an LUTITTEM tu HH IDUDIT ng IDE HEEL » ID RIBWIIESTIBIS TER IHEREREH RPM : i Mani ^ E i » 18-30» 3i- S10. 4 Li - nj n : 1] 73 d A M» i hut LETT PRI M. ML "m TRU VRHEOCSSTA YN. 1 "n TEM VADER YR NOR T. ] ELTTUM TY WP . n URN / | vi p ud [ NND aci i AL OY Puto "i j deti. N & 6 uM" IU Ia ":TpHT pti ivt " vba m T hi Jj ! " Tin jh M n " N . ULM iy HUN ; MORES ANM: "n AUS EBORE EA ut DNUS V 1". EA Y TUAM o» | ! bx NP. NS r Ado " 1 zum MTM : qi P [à ! *2 n nmoT "E "Iu | x IMP BC Y Sd i " 4; n " " [L j Tn "T » i al v, : Lu )au 7» Dum A os uy nd ^ * T gr We Wl MUT Ld, 1 Ae MA a JT END" T LJ » LJ * M t] i A t - » E ^ i» » T "3 * ]0" L .J $ d ) 8. , P 9 Le] n ] "A. LIP" ET "iS ES p) 33 4^4 M —" EL T "DL » ^ * sd ü L . De de (a E - Le - LI J— 5 s p uM us X in E i n B D Pall "2 de B [ L4 , Pe uu , - de * pv ! Et E Vh m LIN T" "Mrd 21 LI 4 à à à T X , 1 NOVI COMMENTARII ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE TOM. VII. pro Annis MDCCLVIIL. et MDCCLIX. Basil E / z eate aad : XV ADDIT- FRUCTUS AVTATE-RECENTESETTTT ALERTE TTL psi escis P iD UN d NP Puma 0:500:102::60::00:601020:5€0:60709::09::00:19 J IETROPOLI TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXL i wu TE M AR. tà VAFAYPn in pret S37 TER ahh uu cd t molo dia "ADM " "i * GROS * Qv: MYyAA $5 qd 3. io ^ Tw uh AE 2) UN - » H SVMMARIVM |. DISSERTATIONVM QVAS CONTINET NOVORVM COMMENT ARIORVM TOMVS VII. MATHEMATICA. I. Specimen alterum — methodi nouae quantitates tranfcendentes inter fe comparandi de comparatione arcuum Ellipfis. Au&ore Leon. Eulero p. 3. III. Specimen nouae methodi curuarum quadraturas et reCuficationes aliasque quantitates tranícendentes inter fe comparandi. Au&ore Leon. Eulero p. 8;. typothetarum excufatio eft, quod pofterior or- diue differtatio priori eft antepofita. — Culpam hanc aliqaodam | modo refarcituri , — vtramque differtationem fimul confiderabimus , et confueta nobis breuitate , quid in iis praeftitum fit, dicemus. — Vería- tur methodus a Cel. Auctore propofita fingulari pror- füs modo circa quaatitates tranfcendentes , (eu eiusmodi a 3 quan- p monendus eft le&or, rogandaque errori 6 "owe (o ) oe quantitates in lineis curuis occurrentes, quae nullo mo- do algebraice exprimi poffunt. ^ Semper confideratio linearum , vtcunjue fterilis 1n fe videatur , tam Geo- metriam ;, quam Analyfin, pulcerrimis inuentis locuple- taut. | Cum primum enim Geometrae lineas curuas contemplari coeperunt , fiatim omnibus viribus eo funt annii, vt tam Íípatia ab iis inclufa, qdam ipfam ea. run longitudinem , dimetrentur, quarum inueftigatio- num prior circa curuarum quadraturas , altera circa ea- rum rectificationem veríari dicebatur. — Quoniam vero neutrum in circulo praeftari poterat , etfi omnium li. nearum curuarum eít fimplicifluma , eo maiori fludio in eiusmodi lineas curuas iuquifiuerunt , ^ quae vel quadra- turam, hoc eft fpatii iis inclufi dimenfionem , vel rectificationem , qua linea recta curuae aequalis affiguari debet, admitterent. — Interim tamen etiam inutiles co- patus eorum , qui in quadratura circuli inueftiganda fruftra defüdarunt , praeter opinionezn plurima egregia inuerta funt coníecuti , quibus idem víu venit , quod Alchimicis , qui toti in lapidis philofophorum praepa- ratione occupati , etfi voto (uo exciderunt , plurima faluberrima remedia in vfum medicinae contulerunt. Poft inuentam autem Analyán infinitorum. füummum ftudium , quod praecipue in quadrandis et rectificandis lineis. curuis eft confümtum , vberrimos fructus protu- |t, quibus plures methodos fatis íublimes , quarum vfus per vniuerfim Matheün ampliffimus cxi(lit , acce- ptas referre debemus. — Quare haud minores fr;ctus ab eorum ftudio expectare licet , qui in comparatione li- nearum curuarum , quae per íe, vel quadraturam , vel teci- "ue (o ) "HE 7 rectificationem , refpuunt, exquirenda laborant, in quo negotio certe — profundiffima Analyfeos arcana funt adeunda , ita vt, qui hic quicquam praeftiterit, is plurimum in hac fcientia profeciffe fit cenfendus. Huc fine dubio referenda eft noua methodus a Cel. Auc&ore excogitata, cuius ope innumerabilium curuarum , quarum rectificatio omnes vires Analyíeos tranfcendit , arcus inter fe comparare docet. Pro iis quidem cüruis , quarum rectificatio ope. circuli , vel lo- garithmorum , expediri poteft , hoc cognitis methodis praeftari poteft, íed totum negotium multo facilius beneficio huius methodi conficitur , quemadmodum ex ífpecimine pofteriore luculenter apparet, vbi compara- tionem aremum circularium , aliunde quidem fatis cogni« tam , et arcuum parabolicorum , mira fimplicitate exequitur, vt iam hinc fumma vtilitas huius methodi abunde eluceat. In altero autem fpecimine, quod hic primo loco extat, hanc methodum potiffimum ad Ellipfin accom- modatam conípicimus, cuius lineae rectificationem , ne- que ad arcus circulares , neque logarithmos reuocari poffe, inter Geometras fatis füperque conftat. Neque etiam in hac curua binos arcus diffimiles , qui inter fe fint aequales , abfícindere licet, ex quo multo magis mirum videbitur , dato buius curuae arcu quocunque, femper alium arcum , et in dato quidem puncto ter- minatum , exhiberi poffe , qui ab illo differat quanti- tate geometrice a(fignabili, cum hoc ne in circulo quidem praeftari queat. Si enim differentia inter duos arcus circulares geometrice affipnari poflet, «eo ipfo recti- ) «92M. ( o ) ES rectificatio circuli abfoluta hiberetur. In ellipfi autem haec ratio longe aliter eft comparata, cum innumera- bilibus modis differemtia in binos arcus ellipticos defi- niri poflit. ^ Simili modo, propofito arcu ellipíeos quocunque , ab alio quouis pun&o arcum abfcindere licet ^ qui ab ilius duplo , vel triplo, vel alio quouis multiplo , atque etiam fübmultiplo , quantitate geome- - trice affiguabili differat. ^ Imo etiam fieri poteft, wt haec differentia prorfus euaneícat, ficque bini arcus el- liptici datam inter fe rationem tenentes exhiberi queant, dummodo ratio illa non fit aequalitatis , quippe quo cafu bini arcus prodeunt inter fe fimiles , in quo nihil fiogulare habetur. — Cuncta autem haec problemata , quae Cel. Auctor hic pro ellipfi expediuit , fimili pla- ne modo etiam pro hyperbola, atque infinitis aliis liucis curuis multo magis complicatis, refolui poffe, manifeftum eft: ex quo.haec methodus omni Geome- trarum attentione et yberiori euolutione dignifüma vi- detur. II. "Theoremata circa refidua ex diuifione poteftatum relicia. Aucore Leon. Eulero pag. 49. Lb numerorum natura plurima adhuc myfteria latere , quae non obflante fimmo ftudio , quo tam veteres, quam recentiores Mathematici , in proprietates numero- rum inquifigerunt , adhuc nobis fünt abfcondita, iam faepius «S ( 0 ) "EB (9 faepius eft inculeatum , quod merito eo magis mirum videtur, quod prima noftra quantitatum cognitio circa numeros verfari folet. ^ Summa autem difficultas , quam in numerorum indole fcrutanda . offendimus , in eo potiffimum confiftit, quod numeri fint quantitates difretae , et natura fíüa quafi continuitatis rationi ad- verlentar.. Non enim , vt linea parum a longitudine pedis deficiens ; recte dicitur fere pedalis , ita numerus parum a numero , vel pari, vel quadrato , diícrepans, dici poteft, vel fere par, vel fere quadratus; vel mi- nima enim differentia naturam numeri, vel paris, vel quadrati , aeque tollit , ac fi effet maxima. ^ Eodem modo etiam res fe habet in diuifibilitate numerorum , et in refiduss , quae diuifione facta remanent , in quibus mulla ratio continui locum inuenire poteft, quare, cum methodi in Analyfi adhuc inuentae omnes rationi con- tinuitatis innitantur, eas fru(tra ad proprietates nume* rorum. inueftigandas adhibemus, íed ad hoc peculiaris analyfeos fpecies requiri videtur , cuius forfitan prima €lementa etiamnum nobis funt incognita. In lege igi- tur, quam réfidua ex diuifione poteftatum per diuifo- res quoscunque relicta fequuntur , Cel. Ewerus inprimis eft occupatus, ac plura Theoremata affert, quorum demopítrationes fummo rigore adornat : multo plures autem in hoc genere veritates agnofcere licet , «| quarum demonftratio fruftra e(t quaefita, cuius rei exemplum jn quantitatibus , vbi continuum fpectatur, vix repe- ritur. "Tom. VII. Nou. Comm. b IV. ro SM Co) wx IV. Demonflratio 'Theorematis et Solutio Problematis in. ACts Erud. Lapf. propofitorum. Au&ore Leon. Eulero p. r8. C» in Acis Lipf. Theorema hoc ac problema fine nomine fint propofita , Cel. Auó&or hic ftatim íe eorum effe inuentorem profitetur. — Vtrumque cxi- miam ellipfeos proprietatem complectitur. — In Theo- remate enim docetur , quomodo dimidia ellipfis , dia- metro quacunque terminata, ita in duas partes fecanda fit, wt partium differentia geometrice affignari queat , quae ipía diuifio cum partium differentia in eo expo- nitür, vt a geometris demonftratio inuefligaretur. Pro- diit quidem nuper in Actis Sociorum Academiae Pari- finae huius Theórematis demonftratio , quae etfi veri- tatem enunciatam rite oftendat, non tamen ex genui. nis principiis haufta videtur. ^ Vnde innumerabilia alia eiusdem — generis in ellipfi aliisque lineis curuis inuenire lice. — Idemque ex eo vel maxime apparet, quod áuctor huius demonftrationis folutionem problematis ag* gredi non fit aufüs , cum tamen ex iisdem principiis noftri Auctoris expediri queat. — In eo autem quaeri. tur modus, in quadrante elliptico partem geometrice affignandi , quae exacte femifü quadrantis aequetur. Celeberrimus igitur -Eulerus in hoc fcripto non folum . fuo more Theorema memoratum demonílrat, fed eciam proble- Ae ( o ) Ete 1 problema hoc refoluit , idque ope methodi illius novae, quam iam pridem in hunc finem excogitauit, et cuius bini noua in hoc volumine fpecimina edidit , quorum occafione de iíta methodo iam füfus eft expofitum , quie hic repetere fuperfluum foret. ^ Adiungit etiam alia quaedam non minus notatu digna , vcluti id, quod..circa finem affert ,. quo .in ellipfi arcus afüi- gnatur , qui fit totius perimetri ellipticae, pars tertia. v. De azequationibus differentialibus fe- cundi | gradus. Auctore Leon. Eulero p. 165. 5. poeni atque omnino nouam methodum , aequa- tiones differentiales fecundi gradus tractandi , Auctor traditurus , flatim obferuat , plurima atque adeo infi- nita capita quorum euolutio etiamnum in Mathefi de- fiderantur ,. ad Analyfin ac potiffimum ad reíolutionem aequationum — differentialium — fecundi — gradus reduci. Quoties enim quaeftio ad partem. quampiam Mathefeos, vti vocari folet , ^applicatae füícipitur, «eius enodatio duabus operationibus abíoluitur , quarum alterius ex principiis ifti parti propriis folutio ad aequationes ana- lyticas reuocatur, altera autem in harum aequitionum refolutione confümitur. — lam vero principia Mechani- cae , feu Scientiae motus , tam folidorum , quam fiuidorum , tum etiam Af(lronomiae theoreticae , / b 2 ita 12 xe Co) WS ita funt exculta, vt vix quaeftio excogitari poffit , cuius folutionem — non iftorum principiorum beneficio ad aequationes analyticas , easque vtplurimum: differen- tiales fecundi gradus, perducere liceat. — Ex quo: ma- nifetum eft , praecipuam — Mathefeos perfectionem ,, quam quidem fperare licet , in huiusmodi aequationum refolutione effe quaerendam. ^ Quam ob cauíam Cel. Auctor, cum iam faepius in hoc negotio vires fias exercuiffet,, ac varias methodos particulares , quae fae- pius in. vfüm. vocari queant, in medium attuliffet , hic omnino. nouanr latiffeneque patentem viam — ingredi tur, iftas aequationes tractandi , quae in hoc confiftit,, vt multiplicator inueftigetur , in quem huiusmodi ae- quatio du&a fiat integrabilis: — Quin etiam. pronunciare non dubitat, cuiuscunque füerit ordinis aequatio diffe-- rentialis, femper eiusmodi multiplicatorem negotium conficientem — dari, atque in hac differtatione nonnulla huiusmodi aequationum genera , quae aliis methodis in- acceffa videntur, hac methodo feliciter ad aequationes differentiales primi gradus reduxit, neque vllum eft dubium , quin haec methodus, fi vberius excolatur ;, maxima incrementa in Analyfin fit allatura.. AOUIWEGLIIOZTa) CGNGEDECIÓE 7 IL.ID ULLILOLETCHUIITSI 5 0 0 987 9 9 Guc3722 WMPDNEPNUSAS EO Crue II VI. «ise ( o ) "ES 13 VI. Enumeratio modorum , quibus figurae planae reCtlineae per diagonales diui- duntur in triangula, Au&. I. A. de Segner pag. 293. buando in Geometria area figurarum pluribus lateri bus inciufarum definiri debet , cae per diagonales in triangula refolui folent ,, quia tum cuiusque trianguli areae ex coguitis lateribus facile determinantur. — Quo pluribus autem lateribus figura eft praedita, eo pluribus modis eam hoc modo in triangula refolui poffe , vel leuiter attendenti ftatim eft manifeftum. — Ita cum in quadrilaterum duas diagonales ducere liceat, quadrilate- rum duplici modo in bina triangula diuiditur. — Penta- gonum: autem quintuplici modo , diagonalibus ducendis, in triangula refolui poffe reperitor, hexagonum vero I4 modis, et heptagonum 42 modis, octogonum r52 modis, enneagonum 429 modis etc. quae omnium modorum poflibilium: enumeratio ,, quo magis cum 1la- terum numero eorum. multitudo creícit , eo: fit. diffici- lior et taediofior. Quare quaeftio omnino curiofa , et Geometrarum attentione digna videtur, qua lege i(ti refolutionum numeri pro laterum. multitudine. progre- diantur, vt inde pro quouis polygono refolutionum nu- merus rite definiri queat * Hinc lll. Au&or modo pror- fus fingulari et ingeniofo legem. progreffionis horum. nu- b 3s mero- 14 AIO. (o ) SERM merorum exponit, ac rigorofe demonftrat , dum docet, quomodo pro quouis polygono refolutionum numerus , ex cognita refolutione polygonorum fimpliciorum, quae paucioribus conftant lateribus , colligi debeat. Hac ra- tione, fi a fimplicifümis incipiamus , hanc inueftigatio- nem continuo ad polygona plurium laterum — extendere licet , ficque Ill. Auctor füb finem tabellam adiecit , in qua iftiusmodi refolutiones ad poiygoua 20 laterum vsque exhibet. Liceat autem. nobis, a fummo quodam Geome- tra, qui eandem hanc tabulam calculo fubiecit , admonitis, obferuare, hanc tabulam, ob. quendam calculi errorem , tantum vsque ad polygona r5 laterum effe iuftam, quip- pe pro hoc polygono reíolutionum | numerus non eft 451900, vt tabela habet, fed 742900 , fequentes quoque numeri, dum forte nouus error irrepfit ; — pri- mo ad r7 vsque latera nimis funt magni , deinde ve- ro nimis patui, dum pro 20 lateribus reíolutionum numerus eft 477638700. . Facilius haec apparent , fi ex lege primum obíeruata , qua quilibet numerus ex omnibus praecedentibus. colligitur, alia ad computum facilior eliciatur, cuius ope quilibet numerus ex folo praecedente definiatur. ta fi pro polygono 5s laterum numerus refolutionum fit P, pro polygono (íequente 5n--1 laterum numerus refolutionum erit. $——5 p, Quin etiam hinc, fine confideratione praecedentium , faim indefinite pro polygono 7» laterum numerus re- folutionum ita per fa&ores exprimitur, wt fit : [3 cJ * * s v TN 7 . . . *. *. . . vbi numeratcres quaternario , denominatores vero vni- tate crefcunt Hinc fequentem nouam tabulam , beoe- vole £ 56:201 A XSE 22 41 — 10 Ji t SER (o) se ET Yxole nobiscum communicatam , adiungere e re vifum eft, quoJ Ii. Au&ori huius fLhediasmatis non difpli- citurum effe fperamus. Num. numerus num. numerus laterum . fefolutionum. laterum — refolutionum. It I XV 742900 IV 2 XVI 2674440 M L XVII 9694.84.5 VI 14 XVIII 35557670 VII 42 XIX 12964.4.790 ViII I52 XX 477658700 IX 429 XXI 1767265190 Xx I4.50 XXII 6564120420 XI 4862 XXIII 24466263020 XII 16796 XXIV 91482563640 XUI 58786 XXV 3430596153650. VII. Methodus fimplex et vniuerfalis omnes omnium aequationum radices dete» gendi. Au&. I. A. de Segner pag. 2r. ( Sample: iam a Geometris excogitatae funt me- thodi aequationum algebraicarum radices; vel ac- curate , vel proxime faltem , determinandi : omnes au- tem fere poftulant , vt valores radicum , quae quae- runtur, 16 SERM ( o ) ES runtur, propemodum iam fint cogniti, ad quam co- guitionem quomodo fit perueaiendum , faepe numero parum perípicitur. Cel. Bermowl iam pridem quidem excellentem methodum tradidit, ope ferierum recurren- tium hoc praeftandi: verum ipfe animaduertit, hoc modo tantum, vel ad maximam, vel ad minimam aequationis radicem , appropinquari. Ill. igitur Auctor hic mechanicam methodum perquam ingeniofam expo- nit , vbi defcrptione certarum linearum curuarum Di- mites omnium radicum realium manifeíto exhibentur, conftru&ionem autem harum linearum geometricam ad- modum facilem .docet , qua , quouis cafu oblato , fere fine labore vti liceat — Quae lineae quo accuratius fü- per Charta delineantur , €o propius veros fingularum radicum valores manife(tat , quibus cognitis, eo prom- tius .aliarum methodorum beneficio approximatio infli- tüitur. VIII. i De Problematibus quibusdam lfoperi- metricis. Aud. Paullo. Frifio pag. 227. | ih monet Cl. Au&or in limine differtationis fiae problema líoperimetricum a celeberrimis faeculi no- fii Geometris, Eulero potiffinuum , tanto iam ftudio pertracatum effe, vt eorum lucubrationibus , vix quid- quam amplius adiungi pofht. ^ Ita fane Cel. Ewk- *us vniueríam hanc Theoriam; quomodo inter omnes lineas «9M ( o ) "oce 1 lineas quotcunque , proprietatibus communibus | gauden- tes, eam definiri oporteat , cui maximi minimiue pio- prietas conueniat, vberrime explicauit , methodumque ficilem ac planam omnia huius generis problemata re- Íoluendi tradidit. — Verum «nim vero, cum. huiusmodi inueftigationes femper vberiora ftudia admittant, fucs- que amatores raro optato fructu, piomouendis vltra geometriae pomaeriis, deftituant, Cl. quoque f7ifia non denegaada laus eft, quod cafus quosdam particula- res huc redeuntes ingeniofa perípicacirate magis iliu(tra- re, et breuiori calculo exhibere, conatus eft. Caeterum dum CL Au&or p. 23:. calculo íuo prserogitiuam quandam prae Ea/eriano tribuit, vwnic:m | Cel. Eweri differationem , in Tomo VI. Comm. noftrorum ex- tantem , compertam habuiffe videtur. ^ Prodiit autem poftmodum. À. 1744. alia eiusdem de hoc arg»mento tractatio , Laufannae. excufía , quam AMetbodum inuenien- di lineas curuas. maximi minimiue proprietate | gaudentes vocauit, vbi, quae in priori differtitione defiderari poffe videbantur , abunde fuppleuit. ^ Denique nouam huius problematis folutionem , qua nihil pulchrius, nihil ge- neralius, nihil magis analyticum , effe poteft, ex nouo a fe adornato Ca/eulo variationum deductam , nobiscum Eulerus communicauit , quam indicaffe fufficiat, donec in aliquo ex fubíequentibus Commentariorum noítro- rum voluminibus comparebit. amm 5 Tom. VII. Nou. Comm. c PHYSICO- 18 S53 Co) 9 PHYSICO-MATHEMATIC A.. I. De quibusdam: circa. lentes caufticas: et fpecula vítoria emendatis et. nouiter inuentis.. Auctore ]. E. Zeihero pag. 237: im folis calefaciendi dupiici modo; reflexione fcié j. licet ac refiactione , eousque augeri poffe, wt effectus etiam intenfiffimum: ignem longe fíupe« ret , experimenta, ípeculis vítoriis et lentibus caufticis inftituta , manifefto declarant. ^ Ad tam ftupendum ad: . tem effe&um producendum: haec infitumenta tot labos res tantosque fumtus poftulant, vt vix quisquam priuatus fibi ea comparare queat, cum tamen in ícientiae aug- mentum maxime effet optandum , vt naturae fcrutatores huiusmodi inflrumentis, iisque perfectiffimis, eflent ia* ftructi. — Arcbimedes quidem apud nonnullos (criptores perhibetur. ingenti fpeculo vítorio naues hoftiles ad ia- fignem .diflantiam combuffiffe. Apud alios antem, cos- que. probatiores , de- ratione , qua ille in exurendis na- vibus veríatus eft , nihil legitur ; quare cum eundem effectum ignibus iniiciendis multo facilius confequi po- tuiffet, de rei veritate merito dubitatur. — lnterim ta- men liaec, fiue hiftoria, fiue fabula, Cel. Buffonum im Gallia excitauit , vt de eiusmodi fpeculo vítorio cogi- ! get, ERU. (o ) «788 19 "taret , quod ex pluribus exiguis fpeculis planis , fecun- dum íuperficiem fphaericam .difpofitis, conftaret.. Neque fefellit expectationem fuceetus : hoc enim modo