■1., ^:!'-ll.>:! FORTHE PEOPLE FOR EDVCATION j FORSCIENCE , LIDRARY or THEAMERICAN MUSEUM OF NATURAL HISTORY Bound it 1 A.M.H.H. 1916 N 0 V I COMMENTARII ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE TOM. XXr ^ pro Anno MDCCLXXV. P ET B.O F O L l TYPiS ACADEMIAE SCIENTIARVM M D C C L X X V I. .wjcxjDO a SVMMARIVM DISSERTATIONVM, QVAS CONTINET NOVORVM COMMENTARIORVM TOMVS XX. . a a MATHE- !.!¥]; :.Vi. / O l'L V -.HHTAM "■f 5 Ji^J^i^JJ^^^J^fS^Jf^-lWS?^*^»!^ -V Sr^i^^^J.lx^JrY-WlWSJr^.lWS 5 ^ * + '<• 4» + * •!• •J* 4* ■:■:■ * + ■*••!••{• + + "J* + ^ • j >!*U >!%i >!*•<. >.vt. ^vt *.^^ j,%t j. •«. j-vi • ■•• j. .<. j. .t. j . %!. !.'.<. j,%<. .!.*> j,%«. x.\<. J.V ^ *,^' -'.^ •*-■*- '•S>-4;-$-«^'$— ^•^•-''.^•^- -C-t>"^ •:i:'^ ->-:> ^■'y-f^-i:--^-^-^ ♦'.•? MATHEMATICA. I. Aduerfaria analytica mifcellanea de fraftionibus continuis. Auftore Dan. BernouIIi pag. ^. Frndioniim continiiarum theoria , quae fupcr-ori iam fcculo , ruinmorum Gcometrarum , Broun« cheri , Wnllifii , Hugenii aliorumque commeiuatio* uibus inclariiir , nounm , etiaiti hifce tempnnbus , praeclaris llkiftrium virorum Eulerl , BermuHi , La Grangii , in ea vberius excolenda ihidiis celcbritatcm adipifcitur. In praeienti diflertatione III. Audor id potiflimum operam dat , vt cafus examinet , quibus .expreiliones fradionaks infinitae formula fiaita dcfi- niri queani fiue algcbraica fiue iranfcendeutali. Fx- I preflionis in hoc genere fimpliciflunae i?i ~\- i m -+- etc. valorem .ncuto ratiocinio ex ipfa conuergevtine n ole dedUcir; fi enim fupponamus , illam expreflionem a 3 coaiinuo continuo magis magisque ad ccrtum et determlna- tum aliquem valorem , qui fit =S, conuergcre; poft numerum infinitum concatenatarum eiusmodi fradlionum, valor exprefllonis non variabitur, etiamfi a fronte fuperaddatur noua fradio ^ ; ita , vt iatn tota feries fit ^;-~s ' ^"^mobrcm cx praemiflb ra- tiocinio erit —~-^ — S; adeoque quaefitus expreflio* nis valor S rz: ~ "' ^ v u -j- "'^- ) ^ defignante m nume- rum quemcunque,; ad quem valorem termini fradio- nis continuae eo conucrgunt citius , quo maior va- lor numeri m fuerit adumtus. Veritatem huius for- mulae bina exempLi pro m numero pofitiuo tam rationali , quam irrationali euoluta, abunde probant ; afTumto fcilicet fit^no pofitiuo membri radicaii?, vt fit S in — ,^-^ vf «-t-mn ^ 5i -yero pro (/; numerum nc- gatiuum ~— « affumere placeat ; tum , fiatuto membri radicalis altero figno , fornrula adlvbcnda erit S — -"'-vu-^mM . adcoque S — l^-^!;-^"'>. Adplicatio huius formulae ad cafum fimpliciflimum> W — o , qui medium quafi inter duos praecedentes lenet, binos pro S valores fuppeditat, fcilicet Si: i ; et S~-j. Paradoxi huius cuolutioncm tradit 111. Au(flor, ex principiis fuisin diflertatione de (eriebus finuum vel cofinuum angulorum arithmetice progredicntium prae- cedcntibus nofiris Commcntariis infcrta explicatis. Prae- nuffa folutio , quamuis et plana et eltgans , hypo- thcfi tan^en cuidam innititur ; iflas (cilicct ex- prcfliones ad certum ct dctcrminatum aliqnem va- lorcm magis magisque conucrgere ; ncque igitur in- concuflTa -^.1 ( 0 ) 1'^- t concufla ftaret eius praecifio , fi fbrte iftae expreflio- nes ad terinioos data lege pcreodice recurrentes \tciin.iue inter fe inaequales , coauergerent. Alia igitur et a priori plane diuerfa aietliodo idem ar- gHiTientum pcrtradlat III. Vir j fcilicet fradliones continuas fuccefliue , a fradione vni - membri pro- grediendo ad bimembrem , trimembrem atque ita porro , in aequiualentes conuertit fradliones fimpli- ccs , quarum tum ifl;am detegit proprietatem , \t numeratores feriem recurrcntem fecundi ordinis con* ftituere ; denominatores vcro lege plana et obuia progrcdi euincat ^ quo id efl adeptus , vt pro qua- licuiique termino N fradionum iftarum fimplicium, qui fraclioiiis continuae membrorum numerum N continentis valorem exprimit , formulam generalem afli^nare valeat , quae quidem ita deprehenditur ex- prcflli : Valor fratflionis continuae fupra memoratae N mcmbra complexae ^:>a ( ?/M- V [ 4 + w' ] )^ — 2 ( ffl - y [ 4 + w;^ ] )N ^ ( ;/; -i- V [ + + m' ] f-^' - ( w - V [ + + »/"- ] )N-+-«* lam vcro cum de fradionibus continuis in infinitum progrcdicntibus quaeflio fit ^ id potiflimum quaeritur, quisnam fit huius expreflionis , valor, fi fuerit N-fs». Facile autem patet , fbre tum, j) pro m niimero pofitim C — l . — — JTt -H V( ♦H-W^ ). ■ m _+- V V + -H m- ) 2 prorfus , vti priori methodo fuit inuentum. 2) Pro m numero negatiuo C — j — — m — ■•(♦-<- m*> ra — y(*-«-iii») 2 adeoque «• ->^.^ ( O ) 2-'F?- adcoqnc fi m-n-n:, liabcbirur S cr " — V-(j,,-tL^^ qi-ic- foriiiula iterum cum ca , qunrn altcnpjnidihoJuS luppeditiuiit , pcrfc^fle cougruir. -^^ .; n-.:; .i;.;^:. / At runpliciHiiTujm fait frciftfo^ufti conttnu"- rum genus , quod 111. Audor hic cft contempljius, in quo fcilicet eadem prorfus fra6:io in- <|Uolibct tcr- inino recurrlt ; fuccedit^ fecunda harum frfl(5l onum fpecies , vbi binae fradioncs akerno ordinc perpctuo recurrunt ^ vcluti « ( m -\- q m -4- etc ciiius valor ita exprimitur 2 ;« quas vocat 111. Audor fradioncs continuas fecundi ordinis. Eadem methodus et pro altioribus ordini- bus (uccedit ; et quotuscunque fuerit ordo frinftioiuim continuarum ; valor quacfitus femper aequaiioiic qua- dratica cxprimi potcrit ^ \nde iOa methodus pro fra(f^ionibus periodicis egregii vtique \(us trt. Ad- plicuit eandem 111. Audor ad progrcdionem poft periodicas fimpliciflimam , ponendo in fingulis tra- ^ionibus \nitntcm pro numeratore et nunuros na- turales pro dcnominaioribus (e inuiccm (ubli^qucnii- bus , \cluti I 2 4- I 3 -h ctc. liuius- *^S9.| ( o ) l-^<- 9 hulusque feriei notabiles detc,xit proprietates , qua- rum ope valor quaefitus commoda et celeri adproxi- matione poteft definiri ; attamen ad eum geometrici praecifione dcterminandum, conceflis pracfcrtim qua- draturis vel fignis fummatoriis , noua requiri vidca- cur calculi artificia. II. Diftjuifitiones vlteriores de indole fraftionum continuarum. Auft. Dan. Bernoulli pag. 24, Qui ea , quae ia praeccdente III. Audloris difler- laiione de eodem hoc argumento fuot prolata, debite perpenderit , facile perlpiciet , fracflionum con- tinuarum tlieoriae ibi propofitae infigne allatum iri incrementutn , fi methodus in promtu foret , cuiuf ope fradiiines fimplices , fradionis continuae dato terminorum numero conUantis valorem expri- mentes , fine operofa earundem conuerfione analytico ahquo artiicio affignari pofTent. Tradit igitur 111. Audor iniiio huius differtationis perupportunum com- pendium , quo omnis in continuanJis fratflionibus finplicibus labor infigniter fubleuatur , ita , vt cur- r.nte veluti calamo noua quaeuis fradio fimplex furmari atque cii Waliifianae nliam fublUtuic muItoeffiGaciio»' rem , qua fcilicct efficitur , vt valores pcrfpicuis pafTibus ad verit.atem accqdant. Regula , quam III. Audor propo'.iit pro continuandis fraiftionibus illis , qua^rdipjii^vjs i .fiipplicibu» ^encrfllis- efr pio /c^tTini- bus qualibuscunque fradionibus continuis, ad indices arbitrarios conftrudis , iisqne fuie abruptis fiue in infinitum continuatis. Cafns, autem ,, ibi-indices vel periodico recitrrnnt ordlnc*,'* vcil conflanter 'iidem permancnt ,^ foU vidcntur , qui fradionem continu4H« irifi'nltarri''reddant Hiiutabilem in exprcdionem fini- tam;''a qUibuS fi difceHeris , non nifi idpropinqua- tioiVes ad verum Vdlorem obtincnt ; tunjqne de eo potiflimun:^' quaeflio eft , vtinam abrumpcre opera'r fioriemfit confultias. et quaenam , fi adcuratiorem defidercs dctermimitionem , adhibenda fi: corredio minori labore dcterminanda. .Sequentes 111. Audoris obferuationes ad theo- riam dc frad:ionibus'continuis fub forma gcncraliili- ijia fpcdatam pcrtinent ^ et quanta in iis- traAandis adlilbcnda fit circumfpecflio , notabilioribus excmphs comprobant ; ita , v. c. fingulares cafus funt , fi in- tef membra fra' vel ;±i^; qui bini cnfus , pcr fe iidem , diffe- runt tamen ob diucrfitatem, quam fcquentibus mem- bris inJucunt, fi talis fradio ncgatiua fit vuermedia ; qune ipfa ^qnoque ratio eft , cur indices -^ et ^-| iiHcr fc diffcrre fint cenfendi , vnde vix fiitis prae- d^cari poteft ncceflkas , vt , qui proponit fracflionem (jiiandam continuam , non (olnm valorem indicum , fed et formam eorum tam ratione terminorum ,' qiiam fignorum , • di(lin ( O ) |c|.- 13 flcquetur , inde Hatim binae litterae t tt u fe(}Ueati modo expreffae prodeunt : tzzxy{pp~qq)-\-i.p qyy et ti-xyipp-qq)-!^pqxx •X quibus pro ahera formula fit tyzizxyjipp-qq^-^-^ipqy* ct UXzzX xy ipp — qq) — i.pqx\ Cum igitur produdum {xx-^-yy^ittyy-^-uuxx^ «juadratum fieri debeat , omnibus dcbltc m vfum vocatis fequens prodit exprefTu) ad quadratum re- duccnda : ^ppqqx-^pqipp-qq^X^y+ip^-Cppqq-^q^^XXyy ')r^pq{pp-qq)xy-\-^ppqq/'y vbi quidem III. Audor cafum fe quali fponte «36- rentem x—y excludendum iudicauit , quia fornnfula quadratum eflicienda hoc cafu foret 2(f^H-««), quod nuUa plane difficultate laboraret. At li foio mula illa huic quadrato : iipqxX'-{pp-qq^xy-^zpqyyY aequetur, inde fequens coUigitur folutio problema* tis (^ vbi fcilicet numeri I et « ad minimos terminos funt redudi ) x=:zipp^qq)-^ t—Zip^-hppqq-h^^y j=^zpq i uzr{pp-qq'y. b 9 Huic itr -^l (,q) lf€- Hj^ic veco folytipni Vir 111. alias adhuc pariter in- . fmite patentes adiecit ; veluti X — p{p-\-iiq)i t^p,[q-^'p.p)[pp'^'2.pq-\-:iqq) y—q{q-^^p) i uz:q(p-{-2q){qq-^r2.pq-\-2pp) et X=p(p- £ q); f—pCzp-^q^ipp-^zpq+nqq^ y^qi ^p-'/iy%¥^.:q.lP'- ^q)Cqq-<^pqi-3fp) quae vero folutio , cum a praecedeiue non difcreper, 111. Audlor ex duabus prioribus folutiones particu-. lares , quomodo facili negotio deducendae fint '■, bre-' viter oftendit , pluresque fimpliciores fubiungir. En ergo fpecimen metbodi , qua III. ■Etikrun vfus eft , ad folutioncm problematum fupra denuti-' ciatorum perueniendi ; eandcm enim fohuionem for- ti.untur problemata fequcntia , ita vt non opus fit> recenfioni huius differtatioiiis diutius immorari. Tan- tiim enim circa problema fecundum obferuandun^ erit , quod infinitas folutioncs admittere vidcatur," qilae praecedenti non conueniant ; quia formula {t t X X -\- u iiyy ){uux X -\- t tyy. ) quacratum fiere potcft, ctiamfi ncutra praecedcntium fuerit quadratum , ad cuius rei confirmationem Cel. Auftor hoc adfert cxcmplum: Jf =973'i ^== 2<^3 ; '/ = 973 ; u— 1841. Solutio autem huius problematis latius patens ita fc habct : X ~ ^ n -\- 6 m ni nn ~m ; t znm x j' — 3 111" -\- 6 m m nn — n* i u — ny. IV. IV. ^^ ^•^' • Sp^CLilationes , AQal^f licae. Auftore L. Eulero pag. 5p. Speculationes analyticae ab 1\\. ^Eulero hic tradita^ fuper formula intcgrali f ~~f~ — dx verfaHtilf; Cum enim cius valorem , fi a termina x-=:.o vs-- que aJ terminum x-\ extendatur, inueniflet z/p^,, haec iutegratio , quippe cuius veritatem per me^ thodos confuetas oftendere hadlenus non licuerat ,■ haud parum attentionis mereri ipfii videbatur; quam^ ob' rem confiderationcs , quae fuper hac formula Viro III. fe fe obtulerunt, hic exponuntur, variaquo inde elegantifllma deducuntur Theoremata , quorum praecipua hic ante oculos ponemns , ledorem vbe- rioris inuefligationis curiofum ad ipfam difl"ertatio- nem ablegentcs. Si formulfl Ji^I^^Ji a termino xthO vsque ad terminum x—\ extendatur , eius vaior integra-- lis aeqnetur arcui circuli cuius tangens eft n , cuius theorematis veritas ex confideratione tam exponen- tium imaginariorum quam fequentis feriei eft petenda, Cum enim fit V'' •■ I. I. ( I.- . • • ■< I. . • . 7 inde inde flatim elicitur J Ix « ' t 7 » ' cuius feriei fumtna maniferto cft A tang. n , ita vt pofito »=i fiat /liJf^- — 5. denotantc tc femi- peripheriam circuli , cuius radius — i, S'\ formuh fi^^H^l^-^i^ a termino x=:o ad terminum x — i cxiendatur , eius valor int©» gralis deprehenditur efle — Wri^—^» »n quo igitur nullus arcus circularis occurrit, etiamfi in hoc thcoremate praeccdens coatineri videatur. Manife- ftum autem eft , dn. q l x ad vnitatenn reduci non pofle, nifi quantitas q variabilis accipiatur. Ex for- mula autem gencrali , quomodo huius Theorematis integrale deducendum fit , inueftigandum iudicauit Vir lll. quem in finem hanc confiderat formam ; / ' . , quam m has du.is rcfuluit d X ( A«-*-^ - a:P "^^ ) dx{ x"-*-' - x^-*-^ ) J Tx ^ Lx ' ^"^- rum vtraque cum formula generali initio memorata manifeflo conucnit \ hinc autcm labore haud operofo ad formulas in iheorematc expreflas peruenitur, x^ d X fin. n l X Si formula f ; a termino x — o ■^ / X ad terminum :*: — i extendatur , ea fempcr huic valori : A tang. — — aequetur. Hic obferuandum cft , hoc theorema ad primum rcduci, pofito w r i ; tum tiim vero quotics " — eundcm indiiit valorem ; totius etiam formac iiuegrales intcr fe aequalcs euadent. ,v« — x^ d X ab .V — o , Formula / : ^ • -7- [ j _ J femper aequctur huic formuLic : 7 a (3 -)- n g -4- - 1 g -4- T W j.- cuius produdi valor per ea quac Vir 111. in Mi^ lcclleneor. Bcrolin. Tomo VII. pag. 11+ circa huius* modi produdum a c -i- b a -f- fe c_(_6-t-fe^ a -^ • k C-H bj^-j k 6~ ■ c -i-a •0-t-fe*c-f-c-f.fe * 6 _t- i ft" * C H-«t- * fe docuerat , deprthenditur P — 2 n. ctc. fl* Denotaiue / numerum infinitum formula 2« '" _ -P ' ^ s a 5; — o ■ « Denotantibus litteris 5(, 33, S etc. huiusmodi prodiKHiis 51r=(a-(3)(ct-v)(a-(5")(a-e) etc. 23:3:((3-«)([3-Y)(p-(J)(p-e) etc. e=(V-cc)(Y-^)(Y-o J(y-0 etc. etc. Tom.XX.Nou.Comm. c littera 18 -441 ( o ) ^g2<- littera vero N fit =: i. 2. 3. 4.. 5. . . . ( «— 2 ) , (emper erit dx X* A-P x"^ x^ ab .v — o ^ /^P^Si + ^ + e+^-^-'^'-^ adA--x^ = V. De Refblutione Polygonorum reftili- neorum , Diflertatio (ecunda. Au&ore A. I. Lexell pag. 80. Cum in priori de hoc argumento Diflertatione, Clar. Au(flor modum expodiiner , quo ad ae- quationes perucnire licet quibus rLfoJuiio vniuscun- que figurae redilineae abfoluitur , quatcnus niniiium ratio tantum habetur btcrum ct angulorum iplius ambitum conftituentium ^ nunc id ipfi piopofituin efl: , vt quibusdam fpeciminibus doceat , quomodo iftiusmodi aequationes tradliri dcbcant , vt aptas et commodas fuppeditcnt folutioncs. Hunc in finem quatuordecim Problemata , quac pro rcfolutione qua- drilaterorum locum hnbcnt , cx aequationibus fup- peditatis refoluenda fibi piopofuit. Etiamfi vero folutioncs nonnuUorum ex his Pn blematibus tam faciles fint , vt vnicuique patefcnnt ; tamen aliae ea- rum quasdam aequationum tranbtorinationcs requi- ruut , vt in Praxi facilcs ct comii,odac cuadant. Sic fi (1 propofita fuerit ifta quaeftio , vt cx datis tribus quadrihucri lateribus et duobus angulis, qui bina ho- rum lateruni interiaccnt , quaeratur reliquum latus ; tum fjcile quidem inuenitur acquatio valorem hu- ius lateris , per data latera et angulos datos expri« mcns , vcrum quum illa expreflio ex nimis maguo termitiorum numcro fit compofita , in eo elaboran- dum fuit , vt noua quadam quantitate introdiidla , (olutio ad concinniorem formam reduceretur. Notum e(l in rerohitione triangulorum , folu- tiones nonnunquam inde fieri elcgantiores , quod plures partcs incognitae trianguli fimul quacrantur j fic pro quadrilateribus quoque iionnunquam praeftat ex iisdem .datis , plures partes quadrilateri incognitas fimul quaerere, quam vnamquamque feorfim inuefti- gare ; ita fi data fuerint tria latera quadrilateri , cum anguiis inter bina interiacentibus , bini reliqui anguU eadem opera inuclligari poffunt , quaerendo exprcffionem pro eorum d:ffcrentia , quippe quum eorum fumma iam per datos ani^ulus determinetur. Opcrae igitur prctium quoque cfTc duxit Cl. Audor Problemata ex hoc gencre oriunda euolucre et ex- plicare. Tum vero vt ea ilhiflrarentur. quae in priori DifTcrtatioiie docuerat de refolutionc Polygonorum , quatenus refpedus quoque habctur ad diagonales vel angulos laterum cum di:igonahl)us , pro quadrilatero tradcndam ccnfuit cnunierationcm earum folutio- num , quae locum habent , dum diagonalis quae- dam quadrilateri , vel anguli diagoualis cum lateri- t 2 bus bus confiderantiir. At tamen fatendum efl h.inc enu- menuioiicm cxigui e(!c \lus , quuin ad coaijlean cognitionem (olutionum , quac; pro quadr latero lo- cum habere pofliint requirntur , vt fine d.kriniine refpecf^us habcntur , nd omncs redas, quibus quatuor puncta in eodem plano fira iiitcr fc iungi poflunt et angulos has rcd:as interiacentes. Si autem quis huiusmodi cnumcratioiicm inire vclit , ncccrtum e(l, \t quinquc omnino (ohitio lum claffes conltituat , prouti nimirum , eas fohitiones fex , quinque , qua- tuor , trcs vel duo ingrediuniur hneae. Deniquc vt adliuc eo clarius patefccret , qua ratione aequationes pro refbhuionc Polygonorum ad \lum accommodari poflint , (ub fincm huius Diffcr- tatiunis Audlor nofler difficihora problcmata pro re- folutione Poly^oni quinque laterurti fibi Ibhicnda propoluit ; quorum indole probe pcrfpccT:!! , ficilh- mum crit pro rcfohitione Polygonoruin altioruin ordinum , fimiles transformationcs inuenirc. VI. Obferuatlones circa noiinin et fingu- Jare ferierum genus. Auftore L. Eulero pag. 12^. Inter res, qoae prima fronte attentione noflra haud dignae videantur , obfcruari faepc numero quae- dam , quae attentius pcrpenfae ad profundas fpccula- tiones ( 0 ) ^'4<* ai tioncs perduciint , nuUus corum , qui fubnnilioribus praccipue f\nalyfeos Uudiis incumbuiu , inticiabitur , cum plurimis exemplis et adeo liac dilTertatione connrmari paHU. Contemplatio enim illius nots- mac quacflionis , qua quindccim ChrilHani toiidem- que lu.iaei ita ordine (uit coiiocandi, \t fi , nume- landi initio in loco quocunque conliituto , nonu5- quisL]UC in mare fit eiicienJus , Iioc (upplicium in (olos ludaeos fit cafurum , Ili. Eukro anfam prae- buit, lioc fini^ulare progrelllonuin genus inuefligandi. Etiaiiifi enira liacc quaeliio in fe fpedata liaud dif- ficulter rcfoluatur: tamen , fi in gencre de liomi- Dum numero indctcrminato , ex quibus fecundum quemlibet ordinem et numerum quotusquisque fit eiiciendus , (ulcipiatur , mox inteiligetur , quaellio- nem inter diffi:ilimas efTe referendam , cum non dctur met'i()dus Iioc in genere praeUandi. Quin etiam eius.iem generis quacrtionem , fi ex plurium fontium numcro, is folus pociiam fit fubiturus, qui, portquam nonus vel alius quotus qui-que tx ord.ne fuerit eiccflus , tandem folus fit remanfurus , atten- tione mnximc digiam ccnfct Vir 111, \bi fcilicet locum nolle opportet , in quo numeratio termina- tur. Ad omnia haec vbcrius cxplicanda , confidera- tur cafus , quo ex (erie 30 notarum nonaquaeque delctur ; at numcratione acln Jnftituta indfcibus |ue eicAorum ordine difpofitis proJit ferics , quam hic cum indicibus notarum fubtcriptis afpedui exponemus I» 2, 3,4., 5, 67, 8, 9, 10, 11,1:, 13, 14,15, 15,17. 18^19,20,21,22,23,24,25,25,27,28,29,50 9,I8,27,(5,I(S,2<5,7,19,30,I2,24, 8,22, 5,23,11,29,17,10, 2,28,25, l, 4,15,13,14, 3,20,21 c 3 in «ar -3^.^ ( o ) ^:c|<- in qua igitur poflrerna ferie, quae hic ferles eieSiionis vocatur , nullus plane ordo patefcir. Cum autem haec feries duabus rcbus determi- netur, quarum altera a numero notarum , alttra ■vcro a numeratore pendcat , tota qiiaenio in geiiere eo reducitur, \t propofito notarum numtro \na cum numeratore ipla fenes eiccSionis inueniatur ; cuius autem (olutio , cum in gencre expedari nequeat , 111. differtationis Audori plures cafus particularcs percurrere vilum eft , fpe treto, fore , \t inde kx qnaepiam dete»^atur , cuius ope regotium confici poflit; quem in finem lcries eicdionis pro diucrfis numeratoribus iii talibus fdiematibus expofuit, quale hic pro numeratore 3 perfpicuitatis gratia appo- nemus Numerus Serics ciedtionis notarum pro numcratore 3 I I s. >,i 3 3, I, 2 4 3. -r4» I 5 3,1,5,2,4 6 3,<^, 4, 2,5, I 7 3,6, 2j 7, 5» I) 4 8 3,6, 1, 5, 2, 8, 4,7 9 3,6, 9,4, 8, 5- 2,7, I lO 3,<>, 9, 2, 7, 1. 8, 5. 10,4 XI 3,6, 9, I, 5,10,4,1 I, S, 2, 7 12 3,6,9,12,4,8,1,7, 2;ii,5,iO etc. etc. •vbi vbi quidem fecundum lineas verticales et horlzontales ordo valde efl abftrufus ; verum in vltimis terminis progreirio arithmcticii ternario crtfcens occurrit, cuius termini numerum notarum {upcraiues infra eum funt deprerti, eadcmque lege progrediuntur penuhimi, ante peuukimi , ctc. Simih etiam modo pro nn- meratore 2 retflae obhquae , ci quae pet terminos vkimos tranfit paralltlac, pcr progreflioneb arithme- ticas binario crelcentes; pro numeratore 4., per progreflio les quaternario crefcentes , et ita porro , progrediuntur , ita vt ope huius legis variis a Viro 111. exemplis confirmatae pro quouis numeratore ec notarum numero nota vkimo eiicienda facili ne- gotio aflignari pofiit. Et quidem in genere fi fta- tuatur nurnerator ir« , pro notarum vero numero y fit vkima eiicienda rr z , tum pro numero nota- rum V -}- I vkima eiicienda erit z -h ;;, dum modo non fit z -\- n^ V -\- i ; fi enim lioc cueniret , vkima foret vel z + n — {y-\-i)^ \tl z + n— zw-i- 1) f vel in genere, diuidendo z -i- n per y-t- i, refiduum ex diuilione natum praebebit indicem notae vhimo eiicienjae. Quae regula maxime notatu digna me- rito ab III. Audlore tanqium infigne Theorema fptdatur , cuius demonflrationem etiam hic elegan- tiffime adumbrat. Quaecunque autem fit fimplicitas huius legis pro notis vkimo eiiciendis, Viro lll. tamen non hcuit earum feriem in genere exhibere , cuius rei ratio manifefto in eo eft fita , quod teraiinorum re- dudio duAio pro auouls numeratore perpetuo ad nlios nume- ros fit !nllituenda, neque vUus terminus ex praecedente abfoiure diterminari poflit , etiamli pro cafibus (pe- cialibus ad terminos valde remotos pcr faltus pro- grcdi liceat , ita vt non opus fit intermedios euol- \iflc ; cuus rci iiic exemplum pro numeraiore 9 traditur , in quo leries \ltra ter mille termiuoscon- tinuata cll. Meditationes circa fingulare {erierum genus. Auftore L. Eulero pag. 140. Refert hic Vir UI. fe in commercio iitterario , quod olim cum Celeb. Goldbathio coluerat circa leries in forma hac generali : contentas verfatum fuiflc , cuiuimodi fcrie^ , ctiamfi raro occurrcre (oleant, parumque vtil.tatis polliccan- tur , ideo Ul. diflerratioiHS Audlori omncm ntien- tiotiem mcreri vidcntur , quod mcthodi earum fum- mas inuefligandi aliquando Analyfi infi^ncm vluni affcrre pofl^iint> Trcs autem potiflimum jdantur incthodi diucrfne ad huiusmodi fcrics pcrueniendi , quarum quacque hic icorfiin a Viro 111. cxplicatur. Hae Hae autcm methodi , vtut meyis confijerationibus artiticiisque analyticis infiftentes , vberiorem in haC epitome explicationcm non admittunt ; vnde ledo- res rei analyticac periti ad ipfam differtationem , vbi latiirimus campus et fons ad moJum foecundus aperitur , peculiare fcrierum genus compkftens, fuat ablegandi. ' ;'• . "> ,n ^•^ •} Tom.XX.Nou.Comm. d PHrSlCO- PHYSICO - MATHEMATICA. L Formulae generales , pro translatione quacunque corporum rigidorum. Auftore L. Eulero pag. 189. ("^um 111. Eiilerus in praeclaro fuo opere , Theo* J ria motuum corporum rigidorum , duplicem huius argumenti inueOigationem , geometricam (ci- licet et mechanicam , fimul aggreflus eflet, quo tota tradatio valde intricata reddebatur ; hoc loco folam partem geometricam , vbi fola translatio corporum , finc vllo refpedu ad motus principia , per mcras fbrmulas analyticas repraclentatur , fibi pertra«flan- dam propofuit; quia hoc modo ip(a motus deter- minatio ex principiis mechanicis multo facilius cx- pediri potcft,quam fi vtraque inuf fligatioconiundim fufcipiatur. Primo igitur fitus corporis rigidi ini- tialis definitur , quem in finem 111. Auclor pofi- tionem fingulorum pundlorum per ternas. coordina- tas inter fe normalcs repraclcntat, ideoque ircs axcs fixos fe inuiccm normaliter fccant(.s coafiiiuit , quorum bini in eodem plano (unt fiti , quo tcrtius normalitcr infidit ; tum igitur , confider.uo pundo corporis qnucunque, fi ex eo ad planum deniittatur perpendiculum et ad axcs ex pun(5lo in plano ni^r- -V. .-»■-. ■ malcs rnales , manifeftum eft pofitionem fingulorum cor- poris pundorum commodiirime per ternas coordina-. tas determinari. Totam autem iftam repraefentatio- nem ad inucftigationem mechanicam magis adaptari obferuat Vir 111. fi pundum illud , in quo axes fixi initio conftituti fe inuiccm normaliter interfe- cant , in ipfo corporis rigidi ccntro grauitatis acci- piantur ; tiim vero fi tcrni illi axes in ipfis axibus corporis principaJibus conflituantur. Quibus in li- mine notatis II'. Audor ipfam inueftigationem ar- gumenti propofiti aggreditur ; faftaque iam transla- tione corporis quacunque locum confiderat, in quem punclum illud intcrfcdionis fuerit translatum , voca- tisque pro eo coordinatis /, g, ^, fi pro alio pundo quocunque coordinatae in ftatu initiali fuerint p, 9, r in fitu translato vero x , j , z , quia diftantia ho- rum dunrum pundlorum eadcm efie debet tam ante quam poft translationem , ad ifiam peruenitur ae- quationem : pp-i- qq-i-rr = (x -/)'-+- {x - g y-i-{x-hf , tum vero qiiia dift.intia inter bina corporis punda qu lecunque in fitu translato eadem efle debet , quae fucrat in ftitu initiali , cx his conditionibus dedu- cuiitur valorcs coordinatarum .v, /, z, qnos induunt cafibus , vbi trium qnantitatum p ■, q ^ r duae eua- nclccntcs ftatuuntur ^ ita vt hinc patcat , quonKjdo eae a finguiis his quantitatibus pendeant. Qiiihus ex- peditis omnes hae litterae fimul in Cf^mpunun du- ci|ntur , tandemque omnes tranblauones, quibus fitus d 2 corporis corporls rlgidi BiJitari potfift. } per fex elemwta de- terminantyr. r:"} ^-r: r • ■•;if;-'- ; . Deinde cum notum (It, in transhtione iofinite parua fempcr dari quandam lineam retflam, cuius fitus parallelus fit ei , quem eadem re(5ta in Hatu jnitiali habuit, 111. Audor explorat , vtrum io tr.ioslatione; finita etiam detur talis reda , quae ip vtroque ftatUf eandcm diredionem feruet , quaeque euidenKr axem, circa quem corpus gyratur repraefentat. Cum au-» tem haec inucftigatio , ad aequationem perducat , dd qua non pateat, quomodo ad nihilum ftt reducenda, delerit eam Vir III. aliam viam iugrediens , cuius ope facile demonftratur, quomodocunque corpus ngi- diim tx vno fttu in alium transferatur, lcmper dari eiusmoili rtdam , cuius dirccflio nullam mutationen^ patiatur ; etiamft haec vcritas ratione formulaiun^ aoalyticarum pro maxime abfcondita fit habenda, Concepta igitur Sphaera corpori ligido circumfcripta, cum iplo connexa fimulque mobili , III. Aixflor fe- quens theorema demonftrat : Quomodocunque Sphaer» circa centrum fuum conucrtatur , fcmper alhgnari poteft diameter , cuius dircdio in fttu traaslato coa-' veniat cum fitu initiali. 11. II. N"oua methodus motufTi corporum ri- gidorum determinandi. Au£lore L. Eulero pag. 208. Cohaeret praefentis differtationis argumentum cum eo , quod iti priori pertradauerat Vir 111. totaquc eius inuelHgatio demonftrationi theorematis in fine annexi accepta eft referenda, In Theoria quidem motuum corporum rigidorum Ccleb. Au(flot omnia huc pertinentia feliciflimo fucceffu pertrada- verat { interim tamen folutiones ibi traditas nimis intricaias et appUcationes molelliirimas effe ingenuq fatetur. Dcterminato enim motu centri grauitatis , ad quoduis tempus tam pofuionem axis gyrationis et axium principalium quam ctlcritat^m determinari opnrtebat ; ad quod introdudio plurium quantita^ tum vari;ib:iium pol^ulabatur. Haec autem incom* moda euitantur , li infignis illa proprietas axis gy- rationis in vtroque ftatu inuariati in fubfidiuin vocatur •, quo faAj omnia, quae ad dcterminationeni motus huiusmodi corporum pertinent, fine tot quan- titatibus variabilibus facili negotio abfoluuntur. De- terminato enim motu centri grauitatis in ftatu initiali , ille quaeritur axis , qui in fiatu translato eandem habet diredionem; tum vero definito angulo, quo corpus circa hunc axem fuerit conuerfum , ad quoduis tcmpus fitus corporis accurate innotefcit. d 3 Confi- Confiderat igitur Vir 111. corpiis in flatu ini- tiali , in eoque pro hibitu accipit pundum quod- cunque , per quod tres axes fixi inttr (e normales ducuntur , quorunn refpedu fitus fingulorum corpo- ris pundlorum per ternas coorciinatas dtfinitur ^ tum vero ex eodcni pu: do tanquam centro fphacram concipit circumfcriptam , ip(b cum corpore cohae- rentem finuikiue mobilem , quo omncs inutftigatio- nes ad dodrinam fphacricam , in (ubfidium calculi hoc modo facilius reddendi, reuocari queant. Ktiamfi autem tam in priori difllrtatione quam in ipfo tradatu de motu corporum rigidorum tam punduni illud in centro grauitatis quam tcrni axes fixi iii ipfis axibus corporis principalibus conftituti fuiflent : tamen hic nihil referre obfcruatur, fi omnia in alio loco quocunque pro arbitrio accipiantur. His prae- mjflls ex trigonometria fphacrica ftatus corporis ini- tia lis definitur ; tum vero ex confideratione eius- modi radii , cuius dircdio in \troque flatu eadem eft, determinatur ftatus corporis, in quo elapfo tem- pore t reperitur, vnde diuerfae prodeunt exprcfllones, ex quibus dcinceps formnlae generales pro trans-la- tione quacunque formantur. Qiiibus cxpofitis 111. Au ( 0 ) If2<- 31 mo compleditur , cuius Teritas ex ipfis calculis an- tccedentibus patelcir. Hoc theorema fiibreqiiitur ap- plicatio fbrmularum pro translatione inuentarum ad coordinatas orthogonaies , quae fi pro (latu ini- tiali punfti cuiuspiam fuerint X, Y, Z, pro ftatu vero mutato eiusdem pundi ftatuantur a' , / , 2, exiflentibus coordinatis pro pundo illo in cenrro corporis conrtituti f 1 g •> h y adhibitisque formulis traditis nancifcuntur pro x -, y ^ z valores , qui , quia nimis funt intricati ita abbreuiantur , \t fit .r =/4- F X -}- F' Y -4- F" Z j =g 4- G X -j- G' Y -h G" Z s-i^ + HX-i-H'Y-i- H" Z Tbi coefficientes F , G , H etc. ab angulo conuer- fionis aliisque arcubus per fphaerica ingreflis pen- dent , et ita comparati (unt , vt fit FF+GG+HH = i FF'+GG'+HH'zzo F'F'+G'G'+H'H'=i et F'F"+G'G"+H'H"^o F^i- "+ G"G"+H"H"- I F F"+G G"+H H"-o Quo autem formulae generalcs pro motu cor- porum rigidorum a viribus quibuscunque follicitato- rum tradantur, Vir 111. corpus quodcunque rigidum conflderat , cuius fingulorum elementorum loca pro ftatu initiaii per ternas coordinatas X , Y , Z de- terminentur ; et denotante M mafllim totius corpo- ris , eius elemenium quodcunque characftere d /M defignatur, cuius elementi locus deinceps ta ( o ) |?^<« 31 ftltutlone formuke admodum prolixae prodierint , eas concinniores reddere lll. Audori vifum eft,quo4 fit , ternis axibus in ipfis axibus corporis principali- bus conflituendo , pundtoque illo pro lubitu affumto in ipfo centro inertiae collocando; quo faclo quidem fbrmulae minus perplexac oriuntur , ex quibu* ta- men in genere pro viribus fullicitantibus plus coa- cluderc non licet. Accedit denique applicatio formularum ad ca- fum , quo corpus nuUis plane viribus follicitatur , ■vbi folutio ad tres aequationes difiercntiales primi grudus reducitur. Verum cum in iis quatuor varia- biles nimis inter fe fint permixtae, quam vt quid- quam generaliter inde concludi poflit , cafus fpecia- lior confideratur , quo corpus circa axem fixum gyratur , quo motu corpus gyrari poteft , fi axis gyrationis in aliquem axem principaiem incidat ; quo ergo cafu angulus conuerfionis tempori fit pro- portionalis, vti per fe efl manifeftum. Vcrum etiam in hoc cafu fimpliciffimo plures difficultates mora;ii faceffunt , ita vt in genere euoiutionL*m multo mi* nus tentare liceat , etiamfi nullum fit dubium, quin etiam in gcncre fuccedere debeat. Hoc igitur argu- mentum, attentione Geomctrarum digiiifTimuai, quod forfan certis artificiis analyticis adliuc latentibus ali- quando fcliciter abfolucre licet, aliis 111. Eukrus re- linquit maximeque commendat. Tom.XX.Nou.Comm. e \\\\. iir. Theoremata nonnulla generalia de' ^, ^translatione corponim rigidorum. Auftore A. I. Lexell pag. 2^9. Cum Illuflr. Eiileyiif iii binis Diffcrtntionibus modo conimeinoratis docirinam dc translationc corpo- rum rigidorum expofuilTct, inter alia Iianc infignemt detexit proprietatem , quod pro quncunque triinsla"- tione corporis rigidi , fit linea quaedam rc baat. exprcflioncms quandam! Analyttcam nihiioj ae-' quiri debere. Q^iiamuis- igitur. nullum fupcreflct du- bium , quin ifta exprcfllo. reuera nihilo fit aequalis, quippe quum facillima demonftratione euinci polfit , in omni motu corporis gyratorio, dari rectam,quae prorfus eundem fitum teneat , ac in flatu iniciali ; tamen id adhuc dcfidcrabatur , vt indepedcntcr ab^ liac proprietate demonflrari poflet , ifiam exprefllo- nem Anaiyticam cuanefccre ; quum igitur Audor huius Diflertationis eiusmodi dcmonflrationem dc- texifl^ct , eam hcic cxponendam ccnfuit, adicdis ta- men aliis de transhitione corporum meditationibus , quae infcruire potcrunt ad ea, quac lliuflr. Eu/cruf docucrat , confirmanda. Pracmilfo igitur primum Theorcmate gcncrah , quo ex datis trunblationibus , trium ( o ) l?2- 31 trium pund^orum fphaerne quadrantibus inter fe di- flantium , translatio alius cuiuscunquc puncfti io ea- dem fupcrficic , exprimi pcflit ; oUcndit Aii(flor hu- ius PifTcrtationis quod fi haec translatio cuancfcat , feu pun(ftnm illud eundcm locum obtineat ac iii (latu initiali , irtam expreiiionem Analyticam llludr. Eukri prtuiire , quac in omni translatione corporis , nihilo acquari di-bct. Ante quam vero Audor no- ftcr id dcmonllrnre furcipiac , quod haec formuU Analytica fempcr euanefcere debeat , \tcunque cor- pus lupponatur motum , primum oftendendum fibi prc^pofuit , quomcdo formulae Theorematis iftius -gencralis adplicandac fint, ad quanicunque translatio- nem puii minor vero ad diftantiam a, fi V et v dcnotcnt vires, qu.is maior minorque funis fuflincre vakat , quin rumpatur , hac vires duabus partibus conflare liint ccnfcndac , quarum altcra continct pondus funis , al- tera vcro onus , quod gcflare valet. Vndc fi p fuerit pondus m.inoris fiuiis et P pondus m:iioris ; tum vcro ^ctQfint oncra, quae finc ruptione gcllare vakant , erit V — P 4- Q ct v — p ~{- q. Quod fi igiiur pcr expcrimcnta fucrit exploraium , quantum onus q minor fuuis gcflace vakat quin rumpatur , inde inde flatim onus a mniorc fuflentatum Q definiri poterit , pro quo autcm , nc in negatiuum abeat , requiritur vt fit q^^^p. Ex qua limitationc ftatim patet , machinam ad fimilitudincm moduli non ad quamuis magnitudincm augeri poffe , quia maximam longitudinem A ~ ^-^ « transgrediendo maior funis non folum nuHum onus fuflentare va- leret, feJ adeo proprio fuo pondcre diue41eretur. Hoc cafu expedito 111. Audor in refiflentiam inquirit , quam trabcs aliaue corpora rigida ruptioni opponunt , quo (ummo cum acumine perado , fi flabiliatur longitudo pontis z=A, moduli zz a, pon- dus moduli z:p, pontis = P, 9 et Q vero defignent onera a modulo et ponte ipfo fuftentanda, pcr prin- cipia iis fimilia , quibus antca pro funibus vfus eft , ad hiHic perducitur aequationem valorem oneris Q_ cxprimentem : Q^— n n {p -{' q— np) ,. vbi «: i rationem dimenfionum pontis et moduli exprimit. Ex hac autcm acquatione confequitur conditio ^ >> ( « — I )p, quem limitem onus a modulo gc- (latum co magis fupcret neccffc eft , quo maiora funt onera, quibus ipfe pons fu(lentandis par efle de- bet. Ceterum 111. Audlor obferuar, fi pons ad per- fedlam fimilitudinem cx(\rudus non (iitis roboris e^Tet habiturus, huic defedui remedium afFerri poffe, dum cra^Titics trabium vltra rationem i:n augcatur, quem in finem tabulam anncdendam cenfuit , ex qua pateat , quotics haec ratio augcri debeat , vt ponti fatis roboris concilietur. Deni- 4-» -»5^.^ (0)1?^. Deniquc quo pons impetuofitatl ventorum re- fiftere queat , tantum opus eft , vt moJulus ei refi- ftat , quaidoquidem impulfio venti fupcrficiei in quam agit e(l proportionalis ; quam rationem etiam firmitas fiquitur , qua machina veiito refiftit. Si autem modulus vento non fatis refiftat , huic de- fedui facile occurritur , dnm latitudo trabium au- getur. V. De gemina methodo tam aequilibrium quam motum corporum flexibilium determinandi et vtriusque egre- gio confenfu. Au£lore L. Eulero pag. 285. Mcthodi diuerlae , quibas vtuntur Geometrae in icloluendii praecipue quacrtionibus mcchanicis, faepcnumero controucrfiis anfam pracbiiere , quae deinceps , rebus debita attcntione pcrpenfis , cefTinte diuerfitate ceflTarunr. Hac cadcm forfan (brte ob- noxia fuiffet Theoria aequihbrii ct motus corpo- rum flexibilium , nifi diucrfae methodi , de qui- bus hic fermo cft , vni codcmquc Aucftori dcbcren- tur. Mcthodum fcilicet 'vniuerialcm figuram inuc- niendi , quam fihim Cuc perfede flexile fiue vtcun- que elaflicum induerc debet , vt in aequilibrio ma- ncac t ueat , iam prldem tradiderat 111. huius diflTertationis Audor in Comment. prior. Tomo 111 , quae au- tem mcthodus do»flrina momentorum innitebatur. Cum igitur deinceps in Comment. nouor. Tomo XV. idem argumentum alia methodo ex principio lon- gilTime diuerfo tenfionum , qua fingula fili elementa afficiuntur , petita , pcrfrad;afllt ; folutio a priori tantopere diucrfa prodiit , vt prima fronte vti nul- lum vel leuem faltem confenlum inter eas perfpicere licuerit. Ne igitur haec diuerfitas , quod ipfi 111. Aucflori accidit , ledori fcrupiilum moueat , in hac difiertatione eeregium confenfum intcr binas illas fo- lutiones ab ipfo olim tradicas ex diuerfifilmis licct principiis petitas demondrare fecum conftituit. Propofita igitur figura fili cuiuscunquc in ftatu aequilibrii, fi more folito ad axem fixum referatur , eiusque elemento duac vires applicatae concipianiur , verticalis fciticet et horizontalis ; tum vero iis ad- iungantur vires finitae , qujbus filum vel in altero vcl in vtroquc termino follicitatur , ftatus quaeftio- nis eo reducitur , vt figura dettrminetur , ad quam filum (e componat , dum in aequilibrio conquiefcet ; vbi pcrfpicuitatis gratia omnia in eodem plano fita concipiuatur. Praemiffo autem hoc quaeftionis ftatu 111. Audor vtramque folutionem tradit , quarum prior in eo confift;t , vt oninium viriuai elementa- rium , quae per totum arcum funt applicatae mo- menta inueniantur , qnae in vnam fummam colltda et elafticitati aequata acquationem praebent fi^uram Tom.XX. Nou.Comm. .f fili N fili feu laminae clafticae exhibentcm, Altera vero folutio ex hnc confidcratiGne eft petita , quod , quia l.Hiiina clalHca ob vires ipfi applicatas in flatu quodam vioiento tenetur , fi portio eius quacdam icl(.caur , altera portio (ubito aiiam figuram fit re- ceptuni. Inquirit enim Vir UL in eas vircs , qua« pundo illo rdedionis applicatae laminam refedione facfla in codcm flatu retinere vakant , ad quod ne- GtfiTario duas vires requiri declarat , alteram fecui;- du.n tangentein trahens , altcram vcro normalcm Gum vi cladica in acquilibrio verrantcm.. Quibus adhib tis quatuor nanciicuiitur aequationcs iis quae in Tonio XV. Comment. cxtant fiiniles, a priorc autera folutione prorfus diuerfae.. Quo igitur pulcherrimus binoriim folutlonum tantopcre a ie inuiccm diuerforum confenfus nulli dubio rclmquatur , IM. Audor cius demonnraiioncni hic fifiit Gomplctam , cx qiia luculcntcr patcrcit , priorcm methodum cum pofieriore pr.orfus conuenire, Vbi autem probe obferuandum tfl , ex priore me- thodo neque tenfioncm ncquc vires normales ad cur- TiUuram cuiusque elcmenti produccndam requifitas cognofci , dum e contrario in polieriore folutione non folum figura laminae exhibeatur , fcd 'etiam flatus violentus fingulorum laminae clemcntorum dcclarctur. Hanc demonf^rationcm fubfcquuntur qua- tuor eleganiiflima theoremata circa egregiam rcla- tioiiem intcr vircs clementnres ct tangentialcs, quam jpolkrior methodus fuppeditaucrat j quibus adieda clt dcuiquc deniqne applicatio ad laminas elafticas in ftatu na- turali iam incuruatas , ad quas Vir 111. ea quae de ftatu aeqaiiibrii \iolento determinauerat traasferendi iudicauit. VL De preflione fiinlum tenlbrum in cor- pora fubiefta eorumque motu a fri- ftione impedito; vbi praefertim me- thodus traditur^ motum corporum tam perfefte flexibilium , quam vtcunque elafl;icorum non in eodem plano fitorum determinandi. Au(£lore L. Eulero pag. 504. Per ea quae in praeccdentc diflertationc circa Theori- am aeqnilibrii et motus corporum flexibiiium ex principiis tam Staticae quam Mechanicae docuerat Vir 111. lata nobis via aperta eft ad folutiones omnium quaeflionum , quae tam fuper preflione quam motu funium cylindro circumplicatorum proponi poffunt, perueniendi. Paflim quidem hoc argumentum iam a Gcometris fiut pertradatum , vcrum ob metho- dos eorum minus dircdas flmulque nimis rcftridas ct fpeciaks , folutioncm dirciflam magis latiusque patentem iurc defideras. Talem igitur hic fiftit Vir f 2 111. .4.4- -^3^.^ ( o ) |"4<" 111 ex theoria generali acquilibrii et motus corpo- ruin fiue p^rfecflc fltxibilum Uue vtcunque elaltico- ru^n petitam ; quam thcunam in praeccdente Com- ment. Tomo paj?. 350 111. Auclor , dc nunu tur- bmatorio chordarum miificarum agcns , expolucrat , hic autem , ne opus fit principia aUunde conqui- rere m iimine brcuiter repctic , dcinde tires inue- ftigdt , qnibus funis cyliMdro circumducflus fuperfi- ciem fubicdam in fingulis puntftis premir. jueter- minatis» autem omnibus , quae Uxum habent, quando funis omni eladicitate ei grauitate ert dcfiitutus , Vir 111. in motum funis fuper cylindro fixo inqui- rit , quattnus ille a fridio.^e impeditur, cuius ef- fcclus in co confiiht , vt motus funis impediatur, ctiamfi a viribus vtnnque inaequaliter tendentibus foUicitetur. Cum autcm hae inuefiigationes eius fint uaturae , vt finc figurib calculisque annlyticis rccenleri nequeant , Mathematum cultores , quorum animi ad hoc maximi momenti argumentum pro- pcnJent , ad ipfum Au. 47 miac iudicio , 111. Dan. BermuUi retulit, noua re- n-.orum (pccie in medium prolata , quae remis v(i- tatis hnnd fimplici titulo praeferenda vidctur. Ne- c]uc tamcn inde ab illo tempore , egrcgium hoe in- ventum , plena optati fucceflrns fiducia ab llluftri iiiucntore commcndatum, ad exameu aut vfum pra- tticum conClat cfle rcuocatum. Motus igitur rei vtihtate, theoriam nouorum horum remorum plene euoluere eflTedusque inde rperandos ex primis mechanicae et anaiyfeos principiis deducere conftituit huius , quam tradimus , diflTer- tationis Auclor. Pracmifla remorum horum di- ftinda defcripticjne, vires inucftigantux , quibus ab atflioi.e horum remorum nauis in curfii fuo diredo reuera propulfjbitur ; vnde principia mechanica duas fuppcdicjnt aequationes differentiales , ex quarum re- (olutione , datis remigum numero et viribiis vna cuni celeritate manubrii , fuperficie pahTiuiarum et refifttiuia nauis abfoluta, ipfa nauis celeritas definitur. Adplicat Audor inuentas formulas ad cafum ab 111. Bernoiiluo examinatum. Nauis fcilicet pri- niac Glaffis commode quinquaginta eiusmodi remis inftrui poteft ,. quorum fingulis decem remiges fint adplicati et palmula annexa , cuius fupcrficies duo- decim pedum quadratorum , quibus pofitis colligitur nauis ccleriras =:; 4, 83. ped. rhen. tempore vnius miiiuti fccundi ; prorlus , vti III. BernouUi ex prin- cipiis pbne diuerfis conclufit. Subiunyit Audor ta- bulam gcncralem , quae pro^ qualibet refiftentia na- vis abloluia et remigum uumero velocitatem nauis opc ope nouorum horum remorum propulfae indicct , adiunda velocitate ope remorum ordinariorum ipfi imprimenda. Ita v. c fi duae fint naues primae claffis , 600 remis vna Bcrnoullianis , akcra ordina- riis inftrudlae , fique his duabus nauibus propofitum fit fpatium percurrendum vnius milliaiis , prior hanc \iam tempore i**. 20' , altera aucem tempore a^ &' abroluet. DilTertatione hac iam typis impreffa , Aucflor cffedlus horum remorum ipfis expenmcntis explo- rare eft annifus , cymba ordinaria duobus eiusmodi remis a fe inrtrudla inlhtiuis , de quorum fucceflU ilio tempore plura (umus expofituri. THYSICA. P H Y S I C A. I. De Foramine ouali ^ eiiisqiie vfu iri dirigcndo motu fanguinis. Obfer- ^ vationes nouae. Auaore C. F. Wolff pag. 55/. Pr)(l(]uam , fyncmnds Y:iforam rangumeorum' tft', (Uias modo dcttxerat Fabriciuf ab Ac^APEN- DENTE , valuuljiiim in venis Gognitionc riiliirudas, HarVAEVS circulationem ftnguinis rtabiliuerat ^ iti foctu , cui circuhitio diuerCa e(t , magnus illc Vir cum GalENO (tatuit , fanguineir» , a corportS ex- tremis in v^nas c.uias reditum , cx his porro colligi omnem in finu (Jcxtro cordis. Inde partem eius nltcram in dextruai ventriculum, alicram vero- efus partcm per foraincn ouale , quod in(culptum efllt fcpto linuum, tranllre in finum fini(trufr> • vnde in vcntriculnm finillrum et aortam vlrcrius pergcret , et pcr totum corpus , vnde vencrat , denuo- diftri- buerctur , intadis pulinonibus. Hanc fententiam , vti vniuerfam fff adultt) circulationem , omnes , ncmine excepto , ficile ad- optarunt ; donec tandem Cehberwnui Mery , R^- giae Academiae Scieiuiarum Parifinue Membrum , Vir Tom.XX.Nou.Comm. g iDge-. ~\ $Q --i^.i ( o ) in^" ingeniofilfirnus , er qui nnilta pulchcrrima fcripfir, fan,miini iii foctii ittr prae(cribcrct , Hariiaenno iti- neri e ciametro o; p.ilitudT ; cuni (■inguineni , non ex dtxtro in finidruni , fed contra cx boc in illum liiuirn per foramen ouale traufirc doccret. Pluri- nuim contra hanc opinionem , multum pro cadem a Ccleberrimh \'iris , eiusdem Regiae Academlae Menibris, DvVERNEIO, RoVHAVTO, ipfoque Fi?- nerabili in anatouua WlNSLOVVQ vt aliis fcriptum fuit. DvVERNElVS , flrenuus anatomicus , contra MeRYVAI, RovhavtvS in caufa principali pro eodem pugnauir. M^INSLOVVVS propriam fenteii- tiam, qua aduerlarios tonciiiaret, propofuit ; docert- do , ftnguinem ire promifcue ex finii \froquc in finum \trumque et commifccri propric tantum- iriodo, Hae lites diu continuauemnr , ct fuo iam , quo fcribebat , tcmporc lllii/lris WlNSLOWVS, an- nos fere viginti illas protraclas Juilie , quaeri-batur. Regia Acadciiiia ipfii , iudicium fercndo , partcs MeRYI fouir, Deniquc omnes fcr.fim anatomici et phyfiologi in antiquam GalenI et Harvaej icntentiam redicrunt , qua , etuim ad nollrum tem- pu& vsquc, (anguis ex finu dextro in finillrum tran- fire creditur. ( *) Tam vero hoc , quod Galenvs defcripfir , quod HarvAEVS adoptauit , vcrum itct languniis efle ( • j Coiifer.itiir Summi in anatomia Viri , Pfri/^uffr/f Liberi Baronis dt HALi.ER, Liemeiitor. riiyfiol. Tomus VIII. cfTe non po(re,vti non magis illud,quod Meryvs , et illud , qiiod W^INSLOWVS propoiuit , et lan^ui- nem omnino nequc ex dcxtro in rinillruiii , neque ex liniliro in dextrum finum pcr foramen oualc ire polfe , id vel fola cognolcas dcmondratione §phi 37 huius diflertationis , quam , cum brcuis acque ac plani fit , non dubitamus hic rcpetere. " Motus fi- nuum cordis fynchronus eft , et , dum vniis (ynolen agit , etiam aker eandem exrcet , dunique vnus in diallolc elt , etiam altcr in cndcm vcrfitur. Qno ergo temporc vis , fanguinom ex vno in nlterum finum tranfire ? An lylloles ? Tum finus vterque aeque fe contrahit , et proprium , quo rcpletus e(l , fanguinem exprimit. Non poteft ergo fimul fan- guinein alienum recipere. An diadoles ? H(;c tem- pore vterque finus dilatatur , et languinem . vnde- cunque aducnerit , alicnum , recipit» Non poteft ers^o eodcm hoc tcmpore fuum , queni continet , in alt«.rnm cxpnmere. Ergo nullo tempore (anguis ex \no in alterum finum traduci potcft. „ Scd pliira huius rei ar^umenta , fi plus quain euidus efte cu- pis , lcgas §. §. 35. 35. 37. 38. 39- No/Iro ergo Ait&ori hiec quidem partxula cir- culationis fanguinis in foetu rcferuata fuit. Hic enim , dc veritate (ententiae Haruaeianae minime dubitans , et alias ob caufas inquirendo cor infantis recens nati , ftruifturam , inuenit , organi huius cir- cuIation'S li)ngc aliam effe , quam vt vulgo animo concipitur ( §. 3.). Detcifla hac ftrutflura , nihil g z facilius f» ->2^i ( O ) |'g?<" facilius fuit , qiiam \crum itcr inJicare , quod fan- guis in foetu facerct. Organum tr^o pumwiiy deinde et moiwn expiicuit fanguinis. Vt autem , quo cocpimus , ordine pcrgamus enarrare, qiui riUione ad illam rem perucncrit ; dif- fecfto eo , quo par c(l , modo , at quo communitcr fecari non (olet , cordc inturiis modo nati ; non pa- rum mirabaiur continuo, foramen omnino aliud efle, quod in dextro , ct aluid , quod in fin llro l.nu patet- lllud ab arcn , qnem irtiimum VlEVSSENH \ocant , et valuuia EvSTACHII \ lioc r.b arcu co- dem et valuula foraminis cualia fi)rman ( §. 4. ). Videbat facile , nifi viiluuiae intcr le c(.hacrerent > quod tamcn contra omnem verifimilitudinem erat , nunquam fieri poflc , vt finus iiiter le comnuni- cent ( §. 5. ). Examinatis rcbus gnauiter , diflcifta dciiique valuiila fcraminis oualis , vt, quid , fi quid forte , intcreflet > oculis patcat , manifcllo apparuit : Sinus inter fe minime communicare , fcd vtnque finui intcrpofitam efie vcnam cauam in^eriorcm, Foramcn , quod in ccxtro finu appartt , onficium efTo liuius vcnae cauae inttrioris, quo in hunc fmuin inferitur ; illud , quod in finiliro patct , quod pro- prie foramen ouale vocatur , finiilitcr aliud eiusdeni \enae cauae onficium efle , quo in hunc finum fi- niflrum apcritur \ adcoque finum vtrumque cu;n vena caua quidem inftriori , at minimc inter fe communicare ( §. 6. ). Dctracto ->m ( 0 ) ^fI^- . ,5-3 Detrnclo lioc velamine, qiio vcrci liariim par- tiiim fabrica tccl:.i tiicrat ; et oculis niiiK v.iiau no- \is rem intiicndo , vidcbat quoque , vcnam caiiam infcriorcm , dum externe mo.lo confideriiritur , ad- fcendcndo miniine loli dextro , led \Lrique , iiaui , et mngis potius fmiltro , quam dextro , relpondcrc i vt maiori lui p.irte omni.io in liniilrum , minor; in dextrum , fe infcrat. ( §. 7. 8.) Vitulornm de- inde , et aliorum aniiralium recens natorum corda confcrcndo eaJcm ■vbique muenit. Vbiqnc reperit , foran en oaalc nihil aliud elk , quam orilicium liaiflrum venae cauae interioris , quo fe in fini- rtrum linum aperiebat, vti dextro in dcxtrum. Ht in vitulo quidcm , quae fimplicia tantum in fociu humano onticia erant , vcros , licet breucs , ramos effe , in quos vena fe diuidcrct , et quorum dcxtro in dextrum , finiliro , qui foramen ouale diclus fue- rat, in finirtrum finum infereretur. (§.23.) Atque Jiacc ergo \era foraminis oualis natura c(l , quam tamdiu diirimulauerit. Qiiod fingulari iUo noiTiine foraniinis oualis falutatum fuit , nihil aliud ert , quim orific.wn fmflrwn veiias canac inferioris \ quem- admcdum innumera aha venarum aeque ac arte- riarum in corpore humano orificia dantur. Nunc , quo itinere fanguis progrcdiatur , quis eft , qui non videt ? ( Nam faciUs negotii r;m efTe putamus, hoc iter definire, quanuo viae notae (unt ; vt contra nihil , quam iilud latentibu<> viis tentarc , difRcilius et inanius cfTc , magiiura HakV4.EI ct g 3 Meryi S4- *»¥.% ( o ) INrERYl exemplum docuit. ) Vena cnua inferior ciuobus orificiis , altero in dtxtrum , ultero in fini- flrum finum ajreritur. Hrgo (nnguis cx vena caua infcriori partim in dextrum finum , per onficium eius dextrum , partim in finiftrum , per eius orifi- cium finifirum , progreditur. Qiiae portio (anguinis in dexirum fiinim Tenit , ea , C( niunda cuni fan- guine vtnae cauac (iiper.oris , rc(fla inde tnmfit in \cntricu!um cordis dcxtrum. Nec guttula c]uidein huius innguinis , qui femel finum dcxtrum intrauit , indc rurfum in fini(kum redire potcfi. ( §§. cit. 35. etc.) Quae vero portio (inguinis ex vena caua infcriori per eius onficiurn finifirum -in finum finifirum pcr- \enit , ea haec efi , c]ua pulmoncs libcrantur , c]uae a finu dextro , a vcntriculo dcxtro , ct conicqucn- ter etiam a pulmonibus, auermur ; qui , refpiratione carentes , eair» iransmittcre non potuifknt. l-rgo haec portio , in finu finifiro coniunda cum fangnine vcnarum pulmonalium, reda vcntriculum finifirum, et porro aortam , adit ; quo dcnun pcr totum cor- pus d (Iribuatur , inta(5lis puJmonibus. {§. 34.. 40. 41. 42. 43. 44. ). Neque vero, vt fiicilc vnusquisque videt, hoc nofirum oii/icium /iuijlrum i\'nae cauae inferioris illa obie(flio tangit, quae , vt fupra dcmonfirauimus , /0- rawen ouaie eufrcit. \'enac caune cnim , tam (upe- rior , quam inferior , cum finubus cordis motum , \t conlhit , non (ynchronum, fcd altcmuiuum, ha- bcnt ; vt va(;i ncccffario (c crga fc inuiccm habcrc oportct , opnrtot , qiioruni altera in altcra fuum {iinguinem excutcre vclis. Dum vena caua inferior ergo fyfto- len cxercet ; finus in diaftole Cunt , et langumem rccipiunt, quem illa exprinut. Dum vena vcro iti diallole cil , nouumque fibi ianguinem ex ramis luis coUigit; finus interim lyflolen fuam agunt , rcce- ptum^jue Dnguinem in ventriculos corJis cxcutiunCr Haec funt primaria huius differtationis mo' menta. Sed multa praeterea alia in eadem conti- nentur , quorum tamen cognitio folis illis anatomi- cis ad palatum efTe potcrity qui finguli quaeuis, quae ad noftrum attinent corplis, quam minutifUme fcire cupiunr. Ea nunc breuibus verbis ordine re- cenrcbimus, PofijaAm idea generalis de vera fic didti foraminis- oualis flrudtiira eo ,, quo fupra enar- jauimus , modo expofita ei\ f venae cauae inferio- ris , cuius nonnifi hirtoriam tota haec differtatio propric refert , completa defcriptio traditur ; impri- niis qua ratione duo lua orificia ope vahiularuni EvSTACHII tt yinus' /ifi./lri , ( nam ita valuulamt furaminis oualis Ai. quae , hnud f.itis ccgiita , pra fe'i'i!Uiu".ri valuula "vul ;o habcmr , et qii.im ad an- B,t.brium potius vcl tubiilolarum genus pertinere , aceuxariQribU!» oblcruationibui» ollencitur. ( §. 25^. aov. 3it.. ). Denifque , quib.us caufis fadum fit , vt ecrw de forjmine ouali fe tamdiu ludmuerit , ex- ploraiur et mcthodo illuc adfcribitur (tdionis haud coouenienti. ( §. 3». ) Aleliorque fecandi ratio do- eetur ( §. 33.). His abfoluitur pars prior idifftr- tatioiiis, aiiatomica. Purtcrioris , qua de motu fan- ^uinw iu foctu agitur , principalia capita diximus. r/ ^ ■ ■; II. Lychni - Cucubaliis noiia Planta hy- brjda ; Aiiftore I. T. Koelreuter pag. 4-1. Votis Acadcmiae refponfurus Ccl. Koeheuteru^ ^ ;Uiqua tuorum , circa producljonem plantaruni hybridariim , tcntaminum Commentariis noHris in- fercrni.ia obtuht ; in quibus vt ea , quam Inicusiiue txkruit 5 diiigcnrii atque afliduitatc pergore vdit , ctiam etiam atque ctiam optabunt omnes , quibus Natura- lis Scientiae incrementum cordi elh — Nonduni Hiiitam dioicam cum hermaphrodita, diftincfli prae- fertim generis, connubio iungere tentauerat Nolkr ; quod "vtique experimentum nouae lucis , in genera- tionis theoria , haud parum promittere vidcbatur. Lychnidem itaque dioicam cum variis aliis ex eo- dem Ordine naturali plantis combinans, tandem fuc- ccfTit et foecundum fuit adulterium foeminae huius , cum Cucubalo vifcofo maritatae. Hybrida proles ex illo connubio prognata , quam fub Lychni - Cucu- bali compofito nomine defcribit Audor , praeter in- tcrmedium habitum , figuras et proportiones , eo praefertim notabilis fuit , quod flores generationis organis, maxime ftaminibus imperfedis et latentibus, impotentes protulerit ; vnde vulgo celebrata genera- tionis hybridae regula, fecundum quam virtus patris in corticalem fubftantiam eidemque adnumeratas vulgo partes, viatrh in organa meduilae tribui folita, prae- dicari folebjt , infirmatur maxime. Neque enim Pinilhim perfcr fuccedentes generationes , ad pracpondcrantem altcr- Ttrius parentis habitum perpctuas easdem dcncgan- tibus» Vt etiam hic fapientiorcm Naturam fuifli Tidcamus , quam eam fibi finxctunt Oblcruatorcs. IIL iir. Schacalae Hiftoria; Au£tore A. L Giildenflaedt pag. 449.' Sohacalae Turcarum Gallorumque , feu Lupi aurei _ Kaempferi , quadrupedis per Turciam ctlerfiam frequentifrimi atque pcr percgrinatores Cimigcratifli- rai , attamen Zoologis hucusque minime rite noii defcriptioni pracmittitur differtatio , de animaJiLus domeUios aiuiquillimis atque de prototypis torum feris. Ex vltae gcnere hominum primaeuorum pro- babile redditur , Ouem , Gjpram atque Canem an- tiquillime et primo omnium in numerum anima— . lium domeflicorum liomines rccepifle et cicurare tentaffc. Idera ex varietate numerofa, qua hodie haec animalia veniunt , probatur , additis infuper cauffis , quare Canis figura et habitus Iiodie magis variet , quam Caprae et Ouis. Prototypa varietatum Caprae , Ouis et CaniJ quaerenda efTe in montofis Afiae minoris , ceu re- gionibus primo omiiium in globo noftro terraqueo per homines primaeuos occupatis , flatuitur. Hinc quod Mufmon Veterum feu Muflon BufTonii et Capra Ammon Liunti pater varietatum Ouis fit coniirmatur. ••" h 2 Dein Dein de Rupicapra et Ibice negatur , quod cx illis Cuprae varietates ortae fint ; fed dedaratur illas ex Pafena feu Capricerua Kaempfcri , quae Capra bezoartica Liiinei deriuandas effe. Tandem Canis varietates nec ex Hyaena , nec ex Lupo , nec ex Vulpe , fed ex Schacala proue- nifle , ex ftrudlura et proportione inteftioorum , ex dentium et digitorum numero , ex corporum ma- gnitudine , ex pilorum qualitate , ex roftri figura , ex inftiiidu venereo , ex moribus , atque cx patria ac cx ftatione horum animalium , remotis pariter difficultatibus ex Canis latratu atque ex cauda eius- dem plerumque recuruata oriundis , demonftratur. Adduntur critica circa nomina et fynonyma Scbacalae. Sequitur Schacalae fecundum partes extern;is , fecandum vifccra atque fecundum ofla defcriptio , additis faciei , trunci atque extremitatum , vifcerum aique ofllum dimenfionibus , indicatisque afiinitatibus inter Schacalam , Canem villaticum , Lupum et Vulpem obfcruandis , quae omnia iconibus ftaturam Schacalae naturali quadruplo minorem ( vid. Tab. XL ), atque figuram inteftini illius caeci ( vid. Tab. X. ) , nec non eiusdem ( vid. Tab. XIL ) ct Vulpis ( vid, Tab. XIII. ) cranii magnitudine naturali delineatam ilfteatibus illuftrautur. IV. IV. Chaus^ anlmal Feli affine defcrlptam; Auflore A. L Guldenftaedt p. 4,83. Proponitur nnimal Zoologis hucusque ignotum , ad fclinum genus pertinens , Caracali BufTonii fummopere affine , in campis deprertis arunJine et arboribus obfitis circa mare cafpium indigenum , ibi- demque obferuatum, Chaus appellatum. InrtindiL atque moribus expofitis, traditur defcriptio Chai fe- cundum omnes partes externas \ additur earundem men(ura ; fequitur anatomica vifcerum expofitio ; tandemque et odlum praefertim cranii determinatio et dimenfio. Coronidis loco adduntur fpscifica no- mina animalium quatuor proxima affinitate , auri- culis barbatis fpedlabili , coninnclorum fc. Lyncis Audlorum , Felis ru-flF.ie Pennanti , Caracalis Buffonii et Ciiai noflri. Iconibus duabiis repraefcntatur Chai ftatura, naturali quadruplo minor ( vid, Tab. XIV. ) ct cranii eiusdem figura, magoitudine naturali ( vid. Tab. XV.). h 3 ASTRO- ASTRONOMICA. I. De traie£lu citlflimo flellae per duos circulos Almicantarath datos pro qualibet eleuatione poJi. Auftore L. Eulero pag. 50^. Problema non adeo folutile in praefenti difTerta- tione pertradandum fulcipit \ ir Illullr. quo fcilicet, conftituto meridiano loci ambobusque Al.ni- cantarath , eiusmodi ftella quaeritur , quae motu fuo diurno paralklum quempiam percurrcns ambos Al- micantaratli ita fecet , vt angulus menfuram tem- poris , quo ftella fpatium inter hos circulos contea- tum traiiciat, cxhibens, fiat omnium miniuius. Ad- hibita igitur reftridione debita , exclufisquc omnibus flcllis poio nimis vicinis vel ab eo nimis remotis , quam vt motu diurno per ambos Almicataiath tranfire poflint, quia angulus mcnfuram tcmporis traiedus ex- hibens minimus efle debet, 111. Audor fccundum me- thodum maximorum et minimorum aliam ftellam quacfitae proximam concipit, quac alios duos Almican- taraih in aliis pundis traiiciar. Et cum anguli menfu- ram temporis vtriusque traicdus txhibentes aequales in- tcr fe effe debeant, ex hac minimi conditione acquatio «licitur , pro qua adimplcnda diftantia ftellae a polo - V- ita dcfiniri debet , vt parallelus inde defcriptns ad ambos Aimicatarath aequalitcr inclinetur f atque ex ip(a liac proprietate lolutio problcmatis propofici elegantiliima deducitur , cui Vir 111. aliam merc geometricam in fine fubiungit. Vbi probe notandura eft , hoc problemate foluto famofillimum illud pro- blema olim agitatum de minimo crepufculo etiara. faciliime relblui. IL De cn*ciiIo maximo fixo in coelo con- flituendo ^ ad quem orbitae planeta- rum et cometarum referantur. AuQore L. Eulero pag. $og. In tabulis Aftronomicis recentioribus follicite indi- cari folet progrcflio annua nodorum euiusquc: planetae ; quantum nutcm adhuc dilkmus a perfeda de hoc argumento cognitione exinde patefcit , quod Adroncmi circa quantitatem huius motus tantopere inter fe diflentiant , vt v. gr. CaflTinus promotionem fecularem lineae nodorum pro Saturno exifiimet elTc ~ i^ 35'. 11" , dum a Halleio tantum 0°. 30'. o" pro ea aflignetur. Cuius cnormis dilTeufus in eoeui^ denter quacrenda ell ratio , quod crror aliqnot gra- duum in^ loco nodi patratus quafi nullum in latitu- dine planetae dilcrimen pariat , ita vt ex recentiorr- bus obleruationibus alic^uot adeO' feculis .a fc inuicem > dillan- diftantlbus fimulque exquifitifljmis vlx aliam nifi jnancam de vero loco nodi cognitionem impe- trare liceat, quia inclinationes orbitarum planetarum fld orbitam tcrreflrem fiue cclipticam nimis funt paruae, quam vt eflfedus ex tali errore oriundus di- ftinde determinari queat. Maxima autem huius in- certitudinis lcatebra in inclinatione orbitarum plane- tarum , pro antiquioribus tcmporibus non mious la- tente , mox detegetur. Minus quidem circa hanc orbitarum inclina- tlonem ad edipticam inter fe diffentiunt Aflronoml. Perperam autem ex hoc confenfu iudicares , cnndem inclinationem , vti tacite fupponunt , pro antiquiori- bus temporibus locum habuifTe , quia non folum nullis obferuationibus confirmari poteft ^ fed ctiam theoriae maxime aducrfatur; ita vt inde quidem condudi pofllt , recentioribus his temponbus incli- nationes orbitarum talcs fuiffe , quales hic afllgnan- tur ; verum hanc conclufionem ad fecula anteriora , de quibus in grauiflimis tenebris verfamur, cxtendere non licet. Haec autem inccrtitudo etiam in motum nodorum redundat , quoniam ca fubfiflente nequidem ex occultationibus fixarum , quippe quae (olae ido- neas illius tcmporis obfcruationcs pro motu nodorum determinando , fuppeditant , aliquid certi condudi potefl. Haec tanta incommoda iam nonnulli infignes Geometrae hoc argumcntum aggrcdientcs animad- verteruni , fimulque agnoucrunt , nihil ccrii ncque ex ( 0 ) m^ c$ ex obferuationibus neque ex theori:t circa motum nodorum et inclinationem crbitarum planetarum co- gnofci pofle , nifi iiacc elemciita ad circulum minus lariabiiem in coelo quam ecliptica referantur, quem in finem acquatorem Solarem propofuerunt ^ vcrum ob piura incommoda , quibus rcdudio horum cle- mentorum ad circulum tantopcre adhuc incernjjii , ab ediptica finnil nimis diucrfum , iaboraret , eum acque rcpudiandum efl[e lil. de qua agimus diflerta- tionis Au'i'>lJiiii. t III. .(lOiiOiTiinq Obfernationes Aftronomicas pro deter- minando fitu Geographico varioriim per Imperium Rufficum locorum a ' Nob. Chriftophoro EulerO;, Annis 1/(59 et ly/o fa<£las, recen- .i:et A. I. Lexell pag. 54.1. , Til'.; um in noflris Commcntariis obferuationes Artro- nomicae pro determinanda Latitudine et Lon- gitudinc plurimoruin in R,u(lia locorum a Cel, Krap , et, C!ar. Iflenieff atque Inochodzoiv fadae , iani. h.ibeanrur cxpofitae , Aucflor huiiis DifTertationis obferuatioucs quoquc Allronoinicas a Nob. Eulero hunc in finem inflitutas , fuccindc hcic cxponcn- das flatuit , quo fcilicet mcHus diiudicari poflit , quam fidcm mercantur detcrminationcs cx iftis ob- ■feruationibus eliciendae. Klae autcm dctcniiinatio- nes fc habent, vti fequcns Tabula ob oculos poni^j Vralfkoi c '^>¥.% ( 0 ) ^n< n Vralfkoi G ^rbiok alLis laik ■;'■'' Tfchjrk.ifk 'i' 'i' -, Tiiganrock -.'■"-^■'- Krenientfchiick - - St. Elifiibeth - - - Sa po r og ( k.i i'.i Sie t fc ha S.imara - - - - Perewolotfchna V* LatituJo. II' O' r- .1- GUichow )i»vl.i 51 4-,7- 13-' <5. 47. 12 40' 49- ' 3.^i8 48. 30; 10 47V3i.;3 5 43. 2^/3 5 48"' 5 ».40 5 I. 40.30 Longimdo Geographica a MeriJiano rarillno in Teinp. I in Gradibus. 3''. 17'. o" 49°- 15' 2. '30. o 37- 30 2. 25.15 2. 4. 3 5 2. 0.30 2. '.8.10' 2. 12^ O 2. 8. o 35. 19 31. 9 30. ;33;% "32. 71 2.