#i v" vjitri^Kijvn ; 'i * '"'■'■; ■■■ ":UM FOR THE PEOPLE FOR EDVCATION FOR SCIENCE LIBRARY OF THEAMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY 1 u u N 0 V I COMMENTARII ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETRQPOLITANAE TOM. XVIII. pro Anno M D C C L X X 1 1 1. S.C4 (H-1.^ PETROPOLI TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXXIV. ri(>.*?^ii^3 afi^^i^ SVMMARIVM DISSERTATIONVM, qVAS CONTINET NOVORVM COMMENTARIORVM TOMVS XVIII. a d MATHE^ MATHEMATICA^ L Theoria' Elementaris ferierum , ex fi- nibus atque cofinibus arcuum arith- metice progredientium diuerfimode compofitai*um ^, dilucidata.. Au s^ quod ftatim adparet , cum fit I — cof. ayrrafin.^* et fin. verf^m— cof.f ; |ic enim liabebitur i — L=^/d!— 4«^ aut denique i rr r.. Seriei cofinibus arcuum arithmetice progre- dientium fbrmatae fnmmam noua et eleganti metho- do Cel. BoJ/ut indagauit ; reperitque efle cof q -+- cof. 2 q-\~ colZ 3 f 4- cof:^ q^-\- . * - • coC ff f cof. q 'Jin. n a -j-fm. (.n -+- 0 l—fin.g) fin.-zq Tbi quidem notiflimnm efi , fi fit « — cv , hanc funimam fore — — 'i. Docet itaque 111. Bemulimy etiam hoc cafu pariter fore fin. co j -1- fin. (co + 0 ^ =r O f quo fubftituto ifta formula abit in hanc --coAq/m^ — - 5 ob fin. q cof. q rr ^ fin. 2 f. Eodem modo etiam reliquae formulae fumma- totiae a Ccl. Boffut ad datum quemcunque termino- rum fummandorum numerum exhibitae caiui , quo feries fupponuntur in infinitum progredi , poflimf adcommodari; vnde principii , quo liluftr. Au- flor vtitur , metaphyfici veritas et vfus abunde col- ligitur , praefertim cum hae meditationes CeL Bof- futii s -3=5.1 ( o ) ^f|<- fiitii commodam III. Audori occafioncm praebuerlnt,^ quid de ipfo termino infinitefimo fiatueudiim fit ^^ ■vberius explicandi , quo demum fado formulas BosV futianas a finito perfeifle detcrminato ad jnfinitum quodammodo indeterminatum extendere licct. Tlieo- ria haec III BernouUi cum duobus innitatur princi" piis ; primo , quod propofita feries infinita compofi- ta fit ex periodis , quae perfede fine fine recurrunt caedem ; fecundo, quod fumma omnium tcrminornm in vna eademque peiiodo contentorum aequctur ni- hilo ; de vtroque hoc principio compiures obfcrua- tiones ad rem illufirandam perutiles in hac diflferta- fionc nipwradduntur. 11. Summatlo progreffionum fui. (I)^ ^- fin. 2 d)^ + fin. ^(^ + fin. n 0^ cof. Cp^ -f- cof. 2 (p^ + cof 3 Cp'^ + cof n C|)\ Au6lore L. Eulero pag. 24,, III. "BcrnouFii praecedens difiertatio anfam praebuit 111. Ettlero , eiusmodi progrefiionum , quae ex fi- nibus vel cofinibus arcuum arithmetice progredjen- tium eorumue fimilibus poteflatibus componuntur, naturam et fummationem penitius inueftigandi. Prin- cipio 111. Auctnr iftas progrcflTiones ad fehes geome- tricas reuocare docetj pofito enim ^*-'' '^' '■[ coC- cofCp + y-ifin.Cp— p et cof.4)-y- ifin.Cj)— ?; Tf fit /j^ + d" , f' — q^ cof.wCpzz^^ — ^ «t fin.wCp— ^y^; tiim vero etiam p ^ — i ; euidens efl; , eas reduci pofle ad has duas geometricas p^-f-p^^+p'".. . .+/>"* et ?« + 9*«4-^^*.. . +?"« vbi quidem fumma prioris rr: -^ — ; pofterio- 9«( !-?"«) ris vero — — -^ — . His conftitutis, fi liae duac I — ^ feries ad fe inuicem addantur , habebitur , reftitutis pro p Qt q valoribus , fumina _ I co/. 7t « 3) — cof. (rt _f_ i) « (P . — * T" \ZZn^-^ ■» fi vero vna fubtrahatur ab altera , prodlt carundcns liifFerentia — /li€"\ 0 ) \'^<* >'- pofTe viiletur , quac vero per rationes rnctaphyficas perqiiam ingeniofe ab 111. Bermul/io afllgnantur , ita , vt iis in Analyfi plene aequiefcere queamus ; accc- dit huc , quod iam pridem 111. Audlor adnotauit , eiu«modi cafibus voci fimmae fignificatum ad Analy- fin magis adcommodatum efle tribuendum , quo ad- mifTo omnia circa eiusmodi fiimmationes dubia fpon- te euanefcunt , vt fcilicet vox fummaa formulam eam defiguet analyticam', ex cuius euolutione iftac feries nafcuntur. Ita v. c. fi fit X — fin. Cp 4- fin. a vp + fin. n Cj) colligitur .^^^./i^^J^^-Ltil^ vbi formulae fin. k (p et fin. (« -4- i) C|) propter vl- timum feriei termlnum ingrediuntur , fi igitur fit « — co, ita , Vt 'vltmus terminus fit nuhuf , etiam iftae formulae fin. nC^ et fin. (« -f- i) C|) fponte ex- cidunt : vnde fit j- n: -7-^%^ , ex cuius formulae «uolutione feries propofita relultat, Simili modo pro altcra feric / =: cof. Cj) -I- cof. 2 Cj) + cof. « CjJ inuenitur t —^'i ^ cof.m^ - cof. u -^^ 2(1 — coj. CP) fiue pofito n — ro fimili ratiocinio colligitur tzi-lt Tt itaque praecedens (ummae notio etiam huic cafui queat adplicari , notandum efi , valorem - ', natum «fle ex hac formula t — -E°L1-—' , quem valorem — 2 ( i — coJ.(P) * ^ aequalem eflTe feriei propofitae , 111. Audor oftendir. Adiungitur fub finem diflertationis fupplementum Ai fummatme generaU infinitarum aliarum progreffi9--> num •»> i%(o) ^*?!- »t mm ad hoc genui referendarum , quod fequens coa- tinet theorema : fi hiuus progreflionis A ;s+ B 5;' + C s' + D 5;*. . . . + N a" cognita fuerit fnmma , tum femper etiam has pro- grefliones fummare licebit : Axfin.(|) + BA-Yin.a(I)+CArYin.3(I) +NA;''fin.«Cl) ct AA,'co(.(p+B.v'co( aCp+CvW.sCf) +NA;"cof.KCpi id quod ipfis exemplis oflenditur. III. Obferuationes variae circa feries , ex finibus vel cofinibus arcuum arith- metice progredientium formatas. Auftore A. I. Lexell p. 3/ Occafione eorum , quae lllnfir. BernouIU de his feriebus in noftris Commtntariis docuit , Clar. huiiis diflcrtationii? Audor eaium contemplationem fu(ccpit , quam heic adumbrandam iudicauit. In hoc vero argumento ita vcr(atus eft , vt primum quaereret fummam binarum feritrum fin.5r+fin.^2;4-'y)+(in.f 24-21;) -i-fin.(s 1-31;).... -ffin^s+wi;) cof2;-f-cor(«-i-i;)+cor.(s-f 2i;)-i-cor.(=;-i-3i;\ . . .+coC(5;+«'y) pro terminorum numero finito , facillima autem re- dudio , quae hunc in finem adhiberi poteft, ea eft b 2 qua X* -#:i ( o ) |cf.« qua Ttraque feries multiplicatur per 2 fin. \ v , Iioc enim fado fiet cx priori 2 S. fin. \v— cof (5; — s-z;) — cor..(5;.+ («+5)1;) et ex pofteriorii feric a S. fitiLi^zz -fin. (s;-5 V) + fi:n. (s + («+i)^). Quod fi nunc ponatur numerus terminorurrr infini' tus , dubium effe poterit , quamodo fummai iei iei. fit exprirrrenda,quia nrmirunn mcmbrum co\'Xz-\-{n-\-l) quae. pro; aliqua. periodo locum habere poflTunt ,. hic eof.. (:; - j v) autemi medius valbr erit — — ;; — ; .ideoquepro) 2 fin. iV. ' ^ cafu v — z fiet —iQOt.\v: Quum igitur hoc va- leat pro quocunque numero- terminorum periodi „ valebit etiam fi ifie numerus ponatur infinitus , itai vt in genere fiatui queat , fummam fcriei fupra coCf^r — iv) propofitae in infinitum continuatae eflTe — zr-'— •.. 2 un. 5 ( 0 ) 3-f€<- 13 rentiae clrcuH, tuin enim (umma feriei fiet zzwfin.s, hmc qu; pro numero infinito , iufinita. Explicatis iis quiie ad funmationes ferierum fupra propofita- rum: , pertinent , progreditur Auiflor huius differta- tionis ad fummationes- ferierum , quae formantur ex potertatibus quibuscunque fmuum vel cofmuum pfO arcubus arithmetice progredientibus , quod quidem vix vllu Ti' faceiht negotium; , quia nimirum cogni- tum efl; quamcunque- poteftatem finus vel cofiau& alicuius- arcus „ per. (inus vet coirnus- arcirum- mul- trpTorum exprimi poffe. Inuentis autem his fum- mis pro tcrmino numerorum finito , etiam facile; erit fummas pro numero infinito inuenire , vbi qui- dem id nocatu diguum occurrit quod fummae quarum- cunque pote(l:atum imparium' cofinuum eundem habeant valorem ,, quippe quae iiTUeniuntur — — \. His me- ditationibus fubiungit denique Cl. Audor fummatio- nes aliarum quarundam ferierum , quae- ex- prius propofitis fadle deriuantur.. Noua feries infinita: maxrme conaer- gens perimetrum Ellipfis exhibensv AuQore L. Eulero pag. '/i. In Cbmmentariis Academiae noffrae , vtf et in Adis Berolinenfibus , pafiim iam 111. Audlor fe- ties. dedit infmitas ,, quibus ellipfiS) cuiuscunq,ue pe- b a rime- rimeter exprimitur, tam concinnas et fimplices, vt> dari alias adhuc commodioi'.s , vix fufpicari licuerit, Haec taraen feiies , quam 111. Auc^or in praefenti difTertatione prcponit , ccteris concinnitate fua ante- ferenda videtur ; ellque plane noua. Quadrantis el- liptici ponantur femiaxes a ct b i hisque parallela© coordinatae x et ^ ; habebitur cx natiira ellipfis ?L'-|--|! — ij ex qua aequatione 111. Audor perin- geniofe totius arcus feu quartae partis perimetri lon- gitudinem determinat. Ponatur fcilicet xz^aV ■i-=ti' et j- — ^ y 1=12: ■ vnde ex quo (i arcus ponatur — s ; habebitur » (l 2.-J hincque {i itaque hoc integrale ita fumatur, vt pofito Arrro cuanelcat, et vsque ad terminum jv — « extendatur : obtinebitur quacfitus arcus ellipticui^. In huius ita- que formulae diflferentialis euolutione 111. Audor verfatur ex eaque feriem hanc fimplicem et maxi- me conuergcntem elicit s zz: L^IL (i - '^, n - i^. ^. «*- — . '-^ -^'«* etc) ■^ aV2^ 4.4 4. ♦ 8. . 4.4 ••» 12.12 a« — &* Si fit fl — ^i quadrans hic ellipticus in circularem abit et , ob « — o et <: ^ fl. y 2> prodit , vti qui- dem ->J^.I ( o ) §.?§<- 15 dem notiflimum eft, y — !^. Si vero ponatur h — o; cnrua abit in lineam redam alteri femiaxi aequalem ; ita autem efl: n~ i ^t c zi: a; vnde fe- quens refultat aequatio: « — -^ (i - Li-' - i^. i:.* - etc.) adeoque feriei infinitae X - — -— .^' etc. 4. ♦ 4. 4 «. 8 quae quidem minime conuergit , adcurate affignari poteft fumma '-^. Hac occafione oblata III. Audor operae pretium cenfet , in fummam liuius feriei et- iam a pofteriori inquirere ; ad quod praeftandum me- thodo fua iam faepius explicata potiftimum vtitur , dum nimirum quaeftionem ad aequationem differen- tialcm reuocat , cuius integrale per ipfam feriem pro- pofitam exprimatur, V. Demonftrationes circa refidua ex di- vifione poteftatum per numeros primos refijltantia. Auftore L. Eulero pag. 85. Continet haec diflertatio varia Thcorcmafa , in quibus plurcs nouae veritates ex principiis pror- ius dngularibus demonftrantur ^ ad quas per metho' dos i^ .">33: ( o ) dos fldhiic vfitatas vix vllus patere aditiis videtur. Placet ilk.rum thcorenuituin pratcipua hic iinte ocu- los ponere , quoruni vberior eiiolutio in ipfa difler- tatione traditur. Primum theorema ita fe habet : fi P defignct numcruai primum, litque A' <^ P; for- ma x"" — I non , nifi n niodis , per P oaiihbilis reddi potefl: ^ vnde prublenva refultat , quo pro omnibus exponentibus 7/ numerus cafuum proprio- rum quaeritur , quibus formula x^ — i per P diui- fibilis reddi qucat , alios pro x valores non admit- tendo , nifi qui diuilore fint minores. Hacc etfi omni fere vfu vidcntur deHituta ,• ideo tamen trant praeiTiittenda , quod viam muniunt demonflrationibus fcqueotiura tlieorematum ^ v. c. ii diuifor primus fit P— 2H-1-1 et ^ radix primitiua : tum pro- grenionis geomctricae i, ^, a', a^ etc. tcrminus cP' rtfuiuum praebct - 2 n leu — i. Porro : fi diuifor fuerit numerus quicun^iic primus P; tot dantur ra- dices primitiuae , quot reperiuntur numcri ad P— 1 primi eoque minorcs , quandoquidem tantum radxts diuiiore minores confidcrantur. Elegantia inprimis funt fcquentia : Propofito numero primo formae 4«-)- I, femper (umma duorum quadratorum ad eum primorum exhibcri poteft , quae fit per eum diuifibilis, atque alterum quidem quadratum pro lu- bitu accipcte licet. NuUa vero fumma duorutn quadratorum inter fe prmiorum per vllum nume- rum primum formae 4«— i diuifibilis exiftit. Hifce expeditis 111. Audor etiam ad poteflatcs cubi- casprogrediiur, atque fi omnes nuraeri cubici i, 2'; 3% 4-' 3*; 4.* ctc. per numerum quemcunquc primum P diuidaiitur : reflduorum inde nafcentium indolem in- vefligat ,' et. hoc ipfum probiema etiam pro potefta- tibus quartis refoluit ; tandem in fine differtationis feqiiens fubiungitur theorema : fi omnium numero- rum potellates exponentis X, fcilicet i, a^j 3^j 4^^ 5^ ctc. per numerum primum formae X « 4- i diui- dantur ; mukitudo refiduorum diuerforum erit n iJeoquc multitudo non-refiduorum —(X — i)n. VI. Noua ratio quantitates irrationales proxime exprimendi. Au£lore L. Eulero pag. 156. Notiflimum eft , omnem quantltatem irrationalem fimplicem ad hanc formam (i-H-V)" reduci pofTe. Sit enim N numerus quicunque ad potcfta- tem exponentis fnnfli ^ — n eleuandus ; ei femper li:inc formam tribuere licebit N — fl*-i-^j vnde fit ^- b "N ~ h V K" — «'*(i4-- ) i ficque fola expreffio (i + - ) h irrationalitatem continet , quae , fi ponatur -^~ X ^ ad formam {x-^-x^ re^lucitur , quae more confueto per euolutionem binomii Newtonianam in feriem Tom.XVlll.Nou.Comm. c * infini- infinitam conuertiturj idque duplici mo^a , primuni fcilicet direde (I 4- A-f m + ?. .V 4- "^^^, x\-i- ctc. fecundo autem ob erit qnoque I (l 4- xyz= j _ „. ;j, ^ IL:IEj jt^- _"7tc! » ex quarum duarum expreflionum multiplicationc po- fito n pro 2 « deriuatur tertia : j 4- ^. a- + ^l^^^^' :ir* + etc. ^ I _ ^_r 4- ILlrhj A'' - etc. cui quidem poftrcmae formuliie infiuite multac alia« fimiles, fbrmulam (i-hA')" exprimentcs poffunt cxliiberi. Fingatur enim (i + xY — '-±A^±lJ^^dz^^:±^L' , atque euidens efl: , fi vel numerator vel denominator pro lubitu aflumatur , alterius coefficientes inde deter- ininari. Quanquam vero problema hoc intuitu eft indeterminatum atque infinitas admittit folotiones r ad id tamen inprimis ed attendendum , vt vtraque feries reddatur quam maxime conuergens. Id vt obtineatur , denominatori finitum quendam termino- rum numerum tribuere licebit atque ita quidem „ \t inde vnus pluresue numeratoris termini ordine fefe cxcipientes plane euao^fcaat, Hoc igitar nego- tiuaa tlum 111. Audor in hac diflemtione vberius per- tradat , atque in tribus primis problematibus formu- lam prop.ofitam (i -f- a')* in feries maxime conuer- gentes ita refoluere docet , vt denominator fit vel biaomium i — a.x vel triaomium i — a x -\- ^ x* vel quadrinomium i ^ a x -{- ^ x" — y x' ; ex quo-» rum cafuiim parricularium confideratione facile de- riuare licet folutionem generalem , fi fcilicet pro denominatore afflimatur mulciiiomium quodcunque. Kefultait ex hac inueftigatjone formulae , notatu quam maxime dignae , quarum ope 111. Audor ra- dcem quadraticam ex quouis numcro propofito non qiiadrato fimilique modo radicem cubicam ex quo- vis numero non cubo proxime afilgnare et pro ex- tradiiorie raJicum altiorum poteftatum analogas for- mulas quanimiuis exacflas formare docet. Immo vlterius quo que earundem vfus patet , fiquidem non logaritlimum modo numeri cuiuscunque propofiti , fed quantitatem quoque exponentialem e^ hirum for- mularum ope proxime exprimere licet , d<-fi^nante g iftum numerum , cuius logarithmus hyperbolicus vn tati aequjtur. Quod vt perfpicuum fiac , fufficit perpenaiflTe , quantitatis i -\- x lo^arithmum hyper- ( r -f- ^fl" — I bolicum efle exiftentc «— o; et n tf* — (i +^) , fi pro n fumatur numerus infinitus. c *. vn: VII. Solutio problematis de inueniendo trian- guloj in quo re61ae ex fingulis angu- lis latera oppofita bifecantes fint rationales. i^u£^ore L. Eulero pag. lyr. Problematis huius euolutio ad rcfolutionem trium fcqutntium formularum reducitur : 2lf'+ 2C^—a' i 2. ^' -{• 2 a — l/ zz: g et z a ■{- z a — c —h ,, fi fcilicct "x a 1 b ci ^ 5 ft ^ biltda.. F.x hifce tr:bus formulis ternae aliae relultant . 2 g-\- 1 U —f — ^.a \ 2 />* 4. a^* -_ ^* — 2^ ^' et 2 /*+ 2 g*^ — ^* — 9. t'' ; ex quarum cum pnoribus fimilitudiue concludit llluftr.. Audor j, pro latenbuS 2 /", 2 g et 2 h fore rcdas bifecantes 3 a j J^' tt 3 £• adcoque pro /, g et ;&■ iflas fore \a\\b et | <; vnde colligitur , muento \no huiusmodi trian^ulo , fi redae bifecantes pro lateribus noui trianguli accipiantur , id eadem prae- ditum fore proprictate. His praemilhs , 111. Audot ipfum problema ajgrcditur, cuius relolutio cutii me- rib abfoluatur artificis an;ilyticis ; nih 1 hic in epi- tome de ea adferre licet , nifi quod pendeat ab ha— iusmodi forma : A ;^-' -i- B A-' + C a' + D a; -i- E ad' quadraturTT reuocanda ,, pro cuius refolutione na,- tuxalis et iiraplex mcthodus adhuc defideratur^ VIIL Rerolutio^ aequationis A X 4r 2 B a: j' -l- C / 4- z D x + a E> + F =: c? per numeros tami rationales^ quam integrosw Au£lore L. Eulero pag,, 1^5-. Forma huius aequ-ationis tam-rate- patetr,. vt infi— gnem Analyfeos Diophanteae' partem compledit cenfenda fit.. Prouti coefficientibus A, B), C etc. va- rii diuerfae indolis valores- tribuuntur ; plurcs quo- que inde relukant calas ,, diuerfis- vulgo meihodis> pertradati.. In. hac diflcrtatione IIL Audor fingu- lajrem explicat modum' , iftam aeqnationem refoluen- di , atque. ita quidem ,, \t fohitio non ad rationalcs modo , fed integros quo]iie nuimeros pofiit adplica- ri i et ab omni raJicifr extradione fit libera. Cafus; dantur haud pauci, qu'bus. haec aequatio. fit impoiri- bihs ; vnde llll Au(flor vnicum fUtem cafum , quo» illi (atisfiat , fupponit efle cognitum , ex quo qua ratione alii fiue numero finiti fiue infiniti erui queant , deinccps explicat. Peculiari autem iudicio^ ogus ell,, vtram aeqiiatio propofi^ta. folutionem ad~ G 5 mittat. mittat in numeris integris , nec ne ? confideretur hunc in fiacm formula B"" — A C , quac fi fuerit numerus pofitiuus non quadratus , femper impetrari pofTunt bini numeri integri aequationi fatisfacientes , idque adeo infinitis modis. Duplicem 111. Aucflor refolutionem tradit aequationis propofitae , quarum poderior ideo potiffimum pecul;ari attentione digna eft , quod ex dodrina irrationalium eft pttita, quae quomodo in Analyfi indeterminata (eu Diophantea in \fuT» poffit vocari , minime obuium eft Exi- miam vero eius in eiusmodi problematibus adplicatio- nem iam pridem vberius docuit Ul. Audor in Al- gebra fua rhutenice et germanice apud nos typis impreffa. Cafibus particularibus aequationis datae euoluendis III. Audtor non cenfuit effe immoran- dum , vtpote qui iam paflim fatis fuperque fuut pertradat!. IX. Infignes proprietates ferierum fub hoc termino generali contentarum: Auftore L. Eulero pag. 198. Series ex hac formula refultantes ad genus recur- rentium fecundi ordinis pertineiit , fiquidemqui- libet termiaus per binos praccedeiues^^determinatur. JNouas Noaas quasdam et infigacs earundem proprictatcs 111. Audor hic explicat atque id pctiffimum dat operam , vt , dum alias eiusmodi inueftigationes ad calculos perducunt intrieatiflimos,, omnia hic fuccin- £te et facile expediantur. Si in "vtroque termino priores fadlores ponantur / et g ; pofteriores v et «; formuk propofita ftatim ita contralietur , vt fit a: — /. 1?" + ^. «" ,• et loco x fcribit 111. Audor [«] , quippe quo terminus defignatur ex exponente n oriundus f ita , \t ipfa feries fequentibus conftet ter^ ininis [o]j [i]; [2]; [3] ctc. Hifce praenotatis principio III, AuAor legem intrc- ftigat , qua termini huius feriei immediate feie in- fequentes [«],' [n-h j]; [«4-2] etc. a fe inuicem pendentf qua deteda pro terminis quo» que non imn:iediate , fed per faltum fefe infequenti^ bus , veluti [«] i [n-hv]i [» -I- 2 v] etc. fcalam relationis determinat ^ ita , vt hoc mo3que poffe deprimi ,• ex theoremate enim celebri Pelliano conrtat , femper effici poffc X* —ny — i ,* dummodo n non fuerit numerusqua* dratus. Dantur infuper praeter hos duos et alii ca- fus , quibus formulae propofitae valor in vnitatem abit ,• v-luti 3 a*' — s / — i , pofiti^ .r— i et ^— i \ti ct 9 x' — s y— i^ pofito .V — 3 tt y — 4. Euenire autem vtique poteft, vt formuhie valor mini- mui vnitatem fuperet \ ac tum difficillima plerum- "que eft determinatio minimi quaefiri , vdaci fit in formula i^.^' — 7./ quae deprimitur ad binariun^, pofito x~ 1$ et j'— ii^ quod quidem de miiii- mo iuJicium cakulos eo operofiores pofiuht , quo maiores fucrint numeri m et w. Ex hadlenus. all;i- tis abundc perfpici ur , expofitionem nicthodi , in liis cafii^us minimum inuefiigaiidi , haud exiguum Tom.XVlil. Nou.Conmi. d Analyfi Analyfi ircrerr^entum ndferrc ; p.tqne id ipfumeftjia quo cxplicaudo 111. Ai:dor hic verliitur. Ante quain ipfius rr.cthodi expKcationem tra- dcret , e re fore cenfuit , oftenderc , feniper infini- tis modis idem minin.um pofTe obtineri ; ipfa vero metliodus ex co efl peiita , quod cjfu minimi valor formuhic mx—ny propius ad nihilum , quam vllo alio, accedat; quocirca negotium eo inm eft perJuclum, vt valorcs quaernntur, quibus proxime fiat 5.— V'!. fiue vt quacrantur fradiones rationales -, quae tam prope aequentur formae irrationali V — , quam qui- dem fieri potef^ , non maioribus pro x ct j nume- ris adhibendis. Hunc in finem 111. Auclor formu- lam 2!iL!5 in fradiones continuas conuertit ; omne» cnim fradiones hoc modo formatae hac gaudent proprietate , vt quaelibet valorem ^^ propius ex- hauriat , quam vlio aho modo fieri poffet nunicris non maioribus adhibendis , vbi quideni noium eft , inter has fracliones eas qunm maxinie adpropinqua- re , quae maximos indices habent. 111. Audor hic methodum explicat, qua optrationes , quibus ifti quoti continui reperiuntur , haud mediocntcr con- trahi poffunt, et quam exeniplo dilucidat. His ex- plicatis ad ipfum problema proiireditur et primo quidem fi formula hx— 'i.'^xy-\-Qy' cafu x z:^ a tX. y — b praebeat valorem r, infinitos alios valorei pro X t,x. y fubffituendos inueftigare docet , qui eun- dem formulae valorem s fint praebiturae } et tum porro porro , qnod erat principale , in eos iiiquirit v.ilo- res , quibus ipfa formula euadat minimum ,• quam autem ftcilis et concinna fit 111. Audoris rcgula , ex fubiundis cxcmplis abunde perfpicitur , quae dc- fumuntur a formulis fequentibus : Sx^-^xy-^y^i '7x'-20xj-\-i^j''-, i.5x^—To^y-\-^6/. Regula quoque propofita feliciffime adhiberi poteft in foluendo celebri illo problemate Pelliano , in quo notum eft , quaeri duos numeros x et j tales , vt fit y ^ y (k x' -^- i) ; tum enim oportet vtiquc , "Vt fit proxime ^ — Vk. d ft PHYSI- PHYSICO - M ATHEMATIC A. I. NoLia Dcterminatio Centri o^illationis in corporibus qualibuscunqiie fi!o flexi- Ji (ufpenfis , eiusque a regula com- muni diicrepantia. Auflore Daniele BernouUi p. 2^5. Eos , qui in difquifitionibus phyfico - mechanicis verfati (unt , haud latent multifariae et fub- tiles cautelae , quas Iki prjefcnbunt philofo- phi , dum expcrimeniorum ope longitudinem pcn- duli fimpHcis ad minuta recu..ua vibrantis iw duier- fis terrae locis inuefbgant. Kectnfct ejs i\\. Bcrnoul- lius in initio huius diflertationis atque luam cuique aci.minis et in expcrimentando fcrupulofitatis luu- dem faluam rehnquif. V num tfl, quod 111. Viro iii his opcrationibus fcrupulum mouer. Scihcct folent phyfici in penduio , quo vtuntur ad experimtntan- dum , inquirere in centrum oltiliationis atque ad hre determiiiandum rei^ulam leqnuntur coniniiiicin a mat,no Hugenio prinnum prolatam riimque difi;in- tiam intcr hoc centium olciilationis et pnn(flLini fufpenfionis pro vera afTumunt longitudine penduli fimplicis iftchroni. In huius op^rationis^ txaminc COilfi- conriftit pracfentis diflertationis argiinnentum. In thcoria ofcillationum Hug(.niana lydemata olcillanda fupponuntur rigida ; quo fit , \t omnes totius fyfte- inatiS' parits communi motu angulari circa rotatio- nis axtm ferantur. In experimtntis vero , de qui- bus rrodo diximus , fila adhibentur flexibilia j ita , \t filum cum axe corporis inter ofciliandum angu- lum efformet certe kge variabilerr ; id quod ingenS harum olcillationum ab Hugenianis difcrimen non producere non poteft. Ftfi itaque pro hypcthefi rigiditatis in loto (yflemate ofcillante negotium fa- cile expeditur : haud tamcn cxigua problemati diffi- cultas irducitur , fi filum corpus fufpendens in pundo fulpenfionis aliquam inflexionem pati poflTc fupponitur. 111. Audor itaque huius cafus refolu- tionem (ufcipit , ex qua ipfa patefcit , ofcillationes pro filo flexiJi toto coclo difFerre ab olcillat onibus comnuniter affumtis pro filo rigido. Quantitatis radicalis folutionem ingredientis fignum ambiguuni duplex innuit olcillationum genus , quorum altcrum confitente 11'. Audlore , parum diflfert duratione IU£l ab olollationibus Hugcnianis; quo fine dubio foiSum eft , \t nenio adhuc diuerfitatem fuerit lu¥.i ( 0 ) ^'c^^- 33 planum a pondere incumbente fuftinet , agltur ^ in- tada vero relinquitur quaeftio , quantis viribus fin- guh plani punda vrgeantur j atque in illo quidem ca(u notum eft , -preflionem, fi planum fuerit hori- zontale , ipfi ponderi efle aequalem ; fin vero pla- num ad liorizontem inclinctur , tum preflTionem in ratione finus totius ad cofinum indinationis eflle mi- Euendam ,• vtroque vcro cafu prefllonis diredionem ad planum eflTe normalem et per centrum grauita- tis corporis tranfire. 111. Audlor in hac diflertatio- ne orditur a cafu fimplicifl^imo , quo pondus ternis pedibus plano infiflit , quem fatis concinne expedire licet ,• fi vero quatuor fint pedes , quibus pondus plano infiftit ; quaeflio iam eundit maxime ardua ; immo prorlus lubrica et incerta ; quae difllcultas augetur , fi maior ftatuatur pedum numetus ; ftatim enim ac Ifli pedes non funt exadiflime inter fe ae- quales , manifeftum eft , eos , qui funt ceteris bre- viores , effe fuperfluos ,• vti et , fi corpus bafi qua- dam continua incumbat plano , et leuiflimae promi- neant afperitates , corpus plerumque in tribus tan- tum pundis fuftentari facile perfpicitur. Haec igi- tur perfediflama pedum aequalitas ne fareflat nego- tium , 111. Audor planum fupponit non "ita durum, fed panno quafi obdudum , vr pedes ponderis ipfi ie immergere queant et impreflionem aliquam effi- cere proportionalem vi , qua finguli folo innituntur, Quo tanquam principio conceffo , quemadmodum pro omnibus cafibus prefllonem in fingulis bafis pim- dis definire oporteat , 111. Audor in hac diflerta- Tom.XVllI. Nou.Comm. c tione 34- -S^f ( 0 ) |cC<'- tione cxponir. Solutio generalis ad formulas dedu- cit duplicatis integraiibus intricatas ; qualibus vero integrationibus tum tantum opus eft , quando cor- pus ba(in lubet per fpatium aliquod continuum cx- tenfam ; quo quidem cafu faepenumero calculi ob bafin figurae irreguiarem euadere poflunt inextrica- biles ; quando autem corpus aliquot pedibus plano infiftit , plane nulla integratione opus eft , dum for- mulne ad terminos fingulorum pedum , tanquam ad totidem punda , funt adcommodandae. Hanc ob caufTam hic calus pofterior prin^o refoluitur atquc prefliones definiuntur in fingulis plani pundis , fi. pondus ipfi infiltat in tribus, quatuor vel ocflo pun- (ftis. His cuolutis Audor ad cafus pcogreditur , vbi pondus plano incumbitr bafi per fpatium aliquoi con- tinuum extenfii ; ante vero 5 quam hanc inuefliga- tionem fufcipit , cafus quafi intermedios examinat ,, quibus corpus deorfnm definit in limbum quempiam linearem fiue rcdilineum' fiue curuilincum ; vehni fi hic limbus fuerit perimctcr trianguli vel paralle- logrammi re acutior ducentas vibrationes peragat; quae ratio cum ab intciledu facillime percipiatur , auditum infigni fuauitate per- wuJcet. Raiio inier numeros vibrationum eodem e 2 tem- tempore editarum tripla tertiam confonantiam prin- cipalem feu Quhitam progenerat i quae , cum ratio 1:3 pofl duplLim facillime percipiaiur , etiam poft O^aiiam eft fuauiflima. Tertia denique maior conti- netur ratione minus fimplici 4:5 et vltiiTo loco confonantia a recentoribus adoptata feu Septima ra- tione 4 : 7. His conftitutis Audor examinat , cu- iusn.odi (onos in iriftiumenta mufica recipere con- \eniat , fiquidem foni diuerfi , quos Mufica , ars \ariationi amica , poftulat , non nifi per vera harmo- niae principia funt definiendi , quae liarmonia in per- ceptione conlonantiarum principalium, de quibus niodo diximus , eft quaerenda. Atque lianc ob cauffam a qnolibet fono ad qugmlibet alium in mufica tranfi- lire non licetj. fed ad eos tantum , qui a priori re- moti funt vel Odauae , vel Quintae vel Tertiae maioris interuallo ; atque in his faltibus , quos fim- plices adpellare licet , prima vtique compofitionis. regula continctur ; qnando aurcm a quopiam fono' per ahud quodcunque interuallum fuerit vel afcen-- dendum. vel defccndendum \ id fimplici faltu exfequi non- licetf, vnde laltuum compofitorum neceffit?s. refuitat ; quos tranfitus ab vno fono ad alium 111. Aucflor complurjbus exemplis egregie iliuftrat. Con- ftruxt hunc in finem pcculiarem fchematismum quendam , quera adpellat [peculum mificum , quoniam fcilicet hoc fpcculum infpicienti ftatim patet , qui- nam faltus a quolibet fono ad quemlibet alium per- ducant fimulque quot modis qnilibet tranfitus infti- tui poirit. Eius ope quaeftio etiam haud parum in muficis^ mufids curlofa poteft refolui , quemadmodum fcili'' cet omncs duodecim fonos fcalae muficae percurri oporteat per faltus fimplices , Quintam nefnpe et Tertiam maiorem, Yt fingulis femel tantum impul- fis reuerfio fiat ad primum fonum , a quo curfus fuic incepcus ; porro pro quibusnam fcalae fonis trias detur harmonica , fiue duri fiue moUis modi j et quae funt egregia huius generis alia. v: Noua methodus motus planetarum principalium ad tabulas aflronomi- cas reducendi». Au£lore L. Eulero pag. ^S^" Methodus , qua III. Audor in hac diffcrtatlone ad motns planetarum principalium tabulisaftro- nomicis comprehendendos vtitur , ea ipfa eft , quam principio cum praedarum opus fuum : Theoria mo- tuum Lunae noua mcthodo pertradlata ,• haud ita pridem ekboraret , vni motuum lunarium theoria^ adplicauerat ; quam cum cerneret ad reliqaorum quo- que planetarum motus feliciflimo {ucceflu adhiberi pofle ; omnem eius indolem et fingularia calculi ar- tificia in eius adplicatione adhibenda hic iam di- fiinde ob oculos ponit. In eclipticae plano conci-- piatiir linea re(fla e centro Solis ad pundum! aequi- c 3 aodit nodlii veriialis direda quae pro linea abfcifilirnm affumatur ; a planeta autem extra eclipticam verlan- te demittatur ad hanc perpendiculum , atque ab hoc in ip(o plano ordinata ad lineam ab(ciflarum nor- malis ; qiio fit , vt locus planetae trbut courdinatis inter fe normaUbus definiatur. His con(Ututis, cum vis , qua planeta ad (o!em vrgetur , fit cognita, fla- tim mechanicae principia tres fuppcditant aequa- tiones difRrentiaks fecundi gradus, quibus , quicquid ad motus dcterminationem pertinet , contineri eft cenfendum. Totum itaquc negotium «o iam ett. dedudlum , vt ad quoduis tempus propoficiiin lia- rum trium ccordinatarum quantitasex iflis aequa- tionibus determinetur ; his enim cognitis , facile perfpicitur , fi ordinata illa modo memorata per fuam abfciflfam diuidatur , prodire tangentem an- guli verae planetae longitudini aequalis ,• fi vero pcrpendiculum , a planeta ad planum eclipticae di- miflum j per diflmtiam eius a fole curtatam, quae pariter iflis coordinatis exprimitur , diuidatur; ha- beri tangentem anguli latitudinem phinctae definientis. Cum vero (uperjorum aequationum refclutio ad calculos qnain maxime complicatos deductret,- huic difficultati 111. Audor egregio artificio medclam attulit , introducendis nouis coordinatis , commodio- ribus et in priorum locum fubflitucndis ; ducia fci- licet concipiarur linca , quae cum afTumta linea ab- fciflTarum angulum conftituerct mediae longitudini p'anetae aequalem ; et in hac fumatur portio diftan- tiae planetae mediae a fole aequalis j vnde fi ad hanc ( o ) 3>c|^«. ^9 haiic Hneam agatur coordinata normalis ; haec ct re- fpondens ipli aDrciffa femper fntura eQ fatis exigua ; ita , vt akiorcs vtriusque poteftates in (criebus con- \crgentibus tuto queant negligi, Primo itaquc ill. Audor omnes terminos duas pluresue dimenfiones trium iftarum coordinatarum continentes reiicit fic- quc tres aequationes adipifcitur muho concinniores , ei facile integrabiles. Euoluco hoc cafu , quo tcr- mini duarum pluriumuc dimcnfionum negliguntur , fi iis admidis inuenti \aIores pra binf*- coordinatis fubftituantur , et produda finuum et cofinuum ad fimplices finus et cofmu» reuocentur ; ex vna ac- quationum propofitarum. ferieS' nafcetur certorum co- fiiiuum ; ex. ultera: leries- fimili& certorum fmuum ;, propter qao& terminos tam vnius- ,. quam! alteriuS' coordinatae' V expceflio rimileS' finus- et cofinu&' com- pUd.icur" necefTe eft ,. qui quomodo facile definiri queant l\\ Audor generatim oftendit , et fmgulare pro hac refolutione ac ingeniofnm artificium , inte- grationis quafi vicem fuflincns , cxplicat. His ex- pcditis 111. Audor primo irtum cafum contemplatur, qno planeta in ipfo plano eclipticae verfluur ; vbi cum pcrpendiculum a plancta ad eclipticam dndum fi: nulliim , duae tantum habentur coordinatae ; fit igi:ur pricr = i "P + ^' D -f- fc' 9t -1- k' §^.l ( 0 ) artificii modo memorati ope ex aequationibus diflfe- rcntialibus \alorcs litterarum 'p, O) 3i etc. et P, Q, R etc. determinatj ita , vt , dcfinitis hi(ce valo- r.bus , facile fit tabiilas conllruere , quae ad quam- Tis planetne anomaliam mediam valorcs vtriusque cooidinatae exhibeant ; quibus cogiiitis flatim inno- fefcit tangens aequationis centri planetae ad longitu- dinem mediam adplicandae ; innotefcit qnoque fta- tim diflantia planetae a fole , fi modo cognita fue- rit media eius diflantia. Hoc cafu abfoluto Audor ad alium , quo planetae orbita parumper ad edipti- cam inclinatur , progreditur eumque feorfim ct omni cura euoluit ; neque tamen , moncnte ip(o Aiicflore, erit confultum, planetarum motus fecundum hunc pofleriorern cafum exigere , pratcipue fi orbitae in- clinatio liaud fuerit ita parua ; quandoquidem ter- minorum multitudo nimiis ambagibus calculum e(fet intricatura , qnibus felicifiime obuiam itur , fi cu- iusquc planctne motum (latim ad ipfum planum ^ in (\uo n ouetur , referatur , ficque tota motus de- terminacio ad priorem cafum reducatur. VI. ••J-^. VI. Disquifitio de lentibus obieftiuis tripli- catis^ quae vel nullam confufionem pariant vel etiam datam confufionem, a reliquis lentibus ortam deftruere valeant. Auftore L. Eulero pag. 277- Iam pnflim et inprimis in praeclaro de Dioptrica opere 111. Eti/erus id ipfum argumentum , cuius titulum praefens prae fe fert differtatio , fummo lUi- dio pertradauit ; plerumque vero ternas lentes fibi iungendas ita proxime inter fe adaptari aflumfic , ■vt earum diftantia pro nulla in calculo haberi pof- fct ; id quod in ipfa praxi locum habere neutiquam poteft , cum lentium centra ad minimum interuallo craflitiei ipfarum remota inter fe efle debeant. Tan- ti vero haec vna res in toto hoc ncgotio eft m.o- menti , vt ob hanc vnam praxis a thoria aberratio- nem lentes compofitae, deflruendae confufioni deflina- tae , eam multo maiorem efficere pofllnt , quam fi earum loco lentes fimplices adhiberentur. Id intuens 111. Audlor hoc inprimis in hac difquifitione fibi proponit , vt in determinatione huiusmodi lentium triplicatarum etiam crafiitiei virri rationem habeat , iisque fimul aperturam quam maximam conciliet , Tom. XVIII. Nou.Comm. f quan- quandoquidem per lianc minima lorgitudo , quae in tubis dioptricis tantopere folet defidernri , determina- tur. Aflumitur autem lens triplicata ita ex tribus aliis componi , \t prima et tertia ex \itro corona- rio , pro quo eft ratio refrridionis 153 ad 100, media •vcro ex \itro chrynall no -.ib Anglis Flint- Glaff \ocato , cui rtlpondet ratio refradionis 158 ad 100 parari debeant j \bi difiantia inter lentem prjmam et fecundam vel fecundam et tertiam \ni parti duodccimae diftantiae focalis lentis m.ediae , \t- pote quae maximam apcrturam habere cenfetur , aequalem llatuere oporttbit. Hoc itaque ccnftituto 111. Audor fecundum pratccpta dioptnca iornulas , quae dilpofitionem lentium in genere relpiciunt , huic cafui adccmmodat et tum ad contufionem a ladiorum diuerfa refra(^;one oiiundam e m.edio tol- kndam progreditur ; totan que calculi euohitioncm ob cculos ponit. In fine difiertationis iubiungitur defcriptio lentis obiediuae triplicatae pcrfcdliflimae , quae etiam ccnfufloncm a reliquis lentibus natam deftruere \aleat. Accedit appendix de lentibus du- plicatis , quarum duae defcribuntur (ptcies ; \na, \bi pricr lens ex \itro coronario , pofterior ex cryftal- lino cft parata ; altera pro qua prior lens eft cry- fiallina ; pofterior coronaria ; quanqiiam poflremum hoc lentium duplicatarum genus nullius \fus efle \icetur , nifi praegrandem diflantiam focalcm adm.it- tere quis \elit , quod \cro a Dioptricae fcopo ma- xime eft alicnum. VII. VII. De adplicatione lentlum obie£liuarum compofitarum ad omnis generis teieicopia. Au£lore L. Lulero pag. 415. In calculis pro conftrudione telefcopiorum fecun- cium mcthcdum III. Eukri inftitucndis fin^ulae Itntes , ex quiDus inftrumeutum componitur , fepa- ratim ad co.nputum runt reuocandae. Fieri itaque rion potert 5 quin lormularum, quibus fatisfieri cpor- tct , multitudo , praefertim fi lentes compolitae ad- liibeantur , ita increfcat et formulae ipfiie tam eua- dant intncatae , vt omnibus condition.bus ad tele- ftop.i pcrt(duccrit. Qua quam vero n.a- n fetlum e(l , tal.iT; lcntem fimplxem effe impofri- bilem : fi luidem ipfa hacc in pi fhbilitas lentibus compofitis originf.m dedit; cenfet tamen III. Eulerus^ leiitem eiubmodi fimplicem etfi imag)nariam, tamen ■vtilifTime iii calculo pofTe admitti , quandoquidem , calculo abfoluto , quicqiiid erat imaginarium , ex eo prorfus eliditur. Hunc in finem fequens problema rgfoluendum fufcipit : Propofita lente ob:ed:iua du- t a plicata f44 ^>^.i ( 0 ) |fC<- plicata fiue trlplicata , inuenire lentem fimplicei^^ in fe quidem imaginariam , ex data vitri fpecie confedam , quae omni refpedu in compofitione te- leCcopii euiidom plane efFekftum eflet praeftitura , et qnam idcirco tanquam lentem vicariam fpeclare li- ceret. Inueutis omnibus eiusmodi lentis determina- tionibus 111. Audor gencratim pro quouis telefco- piorum genere lentem triplicatam loco obiediuac achibendam ita determinare docet , vt omnis plane confufio ab apertura leniium oriunda penitus de- ftruatur ; et quae hadenus in genere expofuit , ea tam ad lentes triplicatas in priori dilferratione ,, quam ad duplicatas in appendice defcriptas adplicat, et quomodo omnis generis telefcopia ope talium len- tium obiediuarum ad fumraum perfedionis gradum poflint perduci , ordine exponit,- vbi vero ea tan- tum telefcopiorum genera , in quibus lens obiectiua fimplex eft , adhiberi conuenit , quandoquidem hic fuit oflenfum , quomodo lentes compofitae ad fim- plicem vkariam fmt reducendae.. Hifce generatim expofltis 111. Auclor fingula: tetefcopiorum genera feparatim mcditationibus fuis. fubiicit ; pofuit vero in dioptrica fua fundamentum diuiflonis telefcopiorum in numero imaginum rea- lium in iis occurrentium ; quarc in thcoriae hic propofitae generalis adplicatioiie iam fpeciatim agit /. De I, De pcrfc6iione TeJcfcopiorim primi genc- ris ^ millam imaginem renkm coniinen- tium. pag-. 432. Vbi pofl; euolutos cafus aliquoc fpcciales traditur conftructio generalis horum telefcopiorum pro quacunque multiplicatione. Duplici autem defeftu , etfi lens obiediua fuerit perfeda , haec telefcppia laborant ; primo enim lens ocularis non poteft noii quantumuis exiguam aliquam confufionem ob diuer- fam radiorum refrangibilitatem producere : deinde campus nimis eft exiguus , quam vt pro maioribus multiplicationibus. confultum fit ^ eiusmodl telefcopiat conficere.. IL De perfcU-ionc tckfcopioriim fccundi ge- ncris fcu aftronomiconim , vnicam imagi' ncm rcalem continentium. pag-. 448^ Vbi fimili ordine aliquoc exemplis datae multi- plicationis fubiunguntur formulac generales pro conftrudione horum tekfcopiorum ad quamcunque multiplicationem adplicabiles \ vnde tandem conftru- dlio generalis tuborumi aftronomicorum perfeCtilfuno* rum ^ fex lentibus inftrucflojum ct ad quamlibet mul- tiplicationem extenfa deducitur. ///. Dc pcrfe&ione tekfcopiorum tertii ge^ ncris , duas imagincs rcaks continentiim pag. 472. "LJaec tckfcopia vocantur terreflrla et ad minimum •■--* quatuor kutibus inftruuntur, Species. aliquot f 3 huius huus generis notatu prae ceteris di^nas 111. AU(?lor \beiiu3 pcrtradat et caicflos pro ttl.lcopio eiusmodi fex lentibus conftante et nbicda centies multiplicantc in omni (uo ambtu ob oculos ponit , cuius tubi Jo!iL,'itudo crit 32 dig-toruni ; feinidiamtter campi a.pir».itis 23 minutorum , qni i ft.ir fpatii circula- ri& i' coelo fpectaoitur , cuius (emiaiauieter eU 34 gradau.n lO minut. Additamenti Imius diflertationis occafionem prac- buit Cekb. jfeaurat , qui nouiliimo Con.mentar. Pa- rifi.iorum volumini amplam itntiuin obiefftiuarurn compofitarum defcriptionem inleniit , quibus vero non , nifi confufioni a diuerfa radiorum refrangibili- tate oriundae occurritur. Attulit idem egre^ia cx- per;menta pro dcfinienda tam refradione , quam di- fperfione raJiorum pro vitro tam coroiario, quam crylialiino ; pro hnc pofteriori iiuie' it rationem re- frad:ionis \6o : 1 00 , et difperfionem vitri coronarii ad cryfiallum vt 18:31. Opcrae itaque pretium 111. Eukro vifum tft , calculos (iios c'rca conitruiftiQ- nem kntium tripHcatarum enam ad hanc vitri Ipe» ciem in hoc additamtnto accommouare. PHYSI- P H Y S I C A. I. Defcriptlo Pifcis, e Coregonorum ge- nere , riiffice Riapucha didi ^ hi- florico - anatomica. 5- Au£lore I. T. Koelreuter pag. 50 Defcriptionem in hac Differtatione Cl. Aiidor exhibet pifcis , in RiiiTia band rari , nec ta- men hadenus fatis defcripti , ad genus Core- gonorum pertinentis, cui etiam internarum partium, praecipue abdominalium , zootomica dercriptio ad- iungitur. Maior hepatis pars in hypochondrio fini- ftro , minor in dextro , comparuit , quod pylori ap- pendices potius occupabant. Ventricuhis in medio abdomine fitus ; lien huic non modo et duodeno , fed etiam pecuhari tradui pinguedineo -vaforum et membranarum ope annexus erat. Cl. Audor fingu- larem obreruationem addit. In tunica externa \en- triculi nonnullorum indiuiduorum tubercula appa- rebant lcntiformia fubrubella , quae difleda totidem habitacula oftenderunt vermi*- Gordii marini , in fpi- ram conuoluti. Et radiis quoque branchiarum fimi- lia tubercula , Gordium fouentia , innata Cl Aud;or Yidit. II. II. Defcriptlo Pifcis e Gadorum genere Ruffis Saida didi p. 512. nec non. III. Defcriptio Cyclopteri Lineati p. 522. Audore I. Lepechin. Pifces duos in hac diflertatione proponit Audor y quos in itinere fuo per marc albunn obleiunuit. Horum alter eft Gadus dorfo tripterjgio ore cirro mini- mo , cauda bifurca , radio veniralium fecundo in iongam fctam producio , linea laterali re6ta 5 alter vero : Cy- chpterus corpore nudo caflanco , hieis longnudinalihus trium parium pallidioribus , pinnis dGrfaJi , anali cauda- li que vnitis. Prioris non modo partes externae , ad Ibbiliendum charadlerem neceffariae , \erbis de- lineantur , fed intcrnae etiam concinne deicribuntur , et dcnique fubiunguntur partium externarum dimen- fiones. In nota ad hunc pifcem ortendit Auftor Gadum Callariam lUunr. LINNaeT , "vel Callariam V. ClariflT. KLEINII male confundi cum Ga:/(? A^^^w^g^, quem ClanlTi KOELREVTER in Nouor, Comment. Acad. Scient. Petrop. T. XIV. p. 484.. dcfcripfit et icone Tab. XII. exprcfllt , quem que nouam fpeciem connituere nofler putat. Cyclopteri Lineati ob vni- cum indiuiduum , quod Audor obtinere potuit, ha- bitus atque dimenfio modo partium extcrnarum proponitur. III. IV. Defcriptionuin plantaram fibiricarum continuatio. Au£lore Erico Laxmanno p. 525. 1'iitium harum dcfcriptionum in Tomo Commen- tariorum soflrorum XV. iam occurrit Quae in praefenti dilTertatione traduntur plantae, alpinis omni- no amumerandiie lunt. Prima earum eft Gentiana grandijinra coroiia quinquefida^ foliis radicalibus plu- rimis , bnceoluis , compadis horizontiilihn':, fummo- rum tautum cacuminum altaienfium eximium orua- mentum. St^cu^ida e(t Sibbaldi:i ahalca foliorum ra- dicalium apicibus triparticis , calycibus quinquefidis , petalis retufis, jn monticulispraedicflarum alpium in- ferioribus occurrens. Ttctia liiuSr. a Unns nomen debet Orn'thogalum fcilicet vmflorum foliis canlinis ahernis , va^inantihns, pedunculo vnifloro, fummoruni moiitium Sinie Sopka , 'Keiinoua aliorumque incola. Quarta eiusdem ell generis Ornithognium puta aitai- cum fcapo tereti ^ quadriph}'llo, petaiis ouatis, triuer- vibus, ftaininibus fubulatis, nusquam nifi in altiffimus montibus altaicis in-ventum. Quinta eft Polygonum fiVmmm floribusoclandris , foliis liaflatis caule iner- mi, per totam auftraliorem Sib riam in alpinis haud infrequens. Sexta numerofum Ranunculorum gregem auget fbliis lobatis , raJicalibus petiolatis, caulinis feffi- i:hus , calyce hirfuto, longitudine fere petalorum , ia filTijris praedidarum alpium vmbrofis habitans, Tom.XVlll.Nou.Comm. g A:)TRO- <» ASTRONOMICA. I. Comparatio inter Theoriam Lunae Illuilr. Euleri et Tabiilas recentiores Celeb. Mayeru Au<£lore A. I. Lexell pag. ^y/- Comparatio inter Theoriam Lunae Euleri et Tabulas Majeri adornata hcic habetur , ad exemplum eius quam ipfemct Illuftr. Eule- rus inftituit intcr fuam Theoriam ct Tabulas Luna» res Cel, de Clairaut eo imprimis fine , vt inde va- lores faltem proximc veros pro cxcentricitate et in- dinatione media Lunae eliceret. Vt vero haec com- paratio eo commodius inftitui poflet , praeprimis ne- ceflum fuit argumenta Tabularnm a Mayero adhibi- ta ad denominationes confimiles iis , quas Illuftr. Eukrui in fua Theoria in vfum vocauit , reuocare. Scilicet om.nes aequationes ab Eulero allatae , hos qua- tuor angulos inuoluunt , elongationem mediam Lu- nas a Sole , anomaliam mediam Lunae , diftantiam loci Lunae medii a loco nodi medio et anomaliam mediam Solis , qui anguli litteris /?, q, r, t apud Eukrum defignantur, In Tabulis vero Mayeri par- tim hi anguli , partim etiam eorum valores certis aequationibus corredli adhibentur , quos igitur litte- ris ris p', p"f p"'y q'^ r'f r" exprimendos ccnfult huius dif- fertationis audor ; quo obferuato omnes inaequalita- tes pro longitudine Lunae a Mayero aliatae in qua- tuor ordines difpefci poflunt , quorum primus com- pledlitur aequationem annuam , euedlionem et non- nullas alias minores inaequalitates , pro hoc ordine argumenta ex angulis f, p', r' et q componuntur , defignante p' diftantiam loci Lunae medii a loco ve- ro Solis. Secundus ordo inuohiit aequationem or- bitae Lunae et pro argumento habet angulum ^', vbi §' , deriuatur ex ^, fi huic adphcentur aequa- tiones ordinis primi et aequatio quaedam pro argu- mento liabens t. Tertius ordo inuoluit inaequalita- tem, quae variatio Lunae dicitur , huiusque argu- mentum eft angulus p" , vbi p' defignat diftjntiam loci Lunae medii per binos priores ordines corrtxfli a loco vero Solis. Quartus denique ordo continet redudionem ad eclipticam , vbi occurrit angulus r"j iiue diftontia loci Lunae medii per tres priores or- dines corredli a loco nodi corredlo. Comparatio ipfa. Theoriae Lunae cum Tabuhs Mayeri , eum in mo- dum inftituta habetur , vt pro ccrtis pofitionibus principalibus Lunae , vti fi p n o, 9 zz o, r:=9o*, ex Tabulis Mayeri quaerantur valores elongationis loci Lunae medii a loco vero , et Latitudinis Lu- nae , qui valores comparantur cum fimihbus ex Theoria Lunae dcdudlis , in quibus tamen pofterio- ribus , valores excentricitatis et inclinationis mediae Lunae pro incognitis fpedantur , qua ratione inuc- nientur aequationes his incognitis det6rniiriandis in- g a ferui- ♦ feruientcs. Pofitiones autem praecipue \tiles pro determinanda exceiitricitate eae funt , quibus (ia- luuntui: r. p—o; rrro; ^zrpo; U". /)— o; rzrpo^^ziipo lir. /)=i:9o; rnzo.; (7:^:90; 1V°. prrpo; r— .90; ^—90 pro fingulis autem bini cafus fpeciales confiderari poffunt , prouti ftatuitur vel /=0 Vel ;— i8o'. Pro detcrmiuanda indinatione ^ hae quatuor pofitio- nes inprimis cum \fu adhiberi polfunt : 1°. p~o; ^— o; r— 90'; IT. p~o- ^—90; rrz 90* III. p— 90°; ^rro; r— 90'; IV. p— 90; y— 90°; r— 90'. Huiusmodi igitur fada. comparatione- inuenit Clar. Audor praefentis diflcrtationis pro excentricitatc Ya- lorem 0,0545 proxime ct pro ijiclinarjone OjoS^CJr, qui \aIores quidem egregie coiMentiunt , cum iis , quos Illuftr. Eulerus in confrucndis fuis Tabulis ad- hibuii , ibi enim excentricitas fuppofita fuit 0,054+5 ct inclinatio 0,0896^4, at haud parum ditcrepant ab iis quos Mqyerus in vfum vocauit , cuius diicre- pantiac ratio inde fine dobio potiflimum prouenit , quod coefHcientes aliarum atque aliarum aequatio- num apud Euleriim y multum lint diuerfac ab iis , quos Mayerur partira ex Thcoria , partim ex obfer- lationibus coliegit. Vt vero vnicuique facile lit iudicium de con- fenfu vel diflfenfu Tabularum Lun.ie noftro' temporc celebratiflimarum, Illuftr. EukriyMayeritt^t Clairaut^ placet fequentibus Schematibus huiu& rei Ipecimea exhi- ^>m ( 0 ) m^ •5-8 exhibere , ab Auiflorc pracfentis difltrtadonis prnecl- puis quibusdam Lunae pofitionibus adcommodatuin : ' Elongatio loci Lunae medii a loco vero cx Tabulis Fro pofitior.e prro; ^— 9o??~o rnio ^?— i8o p—0'j ^rrpolf— o Euleri -5 -5« r—poO— 180 — 5. /)— 90; q—goltzzo f— oy~i 80 prrpo; ^— 9o?/zzo r— 9oS^— 180 -7. 34. -7. 28. ^7. 34-. Mqyen -S*. 5'- 35'' -5. o. 44 -5. 5. t4 — 5, O^ 24 —7^ 17. 20 -7- 34' o 5'. 32'' o. 5 5 6. 14 iv 3a 28.. o o 6 -7. 28. V^ Chhaut 4 9 1-7- 34- 4-8 Ladtudo Lonae- ex Tabulls -5 . -5. -5. 5. h7. -7- -7. -7- 5'. 20 I. 30 4. 51 o. 59 33. 3 27. 29 33. 44 // Fro pofitione p~o\ qzzo ')t—o Eulsfi I Mayen p—o; p:=90; 4^59'.37V.59'.3i" frz9oS/m8o|4. 58. 58I4. 59- 3 59- 35 59. II i5. 58 17. 28 15^ a8 q—90? t~o 4 >— 9oS^~i8o'4 5. <7=:o ?/— o r=:9cS^:z:i8oi5. P—9^'-, q=9o7t—o I5 rz=9oS^—i8o'5 15.46 4. 59. 2 obferuationibus imprimis ecli- jpfium Solis non magis quam vna vel altera parte decima decima fcrupuli fecundi a vero aberrabunt Caetera quac ad hanc Metiiodum pertinent fimilia funt iis , quae de iioc argunnento in Tomo XV. docuit Ci. Audor. Conclufiones ex obleruatione Eclipfis An. 1774-. deduftne eo redeunt , vt verum tempiis con- iuntHiionis Solis et Lunae fuerit pro Petropoli Temp. Aftron. d. 2 2 Martii 19^22'. 4", exiftente Longi- tudine Lunae o". 2". 5 V- 3 s" et Latitudine 42'. 3^", i. Qiiod Longitudinem attinet , il!a fiquidem Lotigitu- do Solis redte eft definita , non multum incerta efle potcft, nam in tempore coniundionis vix plusquam 5" error ineflTe poterit, at Latitudo Lunae magis eft dubia. Corredionem Latitudinis Cl. Audlor de- finiuit potiflimum ex obferuationibus circa partts lu- cidas tempore maximae Eclipfeos , ex quibus eam coUegit 15", ob incertitudinem vcro circa diame- trum Lunae et Paralhixin non nifi 10" corred^io- nem adliibendam iudicauit. Li ipfis quidem obfer- vationibus hunc in finem adhibitis vix plusquam 5" error inefle poterit , vti ex earum conienfu facile perfpicitur , fi autem in Eclipfibus Solis contingat, vt imago Lunae obfcura augeatur , vti nonnullis vi- fum eft , vei fi ex vitio quodam in conftrudione inftrumenti valores partium lucidnrum iufto mino- res exhibiti fuerunt , fieri poteft vt corredio Lati- tudinis nequidem ad 5 fcrupula fecunda pro hac obferuatione affurgat , quod valde probabile redditur ex obferuationc circa initium et finem huius Ecli- pfis Pekini Sinarum inftituta. Comparatio obferua- tionum circa finem Petropoli et Wiennae inftituta- Tom.XVlILNou.Comm. h rum rum praebet diflferentiam Longitudinum inter Iiaec loca 5 5'- 46'^ haud multum diucrlam ab ea , quam iam aliunde cognitam efTe conrtat ; at cx compara- tione obferuationis Schwezingcnfis circa fincm cum prius commemoratis fit Longitudo Schwezingae a Lutetia Parifiornm 25'. c" circiter > quam hucusque fuppofuerunt 25'. 15'''. IV. Obferuationes Afb'onomicas ab Afira- nomis Academlae Imperialis Sclentia- rum Stephano Kiimovski et Andr.. L Lexell y A. 177 2 ^ inftitutaSy recenfuit. A» L Lexell pag. 60 n In hac diflertatione obferuatione& Afh-onomicae Ac^ 1773. Petropoli " inflitutae recenrentur. Pracci- puae autem; harum funt. T'. EcUpfis Solis die i|. Martii, cuius finem^ Cel. Rumovski obferuauit Tcmp» vero S^ 19'. 19". ir. Edipfis Lunae paniaHs die I?. Sept. pro qua momenta initii et finis fequcntiai affignata habentur Initium Finis D. Lexeli 6K ^i'- 5 i'^ • ► * - 9^- 33'. 28'^ D. Rumovski 34. 27 .... - 35- 27 D. Scbroter 34- 3<^ • • •• ♦ 34- 5^- II r. Iir. Occultatlones fixarum a Luna fequentes: Occult. ftellae fixae quintae magnit. in Caprlcdiel^.Sept. ^y^rp'. 3^'' Stellae i in confteilatione arietis immerfio y; ^fl; 11. 53.55 dub. Emerfio 13. 10. 3 0^ Stellae ^ Sagittarii immerCo .... 5?.0d. 7. 52, i5| Emerfio Palilicii ...... i.' no«. 12. 5¥.i ( 0 ) |i^<.. 6i V. Determinatio Lorigitudinis et Latitti- dinis qiiorundam Moldauiae et Wala- chiae locorum dedufta ex obferuatio- nibus a lohanne hhnieffm&iiuXAS. Au£lore Stephano Rumovski p. 5^i. Cum vidricia Kudiae arma tutum in Moldauiam et Walachiam aditum aperuifleut , e rc effe iu- dicauit Academia Scientiarum ablegare in ilias re~ giones Virum Cl. lohannem Islenieff ^ vt ibi \acaret obferuationibus Allronomicis , pofitioni praecipuarum vrbium definiendae idoneis. Ille egregie munere fi- bi demandato fundus anfam praebuit differtationi , de qua hic fermo eft. Vt autem illa incompendium redigatur , fuffi- ciet apponere tabulam , quae exhibeat pofitionem Geo- graphicam eorum locorum, in quibus obferuationes in- ftitutae lunt. Bender Akerman Kilia Noua Ismail Bukoreft Foktzani laffi Latitudo Longit. a merid. Partis. in temp. 1 in grad. 46 .5oUV'i^4y- 3 •f<5. 12. o 45. i^. 23 45. 21. o 44. 26. 45 45. 38- 50 47. 8. 30 I. 53. 35 I. 4«S, o E. 35. 12 r. 38. 50 I- 40. 39 h 3 27°. 15'. 52^' 28. 23. 45 25. 30 O 23. 2S O 24. 42. 30 ,25. 9.45 His HIs dcterminationibus menfnrisque a Cartra- mctatoribus captis fuperaruf?" «fl mappa horum prinripatuum nuper eu^^g^ta , quae omnibus , quae hucusque proditre , plenior et exadior effe videtur. Pag. <540. -vltima linea. ioco lo''. 3p'. 3p'^ le- gendum eft lo^ 58^. zK VL Obferaationes Pekini Chinariim infti- tutae exceptae ex litteris a Rev. Patn Co/las ad Stepbanum Rmmvski anno iy/2. die 5. Maii datis p. 64;^. III ipfo initio litterarum occurrit nota , quam R, P. Collas de obreruatione vltimi tranfitus Vene- ris per difcum Solis Pekini habita, £t iam diiierfis in fcriptis prolata communicat; ea fcilicct non omnimodam fidem meretur , quippe qui in pendulo aftronomico , cuius motum R. P. Dol/ieres per m>ul- tas altitudines Solis indagauerat , fito quodam fubita perturbatio cft deprehenfa , caufam que huius per- turbationjs ilUs ignotam fuifle perhibet Poft modum indicat inftrumenta et cautelas, qui- bus in obferuiuionibus vfi funt : Oblerufltioncs quae hic referuntur (Unt fequcAites ; Quinque occultationes ftellarum fixarum a Luna Anno 1772. Dein mo- menta quaedam Echpfis Lunae , quae contigit die 23. 25 Odobn Anna 1771. hanc excipit finis Eclipfeos Solis Anno 1770. die z^ Maif , et deniqiic obfer- nationes aR. P. Dollieres fuper cometam inflitutae , qui vifibilis fuit Anno 1^6 p, Sollicite R. P. CoUaf cnnracrat circumflantias, quae quamuis obferuKionem concomitabantur , eo- que ipfo pretium earum extollit ; Enumeratiane enrm ifta , quanta euique obferuationi praecifio fit adiudt- canda, indigitat- VIL Epitome obferuationum meteorologi- carum Petropoli anno MDCCLXXlil. fecundum Calendarium correftuni inftitutarum. Aa£lore L A, Euler pag. 556", Obferuationes meteorologfcae y qua& Cel. Au(f!lor ringuU& ann[s Commentariis noftris inferit, me- thodo iam in praecedentibus defcripta funt inllitu- tae, Primo loco dcfcribuntiir altitudmes barometri- cae , qua& CcL Audor ad morem MufchenhrGeckii fub fchematismo lineae curuae , ci3iu& adplicatae ipfis akitudinibns , abfciflae temporibus obferiiationum re- fpondent , contcmplari affoler, Fuit hoc anno ma- xima Mercwrii altitudo s8. &8 f minima aotem ^6. 85 26. 85 poU. quorum duodecim conftituunt pedem regium parifinum. Comparatione fada patuit , fta- tum Mercurii hoc anno generatim multo altiorem fuifle illo anni praeteriti. Adiunguntur quoque ob- feruiuiones aliquot afcenfaum et defcenfuum Mercu- rii iubitaneorum. In obferuationibus thermometricis Ccl. Audor vtitur thermometro mercuriali delislia-- no vcrfus boream fito et a radiis folaribus prorlus libt 10 -, minima altitudo fuit 203 j maxima 104. graduum ; et comparatione cum anni praeterlapfi obfcruatioiiibus fadla adparuit , praeiente et fri^oris et ciloris gradum fmfle illo minores, Sequuntur porro tabulae ventorum vim et diredionem et re- liquam coeli conftitutionem ob oculum ponentes, vt ct recenfio pliaenomenorum praecipuorum. Sub fi- nein adiungit Cel. Audior tres tabulas , quarum vna redudlionem graduum dcslislianorum ad Reaumuria- nos , altera comparationem pollicum parifinorum cum Londinenfibus , tertia denique reducftionem par- tium poUicis centefimarum ad partes duodecimalcs feu Uneas compk<^itur. INDEX I N D E X- D I S S E R T A T I O N V M. 6) M, a t h em ati c a. Dan. BirnouIH ^ Theoria Elementaris ferierum , ex £- nibo? atque cGfinibus arcuum arithmeti- ce progredientium diuerfimode compofi- tarum , dilucidLUa pag. 3. L. Eulfr , Summntio progreflioiiuni fin.(|>^-f fin. 2 4)^4- fin. 3 Cj)^ 4- fin.nCt)^ cor. Cp^+ cof, 20^ -^- coC 3 ^^. .. . .4- col. n ^^ pag. 24.. u^. I. Lexell , Obieruationes Tatlae circa ferles , cx iinibus tcI iccffinibus arcuum arithmeticc progredientium formatas p&g. 37. X. £«7¥.% ( ) I? Refolutlo aequp.tionis A .v' + 2 Bxj-f Cy* -f 2 D .v -f 2 E ;' + F zr o per numeros Mm rationales, quam integros pag. 185. lafignes propritt:!tes ferierum lub hoc termiiio genenili contentarum : pag. 198. Dc refolutione irrationalium per frncflio- nes continuas , \bi (imul noua quaedam fingularis fpecies minimi exp onitur p 2 1 8. P byfic 0' M at krematic a, Dan. BcynouUt , Noua Determinatio Centri ofcillatio- nis in corpcribufr qualibuscunque filo flexili fufpenfis , em&que a regula com- muni difcrepantia pag. 24.5. < ' L, 'Eiikr , Determinatio motus ofcillatorii in prae- cedente diflertatione pertradati , ex pri- mis mechanicae principiis pctita p. 2 modura pertra<3anda erit, Sit rurfus n numerus infinitus ponaturque quaeuis feriei propofitae periodus compofita cx terminis A4-B4-C-i-D H-M-f-N + P+Q=to. Sit iterum nuinerus horum terminorum ^/i iii* quiramus iam in omnes valores potTibiles quantitft- tis compofitae cof. « ^ + cof. (^-{- i)^ combinando terminos, donec perfecfte recurrant. Sic obtincbima» A + B-,B + CiC+D,....M-i-N;N+PiP+Q;Q+A poft quos tota periodus ptrfede recurrit^ fic nume- rus horum terminorum coniugatorum fit iterum ^/ fimuique eorum fumma =:2A-t-2B-i-aC 2N-|-2P^-2Q_, quae cum adliuc fit zi: o, fequitur , ainbo& termiflos combinatos in formula Boifutiana , nempe cof. n q -+- cof. (» H^ r) q efle ir o , pofito pro « numero vere infinito , eodem iure , quo idem demonftrauimus pro vnico terraino coC n q : iiaec mctaphyfice vera funt, non geometrice , quia numerus « non eft fpccifice determinatus, §. 7. Praemifla hacce noftra theoria, cuius prin- cipia plane eadem funt, quibus v(us fum in fchedias- Tom.XVIlI. Nou.Comm. B mate 10 DESINGVLARI mate de fiimmationibus incongrue veris , facile nunc nobis erit inueiiire verum val< rcm formuLie B ^flu- tianae § 4. recenfitae pro cafu, quo ponitur nume- rus n vcre infinitus, eiusque aequatitacem cum for- 5 fin. ^ muh noftra -x demonftrare, factoenim cof.Md fin. ver».^ -+- cof (n -t- I ) y — o, formula (ummatoria Boffu- tiana §. 4. expofita mutaiur in banc fimpliciorem ab»que vlla amphibolia fin. q[i -h cof ^3 ■^J -~ i — cof. a q Igitur nunc aliud non fupereft , quam vt demon- ftremiis quod fit €in qli+coCq] i fin. 9 ^ i+cof.^ 1 — p fjue ;- — rr-7 ; I. — cof. 2^ fin.vers. y i-col.2^ siin.vcrs.^ Eft vero finus verfus q:^t—coLq limulque cof. 27 — (cof y)'— (fin.^)* , hisque fubftitutis valoribus ae- quiualentibus fidaque multiplicatione per crucem , prodit 2 — 2 (cof. qf zz 1 — (cof ^)' -j- (fin. q)^ fiue X — (cof ^)* H- (fin q)' aut denique i — i. Ergo ambae nunc formnlae perfede inter fe conueniunt. §. 8. Ex principio , quod §. 6. explicui , fa- cillimum nunc erit deducere quoque fummam feriei in infinitum continuatae pro cofinibus arcuum arith- metice progredicntium , quam Audor nofter (f 3) problemate fecundo penradlat , vbi noua et eleganti fua methodo demonftrat , quod fit cof.^4-cof.2^4-cof.3 7+cof.47-f- ..... .-l-cof.nf . — cof. q [Jin. nq -i- rm.[n -f- i? quae tamen in genere fpecflata efle deiseret finita , haec contradi(Jtio apparens exinde oritur , quod in toc e':xempio fpeciali pertodi non annihilentur neq adeoque hypothefes nofirae locum habere poffint; ta- ceo alia huiuscemodi coroilaria fiue aequiuoca fiuc minus clara. §. 17. Praeter praememoratum cafum , quo formnlae fummatoriae Boffutianae fimul numerato- rem ac denominaiorem ad nihilum reducunt ; noti Tridco S E R I E k V M G E N E R E. a^ 'Ifideo alios ^ quj vllj laborent dlfficuitatcf minus ob- via haec eft propriccas , quando numeras / eft im- -par atque (vries ibrmatur ex cofinibas eorumae di- |;nitatibus imparibus , vtpote in quibus non (unt bi- ni atqye bini- termmi , qui Te mutuo dcftruant, ftcl demum omnes termini colfefti in vnoquouis cyclo liV pfriodo fe deftruunt , qnod ^pattt «X paragrapho decimo quinto. Totjim l^anc rem vnico iliuUrabo exemplo. Sit feries formata ex xubis cormuura , ^empe (cof,^)' -{- (col, zqfA- (coC 3 ^}' + etc. Ponatur in hac ferie ^:i;^j{>; atq,u^ adeo /— 5 ; habebitur feries numerica (col. 72O + (coC 144.°)'+ (cof; 216°}' -1- etc». in qua periodus quaeuis conftat ex quinque termi- nfs, poft quos vsque rectirrit eadem : radices cubicae iftorum terminorurrr fiue ipfi cofinus irr tabulis ha- bentuE 0,30901—0,80901—0,80901+0,30901 + 1,00000^ etgo rsdices in quauis periodo perfede annihilantur. Egregia eft haec proprieras iam diu cognita, quia ge- neralis eft pro omni numero /f fed et cubi horum terminorum , fi aggregantur , ad nihilum reducun^ tur^ quod §• 15. expofui atque ex formulis ftimma- toriis Boflutianis deduxi. Sunt autem cubi fraftio* nibus decimalibus exprefli 0^0295 1-0,5295 r—o,529-4r+o,o«95 1+1,00000, quorum aggregatura rurfus = o , quod exemplum confirmat annihilationem periodorum in propofita ferie ex cubis cofinuum , qui arcubus aritlimetice progredientibus refpbndent , formata. Supereft vt C 3 ofteo-^ 21 DE SINGVLARI ofle^dam modum , qiio fumma fcriei propofitae in infinitiim co;itinu;Uae dtfiniatur. Dico autcm id ob- tineri , fi in formnla lexta §, 15. ab D. Abbate Bof- ful cemonllrata tcrmini fin.;/^; fin.(«^- i)^i fiii. 3«? et fin.3(«+i}? deleantur (§. §. 9 et 10.), quo faao inuenitur lumma n odo dida f=,lcoLq>^j;^.-\-[coi-.3^<^'==^--l-.'-^-'^-' Ergo eadem eft fumnf.a pro ferie cofinuum ct pro ferie eorundem cuborum. lam vero imprimis notatu dignum puto, quod plane eadem fnmma proueniat , fi ad dudum §. «2. determinetur ; pnfito enirn /:=5i ^-0,02951; ^—-0,52951; c—-o,s^9S^i fco, 02951 et ^m, 00000 fit £l±±*^iHtirf-±r--;. Mirabilcm iflum confenfum , rrethodum intcr gco- metricam et metapbyficam , equidem iam abunde manifclbuii in fchcdiasnrate de fummatonbus fciie- rum qnntundam incongrue veris earumque intcr- pretatione , nimc autem amplificaui dum oftendi in- terpretationem , qu.ie fecundum eadem prmcipia no- ftra facienda fit de finubus aut cofinubus arcuum in- finities (umtorum pro ratione circumftantiaruni. §. 18. Denique notari meretur difcrimen in- ter pofitionem /^ rip et pofitionem gcneraliorem fq—gp intcUigendo pcr f ct g numcros integros qualescunque inter fe primos ; totum ntmpe dilcri- men in co confiftit , quod termini iidem ordincm faltem ■varient in fingulis periouis ; fic fi , verbi gra- tiii S E R 1 E R V M G E N E R E. 113 tia ponatiir 5^—3/) fiue ^~f/>, dabit feries (cof. ^)' 4-(coi'. 2(/V-h(c »r. 35 295 1 + 1,00000, irbi teri ini non aliter quam ordine locationis diffe- runt a terminis in praecedente paragrapho expofitis j Equidem in his exemplis eadem oritur iumma pro ferie in infinifum continuata , quae antea ; attamen , fi generahus res exanunatur , fieri poteft , vt a folo terminorum ordine mutato , alia at:)ue nlia exoria- tur fumma , etiamfi quaeuis periodus ex iisdem ter- minis fit compofita. Poteft etiam theoria noftra de feriebus ex finibus vel cofinibus aut eorum dignita- tibus , applicari ad quasuis feries recurrentes, in qui- bus periodi annihilantur atque fic fub facie iafinities generaliori vlui venire. SVM- SVMMATIO PROGRESSIONVM coLCp^^+coI. aCp^-t-cof.aCji^-i- +coCn ct cof.(I>-y-x fin ^-f notum e(l fore p^-\-q'* - P^ — Q^ coU'zz- — - — ~~ a 2 K— j tum vero eiiam efle pqzzi, His pofitis euidens cft, fummiitionem harum lerierum fempcr rcduci poflc ad has duas feries vcl progrcflioncs geometricas § a. Quod fi iam hae duac progreflTiones in- ticcm addantur, \t prodcat ifla r+r+p'"+ +r - ,-.a- eius fumrra erit . _ ,,^o« +«■+ 9'"+ 9'"+ + «"• +VW"-*- ^ $*+?'*+?'•+ +^'"'= »-tf* SVMM. SERIER. EX SIN. ET COS. COMP. 2$ pa _ pf « + ' 5a_ poi gx _^ p(n^ . ) a g«_^ ^«_ ^f « -4- ' ) a_ p» ^a^_ ^a ^(n ^ ,) « ^ I -p* - ?* H- p* ^* ' «quae expreffio ob pq~i transformatiir in hanc quae porro ob p«+^«-2cor.aCp et |/^''-^"^ + /"-^''*=:2cor.(«4-i)«<$> et /^^^'""-acof.waCl) jeducitur ad hanc formam : cof.oiCP — coJ.C -t- i)oc$- i-»-eqr. n«(I) — __ » i co/.(nttJ)) — «/.'n-^-i )a(|) ; :i ^cof.oLi^ * JZLT^of. « qj quae ergo eft fumTna feriei propofitae. f 3. Sin autem altera nofirarum progreffio- num ab -altera fubtrahatur, \t habeatur ifta eiusfummaerit ' f.^.j. ■ 5"-?' °=- f «+..... -j'' I-?« •quac partes ad enndem denominatorem redudae pro- ducent ^_^«4_^('^-^.)«+p«^«_^(^-.-.)«pa^ : 1-^-?«+//^« €b p ^ — I Axro haec exprcffio ad hanc reducitur „Tom. XVIII. Nou.Comm. D ct 26 SVMMATIO SERIERVM EX SIN. et porro ob et f^^-q^^^z^^y - iiin.na