in- fignem vim vftoriam ad ingentem diftantiam . pro- pagauit. | Antequam :hoc inuentum ad notitiam. Cl. Au- Goris perueniffet , iam ipfe de combinandis pluribus Ípeculis planis cogitauerat, quorum lumen -reflexum , dum in eundem locum proiüceretur , idem -e(let prae- füiturum , quod fpeculum metallicum concauum maxi- mis fümtibus comparandum ; ex quo iure fibi partem quandam .gloriae huius iauentionis vindicare — poteft. Hic autem inprimis :egregium | artificium — excogitauit , fpecula quotcunque p'ana facih negotio fecundum fupcr- ficiem fjhaericam .difponendi , idque ope affirum , qui, vi rite adhibiti, fponte quai ad hsnc figuram incuruin- tur. .Neque vero hic inueftgationes fuas terminandas putauit, ed etiam artificia quaedam cexcogitauit, tabu- lis vitreis planis curuaturam | inducendi , qua -deinceps ,- tanquam fpeculo vítorio ,. vel binis coniungendis, et cauitatem inter eas aqua implendo, tanquam lente "ftoria, vti liceat. Ad hunc finem affequendum , plu- ribus inftitutis experimentis, didicit, quomodo tabula vitrea , catino concauo impofita , igni ita fit commit- *enda, vt ea tantum non liquefacta catino perfecte fe applicet , eiusque figuram accipiat , quam deinceps .re- frigerata -conflanter fit íeruaturi ; hoc certe. modo maximis orbibus vitreis figura fphaerica fine tantis ambagibus induci poterit, quales alioquin politura exi- geret. — Etfi vero etiam fine igae huiusmodi orbes vi- c2 trei 20 We3« (o ) trei aliquantillam | iacurmari poffunt ; ob ela(ticitatem enim parumper à viribus idonee applicatis fe inflecti patiuntur: attamen ex hoc ftatu violento, ceffante vi- rium actione , mox íe in ftatum naturalem rce(tituturas effe, nemo dubitabit. Clar. Auctor autem modum perquam ingeniofum proponit , iítas tabulas hac ratione incuruatas ;n ftatu violento retinendi, ita vt fi fuper- ficies conuexa argento viuo fuerit inducta , altera íüper- ficies concaua vicem tanti fípeculi metallici, maxima opera et fümtibus comparati , eo maiore fucceffu fufti- nere poffit, quo fpeculum vitreum radios folis multo copiofius reflectit, quam fpeculum metallicum: optime politum. — Huc accedit, quod a tali vi externa vitrum non ad. figuram: fphaericam incuruatur, íed ad aliam propius ad. parabolam accedentem , quae propterea ra- dios folis multo: miagis in. vnum: focum | eft. colle&ura. Hinc inteJligere licet, quanta incrementa ab huiusmodi machinis víloris, intenfiffiimas etiam ignis füfori vi- res longe fuperantibus, tam in Phyfica , quam. Chemia. praefertim , expectare queamus.. | II. Phaenomenorum [l1ridis feu arcus coe- lefüs. difquifitio. AuGore Sim. Kotelnikow. p. 252. bes originem: et naturam: Cl. Audor hic explican- . dam et ex principiis: dioptricis. perfpicue: euoluen- dam. fibi fumfit ; vbi ftaum: animaduertit, iam: veteri-. bus 58 ( 0) ES 21 bus cognitum fuiffe, hoc phaenomenon in guttis aqueis per aerem delabentibus generari , dum 3 radiis folis ex aduerío colluflrantur- ^ [Non vno autem modo, fíed pluribus, imo innumeris, lris produci poteft, dum radii fingulas guttas ingreffi, vel femel, vel bis, vel pluries, refle&untur , antequam inde reuertantur. — Etfi enim guttae aqueae infigui pelluciditatis gradu fint praeditae, tamen hoc habent cum omnibus corporibus diaphanis commune, quod non omnes radios in fuam füperfi- ciem incidentes transmittant , íed partem quandam eo- rum 'refle&ant , vude fit, vt radii folares ,, in guttas intrantes , iam quandam iacturam fint paffi. Radii aue tem ingreffi ob eandem rationem non omnes per gut- tulam tram mittuntur, fed pars quaedam a füperficie interiore reflectitur, quae denuo , vbi inde im aerem erumpere deberet , ex parte quadam refle&itur: ita in eadem gutta idem radius plures reflexiones pati poteft, antequam rurfus in aerem emittatur. — Quo plures au. tem reflexiones in gutta patitur, eo magis debilitatur ;. it vt mox omnem vim amittat. Neque vero omnes radii in guttas intrantes ,, et poft vnam: vel aliquot re« flexiones inde emergentes, ad. lridem: repraefentandam funt idonei ; fed ii tantum ,. qui in: exitu: iterum inter fe fiunt paralleli, quando: quidem: neceffe eft, vt radii. a fingulis obiectorum conípicuorum: punctis in oculos noftros transmiffi, fint fere inter fe paralleli. — Hinc pro certo folis et fpectatoris fitu, certae tantum guttu- lae aptae funt ad Iridem producendam , atque aliae quidem , quae radios femel reflexos, aliae, quae bis pluricsue reficxos,. ad. oculos noftros transmittunt; et quia c3 radii: uL «ES Co) radii díuerforum colorum diuerfam refractionem patiun - tur, aliae guttae nobis radios rubros , aliae violaceos , et rcligaorum colorum, reddent ; ob quam caufam di- verfi colores in lride a fe inuicem feparati .repraefen- tantur. — lam dris principalis ab iis rad'is exhibctur , qui in guttis aquceis femel tantum reflectuntur , quae etiam propterea maxime viuida apparet: radii autem bis in .guttis relexi ; ideoque multo maiorem dimi- nutionem pa(li , lridem fecundariam multo .debiliori lu- - mine fpectandam praebent. | Cum ipíum problema, quo vera pofitio omnium cuiusque ordinis )ridum quse- ritur, attentione. Phy(icerum quam maxime dignum ceufendum fit, nulli dubitamus, Lectores cum voiuptate fo]ntionem a. Cl. Au&ore fuppeditatam lecturos effe. Til. .Deícriptio. ac. explicatio nouorum quorundam. experimentorum eledricorum. Au&ore F. V. 'T. Aepino. pag. Pos commorantes «Reu. Patres Soc. Iefu , pro lau- dabili fuo in omne doctrinarum genus ftudio , a multis annis nullam occafionem praetermittere folent , qua noR Academiam noftram, hoc litterarum commercium de bita officiorum .reciprocatione colentem , de laboribus fuis Phyficis , Mathematicis , Hiftoricis , Geograph:cis , | certio- esM ( o ) deu 25 certiorem' reddànt. Nunc accidit, vt nouo quodam ex- perimento ele&rico valde fingulari inftituto ,— anfam praebuerint ad. ipm Theoriam Electricitatis magis iluftrandam , et quantum. in- re, de qua tot fen(us, quot capita , fieri poteft, fere euictam praeftandami: Lamina vitrea electrica '^adplicatur ad. pyxideim magneticam vitro:tecam, quod dum fit, acus magne- tica ftilo incumbens: cufpide fua confeftim furfum rapi- tur ad vitrum pyxidem tegens, ipfique horas duas; vel tres , quafi adglutiaata , conftanter adhaeret. —Poft- modum repentine decidit acus , et ad fitum fuum con- faetum redit. — Aufertur/ lamina a- pyxide, ecce para- doxon! acus dico citius denuo afcendit, operculo pyxidis vitreo iteram fe adglutinans, et ad. duarum aut trium horarum fpatium , non aliter,. ac ante factum etit, adhaerens. Admota iterum lamind , acus decidit, et fublata rurfus attrahitur. ^ Hoc vel centies repetere licuit. Patribus lefuitit. ^ Et haec fümma eft experimenti Pekinenfis , in quo nemo non mirabitur, quomodo Electricitas ; quae poft. decurfum aliquot horarum .peni- tu$ extin&a. videbatür ,; momento quafi, et fie vlla noua fricioneg, aut excitatione , per folam laminae re- motionem , potnerit refüfcitari, admot4 autentr lamina y. iterum extingui. . Haec cumr ad Celi Auctoris huius. differtationis notitiam perueniffenr.,.mox in caufam horum tam in- folentium : phaenomenorum- fibi iaquirendum | effe cenfuit, et examinare ;-«trum ex principiis Theoriaze electricie Francklinianae , quam , vt ex libro ipfius:de Theoria Eleciricitatis. et: M agnetismi .conflae, naturae miro modo cons- 24 «ee ( 0 ) "WEIN. congruentem expertus eft , explicari poffint, Confpicere autem fibi vifus cft confenfum — prorfus notabilem , de - quo vt certior fieret , aliosque , fi vera fentiret, con- vinceret , repetiit primum experimentum — Pekinenfe , dein elicuit ex nouis phaenomenis varias conclufiones, nouaque experimenta, ab his conclufionibus fibi fuggefta, multo ftadio inftituit. — Solitae Auctoris dexteritati tri- buimus, quod maximis in hac re cautelis vfus eft. Scimus illum valedic&urum fuiffe principiis Theoriae Francklinia- "4e, fi experimenta , quae, quid docere debebant , praeuidit, id iufhffent. ^ Accidit autem contrarium ; quare nunc in fententia fua omnimode íe confirmauit. IV, Obferuatio Optica de mutabilitate dia- metri apparentis foraminis angufli oculo propinqui. Au&. F. V. T. Aepino. pag. 303. n alias ftupendas vifionis a&c tion ex quibus in. finita omnipotentis Creatoris fapientia copiofiffime elucet, ea quoque proprietas ; sua pupilla , pro copia luminis ingredientis , vel dilatatur, vel conftringitur , nos in ad- mirationem rapere poteft, tantoque magis, quo minus haec mutatio a voluntate noftra pendet, fed fponte quafi ad vifionis perfe&ionem , oculorumque conferuatio- nem, temperatur, Cum pupilla fit foramen illud rotun- dum "Wie ( o ) Nod zl dum in iride confpicuum , per quod radii ab obie&is emiffi in oculum intrant , in eoque fuper retina tanquam in camera obícura imagines obiectorum . depin- gunt: hinc fit, vt, quo magis pupilla fuerit dilatata , eo maiori radiorum copiae ingreffus in oculum conce- datur, ficque imago fuper retina depicta viuidiori lu- mine exprimatur, fiquidem lumen externum pari vi fuerit praeditum. — Quemadmodum autem ad feníatio- nem excitandam certa lumünis vis requiritur , ita «ctiam lux nimis fortis delicatiffimo huic organo damnum af- ferre poffe in propatulo eft; quod ne eueniat a fapien- tilimo creatore eft cautum , vt pupilla a fortiore lu- mine fponte fe contrahat, a debiliori vero fe dilatet. Experientia hoc luculentifme teftatur, dum in locis tenebricofis pupillae apertura vehementer augeri, ad in- fignem autem lucem ad puncti fere paruitatem. immi- nui confpicitur. Quae etfi funt notiffima , tamen fin- gularis circumftantia circa mirabilem amborum —ocule- rum confenfüm hic a Cel. Aucore primum obferuata effe videtur ; haec nempe, qua, fr alrer tantum ocu. lus fortiori lumini exponitur, pupilla quoque alterius fe contrahit , etiamfi multo minorem luminis copiam excipiat : ita memorabili Auctoris exemplo edoce- mur , fi quis oculo v. gr. fimiftro vtens obiecta per exiguum foramen fpectat, tunc multo maiorem campum vifionis fe offerre ipfi claufo oculo dextro , quam eo aperto, cuius phenomeni ratio in €o eft fita , quod aperto oculo dextro , eiusque pupilla ob maius lumen coar&ata, fimul oculi finiftri pupilla ob mutuum confenfüm contrahebatur , quae , claufo oculo dex- Tom. VII. Nou, Comm. d tro , tro, ob minorem luminis copiam , per foramem ac- ceptam , iterum expandebatur ; ideo non poterat nom maiorem. vifionis cammpum. complecti. V. Acus nouae declinatoriae defcriptio. Auc. L E. Zeihero. pag. 509. ptimos faepe latet acüum. magneticarum fabros, vn- " de fiat, quod. nulla opera acubus. fuis. eam. , quam volunt, virtutem. communicare queant. —Hoc autem inde fieri docet Cl. Auctor, quoniam. acus magneticae vulgares plerumque hoc laborant vitio, quod, ob ca- pitulum., fufpenfioni inferuiens ,, duabus. quafi partibus , fe inuicem. difcretis ,, fint compofitae , quarum: Run. - vicem acus fingularis; gerat, ficque , ob, interruptam: magnetismi virtutem. , nifus, fefe fixam plagam. veríus. dirigendi , minuatur. ^ Vitium: hoc in. pluribus. acubus ,, more folito. fabricatis, per experimenta luculenter com- paruit , dum. in iis quatuor poli obferuati (unt, prorfus vti eueniret , fi binae acus. fimplices. fecundum. longitu- dinem, iungerentur , ex quo: huiusmodi acus. vis infigni- ter minuitur. Hinc Cl. Auc&or in nouam rationem: acus, declinatorias fufpendendi inquifiuit , qua. continuitas. magnetismi , per totam. eius longitudinem. diffufi; non. interrumperetur,, hicque ingenioíe excogitatum modum: proponit , quo. acus. fine. vllo. capitulo. ita fufpendi pot- e(t, vt liberrime. fecundum omaes plagas fe conuertere ,, [2s MESE ( o ) "MOONe Y et vim fe dirigendi fine vllo impedimento exercere queat. Quod fi ad curfum nauium dirigendum applicari poteft remedium , infignem inde wtilitatem certe expe- étare licet , cum nauigantes nimis crebro de imbecilli- tate acuum nauticarum adhuc fint conquefti. Poftquam enim ars eft inuenta etiam duriffimum chalybem íum- ma vi magnetica imbuendi ; nihil amplius ad perfectio- nem acuum magneticarum , quam idonea füfpenfionis xatio , defiderari videtur. T l d2 - PHYSICA. 2L je ( o ) "ES PH Xs TUQOUUE E Nitraria planta obícura expli cata. Auét. Carolo Linnaeo. pag. 3rs. pes lianc Rufliae indigenam in vicinia officinae: nitrariae Aftrachanenfis primus obferuauit breuiterque: deícripfit. Gotz/ob. Scboberus , M. D. cuius- Memorabilia Ruffico.- Afíatica , ineditum adhuc. opus , itineris. A (tra. chaniam. verfus et ad fluuium Terek víque inítituti fruüdum ,. beneficio Viri. doctifhmi Io. Iac. Lercbe ,. M. D. Confiiarii aulici et in: curia. medica Adfefforis, ex autographo b. Auctoris quondam. transfcriptum , nu- per ad manus noftras peruenit ,. ideoque defcriptionem au-- thenticam huius. plantae, fine qua. hiftcria. eiusdem man- ca foret, in gratiam. Dotanophilorum inde decerpere: poffumus.. , Inter exípatiandum , ita Seboberus , in Bac » Nitraria ( officina.) fub menfis Iulii initio: ob. folum: » aridum et falinum: pauca. quidem. vidi: vegetabilia. et: » ViX. graminum culmos::. habet tamen: hifce. in. terris. Hali füam. patriam... Vidi enim Kali. maius frutico- ,;fum., Kali ligaofum. linariae foliis, Kali. incanum bre- » vibus foliis ,. Kali foliis longioribus et anguftioribus. , Prae hifce Kali fpeciebus iucundam me rapuit in. ad- ,Wmiratonem planta nondum vifà ,. nec ab. aliis. Bota- . » nicis; S88 ( o ) «2 29 ,nicis, prout recordor, defcripta. — Eft autem fruti- » Cofa , vnius vlnae brabanticae longa ; radix nihil fin* ,gulare habet; caulis lignofis conftat fibris, albi(limo- » que cortice eft obductus ; folia habet angufta, in ;, fümmitate . rotundiora, ad formam folii Gnaphalii, fi. ,6ve Elychryfi ; flores. funt regulares pentapetali , albi ,, coloris, fru&us: eft: cylindraceus et' conicus, in' füum- , mitate anguítus et acutus, rubicundiffimus , bina vt- » plurimum: femina, fübrotunda ^ duraque - continens; , apor' eft. fere: nullus, fed. quodammodo farinaceus, , Reducere ad' fuum genus allaboriui^ quidem , fed nul- ,lum inuenire potui; fructus quidem: abalogiini- quàn- , dam: Eerberum praebet, fed. flores harum nom. con: ,Yeniunt cum noftris ,. quatenus. illi? hexapetali* fünt' re» » gulares ,. lii vero pentapetali , vü didum eft. Ad ,, 0robum:,. germ. Forltzes ,. quem DBotanici inter P eorbt (jeties recenfent , oftia planta ex parte ratione » », fructus accedere videtor , fed. melius e(t, genus: pro- » prium. formare , et- in: deíe&u nominis commodioris Bs a memoriam fuae patriae Nitrariam dr um Y Port Scboberum: To Mw in Sibiria. ad lacum: falfum: lamiyftham repertam ,. füb Cafize' früda nigo nomine ,-deferipht Grelimus, quami defciiptionenr, in Stirp.- p. 178 edidit; A/manüs: Denique Sie/lerus referente Gruelino Flor. Sib. IE: p. 23*7. eandem füam' Cáfiam" ad: laedm. falfum" defert! Vrunfcinenfis ' ( forte Oronroenfis ,. ab- Orongoi' amne Seleüpam fubeuntis co-' gnominati ,).obferuasit', et füb' generico: Elzezgmi no. mine recenfuit.- Hinc. océafionem nactus e(t ^ Gmelimus dis de 3o See ( o ) ES de hac. planta: vberius .differendi Flor. Sib. 1l, c. eam- que praeeunte. lll. Lmmaeo Ofiridis nomine. falutauit. Aft. inaufpicato accidit ,,. vt Gaelinus: aeque. ac Stellerus , plantam. viderint. floribus. iam. orbam ;; cumqne Geel- nui rogauerit Lerebium., Aftrachaniae tunc commoran- tem , vt Mifrariae Scboberi exempla ad fe mitteret , inter chartas ficcata , ipfamque plantam viridem — defcri- beret, ,. neque.,hic ;, quod ad :flores attinet ,. voto factus eft. compos. Tandem lll. JLmmaeus femina. ex Ruffia accepta. in horto Vpfalienfi ita colere inftituit , vt quae- fitos diu flores obtineret ;; vnde iam notitiam huius plantae ad plenariae:perfectionis gradum perductam effe gauderaus. ; Errores operarum , quibus non femel pro lacu - falto: Jocus faltas. legitur ,. facile Lector excufabit. "E Jh marini, Ruflis. Karakatiza onomc sdi&i, defcriptio. Au£&t. Tof. Theoph. Koelreuter. p. 321. M** conqueritur Cl. Au&or de paucitate fcripto- L rum., qui hiftoriam animalium marinorum data opera illuftrarunt; Caufae in promptu fant: multitudo namque. et diuerfis animalium ;. dein difficultas illa adipifcendi , quae interdum tanta eft, vt non nifi for- tuito cafu; tribuendum fit, fi tale igne inciderit. in manus. viri; docti , amatoris inueftigationis naturae , hanc .Hiftoriae naturalis partem fuo ftudio amplificare cupien- S523 (o) t3 3r eupientis. — Plerasque de rebus exoticis notitias peregri- matoribus deberi conftat , hominibus vt plurimum — mie nus eruditis, qui, ad quae potiffimum: attendere; de» buiffent, ignorarunt. Scriptores fy(tematici ,. Gesnerus, Aldrouandus , lonflomus, omnia vndecumque' corraferunt, minus íolliciti de veritate, aut veri fpecie, eorum, quae dicerent , quam ne quid ab aliis dictum praeter - mitterent. — Hinc tot in Hifloria animalium , ; inprim:s marinorum , errores , tot defectus, quos haud facile, nifi erudita opera virorum intelligentium: , qui ipfi per terrarum mariumque anfractus longinqua itinera huic vfui inftituere non graue duxerint, eliminarr , aut füp- pleri, poffé patet. At quam: difficilis et füumtuum in- commodis praepedita haec res eft? Cl. Koeireutero: mi- nori conftiftit, cariofitatem. fuam explere ,, cum. viri re- zum naturalium ftudiofi fua fponte occafionem ipfi fub- miniftrarunt , hanc , quam: defcripfit, Polypi fpeciem in pluribus exemplaribus accurate. examinandi. — Vt enim Polypi , Karakastizz dicti, Graecis hominibus , Aegaei Adriaticique maris accolis , 1n efcam cedunt , imo a veteribus, quod pluribus exemplis Ionf/lonus do- cet , in deliciis habiti funt ;. ita ob eandem; caufam haec animaliz, exenterita, ficca , in Ruffiam quoque importari folent , gratum» palato praebituri edulium , tempore ieiunii , inprimis fi. brachia , -fiue tentacula , fpectes , quae elixa et affa guítu vix 4 carnibus fuillis diícernuntur. . Exempla Polyporum , in fpiritu vini folius curiofitatis gratia. adíermata ,. effecerunt ,. vt. de- f£riptioni fuae hunc, quem videmus, . perfectionis gra» dum. conciliare Aud&or potuerit. Denique obíemuamus , vO- $2 Ses ( 0.) "este vocabulum Karakatizz ex 'Tatarica lingua in Rufficam inuedum effe: Kare enim Tataris et "Turcis mgrum fonat ; hunc autem colorem cutis externum , in fupina inprimis facie , Polypis competere , Auctoris noftri tefti- monio confirmatur. | III. Zoophyti marini, e Coralliorum ge- nere, Hiftoria. Auctore L T. Koelreuter. p. 54.4. IV. Defcriptio Tubiporae maris Albi ^. &ccolae. Auctore eodem. p. 374. V. Continuatio Hiftoriae Zoophyti marini e corallorüum genere. Au&Gore eodem. p. 577. liud rerum marinagrum genus hoc loco tra&andum fibi fumfit Cl. Au&or , fterilem itidem ac cultu- ra indigentem calceando campum , vnde apud hifloriae maturalis fcriptores vix nuda rerum nomina decerpfe- ris ; 5e ( o ) Bde 35 ris, tantum ábeft, vt, quod de rebus ipfis ad plenam illaria .cogaitionem. ria , hanrire pofüs, -... -Zoopbyta . funt, vt infcriptio docet, vnum e Are genere, Alterum "Tubiporae fpecies, ab Au&ore defcripta. — De primo disiunctis opellis agit, ^ quoniam duo corpora .confiderat , eiusdem omnino fpeciei , an patriae eius- dem ? -non liquet. . Alterum .Archangelopoli miffum ; ex Gazophylacio Imperatorio alterum. depromptum -eft. Vtinam omnes thefauri, .tam naturales, quam num- marii, alique, in locupletiffimo - hoc Gazophylacio latentes, eodem ftudio atque do&rina in apricum. pro» ducerentur! T'u5jporae fpecies .huc .vsque ignota etiam ;Archangelopoli. ad Cl." Auctorem perlata | eft, vnde perfpicitur , inexhauftas .vbiuis .maris-effe opes , coe- lumque frigidum inhibere, quidem — poffé | perquifitionem circa illas inftituendam., naturae autem facultati in pro- ducendis infinitis. operibus limites non ponere Non eft, .vt ad fpecialia defcendamus. ^ Obferuamus geuera- tim ,-fam exteriorem , quam -interiorem | conditionem atque texturam deícribi ,. deinde , .cum. non conueniat : inter biftoricos naturales , vtrum Zoophyta animali regno , an vegetabili , fint. adnumeranda ?. experimenta chemica addi, ex quibus clarum fit, ab vtroque par- ticipare. ^ Hoc nempe gradu a vegetabilibus ad ani- mantia tranfit natura , quam nihil facete per big , Xetus didterium eft. | - Tom; VII. Nou. Comm: c VI. 34 kr NE VI. Obferuationes meteorologicae factae Petropoli annis 1755 et 1756 cum. confe&ariis. AuSore L A. Braun. pag. 588. Dy obferuationibus ipfis, eadem omnino methodo, c praecedentes , ia. Tomo V. Comment. expo- fiae, quarum continuationem fuüppeditant , infüitutis ac digeftis , dicere nihil attinet. — Singulare eft, quod hic ex comparatione inftituta colligitur, primis Februarii diebus agni 1755 frigus in Germania circa Gocttin- gam magis intenfüm regnaffe , quam quidem hic Pe- tropoli. ^ Deinde inter tonitrua , propter hiftoriam noítrae Petropoleos ; iftud memorabile eft, quo turris templi St. Petri in Caftello die 3o Aprilis anni 1756 fülmine percuffa confiagrauit. | Caeterum Cl. Auctor in gratiam. eorum ,:; qui thermometro Petropolitano, feu Delisliano ; minus adfüeti, illad cum Fahrenheitiano , Reaumuriano, aliisus , comparare voluerint , concinna- vit tabulam fcalarum omnium fere vfiratiorum thermo- metrorum , iti iuxta fe inuicem pofitarum , vt com- paratio vno intuitu fieri poffit. ^: Haec inter tabula$ aeri incifas XVIII. locum obtinet. ASTRO- aie Co ) Aga 35 ASTRONOMICA. De Refractionibus in oris feptentrionalibus. Autore G. Heinfio. P. 4. purifma coeli fpatia emen(ü in noftram atmo- fphaeram intrant, a tramite fuo recilineo ali- quantillum defle&ti , idque. eo magis, quo propius ad horizontem adueniunt — Hinc omnia fidera altius füpra horizontem eleuata nobis apparent , quam fi eorum ra-' dii re&a ad nos peruenirent , atque ob hanc caufam Sol citius nobis. oriri, tardiusque occidere vider, quam fine hac radiorum inflexione effet euenturum. —— Diffe- rentia ifta ,; qua altitudo fiderum | ob atmofphaeram au- getur, refractio aftronomica appellari folet. , in qua in* veftiganda Aftronomi. ab. omni tempore maxime fuerunt Occupati , atque tabulas coudiderunt , quibus pro quauis altitudine fideris obferuata haec refra&tio aftronomica defignatur. Cum | .autem atmofphaera nofira maximis mutationibus fit obnoxia , ficile intelligtur , etiam re fra&iones haud leuiter pro locorum tempeftatumque. di- verfitate variare debere. —Hieme certe vbique maiores deprehenduntur, quam aeftate, quia frigore aer con- denfatur, ideoque radios magis refringit , et curn in altifimos montes aícendimus , vbi aer leuior eít et e 23 tenuior, NA eft Solis. omniumque fiderum radios ; dom 86 AE (Co) 2e tenuior , ibi. quoque! minores ' refractiones experimut.