^ De his vcro detcrmioationibils tenendiim efl , quod eae (|uibiis Latitudines exprLmuntur , pvo adeoi ex- a(flis .fint -reputandaa , \t "vix ^maitis .quam : decem rcrupulorum fecundorum dubium locum habere queat; nifi forfati.pro Callello St. Hliiabeth incertitudo ali- quanto. nnaior locum inveniat , quae tam«n .femiflTen minuti primi miniine fuperabit. Q^iiod aute/n Lpij- gitudines heic rccenlitas attinet , illuc quidcm in ge- ncrc cum aliqua Lititudine dccem , vel adeo viginti fcrupulorum fccandorum. .iji jempore , iramo..pro nonnullis locis forfan vnius minuti primi ^, ,.accipi debcnt. ■ Determinationes fcilicet Longitudinum pro fcqucntibus locis : Tfcherkafk ,' Tnganrock , Kremen- tfchuck V St. Elilabeth , Gluchow ,• certiores haben- dae funt , quam ilLie pro 'Vralfk , Saporogfkaj;i Sietfcha ct Samara , quarum poQcriorcs obfcruatio- nibus aliquantum^dubiis^ innituutur,_ Pro Cafteilo ai i 3 ^ St. Deme- St. Demctrii nnltae quidem exnant pro Longitudine determinanda obfcruationes ^ verum quum diftiiiua huius loci a Tfclicrkafk et Tagaurock pi.r mcnlura* Geodaeticas conftct , in procliui cll inde Lon^iitudi- nem luiius loci elicerc. Compcrtum fcilicct eft, di- flantiam ititer Tfcherkafk ct St. Dmitrii efle 27 Verftarum , vnde fi gradus fub aexjuatore acllimetur efle 57260 Penicarum GaHicarum ( loiUs), con- ficietur diffsrentia Longitudinis inter Tfchcrkifk it bt. Dcmctrii circiter 23', Simili rntione quum Jill.in- tia inrer St. Demetrii et Taganrocit inuenta fji 73 Verlhrum,' chcierur inde difflrcniia n.cnJiiiunuiii inter haec loca s^J circiter, ex quibu^ niciiHiris /dcmiim fit (lifierentia Longitudinis inter Tuli-rtafk ct Taganrock 1 . 1 2' circitcr , qnae \ltra quam ipe- rarc fas erat , cum illa confcnft, quam cx oblirna- tionibus Aftronomicis deduxuTus. Si igiiur Longi- tudo pro Kcherkafk a /Vleridiano P.irifjn{> aellime- tur effe 37^30', erit illa pro Cartellu Sl Dcmeirii IV. De obferuatlone Eclipfeos Solis, Petro poli die ~ Aiigiifti , Anno 17/5 inflituta. B Anftore A. I. LexcU pQg. 577. cuem expofitionem obrcruntionnm circa rclipfin Solis die 15 Augulli 1-75 Petropoli fatflarum, ia in hac DifTertatione tradit Clar. Audor, cuiiis prae- cipua momenta habentur fequentia : Praeter finem Echpfeos , quem fatis exadle obferuauit Temp. vero PetropoHtano dic 25 Aug. 18^41'. 22", varias quoque inlhtuit obferuationes circa partes lucidas di- fci Solis tt dilbntias cornuum Lunae , ex quibus obfcruntinnibus collegit tempus coniundionis verac intcr Solem et Lunam incidinb Temp. Petropolitano vero 19''. 8'. 37'^, fiuc tempore mcdio Parifino 17^ 18'. 18", exirtente pro eo momento Longitu- dine SoHs et Lunae 5^ 2°. 4.2'. 17" , \nde deducitur corredio Tabularum Lunarium Cel. Mqyeri — 45" in LongituJinem , Latitudinis correcflio autem non nifi —7" abfoluetur. Comparata deinde obferuatione PetropoHtana pro fine EcHpfis , cum obferuationibus circa hunc finem in nonnullis aliis locis infiitutis , inuenit diffv.rentias Longitudinum inter Meridianum obferuatorii Parifini et h.aec loca , vt fequitur : Lundac a Meridiano Parifino differentia 4.3'. 44-'' W.irfowiae - - - - - i*. 14. 38 Regiomontis- « - - - j. 12. 30 Suecopolis - - - - - I. 30. 4-0 Quod autcm primam harum determinationum atti- net , illa in exceffu aHquantum peccare videtur , nam ex obferuationibus pro fine EcHpfium Solis Annis 1754 et 1769 Lundae infiitutis, Longitudo Lundae multo minor coUigitur. Medio autem fumto omnium trium dcterminationum Longitudo huius loci a mc- ridiano Parifino fiet 43'. 30" circiter. Longitudo pro Warlbwia heic inuciua faltem intra decem fcru- pula 7» ''>¥.i ( 0 ) <•»• pula fecunda. exada \idetur , prouti obferuationes circa Eclipfin Soiis A. 1^6^ Warfowiae fadae con- firmare videntur. De Longitudine Rcgiomontis per obferuatioiies Aftronomicas luicusqiie nihil conflitit , verifimile autem eft , heic allatam determinationem proximc faltem ad vcritatem accedcre. Longitudo pro Suecopoli loco Sueciae munito , . qui haud pro* cul ab vrbe Heiringforfia fitus eft , eatenus Jocum hjbet, quatcnus Elcuatio Poli huius loci fit 6o°. 5', quam Audor in fuo calciilo fuppofuit ; caeterum fi Latitudo $' diminui vel angeri dcbcat , Longitudo illius loci duobus fcrupulis fecundis augcri, vcl minui debet. ■ ' ofioijf: "y, Obferuationes Aftronomicae in vrbe Dmitriewfk inflitutae , vna cum de- i», terminatione latitudinis et longi- f tudinis huius loci. Auftore Petro Inochodzow pag. 59^. Referuntur hic cae potiffimum obfernationcs, qiiac ad pofitioneni Geogrnphicam vrbis Dniitricwfk crucndam infcruiunt : idcirco cxponitur imprimis rccftificntio Quadrantis bipedalis , ( Londini a SifTuno falxcfadi ) , ex qua prodit trror ab altitudinibus ob* feruatis auflfcrcndus i'. z". Quod ad latitudincm at- tinct , deducitur ea ex 22 altitudinibus Solis mcri- dianis '^P.i ( o ) ^M^' TJ dinnfiS.5o°. 5' s" , ex altitndinibus vcra 14 'fixariim 15 0°. 5'. 10" ,• vnde mediii 50". 5'- vt certa arta-I mi poteft. Pro definicnda longitudinc obfcruatac funt immcrfumes et emerfiones Sateilitum louis , qinic cum calcullset cum obferuationibus correfpon- dentibus con pnratae pratbent differenUam meridiano-' rum inter Parinos et Dmitriewfk 2'^ 52'. 27". At eadem e duabus Solis eclypfibus conclufa eft a^ 52'. 11"; poftcriorem determinationem duplo pro- babiliorem atflimando, longitudinem defidcratam fme fenfibili errore 2^ 52'. 16", fcu in gradibus 43°. 4.' et a mcridiano primo l^.-b ( o ) '^9^< nima rr: 27 12 iricnfe. Mjrtii ; media intcr omnes obferiiatas — 2 3; I c. 1 lurcs a!ccnlu> \el dcfctndvs IMcrcurii not.ibiiiores vcl (ulitanLO* Cel. Audor fepa- iiitim exponit. Fx obforuationibus ilicrmometricis co'lijiitur altitudo rrdxima ~ 105. grad. Delisl. menfe Au^udi i niiiuma zripi. men(e lanuarii adeoque n axima pcr totuni urinum thcrmometri \ariatio — 86. grad. Hicms 1 uius anni tam rf^fpedu dura- tionis j quam vcheniciaiae , muho fuit miticr annis praeccdentibus :, aeilas :iutcm quoad durationem longe cahdior anno praeccdcnte^ ct medium frigus hoc anno flatui potcil — 147. grad. calor autem medius zz 139. grad. ; id eft , ptr dimidium anni altitudo thermometri minor tuit 14.7. grad. et itcrum ptr idem tcmporis interualhim maior gradu 139. Hoc aniio maxime re.;nauit ventus ex occidcnte vel Zc pliyriis et 95. numcrabar.tnr dics fer ni. Sub tincnrv reccnfentur reliqiia phacnomena , tonitrua , aurorae borealcs , atque alia , a Ccl. Auclore hoc anuo ob« feruata. 1) JL INDEX I N D E X DISSERTATIONVM. M a t h e m a t i c a, Dan, Bernoulii , Aduerfaria analytica mifcelhiica de fradioiiibus continuis pag. 3. Eiusdem , Difquifitiones vlteriores de indole fracflio- num coniinuarum pag. 24.. L. Euler , Solutio quorundam problematum Dio- phantaeorum pag. 48. Eiiisdem , Spcculationes Analyticae pag. 59. ■ - T J. 1. Lexell j De Refolutionc Pulygonorum re^flili- neorum , DiflTcrtatio fecunda pag. 80. L. Eukr , Obferiiationes circa nouum ct fingulare ferierum genus png. 123. '' P hy/ic 0'Mathematica. L. Eu/er , Forrautae general s , pro translatione , quacunque corporum rigidorum pag. 188. ■'' ' Eiusdem ■, Noua methoJus motum cnrporum rigido- rum detcrminandi pa.j. 208. k 3 A. L > 78 «^^.i ( o ) S'<^<- A.l.Lexell, Tlicoremata nonnulla generalia de trans- latione corporum rigidorum pa^. 239. . . ." I r A 'xA : L. Eukr , Regula ficilis , pro diiudicanda firmitate pont s aliuHse corpi ris limilis , ex cognita firmitatc raoduli pag. 271. Eiusdem ^ De g-mina ncihcdo tam aequilibrium ::j quam motum C(Tporum flcxibilium deicrmi- nandi et vtr-.usjuc egrcgio confcnfu p. 2 8<5. EluSdsm , De preinone funium tenforum in corpora lubitda corumque motu a fridione impe- diio ; vbi pracferiim mcthodus traditur , ■ ' inoium corporum tam pcrfcC^e fiexibilium , quam vtcunquc elalHcoriim non in eodem ■ plano fitorum dctcrminandi pag. 30+. Eiusdem , De prefljone fnnium tenforum in corpora fubicd.! corum lue motu friclione impedito. DiflTi-rtatio ahcra png. 327. W.L.Kraffr^ De \'iribus Remorum nouac fpeciei , eoru.iique (^omparationc cum rcmis ordiiiariis ifij m ,^P h } f i c a. C.F.JVoff, Dc Forflmine ouali , eiusque vfu in ijirigcndo niotu fanguinis. Obltruationcs no- \ac pag. 357. /. T. /. T. Koekeuter , Lychni - Cucubalus noua Planta hybnda pag. 431. A. L Giildtnflaedt , Schacalae Hirtoria pag. 449. ' Eiusdem , Cluus , animal Feli afiine defcriptum pag. 483. AJi ronomica. L. Euler , De traieiflu citiflimo ftellae per duos cir- los Almicjntharath datob pro qualibet ele- vatione poli pag. 503. Eiusdem , Dj circulo maximo fixo in coelo confti- tueiido , ad qucm orbiiae planetarum et co- metarum rcferantur pag. 509. Obferuationes Aftronomicas pro determinando fitu Gcographico variorum per Imperium Rudi- cum locorum a Nob. Chrijlophoro Eulero •, Annis 1769 ct 1770 fadas recenfet A. 1, Lexell pag. 54-r' A. L Lexe/I y De obferuatione Eclipfeos Solis , Pe^ tropoli die 5I Augufli, Anno 1775 inftituta pag. 577- P. Inochodzow , Obfcruationes Afironomicae in vrbe Dmitricwfk inftitutae , vna cum deti.rmina-' tione latitudinib et longitudiuib huius luci pag. 593. ,v- Eiusdem 8o ->l^.-§ ( o ) 1>H<' Eiusdein , Quatuor dcliquia Lunae ia D nitriewfl^ obleruata png. (Sii. Obfergntiones Aftronomicae in vrbe Saratow habitae, a G, M. Loivitz anno 1773. pag. 621. l. A. Eider , Epitome cbrcruationum meteorologica- nim Fetropoli anno 1775. Cal. coir. infli- tutarum pa^j. 626. -03 J5 iumi. -0 . i - M jO • .1 .k i;il :;-...» I C -t. WATHE. MATHEMATICA. Tom.XX.Nou.Comm. A ADVER- ADVERSARIA ANALYTICA MISCELLANEA DE FRACTIONIBVS CONTINVIS. Au (fl o re DANIELE BERNOFLLL §. I- Haud dedignati funt -viri llluftres fummique Gcomctrae fuperioris facculi Milord Broun- clur , Wallis, Huyguens aliique theoriam fradionum continuarum commentari atque in vfus fuos conuertere , quin etiam hifct proximis temporibns Gcomctrae lagaciflimi Eulerus et ife la Grafige , tot fublimibus liiucntis cbri, argumcntum illud atithmeticum haud parum promoucrunt atqne ab obliuionc vindicarunt : liceat cgregiis obferuatio- nibus lcuiufculas quasdam fupcradiicere , plerasque excerptas ex aduerfariis olim a me congeftis. Nec mihi propofitum cft rem fyflematicc profequi nec pecuharcm vfum inhiare. Frncliones continuae ab- ruptac , aliud non funt , quam fimplices fra" 5 ; ctc Vtamur tcrmino quinto ^-'^^5 >t vidcamus qu:m- tum diflct ab tcrmino infinitefimo S — '-^^. tfl Tcro y 5 — 2; 23(5o quae cfl proprictas fcricrum rccurieutium ftcundi ordinis, C O N T I N V I S. 9 ordinis , thcoriam aiitcm gencralifllmam hnrum fcrie- rum carumquc vfum infignem pro radicibus omnium acquationum algebraicarum facillimo negotio deter- n.inandis docui in variis fchediasmatis , vctcribus Commentariis infcrtis. § 7. Ad normam pracmcmoratac thcoriae condrua- tur pro incognita / acquatio fecundi otdinis jj-my-^- 1, cuius ambae ndices funt Hac ambae radiccs nos co conducent , vt non folum \alorem termini infinitcfimi feri-^i ncflrae fcd et cu- iu^cunquc tcrmini , cuius indcx dcfignatus fit nume- ro N, indicare poHkt.lis absque intcruentn termino- rum praecedcntium ; erit enim tcrminus generalis feriei (W -f V 4 -I- w 7/;X N /'/// — V 4 4-7« W\f* — . — ; +^(. — -. — ; •■ coefficicntes autcm a ct § detcrminantur cx duobus primis (eriei terminis , qui hic funt i et w et qui proucnire debcnt pro cafibus N — i et N — 2 j fic reperitur I — I a — -== et § = V 4 + 7« w l^ 4- + m m * qulbus fubftitutis fit tandcm terminus gcncralis fc- rici nofirae Tom.XX.Nou.Comm. B Confir- jo DE FRACTIONIBVS Con^rmabitur ifte tcrminue generalis , quoties pro N numerus aflumitur integcr , auamuis calcu- lus fiat latis taediolus pio numeris maiusculi*. i>it Nz=3^t {m-\-y 4- + m iiif =:m'+^mni V4 -i- ?/; m + 3 ;w U + v? m) + (4- + w')>'C4 + w'), atque pari^-er (»; — y 4- + m mf — w' — 3 ?fi mV^-i m m + 3 w (4 -j- w w) hacc poflerior quantitas fi a pnori (ubtrahatur , prodit ]^mm. De hoc cafu paucula feorfim dicam, §. 12. Videamus igitur, quemadmodum fradio- nes continu.ic infinitac in pracinemorato cafu fuam indolcm , fiatum fciiicct imaginarium , prodant at- quc hunc in fincm vnicum allcgcmus exemplum. Ponatur n— i et m ~ i atquc adeo n ^ l mvt'. Sic oritur vaior fradionum pro exemplo fisxtn §. lo. „ — ,-)- V — I ^(. pfQ cxcmplo (cptimo — ' ~'^~;:j ; (^uod fi autem iplic cxprclfiuncs ordine luo cuol- vantur, C O N T I N V I S. 15 vantur , pro^rediendo ab frnclione vni-membri, ad frudionem bimembrem , trimembrem , quadnmem- brem etc. oiiuntur fuccefliue pro \'troque cxemplo fequcntes tcrmiini — I, — 00. o. — I. — 00. o — ctc. In cafu priorc atque I. -\-- 00. o. I, -I- 00, o. ctc. in cafa pofferiore atque hae ambne (eries fic in infinitum progrediun- tur pro fingulisi trinis terminis (nbfequentibus , nec adeoque ad valorem fixi:m conuergere poffunt , vn- de non mirum inucntum valorem radice imagina- ria exprimi. In ipfo limite inter vtrumquc fiatum , vbi fci- licet ell n zz i et w— 2, rciultans ferres termino- -^ rum iua fpccie abquid intermedii habet , quando- quidem pro exemplo iexto inuenitur ierics ' - *. - I, - ctc. « quae eadem cum fignis affirmatfuis valet pro exemplo feptimo, cjuaeque proprie non pertinct, fiue numeratorcs fiue denominatores fpecientur , ad recurrentcs : attamcn vterque terminorum ordo hac gaudet proprietare, vt quiuis tcrminus compofitus fit ex duplo tcrmino praccedente demto ante - praecedentc. Dcmonfiruui nutcm in vcteribus Commcntariis, fimili titulo omnes leries , qiiae dicuntur , algebraicas , pettincre ad fe- ries recurrcntes. F,x praememonita lcrie termino- rum pcr fe liquct, fore teniinum infinitefimum ae- qualcm vnitati fiue neL^atiue fiue afRrmatiue fumtae, prout i5 DE FRACTIONIBVS prout fermo fit dc cxemplo fexto vel fcptimo , id quod etiam formulac nollrac appofitac indicaat. ^. 13. Hadcnus de fradionibus continuis infi- nitis earumque valore , in qiiibus perfcdc cadem fradio haud interrupta vbiquc rccurrat. Pro^redior ad ordinem fecundum , qucm ita voco , quando bi- nac fradiones altcrno ordine perpctuo recurrunt. Ponam duas fraiflioncs qunlescunjue 5. et L , ex quarum perpctuo recurfu formetur fracflio conti- nua in infinitum cxtenfa fequentcm in modum n « 4- ctc. m H quacritur \alor huius exprcfllonis cx infinitis fr.K^io- nibus compofitac. Sit rurfus valor ifie zz S atquc puta duos nouos teminos cxprcflioni praefigi fcruatii eius le^^c ; hab.bis " -4- 1 fiue —5-^-« s_ . p"^rs m ? -»- m S H- « » hacc autem mutatio reftituit pcrfe^Hic fracflioncm con- tinuam propofitam vtpote in infinitum cxtcufam. Erit igitur — ^L£_r^-is — — 5^ -^j^^q inucnitur S S 4- "'P-^^-" S = ^ ac dcniquc C n — mp — q -^-V^mnp-f-'? — »)^ »771 Ex ifta formula fequcntia dcfluunt corollaria. (r/) Si ponatur ^ — « et p =: «, obtinetur S — — m -f- V < a _f_ m m M ~ , quod C O N T I N V I S. f"7 quod confrrme cft cxcmplo quarto paragraphi dc- cinii. (b) 5i ^ ~ o fit S rr ^, , atque fic in propofi- ta exprefrione fradioniim coatiniiarum fola remanet fra -f. I a r-i-t_ Qaod C O N T I N V I S. i^ Quod fi Tero in ifto excmplo fraftioiics continuac inutentur iii fraiflioncs fimplices (ucccfliue pro rno duobus , tribus etc. nscmbris , fit rucccfrmc C T II» II rfrt- II» ♦ II ^ *• 5« ♦• TT« Tj- ^l- U »• J« »• TI- 1« , Tbi iam quintus tcrrainus proxime acccdit ad vcrum iauentum valorem indicatum. Exenipl. 2, Ponatur nunc , retcntis reliquis dc- nominatoribus , p — — 5^ liabcbitur *-_,_ —S—'-^-^. Refedoquc primo •-*-!. membro oritur pro expreirionc focia — - -T-\-^\ _ *-*-i- -u'i iaiicninus §. 2. Efficictur etiam vt yalor cmorjens S fnt pure rationalis , fi affiimatur arbi- traria p r= - ^ tunc enim fit timplicitcr S = ^— ^. Ponatur , excmpli gratia , w — 2; p — — ij r— i; Hc expreirio recle dispofita proueaiet t a-+- ' I 2 • -S=:l .^ etc. Quotuscunque autem fuerit ordo fradionum conti- nuarum , id e(t , ex qiiotcunque mcmbris perioJus quaeu s compofita fit, valor S fcmper aequatione qua- drata poterit cxprimi §. 16. Qui praefatam contulerit thcoriam cuni Euluria.vi (viJ. nou. Commcntar. Acad. Tom. XI. pa^. 28.) fimulquc cum ea , quae extat in elemcn- tis AlgebrAe Eulsri vel potius in additionibus huius operis , inulta<> pafTim obleruabit concinfiones , egre- gie coiifpirantes , etiamfi methodo diuerlii erutas ; moium autcm nollrum fuis pcculiaribus aliquanJo gauJere pofTe commodis proxima occafione exponam. Impracfcntiarum non nlio fine ne^otium iftuj fufce- pi , quam vt examinarem, quibus in cafibus cxpres- fion s fraclionalcs infinitae formnla definiri poflint finita fiuc a^cbraica fiue tranfcaidentaU , cuiusmodi e(l Brounkcriana a quadratura circuli pcudens. Sub- fivlium ab induclione expcdabam , adhibitn mct: odo §. §. <5, 7, 8 £t 9 expofita ; (pcrabam ir.e peruen- C 3 turum tt DE FRACTIONIBVS turum ad f-iries rccurri.ntcs altiorum ordinum qua- riicn teraiinus gcncralis (eniper clt in pocclUte , at fpes mc P-feilit : Vidi potius (]uid non fit quam quid fit. Nouas oirus (lim disiiuifitiones ab exemplo , poft periodicas fradiones , fimplicilVimo , ponendo ia fingulis fracliumbus vnitatcm pro niimeratore et nu- meros naturales pro dcnoniinatoiibus fmgulis fe in- vicem fubfequent.bus : Nempe fradlio continua hacc eft , 1 -f- '_ ♦ -t- ■_ 4 -f. tK: ncc piuo legcm progreflionis fingi poflTe fimpliciorem. §. i7, Analyfin pro hoc exemplo fic rurfus inrtitui : Commutaui fracniiones continuas in fimpliccs incipicndo a fradione \ni - membri indeque progrc- diendo a.i fiacflionem continuam bimcmbiem , tri- membrcm , quadrimembrem et fic porro , hoc mo- do oblinui fuccefTiuc fequentcs \alores , 5 7 j« isr sr» fij)6i S660 sie^»t jjjsSt' 5r»#»jfi ««.- T> 5* i3' ♦5* S'S* 119»' V9'''' *<»o«* >4275J' T*f9^ii' >31i3j»S« Clt. In his fradionibus tam numcratores quam dcnomi- natores notabih gaudent proprietate communi , cuius opc absque \llo ncgoiio in immenlum continuari poteft fradionum progrefllo : Sint lcilicct fiue in fe- rie numeratoium fiuc ia fcrie denominatorum tret termini contigui A, B ct C, fitque index termini C — « , erit C — n B -h A : fic quintus numcrator 157 fit z^s^^ao-i-^ paritcrque quiutus dcnomi- nator ^25 ^ 5 ^» i3 4- ^o. Gaudet C O N T I N V I S. 43 Gauckt prjcterca iftn fracflionum feries hac pro- prictiite vt, fi bini tcrmini qualescunque p?r cruccm multipliccntur , ambo produda (oLi vnitate difforant, fllteinis vicibus in exccffu ntque defcdu : Sic fi nu- merator termini noftri dcclmi multiplicctur per dc- nominatorcm vndccimi , prodit numerus 4343594984-81S20 atquc fi numcrator vndccimi multiplicetur pcr dc- nominatorem decimi idem oritur numerus fola vnj- tate au(flus ; lequitur exinde , frndiones mox ficri intcr fe tantum non aequales ; confirmatam habebi- mus hanc confcqueniiam , fi fradlionem quintam ^l^ , param a prima remotam , comparemus cum vnde- cima ^'^'^{It qiiae vltima eft a nobis computata , vi- debimus fradionem priorcm (uper alteram peccare ia exccflTu at vix fenfibili ; Sic igitur acquiefcere pote- rimus praefato valore (|i!*'fi fiuc fradione decimali 0,6978. Dubium non eft , quin detur formula verum valorem geomctrica accuratione dcterminans , conceffis pracfertim quadraturis vcl fignis fummato- riis; at eius inuentio noua in calculo inftituendo r«- quircre videtur artificia. DISQVI- DISQVISITIONES VLTERIORES DE INDOLE FRACTIONVM CONTINVARVM. Audore DANIELE BERNOVLLL § I. Cum nuper , datii occafione , thcoriam de frajflio- nibus continuis rununarcm, incidi, "vt fieri ple- rumque (olet , in aliquot huius argun enti proprie- tatcs , qnae vifac fuerunt notaiu digniores , qua^quc partim in fuperiori transaifiione cxpofui : quas rcli- quas fcci exponam in pracfente , non quod aliioris indaginis eas credidcrim , fed quod non nKinincnm fuiflTe indicatas faepeque non rinc matura diiudicatio- ue intcrpretandas putem. Vfus fraiflionum continuarum faepifTime rcqui- rit, vt in fracftioncs fimplices permutcntur, iia \t hac fiant fucccffiue aequalcs fradionihus continuis inci- piendo ab vnimcmbri inicque pro^re.icndo ad bi- membrcs , trimembrcs et fic porro. iHio dcdi hu- ius praccepti excmpli in priori iransadione §. §. 6. \6 et 17. Obfirnani autcm hac dc re legulam ge- neralcm pro fiMcflionibus coutinuis quahbubcunquc et \tcunquc Tariabilijus. § 2. C O N T 1 K V I S. 25 f. 2. Fn(fi:ionem ccrtlrurim Tub forma > ccn fi dc rr.lo gcncralifllira , q uae ita fe hnlet , y + d 6~-h e T+f (p + ctc. huius adcoquc rr.cmbra , quac Yocabo indlcef, funt c b c d e f ir T ' y'T ' T ' (?■ etc. Abfit autc.Tij vt dicamus, rem efle merae curiofitatis numeratores a. b. c. d. e. f. etc. gener;ilit£r exprimfre , cum fufficiat vnitatcm pro fingulis numeratoribus adhibere. Conusrtamus fradio- ncm continuam in fradionem fimplicem , pro vno , ducbus , tribus ttc. membris , atque fic habebimus fucccfliue fequentes fradiones fimplices a a e_ cty -i~nc a ^y S -^ a c^ -^ e t d iT' iTg -f-a* a67-(-£i 7 -+-">.-' E FRACTIONIBVS tlnua rcfultans pro aliquo indicum numero hrc la- borat incommcdo , \t iion lolum ad mngnos proti- nus perduc2t numeros , fcd ct ipfi \:^lores lento ac vago gradu ad \crum accedant , cuius rei ratio po- fita eft in magna diuergentia indicum ; fola ('pcciofa rouitatis gratia cxprefllonem Brounchcrianam ab obli- vione cripuit : Cum autcm non liceat absque maxi- nio labore fradionem continuam ad magnum termi- riornm numerum euehere ciusqi:e \alortm exploia- re , WaUifiUi corrcdtionem adhibuit pro \liimo inci- ce 5 in quo fubfiftere placet , ct quidem pro cius de- nominatore; hacc corrcdio in eo confiflit , \t, loco binarii , in \himo denominatore ponat binarium au- ftum radice numemtoris : V i huius corrcdionis , fi in feptimo indice fubfiflere hibeat , hic faciendi:s crit — _il2_ vel zz.^ mutato denominatore 2 in 15. Ergo in hoc exemplo feptem indices vcricre» criint T 5 )5 49 «1 1:1 1*9 , Hi indices fubminif\i-ani fcquentcs fucccdiuc fraw^lio- nes fimplices s • Tj • 75 • 78» • 7734 • ««iS5f • iaiiiii j quarum vltima etfi corrcda valde adhuc dcflcit a vcro exprcfllonis , in infmitum continuatac , valore. Quod fi vltimae fradioni vnitatem addamus , habe- bimus proxime valorem quadrati circulo circum- fcripti , pofito ipfo circulo acquali vnitati ; vnde de- ducitur ratio quadrati ad circulum infcriptum vt 3683780 ad 2971 loi, quac iuxta minor ert iii ratione proximc vt 35? ad 40. Si in f;ptimo lermi- no C 0 N T I N V I S. 2^ ro con-ccllo (qua indcx nntnralis li? mutatus fuit in i^) non ndhibita fuiflct , \Itiina fradio fimplex oritu- ra fuiflTet -'i^'s!s j cx qr.a dcducitur ratio inter qua- dratum et circukim \t 2027025 ad 15^89:10 qLine ratio nunc p:ccat in exceflTu in rntionc proxime vt 27 ad i6. vnde concludo exprenionem continuam Bronnchcrinnnm infinitam pcr fe tardifTime ad fco- pum tcndcrc nec corrccflionem vltimi termini a WalllfiO defcriptnm cfie admodum efficacem : nliani cxponam corredionem , quae vifa mihi fuit haud pa- rum cfiicacior et quae quodammodo inferuire pote- rit in confirmntioncm fingulnris theorematis Broun- chcriaii. Coniiertnmus fracliones fimplices , omiflTa corrcdione Wallifiana, nempe • • Tf • 7* • ?'* • '77li • liSiir •. isaB^ii in frndiones decimales , quae erunt o, 5C00; o, 15385 o, 38i^ ."•_-+- p ? m. -h ^ ^-^ p,c omniuin 31 D E F R A C T I O N 1 B V S o omnium linrum frac^^ionnm fimplicium communis efl: valor q; nec adeoque porro variabilis , quacun- quc lege variabili indices progrediantur : Sint , vcrbi gratia, indiccs pro frndione continuii \. l. '. i. ?-. i ctc. Ex his formabuntur frii(ftioncs fimpliccs ad ducftum regulae §. 3. fcquentes \. \. |. *. \\. \% ctc. Ideni ctiam fequitur ex fradlionibusTimplicibus f 2. cx- pofitis ; fac ibi <" — o, fient fingulae fracliones fim- plices, quae pofl: fecundam fequuntur , ipfi fecundac aequales fiuc — ^-g _^ ^ , fi , deletis terminis in qui- bus eft litera t* , numeratorcm ct dcnominatorem di- ■yiJas pcr eorum maximum communem diuiforem. Sic pro fradlione fimplici fcxta , quae pnragrapho tertio plenifiime cxpofita cft , dcletis praefatis tcr- niinis . oritur fradio ■■e47Jf^-+-i'V5fCl>^ae6 t$H-*'*«$H-«6'Vt'$'-f-t'V<''f H-ae757H-i'7«'/-+-o65-'H-^'j7' in qua tam numcrator quam denoniinator commu- nem habent diuiforcm facflaque diuifione oritur fimplcx fradio — g— -^. Egregie igitur congruunt cxprcfilones nofirac ipii argumenti naturae. Sequitur ex iudc quod error , qni cx ab- ruptione fradionis continuas commitcitur , tanto mi- nor crt , quanto minorem habuerit numeratorcm indcx proximus quantoque maiorcm denominatorem. Cactcrum hanc annotationem vnice in confirmatio- • uem formulae noftnic §. 3- adiiccre placuir. § 8. Aliam induit frccicm nrgumcntum ro- flrum, cum ictcniis deuominationibus in pracccdcntc pjr^iira- C O N T I N V I 5. j ■^\ parngrapho aahibitis poiiitur (J) — o , id cfl:, cr.m iti indice proxime immincnte ponitur dcnominacor :i=o. Sint rurfus pofl; duas vltimas fraclioncs , qiuis voco. fimpliccs , 77 ct Q^ trcs iiidices proximi ^- ; j;^ et -, ponaturquc Cf) zz o , mnnentibus caeteris qualibuicua- que ; prouenicnt iftde fequcntes fraeT:iones fimplices M_ P_ M/ M/_X-r- V_l W f X u -+- P ? n. -t- M f?n, N • Q.' N/' NVX-f-U,i ^^- Nj AH. -t-U-t (A -»- Nj «r Intelligitur cx dnabus \ltimis frndionibus , qunrc \n tertia fratftione retincndus fit ficlor communis /; ratio ncmpc el% qnoJ eiTcntialitcr concurr.it ad for-, mandos tcrminos fcquentes ; poftquam autem fraclio- nes conrtrudae funt , tunc demum in alios vfus li- cct illas ad minimos terminos rcducere. Exindc ■yidemus , pyimo quod \alor nouae fradionis fimpli- ci? 5 indici rcfpondentis , cuiiis dcnominator ponitur acqu.Uis nihilo , fit :=: n" ^"e — fradioni flmplici ante - praccedcnti ; fic fi fcxtus index denominato- rem habeat nihilo acqualem ; orictur valor quartae fradionis; fccundo quod eadem noua fraiflio non fit exprimenJa p;r ^- fed pcr -^7 , multiplicando (ci- Itcct eius terminos per numcratorcm indicis uoua^ fradioni refp ^ndenti?. r ; lam vcro qnaeritur , qnomodo ambo haec praeccpra conueniant cum f rnuilis §. §. 2. et 3. §xh;bitij: id vt appareat vtar formula paragraphi tertiij in qna fiipponam (|)-o; pro hac fappofitione con- trahitur formula g-^neralior in hanc fp.cialiorem cuins \alor , tacta diuifionc per /, ell quartus tcr- Tonj.XlX.NciuComm. E minus 3+ DE FPvACTIONlBVS mintis §. 2. expnfuus. ' Sic igitur exprefTioncs no- ftrae ^eneralcs egregic inter le eohaereiic^ venim vt et alteram part.m confirmemus , nunc ruppoi;cmus • deiiominatorcsn y , pro tertia fracftionc rimplici , aequ.ilcm nihilo, vt et aliqnot terminos Itquentcs cxami;;are pofllmus : fradtO fimplex tercia §. 2. hacc cft a-^V-Z^"7-t-a~ i P«ii'>tur y — o ct prodibit tertia fradiio fimpiex ^, cuius valor e(i — ^ atqus adeo -^z. primae fraftioni fimplici: fi vherius perga- tur , habel)itur pro quarta fratftionc , pofito y— o cJd^-t-ot"-' '-^~i' 'Sic igitur habemus pro lecunda fracli-^ne ~^_^o'i P'"'^^ tcrtia |y atque pro quarta iTT^iTT^I^ » ^'c hae tres fradiones rediflimc relpoiident reguiae noUnie §. 3. explicatae , fe- a c cus atquc ficrct fi pro tcrtia fradione -^ poncre- tur fimplicitcr "--, quia poft duas fractioncs fimpli- ces coiitiguas -£^^^0 et ~ haec cadem regula dat pro fcquente fr:i(ftione fimplice ^rr^p^TJ^AT» cuius ■valor non idem eft cum vero valorc a c a -^. ax,T->t^d » vnicus e(l: calus, in quo conueniunt ainbac exprcilio- res , nempc cum ponitur c — \. Ei: hifce animaduerfionibus intellginuis , qiiod fi fradliones contnuias fuccefrme omnes trnnsformare Velimus in fradiiones fimpliccs eumquc in fintm quamuis fradionem fimplicem formarc ex duabut pracccJentibus frac1:ionibus iami-.un inuentis , fccun- dum regulam nollram §. 3. dcicriptam , quod , in- quam , non liccat fradioucs fimphccs rcfult.intcs ad niiuo- C O N T I N V I S. 35 rr.inorcs terminos rednccrc , ctinmfi id fieri poffit. H:KC omnia vcnim thcoriam de fradlionibus continiiis, fiiie abruptis fiue in iniinitum pro:;rcdiciitibus , fub forma geu(.r:iliflimii fpc^flatam illuflraut. $. 8. Vnum fupereft hac occafione minime filcntio praetcrniittendum : ncmpe vt omnis circum- fp-tflio adliibcatur, quando indiccs occurrunt ncgatiui. Si aliquis datur index negatiuus , difpicicndum erit an negatiuus ponendus fit ob numcratorem ncgati- \um pofito denominatore affirmntiuo, an < b dcnomi- ratorcm negatiuum pofiLO numeratorc afRrniatiuo ; fin in fradlione continua abrupta vkimus indcx fue- rit ncgaiiuus , vterque modus eodem recidit , at ali- tcr le res liabct, fi dc aliquo indice intcrmedio (crmo fit 5 tunc cnim intcr fe difFerunt frr.dicnes -— ^ ^^ — /» non pcr fe (ed ob diucrfitatem quam feqiientibus rnembris ni fradlione continua iniiciunt , igitur quis- quc analyfia rem omncm accuratifilme fccum deter- ininet : optime extricabimus quacflionem per exem- plum. Scrmo fit de fecunJo indice g- ; fi quis hunc indiccm rcduccre \elit ad duos trientes negatiuc fun ptos , nonduni fatis fuam fcntentiam aperuit; an ponet ^l an —^ \cl cticm — - \cl — - ? Singuli c.ifus pro rc nati locum h/bcre pofTunt acque ac in- rumeri alii , ■■luandoquidcfTi nihil impcdit , quomi- nus litcris b n 5 numcros fr:i(flos lubfiituan u> : igirur , \t tolbtur omnis ambi-uius, rtquiritur vt h a pro z' 35 DE FRACTIONIBVS 'pro quoiiis indice tam numcrator quam dcnomin.itoTi, vinis.]U!sqiie cum fuo vcro figno fimulque cum prae- fcriptis tcrminis , vt, inquam , haec omnia rite in- diceatur et quidem tam ratione fraiflionum per ie ■affirmatiuarum , quam negatiuarum , quand.iquiJe m -etiam inter fc difTtrre cenfendi funt indices ^-g^^^E^t Poftquam finguli indices iioc nojo exacTte fiicrun praefcripti , crunt , in fradione continua formanda fingula menibra figno rffirmatiuo intcr (e conn{d:nca, Sic fi pro fradione formanda tri - mcmbri propo- nantur tres indiccs i. "^. \ , fiat « =^ i ; a — i ; bzz.— 2;^— ^-^c — 2. et V— I formabiLuiuue fradio continiia 3 > * "*"— , cuius valor — quem ctiam formula nollra -^^^rFv-Hrr ( §• ~) rccle indicat ; at fi indiccs propunatur a— i ] a-i; ^—2,; g — — 3 j f— 2 et Y— I , formabitur fradio continua — ' -+- ^ cuius valore nunc rr — i , quem rurlus eadem formul.i nofi:ra optime inJicat ; {[ porro indiccs fint formati cx valoribus a — i ; am; Z»rr-2j 6=^-3; (^' — ^ " y =z i for- mabitur fracT::o continua 1 H 2 P qua5 efi rr: j- , idcm- C 0 N T I N V I S. 37 idcmque valor deniio ex forinula allegata oritiir , ciim tamcii fiaiftio co;itiirLiji ' "^ ~ fit r=> fiiic immediate rurata , fiac per formulum aeftimat;i : Aliiis rurfLis valor oritiir fi rctcntis caefcris d^jioairnationibus ponatur h —^ et S ~ I ; Itj pro fraclione continua liabemus I ; ^ + L — cuius valor =: i^r » qnem iterum exhiboi: forraula uoflra fub iisdcm dc- nominaiionibu?. §. p. Ncc dum fic omnibus libcramur anr.bi- guitAtibus ; poftquam enim pro quouis indice frac^io- nali , tam nuir.crator quam dcnominctor , vuusquis- que cum vcro fuo fiijno fiue ofHrmatiuo (iue nega- tiuo , fuerunt probe dcfiniti , iiifuper definicnduni crit aa talis fraclio fit alfiimatiue vel rcgatiue acci- picnda. Nosautem in praefente pcrtradlatione qucm- ifis indicem (ub figno affiirmatiuo adhibuimus ita , Tt in (raclione continua,, vnusquisque numerator (lib figno -f- additus fit praeccdcnti [dcnominatori , cum -tamcn indici fignum negatiuum praefixum cfTe prflir; fic index ita fe habere poten — (r) ^^^ ~ ( "~s ^ 'vel — ( 3i" )• I" huiusmodi cafibus liccbit pracfatos indices transformare , absque vlla laefione valoris pro fracftioue contioua , modo dcnominator in indice ni- E3 bil 35 DE FRACTIONIBVS hil mutetut ; trjnsformatio in eo confiftat -vt pona- tur _j_ — g ; -f- r i H- ^ i qi^o ^-^^^' omnia aJ hy- potheies et dcnoininationcs noflras parngraphi (ecundi reduifla habebimus. Sic fradio continua paritcrquc fractio continua 7 Inde deducitur regula , indices fradionalcs ita fcm- pcr cffc pracfcribendos vt in formanda fraflione con- tinua fmguLie fradioncs iub figno affirmatiuo inter le cfTc conncdlcndas in anteccflum fupponatur ; hacc autcm fuppofitio nihil demit vniuerlalitati thcoriac noftrac femperque locum habct. §. lo. Vix fitis proedicari potcfl neccfTiras , quae pnftulat,vt non folum ad valorem fradioiiis fcd ct ad formam eius , tam ratione fignorum quam terminorum attendamus: Qui indices frndionalcs for- mant , quorum finguli num.cratorcs vnitatc cxpri- muntur , hi minimam argumcnti particulam cxhau- riunt , imo facile (e in errorcm praccipitanr, quando theorcma no'Irum paragraphi tcrtii adhibeut ad va- lores fradionuii) continuarum fucccfiuic dtterminan- dos. Hinc ohferuationcm excmplo illuflrabo, Troblcina. Quacritur prcgrcfllo indicum fradio- nalium tals \t fraftiones continuae inde formatac fuccefliuc valores obtineant , qui ita progrediantur l. 2. l ^. ^ *. ctc. Sint indices quacfiti l i y j.ta)- ^^ for- C O N T I N V I S. 3p formabitur iiide fraclio contintia , I ^ ^ -^ + etc. cuius valorcs fuccclluic ponendi erunt nequalcs .'.i-*.^ ctc» hinc deducitur a ~ 2 , S rz — 2 pro duobus rermi- ni'^ initiLilibus : ex his llt pro tcrtio termiiio ( §• 3. ) ty ^u. — i liue y ~— 2 ; deinceps pro termino quano ■' f "^■- r=: * (cu 0 — — 2 ctc. Sic indices quiicfui ^ I V^t-^- ^^^- proueniunt ^. -;.-' ::^.j!.~ etc. iplaque fradio continua hanc induic formani — i -i- .' — » -+- .« — i -*- _» -' -^ etc. quac fucccffiue fequentes fubminilirat valores feu fn» (Ilioncs fimplices I I ? II JO fO j. »• 3* ?• IS 4** 11 1« >-'•*-• atque hi valcres planc funt diucrfi a valoribus pro* pofius i-. 1. 1. * j. f. etc. Errorcni proditurum non obfture prouideram ; vcra obtinebitur lolutio , fi qUcicfiti indiccs gcneralitcr cxprimuntur iii^qife vta- rr.ur ad normam §. 3. de(cr]ptam j fint fcilicet in* diccs fradionnlcs quaLfiti ^ h c d e f .. a • r- 7 ■ «■■ r- (j '^'•'" quorum ftitim duo priores vulg.iri calculo defermi- nentur qui dcinccps docebnnt tam nnmeratores quam denominatorcs cum veris eorundcm fi^nis, hoc moJo inue- 4D D E F K A C T I O N I B V S inucnituf a—i ; b—-i ; C—-1 ; dji—i ; e—~i ; f=^—'^; fin2;uli aiitcm dcnominatoUwS fuint — z j funt ita- que veri indices i_ zzl rr_i. izl -rL-l etc. atque adeo fr.i(flio coiitinua haec crit 24-—. ., 2 -+- — » s -t- etc. cuius fucceffiue valorcs Ie(;undum pracfcriptam Ic-r g-m funt II l *,. l |. etc. Qiiod fi vcro , cakulo vul^ari absque fubfidio paragraphi tcrtii , finguli numcratores ponantur — i atque fucccfliue determincntur dcnominatorcb ^ rcpe- riuntur \cii indices alitcr cxpredi , ncmpe " L, i —, 1,1.. ^ etc. ■ ' j * — 2 2 ■ — I 2 — 2 tuncque fradio continua fub alia formn, quamuis ae- quiuaUntc , talis ubtinctur in qua denominatorcs fignui,n altcrnant. §. ir. Scquitur exinjc |iaiu&mQdi ■ fra^Ttioncs continuas a po/lerlori formari p^fiflc , qunc pio quo- ttrhqne n»om^/rorum riumero dato praefciiptuin <'bti.- lieant valorcni ^ fi in pracfiito cxempio numcru,.s HUmbrofum dicatur N-, trit \alor fi;u;1iuuis cour ""■•■ t.nuac C O N T I N V I S, 41 tlnnac :=— ^^ — atque, fi fiicrit infinita , afTurgct ad \ni[;uem , ijuod coDforme e(t cxcmplo qiiarto pnra- gni.'hi decMiii prioris difTcrtiuionis , rekiflo cnim pniTio menbro , quod reliquum cl\, fit ——1; ergo funiina fiiiclionis coiuuiuae in infinitum continnatac {\t zz -^ zz. i. Sic quoque pro "valoribus (uccclli- ■^''' !•! 5 f-a-A fiiint indices fradionales t.t-i.{.t i etc Pio \aliribiis i- 5- 1. ?. | etc. repcrientur indiccs i_. --. ^. - '- ctc. qni fr.idlionem conrinuam in infinitum extcnfiim furn-.anc "Vt I gi praefcriptae conforme cft. Si velis, \t rc- currentes valores prodcant , J. |. j. |. i. | ctc. j afluiues indices j. |. g. l 5 5 etc. Qiuccunque fingatur lex , qua valorcs in fcric continua pro^redi ponuntur, fi ifta lex talis fit, \t tcr- iliinus infinitefimus e^inde intelligatur, erit fr.ifrit praeter illas, quarum indicts fradionales, ccrto modo , recurrant; oportet , fi icdie iudico, vt pro huiubmodi cafibus , quaefiti indices ftmper defuiaut ia tcrminos pcriodice recurrcntcs. §. 12. Si quis intcgram iiirc tlieoriam no- flram confcrre velit cum ea , qnam illnflris yco.aie- tra , Leo-.karJus Eiients expofuit in rofis comiven- tari^ tom. XI. pas;. 33. et fcq. ambas metliodos Tom,XX.jNou.Coinin. F iioilra» 4a DE FRACTIONIBVS noftras vaLle diuerdis quidem at miniTie cnntrarias dcprehcnjet, fiinulqiie intclligec, quaiii neccfle rit, vt iujicibus tradionaliDUs vtamur generaiius exprellis. Praelaudatus Audor multa hnbet de eirlutmie tadk'tni qiiadratavwn per fra&iones comimias , at(]ue mcti.ojum docec ingeniclain omnium numerorum intcgrorum radiccs quadratas ad fracftioncs coniinuas r.duccndi : Id vcro infinitis modis fieri potcft , nec eiiim quacftio per fe cll detcrminata : vcrunt.imcn fradioncs co uinuae , quac aJhiberi pofTunt , omncs eius (unt indolis , vt in.iiccs periodice recurrant iidem eodemque ordine ,• viide non male rcducentuc ad ordinem , primum , (ecundum , teriium etc. prouti quacuib pcriodus vel cx viio , vcl exduobus, \cl cx tribus tcrminis ctc. confliterit : Nec ncccffe cft vt pcriodus fempcr a piimo termino incipiat : hoc autcm t:tuio pracfcrendae videntur fradioncs continuae , quae ad Hmpliciorcm pertincnt ordincm. Notctur hic , me alio ienfu accipere tndices ac fecit magnus Eulenis ,• cgo quidem , vt rem gencralius exphcarcm , pcr indiccm intclHgo quamuis nouam fradlionem (Impliccm in fradionc continua cccurrcii- tem , veluti 0 b c li <• f f,tf, « e > 0 £ 4) memoratus autem Aucflor cum haud alios numcra- torcs quiim vnitatem adhibere condituiirct , per in- dicem intelligit (bhim fradionis denominatorcm pro fubintellcd ) numeratorc i ncc primuin numerum ia tabuli iplius propric ad fraiflioncm continuam per- liutrc ceuli;ndum puto. Igitur vt fcrmone commu- ni CONTINVIS. 45 ni vramiir , ncccfTc mihi crit indicibiis Eul.rianis V, e, y ctc. hibditucrc L . '- . i_ etc. Sic qiuindo jTonitiir pro V 7 (ucccrTio iudicuin 2. i. i, i. ^. j, I, ;. 4. mihi fcnbcndum crit , fcruato initiali nu' mcro , 2. T . T . T . I . T ttc. -vbi Incipicns binarius in- dicat numcrum adi!endum fracflioni continuac rcgu-» lari acquc pcriodicac quarti oruiuis I 14-1 i4-r_ 4-4-1 1 -I- etc. cuius Ynlor , fi in infinitum continuata ccnfentur, fit — — 2 4- V 7- crgo fi binarius fradioni continuae ad- datiir , oritur ^7— binario eadem fradlione conti- nua auiflo , plane vt cxprimitur in citata tabula. §. 13. Notetur nnnc , qnod in praccedentc pa- ragrapho pracftitit fr;;(flio continua qiiarti ordiiiis, id quoque praefiare pofTe fracftioncm continuam primi orjinis , fi inodo admittcre \climus numerum fra- fttim pro numcratore vbiquc rccnrrcnte , nempe \ vel 3:4; Si cnim (ornictur fradio continua primi ordiuis 5=3:4 2 + ,3 ; + 2 -h T : 4. 2 -Hctc, dico forc V 7 rz 2 -1- 2 S , vitlcatur in pracccdcnte F 2 per- 44. r>E FR ACTIONIBVS. pcrtradionc § 9. formnla IV. ponenJo w — 2 ei frrzs:^; Nec vlliis cft numerns, cuius radix qna- dr.ita non podlt infinitis modis per fradioncm con- tinuam detcrminari , qui;i etiam pro denominatnre continue recurrtnie numeriis fracrat : Si enim \el duo fola prima membra in fra- iSlione continua fumuntur ; inuenitur V 7 ~ |t| ; eft autem V7 — 2.6457 ^t sJs = 2. 54.5> - y N — — « ^- w /) -4- ^ -4- a w S. Iflac cxprefhoncs egrcgie contrahuntur , fi in arrbo- bus iniicibus ponatur numcrator ~ i •> tunc cnim limpliciter obtinetur S-— ^— atquc VC/^p + VOi^P+aS fucrit , vcibi grat'a , m— i ct /) — 2 , crit S — — i 4-V3, adcoqne V3— 1 + S , \bi ptr S in hoc cicttiplu intilligitur Nultr li-diunib continuac, cu- iuS C O N T I \ V I S. 47 iiis inJ'ces funt \ . l > j . ', etc. prorrus vt h.ib^t E«- lerus pro liJO iudicundi niodo Vnicum denique fuperaddam cxcmplam pro frj(flionc continua rertii ordinis , dc qna egi in prac- cedcnte differtationc §. 15. Sint trt^ injices , qui priniam conllituuiit pericdum ; . i . t. ; cx his for- mabitur fradlio contiiuin, cuius valor Srz — 6 + "/4.1 4 ergo V41 — (J -t- S fiue ::_ lenario audlo fradione continua, cuius indices i . i , i* quem valorem etiain indic;it tabula Eulcriana. SOLVTIO SOLVTIO QVORVNDAM PROBLEMATVM DIOPHANTAEORVM. A u c t o r c L. E V L E K O. Problema i. Inuenire d.vo qnalratorum paria XX, yy ct //, WW, it.i \t tiim (.V .V -\- y y^ (/ 1 x x -f- u ujy) quatn [x X -Vy j) 0' « -^' X ■{- t tyy) fiat numtrus qiradraius. A n a I y /i s. 1. Primo patct , cjuiciinque bini numcri tam pro .r, y quam jro ;, u fucrint inuenti ., corum ac- que mulupla vclnti ax, ay ct S;, § ?< quaefito acquc (atisfaccre ; ficque probkma ita rcllringi con- vcnict , vt tam x ct 7 quam / ct u fint numeri primi intcr (c. 2. Incipiamns a formula priori (xx-\-yy)[tt xx + ?/Kj'j), qu:ie pofita huic quadrato {x x +yyy x x yj (p p ■+• g '/)' aequalis fit ttxx-hu uyy zz. x xyy [x x \yy) (( pp - (? ^)* -K 2 P 4-i/"?)i'»'4-'/'p-'7'7)v/-(2/J7'4-y?).v.v = 0 quiie psr x -f- v diui fa dat (pp-^zp q) y-{2p q 4- q q) X =z 0 vndc D I O P li A ISI T A E A. 51 vnde flt X — p (p -\- ; j'— 5 8^ o:— i6^ >'— 9 .vrr 7; J'^ «8 .V— 13 j /=^20 9 0 10 fzz 91 ^=: 24-7 ^^ 399 t— 4=7 /=1147 /= 871 t— 217 /= 273 /r=i443 / — 2107 «— 25 «= 49 «— 25 «= 9 « = 1 2 I tt— 225 u:=. ) u (2 _j- 3^ — x; (2 a H^ * — >)■ Sicquc pro x ct y eiusmoJi numeris inucntis , vt fit rationaliter V (.v x — xy -j-jy) zz. z capiatur : t^iz + x-fiiz-x+y^^xx + rj + ix-j^z u~ {z+y-x]i2z-y + x)z^xx+yy-{x~y]z. hinc obtinctur ttxx+uuyy-:{xx+yy)[xx-ixy+yy-\-(x+y)zY uuxx + ttyyz^[xx+yy)[xx-^xy+yy-{x+y)z)' \el etiam hoc niodo ttxx + u uYy—-Xxx+yy) [x+y + z)\\z- x-y ]' uu XX + ttyy—\' xx+yy){ x +y - z )\ ^z + x+y /. Num autcm quo facilius .valorcs pro .v et y idoneos G 3 repe- 5 + PROBLEIMATA repcriamus, fpcdemus .v vt datum ac ponamus ii—y—v entque \bi pro quouis valore ipfius x aflunito cafus integri pro y (unt crucndi : notancum vero cU, pro .v nume- rum imparitcr parem afliumi non pofle,quia^' quo- que fierct par : X i- + + + 3 3 5 5 5 7 7 7 + 91- 91 + II — 13 - 13 1+ 13 33 — I 5 8 8 16 21 8 15 33 40 15 56 65 24 35 85 96 35 481 o' + «33!» 7 t 45 7 19 7 34 ly 340 '9 81 13 »54 13 85 37! 1309 37' 214 ^3 99 61 3591 61 445 31 891 3' 301 ' 91 8C41! 91 801 1 43 1729 43 404 1C7 T5730 1 1 1 * / »3^9; u 1 1 54- 55 59 3S5 41 l8p 171 1435 190 374- 3S61 194 1045 695 853^ 335 19S9 1161 Froblcma D I O P H A N T A E A. 55 Problema 2. Tnu?nlre duo qiiadratorLi 11 piria xx,yyet tt„uu, vt (^/.v.v-i-««//;(«/^.v.v4-;//; ) fit numcrus qua- drJtus. S O 1 U t i O. Hoc problemi caiidem (ortitur folutionem, quod praecedensi , idcm )ue qu.itcrni numeri pro .v, >', t, u inuenti (ati5f.iciunt. Inde ergo folutio limpliciflima cft X—2 ;}'—$; t— II i uzz^S cx qua fit tt xx\uuyy — %^.9. 169 ; uuxx-^ttjj— 34-^2 5 iJeoque ( U .v .V -H // uyy ) ( // « v x -^ f / k >- ) = 3 4-' • 3 9'. - 5 '• Ceterum haec folutio non folum ob cam caufani tantum elt p.irticularis , ob quam talis erat , fed etiam hoc problema infiaitas Jolutioncs admitterc \idetur , qu.ie praeccdcnti non conueniant. Ficri cnim potcll , \t hacc fonnula ( t txx -k-uuyy)( uuxx^ ttjy) fit quadratum , etiamfi ncutra praeccdcntium ( A-.v ^yy ) ( / ; .va; + uuyy)^ et {xx-\-yj ) ( uuxx + ttjj) fucrit quadratiim , cuius rei vnicum excmplum dc- diflc fnfficiat : .v = 97 3 ; J=:2(>3 : ^ = 973 5 u—\?,4,i cft cnim a//.v.v-l-/0>' = --2 5- 2(S3'.973' quadratum dupHcatum //j:A- + tt«j7-2. 25. 14.1793' quad.iaium duplicatum. En 55 PROELEMATA Hn aihuc riliam folutionem latius patentcm X zz :^ n -i- 6 m m n n — in-^ i — vi x cuius inuentionis latio facile inttlli^itur, pofita cnim t~mx et u — ny fit ttxx-^-uujy—mwx*-^ nn/ et tiuxx-\-ttjj:z:xxj:y(itar,:^nn) ficque ad quadratnm reduccnda cfl hncc formula {m m -h n n ){ m m x" -^ n n y* ) quae fadlo x^^v-i-z ttj^ — v — z aJ iftnm ful-Jtio- nem pcrducit : hinc autcm pracccdcntes folutioncs iion obtincntur. Pj^oblciria 5. Iniienire duo quadratornm pnria xxyyetttnu, vt tam hic numenis t i x x -\r u ujy quam illc Ityy-^-uuxx fiat quadratus. S o 1 u t i o. Ex modo tradita folutioiie froLlcmatis pracce- dcntis Iblutio huius facile adornatur , pro m ct n ciusmodi numcris fuiTicndis , \t 7nm-\-nn fiat qua- dratum. Sic fi fiat mz^^ et «—3 rcpcritur .V— 851 , t — 3 4c-f j' — 1551 , «=3(^5 3. At cx problcmate piimo multo concinniorcs folutioncs impetrantur , quibus adco practer biijas pracfcriptas conditioncs et hncc tcrta r.dimplctur ; \t xx-\-yy fiat ctiam quadratum. At folutio fe- cunda primi problematis \num pracbct cafum , quo xx-^yy fit quadratum fcilicct x—S-^y— J 5 i / z:: i;p ,• « = »90 Yude D 1 O r H A N T A E A. $7 rnde fit 1 1 X X -^ u uy y zz 2*. 3*- i7*- 29* tt y y -A- uux X— 5'. 5*. s'* 17*. Si infiiper adJita fuiflet hacc conditio, vt ctiam A- X — A- j -h > J foret qufldratum cadcm (olutio rcgotium conficcrct, Huiusmodi autcm folutio- nts clicentur jquiierendis numcris x ct y vt haec exprefllo x' ~ x^y-^-i X xyy — X}''-^y* iiat quadratum ad quos porro \'t antc numeros i ct u inutftigari oportct, Occafioncm hoc problema Diophantaeum tra- ftandi prnebuit problema Gecmetricum a Schotenio propofiium , quo dntis in iriangulo bafi , perpendi- culo et rntionc larerum ip(;i latera quaerentur. Problema hoc geminam admittit folutioncm, quarum \traque \t pracbcat Intcra rationalitcr expreffa , negotium ad problcma iflud Diopliantaeum pcrduci- tur. Si cnim bafis trianguii ponatur zr fl , perpcn- diculum m ^ , et hucrum ratio nr.n ; vocatis ipfis l.ittribus mz et nz^ primo neccflTe efi a et b ita cxprimi a — {mm—nn)(xx-\-yy) et b=2mnxy, tum vcro pro z hacc duplcx cxprcfllo rcperitur: z—V(,xX']-yy':,{{m-n)\xx-+ im + n"yy) ct t;— V (^.r-l-jy; )(( w + «)' A-.V -i- ( w- «j jj) Tom.XX.Nou.Comm. H quae sa pro3Le:v1ata Dio:^n\NrAEA. qaie vt ambae fi.ant rntionalcs fiido m-\-n-bim-n-ii nnfcitur nodrum prublcma Diopliautiieum. Cuius crgo cafus fimplitidimus erit fumto j;=3; J=^S ; / = 45 ct ttirii , ▼ndc haec nafcuutur data : rntio latcrum m : n zn zS : 17 bafis trianguli « nr 33 ,• et pcrpendiculum —28 t Ynde reperiuntur ipfa latcra : v,l m z — — et n z — ti vd m z — ~ et n z — ~ i s flue in intcgris fumta bafis 0 — 495 et perpcndicula ^—420 obtinebuntur latcra rationera 28 : 17 tcnentia ▼cl ?n z zz: 700 et «^—425 vel w«— 1092 et nz-s:^CCZ' SPECv^- c SPECVLATIONES ANALYTICAE. Au(flore L. E V L E R O, nm niipcr inuenifrem intcgrnle huius formulae differentialis -, , fi ita capiatur vt cuanefcat porito .v — o, tum vcro ftiitunrur a' — x , aequari huic valori : l^:*i-i: haec integratio eo ma- gis attentione digna mihi videbatur , quod eius ve- ritas per nullas methodos hadenus vfitatas odcndi pofler. Quamobrem nuUum plane efl dubium, quia ea phuimum in receflTu habeat , et ad muha aHa pracclara inucnta in Analyfi perducere queat. Haud igitur ingratum Geomctris fore arbitror , fi nonnul- las fpeculationes quae fuper hac formula fe mihi obtulcrunt expofuero. $ I. Quoniam ifla integratio fe ad omncs plane exponcntes pro literis a et (3 aflTumtos cxten- dit , atque adco valorcs imnginarii non cxcluduntur, ponamus a — «V— i, et ^ -zr — nV — i ^ critque a"— A^— a"^"' .v~"^~', quac ft)rmula cum redu- catur aJ hanc : ^" '== v— . _ ^— n z»:v— . ^ notum ert eiu? vnlcrem eflfe — 2 V— i fm. « /.t ; quo valorc fubiiituto prodit n V— T r^xfin.tlx. — 7,_j_tV— I *> IX — ' T~r^^::^i' H 2 Conflat ^o SPECVLATIOrTES Condat antcnn huiiis formulie /,-^-^£7 valorcm efTe 2 V^— I Atang. «, quaiidoiuidcm lumto n va- riabili eius diffcreiuiatio dat J ; I -4-t V — ' a d n V — i I — fi V — I ■ I -f- n n ' cuius integrale manifefto ell xV — i A tan^. n; hinc igitur adipifcitur (equens Thcorema : Thsorema i". Ifta formula intcsralis jt^j^jj» a termino xz=zo \sque ad terminum x— i exten- fa exprimit arcum circuli cuius tangcns — i ^ vnde fymto «1= I, erit /ii^ili.*-fi — ^- , denotante 1: fe- niiperipheriam circuli cuius radius — i. §. 2 Quamnis autem haec integratio ex no- fira forma geuerali , quae aliis methodis inacccflj videtur, fit deJucla : tamcii eius veritas per rclola- tioncs conluetas fjquenti modo oikndi potcrt , fic- que ex hoc cafu integratio generalis eo maius fir- mamentum accipiet ; Cum enim per leriem lufini- tam fic nl X J i X ' ^ I. 2. I I. J. i. «. t confiat auccm efTe fdx{lxyzzxilx* -2.fdxlx — \-{lx)' — ixlx-\-2. I r, quae expretrio pofico x — i reducitur ad 2. i i fimi- li modo fiet fdx ilxYzzx 'M' ^fdx [Ixfzzx (/.v)*-+.v(/.v/+4- 3 fdx'Jx)\ quac A M A L Y T I C A E. 6t quie p')rito X z: s oi l i — o pr.iebat 4.. 3. 2. i ; eo-leaTiue iti)1(> crit f i x (J xf — 6. 5. 4. 3.2. i. Hi» i^jitiir fiii^uii» valorijji i.itcj;ralibiis iatraJactiii proLieniet - ' "* • _ « ... ^n^ « — Il5 ( H- f - ^' -f- etc. cuiiis fcrlci fumma manifcrto efl A tang. ;;. §. 3, Hic cafus nobis andim praebet ctiam hnnc formul.im inregnlem inueftiganJi /i^ii^i-*; quae quiJem non immediiite in noftra forma gene-. rali' continetur ; et quia e(l cof nlxzz. I - "?"''- -h ""ISL^ tJlJ^ \- etc. I. : ■• 2. Z' * I. :. 3. 4. 5« 6 ex priaio tcrmino oritur fp^ , cuius quidem valo- reip. oflcndi cflfe ialinitum. Pro fequentibus autem \ tcraiiniii erit Jd xlx z=. X l X —X — —J et /^.r(/.r)' — — I. 2. 3 et fdx[lx)^ .— - 1. .. 5 etc. quibus valoribus fubHitutis obtinebimus /d xcif' nl X fd X , nn n' , n" n' — T7 —' Tx'^ ~~T ~^T r» quae expreffio manifefto reducitur ad hanc ; Quia autcm primus terminus h.inc fammam reddit infinitam , hinc fubtrah.unus aham fimilcm et habcbiiiius /d X (c:>/. ^ Ix — ^^f.mlx) i / i -f- " "^ l * t * I -^ 171 n» H 3 •tque <5a SPECVLATIONES stquc haec integratio non minus notatu di§na vide- lur quani praeccdens, 4. Cum autem in genere fit cof. a- QoC b^ 2. fin. e-±^ fin. tr^ erit cof. « / .V - cof. 7« /.v :=: 2 fm. !l=tiL / x fin. "^ — "/.v, ita vt fit fui. !:^' / ji- fin. '"-^ . H- « « /^ A- 1— ^ = i 7 / .V * I -I- w/ ?« ' <]uod fi ergo ponamus mzz:p-\-q ct n—p-q fequens adipifcemur theorema maxiiiic notatu dignum: Theorema 2. Ifta forma integralis /fl fin. p l X fin. ^ / .V eft =z U '-^tll=jm , fi fcilicct iutegratio a termino .v — o vsque ad ter- minum .v — 1 extcnditur ; quae intcgratio co n/agis eft notatu digna , quia in ea nullus arcus circularis occurrit , etiamfi priorcm in fe compkcli vidcatur , quod autem fccus fe habet , quia {\n. q l x ad vnita- tem reduci nequit quin fimul quantitas q rcddatur variabihs, §. 5. Operae igitur prctium erit inueftigarc, quomodo ctiam intcgrale huius theorcmntis cx fbr- ma noftra generali dcriuari queat. Hunc in fincm confidcrcmus iftam formam intcgralcm quae in has duas refoluitur cuius A N A L Y T I C A E. S^ cuius prioris valor eft /(*J-1+li), pofterloris. vero /(«-+4^), iti vt babcamus Nunc igitiir ftituimus azzpV—i ct |3r:— pV— i, deindc y — qV—i et (^ — — f/V— i, vt fiat .r*-x'^— 2>'-xfin./)/A;' et .v*''-^;^— aV- i fin.^^/i; fic cnim noftra forma integralis induet hanc for- mam — 4/^^ An. p /a' fin. y /a:. Pio cius antcm vnlore repcrimus a+Y+i—i-\-Cp-q)V-i; (3-l-(5^-t-i=rr-(p+<7)y-i;. (3-ty + i — i+(7-piV-i; eta+<5"+izri+(p-<7)y-i,. qiiibus valoribus fiibfcitutis valor integralis prodit / r_-^- 'a-+l!iI'^ — — 7 /'-H^p — ^?)*) vnde manifcfto fequitur integratio ponremi thcore- matis f^i (fm. p Ix fin. f / ^) = W Cr^7-:f > §. 6. Hinc occafionem arripimus etiam hanc formam gcneralcm euohiendl cuius valor erit — K"--^"^ -^ '1 1 /C«-t^_dt_L^ — 7 («-4-7 -4- Ofg-^-y-f^t) — ^p +7-+- .^ "^ * S3 -I- 5-+- i^ — ' (i}-+.7-HTH3^ J-t- 0* Nunc itcrum faciamus a Z3 p y — I et & — - p y - I j tum v<:ro y^qV — 1 ct J — — ^y— I,, fiet- -q)lx. Prioris igitur partis valor erit ex theorematc i A tang. {p-\- q) ^ poftcrioris vcro paitis — i A tang. (p-^) , quae (orma vtique reducitur ad eam quam hic dedimusi §■ S. Nunc autem integrationem noftram ge- neralcm aliquanto gcncralius ad angulos rcdncnmus , poncndo vt fiat A-«-.i«-.v'"(a''-^-'-A-'' >'-')-- 2 V-iA-^fin.r^/A-j tum vcro erit tt-t- I • -4- m _4- n V — I C -(- 1 I -t- 17) — n V — 1 * quae ^raclio pofito «— it(w+i) reducitur ad hanc 1^,^;Z:. Ea vero ^^.JZ-^^^^^^-iAtang./^^iV-iAtang.^. , -. Tom.XA.iNou.Cumm. I fic^uc 66 SPECVLATiONES ficque impetramus feqaens theoiemj : Thcoremz 4-. Iil.i formuLi inte^ralis ril x^ fin. n 1 X J l X a termiiio a: — o vsque da tcrminum ^— i extenfa fcmper aequalis erit Iiuic valori : A tang. _!!_-, quoJ theorcma fumto m^ o ad primum reducicur ^ vbi inprimis notatu dignum occurrit, quod , quotics ^^^ cundem habet vahirem , totics etiam formae intc- gralcs aequalcs intcr fe euadunc ^. p. Verum ctiam hoc theorcma in gcnere ad primum rediici poted. Si cnim ponatur x'''-^'-^ erit x-^^ dx— -^ et Ixzz -^^- his valoribii& fubnitutis fiet quac cnm fimilis fit primo theoremati , cius valor " manifefto eft rr A tang. ^^^^ ; quoniam autem hic pofuimus x^-^^—y-> ambo ter- mini integrationis hic etiam erunt y — o et y — \. §. lo. Pcr hoc crgo thcorema , cum (\x. A tang. \ -H A tang. \ — A tang i = T , pro priore erit « =: i et 7« — i , pro pofteriore vero «=: I ct m^i, hinc igitur habebitur ifta in- tcgratio : /J_^(A,'4-.r.v)fia./.¥zi7. Deinde ANALYTICAE. 67 Deindc cum per fericm infinitam fit ^zz A tang. : -+- A tang. i -{- A tang. A -f- A tang. -^s -H A tang. j', 4- etc. cuius fcriei terminus generalis efl A tang. -i- , habc- bimus ha'ic intcgnuionem fatis mcmorabilcm : C]nod eo m^igis e(l notatii dignum , quod ferics in- finitn x' -{- x' -i- x" -{- x^' nullo modo ad fummam finitain rediici potcrt. §. II Scd rcuertamur ad nofirara integratio- nem principalem , qua cft l X cuius vcritatcm etiaai iioc modo ofiendere licet ; ciim fit .■,« — t*'^ denotantc e numerum cu.us loga- ritnnuis hyperbolicus — t , erit pcr fcriem infinitam a,'" — I 4- ?-^ + «'^' ' ^ }L 4- o^llllJl 4. aM 2 X y^ hincquc coUigitur fore x^-x^-ia-^y-^ + iaa-^^yi^-^-Ca-t-y^/^^^l etc. quae fcries per —_ multiplicata ct integrata , ob fa X ( / A' )" — + I. 2. 3. . . M (\bi fignum lupcnus \alet , fi ?; cft numerus par , inferiiis fi impar) , pracbet pofito .v— i lequcnttm Icr.em : S 3 4 * quac (cticb, manifcfio praebet /(iH-a)- /(i + e):i:/«-^L. 1 2 §.12. 6$ SPECVLATIONES § i2. Qiio valor huius formiihie ruccimflliis cxprimiitar , loco a. et S fcribamus a — i et S — i , >ft habeamus Quod fi crgo rumamiis arri?'^ ct § — f" , nancifcc- mur fcquentcm iutegrationem iutis concinnam: ^m ^« f dx / ^ ^ X ):=zm — H. §. 13. Inucftigcmus nunc integralc huius for- mula difFcrcntialiS — I — X -T" s, — A ~\- A etc. I +a-'' colli^itur hinc integralc quaefitum 'r ' e^ "^'e -t-'-i 'p.-^-i^» vnJe nancircimur fequens thcoren a : Thcorema 5. Kui formula intcgralis a tcrmino .v — o vsque ad terminum x— i cxtcnf» femper acqnatur Ituic formulau logarithmiCae : 7 *_ € -<- g tt -t- ^ n 6 ->- : n * "'-.^^'L ctC £ *a-f-u*e-t-2i"«-t-j'i'6-»-»;i §. 14. Cum igitur alibi dcmonftraucrim> huius proiucfli in intinitum continuati " ( "^ H-'" ^ a-f-il! e_;_fe-t_fc a-f-]^ c_f-J-i_-> «-t-« 6-+-/i('e-t-«-f-k'i>-t-a((*« -t- 4 -+- i k valo- ANALYTICAE. 6^ Talorem acquari huic cxprcflloni /■ — it applicatione aJ nouram cariiiTi fid.i crit «— a, b — ^ ^ kz:z n , k — 2 n hincque valor nolUi produdi infiniti fz^^-^dzCx-z'") '"^ / i-* - ' r/ S ( I - ii'" J = '' quac ambae formulae integralcs a tcrmino « — a \s.]uc ad terminum z — i iant extcndcndac , atquc hinc colligimu* fe-iuens theorema. ThiOrema 6. l(h formula integralis /" — T" ( n~) 1 ^ termino .v— o vsque ad termi- num :»: — I extenta acqaalis eft huic valoti i^- , exifteiite P— /s*"" rt^x; ( I -s^» ) '^' et Q^—fz''-' d z{i - z"" y^ dum fcilicet etiim hae formuLic integrafes poflcrio- rcs a teriTiino s — o vsquc ad tcrminum z ~ 1 tx- teiiduntur, §. 15. Sumamus igitur «— i , vt formuLi no- fdx a;* — .'.' {[ti integralis fiat — ; — . '■- , X l X i -^- y. 13 ac 70 S P E C V L A T I O N E S ac tiim erit V—fdzii-zz) = et q — Cdzii-zz) ' , vnde pro a ct ^ fequentes ca[iis euohumu'?. Sit primo a :=■ 2. et 6 =r i erit P — A fin s - - 7 et Qms — i> i^eooue — — ^ vude colli^imub fore J dx . *_-^ ^ / !L. §. ! V 7—-Z z ' V 1 —x. - ' ficque erit O — ' / ^5 — • •" vnde fit ^ — (^, qui \aIor [perfcflc congruit cum ante afl'i^naio, §. 17. QuQ iam in quantitatc P non occiirrit cxponeiis a , in altcro vero (^ tautum S occurrat , (Uf3Lrius tiicorcma ita iii duas partcs dillribucri; licc- b.t , vt iit Jr;,-—n = C-irz^-'dz{i-z^'^) - et dx x^ - • L- '5 Jjx-i:^n-C-lfz''-'dz(l-Z-^) - vbi ANALYTICAE. 71 \bi C denotant ccrtnm conft;intcm , qnae autem in difFcrcntia dnarum huiusmoJi formularum integra- lium c calculo egreditur. §. 18. PofTumus ctiam noftram formulam in- gralcm principalem ' Xl X ^ ■' 5 ita transtormare , \t in ea exponcntcs infiniti occur- rant , quae ob hoc ipium attcntione non indigna vi- dctnr. Denotet igitur i numerum infinite magnum, I et quii /.v ita exprimcre licet, vt fit /.r — i(vV' — i), formula nollra hanc induet formam : /— T (;i'-.^ ) = /•-.. fX[x^— I ) Nunc igitur ad exponentcm fraflum tollendum fta- tnamus x^ — z ^ vt (It x-s', hincquc ^ — '^f tum vero x^^-z"^"- ct .v^-2^' , er quia adhuc iidem tcrmini integrationis habentur zzlo et ^— r, hinc fequcns theorema refultat :: Thhorema 7. Denotante- i numcrum infinite magnum i(h formula integralifr A f ( ^a' — -61 a termino z — o vsque ad terminum srri. extcnfi fempcr aequalis eft huic valori /|-. §. 19. Cum fit 2«' eric 72 SPECVLATIONES erit f — - — — + ■^ Z{Z- O 0.1-1 eodemque modo eric i^'dz I I I I J z[z-i) ^i-i 6/-2 io;-3 fe^-4 vnde p.itet, diffeientiam haium du.irum (crierum efls /?- , ita li luerit a. ~ z et §-i prodibit ifia ia- tegr.uio dz[z''-z') I I r I I f—, -^ n + -l- +— fctc 4-- "^ Z\Z-\) 0.1-1 2i-2 -^-3 2/-4. < quoniam foquent.s termini per feriem pofteridrem tolluntur. Conftatautcm huius fcriei luinmam cfic h, §. £0. Plurima ndhuc nlia confcdarui ex ifii intcgratione memorabiii deduci poHcnt, quibus autem hic ncni imnK)rabor : lcd potius ipCam Analyfui qune ad hanc integrationcm pcrduxit accuratius per- pendam. Confidcraui fcilicet potcfiatcni x^ , cuiu» cxponcns w pro lubitu fiue -vt conftjn» fiuc \t va- riabilis fpca principalis initio comir.emorata §. 22. Simili r.r.tem modo a formula intcgra- li /jj''^ A-" — /« H~ A vltcrius progrcdiamur , qua pcr <-/ u multipiicata et ex fola variabilitatc ipfius u intcgrata ob fx"du — '— vt ante perueniemus ad iflam integrationcm: ^rfe •'*'■" =f^ " ^" -I- A « -f- E — K lu - tt -l- Au-{-B vbi cryo tcrnas formulas particularcs ir.tcr fc com- binari oportct , vt ambae conaantes A et B ex cal- culo dcturbcntur; quia auttm loco A (cribere licct A -f- I erit fxji%i -'^" — u I u -'r A u-^ B. §. 23. Quod fi iam denuo per d u multipli- cemus ct mtcgremus, miuatis literis ccnn.intibus , quo fcrn-.ula concinnior reddatur , reperiemus ^xj ^ -^" = i « " / « + A « ?/ -^ 13 « 4- C Tom.XX.Nou.Comm. K codem- 74- SPECVLATIONES eodemqne modo vkeriiis J X{1 X)'' ^" ttc. etc. Vnde intelHgitur , continuo pliircs cafus particuhrss inuicem coniungi debere , vt onincs qiiantitatcs coa- Ibntes A, B, C, D, ctc. cx calculo cxpellaatur. §. 24.. Hoc igitur modo cuoluamus forniuLim §. 22. inucntam , ct exponenti u tribuamus hos trcs \alores : a, (3 et y , vt obtincamus iftas tres for- inulas> :. I. f^- X'' = a / a H- A a 4- B II- /(^P^^^P^P-^Af. + B vnde- eliminando B duas hafce nancifcimur aequa- tioncs : I-ir = a/a-|3/,3 4^A(a-p) ct ll-IIl = (3/p-Y/y-t-A(p-Y) (I- lI;(P-y)- (11-111) (a-p)=((3-y)a/a(f3-y)|3;.3 -(a-|3)(3/|3+(a-p,y/Y quae reducitur ad hnnc i((3-Yj + ii(y-a)+nu«-(3)=^|3-Y)«/ft-i-(y-«)p/(3 + (a-(3)Y/y. §. 25. Hinc igitur pro formulis ad iHud gc- luis refcrendis conftituerc potcrimus fcqucns thcore- nia fundamcntale : Jhcore- ANALYTICAE. 75 Theorema 8. Ifta formula intcgralis Idl7 (^^ - '^^^ ■"' + (y - «) ^^ + (« - P) ^•'^) a termino .r — o vsque ad tcrcninum x — 1 exten- fx femper aequalis eft hnic valori: (P - Y) a / a + Cy - ^) P ^ (3 + (a - P) Y ^ Y- §. 16. Circa h:inc formam imprimis notafre iuuabit , formlilam (^ - y) A-^ 4- (y - a) :^^ -H (« - (3) x^ non foUim per .v — i efTe diuifibilem , fed ctiam per .r — i)' ; prius inde patet , quod pofico .r .::: i fit [3— y-j-y — ct-i-a — prro podcruis vero , qund cius ctiam differcntiale poflto X = 1 fit a i3 - y) -f- (3 (y — a) -h y (a - P)— o, id quod n;itura rci poHuIat , quia in denommatore (/.v)" pofuo X— i continctur quadratum quantitatis euanefcentis. §. 27. Quo vis huius intcgrationis gcneralis dnriu? perlpiciatur , cafum euoluifTe operae pretium crit quo ponitur a — « + 2, (3 — « -|- i ei y — M quandoquidem obtinebitur ifla integratio: .v''~ ' d X (x— if f- (T^y z:(«+2)/(«-a)-2(«+i)/(«+i)+«/« ■'« -h 2)"H-' 71^ — (,j 4- 1)^1-+- .)• K 2. §. aS. ^tf SPECVLATIONES §. 28. Tnidlemiis co.iem moJ.) formiiLim ia- teg;ralem gniJus tcrtii , in qua occurrit {! x)' , tri- buendo exponcnti u quauior v;ilores a, (3, y, d , vndc oriuutur fequcntcs acquationcs I. /■,4^-.v'=r=iaa/a4-Aaa-4-Ba-f-C "• /".;'!--^'^-'Pt^^^-i-APt3^-B(3-|-C III. /--^-^-a-^-'yy/y + AYV4-J]YH-C IV. /-^-A-^ = :^(J/^4-A<5(J-|-B^H-C. Atque hinc erit primo I-.Ur=iaa/a-^f3f3/(3-+-A(aa-(3t3)-L-B(a-(3) \nde fit i^3 = ^-pF + A (a + p) + B. Eodciiic)Uc modo crit quarum formuhirum difFcrcntia dat qua per a — y diuilii prodit (i-ni (ir— ni) — aa;a:^,3.p:p _ /(33;j3_.vvi>) 1. a («-13) Kj ^ 2>^_v ,a_v/ ^^ codemque modo erit ai-im _ "J[^il_ — fPt3:(3_— v"WY'> ^ (lVi>— 51L?^4. A ^_y,^^_Tj (>— 5,y_6; — S i^_y (i3-Sj^ . o-i; ^jl-i)/ T'"'»' quae p>-)(lrcma a fuperiori fublaca relinquit I r I — w ^ _ r «_:lI'L—^ _ ^ " — "t ) j_ f I"— IV ^ — l^a-p)3^/ \3-7.(a— »' H|3-y ,1-6)' ^ ^t7-d;,Hl-4) ,.|a_(3|3i(3)x ^ .P^jjLj^V^VJVN p^.S/^r-^j:!!)^-!"^^^^^^'*^ (.TS^.a^/ ^a^3-v.,a-vl' S p-Y; ilTIir'^^ =(7-6)1(3-5^ licquc iam omncs ties condaates A, B, C funt cli(ac, j. 2.9. A N A L Y T I C A E. 77 §. 29. QiDJ fi iaiTi riiigiil;! luiiiis aeqiintionls mcmbra cuoluantur et tam fecundiiin numeros I, U III, IV quam fecundum fiirmuhis aa/a, (3 (3 /3, yy/y, S S I S' iii, ordinem difpoiiantur , obtincb:- tur fcqucns aequatio : IL'*^ ^) U "' <"« — ^' a. rv fa — J) g —01 l_ III Ig — Q! I — aa:£j£__, -a — ff ,3i/,i_ , fa — 6 7 Vj!>_^ , .a — 5)65/5 quae acqujiio pcr a- $ diui(a ad pulchcrrimam vnU fjrmiiatem reducitur ^ quo faAo fequcn.s nancilcimur theorema ad hunc caUim adcommodatum : Th.orcma 9. Ifta formula integralis dx /■ ^ x^ + .7-TT7-~75Tr.-^ + v)y (y-«)(y-pXY-^) (^-«)(<^-l3:(<^- 9 tcrmino a" — o vsque ad terminum .v — i cxten- Ij aequarur lcqucnti fbrmulae aaja , p 3 / /3 i yyiy i J^J- / S" »:«— P};a— -y « -5j '•' :(P-a' .3-7, ,3-5; ~ ^y-x.y-^xi^i :{5-x] i—^S-y) cx qu3 forma pcrlpicitur , quo modo ad calus magis compofitos fdcile progrcdi liceat. §. 30. Ad hunc moJum etinm prnecedcntes caTas repra (enfnre opcrae pretium crit. Ita pro di- vifore /x habebimus fequentcm formam inte^ralcm : ^ dx x^ A-3 __ J_a^ /j3_ ^ x[lxy '^^) "^ ^"a. — a - (3 "^ p - a' Dcinde thcor;;ma §. 24.. allatum ita refcrctur : K 3 J" •78 SPECVLATIONES dx /• A« xP >y N__ (a-(3Xa-Y)^((3-aj,p-Y)^('V-a;(v-p; atque iflam formain feqiiitur illi qu-im iii thcorc- matc vltimo retulimus. §• 3 r. Niinc igitur hoc ncgotium in ccncre cxpcdire poterimus pro quacunque poteftatc iplius 1, X , qui in denuminatore furmulae intcgralis oc curr t , cuius cxponcns fit — « - i , vt numcrus membrorum fint rr ;/; rtim igitnr accipiantur pro lubitu numeri a, p, y, (J ctc. quorum numerus fit iz://, ct quaerantur hinc (equentcs \alores : S{= (a- f3) (a- v)(a - 5)(a - e) (ttc. S8 = ((3 - a) ((3 - yl (p - <5) ,(3 - e; (etc. (E =: (y- a) (y- (3) ly- (5) (Y-f' (^'^c. © zz ((J - a) ((^ - (3) ((^ - Y;; 0 - f) (ttc. etc. etc. tnm vcro ponatur ciiam breuitatis gratia hcc pro- dudum I. 2. 3. 4. 5 (/i - 2)= N atque obtinebitur fcqucns forma integralis gcncralis- iima a'— '/g (3"-V(3 Y^"'^Y ^V^ \bi notandum , ca(u « n: 2 lorc N rz i. §• 32. ANALYTICAE. 79 §. 3i. Ad haec vberius illuftranda meminiflre iuuabit , me iam pridem infigne thcorema arith- mcticum demonHrnflTc circa huiusmodi fradiones L_ -f L + ^ + etc. quorum numcrus fit vt ante — n vbi odendi , omnes fequcntes formulas nihilo aequari I. II. III. IV. donec perucniatur nd poteflatem exponcntls n — 2; nt vero fumto exponente — ;; — i Icmper fore de- mondrauimus 1 + I -1- I H- T -^- etc. — 0 a -\- 91 -i- 7 -+• 3 4- etc. 0 ?J5 4- Pi3 55 -f 77 + ' 3 etc. =: 0 2i -+- 3- S5 + 7' -f- 6^ 3 etc. _: 0 D£ dh: RESOLVTIONR POLYGCNORVM RCCTILINEORVM DiSShRlAllO SECVNiJA. A 11 c t o r c J. I. LEXELL ^ I. Poftquam in priori dc hoc nrgumento Difrertiuio- ne , vt (pcranius (iuis dihicide opoUiimus prin- c-p;;i , qiiibus in fubfidium vocQtis rcCulutio Folyiio- norum pcrficitur , dum rati ) tnntum h.ib-.tur late- rum et angulorum eius circuitum includcntium ; nunc id nobis propofuimus, vr olleiidair.us quoniodo acquationcs pro refolutione Polygonorum fubminiflra- tae it;i tr:ici;iri dtbcnt , \t npt;is ct commod;!S fup- pediient (olutioncs. Qucm in finem omnes cafbs rc- folutionum pro Tctragono h.ic reccnlendos ct di- Tab. I ninclc cuolucndos ccnfuimus. Si igirur ABCD ^'2 ^" fit quadribucrum , ciusque latera A B, B C, C D, D A refpcdliue defigncntur liticris ^, b^ f, r/, angu- li autem extcrni a A B, ^ B C, f C D, rt' D A in- digitcntnr pcr httcras A, B, C, J), pro refblutionc huius quadrilatcri fcqucntcs quatuor adipifcemur ac- quationcs : I. d(i~aa-\-bb^-cc-\ ':.ahzo{.V,-\-z(ic co^.i^^-^rCyv^bc colQ II. dd'\-cc\-^dcco[.'Dzzaa-\-bb-\-2abQO[.'