— /m. (n -4- I ) a J)) -t-fir. (n a (?) y __ _ I — cqf.a. Cp §. 4. Defignemus breuitatis gratia fummas harum ferierum , vltimo termino feu generali prae- figendo fi^^num fummationis /, ita vt bini cafus euoluti praebeant fequentes fummationes ff^fltt. /,n. fiue /^/fiu.wCj) efc |=cor(I) + cof 2(p+cof.3CP+ +co(.«(p fiuer=/coC«(l) com igitur fit fin.n(I)— St"^ et cof.«(I)i=^- — ^ habebimus ajV-izr/Cp"-^'») et it=f{f^f) vnde ex paragrapho praecedente ftatim nancifcimut ob tt — I iI_sV —1 — ( f"»' 1) -f- Ai. n •* .(, — co/.cp) " *— »^~TT7^co/.(p)~* §. 6. Sit nunc X n 2 et ftatuamus iterum J-fin.Cl)'+fin.2 0'+ + fin.«Cf>*fiue Jr:/fin.«(I)*et /c^cof.(I)'+cof.2(p'+ +cof. «Cj)' fiue f r=/cof.«CP' cum nuDc fit fin.«Cb zi^^ -^ — ——l^- i- et — 4. 4. /)"'+2/)'«9'^ + 9«_ p*"+^'« cor.«Cp — zr+H — habebimus has formulas 4j-=2/i-/(p='»+r) ct 4^= 2/1 +/(/>'* +r) vbi cum numerus terminorum fit », manifefium eft fore/i— «j hinc quia a — 2, ex fuperioribus erit y Cy)5 " + o* "") — — I + w/- ^ 1 1> — «/' i f " -)- QtP quibus valoribus fubftitutis, fa(fla diuifione per 406- tinebimus - — "j^i Cfl/. : n ^-f-co/". ; f n -4- 1 )it) pj. ♦ 5 i.i co/.;niP— cof.;fii-f-i)j> —* ' ♦ 4 (t— co/.,<57^ CL *__a 4^ ♦ (I .r^5irr3 n,^ — C3/. '. {n _j_ t)^. , 3 cof. n $j— ^jo/. fn -i- OO * 8 11 COj. 3 (p) " "T r(i COJ. (p) §. 8. Sit nunc ?t — 4. ita \t quaerantur hae fummue j-— fin.(I)*+rin.-(|)*+ +fin.«0* fiue xrr /fin.n0' et /— co(.0*+co(. 2Cp*+ +cof.n^* fiue / — /cof. « Cp*. Cum igitur fit ct cofwCP — — 16 ob pq— 1 fequuntnr hi valores j=:,V/(p*'^ + 9-^)-i/(p"'+^'«) + |/i et ' = "/(p*'' + ^^'';+i/(p"'+?"'} + ^/i Talo— ET COSINIBVS COMPOSITARVM. 29 Taloribus igitnr quos fupra dedimus fubftltutis erit 311 i s , cof. 4 n (|) — cof. t (n-<- I ) $ coj. i n (Jl-f.ca/.7(«-4- 1 ) (g - » S ^ -fl5-^ ,6(. _C0/.4$) " 4.(,^C0>:$) ^ ij? ^ S I co/t 71 y — C0/.4(r|.4-i)Cp , co;.t wd) — cjf. ?(t. -f- O^ ficque facile erit etiam maiores valores expoiientis X euoluere^ §". 9. Qiiod il iam quaeratur , cuiusmodL fum- mae hinc fint proditurae, fi iflae feries in infinitum continuentur , non exigua circumfpedione erit vtcn- dum. Frimo enim fi exponens X fuerit niimerus par , euidens eft , fumto pro n numero infinito , fummas harum ferierum etiam fore infinite magnas; verum fi X fuerit numerus impar , tum nihil eft, quud has fammas in- infinitum augerer poilir ,> tota autera quaeftio huc redigitur, vt varores- formula- rum finus « a CP ec cof. « a. C}> affignentur quando pro n numeri infinite magni accipiuntur , perfpicuura autem eft hos valores hoc cafu aeque a termino vs- que ad termimim — i variari poffe , ac fi n effet numerus finitus,. vnde fi res in fe fpedletur, nihil certi de his fummis afErmari licet , cum quaecun- que fummjr proferretur , li infuper vnus pluresue termini adderentur , prorfus alia fumma effet pn-di- tura ; Interim tamen ab illuftri Audore precedentis differtctionis fummae hac cafu per rationes metaphy- cas perquam ingeniofe atrij;nantur , quibus in ana- Ijfi perfedle acquiefcere queamus» § 10. Cum autem [n his feriebus aeque ac in omnibus aiiis non conuergentibus , notio fummae D 3 pro- 30 SVMMATIO SERIERVM EX SIN. proprie locum inuenire nequeat, quandoquidem quot- cunque etiam termini adu addantur taraen nun- quam ad fummam determinatam peruenitur ; lam pridem validifllmis rationibus innixus admonui his cafibus voci fummae alium fignificatum ad analyfin magis accommodatum tribui debere , quam nouanj notionem ita coiiftitui debere cenfeo , vt fumma cu- iusque feriei infinitae , fiue fuerit conuergens fiue di- vergens, vocetur ea fbrmula analytica, ex cuius euo- lutione eae feries nafcantur , hacque admiflii defini- tione omnia dubia circa huiusmodi-fummatioues fpon- te euancfcunt. §. ir, Qiiod quo clarius apparcat, confideremus primum feriem fupra exhibitam .f^fin.Cp + fin. aCp+fin. aCp-f. . . . .+{in.n(p pro qua inuenimus lin. $ -4-/m. n Q — fin. (n -f- i) tp 2(1 —caf.(p) in quam expreflionem formulac fin.«Cl) et fin.(«4- 1)(^ propter vitimum terminum ingrediuntur , quod fi ergo (eries reuera in infinitum continuetur ; ob nul- lum terminum vltimum ctiam hae formulae fponte excedunt , ita vt hoc cafu fiat s rr - -^^^^ ^^ , quae ctiam ea ipfa eft formula , cx cuius euolutione ifta feries elicitur , vnde vi meae definitionis haec for- mula in analyfi rede pro fumma iftius feriei haberi poteft , quod idem de akera ferie fr:cof.Cl)+cof.2(t)+3(J)4- M-cof.wCp cft ET COSINIBVS COMPOSITARVM. 3x - cft tcnendum , pro qua inuenimus f I I cof. n

. Demonftratio. Cum fiimma progreflionis A s + B -s' -i- C s' . . . . + N s^ fit certa quacdam ftindio quantitatis varlabilis s, de- fignetur ea liac formula A : z; tuin Tero ponendo vt ante J!)=cof. tt p q — 1 praebebit C — ac/iB. 0 1 3 * COJ. (J) -+- 3C^ * Pro altera vcro ferie T-Arcof.Cp + A'con2Cp+.v'cof.3 0 + in infinit. fiet a T — — PiL- -V- ^^ . — (p -+-'?) j= — ' P ?• ^- Coroll. I. Hinc igitur fi a* zi: i , oriuntur fummatione* fupra datae , fcilicet et T = - i qui cafus eo magis eft notatu dignus , quod finguU termini funt quantitatcs variabiles, cum tamen fum- ma Ht quantitas conHans. Coroll. 2. Semper autem in genere quantitatem x ita affumere licebit , vt fumma feriei datae quantitati a fiat aequalis ^ pro priore ferie finuum autem erit xjin.(j) — ^ . » _ I xcof.tji i+. jc* "~ ' ac fi hinc littera x determinetur , ccrto erit fl=::A:fin.(p+*'fm.2(p-f vv'fin. 3(|)-t- fimi- ET COSINIBVS COMPOSITARVM. 35 fiinilique modo fi (latuatiir X cof. ^ — x' - ex eaqiie valor litterae x eruatur ;, etlam erit a~xcoL(p-i'x\oi:.2(p-\-x\o[:.:i 0- t •'•■•00- '• ♦./jn»(t}l;_iru)*> ■xU fi w=r, vt fit fin.u— i; et fTn.(Cl>+cd) = cof.Cl) oritur haec fummatio maxime concinna TT fin. (J> _| fin. 7 (P |_ fin. ; (p __i " — i.w/.$ "T~ 2.C0/. $» "T" j. coj. Cp* ''" quam feriem iam olim in calculo difFerentiali €x diuerfiirimis principiis fum adeptus ; quae eo inagis memorabili& erat \ifa , quod vtcunque augu- lus (J) accipiatur , fumma. feiiei femper maneat ea.-* dem =" OBSERr OBSERVATIONES VARIAE CIRCA SHRIES ,. EX SINIBVS VEL COSINIBVS ARCVVM ARITHMETICB PROGREDIEN- TIVM fORMATAS. A u d o r e AND. lOH. LEXELL. Quae ab Hluftr. Bernoulli in Comrnentariis nofl;ri&. nuper coramentata inuenimus , de fummatloue ferierura. quas finus vel cofmui arcuum arithmetice progredientiuni formantj, medita.tionibus. hifce meis occafionem. fuppeditarunt, quas quidera primum pe- \ nitus fuppriniEre decreui , quum non folum non fa- tls digeflae mihi viderentur , fed etiam particulares tantura quasdam continere obferuationes fuper argu- mento , quod latiflimam habere extenfionem videtur, At.tamen quum ex vltima differtatione Illuftr. Ber' muUl certior fadus- fim y Celeb. de B&ffiit in A<3:is Academiae Scientiarum Parifmae pro Anno 17^9. raria propofuiffe Tlieoremata ii& analbga ,, quae ipft inueneram , et lirufiJr.. Eulerus m Differtatione cum liliiiiiif;^ Academia noffra^ nuper coramunicata , ele- gantiffr.pnaoir psofjofiiejsit; Methodura fummandi feries,; qjiae ^^qttitooeiiga^ finuum. vel cQfin^um ar-£uum : ; E 3 aritli- 38 OBSERVATIONES DE SlNGVLARl arithmetice progredientiiim , conflantur; veniam me facilc impetraturum cxilUmaui , fi ea quac de hcc argumento meditata habni euulgauerim , licet cum inu.ntis tantorum virorum vix comparari mereantur. 2. Theorema i. Propofita pro^effione finuum ^ pro arcuhus arithmetkam progrejfionem cwfiituentibus eius fumma erit •^ afin.ii; "~ fin.iv ' Demonftratio. Ponatur fumma progrcflionis propofitae — S et multiphcando vtrinque per a cof. v prodibit : ftScof.'yz:2fin.2;cor'y+2fin.(s+'yjcof.i'-i-2fin (xr+a-y^cofc^... +2fin {z-\nv)zo{\v^ — ^1^.(2-1;)+^^ 5!+2fin (5;+i;)4-2fin (c-f2i.') + 2 fin.(5;+(M- jj-y^+fin.^js+wyj-i- fin.(24 («+ 1 ^-y), €X quo deducitur ftS(i-cofv)-fin.2-fin.(2;-v)+fin.(s-lwv)-fin (z+Cw+O-y), hincque cof^g-i^y^-cof.fg+^w+sXO^ fin.fg+^ n a;)(i n. J («+i)u ^ 2f1n.ii; "" im.lv Idem vero et hoc modo demonflrari poteft , .multi- cetur prcgreflSo noftra per 2 fin. v , vt prodcat ftSfin.i;— afin.jzfin.v+afin.f^+v^fin.v+afin.fjg-i-ci;)^!! 1; . . . +-2fin.(jr + «a>)fin.v = COf (« - V) + COf. 5!-C0f.(«+«4;)-C0f.(2+(«+l) V), Hinc SERIERVM GENERE. 39 Hinc igitur fiet S= — ^ ;; — \ vti fupra , ob fin.-yzafm.s-ycof.ii;; cof.(s-i;)+cof2;— acof 5i;cof(2;-5a;) et cof.(.s+Ki;)+cof.(5;+(«+i)^)— 2coCi'z;cof.(5;+(«-t-s)i;). Omnium autem faciilima merito habenda eft fequens demonftratio. Mukiplicetur progrefTio puopofita per a fin. i V , fietque aSfin.i-yzafin.^fio.iV+afin.^^s+v^fin.s-y+afin.^sifac^fin.si; . . . -i-zCia.iz + nv^Cm.lv z=:coC.(z-'i'v)-co(.(zV^v)~coi:.{z-{-l'v) . . . +CQC{z-\-iV]+coi.{z-\-lv) .... -cof.(^+(«+i]i;) ideoque _coC(z-^-coC.(z-]-(n-\-l)v) _ Cin.(z+[nv)Cin.l(n-{-i)v ~ zCin.iV ~ fin.ji; 3. Cel. BoJ/ut fequentem exhibet fummam pro- grefiionis noftrae C __ Jin. V (eoj. (a — V) -+- cof. z — co/. (z -4- m>) — cof. (x-^{n.-t-i) v)) I — coj, 2 V at ob I — cof 2 V z= 2 fin. 'y', ea redire inuenitur ad hanc S — ">/• (^ — - i>J -4- "Q/' g — • go/' fg -»- n 1») — co/. (g -t. (it -)- 0 '^) 3 /;fi. 0) ' quam in fecunda demonftratione exhibuimus. Et confenfus quidem binarum harum expreflionum Jm. z — Jin. (z—v) ->-//n. i,ai -f- n Dj - fin. (z -j- (n -t- 1) v) _ r< ^^ C — cof.(8 — i>)-t-cor. at — co/.(z-t-iit)) — cqf. (z-^(n -t- i)v) tam 40 OBSERVATIONES DE SINGVLARI tam perfpicuus eft, vt eidem cxplicando , immorari iion fit necefle. 4. Ex Theoremate noftro iam quidem intel- ligitur , quaenam fit fumma progrefiionis noftrae, fi ea cum termino aliquo fm. {z -{- n v) definere fup- ponatur , at fi haec progreflio ex infinito termino- rum numero confl.ita inteliigatur, ita vt fit Knroo, ftatui quidem poflet __ COf. (;g - i 'P) - Cof. (s + (00 + 0 v) quum Tero z -{- (00 -{- 1) v plurimos A-^alores , immo nonnunquam infinitos recipere pofllt , proprie qui- dem loquendo fumma progrefllonis noftme pro nu- mero terminorum infinito manebit indeterminata:^ at fi per fummam intelligamus cum Illuftr. Ber" ■noulli valorem , qui inter omnes pofiibiles valores fummae medium tenet , pro cafu noftro propofito fumma progreflionis Sin. z -^ fin. (5; -t- v) Hh fin. {z •+■ 2 v) „ . cof. (z — lv) in infinilum contmuatae natuenda ent — ; , 2 fin. 5 V vnde fi V—Z fiet fumma progrefllonis fin.z + fin. 25;+fin. as + fin.^s etc. —jcot.a^;, aui valor prorfus coincidit cum eo , quem liluflr. BernouJli in fuis Diflertstionibus exhibet, Quoties arcus V ad circumferentiam circuli rationem habuerit rationalem , itn vt fit (w -H r^v—imn defignante 11 femiperipherinm circuli , toties progreflio noflra fin. z -4- fin. (« -i- 1;} 4- fin, {z -\- n v) etc. fuas SERIERVM GENERE. 41 fuas Iiabebit periodos poft quas iidem termini denuo recurrunt , cum enim peruentum fuerit ad fin.Csi + wi;) hunc infcquentes coincident cum terminis fm. z , fin. (z ■+• v) etc. , erit cnim fm. (z-\-[n-\- 1) «y)— rin.(2 «» tt 4- 2) ~ fin. z fin.(2r+(«4-2)'y)=:fin.(2m7r-i-z-i-'y)z:fin(«-|-'y) etc. Hoc autem cafu facile demonftrari poterit, fummam pro vnaquaque periodo , fenfu ab lUuftr. Bernoulli cof. [z — lv) adoptato , (latui debere ^ — 7 , fcilicet vt ha- beatur valor medius fummarum pro periodo qua- \is , eae omnes in vnam colligi debent fummam quam diuidendo per numerum terminorum periodij refultabit valor ifte medius. Habebuntur autem hinc lequentes fummae co^iz-lv)-coC.(z-\-\v) fin.5«? cof. (2 — 5 1;) — cof. (5; -f 5 ~nvy — cof. (z-(- (n-»-i)t>)) l —C(^. 2 V qui progreflioni noftrae cum termino fin. (z +~ n v) definenti refpondet , eum cruit qui pro valore nu- meri n infinito locum habct ,• dicit tcrminos cof. (z~{-fw) et col.{z-\-{n+i)v) vel potius col (z + nv) H-cof. (sH-fw-i- i)i7) ponendos efTe nihiio aequales. Facile autem perfpicitur hoc fenfu proprio accipien- dum non effe j nam pofito coL{z-+- nvjZiLo ^ fimul cof. SERIERVM GENERE» 43 cbr (s -4- (« + i) 'y) non llatui debet =:o, neque cof. (s -f- « ^) H- cof (5; -f- (« 4- I ) ^y) aequalis nihilo ftatui poterit ,• fed didum Illuftr. Viri ita interpre- tandum videtur , vt hi termini cof. (2 4- « ;...'+fin.(2«-l-i)sr da.iZ Cm.'J^zCm:J^g fin.ls fin ^"-^' zCm li!L±±>2 w-3 fin.2:+fin.42!+fin.75;-f ...+fin.(3«-fi)3- -— ^^ '- — '- fin. 5 z fif) '^idz^ o-fin ^Sltti)z m-^ fin.sffin.s^f fin.9^-f...-ffin.(4«+j)gi: ' ' '^ — L^ . , ^ Cm.\z Porro fi ftatuatur Z — y\X et 1; — 0.r, erit quoque fin !2thl* vfin ^'"-f-') V fin.viv-ffin,(-vife}.v+fin.(-vi-i-20)x...+finCo-l-K^)^'= '---'^- " ' fin.^x F a quare 44 OBSERVATTONES DE SINGVLARI quare fi >] iz 2, 0 n: i fiet fin.2A'+fin.3A'+fm.4AV..+fin.{2+«)xz ~ "—— fin iX fi 7v m 2 j 0 ~ 3 erit fin,t±*2.Afin ilttL^j; fin.2.v4-fin 5A:+fin.8A,'...+fin.(3«+2)J?-— ^^^ '-— nn.\x fi vj — 3 ; 0 = I erit fin. ^±?. A' fin, "-*-'3r fin.3Jtr-i-fin-4^'4-fin.5r....+fin.(«-f3)*-— l-i.-J -1-i — fin.sJC fi 'ki i::;'3 ; d — 2 erit {in.t±^xC\n±±-'^x fin,3A'-ffin.5A:+fin.7A'..4-fin(2«4-3)-'^= --r — '—- — * fin.A? v+ etc. zz — -ij-^ afin.ljc fic fi -^ zi: a et ^ zi 1 fiet coC-.^ fin. 2 jv+fin. 3 xi-Cm..^x-^etc.— ^ ",~ fi >i :z: 3 et f — i habebitur cof - 1? fin. 3 AT-f- fin. 4 x-f- fin. 5 *'-f- ctc. — -7-^ fi 'viiiiS ct 0 — a erit ^ ^ ^ coflAT coCar fi».3«+fin.s*+fin.7»:+etc.=jg;;^.=jg;^- quibus plures huiusmodi expreflTiones addi poflent „ fi opus. foret. 7. Theorema II. Propojita progrejjione cofmmm pro armbus arithmetkam progrejftonem conftituentibus F 3 co^ 4. nator muhiplicentur per fin. 5 1; vel cof. ^ 1; fequcn- tes prodibunt cxprefllones : c — coC z — co/. (g — 1)) -I- ci^r. {z -t-nv) — cof. (r ->- (n -f-i)v) 2(1. — COf. VI C — — ''m. 'z — V) — fin. z -f- f'". (z -+- n v) -t- (iv. 'z ■^l" -^ r' v) j /m. V quarum poftericr in fequentcm transmutari poterjt c fin.v( — !in.(z — i)i— (w.r- -^ (i".'z -^7iv)-f-lin.'~-t- h -+- Qf)) 8. Pro • SERTERVM GENERF. 47 r.., 8. Pro calu « infii^iti, fiet fumma progreffio- nis noftrae S — — — ; — -, — , quae is^itur fi 5f — «y, euadet ~ — l omnino vti lUuftr. ,£?>m///i hanc fum- mam affignauit. Vt vero pateat , fummam modo diftam veritati efle conientaneami (iiTsile ratiocinium adliibere licebit , ac id quo fupra vfi fumiis ad de- motiltrandum , quod fumma progrefllonis fin.«-+-fin. («-f-'y)etc. m innnitum contmuatae ut — — ^ afin.s-y* Scilicet fi ponatur (« + 1)1; zzm t: , in ferie noflra cofinuum poft terminum cof (s + « 1;) , recurrent iidem termini qui in Periodo cof. z^ cof {z -\- v) y cof. (2; -f- 2 1;) habebantur , erit enim cor.(s + (« -V- I J^y) rr cof.(2 m tt -4- js) rzcof z coC.{z-{-(n-\- 2)1;) — cof;( 2 w^TT-h 2-1- 1^)3:^0^(5; 4- iA:+cof.('vi+^)j:+cof(vi+2ej;if...+-cof(ii+-«d)A?=: ^^^^-^^ '- quamobrem fiet pro SERIERVM GENfiRE. 49 pro "ijiz^j ^-i;cor2;i:+cof.3J;+cof 4*'...+cor.(«4-2jJt:- — ; ■ — cof.l=ti«jt:fin *i2±ii:ir y\-2i Or3;cof2*+cof5:*:+cof8A;-|-..+cof(3n+2k= — fin. I:*: cor.^^±^.f fiti..5±-' X i^-a ; d-i;cof 3A'+cor4^+cof 5:»r...+cof («+3)arz: — '—— '— ^ — - fin i V >l-3 ; 0:=2;cor3^+cor.5.v+cor7^- •+cof(2n+3)A'r -■ ' ■, lin. X Pro cafu autem « infiniti, fequentes ferierum infini- tarum obtinebimus fummationes cof z-f-cof 2 5;-4-cof 35;+cof 4.2 etc, — — 4 cofxr-i-cof 3 ^-j-cof.i^H-cof 7« etc. = o Cin.lz iCoCz -f- cof 4. s-hcof 7«+ cof I ox etc. — — p — •- fin.z 1 cofs-l-cof 55;4-cof92+-cof is^etc,— — ;; — ~, ^ ^ 2fin.25; 4Cof« 10. Licet ex fuperioribus perfpicue intelliga- tur ferierum fin.s-f-fin.^2;-|"'y)-f-fin.(«-l-2'y)-!-fin.C«~i-3'y) ctc. et cof.s-i-cof (2+ i;)-f-cor.(5;-f-2i;)-{-cof (^j-H^i^j etc. (ummas ftiitucndiis efie cof. (z— '^v) — fin. (z — l v) — ; ct 7. — ; , 2 lin. s V 2 lin. ^v ■ quicunque -valores angulis 2; et 1; tribuantur , me- morabilis tamen hcic locum habet exceptio, proca- lii quo fiatuitur «y — o, pro ifto fcilicet calii nul- Tom.XVllI.Nou.Comm. G lum 50 OBSERVATIONES DE SlNGVLARl lum eft dubium, quin vtriusque feriei valor fiat in- finitus , et prioris quidem ~ oo fin. z , pofterioris vero — oo cof. z. Vt vero pateat expreffioncs ftipra allatas , pro cafu obtjttC- binius -^ , (p»-»-' _ q^-^^ ][f- q'^-) ^ fio . 'y;-' -y fin. 5 1^ ^y— i(/)-y) ~ fin.jV Hinc vero fimul perfpicitur , fi loco' V fubftituatnr quodcunque eius multiplum »» v y fummationem hii- iusmodi proi^reflionis fiu.wjv-hfin. sw-u+fin. 3wy-H' • • -l-Cn.WTiV -; G 3 aequc 54 OBSERVATIONES DE SINGVLARI aeque facile inftitui , inuenietur enim furama huius progreflionis fin ^^Ja^-i! V Cit\. "^ V fm. ^ V Deinde fi propofita fuerit progreflio cof.v-f-cof. 2«-f-cof 3V. . . . 4-con«'y , ea ad hanc redibit p'-t-p' -}-/.. •+/>"^ q"-^q'-{-q' ...-^g'" quae iterum ob pq — ly in fequentem transformatur Vnde fi haec expreflio mukiplicetur per (p— j)pro- dibit fumma progrefllonis noftrae _ (p''^'4-?"-^')(/>^-'^'') _ cof. *-±-' V fin. 1 V — 2(/»-^) — ^n;;^^; At fi proponatur progrefllo i-+-cof.'y-hcof a^y-f-cof s-y .... +con«v, ca fic exprimi poterit 2 "^ 2 > quae ob /> ^ rz i , in iftam transformatur ; SERIERVM GENERE. SS CX quo obtinetur fumnna progreffionis propofitae 12. Eodem modo quo iam fummas indagaui- mus ferierum , quae ex fmubus vel cofmubus ar- cuum aritiimetice progreaiennum formantur etiam inueftigari poterunt fummae progreffiouuu. , ^««o ^^ quadratis , cubis vel quibuscunque allis poteftatibus huiusmodi finuum vel cofinuum componuntur. Quum cnim quaecunque poteftas fmus vel cofinus alicuius arcus , per Cnus vel coftnus huius arcus et eius multiplorum explicetur , fummatio poteftatum ex fi- nubus et cofinubus , ad fummationem finuum vel cofmuum fponte reduci intelligitur. S\ fcilicet po- natur cof.5r + fm. «V— irrp et cof.sr— fin.sV-i rr ^ erit cof.«=£-±^ et fin.?;=z|^^ , tumque in genere cof.««n et fin.nsir-^-r; — . Hinc igitur patet efte ' — ftV-i aV-i quae aequalitas ob /> ^ ~ i , ad hanc reduci poteft 4- 2*''fin.s"»+'='^^^ ^2«+i-^-^^ — !^(»x±.K^A^ y ; — aV — I ar — I '• » 27 — 1 -4- (^ "-4- ')(' ")^^ n— I ) . . . (n -f. 0 (p — ^) 1. 3. 3 ... n aV — 17 vnde L S& OBSERVATlONfiS DE SINGVLARI Ynde deducitur * ' ' I. 2. 3« 71 quae aequalitas etiam hoc modo exprimi poterit : """ i. 2. z • ' n ■•}.i...n — I ' ,ji^..^«jL=J.^^Hiifio. 5 2; . . . -f- fin. (2 »H- i)z, .■vbi notare conueoit fignum fuperius pro vltimo ter- mino locum habere , fi n fuerit numerus par , in- ferius vero fi n impar efle fupponatur. Simili mo- do fiet quae aequatio fequentem induit formam : 4- a^—fin.s»''^^^ ■-- — — — — -h— — — ■ — a a I. 2 2 i_ tndn — 0(»n — Q . ■ .n -t- 1 * ' * * ' I. 2' ! . . • a et in hanc abit --' - > ' 1 • * _1_ injin — i!(;n — 7) . . .n-j-i • • • • ziz ir,. , . . . n. 2 Vnde ordine terminorum immutnto nancilcimur ^7«— ir j^ ^m — antin— ■'(!'!-;' . . . n-Hi ai(;n-0(;n^») . .• ^dricof. 23 „ * I. 2. 3 ... R. 2 1. 2. 3 ... 1 — ' *■ ^ !Iil!:!=l)il!^)L2-2i±Icol.4«....4-COr. 2».S ' . ■ . ' 1. 2. 3 ... » — 3 — vbi figuum 4- valebit pro n pari , — vero pro « impari. Haec fi ad calus fpecialeis adplicemus , ob- i tinebimus a^.fin. SERlEPvVM GEMERE, 311 a^.fin.a zz fin. z 2. fin.3' — I— cof. a5r a*. lin.z^ — 3 fin. z— fin. 3 iSr aMin.a* — 3— ^cof. az + cof^z 2*. {ia.2* :ir lofin. s •- 5 fiin; 3 s+ fin\. 5" z ft^fin.s*"— rcr — r5cof.22-f- 6cof 42r-cof.(?r a*. fin.^'' =35^ fin. z— 2 r fin.az-f ^fini. 5«— fiiT,7« ^''.fin.-s;' r:35 --5<5cof.2S+ aScof.^-s;— 8cof 6:^-fcof.85r 2*. fi n.a' — 1 26i fin.iT— 84 fiw.3::-l- 3 6 fin. 5S— 9fin.7s4-fin.9s s,^. (in,z'^zi^i iS —21 OC0G22+1 iocoI.4.s:— 45,col.6s;+iocof.82:-cof.i o «• 13, Simili: modb procedfere licebit:,, pro inue- niendis. valnribus col.^'". Scilicet fiet 2. 2 1.2 2 1 (2 n_t^i)2 n(2 n — i)...(b-4- j) (p -+-'?) ...... ., — I — - I.. 2. j . . • n. 2 — C0f..(2«:-|^I:)S+(2W-f-l)c0f.(2«— I )s + '^^^ii^C0f.(2 «- 3) ^ t. . (; HH— 1) 3 " f' " — ' ') ...(1-1- 2) qqC ^^ I. 2. 3 Quae: aequaliras^ etiam fic e^qjrimi poteft; 2. COl...<.. ■ ;^ 3 „ ^" i.,2..3 . . . n-i _i_ (2>i-)-.)(..i(.n— ) •••_^-±L*;cof.. S;Z:...-{- COf. ( 4 « -f- l) ^t Uenique fiet- Tonr.XVllI.Nou;Comnr.. B = 58 OBSERVATIONES DE SINGVLARl 3 n (; n — i)(i n — 5) . . . . n -4- ' • ■ « • — « — - — • i. 3- s • ' ' n,. 2 •vel mutato ordine terminorum - tn — r -q/- „in i7t(;n — i;(;n — ;)...n-f-i ■ anfan — i)fTn— t)...n-4-2 ^qJ" ^ m """ I. 2. s • . • n. 2 i. 2. i . . . n — I 4- -"^"-'^'-"-'i^'Ldr.Icor.4-2 hCOf. 2»«. 1. :. 3 . . . U — I ^ ' Hinc pro caribus fpecialibus , fequentes confequeraur exprefliones a°.cof.s =: cofsr a cof.s' r= I -{-cof iz s.\ cof s' = 3 cof. z 4- cof 3 z a'.cof2:*z=: 3 -H 4C0f. a^H-cof 4S a^.cofs;' =:iocof;s-j- 5Cof 3s-i-cof 52: 2». cof s^rzio ^ H-i5Cof25r-f-5cof424-cof53 a*.cof5;'r=3 5cof.s-V-2icof3::-}-7Cof s5;-Hcof7s a^.cof^'— 35 -j-56cof25;4-2 8cof:4s4-8cof^'^«fin.l^ iin.iZ fin.lz col ^^z fin. 5^ cof: '-S!^'-^z fin.H^ cof.5:^ ..+coCnz'=z\l ^-^ ^ + /. j— -'- {la.lz (\n.\z cof.^.^^^-^-^gfin.i^" iin.iz nec non cof 2' . . . +cor.nz'=z'^+'^tJ!Ld-J)^'JL^ COl. 2 . . . -h COl. «2 _ — + 8 j,;;^ h s j]^^ cQLz . . . ■\-coi.nz _— --1-5, -r^ h ji ^-^^^^ 1 i_ cof, j {n -t- 1 ) z /in. ? it a_ ^ ^» j^TTs ■ 15. Ex iis quae iam docuimus , faciie per- fpicitur quales aflignari debeant furomae poteftatum ex liuiusmodi finubus vel cofinubus in infinitum continuatis. Pro poteftatibus enim paribus nullum eft dubium , quin hae fummae reapfe euadant infi- nitae. Qiiod fummas ex poicftatibus imparibus fi- nuum attinei , illae pro ratione exponentis qua po- tefiates exprimuniur , alios atque alios recipient va- lores , erit enim /fin. s — 3 cot. f /fin. 2* — I cot. f - \ cot. I z /fin. z" =. \\ cot. f - h cot. 5 2 + 5a cot. i «. At SERIERVM GENERE. 65 At aliter fe res habet cum fuminis ex poteftatibus imparibus cofinuum , quippe quae eundem contmuo retinent valorem — — l, erit enim /cof. s =r — I /cof. ^' = - ^ - ^ = - 1 /COf. Z — 55 — Ij — 5 5 ~ — i. Sed hoc ipfum tamen in abjiradio tantum verum eft , fcilicet infinitae ab hac lege dantur exceptione?. Quemadmodum enim facile demonftrari poteft , fum- xnam feriei infinitae cof. z 4- cof. 2 5; 4- cof 3 s -H cof. 4 2; etc. non ftatui debere cn — |, li fuerit 2; — swtt, deno- tante tt femiperipheriam circuli ; ita pro cof ^' -H cof. 2 ^^ -1- cof. 3 s'' -h cof. 4 5;' e tc. haec fumma —5 non valebit, fi fuerit Yelz^znzffnr, vel 32 — 2W7r, tum vero pro cof. z' -+• cof. 2 s^ -4- cof 3 s* -I- cof. 4 5;* etc exceptio a regula allata ftatui dcbet , fi fuerit vel zzzzmit^ vel ^z—zmi: vel 55;— 2»«7r. 16. Eodem modo quo fummas progreflionum fin.2'"-f-fin.2 5;"'+fin.3^'".. . -+(in. nz"^ cor^^^-^cof.^a^^-f-cof 35;™. . . 4-cof«5!"* indagauimus , erui poffunt fummae progrefljonibus aliquanto generalius expreffis refpondentcs : |in. 2'"4-fin. (z+'v)'^+ fin.(:24-2'yr+ fin.(5;4-3'yr. • . + fin.iz^nv)"" cof.«'"+ cof. {z + 1;)'"+ cof.(«+2v}'"+ cof.(2+3i;)"' . . .+cof.{z+nv)'^, Sic ■6^ OBSERVATIONES DE SlNGVLARI Sic 11 quaeratur fumma progreffionis fin.2;'+fin. (2+1;)'+ rin. [z-\-'i.vf+ fin. (z-^-zvf-^- . . . + fin.(5r-v- «v/ ea inuenietur «-j-j _ co/. (, g ^jto /-m. {n-t.,)v ^^^ ^^^^ ^j.jj fin.2'-f-Cn.(2+'y)'+fin.(2+2i7)'+fin.(5r4-3'y)' . . . +fin.(5:+n?;)':= fin.(5r + 5»'y)fin/-^^V ,fin.(3 g-t-fffT^fin. |(«+ i)y In genere autem habebitur fin.2;''"-»-'+fin.(s+vy"'-+-'+fin.(s+2iO""'^"+...+fin.(2r+«'y)""-^"= fin.(2;+^w)fin.!ttl^ fin.(35;+|«a;)fin.i^!y=iV fin.(5s+^Ki;)Gn.iL!r+iiL. A. 1 B — i ^-C — ^ l " fin.5^' fin.fi; iia.lv fin. (( 2 OT + r) s + 'L(?!ytL}.i;)(rn. (Idil^^l^iV 2 fin.z*'"+fin.(s+a;)='»+fin.(s+2i;)='"+fin.(^+3'y)""".... + lTn.f2;+«u)*™=r cof.(2 5; + «'y)fin..(«-|-i)'y cof.f^s^-f-awy^fin. 2(«+ 1)"^ «.«-^ — -^-y ;: ^ Im. V '■ lin.ai; cof.^awsr+ww^yjfin. w(«+ 1)1; — a^^—iinrm; ' cof:s''"-+-'+cof.(5;-!-v)""+'+cof.(5;+2iO'-'""^'+cof.(z+3a;)='"+'..4:of(s+«'i;)'"'+'ir cof.(s+ina7)(in.:yL' oj cof.^ga+rw-ylfin.^i^^i?- cof^ss+tM-ylfin.^^^V "n.jV fin.l-y lin.lv , cof ((2 OT + rysr+^ilH^-tlVar) fin. fi±:il!i!!!±iV coC2'"'+cof.Cs+'y')*'*+c6f.{2;+2i;}^'"+coC(«+5v}"" . , . +cof(5r+«i')"''rr SERIEKVM GENERE. 6$ cof.i^z + niv^Cxtt {n-\-i)v cof.(^z-^ 2fw)Cn-\. z(fi~\- i)v lin. v ' fin. 2 V cof. (2 ffi z -\~ m n v) Cm }}i(n-\-i)v '""^ I^— fin.wv • Heic autem notandum cfl: , valores coefHcientium , A, B, C etc. a, |3, y ex §. 14. defumendos efle. Ex generalibus vero his expreffionibus nunc facile perfpicitur , quomodo aflignari queant fummae pro- greflionum , quac formantur ex quibusuis poteftatibus finuum vel cofinuum pro huiusmodi feriebus , qua- rum exempla attulimus in §§. 5 et 9. Superuaca- neum autem eflet , ad cafus huiusmodi fpeciales heic defcendere velle , id tantum obferuare licebit , quod vti fupra deraonftrauimus efle cofir-i-coCssH-cof. s^-f-cof^^-hetc. — o, etiam in genere eflTe debere cof ;s^"'-^'+coC3s''"-*-'4-cof.Ss""-»-'+cof.7S'-'"-^'etc.ro. 17. Ex principils fupra ftabilitis etiam ador- nari poflTijnt fummationes huiusmodi ferierum • Cw.z+zCm.{z-\-'v)-[-2^in.(z-\-2v)^-A.C\n.iz+2v) . .. -\-{fi-\-i)Cm.{z+nv) coC.z-\-2coC.(iz+v)-\-^coC.{z-\-2'u)-\-^coC.{z-\-^v)..,-\-{fi-\-i)coC.(z\nv)* Quod cnim priorem attinet pofita eius fumma S , totaque ferie in 2 fin. 5 {{n(z+(n+\)v) _ _ ^nizj^^Cin^'v ^— ^fin.i-y' "^ 2lin,> -" sfin.^^y' (n+i){\n.(z + {n + \)v) -+- T — ; • Quin etiam hinc fummntiones adornari poflTunt , fe- nerum ex poteftatibus finuum compofitarum fin.^-+afin(2+'yr+3fin.(^+2<. .. • -f («+i)fin.(s + «i;r vel coU'"+2cor.(5;+'y)'"+3cor.(c+2'yr +(n+ i)co[. {z + nv)'" quibus tamen explicandis breuitatis gratia omnino fuperredemus. De fummis tantum ferierum fuperio- * rum SERIERVM GENERE. 67 rum in infinitum continuatarum notdre iuuat, quod liae ex (uperioribus expreflionibus facile deducantur , fi li termini negligantur quos numerus n ingreditur. Sic pro priori ferie habebimus fin.fz— i;) fin .5; + 2 fi n, («+a;)+ 3 fi n.(«-h a-y) + 4-fi n- («+ 3 v) 4- etc. — ~ -^j^^ et pro pofteriori . co{.(z—v) 4.1m. 1'y Si ponatur z-zzv ^ erit ex priori fin. s -4- 2 fin. 2 s 4- 3 fin. 3 5; -f- etc. :=: o ct ex pofteriori cof. 2 4- 2 cof. 2 :r-h 3 cof. 3 «-i- etc. =r — = — ■— , 4.fin. i-y quorum prius (iihem liaud parum paradoxon videtur. 18. Porro his principiis infiftendo , afllgnari poffunt fummae fequentium (erierum fin.s+sfin. (s-i-"!^ )+^fin.(2+ 21')+ 1 o fin.(s+3 v) . . . + ^i:ti^^ fin. (5: + « a;) cof.z-\-^coC{z-{-v]-\-6coC{&-{-2v)-{-iocoL(z-i- ^v) . ..-\-'±±p^±i\o^z+nv) Pofita fcilicet prioris fumma — S, eamque in afin.io; ducendo, fiet a S fin.3i;-coC.(s-i'y)+ 2Cof.(5;+i'y)+ ^ccf.^s^+Ii;) ... + («+ 0 cof (« +^' v) - (n±o(i±i)cof,(s+(«+i iv) 1 • 2 _ cof. (z + (n— l)v) — cof. (z-lv) (n+i)Cin.(z + nv) "" ^.fin.s-y' afin.^-y («+l)(«+2) ^, , , . ,. . ^-^ cof.(2;+(«+i;v) 1 a =:;- ^8 OBSERVATIONES DE SINGVLARI in-\'i){n-\-2) Io proinde _ fi n. (c -I- !L=.' v) fin. 'i±^^ V («4-i)fin.fg + «^) (?j + I ) (« + 2) cof. f s 4- (« 4- J) 1;) "" I. 2 afm. s-y Pro pofieriori dudla eius fumma S in afin.^-u fiet , aSfin.^'y--fin.(c-^'y)-2fin.(~-|-i'y)-3fin.(s+^i;)...-(H+i)fin.(5;+(«-i)i;) +^-^^'iin.Cs-f(«+^)v) _ fin.fxy-?':?) — fin.(xr4-(«-')'i'0 (Kj-i]cor(s+w) "~ ^Cia.lv afin.s-y («-fl)(«+2)- , , ,> . + fin. iz + (« -f ^ v) 1. 2 cof.^s + ^Lni-y^fin.^^^^^-y («+i)cof.(5;4-«'y) afin.^-y {in.{z + (n + l)v)3 afin.^-y' afin.^-y («+!)(« + 2) I. 2 ex quo fit cor ( 2; 4- 1=^ -y ) fin. ^' V («4-i)cof.(c-4-»^) "" 4-fin.lv'^ ^ 4fin.-:v' («+i)(«-f2) fin.(g+(«+^)c;) '^ I. 2 afin.iV Pro SERIERVM GENERE. 6^ Pro numero terminorum infiniio fiet prioris fumma cof^s — l-y) fin.(s— I-X7) ^ — r-7 — r^ et poderioris S n —> , . ;, qua- Sfin.^-i; ^ 8lin. si; ' ^ cof.i^y rum prlor pofito z — ^o^ abit in " ^T^rri , pofte- - r rior vero iu Sfiu.^v ' 19. Ope eorum quae in praecedeniibus docui- mus , eriam fummae alVignari poterunt ferierum , quae compofitae funt ex binis vel pluribus eius ge- neris , quas in noftris Tiieorematibus tradauimus , . fic ferics fm.5;— fin.Cs-l-i^j+fin.Cs-l-ai;)— fin.(2;-h3'y)....+fin-('2-|-«'y) confiderari poterit tamquam compofita ex binis fin.s+fin.^^c-l-ai^^-Hfin.fs+^^y) etc. — (fin.(s-i-'y)-i-fin.(s-4-3'y)-i-fin.(5;4-5i;) etc.) , quiirum fummae cum ex praecedentibus conftent , etiam feriei noftrae fumma dabitur. VerUra iuuabit tamen in eandem fummam immediate inquirere, po- fita fcilicet hac fumma — S et in 2 cof. 1 -y duda fiet a S cof s-y^fia.^s-l-y)-^ fin.(5;+5v)-f fin.C^j+l-y) . , . __ -fin.(«-t-^v)-fm.(«-t-|'y). .. -^-ivnS^^^^V^V) quare erit fin.(g-|'y) 4^ fin. fs+fw+i) -y) 2 COf. 5 13 I 3 vbi 70 OBSERV. DE SING SERIER. GENERE. \bi fignum -+- obtinet fi « fuerit par, — vero fi « ponatur inipar. Pro priori cafu erit S — coCm ^^ P*^^ pofleriori cof.(g-f-'»i^)fin. ;(?;-!- j)v coITv * •n - . . - ^ rw.(z — lv) rro cafu autem « innniti fiet S z= :- — idco- 2Co(. ^ S. J. 10 qui finguli termini nos ad fingulares integrationes perducunt ; ac bini quidem priores fecundum legem datam integrati , vt fcilicet euanefcant fumtoisc;— i dabunt /:77^— — A. fm.s-A. fin.(-i)r::A.fin.«+|it hinc ergo fi fumamus z zzi -{- i prodibit §. 5. Pro reliquis terminis confideremus re- dudlionem confuetam generakm z^~^^ dz z^ d z f. vrr--7) = A/ vT~-) + B. « - y( . - «■) vbi effe oportet ^ ita , \t fit z^-^^dz X+i ^ z^dz 1 , vbi conftantem non adiicimus , quia hacc formula iam euanefcit fumto « =; - i ; vnde fi iam ponatur « :z: -i- 1 obtinebitnr z^-^'dz X+i 2!^t a ■ «. 8 ' ti i:.i» ' y it. 16* §. 8. Cum igitur inuenti coefficientes tam fim- plicem et egregiam conftituant feriem , haec expres- fio , quam eruimus , Ttique maxime \idetur atten- tione digna , cnm termini vehementer conuergant idque pro omnibus plane ellipfibus , propterea quod femper ~^„=zn fradio eft vnitate minor. Habe- bimus fcilicet AMB E L L 1 P S I S. 7S A M B =r ^J^ Ti - I V 2 .'« 4. ♦* ». « + t* g. s' 12. li *' 8. t 12. 12* Iti. l6 etc. §, p. Contemplemur hinc cafum , quo ellipfis noftra fit circulus radii :=ra; tum enim erit h zi a hinc f: rr a V 2 et « — o, ex quo quadrans circula- ris prodit , vti quidem nodffimum efl: , — i tt a. §, 10. Deinde vero etiam cafus occurrit ma- xime notatu dignus , quo femiaxis C B zr: ^ ~ o ; tum enim quadrans ellipticus P M B ipfi (emiaxi C A r= i? fit aequalis \ at pro noftra formula erit c — a et « — I quibus valoribus fubftitutis nancifci- mur fcquentem aequationem l I, 1 4. 4- 1,1 4. 4 1. I ;■ i 4. ♦* 8. » , tl 12.12 etc. qui praecife ipfe iUe cafus eft , quo feries nofJra quam minime eft conuergens , et qui propterea no- ftram attentionem eo magis meretur , quod huius fe- riei fumma adcurate afljjnari poteft , cum fit » ^ — ♦— • ,71 ^^^' in infin. zz '-^-. §. 10. Si cui lubuerit fuper hac ferie calcu- los numericos inftiiuere , firbiungamus hic ^alores litterarum a, (3, y etc. in franJlionibus dccimalibus, ^ui ita ie babent K a c = o. \ IS DE PERIMETRO a =r 0, 0525000 P — o, oi4 14. Nunc vcro denuo ope difierentiationis numeratores binis nouis fadoribus augeamus f hunc in finem primam aequationem in y v dui^am difiet rentiemus , prodibitque 2« Z 7 / . - LJ, LJ o. «- ' ■ ■ a. 3 4» ♦ ^* ri 3. 3 4, 4- e. 6 " etc. haec dcnno differentietur ct per t Iterum Hiultipli* cando fit td^^^ — ^ iiT' - '-ii 3. 5. ^ « V* 3.2"*^ - L-'. !ii 7. 9. W' a. a 4« + ' "^ etc. K 3 ^«» •78 DE PERIMETRO ^ae per i;' multiplicata producit 4, v^ d d. s y V dv — '-—. ^^ 7. 9. «y* elc. fupra vero iam inuenimus ^- •" ^ 5 — - v — — — ari; crit a =L e!ii±L!lL» : et y — '^IIl^i^l) Z 2 * Quocirca noflra conftrudio ita erit comparata, fum'" tis ellipfis femiaxibus fit q quarta pars perimetri liuius ellipfis eritque-pro> refolutione noftrae aequationis x rr: t9X3. ;( • ir c Haec aequatio fi ponamus s-zz-—^^ induet Iianc fbr-' niam fimpliciorem pro qua erit z — 'A^- f, 17. Haec porro aequatio ad difFerentialem pri-' mi gradus reducetur, ponendo zzzze''^^'" tum enim' refultabit dt -{-t^ dv-\- —S!^ . =: o ' ♦'»*(l 4*0- vnde , fi liceret f per 1; definire , ita , vt innote- fceret integrale / J flfv, foret z — e''^^'". §. 18. Hic erat primus modus ex propofita- ferie infinita in eius fummam inquirendi , vbi fcili- cet loco numeri confliaatis n quaDtitate^n v^riabilern V in- 80 DE PERIMETRO V introduximus ; altcro autem niodo idcm praeftaii- di , cuius plurima Q)ecimina iam paflim occurrunt , quantitas conftans n talis relinquitur , ponamus au- tem nzz 2 m; ita , vt noftra feries rummaada ilt - !!_", *— *. 14 m* etc. %- i - 'li m* p* - '-^w* 6* quantitas s fequenti ferie formularum integralium definietur j=r a — k m fp d z -'^^m' f.p^ d z -^"''//'^«etc. Nunc vero ftatuamus , fi poft fingulas integrationes variabili z certus valor determinatus tribuatur , tum fore fpdz — \z',fp'dz-ifpdz fp* d» — iffdz ifp^dz— \'ffdz etc. fic E L L 1 P S 1 S. 81 flc enim £et s -=z zii —'-^ in -—>^— rn - — . — . |^» m^ etc. ^ J. 2 J. 2 4. 4 2. J 4. ♦ 0. 6 ^uae cft ipfa noftra feries propofita. f, 21. Nnnc igitur tota quaeftio Tiuc redit , cuiusmodi fundionem ipfius z pro p fumi oporteat, vt flabilita illa ratio integralium , dum fcilicet va- riabiii z certus valor trrbuitur , obtineatur , ifta au- tem relatio generatim ita exprimitur » f.p^dz — t^'f.p^-'dz ponamus igitur integraiibus adhuc indefinite fumtis fore fafta ergo differentiatione prodibit p^dzzz^-^^p^-^dz-^ \p^-"Q^dp qnae per p^~' diuifa et per 2 X multiplicata praebet 2-Kpdz — {^\- ^^dz-^y^Q^dp^p d(^ et cum haec aequatio fubfiftere debeat , quicquid fit X, fuppeditat nobis has duas aequationes zpdz— ^dz — Q^d p z=: o — 3 d z~^pd(^zz o €x quibus vtramque fundionem p et Q^definire licebit. §. 22. Perinde autem hic eft , fiue p et Q^ fint fundiones ipfius z fiue a et Q ipfius p , dum- Toni.XVUI,Nou.Comm. L modo 8a DE PERIMETRO modo earum relatio inter fe ftabiliatur j ex pofte- riore autem ftatim habemus qui valor in priore fubftitutus praebct ex qua fit d CL ■ 3^0 ^ i d P ^\. _ ^AP— vnde integrjiido oritur log, Q.--|l.pH-n.(/'-a) vnde fit Q^z=. 2 (f-=-')' tum vero quia ex prima aequatione eft dzzz^^^-^^\ hinc fit dt) dp dzzz— r = • Nunc autem inprimis obferuari oportet , vt pro •vtroque integrationis termino formula algebraica ibi adiecfla p^^Q^— 2.p ♦(^—2)* euanefcat , ficque manife(tum eft, integrationis terminos flatui debere^ p — o et /) — 2. §. 23. Ecce ergo formulam noftram integra- lem initio introdudam hoc modo repraefentatam - r <^/>^(^ -ztnp) tp'ip-^) d quare quare cum fit r ^P ipfa noftra feries propofita I — 'j_L /«^ _ 'jj.. ^jj. m etc. 2* 1 2. 2 4> 4- aequabitur fraftioni ^ , poftquam fcilicet haec intc- gralia ita fuerint fumta , vt euancfcant pofito /> — o tum vero ftatuatur pnra; quamobrem illas duas formulas integrales ita exprimi couueniet d p V (i — 1 m p) et z-^f. dp i^p{^-'p) §. 24. Ex his igitur feries nollra fupfa in- \cnta I - '^ «* - '-^. '-^ «* etc. 4> 4 4* 4- ai s cuius fummam iam vidimus effe ?^^ , etiam hoc modo per duas tormulas integrales repraefentari pot- eft , quae fafta leui mutatione pzz 2. r erunt , ea , quae numeratorem conftiiuit rfrV(i— ««. r) "^ ^r^(i-~ altera vero , quae conftituit deneminatorem dr *''■(. -r) L a iffi 8+ DE PERIMETRO ELLIPSIS. ipfa autem fradlio noftram feriem exhibebit^; nunc autem termini integrationis funt r -zz o et r—i. $. 25. Adhuc fuccindius hae formulae trans- fbrmari poflunt , fumendo r~^*j tum enim ambae fbrmulae integrales eruat s: -[.---} — -; et z-f. t(i-0 iJ-Ci-O' termiois integrationis exiftentibus etiamnunc t—Q- et t — I , quo obferuato fradio -■ aeq^uabitur noftrae feriei , fiue erit « ■ ir.c vbi q denotat quartam partcm peripheriae ellipfis j^ cuius (emiaxes funt $. 2^ ( 0 ) !?§«- «5 DEMONSTRATIONES CIRCA RESIDVA EX DIVISIONE POTESTATVM PER NVME- ROS PRIMOS RESVLTaNTIA. A u dl ar c L. E F L E R a Hypothefis. i. Si terminf progreflionis geometricae ab vnitate w- cipientis per numerum primum P diuidantur ^ refidua inde nata litteris r, a, &, y, S etc. denota- bo , hoc modo : Progr. Geom. j^ a, a^y a ^ a*^ a ^ a ctc. Refidua. i, a, §, y, 5", e, ^ etc» Concliijiones^ 2. Omnia haec refidua funt minora diuifore P; quamdiu enim termini progreflionis geomctricae diuifore P funt minores , refldua ipfls funt aequaliaf cum autem diuiiorem P fuperant , auferendo ab iis diuiforem P, quoties fieri potefl, refldua taodem ip(o P minora r^linqui neccflfe eft. 3r. Si numerus a fit primus aci diiMfbreni P, tioc eft fl neque ipfl flt aequalis y neqoe eius- mul- L 3 tiplo «ff RESIDVA EX nviS. POTESTATVM tiplo cuipiam , itulla qiioque eius poteftas per P erit diuifibiiitj ; Deque ergo in refiduis cyphra viiquafn occurret. 4. Ciim omnia refidua fint diuifore P minora, multitudo autem numerorum diuifore P minorum fit — P — I , plura refidua diuerfa occurrere ne- queunt quara P — i. Quare cum feries refiduorum fit infiuita , eadem refidua in ea faepius recurrere dtbent. 5. Ex quolibet refiduo veluti e fequens ^ fa- cile definitur, Cum enim dt t~a-tn? et^-«*-«P, erit <^— «err (///«—») P, hincquc ^—ae — {tt — ma)P. Quarc a produdo ae auferatur diuKor P quoties fieri potefi , ac reiinquetur rcfiduum fcquens ^. 6. Refpedu numeri primi P omnes numeri Jn^irfertos ordines dillribui poflunt , ad eundem ordi- hem referendo omnes cos numcros , qui per P di- vifi idem relinquunt refiduum , hi ergo ordines erunt : I. o, P aP, 3P> 4P «^P II. I, P+i, 2P+1, 3P+h4P+i mV+i III. 2, F+2, 2P+2, 3P+2,4P-f 2 . . . .wP+2 IV. 3,P+3, 2P+3,3H+3,4P+3 /«P+3 etc. 7. Fro quolibet ergo numero primo P tot fisbefftur numeiorum ordines , quot vnitates in nu- mero P continentur ; et quilibet ordo determinatur refiduo, quod omnibus numeris eius ordinis eft com- mune ; hocque refiduum ia quouis ordine locom oc- cupat prioiuiB. S. Cum mR NVMERVS PRIMOS. 87 8. Cum cuiusque ordinis natura refiduo ipfi. proprio determinetur , quilibet cuiusque orJinis nu- merus eius mturam perinde decbrat , ac primus , qui ipfum refiJuum exiiibet. Hiuc nihil impedit $ quominus idem refiduum e per quemlibet alium nu-^ merum eiusdem ordinis m ? -{- e denotetur. 9. Ita idem refiduum e non lolum pcr nu- meros politiuos e -H P, e -|- 2 P etc. indicare lice- bit , fed etiam per negatiuos e — P, e— 2P etc. Cum igitur , fi e fit diuiforis P lemifle maius , e — P eodem dt minus, patet numeros negatiuos ad- mittendo , omnia refidua numeris, qui diuiforis P fe- miiTem non fupcrcnt , exprimi pofle. Obferuationes. 10. Propofito diufore primo P, prout pro- greflionis geometricae radix a conftituatur, fieri pot- eft , vt in refiduis vei omnes numeri ipfo P mino- res occurrant , vel non omaes. Si enim fumatur radix «— i, omnia refidua in vnitatem abeunt, ap (i fumatur a zr P — i, feries refiduorum prodit :, I, P-i, I, P— I, 1} P— » etc. vel +1, —I, +1, -i, +1, -i etc. (9). 11. Qiiod autem interdum omnes numeri di- vifore P minores in refiduis occurrunt, vnico exem- plo declarafle fufficiat ; fit fcilicet P :r 7 et luma- tur radix 2, 4, i, 2, 4, i etc, 5Progr. geom. i, 4, 4', 4*, 4*, 4', 4', 4', 4', 4* etc. C Refidua 1,4,2, i, 4, 2, j, 4, 2, i etc. 5Progr. geom. x, 5, 5'} 5*? 5*, 5*, 5*5 sS 5*, S^etc. i Refidua i, 5> 4» <^j =) 3, ij 5> 4) ^ etc. X 3. Vt omnes variationes , quae in ferie refi- duorum locum habere poffunt , obtineantur , fufficit radici a omnes valores diuifore P minorcs tribuifle ; fi euim loco a fumatur a + P, ex progreflione geo- metrica x, at -f • P, (a + P)', {a + P/ etc. eadem re- fiduorum feries recurrit , quae ex progreiTione geo- raetrica i, a, a\ «', a* etc. 14. Quemadmodum in refiduis etiam nume- rob negatiuos admittimus (9) vt ea infra femifiem diuiforis P deprimamuf , ita etiam pro radice pro- greflionis geometricae a numeros negatiuos aflumcre licet , ac tum habebitur : Progr. geom, 1, — «,+«', —a', +^*, ^ a^-^- a ^ —a tic. refidua i,— a, 6, -y, ^, - f , ^, -vietc. 15 Sumta autem radice — c, eadem refidua oriiintur, ac fi radix poneretur V — a\ 'vnde patet pro cafibus , quibus radix a femiflem diuiforis P fuperat , refidua ex cafibus quibus eft J «< w , eritqud poteftatis d" ~ a^. «""*" refiduum =: p. w — . . P ideo^' qiie V ~ \y. (n — , . ?. 2(5. Cum vnitas fempcr, iri ferie i;efiduoruqi,, contineatur , cuique lefiduQ jx refpondebit, ibjidem' '■ ■ , , ' aliud PER NVMERVS PRIMOS. p^ iiliud quoJdam w vt fit jjl w — i feu fji ai— i + . . P. Huiusmodi bina refidua Joda appellabo. Vnde patet, in omni ferie tefiduorum terminos ita fociatim ex- hiberi poffe , \t bina quaeque fibi fint focia, Hoc tantum notetur, vnitatem fibi ipfi cfk fociam , ac fi — I occurrat , focium quoque ipfi efle aequalem. 27. His praemiflis , quae alibi fufius pertraS^ai vi , ad fequentia Theoremata progredior ; in quibu^ plures nouae veritates cx principiis prorfus fingula- ribus demonftrabuntur , ad qUas pcr mcthodos adhut vfurpatas accefius nimis difficilis vi^tiir. Theorema. 28. Vt forma a" — i per numerom primum P diuifibilis euadat , fumendo :c •< P, id pluribu$ quam « modis fieri nequit. Demonflratio. A cafibus firapliciflimis inchbemils , ac ptirttd ftaiim manifcftum eft formam .r' -- 1 per numefuiti primum P vnico modo diuifibilem cfife polfe fumetli do X — 1, cilm valo^es ipfius x diuifore P maibrcs exdudantur. ■ Vtforma ;if -^ I diuifionem p(er nuiticfritfitt primum P admittat \el x — i vel x + 1 diuifio- nem admittere debet ; priori cafii fit .v zz i poflierio- ri :k zz F — I : rreque vUo alio modo id euenire ppteft , fiquidem eafus x > P excluduntun Forma x\ — i ::r. {x ,— i)(x x -{- x -^ i) per P dkififeilis eft M 3 primo ■ 'v i ■ P4 RESIDVA EX DIVIS. POTESTATVM primo fi X— i, tum Tero fi x x -^ x -{- i -zz w/P. quod fi eueniat cafu xzza^ etiam calu x~ei fuc- cedet , altiores enim poteftates ob a -~ i diuif. per P ideoque refiduum ipfius ^ge-e=e(g-i) ay — a — 'y+ > ~(a— O^Y"" ^^ yy-y— -y^V-») a' — aa+a — a+ 1 — I ^ aa(a — i) ' aa§-aa4-a-(S- 1 )(§ • i )-a-1^4- 1 :::a(a- i)^g- r-)! vnde colligimus, fi fuerit « — a^ S'^ y', pro fbrma— la Ar" — I fore numcrum cafuum propriorum .X — • fa- ,)e^--(e- i)yv-'(y,_,)^ Quae fi attcntius conrerQpIenuir , mox deprcheude- mus pro qualibet formula x"—- i tot dari ca(us pro- prios 5 quot infra exponentem n dantur numeii ad ipfum primi. Coro I lc j^ 35. Diuifore primo exifiente ir P, fi expo- ncns n fumatur — P— i, quia. formula a^^'— ii' certo habet P — i cafus eosque omncs reales , cum X omnes valures ipfo P miriores rccipej-e qiieat ;■ (I inde expungantur ii , qui huic formulae cum Ijm- piicioribus (unc cnmmunos , ca'us proprii ,. qui relin- quantur , omnes certo erunt ccalcs. CctoU, PER NVNEROS PRIMOS. 9P C o r o 1 1. 2. ^6. Hinc remper ciusmodi dmtur Qumeri di- vifere P minores , qui cafus formulae jf^~' - i proprios exhibent, ita, vt iidem cafus nulii fbrmulae iiifariori conueniant. S c h o 1 i o R. 37. Quamuis haec nimis abftraifla et omni vfu «Seftitura videaatur ; tamen eciuidsm lis fuperfedere 00:1 potui iu fequent bus demonftrationibus adornan- dis , vbi imprimis aate omnia eft ofteadendum , qui- cunque jiunieius primus pro diuifore P acdpiatur , femper eiusmodi progxeibones geometricas i, a, a*, «*, a* etc. exhiberi pofle , vnde feries refiduorum completae refukent, in quibus (cilicet omnes nume- ci dJuifore P minorcs occurranr , antequam idem re- (iduorum ordo -reuertatur, Flerisque forte haec res ita manifcfta videbitur , vt dem.onftratione non egeat, cum pro minoribus diui^bribus priinis huiusmodi progreftinnes geometricae feries refiduorum comple- tas praeberjtes , adu exhiberi queant , pro mniori- bus nutv^m ratio dubitandi continwo decrefccre videa- tur. Verum quonaam hoc (ecus euenit pro diuifori- bns non - primis , haec nnmerorum primorum pro- pri-tiis vtique demonftrationem poftuiare eft Vila. Theorerna. 38. Qiiicunque numcrus primus pm diulfore P acclpiatur j fempcr dusmodi progreflio georr.eirica N ft 3, tf. joo RESIDVA EX DIVIS. POTESTATVM I, a, a, a\ a etc exlVrberi poteft , ex qua fcries refiduorum completa oriatur» Demonrtratio. Cum pofita in genere pro^elilonis geometri- cae radice x, minore fempcr qiiam diuifor P, tcr- minus a*""' per P diuifus vnitatem relinquat , in- deqiie refidua codem ordine vti ab initio reuertan-' tur ; ortendi oportet pro X eiusmoJi numerum a affumi poflc , vt a^~' fit eius infima potcltas, quae per P diuila vnitatem relinqu.u; quia enim tum iti ferie refiduorum vnitas ante iiunc terminum noa occurrit , omnia antecedentia refidua inter fe diuerfa fint necefle eft , qiiorum numerus cum fit — P— i^ omnes numeri diuifore P minores in ferie refiduo- rum reperientur , eaque proptcrea erit completa. Rea itaque huc redit , vt oftendatur ,, non omncs nume- ros diuifore P minores ita effe comparatos ^ vt eo- rum inferior quaep'am potcflas pcr P diuifa vnita- tem relinquat. Vcrum fi hoc eueniat in potcftate a," exiftente «<^P— i; iam oftendimus (§^. 21.}, eius exponentem n cfle necefllirio partem aliquotam ipfius P— i; cum iam §. 34.. docucrim, fbrmam a''"'- i femper habere cafus fibi proprios puta at — «^vtnut- la inferior diuifionem pcr P admittat ; perfpicuutfi eft poteftatem a^~' fore infimam , quae per P di'^ vifa vnitatem relinquat ; vnde fumto tali numcro a pro radice progrefllonis geometricae, ex ea feries re- fiduorum compieta oriatur necefle eft. $ch(>- U\npm NVMfeROS PamDSi ibx -•'•f rr"' Stholiort. 39. Quo haec cUrius incelligantur , conueniet' ^ro rirnplicioHbus diuiforibus primis tales feries re- iiduorum completns conlp.dui exponi , vbi quidem progrctli):}e8 g-6metr'icds ^ Vnde riiVfcuntur, non bpus ©ft «xpoiii , quia radix femper feciindo termino fe- riei refiduorum eft aequalis ; fed fufficiet generalem progreffioiiem in capite pofuiflei vt inde exponen-^ tes , quibus firtguli lerrrtini in feriebus refiduoruril refpondent , perfpiciantUr t 1 1 13 0 I 2 s ♦ s « ,a ^a ,a ^a fa ^ « 7 » »■ ti it 9,511-0,7 I) 2-, 4,. 8,, 3, 6y 12, 1 1, 9, 5, etc. 17 I, 3^9, 10, 13;, 5,15, i-i, 15,14, 8,75 4.12 2»6i,. 3, 9, 10, '3, 5 etc. ff> iq'i,2, 4, 8, i5yi3,7,i4.,9^r&,i7',i5,ti,3,6,i2,5,iol i, 2, 4, H ctc. 23 ij 5. ^5 10,4-. 20, 8,i7,i5,ii,9j-22 , l^, 2 1, 13, 19, 3,15,5,7, 12, 14 etc. Radices igitur, quibus hic pro iftis diuifbribus pri-'^ niis fumus vfi, funt primitiuae , qoia earum potefta-' tes omnia diuerfa refidua diui(ore minojra! fuppedi---' tant, quibus exhauftis demum vnitas recurrir, et feries eodem ordine vti ab initio' pro^rediuntnr,% Via quidem adiiuc non patet , tales radices primiti-^^ vas pro quouis diuifore primo ini^eniendi ,. ntqtie- etiam demonftratio, qua tales radices primitiuas fem^ per dari euici , methodum eas inueniendi declaKiP.;' lOi RESIDVA EX DJVIS. POTESTATVM Pro quouis autem diuiforc primo radix hui«smodi primitiua tentando non difEculter ehcitur. Veluti pro diuifore 23, primum radicem a zz z affamo , vndc haec feries refiduorum nafcitur : I, z. 4, 8, i d ^d natae , vti ex (eriebus refiduorum completis §. 38. alUtis perfpicitur. G o r o 1 1. 2. 46;. Pro quouis ergp diuifore primo P mul- titudo radicum primitiuarum multitudini numero- rum ad niimerum QczP— i primorum eoque mi- norum eft aequalis , ideoque ex compofitione nume- ri Q_ ert iudicanda. Ita fi fuerit Q— a^ S^^ y" etc. exidentibus otj S, y etc niimeris primis, conftat nu- merum radicum primitiuarum fore rr o>-" (a- I). g''-' (^e- i). Y^-' (v - 1) etc. C o r o 1 1. 5. 47. Ipfi auiem numeri ad Q primi facile re-- ppfiuntur, dum ex numeris omnibus ipro Q minori-. bus expunguntur, ii , qui ad Q funt cooripoftti : quii eAim r^ftant., inter qu<3s femper vnitas reperitur,, eruflt ad Q primi! S choli o n. 48. Fx data theorematis demonflratione autem fimul intelligitur , pl^ui-es non dari radices primiti- vas , quam affignauimus. Sufnta enim quacunqae alia poteflate radicis pumitiuae iam cognitae a puta «'^j,. , cttius !f '}'V mk mum^ fkmQs. tc? cuius exponens m non fit primus ad Q, fed cuni Q communem habeat diuKorem , qui fit ^, vt tam ^ quam ^ fit numerus integer ,• in ptogrdffione geometrica i, «"* , a"" , «'" , o*'"* occurret pbte- (las , cuius fciiicet exponens zz^ Ht , antequam ad c^"* perueniatur , qui cum fit quoque —~Q^ ideo- s ad Q=P- i\ ^C primos , quam radices ptimitiuas ii$ refpotideateS' confpedui expofuero ; iC O d Diui- xo8 RESlDVA EX DIVIS. POTESTATVM Diuifor primus 3 1 1 13 17 23 "29 1 ad 2 primus 2 radix primitiua 1, 3 primi ad 4 2, 3 Rnd. prim. I, 5 pnmi ad 6 3, 5 Rad. prim. i> 3> 7, 9 primi ad 10 2, 8, 7, 6^ Rad. prim. I, 5, 7, II pnmi aJ 12 ?, 6, I T, 7 Kad. prim. I, 3, 55 7, 9,11,13, 15 primi ad 16 3,10, 5,11,14, 7,12, 6 Rad. prim. i> 5 5 7j u, i3> 17 primi ad 18 2, 13, 14, 15, 3, 10 Rad. prim. i> 3) 5> 7> 9, i3i » 3> 17, 19, 21 primi ad 22 5, 10, 20, 17, II, 21, i-^, 15, 7. 14 Kad. prim. 31 i> 3> 5> 9> 1', i3> I5,i75i9>23>25,27 primi ad a9 2, 8, 3, 19, I 8, 14, 27, 21, 2(5, lO; 11,15 Rad. piim. i> 7» »i> i3> i7> 19. 23> 29 primi ad 30 3, 17, 13, 24, 22, 12, 11, 21 Rad. prim. 37 i> 5> 7> ii>i3>>7>i9>23,25>29>3i>35primi ad 3i7>x3>i5)i8,35, 5,20,24,22,19 Rad. prira, Nullam autem hic inter quemque numerum pri- m.um et radices primitiuas ipfi conuenientes rela- tionem deprehendere licet, ex qua pro quouis diuifo- re primo fahem vnica radix primitiua colligi pos- fet i PER NVMEROS PRIMOS. lop fet ; atque adeo ordo inter iftas radices aeque abfcGn' ditus videtur , ac inter ipfos numeros primos. Theorema. 51. Si numeri quadrati per quempiam diui- forem primum P diuidantur, refidua inde orta , ni-. fi fint o, in ferie refiduorum completa poteftatibus parium exponentum refpoudent. Demonftratio. Sit pro diuifore primo P radix quaedam pri- mitiua a, vt haec progrcffio geometrica i^ a, a , a i a , a , a , a etc. feriem refiduorum completam praebeat, in qua omnes numeri diuifore minores occurrant. Sit iamorATqua- dratum quodcunque per P diuidendum , et r re- fiduum ex diuifione radicis x ortum , "vt fit X ~mV ^ r; ac fi r :=: o, feu x multiplum diui- foris P, etiam refiduum ex quadrato xx natum erit rz: o, quos cafus , cum per fe fint perfpicui , hic non confideramus. At fi r fit numerus quicunque diuifore P minor , quia in ferie refiduorum comple- ta certe continetur , ex certa quadam poteftate ipfius a, quae fit a^ nafcatur necefle eft , tum autem refi- duum ex diuifione quadrati x x oriundum conueniet cum eo, quod ex diuifione poteftatis a'^ nafcitur ; ficque ex diuifione quadratorum alia refidua reftiltare nequeunt , ACi quae ex poteftatibus formac a''^ hoc ett, quarum exponentes funt numeri pares , oriuntur. O 3 Coroll. iio RESIDVA EX DIVIS. POTESTATVM Coroll. I. 52. Refidua ergo , quae ex diuifione quadra- torum per diuiforem primum P nafcuntur , conue- nient cum iis refiduis , quae ex hac progreffione geo- mecrica nafcuntur exiftente a radice primitiua. Coroll. 2. 53. Si ergo diuifor primus fit P ~ a « + i, quam fbrmam omnes numeri primi praeter binarium habent , quia 2 non eft numerus prin us ad P — i =r 2», ctiam a non erit radrx primiriua , ideoque feries refiduorum ex quadratis oriunda non crit completa. Coroll. 2' 54. Qaia autem «"^ eft minima poteflas ra*^ dicis a vnitatem relinquens , muititudo refiduorum , quae ex numeris qaadratis refultare poflunr, certo eft zzuy cyphra exdufa totidenK^ue numeri nunquam poflTunt efle refidua quadratorum , quos proinde tjjan - refidua appellaui. Scholion i* 55. Hoc etiam ex ferie refiduorum completa faclllime perfpicitur, quae fi progreflioni geometricae iublcripia fuerint I, <7, tf , a ^ a\ a . a% a «' " i, «, e, Y, <^, e, <^, >i I ex PER NVMEROS PRIMOS. iii ex diiufioae quadi-atorum nafcitur haec feries rcfi- duorum I, g, 5, ^ .1 quorum multitudo manifefto eft femiffis iilortirrt-, quoniam ferie etiam continuata eadem eodem ordine leeurrunt. Hinc vti rcfidua quadratorum funt i, ?, ^, <^ etc. ita }Jon - refidaa erunt a, y, e, -v] etc. numero toti- dem , nifi fcilicet binarius pro diuifore primo acci- piatur. Quare cum ex ferie quadratorum 1,4, 9, i(S" vsque , ad 4«« continuata omnia refidua diuerfa oriri debeant , horumque quadratorum numerus fit 2«, refiduorum vero numertis tantum ~ «, necefle eft ex binis horum quadratorum aequaHa refidua nafci , quod adeo per fe cft perfpicuum , cum qua-. drata bb et (2 « -f- i — b)^ per diuiforem o. n-\- \ diuila idem refiduum relinquanr. Scholion. 