- Deinde etiam füb aequatore. Aftronomi Galli, . graduum: terreftrium. dimetiendorum caufa eo profecti, refra&io-- nes ininores deprchenderunt , quam - Parifiis , quodi fine - dubio aeri ob. infignem calorem multo tenuiori eft tri- buendum. Hinc viciffin conclüdi debere videtor , inm regionibus borealibus , -ob frigus intenfiffimum , refractio- ncs haud | iiedióéritér augeti debere, quam. coniectu-- ram relatio Hollandorum Mt qui Anno 1597 ia. Noua Semla hybernare coacti, folis. otim: multo "anté? quam expectare. poterat , "funt- experti , mirifice confiriare videtur. Cum autem Cel. 4e Maupertüs id Lapponia - refractionem. fiderum - omni * cura exploraffet eam ptae- 4er expectitionem. haud maiorem inuenit, quám Pari: fis, quod merito tanquam infigne Paradoxutti eft fpe- &indum." ^ Chrift. igitur" huius- diffeítationis Auttor hanc inueftigstionem "fümma quà pollet", vi^ ingenir Vlteriüs profequitur, et- poftquam. Ludoci De P da De la Croyee, ad vltimos-fines Sibiriae. ablegati , feruationes , ad oftiam. fluuii ^O/enek- habitas; orbni- is dio ac (Ifa examinaffet 'in^hac'quoque tam bo- reali regione, cuius latitudo '* 73. gradus fupert, re- fractiones Parifinis non maiores füiffe demonftrat, a fiequenter adeo minores ipfi funt vifie ; quod: vide fpectatum Phaenomenon in Aftrononria certe maximi eit momenti. - M " idinisisaeia — (o) 4S9 a9 Hniboinncl etióbioliisi MS à o Relatio. Ciao egan? circà longitu- - dinem - Penduli. fimplicis in- flitutarum. - : ML enia "addi A. N. Grifchow. pág: 4445- . pose fóléctitlitius: Obferüdtor Gifibovius 9 giae matüra' morte nobis eréptus, rationem 'Obferuatio: nuüm - füzrum in^ Lufüla OJfi//j ad'Lunde' parállaxin ac- curatius* definiendarà inftitutarum ,. quem in finem' po- tiffimum hoc itér füfceperát , in' praecedenti ' volumine reddidiffet, nünc obferuationes quoque', quas ad grauitatis detérminationem —fümmo fludio et cura in eodem hoe itinere inftitnerat', exponit, ex quibus Theoria Telluris maxima iücremetta adeptura: videtur. . Cum ehimr fa- tis fuperque' füiffet' exploratum ,. tam ob^ motum diurs num telluris, quam" ob eius figuram fphiaeroidicam , vim gráuitátis füb 'aequatóre. diminui , prope polos aü- tém augeri oportere, ex obferuationibus adhuc inftitn- tis régula: eft"ftábilita ;' ctüius ope ad quamuis" latitüdi« nem vera grauitatis quantitas definiri! queat. ^ Conclu- ditur autem ea ex nurnero ofcillationum', qüas ^ pendu- lum: datae: longitudinis dato'temporis'interuallo abfolüit.' Namque ex. principiis mechanicis euictum eft, quo maior fuerit gráuitas, feu nifüs deorfum , . eo frequen. tiores reddi ciusdem penduli ofcilltiones. — Quare cer- flima methodus ;. vim grauitatis explorandi, in hoc- €: 93. confiftit, . 38 SU (o) ch confiftit, vt ofcillationes , a pendulo datae longitudinis certo tempore peractae , accurate numerentur , id quod Cl. Audor Reualiae , Pernauiae et in Ofilia lnfüla omni adhibita induftria et circumfpectione praeftitit. Saepius autem repetitis, ac diuerfimode inflitutis hu- iusmodi experimentis, in his locis motum penduli ali- quanto tardiorem deprehendit , quam Petropoli , vnde quidem, quod regulae illi egregie eft confentaneum , fequitur ,in his locis , vtpote magis aequatorem verfus fitis ,. grauitatem effe minorem , quam Petropoli : ipía autem) differentia cum multo maior prodiit , quam ea regula. patitur, «oncludendum inde videtur, non fíüb omnibus . meridianis diminutionem grauitatis. aequatorem verfus eandem legem fequi, neque in omnibus locis; füb eodem parallelo fitis, grauitatem effe eiusdem . ma-. gnitudinis ;. imo «etiam fortaflis non omnes meridianos eadem figura effe praeditos , neque totius terrae figu- ram ita effe regularem , vt adhuc eft. creditum , | cuius. rei aliae quoque obíeruationes Virorum Cl. C/riflopbori Maire et. R. I. Bofcovicb , in ditione. Pontificia ad dimetiendos gradus duos meridiani inflitutae,. non leuem. fufpicionem praebent. Hic igitur iamidiosbrs naturae - ampliffimus campus aperitur, in veram terrae figuram, tam nouis obferuationibus et. experimentis, quam ra- tionibus ex eius interna. Msdpiqn gatis, inulo accura- tius inquirendi. nésirr SVP- SN Co ) 9E8R 85 SVPPLEMENTVM De Ibice imberbi. - In Volumine V. Nouor. Comm. p. $435. exftat b. Gmelimi defcriptio Ióicis imberbis , Rufíls Saiga dicii, vbi inter alia dicitur de dentibus: ,,effe in , maxilla inferiore quatuor incifores et quatuor caninos, ,cum quinque molaribus, quorum fingulis binae radi- ,,Ccs fiat ; füperiorem autem «maxillam eodem inciío* Tum et caninorum numero gaudere , «et quatuor tan- »tum molaribus , triplici radice uixis, praeditam effe.,, Haec cum legiffet lll. Lisnaeus , per litteras , V pfalia die XIV. Odobris anni 1760. datis, , dubium nobis ,mouit de dentibus primoribus in füperiore maxilla, »€t de caninis in inferiore , tanquam naturae omnium ,Cogaitorum animalium repugnantibus, rogauitque , vt »fi hoc animal vnquam Petropolin- perferretur , aut fi cranium eius obtineri poffit, illud attente inufpiceremus; feque de obíeruatis noftris certiorem redderemus.,, Iu- dicium tanti viri mox in eius partes nos deícendere iuffit;, etiamfi (multum — mirati fimus, Gme/inum in re tam clara, nullisque in obfermando difficultatibus ob- noxia, deceptum fuiffe. ^ Fatendum autem eft, quod tota lóicis imberbis defcriptio Greliniana fe(tinationem , qua confe&a eft, redolet; procul dubio accuratiorem fuppeditaffet , fi in reditu ex Sibiria ,. per itineris ra- tiones , regionem , in qua hoc animal commoratur , ipf denuo peragrare licuiffet. .— Tanto igitur magis ne- ceffurium erat, animal denuo examinare , eiusque talem i dare 4o «ee ( 0 0 gl Are defcriptionem , quae , -omne dubium auertendo , nihil non complecteretur, quod: ad iuítam ,eius ideam fiflendam fàcere poffit. Quod cum exíequendum nobis proponimus, non poffumus non laudare Virum ;Excell. Gregorium Teplow, Status Confiliarium actualem et. Augu- ftiffimi Imperatoris pro Ducatu Sle(uico - Holfatico Came- rarium, nec.non Virum Illu(trem Bafiius Adodurow, .Sta- tus Confiliarium et. Vice- Gubernatorem Orenburgenfem , vtrumque Academiae noftrae , cui a inuenili aetate addicti fuerunt, honoris cau(a adícriptum , .€o quod pro indefcffo ardore fuo bonas artes.promouendi, occafionem nobis fjüb- miniftrarunt ;, duo cadauera animalis maícula et vnum foe- mineum, ex Vcrania et Orenburgo huc allata, cultro ana- tomico fübiiciendi.. Poffidemus quoque foemellam viuam, quam itidem beneuolentiae Excell. T'ep/ouii debemus. De- fcriptio fequens V. C. Alexium Prota(fow , Profeffionis ana- tomicae Adiun&um í auctorem agnofcit ; Ibex imberbis , .quem hic pro exemplo .caetero- rum eiusdem fpeciei animalium .defcribendum - fümfimus., erat mas, Quadrupes bifülceum , cornutum , ruminaus, et quidem ex genere caprino. Docuit haec inípectio partium eius tam internarum, quam externarum. Cha. raceres in hoc animali priuos definiunt , vti videtur, forma corauum , nafi, atque defe&tus barbae. ^ Caput itaque habet quodammodo ouillm , fed naío peram- plo, gibbo atque adunco , 4üperae per mediam longi- tudinem linea tenui , exa&e veftigium fepti narium in- dicante , bifariam ditin&o , extremis. naribus, vna cum — Aa- de $4 (0) ele 41 labro fuperiore prae illo inferiore, multum prominenti- bus et quafi propendentibus. ^ Cornua gerit fatis craífa et valida, ouato- rotunda , adulto animali plus quam ad pedis akitudinem producta, perpetua, concaua, totaque quanta albida , et contra folem pellucida ; quae mox ab exortu fuo extroríum et aliquantum in priora in- figuiter arcuata, atque ab imo ad vsque tres quartas par- tes longitudinis fuae crebris orbiculis, fiue circulis, inae» qualia , perque longitudinem ftriata, reliqua parte leuia fünt, multumque ibi arctiora facta, iterum, fed retrorfum —leuiffime gibba, in extremitates tandem 3beunt acutas, verfus fe inuicem ct tantillum in prio- x23 conuerías. Nafüs, refpectu molis totius capitis val- de magnus, nihil ferme in fe continet cartilaginei, mul- to minus offei ; excepta parte fuperiore , qua incipit 3b offe frontis, quod ibi in cartilaginem definit tenuem atque exacutam , minus quam ad quartam partem lon- gitudinis fepti narium-excurrentem , et parte ima cius- dem fepti, qua id furgit a iunctura partium — palatina- rum offium maxilarium et a vomere, vbi quoque ali- quid adeít cartilaginei. ^ Omne vero, quod füupereft , nafi, conftat ex fuübflantia mufculoía , denía, et inter- mixta pinguedine dura, fimillima illius linguae , fed compactiore , firmioreque , diuifüum fepto tenui, pellu. cido , in duas ampliffimas nares , intus fübtenías tunica tenuifüma , muco(ía , laeui quidem , at pilofa; in me- dio parietum fuorum fiue literum , mediocrem digitum transuerfüm craffas, priora veríus et pofteriora , item «qua cum labro fuperiore confluunt, tenuiores. — De- Tom. VII. Nou. Comm. f fectus * 42 HP Co) fectis itaque cartilaginam in eiusmodi naribus facit , vt é1e in miortuo animili nou fuftiaeant [e , fed illico collabantur; inde etiam fit, quod ia iisdem collap(is oraé earum extremae multum ante íeptum promineànt, hoc vero intra nafum magis retra&um appareat. Maxilla inferior anterius inítructa eft dentibus pri- moribus octo, quorum bini medii eminent corona la- tiore id aclem tenuem atque leuiffime gibbam termina. ta ; reliqui ad hos adílantes, quo poil^riores, eo at- guíliore et exacutiore corona funt donati. Singuli caete- rum defixi funt ia alueolis fuis fiagularibus et altiffimis radicibus. ^ An huic animali id quoque fiugulare prae aliis eft , quod omnes eius dentes primores minus fir- miter ítent in fuis alueolis, fed vel leuifümo impul- fi digito in omnem partem facile vacillent ? In tribus fubie&tis diligenter ob id examinati eadem phaenome- ns confítanter oftenderunt. —— Pone primores , inter- vallo duorum pollicum disiun&ti, fequuntur vtrimque molares quinque. Primi et fecundi fingulari corona; tertii et quarti, latiores prioribus, duplici, bifariamque quafi diuifi ; vltimi quinti, et illis latiores, trifariam diftin&i , ideoque triplici coroua funt inftru&ti. von periori maxillae nulli fant primores, fed molares vtrim- que fex; quorum tres priores fingulari , fequentes alii tres duplici corona donati, bifiriamque ideo diftin&i funt — Differunt praeterea füperiores molares ab infe- rioribus, quod illi externum latus habeant concauum , ínieraum conuexum. Contrarium vero obtinet in infe- YT NU riori- SES (o ) NE 43 xioribus. Omnes caeterum fingulas coronas in fummo habent fícrupofas et afperas, perque longitudinem me- dia alta fiffüra in duo diftincas. ^ Priores tres infixi funt alueolis fuis nunc binis, nunc ternis, quidam etiam quaternis radicibus ; ícquentes alii tres binis tan» tum , eoque craífioribus et altioribus, quo funt vlte- riores; exceptis vltimis inferioribus, qui vti triplici torona, ita etiam ternis radicibus funt inftructi. , Reliquo corporis habitu ceruum, fiue potius hin- nulum ceruinum, refert quidem huius fpeciei animalium » foemina, non vero mas, qui hir(ütior et pilorum colore ab €a totus diuerfus, magis accedit ad hircum domefticum, eumque fortiter olet. Pilo tameu veftitur ceruino, aeque .crafío ac denío, fed longiore , mollioreque , qui ei in fronte, lateribus capitis atque colli ex cinereo iuca- pus eft; in armis, dorío, lateribus eiusdem atque .CoXis magis in eue fed fordidum colorem vergens. Ad ima vero laterum , , ilia atque iugulum promiffior idem lanam iam refert ; praetereaque in pectore, toto abdo- mine atque in interioribus vtrorumque crurum candidiíffimus . .et refplendeus. Superne a prima fpina vertebrarum dorfi per medium tergum protenditur fria quaedam fuci coloris, fenfum pofteriora verfus latefcens, donec fuper os facrum in plagam abeat rhomboideae figurae, extremo fuo lon- gitudinali ad vsque anum pertingentem. —— Inguina ab omni pilo libera, nudaque, ibi cutis. vn&tuofo.. quodam humore madefcit. .Pilofifüma. e contrario prae omnibus Aliis pars eít huic. animali. circa iugulum, vbi et multi- Lu ea |. tudi- 4 e Co) qae tudinem et longitudinem pili adaugent paullum infra orbi- tas oculorum vtrimque ab genis demiífi comarum inftar fafciculi quidam pilorum alborum, quatuor ferme polli- ces longi , vnum lati, ífüb quorum fingulo vnicum fà- cile confpicitur linearis diametri-apertum ofculum breuis cuiusdam ductus excretorii, qui ducit in folliculum , capacem maioris nucis auellanae , factum ex introuerfus redu&a cute, quae ibi arctatur primum in illum ductum, dein expanditur in ipíum folliculum , eodem ferme modo , vti fit in vrethra et vefica vrinaria. In wtro- que, quos hactenus diffecui eius fpeciei hircos, folli- - culos illos inueni totos quantos plenos fpiffoó quodam et craffo lateritii coloris quafi vnguine , fimili ceruminis aurium. — Et, cum ipfi folliculi intus vndique cribri inftar (int porofi, preffa quamuis leniter circum eos externa cutis, cum fubiecta ei cellulofa pingui tela , eructa- bat in cauitatem illorum per poros iftos fimile et con- f(tentia et colore craffamertum. - Longitudo animalis fümta per medium nafum , frontem, collum dorfimque ab ipío extremo fepti na- rum vsque ad illud ani eft 4 pedum 9; pollicum ; : quod vltra propendet, cauda eft hirfüta , tres circiter pollices longa. — Altitudo folo infiftentis ab ima vngula cruris anterioris fecundum idem erec&um ad fummum dorfum 2 ped. 6i poll |^ Eadem fimiliter fecundum crus pofterius ad vsque fümmitatem offis facri fumta, eft 2 ped. 7: poll. Circumferentia trunci tansuer(im Pane fcapulas du&a eft 2 ped. et 6: poll. Eiusdem meníurae Ses ( o0 ) O3 "m menfurae eft et illa, quae faca per hypocbondria ; fed per ilia capta minor eft praecedentibus 22 poll. 2 Es V. CL. Prota[fow. Foeminas huius animalis excornes effe, nou ío- lum ex duobus exemplis ad nos perlatdis, etiamfi iu- flam nondum aetatem attigiffe vifie fiat, fufpicari li cet; fed idem quoque relationes Cofaccorum, campos ad Boryfthenem inhabitantium , confirmant. — Meticu- lofae funt, aft non, vt mares, féroces. Si impetun- tur a lupis, aut canibus, (oeminas intra circulum col- ligunt mares, quas fronte obuerfa fortiter contra ho- ftes defendunt. Sunt qui dicunt, cornua decidua effe, Cofacci negant. Ipía quoque flructura cornuum valde compa&a, ct fere offea, contrarium oftendere vide- tur. Vtrüm numerus annulorum inu ^ cornibus cum aetate animalis Moss nemo certo- pronunciare au- - füs eft. TN Vt clarius figura et corporis habitus animalis noftri patefcant, maículum et foemellam , et hanc qui- dem ad viuum, illum ad cadauer gelu rigidum et in jufto fitu ESTICESHR, delineari et aeri incidi curauimus , Ke figurae in dabidlà XIX. fübne&untur. Praeterea non praetermittendum effe, ceníe- mus, in raro opere Nicol. Witfemii de Orientali et Septentrionali "Tataria. edit. 2dae pag. 790. confundi hoc animal cum animali Mofchifero, id quod a^ com- fm muri 46 Jide Co) ql muni vtrique nomine Saiga fa&um effe fufpicamur. Loqui autem ilum de I4/ce imberbi, tam ex loco nae tali, quem viciniam ciuitatis 7ffae indicat ,. quam. ex figura cornuum , cui apprime cum noftris conuenit , adparet. Denique addemus defcriptionem huius. anima- ls a b. Xlunkero, Profefífore in noftra quondam Academia et dein Confiliario redituum | aulico , in Vcrania confe&am , ex qua adhuc quaedam ad plenio- rem animalis cognitionem facientia innotefent. ^ En verba eius ex Germanico verfa: , Eít fingulare genus ,animalis Ruffis in Vcrania Saigeki di&um, cuius ca- »Io carui ceruinae ( 7otb Wildpret) accenfetur. — Cri- ,ues habet ad inftar capreae , cauda digitum longa, ,caput ouillum nafo adunco , mandibulum fuperius ,prae inferiore ad latitudinem | manus prominet; et »eft flexile , quia fine offe totum ex cartilagine ( me- ,lius dixiffet: ex mufculofi quadam fübítantia )- con- ,flat. ^ Balant, vt oues, greffü incedunt tolutario, » (Paff) intermixto ,. fi fugantur, fal, ideoque prae .»caprea curfu funt longe velociores ; pafcuntur, non ,Vt alia animalia, fed attollendo mandibulum füperius ,€t retrogradiendo. .. Tergoris víus ob mollitiem. et »tra&abilitatem , íi fubigitur, caprino non inferior, ,ad chirothecas, balteos, cingula, lora, aptiílimvs. , Oportet: autem , vt occidantur meufe Septembri , »quia alias tergus multitudine vermium intercntum ]a- ;borat, et vbicunque exefum , nullius vfus eft. Mares .,,C0fmuà gerunt annulatà, absque ramis, quotannis deci- , dua. «se ( o ) "EON 47 p dua. (Si fides auctori, quem tamen hac in re falío rumore deceptum effe füfpicamur.) Stantes gregatim canes non ,timent, plerumque occiduntur profundo fomno oppre(fz. », Caro ob pinguedinem ouillae fimilis , guftu ad car- nem damarum accedit , inprimis caro capitis in de- »liciis. habetur. —— Omnes campi Boryíthenem inter »€t Tanaim, nec non Zarizina Aftrachanum vsque , »hoc pecore abundant. Videbis aliquando íex ad de- »cem mile io. vno grege colleda etc., — Haec ex- cerpfimus ex codice manufcripto , qui elegantem de- fcriptionem geographicam totius Vcraniae , feu Paruae Ruífiae ; complectitur. MATHEMATICA. Tom. VII. Nou, Com. A SPECI- pour er SPECIMEN ALTERVM METHODI NOVAE QVANTITATES TRANSCENDENTES INTER SE COMPARANDI. DE COMPARATIONE ARCVVM ELLIPSIS. Auctore L. EVLERO. T rimum huius methodi fpecimen , quod nuper ex- hibui, in comparatione arcuum circuli et para- bolae conicae veríabatur, quae comparatio etíi in fe fpe&ata non eft noua, cum methodis vul- garibus iam pridem fit expedita, tamen inde exordien- dum eft vifum , quo nouae huius methodi, quam adumbraui , vis melius perfpiciatur ; quod non folum ad easdem veritates, quae methodis coníüetis erui fo. lent, perducat, fed ctiam viam longe fàciliorem et expeditiorem eadem praeftandi patefaciat. — Methodus enim confíüeta integrationes fatis taediofas requirit, atque ita eft comparata , vt nifi arcus iflarum curuarum, qui inter fe funt comparandi, ad quadraturas cognitas cir- culi ac hyperbolae reuocari potuiffent , nullo modo in fubfidium. vocari potuiffet. "e A 2 | 2, Quan- 4 — DE QVANTIT. TRANSCENDENT. 