, vti -^ (§. 6.) quare Iia- bebimus ds ~ 7'. aut r ~ i. Efficitur hinc curua talis, cuius radius ofculi efl conflans, quae nulla alia eft quam Circulus. Vocatur haec rf/ir///.-j' pr imi cafiis., quo- niam nempe applicari potefl: ad velum, quod non ven- tus quidem incurrens , fed aer adiacens elafticus, expan-' dit ; veluti idem accidit in vefica aere i-nflata, et pofl:- modum obligata, quae certe ab hoc aeie inclufo, magis claftico expaaditur ad figuram circulariter rotundum ; fimiliter hoc fit in bullis (aponaceis, quae fimul ac fla- aim: forcius intendas, a figura rotuuda abeunt, et longio- T 3, rcnj' X50 DE CVKVIS FVNICVLARtlS. rem adfcifcnnt, qiiia fcilicet fic ftatim pertinent ad Vela- rlain Jecimdi cajus, qiiam nunc Yidebimiis. Aliiim mo« diim, ciiruam h:mc fme calculo determinandi, affert lob. Bernoullius 1. c. pag. 511. quoniam , fi curua \bique aequaliter lecundum perpcudiculares ad curuam extror- fum trahitur : nulla adcft ratio , cur vnum curuae pun- dum magis aut minus a centro diftare debeat , quam alterum. Fig- 3' §.9. Cum igitur fluidum in filum fimile cum impetu jrruit , atque illud impulfu Juo expandit, "vti hoc fit in Yelo , quod a vento inflatur : tum aluis exoritur calcu- lus. Sit nempe curuatura fili hoc modo produda CAH, axis curuae fit AB, cui parallelum irruat fluidum KM in elementum curuae Mwz; dudla pcrpendiculari ad axem MP, ponatur Ap zz. x, PM —j, arcus AM — j, flnus anguli incidentiae , id ert , anguli mME ~ m, aflbmto finu toto -zz. I. Statusmus fluidi impetum abfolutum cxprimi, in reda KM continuata, per MD — p. Re- Ibluendus hic erit in duos collaterales., vnum normalem ad curunm MF, qui folus in curuam agit, et alterum tangentialem MG, qui curuam praeterlabitur ; ope pa- rallelogrammi MFDG. Impetus nunc fluidi in curunm agcns aeflimandus erit ex (?«E. MF); vbi »;E exponit numerum puudtorum, in quae fingula impetus p opera- tur; MF autem quantitatis abfolutae partem illnm, quae in curuam agit. Erit igitur in triangulo MFD, fin. F (i): MD (p) — fin. FDM [m)\ MF [pm); in trian- gulo infinite paruo wEM pariter Cn. E fi): Mm (^j) — fin. M {pi): mE {mds). Impetus ergo fluidi Phyfice ET CATENARIIS. 151 Phyfice fpedatus erit mE. M.¥ z=: p m' d s ; vel affiim- to ds , quod perpetuo fiiciemus , conftanti •, et quia p per ie conftans fupponitur, "Vti ;«- , fiue vti quadratum finus incidentiae, Idem crgo hic impetus fluidi , Phy- fice fpedatus , erit oh m~'j~ vti jf4 > vel in ratioae ipfiu& dj- ob ^j- conftans. §. 10. At vero impctus hic, Mechanice confiderfltus,de- btt elfe vti -~ (§. 6.) vei vti ~, ob ex quo prodnci- tiir ^^4^ := *^^^ \^\xxm = M. §. 19, Sit lamina elaftica, non grauis, ac elarti- citate \biuis eadcm pracdita A M B , firmata in A , et pondcre P , fuper trochleam D transeuntis fili ope, in hunc fitum , et ad aequiiibrium redada : vocatur curua haec , quam lamina aflumit, Elapca , et quaeritur eius natura. Ducantur AC verticalis, et ad hanc ex puucto quocunque M perpendiculares MP, mp, et verticalis iti- dem MQ, pofita BCD horizontaii. Concipiantur duo curuae elemenca |jl M et M w, quae produda in T et /, conftituant angulum infinite paruum TMf, et fint ele- menti Mm radii ofculi MO, mo. Sint praetera , vis elaftica, vbique conftans rr f,AP — .VjPM^j', AC— <7, AM— s; ctqiioniam elementum MOrzMm circa hy- pomochlium M torquetur a potentia quadam, qnam po- no — p; erit eius potentiae momentum p y-Mm=:ex ang. TMt; quac hypothefis quidem eft, fed pro angulo TM^ ET C ATEN d RII S. 159 T Mt infiaite pariio, experimentis Phyiicis confinruila. Vid. Comment. Acad. Scient. Imperia/. Vetropol. Tom. III. p. 71. Retro nititur fcilicet claiticitatii intenfit;» in ele- mento M ;«, quae e!l e, abfoluendi anguhim T M t, adeo- que haec "vis mortua elt produdtum ex magnitudine po- tentiae in celeritatem initialem aut potentialem, hoc eft e xTM^. Huic vi mortuae autem , ob aequilibrium praelens, aequalis efl: adio potentiae , duclae in dillan- tiam (iiam a fiilcro , aut vero p. M/«, vnde dida ae- qiialitas vtriusque huius momenti apparet, atque inde de- ducitur p — —jj^. PnxV.icit aiitem hunc effeL^um inflexionis pondus ?.ppenli.)m P , coius momencum eft magnitudo ipfius P, duda in didantiam iplius ab hypo- mochlio MQ^, aut vero eft hincp — P -f- MQ^. Ae- quato autcm vtroque hoc valore ipfius p, eruitur haec aequdtio -—^^PxQ^M, aut vero ob P, e, Mw, conftantes , erit TMt in ratione ipfius QM. Sed eft TM/~MO;»; et cum quilibet angulus iit vt arais ipfius diuifus per radium fuum , erit TM^— |^ , vci ob M m conftans , vti -~^ • habctur idcirco ^ — M Q_. Pofitis vero Mm conftantibus eft MO — '^j , vel vti ■oTx , et MQ eft a — x, vnde conficitur pro Iwc curua Elallica talis proprictas, vt Q_M fit in ratione reciproca radii ofculi M O, aut -^f- — a-x, feu ad conciliandam huic aequationi homogeneitatem , ^j~- — ^~i--^ quae eft eadem pl.ine aequatio, quam fupra inuenimus (§, 13.) pro Linteaxia , ex quo patet , vtramque hanc curnam, Lmteariam ac E/aJlieam, efle vnam eandemque. §. 20. i5o DE CFRVIS FVMCJ LaRIIS §. 20. Pari facilitate ex iisdem principiis fblui poteft problema de curuatura fornias, cuius partes je mutuo proprio pondere Juffu/ciutft , fine opere cacmenti-^ quod lacob. Bernoullius foliiit alin niethodo , in Oper. Tbm. II. pag. 1119 ; led emendaiionem fubtilis alicnins paralogifmi reqnirente, quae ibidem adieda eft. Notari autem debet, agi hic de fornice aeciualiter \bique craffo, adeoque per lineam folam reprefentando , fme latitudi- ne , cuius partes aequales \bique idem habeant pondus. Quomodo autem fbrnix inaequaliter crafliis fumma firmi- tate , fub quauis exprefla curua , fit conllruendus , alio Fig. 5, loco oftendimus. Sit itaque talis fornix aequaliter vbi- quc crafTus C A D , et ipie fua (e compage fufiinens, fine auxilio calcis aut caementi, dum nempe ex nntece- dentibus , vires ad ipfum conuellendum a proprio pon- dere impenfae, mutuo fe dertruunt. Sint eius axis A E, in quo abfciffa APr^;v, applicata TMcny. etnrcus AM rr:j ; adeoque pondus arculi infinite parui Mmzzids. Exponatur hoc pondufculum Jineola reda verticali IVi P, quod ad profternendum elementum Mm circa hypomo- chlium m ., lucratur momentum cx difiantia mN, quae adeo energia^ fi pars fuperior MA abeflet , ent /// M. mH — dsdy ., vel ob ds conftans, vti dy. RelbJuatur haec vis grauitatis abfoluta in tangentialem Mm ti nor- malem MB ; eritque analoga haec : fin. M/;/P (i): MP {dy)- fin. wMP (^^^: m? (— MB) = ^' ; vt hinc vis normalis M B, Phyfice fpedata, ex natura pon- deris MP, debeat efie vti dy\ Sed eadem vis Statice confiderata debet effe vti 7 (§.^); liabemus ergo pro curua fornicis defiderata acquationem hanc, dj' — ~, vel ob ET CJTENJRIIS. i6i cb r \ti adx (§• 10 ) ^equentcr : dy—^f^ qiiae eft tadem ciim Vtlari.ie aecjuatic>ne ^§. lo.) lecuadi ciuua, aut cum Cntenaria vulgari (§• 16.) Vnde patet , quod lac. Bermuliius 1. c. ct Dauid. Grcgorius primus in A. E. i6p8. pag. 309, indicarunt, coruatursm foinicis memonui , aequaliter denfi , eandem cfle cum curuium-a Catenariae Tulgaris. Cum itaque iam ex principio pu- re mechanico aequationes et naturae harum ciiuarum erutae fint : de vlterioribus han:m curnariim proprlcta- tibiis , pulcherrimis fime et fingularibus, ab aliis iam cnumeratis et expofitis, nihil nmphus addimus. §. 21. Sed de eadem hac Catenaria fciendiTO eft , candem tanquam lineam latitudine cnrcntcm , in- ■verlam , ct verticaiitcr eredam , in aequilibrio manere minime pofle , nifi concipiatur grauitatis adlio furfum \eria , et extrorlum direda. Qiiod vero cum ad for- nices applicari nequeat : videbimus alia etiam methodo, nempe Bernoulliana ., fed correci^a, et paralo*gismo /. c. libera, quomodo curuatura fbrnicis, cuius partes fe mu- tuo proprio pondere fufFulciunt, finc opere caementi, fit indaganda. Sit igitur linea curua quaefua interior AMrD, fiue concauitas fornicis , eidcmquc fub latitudine quauis par.illela alia CBE, fuie conuexitas fomicis. Fig /' — cor «(!)-"/- 1. {xn.n(p C O R O L L. a. Si ergo breuitatis gratia ponatur : cof. Cp-HV-i.fin.Cpzrw et cof.Cl)-V- i.fin. Cj) rr %? cum fitK" -coOi^pi-V-i.Cia.n^^ et v^-coC.nC^ V-i.fin.wCj) erit a" -h 1!'^ — 2 cof. « Cj) et «'* - 'y" — 2 1/- 1 . fin. n Cp. Conftat autem effe tiv ~ i. PROBLEMA I. 3. Poteftatcm qu;imcunque cofinus cuiuspiam an- guli in cofinui fimplices conuertere, ita vt nulqnam duo pluresue occurrant cofinus in fe iiKiicem multiplicati. S O L V T I O. Sit (cof C|)j"ieu Gof. Cp^^lias enim defignationes pro fynonimis Iiabeo) potedas propofita ad modum praefcri- ptum conuertenda. Ponatur vt ante cof.Cp + V-i. C\a.(p^u et cof.Cp-y- i. fm.Cpri^- eritque coi'. Cp— 1 (a-hv) , ideoque cof Cp'' :zr -;; — feu 2" cof. Cp" — («4-^?)™ Quac poreftas binomialis folito modo euoluatur, jt prodeat : 2"cof (p'':=?<'' + ;;7/''-^i;-f-"["^;^''-=^H-TrT^"r'«""'y' ^- ctc fimilisquc exprtlfio prodit, fi litterae u et v permuten- tur. Additis ergo liis duabus exprefllonibus prodit »«-^- ' cof Cp'^.:=:«''+a;"-i- 7(?«"-H 'i''' ~'; « 'r +1n!U''~'+'y'^7/''y '4- etc. ct 16$ SVBSIDIVM et ob tt -y rr I habebitiir diuidendo per a -H "'^i'~-'. \ ( ?/"-= -4- -z;"-^) -V etc. Venim cum fit z^" -}- -y" — 2 cof « Cp, perfpicuum eft fore : aW.(^«-cof.HCp+7Cof(«-i)(p+^Vof(«-4:(p+"-^7;^7'cof'« In qua ferie cum ad cofinus angulorum ncgiitiuorum peruenitur notandum eft eos cunuenire cum cofinibus eorundem angulorum affirmatiue (umtonim , fcu efle cof («-W;Cp — cof. (/«-«) (p. (^. E. I. C O R O L L. I. 4 Si fit «— I. erit 2 cof. (p — cof" (p -f- cof (J> :z:2 cof (p; at fi «—2 habetur 2'^cof(p^— cof. 2 (]) H- 2 cof o (p -i- cof 2.(p =1 2 eof. 2 (p -h 2. Sit » — 3, eritquc 2^ cof (p* — cof. 3 (p -J- 3 cof (p -f- 3 cof (p H- cof 3 (p — 2 cof 3 (P -h — 5cor. 1 2 $ -f-et,.. J-^^r^j— coC^cp — 3Cof.5$-H(5cof7Cp_locof.5-cof/,(p-f-icof.^(p-^7-;cor.j(|)+~f,cof.7(p-^^^ y^^— cof.^Cp-^cor^Cp-l-.vIcof fCp-ifTiicor.^+^^cof^ - etc. vbi coefficientes plme funt iidem, qui in extradtiotie radicis ex binomio more eonfueto erui folent. S C H O L I O N. 9, Plcrumque commodius eft, fc>rmulas in coroll. 3 traditiis, fi n efl; numerus integer pofitiuus , ordine in- ■ycrfo exhibere. Tum autem conueniet ens in dua& clafles dJllribui , prout exponens n fiierit numerus p-.ir» vel impar. Cafu quidem , quo n elt numerus par^ eae ita fe habebunt. j cof. $*' -^^ r -^cof, ~ db , cqf. $ ♦ — :; ■+■ ,, cof. j Cj) _]_ coj, * ($ 3S "/■ ?* — 10 -f- 15 CO/. 2 $ -+- 5 COf, ^ $ _J- OO/. 6 ^ 12«C0j.-$' — :o-+- 56 C0/..s(I)_t-I!CO>.iC|>^,C0/.-S(|)+-ir3/.,(|S jueo/.CP '0— i2f:4.iioOor;2Ct_i-,20Co/..j (I)-f-<.5C0/.6$-l-'='--^''.s0-f-cf. io-' COf (p---.^;^^^'-+-^7^:^S^<:on 1 C|) ctc. Aittio deinde eafu, quo eft « numerus impar, erit 1 cof. CAtCJLl Sl '^M. 171 I cof. 0 riz cof.q) 4 co!: Cp -■ ~ 3 '^o^- 0 H- cof. s 0 1 6 coC (p' n^ I o cor. (t) 4- 5 cGl. 3 ^-^ -r- co£. 5 C^ ^+coi;^^'— 35 cof. (p -f- 2 1 coC 3Cp-r7co^".5!:p+cof.7Cp fiSdcor.Cli^zric^Jcof.^l)^- 84. col. 3 Cp -4- 36 cof. 5 Cp -|-9rof.7C|) + cof.9(:p i024Cof.Cp"-;402cov.4)-f-330cor 3 0 4- 165 cof. 5 Cp i- 55Cof 7Cp -hiicof.cg')-!- cof. uCf) crc. geuere autem fi fit «rrsv — i crit -(-'V-X .X2V— ,} ^^!t^ico(;cl)+^^^^-:-^^ coi: 3 0 {^coC^Cp-f-^ ^-f-T^rSi^oCycp-f ecc. (,V-.X^V-: (V-.) cof. -j(p ai. iiCl PROBLEMA II. 10. Potcrtatcm qiiamciinqiie fnxis ciiinspiam angu- li in finiis cofinusiie fimplices coniieitere, ita \'t nosquam diio finus \€l cofinus occurrant in fe itiuicem mul- tipiicati. S O L V T i O- Hoc problema ex praecedenti facile fokiitur. Pofito enim Cjinpo^— vp, fit cof. (^^ — fin. \|y, iaioquc ex- prelHo pro poteflate cof. Cj)" inuenta inm pro potefiatc fui. vp" valebit. Tum autcm erit : cof. 2 Cj) — — cof 2 \p ; cof. 3 (J) rr — fin. 3 vjy COf 4 4) — -f cof 4 v|y ; cof 5 cj) =; + fin. 5 v cof. (J Cp — — cof 6 v{/ ; cof. 7 Cj) — — (in. 7 v},' etc. Y 2 Qiio- 17^ SVBSIDIVM Quotie? ergo n efl: numerus integer , pro fradis enim haec redudio minus commode inftitui potcft, lequentes obtinebuntur redudiones : ifin.vp — fjn. v{y a fm. v|>'''— — cor. 2 \4> -f i. 2, :i.fin.vj>'i=:— fin. s^^+afin. \j^ 8fin. v}>*:= + coC4\|v' — 4.cof. 2 \[/-i- 1.6 i''r=:— cof. 6 vfy + 6cof 4 \|/ — 1 5 cof 2 v[/ +- ;. 20 ~ 8 cof 6 v|y 4- 2 8 cof. 4; v|v - 56 cof 2 v|> +I.70 etc. Pro valoribus autem negatiuis ipfius n habcbitur : -fl^^ — -ffin. v|/+ fin.3\{>+ fin.5^+ fm- 7^+ fin. 5)v|^+etc. — i-^— _cof2v{y-2Cof4.vly— ^cof dv^y-^-cof 8v{./— scof lovj/- etc. -— :r-fin.3v{>-3fm.5v{y- 6fin.7\|/-iofin. 9\{y-i5fin. 1 1 v|y- etc. — .-^r+-cof+\{^+4.cof(5\{>+iocof8\[/+2ocof rov[/+53cor.i>2v|./+etc. '_L,^— +fin.5\'/+5fin.7^+i5rin.9vly+35fin:iivi/+7ofm.i3v{y+etc. etc. Hinc ergo qnadrupliccs formulae gcncniles cliciuntur, prout n fuerit numerus foim:\e vel ^m^ vcl xw— i> vcl 4/« -2, vel 4W — 3» eaequc cruut : 2.*'"-'fin.\}>*'"— cof 4?n\l^-4W/cof (4?;/-2^v{y+^^^]7^-cof [^m-^] y\f -t!te--i^--cof(V;/-6)vl^ , 4.ni( . • • . + -:: — i. — j.-^TT-:7uT.-=7) ii'i v|v Simili modo fi n fit numerus nega-tiuus integer qu;iternas habcbimus form.ulas genesales : I ^iii^m^- r I -^_:^.-+col.4?/;v}y+4;/7Cof (4W+2)v{>+ - -^~Qoi:.[j^n + 4) v{y. ^- (l^drll-pi-:^) coC (4 ;;; -f- 6) v|/ _i- etc. I ^^^fiiT^T™-^'— ■^^^"■^'^'^'^■^^^■^^^'^^^'"^^^^ Hr- r~T — fin.(477/-l-5) v{y + 7.~T7—^ fim(4»?+7)4i-4-etc n — I — cor(4/;/+5jv{/ — =^^;^ — - — ^ Jcor(4;«+8') \|>- — etc. (47n_)_7H-^'n-(-*t,-_ /■ «.V I w\ I (tTTt^— V*m-v-4)f.v7nH,5-)^ / , , . —^-^-7 — iin.(4W-l-7)vl/- ;7-^^ — '- — -fin.(4;«-i-9)vjy-etc. Sicque quoties n eft numerus infegcr,- fine pofittuus, fiue negatiuus, poteftas finus fia. v|><"' defiderato modo refolui- tur. Q. E. F. Y 3 CORpL. 174- . S r B S I D I VM C O R O L L. I. 1 1 . Qiioties ergo « eft numerus par, fuie pofiti- vus, fiue negatiuus, poteftas fiii. -vj/" refoluitur in cofinus fimplices angulorum multiplorum ipfius \|y. Ski autem n fuerit numerus impar, poteftas fin. x^^" refoiuiturin fiuus fimplices angulorum multiplorum ipfius v^^. C O R O L L. 2. 12. Qiiodfi n fiierit numerus integcr pofitiuus, at- que exprefllones inuentae retro difponantur , quaternae formulae liipra datae in binas jncidunt. Pro paribus enim exponentibus crit: 2fin,\4v' = i-cof.2>4^ 8fin.v|>* ~ 3- 4Cof 2v[/-l-cor4v|y 32fin.viy' — lo- i5cof2\i^-f- Ccof4v(y-cof -f-iocof 8vp-co[iovi/ 204 8fin vp^-^^fl-vp^cof 2v[y-l-495cof4.vj./-2 20cof6v^» -4- 66cof 8 v|^- 1 2Cor, I Ovp-f-cof 1 2 vi> etc. atqiie generatim erit : + -,.-T-T— -.-(^lCOf 4^1^- — ri:T.T7(v-Z7)Cof ^vl^ , ,v(.v-,)(.v.-.)...(v-|-s),_p- .^ v),v-.X.V-.^._.(v-H6)^ , etc. COROL. CALCVLT SINVVM. i75 C O R O L L. 3. 13, Pfo impaiibus' autem exponentibus h;ibe- bitiir : i(\\\.y\> rrfin.vt/ ^fin.vi/ 'n: 3r1n.vly-r1n.34/ x6{\n^\> ^zz. lofin.v^/- 5fin.3^4/-f-fin.5v|/ ctc. obtinebitur ;: Verum CALCVLl SINFFM. i8r Verum ex lemmate eft -y^- — fin. v (p^ vnde oritiir a™^-»fin. (^'"cof. Cp''-fin.^Cp+ A fin. (^-2)(p+B fin.(|:-4)Cl) H-Can.(^-6j$-i- etc. Q. E. F, P R O B L E M A VI. i8. Si exponens m fit niimerus impar formae 4«-!, refoluere hoc produdum fin.Cp^^cof. CP" in finus cofuiusuc fimplices. S O L V T I O. Pofito denuo cof (p-Hy-i. fin.(I) — « et cof(p — y-i.fin.Cp — z= -+- cul". 2 45 -4- 1 a fin. (^ cof (f) rr H- fin. 2 Cp a fin. Cp" n:: — cof 2 Cp) -H I 4 cof Cp» — -4- cof 3 0 H- 3 cof (^ 4 fin. Cp cof, Cp^- — -h fin. 3 C|) -h fin. 0 4 fin. Cp' co(. Cp =; - cof 3 Cp -f- cof Cp 4 fin. Cp* =: - fin. 3^ + 3 fin. Cp Tom.V.Nou.Com. Aa 8coC i8<5 SFBSIDIFM S cof.Cp^rr ^-cof. 4(p -H 4Cor. 2 Cp -h 3 8 fin. Cpcof. (p' z=z -\- fin. ^.cj) -{- 2 fiii. z (p 8fin.Cp'cof(|)'=:-cof 4.Cf) * ^-i 8 fin. (p' cof Cp — - fin. 4 (p -f- 2 fin . 2 C|) 8 fin . 4^^ -— -H cof 4 Cj) - 4 cof 2 Cf) -h 3 i^ cof Cp^ = -h cof 5 (p -h 5 cof 3 (p H- I o cof Cp i^fin. Cpcof C|)+ — -hfin. 5 Cp -h 3 fm. 3 Cp -h 2 fin. (|> I (J fin . Cp= cof Cp» = - cof 5 C|) - cof 3 Cp H- 2 cof Cp i^fin.(p'col-Cp==; — fin. 5(p -hfin. 3 Cl) + 2 fm.(I) 1 5 fin . C|j* cof 4^ — -f- cof 5 C|) - 3 cof 3 Cp -f- 2 coi; Cp 1 6 fin. Cp^- — -+- fin, 5 Cp - 5 fin. 3 Cp -h I o fin. Cp 3 2 cof Cp« — H-cof (JCj) -h 6 cof 4Cp 4- 1 5 cof 2 C{)+ 16 . 3 2 fin. Cp cof Cp' r= H- fin. 6 (p H- 4 fin. 5 Cp -h 5 fm. 2 Cj> 3 2 fin. Cp' cof Cp* — — cof 5 Cp - 2 cof 4 Cj) -h cof 2 Cp 4- £ 32fin.Cp'cofCl)':=-fin.(JCp * -h 3^0-2 4^ 3 2 fin. Cp^cof Cp^ 1:= -f- cof 5 Cp - 2 cof 4 Cp - cof 2 C}) -h 2 3 2 fin. Cp' cof Cj) rr -h fin. (5 C|) - 4 fin. 4 Cf) -h 5 fin- ^ ^ 32 fm. Cp^zn-cof (SCp-h )+5rin.(-5Cp)-7rin.(-7(I))+etc. qiiae reducitur ad hanc formam : ■^^hp^^-sfin ({)+5rin.34)-iofin5.Ct)+r4fin 7Cp-i8fin.p(|)+etc. cuius progreflionis lex fponte patet. S C H O L I O N 3. 31. Qiioniara in his feriebus coefficientes A,B,C,D, etc. progredionem, vel terminonim aequalium, vel arith- ineticam , confiituere fiint inuenti , in genere obfcruo, primo hos coefficientes fecundum termino» aequales pro- gredi , quoties fuerit 2-f-{-g — 9, feu^-/— -2, hoc eft: fi fit /» — -I, hocque cafu omnes terminos eodem figno fore affeftos. Sin autem fit «r=:-i, terminos quidem fore aequales , fed fignis alternis praeditos. De- inde noto, fi fit vel w — -2, vel ;j — -2, feriem coeffi- cientium A, B, C, etc. fore arithmeticam , priorique cafu omnes terminos paribus, pofteriori vero alternanti- bus fignis afFedos. Sin autem fit vel wzz-3, vel » — -3, feriem prodire fecundi ordinis, vel eodem, vel alternantibus, fignis progredientem, et ita porro. Verum hic elt aoimaduertendum, vt huiuhmodi feries, qualcs Aa 3 dixi, ipo SFBSIDIFM dixi, proiieniant, fi pro m, vel n, nnmerus Bcgatiin» integcr accipiatur, alterum numerum oportere efTe affir- matiuum integrum illo non maiorem. - PROBLEMA VII. - 3 2 • Si fuerit S=A+Bcor. sCp+Ccof.^Cp+Dcof.^Cp-i-etc. inuenire feriem ipfi ^{j"(f aequakm. S O L V T I O. Ponatur^j7^r(3rin.2Cl)+yfin.4Cp+(Jfin.6Cp+£fia.8Cl)+ctc. eritque per 2 cof. Cp multiplicando: 2 Sfin. Cp — ^ fin. Cp 4- (3 fin. 3 Cp^ Y ^i"- 5 ^ + "^ ^»"-'^^ + Y +^ +2 Qiiodfi autem ipfi feries propofita per £ fin. Cf) multi- plicetur prodibit : aSfin. Cpr 2 Afin.Cp-f-Bfin. 3 Cp + Cfin. 5 Cp+Dfin. 7 0 -B -C "-D -E etc. Similibus ergo terminis inter fe aequandis obtinebitur (3= 2 A-B Y— B-C- (3 nr-C + 2 B - 2A ^=zC- D- Y — - D-f- 2 C - 2B -f- a A efirD-E-^ =: -E -^ 2 D- 2C -\- z li - zA ctc vnde valores coefFicientiiim (3, y> ^» ^^^- ^^<^^^^ definiun- tur. Q. E. F. C O R O L L. I. 33. Si feries S finito terminorum numero con- flet , altera feries S tang. Cj) vel in infinitum excurret, vel CAhCVJuI SINVVM. 191 Tel alicubi teriijin.ibitur , quod pofterins eucnict, ii fucrit A-B-+-C-D-h etc. = o. C O R O L T.. 2. 5f. At A-B-hC-D-H etc. eft valor ferici propofitiie S cr.fu quo nngulus (J) fit rectiis ; feries crgo S tang. Cp non sbriiinpitur , nifi feries S ita fit compa- rata, \t cafu (f) :=r angulo redo in nihilum abeat. F R O B L E M A VIIL 35. Si pror.ofiti fuerit haec fcnes: S r:Bfm. kCf) 4-Cfin. 4.CP -|-Dnn.6(p -h Efin. 8 Cp-^-etc. inuenire feriem, quae cxprimat valGrem formulae -^^jj:^. S O L V T I O. Ponatur ferles quaefita : ^i: a+(3 cof 2 C}^ +y cof 4.0++^fin.7-i-(Jrin. Sit CALCVLl SlNVr M, 197 Sit nimc iri probleimte VIII. S— 128 fin.Cpcof.Ct)'' idea- qiie B=ri4.; C=i4; D-(S; E=rT; et Gipiatur a=:B-C-hD-E— 5 (§. 4.0.) erk (3^:14-10 = 4 Y=ri4- 14-4 — - 4 «J " -f-2 fin,4 (p -2 rin.5Cpi-fin, »(!> Kunc in problemate VIIL fit 5r:i2&fin.' ^ _^ 3 I28fin.(p5Cof.(p3=:__^_fin. 8(p_2fin.'rr i ^cof (|) * -Scof 5 (j^-^cof.^Cl^-cof pCp In probl. IX. fit. S rr: 255 fin, (p^cof, ^' et A=i4; Brroi Crr-8, ^=-5, E--i capiatur arr- 14— 0 — 16-}- 10-2 — -f-n. (p as6/m.(p«co>(pj — — coJ,s(p-+-j<.-o/ 7(1) * — «co/. ,cj;_^. ^ <.oj (j, as6jm.Cp7co/.q)':=:— /m.9^-t-3/m-;(J)— 8/!«.5(I) ^ -f- .^jm.(J) »56/m.(p8C0/,(p rr: H-c(ij,j;_7CD/,;(p_t_,oCc/5(p — jsCo/.jCP-f. .^coj.Cp «6 /m. (f* — H-/!n.s$— sJ'n.7Cp_H3^/z'».s(p— .4/«>i. j(P_f.,s6/m'(p Hoc igitur inodo iftas formulas, quo vsque libuerit, con. tinuare licet. T H E O R E M A. 49. Si affignari queat fumma huius feriei Az"r\-Bz'^'' -^ C £^"-+-="4 Ds™-^"'Es"'-+-*"-|- etc. r 2 femper quoque exhiberi pottrunt fummae harum ferierum : A cof. ;«Cp+Bcof C/«+«jCp4-Cco(.(;;z+2K)Cp+Dcof.(w+3 w) Cp -f- etc. Afin.wCp+Bfin.(/w+»}0+Cfin. (;«+ 2«)C|)+ Dfin.(«/-f 3«) Cj) -+- etc DEMON- cALcrLi siNyym. j^or DEMONSTRATIO. Ponantiir fummae harum ferierum: Acof. wCP-f Bcof.>;+«)-f Ccof.,;ff-f-2«.^+Dcof.(w4 3«:

(^-V-iSxn.y(^zv* Hinc ergo erit S-t- T V_ ir:A«^-|-B«'"-^" -t-Ctt'"-^'"^-Da"'+=''-i- etc-U S-T V-« :iA'y"'-t- Bv" -«-''-i-Ca?'"-^="-t-Di;'"'^'"-+- ctc. =-V Siin-mae fcilicet hanim ferierum U et V per hypothc- /in dantur , cum U et V tales fint fun j -+- aa — : 0 coj. n $ S et T ■ jV— i i-t-** — lacOj.nCP Ex qiio fequcntes liabentur furamationes : - u= ... -{^-^«^a-h'^-*-"^^:)-^-^ etc. = ^-^'^^- {ihlm4-«cof. 2.Cp4-«'cof.3 (^-h«'cor4(p4-etc.r-7— T^j^ fio -|-tf'fm 34^-4-«'fm.4l>+eK.Z7:;:^Ti^$ Si infuper dt a zz: i crit CQf.(I>-f-cof.2C|)-Heo£ sCp-i-cof ^Cp-l- etc.r ~e^^-1 ^ ^ . ^ ^ ^ fin- 0 I fin.(^+fm..cp+fin.3Cp+fin.4Cp+etc.z:-3^^^;^::^— 7^^ Sin autem fit <7 — — i erjt cof.cp-cof. 2 Cp-}-cof. 3 Cl)-cof.4^-^etc. ~^= ^./ fiD.Cl>-fm.a Ip-^fin.jCp -fiQ4(|) 4-etc . = ;$;^- ^ tangiCj) COROL. __cof. 9— aco/".( CAtCVtl SinVVM, ft03 ; * C O R O L L. 3. 52. Sitwni, ct «—2, erit .cof.Cp-l-^i-cor. 3 (p4-«'cor. 5 (p-|-a»cof. vCp+etc .-' 'fui.(I)+^n.34>-i-^'fin.5Cp-h«'fin.7Cl)-hetc.-^i^g^5 'Qiiodfi efgo flt az±i, erit cof. (P -4^ tof 3 (11) ^- cof 5 (p -h cof 7 (p -i- etc. = o .,fin.(p+fin.3(p+fin.s4^ + fin.7^ + etc.r7^J:j^=:^ Sin autem fit «zr— i, erit cof (p-cof 3(pH-cof 54^-cof 7 (p -4- etc, =r ,-^^ r ^ fin.(p-fm.3(p-i-fin-5(p-fin.7(p-i-etc, — o. " S C H O L I O N. 53. Ope huius theorematis ergo , cuius vfus la« tifllme patet , innumerabiks exhiberi poflTunt feries (e- cundum, vel finus, vel cofinus, multiplorum cuiuspiam anguli progredientes , quarum fumma conflat, Cafum hic quidem tantum euolui , quo coefficientes A, B, C, D etc. in geometrica progreflTione progrediuntur ,---veruin pari modo calculus ad alias feries accommodatur. Prae- terea autem hic notafle fufficiat, ex feriebus iam inuen- tis, innumerabiles alias, tam per difFerentiationem, quam integrationem , elici pofle. Veluti cum fit cof (p - cof 2 (p H- cof 3 (p -' cof 4 (p -^ cof 5 (p- etc. =i i erit differentiando : fin.Cp- 2fin.j(p-i-3fin.3(p-4fin.4(p+5fiu.5(P-etc.-o denuoque differentiando «44 SrBSlDlFM CALCVLt S1NV\VM. cof.(I>-4Cof. sCp-f-pcoC 3^5-1 (J^cof.+Cp-J-a sc^^S^- etc. no et ita porro. Ilk aiitem feries per d<^ mukipliciita et incegrata dat : fin.Cp- 1 fin. aC}) -f- i Gn. 3 - etc. r -i -vbi additione conftaniis non efl opus, cum pofito (|)-o fumma fponte euanefcat. Si haec per -d

~ -^-—loi''. S5\ ^^'\ 58°^ 27^, fum- cna iftius (eriei euinefcir. Plurimas alias autem infignes huiusmodi ferierum affediones,. ne aimis fim longus,, liic praetermitto. DE «- X o )( ^i^ «P5 D E SERIEBVS DIVERGENTIBA^S. Jaaon LEON. EVLERO^ §. I. Cum feries conuergcntes ita definiantur , \t conftcnt terrainis continuo decrefcentibus , qui tandem , il leries in infinitum proceflerit pcnitus euanefcant \ facile intelligitur , quaium ferierum termini infinitefimi non in nihilum abeant, fed vel finiti maneant, yel in infinitum cxcrcfcant, eas, quia non (unt conuergentes , ad claflem ferier-um diuergentium referri oportere, Prout igitur termini feriei vltimi , ad quos progreflTione in infinitum continuata peruenitur , fiierint vel magnitudinis finitae, Tel infinitae, duo habebuntur ferierum diuergentium ge- nera , quorum vrrumque porro in duas fpecies fubdiui- ditur , prout vel omnes termini eodem fint afledi figno, Tel figna -i- et — alterauim feexcipiant. Omninoergo habebimus quatuor ferierum diuergcntium fpecies, ex qui- bus maiorisperrpicuitatis gratia aliquot exempla (iibiungam. I. ... i^i-f-i-f-i-l-i-t-i-t- etc. 1 -4- ; -f- 1 -f- 1 -4- 1 -h 1 -H ctc. 11. . . . I— i-i-i— i-l-i— 1-4- etc. III. . . . i-h2-4-3-I- 4-f-5-t- a minori a oriri concipitur , alium vero, quando feriei illi i-f-aH-4.-H8-+-i5-i- etc. aequalis reperitur, atque ex diuifione numeri -}- i per - i nafcitur ; illo quippe cafu efle numerum niliilo minorem, hoc vero infinito maiorem. Maioris confirmationis gratia afFerunt hoc exemplum fraclionum : 1 > > • I JL . _!_ _L ptr ♦ » 3> 3) 15 O) _, ' — J> — J> ^'•^' quae cnm prioribus tcrminis crefcens perfpiciatur , etiam contiuuo crefcere fit cenfenda ; vnde condudunt fbre irr > 3 et :i-o > z^ , ficque porro : ideoque quatenus :^ per - I et ; per infinitum evs exprimitur , efTe -I >cvi. multoque magis =■" > co : quo pado abfurdi- tatem apparentcm illam fuis ingeniofe a fe propellunt. §. 8. Qiiamuis autem haec diftindio ingeniofe excogitata videatur , tamen aduerfariis parum fatisfacit, atque adeo certitudini analyfeos vim afFerre videtur. Si cnim bini illi valores ipfius - i, qnatenus eft vel —1-2, Tom.V.Nou.Com. Dd vel aio D B S E R T E B r S vel =: ir, , intej: fe re veru djfcrepent, vt eos confnnde»^ re nou liceat,, certitudoi atque vliis regiilurum , qnas im caleulis fequimur, penitus. tolle;retur, quod certe magis fo- ret abfurdum ,, quam id, cuius gratia haec diilindlio eft ex. cogitata-, fia autera fit i-2'— J7, vti praecepta alge:- brae poftulant , negotium. minime couficitun, cum eoi ipfai quancitas: — i,, quae; feriei i -|- 2- -4- 4-+- &-i- etc, aequalis Ibtuitur , fit nihilo minor, ideoque, eadem. diffi- cultas permaneat. Interim tamen veritati confentaneum; videtur, fi dicamus casdem qusnticates ,, qcae fint nihilo» miuores, fimul infinito maiores cenferi pofTe. Non fo- lum enim ex algebra, fed etiam ex geometria difcimus, duplicem dari faltum a quandtatibus pofitiuis ad negati- vas, alterum pcr cypbram, fea nihilum, alterum per in- fiuitura : atque adeo quantitates a cyphra, ram crefcendo, quam decrefcendo, in fe redire, et ad eundem terminum o reuerti ; ita vt quantitates infinito maiores eaedem perinde fint nihilo minores-, ac: quantitates. infinito mi- nores conueniunt, cum quantitatibiE' iiihiic ; inaioribus, §. 9,. Qiii aiitem negant has fuirmas ferierum di- vergentium , quae aflignari folcnt, efTe iuftas, iidem non lolum non alias- proferunt , ied etiaui ftatuunt omnino pugnare , fummam ferieri diucrgentis tantum imaginari, Conuergentium enim , fcrierum , veluti huius i-+-i--t-i -4- 8 -+- T? -h i7 -f- etc.ideo tantum fummam =2 ad- mitti poffe , quod qno plures il^ius feriei terminos adlu addamus, eo propius nos ad binarium peruenire: in fe« riebus vero diuergentibus. rem; longe fecus fe habere; quo plures enira lermiuos. addamus, eo magis fummas, qaae T> IV ER C E .N T I 8 '7' S. ai i (qiiae prodcunr., inter fe difcrepare, neqne ad '•ccrtum ac idcterminatam quemdivm valorem accedere, Vnde coi - cludiuit, ;ne ide;jim quidcm furrmae nd feries diucrgcritc^s .trani.ferri pofTe, eorumque operani, qiue n-t lummis fcrie- lum diu^ergemirrm inueftiganJis ■coiifuinaeiir , .pkine cCc inuiilcm, v^iitque .annlyieos prin.cipiis contrariiim. § lO. QuantmnuTS .autem ifte diirenlus realis "vi. .deatur , 'tuir^ea neutra pars ab akera vllius errrrib nrgfii poteft, qnoties iii .analyfi huii-jniodi ferierum vfus occur- lit.: quod graui ftrguniento cS^ debet., iieatram pnvtiEi in erroie verftri, fed tciniii difildium in folis verbis elTe pofitum. 5i crin: in c:ilculo reruenio nd hunc feridn I — I ^- I — I H- I — I -1- etc. eiusquc loco fubftJtuo |-, p.emo ccrtc n.ihi iure errofem imputabit ^ cin tamen nemini non in cculos incmTeret , fi alium qiTcmuis nu- merum eius feriei loco pofuiflfem;; vnde nalkrm d.^hiuj-n fuperelTe poteft, quin feries i — i -H i — i -r x — i -;- «c. €t fraclio i fmt qu.uuitates aequiualente?, altirnnnque al- terius loco (emper iine errorc fubfdtui licere, Tota igi- tur quaeilio iiuc tantum redire videtnr, .an fradionem 5 rede fum.mam feriei i — i-t- 1—1-4- etc. vocemus? quod, qui pertiniciter negant, cum tamen 'aequiualentinm iiegare non audeant, vchementer verendum eft , nc in logomachiam deiabantur. §. II. Puto nntem , totam hanc litcm fiicile compofitum iri , fi ad (equentia fednlo attendere \eli- roi>s. Qiioties ia analyfi ad expreffionem vel fraif^jm, vel transcendentem, pertingimns; toties eam in idonc;im feriem conuertere folemus, ad quam feqnens calailus commodius applicari queat. Eatenus ergo tantum lcries Dd 2 infini- aia DESERIEBFS infinitae in analyfi locum inueniunt, quatenus ex euolu- tione cuiuspiam expreflionis fioitae funt oitae ; et Iianc ob rem in calculo fcmper loco cuiusque feriei infinitae eam formulam, ex cuius evolutione eft nata, fubrtituere licet. Hinc quemadmodum fummo cum fni(ftu regulae tradi folent, exprefllones finitas , fed forma minus ido- nea praeditas, in feries infinitas conuertendi, ita vicilfim ^tiliflimac lunt cenfendae regulae , quariim ope, fi pro- pofita fuerit feries infinita quaecunque, ea exprefllo finita inueftigari queat, ex qua ea refultet ; et cum haec cxpreflio, femper fine errore loco fcriei infinitae fubftitui poiTir, necefle eft, vt vtriusqiie idem fit valor •, ex quo effici- tur, nullam dari feriem infinitam , quin fimul expreflio finita illi aequiuakns concipi queat. §. 12. Si igitur receptam fiimmae notionem ka; tantum immutemus, vt dicamus, cuiusque feriei fummam effe expreifionem finitam, ex cuius euolutione illa ip(a feries nafcatur \ omnes difficultates , quae ab vtraquc paite funt commotae , fponte euanefcent. Primo enim ea expreflTio, ex cuius euoliuione nafcitur feries conuer- gens, eius fimul fummarR , voce hac vulgari fenfu ac- cepta, exhibet, neque fi feries fuerit diuergens, quacftio amplius abfurda reputari poterit, fi eam indngemus ex- preflTionem finitam , quae fecundum regulas analyticas euoluta, illam ipfam fcriem producat. Et quoniam iftam exprefljonem in calculo loco eius (eriei fubftituere licet, quin eidem fit aequalis , dubitare non poterimus. Quo euiAo , ne a recepto quidem loquendi vfu recedi- mus, fi eam expreflionem , quae cuipiam (eriei aeqna- lis eft , eius quoque fummam Yocemus : dummodo pro feriebus / DIFERGENTIBVS 2113 fcriebus diuergentibus , non cam notionem cum idea fummae couiungamus , quod , quo plures termini adii collig;iutur , eo propius ad valorem fummae accedi debeat. §. 13. His praemidli neminem fore arbitror, qui me reprehendendum putct , quod in fummam fequea- tis feriei diligentius inquiruicrlm: I— 14-2—6' 4-24- 120-1-720— 5040-+- 403 20— etc. quae eft (eries a Wallifio hypergeometrica dida , fignis altern.uitibus inrirudia. Ilaec (erics autem eo magis notatu digna videtur , qiiod plurcs fummandi methodos, quae mihi alias in huiusmodi negotio ingentem vfuin praertiterunt , hic fruflra teniauerim. Primo quidem dubitare licet , vtrum haec feries fummam habeat fini- tam , nec ne ? quia multo magis diuergit , quam vlla feries geometrica ; fummam autem geometricarum cSq iiaitam , extra dubium cfl; pofitum. Verumtamen cum in geometricis diuergentia non obftet, quominus fint fum- mabijes , ita verifimile videtur , et hanc feriem hypcr- geometricam fummam habcre finitam. Qiiaeritur ergo in numcris, proxime faltem, valor eius exprefllonis finitae, ex cuius euolutione ipfi ferics propofita nafcitur. §. 14. Primo autem vfus fum merhodo , quae hoc nititur fiindamento : fi propofita fit huiusmodi ferics : s = a — l/-f-c~d-\-' e —f-\-g — b -i-- etc. atque neglcdlis fignis terminorum a, b, c, ^, e. /, etc. fumantur differentiae : b-a, t"-^, d-e, e -d, ctc. harumque porro difFerentiue : f- 2 /;-{- - i 9, 4-8, 3 30, 2t5o, 1754.0, 161280 ^ 7, 39, 252, 1860,154.80,14354.0. 3.2, 213, 160S, 13620, 128160 tSi., 1395,12012,114,540 i 1*1+ 10617, 102528 9+.07; 91911 Hlnc ■ ergo fequitnr f^re^ ■ A^ > _ J _4_ 7 _ J= .!_ "-' _ lili _l_ »*°^_ ._ •■ 'WV -f- etc. feu A == 1 - 4 +-' 'V - '-^: -H '.^ - M°- -i- etc.: ^, ^';; "/;, ^ ^ Ergo ai5 VEStRtEBFS Ergo A=:|-i^ + ^-|4l-i-^:-¥^- ^ A S — •• *SS , 3IS7 S + SSS , (6u A — I? — iii— s«3--h -io^r- -,is. -i- etc. Vrpn A _ -^ — J^ _ '-11 -4- r^" _ .