5(J. Simili modo oftendi potell , refidua, quae ex diuifione cuborum nafcuntur , non dilcrepare ab iis , quae progxeflioni geometricae i, 0% «*,«', a'^ etc. conueniunt , denotante a femper radicem primiti- vam : Atque in genere fi poteftates numerorum quaecunque : I, ^\ sN 4^ S'^, 6^ '7'^ etc. j)er numerum primum P diuidantur , relidua inde oriunda eadem erunt atque ea » quae ex hac pro- greflione geomeirica nafcuntur ; I, «\ a'^ «'\ a'\ a'\ fl"'^ etc. exiften- 1 1 2 RESIDVA EX DIVIS. POTESTATVM exiftente a radice primitiua pro diuifore primo P; vnde patet , fi exponens X fuerit numerus ad P — i primus , feriem refiduorum fore completam ^ at fi exponens X ad P — i non fit primus , ac maximus eorum communis diuifor fuerit rr: d^ tum vtique in refiduis non omnes numeri orcurrcnt , fcd tot tan- tum , vt eorum multitudo fit — ^-=-^ , cuiiis ratio ex hadenus allatis fatis eft manifcfta. Sed antequam altiorcs poteftates accuratius fcrutcmur , quasdam in- fignes proprietates circa refidua quadratorum expli- caffe iuuabit. Theorema. 57. Diuifore primo pofito P :::z 2 » 4- i in lefiduis quadratorum occurret numerus — i (eu 2W, quoties n fuerit numerus par j fin autem n fit nu- merus impar , tum — i feu 2 « certe non reperie- tur in refiduis , fed erit non - refiduum. Demonftratio. Cum progreftio geometrica i, «", a ^ a , a* etc. omnia producat refidua quadratorum , euidens eft in ea occurrere terminum a" fi quidem n fit numerus par , at fupra vidimus poteflatem «" lempcr dare rcfiduum — i feu 2 n-^ ex quo manifeftum eft, quo- ties n fuerit numerus par , totics in refiduis qua- dratorum reperiri — i feu 2 «, contra vero fi n fuerit impar , 2« (eu — i erit non-refiduum. Coroll. PER NVMEROS PRIMOS. 113 Coroll. I. 58. Pro omnibus ergo diuiforibus primis for- mae 4 « -h i in refiduis quadratorum certe occur- rit —I feu 4«, et cum produdum cx biais refiduis iterum fit refiduum , fi refiduum quodcunque fuc- rit «, etiam — a in refiduis rcperietur ; fcilicetcu- iiisque refidui complementum quoque efl: refiduum. CorolL 2. 59. Pro diuiforibus autem primis formae 4 « — I , in refiduis quadratorum certe non occur- rit — I fed erit non~refiduum ; hinc cum produdum ex refiduo et non - refiduo femper fit non - refiduum^ omnmm refiduorum complementa erunt non-reftdua, Theorema. 60 Propofito numero primo formae 4 « 4- i femper fumma duorum quadratorum ad eum pri- morum exhiberi poteft , quae fit per eum diuifibilis arque aiterum quidem quadratum pro lubitu accipe- re licet. Demonftratlo. Sumto enim quadrato quocunque bb^ quod pcr 4«+ I diuifum relinquat refiduum S, dabitur fem- per aliud quadratum x x quod per 4 « -f- i diui- fum relinquet refiduum — § feu 4 » -}- i — S , ex quo fumma horum duorum quadratorum b b -^ x x per numtrum primum 4 « -|- i diuifibilis iit ne- Tom.XVllI.Nou.Comm. P cefle 1^4- RESIDVA EX DIVIS. POTESTATVM cefTe eft ; ct cum neutrum per fe diuifionem admit- tat , ea vtique ad 4 « -i- i erunl prima. CoroU. I. 61. Euidcns quoque eft quadratum xx infi- nitis modis accipi pofte , cum omnia qi:adrata in hac forma (/«(4. n -\- i) ^ x)* idem refiduum, quod XX praebeant: vnde pro x dabitur \alor non folum minor quam 4 » -4- i, f<-d etiam minor eiu^ fe- miffe *"■*•' feu minor quam. 2 « -h i.. Coroll. 2. 62, Semper ergo tales fummae binorum qua— dratorum : ^-\-pp-> 4-4-^?, ^-^ffj t6-{-ss^ ss+ft etc. cxiiiberi poflunt , quae omnes fint pcr numerum pri- mum 4 » -h I diuifibiles ; atque ita vt fingulorum. radices fint minores quum a « -}- i,. CoroIL 2^ tfg. Cum multitudo numerorum minorum quam aM4-i fitma» ac fempeirbira quadrata difparia iun- gantur , multitudo harum formularum eritwjctquia talis fumma binorum quadratorum minor eft quam « {2 » 4- 0' tr; 8 w » -h 8, « -}- ^, quotus erit mi- nor quam 2 n 4- i feu 2/2-1-2. Scholion. tf4. Quo has fummas binorum quadratorum pro qiiouis numeio primo formae ^ n -\- i facilius clicc- PER N*^MEl^*d§ f MdS. 115 cllcerc quearrus , refidua ex quadratis orta pro fira- plicioribus apponamus : ntim.primi Quadrata formae ',4,9,i<5,25,3<5,4.9,64.,8i,ioo,i2i,i4.4,i(J9, 196, ii5,2S 3,-^-3,-3,-r, 3,-4,4-, 1,0 17 1,4.-8,- 1, 8, 2,-2,-+,-4,-2,2,8,-i,-8, 4, I 29 ', 4. 9)-»3,-4-,7,-9»6»-6,i3>5,-i,-5,-7,-7,-S 37 |i,4) 9» i^»-i2,-i,i 2,-10,7,-1 1,10,-4,-16,1 i.s.-a,-^,-^,^. HiflC pro his diiiiforibus formae 4 « -|- i fequentes habebimus binorum quadratorum fummas per eos diuifibiles : Diuifor 5 . Diulfor 13 . quotus X. 25 fumma 26 1(5 3 2j4-> J, S ,P3 ro, 1 3 5 idji 7,1 8,20,2 5,25>2p,3 2 ctd F 3 Pro- f i8 RESIDVA EX DIVIS. POTESTATVM Problema. 69. Si omnes numeri cubici i, 2*, 3^ 4' etc. per numerum quemcunqtie primum P diuidaiitur , inueftigare indolem refiduorum , quae inde nafccntur. S o 1 u t i o. Sit a radix primitiua refperflu diuiforis primi P, et cum progreflio geometrica i, o, a\ a*, ex progreflione geometrica ', t a 9 ■st es ^ i^ a , a } a , a , a etc. ac fumto h ita vt 3 >^ fit vcl P — i vel eius mul- tiplum ^ potedas fl'^ vnitatem lelinquet. Quare fi pro X minimus numerus accipiatur , cuius triplum fit per P — I diuifibile , numerus "h fimul multitu- dinem omnium refiduorum diuerforum , quae ex di* vifionc cuborum refultare poflTunt , indicabit. Cum iam omnis numerus primus fit vel for- mae 3«-f-i vel 3w-f-2, pro vtraque forma iu- dicium feorfim eft inftituendum. I. Sit ergo P — 3 « -^ 1, ct quia P — i = 3 »> fiet X=:«, et refidua cuborum omnia ex hac pro- grefijooe geomctrica nafcentur : I, a% a\ fl* «'"-' quia PER NVMEROS PRIMOS. ns> quia fequens terminus 4'" iterum vnitatcm produ- cit. Hinc non plures quam » numeri in refiduis occurrent ac rcliqui duplo pluresexcluduntur, erunt- que non rcfidua. II. Si diuifor primus fit P — - 3 « -f- 2, ideoque P— 1= 3K-1-I minor numerus pro X accipi ne- quit , quam X =r 3 « -{- i , vt 3 X pro P — i fiat diuifibile , rnde omnia reCdua diuerfa ex hac pro- greilione georaetrica nafcentur : I, a\ a\ a' . «"«^ quorum numerus- cum fit — 3";n-}-i, in rcfiduiS' omnes plane numeri diuifore P minores occurrent v nullique. excludmituE , fcu- nuUa. dabuutuc non-reftdua. Corolt r^ 70. Si crgo diaifoj? primus F fueritr fbrmar 3; « -I- I, cuiusmodii numerii funer 7', r3, ip, 31, 37, 43? <5r, - runt indeque 2. m mva&ii excluduntur.. CoroHl 2o 7r. Quare fi haec cuborum progreflio> »» a, 3 I + (3«X "vnde omnia refidua diucrfa prodirc debenr, per nu- merum primum 3 « -}- i diuidantur , quia termino- rum numerus eft zz 3 », quodlibet refiduum ter oc- currat neceffe eft , fcu femper terni cubi , minores qoum 120 RESIDVA EX nVIS. POTESTATVM qiiam (3 tif , exhiberi pofllint qui idem refiduiim producant. Scholion. i. 72. Refpedu ergo cuborum numeri primi fbrmae 3 « -+- t praecipue notari mercntur ; operae- que pretium erit refidua ia cafibus fimplicioribu& notaffe : lU.pr. 1,2 ,3 ,4,5 ,6 ,7 ,8 ,9,10,11 ,12 ,13 ,14- ,»5 ,i<> ,17 >i8 3 «4-1 Refidua 7 I, 1,-1, 1,-1,-1' o ^ 13 i»-5, i)-i,-S,-5, 5, 5,r,-T,+5>-ij o 19 I, 8, 8, 7,-8, 7j »,-i, 7,-7, 1,-1,-7, 8,-7>-8,-8>-i,o vbi mainfefto quoduis refiduum ter occurrir ; toties- que idem figno — affedtum : cuius ratio inde efl: perfpicua , quod poftremus cuiusque ordinis cubus (3 nf pro refiduo dat — i , et produda ex binis re- fiduis femper quoque inter refidua reperiantur. Cum igitur praeter cubum (3 nY femper dentur duo mi- nores pariter refiduum — i habentes , qui fint /* et g\ erunt formulae i -4-/* et i -{- g' per 3 « -f- i diuifibiles, et quia neque 1 -f-/ nequc i -}-g diui- fionem admittit , neceffe eft vt hae i —f~\-ff et i-g-|-gg fint diuifibiles^ -vbi quidem obferuare licet femper efle debere gr:— ^■velgrr/«(3«+ i)-^^ quia tum fit i+g*— i— /*, quae aeque ac iH-/' eft diuifibilis. Scholion I. 73. Sint /*, g*, h" terni cubi minores quam (3«-Hx)', qui per numerum primum 3 « -4- i diuiii PER NVMEROS PRIMOS. E2Y d?uiTi idem relinquont rcfiduum , et quia binorum differcjntiae g^ — /', h* — /' et y — g^ diuifionem ad- mittunt dum facflores ^ — /, h—f^ h—g diuiforc fiint minores , hae tres formae ff-^-fg-^-gg, ff \-f b + hh , gg + g b + h h fingulae per 3 « + i diiiifibiles fint necefle eft , hincque etiam binarum differentiae hb-gg -hfh-fg-{b - g) (f-^g-^-b). Vnde patet quoque fummam r adicu m f + g + h per diiiiforem 3 « -{- x efle diuifibilem : quae proprietas ilii c^ analoga , qua inoeniraus fi bina quadrata ff et gg per numerum quempiam primum P diuifa idem reliduum relinquant , dum ambo funt minora quam P% tum fummjm radicum/+g per P efle diuifibilem. Pro cafu noftro trium cuborum crlt qnoque h{ff-Vfg^gg)-g[ff^fh-Vhh)-ff{h-g)-gh[b-g) idcoque formula ff— gh per 3 ^^ -^ i diuifibilis , fiinilique modo gg—fh et hh—fg^ hinc iftas duas formulas ab illa gg-\-gh-\:hi> auferendo relin- quifur hzec fg +fh +gh pariter per 3 » + i di- •vifibilis^ et haec combinatio iff+fg + gg^^-i-ibh-fg) pmetet hanc ff-\-gg + b h itidem per 3 « 4- i di- Tifibilem. Quocirca hoc habebimus Tlieorema fatis jBemorabile. Theorema. 74- Si /', g\ y fuerint terni cubi minores quam (3«4-iy> qui per numerum primum 3«+i diuifi idem relinquant refiduum , tum fequentes for- mulae Tom.XVIlI.Nou.Comm. Q f+g 122 RESIDVA EX DIVIS. POTESTATVM f^g-\-h; fg-^fh-^-gh; ff+gg + hh fingulae diuifionem per 3 « -f- i admitteot. C o r o 1 1. 75. Ita pro diuiibre 19 videmus hos tr>e& cu— bos 4^ 6^ et 9' idem rcfiduum 7 dare ; vnde ob /zr4, g~6, h-9 fit /+^ + ^-19; fg+fh+gh — ii^zz6. 19 et ff+gg + hb—i:^:^ — -;. 19, Theorema. y6. Semper numeri huiu» formae p p + ^ q q exhiberi polTunt per numerum primum huius for- mae 3 « 4- i diuifibiles. At vcro nulla eiusmodi datur formula pp+3^^> quae per vllum numerum primum huius fbrmae 3 « — 1 fit diuifibilis. Demonftratio. Si 3«+i eft numerus primus , tum tres adeo cubi /', g*, h' <]uorum radices ipfo funt mino- res , exhiberi pofTunt , qui per 3 « + i diuifi idem refiduum relinquant; vnde^* — /' per 3«+i diui- fionem admittet hincque etiam jf -i-/^ -4- g g. At haec forma eft vel (/-i-sg^)' + 3 (jg/ fi^ tit nu- merus par , vel (■/+g)' -|- 3 {{ff fi / fit par ,, ■vel (^^)' -+- 3 \f-^y , fi ambo fint impares , vnde forma j^^/g 4-gg femper ad hanc pp-+-Zqq^ leducitur. At fi 3 n — I Ct diuifor primus , omnes cu- bi, quorum radices ipfo funt minores, diuerfa prae» beot PER NVMEROS PRIMOS. 123 bent refidua , neque ergo binorum difFerentia , vcl numerus huius fonnae ff+fg +gg exhiberi poteft, qui per 3«— i diuidi poflTet; quod proinde etiam de numeris huius formae pp-i-3 qq locum. habet. Atque hoc adeo de omnibus numeris formae 3?^ — r valet , quoniam fi non fuerinc primi , fadorem faltem primum iftius fbrmae inuoluunt. C o r o 1 1. I. 77. Si igitur forma p p -{- ^ q q per nume- rum primum 3 « 4- i fit diuifibilis , et quadratum qq per eundem diuifum rch'nquat refiduum y, al- terum quadratum pp relinquet refiduum — ^y. Vn- de fi omnes numeri quadrati per numerum primum 3 M -+• I diuidantur , in refiduis certe reperitur —3 vel 3 » — 2. C o r o 1 1. 2. 78. Sin autem omnes numeri quadrati per nu- merum primum fcrmae 3 « — i diuidantur , in fe- rie refiduorum certe non erit numerus —3; ideoque — 3 vel 3 «—4 erit non-refiduum. Sc ho 1 i on. 79. Hinc fi numeri quadrati per numerum quemcunque primum diuidantur , de binis numeris + 3 et —3 iudicari poterit , vtrum in ordine refi- duorum an non - rejiduorum occurrant. Omnes enim numeri primi praeter 2 et 3 qui hic non fpedantur in aliqua harum quatuor fbrmarum continentur : 12/w+i iaffi + 5 ,• 12W-I-7 ; 12W+II Q_ 2 quas 124 RESIDVA EX DIVIS. POTESTATVM qoas fingulas eonKfnpiemar. I. Si diuifor primus fit formae i2/»^-H-r, qua- tenus haec forrra cCt 4 « -|- i , tam 4- 1 quara — t erit reficiuum ,• qua-tenus vero eft 3 « + 1 > refiduunn quoque erit — 3 , hincquc etiam -J- 3. Hoc ergo i» ordine rcuducrum occurrent -h 3 ct — 3 IL Si diuifor primus fit formae xzfn-{-S, qua- tenus haec forrna tft 4 « -4- i ^ in refiduis erunt -4-1 et — i; quitenus vero eft 3 h — i in refiduis- non repcritur — 3, feu — 3, erit non - refiduum., hincque ctiam -f- 3, Quare hoc cafo neuter nu- merorum -f- 3 et — 3 inter refidua repecietur.. III, Si diuitor primus fit formae 12 »7 + 7,. quatenus h^ec forma eft 4«— i erit — i non-refi- duum , quatenus vcro eft 3 « -h i eric — 3 refi- duum, idcoqiie -i- 3 non-refiduum. Vnde hoc ca? fu erit — 3 refiduum at -f- 3 non-refidiium» IV. Si diuifor primus fit formae 12 m -^ ii, qiiatenus haec fbrma eft 4«— r, erit — i non-refi- duum , quatenus vero eft form.ae 3 n — i erit quo- que — 3 non-refiduum , vnde -f- 3 vtpote produ- ^um ex duobus non- refiduis inter refidua occurret^ Quare hoc cafu erit -h 3 refiduum at — 3 non-re.- fiduum, Ad hanc ergo egregiam proprietatem confide* ratio cuborum ncs pcrduxit , quae via cum fetis fit oWiqua , alia magis naiuralis m.ixime defideratur. Probk- PER NVMEROS PRIMOS. las Problema» 80. Si omnes poteftates quartae per numerum quemcunque primum P diuidantur , inueftigare ior- 4olem reliduorum > quae inde nafcentur, S o I u t i o. Pofita a radrce primitiaa refpeflu diuiforis P ,. Tt «''■" fit infi^na poteftas Ynitaiem relinquens , ae refiJua quaefita orientnr quoque ex hac progreflione geometrica i, a*, «*, a\ a" etc. eousqtie continuan- da , donec exponens per P — i fiat diuifibilis , quod fi eueniat in exponente 4^, erit X multitado reft- duorumi. I. Sit diaifor priraas P— 4«-l-ij \t fit F— I — 4«f vnde yt ^X per 4« diuidi queat , erit X — «, hocque cafu refidua quaefita omnia es l»ac progreflione geometrica nafcentur I , a , 0 , fl a*^ * quorura multitudo eft «; ' II. Sk dluifor prinius P— 4»4-S» "vt fit P — as — 4 « -+- 2 ; vnde fiimi debet "Kzz a.n-^ :i ^ %t haec progreflTio geometrica 1, a\ o*, «•* . ........ ^*"^ dabit omhia refidua quaefitaf cum,autema*"'*^^ ^nljK latem relinquat vti «°, termini « Q a eadem X a5 RESID VA EX DIVIS. POTESTATVM cadem refidua praebent atque a , a*, «" etc, viidc his interpolatis oritur progreflio » ♦ S « . it i, a f a ^ a , a ,s a'"' quae eadem reildua dat, ac progreffio numerorum qua- dratorum. Ex biquadratis ergo hoc cafu eadem pla- ne refidua omnia nafcuntur atque ex ipfis quadratis. CoroII. I. 8i. Si ergo numeri biquadrati per numerum prlmum formae 4 « -^- i diuidantur , tantum n re- fidua diuerfa oriuntur , vnde fcmper quaterna biqua- drata dantur />*, q\ r\ /, quorum radiccs diuifore funt minores , quae per 4 « + i diuifa idem prae- beant refiduum ; vbi quidem perfpicuum eft fore s:z:-p et rzz-q feu quod eodem redit j — 4«+ i — p et r — 4«-Hi— y. Hinc iftie formulae p-i-q + r + si /H-^'-+-r'4-/ et p'H-^'4-r'H-j* per 4 « + i «runt diuifibiles. Coroll. 2. 82. Quaterna ergo biquadrata , quae per nu- merum primum 4 « -f- i diuifa vnitatem relinquent, erunt valores ipfius x, quibus formula x* — 1 per 4 « -i- I fit diuifibilis, vnde primo efl: arrr i, tum fi alius valor fit x=:by erit quoque xzzb' et x—b\ neque vltra progredi opus eft , quia b* vnitati ae- quiualet. C o r o II. > ■83. Cum poteftas a'" per 4» + x refiduum det — I , patet fi n fit numerus par , in refiduis biqua- PER NVMEROS PRIMOS. 127 biquadratorum femper repcriri — i , et quoduis re- fiduum quoque figno — afFedum oecurrere ; quod ergo eueiiit , fi diuifor primus fit formae 8 w -4- i i fin autem fit formae 8 m + 5 , tum — i erit noii- irefiduum. CoroII. 4. 84. Si eirgo diuifor primus fit formae Sm-\-ij pro quouis biquadrato b* femper dabitur aliud p*, m fumma b* ~\- p" fit per 8 w + i diuifibilis , atque adeo quaterna huiusmodi biquadrata p" afl^ignari po- terunt , quorum radices diuifore fint minores , fin autem diuifor fit formae 8 w + 5 , tum nulla fum- rna binorum biquau'ratorum per eum diuifibilis exht-- beri poteft.. Svcholioric- 8$. Cnm fumma binorum biquadratorum fif B%p'-{bb~ppy+2ibpf itemque b''\-p''di,bb^ppy-T{bpf^, pro quouis diuifore prirwo formae 8?»-4-i> numeri tam hnwi^ {oxm^G XX ~\- xyy quam hv^xxs, xx—2.jiy exhiberi poflunt per ^m-V-i diuifibiles, vnde fi nu-. meri quadrati per talem numerum primum. %m-\-i diuidanturi in refiduis occurrent nuraeri +2et— 2.. Cum igitur demonflrari poflit ,, numejfos huius formae^ X X -^ ^yy alios diuifores noH admittere , nifi qui, ipfi fint eiusdem formae ^ hinc fequiturj omnes nu— ir.eros primos formae %m-\-\ fimul in forma- X X -^- lyy contineri. Quod eft infigne Theorema- Fermaiii , cuius demonilrationem nunc pilmum mi^ 1 2 8 RESIDVA EX DJ VIS. PDTESTATVM Iii crucre contigit Huic autera aliud nffine Ferms- tius propofuit , quod etiam omnes numeri primi liuius forntae 8 «/ -f- 3 i43 eadem forma xx-hijjf contincantur, cuius demonflrationem ex hac fpecula- tione petere non licet , fequentem ergo ab amico mecum comtnunicaram hic apponam. Theorema. 85. Nulhis numerus huius formae ^pp — ff^t fiquidem p et q fmt numeri inter fe pnmi , vl- tum admittit diuiforem fiue huius formae 8 « -t- 3 fiue huius 8 w — 3. Demonftratio. Si numerorum p et q ambo fint impares, nu- merus 2.pp — q q habebit formam 8 « -j- i , fin p fit par et q impar, formam habebit 8«— i ; fm autem p fit impar et q par — sr, forma crit 2(pp— srr), ideoque vel 2(8«-|-i) vei 2.{Sn--i); femiflis vero pp—irr iterum in forma 2 pp — ^^ continetur, cum fit pp— ar^-— 2(p-f-fy — (p+a^-)'. Hoc prae- mifll) fi forma zpp^qq diuiforem haberet Sw-t- 3? per eundem diuifibili« effet numerus forinae 8«-t- g, quotusque ergo forct iterum formae 8w+3> atque ininor diuifore ; quoniam p tt q non folum diuifore, {ed etiam eius femifle minores ftatuere licet. Cum igitur forma zpp — qq per quotum ideoque nume- rum minorem formae 8 « + 3 cflct diuifibilis , vbi it^rum p e,i q infra eius femiflTem deprimere iicet, quotus denuo minor diuifore oriretur , et oumeri p et PER NVMEROS PRIMOS. 125» et q femper primi inter fe manerent , ita vt neuter ■vnquam ad nihiium redigeretur. Taadem €rgo ad numerum minimum formae zpp — ^ 20 »4-3; 20 « + 7 — 5 ren.luum S ' 4- 5 non-refid — 5 non-refid 2o « - 3; 20 « — 7 + 7 refiJuumi ^ , >■ 28 « 4- I, — 3, 9 — 7 refiduumS * "*' ^ 28 n- I, 4-3, -9 4" 7 refiduumi — 7 non refid.^ 4- 7 non refid.> ^ , P 28 « 4- II, 4- 15, 4- 23 — 7 refiduum ^ > » ^» t- ,» 4- 7 non-refid ? r S !iS«4-5, 4-13, 4-17 — 7 ncm refid.S ^ :>» t- o» -t- / 4- 1 1 refiduum? -11 refiduum^-^^+^^-^-^^+^^^+^' +37, 4- 1 1 refiduuin ) . , ^44«— I, — 9, —25, —5, —37, — IX non-refid.^^^ ' ^* "" ^' **'' 4- 1 1 non refid.? ..... -. >■ 44« -1-3» + 15» +23, 4- -27,4-3 T, — II refiduum S ' •^' • ^' • <*> • /» • o > 4-11 non-refid7 . , ^ . — I. non-refid.^^"+'3,+i7,+ 2i, + 29. + 4i quorum Theorematum demonftrationes fcientiara nu- merorum haud mediocriter promouerent. Theorema. 92. §i omnium numcrorum poteflates exponen- tis X fcilicet 1, z\ 3\ 4.\ 5^ (j'^ etc. pcjr PER NVMEROS PRIMOS. 133 per numerum primum formae X « -(- i diuidantur , iriultitudo refiduorum diuerlorum erit r::«, ideoque multitudo non-refiduorum — (\ — i) n. Demonflratio. Sit a radix primitiua pro diuifore primo X « -h I , cuius ergo poteftiites omnia plane fuppedi- tant refidua , et quilibet numerus diuilore minor :i' erit refiduum certae poteftatis a^y \nde eius poteftas x^ idem praebebit refiduum quod a^^^^ quare omnia refidua quaefita oriuntur ex hac progreflione geome- trica : I, a\ a'\ <7'\ a''^ .o^"-'^'^ quoniam poteftas fequens (^'^ per nuraerum primum X«-}-i diuifa iterum vnitatem relinquit , eaquo cft minima lioc praeftans ; ex quo multitudo rcfi- duorum inde relultantium eft — «, et cum multitu- do omnium numerorum diuifore minorum fit— X«, reliquorum ex ferie refiduorum exduforum multitu- do erit rn:(X — i) «. C o r o 1 1. I. p3. Quare fi leries poteftatum i, a\ 3\ 4^ etc. vsque ad (X fif^ continuetur , in ea femper totidem termini , quot exponens X continet vnitates , repe- rientur , qui per humerum primum X « -f- i diuifi idem refiduum relinquant. Totidem ergo erunt qui vnitatem relinquunt , ac fi \nius radix fit — r, reliquorum radices erunt r\r\ r* r^-\ R 3 CoroU. X34- RESIDVA EX DIVIS. POTESTATVM Coroll. 2. 94. Semper ergo plures huiusmodi numero- rum formae p^ — q^ exhiberi pnflunt per numerum primum X « -4- i diuifibiles , ita vt fador p — q non fit diuifibilis ; atque adeo aUerum numcrorum /> et ^ pro lubitu accipere licet. Coroll. 2' 95. Si n fit numcrus par , in progreflione geometrica i, fl\ a''^ etc. occurret terminus a^ , cui refiduum — i refpondet ,• quare fi diuilor pri- mus fit 2 »; X -}- I in refiduis reperietur — i , fin autem fit (2Wi4- i^X-h I tum — i erit non-refiduum; euidens autem efi fi X fit numerus impar , pofterio- rem formam locum habere non pofie. . Scholion i. g6. Si omnes numcrorum poteftates quaefitac I, ^S 3^ 4-* etc. pcr numeros primos formae 5«-f-i qui funt : 11, 31, 41, <5i, 71 £tc. diuidantur, tan- tum n refidua diucrfa relultabunt , inter quae -vti- qiie .rep,erietur — i. Huiusmodi ergo numerorum formae p^ -h q' d:\buntur per numetum primum 5 « -f- I diuifibiles, ita fiftor pzh^ diuifionem non admittat. Hinc aher fadlor qui eft p* -f- p' ^ H- p' ^' -+• P ^* ■+■ ^* per eundem erit diuifibiUs , qui cum fit {p p -¥ \p q-\- q qf — $ ikp qf-, dabitur huiusmodi forma ff— $ gg per $ n -\- 1 diuifibilis ; ■vnde (cquitur fi quadrata diuidantur per numerum primum formae 5 « H- i , tum iotcr refKiua certc !..,.; repe- PER NVMEROS PRIMOS. ts$ reperlri 4- 5, quod cum coniedlura ante allata congruit. Scholion 2. 97. Simili modo fi poteftates feptimae per numerum primum 7 « 4- i diuidantur , dabuntur huiiismodi fbrmae ^ — q feu />* + /)* ^ +- p* ^' + p^ / + p" ^"^ -^- P ^^ + (f per ^nni diuifibiles j haec vero cxpreflio rcducitur ad hanc formam : ip"'^lppq-ipqq-qy-\-iC,ppq-\-\pqq1'' Vnde femper numeri huius formae ^-H 7 g g exhi- bcri poflTunt per numerum primum 7 « -f- i diuiii- biles Ex quo fequitur fi omnia quadrata per nu- merum primum formae 7 «-4-1 diuidantur inter refidua certe repertum iri —7, quo etiam conicdlu- ra fupra data confirmatur.' NOVA NOVA RATIO QVANTITATES IRRATIONALES PROXIME EXPRIMENDI, A u (fl o r e L E V L E KO, X. Omnem quantitatem irrationalem fimpHcem ad hanc formam {i ~\- xf reduci polfe conttat , fiquidem exponcns k numerum quemcunque fradum defignare affumatiir ^ quicunque enim numerus N ad exponentem fradum n —^ eleuandus proponatur , «um femper ad hanc formam a'* -\- b reuocare licct, t. ^ V M^ tnde formula propofita fit {a" -^- b)" ■::za\i-\-~y '^ b-^lL ficque irrationalibus continetur in expreflione (i+ -1» , quae cum formula propofita {i -{■■ xf congruit po- b nendo — :=z x et '- -zz n. Ac fi pro a fradliones ve- a » limus admittere , ac b aeque negaiiue ac pofitiuc b fumere , quantitas - hoc modo iam quouis cafu fa- tis parua effici poteft , vnde etiam more confueto formula (i -^ xf in feriem admodum conuergentera ^eluluitur. 2. Per DE QVANTItAT. IRRATiONALlBVS. 137 2. Per euolutionem fcilicet binomii Neutonia- nam haec formula (i + xf dupiici modo in feriem infinitam conuertitur , primum nempe direde : tum vero quia eft (i -^xf— , ^^_^ erit quoquc Hinc vero porro has exprefliones inuicem multipli- cando , et pro 2 n fcribendo « deriuabitur tertia ex- preflio muito magis conuergens : (l Ji^X) — —~ '• *• ^ I 2. +, 3. Attendenti autem flicile patebit, infinitas ex- prefliones huic poflremae fimiles cxhiberi pofl!e , quae fingulae aequales fint formulae propofitae (i^-^j^^j fi enim ponamus : determinatio coefficientium praebet problema inde- terminatum , atque adeo H vel numerator vel de- nominator aJ lubitum afl"umitur , alterius coefficien- tes inde determinantur. Hinc quaeflio nafcitur ma- ximi momenti , quomodo tam numerator quam de- nominator dcterminari debeant , vt ambo fimul ma- xime conuergant : atque hic quidem denominatori fi- nitum terminorum numerum tribuere iicet , \bi quaeftio huc redit , quomodo coefficientes denomina- Tom.XVlII. Nou.Comm. S toris 135 DE QVANTITATIBVS toris affumi oporteat , vt pro numeratore refultet fcnes maxime conuergens. 4. Quodfi autem in denominatore datus ter- minoruin numerus conrtituatur , numerator erit fe- rics maxime conuergens , fi vnus pluresue eius ter- mini (e ordine excipicntes plane euanefcant 5 tum enim fequentes termini tam fient exigui , fi qui- dem fuerit .v <^ i, vt fine notabili errore reiici qucant. Atque hic notari conuenit , fi pro denomi- natore fumatur binomium i — aj:, quemlibet nume- ratoris terminum ad niliiUim rcdigi poflc ,• fin au- tem denominator ftatuatur trinomium , bini termini fucceffiui numciatoris in nihilum redigi poterunt ; terni vero et ita porro , fi pro denominatore qua- drinomium vei multinomium affumatur. Tum ve- ro etiam perfpicuum e(t aduergentiam eo fore ma- iorem , quo longius numeratoris termini euanefcen- tes ab initio dillent ; vnde fequentia problemata re- foluenda occurrunr. Problema I. 5. Binomii pote/iatem (1 -\- xf transformare tu taJem exprejjioncm maxime ionuergemem : I , , ,,\n i_+_Ax-(-BJ:'-+-Ci'-(-Dx*-i-Ex'-4-Pa:*_(- e)c. (i-hAi — :ir^x denominatore exijlente binomi'). S o 1 11 1 i o. Si poteflas (i H- .v)" in feriem euoluatur , ca- que per denominatorem i — a a* multiplicetur , orie- tur fequens aequatio conficienda : o — I IRRATIONALIBVS. 139 '• 2 I. 2. j ,. 2. j. + >• 2 !• 2. I -1-A-B- C - D -etc. lam prouti numeratoris terminus vel fecundus vel tertius vel quartus etc euanefcere debet , fequentes coefiicientium determinationes obtinebuniur : I. Si A =: o , habetur flatim a — ? j et (equeiites numeratoris termini erunt : !• 2 "~ I. !• 3 " I. :• !• 4 II. Si B — o, habetur ftatim a — 2^=-^ , et pro numeratore : ^_7M^. Q—^ ifn-t-iKn— ■)• p ■— - _ 2fn4- QnCit— iXrt-z) ^ j. 2 !• 1. 2. 3 ' 2. 1. a. j. ♦ III. Si C:i::o; habetur a — l^=-i. et pro nume- Tatore : y^_ i(aH-ij. j^— - I Cn-f-i)n • ]^---_ i (n-i-i)n{i—i](n—2) ^^^^ 3. I ' 3. 1. 2 ' 3. I. 2. 3^ ♦ IV. Si D — Oj habetur a — ^-=-* et pro nume- ratore : A ~ ^^"~^~') • B — ' ^^ -+■ ') " • c — '-"->- '^"^" — ') gf(» ~~ «. I ' 4. I. 2 ' 4. !• 2. 3 Hinc iam in genere patet , fi quilibet alius fequen- tium terminorum in numeratore debeat euanefcere , haberi primo : « =: "-=-" et pro numeratore : A — ui(n-f-i) . ■ro _ (u— i)(n-4-i)n . r" — (cu — ;)(n-f- i)n(n — i) - (u)-f-i)i' (fcj_j_i) I. a ' (w-f-i) I. 2^ 3 J) ((!) — 3)(n-t- On(n— i)(n — 2). p-_(i.i— 4) (n-f-i)i(n— Qfn— 2X1— 0 '""(W-f.l) i. 3« }• 4 ' W-f.» !• 2. 3. 4. 5 S 2 cuius X43> DE qVANTlTATIBVS cuius progreffionis lex e(l manifena. Coroll. I. 6. QuoJfi iam in numeratore termini , qui euanefcentem fequuntur , omittantur , habebuntur ex- prefliones finitae ac rationales continuo propius valo- rem (i+a)'* exhibentes; ita fi primo ponatur A rr o, habebitur ifta appropinquatio : quae etfi a veritate parum recedit , tamen magis aberrat quanri fequentes. Coroll. 2. 7. Sit B ~ o, et fccundus cafus praebebit hanc appropinquationem : (H-^)" — I 2 2 Hinc fi fit » ~ t erit : 2 V Coroll. 3. 8. Sit C — o , et tertius cafus dabi-t : I +d!L+-l] X -\- ' ^" -*- 'l^ A-* j_(«^)^^. («-f-.v/ I — ^-^:^— ^' A* n vnde IRRATIONALIBVS. 14^ vnde fi fuerit nzz^ erit : J V Coroll. 4. 9. Sit D rr o, et quartus cafus dat : 1 tC"-t-') jj. I i (a-4-i )>i ^* , I [n-4-Onfa— i^y» ideoque fi « = ?^ erit : (i + ^j i^Tyi^I^ 4 ¥ vnde perfpicuum elt , quomodo haiusmodi formulae vlterius continuari debent ^ quamobrem plures hic pon exhibeo. CoroII. 5. 10. In gensre autem habebitur haec forma: I 4- (tJ-'Xt-f-')_y_i_("-»V"-4-')?jy^.i_ (±:l)l^r+i!Hl=i.)jjr*-UetC. {i+xf'-. X — Ca-a^-H ') j^ vbi pro (I) fumi poteft numerus quicunque ; haccque expreflio fi iu infinitum coniinuetur , non folum ad verrtatem appropinquat , fcd ipfum yffi^ip V4|pr rem formulae [i^xf exhibebit. ' ■ , C o r o II. (5. II. Si fumatur w — «-4- i denominator in vnitatem abibit , orieturque nota feries Neutoniana: • S 3 (j+^) 14-2 DE QVANTITATIBVS ( I + A-)" =: I + T .V + "-^-' X' + n^n-,)in-.) ^» ^ ^ j^; Sin autem pro co capiatur numerus infinitus , erit: ,[n±i^x+(iL±^hx" +^''-^-'"^:!:=i-'jt'*+ etc. (14-:^)"=: ; •■^ '-^-^ cuius ratio quoque ex binomio Neutoniano eft raa- nifefta. CoroII. y. 12. Si ponatur oj = « Iiabebitur: (i+.v)"=: , (n-4-TKn-Oy. fn-^-0'n-;)..' , in^. )'n-iXn-sy^ (n-i-< )(n-. )(n-iy.n-t)_y*^ gj.^.^ I - S A' vel numeratorem et denominatorem per n multi- plicando : I (_n-fjVn--i_) y, , (n-m)nfn— 0 ^.^ , .-n-H,)n(n— i}(:i— 7) .^,' j_ gtC ( I + ^)" == — — '^-^ ' '- n — X Coroll. 8. 13. Si ponatnr ojr.r, fiet denominator -.j;-w, et obtinetur : (i 4-.v)'*r::: I^ ''t.2^ I ' 1. 5. J * I. J. 3. 4 ' ' X — n fimilique modo ex hac exprcflione innumerabiles fe- ries deduci poffunt , quarum ratio aliunde non tam facile perfpici poterit ; vnde hacc inueftigatio do<5tri- nam ferierum non mediocriter amplificare videtur. Problc- IRRATIONALIBVS. 143 Problema II. 14. Binomii potejlatem {i-\-xy- transformare in huiusmodi feriem maxime conuergentem : denominatore exijlente trinomio. S o 1 u t i o. Refoluta poteftate (i-Ha;)'' in feriem more confueto , confici oportebit fequentem aequationem: O — I + ? .V 4- ">'^— ^ /+ njn-^M-j) ^» , n!5-i)(n-2)[rt-.)y^ . g j^,^ ' I. 2 ' I. 2. j I. 2. 3. + + g 4. -"g ~ li!?_-^g 4.etc. * * 2 -i-A-B- C - D- etc. atque hic denomioatorem i— aAr4-§x* ita definire licet , vt in numeratore bini termini fuccefliue eua- «efcant , vnde is eo ma^is conuergens reddetur ; I. Sit k — o et B=:o, erit a=:? et g-^^^-rhJ.) vnde habetur C ~ - ((«—'! (t — 2) (n— i)n 1, (l-^-i^BX _ I (Ti-^-aX?t-4-i)ft 2. J 3. 1 \. 1 ' J. 1. 2> I •p — n(n — i],U— i)fn — 3) (;i— i^n I «(n-t-Oj — 2(7t-H-):rt-f-i)n(ii--ij ' • 2 3. + 3.1 I. 2 4. 1. 2. 1 , 2 g _ nfn — ' _- (n-t-2)^-i-t-:) ' ), 2 I. 2 3. « i. * P 7i(a— Ofn — 2)/(n — 3)[n-r^0 _ fa— 3X^—2) 1 (n— rrn— 2)\ _ (n-f-;):n-i-i)i(n-i';n-?) ■^ K j7" 3 ^ 4. 5 4. 2 3. 4 ' "" 2. 3. <• 5. 1. 2. 3 • Quia autem fufficit terminos , qui euanefcentes an- tccedant, nofl> , fequentes non determino , quia co- rum lex deinceps patebit. IV. Sit D n; o et E — o, erit pro denominatore: 3 ' 3. 4 \\\nr 5 g -(" — ?)jt I (n— 3)(n — .)__p ninc g-_(a— ^(n-2) ♦ 4. s "~~ 4. 5 at IRRATIONALIBVS. f45 at pro numeratore reperietur : A » ^ »(t — s) . — 3 (q -4- t) ^ ' 5 ■ S T> njn—O ?n (>!—;•) i (n— 5j(n— i) f (n-H;)(n.4-i) ~~ 1. 2 I. 5 4. 5 5. ♦ /-i n/(n — )w(u — 1) g -_. co."(»— !l(io — 3).(c) — z^ji^ — Ar) (n -f- 2) (n -<- r ) n (n — r } (n — 2) '• 2. J. 4. S * (W-f-2)(c»)-f- l)(0(CO l)((0 — 2) etc. vnde etiam coefficientes terminorum poft euanefceu- tes fequentium facile formantur. C o r o 1 1. r. 15- Qnando pro denominatore in genere eft : Ct "ZZ - (" — 1^) ef g — (_n — (oj (n — (0 -(- ' ) •" w -f- 2 (to-f- 2) (w -f- i) Tom.XjVIII. Nou Comm. T pro 145 DE QVANTITATIBVS pro numeratore habebimus : T> tofco — 0 _^ (/t -4- i) fn -4- 0 p fco — i) fcj — a) (rt -4- ;) (n -t- I ) n (uj _f_ i);u)_(_ i)" I, 3. 3 T) — (co — ?) (0) — i)^ (n -;- i)(n-4- Qn (n — i_) (Cd -+- sJ(OJ -»- l) 1. 2. 3. ♦ P .^ fgj — ;) fm _ «] (n-i- 0(n -f- Q nfn — QCt — i) " (CO -4- 2j (CO -+- l)* !• 1' 3' *' S etc, quorum valorum analogia ad eos, qui in primo pro- blemate funt inuenti , iam fatis luculenter ordinem fequentium , vbi denominator pluribus conftabit ter- rninis , dccbrat. C o r o 1 1. 2. \6. NeglecHiis terminis in numeratore poft euanefcentes fequentibus , habebimus approximationes fequentes : I fi cozro erit ( H- ^v)'^ - T^.rfr^E^rrr^ quae quidem in hoc genere plurimum a veritate difcrepat. C o r o 1 1. 2' 17. Pouamus w ir i , eritque proxime : IRRATIONALIBVS. 14T fm autem w — a erit adhuc propius;- /•_ I y.^1 » f; L— — et fi oj n 3 erit I 1 ^("H-Oyi. ^(''-♦-'Yn-f-i) y y I (Tt-4-»Kt-f-i)tt ./ fi u — 4 erit I -t. '^(»•4-0 j[» J_ 6jn-4-2)(.n-+.j ) Y Jf 4- i^i±2i[."-+- ' '« _y' i (n-t-i)fn.4.i)n(n-i)y* ii-]rxf=: _^ 5. 1 ' e. 5. 4. 3 6 6. S fi M — 5 erit (i 4-a')'' — 7 ' r- 6 7. 6. 5 7. 6. 5. * ' 7. 6. 5. ■(»3 ' -Z"^- 5; ^y ^ (:LZZ-l)I'i^)_^,_^ ^ 7 ' r. 6 Quae exprefliones ex coefficientibus potcflntnm bino- mii expedite \'lterius continuantur. Quo iongius \ero continuantur , eo minus a veritate aberrabunr. Coroll. 4. \n 18. Generaliter autem hanc formulae ii-\-X) transformationem commodius exhibere non licet , quam \t dicamns effe U+a; _ -____g_ exiftentibus coefHcientium "valoiibus : T a Azz 14» DE QVANTITATIBVS A fto-4- i)tJ n -)- a ^ — i{l — co} (U) -f- :J ^U) -H i)* 1 t>)-+- j T> to (u — I ) (n -4- a)(n -|- i> g — (n — uiKn — co -)-'_) (u)-f- 3);to -f- i)* I. 2 (w-H2)(wH-i) p (CJ — t)fu) — a) (n -f- ;)(n -t- i)lt (u) -H :)(u) -+- :)* '• »• 3 T-\ (uj — ;)(U] — i)^ (n-)-i!)(«-t-i)u(Tt — i) (U) -t- jXu) -H ' ) ' • '• !• ♦ jj- (oj— 3)(u) — 0 (n -t-;)/n->- i)n(fi — i)(ii — ,) ■ (w.+_:)(u)-t-i)' !• «• 3« 4. 4 etc. Coroll. 5. xp, Hic iteruin patet , cum quantitas w ab arbitrio noftro pendeat , fi capiatur (1)—«, prodire « — o , 6=0 et (i -^ :»ry z= I + 1 ^-h^-'.«'-V-^^"-=^A'' + etc. Sin autem fit oa — co erit a — — 2 et S—ij vnde ( I, -1- :»:)« ::^ l L:_l l_=.^^ L (i + xf-^*' feu (i + AT^^rr, .» — , cuLUS ratio eft manifefia, Problema IIL 20. BinomU potejiatem {t-\-xY tramfomare tn buiunnodi feriem maxime comergentem : (•1-4- xf' — I -+- A g -f- Bx»-<-Cx^-<-Dx^_f_E je^ ->- C x^ -t— ffc.. demmiiiatore exijieme qmdrinomio. Solutiot. I R R A T I O N A L I B V S. 149 S O 1 U t i O. Sequens ergo aequatio conflrui debet r orr I + ", .r4- ^-^^ a;'+ '^^''- ^^'^--li a;*+ "^"-^ >^"-^l!^) ^.-^4- etc. ' ' I. 2 ' 1. S. J I. 2. 3. 4 4. e + « e + !lC!ltij g + etc. 1» 2 — y — ? y — etc. — 1 — A— B — C — D — etc. Hic iam effici poteft , vt in ferie coefficientium A, B, C, D etc. terni fuecefliui euanefcant : Sumantur ergo terni quicunqu^ fucceffiue euanefcentes ^ et ob'- tincbunrur tres huiusmodi aequationes :: _ (n-Ui-i-2) g , (n-Ui-i-i)(n-b}-i-i) ^ _ (;t-M-4-?}(rt-(o-f-i Xn-u) — ^, r co — I ' (o) — i)(ai— f-o) (w — 0 fw— o) (oj-t-i) _. (n— cj-f-0 g"4.(" — cj-}-i)('! — to) ^ (n— cj-t-i)(fi-uj)n— o — i) Jf 10.. ~ co(oo-Hi) 01(0) -t- OfiJ-f- -) __ (?i — cd)^ g 1 fn — C0I (n— (0— I ) ^ (ra-co:(n-co— I ) (n — co— 2) • ui-j-i (to-hjKw-t-^i (w-t-'Xw--i-2Xw-|-3) Hinc dif£rentiis fumeadis habebitur : Ot_rb-lI § — 'J^rhllJ^^^rf^drL^ a 4- 3 (nH-i)(n— co4-t)(n-co) Q, (co— i)co (co — ijcojco-f-i) (bt — i)co;co^-i)(co-f-2) (n-j- 1) g __ 2 (n -4- ■ ) Cn — (o) ^ ■ 3 fn-t-i ) fn— co)(n— co-Q _ (0(CO-+-') W(U)-J-i)(C0-fc.2l W(W-t-l)(((H-2XUH-3) — ~ £ue : g _ i (u — M -t- 1 ) ^ , i(n — (0-4-0(71 — (o) — Q CO-t-« (C0-+- l)((0 -j- 2; g _ g (?t — to) , 3(n — (o)fn — co— 1) , — _ w -»- 2 "T* (co -f- 2) (co H- 3) " quarum aeqaationum differentia dat : I (n -4- ») ^ ^ 2. 7 (n-f- a^fn — (o) — q. (w-J-iXw-t-2) (w-f. iJ(u-J-2)(W-t- 3) T 3 hinC' vX5o DE qVANTITATlBVS hincqne fit : a — 31'! -^) . g — 3.'r.-u];frt-LO-4-i_) . „1. -, — (n-c.jyn-ui-4-' '(«-u)-f-^^ w-)-! ' (co -(-'.) oa-i-!) ' • (io-f--.Xo3-H0(t>J-+-i) His autem valoribiis pro denominatore inuentis pro mimeratore reperientur 2 A CO 71 -t- I co -f. ', ■ 1 T^ 01 tij I > (T-t- ,> fn _f_ i) (W-HjJio-H;)* r. 2 P CJ fio — 0 (cj — :) (rt -f- t') (n -f- i) (w -t- 1) {U'-(^: (Oj-Hsj (.'"'-(-• j' '• 5» 3 •r\ {[>i — i)fco — ;) [01 — 3) (n-t- 3) (rt -t- ;) (n -4- i)n ^ (OJ -J- i)(U) -(- 2)((<) -t- 1)* I. 3, 3. ♦ E — (co — ?) (gj — 3) (bJ — ♦) (n-f- i)(n-H ;)(;t-)- O n(n — i) (U -f- :)(tO -f- 2)fuj -f- 1) I. ;. J. 4. S P (to — ^) 10 — t) (co — s) (n -f- 3)(n -f-;)(it-f- Qn^a.— i)(n — ?) (co -f- 3) ,aj -f- 3) (tn -f- I J i . 2. 3. 4. 5. 6 etc. ac denominator formabitur ex his valoribus : CO -f- 3 g 3 (n — oj)/?t — cti -f- 1) ' ((j _)_ 3) (00 _(_ 2) V (n — co)(n -co-f- i)(n— cj -f- ») • lOJ -f- 3j(C0-f- 2)(C0-+- i) ^uibus fnbftitutis erit / _ _i ,,\ft — i-f-Ax-f-B3c'-|-CJc' -+■ D X* -t- E JC^ -f. */e. Coroll. I. ai. ManifeftuT) hic eft , quicunque numerus integer pofitiuus pro w i.flumatur , in numeratore femper terminos ternos fucceftTiuos in nihihim abire. Ita ft fit w z= o erit : I RR ATIONA LIBVS. 151 1, ■!. 5 vnde reiedis in numeratore tcrminis , qui port eua- nefcentes (equuntur , erit proxime ; I (l -\-X) ZZ _ " r _i_ " (" -f- '■^'' 7t (fi -j- I ; (n -I- 2 ) Y»' '■•»'■ I. :. 3 C or o 1 1. 2. 22. Simili modo ponendo oori erit proxime: 1 ^-iLlilJ X (i-f-.vf^ ; (n — ' r4- Mrtril )" r' _ (n— infn-f-i) * 4. 3 •»• 0. 2 at fi fumatur w — 2 erit T 4- ' ("H-O ji^ 1 (n-f-^yn-f-;) ^,' /- I y "* — ^ s- * ^ X -t- . ; — ^ ^ 3tii— ,' ^ , 3(n— 2 )(>; — . r^.^.^ _ (ft — )(» - 0 n 3 5 5. + 3, 4. 3 pofito vero w = 3 erit "^ "" I — ^i"— L' V -Y ^("— -'X^— -) .^.^ _ (n— -Un— Ofn— I ) »• £ CoroII. 5. 23. Ponrema hacc formula icieo eft notatu digna , quod numcrator et dcnominator pari termi- norum numero conftat , et quod slter in r.lterum abit, fi exponens n fumatur negatiue. Haec ergo ex- preflio conferonda eft cum fimilibus ex problemati- bus fuperionbiis ortis : i—t^r^^AT !^i4-^: 152 DE QVANTITATIBVS (IH-.V)— ^_,,„1,^^ ^,-^,^ ...(§. 17 ) ynde fimul ordo huiusmodi fbrmularum facile col- gitur. Problema IV. 24. Binomii potejlatem (i-f-.v)'* transformare in huiusmodi progreffionem maxime conuergentem x denominatore exijlente niultlnomio quocunque. S o I u t i o. Si folutiones praecedentium problematum coti- fulamus , Itui attentione adhibita inde fequentem fo- lutionem generalem colligimus ; A = u . r^- ,(p ico-(-Cp)(cD-^cp— I)* I. a r^ — colcu^ — Ofgj — t) (a->-(|));n-f-{t) — \)(ii-t-^—7) (cD-t-^.(to-|-$ — i)(oj-»-CI5 — 2/ 1. I. 3 ■rj co fgj — 0(to — ;'((») — ^) (Ti-t-(Il)(n+v|?-r)(>t+(p-?)(fl-|-$..ri (cjj-t-(P)(tjj-(-(p-iXtiJi-Cll-j;(aj^(J)_3/ " T. T. 3. 4 etc. deinde vero pro denominatore : — (P :n — co) "■ . (co -f- (p; g _ (1)[CD— ■ ) (rt — to) (>!__ td -f^) >. 2 (lO-f-$)($ _,_(p_,) Y — ^i^jniMrrj)^ (rt_— to) (n — co-f-i)(rt — co-»- ») * 1- s. 3 * (co-t- (p)(co-f-(I)- i)(to-+-Cl) — s) *^ -- $($— ._i)(Cl)— 5)((P_3) (r_co (n—co-t-. ) (r— to -i-,)(>i--co-f.?) '. ». i. ♦ ' (co-f-(p),io-f-(f — 'Xt^-»-Cp — sjiio-t-^? — 3) etc. qui I R R A T I 0 N A L I B V S. t$a qui valores ad praecedentium formanii proplus redu- cuntur vt fit : <^ n — m -^ 3>fJ) — i)i(t) — t) frt— to)%>~!«>-H ryn_(i)-t- x) • ■($+w;i(pH-oj — .)($-»-w — ;)" I. 3. j. J- (p (7) — I ) ((|) — 0 (^. — ■;) (rt-a)Vn..w-H ■ )(n.-(-cu- 1 ^((pH-uj-s) (;p_»-u)-j)- ,. i. X. ~ etc. Etfi autcm ex hac lege etiain denominator in ?nS- nitum continuari poflit ; tamei ex principio , vnde eum deduximus, pacet eum non vltra tt -4- tj) fn -4- co - e) " ;tjjf2C»;-0 I. 2 f' tu(ui ^l ) foj— :) [Tt-t-M^ fn.-(-co-^i) (lt-+-0>-») •~ j to ( ■ll ) (210 2; , . j, I Tj , (0(0) — )((,]^0 (u— -j) (n-t-bj' (rt-t-M. — 1) (n-fjo— i) (n-m— ;) etc. a (0 < g co [hi— 1) (n — (o)(n — tj -f-i) """ «(0(;(0 — 1)* I. j ■ (o[to — : i'(to— ■•) (n — (o) (n— (o-f-i) (n,— < ilhimque ergo per hunc diuifum praebere (i-+-a)*. Simih modo fi ponatur can i» erit pro numeratore — I n -»-» — a» -■ B-o C, — _ I (h-i-iMk-O * I. 5. I J) — - _ 3 (n-t-i)n(n-'Xn--!) * i. j. ?. ♦ g — _ s_ (n-)-i)it;n-i,(tt-3)(n-3) * I. X. 3. 4. f pro denominatore •1 _ - 1 n . a — i. - i)n(n-n) $ — _, J_ ^" — )>2(B-)-iyn-;-3) '* 1. J. 3. 4 - __i (n-i ]n(n-)-i)(n-f-;)(n-t-i) * >• 3. 3. 4. S etc. etc. atquc hinc colligitur fore numeratorem ~l + i(«+ i).r+(5-if«-- i).;»:Xi+A")'* denominatorem —--;(«— i):i'+(5+i(«+ OaXi+a-)-* quorum ille per hunc diuifus manifefto praebet for* mulam propofitam (i -\- x)^. Sin autem in dcno- minatore termini Jitteris y^ $, e etc. affedi omit^ teren- IRRATIONALIBVS. I57 terentur, tum in niimeratore loco fradionis '^-^^-i vnitas ftatui deberet ob legem fupra flabilitam, vnde valores C, D, E etc. duplo prodirent maiores ; fo- retque numeratoris \alur ~{i—lin—i)x){i+x)% denominator vero —x—l{n—i)x qua fradtione ite- rum veritas obtinetur. Videamus ergo , quomodc) per huiusmodi formulas tam quantitaies radicales , quam exponentiales et logarithmi commode vero proxime exhiberi queant i quando quidem conftat tam logarithmos quam expouentiales quantitates ad formam (i-4-a:}'' reuocari poflTe. Frobrema V. 51. Radicem quadratam ex quoms numero noiT- quadrato propofito per formulas ante exhibitas- pro- xime afljgnarec S o I u 1 1 a Sit numerus propofitus non quadratus — «rfl+^,, et ponatur ^ — : ^ erit a a+- h tz a a {i +-x) idecH I que V (a a -^ b) :=: a {i ■+ xf^ Habebimus ergo n ~ Tj. et ex praecedente problemate formulae confinuo ma^ gis ad V{a a -^ b) appropinquanties tnmt i I 4-i - ^" ^ ' ■ ■> - b j_ 2. I 3. c b^ • -" — • —r 4.] 2.4 a* V 3. y(aai - 1 2 3 b i^ 2. I 3. c b^ ' ♦ " a* 4.J 2.4 a^ 15* DE QVANTITATIBVS ctc. Euolutis autcm his fadoribus et pofito brcuitatis crgo ^ — * courequemur forraas ftqueines : /, ,, I+u'-l-?.J^A'+/i^' ctc. Sin autem ponamus 5- -zi^y feu j' =: j-|^ erit sy -+- yy 3 yiaa->tb)— '_Hto:r»^i7y vrt^o^irtJl! <, r \aa-\rO}— .^ oH-.«>T+^5y-*-'»>*H etc. CoroIL IRRATIONALIBVS. 155 Coroll. I. 32. Si formularum harum numeratores et de- nominatores aitentuis contempkrnur , non csifficul- ttr obJfruajimus , vtrosque conllituere progreflionem recurf^ntem fecundi orainis , et qucmlibet terminum ita dtpendere a binis praecedentibus , vt fi terni tcr- mini ordme finr P, Q,R, femper fit Rn ( i -i- sj/jQ^ •^yyl^ feu fcaia reiationis habeaiur i-t-ajj-^jy» Coroll. 2. 33. Si pro y ftatuamus valor^m ■— ^ et nu- meratorem denominatoremque a fradionibiis libere- mus , habcbimus fe-iuentes formulas : !!' \aa-irO) — ,ss »• _^. 4+» 0« a _^. 2+0 a* 6' -♦- »00» 6^-^ 4* etc Coroll. 2' 34. Tn his formulis iterum tam numcratore» qnam denominatores feriem conftituunt recurrentem, cuiu« (cab relationis eft 2(200+^))—^^» ita vty fi P, Q , R denotent trcs terminc» le inuicem exci- pientes , tuturum fit R =: 2 (2 « ^ a hincque erit R zr (^ -f- 2 j) Q — j^j P* , Coroll. 5. 35. Hae fradliones adhuc commodius exprimi pofTunt hoc modo : Vlaa+b)^''-^-'-^^^ a V ' ' z -i- zy — y-i V (a a 4- ^) — 2^ -f-6>z' -4- icj.' z-f-4y -f-y(z' -4.« y g4. i>t) ' z' -»- 6 ji z' _)_ io;yi z H- « j^ — y [z^ -+. * y z -i- sy^ ) y (aa-\-k)~ E'-^«J>'^'-^," •y'z^-f-?o3^»H-5.>'-)-7{g^-HS oiz^H-icy »4.«y») - etc. C o r o 1 1. 6, 37« Pro his fradionibus formandis (\iMcit Tnii- cam hanc (eriem conftituifie : quae IRRATIONALIBVS. ifft quae pariter eft recurrens ad legem R — (s -}- iy)(^ — y y P. Formata autem iiac ferie erit proxime y (^ ^ _|- ^) ~ 2:^^! a , quac fcilicet fradio ex bi- nis termiais fe immediate fequentibus illius feriei fa.- cillime formatur. Exemplum i. 38. Radicem quadratam ex 2 proxime exhibere. Cum fit aa-\-bz=:'2. erit a~x et ^— i, vnde -|_ — i— |-; ergo>'— I et s;z=4, atquc s + aj'^:^^. Quare ex fcala relationis RzrSQ^— P formetur haec feries recurrens : I,- (J; 35; 204; II 89; 5930; 4039I.-.-P, Q., R et fradiones ?^p ad Va continuo magis appropia- guantes funt : "1/5 — ^» *1 • V^ ' '_'?'• S"S." 47^51 ' ■* — — I) 29) J5S » 981 ? S7 + I? 3345f' Exemplum 2. 39. Radicem quadmtam ex 3 proxime exhibere.- Cum fit fffl-hZ' — 3, ftdtuntur a— i, erit ^—2; et -^ — I ~ 3 vnde fit ^ — i et 2 = 25 ergo z-\-iy — ^. Quare ex fcala relationis R — 4Q— P fbrmetur haec feries recurrens : i; 45 15; 5 propofito per formulas ante exkibiias proxime ajfigncure^ S o I u t i o. Sit numerus propofitus non cubus —a~^ B^ €t ponatur ^-3—X crit a ~i- b — a (1 -f- x) idcoquc a i y {a -\- b) — + so-o ^, s , ,. 81/4- 135 «*^4- 43. Simili moJo formulae pro extradione ra- dicum altiorum poteftatum formari pofTunt. Ita fi quaeratur y^a^ + ^) , ponatur ;t — — et « zr ^ , tf™ hincque habebitur : •^ma^^-^-^m — i)b quae etiam fufficere poteft ad radices quantumuis exade definiendas. Problema VII. 44. Ver formulas fupra inuentas proxime expri' viers hgarithmum cuiusque numcri propofiti. S o 1 u t i o. Sic I -+- .T numerus propofitus , et conftat eius C I 4. xY — 1 logarithmum hyperbolicum effc /(i -}-a:)— ^^ exiflen- I R R A T I O N A L I B V S. 165 txiftente « rr o. Quodfi iam in formulis fupra in- ventis n fpeftemus vt numerum infinite paruum ; habebinuiSi : i+l'^2,-n}x + '^~j'^i—ln)xx (i+xT=z ^+^^3+«).r + ^:f3+.!>0-V^+,^-;(i+y fTu^ i + l{3-}i)x-tf;l{:i-in)x+l'-^\[i-Vn)x ^ '+H(+-«>+^;(<5-^«)^-+riH(^-^^«M^+i~^;(i-^i«;^ etc. Quodfi iam hic ponatur « rr o , habebimus pro iii -\- x) fequentes approximationes : V I{i+x)z=: i + Lx .T + ^VA" J. y X + XX +SoX ^^^'^''^-1+ix+ix'TlV' /(i +x) x+lxx + lix^+l,x* l + 2X + ?,XX + jX' + 50 Of* etc. Vel fi ponatur :v — ^- , quoniam fra^^ionum loga- X 3 lithmos i6.6 DE QVANTITATIBVS rithmos potiflimum indagare conuenit , et fradioncs partialcs toilaiitur , fiet 6 n 1 -+• s m n -t-m m 60 m* n . Ifl 4- !IL^ — «.io m Ti' •^ "^ B-' 4jon* -Pr -f-«Jom*fi»-(-t6om'n-f.ism* -f- 840 m n' -+■ s+o m* n' -^ 120 m' n -^-ffm* etc. haeque fradiones tam prope accedunt ad vcfUOT va- lofem /(i-j-^), vt feriei vulgaris /(i -i- ^) = ^ - ^, -4- ^, - ^ etc. ingens terminorum mimerus capi deberet ad parem approximaiionem obtiuendam. Coroll. I. 45. Ita fi logarithmum hyperboUcum binarii defideremus , ob /a — i et o — i , fequentes prodi- bunt approximationcs : ; o — J . 5 . •»' . "5j , r«tsi * •* i 1 ij 1 i»5 » «9iK » L5*«J quibus fra(flionibus in decimales contierfis , cum Ct / 2 r= o, SOLVTIO PROBLEMATIS DE INVENIENDO TRIANGVLO IN QVO RECTAE EX SINGVLIS ANGVLIS LATERA OPPOSITA BISECANTES SINT RATIONALES. A u c to re L. E F L E R O, 1. Vocatis ternis Interibus 2 ,hb—hh-\-^cc^ Cum autem {\\. ff—ihb-\-ii.cc—aay habebimus, ff-\-:^aazzgg-\-%hb — hh-\-:^a—i{aa-\-bb-\-cc). 3. Summa porro noftrarum trium formularum praebet : Y a ita 17« SOLVTIO PROBLEMATIS ita vt hinc iftae ternae formulae refultent : ^ gg-\- ^h h -ff—. 9 a a s.h h -\-zf f -gg — g b b i.ff-\-igg-hh^9CC. 4. Quae cum fimiles fint ipfis propofitis, cod- cludimus fi pro lateribus 2 a, 2 ^, 2 £• fint redae bifecantes /, g, b tum pro lateribus 2/, 2^, ^h fore redas bifecantes 3 )~b'i —1 p^zl^^ frfi -4- q — ypPl — P^ -^-iP^ ^ 3 I _)_2 p__p p kua-^b-\-czz^p-\-2q— 6pq. 7. Cum igitur fit : n-^b—^-^p-^-q-pp-qq-^pq-^-ppq-^-pqq crit c ^p-\-q-\-pp-\-qq-zpq-ppq-pqq ficque binis formulis fatisfit , numeris <7, ^, f ft- quentes valores tribuendo : fl— I -\-q-pp-zpq-ppq-\~2pqq b-=: i-\-p-qq-2pq-pqq-\-2ppq C —p-^-q + lp-^-qq-^pq-ppq-pqq fnde cum fiat fl!-|-^ — f "24- 2p-\-zq—6pf b-czzi-q-pp-2qq-i-3pp9 a — CZii^p-^q — 2pp-\-Spqq Y 3 habe- X74- SOLVTIO PROBLEMATIS habebimus : /—i^2p-q+pp-iqfi-^zpq-:ippq ^^ h-c-\-f=2(i-\-g){i-{-p-iq) g=Zl+2 q-p+qq- zpp^ 2pq- 3pqq a~C-\-g—2{ I +/ ) ( I + ?- 2p). 8. luiuibit hinc eti.im fequentes valores eli- cuifTe : a^h-C=l-2pp-iqq-ipq^2ppq\-ipqq—z{i-p){i-q){i-\-p\q) b-i-C-aZ=2p+2pp-2pq-^pqq+2pfq =: 2p(i + ^)(l-fp-2^J a-\-C-b—2q-{- iqq- 2pq-^ppq-\-2pqq = 2 ^ ( i +/))( I -\-q—2p) \bi cauendum efl , nc harum vlia enanefcat , quia alioquin triangulum periret , cxcluduntur trgo fe- quentes valorcs : p = 0,q = o,p=±i,q = ±^,p-\-q--i,q=:^^,p=:f=tl. Praeterea vcro etiani excludi oportet i+-p+-^— sp^ ne fumma laterum cuanelbat. Tum vero etiam no- tetur effe : a-b-=iq-\-p^qq-pp-\- ^pqq-^i ppq — iq-p^d+p-^-q+^Pq) g-J-sq-sp-^m-m-^pqq+^pp^-^iq-pXi+p-^^i-p^) tandem vero eft aa-\-bb^cc=2{ i -p-q+p-q^-pp-pq+qq) ( i+ 2('/>+^)+f/'+?)'+ ^ppqq) feu tftf+M+rf=i((2-p-^/+3(p-^)')(i+-p+?)'+3PW). 9. Supereft igitur vt tertia conditio implea- tur , quae in hac formula continetur : hh-(a-hbf-\-{a-by--ac={a-b)\(a-\-b-\'c){a-\b-c) vbi fi valores modo indicati fubflituantur , coIJi- gitur : hh={q-py{i~^p^q-\-5pqf^j^i-p){i^q){i^q){i+p+q-Spq) quas ANALYTICI. X75 quae euoluitur in hanc formam : hh~9ppqq{q-pf-v6pi[p+q)ipp-^p(}-^q(i) quae fecundum poteflates ipfius q difpofita fit — 3(i + 2p-2/)p + 6/)'-3;)')^' + 2(2-pp-3/)p+ ii/)'4-3/>')? + (2+p-pp)\ 10. Alia methodus hanc aequationem rcfol- vcndi non patet , nifi vt more folito pro h eius- modi exprefiio aflumatur , qua fubftituta valor ipfius q per aequationem fimplicem determinetur. Tum vero conftat , quomodo vno valore inuento ex eo continuo plures elici queant. Ad minores autem va- lores eruendos , generatim notetur fi fuerit fequentibus pofitionibus negotium confedum iri : .'. C h= Aqq + lq + TS. fit y = j^4if^-l^, 2". fi A = + A,?+J-?-t-E fit q-^JL=JlJ^^ 3'. fi h— A«»-t-!.« + -£--i^ fit9 = ."'"-*''°'-'''*'- ^*A^ 2A 5A* 2 A 2X jA* ^ — '♦BA(B(BB— AACj-l-zA-^D) 4-° fi b CEE — DD^^ 1 P r7 I F prif n 4EE(P jDD— CEE)-f-7BEM •*• " ^— T^ — ?y + E^+i^ erit q pdI1ceeF-*m£^ II. Cum autem cafus fupra exclufi nofirae ae- quationi fponte fatis ficiant , et pro h h quadratum producant , ex iis nouas formas fimiles elicere licet, vnde deinceps noui valores idonei pro q erui queant. Sit ilS SOLVTIO PROBLEMATIS Sit ergo primo q ~ i 4- A' eritque hh-ii-p^x)\^-\^pHi'^2p)xy-^x{\-p){z-\-p-\-x){i-p-\-{j.-^p)x) quae euoliita praebet hanc fbrmam + (-3 + 9 2f+xo/)p-72p*+9p')^** + 4(i-/))(-i + i2p+io/p-6p')A'* +-4Ci-p)'(i + 2p)' tum vero cft <7 + ^-^ — -2A-(l-p)(2+p + .v) ^ + ^ — a — — 2p(2+A)(i -p+2 x) fl + c-^= 2(i+p)(i+a-)(2-2p + j;). Praeftabit autem quouis cafu , quo loco p determi- natus valor afTumitur , lubllitutionem in priori for- ma facere , ac tum denique euolutionem inllituere. 12. Sit igitur fecundo ^'ii:— i — p-f-A", eritquc ^^ = (i+2/)-^)'(3p(i+pj-i + 3/,)x'/+4A-(i-p)(2+p-^)(3p(i+p) 4-(i-3/))ar) atquc a-\-b-c— 2a:(i— p)(2+p — a*) b^-c-azz-tipip-x^i^i-^-^p-zx) a-^-c-b— 2(j+p){i-\-p-x)(sp-x\ Sit tertio q — — j ■+- x eritque hh={ I +P-aO'( 2p-( I +3P) -t)'+4( « -/)( 2 -.v) (p+x) (4p-(i -3p) X) atque <7 + ^-f=:2(i -p)(2-jf)(p + .r) /- + (;-«— 2p.v(3+p- 2 .i) « + f-/;^a(i+p}(i-.v)(2/>-jr}. Sit AN AL YTICL 177 Sit quarto q zz Ldlzi_±i£ ericqns i6hh=:[i -p+x}'( 3( I +p)'+( I -'rZp)xpr S ( i -PX t-p-x){ 3 + 3/> "tx) (3(i-pP) + (i-3p)^j atque /2 4-5-(;z:-i:(i -p)(i -p-x^^s^i +/>)-}- .v) b-]rc—a——pxi,2-i-p + x) d-h<;-£' = Ki+/>)(x+p + A')(3(i-p) + A). Sit denique quinto q — L-±-5Jr_f erit (3p-i)'^*=:((i-p)(i+3p)-fA')'(5p(r4-/')+(i+3p)-iO' + 4l3p-i)'*.v(i-/')(2(i-p)+.v)(3p(i+p)+A-) atque a ^-b-c—- ' '^ - ^"^ ^' "^^j^^^l"' jx. -t-p)-»-^) t I ^ _ ^ — - — _a j)C* p-l-a:)!^ (■ — f)p)-)- » 3c) (3 p — >;- <» 4- /• — A — ; (. -4- ») (■ -f- p -4- 3C' ffi p (■ — p) -+- J) femper autem eft /=:^-tr + (4+^+^)p et g— «-<'+(4+^'+^)^. 13. Hinc ergo fatis patet innumerabiles folu- tiones noftri problematis inueniri pofTe. Inuento enim pro q valore quocunque q :::: n , Itatuatur y — «-J-.V, et aequatio refuhans iterum huiusmodi forraam habebit ^^^ A A A-*-f- 2 Bx'-+Cxa:+- 2 Da:-+EE \ndc nouo« valores pro x et h eruere licet methodo ante indicata. Cum autem hic poriflimum folutio- nes in minoribus numeris defiderentur , litterae p valores fimpliciores tribuamus , vnde quidem valo- res o et +3 I excludi conueniet, Tom. XVIII. Nou.Comm. Z Cafus 178 SOLVTIO PROBLEMATIS Cafus I. p = - 2. 14. Ob p — — 2, habemus : tf = --3-l-?-47?i f^i - iiq-iqq b — -i-^i2q + qq; gzz- S - ^q + l q q <:= 2+^+3??i a + b + c—-2 + i^j Tnde fieri oporcet hbrz{q-\-2y(sq-\-i)'-i2.(q''i)'{'7q-i) quae euoluta abit in hanc formam : zsq*-\- 26q'-{- ^2\qq — 6^q-+ i6-zihh. Hic igitur efl: A — 5, B— 13, €=321, D — — 32, et E — 4 ideoque fequentes folutiones nafcuntur : I-. fi ^-5?^-i-v?±4 fit Sl2i — JU. — ± ergo h - — 6066 l6 + l* Pofterioris vero folutionis fignum fuperius dat ' 105 fignum vero inferius : q — -=J^^ — u ergo hz='-^ vndc ANALYTICI. 179 vnde etiam reliquas litteras definiamus ^ Hos oumeros multiplicemus per 4 ac diuidamus per 3 vt obtineamus hanc lolutionem (atis fim- plicem : <«— 158; ^=127; ^=131 /=204.; g — 26ii hz=.2SS et quia litterae f, g, h quae communem habent di- viforem 3, in locum litterarum a.h^c fubftitui pof- funt , prodibit haec folutio multo fimplicior a— (5"9; bz=. 87; c— 85 /r=i58; ^=:i27; ^z=:i3i vnde fit ^ rt -f ^ ^ -(- i- i- — 2. 7. 19. 73 , qui fadlores vtique funt numeri formae xx-i-377, "^ti natura , rei poftulat, 16. Cum loco q fati^fliciat tam -4- i quam — I, vtamur hac fubftitutioue ^— ^-^-^ fietque k{ y - 1)" hh—%1 y^ -^- $^/ ~ 99 jy - ^6 y ^ 100 vnde ob A=:9, Br=:27, Ci=-99, D — -18, Ez^io habebimus has refolutiones : I». fi K j- I )Vp:= 9 rj + S r -4- 10, erit y — ^'ilj-i|r:-| 2°. fi \{y- i)h=±9yy-\y-^ xo eritj^zz^-^^f-^ quarum prior dat y zi: — 5 , qui eft cafus exclufus forma q — ^-±± ; altera vero fuppeditat 2 a fub x8(3 SOLVTIO PROBLEMATIS fub figno fuperiorij/^: l\% ^— t? ct q -nW fub ngno inferiori j — ^^' =: =^' et ^ — i|. 17. Sit ergo j— T? et qznU eritquc '■^h = i^ liinc ^ = "^^ , porro 15' j»a 7:61 9 307» . . 4 19» 7, T2 1048 __ I roOr 17 2»9 -9» I» 1 7.: eii «(^ iS Omnes hi valores per 289 muhiplicati per 9 de- pnmantur , et Iiabcbitur ilU folutio ^— 491; ^ — 807*, c— ^6S /rri223; g— 5i5; ^=1125* quae eadem refultat ex altero cafu inuento q — lly ■vnde eft a a ■-{- b b -\- c c — z. j. 1 p 4.3. 97. Cafus 2. p := 2. 18. Pro hoc ergo calu primo habcmus:' b-^-c-a— 4(i+?)(3-2^}; a-\-c-b~-6q{z-q) j a-^+gniirfcA^ vnde fit ^^=:(?-2)'(7^+3y-4(i-~^)(3+^)(3-5?) quae euoluta praebet hanc fbrmam : hh—^^q —i^/^q^-^-^qq^iiCq . haec- ANALYTICI. iSi haecque fadlo q— :i r tranfit in hanc fimpliciorem ,'j /? y^ — 49 r*- 5 8 r' 4- r r -f- 8 r cafus aiitem excludendi funt ^— + ij ^——3) q — li ^=3 et q—l 19. Cum hic fit A := 7 , B = - 29 , C r= i, D — 4-, E zr o erit ex folutione prima fumto ibzizyrr — ^^^r r- -^— =:*! et ^i^if, hincque ^— -^^° tum vero porro a-\-b-c — 2^1^' ; b-c -\-f— -^ multiplicentur hi valores omnes per '^ erit a^b-czz 1184.^ 2riz:-3593; ^f^-^ni b-\-c—a-=z 82^ 2tf— — 2491; 2g— — (J092 zz: 126(J ; <: rr 3593 /ZZ4777; grr6o92i ^=1^45 hinc vero eft «ifl-V-^^+^^rrs. i9.3r.43.4O9>. 20. Transformemus aequationem noflram po- neiido »"— -^^7 orieturque iii ^ ^ (>' ~ i/ =; 2S -ir 821X -I- vaj'^ 4- 1 ^ -H i" f — 2. 3. 7. 13'. p7. Ex valore autem q — lx nafcitur ifta folutio fl— 134; b~ 823 j ^=: <>07 /=^3.4805 §1=3.103; ^1=3.337 vbi eft « ^ -H i? 6 + <: i: — 2.3.7. 19. 3 1 • 43 notandumque ert hic bina latera tertio non effe ma- iora. 22. Pluribus cafibus inuohiendis hic non im- moror, fed potius aniniaduerto , methodum qua hic fum vfus , non fatis videri naturalem et ad fcopum accommodatam , propterea quod nul!a fuppeditat cri- teria folutiones fimpliciores diftinguendi. Defidera- tur ergo tam pro hoc problemate , quam pro aliis fimilibus , quarum folutio ad huiusmcdi formam A at' 4- B A-' -f- C x' -I- D X + E ad quadratum reducendam , reuocatur. Atque in hoc quidem problemate folutio a quantitate aa-\-bb '\-cc inchoanda videtur , quae huiusmodi numero a (jtr jt -H ^yy) certe eft aequalis ; et cum debeac efle iU Jf + 3 Jj)— #+ 3 '-^)-l-C(j'-/»)(>'+^) -t- 2 D(.v— <7)-i- * E(^ — ^) — o. 3. Confideretur nunc ratio quantitatum x—m tt y — b tamquarn data , ac ftatuatur ?^^=:^, ita vt fit : qx — aq=:py — bpy qna ratione introdudla noftra aequatio euadet : Ap{x+a)+'Bp[j'i-b)+Bqlx+a)'{-Cq{j-\-b^-\-2Dp+&li^z ob Ap* -\-2Bpq-\-Cq'' — tjif reperitur f. _ B 17 ± V ((R B — A C) ^« -4- A fa)) . r — " A » Cc formula (B B - A C) ,"^cl — i, vel 4- 2, vel - 2, dummodo B B — A C fuerit numerus pofitiuus non quadratus, etiamfi fine dubio dantur cafus , quibus w maiorem fortitur valorem. Tum vero habebitur : ••^=^((/--Ap-)^L_^(Bpp^hCp9)-'-^/-i^M j~L{^q"^Cf-.L2{Bqq-{-Cpq)--l^pq^^-^{\ 6. Vtrum igitur noftra aequatio admittat (b- lutiones in numeris integris, rec ne ? iudicium facil- lime inftituitur ^ confideretur enim formula BB-AC, quae fi fuerit numerus pofitiuus non quadratus, fem- per adeo infinitis modis numerum q aflignare lice- bit , vt formula illa radicalis abeat in numerum rationalem , indeque definictur altcr numerus p, qui- bus adhibitis impetrabimus binos numeros fatisfacien- tes X et j. Sufficiet autem pro q vnicum valo- rem idoneum inueniffe , d«m cx €0 pro x tt S fuccefli- SINGVLARIS. tS9 fucceffiue innumerabiles valores fatisfacientcs deduci podunt , id quod operae pretium erit clarius ollen- diffe. Ponnmus Icilicet ex numeris primo fatisfa- cientibus a et y, lioc modo prodiifle fequentes: atque fi iam hi pro a ct b adhibeantur , per eas- dem fv)rmulas nouos deducemus valores pro x et y^ qui denuo loco a ct b affumti praebebunt iterum alios idoneos vaiores pro x et jy et ita porro. 7. Sint numeri qul hoc modo fucceffiuc pro r reperiuntur y a, a', a", ai", a"" etc numcri autem pro y refpondentes fintr b, y, b"y b"', b"" etco. atque hakbimus fequentes aequationes t d —t^a -\-yib -\-6 ^ b' —>.a ~\-ix.b -\-v' a"zz^a'-\-y\b'-\-^ ; ^" — X^' -f-jx^' -Hv etc^ ' etCo. Ex his relatiDnibus eliminando litteras b, b', fatis fimplex rclatio conckditur, inter valores continuos,. Mf a*y a"y quae ita fe habet i ^Simili modo eliminando litteras a, a' i"z=(.K.-h<;^' + (>l?^-:y +M'-B'N'^ACN -0=:o qua cum forma propofita comparata affequimur : aAD=:2AM; D:=M 2 A E =: 2 M B- 2 N fB'- AC) AF= M'-N'(B-AC)-0, hincquc M-D,- N-\^^^{i o = D^-AF-^^^>. 1 1. Inuentis igitur valoribus M, N et O, po- natiir breuitatis gratia BB — ACzr . ;E:, vt aequatio noftra pcr fadlores irrationaies exprefla fit {AxiBj'i-D+{j+N)Vk)[Ax+By+D~ir+N)Vk)z.O. Et quia affumimus vnam folutioncm iam eflTe cogni- tam , qua fit x =z a et j — b, habebimus quoque (A^+BHD+(^+N)Vfc)(Atf+B^+D-(^+N)y)t)^0 quocirca bina haec produda inter fe aequalia effe debebunt; ftatuamus hinc breuitatis gratia : Ax-+Bj'-{'M=zT ; (^--f-N)— Q^ Jka'{-By-\-M=iGi ^ +■ N =: H ita SINGVLARIS. ip3 ita vt noftra binoriim produdlorum aequalitas fiat: "vbi notandum, fi prior fadlor illius produdi , alteru- tri fa(flori iftius aequalis ponatiir , tum quoque po- fteriorem fadlorem illius fponte alteri huius aequa- lem effe futurum , quoniam difcrimen tanfum in iigno quantitatis radicalis V k ci\ fitum. Manifeftum autem efl; , fi fadores priores inter fe aequales fta- tuantur et partes tam rationales , quam irrationalcs feorfun aequentur , fcilicet F — G et QnH, inde ipfum cafum cognitum cfle proditurum , nempe X z:z a ct j = b. 12. Sin autem. lioc modo prior fador illius produdi , porteriori huius aequetur , vt fit ?-{-Q_V k = G-nVk, noua folutio hinc elicietur , aequalitas enim Q_^-H dabit j-f N— — 6-N, fiue^=-^~2N, vnde aheraconditio P — G dabit Ax-Bb-zNB-^-M — Aa-^Bb-hM. feu A;»; — Afl + aB^+aNB, hincque x — a + ^-^±-^, Ergo ex quahbet folutione iam inuenta , puta x~a et j ^ b, alia quafi fociata ex ea facillime conclu- ditur ; quippe quae fi loco M et N valores affum- ti reftituantur , praebebit X BfA_i_BD — AE\ ^ ^/i — ^CT^D— AE) — a-\-'^(b-\-^^—^^') v——b Quae quidem folutio numeris fradlis continetur , nifi fbrte numeratores fuerint per denominatores fuos diuifibiles. Tom. XVIII. Nou.Comm. :B b 13. X94 RESOLVTIO AEQyATIONIS 13. Quo autem hinc pliires atque adeo infinU tas folutiones eliciamus , in lubfidium vocemus for- mulam s =zV{k/ -^ i ) , quippe quae metiiodo Pciiiana femper infinitis modis refolui potefi , dum- modo k non fuerit vel numerus ncgatiuus , vel nu- merus quadratus. Qiium enim liinc fiat xj- — ;^r*- r, noUram aequationera liac forma repraelentare pote- rimus: ?'