^ in. DE RESOL. rCLYGON'. RECTILIKEOR. Si IIT. ^fin.A + ^lln.CA-f B)4<-rin (A-f EJ-C)~o; 1 \'. ^ li ii. A + ^ fm. ( A + B) - c fin. Dzz-O qiias <]uein.idmod«iii iradari oportet , vt pro qna- \is (]U;iellioiie propofita sptas dcnt folutioncs , nviuc crit difpiciendum. 2. Problcma i. Datif latfrlbus s,b, c fjzw an' luiif B, C inuenire latus d. Pcrfpicuum cft huius Probkmatis folutlonem ex acquationc noIUa prinia adornari , per eam enim fit ^2'rt'=fl^l-i;i?+a-+ ifl^ cof.B-f- 2/7 fcor.(B-i-C)-f 2k cof.C. Cactcrum quum cx aequatioue dum fic exprimitur, valor ipfius d niinus commode inucftigctur , neces- fum cfi vt eandcm in tormas aliquanto commodio- res transmuttmus. P^ft vcro ( a fm. B - (T G n. C)'+ (i» 4- coni^-t ».;,tf+ __--^j, <:-f _^p quod facile pattbit fa(fta cuolutione pofttnons for- inae , flatuamns • 'iom.XA. iNou.Comm. L ita 8i DE RESOLVTIONE ita vt hiibCcUur dd—ee-^ff-\'2.efcci?.['Q^Q), hiii:|ii; dilzzie-^-fy fi igitiir por.iunr 4^/nn.UB4-C)' r r« ^ ^lir^^— - fin. E , fict dd—{c -\-fi cof. E' , feii d — [e-\- f) cof. E. De hac auiem (ohuione obfcrn:irc conuenir , eam 4.^Afn.UB-f-Cr femper adhib^ri pDfTc , quia z valo* ^ ' ^^ -+- / ) rcni fcmper coiifcquicur pofuiuum , eumqne vnitate iiiinorun. Ncceflumenim e(t , \t e ct f limul V;i- lorcs fui2 pofitiuos , (eu negatiuos fortiaiuur , tnm vero euidens elt , quod {e -{- f f ^ ^ e f , Jiincque tanto magis [e-^-ff > 4 ^/"fin. ' (B -+- CY . 3. Problenia. 2. Datis laterikus a, b, d ciim avgtdis B, C inuemre laius c. Huic problcmati fohicndo aequatio noflra prima infcruit , vt autcm fohuioni aptior euadat , noietur eam fic expiimi pofTe : (rf kof.C+^cof.(Bi-C))V(flrin (B+Cj+Z^ fin.C^^-^^viidc coUigitur (<;-f-^cofCH-ffcor(B-f-C))'=i'j''^-('S L' B A, C B F reCpediue aequaks aogulis da- tis B et C, pcr punclium autcm F agi,tur linea reda E F D parallela ipfi B C , quo f.vflo liquet j:nn(flum D quadrilatcri ir.ncniri dum ccntro A ra- dio A D — <^ dcfciibatur ciixuUis rcdam EF inter- f€ca.ns iii putldiO D; nam fi pcr D ducaiur D C pa- rallela ipfi B F, p.ueb:t in quadiilatcro ABCD angulos cxternos C' B A, G C D rclpeduie acquale» •ellc daris B, C , tumque ciTe latus A B :::^ <7 , C D rn '\ F =: r . A D rr ^. At circulns ccntro A radio zn /i' dcfcriptus reirtam EF in binis pundis int.rtfcare potefi , ilt y^iiuv ahcra intcrfcclio b' et dudi.t, D' C parallcla ipfi B F aliud conlcqucmur quadrnatciura , quod t.imen pro noUra fii^ura pro- prie loquendo ad noftram quacftionem non pcrtiuet, ^nzm m illo quadrihtcro anguli intcrui A B C , 13 C 'i' re-iicdliue acquivntur angulis datis B, C. Caetcrum fi cx A in E F normalis ducatur , A H, facile demonftratur eiTc : A E — f fiu. C — a fin. B ideoque ED-- POLYGO^^O.IVM RECTILTNEOHVM. 85 ED— V{Jci -{c Cv^ C -a fin. By) , tumquo F K — <7 cof^ B + f cof. C , hinc aurem fict Ahcr :uKe n valnr quo ^— -v/./8'J-(4-rin.C-flfin.B/)-/?cor.B-^cof.C pro !ioc can.1 fit incon^rnus , quum fit negatiuus m — D' F. Caeterum vt lo'uLi() fit poinb lis , in- telligitnr lunc pr:ie(cr;bi conditioacm , vt habeutur i^ > f fin. C — a fin. B- 5. Problemn 4. D^z/V o:mifbus qmdrilateri la» Hrlbus et a'!guh B inumrii angulum C. Hunc in fincm cuoluarur iile terminus aeqna- tionis noltrac prim.ie , qui continet cof. (B -j- C) , quo fadt ) conleqnemiir : dd—aa+ifb-{-cc{-^ a b col.B-fa ^cof.C^^-Ftsfcof.B)— 2 +^r+-2fl£'cof.B+£fl^g-fCcof.Ccof.F-fin Cfin.F), fiu* dd-aa-^rbb-^-cc-V^abcoL^^-^-zac^:!!!!^^!! eft vero Tab I. 5'S!i"''r' raiiicale indicat dupliccm pro d inucniri Fig. 5. valorcm 5 dudlu fcilicet quadriJateri ABCJ) diago- nali aC, dcfcrib.itur (upcr ca Kgmcstum c rculi qucd fufcipiat dngul:'.m CDA~i8o-D, critquc pun- -\-u-c} Tom.XX.Nou.Comm. M erit- fO DE RESOL VTION E critqiic vnde tang. i D rr cot. [ B. ^'J V '^. Ob \aIorem tang. [ D per fignum radicale indicatum, inrelligitur angulum D dupliccm conlcqui \alor(.m, quorum C\ prior dicatur D, altcr habebitur D'^36o-D. Tab. I. Nam fi triangulum ABC cx datis lateribus AB, BC l'j^- 4. et angulo ABC coriftruatur , fupcr cius bofi bini conftrui potcrunt triangula ACD, A C D datorum lat rum ct fi angulus cxtcrnus ad D pro triangulo ACD littcra D exprimatur, angulus externus ad D' in quadiilatcro ABCD' exprin.etur per 360°- D. Kem autem omnino ita fc liabcrc haud oblcurum cuadct , fi attcndamus ad ea , quae de acccptione \ocis anguli extcrni in Didcrtatione priori monui- mus. 8. Problcma 7. Datis lateribiis a , b , c ct afigiJis B, C, inuenire angulum A. Solutio huius problcmatis pcr aequatlonem no- flram tatiam perficitur , ex qua habctur afin.A-|-^fin.(A-f-B)H-i-fin.(A + B4C)iro, fiue fin. A ( a4- ^ cof B -\- c co['. ( B -H C ) ) rr - cof A ( /> fin. B + <; fin. CB4- C;} , hincque f„ p. A — ^/'>.B-cJin.(B-4-C) lail^. t\ — ^-|-^ ^^^ B -H c coj. ( B H- C ) ' qiiac fornr.ula licct ad computum incundum fatis fit apta, rOLYGOXORVM RECTIL.NRORVM. 9» apta , fequens t.imea transformatio qiioquc adhibcri poterit , quaerjtur ri2 D E R E S O L V T 1 O N E A-4-B+E = ^BD-|-i8o°-BADm8o°-|-BDA, quod omnino rede fe haber, cft cnim fin. B D A : fiii. B A D : : B A : B D , tumque fm. D C ^ : fin. D B C : : B D : C D , quare componeiido rationes fin B D A — B A./tri.B \ D.//1. PBC CD.jm.DCc * feu introduftis exprtliionibus analyticis fin. B D A - 'Juii^^JL^, cjin.C $i ponatiir A -h B + E :z= 180'' -j- F , facile p.Ue'^ arcum 3<)D°— F eunJcm habcre fiiium ac 180 +F , ficquc pro B duphccm prodire valorem , quorum prior c(t Br:i8o"H-F-A-H,alrcrB'-36o"-(A-hh-fF). Idcm vero ex contempl.iiione figurae inanikftum rcd- ditur , dcfciipto etenim tiinngulo B C D pro quo dantur bina latcra BC, CD cum angulo BCJ), habebitur pu;(fluin A quadnlatcri dcfcribcndo lupcr dia9;onali B D (egmcntum circul , cniod fufcipit an- gulum — 180° — A , ct centro B r.idio zz a ciicu- lum' , pro A enim affbmi potcrit altcrutrum puii- ' BC — Z^BC— 1 80°— 2F. Ell "vcro F~BDA , quare ficri oportec : ^^'BC-Z-BCn ABA'= iSo^-^BD A , quod POLYGONORVM RECTILINEORVM. 93 qnod fic demonftratur : iunda A A' patct eflTe ABA'ziiSo°-BAA'-BA'A= i8o-2BA'A ob BA — BA', hinc AB A' — 1H0-2 BDA , ctt enim BDA = BA'A. 10. Problema 9. Datif lateribus a, b, c e$ angulif A , B inuemre aiiguiujn C. Ex ae4Uiuiune tcrtia (latirn deducitiir fin. ( A ^ B H- C ) = - "Jia^^nihlLs^ll , qiine formula coirputo inflitucndo liuis corrmcda ett, interim haec tr.insformatio adhibcri poflet. Ponatur 7-nn.(A-l~B) — cof.Atan^'. E , critque fin. (A -i B + C)=:-^-(rm. A +cof. A.tang.E)r-"-^|^. Valor angiili C cx formula propofita duplex prodif, uam fi poiiatiir A-f-B+CriSo^-l-F, h.ibtbimus qiioque ahum v.ilorcm pro C, per qucni fit A+B-iC— 360 -F, anguli cnim ibo-i-F et 360*^— F cundem prorfus hjbcnt finum. Hoc auieni cx confirudlione figurae fiicile iUudratur , dudis enim redlis BC, A I) qu:ie Tab I. cum d:ua 1 nca AE — ^ faciuiit ani^ulos «AB, ^BC ^'S- 7« acquales datis A, B, caotaqne B C rr ^, fi centro C ra.iio ziz c defcribatur circuhis , pro qi.arto puncflo quadnlateri D accipi potcll: ahcrutra inttr[ed:io huius circuli cum recla AD Sint iftac interledioncs D,D', tumuut cfiedehebit IKf- fyC<;-— 2F— 180°. Duda autem CK normali in AD, fiet DCt--D'C6-DCD'=2DoE, vnde DCErF-po^. Eft aurem F:=^BC-i-flAB-f-i-CD-i8o'_::i8o"-CDE, iVl 3 hoc 94 DERESOL VT I O N E r hoc e([ F — ADC, quare liquet quoque effe DC-r-DCt— 2F- 180 = 2 ADC-180. XI. Problema 10. Dutn lateribin a, b, c ez anguUs B , D mienlre angidum A. Solutio ex aequatione noftra quarta deducitur , per quam fit fin. A ( £2 -f- ^ cof. B ) 4- ^ cof. A. fin. B = <: fin. D, hinc fi ponatur tang. E rr -*^'^^-^ fiet * o « -f- 6 co/ . B ^ fin. B ( cof A H- fin. A. cot. E) — c fin. D , feu jin.l- ^^'^- ( A + E ) = f fin. D , vnde coUigitur fin ( A -H E ) = "^Jiii^/^liE ^ ^ bjl:i. B Pro hac formula obferuare conuenit , quod E defi- Tab. I. gnet anguluni BAC hincquc habcatur A-^h-aAQ^ F"g- 5- facile autem pjtct efle fin. £7 A C : fin, A D C : : C D : A C tumque fin. i; B C : fin. B A C : : A C : B C , \nde componendo rationes crit f.n ^ \ C ■ C r. ■in, \ D C.//n. B .. C lin. fl A L _ — ^^^-^^^-^^ , feu introdutflis exprciruMiibus asialyticis fin. ^ A C = "Ji?;^;/'^-?. (^uum pofito cJvuv.(l2iL.— ^n-\. a AC, bjin. a ' pro A-+-K fiimi potcrit \el ^AC, vcl iSo-d-AC, patet hinc pro A binos prodirc valores , priorem A=:^AC-BAC, akcrnm A' — 180"-^ AC-B AC, qucid pcr conflriidicncm Geomciric.im cgregic confir- mntur , dum lupcr AC lcgmentum circuli concifli- tur dcCcriptum , quod lulcipit angulum ::i:i5o° — D ec PCLYGOOTRVM RECTILTNEORVM. $ j ct centro C nidio ir r defcribitiir circulus hoc legmcntuiii in pmi(ftis D, D' inttrlccans. Dndis enim adis a A D , «' A D' , fiet rt A B =:z A ct rt' A B = A' ex quo tflc oportebit A-A'rrtAB-«'AB=DAi:i'=;tfAC-i8o'=^AC-CAD' luncfl.i autcm D'D ob CD'i=CD , piitet effe C A D - C D' J) — C D l;' idcoque «rAC-CAD^^AC-CDD', at in quadrihitero A C D D' circulo infcripto eft omniuo ^'aC-CDD', hinc aAB-a'AB-aAC~a'AC, quod per fe eft miinifcftum, 12. Problema 1 1. Datis laterlhus a, b, c et angulis A , D iniisnire angidwn B. Per aequatiotieni quartani fit fin.(A-t-B) — e.fin.D-^fin.A.' Eui'ens antem efl: hinc pro B binos produci valo- res , nam fi ftatuatur ?-fin. D— 2- fin. A — fin. E erit 0 0 \el B — E-A , vel B'— iSo — E — A. Katiohuius duplicis \aIoris pro B ex confiderationc figurae quo- quc rcdditur manifcfta. Si cnim dud.ic concipiantur A B , A E quae cum reda pofitione data A D an- Xab. I. gulos condituunt «AB , EAD aequales iplis A et D, Fig. 8. tumquc relccentur AB — b ct AE — £•, atque per pundlum E ducatur E C C paralkla ipfi A D et centro B radio = b fecctur haec rccla in pun(flis C, C, nec non per C, C agantur Iincae CD, C'D' . parallJae ipfi A E ; patct bina illa trapezia ABCDjABCD' conditionibus Problcmatis fatis- faccre, u. 95 DE RESOLVTIONE facere Pro noftra autem figiira fiet angulus E=:A-Hlini8o°H-BCG ideoque qudm E exlupcrcc iSo°, paiumus A -i- B =: I 80° ^ F , jta vt fit F — B C G , eflcque debebit A-h+Wzz 360°- F , hinc B' — 360'- B C G - ^ A B. Ea vero B' =: 360' - ^ B C et B 3: ^ B C , pro pollcriori valore facilc condat efle ^BC=:BCG4-BADzri8o'-f-BCG-flAB, de priori autem p.itct cfic ^BO = BC'G-i-BAtf-BCG-|-BA^ ob B C — B C. Idcoqu^ pofito B C G =: F , erit B — I So° -^ F - A ct B' zz 360° - F - A. , 13. Problema 12. Datis latevibur a, b, c et fffigulis A , B , inuenii-e angulum D. • Ex acquationc quarta ftarim dcJucitur fin. D z= ^ fin. A -f- J- fin. { A -f- B ). Tab. I. vbj jg duplicitate anguli ]) obferuandom, quod fi vniiS '^' ■ eius valor cxprimatur per D>alttrum fnre D'z:i8o-D. Nam fi conflruatur triangulum ABC cuius dantur bina latera kV>-a^V>Q-b et anj^ulus ABCnSo^-B, tumque ducatur rcdla akV) quac cum AB tacit m-\' gulum rtABrr A, inuenictur punclum quadrilatcri D jn interfeclione huius rc(fl.ie cum clrculo centro C radio — ^ defcripto. Suit autcm binae interft^fliones . D, D', cx quo bini valnrcs anguli D prodibuiit, altcr =:CDG, altcr =rCD'G , ell vcro CDG+CD'G=:C DG-fC U Az= 1 80. 14-. FOLYGONORVM RECTILTNEOKVM. $7 14, Problcina 13 et 14. Datis quadrikfm an- gnlis et lateribus a , b , inucmre latus c , i;et datis tingJis it luteribus a , c inumre latus b. Pcr aequationem quartam fit cz.' '"' ^ "^ jf^ d-^— et ^-'^i"'- F-"~-^#^. PJtet autem pro i* et i; nuUam adclL: ambiguitatem moJo anguli quadrilateri pror- fus funt dcterndiati i fi eiiim dentur anguli Tetragoni et bini eius latera , reliqua quoque latera non nifi "Vnico modo determiiiari poffunt. Et primum qu:- dem li dentur quadrilat<.ri lat.ra AB, BC parct Tab. I. dudi diagonali AC, tnangulum ABC prorfus de- ^'S- •«■ term'nari, pro triangulo auttm ADC dari dingona- lcm cum anguli> , quare akerutrum rdiquorum vt CD non nlfi vnicum recipere potelt valbrem. Sin dentur latcra AB, CD, conipiatur per B ducta j--^. 7. BH parallela et acqualis ipfi CD, ec iungutur AH, runc in tnangulo ABH, ex datis binis lateribus AB, BH et angulo ABH , cognofcentur anguli BAH, BHA, et latus AH, hinc vero ob daros an- gulos BAD, BHD dabuntur in triangulo AHD omncs an^uli cum latere AH, ex quo eruitur laius HDr::.BC cuius quo^uc non nifi vnicus efie poteft valor 15. Solutioncs fnpra allatac ad cas quaeftiones praecipue fpedant , quibus ex datis quibusdam par- tibus cognitis 1 etragoni , pars quuedam finguiaris inco^nita , htus nempe vd angulus feorfim inuefti- gari dcbct ; at fi ex iisdem datis plurcs partes qua- drilatcri fimul dcterminandae luut , quaeftiones non- Tom.XX.Nou.Comm. N nun- pS PE RESOLVTIONK Bunquam aliquanto compendio abfoliu poflfunt., qua- Tum igitur folutiones ne aliquid in hac dodrina dc- fijcrctur , heic quoque explicabimus : Problema T. Datif lateribus quadrihteri a, b, c et angiilis B, C, inuemre reliquos angulos A, Q et reliquwn latus d. '/ Hcic in id imprimis intenti crimus, "vt bini anguli A, D fimul determinentur , quod facile fieri potcft , inijdu coium ^.u^iiurcaiui dlffciciiiiu , fumma ciiiui iam cognita habetur zz 360* — B — C. Qiioniam igitur per aequationem noltram tertiam cfl flfin.AH-^fui.(A+B)4-<^iin.(A4-B4-C) = o fi loco A fcribatur A-i-B — B, fiatque euolutio ,' prodibit «fin.(A + B)cof.B-tfCof(A+B)fin.B + ^fin.(A+B) + ffin.(A+B)cof.C+fcof(A+B)fin.C-o cx qua aequationc dcducitur ; Tano- fA -I- Rl — nJ;r..B — c/m. C " quum vero fit A + B = 360 — C — D , fict A-1 B=rUA + B-C-D)+iSo°, vnde coUigitur Tang. ■ (A-D+B-C) -- ^^i^^-^-^. , cx qua acquatione ob datim diffcrcntiam i (B — C) innotefcet a(A — D). Porro fi confidcrcmus effe V A n^ - 'Tang;. l ( A-D+B-C) - Tang. J (B-C) Tang. , ( A D) _ ,^^3,,^ . (A-D>B-C)Tan£.aB-C) tumque POLYGONORVM RECTILINEORVM. p^ tumque fin.B-rin.^(B+C)cor.:(B-C)+cof^B+C)rin.;(B-C) cor.B=cor.'(B+C)coU(B-Cj-fin.UB+C)rin.'(B-C) fin.C--fia.|(B-l-C)co(:'(B-C)-co(.'(B+C)rin.-(B-C) cor.C=cof.UB+C)cof:(B-C)+fin.;(B+C)fin.i(B-C) : perfpiciemus effe flfin.B-fin.i(B-C) Tang. KA - D) _ ^^_^^^ ^^,_ . (B+C)+^col. l (B-C)' Gietcrum haec formula aliquanto ficilius fic inueni- tnr : quum fic pcr aequationem quartam a fin. A -- f fin. D = - ^ fin. (A -f- B) , fiuc cfin.A-^-fin.D = -i-^fin.aA-D+B-C) = ^(fin.;(A-D)corUB-C) +co(;:(A-D]fia.i(B-C}) confequimur i (^-^)(fin. A+fin.D) + 1 (fl+0(fin.A-fin.D) = (^-^)fin. UA+D) cof ', (A-D)+(«-i.[B-C)-f-'-Q3i"m.C~;i'c/fn.B „-,1 "'•^ ~ * ^* — o'-4-i'-f-:--t-:n6co.E-+-:nccoJ"(BH-C;-J-:deC3/.C Tan? (A - D) — (a' — c')r/n.(B-t-C:— iVm.(B--C?-H'-fl6jm.C — 2hcjm.i ^* ^ '' (9^^c"-) c3j.(B'-f-C;-H-6-coj.(B-C)-H-'!C-(-:aico/.C-t-jf':co/".B quae formulae inde dcducu.itur , qucd fit Tans. A — — (^'/'''•'B-t-cJ"'-(B-4-ci _j. ^* a H- i wj- B -(- c coj. (B -j- C) Tanp- 7) — — J,^/^"' c -K_a/m (b ->- C)) _ ^* -^ — c -i-bcoj. C -+- c co/. (B -+. C) • Si in formula pro fui. (A — D) , ponatur h — o quo cafu Tetragonum in trianguhim nbit , fict <\n /" A _ n^ — t"^ — *=')■/'«• '3 -+- C) — (c' — <>';/z>!.;a-4- D) iiu. ^A iv; — 5i-_f.c^.t.7icco/.:B..+-C) — a^ quae eft cgregia trianguU proprietas , haud vulgo cognita. Inucntis per formulas pracfcriptas omnibus anguhs quadrilateri , latus d per acquationcm quar- tam qr.aeri pollct , praellabit tamcn formularum heic allatarum vfum adhibere. Scilicct cx §. z, dcducitur dd - {a fin. B - c fin. Qf -\-(b~\-a cof. B 4- ^ cof. C)' ; inucnto igitur Tang. ; (A - D + B - C) = ^^^ , Set POLYGOXORVM RECTILlNEORVM lox a fin. B — r fm. C Dcnique ob d d -{( a - c) ^m.\[V, ^ Q) - b dn. \ {B - C))* + ( ( fl H- O cof ■ ( B + C ) + Z; cof.i ( B - C ) f il quaenuur T ..A T^^ ^^-^)fi"-'(B+C)-/>rin.:(B-C) ^ Tans..(A-D)==^^^j^— — — — , fiet _ (^-Orin.KB-^-C)-^rin.KB-C) ftii. i(A-D) • 1(5. Problcm;! IL Daiis hueribus a, b, d et an- gulis B, C inuejligare rehquos angulos A, D Qiiia hoc cafu anguli A, D in difpnri funt ra- tionc (ufficiet altcrutrum corum quaeriuifle , angii- lus autcm D facillime inuenietur per hanc formulam fin. D — ^ -^"'- ^ -^-^ ^^^^' , quo inuento crit Ar=36o'-(B4^C + r) ct ,- — i£!i:JL-=|i^: i£=hDJ vcl fi placct frr-^cor.C-^cor.(C+B)-^co(:(CH-B-f-D). Siquidem \ero angulus D duplicem rccipit valorcm, li.juet omnino pro c binos quoquc prodirc valores. 17. Problcma IF. Datis lateribus a, c, d et an^ gulis B, C inuenire anguhs A, D ^^ latus b. Pcr aequationem quartam habebimus pro hoc Probkmate flfi^.B-HflTin.^AH-B^-f-fin.Czro, ex quo colligimus N 3 fin. 102 DE RESOLVTIONE fin. (A ^- B) = ^ fin. C -^ fin. B , tum vero fict z, ^ _ (o Un. A -f- cfin.. (A -f- B -+- C) ) Practcrea notare iuuat ob B + A^s^o^-C-D.cffeB+AiriSo^-ivB-C^A-D) et fin.(B-l-A)— -fin4(A-D + B-C), ita \t fit fin. ^A - D + B - C) = ^ fin. B - f fin. C Qiium pro fumma angulorum A, B ex aequatione fin. (B -\- A)zz^ fin. C - |- fin. B duplex prodeat valor , ncceffiim omnino efi vt proil- ti vnus vcl alter horum valorum adhibeatur in ae- quatione nofira pro b , koc latus duplicem fortiatur valorem. i8. Problema IV. Datis omnibus Tetragoni hte- ribus et av.gido quopiam B , reliquos inuenire aiiguhs. Si per Probl. 6. innentus fucrit anguUis D, rc- liquum ;(t vt quaerantur anguli A et C et quuin eorum iam cognofcatur fumma — 360° — B — D , tantum opus cft vt diffcrcntia A — C inucftige- tur , quem in finem fequenti modo procedere Jicct. Quum fit flfin. A -f- b fin.(A + B) -\-cfin. (A -+- B 4- C)zr o ^;fin.C-i-rtfin.(B-HC)-H^fin.(A-hB + C)zro fi prior aequatio per zz + Ufl'z>-dr^) fin. E (cof. A +cor. C)- ^JZ^ + ^fXcol. C -^cor. A)z: o fiue L (fl^-^^-l-(^^/-^f)cof.B)fin,|(A + C)cor.,'(A-C) + («^ + /?£-+(^^+flir)cof.B)cof i(A+C)fin.^(A-C) + (6^-tff)fin.Bcor.UA + C)cof^(A-C) -(^^ + ^i-)fin.i(A+C)fin.ifA-C) — o. Ex pofieriori autcm euolutis tcrminis cof. (B + A), cof. (B-j-C) confequcmur IL (^^/-^pr/+rtOcof UD-B)), fea _ (r.<^-^c-)fin.i(B+D) + (^^-^Onn. 'q^-B) 1 an^. i ( A + C) _ (:^'^,.)co[.i(B+D)+(6^+af)cof ^D-B) ' Cacterum haec forinula rr.ulto ficilius inucniri pot- cfi , diicendo diagonalem A C quadi iljteri A B C D, nam fi d fFcrentui angulorum B C A, B AC indicc- Tali T. ti,!- p; r ]vi i;t: difTerenti.i angulorum D C A, C A D *'^- * pcr N, erit 1 (A - C) -- 1 (M + N) hinc Tang. ■, M + Tang. i N Tang. i (A— C) — n, -^r 7-7- > conftat aurem cffe Tang. : xM zz Tang. ; B ; " J' et Tang. ' N z: Taog. L D. ^-^^ ; hinc Tang. POLYGONOPvVM RECTILINEOaVM. 105 ^^•^^'^— CflT^)y H-}col.i b.coi. s D-(tf-z>jc/-f; iia.iii.liu. i D qii.ie formiil.i omnino cum fuperioii congruit , tum- que tt hoc modo cxprimi poteit : Tang. ,{.. L, _ ^^_^^ , ^^^_^^^ __ , ^_ ^^ ^^_^.^ .^ ^^^^^ . ^^ j—jT^ • Porro quiim fit Tang. ;(A - C+ B - D) _ 7+ 7,^(1:^qT^„7.-. ^ j:rB) fiet hinc Tang.KA-C + B-D)_ ^^.^-jI^^^.I^jI^r^^^DZ^^q:^- Cacterum inuento anguio D, faciiii.nc iaucaietur A ope (orauilac a fin. B + .^Tin. ( A 4- B) + i' fin. ( A -4- B -f- D) — o. 19. Probltma V. D^;/j lateribuf n, b, c ^; <7«*. B, D iuuenire reliquos angu/os A, C -?; /^i/wi d. Qiiiicratur primum angulus A ope formulae ex aequ:U:one qiiarta deduccndae fln. A :^ -4- i' cof. Bj 4- ^ cof. A fin. B — ^- fin. D, ponenco nimirum Tnng.E — -i^"--t„fietquc fin.(A-^E)r:'-4v^'^ , tum \cro fponte innotcfcit angulus C = 360" - (A -+- B -H D). Latus antcm d habtbitur per formulam J . « Jin. C — a iin. B /"-..(A-hB) Tom, XX. Isou.Comm. O Cacte- io6 D E K E S O L V T 1 O N E Caeterum pro hoc cafu tradi quidcm poflct forn^.uU valorcin ipfius Tang. ^ (A — C) exhibcns , quac ta- mcn complicatior ert, quran \t hcic iradi nicrcatur, 20. Vt ca mclius inteliigantur , quae in prio- ris Diflcrcfitionis §. z6. monuimus de cnumci.Ttione ioiutionum Polygoai , quac locum habent , fi re(pi- ciatur ad eius diagonalcs ct angulos di.igonalium cuntl Jateribus Poiygoni j pro Tetragono adferrc placet ex- pofitionem c.iruin folutionum , quas piaeter an^ulos et latera quadrilateri , diagonalis quacdam eius \cl anguli huius diagonalis cum lateribus, ingrediuntur. Antcquam vero hanc cnumerationeni iradere liceat » primum fequentes regulac gcncralcs quibus fundatur , erunt praemittcndae. I. In quacunque folutione Polygoni duo ad mi- nimum inueniri debent lineae, quantitos enim linea- rum ex meris angulis dcterminari nequit. ir. In omni folutionc Polygoni , dum pcr dia- gonales in triangula concipitur rcfolutum , non plu- rcs quam trcs occurrere delent partes ad vnum idemquc triangulum pcrtincntcs; nam fi plures oc* currcrent vti quatuor, quarta illa pars ex nibus re- liquis iam determinari ccnlcnda efc , idcoque cxcl.ifa hac parte , in folutionc tot non repcrircntur quan- titatcs , quae ad Polygonum dctcrminandum requi- Tab. T. runtur. Sic fi in qu.idriljtcro A B C D ponatur Fig. <). cfle inucfliganda acquatio intcr latcra A B, B C, j..^ C D, D A , diagonalcm A C et nnguluui B; intclli- gitur id rr.iaime eSci pjflc , fiquidem pro trian- gulo POLYGONORVi\l RECTILINEORVM. 107 gnlo A B C angulus B ex latcribiis A B, B C, A C iam pcrfcdc determinntur , pro triangulo autem A C D alterurrum latcrum C i>, D A cx diagonali A C et altcro htcrc , rainime detcrminatnr. 21. Ponamus pro quadrilatero A B C D, latc- r.i \t ante indigitaii littcris , (7, b^ c^ d ^ angulos litteiis A, B, C, D, dingonakm A C littcra e ex- primi, angulos vero BCD, ACD per littcras y, 'y'. Si itaquc quaerendac fint folutiones , quas dia- gonalis c \el anguli y, 'y' ingrediuntur , ftatim patet bina carum gcncra conftitui polTe ; qucrum prius continet cas Jblutiones , quas diagonalis e in- greditur , poRerins illas in quibus noii quidcm hacc diagonalis , lcd tamcn \el \tcrque , vel altcrutcr iingulorum y, y' rcpcritur. Pro priori genere ob- feruandum cil , angulnm A fcmper \na cum diago- rali in folutione adcfle dt.berc ; quum enim folutio- rcm fex omnino partcs ingrcdiantur , et earum par- tium quae ad triangula ABC, ACD pcrtincnt, non nifi tres occnrr.rc prfiuit , quarum iam \na habetur diagonalis A C vtriquc triangulo communis, intelligitrr practer lianc partcm binas tantum cc- currerc poffe , ad vnumqurdquc triangulum perti- ncntcs i quare ncceffum c(t vt faltem fcxta pars re- periatur , quae ad ncutrum horum triangulorum pcrtincat , cuiusmodi efl: angnhis A vcl C. Pro pofieriori autem gcnere , non videtur hanc rcgulam eflTe ftabiliendam , vt angulns A \el C fblutionem femper ingrediatur , f;c nullum quidem ell cubium inter has fex partcs a-, h, Cy d^ y, D aequationem O i iiuie- icS DE R f/so'l V T ro'-:: E inucniri poffe , quod fi praeftiirc licet , nec nccclfa- rium crit , \t aiigulus pcr qi:cm tranfit diagonalis m foUuione occurrat. 2 2. Pro priori gencre rubdiuifiu folutionum iii certab claflcs ex eo prineipio deduci ptncft , c]'ood practcr diagonalcm e vel c]uatuor , \el tria , vcl bi'- na , vcl rar.tum vnnm qnadrilatcri latus foUuionem ingredi queant. (^uo principio adhibito fcquentes confcqucmur lohuionum prioris generis Clalks cc ordincs : Partcs Tetrngoni fo!ut. ingredicntcs : I. Claflis. Ordo I. a,b,c.r/,e,^ II. ClalVis 1. a.h..c, e,A^l) 2. a,b,c, Cy A, C 5. a ,c>^ 4. ^,r,A,y,C,D rOLYGONORVM RrCTILINEORVM. 109 fmt , huiusmodi fiint tcrtinc cLiflis prdo tertius ct qiurciis, nani in aequationc quam pio ordine tertio locum habere rupponimus, fi in locum ipfui? C futH- ci:uur 360 — (A+B+iJ)) coiircquemur aequnrio- rn.m pro orclme quarto. Simili r,D,y'. 6. a, i-, A,B,D,y. 7. a, t', A,15, l), a. 8. a, c,A,V,,a,y'. 9.a,c,A,C,a,y. 10. a, c,.\,D,a,y. ii.a, (J,A,V>,C,y'. 12. a,(f,A,\l,C,OL, 13. a,d,A,r,,D,y. 14. ,C,D,a. 19. a.d.?>,C,ci^y. 10. «,A et nngnio Xab I. B A C inrtftii';indam cfle lineam B 1). Prin i m F.!iye Ltus BC^^b ct ar.gulos ABC-B,BCD^C. Ex trianguio BDC babetur BC^ED +CD'-2:BC.CD. cof BDC, cft \ero BD;AD::nn.A:rin.(A+)-2cdcolT)y, ex qua formula facile coUigitur fc6-(flfin,A-<^fin.Dy+(dr-«cof.A-<:cofD)\ hiuc^iue pCLYGONORVM RECTILTXEORVM. 117 hincqix fi rt.uuatur Tj.ic> k — '"'"• ^ --lli:: P— - , pro-iiVif X j.i^. r — ^ — a.-J,- A — c cjj. D ' ' t afin. V — cni. D — - J — a CJ(. A — e nf. -^ _ — J.a. F eoi. I* * „ lam vcro cciiiU.it efTe djiii*--, et ^ — ^ '"" « ita vt fiat «- c ) W' \fruS Jm. ! 1 -f- r>)-~ m. a//-. p./' ". ' ^ -»- ^ ) , . \bi {[ notetur eflre fin.(A4--^)-«^fin.B.fin.D (cot. 1 + CUt. L) quocirca bnnc adipifccmur acquationcm : ex qua quoniodo dcterminari dtteat angulus C; iara fpontc li ]uct. 3r. Pro acqontione fccunda obfcrucmus , cam fcqucnf.hns cx;',riiiii p 'flc iViOJJb : I. (e+dd+icdci:\.'^. — [l+afin.B+f'in.,B vC))\, Ex harum piiori iac lc dctermiiatur latus b, quum fit (Z;4-flcoI.E+f.cur.Cy~(f +«')'- (ufiii.B-ffu\C/-4f^fin-^^-'» POLYGONORVM RECTILINEORVM. 121 fi enim pon;Uur ^g^fin.jF/ (e-\-d^aa.B-c hn.Cj(f+/'/-« lin.B-K liu.C)— "' ^ » prodibit b+acol.B+ccoi:.C-coCGVie+ii+aCm.B-cCw.C]ic+d-a^i^3+cCin.Cy Simili fere rationc ex lecunda exprcfiioiie dctenri- nutur latus a^ tumque ex Ttrauis elici pott-ll e. Si quaerendus fit angulus E, ilia acquatio : ^ed{in.{E'=iie-{-dy-{a{\n.B~cCin.C)'-ib+acoiB-{^co(.Cy commode adhiberi poteft , nam fi ponatur f?) _*_ • cof. B-4.cid/.cL — fin. H' , fiet (^ _^ df — ,^jjn. B — cjm. C;« 4^ ^lin. i E':=((^-|-^/-(^fin. B - *+/+ 2 ^^cof C+ 2 tf cof. B [b+ccoCC) — 2aciia.B.Cm.C. lam quaeratUT Tang.K:^^-i^-^-, eritque /^*+/+. J.cof. 0-^,^^ Vnde cnnfequimtir ^'+ c f ^cof E 4-^' - «' +'=^^^'1!^+ 2 «f g-f cof (B -f- K) , Iiinc fit ( quibus exponendis immorari non cft neccflc. OBSER- OBSERVATIONES CIRCA NOVVM ET SINGVLARE PROGRESSIONVM G E N V S. A u c to rc L. E F L E Fy. 0. I. Inter res faepenumero, qnne attentione nofira haud dignae videantur , obferuantur quaedam, quae fa- tis profundam iifueftigationcm requirunt , ac uoti parum (ubUmibus fpeculationibus occaficncm prae- ben . Quod cum plurimis exemplis confirmari poS' fit , tum nuper etiam iple fum expertus , dum quaeftionem illam tyronibus notiffimam , attcntius contcmplarem , qua quindccim Clirilliani totidemquc ludaei ita ordine funt coUocandi , \t fi , numerandi initio in dato loco fumto , nonus quisquc vcl deci- mus in mare fit eiiciendus , haec poena in folos ludaeos fit cafura. Quae quaeftio etiamfi in fe ni- hil habeat difficultatis , tamcn mox vidi , fi in ge- rcrc de hominum numero quocunque , ex qu bus ron nonus led fecundum alium qucmuis numerum quotusquisque fit eiiciendus , proponatur , difficilli- mum fore, ordinem eorum , qui continuo eiicientur, afllgnarc. Neque adco methodus conllat hoc in ge- Q, 2 nere tij^ N O V V M rcrc pracftandi , tametfi qiiniiis cafii oMflto , dum numcraiio aclu inlHtuitur , (olutio f!ic UiiTie obtine- tur. Ex hoc genere haud parum curiola mihi \i- deriir qu.ieflio , fi v. gr. ex plurium fontium nu- mero is (olu!' fit fupjlicio iifficiendus, qui, poftquam nonus quisque vel (ecundum alium nurrerum cx ordine fucnt cxemtus , tandcm \ltimo folus fit rc- rnanfurus ; hic (cilicct maxime intcrcrir, ante noffc illum fatalem locum , iu quo numeratio illa \lti- ino tcrminabitur,. 2. Quo omnia quac Fi'c inueniganda occur-- runt , clarius perfpiciaiuur , cafum illum pcrpenda- mus , quo cx (eric 30 notarum nona quaeque ex~ pungitur, quod negotium numeratione aclu iulbtuta ita commodiffime reprae(entatur :: I a34j6"78 p 10 1 I 12 13 14. I s i(5i7 1 8 15 :o n 2 2 2 ^24. •!? if? !7i8 2^ 30 I I I I I I ) I I 1 I 1 ( M I I i I I M I I I I I I I I 23 20 28:4i+4.7i2iipi6i025272Ssi8 2 8 29jOi3lSii22<5 32117 P Hic fupcriores numcri indicant; quoto loco a primo computando quacque nota fit pofita ; inferiorcs Vtro numeri oltcndunt , quando quaequc c iciatur , duin fcilicct continuo nona quaequc cxpunginir : Ita patet , primo nonam , fecundo decimam oftauam , tertio victfimam fcptimam , quarto fcxtam , quinto decimam (extim ct ita porro expungi , donec \lci- mo dclcnda (upcrfit (ola victfima prima , qui adeo foret locus ille fatalis ante memoratus. Si indices eiedornm ordine difponantur , indicesque notarum iublcnbaijtur , haec lerici piodibit, Indiccs PROGRESSIONVM GENVS. 125 Indices eicdionis #,i8,27,',I^VM GENVS. fcrics ciccHiionis pro numeruLorc a »27 I 2j4, 3, I 2,4,1,5,3 2j 4, ^, 3, I, 5 2, 4j ^, It 5» 3, 7 2,4,^j 8, 3,7>5> ^ 2,4, ^, 8, I, 5, 9» 7, 3 2.45<>, 8, 10, 3, 7) i, 9, 5 4, <5, 8, 10, I, 5,9, 3, 11,7 y 4,5, 8, 10, 12, 3,7, II, 5, i,P 4,5,8, 10,12, I, 5,9, 13,7, 3) " 4,5,8,10,12,14,3,7,11,1» 9,5,13 4,5, 8, 10, 12, 14, I, 5,9, 13, 3, 11,7, 15 4,5, 8, jo, 12, 14, i^, 3,7> II, 15, 5, 13,9; i> Hoc fchema infpicicnti ftcile crit pluribus modis ordincm quenJam oblcruarc. Virimi icilicct tcrmi- ni manifcflo tenent progrclilonem arithmeticam bi- riario crcfcentcm , dummodo termini yui numerum Botarum ciT:nt fuperaturi , infra cum deprimantur , numero fcilicet notarum inde detraflo. Ita cum prirno habeatur i , pro fecunda ferie \itimus", qui forct 3, binario fubtrado ad vnitatem reducitur j hunc fcquitur 3, ct fequens 5 numerum noiaruin \nitate fuperans ad vnitatem reducitur , et ita por- ro. Si.mili kgs progrediuntur termini penultimi , lum vero etiam antepenuUimi , r;tt]ue iidto omnes ab tii N O V V M numerus notarum I 2 3 4 5 6 7 S 9 lO 1 1 12 13 15 i6 ab ^ltimis acquidiftantes. Qiioniam igitiir omncs rt 5 1,4 3,<5, I, 5, 2,8, 4, 7 3, 6, 9, 4, 8, 5' 2, 7, t 3,^, 9> ^»7, I, 8, 5, 10,4 3^ ^j 9) '> 5, 10, 4, I «1 8, 2, "7 3,6, 9, 12, 4j 8, J,7> 2, II, 5, 10 3,6,9,12,2,7,11,4,10, 5,1, 8,13 3,6, 9, 12, 1, 5, 10, 14, 7, 13, 8, 4, ii> 2 3, 6, 9, 12, 15- 4> 8, 13, 2, 10, 1, 11,7, 14. 5 3, 6, 9, 12, 15, 2,7, II, i6, 5, 13,4, 14» 10, I, S. ctc. Intcrim tnmcn ctfi fccunc^um lineas hrrizontalc? ct verticiiks ordo maiiis cll .iblUufus , lanun in '^lti- 111 is PROGaESSIONVM GENVS. «5p mls Iterum progreflio arithmetica fe proJit fecun- diim ternarium crefcens; iiaccque eadem kx quoquo in penultimis ct antepenultimis vt antc depreliendi- tur , cx quo et has feries facillimc continu.ire licet, 7, Circa hanc legem in tcrminis vltimis lo- cum habentem dubitare aniplius non poterimus , du:n ea adhuc pro numeratore 4 obrcruetur. Pari ergo modo leiits eieftionis iudc creiflas repracfea- lemus jiumerus| feries eicdionis notarum | pro numeratorc 4. o 4- 5 6 1 8 9 10 II 12 13 14. 15 X6 4, I, +j 3> 45 I, 3, a 5) 2» I I, 3, <^, ? ^» 5, 7, 3, 2 4, S, 5, 2, I, 3) 7i <» 4, 8, 3, 9» ^. 5> 7> 2. r 4, 8, 2, 7, 3, 10, 9, I, 6, 5 4> y, i> II, 7, 3, 5, ic, 9 4, 8, 12 5, 10, 3, I r, 7, 6, 9, 2, 1 4, 8, 12, 3, 9, 1,7, 2, II, IJ, 13, 9 + ,8.12, 1,6,11, 2, 9, I 5, 1O1 5, 3, 7, 14, 13 4, 8, 12, 16, 5, 10, 15,6, 13, 3, i4>9) 7, II, 2j I etc. Hinc crgf^ Lx illj in f.ricbus ob'ique defcendentihus loai.XX. Nou.Comin, K prur- X3d N O V V M prorfus conflrmatur , quae fcilicet hlc Aint arlthmc- ticae quaternario crefccntcs , dum termini numerum noftrum fuperantcs infra eum deprimnntur. In ferie- bus autem horizontalibus et verticahbus ordo fit continuo intricatior. Quin etiam ipfa rei natura iii (I;riebus horizontahbus nuUam progrcflionis legem patitur , proptcrca quod eae , cum omnes numeros iiotarum numero non maiores fucrint complexae, \I- teriori continuationi aduerfintur , ita vt continuatio tanquam imaginaria fit fpccflauda. 8. Kn ergo infigncm legem , cuius ope pro quouis nnmcratore et notarum numero , nota vlti- mo eiicienda aftignari potcli Exiltentc fcilicct nii- meratore zrn , C\ pro notarum numero v vltima eiicicnda fit z, feu indici z refpondcjt , tum pro numero notarnm v+ i, vltima ciicicnda erit z-{-fi> fiquidcm non fit Z'i-n'^v-\- i; at fi ^ 4- « > >'1-|- 1 , vltima crit .s + « — v — i vel :: -H « — 2 (v 4- i) ■vcl z -{- n ~ ^ (y -{- 1] , vel generatim diuidcndo z -\- n per y + i , rcfiduum ex diuifione rclidum dabit indiccm vltimae notae eiiciendae. Vbi notetur, fi diuifio nihil rclinquat , tnm pro rcfiduo o fcr.bi notarum numerum v -\- i. Cum ergo pro nuincro notaru.n n co£;nita fuerit vltimo ciccfta , pro omni- bus notarum numeris maioribus vltimo cieda facilc per hanc regulam afiignabitur. Perpctuo autem fi vnica fuerit nota , e.idem quo:]uc erit \himo ciccla, feu fi fuerit v — t ^ crit z zz. \ , vnde fcquentes omncs fine vllo negotio rcperiuntur. Quae rcgula eo raa^is cft iiotatu di^na , quod finc cicctior.is or- dine PROGRESSIONVM GENVS. 131 dine cognlto ftatim vltimo ciiciendam exhibcat , ct- iamfi ea manif;fto ab ordinc antc eicdaium pen- deat. Quamobrem haec rcgula mcrito tainjuam in- fignc Theorema fpedari dcbet , in cuius demouftra- tioncm inquirerc omnino operae erit pietium. 9. Scquenti modo autem eius demonftratio commodi(hme adftrui videtur. Confiderctur notarum numcrus y 4- i , vnde fecundum numeratorem n prima fiat ciedlio , quac cadct , in notam n , fiqui- dcm fuerit « 10 veL erit Q-^-n—io nifi G-i-n>i5 CtCc^ R 3 quem- ,34 N O V V M qucmlibet autem terminum ad fuam debitam for- mam deprimi oportet , antequam ex eo fequentem ope regulae demonftratac eliciamus. 13. Pro cafibus autem partlcuhribus ad tcr- ininos \alde remotos pcr (liltus progredi licct , vt non fit opus onincs intermedios euoluifle. Scilicet fi pro nnmeratore «, indici k, qui hic notarum nu- mcrum fi^nificat , refpondeat terminus a , tum in- dici y -H A* refpondebit terminus a-\-nx ^ dum fit a-Vnx^^v-^rX fcu .v^^^^": quin adhuc hic termi- nus rede fe habet , fi .v vnitate nugcatnr , hoc eft fi A' > ''-^^ , \t cxceflfus vnitate fit minor , tum- que indici v-\-x refpondecit tcrminus (^n-\)x-v-\-a. Simili modo ab hoc per faltum ad rcmotiorem ter- minum peruinire licet , faltus autem continuo fiunt maiores : per fingulos autem (altus tcrmini in pro- grcfiione arithmetica fecundum numerjtorem « cre- fccntc procedunt. Ab initio quidcm fiuguli termini feorfim (unt definicndi , fiatiin autem atque ad in- dices numeratore maiores peruenitnr , calculus per faltus commodius infiituitur , cuius fpccimcn pro rumeraiore 9 opponam , \bi pcrpctuo numeruin y — a per 8 iia diuidi oportct , vt quotus nimis magnus accipiatur : tum enim ipfe quotus dabit va- lorem ipfius .v , ct rcfiduum erit tcrminus pcr hunc faltum (equens : Serics PRCGRESSIONVxM GENVS. 135 Series pro numciatore 9 Indiccs 1,2, 3,4) 5, ^, 7, 8, 9, lo, u, 12, 13, 14, i5,t „ - !, r^ cui refpondet terminus 2, rcfidio ■ \ indicatus. 1 2 1 440 ^ ^ ab 135 N O V V M ab 39^^ rubrr. 2 Hinc coUlgitur pro indice 4455 — TT" tcrmiiius i, 8)39 5 9 Ab hoc autem faltus foquens \lrra 5000 extcndi- tur ; neque tamcn viaeo, quQmodo huius fcriei t.r- minus verbi gratia dccics millefimus vtl adeo ccn- ties milkfimus nifi ialtibus hoc modo continuenJis, afhgnari polTit r in.lices quidem pcr hos faltus cre- fcentes fccundum progrcflioncm gcometricam in ra- tione 8 : 9 proxime crcfcunt , fed quia h' c tantum proxime fit , hinc iiullum jubriiiium pro continua- tione obtinetur. 15. Hinc crgo pro qunuis notnrum •niimero, dummodo 5000 non lon^e fnperct , inquam ci £tio- nis fors podrcmo c;idct : tx (erie lcilicct hic per ijlius cxhbita is tcrmiiuis qu.icri dclet , qui indici notarum nnmcro acqu.li rcfpomict. Pcrietuo lcili- cct index proximc nanor iu.njtnr indcque progrcflis aritlimetica vsqne ad indiccm propofitum pcr diffj- leniijm 9 continuctur , qujd in iionnuUis exuiiplis declarari cxpcdict. I. Qnacratur fer'ci illin* rcrnvnn? ccnrefimu> : Proxime infcrior indix p. r (.,ltns ijuentus cfl jji , cni C( nnenit tcrmi: n- i. l.im mdc aJ cmtifliMim funt loca 9, ct nnnics noncni (< n 81 ad illum t.r- ininnm i aoiicicnto pmdit tcrn iinis cci tifinMis 82. (^uarc fi cx ccntum luniiLub is fii lupplKio affiucn- duS, PROGRESSlONVM GENVS. 137 dus , qui poflquam rcliqui per numcrationem ad 9 fueriiit libcra, tandem folus reliuquatur, haec poen* in 82''""* ordine incidet. If. Vt terminus soo'"" rcperiatur , calculus ita inftituatur : 200 Index proximus 1S5 tcrminus £ 15 per 9 dat 135 tcrminus quaefitus 137 III. Qiiacrntur tcrminus 500*" : 500 Indcx proximus 475 terminus 1 2$ pcr 9 dat 225 tcrminus quacfitus zzS JV. Qiiftcratur tcrminus millcfimus : 1000 Jndcx proximus 9(J.> tcrminus 5 3<) per 9 dat 354 tcrminus quaefitus 329 "V. Quaeratur termiuus 5000""" : 5000 Index proximus 445 <5" terminui r 54.4 pcr 9 dat 4^9^ terminus quaefitus 4697 17. Confidcratio luiius-mooi fericrum tam fa- cili negotio tora andarum non Juium cft lucunda , Toni.XX.Nou.Coiiim. S ied 138 N O V V M fcd ctiam non parum ad numcrorum naturam tan* topcre nobis adhuc ablconditam fdicius perlcrutan- dam conferrc quicquam pofle viJetur. Eximium certe hoc eft exemplum, et omni attcntione dignum, quod fcries tam lcui opera non lolum formari fed etiam quousque libuerit , continuari poflit , cum ta- men eius natura et vera indoles nobis maneat pror- fus incognita , nequc vt aliae ad terminum genera- lcm rcuocari poflit. II. Simili modo etiam pro numeratore 6 ordines eiedionis fubiungimus Scries ciedionis pro numeratore 6 2. I 3. 2. I 2. I. 4- 3 I' 3- 2« 5- 4- 6. I. 3. 2. 5. 4 6". 5. 7. 2. I. 4. 5 6' 4- 3. 5. 8. 7- 6. 3. I. 9. 2- 5- 6. 2. 9. 7. 5- 8. II. I 6. I. 8. 4. 2. II. 3- 7. 5. lo- 9 16. Viciflim autem fi detur ordo eiedorum , qui ab vltimo rcgrcdicndo flt : z, y-> X, V , u , t , s , r ttc, ex co pro quouis numcratorc ct quolibet notarum ■umcro , initialis ordo notarum umcfligan potcriic. Numerus notarum j. 2, 3. 4- 5- 6. 7. 8. 9' 10. f^ T 4- I. 8. 7 10. 4. 3 PROGRES^IOMVM GENVS. 139 Qiiod quo clarius nppareat , fit numerator =: 4 et pro quolibct notarum nuniero ordo notarum fequca- ti modo fe habcbit : multitudo notaruin I ordo notarum iuitialis 2 zj zy 3 X zy 4 X ZJ V 5 zy V u X 6 V u X t zy 7 t zy s v u X 8 v u X r t zy s 9 zysqvuxrt 10 xrtpzysqvu 11 qvuoxrtpzys 12 zy s nq 'V uo X r t p 13 r t p m zy s n qi T V "** atque ex his fequentes duas fcrics , quae in forma propofita continebuntur , ibrmemus: i+|^Ci+fj+^(i+f.-i-^,)+^(i + ^+^+^J + etc.-P £X principio fupra llnbilito habebimus: I -I I P+- Q.^f'Z^i'f-Zi -i-fz^;^ vnde fi alterius harnm duarnm nouarum fericrum fumma vndccunque conftaret , hinc alterius quoquc feriei fumma afii'^nari pofict. Summas autcm ferierum I 1 I .1 I -i- ;:;s -1- T^ •+- T^ H- etc. feu f^ hic vt cognitfls fpch ^^ ( I + ^Ti— 7 + ^;r:r7 + . . . . 4- ^V:::^ ) W/(w+l) II I ■^ rl^-'^^ '■^^- = "^ I^ "^- • • ' +^^^) m(m+i)(f;2+z) i i i ■^ i.2.3«™-+-^^^^^"2'"-^'^3''-^'^-'*'~^^^i^^ etc. vbi fignis fiiperioribus efl vtendnm , quoties m eft nnmcnis pnr , contm vero infcrioribus, Exprefllo autem haec lemper ell finita , quoniiim vtmmque terminorum ordinem tantum vsque ad /^ continuari conucnit. 8. Tribuantur iam quoque litterae r? omnes vfl- lores ab vnitate in infinitum , vt in vna fumma conpleclamur omncs (eries infinitas prioris ordinis §. 5. ad finiftram notatas i atque earum fumma ita reperietur repraefentata : nO}-\ri){n+z^ !_ r — 1. 2. 3 J z''-*-'-J z""-' ""^* T 2 -+- 145 MEDITATION^ES CIRCA Z -^ " / m I ,1 fft I I ~T~ T y ^m _(_ i-y ^n — I ~l / ^m ^ I C . n — i J m(m+i) I _ i_ — ?;;rw4-t ) i_ _i I._ ~ ^ 1.- .<, j f7;(;/;+i)(;«-r2) i i v/m-\-itm\-i) i i ^^ !• '^. J -« "J i. _. j ,« ^ etc, Similiqiie modo pcrmutandis exponcntibus m tt n fumma orietur altcr.us fcricrum ordinis ad dex- tram §. 5. difpofiti. His igitur exprcflionibus II I coniundis quantitns f -^^ f—a, —f^,.,^^ i° fequentenv formam transmutatur , quam pcr duas partes exhi- bcri conucnit. P^irs' prior. w I I in j 7 j \ ~i I j/ ^ni -t- 1« / ^Ti — t ~r" ~y ^~*~^ ( -,n — I / W(CT+ I ) II — w(w+ 1 ) I I "^ T ^. ^^ itl *^/ ^m-+-T' / r,n — T "•" ~ ^ / ^rn ^TT C n — » / _toCw+iXw4-2) I T -_?<;;;+! )(??/+£) i i^ T 2 « l^ ~i" ^j/ ^m-t-j-/ ~'i— I "~l~ - „ . / ^T.-f-j V -,;.—» / ctc. SERIES SINGVLARES. n^ vbi figna fuperiora valent , fi m fit numerus par.,. inferiora vero fi m fit numerus impar. F/7rj- altcra. + ( I ± r ]/':j-/:^ T/^r, ( ^ ) -^ r/7;/^ / m ft mimcrus impar : '2.m 1 I zm[m+i){m-\-z) i i 1 .V •>» 1 t <", ^ 'W .6 II 7« I I m{tft-\-\) I I Pro pojlerlor Ji n ^^ mimerus pnr. r— r— i^*Ldli2 r— r ^ ^ / ,vl • ) r,-^ ~T- y ~1 -f- J • y ,v"l » 2«(«+i)(;;+2)(;;+3) i _^i I. 2. 3. 4. ^u^*-/^™-* etc. .A-(-^--r— /— )-^^/— r— -etc f/z/T pofiencrji n y?/" jnnncrus impar. _'Ji r _i_ /^_i c;;;;;-}-i )/;+;) i j. r—f—' -r-L—(-L-\ "C^^+ 1 ) I I +y^T yn^+yA^n-t-. (.}::=^/i-A4-/^ quae 15* MEDITATIONES CIKCA qiiac pmefcnti formae rcpiignnre \idctur : Tcrum ciim f).^ fit- infinita , cius rclpcclu vtique pars al- tera /-^ pro euaaefcciite cft habenda. Quam ob caudim hinc nihil ad iuftitutum noflium conclu- dere licct. Ordo fccuiidus quo ejl m-i-n = 3. 12. Hic iteram vnico modo eft w— 2 et «-r, quandoquidem permutado liorum cxponentium nul- lum difcrimcn affcrt. Q_uare hacc expreflio /^./^— /^ refoluitur in hanc : a/^.A-/£T(i)-^/i.-A + a(p) + l/ir(l) quae contrahitur in /'^(jj ). Pcr minorcra autem methodum efl: /^(i)-^/ifj:)=/pA4-/^ ▼nde fequi vidctur: /;-(5) = =^/b quac conclufio etfi eft certa, vti deinceps viccbimu?, tamcn hinc ob infinita ci laiis confidere non Jicer. Hrit crgo H-i,(i + 0+i,(i+'+;) + ^(i + i + H-*)=:=/^ — 2(i-|-^+-.-t-^-f-^-hetc) quac acqualitas vtique omni attcntione cfl digna.' •Or.k> SERIES SINGVLARE3. x5.3 Ordo tcrtiiiy , quo m -•- « — 4. 13. Diio cnlus hic (init confidcrandi , quoriim primus c(t w — 3, et n—i^ \ndc forma /'—.ji^ — f-^ in hanc re(bliutur : H^/kr (j) - 'fb 'fk^+n (>)+l/^ C>:+/k7(i) ita vt fic ^/"f (^)^/'^ (y^) vi (^)==/kr •/;'+/^ -A-/^- Ex prima aiitem methudo habetur /^(r)+/r(>) = ^kr-/r-{-/^ . quae a.qualitas ab illa ablata rclinquit Altero cafu eft /« zi 2 et « — 2 , vndo colligitur f'i^'fk^ ~/b " ^=^^^./^-/iT(p)-=/^(^) + ^/?-/b~/b^)-^/j^(7) U cquc prrro ^/-^y + 4/i.(^) = 3/^./^+/^. At niethodus priia dat ^fb^rd^fb-f^-^r^ \nde concludimus fore /^(p) = ^/b-/^+i/^ "/^(r)==^yb-/b- Supirior vero conclufio fuppcdirat Tom.XX.rNou.Comm. V quae 154. MEDIATIONES CIRCA quae etiarn veritati eft confcntanea, cum Cit /'-./'— — !^ et f—^ — ^^i ita vt ctiam piior cafus noa ob- llante infinito ad vcritatcm pcrducat ,• quod tum fo- lum a vero aberrare videtur , quando infiniti qua- dratum/^./^, vti in primo ordinc vfu venit , in calculum ingreditur; quo ipfo condufio ex crdi- nc fccundo deduda iam liaud mediocritcr corroboratur, Ordo quartus^ quo m-^- n— $. 14. Sit primo w— 4 ct « zz i , vnde prodit pro /^^ .fL. -/L_ haec cxpucflio ; -^fk^ ♦/?- ^-f~ 'fk +/k- (i-0 +/^^ (.-) +/b (^r) +/b(i-) vnde colligimus fk ip)^fbi^-^rh(i^^f^'n+^fb-fb-fb' IVlctliodus autem prima dat /UjJ+/b(ir)3=/-L.^./^+/^. qua aequalitate ab illa abl.ita rcflat fb Cf^ +fb (y^ -fb iy)==^fb -fb -fb ' Secundo autem fit f« — 3 ct «— 2, ac pto/j-. -/^i -/b reperitur -^/b.A+/r, (3,) +3/^.(7) + =/b ./b + ^/^-/i-/k^ (i.)--/ ^ (p)-3/^ (^) Jdeoque fb (7^) +/r^ (ji) =/r, • fh -^fb P»^^^-^"^ SERIES SINGVLARES. 155 prcrfus vti prima mcthodus pracbct ; hinc crgb fit Scorfim autem hinc ferierum /i-^ (-,) ct /l-(-) fum- niae non definiuntur. lufra autem oftendemuSj eflc /^(^j^S/^./b-S/^ et/L,C^):,:-,/L,./L, + T/iT. Ordo quintus , quo m 4- « = 5. 15. Sit primo w— 5 ct ;;— i , eritque /-.-./i -/? = +/£s(;-) - ^/r. 'f~. - ^A^./L-r +/I ^y +/5. (5.) + r^^ +/;-T(p+/;^cir) vndc fit /^ (p) +/5. (>} +/.^ (i-,) +/,4 (^) + ^fh Cy) = /b-.a + 4/^./^-/^. Cum autem prima mcthodus det /4(p)-i-/^C)=:/i,./^H-/L, hiiic terminis infinitis eUdcndis fit /'.-a (>)+/bc>)+A:-,(>)+/L-. (^M=4/:-. ./.^-^/i-.. Secundo fumatur m-\ et;/r2 eritque /'-./i-,-/'-gr: + ^/fc-/T.+«/b/;.-/;-,(>)-=/;-,(;y-3/i,(» -+/k(j-) V 1 fiue 1S6 MEDITATiONES CIRCA fiue /b (p) + ^fh (p^+^fhr(^) + 8/1, (j) = Sit tertio m zz ^ et «—3, et quia ambae paites fiunt aequalcs , habitur /i^ ./^ — /ij- — - '-/b •/^+ =/«- (pl-^^f- rp+ i"-/p (p fea =A4(^^)-f-6A^(i,jH-i2/p(j):=ic/i,./i, H-/^-/£T-/^ cum quibus coniungantur hae duae cx prima n.eiho- do ortae : f^ (j-J "^f^ ^pi — /^ • /rr +/^ hincque fingulae leries foimae noftiae ita dctcrmi- nantur : / h^ \p—- 3 / ^ •f^ ~ i/jT •/■£7 — i/jr /^f^) = -'^/i../:,+/^./kr+9/5r /^l^) — a/lj./jr+i/^ / z^ IjT/ -— + 5 / £r •/ ^ ~"/ ~ •/ ^ ~" 3/ ^ tum \cro aequationcm prirr.o inucntam auhibcndo obLinctur /5^ — '/i> •■' a» id quod ob /1, - l^f'- - ^^ ct /,V =: ;;. vcritati eft confenianeum. SFRIES SINGVLARES, 157 Ordo fcxtuy , quo m-\-n-=zi. 16. Sit prinio tn zn 6 et n— i, €ritqne f -^ -J 2 "'J ^ -' +fi(f.)+fk^ip)+fb^;'^)+fh(p'+f'^ip)-^fr.(^ vnde colUgimus lianc fleqiiationem fii^+fb(j^+fbi^+fk^(^+fbip)^ fb-f^-^^fb-fb+^fkr-fb-fb' Cum vero fic /i(y+/^^P^/b-/4+/£- ^^it /i. (p^ +fb j:^ +/^ ^^ +/^ ^) -/i^ 0) = = /kr-/j^+-/^-/^-=^/;.. Eft "vero etiam /^5.)+/bC^)=/^-/^+/^ ct fb ip) +fb '^p^ ^fb 'fb + b Tnde habtbitur fbi^-^fb-fb-fb-Pi^-fb Sit fecundo ;/;— 5 ct «= 2, critiue f'r'-.^f!- ^z: -+ ^/.-^/-s -^ 6/L,. ^^ + io/j,./i -/^ ^y-^/^ ^) - 3/j, ■>)-4/ h y-5./l. Cp) ■?ndc coliigitur haec aequatio : V 3 /1. I5S MEDiTATlONES CIRCA /L^ (_) -+-2/1, (i,) ^- 3 /^. (p) -4- 3 Ars (;-=) = qiuie per ante ex mcthodo prima allegntas redncitiir ad lianc : Sit tcrtio w rr 4- er n z=. 3i (^rk f- . f- —f'~ — -'^^•/^-^^b-/=-^/^(^)+3/b(^) + ^/h(p) + ^o/:-,(;-). Vndc colligitur fbi^-^^fb^p^-^^fb^P^-^fbfb-fb ^^ /^. (jt) 4- 2/:t(>) = 4/r../.^ - ^/b quae cum ante inucnta congruit , ita vt hinc nihil noui condudi pofiit. Hinc crgo tantum dctermina- tur primo ferici /^^ (-) runima, tum \cro hae duae coniuiicflim /^ Ct^) -H a/b (-^) i fii^ autcm vtraque (eorfim innotefcerct , tum ctiam binac rcliquac fb ip) ^^ /b- ^p) i"i'Ote(ccrent. Ordo fcptimits , quo m ^- « — 8. •17. Sit primo m—-j ct nzz: i , crit Jir-f\-fi.'~ri^^) I ■z^ J ^ J i.* ' J X.* ~ ' zi' J 2r H-/; (5>) -h /b (^) 4-/^ c^) -h/i. (>) + /^ (i, ) ^-AV(>.)4-/^(;-) quuc SERIES SINGVLARHS. 159 c]uac \ltima linca abit in ficquc crit /5.) - ^/^ (P - 3 /.W (i,):- 4/|r (j:) - 5 /,V f>) -^/jr(i) fiue /^ (5^) + =^ /^ (j3") + 3/^ (^)+ 4-/^ (i,)4- 6/L, (I,) -M./L,(j)=:i3/^./|r+/^+6/,4./i.} quae reducicur ad h:;nc : = /^(i.)-t-5/^(^)+i^/,V(j) = + 12/^^.7^- =i/i../^+i/^./i.-^/^. Sit tcrtio m^S et « := 3» erit /^ ./L^ — /i^ — - xo/^./^ +/^ (,-,) + 5/^ (>) + 15/3 g +/r.(r*^+3/b(i.)+^/55:(>'+'o/i»(^)+i5/;-r(j) vnde fit /5r(5T)+3/|.(;-) + 7/^(A)+i5AV(>) + 30/^(^)- ^0/i^./^+/j../b + 6/^-/5^-/^ fiuc ^/ x5d MEDITATI0N2S CIRCA Sh denique f/; :=: 4. ct « — 4 , eritque hincquc qu:\e aequatio cum pracccticntc candcm continct de- tcrminarioiiem , ac rcducitur ad hanc proprictatcm ; quae valoribus a me irucntis J~ — "^] et /"-, "=- JlU egregie eft conrormis. Sin autcm haec \ltiina ae- quatio cum ca(u /cundo conkiauir , inde colligitur Vr.(j)=:4/^/^-4y^/p+8/L-./i,-7/- lCU y^(^)=/^./:,-/^./^+^-/i^' qui valor cum c.itu primo collatus praebet quae aequatio ctiam vcritari cft cnnrcntanen. Hinc practer (cricm f~ (^ ) ct dctcrminati(-ncs primae methodi , tantum hanc vnicam nouam dctcrminat.o- ncm confcquimur: rcquc crgo fummas harum Lricrum /jX'-;) ct/ji,(^) feorllm dcflnire licct. Ord* SERIES SINGVLARES. iCi Ordo o^hiivs , quo m 4- n — 9. iS. Pro hoc ordine mcthodus prima has dat acounnoiics : /i:(p)+/£^(p)=/p-/^-f/^ /^(5^)+/^(>)=/^7^+/^ . /^(ii)+/b(5^) = /"^-/"b+/^. Sccunda autem methodus praeterea hns Aippeditat cictcrminationes : /^(^):=5/^-/i../b-/?/"£^-/s^/^ =/l:(^)+5/b(>)+ 5/^(^)1:= lo/^./U . /k3(iT) + 3/^C^) = ^/^-/b+^/b-/^-^^/b- Cum igitur in hoc ordine 8 occurrant ferits for- inae quam contemplamur , hae feptem aequaiiones omn:biis dcfiniendis noa iutTiciunti fin autem aliunde praeter feriem yL.^) vnica reliquarum iummari pLfiTct, omnium plane fummae hinc innotefceient. Ordo nomis , quo m-f-nmo. 19. Ex prima mctliodo pro huc orJine has confeqiiimur aequationes : A(>^-H/-(j)=^/i./b+/^ f^Ay. .\ p^^r^-fb-^-fi^- /£.:i.)-^/bi5.)==/b-/^-^^-^ /^(5.)==^/^-/^+^/^ Tom.XX.Nou.Comiti. X qiio- i6i MEDITATIONES C1IIC\ quoniimi igitur 9 fcries hic occurrunt , pro carum lummatione lccunda mcthuJus primo dat reliquarum vero quatuor aequationum ,quac inde ac- duciinttir, duae nihil aliud deiiniunt, pratccr notam rtlationem, qna c(t /^, — t?/^. ./^j , rcliquac \ero duae pracbent /l. ( ^ ) -r/p ( i: ) z=. 6f'- ./i, -/'-, . f- - \fAr. ^r.r[y^) + lf'-.M^i^f'-.f'^, --isf^.f^ + S/1 ./- +-3 3y>. ita vt \na determinatio adhuc defit oaincs fcrics huiiJS orL-inis fumnumdas. 20. Circa detcrminationcs , quas hacc ftcunda inethoLUs luppeditat, iequentia oblcruacda occurmnt: Primo ronnifi in ordine primo , fccundo , tcr- tio et qninto omnes ferits noftrae formae dcfiiiiun- tur ; in rcliquis omnibu^ vna detcrnunatio dctlt , quo- minus on.nes krics 10 pcrtincniei» luaimari qucant ; ita vt fi alinndc Mlis deierminatio luppLicrtt , totum ncgotium confici poflct. Dcinde itiam pro iis ordinibns , quibiis v: -\- n efl numcrus par , imprimis. notari mcrctnr , quoJ hacc n cthodus» ciusdtm rclarioncb intir lumn^as po- tcltatiim paruim /- ,f'-yj's ^^^- patcaciut , quas olim ex principiis maxiiiiC diucrfis crucram ; cinn timcn liic quadraturae circuli , a qua hae lummac pcndcnt, SERIES SINGVLARES. kSj fCnclent , nulhi ratio habcatur, Ex quo ctiam ex- ptcftiire licuidet , pio ordinibus , quibus w 4- « cfl: nunicrus iii)p.ir , fimilcm rcLuionem intcr iummas potcHatum impnrium prodire debuifTc , quod aurem louge fccus vfu venit , cuni dcteiminationum , quae pro his ordinibus reperiuntur , quaedam plane intcr fe conueniant , vt nihil prorfus inde concludi queat. Quod cum piMcter omnem expedationem cuenerit , iftc dcfc "^ ^J a"V io~*y 'z^J^i 2 J 2.'° /irr { S ) — S/t' -/i''» '■/i^-/r» "^ 3/i* /b 'fir-J^ -\- ij —6 'J ^6 ~~ —J jri etc. X % quae iC^ MEDITATIOMES CIRCA qnac exprcfliones ita ad paritatcm niimeri m et n funt adrtvidac , vt ad imparcs per inicrpolationeni transfcrn neiueant. Pro ordhiihus quihiis- m-{-vi cjt numcrus impar. /^(^) = 4/s^-/b'/^-/^-/^ /^ (^ ) =: 5 /b -/^ 'fb -fb-fb-f^ Jh /^(^)=:<^/kn-/^./b-/^-/?-/lv-^p ~/? •/ ^ ctc. Hic autcm nihil impcdit , quominns hae exprefllo- nes etiam ad ordines pares transferantur. 2 2. Interpolatione autem rite inftituta hae fummationes pro omnibus ordiuibus ita fe habebuut: ^fhih- sfb-fb-r^ a/^(0== ^fh-^fb-f^ ^fhi^)^ nf^-^fb'f^'f^-fb afbiy)^ ^fb--fb'fh--fh'fb ^f^{;^)zz 9Jb-^fb'f^-^f^'fb-f^'f^ ^f'-{^,)-iof~--.r^.r:^-'-^fb-fk^-^~ftJb a/i,(^).rxi/^-2/L,./i,-2/i,./-i.-a/^/^ — /p '/zs SERIES SINGVLARES. 16$ YiiJc iii generc (i ponatur vi -\- n ~X crit ^ ^z^ ( 7 ) = ( ^ + 0/rx - a4 ./ ^'~ -f~ ./^3^ ~/ ^ 'fz%^^ ~fZ\^2 •/"•• 25. Qiio minus autem haec interpolatio in dii- bium vocari poliit , comparentur hae exprcflioncs pro ordinibus paribus cum ante exliibitis , indeque obtinebuntur fequentes relationes : 5 /-= '^f-.f- J J z*^ ^ z- J Z^ 9f^.-^rb'fb-^^-fb-f'^ ii/^oi=4/?-/b-^^>^S-*-/^« i3/,^z.4 b •/L-o-V- ^fb-fb H- ^/^ • rb etc. qnae cum iis , quas olim elicui, perfeifle confcntiuut. Si cnim ponamus /^ z^ a 7r= , /^ - e ttS /,hr = V 7r\ /^ =r_^^ tt* , f^ — e 7r'° etc. erit vtique quemadmodum demondraji 5 § — 2 a a 7 Y~ 4 a § 9 <5" — 4 a y -{- i S ? II £ — 4.a 5" -h + Sy 13^ — ^ae-i-^SiJH-cyY ij-vj — 4-a <^ -f-^ge-i-^y^' etc. X 3 «4. i6€ MEDITATIONES CIRCA a4- Pfima mcthodus tantum pro orJinibu» paribus vnius leriei in nortra f riiu ^cncrnli con- tentae fummam praebucrat , quae pofito m-'rn—2^t. ita fc haocbat tll I T Nunc autcm opc fecuncli mcthodi praetcrc.i cx quo- \is ordine "vnam feriem formae nodrae fummarc \alcaius , atque adco in ordmc m -f- « ~ S omnes has fcries fummare licuit. Exquo fufpicari hcct , hanc lummationem quoque in omnibus ordinibus fuccederc , ctiamfi fecunda methodus negotium non penitus conficiat : plurimuni aurem iam pracflitum cenlcri dcbct , quod fi cuiusquc ordinis vnica ferics practer binas memoratas vndccunquc (ummari poflct, indc ftatim omnium reliquarum fumnias confcqui : Res quidem ita le habet in ordinibus hic cuolutis ; at fi vherius progrcdiamus, plurcs vua detcrminaiio nes deficcre dcprciicnduntur. 25. Quo autem clarius ratio aequntfonnm , quas tam prima quam fi:cunda mcthoJus pro quoU- bct ordinc fuppcditat , pcrlpiciatur , formuljs noftrns auhuc fuccindius ita lepraclcntcmus , vt pro ordinc I I quocunquc w -|- « =r X loco /3: . t fcTibatur vcl p^ vel ^*, qujppe quac duae fnrmulae ob jx-f-fnX pro acquiualcntibus funt habcndae. Similiquc modo pro SERIES SINGVLARES. i^i pro /;j^ fcribatur p^ i tiirn vcro loco formulae 1 I fcribatur q^ \ hiiictjuc aequationes lingulorura ordi' nuni magis euadcnt perfpicuae. Pro ordine m -\- n— % q-^q—p-^p y-f (/"— 2/> +p— p leu q—p—p I — 2 Pro oruinc m -\- n — ^ > . 4 ' J q-\-q -p+p - • ' ■ - 2q :z:p +/) qi g -j-q =2p +p~p q^-]'Zq'zz 2p'-pM-p* + 1+2 4-2 i'ro ordine m -\- n zz $ q + q' +q' + q* = ■^ p' + 2p" +p--p' ( .= — I —2 y°-l-2(7' + 3/=r2p'-H6/; " p +p - I — 3 - 6 Pr ro orui.-e //; -4- « — o I . 4 . 5 qVq^q +q -\-q =mp +^p +p-p + I / + ^/'— p' + p*f/-f2./*+3/+4^*— 2p' + 6/>*-p'+p' + I +4- + 2 ^'+3'/V(5/-- 6p'+p'-p\ : + 1 +3 +(5 +6 Pro rLq-p+p i6S q + q'z:p-\-p^ lyiEDITATION^ES CIRCA Pro ordine ?fi -f- ;; — 7 q]+ q-\- q\ q"-\q-\-q—^ //+ 2 /+ zp^p- p' — I — 1—5 — 10 q-v q—p\-f q-v 3 /+ 5 q-\ i o / = 6/;*+ 2op'+//-/ — I +4 —lO —2 — ?o q+q :zip-\-p ^ +^ —p +/> Pro ordine wi-T-«~ 8 q \ q + q + ?* +^/'-f f^ zr r/^ -4- (?"-*-"'* '^ - /" "^ % h:ibe- biiTius ^ _ ^._ . ^^« _ .^^ ,^n -^ . J ^ n_ln^_0 ^^._, .^ ^^n^,^ _ «i.n^ 'H:^^-. ^^„^, j , 71 >,m H- 1 __ n (n -f-^.) . m -4. n . n^. -h .)(n-<-0 m_^ _f- ^" -{- ?" o" - ■ -4- '!Ll!IL-'tl) ^« - ' -j- !li!L:+-j:ijlrt:ii ^''- • qp ;,"«-+-'» qi !«/,'"-♦-'» -p mjnn-jj . tn 4-^ — t7i (m -+- _. ) (m -t- ^) ^m -^ n^ 2 8. SERIES SINGVLARES, 171 cS. Antequam ad ordincs fiipra confidcratos dcfccniJanuis , cuohiamiis in gcncre aliqiuis cafus. I. Sit i^itur m — X ct aequatio inucnta indnot hnnc formam : o - q - q"" - q''-' - q""-^- -q^np''-^' fcu q' -^q -^-q* -{- q"" ZZ n // "^" ' cxponcntc ordinis cxidentc ;; -|- i , ita vt fit qv.^ q^-^^-^zzp^-^-f-'. II. Sit 7«=zc, ordinisque exponcjis «-f-2, vt fit ^f<-_l_ ^"H-^ — M- — ^p-_|_pi-t-= cj aequatio noflra fiet o = //'- ;i v'? -f- 9''-^') + 4-a) /j"-*-' flUC ^n^3^n_,_^^^n-= +(«-±X"^-=L5^'4-!fc'y-f ;;9^-»-' — n r^n -t- r) ^n-H^ _*j -+- W — n^L+liJ^n-h» 5 r 1. a * vel h(5C modo diflinctius: f -1-3 ^?"— 4 6 q'—--r I o f -^ -f- "-^V _ y' _^ « (<^'_|- yiH-') _"J:HH)^"-t-' — n(nn-Hs)^n-f-r^ Y 2" ' " IV. ,•74 JVIEDITAT.ONES ClRCA IV. Sit w ~ 4, ordinisqne exponens «-4-4, et aM._l- 0«-+-* — fi — t>^^-p''-+-*, tt neqiiatio noftra fict _j Tt (n n -4- 0 y n-f-* n fit -f- OJn -4- i) (i -4- ?) /,"-+-♦ 1. 2. ;• ♦ * fiue 4-?'-« (/4- (2'''^') -l- — ■^'( *' acquatio noftra crit o-5'"-2?"-'4-3(/'"-^-4'7'"-' .... Tmq 'hl{m-\-2)i --/__4-3* m=s; x5<7'-.5^'_i_<5<7*_7^'_^lor/-i5/rri3?>* W— 7i 2Sq—i^q''\-l2q^—l2q'-irl2q^—'i6q'-t2\q*—2%q'z:Zlp"' etc. pro ordinibus vero imparibus': m—2i 3^'+-<7 — s/^^sp' »»—4.5 \oq~-2q^—2q*+6q^—ioq*~Sp^ m^6; ^i q'—9q''+3q*-\-3f—9q^+i5^- p^ q—^ iop^+ S p'+2p' q* ::z+-i& p^ —lop' q'^— -11 p'^+ 10 p'-\-p" q' — +iip^— 4/ — 2/. Ordo ;;/ -1- « — 8 3/- /+3/- q'+lq-q- 8/ I 2 «/ — 2 7^-9 /—4 <7'+7 q— I 2 /— I S /)• 30/ -i-9'/'-6y+i 5/-3o/rz3b/>* 40^" -i-4/— S?'+2o/— 40/— 42p* /+ '/'+ /-i 3ES CIRCA hinc repcritur q - \p -p "p - ,p q' -f -p' ^{p* rcliquae acquationcs omn^s coalefcunt in Iv.inc vnicam: j^ q -^ 10 q* zz 10 p' — ^ p* ob 7 // zz 6 p* ncque crgo haec tcriia rnetlioJiis plenam dctcrmina- tionem fuppeditat , cum tamen pro caiibus m+n~$ et JW -+-«:= 7 cff^t largita. Ordo w H- « — 9. Hic cpe tertiae methoJi omnia dctcrmincntur idque Tuico modo \ vti fcquitur ^•=+5p*- P* - P' -P" q-- V //+ 7/+ -P' + 4 p* -4- ■ . 7 -4- 1 8. 5 — 52,ioz:<5. 4— 42. '—4, • 0» 3 9 1 83 := 9- 2 7 + 6 3. •/ =: 7. '/ + 5 3. I S = 5. 1 0+4(3. V =: 3- in-S 'l' - 8. S3 -64- 'r:=^;;- p-p\~ p'-p'-p' q — + \Lp — 330 p * ^ — — Fp + 4.52 p' (j —-\r^p ~ 462 p ^'^-H/> 330 // q* —+ Ip"- 165 p ^^ =-K/>^ 4- 5 5 /> +;> + ./ — \-Lp''—{ii~i)p'-2p'- A- 2 Bma A -7 3,C— iiB+7 4D=;ioC-7 5+:=z 9D + 7 (5 F = 8K-7 jG- 7F + 7 8H— 6G-7 9 I = 5H + 7 ip K=:" 4 I —7 I.1L— 3K + 7; A — 7 B 77 * C — a D 357 E — 544 F — 1715 G ^i — €77 3 H 77~' <5"43 I 35S K ^IZ 3 L ; 79 • -^704- 8 /)* * -ep* + (55+28!/)^ * 4-^p* -(28+56)^* * ->,;,* + ( 8+70 p"+p'+^p* 56 f-^p'~ip* 2S p'+6p'+Kp* sp'-^P*-xp* pro incogniiis cft X=r e K — y «- 6 •VI — <^ - I videtiirque efTc y— 1L5; >t— 15 $ — 20 • i — 20 e =15; e=:i5 ^rr (J+i^ -»}r=(5. 33. Qiio ordo harum aequntioniim chrius pcr- fpiciatur , atqne anomaliae hic occuremes euancfcaur, fecundum fingulas ordines impares ilhs aequationcs ita. repraefentemus : Ordo 5ERIES SINGVLARES. 179 Ordo w H- « — 3 2 B ~ 2 A — 2 = 3 2 B=:4 A — 3 f-^Ap^ Ordo ff; -h « rr 5 y' zr: - B />' + :? /)' / - +Cp'-3p'+/)"-|3Cn 3B+3 ^ i:^ -Dp'-|-;)^4-p kD= 2B- 3 Ordo 171 -}- « ~ 7 A = ^-^=r + 2Br:^6A-4. . _ . . . 3Crz5B+4- ^'=-ljp'+iop' * +p' ^'-+tp'- 5p-^f+P q — -Fp'+ p'+ p'+p /rr + A/- p-- p' 9*==-iy+ 5P'+ = P « =rfCp^ — icp' * 4D-4C-+ 5E = 3D+4- 6 FzraiL — 4 A- 9 -(- » = 5 Ordo m -\- n— 9 q-+^p'- />V -P^ /=-Bp'+ 7/+2p' +4^»* q^zz+Cp^-zip^ * — 6p* /— -Dp'+3 5/>' * +(4+iy y*rr+lp'-3 5p; * -(i+4)pVp^ y'rr-Fp'+2ip' * + 6 p*+p^ y'n4G/^'- 7p'-2p' - 4P*-^p' f ':r--Hp*+ p'+ p* + p*-\^p ', 8 Hrr 2 G - 5 2Br=8 A-5 3C-7B+5 4D-6C-5 5Erz5D+5 6 F — 4R-5 7 Grrs F+5 Ordo 'J — ^ = * - ?'r a 0 - j —- 7 q ■- 5 4 z * -6/ / — — D//'+ 84./)' * +(2o+-iy+4,'/ /— +Ep" — 126// * — fi5+(5)p* * 17' =— Fp" + i26/)' * +(61-15'/)' * -f/>' /z::+G/y'— b4/)' ''f -( 1+2 (>)//- 4/)' -J-// /7' rr-Hp"+ 36p"' * + . 1 5/'*4-<5p'-+-p' 9' 3r+ 1 // ' — y/)' - zp— (>p-i,p\-p q =z-Kp"+ /+ p'+ p*+ p^+Z» Crdo 7;; H- ;j z: 13 +A/^- p'- f^ p* - f- p" -_B-./'+ iip'+2y+ sp* + 4f-{- 6p' r-Kp'- 5 5p' * - 2hp''-.6f'- I5p' i-Dp '+ 1 6 5p' *■ -tf 5 <5^ -t- 1 )p'4- 4p'+ 2 o; ' r4-Fp"-3 3op* * -(7o-l^8;p*^ *f — 1 5p :-— Fp'*+452p' * +(5(J+2 8>.\ * +(6+i> :+Gp"-^6i// * -('^S+^^y * _(i+6)/)°+p :-ilp''-l-'J3c/ * M(S+76)/.* * + r + lp"-i6.5p' * -(i + 5<5V>*-4p'- r-Kp"+ 5 5p'. *+ 2 8.p'+5p'+ z+ Lp' '-f t \p'- 2p'— 8 p* - 4//— :-3i;>"+ p'-l- p'-t- p*+ p'-f f)* 6 u - 6 15/^ 1p 2 0p -f-p I 5/' -fp 6p+f « . 2 2B;:roA -J5 3C- pB-hC) 41)3 sC-5 5K= 71;^ 6Fr <5E-», lUn» il i:1^ ord nc m ^\- n — 13 tx binomii ad digniiatcm ii ticiiati cocffi(.icntibus forinentur , dum fjqucnte» cx ! digiii- S E.R in: S S [ M G vr L A H E S. ^^^x ■U5 S, 6 forrnantur. At iiJcni ijla- aicfix- cienra hoc' moJo repr,ic(oiicari puiruut , vc cuiii le- qucntium Icgj coiiarc.iiiL : — i-hrio-^i)-^45 + io)+(i 2o-}-4>)— (210+120) ctc. hic crgnr rationc ncqaatic)n:s ordinis w-f-o~i5 exhibcbo. OrJa w -f- « r= 15 9"— 4-Q"— <55-l-i2]/ * — 4-5 ;>* -6p'- -28/ -15/ ^'^=- -'/^'^+; 22 )--h(f "4-:220+;95/)' * 4.(1 04-2 lol/)* *+ 70/) + . 5/4-/)* {/ =+L/)"-(<56-i-2 20)p' * -(H-iooy_4;,' _ 56y/_2o// 4/)' 'i''=:-W(i2-h<56)/>' * + ^S/^^+S/)' + 2 8//4-i5//^/)' ^/-+Ny'-;i+-i2) /)-2//- io/>*-4/>' - Sf>'- 6/-P* q --Op'-\- p+p' + /+/+ i>+ p'-|-p Atque nunc lex progrcnionis non nimis eft com- plcxj , eamquc facile ad altiores ordiocs accommO- dare licet. 35. Cum autem haec lex, quatcnns inductioni innititur , minns certa -videri poflct , omnia plane dubia toIle'itur > li loco pjtcftacum pariuni ipfius p imparcs iucrojucayrar. Crnn lciticct pro ordinc vn- Z 3 decimo i8t MEDiTATlO>4ES CIRC\ decimo poteftatibus p\ /)*, acqniiialcant impa'cs ^' et />'. J.^cinde etiain cocliicieiuts A, B, C, D etc. multo rimpliciori Jege exhibcri poflTunt , cuae im- mediate ex co..fficiein:bus binomii nd eanc m di^^ni- tat(;m , ciiius ordinis i(bie aequatioiies quacruatur , ekuati , fluit , hoc modo : Ordo m -\- nzn 1 1 ^'•-1(14-11) ^—(1-55) q' ^5(1-462) / ";(i+33o) q' - .:(»-i<55) q' -i{i+5 5) q — 1(1-1 1) P \P [—1—1 P — I +2'++ — I + 8+- — I + 6 -I -6J-15 j-28— 8 * +4+20+1+55+28 1* — I — 1 5- 6 — 70— 5<^ * +1 +6 + i5'+5:;+70 ^ 4. —1—20 — 28 56 +15+ 8+28 -6-1—8 —4- 1+1 +6 ■i+i + 1 + 1 +;)=P +/-p' +/-/ In qualil)ct fcilicct colunina veiticali cocfficicntes binoniii ad dignitatem vnitate infcriorem eltuati tum n (unnmo deor(uiii quum ad imo furfum lcri- biintur , ct vbi bini concurnmt in vnam lummam colli,>;untur. 36, Hinc iam li.cbit pro omnibus ordinibus imparibus rem in gcncre definirc ; at quoniam hic cocfricicntts binomii f ; tcflntiim cccununt , vt bre- vitari confulamus , fci .'namus «(«—i )[n— 1). . . .f n— V -\-\) i. a. ^ . . . . V ^^^ Yt SERIES SINGVLARES. 183 Tt flt w;o)=iin:i)-niw(?)ii:-—— ;<3)- — - •— etc, vbi obferuafll- iiui.ibit, li v fuerit miior qu.un «, eflTc ftmncr 7i (k) ~ o , at fi v — « fore « («) — i et ge- ncrdtim : n (v) — n {n — y ). Huc igitur notanJj ra- tioui reccpta aequationes generale!» ita le habcbant Ordo ?;i -i- « jr: X \nde concludimus fore ia gtncrc I, Si y fit numcriis inipar ' ^^ -i-Ov>^-v-iA +->>-V-i;3 +4(>^->'-i)y 4-6(X-v-i)V II, fi j^ fit numcrus pat ^ ' '' — o(X-v-i)S'^— ii^X-y-1 S^ — /^f^X-v-ijy — p*-> p^ ctc. intcr fe comp.irari queant , hacque compaiationcs pcr methcdos nolfras jndiccntnr ; quncirca eae dctcrminationcs , quibus indigemu» , deficere (unt ccp.fendae. Ko magis igi- tur cfl mircudum , quod in crdinibus imparibus Tom. XX.Nou.Comm. Aa nulla iS6 MEDIT. CIRCA SERIES SINGVLARES. nulla plane ratio aflignalibis inter formiilas p\ p*, p' p* ctc. iiiiercedat. Interim tamen nullnm e(l du' bium , quin aliae dcntur mcthodi , quibus feries or- dinum parium fummari queant , ctiamfi trcs liic ex» pofitae minime fufficianr. rHYSiCO- P H Y S T C O- MATHEMATICA. A a a FORMV- FORMVLAE GENERALES PRO T R A N S L A T I O N E Q V A C V N (^ V It C O R P O R V M R l G I D O R V M. AiKflore L. E V L E P. O. Qu;iiido corporis cniiisqiie rigidi motum detcrmi- nari oportct , tota i.uRlligatio commodc in duas partcs dillinguitiir , altcram geometricam , al- tcram mtchanicam. Iii priore enim parte fola translatio corporis cx dato fitu iii .ilium qucmcun- que ilne vllo rcfpcdu liabito ad motus principia pcr formuliis anaiyticas repraefentari debet , quaruin ope pufuio fii-guloruin puiic^torum po(l; translatio- ncm cx carum piifitione initiaii dcfiniri qucat,- quae eri;o inuedigatio vnicc ad Geomctriam vel potius ad Stcreomctriam crt rcferenda. Facile autcm intelligi- lur , fi ifta inucrtigatio ab altcra , quae proprie ad Mechanicam pertinet , (cparetur , tum ipfam motus detcrminationem ex principiis motus multo facilius cxpcdiri poflb ; quam fi vtraque inueftigatio coniun- ct:m fulcipiatur. Cnm igitur in tradatu meo de motu corporum rigidorum hanc \tramquc inuefti- A a 3 gatio- ipo FORMVLAE PRO TRANSLATIONE gationcm fimul rufcepifTem, vnde tota tracflatio noa parum molcfta et intricata efl: reddita : hoc loco fo- lam partcm geometricam accuratius cuoluerc confli- tui , quo deinceps pars mechanica faciliori negotio expediri poilir. §. 2. Vt igitur primo fitum initialcm cor- poris rigidi accurate definiam , pofitionem fingulo- rum ciu8 pundorum morc folito pcr tcrnas coordi- Tab. II. natas inter fe normalcs repraefcntari conueniet, Hunc ^'S" ^* in finem ccnftituo tcrnos axes fixos lA, IB et IC fe inuicem in pundo I normaliter (ccantcs, quorum bini I A ct I B in ip(o plano tabuhie fint fiti, tcr- tius vcro I C hinc plano perpcndicularitcr infifiat. Nunc confidero pundtum corporis quodcunque Z, C3C quo ad pLunuii A I B demittatur perpendiculum ZSi tum vcro cx pun^fto S ad axes lA et IB ducantur normales S P ct S Q , ac voccmus coordi- natas IP — QS— p, PS — IQ — ^ et ipfum per- pcndiculum S Z n r, cui in axe I C aequalis capia- tur pcrtio IRrrri ita vt pur.dum Z reperiatur in diagonali I Z parallclepipedi rccflanguli , qucd ex lateribus 1 P, I Q ct I K formatur. Hoc igitur moJo pofitio fingulorum corporis puncflorum com- modKTnriC pcr tcrnas cooruinatas p, q-, r, dctcrmi- nabitur. §. 3. Quo nutcm dclnccps ficilius ifia reprae- fentatio ad ir.r.clligationcm mcchanicam accommoda- ri pcflit , puncftum I aptifrimc accipitur in ip(b ccntro grauitatib (cu potius aiertiae corporis rigidi propo- CORPORVxM RTGIDORVM. 191 propofiti ; fic enim iftud infigne commodiim impc- tramus , vt pofita maffiila corporis in Z exiftcntis — dM, per totam corporis extenfionem fiat i^./p^M-o. z\fqdM=:o. 3^/r^Mz=o fiquidcm hacc integralia per totum corpus cxtendan- tur, Practcrca vero mnximam vti]itatcm afferet , fi terni axes 1 A, 1 B, I C in ipfis axibus corporis principalibus conftituantur ; tum cnim ctiam valo» res trium fequentium formularum intcgralium pari- ter per totum corpus extcnfi nihilo aequales red- dentur , quippc quae funt 4°. /p^^M — o. s°. fprdM — O. 6". fqrdM — o haecque taiitum hic in tranfitu notafTc iuuabit, quan- doquidem pars geomctrica ab iltis acquationibiis neutiquam pendet. §. 4. lam fa' — g 4- G /) , z-h-{- Up. Quia enim ponimus ^ — o ct r — o fnectnta p vt "variabili, coorJinatne a\, y, z onencere debcnt fitum in quem iinea reda IP fucrit tran^lata^ qnae cum fit rcda , ea in fitu translnio crit 1 nca rcjfta ipfi ac- quulis , ideoiue co )rdinatae x j, z pofitionem hu- ius lineac ri(flac iz cx[rimere dcccnr , \ndc , cnm fumro pno ttiam pnnClum z in i incidere dJKat, cuitiens cll , qLantitatcs .1, r, z i'a pcr Aariabilcm P dtfiniri debcrc, \t ptiHvp =r o fir.t .r-/, y — g ct z — b. Tiim vtio CjUia acquatio dcbet cffc pro iii.ea CORPORVM RICDORVM. 