2. Quantum ergo haec noua methodus praeftare valeat ; -vberius ex 'comparatione arcuum ellipfis et hyperbolie perfpicietur,;; «quarum. curuarum rec&ificatio, cum nullo modo, neque ad circuli quadraturam, neque ad logarithmos. reduci queat , methodis. coufuetis. nullus amplius locus relinquitur, neque per eas modus patet, diuerfas iftarum. curuarum. arcus inter íe conferendi. Quare cum. oftendero, nouae huius methodi beneficio comparationem — arcuum. ellipticorum. et hyperbolicorum piri cum. fucceffu inftitui. poffe, atque arcuum paraboli- corum , quoniam. methodi vulgares ad id plane funt ineptae , eo. magis fummus. víus nouae methodi inde elucebit.. 3. Inueni autem huius methodi ope: arcus tam: ellipticos, quam. hyperbolicos, pari modo inter fe com- parari poffe, atque arcus parabolicos, neque id. impedi- mento. effe, quod. harum curuarum. rectificatio: vires. analyféos penitus transgredi videatur. Quin. etiam; haec. comparatio. füb. iisdem. conditionibus, atque. im: para: bola inftitui poteft, ita vt propofito: fiue. in: ellipfi,. fiue in hyperbola arcu quocunque, ab alio. quouis. eius- dem curuae puncto. arcus abfcindi poffit, qui ab illo differat quantitate geometrice affignabili. — Simili autem modo a puncto quouis arcus exhiberi poterit, qui ab arc propofito, vel bis, vel ter, vel toties fumto, quoties lubuerit, quantitate geometrica diícrepet. 4. Porro autem effici poteft, vt haec differen- tia plane in nihilum abeat, arcusque inuentus ipfi ar- cui propofito eiusue multiplo adeo fiat aequalis, per- inde atque in parabola id fieri poffe notum eft. —Si- militer INTER SE COMPARANDIS. 5 militer quidem. víü venit, vt bini arcus aequales exhi- beri nequeant, qui non fimul inter fe fint fimiles , ve- rum hoc multo magis notatu erit dignum , quod tam in ellipi , quam hyperbola, propofito: arcu: quocunque, femper alius. arcus: affignari queat ,. qui. illius; duplo, vel. triplo, vel. multiplo: cuicunque fit: aequalis. 5. Quemadmodum igitur ratione comparationis: diuerforum. arcuum. ellipfis et hyperbola: indolem: para- bolae fequuntur ,. ita curua lemnifcata. ipfi circulo: fimi- lis. deprehenditur. In. ea: enim: curua, aeqne ac in cir- culo, fi propofitus. fuerit arcus quicunque ,. a. puncto: quouis. dato: arcum abícindere licet , qui propofito vel fuerit aequalis. vel. duplo: maior, vel triplo. vel toties, quoties lubuerit. In hac namque curuai, perinde atque in circulo, eiusmodi arcus non daütur, quorum. diffe- rentia geometrice pofht. affignari.. 6. Quae autem hic. fum: allaturus ,; multo latius: patent ,. quam. ad. curuas commemorstas,. ellipin , hyper- bolam et lemniícatam ,. quippe suae tantum -a(us quafi. fimplici(fimos: conftituunt formularum , quas haec me- thodus fuppeditat. ^ His enim formulis euolutis fimilem: comparationem. in infinitis aliis curuarum | generibus. in- fütuere licebit. — Quemadmodum autem primum. fpeci--- men euolutione huius aequationis innitebatur : o-a-r 2í(x--y)-- y (x x4-y) 4-29 xy; it hic aequationem latius patentem fundamenti: loco: affumi oportet ; ex qua tamen vtraque: variabilis-,. ope extractionis radicis quadratae, definiri. queat;.. Sit. igitur propofita haec A 3 Aequa- 6 - DE QVAÁNTIT. TRANSCENDENT. Aequatio canonica. o-a-y(xx--3y)-2- 28 xy-i-£xxyy 7. Quodfi ex hac aequatione tam valorem ipfius X, quam ipfius y, feorfim extrahamus , obtinebimus : mS xe y Q8 x x (a e ty xx) y 4-2 x x) PE Y--$ xx y—o3»— Y68y — (yy) (y 2-8 y ») a y -a-6»y vbi fignis radicalibus diuerfa tribuimus figna, quoniam ab arbitrio noftro pendent: dummodo eorum in fequen- tibus debita ratio teneatur. $. Ponamus, vt breuitati confülamus, has formu- las. furdas : Y (68 xx—(a-- y x xy A-4xx)) — X et Y 88y y —(a-4- yvy) (y 3-4yy)-—Y vt habeamus : —Ox-rLx y — ERI feu X —'y y-1- 8 x-1- xay Ec Eats Y yq fu —Y-yxr--0y--Zxyy. 9. Nunc aequatio canonica etiam differentietur ; eritque o — dx (y x 4-8y--Z xy) -- dYCy y3-834- Z xy) vnde colligimus fore : ocz—Yd4x-r-Xdy, (iue 22 — $*—o0 Cum igitur X fit fun&io ipfius x, et Y ipfius y, erit integrando : ee —Íf : z- Conft; 1O. Vj- INTER SE GOMPARANDIS. — s 10. Viciffim ergo nouimus, fi huiusmodi aequa- tio integralis fuerit. propofita : d d jJ —f x -— Cont. in qua X. et Y eiusmodi functiones irrationales ipfarum x ety defignent, vt fit: : X —Y(8 9x x—(& A-*y xx) (^y A-Z xx) et Y —Y(83yy—(a-t- 99) (v 3- £y) tum huic aequationi íatisfacere relationem inter x et y per aequationem canonicam definitam. ir. Quemadmodum autem inuenimus aequa. tionem 2— *— 0, ita confideremus nunc aequationem latius patentem Qd pdo — E Wes e ee et inueftigemus cuiusmodi fün&iones P et Q effe que- ant ipfarum x et y, vt V integrationem admittat , ideoque differentia formularum integralium roo y98. f*8* — Conft-.- V algebraice exhiberi queat. 13. Quo haec inueftigatio facilius inftitui. queat, ponamus xy—u, et ob xdy A-ydx—du, habebi. mus dy —5 -23* qui valor loco dy in aequatione differential fuübftitutus dabit : o-dx(yx4-y4-1xyy 4 E yg 9 ay) Cy ex) feu per x multiplicando : o-——dx(y xx—ty 3)H- duy y3- 9 x dc óxxy) fen o——ydx(xx—)7)3- X du 14. Erit 8 DE QVANTIT. TRANSCENDENT. d ds 14. Erit ergo X-— sz et cum fit 1-X 3 .du erit quoque. y — 455-5, vnde habebimus : (Q.— P)du dN — yy - xx) Primo ergo patet, fi fit Q—7y et P— xx, fore 2V —' e V:—5— 9. Hinc, affümta aequitione cano- TM erit vy ydy see dt zy Jess —f^x-— —OConft. -L y 15. Similis autem integratio quantitatis V, quo- que füccedit , fi pro P et Q accipiantur poteftates quaeuis parium dirnenfionum ipfarum x et y. Quod vt appareat, ponamus xx-1-yy-—í, et, ob xy—u, ae- quatio canonica abit in hanc formam : o-ca-ryt--20u--Zuu vnde fit jlIEGIeem 16. Ponamus iam P— x* et Qr , ent gV — P x4 yy). 5", ideoque 2V —— zt " (&--20 u--Zu1)5 vnde integrando fit: ]— 2" Puu ut Vy 3»»—.y» fue V — asy (844-89xy-41- Zy yy) Vel ob Gxxyycc— a-ty (x x--35)— 2 8 xy habebitur V — Syy (2 y (1x77) -2- 8j) 17. Quare noflra aequatio canonica etiam fiütis- füciet buic. 2equationi integrali : |P-JIyMr— Corft. — D (3a-.- 88 xy -.-Zxagy) Atque INTER SE COMPARANDIS. 9» AAtque his tribus cafibus colligendis, aequatio canonica fatisaciet huic aequationi differentiali latius. patenti: dy(8-1-95yy-- €5*) .... dx(9[-3-952:x x € x*) — I V (89y5- (er v»omi-eco) "V ($8 xix — (a -4- Y ac oc (y 4-629) — Contt. 4- 372 557 (88-88 xy A Zx xyy). 18. Si viterius progredi velimus, ponamus Ix yt et Q—)*5, fietque 2 V — c * rx xyy-t xt )z2S (tt - -uu) 'fubftituto PEPBOUpIO ? valore inuento, erit dV—5a issu Asa ar p pr d Cv) adeoque integrando: Vo (ax toadu V 1433 aod yyuetéow- H Sou) "Vnde erit per aequationem | canonicam: fx uc InÁ-ur - zz Contt. - 25,1 jaa-t-a0a3xy4-s (438 pac ty y )xyy -E15Zxty' A- 366xty"). io. Nunc autem formulis noftris irrationalibus CX et Y eiusmodi formas inducamus , quae facilius ad quosuis cafus accommodari queant : fitque X—Yp(A-rCxx-r Ex!) et Y —Y 9(A 4 C)yy- Ej* meceffe ergo eft fit : Apc—ay; Epzc—yZg-Cp9ó-wywy-a4 vnde fit : qn. iE et à-—Y (yy 4£Cp4 515. 20. Sit iam *y'y— 4A; et f—kk; fümaturque —«—-—YA; ac &et: &—hkVA ; vyz-VA ; £— 4 et Ó— Y (A4. CkkA-Ek?) ficque crit: X —kY (A--Cxx-4Ex*)et Y kY (A 4- Cy Ej?) lom.VII.Nou.Com. . B et 1:0. DE- QVAN TIT: TRANSCENDENT:. et. aequatio. canonica. prodibit. : C-—AEk- A (xx-A4-yy)4-2xyV A(A--Ck& FER*)2- E Fevxyy-. eI Ex. hic, autem. variabiles, x et y;it& a fe: inuicem. pendent y; VE, fit;: Sn dd Axe ust iae hue ER)-- ua 2 TTA Y— xYA-—»Y(A-E- CkkA- Ek) — 5 xyy, vade fit: anfiou y ACA - A(A HE C kh 4E k*) —hV A (A -4-.C x x Cxx-HExf)s JA——-— A—EkkRxx 7^. x MEO REA AD EO E E»tyd ps o A-SERkR9J3. 22. Hi igitur. valores atisficient. liis aequatio«.- ni integrali. latiffime. patenti: ex 6. 17 deductae, dum. eà per.- k multiplicatur : : dx(95-4-95 x x C x*). (dy 4-95 yy a- £5) Conf. Ed liyecese. Ex*)^. (VA C»J--EJ*-7 -- C2 (8 A kk-I-3x)Y A (A-I- CEk3-Ele)-- Ely y). i z Conft.-- 9522 - P523 (3A Mc 3 A (c 7)- Elcg). 25s Quod; ergo., CUrUdi quispiam ita. fuerig (124-55 72- €) comparata, vt ab(ciffae x refpondeat arcus Gg eben co isque notetur per Ik; et arcus alii abfciffae y refpon- y(914- 85y ai- €5*)« déns in eadem, curua. / 7 s AC ELA &p IL.y: intet; hos. duos, arcus. ifta. relatio. locum. habebit : TE. 2- TI. j— Conft. A ertum Ex S ABI S AGE 9) —Ekkxxvy): fiquidem. abfiffie. x et y.ita a. f2. inuicem. pendeant , , vt fit. LL X MAE CRE E ERO HE Y A(A 4e Cyy d EY*) et X A—ERIy y. i ew A( AI CkE A- ERST) — E y AU AU E CzX EE Jc Cg CA-Ehkaa. 244 Adi JXNTER SE (COMPARANDIS. xx "64. "Ad iftam autem conítantem , quam 'aequa- *üo integralis continet , -déterminandam, 'confidéretur ca- fü, quo yo, ét quo fit x —; 'quodíf dam arcus -abíciffie "euanefcenti -cónueniens quoqüe *euanefcàt , "erit i pro «hoc «cafu : "«E.&z— Conf. quo valore fübítituto habebitur: JI x -ID y-1. EDU EE "Ek xtys — v A ^ GÀVA " :Hoc ergo modo terni arcus in ifla curua dantur , quo- "rum vnus fummam -binorum "reliquórum "fuperat quanti- "tate Beométrice afbgnabili. £5. 'Hinc-iam in génére pátet, (i curua ita fue- "it comparita , 'vt "arcus ubíciff(ie x refpondens fit 9fdx » . E — E a n g- P. : ZUGE "- x—JunckcuyEep ideoque fit 35 —— 7 0,'et Q$— o, "tum arcuum illorum differentiam in. nihilum abire ; hoc- *que ergo cafü in hac «urua arcuuin compdratio perinde inflitui poterit, àtque in circulo. Sin autém 'in nume- "ratore adfit terminus Sy xx , vel (x*, wel vterque, 'tum arcuum -illorum -ternordm differentia geometrice "affignabilis , ideoque arcuum compáratio perinde füucce- det, atque in párabola. -Ipía àütem comparatio "eodem *modo perficietur, quem in fpécimine priore pro 'eirculo 'ac, parabola expofüi. 26. Quoniam terni àrcus in ómpurüm ve- Xiunt , quorum abíciflae funt x , y et , patet, quem. admodum y pendet ab x et t, eodem "modo £ ab x et y pendere, vnde, datis binis, ieítia €x his aequatio» 3pibus determinàbitür : EC OVADA y V A(A-I- Ch 4- ERES) Ae kv A (A 4- Cy) -i- Ey* Ey) A-— ERR yy ru Xy A(A Z- C kb 4- E k*) — kV ACA -i- C x 4- Ex) M A— Ekhx x Ek -—- £y A(AA- C yy 4 Ey*)—)»yV A(À 4p- Cx x x- Ext) T ÁÀ —Exxyy B. 55. r2 — DE QVANTIT. TRÁANSCENDENT. 27. Si hinc aequatio formetur ab irrationalitate: omni inmunis, prodibit: EEK'x*'*zAA(2kkyx-- 2 kkyy -4- 2x ey y-kt-x*-y*) -I-4ACkErxyy A- 2 AER ayy(Ek 21- xx 4-yy). In qua cum ternae abíciffae k, x, y, pari modo fint immixtae, confiderari poterunt. earum. quadrata kk, xx, JJ, tanquam radices huiusmodi. aequationis cubicae. Z-pZZ--4Z-r-—o et cum fit 5—&k--xx--yy.— q—kkxx-r-kkyy -A- v xyy- r—kkxxyy erit EEz7 ZA A (44-pp)-1- 4ACr-A- 2AEpr fiue (Ap — Er —4AA4-1- 4ACr. 28. Hac ergo inter coefficientes $, 4, et r- re. latione conftituta , fi pro kk, xx et yy capiantur ter«- nae radices huius aequationis cubicae.:. Z-—pZZ-4-4Z-rco0 erit. pro. comparatione. arcuum curuae, quam $. 23i. famus contemplati, ! s onem. 5r Epyr. EEry2 II.x-II.y - II. 5 — FEN EL 2YA 6AYVA*' 3 29. Sint ipíae abfciffae fuis fignis affe&ue -p- x; —J, —k radices huius aequationis cubicae:. 2!-d-52z--:2—u—0o ert Yr—us, q—1tt--2549-ct p—3$-204 atque (Ass—2A/-Euny —4A Atz-1- AA Su44-ACuu , fiue LOS 2AÀsu—Cumu. j— 44 Ass—EUuM,- Radi- INTER SE COMPARÁANDIS sg Radices. autem huius aequationis.ope trifectionis anguli. ita reperientur ,. vt fumto v.—2Y(ss—3t), et angulo 811 —--:65ft——53 55 (D, cuius fit cofiaus ,. fcilicet cof. ESTEE RIEUNE ipfae radices futurae fiut: x-wcoí. 10-5; y-vcot(60*30)-155 &-vcof.(60*-1()- 1s 50. Sed relictis his, quae ad radices fpectant , vfum formulae inuentae accuratius perpendamus, ac pri- mo quidem notatu maxime digna occurrit haec aequa tio. diffrentialis : d x Cb ANM - V(Aci- C xx 47 Ex*) — J(Aa-C Cyy--E)4 quippe cui nouimus conuenire: hanc aequationem inte- gralem :- — M Y AA e Che ES) 4- E v A (A 45 C yy 4E y*) A-— A—ERKRyy — quae cum conítantem nouam. & inuoluat. ab arbitrio: noflro pendentem, erit reuera integralis completa. : d 31. Si pro: hoc cafü ponamus JÜRTEESHOLUTEET T —]I.x, quia: pofito y —o fit x-£; erit IL. XII £--II y. . ; L A C E Hinc fi fiat £—y, vt fit gl 3AG-e Oy E) 29. erit ILx—2II.y; ideoque ifte. valor ipfius x fatisfacit huic. aequationi differentiàli: dx 2d y y(&A-Gxx--Ez*) — v(A4a-C)y4-EY*) quia autem nouam conílantem non comple&itur, erit: i$ tantum integrale incompletum. 52. Interim tamen et huius aequationis diff:ren-- tialis facile integrale completum exhiberi poterit.. Po- natur enim CERUUIAy. — MES xiu dz 2 Y(A 4- C y y 4- Ey*) — 4(A--Czz--Ez*) -" — EY A(A He Chk-E E k*)H-RV A[AH- C zz Ez) eritque J-— A—ERkzz H3; | qui: *Tab. 1. x4 "DE 'QVANTIT. "CTRANSCENDENT. «qui valor loco y fübftituatur ia formula y — £2: 0o2 99 ficque 'exprimetur x "per 3 et nouam :conftintem.— arbi- raram 4, -qui svalor «erit integrale icompletum huius ;gequationis «differentialis z UUUNEe. [. ORE EE TT TEXT C ETENIM ON SCA A- Cx x-pEx*) —t9 (v (A-- C zz 4- E«*) 83. Statuamus .1I. £— 411 y, ac fimamus "valo- xem ipfius & iam effe inuentum , .atque ex pracceden- *tibus colligimus , :f1 «capiatur ap m XA SE CER CES) a FA (A 2C) 3e E j^) fore XI, x —(n-r-31)1L;y. Cum igitur cafü »— x fit .k — y, :walor :hinc ;pro x ánuentus dabit valorem ipfius Ak pro cafu s — 2, :vnde reperitur zx, vt (it TI. x — 5 T1. y. Qui valor porro -pro 4& fürrtus «eum -praebebit valorem ipüus zx, vt fiat 1I. x — 4I. y, ficque, quousque lubuerit, progredi licet. /34. louento autem valore ipfius zx, vt fit JI xe —nll.y, erit 4s integrale ;particulare .huius aequatiomis «differentialis : Laici Pu Le UM needs Mee — w(A-- Cx xz Ex*) — «y (& --Cyy-i- Ey*) &um vero capiatur uy VACUA epp C hh E k*) e Re A CA ^ 7C ot oe Y x8) oxbrrs 2 Áo ERR xx ficque obtinebitur valor integralis zipfius :z «conrpletus pro hac aequatione «differentiali : —Áanng m eadem. ec ur y (A -- Cz z-jjE z*) —— «(A -2-C y y-4-E y*) &rt enm 1I.z—IL&-- Il x —II &-1-7»1I y 35. Contemplemur inunc «tiam in genere formuü- Fg i.1m atus patentem , «amque ad lineam «urusn akfg INTER'SE COMPARANDISZ — ais &kfg p qr st: transferamus,, cuius: haec. (it: indoles,. vt- potita. abfciffa quaconque. A K — x5. arcus- ipfi refpondens. fit. aL —y( ae mura e quem. hoc. figno: II. x: in- dicemus. lManifeftum autem. eft. quemadmodum haec: relatio: inter: arcum: 2 &« et: fuam abfciffing A IK eft? fla- bilita,. eandem quoque: intez: arcum: et: applicatam?,. vel: cordam; aliarouex rectam ,, ad quam: arcurx referre: licet ,. conflitui; potuiffe: — Quare; etfi: hic: x*abíciffmr arcui: ak: refpondentem. defignat ;. tamen: quoque- aliam. quamuis rectam. ad. arcum. pertinentemr denotare: poterit*,. düms modo: ea. euanefcat , ipfo: arcu: euanefente;. 565 Confideremus: nunc. ternas abfciffis; quae fint: AK-—ER£ AE—f,ct:A G—g; quae: ita. a. f& inuicem: pendeant, vt. fitt Cpu YA LE Ck SE RO --E YAU S C/f-- EftY?. $&-— of. ATE RRff 4 : C E VA(A H- Ck h-Ek*) —k yA(A -- Cg £ H- Eg4)" UL HBedos nugae eR E ———— —Ó———MÀ -— ——À——— ———— haec: relatio: locumi habebit , vt. fit : : W g- Ef - Y £-Arc. ag- Atc.of -Arc.ek—-Arc.f z-Arc.ak — SBhfg: QhfgtkE-Lff--Eg)) CERT/tg?5 —-— YyAas 13... 7 2AÀa AY A 572 Dato: ergo quocunque arcu: 2&,. a: curuae inis- tio g«fumto-, a. quouis puncto f, abícinói poterit arcus: - fk. itas vts diffarentias arcuum: fg; et 4. geometrice: a(üguari queat. Ob, pun&à eoim et f, data, dabun- - tur. abíciffie kiet f , ex: quibus: per: formulam. primam definitur.abfciffa g.- Vel etiam ,. fi' dentur. puncta ket: £j à pun&o g. rcgrediendo. abfinci: poterit: ares. 4 h. quis "Ta». I. Fig. 2. 46 DE QVAÁANTIT. TRANSCENDENT- qui.ab arcu z& quantitate geometrica difcrepet. ^— Vel denique dato arcu quocunque fg, a curuase initio 4 abícindi .poterit arcus a&, qui ab illo quantitate geome- trica diícrepet. 38. Cafus hic euolui meretut, quo f—£; fi igitur abíciff!iA G — g ita sccipiatur, vt fit *k A(A--Chk.-k Ek*) KL eICcWürupPR Pe DS exübeüuteuUA € DO TI Chkk kk-r (ER s Arc.ag—2 Ar.ak — ^5 6 V" SEG TA E ED CEW ES Quodfi iam fuerit ER A, valor ipfius g prodibit ne- gatiuus, qui ergo retro fumtus fit AH — 5, ita vt fit g--—5b et II. g— — II.5. exiftente kV A(A-4- C Mp Ut EHE Lu) eritque mutatis fignis : S5 kh b €hhb(zhh-- bb) € E 56 p* Am.qb--9 Am. k-——. 46. 24A TT 7 uS 59 Hinc intelligitur abfciff»üm & eiusmodi valo- rem obtinere poffe, vt fiat 5b—k ; quare fi curua ex pundo 4 vtrinque per ramos fimiles et aequales exten- datur, fueritque AH 2 AK, erit quoque Arc. 2 b— Arc.ak; vnde fi fit b — &, íca ER*—A-—2YA(A-1-Ckk-- E&*) vel EERU—GAER'-4ACkRkE—5AA-—o, erit 3Am. ap BE p, i ERR &rcus ergo, huic abícife AK -—X refpondens, abfolute erit rcctificabilis, cum fit , Arc. ak — P o - EX 40. Áequatio autem illa, etfi eft octaui gradus, «ommode reíolui poteft; pofitis enim eius factoribus (k* 4 akk A- B) (k&* —akk -1- y) — 0 repe- INTER SE COMPARANDIS. «s zAA reperitur Ba ymaa-tf ; B- y-—iuetQyo--i Pr 2 6AÀAÀ AACC AA vnde oritur a* — z^ aa- E — ure — — rr hincque in» AACCTSEAATE 3A 2^€ aao ep yit hothr yicsitone ent e E: ert kk--ia-L- YE m act vel etiam EE— —:u-- YA AX —iaa). 41. Verum quod abícifíae negatiuae idem arcus negatiue fumtus refpondeat , hoc in i(tis curuis femper locum habet. Nam cum fit II, 4 —/ 220 2-955 € 29 V(A-EEXx*HuTEX* 5x9 fi abíciffi v capiatur negatiua, erit : S f dz -- 55x x -4- € xf) HE (3) XUI. VAT CxxA Ext eM. "Videtur ergo , quoties abícitfae & in $. praec. definitae refpondet arcus realis, tum eiusdem arcus fongitucise geometrice affignari poffa. Affiimare autem non aufim hoc ratiociniuro, quo arcum abfolute re&ificabilem | elicüi, femper tuto adhiberi poffe ; . videntur enim cafus exiftere , quibus id locum non fit habiturum — Si enim fit $55 — o et 9r d x : , (9o) desde dLx—Jxrcau kao ^ produet m $. 39. vtique 3 Àtc.zk— o, cum tamen ex. aequatio- ne ocaui gradus ibi exhibita non fiat abítiff k— o. Verum recordandum eít. banc aequationem natam effe k y A(A Chkh ER : ex hac, au Aden. CERRO qme cum ftatim praebeat radicem k-—— o, haec wnica erit, quae hoc cafü quaefito fatisfacit, reliquis exiflentibus omnibus ineptis. 48. Meque tamen his cafibus ratiocinium omnino fallere cenfendum eít, etiamfi pro £k alia quaecunque Tom, VII. Nou. Com. TUM RO radix 1:8. DE OVANTIT. TRANSCENDENT. radix accipiatur , fed potius eidem abfciffae plures arcus refpondere íunt putandi, quorum vnus tantum isque negatiuus fatisfaciat: hocque ergo caíü, tametfi in 6 38. ftatuatur b—&k, tamen inde non fequitur , effe Arc a b — Arc.a k, ideoque Arc. 454-2 Arc. a&k— 3 Aic.ak, cum eidem abfciffie bz-k etiam alii arcus praeter Arc. ak conueniant, inter quos vnus fit, qui reddat Arc. a b -4- 2 Arc. ak— o. 44. Quod quo clarius perfpiciatur , ponamus A-PSC-2vectUE-—rIT; OHÜent-—90u6-9 eritque. II. x — 9[ Arc.tang x, et. Arc. ak — 9( A vang. &, atque Arc. a b — 9 A tang. 5; pofito ergo 5 — ore — kt—3i ux qu erit 9[Ataug. b-1i- 29( Atang. £— o. Quodfi iam ponatur b —k, fiet kKk&— x et k& — Y 5, reperie- turque 9((Atang Y 3-27 2Atang.Y 3)—0. — Etfi au- tem eft Atang Y 3 — Arc. 60^, tamen inde non fequi- tur 3 9 Arc. 6o? — o, quod vtique effet filífum; íed quo- niam tangenti Y 3 conuenit quoque arcus —120?, hic valor, priori loco pro Atang.Y 3 fcriptus, veritatem praebebit , fcilicet 9(( - Arc. 120? -1- 2 Arc. 60?) — o. 45. Haec igitur ambiguitas , qua eidem quanti- tati £; quam hic tanquam abíciffum affumimus, plurcs valores Arc. 2k refpondere poffunt, in caufa eít, quod etiamfi ia $. 38. ponattr P —£k, non tamen pro Arc. ab -- 2 Arc. ak ícribere liceat 3 Arc. ek. Interim tamen nihilominus erit etiam hoc cafu Arc.a b -i- 2 Arc a— T P -— E abíciffae enim b, etfi eft —&, tamen praeter arcum 4k alius quoque arcus conueniet , qui loco Arc. a5 fubiti- INTER SE COMPARANDIS. 