-k(^ = CG' -k H') {ss-k k'). Hincque per fidorts irrationales fiatuamus Fi-Qyk-iG+HVk)(s-\-rVk)=Gs+kHr^{Gr+Us)Vk fic enim fimul toti aequationi latisfiet , fi quidem partes rationalcs et irrationaks (eorfim acquantur. At irrationales praebent : QczGr-l-Hx, y-+N=Aar-{-Bljr-\-Mr-\-bS'^Nsi jz=:Aar-hBbr-\-Mr-+bs-{-Ns-N* At partes rationales dant : P — Gx-i-/:Hrj feu Ax-\-Bj-+Dz=:Aas-+Abs -i~Ds-+kr-+kl^r vnde xzzsia^ ^-^) 4- r (*i^-^i^^^ -Ba) 14.. Nunc igitur loco litterarum M et N re- ,ftituantur valores fupra inuenti , atque pro noftris quantitatibus quaefitis at et j fequentes reperiuntur formulae , fi fcilicet loco k fcribatur B' — A C : x = {a-+^^^^)s-+Ba-+Cb^E)i-r)-+1fE^^^ jzz{b-+lP^)sM^b^Aa^D)r^'^i^, vbi SINGVLARIS. I9S vbi permutatio , quae inter litteras x ct j locum habet, manifefto elucet. 15. Quod fi lii valores pro x et y inuenti loco a tt b fubftituantur in iftis formulis , pro x et y inde noui valores eruentur , qui denuo loco a et b fumti alios nouos pro x et y praebebunt , et ita porro in infinitum, Verum omnes iftos valores fimul in formulis generalibus corapledti licebit , vti iam fupra fecimus. Sequenti autem modo idem ne- gotium multo commodius et fuccindius conficietur. 1(5. Quoniam s s — kr r — i atque adeo omnes poteftates ipfius ss — krr etiam vnitati aequantur, ponere poterimus P' - yfe Q; =r (G' - fe H') (j X - ifc r r)«, hincque per fadtores irrationales P -i- Q.V/fe = (G -+- H Vik) (J + r Vky quia autem huius poteftatis aliae partes funt ration»- les , aliae irrationales per Vk affedae , ftatuamus {s-\- rVkf =:S-\-KVk atque vt ante hinc fequenres valores pro x Qt j cli- ciemus x = (a-\-l^S^)S + (^a+Cb-\-E)C-K) + '^^ y = (^H-|^^^)S4-(B^. + A«+D) R +|?ff2. 17. Quum autem fit S-h^VkzzCs+rVk)"" erit eodem modo S—KVkz::{s — rVk)'* vnde deducimus S= i {s -+■ r V k)" •+- i {s-rVky et K=:S-^{s + rVkT-^,{s-rVkT Bb 2 quibui ip(r RESOLVTIO AEQVATIONIS quibus valoribus fubftitutis , obtinebimus 1 ^EB — CD , 0 Vfc-f- B a-)-C6-f-E^/'p ^ -i/;,\i i CD_ E B ., /BD— AE_L&Vfe-t-B;)-f-Ao ■+- D\ /■.,,. -i/ /.'ia ^' — ^TW^c]'^ Tvl ^^^'^^ ^ '^J , /BD — AE 1 6vfe — B6 — Aa — En/, «. 1//^« _L A E — BD ct quia fe r: B' — A C hae fonnulae ita fimpliciores euadeiit : x=:^JEh-CD-\-ak-{Ba+Cb+E)VkXs+rykT -h^^iEB-CD + ak-^riBa + Cb + E^Vk^is-rVkf j^i^^iBD-AE + bk^-CBb-^-Aa-^-DykXs-VrVk)^ .^J^JBD-'AE-{-bk-{Bbi-Aa-\-DjVk){s-rVkf + -i-jA E - B D). i8.- AiUc iam vidimus , quamlibet foliitionem X^a et y z:z b fappeditarc aliam iibi quafi focian;: ^. ^ , =B/^_i BD— AEn ^^ „ — _ /,__ WB D — AE) quia autem cx ipfa indole noftrac aequationis , litte- rae x et j inier (e permutari poffunt , dummodo 1°. litterae a tt b , 2°. litterae A et C et 3"" litterae D et E inter fe permutentur , haec confi- deratio nobis adhuc aliam folutionem fuppcditabit , fcilicet „ - j(BE — CD). ^ — 4_ /,4- »B ^/7 4-lIjr-£^) • Sicque ex eadem folutione duac nouae fociae obti- nentur. ip. SINGVLARIS. xp7 19. Haec methodus pofterior aequationem no- ftram refoluendi eo magls efl: notatu digna , quod ex do(flrina irrationalium eft petita , cuius alioquiti nuUus videtur elTe vfus in Analyfi Diophantea. Eximium autem huius do(^rinae \fum iam pridem in Algebra mea Ruthenice et Germanice edita fu- fius oftendi. Caeterum ad caUis particulares noftrae aequationis propofitae hic defcendere non opus vide- tur , quum huiusmodi cafus iam paflim , fatis fu- perque fint pertradati. cS Bb 3 INSI- ip8 »>¥.^ ( 0 ) 3''?€<- INSIGNES PROPRIETATES SERIERVM SVB HOC TERMINO GENERALI CONTENTARVM A u c t o r e L. E V L E R O. Statim adparet , has feries eflc recurrcates (ecundi ordinis et quemlibet terminum per binos prae- cedentes determinari ; cuiusmodi feries etfi iam fa- tis fuperque funt pertradatae , tamen nonnullas ea- rum infignes proprietates hic proponam ; inprimis autem operam dabo , vt omnia calculo fuccindo facillime expediantur, dum alias ad calculos non pa- rum complicatos perueniri folet. §. I. Breuitatis autem gratia ftatim ponamus p ^ qVk — v ; p — qV k — u tum vero fit etiam p" - kq' — r ; ita , \t fit p — V (jk / 4- r). Hoc modo formula noftra ita contrahetur inde autem mox fequentes fiuunt relationesr DE SINGVLARI SERIERVM GENERE. 199 V~\-U — 2p; v — U—zqVki VU—p^—kq^zzr. §. 2. Praeterca qiio terminos huius feriei fa- cilius menti repraefentare poflimus ; loco x fcriba- mus hoc fignum [«], quippe quo terminus ex ex- ponente « oriundus defignatur , ficque ipfa feries fc- quentibus conftabit terminis ; [o]i [i]5 [2]i [3] etc. Ynde hic, faltem termini initiales notentur , fcilicet [0]=:^; [i^—ap + bq-, [2]—a{p" + kq")-\-2bpq: His igitur praenotatis fequentia problemata trademus. Problema Primum. §. 3. Dejinire legem , qua terni termini hutuS' ferlei immediate fe infequentes [«] j [«+ i], [« + 2] » fe inuicem pendent, S o 1 u t i o. Cum fit [n] — /. 1?" -\- g. u''; eodemque modo [«+1]=/. 1;''-*-" H-g. «"-+-' et [n-+2]—fv''-^' -f-g. «"-*■*; confideretur haec formula o;"'^' (-y+w), quae ob v~\-u—2p fit — a p. -y" "♦" ' ; eadem vero ob vu — r fiue « — - abit in v^-*-^ ~\-r. v\ ita "vt nunc habeamus 2 p «y'* -*- ' — i;'' -*• » -t- n 'y" fiue . "y" -*" ' — y. •y'* j eodemque modo reperi- tur a" -♦- ^ =: 2 /?.«"-+•' — r. «". Nunc igitur fi hae duae formulae addantur , /1;'' ■+" ' zr 1/^. 'o^ -*" ' — /r. v** et g «'*'♦■' — 2 g p. «*-**'— g r, «" (Umma fiOO DE SINGVLARI fumma erit [» -4- 2] =: 2 /) [« + i] - r [«1 ; Tiide pstet, noftram feriem efle reciirrentcm , fcala relationis exiftente 2 p, — r. Coroll. I. §. 4. Si ergo dentur bini quicunque termini fuccefTiui huius feriei , qui fint P ct Q, fequens ter- minus femper erit — 2. p Q_— r ?. CoroU. 2. §. 5. Q^iiodfi ergo pro hac fcala relationis s.p^-^r dentur duo tcrmini initiales , A et B, erit, Yti ante oftendimus , A — aeiB — ap-^-bq ideoque azn k et b zz. B-~ \p exirtente kq — p — r, ita , \t fit Yk—- v°(~-7') 'iJiicque ipfe terminus ge- neralis huius feriei innotercit , quippe qui eft ipfa noHra formula propofita. Coroll. 2' §. 6. Ex formulis inuentis patet etiam forc v" -+- ^ 4- «" -^- ' :=r 2 p (o;" -^- ' + tt'^ -»- •) - r ('u'' + «") vnde deducuntur fequentes relationes fi erit n—o rf -{-u—zp^iu-^-u^ — zr n—i 'D'-{-u—2pQ-f + u) — r(V'\'U) n—2. V +u*—2p{v' + u)--r(v -]^u) «—3 v^ -^uziizp^v^-^-u^-riv^ + u) «—4. 'v'+u'z=:2p{v+u)-'r{v*+u) etc. CoroII. SERIERVM GENERE. tQt Coroll. 4. f 7. Hinc fi Talores inuenti fuccefliue fubfti- tuantur , reperiemus fequeutem progreflionem v^ -\-u-=z^p^ — 6pr v*-i-tt*— 3 2p^ — 40p*r-h lopr' etc. Coroll. 5. §. 8. Hae exprefliones finipliciores reddentur fi loco 2p fcribamus litteram fimplicem / tum enim ifta progreflio refiiltac e , o «; -h /< — 2 V -{-u —s « 2 «^ -l-« ~ s — 2 r «^ -+-« zzs — ^ r s «;* H- «* = / — 4 r / -4- 2 f * «?' 4- a* = x' - 5 r j' -^ 5 r s V -\-u* — s' - 6 r s* -\- 9 r* s' — fi.r' etc. quae feries cum iam fatis fit pertraftata aliunde no- vimus , fore in genere «?" + «" = j" - «. r j" — * + ?^;^~^) r*. j"-* __ n(n — 4)(>t — 5} y' j-" — « 1,2. 3 4- Mg 5)(;i-,i.6)(n — y) 4 t» — • ^1.2. 3. 4 ' * ■' etc. Toro. XVIII. Nou.Comm. Cc atquc tos DE SINGVLARI atque hiac etlam fequens problema rcfolui poterit. Problema Secuadum. §. 9. Definire legem , qua terni termim hmus feriei per faltum fe inuicem injequentef inter fe (ohae- rent ^ fcilicet hi termini [n]; [n-{-v]^ et [«-Hav], denoiaiUe y indicem faltus , quo termini fumuntun S o 1 u t i o. Cum ergo fit [n] ■zzfv'' + g. «% et [n+v] =/ v^ -*• '4- g. «" -♦• ♦, atque ponfideretur hacc formula «y* "♦" (v'' -{' u') , ac po-^ namus pcr legem antc afllgnatam efle v" ^ u" zz & ir , exiftente v*. tt^zrr^j et fbrmula ifta primo fict r* a -^r. v'* ■+- ' et quatenus «* ::: — cadem dat v** "+" * " + rV ita , vt iam fit codemque modo quare ratiocinium , vt antc , inftituendo nancifclmur idam relationem quaefitam [b + 2 v] z= a TT [« -i- v] — r'. [«] ; ope cuius legis termini fecundum eundem faltum procedentes [« -f- 3 t'] ; [« -4- 4 yli [« -i- 5 y} etc. facile reperiuatur. CorolL SERIERVM GENERE. t05 Coroll. I. §. 10. Cum etiam , vti vidimus, fornnuke 'y'^4-ei'' ftcundum candem legem progtediuntur ac fi breui- taiis gratia loco 2 tt fcribamus cr, progreflio poftre- mi corollarii etiam ad hos faltus adcommodabitur , fi modo loco r fcribatur r^i fic cnim obtinebimus «y* ^ 4- tt* ^ r= 0-* - 4. r\ 0-' -H 2 r* ' C o r o 1 1. 2. §. II. Hoc crgo modo facile cft , faltum fiue numerum v tantum efficere , qiiam quis \oIuerit , atque adeo ope huius probiematis in ferie noftra ter- mini quantumuis ab initio remoti fatis expeditc de- finiri poterunt ; id quod fi feriem per fingulos ter- minos adu continuare vellemus , nimis operofum calculum poftularet. Problema Tertium. §. 12. Dato quocunque termino feriei noftrae [«] , inuenire eius immediate fequentem [n+i]. S o 1 u t i o, Cum fit [n]z:zfv'' 4-g. «" et [n+j]—fv. «y^+g. u. u\ Cc 2 fi aof DE SINGVLARl fi hacc a priore iii u duda fabtrahatur , remaaet at fi haec ab illa in v duda fubtrahatur^ remauebit V [«] — [n-\-%]—g{v~-u) k", lam hac duae acqualitaies in fe inuicem dueantur ct ob t'*. i^ — f" prouenict ifta aequatio r [«]' - a/)[«][« _v- I ] 4- [«4- I ]' = -/k- (« - »)' r'^^ At vero cft (-z? - «)' =z i;' 4- «' — 2 1' u — ^p^— ^r^ ficque habebimus- r[;;]'-ap[«] [«■+ i]4-[«+ i]'- 4/g^/>'-«")'"=0- Quare terminus fequcns [«+i] pcr aequationem quif- draticam ex praecedente [«], ita denerminatur , \t fi£ [«-M]-p.[«]+V((/-0[«l'-4-/^tf-rjr'^). 5upra autem vidimus efla fg^lip -'^) et f-r-=ikq\ quibus valoribus fubfcitutis folutio noftra ita: fe lia- bebit \n-{- 2]-p[n]^-qy {k[n]' -{ha -b')r''). C o r o 1 1. i^ §. 13, Quilibet ergo terminus noflrae ferici ita eft. comparatus , vt valor forcnulae k[n\' - [k a - b') r"" certe fit numerus quadratus , quandoquidem omncs^ termini noArae feriei funt rationales» CorolL SERIERVM GENERE. 205 C O r O l I. 2, $. 14. Si poiiair.us leriei binos terminos in-itia- Ics A et B, ita , vt iis refpondeimt expunentes «— o, ct /i— I fupra vidimus effe a — A et ^ =: ^^^ ,, ideoque 7. ^* U^ _B*-+-2AB.p — A' r ^ ka — 0 — ^ ^. '^ » qnare hahebimus Problema Quartum. %. \%. Dato quocunqm feriei termino [«] , inue' mre terminum dato interuaUo ipfum feqnentem fcilicet S o I u t i o. Ambo Iii termini ita repraefententur \n\— fv^^-^-g. «'* et [« 4- v]— /-y*. if-^gu\ m* quarum prior nunc in «^, nunc in 1;' ducatur inde- que pofterior fubtrahaiur > et fequentes binae aec^ua- tiones refultabunt: «' [n\ — [« + v] —f{u*- ^O 'D^ et V* [«] - [« -f ^^] = g (-y^ - u^) u"^ fi iam vt ante fuerit ij* + «^ r= a tt vnde fequitur 1;' * + a' * — ^it — a r' duas illas aequationes inuicem multiplicando adl- pifcimur }r^[4'-2 TT. [«] [«4-y] -h [« + y]'zz-fg{v'^ u'f r\ C c 3 (^uia. 106 DE SINGVLARI Quia autcm efl («;''-tt^/r'y'^+a^''-ar^z"4 7r'-4r* et /g=:i(a*-|.) relatio inuenta erit ^ vnde iterum per extradionem radicis quadratae cli- cimus [n ->rv] — Ti[n]V C(7r' - r") [«]'" cuius indoles quo clarius perfpiciatur , ftatuamus i;'' — ir 4- ^ V ky eritque w* — tt — ^ V fe , vnde vti- que erit v'* -{- u* — z -n ^ at vero ^v^v_^v_^»_^^'^ ita, vt fit Tr*-r'-^f j quo valore fubftituto fit [n-\-v]-'K[n]-\-^V {k[n^- -{ka ^b')r''). CoroII. I. §. 16". Hic ergo denuo proprietas nnte obfer- vata inuoluitur , quod nempe illa formula {k [n]' -ika- b') f) femper debeat effe quadratum. Coroll. 2. §. 17. Ex terminis autem initialibus A et B, ob & «' ^ i>' =: -b^-^. ab-p-a^j; vti ante inuenimus , liabebimus [« + v] zr 9T [«] -f ^ y (fe [«]• + (°'-'\v*--) ^''). Coroll. SEKIERVM GENERE. ao7 Coroll. 2' §. i8. Si capiamus « — o, vt fit [«] — tf it^ quatio noftra ita fe habebit [y] =z TT a 4- ^ ^ j quae eft infignis proprietas noftrac formulac , quae autem fponte fe prodit ex eius indole j cum enim fit [v]— /'y^-i-g. u^^zfi-n-^^Vk^+gi-n-^Vk)', erit [y]-7r(/-4-g)-H^V^(/-g)=:, quae forraula ob /+ gzza et f—g zz ~ reduci- tur ad Tr fit H- ^ b. Problema QLiintum. f. 19. Dato termino feriei quocunque [«] ex fc' quentibus inuefiigare eum , qui ab illo tantum dijlat , quantum ipfe ab initio , hoc efi inuenire terminum [2«], S o I u t i o. Cum fit [«] — /v™ 4- g. m" j quadratls fumwi- dis erit [«]'-/g.r»rr/c;'«-f-g\«'- tum yero eft [2 «^m/lJ^^-hg. «'«; haec primo in g duda ab illa fubtrahatur ct remanet [»]*-2/gf--g[2»]:ii/(/-g)'y«- deinde pofterior aequatio in / duda et a priorc fub- tradta relinquit [«]* - 2/g r'^ -/[2 «] = g {g -/) «* " hae 208 DE SINGVLARI hae iam duae aequationes io fe ducantiir ct pro- dibit ["]* -{f-\-g)[^n] [«r 4-/g [2 «]' - 4/g r- [«]* + 2/gr\'/+g^[2«]-h4./V.r''=:-/^(/-^)V^"i cum igitur Ct s, his viiloribus lubftitutis aequiuio hanc induct formam: [;/]'-a[2f/][«]'--4-K'*'-'^)[2«]' - (" ([;;j^^-<- fe. r") et fubftituto valore ipfius c [2n] = ^-^^[fi]'-ar^ Scholion. $. 20. Quia liaec folutio ad calculos non pa- rum taccliofos cft perduda , hoc negotium non mo- do multo facilius , fed etiam generalius expediri pof- fe obferuaui. Quae methodus quo darius percipia- tur , fequentia praemitto. Hypothefis. §. 21. Quemadmodum formulae /v" -f-g. «' charaderc dcfignauimus^ ita iftam formulam/'y'*— ^ «" ilii SERIERVM GENERE. so<> nii adfinem hoc caradere [«] indicemus ; quae cr- go quaiuitas cx illa nafcitur , fi littera g negatiue capiatur. Corollarium. §. 2 2. Cum fit erit nouus nofter caradrer quae formula ita cft irrationalis, vt per Vk multi- plicata fiat rationalis j tum autem refultat formula iiii Vik^nr-^fg.kr"^), quam ance iam obferuauimus femper efle rationalem, cui ergo a:quatur carader ['/] Vh. L e m ma. §. 23. Cum ergo fit /'y" 4- g. «" " [«] et /ij'' —g. li" — [«] , crit lyl — [l]-f-£n] gj ^l — [^] — \k 2/ 2* ' atque Iiinc adipifcimur a/g quae cft ea ipfa formula , quam fupra , Tbi loco » adhibuimus v', per 2 tt indicauimus ; tum erit ^n __ ^^ _ — (/— g)[i]-f-(/-4-j;)rBl 2J g Tom.XVlII. Nou.Comm. Dd- quac ftTO DE SINGVLARI quae formuU conuenit cum ea , quam cafu « n: v fupra per 2^Vk denotauimus. Problema Sextum. §. 24. Daus in ferie nojlra dwbui qwhuicm- qu^ terminls [ri] tt [v] inuenire terni.iun \n-\-v\ fimul-' que eiu! ajjinem [n-^v] , fiqwdein etiam datae erwit / / formulae [«] et [v]. S o l u t i o. Cum fit / M = fv' 4- g. W et [v] -fi)"- g tt' inultiplicetur illa acquatio per i)" ■{-«'' , haec vero per if^ — u" i et obtiiicbimus binas fequenies aequa- tiones : [v] (i;'' - tt") ~ f^if- ^ '-g. u^v" -fv^u'- 4-g. u"" -^ ' quae duae additne praebeiit [vY^v^+u") ■{-[^Yv''-u'')-3. ( /"-y^-^^+g. tt""^') = 2 [«-i V) ficque iam a(fecuti fumus terminum quaelitum [w + v]» cum autem per lemma praemifliim fit per formulas mere cognitas confequimur [fl 1 )/]— (/-*-gH[n][v]-»-['U[^J)-f/— g)a"l[v]-t-[t][y]) Quia SERIERVM GENERE. ftir Quia igitur crit liis valoribus lubftituendis terminus quaefitus t f ' ' r„ , 1 ak [?i] [v]_fc([nl[v1 V fe - 6 ([v] [nP V fe -4- a fe C^] [ '1 / quod ad formulam adfinem [«-f-v] attinet , iam in- nuimus eam ex priore nafci, dummodo loco g fcri- batur — g, atque hinc orietur r„ ■ ^i _ — ( f — g) f [«] rv] -I- [i^] r»]) -t- f/ -t- g) ([n3 [v] -t- [n] [v] quae in ^'h duda et loco / et g valoribus fubftitu- tis dabit [ni-y}V k- — ^''['^['^-♦-^^'[''^[vV''-^"^^»]^"]^^-'^^'"'^^^] Coroll. I. §. 25. Quo facilius hanc folutionem ad for- mam folitam reducerc queamus ; recordemur ellb [«] Vk — V(k [«]' -{ka~ b") r") [vj y ^ = V (fe [v]* - U a'- 6') r*) et \n-^y^Vk-V{k{n 4-v]' - (it «' - ^') r''-^'), Co r o 1 1. 2. §. 16. Si hic ("umamus v — n, vt prodeat ca- fus praecedente problemate tradatus , ftatim repe- rimus r, „-1 _ a})[riY — -ib[n][',i] V fe -4- g fe [«p L "J f-^z _^2 Dd a et iift DE SINGVLARI ct formulis affinibus elifis 2 ak[n]' -aCka - h')r''- 2 b[n]Va[nX -(k a" - b"]}'") ^- -■ k. a — b quae cum ante inucnta congruit. C o r o 1 1. 2' §. 117. Eodera cafu v — n formula affinis col- ligitur : [^!i]V k-V {k[z}f[- -ika' -b'')r''' — -zkb [n]" -f - 2 « [«] V {k [«f -{ka"" b') r") -{-k(ka'-li')r'' _ -zkb^nf + bCka^-b^^r^^-^-ia^n^VC^uy-ika^-b')}''} *~~ ka — b^ Coroll. 4. §. 28. Ope harum formularum iam facile erit terminoi feriei ab initio quantumuis remotos affigna- re , quandoquidem ex binis quibuscunque [>/] et \y\ reptritur Itatim terminus [n -\- v\\ intcrim tameii ex lcge , quam fupia iam dedimus , pro tcrminis [k] , [« + v], [« + 2 y]; \ji -h 3 »'], [n + ^ A efc. haec lencs multo facilius , quousque libucric , continuari potcft ; fi enim ponatur v* + /<" — 2 tt 5 ita , vt dt =/g . i ah frt] — i i [n] V -) 1 ctc. Pfoblc- SERIERVM GENERE. nrs Problema Septimum, §. 29. Si fuerit JlimUqu: modo inuemre aeqiiutmem inter x et j ^ cul ifti valores ra- tionale^ et integri [atisjaciani , quicwiquc integer pro n aaipiatur. S o I Li t i o. Ponamus iterum breuitatis gratia porro p-\-qVkzzv-^p-qVk — Uip*=zkq*-i-r et nunc habtbimus YUi^e eliminemus litteras 1; ct «, ac primo qaidcm habebimus -AX-gy—i-Af-^g^v^ ct ^x-fy-[^g-'^f)u'' quae duae formulac in fe inuiccm dudac ob vwzzr dabunt y\^x-[^g~\-'Af)xy-\-fg/ = -{'Af- ^gf r\ D d 3 Nunc ai4. DE SINGVLARl Nunc reftituantur valores affumti fcilicet atqiie noftrj aequatio quaefua erit ^ _L. (/ P' - 2 ^ 6 a p -I- a* Z»'} r" := o fiue per 4 A multiplicando (a fe - (3') x' - 2{aak-b |3) .v^' 4- («' /: - ^')/ ^ (a p - a ^)' r" =: 0 quae tota eft rationalis , eique f;itisfiiciunt ipfi valo- res pro x et j affumti. Corollarium. §. 30. Comparetur naec aequatio inucnta cum forma generali Ax" - zBxj-i- C / + D r" — o atque fatisfieri oportct lequentibus conditionibus i\ (a^-abf'^-=z{ka^ (3^) 2'. (a^-a bfl- -{kaa-^b^) 3^ (flp-a^)'|r:(/:«'-n quarnm prima per tertiam diuifa ftatim fuppeditat L _ A .'>'_. C (3' Coroll. SERIERVM GENERE. 215 C or O 1 1. 2. §. 31. Subftituatur hic valor tam in prima , qnam iu fccunda aequatioae ac peruenietur ad ilks aequalitates »~ / X) A-i — Ca- quarum haec per iilam diuifa praebet a_ C p — Bj a — B (i — A &• Coro 1 1 . 2' §. 32. Statuamus nunc aniya, et ^zii^S^lS vt prodeat C-B| ' B — A 5 ' vnde (equitur V — ^ — Ay» — » B5__i-C • B — A6 prima aequatio transformatur in hanc *. y — g — — y — 7 vnde fic a — (A 7^ — Cj ( 7 — 5)' . Coroll. 4. §. 33. Valorem autem ipfius y fubftituendo reperitur A V » (B^AffJ' hinc- ai^ DE SINGVLARI hincqus colligitiir ' __ D. (B — A 0 )' (B' — A C) ( A S-~^ 2 B 5 -i- C) ficqiie omnibus conditionibus efi f.itisfiKflum et nnnc quaedio liuc .reducitur , \t quaenuur numerus $ ta- lis , vt iila formi rcucra fiat quadratum , quod fit , fi quadratum reddatnr haec for.ra D. (B' - A cj (A y ~ s B$ ^q. Coroll.^ 5. §. 34. Tah autem inimero pro ^ inuento ha- bcbitur numcrus c, n:x non y; numerus autcm (3 arbitrio noftro p?rir.ititur ; hincque porro deducitur M zz Y tx. et ^—0(3; tum v^ro prodit k — (3' ^^^^ j inicque ~ A a — Ca- ' ^ |8' An' — Ca^ /j — A 6 — C . 6= — 5=p- A^"5"— Ca-S^ ^' ft * " — rr~c • Qi\l\ ergo formube ^^ ct y-^ \n cakuio mdro tan- tum occurrunt , niiiil amplius arbitrarii refkt. Scliolion. §, 35. Hoc nutem modo pro quouis valore cxponentis « vnica tantum rcperitur (olutio , eos fcilicet valorcs ipfiirum x et jy ccmpkdens , qui huic exponenti n rcfpondcnt ; vcrum quia numcri p cl q fldhuc nrbitrio noftro funt permiiii, ci^-s in- finitis modis ira definirc Jicct , vt fiat p" — k (/' zz r.^ quoi quo ficiiius perfpiciatur , quncruntur inimeri s ct I, vt fit j' — ^ /' rr I quibus inuentis vbique loco SERIERVM GENERE. 217 loco (p-h^y k^ fcribatur (p-4- q V ky (x -h r/kf" ct ioco [p — q^^ky- (cribatur vbi exponcns X pro qucuis tinmero k irrHmtis inodts variari poteft: , ficque pro quouis exponente n infi- nitae lolutiones ncfiris formuiis exhibebuntur. Scbolion. 2. f. 36". Inprimis autem hic mlrandum vide- tiir , quod littera ^,- qua vniuerfa folutio adfiruitur, neque a numero r neque ab exponente n pendeat , fed ex folis litteris , A, .B, C et D definiatur ; in- terim tamen numerum' r non omnino pro lubitu- affumere licet , ita enim comparatus effe debet , vt fieri poflit f — kq iz.r^ id quod ab indole nnme- ri fe pendet. Supra autem inuenimus valorem |! , vnde oritur -L — V A "' — c tt» — y A-y»~c Vfe — Ad — C A5»— c V(BB-AC) . a fB» — A C) .C) B — A J — a y (R* — A C1 ■— « ^B» — A C) quae fi capiatur (3 in; ''b1~^5^^ crit VfeinVB^-AC, ficque per hunc numerum It determinatur indoles nu- merorum , quos pro r alfumere licet. Tom.XViII.Nou Comm. E e DE DE RESOLVTIONE IRRATIONALIVM PHR FRACTIONES CONTINVAS , VBl SIMVL NOVA QVAEDAM ET SINGVLARIS SPE- CIES MINIMl EXPONITVR. A u c tore L. E F L E R O, §. I. In fupcriore difTertntione de refolutione aequationis AA-'4-aB.V7-i-Cy4-2DA'-i-2E/-|-F = o, to- tum negotium praecipue ad hanc quaeftionem erat dedudlum , vt pro litteris x et j valores in nume- ris integris inueftigentur , quibus formulae A x* + a B xj H- Cy minimus valor inducatur. Tres autem hic potiflimum confiderandi funi cafus, prou- ti haec formula vel duos fa quo a'ter nume- rus ?n vei n vnicati aequatur , quaelUo noilra potis- fimnm verlatur circa formuiam m x x — njj., qnip- pe a.d quam fempcr tbrmulam generakm A x x — ; 2 B .V y ^- C y" rciiocaie Ucet Si enim in gcne- re ftatuatur .v — / -;- II u ct j — A i; , fada (nblU- tutione formnia gcneralis abit in hanc formami A U - A(B'' ■- AC)UU ficqiie formuia noftra afflimts mxx — njr aeque late patere eft cenfenda , atque ipfa propofita trino- mialis. Etiamil aurcm nequc «, ncquc n vnitati aequetur , faepennmero vfu •venire potelt , vt for- mulam noftram quoque ad vnitatem v?qne dcprime* re liceat , idqiie vel Ilatim maniJtUo occurrit , velu- ti in hac fcrma : 3 a: Ji' — 2 >'_j' , qiiae ad vnitatera redigitur fnmtis x— \ et y — i , vel non (^arim fe. offert , vti fit in ^ x x — $ yy quae pofico x— % ct j' — 4 ad vnitatcm redit , quicquid autem fit , •vtique enenire poteft , vt miniraus valor noftrae formulac vnitatem exccdat , ac tum indicium de minimo plerumque fummis difiicultatibus inuoliitum deprehenditur ceu fit in hac formula "i-"^ x x — "i yy^ quam vsque ad binarium deprimi poffe non facile perfpicitur, fi fcilicet ponatur a* — 15 et j- — i r. At fi m et « fuerint numeii praegrandes , iudiciunn multo- SPECIE MINIML 221 mulco opcroriore& calculos requirit , quamobrem me- thodus certa ctiam in his cafibus mitiimum inuefti- gandi aniilyfin haud contemnendo increm.ento locu- pletarc vidciur* 4, Antequam autem hnnc ipfam methodum cx,licare adgrediar; plurimum oftendiffe iuuabit, lem- per infiiirtis modis idem minirnum obtincri pofTe. Atque hoc adecx generalius ita demonflrari poteft : Quodii \nicus cafus conlletj, quo formula mxx~ny y aequali& fiat dato numero /;, tum femper infiniti \alorc& pro x et y reperiri poffunt , qui ad eundem numerum h deducant. Sit enim cafu illo cognito x — a tt. y — b^ ita vt {it m a a— n b if ~ k tt nunc numeros x et j ita definiri oportcr , vt fiat m X X — nyy zz. maa — nbb, id quod fequenti mo- do commcdiirime praedabitur. Ante omnia. quaeran- tur numeri p et ^, \t fiat pp— mnqqzzz^ id quod infinitis modis femper ficri poffe conftar, dum- modo mn non fuerit numerus quadratus , vti hic affumimus, atque nunc quaefito faxisfieri mamfefiuin cll , ^i fiatuacuj: m X X— nyy — [tn a a — nb b){pp — m n q ^'/, quod quo ficilius fieri poffit , fumamus faftores etli irratioiiales et ponamus x^/ ni~\-yy n—Qi^Vm-^ bVn){p-\- ql^ mn}^ tum enim mutato figno radicalis V«, fponte fiet X Vm —y Vn — {a V m — b Vfi) (p — q V m «)^, ficque alteri tantum harum duarum aequationum fa- E e 3 tisfe- asc DE NOVA thfcc\(fc fufficict, Quia autcrn cuolut.o frrmuliic .ip^gymn/- altematlm terminos rationales et ir- rationales radicali Vmti affedlos praebet , 1> Phim- ina terminorum rationalium et Q^Vtnn liimma ir- rntionalium , ita vt fit fimilique modo {p- qVnni^^V -(^Vmn. Nunc igitur aequatio nollra erit jt-Vw-f-jVwirC^Vw+^Vw^CP + QVww) ruie xV m~\jVn-(ia? \ nb(^)V m-\-[b? ■\-vta(^)^' n vbi tam partes figno V«, quam paitts figno V« affcdae , ftoriim lunt inter fe aequandae, atquc hiuc flatim clicimus fequcntes valores x^a? -\- nbQ ; y^bV -\- via(^y fimulque pntct multitudinem harum folutionum re- Tcra efle infinitam. y^ 5. Hif pracnifllb ipflim noflr.im quaeflioncm adgrediannir , quaefituri vaUires litttriirum x et y , quibus formula m x x — n y jy minimum (ortiatnr valorem , qui flt r: /:, ac ftatim quidcm euidens cfl iiis cafibus formulam mxx — vyy propius ad nihi- lum rcdigi , quam vllis aliis cafibus , ficque pro x ct y ciusmodi inucflig::ndi funt valores , quibus pro- xime tiat ^ — V - — ^-^ , quocirca negotium iam huc eft pcrduftum , vt quaerantur frncftiones ratio- nales -, quae tam prope acqueniur formae iiratio- nali SPECIE MINIML 223 nali y "*"• , quam quidem fieri poteft , noa maiori- bus numeris pro x Qt j adhibendis. 6. Hoc autem Problema iam olim a Wallifio propofitum cxpeditifiime relbluitur , fi formula "^-^ in fradlionem continuam conuertatur , fimili fcilicet operatione , qua vulgo maxiinus communis diuifor duorum numerorum quaeri folet. Si enim hoc mo- do peruentum fuerit ad hanc fradionem continuam; (3-4- I y 4- I ^-H I etc. continui hi quoti in feriem difponantur , ac primo quidem ipfi « fubfcribaiur fradio g, ipfi (3 vero ? , ac deinceps ex binis fradionibus continuo fequens formatur, dum vltimae tam nominator quam deno- minator per indicem fupra fcriptum multiplicetur hisque produdis , tam numerator quam denominator penultimae fradionis refpediue addantur. Sequenti fcilicet modo a> P, Y, 5", e " " P ' P^-hT— > p75_Hd-+-3 ^^^' 7. Omnes ifiae fradliones hac gaudent pro- prietate, vt quaehbet valorem formulac tHUt propius cxhauriat , quam fieri poterit numeris non maiori- bus adhibendi&. Verum etiam inter has ipfas fra^ (iliooes 22+ DE NOVA diones ingens interccdit difcrimen , quod aliae aliis, caeteris qu dem paribus ma^is appropinqueiu. Eac aut:in maximc adpropiuquare (uiu compertae , quae maximos indiccs fibi habent Jnfcripcos, fi crgo illae pro - accipiantur , iam certt (umiis iftis numeris pro X Qt j afTumtis , formulae nollrae mxx — ti}'^ iTiinimum valofem induci. Simul vero notari opor- tet inter lio» quoios (uccefliuos «, p, y, (T, e etc. femper dari periodos , in quibus id€in quutorum or- do recurrit , omnes ergo frndiones iisdem maxime quotis fuCcriptae omnes quo:|ue valores idoncos pro X et y fuppeditabiint , qiiibus formula no(!ra 7fi x X — njj eindem niiiumum valorem nancifcitur. 8. Qiio autcm operationes quibus ifti quoti faciilime eruuntur , clariiis cxplicare valeam , exem- ^ruml prrmo dcterminatum cxpcdiamus, quo formula propofita fit 7 A- .V — 13 /J', ita vt iam proxime fieri dcbeat - — "^, vbi tantum notetur e^fe Vpi^p et <^ lo. Nunc ergo operacio vti pro maximo di- vifore inflituatur : ac primo diuidi oportet ^ per 7i vniie primus quotus prodit ~ i, refiduum vcro — V gi — 7 pcr quod praeccdens diuilor 7 debet diuidi , multiplicetur vterque numerus per "/91-1-7, ac diuifor iam erit 42 , diuidendus autcm 7 (Vp 1 + 7), qui per feptenarium depreifi 9 praebent diuiforem — 6 et diuidendum — V91 H- 7 ^ 16 , vnde fe- cnndus qliotus colligitur a, ac refiduum fiet V91-5» iper qivod 6 dcbet diuidi. Multiplicando per Vgi + 5» diuifor erit 66 et diuidendus <5(,^^9i+5), ac per i^- •T '_- Vpi 4-9 5 (V 91 -f- ,j ^ ^-•"^«9 N. 5 -> ;(V ,. -4-0) „ 1 0 _J__ V9I4-9 V91 — 9 v9.^ , 3 N. 6 5 (V 9' -1-6) ^ 55 -* ^^'-^* I N.7 V914-5 V 0. — 5 ^ _ ^ ■1 CV' P' -f- 5) , , V9>-^.5 2 PS]. 8 f,6 ^' 6 vrt; ^'^^ + 7 6 'V 9 -f-') ^ ■12 V*. -4-7 2 N. 9 vTT-, >^9^-l-7 7(V pi -)- 7) - Vo. -H7 j, £^ 10 6 Vlterius calculum producere non eft opus , quia haec poflrema diuifio cum fecunda conuenit et iam pe- riodus fecunda incipit , vbi notandum loco primi quoti I hic eius dupUim occurrere , id quod in hii- iusmodi diuifionibus femper "vfu veuir, 9. Q^Lioti ergo ordine JQuenti fequenti modo pro^rediuntur : !, 2, 1, 3, 9, 3, ^, a I, 2, 3, 9 7 3, I, 2 inter quos maxime eminent 9 ideoque nullum am- plius eft dubium, quin illae fradliones, quae his quo- tis fubiiciuutur , formulae '-ixx—'\^yy omnium •valorum minimum concilient. Adpouamus igitur has fradiones fequenti modo I. 2. I. Tom. XVIII. Nou. Comm. Ff yndc a26 DE NOVA vnde patet fradionem nobis (atisfacientem fore --"j liue .v=:i5 et^— ii. Hiac aiitcm 7XJi*— 1575 ct 13.VA'— 1573 , vnde minimus valor fiiie vllo dubio eft binarius , quem diuinando non tam facile quisquam dctcxcrir. 10. Si h:is operationes , quibus illi quoti con- tinui reperiuntur , attcntius .perpendamus , calculum non mediocriter contraiii pofle facile pcrfpicere licet. Sit enim Vk quantitas illa irrationalis, quam for- mula in fraclionem continuam conucrtenda inuoluit, numcrus autem intcger proxime minor, quam V k, fit — ^ et ponamus pcruentum iam effe ad diuifio- nem , qna formula V k + r diuidi debct per numerum p, ita vt quotus hinc oriundus fit q <^ ^-=^ eritque refiduum r^.V k -\~ r — p q et quia pq^r (faltem quando operationes iam ordine progrediuntur'), voce- mus pq — rzz:r' ita vt iam rcfiduum fit Vk—r', Tnde pro fequente diuifione habebimus diuilorem zziVk — r' et diuidendnm —py multiplicetur \tcr- que per Vk~\-r' et fiat i^=ll-—p' (vidimus enim femper in decurfu operationum , formulam k — r' r' diuifibilcm fore per p) et iam fequens diuifio ita erit comparata , vt fit diuifor —p' et diuidendus Vk-^r', vnde nafcetur quotus 9' <^ t-rhzl atque hinc fimili modo tertia et fequentes diuifiones coa- ficientur. J I. Ex prima igitur illa operatione , qua formulam Vk-i-r diuidi oportet per numerum />, notentur tantum numeri r et />, vnde deducitur quotus SPECIE MINIMI. 227 quotus ^ <^ l:±^ ; deinde fumatur f^~pq — r et p' — trzJll!. , hincque fiet 9' -< ^-±r^ ; fimili modo capiatnr porro r" —p'q'— r' ct p" — ''^ '""'-, hiiic- que ^" <^ -■^'iV^'- Qi-ias operatioucs fequente fchc- mate repraelentamus: r r^ zzp q — r ,.// —pl ql^r' fJtl— piiaii — f" etc. fj k — r' r' II k— r" r" ptl—t flll k — r"'t"' t — f" etc. q"<'-^ fjlll ^ e -^- r"i etc. Hocque modo progreffio quotorum q, q'^ q"j q'" etc. faciliime inueniri poffe videtur, 12. Dilucidemus hanc regulam exemplo , quo formula $ x x — ^Sjj minimum fit reddenda , feu fradio e. — 1ji^-!Li^ per fradionem infinitam euol- veuda. Hic igitur erit jS:— 190,^— i3,p — 5 ct r — o f Tnde totus calculus fequenti modo infti- tuetur : Ff 2 rzzo 22S DE NOVA f =r o r' rr I o r" z= 8 r'" — 1 3 ) "" z= 1 1 j.iitii _- j ^ r ••==: 12 f* — 13 f—zr 8 r :=:io etc. P -s I I 90 — 1 8 j __ P — 18 .// '9^ — S* - ijin igo —21? — • 3 p////_yir-_ii..-.3 P P"" — P — — T-— ^^ [50 — 144 31 ip» — l6p = 23 rr 3 7 ctc. ^= 5 q - ^<' q' z=. i<'^ q" = 3 -< '- f -f- a q"< — 8 < ^^-^ ^/////_ J ^ ^ lljijj r-=8<4^ ^•- =3 3 < ^ „...._ j ^ i^-*-t <7'— =:: 4- < " '>-"' etc. Cakulum \ltcrius profequi non eft opus , quum iam patefcat quotorum ordo *, I, 3, S, I, 12, I, 8, 3, I 1 4, 1,3, 8, I, 12, I, S vndc fraiftio continua oritiir * —^ ^—-^i + i 3+ 1 »+i i + i la + i i-Hi Tum vcro quum maximus horum quotorum fit 12, ei rcfpondebit valor minimus formulae propofitac 5 A'*— 38//, at fra«aiQ ~ ita definietui 2, ij SPECIE MINIMI. s2p a, ij 3> *j '♦ la 3 I • Jl lo» T ♦ 53 37 ficqiie pro cafu minimi habemus xzziioz et ^—37, vnde $ XX -$7010 et 38. yj ::: 52022 ,crgo difFc- rentia ~ — 2, quia aiuem inier quotos etiam emi-* net 8, eique fubiacet fradio V , (umendo x~ it ct/— 4, colligitur valor formulae S x x ~ ^^-jy r= i> T> 5» 5* Pro cafu ergo minimi Iiabcmus ~ —l , fiue x — -j et j — 4 vnde fit ^ X x^zz 441 \ 6 xy zz i58 ; i^jj^zr 272 ergo ipfa formula abit in 4- i, qui valor vtique eft omnium minimus. 17. Quod fi autcm hanc formukm modo fu- pra expofito tradlare et ad duos terminos reJigere vellcmus, ob k—q B:=-3; C=--i7, ponendo a: — 1 + 3« etj^zzpw, prodiret hacc formula p 1 1 '-i^Sf>uuz=:c){it—i62Uu'), quae formula certe nun- quam SPECIE MINIMI. asj quam minor euadere poteft quam nouera , ex quo intclligimus , fi huiusmodi formularum valores mi- nimos inueftigare voluerimus , neutiquam licere cas ad duos terminos reducere , quandoquidcm hoc modo earum natura penitus mutaretur , quocirca nccefl& cft , tales formulas , data opera euoluere , id quod in fequentibus problematibus fumus expedituri. Problema I. Si formula A a:' — 2 Bxy -\~ Cy , cafu quq x-na e,ty:^b praebeat valorem zzCi inuenirc in- finitos alios valores pro x et j, qui eundem valo- rem c producant, flquidem quantitas B*— A C fuc* rit numerus pofitiuus non quadratus, Solutio. 18. Quum igitur fit requiritur , vt fiat A.x'- 7.^xy-\-Cy-=:K a- 2 ^ab-\-Cb** lam quaerantur ante omnia numeri p et ^, vt fiat pp- iBpq-^-ACq q =: 1 , id quod femper fieri licet , quum hinc fit pz=Bq-\- V{[K -AOqq-^-l) cuius refolutio a Problemate Pelliano pendet , dum- modo B* — A C fuerit numerus pofitiuus non qua- dratus. Statuamus ergo B' -• A C = /: , vt fieri debeat p-=zBq-hV{kq'-\-i), Tom. XVIII. Nou.Comm. Gg ita 434 DE NOVA ita Tt quacrl oporteat numerum ^, vt formula 1^*4-1 fiat quadratum. Hoc ergo facto ftatuamus; quod produAum cum ip(a forma propofita conue- nir» , ita ptr fa^44H- ») , qui deprimuntur ad 8 ct "/44-1-2 nunc iam re- gula fupra data vti potetimus , vti hic fidcrt kcec Cg tt *=:4+] V t^S r zz:. 2. r^6 r — 6 r cr £ r= + r=: 3 r :iz » r — 6 DE prr8 p=i p=» /» = 7 P=4- p-7 p = 5 p-S p-x NOVA zr. t — s rr I qui quoti cum ante inuento lianc feriem conftituunt 12, I, I, I, 2, I I, I, X2 etc. vnde fradioiics quotis la fubfcriptae quaefit» fati»- facieut , quarum prima eft \ ita Tt fit x—izx.y—x Tndc formula propofita acquirit Yalorcm ^ i. At fi fumamus • — » — V 44 jT] iie — » - t — < (y 4t -4- « — - V«*-4-.* Tndc pofito vt ante ^ — 44 et e — 6^ habcmus r= 3 p = 7 f = I r — 4 I p= 4 ?=^ * ttquc hic fubfidii-nus, quia eaedcm diuifionc» ian» fu- pra occurrerunt et nunc ferics quotorum crit I, «, I, I, I, 12, I, I I I, 2, I ctc. prima autem fraclio quoto 12 refponden* hic fit V , fumatur crgo a*=i:8 et/n:— ii^ atque noftfM focmulM Ttlor CMdit + i. Ixe«~ SPECIE MINIMI. Exemplum II. 239 25. Proponta formula •; x x — 20 xy + i^jv minimum rcddenda, cuius ^alor cafu xzzi et j' r: i flatim fit H- I certe minimum. Hic ergo fradio ^ proxime debet effe aequalis formulae 1^^^" , vnde ftatim primus quotus oritur rr: i et refiduum erit sH-Vz vnde pro fecundo quoto habemus . — ^— — z^'~'^ ^^ — ^~^- ficque quotus — i , et refiduum — 2--V2. Pro tertio quoto iiabemus _i--- — idii-l , ficque quotus r= i , et reliduum V 2 : — V » quare pro quarto habemus _i. — ^ , vnJe fequen- tes quoti funt vti fupra inuenimus i, 2, 2, 2 etc. ? integra ergo feries quorum erit .1, I, I 1 I, 2, 2, 2, 2. Quamquam hae operationes initio irregulares vidcn- tur, eas tamen fccundum regulam praefcriptam eaol- vere licct , hic enim efl fiatim k~2 C—i, r— 10 et p :^ 'j , vnde calculus iia procedet ; r — + 10 P +7 ^ I r - 3 P--! ? I r + 2 P ■ +2 ^ I r __+ 0 P=+ I ? — I r — + I P + I 9=2 r -f I P- 1 9=2 hincquc fuperior feries quotorum oritur , vnde va- lores fraflionis - fequenti modo proccdent : I) I, 240 I) E N O V A I. 3« I I I ■ 19' quarum fecunda ftatim dat cafum minimi ante rre- rr.oraturr. Ttrtia dat H- 2 , quarta — i, quinta dat -f- I , lexta — i ctc. lidem \alores fine dubio prodirc di.bent , fl in fradlione pro - capiatur V % negatiuc , vt habcaiur '.2-=-tl. , quam etiam per re- gulam nof^ram euoluere liccbit , dummodo ita re- praefenrctur : '^^- , ita vt fit r— — 10 ctp — — 7, vnde calculus erit r cr. ~ \o r — -\- 3 r — ^ I r — + I ^ rr 2, ^zr I P-- 7 q— ■{■ X q- * q:z: 2. Ex quibus quotis fequentcs fradiones formantur 4, -? ♦ 9 37 etc quarum fi.cunda formulam reducit nd H- t, tertia ad — I , quarta ad -H 1 etc. Notatu dignum hic occurrit, quod hae fraftiones a praecedentibus tanto- pore difcrepcnt , atque nihilo fecius cadem mi- nima producant. Sei fupra iam oflendimus hu- iusmodi formulam cosdem valores recipere poffe , dum loco Ji- et j diuerfi valores fubftituuntur. Exem- S P E C I E M I N 1 M I. Exemplum III. 2^i 25. Sit propofita forinula 2. $ x X — ^o xy ■{- ^6j )^ minimum reddenda , iiic ergo proxime effe oportet ~~ ^"^^ ^ , vnde primus quotus fit zi i et refi- duum =r 2 -H V 3 ergo pro fecundo quoto habe- tur fradio —^^~z=ili^A — l^^^ hincque quo- tus — I. Tota autem operatio per regulam no- ftram expediri poteft , fi fra^aio noftra per 5 mul- tiplicando ad hanc formam reducatur "-'"/li , vbi ci\ k=z -75 , ^ — ^ i rzz :iS Qt p—25, Yude cal- culus fequitur rrr 35 p— s.S ^ = +1 r — — 10 p=— \ ^ — +1 r— -i-9 pz=+— - ^5, ? r -35 P -25 ^t valo- SPECIE MINIIVIT. 24-3 "valores tnmimls numeris exprefli ab hac regula recedant. t-j. Ex Vis exemplis abunde perfpicitur , quo modo regula noflra aeqae facili ac concinna in bmnibus cafibus vti conueniat , imprimis autem ea optimo fucceflTu adhiberi pOterit in Problemate illo PeIh'3no famofiffimo foluendo , vbi quaeruntur nu- meri x et j vt fit jzziVikxx-^- i) > tum cnim vtique oportebit effe proxime^ — V^, quandoqui- dem fotmula jy — k X X minima fieri debet , mi- nimum autem iam fponte conliat efle — i , pro- diens fi :t: — o ezyzni, Veluti fi fuerit ifc— i3, cui conuenit £• — 3 ac primo fit r zz: o, p — i, hc- que calculus ita progredietur ; f r~ 0 p_-i q 3 r— 3 P-4- ?— I r I p-3 ?— I r a p— 3 1— I r— I P-4- ^ I r_ 3 P I ^ ^ r — 3 P-4 ^_-i. Vnde cjuoti cum fradlionibus ^ erunt ] 5> 3 ») I, 7 »7 * 1 3S€ 5) S^J 5B) 71) 109) 1?5 <^ etc. ctc. vbi maximi quoti funt fex , quia autem ^ maius '^- Hh 2 * €fle 244- DE KOVA SPECIE MINIMI. effe debet quatn Vk fradiones autem hic refultantcs alrernatim fuperant et deficiunt ab ifto valore , pro cafu noftro eas accipi oportet , quae locis imparibus confiftunt , ergo vndecima harum fradionum , quae dat y — (?49 et ,v — i8o quaefito fatisfacit , fradio autem priori 6 fubfcripta refoluit aequationem 7- PHYSi- PHYSICa MATHEMATICA. Hh 3 VERA «? \ VERA DETERMINATIO CENTRI OSCILLATIONIS IN CORPORIBVS qVALIBVSCVNQ^VE FILO .FLEXILI SVSPENSIS EIVS(^VE AB KEGVLA COMAlVNi DISCREPANTiA. A u c t o re DANIELE BERNOVLLL Solent Philofophi huiiis faeculi , longitudinem pcuduli fimplicis ad minuta fecunda vibnuuis iii diucrfis terrae locis inquifituri , globulam aliudue corpus filo tenuiflTimo atque flcxilifllmo fuf- pendere minimasque eiusdcm ofcillationcs cum ofcil- lationibus penduli in horologio , Ibllicitc prius cx- ploratis , comparare indeque dc accurata longitudine penduli fimphcis ad minuta fecunda vibranti» iudi- care idque cum tentant nihil negligunt , quod vel ccntefima vnius Iineae parte ifiam longitudinem al- tcrare poflit : pon.lufculum fili ad pondus corporis fufpenfi applicatum lcrupulofc inquirunt , excurfio- num penduli rationem habent , quia maiores paisllo tardius abloluuntur in circulo quam min^ircs , adio- ncm quoque aeris in corpns (ufpenfum ct quis indc cxpedtari dcbcat e£[edu& examinant , ciUoris itidem efFcdum 24» DE CENTRO effedum in loiigitudine menfurae , qua \tuntur ad dimetiendam longitudinem fili accurate detccminaa- dam aliasque huiuscemodi circumttantias , \tcunque exigui momenti , quisque pro fno ingenii modulo et iu expcriundo fcrupiiiufitate , probe perpendunt; His omnibus adhibitis cautclis denique cognolcitur , non folum quotnam penduium propofitura conRcerit dato tempore orcillutioncs fed et quotnam perfcdu- rum fuifllt , fi filum adhibcri potuiffct omnis gra- \i£at:s cxptrs , fi excurfiones penduli re \era \cluti infinite paruae fuiffcnt, fi calor datum habuifTa gra- dum , fi aer omnis abfuifTct etc. Hacc omnia vti- quc rcdiflimc (e habent ; at quod , rcliquum eff, id potiliimum fcrupulum mouet. Scilicet in pendulo propofito inquirunt in ccntrum ofciilationis , ftcun- dum legcs communes a magno Hugcnio primuiti inuentas et dcmondratas tumque diliantiam inter pundum fufpcnfionis praefatumque centrum ofcilla- tionis pro \era longitudine penduli fimplicis ifocbro- ni afTumunt. Qiiid vero de hac vltima opcratione cenlendum fit , conflitui in hac diatriba ad accura- tam trutinam perpendere. §. 1. In tlieoria Ofcillationum Hugeniana fy- ftemata ofcillantia fupponuntur, quae in fingulis pun- <5tis figuram fuam perfedle conferuant ita, \t omnes totius fyftematis pnrtcs communi motu angulari cir- ca axcm rotationis ferantur , inter ofcillandum id idem contingeret in noftris , quas examinabimus , ofcillationibus , fi loco fili fiexilis adhiberetur filum rigidum corpori ita infixum , \t fimul filum et corpu» O S C I L L A T I O N I S. 249 corpns ipfi annexum commrini motu angulari feTfi cogantur atque vt ipfum filum cum axe corporis app^nfi conftanter in diredum fit pofitum ; "vooo autem axem corporis lineam , quac a pundo fus- penfionis per centrum grauitatis dufta cenfetur. lara vero apparet , hanc hypothefin in fyftemate noftro rninime pTaefuppani pofle nec debere ; fieri enira poteft et reuera ita fit , -vt filum flexile cum axc corporis angulum cfformet inter orcillanduTn data legc Yariabiiem , vnde ofcillivtiones oriantur toto C02I0 diuerfae ab ofcillationibus Hugenianis. Reuera in vtroque ofcillationum genere formulae pro pen- dulis fimplicibus ifochronis, ex veris legibus mecha- uicis dedu atquc d u—^ — ^ a.. Efi vero potentia bn—p\ crgo , ob fimilitudinem triangiili bdu cum trian- gulo nob fit poteiuiohi ^o — (^— ^jp. ifia po- tentia impenditur in rotationem corporis circa pun- ^)L :|.) quae in ae.juationeni conuerfa dat ' Hinc denique ^ c_ X X — X 2 ± V (♦ X X X fx ; — L ;> -<- (X z — X x^«) O" ' 2 X i — 2 L i Haec aequatio pauUo fit concinnior fi ponatur X — L ~L', ita vt fit linea ct fiue diftantia centri graui- fatis a pun(3:o r — L' hoc modo obtinetur % X X — x; ± V (. X X i,M -H fx ; — X X »)_ €. ^ — 4 et L' = 3 , fit y^ L'/ -i- (/— X/ zz 65 atque ambae fbrmulae para- graphi fexti faciunt longitudinem penduli fimplicis ifochroni — 7, in altera vero hypothefi haec lon- gitudo fit — 6\l : hic igitur difTerentia inter \trum- que pendulum fit —55, quae facit centefimam o< - = 44° 45=4-40. 0227 lin.. vbi notandum, quod prior numerus tantillum exces- fu , alter defedu peccet , et quod vera difFerentia , inter vtramque theoriam , decies millefimam vnius lineae particulam parum excedat , quac differentia longe minima intra trimeftre vix vnum minutum fecundum Yaleret iniicere , uiQtaxn equidem confor- miti- O S C I L L A T I O N I S. 2(Ji mitateni inter vtrurnque ofcillationum genus plane diuerlum ab inuicem atquc formuiis algebraicis , omni funilitudine deftitutis , exprellum ante inl\itu- tum calculum non expeftaflem. Nunc autem nemo tam fcrupulofus erit , vt vllam in corporibus rai- noribus filo fufpenfis corrcdlionem adliibere velit : 'Aliter interim fe res habet in corporibus maioribus, filo breuiori fufpenfis , pro quibus tlieoria Hugenia:- na nullo modo admitti poteft , nifi debita corretflio ad dudlum theoriae nofl:rae adhibeatur. Progredior ad alterum ofcillationum genus , quod argumentuni praefens admittir. De ofcillationibus accefToriis celerioribus, §. 12. Ofcillationes , de quibus nunc fermo eft, fe componunt ad confbrmationem figurae fecun- dae , vbi punda analoga fisdem defignantur literis , quibus pro figura prima vfi fumus : lineas autem pundlatas vna cum iitteris ad eas pertinentibus appo- nere non necefle duxi. In hac itaque figura fecun- da denotat rurfus ac vel ab lon^itudinem fili j cr vel b q axem corporis ofcillantis , cuius centrum grauitatis in t vel g ,* centrum vero ofcillaiionis , pro fuppofita fufpenfione in pnndo c vel ^, itcrum eft in / vel d-^ ambae figurae in eo eflentialiter dif- ferunt, quod in priraa figura punda b et d fint ad easdem partes , in figura fecunda fint ad partes con- trarias pofita et cum in figura prima reda sf et Xdf defignet longitudinem penduli fimplicis ifochroni, erit etiam pro figura fccunda linea sf vel / d lon- K k 3 gitii- iSi DECENTRO gitudo penduli fimplicis ifochroni pro ofclllationibus, qi!;is nu;ic commentor. Nocetur imprimis , quod pro luc orcillationum clafTe fignum inferius fit feli- gendum , quoties in formulis §. §. 5 et 6. expofi- tis quantitas radicalis occurrit, §. 13. Not.ari hic meretur fitus pundVi x, quo axis corporis olcillantis pcrpctuo axem verticalem in- terfeCiU- Ponatur primo longitudo fili /— o tum in- dicant ambae formulae par.igraphi quinti longitudi- nem psnduli ifochroni :r:o, plane ac ft rapiditate infinita ofcillationes pcrficiantur ; verum cnim vcro aduertatur , ofcillationes fupponi vcluti infinite par- Tas : oportet itaque vt fit arculus b c \eluti infini- ties miuor longitudine fili , quod ipfum cum pona- tur ~o, fimul arculus bc ponendus erit — o; cr- go totus motus ofcillatorius ad pcrfedam redudus erit quietcm. Melius nobis confulemus , fi filo mediocris fupponatur longitudo , dum quantitates X et L' fU- tuaiitur veluti infinitae ; tunc autem jntelligemus ex formulis noftris , fore pendulum ifochronum j , ^ i — ^fTi u~^^ d — \j* • — x-r-iH-v^TL^^I+La— X)'-^ "^ * Exinde ceu corallarlum deducitur , quod fit diftao- tia as in figura prinia lemper aequalis dinaniiae // in figura fccunda fiue aequalis longitudini penduli ifochroni pro ofcillationibus fecundi ordinis. Igitur , in figura prima , indicat sf longitudinem penduli ifochroni pro ofciilatiouibus pollerioribus. De ofcillationibus vtriusque generis coexiftentibus. §. 17, In vtroque genere ofcillationes erunt fimplices, fi clongationes initialcs pun femper fciiicet ipfi pnnderi corporis M erit aequalis, hoc i:;itur valore fubftita- to duae reliqu.ie nofirae aequationcs erunt prior «_M1_^.^ -~^ Qt altera -l^ - z±.^-dtl^ ac fi ex poficriore loco —^^ eius valor in priore fubftituatur, fiet a Jd& -bbH -(-665 _. _ ^ q^^ dd^ bh($ — bb9 — cc^ bh(P — {bb-i-cc)% crcc quae combitiata cum altcra di^ — 6 3: -f- 6 s ^ gd t* 6 c omnia *74 DE MOTV omnia continet quac , ad folutionem problematis rc- quiruntnr. §. 6. Quo autcm harnm acqnationum diflercn- tialium integralia indagemus , eas inter fe ita com- binemus, vt talis forma proJeat 2gdf> BCC ' feuera autem prodit Kdd ^ + Z dd(p A660— A(6 6-f-cc)5 Bai(J)_(_Ba65 2gdt* acc 'i'c " neceffe eft igitur , vt fiat I. A^ = -A(bb-^cc)-\-Bab tt IL fiB^Abb-Bab ex priore ergo ABN — -ABibbH-c/;)-^Bh 1 « qiiandoquidem ex tribus quantitatibus cogniti? ^, b et c hinc litterae p et ^ facile determinantur, atque -hinc pro fraftione ~ gemiuum valorem adipilcimur aherum ^—p-^-q, aUcrum |-— p — y, quorum Ttrumque feorfim euoluamus. O S C I L L A T O R I O. 273 f. 7. Ex priore igitiir babemus A— p-f-j ct B — I \ncie obtinemus ABN— (p-f-<7)'^Z/-(p-i--7)^^, ergo N:z:{p^q]bb-ab atque hinc acquatio diffcrentio differentialis prior cuadct (p -+. ) d d ^ H_ i d cp ((f -+.?)& 6 _ a 6; ((/>-+- 9) 5- -+- 01} 2 g d i' a t c atqiie hinc fumendo q negatiue , itatim formatur al- tera aequario {p^^^ddSr-^dd:^ (vp — ■;)£ b —ah){[p — q)^ ^IH) igdi- ' ac: * $ 8. Introducamus nunc 'loco angulorum B- ct 0 duos alios angulos u ^^ V ponendo {p-^q)^^-^ — u et(p-^)9-+(p=:'y vt fiat 5zi^ f t (p — 'irhJ' _ p (" — ^) quo fiido impetramus fequentes duas aequationes dif- fercntio differentiajcs A du . ^u{ab—(p-i~f])bb) g^ ddv — — v(ab — (p — ,^)bb) iquarum akera inflruit qnantitati u determinandae, alte- ra vero ipfi 'V, quandoquidem hae duae quantitatcs u ct V non amplius inuicem funt pcrmixtae. § p. Ad has acquationes integrandas introdu- camus duus nouas litteras lubfidiarias , ftntuamusque gg(a6—(p-f- .;)»£) _ ,^ ffi ct ^ S (^' b — (p ~ q)b b) — « « M C C u C C "Vt aequationes noflrae integrandac ad has formas fimplicilfimas reuocentur i^zz-mmu , ct ^ zz - n n v Tom.XVIlI.NouComm. JM m quarum 274- D E M O T V quarum integralu bis fumta rcperiuntur per metho- dos cognitas u-^zCfin.mt-^-DcoLml et vi=Efin.fU-f-Fcof.K/ •vbi litterae C, D, E, F qiiantitates conflantes quas- cunque ex circun^ftantiis motus detcrminandas dcfi- gnant ; quia autcm per hypothefin anguli u et v perinde ac principalcs (emper manere debcnt quafi infinite parui , etiam has conftantcs infinite paruas efle oportct. §, 10. His igitur conflantibus rite conflitutis , quia numrri //; et n dantur , ad quoduis tempus / ab initio elapfum et in minutis fecund"s expreff^um ambo anguli u it v definiuntur , atque cx his porro ipfi anguli 3- et CP conciudentur , quibus flatus pen- duli lioc tempore determinatur. §. ir. His igitur probc perpcnfis, manifeflum •efl, Problema quod hic tradLimus maxime cflc com- plicatum , fi quidem folutio maxime generalis dcfi- dcretur. Solutiones autem particulares inde fieri poterunt phis vcl minus fimplicis prouti litcrarum C, D, E et F vna plurcsue capiantur cuanefcentes , quibiis autem euoluendis hic non immoror, cum in luperiori diflertatione omnia quac hiic pertincnt fe- liciflime fint euoluta. §. 12. Caeterum hic obferuaflle iuuabit, hanc lolutionem eatenus fempcr Incum hnbere pofle, qua- tenus formulae ab—[p-\-q)bb ct ab—{p — q)bb am- bae habcant valores pofitiuos, quod fi enim ponatur ab —pb b — r b b -i hae formulae in fequentes trans- mutan- O S C I L L A T O R I O. r/rj inutantur ir — q)b b et {r -\- q)b b ^ exiftcnte r rr ° ^ -+- 6.&^j-cc ^ ^yg^g ^yy^ ^jj. rr)>qq^ ob r-j-^ quantitatem pofitiuam , pofitiuum quoque nancifce- tur valorem r — M m a vnde a7if D E M O T V Tndc dcducimns a c c jj fj feg(a-f-/-t- V(o — f )•-(-♦ a& c c c Ponamus auteai pono brcuiratls gratia 'V{[(- V^) et v — E fin. (« / -H v) , \bi litrerae C, E et fx, v denotnnt confiantcs pep integrationem ingrefTns , quas cx motu initiali defi-» niri oporrct Yti mox videbimus. §. 14.. Quia deinde habuimus : S — "~''' cc d) — «Lrt^ — p{u — v) nunc erit \nde fi loco v et r^ valores ante dati fubftituantur nancifcimur S-— ^ fin. («r ; _f- }x) - ^ fin. {n t -\- v) ct qs^__c'fr-a.fn fin_ ( w ; 4- |x) -f LiA^',-L) fin. (« ; -f- v) cx quibus formulis ad datum quoduis tempus / ambo anguli 3- et 4) afliguari poterunt, vnde totus penduli motus innotelcet, §. 15. Vt vero ctiam ipfa cclerltas anguTari» Ttriusque motus patercat , notandum cil celentatem angu-" O S C I L L A T 0 R I O. t77 angukrem, qua bini angiili 9- et Cp increfcunt, effe ^ et 1? quae igitur ex noftns formulis ficnt ^4 ^"^ cof. 0« t^i^)-"—- cor. (« f + V) atquc liinc iam pro ipfo motus iniiio, quo erat tcm- pus f — o, non folum ipfos angulos .S- et CP fed et- iam eorum celeritates angulares tam filo quam cor- pori primum impredlis afllgnare poterimus , crat enim ipfo motus initio vbi t ~ o d^ _ m C 6 ^.Q,; ^ _ nEi cof. V d^ _. "'Cfb-^^-n cof. a 4- ILLi^^l^) cof. y d I 2 0 ' ' 1 o quae quatuor qnantitatcs cum ex dato motu initiall fint cognitae, hinc quatuor noftras conftantes Q E et angulos jjl et ^' definire licebit, ita vt deincepS pro quouis tempore ( nofirae formulae detcrminato» Talores fint exliibiturae. §. i5. Cum in has determinationes gemini anguli {.m / + {J.) et (u t -{-v) ingrediantur , qui adeo iriter fe incommenfurabiles efle polTunt ; motus vti- que maxime complicatus exfurget , nifi forte alteru- ter angulus ex calculo egrediatur , id quod vfu ve- nit , fi fuerit vel C zr o vel E — o, quibus cafibus motus rcgularis motui pendulorum fimphcium fimi- lis cxorietur. Mm 3 f «7. 278 DE MOTV §. 17. Sit igitiir primo E =r o ita vt motns determinatio tantum a rolo angulo {mt-{-ii.) pen- deat atque manifcftum eft, poft tempus tzz- fec. ■vbi TT denotat femiperipheriam circuli, cuius radius rr I. finum anguli (;/;;_[_ p.) priori fore aequa- lcm at figno diuerfo affcdum , vnde lioc tempore Trr ^ pendulum vnam ofcillationem petegifTe cen- fendum erit ; fimili modo fi fuerit C — o, ofcilia- tiones iterum euadent regulares et fingulae abfolueu' tur tempore ^ — ^- fecund. §. 18. Sin nutem neque E — o nequc Czr 0, motus maxime crit irregubris , intcrim tamen eum mente faltem tanquam ex duplici motu regulari compo- fitum (peAare licebir, quorum altero ofcillationes pera- gantur tempore - fec. altero vero tempore /rz— fec, prorfus vti Uluftris Audor fuperioris diflertationis ingeniofiffime ex fuis principiis conclufit , atque hoc obferuato facile erit pulcherrimum conienfum inter ytramque folutionem agnofcere , ctiamfi ex diuerfis- fimis principiis ambae fint erutae. Digreffio ad ofcilktiones finitas. $. 19. Hanc quaeftionem methodo Bernoullia- m ne tentare quidem licet , prima autem motus principia iam initio tres nobis fuppeditauerunt ae- (juationes, quibus plena huius quaeftionis folutio con- tinetur , quae pofito *=acorS--H^cofCp et/— <2fin.S- + ^fin.4) erant I. O S C I L L A T O R I O. 279 T ddx ,— Tcj/^ ddy — T /m. 3- TTT dd(^ _ — T 6Jm. ($ - 5) totum ergo negotium huc redit , vt iftae aequatio- nes per integrationem eo perducantur, Yt fingula motus phaenomena inde definiri queant , quae inue- ftigatio fi minus fuccedat, imperfedioni Analyfeos po- tius quam mechanicae erit tribuendum. §. 2o. Statim autem hinc \nam integrationcm exfequi licet , fi enim priroa muhiplicetur per dx = ~aci^ dn.^- bd(p fin. Cp fccunda vero per dj' — ad^coL3--{'bd(p cof. (p aggregatum coliigitur fore ilJJj±j^ill—dx C+IC^^Sfin.^cofS+WCpcofS- fin.Cj)) ?-I.(^^^fin.acor.^+W(|) cofCpfui.S-) \bi in terminis fradtionem I- continentibus partes priores fe deftruunt , polkriores vero contrahuntur in b d (P {in. (^ — B") ita vt habeamus dj^d^-^d_dy — dxl{bd(p fin. (Cp - 5) cui fi addatur tertia aequatio per ccd(^ multipli- cata , refukabit ita aequatio integrabilis dxddx-t-dyddy-i~ccd-ddycoS:!D __ fj„ (b _ 1 fin. ((t) - ^) cum nnnc ex tertia acquatione fit haec ab illa in b ducfla , fubtraifla reHnqnct bdd xfm. t) — bddy co!.J> — ccd i (^ h Cm (h a gd l^ ' * T in quibus duabus aequationibus intcgralis ante !n- yenta iam continetur. r . , , f. 4 2. Eliminemus autem infnper littcras x e* /j vt binos tantum angulos variabjles 3- ct Cp cum tempore / in calculum iutroducamus et cum fit dx--adB-Cir\.^-bd(pCu).(p ct djz:zadBco{.S- + bd- h] fi'i. vi \bi ob ofciUationes minimas loco fin. y\ fcribere li- cet ipfum angulum y]y hinc igitur fi breuitatis gra- tia faciamus I g (1 -j- ^' :=//, \a-hby - pofl duplicem integrationetTi reperitur fore -v) zr A fin. (/; -f- X) ■vbi A et X (unt conftantes arbitrariac , ex qua for- muia intelligitur tempus vnius cuiusque olciliationis fore — y fec. §. 25. O S C I L L A T 0 R I O. aSs §, 25. Vt iam cafum dcterminatnm ad caku- Inm reuocemus, fit corpus nnnexum B M N globus ex materia homogenea ccnfcdus et flntuamus I". Longitudinem fili AB— a— 3 ^igii:. IP. Kadium globi B C =r ^ =: i digic. iir. Hioc autem ^et c c — l b b :z: ^ hjc autem digitos intelligamus decimales pedis rhe- rani ita vt fiat altitudo ^— is^^ digit. liis pofitis pro motu penduli rigidi colligimus fore //— — m75, 21951 hincque /—8,75038 vnde tempus "vnius ofcillationis prodit — o, 35984 fec. §. 26. Fnciamus nur.c etiam calculum pro nofiro pendulo flexili, quod non differt a praecedente nifi quod globus hic etiam circa pundum B girari poflit cx §. 13. deriuemus valores II". a—f~ 1,60000 ct 111°. /;' = V ((^ -/)' -H 4. ^ ^) = 3, 81 575 vnde porro colligimus acc 1,10000 — ' ' -^ 1^0- Iiinc f«=:8, 72200 porro a c c i^ 20Q00 -^ ' ' hinc n zz 32, 70730 pro ipfis autem angulis S- et (p habemus |-=o,252o73 *-=^^zz 0,2903 5 et^±±-/— 0,709(^7 N n 2 hinc- hincque angiili 9- et (J) ita definientur S- — 0, 262C7Cfin.(;«?+[jL) — o, :6207Efin. («f + v)et cp— 0,290 36 CfiP. [mt-\- p.)-|-o,70 967Efin.'«/-i v) denique pro vtroque motu angulari inuenimus ^-^ — 'J,iS578Ccor (wHp.;-8,57i6oEcor(«/-fv) et ^n; 2, 53 2 5 3 Ccof (w^ + fx) -I- 23, 2 1 1 59 E cof.(;;/+v) his inueniis fumamus primo pendulum initio hniiis- modt motum accepiflTe, vt fuerit KrzO tt cuidcns e!l motum ofciliarorium fore regularcm , ct vnain- quamque ofciilationem ablolui tempcre —^30,36019, quoJ tcmpus ergo paulispi.r maius cft quam in pcn- dulo rigido , quod erat o, 35984- (cc. idque in ra- tione 1029 : 1028 ita vt dum penduhim rigidum abfoluit 1029 vibrationes , flcxilc tantum abfohiat 102S. Vt nunc definiamus quomodo penduUim ad talem n.otum reguhiicm fit incitandum, ponamns initio \bi / — O totnm motum a quicte incepifle ficqnc fuerit ncccffc crt |Ji. zi: k ~ 90 gr. cx quo ini- tio obE — Ocrat 9-~o, 2^207 C ct cPrrc, 2903.'; C vnde patct ratio intcr hos duos angulos initiales quae crat S : Cj) — 9: t o. Cneterum fi filum AB prae radio globi B C adhuc longius acciperetur dif- ferentia inter vtrasquc ofcillationcs multo minor ef- fet proditura ita vt pro iongioribus fiiis pro eua- nefcente haberi poflit. §. 27 Confideremus etiam alterum motiim regularem qao C — O et tempus vnius cuiusque ofcil- O S C I L L A T O R I O. ^83 ofcilliUionis —^ — 0,09605 ideoqne fere qunter breuius qiiam cn(u praecedente ; nd ralem autcm n o- tum penJulum initio ex qu ctc iicitahitar fi ob CnzO et /; — 90 gr. cnpintnr angiilus 9- ~ — o, 26 207 R et Cp — c, 70967 E penduli igitiir tigura ip(b ini^ tio ita compnrnta fucrit iieceffe e(l: , vt prodndo radio B C v&que ad verticnlcm in o fit proxime BQii:i, IC79 ita vt centrum globi durnnte hoc motu vix a linca verticali reccdat qunndoquidem rcdae A B et B O eandem inter fe teneant ratio- nem quam anguli <$) et 3-. §. 28. Cont:mpIemur vero etiam alium mo^ lutn mixtnm et quidcm eum , qui oritnr, (i initio centrum globi C in ipfnm dircdlionem fiii AB pro- dudam incidat hincque pcndulum fubito demittatur, vt vterque motus a quictc incipint , fueritque decli- natio pcnduli V A B C ~ a ideoquc 3 — CP ~ a, Qiiia igitur initio fit / ~ O et (x zi: v — 90 gr. ha- b^bimus a — o, ::52o7 C — 0, 25207 E ct ci— o, 25036 C 4- o, 70967 E cx priore fit C — E-f-3,8i575 a qui Talor in altera fubfiituius dat E — — o, 10795 tt hinc C — 3, 70780 «. ?. 29. Quia nunc litteras C, E pcr angulum minimum a datum determinauimus et anguli p. et y inuenti funt redi vnde fit Nn 3 fin. ISS D E M 0 T V Cn.(w/ + jj.)— cof.w^ et fin.(«;4-y)=:cor.«/ tum vcro cor»u + |j.)=r— fin.»// "et cof.Oit-]- v) — -Cm nt. Pro motu penduli fcquentes formulas penitus deter- minatas habebimus 1*. S-=30,97i72acor,«?