*^". iilg^J •* 16 ■ iS* aO + » T^ >SI8+ IJI07I feu A =r -n -h^-h Tffl^ etc. := S =: o, 5 8 i .' Apparet ergo fummam iftius feriei propemodum effe — o, 5 8 1 : ob terminos autem negledlos aliquanto erit maior: quod egregie conuenit cum infra demonftrandis, vbi huius feriei fumma oftendetur effe =0,59534.739: fimul vero patet, hanc mcthodum non Citis effe aptam, ad fummam tam exafte definiendam. §. 17. Deinde alio modo rem fic tentaui : fit propofita haec feries: 12345^ 7 n «+i B .. . I, 2, 5, i<5, ^5, 32 i, If Tsj »j> Ji»> my> CtC. erit huius feriei terminus exponenti 0 rcfpondens =: t-> vnde ex eo quoque valor ipfius A cognofci poterit. Inchoent huius feriei fingulae differentiac terminis «) p3 V) <5~, £, etc. differentiis fcilicet hic ita capiendis, vt quiuis terminus a praecedcntc fubftrahatur , crit ter- minus exponenti n refpondens: ^ =1 -(«-!) a4-^^^> P- ^^^^^'^y-4- ctc. Ideoque pofito n — o, erit per feriem certo conuer- gentem : I -=:i-i-aH-p-hy4-^-l- etc. Toiw. V. Nou . Com. E e EH .D:E S E R [ E B r S fcft vcrO', h;i& fradiones iii decimales coniieitendo : rkf'- lr,ooooooo :o,50o.oooo rojioooooo 10,0625000 :o,om84S 10,-0 3 o<5 7? rOyOOOSI lO 0*oppo>}0. o", 0000091 o,,oocoOi.o o.poooooi diff. 5.0COCOO 300000Q 1375000 4TIIS4- 123171 2JS.(5S 438.0 ■ J diff. 3 !000000 52yooQ37 5®oo (J03 84<3"7 2irs4. 34.7i?8 3!5?^877,-^-iM57i>^ 1426}-*- 447t y, (5, e, etc eritque huius feriei ter- minus exponenti 0 refpondens r(j-a+(3-v-f <5^-£-I-erc.. qui igitur crit logarithmus {ummae qiuicfitae — A.. Sunt vero hi logarithmi cum differciuiis couiinuis. teajuentes : dis:: BIVERGENTIBVS rjcocooco 0,-5010300 0,(j9!-9700 J, 2041200 1381:9134 2,5132176 f difF. . c>30io30( 0,3iJ7i)40f 0,5051 50f o,<5oS7P34 0,7^03042 d:fi;2 j diff.j ;0^2 100' ditr. "'">,778 373 5,0398 i+ffi 0,5030940 . .©^'"■oo — 3>C(;o'— ^38 66'> ^ ^^_. 12052 87524-^- =5200 1103643 667s66| 579642I 21p diff. 8 -H 5 3005 +•73568: -+-34386 -+- 3506 •19562 -3^'8 ^-577+4 +<, [C4.S0 7702 65 44« ergo erit 1 diff. I diff. 2 ^ — — 0,3010500-4-! I -4-0 0565 1 COH- O.OIO3OCO-4- — 0,oi3B6<56 — — 0,0053006-+- -+-2041:00 -+- 8S61C0 -+- 24.1(566 - 15 1672 -+-II75IOC -+-»624434 -+-,4-33338 — 2251 1(5 -4-0,00-15562-+- -^O; 0057 744 — -+- 33444 -h 77306 - 4386: -1- 2004P6 -♦- 0,05:6544« --+- — I23l5f diff 3 -+-550666 91 056 -+-658454 diff. 4 -35557C -46735b -835708 - .63104 d.ff - 82652% ■i 507066 ■ 776604 Tiide per metlKxium antie expofitam erir feii I——0, 7779088 hincqne A numerum aijhuc \ero maiorem efle, ficilc colligere licct. Interim tamen et hoc modo neque fatis tuto, neque fui^ commode, ad cognitionem Taloris A perue- niri potcft , ctfi h.iec methodus infinitas foppeditat \ias himc valorem inveftigandi ; quarum quidem aliae aliis ad hunc fcopum multo aptiores videntur. diff. 5 -2i33^P+ ■2083670 Tf-H^-f- etc. Oj S9g66^ quem Ee §. ip. aao DESERIEBrS §. 19. Invcftigemus nunc etiam analytlce huius fcriei yalorem , eam vero in Utiori fenfu accipiaraus; fit igitur s-zz:x—ix'+2x'—6x*-\'2^x* — i20x'' -i- etc. quae differentiata dabit : j~—t-'2X'h 6xx - i^x* -H 1 20X* -etc.—~ Tnde fit ds -^r^^ ziz^ ^ cuius aequationis , fi e fiima- tur pro numero, cuius logaritlimug hyperbolicus eft — i, e—^-^^dx ' * ^-'- V.v intcgrale erit e~''"s=zf etszze f . ■^ X "^ X Cafu ergo quo xz=:i erit i—i+i—6-\-2^—i20-\-etc. ^e-^-^^dx ^ej . Exprimit ergo haec (eries aream li- neac curuae , cuius natura inter abfciflam x et j hac -I : X e. e continetur aequatione / —. — , fi abfcifla x e ponatUT rz: I : feu erlt y ~ , . ., . Haec autem curua ita cft comparata , Tt pofito x—o fiat j — o; fin au- tcm fit .v:::=i, erit/— i; medii vero applicuac valo- res ita fe habebunt, vt fifit TilVERGENTlBVS. 221 Cfit fiaC / — 10 10 J = J — y = 10 10 fifit X — j, x = {Jj=: x=-^Jr = X =:fjv = fiat 10 10 10 10 lO' 9^' •* Hac igitnr curva conrtrufta, ftatim patebit, eius aream abfciflae x zz: i relpondentem, non folum eflfe finitam, fed etiam minorem efle quadrato lateris =: i, maiorem Tero eius femifll l. Qiiodfi vero bafis :i:~ i in decem partes aequales diuidatur, et portiones areae tanquam tra- pezia fpedentur , et areas inuefligentur, obtinebitur fe- riei 1 — 1-^-2.-6-^2.^— 120 -|- etc. — A valor vero proximus : I X I 1 0 + -.+— + 3— +^ I • + - :+ 6e* le ^e — ■+ 9s Qiii termini, cum fit ^ — 2,718281828 , induent fequentes valores: Ea I :r ZZ 0,00012340 £ s^ ■ 2 f ' ■ - '■=. 0,0091 57^* _3^.:. = 0,032313^4 ^e'* — D, 055-78251 ,^e'-' — .0,07357587 — 0,0 «5 5<^9 5 0 ■6e''-' r= 10, 0930(5 270 1^''-' Ve~' — 0,09735002 ^■"^ Z=L 0,09942555 I :io _ r= 0,05 0 00 000 hinc A -zz 0,59^37 1^4 ^Bk qui valor a ■veio iam vix fenfibiliter differt. Si aiitem «bfcifla in plures partes i\x\^.t^ diuifa, tum ifle valor accuratius effet inuentus, §. 20. Cum iniienta fit fumma A rr / 7- — ^^, jponatur ^ — #'~'*^ im vt pofito a:zr:o fiatet^-o, ac U I r E Ft G E R T 1 B V S. 2:13 sc pafito ju — r, fyirz r, ent 1 — 1 — /^, et.vr-r^, at:iue 'lx — -l ( 1 - /c^ , vnJe fit -/ zr r,- ^^. (Stiia ergo efl; A :nj^^ ^oCito .v — i, vel i' — r, erit qn;)- qiie A — /-~r pofito- poft integracionem c zr i. Hrit aiitcm -integnitionc pcr feriem infinitam^ per;ida A-j^-J^- — ■ ,— .u (,_it;/ ^ ('-'c'/'- (■— /iij<- ■T~ (1 — :-u;5— etc. et pofito 1; rr I ob /z; — o, erit, vti iiflrjmfimib, A=:i — i-hr.2-i..2.3 -f^ r. a.s.^-r.-.j.^^q.f etc Erit ergo A iterum. ar&i curiiae ,, ciiiiis nauira inter abicifflim 1» et applicatam 7 hac cxprimirLir ae:|uatK)ne y~:~,, fi quidem ponanir abfv-ifla -u .— r , quo calli quoque fit _y zz; r. Notari aurcm hic oporret Iv deno- care logarithmnm hyperbolicum ipfius 1;. Abfcifl^i ergo nx— 1 denuo in decem parte.s diuifa, applicatae ia fiu- gjilis diuifionum pundis fe hiihebiuit hoc raodo: fi fit erit ^\ fit erir 'y- = ."5 j-o. ^ ^^'=- ^ = .^', 12 — ,'3 ''---^- J- ^^x ^ = fe, J' .-|-.G-.'2 12 — h J= ^—z -^-/3 y:=^-.^l^ ^^" ^^,-^' ^_/5 Ij -,^,„_,^ 1 ^^' = "U=.-^-;, .= ^1 y - ,-4-.',c-.= J -i' — i°;j'— 1- Bincque itcrum per appropinquationcm: areae. valor. lit:- serac A- fatis accurate obtinebiuij;.- ,x-+- ix' — «x»-+- jii*— ijox:5_(_ -jox* — 50*«x'-|-*fc. 224 DE5Ei?JEBr5 f. 21. Datur Tero alius modus in fummjim hu- ius feiiei inquircndi cx natura fradionum continunrum petitus , qui multo facilius et promtius negotium con • ficit : fit enim formulam generalius exprimendo : A =ri— iA,-+2.Y*-5A:*-f24A'*-i20jv'4-720.v«-5040A-Hctc.— 7:^ eritUzr: — ^ eti+Cz: P /1 _ Xj^ ♦«* -+- I9X»- 9«X*_f-603rS ^,,Or«_f_pfc. *UUC.l>/_-, _ ^jj _^„3tJ_ p6xl-f- 22(S D E SERIEBVS^ A>2, A>i;. A>- A>>^i A>fg; etc„ A< 0,5913014354- ,0,598 80 2 39 5 a Si iam inter terminos nimis magnos et nimis panios proximos, capiantur media arithmetica, denuo prodibunt valores alternatim ilimii magnl et nimis, parui ,, qui erunt fcqiientes . Valores nimis parui l nimis magni ipfius A. nimis parui 0,50000 00000 o, 5 8 3 3 3 3 3 33 3 o, 5 9 3 4-0 «5 5 9 3 3 0,750000000 o 0,6 r 904*^6 190' 0,60 I 8099546 o , 5 9- 5 4- 8 7 5 I o o I: o , 5 9 a o 2 0 5 8 o 7 Q, 5 9 6 o 5 I 9^ I 5 3 i fieque iaai (atis prope ad Yerum Yalbrem: ipfru& A pct-' tigimus.. §. 23,. Poterimus^ autem. valorim iflJus^ ffadio^ nis infinitae per partes> iiiuefligfire; hiinc in modum : fitA DIVERCENTIBVS, 227 litArr — i+^ i-h* 1+2 ^ i+ii 1+3 1+12 1+4 l+i_2 I+4- i+i_3 1+5 ^ i + i£ 1 + 14 1+6^ 1+17 i+ij^ ^+£_ i+_i_7 1+^5 1+7 1 + 18 1 + 15 1 + 7 21 1+18 1+9 1+8- erit r — ■ ^ ^ i + 2_i 1+^9 1 + 8 1 + ^2 1 + 19 1+9 i-i-22 _ 1+20 1+9 1 + 23 1+20 ^ + ^2 1+23 i+r i+io 1+ etc. in infinitum. i+^ F f 2 Qiiibus 428 DESERIEBFS Quibus Taloribus euolutis reperietur : _ 491 459Sgo-l-i 399 3 i6zop pumo — s.^07314.1-,-234. 662231^ • _ i2 3 8i95T-h-6 49 2S6(7 " 88764-0-^-1864.4.0^ _ ^I437i3. Sit nunc «7—22, atque habebimus hanc aequationem cubicam refoluendam. a j'H- :i.rj — 43 j — 22— 0 cuius radix ftatim intra limites 4 et 5 conftituta de- prehenditur. Sit igitur j=4-f-«, eritque 34—692^-^2 6!iU-h 2«^ Sit porro « — 0,4 -j- 7i<^4-544^ : vnde obtinetur o 40 9 3 o j _ 4794992,85 P — — ~^ — — ^^-^ =: 3,02d5(5ooi63 : hincque tan- dem 914985 = 59,24. ^ - x7i?rr59iV9^"'"'^^''^^''^^'''^'^ qui B l V E R G E K T l B V S. 2St qui valar in fwdionem continium conuerfus dat I I+I I+I lO+I I + I I+I 4+L_ 2+ I 24-S 7+1 7+etc^ ▼nde ftqiTentes inuenmntur ffa<3iones valorem ipfius A proxime exliiiDentes r 11210114, 2 2 7 JL o> I r r il 2* li- ?£*> g?y rgoo' " ■ »» ■> «5 S> ss> 57' "OS» +53 *" 109* » 16iS Hae autem ftadiones. alternatim Umt maiores et mino- jes quam valor ipfius A, ac vltima; quidem ^° nimis eft magna , exceffiis tamen minor ell quam -^^,—^ \, ■vade cum fit J^ == 17^ erit proxime ^ n: i^^t^^S^^; ^. 26', Methodus,, qua fupra. in §. 21. fiim vfhs ad feriem hanc i-ix+-2;c^- cafus particularis. G g 2 . §. 2d. i^S D E S ERt ET^rS §. 29. Vidctur autcm porro cafiis memorattt dignus, quo eft p=x, et q^^y atque mzzi-^ erit enim z:^e ^- ^''/^-'■''"'dx : xx atque feries infinita ita fe habebit : zzzx-ix'-\-i-3x'-i.:i-Sx'-^T,!i. 5.7 Ar^-etc q^ae aequalis eft huic fradiont coutinuae : i-^5xx i-i-5^^ i-+-(Ja*x I •+- etc;. Si itaquc ponatur >f=:x, vt fiat^ s— X-I-+-1. 3-1.3. 5-1-I-3S. 7-1.3- 5-7.p-l-ctc: quae efl feries maxime diuergens : eius tamen valor ex: primi poteft per hanc fradionem continuam conuerge» X -ir etc» DI F E R G E NT TB r S: »37 qiiac fequentes fuppeditat fradiones, vero ipdus z valori proxim& aequales : x2 3 + 5 «^^^-S^ - 0.655758. Cg, 3; BlSSEK^ *3i m^ )( 0 )( m^ DISSERT ATIO D E PROPLEMATIBVS QVIBVSDAM CALCVLI INTEGRALIS. Auaore G. W. KRAFFT §. I. Vroblema I. Innenlrc quibiisnnm in cafibus haec curuariim familia, feqnenti aequatione generali , trinomiali , contenta, poflit quadrari ; AA"^-BjP = CAy ; in qua funt x et j^^indeterminatae, A, B, C, etc. expo- nentes, conftantes. Qiiamuis variac iam cognitae fint methodi, quibns quadraturae curuarum , per aequationes trium terminorum expreflarum , reperiri poflimt ; fequens tamen a cafu par- ticulari , quem explicat loh. BernouIUus^ Operutn tom9 III, p. 403, ad fummam vniuerlalitatem ert redada, Pommus j' -jr — , introdufta ncua indeterminata u, qui \alor in aequatione prrpofita fubftituatur , atque dabit AaM- — p — — — 1 — , quae diuifa per .v* et mul- tiplicata per u^, dabit hanc, BaP^-* — CAr^-+-^^-«//-^ ■— A u^. Vt ex vna parte fola fuperftes maneat va- riabihs DISSERTJTIO DE PROBLEMATIBFS 23^ riabilis tt, ponatur $ -{~e>^ — a — o, orietur Bx^^ — * z=:Cu^—^ - Au^, et hac differcntiata fequens, ((3X-a) BaP^-«-'^a'i=(P-£) Cu^-"-'du-^Au^—du. Mul- tiplicetur illud membrum per -^ > ^^^oc autem per ^ , quae duae quantitates , vi fadlae pt^fitionis fuperioris, flint aequales; ntque fic obtinebitur {(^X-a^Bx^^'*-'^''^ dx ~((3-e) Cu^-^^^^du—^Au^^-du. Ponatur nunc denuo exponens (3\ a-X-i=ro, vt x ibi abeat in vnitatemj ex quo tandem prodibit haec aequatioi ((3X — a)B/w/;e — '°|- — ^ , veluti eadem quadratun inienta quoq:is eft in /. c. tam, quam etiam a /<7r. Hermanno, in C-omment. Acad. Scient. Imper. Fetropv/. Tomo yi^p. i omnia ilJa fpniia •, quorum differen. tiale expiimitur per quantitatem rationalem multiplica» tam, -vel diuifim , per applicatam Circuli ^«1 Hyper- bdlae, id efl, per V ax — xx, vel p:r l/ aa — xx^ \q\ ftit Vax-^-xx, vel per yaa + xx vcl pcr Vxx-a^ay eic. omnia , iuquam , ifta fpatia aut quadrare , aut ad quulraturjm Circuli vel Hy.perbolae reducere. Me- thoius efT: iuj;eniof;i et pcracuca lurdcm, fed valde dif- ficilis mihi vifa, qnoniam coniedluris tantrm abfoluitur, quae non mn exerciracifiimis in hoz calcuii gnere in prompcu eflt p iflLint. Alia iraque via icem j^r.iefla» re conibor fequentem in modum. Qiri.i icuuiruiuiu ,.^ ... ... , . (''xiix -4- .vV.v «ifilrcotiaua rationalia, veluti — -, — , — ., et cuae- libet applicata fcclionis conicac rcpiaefentari potefl per "Viax^^-^-bx-i- C)-. condabit talis quutiibtc fjrnuila cx aiiquot eiusmodi mesnbris indicandis rcr -/ — ----■. ; aut vero per ex^^dxy {ax*~\-hx-\-c) \ \h\ m eft ra« .tionalis numerub integer tpicuiquc. Tom.V.Nou.Cojn. . lih $ 7- 24-2^ DISSERTJTIO DE PROBLEMATlBys ... . . , ex^^ifx § 7. Incipiamus a pnori membro 7- -7 ^ in quo ponamus 2.ax-+-b — u, et mutabitur expreiiio e. [u-bTdu in hanc fequentem — „— „_r,-77-— 7-, aut ft.;tuen« e qdu{u-by^ do b^ — A.ac — p'', et — ,-^377^: ^, in hanc ^t^t-^S- Si iam fuerit u — b eleuatum ad dignitatem numeri in- tegri m: aderunt plurima membm integranda, quorum. quodlibet tenebit hanc formam: ^Trz:^- ' ' "" "''^'^ ■' viiiCjX^ bji.il f. 8. Hoc autcm difl[orentiale omniiirn^^m.rw:^ diflime aut integratur, aut ad quadraturam; I:]y»perbpiue reuocatur, per ingeniolam illam methodum, quam tradi- dit Jacobus Hermannus , in Commentar. Acad. Schnt. dz u^^du Imper. Tomo lypag. 151, ponendo nempe — liz— — — ^ et, ex appeltatione ibi adhibita, dli — u^^du, K~u--p\ dR^ iudu, X — — I., Erit enim fic aequath canom- ca prima y u^^du—hXudu-^-KdyV, ex qua oritur M =r A tt*?"" ' -h N , et A — v , Jeeunda , « - i . Ap^u""'' du—Nudu-^-Rdyi, ex qua fit N—Bu"—^ -hO, et ^^'^^^f---, teitia, n^3. Bp'u''--'zzOudu -i-RdO, vnde deducitur O — C^ "-^ -+- P , et C — J^^*^:, quarta haec « - 5 • ^P^' "" " du—Vu du -^Rd?, ex qua progignitur p— Dzt"-^-i-(^, et D nr^cf^. ^,^y„;^^ ^:Dp^tt''-'V«rr(^w^tt-+-Rr/Q.; atque lic porro, quoniam lex progreflioni^ iam abunde apparet. QJIBFSD. CALCFLI INTEGRALIS. 243 npparct. Subfiftamns nunc in hac aequatione canonica <)uinta, ex qua , fubftituto IdK pro udii, eruitur «—7. !)/)'«""• e!2 , cnius-difFcrentiale efl r ^^^;^ ►f-ifl^tt/Ctt^-p^jrCMw-J-MPpwrCMjw + PM^cP^ 'tt'^tt =z C M m -\- du ^ (tt* -p^) , vnde efficitur CMw- y".— — ►i-^/ttV(«'-p*)-^tty(tt'-/>0=y^rp~)' ^* ^"^^ erit ''r,--j, rr^ fe(ftoris Hyperbolici CMw. Qiiod idem alio etiam modo demonftrarur. Sit »/MT tan- genspunAi M; atqie^rit arei trianguli C;«T — iCTx/»^//- ■r&i triangiih CMT^iCrxPM^ ergo , fubtrahenda lunc QVlBVSn CALCFU INTEGKAUS. 245 tb illa, erit area fedoris C M wr i CTxf/»m- PM^r jCTxNwf -lCTx J^^-"t~^^^, Eft autera per ApoJhnii CoMiea, prop. 37. //•>. !, CPr«): CA(,p)rCA(/))CT(|-*); \nT de area feiloris HypcrboHci infinice parui CM/« eft '''''''^ -u ^-v^r^^i ^'^'^""' "'^"' integr.uido i%.:-^^-f* (edoris Hyperbolici CMA, YvP du Ex quibus manifcftum eft, differentiale 77,— —rr abfolutc ritegrari pole, quotiescnnque n fit numerus inreger im- petr\ fd idem d-.peidere a quauratura Hypctbolac» qiiotiescun ]ue « fit numeru» integer par. § 1 1, Co.iriJercnaus nunc alterum men.brun! feiperius ($. 6.) indJcatum hoc (eqnens, ex^dxV^ax^-^rbx ■4-t), quod lubftitaeudo pantcr, ^ax-\-b—u, b^-^ae e — />% et -^.^^—^^i-ci ■> mutabitur in hoc fequ.ns, qdu. u- d^V^ii^-p'). Si iam itfcrutli fuefif u-b ele^ ■vatum ad dignit.irein numcri intc^ri m : ;iderunt denuO pluTima mtmbra inregriuida , quorum quodlibet tenebit h.mc f()rnvim, r u'' d uV {u' - p'}. Ponendo nunc iferiim, cx methoyo Hennanniana , -^ -u^duViu^-p^i ac por- ro dli-ii^^du, Ri:f.*-p% X — i, d8.:::zudu^ erit ae^ qwifi') k-anoma prhna, u"du-sMudu-\r-RdM, ex qua cruitur M-Aw"' •■ H- N , ec A*:„^ ; Jecunda ^ n 1. Ap'u'"^'du-^udti-\-Rd^'^. ex q^ia ndcitur Nr:B&"-* -t- O, et B-"^^^^-, tertia, Ti^.Bp^u"—' duzz^Oudu •^ hidO, ex qua prodit O^Cw"-' -f- P, ec Ci:"-^ Ji^- ; H 3 guarta 245 DISSERTATIO DE TROBLEMATIBFS qiiarta, V^Xp^u^^-^du-^Vudu-^KdV , vnde pro- Tenit_ P=D«"-' -H Q , ac B-"^^ \ quinta, n^.Dp^u^^-^du-^^qudu-^KdQ^; atquc fic porro, cum lex progreffionis etiam hic abunde fit manifefta. Subfiftamus nunc in hac aequatione canonica quinta, ex qua , fubftituto IdR pro udu , et multiplicando per yRViu'-p') , tJeducitur n-l^.Dp^u^^duV iu'-p') -{i(^dK-i-KdQ)VK, ex qua integrata progignituc ^LZll^^ fu^-^duV {u- -p')-Q^, ac euolutis -valoribus Ri n.n~i-i ^.n -1- ;.i - =•« — + . CtC. Erit denique integrale quaeutum ^:zMR^-*"c:[A«"-* H-Btt''-'-+-C«''-^H-D«"-'-4-etc. -^Q_](«'^ -;>')'. §. 12. Sit nunc dcnuo « numerus quilibet intc- ger , fed impar, -ex. gr. 7 ^ peruenio ad aequationcm canonicam quartam, in qua eft, P-Dtt'~'-HQ.-D + Q> aequatio autem canonica fequens quinta dabit , o nr 3 Q,//^«-4-R^Q^, \nde Q_— o , quod etiam ex \a!ore ipfius Q, modo inuento , patct ; et PrzD; ex quo apparet, in hoc etiam cafu quantitatcm propofitam efle abfolute intcgrabilcm , quoties fuerit n numerus impar. Si vero idem n lit numcrus par, cx. gr. 4, inuenio in aequatione canonica .fecunda , N~B«-+-0, et ex fub- fequentetertia, Bp^a^tt-sOwd^w-hR^O^— ,- +R^O, quae multiplicata per V {u^--p^)~VK , abit in hanc, l^p^duV^u^-p^^zi^ilOdK-^KdO^VK; fed haec eft integra- QFIBrSD. CALQVLl INTEGRAUS. 247 integrabilis iii sltero membro, et praebet Bp'/(/«V(«'-p*) mOR'; vnde valor dcfiderati achuc O definitur ^ depcndens nempe a quadratura fupchoris Hyperbolae. (f 10. Patet itaque fimul hoc, quantitatcir propofitam ul^duViu^ — p*) requirere quadraturam Hyperbolae, qiio- ties « fiierit numerus par. f. 13. Commodius porro etiam fequenti inftf- tutp, paffim cognito, hae hucusque pertradutae , et aliae pliires innumerae , quantitates ad lua integ'alia reuocari poterunt, fi affiimantur quantitntes finitae pro lubitu, eac differentientur , ac denique differentialis quaedam oblata cum hac indeterminata difFerentiale comparetur. Quod excm.pHs, vfus falcim' gtatia, fiatim illullrabo. Quanti- tatii huiub fequenti&, (A H- B:i*-f-Cji-' H-DAr^-f-EA-*) y (a X* ~\- 0 X' -^ y X' ^ S X -i- e) difftrentiale eft taie ; \ ? , T I A G ? i '"''. i- tix-^-lhS \- xdx-i-f^^ }■ x'dx-i^ 2 A a 7 ^ 7 T sCy l. .r'J.v-4- ^ J.^ [ x*dx-h f D (3 y x'dx qund aceo fuperius integrale liabet perredunri. Si nunc imcgranda veniaL haec quantitas , "-y^Ja^) "" > f^*^'^^ ei'ui.utu£ E 0 I ' E^ I t4S BlSSERTjnO DE TROBLEMATIBrS crucnttir quantitates ieqneHtes, incipiendo comparationem a nomina.tore difFereniialis, a = o, P-o, ypi, ^ — o^ ,:r-^% B-o, D-0, E =r o, C - i , A =^ ^\ Vnde erit quaefita integraus -^ — -. §, 14, Simili modo diifereniiale quantitatibui JmJius, Vi«x->^p.:^+>.c^-i-6~:^Tj ) «rt hoc : -t- J D ^ f-4-E.? +^^^1 -^^*^^] "^ Cyl l-*A^i ^Ayj -lApi -2Aal H- 2 D V ; > , -^- 3 E -v ? , , -H D a? , ^ . H- ; E 6 ' ^'^ID W ^^ H- I E pr^^^'-»- - B «i 7 Vt fi quaeratjr intcgrale ipfuis ""^'~' "^^^-^*^--*- :l*As. fadla compantione, incipiendo rurfus a nominatore, eruc- tur a~Q y p-o , y = 1 , ^-4, <-o, A.-a, B:=o C;:o, D::o, E r: 3, et quaLfituni ijitegrjle ipfum ^[^^*zy §. 15. Haiid alia ratioue tradlari pofllmt etiara illa difFerentialia , quae aliquam inuoUuint qnadraturara fedionis conica^. Cum itaque V{a.x'-4- ^x-+-y) ex- prim;it gcnernlitcr npplicntam talis alicuius (edit>ii's , af- fumam ad itnitarionem priorum hanc f()rmul;im genera- km: (A-|-BA:-i-CA.»-4-DA"+EO V(ctr4-(3.r+y) Ql^IBFSD. CAtCJTl INTEQRAUS. £^9 -V- Vjdx'V{(xx"' -f- (3 X -f- y) qiine a tnli quadratura dc- fcadebit, et difFerentuta lubmiiiilitrut hanc: \ '^^\ *B(3< ^BG^ ^C^ I 4-ByI dx-^ '^ r .''dx^^^^t^^x^dx^-ll)^) x^dx ^ 'y^ fpl 1^^ 4e|^ 5it niinc ad qiiadraturnm circuli reuocandum hoc difFe^ rentiale, vTiax — a') ; prodibit ex compa- ratione terminorum homologorum , azz— i , ]3 — 2^, •yz=o, Amo, B — — ^«-, E — 0, D±r — |, C — 17, T~?^'; et defideratum integrale erit fequens- ( — i«'jc §. i(J. Pi-obkma III. Propoiltum fit reftificare curiiam, m qua , fumtis .v ct j coordinatis crthogrnali- "bus, tn conrtante , ds eiemento curuae, et r — radio ofculi, obtineat haec pioprietas, — — "7^-- — (»z=-i)tf/. Statuatur elementum curuae ds conftans ; quo faiflo, erit r ~ ^^^,4' i ^^^- ^^^"^' Birnoiilli Ofera , ^ywo /. ;^^. 578. Vnde habebitur'^-'^-^--=^^^-^i^zr(«.'-iy,, aut vero — ^^^/f ::^ [m^— i]ds. Eft aurem, 6b «'j coriftins, dxddx — ^ dyddy^ tx /^f/? modo ci~ Wo, et quod {acik cemitur pontndo diffcrcnti;.le ipfius Tom.V.Nou.Com. li ds^ ^^msEivrJTio r>K froblematibfs ,' - . ^^v') ,. nihilo ncqnale propter cvij coii.luii.ia;iii qiii vaK>r pro ^.trt^rt^a' rublluuiub, flidi diuifiooc per dy , dabit x ddx -\- y ddy — {m^ — x)ds\ quae aequiUio integrata praebet xdx +ydy ~ j[dx'-\-dy'') zz:{m^~i) sdsy hoc eft, xdx-\~ydy -Jdi^-—[vi-i): sdsy vel .v^.v -[-ydy — sds — {m''—i) sds , aut, ad- dito Yrrinque sdsy fequentem xdx.-{~ydy:^}n^sds\, cx qua denuo integrata prodit jr' -4-j'' — /«=j-, aut y(.v'-4-y) =i; ;«j-. Tenet igitur haec curua arcum fiium quemhbet ad fiibnexam chordam in ratione coar. ftanre i : ot , fiue arcus finguli funt inter fe in ratione. iiiarum chordarum.. §. 17. Frobkma ir. Aequatio ^'"dx-^-ydx—dy^: in qua efl ?// nuraerus quilibet intcger affirmatiuuf>; vel gcneraliof ifta x^dx -h ^dx =z dN, in qua e(l N fundio qu:ie!ibet iplius y et conibntiura , pnieter alias quasdam, fequenti etiam methodo ad Logarithmoj potcfl: reduci. Ponatur .v'" -+-j — «, obtinetur hac fubftitu- tlone udx + mx^^^^^dx rz du-y llatuatur u + ///.v"*— 'z:;?,, cruitur hac fiibrognione tdx~\- m.m-i.x^—^dx- dt\ fumatur t-^-m.m—i x^~' — z, deducitur ex hoc valorc zdx -h »1- m—i.m — 2.. .v'"— Wat zr dz ; igitur, ex con- ditione ipfius m, abibit calculus tandem, continuata fi' miii fubrtitutione , ad aequationem talem, Zdx-\-ndx rr<^2, vbi ;/— /«, w-i. ;//— 2. «?— 3. ?/;— 4. etc. quia expuuens ipfuis Xj qui hic eft 7/2-3, alicubi debet eua- nefcere». QVIBFSD. CALCVLl INTEGRALIS. 251 Hefccre. Ex hac vkima aequatione veio deriuatnr «^.v =: l^, q"ie integrata haec eft , .r = /(2 -+- «), vel, pofito /t?— I5 crit x/ezz^ l {Z -\~ n) , aut vero zz 2 H- «. §, 18. Ex hoc artificio apcritur campus varfas -aequationes, difficiles alias apparituras, ad log.irithmos. re- ducendi , quem vnico exemplo coromonrtrabo : fit dx ■+■ dj ~ [bdx -f- -2 cxdx + 3 ex^dx -}- ^f/yH- 2 bjdy H- 3 ky^dj) : (^- 2.h)ydy + {b-ik) y-dy -\- ky^dy -zzo^ quod paradigma ipfum iam ad caltis pkr.imos integrandos , fine pracuia inacterminatorum feparatione inferuire poteft. Sit ex. gr. hoc modo iii- tegrandum 3J^a,' — sy'dx — 3 dy -j^ ^y dy -\- i sy^dy — sy^dy rr 0. Obferuabitur ex comprtrationc termino- rnm homogeneorura, > fll g -:. 3 , (■ _- — n/«(? talis, udx-{-tdy:=zo-, Qife- imdo, dx — oidt — ^du ', dy zz ~y\dt -{-. edu, qui- bus diffcrentialibus (iibditutis ia priori- aequatione emer- §it propofua. Haec autem eft homogenea, adeoque artificio. . ovm^sD. CALcvLriNTEGk.ms:- ist- artificio M. BernouUi}, vid. Comin:ritar. Acad. fdeia. Imp. Vetrop. tomo I, p. 169, variabiles , hic inter fe permixtiis, tenet fepanibiles; qiiam methodiim mngis ad' iwc vniucrlalem reddidlt Il/ujlr. Dom. Goldbach, 1. c. p^ 207. Qiiod cum prirao intuitu non appareret, ten-. taui ab initio ^ -j- i-.v -h fj — ;<"• , h-i-ey-^-g^x—t^u^^ et deprehendi tum demum , homogeneitatem aequationi proporitiie conciliari pofle, fi fiant mzri^ n^i, r-O. Ifl hac itaque aequatione homogenea fubftituatur ^u pro fj et fada diuifione per u obtinebitur, /A> ^ — ik^Az.iA^^ — Pbn;Mitur porro -v^ (^ — a — y, e — a — X , zz: jf/~ ; « c -(3>i=:p. rr/^!.-, ; et habcbitur 4" —f^^^^z^.: Vt iam demum appareat, quomodo ppfterius hoc mem- brum a logarithmis dcpendeat, ppnatur ■^■^—^----^, -4- B^-^ , eruentur fic, ex debita comparatione, A--4- atque erit fic integrando, lu — C/ (A -\- v) — E/(B-u% et horum log-morum fumendo quantitates abfoluta* j^ denique u — ^?~^'' . omi(fi adhuc ,adiicienda conftante indetcrminataa li 3. §.. %ol- ^54 BISSERTATIO DE VRQBLEMATIBVS §. 20. Debeat ex. §r. integrari dx-^-^iydy -\- ^ y d X — 4. X dy ^ 0-^ atque erit , in applicationc ad priora genenilia, ^—1, b — o, c — o, ^ — 2, /— 3, g = - 4., fg-cez^-iz, ac proinde a — -i, pr-J, D fldeoque « — — — p — r^~' P°^'^^ conftante sliqua ar- bitraria c=: D. In hoc itaque exemplo habebitur « — D(<^^-2)% et fubftitutis valoribus lcgitimis crie- tur aequntio integrata fequens, i +3 >*- D(S;'-4x4-2)^; quae logarithmice differentiata commodifiireie reftituet differentiale propofitum. §. 21. Aequationes differentiodifferentiales et dif- ferentiales commode aliqnando aut integrantnr, aut redu- cuntur ad differentiales, methodis duabus fequentibus. Trima mihi xoc^tur fiippofitio Je ^or/irmansy cum ncm- pe aequationem finitam aliquam fuppono, atquc hanc cum data aequatione integranda combino, et legitimis dedudliouibus eandem fuppofitam iterum eruo , fefc ita confirmantem. Huius calcuh exemplum aliquod hoc efto. Sit aequatio fequens, ;;; — 1. my-dx" ~ nx^^yddy -i- ;; — I. nx'-dy\ in qua dx conftans ; et (upponatur aequatio fiuita haec, ax^:^by^^ per quam prior multi- plicetur, gnBFSD. CALCru INTEGRALIS. 2SS f ;iceun% \t oriatLir taJis, "^^PT. ,ua.j\x'"dx-- = {nxyddy -r-u-i.nxW-) l;r_ju^e ficlj, diuifione per .ry , in harx miitabitiir , m-i. m a x"" " ^dx^ znnby^^-^ddy -f- ;; - I . nby'' " Vj % cuius integralis- eft m ax"^ - 'dx — nbr-'d)- qu:ie denuo integrata reddit ax"^ — bf hoc eft,, ante affi^mtam confirmat. Propofita acqiiario reducitur quidem ad hanc liiiii^ i?f _^' — 2-Li2Lir 'iEjri>5 j' J' j^^ ^"f vero, flxdui. integratione , nd iftam, -:E::Zlf - f -f- ;;/rf2^_^ q,od ^ltimum mem- brum autem. quomodo integrari pofTit, non perfpicio^ In cafu aliquo particularr fit intcgranda acquatio diffe- lentio-difFerentialis aydx^ — x^-ddy\ patet, ftatui debere ?;rri, quo fliclo eruetur /// - i • w;''^-^' — ^•^.'/^j/ aut £ida iam diuifione per j', m- i . niy dx- zz: x'ddy:^ ftatuatur ergo vlteriui m — i. m ~ c?, aur vero ;;^n: i-|- '^[a-\-\) , vt aequ.uio generalis perfede ad hanc fpe- cialem. determinetur , atque erit integralis qnaeCtai ax. — ^ ^' — by,. §. 22. Seamda methodus confiftit in eo, vt pro- pofita aeqaatio differentialis aliquando denuo differentie- tur ,, atque tum. difFcrentiale fecundl gradus pec diuifio- neaii ^S-S D1S::ERTAT10 DE VROBtEMATIBrS av. ,nem aeqiiatione ^xpellatur. Koc nnodo f^icillime inte- gMwr j(ix-- Xi/j-ayilx^-h^yly ^' f"™ ^^^^^ aequatio differentictur , fofito m vires ad eius adionem -requifitas etiam nunc ,fere penitus Jatere. Atque hoc •eo magis mirum videri debet, cum non fohim ceterae 2Vlachi;iae ,ab antiquitate ad ,nr)s -transmifrie, felici cum fucceflu ad lcgcs mechanicas fint reuocatae, fcd etiam ipfi fcientia meciianica eousque exculta flr, vt ad omnis generie machinas expUcandas (ufriciens videatur. Qiiin Xik z ,£tiam fi5o DE COCHLEA ARCHIMEDIS: etiam a plerisque- omnc ftudium,, qnod a GeometriS' ope Analyfeos fublimioris in Mechanica vkerius exco- lenda confumitur ,, fubtile. magis- quam; vtile: cenferii (blet.. Verum fi" rationem cochlcae Archimedis diligen^- tiiis contemplemur,. vulgaria niechanicae principia ei ex- piicandae minime fufficientia deprehendemus: propterea- quod ea manifelle ad Theoriam motns aquae per tubos> mobiles pertineat quod argumentum a nemine fere ad-- huc eft tradtatum. Qiiod enim. ad motum aquae ia; genere attinet, non, dudum admodum eft, ex quo is ftudiofius inueftigari atque ad principia mechanica in- ueftigari eft coeptus, de motu autem aquae per tiiboS' mobiles vix qnisquam rcperitur, qui aliquid in medium attulerit, vel tantum cogirauerir. . Qiiam, obrem cum^ nunc quidem pvincipia , quibus omnis aquae motus in- nititnr,. Cuis- fint euoluta, operam dabo, vt ea^^quo- quG ad . monim aqiiae , quo per cochleam hanc Ar- chimedis fertur , accommodem , indeque omnia : phaeno- mena , . quae in . hoc motu i conGderanda occurrant, clare ■ ac diftinde explanem. Quae igitur hac de re fum me- ditatus, fequentibus- propofitionibus fum complexurus ; et quonijm cochleae Archimedeae duplicis • generis con- ftrui . Iblent, quarnm alterae helices fuas- circa cylindrum , , alterae vero circa conum habent. circumToIutas , a cochlea cylindrica exordiar ; eiusque Theoria ■ ftabilita ad cochlcas quoque conicas perfcrutandas non difficulter progredi licebit. PRO DE COCBLEA ARCHIMEDIS: 261- PROBLEMA. I. I',. Dato= motu, ■ qiio- cyliirdrus circumagitur ,- et a^uae celeritatc per' coehlcam feu helicem cylindro cir- cumdud:.im , determinare verum cuiusque aquae par- ticulae motum, hoc eft eum motiim, qui ex motu gyratorio cylindri et motu aquae- progcefliuo per heli- cem- comppnitijr,- s o L V T r o: Slt circulus ACB bafis cylindri, cuius fuperficiei Kflix e(V circumduda , reda CD ad bafin in centro C perpendicularib- axis cylindri, circa quem cylindrus cum helice in gyrum agitur.- Ponatur bafis (emidia- meter. C Arr CB— «, et fit EZ portio helicis- in fu- pcrficie cylindri , quae cum peripheria bafis faciat angu- lum ZEYin^i et a pundlo lielicis quocunque 2 ad bafin dncatur axi parallela Z Y ; voceturque arcus EY~ /, efl: YZzz:itang.<^, quae cum^ heiice- faciet^ angijlum E Z Y='90°— i^ ; et longitudo helicis erit E r: ZcJ^. - lam^ aquae per helicem transfluentis- celentas fit debita' altitudini Vy hedicem enim EZ vbique eiusdem amplitudmis afTumo, ita vt- eodem temporis inftanti omnis- aquae in Iielice contentae eadem fit celeritas rr V v. Deinde quia tota Iielix circa axem C D gy ratur, fit pundi E celeritas gyratoria circa pundum C debita altitudini «. Reda autem AB fit fixa, quae fcilicet non cum ■ cylindro moueatur : atque initio qui- dem pundum E fuerit in A , inde autem tempore eiapfo — t motu angulari peruenerit in ■ E , fitque arcus» AE zzpj erit ob- motum angularem dp-dt V u,- Kk 3, Nunc: -Mja DE cocKLEA jncHmEms. Nunc confideretur primo motus aquae per hell. xem quafi quielcentem, ac ccleritas particulae aquae in ^ erit ri: y-:; eiusque dire(9:io erit Zs, qui motus re- fbluatur in duos, quorum aiterius diredio fit fecundum yZ, alterius kcundum Zv feu Yf, atque celeritas fe- cnndum YZ erit r;i: V .-y, fln «^ celeritas vero fecundum Z'V feu Yjr erit rnVi;. cof. ^. Ad liunc pofteriorem motum adiungi nunc debet jnotus gyratorius, quippe qui in eandem diredionera tendit, cx quo prodit tota celeritas pundi Z fecundum ^iretaionem Y y zz yu^Vv. coC .^. QuoQiam vero dire(9;io Yy eft variabilis, xcduca- tur ,ea ad dirediones .conftantes.j quem iniinem ex Y ad redlam fixam AB ducatur perpendicularis YX , ac vocentur tres coordiflatae locum pun^fli Z determinantes C X = ;e, X Y =:y, ct Y Z:= z, erit primo n zn s tang. <^; tum vero ob arcum AY ~ p-\- s^ et angu- lumA = CYfc^-i, eritCX = A' — tf.coi:^* et XY jirj — « fm ^. Tum duaia Yu redae AB pa^ rallela erit angulus Yju ~ ^^'. Hinc motus fecun- dum Yy refoluetur iu binos alios, akerum fecunduna Xu feu AC cuius c^eleritas — (ytt-4-y|rcof.^) fiiv ^-^ , alterum vero fecundum % Y xuius .celerita* — ("Vtt-i-y-ycof <^)cQf. ^j^*.3 celeritate recundum YZ ^xiftente — yi;.fin.^. Qiiare loco pundi % ad ternas coordinat.^s fixas i;e,dudlo, quae funt: CX:rA'_-^cof.^% XYrj-tffm.^^, €t Y2zjtang.<>: Tferu* VE eOCHLEA: ARCHlMEms: nCt verns particulae in 2 verfantis motus pariter feamduitii Iias ternai^ diredliones fixas refoluetur, ericque Celeritas motus fecundum CX=:-("l/«+yi'cof^)fin.*-^ Celcritas motns fecundum XYr-ftyz/H-T^i^cof ^)cof.^' Geleritas' motus fecundum YZ zz y v. fin,«^,, C O R O L L. I. sf. Hinc iam facile reperitur vera' celeritas partt Oilae aquae in Z- verlantis , , cum enim hae- ternae di- ff^«+V^cof:<>:/fin.-^ ddz _ dT- ^ « dt 2 — sdtv^. ""• S Tres ergo vires iicceleratrices qiiatfitne funt I. fecXX --i-, (^+---^1 fui/-?-^-,^ (V^+V-ycof ^)'cor;-±' II.fec.XYz: + i-,(^-: + ^-:^^-^jcof.^-5-(V«+V^co^)'fin.l:^ lllfec.YZ:! jfy^fin.^. C O R O L L. I. €. Transfernntur duae priores vires primum in pnndlum Y, ita vt hoc pundum a duabus viribus ac-Tab. II. ceicratricibus vrgeatur, fecundum dirediones YM et YN,FJg- 2. qae (unt Vis(ec.YM--f7'7:: + ^'?)fi"-^'-HV./+y^-cof.^)'cof-£^' Vis fec. YN = + .^(J^a ^^)con^^-^-,^(y«+y^cof ^/f,n.£-r-^ C O R O L L. 2. 7. Nunc hae duae vires in duas alias transfor- mari poterunr, qtiae agant fecundum dircdiones Yj, et YO, quariim haec fit ad fuperficiem cylindri normalis: atque cb argukm MYO ACYn:^', cx his du.ibus viribus refuitabit ToiTi.V. Kou.Com. L 1 1 Vis ^66 DE COCHIEJ JRCHIMEmS, I Vib fecundum Yy- Vis Y N cof. ^^ - Vis Y M fin. ^ II Visfccundum YO- Vis YN fui, £:i--H- Vis Y Mcof..