193 linca rc(fln, nliac fbrmne locum hii.bere neqiieunt, niU <}uas llatuimus : fcilicct \bi litterac F, G, H certas defignant ccnflautes ab indole translationis pcndentes. §. 7. Statim autem manifcftum cfl, ifias con- flantcs if.i comparatas cfTe debcre, vt interuallum i z acqu.ile lit intcruallo IPnp, vnde fequitur illa tleterminntio: i s' — F>' -{- G' p' -f- H'/)' — p p qnam ob rcm uecefTe ell: \t flt F'-h G"-!- H'— s, Quod fi ergo fumamus F — fin, ^ , f.cri debet C' -H H' — cof. ^^ ; hanc ob rem (latuamus G — coC c, fin. -v] et H — co(. ^' cof. "vj , ita vt fit F — fin. <^ , G cof 4 ^'"' "VI et H — cof. <^ cof. y\. Hoc ergo mcdo trcs iitterae iilae F, G, H ad duos tantum angulos <^ et >] funt rcducluc, §. 8. Simili modo fumamus nuiiC pundlum z in eo loco , in qucm pundrum Q ex (w^ initiali fuerit transl.itum ; at vcro puncftuni Z in puncflum Q_ cadit fumcndo /> — o ct r — o. Hoc ergo cafu rer- nae coordin.itae .v, r, ~ ita pcndtbunt a (o!a varia- bili ^, vt fado q zr. o itcrum fiat xinf^y — g et 2 — /? ; quamrbiem , cum aequotio etiam dtbeat t^^c pro linea r^cla , coordir.atac tniem foTiiam iia- bebunt: Xz=.f-\-Y'q ,yz=:g-V-Q^q, Z-h-\- VJ q Tbi ergo ob iz zr. q ctiam efle oportet F'F'-HG'G'4-H'H'-i lcnii.XX.Nou.Comm, Bb au IP4- FORMVLAE I RO TRANSLATIONE cui conditioni commoJe per biiios angulos ^' et V ita fatifcfiet , vt fit F'z=fin.^', G'zrcor.^'fin.V, H' = co(.^'cof.V. f, 9. Sumamus nunc pundum Z in R, qnod cucnit Uatuendop^o et q—c^ vnJe fi iam pun- dlum z exhibcat locum , in quem pundlum R erit translatum , pio coordinatis eodcm modo quo antc adipifcemur tales formas : .V - /--V- F" r,y-g-^-Q"r, z:=Lh^ H" r. Xu quia effe oportct jr// F" ^ G" G" ^- H" H" — i pcr binos nouos angulos 4'' et yi' fiatuere porcrimus F"rrfin.<^", G^-cof.^^iia.-vi" ct U"=col.<''cor.V'. §. lO. Qnoniam igitur coordinatarum .v , ;• ct z valores nacli fimius , quos induccrc debent iribus cafibus cuolutis , vbi trium quantitatum p^q^r dnae euanefccbant, perlpicuum liinc efi , qnomodo coordi- tae X, y-, ^ ^ fingulis quanutntibus p, q, r pcndent. Quamobrem , fi omnes idne litterac fimul in com- putum ingrediantur , ita vt its punflum corporis quodcunque Z indicetur, cui in fitu traiitlato refpon- dcat pundlum s, coordinatae x, y, z (cqucntes ha- bere dtbtbunt valoies : x—f-\- F/> --h r'^-1- F"> y =:g~\-Qp-\-Q' q-\'Q'' r z — h -\- n p '\- IV q i- H" r Iias antem nouem litteras vidimus rcduci ad ^y. ao* guloS <^, -^l, ^' t^, L^', -»)''. f II. CCraORVM RIGIDORVM. ipj $, II. Sumamiis nunc pundum Z in ipro pundo s iti vt fit r—Oy nc fi in fitu trarsl.ito ifti pundto refpondcnt pundlum z, pofito r zr o ter- rae coordinatae ita fe hiibebunt: X-f-^-Fp^F^q, J=g-\-Gp-^-G'q, Zzzh+Ep-\-lVq. Vbi necelTe eft , Tt fiat difiantia iz diftantiae IS acqnalis > quae cum fit y p p -^- q q ^ hinc nafcctur ifta aequatio: et flida euolutionc fict pp-\-qq=pp (FF+GG+HH) -{-qq (r'F'+G'G'+ H'H') -I- 2;>/7(FF'-l-GG'4-HH'> Cum igitur fit FFH-GG-hHH-i et F'F' + G'G'-l-H'H'c=i fupereft , \t euadat F F'H-GG'h-HH'zzo. §. 12. Fodem modo patebit, fifumamus^ro, tum ilhim proprietatcm locum haberc debere, vt fit F F" -f- G G" -t- H H" zi c : nt fi ftatuamus /) =: o , indc refuhabit ifta acquatio F'F"-+-G'G"+H'K."zro. Quibus rribus conditionibus cum fucrit (atiiftclum , tota translntio erit dcterminnta ; ac noftrae formulae pro omnibus corporis pundlis easdem cxhibebunt di- ftantins in fitu translnto, quns tenuerunt in fitu initiaii. §. 13. Subftituamus nunc in his acquntioni- bus valorcs ante inuentos , ac prima FF'-hGG'-|-HH'— o dnbit fin^nn/'-j-ccf.^cor^'fin.'vifin.v/-|-co(.<^cof.^'cof.'yicof.V~o fiue Cn.4rin.(^'+cof.^col.<^'cor.(>i-'yi' -o cb co(.>]Cof v/+fin.v,rin.^,l'-CGf.('vi- V)'j B b a quae iq6 FORMVLAE ?AQ TR4NSL\T10:^S quiic aeqiiatio pcr cof^-^ol.i^' diuini pneb:t tiiiij;. ^ ta.13. ^' — - coC C/] - y/). '■ Eojcin moJo bi i.ie rtliqu.ie ae^]U:itioncs dabunt ta!i-<'c.i-.ii.^"--c.. •.(>)'- 1"/ ct t.n,' ^"ui ■,.^--cor.^V'->,). Px hs i;^'tur tr'bus acqu;iti(in:bus ternai nnguloi ^, ^' ct <^" determiiuire licebit , ita \t omnia ptc tcruos ivigul.)» -/], V)', •>)" dcfiniri qiicant» § 1+ Q.iod quo f.iciliub ficri poiik , multi- plicem.is ii.is tr s aequationcs in (e ii)U'cem, vt fiat tan.',.4^"ta ig''ta 1^,' ^"'— -coi;(-vi-Vj<^or.^V-V')cor.('vi''-'>l). Vnde (latim patct, mfi prod.idaiii horum trium to- finunm fjcrit ne^atiuum , ca(um e.Te inipoliib.lem ; quocirca ante o miia necelTe c(l , vt horum cofi- nunm vel viius vcl o nncs trv.b (iut ucc^atiu:. Sta« tuamiis igitur breuitatis gr. cof (>i - '4') cof. (V - -vi") cof (v)'' -yi) — -AAy yt nancifcamur tanjj. ^ tang. v, y\', V dttcrminantur hoc modo : F =ifm.<^ , G =:co(.< fin.v) , H -cof-^ cof vj F' =:lin.<^', G'=:cof^' fi;i<^' , H'-co;.^' cof.V F" = fin.^"", G"z=cof ^"(in. n", H"zrrol.<^"co(.>i''« §. 15 Omnes igitur tr.uislationcs , quibus fi- tus CQrpocis riiiidi mutari potctl , pcr lcx. elcmenta dctcr- C01P0AV31 RIG DORVAI. 197 dJteriTJiari pifT.nt. Priino c.iim tcrnae coordinatnc /, g, h deier.niu.Mt traiisiationcm par.di 1 in z , qu.ie er:i> pciiitjs ;i nodro arbitfio pcnJeit. ]}ein- dc, qao nodociin \wz corpus circa hoc punclDm i fue- r't interca coiuierdim , eius fitus per ternos anaiildS >1, "^^ 1"» p(-'nitus detcrmiiiatur; (umto cnim ia l;ca iuitiali elemjnto corporis quocunc]ae Z, tuius pofi« tio per tcrnas coorJinatas j), q^ r^ detinitur, id in fita trani>l.'.to rcpcrietiir in pnnvflo z , cuius pofiiio pcr iilas tcrnas coordmatis detinietur: X :=: f -\- ¥ p -\- F'^-4- ):" r y ~g-i-G p-i-G'!/'^ G" r X -l -^ll p -'c- W q -i- II" r. §• 16. Quo autem magis conuincamur , per has formulas omnia qiuie aJ tranblationem pertine.it pcrfcdj detcrminari, totnm negotium etiam fequeuti moJo ablolui poccll. Concipiamus in flatu ini;iali praetcr pundnm Z aliud quodcunque Z' , in fii^ura quidcm non ex.^r^ififim , cuius locus his coordinatis definiatur p', /, r'. Hmc autem puniflum transla- tum fic in z', cui refpondeant coordinatae A*', j', zf, quarum ergo valores ita exprimentur x' r: / -f- F /;' H- F' r/ -f- F" r' y =:g-\-Gp' -h G' y' -H G" r' z!=zh-{- U p' 4- II' ^' -i- H" r'. Quibus pofitis natura corporum rigidorum pofluTat i \t inreruallum in fitu traaslato z z' ne.]uale (it in- teruallo Z Z^ in fitu initiali , qnandoquidcm iii his corponbas omnia interunlla inter bini corani pun- Bb 3 aa ip$ fOrmvlae pro trakslatione da qiiaccunquc pcrpetuo candcm cuantitatem feri^are dcbent. §. 17. lam vcro difbntiae punclorum 2 et Z' in ftatu initiali quadratum cft (/>'-;'r-H(9'-^)'-H(/'-r)' in Hatu amem tran^lato qundratum d'ftantiae inter pundla z ec z' tit quod er^o ex tribus fcqucntibus quadrntis compo- nitur H-(H(i.'-/))-+-H'(9'-ry)+H"C;'-r))' quorum crgo lumma aequalis efle debet illi formulae (^/_p;^-(,/_^y + (,'-0'- §. 18. Euolutis nutcm tcrnis illis quadratis fcqucns exprcfl'10 refultabit i (/)'-/) )'(FF^-GG^-HH) .(<7/_^y(y:'F/_^G'G'-HH'H') (,./_^)^(F"F"+G"G"-i-H"H") .o(p/_p)(9/_^}(FF'-+-GG'-i-HH') „(^/_p)(;/^;)(FF"H-GG"-t-HH") „(^/_^)(r/_,-)(F'F"-f-G'G"-f-Il'H") quamcbrem , \t ifta exprcflio priori ip'-p)'^{cj'-qy-hir'-ry rcddaiur acqualis , quomodccunque coordinatae />, q, r, CORPORVM RIGIDORVM. 199 r^p',^')r', fiierint afTumtae fex fequentibus conditio- iiibus latisficri oportcc I. FF-|-GG-l-HH=i II. F'F'-hG'G'-f-H'H'= X III. F" F" + G" G" 4- H" H" =: i IV. F F' -I- G G' 4- H H' zr o V. F F" + G G" 4- H H" =r o VI. F' F" -4- G' G" -4- H' H" = o. §.19 At \ero ornnes iftas fex conditiones iam in lupcri;)ribns noimpleuimus , vbi oftendimus, quemndmodnm omncs hi nouem coefricientes pcr Itrnos angulos >), y\', >)" determinari quennt. Ex quo co cl,\rius imcUigitur , f^lutioncm noftram quacrtio- nis circa translationem quamcun-iue corporum rigi- dcrum penitus efle dcterminatam et adaequatam j ita \t in parte gcometrica , quam motns talium corpornm decerminatio puftulat, nihil amplius dtfiuc- lari pofnr. §. 20. Quomodocunque autcm translatio cor- poris fi:crit fafta , qua punc^um corporis I in pun- dum ;■ eft translatum ; notum eft fi tfanslatio fae- rit infinite parua , tum (cmpsr in fitu transjjto dari quacdam rtcta i z , cuius fitus parallelus crit ci , quem eadem rccla in ftatu initiali habuit, ita vc , fi punclum I quicuiflTcr , ifta reda penitas immota mannfnt. Euidens autcm eft , iftam redlam reprae- fciuare axcm corporis circa quem gyrntio fuerit f^icta , dum corpus in fitum trand.uum penicnit. Qjam- aoo FCRMVLAE PRO TRANSLATIONE Quamobrem maximi momenti crit inucftigare, \trum, fi translatio fucrit finita , etiam dctur talis axis. § 21. Manifeflum aurem efl , vt rccla iz etiam nunc parallela fit redae IZ, ad hoc rcquiri tres iftas conditiones : vnde nafcuntur hae aequationes : r — Up-^-W q-^U''r cx quibus aequationibus litttrns p, q, r eliminflrl oportet. Valores autem ipfius p hinc dedudi cruut P' (7 _4_ F" r ( I —C')n-i-C" r ( , — H'' ) r — H' ij -T^F — » C ' H Horum \alorum primus fecundo aequaius illam da- bit rationem inter «7 et r , folicet n_ C''CF — O — r"G . F CF' — (' — F){i — C ) nc primus valor tcrtio aequatus pcrducit ad Iianc relationem : n_ ( I — -F ) fj^ H^^Jj— T''H j- — i'ir-+-H'(. — p) Hos igitnr duos valores rcucra intcr fc arqnari nc- cefTc eft , fiquidem tnlis axis gyrntionis dntur. §. 0 z. Qnod fi autem hos duos valores inter fe aequaks ponam.up, perueniemus ad iftam aec^uatio- nem: (i-F)F'€H'+(i-F)F'G"H-f'i-FyT-G')F"H-Hi-FXi-H".F'G -}-(i-FyG"H';i-F;(i-G'Xi-H"}-o cuius CORPORVM R1GID0R.VM. 201 ciiius aeqiiatioiiis omnia raembrii factorc communi gaudent ( i — F ) ,• ho: er^o per diuiiiciiem lubliio rcmanebit ilb aequuio: F''GH'-}-FCTl-h(i-G'}F"H+:i-K",F'G+(i-F,G"H' -(i-F)'i-G'Xi-H";r:io qune fingulis membris euolutis dat hanc aequationem o - _ I + F - F G' 4- F G' H" 4^G'- FH"-FG"H' + Fi"4-F'G -F'GH" -G'H"-F"G'H + G"H' + F'H. Hic autcm non liquet , quomodo ifta exprcflif^ ad nihilum redigatur ; ac nimis tacdiofum forct loco litterarum F, G, H , corutn vaiorcs pcniius cuolu- tos fublhtuere. §. 23. Millii igitur hac inuenigatione , quo- niam pro translatione quacunquc tormulas dedimus, quaruni ope cx data cuiusque punc^ti pofitionc iii luuu initiali eiusdcm pofitio in flatu translato afli- gnari poteH, fcopo qu ai PiObis propofucramus plenc faiiifecimus , ita ^r in ha: parte nihil amplius ccfidcr.iri queat , cmi tota Jiacc iiuieftigatio in de- trrminatione 9 cocfncicntium F, G, H, F', G', H', I", G'', H'' contineatur. Additamcntum. §. 24, Cum formulac , qins fuprn pro quouis fitu tran^hito dcdimus, maximc fiut gcnerales., ct omnes Toui.XX. x\oa.Comm. ' Cc trans- i.0 2 FOaMVLAE PRO TRAIslSLATIONE trjnsLuioncs in fe complc!)— AA e/Tct tang.<^"--^^ — : tang.<^--77^^ ;,^; tang.<^'r:— =^^ — vnde ergo tam finus quam cofinus illorum angulo- rum dcduci oportct. §. 30 Quod quo ficilius iicri poflit , loco an- gnlorum --i , v/ et yi^^ introducamus alios angulos l,e',0'', ita vt fit yi--^'—^^'; V - V' zr 0 ct V' — "^—^' , vndc patct fore 0 -+- $' H- d" — o , ita vt hi trcs noui anguh tantum duobus aequiua- leant; ideoque hinc cx angulis v\ , y\^ et V' vnna mancbit indefinitus, qui fi fiicnt >] crit V — >l — ^'^ ct y\^* — y\-\~ ^*. \\s igitnr anguhs introdiidis erit A A — — cof. ^ col. 0' col. O''', hoc^uc valore ad- hibito habcbimus tang.^'' = -y-^-?^«l, tans. / -_ V_«/.«'cor.r tang.^^^-V---'"^^. O ^ co'. 6' ^. 3 1. Ex his formul s pro tangrntibus in-' Tcntib culhgamus formula: pro fimbiib ct cufiiiibus, C c 3 ac 2c5 FOFvMVLAE PRO TRANSLATIONE ac pro primo quidcm erit Uii.i, — ^/cqf.i" -coj.ScoJ.i' "-*■ ^^'«S Vcoj.l"-c»j.«Mj.«" Cum autem fit ^'' — — d — 0' crit cor. e" — coC ( 0 4- 5' } - cof. 0 cof. e' - fm. ^ fin. O' quo valore fubnituto fiet fimiiique modo Atque hinc iam perfpicuum elt , pro binis rcliquis angulis fore fin.^ --Vcot.e'cot.e'^ ct cof,2; -+V'7^J'I^^ fin.<^'==-Vcct.e'^cot.0 ct cof^'-+Vi-cot.e"corJ fin.^''— -Vcot ecot.O^ et cof^^^n-f Vi-cot^ cor.e^. ^. 32. Quod fi nunc iCii \alorcs cuoluti fub- fiituantur loco angulornm ^ , ^^ ct <^" , formulac pro noucm litttris F, G, H, f ', G^, H' etc. fnpra in- Tentae feqiicnti modo exprimentur, poftquam lcilicet breuitatis gratia pofnerimus cot. 0 — ; i cot. 6' - /' ct cot. 0'' — t^' /,// F n-v'/'/'; G =:fiii.->i Vi-/V^ H -cof.T) y-i-iU F' --Vl"l \ G' zfin V V7T"7 ; H' i:cof -V]' vT^"7 F"--V//' ; G"::fin.V'Vi-//' ^ H"zcol.V'Vi-^^'. f 33 Verum etiamfi hos valorcs in acqua- ■ tione §. 2 2. iublUtuamu?, iiuUo lamen iiiodo pcrfpi- citur 4f CORPORVM RIGIDORVM. 207 citur , quomodo fingula eius membra fe mutuo de- ftruere que.inc. (^unmobrem necefTc erit , infuper" eius conditionis rationem iiabcre, quod fit $-f5'-|-0''-o; vnde intcr littems t, t' , i" i(h rehuio nafcitur , vt fit tt' -^-tW-^rtt^' —i , fiue vt fumma produdlo- rum ex binis vnicite acquatur. Praetcrea vcro etiam ad eam conditonem eft attcndenda , qua erat V = "^^ — ^^' ^^ ^" — '0 -i- ^' ■> atque Iiis conditioni- bus rite obferuatis et per calculum euolutis nullum dubium fupereffo potcft,quin ifta aequatio adiniplea- tur. At vero ncmo facile ftupendum hunc laborem in fe fu;i:ipere volet ; quamobrem egregia ifta pro- prietas omnium corporum rigidorum multo magis- ardua eft cenfcnda , et Gcometris pulcherrimam oc cafionem praebere potcft ,, vires fua& iii ifta proprie--^- tate penitufe enucleanda cxercendL. NOVA NOVA METHODVS M O 1 V M COR POR V M R I G I D O R V M DETERMINANDl. Aucfiorc t. E V L E R O. §. I. Qiianqiiam in traclatu mco de motu corporum ri- gidorum ifam Theoriam fatis fclici fiicccflu cxpediiii : tamen fitcri cogor , folutioncs quas dcdi non folum nimis cffe intricatas , fcd ctiam applica- tionem ad quosuis ca(us particularcs niaxinie cffe inoledam et plurimis difficultatibus implicatam. Poft- quam enim motum ccntri grauitatis determinafllni , cjuod quidcm nulla laLorabat difficultatc , ad quojuis tempus tam pofitioiicm axis gyrationis quam ccleri- tatcm difiairi opart.biU ; dcinde vcro imprimis fitum ternorum axium principaium nffignarc ncceffc crat , ad quod ingcns nnihitudo quantit.itum variabiliuui in calculum introduci dcbcbat. Haec tanta incommoda etiam fagaciffimus Gcometra la Gnwge animaducrtifle videtur , duiii hoc argumentum in Commentariis Academiae Bo- lufiicae pro Anno 1773 aha mcthodo tracTiJndum fufcc;':t , DE MOTV CORPORVM RIGIDORVM. 209 fiifcepit ; cuius quidcm profundiflur.as mcditationes maxima cum auiditate perluflrarc lum conatus, verun- tamen a me impeirare non potui, vt omncs eius calculos penetrarcm. Statim enim primum Lemma ita me de- tcrruit , vt ob dcfcdum oculorum nuUo modo fperare potuerim , omnia artificia anaiytica, quibus cd vfus , perfcrutari. §. 2. Cum autem nnper , dum partcm gco- metricam , cui ifla iiuicfligatio innititur , accuratius cuoluendam fufcepi, hanc iiifignem proprietatem dc- monllrafTem , quoJ , quomodocunque corpus rigidum €X flatu initiali in aiium quemcunque flatum fuerit translatum , in co ftmper talis sxis afligHari pofllt , cuius dircd:io in vtroque flatu maneu inuariata: haec pulchcrrima propriLtas mihi flatim vifa efl, eximium fubfldium fuppeditare , vndc omnia , quae ad mo- tum huiusmodi corporum pcrtincnt , multo facilius et fine tanta firragine tot quantitatum variabilium definiri ponfcnt. Foflquam enim motus centri gra- "vitatis fuerit definitus, in flatu in;tiali ille quaeratur axis , qui in flatu translato etiamnutic candcm fcr- vat dircdionem ; tum vero quaeratur angulus , quo corpus interea circa hunc axem fuerit conucrfum. Hocque modo ad qnodiiis tempus fitus corporis per- fcde cognofcetur , ita vt tota inuclli^atio ad deter- minaticncm iflius axis pro quouib tcmpore cum an- gulo conucrfionis reducatur, quan.obrcm iftam idtam hic adcuratius (um pcrlecuturus. §. 3. Confidcrcnuis igitur corpus in flatu fuo initiali , jn quo pro lutiitu accipiair-ua punclum ^. Tom.XX.NouComm. Dd quod- Zio X> E M O T V quodcunque , .per quod ducamus tcrnos nxes fixoa intcr lc uormahs, quortim relped:'.! iitiis fin^ulorum tlcmcntorum corporis more folito per ttrn.is coor- dinrstjs deliniri queat. iljud quidcm. puiKftuin ia .traclaiu meo in ipib centro grauuatis corporis con» ilicui ; \eruin uunc niiiil referre obfcruaui , fi in alio quocunque loco conrtituatur. Deiiide et.am ne- <:etrc non ett , vc .tQini illi axcs lint rimul axcs jprincipalcs corporis , fed perinde ac ipfum illud -punclum pcnitus arbitrio relinquunttir. Id tantum hic notaflc iuuabit , calculos icquentes multo iore fiiciljvues ct coiicinniores , fi illud puntftum in ipla xentro incrtiae r.ccipiatur fimulquc tcrni axes fuerint .'principalcs , pro ihitu fcilicct corponi initialis. Tur»; vcro ex.- il!o pundo tanquam centro corpuri Sphaera circur.iicribi concipiatur, cum iplb corpore firmiter cohaerenset cum iplo fimul mobiii?, cuius radius vnita-- te indicetur, vt hoc modo omncs .inuciligatioiics ad do» «flrinam fphacricam rcuocari queant, quandoquidcm hoc patflo onines calculi multo farjliui expediri poarunr. Tab. IT; §. 4. Repracfciitct igicur triangu^um iphacri- Fij- 3. cum .A.BC odantcm fphacrae, cuius centro aalcripta inieliiuatur Httera 1 , vnde redae edudae I A , 1 B et IC referant tcrnos ilios axes fixos , ita vt arcus AB, BC, CA fint quadrantes inter fe angulos redtos A, B, C connituentc*. Tum vero ad fitum fingulorum elemeiitorum corporis cognofccndum, per quoduis corum duclus intclligutnr radius l,Z,et ex futi'- <! ct Z C =:: 0 i tum enim fi di- fiantia. CORPORVM RTGIDORVM. tfiK flnntifl eleTncntl corporis Ji centro I drcatnr- zrj«» wrnnc coor coj. t f §. 8. Ponamus autem ad abbreuiandum angii» lum O A Z =: A , ita vt fit fin. j!^ — ''''/' v '^^'^ ^ — "'^- ^ '''>'• ^ • cof, A — '^°^'° ""''^ "*" "^' "^ '^' ^ JiJi. a;j!.i.^ ' * JW.ajifi. ^. et tang. Arz^^(^-^^:i^-^l''-.\ ; •^ coj. g C3j . T) -f- eoj. 7 COJ .- & " pro quaefitis autem fit arcus O Z — 2 et angulus- A O Z — O, arque integrale O A Z erit cof. Z — cof. a cof ^ -4- fin. a. fin. ^ cof» A et ting. O =z r -/"-H"-^. .-^ „ 13 /in. a oj. S — cqf.-ajm. S coj . ,v " D u a "«nde nf D E M O T V \ndc fi looo A \iilor inucntos fcribatur , prodibit:' \ti inm inucnimu» cq(. "Zzz cof. a coC ^ -+- cof t cof vj -4- cof. y cof. 9- ct tailgi O -^:! . cq:.yco).y\—.coj.^coj.d O' /tn. a' cjj; ^ — eaj. a, ( co/. 6 coj. r) _f_ C3( . > coj. > ) * §. p. H;s iam inucTitis aggrediamur trianga- liim rphaericum A O ~ , in quo cot;nofcimus bin»' latera OAma et Os— Z, vna cum angulo in-' terccpto A0~ — O-t-Cp, vnde col!i>iimus coC A z — cof. a cof. Z -+- fin, a fin. 2 cof. (O -h Cp) quae ej;Jo eKpreflio reducitur ad hnnc : COC A 5 ^ cof a coC Z -h fin. a fin. Z cof. O cof, (^ — fin. A fin. Z fm.O fin. i wbi iam. dcfiniuimus cof. Z. \crum tarh fin. Z quam iin.O et cof. O non li.ibcntur cuoluti ; ncque vcro conducit hns quaa.titates immcdiiite ex. inventis dcriuarc , quoniam perueiiircmus ad figna radicalia, quac, vtrum pofitiue ail negatiue capi debdani inccr- tum jivanGrct; Quamobrcm hanc ciioluiioiiehl fe- qucnti moJo inftitui conucuiet. §. lo. Ex txiau^ulo A O Z flatim dedivcimus hanc proportionem : fin. A : fin. Z — fin.'0 : fin. ^ , vnde coUi^itur fin, O ir'^-'^"-^ , qui diuilus pcr tanjj. O praebct COf. O Jt"- a cof- i — co/. g f/n. j tvt \ jm.Z Ex quibus ergo formUlis fpontc fe prodnnt illaelpfae fbrmulae , quibus indigcOiUS : (lilicct ftn Z lin. O ct fin. Z cof. O j quarc , fi p ro coU Z inuci.tum valo- rcm CORPORVM R1G-^TX)RVM. «15 Tfm Tirt)fiitnam««, perueniemns iid ift;im cxprcflTiOncrrj; col. A a — ■ coC-^' co(. .^-f- fin. a eof. ei (i IV ^ cof A -j- fin. a' cof. (p co(. i^, — fiti. acuf. a cor.Cj^rui.^coCi. — fm. a,,fin.(P fin. ^ fin. A. Elifo it^itur nngulo A ifta exprclTio fcquentem iii~ duet formam v corAsncora^cor.^^+cor.acor&ror-vjH-cofacorYCof.S- 4-fin.a'cor.(pco(:<^-coracor.4)cor.gcoi;>i-coIacor.(pCorYCO^"^ -rin.Cpcof.YCof.-vi-lfin.CpcoCeccf.S-,. §. II, lfi;i exprefllo co magis e(l notatu digna, quod non folum nullis inquinata fit fradionibus, fed cti.ini in fingulis terminis tantum occnrrant cofinii^ trium angu'.orum ^, -vi et 3- finibus penitus exclii- fis. Hanc ob caufllim fingulos hos terminos fecun- dum irtoS' tenioS' cofiuus ordinemus , ficquc impetra^ bimus- fcquentem formam-: cof A s — cof. <^(cof a" -Hfin. d* cof Cj^+cof ^ifcor a cof.lp — cof acof fScofCl) -cof y fin.CP)r4-cof.3:(cofacof.'y' — cof.acof. Ycol. (|)4-cof {3 fin. (p) •irbi meminifie iuuabit , angulos i^, Vi, 'B- tantum ad fitum initialem fpecflire, iisque locum cuiu^libec -clementi corporis definiri , neque igitur a tempo- re pen.ere ; dum contra reliqui anguli a, p, Yj ^ limt. fundiones. ipfius temporis * .lantum.. '$. 12. Fa(^a hac euolutione pro arcu Az fupcrfluum plane foret , fi fimilem inueftig.Ttionem pro duobus rdiquis arcubus B 5 et C e -inl^itDcrc ■ftUemus. Cum cnim tria puncfta A,B, C fint inte* r« ii.i6 D E M O T V fc pcrnnitabil-ia , tnntiim opus erit , \t tnm anguU ^, -y), S-, quaiii a, (3, y (ccundum ordincm promo- vcnntur , dum interea nngulus Cj) idcm conferua- tiir, IIoc igitur modo rcpcricmus fcqucntcs expres- fioncs cor.Bsrzcof. v)(cof.(3M nn.p'cof.(J^)-hco(3rcor|3cor.Y. — co(.j3co(.YCol.Cp — co(,afin.4);-i cu(.^(coi.pco(,ct — cof. pcof. a cof Cp-f- co{.yC\t),(p) cof. Cs^cof. 3- (cof. y'4 fin. y' C(i(. Cp)-fcor <^(cor'y cof a — cof. Y cof. a cof> (f) — co(. (3 fi n . <$>; 4- cof. •>) ,cof.Y coi.^ — cof. V cof p cof. C|)-h cof. a fin. Cp), §. 1 3. Statunmiis nunc brcuitatis gratia pro fitii trnnblato pundi Z - ex qnoriim \nloribns coordinatne pro ifto pundo dcin- ceps formabuntur, Cofinus cri^o horum trium ar- cuum hic iundlim aipedui cxponnmus cor.^'z:cor^(cofa'-ifin.a'cof.CpH-cof.Vcof.aco(.p(i— cof.Cp)— cofYfin.Cp) -i-cofS-(cof.acol.Y(i— cof.CpJH-col pfin.Cp) co(:V=coI.>]^cof.p'-frin]3'co(.C|:'H-coi.3(col.pco(.Y(i — cof.Cp)— cor.afin.(I)) -f-cof ^(coCacc f p(i -co(,Cf:)-hcofYfin.CD} cof.S'-cofS-(c()i;Y'-|-fin.Y\ofCl)>4co(.^(cn(acoi.Y(i-cof,Cp)-cof:|3fin.Cp) • co(. '0 (cof p col.y ( I — cof (p) -\- cof a fin. Cp). §. 14. Opcrnc prefium Ivc erit nonnnllos fi- tue principnks puntfti Z contcmplnri. Sumamus igitur primo pUKftum Z in ip(o purdo A, ita vt fit <^no ct 71 - :& — 5)0°i vnde pro fitu pundis Ciit cof CORPORVM RIGinORVM. £17 cof.^'rrcor.a'-f-fin.ft'cor.4)— i-fin-a'(i- co( (^) col.V = cor.acof.pCi-cor.Cp^H-cof. vf'"-^ co(.S'i::cof acor.Y(i-cor.Ct)) - cof pfin.O Simili mo.lo fi pun)'— cn(. (3 ca(. Y (i — co(. CP) — cof. a fm. Cj) cof ^' = I — .fin. y' (i - co{. (t:). §. 15. lilae noucm formul.ic ideo omni atten- tione lunt dignie , qupd tx iis formulae gencrjles pro cof ^', cof. v)', col. S' ex illis tn.m pulchre com- p;-)nn"ntnr. Minitefinm enim cO , f)rmulum gcnc- rtlem pro cof. <^' compofitam ((Te ex tribi's f<;imi- 1'8 fpjci.ilibus pro cof. <^' moJo inuenii'=. Simili 1. O o formiila gcneralis pro cof. ">]' corrpontur cx tcrnif f)riTiul'S lpccico(.B^"i-cof sr cof B^ -f-co<.::£7Co( ^a III. col.Zt- — co(.x:ccoi'.Cf-i-cof sffcofC^i-t-cof 5rZ7C0(. C6. Applicatio horiim fymptomatnm ad coordi- natas Orrhogonales. §. 19. Appliccmus nunc omncs formulas, quas hadcnus inucnimus, ad tcrnas cooidiuatas, duxtftioni- bus CORrORVM RIGIDORVM. 219 bu8 fixis I A, I B, I C pamllclGS. Ac primo qui- T^th. II. dem pro ftatii initiali coiifidercmus elcn;entnm cor- '^' ^' poris quodcunqnc in Z, pro cnius loco ftatuamus coordinaias I X — X, X Y := Y et Y 2 zz 2 ; vn- dc {[ diftantia iflius pundi 2 a centro I vocetur zr r, euidcns eft , fi iftud pundum 2 in eo fphae- rae radio accipiatur , qui ante pcr punclum 2 tran- fibat , fore X — x cof..^, Y z:: s cof. y), Z — s ccf. 3-. Hinc igitur erit x'2zXXH-YY-h2 2. Simili modo pro radio illo 10, cuius direcflio in llatu translato non mutatur , ternac coordinatae inter fe crnnt vt cofinus angulorum a, p^ y, quas autcm iii fi^ura exprimere non efl opus. §. 20. lam clapfo tempore rz: t , quod per- petuo in minutis fecundis exprimi affumimus trans- latum fit centrum corporis I in pundura / , pro quo voccmus coordinatas I/zz/,// — ^, i g — h. Punc^tum autem , quod ante fuerat in 2 nunc re- periatur in :: , pro quo vocemus coordinatas I.vrza;, xy — y^ j z — z^ et quoniam iflud pundtum z per- inde fc liabet refpcdu puncli /, vt in pracccdentibus figuris pundum 2 ad ccntrum I, ita vt fit diflan- tia iz — s: vt ante manift-ftum efl cffe debere J— /=:Jcor.^', j'— ^zzxcof vi', c — ^ — j-cof.S-'. §. £1. Quod (i iam loco horum cofinuum , valorcs fupra inucntos fnbrtituamus , ob sqoL^—X^ s cof 'i^iz: Y , s cof. S- — 2 nancif:cmur fequentci, valorcs ; E e 2 x-:- f tso D E M O T V :ez=/+X(cora'-l-rin.a'cof.(|))4-Y(cor.rtCor.(3(i-cor0)-cofYrin.0) 4- Z (cof. a cof. Y ( I - coi. 0) -i- coi; p a n. Cp) j=g-|-Y (cof j3'4-rin.p'cof (p,4-Zfcof.(3cof.Y( i-cor(t))-cof.a fin.0) -H X (cof. a cof. ^ ( I - cof. (|)) -|- cof. y fin. (p) 5;— /^'-t-ZCcof.y^+fin.v^cufCpHXCcofacofY^i-cofCp^-cof.l^fin.Cl); 4- Y (cof p cof. Y ( 1 - cof. Cp) -i- cof a fin . Cp). ^. 22. Quoniam autcm inae expreniones ni- mis funt complicatae, ponamus breuiratia gratia X = / -+- F X -H F' Y -j- F" Z j':=^-f-GX-f-G'Y-4-G"Z 5:=rZ?-|-HX-+-H'Y-i- H" Z ita Tt fit F ■=. cof. a' -h f.n. a' coC Cp G — cof. a cof. (3 (i - cof Cp) -f ccf. y fin. Cp H — cof. a cof Y (^ " ci»f 0) — coi! (3 fm. Cj) F': =:cof a. cof. (3(1- Cof. (p)- ■■ cuf Y fm.^. G' = cof ^' -f- fm. p' cof. 0 H' zrcof ^ cof. Y ( I - - cof (p) H- cof. a fin. Cp F" — cof. a cof. Y (i - cof Cp) -f col. f3 fir. Cp G"=r cof. (3 cof Y (' — cof Cp) - cof a fm. Cp H'' — cof y' -H <»"• V' col. Cj). §. 23. Cum iam dillantia puncli iz ctiam- niinc aequalis efTe dcbcat diftantiae l Z, idooque {X -/; -i- ( y -gy -h (:: - h)' -X'-\-Y'-^Z\ calculum inftituendo compcrictur rcucra f(ue FF-|-GGh-HH=:i FF'H-GG'-hH H'rro F'F'-l-G'G'-i-H'H'=:i t'F"H-G'G"-f-H'H"-o F"F "-4-G" G" 4- H" H"- I F F"-i- G G" ^ H H"rr o. Atquc CORPOaVM aiGlDORVM. 221 Atquc de hoc futis fufnus cert', ctiamfi calculua non pariim ticret molellus. Formulae generales pro motii corporum ri- gidorum a viribus quibuscunque follicitaroruin. §. 24. ConfiJcrcaHis igitur corpus qnoJcunqiie rigiJum , inquo pro lubitu ccrtum pur.dum pro centro 1 fucrit afTumtum, ct cuius ternae diredioncs fixac 1 A, 1 B, IC in fitu initiali , fe inuice.m nor- maliter dccuflcnt , quorum refpedu fingulorum corporis elementorum loca per tcrnas coordinatas X, Y et Z determincntur. Dcfignctur autem eie- mentum corporis in puniflo Z conftituti charadlere d M ita -vt littcr.i M^ denotct ma(I;im totius corpo- ris ; \bi ergo probe notctur , has trcs variabilcs X, Y, Z tantum ad ftntum corporis initialem pertine* re', neque vllo moJo a tempore t pendere. §. 25. His igitur pro ftatu initiali conftitutls , vbi corpori motus quicunque imprelTus fuifle cfl: conci- piendus. Hunc in fincm ponamus elapfo tempore t cen- trum corporis I perueniflc in /', elemcntum vero dM, quod in pundo Z confiJcrauimus translatum fuifle in puncflum z, cuius lccus pcr coordinatas x, j, z fu- pra afllgnatas definiatur ; locum autem centri i per coordinatas /, g, h exhibcri. Hic igitur non foluni tres quantitates f., g , h certae erunt fundiones rem- poris, tam cx motu corpori imprcflTo quam ex viri- bus follicitantibus dcterminandae , fcd etiam littcrae F, G, H cum fuis dcriuatis tanquam tales funftio- E c 3 nes 242 D E M O T V nes eriint fpciflandae ; quandoquidem per angulos «, |3, y et (J), qui funt fundioncs temporis , expri- muntur. Totum ne^otium enim eo redit , vt tam ex motu corpori initio imprcflb , quam viribus (ol- licitaniibus ad quoduis tempus tam valores littcra- rum /, g, h quam nngiilorum c, (3, y et CP eli- ciantur , quippe quibus inuentis motus corporis pcr- fcde cognofcetur. §. S.6. Cum nunc elementum corporis quod- curque in gcncre confidiratum verfetur in pundo^, cuius locus per dupplicis gcneris quantitates variabi- les exprinutnr, qiiarum trcs X, Y, Z referuntur ai k)cum Z, quem in (b.tu initiali obtinuit : reliquac vero (unt tundiones tcniporis. Kx harum polkrio- rum igitur varinbilitate tam motus huius elen.enti quam eius accckratio determinari potcrit , id t]uod commodidnne fiet , fi eius niotum fecundum tcrnas dircc^ioncs fixus 1 A, 1 B ct 1 C refoluamus , vnde primo ternas ccleritates eiuidem elementi , hincque porro etiam accclcrationcs fecundum easdem dircdio- nes definire liccbit. Snmto igitur folo temporc t pro variabili , frnuilae (J-^) , (^) , (i^) dabnnt il- las ternas cderitatcs, diffcrcntinlia autcm fccunda iiS^), (— ?), C~^-) accdcraticncs. §. 27 (^uod fi nunc fmili modo omnes \i- ros , quihus corpus hoc tempore follicitatnr etiam fccundum iflas tcrnas dirciftioiies relbhuintur , att]-ue cx omnibus coiiiuncftis pr>) dircdionibus 1A,1B, IC \ires ciiantur P, Q et R, pcr principia motus nc- ccfle CORPORVM RIGIDORVM. « T •^ - - J ccfTc eft , vt ifl;ie vircs fleqiientiir rnn-^mis omniiim Virium accelcratricium , quie cx omuibus corporis elementis ) -fjdM i'/^:') - i S. Eodem modo pro axe I B obtincbimiis hanc acqua- tionem: fxdMi:^)--fzdM{\';)-=:iJ,_ Tertia vero aequatio erit pio axc I C fydM{'-l^)-fzdMi:\^^^)-i\}. f >:(). Htc ivjirur raiionc fcx nndi fumusae- quationcs , qnas iiic coniundim coi.fpitftni cx^^o- nanius ]. fdM{\L-)-iY \\.fzdM(^-^^)-fydMi^-±^)~t'^ II. fd M (^^-A^) - ;q V. fx ./M (^,^/) -/^^M(V?r'^)- /T III. fd M(iif)- / R M\.fydM{^^^-) -fzdM{^J-?)^i\2' In CORPORVM RIGlDOaVM. 225 In quibiis formulis integnilibiis foLic littcrac niaiiis- culac X, Y ct Z pro \iuiabil.bus habentur , duni contra in forniulis diffcrcntialibus fohie quantitates a temporc t pendentcs tanqiiam variabiles fpcduntur. §. 30. Vt nunc irtas formulas rite cuoluamus, pro ternis coordiHatis a*, j, z valorcs contracflos §. 22. datos adhibeamus , et quoniam in formulis dif- fcrcntial.bus quaatitatcs X, Y, 2 vt conftantes (pc- ^antur habcbimus l^' = ^"A^^ -^ X (V.f) -f- Y i'^;^) -1- 2 (115:') Facile autcm intclligitur , fi iftos valores in fupe- rioribus (cx acquationibus fubflitucre veilemus , for- mas maxime diffnfas efFe prodituras , quas tameti operae pretium erit hic adhibuiffe. §. 31, Subilituamus crgo adu loco litterarum X, j, z et formularum (^) , r/^ >) gt C^^) valo- res ante euolutos, ct fex aequationes noftrae fequenti modo exprimentur : _l_ {q^')fZ d M II. /qr=(^^^)/iM4-(^^,f)/X^M+(4f )/Y d M _f-(V,-^'j/Z^M lII.;R-(^^,^)/^M-+-(^-^«)/X^M-f-('^')/Y^M ^i.'i^-)fZdm Tom.XX.Nou.Comm. Ff IV. 125 DE MOT V IV. is-(!^^.^rdm ^ ( HddG-GdrfH ^/-j^» ^ M -1- ( H.liijC'*GMi_Hl ^jy- Y' ^ M ;/Z'i -H ^ ( dlT— J V. i T = M [lAA^-^^ ) + A (Ll^^-r_H_lAf j + B (F^^jIh'^- iLliLI' ) . I . Q .F"ddH" — H'^iidP"\ VI i U ~ M (Liii^-ms] _|_ A (^AfL! -iJ-ilP) a. b /CMdp'— fm d c \ , /-• C" d d F" — F'' d d C"n -+- ^ ^ d ,» ^)- PIus autem hinc in gcncrc pro \iribus follicitanti' bus quibuscunque concludcre non licct. Appli- CORPORVM RIGIDORVM. «29 Applicatio harnm Fonmilarum ad cafumquo coi-pus nullis planc viribus lullicicarur. §. 35. Conflituto igitur punclo I in iplo cnr- poris centro grauitiuis, tern:ie autem reclne I A, I B, 1 C fimul corporis axes priucipiiles rcferant , Jum fcilicet in ftatu initiali vcr(abatur,- atque elapfo tem- pore =t ob omncs vircs P, q, R et S, T, U cuanefcentes habebimus pruiio ilbs tres aequationcs: I. MC^^-/)i=:o, II. ^l ('//)- C, III. M(^^f/)i:o quae fcmel integratae praebcnt dt ' d t nf ex quibus formulis cognofcitur, motum centri graui- tatis eflTe acquabilcm, idLOiue lili nequalem , qui ipfi initio fnerit imprcffus. Hinc autem porro integran- do colligitur f— a t , gzz b t n h — c t flcque Yia a centro grauitatis defcripta erit linea recla 1 /. §. 35. Tres autem reliquae aequationcs ita fe habebunt TV r^— A (HdiG-CJiH) i T5 {WidG'-G"dW') i^ (}l"ddG"~G"JdH") IV. o_A — 3-,5 -f-r> ^^y, -hl. ^-^5 V O ~ A fT'''^^— HJdF) , g iV'ddH'-H'dJV')i Q [P"ddH"-.n"ddr") VI O — A t^ddFrt-^diG) ; -n {G'diV'-V'dlG'] i Q {C"ddV"-V"JdG"_) Vnde pcr integrationcm ftatim deJucin us fcqucntes m-A[Hc/G-GdU)\Bi\VaG'-G'dlV)+C{\VUiG''-mn'') S3^//rA(F^[I-IWF) + E.,FVH'-HWl')+C(P'WH"-K'W") €(ft- A fic/F-F(,G) -\ BG'c/[ '-FVC; + C(G" — co> $.j — <2 /ifu. $ diffcrentiationcm morc lolito inflitucndo prodibit fe- quens fonna: pp{ I -zo{.(];)\\rdq-qdr)-prrd(p[ i-co{.(p)- qqd<\x\.(p[ i-cof.Cp) -pqqdp^ i coi. (P}-{w\.(^\ijdr-rdqrrrdpi\\\.(^{ i -cof.Cl)) qnae contrahitur in liai.c forn am : irdq-qdr)[pp{i'Co\.(pr\-^^^-^')-(lpK i -/>/))nn.Ct): i-cof.Cj)) — /)(i— p/))^q);i — col. Cp) quac exprcffio crgo efl valor formulae UdG'—Gd\\. §. 40, Secund.1 fornuHa \i'dG'-G'dW, dt^Ju- citur cx differentiatione fraclionis C^ — qq[t — cof. (P)-t-_c°/.

v/Cpfin.(I) ol (p+^r^(i)(ui.(pvi— col(p;— ^/pfin.(pcof(p — ;)fl'Cpcol.(p'-/;(/^fin.(I)'+2_prr/rfin,(p^i-coI.(I)) -rrd'/)fin.(p(i-col.(p) quae contrahiiur in illam -r//)fin.(p(rr(i-co(.(p)-Ho(.(p)-f-r^<7(i-cof.Cp,(n-(i-cof.Cp,+cof.(J)) +rt'r(i —col. (|))(2/)rfin. Cp — (/rr-i-^/coI.(p(i + rr) + r promnuentur primo in B, C, A,«7, r, p , Iccundo in C, A, B,r p,/)-t-B ^y-f-Crr) — ^^rcof.Cpd-cof.Cl^HA + B-Bj-A^rt^rCi-cc f.Cp) -\--iCprfir fi 11. (p; I - coi; (P]^p(/(di ( r - cof (p (A/)/4 B7? -i-Crr}-9r^(I)>in.(|),J3-C)-/Y-sP A+Bi C)h Apa(p^o[.(p. § 43- Quia auteni in h\% aequntionibus iam per fe valde prolixis variabiles />, ^, r et (J) nimis inter fc fimt p. rmixtne , qiuim vt redilntio gcnera- lis (ulcipi qncat , euolu.inui5 antc omnia cafnm, qiio corpus circa uxem fixum gyruri pctilli t]ui cum Comienire icbcat cum axc fiif.ra confidLrato IO,an- g uli a, b, y idco-iue ctiain liiierae />, q^ r pro con- llantibus luiit bftb.iuiae , vruic dcletis mcinbris, vjUMC d fFcrentiaha (ip,t/t],dr imp*ic,iiTt , tcrnie acqn^uio- ncs ad hunc c*{iifT) cruiit 91^//— /)r/C4)(i -C(>f,(lJ> {A/j/i + .B./f^Or^-^f^a^^^Ji^iB^O) -p(/(k>i A 4 K-l-C )+.A/ i/(^:.. ,i^ ^di—qd(P: I — cof. (p ( pp-^Wff^-Cri ;— /Ar/($) C^M) — qu H> A -t B --f C + By «• ^nK. (p Tom. XX. No! C^mtuii. Gg ^^/ 234- D E M O T V ^dt-zrdpC I -cof.Cp X ^pp+Bjq^Cn^-pqd^pCi ;i.(t>( A-B) -rr/(p(A + B + Cj + Cr^Cpcor.(p. §. 44.. Cum i^itur corpiis tnli motu gyrari poflic , fi axis gyrationis incidat iu aliquem axem principalem , ponamus eum inciderc in axem I A iia vt fK ]5 — I, ^ — o, et r zz o, vnde trcs noftrae aequationcs cuadcnt $1 rt^rriz A ^^:t) ; I -caf.Cp) -/^4^ (A +B-f;C) + A^$ cof.^J fiue 51 r/ ; =r - r/ CD (B -H C) 33 r/ f — o Hinc igitur ftatim patet, hunc cafum vtique locum bab;re pofTe , fuintis conrtantibus ^ == o et (T — o ; tum vero ^Cp — "^^^', quamobrem angulus <$> tem- pori erit proportionalis, feu motus erit vniformis, vti per fe elt manifeftum. §. 45. Porro vero etiam notum eft , corpus circa omnes axes libere gyrari pofTe , fi omnia mo- menta fuerint aequaliJ , hoc eft A — B ~ C , vnde hae produnt aequationes ^L:z:-2pd(p; ^—-zqd^i ^±=-2rd(p Tndc manifeftum eft fore ^-f- quantitatem conftantem, ideoque motum gyratorium acquabilem. Quod (i ergo ftatuatur J-?-— a, hinc rcperiemus ipfas quan- d t titatcs p^ qyVj erit enim ii — _ _a .-, — _ 55 .j. — _ '^ quare CORFORVM RTGIDORVM. 235 qiurc cum fit p p -\- q q -{- rr—i erit ricqiic omnia per ternas conlbntes Si, ^, (E funt de- terminata- f 4d. lidem valores prodire debent ex tribus Bodris aeqiiationibus, fi etiam quantitates /), r/, r vt variabiles rpcdaiuiir ; pro cafu A — B r:: C j tum autem aequatio prima crit —2dri I -cof.4))f^-prfin.(J)}~ s/f^/Cp quae ob pdp-\-qdq-\rrcir~o reducitur ad hanc fbrmam : I. ^^— - 2 fl'/) fin. Cp4- 2 (1 - cof (p)(r dq -qdr)-2pd(P vnde duae rcliquae per analogiam erunt II. -^- = - 2 dq fin.(I) + 2 (i - cof.(|))(p hanc iiiuclligationcm aliis re- linqucrc lum coadus ,* quandoquidcm hoc argumen- tum (unuiia attentioue Gcomctrarum dignum cft iu- dicandum. §. 49. FortafTe etiam ron p.irum ad felicem fucccflum conferre poterit , (1, antequam U)fo litte- rarum prin:o introduiftnrum F, G, H \aK)res fuos (ul>- ftituamus , caruni rclutioncs muiuas accuratius pcr- pcn- CORPORVM RIGIDORVM. 237 pcnd;imu5 : f()rfitaii enim hinc iam via commodior felc o:r-ret hoc iiegotuim conficiendi. Cum igitui* ill.irum litteraruin valores inuenti fint ifti Y =zpp(i~col.(p) -^coi'(p ; ^{~pq(i-coi.(p)-rCiu.(pi ¥"-pr{i — cof.Cpj-i-^fiii.Cl) G=:pq{i-<:oi:.(pj'^rCin.(pi Q-qqii-coi^p^-^-coC.^p:, G"~^/r(i-co(.(p)-pfin.(p B=pr{i- (in.(p)-qco(.(^ ,• H'i-?r(i -cor.(p]-f-prin.Cl);- H" = r /- ( 1 - coi: Cp) -i- col Ct) ob pp-hqq-\-rr)=i erit F + GM- H''— i + 2Cof.C|). Tu.n ve>) inter reliquas fex harum litterarum binae egrcgiae intcr fe conueniunt , vnde fequuntur fequen- tes relitiones G + f — 2p q^i -coC Cp) G — V — 2 r fin. (t) H + F" 13 2/)r(i - cof Cp) — H 4- F" — 2 y fin. (p) H'+G"— 2 ?r(i -cof. Cp) \M -Q" — 2 p fin. Cp. hiiic igitur porro erit GG-F'F'-F"F"-HH = H'H'-G''G"-4p^rfin.Cp(i-cof.Cp> Pnieterca vcro h nc eiusmodi combinationes formari poterunt , in qaibus folus anguhis Cp infit 5 cuius^ movji furt !£^r^»;,:^.= ,(, + coi.0) ^V:tS— = = ( . + cof. $;. G g 3 Caete- 238 D£ MOTV CORPOaVM RIGlDOiiVM. Caeteriim hoc argumentiim digiiiffimum vidctiir, quod orani (Uidio excolitur ; cum inde noii Iblum in Mechanica ("cd etiara in Analyfi egregia incremen- ta expedari queant. §. 50. Anrequam hoc argumcntum pcnitus deferam fortafle haud abs re crit annotafTc , tcrnas acquationes §. 4^, (atis commode ad duas reuocari poffe , dum variabilis f, cuius diffcrcntiule taiuum ingreditur penitus ehminatur, id quod faciliime ef- fici potcrit primam aequationem per p , iccundam per q et tertiam per r multiplicnndo ^ tum euim prodibit fequens nequatio fatis concinna : vnde flatim fit d t — — i_A J..$ qui valor in duabus tantum acquationibus fubf^itutus fnppcditabit duas nouas aequationes, in qu bus tantum tres variabiles iufunt , quarum bina pcr tcrtiam de- tcrminari oporteret : interim tamen nulla via patet , quomo'o hoc comniode pracftnri poflit ^ praccipue hac ratione folutio iila fimplcx, quae iam a priori conftjt, prorfus excluderetur. Quia enim quantitates /j, q, r funt conftantes , angulus vero Cp tcmpori proportionalis, neutiquam ficri potcfl , vt i(Ic nngu- lus per quantitates p, l:.t.one c(rp tri.tque col. M A N rr coC M AC cof. N AC-f fin. A; AC fin. N AC) Jioc jgiun- Afllcre pro cof. Al A N luUbiuio , ccnlc- queniur CORPORVM RIG DOaVM. 2ji quemur cof. M N — cof A M cof. A N -f- fin. A M. fin. A \do allata haec identitas non perkdie innotefcat , ii^fri occafio d;ibitur ortendendi , qund illa omnino iocum h:ibeat. Intcnm obferuare iuu;U, rchniniies illas pro licteris F, G, H etc. ab llluflr, Eukro allatas in §. 1 8. D (Tcrtationis fuae , omnino locum habtre , fi his littcris valores mox adignati tribuantur. Eft cnim I. cof A a -i- cof B a -h cof.C a — i II. cof A ^'-4-cof B 6'-|-cof.C^'= 1 III. co(. A c'h- cof B c -\- cof C f ' n I , tumque per Lemma noftruai l : IV. cofAacof Ai>+cof B^cofB^ + cof CizcofC^^ofai— o V. cof A a cof A f + cof B <2 cof B f + col. C a cof C f ~ cof ac — <^ VI. cof.A^cof Af +cof B^cof Bt + cofC^cof.C(r — colJ^f-o. 6 Qiiod fi iam demonrtrnri queat , in omni conuerfione fphaerae circa centruiii fuum fixum, ex prcflionem illam (i-cof.A^)(i-cof.B^)(i-cofCt)+cofE -+- Y cof. A c x:=zZ cof B a - )- X cof B Z^ 4- Y ccf B c j — Z cof. C ^ 4- X cof C t» -h Y cof C c , vnde patet modo coguofcaniur coordinatae puncfli Z pro flaru initiali , et translationes puniftorum A, B, C in puiK^a a, b, f, etiam fitum pundi 2 transla- tuni in z , facile dctcrminari poffc, Tab. III. 7- ^-"^ ^' ''^ translatione corporis, etiam mo- Fig. c. tus progrcrfiui rationem liabere velimus ; concipi.i- mus interea diim corpus conucrtitur circa I, ipfum lioc pun(ftum peruenifle in ;, ciusque pundi fuum dcterminari per ternas coordinatas \f->fg,gh ^^'^'' r£fpc(ftiuo littcris /, g, h exprimamus. Ueiude pun- (flum CORPORVM RIGIDORVM. 2+'/ fliim Z transliuionc fa b arcubus circulorum maximorum. Bileccntur hi ar- cus A <7, B ^ in pundis E ct F , atque ducantur arcus b Z, F Z normales ad A a, ?tb , quorum inutuus occurlus in Z, dabit pundu.n , quod pull conuerfionem in codem rcperitur loco ^ ac in litii initiali trat. Qiium nimirum fit A E ~ <7 E , ang. A E Z — ang. a KX ~ 90" et E Z coirmunis triangulis A E Z, a E Z, fict A Z r^ r/ Z ; fimili mouo crit B Z ~ i> Z. lam in tnangulis A Z B, flZZ^^cIlAZ-flZ, BZ = ^Z tt khzz ab , cnt igitur ang. ABZzzaZ^Z et BAZ^^^^Z^ cx quo pntct pundum Z rcfpcdu arcus ab perftde cundcm tcncre fitum , ac refpedu arcus A B, ideo- quc CORrORVM RIGIDORVM. . 249 que hoc piin(rtiim iii codcm efle loco, ac nntc coii- YciTioncm erat. 9. Mirum fornin alicui vidcbitur , quod huius Problematis refolutionem adgrefTus fim , ante- quam demonlbaucrim fdrmulam illam §. 5. alfatam ad nihilum redigi ; quippe quum videatur hanc fo- lutiontm nequaquam in poteflate effe , nifi exprefllo ifta in omni conuerfione fphaerac locum habeat. At primum quidem obferuandum cft, licet Problema ipfum lolutionem admitterc non queat , nifi aequa- tio ifta §. 5. vera fit ; tamcn ipfam folutioncm Problematis independenter ab hac acquatione adornari pofTe , tumque ex ipfa indole folutionis ficile per- fpici > an fempcr ct omni c^sfu locum habeat. In iiodra quidem foliuione , nullum dubium eil:, quia arcus EZ ct tZ normales ad A a et Bb fe in- tcrfcccnt , vnico excepto cafu , quo coincidunt; tum \ero arcus illc P^ Z F tranfibit per puncTtum in quo arcus ABt ab fe interfccant , immo iftud pundlum intcrfedionis iam cum pundlo Z coincidet ; dubitare igitur non licet , quin Prol lema nollrum fempcr \eram et realcm admittat folutionem. Deinde ca quidem de cauflli praeprimis hanc folutionem heic adornandam cenlui , vt rrodurn mihi patefaceret , quo ex datis arcubus A a, B b, C <; dctcrminationcm pundi Z fufcipcrem , quac inucftigatio mihi infer- Tab. irr. virct ad detcgendas relationes, quae inter arcus A ^, ^'S- 3- Bb,Cc et Ab, Ac, Ba, Bc, Ca, Cb inter- ccdunt. Tom.XX.Nou.Comm, 11 10, «50 DE TRANSLATIONE lO. Vt nunc intelligatur, quoinodo pundum Z per arcus A a, B ^, Cc determinctur , fupponamus hos arcus bifecari pcr arcus E Z, F Z, GZ ipfis refpediue norniales , qui arcus EZ, F Z, GZ iu eodena pundo Z concurrent ; tum vero erit- fin. A Z' fin. i A Zc r fin. 1 A «% fin. BZ\ fin. \BZb'- fin. ', B b' ec fin.CZ'.rin.-;CZ^'— fin.iCr', ideoque ob AZa=BZ^z:CZo fin.iAZ«'(fin.AZ'+fin.BZ'+fin.CZ>fin.iA«+fin.lB^'+fin^Cfin.iC; 2 fin. ^ CV z^ i - cof Cc, confequimur I -cof 2 A Z n: ^ c - co/^v^ hincque I — co/. A a — C3/.B& — coj.Cc > »""«-4"^' COf -^ A Z — ^ '^"f- -^ ^ — co/. B 6 — coj. C c —2 — ^ — co/.Aa — coj. B 6 — co/. Cc 3 ■fimilique modo cnf o 'R7'— '^'^JBy^cof^jVa^-roOC^--^ . -^r „ r-V — 3W/^C£- cofAc-co/te-i tui. 2 Hi. — ^ _ ^gj_ ^ ^ _ ^,^^_ g^ _ ^,gy ^^ , w . - \- _.^_ „j^^^_ C0J.B6- co/.Cc ideoque cof..AZ+cor.=BZ-Kor..CZz::»^,*M±*££rj|=-i, omnino \ti cfle" oportet. II. Vt vcro iam quoqiic p.iteat , qua ratione arcus , Ad), Af, B<2;, Bf, Ca^Cb per Aa, B^, Cf determinenrur ; priinum hos arcus , per ipfbs A Z, B Z, C Z et angulum A Z a dctcrminemus. Con- fiJt autem e(fc cof A a — cof A Z^ -h fin. A Z^ cof A Z a cof B ^ rz cof B Z' -i- fin. B Z' cof. B Z ^ cof. C c = cof C Z' -i- fm, C Z' cof. C Z f. Porro eft TP_^b „1^ cof, A^ — cof. AZcof. ^ZH-fm. AZfm.^Zcof A Z^, Fig, 4, vnde ob bZ^BZ et angulum A Z/l?- A ZB-B Z^, colli^imus cofA^=cor.AZcof.BZ-i-fin.AZfin.BZ(cofAZBcofBZ^ +fin.AZB,iin.BZ^). . li 2 Eft 25 2 DE TRANSLATIONE Ell vcro Tab. III. cof. A Z B =r - cot. A Z. cot. B Z , ■^'o- ^" ex priiicipiis Sphaericoruin , hinc fin. A Z. fiii. B Z cof. A Z B n - cof. A Z cof. B Z. Porro habetur quoque ^in. A Z B " ^^_-'^°^'.J— ^ , id quod fcquenrem in modum demonftratur. Produca- tur arcus B Z, vsque dum circulo maximo AC in R occurrat , eritque fm.AZ.fia.AZB=fin.AR = cor.CRzi:^?^--^^=z;f-" Hinc itaque colligitur fin. A Z. fin. B Z. fin. A Z B = cof. C Z. SubQitutis vero his valoribus, prodit : cof. A ^-cof. A ZcofBZd - col.B Z^)-l cof.CZ fin BZ6. Simiii modo, ob cof.Ba = cor.BZcof.«Z-f fin.BZnn.flZcof.BZ^, quum fit <2Z— AZ ct BZ(7 :z:BZ A-[-AZ(2, col- ligitur cofBfl:! cof.cz cof.AZ-ffin.EZrin.AZ(cofAZBcofAZ« -fin.AZB.fin.AZrt), quae ob fin.BZfin.AZcof.AZB — -cof AZcofBZ ct fin. B Z fin. A Z fin. A Z B = cof C Z, reducitur ad hanc cof B a-zoi. A Z cof. B Z( I - cof. A Za) - cof.CZ fin. A iLa, Simili modo has confcqucmur expreffiones : cof.Af~cof AZcof:CZ(i-cof;CZO-col.BZ.fin.CZc cof. Ca — cof. A Z. cof C Zf i - cof. CZt) f cof BZ. fi n . C Tj: cof.Bt- = cofBZcof.CZ(i-cofBZ^)-Hcof AZ fm.BZ^ coi:C^z::cof.BZcofCZ^i-cof.BZ^)-cofAZfin.BZ^, vbi CORPORVAl RIGIDORVM. 253 \bi anguH A7.a, B 2 ^, CTc qiiia inter fe aeqiu- les, promiicue adhiberi pcfliiiir. Porro binas harum forniularum intcr fe conibiuando obtincbimus : cof. A ^ -i- cof. B ^ =r 2 cof. A 2 cof B 2 ( I — cof A 2 a); cof. Ab — cof. B fl = 2 cof. C 2 fin. A 2 « cof.A^-+cof.Cflz=:2Cof.A2cof.C2(i-cof.A2^)^ cof C«-cnf A c— 2 cof. B2 fin. A Za cor.B^-l-cof.;CZ;3=2co(.E2cor.C2(i-coCA2tf) ; cof. B r— cof Qb—z cof A 2. fin. A 2 ^. Dcnique esrcgia illa hinc coUigitur proprictas , quod fit cof. A^'— cof. Ba^ cof B/— cof Qf'— cof Qa— cof A^* —4. cof. A2. cof» B2cof C2 fin. A2(/(i — cof A2fl) , fiue cof.2A^-cof 2B cof B2=y«±^P • cof C2-y 2±fc?:, p-*-V-+-a «-»-^-1-7' a-t-p+V» tumque i-cof A2rt=a+(3 + y; fin.i A2«=:y«-±?^^ hinc cof i B 2 ^ ~ yi-'^.r^-?-±Jp. et fin. A 2 fl — y (a -f- p V y) (2 - a - (3 - y). 113 His ^5+ DE TRANSLATIOME His igitur valoribus fubftituti?, confequemur : cor.A^-Vf(3-i-Y-«'^y+°^-P^+'^''(«+(^-v)(--«-p-Y) cof-B«=V((3+-Y-*Xy+a-p)-V(a+(3-YX2-a-f3-y) cof. Bf=:V(a+p-Y)(a+Y-(3)-f y(p+Y-a;(2-a-(3- y) cof.aziV(a+p- YXa+Y-P)-'^''^^ ^r-«)>-'^-P-Y) cof.Cfl=V(p+Y-*X|'34-a-Y)+-'>^(a+Y-P)(=^-a-p-Y) cof.Af-V((3hY-a)(p+a-Y)-V(a+Y-PX^-a-P-Y)- Vbi quidem obfcruare conuenit , hos \alores figurae noftrae effe accommodatos , caetcrumque binos inter Te e(fe pcrmutabiles , ita vt fi pro cof A b adhi- beatur V((3+y-«)(Y+«-P)-"^(«-^|3--y)( 2-a-|3- y) , tum ftatuendum effe cof.Bfl=:V(p+Y-0(Y+'*' P;+V(a-4-(3-Y)[2-«-(3 -y) -, vnde coUigitur produda cof. A b. cof. B a ; cof B r cof C (5> 5 cof C o. cof A c femper rationaliter per a, (3, y exprimi. Fiet autem cof A Z». cof B tf =: 4 a (3 — 2 ( a -i (3 - Y ) ? quac valoribus dcbitis fiiblHtuiis, in hanc abit cof A^.col.B^-col.Aa coiiBZ^-cofCi', fimili modocolli- gctur cffc, cof.Bf cofCfccorB^.cofCf-cofA^ ct - cof.C<7cof Afrcof Cf.col. Aa-col l^b , quas aequntiones infra indcpendentcr a confidcrationc pundi Z, demonflrabimus. L e m m a II. Tab. III. 13- Si comierfme fihacvae circa centrum fimm Tig. 9. fixuvi- puncta A, B, C quadrantlbus imcr Jc dijlaniia, per- CORPORVM RlGlDOaVM. 255 peruenerint in pun&a a, b, c et m-cuum A B, a b ; AC, nc; B C, bc inierje&ioncs fmt in punCtis y, p, a; erit an-us B b — ang. Apar^C[3c; Aa-Bab-Cac; Cc^Ayaz^zByb. , Demonflratlo. Ducantur arcus B(3, ^p et ob nrcus ABrBC-po", erit quoque B(3zi9o'' er ang. B(3 A — 90°, tum vcro ob baz:ibc — ()Oy erit item b^-^o^ et ang.^(3Ar9o, \nde deducitur Bp A^^j^^rt et B<^b-^.^a-^ atqui ob BPirr^P — 90°, mcnfuia anguli B(3^ eft arcus Bi^; liinc idem arcas aequabitur angulo A(3^, Simili plane ratione oftenditur effe A a = ang. B a ^ et: Q c ~ ang. A y «. L e m m a IIF. 14.. In Tetragono ACcb, quod componitur ex areubus circulorwn maximorum in Juperficie Jpbaerica^ Ji, fuerit A C'— b c — 90° , erit'. cof AZ^^rin.ACf. fin.^<7C-cof.C^.CQr.AC^.cof.i»^C. Demonflratio.. Ducatur arcus ^C, eritque cof A^z:fin,^C.cof. AC^, hincque ob ACfcACr-^Ctf", zo{.kb — fin. ^C(cof.A C^.cof. ^Cf+fin. AC<;. fin.^Cf)* lam notctur efle : fin. b C. fin. bQc^{\^.b cQ et cot. ^ C c = — coC C f . cot. b cC^ hincquc etiam fin. C ^. cof. ^ C f — — cof. C C quadrantUms intcr fe dljlantia Tab. III. peniencrint in puncia n, b, c, et du£li fupponamur ar- Fig. 4. cuf circuloruni niaxiviorum ^ A a, A b, Ac Bn, B b, B c, C n, C b, C c, fequcns .expreffio fewper ad nihiium redigetur Cl-cof.A«)(i-cof.B/?Xi-cor.CO+cor.Bfcor.C/7(i-corArt)-cor.Akof.Kfcor.Ca +con A(rcof.Ctf( I -cof BZ^Kcof. AtcoI.CkoI.BB, multiplicata liac aequationc per cof B b, et fubtracfla inde illa pro cof A o, colligimus demum : cof Bb coi.Ci;-coLAa — {i-coi'.Bb"]coi:.CBb.cof.cbB ^fin B^'.cof Ct^.cof f^B. Tom.XX. Nou.Comm. • Kk ' Lx Ex quo rrianifello ddducitur cof Zb: cof, C i- — coi: A ' 4-cof A^'co(. Ba'— cof.Ca* 4- cof Cy' — i-f-cof Aa\cof.BZ?'-hcoI.A^".cof.l}a'. Q^iiiim igitur fit , ■ul \ cof- C a' -h cof. C b'— I — — cof, C 6-* ■ h;ibibimus 2cofA«ccfB/;cof.A^.cofEai:cofAfl'cofEt'4cof A^'ccf.Efl'-co(C — cof. C c , non vcro item cof A If. cof. B a =: cof. A a cof. B ^ -h cof C c ; quicquid tameii fit fiipponamus priorem aequationem lccom habcre. Tum vcro quoque eundem in mo- diUTi oflendi pcteft , efle : cof.A c cof C «zi: cof A a cof C ^ — cof B i» et cof B c cof Cbzz cof B b cof Cc — cof. A a. Porro obferuetur, praetcr illas aequationes §. 5. alla- tas , etiam fequentes locum habere : VII. cof A«'-l-cof. A^'-f-cof.A/~i , VIII. cof Bfl'-4-cof BZ^^-l-cof Bf'z=i , IX. coC Cfl'-|-cof C^'-+-cof Cf'=^ I , X. cof A^cof B<2-i-cof A^ cof B/^-1-cof A^cof.BiT — o-, XI. cof Btf.cof Ctf-r-cof.BZ>.cof C^-i-cof Btfcof C^~ o , XII. cof Atf.cof C^H-cof A^. cof C^-i-cof Ai"cof C^ — o. Nunc pcr aequationcm X colligimus r cof A//'. cof B Z;*-j-cof A t'cof B <;""-l-2Cof A -5.cof B fcof B 3.cof A c — cof A«\of. Ba*— (i— cof A i^"— cof Af'Xi— cofB/b'— cofBf') pcr aequat» VII et VII L Hinc fadi euolutione prodit : 2 cof A h. cof B c-cof B ^ cof A f — 1 — cof A ^'— cof A c* -cofB/-cofBf'.+cof AZ7'cofrE/"+cofB'^".cofACB^, conftdcr.tnda aflrumfi. Qimm ciiim in Tab. IIT. priori b;U)ercm quntuoD latcra Goguita , A a, B , ^''^" ^^" A B — 9D° <.c « 6 := 90", et in poUeriori itc;n qua-» tuor latcra cognita Aa, Cc, AC — 90" etrtf— 90°, i:im cogitare coepi, quomodo iinguli B A a, AaA, C A ^, c a Ay ope arcuum A a, B If, Cc detcrmina- ri poflcnt ; illa fcilicec relatione in vfum vocata , quod lit C Aa zzB A a — po° et(raA — baA-\-'go°, Hoc igitur agens ad iibs binas perdudus fum ae- cjuutiones : eof.B^fin.BA^.fin.^aA— cof.Ai/.cofBA^.cor.^^A. coLC cof. Ct- — co(. yXi- col. Cp)-|-rr((.Cp co(.Ai^-cof aco(.p(i-co(.Cp) + cof.yfin.Cp cof. CORPORVM RIGIDORVM. ^Cc, cof. B rt — cof. a cof. (3 C I - coC 0) - cof. y fni. 0 co(. B(.~ cof (3 coC V (i — cof Cj)) + cof. a fni.^p co(. C/» rrcof. pcof y( I -cof (p) -co(. a fiii. (p coC C a — cof. a cof. Y ( . - co (.Cp) \ cof. (3 fin. Cp coC A £• ir cof. a cof. Y ( I - cof. (pj — co(. p (in. Cf), Qiiiim igitur fir conAc — cof. AZcof.Aff+cof.BZcorA^+coCCZcof.A^ cof.B^ — cofAZcof.Ba-i-cofBZcofB^^+co^.CZcofBt,' cof. C 2 zr cof. A Z cof.Cfl+ col.BZ col. B^+cof. CZ cof.C^-. fi dicatur kZ — ^\ liZ^^/\^CZzzQ tumque A z — ^'; B z — yi' :, C s — 6' , confequemur: cof.<^'z=:cof.<^c(5(.(p H I -cof.Cp)(cof (^cof a^+cof.^vicof.acof (3-i- cof. 0cof acof.Y) -^ fin. (p (corS)co(. Y -col. OcoC P) cof.V^con>i:of.(I)+(i-cof(|))(cofv]coC(S'-+-cof.^cof.aconp+cof.kof (ScoCy) + fin (pCcof.^cof. a — co(. <^col. y) cof.0'rrcoC9c.iC(p4-(i-coC(p)(co(.0cofY'+cof^cof.acofY+cof'vicofj3coCY) + fin. (p(,co(. ^coC (3 - cof, -kicoC a), quae ctiam fic expnmi poffuiit : cof ^'-coC(^(cofa'+fin.a'coC(I))-f coC>](coCacof (3( I -coC(|)) -fcof Y ^in. 4^} + coC $ :c()f a coC Y U — coC (p) - co(. ^ (in. (p ) cof. V— coC^^iCcof (3'-|-fin.(3'coi.(p)-i-co(.^(cofaool.(3;i— coC(p)— cofYfin.(p) + c<)C0,co(.(3cof y(' -coC(p)-i-co(.a(in.(p) cof d'— cof ^(co(.YVfi-.Y'cof (P -fcoC^(coCaco( y{ i-cof(p)-t-cof(3fin.(p) + co(. yi co[. (3 :oC. y ( i — coC (p) — coC a fm. (p). 2 2. Denique cum fupra *. 7. locum transhi- tum pundi z ptr cuordinatas x', j' , z' ita defini- ■vimus , 'vt fic L 1 3 a'=:/ a7o DE TRANSL. CORPOR. RIGIDORVM. x'—f-+ Xcof.B^-hYcof.B^H-Zcof.Bfl y — g-f-Xcof.L^-+-Y cof.CfH-Zcol.Ca s' — /?-+- X cof.A 6 -i- Y cof. A ir -i- Z col. A <2 ; fi hic pro cof. A <7, cof. A ^ etc. , valores ipforum fubrtituantur , fict 3yzr/"4 X(co( p'i fui,(3'col.Cp) fY(cor(3cof.Yf i-cof.cP)!- cof.afin.Ct)) -f-Z(cof acof (3(i -cof Cp) -cof Y / — REGVLA ■'•*¥.i> ( o ) >•?*<- 2^j REGVLA FACILIS PRO DIIVDICANDA FIRMITATE PONTIS ALIVSVE CORPORIS SIMILIS EX COGNITA flRMITATE MODVLl. A u c t o r e L. E V L E R O, §. r. Orta eft nnper haec quaeftio occafione pontis pe- rennis trans fluuiuin Neuam conflruendi. Cum enim plures hoc opus aggredi fuiflent conati , atque in hunc fincm modulos confecerint , ad quorum fl- militudinem ipfe pons exflrui pofTet , plerique funt arbitrati , pontem fatis firmitatis effe habirurum , fi modo modulus certo firmitatis gradu fuifTct praedi- tus. Putarunt fcihcet, fi modo modulus fimile onus gcliirc valerer, quale ipfe pons fuflincre debeat, tum nuilum efle dubium , quin ipfe pons fccuudum fimilitudinem moduli. exflrudtus latis rol)oris cflet habiturus. Hanc autcm concluflonem efTe fallacem , exinde fatis eft manifeftum , quod talis pons certe non ad quantumuis ma;nam diftantiam, veluti vnius pluriumue milliarium extendi queat , quin prv.pno pondcre corruat , quantumuis etiam roboris modulus habuifTc videatur. Ex quo perfpicuum eft , firmi- tatcm i^i DE DliVDlCANDA tlRMITATE tatem pontis neutiquam cx firmitatc moduli fecun- dum principium fimilitudinis dcfiniri pofle. Quam ob rem , quemadmodum cx firmitatc moduli firmi- tas ipCus pontis quantumuis magui cognofci qucat , hic accuratius fum inquifiturus. §. 2. Firmitas autem tam ipfius pontis quam moduli \tique componitur ex firmitate fingularum partium ct modo, quo inter fe funt coniuncflae , ac y diiudicari dcbet cx -viribus quas fuftinere valent , quin disrumpantur. Duplicis autem generis hic oc- currunt vires, quibus talcs machinae refilkre debent, quarum alttrae tendunt ad partes a fe inuicem. di- velicndas , altcrae \cro ad eas frangendas , feu a compage rcliquarum abrumpendas. Prius genus po» tifnmum habet locum , fi funes adhibeantur , quo- rum tenacitate tota niachina innitatur ; quando au- tem niachina tnibibus inter fe coniunclis conftat , altcrum gcnus potifllmum locum habet , ■vt fcilicet tnibcs fr;idioni fiuis rcfiftent , nc a viribus quas fu- lljnere dtbent abrumpantur. Vtrumquc igitur hoc genus accuratius cfi pcrpendcndum , vt diiudicare valeamus , quanta vi fingulae partes tam diuulfioni quam (radiuni refiflant. §. o. Quod igitur ad gcnus prius pertinct , confideremus funem crafiitici datac , ac vidcamus. , quantam tcnfionem fiiflincre valeat , antcquam rum- patur. Ac primo quidcm manifcflum cfl , iflam \im a tenacitate fiiorum ex quibus tiinis componi- tur pendcre , quae fi in variis funibus fuerit cadcm, quando PONTIS EX MCDVLO. 273 quando fcilicet fimili modo cx fil:imcntis fiicrint con- torti , euidens eft , eorum firmitatcm eo fore ma- iorem , quo fuerint cralfiorcs. lt;i fi crafllties talis funis \occtur zr:6'f, vis quam fuftinere valebit , qaiin rumpatur proportionalis crit ipfi c c. Dabitur igitur certa qiiaedam longitudo L , vt produdum \j c c pro menfura eius vis , quam funis fudinere va-' Jet iiabcri polfit ; vbi manifcftum eft , quantitatem iflam L a tenacitatc filamcntorum pcndcre. Quo- iiiam igitur lioc produdum V. c c mafl;im ideoquc pondus eiusdem funis refert , fi eius longitudo effet — L, hinc patebit , quantam longitudinem funis habere debeat , vt vcrticaliter fufpcnfus a proprio pondere diuellatur. §. 4. Quoniam ifta longitndo L a vl , qua minimae particulae fingulorum filorum intcr fe co- haercnt , feu potius a quapiam caufla cxterna ad fc inuicem compriniuntur , pcndct , fi haec compreffio a folo pondere Atmofphncrae oriretur , quo noui- mus , duo marmora polita inter quae nullus acr rcperiatur tanta vi ad fe inuicem apprimi , quae re- ' fpondeat alticudini B.iromctri , quam ponamus zr ife, pro craflltie iiz c c cohaefio fuperari poflet a ponde- rc coUimnae mercurii, cuius bafis cflTet ~ c c tx al- titudo — k\, vnde il mercurius « vicibus grauior (latuatur quam materla funis , foret vtique L — fi k ideoque — 2 8 dig. At vero cxperientia fatis decla- rat, plerosque funes multo maius pondus luftinere pclfe , vnde patet , cauflam cohaefionis n^n in pon- dere Atnofphacrac efle quacrendam , fed potius in Toni.XX.Nou.Comm. Mm vi 174- DE DIIVDICANDA FIRMITATE vi elaftica aetheris , qua omnia corporj in contadu , \bi Aethcr penitus cxcluditur ad fe iuuicem appri- muntur. Ac phira quidem cxprimeiita. oftendunt ,. iftam vim Acthcris propemaJum millies. iiiaioreiii flatui debere quam preflionem , Atmorphaerae ; ficque facile intclligitur , dari eiiismodi matcrias , pro qui- bus longitudo L ad mill? a^,ue aceo phircs ped^% affurg^cre qneat. . ,r ■ ^- 5"-'t:Q."^ccunque autem fuerir cauflli firmi- tatis ct cohacfionis corporum , pro praefcnii inllitu- to plme oon efl opus . illam longitudinem L ab- folute nofTe , quoninm hic non de ablblnta firmi- tate cuiuique mpreriae ,' ex qua. irachinae conipo- ui folent , agitur , fcd tota praefens. quaellio tan- tym, verfiUur circa comparationcm roboris , quo va- rii funes ex eadem materia conf^^di fuerint praediti. Quantacunque igitur fuerit ifla longitudo L, fi dua fuiies fimili modo confe). Ex quo Ibtim p;Uct , nifi fiicrit p -\- q )> '^ p fitrc y ^ ^ "-" p maiorem funem non folum nullum onus fuftiuere poflTe, fcd etiam proprio pondere disruptum iri , etiamfi minur fiuiis fatis notabile onus gcllare potucrit. Sicque maniferto iam e(t cuicflum , ad fi- militudinem moduli ipfam machinam non ad quam \is magnitudinem augcri pofle , fed maximam longi- tudinem A^, quam ciiamnunc obtinerc Iiceat efle A r::: £-=t-^. fl , qiiam fi transgrcdi voluerimus , ma- chinani plane confiflcrc non poffe. §. p. Hinc iam haud difficulter diiudicare po- terimus , \trum ope funium pontem transfiuuium Ncuam , cuius latitudo cll circiter looo ped. Rhe- nan. conflrucre liccat ntc ne. Hunc infinem confi- ciatur modulus ad longitudinem quantunniis cxiguam \eluti £0 pedum , cui ipfe pons perfeifle fimilis eflfe dcbeat , ita vt fit ^—50, ac nifi ifle modulus onus fuftinere qucat , qnod plus qnam 49 vicibus ■fuperet propriuni ponJus , pons plane fubfiflcre non poterit. Ac fi fortc hoc fucccflcrit: tamen ccrtum cft 5 fi latitudo fluuii adhuc cfllt maior , talem pon- tem nnllo mo.^o locum habcre poflc. fracterca ve- ro non (ufHcit , vt pons proprium pondus fuflincre queat , fed ctiam neccflo cfl , \r infignia onera gc- ftari \alcat , idcoque valor ipfius Q cx noflra foc- mula rcfultans dcbitum naaciicatur valorem. §. ro. POMTIS EX MODVLO. 277 §. 10. His dc firmitate ranium cxpeditis, per- Tab. II. pcniamus , qiiomodo trabes aliaue corpor.i ri^ida ^'^" ^' ruptioni rclirtanE. Coufideremus igitur triibem A C E F, iam tantopere inflexiim , \t lantum non in A C abrumpatur. Referat igitur angalus A C A' m.iximam hanc inflexionem ^ quam luflinere valet, ita vt tibrillae extrcmac A A' uoo amplius clonga- ri qucant , litque / ida extenfio maxima — A A' ct L vis , qua (efe contrahcrc coneutur , atquc nia- Difcfhim c(t , hanc vim L cam ipiam cffe vim, qua ante vidimus funes diuiilfioni rcfidere , ita vt , fi toca trabs fecundum longitudinem A E traherctur a VI , quac eius pondcri , fi longitudinem halieret — L cfTet acqualis , tum tantum noa penitus diuel- kretur» §. II. Ponamus nunc crafTitiem trabis AC-t', dum lcilicet trabs circa pun(flum C abrumpi concipi- tur , latitudinem vero trabis cfTc :rz b. IMunc in fpatio A C capiamus abfcifTam indefinitam C V — x ^. \bi crgo fibnllarum longituiio erit P P' — ^ , qua- rum crgo vis contraliendi in eadem ratione erit minor , quam in cxtremitatc A A' , ita vt ifta vis futnra fit — ,• haec fgitur multiplicata per clcmen- tum Pp—dx dabit vim elementarem ^-^^— qunm demro per latitudinem trabis multiplicari oportct, vt prodeat ^A^lJE^ Quoniam vero motus quo abruprio peragitur fit circa axcm C , monicntum if\ius vis elcrncntaris refpecflu huius axis erit rr ^i^EJ^iLf^ cuius intcgraie ^j-^ pcr totam crafliticm trabis Iliitucndo M m 3. Tmt" t7S DE DIIVDICAMDA FIRMITATE X ::z c extenfum praebebit totnm iromentum virium quibus trabs ruptioni refillit, quod ergo crit —[hbcc. Quae expreflio cum conftct quatuor dimcnfionibns, ternae exprimunt aliquod volumen , cuius pondus vi abrumpenti aequatur , quarta vcro dimenfio cxhi- bet longitudmem vcdis , qua ifta vis operatiir. Qiiod fi ergo hacc trabs a tantis viribus follicitctur, qua- rum momentum rcfpedu pundi C lupcrct valorcm formulae \hbcc ^ trabs in hoc loco certe abrum- petur. §. 12. QuoJ fi iam in modulo hac dlmen- fiones b et c rcternntur ad fingulas tmbcculas , qua- rum firmitas ruptioni rcfiClere dcbct^ pro ip(o pontc autcm Htterae B et C finniles dimcnfioncs trabium quibus conftat cxprimant , virium mon.cnta , qui- bus tam modulus, quam ipfc pons fradioni rcfiiiant inter fc erunt vt bcc ad B C C. \ bi obferuari de- bet , aclionem virium in eum tendere fcnfum , vt trabes fecundum craflitiem A C rumpere conentur. Si enim fccundum latitudinem , quam ponimus zizb \im fuam excrerent, momenta virium inter le forent ■vt bbc ad BBC §. 13. Sit nunc longiludo moduli — («— !)/>, quia alioquin .proprio pondere in ruinam laberetur. Practerea vero neccOe eft, vt onus a modulo gcftatum q eo magis fupcret hunc limitcm {fi — ^) pj quo maius fuerit fumma omnium onerum Q, quae ipfe pons geftare ponfe poflulatur. Ita fi e. gr n fuerit ~ 30 , ue- celTe e(l vt fit q> 29/); vnde fi fuerit q — ^o p erir Q^—poo/),- fin autem fit q—.sip prodibit 'Q~i83o/):at fi fit^~32p fiet Q^—iioop etc^ Ex quo intelligitur ', fi modo q aliquot vici- "bus fupcret hmitem 29 p tum pontem iam fatis notabile onus Q fufiinere poflTc ; quoniam pro qua- 'libet \ice incrcmcntum capit rr 900 p. §. 17. Quod fi hoc mo-io pons ad perfeAam fimilitudinem iroduh exnrudus non fatis roboris habiturus rcperiatur huic dcfcdui remedium afFerri potcrit , dum crn^hties fakem trabium , quam lit- tera C defignauimus vltra rationem i : n augcatur. Quanquam enim hac ratione non amplius perfeda fimilitudo inter moduhim fubfifiet : tamcn condufio- nes , quas no(^rae formulae fuppeditant nihilo minus valebunt , dummodu difiimihtudo won fuerit enor- mis , atque oncra vtrinque aequabihter per totam Tom.XX. Nou.Comm. Nn lon- 28a DE DIIVDICANDA FIRMITATE longitudiiiem diflribuantur. Quemadmodam enim piMitem cum nioduio coinparauimus, nulia neceditas \rgct , vt omnes tcrnae dimtniiones a , b , c ct A, B, C eandem prorlus intcr fe teneant ratiunem. § iS. Maneat igitur ratio longitudinis ff: Azii :» fiue A ~ « ^ , eadcmque ratio etiam pro latitudine retineitiir vt lit 13 — n^; vcrum pro crafiltic fta- tuatur C — c f, Hiiic igitur formula noUra pro 'onere Q (§. i5.) innenta fequenti modo fe habcbit: (^zz: z z i p -{- q ) — 12 n z p. Ex liac igitur aequationc fi onus n ponte gertan- dum Q fuerit praefcriptum dcfiniri potcrit quautitas incognita Hinc igitur , ft rircuindantiae permittant , vt in conliruftionc pontis craifities trabium tanto maioc capi qucat , huc modo ponti futhciens firmiias coii- ciliabitur. §. 19. llhiftreinns hnnc formulain quodam excm- plo , CL luinamus huitudincm fluu:i tricies lupcr.ire longitudincm moJuIi , liuc clle n ~ 30. Suuiamus porro pontcm tantum roboris liabere debere , vt fuftincre , qucat onus ~ 3600 p ; moJuh) autem explorato tantum prodiilfe , inanentc onere ab ip(b ponte ge- ftanao Q^ — s^oop. Cum igitur hinc fit p + q-^^Kp habebitur 000-1-30 "1''^ 9004- 16 A , , ^ z—- -^ zjif (30 + y9oo+i6X). Hic igitur incipiendo a vak.re X =r 33 dontinuo minores aflTumamus, et valorcs ipfius z inde re(ul- tantcs in fequcnti tabula exhibeamus N n a a84- DE DIIVDICANDA FIRMITATE X '^-(X-i)/>'srri-'(3o + V9oo-+-i6X) ~~ 30, 81 31,68 32, S5 33) 5S 34, <5a 35,7+ 3<5,<5i 38, 23 39,63 41, 14 42,79 44> 5S 46, 54- 48,70 §. 21. Ex hac igitur taLula colligimus , (i firmitns moduli tantum praebucnt <7 rr 20 /> , quo cafu cxftrudio pontis penitus repudiauda videri poflet: tamcn ci (atis roboris concihatum iri , fi modo crafluics trabium fccundum ratiomm 1:48,70 mul- tiplicetur. Similiquc modo etiam in aliis cafibus , \bi pontcs vd alia Iniiusmodi opcra fccundum mo- dulum cxlhui proponuntur , facile diiudicari pote- rit , vtrum fatis firmiiatis rint habitura nec ne , at- que adeo poftcriori cafu firmitaicm pro lubitu au- gcrc liccbit. §. 32. Vcrum quia pontcs etinm impetui \cntorum fitis rcfilkre dtbLUt , cxploran ctiam de- bcbit modulus , dum tortillimo vvnto cxponitur. (^uod 33 3-p 32 3i/> 51 3op 30 29/) ^9 28/> 28 ^lp 2r7 26 p 26 25 p 25 2^p 24 23P 23 22 P 22 21 p 2^. 