-f OjOsSapacofw/ IP. 0—i,o7. t: fierique potcrit vt tuna prodcat ^^zi: 0,92533 a et J^zi: 2, 50572 a ponamus igitur fumto w ; rr X tt H- w pendulum penitus ad quietem reduci , eritque pro filo fin. 0) — °jL^i2ii — ' »} 47519 " proxime , cui tempus refponder =r /g fec. ita vt in aeltimatione fiue initii fiuc finis cuiusque o(ciiIatio- nis errari poffit , parte circiter feptuagefima vnius minuti fecundi , quare cum huiusmodi tantilli erro^ res in numeratione ofillitionum ne quidem pcrcipi queant , ob hanc rationem ne minima quidem pcr- turbatio motus olcillatorii lefultarc eft cenfcnda ; omnes fiSS DE MOTV OSCILLATOmO. omnes autcm aberrationes penitiis ad nihilum redi- gcntur , fi longitudo fili prae magnitudine globi ad- huc maior accipiatur , quemadmodum in experi- mcntis ficri folct , ybi ctiam prior error memora- tus -,l,t multo m;igis diminuitur , Ttidc condudimus dummodo longitudo fili ad radium globi maiorem «eneat rationem quam 3 : i tum in motu ofcillato- ilo nullum planc crrorem a fle:&ibilitate pcnduli cffe metucndum. DE DE PRESSIONE PONDERIS IN PLANVM CVI INCVMBIT. A u c t o r c L. E V L E R 0, I. uantam prcfTionem pknnm a pondere incum- bente fuftineat , in elementis doceii folet , fci- licet fi planum fuerit horizontale prelTionem ip(i ponderi efle aeqiialcm , fm autem ad horizontem fit inclinatum , eain prefiionem in ratione fmus totius ad cofinum inclinationis effe minuendam ; tum vero vtroque cafu diredionem preffionis in planum efle normaiem , et per centrum grauitatis corporis triinfire. Koc autem de tota tantum pres- fione , quam planum liiflinet , t\\ intelligendum ; neutiquam vero ab Auifloribus definitur , quantis vi- ribus fingula plani punda, quibus pondus fuftinetur, \r^^eantur. 2. tLnid equidem memini fimpllcifllmum ca- fum , quo pondus itrnis pcdibus plano infiftit , euo- lutum videre ; quem autem fequenti modo fatis Tab. II. concinne expedire licet : Infiftatit plano terni pedes I^^ig* ^» in pundis A, B, C et redla ex ccntro grauitatis ad planum normaliter duda cadat in pundum O, tum Tom. XVIII. Nou.Comm. Oo dudtis cpo DE PRESSIONE PONDERIS duiftis redis OA, OB, OC, item hteribus A B, BC, CAj tota prefllo (e habebit ad preflionem in pnndo A, vcl B, vel C, quemadmoJnm area to- tius trianguli A B C ad aream trianguli, fme B O C, fiue AOC, fiue AOBj cx quo inrelligitur pres- fiones fiiigulorum pedum inter fe aequalcs non tore, nifi pun(^um O in iplum centrum grauitatis trian- guli A B C inciJar. 3. Verum fi pondus quatuor pedibus plano infiflat , determinatio fingularum pr.uionum non folum multo magis ardua dcprchendicur , fed etiam prorfus inccrta et lubrica videtur ^ ftatim enim ac illi pedes , non cxadifllmc intcr fc fuerint acquales , ita vt omnes plano paritcr inmtantur , nianifcftum eft totum pondus a tcrnis tantum pedibus fulkntari ct quartum penitus fore fuptrfluum ^ atque haec in- ceriitudo multo mngis locum habet , fi numerus peduni adhuc fucrit maior , \el fl pondus bafl qua- dam continua plano incumbat ; tum enim nifi tam ipfum planum , quam bafis corporis pcrfedc inter fc congruant tt lcuiflirr.ae afpcritates in iis promi- ncant plerunique totum pondus ii\ tribus tantum puncliis lurt^ntabitur. 4. Ne autem perfecftiflima illa pcdum aequa- litas , qnalem vix ndmittcre licet , negotium facefTat, concipiamus planum flue folum cui pondus incum- bit , non adeo cfle durum, vt nullam plane impres- fjonem recipere poflit , fcd quafi panno efle obdu- clum , cui pedes illi aliquantillum ie immergere queantj I N P L A N V M. Apt qneant ; vbl quidem tiito afriitTsere licct imprcnio' nem cuinsque pedis proportionaicm cffe vi , qiia lolo innititur , atque hoc principio concfcffo , totum hoc negotium facile expediri poterir. Neminem au- tem pannus ille preflloni cedens ofFendat , etfi enira illi moUitiem quandam tribuimus , eam tamen quousque libuerit , diminucre licebit ; ita vt tandem indolem foli illius , cui pondus renera infiftit , adi- pifcatur. 5. Confideremus igitur quatuor pedes , qno- rum extremicates A, B, C, D in plano terminen- tur , qui folo innixi in pannum illum per fpatioli A a, B /3, C y, D S penetrent , quae fpatiola qui- dem adeo tamquam infinite parua fped-are liccbit. Hoc autem pofito , primum punda a, (3j y, § tan- quam pedum extremitates , etiamnunc in eodem plano erunt pofita ; deinde vero ipfa ifta fpatiola A a, B (3, C y, D$ preflionibus quibus finguli pe- des folo innituntur , cenfendn funt proportionalia. Hinc igitur vicifTim fi in pundis A, B, C, O fu- per plano erigantur perpendicula A a, B (3, C y, et D (S" quae fmt ipf.s preffionibus in liis pundis proportionalia , necefTe eft , vt puuifta a, (3, y, 0 reperiantur in eodem plano , atque hoc efl princi- pium , cui totam nortram inuenigaiionem tuto fu- perftruere poterimus , idque co inagis , quod iam non amphus idea illius panni , neque imprefTiones in eo fadae , in cenfum veniunt, hae enim ideae, hic tan- tum ia fubfidium noitrae imaginationis funt vqcatae. O 0 2 Priu- »5* DE PRESSIONE PONDERIS Frincipium Generale. Tab. II. 6. Siue pondus pluribus pechbiis innit:\tur , F^g' 3- Ciut baii incumbat plana cuiuseunque figurae , fit pun(fluiTi M fiue extrtmitas cuiuspiam pedis , fiuc elementum quoiipiam bnfis pro quo prcfiio quacri- tur. Concipiatur ibi perpendiculariter ereda linea M jJL ipfi prclfioni proportionalis , atque neceflc clt , omnia ifta pundla p. in quopiam plano terminari ; hoc igitur principio ftabilito , qnemadmodum pro omnibus cafibus prefiloncm in fingulis bafis puncftis definiri oporteat , hic lum cxpofiturus. 7. Primum igitur in indolem pUirium atque ade» infinitorum punftorum in eodcm plano exiilcntiuitl inquiramus, qucm in fincm fit rcda FG intcrlcdio, qua plauum cui pondus incumbit , a plano illo per omnia pundla jx tranfeunte interfecatur , quae qufa vti incog')ita fpedari debet , luiramus pro lubitti axem quendam fixum A B, ad qucm pofitioncrti pundorum M refcramus ope normalium M N ad hunc axcm dudarum , ac voccmus ccordinatas A N — *, N M zzy ct ipfum pcrpendiculum M [a preflionein ref.rcns —z, ita vt pundum p. inorc folito ternis cocrdinatis .v, y tt z intcr fe normali- bus definiatur. Tum vero pro intcrRdione antc me- morata FG, ponamus fpatium AF— /", angulum- A F G zr <^, inclinationcin autem binorum plauorum — 0. lam cx punfto M , pariterque ex N ad hanc rcdam F G ducnntur normales M V, N L, et N T para Icla ipfi f G , ac iunsatur rcda \}, V". Nunc i^ituff IN PLANVM. »p5 igitur cx triangulo N F L, obtinemus ob TN=/+.v,FL-(/+.v)cor.<, NL=r(/4-.v){in.(^; tumvero ex triangulo M N T vbi angulus N M T itidem eft ^ , colligimus NT— ^fm.^, MT—j^cof.^, hinc itaque concliidimus M V — j. cof. ^-^(f-i-x) fin. ^ et FV=z{f^x)coC^-jfm. <; quare quum fit angulus M V p. — d , confequimur z — (/H- A" ) fin. ^. Tang. d -+-J' cof, ^. Tang. 9. 8. Hinc igitur intelligitur relationem ternarum coordinatarum x ., j et z femper huiusmodi aequa- tione expreffum iri z — a-^- ^ x ■{- y j , vbi fcilicet litterae a , (3 , y funt conflantes ; comparatione au- tem huius formulae cum ante inuenta , inftituta » adipifcimur hos valores «— /fin.^.Tang.Oi p=:fin.«^T:ing.9^ y — cof.^TangJ vnde Yicifllm ex cognltis a , |3 , ct y innotelcuuc valores quibus pofitio plani per punE PRESSIONE PONDERIS S o 1 II t i o. Denotet G preffionem totalcm corporis incum- bentis, et reda ex eius centro grauitatis in plnniim pcrpendiciilariter dcmiflTa, incidat in pundum O, ac lumtis pro arbitrio binis axibus A B ac A C intcr fe normalibus , ad eos ex O agantur perpendiculares O F et O G , voccnturque AF~/ ct AG=:^, tum vero pro puncfto bafis quocunque M ponantur courdinatae A X :=: x et X Al = A Y —j , ipfa autem preflio quaefita in pundo M vocetur — «, modo autem vidimus, poni oportere c:ra-f- (3x4- yj'- Quum autem haec prcflio z rcfpondeat clemcnio balis M m cuius areola — d x dy^ ipfa prciTio quam haec areola fuftinet , erit zdxdy^ cuus integrale ob geminam variabilem x tt y bis fumtum , pres- fioni totali hoc eft ponderi G aequale flatui dcbet , hoc autem integrale duplicatum more recepto rcpiae- (fentemus per ffzdxdj^ ita vt efTe dcbeat ffzdxdj-Q ideoque loco z eius valore fubftituto habcbimus hanc aequationem: affd X dy + (3 [f x d x dy 4- y ffy d x dy — G. 10. Hac aequatione autem effedus prefllonis rondum exhauritur , fed infuper necefTe eft , vt ctiam fumma omnium momentorum Elementarium refpeftu cuiusuis axis , aequetur momento preflionis totalis G in pundlo O applicatae , refpedu eiusdem axis ; fufiicit autem hanc aequalitatem pro binis tantum axibus A B et A C conftituiflTe , quandoqui- dem demonftratum eft, eam ad omnes axes vtcunque affum- I N P L A N V M. Z95 afTumtos extendi. Referamiis ergo haec momenta primo ad axem A B , pro quo momentum preflio- nis totalis fit rrG^, preflionis autem elementaris — zydxdy^ ita vt integralibus duplicatis , vt ante fumendis , eflTe debeat ffj zdxdy — Gg , fiue affj dx dy + ^ffxy dx dy + yffyy dxdy — Qg. Simili modo refpedu axis AC, momentum preffio- nis totalis eft G / , preffionis vero elementaris ~xz dx dy^ ita vt efle debeat ffz x d x d y -zz G/, fiue euoliiendo : affxdxdy-\-^ffxxdxdy-\-yffxydxdyzi:Gf. 11. Quod fi crgo fingula haec integralia per totam bafin fg h k , cuiuscunque fuerit figurae , ex- tendantur, tres refuhabunt aequationes : I. a.ffdxdy~\~^ffxdxdy-\-yffydxdy—G II . affydxdy-\-^ ffxy dxdy~\-y ffyy dxdy — Gg II I. affxdx dy + (3 ffx xd x dy -\- yffxy dx dy — Gf cx quibus ternas nollras incognitas a , (i , y expe- dite definire licebit , quibus inuentis , pro quocun- ' quae expreflio facile in hanc transformatur : r ^-Tb ^ Xd V" Pro reliquis pundis producamus rc id quod iiiiiumerabilibus modis fieri poteft , inter quos fimpliciflTimus efl , \bi BP — ^AB ct D Q^ rziT")A, hoc (cilicet cafu piindiim O ita fitum erit in diagonali A C, vt eius d ilantia a puncflo C, fit quarta pars ipfius diagonalis A C. Coroll. 2. Tab. II. 17. Operae autem pretium eft , omnia loca *'g' 7. Q inueftigare, quibus preflio in pundo A euanelcir, cx ipla autem aequatione ~^^^ -+- '^jp:= * > patei ti{to BPrro, \t pundum O in reftam BC incidat, et quia rum D(^— 5DA, pundum O praccife ia pundum inedium E lateris B C inciderc. Similique iriodo fumto DQ_— o, patet pun. If. tuor in angulis A, B-, C, D paralleiogrammi plano ^'S« t« infiftaat , reliqui vero E, F, G, H in punda me- dia inter illos cadant , ita vt latera parallelogrammi in his pundlis bifariam fecentur ; definire preliioneB in fingulis his pundlis. P p 3 Solutia 30i DE PRESSIONE PONDERIS S O 1 U t i O. 19. Ducamus re' Coroll. 20. Si breuitatis gratia ponatur l¥ — a ; IGir^i IP— />; IQzr^ irtae vires fuccindius ita repraefentari poffijnt. r. 304- r. Preflio II. Preflio III. Prcflio IV. Preflio V. Prefllo VI. Prcfllo VII. Prcfllo VIII. Preflio DE PREl<:iONE PONDERIS nB=:s',G(3 + *^-*32)zr,-,G(i^' + *-^'''-5) n Cz3^,G(3 + V' + V') = *VGri^;^^Vi^''^- 5) nD-^G(3-*-^+V)=nG('iV=^^^i^--5) n E:=,',G(3-V')=^^G(il^-l'- I) nF=:.',G(3+V') = ^'.Gi*-i^-^^- i) nG=^,G(3-V^)==.'.G(ii^=^fJ- I) nH-~G(3 + y)^J,G(ti^5-i). Scholion. II. Huiusmodi cafibus , quibus pondus pluri- bus pcdibus plano infinit , fufius non immoramur; antcquam autem bafts per fpatium aliqucd planum cxtcnfas , confideremus , cafus quosdam quafi inter- mcdios examinemus , quibus pondus deorfum definit in limbum quempiam fiue redilincum , fiue curui- lineum , -vbi quidem a redilineis incipere conuenit , quae inuefligatio , quo minorem difficultatem , ob figuram talis bafis polygonac faccflat ; exordiamur ab vnica linea reda per cuius fingula punda tam prefllones , quam momenta refpedu binorum axium fixorum inueftigemus in fequcnti Lemniatc. L e m m a. Tab. II. Conftitutis binis axibus A B ct A C inter fc *'S' 9' normalibus , quorum rcfpedu momenta funt acfti- manda , fit rcila F/ portio limbi , quo pondus pla- no IN FLANVM. SC5 no innititur ,' iniieftigare prertiones per totam Iianc lineain , earnmque momenta refpcdu binornm axium A B et A C S o 1 u t i o. . 2 2. Pro pundo huius rcdae quocunqne Y, vocemus nolir;i«, cuordinatas AXmA' et XYzz.y et p-r prinxripium fupra ftabilitum predio in hoc pun'(f/ X 4- dy'*) — dxVi^i 4- ?i «} , pofico 'V{\-^-nn)-'.piy tota prcdio per elenientum Y;' erit — /;; d X {a.-\-^x-\-y j') , cuius crgc) iiuegrale efi: m {% X -\- \ p -v' -4- y// ^ .v) + C , quoi vt per totam datam recflam extendatur , pri- mo talis confians adiici debet , vt pofito a"— A E , euanefcat , tum vero Itatuatur x zn h e ^ quo faflo fumma prellionum pcr F/ tnt : ff;aE^-f-5;«p(A/— AE')-i-;;iY. Area.EF^/, quae area quum iit iE^(EF + f/), et ob A^'-AE' = Fe(A^ + AE) fiet fumma preflionum per lineim F/ :=:/;n<.^fctH-^(3(AE-4-A^)-hiy(EF4-^/;). Tom.XVill.Nou.Comm, Q^q Quum 306- DE PRESSIONE PONDSRIS QiiLim porro preflio per elementum Y/ fit cr: m d x {a. -\- ^ x -\- y y) ducatur ea in 7, vt eius momentum prodeat rc- fpcdlu axis AB, quod ergo erit my y — c -^-nx feorfim cuol- vamus : Pro littera (3 fy X d X — efx d x -\- nfx d x quod integrale per totam rcdarn F/ cxtcnfuni praebct 4f(A/~AE0+^«(A/-AE')z=E(A^4-AE) H-i«(Af'+A.-.AE-hAE') Pro litt<:ra y fyy d x — e efd x ^- 1 e nfx d x -\- n nfx^dx^ quod ioiegrale per totam red.im extenfum dat ee.^e-{-e n. (A /- A R') + 5 n (A e' ^ A E'), quae forrna in lianc contrabitur : E^(^f +f«(Ae-L-AE) + s««(Af>A^. AE + AE'), Hinc ergo concludimus momcntum refpedu axis AB: »;Ee'ia(EFrfe/)-!-wEf(;fP(A.-+AE)+i;.'|3(A^'+Af.AE+AE';) + mEe{yee-^yen(Ae^kE)-\lynn(Ae'+Ae. AE-f-AE')). Calculus autem concinnior reddetur , fi hinc litteras in IN PLANVM. 3C7 in rubfidiunn vocatas e et n climiiiemus, quum enim fumto A- =: A E , fi-at j' :=: E F — ^ 4- «. A E , pofito autem fubtrahendo elicimus ».Ef— ^/-EF, «— t^ll, indeque(?rA£iIf^^Al:£/, at ex hoc Yalore n coiligimus m — -V{x-\-nn)-\{', ex quo valore fumma ipfarum preffionum per redam F/ ita coucinniiis exprimitur : F/(« 4- 1 13 (A f 4- A E) 4- ', Y (j f -\- E F)). Tum vero pro mcmento refpedlu nxis A B , fingu- lae partes iitteris a, p et y aiFedae ita expriraentur: Pro iitteraa habebimus IF/CEF ^ef). Pro littera (3 habsbimus ^(f/(2A^-l-AE)--hEF(2AE-{-A0) Pro littera y fiet : l!jy(^/_i_,.^/:EF-l-E F'). Denique pro momento refpeclu alterius axis A C, nouo calculo non elt opus , fed fufficit in forma praecedenti , primo iitteras (3, y, tum vero etiam reftas A E et E F , item A.e Qt ef inter fe per- mutafie , ficqus reperietur. Q_q a Mo- 308 DE FRESSIONE PONDERIS Momeinum refpcdu axis A C + fF/fAE-hAO 4- f F /^(A ^' ^- A ^. A E H- A l") + 7 F/(A f (2 f /"-H E F) -i- A E (2 E F 4- e/)). Problema 4. Tab- III. Si pnndiis pl.ino infiltat , limbo tri:ingnl:iri '^* * A B D,. definire prcflionem in fingulis pundis hu- ius limbi. S o 1 Lj t i o. 23. Sit prcfiio tnt.\lis — G, cuius dirccftio normaliti^r incid:ir mi pui.cfJ^o O, vnde ad axcm A B ducatur ptrjentiicnlun C, P, iremque tx an^ulo D pcr- pendifulum DG Quum iain limbus co iKt tribus latenbus trianguli A P, A 13 ct B D, ad vnum- quod>]ue calculum I emmatis pracnvffi fe"rl)m ac- comnu)demus , ac quidcm pro Litcre A B habcbimus F/=::AB; AE:=:o; A z'' I N P L r\ N V M. 309 ada M^mcntiim rcrp^da axis ABzzA'>*.i:G+5DG.AG-f^DG') -AD'I.G(f-i-3-|3AG+,YDG) 3" Momeiitum refpedla axis AC:=:A1);* AG+;p AG +-;v.AG.DG) — A b K AG,^-f ^p, AG-i-jY.I^G}. Pro tertio autcm lotere B D erit F/=BD, AEr:zAGi A^— AB; EFi^DGi ^/=10 vnde coUijimus 1°. Prtfll )ii. m p r Iiuuh B D - B D [a -|- ; p( A B -f A G) 4- ^ y. DG) ^''''Momencum refpedu axis AB — BD^*DG + ^(DG(2 AG-hAB) zzBDxDG ?-hP\G-i-^pAB-f-^DG) 3" Momentum rerpedu axis AD=:iaB D(AG-1- A B) -{-BD(?(AB'-4- A B AG-i-AG')-h^V(AB.DG-h2AG DG)) =:BDxAG(f4-^iAB-i-AG)-f-^V.DG) -^B!).AB(*4-f(AB-i-"AG)-^i.DG). Quum igitur predio totiilis fit := G , eiusque. mo- mfntum lelpeftu :ixis A B ~ G. O P , at relpcdu axis A Cr:: G. A P, conle-iuimur tres lequcntcs ae- quationes : I. Gira(AB+BD-fDCj-f:pCAB>ADxAG-fABxBD+AGxBD] -f.VU^G AD4-bGxBD) — arAB-l-BD4 pC)-f ;(3( ^.B(AB-VAD-f BD)-irAG.BD-BG.AD) -\-yyljG('\D-{ bl)) II. GxOPr«(AD DG-hBDxDG 1-1-^(3. DG(AGCAD-hBD)fiBD.AB) -i-^Vi^^^^AD-f BD), Q_q 3 IIL \ 310 DE PRESSTONE PONDERIS III. G. AP— frAB' + AG.BD + AB.BD + AGxAD) + f( \B'+AD..iG'+AB'.BD+AB.AG.BD+AG'.BD) + ?(AG.AD.DG+2AB.DG.BD+AG.DG.BD). Ex quibus tcrnas litteras a, p, y determin.ire lice- bit , quibus inuentis , prelT;oncs fingulorum latcrum totas cognofcennus , at pro quolibet pundo perime- tri binis coordinatis x et y iiidicato , preflio vti .as- fumfimus , erit «c H- (3 a,- -+ yj, Coroll. c+. Si triangulum A B D fuerit aequilaterum, vnumque Jatus vocctur —a, crit AG~i« et DGz=5^V3, hocqiie cafu ternae aequationes in- veniae , fequentes induent formas II. G. O P m ? fl fl V 3 + ^ |3. fl' V 3 + I y tf^ III. G. A P rz I a. «' + (3. fl' + i y «' y 3 , hinc fit cx prima r. aa — lG-l^a' -lyaW^ qui valor in binis reliquis fubflitutus praebet ir. c^? = -^G + -:y«fl Iir. ^-:f?-^H-?tftf-f-^y^flV3. Harum prior ftatim dat y a azz: ^,G C*^-- — ~-J , tum vero ex poflrema deducitur |3afl :=tf (A P-OPV3) confequenter (,'' 111°. Moment. pro ACzi-fbb-{-i^b*-hlbb(;, III. Pro latcre AC, AE — o; At^— oi EFrroi ef—o-^ ct ¥ fzzc I. Ip(h preflio —ac-\-\ycc II. Moment. rcfptd:. l.ueris AB — \acc-\-\yc* III. Moment. rcfped. nxis A C — o, IV. Pro latere BD; A^-ke-b; EF-o,f/-<:,et F/:=o. I. Ipfa pr. (Tu) -ziiac-^^cb-^^y cc IJ. Momciu. refp. lateris AB— ?/ + i(3Z'fr-f ^y/ lil. Moment. rc(p. latcris AC—abc + ^cbb + lcbb. Atque hiiic colli^inui> trcs fequeiucs aeqiiationes I. zaib + c^+^ybb-vbc^-Vyibc + cc^-G II. G.O?-0i{bc + cc +i(3 cb[b-\-c)+yc[bc-\\c*) II I. Q.kV-a{bb-\bc)-t{!>-bb[\h^'C) + \y.bc{b+c]. Ex quibiis manifeflo requitiu*, pofuo OPrrg et AP::^/ a[b + c)-^.-^J[b\-c)~1^{.b^c) ideoque ^, , , . G'2sr-c) 3G(^^-f) G(c/-0 50 2/"-^) ^bbiXcm^Qif-^d, et (3/.Z.r.— .^:=— -^. Inucntis antem his valoribus a, (3, y , (Ticile crit tam pro fi.igulis lateribus , quam pro fmgulis eo- tum pundtls , prcflioncm quam lullincnt aflj.gnue. Pro- IN PLANVM. 3XS Problema 6, Si limbiis quo pondus plano incumbit , fuerit periphcria circuli centro A, radio A B — A b zz: a defctipti , et diredio prelTionis totalis incidat m puii£lum O, preliiones ia fingulis peripheriae puii- E PRESSIONE FOMDERIS Nunc colligamus momciua rcfpec^u azis A B, quae ita fc habcbunt : cx pun«rto Y~ aLy-\-^xy-\-y.yy Z ——ay-j^xy-\ry,yy jz:z + ay-^xy-\-y.yy » — -a.y + ^xy-{-y.yy fumma — ^y-jy quae duda in ckmentum nrcus Li? , dat formulam intcgrandam ^yaydx^ at pro toto quadrante fit fydx—l^naa^ vnds qnum ir.omcntum totiiis .preffionis {\i G. O P =z G. f (pofito O P zr ^) habc- bimus hanc fecundam aequationem G. g — tt y quod fit facien^^o pofl integrationem v ^ XY zzy , hocquc modo» colllgemus l Pro fafcioJa X Y xy I. Prcflionem —ciLydx-^^yxdx-^-lyyjdx II. Momentum relpeiflu ^Wi> Pi'& — \a.yydx-\-]^\yxdx^r\yy'dx III. Momentum relpedu axis PlQzz oiyxdx-^^yx^dx-Y^y/ xdx tantum igitur fupereft, vt flngulas has formulas al- tera vice integrcmus , et per toram aream trapczii cxtendamus qnod fiet , fl integralia euanefcentia reddantur, poncndo .v — AE etj—EF, tum vero flatuatur a: — A ^ et ^' — «/, in hunc finem , quia linea F/ eft reda , ftatuatur dy'-=zndx eritquc n — ^"^-j—- y integralia autem ita per notam redU' dionem expediamus , fecundum formulam fpdq — pq-fqdp. Hoc praenotato erit :. 1°, /> d xz=:j X— 5 n a^', ergo pro toto trapezio ^uara formulam quo faciliiis euoluamns , ftatuamus AE— E; EFzrF,- Xerze ec ef—fy ita; vt fjt « — 1^^. Ideoque.' fydx-\{e-Y}i[f^n 2°. // .r ^ a; rz I j X — ? /xV ;\: z:: 5 j' /" - ? .t ' 5 ergo' fyxdx-leef-^-E-^Y-'!^^ (/-E^) =: I ^ ^/- ^ E E F - f-^-^-^ (f 5 + ^ E + E'), ergo» //.v^A— ;(6-E)(/(2^+E)+F(2E + ^)) 3". /j'^ ^ X = ^ fy dy — I^y':. Ideoquft; fyydx-iie-E) (//+/F + F'). 4"- fyy «V «^ •'t' "7^^ — -~t'- Ideoque; fyyxdxzz /, (f-E)(^[3/+2/F+F>E(3F'+2F/+/))) llue J,(^_E)(2^/-h2EF"4-(^-^E)(/+F)=) 5^°. /;'' d X zz Ify dy — ^y\. Ideoque />'V:ti:rK^'-E)(r+//F+/F'+F^) 6'". fyx^dx — kyx^-^fx^dy—iyx^-riX*.- Ideoque-- /j'A'V;trx',(^-E](/(3/+2fE+E)'+F(3E>2E^+0> fiue ,'.(^-E)(2/^'+-2FE'H-(/-HF)(^-i-E),'). Rr 3 (^uo*- '518 DE PRESSIONE PONDERIS Qiiccirca trcs formul.^e piincipales qiias inucnlmus lequenti inodo cxprimentur : L Prcflio =:;a>-E)(/+F}+;p>-EY/'(2f+E)+F(2E+^)) + ;V(^-E}(f/-+/F4-F') II. Momentum refpeclu ABzr ;«(<•— EX^4-/F+F') 4-,',p(f-E)(2^r+2EF>(^4E)(/+F)*) + T'.y(^-E)(/*+JF+/F'+F') III. Moracnt. rcfprdu axis AC — ;a(^-E)(/(2^+E)-i-F(aE4-^)) + V.p(^-E)(2/?^4-:^FE'+(/+FX^+E)^) +,',Y(^~E)(2 hincque trcs formulae noflrac erunt I. Preffio —\a.ac-\-ig,ac^-'^yacc II. Moment. rcfpecT:. k^ — \a.acc-\-'t^aacc\--,,yac^ III. Moment. refpect. XQ — kcLaac^-^^a^cYlyaW Pro IN PLAISIVM. »if Pro altcro autcm triangulo GDB, quia E — « , F zir f , tf — fl 4- ^ et /— o, habebimus I. Prcffionera — -L«.^^ + i(3.^f(3^-h^) + iY^'^^ II. Moment. refp. AB:zilabcc-^'^^.bcc{^a-]rb)-{'-Uyhc' III. Momcut. rerp. AC:=ifii-(3«+^)+TsPM6i^«+44 ^) III. G/?=Jott;(2a>3a&-fi;i>)+ t^ ^c^^ia+^aab-^-^abb+b') ■\-hycc{^aa-\-^ab-\-bb) ^\a.c[a-\-b){ia-\-h)-\-^,.g>£{a+b){zaa-^'^ab-\-hh) ■\-hycc{a-\-h){:^a-\-b). Quarum fecunda in i. duda fubtrahatur a prima , ct ismanebit Q-i^-G{x'-i^)--^^{a + b){a-b)-Uycc{a+b) Deinde tertia duda in 3 a prima in ^a-^b duda fiibtrahatur et prcdibit G{-.a+h^2p)—-.\-,g>c{a-\-h){aa-\-ab+bb)-:-,ycc[a-Yb)[a-b). -Q;jarum prior duda in ia — i^) fi a duplo pofterio- ris ftibtrahatur rclinquet : G ^4 ^ + 2 ^ -6p -{a- b){ I - i-?}) - - i ^c{a-\rbf fi ue .G[aA y- 2pVA--b)^-^))^--:,^c[a-^b)' '' ■•"•■)•' . • • ■ ' ,^ Tnac Sao T>E PRE5SI0NE TONDERlS vnde p determinatur ex quo deinceps ct y et * inootelcent. Ell vero et + ;ac-(a^^)'=G(3(«+^}-+p-^0- Corollarium i. 30. Si bafis fuerit triangulum rcdangulura AGD, quod fit fi ^ — o ternac uoftrae aequatio- nes erunt : I. G — laac-\-\^a'c-\-lyacc II. ^=z l a a c -\-]> ^ a" c -\- U y a (^ c III. ^— saaf4-ip«V + ; ya£^. Hinc ',a^rr=:G(3-V) .^(3fl^rr=:G(l?-i-i) ,',y^.^=G(V-|-) atque hinc pro quouis pun^^o hutus bafis, binis coordiiiatis x et j determinato , prefiio erit — a.-\-^x-\-yj' Co r o 1 1. 2. 31. Si bafis fueiic triangulum Ifofccles quod tucnit fi b — Oi tcrnae aequationes noftrae iunt G z:zaac~\-^aac^'jyacc ^':=: \aac-\-'^^a a c-^wy a c c ^^^ a a c -^-l^ a ac-^\ y a c c IN PLANVM. sai Hlnc fit Si praeterea fuerit p~a, ita vt punftum O cadat in perpendiculum DG, erit p — o j ; « a i: = G (i — ^) fiue Si fuerit q — c erit — oc'« ' • 'aec Sin autem fuerit q-:zi\c quo cafu puntflum O in ipfum grauitatis trianguli cadit , fiet etiam yn:©, (Kzz — ^ et preflio vbique erit conftans. Coroll. 2- 32. Qiiodfi vero in formulis generalibus fta- tim ponamus j3 ~ o et y — o; quia tum eft tt — ^-rf^, ) reperiemus p — i^^^ et qziz\c , fic- que puudlum O incidet in ipfum ccntrum grauitatis trianguli, Problema. Si bafis qua pondus plano incumbit , fuerit Fij. 10. parallelogrammum redangulum ABGD et diredio prefliouis totalis incidat in pundum O, aflignarc preflioaem ia fingulis pundis. S o 1 u t i o. 33. Poiiamus vt fupra ABn ^ ctAC — r, itcm AP— /> et VOzzq Tnde pro noftro Lem- Tom.XVULNou.Comm, Ss mate saa DE PRESSlONE PONDERIS mate erft Er=o; ? — ^; F — ^ et /— r, hincqiic ftatim obtinentur lequentcs tres actiuationes II. ^?— : a /5 1- -1- i.(3.^ ^ f 4- I Y Z; 6- f III. ^rr U^^^'f-i(36^ porro preffio in C erit — a 4- y ^ — ^^ (i - V* + T^^ ' ^enique prcffio in pundoD erit ^a+p^ + v et j' — i :is Ef fit momentum incrtiac -zzk.ee rcfneclu autcm alterius axis fit —hff^ tum vcro media dirccaio prefiionis totalis incidat in pundum O, cuius di- flantiae ab axibus principalibus fint OP— p et O Q n 7. His praemifils , confidercmus arene quod- cunque elementum in y, pro quo voccntur coord'- natae G X r; .v ct X Y ~j, ex quibus ipfum areae clementum fiit dx.dy. lam quia G cft ccntrum grauitacis totius figurae , bina hacc intcgralia du- Y>\kai!L ff X d X d j> ct ffydxdy per totam figuram extenfh euanclcunt. Deinde natnra axium principa- liuin in hoc confiflit , vt haec formula ffxydxdy pef totam figuram fumta etiam euancfcat. Porro autcm IN PLANVM. 327 autem formulac integrales per totam figuram exten- fue praebcnt : \\ Jfdxdy—ki li°. ffjjdxdy— Aee et tertio fjx x dy d x— Aff. Quoifi ergb fecundiim principia fupra ftabilita, pres- fionem in pundo Y ponamus ita vt preiTio in ipfum elcmcntum dxdy fit ad X dj -\~ ^ x d X dj -{' y y d X d y , eius integrale ipfi prciTjoni totali , quae fit := II , aequari debet , vnde quum fit ffd X dy ~ k\ ffx dx dy zr. o et ffy d x dy— o, affequimur hanc aequationem primam 11 — a A. Momentum autem preffionis iftius elementaris re- fpedu axis E^, quod cft — ay d X dy -\- ^ xy dx dy + yyy d xdy, per duplicem integr.itionem dare debet momentum totius — n. O P — Jlp-, vnde deducitur Iiaec aequa- tio H. p — y A, e e. Eodem denique modo pro al- tero axe F/ colligitur tertia noftra aequatio , U qin^ A.ff i atque hinc fronte prodeunt lequcn- tes valores * — A ' H — A. j/ ' r — aT^ ■> ita vt iam pro pundoj' preffio fit — E (1 -u. II ^ py), Qiio indolem et varletatem harum preffio- uum , pro diucrfis locis darius perfpiciamus , quae- ramus 3^« DE IRESSIONE FONDERIS ramus primo omnia loca , Ybi preflio plane eua- nefcit , quae quum in hac acquatione generali X -h ^ -H ^-^ rr o contineantur , euidens cft , ea in linea rcda cfle difpofita , ad quam inueftigandam , faciamus primo a* — o, eritque j' — — — , fumto Tab.in. autem j— o, fu x——^-^. Quocirca fi capiamus ^'^" '^* GM— '- et GN=r-^-^, ^in pundis M et N pres- fio crii nulia, ideoque ctiam per totam redam M N. Pltrumque haec reda M N extra ipfam bafiii ccr- poris cadit , fin autem per ipfain bafin tianfiret , tum cafus fupra memoratus locum cfilt habiturus , vbi in quapiam bafis portione prefiio ncgatiua c(t inuenta , quod cum in praxi eucnire nequent, noP.ra folutio etiam ad praxin accommocari noa poterir. Sumamus igitur totam rcdam M N extra bafin propofitam cadcre , atque euidens el\ , fi in ipfii ba- fi , vbicunque ducatur reda huic M N parallcla mn, per totam hanc chordam tn n prefllonem \bique eandem fore, atque fi per ipfum pundum G huius- moJi paralkla agatur , pcr eam vbique fimilis pres- Co rcgnabit , tanta fcilicct quanta eft in ipfo G, vbi XzzQ ctj'— o, ita vt per hanc rcdlam pretho fuiura fit n: — . Egregie haec conueniunt cum iis quae initio , circa principium iioflrum genenilc (i:nt propofita , haec enim reda MN vbi prcniones f uanefcunt , e(l ipfii illa inrerfedio CFig. S- F GV vbi planum omnes prefTioncs repraefcntans , phjnum Ta- bulae interfecat , atque hinc manifeflum efl , per omnes rtdas huic M N pararclas , pruTioncs co forc IN PLANVM. 329 fote maiores quo magis fuerint a reda M N remo- tae. Sic quum in M prcflio efTet nulla, in G vero 2. , in alio pundo p. erit ~^'^ , vndc manifefto fequitur in eo bafis pundo , preiriouem cmnium fo- rc maximam , quod a reda M N maxime fuerit rc- motum , quandoquidem preffiones per totam bafm ia ratione diftantiarum a recla M N increlcunr. C o r o 1 1. I. 41. Si punduni O inci.iat in ipfum centrum grauitatis bafis , vt (it p zz c et ^zr o, tum pundta M et N in infinitum elongnbuntur , ideoque per to- tam bafin aeqiiabiliter diftribuetur , in fingulis quippc pundis erit ni H. ob (3 zz o et y — 0. CoroU. 2. 42. Quodfi pundnm O in alterum axem principalem cadat \cluri in P, vt fit O P zz p zz o et G P — ^ , tum punctum M in infinitum diftabit at G N —-^ ipfa crgo recfta M N alteri axi princi- pali F/ erit paralkk , vbi fcilicet prelTio euanefcit , et quia prefiio p.r totum illum axem Ee eft — ^, hinc preffio rer omnes rccT:as huic axi parallclas facile deiinitur. Tom, XVIII. NouXoram. Tt DE 330 ^>P.i ( O ) ^'e^<. DE H A R M O N I A E VERIS PRINCIPIIS PER SPECVLVM MVSICVM REPRAESENTATIS. A u c tor e L. E V L E R 0, o |mnis harmonin atque sdeo vniuerfa Mufica , quatuor vel quinque confonantiis fimplicibus , innititur , quibus Tirones huius artis aures afrueflce- rc et quas vel voce, vel inftrumcntis quarn exaiflis- fime edere , funt inflrucndi. Hae autcm conlonan- tiae funt fequcntes : 1° Vnifonus i II'. Ocraua fiue Diapafon ; 111" Quinta fiue Diapcnte ; IV" Tertia maior ; quibus quatuor antiqua Ahirica erat fupernrnda , recentior vero infuper quintam, qune nomine fcpimae inllgni- ri folet, adoptaffe videtur. Has igitur quinque con- fonantias , qujfi colamnas harmoniae aliquanto accu- ratius perpendamus , qunnJoquidem pkrique , qui hanc (cientiam tradere funt conati , haec elementa nimis negligenter pertradnrunt. Vnifonus. 2- lucipiamus igitur ab vnifono , qui conflat perfccla aequalitate duorum phiriumue fonorum iriUlicorum ; quum enim omnis foiutus motu vibra- tcrio DE VERIS HARMONIAE PRINCIPIIS. 331 torio fiue tremore in aere excitato producatur , fiuc ifte tremor fuerit aequabiiis , fuie inaequabilis , in JVlufica alii foni non admittnntur , nifi \bi omnes \ibrationes inter (e lunt ifochronae , fiue aequalibus tcmpufculis abrohiuntur. Ita cuiuslibet foni Mufici «otionem adaequatam habebimus , quando nouerimus quot vibrationes dato tempore verbi gratia vno mi- jiuto fecundo cdantur ; duo crgo plurcsue foni qui ■vuo miuuto lecundo eundem vibrationum nuir.e- rum edunt , erunt vnifoni ^ ac cum foni ex numero ■vibrationum , quas dato tempore edunt , aeftimari foleant , natura vnifoni in ratione aequalitatis erit condituenda , ii autem foni diuerfi cenftntiir , qui uon aeque muhas vibrationes eodem tempore edunt. Qui enim eodem tempore frequentiores vibrationes edunt , acutiores , qui autem pauciores , grauiores appellari folent. 3. Sonos autem eatenus tanturn percipimus , quatenus illae vibrationes in aere excitatae , per au- r,em in orgauon auditus transmittuntur , auditus nofter totidem quoque vibrationibus ad fentiendum ciebitur , vnde quando duo foni aequales fimul offe- runtur , hac ipfa ratione aeqv.alitatis fenfus nofter fvauitate quapiam afficietur, dum contra fi ab hac riitione tantillum aberrctur , moleftiam quandam fen- tlt. Perceptio autcm fonorum aequaHum omnibus hominibus ita a natura videtur ingenita , vt non folum hanc aequalitatem facilHme agnofcant j fed etiam vel viua voce producere , vel in inftrumentis efficere \aleant j nihil enim ficilius eft , quam duas T t 2. chor- i%t DE VERIS chordas ita intendcre , vt fonos aequalcs edant , ee minima aberratio auditui quafi eft intolerabilis. paiui. 4. Sccunda confonantia principalis cdaua fcu diapafbn dicfla , tam propc ad naturam vnifoni acce- dit , Yt qui datum (onum vel ob grauitatcm rcl acumen tfltqui nequcunt , fponte (ua (bnum ocflaua fuperiorcm vel inferiorem edant , vnde fit , vt in Mufica foni vna pluribusuc odauis difcrepantes pro fjmilibus liabcantur , et paribus fignis fiue littcris defignari foleant , ita fi fonus quispiam grauior littcra A fignetur , acutiores vna pluribusue c(flauis illuni fuperantcs litteris a, <7, a, a etc. indicari folent. 5. Duo autem foni huiusmodi interuallo od»- tae diftantes auditum gratiflTima harmonia afficiunt > fc tam egregio confenfu gauderc videntur , vt pro- pcmodum pro vno eodemque fono habeantur. Caus- fa autem huius pulcherrimae con(onantiae in eo eft pofita , quod numcri vibrationum his fonis editarum intcr fc rationem duplam teneant , vt fi grauior ■fno minuto (ecundo ccntum vibrationcs abfoluat , •Iter eodcm tcmporc duccntas pcragat , quac ratio Tti ab intelltdu facillimc percipitur , ita ctiaui duo foni hanc intcr fc rationem tenentes auditum infi- gni fuauitate permulcent^ quin etiam leuifTimi «bcrratio ab hac ratione (cnfum auditus maximc ofFendit , vndc etiam tirones facillimc naturam hu- ius con(onantiac addifcunt. Quarc quum omncs fo- ni aptiiTim.e pcr numeros vibrationum , quas certo tempors edunt , rcpracfcatcntur p fi foaui A cdat « \ibri- HARMONIAE PRINCIPIIS. 33 j tibrationes, foni fequcntcs Oj #, fl, Oy edcnt , t «, 4 «, 8 n, 16 n vibrationes. 6. Tertia confonantia principalis quintt feu Qylttifc diapentc didii auribus quoquc fuauiffimam harmo- niam offert , etiamfi eius indolcs a natura oftauac plurimum difiideat , atque etiam faculta» Iianc confo- nantiam percipiendi et dignolccndi , maiorem excr- citationem poftulat , vnde Tironcs diligentcr funt cxcrcendi , vt lianc confonantiam dignolcere atqut accuratc fiuc vocc fiuc inftrumentis profcrre addifcant. Cauffa autem liuius conlonantiae in rationc tripla continetur , quae vti poft rationem duplam facillime pcrcipitur , ita ctiam auribus poft oiftauam gratifll- mam harmoniam exhibet ; quum autem ratio i : 3 maius interuallum vna odaua complcdatur , fi fo- nus grauior fucrit A et numero vibrationum n dc- fignetur , is fonus qui codem tcmporc 3 « vibratio- nes edit acutior erit fono a , fed tamcn grauior quam a , ficque inter fonos a tt a incidet , atque td illum a tenebit interualium diapcnte didum , ad ipfum autcm fonum A relatus intcruallum cx Tna cftaua ct quinta compofitum conftituet. Hinc igi- tur duo foni iuteruallo vnius quintae diftantes , ra- tionem tcnent 2 : 3. 7. Quum in fcala fonorum Muficorum recc- pta , grauiftimus littera C defignari (olcat , eiui^que cdauac litteris f, <•, <^, ^ , fonus ipfo C vna quinta fupeiior defignatur litiera G eiusquc oiflauac lequen- T t 3 tci 33+ DE VERIS tcs gi g, g, g ctc. Quodfi iam fonum C numero quocunque n repraefentemus , omncs ifti (bni fequen- tibus numeris fubfcriptis exhibebuntur : C, G, c g, c, gi c, g, c, g n, \n-) 2«, 3«, 4«, 6/;, 8w, 12«, i(5;/, 24.«. Quum autcm ratio i : 3 fine dubio fimplicior fit ac facilius percipiatur , qu;im ratio 2:3, etiam in Mufica facilius erit , ad datum (onum C, fonum g producere , quam G, atque etiam auribus facilius crit interuallum fonorum C\ g agnofcere et vcl mi- nimam abcrrationem a vera ratione i : 3 quam in ipfo quintae interuailo C : G , vnoe fi inftrumen- tum Muficum chordis vel intendendis vcl rclaxan- dis , iufte fit inflruendum , eonllituto (bno C for- metur Itatim fonus g hincque ptr vnam oiflauam defccndendo peruenietur ad (bnum G. Interira ta- men exiguum exercitium fufficict , vt Tirones etiam immediate , ipfum intcruallum vnius quintae C : G accurate cfFornvare dilcant et quoniam (o\\v.% G a fono c interuallo vnius quartae dilbt , etiam merito poftulamus , vt tironcs qnoqne hoc interuallum quod ratione 3 : 4- continetur pernolcant eiu&que in- dolem auribus diiudicare affuefcant. Terris 8. Qiinrta vero confonantia principalis teytm maior. maior dida fingularem quandam fuauitatis fpeciem auditui exhibet ad quam accurate dignofcendam et fiue voce , fiue inftrumentis producendam , Tirones infigni ftudio exerceri conueniet j continetur autem haec HARMONIAE PRINCIPIIS. SS^ hacc confonantia rationc 4:5, quae vti minus eft fimplex , quam praccedentes , ita etiam maiori cxercitatione eft elaborandum , vt fenfus auditus illi agnofcendae et diiudicandae affuefiat , in fcala au- lem fonorum folita , fouus tanto interuallo fuperans fundamentalem C littera E infigniri folet , vnde fi fono C tribuatur numerus n liuic E conueniet |«, hunc ergo cum fuis odauis fuperiori ordini infupcr adiungamus C, E, G, r, , at vero interualium lo : 9 na- men h.ibct toni minoris , talia interualla fuat : A:G; E: D; Cx:H; G/:F.f per quae fingula tranfitus etian datur triplex ^V +V -III +v -ni +V (A : E) (E : H) (H : G) (A : R) (E : C)(C : G) (E : H) (H : Fs) (¥s : D) { (E : H) (H : G)(G : D) (Cx^Gx^^GKDi^^Dr.H) (Cj-:G/)(Gj:E)(E : H) i CGs:Ds')[Ds:B) (B : Fj)) (Gj:Dj)(Dj;H)(H:F/; -III +V +V (A :F)(F:C)(C:G) (E :C)(C:G)(G:D) (Cx: A)(A:E)(E:H). (Gx:E)(E:H)(H:F.f) Qpi G D H HARMONIAE PRTNClPilS. 34-5 Qui tranfitus manifefto ad ternos diuerfos mcdoi liint refcrendi. VIII. Trandtus +III-i-III-i-V feu pcr inter- vallum 64 : 75. 17. Hoc interuallum dcnuo tertia minor vo- catur , cum tamcn fere duobus commatibus deficiat , a Tcra ratione 5 : 6. Taiia interualla funt tria YiGsi C:Dj; G:B tranfitus autem triplici modo inftitui potcft vt fe-^ quitur : + 111 +III +V l+III +V 4-ni F:Gj- (F :A)(A:Cj-)(Cj:Gj)|(^ :A) (A:E) (E :Gx) C:Dj-J(C:E)(E:Gj-)(Gj-:Dx)J(C:E)(E:H)(H:Dx) G:B |(G:H)(H:Dx)(Dj-:B} | (G:H)(H:F/XFf :B) + V +111 +111 (F:C) (C:E) (E :Gx) (C:G) (G:H) (H :D/) (G:D)(D:Fj-)(Fj-:B). IX. Tranfitus -Hin, +III-V feu per inter' vallum 24: 25. 28. Hoc interuallum minus eft femitonio et Limma minus vocari folet , cuiusmodi func tria ^9y quentia : C:Cj, G:Gj} D:Dx vbi quodlibet admittit ternos faltus: Xz 3 CiCs 350 D E V E K I S + III +111 -V l-flll -V +111 C:C/ (C:E) (E :Gj-)(Gj-:Cj-)| (C :E) (E : AXA:Cx) G:Gj- (G:H) (H :D/XDj:Gx) (G:H)(H :EXK:Gj-) D:D/ ^D;Fj")(Fj:B) (B :Dx) (D:Fj;(Fj-:HXH:Di) -V +111 +ni (C:F)(F:A)(A:Cj) (G:C)(C:E) (E :Gj-) (D:G)(G:H)(H:Dj-}. 29. Simili modo tranfitus magis complicatos, qui funt ^-V + V-i-V + ni; +V-i-VJ:-III^::III _i- V -f- V -+-.V + 1 II +- n'i, facile euoluere liccret , 'verum cmnes huiusmodi tranfitus mulco clarins et concinnius obtutui reprae- fentari poCfunt per fchematismum fupra § 13. alla- tum , quem ergo ad hunc fcopum accommodatum ob eximium eiui vfum fpecuium Mujicum adpelkre liceat : F C G D H Fj- Cj- Gj- Tis B. Hoc fcilicet fpeculum infpicienti, ftatim pntet , qui- iiam faltus a quolibet lono , ad quemlibct alium perducant , fimulquc quot modis quilibct tranfitus inflitui polTit , tantum enim fecundum dudum Ii-« ncarum fiue horizontalium fiue verticalium cft pro- cedendum , \bi horizontales faltum per quintam , verti- HARMONIAE PRINCIPIIS, 351 verticales antem per tertiam declaraat. Ita fi a fono F ad fonum B eflet tranfeundiim , id decem diuerfis modis fieri pofle facile patet , qui funt r. F :C:G :D :Fj- :B 11°. F:C:G :H : Fj :B III. F:C:G :H ^Di-^B IV. F:C :E :H :Fx :B V. F : C : E : H : D/ : B VI. F:C:E :Gs'.Ds:B V!I. F : A: E: H :Fj-; B VIII. F: A : E:H : Dj-:B IX. F : A:E:Gj-: Dj-:B X F :A:Cj:Gj:Dj-:B. 30. Opc Iiuius fpeculi etiam quacftio in Mu- flca non parum curiofa refolui poteft , quemadmo- dum (cilicet omnes duodecim fonos fcalae Muficae percurri oporteat per filtus fimplices quintam nem- pe et tertiam maiorem , ;Yt fmgulis femcl tantuni impulfis , reuerfio fiat ad primum fonum a quo curfus fuit inceptus , talis autem progreffio in fe rediens duplici mowio inilitui poteft I. Circulatio F^C^G^D^Fx^B^Dj-^H^E^Gj^Cj-^A^F II. Circulatio F:C:E:H:G:D:Fx:B:DxKS/:Cj:A:F. Ex eodem quoque fpeculo flatim patet pro quibus- nam fonis fcalae Muficae detur trias harmonica , fi- ve modi duri , fiue modi mollis , rerni enim foni trifldem primi generis conftitucnt , qui tali gnomo- ne j exprimuntur, qui autem tali gnomone [ indican- tur , 352 DE VERIS tur , triadem moUcm connituiint. Eccc ergo fe- quentes triades modi duri : F,A, C; C, E, G^ G,H, D; A, Cx, E; E,G/, H; H, Dx,Fj. Triadcs antem modi mollis erunt A, C, E; E, G,H; H, D, Fr Cj-,E,Gx^ Gx,H,Dj-; Dj-,Fx,B vtriusque fcilicct modi tres dantur triades harmoniae purae. 31. Dum autem hic alins confonantias fim- plices praeter odauam , quintam ct tertiam maio- rem non admittimus , neutiquam confonantias magis compofitas , ncquc ctiam diflbnantias vt qiiidem % Muficis Yocantur, rciicimus^ quin potius eariim re- foiutionem in faltus fimplices eum in finem hic docnimus , vt pateret quo modo illae confonantiae vel etiam diflbnautiae in vfum vocari atque ab au- libus percipi ac diiudicari queant ; earenus enim tantum confonantiis magis compofitis et diflTonantiis locus in Mufica conceditur , quatcnus cas in confo- nantias fimplices refoluerc licet. At qui regulis hic traditis vti voluerit , ante omnia curare dcbct , Tt inftrumentum Muficum exade ad cos fonos fit at- temperatum , quos harmonia poflulat , et qucmad- modum in nofiro fpeculo Mufico funt repraefentati. 32. Omni autem iure aflumere videmur, cun- jHias confonantias hic expofitas in infliumentis Mufi- cis tam exade exhiberi , vt ne minima quidem aberra- DE VERIS HARMONIAE PRINCIPIIS. 55» aberratio fentiri poflit. Ab hac ergo regula ad har- nioiiiam producendain 'maxime neceffaria ii Mufici plurimum recefkrunt , qui interuailum vnius o<3:a- \ae in duodcciiii partes aequales , diftribuendum efle putarunt^ quoniam lioc modo concentum Muficum jn oniKS alos fonos transpoaerc liceret. Quum autem hoc modo in tota (cala Mufica , nulla quin- ta pura daretur , et omnes tertiae maiores a versi raiione non mediocnter abcrrarent , etiam iiaec opi- nio nunc quidem a plerisque Muficis efl: explofa , quippe qui facilc agnouerunt a vcris harmoniae principiis in gratiam transpofitionis , nullatenus re- cedi oportere. Dcniquc confuetu-s modus pueros in Mufica inftruendi a principiis harmoniae maximc e(i alienus , quomodo enim poftulari potefl: vt Ti-; rones lonos vt re mi fa fol la inconare addifcant ; quum in hac progrefllone prp motu Planetac habebimu* tres fequentes acquntioncs:] Tbi DE MOTV PLANETARVM. 35 S Tbi notafle iuuabit , fi tempus t per motum ano- maliae mediae Solis exprimatur , et diftantia media terrae a Sole vnitate dcfignetur , tum fbrc S zi: i. 3. Ad tempus propofitum exhibeat refta S B longitudinem mediam Planetae , ac ponatur angulus ASB— p, qui quum fit tempori proportionalis , ftatuatur dp — mdt, dudia ex Y ad hanc dircftio- nem S B normali Y x vocentur nouae coordinatae SxzzX.Y xznY QtYz-Z eritque itidem v-yirXX-hYY-f-ZZ, tum vero erit X— jfcof.p+jfin.p; et Yzrycofp— Arfin.p et 2=:« ftinc erit differentiando dX—dxco^,p,^dvC\n.p-\-mdt{yco(p--x^iVi.p)zzdxcQ^p ■\-dj{xa.p-\-mYdt ct dY—dycol.p — dxC\n.p—mXdt, ita vt fit dxcoi.p-\-dyC\n.p-dX~mYdt ; djcoCp-dx^n.pzdY+mXdS quae formac denuo difFerentiatae praebent ddxcoC.p+ddy C\r\.p-^mdt(dY-\-m X dt)—ddK -mdYds ddycolp^ddx fin.p -mdtidX-mYdt^rzzddY-^mdXdt. 4. Quum nunc ex fupcrioribus formulis pofi- to S zr I , fit ddx—-'^ ct ddy—-^^^ fi hi valorcs ibi fnbftiruantur ob *'+/ = XX4- Y Y Y / * habt- 55« BE MOTV faabebimus has acquationes -"^H ^ ni' Y d t' — d d Y + 2 m d X d ( quae redigantur ad fequentes forraas ddX _ 2_mdy ^ffi'X + ^ — 0 ^IY + iJuLl -inY-V~ — o. Vbi natura motus medii poHulat , vt Y nunquam vltra ceiium terminum excrefcat , atque etiam ipfa quantitas x intra certos limites contineatur pro ma- gnitudine excentricitatis , lertia Ycro aequatio maiiet Yt ante d d z _j_ z — ^ _ — .- \j» 5. Defignet a diftantiam mediam Planetac ik. So\t et quia X non multum ab ea difcrepat , fta.-;;- tuamu& X — a{i-\-x) ciY—ay^ fimilique modo Z — a s , hic fcilicet affumo harum litterarum x^ j, z valores fuperiores iadi obliuioni cffe traditos , atque hinc ftatim habemus C— tf V((,I -hxy ~\-jfy -^ZS) , ex quo tres noftrae aequationes ita fc habebunt ddx zmdy , (i+aO dt dt a {^\-^x) ■\'jj-\-zz))'' ddy ^mdx , y ddz z PLANETARVM- 357 6, Quoniam quantitates at, j et z fpedlantiir vt valde paruae prae vnitate i formula irrationalis '. ^ ' 2 ((I _(_X)' -t->J. -J-2Z) '^ * xommoJe reloiuhur in hanc feriem conuergentem; f s (3">-4- z z) I fs[.yy -i-zzl* «»p (■H_x)' J(. -+-^.» ^ •.(•-+-X)' ^^' ct euolutis pnteftatibus negatiuis x^x^ terminis- quc fecundum dimeafiones difpofitis habebimus 1,-3 x,-\- 6/- ljy~UZy ^iox^ViXyy-^ V xzsi.t + 1 5 x^-^^xxjy^lxxzz^- V /+ 'ijyzz-^ \'z\ etc. pro qua cxpreffione breuitatis gratia fcribamua I — 3 .T -f- W ita vt fit ,, W=z+ 5 xx—lyy —Izz — 10 Jv''+ \^ xjy-\- Vxzzi- 1 5 x* -Vxxjy-'^x xzz-i- \'y*-\-'4yy ^ «+ V«* et<:. ilcque noftrae aequationes erunt 7. Hadenus qnantitas a aliter non eft defini- ,ta, nili quoi valorcm quendam medium inter omnes abfciffas X defignet , ita vt quantitas x valores modo pofitiuos modo negatiuos fortirctur, id quod infinitii modis fisri poflet, dummodo a non multum a dilTan- tia media difcreparet. Nunc autcm conueniet ftatui ^zn mm ^ quandoqu dem hoc modb termini maio- res in noftris aequationibus deftruuntur , calculusque ad noflram hypothefin , qua x fumitur quantitas Y y a -vald* 35« DE MOTV \aldc parua modo pofitiua modo negatiua reuoca* tur , hoc modo noftrae aequatioucs in fbrmas kquea- tes contrahentur II. ^^J'h'-i^-^m'xy ■\-mmy-W-o III. Y^ ■\-mmZ''^m''xz-^mmzV/ —o. 8. Quoniam quantitates x^ y tt z per hypo- tliefin prae vnitate funt ■valde pariiae , reiiciamus primo omncs terminos duas plurcsue dimenfioncs harum quantitatum continentes ficque confequemur tres fequentes aequationes I. i£f - L!li2 - ^m x — o TT ddy , imdx — ^^ III. <^J:^-\.mm z —o quarum duas priores , quoniam non amplius conti- nent s, feorfim tradare licct , atque adeo commo- de vfu venit , vt fecunda pcr fe fit intcgrabilis , dum eius integratio praebct j^^-{- 2 m x — Conft. , quam conftantem quemadmodum comparatam effc oportet , hic accuratius eft inueftigandum. Maneat ea primo indeterminata , vt fit ^—C—2mx qui valor in prima fubftitutus praebet — H-OTWje-2WzCro,cuiusintegralecompletumeft * — '^ -f- a cof. q exiftente d qznmd t ^ iam hic valor in altcra furrogatus praebebit PLANETARVM, 359 ct integrando ^=:— sCl — aarin.^-i-Di fbi ftatim li^uet conlhntem C euanefcere debere , quia alioquin quantitas y continuo maior eflTet eualu- XX , quod indoli motus medii aduerfarctur , ex quo fequitur, fi pofitio redae S B rite foerit conftituta , neccflario efle oporcere C ~ o , deinde etiam per- fpicuum eft , et alteram confiantem D tuto fumi pofle — o, quippe quoJ in idea longitudinis mediac paritcr inuoluitur , ficque pro hoc cafu habebimus XziLiK cof. ^ et ^ — — 2 a fin. ^. 9. Eaoluto hoc cafu , quo tcrmini duarum , pluriumue dimenfionum negliguntur , fi iis admiflis, loco X tl y hos inueutos valorcs X—a cof. q et jf zr — 2 a {in. q exiftcnte dq — mdt fubftituamus et prodnda Sinuum ct Cofinuum ad fimplices Sinus vcl Cofinus reuoce- mus , in prima aequatione termini hadenus ncgledi deducent ad feriem certorum Cofinuum , in altera autem aequationc ad fimilcm fcriem certorum Si- nuum , propter quos deinde tam ;i*, quam y fimiles Sinus Cofinusuc complc(Si debebunt , qui quomodo- facile definiri queant , generatim ofti-ndifle iuuabit. 10. Ponamus igitur per approximationem iam pro a: ct^, quin etiam pro z certos huius- raodi valores efle inucntoi , eosque in terminis mi- noribus , feu iis qui duas pluresue continent dimen-^ fiones , tam primae quam fecundae aequationis fub- ftitui. ^do DE MOTV flitui, atque in priore qiiiJem flequitione occurrere t^rm:nurn + Mcof/oj, in alf(.ra vcro talem N fiii. o) €Xiflcnte d (n zz [k d t et qnon an quicquidde his ter- niMis tradeniui fiaiul quoque ;id quotcunqoc fimi- lei exte;idi potcft , confiLkremus primo (ecundam ac- quationem : a t <* f quae intcgrata dat ^^-4-2W.v- -coCurro fiuc ^-^=:- aff/Ar + ^cofO) qui va!or in prima fubftitutus pracbet i^* A- m m X — '— ^ col. w + M cof. 0) — o dt' ' K Tnde collig tiir ■^ __ 7 TTlM X — f^ COf 09 , jx fjL — /« //; aqpo inuenio erit ^ rz - 2 w L cof. w -}- i- cof. w cxiflente M — L"-*? L ^ ^^- {JLjJl. — »2 /// Tnde fit V — ( _ « "1- -L. _!L) fin. u hos fcilicet terminos, praetcr iam inDcntos ad X ct y adiici oportet. XI. Vt argumentnm hoc ordine pertrademus, quoniam in termini^ fccundae ittmenfinnis iam oc- currit zz, cuius valorem deraum cx lertia aequa- tione PLANETAPvVM. 5=:cof. ^i 0. — -i'^lcoC.tqi P=:-2fin^; Qr: + ifin. 2 q. 15. Subftituamus autem valores iftos affumtos in vtraque aequatione et membris fecundum dimen- fionem ipfius ^ a fe inuicem disiundis nancifcemur fequentes aequationes. I. Ordo j d dV 1 j_dJ5 — _ L 771 mdt* mdt II. Ordo m m d t* Ordo ddfH i - ^"i-aSi+^^a-aPQ-^^^^+^^P^ro m VI d ddK _L 2 dK ,m m d r^ + ,^-3^0.-3 PO+6g>'P-|P'r::o IV. Ordo k' r,7l^!. --^-3e+6^;^?K+30'-3PR-fQ'-i2rO+i2^PQ ^' +6aP'+5^-i5 9>'-P'+'/P* = 0 |.OTP + lAT-3^K-30Q-3P!K + i2^PC»-H6rq-fP'.Q (, -iog>^P+^^P^P = o. i6". Quoniam aequationes primi ct fecundi or- dinis iam expediuimus, ag^rediamur binas aequatio- nes tcrtii ordinis , et quia iam babemus g> =: cof ^ ; a zr: - rl + UoC 2 7 P — — 2 fin. q ; Q— 4- i fin. 2 ^ Zz a pro 354- DE MOTV pro priore aequ:nione iniieniemus ?^> a = - 5 cor. ^ 4- i cof. 3 ^ PQ— .-;a)r.r/4-:cor. 3<7; hinc iuncli.n '| cof. ^ — V cof. 3 ^ SiiTiili rrodo pro pofkriori aeqiiatione g> v;)- + i (In. ^ + ^ fin. 3 ^ i P O :=+ Kiii. ^ -^ fin. 3 ? g>'P — -Kin.^-;rin. 3-/; P^^-^fin.^ + afuv 3^? iundim 5 fin. ?: m ^ ^ ficquc coeracleirs huius tcrmini eft arbitrarii:3 in Te,' quando ergo k defignat totam excentricirattm hunc coefficientem — o flatui oportet , ita vt fit L — o hinc autem fiet R — + § fin. ^7. At ^cro pro altcro angulo 3 q \bi \x.— 3 w ; Al — — V '« w et >J — - V m m fiet 3i zr — 8 cor. 3 y j itii vt fit L ::- — § /« hincque porro R — — /^ fiu. 3 ^ , .quocir- P L A N E T A R V M. 3'. p' - + r 1 5 - iS p* —^^ _8 + 2 + V iunaim + sf — '/ cof :29 +U' cof. 45 '. At pro altera aequatione habebimus multipl. pcr ^ f< — + k fio. 2 ^ — h fin. 4? - 3 OQ. --; + .V - 3 PSH -- 1 + 1 - 3 ^ a P - + ^ — \ + 12 r <^ +i + /r + 6 ri^ + «5 — 5 ■ « i ^])' p - 1 — i — 10 ^P' --2 + I + k^ iundlim — '^ fin. 2 ^ + V fi". 4^. \ xo» ^66 D E M O T V ip. Quod hic primum ad terminum conftan- tem attinct in iiequatione prioii , quoniam j pcr terminum principnlcm — 3 quae ad quamuis anomaliam mcdiam Planetae ^, cxliibcant valores vtriusque quantitatis x et jf dummodo excentricitas k orbitac accurate fue- rii cognita , inucntis autem ad quoduis tempus pro- prfitum numeris x et y, fraclio —2^ dabit tan- geiitem aequationis centri Planetae ad longitudinem mediam addendae -vel fubtrahendae , prout ifta fra- dio — ^ , fuerit vel pofuiua vel negatiua , tum vero fi haec . aequatio centri dicatur E ob -^ — zrr Tang. E diftantia Planetae a Sole erit vbi a denotat diftantiam mcdiam planctae a Solc , ita vt fit a — 'V ^^ ^i (cijicet diflantia media Solis a tcrra vnitate referatur , id quod omnino confenta- neum e(l regulue Kepleri , qua cubi diftantiiirum mcdiarum quadratis temporum. periodicorum funt proportionales. 2 1. Qiianquam hic fumfimus 2: — o, tamen haec folutio ad omnes phne planetas primarios pa- tet , quatcnus (cilicet a pcrturbatione eoruni mutua animum ablUahinuis ; quoniam enim nulla neceflitate vrgente plunum cclipticae in plano Tabulae confti- tuimus , id tantum opus eft, vt cuiusque planetae motus ad id ipfum planum, in quo mouetur , rcfe- ratur , quippe quo cafu etiam femper habcbitur z zz o ^ interim tamen vt patcat , quomodo calcu- liim tradari conuiniat , fi fhtim Planetarum niotus ad 3^8 DE MOTV nd plannm Eclipticac referre vclimns , etiam hunc calum korfim tt omni ciirn eiiahiamus. Cafus poft-erior qiio orbita Phnetae ad Ecli- pticam pai^umper inciinatur. 22. Seruatis valoribus, quos cafu pr;iecedentc pro X et y inuenimus , quandoquidcin i!li parum ob zz imnmtantur , propterea quod z, vt valde paruum fped-atur , incipismus a tcitia acquatione , vbi primo terininos duatum phiriufpue dinienfionum negligamus , ita vt habeamus hanc acquationem : ~J\^ ^- m m z-=z o cuius integratio ftatim pracbet z — C fin. r exiftentc drzizmdt^ vbi manifcllo , anguhis r cxpriinit ar- gumentum latitudinis Planetae medium, quod reperi- tur , fi a lcKO medio Pianetae in orbita , locus nodi afcendentis fubtrahatur. Ex quo qunm linca nodo- rum etiam quiefcat , manifcftum eft vtique effe de- berc ^ — w. Porro autem coefhcicns conftans con- a r venit cum inclinatione orbitae Phmetae ad Edipti- cam , feu potius eius tangente quae fi ponatur — /, habebimus pro hac prima approximatione .s— ifin. r, 23. Quodfi iam in terminis fequentibus mino- ribus loco z ifte valor fubftituatur , fimulque pro x ct y valores inuenti fcribantur , ex his terminis orietur feries certorum finuum , quorum fi quihbet fuerit :=: K fin. w exiftente du\ — \xdt inde redun- dabit fimihs terminus in ■falorcm z, qui fi ftatua- tur PL A NET A R VM. 3^9 tur — X rui. u , erit — X fx' -f- X ;;/ ;« + K :=: o vn- de re.iuicur X — — - — , hoc praemiflb , confidere- mus terminum tantum iecundaedimenfionis — ^mmxz^ ■vbi etiiim loco x tantum eius valorem princi- palem k cof q (latiiamus , ficque prodibit haec ae- ^u;itio ex priore angulo r — q nafcetur pro z terminus -^ \ki fin. (r — q) vbi manifefto anguhis r — q e(l conflans , exhibens diftantiam inter lineam apfidum ct lineam nodorum,, qui angulus (I dicatur k habebimus hinc zir. , -f- i j A fin. K ex altero autem. angulo r -{- 1 refultat zz=. - 5 i fe fm. [r 4- q) hadenus ergo peruenimus ad hunc valorem z~ i fin. r -^-likdn.K— \t k fin. (r + q), 24. Admittam.us nunc etidm terminos rrium dimenfionum ac ponamus breuitatis gratia vt fupra x — k^^kkO.-\-k\fii-{-k'^ ctc. y — kV -{-kkil-^-k^K-^-k* S etc. Simili autem modo ftatuamus zzzi^\n.r-\-ikX-^ik*Y-\- i k' Z ctc. atque noftra aequatio refoluetur in fequentes ordincs Tom. XVIII. Nou.Comm. Aaa I. 370 DE MOTV I. Ordo II. Ordo ;• k k ; j;,'^}, + Y - 3 a fin. r - 3 9J X + (J ^'. fin. r- 1 P\(ln.r)zzo III. Ordo ;^'(,.ji;i^+2:-32Hrin.r-30X-3^Y+i2^^0.rin.r +6^'.X-3 PQrin.r-^P'.X iD^Yin.r+V^^JHYin r)-o. 25- Harum acquationum primam iam expe- diuimus , atque inuenimus X — -h I fin. K — i fin. (r -H ^) , vbi angulus conftans k— r — q y hoc crgo Yalore fubllituto , pro Itcundo ordinc habemus — 3) OJin.r — — lCm.r—^Cin.(2q-r) + iCin.(2q-\-r) -3) ^ X =::+ifin.r-|fin.(2^-r)-ilin.(2?+r) + 6) g>Yin.r- + i -i +i -I) P*fin.r — +a +1 -1 iundlim K — 3 fin. (2 ^4- r) atque ob p. = 3 w, fit Y =: i fin. (2 P'fin.r— -^ +i +i -i fun«aim i + ^fm.(7^ Vr)-l "" f + /. + T'r ■— '» 1 + i + i 1 — » I V +; 5 + 1 +^ + J I +; + i + i I • PLANETARVM. 371 iun^T+i2^Np:X-fP'T-|BP-lAQ.-o. 28. Euoluamus nunc terminos minores pro his ordinibus , ac pro primo ordine — l k — l — l cof. 2 r crgo M =: — I + ^ col. 2 r at vero N erit — o ■vnde quia tcrminus conflans pcr terminum principa- lem — 3 S tolli debct , hinc fit !t — — i ,• deinde pro angulo 2;', habemus [jl — 2 »; , tum vero M = + I et N — o vnde J — + 1 coH 2 r , ideo- que L — + Im m vnde porro fit T — — ^ fin. 2 r, quocirra pro hoc ordine nadi lumus S — — ;; + ^ cof. 2 r j T — — i fin. 2 r» &g. PLANETARVM. 373 2p. Pcrgamus ad fecundum ordinem et euol- .vamus terminos minores vtriusque Jiequationis : cof. q col. {q- 2. r) cof. (? + 2 r) 6) ^% 1 4 - 3) P T -i) B ■ \- 1 + 5) ^A + ^ iundim M [ - : o fm. q -3^ '^JT - 3) P S -f^ -1) A P — I ergo N o IliilC \L m 2 m N M- + M o o Numer o Demon. o L . 9 HM- u o o 0. fin. + i + ; + 1 I 4 + 4 I + 1 __ 3 fin. (?- zr) fi + i t •" ff I + 1 + 1 3 + 1 — ;» + 3 _ I 4 I + + 1 o — I o S o r _ 3 8 + .i o + /s fm.(^-f 2^) o.fin.^ -|fin.(^-2f) 4-ifin.(^+2r) at U — o.cof? +ocof? — 2r) -;cof.(^+2r}. 29. His duobus ordinibus acquiefcamus , quo- niam facile patet , quemadmodum etiam aequationes tertii ordinis relolui queant , quare pro quantitanbus X et j . praeter valores iam in praeceJente cafu euo- lutos , habebimus nunc infuper A a a 3 x^ 374- DE MOTV A*— — \ii-\-li} co(. 2 r-^o.iikcof.{q— zr) — '^ i i k cof. (^ -i- 2 r) jzr. . , . .-[iii\r).ir\-UikiinAq-2r]-{-liik{m.[q+zr) quibus adiungi poteft \aIor pro z iam ante adhi- bitus. 30. His corrcdionibus pro .1* et j inuentis, nunc dcinum etiam viilofem pro z accunuius dtfi- nire poterimus , fiquidem hactenus in tertia aequa- tione , tcrminum z' ncgleximus , perfpicuum autem cft inde ad valorem z, acccfliiros infuper tcrminos indicibus /* et ;' k affcdos , ad quos inueniendos , ftatuamus z^iCm.r-^-ikX-^ikkY-^-ik^Z, -\-i*1p-\-i'k2i I. Ordo II. Ordo i'k) A» -+-:;/-3!XX-3Unn.y+ia13Srin.r-3PTfia.>" — »Xfin.r"z=o. 31. En igitur duis nouas aequationes , me- thodo Cupra tradita refoluendas , ac pro priori qui- dem characflere i' infignita minores termini praebent irt fequitur - 3) S fin. r = - ; fin. r + ; fin. 3 ^ — I) fin. r := + | fin. r - i fin. 3 r K == o o vnde hinc nulla corredlio ad valorem ipfius z acce- dit ; feu fit -^ — o. 32. - 3) XX — + -: PLANETARVM. 375 32. Pro altera aequatione charadlere t k li- gnata euolutio terminorum miuorum praebet {in.(q-r) fin.(^+r) {inJq-^r) fin.(^+3r) ~ 3)Uan.r ~ +,'. -/5 + i2)g)Xan.r=: + /» -/. -tV +is - 3) P I Cin.r—-{-i +1 -^ -I - Ij Xan.r'--! +1 +^, +; crgo K-+ V an.(^ -r)-?;an.(^+r)-Ifin.(y-30-f i^an.(^-i-3r) {JL— o -\- z m — 2. m + ^ m h-nc Uenom. — i+3 +3 +iS confequenter ?/--i'an (5'-0-ljan.(^ + r)-^an,(^-30+i»rin.(^+3r). 33. Colligamus nunc omnes partes , quibus coord'natje noflrae x, j et z pro cafu pofteriore de- fiuiuntur , ac prodibunt fequentes exprefiiones : A' z:: - U ^ + /: cof. ^ + U A cof. 2 ^ - ^ ^* cof. 3 ^ + iVi i^* coC 4 ^ " k* — i^ /-^ '-\ii +i^icor. 2r —'^iikco{.{q-\-ir') j> — — zh(\n.q +5^^an. 2^-/4 t^an. 3? + |5/fe*an. 4y + g A^ 45 /i — ;^ii an. a r-liik{\\\.[q~ 2 r) + J iiit an. (^+ 2 r) «irifin.f-fi^an.(3'-r)— 5/^:^0. (r+^) + |iit /:an.(2^+r) + /.ife' — 5',i^'an.(3j-r)-5i/:'fin.r3^ + r)-|iFan.C^-3r) + T6i/:'an. (? + 3r) Verum 37JEM PA- hlANT, VEL ETIAM DATAM CONFVSIONEM A RELIQVIS LENTIBVS ORTAM DESTRVERE VALEANT. Au (H: o r c L. E F L E R O. c §. I. um Iioc argumentum 'a me iam faepius , ac praecipue in Dioptrka effet pertnidatum , ple- rumque ternas lentes fibi iungendas ita proximc ad- apt;ire aflumfi , vt earum diftantiae inter fc pro ni- hio haberi poflent : Id quod in praxi nullo modo exrequi licet , cum omnes certam diflantiam focalem habentes necenario certam quandam craflitiem obti- nere debeant , ita vt centra lcntium ad minimum tanto interuallo a fe inuicem fint remota ; hinc au- tem eifedus nullius confuflonis quem in his lenti- bus intendebam tantopere perturbatur , vt facpe ad- huc maiorem confuflonem producere queant , quam fi earum loco lentes fimplices adhibereutur. Nunc Tom. XVllI. Nou. Comm. B b b mihi j7» DE LENTIBVS m hi hnc imprimis erit propofitum , vt in detcr- nnnatioiie huiusmodi lentium triphcatarum etiam crJihtiei ruiouem fim habiturus , huc enim tadlo demu n talcs lentes ad Praxin cum ruccefTu accom- modare liccbit. f 2. Praetcrea vero , in id mihi potifllmum effe tncumbcndum , arbitror, vt huiusmodi lentibus quam maximam apcnuram conciliem , quandoqui- dem hoc imprimii defiderari folct , vt tubi dioptri- ci quam minimam longitudinem adipifcantur , quem fcnpum commodillime attiiicjemus , fi pro data di- ftantia fbcali lcnte& triphcatac maximam apcrturam admittunt i Quarc cimi apertura maximam partem a lente concaua, cryrtaliina pendcre Ibleat , ei pro data diihntia focali talem figurain tribui conueniet quae maximae aperturae fit capax , id quod fme du- bio obtiiictur, fi illi vtrinque eadem curuarura indu- catur , tuin enim diamcter aperturae femiffi radit curuaturac acqualis accipi poterit : Tum autem prae- cipue caucndum erit , ne vel in prima vcl in tcrtia lentc adhuc miiior radius curuaturac cccurrat. f 3. His igitur cooditionibus, principalibu& praemiliis , lentem rriphcatam ita ex tribns lenti- bus componi affumo , vt prima et tertia ex vitro coronar o di(flo , cui ratio refradionis rcfpondet vt 1,53 ad I, niedia vero ex vitro cryfblUno ah An-;ii.s F/int - Glafs vocato , cui ratio retradionis re- fpondeat vt i, 58 ad i. parari debeat. Pro his igi- tur tribiis ientibus , carum diftantias focales con— tetrii- O B I E C T I V I S. S7P templari oportet , qiiariira prima nobis fit zrp, fecunda — ^ ac tertia :=: r : Vbi intelligi debet , primam p ac tertiam r, fore pofitiuas , mediam \ero q negatiuam , quae cum Ttrinque effc debeat aequaliter concaua , radms vtriusque facici erit n I, i? /-+- us S /-+- '^S hincque J__ — _ g_ f-JzlLS 55 i ' -+■ >2 g: ' ponamus autem ^=-4. G, ita \t fit Gin ^-tiis ita vt fecundus tciminus noftrae aequationis fiat pro tertio aurem termino quia habemus i3/_f_i2S »^'- ^»- ft fe(2i/-+- '50 S) erit R (? — __lil/ 1 — ^. __ilil " "■ "^ I}{2SJ -i~i56 S) b 2iJ-^,56l hincque » h_ 35f -i~'56 g E £ — J' 1+4 g Ponatnr autem _ — _ .. ita vt fit H — ii^'^ B -!