-^» C O R O L L. 3. 8. Hinc ergo loco duarum virium, quae follici' tabant fecundum dirciflionei CX et XY, vel YM ef YN, in calculum introdueentur duae hae aliiie fecuit' dum dire^aiones Yjy et YO, qu-ae erunt Vis fecundum Yy^z^ir ^f^ H- '"^) Vis fecundum YO z:z - ^ (V u -^Vv cof. ^Y ficque angulus p -\- s non amplius ia calculo reperrruffir P R O B L E M A, j. 9. Tres Yires ante inuentas ad tres afias reducerffy quarum vna fir- fccundum direAionem helicis Zs di-- reda , duae rcliquae vero fiiat ad ipfim- heliccna nos-- snaks» S O L Lf T I O. Tab IT. ^"^^ 2^:; elementum helicis, vbi nnnc particufai fig. 3. aqnae, quae vircs iuucntas fudinet^ terftitur; fiique Zo non folum ad helicem Z:i, lcd etiam ad ipfius cylin- dri fuperficiem in Z normalis, deinde fit recfla Zr irti ipft fupcrficie cylindri fita, afque ad Zsr normalis. Tres> igitur vires inuentae ad tres alias reduci dcbent ^ q«a€: particulam a^quae loUicitent fecundum diredioues Zsf,, Zo et Zr.' Ac prinii) quidem vis imienta fccunduin YZ agcns zz. jTyV ^^^ ^?) obangulum hclicis YHZ-<^,, dabic I vira DE COCHLEA ARCETMEDIS. idj I Tim rccnndnm 2r r=- -^ fin. ^ cof. ^ II vim fecundum Zz =z: -^ —^ fui. ^ fui. i^ Deinde ■vis, qutie lcciindum dircdionem Yj feu Z^ agerc inuenta eft := .-^ (7^ -f - Hv"^)» ^^'^^^»^ ^^^''^' I fccundum Zz7=^ ,-jr^'„ cof. ^ -H dfvi. <^®^- ^' II fecundum 2 r rr ^% fin. ^ -H -^ fin. < cof ^ Tertio vis, c]uae fccundum diicaionem YO agcrc c& inuenta, dnbit nunc folii Tim fecundum Zo ■— — j^ {Vu-hy 'V. cof. ^)* <^uare tres -vires acceleratrices, quiinis particula aquac in 2 follicitari debct , Aft moium propofitura pericquatur , crunt : I fecundum dircdionem Zx: rr: jtv^u" ^^^ ^+ irT, il fecundiim dircdlionem '2r rr jj-^V ^i"- ^ Illfecundum diredionem Zo r: - ^ ("/«-f y-ycof ^/ S C H O L I O N. 10. HalDemus ergo vires, quibus fmgulac aquac particulae follicitatae effe debent, vt motus, qucm af. fumfimus, fubfiftcre pofijt. Mas autem vircs hic ideo ad tres dircdlioncs 2 2, Zr, et Zo rcuocaui, quo fi- cilius cum viiibus, quibus aqua in tubo adlu follicitatur, compar^ri poflint ; vt enim quantitates v et u verum aquae et cylindri motum cxhibeant , necefle efl:, vt tres illae vires inuentae conuenianr cum viribus, quibus aqua reuera vrgctur. Hae aiitem vires ftint primo flatus comprefljoms aquae iw tubo, deinde apprefl.o aquae ad Ll z latera &6S BE COCHIEA ARCKIMEDIS, liitera tiibi, quae fecundum ambas dirediones- Z r et 2(r fld diredionem tubi normales exhiberi folet. TertiO' vera grauitas, qua fingulie aquac parriculae deorfum nituiT- tur, imprimis examini; eft. fiibiicienda., qaod (eqiienti problemate inflituemus. PROBLEMA 4. iT. Si cylindrus fuerit Ytcunque ad horizontencr. indinatus, definire vires' fecundum ternas praedicfVas di:- rediones , quibus fingulae aquae particulae- Z in helic© ob grauitatem. follicitaatur.- S O L U T I a Tab. 11, Exprimat angulus & inclinationem^ bafis cylindri «ig- 4* ad horizontem , fitque in plano bafis pundlum fixumj A fummum", pundium B vero- imum , ita vt reda AB cum axe cylindri CD in pl.ino verticali fit conflituta. In hoc plano pet centrum bafis C ducatur horizonta- •lis CH', eritque angulus ACHrr^, feu fi ex puncflo • B erigatur reda verticalis BG axem in G interfecans,, • erit quoque angulus BGC — 0, atque ob gratiitatem- fingulae aquae particulae loUicitabuntur deorfum fecun- dum dirediones ipfi GB parallelas, et vis acceleratrix ^'S- ^' haec vbique erit — i. lam in prima figura ducatur quoque reda BG cum axe CD conftituens angulumj BGC — 0, ac particula aquae in Z vrgebitur vi ac- celeratrice — i kcundum diredionem redlae BG pa- rallelara. Rcfoluatur haec vis fecuhdum direcliones. GiC et C Bp prodibitque Vf» ^ DE COCHLEJ ARCHTMEDl S. t6^ Vis rccundiim GC — i cof. 0, ec vis fccimdiim CBr i fin, ^. Ex priori hnbebimiis pro particula aquae Z vim fehindum ZY — co(. ^, ex poftcriori vero vim fe- Tab. It cundum YM--fin. 0, vnde ob angulum MYOr^-=J-S ^'S- *• oritur vis fecimdum YOn-fin.d cof. ^-^' et vim fe- amdum Yj rr -4- fiiT. ^ fm. ^"a^* Hinc ergo pundum Fig. j, 2- follidtabitar ab his tribus viribus accelerritricibus ;. I (ecundum dircdionem ZY vi n coC ^ II fecnndum diredionem 7.0 vi — — fm. 0 cof. '^-~ III fecundum direclionem' Z 1; vi rr: -f fin. ^ fin. ^^^ Ex his porro ob angulnm z7.v — ^ orientur: Primo vis fecundum 7.z — vi Zi; cof 4" — vi ZY fin. Z, Tum vis fecundum Z/ — vi Z-y fin. ^ + vi Z Y cof ^ Qiiare pro tribus direcfiionibus Z^, ^r ct 2^(7 obtine- bimus feqnentes vires acceleratrices tt. grauitate" oriundas : I Vim fecundum Z::=cof. <^ /In. ^ fin.%'-fin ^fcof ^ II Vim fecundum Zr=fin. ^fin.$fin.^'+co/.^cof ^ III Vim fecundum Zo — - fin. 0 cof. ^^, P R 0 B L E M A 5. 12, Data, vt hadenus, tam cylindri,- quam aquae %. |t.- per helicem motu, definire flatum. compTeflrioais aquae i» fingplis heCcis pundis.- 270 D£ COCHLEJ JRCHIMEDIS. S O L V T I O. PiMerenti tcmporis jnftnuti, quo initium helicis cfl in E, txilkrite arcu AEzr ^, confideremus he- licis puncl:um Z, vt fit E Y r:: .f , et Y Z — s tang ^ exificnte lielicis angulo YEZzzk^, fitque flatus com- prellionis aquiie in punclo 2,— q, feu denotet q pro- funditatem, ad c]uam aqua quicfcens in ptiri ftatu com- prenionis exirtat, eiitque pro hoc moraento q funftio quiepiam ipfius j, et iu punfto pioximo z, exilkntc "Yjzzds, ftatus comprefllonis crit —q-^-dq. Sit iam amplitudo helicis znhh ^ erit particula aquae in por- tiuncuU Zs contenta --^|^^; quae ergo in Z propel- ktur vi motrice ■zz.hhq , vs\ z •veio repelletur vi 7=:.hh{q-\-dq^\ vnde exiftit vis moirix rcpellens, feu fecundum zZ> vrgens z:^hhdq, quae praebet vim ac- celeratricem — ^^" , Qiiare ob flatum compreffionis particula aquae in elemento helicis Xz contenta fecun- dum dircdioncm Z z follicitabitur vi acceleratrice — — TF^- Praeterea vero ob grauitatem eadem par- tieula, vti vidimus, follicitatur fecundum Zs vi accelera- tricc zz cof. <^ fin J fin. -"^^ — fin , ^ cof. ^, vndc coniun- ftim tam ob gravitatem, quam ob ftatum comprcflio- nis aquae, particula aquae in helicis pundlo Z conten- ta vrgebitur fecundum diredlionem Zs vi acceleratrice, quae erit cof. ^ fm: 0 fin. ^* - fin.^ cof. ^ - ^-^l^ haec- DE COCKLEA ARCUTMEDXS: ±7% haecque efl; vis , qna ifta partiaila acflu vrgetur, recnlT-' diim direL^iotiem Zs; ex quo necelTe eR, vc ca ae- qualis fit illi vi, qua liipra puudum Z ad motus coa- feruationem folliGitari dcbere inuenimus, £;cundum ean- dem diredionem Zxr. Qiiae ciim fit inuenta ::= dt?S cof. ^ -i- aT?^ habebimus hanc aequationem i momemum refpicimus,, quantitates a tempore t penden- lcs, quae funtp, «, i;, itemque ^ et j^, tanquam conlkrues' funtlpedandae, ex quo integratione inftituta habebimus. ^cof<^rC-^coL nens motu quocunque m gyrum agatur , inuenire ma* lum quo il\a aquAe portio per helicem promouebitiic, S 0 L V T I O, Sit bafis cylindri femidiametet CArr CB — ^, ctTab.Il Jingiilus, quem helix EF cum ba(i cyhndri conftituit % > BEFr: : et cylindrus in plagam AEB gyretur, ita vt puncti E celeritas fit ^::/», erit dp-^^dfVu. Occupet nunc portio aquae in helice contenta Ipatium M,N , cuius longitudo fit MNir^, ac dudis axi pa- raljelis MS et JSIT fit aquae ab initio helicis diftantia EMii:a", erit EN::^:^-}-/, et ES — :tcof<^, atque ETzr (Ar-4-/)cof, ^; celeritas \ero, qua haec aquae por- tio praefenti rromento per helicem promouetur, Cit^zYv. His pofitis, fi in pcrtione aqiiae • M N pundli.m quod- piam medium Z confideretur, et arcus EY ponatur —/, £rit ftatus compr fllonis aquae in Z , qui per altitudi- Eem ij exprimatur , yti in problemate praecedente eft erutus ; ^cof^rC-^cof ^fin hof.f^'-s{in,^coL^-^^^-L^^ lam vero conftat in vtroque termino M et N ftatum compreflionis euanefcere debere ; fiue ergo ponatut /— .rcof <^ fiue j-— (a'-4-/) cof^, fieri debet qz^oi vnde duplex nafcitur aequatio pzC-tfcof.<;fin. ^cof ^==4^^ -xfin.^cof ^ cof 0 p -C-«cof ^fin. e cof..^-^-^t --(•^•+/cof;^(fin.^cof.p ■ , ducofj^ ^_ dy \ Tnde, conflnntcm C eliminando, obtintbitur ; diuidencp per cof ^, haec aeqiiatio, a fin» DE COCHLtA ARCUIMEmS. 275 I fducof.^ fdv '~i UIVu —t— dJV» vnde motiis aqune ^per helicem defiriiri .debet, ^vti ^nim •eft ifpz=zJtV,u, ita «rit dx^dtVv. MiHtiplicetiir ergo hnec aequatio per dp-{-4xcof.^ — rin.^cof.f+ a.y.H^ + vcof.i^ ex qua fit y/: + coi:<, V vrr^y (fc-tf,4irm -^cof.^cor. & -V-tfcof ^Mln 0(1 — cof C|))) ideoque dt—:^ri^a^j:;::^c~oj:^~^}j:\^7^ - C O R O L L. 4- 17. Similitnodo fi generaliter , pofito tamea niptn g"ratorio conftante, feu u — fe, ponaiur litl£^^ ^ et ^4^ - y , erit qiioque dt =z r:^.^ et ^"-* fin.Cp r i£3Li^ll fin.(Y+4)}+«(|) fin.^coi. ^-Y^Vkv-^^vcoi ^±Q. ideoque , . ■ yife-t-cof^y-yzryCC+^cof^^fiii^^fin.Cl^-fu^y+Cl») -<2(pfui.<^C0l. :=: ^'.^^^iil, QiTare DE COCHLEJ JRCHIMEBIS. i^s Qiiare ciim- Cx p > -^t" , etiam angului (p rega- tiue accipiauir , habebin us trgo pio hoc n i ui : (p — f-l^^k dtz^ ^Jtfz^rv atqne Vfe-cof ^, Vv =::.y(C-^cor.^^rinJaKi.Cp-fin.t(p-Y)) + «(pfm. crit.y/^-cof.^. V^- ^(-i-f- v''' ^'^i"-^ {Gn.(£+Y) -fin £-fu,.Cp + fm.(Cp-Y j+rt:^HCp)^in.^vol.<^cof.d). F R O B L E M A 7. 20. Si, dum cylini!rus d ta cderitate vnifbrmiter T^^b H. in phigim BEA gynitur , hciici in C particula aquae '8* ** feu globulus inferatur, qui deindc a motu cylindri abri- piatur, deteiminare motum giobuli pcr belicem. S O L V T I O. Sit y k celeritas, qiia punAum cyh'ndri E in gy- riim agitur , in fenfum E A ; fueritquc eo momearo, quo gl(ibr,lus in oriiicitun helicis E immittitur, angu- lus ACE — a. et tzzo. Fieri autem nequit, vt ce- leritis g!r biili initialis fit — o ; fi enim celerit.is eius rcfpedu tubi fecundi:m EM ponatur rrV^t;, eius cele- ri';s vera crit zziV [k-^- v-!i.<:oC^.Vkv) , omt non potefl euanefcere. Ponamus ergo hanc celerirrtem ini- tio fiiifle minimam, ac repfrimrs V vi^zcoi ^ V k., ira >t cclcmas vtra fuerit — Hn.^.V^, cuius dire^^io nd Mm * EM z^6 DK COCHLEA ARCBIMEjyiS. EM erat normnlis. Idin. elapfa tempore f^ ile tt fiiprft A Rrrp j gjobulus vero reperiatur iiT M exiften:. fe EM = :Vy cuius celeritas relatiue iii tubo fecuti» dum MN fit rrV-yjerit dpzri — dfVk ei dx~dtVvr^ et pcr §;. 15. motus definietnr hac aequatione ^ fumtjt fcilicet ceieritate Vt negsitiuai. Cona-^cof.^rin.ffcoa^:"^^-f(^-frcof.^)fin.^,cof# — 2.V kv -i- V xioi'. ^'^ Conffam aiitem ita efF definiendk, vr pofito^ f=z ©■ feu ^ rrcr, fiata;— o et Vv — cof.^.Vk, ficque eric Conff. rr )? -^ a (a- C|>) fin. ^ coC ^ cof t)i tnde ad' datuifl Valorenff icfiuii Cj) dicimus valorcm ipfiusi y i>V quO' inucuto erit- J -— —d(byl'k ,^ . tfuiut integral& iu^ debct- capl^ vt pofito oi-rr/?, fia^" DE COCBLEA JKCHIMEDIS. 177 (prra. Ex hae ergot aequafione' integrilr viciflTm' M diitunr tempiiS' ang.ilc w expreffum, reperitin? angulit» (p , ex eoque porro locus- globuli in helice , feu portio EM — j^ r:: °' Tof.f^ > eiusque infopec celerita» relaF' fiua in lielice y v lcilicet y« — 1.^- y(£fin. ^*tang.^'-h«fin.d>r.a-cof.(^>^ -ir a (a-(D) tang. ^ col. $> C a R O L L r. «r» Expreffio co(. ^ Vii — yk- defignat ceferita- feTra veram; pundli S in bafr^, quod globula m M re-- ^ondec Cum' enim giobulus xtelocitate Vv in lielic©. fecundum MN progredi poncUur, erit eiuB celeritas an- gularis circa axem. :rx cof ^. V v ,, refpediu Iklicis y, quia; autem lieljx ipia im plagam oppofitam~' conuertitur cele-- jritate — V k, erit; ver* globuli celeritas rotatoria ,- feu? »otu9 quo punduna S a iujnnaitate A iecedit — col, ^ •Yv-.Vk. C O K O L L fi. s-£. Ipfo aufem motus ittitio, quo y-yrrcoC^V^;;^ ftaee celeritaa erac negatiua,, fcilicet — (cof ^* — %)) yk-i. — 'fin. <^' Vky ftatim ergo ab initio- etiam- • nunc" eric ncgatiua; len angulus ACS— :Cp diminuefur,. qua«^ cfli rutio-,. Gur c;ilculaS' pra coC^ V - y/i-r-- y (/kfin. ^*+ ^ cof..^ fin. $(co(. a- cof.Cf))/ -i-^ ( ct — 4)); fiuv ^ cof ^ coi: 0). Hic ergo^ vaTor' in- aiSrmaduum abiie,, fea angulus» ACS^Cp augmenta c;>pere nequit,. nifi: poftqiiam fiie-- we cjtiatHitas- tlla radlcalts rn o.. Pofliqiiaw autem; hoe M m $ eue:* «78 DE COCHIEA ARCHIMEDIS. ciierierit, tiim fij;ui illiiis radicalis valor uflirniatuie erit atcipiendus, ^i,..,, C O R O L L 3. S3. Q.icwiiam autem ab initio iuigulus 0 decres- cit tam diu, donec valor (juunrit.itis illi. s radicalyj euanefcit, eousque dp \ltra a dimiiuietur, feu trit Cp<^ a: Ponatur ergo

:^f^cof|*fin.^(cof;a-g C 6 R O L L -j., 24. Qiii* autem augendo \{y cxtremus terminns continuo crelcit, medius vero qui e(t negatauiS-tf cof. <^* frn. ^ (cof (a- v^)-cof a) tamdiu tanium crekit , qnoad fiat vj/ :— : a, feu Cp— o, manifeftum eft, ^iifr formula illa in nihilum abeat, antevjuam fiat vjy — a, eam nun- qnam effe euanituram ; globukimque continuo cclerius lecundum motum cylindii gyratorium abreptum id, Hoc ergo cfl(a pundum S coutinuo celeriib in plagam 3EA conuertetur- C O R O L L $, 25. Si ergo quantitas ifta radicalis ponatur n: V, n fit cof.'^ y ^ ,^ V/: rz ^ V, feu V^ ir ^^^, ob Talorenj ipfiuj V hoc cafu coutinuo crefceniem; ceie- rlt;i6 JDE COCHLEJ ARCHIMEDIS. 279 lita? gjobiili progrellnia m helice feciiiKium (Jir.edioriem eius EMN tiindem euanefcct, pofteaque adeo fiet nc' gatiua , quod 'vbi acciderit, globuliis per helictra re- \eitetiir, ac per orificium E itcrum erumpet; liqui- dem cylindrus fuerit longus, -vt globulus m liiptrio.i hclicis termino K non erumpat, antequam reuertatui*. S C H O L I O N. 25. Cum poflto 0 — a — \py et V=zy{k fm. ^*- a cof. <' lin. d .cof (oc - v^) - cof ct) -f « vl/ fin ^ cof ^ col. d) qnantitas V tamdin neo;atiiie fit jiccipienda, fcii habea- tlir cof. ^Yv — Vfc — — V, quamdin augendo angii- lum vj^ quantitas V rcalcm oVtinct valoicm \ .ftatim tbtem atque haec quantit.is V euaferit nro, inde an- gulus y\/ iterum decrefcat, fignumque contrarium ipfi V tribui debe;ir, vt fit cof ^V-y — yjfe— -f- V; duos habcbimus cafus pi^inclpales euoluendos, quorum alcero tspiam augGndo v|> ab initio fit V~(7, altero vero hoc nunquam euenit. Statim autem ab initio fiet V zi: 0, fi fit vel km 0 vel ^ — 0: tum aliquo tem- pore pofi: initium hoc euenire ponajTius, deniqjie vero iuoquamj vnde fequentcs cafus diligentiiis eiidltlamns. CASVS I. .^-;-; . 27. Ponamns ergo primo motum jcylindri rota- torium penitus euanefcere, feu elTe k~o. Cum igi- tur in ipfo initio fiat W — 0, ftatirp ab initio ipfi V contrarium figno trlbui deber, vt fit. cof ^ y 17 n: H- V, ^cu V v ~^^^ atque angulus \(/ inde iam erit nega- tiuus, ieu angulus <^ continuo creicet, vt fit 3E80 t^E COCnhViA ARCHIMEDIS. ^dt- '^ - ^, ;atqae E M ::= a— ^4rr • ^uiji frgo initio erat cprsix, «t Va^i^Oj ponami»^ tempore elapro /, efle 4) rr jx -f- vvp , *t fil V^yfrfcof. Cfin..^ (cor;t-^cof.(]>' :iz (? . et tu.m corpns xurfus in E, ficuti initio^ Jiaerebjt.; vnde enndem motum denuo inchoabit.. At eueqire potefl:, vt hacc globuli reu,erfio jn jpCiim qua- fi initium fnotys incidat, atque angulus vp ne mininum ^juidem .angeri tura fieret oegatiijus. peria^c ac valor ipfius ;«;, et V. Hi DE COCHLEA JRCHIMEDIS. 281 feii inclinatio bafis cylindii ad horizontem maior, quam angiihis BEF, quem- helix ciim bafi cylindri conrtituit. Hunc aurem motum in helice quiefcentc fufius non per- (equor, cum nihil habeat difficultatis. •C A S V S 11. 2 8. Ponamus motum gyratorium cylindri ita efle comparatum, vt motus gyratorius globuli circa axem, qui angulo vj^ indicatur, et initio cum motu gyratono cylindri in eandem plagam fuerat diredus, pofl: ali- quod tempus in plagam oppofitam refledatur. Angulus ergo v|y eo vsque augeri poterit, vt fiat fefin.^*z=«cof.^Yin.0(cof(a-\l^)-cof.a)-«\l^fin.^cof^cof^ feu Vrro; hoc autem fieri nequit, nifi fit con(a-vP)-cof.a>g;-5. v{.. cum igitur ab initio fuiflet \p —0, necefle eft, vt po- fito vjy euanefcente, fit fin. a >> *^rr I^einde valor ipfius cof. (a— vp)— cof a— [l^ vp erit maximus, fi fin. (a-v^)=r;,^i Concipiamus hoc pro vp valore fubftituto fieri cor(a.vV)^cof.a-;5:|: v{. rr M atque vt valor ipfius V augendo v|/ tandem euanefcere queat, necefle eft, vt fit k fin. ^* < ^ M cof <^' fin. $. Qiiare, vt hic cafus locum habere pofllt , fequentes tres ccnditiones requiruntur. I. vt fit tang. $ > tang. <; feu 0 >> S79 = ac denique III. vt dt k ccntinuo decrefcet, feu motus angularis globuli fiet contrarius mo- tui cylindri, et tribuendo ipfi V fignum contradum , habebitur V^-y — -^T^- , et quando fiet vj^— o, erit V=:fm ^' Vk, hincque Vv~ ^g^V^.et x- ^, • Inde fiet vj/ ncgauuinn , et didantia .v ndhuc raagis' crefcet, dum pofito 4/ ncgatiuo fiet x ~ " " ^/-^ , do» ncc fiat - Y :=: V{k^w\.^*-\-a cof. ^'fin. ^ (cof. a- cof^aH- v|y)) — ^ \4/-fin. 4 cof. ^ .cof. 0) n 0 ■ ct eo vsqiie crit V-v ~~^^ : vbi ^ autem- fiierit V — i?^ euadet Vrj— ^gj^- qui ergo valor ante hoc tempus maxi- miis fiiit, vbi erat fni. {a ^ \\^) z=: ~\, Poftquani aiuem &erit V ~ o, anguius \p iterum decrefcct , in- deque ctiam diilantia x minora capict incrementa, eriJ> que Vv~ ^cq/^ ^ , donec euadat- vjy zr: o, tumque erit V. = fin. C V k-et.Vv = coC.i^ Vk, atque .r- — -^^. Hoc ergo tempore celeritas Vv eadem crit, quae sia:t initio, iadeque motus fimili modo propagabitur. Motus- DE COCHLEA ARCHIMEDIS. 2^3 Motiis crgo per helicem contitnio erit progreflluaSj fi perperuo fuerit V ^V k: fin autcm inter eas mo- tus partes, vbi V^y — ^^-, cueniat, vt fiat V > V^ it , tum globulus ^bi per helicem regredietiir , donec V v iterum fiat affirmatiuum. Valores autem affirmatiui praeualebunt ; vidimus enim poft primam periodum, <]ua celeritas ad initialem redit, globulum (patium ab- loliiifle in helice .v — ^^y et pofi: n huiusmodi pe» riodos promoiiebitur per fpatium helicis .v ~ 33^ , fic* que continuo altius cleiubiturj dQn<;c tandera per fupe- ?riui orificium K eiiciatur» C A S V S III. ^p. Fonamus motum ita eflc comparatum, vt •poflquam ab initio an^ulus v[/ — a — Ct) incrcfterc ceepir, uunquam euadat y = y{k fm. C - a coL ^' fin J (cof {a. - vP) - cof a) -i- « v{y iin. ^ cof. t co!. ^) — 0 ynde hic angulus vp continuo magis augcbitur , valor- que ipfius V increfcet. Tiim autem prodibit V 1» =: ^^^^— , lEx quo fequitur, celeriiatem V ^ tandem euanefcere, glo- bulumque inde ad inferiorem cylindri parttm reucrti , donec in E iterum «Jabatur. Hoc etiam intclligitur ex formula .v — ^It^ - ; diflantia enim .v diminuetur , fi 'fuerit «/oj^d^vly feu, ^^^^- J^ff^ , tamen ca- fus tertius locum inuenit , fi fuerit k > "'"{'i.'/!— . M. denotante M maximum valorem, quem expreffio cof. [a — vp) ~ cof. cL— l"'nfi- vp induere valet. Hinc ergo patet, gyrationis motum nimis celerem noa efle aptum ad globuliim ad datam quamuis altitudinem eleuandum, cum motus tardior hunc effedum praeftare valeat. Fieri ergo poteft, vt ob gyrationem nimium velocem effedu friiftremur, quem tamen tardiore motui confequi poffemus.. E X E M P L U M.. 30. Sit ~^l z= l et nngnlus initialls ACE rectus, feu ampo", atque \(^ — 90° — Cp , ficque \\j denotabit angulum, quo globulus circa axem verfus pundum fummum A ab E eft translatum tempore f„ quo cylindrus per angulum rr w elt conuerfus , ita vt fit ^o) — ^^. Habebimus ergo V=.y (k fin. C-^ c«^- C fin- ^ (fin. vp - l \|/)) , e^ ^w =: ^^^ atque V t =r —j^ ; nec non.v = ^jj^j^. Qiiamdiu crgo motus gyratorius globuli in fcniiim BEA dirigitur, valor ipfuis V in his formulis affirma- tiue accipi debet, contra vero negatiue. Ab initio ergo crefcente ^4^ , decrefcit valor ipfius. Y ob fm. vl^>i4/: quamdiu manet ^fiu,^*> — jvj^). Cum igitiir ipfiui fui >4^ — ^ \4/ valor maximus fit^ fin. vp — 60" — 5 tt , deuotante tt anguliim duobus redis aequnlem , fiatque hic valor maxi- raus zz-Vs — jTT— 0,3424.2(57. Qiiod fi ergo fucrit /tfin. ^*<^ o, 3 4 2 4 2 6 7 >o,3 42 4.2 57 ;m; atque angulus ^4^ continuo crefcet , valor autem ipfius V initio decrefcet, donec fiat vp =1 60*, vbi valor ipfius V erit minimuSj fcilicet r fin ^"^ V{k — 0,3424267 na), ideoqne cekritns globuli progrefiiua per helicem maxima. Inde vero valor ipfius V iterum augebitur, tandemque quando fin. 4/ cr: 5 ^*? ^"0*^ euenit fi v{^~ 1080,36* 13", 56"r, 2 2ivfietV=rfin.^\yit et Vv — coi^.^.Vk, quae celeritati initiaii eft aequalis, Poftea vero crefcen- tq vlterius angulo \|y , valor ipfius V mngis augcbitur , fietque tandem Wzr.Vk,(tn k[i ~C\n.^*) — (2 cof. ^'fin . 0 (■vly-fin.vP) feu l^\y-Cm.yl^=.''-^^;^'^^- hicque celeritas globuli in helice euanefcet, ex quo 03 reuerti incipiet, et quidem motu accelerato, quoniam, crefcente \|y -yltra Iiunc terminum, qiiantitas V eo maiora capit augmenta. Definito autem \[/ ex aequatione s^^^^-fin.^^^ ~ — ^.s — ■» quantitas x — —z^- dabit fpatium 111 helice , ad quod globulus penetrauerit, et vnde dein- ecps reuerticur, Tempus autem, quo huc vsque pertin- Nn 3 gir^ £86 DE COCHLEA JRCHIMEDIS. git, reu angiiliis u, a cylindro inteiea motii gynvtorio confeftiis. dtfinitur luc aequatione: _ ^^l^Vk fin^, erit Vz=:fin.^' y(^-;;^ (i\|/— fin. >4^)) et Vv — .^(^ - . ValoF ergo ipfiiis V eontinuo fiet minoi-, indeque etiam celeritas V v , donec ftat I v|y — fin. v|y. ^ ^ , quo cafu erit V-y =- ^^, <5'°. Tum autem hic angulus \}y, qui maior eft quami' 108*, 36^ ittram decrefcet , fietque l/ v — ^h^ exiftente- V — fifi.^^y^^'— ««(sv^^fin.xl;/)); fieque cc- leritas V v decrefeet , et quando fit \|y rr 108° 36', prodibht V=r.fin.^'V/fe et Vv — cof.^Vk , quae aequa-- Ife eft' celeritati initiali. ^mo porro angulus >4^ infra hunc terminum decrefcet^ et o'o fin.v}y>ivp, erit V:zfin.^!y(^4-w«(fin. vp-iv^)) et y^y — ^J^-^: et quando fit v{y— 5o, quo cafu Talor ipfius V erit maximus -Cm.^^Vik-^-o^^A-^^z^^yna)^ et celeritas globuli minima y^— ^^^-^'"•^'^(fcHy^,^^)^ Nifi ergo fit Vk^ fin. <^' y[k ^- o, 3 42 4. 2 6 7 wtf) ihuk^^^^^r^tf^, cuit. fit H 2^£±-_|£^c^r«^f. globukis ant^quum ad hunc terminum peruenit , : regre- dietur in helice , propterea quod cius celeritas y-y iit ncgatiua. Reu^rtitur ergo globulus, fi fit k<^ °'V^fin7p''y nbtt autem reuertetur, fed perpetuo per cochlcam pro- gredi p^rgef, fi fit fc> °''' ^ ' ^^ly^yr^. Qiiia autem ©ffe debet k <^ 2ii±.ils±^lJ2liSL{!±i^ mamfeftum eft, hunc cafuosi 28S DE COCHLEJ ARCHIAIEBIS, cnriim lociim obtinere non pcfie, nifi fit i > 2 fiii. ^*, feu rm. ^ ^y l; hoc efl: nili ringulib hcliLis ^ minor fit qii.im 57°, 14.^ 8™. Poftquam autem anguhis \\j vltra (5o° fue- rit diminutus, etiam vlterius decrefcet, eritque adhuc V — m. l; y (ife + « ^ (fin. v{y - 1 H^ )) ct ^' V — ^- valorque ipfius V continuo fiet maior, vt et celcritas yi'» quae mox affirmatiua reddetur, ct fidto ^^'"O redi* bit ea, vti erat initio, y i;zz:cor.<^.y ^, Cum globulus huc peruenerit , anguhis vj^ iterum negatiuus euadet , feu motus angularis globuli motum cylindri fequetur , feu erit iam C|)<^a, (eu Cp^^po"; vel globulus in fuperiorem cylindri medietatem eleua- bitur, cum a Nro. 3^'° in inferiore effet vcrfiitus : atque nunc pari modo motum fuum profequetur , atque ab initio fecerat; ita vt iam eaedem motus partes , quas defcripfimus, fmt rediturae. Qiiod vero ad tempora attinct , quibus quaeque motus huius pars abfoluitur, ea nonnifi per quadraturas definiri potcrunt ope formulae rt^wrr y ~ ^ quippe cuius integrario exhiberi ncquit. PR0BLEMA8. 31. Si vna integra helicis circumuolutio EFGtf aqua fuerit replcta, atque cyhndrus fubito in gyrum agi incipiat celeritate vniformi , quae in puntflo E ft ^y^, idque in (enfum hchci contnirium BEA, inue- nire motum , quo ifta aquae poitio per heUcem pro- mouebitur. SOLV- DE COCHIEA JRCHIMEDIS. aSp S O L V T I O. Pofitis bafis cylindvi radio CA — a, angulo helicis BEFn:^^, angulo , quem axis cyiindri PQ_ cum vcr- ticali conftituit, PQRzi:^ ; fit ipfo motus initio nngii- lus ACErra; quo tempore aqua in hclice fpLitium EFG^— / occupct, quod cum vni integrae reuolutio* ni fit aequiile, pofito ~- — y, erit y angulus quatuor redis aequalis , feu denotante i : tt rationem radii ad feir.icircumfcrentiam , erityrr 27: et/— |^^, et ipfa aquae copiar--^j^ , fiquidem hb defignet Jimplitiidi- nem helicis. lam elapfo tempore t , quo ipfe cylindrus circa «xem conuerfiis erit angulo — w, vt fit d oi ~ ^-~ , ^u 0) — '— ' , ideoque ? r: |^ , peruenerit aqua in he- lice in fitum MF Gem; ponatur ergo fpatium EM=:a; • ct celeritas, qua aqua per helicem promouetur — V 1; ; * •vt fit dx —dtV v— ^^. Ponatur angulus A C S r Cp, * et ob angulum ECS— ^^, quia pundum E angulo 0) ad A acceffit, erit Cp — a-w-H ~^, ideoque ^ -c-HCp-a: et^hinc ^ -'-^-^ ^^^^^^^ ita vt fit d(j) — ^^^—;rk' ^t ex §. 17 habebitur haec aequatio ob y — 2 tt et fin. (y -f 4/, ¥t fit C|):ir.a — v|y, erit ^^^rzw-vj/ etx _- eif^) tum Tero coC ^Vv-Vk — -V (kCm ^»^ ■^a^l^^lni^coC.^coU) feu ^ ^, _ ^iwfK^^^^^.j^ entque 4/=::ojfui.<^'+ ^ fin ^cof^cof.Q Ex qiTo obtinemus pro tenipore per an^uluin m indicato : Vv-co^.Vk-"^";^^ ct Azr^ajcof<~^ fin.^coCe ' elapfo autem tempore / ert w zr: ~ :, ira vt fit V V zizcoi:.^ Vk-lt fin. .i^ cof $ ;et x=zfcoi:^ Vk-ltt fin.^cof>0 ip-uiutn ergo S M , per quod aqua iam fecundum dire:- .d:ionem axis cylindri •ent promota, erit xrm.^ — tCia.^coV^Vk-lttCm.^^coCQ •vnde fpatium, per quoi \erticaJitcr iam erit eleaata .aqu.t coiKlnditur xCm.^coCJzztCm.^coC.^coC.^Vk-lttCm.^Q' cofl' C O R O L L. J . •32. Si cylindrus plane non in gyrum ageretur, fed ia quiete relinqueretur , vt eflet k—o, timc elapfo .tempoBB DE COCHLEJ JRCHIMEDIS, ipt tcmpore t eflet V v—: — lt{ni.^cofJ ct x— — lttf\r\.^ cof, ^. Aqiv.i ergo , riqiiidcin cochlea dcoiTiim \ltia E elTec contiinwni, motii vniformitcr accekrato, per cylui- driim delcendcret , ciiisqne motns fimJlis forct dcfcenfni corporis fupcr plano inclinato, cnins angnli indinationis ad horizontcm linus eflet — fin.^^cof.^ C O R O L L. 2. 33. C3'lindro antem in gyrnm ado in fenfum EEA celeritatc zzlV k , aqna qiiidem ab initio motns fccnndnm cylindriim afcendet , quamdin fuerit /:>i^aj tang^cofO fen Vife^inang^^cof. 0: Elapfo antem tem- pore t — f^;;|77c.j7j , motns afcenfns ceflabit , pofieaquc aqna per cylindrum defcendere incipiet. C O R O L L. 3. 3+. Pofito ergo t^f^^"^^, maximnm fpa- tium X pcr quod aqna in cochlea fuerit promota , eric x~j^^'J,li \ ideoqne fecnndum longitndinem cylindri .confecit (patium xfin. <^— ^g''/^ ; et perpendiculariter jeperietur eleuata ad akitndinein Arfin.^cof $ — fecof .^^ C O R O L L. 4. 35. Portio ergo aqnae, quae integram fpiralis reuolutioncm implet , ope cochleae archimedeae ad inaiorem altitudincm eieuari nequit , qnam qiiae fit rr^cof ^^ Qiio celerins er^o cylindrui) in gyrnm agitnr , eo altius haec aquijc portio eleuari poterit , ct haec qnidem ahitudo proportionalis erit qnadrato cele- litatis gyrationis. Oo s, COROL. 25= -D£ COCHLEA ARCHIMEDIS. C O R O L L. ?. 35. Sit altitudo, ad qnam aqua ope cochleae Archiincdis deuari debeat, z^ c ; praeftabiturquc hoc tempore t \t fit r=:rrin. ang. BEF. Deinde \t fit fm. a fen fin. ACE > ,^^ : tertio antem requiritur , te, denotante M maximum valorem pofitiuum , qucm ex- prctlio cof. (a - v|>) — cof a — ^^ ■ vj^ recipcre valet,, quod euenit cafu fin.(a- v|.)- '-0,, fit k>am. ^^^f ^ Si crgo altitndo celeritati gyrationis debita k fuperarct hanc quanritatcm, aqua, poflquam ad certam altirtidlnfm pcruenifler, iteruijn c!claberc Pottiimus &yii.v=zz vt fit -y — ^, habcmu& : . 29^ DE COCHLEA ARCKIMEDIS. -ydz-^- ^^"-^ ~had(pcoC^ fin. 0 cof. {(p + y) =: fl' C}) (f cof <^ - ^ y fin. ^ cof. 0) Ex qiia aequatione valor ipfius z defiuiri debet. Quod autem ad prefiionem aquae ad latera tubi attinet, quatenus inde motui gyrationis refifiitur, fupra vidimus a grauitate aquae oriri vim (ecundum Zmfin.i^fin. Ofin. pj* " 2 ■ -^-^ -h cof. ^ cof ^ , vnde oritur vis fecundum 2 v =z fin. ^' fin. ^ fin. ^-^ -H fin. < cof ^ cof 0, quae per elementum aquae rz ^^^ et radium a multiplicata dat momentum elementare motui refifiens, vnde totum mo- mentum erit rt Z^ /:' (kof -^cof ^ + "^^f^ (cof (p -cof (4) -f V))) tantum ergo moraentum a vi gyrante fuperari debet. C O R O L L. I. 41. Pendet ergo determinatio motus aquae per cochleam Archimedis a refolutione huius aequationis differentialis : - y(^z-h ^^^ -i- ad0cof. ^ fin. $ cof ($ -\- y) =z(i(p (cof ^-ayCm.^ col. Q) vel ob y — |^| iftius aequationis -^^-^ ^^ + ad(^Cm. Ocof (0 + y>^(t)V-^cof5) quae cum" pluribus difficultatibus fit obnoxia , patet theoiiam Cochleae Archimedis maxime effe arduam. COR. DE COCHLEA JRCHIMEDIS, 297 C O R O L L. 2. 42- Si cochlea in qiiiete relinquitur, vt fit £rr«i, loco elementi d CP expedit in calculo relinqui elcmeiitum tennporis dt et ob angulum 0 cooftantem habebitur: ^V^ + VZIZC -bzoi. $-a finJcof.(,Cj)+Y) vnde raox nafcetnr motus vniformis, v — c— Z^cof I — ^fin.^cof (Cp-f-y) quo aqu.i per cochleam fluet, fiquidcm fit ^>(^col. -^ + ^^finJcof (,(J)+y) C O R O L L. 3. 43. Si cylindrus in fitu verticali fit pofitus ob $=zo evk ^~;r^-h^—d(p[c-b); vnde fit ^/.Cpzr^;^^:^,-^ et iiitegrando^^ft-^y^iiM — A tang. y7r(r~> ^I^J eft V -y rr: yTj, Cum aute^m, fi initio fuerit Cp =: 0 et 2; !=: aqua hoc momento fefe iam ad motum tubi accommodauerit necefle eft, ita vt tum pro motus initio fiitiu-um fit n: ~o. Hanc ergo ob rem aqua ftatim defcendere incipiet , neque vlla eius gutta fupra eiicietur, fiqaidem fit b)> c. Qiianquam autem hunc cafum quo ^ — 0 feliciter expedire licuit , tamen pro fitu ccchleae incUnato, nihil admodum ex aequatione inuenta elicere licet,^ fed natura motus aquae his cafibus nobis abfcoii'- dita manet, propterea quod haec aequatio ad formuiam Riccatianam refereuda commode tradlari nequit. Ex quo infigne Analyfeos defedus excmplum agnofcimus, quod machinae frequentilfimo vfu maxime peruulgatae cfFedus pendeat a refblutione huiu^modi aequationis, cui anificia in An.ilyfi adhiic detecla non flifficiant, qui cafus mihi adeo mirabihs efl vifus, vt etiamfi in liac inuefiigatione fcopum , quem mihi propofueram, non attigerim, tamen hoc argumentum dignifiimum exifli- mauerim , quo Gcometrarum vires ad id penitus. expe- diendum incitarem , quo labore non folum maxima commoda in Mechanicam redundabunt, fed etiam Anar lyfeos limites Iiaud mediocriter promouebuntur. DE ^m- )( o }( ^& ^99 DE APTISSIMA FIGVRA ROTARVM DENTIBVS TRIBVENDA. AVCTORE L. EVLERO. Qnnndo in mAchinis vm rota ab aliii ope dentliim moLietur duae res rcquiri folcnt , quibus (lUisfieri oportet : Primo, vt, dum vna rota motu vniformi gyratur, alterius lotae motus pariter fiat vnifbrmis. Ac deinde, \t in mutua dentium adlione nullus flttritus oriatur. Qiiibus conditionibus vt j&tisfiat , fint A et B Tab. III, ccntra rotarum, quarum altera alteram ad motum concitet, ^ 'S- ^' fmtque EM et FM dentes, qui nunc in fe mutuo agunt, punfto contadlus exiftente M. Dud:is ad apices vtriusque dcntis redis AE et BF vocetur AB rr^, angulus BAE:zC{), et angulus ABF-^4^. lam dum rota A vnam facit reuolutionem , altera rota B abfoluat ;/ reuolutiones , et ob vtriusque motus vni foimitatem debet efle d^ ~ ndd^. Porro ex puncflo contadus M ducantur ad axes ordinatae MP et MQ_, itemque tangens communis SMRT, ac vocentur; AP=:::.v; PM-/; BQ_=z/; et qM-«. Pp 2 tum 300 DE APTISSIMA FIGVKA tum demilTo ex M ad AB perpendiculo MV erit AV=r.¥cof.(I)-/rm^ ; M VmATin.Cp-hjcoC^I) BVzr;cof.v[^+«fin.(I)i MV— ; Ga.v^ -acofvl/ •vnde obtiaemus : fcof.\}/-l-arin.\|/ =:!4/ — acof.vjf/ zrz A:fin.(J)-f-jcof.<:|> cx. quibus aequationibus elicimus : / ~ ^ cof. v|y - X cof ((!>+ vI/)4-j^fin. ((J3 -h v{/) x/ — ^ fm. v|/ — .T fin. ((I) + v{/) -^cof ((p -4- vt^) Deiiide ob commuiiem tangentem erit PR-^=^ et Q^Sr^z-^^-^iadequctang.AKMr-^ ct tang. BSM z= ^" At cum fit ATM = ARM - (p = BSM -f- ^y erit tauig. CARM - BSM) =:: tang. ((p -f- v{/) ideoqtic tang. ((p -V v^) :=.