19 fübftitutus aequationi fatisfacit. — Hanc ergo ambiguita- tem íedulo difpici oportet, ne in errorem inducamur. 46. Quoties autem huiusmodi ambiguitas non ha- bet locum, ità vt eidem abíciffae vnicus arcus refpon- deat, tum fine haefitatione pofita abíciffa b——k ctiam pro arc.2b fcribere licebit arc.zk et 3 Arc. ek pro Arc.zb-1- 2 Arc.ak , neque hinc vllus error erit exti- meícendus , quaecunque radix aequationis octaui gradus $. 39. inuentae pro k capiatur. Id quod euidens erit in cafü, quo 9(—A; 95 —2C et ($—3E, quippe quo fit I. x—xY (A-- C xx-4- Ea*) ideoque quanti- tas algebraica, et ILg— II. f IL.1— CM y :EMsUk-L ffeeg, EERMES Al 4 4. Qauodfi iam ponatur f — k, erit g — E CHEERS et Dor mic Eri Sit nunc g—-k, feu E&*-A— 2 YA(A -4- Ckk4- EK), erit Y A(A-4- Craig uta —ÁAUERU y A(A4-Chk-Ek*); -2Ch3 $QERS , EER9 under zecdlket—5lLlR— -—-—.x44& b zryapdeH kC« A Ch o A Ek — E E k9) 3. Blk: 2À Y ARN At et EER& —6AER*-- 4ACEkk--5 AA, vnde fit g.IIp— EGATE T e AC akV (A--Ckt-- ER?) quod ob II& — &Y(A -A- C&k-i- E&*) eft veritati. con- fentaneum. 48. Quanquam autem haec curua per fe eft re- &ificabilis , tamen euidenter probat id, quod volumus ; fcilicet. contineri in noftris formulis, etiam cuftuas irrecti- ficabiles, in quibus, modo ante expofito, arcum abfolute €. 2 recti- ao. DE OVANTIT. TRÁANSCENDENT. rectificabilem. a(ügnari liceat. Inuento autem vno aroaw rectificabili velut 2£, ex eo (tatim infiniti alii. eiusdem. indolis exhiberi poterunt: cum enim a quouis pun&o f abícindi queat arcus fg , cuius ab. illo differentia eft geometrica ,.etiam hic arcus erit rectificabilis... .Prae- terea vero ex eodem arcu adhuc alii infiniti | pariter re&tificabiles reperientur modo. fequente, quem. in genere: dic de conuenit, | vs Quo noftras formulas fimpliciores reddamus » ponamus breuitatis. gratia :- Y A(A -- Ck -1- Ec) —K; YA (A 4-C f4-Ef))—F ; b. Y A(A-F Cgs-i- Bg-G vt, fit per $. 36: ENEUKC CERE —gK-—RhGc. E dorum S— CERO ? veces ; ^—A--Effeg d z (9f £ x* t Quod& iam fucrit. II. y —f ise Beste E IL.g-ILf-H.&—Arc.ag-Arc.af-Arc.ak-Arc.fe-Arc.ak: za fg Ehfa ku ff-- gg EET FIT 7 a m 2vYy4 "F* wu 50. Sumantur fimili modo praeter abfciffim: AK--k aliae duae abfci(fàe NOD s AQC--4; pofi- toque pariter : Y A( &-1-Cpp-1-Ep*) —P et VA(A--Cgq4-E4*)—Q* ac relatione. hac: conílituta h — Az qQ35icEu P Wit um du. i uae erit pro eadem curua z per €&kpa(kk-i-pp--qq) €Ek*p$5g* Auc. dure aha yartiem— WS T OAWAS INTER SE COMPAR AN DIS. zx 51. Subtra&a ergo illa aequatione | ab hac re- Iinquetur : ba34— L Y bh s » 4 uU »4- RE fg b1—fe) dE ERE Ee C Mfe (uk. 1-88) €x Q* d - P gn $AV/A vbi abíciffae f; e; $; et 4 ita a fe inuicem. pendent , vt fit gF—fG —PQ. Jur k-——A—zjzg— "EE pcc vel j RE A(gg —) — A (qg—PD) vnde fimul abíciffa & eliminari, et relatio inter. f;g, 5,4. definiri poterit. 52. Quo haec eliminatio facilius. abfoluatur ,. no« tandum. eft , effe quoque "denis A Uf-e-. tgg —kh) —Ehhkffgeg | A T2 q q- kF) -Ekt bpaa C IE S p: PED 2 pq vnde (it "mes Api ff3-88)—^5 fa (bb-1-12) |... (EF — fC)* |. (qP— PO) | — (P1—fsKA—Ef8B) ^ — (A—EJU&g/* — (A—Epp qp" Erit ergo pa(3- Dp 3-44) T8 fF -F88) M. bp--40)-fa Cf 188) Apq(ff--gg) —Afa(bb-i-a : cum ATE Bu Ea hincque. obtinetur :: Atc. fqi— Arc.fg — E3018 | EKpi—f)L6E-e kb p-e n 2V A — C ER(Pa—fg*(pa(ff--g28-—f2(bp-t- a0): 0 6(A— Efgip 4) Y ? » A(paU f --g8) —f8 (bb 31-34): 53. Cum igitur fit k& — qe EFEPQ) et quatuor abíciffae f, £, f, 4, ita. a. íe inuicem. pene deant ,. vt. fit :- gF--fC qP--pO- 88-ff —— 41—DP . patet propofito arcu.quocunque fg in curua. affumta,. femper ab alio dato puncto 5 abícindi poífc arcum. p 4; C 3: qui: 25, DE OVANTIT. TRANSCENDENT. qui ab illo arcu differat quantitate algebraice aífigoa- bili. 54. Quodíi porro a puncto 4 vlterius progre- diendo capiatur punctum 7 , ita vt pofita abíciffa AR-r fit g£F--fG.. rQ--4R f Eg—tj —— rrccgu jm ga(ff-i-88)—f£(bb-1-aq) ...ar(ffA-gg -—f£(aq-t-rr) |... ar(bb-i-22)-Pa(42 4-rr) - (pq—fgX(A—Efgpqg) | —- (gqr-fgXA—Efgqr) — (qr—PaX^—Epaqr) erit quoque Arc. q7-—- Arc. fg — quantitati algebraicae , quae differentia, ad priorem addita, dabit; Arc.pr — 2 Arc. f g — Quant. algebr. ficque a dato punc&o f abícindi poteft arcus Pr , qui duplum arcum propofitum fg fuperet quantitati alge- braica. 55. Simili modo , fi vlterius abfiffae AS— s; ATC-—:; etc. ita capiantur, vt fit gF--ÍG, sR--rs tS--sT t E&—Jf — ss—rr — tt—ss etc. arcus fs triplum arcus fgz , arcus f? quadruplum arcus f& etc. füperabit quantitate geometrice affignabili. — Vi- cifüm autem dato, vel arcu pr, vel 55, vel pt etc. reperiri poterit a dato puncto f arcus fg , qui ab il- lius femiffi, vel triente, vel quadrante deficiat quan- titate geometrice affignabili. ' 56. Euenire etiam poffet, vt licet quantitates $$ et G non fint nihilo aequales, tamen differentiae itae geometrice aífignabiles euanefcant ; quin ctiam femper vna abiciffarum ita definiri poteft, vt haec dif- ferentia re vera in nihilum abeat. His igitur cafibus in propofita curua eiusmodi bini arcus afbgnari po: terunt, INTER SE COMPARANDIS. 25 terunt, qui inter fe, vel aequales fint futuri , vel da- tam rationem numeri ad numerum habituri. 57. Cum haec latiffuüme pateant , atque. ad omnes curuas accommodari queant, quarum arcus pro abíciffa , vel alia quacunoue reca variabili x ita ex- primitur, wt fir —/ 520-9273. conueniet , iftas affz&iones pro nonnullis cururs determinatis euolui, quo vfus huius methodi clarius perfpiciatur. Primum igitur potiffimum hanc arcuum comparationem in elipfi ex- ponere vifum eft. De Comparatione Arcuum in Ellipfi. Sit igitur propofitus quadrans ellipticus A Ba , Tab 1. cuius centrum in A; ponatur alter femiaxis, füper quo Fig. 5 abíciffüe capiuntur AB—a , aler vero A«—m. Sumta ergo abíciffi quacunque AP — x, erit applicata PM-—nY (aa-x x), eiusque differentiale — —Vt vnde fit arcus huic abíciffae refpondens 4M-JdxY eU. Sttuatur r-5g8—:4, wt fit eM—JfdxYV *——, Quia perinde eít, vter femiaxium fit maior, vel minor, füumamus A B effe maiorem, ideoque zr; et z nu- merus pofitiuus vnitate minor: et cum focus exiílat in femizxe A D, erit eius a centro A di(lantia ZY(aa-nnaa) -—aVm; vade valor. numeri 77 facilius. intelligitur. Quodfi ergo arcus, qui abícidae cuicunque A P-x refpondens, defigaetur z M — TI. x, erit II.x-/ZxY 7: quae exprefio ad formam no(lram generalem reducta abibit in hanc : don | dx'ao —mxx! II. Mu uus ca E Xx-Rns*) Sicque :4 DE QVAÁANTIT. TRANSCENDENT. Sicque pro hoc cafü habebimus iftos valores: A-at; C—--(m4-r)a; E—m,9[—aa4;98—-m;et Q—o, "Sumtis ergo tribus abíciffs &; x; y, quibus refpondeant Wreus TP'"ERTOE T VIT HOONT 9E: J — a* —mhkhk2a " ES qaxy (a*—(m-3-:)aayy-1-*)— aav (a*—(m-4-:)aaxx— mx) —— — ——À— ———— ——. li tres arcus a fe inuicem ita pendebunt, vt fit: IL y—IL opi ga .His igitur praemiffs fequentia problemata refotuamus : Problema r. Propofito ellipfeos arcu quocunque 2k, ab alio Quouis puncto f abícindere arcum fg, ita vt diffzren- tia arcuum Kk et fg geometrice a(lignari queat. Solutio. Duáis ex pun&is k, f, g , applicatis &K, fF, £G, vocentur abfiffü0 AK—& ; AF—/; AG—g, quarum ille dantur, haec vero quaeritur; erüntque Arcus : ak—Wb,ef-onbfs eg-litg Ponatur porro breuitatis gratia fecundum $. 49. aaY (a* —(m-1-x)aakk--mk*) —K ; a4 Y (a*— (m-A- 3)aa f f A- m jf?) —F «aV (a*—(m-A-1)aa gg 4-mg*) ZG ac flatuatur inter ternas abíciffis ifta relatio : Ka-kE K —RhG TEASER el f-—i — —RG -— £ER—ÍfG md a*—mkkff» a*emkkgs » vel &— 9*-mJJsg quo J. INTER SE COMPARANDIS. ss; quo faco habebitur : IL g -IL f - IT. £— Arc. Jg - Arc. ak —- c Puncto 4 ergo ita fumto , vt fit AG—g— DEO differentia arcuum 4& et fg geometrice poterit afhgna- -. Erit enim Arc. ak- Axc.fg — DE QR. UE Coroll. r. Eadem folutio locum habebit , fi propofito arcu . &k detur. pun&um g, a quo regrediendo verfus 7 ab- fÍcindi oporteat arcum gf, cuius ab illo differentia de. beat effe geometrica , tum enim abíciffüe & et g erunt datae , ex quibus valor tertiae f reperiri poterit. Coroll. 2. | Dato etiam arcu quocunque in ellipi fz a ver- tice 4 abícindi poterit arcus ak , ita vt differentia ar- cuum 4k et fg fiat geometrica. Ita cuiusque arcus fg rectificatio pendebit a rectificatione arcus cuiusdam a£ in vertice ellipfis 2 terminato. Goroall. 5 Relatio inter ternas abíciffas &, f, g etiam ita exhiberi poteft, vt fit Ls. aS h ha - ff) —— a*(— kh 4- g g) .. a*(gg — ff) tome fece wveli oe n €X quibus cum praecedentibus comparatis elicitur ; «Uf A^ gg- kk) -m kh K — SUE LO nS A eV (aa-kk((aa-mkk) 2$8 Mhbh g-ffmkk : p zt ELRAUIES — aaY (aa - ff(aa-m ff) * (kh ff — bhffg QE: (kA ff Lp EnTuHst — a aY (aa-gg)(aa- meg) Tom. VII. Nou. Com. D tum -— »$ . DE QVANTIT. TRANSCENDENT. tum vero etiam habebitur: fz(zg -ff)K&—kz(gg -kk)F —kf (ff -kk)G— o. CoroIl 4. Si differentia inter arcus ek et fg omnino de- beat euanefcere, patet id fieri non poffe, nifi fit, vel k—o, ve f—o, velg-—o. Primo cafu ipfe: arcus. ak, ideoque et arcus fg, euanefcit , binis reliquis cafi- bus autem alteruter terminus arcus fg in punctum 4 incidit , fitque arcus fg arcui 4k non folum aequa- lis, fed etiam fimilis. Corollbl'* 5. | Quo ifta abfciffarum relatio facilius ad praxim transferri queat , notaffe iuuabit in genere , fi ad pun- é&um 4M. ducatur. normalis. M. IN,. in. eamque ex. À per- pendiculum demittatur A V , quod parallelum erit tan- genti MT : atque. ponatur AP— x; fore PMznY(aa-xx); PNZanx ; AN—mxy; MNZnY (aa-mxx) AN— UE E NV—zauLi MV— x nac — 4(aa- max) ; (aan xx) Dad max). naa DULL y (aa - xx) AX -—BdWuptadpeb AV.MT-mxax. Coroll 46. Pofito ergo g pro x ifli valores pro puncto £ reperiuntur TTE a*-mhhff a3 J(aa- kk)(aa- i-ff)-akfy(aa- mkE) (aa mff) V (44-g2)— UU g*—mh kg . a5 4 (aa-mkk)(aa —mff)- makfy(aa —khk)(aa -ff) Y («a-mgg)— it—uEE CL USB atque TNTER SE COMPARANDIS. 7 atque V v a- £ ga 4— mes) J2)--aa(a* -- mkle UE E dr E E Pap am UD. ako maa RRa-fj )- (m4 1)/a^ 7m — M «nde porro elicitur: aaV(aa—mge)--mkfY (a aa-gg)- aY (da —mkk(aa—tmff) 4aY(«a— £g)d-kj V(aa—mgg)—aY(aa— Maa) Qafus..L Propofito elüpfeos arcu ak im altero wertice a derunnato , «ab altero vertice. B. abfemdere arcum. Bf, dta vt arcuum ak et Bf differentia fit geometrica. Problema ergo ad hunc cafüm transfertur, fi pun- &um g in vertice D flatuitur , feu fiat g — 2, et. quae- ri oportet punctum f, feu abíciffüuln. AF — f. Verum ob g—2 erit G—0, ideoque habebitur f — An I— E TIS , vel ducta ad pun&um.£ normali &N , capi debet AF—f— t VE. Hoc autem punco ita fumto , erit arcuum discs Arc. ak - Arc. Bf — 7 — gp v 25h ANRE ag-qm kk—— Corollarium. Fieri igitur poteft, vt punca k et f in vno puncto e coeant, ficque quadrans ze D in duas partes diffecetur, quarum differentia fit geometrica. Ad hoc ftatuatur £—/—A Ee, eritque e—4Y 775; , fcu aao - 'aa-mee) HE T 4'—2aaee--me*zco, vnde fit ee— 955—220 7m 00 E-w) b Hi E Ax eC — —w- ob m-i-nm. Hinc ergo erit eZ 5 3 Verum quia effe debet e 4, erit e— y 5, fiue D 2 AE Tab I. Fig. 4. "Tab. I. Yi. s 28 | DE QOVANTIT. TRANSCENDENT. AE — y AED et (Ee— voces iar tolit AE: Eecci:nYuzADYAB: AzVÀa. Hocque cafu erit: Arc.46- Arc. Be— a(1 —9) — AB- Aa C a/ftis) "TE Propofito arcu ak in vertice a terminato, ab eiui altero termino k abfcindere arcum kg , ila vi arcuum ak et kg differentia fit. reclific.ibilis. Hoc ergo caíü punctum f in k incidit, eritqüe f-— k, hincque etiam F—K ; vnde reperitor : 2kK vn 1-hk(aa-mhi) AG—g— 3:55. mk*— Ur g*t5mke — Sumta ergo abfciffa A G huius valoris erit : Arc.ak— Arc. kg — P258 — mE v0 hem Corollarium. r. Vicifíim ergo arcus quicmaque zg, in vertice 4 terminatus , ita in k in duas partes fecari poterit, wt partium differentia ek —kg fit rectificabilis. Ob co- gnitam enim abícifam AG--g , abfíüffa quaefita AKC--k ex hac aequatione definiri debec : &&g(at - my — 4a kk(aa—kk)(aa-—mkk) quae abit in hanc o&aui gradus: miuggk'-ama'k5-zmatggk*-Aadskk--a'gg —o -l- 4G -p- 1)45k*. Coroll 5. At fi huius aequationis fictores ponantur (mgk&'- Akk-A- a' g(mgk: - Bk&-1- a*g) zo repe- X INTER SE COMPARANDIS. 29 reperitur : : ABT et ABca4(m-- 1)25— 4ma'gg vnde A - B— *2^Y (a* -(n-A- 1)aa4gg -A- ^) ita vt fit: C cu insu xEXRa ABB) ee & Bo tEltefy6s5-::60:-7.52 Confequenter b — 28tkht pa npa v (ra eene RES et L pe a*-t-aay(aa-gg VEEAEACIC (um -(m--1)gg3- 2v (qa—geXaa— 8g) — Xgsex ——— ———— T8468! Coroll.. 5. Quaterae ergo radices ipfius &K funt: a*-4-aay (aa-gg)(aa—7 gg)-2* V (aa-gg)4-2* V(aa-mggy l. kk— m £g a*-i-aay (aa-ggXaa-mgg 5 v 3y(aa-gg)—a*v(aa—mgg) IIl. £b— &BAad ep msg) a*-aay(aa-gg(aa-mgg 4-33 (aa-g J-a3y (aa-m III. ££— — la-gg (aa! cRERS aa-gg mgg) a*-aay (aa-gg (aa-mgg)-a* v(aa-g g)--a3V(aa-mgg) IV. kk— zr quae adhibita ambiguitate hoc modo coniunctim re- pracfentari poffunt : kk— zi(a -- V (na -gg))(a-- Y (aa-mgg)) Corolla. Ipfi autem valores ipfius & erunt. hinc : m a (y2--& a-gry cg m a-gym qui (unt omnino numero octo; quaterni affirmatiui , totidemque negatui ilisque aequales: manuifetum autem €ít, affirmatiuos tantum hic locum habére , ex iisque €0:, qui praebent ki z. Hic autem eíl certo : D 3 £i so DE QOPANTIT. TRANSCENDENT. pu yg "E ytEYm- y *-£ EY — gys Nam 7 V 84 y Es gy yt y ee yENTpyt-6YTeyg y t«iXt yt-EYTOycyg, (COroIP s. Si ponatur $—cof « et £X?— cof. 0, ob m erit 0 — «4; er formula noftra pro radicibus ipfius k ine venta, in hanc abibit formam: pc zy s col, 1v -l- fin: 2 (cof. 1 6 -4- fin. 10) feu ob cof. € — cof. :0* - (in. 20*. habebitur: EA cof. 2x 3- fin.; Ed col. 284 zs n v Veloctoni valores erunt: bU MM cof. ' 45 "-im) &— M a (455—28) T fin. (45^—:) IM LRL) cof. (4.59 -ip) " Ncunsecth i ath ^ fin. (459—1 $) p ue MULT ) pis cure C orol1:6, e ! Ex his valoribus ftcundus femper Bero: 45 Aw) COÍ. (4.5? - 10) fin (45? —1 cH gt (45^c* E fatisficit , fit enim, vti manifeftum eft , INTER SE COMPARANDIS. sr efl, non folum &z a, fed etiam k-22, feu k S acof.v. (0 din.(45? 4-29) Ex primo quidem valore e TU -E8) fit kZa ob w30: verum vt fit kg, oportet effe fin. (459 -1- 1v) p 24 CE ats bi pocomty — cof. 4 — fin. (90?—) — 2 fin. M3 —li*) fin. (45? - iw), ideoque x 4 2 fin (45?-1v)fin.(45?-4-10) feu 1 cof. lekcds eot (90? -1- 3(6—w)) feu. 1 cof. ;(0 41- «) 4- fin. (9 v). Problema 2. Propofito ellipfeos arcu' quocunque fg, a dato Tab. L.. pun&o abícindere alium arcum- pq, ita vt horum arcuum differentia. jg — 4. fiat geometrica. Solutio; Du&is applicatis fF, 2G, »P, 4Q fint abíciffae: AEF—f AG—g, AP—p, et AQ—4, tum a ver- tice 2 capiatur arcus ek, qui datum arcum fg quanti- tate geometrica —füperet ; pofitaque abíciffa AK — £ ,. ac breuitatis. gratia K—«a4 Y (24—kk) (aa — mkk) ;. F—aaY(aa—ffyaa—mff); G-aaV (aa—ggY(aa-mg 2); P—aaV(aa—-pp(aa—mpp) et Q—aaY (aa—44) (aa-—m4q4q): ert primo: F-ÍG. at(gg—ff ; | ps2 TEE. vnde reperitur k; ita. vt fit Arc. a k— Arc fg — ES 'Tum vero abíciffa 4 per problema praec. ita. determi netur, vt fit: LPK-A-kP . a*(pb—kk) &k) —- o*-m khpp — "P K —kP^ P. 3 eritque- "res Fig. 6; 32. DE OVANTIT TRANSCENDENT. TET Arc ak — Arc. pq — a3 qua aequatione illa ibtrahuuur, relinquetur : Ar.fg—pq-—;. (pd-fz) Q. E. IL CuEgoTi.-J: Cum £k ab abícifüs 5 et 4g pari modo pendeat atque ab f et z, erit: E29 — af(qq—Pbfp) a* mppqq — q FG Po ideoque abícilla 7 ex datis f g, et p per hanc aequa- tionem debet definiri : cun DPI Mrcbaue vel etiam ex hac: cp -— oes E ; atque hinc elicitur : di PINE r (pp —£g2)2- Gf b(pp —ff)—Pfg(2 8 — ff) — FJ(pp—s8)--Cg(Pb—H)—Ppg-H)^-" Coraltó.. Abícifüe p et q etiam ita ab abíiiffa k pendent, vt fit: aaV (aa —mqq 4 tmkpV (aa-- q q)—av (aa—imkk)(aa—mpp) aaVY (aa—q q) -- kpY (aa--mqq)—aV (aa— k k(aa— pp) aaY (aa —mpp)—mnkqV (aa— p p)—aV (aa—mk&)(aa—mqq) aaV(aa- pp )— kqV(aa—mpp)—aV (aa — k k(aa— 44) .aaV (aa—mkk)—tupq V(aa— kk)—aV (aa— mppyaa-mqq) ' aaY (aa— k k)— p qV(aa—mkk)—aV (aa— p p (aa 44) (C QUEXT T dor "5; Si Wn fg et pq diffrentia debeat euanefcere, necefic ei vt fit, vel zo, vel 4 —f£- Atírgz-e : o INTER SE COMPARAN DIS. 33 —t gt m a*(qg- T) - Bb uro ego tam Mice f2, quam f4, euanefcit. p autem fit f4—f£2, o eir. c brise, L1 aaV (aa—mkk)—tmfg V (aa—kk)—AaY (aa—mff )(aa-mgg) erit (an—mpp)(aa—mqqy—(aa—mf (aa—mgg) et ob aaY (aa—kk)—pqY (aa—mkk)—AaV (aa—pp (aa—44) aaY (aa—kk)—f 2Y (aa—mkk)—aY (aa—f f Kyaa—g 8) erit (a2—pp (aa—44)—(aa—ff yaa—g&) vnde patet effe, vcl 4—£ et p —f, vel q—f et p—4; vtroque autem cafü fit arcus 4 non folum aequalis, fed etiam fimilis , arcui fg. Coroll.4. Si fieri poffet, vt arcus $4 euanefceret, manente Arcu fz finito, hic arcus foret rectificabilis. — At cua- nefcente arcu. 4, ob q—fp, oritur k—-o , ideoque ctiam f—g ; vnde quoque arcus fg euanefcit. Coroll 5. Si arcus 54 in altero vertice B debeat effe ter- minatus, vt fit 4— 42, habebimus hanc aequationem: 4^ Y(1 -m)—Y(aa-mkk) (aa-mpp) ; fiue a*—aakk—aapp--mkkpp—o et kk— e ad Qui valor fübftitutus in hac aequatione aaY (a a—kk) —fg Y (aa - mkk)—aY (aa-ff (aa-28) praebet : e—a'-- 2 -m)o fgp—at(ff-3- 88 Dp)3- maa (fisgz 1- fb p Psp njsspP: ; "Tom. VII. Nou. Com. vnde $& — DE QVANTIT. TRANSCENDENT-. vnde. oritur : —G-matfg-atV(aa—ff)(na— gg)(aa- mff)(aa-mg gy a*— maajj—maz ££4-nj78g. qui cuf ad cafüm problematis. primi redit, íi modo vertices. a et D iuter e. permutentur ,. et. loco, abí(ciffae. rum. applicatae. introducantur.. Go oM 651 Notari quoque: meretur: cafüs.,. quo: punctum: 5 in: ipfo puncto g affumitur, ita. vt. dee p4 arcui fg fiat. contiguus, fitque. Arc. fzr— Arc.g q— 7. € (q—- f) ob-pzg: F Cum igitur fit quoque. P— G, erit 7 ET ere — Dim F—fcC vnde abfiffi q. determinatur. — Vel fümta k—5/5—/* .— e*(g g-ff) ic Jf 88; buxo . LA qns - —tt- A Hinc: autem: reperitur :: Ug p. afpg-]1)3- (d^ FULL e pide (T Q— $ —— f -cFGf gai G*Uf A-22)— (n4) af fgg —m& (E8—sffy); ; 2 FGg(a*-mg*)-a*j((a*-4- 78) 2 (mi-4-1)aage agg(a*4-ng*)-i-.ma*g*) l q— PU D -imggan-ég (a-sge) vel. Dm IET NET Eg 22--&2X ai onEE) Problema. 3. Propofito: ellipfis. arcu. quocunque f, a dsto pun&o. 9 abícindere: arcum. $47, qui a duplo illius ar cus fg differat: quantitate geometrice. aíligaabili Solutio. Ex. pun&orum f et g abíofis AF —f; AG—z, earumque. quantitatibus deriuatiuis F et G , quaeratur: i bello AR — pono. i rp DM primum: abíciffa. AK —& — à: — "gr-RjO 3» Wt liabeatur Arc. ak— Arc. f g — 7:5. Deinde: INTER SE COMPARANDIS. 355 :Deinde ad pun&i; abícifüm A P—, quaeratur .ab- PT, A E05 pK-c-hkP ^ a*(pp-hk), fcila AQ —4, vt fit 4— Lu — kk deno- tantibus litteris "maiusculis K «€t P fíemper eiusmodi functiones minuscularum & et 5, vt fi minuícula fuerit x, valor mraiusculae refpondentis füturus fit X-aa Y(aa—xx(aa—mxx) eritque Arc. ak — Arc. pq — ep vnde obtinemus : Arc. fg — Arc. 24 — 75 (54—fg) Simili modo , fi punctum 4 nunc tanquam datum fpe- '&etur, .ex coque :quaeratur punctum 7r, wt fit eius gin Ta S a*(g q— kk — Bibébirsz Arc. fg — Arc. qr — 22 (gr fg) Quare his formulis addendis — 2 Arc fg — Arc. oqr— 2. (pq- qr—2 fg) ficque a dato puncto f abícidimus arcum pr, qui à duplo arcus fg diícrepat «quantitate algebraica. Q. E. I. VC oroLll-r Cum fit 4— 555-77, et k— 0554? imilique modo k—5 e E habebimus has aequationes ; gF--fG, | qP--PQ. . TQ--42R Eg-—[f — idq—BPp t — 1-44 | "de ex óatis abfdffis f,g et p, reliquae duae abíciffae 4j ct Á" definiuntur. Ea Coroll. 36 DE QVANTIT. TRANSCENDENT. Corotl.:. s Si arcus fg in ipfo vertice 4 incipiat, vt fit -— 1 e uuPCa-g? a*(bb — gg) c |o Jy da E qM t une Eha — aco; «^ AC fi praeterea punctum 5 —— : —- a*-mg8qq —— in altero vertice A detur, vt fit £—4, et P—0; : 2 TEES —a8y(ea— gg)laa——mgg). €rt 4— I — d nr ; hinc az- p ... aagg(r—myaa—mgg) .. Gi —m)aagg a*(1—mXaa-mggy RH (aa-mgg)* —7 aa—mgg et aq—nm q44— —' (aa-mgg)* LL G—m)* zo —m)5g —- aa—Tmgg ? vnde Q— ue Qa——mgg quia applicata in partem inferiorem cadere debet z: a(a*— ,aagg-1-mg*) eritque! — 3 moogg-ng** €orolL-.5 "Tab. I, Hoc ergo cafu fumto 7 in fuperiore quadrante , a*— aa, Fi. 7. vt pofita abíif AG—g, it AR —r— e stet-est x —m)a38 £8 "td feu c ri emis tempe Crit a MES 44 — Arc. Si puncta g et x in vnum debeant coalefcére , vt fit r—£, valor abíciffiá communis AG— AR —g; €X hac aequatione quinti gradus debet determinari mgi-—mag'—omaag--2agg-r-atg—ae-— lta fi fit 5 —;, et &— x, habebitur : & —&'c2£'-- 488-7 28 — 2—0 Si INTER SE COMPARANDIS, 33 . V . q Si effet 5; — ; 5, prodiret z — y; ; foretque 2241-72Y2 2 Arc. eg — Arc. Bg— a Y 57. Problema 4. Propofito arcu ellipeos quocunque fg , inuenire Tab. I. &tum 947, qui fit praecife duplo maior. Fig. c. Solutio. In íolutione ergo praecedentis problematis effi- ciendum e(t, vt fit p2-1- 4q7—2/g—0: eritque tum 2 Arc. fr— Arc. pqr. | Hic autem, ob arcum fg da- tum, in ellipfi, praeter ferniaxes A B-a et Agz 4 V(x-u), que erit eius valor deriuatus K — ————77———— (per coroll. 