- — ^. H ita vt fit U^'-^ B (£ — /• "■*■ vndc terminus tertiiis euaJet rij^yHH, quare per // multiplicando aeqnatio noilra erit y^-igGG-|-/5?HH — o. §. 10. Cum ante efiet I3 _ I — l2g(.!fH- -tg) nunc fl84 CE LENTIBVS nunc nndli fumus duns acquationes quibus fatisficrl opor.tct ; quiuum prior efl: iij -+- 146 g altera vero cxiftcnte G —-^-+-"5 ct H zz ^l/^t-Litl in quibus cum tantum tres litterae ffgeth occiir- rant binas quasque per lertiam dcfinire liccbit. f. II. Nunc autcm imprimis attendamus ad eam conditionem , qua requiritur ^ vt , neque in prima , nequc tertia lcnte \lla occurrat curuatura , quae maior fit quam (ecundac lentis , vndc flatim manifeflo fequitur , diflantias focales p ct r maiores efle debere quam q, quia ergo diflantiae reciproce funt proportionalci littcris /, g et ^ , necefle eft vt f tx. h minorcs fint quam g, feu potius quam — g-, quia g efl vt \idimus numerus ncgatiuus , cui con- ditioni quemadmodum (atisfieri poterit , ex cafli quo crafllties lcntis plane ncgligitur , faciUime coUigerc potcrimus , tum autem erit f-\-g-\-hzzz tt f-\-\g-\-hzzOi Ynde flatim fit 5 = -3 et /4-^ = 4 quod fi iam ponamus gz=: — B^f-, vtique debet cflc 5>i, et quia hinc efl /=: ^ erit h~*-^f^i quia jgitur i& < 3 uecefle eft vt lit 3- < 3 quocirca hacc O B 1 E C T I V l S. 3^5 conditlo poftulat vt numerus 3- intra limites i et 3 accipiatur, §. 12. Ponamus nunc ia gencre efle g—~-S-f et qaia craflities vere tam eft parua , qiiam circum- ftantiae permittunt , iidem limites pro ^ daii , et- iamnunc locum habebunt j Introduilo autem lioc va- Jore fiet G — iil^' et H zr iiL^^' pro aequatione pofteriore Ponamus autem breuitatis gratia ^ — i -4- F/ vt fit F- 12^(11.^.^^) ssb S — - 25' qui valor in altera aequatione fubftitutus dabit /- i 5/G G -H H H -H F/H H zi o ex qua condudimus H H ^^I^GG-FHH-i' Quo valore inuento bini reliqui erunt g = -^/ et /^— I -l-F/ f. 13. Hic igitur numerus 3- arbitrio noftro relinquitur , dummodo intra limites praefcriptos i et 3 accipiatnr, tum vero pro fequenti calculo reli- quae litterae iftos induent valores P zi: 4^. fiue P = ^ , P 0.= ^;q- idcoque P Q^ — ^ praeterea vcro Bzr-Ji-_ et?8=_ii--j C — ^-i et€:=^. Tom.'xViil.Nou.Comm.' Ccc §.14, 38(5 DE LENTIBVS f 14. Progrcdiamur igitur vlterius, ac videa- mus, quomoJo etiiim ulttram conditionem, ex aper- tura lentium oriundum di.lU"ui conueniat , et quia duo vitri genera liic in conriderationcm veniunt, prg -vtroque certos numcros , quibus ia calculo eft opus apponamus Pro vitro coronario IX. — o, 9^75" y — o, 2194 ^ rr o> 2 266 (T ~ I, 66oz r = o, 9252 cr ? — I, 4335 /(0- - ^1 = 0, 15^4-83 /r zzg, 9662355 Pro vitro cryn:\lIino p.' — o, 8724 v' — o, 2529 e o, 1413 0-' =r I, 5827 t' — o, 8775 0-'-^'^ 1,4414 /a-'-^') — 0,1587845 /t' ==9,94324.71 vnde porro in fubfidium calculi (cqucntib, colligan- tur hi logarithmi /f^_l — 9,9461755 /v' — 9, 34i-5^<^ /v' — 9, 4029488. §. 15. Quia Icns fecunda cryflalHna Ttrinque fupponitur aequc concaua , ft eius numerus arbitra- ritis ponatur — X' erit yV-i='^\^-!),vbieft/i^f:'— 0,215537+ Vnde elici debet valor numcri A' , deinde fi pro len- te prima ponatur numerus arbitrarius —X, eritcius . Radius faciei antcrioris — _ .T-/X— I Radius faciei pofteriotis — -^=^' ^ A H-T V X — I. At O B I E C T I V I S. S87 At pro lente tertia, fi eius numerns arbitrarius vo- oetiir X" erit eius Kadius ftciei anterioris rr ;: — s- — « (a- - f ) -H- -r V X" — Radius fadei pofterioris — ?-f-(j:(ff — ?)— TVX" — . Pro media autem lente cryfiallina iam fupra vidi- mus, radium vtriusque faciei effe dsbere ~ 1^16 q denique meminifle oportet , cHc ^=fi i^f et r = ^. b §. 16. H'S de forma lentium praenotntis , in Diop*rica demonftratum efi:, confufionem inde natam proportionalem effe fequenti formulae fAP ^55= ^ E55^ ^ B^pQ ^e;'- ^ c^' qiiae fi ponsmus breuitatis gratia •^ — M et -4 — — N induet hanc fbrmam JU, P B ' P Q, §. 17. Quod fi ergo ex fequcntibus lentibus oria- tur confufio (imili modo determinanda ::= O, vt vniuerfi confufio tollatur, fieri oportet §, 18. Siatim ergo ac pro 3" numerus deter- minatus et intia praefcriptos limites i et 3 conten- tus accipiatur , toius cakulus refiduus nulla labora- bit difficultate: inde enim primo coUigantur valores litterarum F, G et H, liincque littcrarum /, g et ^, vnde innutefcunt diftantiae focales p^ q ct r^ tum Ccc 2 Ycro dSS DE LENTIBVS vero eliciantur Yalores litterarum P, PQ, B, ?6, C et €5 hincqiie porro littcrae M et N ^ Quod autem nd numerum S- attiiiet , conueniet pro co aliquot liypoihefes accipi , vt intelligamus, "vnde diftantia focalis q maximum obtineat valorem , quippe qui pro data diflantia focali H ipfius lentis triplicatae inaximam admittet apertnram , id quod omnis gcne- ris telefcopiis maximum inducet perfecftionis gradum. Hypothefis prima grz.— i.f feu ^ — 2, § ip. Incipiamus ab bypothefi 5 ir 2 , qul diflantiae focaies extremae, fere aeque fupcrabuut me»- diam q , eritque V—\\^ /Frr9,9<^3722o G—\l lG — 9y 9^15166 /GG=:p, 97055 lf~o,26Si^53 /g = (-)o>5<>9i755 Ih =0,4.322572 /p= 9,731854.5 /^ = (-)9)43o824S /r:r: 9,5^774=8 h_-- b labebimus IV —0,0184854 /PQno, 0015106 /B =:o,o377885 m =19,717453 + /C =0,2318675 /e ^Pj^^^^^ioS /B' = 0,ii33i5 235oft /C' = o,6956o25 /(2:' = 9,3p883op Porro OBIECTIVIS. 35^ Porro ■vero /B35 =9,7552419 et /C(E = 0,0314.778 tandem igitur /M — 9,9275954 ct /N — 9, 8851239. §. 20. Cum nun2 fit ^ := ^^ erit ?8 - 5 zi: ^J^ vnde colligitur /l/A'-i — 8,552779<^>hi"c/(X'-i) — 7,105559^ vnde fit \ X' ir I, ooia7 -^ at bini reliqui numcri X ct X" maneant indetcrmi- nati , hinc igitur calculus pro confufione fequcnti modo indituatur I. /M— 9, 927^^95 2 /X —0,0005510 9,9282462 /^'=9,1523^02 1. p. I. 0,7758860 5,9^88 zzpart. I. /Mzr: /v' =z. /B?8z= II. 9,4029488 9) 3306440 9)7552419 I.part. II 1^:9, 5754021 iir. [/N =9, 8851239 ;/(£'=: 9, 398*309 6,4862930 pars II — o, 37<5i IV. /N rr9,8S5i239 /y z=. 9, 34-12366 9, ^263605 /C €==0,0314778 9, 1948827 p. IV — o, 156^ Ccc 3 parslIIz:3,o54oX'^ hinc 390 DE LENTIBVS hinc igitur I + II -H IV r= - 5, 1S83, qiiare con- fufio tx lcnte triplicata nata erit X -I- 3, C640 V — <5, 1 8 8 3 , crgo fi confufio cx reliquis lentibus nata fuerit rrO onuiis confufio tolietur fiicicndo A + 3, 064.0 X" — 6, 1883 - O. §. 21. Quia diftantia focalis tertiac Jentis r non multum fupcrat g, imprimis caucndum cfl, nc \llus radius curuaturae huius lcntis mincr eundat quam fecundae lentis qui efl 1,15^:^1 — 0,3117. Qiiia igitur efi: dia- -^) rr o, 9037 crit o--(E'o--^) — 0,7565 et f ^-C:(o--f)= Jji303 hincque pro lentc tertia crit radius fliciei anterioris =z -^~_^-^^ ct radius faciei pofierioris zr ,^ ^,.. _~^x"^' Hic igitur adco f^atui poterit X" — i, vnde pro len- te tertia prodibit „ ,. ^ . . Siiiterioris —0,4886 II Radius facei ■{ n ■ ■. ^ « rr ('poflcrioris zr o, 3270 11. Tum autem pro confufione toUenda capi debebit Xn 3, 1243 - O vnde pro cor.rtrucflione primac lcntis erit , Radius fiicici anterioris zz ^JvTx-. ^ rT^f^-Vxrr Radius faciei poitcnoris — ^-^^;x=".*— ^^c-^rvx^' Hinc igitur fi confufio dcaruenda eflfet nnlla , feu O — o foret O B I E C T I V 1 S. 391 X rr 3, 1243» ideoque VX— 1 = 1, 4-575. Qiiare tum ficri deberet „ ,. ^ . . Santerioris =r 1, 7302 11 Radius fliciei ^p^j^.rions =:o,34-3^n fin aiitem confufio toUenda O fuerit maxima- 2,1243 ideoque X = i , iu prima lente erit „ , ^ . . Canterioris —0,324811 Radius laciei •', n ■ • ^ n ^poftenoris z=z 2, 374<5 n ficque tales lcntes triplicatae ad omnes confufioncs toUendas a minima fcilicet O zr o, vtque i-naximam 0—2, 1243 erunt accommodatac. §. 22. Cum autem tanta confufio tollenda nun- quam occurrat , in gratiam praxeos ftatuamus lentem tertiam vtrinque aequaliter conuexam, ita vt liabeamus 0,7555 + TVX''- 1 — i,i3C3-ry V— I hincqus r y X" — I — o, 1869, vnde concluditur X" — i, 040S , vnde fit 3, 0540 X" =: 3, iSpo , confequenter X — 2, 9993 — O. Hoc autem calu pro tertia lcntc fict Radius vtriusque faciei — — ^- rr o, 3917 II exidcnte lentis mediae radio vtriusque faciei rr — o, 3127 n j Conftrudio autem lentis primae cx formulis paragr, precedeatis eft pctenda > Iktim atquc valor ipfius X iuerit 3^1 DE LENTIBVS fucrit cognitiis ; raaxima autem confufio quae per tales lentes dcftrui poterit crit On: i, 9993- In- terualla autcm inter binas lentcs in hac hypothefi "vbique funt -U ? = o, 0225 n. Hypothefis fecunda §. 23. In hac ergo hypothefi habebimus fc- quentes yalores , primo : /F rr 9, 634o9 rr: o, ^066 n y 3r — o, 2711 n r~ o, 4857n Ex his Yaloribus porro confequimur , //— O;39o8o2i /g=(-) 0,5558851 Ih— 0,3135553 Ip— 9> "videamus, an valcrem ipfius 9- aliquantillum au- gendo ■vltra \ , maius lucrum confequamur. Hypothefis quarta S--I fiue g=:-|/. f a8. Statim igitur quaeramus valores fc- quentes G — !? /00 = 9,95 544-72 IV — 9y "7750501 /Gr=9, 6-]yy2^6 U-\; /Hzrp, 9908557 tnde porro colligitur f— 2,2075 //= 0,3439-3^ g=:- 3,5793 /^r=(-)o, 5557552 ^zz 2,3152 1 /^= 0,3545885 p rr 0,452911 Ip— 9,5550754. y^: — o, 2718 n rn: 0,4319^ /^i:i(-)9,43423^ Ir— 9,5354115. Quoniam hic valor ipfius q niaior prodiit quam antc : intclligimus , hunc propemodum cafum efle omnium maximum , ac fi valorcs in precedcntibus cnfibus erutos inter fe comparamus , haud difficulter indc concludere licet , ipfum maximum valorem hypothefi |J refpondere, quem ergo euoluere opcrae pretium eric Hypo-" O B I E C T I V I S. 5P7 G-ll Hypothefis quiiita S^ll fiue gzz- Mf. f. 29. Cum igitur fit 12 3- — i* reperiemui /F=:9,754-^54<^ /G = 9, 97733^0 /H 1=19,99007 2 8 /GGrr 9,954(5710 /HHnr 9,9801455 cx quibus confequimur /zr 2, 24457 //— 0,3511328 -, . /g=:(-) o, 5<55^823 h-z:i 2, 27581 ||//?=i: o, s^^is^Jo pz=: o, 44550 n ['//>= 9, ^488(57a ^-zi: — 0, 27184 n r — 0,44042 n Iq — i-) 9,4343177 Ir— 9, «5438540. Praeterea vero/Pzz 0,02 25540 et /PQ^=:o, 0099274 B= f S5 = f, C—h-i feu (£ = 0,55189 /B' — 0,7558175 /^' = 9,4243435 /C* =0,317352» /e* =19,248954* 7B =0,2552725 I/5S =9,8581145 ]/B?8=o, ©533870 7C =:o, 1057874 '/€ =0,749^514 !/CS=:9,8554388 Tandem igitur Log.Mi:9,9235i4 7St+ — ^ V A — » p c, tsis» n { — T V X — I o, j+45 -(- ■y' X — t Pro lente fecunda autem , iam vidimus efle , Radium \triusque faciei — — 0,31532 n^ At pro lente tertia , Radium vtriusque faciei 1=0,4568411. Interualla autem intcr binas lentes debcnt efTc — o, 02265 n vnde fi haec lens aperturam admittat, cuius femidia- meter —0,0788 II, tum applicari potcrit, ad mul- tipiicationem tn producendam, fumendo II — ?'. DESCR IP TIO lentis ohie&iuae triplicatacy perfc&ijjimae, quae etiam confiijioncm , a reliquis lcntihus natam deftrucrc valeat. Ex hypothefi quinta 3- — \i petita. §. 32. Compon tur igitur haec kns obiediua ex tribus leutibus , quarum prima et tertia , quae ambae 400 T)E LENTIBVS ambae funt conuexae , ex vitro coronario funt pa- landae , media vero concaua ex vitro crylkllino : tum aote omnia definiatur per formulas fupra datas con- fufio, cx lentibus rcliquis oriunda, quae fit — O ca- piaturquc numerus X zr 2,508^2 — O, et lentis pri- mae (cuius diftaotia focalis dcbct effe —0,4-4550 II irbi n dcnotat diftantiam focalcm totius lentis tri- plicatae) conftrudlio ita inftituatur , vt fit. Radius faciei anterioris — ~' *r — = ct 1, rst4 — V A — 1 Radius faciei pofterioris — — ~'~7t^==^. A medio huius lentis vsque nd medium fccuiidae ftatuatur diftantia —0,0*265 11, tum lcntis fctun- dae cryftallinae vtrinque aequaliter concnuae cuius diftantia focalis cft — — o, 27184. n rtatuatur Radius vtriiisquc fiiciei — — o, siSS^H, ab huius lentis medio vsque ad medium lentis tcr- tiae dilbntia etiam ft.uuatur — o, C2z6$ 11. f eni- quc lentis tertiae dillantia focalis —0,44-04- i 11 quae ctiam vtrinque-aequaliter conuexa fiat fumendo Radium vtriusque faciei —0,46684 11. Qiiod fi iam apertura definiri queat cx parte quarta minimi radii curuaturac , haec lens obicdiua aper- turam admittet cuius fcmidiameter fit —0,07883X1, ficque adhiberi potcrit ad multiplicationcm — w/ pro- ducendam , fi capiatur 11 —^ dig. f. 33. Qiiod fi erco nulla confufio fucrit tol- lenda, ita vt ipfa haec lens obiediua iam puriffimam imagiiiem reprefentet , fumi debebit X — 2, O B I E C T I V I S. 4oi X n 2, 5o85a vnde fit VX — i rr j, aaSatf Tndc pro lente prima coUigitur „ ,. , . . Cmterioris rr o, 85045 II ^poUenons n: o, 32689 II. Eodem modo nliquot cafus pro confufionibus minoribus tollcndis , cuiusmodi faepifllme occurrunt, euoluamus, r. Si confufio tollenda O— o, 10. Erit ergo >. — 2, 40852 et VK — i = i; 1868 -vn- de colligitur „ ,, ^ . . ^i^ntcrioris rr 0,7925311 Raduis faciei i ^ • • /> --o ^pofienoris n o, 33^34 H. ir. Si confufio tollenda O =: o, 20. Erit ergo X — 2, 30862 ct V A — i — i, 1439 Tn- de fit ^ ,. _ . . S^i^tcrioris — o, 74026 TI Radius facici i n ■ ■ ^_ tt Cpouenons — o, 34-073 -H' Ili". Si confufio tollenda Onro, 30. Erit >. — 2, 20862 et V X — i — i, 0993 vnde ha- bvbimus „ ,. .... Cunterioris =1:0,6927611 Radium faciei i n • • r,, rr ^poUenons =0, 35S23 II. IV'. Si confiifio tollenda O ^ o, 40, Erit X — 2,10862 ct Vx— 1 — 1,0528 vnde colligitur „ ,. - . . Canterioris — 0, 64933 n Radius faciei s n •• ' tt ^pofterions — o, 37 '93 n. Tom, XVIII. Nou.Comm. Eee V". ^02 r>E LENTIBVS V''. Si confufio tollenda fit O — o, 50. JErit \ — 2i 00662 et VX— I — I, 0043 hiiicque RaJius tKiei f"'^'°"' = °' <^°947 n Cportenoris — 0,38548 11. §• 34- Si quis forte fufpicetur , dircrimcn in prima lente pro variis confufionibus tollendis nimis efle paruum , quim vt accurate in praxi tx(equi liceat , ci fortafle hypotlicfis lecunda fupra euoluta magis arridebit, quoniam valor ipfius X~2,2i9i — O notabiliter minor eil quam noflro cafu 5 quanquam enim pro hac hypothefi diflantia focalis q aliquanto minor eft inuenra, tamen diffcrentia tam ell exigua, vt in apertura vix vllum decrementum inde nafca- tur ; quamobrem etiam lentcs obie<5liuas, ex hac hy- pothefi dcdudas, hic fubiuugamu?. DESCR IPTIO tllhis lentiy ohicBiiiac triplicatae cx hypO' thcji fecmida 3- — i pctita, §. 35. Lens haec obiediua componitur ex tribus lentibus , quarum prima et tertia , conucxae , ex vitro coronario , mcdia vero concaua , ex \itro cryftallino func parandac. Ante omnia igitur ccnfu- fio ex lentibus reliquis oriunda , per formulas fupra datas definiri dtbet,, quae fit — O, capiaturque nu- mcrus X— 2,21913 n — O et primaeleuis, diflan- tlim focalem — o, 4-o<5(53 11 habentis (vbi II deno- tat, O B I £ C T I V I S. 403 tat diflantlam focalem totius kntis triplicatac) ita in- (litiiatur con(lru(f^io , vt fit ... . . •, t?9S9 n Radius faciei anterioris — 7^="= Kadius faciei poltenoris ■^z: ; — 77 — =. Inter medium huius lentis atque medium lecundac , ftatuatur interuallum — o,o2£<5on, tum , lentis fecundae cryflaliinae vtrinquc aequaliter conrauac cu- ius dillantia focalis ——0,27109X1, ftatuatur ra- dius vtriusque facici — — o, 3i44<5n, diftantia au- tein a medio huius lentis Tsque ad medium tcrtis,c ctiam ftatuatur rr o, 022(^0 11. Denique lentis' tertiae diftantia focalis — o, 485(57 n quae etiam •vtrinque tiequalitcr conuexa fiat, fumendo Radium vtriusque faciei — 0, 514S3 11 Quod fi iam apertura definirl queat ex parte quarta minimi radii curuaturac, haec lens obiediua apertu- ram admittet , cuius femidiameter fit 0,07861 n, ficque adhiberi poterit ad multiplicationem — m producendam , fi capiatur 11 — ^ dig. §. 3<5. Quodfi ergo tollenda confufio fuerit rulla, ita, vt haec ipfa lens obiedliua iam puriflTimam imaginem repraefentet , fumi delxbit >.— 2,21913 vnde fit VX— 1 = 1,10414 fietque r, ,. r- ■ ■ j — k hincque ^ z= -?— „ — ^-^^ ficque erit 23 Z^ = - — <7. §. 3. Qund fi nunc ^ : 'o cxprimat ratiorem difpcrfionis pnmae lentis , qiiae crgo, vt (upra oficn- dimus trit vcl 3:4 vei 4: 3, citftriKTtio ccnfufionis, a diucr(ii radiorum refi-adioae oriunda pofiulat hanc aequationem ^p-hyn::^fiucl.H-^-rz:o quia vero eft haec acquatio induct hanc formam quod fi iam fc per / determinatur, ciusque multiplo cuipiam aequetur, vt fit k — if, crit hacc aequatio O B I E C T I V I S. 407 precedens vero aequatio dat S - 1 — -i^ na vt fit /-(£_-■)('-') quo valore in nltera aequationc fubftituto erit 1 g C'-^)' — o TiUG ^iig- 1)-^- y\g{i-i)—o vnde colligitnr fore ^ — >-. — -^- confequenter /"— .^-^~ '^' . quocirca duos caUis euolui oportet, prouti prima lens fucrit vel coronaria vel cryftall:na. CASVS PRIMVS quo prima lens ex vitro coronario , fecunda vero ex vitro cryfrailino parantur. §. 4. Hic igitur erit <^ 1= 3 et "^l^^» '^^^^ vaiores inuenti proJibunc f—tii-iZ et ffz==^ cunn iam prima lens fit coronaria et conuexa, ex ea interuallum lentium ita definiatur , vt fit /: — i 2 /^ ideoque i— li, confcqueiuer omnia iam perfcde funt determinata, fcilicet 15 r 2 + \p i.\n P- 7» 1 = - 1 n B - II ♦ II 9 ct diflantia inter binas lentes erit — ij p — ilt H, §. 5. Confideremus nunc confufionem ab aper- tura 4o8 DE LENTIBVS tiira lcntium natam, quae ex huc formula deb;t dc- fiairi vbi pro prima lcnte vfurpari dcbent numcrl fiipra iniicati ,|ji., v, ^, cr, r , pro lccunda autem lente ifti jj-', v', ^', a-'^ r' :, iam quia prima kns dcbet vtrin- que eflc aeque conucxa , radius vtriusqnc fiiciei erit rr J,c6p numerns autcm arbitrarius K ita deter- minari debct vt fit vnde colligitur X zn I, 60024. , pro altcro membro fupputando cfl: /^ — o, 1906908 hincque /-^, — o, 136869 porro /B = (-)o, 5X1S834 et /?5=o,i5970o8 ergo /B 33 = (-) 0,6715842 vnde calculus ita fe habebit /33 — o, 1368694 — 0,4791024 /primac p.zr 9,8897670 pars prima-- 0,775 83 add. ly — 0,1368694 r=9534i23<56 9,4781060 fubtr. /B^=o,67i5 842(-) ;1. part.fec. — 8, 8o65 2i8(-) llpars fecunda =r: 4-0,06405« Hinc igirur confnfio ex lente duplicata nata erit 1,66429-0,77583 >^' vnde O B I E C T I V I S. 409 vnde fi confufio cx rcliquis lentibus nata fucrit — O debet effe 1, o525<5n, pro inultiplicatione rr w producendam Itatui dcbet o, 05256 11 — f,, vnde lc- quitur 11 ~ -^ dig. fiue proxime Yi—ltn digitor: ita, vt multiplicatio centupla requitet dirtantiam fo- calem — 37^ dig. DESCKIPTIO Lentis obieBiiiae diiplicatae, citius prior lem ex vitro coronario , pojierior vero , ex cryjiallino ejt paranda. f. 8. Qiiod fi ipfius lentis duplicatae diflan- tia focalis effe debeat — 11 , prioris ientis diftantia focalis capieada erit = o, 19835 n , et quia vtrn- quc O B I E C T I VI S. 41» que aequae conuexa efl; formanda , vtriusque faciei radius capiatur —0,210231!; a medio huius len- tis, \sque ad medium poftenoris ftatuatur iuterual- lum — o, oi(553 11; pofterior autem iens, ex \itro cryftalliiio conftans et concaua, habeat diftantiam fo- calem ——0,444-411, tum fi confufio a reliquis lentibus oriunda fuerit — O capiatur numeriis X' — 2, 14520 -i- I, 28894 O hincque computetur \alor formulac t' Vx'- I =. o, 8775 yx' - 1 quo fado ftatuatur Radius faciei anterioris — ?== ct Radius faciei poftcrioris — ^-'— ' 1 ; 2 2 3 3 T' V X' t Tum vero , fi huic lenti duplicatae apertura detur, cuius femidiameter —0,0525611 ea adhiberi pote- rit, ad muhiplicationem —7» producendam , fi acci- piatur n — J »/ dig. CASVS SECVNDVS quo prima lens ex vitro cryftallino , fecunda vero ex coronario paratur. §. 9. Hic ergo erit <^ — 4 et vj — 3 , vnde valores prodibunt lequcntes Cum nunc fecunda lens fieri debeat vtrinque aequa- liter conuexa , flatui poffet k—xagi verum quia F f f a prae- 4ia DE LENTIBVS praeflat /: ad / referre , ruiiis Talor hic etit ncgati- Yus et minor quam g, fumamus k^— i6f vt fit i rr — i*^ , cx quo impetrabimus f ^ — — . •«' 7 »5« p. 6* 6 — Ti fin autem fumamiis / — - 15 habebimus §. 10. Retineamus autcm valore* pofteriorcs f--n ct5=:5, vnde ftquitur /)r=-r^n—-o, 2343711 ct q—'^n—o,2oocn quae pofterior lcns , quia fitri debet vtrinque aeque conuexa, radius vtriusque faciei crit -o, 21 20oIl,ficcjue aperturam admittet cuius feniidiameter r:: 0)053011; diftantia autem inter binas lentcs — — T5p = + o,oi5<^2 n deinde vcro rciiquae litterae crunt ?zz\l; B = + 4- et 33 rz: ^ §■ II. Nunc pro confufionc tollenda, quia pri- ma lens eft cryftallina et concaua , formula *am .ex* primens erit vbi, cu;n fccunda lcns fit ttrinque aequc conucxa crit quia O B I E C T I V I S. 4x3 qula igitiir eft S5 = ^ erit 23 - 5 = /3 =: 0, 300 vndc colligitur X' — I, 21609. Deindc cft /f — 0,0280287 et IB — Oj60!iq6qo et /^—9,9030900 hincque /B 23 n: o, 5051500 vndc cakulus pro fecunda knte ita fe habebit /'p rr 0,0280287 /X' —0,08496(50 O, I 12 9947 /S^ —9,7092700 1. p. 1 — 0,4037247 pars 1=4- 2,53352 \f —0,0280287 \v :=: 9, S^iaS^ff 9, 3^92<553 /B 23 =: o, 5051500 1. p.II = 8, 8541153 pars 11=0, 07015 crgo ambae partcs fliciunt 2, (Jo358, Tndc cum fit j^zro, 81344 erit confufio lentis duolicatae — o, 88344- X + 2, (J0368 , fi confufio ex rcliquis lentibus nata fit r= O dcbe- bit effe. — o, $8344 X 4- t, 603^8 -f-0=: o hincquc \-'-^;^-2, 94720-1-1,1319+0. §. 12. Hinc crgo inuento numcro X erit pro prima Icnte , F f f 3 Ka- 414- DE LENTIBVS OBIECTIVIS. Radius faciei antcnoris rr-7-— -c=r= — r;r=^- Radius faciei polterions— — — -^ — — wt^. Hinc autcm radius faciei pcfterioris multo prodit ininor quam radius vtriusque faciei primae lentis , etiamfi confufio plane nulla efiet (uptranaa ^ quod incommodum muito magis vfu veniet, fi etiam maior coifufio deberet tolli; vnde hoc genus lentium dupli- catarum penitus repudiandum videtur, nifi forte volue- timus multo maiorem dirtannam focalem admittere, id quod fcopo Dioptricae maxime eft alienum. DE DE APPLICATIONE LENTIVM OBIECTIVARVM COMPOSI- TARVM AD OMNIS GENERIS TELESCOPIA. A u ] repraefentet ; vocemus igitur diftnntiam huius ima- ginis <■ I — n , quie crgo cft diflantia focalis ipfius lentis ttiplicJtae , tuin vero fit primae P P diftan- tia focalis — p, (ecundae lentis QJ^—q et tertiae RRrz:rj praeterea vero fint interualla, ^uibus cen- tra AD TELKSCOPIA. 4^7 tra hnriim lentium a fe inuicem funt remota a b — b e z::.^ t qwod interuallum fupra llatuimus — ji q ; tum yero fit femidiameter aperturae primac harum lentium a x — x\ fitque Ex radius a cen- tro obiecli per extremitatem kntium tranfiens , qui ergo poft triplicem rcfracflionem in centrum imagi- nis I pertingat , ponquam feeundam lentem in a,', tertiam autem in x" traiecerat ^ ponamus autem le-^ mrdiametrum aperturae fecundae lentis bx' — x, ter- tiae -vero c x" — x" ; quod autem ad figuram fmgu- larum lentium attinet, cam deinceps ita aflTumemus, quemadmodum pro quauis fpecie in precedcntibus difTenfltionibus determinauimus. $. 5.Praete;ea vero meminifle oportet , fi, Tti in Dioptrica eil fadum , diftantiae determinatri- ces harum lentium Yoccntur a ec a pro prima Jente PP, pro {ecunda lente ^ et § et pro tertia lente ^ et y , tum fcre a — oo et y zz n , atque noientur fequentes aequaiiones , tum vero ob interualla data «4-^:nf et ^ -{- c -f y ctiam confidsrentur iflae quantitaces deriuatae P zr - ^ et (^— - 1 porro «- — B et \ — C Tnde formatac funt ifiae S3 = -'-^ ct e == fl ~* -- I -{- c Tom.XVIIi.Nou.Comm. G g |; ex 41 S APPLICATIO CX quibus deduximus p =z a , q — ^^b etr — €r. § 6. Sit nunc II n lcns ilhi fimplex \icaria, ad fpeci':in vitri con nariii:n referenda , quae omiii relpeiiu eundcm effedum producut atque iila leng triplicat;! , ac primo quidem llatuamus iftius lentis Tj,!,. iy diltantia n focalem e\zz.O^ eique tribuamus aper- Fig. z, turam cuiiis fcmidiaineter ^ X n. X, ita, vt radius a centro < bicdli emanans E X , per extremitatem iiu - ius lentis tranfiens , cum axe concurrat in ipfo pundo I ; tum vcro pro indole huiu» Icntis ut nuinerus arbitrarius , ex quo haec lens formari de-^ beret rz A , qui cum atqualis fit o, vcl adeo va- lorcm habeat negatuum, in caufi e(l cur haec lens fit imaginaria : quandoquidem ralcm lentem adu ctficere non licet, nifi hic numerus arbitranus fit pofitiuus , et vnitatc maior. At vero pro finiiulis lentibus lentis triphcatae , fint fimiles nuneri ar- bitrarii A, X' et X", quos vtique vnitatem fuperare oportet ^ cum iam haec lens vicaria illis tribus ele- inent^s , primo dillantia facali 0, Rcnndo (emidia- metro X et tcrtio numero arbitrario A pcnitus de- terminetur , noHra quaedio huc reducitnr . quemad- mouum hacc tria elementa O, X et A ex fu- perioribus elcmcntis , quibus lens trifliciua dcfini- tur , detcrniinari opporteat , vt in compofitione cum rcliquis Icntibus, Quodcunque etiam adiuniie- re vifum fuerit , eundem planc efTtdum cffet pracftiuura. i 1. AD TELESCOPIA. 4ip §.7. Hunc in fiiiem ante oinnia requiri ma- nifeftum eft , vt imago 1 "vi , per lentcm -vicariam rcprefentjJta , candem prorfus babeat magnitudinem , quam imago per lentem triplicatam reprelentata ; at fi femidiametrum apparentem obiedi vocemus n Cpi femidiaireter imaginis per lentem vicariam repre- fentatae erit 1 -v] — O V " B«PQ,^ff' ^^ Cd ^ quae formula fi ad noftram lentem referatur dabit (c- midiametrum confufionis quare vt confufio vtrinquc fiat eadem , nsceffe cd Tt fit A zi f^ (X - etc.) ^bi fimul adiungendi funt termini X' ct X" inuol- ventes: quod fi ergo loco O et X valores inucatoi fubfticuamus,- reperiemus io hac ergo formula etinm tertia conditio continc- tur , qua lens nonra vicaiia penitus determinatur > atque pro quouis telefcopiorum gencre loco lentis triplicatae in calculum introduci poteft , vnde ad fequvns Probkma principale progredimur. Prcbleiiia. f. lo. Pro quouh tikfcopiorum genere , lentem triplicatam loco obiecliuae adhibendam , ita determinare^ vt omnis plane conjiifio a kntium apsrtura oriunda proV' fus dejiruatur. G gg 3 SoliUio. 422 APPLICATIO S O 1 U t i O. §. II. Loco lentis obic(fliuae trlplicatac , in computiim introducatur Jcns obieftiua fimplex vica- ria modo determinata , quafi ex \itro coronario ef- fet parata , ct tum ex data multipiicatione —mtt elementis liuius lentis vicariac , quae funt O X et A, fecunJum praecepta in Dioptrica data , colligan- tur fequentium lcntium omnium confufiones , vnde prodeat lemidiamctcr confufionis totalis = ^r*^- (A 4- A) jta vt n contineat formulas pro relquis lentibus coiifufionem cxhibentesj quo tacflo omnis coiifufio penitus tolletur, fi fiat A + 11 — o cum igitur fit \bi fcilicet loco terminorum fcribamus fimpliciter [X'] et W tum vero fit etiam breuitatis gratia n^ f c'.'.-+- ^p/ "^ ~ Vt habeamus A-AiX-^X^l-^t^^"]) ficque habebimus hanc accuationem adimplendam A (X - [X'] -i- [X"]) -f- il = o fiue , AD TELESCOPIA, 423 Supra fliitem, vbi I;ntes triplicntas tradliiiiimu';, (up- pofai.nas confufianein a reliquis Iviitibiis criundani eire ~ O itii vt (atisfieri oportcret huic acquationi X _ >'] 4- [X"] -4- O = o qua aeijuatione cum illa comparata intelligimus efle O zr ^ ; cum igitur quantitas XI per praecepta dioptncae fuerit defimta , deterininationem lentis triplicatae obtinebimus pir hanc formulam X - [X'] - [X"] - f ,• quo fado Icntein triplicatam ante locum primae imaginib aJ dilkntiam — n collocare opporiebit. §. 12. Quae igitur hadlenus in genere expofui' irus , ea tam ad lentes iUjs triplicatas , quas in (u- periore differtatione dcfcriplimus , qnam ad lentem dupl catam in appendice delcriptam accommodemus ; in ipfli autem illa difTcrtatione binas kntes triplica- tas dcdimus , alternm ex hypoihcfi 3- — 1| , alreram \ero ex hypcthefi ^ — l dedudam , vnde tres ca- fus nobis erunt euo ucndi , quos ordine inucrlo per- trademus , et quomodo omnis generis tdelcopia ope ^ talium lentium obicdiuarum ad (ummum pcrfedio- nis gradum perduci queant , oftcndamus. I. D£ TELESCOPIIS Lente obiedliua duplicata inftruendis. §. 13. Pofita huius lentis dup'icatae diflantia focali — n , prioris 1. ntis quae tx vitro coronario eft paranda diflantia focalis inuenta cfl p^zzOf 19835 n , quae ^24. A P P L I C A T I O quae cum eflc debeat Ttrinquc aequaliter conuexa , radius vtriusque faciei erit ■zz o, 21023 n , pofterioris vero lentis cryfiallinae diftantia fbcaliJ negatiua afllgnata eft 9 = -o, 4444-n, pro cuius conftrudione, fi numcrus arbitrarius co pertinens inuentus fuerit ~ X' , ladinm facici ante- rioris efle opportet — C, ♦4S3 -+- T' V'X— I c, 5IJOI ■+• V X' l faciei autcm poflcrioris — o, *<<4n — o, so6*s n 3, 2S3J T' V X' 1 ' I) 33J5» V X' I diftantia autem inter has binas lentas conftitnta cft o, okJssIT. Quod fi iam hac lcntc \ti velimus ad multiplicationem ~ m producendam , eam ad tantam aperturam recipicndam parari opportet , cu- ius femidiameter in facie anteriore fit x zr. % digitor. tum vero obleruauimus , diftantiam focalcm capi pofle — n — I m dig. §. 14. Pro hac vero lcnte duplicata erat P — t7t , qui valor fnfficit, dum duae tantiim ha- beantur lentes , et iioc valore loco P Q^ vti conue- nier. Tum vero pro femidiametro aperturae fecun- dae lentis cryftallinae erit A"' = 'a: (i - ,',) ~\\x, ita vt iam ioco formulae \\ ^-^^ hic tantum W fcribi oporteat ; praeterea vero pro confufionc huius lentis AD TELESCOPIA. ^z% lentis obledliuae , quam in praeceptis ante traditis hac formula X — [X'] + [X''] defigaauimus , nuac ha- bcbimus iftum valorem I, (55429 - o, 77583 X'. §. 15. His de noftra lentc duplicata definitis, in calculum pro telefcopiis cuiusque generis loco iftius lentis duplicatae , introducamus lentem fimplicem ex V tro coronnrio fiidam , cuius diflantia focalis fit O et femidiameter aperturae — X , atque cx iis quae ante funt demonftrata habebimus o — p n — /^x n = o, (544(5 n tum vero X =r -:!j. ^i X z=:llx := o, 5909 x denique hac lente obicdiua fimplici in calculum introdudla coliigantur fingularum lentium reliqua- rum confufiones , fecundum formulas in dioptrica traditas , fitque earum confufio = XI et cum debeat X - [X'] + [X"] I =: o ob A = ^TT^ erit ^ 11 p s> l«nS vnde fit /A — 2, 22 10(592 hincque J l — "jj 7789308 crgo ^ zr o, oo(5oi ficque aequatio pro confufione tollenda erit I, 66.^2^ — o, 77583 X' -f- o , 00(50 1 XI — o Tom.XVUl.Nou.Comm. Hhh Tnde 425 APPLICATIO \nde rcpentur ^/_..,66»,H-«>^°«5oLg-— 2,14.520 ^ 0,00775 a. Nunc igitur ex hoc valorc X' , lens poflcrior cry- ft.illina conftruatur , quo fado hrn, ifta duplicata ance imaginein coUocctur ad diflantiam — IT , ma- nentibus rt:liquis kntibus vti fuerint dcterxiiinatae , et tdelcopium erit pcrfedium. ir. DE TELESCOPIIS Lente triplicata obie61iua pofteriore inftruendi. $. i5. Pofita huius lcntis triplicatae didantia fbcali — n , primae lcntis ex vitro corouario pa- randae dillantia focalis aifignata eft p — o,4o5(J3 n , cuins fi numerus arbitrarius fit == X, conftrudio iu fe habct T-, 1. /- • • ^ • • o, +T550 n Radius facici antenoris =r ' 7t-=^ i> 79++« — V X — t •o 1- /- • • n • • e, . J951 n Radius faciei pofierioris zz rT"^=« Lens vcro fecunda cryflallina diftautiam focalem habet ^.— -0,271090, qu.ie cum efTc debeat vtrinqne aequaliter concaua , vtriusque fiiciei radius erit zr — c, 31445 11; tertiac denique lentis iterum coronariae diftantia focalis erat n: 0,4855711, quae cum (it etiam vtrinque aequa- liter conuexa, radius vtriusque faciei erit 0,51483 11; tum AD TELESCOPIA. 41*7 tum vero diftantia , tam a prima lentc ad fecun- dam , quam a lecunda ad tertiam conftituta eft :zz Oi 0!i26o U ; quod ii iam haec lens adhiberi de- beat ad mukiplicationem — m producendam, femidia- meter apenurae in prima lente debet cflTe jf — ^g dig. tum vcro capi poterit diflantia focaiis 11 ~ ^ dig. §. 17. Pro liac porro Jente triplicata inucni- mus fore PQ-|L| et /P 0^=0, 0143075 deinde pro calculo fequente notetur efle /^r=o, 3908021 , tum vero pro formula « -^ r^ reperitur Ji^ =: - o, 11574 vnde fit Jl+fM-o, 9 cum poftea fit /p — 0,3511325 et /T^AirrOja^Jio^^o^ ideoqus ' " ,/a— 1,0831 815, /1=8,9 1 58 185 61^11:0,08257.' '■^'^ H h h 3 §. 20. 430 APPLICATIO §. 20. lam in calculo telefcopiorum, locohu* ius lentis triplicatae, mente ihltem (ubnituatur lens cornniiria fimplex, cuius diftai,ti:i focalis fit — O et remidiamcter aperturae -z::- X , eritque vti fupra de- inonftrauimus O := F Q^n — I, 023 II 11 et X— I, 0000 x ita •vt fit XrzrA": quo fado reliquarum lentium con- fufiones colligantur , quarum fumma fi ponatur zz. €1 , tota confufio cenfcnda crit — ^— 2, 50 s<52 -4-0, 08257 n, quae ergo penitus deftruetur fi capiatur X — 2, 5o852 — o, 08257 XI vnde prima lens iam penitus erit determinata ct conftrui poterit. §. 21. Cocterum quia in Dioptrica formulae pro confufione lentium variis modis funt rcprefcn- tatae , dum fndor communis alio atque alio modo affumitur , liic iis formulis erit vtcndum quae hac forma funt exhibitae cuius fcil cet primum membrum cfi fimpliciter nu- incrus X , primae lenti obiediuae lefpondens. Bene- ficio igitur horum pracceptorum , oninia telefcopio- rum genera in Dioptrica pci-trasftata , ad fummum perfedionis gr.idum reduci poterunt. Hunc in fi- nein autem eas tantum fpecies adhiberi conueniet , ia DE TELESCOPIA. 431 in quibus lens obiecciua fimplex eft Yfurpata, quan- doquidem hic lentes comporitas ad fimplicem vica- riam reducere docuimus. Dcnique cirtumflantia hic fe ofFert notatu maxime digna : quod confufio are- quis lentibus nata XI, in noftris formulis yalde exi- guum obtinuerit coefficientem , vnde intelligitur , ob lentes fequentes , conftrudionem lentis obiediuae fiue duplicatae fme triplicatae parum immutari. VE DE PERFECTIONE TELESCOPIORVAl PRIMI GENERIS NVLLAM lAlAGINEM REALEM CONTINENTIVAL A u c t o r c I. E V L E R O, §. I. Hic igltur contcmplcmur fimpliciflimam fpccletn horum telefcopiorum , in Dioptncae tomo fe- cundo , pagina 73* de(criptam ; quae tantum duabus lentibus conftat , priore obiedliua , cuius diftantia focalis ibi ponitur — p, altera oculari concaua cuius diftantia focalis cft — ^, "vbi pro data multiplicatio- ne — T^ debct effe tt^ — ^ , «Itftantiti -antcm lia- rum Jentium —(^~-^)p:, Tum ■vero oculum lenti oculari immediate appiicari opportet , \t maximum campum apparentem contueatur , cuius Rmidiameter erit Cl)— — ^.-, denotante w femidiametrum pu- pillae ; qui cum aeftiinafi foieat trr^ dtg. , diftan- tiam focalem lentis ocularis minorem ftatui non li- cet quam \ dig. vel ad fummum \ dig. §. 2. Hic igitur lens obiediua vti eft fimplex, nobis \icem gerat lentis perftdae , ftue duplicatae , fuie DE TELESCOPIIS PRIMI GEKEPvIS, 433 fme triplicatae , quales fupra defcripfimus ; ficque p tlenotat id , quod ibi vocauimus (p , quemadmodum X defignat femidiametrum aperturae iftius lentis ob- iediiiae vicariae , pro qua fupra numerum arbitra- rium pofuimus — A , quo autem non amplms opus erit , quando eius loco lentem fiue duplicatam fiue triplicatam fubflituemus. His igitur praenotatis, vtramque lentem tanquam ex eadem vitri fpecie paratara fpedamus , quae lit coronaria. §. 3. Sit iam numerus arbitrarlus Icnti oai- lari tffpondens X' , et quia hanc lentem vtrinque acqualiter concauam iieri c^nuenit , vt maximam aperturam admittat , erit V X' — i — (?^^) (5) ? vndc coiligitur numerus X'— 1,50024. Hinc autem ob |Jl'-jx formula pro confufione inuenta eft ^-^t'('^~^)j vnde cum fnpra ad confnfionem', ex omnibus knti- bus natam , delignandam , exhibuerimus lianc formu- lam A -{- n , erit noflro cafu cy ^ X^ - ' vnde fit :t — — = f,. Tum 1 i i 2 auiem 43(J DE TELESCOPIIS autem quantU.is 11 in eadem ratione 3 : S erlt au- genda , ita vt fiat 11 — | ;« ; hoc enim modo certc maior claritatis gradus obtinebitur. Hinc igitur vnl- cum extmplum coinputemus. Excmpliim, §. 6. Sit primo muUiplicatio in~ 5, capiatuir ergo X — 5 dig. tt II — V, leu proxime 11 — 3 dig» tuin ent X'— 2, 14272 liinc X' — I — I, 14272 et VX' — I rr i, 0^9 vnde conftrudlio huius telefcopii fequenti modo fe' habcbit. 1°. Prior eius lcns ex vitro coronario paranda di- fiantiam focalem habeat =: o, 595 dig, radium vtrius- que fiiciei — o, <53idig. et femidiametrum aperturae ^r.idig. 2*. A medio huius lentis vsque ad medium fa- quentis , ftatuatur interuallum — o, 059 digit. 3°, Lentis porro cryflallinae concauae, diftantia fo- calis affignata eft — — i, 3333 dig. Radius faciei anterioris z= — ^^-^ zz:— 2,727^1^. et Radius faciei pofterioris — — 'f-^^ z:: — i , 037 dig. 4'. Poft hanc lentem, ad diftantiam 2,, et Xzii,oo.JP, fiuc XzzX porro colligitur q~- 1,03349^ Vnde diftantia inter lentem obiediuam ct ocularem erit — n (i - iL^iii»); deinde ob il =: — '-^^ erit X— 2,2191+°'°"'';"'"°^ fiue X = 2,2i9i+°^°f^ $. 8' Nunc igitur couftrudio , tam lentis ob- iediuae triplicatae, quam totius telefcopii ita fe lia- bebit. i\ Primae lentis ex vitro coronario parandae,di- flantia focalis debet effe n 0,40(56311, et ex nume- 10 X modo inuento ita formari debet ifta lens, vt iic Radms faciei antcrions :=z • rr^^ Radius faciei pofterioris — ; "''""^ — I i i 3 t*. A 4-3 8 DR TrXESCOPIIS 2". A medio huiiis lentis vsque ad medium fe- cundae , ft:uuatui' interuallum — o, 022<5o 11. 3°. Secundum Jocum obtinet lens cryftallina , vtrinque aeque concaua, cums diltautia focalis eft r= — o, 2711 n et Radius vtriusque faciei — — o, 31445 11. 4°. Ab huius medio vsque ad medium tertiae , iterum ftatuatur interuallum —0,02260 11. 5*. Tertiae vero lentis ex vitro coronario, et vtrin- que aeque conuexe parandae diihntia focalis dcbet efTe zr o, 48557 n ct Radius vtriusque fiiciei —0,514831!. 6*. Ab hac lente vsque ad lentem ocularem fta- tuatur interuallum — n (i — liZHi?). 7*. At lens haec ocularis , ex vitro coronario > et aequaliter vtrinque concaua paranda , habcat diftan- tiam focalem ——1,0335" et radium vtriusque faciei — — i, 1 135 5. 8 . Tim vero pro femidiametro campi adparentis erit Cp — ^^(^-^-) exiaente w circiter — ^'gdig. qui , fumto igitur oj — ,'g et 11 =z "' dig. in mi- nutis primis ita exprimitur, vt fii Cf) — -^^ min. Tnde fequentia exempla eutduamus. Exmphim primiim. §■ 8. Incipiamus a multiplicatione m zz lO^ et fumto (emidiametro aperturae in lente obiecliua *=?«=! dig, =: o, 200 dig. et P R I M I G E N E R I S. 439 ct diflatitia focali II rr ?* — 2, 500 dig. cric X — 2, 2^83 et V X — I zz: I, 108 "vnde conftrudio telefcopii ita fe habebit. I*. Primae leatis ex vitro coronario parandae, di- ftantia focalis debet effe — i,oi(5dig:. tun vero Radius ftciei anterioris —'-^^~ i^d^o^ di?. Radius faciei pofterioris — ^i^~ o, Si 3 dig. 2*. A medio liuius lentis vsqiie ad medium fe- cundae , ftacuatur interuallum — o, 055 dig. 3*. Secundum locum tenet lens cry[h!litia, vtrinqiie aeque concaua,cuius diltantia fjcalis ert --0,678 dig. et Radius vtriusque faciei — — o, 785 digit. 4°. Ab huius lentis medio, ad mcdium tertiae fti- tuatur iterum interualium — o, C5 21+ dig. et Radins vtriusque faciei — 1,287 dig. 6°. Ab hac lente vsque ad lentem ocularem, fta- tuatur interuallum rr 2, 242 dig. 7 . Haec lens ocularis ex vitro coronario et ae- qualiter vtrinque concaua parari debet, iia vt fit di- ftantia focalis — — 0,258 dig. et Radius vtriusque faciei — — o, 278 dig. 8*. Tum vero femidiameter campi apparen- tis 440 DE TELESCOPHS tis -rz 66lrr^Vo coetcrum campus apparens maxhne eft incertus, ob \ariationem pupillae. Exemplimi feciindim. §. 9, Sit i;im multiplicatio »; — 20, et fumta femidiamctro aperturae iti kute obicctiua x—^^o— 0,400 dig. ct diflantia focali 11 — 5 dlgit erlt Xn: 2, 2240 ergo Va — i — i, 10(^3 vnde coiinrudio tckrcopii ita fe habcbit. 1°. Primae kntis ex vitro coronario parandae, di- flantia focahs debet efle — 2, 033 digit. ; tum \ero Radius ficiei antcrioris — ''ilsii die-, — 3, 193 dig. Radius facici poflcrioris — ^'^^ dig. — i, 6^6 dig. £*. A medio huius kntis vsque ad medium le- cundae , ftatuatur interuailum — o, 113 digit. 3°. Secundum locum cbtinet kns cryftaHina, \trinque aeque concaua , cuius diftantia focahs efl; — - I, 3 55 dig. ct Radius vtriusque faciei — — i, 572 digit. 4*. Ab huius rnedio, vsque ad medium tertiae, fta- tuatur interuaHum — o, iisdigit. 5°. Tertiae vero kntis ex vitro cofonario paran- dae et vtrinque acque conuexae , diftantia focalis de- bct effe — 2, 428 dig- et Radius vtriusque faciei —2,574. 6'.Ab PRIMI GENERIS. 4-4:» 6». Ab hac lente, vsque ad letitem ocularcm fta- tuatiir interuallum — 4-, 742 dig. 7". Qiiae lens ocularis ex vitro coronario ct act- qualiter vtrinque concaua p.irari debet, ita vt diftan- tia focalis =-0, 258 dig. et Radius vtrivsque faciei rr — o, 278 dig. 8°. Tum vero fcmidiameter campi adparcntis crlt 35 min. EVOLVTIO GENERALIS pro multiplicationibus maioribus- §. lO. Pro multiplicatione quacunque n fw, ca- piatur femidiameter aperturae :»; — f,, ct diftantia fo» calis lentis triplicatae II := ^ dig. tum vero cum fit Xna, 2191 + °-?-^^ erit X- 1-1,21914-^°^=!, 2191 (H-771s) hincqne vm - 1, 1041 (i + ,-f^) = 1, 1041 + '-^' hinc pro primae lentis ficie anteriore erit dcnonni» nator - o, ^903 - °C" = °' ^^°3 (^ - --™-^ vnde cum numerator fit 0,10987»;, erit radius fa- ciei anterioris — °'oToz~ (^ +^— )= O, I59KJ3 W+ O, 010; fimiU moJo pro facie pofteriore erit denominator I, 3490+£i^z= I, 3490 (n-°i^) Tora. XVIII. Nou.Comm. Kkk hinc 44« r>E TELESCOPIIS hinc ergo radius faciei portericris crit _. 2i^^ [ I - °^'; — o, 08 1 +45 m - o, 003 quae particulie extremae lubiun(flae tam lunt paruac Vt in praxi prorlus fentiri neque.int. CONSTRVCTIO TELESCOPIORVM pro mulriplicatione quacunque zz w. §. II, Cum igitur hic fit x zzj^ et 11 — ^, conftrudio ita eft exlequenda. »°. Primae lentis ex vitro coronario parandae,di- ftantia focalib debet efle ziz o, 10166/« dig. et r, .. r ■ • S'interioris ro, i 59163. /«+o,oiodie, Radius faciei s ^ . [ t , f polterioris - o, o s 144.6. ;«— o, 003 dig. 2". A medio huius lenris vsque ad meuium fecun- dae, ftntuaiur interuallum — o, 00565. »/ oig. 3°. Secundum locum tcnet lens cryllallina, \trin- que aequaliter concaua , cuius diftantia focalis debet efie rr -- 0,0678. m et Radius vtriusque ficici zr — o, 07861. m dig. 4.*. Iterum ilatuatur dift.uuia inter hanc lentem «t fequentem — o, oo5<55- w dig. 5°. Tertiae lcntis cx vitro coronario , et vtrin- que aequaliter cnnuexe parandae, diftantia focalis elTe debet — o, 12142 w. di^. et Radius vtriusque faciei — o, 12871 w dig. 6*. Ab huins lentis medio, vsque ad lentem ocu- larem ftatuatur interuallum = -r u - ^o =: r -^ o, 258 dig. 7'. At PRIMl GENERIS. 4+3 7*. At haec lens ocularis , ex \itro coronario et aequaliter vtrinque concaua paranda, hubeat diltantiani focalem rz — o, 258 dig. et Radium -vtriusque faciei — — 0,278 dig. 8°. Tum vero erit femidiameter campi vifi -^^mio, Ex e mplinn pro multiplicatione m ziz 200. § 12. Cum fit x = 4dig. ct 11 rr 50 dig. haec conttrudio obtinetur, 1°. Pro prima lente , ex vitro coronario paranda debet efle diftantia focalis ir: so, 332 dig. „ ,. ... Cnnterioris rr 31» 842 dig. Radius faciei i n • • \c -i-n. ^polterions zr lO, 293 djg. 2". A mcdio huius lentis vsque ad medium fe- cundae ftatuatur interuallum — i, i3od'g- 3°. Secundum locum tenet lens cryftallina vtrin- que aequaliter concaua, cuius diflantia focalis cflc debet — — 12, 5<5o dig. et Radius vtriusque faciei rr— 15, 722. 4°. Statuatur iterum , dirtantia inter hanc lentem et (equentem — 1,130 dig. 5* Tertiae lentis ex vitro cornnario et vtrinque acqiialitcr conu^xe parandae, diftantia focalis efle de- bet — 24 284. dig. Radius vtriusque faclei zz 25,742 dig. K k k a 6\ 444r DE TELESCOPIIS 6*. Ab hac lente vsque adocularem, interuallum — 49, 74.2 dig. 7°. At haec lens ocularis , cx vitro coronario et acquahter vtrinque concaua paranda, habeat diftaa- tiara focalem — — o, 255 dig. et Radium vtriusque faciei — -• o, 278. 8°. Tura vero fcmidiameter campi apparentis = 3'. ao". CASVS TERTIVS quo pro lente obie^liua accipiatur lens tri* plicata tcrtio loco defcripta. §. 13. Pro data multiplicatione m accipiatur A' — " et n — ^ dig. quibus valoribus conftitutis crit Hinc vsque ad lentem ocularem ftatuatur in- teruallum ^ c, 230 m - o, 236 dig. 7°. Lentis autem ocularis, vtrinque aequac conca- Tae dlftantia focalis — — 0,256 et Radius vtriusque fiiciei n: — o, 271 dig. 8°. Semidiamcter campi adparentis — ^i^ min. $. 15. In his autem telefcopiis primi generis non licuit marginem coloratum peoitus delirutre; quarquam enim lens obicdliua efl perftda , ideoque nullam confufiontm, (b diucrlam mdiorum refr:i — ^i^ minutis primis ; nunc vcro , pro margine colorato deftruendo fatisfieri opportet liuic aequationi o = - — — fiue b 4- -i- =r o Tnde fit , Q — — I et P r= w hinc autem dedudae funt iftae aequationcs ^J^--V et «!i:=^±$=Pq quae ob 7r=^} ti'z-| et (J) =r M ^ abeunt in has ®^ — - P et - g-'Tt-^ zr P O r: - f» quae poi^ierior, ob (E — i praebet 1^1 — ^-^ pror- fus vt ante ; ex illa vero reperitur S3 = (i-P)M=:-^i^> vnde fit T> S5 — ? fw— ') ' — I — CS J '» — I denique diftantia oculi poft vhimam lentcm cft; r m -(- I V •s — — ' • n m » n §. 4. Nunc igitur omnia elementa, quibus con- flrudio telefcopii continetur, penitus funt determina- ta , quae ita le habebunt vnde ftatim prodeunt interualla lentium diflin- ASTRONOMICIS. 4-Si diftantiae deniqne focaks erunt §. 5. Formula autem pro confufione tollenda quae ex apertura lentium oritur, fi X, K' et X" denotent Eumeros arbitrarios, fingulis lentibus refpondcntes , ita fe habet X — p ( ^ -T" £-^ ) + BJTa ^ (£^ "^ cs -^ vbi eft \ti vidimus Vzzm et PQrr-w, ^--!^l£^'j E--i-(^> € zr I ct C — cvj ; Quibus valoribus fubftitutis prodit ida formula ■^ 1 I /Vjm^H-jJf _ v(CT-}- i)(3m~ i). 1 X" (i m — i )» Hinc ergo confufio ex fecunda et tcrtia lente nata quam littera XI fumus coraplexi erit O I A'(m-f- i)^ v(77i-j~ ])('; m — i)\ I \" {z m — \Y **' — m^j(3,~0J "^ ♦(m_-i)» /~^,m(m— i)»* Quia autem his lentibus maximam aperturam tri- buimus, cuius fint capaces , numeri X' et X" ex his formulis definiri debent yx'- I — k^) (^ - i) et VX"- I = {^-=1^) i Vbi pro vitro coronario eft l~^ ~ o, 1901924- et /y — p, s^ias^iJ jnuento autem hoc numero fl, fupra onendimusj quemadmodum lens compofita fiue duplicata fiue triplicata, loco lentisprimae fubftituenda, determinari debeat ; ^uo fad^o telefcopium omnibus numeris erit L 1 1 3 abfo- 452 DE TELESCOPIIS abfolutum. Qnia autem hic in generc niliil dcfinirc licct, cafus aiiquot pro datis multiplicationibus euol- \anius. Excmplum primiim. f 6, Sit multiplicatio ;«=r5o, crunt primo litterae P=50,- Q=- 15 23=:-rr; et B rr - ,V. hincque /^zz(-)o, =83^559; /Bz=: 9, 81 80389 (-) hinc i^itur erunt dillantiae detcrminntrices a — O ; (^ — — s* ::3 — o, 020. a ; §— o, 01315. a; tf — o, oi3i(J a vnde interualla lentium colliguntur I — II =: o, 9S0. a et II — lU = o, 02(^32, ee diftantiac denique focalcs p — a; y — 0,0384.3.« et r— 0)Oi3i5.a. Quia igitur binae lentes pofleriores vtrinqne (unt ae- que conucxae , erit radius vtriusque faciei fccundae lentis ziz j, 06 q — o, 04071 a et tertiae lentis m r, 06 r— o, 01394. a , at locus oculi pofi: lentem tcrtiam — o, oo<57i. a , denique femidiametcr campi adparentis —33'. 41". § 7. ASTRONOMICIS. 453 §. 7. Nunc igitur quaerantur numcri X' et X", et quia ell 5S:=:-i, 92157 crit 33 - i ni - 2, +2157 vnde calculus ita fe habebit : /(«^!) —0,1901924 /(33-0 = 0.3830971 /]/X'-i— 0,5732895 /(l^f) =r 0,1901924. J^. —0,3010300 /VX"- 1—9,8891624. /(X"- i)-9,778324S hincque X"— 1,60014. /(X'-i) =11,11-65790 hinc X' iz; 1 5, 01 + 5 5 quia igitur eft /-J.rr 8, 3010300 ; /23* 1= o, 8509677 H et/B23 = 0,1016957 tum vero /^7^=8, 84-6980^ hinc calcuUis pro littera Xl ita inlbtuatur /^ zz8,3oi03oo /X' =:i, 176 5112 9>47754i2 /S3'=:o, 8509677 /| =8,3010300 Iv =:9,34-'2366 8,6265735 ParsI=:o,0 4.2 32 7,6422666 /B^izio, 1016957 ^;r;=S»846980ff / X" =0,204.1851 9,0511657 Pars 111 = 0} 11250 7,5405709 ParsII--o,oo347 vnde coUigitur numerus n = o, 15135. § 8. Adhibeamus (latim lentcm obicftiuam triplicatam poftremam, vtpotc perfediffimam , cuius diliantia focalis fit =11, ac fupra \idmius fore ® = 1,02311 n=: it JL 1 1 3 ec 45+ DE TELESCOPIlS ct Xzzx; tum vero pro pritna knte eritnumcrus arbitrarius X=r 2, $oS62 — o, 08257 ^ " 2, ^96i!iy Tnde patet, ob confufionem co, numerum X tam pa- rum immutari , vt efTedus in conftru dione lentis prorfus euadat infenfibilis, vnde tuto afTum ere potefimus X — 2, S0S62 ita yt liuius lentes conftrudio futura lit Radius faciei anterioris — o, 85048 II Radius faciei pOitcrioris zz o, 3**^89 H. Cum igitur hic fit m — 50, fi capiamus n — i2i n: 12, 50 dig. erit cc — 12, 789 dlg. hincque deducitur fequens. CONSTRVCTIO fTab. IV. Tubi aftronomici pro multiplicatione wirso, Fig. 3« -^ Lej^s igitur obiedrua ell triplicata , diflantiam focalem liabcns iz:i2idig. et aperturae femi- diametrum n: i dig. I*. Eius prima lcns coronnria difuintiam foca- lem habet —5, 5<59 dig. et ita conftruatur vt fit ■ ,. /- . . S'interioris — lO; 531 dig. Radius faciei i r, • • \.o< a- Cpofienoris zn 4, 086 dig, 2'. Ab huius mcdio , ad medium fecundae fta- tuatur interuallum zr o, sSsdig. 3°. Secunda lens cryftallina vtrinque aeque con- caua, diftantiam focalem habct — — 3, 398 dig. €t radium vtriusque faciei i:-3,p42. 4'. ASTRONOMICIS. 455 4*. Ab huius medio , vsque ad medium leniis tertiae ftatuatur interuallum := o, 183. 5°. Tertiae lentis coronariae diftantia focalis eft :=5, 505 dig. et Radius vtriusque faciei :^ 5, 835 dig. II. Ab Iiac lente vsque ad lentem quartam feu primam ocularem interuallum eft zr: 12, 244. 1°. Iftius lentis coronariae vtrinque aequalitcc conucxae diftantia focalis —0,491 dig. Radius vtriusque ficiei — o, 520 dig. et femidiameter aperturae — o, i23dig. a°. Hinc vsque adlentem vltimam diftantia 30,337 digitor. III. Haec autem Icns coronaria vtrinque , acqu9 conucxa diftantiam habet focalem — o, 168 dig. Radium vtriusque faciei rr o, 178 dig. ct femidiametrum aperturae — o, 042 dig. Ab hac lente vsque ad oculum |diftantia — o, oS^" dig, Longitudo totius telefcopii zr 13, $16. Semidiameter campi adparentis — 335', qui apparebit inftar fpatii circularis in coelo, cuius radius — 2(j'. jf ideoque diameter — 5 2°. 6'. §. 9. Circa tubum autem fequentia funt no-^ tanda: primo quod lens ocularis prodierit nimis par- va, id quod in praxi non fatis commodum videtur j deinde lens penultima nimis videtur propinqua foco lentis obiediuae, fcilicet vnius tantum quadrantis di- giti 4S<5 DE TELESCOPirS giti; vnde Tcrendum eft, ne maculae vel ftriae huius leiitis cum reprcfcntatione obiedi mifceantur. Prae- terea vero , vt totus campus apparens vbique aequc lucidus vidcatur , non fufficit vt (emidiametcr huius lcntis fit zr TT ^, fed requiritur vt is fit — tt 9 + -. His i^itur incommodis, vt remedium, affcratur de campo adparcnte aliqLiid eft remittendum quod , fit fi loco TT non valorem maximum ^ accipiamus, fed tantum eius partem quandam, veluti tt — i ^, manen- te 71' — — ^ ficque erit '^ * »»