(- ?. + sf) : (^ "i-fi. If} Denique ne vllus fiat attritus, neccflc cft vt fit arcmrm fomma EM + FM-conlt. ie\i V {dx^-Vdy')^V {dt'+dup>, ixkoque dx* -i- i-^^) -4/cof.((|)-i-xi/) Ergo ROTARTM DENTIBI^S TRIBFENDA. 301 Ergo ilbe acquationes praebent ( ) - (.v^.v H-j <;'} fm. ((j) -^ \[,) Tnde porro elicimits irtas: xdj -jdx — ^ {dj cof Cf) -H ^a' fin. (^) xdx +jd} — ^, {dx coC.i.Cp ideoque {{n+i)j+naC\n.<\)y+( {n+ 1 )x- na cof.Cpy — o^ cui aequationi aliter fatisfieri nequit, nifi ponendo ^r=-^fin.^ ctx^^coC.(l> \nde fit ut=~Cm\lj et / — ^, cof. vl/ ficque prodirent dnae rotae dentibus defiitutae: ac pro- pter ea fieri nequit , vt irtrique conditioni praefcriptae :&ti&fiac. Pp 3 Qaod. 30* DE APTISSIMA FICFRA Quodfi ergo alternm conditionem attritiis negHga- mvis periienicmus ad hanc aequationcm vnicam : —nad Cl)(^nn. vp+^^Arof.vly^cof.f^-KvP )+(«-!- i)^/CI)(a'^-^^a';T fin.( cP-l-vjy)cor.(Cp4- v{.H (K+ 1 )fiC})(AWa-4-j)v7y)col .1 CpH- ^)' l _ ^ --««'^Cp^^x fm . vp-Y/ycof.vJy )rin.(Cp+4/)-(K4- 1 yCp(.T^'->r/A,} 1 "" fm.(4)i-v[/)cGf(Cp+vP)+>«-+-iy^(AWx^-r^)fin.(CpH-vl^)^j ft" „T^T ('^'^" cof Cp - ^j> fin . Cp); —x/ix -+-J dy Datu ergo pro lubitu aequatione inter x etj, hinc tam X quam j per angulum Cp exprimi poterit , inde- que determinabitur fimul altera curua inter t et u. Qiioniam autem fieri nequit, Yt motus \triusquc rotae reddatur 'vniformis, {imulquc attritus in conta^au dentium mutuo euitetur , videndum ert , vtii harum duarum conditionum potius fatisficri conueniat , altera negleda. Ac primo quidcm, quod ad attritum attinet, dubium eft nulkim, quin omnis generis machinae, qiiae rotis impelluntnr, infigne perfedionis augmentum ,eflent . acceptun.c, fi deni.es jra efformarentur , vt fine vlla fridione le mutuo jmpellerent, ficque motus hinc nul- lum impedimentum paterctur. Praeterea vcro ipfi ro- tarum dentes attritu mutuo fublato , multo diutius falui manercnt, fuamque figuram conferuarent; cum con- tra fi attritib adfit , continuo aliquiuitillum a dentibus abraditur, vnde eorum figuia tandcm immutabitur , ita vt fi dentes initio ad aherum requifitrm fuerint accom- modati ,. ii tandem ne huic quidem amplius fint fatis- faduri, ficque macbina omnibus tommodis ex hac con- ditione oriundis priuetur. Dein- ROTAR.VM DENTIBFS TRIBFENDA. 303 Deiiide tamcii eiiismoJi dantur mKhimie, in qiii- biis vniformit:is motiis miilta maioris ert momenri, quam fi-ic1ioiiis fiibhuio. Qiuis enim machinae ad infigae qiioddam opus perficiendnm fnnt dertinatae , plurimum intereft, eas ita inftiuxifle, vt tota vis, qua impelluntur, ad hoc opus abfohiendum impendatur, nullaque eius vis portio in motu m.ichinae conferuando confumatur. QiiodS autem omnes machinaj partes, dum opus propo- fitum exeqaitur , motu vnifbrmi feruntur, huius motus conferuatio nulla vi indiget, ficque tota vis effectui pro- pofito integra relinquitur, quamobrem ifiius modi ma- chinas ita indrui conueniet , vt omne& parces, quibus funt compofitae, motu vniformi commoueantiir. Hinc quando rotae aliie ab aliis ope dentium ad motum impelluntur, necefle efl:, vt dum rotae primae motus eft vnifbrmis, cuiusque reliquarum, quae ab ilJa cientur, motus pariter vnifbrmis euadat. Si enim qiu rota modo celerius, modo rardius gyretur, femper vis quaedam ad hunc motum fiue accelerandum, fiue retar- dandum requiritur, cuius iadtura effedlus , ad quem ma- china eft accommodata, diminuitur: atque haec diminutio plerumque multum fiiperare folet eam, quae fbrte ab attritu dentium oriri pofTet. Qii.ire his cafibus, cum dentibus eiusmodi figura tribui nequeat, Tt firaul motus Tnifbrmitas obtineatur, et fiidlia tollatur, omnino expe- dit leuem dentium attritum admitti, dummodo omnium rotarum motus aeqmbilis cfHciatur; fiquidem illud iri' commodum hoc commoda hrgiter compenfiitur. Qiiae autem machinae ita funt companitne, vc Boa ad onu& quodpiam eleuandum ,. aliudue opus exe- qpeo* 304- DE APTISSIMA FICVRA qiiendiim fint deflinatae, fed potius fui motus aeqnabi- litate fcopo intcnto fatisfaciant , cuiusmodi lunt omnis generis horologia, qnae motus fiii acquabilinue temporis menrums continere folent, in his, quoniam nulla refiften- tia fuperanda proponitur, ratio modo memorata penitus ceffiit. Qiiin etiam motus aeqnabilis, fi omnibus parti- bus conciliaretur , potius (copo propofito aduer&retur, <^uam fdueret. Cum' enim in his machin's nuUum oniis fnperandum adfit, in quo actio vis motricis confiimatur, ab ea ipfe machinae rriotus continuo augeretur , motus- que iam imprelTus a continua vis impellentis (oHicita- tione perpetno acceleraretur, fiquidem fingularum partium motus quouis momento eflet aequabilis •, cum nihil obftaret, qno minus is a noua potenti^c impulfione ce- lerior redderctur. Hanc ob rem horologlorum ftrudura data opera Ita atteraperari folet , vt quouis momcnto motus , qiiem quaeuis pars iam conceperat, iterum intereat, finguiisque momentis machina, quafi de nouo, ad motum concitari debeat. Ita fit vt dummodo machinae fingulis momen- tis par motus impriraitur, motus totalis, qui iude re- lultat , aeqnabijis videatur , fiquidem iila momenta fatis fiierint exigua, vt inaequaiitas, quae in vnoquoque exiftit, percipi nequeat. Ita motus ad aequabilitatem totalem obtinendam moderatio, tcI ope penduli, vel alius motus reciproci effici folet , dum quauis ofcillatione vnus dens rotae dentatae propellitnr ; hocqiie pndo cum ofciilationes fmt ifbchronae, aequalibus temporibus aequalis dentium numerus propellitur , vnde in rotis lentioribus motus qmfi vniformis exoritur j qni lamen re vera ita eft com- ROTARFM BENTlBrS, 7RIBVENDA. 305 comparatus, "vt fingulis ofcillationibiis ex ftatii quietis de nouo producatur. Qim igitur in horologiis nullius rotae motus fit continuus et Tniformis, nuUa quoque ratio vrget, dentes rotarum ita efficere , Yt motiis angu- laris rotae impulfae ad motum angularem rotae im- pellentis, quouis inftanti, datam teneat rationcm , fed fufficit , dum Tnusquisque dens rotae impellentis \num dentem xotae impnlfie promoueat. Qiiocirca his rotis omnis perfedionis gradus , cuius funt capaces, concilia- bitur, fi dcntes ita efformentur, vt eorum adio m.niua nullam patiatur fridionem : fic enim dentes diutiffime debitam figuram funm conferuabunt , in quo eximia horolngiorum virtus continetur. Hinc ergo duplicis generis rotas dentatas obiine- inus : alcerum , quo rotae fe mutuo finc fridione ad motum impellunt, altcrum vero, quo, fi rotae impelkn- tis mt^tus fuerit vniformi?, fimul rotae impulfire motus efficitur vn formis. Qiiemadmodum ergo dentes in vtroque rotarum genere efformatos cfle oportcat , ex formulis ante exhibitis indagabo. I. DE ROTIS, QVAE SE MVTVO SINE DENTIVM FRICTIONE IMPELLVNT. I. Cum igitur in his rotis vniformitas motus lo- cum non habeat, fen motus angularis \nius, ad notum angularem alterius, rationem non teneat conftantcm , quantitas a^ — n non erit conflans, feu « quantitatcm variabilem denotabit. Hoc autem non obftaute ealdcm, Tom.V.Nou.Com. Qq quas jo5 DE JPTISSIMA FIGVRA quas rupra,.obtineb;musformu]:i8, rcilicet jz: "^ rm 0'-. et X — ^cor.C}) itemque uz= -^^ fin. v|/ ct /— ;^^ co(. vjy, hoc tantiim difcrimine, quod hic n non denotei: numerum conaantem, fed eiu& loco (cribi debeat. fradio- variabilis ^^ » ita vt fit pro. curua- dentis EM | pro curua dentis F M 2. Cniusmodi autem ex his form.ulis vtriusquc dentis EM et FM debent ede ggur.i, (equenti modb colligo. Primo obferuo, dudis ad commune pundlum. contadus M rtdis AM et BM, fore k^=:.j0:-^ et BM=: jft^ Hinc ergo erit A'M-f-BMi=rt'^ AB , vnde patet punclum contadus M femper in recfba AB cenrra ro- tarum iungente reperiri , ct ob hanc rationem angulos AMT et-BMT elTc deiiKcps- pofitos. Practerea ob inceffum dentium fine fridlione , quanttjm arcus EM crefcit, tantuni dens arcus FM decre-fccre debet. Tab III. 3. Ponamus ergo rotae circa A mobilis dentium ^'g- 3- ■figunim effe CMw, rotae vero alterius circa B mobr- hs CN«, atqiie contadus iam erit in- ipfo pundo C. Capiantur vtrinqae arcus aequa'es CM=:CNn:j-, ef cum motu anguiari prioris rotae pundum M peruenit in redtjm AB, fimul alterius rotae pundum N per- venire debet in candcm rcdam AB , ita vt dum ilfa rota motu (uo conficit angulum CAM, hnec rora moueatur per angulum CBN. Poiiatur ergo anguliis- CAM: ROTJRVM DENTmS TRIB^^ENBJ. iaj CAM — 0 et angulus CBN::^v|y, Tum vero, quia pun(Sa M et N in contadum peruenient in reda AB, oportet, vt fit tam AM-hBN=:AB — ^, quam fum- ma angulorum AMC-+-BNC— duobus redis. 4. Ad boc ponatur AM — -y et BN"s, erit- que primo v-i-z — a: deinde ob aequalitatem arcuum CMzizCN, erit fV(dv'-i-vvd(p^)-J'y{dz' + zzd^P'), ideoque ob dz—~-dv^ fiet v d^~zd-^-{a-v)d\\/. Porro eft tang. A MCzr ^ , et tang. BNC— ^ : vnde ob AMC-f BNCra redis, necefle eft, vt fit ^* m— ^^, quae aequatio, ob dzzz—dVy redit ad fupe- riorem vd^^ — zd^^i^. Ita data curua CM per aequa»- tionem inter ^CA Mrr.Cp et AM=^, pK> .altera eur- va CN haec habebitur aequatio inter CBN — \|y et BN = ^, vt fit zz:,a-v ci d^-"^, feu ^i^zzf^^^ vnde haud difficulter confirudio idonca eruitur. 5. Verum hic ingens ineommodum occnrrit, -quo huiusmodi dentes ad praxin plane iKuriles reddun- ti!r, cum enim alcera rota, puta A, ab altera B moueri debeat , nruinifellum ell, hoc fieri non pofie, nifi vhi angulus AMC eft obtufus; tnm enim contaftu exiften- te in MN, rotae A pundum M, ri rotae puucto N dc- primetur ; fin autem angulus AMCeflct \el redus, vel adco acutus , rota B nullam phine \im exereret in ro- tam A, iilaque iTotum aliquantillum profequi poflet, cum tamen haec non feqnatur. Cum igitur dentiom natura non permittat, \t angulus AMC -vbique fit ob- tufus , euiden? eft, iieri non pofie, vt hoc modo rota alia ab alia ad motum incitetur. Qiiin etiam cum mu- Q_q 2 tuiis 30& DE APTISSIMA FICFRA tuus contadus neccflario in reda AB contingere debeat, per nouum contadum , quo dentes alibi in fe mutuo agere incipereot , motus rotae A conferuari neguit : qmm ob ca.Gra huius gcneris dentes ad praxia plane funt inepti. Cum igitur iftius modi dcn-es ad hnro- Ipgii accommodati fuic viii ,. manifeftum eft, ne hic quidem frKftionem in dentium. adione mutua rolli pof- fe, ita vt et in huius generis machinis confultum fit dcntes adhibere , quae altero commodo gaudeant , ec inntnm rotae impulfae quoque vniformen reddant , {r- quidem motus rotae impelleniis fuerit vniformis. ir. DE ROTIS (^VAE MOTV VNIFORMI SE MVTRO PROPELLVNT. 6. Pro hoc ergo cafu cum d^P ad , angulus (p ita a figura dentis E M pendet, vt fit „^ [d X cof (p - dy fin (p )— x dx -4- j dy quo inuento , figura dentis akerias rotae ita defiaietur, vt fit : t — acoC v|>-.YCof.(4i-+-v[/)-l-^fin (0-i-v^) urza fin. \1> - a: fin. ((]ii 4- vp) - ^cof (Cp H- v^) vnde fimili modo fit ^, {dtccl\ \\j-\-duCin.\ly) — tdt-{-udu Daii ergo figura dentium rotae A, inde angulus (p per X etj denniri debet , tum pofiio vpz:a-l-«(p, fimul aequatio obtinebitur pro figura. dentium alterius rotae B. Quo- ROTARVM DENTIBFS TRIBFENDJ. 309 7, Qiioniam in dente FM redam BF, ad quam, tanquam axem, figuram dent s referimus, pro lu- bitu accipere licet, vnde angulus ABF daca quantitate vel aiigetur, vcl diminuitur, hanc redam BF ita dudljm concipiamus, vt a euanefcat , fitque perpetuo \\/-N(p. Deinde fit n+. —^ et i^-^^ -c , vt habeatur a-l;-\-c. His poGtis tric B {dxxoC (p - dj fin . Cp) - xdx +J' dj t~a cof. 7i (p - .V cof (« -1-- 1 ) Cp H-j' fin. (« -I- 1 ) <:!) «- « fin. « (p - .V fui. (« H- I ) Cp - ^' cof (7j H- I ) Cf) ynde conficitur c{dtco{.n(^-\-du^\\.n(^)-tdt-\udu. 8 . Ponair us d) - - ^.v cang. 0, ft u ^ = — {^, fictque b (cof. 0 col : 4) + fiu ^ fin . Cj) , = xcof d' -y fin . d - ^ cof (0-0) et diffcrentiando acquationem j- =^f - '-^^ - ^;g^* dxcrj.g _ j:a9 &(.;^— d$>(>ri (j-J)) . bdS coJ.[S — ^)coS. » jm.B jm. r- "T- j;;.. i ' 1" fm7W~ quae reducitur ad. hanc or^.v- ^^ _^- *-^7-^- -^^0cof 0 fin.(d-Cl)) Diuidatur per fin. 0 , et integretur : ficque prodibit c = j::^ -+- l^J—jFi.i^ - ^J ji^i ^eu o-i^/^-/;/^Ct)cof(e-Cp) ita vt fit jvr /?cof i-t-Z>fin.O/^Cj)cof (0 — Cp): atque hinc oritur y--^fin.Cp-|-^cof ey^Cpcof (0-Cp) Sumto ergo angulo 0 pro lubitu ratione anguli Cp, iDnumerabilcs figurae pro dcnte E M obtinebuntur. 9. AlTumta autem quapiam figura pro dente EM, quae ex certa quadam reluione angulorum 0 et Cp ori- Q.q 3 tuij Sio VE JPTISSIMA FIGVRA tiir, coniieniens figiira pro dente FM alterius rotae B ita definietur, vt fit f r ^ coi: «0 - ^ cof. ;; 0 4-/» fin, ((«+1 ) C^ - O)y ^Cpcof. (0 - dp) Hinc crgo aliqiiot exempla perciirramus. E X E M P L V M. I. 10. Sit anguliis O-o; erit fin.O=:o; cofO-i; etcof. (0-Cl))-co(:cp; vnde fit/^Cpcof (O-Cp^^/a^Cpcof.Cp nfin. Cp-f- [J. ; denotnnte jjl niimerum quempiam coa- Hantem. Ilinc pro figura dentis EM rotae A fequca- tes prodibuiit formulae : xrr.i^cofCP ci y-\Lh Pro alterius autem rotae B dente FM habebitur t~c cof n Cp 4 ^fin. («+ i VCp Hn. Cp -+- JJ^ b fin. [n^\)^ u - c fin. ;; Cp - Z» cof. (;/ -f i ; Cp (in. <^- [j.b cof. {n + i ) .(|> cxjfiente bs. ,7^17 et c zz ~^ ; ideoque b-z.nc. 11. Qiioniam vero dum iidcm dcntcs in fe mu- tuo agunt , anguUis Cp non multum variatur, ideoque niinimus manct, ciit pro dente EM ; .r-^-i^CpcP tt r-fx/^, pro dente autem FM habebimus : t -t-(i -I- fx;;f« -f.i)Cp-h \n{n -\- ojCpCP) u-c^'\Kn-\- ijx ;/(;?+ i)^CpCp4-|H(«-f- i)(«-f-2)Cp») Teltt--f^|JL«-5|a;2(w+iVCpCp'i«(«+i)(n+2)Cp'). 12. Vel R0JAW3I DE\mB!'S TRIBfEXDA. 311 12. Vel pon.itur l.iticuio jx c? — [x ,*; ^- -r ^' , erit primo x-b — lb(p(^ et j-e tum vec^ t- cr^ («4-1) e(^ -\-\n{n-\~rL)c^.^ u--e -hif«-i-i)vCp$>-f-i;;('iH-i)(;i-j-2U-C|)' vnde patet fi C|) — o fore .vr,^, > — ^et /-?, u--e. Vbi ciim valor ipfiLis u prodeat ue^^atiuiis, cognorciir.us ap- plicitam a fuper axe BF cdpi dejjere, qii.ie proinde erit tt— ^-i,n-t-i)V(I)Cp>-i«(H-f-i)(«4-2)t(p* 13. Vt autem long-tudo dentium in vtnique ro- ta determinetur, maximus angulus Cj) fpcct.iri debet, ad qiiem fi radius AC ad recftsm AB inclinctur, denccs EM ct F IM fe adhuc contingant Kotaudum vero eft, rotas ita inlkuclas efle deberc, vt antcquam bini dcntes fe mutuo deferant, fequentes (e mutuo arripiant, cui requifito commo- diiTime fatisnt , fi dum b:n: dentes in medio exifttentc (p-o in fe inuiccm aguut, bini proximi fefc arrinere inci- piant. Qiiodfi ergo in rota A diftantia dcntium an- gulo — a defignetur, ita vt in rota B dentes angulo rr«a diHent, pofito^ — a, dentiiim magnitudo vtrin- qne determin, Cp^, ^retc. Denique euidens efl, in rota B dcntes quoqiie aliquan- to profundius exfcindi oportere : tum vero quoqne conueniet dentes alterius rotae A aliquanto longiores iieri, ne vnquam contacftus in ipfo eorum angnlo a eueniat. EXEMPLVM 2. 1(5. Ponamus effe 0 — (J) erit cof. ($ - Cp) zn i et /^Cpcof ($-Cp) — Cp-l-y; fuqie erit X^ /^co( (pH-yZ^fin.Cp-hZ-Cl^fin.^ j — - ^ fin . Cj) -i- Y Z» cof Cp -4- ^ cj) cof ^ Uim vero porro ob bziznc / rz ^ cof « Cj) -h « y f fin. ;; Cf) -I- ;7f Cf) fin. «Cp uzzc^\a.n(^ — «y fcof.wCl) — «^-Cpcof ;;Cp qui ROTMVM T>ENTlBrS TRIBFENDA. 313 c]in cnfiis idco vidctnr notiitn digniis, qiiia pro Atraquc rota fimilis dcntium prodit %uia. 17. ronatiir y b -zz. nyc zz: e^ qiiac c(l qiiantitns nrbitrnriii, et ciim angiilus (|) (cmper fit minimub , crit pro figuni ticiitium rotac A : X r= Z» (H- .: C])Cl)) H- ^Cj) (i - J.CpCp) Pro figura dentinm nutem rotac B habebitur: u—-e{i-lnn(^(^) -\-\n'c(^' Qiiemadmodum ergo coordinatac x ny ab angulo 4) et radio b pendent , ita fimilitcr coordinatae / et it ab angulo n(^ et ladio £ pendent. 18. Si conflans e elTct —0, Ytcrque dens defi- neret in cuspidem inucrfiim , acuminc (cilicct centrum rotae •vtriusque rcfpicicnte; quae figura cum fit incpta ad praxin, con(\ans e nihilo acqualis (tatui nequit. Tan- tiis ergo "valor ipfi e tribui debet, Yt "vtraque curua a cuspidc libcretur, ideoque quando angulus C|) maximum obtinet valorem a, \t ^ ad a^ feu ncie certam quam- piam tencat rationem. Ne autem, angulum Cp tam af- firmatiue, quam negatiue capiendo, \nqunm idcm vnlor fiue pro x, fiue pro t recurrat, oportet, vt fit e^ ab. Si enim idem valor recurrerct, tum eidcm abfciifae gemina applicata conuenict , idcoque dcntis curua ibi dupUccm haberet ramum, quod praxi aduerfiuetur. Tom.V.Nou.Com. Rr 10. Cur- 314 DE AVTISSIMA FIGVRA 19. Cumae aiitem his formiilis contentae propius- cognofcentur ex ea conditione quod ^ =1 (|) : ideoque tang. Cp) — ^=j^ : vnde patet tangentem in pundlo con- tadlus SMT reclue AB efle parallelum , leu angulum ATS— 'f^^ = ^^a: Tab. III. Ita fi fit AC — ^; BC — r, capiaturque CD^z^, ^'g- 7' recl:a D H ipfi A C parallela exhibebit faciem dentis rotae A , quae vltra D non porrigitur ob x-b cof. 0 tt y — e. Fro figura nutem dentis FDG alterius rotac B, pofitis BQ^rr^ et Q^N = «, erit vnde pofito Cp rr a terminus dentis F, pofito autem (p>' rr: — a alter terminus G reperitur ; hincque quouis cafii figura dentium flicile delineabitur. mYn PHYSIC A. R r 3 ALKE- m^ )( o )( ^ 3.19 ALKEKENGI CALYCE PROFVNDE DIVISO ,„ FRVCTV SICCO. Auctore 10. CHRISTIANO HEBENSTREIT. Qnnm rei herbiiriae cultoribiis exhibeo plantae ra- rioris delineationem , omniumque partium, qui- bus exorniitur, defcriptionem , inter incognitas plane referendam non efle, fub iniiium huius expofi- tionis moneo. Attarnen cum a nemine, quantum qui- dem mihi conftat, perfetfta et omnibus numeris abfo- luta , proftet , vel data fit huius icon : non dubitaui curare fedulo , quo vigens et florens planta , fecundum omnes fuas partes , naturali in magnitudine iuftoquc numcro depingeretur , quas nunc breui commenta- tiuncula exponere et illuftrare conftitui. De hiftoria eius, pauca haec addere, neceflarium mihi videtur. Ludouicus Feuillee, Sacerdos, Mathemacicus ct Botanicus Regis Galharum, Acad. Reg. Scient. Paris. Coircfpondcns , in itinere fuo , ab anno huius laecuU feptimo ad duodecimum ex mandato Regis in Ameri- cam meridionalem, et praecipue prouincias Chily et Peru fufcepto, primus eam inuenit, et in Ephemeridibus obleruationum phyficarum, mathematicarum et botani- carum, loiirnal des ohferuations phyfiques, mathematiques et botaniques .f in kdione libri, quae infcribitur. tiijloi- 320 ALKEKENCI CJITCE PROFrNDE re des plantes medicmaks , qiti font le pliis en 'vjage atix Kovaumes de f Ameriqiie meridionale du Ferou et dii Chily , qiiae Parifiis MDCCXIV. 4. piodiciunt, Tom. II. p. 724- tab. 16. delineatam firtit , additis , fruduum viribus, quibus pollent in moueuda vrina et reliquarum eius partium deicriptione. Vocat eam Alkekcngi amplo flore ^iolam. Cuilibet vcro obiter tantum infpicienti iflam liguram , quam ctauimus , of- fertur ab audore noflro plauta exigua et cuius partes omnes, ea magnitudine , quam penes nos fata fi fuerit, confequitur , multo minorcs funt , neque natiua fua fbrma , quam habet , cum his conueniunt. Qiiid? quod , etiamfi hanc differentiam loci natalis , in quo planta inuenta et defcripta eft , diuerfitati forte adiudi- cire quis velit , neque flos , neque frudlus , fecundum omnes partes fuas rite adumbrati , ibi fiftuntur. Ne- gandum cquidem non eft , Cl. audorem noftrum , pro- lixa delcriptione et copioia partium dimenfione , fup- plendi ea , quae icoui defunt , omnem operam adhi- buifle : fed fuperfluum efle eiusmodi ftudium , quo par- tes plantarum , quae tot modis -vbique variant , operofo labore in mala icone defcribuntur , quilibet cognofcit , praefertim , cum quotidiana experientia conftet , cultu- ram et alia accidentia , minutias linearum faepifljme permutare infigniter , cum in his nihil perpetuum fit. Audiamus nunc inuentoris huius plantae verba ipfa , et relationcm , quam de ea litterarum monumentis con- fignauit nobisque reliquit , et quam in latinum conuerfa fermonem , hic adducere non fuperfluum fbre credidi. „PIan. mVlSO FRVCTV SICCO. 3^1 „Phntam , refert , habere radicem albicantem , rtdla ^defcendentem , qiiinqiie vncias longnm et leftan „lineas craflam. Eo in loco , vbi canlis radici iu- „nafcitur , plerumqne ea bifida adparet , multis fibrii) ii)i „prodeuncibus , quirum diameter varia niagnitudine va- „riat. Ad tres quatuorue pedes excretit caulis reAus , „exterius quinquefui atus , laeuis et laete viridis , qui „interius vero cauus efl:. Folioriim petioli ex ipfis „caulium oriuntur fulcis , tres vncias et dJmidiam longi , „ad inferti.nem plani , tres lineas lati et duas crafli, „colore purpurafcentes. Folia ipfa mediae magnitudinis „excre(cunt ai odlo fere vncias in longum , tt vncias „quinque in latum. Ojlor eorum eft laete viridis , et „caule glabritie funt infcriora , in ambitu centata et „apice acumin.ita , cofta totum folium percurr:t intenfe „viridis , ex qui multae aliae lateraks exeunt ad ,.,apices vsque extremos excurrentes. Ex ipfo caule , ,,ac ex alis foliorum , excrefcunt rami aliquot exigui, „iriinoribus longe foliolis ac in caule funt. In cacu- „mine horum prouenit pedunculus fere vncialis , florera „vnicum ferens. Ifte flcs dilute csieruleus , maior eft „reliquis fpeciebus huiiis generis , in ambitu aequaliter „diui(us et vudulato plicatus. In medio ipfius eft ftella „alba vadiota , ,quatuor puqjftis violaceis exornata. Fi- , lam.entis quinque infiftunt antherae flauae. Cingitur „fl(»s calyce hypocrateriformi , ex cuius fundo exfurgit „piftillum , coroliam perforafam tranfiens. Poft dcfio- „rtfcentiam piftilliim mutatHt :in frudum mollem , viri- „cefcentem , ffv^cndentem ., imultis fcminibus rotundis ToiTi.V. Nou.Com. Ss et 522 JLKEKENGI CALTCE VROF^NDE jjCt compreflis rerertiim. Semina linenm longa et di- j^midiam lata funt , ec includiintur vefica membranacea, „ort:i ex calyce expanfo.,, Hadenus Feuillee. Cum,- Tero in h:ic , qnam adduxi , vegetiibilis defcriptione , nonniilhi defiderentur quarn maxime necefuuia ; copia- fiorcm , clariorem et vberiorem illins expofitionem- lllndiid Linnneus in Speciebus pluntarum Holm. its^. 8. pag i8i. cum orbe crudito communicauit. Contulimus vtramque , et Feuilki , et Linnaei , partrum • huiu* plantae definitionem et dimenfionem inuicem , et quae in phnta florente notauimus momenta , illis adii« eere necelHirium efie putamus , neque ideo reprehen- dendus crit nofter conatus , praelertira cum genns , ad quod noftra planta amandanda efl , ex pleniore et accuratiore partium omnium enumeratione conditui de- beat. Ex Spcciebus Linnaei huc transfcribcre expoHtio- nem vcreor , cum fwe dubio copia iflius hbri pcnes omnes fit. En nunc fuccindlam et plenam omnium- partium commemorationem , qnam fuperiore aeflate ad perftftidimam plantam compolui. P];.nta eft annua et fulcitur radice vnica fibrofo-tuberoft y ad paimae altitu- dinem defcendentc , albida , vcl potius iutcfcente , cuius diameter digiti crafTitiem habet. Qiiem protrudit caulem eredum , is omnino ad tres quatuorque pedes et vlrra excrefcit , praefertim , fi planta^ nouellae , in areis , fentflris obtedae , progerminatae , mature in bcne Ikrcaratam terram transferuntur , in quo cito conualefcunt. Primi aeftate laetc viget et bimeflri fpatio , poftquam fata eil planta , fiorct • frigus vcro nodiir ■ mriSO FRVCTV SICCO. 3=S nocliirniim nduenientis antnmni fcrre non poteft , qnCKj, et eins incremsntum , et fiu(flnnm matur.uionem valide cohibct. In iuniore pknta foli;i adh;iercnt cauli qua- drnnsulo , quatuor rulcis extus coafpicuo , intu? , poll- quain niurcefcere incipit , fuccorum moiu intercepto, non quidem plenarie cauo , dilbntibus tamen mcdullac exfuccae iamellis ornato , alterna , in vtraque fuperficie laeuia , oblonga , in circumfeicntia irrcgulariter dcntata £t finuata : apex folii ell acuminatns , et pars infcriGr iii petiolo aliquantum decurrit. Petioli cofla partc aue\-fa eminct, et viridi colore infignitur , prona deprcs» fior , laeuis et purpurafcens in foliis adultis e(L Ka- mi ipfi ad angulos acutos .exfurgentcs , redx cquidcm adicendunt , pollmodum brachiati quaquauerfum diiper- guntur. Contendit Fcuillde , extremirati ramufculorum inliflcre pedunculum vniflornm : fed is potius latcraliter et paullo alcius , ac ramulus et petiolns folii, cx ipfo Cis.u[e cnjfcitnr , vnicum florem ii.i(tincns. Circumueflit florein caiyx monophyllus , turgidus , quinquangularis et inferius quinquc acuminibus , tanquam produdionibns fagittatis , conuiucns , ct qui ad fundiim vsque quinqni- fidus ed: , cuius (cgmenta funt foliola cord j to. - oblonga , angulis compreflis cohacrentia. 'Corolla cd: monoptiala c;unpanulata tubo breni , fere rotato, extus colore vio- Itcco, intus albo, qui color in quinquc maculas caeru- l-.(ccntes , flammulae indar ad tertiam corollac partem adfccndentcs , continuatur. Macula quaclibet fuperius ia ilno cornua dcfinit, quorum quodque extrcmum, cum ppofitae . maculae .coxuu cpnflueijs, inierius quingue mdr S s a culas 324- AlKEKENGl CALTCE VROFFNDE culas profunde caeruleas et acuminatas effingit. Limbus corollae caerulelcens efl; expanfus , leuitcr in ambitu quinquifidus , Jaciniis emarginatis. Filamenta quinque (laminum inferius cralla introrfum flexa et piiofa con- tegunt ouarium , tenuiora adfcendunt longitudine ftyli, breuiora corolla. Antherae fiint eredae et acuminatae, ante florefcentiam caeruleac , pofl: flauae , biiamellatae. Stylus longitudine ftaminum lligmate craflb , capitato. Fru(flus ab initio purpureo-violaceus, qui color cum in- cremento fructus minuirur, et in prouedta aetate frudlus plane abeft. Maturatur in calyce ftraminei coloris , claufo et dependente , frudus globoius et ficcus , tribus, quatuor et quinquc loculis , vt plurimum tamen qua- tuor diftin(flus , tenui cortice tedlus , fragili , nec regu- lariter deliifcente ad loculos. Semina numerofiliima , plana et comprefla , adhaerent thalamo icabio , pro lo« culamentorum numero vario. Qiiae hadenus expofitae funt frudificationis par- tes , cum ab Alkekengi generis propnetatibus et pro- portionibus aliquantum defledant •, dubios nos relinqunt, vtrum hanc plantam ad hoc idem genus, an ad aliud referamus ? Cekberrimus ipfe Linnaeus , in Speciebus fjis fupra adlegatis p. iSi , equidem noflram plantara adiunxit Atropae (eu Eciladonnae aliorum : fatetur ta- men , mediam efle inter Atropam et Phyfalidem, et diffcrentias , quibus ab Alkekengi fcparanda fit, ibidem exponit. Qiiae tertia eft Atvopae Ipecies apud Lin- nacum , ab omnibus Botanicis hucusque adnumerata eft Alkvkensi generi , cum habitus totius plaatae, flos et irui^us DIVISO FRVCTV SICCO. 3^5 friKftus ciim eodem penitus conueninnt. Rationem ve- ro, cur reparauerit ab Alkekeugi Linnaeus , eam efTe fciibit, quia folus calyx inter genera Atropae et Phy- filidis limites certos conftituat , hancque fpeciem illud certo euincere autumat. Confideranda itaque ert deli- nitio generis Atropae, quam dedit in editione Generum quinta Holm. 1754- 8. n. 222. cuius calycem mono- phylium quinquepartitum , gibbum , laciniis acutis per- fillentem, eflTe adfirmat, cum antej in editione Generum fecunda Lugd. Bat. 1742. no. 197, femiquinquifidum, gibbum, laciniis ouato-acutis, perfifientem , ilhim effe do- cuerat. Ex hifce notis calycis* prout antea ex eo re- tuli, in planta confpicuis, prae reliquis aliis ab eo pen- fitatis , Alkekengi numero exemit. Sunt tamen notae illae calycis Atropae Linnaci non tam determinatae ei- que folum propriae , quin non conueniant etiam Phyfa- iidis fpeciebus nonnulhs. Accedit et hoc , quod defini- tio calycis Phyfalidis , quam loco citato in Generibus no. 223. dedit , fere omnes iftos charaderes habeat, ac funt in noftra , quam confideramus , planta. Sed pergsndum eft ad alia , ne in vnica tantum nota hae- leamus, cum plura figna inueniantur adhuc, attentione noftra ct confiderationc dignifllma. Flos proceritati plantae conformis et forma fua fpedabili iucundus, co- rolla campanif )rmi , Jimbo magno in quinqii,e lacinias acquales , haud profundas , diuilo , quodammodo etiam pliato ct vndulato, et tubo fuo breui et redo , notas flt)ris Alkekengi plures refert. In BcIIadonna flos fem- per irregulariter quinquifidus et tubo floris longiores, 3 s 3 qao> 3 z^ JLKEKENCI CAITCE PROFrNDE qiiodsm modo incuniato, confpicitur. Si confcans ctiam. iliiid fignum forct , ftamina nempe in flore noftro fu- p.erius diftantia , ct e.im ab Aikckcngi genere ex partc abltidentem efiicertt , p.)(li!lum tiuiien Iweue et ftigma fubrptundMm , cum hoc iterum ccmmune habef. Sed reftat praecipua vegetabilis noftri.pars, frucflns nempe, qui cft bacca fubglobofa et caJyce infiato . contenta, Calyx ifte , qucm iam luperins defcripfi , \\u cum apino fuo , quem inuoluit , excrefcit , quarn diu planta viget, ct laciniis fui» profuiidis, quae complanan- tur inferius , quinquangularem veficam refert , fuperius dfJiifcentem, includentcn#frudiHn fubrotundum , fi agili et exliicco cortice tcditjm., quadrilocularern vt phiri- ipum, tribus et quinque ctiam ioouiis faepius pxa^enti- bus, quibus in thaiaao exafperato , .tot columnis , quoC fiint loculi, adhaerent femina plana et fubrotunda, fpa- dicei coloris, copiofidkna. Quodfi niinc ens , quas hajSeniis expofvii, phntae partes , comparamus cum par- tibus Alkekengi Tourn. in quan> plurimis notis cum iis conueniunt : neque repugnat calyx , vei vefica mem^ branacea,,,nullo conlpicuo colore fuperbiens, et <\me ad fyndutn ,'yfque quiqquifida eft , ncque magiiitudo fioris ia.bac fppcie fingLilaris, neque ftfmina diftanda , neque frucf?:us exfucciis ct aridus et (aepius ex pluribus, qnam binis, loculis conftruftus, cnm in aliis gencribus frudus locu- lamentis et partibus aliis faepius varient. Si compro- b.andus eft praeftantifilniorum Botanicorum aufiis, fecun- du,ni quem varia genera , communibus frudificationis partibus inftrucla , iicet in nonuullis accideptalibiis dilTe.- m\t tDIVISO FRVCTV SICCO. 327 rant , ad idcni genus n.iturale rcducere fludcnt : quid iinpedit , quo miniis coniungimius genus Eeliadonnae cuni Alkekeugi , cum iii polleriorc gencre nonuullae (pccics illud expoftulare videnrur , notiinLe lilud Cl. Linnaeo in Speciebus. Sed reiinquin:ius cuique pro arbi- trio fuo liberum , ad quodmun genus refcrre velit h:inc noftram plantam : an ad Atropnm Linnaei , an ad AI- kekengi Tourncfortii ? Si tandcm , quid nos de dubia hac planta (latuiunus , (ententiam fcrre iubemur , illam autiquo generi- Ali;ekerigi adnumeriindara eflo adferi- nius , cum quo quam prbxirae , calycc, flore et frudu conuenit, quo in pofterum caueatur iuxurians noua ge- nera fingendi licentia , quae botanicaiti i-eddit difiiciili- mam. Nominabinius itaque in pofterum : ^Jkekengi caljce profunde diuijo^ fni&u ficco. Si in plantis , quae alias non male conueniunt, comrounis vfus medicus vel oeconomicus valeret mui- tnm pro oomprobando genere botanico : firmiim etiam argnmentuiin mutuare polTemus ex Feuilleo , peitinere cam ad Alkekengi, cum de(criptionem fuam, quam fu- pfa 'adduximus , exorditur exponendo primum vires medicas, proptcr c]uas ab incolis Americae magni aefti- matur et colitur. „Qtii adficiuntur , inquit , doloribus,, calculi (abuli, vel et ilchuria , niirum in modum leuan „• tur ab iftis malis , dum ad hanc pLintam confugiunt,,, Fruflns quatuor, vel quinque, digitis comprefTi, immit-,, tuntur in aquim communem, vel vinum album, et ex „ hibito tali huidu , mirum eft , quantum reficiantur ab„ eo acgroti, fubmbtis lubito omaibus doloiibus. Tali,, «modo 3 28 ALKEKENCI CJLTCE TROFrNDE „modo in vfus fuos conuertere nonmt Indi hancce plan- ,,Mm indigenam.,, Eamdem virmtem frudus Alkekengi foliis geminis , exercere in noftris regonibus , crebra experientia comprobauit , et onrnibus conftat, hos, dum recentes et maturi, foii, vel faccharo confperfi , come- duntur , in fuppreffa vrina multum iuuare atgrotos.,, Appendicis loco relationem littemriam , quae huc pertinet , adponere noo diibito. Prodeunt nempe iterum Norimbergae lingua germanica delcriptiones plan- tarum medicinalium, qnas in America coHegit Feuillee et commentariolis iliuftrauit in libro a me fupeiius addudo, Cum per fafcicuios emittatur liler , dum hacc fcribo, XVr tabuiae proftant et tres pligulae commentariort.m, et tabula XVI , in qua fiiepius indicata planta noftra delineatur, euulgasa quoque eft. Figurae omnes immu- tatae, prout apud audprem Feuilieum reperiuntur , ex* hibentur eruditis \ hinc Alkekengi iftud, omnibus (uis partibus , quale au^ftoris fui erat , conlpicitur ibidem deauo. Fxplicatio Figurarum. Tab. IV. Fig. I. Ratnum Alkekcngi fiftit, in quo caulis fulcati figuram , fo'iorQin forniani , pedunculorum esortum , fiorum cuolutoium Titus calytumquc ii.apcrtoium ficies pofluin diftingui. Figura DIFISO FRVQTV SICCO. 