20 p ;-(*0 ipp rONTIS EX MODVLO. aSs QiioJ fi cnim cius impetum ruflincrc valcat, ctiam ccrti cflc poterimus, ipfum pontcm a taJi vento nulliim damnum cfTe pafTurum. Cum cnim im- pulfio venti eiusdem fuperfjcici fit proportionalis > ideoque rationem i : n 11 tcneat , quoniam firmitas qu.i vento rcfiftitur candem rationem fequitur , ma- nifeihim e(t , ipfum pontcm eosdem venti impetus fultiucre pofTe , quibus modulus rcfificrc valnerir. §. ^13. Sin autcm forte eucniat , vt pons noa fatis roboris liabere dcprehendatur , tum eius vis vento refificndi facile augcri potcrit , dum latitudo trabium maior accipietur ; imprimis autcm vtilc crit , ponti in vtroque termino maiorem tribucre latitudinem quam circa medium , vt hoc modo vento quafi forniccm offcrat , quo eius impulfioni multo fortius refillat. Vix autem hinc quicquam mctuenduni videtur , dummodo ratione prioris ge- ncris fitis babuerit roboris , eique infuper fufficiens laiitudo iribuatur. Nn 3 DE DE GEMINA METHODO TAM AEGLVILIBRIVM QVAM MOTVM CORPORVM FLEXIBILIVM DKTERMINANDI, ET VTRIVSqVE EGREGIO CONSENSV. Autftore L. E F L E R O. Iam iti Tomo lU. Convncntarlonim prlorum Acade- miae Imperia/is expolui mcthodum \niucr(uLm , inucniendi figuram , quam fihim fiue pcrfcdle fle- xile fiue infupcr eUifticum a potentiis quibuscun- que follicitatum , inducrc debet , vt in aequilibrio conquielcnt. Mcthodus autem haec dodrina momcn- toruai innitcbatur ; quandoquidem fumma omnium momentorum , quac cx finguhs vinbus foUicitanti- bus nalcuntur, pro quouis fili pundo cum cius cla- fticitate vbique in acquiiibrio confilkre debct. De- intie vero non ita pridcm in Tomo XV. nouorum Commentariorum longc aliam mcthodum tradidi cas- dem DE APqVIL. ETMOTV CONP. FLXIB^L. 237 dem quacftiones refniuendi , qn:ie nocit^ni tenfionum qua fiiigula fili elementa afficiuntur crnt innix;». Formulac aiitcm quibns hacc lolutio poHcrior coa- tinetur , tantopcre a (olutione prit)ri diiii krc viden- tur , vt pnmo intuitu vix vlliim cenlenlom peripi- ccre 1 cca: i cuius diuerfitatis ratio maniKfto in eO e(t po(ita , quod hacc duo principia , alcLrum (cik- cct momentorum , akcrum tenfioaum tantopcre a fc inuicen^ dilcrepant , vt niliil commui>e habcre viucantnr. Quin etiam , nifi pro huiusmooi proble- matibus dcterminatis tx vtraque mcthoao eadem pla- ne (olutio eliccretur, merito quis dubirare poHct, num irtae duae methodi intcr fe conucnircnt , quod qui- dem dub;um me ipfum non fem.el haefitanteiTi reliquit. Quam ob rem Geomctris munus haud in- gratnm me efTc oblaturum coifido, fi egrcgium coa- fenfiim intcr haec duo principia toto coelo a fe in- ■vicem diuerfa dilucide demonflraucro. ■ t Status quacflionis. §. 2. Propofito filo quocunque A M B , fiue Tab.IV. perfcdlc flcxili , fiue vtcunque eLifVco , cui in fin- ^'5- ^- gulis elementis vircs quaecunque tuerint apphcatae , fit A M B eius figura , quam in ftatu aequiiibni induit . eaque more (blito ad axem fixum A E re- feratur per coordinatas orthogonalcs A P rz .v et P M — ^' ; ipfe autcm arcus ponatur A M rr J" , cu- ius elemento M m — d s duae applicatae fint vires ekmentarcs , akera fecundum diri-dionem M P fol- licitans zzVds, altcra vero lecundam dircdionem ^SS D£ AEQ.V1L1BRI0 ET IVIOT^^ 2\1 Q axi paiMllelam zrQ.r/j; qiiibus viribus elcmen- taribus adiungi opportet vires finitas , quibus filum vel in altcro tantum terniino , vel in vtroque folli- citatur. Practerea vero ratione clanicitatis lilum ita comparntum concipiatur , vt fi ad ckmcntum M tn radius curuedinis fuerit =: r, conRniatio huius cur- vaturac portulet virium momentum zr ^. Quo au- tem curuaturae ratio facilius Ivabeatur , ponamus an- gulum A M P zr Cp, quem lcilicet tangcns curuae cnm applicata condituit , eritque angulus Js\ m p — (p-j-^/cPi hincque perfpicuum eft, radium ofcnli in M fore ~ ^ , ficque momentum elaflicitatis erit iA^. His autcm pofitis crit fin. (pzr^ et coC 0 — Jf , exiftcnte d iziL d a' -\- d/. Confli- tutis igitur his viribus determinari debet figura ad quam filum fe componet , et in acquilibrio con- fiftct : atque hic quidem momendum efl: , nes alias vircs hic non admittere , nifi quae in idem planum cadant, in quo etiam totum filum continetur, quam- vis quaertio non multo difiicilior cflTct futura , fi fi- lo duplcx curuatura tribucretur , ternis coordinatis definienda , vbi ctiam triplicis ordinis vires in com- putura duci dcberent. Verum pcrfpicuitui potifli- mum confulentcs omnia in eodem plano cxiflere concipiamus. Intcrim tamcn ipfnm fikim vtcunqne in aequalitcr craffum ct clalkcum Ikitncrc licct, quan- doquidem hinc lolutio non cuadit difricilior. Solu- VCORIORVM FLEXIB.UVM. 289 Solurio piior cx priiicipio momcntorum pctita. §. 3. lOa fbliuio in hoc confirtit, ■vt omniiim viriiim clementarium quae pcr totum urcnm A M funt applicatdc momenta refpcdu pundi M quae- rantur et in vnam fummam coUi^^aniur , quac de- inde elafticitati ^^ aequalis pofita aequatioDem, ex- hibebit pro figura laminae quacfita. Uum igitur oninia illa momenta elementaria co:iquiri(nus puii- tflum curuac M tanquam fixum , eiu^que cooidina- tas ;v et j' quafi confiantcs (pedare debemus. §. 4. Confideretur i^itur portionis AM cle- Tab. IV. mentum quodcunquc in Y, quod fit zrfl^S , pro ''^" *' quo ponantur coordtnatae \ariabiles A X =: X et X Yrz Y; tum vero "vircs ifii elemento npplicatac fitit fecuiidum YXzzpdS» et fccundum Y TL — qdS; quac polUrior dircdio axi parallela applicatae fixae P M cccurrat in pui'(flo \ ; quibus pofitis \is ele- nient.iii» p d S momenium rcfpedu pundi M erit pdSPX— p(:/S{x~X) quorum ergo momen- torum fumnia irit x f p d S — fX p (I S pro arcu A Y lam prom* ueitur pundum Y vs-)ue in M, et .Tbibunt litttrae X , Y , S , /> i'i .v , / , i" , P , ficque iltud mnn.entum totale cxxi x fV ds - f x?ds, cuius diflerenti.ile i{\ dxfFdsy quod itcrum inte- gratum praebet iftud mome-itum — /<^ Ar/F E AEQVILIBRIO ET MOTV qiiod ergo cufuaturam minuere conatur. Summa i^itur oinnium horuin mo;nentorum per nrcum A Y erit yfqdi — /Y q d :i , quod vsque ad M promotum , quouiam quautitaces Y, q^ S abeunt Ji s tt (^ crit yf\lds—fyQ_ds—fdj(^ds. <§. 6. Cum igitur cx omnibus vinlxis arcui A M npplicntis oriatnr momentum ad curuaturam augcndam tendens -zi fd x f? d s — f dy f (^d s\ hoc "Vtique cl.ifticitati aeiuale poni debet ; \nde iftam adi- pilcimur aeqnatic^nem : fdxf?ds-fdyfq_ds-'-^ qua natura curnae,qaam lamina in (latu aequilibrii acct- pit, dcteririLnatur, ita vt ope huius niethodi lcn per tigura laininac a quibuscunque viribus lolliLitatac dc- finiri queat. Neque vero hinc lymptomata , quae figuram laminac comitantur , cognolccre licet , cu- iusmodi Cunt : ttnfio quam finguLi elcn.enta lurti- nent; tum vcro etiam vircs normales ad curuaturain cuiusque elerr^enti proJucendam rcquifiias; qnem de- fcdnm pcr aheram nicthodnin , cuius exphcatio fe- quitur , fupplcre fum conatus. §. 7. Ante autcm qu:im li.nic mcthoium de- feramus aiiain viain odenditte, iuu;tbit , qua fme con- Cderationc clcmentorum intcrmediorum Y totum negotium confici poterit. Dcnoiet Al funnnam omnium inomcntorum ex viribus (ecundum dirnflio- ncm applicatarum M P agciuium oriundam pro puudo M, eritque pro puiufto. m eadem fuinma CGRrOPvVM FLEXIBILIVM. apr ^ M -^ d M: veriim fi finguhirum virium elemen- tarium momciita a puiido Al vsquc in /// transfeia- nuis , fiii^ulac inlliper ptr elenieiituni J x niultipli- care oportet ; ficque incrementum rt' M repcriiur, fi omnes iilac vires elemontares , quarum lumma vti- que eft/P^-f per elementum dx multiplicentur , \[\J.e fit d ^\ zz d xj? d s ideoque porro ipium mo- mentum M. —fd x J? d y. Eodemque moi!o intd- ligitur fore fumma omnium momcntum , ex alte- ris viribus (ccundum dirciftionem P A agcntium fdyfQds^Cuivs rnriocinii ope praecedens aequatio pro figura laminac eruitur. Solutio pofterior cx principio tenfionum petira. §. 8. Quia tota Limina ob vires ipfi applica- Tab. IV. iZ. ta« in llatu violento tenctur , euidens efi , fi portio S A M refecetur, reliquam portionem B M fubito lon- ge aliam figuram eflTe accepturom. Quod igitur ne eucnint , perpcndamus , cuiusmodi vircs pundo M applicari conueniat , quibus fiipenor portio B M ira eodem fiatu confcruetur , ac (i cuni portioiie M A manfifftt connexa- Ac priino quidCiii facilc intel'i Fig. 3. gitur pjncflum M certa quadam vi quae fit r:^ T fecundiim tangentem M T trahi dtbcie , qua fcilicet tenfio elcmcnti M ?// , qiiamcunque liabutrit , obti- reatur. Praetcrea vero quia elementum /Vl ;// habet curuaturam — ^, vnde nafcitur vis daftica ^-^9 requiritur vis quaepiam normnlis TV quac fitnV, cuius momentum relp.du pun(fli M cum eiafiicitate O o 2 in apa r)E AEqVILIBPvlO ET MOTV in neqiiilibrio confiftat. Hic fcilicet loco tmgentis M r virgam ngid.u-n co^icare conujnit, vt idea momenti locum haberc pM\]t Vocetur igitur di- ftant a M T — 'y, et illius vis norrulis mnmentum cr;t — V «y, quod elafticitati aequatum nobis fuppe* diiat pritnam aequ.itionem I. V v-^^.. d s Simili igitur modo pro pundlo m habebimuc v'ni tangcntialcm T -\- d i' et normalem t v — V -{-d V^ vna cum interuallo mt — v-\-dv, vnde pro pun- &.0 m nafcctur momentum {y ^dW^lij-^-dv) — ^ v-\-d,Y V. §. 9. Reuera autem elcmentum Mm — df fuftinet vt vidimus duas vires elcmentares Vds et Q_^/ fecundum dircdiones M t" et M (^(videfig. i.) ex quibus eliciamus duas alias vires , alteram fecun- dum langentem M T agentem , quae erit Pi zz: V (v -\- d s) + qds^' ~V v-\-V d f ^ quia alterum membrum continet infinite paruum fe- cnndi ordinis j hinc igitur nafcitur illa acquatio quarta \ V -i- d. V V — \/ n; -^ V d s f\uc d\ v — \ ds- §. 12. Mas igitur quntuor aequationes ex ra- tiocinio (uperion dcdu(f>as codem ordine repraefen- temus quo cas in loi/iO Xf. Co??mc?U. pag. 329. reiuiimus I. CORl'0:iVM FLEXIBILIVM. 295 I. dT -^V d(p — pds IL ^V-T^/$> = V^^ 111 V (i fznd.V V quibus :idiun:;,i debet priiicipalis hic primo loco in- \cnu IV. Vvzz^-P ds \bi intucnti null.i prorlus con-ucnicntia cnm praece- dentc IbUitione patebit. Vnde eo magis necefTdrium videtur, piilcherrimum conieiifum inser hns duns (o- lutiones toto cotlo quafi a ie iniiicem difcrepantes demonrtrarc. Demonftratio confenfus inter has duas Iblutiones. §. 13, Hic igitur ante emnia ipfas vires elcmen- tares iu quaellionc propofitas , Prfx et Qds intro- ducamus , ct duac acquationcs nollrae pnorcs hanc induenc formam; I. pracliet ^T cof 0-T^<|)fMi.CpH-fl' V fin. Cp-f V ^4)cof(|) — P^ qua ergo aequationc natura curuae pf=r mera ele- menta cognita exprimitur 5 atquc haec aequatio ma- nifello ert prorfus eadem , ad quam nos prior me- thodus ex doiTtrina momentorum petita dcduxerat , ita vt nunc quidem pulcherrimus confenfus vtrius- que methodi clarifluTie eluceat. Verum methodus pofterior priori vtiquc maxime antecellit , cum no- bis non folum figuram laminae exhibeat, fed etiam ftatum violentum, in quo fingula laminae elementa reperiuntur dcclaret. §. 1(5". Quemadmodum binas vires T et V per folas vires elementares /Pr/x et fQ^ds exprefliis dedimus , ita etiam interuallum MT =zv per cas' dem definire licet ; cum enim fit "4r=f^^'f^^^-f^jfQ.ds €t ] et (30 — 0; ac primo neceffe c(i vt fit "vi — 0 — V ; praeterea vero etiam momenta re- fpcclu pundi M acqualia effc debent , vnde fit Vi; — "via- 0(3. Cum igitur ex priore fit -vi-V+O, erit nunc Vi,'— Va-|-aO— (30, vnde colligitur 0 — vtj'-^''-! , hincque y\ = --^^^^. Qiiare fi in punclis a et p irtae vires appliccutur , elementi Mm ftatus perindc conferuabitur atque a momento V 'V , dumniodo in fupcr vis tangcntialis T adiungatur. Ab his ai:tcm duabus viribus •>) ct 0 tangens curuae quafi vcllicabitur, quippe quo pado deiiiento M m curuatura induci poteft. Applicatio ad laminas elafticas, qnae in ftam naturali iani funt incumatae. §. 24.. Hadenus tantum ciusmodi laminas ela- flicas fumus contemplati , quae naturalitcr in dire- (flum funt cxtenfac ; facile auccm negot;o , omnia , P p 3 qu^e 30S I)E AEQVILIBRIO ET MOTV quae de flatu aequilibri violento fupra determinaui- Tab. IV. JTius etiam ad laminas naturalitcr curuas transfcrri Fig. ? poffunt , quemadmodum ixim in Tomo Qommenu XV. fupra allegato pagina 329. obferuaui. Sit igitur A 1-^ B figurn, quam lamiiia in fitu naturali tenet ^ in qua arcui Afxinj- conucniat radius ofculi fJ-^ — r, ita , vt r fpetftari prfiit lanqiiam funclio data arcus A jJL 31 i. I>^unc vcro a viribus quibuscunquc, quas yt ante per "yires .elementarcs ?d s et (^d s reprae* fentcmus huic laminac induda fit figura A IM B { fig. 3. )> ^^ axera arbitrarium AC rclatam , nt- .). f. 25. Hoc igitur fIi(flo ^ primum figtira la- jjiinae in fiatu violento exprimetur hac aequatioac ; ffixf?ds^fdyj(lds-^C^^-^,.) praeterca vero vires ad ftatum violcntuiTi elementi M 7n — d s repracfcntandum reqiiifitae rruincbunt vt ante Tncof. O/P^j+fin. O/Q^j ct V — fin. (p/P d s- cof. (p/Q^ s tlim vero ctiam ex elallicitate nunc immutata crit 5icque CORPORVM FLEXIBlLTVAr. 303 Sicque fiicilc fimt expcdita omnii qnnc de (Tatii ac- quilibrii fiionun quoqiic ela(licor(tm dcfidcrari pnf- funt , fi modo tnm figura quam vircs foUicitantes in codcm plano fuerint con(titut;ie. Quemadmodum nutcm inuertigaiio motus , quo huiusmodi laminae concitari pofTunt , facile ad Oatum acquilibrii reuo- cari poffit^ in loco aliegato Toml XV. Commmario- riim muoriim fitis diUicide cxpofui , itii vt hic nihil ainplius adiicienduiu ccnfcam. m 304. "»^.€ ( ^ )V?-S<- DE PRESSIONE FVNIVM TENSORVM IN CORPORA SVBIECTA, HORVMQVEMOTV A FRlCTiONE IMPKDITO. VBI rRAESERTIMMETIlODVS TRADITVR, MOTVM CORPORVM TAM rERFECTE FLEXIBILIVM OVAM VTCVNQVE ELASTICORVM NOX IX EODEM FLANO SITORVM DETERMINANDI. DISSERTATIO PRIOR. Auclore L. E V L E R O. Qtianta vi funis cylindro circumplicatus prcmat , et quantum eius motus ob fricHiioncm impedia- tur iam paflim quidcm a Gccmetris crt oikHlum. Scd meihodi quibus funt vfi plerumque minus funt dircdae; ac praetcrca quacfliones quas tradaucrunt ad cafus nimis particuLircs funt rclUidae ; ita vt iii hoc genere folutioncs magis dirc(fl,ie iatiusquc patcn- tes merito dcfiderari qucant. Facile autcm intclli- gitur , hoc argumcntum ad thcoriam pcrfctflam ae- quilibrii ct motus corporum flcxibilium efle rcfc- rcndum , quam cum nupcr dcmum cx primis prin- cipiis tam Staticae quam Mcchanicac deduclam tra- didiflTcm , cx ea quoquc foUitioncs oninium quacflio- Dum , quae tam fuper prcflione quam motu funiuni corpo- DE PRFS. FVN. IN CORFOR. SVBIECTA. 305 corpori ciiiciinquc circumplicuoriim formnri ponunt pDtiiVinnin) pcti dcbebimr. Ne igitiir optis fit priii- cipi;) iuiius Tlieoriac aliunde con(]uiierc, hic ea dc- nuo luccindc ob oculos cxpcnam. THEORIA GENERALIS circa acqiiilibniim ct motum fiiorum flne per- fc^te flcxibilium mie vtcunqne claR-icorum ad tcriias dimcnfionns extcnfa. Pofitis, pro fili punclo qnocunque z ternis coordi- ■j-a,;^ V. mtis O X — A', X Y — j', Y Z — z , fu fili por- r g. i, tionis E Z longitudo — j" et clemcnti d s maflTuh n: S r/ .c Tum vero cidem clcmcnto fccundum ter- nas diredioncs principales Z P, ZQ, ZK applica- tac fiiit vircs V d s, Qr/j, R d s. Pro incuruatione fili in Z fudii Ht cliUiicitas abibluta n: G , hincque \is ipfa clalVca zi — , denotnntc r radium ofculi in hoc loco. His pofitis pro flatu acqnilibrii fequentcs trts aequationes lune inuentae : J. fdyfVds -fdxl Qjls — ''' '^^-^ d^^-dx-idy) II. / dzfq_ds - fdyf Kds—''' '-' -^^^ ij^.-y.Jd^r 1 1 1. fdxfa ds -fdzf P ds - 211^d^-J^ddx quflrum quidcm binac tcrt nm iam in (c comple- ftjutur, ita vt fiifHci:t bi;:;is t;r,itum ciioUiifle. Tum vero tcnfio fiii ir. pundo Z, qu;i fecundom raogen- tcm vcrfus E vrgctur crit z=:-i:^.fVds~{L^f(lds-i^.f^ds; Tom.XX. Kou.Comm. Qq hae 30 " n. ' ii ' H.ie quidcm forniulae praecipue ad eiusmodi cafus funt accommodatac , quibus vircs foiiciranus P, Q, R vt datae fpcdaniur , ex ii^que figura aJ quam corpus flexile [c compouit qua.i;tur. At veio in pracfenti noflro infttuto figura funis pr ) cati affumitur: ipfas autem vires in fingurs pLin :'.!•; i ii- citantcs dftcrmiiiari oportct, ex quo nwCcil- crit vfum Iiarum furaiularum inucrtcrc. DE IN COrLrORA SVBIECTA. 307 DE VIRIBVS qnibns funis circa corpns cylindricnm circum- dudns llipcrficicm Inbicdam in (ingnlis pnndis prcmit. §. I, Concipuuur corpus cylindricum , cuius axis (ccundum longitudinem dudus fit horizonialis , cui nnrm:ilicci fiifla (k fecliQ vcrticalis i\YB, eique in- j, ■ ^' i 12;. 2 cumbiit fiinis A Y B vtroque tcrmino A et B pon* dei.bus M ct N cnuftus, Primo autcm animum ab omni fnclione abflrirliamus ^ ac manifeflum eft , funem in acquilibrio manere non po^Te nifi ambo ponoera vtrinc]ue appen(a M et N (int intcr fe ae- cjuiilia. His pofuis quaeritur, quanta vi ifte funis fuper(iciem cylindri cui incumbit in fingulis pundis " fit prt.frurus. Hic igitur figura funis nobis eQ data, quandoquidcm figunim corporis cylindrici fcquitur et d reftioncs viriuin vtrinquc tendentium A M et B N verticjlcs affiinuintur ; perpetuo autem ipfe cy- lindrus, cui figuram quamcuiique tribuinuis, prorfus imiriol)iIis nfTumitur. rscque verum hic tantum cy- lindros circularcs , qui vul_;o hoc nomine defignari fbknt,intcl]igi oportef, fed iAam voccm in latidimo {enfu acc'piamiis , ita vt ea omnia corpora comple- (flatur , quorum omnes fediopes ad axcm longitudi- nalcm , quem hic perpeiuo horizontalcm ftatuimus, normaliier fatflae , fint inter fc aequaks , ita vt fi- gura A Y B indolem huius corporis cylindrici ex- hibeat. Q_q 2 §.2. 308 DE PRESSIONE FVNIVM §. 2. Ciiin hic igitur to.iiu fiiiiis in eoJcm plano vercicali vcrletur, pro eius tlgura in calculura introJucenda tantum opus crit biniis coordinntas con- fiJerarc; qiiem infinem diic;itur r.dla horizontalis A Iji ai quam ex fingulis funis pu (fds Y pirpcn- diculares YX ducT:ae intclligmtur, vt pro pundo Y binic coordinatae fint A X — .v ct X Y — r , inter qu.is igicur acquationcm qnanicunque dari allunii- mus , qu.ie quidem ita fit compar.ica , vt in pundo A ambac coordinatac euanekant fimuhjue tangens iii A fiiit vcrticalis^ qnandoquidem funis vitra A in I\l protenfus tjlem fitum habere pouitur. Hoc crgo cr.ru terti;^ applicata z penitus ex calculo cgredie- cur, et littera s iplum arcum curuae A Y defigna- bic : funi nuccm vbique e;inJ;m cr:iniciem tribu:imus ita vt maffula elcmenti ds pev ipfum d s exprimi qne.it, hincque fiat S— t, Ilis p/jfitis manitbnum eft , funem nliam prefiioncm cxcrere non poffe nifi ftcundum direclioncm ad curuani normalcm 11, quae hoc loco ira cxprinvatur littera 11 , vt vis quain cleir.entum Yy~ds fudinct fit —Ylcls^ quod ita eil: iutelhgendum , prdiioncm in hoc loco tantam Cfle ac fi bafis " i r.b incumbentc ponderc 11 prc- meictnr ; tnm enim portiuncula ilhus bafis —ds vriquc prcfiionem llds fufiineoit. §. 3- Q.uod fi iain inam prcfilorcm tanquam cognirom fpcctemus , ct elemcnto Y y vim norma- lem Y T applicntiMU concipiamus , tum totus funis ab ifils viribus clcmencaribus fi)licitatis cain ipiam fignrarn indnerc debcbic , qunm ipfi tribuimus , d- quidcm IN CORrORA SVBIECTA: 509 quidcm vires pondcrurn rollicit.ir.tes finuil iii com- putum d'Jcanuir. Hocquc modo pracfcns quaellio ad nollni* fornniias generaics reducctur. §. 4. CiHTJ igitur iii Thcoriii alins vircs non in calcuJtim induxcrimus, nili qu;irum dircdioncs rcquantur coordinatas, iltam vim Y ir — U. d s fccuii- duin diredioncs biuarum rolharum coordinatarum AX et XY rcloluamus ac prodibit vis horizontalis (ccundum X. A — H ^ y et verticalis fecundum X Y — n .7.V , vnde pro viribus fupra alTumtis ha- bcbimus P r/ j-- — n c/;' tt (^c/ s — il d x; tcnl^ v^ro \is li ^ s hic eiianercir. Hinc fit fPds — — /FI cly at /Q_.7 X =:/n ^/ .V, a qua poftcriori lumma lubtr.ilii dcbct pondus M , quippe quod in eadem diredione contrarie agit. Dw^nique vcro lumaniUb funein elTc pcrfcftc flexilcm , \t fiat clallicitas G — O. § 5. Hs conflitutis , quoniam cll tam Z — o qunm R — o, natnra acquilibrii hnc vnica aequatioae cxprimetur : -fdyfUdj-fdxifW d x-U)~o cx qua igitur prclllonem hadenus incognitam TI clici oportet. Dilfcrcntiando crgo hinc habebiraus - dyfW dj-dx{fTl d .v - M ) =2 o ftituamus nunc dy—pdx^ quandoquidem aequatio int.r x et y nobis datur , eritque - p/n d V -jndx-\- Ai liue M— /)/n dj ^fHd X Q q 3 q«ae 3IO DE PRESSIONE FVNIVM qiine deniio diffcrentiata prncbct fl'/j/nrt'>' -4-/' n «'/-hn r/.v flne o = (ipj npd x-\-ptn d X -+- n ^ .V qiiae pcr dp diuira poneiido dp—qdx dat o —fnpdx -{- nj_Lrtfii ^'\-\i\t vnlorem litterae II elici oportet. Qno autem hoc facilius ficri qucat , ftatunmus pro pcmiltima aequatione /11 p ^ x — O , fietque dO ~U p d x ideoque Udx — '^-^, ex quo rcfultabit haec aequaiio a figno integrali libera : o — (^ d p -\- i^ { X -\- p p) vnde fit djb p dp _ cuius intcgrale eft /0 — —/V{i-{-pp)-h/C idcoque 0=---^ -fUpdx. lam hncc acquntio diflFcrentinta praebet Cp dp TL p d X — — ; hiucquc tandcm n- ""^ J.1. — 3. dx{ i-\-PPT §. 6 Coi.flnt nutem , fi radius ofculi nodrac curuae in pundo Y ponntur — r , fore dp Tnde IN CORI'ORA SVBIECTA. 31 1 vnde formiil.i inuenta tranfit in hanc 11 — - Hinc r • diCcmus prclTionem fiinis in curu;im datnm in fin- gulis pun(fli> rcciprcce proportionalem efTc nidio cur- vnturnc. Tantum ;UKcm fupercll, vt quantitas con- finns C dcfiniatur, Hunc in (incm quaeramus for- nuilas integralcs vnlorem primo inucntum M=pfn(fy-{-/'Udx ingrcJientc?, qu:is ita fumamus, vt in ipfo initio A vbi pondus M dependet euaiiefcant, et quoniam funis in hoc loco curuam tangere accipitur , ibi crit p — 00 quo notato crit pdp C • quod iam fponte euanefcit pofito p—00. Tum vero crit dp -Cp /n..v = -c/— ^--=.^_^^-C, {i-\-ppy ^^ quibus valoribus fubflitutis fiet M =: C ; vnde igitur inotcfcit quantitas conflans C =: Al , ita vt prcffio quaefita in gcncre fit n zz ^, §. 7. Quaerarrus nunc quoque pro fingulis curuac puijclis tenfioncin funis , quae ex foriuulis gcncr,;lihus crit -(i-^i/ivx-^^^/Q^.= j5/npdp-\-dO ( I -4-pp) =^ - "4^^ » quiie diiiifa pcr V i -f- pp fit ■* F ^ +do y i +PP)-- __jpdi^ cuiu^prius membrum fpvjnte ert inte^rabile,ita vt prodeat' (D y T 4-/)/) — — y^ pidM_ ^ d xv t -h y P vnde fimul atque innortictrit vjlor ipfius O, habcbi- tur prelfio quaefita — *-. •^ ' p d X Tom.XX.NouCouini. ' • Rr $.11. 314- I^E PRESSIONE FV15IVM §. 1 1. Totiim negotium igitur liuc redit , vt inueftigemus integrale /^^^^=^,<]uod per reduftio- nera folitam ita refoluitur : 'J' padti [^'-^ydtt du dp ' d7v'[+^''777i^-^j^.^^d^' ^^\,^^ dx{i ■hppT Qpia ijp^cflj r ^ r-. j- — — , poftrcirura niem- brum —j-f' ; »bit in -^j — Qum igi- tur tt — - erit du — -^^~ hincque /1_^ — _ G /^ = -+- -5- _|- c. SubflituaiKur igitar ifti valores et obtinebitur fequens aequiuio : O y I -Hpp = -f-^f== -4- -5- -i- c ' «r rrdxVi-t-pp jrr ' confequerjter habebiirius (D=/npdx-—^tp-—- -+- ^— -f. Ui quae denuo d ffcrentiata praebet p dr dr , p npdx— G. — .d. —7- -+- G. — T-. d. ^ — - i-+-pp rrdx^ rrdx x ^pp Gdr Gpdp Cpdp /Vi+pp ^rr{\+ppy (i+ppy quo circa coUigimus G dr Gdr ^ p dx{\-\-pp) rrdx prrdx \ -\- p p GJr Gdp Cdp ^^ ^ pr dxy-xTfp^ , ,^.^^^ ^ ^.^py ' ^^.( ^ ^.^,^.)' quc IN CORPORA SVBIECTA, aij qae rcdiici potcft ad hanc pirmam : G ,1 Qdpdr{i-pp) Gdr dxii-^-ppy r prre/x{i+pp) pr'dxVi-\-pp Qdp Qdp 2 rrdx{ r -^-ppf dx{ i -\-ppf Quia autem cft rzz — ^^ '--i-^ erit dp ^p^^dx(r+ppj_ quo valore loco dp vbique fubftituto prodibit TJ — — 5 ; d d ' — Gt^^c^ — PP) Ls. c . 1 c_ §. 12. Ponamus autem hic curuam noftram AYB efle circulum, cuius radius — ^, ita vt ha- bcamus r—c ideoque fubaitutis fit - ?^ - '^-i? -^ M n o , vbi' curti' flt c, c ' ob circulum y-^zicx-xx) ideoque dr^--'=^ erit — C + iM =: o , ideoque prorfus vt fiipra G — M', itii Vf elaftlcitas hoc cafu nihil plane mutare vide- deatur in prelTione. Verum pro acquatione' prin- cipali hrnc proiiiret - /'^iV'/ n 'dy^-' pdrf n 4 'x -h M a/' 12? o i ' R r 2 cum 3i5 DE PRESSIONE F\^\'IVlVr ciim tnmeti acquari deberct quaiitit.iti ^. VtrJe in- iclligitur , practer pondus appenlijm inrupcr vi;n applicari debcre , cuLus iiionientiim refpi.(flu pundi' A iit r:r ^, quippe qupd requiruur ad funem cylm- dro vbique applicandum , qiioJ ergo eo maius cfle dcbebit , quo maior fuerit cra(ticit.is abfoluta G j tuin vero , quo minor fucrit raJius c. Cum autem liic potifrimum funes nobis fint propofici , quorum clafticitas contcmni poteft , hunc calum fufius profe- qui hic non eft locus. De motn funis fiiper cylindro fixo ob fri(^ionein iinpcdito. .- §. 13« Si nulla adtfTet fridio , funis cylindro circumdudus in aequilibr.o cfle ncn poflct , nifi in vtroquc tcrmino a viribus acqualibus tendcretur , ct fimul atquc tenfio altcrius terinini altcram flipcra- ret funis fupcr cylindro moucri incipcrct. Fridlionis autem cffedus in hoc porinimum confilbtjVt funis in quiet€ manerc poffit , ctiamfi vires vtrinque ten- dcntcs tuerint inttr fe inaequali-S : hocqne difcrimcii eo maius cffe poterit, tam quo maior fuerit tri<3^io, quam quo maiorem portionem funis in cylindro oc- cupauer t. Ob hanc rationcm funis tum demum f"u- pcr cyhndro prorcp.rc incipict , quando dilfi.rcntia intcr vires vtrinquc tcndentcs ccitum liniitem fiipe- raucrit. , i.j ' §. 14. Ponamus iq;itur inaequalitatcm virinm tcndentium ad iplum hunc tcruiinum cflv pcrdudam, \t IN CORrORA SVBIECTA. 317 Tt ninis ctinmnunc iii quictc retineatar , fimiil ac Tcro tcnfio muior vtl taniilluin nugcrctur motum e(kt infccuturus. Hoe igiiur modo quacdio tjuam hic traclare conll tuimuj, ctiamfi ad moium pcnincre \idcatur, tamen ex principius aeqiiilibrii relolui dc- bebit. Hic autem \t ante nomen cyiiiidri ohhcs plane formas lub (e complcdatiir, cuius kftio trans- vcrfa repraelcntaur figura A Y B^ nequc ctiam ne'- ccfTc cft , vt axis huius cylindri Ct horiz^ntalis ; qnandoquidem hic vires tcndentes quascunque (umus confideraturi , ita vt funis in A fecundum dircd.o- rem tangentiS' A M a vi — M. trahatur , in altero Ycro termino B itidem in dircdione tangentis B M a vi M : ncceire ctiam non eft vt hac diretflioncs fint inter ("e parallelac, Q^uo pofito aflumimus, viin tcndentem A tantum fupcrarc alteram vim M , vt fuiiis tantum non moucri incipiar. §. 15. Sumatur igitur pro axe reda A B , '^•^'^- ^- ad dircdionem tenfionis maiorem AM normahs , ^'^" *' ita vt funis ciiruac AY y apphcatus fit concipien- du9 , ct pro puncHro quouis Y vocentur vt ante coordinatae A X — a* et XY —j, iple vtro arcus A Y rr / , vt fit eius elementum In hoc autem clcmento ftafuatnr prefrio — 11 ds, agens fccundum dircdioncm iiormal(.(Ti YIT Huius igitur prcfl"innis ccrta quaedam pars dab:t fr. (fl.ontm fecundum tangentcm curuae vrgentem , cuius vero quantitas fit rrXII^i. Hinc igitur i^fe funis in R r 3 elemeoto 31 J DE PRES5I0NE FVNIVM elemento "Y y fecundam diredionem normalem Y if follicitari e(l cenfendus ; et qiioniam raotus iainiam generaiidus funem in diredione Y A promouere co- natur, ei fricSio fe opponet in dircdione contraria Xj' vi =: X n (/ x; et nunc folutio quaedionis huc redit , vt cuiKfl^ie iftae vires normaies et tangcntiala»' cum tenfione M in aequilibrio' confiftant. §i iS. Ad igitur necefle eft , vt tenfio funit in ipfo tcrmino' A fiat aequalis vi tendenti — M Hinc vero pcr Y progrediendo tenfio ob friftionem continuo diminuatur , cui tandem in akero termino B vbicunque is a:ccipiatur altera tenfio N aequalis ftatui debcbir. §. 17. Nunc igitur ante omnia ambas vires nor- malcm Y tz-Yl d s et langentialem Xll^x fecundum dirediiones- coordinatarum vV ct y refolui oportebit : ac manifeinm eft, ex vi normali n ^ j- vim fecun- dum Ym—Ud:y. et vim fecundum Y lz.Yldx oriri. Ex vi autem tangentiaii XII^x oritur vis fcciin- dum Y» — XIIdfA: et fecundum Y]~\U.dy-j ficque ex vtraquc gEneratur vis in diredione Y n fiue AX — xn^ar-n d y ^ quae in formulis ge- neralibus pofita eft P fdxfYldy -fdxfndx-{-Mx-o tum vero pro tcnfione funis in pundo Y ab Y Terfas A hanc : - ^^Vn dx-^^^^jndy- \^yjndj--'^jndx vbi formulas integraks /11 H-pp)( pi-+- X ) vbi ergo ambae nolkae \ariabiles z ct p funt a fc inuicem feparatae. §. 21. Tntcgretur igitur ifta aequatio , et ex partc finiftra orietur hoe integrale Formula autem dcxtra iii partes rcfoluta praebet : I d t> , f X — i))H t I _f_ XX p -H X ~^ (i-t-xxni-t-pp) cuius intcgrale eft quocirca ae<)uatio nolUa integralis eiit /{(iXX)^-M)=/(p4-?,)-/y7^+XAtang./>+/C hincque ad numcros tninfeundo ( i+XX);: — M— ^1^A_' ^'^^^tang-p V 1 -+- p f Tnde IN COaPOKA SVBIECTA. 3ii vndc crgo crit ^ -_ M , Cj p_-h X ) g\ A /an^. ^^ ~ i_t_XX (i_f-XX)Vi-+-pp' ^2 2. Qiio hiinc cxprefllonem commodiorcm reddamus , introdiicamiis in calculum ampHtudinem arcus curuae A Y, cuius mcnfura eft angulus An Y, duda fcilicet normali Yn;ac ponamus ilUim angu- luir. A n Y — CP , et cum fit (ubnormalis erit tang. cp = |„ hincque tang. ( 90' — Cf) ) — p, vnds patet cffc A tang. p — 90° — Cp. Sicque erit gX9o» « — ^ — f X vp • Et nunc pro fiiAore conftante Ce^^"" fcribamus D* eritque z — — r^-T -h- ■ , , — -= =/ Udx i+XX (i+xX)Vi4-/>p ^ tum vero hinc porro habebimus __ M M(Xp-i) 'DCKp-i)e-'^^ fiue / , X D(X/)- I )e-'>'^ I-4-XX (i + xx)yi -\-pp Ac fi cundcm valorem in formula pro tenfionc in- venta fubflituamus, fiet tenfio r — Dt— ^^; vnde cum in ipfo initio A tenfio fit co^^nita rrrM, ibique fiat (p— o,crit Al— -D, vnde difcimiis clTe D = -M, Tom.XX. Nou.Comm. Ss ita 322 DE PRESSIONE FVNIVM ita \t nunc habeamus M M(/)+X).-^^ atque 1 X__ M(X/)- I ) ^-^^ /n ^j' _ i + x X ^ " ( i + xx)"yT+7p ac denique tenfio :=:M^~''^. §, «3. Hinc vero etiam poterimus ipfam prcf- fionem n.quam fuiiis in cylindrum exercet, defmire: tantum enim opus cft acquationem M M(/) + X)^-^^ •^ i+xx (i4.xx)yi-fp/) differentiare. Qiiia igitur ell CprAtang.^, crit cl(p--y^~- ideoquc diffcretniando n d xzip — —- 1 — — — , (i+xx)(i +/'/))' ( I +xx)(i+/)M' _ Al r^ (i + PP* 3 r> • •. r. '• r r r/.v(i + />/>)' trit Cum leitur iit raaius orculi r— — — co introduao n = - f^*. .. '• §. 24. Eccc ergo qucmadmodum practcr omncm expcdationem formulae, quas tlicoria nolUa (uppe- diiabat et quae taediofos calculos minari vidcbantur, ad valorcs maximc concinnos tr.ndcm dcduxcrint; vbi . impri- IN CORFORA SVBIECTA. 32^ imprimis notari meretur , quaccunqiic fucric figura cylindri fiue curua A Y B , cius duo tantum ele- nienta in caiculo efle relidla , fcilicet radium ofculi cnruae in Y qui eft r ct amplitudinem arcus A Y cuius menfura eft angulus A 11 Y — Cj). Atque ita, tota folutio uodrac quaclUonis his duabus dctcrmi-' nationibus continebitur : I. Preflionem funis in pundo Y effe IT— ^f"^^ II. Tenfionem funis in eodem loco efle — M e~''^ quae crgo , quo longius ab initio A progredimur , quoniam amplitudo (|) continuo cre(cit , eo fiet mi- nor. Vnde fi aker funis terminus in puntflo curuac quocunque T flatuatur et ampliiudo arcus A Y T fuerit — 0, tenfio in hoc loco T erit M ^"~^*, ideo- que, fi in hoc loco vis tendens huic aequalis fuerit applicata , totus funis in aequilibrio conflet ^ ita ta- men , vt fi vcl tenfio M tantillum augerctur vel tenfio N tantillum diminueretur, l^atim funis ad motum concitaretur ab Y verfus A. Vbi maxime mirandum occurrit , quod hic tantum amplitudo curuae in cenfum veniat , dum radius ofculi tantum in dttcrminaiioncm prefhonis ingreditnr. §. 25, Quod fi ijm tenfionem minorem N vt datam fpeftemus, crit maior M=:Nt?^^, quae ergo ctramnunc cum illa in aequiiibrio confiflit. Vbi imprimis notandum efl , quamdiu vis M minor fuerit quam N e^^ aequilibrium nihilo rainus locum effe habiturum. Probc autem tenendum eft tum S s 2 fridio- 324- DE PRESSIONE FVN1\M fridionem non amplius totam fuam vim excrerc, et quouis calu litteram X cum -valorem recipcrc , qui aeqiiacione M conucnit ; fict fcilicct X — J / ^. Vnde patet , fi fuerit M — N fore X — o, fiuc fridionem hcc calu nullam vim excrtrc ; fin autcm fucrit M <^ N, fricftio in contrariam partem verget et fu- nis in quiete perfeuerabit , quamdiu \is M non infra valorem N e"'^^ diminuitur , fiquidem pro X inaximus valor accipiatur. Hinc crgo dum vis M vt data (pedatur, acquilibrium perpctuo locum habcbir, quamdiu ahera tenfio M intra limitcs N ^"'"^* et N^"~^^ contineiur, quod igitur initrualluni eo maiua crit quo maior fucrit amplitudo. §. 2.6. Confideremus cyhndrum horlzontahtcr fixum , cuius fcdio transuerfa verticahs fit figura Tab. V. quaccunque AEBF in fe rcdiens , tui incun^bat Fij. 4. funis M A EBN in vtroquc termino A et B poiidcribus M et N ouullus, ,.vbi crgo amphtudo arcus AEB fit xSo°z=;Tt; ac pofita fricflione , vti vulgo fieri lolct, teriiae parti prtfiiouis aequah , vt fit Xrzi et C rz 71 , funis in acquihbrio mancbit , quamdiu pon- , I L TT — -' TT dcrum ratio M intra hos hmites N ^' , tum fu- nis non amplius mancbit in quiete , fed a maiore pondere deorfum trahctur ; qucm motum haud difR- euiter fequcnti modo definire potcrimus. Sit enim Ss 3 M:i:N 315 DE PRBS. FVN. IN CORP. SVBILCTA. JVl :::= N ^"^ cxillente a > 5 , nc manifeflum cft , fi fridio vsque ad a augeri pufTct , tuni funem etiam- luinc in acquilibrio cffe vcrfatnrum, et totam fridio- nem fore — M— Nt"'^ At vcro fridio non vhra terminum N e" increfcere potef^ , quae ergo vis tantum adioni ponderis M aduerfatur , vndc excef- fu» vis foliicitantis fupra impcdimentum fricflionis - 0 a 0 - ^ . crit in M — N ^' — N ( ^ — ' — ^i";et duda applicata proxima xy axique parallela Y 1', erit Y^y — d^xet vy — dy, Porro autem applicata XY producatur in ^, exiftente Y p axi piirnlkla. His pofitis fit Yn vis illa nnrmalis Yl d s curuae in pundo Y applicata , quae reloluta fecun- dum diredliones Yp ct Y^praebcbit vini YpziTldy et vim Y q — Ti d X. Practerea vero quoniam iplam tenfionem T hic n ndum contemplari licft ponamus praeter vim Y U — Yl d s pundo Y applicntam e(Ie vim tangentialem — ©«'j-; quae quia in dircdione Y y a^it per rclolutionem praebet vim fecundum Y V -z Q d X ct ftcundum Y (j \im r= 0 dy. Col- ligendis igitur his quatuor viribus eleinentum cur- Tom.XX.Nou.Comm. T t vae 330 DE PRES^IONE FVNIVM vae dr follicifabitur fecunduTi dircdionem A X vi ::z Q> d X — ^ d y ^ quain in thcoria generali voca» ■vimus P^Ji tuin vero fecundu.n dncdionem X Y vi ::i&dy-\-lldXf quae lupra crat y^d s. Hinc igitur erit /?ds—fedx-rndj tt fQJs—fQdy+fHdx, §. y. Quoniam igitur hic toram curuam ia eodem plano fitam concpimus, pro ftatu aequiiibrii vnicam habebimus aequationem Idyf 0 dx - fdy fUdy -fd xf 0 dy ^fdxfW dx zz o. Tum vcro quia ipfam tenfionem in Y \t datam fpu(ftamus — r , erit T--''f^^ifed X -fUdj) -p^^(fQdy-\-rndx Vnde fumtis differentiahous pofitoque dy—pdXy vt fit d s~dxV i -{- p p hae duae aequationes fe- quentes induent formas : p{redx^fTl(iy)—fQdy-\-r\ldx et T = -7T=(/0'^-V-/'n concinnas reuo- cari poruifllt- Nunc autem theoremate noflro fla- bilito ifla folutio haud difficulter expcdiri poterit. Problema 2. §. 13. Si d/crhien inter bims inres M et jsj VwiuT fuerit quam vt aequi:ihrium confijlcre fojjit ^ de' lcriiiinaye motwn y quo Junis juper cjlindro a vi via- iori profrahetw; S o 1 u t i o, Tab.VI. ^. J4.. Sit figura A YB Raio trannicrfi cy- ^'^" 5 lindri ea lue verticaiis ; cui circumdudus fit funis altcro termiiio onuflus j.ondere M, altero vcro N ; iia IN CORrORA SVBIECTA. $35- iti vt fit M> Ne^'^. Q.uoni;im eniTi nmbae port' dirum direc^ioncs fmit vernculcs , amplitudo totius arcus A Y B lit ^ — tt — 180 . lam motus initio ponamus pondiis M fuifTe iii ipfo pnnflo A , alterum vcro N dependifle vsque in C , ita vt tota funis longitudo fit — arc. A Y B H- B C. Voce- mus igtur t' tum arcum A Y B — ^ et altitudincm B C — t' , ita vt tota fu nis longitudo fit b -\- c -, crnfliriem autem funis vbiciue vnitatc dcfignennis , \t lon^itudo b -{- c fiiriul eius mafTam exhibeat. Ipfum autcm funem tanquam granitatis expcrtem fpedemus , quo calculus facilior reddatur : deinceps Cnim non difficile erit eius quoque rationem habcre. Hoc modo vires follicitantes ernnt ambo pondera M et N i Iitterae autem M etN tam ip(a pondera quam eorum mafl^is exprimantr §. 15. Elapfo autem tempore t, quod femper in minutis fecnndis exprimi affumimus ,. defcenderit corpus M ex A vst^ue in M, confedo fpatio A Mr^. Alterum igitur pondus N intcrea afcendifl^e nccefTe efl per acqua'e fpatium CN — 9, vnde portio fu- ris etiamnunc hic dependens erit B N — f — ^. In hoc porro ftatu fit v celeritas , qua funis mouetur, quippe quae in omnibus eius pundlis eadem erit , vbi v dcnotat fpatium quod hac cclcritate vno mi - nuto fccundo percurri pcflTct. Ergo elapfo tempore t -\- d t celeriias funis erit zr^v-^-dv et -^ expri- met accclerationem funis in fingulis pundis , ex quo vis acccler.itrix erit — ^ , dcnotante e altitudi- nem , per quam grauia vuo miriUto fecundo dela- tuntuv 33<5 DE PRESSIONE FVNIVM buntiir, Poiiamus autem breuiratis gratia lianc vim acceleratricem -''-^- — u , quae ergo per raalTatn cu usque portionis multiplicata dabit vim motricem , cuius dir^dio vbique in len(um N B Y A M vergit. Ceterum quemadmodum initio Iiuius motus eft ^no, ^ ita motu? diutius durare nequit , quam doncc fiat ex altera parte BN— ^ — ^ — o: hoc eft doncc fiat q — c. § i6. Ad motum igitur inuefligandum con- cipiamus toti funi in fingulis elementis vircs tffe applicatas vinbus illis motricibus aequalcs et contra- rias , at<]ue necefle cfl: , vt tum totus funis ad fla- tum aequilbrii perducatur. Confidcreanis igitur funis eiementum quodcunque Yy — ds , cuius ergo mafla quoque erit zz. d s ; et cum motus eius fc- cundum tangcnrem Y T dirigctur et acceleretur \i motrice — u d s ^ ei vim contrari.im fecundura diredioncm Yy applicatam concipinmus —uds. Vbi notandum, dum lioc modo totum funein fccun- dum clementa profequimur , quantitatem // pro con- ftante cflc habenda , propterea quod hacc quantitas tantum cum tcnj-orc mutatur. Hic autem flatum pro eodcm temporis momento pericrutamur. Prac- tcica vcro fit prcflio , quam elcmcntum Yv — ds a fune fuflinLt — Fl ^/ j- , quac crgo fccundum di- rcf^ioncm normalem Y fl applicata cfl intclligenda. px cfl autem oritur fridio nXlT^j paritcr fe- cun uin dirccflionem Yr agcns quandoquidem motus dirnflioni YT cfl contraria j vnde practer vim nor-- maieui IN CORPORA SVBIECTA. 337 mnlem Tlds habcbimus vim tangcntialem r«^^d' x per totum ar- cum A Y B e^tenfiim — C, eritque tcnfio funis in puiido Bzz\J e—'^'^ — u e~'^'^ C (urfum vergens, propterea quod pondus N in aequilibrio ferunrc dc- bet , quae ergo acqualis eflc debct viribus dcorium \ergcntibus pro portionc B N , vnde ex hac parte nancifcimur hanc acquationcm : U ^-^■^ - u -^^(^4-M+C) + Mf-^^ — tt((r-^) + Ntt-i-N vnde elicimus M^-^^^-N « rr e' •^^(?-f-M-i-C)-4-i;-yH-N' §. 20. Scripfimus autem breuitatis gratia lit- teram u loco —^^; dein quia pondus M cekritate v defcendere afflimitur, hocque motu fpatium A M - ^ tcmpulculo dt inci-einentum accipit — d q, crit d q ^ V d t ^ ideoque q — / v d t. Praeftabit autem quantitatem q in calcu)o retinere ; vnde cum fit ly — li eiit fumto clemento temporis dt conftante dy -- d^ idcoque u — -^^'J, ■ , quo valore adhi- bito aequatio motum funis dcterminans erit ddq __ M g-^^- N zgdt'' e-'^'' (q + !S\-\-C)-\-c -q + N' exqua flatim p.uct , motum in fenfum BYA oriri non poflTc, nifi h;iec formula fuerit pofitiua, lioc efl: nifi fit Mf—^^^^N, prorfiis vti in problcmatc cft ftabiiitum, Pjaeterea vero ex hac aequatione intel- ligitur, determinationem motus noftri funis multo difficiliorem efte quam in praecedente diflcrtatione crat vifiim , propterea quod hacc acquatio eft difte- rentiaiis fccunji gradus et practcr ddq etiam ipfa litrera q ingreditur. §. 21. Quo autcm hanc acquntionem flicilius tra(flarc Hceat , pro quantitatibus conftantibus ftatua- V v 2 mu3 340 T>E PRESSIONE FVNIVM rnus breuitatis gratia 2 g ( M ^"^"^ — N ) — E , e-^^-^i M-|-C)-i-f-hN = F et f-^'"-.i=:-G \t habeamus hanc aequatioiicm : ^-^ rz; -_f ^ , quae multiplicata per d q u integrata praebet ita Yt iam fit ^ — — lJ? / iiriLl. V'bi rotetur q nunquam maius cuaderc quam c- :, tum autem fem- pcr erit F > G ^ quia F ^ G f. Ad hanc con- Hantem A dcfinieiidam , recordemur , ipfo initio fuiflc — o, et quia motum a quiete inchoaflTe aflu- niiinus crit ctiam cclcritas ^ =0) vnde patet Uuni debere A = F. Sicque aequatio pro motu crit ^-H zz ~\- V { -^ / p _^ ^— , \ndc porro colligitur dq dt — -. -^. — F :, Ynde intciligitur hinc nuUo '^ \ G' ^ V — G~q ' modo intcgrationem exfpcdari pofl!e. Tantum ergo ab;ft , \t hoc Problema tam fac;lc rcfohii polTit , vti ante erat \ifum : \t potius inter difiicillima fit nu~ merandum. §. 2.2. Pcr npproximationem nutcm folMtio fuccedit fi fracflio ~ fucrit quam minima. Cum igitur fit G i-r--^'^ F — ^- ^'^ ( M -I- C ) H- c- -i- N haec quantitas fi fuerit \alde parua ponatur ca — »» critque proximc IN CORPOKA SVBIECTA. 341 proximc. Hoc ergo cafu habcbimus d t ~ -y i^nq fuie ^.^ ( o ) S-c^- 343 DE VIRIBVS REMORVM NOVAE SPECIEI EOKVMQVE COMPARATIONE CVM KEMIS ORDINARIIS. Audore W. L. K K A F F T. §. I. Remoriim haec noua fpecies , quorum vires fum inuelligaturus , praeter illuftrem Inuentoris ce- lcoritatem , multiplici prae remis ordinariis in na- vigiis maioribus praerogatiua , rei nauticae periiorum attentionem iure fibi meritoque vindicat. Primus io lucem illos protulit Illuft. Dan. Bernoiilli in difqni- fitionibus fur la maniere la plus avantageufe de fup- pleer a Taction du vent fur les grands vaifleaux , ornatis annoi753 Academiie Parificnfis follemni et publico pracmio ; et mirari fe fi ait Audtor , nuUi ante ipiiim artis nauticae ftudiofo obtuliffe fe ho- rum remorum ideam j hodienuiii certe non minus iriirum vidctur , inuentum tanta optati fucceflu fidu- cia ab 111. Viro commendatum , inde ab illo tem- pore nec ad examen vUum ncc v(um pradicum fuifle rcuocatiim. Praeftantes remorum fuorum ef- fedus ex principiis a fe fiabilitis generatim fummo acumine euicit 111. Audor ; neque laracn tum id tuiit 344- NOVA ^PECIES REMORVM. tiilit inaitiui ratio, vt integram eoriindem theoriam Ipccialiori indngine ciiolueret ; vndc opernm mc haud arbitror iiuitilem impcnfurum , fi , remis his denuo jn (cenam reuocatis , efFedus indc fpcrandos cx pri- niis mechanicac principiis deduxero , corumquc cum remis vfitatis, quorum cfTedlus 111. Eii/erus in Com- mcntariis Bcrolincnnbus ct nouitlime in celcbri liio de conlUu(ftione nauinm opere ad calculos rcnocauir, comparationcm atque ad praecipuarum clalhum na- vigia adplicationem \bcrias hic cxpofuero. §. 2. Praemittcnda igitur antc onuiia erit di- flinda horum remorum defcriptio, quam ex galiico III. Beynoitllii fcripto iplls ciusdcm verbis cxccrptam hic adiungcrc vilum cll. Soit fig, I. la coupe horilbntale a flcur d'eaii «t A B la quillc d'un vaifTcau mu dans dcs caux calmes de A vers B. Q^uc acb reprcfcntent des coupes des pales plongecs vcnicalemcnt dans Tean fous une obliquite dirig6e vcrs la pouppe ct fai- fant avcc la quille un angle de 6o degrts. Cespa- lcs font cl'abord tirecs par lcs rameurs fuivant 1:1 <3irc(flion c d pcrpendiculairc nu plau vcrticat dc la quille. Etant parvenues jusqu'en ita fit ahitudo =: fm. Cp' ( t; -}- V N. co/. ui V/w. cj c V~ habcatur 7 — " "^-^ ; quo valore fubQituto erit p.a r* Xx 3 ,.,adco- 45* NOVA SPECIES REMORVM. tdcoquc ipfa niHiis celeritas y ^ — V g-- ^«''g. (.1. N ». F V u p. tt. r' tum igitur €X connrii\^^- , adecq.ie v:ro m-nuto lecundo erit ipfa nanis cc* fcjiiis —2^X^ — 4, S^^+a^ y ^^ pcd. rhenati, denotante X altitudinem, pcr quam grauia primo mi- nuto ftxnncio ex quiete libere delabuntur, et exirtente «=i,7 3 2.o5 + ''-!-i^- vbix^deugnat fummam omnium Pj{iirncitrum pa!mularum iunftim fumtarum -3'r^, Atque haec eft mnxima celerita» poflibilis y a nu* mtro remigum =: N « naui imprimenda , et quac obrinetur, fi rcmus ita inlUuatur , vt fit manubrii ^ axe horizontali dillantia — T) — — ^ . i a V c Cum vcro , (i palmulae excurfiones nimis eunderent magnae , ea in vtraque excnrfus fui ex- tremitate nimis oblique contra aquam impingeret^, quam vt vis nauem propcllens inde non fenfibilem diirirnutionem pcUeretur \ fit ifta fil)liqnitas = (J) ; et cum uitinidn ceicrirati manubrii d/pirr ~u inuenti fit n^z^ vti^. livn.; ent iptu e.i celcriraj» tempore vni;i5 min'.ifi fi.-i!ndt rr -i^d peti. r: " pc >'. circ. ' — ; pcd. quadr. quibus pcfltis ob nzzi \ formulae inuentac lianc inducnt (orn.am : am, 73205 H-i^;^?l atquc NOVA SP£CIES REMOKVM. 353 rr. atque ipfii naiiis celeritas = +,5^+3. V'^ ■ cx qiiibus connrucfla eft fcqnens tabuhi, cuins prima columna indicjt velocitatcm nauis ope nouorum ho- rum remorum , altera autem velocitatem ope re- morum orJinariorum ipfi imprimendam , pro dito qiiolibet valor'; ipfuis 3? \ qui ex proportione inter refiflentiam nauis ablolutam et numerum remigum iiiuotefcit. Alteram fcilicet coKimnam ex III. Kukri tracftatu de condrucn^ione nanium pag. 350 excerpfi , habita ratione difFcrentiae inter pedem Londinenrem et rhenanum. ^'^"^ .^ ^ ^^ T A B V L A cxprimens in : pedibus rhenan. velocitatem nauis opc remorum tam nouorum quam ordinariorum acquifitam. fj^ Rensj nouijKcm.i ordin. 9t. Kein.i, nouiReiri ordin. -4 1 2, 3 86u I 2, 710 a 3.^)8^ 3 4, 939' + :4»SS9.'^ 5 5, 357 6 SI66 ■•? ' <^, 13 + 8 6, 459 9 6,778 , 10 Xl 7,0^5 7, 334- 1, <:?75 2, ^83 .2, 72i •j, oS'Cj- 3, 385 3,<553 3, S93 4, 114. 4. 317 4, 503 4,^83 13 14 I 15 M9 i: -o ;-3 j 24 Tom. XX. Nou. Comm. lil^T .-4, 849;(, 7» 827 5, 010.^, 8, Q5S , 5, 159 n S, 172 • 5,304. ., 8,4.So .5, 440 :j S-, 680, r!;5,, 574!/t 8, .87 = : 5, 70fl,Ti 9, 056 5, 822 9, =3 5 5,94ifT 9, 408 .^5 057-/ 9, 575 (j, 169 9,758 6,277 9,895 <), 382 Yy «r 3 54 NOVA SPECIES REMORVM. 5? Remi noni.Remi ordin.' ??. Rcmi noni Remi ordin 25, 10,049 26 10, 198 aS 10, 4.8(5 I Z 29 10, 625 30' 10,753 3ij 10,893 32 1 1, 023 33 I «, 150 34 II, 275 35 II, 39<5 6,484. 6,583 6, 680 6,775 6, 857 6, 957 7> 046 7, 131 7> 215 7,297 7,378 36 it ,457 37 11,634 38 11,750 39 I I, S63 40 11,974 50 12, 999 60 13, 89 + 70 14,694. 80 15,421 90 16, 089 j 100 16, 70S 7, 459 7, 53S 7, 614. 7. 6S9 7, 763 8, 447 9, 046 y, 580 10, 059 10, 510 10, 925 § 10. Vfus huiu3 tabube "vt excmplo illu- firctur , fint duae naues primae clilVis , 600 remis vna Bernoullianis , altera ordinariis inllrudae ; ita , vt ob r*-i5o , fit 3f?z4. Quare cum celeritates re- fpetfliuae maximae fint 4, 89 ct 3, 08 i fi his duabus nauibus propofitum fit Ipatium percurrcndum vnius milliaris — 23640 ped. rhen. prior nouorum re- morum ope haac viam abfoluct tcmpore 1''. 20'; al- tera autem remis ordinariis propuKa dcmum tem- pore 2^. 8' ; quae portenor nauis vt propofitum cur- fum eodem cum priori tcmporc abloluat , i875rc- mis ordinariis forct inftrucnda. Reliquas horum rcmorum pracrogatiuas, atten- tione uon minus dignas, rccenlct 111. Bernoulli §. 30. P. II. diir. allegatae. PHYSICA. P H Y S I C A. Y y a DE .A3J? YH*I ;-:a ^ ->¥.<. ( 0 ) 3-i^- a57 FORAMINE OVALI, ElVSqVE VSV , IN DlKlGliNDO MOTV SANGVINIS. OBSERVATIOXES NOVAE. ■ i tii:. Aiidore C. F. W O L F F. - . - ■ ' » i , (Le^la iii conueiitu Acadeinico d. ii. lauuar. i77<^0 .".t.jaLi §• X. Qunmuis plurimnm laboris Anatomici in inda- idea fora- gaudis organis liifce , quibus in foetu diuerfii , minis oua- quam in adulto homine , circuhtio funguinis effi ^* ^*' ^"^" ^. . . . r ■ ■ ■ • I- go conci- citur , impendcrmt; faepiusque , repctitis pcricuiis , ^^j.^ denuo labores eosdem alii atque alii fufccpcrint ; quamuis etiam in modo , quo ficret liaec circulatio in foctu , Cekbcrrimi olim Viri multum inter fe difTcnlcrint : in ftrudura tamen horum organorum ipfa , et in conformatione non n odo diidus arterioli Botalli , qui fatis fimplcx nuilique errori obnoxius efi , fed etiam difficilioris foraminis oualis , omncs cmni tempore inter fe confeiilerunt. Foramen ouale com.muni ore fingulare foramen effe dicitur , quod millo cum alio in corpore animali , vel orificio , \el dudu , crmparautris, quod infculptum fit fepto, quo vicini finus cordis a fe inuicem diflintuuntiir , et cuius ope igitur hi finus inter le communicent; - '. Y y 3 fiue 35 8 DE FORAMINE OVALI. fiue nunc ex dextro finu in finiftrum ranguis tran- Ccat , vti plerorumque Anatomicorum (enteniia fuit, fiue contra ex finiflro in dextrum ille progrediatur, vt alii Yoluerunt , fiue denique vtriusque finus fan- guis promifcue commifccatur, quod fimiliter propo- fitum fuit. Eu legi- f. 2. Certum eft , fimplex eiusmodi fonimen, bus natu- iii medio duorum cohaerentium valorum pariete , raecontra- .„ , , i • ^ r riaeffevi-^^ ''' communicarent , nusquam detur. slibi in corpore humano vel animali reperiri. Dudus vbiquc repcries communicatorios, maxime in venis, et orificia \bique videbis duduum vel vaforum, fed nulU fimplicia foramina. Neque hoc etiam fieri folet , vt (anguis ex vno vafe progrediatur in altc- rum , quin fimnl in fuo itinere promoneatur , pro- piusque accedat ad iilum fcopum , quorfum defiina- tus ell. In Qoitro aiitem organo fanguis, dum ex dextro in finifirum , tcI cx hoc in illum finum tranfit , nihilo cordi propior redditur , et omnino pcr am- bages ambulat. Neque tamen lolet natura vti me- diis , femel tantummodo et vnico in cafu adhibitis , quin analoga corum exempla in aliis locis reperian- tur. Et ipfe , qucm contra generales legcs artcria- rum in dudu arteriolo BoTALLI ct aortn vidcmus, duarum artcriarum confiuxus , practer innumeras ar- teriarum minorum anafiomofcs infigne cxemplum analogom habct in arteria bafiliari, §. 3. Haec autem, quamuis aliquomodo idtani % foraminis oualis fu(pc(flam redderc potujffcnt , nnni- mc DE FORAMINE OVALI. 359 me tamen in caufla fuerunt , vt vcl dc rei veritate dubirarem , vel ideam , adco inucteratam , denuo examini fubiicerem. Vidcbantur autem rc^iones in cauitaiibus finuum et partes eorum internae non fatis indicatae effe ; multo minus locus ip(e in fepto, \bi foramen exilkret , notui mihi ci^t. Imprimis valuuia foraminis oualis,cuius lamina altera a mem- brana interna finus dextri, altera 3 finifin membrana continuari dicitur > quo loco cx lcpto nafceretur , et cui eius parii adhacreret , nimis mihi obfcurum crat. Quare , vt haec expedircm , vt ideam fora- minis oualis mihi ipfi perficerem , hanc particulam cordis data occafione attentius confiderare et exami- nare conftitui ; longeque alia reperi , quam quideai quaefiucram. §. 4. Ilico enim apparuit , fbramen minime pnma bb- adeo fimplex exifiere, vt vnum idemque foramen feruata. fit , qucd in dextro ct qnod in finifiro finu mteat:'!^ finoius * , . . , * „ hnu diuer- vt vnam eandemquc eius oram in dextro atque u- (■um inue- firo finu percipias. Fars orae fuperior quidem, qui nitur fora- ab arcu, quem ifihmum VlEVSSENII voc.ire foknt,r"en. formatur , vna eademque e(t in vtroque finu ; fcd orae partem inferiorem longe aliam iniienics in dextro , aliamque in finiftro fiiiu. In dextro , fi Tab. VII. finum methodo EvSTACHII in parte anteriori vna ^'^' cum ventriculo cordis dextro aperueris , quae vnica fedio eft , qua omnia , quae ad fbramen on;ile per- tinent , integra conferuantur ; foramen apparct , (eu onficium , figura omnino ouale , et ita pofitum, vt diameter lon^ior oblique a partc anteriori ei [finifira " retror- I. 3]uid his oris efTc dcbebat , quo inter fe cohaererent et dudus nliquam fptciem producercnt , id quod omni tamen vcri fpeciei prorfns contrarium efTc vidcbatur. Priiis qunm autem vcl EvSTACHII valuulnm vel vahuihim foraminis ouahs diffccnrem , quod fidu opuserat ad de- tegendum id, quod iis intcrcCt; cum cgrcgio et vnico, quod tum temporis (menfe lan. 177 i.) mihi erat, cnrdi Tom. XX.Nuu.Couim. Z z inflin- 35» DE FORAMINE OVALT. infiintis recens nati , qiiantiim ficri poterat , pnrcen- dum inihi edcr, ftylo omnia cautc pcrquircre coopi. Atquc tum haec phacnomena fe praebuerunr. Sty- lus noniiifi magiia cum diliicultate ex finu dextio per foramcn , quod in hoc paiet , ct inde porro pcr illud , quod iii finirtrum hiat , in hunc finiftrum fi- nuni adigi poterat. Smiilitci- idem haud fine psri- cuh) rumpcndi "vahmlam foraminis oualis ex finti finifiro per vtrumquc foramcn in dcxtrum finum redibat. Sed contra , fiue cx dcxtro , fluc cx fini- ftro finu illc immifTus fucrit foramini , quod cuili- bet finui refpondct , facillimo negotio et fpontc ce- debat dcorfum , venaquc caua cxibat infcrior\ , vbi hacc ab hepate reredta fuerat. Sinns non §. 6. Denique, vt breuibus vcrbis totum rci ca- '"•■^ ''"'*' '"'^'^ put abfoluam, vti cx his, qnae rctuli, vnu^quisque fa- CUI11 vena '., , . ... . . ^. , caua iiife- ^''^ praccognofcit ; vltcriori examinc inUituto, val- riori com-vula foiMminis oualis difleifla et remota , quo oculis municant. off.rrentur, quae abfcondita effent inter hanc et Ev- STACHIT valuulam , fatis manifcfto viJebam : Sinwit Jinijirum minime communrcarc cum fimi dcxtro^ fed •vtrl- quc /inui interpjitam cjfs venam caunm infcriorim. Ori- Jicium,quod in dcxtro fimt apparct , ducoe in hunc t)un- cwn vcnae cauae infcrioris. Il/ud, quod in finijtro con- fpicitut\ quod proprie foramen ouale vocatur^ itidcm aper- turam aliam effe ciusdem 'venae cauae infcrioris. Adeo- que finwn vtrumquc cum vena caua comwwncarc per eas apertuvas , quae diuerfae in finguiis funibus apparent ; inter fmus ipfos vero mHam commumcationem effc. N i li com- DE FORAMINE 0\ ALI. ^6^ commmvcatioaem dicerc vclis eo irodo , quo et \ena ciiiia Uiperitir cuni vtiKricuIo dcxtro cordi- com« niunic;u , nicdiis iicmpc finu et auricula. dcxtris, ct quo omnia va(a totius corporis intcr fe comniuni- caiit. § 7. Scd vt pcnitius nntura huius fic didi Vcnae ca. foiaminis oualis appartat , necefTe c(l , vt vcna caua ^'^^ . "'^^' . , , ,. .^ . , lioiis de- luKrior, qua ratione hacc duo iua orihcia pr^^^uc^fjfcrlptio vtxriiis delcribator ; deindc etiam llrucfliira harum partiuni in cordc adulti , ncc non in vitulino corde conferatur ; quo , vt (aepe fit , quod in homine nonnifi obicunus pcrcipitur , ahis fub CTCumlluitiis in animahbus diflindius et manifeftius appireiit. Vena caua infcrior , dum ex hcpate , perforand'- p,,fjtio diaphra^nia , vcrfus finus cordis adlccndit , hcet fatis qua vtri- breuis fit in hoc itincre , aliquam tamcn longitudi- T^ ^*""' , , . ^ . ,1 (imul re- rem liabct ^ et ipfa eius par5,qua (upra diaphragma j- ^i^^^^ emergit , notari ct a finubus fatis diflingui poteft. in vtium- Ea igitur ita rcfpccftu finuum pofita efi, vt vtrqueq^e pet- finui , finiflro aeque nc dextro , refpondcat , finiflro ''."".°""' .' ' . . . ' - cia mfen- que m foctu non minus quam dcxtro inferta 111.^^^. Lumen igitur , quo vcna in finubus dcfinir, ipfum il- luin arcum (iipra (ifF.ndit, qucin ifihmum VlEVSSENII \ocant , eoque arcu in duas partcs , feu potius in duo lumina , vel orificia diuiditur , quae varia foe- tus et infintis aetate variam inter fe proportionem habent. Alterum horum himinum dextrum c(i, fi- nui]'iuc antrorfum paullulum fitu inclinat , atque hoc , ctiam quo tempore fcetus in luccm prodir , niulto niious elt j alterum finiftrum tfi et fin ul Z z a pofle- 354 DE FORAMINE OVALI. poflcrius. Id longe maius eft , et truncum quafi continuatum refert , cuius illud nonnifi mediocris ramus eflet. IUud dextro linui refpondet , eoque vcni, caua inferior in hunc finiim inleritur. Hoc finifko refpondet , ct hoc orificio vcna caua inferior^ in finum liniftrum inferitur. lUud igitur iJ ipfum eft , quod in riiui dextro in eius rcgione fin.fterjori in confpecflum venit , fi ifle finus in parte fui an- teriori vna cum ventriculo cordis dexiro aperirur , adeo nempe , vt orificium vcntriculi venofum fimul cum his partibns diffccetur. Siniflrum vcro illud e([ , quod proprio ac fingulari iflo nomine Forami- nis Oualis ab Anatomicis fahitatum fiiit ; et quod ergo inpolfcrum veriori nominc orifuii Jinijlii- Vttiae came ivjerioris apcUarc , fpero , hcebit. Eadem ve- §• ^* Venae cauae infcrioris ca pofirio, qua nae cauae haud foli dcxtro finui , fed finidro tantundem , nifi politio e.\- fnagis j qiiam dextro rcfpondct , qua axis huius vcnae Mrne oh- r ■ r ^ r i • leriiab-lis '"^"'^ '" feplum unuum , vcl in arcum tenuit , (t quac , quantum fcio , non obferuata cll, ctiam cx- terius , et in ipfo aduhi corde, manifcllo apparct , d^m cor cum finnbus et vafis maioribus intcgrum , et rite pracparatum , a partc poncrinri confiiicratur. Quamuis eiiim in |iac rcgionc polkriori cxttrnc nulhi lir.ea vcl firia ducaiur , qua tcrminus intcr (inum finitUum et dextrum anignctur, vcnac tamen pul- nionalcs dcxtri lateris , vbi finui infcruntur, ccrtilfi- mum fignum pracbcnt , quo finis fiuus fiiiiPiri ct fepti rcgiq ec .principium finus dcxtri cognofci pcffinr. Vide- DE FORAMINE OVALT. ^6$ Vidobis ergo , dummoJo partes nullo modo diflra- hiiiMiir, ("cJ fiji , vt luturaliter luiu , remittuntur , venim cau:im aJeo fitiiibus npplicatam eire , vt fuo finillro luere m.ilco liac infortioiie vjnirum pulmo- nalium (i •idcrior fic , at,]ue in aJulco dimidia fui parte in finillru n , dimidia in dcxtrum fiuum in- ferta ede viJ.-atur. In foecu oTjiino ita inlerca eft. In aJult) aucem valuula , quie fo^aiuinls' oiulis dici- tur , dum arcui aJcrelcit , hoc finilUum veuae cauae orificium clauJir, et dum oblic]ue a parte finift-Tiori dextrorfum aJ arcum aJlcenJit^dactum venae c.iuac, quae finilkrior ad hunc locum vs jue fuit, dextror- lum nunc dirigit , effi:irque, vt vena haec , quam- vis verlus vtrum]ue finum direAa, dextro tamen foli infratur. In aliis caeterum fubiedis aJultis magis , in aliis puilo minus, verfus fiaum finiftrum venam cauam dircdam effe repcri. f. 9. Sed moJus eiiam , quo vena caua infs- Shuaura rior , ope arcus et valuularu-n , vtrum]ue fuumditonim orificiiim proJucic , paulo accuratius deflribenJus elK ^^"^° *^^" Paries eius dcxter cum aliqua parte parietis 'luterio-^jj'^,.;^ ^,.'1^] ris j qui minor tamen venje pars efl , furfum con-ciorum. tinuat in valuulam EvSTACHIT, eo modo, vt tunicaQ."'moclo venae interna,ab extenoribus tunicis receJendo, jte-^^'""^''' rumque fe iisjem applicando , plicam femiluaarem chh et producat , qua ipfa valuula EvSTACHII efficitur. foraminis Poflhncc tunica eaJem intcrna totiim fuuim dcxtrum °"3''' " , i • j 1 . . vcna caua inius obducit : dum tunicae cxteriores ntnus parn^ , ' 1 , r' pioducun- dextrac venae cauae infcrioris intacta valuula Lv-tur. Z z 3 STACHII ^66 DE FORAMINE OYAU. ST^ CHII in tiinicns cxtcriores tntiiis finiis dcxtri coiuHuiaiit; adeo, vt et \;iliiiila EvSTACHII ct (uuis dexter tnnqiiain continiiatio p.irictis oextri vtnae ca- vac infcrioris confidcrari pollint. ( Conf^ fig. 4, vbi parics dexter 11. in vahuilam EvST. 2. 3. 4. 5. continuatiis apparet ). Simili r odo parics fmifter ct portcrior \enae caiiac n.ferioris , er. qui \tnae piutcni longe maiorem complccfluiir , vahiulam di- ^am foraminis oualis prcdncit , vt tunica inttrna huins finiftrae partis venae recedendo ab txtcnoribus tnnicis et fe ruihim ad easdcm appUcando plicam , Icd latiorcm conuohuamcjuc ctTici;it , quae ip(a val- vula foraniinis onali^. c(l. Po(l hacc fin. ihtcr haec niembrana intcrna totnm finum fuiidrum imns in- vcrtit , dum tunicac exttriorcs parietis fuiil\ri et po- ftcrioris vcnac cauae infcrioris intadla vahiula in tu- nicas cxteriores fuins finidri contimiant. >ic ergo, vt p.irics dextcr \cnae vahuilam EvSTACHII ct li- num dcxtrnm producit , ita pancs eiusdem finirter in vahiulam foiaminis onaUs ct in finum finiffrnm continuat. ( Conf. (ig. cadcm 4. et cxplicatio cius- dcm, vbi patcbit, parictem fiiii(hum la. 13. coiui' nuarc in vahiulam foranunis oiiaiis h I. v. n. et 0. vi. /. ). Vti vcio hic parics finirtcr, qui valuuiam foraminis oualis producit , niuho maiorcm partcm ciicnmfe- rcntiac vcnac occupat , ita idcm paulo ahior quoque dcxtro parictc in funim [finirtium ad(ccndit, et vahnilam fuam practcrca piddiicit muho latio- Tcm. Vjidc cflicitur, \t oiificum \\c finirtrum non nriodo niaius fit dcxtio , (cd ahius . tcniis partibus in la- tcre finillro et polkriori dilceniat, fimulque in vtro- que latcrc vua cum ea, quac rcliqua ert, orae venae cauae parte circuliim dcnuo perficiat , cui valuula in vtroque laierc infidet , et qui i^itur in latcre fmiHro duplo circiter niaior tft , quam in lattre dextro. §. II Valuula EvSTACHir igitur , quae, vt Quomodo Conft.it , fii^urae lemilunaris eft , dum bafi fua , feu v'-™ caua niara;ine cunuexo , C 7. ) raricii dcxtro venoe, ipfis op«^ "'^"s ^ 7 V / / r ' f et valuula- que cnirum partibus infcrioribus , quae in hoc pa- ^um, quas riete delccndunt (fig. 4.), cxtremitatibus vero ( 5. p.^producit , partibus crurum luperioribus adhatret , et margine ^"° '"■^i:"' 11/1- / « \ r • ncia em- libcro fluitante atque concauo ( 8. ) verfus concaui- ^.j^j.^ tatem arcus (10.) refpicit, orificiura vna cum arcu hoc modo conftituit , quod nan modo longe Tab. \ II. minorem et vix tertiam partem luminis venae ^^* ** caiiae abfumit, et niinus quoque quam ftniftrum orificium ert , fed ob eandem arcus cum valuula EvSTACHII et cum ipfo venae parietc dextro propinqiiitatem , talem fimul fitum , talemque po- ficionem obtmet, vt in p'ano fere verticali confti- tutum fit , axinqne luum fere transuerfim ex vena in fiiium dextrum , et paullulum tantum obliquc verlus fupenora fimul , dircdlum habeat. Valuula Fig. 2. contra finus finiflri , quae , vt venofae valuulac ventriculorum cor.lii. , annularis fere eft , vel tubu- lum potiu^ rcfcrt , ( fig. 2. 0. p. q. s. t. a?. ) cuius tamen paries anterior , qui ideoi breuior fimul eft , Tom.XX.rsou.Comm, Aaa fepto 370 DE FOKAMINE OVALI. fepto finuum fapra arcum {z. i. 2, (ig. 4. p, q, s.) adco adhacret , vt ab eodem vix diftingui pofllt , bafi fua primum , vt dixi , fupremae orae parietis finillri et pofterioris venae cauae infidet, ( fig. 2. 0. p. q. r. fig 3« ^- ^- ^ ) ^^ ^^'•^'^ quidem tertias par- tes ambitus huius venae occupat > deinde reliqna fed minima quidem bafis fiiae parte ctiam arcui iohae- ret ( fig 3. .r. ) , quem vna cum hac parietis fmi- ftri venae cauae fuprema ora cifculum cfficerc mo- nui ( §. 10 ) , et pariete denique (uo anteriori bre-« viori fepto finuum fupr.i arcum apphcataeit (fig. 3 w.]. Hac ergo ratione tubus efficitur a vena caua , intra finum finidrum porrcdlus , qui ipfa venu caua vix anguftior eft , et onficium margine fuo libcro ofFcrt ( fig. 2. 5. 6. 7. 8. 9. 10. ) , quod in plano cbli- quo pofitum axin furfum ec fini(\ror(um direftum habct i adeo , vt , fi duo haec venae cauae orificia tanquam duo» ramos , in quos vena diuideretur , confidcrarc volueris , quod haud inepte fieri pofTe omnino mihi videtur ; hoc orificium finidrum , vel tubus potius , cum fuo orificio in finirtrum finum exporrcdus , ob maiorcm capacitatem non nioJo , led ctiam propter dirciflioncm vcnae , vtplunmum con(eruatam, tanquam truncus continuatus, orificium dextrum vero , quo vena in fiuum dextrum hiat , tanciuam ramus cius laicralis confiderari poiUt. Torcnen , §• 1 2. Hinc paulo accuratius , quiJ proprie quod dici-jiijj ^^^ q^jQJ foramcn ouale diftum fuit , intclli- nuid pro-Si'"r- Nihil aliud elt , quam ipfa baiis valuulae prie Ut. '" DE FORAMINE OVALI. 371 tubulofae finus finirtri , qua maximam partem orae parictis finirtri ct polterioris venae cauae et aliqua minori parte etiam arcui haec valuula infidet ; vel fi mauis ; ipfum orificium venae cauae finijtrum , quo in finum finijirum aperitur , et cui valuula illa tubU' hfa bafi fua adne[titur, Hoc ipfum quoque iliud eft orificium , quod , quamprimum finus dexter , qua- cunque (ui parte , vna cum vena caua aperitur, fiue deflruitur , ilico femper iii conrpt"ea oc- nac cauae dextrum quoque , eadem ratione, qua il- ^"P^*^* lud imminuitur , dilatatur et augetur. Sanguis enim, cuius magna pars ad hoc vsquc tempus ex vena caua inferiori per finiftrum eius orilicium in fiiium finidrum tranfierat , quemadmodum in fubfequenti- bus , bentuole Ledor , demonftrabo , hoc orificio claufo, omnis incipit per dextrum orificium con- gcri in dextrum finum. Eo efficitur , vt valuula EvSTACHII dextrorfum magis magisque , et arcus A a a 2 contra , 371 PE FORAMINE OVALT. contra , iiiter qucm et valuulam EvSTACHII fan- guuicm tranlire oportet , finiftrorlum vrgcatur , cc \aluuh ergo ab arcu rcmoucatur. Inde porro ea pars lumiuis venac cauae , quae a finilka huius lu- niiiiis partc pcr arcum dextrorlum fecerncbatur , ct quae ad iioc vsque tempus minima et vix tcrtia to- tius luminis pars fuerat , mags magisque increlcit , •vt contra finiUra imminuitur , et , brcui vt dicam , idem ipfe efFicitur cffcdus , acfi arcus ex. loco ,. dextro parieti venae et valnulac EvSTACHII pro- piori , verUis finillrum venac parietcm promouere- tur. J^cnique in iplo adiilti corde arcus fuum lo- cum refpeda luminis vcuae cauae iDferioris adco vsque mutauit , vt cum pariete finiiUo nunc vcnac cauae in vno fere et;demque plano verticali conrtitu- tus, a dcxtro contra paritte et a plano , in quo ille paries ct va'uuia EvSTACHII cft, longillimc rcmo- tus fit ; et orificium dextrum crgo , quod tcrtiam \ix partcm luminis venae cauae in foetu occupaue- rat , totum hoc lumen nunc occupet , eique prorlus aequale fit.. Haec mu- §• '"^* ^gregia hacc nobilium harum partium t:itio, qun-mutatio ideo obftruari ct cognolci facile non potuit, re obfer- qnia eius caufae latucrunt. Sanguis cnim , qui a vari facile f,pi(\ro vcnae cauae orificio rcpuhus , dcxtrum pcr- tueiit. mearc cogiiur , omnts^ue nas nnitationes ct iftcaus producit , a finu dcxtro credtbatur et ab auricula dtxtra per foramen oualc , quod fingulare in fepto finuum foramen cfTct , rcdla in finum finiflmm tranfire , inta(flis et vena caua inft.ritri et cius » quo DE FORAMINE OVALi. 