— P Q.R vnde interualla lentium crunt I-lIir:aCi-^)i Ii - III = - ^^ ( i - ^) ; lIl-IV-|l?(i--k). §. T4. Quod fi iam femidiamctri aperturarum ternarum lentium ftatuantur : m q i n:' r et ti" / erit femidiameter campi adpareiuis cp n — ^-^ — • •, tum vcro erit ASTROKOMICtS. 4'5r eir' — ir-f-O) pn cr — '^ (fq.— 0-4-^ g U" — TT' -t-TT 4> — P O R • © — '^^' -"Q-R^-^T-f-H* ex quibus valoribus vici(rjm colligiiDUS B-^; C^rlis'' D=:-£-^ = cN:,ob©-i ficque, omnia tkmenta per litteras P, Q et R erunt ex- prclTa ; -vbi aiite omnia requiritur vt interualla lcn- tium prodeant pofitiua. §. 15. lam fi ^ fuerit maximus valor, quem litteris t, ti' et tt" tribuere licet , pro quo affumi poteft ^~\-^ vt maximum campum adparentem ob- tineamus, ftatuamus 71:=^; 7r' = -^ et 71" = + ^ vt prodeat 0 zz -^- vnde fit M =: -^ et C}) =r M ^ T^ m -f- 1 m -f- 1 hinc igitur fumendo ^zz\, in minutis primis fiet (p — -!^^^^, min. 1= -?^ min. I 4 (m -f- ij m -f- « Ex his igitur valoribus nancifcimur S3=:(i-P)Mi€=M(i-PQ.)-iiSrM(wfi)-a = x vti priirae conditiones requirunt. § i• i ; qua conditione etiam littera P fiet pofitiua ^ Iiinc igitur nancifcimur «V Ti*- / m[k — 0 — z k — 3 m(k— i) '^ — ^^^\ k "^ k{m-t- .; . € = M (i + w ( /k-i)) - I = '-^4:^'. §. 17. Hic primo patet , litteram ^ efle ne- gatiuam, vnde ctiam B erit numerus negatiuus; dein- de etiam numerus (£ erit pofitiuus, dummodo non fuerit 3 A < 4 , hincque erit /^ 2 -4- m (; fc - 4) m C i — z k) — ~T qui numerus elt pofitiuus fi fuerit 3 ^ <^ 5 , fiue fc <^ I attamcn k "^ t^ fin autem efl£t /: 5 ASTRONOMICIS. ^63 quia nunc — B eO qunntitas pofitiua , relinquitur tt fit C (2 — fe) pofitiuum , vnde patet fi fuerit fe 2; fit igitur primo /:<^ et fe-^l. Cafus IL At fi ^ > 2, tum C fiat negatiuum. Operae i^itur pretium erit hos cafus exemplo illu- ftrafle. Cafus prior quo fe > 3 et << |. §. 19. Sumartius igitur kz=:l erit V — lmj Qir—I et R — 2j porro ct C=:'-^- ■ 7B — .a hinc autem interualla lentium prodeunt : I - II zr a(i -^) II -III = -li!:i^'^ct III - IV =r J!1^)J]IL±JI oL quae ergo omnia funt pofitiua ; deinde vero habe- bimus b — — L? • S — 4- ^ ^*" — ?lfL • tf — (7>t -^ 3) a . ■ — ih ^ — ~j77i(m— i)' 7n(r7i— 1)'.! ^ — (771 — 3)[w-4- 4>a , ^ (77» — i){m -»- -t) a • 7» (771— 1) (711 — 2)' —" a7n(7n. — iX"» — 2) hinc- 454- DE TELESCOPIIS hincque coUiguntur diftantiae focales ficque -vltima lens fieret concaua, vndc difiantia oculi' ctiam prodiret negatiua, ica, vt campumadparentem nequidera tueri liceret. Cafns pofterior quo ^ >> 2. §. ao. Sit igitur fe-| erit Vzz'^; Q,=:-S Ct R :=: I porro fit «t — 15 — ^m Qf -D — ^15 — pm_ . ^ — «-4-yW. p_ (4 — 7^ sm-+-i ' i4.m— 10' am-i-j' "" im-j-» deinde vero 3 wi ' 7n{i*m — 10) ' m 17 m — 5) ' • m (7 m — 5) (s m -+- j) ' " ^ s m (7 m — sj ^s 7n-+-i) hinc interualla lentium 7 f; m — 5) a; m(i+ „1 — ic) '' l-li-aii-^Ji II -111 = III - IV =: ( m-.5),7Tn^ 2 m (7 m - j X' "' -t- ♦) denique diftantiae focales " »n(m +-i) ' 3m(m-t-i)(7m-— .5, ' zih^jiil — j)(ir/i_f-a) §. 21. Qucniam igitur hic cafus ad praxin Tidetur accommodatus, (umamus quoque /kczs eritque p __ 2_m . Q^_ _ 2 et R rr i hinc ca ; — 3 m . -n t — ^ m.. «* — a -f- s m . /^ (? -4- ^ *") jn-f-i ' *m — t' m-i-i' """ ^m-^- i porro ASTRONOMICIS- 46^ porro vero am' ii7)(j7n — 2) ' im{im^i) ' .' et X'" ex formulis r^X^Tzr (^-r^(?B - ^)j VX"-i " ^?) (€ -- 0 quia igitnr inde calculus ita fe liabebit /(^Or^Oji^oi^i^j./^l^) z::o, 1901924 /75 —1,875061311/ loi :rr2, 004321^ /34 2,o0'5 25 37 155314789 /yx'-i— 0,5337748 /(X'-il— 1,0575496 hinc X'— 12,68290 '/34 — 155314789 At pro vltiina len- Ijtc erit Tt ante ,X5?^5i3S|;^///_,^^OQ24 / Va"— I — 0,66303491 irA"- i) — 1,3260698 i iiinc X"zi: 22, 18700 §. 25. ASTRONOMICIS. 4.57 §. a^. Nunc autem pro calculo CQnfuiionis ponamiis breuitatis gratia — M ct =f^;rTr = N Yt fiat B' C* PCLR >■'// a = - ^(|, + 5^) + M d': -f- ,^) -1- N >.« \bi ergo erit /^:: 8,5228787^ /M-8, 72^0181; /N=8,45p30iS \nde cakulua ita le habsbit J^ =(-)8,S228787 /X' — 1,1032186 (-)9, 6260973 /23*=(-) 0,(^958473 (-}-) 8,9302500 /Mrr 8,72(Joi8i /?^''=: 1,3450986 0,0711167 /€'cr 1,6212093 8,4499074- crgo + o, 085KJ !'ergo +o,o2Si8 /N = S,45P30^3 /X'"=ro, 2041851 8,/ =:(+)9^34i2366| (-)7,864ii53| /B«S-(+)o,o3i5893 /M — 8,7260181 /v rn 9,3412366' (-)7, 8325260 crgo (-) o,oC680 hinc igitur erit il — 0,15023 8,0672547 /C(S=r(-)o,68 8o05 8 (-)7, 3792489 ideoqnc::: (—) 0,00239 §. 26'. Hoc igitur valore inuento erit pro prima ternarum lentjum obied:iu;irum }\zz 2,50862 — o, 08257 n fiue X=r 2,49(^22 N n n 2 hinc 4^5 DE TELESCOPIIS hinc X— I =: I, 49^24 ct VX - I, 22320 , qiiocirca pro radio faciei anterioris iftius lentis erit denominLUor — o, 57122 i numerator autem erat — o, 48154 n zz 5, 0190 •vnde radius huius faciei fit zr 10, 537i,quem fupra fuppofuimus — o, 21 2^2. w + f =r lo, (J3 1 -f f ▼nde concludimus f zr: — o, 094. dig. §. 27. Simili modo pro facie pofteriorc erit denominator i, 46812; numerator vero manet vt antc nz(J,oi90, vnde ipfe radius coHi^itur — 4,0998 dig. quem fuppofuimus ante = o, 08172. wj-4- 9 — 4) oS(J -J- 9 vnde concluditur fore 9 — 0,0138. Nunc igitur demum certi fumus , hanc correcflionem tam effe paruam, vt omnem induftriam artificis eftugiat. f 28. Profequamur igitur conftrudioncm hu- ius telefcopii, quod omnibus numcris abfolutum vi- deri poteft; et cum fit a — S-w, exiftente S — 0,25578: fecunda lens ante imaginem lentis obiediuae ftatui debet interuallo — — b — ~ 3- dig. ideoque poft len- tem obicdiuam triplicatam fecunda lens collocari de- bet ad diftantiam z=: [ fn ~ ^ ^-^ deinde diftantia huius fecundae lentis a tertia erit tt ASTRONOMICIS. 4^9 at diftantia tertiae lentis ad qiiartam (z m — s)(7 m -(-jlj J 3- _ ^^ 3" 2[f m — s) ( 5 "1 -+- +J "^ '75 m. tum vero erit fecundae lentis diftantia focalis — (iHLzUll :=: 3 3- - i^ diar. tertiae autem lentis diftantia focalis (y m -4- 4.)(; Wl — 5) ^ I Q. *?_ Q- ■ 3 (ra -t- 1 ) (7 m — /) » r+ rn Tltimae denique lentis diftantia focalis efl: »5(sm — 5)(77n-)-4) _P Q. __ J_f£. q, — 2(7 ra— sKsm-H^) '* jTTwi denique diftantia oculi __ rn^, j. _ ^3 '5 j m '"^ 350171 ct femidiameter campi adparentis^ rr ^^; qui ap- parebit inftar fpatii circuhiris in coelo , cuius femi- diameter eft 3<5°. 33' ideoque diameter — 73°. 6'. CONSTRVCTIO GENERALIS Tuborum Aftronomicorum, perfeftiffimorumj fex lcntibus inilru£lorum, pro muitiplica- tione quacunque m. I. Lens obitdiua conftat ex tribus lentibus , ha- ^.^^' ' bens diftantiam focalem — f dig. et aperturam femidiametri n fg dig. ternae autem lcntes ita decerminantur. i". Primae lentis coronariae diftantia focalis fit rr o, II 137. w dig. ^ ,. ^ . . Canterioris — o, 2i2. — \.~cc, ob ^-cnj hincque fiat ex quibus colliguntur -viciffim diftantiae determina- trices DE TELESCOPIIS TERRESTRlBVS. 473 1 — _« . . — Ba. j — _B^a — _ B Cat ^— - •) ^— Fa' patr— ~sr Tnde cdliguntur iiuerualLi leiuium II-IlI = g+vi: -V*(' -q) IlI-IV=y+ ^= «^^(1-9 qu2e omnia debent efle pofitiua , denique difliintiae focales hinc ita definiuntur pzr a ; q — ^ b^ r — (£ c etJn> o bent effe negatiuae , fumamus primo litteram P eflTc pofitiuam , vnde tam Q quam R ncgatiuas efie op^ portetj quocirca ponamus Q^— — k atque repcrictur R — j^-^ , ficque debec clTc k <^ i vt fiat B.-fEh i^i^^^i"^ ^Q.^^r£r,- m confequentcr P — ^-^-^ ^, quia igitur P — ^il' ;« et P Qz= - (i - /:) w ob 7r = -^, 7t'^ + ^, tt"--^ ct Cp^M^; repc- TERRESTRIBVS. 475 rcpcrlemns S5 — M ( —^ — — j; — — mr, _ ,^ (l=:-M(_{i-k)m-^ri)-^'— ■ ^ TO(i — ?&)— _ m — X m (t — 3 ft) — 5 * m{5- zk:-j~ . §. 5. NuiiC igitiir ad interualla lentiui-n re- fpiciamiis, ac prijmim quidem erit — « ( i — ,— -v-,] qiiod femper eft pofitiuum ob k <^ i , fecundum au- tem crit — — ^(i-f-t)) quod pofitiuum efTe ne- quit nifi B fit numerus negatiuus. Cum* igitur nu- merator ipfius B fit pofitiuns , denomiiiator nega- tiuus effe opportet, "vnde fequitur 4. jk <^ 3 et a:. <^ *, tertium autem interuallum eft r-,— ^f— (2— ^) vn- de patet BC efle debere ncgatiuum j quia igitur B iam eft negatiuum , opportet eife C pofitiuuin; cb numeratorem vero ipfius G negatiuum, videarnus an denominator etiam negatiuus reddi poiTit : qaod cum lieri nequeat , patet liunc cafum locum habere non polfe , quo erat P ^ o. §. 6. Tribuamus igitur litterae P valorem ne- Csfus quo gatiuum , et nunc vel (^ vel R debet efle ncgati- ^*^° *' vum. Sit primo Q negatiuum et ponamus Q^ — — k ^ crit I — I — j— =: o , vnde fit R — ^£j-^ ficquc R debet effe pofitiuum ,' crit igiiur ^ k — 1 ideoque p __ _ mjk_-^ gj P Q ■- + ?« (/: - 1) O 0 0 2 vndc 47^ DE TELESCOPIIS vnde colligimiis 25 - _ M {I +111=11] =r - ^4;?^ r^ — m(sk — ♦) — • j^ m ^3 — i fe) -t- i f 7. Fxamiiifmiis niinc paritcr fingula inter- vnlla, ac primuni quidcm a(i — ^) ccrte e(t pofiti- vum , fecundum ——[i + j^) vbi ob P negatiuum li dcbet effe pofitiaum, cuius numerator cum fit nega- tiuus etiam dcnoniiiiator debet effe negatiuus, quod autem {ii.ri nequit: vnde etiam hic cafus P <^ o et Q^<^ o lo^um habcre nequit , quare tcrtium cafum eucjluiiraus quo P <^ o et R <^ o. Cafus quo §• §. Hic igitur nil al ud opus efl: nifi vt P •< oetloco k fcribamus — k critquc R < o. p — _ ™(ft_±_0; (l—'\-k et R rz —^^ hincque PQ.--«C&-hi> cx his porro colligitur ^ , 3 tn (fe-i- 1 )- .fe . B — C=: — ' »71 (Ij -H 0 — s fc k(«i — -. r, fe ^ 4 ■) 1 2 . 171 — m '• k-+. j)-+-2 fe (,*_,_ 4 4).— 2 la — I » m( 5 -H 3 fe, -+- l. iam quia primum interual!um uuJla b.borat diffi- cukatei lecund-um interuailum tft —~(i—0 "^'^* duo cafus occurrunt prout fUithk^i \Q\k<^i.. Sit r. fe > I et quia P eft negatiuum nccefle eft vt fit B > o quod autcm fieri nequit. TERRESTRIBVS. 47^ U*. Sit igitur k > I, ideoque i — | >> o, quia P eft negatiuum , B debet efle pofitiuum, quod vt cueniat,! cfle debet ^ >» f attamcn k <^ !z. 11. Sin autem fit ^: < i; B debct cfiTe negatiuum,_ cuius numerator cum fit pofitiuus, deberet cfleit<^| quod per fe eucnit. §.vii. Tertium intcruallinn erat ^°' C-=^*) : vnde paiet ob PQ negatiuum etiam BC ncgatiuum eflfe debcre; quare binos cafus praecedentes percurramus. I. Priore cafu k > f quo B pofitiuum, debet cffc C ncgatiuum, cuius denominator cum fit per fe pofi- tiuus, numerator debet eflTe ncgr.tiuus quod fit Ci fit k <^i, , vndc hos duos limites habemus. k <, * et. fc > f . Praeterea erat s zz — ^^ ideoque ob B > o ct C <^ o "Vti requiritur. §. 12. ' ' TERRE3TRIBVS. 479 §. 12. Examinemus quoque alterum carum tbi ob ^ << I et B negatiuum, debet eflc C poruiuurr> cuius denominator cum per fe fit pofitiuus dcbct effc fc >» 5 ,• quod quia fieri nequit hic cp.fus fecun- dus locuni habere nequit. Euolutio cafus prioris. quo it > f ct ^ < j. f 13. Sumamus igitur ife — | ct fequeiites nancifzemur determinationes : V — ^,\mi Qzzli Rzr-I 10 (,7i — ))' m — f» ' i6im — i) ' i77n-f-i« Vnde elementa deriuantur sm' m (m — 4o) ' 7;i(m — ^o) ' -, _ , ,{zm-i.,o:(rn.-+-z,) ^ . ^ — j(;m-t-ioK"i-^ ??) „ • mim — ■tol(i7m-)-i6) ' * m^m— +0jti7 m -j-ifij hinc interualla lentium 3 m II - III rr g + ^ — 'ii^^LH- -) a m (m — +0) III - IV =: y + ^— ■■('m-^.o)(m + ,o ^ difliintiae focaks * ■' * mviii — 1) ' ' 2 m (m — ij (m — 40) " s ~ ^ ^^ ^ -t- I °] (^ -4- ?0 g{ 771 (m 40; (.7 TTl _f- 16) diflantia autem oculi — '-Ll!l:rjJet femidiametcr cam- z m pi apparcntis ' ■— =: ^ min. — 1) n» — i §. 14. (|)iz:-7-;^=:-i^min. ' I (m — 1) m — i 4«o T)E TELE^^COPIIS § if. Haec igitiir fpecies locum liflbere ne- Ijuit nifi multipliciuio tn nuilto fit mnior quain 40, tum autem vt lupra- loco lent s obicdiuue lubditua- tur lens nodra triplicara perfeda iam aliqiottes de- fcripta , (urrendo II — ^ cig. et a. — o, 25578. m. Interuallum autem inttr hanc lcntem obicdiuani et Icntem q debct eflTe —\m-\-b-^ rcliquae determina- tiones liinc facile deducuntur, quandoiiuidem ob con- fufionem (cqunitium lcntium condrudlio lentis ob- iediuae vix quicquam immutntur. Euolutio cafus quo P > o ideoque Q et R negatiuae. §. 15. Quia igitur Q negatiuura loco /: fcri- bamus — k eritque exirtente Q n — fe Tndc erit vt ante Cp — — '- — vj porro vero erit 4» Z m{7 -\-k)-^6 k . r> — Tm(;-)-fc)-t-6fc •^ — • 2kim~i) ' m (3 »i_H6)— » * ff — mlt k -4-*) — ' . C — — m {sk-+- ■)'-— « 4 {m — i) ' "^ m [t -^ i k) ~t- * §. i5. Nunc igitur fccundum interuallum crit — *£(i-t-J), ob P pofitiuum hoc interuallum po- ftulat vt B fit negatiuum, quOvl rponte euenit , ter- tium autem interuallum ^:^(*-^-^'), vndc C debet eflfe pofitiuum, quod planc fieri nequit. EVO- TERRESTRTBVS. 481 EVOLVTIO TELESCOPIORVM pro cafa in tomo feciindo Dioptricac pag. 393. expo(ito. §. 17. Hacc ielel'co^ii)ruin fpecies imprimis memorabli- fequenti modo e(l determinata : propo- fita multpl catione quacui.qne m quacratur nume- rus it — — OT -f V 2 m Kin - j) et diftantiae focales l.ntium ita detcrminabuntur vbi numerum 9- pro arbitrio affumere licet ,• lum vero interualla lentium ita fc habebunt 1 -II— p + ^ = a(i +0 JI - 111 =: V, a z= r^-i) a -f- Ifii:^^^ oculi autcm diftantia eft zz -; "" ~-^. §. 18. Kunc igitur ad pcrfetflionfm huiiis fpeciei tekfcopiorum nihil aliud re.:juiritur nifi vc loco lentib obitd uae P noftra Jens triplicata lubfti- tujtur (umtndo 11 zz ™ digit. eamquc ante lentem fe- cundam (iatuendo ad diflantiam \m -\- q ^ tum vero cnt a — o, 25578 ;//. Praeterta , \r kntes oculares iraximam aptrturam admittant cas vtrinque aequa- Itter conuexas parari conuenit, ex quo radius vtrius- quc facei pro lente q erit i, 06 ^ , pro len»-e r=ri,o6. ret pro lente i — i, 06 s. Dcnique cam- pi apnarentis (cmidiametcr in minutis primis crit 568 41,713 55,857 70,000 105,357 140,712 211,424 282,135 423,55^ 5(54,978 10 3,416 0,3784+1, 1497- s-9" 7,568 0,1495 +0,48134^ 11,713 0,09274-0,3040. i'^' 155857 0,0670 + 0,2221.55 20,OOC 0,0525 +0,1750. s^ 30,3570,0340 +0,1143.^5 40,712 0,0252 +0,0849.53' 61,4240,0165 +o,05<5o,5S 82,135 0,0123 + 0,0418. 5 3 >2 3,5 5« §. 2 1. Praeterea habebimus fequentes numeros €3 -— • — ^ i V ffi -t- i -f- I (i -f-2)(i -HVm) f V m) . V m g , i(^ -f- i yw) _ ■ 2 (1 -(- V ni) Vm) — 2 /3; z(4 H-f V m) _ . ! C- B- r\ _j— j£-t- 1 i V "0 ^ — T' — ')t' ^(i-H OVm) P (2 (! -- i)-H(" — ■• ^) V"") (! — :)(: -f-(i -1-5) Vm) p , •— Mj_^_0 -t- ('_' — ^- ^)V "0 ■ — (J — 3) (J -I- (i -t- -0 V m) r" — ( .1 ^; — 3) -i- 'JjjT'.'' +^ '^Jl (i. \.l 4)(4 ■ etc. 4)^"") etc. li Pro priori cohimna littera penultima erit ^-_o^(w--ovm Yltima vero — i. (1 — 'M' H- V m) §. 22. Ex his litteris difiantiae determinatri- ces fingularum lentium fequentibus formulis expri- mentur Ppp 2 h—- +S4- D E T E L K S C O P 1 1 S * = -!- g =-V p « ^ BC« V — - pT ^__B£« ^ B c n a " Tkk^ _ , B C D« "^ — ~ Pkk'S ■ B CPE « ^ — ■■ fk k' S f E c n E « / — ? k k' ^, r y BCP EF« '' Pfefe'ST , ECDEFa 6 — "l P/j/;'STU . B C P E F C « ■^ ■ ■ "^ , /t/i-ST U etc. etc. ag. Hinc porro diftantiae focales fingularum lentium ita definientur p — a; 9=: 23^; r^Sf; j = © ^; r = S ^ etc. qiiarum vliima C\ \ocetur n^ ^ poft cam oculus te- Dtri debet ad diftantiam — • im : y m vnde tantus campus conCpicietur cuius femidiameter in minutis primis erit ;^%— caeterum littcra 9- qnae hic eflt inirodtida penifiis arbitno noftro relmquitur , tainque ita aflumi con- \enit vt diltantiae focales vltimaruii lentium (atib mo- dicae magnitudinis euadant, lcilicet ne mmoies fiant quam vnus digitus vel ad lummum ^ digit. §. 24. Denique fi X, X', X", X", X"' etc dcnottnt ordine numcros arbitranos ad tormar oiicni fingularum kntium pertnentes., contufio il!a fl ex qua lentem obicdiunm fiue dup'icatam fiue tripli- catam det^.rminari opporiet fuiuenti modo cxpr/ffi projibit TER?vE3TRIBVS. 4Ss B^C^pJStfe' ^Q; ^D3'~B C» D> P*fe'S e» ' E(£ " vbi pro (ecunda lente (iimi potcft X' rz 2 et a" — i reli.]uae autem ita debent clTe coinparatae, vt fingulae le ites proJeant vtrin ]ue aequaliter conuexae. Cae- terum hi termini valorem £1 praebintei plerumque tam erunt cxigui vt inde in coiidrudionjm kntis obiecfliuae multiplicatae vix vlla mutatio lehObilis in^;rediatur , ob quam caulam etiam parum refcfet, vtrum kntes lecuoaa et tertia etiam parentur ae- qualitcr conuexae nec ne. §. 24.. Quod denique ad aperturas lentium at- tinet, a priirae obitduae lemidiameter aperturac fucrit —X, fecundae lemidiamctcr debet efle =: L_2 -}_ xf.-+-/j . tertiae —o.^ -f- ^^ : Vm* — 2/Vm' *■ — Vw^ quartae -i±^; quintae == ^ ± ^ j fextae —^-j-i^ etc. vbi notandum efl : partes pofteriores nihil ad cam- pum au^endum conferre, (ed ideo tantum cfle aditdtas, vt aequabilis cliritas per totum campum obtinea- tur, quam conditionem non adeo necefle eft adimple^ ri. Hiac igitur pro variia vaioribus litierae i le^ quentes cafus euoluamui;. Ppp 3 CASVS 48(J D E T E L'E S C O P 1 1 S CASVS I. quo / — I , numerus lentium = 4 et fcmidia- meter campi $ "',- mm. §. 25.« Pro hoc igitur cafu habebimus fequen- tes valorcs principales , ex quibus omnes determina- tiones facile deducuntur : VkzzVm Vkk'—m B — — V"t-f- 5 ' 2 y m Cn: :^ 0(1 -+.: ym)' CASVS II. quo /—2, numerus lentium =: 5 et femidia- meter campi cp = ^- mm. §. 45. Pro hoc igitur cafu noftrae litterae principales fequentes accipiunt valores p . ♦ V^ ?kk'—2m Vkk'S-m 3 1' y "0 © = <£ = y m j y 7« Cr: B- Y) — 5 — * V "^ ■ 1 _j_ 3 y m E ~ ro. CASVS III. QiTO / = 3 , numerus lentium 6 et femidia- meter campi = ^;- min. §. 27. Pio hoc igitur cafu noftrae littcrae principales fequentes accipiunt valores P = TERRESTRIBVS. 487 p — t ^m. q(\ — 1 V 11 -+- ' ■^ 2 (. -H V nj Vk — Vm &: — J'— Ykk^—^^m 2 Fkk'ST^m ;5=: X c — D - h:=: F = — ! •/m -f-J 3- — 9 V '^ — T 3(1 -1- V V Ti; CASVS IV. Quo / = 4, nLim^rLTS leiirmni 7 et campi fe^ midiameter zz miii. f 2S. Pro hoc igitur cafu fequentes confequi- mur valores principales P 8 V_^ p )fe — y ff/ ?kk'S^2in Pkk'ST:=z^ — 8 V m -j- 5 i C' H- V "') 9 C — /^ .^ 16 V Tfl -f. 4- • j~^ ' i _^_ Vm. ^ 7 V m -f- i j 1 -H V fn JL-S 16 V m -4- 6 O 3 (''-l-V "0 l^ ^8 Vm-}- j 13 V m C- 3- rv — ]6 V TTt — « j (i -j- 5 V mj C" — 7 V m — ^ j -4- 6 V "» c" — 10 V m. — « !U - . Pitjt'STU=»Ml©- -i G=: 3 14- 7 V ;« §. 29. In hoc telefcopiorutn genere tertia lens fiaguluia fupj;ditat phaenonena ; cum enim pri- mo quam minimam r^quirat apn-turam, ea commo- diirime viccm §eret diapliragmuis , quo radii pere- -rini ab introitu in lentes fequcntes arcentur^ deindc vero quia portio confafionis ex hac lents nata eft noa i|.S8 DE TELESCOPIIS non folum ob Cl-*;-?!! minierum fatis notabikin ac vni- tate (cmpcr mai« rem haec quaotitas \nitattm noa iriediocriter (uperabit etii^mfi capiatur *a" ~ i j fdtt- iam quia ^ fit niinKru!» plerumque Istis magnus ; cum cnim pnno calu quo ;" r: i fit R _Vn'-+-' -rir _'— 'Vnv^ pt — '— — * "* -^ ^——\^'ar~ ^ *■ B-V«,_, ^'^ BWm — (Vm-.)^' Cafu flut m fecunJo quo i — 2 ell — — T7"'i — "'"'^ "B— rv~-j ^^ B'v-"— ;Wv.-.T» tertio \en) ca(u quo efl ■p, — - »V'" -+-^ crit — ^" — — lil-'^ ; ■" — .V« B^Vm — UV"» — O'* Qiinrto ceiiiquc cafu ob hinc igtur littcra nnnra fl tantum accipere pofc- rit augmcnti m, \t leii§ cbi'(n:iua tri}li(;ata latis no- tabileni n utatioi em lubire qucat, quam in pnixi ne- gli^cre nequaqiKim liccbit , id quoci \nico ex-niplo oltcndiffc (uffuia. EXEA:PLVM TELESCOPn ex fex kntibus ccmpcfiri qucd cbicifla centies mnltipliccr. §. 30. Hic igitur erit i rr 3 , \nde vah res ex cafu tertio ucpromtre opportet ; tum \ero kmidia- meter can^pi erit (Ji rr 23? min. kleoque inHar Ipa- tii circularis» in cctlo fptcflabitur cuaii. l^midianaier ciit — 3^.°. 10' ideoque diamcter 6h*. 20'i lum \c- 10 TERRESTRIBVS. 489 Pzr 15 ? k— 10 P kk'^ 500 VkL'S— 150 Tkk.'ST—ioo 37 Czr 3 yj — — 81 IF -- co ro nffumamus 9- — 3 , vnde fequentes prodibunt va- lores : € = \ (S = % — I . horum igitur numerorum logarithmos in rubfidium calculi adponamus logar. P::^i,i7<^09i3 /^=:(-)o, lO^^.^sS / B — ( -)9,74-?i883 ]o'— 2,17609» 3||/(£ — (+) 0,5 268090 /P^A.'iTz:2,00oooocii/ j^- —(+) 0,0000000 /Ci:r(-+-)o,+77i2i3 / D — (— ) o, 05 46690 /Err(-)o, 1532284- co. ' rr §. 31. Ex his igitur valoribus definiamus fin- gularum lentium dillantias dctern inatrices, quas cum fuis lo^arithmis fingulas hic apponamus /^:=(-)8,8239o87| 6=1 + 0,0373.« /f=r(+)S,748i883l y — + 0,1680.« /) — — I, 1264.. Patet ergo hanc lentem conucxo- planam confiri pof* fe, dummodo diOantiam foca'em aflignatam obtineat : tant» maiorcm autem induflnam adhibere opportct in fi:rmatione tertiae icntis pro qua fumfimui) X'ri "Viide hinc erit pro ifla lente Radius faciei anterioris — — ^- :— -^~ i ,83<5dig. Radius faciei pofterioris -~^---^^^~-Ji^^—o, 825 dig. vbi eft € Co- — ^)— i> 07520. Reliquae tres lentes debent tSt aequaliter conucxae \nde erit Radius -vtrinsque faciei Pro lente qiiarta s — i, 2S3 dig. Pro lcnte quinta / — i, 157 dig. Pro lente fcxia « — o,734.dig. CON- TERRE5TRTBVS. I 493 CONSTRVCTIO TELESCOPII pro multiplicatione m rr i oo. §. 35. Conftabit igitur hoc tel.fcopium ex fex lentibus , quarum prima aurem efl triplicata ; con- flrudlio fequentibus articulis continetur. r, Lentis obiediuae diftantia focalis eft — 25 dig. ct femidiameter aperturae nz 2 dig. 1°. Eius primae leotis coronariac conuexae di- ftantia focalis eft :^ 11, 137 dig. ct Radi»s6ciei 9"f '<"'', ='9',^iS- ^poiterions — 85 dig. 2°. A medio huius lentis ad medium fequen- tis, interuallum eft — o, 566 dig. 3*. Secundac lentis conuexae et ex vitro cryftallino parandae diftantia focalis eft — —6,296 dig. et Radius vtriusque faciei =: — 7, 8S3 dig. 4*. A medio huius ad mcdium tertiae, inter- vallum efto zz: o, $66 dig. 5°. Tertiae lentis coronariae diftantia focalis eft — 1 1, 010 digit. et Radius vtnusque faciei ni 1,671.' II. A lente obiediua vsque ad fecundam lentem ftittuatur diftantia — 23, 31. III. Secundae lentis ex \itro coronario parandae diftantia focalib zz: 2, 170 dig. ec Q q q 3 Radius 4^fr DE TELESCOPIIS « j' ti. ' • Cantcrioris i^ i, i5o dig;. Radius facici < ,, • • o!r y^ ^pofterioris — 869, 710 dig. Tum vero cius femidiatneter aperturae z: o, 153 -f - dig, IV. Ab hac lentc Tsque ad tcrtiam ftatuatur in- teruallum zr: 2, 39 dig. V. Tertiae lentis itidem coronariae diftantia fbca- lis cft — I, 074 dig. „ ,. - . . S'»interioris zri,835dig. Radius fociei j ^ . • „ ■,• cponerioris rz: o, 825 dig. Et (emidiameter aperturae — o, + j dig. VI. A lente tertia vsque ad quartam ftatuatur in- teruallum — 4, 45 dig. VII. Quartae lentis coronariae diHantia focalis zr I, 2H dig. Radius vtriusque faciei — i, 283 dig. Et femidiameter aperturae — o, 303 + ^.^ dig. VIII. Ab iiac lente vsque ad quintara interual- lum — o, i^ dig. IX. Quintae lentis coronariae diftantia focalis =: I, 092 dig. Radius vtriusque faciei — i, 157 dig. et Semidiameter aperturae — o, 273 4- /5 digit. X. Ab hac lente ad vltimam ftatuatur interual- lum — o, 23 dig. XI. Vltimae lentis diftantia focalis eft — o,(?p3 Radius vtriusque faciei — o, 734 et Semi- TERRESTRIBVS. 4P5 Semidiameter apertnrae — o, 173 + ^3 dig. XII. Ab hac lente \sque ad oculum diftantia fit z= o, 23 dig. XIII. Tum vero femidiameter campi apparentis erit rz: 23! min. qui inftar fpatii circularis in coelo fpe<5tabitur cuius femidiameter eft — 34gr. 10 mia. XIV. Tandem longitudo totius tubi erit 32,47 dig. Quia tres lentes vltimae proprie lentem ocu- larem conftituunt, eae fimul capfulae mobili inferan- tur , vt pro indole oculi paulifper vel admoueri vel rcmoueri poffint. ADDI- ADDITAMENTVM. Jt oftquam haec iam fcripfifTem , in maniis incidit nouiflimum \olumen Comment. Acad. heg. Paris. in quo fatis ampla defcriptio lentinm obicdliuarum compofitarum repcritur , a Dno. 'Jeaurat cliborata , \bi aucem lantum confufioni a diuerlu radiorum re- frajflionc oriundae occurritur , altcra confcifiotie ab apertura oriunda penitus nei^lcdla , vnde ab his l(n- tibus obiediuis neutiquam trudlus fp.ratus exfpedari potefl. §. 2. Egrcgia autem experimenta affert , qui- bus tam refradlioneni quam difpetfionem radiorum pro vtraque vitri fpecic , coroi aria fcilictt, cui vi- trum venetum nequiuakre ceiiltt , et cryfiallo an- glica feu Flintglaff dctcrminat. Jnuenit autem pro hac poftrema fpecie rerradioncm medinm vt i6o : loo, difperfionem autem vitri veneri ad cryftallum vt 18 :3r, quae deterafinationes, fiue omni vitro huius fpeciei conueniant fiue lccus , oniniiio mcfentur vt meos calculos circa ccnflr; dlionem lentium triplica- tarum etiam ad hanc vitri fpeciem accommodem, Nuiic erj^o erit «'— I560 et ratio ^r-vi— fiue '*'*-:—-— 100:153. §. 3. Introducamus igitur has dtterminationes in hypothefin quiutam , qua afiumfimub ij- — ^3?^ voi omnes valores iidem mancnt, Vb^ue ad vaiuiem iit^ ttiae A D D I T A M E N T V M. 497 tcrae / vbi loco fradionis j fcribi debet i, 53 ita Vt fit HH ,3, 5GG — FH H — . I, 334-2 g — — 2, 1867 hinc hz=. 1,7)83 hincqiie p— o, 7495 n ^rz-o, 4573. n r— o, 5^S7. n vnde reperitur //— O, I25232(J /g = (-)o,3397B2i Ih— 0,24-50930 //)= 9, 87474-^43^35 log. p. I = 0,5035372 i M :^ 9t 9036003 / y' =9, 4258601 9, 3294604 /B^ zr 0,0633870 p. II. •=. 9, 2O60734 ideoque pars I--3, i88i||idcoqae pars 11 =- 0,1845 Pro A D D I T A M E N T V M. 4i>^ Pro parte tertia. /N 1^:9,2242553 / X" —0,004.8800 9,2291353 /€* =1:8,9042443 Pro parte quarta. /N —0,2242553 8, 555^^919* /CSrz 9, 5145892 :!. p. IV 9, 0509027 hinc pars IV — 0,1124. I. p. 111 — 0,324^910 ^hincquc pars 111 — 2,1130 confufio igitur a iente triplicata nata erit \— 1,1472 Vnde fi confufio a rcliquis lentibus nata fuerit — O tum capi debet X — i, 1472 — O, hiincque patet: con- fufioneni maiorem tolli non pofle quam Q— o, 1472. §. 5. Definito autem nunTfro X confiruilio primae lentis coronariae ita fe liabebit Radius faciei anterions — Radlus faciei pofterioris — — ^^==Lcr ■r P-+-TVX — I et f-+-TVX — I c,:44s-f-vX — « quocirca fi confufio a reliquis lentibus nata pro ni- hilo reputari poflit , vt fit X — i, I4.72, erit VX- 13=0,3837 ficque pro prima lente habebimus j. ^ . . ^ianterioris —0,5742.11 radium fliciei s ,, • • o T rr ([poltenoris — i, 2 8 87. II cuius lentis confl:rudio eo tutlus fuccedit, quod valor ipfius X vnitatem parum fuperat. §. 6. Quia fecunda lens cryfiallina , cuius di- flantia focalis reperta eft 9 — — 0,457311 vtrinque R r r 2 debet ^oo additamentvm: debet cflfe aeque concaua , radiiis vtrius.]ue faciei erit r= I, 20. ^ zr — o, 54S8 II. lertiae dcnique kntis coronariac cuius dillanLia focalis ell r ~ o, 5687 II quia etiam vtrinque ponitur acque conuexa , radius \tritisque faciei debet efle i , c6. r — o, 602 S 11 , Interuallum tandem lcntis mcdiae ab \traque extrema fumatur =: li ^ zr o, 0381 II. §. 7. Quia lentis cryftallinae radius vtriusquc faciei eft — 0,54.88 11, eius pars quarta femidiame- trum dabit aperturae — o, 1372. 11 vnde talis lens compofita ad multiplicationem — m prciducendam ad- liiberi poterit fumendo 0,137211—", vnde fit U—j^^i quae circumftantia (ummum lucrum af- fert in telefcopiis' contrahendis. Si enim ex. gr. multiplicatio ;« — 100 dcfideretur, hoc praclhui pote- rit ope talis lentis, cuius diftantia focalis nzri4, 58 ii'^g, fiue nondum 15 dig. cum ante requirerentur 25 dig. Quod fi autem etiam in his Jcntibns (umere \eli- mus n — ^ et femidiametrum apcrturae — ^s dig, iftae lentes fcliciflimo cum fucceflu loco pratcedeu- tium (ubftitui poterunt, quandoquidem laeues aberra- tiones a menluris praefcriptis hic iriulto minus (unt pcrtimefcendae. PHYSICA. P H Y S I C A. Rrr I DE- DESCRIPTIO PISCIS, E COREGONORVM G E N E R E , RVSSICE RIAPVCHA DICTI, HISTO- RICO-ANATOMICA. I. T. KOELREFTER. Salmo (Albula) maxiUn edenturn : inferiore longtore. LINN. Sjjl. Nat. ed, 12. p. 512. «. \6, Fn. Susc. 353. Coregonwi edentuIuT ^ maxilla inferiore longiore, Art. gen. 9. Syn. 1 8. Spec\ 4.0. AlbuJa minima GESN. p/j^. 3+. Aldrov. ichth. 660 lonjl. pifc. 1-75. t. 30. /. 7. CW/. onoiii. 16^. WILL. ftM^. i%6. Raj. pifc.6r. Corpus totum cathetoplateiim. Caput exiguum, ac , a latete adfpedtum , ftre triangulare : angulo antico , ad os fc. ceteris acutiori. Ab maxiUae fuperioris ora angulus eminens, lati( r , ad vcrticem anguftior paullo , in medium caput excurrebat , ab alio transuerlb , minus notabili, in \nius , circiter lineae diflantia a dorfi principio , escepcus. Dudus offei , cauernofi , mucifcri in vtro- que capitis latere varii. Orc ciau(o , maxiila infe- rior 504- DESCRIPTIO PISCIS , rior fuperiore paullo longior , aperto autcm fuper candem notabiliter exporreda. Oculi , pro magni^ tudinc pifcis , inprimis vero cap,tis ratiore , gran- des. Iriij argentei coloris. Opcrculum bra chiarum tribus conrtare mihi videbatur laminis , quarum fu- perior maxima , fuperne rotundata , inferne fubacu- ta , media minor , acinaciformis 1. cultrata , infima vero minima , antrorfumque acuminata. Margo in- fupcr operculi branchiarum , ad aperturam firmius claudendam , membrana audus. Otlicula membra- nae branchioftegae feptcm. Hiatus branchiarum , opcrculo didudo , ampliflimus, Dorfum fubconuexum , ante pinnam dorfua- lcm vero in acumcn elatius defmens. Abdometi circa pinnas peclorales conuexum , ad pinnas ventra- les fere planum , circa anum itcrum conuexum , in- ter pinnae ani finem et caudae principium vero planiufculum. Prona corporis facies e viridefcenti fufca,eius- quc latera argentei fplendoris* Squamae tenucs , fubrotundae , intcgrae , flit denfe conftjpatae , a corpore tamcn facile fcpara- biles. Linea longitudinaMs , ab ortu fuo ad nliquot linearum diftaniiam leuiter tantum deorfum flexa , redo abhinc tramite in caudam vsque excurrebat , dorfo , quam vcntri , vndique propior. Puodorum vel tubulc^rum linearium , lineam hanc conllituen- tium . -•'->p'-"c '-irciter LXX ad LXXX. Pinna E COREGOxKORVM CENERE. 505 // Pinna dorfl primn rndiorum dundecim ; quo- rnm tres primi fimplices , ccteri vero omnes ramo- fi. Longitudo primi , fecundo arde adprefli , i\"' , fecundi 6'", tertii , omnium longiffimi , 11"'; fe- qucntes ex ordine iterum breuiores. Pinna dorCi fecunda , adipofa , fubfalcata , a principio fixo ad finem ipfius liberum 5^'" longa , ct !x'" circiter lata. Pinnac pedorales radiorum quindecim , quo- rum primus longior reliquis , fortiorque, * Pinnae \entrales radiorum \ndecim , quorum primus omnium fortiflTimus ac fimplex , fecundus iflo parum longior , fubramofus omniumque longis- fimus , reliqui ex ordine iterum breuiores ac ramofi, Yltimo excepto , fimplici. Pinna ani radiorum quindecim , quorum pri- mus omnium breuiflTimus. Pinna caudae radiorum circiter xxxtii. Pinnae dorfi ac caudae , itidemque fquamae , lincae longitudinali proximae , pundis nigricantibus pluribus confperfae ; ceterae pinnae pallidae , albefcen- tes , punclisque tantum rarioribus notatae. A n a t o m e. Abdomiue aperto , vifcera in confpcdlum vc- Biebant fequentia. Hepatis pars in hypochondrio fi- niflro , longitudine fex linearum , \'erfus fuperiora Tom.XVllI.Nou.Comm. Sss latior S06 DESCRIPTIO PISCIS , latior et crafllor , inferiora verfus tenuior ac angu- ftior, In hypochondrio dextro appendices pylori , quarum plurimae non folum totam ventriculi fum- rnitatcm obtegebant , fed etiam ad latus eius fini- lUum deflcdlebantur. Maximus tamen earum nu- mcrus dextrum ventricnli latus cccupabat , cx abdo- minis imo antrorfum ac oblique deorfum flexarum , inque fitu naturali apicibus tantum caecis promi- nentium. Appendicum harum , maxinie inferiorum extrcmitatcs in decimae vel vndecimae coftarum vi- cinia , ad ventriculi bafin confpiciendae. Latus au- tem ventriculi anticum et , quoad maximam par- tem quoquc (iniilrum , nudum apparebat. Ipfe ven- triculus in medio abdomine fitus. Infra huius bafin fubftantia quaedam c fufco rubens , lien fc. eminebat , cuius interno lateri tra- ftus pinguedineus , redta fuper veficam aeream ex- tenfus , contiguus erat, In hypochondrio finiftro laftes eiusdem lateris , fub lobo hepatis fupra de- fcripto primo in confpedum veniebant , initio qui- dem cradae , fenfim vero fenfimque atteuuatae , ite- rumque tandem m.ole increfcentes , forma quodam- modo triangulares. Ladium dextrarum minima tantum pars vifui patebat , earumque lateri interno inteftinum red:a deorfum extenfum parallelo fub fi- tu proxime adiacebat. Haecque funt, quae de vifce- ribus in fitu naturali relidis dicenda habeo. Vifceribiis exemtis , fingulisque feorfim confi- deratis , hepar primo in duas partes , dextram fc. mino- E COREGONOaVM GENERE. 507 minorem ? finiftrnmque pauUo maiorem diuiriim , ct quafi cordatum erat. Concaua ipfius facies , membranae ope , radicibus nppendicum primarum , quae pyloro proxime adrtant , annexa. Vcficula fellis valde oblonga. Dudus cholc- dochus fitis amplus, finiftrae hepatis portioni ar- ftiffi ne adhaerens , ac inter appendices pylori fupc- riorts deflexus , duoclenum , in diflantia vnius circi- ter lineae ab eius principio , intrabat. Otfophagus fub diaphragmate 10'" longus , il'" latus , ac inferius , lub ingreflu fuo in ventri- culum , incuruatus. Ventriculus fubftantiae firmioris ac rubicun- dioris , 7;'" longus ac 2j'" latus , diaphragma ver- fus lefledebatur , oefophagoque incumbebat. Sum- mitas ipfius circa pylorum obtufa et coarftata. "Vtriusque , tam oefophagi , quam ventriculi fuper- ficits interior rugis quinque longitudinalibus diflin- dla , quae , muco tenaci , quo obtedlae erant , ab- fterlo , optimae confpiciebantur. Principium pyiori ruga e contrario transuerfi munitum. Appendices pylori LXXI, longitu-iine 2 - 3'"; harum triginta circiter illi ipfi circumfitae , ceterae vero omnes ad (ex lineas vsque duodeni fummitati a latere appenfae. Duodenum circa initium amplius , inde vero fenfim fenfimqne anguftius , pone pofticam ventri- culi faciem paululumque dextrorfum flexum , redo S s s 2 dein 508 DESCRIPTIO PISCIS , dein tramitc , fub \ltcriori tiadus inteftinalis fpecic , ad anum vsque excurrcbat. Lien tam fundo ventriculi ac duodeno ; quam tradlui pinguedineo , membranarum valorumque fan- guineorum ope , connexus. Lades vtriusque lateris , fupra mediam ipfa- rum partem , cradiores varioque modo finiiofae , fa- ciei ventriculi pofticae , aereacque veficac (ummitati cohaerebant : dextrae finiflris latiores ac crafliores , flauoque colorc , ob veficulae felleae viciniam , tin- <5tae. Ita fc. crant conformatae menfe Nouembri , quo anatoraen hanc lufceperam. Vefica aerea fimplex , vtramque extremitatetn verfus nnguftior. Dudus aercus tre& circiter qua- tuorue lineas longus , vix vltia quartam lineac par- tem latus , oefophagum , in diflantia 61'" ab eius- dem fine , intrabat j fub ipfo ingreflu notabiliter conftridus, Renes fccundum totam abdominis loiigitudi- nem extenfi , a (umma ad imam vsque partem fen- fim decrefccntes , ac a fpina dorfi in duos quafi dittinftos diuifi , extremitate inferiore in vrethram fcu du(fl\im vrinarium communem , orificio fuo po- ne veficuhirum feminalium ofiinm patentem , de(i- nebant. Vcfica vrinaria , qua vere carer pifcis , im- proprie ific diceretur , cum valde anguftus , nec vl- la parte liber fir. Peri" E COREGONORVM GENERE. 509 Peritoneum argentei fplendoris , pun^flis nigii- cantibus , minoribus rarius adfperfum , leuiflimique cun:i renum fubflantia nexus. Coftae viginti nouem , in vtroque latere. In Pifce Foemina, n", ^"' longo , indiuiduo (c. huius fpeciei facile omnium maximo , Decembris initio ouarium maximum , fimplex fiue \nicum , totum fere abdominis cauum replens. Ouula innu- mera , e rufo fiauelccntia , diametri l"' , vix am- plius inter fe coliaerentia , adeoque maturitati ac emifnoni proxima. Licn ouato - lanceolatus , ex atro rubens , 4^'" longus , fuperne i|''' btus , cum ■ventriculi fundo , dextri lateris appendicibus ouario- que lacertulorum carneorum vel vaforum fanguineo- rum ope coniundlus. Ouidudus pofi anum , vre- thrae vero orificium pone ouiduclum confpiciendum. Obferu. Tunica ventricuH exterior in vno al- teroue harum pifcium indiuiduo hinc inde in tuber- cula aliquot lentiformia , duriufcula ac fubrubella erat eleuata , quibus caute diffedis , comparuit , fui' gulum eorundem habitaculum fuiffe vermis Gordii marini vel hciijirls , Cvtrumquc enim vnum eun- demque effe , nullus dubito ; ) in fpiram conuoluti. LTNN. Syft. Nat. ed. 12, p. 1 07*8. obieruat. In mari albo prac- ftrtim fiiiu ipfius Candalaklcoy (KaH4,ay^aKCKa>i ry6a) capitur gadi (pccies , ejuae lub nomine rutheno Me/.KaK mpecKa (Morrliua minor) venit et latione liturarum ac conformationis extemae cum gado Nauaga haud parum conuenit, ct iconem fuccin6tam que dclcriptioncm Cla- ri(T. Kleinu ex amufllin refcrt. Sed fi vtcrque rccens inter /e confertur piltis , magnum omnino cccurrit dis- crimen. i) Cirrus mentalis , vt antea didum , in Naua- ga exiguus , in Morrhna minori fat cuidens. 2) Pon- dus Morrhuac minoiis non raro ad iibras quinque in- crefcit, Nattagae vero intra vnam libram confiftit. 3) Co- lor in Morrhua minori magis oliuaceus , in Nauaga ob- fcurior vel .nlbidor. 4) Pinna caudae ipfa in Morrhua minori magis abrupta , in Nauaga autem rotundata. His collaiis nullus infcrre dubito , Morrhuam minorein effe gadum Callariam liluftr. Linnaei, Callariam V. ClarifT. Kleiniij Nauagam r^ro ClarifT. Koelrevteri, nouam, aut certe non fufStienter ab Auftoribus defcriptam /pciicm cenferi deberc Defcriptio Koclreutiana optima, fcd icon , ratione colorum , mala. Tora.XVIli.Nou.Comm. Ttt 51^ DESCRIPTIO PISCIS , impTantatur, aJfunt vtrinque diio cnrpufcula dura lentifjrmia , d^nticulis afpera. Linijua craffj , nigris piiiKfcis iriorata ,. ibiuta , ridus amplus. Vcrtex capitis glaber ,, furJide niger , nares vnlco foraaiine roiundo peruiae , oculis qnam rollro propiorLS. Oculi amj li , merr.brana niditans ftmi- lunaris , irides coeruJefccntes , pupilla (brdide alba. Opercula branchiarum tribus conftant laminis. offeis i harum bafm confjtuens lunata ; radios rrem- branae branchioftegac. refpiciens elliptica ; ad angu— lum aperturae fuperiorcm fita triangutaris , bicifpi- data. Omncs funt coloris argcntei , pnndulis nigris adfperfie , tcdae ciiti fufca in medio tjntilluin coe- rulefcente. Membrana branchioftcga ulba , raciiis fex non nihil arcuatis fullulta. Branchiae vtrinquc quatuor , fuperius ad an- gulum obtufum geniculatac , iuferius tantillum ar- cuatae. In parte conu^xa omnium repcriuntur plu- mae duplicis ordinis laxae ; in parte concaua margo exterior primac fctis longioribus inllruitur , interior ■fero , vt et reliquarum pars concaua , fafciculis bre- fibus per interualla difporiti& adornaniur. Dorfum no:i multuni fupra planiticm capitis elcuatum , conuexum , fere. in linea reda ad cau- dam vsque percurrens , inter caput et pinnam dorfi anteriorem leuitcr fulcatum. Venter value arcuatus, crafTus vsque ad anum , inde ftnfim flnfimque ad pinnam caudae anguftatur. Anus capiti propior quam caudae.. Linca E GADORVM GENERE. 515 Linea lateriilis rcda propior dorfo. Color pifcis varius : dorfum vndique ad lineam lateralem forditum , pundis nigricantibns inuicem confluenti- bus adfpcrrum ^ htera ventris coerulefcunt , cum tnnfpareiue iiloedine, irnus venter , gula et rcliquuSi truncus albent. Pinnae dorfi trcs malacoptcrygiae , triangu- lares , fii(cae , radiis albicantibus. Pinna prima medio fcre ventri opponitur et conflat radiis 10 — ii„ Seconda refpondet pinnac ani primae et ra- diis i5 — 17 iaftentatur , quorum vltimi breuiliimi. Tertia e diimetro opponitur pinnie ani fc- cundae , habet que 20. oliicula ; eorum quartunii lon^iiTimum , reliqua fenfim decrefcunt. Pinnae anales duae , quarum bafes vcrfiis an- teriora obfcure - coerultac. Pinna ani prima ex triangulari oblonga ,, ra- diorum i8. quinto reliquis longioro. Secunda itidem trigona , fuffulta radiis 20. Pinnae ventraks ad iugu^um fitae , bafi albi- cantes ,5 — 6 radiis fuflentatae , eorum fecundus iii fetam iat longam ttrminatur. Pinnae pedlorales reliquis concolores rndiorum j6. horum fcptimus , numerando a fuperioribus , Jongior , reliqui lecundum ordmem vtrinque de- crelcunt. T 1 1 a Pinua tomia. 5i(j DESCRIPTIO PISCIS, Pinna caiidalis bifurca radiorum 24. — 26. Ichthyo- Peritoneum tenue , extus argenteum , intus innumeris pundis nigris adfperfum. Cauitas ijbdo- minis repleta erat copiofa pinguedine , ita \t omnia Tifcera adipe fepulta viderciitur. Gula {a) ampla 5''' in diamctro , lerniinata in vcntriculum {b) longum laccum formaniem , fccunJum abriominis longitudi- nem protenfum , et tantulum ad hypochondrium (1- niflrum inclinatum. Longitudo ventriculi a dinphragmate ad fun- dum 11" et n''', Latitudo maxima Xl'"j in di- flantia 1'' et VII'" a fundo vcntriculi in fuperficie anteriori prorumpit canalis arcuatus V", longus IV" craflus , qui fiidla infigni plica terminatur iu intc- flinum duodenum et loco pyiori inftruit. . Extre- mum ipfuis vndii.juc ambiunt appendiccs coecae , vcr- miformes di^Ttac , quarum numerus inter XXXV et IL. variaic fwkt, Apper.diccs quaedam fimplices, quaedam vero coagmentatae , ct quafi pcr fafciculos difpofitae videbantur. In procefl^ibns his corpufcula innumera , fubrotunda , fucco vilcido flauicanti tur- gidula , cernere licuit (*). Intc- (*) Ex hac fimplici veiitiiculi f.brica maona Naturae induftria in tcmperanda huius generis piLium vuraciratc appaict. Veiuriculus fimplex fere ad perpendiculum dci^ciidens , non fat haber virium ad retinendos diiuiu- cibosj iiinc duo obflacula effinxit Natura i) exonum canalis luban- gulo acuto, phca reclulum 2] finem ipfius itidcm in- tortuin E GADORVM GENERE. 517 Inteftinum duodenum , ab initio Inrgius , fur- fum ad diaphragma , et parum ad hypochondrium dextrum inclinatum per Va'" aflurgit , ibique fafta plica in eodem hypochondrio defcendit fub forma inteftinorum tenuium. Inde interualio IV'" ab ano furfum fleditur et in medio fere abdomine per- currit vsque ad appendices coccas inferiores, vbi vlti- ma inflexione faifla iuxta fundum ventriculi et la- lus finirtrum ima petebat ad anum. Oelbphagi interior lunica rugis longitudinali~ bus et transuerlalibus quam plurimis obfita erat , quae in \entriculum defccndens naturam fuam non immutauit quidem ^ (ed rugarum numcrus erat im- minutus; Pjiorus (c) modo ofculis ex appendicibus coecis hinntibus , et quodammodo protuberantibus , crat obfitns^, Reliquus inteflinorum tradus nihil praecipui habebat ,, praeter orificium dudus cholido- chi , quod tenui membranula tegebatur. Longitudo omnium inteffinorum vna cum ventriculo \ix lon- gitudinem pifcis fuperabat. Hepar magnam abdominis partem adimplebat, diuifum in partes duas , quarum altera breuior et mole minor , finiflrum occupabat hypcchondrium , altera in dextro erat fita. Huius extremitas infe- T 1 1 3 rior tortum formauit ne cibi cito elabi pofTert. Capncitatem ipfius adauxit pioccffibus vermiformibus , quibus et fon- tes liquoiis fuponacei addidit, vt hic ciborum natura in fuccura nutritiuum niutaietur, fic brcuitatcm prima- rum viarum obftaculis diftis fuppleuit. 51 s TOiCpaPTio piscis, rior itcrnm in duos riibJiuifli lobos , qunrum fupe- rior multo breuior iiiferiore nntrorludi triiiij-utrfim- <]ue i;i abdomine fltxus , fiiviftrum \enrricali Jatus JeuitcT tangd^ai , 'inferior \ero ipdun ('.ipirficiem pofticam fubibat. Media atque anterior hepatis por- tio incumbebat venrricxili fummitati , a fummo ad imnm 7'" longa ,• pofiica vero magno fulco , ad vtrumque oe(ophagi huus rcperiundo immer(a , co- haercbat di.iphragmati per innuncra vafa fanguinea. Vefictila feJ\ea ex coeruito viridis xieJitdcebat in fo- vea confpiciunda fub dextra ac poftica portione he- patis. Subft.uitia infignis huius vifccris fat erat fir- iria atque tenax , color fubrubellus , circa veficu- lam fellcam autem liuidus. Licn itidcm rubellus, ct prouti in pifcibus fempcr obftruatur , admodum longus , lubuio triangulari tcniiiuatus, Ouaria duo , longa , nlbida , ouis turgida , m principio in vnum corpus coalita , cxtremitatibus dcnuo feiund.i. -Qiiodli-bet corum proprio orificio jn communem ouiduftum patebat. Lades maris variis lobis confpicuae erant. Vefica aerea , rimplex , longa , albida , glu- tinofa , inollis , ad fummitatem bicornis, Vifcus Tcnale fanguindlcntum , fpinae dorfi > retro vcficam aercam ., adhnerens , in vnum corpus coalitum , mediante tela celulola ligatum. Vreieres variis furculis crti , ad fines rcnum conlpicui , fundum veficae vrinariae obliquc patebant. Ve- lica vrinaria ad coniuniflionem cuaricrum fita , col- Jo E GADORVM GENERE. 5i2> lo fuo ofliiim horum commune , fundo vcro abdo- minis- finem re(pici<.bar.- Cor validum , qundrilaterum , nngulis obtufis , cui fupcrius et quodammodo ad latus infidcr auricula rugola, ventriculo mtilto debilior. Aorta fat firmii , magna, Squiimmae (unt minutuffraae , et valJe te- nacitcr corpori adhaercnr.. G:idorum hifloria manca et imperfeda , bonis que icoaibus vt plurimum deftituta , (ynouima Au- dcnim ad noflrum gadum pcrtinentia ficco pedc tranfire iubet. Interim pifctm noHram fequer.tibus definiamus verbis.. Gadus dorfb tripterygio , ore cirro miniir,o , cauda bifurca , radio vcntralium fecundo in longam fttam projudlo , linea. latccjli reda., Menfe oiflobri et Nouembri gadus Nanaga magna in copia littora maris albi fahitat et haino capitur. Eius lanta olCth menfibus ^bi-que- eft fre- quentia , vt communem quotidianum que- incola- rum conflituat cibum , et viliori- pretio ; pri'.e reli- quis pifcium generibus , venit. Inter aceruos Na^ vagae et nofter apportatur gadus , qui alias fedulo perquiritur et reiicitur. Caro ipfius flaccida , ma'» ciknta , et exfucca , minus palato arridct, et ob co- lorem tetrum luridumque faida ab omnibus (per— nitur. Lon- 520 DESCRIPTIO PI5CIS , Dimenno Lopgitudo ab apice roftri ad caudae extre- fccundum umm _ _ . _ _ _ g"- lo'" pedum farifiiium. ad initlum P. D. \ltim. 5—8 P. D. fcc. 3-8 P. D. prim. a — 8 LongitUwlo ab apice niandibulae inferioris ad P. A. fec. 5 — (T ad P.A.Prim. 3 - (J ad P. Ptd. 2 - - ad. P. AbJ. I - 8 Ab apice rofiri ad canthum oculi anteriorem 8 ad nares - - 5 Latitudo pinn. L dorliilis ad bafin - - i — - . Lon^itudo maxinia - - ----- 7 Latitudo P. D. fetundae - - - - i — - Loiic^itud. - - - - - ---—5 Latitudo P. D. tertiae - - - 10 Lo gitudo - - - - - - - ~ 9 Latitudo P. A. fecund. - - - - i — i Longitudo - - - - 5'^ Latitudo P. A. prim. - - - - 1—2 Longitudo - - - ----- e A mandibula ioferiore ad orbicuJum pinn. ventr. 3s ad pin':am Ani - - - — 9 Diameter orbicuJi pinnar. ventral. - - -—2 Latitudo pinnar. ptdoral. ad bafiii - - - — Sa Longitu.-^o funima - - - - ^ Circun f-rentia riclus oris ;i - - 5 Oculi diflant - - - - - 3 Inter foramina narium - - - i-' Craflities capitis circulo per oculos dudo 1—2 . per nares - - i —2I ' ad nucham - - 1 —6" - — retro orbicul. pinar pedoral, 1—5 — ■— • ad anum - -^ i — - Longitudo capitis - - - - 5 Pifciculus ma?nitudine naturali Fig. a. fiftitur pronus , P'ig. 3. vero fupinus. Vvv 3 ^^" DESCRIPTIONVM PLANTARVM SIBIRICARVM CONTINVATIO. Au dl o rc E. L A X M A N N. In defcrlbendis plantis fibiricis pergens , nonnullas illariini tantiim nunc botanicis offerre \olui , quas in fummis altaicorum montium aeterna niue ttdorum cacuminibus lcgi , quaeque mihi maximc fingulares yilae funt, I. Tab. V, GENTIANA gmndiflora corolla qulnquefida , maxi- l^is- !• ma , foliis radicalibus , plurimis , lunceolatis, compadis , horizontalibus. DESR. RADIX fibrofa , inter mufcos repens , pe- rennis. EOLIA radicalia , plurima , lanceolata , compa(fta, glabra , margiue membranacea , horizontalia. CAVLIS florente adhuc planta nullus, poftflorefcen- tia n vcro exlurgens pollicaris , fuftentans par foliorum vaginantium, ere(florum , mcm- branula albida cinftorum. FLOS DESCR. PLANT. SIBIR. CONTINVAT. 5^7 FLOS e medio foliorum exfurgens , vnicus, eredus, inter congeneres maximus. CALYCIS periamhium tubuLitum , quinquangulare, coroUa dimidio breuius , quinquefidum , la- ciniis lanceolatis , integerrimis membrana cindis. COROLLA infundibuliformis pu'cherrimae coerulea; tubo calyce duplo lcngiore vtrlus faucem am- pliore ; limbo quinquefido plano; ladniis oua- tis integerrimis ; fame plicata , plicarum la- ciniis lanceolaiis adeo magnis , vt putes ipfum limbum decemfidum effe. Habitat in fummi cncuminis alpium Maloi Altai di(5larum planitie mufcofa prope niuem. Cir- ca finem lunii florentem inueni. IL SIBBALDTA altalca foliorum radicalium apicibus Tab V. tripartitis, calycibus quinquefidis petalis re- ^'^' *' tufis. DESCR. RADIX li^nofa , in rupium fiflTuris re- pcns , fibrofa, plurimos cauliculos ct amplum foliorum celpitcm fundens. CAVLES plures , pollicares , obliqui , teretes in ra- mos rparfos fe diuideiites. FOLIA S£8 DEiCaiPTlONVM PLA>^TAavM FOLIA radicald plurima , vsqiic ad npicem linea- ria ; npicibus dilatatis tripartitis; Incinis tri- biis liiiearibus intcgerrin.is ; couHna pkrum- que ii.tegtd , rarius paruula inciiura notata. FLOaES folitarii , magni , terminantes ram.os. CAlYCIS periamhium cyiindricum , quinquefidum , laciniis lanccolatis , acutis , integi-rrimis , pa« tentibus. COROLLAE petala quinque , onata , rctufa , paten- tiflima , laetilTime purpurea , calycis laciniis duplo longiora. ^Tk^WKVM fihmenta quinque , breuia , cylindro perianthii adnata ; atnberae fimpliccs Imcares in diuifuris laciniarum. PISTILLI Germina quinque cata glabra in fiindo calylis pappo pilofo repicto; jiyli ct Jligmata vt in congeneribus. Tota planta exceptis petalis p 1 s raris validis adfperfa cft. Hjb'tat in fifluris oricntalihus inque coMibus gl:ircofis altiflimqrum rupium. Flortt circa initium lulii. NB. Circa genus Sibbaldiae notnre lic t : riilfttt a noftra planta Sibbalciia procumbens in FUirae daniae Faic. I. Tab. XXXII. optime dtlinea- ta , foliis peiiolatis ternatis , foli(>lis truacatis tridentatis , caule fimplici , fljiibus in capi- tulunra SIEIRICA-EVM CONTINVATIO. Si5 tuhim congsflis , calycibiis decemf.dis , petalis luteis. Sibbddia sutem ere&a , quae iam ?.d Wolgam occnrril , qiiaeque a StelLERO Ir- cutiae lei?.a , loto ccelo diuerla ab ■iila eft , cuius koiiem Ammanni Tab. XV. continet, Hsec Ammnnriianii phnm in transbnicalenribiss tantam regionibns o.ccu]rrit ,, caiils gaudet ra- nioiidur.o fers prcfirnto , foliis parcius diuifis axiiiaribos et fleribifs in •varietate praefertim alpiaa nrjruoribus ; iiliiis autem caulis iimples cl! lummit^ite ts,rstiini nmola , foliis onistur pcr tctum caulex. cciirertiQmis , mukifidis, laciniis linearibns , fiorrtiis (emper minoribufo Patsrsm itsqiie Boianicis non ingratum fore j, fi Jiui;,£ pliintae ex^clam fi-suram quis twdertJt; III. ORNITHOGALVM 'oniJlQnm Folilo •caulinls dter- J^^- ^^''' y*-^ x* 11?* & nis , vaginaniibus , peduncnlo Ynificro, Or- nithogiihim fcapo diphylio , pcduiiCuIo vri- fl&fo. 'LlNN. Mant. pag. <>2. EESCR. RADIX bulbofii , ouata , oui hiitindi- nis magnitudine , plurim^iS (ikas fJiformss emittens. CAVLIS e bulbo adulto vel trienni liliaceus , fpi- thainaeus , tcres , in medio craffior verfii* vtram^ue cxtremitutcm attcnuatus. Tom.XVllLNou.Comm. Xxx FOLIA 530 DESCRIPTIONVM PLANTARVIM FOLIA bina rarifTime tria , validiori caulis parti affixa , alterna , vaginantia , knceolata , ob- tufa , patentia , dimidiam Ion§itudinem cau- lis aequautia. FLOS vnicus , terminans caulem , luteus, intcr ma- iorcs in fuo gencre numcrandus j vel \t II- luftris LlNNAEI verbis vtar : eft Tulipae fylueflris florc dimidio miuor , fed Ornitho- gali latei triplo maior. COROLLAR petala fcx lanccolata , obtufa , paten- tia , fubtus ad bafin viridefcentia. Kdiquac frudificationis partes congeneribus fimilcs. Habitat in fummis montium Maloi Altai et Sinie Sopka fifluris rupcflribus verfus feptentrionem fitis. Florct circa medium lunii , illa autem fpe- cimina , quae in horto Barnaulenfi colui , primo irere cum rcliquis liliaceis floruere. IV. Tab. VJI.ORNITHOGALVM altakum fcapo tcreti quadri- ^'*' ^* phyllo , petalis ouatis trincruibus , ftamini- bus fubulatis. DESCR. RADIX bulbofii , bulbo oblon^o paruo , fibras longiilimas emittente. CAVLIS liliaceus, fimplicifllmus, teres, fpitliamaeus, credtus, foliolis quatuor cindus. FOLIA SIBIRICARVM CONTINVATIO. 531 FOLIA radicalia bina , teretia , ereda » caule paulo breuiora; caulina in fuperiori femifle caulis, alterna , amplexicaulia , lineari lanceohua, patentiffima , \erlus apicem rcnfim minora. FLOS plerumque vnicus , terminnns caulem , ma- gnitudine flor.bus Ornitliogali nnrbonenfis ac- qualib \ rarifiime caulis biflorus occurrir. C0R0LL4 hexapetala , patens , petalis ouatis albl- dis , triiieruibus , bafi neruisque fulcis. 5TAMINVM filamenta fex fubulata , corolla dimi- dio breuiora , anihcrae oblongac. PlSTlLLI germen oblongum , trigonum ; fiylus fii- bulatus , perfiflens , germine paulo breuiorj Jtigma capitaturn triangulare. Habitat in fummis fiflur^s altifllmarum ru- pium ipforum montium altnicnfium. Poflrtmis die- bus lunii menfis fiorentem kgi. V. POLYGONVM fihiricum floribus oaandris , foliis Tab. vn. haftatis , cauie incrmi. i^-S 2. DESCR. RAOIX perennis, ramoro fibrora , articu- laris, ftoloniferus, inter laxa mulcosque re- pens. Xxx a CAV- 532 DESCRIPTIONVM PLANTARVM CAVLIS herbaceus , adfcendens, gcniciibtus , Yj^r^ natns , ramofus , rpitham*ieus , rainis cauli-. formibus e geniculis. FOLIA cauTina e genicuiis , alterna , patentia , pc- tiolata , lanccolafA , haftata , glabra , pbns^; petioU brcues aiiiti , ftipuds vaginantibus , membranaceis , fernigineis afii::i, SPICAE plures , caulrs ramosque tecfTiiiisn^^fis ,. in- t£rrri';t?c , ffj-fuj.is ampleclcntibus. munitas , capitiilnm interduin confiiti^siucs , iongiiu.- dine plenimqiie bipoliicnri, CALYCIS p:7ian\hmm turbinTtuiT! , flriuum , prc>- fundc: qiJ3nqt.ieprirtitinn , Immis caiiii? , oI>- tufis j ccncaui5, perfifienribug. STAMINVM jihmema cdo , fubulata , rncui-na , cilyce paulo breuiora , lii.ca , cntherue cua- tas , magnas , fiaur.e. riSTILLl gerrrrn triqretrum , Saui: m , y^cfi!/ Tni- cm , jii^^iafa tria » fin^plicia , iutcn, SEMEN Tuicnm triquetriTm , niiidam , nlgrunii calyce inuolutum , fcmins Polvgoui fTgopyn duplo-minus. HabitPit if.i mnrco^a plnnitis rurjrur-arnmalpium attaicarum cam Anemons farcicnl.^ca , BGronico pnr- daliautlie, Sibbaldia prccumbent^ ci: fequeiiri Ranun- ^i\i SIBIRICARVM €CNTlN!VATlO>- $^$ ChIo pnrcius ; occurrit etiam in regionibys transbai- calenfwus ad Selengam orniins valles mon&oias prac- fertim Vbucunenles. floret initio iulii. VL KANVNCVLVS ahau-us foVils lobiUis , radicalibus Tab. VII. petioktis caulinis feflilibiis , calycc hirfuto , longitudine ferc petalorum. DESCR. RADIX ex multis napulis fibrisque Tali- dis fafciculata , perennis. CAVLI3 eredus, teres , glaber , fimpliciiTimuSy pal- maris , fucculentu?, FOLIA lobatn , lobis Inaequafibus , plerumque tri- btis r^irius pluribus , lanceolatis integris j rarlicnlta- firepifiinie friii , petforata' , petioHs' dimidiam eaulis longitudinem aequantibus f eaiiTiv.a bina \ei tria , feffilia ,, amplesicaulia, fubflcralia^ FLOS eerrainalis , magnus aureo luteus , faepiffim^- tantum vnicus ^ rariflime bioL CALYCIS p^r/flni^/«7;i pentaphyllum , fufcum , 1«- nuginofum , foliolis lanceolatiSj concauis, loor Situdifle fere petaiorum. X X X s CO- 53+ DE5CR. PLANT. SIBIR. CONTINVATIO. COROLLA pcntapetala , fetalh cbtiifis , ad bafia fulcis i nctlarii foueola Iquamula fulca teda. Reliquae frudlificationis partcs vt in congencri- bn?. Circa fincm lu lii in alpium niuolarum pla* aitie n^ulcola florentem iuueai. ASTRO- ASTRONOmCA. COMPA^ COMPARATIO IINTER THEORIAM LYNAE ILLVSTR. EVLERl ET TABVLAS REGEN- • TIORES CELEB. MATEKL A u c to r e AN D, lOH. LEXELL. I. Opus incomparabile de Theoria Lunac ab II- luftr, Etilero liaud ita pridem editum , com- paratioiiem exhibet aequationum pro motu Lunas in ifta Theoria allatarum , cum Tabulis Lu- naribus Celeb. de Ckiraut , eo imprimis fine inftitu- tam , vt inde valores faltem prope veri excentrici- tatis et inclinationis mediae Lunae deduci poflcnt. Similem comparationem Theoriae fuae , cum Tabulis antiquioribus Celeb. Majeri^ llluftr. Eulerus inftituere quidem tunc temporis decreuiflet , nifi eandem ma- xime operofam , remqiie multi et taediofi laboris plenam ratus fuiflet ; quia fcilicet in Tabulis Celeb. Mayeri non elongatio media Lunae a Sole , fed ve- la inducitur. Poftmodum vero quum ad nos perue- nerint nouae Tabulae Celcb. Majeri ab lUuftr. So- cietate Scientiarum Londinenfi euul^atae , quae li tertimoniis plurimorum Aftronomorum fidem habere fas fit , a coelo vix vnquam vno minuto pri.no Tom.XVlILNou.Comm. Yyy diffen- 53$ COMPARITIO INTER THEOR. diflfentiunt ; opemm Aftronomis haiid ingratam me fufcepturum exiftimaui , dum comparationem TheO' riae Eukrianae cum budatis his Tabulis iniuerim ; fic enim pro pofitionibus Lunce (iiltem principalibus, confenfus vel diflenfus Tabularum Lunae noftro tcm- pore celcbratiflimarum facile acftimari potcrit. s. Quoniam argumenta Tabularum Cclcb. Mayeri diuerlii funt ab iis , quae in Tabulis liiuflr. Euleri occurrunt , ante omniii necefliim eft , \t ra- tionem iftorum argumentorum dilucide explicemus. Quemadmodum igitur in Tabulis Illiiflr. Euleri elon- gatio media Lunae a Sole , (eu diflantia loci Lunae medii a loco medio Solis littera p exprcflTd \bique occurrit ; ita in Tabulis Celeb. Mayeri triplex argu- mentum ex elongatione Lunae a Solc oriundum reperitur. Primum enim occurrunt anguli , qui diflantiam loci Lunae medii a loco Solis vero in- voluunt , quam Celeb. MajeruT littera w exprcllit , hanc igitur vt fimilitudo quaedam cum Tabulis Eu~ lerianis obferuetur littera /-' infigniemus. Deinde argumenta quoquc adhibentur , ex diflantia loci Ln- nac aequati a loco Solis vero delumta , haec aurem diflantia a Cekb. Mayero littera !, 0, H et f , refpe^niiue defignentur , habebi- tur loii^itudo Lunae vera — «^-l-vi+O+K-f^, quare fict anguhis C])— vj+^-j-K-f-?- 4. Pro inaequahtntibus ad primum ordinem pertinentibus fequeus ex Tabulis Ce!. M^jm elici- tur expreflio : yi—+ n'. 16", {m.t ? j — 4. fin..£/^ — 54- (yri,(2p'-\-0 n. — I. 9. {m.{zp'-t) IIL + 54. fin. (2p'+9) IV. — I*. 20. 53. fin.(2/)'— ? )? yr + a. p. fin.(2/)'— 9+;) VI. + 49- fin.(2p'— ^-/) VIL + 34. fin.(?-/) VIIL + 58. fin.(2p'-2r') IX. + i(J. fin.(/>'-^) ? ^ — 1. o. fin.(2p' — 2^)S Notandum Tero heic eft , loco nodf medio adpli- candam efle corrcdioncm + 8'. 50". fin. t - a". fm. 2 f ; ita vt fit r' — r 4- 8'. 50". fin. ; — 2". iln. 2 t. lam ii anomaliae mediae Lunae q adplicetur corrcdio "o, itemque haec + 23'. 12". fm. t - 6" fin, t , ita vt fiat «' = j + >} + 23'. ix[' an. 4 - C". fin. 2 ? inae- LVNAE EVLERI ET TAB, MAYERI, s-n inaequalitas $ apiid Mayerum fic habctur cxprcfla: 9 — -6'. i8', 15'^ fin. q' -^ 4-13. o. fin. zq'i XI. Porro fi diftantiae loci medii Lunac a loco Vero So-, lis p' adplicentur inaeqiialitates -vi et $ , habebitiir diftantia loci aequati Lunae a loco vero Solis — p'' :r: p' -i- T^ -i- 0 , tum vero inaequalitas tertii ordinis hoc modo apud Mayerum exprimitur K = - 1'. 55". fm.^'' 7 + 35- 43- iiu. 2//I ^jj + 2. fin. 3p'') -l- 10. fin. 4//j hocque fado locus Lunae ia orhitn fiet — «^-f-il+^ + H. Diftantia inter lccum nodi correftum et locum Lu- nac in orbita , quum exhibeat angulum r"j patet effe H'=r'+>i + 0 + H=rr+vi iO-l-H-f 8'.5o".fm.;-2".fin.2?, hincque habcbitur quaitus ordo inaequalitatam Lu- nae apud Mayerum g =r 4- 1'. £3". fin. (2 r" - q') XII f. - 6. 43. fin. 2 »'' XIV. His vero inaequalitatibus vltimam fuperaddit Celcb. Mqyeriif , aequationem punftorum aequinodtialium , quae habetur — — 18". fin. Long. ^. Aequationem demum fecularem raotui medio Lunae adplicandam adfert Cel. Majenis , cuius quantitas interuallo pri- Yyy 3 ^ mi S 54i CO:\:PARATrO IKTER THEOR. iTii fcciili 9", ideoquc annis 1000 elapfis ad 15'mi- nura prima afTurgit. 5. Vt omnes inaequalitates Lunae ex Tabulis Mayeri dcfumtae , vno obtutu reprae(entari poffuu , placet easdem heic denuo rcpetere , fimulque adiun- gere valorcsharum inacqualitatum per iplam Theoriam a Celeb. Majero dcdudos , \t co facilius fit iudi- cium quantum Tabulac Mayeri a computo ipfiusdi- fcrepent. Praeter inaequalitates \ero heic allatas , Theoria alias atque alias fubminiflrauit , quas Maje- rus in fuas Tabuias introducendas non cenfuit , par- tim quod minimac efTent , partim quod pcr Tlieo- riam non fatis cxade ipfi vidcbantur dcfinitac , tum vero praecipue quod ex obferuationibus certo con- cludere fibi vifiis eft , has inaequalitates impune ne- gligi poflTe. Inaequalitatcs Lcngitiidinis Lunae fecundum Ccl. Maycrum. ;x Theorlae dedu(flac ex Tabulis I. S+0^ii'.3 9" + o*.ii'. i6".fin.f t — 4. fin. 2 1 II. -58 -54. fin.(2;)' + /) iir. -1. 13 -I. 9. fin.(2p'_-0. IV. +55 4- 54.fin.(2^' + ^) V. 5- I. 20. 8 \ +38 -X. 20. 33- fin. (2p'-^) 4-36. fin. (4p'-2^) VI. +2. II + 2. 9. fin. (2p'-^+/) VII. +44 + 49. fin. {2p'-q--0 VIlI. +40 + 34. fin. (^-/) IX. +1.25 + 5 8.fin. {2p'—2r') X. 5 +8 + i6. {in.(p'-q) X — !• 2, — I. 0. fin. (2/>'-2^) XI. LVNAE EVLERl ET TAB. MAYERl. s^2 «X Theoriae deduflie XI. \ + 13. 2 -3^ ex Tabulis + 13. o. rui. iq' -37. fm.sv' r -1.55 i 4- XIII. XIV. XV. + 1. 15 — 6. 51 — I. 55. rin. P" 35- 43. fin. ap" + 2. fin. 3/" 4-10. fin. 4P" • + 1. 23- fm .(2r"- ■q') -6. 43. fin. 2 r" i8. fm. Long. ^. 6. Pro Latitudine vera Lunae , fequens cx no- \is Celeb. Mayeri Tabulis elicitur expreilio : y\> — \. ^-i-5"'.8'-46".fin.y" C —6. fin. 3 1'" IL 48.49. fin.(2/."'-f") IIL +2. fin.(f"-/) IV. -i7,4.fin.0"-9) V. -24,1. fin.(r"-2 9) VL + 2,7. fin.(r"-3'7) VIL - 8,3.fin.(2p'"-^" + ') VIIL - 3>7.fHi.(2p"'-r"-0 IX. - 2,2. fin.(2p'"-r"+^) X. +15,0. nn.(2p'"-r"-^) ,XL - «5,o.fin.(2p'"-r"~2^). Quantltatem Parallaxeos ex Tabulis M.ajen dedu- cendaii , hoc loco adferrc praeter remcric; quum nullum 544- COMrARATIO INTER THEOR. Eullum fit diibium , quin circa candem pcrfedus habcatur confenfus harum Tabularum cum Theoria Lunae Euleriana, 7. Superfluum omnino foret , fi omnes iftos calculos , qui in Theoria Lunae Illurtr. Euleri Lib. II. Capit, 111 et IV. inlUtuti Ivabentur , heic repc- tere vellemus ; fufhcict \ero nobis ad ilbs pofitio- nes Lunae potiflimum animum aduertiffe , pro qui- bus anguli Cp ct vj> maximos recipiunt valores j quippc quum nuihim fit dubium ope harum pofi- tionum valores excentricitatis et inclinationis mediae pro orbita Lunae certiilime definiri poffe, quae quan- titates ab lUuftr. Eukro litteris h et i defignantur. I. Cafus quo p — o ; ? rr: o ; r rr 90* I. Cafus particularis f rr o. Pro hoc cafu ex formulis Eulerianis deducitur A'— -0,00551 2 8+1,1 7<>795-^+o,ooo43fc'— 0,52 35.fe' — o,45725.n + o, 2i54.u'fe zz::4-o,9<55752.i+i,iC45i.i^+o,o3i7.;)tfe+OjOi59.i'. Ex TabuUs vero Mayeri inuenitur C|) — o et >4^ — 4°. 59'- 3 1". 4. Quum igitur effe debeat Tang. vl/ = ^^ , feu '-^^J^-^ =: « , multipUcando valorem ipfius i-f-jv ex fbrmula Euleriana defumtum , per Tang. \\f ex Tabuhs Mayeri LVNAE EVLERI ET TAB. ]MAYEFJ. 54^» Mayerl clicitum , fcqucntcm confequemur aequa- tionem : -fo,o86'7 80 i-o,9«j57^*-^'-O5040S^-«'« "-0,01 59^3 +0,1 02792.^-1,1 245 i-^^/^+OjO 18 8.//^ 4-0,00004. fe'— 0,03 17»^'^ —0,054-5^'. II. Caf. particularis ?=:i8o'. Formnlae Eulerianae praebent : o:—— 0,007 2 i<5<5+i, 1922 81.^+0,03405. t'-o,52 39&* — 0,4550, n'+ 0,21 54..i/fe 5;z=+o,55373(5".;-Vi,i245i.zHo,o3i7^'^Ho,oi59.i' Ex TalHilis vero Afayeri deducitur : ^r= o et vp — 4"- 59'- s", 4 , cx quo fequens orietur acquatio : 4 0,0865828-0,953736 i-o,04.o5o ii-o,oi59.i*r:iO +0,1035) 8 i.fe- 1,12 + 5 i./it+c,oj87./ife 4- o, 00 2 97. fc'— 0,0317.//^' — o,o544-^'' Additis igitur inuicem his aequationibus , fequentem obtinebimus. +0,1733^29-1,929498 i— 0,08141 ii-o,03i8.fco(I) 4-0, 20677 3. fe~2,2 490 2. /^-f 0,0375. iiyk 4-o,oo3oi.fc'-o,o6 34. i/:^ — 0,1089. k\ Tom. XVIII. Nou.Comm. 2zz t. $^6 COMrARATIO INT. R THEOR. 8. II. Cafus quo p — o; q — 90 ^ r — o, 1. Xaf. {.art. t — o. ifex f6rtr,ul's Enleriinis fit : -t — —0,0065 1£ 8 — 0,65051./:* + 0,0045 8./; yziz — i,6iooiz.k-\- 1,0176./^'— o, 3 4-0 2. iife quum latitudo pro l\oc csfu fit valde parua , valo- rem ipfms z hcic ;idferre nihil aitinet. At Tabulae Mfijeri praebcnt : (pz=-5°. 5'. 35-", quare ob (i -4- .r) Tang. Cf) -j — o , fcqucns elicitur aequatio : -^0,088544.9 — i,(5iooia ^ — Oj057p77-«'-l-i><5i7<5^'— O 4-0,0004.1.;; — 0,3402./;^. 11. Caf. partic. ? rr 1 80. Pro hoc cafu formulae Eulerianae dant : X — —0,0072166 — 0,55 589. /c* + 0,0046?. 25 j — — 1,5981 io.k-\- 1,0176. /;'— 0,3 402./ /L At ex Tabulis Mayerianis habetur vl^ - - 5". o'. 44" , ^. quarc fcquens prodibit aequatio : + 0,0870707 — 1,5981 10./: — 0,0575 -+-fc'+i>oi76i*::=0 + 0,00041.//— 0,3402.//^. Addita igitur hac aequationc ad fuperiorem , confc- quemur : LVNAE EVLtRl ET TAE. MAYERL 5 4-7 ' 4-o,i75iiS5oiJ:M-2jO35"'^^*~-0 ^ + 0, 00081.// — 0,6804.///;. c?. IIL Cifus quo pzzo ; q^ 90'^ r = S>;^°- I. Cafus partic. J — o. Formr.hc Eulerianae d.int : jf= — 0,00651 aS— 0,65051^ — 0, 4^72<5.«i j' — — ij6 1 9or2.fe-{- I, C176. /o^ — o,oa J4-iJ& s — + 0}S;6576 2. i-l-o,2i35.ifc'-l- 0,0159.^. Ex Tabulis Majeri autem obtinuimus (p ZZ - 5°. 5'. 14" Ct vl> =: 4°. 59'. 26", £ , Ynde fequentes binae deducuntur aequiiriones + 0,0884431 — 1,61901 2. fe — 0,057910. fc'-irijCi 7^-^ "'^ — 0,-04.160. ii--o,02 ! ^.lik -1-0,0870978— 0,965762./ — 0,04096. ; 3 — 0,0159.1 — ^ — 0,05703«^— 0,2135 //:". IL Cafus partic. t— iSo, Per formulas Eukrianas fit : a;— — o, 0072 166 — o, 6 5 5 89- -^' — o, 465 50, /i j—— 1,598110. /:-f 1,0176./:* — 0,02 14,// fc 2— + o, 96 3736. /-]-o, 2 1 3 5 / /:' -V- o, o 1 5 9. i'. Quum igitiir Tabulae Mayerianae dent: Cp = - 5°- o'. 22" ct vj^ = 4 « -„i ,/i 59 • 1 > 1", £ fequentes prodibunt aequatiOnes : 4-0,0869640— I ,598110. /(:— 0,05 7454./:* + 1,0176.^ —O ^0,04078.// — 0,02 X4. ///fe 2 z z 2 +0, 548 COMPARATIO INTER THEOR. 4-0,0859035— 0,963736/— 0,04-0 74../; -0,0 15 p.r—0 — 0,05740./:'— o,ci 135 Ji\ Quodfi igitiir binae iiae acquationes biuis fupcriori- bus refpediue addantur , fcquentcs prodibunt aequ.i- tiones : 4- o, 1754-071 — 3,2i7i-2.t-0,ii53<^4-^*+2,O3 5 2.i[:'=zo 11. — 0,0 823 SJi — 0,0428.///: + 0,1740014.— r,9£9498.f — 0,08170. ii — 0,0318./' — o (II) — 0,11443./:"— 0,4270 jk'. 10. IV, Cifus quo/)— 90'i ?=:oj f — 90'. I. CaH partic. t -zz. o. Fornnulae F. ulerianac dant : *— + 0,00555074-0,818942./: — 0,01 Si9./:'-~o,2933-^' — 0,5 2750. zi 4-0,15 94. iik jy——o,ooo582i +0,004502./: «=+ 1,034303. / + 0,83 8 15-//: + 0,043 1-^/^*— 0,0 131. «■% Ex Tabulis autem Majeti prodit <^ — -i'. 43" ct vl^ = 5". 16'. 59", o quare fequens elicitur aequatio : 4-0,0930848-1,034303^-0,04879 //4-0,0131./*— o 4-o,075727./:-o,838i5-^'/:+o,oi47-^'^"^ — 0,001 5 8./:' -0,0431.//;* j —0,0271. k\ II. Caf. partic. quo t— i8o*. Ex formulis Eulerianis obtiiictur : *=+ LVNAE EVLERI ET TAB. MAYERL 54^ *=:+OjOo77595+o,8iooo4.1-o,03497.fe'-o,293 3J;' —0,5 2944. ii4-o,i 5P4. //fe j— — 0,0005 551+0,004602. jfe 2=:+i,036553-^"+o=S38i5.ii+o,043i./l*-.o,oi3i.r*. TabuJae igitur Majeri , quum praebeant ^zr-iUs'^ et y\>-5\ 17'. 19" confequemur : 4-0,0932849-1,0365 53-^'-o, 04901.// +0,0131;/'— O 4 0,07498 2.^-0,83 81 5. /Ho,o 147.//^ — 0,00324.^" — 0,043 lAlC — 0,0271. fe'. Addita igitur hac aequatione ad proxime praeeeden- tem , iftam confequemur : 40,1 863697- 2,070855./ -o,0978o./7+o,0262,/'—o 4-0,150709.^-1,67630 //^4-0,0 294. //jk (111) — o ..00492. ik*— 0,0862. /fe' — 0,0542. A*. II. V. Cafus quo p — 90°^ ^r — 90*j f — o. L Caf. partic. / — o. Fro hoc cafu formulae lUuftr. EuJeri fuppeditant hoi valores A'z;:+o,oo666o7— 0,00049 1.£- 1,47 II 7.Jb*-o,oop76./7 ^zz-o,ooo6:5 2i-2,4oi344.^+-2,3692.iL'-0,39pb.//A. At ex Tabulis Mayeri habetur (I)=:-7\ 27'. 20'' , elicietur igitur hinc fequens aequatio ; 2 z z 3 +0, 550 COMPARATIO INTER THEOR. +0,13 105 30-2,401405.^—0,1925 22/:' -f2}3^92l'zO — 0,00 128. ii — 0,3998.//«. II. Caf. partic. * rr 180. Ex formulis Euleri obtinemus .1^4-0,0077595— 0,000491, fe— 1,49983./:'— 0,01 loo./i /—-0,0005(551-2,438594.^+2,3692. ^' — 0,399 8. /i^. Quum igitur Tabulae JSlajert dent