3^9 Figura 2. A. Florem integrum , et corollam , ab antetiori parte confpiciendanj exhibet. a. a. a. a. a. Corollae margo quinquifidujj qualibet lacinia medio emarginata. K Filamenta, corolla breuiora, cum fuis antheris. «. c, Maculae profunde caeruleae circa fundum corollaco £. Corolla fccundum longitudinem cum ca'yce difTe^la , vt interna mcliu3 cognofcantur. d. Furdus coroliae , qui principium fruiSlcs, ttansncrfim didefti , recondit. c. Calyeib foliola. /, Stamina. £. Limbus corollae. C Frudlus maturus in calycc reconditus. b h. h. b.h. Calycis fbl'ola paullum a fe reclinata, 'vt frU(Sus intus eontenius maniflflior appareat. l Ipfe fruftus , bnccam imitans , lineis etiam , loculos ifl- dicantibus, diftiriclus. D. Frudus per Tnedium diffeftus transuerfim. /././• /Quatuor thalami , fcabri et fpongioG , m. m. Semina fuftinentes. E.eliqua ex defcriptione patent. Tom.V.Nai.Com. Tt THLASPI 330> «>^.| )( o )( ^c^<'-' THLASPI SILICVLIS E L L I P T I CI S, FOLIIS LANCE0L\TO LINEARIBVS^ INTEGERRIMIS. A n c t o r e 10. CHRISTlAm HEBENSTKEIT. C)mpliires phntAe , h:iad vbique obuiae , fuperiori: laeculo ab rei herbariae cultoribus deicriptne , ico- nibus quoque illuftiatae , fi noflris temporibus accuratius- confiderantur, et quae de iis proilant relationes,, (i com- parantur cum plantis ipfis , multa praeter ea oflenduat nobis fingularia illisque propiia momenta, quae babitum, formam^ et figuram diuerfirum earum partium clarius demonftrant , quae vero ab eius inuentoribus, vd ne- gledla, vel non fitis dilhndle indicata funt. Abfit vero quam longiffime a nobis, dum haec adferimus , vt inde indefeifos labores , quos fufceperunt in fe ampliflimae fcientiae piantarum promotores , taxare , vel defpicere vellemus , forte tantum ideo , quia horum plantarum deicriptiones, non ad eam normam iftasque leges , quas fanxit recentiorum Botanicorum audloritas, vel arbitrium, compofitae et confidae fuuL Noftrum potius» erit, adderc ea omnia , quae iure quodam, quo perfedlior et clarior exiftat plantae cognitio , defiderari queunt ab rei herbariae amuonbus. His igitur rationibus impulfus, plantam quandam , a variis audoribus in fcriptis fuis indi- FOLIIS LJNCEOLJT.IINEAR. INTEG. 331 Indicatam , et de qiia etiam nonnuUae imperfedae ico- nes iam proflant, denuo ad plantam \iuam exacle de- lineatam , breui et concinna expofitione declarnndam milii fumfi. Prima illius notitia occurrit apud Fabium Columnam in Ecphrafi prima minus cognitariim noftro coelo orientium ftirpium , Romae j6o6. 4.. p. 279. tab. 277. fig. 2. nomine : Lithothlafpi quartum carnolo rotundo folio , •vbi defciiptio incompleta , neque omnes frucftificationis partes indicans , et figura plantae minus bona, nec ad omnem eiiis habitum flida , exftat. Pofl: Columnam in Pinace fuo eam adducit Cafparus Bauhi- nus , et p. 107 : Thlafpi parnum laxatile flore fiiaue nibente vocat. Indefelfus plantarum fua aetate deteda- rum coUedior , lohannes Parkitifon, in Theatro botanico, quod Londini 164.0. in folio edidit , Thlafpi not1:rum bis expofuifle videtur. Alterum , quod p. 843, fine icone cum fiomine C. Bauhini, iam addudo , recenfet, idem efl , ac alterum , quod cadem pagina fiib titulo : Thlafpi montanum carnofo rotundo folio , cum icone, ex Columna depromta , hubet. Morifonus , qui pofl Bauhinorum tempora , omnes , quae modo inuentae erant plantae, fummo fludio iu vniuerfele corpus cogere ftuduit , et noftram quoque plantam in Hiftoria planta- rum vniuerfali Oxonienfi Part. II. Sed, III. tab. 18. fig. 29. habet , recepto Bauhini nomine et adpofita Columnae delcriptione , in paucis mutata, prout etiam icon plantae non raultum a ColuiVinae figura recedit. Hunc excipit ordine alter celebris quoque Angliis , et Tt 2 cui 332 THLASPI SILIO^LIS ELLIPTICIS cai multnm debet fcientiii pliintiirum , qinim fcriptis fui» egregie illuftnuiit , loannei) R.aius , qui aeque ac reli- qui , quos hicftenus adduximus aucl )res , in hiftoi-ia plancarurti Tom. I. p. 833. n. 14.. pLxntuIiim faepius nominatam , Cafp. Bauhini denominatione adducit , in Anglia quoque fpoute nafcentem , et exada omnium partium defcriptione exponic. Cum vero Thl.fpi ilkid in Gallid et Italia quoque variis in montibus crefcat, fieri aliter non potuit, quam vt Botanici , qui eollege- runt horum regnorum plantas indigenas , illius quoque mentionem iniicerent, et cum aliis fpeciebus huius gene- ris enumerarent, Sic enim lacobus Barrelier in opere pofthumo , quod infcribitur : Plantae per Hiipaniam ItaH.im et Gailiam obferuatae Parifiis 17 14.. fbl. p 38 n. 352. ic. 845: Thlafpi montanum pingui foiio, car- neo flore , plana et cordata filiqua illud vocat. Crefcit vero, prout fcribit , eirca Monspelium. Xdpofita eft nomini icon admodum parua, quae neutiquam plantam Hicpius mcmoratam rcpraefentat , aim ipfius caules nii- merofi fint fpicati , fioribus oppofitis, et filfqua, fepara- tim adpi(fta, fit oris integris,- in lummo emarginata ct ferme triangularis. Plures equidem Thlafpi fpecies ha- bentur in ifto libro , etiam vmbellatae , et quae certe propius accedunt ad noftram fpeciem: fed fynonymum C. Bauhini aiiegatum, et ftrudura f<)Iioriim ^ quae cum noftra conuenit , non permittit nos dubitare , audlorem forte almm, ac noftram , prae manibus h.ibuifle fpeciemy ad quara f;idla ik eius fignra. Celeberrimus Tilli ia eata- FOIIIS LANCEOLATO-LINEAR. INTEG. 333 catalogo liorti Piilini , Florent. 1723. fl)l. p. 164. Thhi*pi illiid quoque enumerar, rctcntis nominibiis unti' quorum. Et lo. Francilcus Seguitrius in plantis Vero- ntnfibus, Veronae i745. S editis, Vol. I. p. 37. Thlalpi illud breuidimis fic enumerat inter plantas pa- triae. „Summorum , inquit , montium rupes incolir, „e quibus iutcr petrarum rimas (e promit cauliculus , in „plures ramos diuaricatus , cui funt in fummitate flores „fuiiue rubentes \mbellatim pofiti, Crefcit in Ealdo „monte „ Nimis copiolum foret , fi longa ferie omnes audores , qui huius plnntae in fcriptis fuis mentionem ^iciunt , adducerem : attamen nccefiarium om.nino eflb iudico , etiam indicare ea , quae reperiuntur in Indice locupletiffimo magni Boerhaauii de noftro Vegetabili adnotata. Dum enim ibidem Part. II. p. 7. plures cx ordine proponit Thlafpi fpecies, n. 6. illud quoque fiftit : ftatuir autem infimul, videri fibi, ac fi vix diffe- rat (ufficienter ab alia fpecie huius gcneris , a loanne Bauhino defcripta in Hiftoria plantarum II. 927, et a Morifono, in opere fuperius addudo, denuo propofita. Tandcm tenor , quem haftcnus feruauimus in enume- randis variis audoribus , nos deducit ad recentifT- mum botanices fcriptorem , illuflrcm Linnaeum , qui in Speciebus plantarum , Holm. 1753. 8. euulgatis Tom. II. p 646. n. 4. n( ftiam plantam nomine; Thlaipi filiculis ellipticis, foliis lanceolato- linearibus inre- gernmis, ex Sauvagefii Flora Monfpelienfi Hag. Com. 175'- 8. adducit , addito figno crucis , fibi fa- T t 3 mihari. 334- THLJSPI SILICFLIS ELLIPTICIS, miliari , fi plnt)tas a fe ipfo non rufficienter difqiiifitis, vel ex imperfedo exemplari perluftratas , alioriim per- fcrutationi et difquifitioni commendat. Patet ergo, noti frnftraneum efle nofirum ftudium , fi , quae nobis de hac planta cognouimus , vnn cum icone exada et ad viuam plantam fada, nunc exhibeamus botanophilis. Ex femine exigno , coloris punicei , progerminat in hortis noftris et in terra fabnlofa plantula , radice vnica fufFulta , albida , fibrilHs ex omni ambitu paucio- ribus prodeuntibus , et quae emittit cauliculos tenues , numcro incertos , quatuor, quinqtie , plures , reda ad- fcendentes, ad fpithamae altimdinein excrefcentes, inter- dum fubrubellos, praefertim tempore v>?rno, quibus vtrim- que adhaerent fblia lanceolata , carno-ra , integerrima, alterna, breuiflime petiojata, petioljs albicantibus, fuperficie folii vtraque glauca , jnferiora luperionbus /unt maiora ct cruffiora , et denfb numero plantam omncm in- veftiunt. In fummitate caulis coaceruantur floscufi pln- rimi , vmbellam qiiafi formantes antequam florent , qui comprehendnnt in calycc tctraphyllo , in inferiore par- te fua gibbo, et deciduo , florem tetrapetalum regula- rem , colore ex albo et lineis rubris variegatum: colot petalorum ad vnguem eft rofeus , limbo expanfo albi- diore et integro. Dum petala marcelcnnt rofeus color (enfim perit, et .loco eiusdern lineae tantum rubrae con- fpiciuntur. Filamenta funt fex , cum antheris lu- teis , altitudine fua inaequalia , duo lcilicet breiiiora peta* FOLilS LANCEOLAT. LINEAR. LVT£(7. asr pefaloriim intcrnitiis interferta ; ftylus eft breni* , ca- pitatus , crankbculiis : quibns emarcidis , luccrelcit frudlus , filicula nempe feie cordata et margine to- liaceo ac crenato cinda, qiiae fcpto intermedio valuas noii fuperat longitudine ; et partes filiculae maturae dehilccn- • fes , valu.ie nempe , lunt nauiculares , pauca iemina continentes. Hae notac charaderifticae , in planta Doftra praefcntes , efFccerunt , vt ab omnibus audEoribus ad Thlafpi genus relata fiierit , neque vllus mihi cogni- tiis e(t , qui eamdem ab eo feparaflet. Maior vero ambiguitas apud fcriptores , dum fpecies fuas ordinant ,. • reperitur , fiquidem idem habitus crefcendi omnibus fere communis eft , et in fola capfularum figura et foliorum forma qunercndae fuiit diffcrentiae conlluites. Scd vt illud exadle fiat , omnes , vel certe phirimae 1] ecies praefenres difquirendae funt , quo varietatum accidentales charadleres infimul patefcant. Cum vero non facile omnes vna in horto quodam vigeant vel floreant ; hinc fingularium fpecierum tantum conficiendae funt defcriptio- nes, omnibus numeris abfblutae. Non dubitamus , fore tunc multas varietates , quae adhuc pro genuinis fpecie- bus habitae funt : nam coniecturam noftram celeberri- mi Boerhaauii confirmat adfertum quam euidentifhme ,. dum fbtuit , loco a nobis fupra adlegato , nofham fpeciem vix differre multum ab ea , quae a lo. Bauhino Hifl. II. p. 927. vocatur: Thlafpi capfula cordata, pere» grinum , et quae efl primum Thlafpi in Speciebus Lin- naei p. (^45, forte et hic non fufficienter , datis cha- rade'- 3s^ THLASPI SIUCVLIS ILLIPTICIS] riideiibiis fpecificis , ab noftro diftinduin. Interea rc- tinendun:! eft nomen fpecificum Lintiaei in hac noftra fpecie , et fi in pofterum copia nobis dabitur alterius fpeciei , ilLim conferemus cum nofira praeiente , nota- turi omnes differentius , quas euidentes et certas in vtrisque fpeciebus effe exiftimamus. Nomen Colum.nae fupra citatum , et quod nofirae plantae adfcripfimus , tribuit llkill. Hallerus Hort. Goett. 1753. 8. p. 24^. Lepidio foiiis pulpofis fubrotundis anthcris lateraiibus. Sed cum in noftra planta folia omnia fint lanceolata et antherae fihimentis impofitae , neque tuba longa et craflTercens inueniatur , dubitatio fiiboritur , num eadem fit , quam defcripfimus. Superiori anno a Cel. Ludwigio Lipfia mihi nuntiabatur , prodiifle Londini 1756 4 librum infcri- pturo : The natural hiftory of Alcppo and pirts adia- cents b)^ Alexander Rufteil , in quo delineatum effe Tab. L p. 33. plantam quam expofuimus , et com- pellari: ThUilpi orientale fixatile , flore rubentc , foliis polygalae, petalis florum aequalibus. Tourn. CoroU. i 5, Impoftibile fuit adhuc in^petrare hunc Hbrum ex An- glia , hinc dc figura et delcriptione , fi quae adpofita ctt , iudicare minime valeo : attamen necefliirium efle put.iui, etiam allegare fcriptorem i'ecentifiimum, qui hu- ius plantae mentionem iniecit» EXPLI- F0L7IS LANCEOLATO LINEAR. INTEG. 337 EXPLICATIO FIGVRARVM. Tab. V. Fig. I. Intcgrae plantae habitum defignat : adumbrauimus autem mi- norem tantum , fatis accurate eum exprimentem , licet iii horto in fruticulum foleai cxcrcfcere , per aliquot annos perdurantem. Tig-ll.a, Florem integrum, prout cauli infidere folet , in quo infe- rius calyx et expanfus petalorum limbus cognofcitur. h. idem a latcrevifus, quo calycis fbliola mehus dignofcantur. *. remotis petalis ftaminum (itus, fruflus rudimentum complc- ftentium obferuatur. i. flos ab anteriore parte , naturali magnitudinc au£la et aiite. rioribus petalis redinatis, in corollae medio ftamina emintrc docens. «. filicula in margine crenata , fuperius cmarginata , ab antc riore facie. /. eadem abauer/a. Tom.V.Nou.Comv Yu ANI- 33S ^& )( o X #|i^ ANIMALIVM aVORVMDAM Q.VADRVPEDVM DESCRlPTiO Aiictore 10. GEORG. GMELIN. I. MVSTELA 2IBELLINA. E' 'xc^llentiflimus Sibiriae Gubernator , Pdexius Leonis Jilius Vkfchtfchefriv^ duo huius generis animalia vi- va per integruin prope annum in vrbe Tobol^k domi fiiae aluit , quorum alteium ex Tomskienfibus , alterum Tab. VI. ex Berefowienfibus terris allatum. Forma et habitu corporis martem, dentibus muftelam rtferunt. Infcrior maxilla dentibus primoribus fex , fjtis longis ct paululum incuruis , canin s duobus praelongis , pariter aduncis , molaribus vero duobus tantum , qiiantura difccrntre li- cuit , tricuspidibus , donitur. Superior maxiUa dani- bus minutiflimis afpera eft , quorum numcrum dettrmi- nare nequiui. Kiclus latera fetis longls exornantur. Pedv s lati finguli , tam anteriores , qu mi pofteriorcs , in quinque digitos diuifi , vnguiculis albcntibus, parum aduncis , muniti. Sternum prominens, acutum. Eerefowienfis, cxceptis meuto et anriculis, colorc cx cinereo nigricante vbique gaudct. In mento fere cinereus eft , circa auriculas lutelcens, Dimidiam vlnam Ruflkam longitudine aequat. Altei ANIMALITM QVORFNDAM gT^DRrT. 33? Alter minor ell: , coloris per omnia ex luteo ftifci , in mento et auriculis aliqunntum pallidior. Reliqua patent ex fi^ura adieda , quam optimc ad viuum exprefllim dc Berefowienfi fieri curaui. Hie- me , qua figura exprefla eft , omnia ita fe Iubebant , Tti modo dixi. Appropinquante vere piii iis defluxe- ruut , et color pbnc aiius indudus. Berefowienfis ex nigro lutco - fufcus , Tomskienfis ex luteo - fulco pallide luteus fudus eft. Miratus fum agilitatem horum animalium , nam f rociam appelLire non aufim. Cum catus in confpe- dum eoium venit , pedibus porterioribus infftunt , qiia- fi pugnae (e praeparare vellent. Per nodem plurimam partcm inquiete viuunt. Die faepius , inprimis poft paftum , per dimidiam, qiwndoque per integram, horam dormiunt. Eo vero terrpore pungi , ex loco in lo- cum proiici, os illis aperiri, ct quomodocunque tradlari poirant , nec fcnfu de hifce vllo gaudent. Ciro quae- cunque ipfia iu nutrimentum cedit. Excremeuta pefli- ine olenc. II. VACCA GRVNNIENS, VILLOSA, CAVDA EQ.VINA. Per integrum iam annum hanc vaccam alit Ex- Tab. VII. cell. Gubcrnator , ad quem e Calmuccicis rcgionibus allata fuit. Longitudinis eft 2; vln. Rulf. ex quo re- liquae d'menfioiies , quarum proportiones delineatcT fa- tis exadc notauit , intclligi podunr. Corpus vaccimnr). V u 2 Coruua 340 ANIMAIIFM ^VQKFMDAM Cornua introrfiim tortii. Caput et corpiis nigra , ex- cepto frontc et fpina dorfi , quae alba (Iint. CoUuin iubatum , totumque corpus hirci inftar villofum , pilia longilfmiis , ad gcnua vsque dependeatibus , vt pcdes eminus contemplanti perbreues effe videantur» Dorlbm in gibbum alTurgit. Cauda equina , prolixa , alh:u Pedes bt>uini , anteriores nig^ri ^ pofleriores albi. Ad taios polkriorum pediim vtrinque pilorum infignis cir- rus. Ad aateriores vnus tantum in. fingulis pedibus ^ ia poftica partc fuus. Excremeuta vaccinis paulo foli- diora. Mingens corpus retro traliit. Non mugit , fed. fuis inftar grunnit.. Fera eft , appropinquantique , pnieter eum, qu^ pabulum porrigit , bellum indicit , dum capri inftiir ad praelium fe accingit , capite feriens. Vaccas domefticas aegre fert. Cum in eius confpecftum aliqua venit ^ grunnit , quod rariflime alio tempore facit» ADDITAMENTVM AD PRAECEDENTEM DESCmPTlQNEM. Rubruquis in itinere (uo per Tatariam et Baco in obferuationibus fois bouis robuftum et ferum genus Tangutis ad aedes fuas portatilea vehendas inleruiens, delcribunt ^ quod caudam equmam > pilos in ventre et dorfo ^ pedes vuJgari boum genere minores , ct cornua acuta habeat , et horrore a rubro colore infigni praedi- tum fit. Vaccas huius gencris taurum non ferre, nifi cantilenam, durante adu , aliquis canac , Kubruqiiis ad- QrADRFFEDFM DESCRl?TlO. 331 ^^i dit ; Baco vero fine cantilena eas mulftam nonpermit- tere perhibet. Id boum genns 2 nominatls aucfloribus inteliig! , quod ego fub Vaccae grunientis titulo defcripfi , ficile p.uet. Pedes vero apparenter tantum minores funt : Pili enim longi tota fere crura tegunt, vt folus tantum pes confpiciatur. Cornua ego deprehendi , vulgarium boum analogi , qiiae faepiirime latis acuta efl*e audiui. Horror a rubro colore mihi non obferuatus fuit. Cum in vtbe Tomlk occafionem nadus eflem, de iisdcan et reli- quii , quae dicli Auctores ttadunt , Calmiicci cuiusdam gentilis relationes audiendi , quae ab illo comperi , omnina digna cenfeo , vt hic inlerantur» Duo genera vaccarum Calmucci a!unt, quae cum defcriptis conueniunt ; Sarliik vnum , Cl-uiinuk alterum Tocant. Sirluk ilhid eft , quod ego defcripfi , et cuius Audlores didi mentionem faciunt ; Chainuk, magnitudine capitis et cornuum , et caiida ab initio quidem equina, fcd inflar vaccinae terminata, a priori difFert. Vtrumque eiusdem indolis efle Calmuccus affieruit , de cantilena durante coitu, fiue mulria. Difficile eft caufam fillaciae in ciufmodi rebus inueni e. Forte Audores ifti h'nguae illius , in qua portenta de hoc boum genere fibi explicata funt , non fatis periti fuerunt , cuius vel hoc (iifpicionem mouer, qijod unus durante mul(Su, alter durante coitu, aintilc- ' nam qrjD^rpEDFM bescriptio. 343 nim requirat. Atcamea verofimile eft, eadem ipfis re- lixa fu.fle. III. OVIS LATICAVDA RAJ. STM. QVADRVP. RVSS. KaAMbi^ico^ SapaHl). Cognoui iam , duorum genetum oues e^e laticau- idas : vnLim cauJa lata longa , alterum cauda lata breui. Prius geaus ipfe noa vidi , a variis vero , qui illud in Cafaccicae H.jrdae terris abundc videruntj delcribi au- diui. Alterum in fortalitiisi Septem palatiorum ct Uft-Tab. VDl Kamenogoreofi iam indigenum , olim e Calmuccicis regionibus allatum fuit , cuius figuram et defciiptionem exhibco, Ouem vulgarem Iiabitu refert, Cornua plerum- tpe gerit , antroifiim in femicirculum incuruata. Aeta- te prouedis , portquim cornna in fcmicirculura excre- verunt , non laro excrorfum adhuc incuruantur , vci c figura videre eft. Aries , quem delcripfi , capite et mento erat nigro , pedibus et ventre fufcis. Dorlum fordide luteum erat, fufcis et albis maculis interftincT:um. De caetero color , vt in domefticis nofiris , varie ludit. Cauda plus 5 pede longa , \'num pedem lata , quadrata fcre , in duo hcmifphaeria per lineam , medium eius tranfeuntem , .diuidicnr, Qiio cavida magis increfcit , eo Ijaec linea nmgis obfcuramr. Vidi hoedos huius generis, ■quibus initium tanium caudae ktum enit , reliqua parte anguftidima , fennra vero fenfimque eam ad piioris lati- tudinem expandi incoLie rctulerunt. Cauda vero illa ex ,344 ANIMALIFM Q^VORVMDAM ex pura puta pinguedine conftat. Arie» , quem figiira firtit, ab exortu cornuum ad initium caudae 3^ poll. {*) longus erat. IV. SeiVRVS MINOR VIRGATVS. FVRVNCVLV5 SCIVROIDES MESSERSCEIMID. AN SCIVRvS GETVLVS CAll APVD GESN. RAII SYN. QVADR. RVSS. BypyH^yKl). Sciurum minorem habitu corporis et cauda refert. Tab. IX.E iunioribus eft , quem figura fiftit , naturali magnitu- dine pidum , attamen adultiores non multo maiores fiunt. A roftro extremo ad polkriorem auricularum partem dillantia prope duerum pollicum , inde ad ini- tium caudae vsque 3^'. Roftrum inferius fuperiori mul- to producflius eft. Duobus praelongis dentibus in vtraque maxilla gaudet , quorum ii , qui in maxilla fuperiori funt , claufo ore , inferioribus prominent. Ridlus latera et fupercilia fetis nigris , ad ridiim qui- dem longioribus , ornata. Frons ad roftrum vsque lu- tefcens , raris , obfcure fufcis , pilis intermixtis. Oculos tam fuperne, quam inferne , linea fufca ambit , ipfae Tcro palpebrae albentes funt. Malae lutefcentes. Dor- fum lutefcens, quinque fafciis nigris fecundum longitudinem ornatum , anterius ad caput , media excepta , quae ad anteriorem vsque auricuiarum partem pergit , pofterius ad caudam terminatis. Cauda 5 fere poU. longa, albis , nigris et flauefcentibus pilis , non admodum longis , varia , cxtremo apice albo , ab animaii viuo fupra (*) Hic mendum fubeffe maiiifeftum eft. Forfitan 3^ ped. QrADRFPEDrM DESCRIPTIO, 345 fupra dorfum refle<3:itur. In anterioribus pcdibus qua- tuor digiti , vnguiculis tcnuiffiniis , fatis aduncis , aI- beocibus , inflrudi. Pofteriore!» pcdes 5 digitis ornan- tur. Supina pars tibiarum calua fere , prona , tam anteriorum , quam poftcriorum , pedum pilis lu- tefcentibus vertita. Per vniveriam Sibiriam copiofc yerfatur. V- IBEX IMBERBIS. RVSS. Cafira. Capite eft ouillo , nifi quod anterior eins pars , «a(us inprimis, magis emineat. Reliquo corporis habitu ceruum refert. Mas in hoc genere Mapranb (Margitfch) dicitur. Capreae Piinii altitudinem numquam attingit. Is quem delcripfi , ab extremo capitc ad pe milgatisfima eft , quae ipfis in efcam cedit.- Coitum snimalia' lupulo nuturefcente celebrant , vere par- tununt , f )Ciumque TOum, vel airerum , fimul edunt.. Graminibus pafcantur. Autumno admodum pingucfcunt. In de(crtis a Tara vrbe ad Septem palatiorum arcem' vtrinque ad Irtifh fluukim copiofe morantur aefta-' tis tempore. Hieme montofa magis loca appetuor, n'.itrimento fuo magis- apta. Tefie Herbcrfieinio defcr- icos' etiim campos circa- Borj^itlieiiem , Taniim et Vola^m incoluQt. VS. CA» QVABKVPEBVM DESCRIPTIO. 347 -VL CAPR.EA CAMPESTRIS GVTTVROSA , CQRNI- BVS NEC RAMOSiS , NEC DECIDVIS. AN .GAZELLA AFRICANA RAl. SYN. QVADR. 7P^ Caprenm Plinii toto habitu rcferr, mngnitudine etiam, colore et inceffiis modo, et vidu ex herbis, adeo con- ^cart, vt qui Piinii capream vidit, huius etiam exuft.im ideam fibi foi-mare podit. ■■Figura animal filltt mitcu- Tab. IX* slini generis , ad viuum delineatum , cuins dimenfiones liae erant : Ped. PoU. Lorjgitudo capitis ab extremo roflro ad inrtium eolii — — — — — p» — — — auricularum ■-- — — — — ^ 5 — — — dorfi ad initium vsque caudae — — 2. — — — csudae — — — _ — _— ^, — ^ — crurum antenarum ab inrtio radii ad extrem.um pedem — -i ■^ — — — crurum pofteriorum ab initio tibiae ad extremum pedem — 18 Dtilantia oculornm ab extremo roftro — — —51 — — — inter fe — — — __ _ — ^i Diftantia cornuum ab extremo roftro — — — 6| — "— — inter fe — — — — __« Diftantia cornuum sb auribus ~ — — — — i^ — ~ — teftifulorum a pene — — — — 4I — — — papillarum a tefticuhs — — — i Xx. & Avi- 34^ ANIMALIVM Q^FORVRDAM Animal folo infiftens a fiimmo capite ad terran? ■vfqus tres pedes et vnum pollicem , a fupremo dorfo ad extremum porteriorum pediim duos pedes et qua- |Uor poiiices cnm dimidio altum erat. In foperiori maxilla (ex vtrin(|ue dentes molares- erant, in inferiori totidem raol.u"es, et quatuor vtrinque iKcifores.. Mafculus a foemeHa duabus infignibus notis differt,, quarum prima eft, quod cornua gerat , quae latis qui* dem eredra lunt , artamen capiti non perpendicularitec hififtentia, et mox fupra oculos, inter lios et auriculas,, egrediuntur, oculisque propiora lunt, ac auribus. Ori- gine fi.i plus quam pollicem lata (unt, non tamen plx- ne rotunda , fed paululum compreflu, eademque crailitic et dillaatia intcr le eadem ad tres admodum pollices- pcrpendiculari propemodum via in altum furgunt, dimi- diiK» altitudinis integrae attingentia. Inde notabiliteu extrorfum et paiilo retrorfum verguut, non procul vero- ab extremitate introrfum rurfus incuruantur , ct in api- cem fmgula acutum dcfinunt , quorum vnus ab altero* quatuor fere pollices ct dimidium diflat. Infigniter cornua ifta rugofa funt a radice ad eam vfque partem. , vbi introrfum curuari incipiunt, ibi enim- laeuilTima funt , et ad apicem extreraum vfque huna laeuorem conferuant. Coloris funt c cinereo nigrican- tis, apice excepto, qui nigerrimus cft. Adde, non eflo dccidua, et iiibftantiaB ^ vti cornua Capreac Plinii , fbli- diiSinae;. ScCUflir Q^VADRVVEDVM DESCRIPTIO. 349 Secunda nota , qinTe mafculo a foemclla diftiri- guendo inleruit, cl\ giittur , qiK)d in rralculo fine vlla diflccliane infigni piotuber;mtia fe m;inifc(1;ar, er longitu- dine quiaque , latitudine tres, pollices acquat • Protube- rantia tamen ifta in iunioFibus animalibus magnitudine mulcum ab allegara deficit, quin in animali annieulo vix Dotabilis eft : Pro ratione enim aetatis, aut pro rAiione incremcnti corn lum, guttur ctiam crefcic, In internis partibus nihii inlbliti inueni , qliod in Rupicapra cornibus arietinis non obieruaflcm. Larynx Tab. Xv vero pelle denudata caufam protuberantiae fupradit^ac chrffime manifcdabur. Cartilago thyroidea (aaa .i j trcs ^'S- '•■ pollices louga et totidem lata erat, et feptem procefli- bu3 conrpicua ,. (i. si 3, 4.. 5. 6. 7.) ipfum tero tra- cheae (bb) initium diamstro duos fecile poil. capiebat, Cartilago cricoidea (a a a a.) circa fummicafem duos pol- Fig. ». lices cum dimidio, ad bafin duos poUices et tres eius quartas partes, lata, duostiue pollices longa, erat. Cartila- gincs arytaenoideae ((3 (3 p (3) fimul fumptae tam in fummitate , quam in bafi duos pollices latae et totidem longae erant. Epiglottis deficiebat. Figurae adiedac ab exemplo ficcato delincatae funt : Circumftantiae enim jtineris, largioribus etiam obferuationibus infeftae , impe- dimcnto fuerunt, ne cx recenti fieri id potuerit. Fig. I. laryngem ab anteriori parte atque a latere fpeiaatam fiftit , quae caMfa eft , vt procefllis 2^ et 4; in figtira non videri queant, Fig. 11. eandem a pofteriori partc ■fiftit. Numeri er literac, in hae figura praeter indicatas> fdic^, eundem habent valorem ac in Figura 1. 350 JNIMALIVM QJ^ORVMBAM Ex liis , quae attuH ^ non difficile eft , masem a fi)emin:i difccraeje. A Caprea Plinii cornibus non sramofis diffeit. Sed termin.js diftinctionis iiiter foe- Tncll.is vtriusque animilis , nifi a loco eorum nataK jzampeftri et fyUiofo defumaatur, me ignnrarc fatcor. Ab Ibice imberbi , licet corniium rediaidiue et abfeutia ra- moium ia cornibns conueniat , nafo tamen non diffi- culter diftinguitur , qni in Ibioe, t.mquam in oue , fiffus et ]:uiuscu!us eft , cum iu Caprea, quam delcribo , vti in Caprea Pliuii , inte^er ec acutus. \ 'Frequens eft hoc Capreae genus tn omnibus cam- pis trans-b;nJkalenfibus vaftis et apertis , et Mongolice Dferen d.icitur , quo nomine etiam a Ruffis earum re- giorum fikvtatur. Ona ell noroen foemellae , iisdem Mougolis vfjtatum. Caro huius animali» incolis in vicflum, pelljs in amidum cedit. Coniuj deiii(]ue magna dn aeflimntione apud Sinas funt , qui non cxiguo ea pretio redimunt. CJ. Me^Terfchmidius hnius animaHs figuram dedit, fed male exprcfiam ; cornua inprimis , liabita ra- tione ad reliquum corpus , nimis longa repraefen- tantur. Figurae haec adfcripfrt verba : Caprea Ona Driieren et Scharchoechtfcbi Dauurica , campeflris , gutturofa , potamopholos etc. -Qiiid vir CJ. per potamophobos' intcUigat , refcire non potui. Amnes cnim hoc animaJ frequentat , aliorum inftar aninia- liura : vere tantum et autumno, cum folo vbique Iiumea- te, 3 gramjnibws rccentibus, vel pluuia irriguis, abunde hw-^ ^jmrpEnrM de^criptto. s^^r midi cipit, amnes non nniikum frequcntare, eos ta- men^, v^\ qtmndo venncorum' infv-lias e-lrMgei^; vulr, vel praprije- neceflll.itts caurv , non raro tranlire , Tuil- gufi retulerunt.. Non pnium eti.im contra hunc hor- rorem a flu liis f,\cit, quod in vrbe Sclengin( k Bri- gadirius, loannes Demetrii filius- Buchob, de ciipiea' huius fpeciei domi fuae educativ er omnino- cicu- RUiv retulit, eam amore fimuH, p.ibulum porrigcntis, ira' oflptam eflfe, vt qumdo' ille ncceflitLitiS' cuiusdam do^ ir.eftkae caufi Selengam fiuumm in lintre tranfeat,- ilk' Don raro fimulum, fl-uiium traniuatando, fequatur, quod^ certe, fvinftindu quodam' ai fluuii& abhorrerct, noiv facile' I>;i\cft.iret,- vn. CV N I C V L V S PV M I L I O S A L I E N S, C AV D A^ LONGIS&IMA. Agillimum hoc , manfuetum et afpetfhr iiicnndum Tab. XI; animalcuhim in campis- Tichikoienfibus, Argunenfibus et Fig. i. Ononenfibus fedem fibi fixit Generaliter quidem ad leporinum genus fpeiflu , fed penitius confideratum fui generis eft, nec cum vlio cognitorum animaiuim, quoad notas g^ntricas, comp.uandum.. Cuniculo muius eft, et corpore brcuiore. Auiiculae longae , lcporinae, pelluci* d.ie, glabrae, et vafis fuiguineis pulcherrime pictae,- per rotam longirnilinem aeque latae, nifi extremitatem ver- fus-, vbi pauIuUim acuminantur.- iViaxilla luperior infe- rjore , vti in Talpi,, multiim longior, obtufa tJiancn, et ttir^dula exaeniitAte ttrminata. Kidus iatera fetae 352 ANIMALIVM Q^FORVNDAM longiflimae ornant. Labium fiiperius, vti in cuniculo, verfus nares hiulcum eft. Dentes murinis fimiles , duo in vtraque maxilla piaelongi. Oculi grnndes , iridibue fufcis palpebrisque , (etis breuioribus cindis , donati Corpus anterius tenue, pofterius ampliffimum , fere ro. tundum, in caudam definit longiffimam , digitum mino- rem craflTitie non aequantem , plus quam duas tertias longitudinis partes pilis durioribus et ita breuibus \e(l:i- tam , vt angulofitas o(ficulorum caudae externe per pi- los dignofci polfit, ab hinc vero ad extremitatem vfque piU- funt longiores et in extremitate ipfa JongilTimi et, Vti in cauda Erminii, aut Sciuri, Iparfi, tadu delicatilTi- mi. Crura anteriora breuiffima, quinque digitis iuxta (e pofitis inftruda , pofteriora longilTima , quatuor digitis munita, quorum trcs anterius fiti funt , quartus poUici^ fere diftantia ab anterioribus locatur. Omnes digiti vnguiculis albentibus , vix incuruatis, anteriorum quidem pedum breujonbus , pofteriorum paulo longioribus do ■ nantiir, Pifis animalculum veftitur moilibus , fatis lon- gis. Supinum corpus et externa pedum pars lutefcen- te colore , cui cinereus obfcure permixtus eft , gaudet, ad exortum vcro pedum pofteriorum et caudae virgae candidi coloris apparent , prona pars corporis, vt et in- tcrna pedum, candidae. Cnuda , quoad durioribus pilis veftitur, lutefcens, tum vnciam circiter candida , in ex^ tremitate denique nigerrima, gpice interdum albo adhuc Wttata. Dimenfiones fecjuentes fijnt; Lon- 0 / J D R rt t D fM -DESCFJ? TIO. 3-5^ Foll. Longitiivio nb cxncnio io;inj ud itiituim caud.ie — 6 — — — — — ad (.ciilos — — — — I — — — aiiricul.iriim _ _ _ _ _ i^ — — — c:uidae — _ — — _ — 8^ LongitLida pedum anteriorum ab humero ad cxtre- mos vfque digitos _ _ _ _ _ _ jt — — pedum pofteriorum a fufFraginibus ad initium \Tque calcanei _ _ _ _- — 3 •— — — a calcaneo ad exortum digiti poflerioris i — — — ab exortu digici pofterioris ad extre- mos vngues — _ — _ — __2, Latitudo corporis anterioris — — — — — i* — — — — pofterioris — — — — — 3 — — — aiuricularum — —— — — — | Status , quem animalculum , terrae quiete innfteus tenei, figura, optime ad viuum facla, exprimitur. Eo in ftatu pedibus anterioribus os et caput faepe lcalpit, vti cuniculi iolent , et canis fagacis inllar continuo fere vertigat et oioratur, corpusque fubiade in gibbum con- trahir. Ad inceflum velocem fe accingens et fcmur et tibias extendit , hac ratione , vt angulum cum corpore re(fto maiorem ethciant , corpus tum eleuando in altum falit , terramque attingens eosdem rcpetit mo- tus , donec ad locum denderatum peruenerir. Dum faltus hos perficit , in aeVe quafi volare \idetur , et ipfemet ocuhs meis vfurpaui, qucd vno faltu dimiuiam Tora.V.Nuu. Com- Yy or^« 354- JniMALIFM QVORVNDAM orgyi.im non raro abfoliierit. Dicimt vero itT'* colae eonim locornm , quando fe aliqiia re preflurn fcntiar, eqiiiim fociic tranlilire, ct \no laitu trium orgf- iarum (patlo promoueri. Cuniculos fodit , idque mira agilitate praeflat.r Pedibus anterioiibus terram radit , denticulis radices ab- fcindit, terram folutam et radices abfciflas pedibus pofte* rioribus remouet et proiicit. Vidi hac ratione cunicu- lum ab eo intra aliquot minuta temporis ad vnciarn Tsque in longitudinem excauatum. Habet hanc con- fuetudinem timidum animalculum , Tt , fi venatoribus (e predum, (iiltibusque fuis captiuitatem effugere haud pofle fcntit , extempfo cuniculos fodiendo, hoc fibi poftremo refugio confuiere tentet. Mox enim , quando fe libe- rum credit , priorem aanicuium rcpetif, Sed dcnuo, antequam cuniculum fiium confequi poflit , ad incita* redaftum , idem opus fblfionis inchoat , "vidique , cum; turba hominum illud vndiqne infequeretur , ter et qua.