373 quo. in dcxtrum fmum apcritur , oriticio. ProinJc, vt caufac hae incognitae tuere, effeiftus ipfi quoque minus facik obfcruari potucrunt. § 15. Dnm vero arcus co moJo ( §. 13.) aAnnuKis- valuuia EvsTACHir et pariete venae dextro remo- inde , cjm vetur, cumque finillro venae pariete in vnum ver-. ^'"^''^*'" ticale pl.uium redi^itur: crura fimul Iniius arcus , ^"^!, ^:^" • '" quae in foetu ,, in pariete venac dcxtro defcendcre ,git, fimul partimque fub bafi valuulae EvSTACHir definere , produci- et partim in cum limbum, qui bafin hanc in venae*"^' cauae interna facie cingit ,. ipfum continunre vidi- mus , nunc a bafi valuulae EvSTACHir feparantur , et contra limbo , qui bafin valuuiae finus fiiiilhi in cadem intcrna vcnac facic in pariete finifko cingit , adeo rclpondenr, vt vna cum eo perfediim circulum producant , qui annuJus oualis vulgo dicitur , vti cicatrix orificii finifiri ip(a , quae Ibla valunL^ ac-|- creta efiicitur,, fufla ouahs vocari folet» §■. 16. Sed ahr porro^ non mfnus notatu di- Alii porro gni cff.ctus funt , qui ab tojem fanguine , copiofius.^*^"^^^"* e- iiunc ex vena caua iafer uri per orificium dextrum '"^ ^"^^ ' maionslan' m dcxtrum finum irrumpcnte , proJucnntur. Et guinispref- primo quidem extremitay valuulae EvSTACHII po-iionis ino- ft^rior ,, quae pnikriori crnn arcus in tuctu adhae "^ificium rct, avieo lucc^fliuc diftenditur ct abolitur , vt vlti Valuula* nius vahiul.ie finis dtxtcrior et poficrior duas ioEvsr. ab alus corporibus aduUis , in ahis trts vel quatu<*r, et aicu fcpa^ plures in alhs iiiieas , ab iHo crure arcus p( (krion ^''^''•''^"^* A a a 3 remuta,yae. 374 DE FORAMINE OVALT. remota, et in pariete dextro venne cauae infcrloris , cui adliaerct , defmere inueniatur. Huius loco vero in pariete polleriori vcnae cauae inferioris fouea nunc exi/tit , vcl excauatio , haud profunda , quae oblon- gae fiue ouitae figurae eoque modo pofita eft , vt verticcm furfum diredum liabeat , et cminentiori parte finus dextri fupcrius circumdatur. Haec cx- cauatio ergo , inter extremitatcm nunc dcxtram val- vulae EvSTACHII et crus potlerius arcus intcrpo- fita , in hac polteriori regione venam cauuam infe- riorem a finu dextro diftinguit , adeo , vt excauatio ipfi tota ad vcnam , limbus cius fiiperior eminens ad finum iam pertincat. Sic laterc dextro et ante- riori vahiuhi EvSTACHll , finillro latcre arcus , pofterius vero fouca et limbus eam circumdans, ori- ficium venae cauae dcxtrum in adulto efficiunt , venamque a finu diftinguunt ; cum in foetu fola EvSTACHlI valuula vna cum arcu idem efficcret , venamque a finu diftingucrct. Vti caeterum extre- mitate dcxtra vaiuula EvSTACHII paneti vcnac dextro in nduito adhaeret , ita finiftra limbo partim, quo orificium venae coronariae cingitur , vlti- moque fine fuo ipfi cruri ctiam antcriori arcus affigitur. Nullum dubium ergo cft , quin excaua- tio illa in fummo paricte poftcriori venae cauae infcrioris ab eodcm copiofius uddudo ct prcmcnte fanguine pendeat , quo et pofterior extremitas val- vuhic EvSTACHII nbolctur ; ct quin iliud quidcm fiat , priusquam cxtremiias poftcrior vahnilac Ev- STACHII ccftit , quae , quamdiu cxiftit , co mai;is impedicndo hbcrum (iinguiuis adlccnfum , eius pri-i- fioncm DE FOIIAMINE OVALI. 37S fionem in loco , quem fcduJit , adauget ; vti val- vula EvSTACHlI tota , dum oram dextram ct an- teriorcm oriticii, vbi ct latior ct firmior cft, defen- dit , fanguinem eiusque prcflionem maximc vcrius partem poderiorcm ducere videtur , in qua regione pofteriori plurimi ct fere omnes , qui a languine copiofius addudlo dcriuari poflunt , cfFcdus compa- rent. §. 17. Dcniqus quidam etiam cfT^dus funt ,Laceratio qui fntis quidem noti per fe fuerunt , et quorum ^aluule caufa folummodo latuifTe vidctur,quos eidcm maiori 1^^^^^^^'^^^.^^ preflioni fanguinis , copiofius in dextrum orificiura eiusdem. congcfti , attribuerim. Eorum primus ef\ rctiformis valuula EvSTACHII , quam retiformem quidem ab inuentore acceptani , alii quoque naturaliter efTe cre- diderunt. At mihi tamen omnino liaec laccratio ftatus praetcrnaturalis efTe vidctur. Et to magis in hac opinione perfuadeor, cum idcm fenferit PerIL^ LVSTRIS L. B. DE Haller Cuius magni Viri telUmonium , vti in vniucrfa Anatomia, ita impri- mis in illis cafibus maximi ponderis cfTe debet, vbi plurium in pluribus cadaueribus obfcruationum cun- fenfus requiritur. Alter horum efFeilnum , quem primus WlNSLOWVS animaducrtit , ( Aft. Acad. Scient. 1717, 1725») efl fuccefllua totius valuulae EvSTACHII diminutio , qua , prout foramen ouale feu orificium venae cauae finiflrum imminuitur ct clauditur , illa quoque et anguflior et breuior red- ditur, adeo, vt, fi inueniatur in adulto magna Lita ct pcrfeda , lum certe neque orifi-cium venac cauae iini- Q-J6 DE FORAMINE OVALI. finiftrum rl.uilum (it. Qnamuis enim ingenuus Vlr vilis DvVERNEII prafparaiis, ipfe hanc (uaiii ofi- ■nicnem polt hatc rctutaflet ; tamcn in prutri Jdo potius q.iam in pofteriori iudicio rcdlc eum Itnfifle cxiftimo. Vnicum tantummodo monientum iis, quac fagaciUimiis Aiatomicus dixcrnt, addiderim. Nempe, fi ViilJe imminuta in adulto valuula non fuent , et orificium finiftrum venae cauae tamen aperturam nuUam habcat, vt laccrata tum et leticulata eo ii a- gis hnec vahuila fuerit, vel alio moi^o ita dilpofita, Vt (anguini vrgenti minus rcfilbt , eoque ficihus eius vim cludat, c,ueniadmodum cludcre reticulatam, facilc intelligitur. Vt vnum ergo ex his obtinere debeat in corporibus adultis; fic enim meae me ob- feruationt.s docucruni : Vcl parua, angulh et brcuis, imparque refidendi irruenti fanguini erit \ahiulii EvSTACHII , vel fi latior et maior , difruptam tam faitem et laceratairi, vcl dcnique aho modo , quo minus vim languinis lufiincat , dilpofitam 5 at , & nihil eorum , notabilem inter arcum et valuulam finus fiiillri nperturam reli(flam eflTe oporta. Vt- "Vt autem haec lunt ^ vt nimis a nollro fcopo alicna, qunmuis e^o de rci veritatc (atis perlualus (um, ta- men relinquo , et redeo ad primiiriam iilam onfi- ciorum venae cauae infcrioris mu:ationem , qua , quod dc capacitate fua finifUo orificio aufertur, dex- tro additur. Vcnae ca- vae, oiifi- , jg^ y^j ji^ adulto homjne eo tandem vsque cioiumque ._ . , _ ,. • -, • • eius fiatusOfifi^^i"'" dcxtrum auctum ) finiarum imminutum in em ^^^ bryone. DE FORAMINE OVALT. 377 vel delctum, vidimus efle, vt illud totum venae cauae inferioris , vt trunci , lumen abforbcat , hoc , fiue delctum fiuc apertum adhuc , de venae tamen ca- vae lomine nihil quidquam participct , et arcus in eodcm cum pariete venae finiftro plano exiftat;cum in infante recens nato dextrum vnam modo tertiam partem huius luminis venae cauae, et finiftrum duas partes tertias habeat ; ita contra in embryone, circi- ter trimcftri, ftatus cft , ftatui , qui in adulto eft , e diametro oppofitus. Arcus enim , cum valuula EvSTACHII et cum pariete dextro venae cauae prorfus in eodem plano conftitutus , orificium dex- trnm, quod minimum inter arcum et valuulam Ev- STACHII conrinetur , penitus laterale efficit , quod nxin funm reda transuerfim in finum dextrum di- redlum habeat;cum contra orificium finiftrum maxi- mum hoc tempore fit , et , horizontaliter pofitum , omne omnino venae cauae lumen abforbeat , plena- qne fauce in finum finiflrum hier, §. ip. Quod enim PeRILLVSTRIS L. B. DE Breuis ori- HalLER tam pulchre et tanta cum figacitate diui- ficiorum nauit , id ipfum in corculo cmbryonis, tres poUices ^^"^^ ^^- cum dimidio longi , microfcopii beneficio vidi , gt^.^^'"^"»- * ris vt Ift follicite vbertimque perqnifiui , nempe venae cauae habeant in orificium finiftrum , vel vt vulgo vocatur, foramen embryone ouale , fine vUa omnino valuula eflc. Magnus ille *'"''?^':^^" > Vir viderat in foetubus variae aetatis , valuulam '^'^'^'P'*** multo , quam in maturo folct , minorem efle , et non attingere arcum , quem in foctu maturo mul- tum fliperat. Indeque , vt et ex analogia puUi in Tom.XX. Nou.Comm. Bbb ouo 578 DE FORAMIN^E OVALIv ouo, rc(fle fufpicatus eft , fore aliquot tempus , wbi nulla omnit;o valuula exilkrct. ( Elem. PhyfioK Tom. VUI. pag. 375 et 376. ) Aciatem enibryo; nis mei detcrminare non poffum , nifi , \t duobus menfibus miiorem, tribus forte pauio minorem, ac- ftimtm. Longitudine autem erat accuratius menfii- ratus trium pollicum et quatuor linearum. Pinxi ipfe huius embryonis , imprimis corcuH , microfco- pio \ifi , icones plurimas , quas conferuo , doncc , idoneo aliquando fculptore \fus , publici iuris cas faccre pofllm. Orificium finifirum venac cauae in- ferioris magnus in hoc corculo hiatus erat , et ex- fl(ftQ aequalis lumini venae cauae ipfi. Craffo illud Itmbo circumdabatur ex parte pofteriori finifleriori , qui io'parte anteriori et dexteriori in crura arcus et in arcum ipfum continuabatur. Hic Imibus ba- fis eft , ex qua futura vnhuila finus finiftri cnafcitur. Sed efl quoque idcm hic limbus ipfa iila ora iupre- ma venae cauae inftrioris, de qua totics in fupcrio- ribus dixi , ct cui valuula finus finifiri in foctu ma- turo bjfi fua infider. Acqualis autem et glabcrri- mus erat hmbus i(ie , vt nullum in eo vcfligium vahiulac tenuis ipfius vlHus microkopii vi dctcgcrc potucrim. ( Scd hic credo , contra inuifibihiatcm partium \t mc dcfcnJam , haud opus forc. ) Dcui- que totum orificium reda hiabat in finum finillrum ; vti et vena caua inferior cxtcrius icipcdu finuum ita pofita erat , vt vni foli Gnillro finui rcfpondc- rei,. nullnque, ne minima quidcm,fui parte in iatus dextri finus vcrgeret. Omnino crgo vena caua in- ienor hac vitae pcriodo in finum finillrum iulc- litur DE FORAMINE OVALi: 379 ritur, et cum dcxtro finu nonnifi laterali fiio orificio dextro , quod axin trnnsuerrum h:ibct , quodquc in-* t€r valuulam EvsrACHII ec arcum continctur, com- municat. Valuula EvSTACHtl denique fitu non modo , vt dixi , (ed et ipfa figura maxime diffcre- bat a foctus maturi infantisue reccns nati et adulti valuula. Oblonga enim erat eo modo, vt longitudo eius fit inter marginem liberum concauum et bafin ku funduin, vtque hacc longitudo plus quam duplo maior fit latitudine , (eu fpatio , quod intcr margi- nis liberi vnam et alteram exrremitatem intercedit. Sic margo ei conuexus nullus , cuius loco autem duo latcra , quibus partibus vicinis adharebat , et fundus obtufus , quo fimilitcr adhaerebat. Sed margo liber paruus , et nulla , quae dicere poffes , cornua 9 fcu valuulae extremitates. §, 20. Ex his igitur , quae de vario venaeyg,^a ^3^3 cauae inferioris orificiorumquc eius ftatu (ub variisinferior vitae periodii dixi , apparet, venam cauam inferio- P''"^o , . piincipio rem omnino m primo principio, et ad tertium cir f n f]„i(^j.o citer mcnfem vsque, foli finui finiftro infertam effe;finui infe- vt folo laterali orificio cum dextro fiou communi- r i t u r , cct , et paucas forte guttulas tantum fanguinis fui '"'^*^ P<^ft ope dextri huius orificu finui dextro cedat^ longe n^prifem maximam vero et modo non omnem eius portio-fuccedme nem in finum finiftrum effundat, Inde pofl haec ^d dex- paulatim dextro finui refpondcre , in cumque infer- *'"*", ■• . . ' ' ^ nuni traiis- tam cffe incipcre , adco , vt , quo tempore foetus in fgrri inci- lucem proditurus cft , tertia iam fui parta dextro , pit. B b b 2 duabus 380 DE fORAMlNE OVALL; duabus tertiis fiuiftro adbuc refpondeat , ct tertiam igitur fui (hnguinis partem dextro , reiiquam por- tionem finirtro finui tradat ; et in adulto liomine tandem|, tota foli dextro finui inferta , omnem huic fuum finguinem relinquat. Eundcm crgo plane fieri effedum , acfi vena caua inferior , durante \ita ho- minis , ex finu fmidro , cui inferitur , in dextrum transponeretur. (^uod , qua ratione fiat , facile ia- tclligitur. Eo enim tempore , quo vaiuula finus fi- niflri ex limbo oriflcii finiltri , quem §. 19. dixi , enafcitur , quod poll tertium embryonis menfem ticri iudico , hoc orificium angudari quoque per iplam valuulam incipit. Valuula enim ex limbo , cea bafi (ua , obHque verfus arcum adfccndic , adeoque , orificium magis mngisque tegcndo, eius aperturam mi- rorem efficit. Inde crgo maicr fanguinis portio pcr dextrum onficium ire cogitur , orificiumquc hoc dextrum dihunt , et parictem dextrum venae vnluu- lamquc EvSTACHII verfus dextrum finum extendir. t'f' Quando vero valuula finus finifiri eo vsque incre- vit , vt arcum et feptum finuum fupra arcum noa modo attingat , fed arripiat quoque, eique accrctcat, . ! II 1 1 quod in infante rccens nato ficri notum eft ; tum i''"T ■-■•'''■' \aluula, orificium finillrum plane ocdudendo, vnum- que cum arcu parictem conftitutndo , eliicit , vt fanguis nunc omnis inter arcum et vahiulam Ev- STACHir tranfire , valuulamque EvSTACHII cum parietc venae dextro dextrorfum magis , arcum vero cum fepto finuum finiflrorfum fimul difpellere co- gatur , adeo , vt fcptum finuum ia idcm cum paricte rn; .yr,r .il I •?i!£l1 -ioiit DE FORAMINE OVALI. 381 finiftro venae planum redigatur , vnumque cum eo- dem verricalcm parietem conftituar. Quo ipfo ergo tota vena caua inferior in dextrum finum tranfpo- nitur. §. ai. Denique valuulam quoque EVSTACHIlDe Valuu- ex iisdem et imprimis illis obfcruationibus , quas''^ Evsta- §. ip. retuli , p.iulo plenius cogno(cimus. Ea non*^"". ^' . \. ^ *^ , ^ . notatio. in inrantc recens nato , miilto minus in adulto, (cd in embryone trimeftri , fummum fuae perfedionis, gradum attigifTe putari debet. Hac enim vitae periodo proportione reliquarum partium maiori magnitudine gaudet , quam vUo poft iiaec alio tempore , et figuram iingularem oblongam habet, quam §. 19. defcripfi. Ab lioc tempore continuo imminui , imprimis a fundo fuo verfus marginem liberum breuior fieri , infimulque figuram fuam mutare incipit , quae in foctu maturo femilunaris fere iam cft , modo vt latior adliuc fit a margine conuexo ad concauum ; cum in adulto multo pro- portione angudior efle , et faepe merum filamentum quafi femicirculare referre folear. Scilicec , dum circa tertium , quem dixi , embryonis menfcm abfolutum ex margine orificii venae cnuae finiflri , qui hade- nus liber fuit , valunla huius orificii enafcitur, quae omni refpedlu valuulae EvSTACHll contraria efl: , eo ipfo , quod hacc valuula orificium fuum angu- Itare , fanguinemque ex vena caua adfcendentem ma- gis magisquc verfus dextrum orificium et valuulam EvSTACHII compellere incipiat ; hoc orificium dextrum quoquc dilatare, vnluulamque EvSTACHII B b b 3 repri- 38a DE FORAMINE OVALI^- rcprimere , in fpecie marginem eius liberura vcrfus fundum vrgere , adeoque et imminuere , dellrueje-, qne , et figuram eius antiquam oblongam in femi- lunarem paulatim mutare , incipit. Vnde ergo in-i telligis , et qui valuulam finus finiftri valuulac EvSTACHII contrariam efle dixerim , et cur me- rito tempus (ummae pcrfcdionis valuulne EvSTA- CHII in tertium embryonis raenfem ablolutum, quos nempe valuiila finus finiftri ex fuo orificio enafci- tur , poni debeat. Venae ca- §. 2 2. Vitulinum cor confulere adhuc fupereft. vae infe- i^ j-g jpf^ j^q^, cum liumano prorfus conuenit. Vena rn de- *-^"^ infenor, multo hic longior, pracparatuquc indc f^riptio.i €t exploratu facilior , fimilitcr refpcdu finuum adco. pofita eft , ( vid. fig. 6. ) vt cxternc vttique aeque> Tab.VllI.ygj^ vt in aliis vidi , et nunc coram habeo , foli finiftro finui refpondcat , a dextroque omnino re- mota fit , intcrne vero arcum , fiue imum fepti margincm , offcndat, quo lumen venae cauae in duo orificia diuidatur, quorum altero in dextrum, altero in finiftrum finum infcratur. Vt foramcn ergo ouale hic non magis quam in homine quidquam aliud fit, quam orificium finifirum venae cauae inferioris, quo in fuuim finiftriim aperitur , et quod fimili valuula tubulola ornatum fit. Diuerflta- §, 23. Diuerfitates nihilominus maximi mo- tes mter ^^g^jj f\,|it atquc in liis confiftunt. Orificium dex- et ininui- l'"""^ fiblongum quidcm ct transuerfim pofitum , at nnm ve- nou oualc , lcd anguhuum cft , et figuram cxprimir, nam. apcr- DE FORAAIINE OVALL 383 aperturae palpebrarum oculi fcre fimilem («.0 />. ^. );I5uovenae proinde duobus angulis, quorum alter poflerior dcx- ^'^^^.^ '"^^' teriorque (/».)> ^^^^'^ anterior et finilkrior fimul eft ^j^ j,^ y^. ( «. ) , orisque totidem , altera fuperiori ( 0. ), altera tulo veri inferiori C^.)> gaudet. At ora inferior non valuula fi^is rami EvSTACHli , quae nuUa in vitulo datur, fed limbo !^"J' yjjj craflb efficitur , carnofa fubflantia (ndo , quo fimili pig. g. modo , ac vnluula EvSTACHII in iiomine , paries anterior dexteriorque venae cauae inferioris fuperius terminatur. Denique , quod primarium eft , vtiora inferior dextri huius orificii in vitulo aeque ac lio- mine diuerfa eft ab ora inferiori orificii fiuiftri , ita et ip(ii ora fuperior in vitulo alia ac diuerfi dex- tro, aliaque et diuerfa finiftro orificio datur, adeo, vt plane in omnibus fuis partibus aliud orificium fit , quod in dextro , et aliud , quod in finifiro finu pa- tet. Nimirum ora haec fuperior orificii dextri pro- prius in vitulo eminens limbus cft , { 0. ) fimilitcr vt inferior , carnca fubfiantia faclus , fub quo et retro quem , profundius in vena caua , ille denique arcus in confpc^flum venit , quo dixi lumen venac cauae fupcrius in duas partes diuidi , ( x. x. ) et qui in hoc loco vna cum limbo , (]ui bafin valuulae finus finiftri cingit , perfedum orificium rotundum pofierius , fiue finillrum efficit , (j. ) , plane a dex- tro angubto diucrfum , et intra hoc, modo in pla- no , pofterius fito , fimul cum illo, ex finu dextro aperto obfcruabilc ( fig. 5.). Vt breuibus tandem verbis me expediam ; orificium , quoJ in dcxtro finu patet ( w. 0 p. q.)f Don venae cauae luferioris iofius , *. fed 3 84 DE FORAMINE OVALI. fed potius rami orificium eft , quem vena caua in- ferior cdit , et quo medio iiacc vena fe in finum dcxtrum efFundit. Et fimili ferc modo cum res (e habeat cum orificio , fmiftro , quod aeque ac dex- trum , haud fimplex vt in homine , orificium, fed verus , quamuis breuior , ramus eft ; vt paulo poft dicam ; vena caua inferior in vitulo fuperius omnino in duos , licet breucs , tamen veros , ramos diuidi- tur ; quorum altcro illa in dcxtrum , altero in fi- niftrum finum inferitur , et quorum altcr igitur , vti in homine orificia fe habcnt , dcxter , oltcr fi- nifter eft, ( Vidtfis fig. 6. vbi vena caua v. in iv. latefcit , et diuiditur in ramum finiftrum x. j. ct dexcrum z. ). Explicatlo §, 24, Orificium ergo angulatum , quod im- anatomica j^gjjj^te j,, fmum dcxtrum hiat ( fig. 5. «. 0 p. q ) , pnaeno. ..,,. , . ,,. a ^''' rncnorum '"•'"11 iHius dcxtri orificium extremum eft , quo ra- invenaca-mus iftc fiuitur et in finum aperitur, lllud autem va vitulinaQj.jfj(.iuj^ rotundum ( .V. X. y. ) , quod intra hoc cx tum-^^et ^perto finu dextro , atque in ipfa cauitate vennc ca- arcus', e- "vae, confpicitur , quod cx arcu et limbo, qui bnfin tiaiTi inho-valuiilae finus finiftri cingit , componitur, non idcm, niine , in-j^m fiinile, orificium extrcmum cft rami finiftri, fcd terpictatio. .., , , i r ■ . ^ jllud eius iumen , quo ramus ex trunco fuo oriiur, quodque a bafi rnmi efficitur, qua iftc pnrtim trunco infidct , partini cum vicino iuo dcxtro ramo com- pofitus cft. Orificium cxtrcmum vcro huius fini- ftri rami fiue apertura nonnifi quoad minimam par- tcm cx apcrto dextro finu videri poteft (fig. 5. -)i intc- DE FORAMINE OVALI. 385 inrcgrum aiitcm appnret in nperto (Inii finiflro, (fig. 6. t. fi^. 7. (j. jii. r. T. i. ) ct cfHcitur propric ab ipla cx- treiua ora valuulae tubulofae finus finillri, qune huic apcrturac infidet. Sed himcn fimilc rami dcxtri vcnac cauac infcrioris , qnod nempe a bafi huius rami , qua trunco llio partim, venae cauae iiifi-riori, infidct , parrimque cum altcro vicino fuo finiftro ramo cohaeret , elTicitnr , fimiUter apparct , fi vena caua infericir in pariete fuo finifiro inciditur , ea- demque fedione fimul valuula finus finiflri diffeca- tur , qucmadmo.lum ( fi;^. 4. ) has partes ex infaote propolui. Tum cnim idem arcus , qui ex dextro latere vifus in bafin rami finifiri continuat , qua parte hic rrunco infidet , atque hoc modo lumen rami finifiri cfficit , fimili modo in bafin contmuat rami dcxtri , eiubque lumen efficit ; quemadmoduin hacc communis proprietas cuiusuis trunci eft , in duos, quani minime diuergentes, et fere aequales, ra- mos diuiii. Dcniquc etiam , quid arcus ille , ifth- mus VlEVSSENII , in homine non mmus quam iti ■vitulo fit,ex vituhna hac fiiudura clanus intclligitur. Vti enim in quoUbet trunco, in duos ramos, parum di- vergentes, oiuifo, to loco, vbi rami inter fe cohaerent , angukis tfficitur, qui in intcrna cauitate canalis fpeciem arcus retcrt ) himii.i trunci e uiametro opp«'firi, ct quo hoc lun^en trunci in duo luinina, quae nunc kim.na ramorum limt, diuiditur, quemque arcum a^gulwn con- iunSlioi.is diiorum yam>um appellabo; ita pattt, hunc ar- cum , ilihn um VlEVSSENII , ( fig. I. ic fig. 3. X fig 4. y. fi . 5. jv. X. ) nihil aliud efle , quam . Toiii. XX.Nou.Comm. Ccc ipfum 385 DE FORAMINE OVALI. ipfum illum angulum coniuncflionis duorum ramo- rum , in quos vena caua infcrior diuiditur. Duovennc §. 25. Qiiamuis hacc diuifio vcnae cauae in- cauac iiife-^gj.j^j.jg jj^ jy^j ramos etiam in vitulo non adco rioi is rami _ . . , . , in vitulu comparata lit , vt cuiuis , obiter has partcs intuenti, eti.im e^ iiico apparcat , et fponte quafi fe oculis ofLrat; non te iie ap muHis tamen vera ideo efl , nec m.nus manitcQa , M^i^^Vir, dummodo cu-n attentione confideretur. Non folum Fi». (5. t-iiim internc hi raini (e fatis manittrtant , fed ex- terne quoque , dum a parte bafis cordis et in fu- pcrficic policriori vena ciuia ct finus confpiciuntur j euidenter apparct , venam , dum vcrfus vtrumque finum , magis tamcn fempcr verfus finifirum , vcl verfus hunc folum adfccndit , ( fig. 6. v. ) in parte fuperiori primo Litiorcm fieri ( w ) , et dcnique fs fatis difiincfte in hoc parictc poileriori, cum anterior brcuior bafi cordis npplicatur , diuidere in duos ra- mos , quorum dexter longior ( z. ) obliquc dextror- fum ad finum huius lateris adfccndit , eoque ipfum hoc fpatium, quo truncum vcnac a dtxtro finu re- motum cfTc dixi , emetitur , quod ni ficret , facile vides , venae cauac inferioris truncum aut non re- motum a plano verticali finus dcxtri , aut non m- fertum huic finui effe pofle. Vt ipfe hic fitus ve- nae cauae refpedu finuum argumcntum fit ramo- rum , in quos nccclTe ell , vt vena caua diuidatur. Siniflcr ramus brcuior, fed non minus diftinifius efl, ( X. y. ) qui obhquc finiflrorfum in finum finiftrum lc cito immersic et euanclcit. DE FOKAMINE OVALT. 387 §. i6. lam ccrtum cfl: , in humano foetu vel Stmflura in infantc aut rnmos plane nulios, fed fimplicia tan- ^"'^^"'^ ^"" tum onhcia eflc , qiiibus \cna caua in finus mfe- 11^3 jh^. ritur , ;uu , fi ranios \ocare volueris , breuifllmosnratur tamen et vix nifi cx analogia ralcs vocanJos , nifi ex valuulis ipfls EvSTACHII et finus finiflri, quae omnino notabilem lon^itudinem habent , compofitos piitaucris. interini flrud:ura tamcn cordis vitulini , cum hiimana comparata , penitius nobis naturam horum orificiorum flngularumque partium huc per- tineritium explicat atque demonftrat , quam quidem fola humanae flrudlurae confideratio cfiicere potu- ilTct. Si fimphcia tantum orificia funt , vidcmus tamen , cnins gcneris hacc orificia fint. Videmus , fpccicm falicm ramorum eflfe , et nonnifi idco, quod brtues nimiimi fint, vcros non ramos dicendos. Si- mihter arcus ille lUhmus VlEVSSENII ex ccmpa-' ratione flrudurae vitulinae non minus in homine quam in vitulo angukis coniun(flionis efl!e intelligi- tur duorum ramorum , in quos vena caua inferior diuiditur ; quanuiis hi rami brcuiflimi et vix vUi fiiit. Amputa de trunco bifido ramum vtrumque ,. yt nihil practtr bafes ramorum , quibus infedcrant , fuperfit ^ habebis femiannulum , lumini trunci im- pofitum , idemque diuidentem in duo lumina fcu orificia, qui ipfe angulus coniundionis efl: horum ramcri:m nbfciflTorum , licet rami ipfi non exiflant. Atque haec ipfa imago eft flrii qui fui bafi lupremo parieti finiltro ct pofkriori venae cauae, feu pofteriori inferiorique orae orificii fmiftri infider, et toru'» Jibcr e(t , longiHimus ell. Dexcenor fiue fa - perior ( / r, / ) , et finilterior fiue inferior ( 0. v. ) , fibi f.re aequalts ct liberi funt, Figura totius tubi pracrcrea curuata ell , et qur ex bafi fua obliqua adfccndere incipit , orificio fuo extremo ( 5. 6". 7. 9. 10. ) finillrorfurn inclinatus refpicit. Suprema ora par.etis finifiri et pofterioris venae cauae , cui bafi (ua valuula infidet , et ex qua haec continua- tur , etiamfi valuula integra fit , |ob crafiitiem opa- citatemquc, qiin , vt vena tota, etiam eiu? fuprema ora gaudet , et uahiulae contra tcnuitatem pelluci- ditatemque in finu finifirc aperto, dum in aqua fluitat , cgregie perc'pitur et diftinguitur. ( Saepius cit. 0. p. q r. fig 3. h i. h ). Haec venae cauae fuprema ora in finu finifiro non modo non cognita, fed etiam , quantum fcio, nunquam obfcruata , at- tamen ad cognofcendam h.uum partium fabricam et naturam infigniter vtilis , quin nece(firia efi. Ex defcripta valuiilae figura intclligis , nulla ei , vt fe- milunaribus , a quibus toto coelo diffcrt , cornicula tflTe ; fed fi pariercm , quo adha^ret, a parte libera et mobili tubi difiinxeris; latera notare pofils , feu margines , quibus vtrinque pars affixi a Iibera di- ftinguitur {w.) t feu margines partis liberae , quo- rum 39^ P^ FORAMINE OVALI. rum nlter dexterior fuperiorque, alter inferior et fi- nilkrior cH. Ora extrema vcro tubi , \bi libera efle deiinit ( 7. 10 ) , txtremitates aliquas magis produdus , feu Ipeciem aliquam cornicuiorum effi- cit {IV. quod (upcrius., led lamella potius eft, et x^. quod intcrius ert ) i de quilus tamen notandiim, nc- que vcra, quoad figuram, corniculii, neqiie, fiue extre- mitatcs vocauerib , valuulac , led lclius orae exire- mae \el extremitates vcl cornicula ede. P.Ttinetad ^ ^o. Dixi in fuperioribus , maximam val- aanularcs vulac, finus fini(\ri cum venofis valuulis cordis fimi- f. tubulo- litudinem cfie. Haec mihi argumcnta funt : 1) Val- ^^5. -vula finus finUki , vt venolae cordis , tubulofa, vel, quod idcm , annularis efl: , modo vt altero (uo pa- riete proxinio finus paricti adhaer al , cum in ven- triculis cordis valnulae circumquaque libcrae fint. 2) Simili modo toti orificio venue cauae , qno haec in finum finiflrum hiat , bafi ■ fua infidet valuula , fimilique modo orificium (uum fui continuaiione in- vefiit , ac valuulac cordis orificiis venofis , ( quac auricularum quoque orifitia funt , quibus in ventri- culos hiant ) infidtnt, ac fui continuatione orificia vcnofii inueftiunt; et fimili dcnique modo et hnus valuuia ct cordis vnKiulic , iila in finus , hae ia vcntriculorum cauitatcs cxporrtdac tencntur. s) De- nique fnndio qnoque fiiuis ct cordis vaiuulis eadcm ct ecidcm modo peragcnda efl. Dum cnim finu» contradus fmguinem (num comprimit , hic valua- lam , plurima parte 1 licram hirgam ct finitnrfcm, in orificium venac cauae rcprimit , ct compl cat , cociue DE FORAMINE OVALI. 393 eoqiie modo orificium obturat. Idcm valuulis re- nofis in contra(ftione ventriculorum accidere notum clt ; cum contra (emilunares a fanguine rcgrcffuro non complicentur led expandantur , luminaque fuo- rum valorum non obturent fed ocdudant. 4) His adde , quod produdiones orae extremae valuulae fpc- ciem filamentorum referant , quibus haec valuulac ora , vt in venofis cordis , paricti finus alligatur % ne intra venae cauitatcm retrolabi poflit. In vitulo autem plura eiusmodi filamenta, et libera funt, qui- bus ora valuulae parieti finus adneditur ( fig. 6. p. q. r. s. ). Quodfi ergo valuulas vaforum fanguineo- rum duplicis generis, feminulares et annulares, po- fueris ; harum , quod datur , vnico pari tertium cxemplar addere licet , contra tot femilunares, quac imprimis venis adeo frequentes datae funt. mt §. 3f. SagacifTimus WlNSLOWVS , quod fibiDnbk mouebat dubium dc hac vaiuula , cum tanquam W'**^^®' fepti aut foraminis oualis valuulam eam confidera- ^^^^ ^^^ ret, aperiri nempe, contra lcgLS omnium valuularum,vuiam folt- viam fiinguini , dum valuula a fepti , cuius valuula vitur. cfCct , pariete remoueretur, et praecludi contra viam, dum eiJcm fepti parieti applicaretur ; cum reliquae valuulae potius remotae a parietibus fuorum va(b- rum viam occluderent , et applicatae iisdem aperi- rent, quod dubium efFecit , vt munus vahiulae huic inembranae plane abnegaret ; id vnico verbo loluas , quo dicas, non foraminis oualis vtl lepii, fcd finus fi- niUri valuulam effe. Ergo dum contra finus parie- Tom.XX.Nou.Comm. Ddd tcs 394- DE FO.^AMINE OVALI. tes pcllitur t aperit viam ; praccludit , dum ab iis- dem parietibus remouetur ; plane vt venofae cordis \dhiulae , contra parictes ventriculi pulfae ollium aperiunt, ab iisdem remotae claudunt. Cur nort §. 52. Si nunc vera funt , mi Ledor , quae diidiim er.£Je vena caua inferiori , de eius orificiis , impriniis ror de fo- j^ finiflro et dc imaginario foramine ouali dixi ; vali dete- mirabcns procul dubio , qui tamdiu veriras latcre Gi\s nt. potucrir. Sed idem , ni follor , paene de omnibus , Caufa ve- ^^jg mmoris fiue maioris momenti , detedis mirari rnmi is. pQtcfj^^ Primariam tamcn caufam effe arbitror me- thcKlum fecandi , qua ad detegcndum f()ramen oiiale t(I funt ) tuud conuenicntcm , et cognitioni verita- tis mire contrariam. Inciderunt finuni dextrum ex parte dcxtcriori et pofleriori , fedionemque conti- nuarunt fimul pcr venam cauuam inferiorcm ; ( quae brcuiflima praetcrca cum. fit , vix etiam in confide- rationcm venifTe videtur ) adco , vt hanc vna cum finti apcrtnm habuerint. Neque fere ,, fi vnicam , quam poftca dicam , fcftionem excepcris , alitcr fi- nus ad detegendas has partcs , quae in regione eius poficriori exifiunt , apcriri potuit. Si enim , fiuc in dextcriori , vel pof^eriori , fiue in antcriori hoc fiat parte , folus , fine vena caua inferiori , fi- nus aperitur , fiuc etiam fimphci incifione id fiat , fiue rcfccando partem auriculne dextrac ; fcmpcr ta- mcn orificia venae cauae ct didum fbramen ouale et valuuLi EvSTACHII ipfa , nimis profundc fita , ob vmbram , ob impcdimcntum parictum finus et f V ! auri- DE FORAMINE OVALI. ^95 aiiriculiie , ob complicationemque partium obfcruan- darum iplarum uoniiifi oblcure pcrcipi , miiiime accurate oblcruari , nec mauubiis tradari , difponi , examiiiari potcnint. Sola ficcata corda fiicilius liac nictliodo (ccari , fed ob alia incommoda minus vti- litcr adliilieri pofTunt. \'biprimum contra fccflio- iiem in cordc rcceiiti aut molli produxcris plane per brcuiUinuiir), quac infcrius rcftat, venam cauam; omnia iiico obltacula euanefcuiit. Nam parics po- fterior finus nunc vna cum venae paricte rcflcifli potert , quo totus finus dcxter vna cum partibus coiitcntis explanatur , et omnia manifefla euadunr* Quid mirum ergo, fi nemo, nifi in ficcis praepara- tis , aliter fcdionem inlfituit ? \'crum hac ipfa fecflione nunc primariae quoque carum partium , quas nofle intcrtft, deflruuntur , et omnia adeo per- turbantur , vt et , quae integrae conferuantur , ipfae cognofci non pofllnt. Primo enim ilico ori- ficium dcxtrum venac cauac inftrioris , quo in dcx- trum finum aperitur , et quo ab hoc finu diftin- guitur , ncccfTario quidem , dtftruitur. Dtinde vna cum orificio etiam valuuhi EvST^CHII diffecatur , ct cum parietibus venae extra (uum fitum reflcdi- tur. Deniquc , dum orificium dexirum , quo folo cauitas fmus dextri a cauitate venae cauae inferioris diflingui poteft , deftruitur ; in pariete pofleriori ve- nae cauae inferioris, quae aequali fupcrficie, maxime in adultis , in finus parietem continuat, quid ad venam , quid ad finum pertineat , nuHo nunc porro iiSno diflingui potefl. Quid mirum ergo, fi, quem D d d 2 femd 3p inethodo finum dextrum , nifi omnino (emper , ta- men maximam partem apertum efT.' , vcl folis ex iconibus , quas Celebtrrimi Viri fuis, caeierum cgrc- giis , defcriptionibus addiderunt , tuilibet intuenti ap- paret ; quas tamen citare abdmco, ne quid forte contemncre vclle videar Eorum , erga Quos , fiui mortuos , fiue viuos , fumma vineratioue pknus Jum, Metliodiij §. 33. NeceflTe igitur efl , vt Cnus aperiatur apeiiendi ^^jy^ ^^ integia vcna c;uia infcriori ; ergo in parto linuni dca- . . . , . r *utn. ant-rion, quae inter auricuhm ct bafin aortae con- tinetur. Atque vt commoJe hoc fieri poUit , inci- dendus cft paries antcrior vcntriculi dextri cordis vsquc in extrcmum ventriculi apicem. Indc Itifiio furfum continuanda pcr orificium ventriculi vcno- fum €t, \t dixi , iuLcr aunculam ct aortam pcr totum DE FORAMINE OVALI. 397 torum porro finiis parietem anteriorem vsquc ia ircnJin cauuam fuperiorcm. Tuni parics veuiriculi dextri antcrior vna cum paricte aiucnoii fiiius et cum auricula dcxtrorfum rcfl.djtur. (^uo fac^o, tota finus cauitas vna cum oriticio dextro veiue cauae inferioris et valuula EvSTACHII inteyris in coa- ipcAum venit ; fimulque intra cauitatcm venae , in pariete eius finifiro apparet oriticiiim finiflrum, fiuc apertum , fi foetus, fiue cicatrifatum , fi aduiti cor fuerit, quod fecaucris. Cacterum EvSTACHlO sCi' UUm fuifle hanc fet^ionem ex eius labuli^ apparct. DE MOTV SANGVINIS IN FOETV. §. 34. Ex hac firudura cognita virumquc ,Singuis er et , qui verus motus fanguinis in foetu fit, intelli- ^'^"^/■•"* gitur , et fieri mmimc pofle , vt (aoguis, qui femel t,.3„(5j j„ in finum dextrum intrauit , inde rurfus in finiftrum finum v- tranfeat , vt hodie facile omnes communi ore afHr-tiumcjue; mant. Vena caua inferior duobus orificiis, altero /^ * /• •/! . »n vtrutn- in finum dextium , altero in nnmrum apentur ^queventri"' neque, quod ab orifirio cius fininro diuerfum efllet , culum. foramen aliud vllum datur. Ergo fanguis ex vena caua infcriori recfla partim in dextruin finum pec orificium cius dextrum , partim in fiiiiftrum adfcen- dit per orificium finiftrum. Et inde porro , ( nam fane per hacc cadem orificia iteriim retrogredi fan- guis non potefl ! ) ex fino dextro rccfla in veniri- cuhim dcxrrum , ex fiiiiftro in finiftrum progredi- tur. Ita paucis verbis B L. vidcs rem planam et D d d 3 fim- 398 DE FORAMINE OVAU. fimpHcem exhauftam, de qua tantum olim difputa- tum fuit > et quam hodie quoquc tam miro et in- credibili modo explicant. Nequc tamen minus vfum inde refultare pro tottu eundcm , quem de foraminc iti fepto fperauerant , facile paiet. Nam idem ipfe fanguis, qui ptr foraman in fepio a vcntriculo dcx- tro et a puln onibus aucrti putatur , per onficium finiftrum venae cauae infv^rioris in hac vena iam ab iisdcm pnrtibus, a vei^triculo cordis dexiro ncmpe et a pulmonibus , aueititur. Neque §. 35- Scd non minus clarum etiam eft , Hm- poted ex guinem , qui femel in finum otxirum intrauit, fiue eMin mu^^ ^^^^ fnperiori , l)ue tx intcriori co pciuc- in liniiirum n • ' r tranfjre. nerit , nullo modo inde lurlum per oriiiciun\ \cnae caune inferioris finiArum lcu foraiTicn cui.k in fmum finifhum venire pofTc. Nectffe tnim tflcr, \t fupcr valuulam EvSTACHII non n.odo , (ed ctiam fuper orificium dextruiTi vcnac cauae infLrioris fupcrquc huius vcnae himcn tranfiret, priu^quam finitlrum orificium attingerc poflet. Miruin ergo cfTctjni po- tius in orificium dcxtrum iplum , vel proprio pon- dere adus, et in venam cauam infcriorem elaberetur. Idem aliis • §. ^6, Fingc autcm , valuulam EvSTACHU argumentisf^fjs latam cfie , vt orificium dcxtrum vcnae cauae piubatur. . ^ . . , , ,- , n- ^ mfcrions tcgere , adcnque dcfendere pofiit , quo mi- inis fanguis e rcgione auricuiae advcnicns , in ori- ficium hcc defccndnt. Finge , quod fieri nunquam poteft , valuulam Evstachii orificium dextrum cc- cludcre DE FORAMINE OVALT. 399 cludere pnHI; , Tiluo orificio finiflro, ad quod nulliis, nif» pcr ipfuin illuJ dcxtrum oriricium ex auricula et finu dcxtro aditus patet ; tamcn nullo modo fan- guis ex linu dextro pcr hoc orificium in fmillriim \cnire potcfl. Necefle euim eft ^ vt efFugiat per hoc oriticium faiiiJuis ipfa auriculae et finus dextri vi pullus; ergo tcmpore ryftolis. Sed eodem hoc temporc etiam finus fiiiilkr m rvRoIe efi , et lan- guine , qucm coinprimit , quemquc expelkre cona- tur , replctus. Nihil vltro crgo recipere poteft. Omitto, quod codem hoc temporis momento valuula finus finifiri , ab vrgente fanguine finus finifiri ad feptum compulfa, oriticiuin finifirum claudat , et aeque minus quidqunm intrare ac exire finat. Ncc quidquain huc facere vides, quod dicunt, finum dex- trum maiorem efle finiflroy adeoque vi vincere. Quando enim proprio» fua fanguine finifter repletus eft , niliil' vltro recipere poteft r fiire maior fiue mi- nor fuerit dexter , qui fanguinem fuum in illuni intrudcre conatur. Omitto hic rurfum , quod vires Cnuum non ab eorum capncitate, fed a robore fibra- riim pendeant , quibus gaudent , et quae in dextro non vahdiorcs , quam in finiftro funt, ^' 37. Sed id velim, hic ante omnfa notesr non TranfTtumi ideo, quod nullum foramen communicatorium detur in- fanguims ter vtrumquc fiiiumy quodque hoc putatum foramen ^j^^^^yi^ J|" orificium potius fit venaecauae, intcr venam hanc et fi ,um im- num finiftrum, non inter finum finiftrtim et dcxtrum ^'"''bilera conccntum; non ideo dico, fieri uon poflTc, vt (iinguis ex^'^° ,f^" ' , monlha- dextro 400 DE FORAMINE OVALI. tur;etiamfidextro finu in finirtrum vel ex finifiro in dextmm forameiiin jj.^j^j^jjt . fe^j hoc omnino impoflibile efle , etiamli P'" "P'tuium feptiim nonnifi vnum magniim foramen eflet. Nam , vc demonftrationem gencralem exhibeamus , vel fyltoles , vel diaftoles tempore tranfitus ianguinis ex vno in alterum finum fieri debebit. At neutrum horum fieri potcft. Syftole enim vcerque Cnuspro- prio fuo fimguine plcnus eft , quem ipfum potius cxpeliere conatur et expellit in patentes ventriculoi cordis. Kiliil ergo vltro alter ab altero lioc qui- dem tempore recipere poteft , ctiamfi aditus effent , quoscunque , quotcunque pofucris. Diaftole autem , vcl poft iyftolen finitam, vterque finus fanguine va- cuus cft , vel tamen non totam fuam cauitatem re- pletam habet. Recipit ergo potius , quam vt cx- pelleret, hoc quidem tempore, finus vterque , "vndc- cunque adueucrit, fanguincm omnem alienum. Non potcft ergo eodem hoc tempore fuum , quem non tangit , qucm non vrgct , expellere. Idctn alils §. 38. Confidcra porro , quod, quo tcmpore argumcn- finus vtcrquc languincm fuum exptllere poflit , fi- tis adhuc qujjem locus , Quorfum pcUcret , vacuus exftaret , magis con-^ . , „ I r r • fcmatur. f"niirum temporc (yltoles fuiuum , onficia \entri- culorum cordis venoCa , quac toto fipto finuum cir- cumferentia ctrte maiora lunt , late patcant , vcn- triculosque cordis offcrant magnos et vacuos , in quos fanguis illaberetur , quando nulla vi extcrna ageretur , et videfis nn ficn poflit , ncc ne ? vt flm- guis ex vtrouis finu non in late patcntem , qui fibi rclpoD- DE FORAMINE OVALI. 401 rcfpondet , ct viicuum vcntriculum cordis , fed in ahcrum finum tranfeat , qui iple fanguine iam ple- nus cil , ei ip(e hunc fuum (anguinem potius expel- lere con.uur. Hoc ergo , hoc illud e(t taiidcm, mi Ledor , cjuod non poffum non reprehendere paulu- lum Anatomicos et Phyfiologos, quod non viderint, quod adeo planum et adeo inanifeilum ell. §. 39« Vnum adhuc eft , quod notari velim ^j^^" "'^ quod ideam huius rei et clariorem et vtiliorem „'", "'* ' partium efficiet , caufam nempe , cur fieri non poflit, vt cxmotus fan- vno in alterugn finum (iinguis tranfeat, brcuibus verbisguinis, ita cxpreiTam. Ea , vt facile ex demonftratione §. 37. ^/ '"°.'^" vides , nulla alia e(t , quam fimultanea vtriusque ^l^^,^^,.^ finus fyftole , fimukaneaque rur(um eiusdem dia- partium ftole, et vno verbo: Synchronus finuum motus. Hincq^'"'^]'^'' porro fequitur: Quaecunque generatim vafa pulfan- ^°"'S' P°*^* tia ( (c contrahentia alternatim et dilatantia , qualia funt ventriculi cordis , finus vterque cum auriculis, \enae cauac et pulmonales ) eodem lempore in fy- ftole et rurfum in diaflole (unt, eorum nullo modo pofTe vnum quidquam fanguinis fui expellere in al- terum. Nam femper quoduis eorum , quamdiu in fyflole funt , proprio fuo (anguine plenum , nihil cx altcro recipere poterit, quamdiu in diaflole funt, locum adhuc vacuum in fe habcbit , alienumque poruis fanguinem recipiet, et nihil ergo in alterum cxpcllcre poterit. Quoduis ergo eorum in fyflole nihil de altero recipere, in diafloJe nihil in alterum expellere poterir. Si v. gr. feptum cordis perfora- Tofn. XX.Nou.Comm. Eee tum 404 DE FORAMINE OVaLT. tiim e^ineret , requidquam ideo nmguinis ex vndin nltcrum ventriculum tranfiret. Et /i igitiir per ori' /niu'/i venae cauae inferioris , quod foranicn ouale di- citnr , fnnguis in finum finijhum i-enit ^ ex vena caua inferiori eum venire oportet ^ quae , dum ille in fyllole eft , diaftolcn fubit , et fyftolcn , dum ille in dia- ftole ert , non ex viciiio ahero fynchrouo Jinu ; et orificium ad 'venam , non ad feptum finuum , pertinere ' oportet ; quemadmdum pura , nullis viixta ratioci- niis , anatomia docuerat.. Reoitur ad §. 4.0. Non ergo ex dextro in riniflrum , vt hiftoiiain j-jQ(ji£. omnium, et plerorumque po(l m.ignum Har- motub iaiv , '. . ^ . ' /- wi • I guinis /eri. VAEYM (empcr opinio fuit ; non ex fmiltro in dex- trum , quod. CeleberrimO' MeryO fuo placcb.Tt tem- pore ; non denique ex vtroquc in vtrumque finum , ^ quam vencrabilis WlNSLOWVS propofuit fententiam, ninguis tranfire poteft. Et plane ergo nullum vfum pro foetu habere poflet foramen , quod in fepto finuum exiftcret. Quod ergo foramen , cum neque fit , neque eo , quo dicunt , modo efle poffit , mit-* tnmus , et redeainus ad fimpliciorem , quam ana'* tomia docuit , viam , legibusquc naturae magis con-* fentaneam ; qua fanguis , ex vena in finus , ex fi- nubus in ventriculos cordis rcda progrcditur; et qua fola tamcn defideratus pro foetu vfus obtinctur , vc fanguinis aliqua certa portio a vcntriculo cordis dcxtro et a pulmonibus', nondum cxplicatis , auer- tatur , et immediatc ad vcntriculum finiftrum re-* ducatur. §. '41. DE FOKAMINE OVALTi 403 §. 41. Vidimus ergo { §. 34.. ), eius fanguinis,Qyae por. qui per vcnam cauam inferiorem adducitur, aliquam*^'.'* 1!^"'' ' . .,,.,. ^ ^ . "'s III fuetu portioncm ire pcr orificium nuius \enac finiftrum 10^ corde iinum lininrum, aliam autem per dcxtrum orificium de.xtro et venire in dexcrum finum. llla igitur ea portioP"''"^'"' faiit:uinis eft , quae ventriculum cordis dtxtrum , "^ ^"^^"* \niK}ue cum co pulmoncs nondum cxplicatos foctus euitat , ct il!i«i intadis , dum ex finu funnro redla in \entricnhim finil^rum progrediiur , ventriculo liuic et aortac redJitur; quo denuo per totum cor- pus produci polfit. Haec autem (anguinis portio , quae per orificium dextrum \enac caunc inferioris in fuuim dextrum \cnit , ibi colligitur cum eo fan- guine , qui per \enam cauam fuperiorem ex capite et brachiis aduenit. De hoc nunc fanguine , femel in finu dextro atque in eius auricula contcnto , vt dixi , ne guttula quidem in finum finifirum venit , fed omnis redla in ventricuhim dcxtrum cordis tran- fit , Mucc porro pcr artcriam pulmonalem partim aortae , partim pulmonibus traditur. §. 4:, Cum iam ( §. §. 13. 18. 19- 20. ) Haec por- vidimus , qua ratione orificia \enae cauae infcrioris, V" ^ *^"'^ , r n •• • . r ■ '^"tto et dextrum et uniUrnm , \arus \itae pcriodis \ariani ^„1^0111- ' intcr (e proportiontm obtineant ; \t in en bryoni. bus abdu-' trimeftri haec \ena toto luo lumine (e tffur.dat in "^^ ^ P"- finum firifirum , et minori , eoque latcrah cfiioT''^ '""^ ' ' ' ttmpon- tantum , aptriatur in finum dixtrum ; \t ab hcc bus immi- dcinde tempore \ahiula , crificio finifiro dum inna- inii incipit, fcitur , hoc crificium paulatim anguftet , eoque dex ^' '^"'^*' . * T- 'T"o immi' •' Eee a trum ^^itu^^ 40i. DE FORAMINE OVALT. trum aperlat magis et diUuct ; vt in fbctu maturo tamen oiificium dcxrruin nonnifi tertiam tantum circiter partem totius luminis vcnae cauae ablor- bcat , duas autem tertias fcre partes adliucdum fmi- ftro orificio cedat j vt in infante nato demum citiug orificium dcxtrum cum dtcremcnto finilki incrcTcat, et in adulto , daufo pcnitus orificio finiflro , tota denique vena caua inferior in orificum dextrum abeat i cum haec inquam fieri \idimusj patet , por- tionem , quae de fanguine , per -venam cauam in- feriorem addudo, in finum finiftrum, indcquc por- ro in ventriculum cordis finilUum abfcedit, ct cam, quae per dextrnm finum in dextrum cordis vcntri- culum vcnit , ita fub \ariis \itae periodis inter fc Tariare , vt in foetu trinieflri modo non omnis Ttnae cauae inferioris finguis in finifiras cordis par- tes , et paucae forte tanium guttulae per oftolum laterale dextrum vna cum fanguine capitis et brachio- rum , per venam cauam fuperiorem addi^do , ia dextras tranfire videantur i vt deinde, imminuta con- tinuo pauhuim portione pro finidris deflinata, conti- nuo augeatur , quae pro dcxtris cum fanguine vcnae cauae (uperioris coniungitur ^ doncc in foetu maturo tandcm tcnia circitcr pars (ancjuinis \enae cauae in- ferioris cum fangninc (upcrioris ad dextra abeat , et duae teniac pro finif^ris naieant; et in infante aU- quot annorum , vt in adulto, dcnique omnis vcnae cau.ic infcrioris fanguis , coniundus cum fanguinc venae cauae (uperioris, lolis dcxtrii, finui et vcntri- culo , tradatur. $. 43. DE FORAMINE OVALL 405 §. 43. Vtl vcro de eo fanguinc , qiii in ven- Duc^im ar- triculuin dcxrrum venit, iterum portio pcr dudnm *°'^'"'.' "^. arteriolum IJOTALLI abltrahitur, et quod hinc lu- ,ii,tio,icn, percft , pulnonibus denique traditur ^ vti , quaiitum effLctus. ex compjratioiic embryoiiis niei , quem iii icones tranfpofui , cum corde infantis , paulo poft partum mortui , vidco , dudus ille artcriolus non moJo non augctur , ncc eandem proportionem cum reliquis partibus cordis coiifcruat , fed manifefto potius pro- portione caeterarum partium fucceflu temporis lu- mine imminuitur; patet , liunc dttdtum arteriofum adeo cum orificiis venae cauae inferioris confpirare , vt , quem effcdum haec primo pro ventriculo dex- tro , deinde et pro pulmonibus producunt , augendo continuo fanguinem , has partes tranfiturum , eum du(ftus adhuc continuo , fed pro folis pulmonibus , augcat. In embryone trimeftri folus fere venae ca- vao (upcrioris finguis in ventriculum dextrum ve- niti vix quidquam ex vena caua infenori Atquo de hoc ventriculi fanguine phirima pars abfcedit pec du(fluin arteriolum in aortain, et minima in puhno- nes peruenit. Deinde , vt continuo plus (iinguinis ex vena caua inferiori fanguini (uperioris additur, atqne quantitas ergo fan^uinis pro vcntrtculo dextro continuo augetur ^ ita de hac quantitatc , continuo au(5ta , continuo m nor portio per du(flum abdrahi- tur, et maior puhiio iibus traditur Et dum fimpU- citer augetur fjn-;uis pro finu et vcntriculo dcxtro , dUf lici ratioi.e augctur ille , qui pro pulmoiiibus coufcruatur j doncc tandem , dum > claulo orificio £ e c 3 veuae 4o6 r)E FORAMINE OVAU. venac cauae inferioris fininro , omnis plane huius venae fanguis cum fanguinae fupcrioris cuniundus finui et ventriculo dextro datur ; obturato fimul penitus dudu arteriofo, integra quoquc haec ningiii- nis quantitas pulmonibus traditur. Qni niinimi ia illo embryone non modo fed folidi quoque et mi- nori vaforum copia praediti cum Cnt j dtindc et increfcunt magnitudine fimul ct rariorcs fiunt, dum copia \aforum in iis augetur. Sic pulmones noa modo in foetu iam paulatim explicantur , et ad futuram rerpirationcm pracparantur , (ed ventriculus quoque et finus dcxter fimul dilatantur et apti red- duntur , quo omnem , a toto corpore rcdeuntem, fanguinem caperc et per rarillimos tunc pulmones refpirationis ope transmittere poflint. Ex compara» tione caeterum , quam dixi , cmbryonis cum intante vix nato , de dudu arteriofo talia vidi. Qui dudus in foetu maturo , vel infante nato , dimidio minor _ effe folet lumine quam truncus arteriae pulmonalis, et trium vel quatuor linearum longus , is breuifli- mus in embryone, fed vix minor lumine, quam ipfe diilus truncus pulmonalis ; vt dicas potius , trun- cum hunc ipfum , dato cxiguo vtrinquc ramulo ad pulmones , in aortam abire. Aliiis du- §. 44.. Praeter cum, qucm dixi, ctiam alium aus ate- pcculiarcm v(um cfTe dudus artcriofi exitUmo , quo ^ fcilicet cum orificio finidro vtnac cauae infcrioris et ca ratione collineat, vt , fi quid in ahcrutro co- rum acciderit praeicr naturam , quoniinus (anguis in DE FORAiMINE OVALr. 407 in fiifricicnte qiuntitate transmitti polTit ; id repen* fetiir ab alccro. Qiiiim cnim foctiis adutum mo- rirctur , quamprimum pcculiaris haec via intercipc- retur , qua fanguis , intaclis pulmonibus ad aortam reducitur,* cautum cft , ne id fiat , duplici \ia in- llituta , quarum fi altera inutilis quocunque modo ficrct , altera tamen traducendo faiiguini fufHceret. §. 45. Haec funt , quae obfcruatieram. Pau- cifTmiis tamen nunc refpiciamus ad primas illas meas de foramine ouaii cogitationes , quas ad fecun- dum Iniius diffcrtationis paragr. fcripfi : reperiri fi- mile fimpkx foramen, quo duo vafa fanguinea inter fe communicarent, nusquam in toto corpore huma- no vel animali ,• et efTc igitur illud vnicum in fuo generc , cuiusmoJi vnicis tamen In fuo genere natura vti non folear ;,; fanguinem vero ambulare per ambagcs , dum ex dextro' finu in: finiftrum' tranfeat. Neutrum fane horum de orificio' fini' Jiro venae cauae iuferioris , quale in corpore foetus exiflit , dici poieft. Sinifirum hqc orificium , vti dextrum , venae cauae inferioris orificium eft , vti innumera arteriarum cr venarum orificia dantur. Et fanguis redla ex vena in finum , ex; finu vero in ventriculum cordis tranfit. Hoc contra genera- lem venarum legem efl: , quod more itrteriarum ia duo orificia, vel , vt in vitulo , in duos ramos di- vidatur , qnae fimplex iam erat, vena caua inferior. Sed excmpla tnmcn dantur fimilis vcnarum diuifio-' nis j ct vidcmus , nc dicam de copiofiffimis fubcu- tanea- 4oS DE FORAMINE OVALI. taocarum diuaricationibus , in foetu venam vmbili- calem , in adulto venam portarum , in plurimos in- tra hepar ramos diuifas efle. Hoc autem de mira* bili foramitie oiiali praedicari non poteft. • EXPLICATIO TABVLARVM. Tab. VII. Cor infantis paulo poft partum mortui. Fig. I. Sinus dcxter , vna cum ventriculo dcxtro »- pcrtus , incifione ab apicc ventrlculi prope fcptum furrum duda , et per orificium venofiim ventriculi , interque aortam et auriculam pcr finum , vsque in vcnam cauam fiiperiorem continuata. Simul artcria pulmonalis cum dudu artcriofo longitudinaliter in- cifa et aperta eft. J. Vcntriculi finiflri , integri , pars. B. C. D. Ventriculus dtxter, vel anterior, apertus. B. C. Pars parietis anterioris ventriculi dcxrri , a qua rclcdlus reliquus parics ( C. D. ) fini- ftrorfum reflcxa. C. Apex ventriculi dcxtri. C. jD. Parics anterior ventriculi dcxtri , rcfcdus a parte { B. C. ) eiquc ergo rcfpondens. D. E. Pars parietis , quac refpondet bafi arteriae pulmonalis (^L.L.)i ab caquc rclcd.i cft. E.F.G.H K. DE FORAMINE OVALI. 409 E. F. G. H. K. Sinus dcxtcr apertus. E. F. P.irs parictis anterioris liiius dcxtri , refeda a partc ( H. K.) F. G. Pars quae relpondet parti (G. H.) G Finis fedionis in vcna caua luperiori. G. H. Farietis anterioris pars fuperior , finiftror- fum reOexa , rcfpondens ipfi { G. F. ) H.K. Paries anterior (inus, finillrorlum reflcxus , cui refpondct ( E. F. ) /. Apex corJis. L. L. Bafis arteriae pulmonalis pars anterior, qun parieti vcntriculi inlidct , refcda ab hoc pa- riete ( D. £. ) A-1. Seclio craflae columnae carneae refpouden* loco ( E. ) N. Columna carnea , qnae in M feda. O. O. 0 O. Scptum cordis , falciculis carneis , ob- fcurius d,(t.n(5lis, facta. P. Vcntriculi apex,fibris irregularibus, haud pul- chre rciiculatis et intertextis, repletus. Q. Papilla , qnam dico antcriorein. Condans efl: , et oritur duabus vel tribus radicibus ex an- gulo inter parictcm ventriculi et feptum an- tcriori , ad l )cum ( R. ), inferiturquc fnis fi- lamcntis in intcrditium inter valuulam ante- riorcin ( d. ) ct poiteriorcm [c ) R. Lociis , vbi papilla anterior ( .Q, ) rcfcvf^a. 6". T. Uu.ie papillae , quas foftcriores dico, fi duac funt. Saepe vna ( iS". ) tantiim cll. Oriun- TLin.XX.Nou.Comm. htf tur 410 DE FORAMINE OVALI. tur ex angiilo inter parietem ventrlcnli ct (cptum poneriori, ct inCcruntiir filamcntis fuis iii interftitium intcr valuulam poftcriorem (^. ) ec (epti valuulain ( m. ) V. Duae ratiices papillae ( i^ ), rcfcdje aloco(/?.) W. FibriUa carnca , qua papilla {S.) cum co- lumna parictis ( b. ) coniungitur. X. Fibra , qua papilla {S.) et ( T. ) coniun- guntur. ( T. ) fepto adhaeret. T. Kadices , quibus papill.i [S.) fepto aJneditur. Z. Radix , qua eadcm parieti adhaeret. a, Pjpillula parua , quam fitperiomn dico , quae nonnunquam tamcn minima aiit mcrum fila- mentum eft. Oritur ex fupcriori partc fcpti, cui infidet ; inferitur filamentis (uis in inter- ftitium inter valuulam iepti (/. ) ct anterio' rem ( fla , furfumquc du(fla inter arteriam pulmonalem et auricnl.un finiltram et per orificium veno!um ventriculi in funim fuiiflrum vsque. Sinus iple transuerfaliter fimul incifus eft. Quibus fadlis , pa- ries poflerior ventriculi , vna cum auricula finiltra et tfpariete pofleriori fuuis dextrorfum reflccflitur. Haec fc(ftio conuenit , vbi figuram et ftrucluram valuulae finus finifiri examinare volueris. Ad totum finum obfcruaiidum altera praeferenda efl , qua in integro corde pnries finus poflerior vna cum venis pulmonalibus refecatur. Obferuatio fafla corde in aqua fubmerfo, A. B. Pars parietis finifiri et ponerloris ventriculi, a qua reliquus paries ( B. C, ) refcdus. B. Apex ventriculi incifus ipfe. C. B. L. Paries vcntriculi , qui nempe porterior et finifter efi , refccflus a parte { A- B. ) et reflexus dcxtrorfum. D. Septum , quod craflum durum conuexum efl:. E. et F. Papillac,quas dico anteriorcs fiuc fmiftra^. Conuexae funt inter fe et triplices quoquc non- nun- 4i5 DE FORAMINE OVALT. nunqiiam inucniuntur. Inhaerent nutcm hitcri Hnillro pnrictis , prype angnium, qucm paries cum (epto inclndit , antcriorcm; oriiintnr lon- gis radicibns , inferiori rcticulatae parti p.uie- tis intertextis , [G.H.l.) et inkruntur fila- mentis ( f. g. Z. ) in interliitium finilirum valuuliie anterioris ( X. ) ct pofterions ( T. ) ct in partcs finiflras anibarum valiiularum ipfiis. G, K. /. Radices harnm papillarnm , fcu fibrac quae cum fibris fcpti ( R. R. R. ) et cnm fi- bris papiliarum ( M. N. ) tcxtum reticubrcin ( r ) clhciunt, /i. Aliac tenniores fibrae, quibus p.ipillac (E. F.) cum pdpillis [M.N.) conncdluntur. L. Parics hic vacuus. M. et N. Papiliae , quas dico pojleriorei fiue dex- tras, Coniiexae (init, (Id ctiam (eparjta? vic!i. Ori>intur ex tcxtu reticulari ( V. ) prope an- gnluir, qucm parics cuni (Lpto iiiclndir, dcx- trum (lu pnfieriorcm ; ct infcrnnttir fiian en- tis (uii {a. ct e.) in intcrliitinm dcxtrum intir vahinl.im anteriortm ( A'. ) ct pollcrio- rem ( '/' ) ct in p.irtes dcxtras harum val- vularuiii iplas. O. P Q^ P.ipillic , qua? dico medias fubhnier Sunt tcrc in vnam commixtac. Oriuntnr cx n^ie- dio pirictc , paulo intcrins , et inicruntnr fi- lam.cntis ( ^. ct Fig. 6. Idcm vterque Sinus cordis vitulini a partc pofleriori. a.b.c.d»e.f.g.h.u Sinus finidcr , diffcdo orificio venofo ventriculi apertus , pariete pofteriori refecfto. a Paries anterior. b. Superior. c, Vcna pulmonalis dextra fuperior, d. Siniflrii fupcrior. e. Media. /. Inferior. g. Pars ori- ficii venofi cordis anterior , in hoinine fupe- rior. b, Pars eiusdem orificii porterior , iii homine inferior. /. /. Particuld parietis finus potkrioris rcfiexa. k. Orificium auriculae finiflrae. /. /. /. m. m. n. 0. p. q. r. s. t. Valuula finus finiftri feu foraminis oualis , quac tamen orificium fere iam concretum habet , vt in plerisque venalibus elTe folet. Hinc aliam plane quam in foctu naturam habet. CrafHi , contrada » dura , rubicunda , nodulofa. 7. /. /. Bafis valuulae. Hanc bafin impreflio cir- culatis dcnotat , quafi venac cauae ramus fi- nitkr {x.y.)y cuius continuatio valuula eft , parictcm finus ( i. i. ) perforaret. wz. m. Pars poftc::or valuulae latior , mollior, ru- bicunda. H h h & fik 42S DE FORAMINE OVALI. n. P rs anterior , feu media tota nodulofa albida. e. Noduli , quibus pars anterior termiuatur. p, Filamentum , quo valuula parieti finus adnedi- tur , ex parte molliori ( m. ) q. Aliud filamentum ex parte duriori ( «. ) r.r. Duo tenuiffima filamenta. Sed haec non ia omnibus fubiedis inueni. s. Aliud filamentum. H:iec filamenta fimilia filamentis valuularum annularium cordis. t. Orificium valuulae anguitum. c. Vcna caua infcrior , ita adfcendens , vt multo plus fiiiiftro , quam dextro finui relpondeat , illique potius , quam huic , fc infertura effc videatur, ey'. Hic vena caua latcfcit, vt folet vas , quod fe diuifurum efl in duos ramos. X. y. Ramus venae cauae finifter, quo fe in fbetu aperit in finum finifirum. Tubus ille cuta- neus i qui valuukm refert , continuatio rami cft , eiusque orificium cxtremum fimul rami extremum orificium refert , quo denique fon- guis in finum finirtrum vcnit. S. Ramus dexter venae cauae inferioris , quo in finum dextrum hiat. 1. Haec fupetior rami pars minus cuidenter iti nonnullis a pariete finus dextri diftin(fia eft. In aliis vt bulla , et tenuior , quam paries finus dextri cft, apparet. Et cadem deniquc pars eft, quac in cauitate finus dextri (fig. 5, "p. ) apparct, Er^o fupcrficies exterua parietis f oflc- r DE FORAMINE OVALI. 429 pofterioris rami dcxtri , vt illa ( fig. 5. iv. ) fiipcrficies eiusdem interna erat, 2. Pars parieiis poflcrioris finus finiflri. 3. Locus , vbi fcptum dcxtriim finum a finilTfO diftinguit. 4^ Locus , \bi Cqus etiam externe fepaiati funf, 5. Vena caua fuperior. ^,u LYCHNI- LYCHNI - C\ CVBALVS : NO\^VM PLAJMTAE HYBRIDAE GENVS. Aiidore i. T. KOELKEVTER, Cum io cxpcrimentis, plantarum hybriJarum pro- crcanjaruiii caufa capiendis , aliquando verfarer, in mcntem mihi venit , rem fbre rariliimam , om-' nique dignam attcntione, fi contingerct mihi, vt ex coniundione plantae cuiusdam djoicae cum hcrma- phrodita vel eiusdem , vel diuerfi generis numero- que partium frudificationis ab ifta difcrepante , no- vam procreare poflem prolem hybridam. Optionem itaque feci Lychn:dis dioicae , de qua mihi conita- bat , cum plurimis aliis prolixa afHnitate efle con- ianciam , ct eccc ! pofl pcrmultos irritos ac fruftra repetitos conatus , quorum confignationcm diflTerta- tationi huic inferius adiungam , aufpicata Lychnidis dioicae $ et Cucubali vilcofi 5. d. 5. lul. Flos.-x. d. 12. Foecundatio \cl fpuria , vcl adhuc dubia. Semina mcduUofa , ac Silen. gigant inllar marginibus acutis praedita. Vid. Exp inuerf. iV." 1 i i a Exp. ^^6 LYCHNI - CVC\ BALVS Exp. vn, Silene nodifl. ?. Silene Behen. cf. An. 17^5- d. 13« lul- F^os. i. d. 15. ■ Foecundaiio fpuria. Exp. VIIL Silenc noidatio fpuria. Vid. Exp. inuerf. XVIL Exp. XIV, Cucubal, tatar. ?. Silene Armeria. cf. An. 1765, d. 13. lul. Flor, 5. Sterilitas fumma. ii 3 Exp. 438 LYCHMI - CVCVBALVS Exp. XV. Silone giganr. ?. Cucubal. Behen. cf. An. i7<55. d. 8. IliI. Flor. 3. Sterilitas fumma. Exp. XVI. Silenc gigante. ?. Cucubal. tatar. (f. An. 1-6$. d. i5. lul. Flor. 2. Stcrilita& fumma, Exp. XVII. Silenc Behcn. ?. Cucubul. Bchen. cf. An. 1755. d. 12. lul, Flor. 3. Sterilitas fumm.i. Vid. Exp. inuerf. XIII. Exp. xvm. Silenc Beheii. ?. Cucubal. tatar. cf. An. i75. d. 6. lul. F!o5 i. d. 10. Eoecundatio fpuria.. Exp. XXXVIL Silenc notflifl. $. Lychn. flos cuculi. c?. A An. 17(55. d. 17. lul. Flor. 5. foccundatio fpuria. Exp. XXXVIIL Silene gigant. ?. Lychn. dioic. alb. r^ . An. 1765. d. 10. lul. Flor. 2. Sterilitas fumma. Vid. Exp. inucrf. XLlV. Exp. PLANTA HYBRIDA. 443 Exp. XXXIX. Silene gigaiu. ?. Lychn. chalcedon. cT. An. 1765. d- 9. lul. Flor- 5. Sterilitas fummn. Exp. XL. Silcne noiflifl^ ?. Lychn. dioic. alb. cr^. An. 17(55. d. 2. lul. Flos. i. I. rubr. cf. 1771. d. 30. lun. Flor. 3. d. 3. lul. 5. alb. d^. Foccundatio fpuria. Vid. Exp. inuerf. XLVIL Bige?iercs ) pent. et digjniac. Exp. XLI. Lychn. di(MC. alo. $. Cucubal. Behen. o^. An. 116$. d. 27. lun. Flor. 12. — 1770. d. 29. 5- rubr. ?. Foecundatio vel (puria , vel adhuc dubia. Exp. XLE Lychn. dioic. .ilb. ?. Cucubal. tatar. cf. Aii. 17^^ 5. d. 17. lul. Flor. 8. Foccunuatio \\ (puria , vel auhuc dubia. K k k 2 £xp. 444- lYCHNI - CVCVBALVS Exp. XLIIL Lychn. dioic. alb. $, Silene nodurna. cf. An. 1-765. d. 5. lul. Flos, 1. Sterilitas ftimma. Exp. XLIV. Lychn. dioic. nlb. ?. Silene gigant. (f. An. 1765. d. 3. lul. Fl)r. 2. - — d. 16. 3j Foecundatio vel fpuria , vcl adhuc dubia. Vid. Exp. inuerf. XXXV ll[. Exp. XLV. Lychn. dioic. alb. ?. Silene conica. d^. An. 1765. d. fi. lul. Flor. 2. Sterilitas fumma. Vid. Exp. inuerf. XXXIV. Exp. XLVL Lych. dioic. alb. ?. Silcne Bchei. cf. An. 1765. d. 4. lul. Flos. r. j. . Foecundatio (puria. •cxl Exp. PLANTA HYBRIDA. 44J Exp. XLVir. Lychn. dioic. alb. $. Silene noftifl. o^. An. 1755. d. 28. lun. Flor. 3. d. \6. lul. 2. Foecundatio fpuria. Vid. Exp. inuerf. XL. Exp. XLVIU. Lychn. dioic. alb. $. Sileoe cretica. cT. An. 1755. d. 4. lul. -Flos. i. Foecundatio vel fpuria , •vel adhuc dubia. Exp. XLIX. Lychn. dioic. alb. ?. Silene Armeria. cf. An. 1755. d. 18. lun. Flor. S. Sterilitas fumma. CONSECTARIA ALIQVA. lam ex indoie partium frudificationis Lychni- Cucubali iioflri fpjciatim, quam ex vniuerfo horum experimentorum grege confedlaria fluunt lequentia : l. Semen \trnmque, tam mjfculinum, quam foe- miniimm, relptdj nmniUm plantae partium jpfiusque (exus oiuerfitatH , reciprocam in- ter fe exorcere adionem ac r^^iidioneni, mu- tuumque lemp r ac aequalcm in gtneratio- K k k 3 «i* 44(y LYCHNI - CVCVBALVS nis negotium Iiabere influxum , nifi fingii- lari aliqua caufa (fl) > v. g. viuentium a redo tramite dediiiatione ac degeneratione peruerfaque ac labefadata eorum natura etc. illud aequilibrium turbetur ; nec n.ridiori fenfu vcrum atque fundatum efTc decantatura illud axioma , quod onines plantarum ani- inaliumue vcl naturalium vel hybridarum partcs, quae ad fic dictam corticakm earum lubftantiam fpeftant , a patre , eae e con- trario , quae ad medullarem pcrtinent , a matre vnice ortum fuum ducant^ alioquin hybrida noftra , vt htrmaphroditus plenifii- mus ac confummatus , corolla faucis corona carente , flaniinibusqiie Cucubali vifcofi in- ftar elongatis ac vcre pentadynamiis , et quinque potifnmum Lychnidis dioicae flylis gcrminequc crafiiore ac obtufiore inde ex- furrcxiffei:, n. Dari interdum , rarifllme licet , plantas bige- nercs diuerfique ordinis, foecnnda copulnrione inter fe iungendas , mirabili Lychni - Cucu- bali noflri excmplo, ' JIL Fruflrari c contrArio plurcs ex congencribus vel bigcneribus fclici fucccfTu , j^roximiore longe , ( tf' PLANTA HYBRIDA» 44.7 longe , quoad extcrnam faciem , afHnitate fibi coniun re.clioatis , minus arcuatis , an- tice tuberculatis feu fecundum KaempFERVM annu- lis diltindis infignioribus , non omnem cornu pe- riphcrinm , vt ex fi^ura patet , ambientibus , fed Mnrnm antice protubcrantibus, hinc a cornubus Palen BVFFONII Toin. XIL Tab. 33. repraelentatis diuer- iiihmis. Tandem ex ipfa Ibicis et Pafenae KaeaipfERI natura argumentum grauifiiinum dclumi potelt, Ca- pram domeilicam non ab Ibice fed a Pafena deri-^ \andam eflTc. Natura Ibicis , non nifi fumma al- pium iuga , rupjdria , acterna niue teda et plantas vix alibi prouenicntes pro cius pabulo exhibentia in- habitnntis adeo fingularis , mio fingulannima e(i , vt pariter impofTibile videatur illum , ac H.lephan- tum ftu Tarandum- per omnia telluris dimata , quorum plurima a liatione eorum naturali diuerfiihma funt , domellicum ficerc. Natura autem Pafenae ab alpeClribus abhorrentis , et iTiontofa Afiae minoris hiemc niue rcfrigcrata , aefiate caW^re ferc fummo exaedujta , nunc ficcifTrna , nunc larga pluuia ir- rorata , plantas haud paucas per omnia tclluris di- L 1 1 3 niata 454 SCHACALAE HISTORIA. mata obuias alentia frequentantis pro omni clirtiatc, pariter ac Mufmonis natura , fada fuiffe videiur, hinc felici fucccffu ir. omne clima recipi , multi- plicari potuit. Sufficiant haec , quac in poflerum , de animali aHo huc vfque ignoto alpino caucafico inter Mufmonem et Ibicem medio a*flurus , fulius tra-(flabo. Accedamus tid tertium animal domcf^icum antiquiflimum , ad Canem. Ferum hunc et fponra- neum in iisdem cum Oue et Capra regionibus Afiae minoris et adfinibus quaerendum efle , antca pro- bauimiis. Occurrunt autem in Afia minori anima- lia fcra quatuor , quae Cani plus minusue fiialia funt i Hyaenam volo , Lupum , Vulpem atque Lu- pum nurcum KaempfERI feu Schacalam Turcarum atque Gallorum. Non defuerunt audores vnum altcrumue horum animalium pro Cane fero habcn- tcs i noflrarum partium nunc c(\ , probnre nec Hyaenam , nec Lupum , nec Yulpem , fed Schaca- lam Canem ferum effe. Ex defcriptione Hyaenne in Towo IX. H//?o- riae Buffomanae data luce mcridiana chirius patet, illam a Canc nru(fiura intcflini cncci , glanduhirum analium , penis nc dcntium , eorumque et digitorum numcro eflentialiter diffcrre , imo diucrfiflmum cffe, adco vt plane irrrofiibilc fit , Cauis varictatcs cx Hyacna proucniffc. Lupus ftatura , •partium numcro ct moribus vsriis Cani fummopere analogus cfl , adeo vt difli- cillimum SCHACALAE HISTORIA. 