5. probl. r). Simili autern. modo abíciffe f et 4 ab k pendent, vt fit: K-— PAPE qr M HOP itemque ex abíciffi-4 et v erit: K— a*(qq-3-rr—kh-—mkhggrr. aqr 4 At ex aequatione p4-1- 4r —2fz eft f£. vnde : . 1 — Peer) obtinebimus has duas aequationes : K -— 260—RXp-erY 4-2*ffgg — mfegktpp : ,. Af&pip-t-r) K — Zr-hp-mry-pustifgg- mffegltrg EON 4f 8 r(p2-r) ex quibus ambae abíiffae p et r, arcum quaefitum pr determinantes, definiti poterunt. Hinc ergo primum elicimus, eliminando K, ac per p—" diuidendo : at pr(p3i-ry A-«t4 p-i-TY-4atffz -Amffgg kk pr—o. E 3 Deinde 58 DE OVANTIT. "TRANSCENDENT. Deinde :addendo illas :aequationes "habebimus : aK-— :a*pr( pr) —d*kk( -4- 7)5-4-.0* f f egt go -r) — mÍfeg kkpr(psi-r) m AE PT (P--T) Ex illa :autem «eft: Ó — 4fgg(at-i-mikkpr) «P-r) — PPA-RR qui valor in hac fübflitutus praebet : mu «ffegt 4ffeg(pr—hh)( a mkkpr) SKfgpr— pedo CAT f2g —Amf rg Hpr fiue; ETE — 4*br—2mk'pr; vnde elicitur etm) Jfg—Khh |. ffgg(-a*—mk'*) P — a*kk ff-- gg — hh). 4r —T EC a*(jj 4- -g—hkh)-mifgz ik. ; : T h et (Pr SEC mfra dr ARD L. : wxa*C ff-4-gg -kh)-- mffegkh) Ergo: p--7— ——D-8- - Porro ; — ES waa (Eg—f f dh - ma*ffgght-mmfgeie tr (j3-&£ — hk) —Tyj jggkk) sys (at (eg — ff)? - k*(a*—mnjjggyo) feu r — D — aet ria-gs— Mo-mifegi) Cum autem fit a*( (££ —ff) —(g F-31-fG), et a^ —mffzg r-— k FG — €U9 endtr—p— 2. Y T$. vnde ob r-pplUbU (IN (Éen- Bg Ro omi eM) oen zs Vfe(K-i-mfgkk) vtraque abíciffa p et r innotefit. —.Q. E. I. Corpbpll T ; q—fc Kc (ctc mfg etg hid dei act Efe — (at—nfjgg)* ert us JgFG—ma*ffeg(ff-A-gg)-A-(m--i)a6ffeg 2 , "d p — uG "A .a*— mfjeg ei) M -. BIG f—p—-—,; facie nd TEEXFO an aer) g)-; mas fe PCR Coroll. INTER SE COMPARANDIS. s» Goroll. 2. Si arcus datus fg" in. vertice z terminetur, vt firf—o. ec F—a*; prodit p-i-r—0, etr-p—2£g; vnde. p—-g; et £—g: arcus. eigo: duplus vtrinque Circa 4 aequaliter extenditur ,, vtrumque. femiffem ar- cui fg, íeu eg fimilem. habens et.aequalem. Idem euenit, Íi arcus datus in altero. vertice B. terminetur , vt fit g—«a et G—0., tum enim. fit. 7-p—2o et y -1-p— 2f, ideoque £—5—f. Coroll. 5. Quemadmodum: his: cafibus ,, vbi. arcus: propofitus: fg in altero. vertice. terminatur, eius: arcus. duplus per fe.eft: manifeftus ,. ita, fi. arcus. propofitus in neutro ver- tice terminatur , aífiguatio arcus dupli maxime eft dif- ficilis ;. quippe qui arcus. gcometrice. ne. bifecari. qui dem. poteft. Corotti A Hinc etiam. pitct, fi detur vicifüm arcus 7. inueniri poffe arcum. fg, qui eius exacte füturus fit femiffis : fed hoc non nifi moleftiffimis calculis prae- ftari poterit: — At fi arcus duplus 547 quadranti ellipti- co fit aequalis ,, feu. p —o et 7—4 , non difficulter arcus afDgnabitur, eius Ííemiffi aequalis. Primo enim ent 4—£k; et k—aYV '-*U-7?), ficque innotefcit tam K quim KY test V(1-m kon) Porro eft EAR et ff--z£— E--kk 4- 2E. At cíl 2aakk— akh-4-;aa fü -—-—4— *; ideoque ff-i-gg — 97 vgl da £f "-:b. 1. Fig. 8. 40 DE QUANTIT. TRANSCENDENT. g3-f— iY (skk-A- 544-1- 14k) et g —f— iV (2kk-i- 344— 42k) ; ideoque f—iV (8444 4ak4-2kk) -3V (344-4ak4- 2 EK) E£-4V (844-4 ak-- 2kE)--1Y (844-4 4k-- 2 kk) Coroll $5. Si ponatur alter femiaxis A 2 —-5, exiftente altero AB-a, wt fit 5 — 9 erit pro hoc caín £— aY quo valore fübftituto habebitur £c f—5 Y CZ - AY zs; vade fit gs sss BV (aum-E veub-p obl) f. à 2(a-24- 6) |. — "— £M sa-- s b-I- y (gaa-i- 14 ab -- o bb) z Zu qu ; ficque abíiiffae pro vtroque termino arcus fz reperiun- tur, qui eft femiffis totius arcus quadrantis, CoroTE T$. Hoc ergo cafu erit f-:5— 2 à (s 2b :D— 4 - a a(a - 5) 4 (a7 6) 4 (a-4- 5) pr uto G Bi. a etuy pe íi mE et Lp ion E ire fi exempli gratia fit e—25 «et j— i1 9, reperietur LEM ROLE SECUN EU 2-11 m sy2 et 9—- 4 Yy2^ Scholion. Hinc ergo folutionem nacti fumus iftius non in- elegantis problematis : Propofito ellipfis. quadrante B Aa geometrice in. eo abjeindere arcum íg ,— qui. praece aequalis fit. Jemiff Jotius arcus quadrantis aíg B. Pofitis INTER SE COMPARANDIS. 41 Pofitis enim femiaxibus. AB. -2 et Aa—^; pro punctis quaefitis f et g erunt ab(ciffae: Las 5027 3b — V (oaa 14 ab -- o b D) AYzty BEES UT sa -- 3b-i- V (92 a-A- 1425 -- o bb) AG: y LL —————— -————— ————— vnde pro iisdem punctis eliciuntur applicatae: by /g'a-4- sb-4- V(oaa4- 1« a5 o DE) PycUE Y a(a--b — iBa)s d cbaüm V pin lop GriY 2-5 Problema su Datum ellipfeos arcum 7r in duas. partes. fecare Tab. Y. p4 cet qr, ita wt differentia. harum pron 54 -—4r E 9 fit geomerurice affignabilis. Solutio. Pofitis, vt in problemate pr: iecedente e, AP—h, AQ-4,et AR—r; cxiflentiibus femiaxibus A B—a et Aa —aY (x — 7); quaeratur à vertice a arcus 2k, vt pofita eius abíciffa AK — &, fit g-2?—P9.- at(qg — P p) T7e8-mppgq*- qe -u-poQo. ertque Arc. e£ — Atc. $4 — xis 'lum vero fit etiam p ——ercqmmeee-20 — a*-mqqrr —— rQ-r-aR erit quoque Arc. gk — Arc. Ir" ideoque Arc. 54 — Arc. qr s (r— p) Tom.VII. Nou. Com. F Cum 4: DE QVÁNTIT. TRÁANSCENDENT. Cum igitur dentur abfciffie f et 7 cum (uis deriuatiuis P et R, abfciffa pun&i quaefiti 4 ex hac aequatione definiri debebit : . qP-- PO. rO--4R, 44-— bb — rr-44 » itu Pq(rr—44)—-R q(44—p5) — Q(p-t- rqa-pr) quae aequatio quadrata ac tum per (44 -ppYrr —44) diuifa dat: a'( p-1-Ty—244)-2 MA uc, prb da s —244PR: «4* fiue 244| (5 a* :-p-m "mn pprr--(n--x)aapra-at)-a* Coon | m(pa-ry ex qua aequatione valor abíciffae 4 definiri poterit. QUE CE (Gonolke Si totus quadrans in duas partes, quarum diffe- rentia fit geometrica, diuidi debeat , poni debet $— o et r-—«, vnde fit P-——a4* et R—0:; indeque gnis —— aa(1— y (i—71)) q ER L—- t 442 ——BÀH— À et q— ovS quae eft Exüeib M aee , quam fupra iam in Co- roll. Cafus I. Probl. r. inuenimus. Coroll 2. Si abíciffarum 5 et r altera fit negitiua , alteri- que aequalis , feu p -i-r —o , habebitur (latim vl 4-0, vd Prr—-Pq4q—R44-4-R pp —o; feu 44— PE, ideoque P-J- RZo. Manifeftum au- tem eft, fi vtraque applicata Pp et R* füerit affirma- tiua, fore R—P, atque tum locum habere 4—0. Pro- q'— INTER SE GOMPARANDIS. — 43 Problema ó. Si ellips A DBFA per diametrum. quamcunque Tib. I. ECF fuerit bifedi, femicircumfrentiam EBF ita fe- P'& 9 care in puncto M, wt partium E.M er. FM differen- tia fit geometrice aflignabilis. Solutio. Etfi hoc problema in praecedente continetur , tamen folutio inde deduci nequit, propterea quod tam p-4-r-—o, qum P-R--o; peculiai ergo modo folutio debet inueftigari, Pofitis . ergo femiaxibus CA—2a; CD-—éP--aY(r-—smÓ) (it pro altero termino E. arus propofii abfciffa CP-—p; crit applicata PE—- Y(aa—pp): quae coordinatae negatiue fümtae ad alterum terminum F pertinebunt , quae autem fint r et —- V(a a—rr), ita vt fit rc —p et Y(aa—rr) —-—V(aa—pp). Cum nunc fümta quadam noua abíciffi &, pofitaque. quaefita C Qz— 4, fit ex Coroll. 2. Probl. II. aaV (aa—kk)—p qV (aa—mkk)—aY (aa—ppY(aa— qq) aaY (aa—kk)—qrY (aa—mkk)—aY (aa—qq)aa—rr) haec vltima aequatio ob 7—-p ct Y (aa-rr)—-Y (aa-pp) abit in hanc: aaY (aa--kk)--p4V (aa—mkk)—-—aY (aa—ppy(aa- qq) quae ad primam addita dat: 24aY(a4—kk) — o idcoqee k—2: -qui valor in altera fübftitutus dat: 42mm («a— q4) 2 ideoque 44 . DE QVANTIT. TRANSCENDENT. ideoque. 457575 — X E , Confequenter (QV a-y (aa - — b 9) qe ^ Y(aa—mp9pr Vbi figaum negatiuum indicat, 4 in parte abfciffirunr negatiua capi oportere. Ducatur ad E normalis in cur- vam EN, erit L5 UEM Ergo CQ — 5. Sit porro GH diameter conmBguta.- cui normalis EN in V occurrat, erit Lj — cx — cr producta CG ad oisi sd dpi applcaaa QM in FI. Quare ob CQ — 952 prodit CI—4— CA. Vnde haec fequitur conftru&io facilis: Diameter coniugata GH vltra Gin l continuetur, vt fiat CI — CA , ex I in axem. AB demittatur perpendiculum 1Q;, quod ellipün. in puado quaefito M fecabit. At ob K—az erit Arc. EM-Arc. EKMISYM UBESUGUEMIECVobCNIm. Corollarium zr. Si ex iisdem dequationibus binis, éliminando £, problema praecedens generaliter. foluatur , fequens obti- nebitur aequatio : mp*(r V (aa—pp)-pY (aa—rr)y—2 aa qq(aa-A-mpr)(aa - pr —Y(aa--pp) aa—rr))-k-a& V (aa—pp) - V (aa—rr)y o vnde per refolutionem adipiícimur : —— a«a*—br— y(aa— ppXaa—rr)X (aa-x-mpr-t- y (aa —mpp) (aa (aa—mrr )): qq mir (4a —pp)—pv(aa—r)y* a( v eX) y (a—rYXa--p ED y GbynXa- €— WT eod —— rY (a4 bp)-pV (a PRU Td Coroll.. INTER SE COMPARANDIS. 4s Coroll 2. Quanquam haec folutio re a folutione problema- tis praecedentis non diícrepat , tamen ftatim folutionem praefentis. füuppedirat. | $i enim. ponamus. rz — f et Y(aa—rr)——Y(aa—pp) , aequatio. prima yum "praec. tranfit in hanc formam —2aaqq(aa— pp. 244 ra (2Y(aa-pp)y —o a (a.a — fd tts Coroll .5. Si ex duabus primis aequationibus eliminemus 4, obtinebimus : —.. aa(V(aa— $5) — V(ana —rr)) v (aa —kk) Evil sciuto actio def d — (ry1à—pp)- py aaz-rryvaa-mikk) € — —hh Y(aa—44q)zc go rmb XU mih9. vnde fit — ry Cade Dp) )-jv(a—rr) ) a*(aa -kkY(YVaa-pp) V(aa-rr)y--a*(aa - kk (aa-mkk) (r-p)* —aa(aa—imkk(rY (aa—pp)—-pY (aa—rr)y fiue | mi*(r-py—2kk(aa mpryaa-pr-3V (aa-1py(aa- T) -aa(aa pr) —Y (aa - pp).aa-tr)* vnde fit; — ub Aga — grex (a -ifKan aa—rr)aa-mpr- xoa Tipp) (aa eam ^7 m(r—f-^ E hincque .colL gitur : k Kd En a-p) SuSE EP Troy Mcr Coe tum coe ee LA REST s cm d. 5o fs uc abt lH Ie Luci d cnr p COT Ull 4. Hinc erit.: k aia —pr— y(10—b$Y(aa—rr)( V (10—m?bp)— y(aa—mrr)) 12— "r-pXrv( aa-pp)- , Y (aa-rr), F3 Quare Tab. I Fig. 6. 4$. DE. -QPANTIT.. TRANSCENDENT. . - . *. L Quare cum. arcuum 54 ét qr differentia fit —77(r-f), habebimus generaliter : — laa-pr-v(aa- ppYaa-rr)) taa -mpp)-y(aa-mer)) Arc. pq— Arc. qr — C7 ry(aa- ppl v (aa-rr) T fiquidem . pundum — q ex Coroll. x. definixur. Erit ergo: | | — (laa-pp)- V(aa-rrYty(ac-mpp)- v(aa-mrr)) Arc. f q— Arc. qr — ECPPI-NE EN et (V&7Xe--0. 2r) og) (oce mer m). op) a-rym) 2 2m q-— —— — — À— —— À— " 2 Th : —— — ——— o uoo Problema. 7. Propofito ellipfis arcu. quocunque fg, a dato pun- 4o p abíciodere arcum b4ris, qui ab illius arcus Ir triplo, differat .quaatitate gcometrice affiznabili. Solutio, Sint, vt hactenus, punctorum datorum hgetp abícifae A F.—f, AG—g, APZT—p, ac quaeratur. pri- : : R—fG ^ a*ig-f mo arcus À &, cuius abfciffa fit AK— Eo rie o iE) mh vt fit Arc. ak — Aic. fg— E Tum quaeratur pun- K-J-kP *(bp-kk), . &um-z,—vt- fit-AQ-— 4 — PECES ME indeque a*-qg kkpp — pK-kP —— a*(qq-pi) kka*-mppqq) —.. pe(g1-pp) K — kg (34- kk)P. Q—du 85s - kp(P p kh) eritque Ar.fg—Ar.pd— ^ (pq—fg).' Simili modo porro quaeratur pun&um 7, vt fit: .— 4KH-kQ: :/ a*(q4 —Rk) AR! ERANT RA —- ew hqq— 'q K —kQO- et R c CrcuD-— kWa*-maarr) . grirr-qgKskrirr-hk) 9. ia. eq fl kq(qq- k&) et INTER SE COMPARANDIS. 47 et cum fit Arc. fz — Arc qr— Ir 7 f£) erit 2 Arc. fg— Arc. p qr — ai dE E Hinc pari modo definiamus punctum $, vt fit BI QGAQAE BcRMG. S, as(rr — b k) Ser -—hh(a*t—-mrrss) e. rsGs - rr)K- ks(ss- ki kR)R Tu HUS T. EE "kr(rr-kkh) et quia erit Arc. fe — Arc. r5—— zu Zu (65 fg) habebitur 3 Arc. fzr- Ar.pqrsc TA (pq-- qr r5-3]g. Q. E.L Gogpol."L Simili modo progrediendo, mauifeftum e(t, defi- niri a dato puncto f poffe arcum f£, qui a quadruplo arcus dati fg deficiat quantitate algebraica: atque hoc modo operationem continuari poffe quousque lubuerit. Coroll 2. Si'arcus datus fg toti quadranti aequetur , vt Bf. o erg, (deouie F—a eU G20:, chr : P L— k-a et K-o; Hinc reperitur 4 —7;- SM —— dqq-aa) pues —(aa-qqP? aS(aa-q4) , (t et Q — AUtso —— ap spisz mbi lib 37 ENT LE a(1-—Tu -(1-ni)a$p Fe Ar fis E PMPER . ag - 5 (— aa- aa-mpp- vnde E uan aa-mpp *' Porro 7— a(aa-muq) 7 -P5 et cree d Viene pp) (aa —mpp)-— —P. qeenigpe cd aa — bp ig Go —my$sp, erit £— "a a (mp) d m -4 et S -Q-u- PERMP T fietque 3 Arc.fg — Arc. pqrs— z pq mpVa dat p [o8 mot nr s. Puncum $ quoque ita definiri poterit, vt fiat: pq 4r ri—sfg quo cafü arcus P475 exace aequabitur triplo arcus dati [g. Atque ita porro arcus inueniri poterit, qui ad arcum datum fg aliam quamuis rationem multiplicem teneat. Scho- 48 DE OVANTIT. TRANSCENDENT. et. Scholion. Omnia haec problemata, quaé hic pro ellipfi tracaui, fimili modo pro hyperbola retolui poterunt ; ita etiam, dato quocunque hyperbolae arcu , à propofito quoüis eiusdem hyperbolae punéto arcus abícindi pote- ri qui difcrepet, vel ab illo ipfo arcu, vel ab eius duplo ; vel triplo, vel ab alio quouis multiplo quan- titate geometrice affignabili. Deinde etiam hoc punctum ita affumere licebit, vt differentia plane in nihilum abeat, quo cafü dato quocunque hyperbolae arcu aiius arcus afhgnari poterit, qui vel eius duplo , vel triplo ; vel ali quouis multiplo exacte fit aequalis; ^ Vnde perfpicuum eft, fj propofito arcii inuentus fit alius arcus, qui ad illum teneat rationem j« ad 1, fimilique modo alius quaeratur arcus, qui ad eundem teneat, rationem y:1; tum hoc pacto duos haber arcus hyperbolicos ; qui inter fe teneant rationem 4 ad » , ficque infinitis modis bini-arcus exhiberi poterunt, qui fint in ratione quacunque numeri ad numerum. — Neque vero huius- modi problemata tantum pro hyperbola refolui poterunt, fed omnino pro aliis curüis quibuscunque , quae ita fint comparata, vt arcus abíciffae, vel alii cuicunque lineae rce&ae variabili x refpondens, contineatur in bac formnu- la £É (91-1 -952x-4- € x:*) "Vü-ckcxxa-Ex9 ? quae etiam per regulas initio datas ita latius extendi poteft, vt ad hanc formam reuocetur ; dx(9I4- 98xcx-4- Cac x6-4- x *-4- etc.) 7! y(A-2- Cxx-4-Ex*) fed in praefentiarum néque hyperbolae, neque aliis huius generis curuis, diutius imrmorandum efle arbitror. THEO- SEE X o Y SES 49 THEOREMATA CIRCA RESIDVA EX DIVISIONE POTESTATVM RELICTA. Auctore LSBEEUG ER UO, 'Theorema. I. DI. IN, f fit numerus primus , et 2 primus ad p, nullus KJ terminus huius progreffionis geometricae r, 2, 4^, 4^; 4*, 4*, 45, etc, per numerum f diuifibilis exiflit. Demonftratio. Patet ex Eucidis Libro VII. Prop. 26. vbi de- monítratur , fi fint duo. numeri 2 et / primi ad f, fore quoque productum 45 primum ad p; ideoque cum 4 fit primus ad p, erit pofito ^— 4; quadratum | 2* primus ad $; hincque porro 4* pofito /— 4^; item '«* pofito 4—4^; etc. Sic igitur nulla poteftas ipfius 2 diuifibilis erit per numerum primum f. Congoll.r. 2. Si igitur finguli termini progreflüionis geome- tricae E rj » $5 D " 6; L] . 150425 4, q 349 9 a5; 207 q^, etc. Tom. VII. Nou. Com. G | per se DE RESIDVIS EX DIVISIONE per numerum primum $ diuidantur, diuifio nunquam fine refiduo fuccedet , íed ex fingulis terminis orientur refidua. Scholion. 5. Refidua haec, quae ex diuifione fingulorum terminorum progreílionis propofitae geometricae per numerum primum $-emergunt , hic diligentius perpen- dere conflitu. Ac primo quidem fingula haec refidua, vti ex natura diuifionis apparet, minora erunt numero p; nullm autem refiduum erit — 0o , quia nullus ter- minus per p eft diuifibilis: — Quodfi forte prodeant re. fidua ipío numero P maiora, ex arithmetica conflat , uemadmodum ca ad minora reduci oporteat. — Sic refiduum f -i-7 aequiualet re(iduo r, et in genere refi- duum 7/5-1-r redit ad refiduum r; ac fi z fit maius quam $, hoc refiduum reuocatur ad r—f, vel r—25, vel 7—35, etc. donec ad numerum ipío $ minorem perueniatur. — Itaque omnia haec refidua r -- 2p pro eodem refiduo rz reputantur. ^ Proprie autem loquendo omnii refidua fuat numeri pofitiui ipfo diuifore $ mi- nores. Verum tamen etiam faepenumero conuenit et refidua uegatiua contemplari: veluti fi x fit refiduum ex diui&one cuiuspiam numeri per f relictum , ita vt fit rip, refiduum quoque erit 7—5 , numerus fcilicet negatiuus ; ita vt refiduum pofitiuum f aequiualeat re- fiduo negatiuo z—$. . Hoc modo refidua ita exhiberi poterunt, vt nunquam femiffem diuiforis ? excedant, nam (íi re(iluum afürmatiuum 7 maius füerit quam 1p eius loco capiatur refiduum negatiuum 7—, quod mi- nus erit, quam femiífs ipfius p. Coroll. POTESTATVM ' RELICTIS. 5I Qoretl 5 4. Quoniam omnia refidua funt numeri integri , iique minores quam f; fequitur plura diuerfi refidua oriri non poffe quam $—1. Quare cum feries geome- tica 1; 4; 4*3 d, a*; d^, etc, ex terminis numero infinitis. con(tet, necefle eft, vt plures termini eadem exhibeant refidua. Lo. Tdi 5. Sint 4^ et 4' duo eiusmodi termini, qui idem praebeant refiduum 7; ita vt fit z^ —:7p-rr et a'— np-i-r erit a^ — a — (m —mp , ideoque differen- tia horum terminorum a"—' per P erit diuifibilis. Innumeris ergo modis differentia inter binos terminos progreffonis geomeuicae propofitae per numerum f erit diuifibilis, UCorglt 6. Si poteftas 4^ det refiduum z, poteftas vero &' refiduum 5, fueritque 7-4- 5— p, quo cafu dicimus refiduorum 7 ct s alterum alterius effe complementum, hoc cafu fumma poteftatum 4*-1- 4" per numerum f - erit diuifbili. Cum enim fit z^—mp-r eta'—np-s, ert q*-L-a'-—(mn--n2)p--r-4-s—(m--n-24-1)5, ideoque factorem habet p. Theorema 2. 7- Si poteftas 4^ per f diuifa praebeat refiduum f, et potefíhs a" refiduum 5, poteftas 4" refiduum praebebit 7. G 2 Demon- 52 DE RESIDV:S EX DIVISIONE Demonítratio. Sit enim a4"—p--r et 4'—np--s, erit gc --qmnpp-A-mps-r-npr-r-rs; ideoque fi g"t*" per $ diuidatur, refiduum erit rs; quod fi maius füerit quim f, fubtrahendo p, quoties fieri poteft, id ad refi- duum ipfo diuifore reducetur. Q. E. D. Coroll r. $. Cum ipfius radicis « per p diuifae refiduum exponi queat per 2; (fi enim fit 2-2p, erit 4 refi- duum proprie fic di&um , fin autem 42, | nihilomi- nus refiduum per 4 exprimere licet, quia fimul 4— f, vel 4— np fubintelligitur), fi poteflatis 4^ per f diuifae refiduum fit r, poteílatis 4^*' refiduum erit zr, fimili modo poteftatis 4" refiduum erit ^r Arp MOMENT PR CEHOREIHLT | etc. (Coro bl: .".5. o. Hinc etiam fequitur, fi poteítatis z^ per p diuifie refiduum fit —cr, fore poteftatis z^ refiduum -—rr, poteflatis 4^. refiduum —7*; etc. lta fi po- teflatis a^ refiduum fit — x, erit omnium harum po- teftatum 4^; q^; g^; 4*7 etc. idem quoque refi- duum 1. Coroll.. 5. IO. Quodfi poteftatis 4^ per $ diuifae refiduum fit —5—1, quod, vt vidimus, per —1 exponi poteft : tum poteftatis z^^ refiduum erit —-1- rz, poteftatis 4?" refiduum * POTESTATVM RELICTIS. 53 refiduum ——r, at poteflatis. a^^ iterum —-- r. Atque in genere poteflatis 4"^ refiduum erit, vel -1- zr, fi (it numerus par, vel — x, fi 7 fit numerus impar. Scholion. rr. Hinc colligitur modus , fatis expedite refidua inueniendi, quae ex diuifione cuiuscunque poteftatis per numerum quemcunque relinquuntur. — Veluti fi refiduum inueftigare velimus, quod ex diuifione huius poteftatis 7'? per numerum 641 oritur poteft.|refidua| nempe cum poteftas prima 7 relinquat 7; u 7| poteftas vero. 77,7, 7* relinquant 49, 343 E: 49|€t 478, feu —165; huius quadratum 7? re- WE S43|bnquet 165* feu 288, et quadratum huius 7 478, 7'5 xelinquet. 288* feu 255. Simili modo 7 288| poteftas 7/* relinquet 255? feu 284, et 7'5| 255|poteftatis 75* refiduum erit - 110, et ex 7'^* 7"7| 284|oriur rro* feu -79, quod refiduum per 7^ |-110/284 multiplicatum , dabit refiduum po- pou cectellats, 559 (4g quod erit 640 3'0:- ij|feu —r. Nouimus ergo, fi poteftas 7'^ per 64r diuidatur, refi- duum fore 640, feu- —1, vnde concludimus poteftatis 7? refiduum fore -- r. — Ergo in genere poteftatis 7:9" per 64r diuifie refiduum erit, vel -r- z, fi fit numerus par, vcl — zr, fi y fit numerus impar. doheorem^ 3. 12. Si numerus a fit primus ad f, er m haec progreflio geometrica 1; 2; 4*; 45; 4*, 45; a5; q^; etc. G 5 innu- 162 $4 .