- ter follionem repetitam fuifle, In fijturam hkvmm mira et fagacr (hi modos' profpicit. Foenum eo tempore fecat , quando arefcere incipit, ilfudque in aceruos cogit rotundiufculos , qnorum finguli pedem latitudine et altitudine aequant , foenura bene fiv^catum fuis importans cuniculis. Cum liaec animalculi inmimcra copia in campis viuanr, adeo vt propter infigncm cuniculorum , quos efFodiunr , copiam, per ciunpos idbs proficifcentibus , ratione equorum, Goadiuio titubantium , pcrpttuas- moleffias creent > iuxti. OVJDRVPEDFM DESCRI?TIO. 355 lias moleftias multa voliiptate perfufus fum , quando in ■ numcros eiusmodi foeni aceruos, qui plurimam partera Ceratocarpo conftabant, intueri llcuit. Qiiod internas animalculi partes concernit , oefb- phagus , vri in lepore et cuniculo, medio ventriculo in- leritur. Inteflinum coecum breue admodum , (ed am- p!um efl: , in proceffum vcrmiformen , duos pollices longum , abiens. Choledochus mox infra pylorum in- telhnum fubir. Vefica vrinaria citrina aqua plena. "Vteri nulla plane diflindio. Vagina enim canalis in- ftar fine vUis artificiis in pubem vsque protenfa in duo mox coruua diuiditur, quae, vbi ouariis appropinquant, jnultas inflexiones ficiuut , et in ouariis terminantur, Penem mafculus habet fatis magnum , cui circa veficae vrinariae collum veGculae feminales vnciam cum dimi^ dia longae, graciles et extremitatibus intortae adiacent. Foramen aut finus quosdam inter anum et penem , auC inter anum et vuluam, nullo modo potui difcernere , li- cet quasuis in indagatione ifla cautelas adhibuerim, Ex hifce palam efl: , aaimalculum effe plane ano- malum. Auriculis enim leporem, roftro talpam, longitu- -dine caudae murcm et more cuniculos fodiendi cuni- culum refcrt, Intetnis autem partibus nihil cum recen- fitorum generum animaiibus , praeter oelbphagi in me- dium ventriculum infertionem, commune elL Cuniculi Americani porcelH pilis et voce Margrau. fabrica inter- narum partium ab hoc non multum abludunt. Sed et haec fui generis funt animalcula. Qtiae cum ita fint, parum abfuit, quin Cl. Mefferfchimidius genericum no- Y y 2. meo S5us magna ifttidum xopia in inferioribus fluuioium regioni- .J»us obleiuatur. :2 2 3 Ifa!l- ^66 ANIMAtlFM QFORFNDJM IGitides circa fediim annunciationis Deiparac (expredione "venatorum vtorj generis propngationi in- hiant, itique negotii duabas tribusue feptinianis abloluunt, quo durante (aepe ipfis accidit , quod canibus , vt coitii eekbrato difiungi ab inuicem nequeant Qiiamdiu oeftrum durat , fub libero aere perpetuo vcrfantur, nu« quam durant diu, fed oeftro abfoluto cuniculos petunt. In locis nimirum Katidis natalibus, et quidem in collibuS eorum locorum, multi ab antiquo cuniculi confpiciuntuf, ab Ifuidibus excauati , ad oftium tantum lati , vt liatis ingredi poflit, quae quidcm latitudo tam parua ell, vt canem haiid admittat. Extcnfio cuniculorum efl fe- cundum giebam conglaciatam ad quatuor et quinque orgyias in longitudinem , adeoque profunditas , compti- tando 3 fuperficie collium €Xterna , non vbique eadem. Qiiidam venntores dicunt , quodlibet iraddum par pe- cuiiarem cuniculum incolere , qui cum nollo alterius Guiusdam paris communicet. Alii vero alTerunt , tria et qnatuor interdum paria vna habitare. Conueniufit tamen omnes , infra quinque Ifatidum paria , feparatiir» viuant, an vna, raro in eodem colle nidulari. Quilibet cuniculus multis exitibus donatus eft , fex , o£lo et de- cem, qui omnes vel rcda, vel et oblique curuoue dudu extenfi in vnum centrum , cubile animalis , quod ad dimidiam vlnam latum efl; , <3efinunt, Hifce igitnr ab antiquo iam exiftentibus cuniculis vtuntur Ifuides , nouos fibi raro flruentes. Qiiem vero fibi eligunt , eum a fbrdibus prope purgant , et, fi alicubi collapfus efl , reparant. In cubili vero mufcum fibi pro molliori cubitu fternunt. In QVADRVPEDVM. DESCRITTIO. ^cj In ciiniculis pofl: oeftrum abfolutuin aliquot dies quicte iaccnt , ex eo vero tempore vidum (ibi quoti die extra quaerunt , eumque non nifi per interualla in- habitaat. Vterum nouem circiter feptimanas gerunt ; Durante enim ieiunio,. quod Diuis Apoftolis , Petro ct Paulo , dicatum e(t , atque fub finem Maii ini- tia fumit „ parere dicutitur. Fo2tus cdunt in ipfo aiofculo^, lcx f.ptcm , oda ad 25 vsqi;G , prouti; anni fertilitas fuiet. Foetii>^ Ilatidis- albae , quando prodeiuit, colore gaudcnt e luteo in rufFum aliquantum inclinante, cinereae vero nigricante. Vtriusque pili perbreues funt. Mater quinque vel fex fcptimanas poft enixos foetus raro cuniculo exit, idque tcmporis in ladationem impendcre crediiur j quo elapfo et illa quotidie vidus captandi catulisque apportandi caufla in campis vagatur. Circa roedium denique Augufti etiam catuli eo vsque excreue- runt , vt cuniculo egredi poHlnt , quo tempore cunicu- larcs (Norniki) audiunt. pilis tunc velliuntur , \ix di« midium poUicem longis , et albie quidem Ifuides pluri- mam partem albis , nifi fecundum mediam dorfi longi- tudinem , vbi color lutefccns apparet, nigrefcenti per- mixtus et in cinereum aliqtiantum Ycrgens. Ifatides cincreae tutic totae nigreltunt .^ omnino vti tunc tem' poris , cum in luccm prodierunt , nec poftea vel in hiemem vsque vllam aliam mutationem fubeunt , nifi quod pili euidant longiores et lucidiores. Circa Feftum exaltaiionis crucis, fiue medio Septembri, pili dimidium pollicem longitudine iam fuperant. In albis omnia tunc alba , praeter dorfum et fpatium , armis interpofitum , quae 3^8 JNrMALIVM QFORyMDAM qime nigricatit , quare tuac cruciatae ( Kreftowiki et Krell)W.uiki) audiunt. Hnnc mutiuionem iiuuntes, et ilhie, et cinereae, ia terris turfaceis, qu.ie in locisKati-' dum naralibus frequcntes funt , non niro pernodimt, Circa initium Oclobris pili in pollicem vsque excreue- runt, ct nigriciuis canJidarum IFatidum inter armos fpa- tium totum euanuit , fecundum medium dorfum vero color ex albo et nigro permixtus apparet , quali Lari gaudent , in iis regionibus verfmtes , quare tunc Lenen- fibus venatoribus Larea (fit verbo venia, RuC Tfchaefchnik) audit. Icnifeenfes vocabulo fingulari ad hanc diftindlionem exprimendam non vtuntur. In fine Odobris , circa diem Demetrii, candidum genus Ifatidum iam totum album eft , pili vero nondum in tantam longitudinem cxcreuerunt , quales rigida hieme apparent , quare tunc Ifatis nondum perfeda (Nedopefez) dicitur. Circa Feftum dcnique Nicolai , quod in 6. Decembris incidit, piK in tantam longitudinem excretiemnt , quae nec tota hieme ampiius augetur , ex quo igitur temporc Kare^c^^^y^v Ifatis (necei/b), 3ut Ifatis perfedla (pocAOne- ceyb) vocatur. Vere appropinquante , circa feftum Ni- colai vernum , quod in diem nonum Maii incidit , in- terdum etiam tardius, omnium maxime vero circa feftum Imperatori Conftantino dicatum , quodque 21 Maii celebratur , pili defluere incipiunt , et circa feftum Eliae Prophetae , in 20 lul. incidens , omnes iam de- fluxerunt. Hac mutatione contingente liluis verna (Wefchniak) dicitur. In defluxorum pilorum locum ilii paulatira fuccrefcunt breues, qui circa mediura Augufti ^rjDRrTEDFM BESCRIPTIO. ^69 Augufti noii longiorcs funt , nec alio colorc praediti , ac cunicularinm Kiuidnm , quas fupra nominaui , adeo- que cx eo tempore cum catulis fiiis easdem in hiemem ■vsque mutationes fubeunt , quas paulo ante recenfui. Pili Katidis ctmicnlnris omnium firmiiVimi funt , nec non nifi magna vi a pcllc auelluntur, Qiio vero Ifatis adultior euadit , eo pili mollius infident , etiam Ifatidi- bus, quae hibernis qnam vernis menfibus propius occi- ^e funt , pili fortius haerent. In viclum Ifitidi praecipuc cedit rnus quidam tampeftris Brachyuros , quem perpetuo kdlatur. Sed aertnte nec anferum anatumue , quarum quouis vere per magna vis in fiigidas regiones (peciei propagandae caula auolat , capturam negligit. Callidiflimum enim , vti omnes venatorej vno ore affiiTnant, animal eft , et viilpi nequaqnam aftutia fecundum. Ifatides , leferunt \enatores , cirm caiulis fuis cuniculariis, lacum qucnd-am in vicina fitum petere , in cuius infiilis mngna anatum anrerumue vis h.ibeatur ; eo autem tempore miultos eiuimodi lacus haberi, qiiia anferes et nnates , quotquot funt , licet et in turfliceis terris nidificatae fint, cura prole exclufa lacus petant , vt nimirum, et ipfac, et proks, parum tunc temporis plumatae, et ad volandum minus aptae , hofles facilius euitare queant ; catulo» igitur Ifatidis , lacum eiusmodi attingentes , circumcirca ad littus inter gramina kCe abfcondere , matrem vero circumfpicere de commodo captandae praedae loco; et vbi talem inuenerit , in lacum fe proiicere et ver- Toir..V. Nou.Com. Aaa fv» 370 JNIMALIFM QWRFMDAM fiis proles an;Uum anferumue natare ; adultas tum an- feres auc anates prolis defendendae cauiia Ifatidem ver- fus natare , quae , quafi huius perfecutionis ignara eflet, continuo curfu prolem petat ; quam primum vero fuf- ficientem anferum anatumue copiam fe iniequi percipiat, protinus verfus eas reuerti , et eo ipfo tempore prolem Ifuidis, inter gramina ante abfconduam, lacum ingredi, anferesque circumuallare, et vna cum matre fua quindecim aut viginti anferes anatefue vna praeda auferre. Hieme Ifatis praeter nominatum murem vidlum etiam capit ex Lagopo aue, cui, vel viuae, vel retibus irretitae, in- fidiatur , et ex leporibus, quos fine multo labore iugu- lat. Denique et hoc, fame forte vrgente , accidit , Yt in decipulis captas Katides eximant et deuorent. Hofics Iflitis propter calliditatem fuam habet pau- cos. Infidiantur tamen ei e quadrupedibus Gulo , c vo- lucribus Aluco maior. Sed raro viuam occidiint , ca- piunc vero multas mortuas , quas e decipulis, a venaio- ribiis exrtrudis , ante aduenuim venatorum, eximunt et confiununt. Idem et coruus ficit, iis nempe in locis, ■ybi (yluae in vicinia funt , nam ad ipfum littus maris glacialis corui non habentur. Ifuis raro integrum annum in eodem loco dc- git, idoue vidlus forte nuio exigit. Confians cnim ve- natorum aflTcrtio efi , quando mus . de quo fupra, fre - quens fit , frequentes etiam efle Ifatides, quin aduentum murium, Ifitides breui aduenturas, praenunciare. Igitur, quando mus regionem quandam deferit , Ifatis pariter eani QFADRFVEDVM BESCRIPTIO. 371 •eam deferere ccgitur. Ordo hac in migiatione nuUus adhuc obferuatus fuit. Accidit, ,vt transeanr tantum.re- gioncm quandam, accidit, vt dimidiam hiemem , vt et integram, in illa viuant , accidit , vt prolem tantum gignant et breui polt difccdant, interdum etiam accidit, vt per uitegrum annum in eodem loco morentur , et altero adhuc anno prolem ibidem giguant. Tempus, quo maxime migrare amant , illud eft, quando (ol (ub .horizonte occultari incipit , fub initium nempe Deccm- bris. Qiiam regionem deferuerunt , eam poll tres qua- •tuorue annos repetnnt. Non hoc ita intelligendum cft, ac fi interdum regio vna et altera , quas fuperius nata - les Katidis pronunciaui , Ifatide omnino vacua fit : Jfemper enim quaedam fuperfunt , omnino., vtide vul- pibus obferuatur , quarum magna pars perpetuo tunna- tim migrat , remanentibus tamen femper in quauis re- gione quibusdam indiuiduis. Si quodam in Joco magna Ifitidis vis aducnit , latratumque edit , pro flgno habe- tur , eam per aHquod tempus ibi commoraturam efle. Si vixit aliquandiu in quodam loco , cditque eiulatum, breui poft cum locum deferit. Qiio Ifitls difcedens abeat , venatoribus ignotum eft. lenifeenfes fufpicantur, c regione lenifeae fluuii abfcedentem Obi fluuii regio- nem petere , aduenientem vero exinde venire : lura ces enim, qui Samoiedarum genus funt, in regione oftii Obi fluuii morari foliti, Ifitidum capiendarum cauffa iis praefertim annis ad fe venire , quibus magna apud fe Iflitidum copia habeatur , quod non ficerent , fi vel minima capturae fpes apud illos foret. Aaa 2 Ifiuides 37^ ANIMALirM Q^FORFMDAM ete. Ifitides in regione lenifeae et Chatangae flauiorurri; morantes proptcr magnitudinem fiuim prne Lenenflbus , LenenCes rurTiis prae Kolimenfibus celebres funt ; Et profedlo haec differentia ita notabilis efl: , Yt facile fn fenfus incurrat. Sed an propterea diuerfas fpecies cori'" ftituant , ia fufpenfo adhuc relinqucndum eft. Confide- ratione non indignum efl: , quod lepores , vrfi albf, lupique e qradrupedibus, Aluco e -volucribus, io regione inferiori lenifeae fluuii capti , eorundem genenun ani- malibus , in reliqua Sibiria obuiis, magnitudine praecel- hnt. Certe videtur regio huic magnitudini fiiuere, quia £n pluribus animalLum generibus obferuatur. Katfdcm cum lonffono, Tocaui, quia a vdpc vitI- gari fpecie omnino difTert. OBSER-i OBSERFATIONES METEOROLOGICAE AB ANNO MDCCXLIX AD ANNVM MDCCLIV PETKOPOLI FACTAE, ANIMADVERSIONIBVS ILLVSTRATAE ET CONSECTARIIS. Auctorc L A. B R A V N. ('^ommunicamus fric obferuatioues meteorologicas (ex ^ annorum, ab anno' lcilicei 1749 ad anni finem 1754 Petrobiirgi inftitntas. Superiores obfernatioaes a me communicatae incipiebant ab anno 1744, et pertinebant ad finem anni 1747, erantque adeo quatuor annorum, "vbi iam monitum ert, obferuationes anni 174& deficere. Quum fere eadem methodo in his obferuationibus yH fimus, ac in praecedentibus, et iisdem quoque inQrnmen- tis obferu.itiones fadae fint j fuperflunm efiet , mnlta de modo et inftrumentis hic monere. Sunt fcilicet lum- mae et infimae Mcrcurii aititudines in Tubo torricelli- ano pcr fingulos anni menfes notatae, cum diflferentiis, ad cognofceridam variationem earum cuipslibet men- fis et anni cum altitudine media barometrica. In obferuationibus thermometricis maximas quoque et mi- nimas caloris diminutiones entJtJuimus per fingulos anni menies cum diflferentiis ad variatioues caloris fingulorum A a a 3 meor- 37+ OBSERFJTIONES menrium et totius anni exhibendas. Porro meteora po- tiora per fingulos anni menfes propofuimus, additis fie- pius circumrtantiis , antecedentibus et confequentibus, ad nexum cum iis, fi quis eft, repraelentandum. Barometrum fimplex et hic eft adhibitum , in quo poUices duode- cimales pedis regii Parifini funt notati, qui rurfus in par- tes centefimas funt diuifi. Indicantur hae numero pofl: pundlum pofito , \ti pollices numero ante pundum. Thermometri gradus fecundum fcalam Delislianam et hic liiut indicati, vbi Cifra, nuUitatis nota, gradum calo- rib aquae buliientis, numerus autem 150 pundum con- gelationis notat. Comparauimus quasdam obferuationes meteorologicas ex Sina acceptas cum Petropolitanis , in ■ quibus et magneticae quaedam occurrunt , comparatae cum iis , qnae in Sibiria fadae funt. Sequuntur ipfae obferuationes fecundum ordinem temporis coliocatae. Obferuationes meteorologicae anni 1/49 et fequentium ^ ad finem anni 1754. potiflimum barometricae et thermo- metricae. A. M D c c X L I X Barometricae altitudines fupra planum maris 51 pedum Parifinorum funt obferuatae. Maxima. Minima. DifFerentia lanu.irii 3 "8. (Jo - 27. 20 d. 7 - - i. 40 Februarii 24. 28. 62-27. 20 d. 3 - - i. 42 Maxima METEOROLOGICAE. 375 Maxima. Minima. DifTcrenda Martii 3. 28. 60 - 27. 05 d. 8 I. 6$ Aprilis 24. 28. 4-1 -27. 65 d, 14..1 6.1-1 - 0. 16 Maii I. 28. 40 - 27. 40 d. 31 .... - I 00 luaii 26. 28. 00 -27. 33 d. 10 - - 0. 70 Iul.3oet3i. 28. 25-27. 35 d. 7 - - 0. 90 Augurti 28. 28. 55 - 27- 45 d. 31 - - I- 10 Sept. 1 1 . 28, 55 - 27- 20d. 4. 5 - - I. 35 Oclobris 29. 28. 4-5 - 27. 20 d. I - - I. 25 Nou.5.6et7. 28. 70 - 26. 90 d. 25 - - I, 80 Decemb.20. 28. 70 - 2(5. 95 d. 6 - - I. 75 Maxima igitur altitudo per integrum annum efi: 28. 70 , quae obleruata fuit menlibus Nouembri et Decembri , et quidem Nouembris <5 et 7 , Decembris autem 20. Minima vero eft 26. 90, quac notata efl: Nouembris 25. Maxima altitudo men(e Nouembri notata fub his circumflantiis contigit. Ventus O d. 5 vix fenfibilis erat , fequutus autem dein d. 6 ventus vehemens O, qui ad d. 7 vsque mane continuauit, dein rurfus tranquillitas, vento S^ S flantc, fequuta eft. Diebus aiiquot anteceden- tibus ventus SgO debilis flAuit ; Thermometrum inter 155 et 1:0 variatum fuit. Qiiae Dccembris 20 con- tigit eadem altitudo vefperi h. 7 comitata efl: vento noa fenfibili, pniecedebat Ventus Ooo, i et 2, et fequebntur S^O. I. 2. Thermometrum monflrabat i<53. Qiiia huius anni altitudo maxima 28. 70 non fuperat alcitu- dinem maximam hic iam alias obleruatam, 29, 01 ; manet huc vsque haec maxima. Akitudo huius anni minima 37'el nullus. Vkerius ex d;uis obfernationibus intelligitur calo- rem fummum hoc anno fuilTe 11X4. Obleruatus hic c(l lulii 22. h- 7. p. m. Coelum erat (eienum, \en- tus aurtfaiis dtbilis i. Idem ventus hunc diem ante- ce(l"it , et fequutus c(l per aliquot dies. Licet hic ca- loris gradlis non adeo magnus fit , tamen hic tnenfis fetis calidus exirtimandus eil , quia \'t plurimum in- figniores caloris gradus funt notati 112, 113, 114 etc- Inprimis notandus e(t menfis Auguftus , qui fohto ca- lidior fuit. Kc hoc menfe gradus 113, 114, ii5,ii(J frcquentiflimi fuerunt , quum contra men(e lunio dies foiito ' fiigidioies occurrant , quod tam.en non impedir , quo minus acdas pro fitis calida haberi queat. Venti procellofi fucruut Martii 15, 19, 21, 28. Apriiis 19. Maii 6. liilii i'J. Reliqiii, minus notatu dign.i, prae- terimus Haclenus peiCineDt obfcruationes in obferuatorio in- fiitutae fupra planum maris Baltici 5 1 pedes Parifinos aho. Qiii>e uunc fequuntur ab anno 175 1 doini a me funt iBltitutae fupra plauum maris 15 pcdes circiter. Bbb 3 A. G8a OBSERVATIONES A. MDCCLI ST. V. Barometri ;ilticiulities Menfes. Dies. Maxima - - Minima - - Ditferentia lanuarii 21. 28. 70 - - 27. 5^ die 25 - - I. 20 Februarii 4. 28. 57 - - -7- 35 - 28 - - I. 22 Mnrtii 24. 28. 42 - - 27 30 - 4 - - I. .1 2 Aprilis 6. 28. 32 - - 27. 65 - 19 - - 0. 67 Maii 19. 28. 35 - - =7- 50 - 5 - - 0, 80 lunii 5. 28. 20 - - 27, 50 - 12 0. 70 lulii 22. 28. 15 - - 27- 43 - 30 - - 0. 72 AugiiQi 2(5. 28. 45 - - ^7. 6S - 31 - - 0. So Septemb.23. 28. 60 - - 27. 15 _ 2 - - 0. 45 Odobris 2. 2S. 75 - - ^7- 15 - 28 - - I. 60 Novemb 28 . 28 . 6s - - 27. 4^ _ 6 - - I. -.5 Decemb 20. 28. 60. 27. 20 - II I. 40 Collatis his barometri altitudinibus inter fe, patet earnm maximam fiiifle hoc anno menfe Oclobri 28. 75. Obferuata ert die 3 circa meridiem , coelo fereno , thermometro gradum 140 indicante, vento variabili. Nox fequens fuit ferena , et iux borealis confpecfta eft. Minima altitudo huius anni fjit 27. 15 eiusdem m.enfis die 28, tliermometro 149 monftrante , coclo nubilo W lcniter flante. Fuit igitur inter altitudiiiem maxi- mam 28. 75 ct mioimam 27. 15 differentia huiiis anni maxima i. 60, quae quum minor fit ea maxima, quae in antecedcntibus obferuationibus 1750 eft notata, fcilicet 2. 69; manet hoc fpatium variationum baro- metricarum inuariatum , quum altitudo maxima et miaima METEOROLOGICAE. 383 minima, ciim altitudine media, eaedem perftenc anno (11- pcriori deprchcnlhe. Ciet-Tum viiruuioaes b.uometiicas menltnias primis et vltimis anni menfibus et hoc anno fuifle maiores, in mediis autem minores, confpicitur. Qu.ie hoc anno 1751 variationes caloris fe con- fpciendas praebucrunc , ex fequenti tabclla adparet. Menfis. Dies. Calor minimus. Maximiis. Differentia lanuarii 21. 180 - 151 die 25 - 29 Februarii 5. et 6. 192I- - 14-8 - 24 - 44 Martii 24. 161 - U4 - 29 - 27 Aorilis 8. 1+9 - 124. - 24 - 25 Maii 2.. 14.6 - 118 - 31 - 2S lunii 9- 147 - 1 1 1 - 20 - 56 luiii II. 132 - 105 - 6 - 27 Augufti 24. 139 - io5 - 5-34 Septembris 27- 14.1 - 127 - 26 - 14 OL^lobris 22. 156 - 138 - 5 - 18 Nouembris 25. 16S - 149 - 9 - 16 Decembris 22. 172 - 149 - 5-23 Ex comparatione harum obferuationum igitur ad- piret maximum frigus hoc anno fuiile 192^, obferuatunn Februarii die 5 et 6 h. 8. a. m. monlb-ante barome- iro 28 45, exiftentc nebula quadam , vento NgW leniter fpirante. Nox fequens fuit ferena, vti quoquc antecedens cum luci boreali. Calor maximus fuit 105, notatus lulii die <5to, ollendente barometro 27 90, coelo ex parte nubibus obdudo , vento vix lenfibili. Fuit igitur diminutio caloris a gradu 105 ad 192^ adeoque fpatium variaiionum thermometricarum maxi- mum 384. OBSERrjTIOKES miim per tofiim annum 87: gradnum; ergo mimis illo, qiiod in aiiteccdentibus obferuatioaibus ell notatum, fciiicet ^6. Huc vsqiie igitur manet gnidus 104. caloris maximus, et minimus, feu frigus maximum, 200. Cae- terum quoque confpicitur hiemem fatis fiigidam, aefta- tem autem rainus calidam fuifle. Minima variatio ca- loris fuit menfe Septembri 14. graduumet maxima 44--, men- fe Februario. Qiium breuitati hic ftudendum fit, reliqua mereora praeterimus, quia nihil , quod praecipue notatu dignum fit , in illis occurrit- Nihil igitur obll.U , quo minus ftatim ad enarrandas obferuationes anni iequentis 1752. progtedi queamus. A. M D C C L I I. Barometri altitudines. lanuarii 2.9 . , iS. 35 - 27. . 00 Die 2et7 - I. 35 Febiuarii 6 . 28. 73 ■ - 27- 25-1 0. 8S Martii £3 ■ 28. 45 - ■ 27. 00-10 - I. 45 Maii 5 et 10 , . 28. 40 - 27. 6s - 29 . 0. 90 lunii 19 . . 28. 20 ■ - 27. 75-7 0. 45 lulii 16 et 17 . 28. , 22 - =7 70 4et5 0 5i Augulli 9 et 10 . 28. 40 - 27- ,50 - 23 . 0. 90 Septembris 28. 63 - ■ 27 70 - 16 0. 93 Odobris I . 28. 60 - . 25. 70 - 25 - I. 90 Novembris 6 • 28. +7 ■ 27- 6s 14,17.18 - 0. 82 Dccembris 24. . 28. 82 - 26. 95 - 9 - I. 87 Manifeftiim igitur efl:, ex hiice obferuationibus in- ter fe comparatis, maxininm barometri altitudincm fuifle tS. 82 notatam Dccembris die 14 h. 6 p. m. coslo nubi- METEOROLOCICJE 38^ tiiibibus tedlo. Vento S O kniter flantc , thermo- rrietro 161 monflrante Dics anteccdentts fncrnnt nu- bili, fet^uentes vero tres flreni, aMitinnnnte eodcm vcn- to. Minima altitudo baronietri obfcniata ell mtnfe Odlubri de 25. h. 2. pf. m. qnae ell 26. 70 coelo nuLilo et pluuio , thermometro 146I vento S O vchcmtntifli- me flante, Die lequenti 26 aquae Neuae fluuii r'pas excefTerunt , vcnto N W vehemeutiflimo , fequnti fiint deinde dies nliqnot fereni. Hrgo niaxirra variatio baro- metri per totiim annum fnit 2. 12 adtoq' e /,*g maior, quam anno praecedentei , qiio nempe luit i. 60. Spa- tium varfntionum barometricarum mnximum 2. 69 in antecedcntibus flabilitum , huius anni obferuationibus noii iDutari, per fe patet, vti quoqr.e ciari m eft, variatione* men- ftruas et hoc anno primis et vltimis menfibus fuifle maiorcs, mediis autem minores. Variatio menftrua maxima hoc aimo firit menfe Odobri i. 90 et minima /s% menfe luiio. Variationtm caloris huius anni MDCCLII nion- ftrant (equentcs obferuationes thernioinetricae. Caloris diminutiones. Menfis. Dies." Max ima. Minima. DifFerentla; lanuarii 13. 187 - 147 die 16 et 2g'3 quam anno praecedenti, r^uo fuit 2. 12. Me non monente porro adparet, variationes altitudinum mercurii primis ct vltimis menribus et hoc anno fuifle maiores , minores vero in mediis. Minima variatio menftrua fiiit fi^, et rraxima i. 47, ilia lulii , haec mcnfe Auguflo ett obferuata. Cetcrum a fumma et in- fima aititudine huius anni , ct vari;;tione hac annua fpa- tium variationum barometricarum non mutari, in antece- detitibus obferuationibus deprehenfum, nemo non videt. Ccc a Progre- 388 OBSERFATIONES Progredimur ad recenfendas variatianes caloris huius an- ni tliermometro indicatas. Obferuationes tliermometricae A. MDCCLIII. Menfes. Dies. Frigus max. Calor max. D. DifFerentia. - 27 - 37 22- - 29 - 321 - 3oi 21 - 19 - 22| - 261 22 - 15 Ex collatis hi(ce obferuationibus inter (e patefcit, maximum frigus totius anni fliifle 179, minimum, feu maximum calorera, 107^ adeoque difFerentiam annuam 71 j. Contigit igitur diminutio caloris maxima menfis Februarii die 7. h. 8. a. m, coelo fereno, Vento N2. Dies antccedens fiiit quoque fereniis , fequens autem nubilus et pluuius. Barometri altitudo fuit 28, 05, et circa meridiem 28. 13 , dein altitudo haec minui coepir. Minima caloris dim^niitio, fiue maximus calor, acci- dit menfe lunro, dis 22 circa meridiem, coelo fereno, barometri altitudine exifttnte 28. 15, Dies fequens fereaus fuit > ied cuiii veato vchemeatiirimo N W. Dxes lanuarii 1. »77 - 150. i5 Februarii 7- 179 - 142. 22 Martii z6azj. , I58i - i3^U 19 ApriUs 15 21 - 1231. 20 Maii 3. 124 - iiii. 9 lunii 3. 138- - I07i. 22 lulii 3. I32i - iiii. 10 Augufti 23. 135I - II 51. 4et9 Septemb. i6. 143 - I2li. 8 Oitobris 31. I59i - X33. 6 Nouemb. 21. 163 - 141. 17 Pecembr. 18. 165 - 150. 3 METEOROLOGICAE 585? Dies proxime antecedentes quocjiie fiienint fereni. Com- parata fumma et infima caloris diminutione confpicitur variationem caloris annuam fuiffe graduum 71I fcilicet ab io7iad 179, adeoquc iij minorem, quam anno pfaece* denti. Minima caloris variatio menrtrua fuit 15, menle Deccmbri, quae admodum exigua eft notata, maxima 32I menfe Maio obferuata. Fuerunt igitur hoc anno variationes caloris et frigoris menftriwe non admodum magnae, et, quum differentia, feu variatio thermometrica annua mi- nor quoque fit difFerentia et variatione in antecedenti- bus obferuationibus notata , manet, vti fummus frigoria ct caloris gradus id?m ; fic quoquc eadem maxima va- riatio in antecedentibus obleruationibus deprehcnfa. Huius anni hiemem fatis mitem, et aeftatem fatis tem-^ peratam fuifle, ex hifce fatis quoque eft apertum. A. M D C C L I V. Qiiae fuerunt hoc annno 1754 variationes altitu* dinum mercurii in tubo Torricelliano , adeoque ponderis atmofphaerae hic Petroburgi , fequentes obferuationes oftendunt. Altitudines barometri fummae et infimae per fingulos anni huius menfes cum differcntiis. Menfjs D. Maxima. Mititma. D. Differentia lanuarii 30. 2S. 3» . - 27. 05. 8 - - i. 33 Februarii j6. 28.. 4$ - 27. 07. 12 ^ * 1. 38 Martii 14. 2&. 90 . ' 27, 20. 4 - - I. 70 Aprihs X. 28. 70 ■ - 27- 70- Ccc 3 4 Maii ;po OBSERFATIONES Maii II. 28. 50 - ■ 27 55. 4 - - 0. 95 lunii 7. 28. 15 ■ ■ 27. 68. 19 - 0. 47 lulii 13. 28. 47 ■ ■ ^^7 65 4 - - 0. 82 Augurti 24. 28. 47 • - 27. 48. 29 - • 0. 99 Septembr. 15. 28. 45 - 27- 35- 24 - - I. 35 Odobris 8. 28. 40 - • 27. 00. - - I. 40 Nouembr. 29. 28. 47 - 27. 23- 25 - - I. 24 Decembr. 18. a8. <55. - 27. 85. 22 - - 0. 80 Secundum has obfcruationes fumma mercurii alti- tudo per totum annum fuit 28. 90 , notata menfc Martio die 14 h. 8. a, m. Thermometrum indicabat gradum 150, coelum feieniffimum erat , \ti quoque dies antecedens, et aliquot fequentes fuerunt fercni. V. ONO niediocri. Minima altitudo fuit 27. 00 Ocflobris 14 h. 7. a. m. obferuata , coelo nubilo ct pluuio , V S. qui paullo poft in W mutatus eft. Thermometrum indicabat gradum 139- Dies antece- dens et confequens quoque nubili et pluuii fuerunt. Hinc patefcit, maximam differentiam toto anno, feu va- riationem annuam mercurii altitudinuai, fuilTe i. 90 adeoque ^ maiorem, quam anno praecedenti. Qiium fomroa huius anni altitudo non fuperet jllam , quae in antecedentibus obferuationibus fumma deprehenfa eft j manet illa inuariata. Minima quoqire huius anni altitu- do minor eft minima, iam in antecedentibus obferuatio- nibus indicata, hinc et illa minima adhuc manet. Idem valet quoque dc fpatio variationum barometricarum ma- Ximo, quod idem perftat, quum hoc ipatium variatio- m METEOROLOGICAE 391 nis anniiae miniis illo deprehendatiir, Et hoc anno lex obtinet, variationes barometricas primis et vltimis anni menfibns, quam in mediis, effe maior.s, licet variatio menfe Decembri fatis fit exigua. Maxima variatio menrtrua fuit i. 70 menfe Martio , et minima f4 menle lunio notata. Variationes caloris huius anni cx (cquentibus obieruationibus thermometricis patelcunt. Summi gradus frigoris et caloris per fingnlos meri- fes A MDCCLIV thermometro obferuati. Menfes. : D. Frig maximum. C 'alor max. D. DifFerentia lanuarii i5 et 21. 185 - 151. II - - 34 Februarii 7- 1775 - 144.. 12 - - 335 Martii 5et 7. 171 132- 30 - - 39 Aprilis 23. 148 ' i23- X3 - - 25 Maii 5 et lo. 148 . ic8. 21 - - 40 lunii 4- 136 . 11 li. 10 - - 25 Inlii 29. 13*1 - i05i. 18 - - 27 AMgiifti 28. 139 - 1 20. 5et 24 - - i^ Septcmbris 15. 14S - 122. X - . 2 N E S D'. II defcendit ad ^6\^ quem gnidum non. am-' plius hoc. anno fiipemuit,. r 7 5 5. lulii 9' primiis infignior calons gradus eff obfer- ■«atus fciiicet. 32^ fecundum eandem fcalam R.eaumurk'- Euira.. Hic gradud maximus per, totum; annum fuit.. I r 5 4- Hbc anno lunii. 4.'" iam magnus calor efle coepit;. diim fpiritus. vini ad 30 fupra congelatioiiem adfcendit h. 3 et 4,. p.. m.. Die 5 gradus caloris erat 3; , qui maximus hoc anno- manfit.. Frigus fiimmum adhuc Pe- kini obferuatum eft 13 graduum infra; pundum congela- tionis fcalae Reaum. Infignores frigori& gradus. funt inr- ter 10 et 13, annis fcilicet communibus.. Qiiodfi in fcala Reaumuriana. puniflum congelatio- nis, quod. cifra nullitatis nota indicaf, ponatur rz 150 noftri thermometri fecundum fcalam Delislianam, et 80 cr o puniflum. caloris aquae bullieniis : confpicitur fum:- mum fiigus Pekini adhuc obferuatum ,, fcilicet 13 infra. congelationem , fecundum fcalam noftram efficere gra- dus 174I, qui gradus frigoris non adeo' magnus hic Petropoh ert- Infigniores igitur frlgoris gradus inter. 