455 cillimiim fit , notns dirtindiuas horum animaliiim enodi\re; att.imen varia repiignant , quo minus Lu- pus pro Cane fero habeatur. Patria Lupi non ea cft , quae pro animali antiquiffimo domeflico rcquiri ■vifum c(l i nam ille zonae frii^idne fere proprius tft, in Afia minori vix occurrens et iti regionibus me- ridionaiioribus plane deficiens. Magnitudo Lupi ad- verfatur ^ nam probabile. elt , animal , ex quo Canis varictates ortae fmt , magnitudine naturali tali gau- dere , quae mcdia fit , iuter maximos et minimos nunc occurrentcs Canes ; fcd Lupo maiores vix dan- tur Cancs , certo nunquam duplo maiores , cum at- tamen quadruplo co minores frequcntes fint. Inte- flini cacci (trutlura , cuius icon in Hi/loriae Buffo- nianae Tonio VI L lab. 1. exlTat ,. Lupus effentiali- ter d-iffert a Cane , pariter. etiam tradus intcfiinalis proportionibus ; nam longitudc inteOin: tenuis- ad corpus a rofiri apice ad caudae radicem mctitum Lupi \t 4- : I ; Canis viUatici vt /^\'. 1 \ longitudo inteliiiii caeci ad illam tenuis Lupi vt 1 M<5|j Canis vt i : 29 ^ longitudo crafii feu coli et redli ad tenue Lupi vt 1:7!; Canis vt i : 5^. Acce- duiit expcrimenta Buffmana , ex quibus patct, quod Lupus et Canis non folum coitum refpuant , fed etiam antip;uhiam lummam in conuiuio teftificent ; quae attamcn nfindum omni exceptione maiora funt, quippe Cel. Pennant hybridum ex Lupo mare et Cane femina vidiffe affirmat , ( vid. Ei. Synopfis gf Qradrupeds p. 14-4- ) Vtinam ! nc fiiuifTet , an hy- bridum hocce aninial fterile , vcl non fuerit. Vulpi. 45! mal hocce carniuorum cquidem eft j animalia mino- ra phytophaga fubigit ; cadaucra , etiam humana , aJit; coriacea quaecanque auide deglutit ; vuas , vt Canis, appetit ; in captiuitnte farinaceis et pane fere vnice pcr annum et vltra enutritum, quod propter nimiam tradlus inteftinalis longitudinem probabiiiter Lupo et Vulpc minus vorax habendum e(l, Canis caudam recuruatam minime pro cha- radtere eflentiali habere queo , fed quod haec taa- tom ftatui cicurato debeatur mihi perfuadeo. Ca- nis non nifi hilaris et contentus caudam recuruat y quam timidus et metueus inter femora inflcdit. Nec omnes Canum varietates aequaliter caudam recur- "vant , aliae plus , aliae minus , et illae , quae auri- culis eredlis inftrudae funt , { vr Canis villaticus feu paftoraUs, in Hijlor. Buffon. Tom. V. Tab. 28. re- praefentatus ), caudam extenfam et deflexam gerunt, p.iriter ac Schacalae. Nullam practerea corporis partcm magi» cauda apud animalia domeflica va- riare , patct Ouium et Canum excmplo. Quare nec M m m 3 ob ^6z SCHACALAE HISTORIA. ob caudae figuram Schacalam a Cane fpecifice diucif- fam putare velis. Nullos igitur chara^fberes effcntiales differentia- les, quamquam tales ///. Comes de BvFFON in Tomo V. Hi/lor. Natur. in capite de animalibiis yeteris mundi , adcffe autumet , inter Schacalam ct Cn-^--" inucnio. Omnis partium extcrnarum -••^fiarumque ftrudura et proportio , n.- ;-" cxinentia attribu- ^^^„rn 1 *-**"* i^ro ideali neccflano competere debent , fuadent , imo iubenr , vt Schacahi pro Cane fero habeatur , cx qua omncs , quae iiuuc exiftunt , Canis varietates ortum duxerunt, Quod Thos AristOTELIS cum Schncnla no- flra animal idem fit, mihi cum ///. ComUe di BvFFON vcrofimiie videtur, quia lccundiim PlTNIVM libr. 8. cap. 34. " Thoes , luporum genus proccrius longi- „.tudine, breuitate crurum diflimile , \elox faltu , „ vcnatu \iuens , innocuum liomini. „ An autem Panthcram Aristotelis pro fynonimo Tliois; vel pro nomine varietatis Schacalae habere liceat , in- determinatum relinquo ^ ncc affirmare audco , an Adiue feu Adil Arabiae , Dceb Barbariae , laquepa- rel Bcngahae , Zenlie feu KenHc Capitis bonae fpei , IVlebbia Acthiopiac ct Nori Madiirae \num idem- que aoimal , fcihcet Shacaiam nofiram , vt ///. Co- tncs de BvFFON vuit , indiccnr. Ula , quae Ari- STOTELES et itineratorcs varii de animalibus variis his nominibus imbutis tradiderunt nimis curta ct indttcimiiiata funt , \t exinde aliquid cerii concludii poflet. SGHACALAE HISTORIA. 4.1o antebracliii a flexura cubiti ad carpiim - - - - Circumferentia carpi - - - - metacarpi Lon^ituco a carpo ad apicem vnguinm cruris a gcnu ad calcaneum poll. lin. 4 9 6 3 6 — — + a 6 2 1 - 9 ■ 7 I 3 II — a 9 2 ' + 5 9 — 14- — 15 + »3 4 10 6 5 P 3 6 2 lO 4 3 6 — Cir- SCHACALAE HISTO.^IA. 471 Circumferentia calcaoei - - - - mciatard - - - - Longitudo a cnlcaneo ad apicem vnguium - vngium niaxiniorum -- - poll. 4- 2 5 lia. 7 6 S Dcfcriptioie atqne diaienfionibus hifce colla- tis cum illis , a Cel. D*AVBENTON in Tom V. Hi/hiije Bufonianae Je Canis \ar;etatibus traditis , •euidens cit , quod Canis vuUo domefticus (eu villa- ticus didus et in eodcm Tomo W.Tab. 2S. repraefen- tatus proxirne ad Schacalam accedat. Attamen non diffit^-ndum , Canes dari maiori adhuc fimiiituJine cum Schacala gaudentcs ; vidi per RuflTum Canes vulgares vtllcre lut.(centi - brunneo haud mmis longo , auriculis erftis ,, rortro acuminato inftruolos, Scliacalae magnitudiue et- has ob cauflas Schacake fimillimo«, . Wikera Canis-, Eupi' et Vulpis ,- vt* ex: obfer- vationibus D'aubemoneanis conftat, non nifi ftrudura inteftini cacci et proportionibus inter fe dilcrepant ; fed Schacala plana noc coloa (/) verfus re- trogrado ,• ambobus cellulofa arde connexis; tertio {g) fublibero, rehquis faepe anguftiore , fundo cae- co ( ^ ) prominulo, itcrum tenue vtrfus fpedante. Conferenti iconem eiasdem pariis Canis , Tab. 4.6. in 47 s SCHACALAE HISTORIA. in Towo V. Hijloriae Biiffonianae occurrcntem, patet, diffcrentiam praeter variam repraefentationis metho- dum nuUam exilkre. Ea quae datur inter longitu- dinem canalis cibarii Lupi , Vulpis, Schacalae et Ca- nis diuerHi proportio iam ante ailegata eft. Sequuntur dimenfionei lifceyum Schacalac eaedem, quns Cl. CavbentON in Hiforia Buffoniana de Vulpe ct Cane dedit. poll. lin. 6 I 9 Longitudo lobi finiflri hcpatis maximi Eiusdem lobi latitudo maxima cralTitics maxiina - - Longitudo vcficae fcllcae . - . lienis ab cxtremitate fupcriore ad angulum ----- ab angulo ad extremitatcm inferiorem _ _ . - Latitudo maxima ad angulum - ■ — minima licnis Longitudo pjncreatis - - - LatituJo pancreatis - - - Longicudo rcnis - - Latiiudo rcnis - . - - Craffitics rcnis ----- Longitudo vcficae vrinariae intcftini tcnuis a cardia ad cae-| cum ' ----- - i4c coli ct rcdi - - - 22 cruris primi caeci - - -i 2 - 2 6 3 5 IX iz 10 z 7 3 Lon- SCHACALAE HISTORIA. 47 S Longitudo criiris fecundi cacci Diameter inteflini tenuis intertini coli - poll. 3 caeci Ventriculi diamcter in linea reda a cardia ad angulum atrii pylori - - - Diameter vcntriculi a cardia ad fundum - — longitudinalis maxima - _ perpendicularis maxima eiusdem trnnsuerfalis maxima Longitudo arcus maioris ventriculi in li- nea curua a cardia ad pylorum - I I 3 2 7 4 4 19 lin. 3 lO 3 3 6 6 6 9 lO Quanta e(l quoad partes externas et vifcera conuenientia inter Lupum , Vulpcm , Canem atque Schacalam, tanta etiam de offibus horum animalium depraedicanda e(l. Accuratidimae a Cel. D'avben- TON in Hi/loria Buffoniana traditae Olleologiae ho- rum animaiium addamus quasdam in Schacala ia- ftitutas animaduerfiones. Cum cx capitis figura et intcr varias Canis varietates et inter Vulpem et Scliacaiam facillime et euidcntifTime differentiam perfpicere liceat ; conful- tum elTe duximus , iconet ojfiiim capitii et Schacalae et Vulpis darc. Tabulae XU. Jigura i. firtit ofla Tab. XIL cranii Schacalae inter (e futuris iunda , maxilla in- feriore remota , quam figura 2. repraefentat ; atque in Taluk XWl. Jigura 3. et 4. exhibent c^sdem »p^^, ^jjj Tom.XX. Nou.Comm. Ooo Vulpis 474- SCHACALA.E HI^TORIA: Vulpis (*) partes magnitujine femper naturali. QuoaJ aicus zy^om.itici figiram et orbitae majgi- nem , nec no.j quoad ofla froiitis , naii et roftri , at-]ue quoaJ dcutcs ct bartfulum apophyftos ptery^oi- dcae Schacala magis cum Lupo, quani cum Vulpe; fed quoad ofla parietalia ei occipttaL- , et quoad fu" turas earum Schacala mai^^is cum Vulpe, quam cum Lupo conuenit. Arcuf zjgomaticui Schacalie [a) niinus extrorium curuatus , quain Vulpis (^); ex margine fupcriore z/gonKUis >chacalae prominet /pi- imla { c ) j cx eminenua apophyfeos zygomaticae olliS malae atque ex. apice eiu>>Jem apophyleos oflls tcmpcrum ortay. interflitium aJ caatuin pofleriorcni feu exteriorem orbitac nngulHus reddcns , quam in Vulpe, quia. apud illum. hacc fpinula deficit. Olfm fromir, SchxicAhG ( in eo iplo loco , quem httera d. fig- .4-. occupat, in'. fofliim deprefla funt. OJ/a nafi (e). et; ro;lrl: {f)\ Schacahie muito iatiora funt , quim e^idemj Vulpiss (g. et h. fig. 4. ) ofllique nafi Schacalae verfua-apr— cem roftri minus extenla f mt , quam Vuipis , hinc apertura narium Schacalae longior , quam Vulpis ; atque ofja vialae Schacalae ad foramen infra orbi- tale ( B. fig. I.) muito conucNiora funt , iUis \ ul- pis ad idcm foramen ( c. fig. 4. ) , cxinde rollrum Schacalae muito obtufius illo Vulpis. Ticnlei ^*) Vulpis , cuius caput repiicfciitntum , longitudj ab apice roftii ad caudae radiccm crat 23. poil. parif Schacalac autcni 27. pol). 9. liii. parif SCHACALAE HISTORIA: l':^ Demes primores fuperiores Schacalae (/.), quo- rum vcriiique tres in arcu lat conuexo difpofiti , qui in Vulpe in linea fcre recfla fiti funt ( k. ). Quatuor intermedii dentes prinriores Schacalae , quos /igura 3. Tab. XII. exhibet , vtrinque fulco exaratixab. XII. et denticulis au(fti funt ; fed vtrinque extimi inte- gerrimi. Dentes iidem Vulpis omnes integerrimi, vt ex /igura 6. Tab. Xlil. patet ; fed inquiratur pcr q-^ij xni, indiuidua plura , an fcmper ita, an tantuin animale vel catulo , vel (ene , vt Canibus (olemne. Dentes primores fuperiorcs Ifatis omnino denticulati. Dentes primores inferiores Schacalae (/. fig. 2.) emarginati et biiobi funt, lobulo exteriore minore, qui pari medio mi- nimus et (acpius \ix \Ilus ; dcntes iidem Vulpis [J.. fig. 5. ) integri , truiicati. Dentes laniarii Scha- ■talae ( m. m. fig. i. et 2. ) breuiores et cralhores funt lis Vulpis ( «. n. fig. 4. et 5.). Dentcs mo- lares Schitcalae [0. 0, fig. i. ct 2. ) et laniario et inter fe approximati ,* Vulpis [p. "p. fig. 4. €t 5.) dillantes. Ht Shacalae et Vulpis radix dentis mo- Jaris primi fuperioris et infcrioris fimplex ; fecundi et tcrtii fupcrioris atque fecumli , tertii et quarti infcrinris bifida ; quarti ct quinti (upeiioris atque quinti inferioris trifida ; kxti fupra infraque bifida ; leptimi inferioris itcrum fimplex. Quoad figuram coronae dentium molnrium, et quoad fitum dentium ore claulo Schacala exjcfle cum Cane conuenit , fe- cundum ex;i(fti(limam Canis defcriptionem a C/. D'avefnT0N datnm. Kec Lupi nuilares dentes ab iis Schacaiac uifFcrunt , nifi in eo , quod fextus (u~ O 0 0 2 perior 4^6 SCHACALAE HISTORIA. perior et fcptimus inferior fiepius adeo detritus fit, Vt vix aUieoli velligium adfu, Hamuiiis apophyfeos pierygoideae oflls fphenoidei Schacalae horizontalis e(l (^. lig. i.) ac idem Lupi, quem Vulpes perpendicularcm ( q, tig. 4. ) habet. OJfd bregmatis Schacalae ( r. fig. i. ) aliquan- tum conuexiora , hinc et thcca cranii amplior , quan?. Vulpis ( s. fig. 4.. ) , qui his quaUtatibus Lupum iam mulium fuperat. Nonne hanc ob cauG- lam Vulpes Lupo , atque Schacala et Canis Vulpe aftutior ? ProceJJUs fagittalis ex angulo fuperiore offis occipitalis procedens et vlcra medium (uturae figiita- lis ©(fium panetalium extcnlus ( w, fig. i. ) vix prominet et reliqua futurae f.igittalis pars ( /. fig. 1.) omnino plana eft in Schacala^ hinc crillailla fagit- lalis , quac in Lupo eminentiihma et in Vulpe ob- foleta efl: (1;. fig. 4. ) 7 ii^ Schacala fere deficit. Su- tura Jamdoidea Schacalae ( u'. fig. i. ) pariter miuus crirtata ac in Lupo et Vulpe ( iv. fig. 4- ) Apoj.hvfis condyhidea ( .v. ) et malloidca ( v- ) , petra [z.) et eminemia articularis apophyfeos zygoma- ticae ( A. ] Schacalae ( fig. i. ) et Vulpis ( fig. 4. ) vix diff' runt , quac etiam Lupo (trudurac ciusdem. Vertehrac , coflae , ojfa Jlenn , ac peiuis Scha- calae et qnoad numerum , ct quoad figuram atque proportioncm , cum pnrtibus iisdem Cauis a CL D'avbenT0N in Tomo VIL Hi/ioiiae EuJJonianae defcriptis conucniunt , fi pauca minus momentoia , quae (cquuntur , cxciperc vclis. Apophyles transuerfales vertebrae primae lum- bori T» intcgrae , noa bifidae ; apojbjfes fpinofae irr- tcbra" SCHACALAE HISTORIA. 477 tehfartim Iwnhmim fubneqiuiles , nec apophyfis quin- tae rtlnjiiis loii^ior , led Ipouiis paritcr ac reptinae breuior ; veitebr^.e ojjis facri tres et caudae n). vl- tinia brcuiiruna , fexta , (eptima , oiftaua , nona et dccima loiig.ffiinis inter fe aequalibus. Kumerum \crttbraruni caudac Schacalae iuter 18. et 20. va- riare fcro crederem , pariter ac Canis et Vulpis ; illius C/. DavbentON i<5 — 20. vidit , huius idem 19. ego 20. numcraui. M.anuhrium ojjis Jierni Schacalae recflum , pariter ac reliqua eiusdem ollis membra, nec furfum curuatum. Vrocejjus Jijloidci ad a- pophyles articularcs polkriores vertebrarum lumborum primae et tertiae acutillimi et euidcntillimi ; iidem ver- tebris dorfalibus vudecimae , duoJecimae et decimae tertiae obtufiores et breuiores; led jvertebris lumbo- rum fecundae, quartae, quintae et fextae obfbletinimi. OJpi extremitatum pariter cum illis Canis, Vul- pis et Lupi conueniunt. Scapula Schacalae aliquan- tum ab illa Canis a C/. D'aVBENTON defcripta dif- fert ; nam et bafis et margo antenor eiusdem le- vidime arcuata lunt , et angulus anterior rotundatus ac obtufiirnnus ; margo polkrior redilineus et an- gulus polkrior acutus. Oj]'a metacarpi quinque , fed metatarfi tantum quatuor , accedente, fub oITe cunei- formi tertio tarfi , olficulo feu rudiniento quinti ofiis metatarfi , pariter ac in Cane ( vid. Hijior. Buffon. Tom. V. Tab. $n.. Jig. 3. fub iitt. A. ). Pol- licis in pede poftcriore rudimentum, quod in Cani- bus faepius adelt , in Schacala nunquam obferuatum. Diincnfmes ojfium Schacalae cquidem iam ali- qaae in Tomo XIU. Hijhriac Buffbnianae datae funt ,• O o o 3 adda- 478 SCHACALAE HISTORIA. lin. 4- lO 1 1 addarrius atfairen plurcs coronidis loco ex eodcm indiiiiuuo , cuiii& partium extcrnarum et "vifccrum nicnliJiiie antea cxhibiiae iunt, quo omnia ad hilioriam huius aiiintalis pertinentia eo euiocntiora euadant. Alenlura knipcr eadem parifina fccuudum pollices et lintas. poll Longitudo capitis a dentibus primoribus in- tcrmediis \bque ad angulum luperiorem oiris occipitis - - - - LatitULio capitis maxima ad zygoma - — thecae ccrcbri maxima Longitudo n.axillae infcrioris a dentibus pri moribus intcrmediis \sque ad ani^ulum - Latitudo maxilJac inferioris ad dcntcs la- niarios -- ^ - - - _ • eiusdem ^d ?ir«;erllitium .dentis qiiarti et quinti molaris - ^ - - — eiusoem rmaxima :ad :angulos - - • — maxillne luperioris ,ad dcntes pri- mores cxiimos - - - . — ciiudcm ad dentcs laniarios - — — maxin a ad interflitium quarti ct quiiti molaris - - - Fiflantia mimma inter orbitam et narcs - LonL,)tndo apcrturac narium - - - Lniitudo aperturae narium • - - Lnnijitudo oflis narium maxima Lotitudo eius maxima ad txtrcmitatem an- lcriorcm - - - - - 2 2 lO I X 7 9 7 8 - 1 3 :^atitudo SCHACALAE HISTORIA. 479 Latitodo orbit;ie - - - Altitudo eiusdem ... Latitndo foraininis vertebrae colli primae pcrpcndicul.iris - - . — eaaem transucrfalis Longitudo apophyleos transuerfalis eiusdem vertebrae - - _ • corporis eiusdem vertebrae in- ferius feu aiitrorfum eadcm (upcrius feu retrorfum corporis fecundae vertcbrae colli -' poll. Altitudo apopi^yfeos fpinofae eiusdem Loni^itudo feptimae vertebrac colli , quae' breuillinia - - - " ") Altitudo longiffimae apophyfeos fpinofae ver- tebrae (eptimae coHii — -- • - breuiflirnae apophyfeo&-fpinofae ver tebrae tertiae. coirii ^ ^- - Longitudo vfrtcl^rarum^^orfaluim oinnium' - Alritudo apophy(cos fpinofae longifTimae ver- tebrae ciorfi primae; — apophyfeos- fpinofaiT breuifiimae vertebrac decimne^dorfia -- Longitudo corporic- vertebrae ' decimae-^ ter- tiae dorfi , quae longifTimr.' corporis vertebrarum dorfi! pri marum breuifTimarum coflae primae 7' Diflantia iutcr cofla» primas maxiiTia - lin. lO II S 3 6 z T r 4 S 3 5 6 I Lougi- 4*0 SCHACALAE HISTORIA. Longitudo coflae feptimac, quae longifTima - . ■ vltiiDae fpuriae Latitudo coftarum maxima - - . . minima Longitudo ofiis fterni . _ - . Altitudo apophyfium [fpinofarum vertebra- rum lumborum _ . - • Longitudo apophyfeos transuerfalis vertcbrat lumborum quintae , quae longifllma corporis vertebrae eiusdem, quoa longirtimum _ _ _ - cflis facri -, - - Latitudo eiusdem interius - cxterius Longitudo longiflimarum vcrtebrarum cau dae , quac intcrmcdiae - - - oflium inominatorum maxima Diamctcr acetabuli _ - - peluis pcrpendicnlaris eiusdcm iransucrfalis Longitudo foraminis oualis Latitudo eiusdcm - - - " Longitudo fcapulae maxima - Laiitudo bafeos (capulae » - - — eius minima - - Altitudo maxima fpinae fcapulae Piamcter cauitatis glenoidcae lcapulae Longitudo humcri - - - Diamcter eius minima - - - poll. 3 11 ni 6 n 1 1 - 4 — 2 6 2 ■ — 7 ^» lO 1 II - I 2 - I f> - I I . ^_ s - 4 s I 8 - I 3 : : 9 6 - 3 - I 5 6 - — 8 - — 7 - — S 8 - 4 - — 1 4 LatituuO SCHACALAE HISTORIA. 481 Latitudo maxima extrcmitatis fupcrioris hu meri - - _ _ . — maxima cxtremitatis inferioris Longitudo cubiti - - _ > . Altitudo olccrani _ - _ - . Latitudo niinima cubiti Longitudo radii - - _ _ . Latitudo eius in medio Longitudo femoris - _ • - Latitudo maxima extremitatis fuperioris fc moris _ - - - - - — in medlo femoris - . - - — extremitatis inferioris femoris • Longltudo tibiiie - - - _ Latitudo extrcmitatis fuperioris tibiae maxima -m — — in medio libiae - - - - — cxtremitatis inferioris tibiae maxima Longitudo fibulae - - - LaiitaJo extremitatis fuperioris fibulae maxi ma - - Latitudo extremitatis inferioris fibulac maxi ma - - - . _ , Longitudo carpi maxima Lititudo carpi maxima - - - Lon^itudo tarfi maxima Latitudo tarfi maxima - - - Longiiudo ofTis primi metacarpi ^ fecundi et quinti metacarpi Tom.XX.Nou.Comm. Ppp poll. 5 I I 5 X lia. II & I % 6 + X 4 X X X 8 3 4- 5 9 9 8 8 7 Loa- 4-8s SCHACALAE IIISTOHIA. Longitudo oflis tertU et quarti metacarpi - „_: primi ct quarti metatarfi - — — fecundi et tertii metatarfi - — primae phaiangis poUicis antici - " • fccundi et quinti poll 2 digiti - - eadem tertii et quarti antici - — fccundae phalangis pollicis - - — ■ ciusdem phalangis digiti fecundi et quinti pedum anteriorum eiusdem phalangis digiti tertii et quarti tertiae phalangis digiti fccundi et quinti pedum anteriorum - — tertii et quarti pedum anteriorum primae phalangis primi et quarti eiusdem phalangis fccundi et tertii fecundae phalangis primi et quarti ■ — — tcrtii et fecundi tertiae plialangis primi et quarti - fecundi et tertii digiti pedum polleriorum lin, 2 4- 7 9 2 4 6 S 7 9 4 6 4 CHAVS CH A V S, ANIMAL FELI AFFIME DESCRIPTVM Audore A. I. GVELDENSTAEDT Affinitas , qua animalia plurima , quorum CeL Pennant, ( vid. Ei. Sjnopfis of Quadrupeds ), fpecifice dirtiiid:a enumerauit od:odecim , Feli feu Cato , quem ceu notiflimum nominamus, coniundla funt , adeo ardla ac multiplex eft , vt vix nifi ma- gnitudine corporis , caudae et auricularum propor- tione , atque pilorum colorc tantillum inter fe ex- terne differant. Illa , quae auriculis barbatis gau- dcnt , facile a reliqua affinium cohorte diftinguuti- tur. Olim praeter Lyncem , nuila alia ad hanc familiam pertinens , hac nota inftrudla fpecies co- gnita fuit. Innotuit dein (aeculo praeterito labente per itineratorcs Africam et Perfiam audralem \ifi- tantes, quos inter ScHAW et Thevenot eminent, alterum cognatum animai auriculis paritcr barbatis inftrudlum , a Lynce fat diuerfum , quod tandem iii llijioriae Naturae Buffonianae Tom, IX. et XiL fci- entifice fub nomine Caracalis ( * ) defcriptum atquc P p p 2 icone (•) Nomcn liuius arimalis turcicum : Karrah Kulak ; et per- licum : Siyah Ghufh , non Catum nigrum , feu (^atum auriculis nigris , vt Schaw , ( vid. Voyages cle Monfieur Shaw T. I. p. 320. ; et ill. Comes de BufFon illi perc- grinatori 484 CHAVS , ANIMAL FELI icone bona repraefentatum , nec non a D. Parsons in Transad. Pbllofoph. T. LI. p. 648. atque a CeL PennANT in Synopfi quadrupedum ( fp. 137. ) illuflratum eft. Addidit nuper Zoologiis hic acu- tiflimus, ( vid. fp. J3 rum, _ -. » Di.imeter. inter auricularum bafin internam cnntos ocuii anteriores - — — pofleriorcs Periplieria thoracis antc pedes anteriores cadem pone pcdes antcriores ■ abdominis maxiina - - 3- I 1 12 14- 18 I I 6 6 lin, 9 4- 1 1' 6' 9 9 £ 5- ^: Longitudo caudae ----- Peripiieria caudae pilofae Longitudo antcbrachii - - • a flexura carpi ad apiccm digiti medii - - - - - - 4. • crurls - - -— - 8 ■ a flexura calcanci ad apicem di-' gitorum mediorura - - - J 6 '^ — vnguium - - - -) — Quoad flruduram Chai iuternam fcqucntia no- tatu digna vidcntur. 3- 6 AFFINE DESCRIPTVM. 491 Vulmo vtcrque tfilobus ^ fed accedit lobulus c]iTnrtiis> ad piilmoncm dextrum pcrtincns , inter cor ct dinphrngma fitus , in mcdianino poftico facculo quafi proprio indufus. Tracheae annuli linea latio- fcs , poftice quoad quartam partem circumferentiae iUato niufculari niuiiiti. Cor apice ftcrnum attingcns, ouo gallinacco maius , pericardio pinguedine rtipato. 1 X arcn aortae rami duo. Diaphragniatis fpccuiuin fubrotundum , anguftum , fpinam verlus fpcdans. Hepar vix hypochondrium finiftrum attingens, diaphragmati lub coftarum curuatura a vcntriculo adprcffum , vt aperto abdomine plane non in con- ipeclum veniat ; ventriculus fub hepate hypochon- draim finiilrum rcplens , per regionem epigaftricam dcxtiorfum cxtcnlus ; lien fub ventriculo per fupre- mam re^ionis vmbilicalis partem ex hypochondrio finiftro proccdens; pancreas pone lienem ct pylorum fitus ,• imejUna in hypogaftrio repofita , in ptlui nulla ; -cefica vtinaria iupra fymphyfm pubis pro- ininens ; onietUum ab arcu ventriculi maiori ct hilo lienali dclccndcns ad veficam vrinariam vfque , in- tcftina in regione iliaca dcxtra obuoluens ct pone in- tcftina ad latus fpinae dorfalis dextrum iterum hepar vcrfus adfctndens; intejiinum crajjim a margine ex- tcriore renis finiftri rcda ad anum procedens , caeco fupra extrcmitatem fuperiorem huius renis dextror- fnm vtrfus fpedante et fpinae dorfi incumbente, Haec de fitu lifcerum aperto abdominc animaduer- tcndo ; nunc fpecialia, Q q q a Hepatis 494 CHAVS, ANIMAL FELI Uepatii lobi tres dextri , atque totiJern Cnirtri , qui iis multo minores ; lobus dtxter (upe- rior omnium maximus , hypochondriuin dcxtrum et cardiaca n rcgi-mem o-cupuns , rinillrorfum ad me"* dium fere vlque fiflTiJS , pro rccipenda vtfica fcllea ; lobus dextcr inferior fuperiore .quadruplo minor , jeni dextro concauitJie fua incumbensj inter queai et (uperiorem dextrum lobus medius , magnitudine media et fgira acuminata ; loborum finiflrorum duo fuperiores, quorum extenor ventriculo incumbcns ma- ior , interior minor et ligjmento (ulpenforio a lobo dextro feparatu*, ambo bafi adeo connexi, vt non im- proprie pro vno lubo bipartito haberes ; finiflrorunn tcrtius minimus , vix auellana maior , fpinae io* cumbens (ub collo veficac' fcileae; colur licpatis ex« tus lattritius , intus violaceu». Vefica jellea vulgo fubcylindrica et rogofa ; Cti in animale , quod ieiunio per duoJecim dies leruato exfpirauit , pyr;formis , lacuis , amplilTima, oui gal- linacei magnitudine , bile viriliirima, tenaci , defi- cientibus cibi» eam confumcntibus ia taniam copiatn accumulata. Lien tenuis et fre membranaceus , ollongas , wcdio angurtior , extremitaiibus rotuniaius et tmar- ginatus , feptempolUcaris , vix fcqinpuUicem laius , atro - rubens. Vancreas duodecim pollices longom , pollicc anguft us , tenue, aequ.ile, intcgrum , ex liy.M)Chon- drio finilUo ab exiremitaie fupenore litui» iran-uer- falitcr AFFINE DESCRIPTIVM. 4^3 faliter per fex poUices procedens et laxe omento adnexum, dcin in latere dextro pcr lex poliices de- fcendens et duodeno aJh.jerens. Fent' uu/uf (ubonatus , fimplcx , arcu minori tres poUces ct kx lineas , atquc arcu maiori fex pollices et Rx lineas longo j diametro maxima triunnt pollicum^ car.lia ftncl.i ct incr.urata ^ funJo obtufo ; pyloro dilatato ; membranis tcnuibus j fuperficie in- terua lacui ct aequali. Inte/iimim teme diametrl \bique fubacqualis vlx poUicans , a pyloro ad caecum fcxa^inta tres pollices loiigum ; caecum poilice brcuius , conicum , initio colo noa aagulliu> , tenue verfus rccuruatnm, pariier ac in Cato , quoJ in Hijloria Biijjoniam Tom. VI. Tab. 7« fig I. optime repraekntatum eft ; frajjim nec ftrudura,nec diamctro a tenui diff.rens, pariter laeue et aequale , absque cellulis et lii^amen- tis extcrnis , duodecim pollices loii^um. Ad omnem inteltiiialcm tra(flum a pyloro \Tque ad anum mefert* terhim adhacret. Superficies interna intejlini tcnuis ef caeci Ijeuis, kt\ cralii a caeca ad mcdium vlqiie longitudinaliter rugofa, dem ad anum vf^ue iterum laeuis. Cauitas intellini tenuis n ucum rubicundum ct frequcntiflima Fatciolae intcftinalis conuoluta coa- tincbant i feces ici craffo oblon^ae, condipatac, Ad latera ani \r\ Vtroqne f xa adefl vtrinquc conghmtratwn glandubfiim, rubicunJum, (ubgiobijfumi iUjilande maius , externe capfula mulculari tenui Qqq 3 mani* 4P4. CHAVS, ANIMAL FELI munitum , interne conauum ^ cauitas anguHa colla- befcens , vix \ltra mediuin fubdantiae extenfa , tii- nica albicantc , membranacea , fucilc fecedcnte , ioe- tente veftita) et in inteltinum redum proxime pone ani aperturam foramine ftylum fat cralRmi admit- tente \trinque hians. Glandulae hae anales illis Leonis , quas Cel. D'avbenT0N in 'Hijloria nalw rae Buffoniana Tom. IX. graphice dcfcripfit , eqat-- dem fimillimae , fed minus \eficulares et potius fo- lidae , cum cauitas carum interna anguftiflima fit parietibus plane contiguis. An ciufmodi glandulis Lynx et Caracal gaudeant , in HijiQria Bujjo},iana minime injicaium cft. Kcnes cuati , integri , absquc hilo , ouo galli- naceo \ix minores., fubihntia interna duplici cui- dentiffima ; caplula vera men branacca inuoluti ,• fi- niftej: aliquantum altior dextro. Capfiilae atrabila- riae ad margincm internum renum fitae , fubmcm- bxanaccae, lutc-icentes, non concauae- Vefwa ^rivaria cuata , e mci) branis craflis mufculaiibus conilata ^ oue gallinaceo maior- ' Coi^iia 'vteri a fymphyfi pduis pone vefic.nm ad rcncs vfque extrorfum aulceni^entia , rcda , no- vem poHices longa , pcnna anlerina \ix crafliora , laeuia , alis verpcrtilionum laxiflimis regioni iliacae alligato , extrcmitate iubintegra , ct ouario oblongo , auclUna minori, viicfcenti - lutco , introifum pcn- dulo auda. Ceritix n:tcri duobus pollicibus kingicr', jcylindrica , cornubus non amplior , intcrnc obfoKte ftiiata , AFFINIE DF.SCRIPTVM* 495 flriata , et in medio valuula fundo caeco retrorfum fpcclaiue inftruAa. Ori/ichm ^^teri llridam , vix Itylum tenuem recipiens , rugolum. Vagiiia vteri vix polliccm longa , longitUuinaliter rugofa , nigrif cans , in funJo fupra vtcri orilicium apirtura vre- thrae perforata. > Tefles auellanne magnitudine , epidldyme ftride adnexa , valis defcrentibus immed'ate ad caput gal- linaginis (at prominulum in medio vrethrae liianti- bu^; veficulis ipermaticls et pro/iata mmimis ac vix vllis. Corpora cauernofa penis cylindrica , bicruralia, a b:furcatione ad praeputii in ertionem fefquipollicem longii. Vrethra cylinJricj, laxiafcula, a colio veficae vrinariae ad corporum cauernolorum radicem fere qua- tuor pollices longa , in glandis extremitate fimpli^ citer hans. Glans penis acuto- conica, apice laeuis , bafi vltra medium papillis rigiJiufculis- murxata , quinque liaeas longa , olficulo tenuiflimo et lineari ftipata,- ' '^ Sceleton Chai fummopere analogum e(! fce- leto Cati. Ofla capitis Chai magnitudine naturali Tabt XV. repraefeiitare opcrae pretinm efle duxi-Tab. XV. mus , vt Zoologi in poltcrum habeanc , quo cum ofla reliquornm animalium aftinium confcrre poflin. Dentes incifores fitperioreS' (cx ^ intermedii qiiatuor parui , obtu.fl , laterales maiores, acutiufcuU ( a. ) ; inferiores totidem (/'.), obl^ilerc b'lobi , intcrmediis duobus nnnimi>. Dentes laniarii fupcriorcs (i', ) ab iuciloribus remoti , conici ,. lubincurui , iribus fulcis in 49^ CHAVS , ANIMAL FELI in fuperficie exteriore exnrati ; lamarii inferiores (/,) fuperioribus analogi, lantilium breuiores, \nico fulco in fuperficie exteriore notati. Dehtes molares fupe- riorcs quatuor [d.]^ a laniario remotiufiruii ; pri- mus minimus, tuberculofus , vix e gingiua pro- minens , radice fimplici^ fecundus magnus , tres li- ncas longus , compreffo - conicus , retror(um denti- culo audus, radice bifida ; teriius omniuni maximus quadrideiiticulatus , denticulis tribus extcrioribiis , irno interiori , radice triplici ; quartus (g. ) primo vix maior , tuberculofus , introrlum fitus, radice du- plici. Dentes molares infenoies trcs ( ^. ) , pariter a laniario renioti , (ubaeqiialts ; duo antcriores con.- prefTo- conici , denticulis \trinqiic audi ; tcrtius it\l poHerior quadratus , bifidus ; radix his tribus bifida. Dentes igitur in vniuerfum trigmta , quorum am- plioretn defcriptionem necefTariam tffe putauimus , cum nec de Cato, nec de reliquis illi afiinibus talis in Hiltoria Buffoniana data fit. Situs dentium Chai ore claufo idem elt ac Cati , a Cel. D'aVBENTON in Tomo VI. Hifioriae Naturae fatis luptrque deter- minaius. Crijla occipitalis in Chao cuidcnt-fllma ct fere cruciformis cfl. Sutura lamdoidea ( b. ) et os fupcrnumerarium ( ;. ), parti poHcriori fuiurae fagit- talis interpofitnm , tres cnflas primarias conrtitiiunf, ad quns accedit qiiarta criOac fagittali opiofita , ad foramen magnum occipitaic dtfccndtns, fed olfoktior. Fijura apophyfcos condyloidcae ( k. ) er ma- floideac (/. ), foraminis flylo - majloidti (;//.), aper- turae AFFINE DnSCRIPTViVr,^ 497 turae auris ( «. ), pttr.ie (.) pro rccipicnda iipophyfi condyloidea muxillac infe- rioris (5;.)» partis f.iuarrorae ofTis teniporum {q-), aiae n.agnae ( p.) et apopliyRos orbitariae (y. )o(Iis fpliencidci , portionis orbitariac ( flls palati ( ;. ) , oflis et du ASTRO. ASTRONOmCA. Rrr 3 DE # ^ «;i D E TRAIECTV CITISSIMO STELLAB PER DVOS CIRCVLOS ALMICAN- TARATIl DATOS PRO QVALIBET ELE- VATIONE POLL Audore L. E F L E R O. Rcferat circnlas B A Z? a b meridianum loci ^^j^ ^y, propofiti , in quo piuidliim Z fit zenith et P Fig. i. poUis ; tum vcro circuli AMa ct BNb ambo almicantaratli dati , ac ponamus quantitates , quae nobis dantur , i^ complementum ekuationis poli feu dirtantiam poli a zcnith P Z — r. 2°, Diftantiatn fupcrioris almicantarath A a a zcnith Z fiue arcum 2. A znZ a:zz a , infcrioris antem almicantarath di"- ftantiam a zcnith Z B — Z Z» — Z? , intcruallum au- tem intcr hos circulos vocctnr brcuitatis gratia AB-d — b — a. His igitur datis quaeritor ftella S, quae motu fuo diurno percurrcns parallelum S M N ambos almicantarath ita fecet in pundis M et N , vt dudis circulis horariis P M et P N angulus M PN fiat omnium minimus , quando )uidem hic angulus praebet men(uram temporis, quo (Klla fpatium inter hos almicautararh comentum traiiciat. Pro hac igi- tur 50* VE TKAIECTV STELLAE tur flella Fonamus cius dinantiam a polo l'S— PM :::PNr:/i vnde ftatim iinotefcet dcclinatio huiiis llellne. Vocctur vero ctiam angulus horarius M P N z; Z. "'"'-"$. 2. Ante omnia antem hic obfernandum oc-* currit , hanc quaeftionem tantiim ad eas flcUas fixas extendi , quae motu (uo diurno per ambos circulos Aa et Bb iranfeunt. Primo igitiir omnes eae ftcl- lae hic exduduntur, quarum diftantia a polo minor eft arcu P ^ rz i? — f, propterea quod tales ftcllae nou tranfirent per circulum B^; deinde ctiam cxchi- duiuur omnes ftclhie , quarum diftantia a polo ma- ior eft arcu P Z A rr rt -|- tf , propterca quod tales ftcllae non per circulum (uperiorem A a tranfirear. JVX ■■ His excliifis cae tantum ftellae fixae relinquuntur , •* quorum diftiniia maior eft quam b — c , fimul vcro minor quam a -\- c ', ita vt iam certum fit diftan- tiam qniiefuam P S — J contineri intra hos hmites s 'p^ b — c et s <^ a -\- c ; vndc inielligitur , limi- tem a ~\- c maiorem effe dcbere quim b — c. Qiiodfi enim foret a + c <^ b — c fiuc tic<^b — a fiue ctiam c aequaliter inclinctur ; ex qua proprictatc (ohuio noflri proble- niaiis facillime dcriuabiiur. §.4. Dncatiir nunc ex pundo Z ad ambo inter- Tab.XVl. feclinnum punc^^a M et N circuli vcrticales Z M ^'S* ^* et ZN, qui ergo circulis A<7 et B^ normahtcr infi- ftent. Vnde cum inuencrimus efle ang.iMA-ang.SNB, erunt etiam compleiDenta S M Z et S N Z inter fe aequiilia ; ct quij anguli P M S ct P N S etiam funt rcifti , erunt qaoquc nnguli Z M P et Z N P inter ("e aiqiuikf. Quare cum fu ZA"ZM=:fl et 2 N — Z B — 6 , praeterca vero pofuerimus P M — P N =j , bini triangula fphaerJca ZMPct ZNP non folum latus ?2. — c habent commune, fed etiam tam latera P M et P N , quam angulos Z Al P et Tom. XX. Nou. Comm. S s s Z N P 5o(y DE TRAIECTV STELLAE Z N P habcbunt aequales. Quodfi ergo in verticaU Z N abfcindamus portionem N Q^— MZ —.a , erit portio Z (^— b — a — d ; et quia iam in binis trian- giilis fphaericis P M 2 et F N Q primo (unt latcra P M =: P N = J-, dcinde etiam M Z - KQ_-a, at^jue infuper aiiguli intcrcepti Z M P ~ Z I\ P , hacc trianiiula perfcde intcr fe erunt aequalin. , Hinc ergo etiam aequalia crunt tcrtia latera PZ — VQzzc et angulus ZV M — ang. QP N , fl quibus fi aufe- ratur angulus communis MPQ, rcmanebunt anguli aequales Z P Q— IM P N — Z. Sicque quia nunc in trian2;uio Z P Q^ omnia tria latcra (unt cognita,, fcilicct ZP— PQ— f et Z Q^— d, inde (latim in- ireniri potert angulus ZPQ— Z, qui nobis praebct menfuram tcmporis illius ntinimi , quo ftella S ambos circulos aJmicantiurath datos A a ct B ^ traiicit. §. 5. Cum triangulum ZPQofa PZ-PQrr fit ifofccles , bifccetur angulus ZPQ arcu PO, qui ergo crit normalis ad latu- Z Q idque in O bife- cabir, ita vt fit angulus QP O — ang. Z P O — 5 Z ct latus QO— ZOzrTs^i quare cum in triangulo re(flangulo POQ iit hypothenu(a V Qzz: c ct ca- thetus QQ— i^, ex regulis Trigonomctricis erit fin. O P Q-v"-^,^ hoc elt fin. 1 Z - -^-. Sic- que innotefcit minimum tempus , quo ambo circuli A fl et B ^ a ftella traiici polfunt. Ex hac formula iam ftatinj intelljgitur , nifi fucrit fin. l d <^ (\n. c , talcm traufiium ficri impuihbilsm , quia prodirct fin. : PER DVOS CIRCVLOS ALMICANTARATH. 507 fin. i 2 > I id quod cgrcgic comienit ciim condi- tione initio memorata , (]ua oblcruauimus efC^c)>[(f. § 6. Vt nunc etiam alteram nonr.im inco- gnitam j-, fiue diltantiam ftcliae a polo VS obti- neamu* , ex trianguk) PQ^O dcfiniemus aiigulum P(^0 opc rcgulae cognitae , qua eft rDr^r» tang. QO tang. l d cof. P Q O = 13—- — . ^ tang. r Q^ tang. c Hinc autem pro triangulo PQN erit tang. 5 d cof. PQ N = -— ^; . ^ tang. c Sicque in hoc triangulo habemus diio latera PQrrc et QN~<7 cum angulo interccpto FQ^N ^ vnde colligitur tertuim latus P N = x ope foimulae cof P N =:cof P Q^cof. N Q-h fin. PQfin. N Q cof PQN" hoc elt cof s — cof. c cof. a — fin. a cof. c tang. ^- d quae formula reducitur ad hanc cof. c cofi J" — — 7-,-"T ( cof. a cof l (i — fin. a fin. l d\ col. i « -^ Cum autem in genere fit cof. p cof q — fin. p fin. q n cof ( p -\- q ) hac rcduflione adhibita ob a-h^d—^^ia-^-b) habebimus ifiam formulara fatis concinnam cof. c cof. l { a -{- b ) COf. X — r^TTT ~ r ' cof. i(,b — a ) §. 7- Haec autcm fohuio elcgantifllma fine v!Ia Tab.XVL analyfi fequcnti modo geometrice rcpracfentari po- ^ig. 3. terit: interuallum binorum circulorum aimicanta- S s s 2 rath, 50 8 DE TRAI. STEL. PER DVOS CTRC. ALMIC. rath , fcilicct nrciis AB bifecctiir iii pu-nfro, C erit- que AC-BC-'fl'=lCZ'-fl) cc arcus ZC:r-;:a + ^)j quibus notatis primo pro loco ftelhie S fcu eius di- ftiUitia n polo P S habebitur ifta determinatio coj. A C nc pro ipfo tempore traiedus minimo, cuius men- fura e(l angulus M P N , crit fin. iM PN ~^;^%- " Jm. P Z \bi arcns P Z efl complemcntum clcuationis poli. Hoc igitur modo fine dubio (olutionem fimplicidl- mam problematis propofiti fumus nadi . quae , nifi hoc artificium fuin^ct adhibitum , in calculos vehementtr prolixos praccipitaflfet. DE D E CIRCVLO MAXIMO FJXO IN COELO CONSTJTVENDO, AD Q\m{ OKBITAE PLANETARVM ETCOMETARVM REFERANTVR. Auiflore L. E V L E RO. §. I. Ciim nunc quidem fatis fuperqne fit euldlum \ pliinetas ob eorum adioncm mutuam in motu fuo aliquam perturbaiioncm pati , quae potiffimum in promotione apheliorum ccrnitur : nullo modo dubitarc licet , quin ctiam pofitio et inclinatio mu- tua , quam orbitae planctarum inter fe tcnent , non leucs mutationes fiibire debcat, quae quidem demum poft longum tcmporis interualUim fiant notabiles, Hinc in rccentioribus tabiilis aftronomicis progreflio annua nodorum cuiusqiie jlanctae follicite affignari folet , etiamfi Aftronomi circa quantitatem huius motus parum inier fe confcntiant 5 cx quo intelli- gitur , plurimum adhuc abcfle,\'t ifla nodorum mu- tatio fatis fit cxplorata. Qnod quo clarius appareat, ex tabiilis tam CaiJinianis quam Halielanis promo- S s s 3 tionem 510 DE CIRCVLO FIXO tionem fccularem nodorum cuiusque planctae ex- cerpamus Promotio fecularis lineac nodorum ex tabulis Cafluiianis ex tabulis Halleianis ProSaturno 1 35' 11" u 0 30' c' Pro loue o 40 9 I 23 20 Pro Marte o 5 A O a — u, erit lue ex triun^ulo O Ao, fin a~Cin.xC\n.(a, ct ob ar- tum A B — 90°, iuco^UG O B — 90° -{- jr, ex tri- xngulo AD RELATIOMEM PLANETA!Meru >c L fiii. X (in. (ji — a et IL cof. jv fin. u — ^ Tnde quadratis a iden , erit tang. O N p —^^-, Vnde fi ponamus angulum O N p =^ 90' -4- A^' repcrietur JC = — 48" cof. O N, \nde fit X- 23'', ideoque O Np 90°. o^. 23'', hincque jNpr:87"-29'.47", txquocolligitur Nxp-2°3o'. 13", Tom,.X.X. Nou.Comm. V v v ideo- 51» DE CIRCVLO FIXO ideoqiic notabiliter minor quam ante fumreramu»,^ Concipitur ex n in arcum N j demifTum perpendi- culum « ^, eritque angulus s n q — 90'— 2 . 30'- 13", cui nddatur angulus j « H =r 2°. 30'. ( 36 -\- a" ) , prodiique angulus XI « ^ — 90 . o'. ( 23 4- a"). Quod fi ergo ifte anguhis eflet rcdus , arcus « H et ^ XI forent quadrantes et anguius ad XI acquaretur perpendiculo « ^, cuius finus ~Cin.sn.Cui q s >f, vnde fit ptrpendiculum n q — i'. 16", cui ergo aequalis forct angulus ad XI , quo fimul promotio orbitae fecularis circa cardinem XI indicaretur , exilkntc arcu K XI — 90°. Hoc ergo euenirct fi angulus Q.nq eflct rcdus,lioc. elt fi eflet a — — 23".. §. 18. Q_uod fi autem cum Afironomis fup- ponamus a — a» foret in triangulo XI « ^ angulus. SX n q zz 90° -|- i3,''> quem, qiio. rem in gcnere coa- fideremuSj^ponamus. 90" 4- «", erirque ex Tngometrisb ran^ « XI — >°"-g- "L?,-- — _ ^''"g- " T — _ Zil' iri v^ tauL. ««ii. _ j3j-^o^„.>) — j;„"v" — — ' '" vc 11 « fuerit numerus pofitiuus, arcus «XI fnturus fit qnadrantc maior. Ponamus ergo arcum wXlr:9o°+2,, eritque QOi.zzz—. Inuento autem z reperietur angulus exiguus Xl — -^^^^^ ~ ^*';. Hinc igitnr fi fumamus a-o, vt fit «-23", erit cot crn-3.330, ideoque z— 16', 17'jcx quo porro colligitur angu- lus ad XX- 1'. i9",cxiflente arcu «Xi,- 90*+ 16°. 17'. Tab.XVL ^^ ip^ Secundum tnbulas igitur Cafllnianas, fi S- '• omni numcro cflent abfolutae, ambo cardines orbitac §Klui:ui. Icqueiiti luodo dcteriiunacentur, Sumatur m -i... ji circul© AD Rri-LATIONEM PLANETARVM. jaj» •irculo nortro fixo arciis O N — 3'. 28°. 40', et per pundum N agatur circulus maximus t' N XI, faciens angulum O N H — 2°. 30'. 36" , in quo capiatur arcus N fl — io6\ 17' ^ tum Yero ad alteram par-' tem N t» — TS^-^sS eruntque pundla XI et "b et orbitae Saturnicardines et ip(e circulus '^NXl exhibebit orbitam Saturni pro anno 1700; tum vero fi proxi- nuis ducatur circulus |i ^. XX ab illo dcclinans an- gulo — 79", is pofitionem crbitac Saturni pro anno j8oo exUibebit. Sic itaque orbita Saturui fjngulis feculis circa fuos cardines conuertcrctur per angu- lum ~79"i \nde pro quouis tempore propofito tam ipfa pofitio orbitae Saturni quam eius inter* fedio €t mclinatin ad eclipiicam deierminari poter t. §. 20. Vidcamus nunc , quantum hae deter- Tab.XVl, minationes fint difcrepaturae ab lis quas tabulae Hal- Fig. 7. lei;in:ie pratb^bimt, lisdem igitur veAigiis infiftentes habcbimus arcum O N — 3*. 28^32', et pro anno 1800 O M rz 3^ 27 , 39', indinatio autem pro vtro- que tempore fiatuitur 2 . 30'. 10"^ hinc iterum crit Op — Oi>i— 3'. 28°. 32',vnde fit npzz — 5^'. Prae- terea \ero erit vt ante N/>— 4.2" et angulus O N p - 90* + 23") hincque^/ N p — 87°. 3o'. 13^ p. vnde fit angulus N spzz^. 29'. 47'', vnde colligi- '^' ' tur sp—16'.'}'' et hinc j' « — — 36'. 53", quod interunllum quia prodiit negatiuum pcculiarj figura uobis crit opus, in qua erit j- « ~ 221 3". Ducflo igi- tur ex w ad j H perpcndiculo n q, ob anguiuin n f q zz s.". 29'- 47"> reperietur n q — i'. 36", et an- gulus snq :zz 87°. 30'. i3",qui lubtrad^us ab angulo 524- DE CIRCVLO FIXO / n fl = 177°. 29'. 50" relinquit angulum £1 n q = 89°. $9'. 37". Vnde cum fit tang.wilzr i^^„-^e- ' ponamus il n <} — 90°. — 23" erit tang. « XI i^ ^* , ideoquc « il zz 76°. 32 ' , hiucqueporro angulus £1 zz -^ zz 99'. §. 2 1. Quoniam punda N ct « parum a fe inuicem funt rcmota,(ccundum Halleium am.tx) cardines orbitae Saturni ita erunt conllituti in pundis £1 et "^, •tt, fit N Sl — 76°. 32' et N "^ =r 103°. 2S' , ^iji ergo plurimum difFcrunt a cardinibus Caflinianis. Maxime autem enorme dilcrimcn cernitur in ipfo mocu , quo orbita Saturni circa Iios cardines gyrari deberet, cnm adco ide motus angularis in contrarium fenfum \ergat , qunndoquidem fccundum Caflvnum hic motus forct dexirorfum , per 79" "vno fecula Secundnm Halleium idem motus finifirorfum prodiit direftus et quidem per pp minuta fecunda pro vno fcculoj vndc patet Aftronoir.os adhuc in maxima igno- jatione \erfari circa variationem orbitae Saturni» Sin aut^m medium quoddam ihtcr has duas deter- minationes aflTumere vellemus , orbita Saturni propc- modum quiefcens flatui dcbcret. At vero poft plura fecula hoc difcrimen in tantum augeri debet, vt mi- rum vidcatur, banc litem per obfcruatinnes antiquifli- mas dirimi nondum potuifle. Optimnm autem re- medium cx theoria peti pctcrit ; cum enim Satur- nus a folo loue perturbanonem patiatur, eodem mo- do muiatio orbitae Saturni explorctur, qao muta- tionem cdif licae ex uAiouibus louis ct Veoeris oUm dcfiniui. De AD RELATIONEM PLANETARVM. 5^5 De cardinibiis orbitae louis eiusque mom fcculari. §. 12. Pro inicio noftrae epocliae feu nd an- num 1700 i:ibulae alUonomicae praebeiu noium afcendcntem louis 3*. 7'. 29'. 53" fecundum CafTini 3 7. 34.. 10 fccundum H.illeium et pro anno i8oo colligitur nodus afcenJens 3*. 8°. 10'. i" fccundum Caflnii 3. 8. 57. 30 fecundum Hillcium, Pro vtroque autem termino Hatuitur incUnatio 1°. 19'. 30" fecundum Calfini I. 19. lo fecundum Halieium. Hinc crgo iam videmus etiam maximum difcrimen inter determinationes ex tabulis Cadinianii et Halleia- nis deduftas oriri debere ; vtramque igitur definitio- Bem feorfim inueQigemus. §. 23, Incipiamus a rabuIisCaffmianis ct fitNTab- xvu. locus nodi pro anno 1700 et n pro anno i8oo, et '^' cum fir A N — 3^ 7". 29'. 53" et O A — 7^ 27',. erit O N n 3^ 14.°. 57'. Simlique modo pro anna iSOO cum fit Y fj =z 3'. 8°. 10' et O V — 6°. 4', crit arcus O ;/ — 3'. 14.^ 14.'- Demittatur nunc per- pendiculum N/) et ob angnlum ad O — 4-8" erit Np- 48"fin. ON = 4. XVII. §. 24, Secnndum tabula- HalKii antcm hnbe- f'g- *• bimus O N =1 3*. 15^ 1' ct 0«— 3*. 1 5^ i'i liinc demiffo ptrpcndiculo Np irit vt anie Np~43 et ^j — 3:'. 12", atqiie angulus Nspzz i°. 10' 30". Quarc cum fii Op — ON — On^ tr i n p — 0 , hincque «j— 32', i'^". Nunc vero rcptiiiur ptr- pendiculum «y— 43". li\m quia trianguhim ;;^ j- pro re(ftilinco habcri potefl, erit angulus jwyz&8°,43'.30'', cui angulus s n n zz 1°, 19'. 10" additus dat an^u- lum Hw^— 90°. 2'. 40"; hincque tx triangulo D.nq crit tang. «.a=r— -L--_^3;^_o,2687, tr- go arous XI;;— 164° 57'. Jjtuique rcpcrietur ip(c angulus Xi = — ^, rr a'. 45". ^ JUI. 15°.»' ' -^ §. 25. Hinc igitur abundc patet , qiinm im' mane difcrimcn intcr tahuliis Caliinianas ct HalKia- nas oriatur j cum i^cn folum loca cardinum \Itra cciitum AD RELATIONEW PLANETARVM. 51-7 centam fexaginta gradus difcrepent, fed etiam motus fccularcs in phiges contrarias vertanter. Ex quo fateri coi^imur , nihil adliuc in Aftronomia circa inclina- tionem miituam orbitarum phmetarum eiusquc mu- tabilitatem nobis conrtarc , vnde prorfus (upetfluum fbret hanc inuertigationcm pro reliquis planetis pro- fequi. iLCiamfi enim ambae hae tabulae non tam enormiter dilcrepcnt , tamen nihil omnino inde pro cardinibus harum pKinetarum concludcre licebit , cu- ius inceriitudinis cauflu in eo potiflimum ell fita t quod AftronoiTii orbitarum ad edipticam inclinationem fine vHa. ratione tanquam immiuabilem fpedauerint, cuius erroris enendatio magis ex theoria quam ex ob(cruationibiis cxpedl.uida videtur , quam ob rem boc argumeatuiTi iequentii Problemate daudamus. Problema.. §1 26:. Datir cardmlbus- duorum planetarum cum vtriurque pm/joiione Jeculari y ad quoduis tewparis tam interfcclionem quam iucHiiationem vtriusque orbitae de- terminare , fiquidem haec ekmenta pro nojira epochd 1700 fuennt cognita^ S o I II 1 1 o. Sit pro noflra epochi 1700 P N orbita vnius-'"'''^ ^^^- planetae et Q N orbita alterius, punda vero P et Q cardincs harum orbitarum et pundlum N earum interiediof dnti ergo erunt arcus PN— /Jet QN~^, cum inciinatione mutua feu angulo P N Qzz /'. Prae- terca vero fit motus (ccularis prioris orbitae PNza, altcrius vero orbitae QN — (3, vterque in eundem fea- 52$ DE CIRCVLO FIXO fenfum N T. Hinc iam quaeri debeat pofitio haronn orbitarum poft elapfa fi fecula , quarum ir.terltdio tum cadat in pundum «, ita vt tum arr.bae orbitae fu- turac fuit F n et Q_tt. H:ibebimus igitur angulos NP«— na et N (^« iz: « (3 , qui anguli pro mi- nimis haberi poffunt. lam primo tx N in P« de- mittatur perpendiculum NT, eritque HTzznxCin.p ct angulus P N T — 90" — « a cof. p; propterea quod 'PTn:PN et angulus P N T miuirae a retto di- fcrepabit. Sit iam S interfe(5lio arcuum QN et P« et in triangulo SNT crit angiilus SNT— po^-wacof./)-/' liincque quia trian:^ulum SNT vt planum (p-dl.iri potert, erit angulus N S T — « a cof. p + ij vnde col- ligitur arcus fyj c — n 1 Un. p et S T — ^T ^^ "^ Jin. ( n a co/, p -I- O *^ iang. ( n a co/. p _(_ z ) quibus inuentis erit QS =1: ^ -;^'- ^-^-j, quem breuitatis gratia ftatuamus — x. Nunc igitur iii triangulo QS« data erunt i°.QSi:x= y-^-^^'^,,; 2°. ang, S 0^« — «(3 ac 3^ ang. NS« — «acof.p+/i:^u. Ad hoc igitur triangulum rcfoluendum ex Q in arcum P« demittatur perpendiculum QV,eritque ex trl- angulo QSVnn.Q.V3fin./fin.u et tang.SV-tang./cof w, praeterea tang. S Q V — ^^. Sit autem bremtatis gratia SQV fin.SQVri; , eritquc angulus VQ;fy4«(3 ita vt in triangulo redangulo Q V « habeamus latus QV cum angulo V Q«, vnde rcpciimub tang.Qwz:^*-;^^"^^, ac denique fiu, Q« P — -JJj-g^ et fin. V « nr fin. Q ». fin, ( 1; -h ;; (3 ) vnde fi fubtrahatur S V remancbit :> «, cui propterea addi- AD RHLATIONEM PtANffiTARVM. $-9 addi dtbet arcus PS— PN — ST. Hoc igitur modo inuenti funt ambu arcus P« ct Q« , qui refcrunt "ambas orbitas pro tempore praercripto, vna cmn ea- rum intcrlldlione n et inclinatione mutua fciHcet angulo Q« V,^ ficque hoc problema perfcde ell re- folutum. Vbi hoc tantum adiecifle iuuabit , quod fi pofitio harum crbitarum ad tempus quod n feculis noilram epochanni praeceflit defideretur , tantum na*- merum n negatiuum capi dtbcre. Juna > Solutio alia eaque elegantiflima eiusdeip . i^ N problematis. ',,, ! r>N/.,! ""'-'' ^t 27. Maneant eaedehi denornfnjltionefe ▼t'^^J'; ^^^- ante, fcilicet P N =/? , Q N n^ , incIinntioPNQ-i, et anguli P— «a, Q— «(3^ tum ex N in arcus Vn et Q« dcmittaiitur perpcndicula N R. et N S , ■yt fiat NR— nafin. /) ct N S — « (3 fin. <^ , ^vnde ob angulos p tt q minimos erit etiam 'PvK^p -^t 'QS-7; anguli vero ernnt P N R — 90°— « a ciol.p et QN S ~ 90° — « (3 cof. ^ , ideoque angulus . :; . . P N S = 90° 4- / - « P cof. ^ , ''^ ■' ^ hincquc angulus R N S ^ / - w (3 cof. q -\-n (x cof. />. . . " ' ^ Hoc modo noflrum probleina eo redijcitur , vt ejt ,arcnbus N R et M S vna cum angnlo intercepto K N S definiantur arcus R« et S« vna cum iplb ani2iilo «, quod eft infigne Problema trigonometricuoi fphaericum , cuius Solutio ita ekgauiilijme expe- Twm.XX.Nou.Comm. Xxx §.2!. 550 DE CIRCVLO FIXO §. £8. Ponamiis breukatis gratia arcus NRzrr zz ttA Cin.p, NS=:x — «(3rin,^/et angulum RNSz^Cj) — ;• _ H p cof. q -\- n cL co(. p. lam producantur ar- cus R N et S N rctro vsque in r et x , vt arcus R r et S X fiant quadrantcs , critque pundum r po- lus circuli P R « et s polus circuli QS«, \nde arcus ex n ad hos polos r et j dudi (dlicet n r €t « x erunt etiam quadrantes , qui ergo ad arcum r s crunt perpendiculares et arcus r x mcnlura erit anguli r « X, Q}ui igitut anguli rnR et x«S funt rc(fli , erit angulus r « x r: R « S , quem hic potiffimum quaeri oportet. Deindc angulus R r n ''' aequabitur arcui Rh, cuius ergo complcmcntum * " erit angulus x r N. Simili modo erit angulus S X « aequahs arcui S n , quem ergo angulus r x N angulo redo fuperat j ita vt , fi ponamus arcus quaefitos R n zz x et S«— ^^, futnrus fit angulus X r N ~ 90° — X et angulus r x N — 9 o^+j. §. 29. Nunc igitur tota nollri problematis Solutio reducitur ad refolutionem trianguh fphaerici N r X, in quo cognita funt latera N r — 90° — r et Ni — 90°— i) vna cum angulo intercepto rNxrCj). Hinc ergo refolutio huius trianguli primo luppe- ditabit tertium latus rx, cui aequahs cft angulus rwx, quem vocemus — \\/, \t fit n r =; vj^i fecundo angilus Nrx dat 90" ~x; tertio vern angulus N X r =: 90° -f-/, ficque tria nolUa incognita x^ y et v|^ innotefcunt. ■' ' §. 30. Refolutio autem huius trianguli primo nobis praebet cof.r/ AD RELATIONEM PLANETARVM. 531 eoC r f — cof. f N r fia, N r fin. N/-4-cor. Nrcof. Nx ficque erit cof. \|/ zz cof (p cofl r cof / -f- fin. r fin. x. Praeterea vero reguiae praebent tang.(9o'-;»:)r . ii...j^- r )/,n. ^ ^ . tane fooVylz: Sin.(io°—,)fm.(p => ^^ ^i /»n. (.;r«— r) ca/.(90^- sj - ^o/. (so"- r ) /m. (,0°— s) coj.(> qiiae ergo reducuntur iid fcquentes formas COt ATi: co/.rfM.(t) gj _^^ co/. ; f;>i. t!> /in. rco/.j -coj.rj/n. SC0J.4) '^ — eof. rjin. i - J;n. r coj.J coj. 4> quae hoc modo fient commodiores tang. X =r ^"^^jf^"^' - fin. x cot. (p et tang.j'=::fin.rcot.0-'^^-il. Sicque omnes tres noHras incognitas x , y ct (Ji perquam fucciiKftc exprefiiraus. §. 31. Q}iiJ autcin noflro cafu angulus \\j quam minime ab angulo Cp> difcrepabit, ftatuamus v[y — Cj) -f- w , ita vt co fit angulus quam minimus, eritque cof vj^ = cof. (J) — oj fin. Cj). Hinc ergo ha- bebi 1HIS cof. Ct) — 0) fin. (f) =: cof. Cj) cof. r cof. / -f- fin. r fin. /. Quia vero efi r — tia. fin. p et j" — k (3 fin. q , ideo- que quam minimi, erit cof. r zz. i — \nn a a fin. p* et cof. X ~ I — i « « p (3 fin. ^'^ tum vcro fin.r~«afin.]) et fin. s — h^ fin. ^ , vade fict coI.Cp-c«i fin Cp-cof.(|)-^««aa fin.p'cofC|) -;««(3^ fin./cof.Cl) -i-««a(3fin,pfin.^ , vnde colligirnr j. — n B tt g/ii. ft* -I- » n p P/»ir.7» ^ nn g Pflii. p/w.^^ X X X 2 Vnde ^32 DE CIRCVLO FIXO Vnde patet, hanc diffcrentiam (u inter angulos (I) et \|> efle quafi inftnite paruuni fccundi ordini?, quod er- go penitus negleclum dabit angulum ? n Q_— (p zz i -{- 12 a coC p — « P cof. q , ita vt inclinatio orbitarum poft ti fccula crefcat qiianitatc «acof, p -«pcof. ^, quam mutationcin trgo pattl modo pofitiuam moJo negatiuam ficri pofle. §. 32. Si fimili modo rumamns {\n. r — n a dn. p j fin. / ir ;; (3 fin. q ct cof. r — I et cof. s — j, reperiemus binas reliquas inco^nitas x et y fequeuti modo cxprcflas : tang. X — "~^^^ - « (3 fin. q cot. (p ec ^ tang. y =:nafin.p cot, (p — " fj^-^p^ , vnde patet hos arcus R « rz at et Sfi~y effe quam minimos ; et cum fit proxime Cp — / , hunc valo- rcm fumfifle fufficiet , ex quibus colligitur , fore arcus noftros quaefitos » ^ _ .. — - naStn.p — hPfln.qcoJ.i gj ■ JiTi. i C „ — ^ n txfin.pcof.i — n ^fin. q '•' " — J jin.i Hocque modo nadli fumus Solutionem facillimam noftri Problematis, quae quidcm initio maxime ab- ftrufa erat vifii. Atque hinc iam luce meridiana clarius apparet , quam perpcram ab Aftronomis in- clinatio orbitarum planetarum mutua tanqiiam va- riabilis fpe "'"•'— npjin.g^ Harum igitur formularum opc omnia qaac huc fpedant multo faciliori calculo expediri poterunt , quam ante eft fadum. Id quod exemplis reliquo- rum planetarum illuftrabimus. §. 3 5. Sic igitur PN orbita Terrac, ideoque a:=4S";at QN orbita Martis pro tempore noHrac cpochae , et geminac tabulae aftronomicae quibus ante fumus vfi fatis vnanimiter praebent angulum PN Q=: i'. 50'. 54-" !«-€. Cadinum et i\ 51'. o" fec. Halleium , vnde medium (umtndo fit angulus P N Q := 1°. 50', 57" i longitudo autem nodi afcen- dentis 1*. 17°. 24'. 42" , vnde addtndo 7". 27' fit arcus P N rrp — i'. 24'. 52'. Pro anno 1800 au- tem hacc nodi longitudo affignatur i*. 18". 2S'. 2", eiusque crgo promotio fecui.iris refpedu acqumodlii erat 3'. 20", vnde pro n Kculis ctlligitur arcus P«= 1'. 17'. 2 5' -+-7°. 27'- 8 3'«-H«.' 1°. 3'. 20' idcoque x -=z n. 1°. 3'. 20" — 33" « , vnde omnia ad minuta fccunda reducendo crit - 1 1 8c^'- '^"-^"■- ^ - P/'"^!^ - laKj-PJ"-'? idcociue P fin. ^ =: 2395. tang. l — T]. Dummodo crgo quantitatum ]3 et q altcram nofle- mus, aitcra liinc dLi(.ra)inar(.tur. AD RELATIONEM PLANETARVM. 535 §. 35. Cum autcm nihil nobis pbne conftet de mutatione incliniuionis fcculari, nihil aiiiphus etiani nobis hiiic concluJere licet. Fonamus autcm pro auno 1800 inchnationcm fu.fTc 1°. 50'. 57" -f- (J" > itJ \t $ fit augmentum fccularc indinationis, atque elTe oportcbit n § — n a. cof. p — n ^ co(. 7, fuie $ — 27" — (3 cof. q , ideoque (3 cof. q ■=. 27" — 6", Qiiod fi crgo hoc incrementum (5" fucrit cxploratum, ambas quantitates (3 et ^ adignare poterimus ; \i- ciirim autcm U innotuerit quantitas (3, ambae littcrae «J et ^ dcfiniri poterunt. At vero ex priore aequatione 77 — (3 fin. q manifertum eli, nun;erum (3 minorem qnam 77 efTe non pofTe , \nde fi motum fecularem IVlartis flatuere \elimus p — 77'', foret q— 90", hinc- que (5"— 27 5 fiue augmentum feculare inclinationis orbitae Martis foret a^^^quod fortaffe a \eritate pa- Tuni recedit. Nequc ergo fuper hoc articuio m omnimoda ignoratione \erfamur , quoniam certi fu- mus, motum fecuJarem orbitae IV.artis maiorem effc quam 77, id quod maxime \erifiii ile videturi cum a^flio louis in Martem non folum maior fit quam in Terram , fed etiam Mars ab jpfa Terra praeter- quam a Venere foliicitetur. §. 37. Simili modo orbitam Veneris contem- plemur, pro qua nouimus effe i— 3°. 23'. 20" i ct pro anno 1700 crat longitudo nodi Veneris afcen- dentis 2'. 13°. 57'. 53", hincque p — 2'. 21^ V- 5 3". At pro anno 1800 tabulae dant iongitudinem eius- dcm nodi 2'. 1-1.°. 49'. 33". Vndc fi ftatim fuma- mus 555 DE CIRCVLO FIXO mus « rr I et addamus 6°. 4' hibebimus p-f-A'— 2'. 20°. 53'. 3 ■5" > »ti» ^t ^it i; = - 1 1'. 20" = - 680" := w^- Pi^p££L», Eft vtrol^^^^f-SO^" vnde fit prm.'7=i + 8 2"cang./-8 8". Atque hinc iam dilcimus motum lecularem orbitae Vcneris ccrte minorem eflc non poite quani 8 8". Quod fi autem fumamus efle pn88 ideoque ^ — 90 ope- titur angulus P n Q^zz i-f- a cof. p — 3'. 23'. 27", ita Vt mclinatio orbitae Veneris lingulis lcculis augmcn- tum capcret 7" , quod latis prob;ibilc videiur. Vbi notafle iuuabit fi arcus q maior minorue eflet quam 90', pro P maiorem valorem accipi dtbcre quarf» 88 fec. §. 3S Euoluamus ctiam hanc inueftigationem pro orbita Mercuiii , cuius indinatio ad eclipticam anno 1700 erat i — 6'. 59'- 20 fec. Halleium et lon- gitudo nodi alcendcntis i*. 14." 47' 20" et pro anno 1800 — i'. 16*. io'.4o", vnde fumto «— i habtbimus p — 1'. 22°. 14.'. 20" ct p i- X — iK 22°. 14'. 40" idcoque *t'' fin.p — pfin. 0 eo''i X • ... - fj^\j Eft vero li^^r^ia", vnde fit |3 011.9:12 92 tang./iis^", vnde patct motum fecularcm ttrbitae M tcurii mi- norem tffe non pofle quam 36". Q^uo.l li autem (umamus effc (3 :::. 36" , idcoque q — 90°, repcntur antiuhis P « Q— i -|- a coC p — 6*. 59'. 49" , ita Vt inclinfttio orbitae Mercuni fui^uh- lecuiis au^men* tum capiat 29" ^ vbi eadcn oblcruatio quae fupra , valet, (cihcct fi arci'S q n\A'uir minoruc tflet qiiam 90* pro (3 maiorem valorem accipi deberc quam 3<5"- §• 39- AD RELATIONEM PLANETARVM. 537 f 39. His qiinfi pracguftatis , quae adhuc tam ex obferuatioiiibus quam Theoria deducere licuit , vix quicquam vherius ex vtroque fonte expedare poflTe videtur, nifi circulus reuera immobilis iii coelo ftabiliatur , ad quem tam loca obferuata quam ef- fecftus ex mutua planetarum adione oriundi refa- rantur , vnde has meditationes fequenti problematc concludamus. Problema. §. 40. Si tempore quocunque locus phmtae in eoelo inore Joiito fuerit obferuatus , eius fitum dd circU' lum nojlrum fixum in coelo reducere. S o 1 u t i o. Ponamus obferuationem fadam eflfe ante epo- cham noftram 1700 et planetae longitudinem dc- prehenfam fuifle rr L, latitudincm vero — A, quam vt borealcm fpcdlcmus. lam tempus obferuationis fubtrahatur ab epocha noftra 1700 et interualium annorum per loo diuifum praebeat n fecula. His^, .„.„ pofitis referat OAB noltrum circulum in coelo Fig. 7. fixum feu eclipticam pro 1700, in quo puii eritque pun- Tom.XX.Nou.Comm. Yyy f<^u fi propius ad vcritatem acccderc vdimn? — 2'. o", cor- recftio nutem horizontalis hab^tur — 1'. 49". Haec igiair coiiclufio cum praccedeuti optime coufentit. Z z z 2 Denique 54« E)E SnV GEOGRAPH. VARIO!l. Deniqne fi nbferiiationcs in Gluchow fe(fl,ic confu- Jantiir , ex altmidine ipfius Stclbc Foljri^ comparati cuiTi ulntudinii^us a Sagittae tt e Dclphiiii , dcduci- tur corredio Quadrantis — 2'. 5". Veruni fiiiiilis comparatio altitudinuai pro llclhs. a et S D.lphini , corri-dioncm Quadrantis circa gradum 50°, maiorein non dat , quam — 1'. 40'' , ivleo jue horizontali mi- DoreTi , c]U()d omnibus rcliquis determinationibns contrarium e(!. Idcirto harum obferuationum vim tanti non elTc ex lliinamus , \t rtliquarum omniuni aucf^oritatcm infringcre valerent. Quicquid autein fit , fjit<.m latis euidcutcr comprobatum enTo \idctur, pro diuifioiHbns (^uadrantis intra gradum 60 ct 70" Contt-iitis , trrortm n ulttim diicrepare ab errore Qiiadrantis horiZ( ntali. Quum igitur id nobis nunc non (umanius, vt corrtdionem Quadraniis pro fin- gulis cius diuifionibus , cum lumma exaditudine definire velimus , vt tamen conclufiones pro Laiitu- dinibus locoum ex altitudinibus Solis et ftcllarum fixarum c'educendac co magis rcddantur confpirantes, certam hypothefin non prorlus inuerifimilem chga- nnus pro acfiimandis correcflionibus Quadrantis circa fingulis eius ciiuifioncs. Primum igitur pro altiru- dinibus 40*^ minonbus corrcdioncm iiorizontalem adiiibcbimus, pro altitudiuibus vcro infcqncntibus vsquc ad 65° gradum , pro fingulis gradibu* corrtdioncn horiz >nfalem , tot fccundis diminuemus , (pcdata fcilicct correcflione horizontali vt pofitiua, quot gra- dibus altitudo propofita gradum 40 lupcrat, ita vt (i corrc(fliO horizontalib dicatur a, pro gradu 52 fu- tura IN RVSSIA LOCORV:VT. 549 tura fit tf— li" pro grndu nntem 5^,«— 16". Contra fi a fit tugatiua "—(1, pro ciuifionibus qihidrantis a 40 ad 65 graduni , ad |3 tot addnmus fccimda , c"|uoc ^rai^ibus diuilit) prc polita fupirat 40 gradum. Pro altitudinilus vero quae vltra 70 gra- cum exluigunt , iplum \aloitm c'^rri 1 Medium i5i- 10.53 Sin Ycro obfcioationes diclnis 6 ct ic AuguITi fiKfiae cxcludantur, rr.edium reliquarum dabit Elcuationcm Fuli pro hoc loco 51'. 10'. 59". l'ro qna cnius- modi deterir inaiioncs cx obfcruatis .iltitudmibns Hel- larum fixarum prodcanr , iam quoque dilpiciamus: DiLbus IN RVSSIA LORORVM. SU Diebu? 1 9 ct 5o'AItit. Stellac Augufti e. Lyrac $ Aq«il\e (3 Cygni a Sagittac y Aqnilae ct Aquilac P AqDili^e 0 Antinoi ft Capric. obftruata 177^1 S'.37"? 77- i8. 4-1 > 'fi. 25- I l 4-1. 24 57S 66. 13. 40 ^ 66. 13. 28 S 55. 14. 21 ^ 55. 14. ii s 48. 48. 41 l 48. 43. 33 S 47. I- ^ ? 47. 1 . 10 ^ 4+- 35. 24? 44- 35. 28 S 57. 15. *8 5 37. 15- 32S 25. 30. 58 ] ^5. 50. 58 \ Corr. Q^Ludr. + 5'. 40" + 5. 39 -f5. i5 + 5. 2 + + 5. 3t + 5- 3 3 + 5- 35 + 5. 40 + 5. 40 Kefr.pecI.Stcllac flppar. Mcdium Ex his igitur liquet Lntitudinen) huius vrbis fine errore fcnfibili (latui ponb 51°. n'. o", De Lo?igitiidi)ic Gcogruphica cinsdcm vrbis. Pro hac Longitudinc dctcrminanda tres a Nob, Eukro inftitutac habentur oblcruationes EcHpfium Sa- teliitum louis , binae fcilicct obferuationes Emer- fionum Primi et vna obferuatio Emcrfionis Sccundi, quae obferuaiiones licet plgnam lioc in negotio cer- titudinem 551 lOE SITV GEOGRAPM. VARIOR. titudincm fuppeditarc non valcant > tainen eas heic recenlcndas cenfemus , vc falttni quodaninodo co- gnolcatur fuus huius loci quoad Longitudincni. Prima igitur obfcruatio eft Emerfio I. Snrcllitis die 2 Aug. 3769, quae in Vrallkoi Gorodok oblcruata fuit Temp. vcro 9^- 55'- 2^"^ quum igitur fecundum Tabulas 111 uft. Wargentin hacc obferuatio Lutetiac Parifiorum contingere debuit Temp. vcro 6^36'.!", prodirct hinc differcntia meridianorum inter locum noHrum et Lutetiam Parifioriim 3^ 19'. ?3". Altera Emerfio I. Satellitis contigit die 18 Augutli Temp. vero 8''. 14'. 5S", cuius Temp. Parifinum ex Ta- bulis habetur 4*. 57'. -7" 1 vnde deducitur difieren- tia mcridianorum 3^ 17'- 31". Denique Emcrfio Secundi Sattllitis in Vrolfkoi Gorodok die 21 Aug. Temp. vero 8^ 13'. 53" obfcruata et cum Tempore Parifino ex Tabulis dedudo 4^ 58'. 19" comparata , dat difTcrentiam meridianorum 3^ 15'. 34". In tanta conclulionum difcrepantia , iiieptum foret mediam aliquam determinationem eligere , verifimile autem cfl determinationem illam, quae ex Emcrfione L die 18 AuguQi colligitur, ad vcritatem proximc accedere. Nam de priori emerfione ex diario Nob. Euleri liquetj eam eo minus tutam eflc poffc , quod tribus pofl obfcruationcm clapfis minutis primis , omnes Satellitcs ipfi pcnitus difparuerint quia Inpiter iam vaporibus horizontis immeri;ebat. De obferuatione \cro lccundi Satellitis , quae valdc bona effe poteft , tenendum cf>, ex ea nihil condudi poffe nifi corre(f^io Tibularum , pro hcc tcmporc cx aliis cbferuationi- bue IN RVSSIA LOCORVM. ^^3 biw innotcfcat , qiuim in Edipfibus luiius S;itcllit»s crrores labuiaruin qni duobus ininutis ab(o!uuiHur, haud cflc (oleaot i ilorip. (^uicquid aiitcin fit , ob- feruiujoni ernerfionis primi diq 15 AUj^ulli facflae , iraximam fidcm liabenteis , Lqngitudinem loci nof|ri a Meridtaiia ParifinQ , ftatuainus 3*. i-j'. o" in lemr pore i fiuo 49°. 