— DE RESIDVIS EX DIVISIONE innumeri in ea occurrent termini , qui per f diuifi re- linquunt pro rcfiduo r, ec exponentes horum termino- rum progreffhonem arithmeticam conf(tituent. Deinonftratio. Quia numerus terminorum eft infinitus, plura autem diuerfa refidua oriri nequeunt, quam f— r, ne- ceffe eft vt plures, immo infiniti, termini idem produ- cant refiduum 7. — Sint 4^ et z' duo huiusmodi ter- mini, idem refiduum 7 relinquentes, eritque z^ — 2" per p dimiüibile, — At. 4^ — 2 — 2" (4^—"— 1), et cam hoc productum fit diuifibile per 5, alter autem fictor 4* ad p ft primus, neceffe eft, alter factor a4"—"—1 per p fit diufibilis; vnde poteftas 4"—" per p diuiía rcfiduum habebit — 1. Sit p —v—2, vt poteftatis a^ refi- duum fit — r, eritque omnium quoque harum potefta- um 2?, 4?, 4'^, 4** etc. idem refiduum — x Ita- que vnitas erit refiduum «omnium harum poteftatam: gpl cdd ond up V OA on or co quarum exponentes in progrcílione arithmetica pro- grediuntur, Qoroll: -1 15. Inuenta ergo vnica poteftate aà^, quae. per p diuifà refiduum praebet — 1r, infinitae inde aliae po- teítates exhiberi poffunt, quae per f diuifae quoque vnitatem relinquant. ^ Ac infima quidem huius generis poteítas eft z^— 1. Coroll. POTESTATUM RELICTIS. 55 Coroll. . 5. 14. Etiamíi autem praeter vnititem nulla conftet poteftas ipfius z, quae per f diuifa vnitatem pro refi- duo relinqadàt , tamen nouimus infinitas huiusmodi re vera dari poteflates Coroll 35. rs. Ex demonftratione porro patet, dari adeo poteftatem 4^ refiduum — x praebentem , cuius expo- nens A fit minor quam f: Si enim: progrefhio: geome- trica tantum vsque ad. terminum 4^—* continuetur ,. quia terminorum numerus eft —, neceffe eft, vt fal. tem duo termini, qui finc 4^ et a" idem habeant refi- duum ; vnde cum poteílas 4"—" habitura fit refiduum: —r, 0b pp et y 4p, certe. erit c —» e p. Theoremza 4. 16. Si poteflas 4^ per p diii, refiduumr relim- quit — 7, et poteflatis altioris. 4"^*" refiduum fit — r5, erit poteftas 4", qua baec ilam íüperat ,. refiduum: ZI Demonítratio. Praebeat enim —poteítas 4" aliud refidumm , puta —1, et cum poteflatis a^ refiduum fit — r, erit po. teftatis 4"7*" refidaum — r£, quod ipfi 7s aequiualere deberet. Foret ergo r?—75$-1-2p, fiquidem pona- mus refidua 7,7, effe ipfo diuifore $ minora. ^ Effet ergo £-- $-- 55: at cum 4 et f fint numeri inter fe primi, omia refidua, quae ex poteftatibus ipfius 2 per 56 DE RESIDVIS EX DIVISIONE per p diuifis oriuntur, pariter erunt ad 5 prima, nifi forte fint 1, ideoque vt 5? fiat numerus integer , neceffe eft, vt 7- fit numerus integer, puta —, foret- que 7—5-1-74p, ideoque 7— s. Quare fi poteítatis «" refiduum fit —7, et poteflatis 4" refiduum —75, hinc fequitur poteftatis 2" refiduum fore — 5. Coroll. r. I7. Si ergo ;s—cr, feu fi duae poteflates a^ et q"--*- idem habeant refiduum rz, fequitur , fi maior per minorem diuidatur, quoto c" refpondere refiduum — r; quo ipfo demonftratio praecedentis theorematis innititur. C'otnollse«o: 18. Si r—r et s— 1, feu fi duae poteftates «4^ et g"—" idem habeant refiduum — 1r, tum etiam poteftas a', cuius exponens eft differentia illorum expo- nentum, pariter refiduum ——r habebit. Scholion. 19. Demon(ítratio huius theorematis etiam hoc modo confici poteft. Cum 4" per f diuifüm relinquat 7, erit a^ -—1p--7, fimiliqe modo 4" —7-1-75; hinc erit g7"— g^; —51p—mps-—(n—ms)p; ideoque numerus g"-*'—g";—a"(2'—5) erit per f diuifibilis: at alter factor 4^ per $ non eft diuifibiliss ^ Ergo alter 4'—5 erit per p diuifibilis , confequenter potefis 4" per p diuifa refiduum dabit — ;. 'heo- j POTESTATFVM RELICIIS. 57 Theorema 5. 20. Si poft vnitatem 4^ fit minima poteftas , quie per f diuifa vnitatem relinquit , tum nullae aliae poteftates idem refiduum z—r relioquent, nifi quae in hac progreffione geometrica occurrunt. 3 b A. Np T X E3-4^, q^5:9105 415302 Suetc Demonfítratio. Ponamus enim, aliam quampiam poteflatem 4", fi per 5 diuidatur, refiduum quoque dare — 1, et cum fit |. 2- A, neque tamen multiplo cuipiam ipfius A aequetur, hic exponens ji ita exhiberi poteft , vt fit pIngA--8, wü fit «A: neque erit d—0. — Cum igitur tam poteftas 4^, quam 4"—4"-*, per f diuifa vnitatem relinquat, per $. 18, haec quoque poteftas 2" vnitatem pro refiduo habebit, foretque ergo «^ non minima poteftas huius indolis contra hypothefin, — Qua- re fi a^ fit minima poteftas refiduum — 1 praebens, nul- lae aliae poteítates eadcm proprietate erunt praeditae , nifi quarum exponentes funt multipla ipfius A. Corpll..a. 21. Si ergo progreflionis geometricae T, 2, 4^, 2^, q*, etc. iam fecundus terminus 4 per f diuifus relinquat I, quod fit, fi 2— 2p-1- 1, tum omnes termini idem praebebunt zrefiduum -— 1: neque ergo in refiduis vlli ali numeri praeter r occurrent. Gorolk' 3. 22. Si refiduum tertii termini a* fit — x, quod fit, (i z^ —2np-i-1, tum alterni termini x, 2^, a*, 25, etc. Tom.V1I. Nou. Com. H quorum 58 DE RESIDVIS EX DIVISIONE quorum exponentes funt pàres, omnes refiduum habe. bunt idem — rz, reliqui vero termini , nifi 4' quoque refiduum habeat — 1, omnes alia praebebunt refidua. Goroll 3. 25. Fieri eigo poteft, vt in refiduis multo pau- ciores numeri occurrant, quam niumerus $— I continet vnitates : plures autem, quam f-— i diuerfi numeri oc- currere non poffunt. Theorema 6. 24. Si poteflas 4*", cuius exponens eft numerus par, per numerum prmum f diuifa, refidnum — zx re- liaquit, tum poteftis z^ per eundem numerum p diuifa, dabit refiduum -——--r, vel — — r. | Demonftratio. Ponamus enim 7 effe refiduum , quod in diuifio- ne poteflais 4" per numerum primum f relinquitur , eritque poteftuus 2?" refiduum — 77, quod per hypo- tiéin —'"r. "Qiure erit /r— 1r -1-mp, et rr-x—mp; vnde cum zr—t-—(r-r x)(r— 1) fit diuifibile per f, alterutrum. £&i&orem r-4-1 vel r—r1 per f diuifibilem effe oportet. Priori cafa erit z -4- x—ap, et rz «p- x, hincque r—- x. Pofleriori cafu erit r- xz ap et r apart, hincque 7 —-rr. Ergo fi poteítas 4^" refiduum praebeat. — -r- or, poteftas 4* habebit vel refiduum —— -4- 1, vel — —1, (iquidem f fit numerus primus. Coroll. r. 25. Sij igitur e" fuerit minima potéftis, quae per,nunerum pimum f diui refduum relinquit -Li, — POTESTATVM RELICTIS. ^ 59 —-Lr, tum poteftas 4" refiduum dabit —— 1. Er- go fi minimae poteflatis 4^ refiduum — 1 praebentis exponeus A fit numerus par, tum inter refidua termi- norum progrefhonis geomctricae I, 4, 4^, 4^, 4*, €tc. etiam occurret numerus — 1. Corpll 2. 26. Sin autem minimae poteftatis z^ refiduum 1 praebentis exponens A fit numerus imjar, tum nulla omnino poteftas refiduum relinguet — — 1. — 5i enim quaepiam poteftas, vti 4*, daret refiduum — — 1, tum pote(las 47^ daret reüduum ——-1-1, foretque idcirco 24.—-5A, et quia A eft numerus impar, foret 2, — 21A, ideoque 4. — 7A. ^ At poteftas 47^ relinquit. refidnura —-|-1, neque ergo rcfiduum — 1 vsquam occurrere poteft, Theorema 7. $7. Si 4^ fuerit minima poteftas ipfius 2 , quae per numerum f diuia , zefidunm praebet — 1r, tum omnia refidua, quae ex terminis progreflhonis gcomeiricae X, 4, 4, 4... . Q7, vsque ad illam poteftatem 4^ continuatae , refultant, erunt inter fe inaequalia. Demonítlratio. Si enim duae poteílates, veluti 4^ et &", quarum exponentes |. et » fint minores, quam A, icem darent refiduum , tum earum differentia 4"— Z* foret per f diuifibilis , ideoque poteftas a"^—" per p diuifa refiduum relinqueret — -1- 1, efíetque idcirco M. — y «4^, contra H 2 hypo- 6o DE RESIDVIS EX DIVISIONE hypothefin ; vnde patet, omnes poteítates, quarum ex- ponentes fiat minores, quam 2, diuer(a praebere refidua. Theorema. $. 28. Si 4^ fuerit quaedam poteftas ipfius z, quae per numerum f diuifà refiduum producat — r, atque progreflio geometrica in membra difcerpatur , fecundum poteflates z^, a? z^, 4*^ etc. hoc modo : LAC HE UAMAC and LS CPWC ami SAHNE Lac S BIS m8 ita vt quoduis membrum A terminos contineat, tum in quolibet membro re(idua prodibunt eadem, atque eo- dem ordine recurrent. Demonítratio. Omnium enim membrorum termini primi t, 4^, 44^ etc. idem praebent refiduum -— ri. — Termini deinde fecundi omnium membrorum | 2, 2^; aq?-; «4. etc. idem pariter dabunt refidonm ; fit enim refiduura ex termino 4' ortum , quia. a4^— 4^. 2 erit refiduum ex hoc termino ortum — r.r——7; fimilique modo patet, terminorum 47, z?«* etc. reíidua fore —r. Ac fiin genere fit z^ terminus quotuscunque primi membri, atque refiduum ex eo ortum —r, erit quoque termini 4"—* refiduum — 7, quia termini a"* refiduum eft — r: hincque omnium membrorum ter. mini analogi g-**; 47-^*; 4?«** etc. idem — habebunt refiduum. Goroll. POTESTATEM RELICTIS. ó: Coroll r. 29. Quodíi ergo tantum terminorum, in primo membro contentorum refidux fuerint cognita , tum omnium quoque terminorum , qui reliqua membra coatti- tuunt , refidua erunt cognita, (oto. "5. 50. Si enim proponatur terminus 4^, cuius ex- ponens x fit numerus quantumuis magnus, eius refi- duum ficile reperietur. Iíte enim exponeus x ad hanc formam z7A-1-|. reduci poteft, vt fit |. -—A, atque refiduum termini «* idem erit, quod termini 4". COPI -- 51. Hic autem numerus p. minor quam A in- venitur, fi numerus x per A diuidatur , tum enim refi- duum, quod in hac diuifione remanet , erit hic ipíe numerus M, qui quaeritur. COrFoOIT A. 32. Semper autem datur poteflas 4^, quae per f diuifa vnitatem relinquit, cuius exponens A minor fit quam numerus propofitus f, (icque ad refidua omnium terminorum progreífionis geometricae inuenienda , non opus eft operationem vltra terminum a? continuare. Coroll 5. 52. Si autem poteftas 4^ fit minima earum , quae per numerum P diuifae vnitatem relinquunt; tunc H 3 quia 62 DE RESIDVIS EX DIVISIONE quia finguli termini minores quam 4^ diverfa praebent refidua , in reficuis omuibus, neque plures, neque pau- ciores diuerfi numeri occurrent quam A. — lgiur fi A fit minus quam f--1, non omnes numeri in refiduis occurrent : fed quidam numeri plane nunquam in di- vifione terminorum progreffionis geometricae 1, 4, &*, 2* etc. remanere poterunt. Coroll. 6. $4. Si igitur diuerfitas refiduorum fpectetur, fieri poteft, vt ex omnibus poteflatibus ipfius 7 vnicum tan- tum refiduum, vel duo tantum refidua diuerfa , vel tria etc, prodeant, plura tamen nunquam quam f-— 1 locum habere poffunt. ^ Quotquot autem prodierint refidua , inter ea femper vwnitas reperitur. w 'Theorema 9g. 55. Si p fit numerus primus, et z primus ad f, atque omnes numeri iplo $ minores reperiantur in- ter rcfidua, quae ex diuifione omnium poteftatum ipfius 4 per numerum primum f Ooruntur, tum Zz?- erit minima poteftas, quae per P diuifa vnitatem re- linquit. Demonítratio. Sit 4^ minima poteflas, quie per f diuifa re- linquat vnitatem , atque ex praecedentibus patet, effe A-p(1s) lam «um numerus omnium refiduorum dinerforum fit — A, et omninm numerorum ipfo f minorum — p-—1, patet, fi eflet A p— 1, non omnes nume- N POTESTATVM RELICTIS. 63 numeros minores quam f in refiduis occurrere ; non igitur erit A -2p—r, neque vero eft A —5—r1, qui alioquin non foret Ap. Vnde relinquitur effe A-p- tr. Quocirca fi omnes numeri ipfo p minores in reódais occurrant , poteftas g?—' erit minima , quae per p di- via vnitatem relinquit. Scholion. 56. Natura huius theorematis poftulat, vt p fit numerus primus ; nifi enim effet talis, fieri non poffet, vt omnes numeri ipfo f minores in re(iduis occurrerent. Quod quo clarius perfpiciatur , perpendendum eft, (i f eft numerus compofitus, ad quem tamen 4 fit primus, nulam partem aliquotam ipfius f in refiduis locum habere : nam fi poteftas quiepiam 4" daret refiduum 7r, quod effet pars aliquota ipfius p, ob a"— mp-r"T;. etiam ipía poteftas 4" diuiforem haberet 7r, ideoque nec ea, neque radix 4 effet numerus ad f primus, quod hypothefi aduerfatur. Theorema ro. 37. Si nume:us diuerforum refidiorum , quae ex diuifione poteftatum 1, 2, 47, 4*, 2*, ^, €tc. per nume- rum primum f nafcuntur, minor fit quam p— 1, tum ad minimum totidem erunt numeri, qui non funt refi- dua , quot funt refidua. Demonftratio. .. Sit 4^ pote(las minima , quae per f diuiífa vni- tatem relinquat , ac fit A-p—r, erit numerus omnium | refr- 64 DE RESIDFIS EX DIVISIONE refiduorum diuerforum — 2, ideoque minor quam j—r. Cum ergo numerus omnium numerorum ipfo 5. mino- rum, fit ——31, patet dari numeros in caíü propofito, qui in refiduis non locum obtineant. Dico autem huius- modi numerorum nümerum ad minimum effe 2A. Quod vt oflendatur, exponamus refidua per ipíos terminos, ex quibus oriuntur , eruntque haec refidua a; 4m ue Tol gm quorum numerus — 2, atque haec refidua , fi ad for- mam coníuetam reducantur, omnia erunt minora quam f et inter fe diuer(a. — Cum igitur fit A-25—1 per hypothefin , dabitur certe numerus , qui in his refiduis non reperitur. Sit talis numerus &; iam dico fi & non fit refidaum , neque &, neque a?&, neque Z^k, etc. neque 4^—'k in refiduis occurrere. — Fac enim a" effe refiduum ex poteftate 4^ oriundum , foret a?—np-ra"£, ieu 4*—a^k —np, ideoque a4*— a^ k — a" (a*—"—k) per p diuifibile. At 4^ per 5 non eft diuifibile, effet er- go 4^—"—k per p diuiübile, feu poteftas 2*—^" per 5 diuifa, refiduum relinqueret &, quod hypothefi repugnat. Ex quo patet, omnes hos numeros: k, ak, «^k; ek, etc. 2.5 s. 4^—k, fen numeros inde deriuatos, non effe refidua. . At hi numeri, quorum multitudo — A, omnes funt diuerfi inter fe; fi enim duo, veluti a"£ et a"&, con- venirent, ad idemque refiduum 7 reducerentur, foret g"k— mp--r et e'k-np--r, ideoque a"& - 2*k- (m- np, fcu (g^— 4" k — (m— 1p eflet per p dimifible. Neque vero k per f e(t diuibbile, fiquidem ponimus $ nume- rum primum €t kp; effet a^— a" per p diuifibilis , Ícu 4"—" per f diuifum, vnitatem relinqueret, cum tamen ob POTESTATUM RELICTIS. 65 ob y 4^—1 et y ^-—1, effet [.—v «^, quod effet abfuürdum. ^ Ergo omnes ili numeri £, zk, ek, ck o... QV fi reducantur, erunt. inter fe diuerfi, eo- rumque multitudo eft —2. | Ad minimum ergo dantur A numer, qui in refiduis locum non inueniunt , fiqui- dem fit A $35— 1. Cosall... . 38. Cum igitur habeantur A diuerfi numeri, qui&funt refidua, totidemque diuerfi numeri, qui non íunt refidua , omnesque fint minores quam , illorum , q Mas iundim fumtorum numerus 2A maior effe nequit, quam $—1: quia non plures dantur numeri ipfo 5 minores, quam p-— 1. | Coroll.. 2. 39- Si ergo 4^ fit minima poteftas , quae per numerum primum P diuiía relinquit vnitatem , füerit- que Ac p—z, tum certum eft, non effe A7 ^7: erit ergo vel àlE— vel A 2 2—-7, 2 TOTO S 40. Ante vidimus exponentem iflius poteftatis minimae A effe neceffario minorem quam 5; brit ergo vel ALI$—z:, vell A«p—z:; hocdque cafu fi A-p—r:, fimul nouimus, iam effe vel ALIÍÉBfL vel A-£——.. Atque adeo intra limites p—1: et ^— nul. - lus continetur numerus, qui vnquam effe poflit valor ipfius A. "Tom. VII. Nou. Com. | I 'Theore- 66 DE RESIDVIS EX DIVISIONE TPheorema- o 4I Si p fit numerus primus, atque 4^ minima poteftas ipfius 2, quae per p diuifà vnitatem relinquit , füeritque A -2*—-; tum fieri nequit, vt ifte exponens ^ fit maior quam P—'; eritque ergo. vel Acc, vel A «2E, Demonftratio. Cum 4^ fit minima poteftas, quae per nume- rum primum f diuifa, vnitatem relinquit, plures in refiduis non occurrunt numeri diuerfi, quam A, qui re- linquuntur ex his terminis IUEEUU VW I.S. AE S fi finguli per p diuidantur; quare cum fit A Z5—r habebuntur $—:1 —A numeri, qui non funt refidua, quorum íi vnus aliquis fit —* , vidimus bos omnes numeros FLUE. Gu qWU. SM C. xs E fiquidem diuidendo per $ ad numeros ipfo $ minores yeducantur, in refiduis non contineri. — Hinc autem tantum A numeri ex refiduis excluduntur ; quare cum fit X —-, erit AZp-—r-2A, ideoque praeter hos numeros alii infuper dantur, qui in refiduis non conti- nentur. Sit $ huiusmodi numerus, qui neque fit refi- duum , neque in praecedente ferie non - refiduorum con- tineatur; atque etiam hi omues numeri $2003 5 2E NNUS. QOL COUR NUR. non erunt refidua: hique numeri, "vti in praecedente demonftratione oftendimus , omnes inter fe «runt di- Vet. je L] POTESTATVM RELICTIS. 63 verfi. — Neque vero vllus etiam horum numerorum, veluti 4*5, iam in praecedente ferie non - refiduorum continetur, feu non eft a"; — "s. — Nam fi effet ev —q"s;, fort s-—a"—"r, we sc-a**—"y, fiquidem effet . 2v, vnde s iam in priori ferie contineretur contra hypothefin. Quocirca fi A-2?— , dantur ad mi- nimum adhuc A numeri, qui non íünt refidua, fique cum A habeamus refidua, et 2 non-refidua, hique numeri omnes fint ipfo p minores, fieri nequit , vt fit eorum fumma 3A maior quam D, f nr non erit ARE-—. Brit ergo vel A — P, vela 1: €t numerus primus. COFOIL*. .r. 42. Si ergo. non fit IAS , tum certe erit A- PLI, fiquidem fità ^. | At remota hac con- diboiel fi nouerimus, non effe At , tum neceffa- —L eL —P-: pu iegutur. cfle VeloXz- 7———. vel A— . vel A—p-— r. (Pel p-x5 43. Siue autem fit At, fiue eR. po- teflas 4?—* per p diuifà, relinquit vnitatem. Si enim a^ vnitatem relinquat, etiam «^^ et a^^ vnitatem pro re- fiduo dabunt. 'I heorema ro. 44. Si a^ fit minima: poteflas ipfius 2, quae per numerum primurai p diuifa vnitatem relinquit, fueritque L3 ABE, 68 DE RESIDVIS EX DIVISIONE A-?—, tum certe non erit 47 —— , eritque ergo 4 vel AmETPSvwa2t—. Demonftratio, Quia numerus omnium refiduorum diuerforum , quae ex diuifione omnium poteftitum ipfius 2 per nu- merum primum $ proueniunt, eft —2A , atque ex his teres iun 1,7 2. 47 Wu AN e. p ob A Z7 habebuutur ftatim. bis. tot numeri, qui non fmt refidua, qui ex his duabus progreífionibus Orluntur 14 Cu CLERC ALACRI A coa cCORSMENS a*66 Wa sume. qs horum numerorum, fam refiduorum, quam non-refiduo. nüm numerus, eft —32, ideoque minor quam f-— r, füpererunt ergo adhuc numeri, qui non erunt refidua. Sit 7 t»lis numerus, atque vt ante oftendimus, etiam hi omnes numeri BER" wb Lll ou non erunt refidua , quorum numerus eft —2. At hi numeri non folum inter fe erunt diuerfi, cum 5 (it numerus primus, fed etiam a praecedentibus difcrepant, ficque omnium horam nunierorum, fiue refiduorum, fiue non -refiduorum — multitudo e(t — 42, et cum finguli hi numeri fint minores quam f; irnpoffibile eft, vt fit 4^ t-p—1; eritque ergo vel A —9—— , vel A227 ; fiqiidem fit, vt affumfimus, A - —— | et p. numerus primus. | Coroll. POTESTA"TFYM RELICTIS. 69 Coroll. :. 45. Simili modo demonf(trabitur , fi fit À 2 7—, tum impoffibile effe, vt fit A 2-^—', foreque idcirco vel A—L—, wdlA-zRL. Coroll ». 46. In genere etiam fi conftet effe À.2?77 , eo- Lj dem modo demonftrabitur, fieri non poffe, vt effet A2 eritque propterea vel à— Z5, velA P. COoroll 75. 4*7. Hinc patet omnium numerorum , qui refi- dua effe nequeant , numerum eífe vel — o, vel —, ve] —22, vel alii cuicunque multiplo ipfius ^: fi enim plures fuerint iftiusmodi numeri quam 7X, tum ob vnicum ftatim A noui infuper accedunt, vt eorum omnium. numerus fiat —(/—-1)A^; at fi hic nondum omnes numeri non-refidua contineantur, denuo fubito ^ noui accedent. 'Theorema . 1:5. 48. Si f fit numerus primus, et 24^ minima po- teftas ipfius 2, quae per f diuifa vnitatem relinquit , erit exponens A diuifor numeri p- r. À Demonfítratio. Numerus ergo omnium refiduorum diuerforum eft 2A, vnde numerus reliquorum numerorum ipío P l3 mino- 4o DE RESIDVIS EX DIVISIONE minorum, qui refidua effe nequeunt, erit -p — 1 — À, at bic numerus (47) eft multplum ipfius A, puta 7A, ita vt fit p—r—X-z7X, vnde fit A. Perfpicuum ergo eít, exponentem A efle diniforem numeri p—r, vnde fi non fit X-$— zx, certe parti cuidam aliquotae numeri p— x exponens X aequalis erit. ARPOreng D. 49. Si p fit numerus primus, «t 2 primus ad p. tum poteftas 47—" per p diuifa vnitatem relinquet. Demonftratio. Sit 4^ minima poteílas ipfius v, quae per f di- via vnitatem relinquit, erit, vt vidimus, A — p , atque infuper demonftrauimus, effe vel A—p— 1, vel X effe pirtem aliquotam numeri $— x. ^ Priori caíü conftat propofitum , atque poteftas 4?—' per f diuifa vnitatem relinquet. —Pofteriori cafü , quo X eft pars aliquota nu- meri p— r, erit ?