16 8 et 174 variaiitur, decem enim gradus. infra conge- lationem. fcalae Reaumurianae aequnles- funt 168* Dclislianis., Comparatis inter fe caloris gradibus, patet infignio- res caioris gradus variari inter z6> et 32^, fupra pun- fium. congelationis (calae R.eaumarianae.. (^ium. igi-' tuc M "ET E 0 n OZO G 1 C J E. 395 tiir 26 gmdus fcalae Reaumiirianae, fint aequales 10 li, et 32J conueniant cum thermometri noftri 89, rntelligitur , ^aiiationem caloris infignioris inter 10 1 et 89 fubiidere, t^uamuis haec comparatio fcalae Reaumurii cum noftra ex- adla effet, fi vtraque thermometra mercurio eflTent repleta : tamen pro mmus exndn d\ repuraDcia in therirometris fpi- ritu "vini repletis Reaumurii, quia exade concordantia non fuut, neque efle polTunt, quum fpiritus vini gradum calorjs aquae buUientis recipere nequeat, quod alibi iam fiifius efl: mouQratum, neque fpiritus vini eiusdem bonitatis ficile re- periatur. Inter has oblcruationes Sinicas reperiuutur quoque roagneticae , quae licet proprie ad meteorologicas non pertineant , tamen potiores locum hic commode reperiri pofle exirtimamus. Prim.um notatu dignifli- «lum occurrit , quod declinatio magnetis a triginta et .amplius inde annis conftans reperiatur. Declinat enim ft ■gradibus a borea occideutem verfus. Notatu dignior ad- huc eflet obferuatio ad inclinatiouem magnetis fpedans, fi pro vera haberi pofTet, fcilicet, quod inclinatio cu- fpidis auflralis, non boreae, vt folet, Pekini fieret : quia autem Reuer. Audor hanc oliferuationcm, /icet faepius repetitam , ip^e diibiam declarauit , quia obferuationem aliam huic ccnitrnriam alia acu magnetica confpexit, vbi fcilicct cufpis auflralis more folito (upra horizontem at- toliebatur ; certiora fiint cxpedlanda , quae dare promi- fit **. Declinatio acus magneticae hic Petropoli quoque non admodum inconftans videtur. D d d 2 Nam ■** Serrauit prcmifrum K.. P. in littfris ad A«demiam 1757 rurlu* datis. Ex cxperimentis vna cademque acu maguetica faflis conclu» 3p5 OB.SERVATIONES Nam qiiotiescunque declinationem acus magn^ tlcae liic Petroburgi obferuauimus ; deprehendimus lem^ per cuspidem boream inter gradum quartum , et quar- tum et dimidium, occidentem verfus dMitifle. Dedinatio^ vero 4. graduum occidcntem verfus hic eft obferuata iam a multis inde anuis, aut vti Kraffrius eam praecife a. i74-i determinare conatus ell 3° 56'' i^^. V. Commentario- rum veterum Tom. Xlll. p. 381. Notandum tametti eft, hanc declinationem faepius tempore non adeo diuerlb non fatis regularem efle deprehenfim, licet eadem inflrumenta fuerint adhibita , in quibus vitium nullum detegi potiiit, neque circumflantiae temporis admouum diuerfie fuerint. Maximam irreguiaritatem autem monflrant obferuationes magueticac in Sibiria fiidlae. Differentia infignis faepius inter obferuationes declinationis magneticae in eodem loco, diuerfo non adeo tempore , fidas, deprehenfa eft, vti vel fequentes potiores demonftrare poflTunt. A. ^73 5. lanuarii 24 et 27 deciinatio deprehenfa eft Krasnoiarii 2.' occidentem verfus. Die autem 31 erat 1°, et Fe- bruarii 10, 1° 45', Februarii 17, 1° 30'- Eodem anno Martii 21 et 22 Irctiti erat declinatio 1° 15'. Odobris atitera 28, i" 30', die 31, 30' ; Notiembris 4, i' dit, diuerfam hanc inclinationem pendere a diuerfo modo acum vir- tute mignetin imbuendi , ita vt inclinatio fiat auftralis , fi polo magnetis boreali vi. mngnetica in acu excitetur, ita vt initium du- £lus fiit in cxtremo, quod, meridie-m verfus fe conuertere debeat, . borealis autem, fi cortraria ratione fiat polo auftrali excitatio magne- tica. Quum Auflor adfirmet multis experimentis repetitis fe hanc le- gem deprehendiffe, fupereft vt incjuiratur, ytrum fit vniuerfalis ubt- ^ue locoruin. M ET E O R 0 L 0 G I C A E, 397 4,1* 30'; die 19, 1° 4.5' occidentalis fcmper» Selengiac declinatio Aprilis 3 nulla vel vix lenfibilis, fed Aprilis 1 5 erat 30' et Maii 21 et 22, 2" 45' occidentem vcrfiis. In oppido Kiachtenfi declinatio erat Aprilis 30, 3* Maii 4. 2" 45' occidentem verfus. In munimento lerawnienli lunii i et 2 declJHatio cfl: notata 4*^ occidentalis. In vrbe Nertfchinsk a 17 ad 28 lunii femper ea-- dera 3° occidentem veillis erat declinatio. In officinis Argunenfibus intra 14 et 24 lunii declinatio magnetis femper erat 3° occid. In oppido Zuruchaitu luHi 30 et 31 decli-- natio magnetis 3° 15' occidentem verfus efl: deprehenfa. In oppidoVdinsk inter 24 Auget 10 Sept. declinatio' magnetis perpetuo erat 3° 15' occ. Haec difFerentia no- tabilis declinationis magnetis in eodem loco , tempore parum diuerfo notata, non fblum a Gmelino, fed etiam a La Croyerio Ircuti eft deprehenla , licet fumma cura vbique fuerit adhibita. Maiorem adhuc irregula- fitatem monftrant obferuationes -pro inclinatione • magnetis in diuerfis Sibiriae locis captae, vti quo- que fequentes oftendere poffiint omni cura et diligentia- adae. Invrbe Krasnoiarsk 1735. lanuarii 27. h. 12. m. crat inclinatio primum fecundum meridianum magneti- cum3o'i5' fecundum plagas veras N. 30" 5.43°. O. 35° W 35°, Barometro 28. 25, Thermometro 157, Yeato 00, coelo fereno. D d d 3 Februa' 3^$ OBSERrATlONES Ftbruiirii i. h. 12. m. fecundum merid. magneticuTn ^8° 15'- fecundum plagasverasSeptemtriones29°,Meridieni 14°, Orientem 33° 30', Occidentem 34.VBarometro 28, o<5, Thermometro 190, VentoSO, coelo fereno. Februarii 10. h. 12. m. fec. Mer. magn. 29* N 28°. 45^ S 41' • 033° 3o'iW34'Barometro 27-28, Thermometro 171, Vento OS O i ; coelo tenuibus nubi- bus obdufto. Februarii 17. h. 9. a. m. Mer. magn. 29' N. 28* 45' S4i°. 30'; O 34° W34°; Barometro 27. 2o;Ther- inometro 161 ; Vento S W g S. 2 ; niuc pauca cadente.. In vrbe Irkotzk Martii 22. h. 8. a. m. Merid. magn. 27° ; N 27°; S 40°; O 32' ; W 31° 15' i Vento S W I ; fole per nubes tenues luoente. In vrbe Selenginsk Aprilis 3. h. 6. p. m. Mer. magn.aj'^ 45'; N 2i°45'; S35°; O 27';W2 7°;Barome- tro 25. 18^ Thermometro 135 ; Vento N i ; coelo fere lereno. Aprilis 15. h. 6. p. m. Mer. magn. 21' 45'; N 2i%5', S 35°, O 27°, W 27", Barometro 2 5. 25, Ther- mometro 130, Vento N i, coelo nubilo. Maii 22. h. 4. p. m. Mer. magn. 21° 30' N 21°; S. 34° 45'; O 27° 30% W 26°; Barometro 26 15, Thermomecro 104 , Vento N N O 3 , coelo occi- denrem verfus fpiffis nubibus obdudo. In oppido Kiachta Aprilis 30 h. 12. m. Mer. magn. 21° 30'; Nio"^^'';^ 35' 3o';0 27° 30' ;W 46°; Barometro 25. 38, Thermometro 137, Vento SSO I coelo nubilo. Maii METEOROLOGICAE. 399 Maii 4. h. 12. in. Mer. magn 20", N 20° 30*^, §34.*^ O 26° 25', W 26", Barometro 25. 52, Thermo- metro 135, VentoNN W 2, coelo nubibiis variegato. In miinimento lerawnienfi lunii i. h. 5. p. m. Mer. magn. 27", N26° 30', S 40"" 15', O 32° SsVW^^^sp', Thermometro 125, Vento 00, coelo Itreno. In vrbe Nertfchinbk lunii 24. h. 6. p. m. Mer. magn. 22°, N 22° 30', S 35°, O 27°, W 25', Barometro a(J. 3o,.Thermometro 114, Ventusinconftans, coelo (ereno. lunii 28. h, 3. p. m. Mer. magn. 26° 15', N2(S°3o',S4o°45\0 31° 45\ W 31° 30'- Qiiamuis in his obferiiationibus pro inclinationc, magnetis^ captis nihil omifllim fit , quod ad accuratio- nem carum pertinere Audlor Gmelinus exiftimauit ; fu- fpedae tamen ipfi vifae lunt , quoniam in eodem loco (aepius tantopere diffidenr. In inftrumento^ vitium nullum ab eo detegi potuit. Cum igitur haec irregularitas vi- tiofis obferuationibus tribuenda' vix videatur , eritne ad- fcribenda , vel territorii conftitutioni , particuiis ferreis impraegnatae , vel etiam qualitati atmofphaerae , vel ipfi motui fluidi magnetici ? quod. quidem di^quiri hic et ■unc non poteft.. OB5£R« 400 «^ )( o )( ^M OBSERVATIONES METEOROLOGICAE , FACTAE TVJ3INGAE, ANNIS 1750 ET 1751. Aiictore CEO. WOLFFG. KRAFFT. Barometro , atqiie Thermometro , in fitu aptiflimo ., vti fuperius indicaui , pendentibus, menftruae altitu- dines maximae et minimae Barometri funt fequentes , quas cum difFerentiis fuis hic appono, intelligendo pedis Londinenfis pollices duodecimales , eorumque partes centefimas. Anno. Menfe max. min. difF. 1750. lan. - - 29. £8 - - 28. 62 - - 0.66 Febr. - - 29. 05 - - 28. 19 - - 0. S6 Mart - ' 29. 22 - - 28. 39 - - 0. 83 Apr. - - 28. 86^ - - 28. 10 - - 0. 7 rae boreales a Clarijf. Dom. Bijchoffio , cuius tam in* duftria, et attentio ad varia niturae phaenomena, omnem laudem merenrur, quam etiam loci, m quo habitat, op- portunitas ad haec ipfi fiuet , prouti in Ohfemat. M^ teorohg anmrwn 174-7, JequenU. §. 5. dicSum eft, huc Kdeunt. i750> r F A C T A E T r Bl N G A E. 40S 1750, Februarii 3 , hora 7 p. m. aurora borealis, totam plagam borealem occupans ; plaga N O et ISl W egregie rubra , in plaga N vero ve- i hementcr albicans , fub variis fbrmis et colori- bus ad mediam noclem vfque a me obferuata, (ed tum nondum finita. Idem Obferuator (edulns , poflea etiam fequentes has adhuc annotauit luces boreales. Et quidem 1750, Martii 4; Maii i ; Decembris 28, hora 5 p. m. fub coelo fereno , quam extantiorem vocat Anno 175 1 aiitem Februarii 1 1 , hora 7 p. m. egregie rubram ; Od' bris 23 debilem, §. 5. Lumen Zodiacale obferuatum fuit Anno 1750, Martii 8, hora 6 p. m. eiusdem 26, 28,et3i, eadem circiter hora , coelo femper fereno. Aprilis 2, et 24, in iisdem circumfkntiis. Anno 1751 , ApriHs 20, hora 8 p. m. §. 6. Declinationem acus magneticae, 6 pollices longae , et meridianae lineae nunc conftnnter appofitae, his annis inueni fuiffe 14° 30', Occidentem verfus ; eandemque aliquoties iterum modo maiorem, modo mi- norem, aliquot minutis deprehendi poft graues tempefla- tes, et grandines. §. 7. In Eclipfi Solis, quae contigit 1750. d. 8 la- nuarii, mihi tantum licuit obferuare finem, hora 10 min. 52, temporis medii. Ece 3 §. «. 405 OBSERFATIONES METEOROLOGICAE, §. 8. Reliqua huc fpedantia comprehendam fe- quentibus. Primo , 1750, Aprilis 11, mane circa horam i, terrae motus hic exortus eft, fed momentaneus et leuis. Secundo^ tonitrua audita fuerunt Anno 1750, Apri- lis 23, 2<5 ; Maii 4, 24, 29, et 30 ; lunii 7, 12 j lulii 5, 17, 24, 28, 31 i Augufti 13, 14, 21, 27, 28 ; Septembris 2, 4, 14, 15 ; Anno 175X autem Maii I, 6 \ lunii 27 \ lulii 4, 15, 18, 21 ; Augufti i$y 25, 28, Septembris 17 ; Odobris 7. Tertio^ Grandines ceciderunt Anno 1750, Aprilis 7, 8 et 9, tenues ; lunii 12. Anno 1751, Maii 17, Augufti 25, quae horrida fuit, deiiciens copiofos globos, qui oui columbini magnitudinem habebant j denique Decembris 27. OB. ^^- )( o )( *^ii^ 407 OBSERFATIONES METEOROLOGICAE, FACTAE TVBINGAE ANNO 1752, A GEORG. PFOLFFG, KRAFFT. §: r. Inftrumentis nirfus in fitu aptiflimo feruatis , vti antea indicaui , menflruae altitudines maximae et minimae baromctricae funt (eqnentes-, quas- cum^ difFerentiis fuis hic appono, intelligendo pedi& Londinenfis pollices duo- decimales, eorundemqne. partes> ceniefimas.. Menfis max. rain. diff Menf, max. min. difT. lanuar. - 29. 05 - 27. 80 - i. 25 Febr. - 28. 8(5"- 28. 01 - o. 85 Mart. - 29. 13 - 27. 81 - I. 32 Apr. -28.92-28.14-0.78 lul. - 28. 82 - 2&. 43r - o 39 Aug.- 28. 93 - 28. 35-0. 58 Sept.- 29. 03 28. 50-0. 53 Od. - 29. 23 - 28. 70 ' o. 53 Maiiis - 28. 80 - 28. 23 - o. 57I Nou.- 29. 18- 28.40 - o. 75 lun. - 28. 95 - 28. 32 - o. <53iDec. - 29. op.- 27. 80- i. 29) Ex quibus apparet, manere adhucdum maxmam ahitudinum hic loci obferuatarum 29, 35, quae anno 1746 obferuata fuit ; et minimam earundem 27. ^4, vifam anno 1749 \ eandemque differentiam maximam I. 72; adeoque mediam Barometri aUitudinem 28.50, nuUa habita ratione inflrumenti fupra Nicri fluuii Ubel- lam eleuati , quae proxime 60 pcdes Londinenfes ex- plet, adeoque ^53 poHicisLond. duodecimalis efficit, fin- gulis 408 OBSERFATIONES METEOROLOGICJE, gulis altitudinibiis Barometri addendas, fi hae defideren- tur a ripa didi fluuii. §. 2. Obferuationes Therometri Fahrenheitiani^ in aere libero , fed vmbrofo, femper conftituti, fequen- tem praebent tabellam , quae cuiusque menfis oftendit gradura caloris maximum, et niinimum, cum differentia vtriusque. Menfis max. min. difF Menn s max. min. difT. lan. - 47 • 14 - 33- lul. - 72 - 57 - 15. Febr. - 44- - 28 - 16. Aug. - 72 - 53 - 19. Mart.- 53 - 25 - 27- Sept. - 78 - 47 - 31. Apr. - 6o - 30 - 30. oa. - 61 . 30 - 31. Mai - 6-j . 45 - 21. Nou. - 50 - 24 - 9.6, lun. - Sx - 55- 25- Dec. - 5^ ■ ■ 13 - 39' Vnde apparet maximum per hunc annum caloris gradum fuiffe 81, qui incidit die 30 lunii, flante forti Auftro , poft magnam -varietatem ventorum , turbines etiam , coelo paucis nubeculis occupato, et fubfequenti- bus vefperi leuibus fulgurationibus. Maximum vero hu- ius anni frigus eft 1 3 graduum , quod fenfimus mane Decembris die 4 , flante Zephjro tenui in ferenitate perfeda. Medius igitur totius huius anni caloris gra- dus eft 47, adeoque vno gradu infra temperiem mode-. ratam, quae ftatuitur 48 grad. §. 3. Auroras boreales hoc anno fequentes obfer- vaui. Februarii z6 et 29 , inter nubes tenues fu(picia jnihi orta eft de tali luce, incerta tamtn. Mar* FACTAETV-BINGJE. ^09 Martii 3^, inter nubes diuiras , poft grandinem et vehementem pluuiam, confpicua erat aurora boreali» manifefta, copiofis ftriis et radiis. Maii 13, aderat lux borealis iterum manifefta, in fercnitate fere integra, inter fplendidas fixas boreale* confpicua. lulii 16 , inter fiflliras nubium lux borealis milii vifa fuit, albis, et mutatis fubinde, virgis, manifefla. lulii 21, in itinere Stuttgardiae verfiitus, vidi au- roram borealem multis, latis, albisque ftriis emincntem, circa horam p p. ra. lulii 3 1 j lux borealis raagna , inter nubcs tc- tjues. Augufli I et 2, io aliqua ferenitate, pofl pluuias fortes, eandem debiliorem obferuaui. Augufti 23 , fufpicio milii talis lucis enata efl, tx aliquibus phaenomenis. Nouembris 17, flantc forti Euro , aderant vefligia lucis borealis. Decembris 14, flante fortiflimo 2ephyro per iliquot dies , hora 6 vefpert. manifefla aderat lux bo- realis inter nubes continuas varia et inconttanti albedino fe prodens. Tom. V. Nou. Com. F f f Qui- 410 OBSERJ^ATIONES^METEOROWaiCA^, Quibns accedunt fequentes ndhuc , ab Amicis me- cum communicatae, iii vicinia no(lra ; neraps Lmuarii i8,, cum Iiimine Zodiacali manifefta au« rora borealis, coelo fereno , hnvji< 6 p. m. obferiiata a flmim. Reuerenda Dom. Bijcbqffio'^ iii fuperioribu& anni^ iim laudatO". Maii 6^ coelo» iterum ferena. Maii 17, inflgnis , aurora borealis vifa efl Stutt^ gardlae , a ClarijJ'. Dom. Profejfor^ Volzia y, hora. 10 p. m. Augufti 4, ab vtroque Amico» mihi indicatj^ Odobris 13, magna lux borealis. fpedata cdSttiU' gardiae^, tefte Clarijf. Folzio. §. 4. Dfeclinationum! acus magneticae ,, 6 polL longae, et lineae meridianae conftaHter appofitae, maxi- mam inuent hoc anno ^ occidentem verfus, 14° 45^^ minimam autem 14° 30% vnde in. tanta. earundem ia-r conftantia ^ quae hoc quoque anno» poft grauiores tenx* peftates aliquoties^ fe fpe^tandam praebuitj, media afla* menda erit 14'' 37^ §. 5.. Vtilitates et vfus harum obferuationunu meteorologicarum comprehendere noa poffumus,, nifi cx longa annorum ferie ; quod illis naturae indagatoribus percenfendum trado ,, qui tales quotidianas et onerofas CQlle- F A CT A E TV B I N G AE. 4" rum, expedando. S. 7. Reliqua his adhuc accenfenda fequentibus compledar. trimo^ tonitrua audita fuerunt Maii a, 1 8^ lunii 5, 7, 8, II, 17, 30 lulii 8, 10, 11,13,14^ A5, 25. Augufti 15, 27. Septembris minime ed fidendum. Hifce rationum momentis. indudus in methoduraiT obferuandi temporis incidi, cuius beneficio , cum difFe- rentia tantum altitudinum binarum fiellarum , neuti- quam vero altitudines earum abfolutie obferuatae requi- rantur, errores inftrumenti ct Horizontis miiiori ex parte vi- tare, et obferuationes ad tempus determinandum fpedantes aliquot tantum minut. prim. fpatio peragere licet ; ita qui- dem vt nullam contnrbationem obferuationibus afFerre pofllt fiue refi-aftionum inconftantia atque diuerfltas, fiue Horizontis fenfibilis indinatio. Modus hic eo prae- terea gaudet commodo , vt errores in ipfa altitudi- num difFerentia admiifi , fiue diuifioni inftrumenti, fiue obferuatori adfcribendi, nullam notabilem in tempore exinde fupputando producere valeant a vero aberra- tionem. Accedit ad haec, vt naucierus calculis afl;ronomicis imbutus, vfuque inflrumentorum ct methodi huiusce no vae exercitatus, facili negotio, pofito breui calculo, ita. PROBLEMATIS JSTRONOMICL 4^9 eligere fciat ftellas, atque ita arripere inteliigat temporis morTienta, vt intra coniplura min. prim. dubia eleuatio Poli nuUum aut exiguum vaide errorem afferre poffit tempori ex obferuationibus et eleuatione Poli duta fimul colligendo. Methodi autem noftrae vfus atque conditiones , \t penitius atque clarius ipfisque uautis dodrina calculi ali- quatenus inrtfudlis inteliigerentur, lequens (ubiunxi exem- •plum ipfius caiculi breuidime inflituendi rationem ex- liibens. P r o b 1 e m a. Objeruatis binanm fixarum^ quanim altera Orittm verfus, altera ad Occajum a Meridlano remota, altitudini- bus fere aequalibm : datisque tempore inter obferuationes practerlapjo, dijferentia ahitudinum fixarum objcruatai um^ ma cum earundem Di clinationibus ac dijjerentia AjcevfiO' mm redarum, nec non eleuatione Foii ^ determinare teni' pus u culminatione et altitudines fixarum abjolutas. Solutio exemplo illuftrata. Sit HZPR. Meridinnus, in quo Z. Zenith, et P. Tab XII. Polus Aequatoris. Obreruata fit fub eleuatione Poli 50" o^ Fig. A. et longitudine 180 circiter grad. akitudo Arduri a Me- ridiano Ortum verfus in s verFantis d. 30. Mart. ft. n. An. 1750. 9^.55^0^^ temp. Homl. —27". 27^, eo- demqne die 9*- 5^^- 3°^^ temp. Horol. altitudo ftellne Aldebaran fiub Palilicii a Meridiano Occidentem verfus in S remotae =22*. 27^, ita vt altitudinum difFerentia G g g 2 obfer- '4:^0 s 0 LV T 1 0 N 0 r r obferuata fit — 5''.o'', quae refradionum differenti:! corA reda mutatur in veram zr: 5°.o''. 30^^, Ex Catalo^O) fixarum defumitur pro tempore fupra notato Declmuio) Arduri — 20°. 30'' bor. 'eiusdemque Afcenfio reda' zzraii". 4^ Declinatio itidem Palilicii pro eodem tempore =115°. 5 p''. bor. eiusdemque Afcenfio reda; rz^J^". C4''. Differentia itaque Afcenfionum rcdarum' Arduri et Aldebaran erit — 145^.40'', et tcmpus intet obferuitiones praeterlapfum in partes Aeqnatoris conuerfum ::^ 22''.33'''', hinc angulus ad Polum SPi- 145°. 2^33''^.. Ponatur iam angulus horarius ZPj- — a; ang. ho- rar; 2PS=r(3 ; altitudo Aequatoris ZV — c ; comple-^ mentum Dedinationis Arduri sV~^-^ complementum: Declinationis Palilicii SP — ^ ; diftantia Arduri a 2e- nith Zs-j et diftantia Aldebanin a Zenith ZS=/ + cJ', ita vt S differentiam altitndinum fixarum veram, fiue: obferuatam, et refradlionum differentia corrccftam denotet.:: Qiiocirca habebimus pofito radio z=: i, cof. a — —jz-c^n^. — ^ „r n co/(:y-4-5-)— co/.cMj.a COJ. p —^ jiv.Q.jin.a Sblutio itaque Problematis. eo redit,, vt determinci tur valor ipfius / ita comparatus, vt a H- p— ang, ad Polum.SPi, Hoc vero vt commodifiime fiat, po» namus altitudinem veram Arduri , dum infi^a accuratifli- me definiatur, "s.y^ay , quo fado, ad fbrmulas fupra; Uaditas- refolueadas.lequeates. iam haberaus. literarum va- lores.:; naBiEMjm jstronomici. 4.«t « = 74-*. I'' ; b=z 69". 30'' ; c zr 40°. o'' et « + (? ==14.6*'. ^''.33''^, adeoque /.cofirrp. 8842540 /.€0^.^=9.5443-53 /. cof. c. cof. ^ r 9. 42 8 5793 cofif.cofZ^-o. 25827443 cof.j^n 0.4^097432 9. 8 S 425 40 r/. cofc 9 43 98 973 -l.coi a co(. y-coC c.coC.b-o. 192.699^9 J [coi.y - coO. cof. ^) r 9, 2 8 4 8 8 1 5 / fin. (7-9. 80 8067 5 / fin.^r 9. 9715876 /.fin <:.fin.^-9.779:^«.6 = /. cof. a=9 . 5 o 5 2 25 4 ai:7i°. 20''.!^^ 9.324,1513 r: /. cof r. cof. ^ o. 2i093629rcof.f cof^r o. 38174262 3:cof.(j' + '^) 0.17080633 -cof. (/4-<^)— cof ^ cof.« 9. 23 25040=:/.(cof (7+(J) -cof.f. cof. fl) 9. 8080575 r/.fin.r 9.9828778=/.fin.« 9. 7909453 r/.fin.f.fin.^ 9.441 5587 -/. — 7i;^cT;7?r:^ -'•coi-P' 73°. 57^-i3^'-i = (3 Siimma igitur angiilorum a et (3 ex noftro calculo in hypothefij'i:5 2°. 3 3^ deduda aequatur 145°. i^''. i^'^\. Cum vero a -+- p effe debet = 145°, a''^^^^^ facile in- tciligitur, valorem ipfius y fupra adumtum eo modo ef- fe augendum, vt ipfius incrementum augere valeat fum- mam angulorum a et p quantitate data —45''. 1 8''''|- rra^iS^''. 5, manente valore literarum rt, b et c fem^ per eodem. Ggg 3- Ad 4^2^ sotvr 10 N 0 r t Ad hocce uegotium fiicillimo modo pemgcnctem' cx aequationibus fupra exhibitis analytice relationem in-' crementi ipfius j ad incrementum angulorum a. tt '(3' methodo fequenti eruere conabor : Efl: enlm cof. a— j„uc.jm.{> — > iiinc difterentiando fafin.-am — ety. fm.y )in.L.jin.b } ["tt;,, fiue j dy.Jin.y :« a — Jvux.\m.c.iin.b* ^P=--/^-&fe5S-, adeoque Simili modo prodibit Jin. y ■{y-^S) da.-\- d^ — \jin.a..Jin. c.jm. b H- Jm.^.Jin.cjin. dj — £«diii dy^ fiuc Jm.y Jin. {y -f- 5") Jin.^.Jm.,c.Jtn.a expraeced./.fin.f.fin.^-9 779^5 5i| 9-7909453=^-fi"-^-fi"-^-expraececi, /.fin.an^. 97653 25! 9.9827409-7.^^.(3 /.fin. a.fin.r.fin.i^-9 7561 87<5 /.fin.jr 9.948 i2<5o /''n^: . Jm. a.jLL.c.Jm. 6" 10.1919384: ;4:'S.tSr^-^-55^367^o 9-773<^8-■. ("1.6 ~I~ /:n.|3. /m- c./i I2III85 /. (/,7^,V. + ;i3£^,) = 0.493055^ /.' - cof c. cof /i) = p.^':^^ 1 86 ex praeced. /. fuLr. fin. ^ r: 9.779<^'> 5 1 /. cof. «39 4.9666 3 5 ct:i= 7,1°. 4.2^.40^-' o-S^^S^^oorcoffj-f-^J) o. 21 093629 zrcoff.cofrtf ex pr.ieced- o . 1 66 8 8 8 7 1 r cof (jK -f- (^ ) - cof c. cof a- 9 . 2 2 2 42 69 =:/. (cof ( r-f <5 ) -col. f.cof 4' 9.790945 5-1 fiii. -eo/.eco/.5 COl. a — Jin.c.Jm. b Pofitio igitur quod if et j fint quantita>2s conftantes, a ct ^ autem variabiles , emerget diflercntiando fbrmulam iam cxhibitam , ifta aequatio : - , coj. b Jin. hjin.c dC'^ jeoS-y •*• eoj- c w/. h)Jin. h coj. cde — iin. a. aa. zz. ~ Jin. cjin. b hinc da ^^{%-;:f:C'^-'COt.b) Cuc . , dc_ . cof.y eaub . « * — /m. a *- Jin. bjm. c iang. c "" taa£.c» — COt. If) Cum vero cofj fit n: col. a Cn.^fin.^-f cof.fcof^, erit variatio minima anguli horarii, fiue , dc , coj.x , cot.b cot.b ,» , da-zizjii^ ( f-^c -4- 23^ - -^^ - cot. b) adeoquc tang,c tang.s d(x 11: j^ (cof a cotang, r — cotang. b) Si ftella fuerit in Aequatore, erit ) ~o ,critque hoc in cafu cof a. cotang c — cotang. b, hinc cofin. a — —^, Data igitur eleuatione Poli prope vera atquc Dc- clinatione fl:ellae, nuUo fere negotio dcfinitur angulus horarius cuius determinatio neutiquam ab accurata elc- vationis Poli cognitione pendet. Circa id itaque tcm- pus capiendae limt fucceffiue altitudines fixanim , vt temporis detcrminatio ex altitudinum binarum fixarum difFerentia eruenda ab crrore in eleuatione Poli ad- miiro fit tutiflima , fimulque reliquis errorum fbntibus , fiue inrtrumento , fiue Obferuatori afllgnandis, minime obnoxia. Cum vero altitudo Sideris alicuius lacilior fir ob- feruatu, quam angulus eiusdcm hcrarius, latius erit po- fitionem Sideris , in qua error in eleuatione Poli mini- mi eft momenti ad tempus obferuandum , per eiusdem Hhh 2 ^- alti- 418 S 0 LV T 10 N 0 F 1 altitudinem , eleuationi Poli et Declinationi Sideris re- fpondentem definire. Qiiia enim fin.altitiid. fuie cof. j - cof. a. fin. c. fin. & ^coff.cof^, erit lubltituendo valorem (upra inuentum r cot.b cof a =: e-STc » cof j' = "'•^i:;:^-^"-^ -H cof. c cof ^ , hinc cof. y == ^°^-^-fa~g^-4-':°/-?'-^w^-^ '*^ co/.c. cof j' = cfl ( fin. ff -i- cof. c) fiue Definita iam altitudine Sideris cuiuscunque^ in qua fub data eleuatione Poli tempus methodo noftra obfer- vare licet , nuUa amplius relinquitur difficultas apud Obferuatorem congruens aptumque ad maximam obtinen- dam accurationem aucupandi temporis momentnm. Rertat itaque, vt deprehenfa ftella ex. gr. Ortum vcr- fus a Meridiano in debita altitudinc verfante , Obfcr- vator facili negotio inucnire valeat ftellam alteram ia altitudinc debita refpondenti Occafum verfus fitam- Ad negotium hocce expediendum ponamus ftellas obferuan- das pari quam proxime gaudcre Dedinatione ; quo pofito, fi Afcenfionum redtarum difierentia inuenienda dicatur z^ erit corm.«=:^-fi-^)fi"« «Ot.C N COt.Q ' r cotang.b ^ X cofin.«=2. — ^ Cogni' PROBLEMATIS ASTRONOMlCL 4*9 Cognita ita(]iie Afccnfione reda ftellae ex. gr. Or- tum verfiis vcrfiintis, hiiius formnlae ope ficillime adi- gnnri poLcrit rtella akcra ad obferuandum tempus prae aliis raagis maximGue idonea. Sicuti autem momenta illa temporis ad obferuan- das ftellarum altitudines aptifllma ex angulo horario vel cx altitudine ftellarum definire docuimus, ita haud diffi- cilius ex Azimutho ea cognofcere pofliimus , fiquidem ftellae omnes in verticali primario et in altitudine cir- citer aequali verfantes ad tempus methodo hac deter- minandum maxime fint idoneae. Cum cnim in cafu de quo agitur cof. a.r: ^^c> et coCy =z ^ , erit fin. Azimuthi ::= fin.^.V(^i — a^) = '^^'<^'[{i,i.b.cot.c — c~b-) yjfmb. coj. c — coJ.b.Jin. c) T/ 2 2 V 2 ^ y [coj. a—coj.b) >' (co/. c—coj.b) Hinc igitur patet, erroneam Poli eleuationem nul- lum afFerre errorem tempori methodo hac inueniendo iis ipfis momentis, quibus rtellae obferuandae per cir- culum verticilem primarium tranfeunt. Si quando autem ftellae extra primarium verticalem obferua- tae fiierint , ope aeqiwtionis fupra exliibitae da z=z j^(cof.ct.cotang.i'-cocang.^] facillime, vt iam often- H h h 3 dimus, 430 S O L VT I 0 N 0 F I dimus, dcfinitnr error in angulis horariis, ruie intemporc, qui ex errore nafcitur eleuationi Poli adfcribcndo. Haec vero folutio pro iis tantum valet rtellis, quo- rum Declinatio eleuationem Poli non exfuperat. Si enim Declinatio ftellae fuerit maior ekuatione Poli, (lcl- la per \erticaleir. primarium tranfit nunquam , ita vt pro eiusmodi (lellis error in angulo ad Polum, fiue da fit- -f~ (cof a.cotang.(,--cotangi')r:jy;^(cotang ^-cof a.cotang.c), hinc in cafu quo erronea Poli eleuatio minime mutare Talet angulum ad Polum, dda =— ^ (cotang. c— cof. a cotang. b)d a^rz.o^ adeoque cofin.a— ^12^ 5 cof.yzr:-^, et ^a fiue incrementum vel decrementum anguli ad Polum, vbi efl: minimum, z:VS SOLIS, PRAECIPVE IIS , QV'AE ANNO 174.S. d. 25. IVLII ET ANKO 1750. d. 8. lANVARII ST. N. DILI- GENTISSIME SVNT OBSERVATAE, DE- FINIENDORVM DlSQyiSITIO. Aiictore A. N. G R I S C H 0 PF. Ciim Eclipfcs Liiminariiim Phaenomena fint inter coe- leftia adeo confpicua , vt Hominibus rerum coe- laltium imperitis antiquitus admirationem mouerint, plc- rique Spedatores foia curiofitate adducli ad ifta Phaeno- mena (pedianda veniunt ; Aftronomi contra ab incuna- bulis Aftronomiae , propter vfum eximium plane atque fingularem ex accurata Eclipfium obferuatione perci- piendum ad Phaenomena ifta fumma diligentia contem- planda fe applicarunt , imo ad ea rice obferuanda in longinquas Regiones itinera nonnunquam fufceperunt. Utilitas vero praecipua , quae ex Eclipfium obferuatio- nibus hauriri poteft, ad Theoriam Satellitis Telluris noftrae condendara , corrigendam atque perficicndam , et ad Longitudines terreftres determinandas redundat. Qiianto cnim conatu Aftronomi et Geometrae ad Theoriam Lunae perficiendam incubuerint , quantumquc fruftum abfoluta Satellitis noftri Theoria Nautis in pe- lago fine duce faepiftime oberrantibus , adeoque toti huma- 432 ERRORFM TABFLARFM. humauo gencri allatura fit , quis nefcit ? Neque ignoti funt progrelTus illi infignes, quos indefeflb labore fecere rerum coeleftium Speculatores in enucleanda Theoria Lunari ad tantum faftigium noftris temporibus eueda , \t perfedioni eius nihil deefTe videatur , praeter inagnum accuratiflimarum obferuationum numerum in diuerfis Lunae pofitionibus ratione Apogaei , Nodorum et Solis habitarum et ab Aftronomis petendarum. iQuam ob rem Aflronomi debito inllrumentorum appa- ratu muniti nullam praetermittere folent eiusmodi ob- feruationum inftituendarum occafionem , ea etiam ad- hibentes obferuata , quae ex Eclipfibus Luminarium col- liguntur , quia in Syzigiis bona acquationum Lunarium parte euanefcente , reliquae eo fiicilius expediun- tnr. Eclipfium Luminariura igitur obferuationes fcite inftitutae praecipue Tabularum erroribus Pa- rallaxeos , Longitudinis et Latitudinis Lunae dete- gendis inferuiunt : Eclipfes tamen Lunares ad iftos errores determinandos minus quam Solis Deliquia eflc accommodatas Aftronomi iam dudum exper- tum perfpedumque habent ; difficultas enim initium et finem Eclipfeos Lunaris , vel appulfus Vmbrae ad inaculas Lunaris corporis aflueta Aftronomorum accura- tione obferuandi tanta eft , vt momenta haec vel pro diuerfa Telefcopiorum virtute difcrepent; fiquidem ini- tium Eclipfeos Lunaris per maiora Conlpicilla aftrono- mica tardius, finis contra citius quam per minora Tele- lcopia obferuari folent : vt caeteras taceam caufas et obfer- vationum circumflantias, quibus effici poteft, vt Deliquii Luna. nmniMmRyM. visQnsmo. 43 s Liinaris obfernationes infigniter ab inuicem diflferant. Hifce rationum momcntis adducuntur Aftronomi recen- tiores, vt Solaribus Eclipfibus, quarum initium et finis ■ceteraeque piiafes et momenta accuratifllme obferuari poflimt , praccipue fi relida veteri Eciipfes Solares in imagine Solis per Telefcopium intromifla et in adueria tabula recepta obferuandi metliodo, Sol direde per Te- lefcopium Micrometro munitum riteque adornatum ob« feruatur , ad Elementa Tabularum Luntrium ftabilienda plurima fcliciflinio vtantur cum fucceflii. Ad Tabularum error&s Longitudinis et Latirudinis Lii- nae definiendos accurata initii et finis Eclipfeos Solaris obferuatio praecipue requiritur , determinata etiam pcr obferuationem Diametro Lunae ^pparente • caetera enim elementa quibus innititur iftorum errorum calculus, a Tabulis aftronomicis mutuanda, non adeo aberrare pof- funt, vt conclufiones admodum .erroneae exinde jiafcantur, Ex. gr. paruuius error Paraliaxcos Lunae iiorizontalis primo ex Tabulis defumendae nullum errorem fenfibilem Loco Lunae apparenti ex obferuatis definiendo afferre valet • fiquidem in hocce calculo non de Pa- Taliaxi abfoluta ^ fed de diflerentia tantum Paralla- xium in Longitudinem ,et Latirudinem ad initium ct finem Eclipfeos ngitur. Poftea vero , vbi vcia tt Longitudo ct Latitudo Lunae inueftigatur, error ia Parallaxi Lunae liorizontali admifllis notatu dignior eua- •dit , praecipue in fupputanda Longirudine vera Lunae ■longe a Nonngefimo Eclipticae gradu diftiintis , et in .definienda Latitudine vera Lunae \bi altitudo I^^onage-; Tom . V N ou . Com . I i i fimi 434 ERRORVM. TABFLARFM fimi gnidiis Eclipticae tempore Eclipfeos fiierit pariia. Errores autem , , qiiibiis apparentis Loci Liinae calciiliis maxime inquinari poteft , ab erronea Di:imetro Lunae et diiratione Eclipfeos .minus accurate obferunta profici- fcuntur , quippe qui determinationem Longitudinis, in- primis vero Latitudinis Lunae infigniter aflicere vakant, magis tamcn in nuignis Eclipfibus quam in minoribus, Deliquiis. Ta'x Xil. Vt autcm clarius pjte(cat, Eclipfes minores refpeclu; F/g. I. errorurn, qui fiue obferuatioiie fiue in nonnullis elementis ad, calculum adhibcndis admitti pofliint , magnis efle praefe- renda«, vbi 'de Tabularum erroribus Longitudinis et La- titudiuis Lunac ex obferuata Eclipfi definiendis agitur, (it ■in'S ccntrum Solis initio Eclipfeos : Refcrat PM portionem Eclipticae ; N/ lineam Edipticae paral- lelam. Fingatnt Locus dpparens centri Lunae initio Eclipfcos in JSI , in fine Eclipfis autcm refpecflu Solis in L. Ponamus igitur fummam Semidiametrorum ap- parentium Lunae et Solis SN (breuitatis caufa — SL) — r: femitam apparentem Lunae a Sole ab initio ad finem vfque Eclipfeos per N L exhibitam — a* : angulum l^Lzize: Latitudinem vifim centri Lunae initio Ecli- pfeos, iiue NPcrj' et in fine Edipfis LM — z. Erit igitur cofin. SNLm^ et fin. SNL=: ^~\ hinc fin. SNy-fin. NSPr:;t^V(4-r = -a:')-^, et ^ :r= jcof ^V(4r' — a:') — Ixfin.d'. Si ponamus nunc cr- rorem exiguum in Semidiametro Lunae apparente inefTe .'~dr, error Latitudinis Lunac exinde oriundus, fiue dj> DEFINlENmRVM DlSQflSlTlp. 435 ex f()rmiild fupra tradita coliigitur =: ^^.r-^.x^-) -T^v^.