15' ia i^radibps acfiimatam. Dc LaPitudim wbi^ Tfcherkafk. [\ bac. vfbc N|ob. Eulen^s duplicj vice obftr- cs, ifv/lituii , F*-ii?;iiira fcjlicqt p^c^fibus Noue|nv-. ^ri^ ^t; D^cembris Aypi |7^^ ? tUTi vero iqerpqa pi^nr^ Martii AiinO| X770 ppfiquam fx itinere, duo qalUlji ^t* Pcmetfrium et Ta2;anr(»ck iuuil,ebit , l^edus^ fa: ' Tom.XX.Nou.Comm, Aaaq Anno SS^ DE SITV GEOGRAPH. VARIOR. Aono 1769 Nou.die 19 20 Altit.limb.OCorr.(^uad. Semid.Oi<.efr-Piir. fupcr. + 5'.4-&" o ;3 .2: ,'51" 23' 9- ^ 231 12. 30.56 2^ 22. 18. 58 26 21. 55. 20 Dec. 8, 20. II. 30 X2 19 50. 58 ai 19. 31- 45 22 19. 31.45 i77oTan. i 19- 59- ^5 Mart. 1+ 40. 30 59 15 40. 54- 5 3 33 29 3C 44. 4- »5 4-<5. 24. 5 3 4.6. 4.8. 25 4- 5, 1 2 + 6. 1 1 + 5. 8 + 6. 5 :6'.i4-" i5. 15 i5. 17 16. 18 i5. 18 i5. 7 ,/ Decl. O Auflr. i5. i5. 4 3 4 2. 6 2. 10 2. I I 2. 14. 2, 27 2. 2b 2. 32 2. 29 I. O 57 51 47 45 Eleuat. Poii -t-7 +7 19 .35'. 4."^47 19. 4.9.42 1+7 20. ab- 25 20. 40 3 3 21. 3-4M'-"' 22. 4.7. 58 23. 8.43 23- 28, 7 23. 27.5 23. O I J 2. 25.59 2. 2 ly 3or. I. 7. 8 3. 28. 2 3- 51 20 Medium ■4' .I3'.35" 53.44 »3-15 »3. 7 13''iO +7. 13.28 +7. 13. i5 +7- »3-10 47. 13.23 +7. 13.25 ^7- 13.57 + 7. 13 41 + 7- 13.40 +7- 13.53 +7. 13' 35 f7. 13- Sequuntur iam detcrminationcs pro Liuitiidinc vrbis Tfcherkafk ex oblcruatis altitudinibus fiellaruai llxa- rum dcduflac. 1759 21 Dec Altit. Stcllac Corr.(^uad. Kefr. Dccl.Siellac likuat. Poli obferu. c Andromedac 70°.3o'.38" + 5'.4&" 20" 27° 29' 32" 47°. 13' 26" y Pegafi 55. 35. J9 + 5.32 37 13- 5 +.31 n- 13- 18 "H Ceti 51. 17 55 -H 5.48 i'.34 11. 24.39 47- 13. 12 i770 24.Mart. S Gcmin. [55. 3. 5 2 ', + 5-47 25 22. 23. 5 +7. 13. 52 P Canis min. 51. 25. 7 1+5. I 45 8. 44. I 2 +7. 13.49 Procyon 4-&. 28.49 + 5. 4 50 5. 48- 1 +7. 13- 58 P Gcmin. 71. 14.13 4-5.12 18 28 33.43 Mcdium 47. 13- 37 1 +7. 13 35 Huic IN RVSS[A LOCOaVM. 5J$ Hinc mcdio funito harum concluflonum Eleuatia Poli vrbis Tfchcrkifk llatui poterit 47'. 13'. ^^". De Longitudiiie vrbis Tfcberhifh ■ '^ Pro Lonk^icudme hac deteriiiiiianda, piimum fiip- petit obferuatio Immerfionis \. SatelUtis louis, die 25 J\l;irtii A. 1770, quae immerfio in Tfcherkalk contigit Temp. -vero i6*.6'. s"» cum Parifiis ex calculo Tabula- rum contingere dcbuiflet Tem.p. i 3^3 3'.4o'', vnJe con- cluditur differentia meridianorum inter Tlchtrknfk et Lutctias Parifiorum 2*3o'.28'', feu in Gradibus 37^37'. Huic autem obferuationi correfpondentem quum habea- mus obferuationem Tyrnauiae eodem die fa^ftam, prac» ftabit per comparationem harum obfcruationum, Lon- gitudinem vrbis Tfcherkafk concludere. Immerf. L 1770 d. 25 Martii in Tfcherkafk 16*. 6'. 8" Temp. vero Tyrnauiae 14. 37 14, Differ. Meridian. i. 28 54. Longitud. Tymauiae a Parifiis i. o. 55 Longitudo Tfcherkafk a Parifiis 2. 29. 49 Practcr hanc obleruationem in eodem loco quoque ra ^fi Sin verb altituJo y\ Pleiadum die at faniiafii ex^* cludatiir , fict Ljtitiido Iiuius loci 47°. 13' 6",; ctfi ,i cAnclufioni t!^to acquicfcfcr^ ^o'terimui Fro Lon* .u i' *, girudine huius loci determinaada , nullj adcft- ob- fcruatio, cae-terum ;ca facile cx Longitudini&us pr jL _ ,,28 Altit. cent. 0 ^ - - 2'sr. Si.fe^ *- -^ |- ^0.3^. 7 Declin. O - - -13- iS-^S *^ "^ t,- 12.14. 12 t «i< < . V I' Eleuatio Poli ^ - -4.7. i2.i3^ - - |- 47'. i?..4i Altitudines vero flellarum fixarum pro Xxis. La.t^iUr dine fequeutes fuppeditant dettrminationes | ' '" ^, A a a a 3 170O 5S8 DE SITV GEOGRAPH. VARIOR. 1770 d. laAliit.SiellneCor.Quadr, J3 Febr. obferu. B- 'iauri .tfi°.2i'.5i'* 61. 22. 14- A Tauri j8. 4+. 30 5'. c" S8. 4+ 15 P Taur» [71,, s.aa [71. ' '} — K'e«^ 5- a 5.21 5'. 19 4.58 5.21 5.11 5.^1 34 20 i' " 21 li- 26. 18.59 34. 14.15 Rcfr. jDecl.Steila hleuat. t^oli 3i"x8'.39'. 9" 47°. 12'. 50" 47. 12.27 16. 1. 50 47. 12.53 I47. 13. 7 i8. 23. 30 47. 12.57 ',47. I 2." 3 p, 29. i() 47. 12.52 47. 12-37 I20. 58.55 '47. 12.20 li. 0 I 2. 5. I 47. 12.37 , 47. I 2. 4"'i3'. V.54"| W-^' 46" ^ Leonis 65. 24. 35 + 5- 15 26 24 33- 9 49 3 45 S J.eonis 62. ^^, 3iv -t >' n %9 «<^. 4^' ^4 49 3. 22 P Leonis 5<5. 4.3- 21 -f *• »4- 37 15- 51. 16 49 3. 8 5<5. 43. 0 15. 5/. 17 49- 3- 30 t Cor\i\ 19 32^ 37 7) Viii^iais +1. 28). 4 5 +. 9. 40 2'. 38 21. 2d. 45 49 3| *?^' +i 5. 39 'n 4 0. 3 24 0. 3(J. 38 49-3 39 y Virsinis 40. 40|. 4^ + 5. 39 ti 6 0. I |. 16 ' 49. 3f 28 +0. 4.9. 50 0. 1 ^ 16 49 3- ao ^ Vi^ginib 45- 3^ »1 +-• 5. 3 5 5^ 4- 3fc-58 49. 3. 8 45. 39 50 4. 3$. 59 49. 3,. 30 e Vir|ginfs 53. 3. 31 -h 5 27 , ^^2 12 i|l. 90 •12. 1 . yi 49- 3|. 21 53. ^ 33 1 4S>. ^- 20 0 Virginis 36. 3$. 3y Hf 5.40 it.ry 41^ 33 49 3- «5 3<5. 3^. 29 1 4. i^- 32' 49- :?• 3 5 ct Virginis 3?>. 5^. 5» 30. 55. 2 -* 5.40 »•3 5 9. 5t. 3» 49- ^34 4V. 3 23 ^ \ irgiais 41. 25. 38 + 5. 39 '• 4 0. 34.. 58 49. 3 44 41. 26. 52 iMedu^r» 49- 3- 30 4p. 3. 28 Viidetur itaq iie Latitudint :m hu lus luci lat is lUlQ ftatui pofle 49". 3'. 28". De Lovgifiidiiic -crhis Krcmeiitfchiick. Vvo lijc Loiigiuidinc Ihiiiilicnda In .j>. Iiippe- cbkruiuioncs ciria Ldii^lb bdiclliLum '0>iis. In.mcr- ,{BOt IN RVSSIA LOCORVM. 5 25 65-53.43 Ktfr. ~'<^ 27 65.53.32 ^^^jj.^ ^pp^j._ ^5^ 51.10 30 ^^ 53» 56 ixclin. Y 72. 39.18 Medium 65- 5 3- 5 5 £1^,^^^ pyij ^8. 30. 2 8 \cruQii IN RVSSIA LOCORVM. s^S verufn ne fic quidem obferuationes pro akituJinibus Solis , ad conlcufLiin cuin obleruatioiiibiis circa alti- tuJiues fixirum redi^i poirunt ; ncc hic quidem diHeiifUb toili potert , fi corrciflio Quadraiuis talis adhibeatur , qualis ad horizontcm iiuenta fuit , fum enim diflenlus intcr altitudines Solis et Arduri ma- nebit idem vt antea ; altitudo vero Arcluri cuin alcitudinibjs p et y Vrfie minoris nullo modo con- ciliari poteruat ; qu.im ob cauff.im in illhoc diirciifu, aliam ratiouen) detcrminandi Latitudinem loci propo fiti, tutiorem non edc exjllimamus, quam vc inter con- clufiones iam inuentas mcdium capiatur , quo faclo prodibit LatituJo CallcUi St. tilifabeth 4S'. 30'. 17", quam tamen in fauorem obleruationum circa ahitu- dints Solis factarum , numcro rotundo 4.&". 30'. lo'^ ibtuere Hcebit. Dc Longitudine Cajidli St. Elifahethae, Ternae in hoc loco a Nob. Eiilero infiitutae habentur obfcruationes circa Eclipfcs, Satellitum louis, Harum prima eft Emerfio fecundi Satellitis quae dic 19 lunii obferuata eft Temp. vero (J^. 21'. 32''. Ladem Emcrfio vero Tyrnauiae obf^ruata habetur Temp. vero &''. 23'. 37'' et Zaricini 10''. 9'. 34 , vnde difTcri-ntia meridiannrun> St, Elifabcthac a Tyr- nauia o^ 57'. 55" et a Zjricin 4S'. 2"; hincque a Parifiis vel 1^58'. 50", vel 2^.o'.28". Prior autem harum conclufionum heic in computum vciiire non dcbcr, quoniam obfcruatio Tyrnauienfis valde dubia erat. B b b b 3 Emerfio S66 DE SITV GEOGRAPH. VARIOR. Emcrfio Primi Satellitis die 20 lunii in St. Elifaberha obleru. Temp. 1 1*. 6'. 3" Stockholmiae 10. 8. 30 Zaricin i r. 5 3-5- Hincconcludiiur differentia meridianorum iuter St. Elilabeth et Stockholmiam 57-33 St. Elifabeth ct Zuricin 47 49 Ideoque Longitudo St. Elilabethae a tneridiano Pa- rifip.o , jcr priorem cotnparationem 2^ o'. 28" , ptr pofteritjrcm autem 2*'. o' ^i". Emerfio 1. Satellitis die 27 lunii in St. Flifabeth obferuata lcmp. vero i2*.5 8' 5 5" Parifiib coatingere dcbuit ex calculo lo. 5*5.30 Hinc Lopgitudo. E-lifabcthae a Parlfiis 2. 0.25 Mcdio igitur fumto harum conclufionum , proJibit Lon^ituJo huius loci 2^ c'. 30" , f(.u in Gradibus 30°. 7I' a A'eridiano Parifiauo con putata , quae fi non prorfus cxadla fit t taa.cn haud longe a vcri- tate abenabit , praefertim quum vtr.iqnc oWeruatio emcrricois Primi,coclo bene fauente (it pcr:;d;j. Dctcrmi?intio Lntitudinis pro CaflcUo Siiporo^fhijd - Sictfcha. Fx ooferuationibns altitudinuni Solis ct (lcl- Inrum fixarum , eas tantum heic rcctnfcrc placct , qiac faflae funt , corrtdi(Mic Quadranti^ honzontali exiftcnte primum — i'. 3+", tum vcro -1' 48". Ex obfertatis igitur aliitudiujbus Sohs , fcqucntcm in IN RVSSIA LOCORVM. 5 • 41 18. 0. 5 I 47. 3J [. 43 17- 29.57 47. 31 . 34 16. 24. 4.6 47. 31 . 49 15. 50. 33 47. 31 [. 40 15. 15. 20 47- 31 . i^ 14. 57. ai 47. 31 .35 14.39. 8 47- 3J . 38 14. 20. 41 JMedium 47- 31 .3^ 47- 3J '.37 Ex . $6S DE SITV GEOGRArH. VARIOR. Ex altitudiiiibus vcro nclbinim fixarum fequcntes habentur ceterminationeb : I770J. 24. Alut Sttllae Cor.(^uadr. K^fr. iycd.liteilae hlcuat. r^oli 26 liilu obicru. OphiUclii 6 3 9'.c6' ic" 39- »5. 59 1'. 8" 3°. 5'. 4" 47^31 '. = 8" 47. 31.39 t 38. 24. 28 I. 12 4. <7. 5 I 47. 31. 27 Antiitcs 16. 38. 45 3. 7 25 54. 6 47. 31- 50 i<5. 38. 51 47. 31. 44- Ophiuchi ^ 32 26. 14 32. 26. 29 1.28 10. 4. 58 47. 31- 50 4"7. 31. 35 M 27. 6. 57 27. 6. 44 1.51 15« -5- i<5 -^7. 31. li 47. 31. 25 Hercul. a 57. I I. 9 5 7- 11. 15 - I.5I 37 14. 40. 1$ 47. 31. 34 47. 3«. =8 Opbiiichi 0 17. 47. 5-) 17 47 59 - 1.34 2.57 24. 44. 51 47. 31 45 ^7 31. 41 ' ^ ; 55- 15. 30 - 1-49 40 12. 44. 51 47. 31. 50 55. 15. 43 Mcdium 47. 3T. 35 47. 31- 3<5 Quibus IN RVSSIA LOCORVM. 5(5p Qiilbus determin;itionibus adhuc fcqucntcs adiiciamus: 1770 1 1 Alcit.StelLie Corr.Q^iiad. Kcfr. Dccl.Sicliae Eleuat. PoU Aug. i obfcru. Aquihice 57°- ^■'•S'^" _ «/ c'^ 37'' i^\^6'.2s'\ 47°.3i'.3i" ^ 5^. 3. 4^ - 2. 4 3S 13- 32. 23 47. 31- -3 § 45- «I. 3" - I- 53 57 2. 40. 29 47. 31- 47 Cygni p 70. 0. 3 3 - I. 50 2 I 27. 29.30 47. 31- 8 Sagittac a 60. 0. 5^ -2. 8 53 17- 30. 7 47. 31. 52 Aquilaey 52. 35 "° — 2. 0 44 10. 4. lO 47. 31. 3 + a 50. 48. 10 - I. 5S 46 8. 15.37 47. 31- i^ (3 4S. 22. 22 -1.56 51 5 51. 10 47. 3I' 3? Ar.tinoi 6 4t. 2. i — I. 49 I- 5 I. 29. 9 47. 31- 44 Cu pric. a 29. 17- 34 - 1, 48 1. 41 13- 14.28 47. 31. 27 P 27. 2. 25 I. 51 15. 29.23 47. 3^. 41 Delph. e 53. -.29 — 2. I 43 10. 32. 20 47- 31. 3 5 a 57. 3S. 9 - 2. 5 37 15. 7. 0 Medium 47. 31. 3 3 47- 31. 3 a JNleiio igitur fumto inter has concliifiones, Latitudo loci pro Saporoglkaja Sietfcha Ibtui potelt 47°.3i'.3 5". Aititudincs vero ftellarum verfus Borcam faclas heic in cofnputum non duximus , quia caedem , ob in- certitudincm circa vcrani rcfradlionis quantitatem , alicui dubio obnoxiac eflo potcrunt. Dctcniiinntio Lov^itiidims pro Cajtcllo Sdjwrogfknja Sictfcha. Pro Longitudine huius loci dctcrminanda, ter- nae a Nob. Kukro obferuatae funt Edipfcs Satelli- . Tom.XX. Nou.Comm. Cccc tum 570 DE SITV GEOGRAPH. VARIOR. tum louis. Harum prima eft Emerfio Tertii Satel- liiis , quae in Saporogfkaja Sictfcha contigit dic lo lulii Temp. vcro n''. 24.'. 13". Verum quum huic obfcruationi alia correfpondcns alibi fada non fuppc- tat , hinc pro Longirudine dctcrminanda nibil con- cludi poteft. Sccunda obferuatio efi: emerfio Sccundi Satellitis die 21 Iulii,quam Nob. Eukrus obfcruauit Temp. vtro 9^ o'. 37" , quum igitur Tenip. Parif. huius obferuationis fit 6^ $1'. 59", hinc fcqueretur diffcrentia meridianorum inter Saporogfkija Sietfcha et Parifios a*. 7'. 38", vcrum quum ex aliis obfer- vationibus conflet errorem Tabularum pro hoc tem- pore fuifTe i'. 40'^ in excefTu , Tempus corrccflum Parifinum huius emcrfionis erit 6^. 51'. 19", idco- que differentia meridianorum quaefiia z". 9'. 1 8" , quae certe nimis magna efh Deniquc et Emerfio Primi Satellitis hoc in loco obferuata habetur die 14. Aug. Temp. \ero 8^2'. 58", cuius Enierfio- nis Tcmpus Parifinum quum incidat in s'' 54-". 51"^ ex Tab. Celeb. Wargentin , fict ex hac oblcruationc differentia meridianorum intcr Saporoglkjja Sictfcha et Parifios i^. 8^. 7"" , quae igitur numcro rotundo flatui potefl i^. 8'. 10" fiue in Gradibus 32°. 2'/. Quamuis autem haec obferuatio coclo fcreno ct (x- vente infiituta fit; ramen ob lumen crepufculi adhuc fcnfibilc, facilc ficri potefl , \t hacc cmerfio iutlo tardius fit obfcruata , ideoquc Longitudo huius locl aohuc aliquanto minor fit , quam quac cx hac ob- Ceruatione coUigitur. IN RVSSIA LOCORVM. $1i Dctmnijiotio Latitudinis pro vrbe Smara, Corredlio Quadrantis in hoc loco perinde ac in Sjporoi^fk:ija bietfcha , inucnta efl: — i'. ^8", qua igitur in fequentibus calculis vtemiT: 1770 Aug.AItit.limb.OCorr.Quadr, Sernid.G Refr-Par, fuper ftO 21 22 23 5 4-*. 14-' 11" 53. 54- 19 53- 34-2 + 53. 13-4- — aU" — 2. I 15'.52' 15. 53 32 33 34- 35 // Dedin. O Eleuat. Poli Fx obferuatis autem altitudinibiis fixarum , tes coUiuuntur detcrinindtiones : i2'.2 5'.2 3"|48 .29'.39" 12. 5. -<5 '4-8. 29. 34. II. 45 17 48. 29.22 II. 24. 58 48. 29.45 Medium 48. 29. 35 fequen- 1770 19- 21 Aug. Aquilae t Sagit. a Aquihie y a Antin. 0 Capric. a Altit. Stellae obferu. 55 20'. o' 5. 39 15- 4<5 3. 6 3. i<^ 37. II 50. O I I 3 28. 19. si 16. 4. 36 Corr.Qiiadr. Refr. DechSteUaejEleuatio Poli 44' 5 9- 59. 51. 49. 47. 24 40. 4 -2'. — 2. — I. — 2. 5 4 53 7 M 3S"i4.46'.25'' - I. 59 - I. 57 - I. 5 5 - I. 48 40 59 34 46 48 52 1'. 8 1.44 I. 5<5 13- 32. 23 2. 40. 29 17.30. 7 10. 4. 10 8. 16. 37 5. 51. 10 I. 29. 9 13- 14- 28 15- 29. 23 48°. 29'. 8" 48 29. 28 48. 29. 35 48. 29. 41 48. 29. 31 48. 29. 42 48. 29. 22 48. 29. 45 48. 29. 44 48. 29.43 48 29 45 Eleuatio igitur Poli tur 48°. 29'. 35". Medium 48. 29. 35 pro vrbe Samara hinc deduci- Cc c c 2 De STi DE SITV GEOGRAPHrVARlOR. De Loiigitudim ciiisdm loci. Tres in hac vrbe a Nob. Eukro inrtitutae funt obfcruationcs circa Eclipfes Satellitum louis. Ivam 22 Aug. iib ip(o obfcruatae habciunr , Emer- il fio Secundi Satellitis ct Immerfio Tertii , quarum prior contigit , Tcmp. vero 8^ 44-'. o^' , pt flerior vero S''. 55'. 21''. Qiium ex poftcriori obler- ■vatione pro Loni die I Sept. , (jua inucMita e(l altitudo Limbi Solis fuperioris 49°. 40'. 59", vnde pofita Declinatione Solis pio hac obfcruatione s". 14.'. 2S", Semidia- mttro iolis 15'. 55" et refrac^lione 41" colhgitur ekuatio Poli huius loci 48°. 5z'. 2''. Ex altitudi- nibus vero fixarum die 31 Aug. fcquentes habentur determiuationes : Altit.Scelhu Corr. (^uadr. Refr Decl.Stellae tkuat. Poli obferu. Cygni p 6s'.4o'. 13" - i'.54" 20" 2 7'.2 9'-3o"4S°-5i' 31" Sagittae a 5S.41. 3 -2. 6 31 17. 30. 8 48- 5 ». 42 Aquihie y 51. 15. 18 — I. 58 42 10. 4. 10 48. si. 32 a 49. 27. 46 - 1.56 45 8 16. 3-T 48, 51. 3a P 47. 2. 14 - J. 55 50 5 51.10 48. 51. 41 Sirius 24. 47. 13 - I. 48 '6 24. 54 48. 51 44 Medium 4-8. 5 1. 37 Hinc igitnr Liqaet , Latitudinem hnius loci , nu- mero rotundo ftatui pofTe 48°. 5 1'. 40'^ Prn Lon- gitudine vero determinanda , nullae fuppctunt ob- feruationes. Cccc 3 De S7t. DE SITV GEOGRAPH. VARIOR. De Liititudtnc 'crlns GJuchow, CorrCLlione Quadrantis horizontali , riippofita vt ante — i'. 4S", ex obfcruatis altituainibus Solis , fcqucntcs habencur detcrminationes : 1770 Sept. Ahit. hmb.O Cor. Quadr. Semid. O Keh - Parah 'Decl.O Ault. Ekuat. Foli fuper. I i5'. i" Odlobr. •3 6| 7 II 15 \6 22 a6 31 23 3S .30'. o' 2+38. (J. 31 '1 36. 55. 29 33 50. 10 33 -(5. 52 33- 3- 3<5 31. 3 = . 12 30. 2. 41 29 40 45 27 30. 33 16. 27. 42 25. 711 24. 27. i9 - i'.4S'' i5. i5. l5. 16. l(f. i5. 16. 4 6 S 9 V. I. I. j. I. I. I. 1. I. I. I. 4" 6 9 18 20 21 = S 30 33 42 48 i5. II I. 49 I 59 0°. 8 '.2 4" e .40'. 29" 0. 31« 52 40.32 I. 42. 9 40. 21 4 4S. 45 _ 40.14 5. II. 5 = 40. 27 5. 34- 5 5 40. 42 7. 5. 21 40. 45 S. 3<5 15 40. 29 8. 58- 25 _ 40. 18 II. 8.37 40. 28 12. II. 33 51- 40. 30 12. 32. 9 40. 16 14. 12. 10 40. 29 Medium 5i. 40. 29 Forro difpiciamus quoque , quid ex obferuatis Ahi- tudinibus flellarum fixarum de h.ic Latitudine con- cludcre hcet , vbi quidem cas tantiinn obfetuationes in computum cuxitT'Ut> quae Qtiadrante verfus Me- Ddiem conucrlo , inrtiiute funt , caeicrae enim aki- tudincs verfus Borcam captae aliquaiiio iucertiores ■\'identur. 1770 IN RVSSIA LOCORVM. 575 1770 d. kJ Altit. Stcllar, Oa:ob. A(]uilac § 4.1'. a'. 53'' Cygni P 6$. 5 2' I S.igittae aj 55. 52. 3 Aqiiilae y 1 48. 2(>. 25 a 45. 39. 2 (3 44. 13. 50 Ciprlc. a 25. 8. 5 5 Di-lphiii. 6 4-8. 54« 49 Corr.Quadr Rcfr. - i'-W i'. 6" — 2. 13 »5 - 2. 3 38 - 1.55 51 - I. 54 54 ~ I. 52 58 - I. 48 2. I - I. 5^ 50 Decl.Stclhiellilcuat.PoU 2 .4-o.3i'j5i 27. 29. 32 5r. 17. 3^- 9 51. lo. 4. I 2 51. 8. 16. 39 51. 5. 51. 13 51- 13. i+. 26 5 1. 10. 32. 23 51. iMedium Hinc igitur colligitiir Eleuatio Poli pro vrbc GlU' •40'. 3 3" 40. 19 40. 4.7 40. 34 4.0. 4.9 40 13 40. 28 40. 20 51. 4^. 30 ~/ cliow 5 I . 40 Dctcrmiiiiitio Longitudinis' pro cadem vrbe. Pro Longitudine huius loci dcterminandj binaS Kob. Eiderui obleruauit Emcrfioi es primi Satcllitis louis , quarum prior fada eft , die 22 Scpt. Temp. 6''. 50'. 13''» porterior vero die 31 Oiflob. 5^33^.7'^ Qiium vero Tempus Parifinurn prior.s obrernationis ex Tabulis fit 4''. 41^ 5^", hinc colligitur diffcren- tia Meridianorum inter Gluchow el Lutetiam Parifio- ruin a'', s'. 19'^- Tiim vero ob polkriorem emer- fionem incidcntcm in Tempus Parifinum 3*. 25'. 5'', colligitur Longitudo hu:us loci a Meridiano Pari- fino 2^ 8^ 2'^; quumque igitur binae hae conolu- fiones tam probe inter fe confentiant , fine (enfibili errorc flatuere licebit Longitudinem loci nolln a mcridiano Parifino 2^ &'. 0" (eu in gradibus exhi- bitam s^6 DE srrv geoGr. var. in rvs. locor. bitam 32°. o^ In genere autcm patet tam hanc , q lam rcliquas pro Longitudinibus reliquorum k)cO' rum allatas determinationes , non pro omnino cx-' adis haberi poffe , quia obferuationibus paucis nec prorfus indiibiis innituntut'. Praeter has vero cbrcr* "vationes, ad Longitudinem huius loci determinmjam, ndhiberi quoque poflent illae , quibus Nob. Eukru^ nlritudinem Lunae mcridianam menfurauit. Verum quum conclufiones hinc deducendae vix maiori quam vnius minuti praecifione gaudere queant , et huius- inodi detcrminationes cacteroquin calcuUjs requirant nliquanto operofiores , iOas obfcruationes in compu- tum hac occafione non duximus. De declinatione Acus Magneticae in aliquibus locorum fupra commemora- torum a Nob. Eiilcro obrernata, confuli potelt DiflT.rra- tioCel. /Cm^i in Tonio XVIL Nojor. Commcntar. , quae (tatum declinationis Magneticae in variis im- perii Rufllci locis exponit , quare has obfcruationes heic repetere nihil cfl necefle. De obfcrnatio libus denique Mcteorologicis , quas Nob. Eukrus fin^ulari cura inflituit , nihil heic adfcrcmus ; quia ob breue temporis interuallum , qno in fingulis iocis commo- ratus efl , ex his obfernationibas vix quidqu.im con- cludi pofle videtur; nifi forfan fi earum comparatio inftituatur cum obferuationibus Metcorologicis , aUbi codem tcmpore inflitutis, cniusmodi tamen compara- tionem inire , nunc noflri non ell inrtituti. DE DE OBSERVATIONE ECLIPSEOS SOLIS PETKOPOLL DIE il AVGVSTl ANNO i7^5 INSTITVTA , Auiflore AN D. I 0 H. LEXELL, Breiicm expofitionem obreriiationum circa hanc So- lis Ecliplin a me fj^fl.num tradituriis, primum obferuationes inftitutas pro cognofcendo motu Pen- duli , ad quod h.ie obltruationes fadlae funt, fucciniftc enarrabo. Per akitudines igitur Solis correfpondentes, qnadrante Allronomico trium pedum captas, fcquentia elicui momenta meridierum ad Pendulum obferuata: Tenp.Penc'. Die ao Aug. Meridies ex obferuation. altit. correfp. o''.8'.34-",5 Corredio Meridiei +22, i Meridies verus o. 8. 5<5, 9 22 Aug. Merid. ex altiiudin. correfp. 0.7. 7, 7 Corr. Merid. +22 Merid. verus o. 7. 29 2.1-. Aug. Merid. ex altitudin. correfp. o. 5. 35 Corr. Merid. +22, 7 Merid. verus o. 5. 58, p 25. Aug. MeJia nox ex ahit. correfp adhibitis conucnientibus corredlionibus 0.4.52, 6 Tom. XX. Nou. Comm. D d d d Die 578 OBSERVATIO F.CLIPSIS SOLIS. Dieatf, Aiig» Merid. ex altitiidin. correfp, 0^4'. 7",o Corr. Merid. +25, i Merid. verus o. 4. 32, i 29 Aiig. Merid. ex altitudin. correfp. o. i.s^^jO Corr. Merid. 4-24,6' Merid. vcriis 0.2. 20, 5 Pro hifce autem momentis , Tempora mcdia mo- mcntis meridierum refpondentia , fequcntia habentur^ Die 20 Temp. mediura meridie vero c*'.^'. 5'',o 2Z - - " - - - o. 2. 3<5, 3 24 ■ - ~ ~ - - o. 2 5, 9 25 Tcnip. medinm Media no(fi:c o. 1,41,8 26 Temp. medium Mcridie vero o. 1.33,5 29 ------ o. o»42,4.. Hinc igitur colligitur Retardatio Pendiili diurna s 20 ad 22 Augufli 29'^,: ; a 22 Augufti ad 24, 3o",8f a 24 ad 26 , 26", 7 ; a 24 Augufli ad mediam nodlciri die 25 Ketardatio diurna 27". 5 ; a 2/5" Aut;uni dcniq.i)e ad 29 eiusdem 26", 7. Sin vero inter fe conferantur obreruntioncs pro mcdia nodQ d)c 2 5 et Mcridic 25, habctur rctardatio Fenduli inrcruaik) 12 horaium 1 2", 3 , quae licet ahquan- tilhim difcrcpet a conchifionibus , quae per compa- rationem Mcridiei pro die 24 cum mcdia nodle diei 25 ct mcridie die 26 , ehciuntur ; tamen ad faci- lem confcnfum redigetur , fi in obferuatione mcdiac no(flis tantum vnico fccundo abcrratum fuiflc , fup- p)natur, Hac igitur dc cauflii niomcntum pro mc- ridie die 26 obferuatum Temp. Pend. o^ 4'. 3-:", i retine« OBSliRVATlO ECLIPSIS SOLIS. 57^' retlnebimus, retardationem vero Penduli intcruallo duodccim horarum proxime praeccdcntium fuppo- ri.imus fuine 27", o , quod fere eodcm redibit , ac fi fjmpliciter binis momcntis mcdiae noftis die 25 et mcridici die 26 , in hac detcrminatione vti vellemus. Principalc momcntum circa hanc Eclipfin a me obferuatum , e(l finis huius Eclipfeos , quem Tubo Dollondiano 12 Pedum contingere obleruaui , Temp, Pend. dic 25 Aug. i s''. 46'. 4" , ideoque Temp. vero iS''. 41'. 22", Quum autem haec ob- fernatio faiSa fit coelo ad modum defaecato et aerc purifluno , eam intcr valde exadas referre haud du- bito. Praeter ilbm vero obfcruntionem , Ttlefcopio Grcgoriano quod Micromctro obiediuo infirudum efi , plurimas mennjras circa diftantias cornuum Lu- nae et partes Uicidas difci Solis , cepi , quas tameii omnes obferuationcs heic percenfere fuperfluum foret; praefertim vero eas praetermittere coadus fum, quac liatim poft ortum Solis fadae funt , partim quod hne obferuationes ob nimiam Solis ad horizontem propinquitatem idcoque infignem inccrtitudincm circa refradionem , nunquam non \alde incertae efle fo- lcant ; tum vero etiam quod pro hac praecipue Eclipfi , Sol mox pofl ortum idcntidem leuibus inibeculis tcgebatur , vnde has obfcruationes valde dubias fieri neceflc erat. Rchquarum vero obferua- tionum , eas praccipue feligcndas cxiftimaui , quae amico intcr fc confcnfu praepritT)is confpirare vide- lantur , quarum Catalogum heic fiflo fequentcm : D d d d 2 Temp. 5S0 OBSERVATIO ECLIPSIS SOLlS. Temp. Pcnd. Tcmp. veroDiftant. cornuum L D 7'-'7'.5i' 117". 13'. 7' 1692", 6 25. 4- 20. 20 1743, 7 0.6. 26 2X.42 175^, ^ 28. 19 23.35 1761, I ^29. 26 24-42 1772, I 13017 25.33 1774, 7 -) 31.41 2^.57 1777, 3 J33-5X 29. 7 1780, 7 i3+ 54- 30. 10 1 1773, 0 P.irr.IuciJ.dirciO 37- 50 33. 6 437", 2 38.58 34- 14 43^> 5 39-57 35. 13 44^ 5 40.56 3<5. 12 442, 4 41.53 37. 9 44<^, 7 a. 54.27 49-44 <>30, 7 b. 55. +2 50.59 <^5 37 t c. 57 3<5 52. 51 695, 0 (f- 58 33 53.50 721, 5 ^. 59 22 54 39 737, 0 Xemp. OBSI-RVATIO ECLIPSIS SOLIS. 5M Temp. Pend. Temp. vero Diftant. corn. diCci ^ 1. 18*. 5'. 5" iS^ 0' 22" i6+7",o IL 7.39 2. 56 1612, 8 111. lo. 4-6 6. 3 1575) 4 IV. 11.44- 7- I 1560, 6 V. 13.51 9. 8 1523, s VI. 15. 3 10. 20 1506, 0 VII. 17-55 13. I 2 1+55» 2 Vlll. 22. 2 17' 20 13^9, 2 IX. ii3. 2 18- 20 1352) + X. 2S. 30 23.48 1201 , 6 XI. 29. +4- 25. 2 1163, 0 XII. 32. 3 27. 21 1090, 0 XIII. 33»<5 28.34 1045» ^ XIV. 34.12 29.30 1004, 0 XV. 35- 15 30.33 97 S, 4- XVL 37.22 32.40 875, a De hifce vero obferuationibus tenendum eft , qnod non nifi vltmiae , quas littcris o, b etc. nec non numeris I , II, 111 «tc. diftmxi , pro determi- nando tcmpore vero coniundionis Solis et Lunae adiiiberi queant ; obftruationes autem circa partcs lucidas a 17^ 33' ad 17'', 37' inllitutae imprimis conducent , ad corrtdionem Latitudinis pro Luna inueniendam ; tum vero obferuatioiics circa dilbntias cornuum a temporc 17^ 24' ad 17*. 30' facflac mihi. inferuierunt , ad dcterminandum vnlorcm partium Micromctri pro reliquis obleruationibus. Sumto enim D d d d 3 mcdio j8a OBSERVATIO ECLIPSIS SOLIS. '^ metiio harum obftr unt '01111 m, didantia cornuum quac i(lo tcmpore ipfam Di.imctrum Lunac apparcntcm acquabat , rcperietur 887^,7 ; prorfus \ti eaoern ope Tabulariim adhibita corredione altitudini Luimc <3ebita , rcperitur, Expcrimeiuo autcm faclo mihi iam patet , cbllruationes circa dilhntia- coniuum pro determinando momento , quo Soi et Luna erant in coniundione, vix aeqiie fcliciter ad confcnfiim rcdigi pofTe , cum obfcruationibus circa initium vel finem Eclipkos infiitutis^ fi partcs micromctri ex menfu- raia Diametro Solis aeftimentur , ac fi ratione iam diifla carum mcnfura ex quantitate Diamctri Lunac atdimetu:. Elementa autcm quae pro cakulo parallaxium incundo , ccgnofccre necclTc erat , tx Tabulis Luna- ribus Ccl. Mojeri (equentem in moduni deduxi: Die OBSERVATIO ECLIPSIS SOLIS. 5S3 Die 25 Aug. Afcenfio reda O Longit, O Longit. 3 Latit. 3 Bor. Paral. 3 acquat. Paral. O aeqirar, Dianrier. 2) liorizont. Diamet. O Mot. hor, O in Longit. 3 in Longir. Mot, hor, rerpecfl. Mot, lior. 3 in Latit. Aequat. temp. Temp, mtdio 5^4^37'. 8" 5. 2. 39. 7, 6 5.2. 4, 18, 8 40. 29, o 54-.I5J 5 8,5 29.33, 9 • 31-44-, 5 2.25, 2 29- 39, 9 2714. 7 2.43, 5 9 8 10. 20 48, 2 47, 5 37, 9 4^,6 49, 6 J3. 12 45, 5 53; 6 49, 7 17. 20 1*. 20 42, 2 41, 3 9. 9,2 12, 9 49, 8 23 48 3^, 2 33, 2 50> 0 ' ^5- 2 27. 21 28. 34 35, 0 32, 4 3^ I 37, <5 4<^, 3 50, <5 50, I 50, a 29. 30 30. 33 32.40 29, 9 28, 7 25, 0 54? 2 57, 7 10. 5, 5 50, 3 41. 22 14, 2 3«^, 2] 50, 5 Hinc vero ope obftruationum fupra anatarum , fequciues colli^uniur cxprciiioncs pro teiriporc con- iuiidion s verac inter Sokm et Lunam ad Meiidia- num Pctropolitauum : OBSERVATIO ECLIPSIS SOLIS. 585 a. 19^ 8'. s^" — 3,49 '5'+ CjVo.j^ + OjOd. tt b. 19' 9- 7 - 3,37 <5" + 2>5o. /1- o, x8. TT c. 19. 8. 59 — 3,16 (5" -f a^i^.j + 0,36. ir d. 19. 8. 45 — 3,09 5^ + 2, i5.j' 4- 0,4.1. TT e. 19. 8. 53 — 3,03 (J" -r 2,08.^ + 0,4.5. TT- ex quibus mediiim liimendo idem tempus coniundlu nis colligitur: 19^ &'. 5<^^^ - 3, 22. ^ -i- 2, 34-J'-ho, 29. tt, fin autem excludcretur (ccunda harum conclufionum fieret tcmpus coniuncflionis : Jp''. 8'. 53"- 3, 19. ^-H 2) ^Oj^-h o, 3^. "^ , at tantilhi haec dilcrepantia hoc in negotio nul- lius habenda e(l momcnti ; quum hae obferuationet parcium lucidarum inrtitutnc fint , tempore a maxi- ma obfcuratione haud mukum remoto- Caetcrum ex iis , qnae a'ilii in noftris Commeatariis occafione huiusmodi calculorum monui, facile intelligitur qaid litterae '5' , 7 ; tt heic fignificcnt, Ex obleruatioiu- bus porro circa dirtantias cornuum inllitutis, ad fe- quentes pro tempore coniundionis perdudii fumue conclufiones : u. 19.8.31 -2,69 -f-1,52 4-0,77 lU. 19. 8. 4-6 —2,62 4-1,4.0 4-0,85 IV. 19. 8. ++ -2,6q 4-1,37 4-0,87 V. 19. S.30 -2,5<5 4-1,30 4-0,92 VI. 19. S. +1 -2,54 4-1,26 4-0,9 + Vn. 19. 8 4(5 —2,51 4-1,20 4-0,98 VIU. 19.8.48 -2,47 4-1,11 4-1,03 Tum. XX. Nuu.Comm. E e e c IX, SB6 CBSERVATIO ECLIPSIS SOLIS. IX. ip''-^'- 3" — 2> 4*^.«^ -1-1,09 j -1-1,04. ir X. 19.8.45 —2,44 -I-I504 -hi,o7 XL 19. S. 42 -2,42 -f-0,98 -+-1,09 XII. 19,8.47—2,40 -1-0,95 -f-i,ii XIII. 19.8.45 -2,39 H-o, 93 -4-1)12 XI^'.. 19.8.34 —2,39 -4-0,92 -f-I,I2 XV. 19.8.59 -2,38 -1-0,91 -hi,«3 XVi. 19.8.43 —2,38 H-o,89 -1-1,13 Fx quibiis ornnibiis fi absqiic \llo difcriiTiine mcdium fumatur , inucnietur tcmpus coniundlionis: 19^. 8'. 44"— 2> 50. (^ -1- I, i^.f H-o, 99. TT. Sin vero cxclufis cor.clufionibus I , II , V et IX ,. quippe qiiae mnxime iiiter fc difcrepant, reliquarum lumatur medium , prodibit tempus coniunftionis : 19^. 8^. 45"— 2, 4<5. § -\- ij oS y -h 1, 04 X, quod quidem a prius inuento vJx fenfibiliter differt.. 1-x oblcruatione \ero pro fine Edipleos, ftquens- dcduc tiir cxpreirio tempus coniundionis exhibens :. 19^ b'. 42''— 2,35 § -\-o, 81./ 4- I, 20 TT. Ex obferuiitionibus circa dirtintias cornuum ante con- iundioneni apparcntcm laiftis , vnicam tantum pro dcterniinando tempore coniui clionis verae kligcmus, qua tempore \ero 17*. 13'. 7" obkruata e(I di- ftint;a cornuum 1692^', 6, vndc quum pro eo- dtm rromcnto fit rara'laxis Longitudinis ^i^^o",^; Latif. j) app-irens 4'.44''; 41- ^ - O) 91. y -4- 2» 26, TT. Dum OBSERVATIO ECLIPSIS SOLIS. 387 Diim vero ex conclufionibus modo inuentis verus vjlor momcnti , quo coniundio Solis et Lunae con- tigit , determiiiiiri debet , praeprimis necefTc efl , vt quiintitates corrcdionum «J , ^' , tt exacle dcfinian- tur ; quum autem ex nortris quidem obferuationi- b'js de prima et vltima earum nihil dcfinire liceat , fufficiet valorem ipfius y inueltigafio , qui vt mox oClendcmus , aedimari poterit — — 7" , hoc autcm valore in conclufionibus nollris fLibflituto pro tem- pore coniuncflionis fcquentes obtincbimiis conchifiones; Ex obferuationib qiianta correcflio nlioquin pio his Tabulis raiior effo (blet. Caeterum fi etiain circa locuiii Solis, aliqua adefict incertiiudo ea ad Tabulas Mayeri fahiindas nihil confcret ; fiquidem hacc incertitudo quae non nifi ex perturbationibus Pianetarum minus exacle aePimatis oriri potcft , aeque fere locum Lunae ac Telluris afficiet. E e e e 2 Pro 588 OBSERVATIO ECLIPSIS SOLIS. Pro Latitiidinis corrcflione inneniendn ex ob- feruationibus partium iucidarum a 17^33' ad 17^37' inllitutis , fcquenti modo rr.tioncs (ubduximus. Q^uia lempus coniundionis apparcntis incidat eo momcnto, (]uo diffcrentia vcra Lcvignudinis intcr Solcm et Lunam aequatur ipfi Paraliaxi Longitudinis Lunac , hinc conuertendo parallaxin Longitudinis Lunac quam tcmpore i^^^.^d' habet in tempus, muenietur 1^32'. 16", quod a ten pore r.oniunclionis vcrae rubtradum , rc- Imquit 17^36'. 21" pro tem|-ore coniuntftionis appa- rcnris , quod li^.ltcm tum praerifione di-cem fecun- dorum dciiniium tfle , cenfcri potcfi. llac igitur epochii conUituta , cx motu horano Lunac in Lon- gitudincm ct obfcruaiis (imul varintionibus in pa- raliaxi Longitudinis , tumquc ex Latitudinibus Lu- iiac apparcntibus , facili ncgotio computantur diftan- tiae apparentes ccntrorum Sohs et Lunae , (eu cx- ceffus quibus hac dilhntiae Latitudines apparentes exfuperant. Qnum vero difbntiae jpparcntes obfer- vatae fiicile habcantur dum cx obleruatis partibus lucidis , fubtrahitur diffcrentia femidiametrorum SoUs et Lunae ^ fi dillantiae obleruatae cum computatis conferantur , facile colligitur corrcdio Latitudinis Lunac. Tcmp. vero Part, Dif^.appar. Latit. ^Didnppar. < Corrid. Petropol. i Lucid. obleru. :ippnr. comput. Lanr. 17^33'. <5"45 7'',= 372',^ j / 1 ,7 3S>3",^ 10" ,6 54. T^ 436, 5 37 = , 9 376, 3 3S0, 7 7, 8 35 • 13 441, 5 377, 9 180, 5 381,8 3, 9 36. 19 442, 4 578, s ,384,7 384, 7 5, 9 37. 9 -146, 7 3S3, I 3SS,8 389,4 ^, 3 Sumto OBSERVATIO ECLIPSIS SOLIS. 589 Sumto igitur nieJio harum conclurioiuim , prodibit corredio L;ititudinis — 6",9, quam numcro ro- tundo ftatuere licebit — 7". Tum vero liquct minimam dift.inti:im centro- rum apparentem incidiflc circa tempus 17'^ 34'. 14", atque cx deftnita iam corredionc Latitudinis tuiflc 374." circiter , vnde colligtur Solcm in hac liclipli Petropoli paffum fuilTe dcliquium 24.^ et 27", liuc p^ digit. diametri Solis. ReHquum nunc eft vt obferuationcs circa fi- nem huius Eclipfcos in variis Europae locis fa(flas, quarum notitia ad nos pcrucnit , breuiter expcnda- mus , vt ex comparatione harum obleruationum tam intcr fe, quam cum obferuatione l-^ctropolitana ; quid de diffcrcntiis Meridianorum (latucnduni fit , patcfcat. Pro his autcm oblcruationibus cakulo fe- qucntia fubduximus clemcnta. Pro fine Eclipreos 'Paral-Long. Temp. vero, Lundae i7*.25'.2o" 44'. 16 ",4. VpfaHae 17- 49- 3<5 42. 1,1 Warfowiae 17.48.54- 46. 10,9 Regiomontis 17. 5*- *5 44- 54) i Suecopoli 18. 19. 33I 41.37,1 His igitur elementis adhibitis pro temporibus con- iun(flionum fequcnics prodibunt exprcfiiones : Lat.3 Semidiam. appar. 3 appar. ii'.49",3 J4'-47'',9 9 4', 9 14.48,9 14-50, 4 14.48, 6 13. II, 1 14. 4S, 8 10. 9, 0 14.49, 8 £ ee e 3 Lundac S^Q OBSERVATIO FCLirSlS SOLIS. Lundae 18''. ©'.3 i" — 2,39«^ +0,92.^ 4-o,98. if Vpfaline 18.18. 1 — 2,32«^ -fo,73J' + »1^8. tt Warfowiae 18.31.28 — 2,52^ +i,22-J' + ij^^.-Tr Regiomoiilis 18. 29. 17 — 2.4 + «^ + i,0 5.>' +■ i,-3- ''* Succopoli 18.4.7.24 —2,340+0,78.^ + 1,25.1:. Vbi quidem fi corrcdioncs 5" et tt prorfus ncgli- gantur , pro ;' vero a^lhibeatur — 7" , habebuntur haec Teiiipora coniuncftionurn in numeris abfolutis : Lundac iS''. 0U5'' Warfowiae iS^si^.ao" • Vpfaliae 18. i7.5t OBSERVATIO ECUPSIS SOLIS. pro Eleuatione Poli , quam huic loco in meo cal- culo tribui 60°. 5' ; quae fi forlan 5' dimicui vel augeri debeat , Longitudo iftius loci, duobus fcrupu- lis (ecundis augcri , vel minui debet. Etiamfi vero 1(1 his noftris determinationibus corredionum S et tt, nullam piane habuimus rationcm , facili tamen ne- gotio patet , eas hac in difquifitione nihil immutare, fiquidem coeflkientes , quibus hae corrediones adfi- ciuntur , in cxprcfnonibus pro tempore coniundionis tam prope inter (e confentiunt , vt tx fepofita con- fidcratione iHarum corrcdionum , vix ac nc vix quidem incertitudo vnius fcrupuli (ecundi in deter- minationem differentiae meridinnorum deriuari qucat. Sic ex comparatioue obltruationis Vpliilienfis et War(o\vienfis deducitur difFcrentia meridianorum : 13'. 27" — o, ?o <5" -+■ o, 49. y \bi quidem corrccftio S ccrte maior e(fe nequit , quam 5" , ita vt incertitudo maxima quae circa diff-renriain meridianorum ex hac correclione relul- tat minutum lccundum non liipcret. OBSER- OBSERVATIONES ASTRO^ NOMICAE IN VRBE DMITRiEWSK (*) INSTITVTAE , VNA CVM DETERMINATIONE LATITVDIu NIS ET LONGITVDINIS HVIVS LOCL Audore TETRO INOCHODZOW. Diarlum harum obferuationum iam anno i77a ad Ilhiflriirimam Academiam Scientiarum remifij fed cum eo tempore calculos pro determinanda la- titudine et longitudine non adieci ; hinc ijlae prae* cedentibus Commentariorum voluminibus non infertae funt. Reuerfus Petropolin lummarium ex ipfis , fimul cum continuatione nnnnullarum poft habita- rum , quas deuadata ac fpoiiaia hac a rtbtJlatoribus \rbe rcperire potui, nunc ad calculum reuocatas fillo. I. (*) Vrbs Dmitrlewfk , vulgo alias, fcd tniniis reQe Camy- fchf nka , fta ell in dextra Huminis Wolgae ripa , ad dextram itidem riui Camyfchenkae j diftat ab vibibus Sa atow et Zaricin ae(]Uab fpatio,i8o ncmpt Weiftis. Vib- vero Camyfchesika pruprie didta , iam a miiltis anivs pljne dcferta, iacet ad finiftiam eiusdem riui Camyfchenkae. Tom.XX.Nou.Comm. Ffff ^P4 0BSERVATI0NE5 ASTRONOMICA.E I. Re^lificario Quadrantis ad horizonrem. In afle nigia fcci duas albns metas , centro tubi iramobilis in vtroque Qiiadraiitis fitu y redio et iniierfo relponJentes ; hac quc affi in, dillantia ^ cir» citcr Werllae locata fequcntes obleruationes pro iti- \cnigando (^uadrantis errore inrtitui. Numeri liic occurrentes ex multis ec repetitis obteruationibus fnnt mcdii^ . i) Die 77 Aprilis 1771 hora 2| pomsridaua Aititiidinem metae fuperioris in fitu Quadrantis redo reperi - - o°.2i'. 7'' Altitudin*.m metae infcrioris ia fitu Quadrantis inuerfo - - 0.19. 7,6 Differentia o. i. 59, 4. Vnde Error Qiiadrantis — 59,7 Barometrum poft operationem monftrabat 2S".6'"i£ pcdis re^. Parifini. 2) Die /^ Aprilis hora 8"" matutina. Earundem metarum ccpi altitudines in fitu Quadrantis redo fuperioris - - - o°.2i'.i4.",3 in fitu Quadrantis iuucrfo inferioris o. 19. 9, 8 diffcrentii o. 2. 4, 5 adcoque Error — i. a, a Altitudo Baromctri erat a8". 7'", x. 3) IN DMITRIEWSK INSTITVTAE. SpS 3) Die ii Aprilis hora 7I. matutiiu Altit. metarum fupcrioris - o°.2i'.3o" inferioris - o. ly. iSi differ. - o. 2. 1 1, 5 ct Error - — J. 5j 7 Barometro niondrante 28". 7'". 4.) Dic l\ Aprilis liora 4^ pomerid. Altitud. met. fuperioris - 0°. 2i'.20^'' inferioris - o. 19. iSj difFer. - o. 2. 2 Error - — i. 1 Baromctr. 2S". o"', 6" Ex his quatuor verificacitionibus prodit Error Qiiadrantis medius — i'. 2.". Craflitieni fili micromctrici inueni 13 minutorum (ecundorum. ir. Dctcrminatio latitudinis vrbis Dmitriewfk. 1) Ex akitudinibus Solis mcridianib. In ex|X)nendis fingulis his obferuationibus ni- mis prolixus euadercm , fi omnes hic recenfere vel- lem ; fufficit fpcciminis caufla cxhibere eas , quas mcnfibus Maio atquc lunio anni 1771^"' cepi. Mo- nendum femel eft , altitudines has errore inftrumcnti et fcmicraflit e fiU antea repertis corrcdas iam eflTe , practcrea mc iu computu differentiam nieridiano- rnm inter Parifios ct Dmitricwllc 2^ 50' afllimere atque tabula refradionis Cel. D. de la Caille vti. F f f f 2 Altitu- $9S OBSERVATIONES ASTRONOMICAE Ahiuiuines bDlib inciioinnac captac an. 177 1. Dies obferu. Sec.Cal.Grtg. 21 22 24 25 Maii 30 31 I 3 - 6 - 10 - 1 1 - 12 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 2+ - 25 - 2<> - 27 - lun. Altit. obferu. Altitudines 59°.5c'.i6",5 60. 2,25,5 60. 25.29, 5 60. 36.31, 5 Alcitiidincs <>i. 57-36, 5 C2. 6. 21, 5 62. 14.33- 62. 30. 14, 5 62. 50.42, 5 63. 12.46, 5 63. 17.16, 5 63. 21. 8, 5 63. 35- 'y. 63- 36. 5^> 5 63. 38. 6, 5 63. 38.44-, 5 63- 39« 4, 5 63. 38.56, 5 63. 37.5i> 5 63. 36.29. 63- 3441, 5 63. 32.31, 5 Refraa. — ParalL liin bi 34" >7 3 4, 4 3 3> 9 33, I lim bi 31, 7 3 1.6 31, 3 30,9 30, 5 30. 29, 8 29, 8 29> 5 29> 4 29^4 2 9> 4 29, 4 29, 4 29,4 29, 5 29, 5 Semid. Q intcrioris i5'.4&",8 2o°.io'.36" 15. 48, 7 20. 22. 46 15. 48, 4 20. 45. 43 15. 48, sjoo. 56. 42 fuperioris »5. 47, 5 15. 47, 3 15. 47. 2 15- 47, o 15. 46,6 15. 46, 2 15. 46, I 15. 46,0 '5. 45,7 Declinat. Q Eleuat. Poli 21. 45. 1 1 21. 54. 59 22. 3 23 22. 19. 2 22. 39. 37 23. I. 28 23- 5. 55 23. 9-5S 23. 24, 6 5o'.5'. 5' 50. 5. 6 50. 4. 59 50. 4. 55 I 5. 45, 6 23. 25. 42 15. 45, 5 23. 26. 53 15. 45> 5 23. 27. 38 15. 45, 5 23 27. 59 15. 45, 4,23. -7. 55^ 15.45, 4'23. 25. 35 15. 45,3 23. 25. 17 15. 45, 3 23. 23. 34 29, 6*15. 45, 3 23. 21. 26 Medium cx hJs 22 obfcru. 2) Ex altitudinibus fixarum meridianis. 50. 4. 50. 4. 50. 5. 50. 5. 50 5. 50. 4. 50 4. 50. 5. 50. 5. 50. 5. 50. 5. 50. 5. 50. 5. 50. 5. 54 56 8 6 I 2 5S 55 5 n o I 8 9 14 50. 4. 5 8 50. 5. 3 50.5. 7 50. 5. 9 50. 5. 3 Multae ctiain huius gcntris obicruatinncs a me inflitutae , fcd ad ckfinicndam pdi clcuationem (iini- ciunt fcquentcs , quae cum fin^ulac variis dicbus captac i#fet m D.>lITRmWSK INSTITVTAE §97 fdeifbie fant. Eti CTptne , hmc e plnribus mediae obleraationes ipfas et cilculos. Alt tudine'' Fixarum nieridianae. ' - - - - - — ■■ - w_^ . . ^ ^ - . . . Dies obf cru.1 Nom. Fi-var. Alt.t. obferu. Rjfi ad. D-^clm. n.var. Abeir. Nutat | Latitudo St. nou. 1 ' ad d. obfei-u. 1 »77 0 1 Odlob. 25 Y Aquilae 50°. 0'. 8"o'.5 5",S lO^ 4'. 11", 5 + 9",7+5,7 50°.5^i6" — a A^uihe - f»; i2:47i' 59»^ 8. 15.39 + 9. 3+5,4 50. 5. 7 16*9 Aiuiiioi 1 3 S. 27.. 1 4- t.23, 5 1.29. 7 ^- 6, 1-6,9 50. 5.i5 27 a Dclpliini 51- 2.. 48 4i n 62. 28. 28 34, 7 22. 33. 14 j— 0, 6-5,1 50. 5.76 Y II 56. 29. 48 44. 16. 34. 3<5, 5- 2,5-5,6 50. 5 24 S n \62. 18. 21 35. 22. 23. 7 ■ 5, I -5,9 50. 5. 9 pCan.min0r.4H. 39. 5 s 58,6 8. 44. 9 l~ 5, 2 -7,0 5/0. 4. 57 Mart. i8fx n |62. 31. 4.5 34,6 22. 35.42 — 0,6 -5,9 50. 5.25 2oe n 65. 15- 29 30, 7 25. 20. 8, 5 + 0, 4 -5,4 50.5. 4 ~^n (3o- 48. 28 37,2 20. 53.15 — 0, 9 -6,8 50. 5.15 April. 2oKtguIus 53' 0. 1 1 «JO, I ;i3. 4.47 — 2,9 -7,6 50. 5. i5 2 2y Lconis 60. 54. 57 37. |2o. 59-34, 5 — 4,2 -7,3 50. 5. 3 2 4{J(, Leonis ^7- 0. I 28, 2 27. 4.27 ^ 2,3 -7,5 50. 4.50 Maii 2i)<^ Vir^inis 40. 30. 58 1.17,5 0. 34.47, 5 — 3,9 -2,2 50. 5. I 2 I y] Bootis 59.28.45,5 39> ^^9. 33.22, 5 + 0, I -i, 47, 214. 43. i6 + 2,4 +0,7 50. 5. 2f 15 > y- Coron. <^7. 25. 34 1 27,527.29.51 '-^ 5,3 feru. +2,1 50. 4.52 JVTedium ex 24. ob 50. 5. 10 Erat autem ex altitudinibus Solis - - - - - - 50. 5. 3 H inc latitudo vrbi s Dmitrii.\vr k (latui potell - - - - " • 50. 5. 6 F f f f 3 quam l6. 43- 12, 5 16. 14, 6 16. 26. .58 63. 22. 49) 6 398 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE quam .latis ccrtam eflTe ex obfcriiationibus annorum 1772 et 1773 conHat , quo tcmpore nouo micro- metro tubo Qiiadrantis mobiii ftubftituto , et alio crrore reperto , latitudo prodit eaden.i. His adiicere lubet altitudincs Solis in folftitiis captas. In rolftjtio hyberno 1770 reperi altitudi- nem limbi Solis fuperioris - - \6°,^6'.:^o'^' Refraa: - parall. - - r 3.18 Altitpdo limbi vera w» - _ femidiamet. Solis - ' " Altitudo centri vera - Eadem in folftitio acftiuo 1771 Hinc diftantia Tropicorum - ^6. $$.$1,6 et obliquitas Eclipticae - ^3- 27. 55,8 Vnde altitud. Aequatoris - 39. 5+-5 3, 8 et altitudo Poli - z 5o. 5« <^» IIT. Obfcruationcs cclypfium Satcllitum louis. Ad indagandam vrbis Dmitricwfk longitudi- Kem , praeter Solis et Lunae dcfcdus , varias im- rnerfiones et cmerfioncs comitum louis obferuaui ; fed loue pcr hoc tcmporis intcruallum in fignis Auftialibus vcrfantc , adeoque (acpe parum fupra ho- rizontem tleuato et vapt^ribus obdufto , aliisque circumftantiis minus fiucntibus , non omncs cx fen- teniia niiiii eueninc ingenue fatcor. Comparaui ta- mcn IN DMITRIEWSK INSTITVTAE. 599 men carum nonnullas cum obfcruationibus correfpon- dentibus item cum calculis a Cclcb. Doin. Wargemin communicuis. Monendum 'vltimo eft obleruationes has tubo DoUondiano duodccimpedali inftitutas ex- ceptis duabus , quas- ielc(eopio Gregoriano duorum circiter pedum feci >■ eas que exprelHi notaui : re- ducflioncs porro temporum repertas efTe per altitirr dines Solis correfpondentes > quae hx breuitatis gra- tia omittuntur. Obferuationes Satdlituin louis amio 1771. 3) Die /•; Maii Immerdo t'"' Sateilitis Satelles fplcndorcm fum amittit occultari videtur - — prorfus immerfus Durante obferuationc coelum ferenum, aer tran^quillus , 3 fafciac in difco louis confpiciebantur ; ahitudo lo- I vis poft quadrantem horae 15". 15', obferuatio vedebatur mihi eflfe bona. a) Di&Vji^^ Immetfio ^^^ Satellitis Immcrgi Satelles videbatur nube- culis praeterfugientibus - - Vltima vice Satellitem video lupiter ipfe poft nutes r.bfcon- ditur - - Obferuatio haec fubdubia. Temp.verum.| H. M. S. 14. 28. 28 29. 19 25?. 57 i 14- 54. 2S 55. 9 s^. 49 3) Die ^oo OBSERVATIONES ASTRONOMICAE 3) Die 5T lunLi Immerfio 4'* Satellitis Lumen Sntellicis imminui coepic Satelles vix videtiir immerfio totalis Coelo fereno , vento forti , inftituta haec obfcruatio telefcopio Grego- riano ; altitudo louis poft obfer- vationem erat 15°. 48^'. 4) Die^fliinii Immerfio i'^-* Satellitifc Satellej occiiltari vidctur prorfus iivimerfcs - Tempore obftruationis aer erat tran quilUis fed vaporofus , 3 falciae confpiciebantur, aitit. louis poU ob- feruationem 14. . 535'. 5) Die i| '^-^g. Emerlio i"'^' Satellitis Satellcb emergit - - - clare micat - - - Obferuatio facSa telefcopio Grcgoriano coelo viiporofo. 6) Die V sV^f: Emerfio i*"' SatcUitis louis obleruata - _ - Durante obfcruatjone coelum fcrcnum, ventus mediocris , 3 ftlciae erant confpicuae , atquc eodem tempore 3'"^ Satelles ad louem approquin- qnabat; altitud. louis poll obferu. ii°.4<5'. Temp.verum. H. M. S. 12. 4. 16 7. i<5 8. 6 14. 40. 50* 41. 2i S6 II 57. i 10. "i^: 25 7) Die IN DMITRIEWSK INSTITVTAE. 6oi 7) Die 'ite^i. Emerfio 3" Satellitis Satellcs emergit pleno lumine fplendet Tcmpore obfcruationis aer erat placi- dus , 3 fafciae in difco louis vi- dcbantur , altitudo Phinetae poft oblcru. 17". 7i'. 8) Die ij Septembr. Emerfio 2'*' Sa- tellitis obrcrujta - - - Nubeculae louem circumdabant, prop- tcr quas obfcruatio hnec fubdubia eft, ak. louis polt obferu. i5°.2 5''. Anno 1772. p) Die fg Tunii Immerfio i'"' Satellitis. Lumen Satcllitis imminuitur - Satelles occultari vidctur - Immerfio certa Obferuatio fada aere traquillo , nu- bcculae tcnues quamuis circumfta- bant , niliilo minus bona efle vi- debatur. 10) Die *j lulii Immerfio 3" Satelliti^ Decrcmentum lucis Satellitis valdc fenfibiie - . - Satclles vix confpicitur - prorfus immeifus - - Tom. XX. Nou. Comm. G g S Temp.vcrum H. M. S. 8. 23. 12 24.. I 8. 41. 13 14. !(?. 0,5 18. 5,5 18. 30,5 13. S 3.18 3. 33 3. 50 Paulo (Toi OBSERVATIONES ASTRONO.MICAE Pliulb pofl nubcculae louem pr.ietcr- fugicb.mt , attamcii obleruationcm hanc. banam. cflc cen(i;o , 3 taCciac i:i difco louis bene conlpiciebantur. ift) Die ^i lulii; Imnicrfio 1"' Satelli tis obCcruata -- --. - Scci quia iupitcr hacrcbat adhuc. in dcnfis vaporibjs ct fafciac vnldc confure ccrncbautur, obfcruatio haec fubdubia cll. jz) Die 'j lulii rmmerfio a^' Satellitis Satciles. immergi videbatur immerfio certa Coelo fercno , vento lcni ,, 3 fafciae erant confpicuae ; altit. louis pofi obfcru. 16°. 2I'. 13) Die 'i[ Augurti Emerfioncm 3" S.atcllitis obferuaui Coclo fcreno > vcnto leni , fafciis tri- bus confpicuis. 14) Dic II Aug. Emerfio 2^^ Satel- litis obferuata Coelum durantc obfcruationc ferenum 3 fafciae latac videbantur. 15) Die ?°sVp^: Emerfio a''' Satcllitis confecuta - Coelo fcreno , aifre placido 5 fiifciat confpiciebantur, oblcruatio bona, led Temp.vcruml H. M, S. 10. 4.3. 24 10. 54. 16 54- 21 li. 39- I 5 13- 3^. 48,5 8. X4. 54 inai- IN DM1TRIEW3K fNSTITVTAE. 63-5^ inft tuta aJ Iiorologiiim portatile , qu(x1 ud tranlicum Solis pcr me- lidunum fuit ordinatum. IIoc cnim die motus horologii ofcillatorii pau- lo ante oblcruationes correfponden- tes pomeridianas fublUtit. 16) D.e I*. Ov-tobr. Emerfionem i"" Sattllitis obferuaui Einpfis 9 miiiutis primis altitudo lo- vis erat 22°. 34.;'. Fafciae ob ae- rem vaporoRnn confufe videbantur. Anno 177'?. J7) Die iHunii Immerfio 3" Satel- iitis louis 5ats.lles vix videtur prorfus immerfus i)urantc obreraatione aer ent pLici- dus , 5 fafciae in difco louis con- fpiciebentar ^ altitudo Planctae poft obferuiuionem 24.°. 16'. 18} Die i^ lu:vii Immerfio 1'"' Sa- teljitis louis Satclles \ix cernitur - » Immerlio certa Coclo fcreno aere quieto , 5 fafciae conipitiebantur ; altiiudo louis pcit Tcinp. vcrum H. M. S. 6. 4.8. 47 obfcru. 25 . 14-' — 14. 28. 25 28. 42 14-. 14- 2 14. 2 1 G§SS 19} 60^ OBSERVATIONES ASTKOMOMICAE 19) Die ^ lulii Immerfio i'"' Satellitis Satellcs immcrgi vidctur - prorfiis immerfus. - - Coclum tempore obferuationis fere - num , aer tranquillus , at fafcias non fatis diftinde vidi ; altitudo louis poft. obferu. 18°. 23i'. 20, 21) Die V,i"g. Immerfioues duo- rum Satelhtum 3'"' Satclles immergi obfcru. Coelo fcreno vento mediocri flante , altitudo louis poft obteruat. erat ° ; 1 1 . 4-0 — . Temp. verumj H. M. S. 12 27. 28 27. 33 10. 30. + 10. 42. 27 * Scqu 3 — i^g — *— >rt » . f, ^, -- ^«„^ . ^^ y. -. - __ .- - . -- - 5, p _ _ ^* _< , , _ - j. tf. Bene memini me hanc ipfam declinationem anno \I773 TeperiflTo 6;° etiam a Septentrione verfus oc- cidenrcin. Cr -V qVATVOR QVATVOR DELiaVIA LV^ NAE IN VRBE DMITRIEWSK OBSER-^^^ VATA EXPONIT ^ '''^^ TETRFS INOCHODZOW, I. Obferuatio Eclypfis partialis die » Aprtlis 1771» Motu horologii ofcillatorii per altitudines Solis corrcfpondentes bene explorato , flagrabam ma- gno deftderio hodkrnum Lunae defe 18. 28 1S.48 - _ - 21. S 21-53 - - _ - 23- 7 - _ _ - 30.22 30.43 - , - 37- 51 37.43 38. 31 6i6 ECLYPSES LVNAE Emerfioiies IMaculaium Lunarium. Luna cgredi incipit ex vmbra feu initium Emerfionis - Heuelius emergit Grimaldus emergit medius - totus^ extra vm bram - _ - Galilaeus ( dub. ) Ariftarclius cgrcditur - totus emerfus Schikardus emcrgit tctus ex vmbra Keplcrus apparct Mare Humoruin totum ex- tra vmbram - - - Bulialdus ex pcnumbra - Copernicus emergit Bulialdus totus cx vmbra - Copernicus totus exrra vm- bram _ _ - Plaio emergit - - - Tycho - - riato totus ex vmbra - Tycho • Eratollhcnes ( dub. ) - - Eudoxus • -J' ' - Loivitz Inochodzoiv H. M.S. H. M. S. 9. 20. 13 23. 28 24. I 24. 44 30. 12 31. 4 35. ^3 3 - 29. 31 I. . • 11 1 3- 55-42 I. 41. 42 8. 29. 22 8. 29. 22 8. 29. XX Quamuli CiS ECLYPSES LVNAE Quamuis Longitudo Loci ex defcdibus Luna- ribus ob difficultaiem vmbrain a penun.bra cKccr- nendi ad vnguem , \t dicunt , detcrminiui iiequit ; "Verum tameii non inut.le imo neceflarium duxi pe^ riculum facere , et comparationes cum cbrcruationi- bus correfpondentibus trium poftcr orum Dcliquiorumy quae mihi nunc in promiu lunt, in medium affcrre, 1} Secunda Eclypfis obfcruata Pekini hunc m mo- dum : Pekini -? - - Dmitr. Lowitz Inochod. Init. Ecljpil 1x^2 3'. 17" Dimid Tj-ch. in' xt' 41'. fi" 6. 57- lO'' 6. 55. 2-0 <5.SS.2i Vnde duratio Eclyfis Pekinr Dmitr.. e Low. e mca Porro difErcntia Meridianorum Dmitricwlk: inter Finis EcIypH s. 58- 13 8-5+. 4- 4- 2. 19 co ' Pekinum e^ Ex obferu. Lowitz. 4- 44- «4 ] 4« 4+- 1 4- 4i- 3 5 c mea - - 4. 44- 5^ \ 4- 45. 5' 1 4- 45- 4 ■ rf . • - c '■ . .■ -i Si ex his differentiis tollantur duae , Lowit^iana c c ^iic, et, mea e. di;nid.io Tychonis, icliquuc qua- \ tuor pracbent difTcrentiam mcdiam , 4. 44. 35 E(l \ero Longitudo P«kini ab olDfcru. Parif. 7- 3<5. 90 Hiuc Loiig. Dmitritwfkiia rarjfiiii %. ^i. ^^, 8 .je.QS 8 ;- - - (^2 .i I - - - - .-. -uJf ri ij n ■. q j: ^ m, * Finis liurnf.oP iiil .airnoD.uoVI X-^. ■ — t£ .QS II IN^DMITR. OBSERV, ei^ Fims huius Eclypfis obferuatus eiiam Bcrolini - - - - 6^-47' o" coiBparatus cum obferuatione mca dat . -;. differentiam - - - - .4. 7, 44. Longitudo auiem Berolini a Luteria Parifiorum - - - - 44- 10 Krit long. Dmitr. a Parifus - - 2.51.54- Gryphswaidiae eiusdem Eclj^pfis finis itidem obferuatus - - 6. 47. S collatus cum obleruatione mea praebet diff.rentiam - - - 2. 7, 38 At Longitudo GryphbwalJiae a Parifiis 44.15 Vnde Dmitriewlk a Pdrifiis - 2. 51. 53 I Et mediam ex his rribus comparntionibus 2. 51.50 ft) Finis 3""* Eclypfis in Dmitriewfk ex obleru. mea - -' - 8. 53.25- idem Pwtropoli obferuatus - - 7.52.44. dif&rcntia .- - - i. 0.41 Eft vero loogitudo Petropolis a Parifiis 1. 51.58 Longit. igiiur DmitriewiJii a Pdrifiis 2.52.39 3) Vltima Eclypfis obferuata eti.im Petropoii a Celcb. Viris Kumoivfky et LexeJl , adeoque com- paratio inter obfeiuationem Petropolitanam et noflram inftitui potoft. Sumtis mediis mo- mcntis ab vtroqac obferuatore notatis , et re- iedis difFcrentiis valJe difcrcpantibus fequentes \ndecim retinco. liii a" Vmbra ijao ECLYPS. LVNAE IN DMITR. OBSER, Vmbri ad Ariflarchum Ariftarch. totus immergit Vn-bra ad Pljtonem - " ad Manilium - Manil. totus immcrgit Vmura ad Menelaum - Immerfio Lunae totalis Poflidon tts cn.ergit Marc ^edaris emcrgit Mare Crnum egreuitur finis Lci>pfis jObf.Petrop. Obf.Dmitr. I H. M. S. H. M. S. 44- 30 I 6. 44- 48 4<5- i3i 47. is 10. 4 7. 10. 54 10. 25 lO- 33 11. 27I ir. 4.5 13.12 14. 4 37. o 38. 7 8. 22 10. 8. 24. 14. i8i 15. O 18. 21 18. 45 27. 4i 27- <5; Medium Longit Pctrop. a Parifiis Erit longitudo Dmitr. a Parifus et medium cx his sbus comparation. Vt vt fit , hanc longitudinis determinationem ad eam, quac prodit ex Eclypfibus Solis et fatelli- tum louis , accedere propius quam perfuafum mihi habui. OBSER- OBSERVATIONES ASTRO- NOMICAE IN VRBE SARATOW HABITAE " ft G. M. lOWlTZ ANNO X773. Exponuntur hic nonnullae obferuationes AftronO" micae , quas vir celeb. recuperandae valctudini» fuae caufla in vrbe Saratow commorans occafionem habuit innituendi. I. Inquifitio in errorem Quadrantis. i) Ex verificatione Quadrantis ad horizontem repe- ritur error ipfius additiuus ~ - a'. 46". 2) Ex rcdificatione ad Zenith , obferuando altitu- dines Capellae meridianas ad Auftrum j et ad Boream | Error die. 6 April 84"io'.6"die 7 April 95°.45'.53"+3. O5 - 8 84. 10. 1- 9 95. ^-J.Sa +3. 33 — 10 84.10.5.— 12 95' '^S-Si •+3. a 3) Ex ahitudinibus fixarum ad Auftrum et Septcn- trionem captis et cum calculo collatis deprthen- diiur Error Quadrantis. I i i i 3 Ex i€iz OBSERVATIONES ASTRONOMICaE Ex (3 n ad AuOrum etpvrfiieminor. adBoream 4^'2'^i ( Bootis p n Y- € Bootis — — ■ - 4-2.53 - +2.53: - 43. 8 maioris - - 4-2.49 - - +3. 7i maior. - - +3. 7 — - — - +3- 3 }\u « Lyrae a — Corde Caroli CapclUi ■ tx. e vr Eadem <^ — Jix quibus omoibus error medius +2 Sp qui tameu rotuade affumi poteft +3. o 11. Determinatio Latitudinis vrbis Saratow. i) Ex nltitudinibns fixarnm meridianis. E magno nnmero liarum rcpetitarum obreruatio- num fcledae eae funt , quae intcr reliquas mcdium tenent : notandum porro eft ad alti- tudines obferuatjs iam addita efle 3 ininuu prima pro crrore Quadrantis antca inueuto. Dies IN SARATOW HABITAE. ^25 Dies obfer\i Mom. Fi.xar. 1 Altit obferu. R / ,aa. Dfcliii. fixar. | Aberr. /Nut.it | Latitudo St. nou. 1 'D.r°.3r'. 9" 6 .•>yriiis 22. 5.44 2.39, 5^15. 24. 44,2 + 12,. 3 4-8,9 > r. 3r. 50 8 a Cygni 82. 57. 15 8> 444-48.44, 5-17, 7 f 7, fc 5r. 3r. 27 io'Capeli.1 84, 1 3. 5 6, 8|45, 44.. 45' 24- 5, 4 -8,c >r. 31. 47 1 1 l'rocioii 44., 17, 13 I 8. 5. 47.51. p 5, 5 -8," 5r. 3r. 32 i+C.illor 170. 50. 41 23. 32. 21.59, 3- 3, ^ -8,8 5r. 31. 29 - Lyra 77. 3-55 I 5r 4 38. 34. 59, 2-1^,6 t8,9 5r. jr. 12 3oj3 Leonis |54. 1 9. jo ^7,8 15. 50.25', 2-1,9 -2,- 3 51. 31*59» xMaii 7P0II1IX 67, 2.2 1 28, 2 28. 33.23, 6+ 3, 4 -5,6 5r. 3'. 245 9 5 Booris ,72. 39. lO 20,7 34- 10. 23. — 3, 4 i-5,7 5r. 3'. 3 (5 iO£ Bootis 66. 3 r, 9 28^9 28, 2. 2(5. —2,4 4-4>8 5r,3r. 40 i^Cor. -Caroli 78. i.iS r4. 39. 32.48,(5+ 5, 0 -0,1 5r. 3r, 50 zSx Coronac |6>. 58.42 29,6 27. 29. 2 6,-8 0,0-46,4 5r. 3t. 21 Iiinit I yi Bootis 58. I. 1-3 4ij 5 19' 3 2- 44, 2+ 2, 4'-f 3, 2 Si. 3». 4£ viG maioi 34. 19- 47 6,6 57. rr. 43. 4- <5,- s'-fo, 6 511. 3». 30 — _ . - ' < S5. 24. 50 5,3 S6. 6. 5 5, 8- 3, 4 4-r^7 51. 31- 39 - — ■ A *^ A 91. 4. 22 I1 '^ 50. 27. 6, 3.- 5, 44-2, 2 52. 58. 16, 5 + ro, 3-4,0 5r. 31. 2(J 2 • i^ — 73. 23. 25 > 3y 5 Jr. 31. 34J Maii 7f3 vrf. rr.inoi -i^f. 2<5. 51 29. 75. 5. 8,7|+ 0,6+5, 3 51. 3 r. 3<5i -\y 68. 53. 2.^ 25,6 72. 38. 29, 2- 1,94-6,2 5r. 31. 32 Mcdium ex his 20 obferuationibui 5r. 3r. 33 2) Ex altifudinibus Solis ircridianis. ^: Pro coaiputaada dedinatione Solis afTumitur hic diff-rcntia meridianornm inter obferuatorium Pa- rifinum et vrbem Saratow 2^ 50'. Dies ^24 OBSERVATIONES ASTRONOMICAE Dies obft ;ru. Altit. limbi Q Refiacl- Semid. © Declinat. O Alt. Aequator St. noi j. 22 inferiofii — Parall. Manii 39 • 3'.24." i'.i5" 16'. 3",6 o°.49'.2 8" 3 8\2 8'.44^" 23 39 26. 56 1.14. 16. 3)3 J. 13. 6 38. 28. 39 25 40. 14.. 8 I. 12 i<5. 2,7 2. 0.18 38. 28 41 April 5 44. 28. 50 I. 1,6 15- 59, 8 6. 15.15 38. 28. 33 6 44. 5 ». 19 I. 0,7 «5. 59^^ 6. 37-5 2 38. 28. 26 7 45. 14- 2 5 9,8 15. 59) 3 7. 0.23 38. 28. 38" 8 45- 3^- 9 59,2 15. 59- 7. 22.48 38. 28. 21 12 47 4- 34 56. 15. 58. 8. 51. 7 38. c8. 29 Maii A 53. 44. 6 43,8 15. 53. J5- 30.41 38. 28. 34 luiiii 5 60. 49. 56 33, I 15. 47. 22. 3<5. 17 38. 28. 53 6 60. 56. 5 32,9 15. 4<5, 8 22. 42.33 3 8. 28. 4<5 8 OJ. 7. 2^ 32,6 15. 46,0 22. 53.52 38. 28. 48 IVlcdiiim 38.28.37 Adcoque cleiiatio poli 51. 31- 23 Erat autcn^ eadcm ex altit. fixiirum 51. 31- 33 Hiiic latitudo \rbis Saratow 51.3'- 28 III. Pro dctcrminanda longitudine huius vrbis ob' fcruaiiit quidcm vir cel. Kclypfin Solarem die 5? Mar- tii ; fed dolendum e(l motum penduli ob frigus eo tcmpore in aere regans minus cxa^flum , quin indi- ccm fcrupiilorum ftcundorum per aiiquot momenta quictum fuiflc. Quam ob cauflam tempora hiiius oblcruationis vcra crui non poflunt. Interim tamen ■i obfer- 0B5ERV. ASTR. IN SARATOW HABITAE 6-5 obferuauit ille poftea Immcrfionem prlmi Satcllitis louis, (Jie nempe 7""' lunii i^-^ia'. 1 1" Temp Ytri Eadem vcro Immcrfio Parifiis e calculo - - - 11. 17.29 Vnde longitudo \rbis Saratow a Parifiis ■- - - 2. 54 42 vel numero rotundo a''. 54.;', adeoque m parnbus Circuli 43°. 40' et a Mercdiano primo 03^40' ftatui potcfi. IV. 'DiebuS5*5 Maii et V Sl Dedinationem acus Magneticae inuenit 3°. 2S' verfijs occidentem. Tom.XX. Nou.Comir. K k k k EPITOME 6i6 -^.■^ C o ) r?€< E P I T O M E OBSERVATIONVlM METEOROLOGICA- RVM PEIROPOLI ANNO MDCCLXXV^. SECVNDVM CALENDARIVM CORR^ClV M INSTITVTARVM. Auctore. lOANN.E ALBERTO EVLEK. I. Baromctrum. I. BiUometri altitiidines maximac, minimae, et me* diae, vna cum vaciatione maxima et ftatu medio , pro fingulis racnfibus anui 1775, Meiife Altilu Dig. p.c. io ma.xima die hora Altitudo miiiima Di^ p. c.' die hora Variatio Dig.p. c. Medium Dig. p. c. Altitudo media Dig. p.c. I.inujr. 29 11 25. IX. p. m. 2 7- .30 1 27-22 1 27. 12 1 9. IX. a. m. 1-81 1 28. ^i :8^ 25 Februar. 28- 83 28-58 27. meridie $. VI a. m. 1.61 I. 45 28. 02 27. 99 Mart. 7. IX'. p. m. 8. X. a. m 25. VILa.m 2 7-85 27.88 AprJ: 28-4+ 15. IX a. m. ■5. VI. a. m. 26. IX. p m. 1 1 12. VI. 3. m. I 00 -7. 04 28. 10 M.iii 28-53 2. X. a. m. 29. IX. a. m. 27.33 17 iir p- m. 1. 20 27-93 28. 07 28- 09 luuii Fuhi Augult 28. ,-s9 3. \"I. a. m. 27.48 2+ IX. p. m. 0. 91 27.54 28.43 28. 62 23.VlII.a.m. 27. 62 17. meridie 0. 8i 28. 03 28. II 9- X. a. m. 27. 88 25.JX-a m. 0.74 0.69 I. 3o 28. 25 i8. 29 28. 24 :8. J5 28-26 Sept. 28. 57 1 6. X. a. m. 27.88 21. VI. a. m. 28. 22 2?.. 05 2y. 2 1 28. 21 2 8. 14 06l.)br. 28. 48 2 8. 83 3. meridie 31. VI, a. m. 27.63 2T. 5<^ i^VllI.a.m. Nouembr. 28- 88 28. 72 28. 62 I. maridie 21. meridie lO. IIL p.m. I. 32 I. Ifl t.36 I. pP Di-cembr. i<5. III. p. m { zy. lO 14. IV. a. m M-ufe Maitii 27. 94 2 8- ot 2S. 12 A n 11 0 29. 1 1 1 .Mcnle J.iMiiarii. 27. 12 2. Numc- EPITOME OBSERV. METEOROL. (5^7 2. Nurrcrus dieriim quibiis aititudo Bsrometri fupc- rabat t'.rminos quosdam ■circa akitudinem 28 poll. fupia [ fupra fupra fupia fupra per dimidium 28- 10 28. 0,5 28. DO 27. 95 27. 90 mcnfis (upra Menfe Dies horaeDies, horae Dies, liorae Dies, horae Dics, horae Dig. p. c. lan. ai. 0 2 :• 12 24. i> 25. 6 2 5. 15 28- 25 Febr. 1 1 . 6 12. C 14- 3 15. 12 i5. IJ 28. 01 Mart. 8- C 9- '5 12. 0 '3- 12 i5. I 2 2 7- P2 April. 16. 18 19. 3 20. 18 22. 9 24- 0 28- 14 Maii 1". 6 19- 3 20. 6 ^I. 3 21. 21 28. 17 lunii 14. 15 17- 9 iO I 2 II. 21 25. 0 28. 09 lul. 17. IS 21. 5 23. 15 25- 18 29. 9 28. 13 Aug. 27. J5 2P. IS 30. 0 30. 9 30. 18 28. 28 Sepb 21. 12 2,5. 3 25. 21 28- 9 29. i3 2 8. 28 Oft. 19. 15 21. 0 21. 21 23. 21 2,5- 3 28- i5 Kou. 2.^- 20 = 5. P 2: occidentc. JMeiife Maitio. d, 5. hora i. p. m. ^7. 82 d. 7. hora 9. p. m. cS, 58. Ergo intcruailo 55 horarum afcendit merciirius per tc*, poll. Coclum (erenum. Eurus d. 14. hora 3. a. m. 27. 60 d. 15. hora 5. p. m. 2.8. 35, Vnde per tempus 38 horarum afccndit interaallo 7^5 poli. CoeJum obdudum , nix , vcnL N— W d. 18. hora c. a. m. i7. 85 d. 18. hora 6. p. ni. 27. 38 d. 19. hora 6. p. m. ::8. 1 1 d, 21. hora 2. p. W. 27. 27 d. 22. hora 11. p. m. 27.83 d. 23. hora 4. p. m. 27. 27. Primum ergo interualio temporis 18 hofarum de- i;enrus fuit -Z poU. Coclum obduaum , Procclia cx occidentc. D>.inde tcmpore 24 horarum nfcendit mercurius per -.Vj poll. Coehim fereuum , vtnt. NW. Tum tcmpore 44 horarum dclcendit interuallo ua pull. Coclum cbuu(ftum , nix , pluuia , Zcphirus. Porro METEOROLOGICARVM. 6:^x Porra temporc 33 horarum afccndit per -^ poH- Coelum ferenum. Vento leaiier flante e regione NW. TanJcm per 17 honis iterum defcenJit interuallo /*• poll. Coelum obdudum , nix , procella ex plaga NO et occidentc. Menfe Aprili. d. 10. meridie 2S. 14. d. i2. hora 6. a. m. 27. 4.4. d. 15. hora p. a. m. 28.44.. Confequenrer primum tempore 42 hornrum defcenfus fuit {/3 poll. Coelum nubeculofum ; procclia ex oc- cidente. Tum vero per 75 horas mercurius iterum afccndit imerualk) i pollicis , nix : vent, N— W. d. 28. hora 6. a. m. 28. 38 d. 29. hora 3. p. m. 27. 8 8 O Amio S^ i6l 98 48 45 20 o n 25 «3 S(5 5i lO 1775- 1 1 ! Viide patet hoc anno n axime rcgnafle \cntum ex occidente vel Zephiium , tiim vero venti e regio- nibus S— W et N — W; minime autem \cnti N - O , S — O et Aulkr. Porro pcrfpicitur hunc annum minus vcnto- fum fuide anno practerljpfo 1774- i malaciae ob- feruatae fuerunt frcquentius mcnfibus lulii , Maii tt Septcmbris : proccllae et vcnti vchcmentiores frc- Quentius occurrunt menfibus lanuarii , Fcbruari , Odubris ct lunii. In METEOROLOGICARVM. ff^i In fpecie autem hoc anno procellae flabant e regione. Nord die 4. lan. aa. Febr. 18. Apr. - - N — O die 24.. Febr. 23. Mart. 2. lun. - - Oft die 9. Mart. 3. lul. 15. 27. Odobr. 9. Nouembr, 14.. Dcccmbr. - - - S — O die <5". 7. lan. 12. Septembr. 24.. 25. 26, Decembr. _ - - - - Sud die 8. lan. 13. Mart. 23. Aug. - S — W dic 9. 31. lan. 3. 8. Febr. 12. Mart. II. Apr. 7. Maii. 24. 25. lun. 17. lul. 14. 20. 21. 22. 24. Odobr. 13 Decembr. - - - - - Weft die 18. 31. Marr. 11. Maii. 2.6. lun. 18. lul. 3. Decembr. ^ _ _ N — W die II. 20. 21. lan. 7. Mart. 4 Maii _---., dies 3 3 6 16 Tom.XX.Nou.Comm, M m m m IV. ^4-« EPITOME OBSERVATIONVM nrrrncf^ -■' IV. ConftitLitio Coeli. .•.1 - iVlenfe Cockiin fcrenum Cuelum ibdudum Mcbulofum Pluuia Nix dics dies dies uies dics lauuur. 5 18 6 I I 2 Fcbruar, 4 17 I 0 13 Marr. 6 14- 4 3 15 Apri!. 11 3 0 4 8 , Mui 15 3 I 16 I lunii 9 4 0 13 I lulii •14- 3 2 I 2 — Auguft> 18 3 10 8 — Septcmbr. S 8 5 14 — Oaobr. I 14 9 16 — Noueinbr. 3 16 8 8 8 Decembr. I 17 3 3 »9 Anno 1775 95 120 49 100 77 ^Jumcrus dicrum (crenorum multo minor fuit lioc anno quarn pracrcrito 1774-, "vbi eorum 127 nu- merabjntur. Ac frcquentius pluit ct ninxit ^ prac- fcrtim pluuia valde abundantcr menfe Maii , OlIo- bris , Scptcmbris et lunii , et nix copiofa menfe Deccmbris ct Martii cccidit. .VI ti. V. METEOROLOGICARVM. V. Reliqua phocnomena. <^43 Grando decidit diebus 2 ; die fcilicct 17. ct 21. Mdii. Tonuit tantum 7" et quidem longinque die 14, ai. lunii , d. 27. lulii , d. 6. Au^iufli , d. 28. Septembris , d. 15. Odobris et denique d. 27. Nouembris. Aurorae boreales obleruatae fuerunt 21 : et quidem 5.' pcrlucidae d, 26. lan. d. 19. 20. Febr. d. 22. Martii , d. 27. Augufti. Keliquac 16 aurore borealcs debiliores annotabantur d. i. 21. 22. 23. 25. 27. 29. lan. d. 21. 23. Febr. d. 24. 30. Martii ; d. x. 2. 23. Aprilisj d. 24. Aug et denique d. 13. Odobris. Parhelion die 4. lanuarii. Flumen Neva a glacie liberabatur die 22. Aprills , et die 12. Nouembris -vbiquc glacie obduce- batur. 1 Fia 7. / ^ k J \ \ \ 1) I i D' Jio.8. A D' Tiq.8. Ticf 6. a: A i^ E/T' \ \ \ ;e Y Aai'. C 'omTTient.^iciu/. Sc . Pehvpot. Tom. JCX .TaLlI. Iiu J Fi^ 2 B ■■-::- ri,7 3 Fitf S ^' f x: ^'" A Ficf . 7. Fia <3 A p E C vV.T OvTvmeni Jcol . Tmn .XXL Tai v. jr^.2 a .n -P ^ ^ ci^ nrmni. AccuL. Jc. FctrofoC. TorrhXX. Tcbb.VI. J Tig. 6- ir-^A" rB i fl/ -t J\ov. CoTnmmi. AcaA.. Jc. PctropoC. TomXX. Ta2).Vl. Tzg.J — X Fi(!.3. A X -1 "f M xo Iw. 5. \ B CSN /r Thj.e. :;^' tB JVc '" (or>n,U'nt.^caJ.Sc. Tetiox^ol . Tom. XX.Tah lai. N ^-S' .K ^7= JC. -;%nc^ / , ^t^. .->. Jfov. Conmunt.^cad.Sc. Ttti-o-Dol. To-nr.XX.Jab TOl '^f&fyi^-:.^ •«■■■■v-^^r^ ^ ,^ ...... j^-X.Tjyr^j <.-r-' Qj:,..l . ^'^■•■■■■•^i-li:V--^ ^(•■■«^■^•^---^'■^■■*~" ■■^v .> Nov. Comment Jcad. Sc Fetrop. Tonv.Xk.Jah.Ylll troj>. D ^^ 1. -^ ^ w .r- -• < r »:>■• -t^ O^^ — ', } / ■iSiv^.^...V..h f; Fui 7, Nov ComTmnt JcadSc-Fetrov. loTrt.XX 3ai VJJ2 ..z..::.%-:^W r. -A..- A Fia 7, j ~c:^.\ 2^ox>. Cornment.Aca.d. Sc . Fetrop TomXX.rab.JX. X7 c m -» ^ w i j- \ ^ ^•/f' / 3. 3 \ 31i?' Comment^cad Sc. Fctrci^ TomXXTab IX. -*^' 1(3 < ^ 'f| m m w i ■ JVov. CommeTit Aca^ Sc Tetrop. To-m.XX.Tab. JH JVov Ccmme-nt ^caJ Se Fetrcp TcTn XX Tah JU Nav Camment ^cad Sc Feti'cnj TornJOCTdb XII Fzp. 5. '^ Nov Corwnent ^icad Sc Fctiov ToTnJOCTah XU t T-iQ 1 ^jR^^-n OM Fiq. 2>. ^^. (-l^innw/u ^cad S^c 1 JSTcv Coimnent ^Jcad Sc J'circw Tom Jix 'lat' ^u J'lJ. b. -Aoi '■ CommenL^4cad. Sc. retroj,.rom.XX.Tab. Nov CoTmmntAcad. Sc.retrapol. Tam.XX.Tah.-m.' 10 %. A li / Nov Co-nvnmtAcad.Sc.TetrojolJmiXK.TdbSyi: i^. 1 Fia 3 1 M- t "3 riq.6. &^ 0 n: B Ifov CoTrvment Acad Sc.THroj>ol.Tom.X^.Tal-'. XVJJ. / JV1 \ 1 rH \ T '■ ' 'X- , -^ \ t '/* / \ "9-9-00 / \ / \. r \ \ *"- ' \ 7 \ " ^R ^Q 1 — \ f^ y \ f l / —^ K \ \ \ L__ 1 \l V - >> Vo f. ^j^vv ^'<-- -^ ^, N N - N --■ijg •^j ■f j *=* r. -^ "^ -^ *-* ~- %. % V -1 '^--, N ~ "^•-a ^'i 21 1 If o o — 1 g ^ » 1 2; ^ f2! g o » z 9 o 03 fe <« 1 J'cntlUf LOUJ- lu 12. .17>.l±.23.19.^1.i-i!.t6.n.iS.13.jO. 7 'critusjoritsdui. 2,.3 .5,^^ .76 .77.^,:?. 25 . ^5 . TrocdLooiif ii^ 4.6 .J. Ls.iL^o.^i.di. CoilumvlantJerenum dic Q.9,.^.i-i.9J.iff. et plme obiiiidian dies6.7.b9.n.jai3i-iW.!7.i8.is.2o. yitbuLOJuma.xi lo.js.n.u.JS.iB. Syixd.it S.11 .li .16 .16 .10 .^x.id.so ■■51 iMlrcofio6a iii a.g:^/iul dieil. Farhehon du * • Auroj'^ horeaies die i . 21 .o.^.. 23.9.^.^6:9.7. ^s. c^^CT'. a}r:lvi4;m\.Lric; ^\ "-■rcpoi.Tirm.JiXTab. yuen Jhrcm-byis ,i.rns oTxm^vaT^nim ^;LJS^J0^ - -:, u '2,; io 2 7 -8 1.1 -^O ol 8 JiO %8.C0 47. ^-»3 JtJX. ^■^^■liI6ll.0.Z>l. idies.id.o9.:bi. ^. <7!'. Cbtiinimi.Uiad : pi. VenmfoTtiidzetii.eiouiT FrocelbsTis- die aiiU.tt.^&ie. Coelumvlane serenvm iie^i.etvlane olducUandiei^^.isP.in^.iiieii.^^ib.^it&^B.^bO-^l- Jfebutosiini die id le.^Li JVix Sie 1. i.^,. i.a.u.ili^Jie.ii ^o. %6. %-j.18. ^bO.Nix, ccmiosa die s. 18.19. 3i. Thcvia dze 1. 1 5. f Ul ^