, vnde ad fequentes perducimur aequationes : +0,1335407-2,438659.;:— o, 199587.^+2, 3<^P2.^'=:0 — o,o7o45.ii + 0,7670. i/A +0,0935834- 15036553./- 0,049 17. /i+o,oi 3 i.i'rro — 0,0000 4 5. ^ + 0,2 883. i/:^ — 0,139!^ 8. ^'. Qiiodfi nunc binae bae aequationcs, binis aequationi- bus fuperioribus addantur , prima primae et fecundsi fecundae , fequentes prodibunt : +0,2648 1 2 1-4,840067-fe-o, 392429. /i'+ 4,73 84.^^—0 — 0,1 39<5i-ii4-i, 5340 iifc IV. +o,i8<5956o— 2,o7o856i-o,o98ii.ii+o,02<52.i^— o(IV) -0,000090.^+0,5766. i}C —0,27573^'. 13. Quatuor aequationcs fupra inuentae detcr- minando \alori quantitatis k inferuientes ,, fequentes craut : 552 COMPARATIO INTER THEOR. I. +o,J75<5'i5<^-5,2iTi22j'.-Ojii550.;b'+2,o35;j!:* — 0 +o,ocoSi.i/ — o,68C4^;//fe II. +0,175+071-3,217122.^-0, II 535./:'+ 2, 0352./;' — 0 — o, 08 2 3 8./i — 0,0+2 S. i /■ ;!: llr. +o,2tf4-35 5 2-4,84oc57./;-c,39i75.^'+4,73 84-fc'=0 — 0,00274. ii-o,7990262.i'. LVNAE EVLERl ET TaB. MAYErU. 555 i6, Vt has aeqiiationes eo commodius rerol- rere liceat , pro i valorem quendam proxime ve- rum adoptare cotuieniet , vti i ~ o, o8p5 , pofito igitur vero valore ipfius i — o, 0895 (i H- cj) , fiet i' — 0,0896 (i -4-2 0)) et /'—0,0896 (i-i-3w), his autem valoribus pro /, /' et i^ in aequationibus noftris fuhftitutis , obtinebimus aequationes valorem quantitatis w exprimentes , ex quibus deinde verus valor ipfius / fiicile colligitur : L ozr-fo, 0000808 — 0,1852149.60; vnde («111:4-0,0004363 et i::r + 0,0 896391 IL o—— 0,0000131— 0,1743769.03; hincque 00=:— 0,0000751 et i— 0,0895933 IIL o — +0,0000492 — 0, 1952376.U; vnde 0)— +0,0002520 et i— +0,0896225 IV. orr— 0,0000305 — 0,1869140.(0; proinde cj—— 0,0001632 et /^0,0895854. Si ex his quatuor valoribus ipfius i medium fuma- tur , prodibit /— 0^0896101 feu numero rotundo 11:0,08961; vbi quum difcrepantia inter maxi- mum et minimum valorcm o, 00005 "vix excedat , inde intelligitur in Latitudinem Lunac vix diicri- men maius quam decem fcrupulorum fecundorum itiduci , quale difcrimen hoc in negotio omnino nul- lam faceflere debet moram. Interim tamen duo heic obferuanda veniunt , quorum prius eft , quod ,A a a a a valor SS^ COMPARATIO INTER THEOR. valor hic inuentus OjoSp^r, fatis egregie confen- tiat cum valore ipfius /, qui in vfum vocatus fuit circa co iftrudlionem Tabuiarum llludr. Euleri ^ in iftis etenim TabuUs lupponitur i — o, 08964.. Al- tcrum vero quod obfruari meretur , elt quod valor modo inucntus / — 0,08951 aliquantum cli(:repct a valore indinationis mediae , quem Cel. Mayerum in vfum vocafTe repcrimus , fcilicet quum tangcns huius inclinationis ab ipfo fuppofitus fucrit z: o, 09 , ipfi inclinatio i inuenietur n; o, 08976 , et ex hoc capite quidem inier Tabulas Lunae Eukrianas et Mayerianas adeffe deberet pro Latitudine Lunae de- finienda difcrepunia 30'' , nifi ex aliis cauliis haec dilcrcpantia vd diminui , vcl prorfus adeo deflrui poflfet. 17. Quae fupra inftituta fuit comparatio Theo- riae IUuQr. Euferi cum Tabulis Mayeri , eo impri- mis valuit , vt valores iplorum k et / elicerentur , quibus adhibitis aequationes ab Eulero allatae cum Tabulis Mayeri quam raaxime reddcrentur confentien- tes. Hi autem valorcs tam parum difcrcpant ab iis quos lliulir. Eulerus in his Tabulis conHruendis ad- hibcndoi cenfuit , vt ccrtiUime cognofcatur in his litteris infigniores mutationes admitii vix pofle , nifi diflenfus Tabularum adhuc magis augeantur. lam Tero operae pretium erit difpicere , quales differen- tiae fe prodant inter Tabulas Euleri , de Clairaut et reccns editas Mayeri , pro iis faltcm pofitionibus principalibus quas fupra contemplati fumus. Sequen- ti igitur Tabula valores anguh cp pro his pofitio- nibufi LVN^AE EVLERI ET TAB. MAYERL 557 nlbus , cx Tabulis modo commcmoratis dedu(flos , Yna cum difFereiitiis horum valorura , repriiefentaturi crimus : Pro pofitione Valor anguli (^ Euleri (ie Ckiraut rz9o ; P P P- P i;-i8o -5 \ i—o -5- ;=i8o 1-5. 5' 3 n'/- r-90 9Q;q-9o;} f=o -7. r—o ^t-iSO-l. 90; q-90;, r-po ' Mayeri -5'. 5'. 35" ~5. 0 44 -5- 5- 14 ^5. 0. 22 -7. 27- 20 -7. 34- 0 -7. 28. 4 -7. 34- 48 difTerent. a Tab. 'Euleri de 5'. 20" 0. 55 -5. I. 30 6. 14-5. 4-51 1. 32 -5- o. 59 28. o -7. 26. 51 34. o -7. 33- 3 frro -7. 28. ^ -7. 27. 29 /-180-7. 34. 9 -7. 33.44 Hic autem obferuare conuenit , fi valores anguli (J) per expreflioncs ipforum x et y fupra allatas , ex- quirantur ; eos aliquantum diuerfos prodire ab iis , quos liic adpofuimus, quod imprimis euenit propter corredionem aequationum 5S et V , de qua Theo- ria Lunae lllufir. EuWi §. 2fin-(2/>-^)+3"/fin-(2p + ^) — 33>5fin.(^-2r)+9,3fin.(2p-^+2r)4-i3,5fin.(2p4-?-2»") + 4.4,9fin.(9+2r)-3,5fin.(2p-^-2r. In hac autem formula fufficiet ad eas tantum attcti- dere exprelfiones , quae 2 r inuoluunt , quoniam rc- liquae coniundim fumendae fnnt , cum ahis confi- milis argumenti. 'In Tiieoria Lunae Celeb. Mayeri formula habctur valorem anguli (|) exprimens , per (bla argumenta media et ex ifta quidem formula , hae pro noflro cafu eliciuntur inaequalitatcs — 29", ^fin.^^f-^r)— 1", 6fin.(2p-f9-2r) + 45, 4fin,(^+2r) + 2, 8fin.(2p-^-2r) vbi illae faltem quae maximi fuiit momenti, fat bc- ne cum Euerianis confentiunt. Prn prima ergo po- fitionq habcbitur ex formulis Euleri inaequalicas + 19" ex iftis vero Maveri +11'', 5, ita vt dis- fcnfus non fit nifi 7'' circiter. At poflquam Celt-b. Mayerus Longitudinem ncdi corredam in fuas for- mulas introduxiffct , fequentes pro noflro calu inuc- nic inaequ^litates -i'.i4",8fin.(^'-2r")+2", 5fin {^f-^-q^-^^r") -I, 5fin. (a//"— j'-3/") quae $60 COMPARATIO iNTER THEOR. quae non folum prioribus diffimiles fuot , fcd etiam ab iis haud parum diueriiie , ex hij) enim inaequali- tatibus coniundlim fumtis, cum ifta -6, 5 i", afin. 2^", prodit aequatio + 3", quae iam haud parum ab illa fupra allata +11", 5 differt. Denique vero Celcb. Majeruf dum Tabulas fuas adornauit , niinorcs illab innequahtatcs plane omifit , iii locum \cio - 1'. 14", 8 fm. (i/' - 2 ;") ex obleruationibus fubO::- tuendum eflTe concUifit - i'. 2 3" lin. (// - 2 r"), fimihque modo inaequahtatem ~ 6'. 5i"fui. zr", in liauc im- mutari debere - 6'. 43". fin. 2 r". His igitur vhi- mis inae.]u:ihtatum vaiuribus pro noftra pofitione prima adhib;tis, eruitur acquatio - 10'^ adeo vt hoc rclpedu inter Tabnlas Eulerianas et Majerlanas fit dilcrepantia 30" circitcr. 19. Verum cnimvero quum non obdant* hac dilcrepantia 30" , ex inaequahtatibus quae Lon- gitudinem nodi pro argumento habent , redundante, pro prima noftra pofitione , valores anguli (J) tan- - tum non cxafte conueniant ; ex eo omnino intelli- gitur difcrimen ex reliquis iunequalitatibus oriun- dum 30" quoque circiter aeflimari poffe , hocquc difcrimcn prius illud proxime deflruere. Quum igi- tur pro tcrtia pofitione haec difcrepantia , quae ex inaequalitatibus apud Illuftr. Euleru?n litteris P, R, T. V defignatis , refultat , prorfus inunriata maneat, diuerfitas autem ex inaequalitate Y oriunda iam fi- gnum fortiatur negatiuum , dubitari omnino non pot- cft , quin diffenfus qui pro priori pofitione erat val- dc LVNAE EVLERI ET TAB. MAYERI. 561 de exiguus, iam valore vnius raiiiuti primi abfolui debeat. Quum fcilicet habeatur ex Tabulis Eu/eri pro prima pofitione (}) — — 5*. 5'. 3-" et pro tertia (J) — - 5°. 6' 14'' > ditferentia horum valorum eft 42", quae non multum difFert a a. 19 — 38", prou- ti efle deberet , (i valores inaequalitatum ex Y oriundi et ia luperiori §. allati , omnino fummam prac fe ferrent exaditudinem. Apud Majeyum au- tem habetur pro prma pofitione (p n - 5°. 5', 35" et pro tertia pofitione ($> rr - 5°. 5'- i V , quorum valorum difcrepantia cft - -i , perinde vt efle de- bet , vi §. pracctdentis. Quomodo vero reliquae inae- qualitates P, R, T, V concurrant ad difcrimen iftud 30'''' circiter prodiicendum , inrer Tabulas faepius commemoratas , heic fufius examinare non licet , talis enim difquifitio non fuie operofo admodum labore fulcipi poterir. Interim tamcn comparat;one inaequalitatum ab Illuftr. Eiilero allatarum , cum iis quas Majenis propofuit obiier fida , difcrepantias inueni , quae ad femiminutum primum et vltra aft^urgunt. Maxime autem infignis fe prodit diuer- fitas pro angulo [p - 21. Vt vero et nunc pateat , quid iudican-- dum fit dc Tabularum Lunarium lUnflr. Eukri et Celeb, Mayeri confenfu vel diflfenfu , pro definienda Latitudins Luuae , fequenti Tabula valores angulo- rum LVNAE EVLERI ET TAB. MAYERL $6^ rum \\j ex his Tabulis vt et iUis Cel. de Clairaut eli- citos ob oculos ponamus : Pro Pofitlone Vaior anguli ^ Differ. a Tab. Fuh Euieri de Clairaut lAayeri C/air. Majeri p-0'^q-o\ p /— 0 4-°. 59'. 37" 4. 59'. 3!)" 4°. 59'. 31'' 4- 2" 4- 6'' rzzgo vn8o 4. 5 8. 58 '\. ig. 9 4. 59- 3 - II - 5 p-o;q-9oQ t—o 4- 59. 35 4- 5 9- 4<5 4- 59. 26 - II + 9 rrr.po S^niSo +. 59. «I 4. 59- 20 4. 59. 2 - 9 4- 10 prpo; q-oQ i — o 5. i6. 58 5. 17. 23 5. i^. 59 -25 - I r— 90 ynSo 5. 17. a8 5. 17. 49 5. 17. 19 - 21 + 9 p-go-^qz9oQ t—.o 5. 15. 28 5- 15. 29 5. 15- 18 - f 4- 10 r 50 yt 180 5. 15. 4<5 S. 15. 49 5. 15. 34 - 3 4- xo Haec igitur Tabuk declarat Tabulas Euleri hac ia re tam bene cum Majeri Tabulis conlentire, vt ma- ior harmonia vix voto praecipi potuerit ; interim tamen quum pleraeque diiferentiae fint pofitiuae , nuUum eft dubium , quin hae aliquantum diminui queant , C\ valor ipfius i in Tabulis Eukri adhibitus aiiquantulum diminuatur , vti fi loco / — 0,08954. adliibeatur i — 0,089^2. 22. Valor ipfius k ab llluftr. Eulero in vfum vocatus , ponitur — o, 0545 , cum Ctkb. Mayeruf iftum 0,05468 adhibuiffe inuenitur , tx Iiac dilcre- pantia igitur valoris pro k , fane infignis diffenlus in loco Lunae prodiret , nifi eueniret vt cofficien- tes nunierici earum inaequalitatum , quae maxime a k dcpenjent , imprimisque principnlis illrus , quae Sinum anguli q pro argumento habet , tali adfi- B b b b 2 cian- J(J4. COMPARATIO JKTER THEOK. ciaiitur diuerGtate , qiiae Hhm ex k orituram di- iTiiiiUant , fi non prorfub dellruant. j uidens igitut eft inaequalitates i(las prinupules a q dcpendentes pro diucrfis Tabuiis ad conlenlum omnimodum re- duci , {[ pro fingulis valores ipfius k adhibeantur , qui in cceflkientes numericos harum inaequalitatum du(fli , cadem pracbcant produda. Vtrum \ero con- fultuni fu rit pro praeftnti cafu , huiusmodi conci- liandi rationem adhibere , vix dicere poflum , quia er alii termini quantitate k ndficiuntur , et quidem pracprimis 2. p — q , quorum difcrepantia fi in alium fcnliim vcrgat , ficri pottfi vt inde magis reddantur difloni. Dcinde inutnimus quoque apud Illunr. Ea- ktum inclinationtm / fuppofitam tuifle no^oSp^)^, quae ^iaye/o e(t 0,08976, heic autem eadem de principali inaequalitate ex angulo r oriunda valent , quae lupra de inaequalitate pro h ngitudine Lunae ex q deriua- ta , monuimus. Eo autcm tutius heic i(\a conci- liandi ratio adhibebitur , quod reliquac inaequalitates pro Latitudine , rerpeiflu principalis pro exiguis me- rito haberi queant. 23. In Tabulis Ilhiflris Euleri inaequalitates ordinis Kkk plane prattcrmifTae fuerunt , quum eacdem maxime fufpedae ipfi viderentur , et quod angulum 2 p — 2 q + t quidcm attinet , ipfius cocf- ficitns Cap. IX. §. 355. Theoriae Lunae praegran- dis inuentus eft , adeo vt merito dubitare licet , an ifla inaequalitas ad duo fere minuta affurgens per obferuationes confirmari poflit j fecus autem rcs (e habe- LVNAE EVLERt ET TAB. MAYERI. ^(Jj habere videtur cum inaeqiialitate ex angulo t reful- tante , fi eniin hacc inaequalitas + 2,6319. H^Tin.f ad reliquas cognomines adiiciatur , obtinebitur pro Longitudine Lunae aequatio + 11'. 21" Cm. t. Hanc inaequalitatem Majerus ope Theoriae elicult + n'. 39", poftmodum vero obferuationes in confiiiunn adhibendo inuenit eam ad 11'. 16'' efle deprimen- dam ; valde igitur probabile hinc fit iftam ab llluft. Eu^ero inuentam inaequalitatem + 11'. 22" fin. t fal- tem proxime ad veritatem accedere , quum ab ob^ feniationibus non nifi 6" difTerat , praetereaquc cal- culiis pro hoc angulo inftitutus non tantis videa- tur obnoxius difficultatibus , ac qui pro anguio a. p — 2 q + t locum obtinet. De caetcro ex hoc ordiiie quoque angulum 2 p — 2 q — t adfcifcere lice- ret , qui fcilicet in loco Lunae effedum 17" fere producit. Haec autem correclio in Tabulas Luna- res Euleri facile introduci poterit , fi pro Tab. IX, et coordinata j , loco 31643 legatur 32954, et licet propter Iianc corrcdionem Tabulae ab aliis at- que aliis obfcruationibus magis redderentur diflentien- tes , quam antea erant , non inde ftatim concludere licebit hanc corredionein praeter rem cfle adhibitam. 24. Ex fuperiori §. 5 iam patet , quomodo Celeb. M.ayerus fuos numeros pro Longitudine Lu- rae ex obferuationibus ccrrigendos et emendandos efle cenfuit, principaks autem corrtdiones ab ip(o adhibitae lunt hae fequentcs : pro angulo /, — 23"; pro angulo zp^-q^-n^"; pro angulo 2^-2»',- 2b"i B bbb 3 reli- S66 COMPARATIO INTER THEOR. reliquae cxiguae funt et plerumque infra lO^^Tubfiftunt. Quod reliquas inaequalirates attinet quas in cenfum non duxit , dantur inter casdem omnino piuiimae quas vix negligere licet, nifi certidime per obleruntiones conftet has inaequalitates ex Theoria dedudas mini- me cum coclo conciliari pofle. Heic autem conten- ti erimus eas tantum adponere , quae lo fcrupula fccunda excedunt ; — 25, 5 fin. (2/)' + 2 ^) + II, 7 Cm.iq + t) + 22, 5 fin. (2p' — 3 ?) + I s, I fin. (4- //' - 3 ¥.% ( o ) S-fC^.' ECLIPSIS SOLARIS MARTII 1773 VISAE OBSERVATIO PETROFOLl FACTA. Au iE u Martii 1773. A u c t o r e A. L LEXELL Obferuationes Eclipfium Solis eo maiorem mcren* tur attentionem , quod tx iis non folum loca Lunae cum fumma exaditudine definiri queant , fed etiam quia medium praebent certiflTimum definiendi differentias meridianorum inter loca , \bi iftiusmodi cbferuntiones inftitutae funt. Licet enim nonnullis perfuafum fit , ex obferuationibus Edipfium Solis nihil certi ftatui pofle de Longitudinibus locorum ; multiplici tamen experientia edodus fum , omnia quae contra vfum harum obferuationum mouentur dubia , leuiflima efle , exceptisque occultationibus fixarum a Luna ., alias non dari obferuatinnes cer- tiores , quarum ope Loiigitudines locorum definiri poflent. £x .obferuatione igitur Hchpfis Solis die 23 Martii Petropoli fiida > quum non folum veram Lunae cum Sole coniundionem fatis exade deter- minare mihi licuit ; fed etiam ex cius compara- tione cum nonnullis obfcruationibus alibi fadis , pro difFerentiis meridianorum conclufiones admodiim pro- babiles elicuerim ; haud praeter rem eflfe , iudicaui , breuem huius obferuationis expofitionem heic com- C c c c 2 muni- 572 OBSERVATIO ECLIPSIS niunicare. Hanc aiitem ita adornabo , vt primum recenfionem ipfuis obferuationis adfcram, dcinde Me- thodHm exponam admodum facilem ^t fucciud;:im , qua in hnr rihrfiru«t;.jii«- tomputanda vfus fum , ct demum conclufioncs ex obferuatioaibus dedudlas bre- ■viter recenf^am. Expofitio obferuationum circa Eclipfin Solis fadarum. tijqi I. Antequam de ipfa obferuatione quicquam 'irioncre liceat , quaedam dicenda erunt de motu Fen- duli , ad quod haec obleruatio inflituta efl: , nec tamen neceflTum duxerim , fingulas obferuationes altitudinum correfpondentium , quas diebus proxime ante et pcfi: »3 Martii cepi , ad motum Penduli inuefligandum, heicfufe exponere , fufficiet momenta meridierum ex his obfcruationibus conclufa , adduxiffe : Temp. Pend* Die ai. Martii Mer. ex altit. O correfp. o^ gi'. 46", 3 correift, Merid. - 29, a Merid. verus o. 21. 17, i a.1, Merid. ex altit. correip. o. 21. 2X,o corr. Mcrid. - 28, o Merid. verus o. 20. 53»® 22. Media nos ex altit. correlp. 0.20, 35,3 35. Meridies ex altit. correfpond. 0.19. 53> 3 - corr. Merid; - 27, i Medd. Yerus e. 19. 2.6 y t. c/ SOLIS PETROPOLI. 573 2. Fada iam compnrationc horum momento- toriim inter (e , pro retiidatione Penduli diurna re- rpedu motus medii Solis , fequentes obtiiiebimus conclufiooes ; Retard. Pcnd. cx merid. ai cum Merid, 12 5", 6 media no(fle aa P» 5 merid. 25 p, a fiz media node 22 i(5, S merid. 25 10, 3 media nofte 2 a merid. 25 p, r. Ex his quidem probabile reddltur motum PcnduU inter 21 ct 23 Martii non admodum fuiffe Ynifor- mem , tamen diflenfus conclufionum cx meridiebus dierum 21, 22 et media node 22, maior non eft , quam \t ex leuiufcuiis erroribus in aflignando tcm- pore meridiei die 22 et mediae nodis item pro 2e Martii, qua potiorem faltem partem explicari poffit; fi enim ftatuamus tempus meridiei dic 22 incidiflb in o^ 20^ 52'''' et mediae nodlis in o*. 20^. 37^'', retardatio Pendiili interuallo duodecim horarum ha- bebitur 6 fccundorum. Hac de cauflTa tutiffimum iudicaui ex valoribus retardationum fupra inuentis medium fumere , quo ipfo obtinetur retardatio intcr meridies 22 et 23 Martii lo''',^, quae cx con- clufionibus optime confentientibus tantum habetur 9^^j(?. Pofito igitur quod meridies die 22 incide- rit in o*. 20''- 52^'' et adoptata retardatione Penduli diurua lo'''', eiit Meridies pro die *3 Martii , C c c c 3 temp. 574 OBSERVATIO ECLIPSIS tcmp- Pend. o^ 20^ i3^^ 5- Q.uicquid autem (It de incertitudine circa determinationem teraporis \eri pro noftris obferuationibus , ex motu Pcnduli oriun- da , facile patet eam duo (crupula fecunda non exce- derc , ideoque "vix \llius eflfe momenti. 3. Qnia tempore initii Eclipfeos , Sol hori- zonti admodum erat vicinus , et cblcruatio mea indituta eft in inferiori condaui noftrae (peculae Allronomicae , vnde in Horizontem non prorliis li- ber eft profpediis , id incommodum expertus fum , Tt denfiflimus fumus ex caminis alTurgens , ante difcum Solis propcllerctur , praecife circa eam difci regionem , vbi contadus Lunae cum Sole contingere debebat. Sole autem ex fumo emergente Tempore Penduli 6* 24.''. 40^'' feu Tempore vero 6^. 4-^. p^'' viin Eclipfin iam incoepiffe et admodum fenfibilem clTe , quantum vero ex magnitudine partis obfcura- tae coniedura aflfequi potui , aeftimaui quidem verum jnitium 30 fecundis citius contigiffe , at poftquam reliquas meas obferuationes calculo fubieci , perfuafus mihi e(fe vidcor , initium Edipfis integro fere mi- nuto pnmo citins, fadum efle. Finem EclipGs (a- tis exadlc ob(truaui Tempore Penduli 8*'. 39^. 51'"' , ideoque Tempore vero 8^ 19'. 23''''. Obferuatio autem ficfla e(i Telefcopio Gregoriano Shortii , mi- crometro obiediuo munito. 4. Ex obferuationibus , quas infigni numero circa diflantias cornuum Lunae ct pnrtes Jucidas •lifci Sohs , miciometro obie<^iuo inllituere licuit , eas SOLIS PETROPOLI. 575 eas tantiim heic adponam , qiiac fua exaditudine praeprimis fc commendare yidentur : Die 22 Martii Temp. pend Tcrap. vero iDiftant. cornui tcrap. Aflr, I. . i8*. 29'. J7 iS^ . S'. 47'' io'.57",t IL 30. 3^ 10. 6 12. 23. 3 IIL 31. 48 ir. 8 13. 10, 3 IV, 32. 5(5 I £. z6 14. 10, 8 c5++- ° 23. 30 20. 42, 4 ^45. 14 24. 44 21. 6, r h]^6. 16 25. 4^ 21. 30, 6 (7^47. 17 2(5. 47 21. 41, I A50. 52 30. 22 23. 4, 4 ^53. 21 32- 51 24- 15» 3 - Part. lucid. 19. 28. 53 19. 8. 23 II- 9» 3 30. 38 10. 8 11. 4, 9 32. 30 it. i II. 9, 4 33- 4^ 13- 13 II. 15, 5 Diftant. corn. 6, 20. 17. 35 57. 7 21. 6, ) ■ybi in expreffione fin. (5J:-=t_ii.2-±.^] pro n^ eius valor proxime verus fupra inuentus n L -H L 3 cof. n L ;s , adliiberi poterit , ita vt fit ^^±l:^.±ILl-IlL+L^^l±^P^-nL+L^co{.miz\ Vltinna haec formula pro parallaxi Latitudinis , va- lorem tanto magis approximatum fuppeditat , quo certius liquet nL + L2) — 113 efle arcum quam minimum , cuius igitur finum exadiffime definirc licet. Caeterum quoque immediate parallaxis Lati- tudinis per fequemem formulam proximc veram erui poterit : 113 -IIL fin. i^L , fin. — ;;: — ^ -nL^cofllL.fin.sSL+fin.IILcor. i^Lcof.nLs). 2 Pro Parallaxi Longitudinis quoque inueftiganda , aliae atque aliae formulae adduci poterunt , cuiusmodi funt : fin. TIL z ^•^"~fm.nLcot.L3) + col.nL^coi.nL' fin. nj-+-3i— nt ^^^ nL-^-j l — n ^ ^ fiu.nL.fin.n3 X2. $S4- OBSERVATIO ECLirSlS I 2. Diametcr Lunae apparcns computetur per formulam ^— fiH;nificaQie D qunntitattm uia- jnetri Lun;ie e ctntro Telluris rptdiandam. Exadiu* vero hab(.bitur oiamet-er Lunae apparens , per iltam formulam -r? — jr^ r—;r—r — ;• Caeterum ta- V (' -(- t*/m. U- — 2 tJin.Ucqf.z .) men piior formula \alorem adeo adproximatum praebcre cenlenda c(t , vt aberratio tres decimas par- tes fecundi nunquam excedat. Maxine fcilicet ab r- ratio locum habebit , quando s L — 90" , pro co auiem calu prior formula piaebet Diamctrum appa- rentem = D, et polkrior — -^__-^,--^_^^~Dco(.\|y conf. §. lO. Si igitur (latuatur ^— i , n=r6i'j Drrss'. iS", habfbitur per pc.fteriorem formulam diamcter apparens 33'. 17^,7, quae a priori tan- tum /j fccundi differt. Tab.lX, 13« R^foluatur iam triaRgulum 3 O N; Wi tjg- 2. O 3 dUkntia apparcns centrorum Solis et Lunae , 3 N Latitudo app:u-ens Lunae feu diffcrentia inter Latitudinem Luuae , eiusque parallaxin Latitudinis , eritquc oN-y(o3 4-3N)(03-3 N), fi fcilicct triangulnm O 3 N \t red.Ii-eum confi- deretur , quod quidem fine errcre fenfibili fieri pot- e(l. Siu autem quis hoc trinngulum \t Sphacricum tradare \elit , inueflrgare potcrit O N per hanc formulam : TangON=iVTang.^(03f3N)Tang.K03-3N). Kotari autem conuenit , dari O 3 (eu diftantiam appa- SOLIS PETROPOLL 5S5 npparentem centroriim Salis et Lunae pro vnaqua- que obferUiUione ex quaiuitate Phafeos. Pro initio fciiicet et fine Kclipfis , habetur O S aequali» fum- mae remidiametrorum Solis et Lunac. Pro alia \ero oblcruatione ex data quantitate partis ilhimina- tae difci Sohs , diftantia centrorum ficile collig:tur , quippe quae inucmetur , fi ad partem lucidam difci Solis addatur diiferentia femidiametrorum Lunae ec Solis. Poftquam autem inuentum fuerit latus O N, quum quoque detur parallaxis Longitudinis , facile inueniri poterit tempus , quod ad datum tempus ob- feruationis vel addendum vel ab eo fubtrahendum cft , vt habeatur tempus coniundionis Solis et Lunae. 14. Tempus hoc coniundionis fic inuentum ," Teritati exucHie conuenicns effe non poteft, nifi omnia Elementa quibus eius inueftigatio fuperrtruitur , ri- te fe habeant ; haec autem Elementa vti ftcile coa- ftat , praepnmis (unt , valores diametrorum Solis et Lunae , Lattudo Lunae et eius Parallaxis aequatorea. Qiiod fi proinde his Elementis aliquis infit error , necefTum omnino eft , vt is facpe numero ad tempus coniundionis haUvl parum immntandum, valcat ; quarc opcrae pret um tft , vt inueftigetur qunntam muta- tionem fnbire deb:at expreilio pro tempore coniun- dlionis , ob corrcdiones KLmentorum modo didlo-' rum. Exprimatur igitur correAio diftantiae centro- rum Solis et Lunaje per $, corredio Latitudinis Lu- nae per y et corredio parallaxeos per 7r, paraliaxis vero Latitudinis Lunie defignetur per p et paral- Tom.XVilLNou.Comm. Eeee laxis 5 85 OBSERVATIO ECLIPSTS Inxis Longiiudinis per p' , nec non Qnguliis 3 O N per Cp, fietque corredio pro tempore coniundionis ^^}nS fec. Cp T mj Tang.4)+ ;«7: (^Tans.Cp + |[) , vbi ta defignat numerum , in qucm datum fpatium duci debct , vt habeatur tempu^ , quod Luna mota fuo relatiuo huic fpatio percurrcndo impcndit. De- monftratioiiilnis huius formulae hcic adornandis , eo potius fupcrledimus , quoj in Tomo XV. Com- mcntar. iam allatae funr , nec de variationibus figno- rum in hac formula occurrentibus prolixiora addu- cerc ncceffum ei\ praecepta , quum pro quouis cafii propofito fiicile dignofci queat , quacuam obtinere debcant figiia. 1 5. Praeter methodum iam expofitnm , pro computandis obfcruationibus Eclipfium Solis , alia quoque in vfum vocuii pottrit, de qua ob nia- gnam eius affinitatem cum priori , breuitcr quae- dam indigitafle , haud iniitile ceniebitur. ConfilUt autem haec Methodus in eo , vt tempus coniun- (ilionis Sf lis et Lunae fecundum afcenfionem redam, hoc t(l moinentum quo Sul et Luna candem habue- rint afcenfionem redani , inuefiigetur. Ad hoc ve- ro tempus inueniendum , imprimis opus efl: noffe Parallaxcs Lunae fecundum afcenfioncm redam et dedinationem , quae ex data Parallaxi diftantiae zL, hoc efl arcu L 3 et angulo zLV facile deducun- tur, erit enim Parallaxis dedinationis — L^cof.zLP et Parallaxis arcenfionis redae zz. L ^ 'l^-^J. Ex /m. P 3 datis vero diilantia centrorum apparenti et declina- tiuiie SOLIS PETROPOLI. 587 t'ione Lunae npparend , quae aequalis habetur diffe- rcndae inter decliiiationem veram et Farallaxin de- clinationis , cognolcetur differentia arcenfionum rc- «ft.irum apparens , cum qua fi Parallaxis alcenfionis rcda^ vel addendo vel fubtrahendo , prout circum- ftantiae poftulant , combinetur ^ inuenietur differentia afcenfionum redarum vera. Hac autem cognita , ope motus relatiui Lunae in afcenfionem reclam , dabitur tempus , quod ad ipfiim tempus obreruatio-- nis addi , vel ab eo fubtrahi debet , vt habeatur tempus coniuniflionis Solis et Lunae fecundum afcen- fionem redam. Si igitur hoc modo locum Lunae vcrum fecundum afcenfionem redlam et declinatio- nem definire liceat , inde facile eruetur idem locus fecundum Longitudinem et Latitudinem definitus. Porro fi exprcfiioncs pro tempore coniundionis ex obleruationibus in duobus diuerfis locis inftitutis , erutae , inter fe combinentur , habebitur differentia meridianorum pro his locis. Caeterum quia locus Lunae ex Tabuhs fecundum Longitudinem et Lati- tudinem definiatur , ipfaque Latitudo Lunae tem- poribus Echpfium (emper fit exigua , cum dechna- tio fitis magna e(fc poffit , commodius omnino vi- detur priorcm adhibere Methodum , quippe quae iiuic iam adumbratae concinnitate et breuitate vix quicquam cedit. Tenendum autem eft , praeter Me- thodos iam commemoratas infinitas alias excogitari poffe , pro computandis obferuationibus EcUpfium Sohs , in genere enim omnis Methodus huic infti- tuto adcommoda_ eft , per quam inueftigari poteft E c e e a con- 5 8S OBSERVATIO ECLIPSIS coniundtio Solis et Lunae icfpcdu circuli cuiusdam fixi , modo is circulus takm habucrit fitum , \t haec coniundio prope ad ipfum tempus Eclipfeo^ obferuatae contigerit. Sic lcco EcHpticae et aequa- toris , cligi p oterit ip(a orbita Lunae , tunc fcilicct quacftio eo redit , \t quaeratur tcmpus , quo rcda per centra Solis et Lunae du L.1583, SOLIS PETROPOLI. 591 L. i583)<^==3>^99<5455 T. obferu. =: 20°. i9'.23'' L. w — o,33<5299i fubt.3435"r 57- »5 L. 3435"=:3)53 594-+<^ Temp.coni.r19. 22. 8, Calculus pro corredlionibus temporis con-» iun6lionis. L. 3 M :r:2, 85125 L. g — 8,5i38 L. O N — 3>2353i L.Sec,Cl)zro,o34a L, Tan. (J) =1:9,61595 L.m —0,3363 L. «« —0,33630 L. ;«g :r 8,9551 L. w Tan. Cp— 9, 95225 L.wSec.Cj)— 0, 3 705 L. I —9,97882 L.'yTa.4)^^3io7 hinc ergo elicitur tempns coniundlonls verumj 19^ 22'. S" — 2, 35 ^ — O, 90. J + O, 94. TT. 17. Ex fola infpedione huius calculi iam fa.' tis euidens eflfe confido , eum multo breuiorem efie illis , qui hucusque apud Aftronomos \fu inualue- runt. Sic ex. gr. calculus nofler vix plures requi- rit operationes , quam quae in Methodo vulgari Nonngefimi , tantum ad inueniendas Parallaxcs Lon- gitudinis et Latitudinis inftitui debent. Conf. Cel. de la Lande AJlronomia Tom. 11. pp. 374. 375. Quem- admodum autem ad Methodum Nonagefimi facilio- rem reddendam , Tabulae ahitudinum et Longitudi- num Nonngefimi conftrui folent, ita computus iuxta noflram 592 OBSSaVATIO ECLIPSIS noftrnm Methodum inftitue.idus aj fummam redigetnr breuitiuem , fi pro loco vbi obieruatio fict.i , con- ftrudae fuerint Tabiilae , quae pro dato angulo ho- rario Solis , dataque eius declinatione , exhibaant diftantiam aftri a punfto s, nec non anguUim sLP. Pra terca vbi corredtiones $, y et it femel definit.ic fueriut , eorum valoribus introjudlis , calculus pro corredione temporis coniundlionis plane omitti pot- cft ; praeftat tamen calculum ita inflruere , vt hu- ius correiflionis femper habcatur refpedlus , laltem dum obferuationum in diuerfis locis fadarum infti- tuicur comparatio pro inueftiganda differentia meri- diaaorum , fic cnim facile erit iudicium , vtrum haec corrciftio aliquid efficere valcat , ad condufio- nes immutandas, vel non. Denique haud obrcurum eft, IMethoJum noftnim cum vfu adhiberi poffe , ad computandas occultationes fixaruin a Luna , vel alius quascunque obferuationcs circa coniundiones fixarum cum Luna. Conclufiones ex obferuationibus fupra allatis dedudtae. 18. Dum concUifiones ex meis obferuationibus elicitas , iam propofiturus fum, haud inutile erit , delineationem Elementorum Aftronomicorum ex Tab. Mayen defumtorum , praemittere. Elemcn- 5 0LT9 PETHOPOLT. 595 Elementa Ailronomica ex nonis Cel. Maycri Tabulis LmiarJbus dednaa, pro Eclipfi Sbiis d. 22 Martii 1773. Temp. Parif. vcro Longlt. o Afc. rca. O L03:. mot. hor. G in afcenC Semid. O Longir. ^ Latit. 3 Afc. red. 3 16' 17' 0'.2°.50'.5i",9p^ 2'.5 5'.2 0",4 0' 2. 3 3 14. lO, 8 20. 55, 2 21. 18, 3 21. 3^» J 21. 39? 9 21. 6. 6 20. 20. 19. Finis Ediof. 20*. 19'' 23" corn. vera • 5 J j4 Dift. 2 1. 34. 8. 2 5. 18. 58. 18. 17. 1 1 13 14. 8, 8 15. 8, 5 = !• 39, 7 22. O 22. 20 24. \6 21 II o. 39 20. 12 03 I7i3",3 1^73, 9 i(55o, 4 1618, 4 1323, 7 1304, o 1283, 4 «149, 5 1356, 3 1385, 7 1409, 4 19. 30, 5I1444, 5 19 i8 4, 414^5, 2 21, 01498, 1 i8<5o. 3N 495" ,9 +99, i 501, 6 504, 8 53i> 5 53-1-) 0 536, A 547, 5 6 8 8, 0 >89, 7 590, 8 >9i, 7 ^93, 6 ^95, i 710, 0 O N i54o",C '597, 8 1572, 3 1537, 7 12 12, 3 i « 89, 6 I i6(5, 0 loio, 7 Ii68, 8 1201, 8 122S, 5 1267,9 1290, 7 «327) 1 171PJ Parall. Longit. 388,4 38S, 2 387, & 3S7, 4 381, 8 380, 9 380, a 37'~J,78.'7r ideoque difFerentia meridianorum 31'. i7"-o,i8.^-f o,38.J-o,33.7r, quae expreffio pofito j'zr — 5, iS" — — 2 et tt— — 5 , abic in 31'. 16" , hincque fiet Longitudo Schwezin- gae 24'. 54"- Ipfum momentum pro fine Lclipfis A. 1764. a Rev. Pat. Mayer aflignatum quidem habetur Tempore o''. 43'. o", at fi hoc momentum in vfiim \ocetur , Longitudo loci pro Schwezinga fere vno minuto piimo adhuc diminuenda erit,quae, diminutio quum omni deilituntur vcrifimilitudine , in eam omnino maxime procHuis (um opinionem , •yt credam , momentum a Rev. Pat, Majer exhibi- tum pro fine Edipfis 1764, \no minuto primo efTe augendum. l^onec igitur Longitudo Sclnvrzin- gae a Parifiis aliis obferuationibus ceitius fiabiliri queat , videtnr eam abs^jne fenfibiU errore allumi pofle 25'. o". Tom.XVin. Nou.Comm. G g g g OB- OBSERVATIONES ASTRONOMICAS AB ASTRONOMIS ACADEMIAE IMPERIALIS SCiENTlARVM STEPRANO RVMOVSKl ET AND, I. LEXELL, ANNO 1773. INSTITVTAS, RECENSVIT JN D. lOH. LEXELL. Obreruationes Aftronomicas Anno i773- f^Ctas] tam proprias , quam eas quas Cti. Rumovski bcnigne mecum communicare voUiit , breuiter heic exponerc coiiftitui. In ob(eruationibus autem Ckb. Rumovski recenfendis , iisdem vtar verbis , quibus a Ccleb. hoc Aftronomo conceptae funt. In genere quoque monuifle fufficiat obferuaticnes Cel, Rumovski in fpecula Aftronomica fuperiori j meas vero in con- claui inferiori flidas elTe. Eclipjis- Solis die II Martii a CeL Rumovski ohjeruata. Ex altitudinibus Solis correfpondentibus captis Die iV Martii prodlit meridies verus - 0^38'. 8", 6" i?. Martii - - - - o. 3P- 3, 5 vnde OBSERV. ASTR. A. i^^vs PETROP. INST. ^03 Tnde acceleratio horologii fupra diem (b- larem medium concluditur 45", 7. Die 5*. Martii meridics verus ex altitud. Solis correfp.. - - - - 0^4.0' 42" vnde acceleratio horologii fupra diem fo- larem medium prodit 43", 2. „Ob viciniam Solis horizonti de initio ^Eclipfeos obferuando non fui follici- „tus; finem vero eiusdem limbo Solis jjleuiufcnla vndulatione inquinato, ob- „leruaiii ad horologium - - - «o. 59. 8 „Vnde adhibita acceleratione horol. 43^', 2 „prodit tempus verum finis Eclip(eos 20^. 19'. 19". ,,Hanc potins qiiam illam nccclerationem adhibcre „placuit ideo , quod a meridie illius diei , in quem „Eclipfis Solis incidit , ob frigus imminutum , acce- „leratio quoque horologii imminui debuit. „Dui-ante Eclipfi in decem diucrfis quadrantls „pofitionibus obferuaui appulfus limborum Solis et Lu- „nae ad fila Micrometri qnadranti afiixi , verum „iis referendis fuperfedeo. „Obreruatio haec infiituta efi Telefcopio Gre-; „goriano 24 pollic. quam proxime. Ohfcriiatio EcJipfis Liinac partialis dic ^i. Scpt, Obferuntioni huius K< lipfis a me infiitutae quum Cl Schroter honefiiffinnis huius vrbis ciuis ct qui in obleruationibus Afironomicis infiituendis G s g g a egre- 6o^ OBSERVATIONt-S ASTRONOMICAE cgre^ie verfitus eft , intereffe voluerit , momenta im- merfionum vel emerfioiium maculiuum ab ipfo ad- notata , noftLis intcrferenda efle exKlimaui , licet nonnulla difcrepantia obfcruationum ab ipfo fada- rum ab iis quas Ccl. Kumovski et ego inllituimus oriri debuifler , inde quod D. Schroter Tubo vfus fit multo fortiori iis , quos Cel. Ru/novski et ego adhibuimus. Nos enim Tubis Dollondianis 3 pedum duplici vitro obieAiuo praeditis vfi fumus , qui ob- ieda vix plusquam co aut 25 vicibus multiplicant, ille vero Tubum adhibuit Dolloudianum trium pedum fed triplici vitro obiecliuo inftrudlum et obieda 60 circiter multiplicantem. Vt vero momenta a fm- gulis obfcruatoribus notata , inter fe difcerni queant, notafle conuenict obferuationes a Celeb. Rumovski fadas littera K , quas Cl. Schroier inftituit liitera S mcasque littera L indlciri. Penumbra apparet in limbo Lunae R Initium Eclipfeos - - - - L - - - - R - - - c R L ^ S R L L L R Vmbra ad Ariftarchum Ariftarchus immergit - Vmbra ad Gaiiieum - - Heraclidfrs immergit - - Harpalus immergit Hclicon immergit Vrobra ad Hcliconem - - Temp. vero 31- 51 34- 27 34. 3dem ftellae ad limbum Lunae obrcurum obferuata eft Temp. Pcnd. iz^ 30'. 8" feu Temp. ■vero 13^ 10'. 30"^ ObRruatio admodum certa. Caeterum tam haec quam fuperior obferuatio fada Telefcopio Gregoriano duorum pedum. Occiiltatio ? / /? Luna die i",. O&ob. a Cel, Rumovski obferunta, „Die '5°. Odob. Merid. verus cx altitud. Solis ,,correfpond. o^ 24'. 56", 9. Eodem die Luna lim- ,,bo obfcuro occultauit ftcllam j Saj^ittarii horologio „monflrante 8^ 17'. iV'*- Oblcruatio certa eft ad „dimidium fecundum temporis. „Die 5i. Odob. Merid. verus ex altit. corrc- „fpond. o*. 24'. 59", 9 vnde coll)gitur tempus ve- „rum difparitionis ftillae 7.52- 16", s obferuatio fa- „da eft Tclefcopio Gregoriano lupra memorato.j, Tranfitus Lunae per Hyades die V; Zvmb. Hoc die primum varins Lunne a flelljs I et II ^ Tauri diftantias micromttro obie(ftiuo menfura- AN. i^TVS- PETROPOL INSTiTVTAE. (Jii vl , tiim vero etiam praeter diftanrias Palilicii a limbo Lunae lucido circa tempus occultationis men- furatas , exadam obferuationem emerfionis Steliae ad iimbum Lunae obfcurum inftituere mihi licuit , obferuatio enim immerfionis ob nubes impedita fuit. Fateri autem cogor has obferuationes quoad vera momenta temporum in aliquali incertitudine efle pofle , quum proximae obferuationes meridierum ex altitudinibus correfpondentibus inter quas haec obfer- vatio inciderit , interuallo 21 dierum diftent , quo tempore de regulari motu Pcnduli omnimoda certi - tudo fperari non poteft. Interim quum cx praece- dentibus et infequentibus obferuationibus pro motii horologii explorjndo inflitutis , retardatio eius colli- gatur liaud multum difpar ab ea , quim obferuatio* nes pro meridiebus dier. i\. Odlob. et t'*- Nov. de- derunt , incertitudo quae momentis temporum die 't.' Ho!i°^' ad Pendulum obferuatis circa redudionem eorum ad tempus verum inducitur , vix quinquc fcrupula fecunda fupcrgredi poterit. Inuentus autem eft pro ^. Od. Merid. ex altit. correfp. ii^p'. 48'Vo iV Noii. Meridies - - - 1 1. d. 56, 4. hincque reiardatio Penduli diurna 9", ///> e Tauri Diftant. StellaejTeinp. Pend. iTemp. vero a limbo Lunae! C • » • i6'. o" (J^32'. 30" 7^2^37" 14. i dubia • • « i5. 8 45. 42 37. 49 dubia • • « 15. 51 47- 13 39' 20 ■ • • 15. 24 48. 58 41. 5 ^e^ . . . 15. 9 50. 45 42. 52 14- 37 53.49 44. 5 _ 13. ig. Difpulfis nubibiis S.itelles adhuc con- fpicitur fcd lumine valde debili - 13. i^. 57 Immcrfio totalis « - - - so. 20 Me- AN. 1773. PETROPOL. INSTlTVTAE. 61$ Temp, Tero Mediocris obferuatio. Immerfionem fecundi Saiellitis eodem die ob nubes obferuare non licuic, Immerfio 11. SateWtis die ??. lulii Lumen Satellitis diminui incipit - 14, 49. 1% Satelles vix videtur - _ - - jq, j^ Totaiis immerfio - - - . jq^ ^g Obftruatio (atis bona nifi qiiod lii- men diluculi fortiflimum. Immerfio I. Satellitis eodem die Satellcs immergit - - - - 15. 14. i|.0 Obleruatio aliquantum dubia , nam ob lumen crepufculare reliqui Satelli- tes difficulter videbantur. Immerfio I. Satellttis die V; ^«2 a Cel. Rumovski obferuata. Lumen Satellitis diminutum - - n. 3.. Aug. a Cel Rumovski obferuata. Temp. vero Lumen Satellitis diminutum - 13''. 32'« C' Immerfio totalis - - . - 32. 48 . Obferuatio exada. ■Elusdem immerfioms ohferuatio mea. Lumen Satellitis decrefcit - - - 31-23 Senfibiliter dccreuit - - - - 32-10 Satelles difficulter videtur - - - 32. 4* Immerfio totalis - - ' - S^- S8 • Coelum fudum. Obferuatio bona. Immerfio I. SateBis dic ^^. Aug. Satellitcs debili lumine vidctiir - 15- -"^' 53 Immerfio totalis - - - -. 28, 20 Obfcruatio aliquantum dubia , tam ob lumen diluculi , quam nubes loui A propinquas. Immerfio I. SatelUtis die ^. Aug. Auctore Cel. RumovsU. Totatis immerfio - - - - 9. 5<5. 49 Coclo liumido , fafciis louis non di- ftindc confpicuis. 'Eiusdem immerfmis ohferuatio mea Satelles exiguo lumine \idetur - 9. 5773 > Methodum expofui , qua obferuationes Ecli- pfium ijolis (atis expedite computari poflunt , leui autem mutatione haec Metiiodus qiioque adhiberi poterit , ad computandas occultationes fixarum a Luna , vtl etiam quascunque earum a Luna dilkn- tias. Interim quum haec Mcthodus ideo forlan qui- bu-.dam minus probata reddi poflit , quod in ea re- quiratur , vt alcenfio reda Lunae pro fingulis obfer- vationibus ad quas cakulus adphcatur, exploretur , quod Elementum alio^uin in ahis Methodis vt co- gnitum fupponi non lolei \ iam nouam prnpofituros fum rationem huiusmodi computos ineundi , quae ilii , quam in modo didta DJfTerratione propofui , facilitate vix quidquam ccdit , caeternmque lumma fe commendat cxadlitudine, Sit P Z meridianus Tah. IX. loci , in quo obferuatio inftituta eft, P polus aequa- F'g' 4« toris , Z pundlura in quo recfla per centrum tellu- I i i i 3 'is 4?2a OBSERVATIONES ASTRONOMICAE ris ct lociim obferuatoris du«fla meridiano occurrit , n polus Eclipticae , L locus Lunae verus et M locus eius apparens ob Parallaxin , atque ducantur arcus circulorum maximorum 11 P, 11 Z, ITL, n M et Z L iM. Ex dato igitur temporeobferuationis et afcenfione reda Solis primum innotefcet anguius 11 PZ, tumque refoluatur triangulum n P Z ex datis nimirum n P, 11 Z et angulo 11 PZ quaeren- do arcum n Z et angulum PIlZ, quare quum angulus PIIL quoque cognitus fit, innotefcet ZllL. <2num igitur in triangulo Z 11 L, dentur IlZ, IIL aeqnalis complemento latitudinis Lunae et angulns ZnL, reliquum eft , vt quaerantur Parallaxes Lu- nae in Longitudinem et Latitudinem. Si itaque n defignet Parallaxin Lunae horizontalem nequatoream et £ exprimat rationem inter mdiuin tellnris pro loco dato et (cmidiametrnm telluris , inueftigatio Parallaxium fequentibus perficietur formulis : T.ns. M n L = j^i?J^ii^li^^~ et Cot. n M =|^J? Cot. n L (. - "-^-Sii-O Tab. IX. vbi MriL dabit Parallaxin Longitudinis et II M de- F'g« 5' fjgnat compleinentum Latitudinis apparentis. Sit iam S locus llellae et producantur arcus n L, II M, H S \Sv]ue dum Eclipticae occurrant in pundis /, m ei J", atque iungatur MS arcu circuli maxi- mi , tum vero ex S in arcum U M m normalis ducatur S Q. Quum Latitutio Lunae fit fatis parua, ■feu arcus 11 M jroxime ad po° accedat , fique di- (lantia AN. 1773. PETROPOL. INSTITVTAE. ^23 flantia M S fuerit valde exigua , ita vt triangulum JVl QS pro redilineo haberi pofiit , Iktuere licebit M Q_z= Mm-Ss vel S x - M w , tumque inuenietur in triangulo rcdangulo MSQ, QS=:V(:\lS-f-MQ)(MS-xMQ), hincque deducetur m s zz: r~-^. Probe autem ob- ^ }in.. n s feruandum eft , hoc compendium tantum in vlum vccari pofle , quando arcus M S ert \alde paruus , imprimis fi arcus M Q^ exiguus fit ctiam re- fpedu ipfius M S i dum autem M S expnmit di- ftantiam fntis notabilem , exada refolutione triangu- li Sphaerici M n S in quo dantur tria latcra 11 M ^ n S, et M S quaeri debet ang. M II S — arcui ;;; j-. Ex datis autem arcubus ms et Im capiendo eorum fiue fummam feu diffcrentiam , innotefcet pro tem- pore obferuatinnis diftantia* Lunae vera fecundum longitudinem a ftella , quod intcruallum ob cogni- tum motum horarium Lunae , praebebit quantita- tem temporis , quae ad momentum obferuatum vel addi , vel ab eo fubtiahi debet , vt inueniatur vc- rum momentum coniundlionis Lunae cum ftella. Quia autem elementa in calculo fuppofita , dift?ntia fcilicet M S , latitudo Lunae et Parallaxis Lunae aequatorea-, plerumque aliqua corrcdione opus ha- bere fnleont , variationum , quae inde in tempus coniundionis ftellae cum Lunae inducuntur, fequen- ti modo haberi poterit ratio. Dicatur corretfl o di- ilantiae M S — ^ , corredio Latitudinis Lunac j , ct Parallaxeos aequatoreae tt , praeterea defignetur J :iii angu- 62^. OBSERVATIONES ASTRONOMICAE angiilus M S Q per (J) , arcus n S per x et ratio- nes parallaxium in Latimdinem ct Loogitudinem ad Paralldxin horizontaiem aequatoream exprimantur fradionibus t. et |^ , tumque defignet m tempus quod Luna impendit percurrendo fpatio vnius mi- niiti fecundi ; eritque correftio ex variatione $ oriunda —mS Sec. 0 colec. s , ea quae ex j oritur zz w/ Tang. 0Cofec. j et demum quae ex ir relul- tat :=zm tK^ Tang. (p Co(ec. s ^ ^) y de fignis au- tem quibus liae corrediones adficiuntur heic quid- quan» monere nihil attinet, quum fignorum raiio pro cafu quouis finguiari , leui adhibiia attentione innotefcat, His de ipfa Mcthodo qua computum iniui , praemonitis , fubiungam hlcmenta , quae pro ineun- do calculo parallaxjum ex n )uis Tabulis Lunae Ccl. Mayeri deduxi : A. 1773 die V; ^l: Temp. medio Parifino 8*. 48^- 30" Afcenfio Snlis rcda LongituJo 3 - - - Latitudo 3 aufiralis - Longitudo ftellae a Tauri Latitudo eiusdeiTi - Paraliaxis 3 horizont. aequatorea Semidiamcter 3 - - ^'ot. hor 3 in Longitudinem Mot. hor. 3 in Latitudinem Log. e pro Petiopoli 2 1 7 . 2 I '. 5 1 • 2 . 2. 5 + 6. 5. 51'. 40. 24, 1 38. 3, 9 28. 47, 8 54'. I 32, 4 1 1. 39, 2 35) 4 1 1. 23, 4 39) " II. 15, 8 41, 0 II. 8, 2 +2, 7 10. 54, 2 4-5, 9 JO^ 9» 5 55, 7 10. 1,4 57, 4 9. 55, 8 58, 6 9. 48, 0 7. 0, 2 9. 40, 0 I) 9 9. 29, 2 4, I 9- 19» 3 6, 1 9. 10, 1 8, 0 9. 0, 4 10, 0 8. 29, 9 15, 6 8. 20, 0 17, 5 7. 48, 6 22, 8 32, 7 8. \6, 6 appar. M-'. 5^", 52, 52) 5 2) 52, 52, 52, 5 2) 52, 52, .52, 52, 52, 52, 52,^ 53) 53) 5 3) 53, 54, 3 a ftella 3 3 4 4 5 5 6 7 7 7 8 8 8 9 9 o I I 2 o 21'. 50 ti »0. 19. 59 48 18. iS 17- 3* 17. 4- i<5. iS 12. 24 II. 50 TI. 15 10. 47 10. 8 9^ 32 8. 35 7. 40 7. 13 4. 5o8 -o>44- ^-0,76 VIII. 32« 4.[- biel ad 1771- 8. 16. 4C, <'b. 30. 45- 4<^, '^ 8. iC. 40, 6 -^14" 8 l^raec. Nut. I Latitudo V ,->! 195 5 27- 45- i<^, 3* 2i),i;i9. 41. I, lb. — 1 4, P.-^- o, 3 - 14, 0,-+- o, 3 — 19, p'-+' o, 7 -^- (5, i>-+- P, ^ — ly, 7|-+- 3, 8 -17 J-+-II, 4 !-+-iy, 2H- 7, 7 "Medium IG -r-7, 94 ^ 5. 24.. 3* V."m7 Em. I. Sat. 25t 8.-20. 40. Media Karum obferuationum praeftantior vl- tima afleritur ; verum cum huic refpondens detuc Tyrnauiae obleruata , ab ea initium faciara. it)ie t^L Em. I. Satcll. ^ 7*. 32'. 3^" Tyrnauiae 8. 20. 40 BtiHder Different. merid. o. 48. $ Long. Tyrnauiae a Lutct.Par. j. o. 55 Lonsitudo B^nder J. 45)».. 3. Obferuario Tyrnauienfis demonftrat momentum Ta- bnlare a Cel. Wargemitio computatum a coelb aber- rare — 18"^ aflumere igitur licebit fimile momen- tiim aj diem 5*. Odl. a Cel Wargentino com^\xx.7Lmm •7''. 35'. 10", totidcm minutis fccundis aberraturtmi.;. Qiiare erit corrednm - - - 4^- 3 j'-2 8" Parif. Obferuatnm efl in Bender 6. 24. 32 Longitudo Bender J» 49. 4. Tom. X VIU. Nou. Coram. L 11 1 Vnde (J34 DETERMINAT. LOXGIT. ET LATIT. VnJe apparct Longitiidinem vrbis Bender a merl- dijno Parifiiio computatam cflTe i^ 49'. 3;" fiue in gradibiis i-i'. 15'. 52", et a meiidiano primo 4.7*. 15'. 52". Obferuationes in Al^erman inftitutae. Ahitudines meridianae ftellarum Anno 1771. Dics Xomina Altit. Stell. Refr. Decl Stcll. Praei. Aberr. Nut. Latuudo 1 Dbferu. »1. N5U. 5. Dec. Stellar. coiredl. Bradl. ad 1771. 1 «Orionisji"* 9'. 30" 4J",42. 27. 8 I. 2, I. 21. «J^.^a -2, 5 -» / -*-5, P46. 12. 0 « Orionii 51. 9. 32 45, 7. 20. so -+-I, 4 -^- 2, C -<5, <54<5. 11 . 59 iHudJum ]4 Diaiii. Olis «5'.55',b 15. 55, 3 15. 53, 6 15. 5=» 9 Decl. Olis B )real. Latitudo 5'.47"46*. 12'. o",5 12. 6. 32 '45. 1 1. 46, i (4. 41. 25 46. 1 1. 4 ■5. 3 5- q"od collatum cum momento in Ismail obferuato 15*, 37'. 44." , dat difFerentiam meridianorum i^ 45'- 59"« Vnde concludere e(l Lfmgitudinem Ismail a meridiano Parifio computatam fatis tuto ftatui poflc i**. 46'. o" fiue in gradibus 26^ 30' et a meridiano primo 46°. 30'. Obferuationes in Bukoreft inftitutae Anno 1772. Pro determinanda Latitudine cx obferuatloni- bus Solis Longitudo Eukoreft afflimta eft i''. 34'. Dies Alt. limb. 0 Kefr. Bradl. l Diam. Decl. Olis Latitudo obferu. fuper. corr. — parall. Giis Borejl. 55. iun.6 9°. 1 1'. 5'^ 18", 8 i5'.45^5 23^2i'-5i" 4/. 26'. 50" ',1 - 69. 5. 40: 18, 8 15. 45i 523- »6. 32 44-. 26. 56 '5 — 69. 2. 2oi 18, 8 15- 45, 5 23. 13. 17 44- 27. I Ir 30« 68. 58. 50 18, 8 15- 45, 5 23. 9 35 44. 26. 49 2j. lun. i. Vd. 68. 45. 32 19, I 15. 45, 5 22. 5'. 39" dat QVORVNDAM MOLD. ET WALACH. LOC. S^x dat differentiam meridianorum Parifienfis et Bukore- ftenfis I* 33'. 2^'; quodfi momcnto Tabulari lo*. 58', 2" applicemus corredionem — 1'. 30" , prodit diflferentia meridianorum quaefita i^ 34'. 32". Tutior tamen erit determinatio petita ab obferuatione pnmi Satel- litis; nam eadem Immerflo obferuata eft Parifiis ii^ 31'. 38"; in Clugny ii^ 31'. 57" , vel ad me- ridianum Parifmum redu, I 37, 5 15'. 51", 5 15. 51, 7 15. 51, 9 15. 52, 11°. 54'. 3 v". u. X3. 59- 10. 53. 23. 9- 50. 35- 47°. 8'. 37" +7. 8. 3 I 47. 8. 23 47. 8. 30 Meu lura 47. 8. 30 Altitudines tneridlanae rtelliinlrTi fixnninr) Alut. Stell correft Retr. Bradl Dccl Sieli. ad 1772. yi. P. 18 z pari fiducia , ac obferunriorem fccundi Satcl- litis , adhibendam effe exiflin aucrim. Finem Fch'pfeos Solis , quae contigit nianc die 25. Maii 1770 , cbkruaui (/'. 15,'. 55^". t. v, K D n o 2 Ex dS& OBSEEIV ATIONES Dies tbferu.. Ex: altitudinibus Solis corrcfpondentibus die 23 et- 25 captis conchjfi tejr.pns vcrum et motuin horo- logii , quo nunc et poIUa vfus lum. Initium Kclir pfeosi euenifTe aertimaui intra n^. 3.2' et 7^ 33.':. Ob>~ fexuationem, inCtitui tubo 14 pedcs longo:. Ooleruationes a P. Doliieio fuper. cometam' Anno 2769. inilitutae funt micxomctro AnglicanO' nunc tubo fex. pedum,. nunc quatuor pcdum adaptato; QbferuationeS' infequenti. tnbula conrcripme , cxceptai "Vltima. prodicre (Um.endo medium duarum aut triumi ct interdum quatuor oblcruationum (efc inuicem ex- cipientium. Durante fecunda apparatione repetitis vici- bus obferuationcs inflituere. non licuit.. Iji prima co— lumna.indidui numerum obferuationum, quarum con— feroa{rtruatum hic apponoj. Tempus' ver,. \Mit2. et Sec: temp. ad. quoi refer-quibus Cometaan- tur pofitio Co ^te aut poji ftellam metae hic al-aupellit ad. fihim Grad Min. et ScdStelke^,. cum: quibus? quibus Cometa:Bor\'Omparatioi eji in-' realior auf AuflrafWuuta ex Tabulis: lata hor.. 28. Aug.14.*'. 30'. iV* at obferu. 4. obf,. 30 4. obf. 31 4> ^^ 13'. 5 3'. 3 8'^ 12. 52-. 25^ 12. 53. ip praec. 9'. 50"' lior eji Jlella.. Flamjiedii defumtae. praec. o'. 38" fequ. 1'. 5" fequ. o. 3. 2 7' fequ: 0.. lo^ Aurtr. 1. 22. 56 9 - - 15.. 12.. 28 praec 4... oi Bor.. 0. 19. 12: De quatuor in hu- ^obf. 1 , mero monocerotis omnium Auflralior ir.Scpt. 15. 52.57 praec 9;.- 17 Bor.. oi 3,8. r:i Omnium Auftra- s .obf. 1 lior trianguli. Xff-. - - 15. 53. 32 feqm ri.. 20^ Auftr. oi 33-4* eadem.. r. ohf. %e.Oa, 6^3 5': 4" fequi. 4'i2V'Bor. 0^39:42^ M-' S^erpentis. ai - 5.. 25.. I fequ.. 3- 4<^' Bor. 0. 4-3.3.5 Stella intra X ct e Ophiuci im mappa i non^ deffgnata; jt. Nov. <^i 37.-15: praec; 3; 5.0 Bon. r.. 4. \C Stella: cuius dediaj. 1 , iti mappa pofita eft I 1 i i". 40' Auftr: fuh brachio praecedenii Gphiuci. a Nov. C, 17. 30^ fequ.. 7.. ja Bbr.. r. 7; i r Eadem ftella quae fuir I. Noy. N iTi niD 3s vehementer flante ex feptentrione. Denique interuallo 24 hora- rum rurfus defcendit per U^ poU. nix et procella e reg;ione N — W.. Menfe DecembrL d. 25. hora to a. m. 27. 90 d. '2.6. Iiora 12 p. m. 28.43 d. 27. hora 6 p. m. 28. o3' d. 31. hora 6. a. m. 26. 85.. Primum igitur interuallo 14 horarumi afcenw^ dit barometrum /53 poU. Deinde interuallo 18 ho- rarum defcendit 1^5 poU. Tum autem tempore 84^ horarum adhuc delcendit per igg poll.. Coelum nu- bibus obdudum j; nix copiofa , ct irentus vehemen- tifUmus €S^ OBSERVATIONES tiiTimus primo e feptentrione , deinde c regionc N — W et >ltimum ad fiaem anni c regionc 5-W. II. Thermometrum. Adhibiii Thernometriim mercurio implctum deslislianum , Pctropoli fa(f^um , cums conftrudionis principium (atis notum e(\ : indicntur ({rilicet in lca- la eius, cnlor aqune buUientis per ciphram et pun- ftum congeiationis naturalis per numcrum 150- Tum hoc Thernion etrum aeri expofitum et in tali loco verfus boream (emper coHocatuni fuit , \t lol. id nec diredc ncc per reucrbcrationem iiraaiare po- tuerit. Obferuationes autem hoc Thermometro in- ftitutas iterum in duas tabulas redigere conatns (um, quarum prior altituclincm maximam ct minimam Yna cum difFerentia inter casdem indicat , poflerior ■vcro fpeciatim flatum frigoris et caloris pro fingu- lis menfibus cxhibet. Vbi monen''um eft, pcr fta- tum frigoris illam altitudinem minimam Thcrmometri intelligi 5 quae pro vnoquoque die plerumque tempo- re matntino ct vefpertino obferuatur. Similiquc modo rtatus caloris cuiusiiis diei fignificabit aititu- dinem maximam Tliermometri , vcl eam quae ma- xima parte meridic aut ftatim po(\ meridiem nota" tur. His iam monitis oQendit tabula fecunda pro quouis menfe numerum dierum , quibus ftatus fri- gpris et caloris fuperabat terminos nonnullos in Thermometro deslisliano. Vnde patet hoc 1773 anno fuifTe dies 14.8 frigidiores gradu 150, inter quo8 M E T E 0 R 0 L 0 G I C A E. 66$ quos 83 reperti fuot ftigidiores gradu iffo, ct 4.3 frigidiores gradu 170. lum vero inter hos a i dies fuifle, quibus frigus fuptrabat gradum 180; intep quos tandem 6 dies fuerunt frigidiores gradu 190 et 2 tantum dies frigidiores gradu 200. Sic ct de flatu caloris, Ex taljula priori autem intelligitur > per to- tum annum fuifle; Altitudinem Thermometri mlnimam feu gra- -dum frigoris raaximi 203 rnenfe lanuarii die 29. liora matutina WIV% Barometro 2 8i|g ; coelo cxi- Hente fereno et vento leniter flante ex plaga N — O. Altitudincm Thermometri maximam feu gra- dum caloris maximi 104 die 24 menfis lulii , ho- xa 11'^" pofl: meridiem. Earometrum 28135 ? coelum ferenum : ventus e regione S — O. Vnde variatio Thermometri maxima pcr to- tum annum fuit 99 grad. Deslisl. Speciatim frigus obferuatum fuit intra gradus dies aio et 200 die 29 et 30 lanuarii - - - 2 200 et 190 die 23, 28, 31, lan. et die i Febr. 4. 190 et 180 die 2. 4. 13. i4- '5. K^* i7- 18. 19. 24. 27. lan. die 2. 3. 4. Fcbr. et die 24 Decembris - - - -15 180 ct 170 die I. 3. 5. 6.%i2. 22. 25. lan. die 12. 22. 23. 24 Febr. dic 14. 19. 20. 21. 23. 29 Mart. die23. 24 Nov. et die 15. 23. 27. Dec.2£ Tom. XVIII. Nou.Comm. P p p p Calor 666 OBSERVATIONES Calor autem deprehenfus fuit intra gradus lOO et iio die 15. lun. d'e 22. 23. 24.. 25. 27. 28. 29. 31. lulii, et die 18. 22. 23. Aug. ------ ijo et 120 die- 14.. 17. Maii : die 3. 4. 13. 14. i(S. 19. 20. 22. 24—30 lumij die 1—4. 12. 14. 18. 19. 20. 21. S.6. 30. lulii; die i. 5« 8. 9. 14 16. 17. 19. 20. 21. 28. 29. 31, Augufti - ------ 120 et 130 die 15. 16. 17. 19. 20. Aprilis ; die 2. 5. 6. 7. 8. 11. 12. 13. \6. i3. 20. 21. 25. 27. 28. 30. 31. Maii ; die i. 2. 5. 7. 8. 9. 10. II. 12. 17. 18. 21. 23. lunii die 5— II. i3. >5- ^^- i7- luHi; die 2. 3- 4- ^ 7« >o. 11. 12. 13. 15. 24. 25. 2(J. 27 30. Augufti; die 1—5. 7—12. 14. 16. 18. ai »3. 24- 25. 27 Septembris; deni- que die a. 5. <^ et 7. OAobris .- dies 12 4» 84. L Thei- METEOROLOGICAE. 66^ I. Thermometri altitudines minimae et maxi- mae pro fingulis menfibus anni 1773, fe- cundum Caiendarium Gregorianum. uVIenfe laniiar Februar. AltitLido minima lAltitudo mnxima Gradusl die iiora Gradubl aie hora 203 spVli.a.m iP3 I. VI. a.m. 151 Marr. 178 20. VJ.a. mj 144- Apnl. Maii lunii lutii Auguft. Septembr. Odobr. 10 11. p.m 15 20^ II. p. m 21 2+! JI. p. m 138 13^ 134 143 160 Nouembr.J 172 Decembr. Anno 1773- I VI. a.m. 7^ Vl.a. m 9 8. Vl.a.m 28< Vl.a.m. Vl.a.m. 153 I *• VJ.a.m.j -127 20. 11. pm. 148 118 10 8 14. li.p. m Differentia Gradus 104. 107 24. ll.p.m 22. II. p. m, 121 >u.p.m. I23S 24. VI a m. 124- I 7. II. p m 56 2 4.VII.a.m 203 24. Vl.a.m Menfe lan. 57 4^ 34 2(J 30 15- Il.p.m. 30 32 27 22 i^S I. 1 1. p mJ 3<5 14(5 6. II. p. mJ 35 104 Menfe lulio ^9 P p p p a II. sst^ OBSERVATIONES II. Stams friooris et caloris. Dies quibus trigus luperabiit gradus ilJies calidiores gra ibus Menfe 200 190 180 16 170 13 160 27 150 140 IIO 120 I 30 1 40 150 bn. 2 5 i9 31 4- Febr. I 4 8 20 28 28 Marr. 6 15 31 31 15 Apr. 5 30 5 23 30 Maii 12 , 2' 19 31 31 lun. - I 1(5 29 30 30 lulii - S 20 31 31 31 Aug. - 3 i6 3.1 3^ 31 Sept. 6 19 30 30 oa. ! X 7 27 4 19 28 Nov. » 10 ip 30 I '4 i Dec. I 4 10 83 25> 31 1 2 12 1 255 Anno 1 ^ 1773. h 21 ^43 148 226 54 138 196 Hi: )C co mpar uibn< S fad"; r cu m ftatu frieo ris er caloris anno praecedente 1772' obferiiato ,. concludi-- tur , hoc X773. anno et frigus et calorem minoremi fuifle illo 1772 anno,- Nam. anno praeterito' anno— tauimus 23o - 0 1 50 4. 170 10.7 130 ipo 21. 3 t to JS^ 0. 5 14P 1170. 6 1 r 12P. 3 ipi 21. p 1 09 151- p I i+S. 1 171 1 1. 2 I2P IPI. 2 22 ■ oS. 8 152 I. I 1+8 ni 11.7 128 IP2 r^ ^ 1 (p8 153 I. 6 147 '72. S 12 127- 5 IPJ 22. p 107 iSi- 7 2 146. 3 i73 12.3 Ii7 153. 1 23 1 r5. p 154- 2. I 14.6 ^74 12.8 126 IP4 23. 5 106 155 2-7 145 174-4 '3 \2S- 6 iP? 24 lOJ iSS. 6 3 '44-4 ^IS n- 3 125 196 24-5 1C4 fi I3i>. 181 16.5 llp 2CO. 6 27 P9. 4 Iffl. 2 6 138.8 181. 9 17 I 18. I '201 27. 5 99 1 P 133- I 186 ip. 2 '14 U-.& 2p^ 0 94 167 9.1 133 187 IP. 7 ii3 206. 2 30 93. 8 158 5. . 1 27. 40 2p. 2 2 28. 60 30. 51 27. 9 29. 7. 2 27^45 29. 28 28. 65 3o..5- 3 27; SS 2P. 38 28.'7S 30. 57 28. 0 29. 10. 4 27. Co 2P. 44 28. 80 30.72 30. 77 28. I 2. J4 28. 85 28. 2 3c.. 0. 4 27. 70 2 8 90 30.82 28. 3 30.. 1. S a7- 75- 29.. 50- -^8.P,- 30.88 28. 4 30. 2 5 27- 80 29.. 5? 2p. CO 30. P3 iO. 98 28. s 30. 3-5 27. 8 y 29.70 -9- 05 28. 44 J. 3- 6+ 7-7 84 10. I 5 o.(J 2 5- 3-0 ^S 5-4 GS 7. 8 85 10. 2 6 o. 7 76 3. I 46- 5.5 66 7- P 85 10. 3 7 0.8 27 3. 2 47 5.f^ 61 8,0 87 10. 4 8 o. 9 28 3. 3 48 5.7 68 8. I 88 10.5 9 I. I 2i) 3. 5: 4P s. 9 C9 8. 3 89 10. 7 lO I. 2 30 3. i5 50 6. 0 70 71 8.+ PO 10. 8 II I. 3 31 3. 7 ji- (J. I 8. y 91 10 9 12 1-4 32 3.8 52 6. 2 72 ' 8. 6 P2 i|. 0 13 I. 5 33 3-5 53; 6. 3 73. 8.7 93 II. 1 1 + I. 7 34- 4- r 54 5.5 74 8. 9 P4 II. 3 iJ I. 8 35 4.2 J? e. (? •75 D. 0 95 it.4 \6 1.9 3^ 4- 3 55 39' 4-7 5i>' 7. 1 19 9. 5 9P 1 1. i) 2iD 2-4 40 ' 4..^ 8 50 7.2 80 9.. I. A .5. '& JFry S. /■• C^A^Comment. ^cai/. j^/ip. J>. Ferrtpol. Tom. Mm Tab I A. Tiv J. P A- ■FiS -? J^ Hov C^mmenJ .^-^,W. Jnip . Jr . J^etrv/ro/ ■ Torit . Xi^. 2h6 . JT . K o Ty ^ A B d C X) ^ ^ ^ - (" jvr A \ h^ isr "V" ^//7 #- c :x^ A T 7 S^ ^/r/ A DT ^ ^ A :e xa- ^* i Tfov (ommen/ ^4,'a,/ In,p J^r JPetrv/^o/ ■ Ton, . yS7f/' Jhi . JT Fy ^■iij 2 . A B C 33 ^ J t' J ■ (" M A //''^ isr c 1 c .?-' " — t ■^ G / i ^^^ / o j y~^ y' ' Fuf 4- F^ ^. Js- -ya^ T> T. A p /s^ '^' ^ -^ I Xj; ? ^j) Mv . CbmTm?7l.^-,i,i .T7>ip.Sc Tetropol .Tom DHM .Ta6 . M . G B •^ 0 D P IB C A X ^ U. .^Jf^ -LS JC^ «^ ^. Fio /o Mv. Cbmmi-rtt.yirad Ztnp Sc Tetropol Tom yXlS Tab M G P & B h y ^^^ Y lO N^^ / ^ v\ _x jv r X 1 \ " Tj/ X L__ Z A E _ u _y/^% -ii» JC-* ^ J-j^ it ^ JV(?v . Com7?LL'7Tj-. ^lcad. ifmp.Sc.J'eiropoI.7o7n.XVni. Tat<. IV. ^iff.%. ^iff- 3. z£X, P (i R. p g R M>v.Comnum^. ^ic^l. Smp.Sc .-Pc/ropo/.romJimi . Tab . IV. T,jr. 3. -^^ ^^ Tii,. 4. Commerd. Acad. Inip. Sc. Peiropoi. Tom . XV//I. Tah. V %■ ^ ■ Nov Commerd AcaJ Imu Sc. Pefi^opoL Tom XVIII. Tah. V. Fl,7. / ^ov. Comment. AcaJ. ImpSc.J^ctrojJol . Tom JNJll . Tab. VI . JVot>. Coirumnt.AciuiImpScretrovjl.Tonh.Sail.Tab. VI. t Acad. Inij). Sc. Pctropcl. Torri.XVlU. Tah. VR Nov. Cormnent Acad. Imp. Sc. Fetroj)ol. Tom.XVlU. Tab VR /l.f Comrn.-nt. .-fcaJ. Jr'p Sc. rclrojyo/. Tom. JCO^. Tai . Z^. Mt' Canimcnt. ^caJ. Jh^' Se. j^*-«p,./. n>m. JTfW. T.td. Zr. M>r ^^. A AMNH LIBRARY 100 25052