- Ciim vero quantitas .v.fui.r. exprimat motum appaien- tem Lunae in Latitudinem pro duratione Eclipfcos, pro- dibit dy z:^"-—:^^. Ex hac formiila intelligitnr , eiro- rem de quo nunc agitur, in magnis Eclipfibus , ceteris paribus, maioris effe raomenti quam in minoribus, pro- pter quantitatem j -{- ~ in his maiorem quam in illis. Eadem ratione probatur, erroiem in Latitudine Lunae ex erronea Diam.etro Lunae npparente enafcentem , fi eadem Eclipfis in duobiis pluribusue locis fuerit obfer- ■vata , quam proxime efle in ratione inuerfi fummac Latitudinum Lunae initio et in fine Eclipfeos in fingu- lis locis obferuatarum : vnde fequitur, Latitudinem Lu- nae ab obferuationibus in loco vbi Eclipfis minor fue- rit, habitis deriuatam, hoc quidem refpec^u, ceteris pari- bus paulo tutiorem efle, quam ea efl quae per obferuatio- nes eiusdcm Eclipfis in loco vbi Eclipfis maior vifa fuerit, inftitutas definiiur. Ponamus nunc nullum irrepfiflTe errorem in Dia- inetrum Lunae apparentem, Obferuatorem autem erraflfe in duratione Eclipfeos , a qua pendet femita apparens Lunae a Sole, fiue Iinea NL, et errorem hunc in motii apparenti Lunari durationi Eclipfeos debito admiflum ae- quari dx. Habebimus itaque errorem Latitudinis Lu- nae ipfi dx refpondentem; fiue dy-'idx [^0zii) + fiu. e)- idx {~:^jr^,-^{m.e)-.ldx (|f | -h fin. e). Patet 1 i i 2 igitur 455 ERRORVM TABFIAKFM igitur, Latitudinem Lunae determinandam ab crrore itr duratione Eclipleos admiflb minus, quam ab errore qui ex crronea Diametro Lunae apparente ortum ducit, fi er- rores illi inter fe fiierinc aequales, affici. Simili modo intelligitur , errorem in Latitudine Lunae dcfinienda ex duratione Eclipfeos minus accuratc ob(eruata genitum,, ceteris paribus, notabiliorem cffQ ia magnis Eclipfibus. quam ia minoribus. Errores iftr, quorum cfFedum in Latitudine Lunac ex obferuationibus Eclipfeos definienda nunc confidera- vimus, multo minus afficiunt Longitudinem Lunae, fiue diftantiam eius a Coniundione apparente cum Sole in Ecliptica ex iisdem obferuationibus deducendami etenim dimidium tantum ertoris in motu Lunae apparente da- rationi Eclipfeos refpondentc admiffi circiter in Longi- tudinem Lunae , ime ia diftantiam eius a Coniundione apparente cum Soie in Ecliptica determinandam cadit. Simili modo haud difficulter intelligitur ^ fi femita Lu- nae apparens ad Eclipticam non fuerit inclinata , Loa- gitudinem Lunae ex obleruata Eclipfi eruendam, ab er- rore in Diametro Lunae apparente admifTo omnino non variari : Cum vero femita illa Lunae ad Eclipticam aliquantum fit inclinata , error in Diametro Lunae ap- parente admifTus oppido exiguum producere valet errorem in Longitudine Lunae ex obferuatis Edipfeos deducea- da , qui tamen paulo maior euadere poteft in magnis Eclipfibus, quam in minoribus. Ex hifce meditationibus colligitur, in accurata ap- parentis Diametii Lunaris obferuatione ad Tabularum Luna- BEFINIENDOKVM DISQVISITIO. 437 Lunariuin errores ex obferuiuis Eclipfibus exaifle definiendos maxima efle momenta. Haec autem obleruatio iiccu- ratiliime iuftitui poteft ope exccllentinimi Micromctri, cu- ius beoeficio Diameter Lunac apparens commoditrime dies aliquot ante et pod Eclipfin obferuari et Tabula- rum praeaantiflimarum adminiculo ad tempus Eclipleos reduci potefl. Alia quidem metliodus difiniendae Dia- metri Lunaris in Eclipfibus obferuata fimul in dilco So- lari ec chorda ec qiuntitate defedtis^ dataquc Diametro Solari innititur \ fed paulo incertior qSq vidctur ; quam ob caulam annaiares Ecliples hoc g,audent commodo, •vc apparentis Diamca-i Lunaris direde exadifrimeque obferuandae copiam faciant ; quae Diametri Lunaris ca- piendae opportunitas perfoluendac quaeflioni, Ytrum Dia- meter Lunae in difco Solari coufpicuae minor appareat, quam in e;\dem ab oculo diftantia extra illum, infer- vire poteft aptiflime : quae quidem Diametri Lunaris apparentia obferuationibus Cel. k Momiei\ Acad. Reg. Scicnt. Parif. Aftronomo in Eclipfi Solari Ao. 174-8; habitis probata efle non videtur. Famofiflimum illud Deliquium Solis , quod con« tigit d. 25 I^lii An. 174S. cum propter circumftan- tias nonnullas fingulares atque notatu digninimas omnes rerum coeleftium Speculatores rarioris huius PlL^enameni obferuandi cupiditate iniftammauerit , et nonnullos ad ea loca aliexerit , vbi fpes erit rariores huius Eclipfis ob- feruandi circumftantias : mea etiam circa hanc Eclipfin obleruata measque meditationes et inquifitiones in erro- fes Tabulanim Lun.irium ex obleruatis huius Eclipfeos I i i 3 ad 4S8 ERRORFM TABVLARVM fld obfemntiones quas Berolini fiimma diligentia inftitui circa Eclipfin Solis^ quae contigic d. 8. lan. 1750. comparandis deduccndos communicare et in liac di-fler- tatione explicare conltitui. Ante vero quam ad caku- Jum aggrediiir , fummam obleruationum DD. Morti- mer , Beiiis et Stiffens V. Cl. mihique coniundtim cir- ca Eclipfin Solarem An. 1748. Londini in Aedibus Marlboroughcnfibiis habitarum referre iuuat. Viri Cl. Beuis et Stiffens ad Eclipfm hanc diligenti(fime obfer» vandam Tubo vtebantur ultronomico 12, pedum ad famofiflimum Telefcopium refledens 12. pedum appli- cato ._ ego autem adhibebam Telefcopium refledens 2 pedum ad obferuandum Solem accommodatum. Hifce ita adornatis , initium Eciipfeos nobis Coeio eximie lereno per vtrumque Telefcopium accuratilfime obferua- batur d. 5? lulii a. m. 9^4-'. 20''^. tcmp. appar. Tab. Xn. Difco Solari variarum macularum congerie in Fig. 2. Fig. 2. exhibita confpicuo, fequentes obferuabamus limbi Lunaris ad maculas Solares appulfus : d. 25lulii mane 9''.39''-4-i''^. t. app. macula a penitus a limboLunari tegebatur. 9.53. o. - - - Macula maxima ^ penitus obfcurabatur : haec obferuatio aliquantum propter nubes dubia. 10,12. 8. - - - Prima itiacula ex tribus illis quae ad lim- bum Solis orientalem fitae erant, media fe- cabatur a margine Lunac. Hi fce obferuationibus peradls , Coelum nubibus obtegebatur; quam ob rem finis Eclipftos obferuandi co- pia erat nulla. Limbus Luaae haud peifcAe apparebat circu- DEFINIENDORFM DISQVlSlTIO. 439 circularis , variis inaequalitatibus per Telefcopia (iuis notabilibus in illo vifis. Vt harum obfcruationum frudnm capiamus , Ta- bularura errores cum Longitudinis tum Latitudinis Lunac exinde fimt detinieudi : id quod facillime ficri polTet, fi finis Eclipfcos Londini etiam obferuata fuiflet ; huiiis autem Eclipfeos momenti obferuationc dcftitutus , ad obferuationes alio quodam in loco habitas de(cendam necefle elL Hunc itaque in finem iis vtar obferoatio- nibus , quae de eadem Eclipfi Solari Berolini funt peradae. Ibi enim initium Eciipfis aunularis , fiue initium circuli e Solari difco refidui lucidi adnotatum c(l d. 25 luiii a. m. 1 1''. 52''. 51^''. t. app. finis autem totius Eclipfeos contigit p. m. 1^.25^9''''. t. app. Quamuis obferuationes fupra relatae in diuerfis inftitutae fmt locis , nihil eft quod eas ad Tabularum errores accuratifTime eruendos non adhibeamus , modo vt Dif^ ferenna Meridianorum Berolinum inter et Londinum debita praecifione fit detcrminata ; hocce vero nego- tiuni alias iam obferuatae Occultationis PaHlicii a Luna beneficio perfcci demonftrauiquc DifFcrentiam Meridiano- rum inter Obferuatorium Reg. Beroiinenfe et Aedes Societatis Regiae Londinenfis effe 54^ 1^^ temp. cum vero Aedes Marlboroughenfes ab Aedibus Societatis Reg. Londinenfis 5''''. temp. Occidentem verfus fmt remotae, prodibit ex noftro calculo Differentia Meridianorum inter Obferuatorium Reg. BeroHnenfe et Aedcs Marlboroughen- fes , vbi noftra habita fuit obferuatio , rzi 54^6^'. temp. Obfer. 44-0 ERRORFM TABFLARVM Obferuationes fiiprii exhibitas confideranti dua« patent ad definiendos Tabulnrum errores viae : primum cnim initium Deliquii huius Solaris Londini obfcruatum ad momentum initii Eclipfis annularis Berolini notatum , deinde autem Eclipfis annularis initium ad finem totius Eclipfeos Beroiini vifum comparari pofie intelligitur ; ita Tt duplici hacce comparatione peracfla , condufiones eo certiorcs adepturi fimus. Initium igitur Dehquii huius Solaris Londini obferuatum et initium Eclipfeos annularis Berolini notatum primo adhibiturus Locura Solis ex Tabulis Solaribus Cel. Euleri fupputando cal- culum adoriar. Longitudo ergo media Solis ad Meri- diem medium d. ci$ lulii fub Merid. Berol. erit le- cundum memoratas Tabulas 4^3°. 29^ ^S^''. Pofita nunc maxima aequatione centri Solis ^r 1°. 55''. 5 5''' et admiflii Obiiquitate Eclipticae — 23°. 28^ s^^''^ prodi- bit Alcenfio recSa veri Loci Solis ad idem temporis momentum — 124.°. 5 9^45'' ''I atque igitur erit ;ae- quatio temporis ad Meridiem medium d. ^15. lulii z-z 5''. 5 9'^''5. add. Sole autem tunc verfante in ptindlo Eclipticae, vhi aequatio temporis fere efl: maxima , manifertum eft, eam per ipatium temporis fuis magnum nulli obnoxiam efle variationi fenfibili; adco vt eandem tuto afllimere ponimus aequationem temporis pro jnitio ct fine Ecfiplcos quam liipra pro Meridie inuc- nimus. Hac itaque tcmporis corrcdtione vfus inneni ini- tium Edipfcos Londini obftruatum et ad Meridianum Berolinenfem redudum d. ^4. Iiilii ^^''.4''. 2 5''''i temp.. imed. DEFINIENLOHrM DISQFISITIO. 441 cned. aftron. fimiliterquc habebimus initiiim Eclipfeos anniilaris Berolini notatum d. 24.. lulii 23^58^50^'", temp. med. aflrou. Ad duo illa temporis momenta Locum Solis verum (ccundum Tabulas Cel. Eiileri , adhibita aequatione maxima centri Solis fupra notata , Lunae autem Locum verum eiusdemquc Diametrum horizontalem apparentem et Parallaxin horizontalem fecundum numeros Liinares Cel Halleii fupputaui et vna cum Diametro apparente Solis in fequenti Tabella exhibui. Liitio Eclipfeos Londini obf d. 24 lul. 21*. 10^19^^ Longitudo vera Solis Longitudo vera Lunae Latitudo vera Lunae Diam. Diam. Olisap. ^aeap. Parall.^ae horiz. \U^lJ,S ' 0 / // 4.1.39. 6,7 0 / // 0.3 3.5 7,5 Bor. / // 3X.4X 29.27 / // 53.31,5 temp .med. | Initio Echpfeos annubris Berohni not- d. 24. lulii 23^ 5 8^ 50'^^ tcmp. nied. 4.2.42.22 4.2.35.15,5 0.28.4.7. Eor. 31.41 j 29-27,2 53.31,9 Peruenimus nunc ad fupputandam Parailaxin Lu- nae tum in Longitudinem cum in Latitudinem , cuius definisndie gratia Nonagefinium Eciipticae gradum eius- que altitudinem et dilhntiain veram centri Lunae a Nonagcfimo gradu Eclipticae ad momenta Eclipfeos lu- pra notata determinaui et appofitae Tabellae inferui. Calculus nutem ifte innititur Eleuatione Poh Berolinenfi Tom V.Nou.Com. Kkk 52". 44i ERRORl^M. TABVLARVM. 52°. 31'': Eleiiatione Poli Londinenfi 51°. 32^: Obli- quic.itc EGiipticae 23°. 28^35"'' et denique Afcenfione rtda Solis ad Meridiem medium d. 2 5 lulii (bb Mcrid. Berol. 1 2 4.°. 5 g\ 4.5 ''l , fub Meridiano Londinenfi aiitem 125°. i^Sy'^^ ISIonjgefunus gra- dus Eclipticae Altitudo Nonagefimi gradus Eciipticae Dilbntia vera centri Lunae aNonagefimo Ad initiiim Eclipfcos i\^\io^ig^''\. temp. ir.ed. 2^24.°. 4.2^4.3^^ 5i°. 48^ 17'^ 36°. 56^24.^^ Ort. verfus ^Au iimium Eclipfeosl 1 annuLiris 23^.55''. 5 o^^i.temp. ^' ^"^- 5- II- vntA 58. 5. 1+ 8. 30. 5 Ort. verfus Ex liifce elcmentis et Parallaxi Lunac horizontali fupra ex Tabulis Halleianis inuenta fequentcm deduxi Paral- laxin Lunae a Sole et in Longitudiuem et in Latitu- dinem , pofita Parallaxi Salis liorizontaii zr 12^^. Ad initium Eclipfeos l.ondini obferuatum Parallaxis Lun^e a Sole in Longitudinem :8^33^^ Orienr verfus inLatitudinem 25". 10' Ad jcitinm Eclipleo^ aunularis Berolini obferuatum (5. 46, 8 Orient. verfus 10, 8 Altitu- DEFINIENBORJ'M DISOriSlTlO. 4-43 AUitudo deniqiie apparens centri Lunne ad initium Eclipfis fupra Horizontcm Londinenicm aequatnr 44.° 5 eiusdemque altitudo apparens liipra Horizontem Beroli- nenfem ad initium Eclipfis annuLiris 57°; -vnde emergit incrementum Diametri Liinae horizontalis ad primum momentum tzz 19'', 5 a.d altcrum \cro rr 23^^^, 3. Hifce corredionibus ritc applicaiis , prodi- bit Diameter Lunae apparens ad initium Eclipfeos Lon- dini rr 2g\^6'\ 5 ct ad initium Edipfis anuularis Berolini m 29^50''^, 5. Datis iam elementis omnibus qiiae ad Tabula- rum errores definicndos requiruntur , calculum ipfum adminiftraturi Longitudinem aeque ac Latiuidinem Lu- nae apparentem ex obferuatis Eclipfeos momentis fequenti modo determinabimus. Inuenta eft fupra Semidiameter apparens Solis ad diem Edipfeos rr 15^. 50'' ,5 ; Lunae autem Semidia- meter apparens ad initium Edipfeos Londini fuit — 14^. 53''', 2 et ad initium Eclipfeos annnlaris Be- rolini cr: 14.'', ss'''',^. Ex his coUigimus fummam Semidiametrorum apparentium Solis et Lunae pro ini- tio Eclipfeos Londini obferuato =r ^o^-^S^'',? earum- que differentiam pro momento initii Edipfis annularis Berolini notati -zz 55-'^, 3 ; quae difFerentia aequatur diftantiae apparenti centrorum Solis et Lunae ad prae- diftum temporis momentum. Inuenimus quoque ex Tabuiis Longitudinem Lunae veram ad initium Eciipfeos — 4^ i". s^'.^'''',^ et ad initium Edipfis annularis Kkk 2 z=.^\ 44-4 ERRORVM TABFIARFM in 4^2". 35'' 16''', 5; ita \t motus Lunae verus in Longitudineni pro tempore a primo initio Eclipfeos ad initium Eclipiis annularis praeterlaplo , fiue pro i*.54''. 25''' (it — ^^'p''^,^. Cum vero Parallaxis in LongituJinem Lunae a Sole initio Eclipfeos fuerit 28^.33'^ Ortum verfus et initio Eclipfis annularis ^''.id^,^ itidem Ortum verfus , prodibit motus appa- rens Lunae in Longitudinem inde a primo initio Eciipfeos ad initium vsque Eclipfis annularis i: 3 4.''. 2 3 '''',(?. Simili modo , cum Latitudo Lunae vera pro initio Eclipfeos inuenta fit — 0°. 33^ 57'^, 5 et pro initio Eclipfis annularis — 0°. 28^. ^^''•'Bor. Parallaxis autem Lunae a Sole in Latitudinem Lunam in hoc temporis momento 25^.10^'' et in illo 28^10^'', 8 Aurtrum verfus deprelTerit , habebitur motus Lunae verns in La- titudinem pro temporis fpatio quod a primo initio Eclipfis ad initium vsque Eclipfis annularis effluxit , — 5''. lo'''',^ Auftrum verfus ; motus autem Lunae apparens in Latitudinem ad idem temporis fpatium erit — 8''. ii''^^ itidem Auftrum verfus, Motus deni- q«e verus ^Solis in Ecliptica ad praediiflum remporis interuallum ex Tabulis Solaribus colledus aequatur 4 -Sj > 5- Tab XII Repraefentet nnnc ESC chordam parui arcus l«;g, 3. Eclipticae , et in iila fit S Locus Solis. verus tempore primi initii Eclipfeos, s autem Locus Solis verus ad tem- pus initii Eclipfis annularis. Sit porro N Locus Lunae apparens , fiue vifus, initio Eclipfeos, et L Locus eius apparens ad initium Eclipfis annularis^ ita vt EC linea circulis TDEFimENDORVM DISQnSITlO. 4+5 circulis Latitiidinum NE et CL comprehenfa motui Lu nae appareuti in Longitudinem interuallo tempons a primo Edipfeos initio ad initium usque Ecliplis annu- laris praeterhipfi refpondeuti aequetur. Duda Eclipti- cae paraikia ML a punLT:o L ad punclum M circulum Latitudinis NE in M iccante , Jinca NM exliibebit motum Lunae npparentem in Latitudinem a primo ini- tio Eclipleos ad initium vsque Eclipfis annularis. Si iungantur porro centra Solis et Lunae lineis NS et jL minifellum elt, lincam NS aequari fummae Semidiame- trorum apparcntium Lunae et Solis in primo initio Eciipfeos , earum autcm difFerentiam initio Eclipfis an- nularis exhiberi per lineam jL. Fiat denique interual- lum LP aequale interuallo Ss, et erit SP — jL, atquc hinc M P — motui apparenti Lunae a Sole in Longi- tudinem pro tempore inter primum initium Eclipfeos et initium Eclipfis annularis intercepto, ita vt , fi So\ per iftud temporis interuallum fingatur in S immobilis, Locus Lunae apparens relatiuus tempore initii Eclipfis annularis fit in P. Cardo igitur noftrae di(quifitionis in eo nunc ver- titur , vt calculo fubdudo, difFcrentiam inter Longitudi- nem apparentem Lunae et Longitudinem veram Solis tum ad primum initium Edipfeos , cum ad initium Eclipfis annularis, h. e. valores redarum ES et iC vna cum Latitudinibus Lunae vifis EN et LC determine- mus. Ad hocce efficiendum habebimus io Triangulo plano NML, redangulo ad M, crus MLrr 34^23'^*'.4.ir 36", coiligimus ex iila et ex Obliquitate Eclipticae 23°. 28*30'" ad Latitudincm BerolinenUm 57°. 3«' Nonagefimum gradum Fclipticac eiusque altiiudinem et diftantiam "vtnim Lunae a NonagcCmo gradu, quae omnia fequca- ti labcllae funt inferta. Ad initium Edipleos i\onagefimus i^radus Eclipticat Altitudo Diftantia vcra Nonagefimi grados Lunae a Nonagefimo 7*. 8' 26*. 27" 18°. 14. +0" es^.^P-SS^Or.verf \d finem Eclipfeos 9 27. 48- 13 15 7. 5 9 8. 49 Occ >crf. Ex hifte datis ficili ncgotio cruitur ad notata Eclipfis momcnta Parallaxis Lunae a Sole et in Longi- tudinem et in Latitudirtm , pofita Parallaxi horizontali Lunae a Sole pro iaitio Ecbjfifios =5 8'. 37", 5 « pro fine —5 8'. 40^8. Toni.V.Nou.Com. Mm m A^ 458 ERRORrM TABFLARFM l iii Longitudinem Ad initiiim Parallaxis Lunae a Sole Eclipfeos Ad Finem Eclipfeos 17'. 8 ,9 Orient. verfus 2. 2(5,7 Occid. verfus in Latitudinem 5 5'-4-2",- Denique definitur ex fupra traditls motus Lunae verus in Longitudinem pro duratione Eclipfeos obfer- vata ~ 1°. 23'. 18", 8 j eius autem motus verus in La-" titudinem pro eodem temporis fpatio eruitur 37'. 35", 2 Boream verfus : cum vero Paraliaxis Lunae a Sole in Longitudinem tempore initii Eclipfeos flierit -17'. 8",9 Orientem verfus et in fine Eclipleos- 2'. 2 6",7 ad Oc- cidentem , concludimus exinde motum apparentem Lu- nae in Longitudinem pro duratione Edipftos obfer- vata — 1°.3'.43'\2. Confimiii modo ex Parallaxi Lurtae a Sole in Latitudinem pro initio et fine Ecli- -.plcos fupra cxhibita et ex motu Luaae yero in Lati- tudi- DEFINIENDORFM DISQFISITIO. 459 tudinem modo not.ito eniiuu- motiis Lunae apparcns in Liuitiidinem pro temporis (patio inter initiiim et finem Eclipfeos interpofito — 6'.39",3 • qua quantitate imminiiitur Latitudo apparcns Meridionalis quam liabet Luna initio Eclipfcos. Qiiod ad motum verum Solis io Ecliptica, ille pro duratione huius Eclipfcos obfer- vata reperitur ^1:5'. 58",7. Hifce praemiflis, fit S Locus centri Solis veruSy^j^ ^^j ad initium Eclipfis , linca EC cxhibente chordam par- Fig. 5.' vi arcus Eclipticae. Sit porro s Locus Soiis vcrus tcm- pore finis Eclipfeos , ita vt Ss rcpracfentet motum Solis verum pro duratione huius Dcliquii Solaris obfer- vata. Pari modo fingatur Locus centri Lunae apparens initio Eclipleos in N et in fine in L. Binae igitur illae lincae EN et CL perpendiculariter a pundlis N et L in Eclipticam dcmiffae rcfcrcnt Latitudinem Lu- nae apparentcm ad duo illa praecipua Eclipfcos mo- menta ; adeo vt duda Eclipticac parallela M L , mo- tus Lunae apparens in Longitudincm pro duratione Eclipfeos obferuata dctcrminet valorcm huius redae M L — E C ; motus autcm Lunae apparens in La- titudinem eidem temporis fpatio refpondcns definiat valorem lineaeMN. FadaPL — Si, SP crit — xL et MP acquabitur motui apparenti Lunae a Sole in Ecliptica ad durationem Eclipfeos obferuatam. Ad de- riuandum igitur ex obferuatis Locum Lunac apparentcm habebimus primum in Triangulo MLN ad M redin- gulo crus ML n: 1°. 3'.43", 2 itcmque alterum crus MN z:i6'.39",3 j vudefluunt hypotenufa NL~i°.4-'.V' M m m & et +50 ERRORFM TABVLARVM et angulus MLN =: 5°. 57'.4V'*- T>Am porro iti Triangulo P N L latere N L et angulo P L N modo inuentis , itemque latere PL — 5'.5 8", 7; colligimus NP=: 58'-7",4- et angulum NPL — 173°. 25'.3i",4. confequenter angulum NPM zrd"*. 34.'. as"',^. Dan- tur itaque in Triangulo NSP tria latera, nimirum NP z= 58'-7",4.: NS— fummae Semidiametrorum apparentium Lunae etSolis initio Eclipfeosiz: 3 2'. 3 4", 2 et SPn: eidem fummae in fine Eclipieos ziu 32' 37",(?; quarc per refolutionem huius Trianguli obtinebimus fe- quentes angulos, nempe angulum SPN - 26''. 54.'.37",7 et anguhun NSP ir 126". 7'. 42" adeoque anguluna ESN r=: 33"*. 3*'- »",9 et angulum MPS == LiC rz: 20^20'. 9", I. Peruenimus crgo ad Triangulum ENS ad E redangulum , in quo ex prius inuentis co- gnofcimus hypotenufam SN et angulum ESNj vnde dcducimus Latitudinem Lunae apparentem ad momen- tum initii Eclipfeos , fiue EN zi: o". 17' sp",^ Auftr. et differentiam inter LocumSolis etLocum Lunae apparentem in Ecliptica ad idem temporis momentum per ES cxpreffam zr»7'. 8",9. Similiterque , in Triangulo CiL ad C redangulo, hypotenufi jL et angulo CjL datis, innotefcet et Latitudo Lunae apparens pro fine Eclipfeos GL z:: 0°. ii^.^o'',^ Auftr. et diftantia apparens Lunac a Sole in Ecliptica pro eodem temporc Cizr3o'.35",<5. Admifla itaque Longitudine Solis vera ad initium Eclipfeos fupra inuenta — 8*. 1 8°. 3', 8" adhibitaque ad Locum Lunae vifum ParalUxi Lunae a Sole tum in Longi» DEFINIENDORFM DISQVISITIO. 461 Longitudinem ciim in Latitudinem etiam priiis deiinita, proJibit Locus Lunae \erus ex obferuarionibus noftris colledus et cum eius Loco ex Tabulis Hallcianis com- putato coroparandus \t fequitur. Longitudo Lu- nae computnta. Latitudo Lunat coniput.itn. d.7.Ian.2i*.6'.38"5| temp.med.fubMerid J9'.i7°. 16. 5" Ecrol. 1 d.7.Ian.23*.27'.26"{ temp.med . fub Merid . Berol. D^38'.5 8"|Bor Longitudo Lu- nae obfcruata. 9^i7°.iS .50 9. 18. 39. 24 b. 46. 36? Bor. l 9.18.42. 8| LatitudoLunae obferuata. o'.37'.43"Bor. 0.45 2ii Bor. Perfpicuum eft ex hac comparatione, Longitudi- nem Lunae veram ex obferuatis dedudam 2'. 45" ex- (iiperare Longitudinem Tabularem ; Latitudinem Lunac obferuatam contra i'. 15" deficere a Latitudine eiug Tabulari. Qiiamuis igitur veram origincm errorum Ta- bularum Lunarium ex vna alteraue Eclipfi etfi fauorabi- libus fub circumftantiis obferuata deducerc lubricum pe- riculofumque fif, probabilc tamen fere eft, Tabulas HalJeia' nas Longitudinem Lunae mediam iufto minorem exhi- bere ; id quod non folum duae illae Eclipfes Solis , qua- ram calculum in hac differtatione inftituimus , veram etiam aliae Eclipfes , inprimis Eclipfis Solis quae An. 1727. d. 15 Sept. a Viris Cel. Caffini et Kinb obfenma fuit, probare atque corfirmire videntur. Mm m 3 Quod 4^2 ERRORVM TAWLAKVm Qiiod ad alteriim errorem i'. 15" in Latitudine Lnnae obuiiim attinet , obferiiandum eft qnod, fi ele- mentis quibus calcuius nofter innititur error quidam notabi- lis infit, ifte error neutiquam in duratione Eclipfeos quam accuratiflime mihi obferuata , fed potius in Diametro Lunae appiirente fit quaerendus ; et vero Diameter Lu- nae apparens in hac Eclipfi mihi parte 75. Diametri Solaris vi(a eft minor Diametro Solis. Qiiia igitur Dia- irieter Solis in hac Eciipfi fuit 3 2'. 43", deducitur ex noftra obferuatione Diameter Lunae apparens tempore Eclipfeos — 32'. 17", adeoque 18" fere minor ea quae ex Tabulis Halkiams colligitur. Dato autem er- rore in Diametro Lunae admiffo, fiicili negotio eruitur error exinde in Latitudine Lunae nafcens , ea vtendo formula quam initio huius diflertationis exhibui ; cuius beneficio habebimus errorem Latitudiuis, fiuc (fj~ ^-yqr°^. In praefenti autem cafii erit ^"1956"; Lunae horizontalis \ix DEFINIENDORFM DISOJISITIO. ^6$ \ix \'ltr:i fliigeri poteft ; ctenim , fi Paraliaxis Lunac lioriz©ntalis vltra partem fui loo"""" augeretur , ex ob- feruationibus Edipfeos Solaris Anni 174.8. niaius adhiic incrementum caperet Longitudo Nodi : cnm contra , li Parallaxis Lunae horizontalis augeatur parte fui 100'"", Longitudini Nodi Lunaris autem addantur 4. vel 5 minuta prima, Tabulae Lunares Halleu cum obferuatio- nibus Edipfuim Solis Annorum 1727, 1748 et 1750. fatis confentiaut. Vt autem accurate ac prii- denter in re adeo fubtili atquc fpinofa agamiis , nihil certi in illo uegotio ftabilire audco , ante quam calcu- his plurium Eclipfium diligenter obferuatarum aliarum- que obferuationum fcite inftitutarum rem dirimat cla- riufque oflendat : flabilire nimirum non audeo , quotii fiii parte Parallaxis Lunae horizontalis Halleiaua prac- cife fit augenda , neque quantum Locus Nodi Lunae cx Tabulis Hal/eiams defumtus accurate fit promouen- dus. Haec autem explorata perfpedaque habere mihi videor : 1™ quod Parallaxis Lunae horizontalis Halle- iana iuflo minor fuit, tum in Eclipfi Solari An. 1727 obferuata , cum in ea, quam ipfe An 1750. d. 8 Lm. diligentiffime obferuaui : ex quo colligere efl, Parallaxin Lunae horizontalem Tabularem etiam in Eclipfi Anno 174.8. obferuata iuflo minorem fuifle : nam fi ea in hoc Deliquio Solari minuenda vifa fuerit , in Eclipfi Solari Anno 1750. obferuata etiam erit imminuenda , cum difTerentia Parailaxium horizontalium Lunae in binis illis Deliquiis Solaribus ex Tabulis deduda non adeo a vera aberrare fiicile pofTe videatur , vt in altera Tom.V. Nou.Com. Nnu Eclipfi ji.6S EKROPJ^M TABrt. DEFINIEND. etc. Eclipfi aiigeri , in altera imminui pofllt ParalLixis ipfai' qu.mtitate notabili :, qiio ndmiHb, enormis exinde nafce- retur differentia inter Nodi Lunaris Locuin iiipputatum. et obferuatum. II'''': qnod Nodorum Lunarium Loca me- diii fecundum Tabulns Halleianas non. (luis funt pro- motii , adeo vt vnnm alterumue minutum primum Lon^itudini Nodi afcendentis mediac: addi; poffit \. quo Longitudo media Nodi Lunaris ad eam accederet , quae mFlamlleedn Tabulis obuia efl; vno iam. rainuto pnmo' excedens Longitudinem mediam Nodi afcendentis Lii- nae in Tabulis Halleianis notatam. Reliquorum, Tabu- larum errorum fupra inuentorum fpntes ex vera atqne: perfeda fheoria Lunari et aequationum Lunarium. ai>- guraentis ex illa coUedis, funt diiudicandi. GBSER^ ->^.| )( o )( «>?> 46-7 OBSERV-^TIONES ASTRONOMICAE SVB FINEM ANNI 175 1. LIPSIAE HABITAE a CODOFR. HEINSIO. 20- 88 39- +3- 20. .9. 88.40 — 29. 88. 39-29. +12. 50. 88. 39« ^1.50. I. I. 20+52. I» 20,55.-14. 13. I. 20.41.27. 4. I. 20 + 53.1. 20.57,-13. 45. I. 20.43.14. 8. I. 20 + 57. I. 21. I. -13. 5. I- 20.47 55' 10. I. 20 + 54. *• 20.58.-12. 35. I. 20.45.25» Alcitii- TEKINI H ABIT AE. 475 Aldrudiiics rr.edi.ie SS". ap''.^^'^ r^'''^ 1,20.4430. Tcfiadtio I. 27. 1.27. altitiidines corrcdae a refnict. 8S. 59. 40. 48. 1,20.45.57. Summa o. o. 26", 45. 4 cxccfT. nltitud. QiiLidr. 13. 22. 13.^2. exceflus corredio 88. 39. 27. 26. 1.20.32.35. dcclin. Lynie Nou. an. 1754. 38. 34- 14- 16". 38.34.32.35. altitud.aequatorls in domo noftra 50. 5.13. 10. 39.54- 45. 48. 18.45. 84.12.10 6. Summa o. 0.28.52, 5 excefliis quadr. 1 4.2(5". 14. 26". excefliis corredio P5 48. 4.20. 84.11.55.40. dedin.CapellaeFebr. an.1755. 45.43.21.11. 45.43.21.11. altit. aequ. ia lefid. noflra 50. 4.43. 9. 39.55.15.51. altit. Poli. Ooo 2 Cum 47^ OBSERFJTIONES ASTRONOMICAE Cum altitudo Poli, deduda ex obferuationibus Ci* pellae, niaior fit 30'^!^'''^. altitudine Poli, deduda ex obferuationibus Lyrae, neceflfe ett, irrepfifle aliquem crro- rem , qucm , quando erit otium , examinabo. 1755. diebus XXI. XXII. XXIV. XXVI. Deccmbris 39°.55^2a^^.30 Stellae polaris altit. fuperior 41 .55^52' inferior 37- 5 <^- 53- differentia 3. 58. 59. dimidium i. $% 30. refradlio Newton. i. 4. altit. Poli 39*. 55^1 8^^.30^^^. refradio ex Ephem, Parif. ~ 1^.10^'. altlt. PoU 39°.5 5^1 2^^.30''''. nediuni 39' 55- 15- 30''^''. Antlqua polaris finica. I75<^' 7. 9. 10. II. 13. altitudo fupcrior ^s^.ia^.io^^.? . inferior 3440.38. \^^-^^^^^ differentia 10. 31. 32. dimidium 5.15. 4<5. refradio Newton.. i. 4. altitudo Poli 39. 55. 20, refradio ex Ephemer. Parif. — I. 10. altitudo Poli 39. 55. 14. medium 39. 55. 17« ^ i Coht PEKINI HABITAE. 477 Conft;U, ftelhim, qnam voco antiquam polarem fini- cnm, fuiflc apud Sinas polarem ab aliqnot annis ante Chriltum, vsqae ad tempns, quo praccedenti (iiecnlo P. P. mifllonarii Soc. lefu fncre admifli in tribunal aftronomiae Initioanni 1744- Ex catalogo P. Ignatii Koegler Soc. lefU fiellat afc. rcda 191°. 52^ 7'^ lat. b. - - 57- 2. 51. Obferuationes variae Pekini habitae An. lys^. temp. corr. 22. lanuar B in virgine a Luna fuit occultata 1^.22.^1^^^. ad aullrum Gaiil. Emers. 2^.50''- in redta cum Meneiao et Galilaeo. jo. Feb-. Luna occultauit Aldebaran 0^.36^12. pofl: med. noAem , in reda cum centro crifmm et fpatio inter Plininm et PoflTidonium. iS. Febr. Luna occnltauit yj m \hg, gK $i^.io^^\ ^ la reda cnm Taruntio (forte prom, Ibmnii) et Menel. node inter 8 et 9 Nonembr. Lnna occultanit Aldebaran. Immers. 11''. lo^ ad auftrum iimbi, qui ert e regione Grimaldi. Emers. 12^28^9^'', dirtantia a limbo , qui eft e regione crifiumi femie lo^ Tranfitus ^ per Solenio 7. Noubr. borr. corr. Dubium,vtnim ^ fit in limbo 0 9' .29^ .49^' . mane tempui Centrum M ercurii in limbo 0 — 30- 51. totiis ^ in 0 - — — - 31- 54' exad. obferu. 0 00 5 poft 47 S OBSERFATIONES ASTRONOMICAE pofi: merid. . . ..,- ^ J o Kempns ferennm exacr. obferu. tot. ? exiuit e dilco O — 5^- -S ^ ^ Ex variis obreruatlonibus ante ct port merid. fidlis tub. 7. ped. cum microm. exiftimaui chord:un (emi- tae ^ fiiifle ss^ii'''' motiim horarinm in orbitii pro- pria 5^.57''^ in raedio EcHpfis centronim O et '^ di- ftantia i^. ^''^- Per tempus nondum licuit in ordinem difponere exade omnes obferuationes fidiis in tranfitu Mercurii. Apparentes altitudines meridianae Stel- 1755. Jaruin aliquot. i" Caudae Vr(aemaioris a^Caudae^lb 3" -H - - Capellae • Aurlgae humerus 2.2 Mart. 72°. 3S''. 9''''. 2$^^^. 8lun. i75 y :>^ o-i- 2^. 27. 30. Decembr. 1755 90. 4.. 25. ^ /^^ po'- 24.0 pArt. 19 Aiig.? 90 — 24.0 part.i 22 Aiig ^ PesAndromedaey 90M0' -|- 18^ part. 88. 50. - 185 vel 184I 30 luU 4. S. 9. 10. 13 Aug. SS^ 46^28^^30^^^. 30 Decbr. 1755 Perfei Intcris liicida. 8 1". - 139 part. 26 Aiig. 81 - 139 -I 25 Aug. 81 - 137- 24. Aiig. meciia Si^ — 138 Pi Cygai Caudi 85^ 29''. 54''''. 30''''^, 22 Aug. 94- 30. 5- 20. dub. CaputDraconisy 78°.24.^ c •" 3^^^''. 30 Mart. 78. 20 -+- ir. S part. 7S- 2T -4- i:'f 78. 20 -t- 194 p.irt i. 29. 30. Aiig. LucidiHumeri^ 54.°. 50'' — 190 part.j inVrlaminori pliires alias i5 Decembro '" A-L --^/.^r, . Ti 17 Decembr. ArcTiurns - 70.30'.-^ idS. part. 20 lul. t-. l ^ 20 Decembr. 1755 70' 33 4- "o lun. 7o°.33^i''''aut2'''' Aldebaran 56° -1-280 part. ^ 28 Febr. nomuillae aliae obferuationcs huic fiiere conformes anno 1755 menfis Decembr. 26 Spica» Sirius 480 OBSERFATIONES ASTRONOMICAE ste^ Sirins .- 33' 40''. -+-110 part. 5(5. Mart. 7. April «xaliaobieriintione 40° 12''. 57^^ alt.tudo 3 3°- ^o' -\- 114 p;ut. Rigcl a in Orione 4t"-35'-35' 51°. 23^40' S^'^\^ Mart. 4 Mart. dub. mane mane mane mine 175 5- 30 Decemfer. 41°. 3 5^. 42'''' In obferuatione ftellarum adhibitum eft inftrumentum ped. 3'^ micrometro inftrudum, in micrometro vna leuolutio continet 100 partes rn i^^p''^ 25''^^ pars quaelibet — i'^. 5^^^.39^- Satellites louis tub. 13 ped. horr. Corred. per altit. O correfp. lolanuar. ^Ki6\^^^^ Imm. i^j.^^ ^^^^ z obferu. dubium ^''^aut 8' 6. 5. 9 Imm 3 ) i7lamiar. 6^ 7^54^' Imm. j^ jnelius forte e^.y.^o'^, dub. 10 Febr. 2^44^ ^^''^nmm. 2' 22Febr. 5^. 47^.31^^ Imm. 3^ 2 5Febr. 4* 28^.53^^ Imin i' poftmerid. s^Febr. 10^57'. 59^1 Imm.i mane ^Mart. mane 1 1 Mart. poft merid. 2 1 Mart. p. merid. i^April. merid. 2 2April. 7^.5 4'''' lmm.2' l''. $i^.^c>''' Imm.2''' P- P- P P- P- merid. merid. merid. merid. 9". 46^4(f^^Imm.3' 8'' ^^^.^^''''Emers 2 '•>. ii'^2 8'^ Em. 1' m" Em. 2^ 8". 51'. 8'^mcrs.i"|j^^{, ^ ^''.^S^^Emers.i^^ ^.^^.^^''.^^■'''Imm.tuboso ped. II 7^5 i^Maii 22lun- 2 5lun. lo^ ^ -^^ - 8lun. 7^. 54''. ^'''notaui Emers. s'' tubo 20 pe3. fed propter diei claritatem dubiam habeo obferuationera illam. jK^ % e>:.^ fi^Tnmetit.^^mrAc .£np Sc J^eira^ . Tam. F.TaS.J (~>rm7nent Jl-inrjj: rm/> Sc JWrc^ . Tam . T.Tai.J . Co»ir,2er>^^.J^i^J^^^jr^jp^-^, J^ef^^^ . lb?n . ^rmS.J/:. Cbmnimi- jraj^jtaJm^ Sc.J'e/rv/> . Im/i f.IhS./r. C orruiz^ntJfov .XcJmp.ScJ^etr op'^m. rJhbJll. C ajnmentJi^ov Ac.Imp.ScJ^r op-liim.T-lbbTlf- «^ daa/b ^nctu /icco .#K^ ^.£ t' « ■ " It {2rmmmtJr(wJi.£TY}Sc.Teln}vTomV.Ia6- V. ^f ^7(^.1 'a7iceolakf-&ieanfni 'U CoTrtrmntMn' A-Irr^Sc.FetropTomV.Iaii V. £7^zcjf.l jyi/a/pi/i/iai/ij e//^/m/jo/i^ /an€eo/ito-/i7Wfin/?w ^^^^^^^i^^^ov:Jc:Jrr^:Sc.Tet7'^ ^^mcL 0>7?i7fT^nt 2Vov:j4c.Jn^ : ScTefivp Tam VJcJ TZ. ■^lMirjte/cL Zi6e//i ind v^^/U-^Vmr. J^ .Im/> Sc- .J^e/^vp 7b.'r /' 7h/- /// Vojr / /rri/ I T^^i^vf/ lam / r^(, i /t OymmentMw A: -^ Sc- Ihiro^ Tbm VT.TW. aticaiaia^ Comf?ientJ/ov Jc £rw Sc Jhfrcm Tom VT.l / '• lom/n, V w/. Vov . A-. 7^2/' Sc Trbop '/bm'] 'M7K. uj jninor ijijqatiu tv//^nu Jc Tmp S, ■ ■ Prt7-.,p '/om.VMlK. ■f ■ Sc/iaiu 7m//or 'tn/i/(if//.i ^^ ' ' r-'^ Ccmrea canwe^i//yj u/fIU//\^'j(i }i4!^5 ■^i f C >ooi/ni-ii>^.<^\at:iii. c/o/ft. 7.' f /a/f.JC. ^^ '.c^. d/»ip. ePr. JR-f/vp. e7h»i. i: c7a6.X. cor/i/iSas netr rumosis /ifc accrdi/ijr' Twol y.f ^ia^ '^''"""^■"^■AW..lc J,,,^, j, ^., , y> /on, l^-.TO.. roTwie/it- A^ov ^.Jj?ip Sc. Fetro^y. 2bm TT/MZ Cz/7ncu/^L) piimi/io /(l/u^Li Cuniculiu uvjicmiter raudab/J 3/ c^. . e- -§• „y,<^' a om„ie^,t.^Vai^.AcI,,i/j. ^S^c . Pef^^o/, . Toni . r Tad. Com/iimt.MrvAc Iin/a . ^S^c . Pefrojj . 2bnt V Tab.^XlU. l^/T/.> ciauafic/M Qyilo/cne/r^r reJo^ W^^^^