—1— 72A, at cum poteftas 4^ per f d'uifa vnitatem relinquat, etiam omaes hae poteftates «^ q^ a^ etc. ideoque et a4", feu. 4?—*, per f diuifae vnitatem relinquent — Semper ergo poteftas 4?—* per p diua vnitatem relinquit. Coroll 1. so. Quia poteflàs 4?—' per numerum primum p diuiíífa vnitatem relinquit, formula 47—'— x per nu- merum primum f erit diuifibilis, fiquidem 4 fit numerus ad f primus, íen fi a non (t diuibilis per p. | Coroll. POTESTATFM RELICTIS. vi: Coroll 2. 51. Si ergo p fit numerus primus , omnes po- teflates exponentis 5— 1, veluti z?—' per p diuifae, vel vuitatem relinquent, vel nihil. — lllud fcilicet eueniet , fi 2 fit numerus ad f primus, hoc vero fi ipfe nume- ru$ & per p fuerit diuifibilis. CbDroll ^5, $2. Si f fit numerus primus, atque numeri et D primi ad. p, erit differentia poteflatum 4?—'—/?—: per numerum f diuifibili: Cum enim tam &4?—:—x, quam 4?—'—r, per f fit diuifibilis, etiam differentia harum formularum , id eít 4?—'—4/?—', per p erit di- vifibilis. Scholion. 553. En ergo nouam demonftrationem theorematis eximii, 3 Fermatio quondam prolati, quae maxime direpit ab ca, quam in Comment. Acad. Petropol. "r'omo VIII. dedi. lbi enim euolutionem binomii (a-1-5) in feriem modo XVectomiauo in fübfidium vo- caui, quae confideratio a propofito non mediocriter abhorrere videtur ; hic vero idem theorema ex folis poteítatum proprietatibus demonflaui, vode haec de- monfílraio magis naturalis videtur , cum praeterea nobis alias infignes proprietates circa refidua potcflatum , quando per numeros primos diuidun:ur, mianifeflet, Patet etiam, fi 5 fit numerus primus, non íglum for- mulam 4?—-—1 per $ effe diuifibilem , fed etiam in- terdum fieri poffe, wt etiam forma fimplicior ^—z $2. DE RESIDVIS EX DIVISIONE per f fit diuifibilis , tumque exponentem A7effe partem aliquotam exponentis p— r. Theorema 15. 54. Si 4 fit numerus primus, atque poteftas a? per numerum primum diuifài vnitatem relinquat , tum 4? erit minima poteftas ipfius z, quae per p diuifa vnitatem relinquit, nifi forte ipfe numerus 2 per f di- vifis vnitatem relinquat. - Demonfítratio. Sit enim 2^ minima poteftas ipfius 2, quae per numerum primum P diuifa vuitatem relinquat , atque nullae aliae poteftates hac proprietate erunt praeditae , nifi 2?, a? a4". etc. Verum nulli harum poteftas 24 poteft effe aequalis, mifi fit A — xr, cum 4 fit numerus primus , ideoque neceffe eff, vt fit 7—, ideoque «4? minima poteftas quae per f diuifa vnitatem relinquit. Excipitur autem cafus, quo A-— t, feu quo ipíe nume- rus z per f diuifus vnitatem relinquit: hoc enim caíü omnis poteftas a", fiue eius exponens z fit numerus primus, fiue compofitus, in diuifione per p facienda vni- tatem relinquet. Coro]. $5. Si ergo poteflas 41, cuius exponens eff nu- merus primus, per numerum primum f diuifa vnita- tem relinquat, tum 4 erit pars aliquota numeri f— I, hocaue cafü formula «&*—ri per numerum primnm f erit diuifibilis. Coroll. POTESTATVM RELICTIS. 95 €orolL" 5 56. Cum 4 (it pars aliquota numeri. f— rt, erit f—1i—nq,ecet p—uq--x. —Quodü ergo formula 41—1, in qua 4 eft numerus primus, diuifibilis fit. per quempiam numerum primum , habebit hic diuifor femper huiusmodi formam $—54--1 , niü fit p-4—1: mam 4—1i Ííemper eft diuifor formulae a1—1r. | Coroll..35. 57. Formula ergo 44— r, exiftente 4 numero primo , praeter diuiforem 2-— x alios diuifores primos. non admittit, nif qui in hac forma 54-1-1 conti. neantur; et cum 4 fit numerus primus, ideoque impar, nifi it 4—2, pro 7 nonnifi numeri parcs capi: poffunt, eruntque ergo omnes diuifores, fi quos habet, in for- ma 224--1 contenti. | Coroll. 4. $8. Quia igitur formulae z?- 1 diuifor eft q1—-1-q1-—-—L-40—:-41——-...... --4'--a--t .haec forma in 2754-1 x continebitur, eritque ergo ,haec expreffio : a1—'-4-42—-1-41—:-1- . . . --4'2-a per numerum primum 4 diuifibilis , quicunque numerus fit 2, at fi 44, vel 2—:4, hoc eft manifeftum per fe. Scholion t $9. Hoc etiam manifeftum eft , fi 2 non fit vel q vel m4; tum enim formula inuenta abit in | 4(q1—-4-q1—-1-qt-* . , .. -4- 4-- 1) "Tom. VII. Nou. Com. K- cuius 74 DE RESIDVI$ EX DIVISIONE qu — x —i» per 4 eft diuifibilis : quod quidem per íe eft euidens ; nam cum q fit numerus primus, per eum formula 47"-—t eft diuifibilis ; eademque etiam per z— diuifa, manebit per 4 diuifiblls , nifi z— 1 diuiforem habeat 4, qui cafus iam. ante eft exceptus. INotandum enim eft, for- mam 4i—'-4-441—?-4-440—7* . .. . -—L- a-|-a-|r ea- tenus tantum in forma 274-|-r contineri, quatenus illa eft vel numerus primus, vel ex numeris primis eiusdem formae 274-1-1 compofius. — At fi illa for- mula ipfa iam habeat fa&orem a— rz, per quem forma &1—1 eít diuifibilis, tum ea cum forma 274-i-ri non conueniet. Sed fi e- 1-4, vel a-——4q-1- x , tum ipfa illa formula per 4 erit diuifibilis, quia terminorum numerus —4, neque ergo ila in forma 274-1- X continebitur. cuius factor poflerior, qui tranfit in Scholion 25, 6o. Plurimum autem intereft, noffe diuifores forz mulae 4?—:, quando 4 eít numerus primus, quoniam ii alias, excepto diufore z— t, qui fponte fe prodit, . diffücillime inueftigantur, fierique adeo poteft, vt faepe huinsmodi formula, poftquam eft per z—x diuifa, fiat numerus primus — Át fi 4 non eíl numerus primus , fed ipfe diuifores habeat sz", tum manifefto erunt hae formulae 4"—1 et z"—ri diuifores formulae «&t—:. His ergo cafibus inueftigatio viteriorum — diuiforum — reducitur ad formulas zg"—1 et 4"—1 , in quibus exponentes 7 ct 2 funt numeri primi, ^ JNouimus igitur, fi quis ten- tando -POTESTÁATVM RELICTIS. 75 tando voluerit, diuifores formulae a1—1 inueftigare , ten- tamen cum nullis alis numeris primis, nifi qui in for. ma 274-i-ri contineantur, in(tituendum effe, quo ipfo operatio alias difficillima , non mediocriter contra- hitur. 'Theorema 16. 61. Si poteflas 4", per numerum f diuifa, refi dnum relinquat. — 7, tum etiam poteftas (a -l- &p)", per P diuifa, idem relinquet refiduum r. Demonítratio, Si poteftas (z -L- ap)" euoluatar , prodibit n mag" pet rera 47—3^-l- etc. — uius omnes termini praeter primum, per f fünt diuifi- biles: vnde haec quantitas per f diuifi idem. relinquet refiduum , ac fi folus primus terminus 4" per p diui- deretur. ;Brgo cum poteftas 4" refiduum relinquat —7, etiam poteftas (2-1- op)" refiduum relinquet — 7. (Corbollo^x. 65. Si c fit numerus par, demonftratio etiam valet pro formula (—2-1- ap)", hoc ergo caíü etiam formula («p—4)", per $ diuifa, idem relinquit refiduum y», quod formula 4" relinquit. GC orol..-9. 63. At fi :4 fit numerus impar, quia formula —4" per p diuifa refiduum relinquit — —r, etiam for- mula (&p—«)" refiduum relinquet ——r. K 2 Theoree qy6 DE RESIDVIS EX DIVISIONE D Intoremd TA 64. Si füerit a4—«^ -I- per numerum primum diuifa, vnitatem relinquet , fi- quidem fit 7 dimfor numeri f- r. Demonftratio. Cum fit 2— c^ -4- ap; poteftas Z* perp diuifa, idem relinquit "— ác : iporeftas € fen ,9—, at ob p nnmerum pier? , poteflas c?-' pe $ diuifa vnitatem relinquit , vnitatem relinquet , fiquidem fit 2—«"-1- ap, neque tamen 4 vel c diaifibile fuerit per f. Coroll r. . 65. Ex hoc ergo theoremate cognofcuntur cafus, quibus poteftares nümerorüm , qüarum exponentes funt minores quam p-— r, fi per numeram primum f diui- dantur, vnitatem reliaquuat. Coroll 2. 66. Si ergo fit e—cc-l- ap, exiftente $ nu- mero primo, tum poteftas a. per p diuifa vnitatem relinquet, feu formula «9—2 — x per P erit diui(bilis. Cum autem f fit numerus primus, nifi fit — 2, fem- per exponens f—' erit numerus integer. Coroll. 35. 65. Si fit a—c-L ap, tum potéftas a4f—*. per «i . — P diua vnitatem relinquet, fcu haec forma at-— —1 per "b apr n* v POTESTATVM RELICTIS. 33 per p erit diuifibili. — Hic cafüs locum habet, (i nu merus primus p ita fit eopgrenus , Vt p—r per 3 (it diuifibile. Theorema 19. 68. Si fit a5 —c^-- ap, et p numerus primus, LEM ifa vnitatem relinquet, fi- dug o URN B, n , per f diui idem relinquit jestui , , quod mu ze Te —.? —', at haec poteftas vnitatem relinquit , ergo et poteftas 4*7 5? —', Huius autem fa&or 4?—'* pariter vnitatem relinquit ; ergo neceffe eft, alterum quoque fi&orem 4^,- , fi per f diuidatur, wnitatem relinque- re , nifi fit , vel c diuifibile per p. Coroll. tr. 69. Si ergo fit a21^—«"-l-ap, feu 20"—«c^, fiue c" —ab^, per numerum primum f diuifibile , tum haec quoque formula 4^ - x per p crit diuifibilis. Coroll 2. 7o. Cum $ fit numerus primus , ponatur ?—mn--:, atque fi füerit haec formula 44"—", feu c" - 20^, per f diuifibilis, tum etiam haec formula 4^.1 per numerum primum P erit diuifibilis. K 3 Coroll. z$ DE RESIDVIS EX DIVISIONE Coroll 35. »r. Dummodo ergo pro 5 ct c ciusmodi nu- meri dentur, vt 27^ -c", feu e"—-a5" diuifionem per nu- merum primum f-—c/Ó]-|-x admittat, tum certum eft, hanc formulam 27-1 per eundem numerum pri- mum $--mn-i-x effe diuifibilem. Theorema tg. 72. Si formula a"-r füerit diuifibilis per nume« rum primum $—z52-1-:r, tum femper dantur numeri X et y eiusmodi, vt zX"—5" fit per eundem numerum primum f diuifibilis. Demonftratio. Cum enim x"^ et j"" per 5 diuifae vnitatem relinquant , formula 4"37"—y"" (emper erit per p diuifibllis , dummodo neque x, neque y, per f fit diui- fible. Cum iam per factores fit. 4" x" "— y^" —(ax"- y") (unum n p EE ee ped Rr Ey u-s yea pe 4,7) fi quis neget factorem primum 42"-y" vnquam effe per p diuiibilem , is affirmare cogitur, alterum factorem femper effe per p diuifibem , dummodo pro x et y non capiantur numeri per j diuifiblles. Ketincat x va- lorem quemcunque , at pro y ponamus fücceffie nume. FOS I, 2, 3, 4, vsque ad p-—ri--um, ne wnquam obtineat valorem per 5 diuifibiem , fitque breuitatis gratia —4 POTESTATYM RELICTIS. 79 Ix ty mh e pps amens -- I B-—a47—1:4n—n.L. 4m—: ymi—2152 eds TNT pru o mnn-n C — - —- -— -—n ——2 wot n4" 2x77 255" -lL- ips 4 -- e LI] $2» 4849 po Naim h-nl gm namo sfera MS -- (m n)" v ac forent omnes hae quantitates A, B, C, . . . . . N, quae progiefhonem algebraicam ordinis s72—7 confti- tuunt, per f diuifibiles , hincque etiam earum differen- tiae primae , fecundae , tertiae et ordinis cuiusuis. At buius feriei differentia ordinis 272-72 , quae tantum per terminos 777-2-1-1 [eriei definitur, neque adeo ter- minum (z-1-1)""-", feu $""—-* inuoluit , quia non poteft effe valor ipfius y, eft vti conftat : I. 24 d. 4. S.l 954 (mn—n) quae aperte non eft per numerum primum pz—5--r -diuifibilis , quia nullos alios habet diuifores primos, nifi qui fint minores quam z72—7. Cum igitur haec dif- ferentia ordinis 772-5 non fit diuifibilis per p, fequitur non omnes terminos feriei A, D, C, D, . . . . N effe per p diuifibiles. — Illo igitur cafu, vel illis cafibus ipfius y, quibus termini huius feriei non funt per p di- vifibiles , neceffario alter factor «3"—j" per p erit di- vifibilis, Corol- 80 DE RESIDVIS FX DIVISIONE Corollarium 1. 73. Quicunque ergo numerus pro x fümatur, modo per $ non diuifiblis , pro y femper datur valor p. qui reddit formulam 22"—-y" per f diuifibilem. Similique modo, fi pro y numerus pro lubitu affumatur, demon(liari poteft, femper pro x eiusmodi numerum «p inueniri poffe, quo eadem formula per f diuifibi- lis euadat. Coroll. 2». 74. Si ergo 47-1 fucrit diuifibile per numerum primum z7-j-ri —, atque pro x capiatur numerus quicunque 2 per $ non diuifibilis, femper inueniri poteft Tümerus y, vi haec forma a)' -J", ícu y" - a6", fiat per $-—mn-rzx diufbilis. -.Coroll 4. *»5. Simili-modo fi forma 4"—r fuerit diuifibilis IPer. numerum primum $-—4s5--1, atque pro y. capia- tur numerus quicunoue c per f non diuifibilis , femper inueniri poterit nnmerus x, vt haec forma ax*-«", feu w"-ax", fiat per. p—mnz4- 1 duwuifibilis. "'Theorema 2c. 46. Si haec forma 24" —«6^, vel c"—2^, fuerit diuifiblis per numerum prmum pf--zm--r, tum fumto numero 4 pro lubitu, dummodo per f non fit diui- POTESTATVM RELICTIS. $r &iuifibilis , femper inueniri poteft numerus x, vt vel haec forma ax?—4", vel haec ad"-x^, vel 4"-ax", vel x"-ad" fiat per eundem numerum primum $-—'//5--i &iuifibilis. Demonfítratio. Cum haec forma 42^—", vel c&"—&eP^ fit pet numerum primum —77-1-1 diuifibilis, tum etiam hic numerus 47-1: per eundem numerum primum $-—mn-r: erit diuifibilis. (71) Verum fi 4"— x per p e(t diuifibilis, fumto numero quocunque 4 per p non diuifibili , dabitar numerus x, vt vel haec forma 4X"—d', vel etiam haec a44"-3^, vel 4Z"-a x^, vel 3"-ad" fiat quoque per numerum primum p-—mfmn--: «diuifibilis, Corollarium. 7. Pofito ergo d— 1, fi formulae 28^ -«^ diui- for fit numerus primus f—5-1-r, tum dabitur . nu- merus x, vt vel haec forma 2x"—:, vel e—2a^, vel X"-4 fiat per eundem numerum primum f diuifibilis. Scholion. 79. 'Theorema .vndeuicefimam , quod. inuerfum eft theorematis duodeuicefimi , iam alibi propofueram, fed fiae demonítratione , et tametfi tum eius demon- ftrationem multis modis tentaui, eam tamen inueniré non potui, donec in methodum hic vfitatam incidi : Tom. VII. Nou. Com. L quae $e DE RESIDVIS EX DIVISIONE POTEST. etc. quae igitur eo magis notatu digna videtur, cum dubium fit nullum, quin eadem ad multa alia numerorum ar- cana vium fit patcefacturi. — Haec quoque methodus , quae in conüderatione differentiarum continetur, nuper mihi infigni víui fuit, dum eius beneficio tandem pul- cheirimi theorematis Fermatiani , quo omnis numerus primus formae 47-|-r aggregatum duorum quadra- torum effe affirmatur, demonftrationem fum confecutus; &d quam ante nullo alio modo peruenire potui. QXCILLCMGGEAY GSC INNO GUI) GMGXGSECGRISO ICE) VONMCNONQNUNR OUS WRECRCUETIDAHENDCL qremorlomonror-b GuPcmrarume C—IcARUeDRID LLLAXULIGI AIC RGGERIELOIG XI ZO CI-ILISEUEESUANGSO QaipUzpugo-00conem GENEDIGETUUERNENSIT NA onc ac UNE ms IOS IAE. — 003 SFECI- C 03626 83 SPECIMEN: NOVAE METHODI CVRVARVM | QVADRATVRAS ET RECII. —J FICATIONES ALIASQVE QVANTITALE3 TRANSCENDENTES INTER SE- COMPARANDI. Auctore L. EVILERO. Q* nuper occafione inuentorum Ill. Comitis Fa- guani commentatus füum de comparatione arcuum €lipfis hyperbolae et curuae lemnifcatae , multo latius mihi quidem patere ftatim funt viáà. ^ Cum enim me- thodis adhuc confüetis eiusmodi tantum curuarum arcus - inter fe comparari poffent , quarum rectifirario vel a quadratura circuli, vcl a logarithmis penderet, quippe quae quantitates , etfi funt tranfceudentes , tamen ita iam in Analyü prae ceteris ius. quoddam ciuitatis fuat adeptae , vt perinde atque algebraicae tractari queant : maxima certe attentione erat dignum, quod a Fagnano in hyperbola et ellipfi arcus íint a(fignai, quorum diferentia fit algebraka ; in lemniícata autem eiusmodi arcus , qui adeo inter íe fiot aequales, vel ccrtam te- neant rationem, propterea quod harum curuarum recti- ficaio neque ad quadraturam circuli, neque ad logarith- mos reduci queat. ^ Hinc certe. Theorie quantitatum L 2 tranícen« $4. METHODVS CVRVARVM tranfcendentium infigne lumen acceaderetur, íi modo via, qua Fagnanus eft víus , certam methodum fuppe- ditaret in huiusmodi inueítigationibus. vlterius. progre- diendi ; fed. quia tota fubftitutionibus precario factis et quafi cafu fortuito adhibitis nititur , parum inde wtilita- tis in Analyfin redundat. — Deinde iam notaui integra- tiones , quas operatio Fagnaniana complectitur , tantum eff? particulares , neque idcirco methodum certam , 2 qua plura expectan liceat , fuppeditare. Interim tamen ea ampliffimum campum aperuiffe eft vifa, in quo vlterius excolendo Geometrae vires fuas fummo cum. fru&u exerceant, ad infigne Analyfeos incrementum. Res autem huc redit, vc propofitis duabus formu- lis iategralibus Xx et fYdy, non integrabilibus, vbi X fit functio quaepiam. ipfius x, et Y ipfius y, eiusmodi relatio inter variabiles x et y definiatur, vt ilae formulae vel inter fe: fiant aequales, vel datam rationem teneant, vel. vt. differentiam) algebraice affigna- bilem; obtineant. Q'ae inueftigatio: cum lati(fime pateat,. tum. etiam infignes in. fe continet cafus iam pridenr non fine maximo Analyíeos incremento euolutos; huc enim- referenda. funt, quae de comparatione arcuum cir- cularium ,. de lunulis quadrabilibus ,, de. zonis cycloidali- bus quadrabilibus ;; tum. vero arcubus parabolicis, qui vel datam inter fe teneant rationem — vel differentiam. algebraicam. habeant, a: geometris funt tradita : quin etiam. haec inueftigatio a: Cel. Iob. Bermouli ad para- bolas cubicales-altiorisque ordinis eft extenía, (íed quia ratio, qua víus: eft, nulla certa methodo nitebatur , vlteriori víu fere penitus caruit. ^ Huc quoque pertinet; quod OVADRATVRAS.| COMPAR ANDI. $5 quod multo ante iam acutiimus Hugenius in Horo- logio ofcillatorio expofüerat, vbi propofito fphaeroide elliptico compre(fo , íeu reuolutione circa axem mino- rem genito, inuenire. docvit conoides hyperbolicum ,. ita vt fumma vtriusque fuperficiei circulo exhiberi poffet ; cum tamen neutra íuperficies feorfim cum circulo com- parari queat — Quae inuenrio iam tum fummis gcome- tris maxime memorabilis. vifa eft ;; atque. Bernoul/ius in litteris ad Leibmiziwum datis dolet, hanc inuentionem nulla certa methodo inniti , ex qua plura huius generis inuenta deriuare liceat ; interim — quia füperficies tam ilius fphaeroidis elliptici, quam. conoidis hyperbolici a logarithmis — pendet, reductio vtriusque iunctim fümtae ad circulum , fimili modo perfici poteft, quo in para- la arcus algebraicam habentes differentiam — a(fignari folent. | nprimis autem hoc loco non eít praetereua- dum, Tfcbirnbaufium quondam methodum. a. fe inuentam: jiactaffe , cuius beneficio curuarum quarumcunque non rectificabilium arcus ita inter fe comparare poffet, vt differentia. fiat algebraica , fed praeter quam quod. me- thodum fuam nunquam aperuerit, manifeftum eft, eum: paralogismo quodam: fuiffe deceptum , vt faepius. alias, cum certum fit, rem ita generaliter omnino. expediri non poffe: neque ergo Tfebirnbaufius putandus | eft: quicquam eorum: habuiffe, quae vel tum circa compa- rationem curuarum (unt inuenta ,. vel adhuc forte eli- cientur Specimen igitur quoddam. methodi huiusmodi: quaeftiones. foluendi hic exhibere conftitui,. quod. non obícure maiores progreffus in hac re. promittere vide- L5 tur ;. 86 METHODFS CVRVARVM tur; atque cum non folum difficillimum fit, propofitis in genere eiusmodi formulis integralibus, quaefitam inter variabiles relationem eruere , íed etiam hoc f(ae- pilime omnino ae fieri quidem poffit ; ordine inuerío rem ita tentiui , vt affumta binarum variabilium rela- tione, inde ipfis formulas integrales inueftigarem , quae per hanc relationem inter fe comparari poffent. Quae methodus , cum ficillime. procedat, ad multo fublimio- ri perducere poff: videtur, quae aliis methodis plane fint imperuia: hac enim methodo non folum ea, quae habet Fagnanus, fücili negotio, ac fine taediofo calculo, fum affecutus, fed etiam multo ampliora atque illuftrio- ra reddidi , vt quae ille nimis particulariter. definiuerat, ego fatis vniuerfaliter expediuerim : atque calculus , quo fum víüs , ita comparatus eft, vt, quoniam operationes proríus fiagulares complectitur, viam ad multo fubli- miora flernere videatur. Tum vero quanquam variabilium — mutua relatio per methodos coníüetas definiri poteft, quoties integra- tio vtriusque formulae f X 4x et f/ Y dy, vei a quadra- tura circuli, vel a logarithmis pendc«t ; tamen et hoc plerumque non fine molefto calculo. perficitur, dum partes, vel arcus circulares, vellogarithmos continentes, fe mutuo deftrmere debent: quemadmodum hoc in comparatione arcuum parabolicorum abunde perfpicitur. Per meam autem. methodum hae difficultates. cunctae penitus euanefcunt, ac fere fine vllo negotio iftae com- parationes, tam in circulo, quam in parabola, abíoluuntur: in quo.fine dubio non exigua vis huius methodi fita efle. cenfenda e(t, -quod non folum multo facilius ea, quae OV ADRATVRAS | COMP AR ANDI. 87 quae aliis meihodis iam funt eruta, praebeat ; fed etiam ad eiusmodi inue(tigationes manuducat, in quibus aliae methodi nihil effent praeftiturae. ^ Quam ob rem hoc quidem loco iftam methodum tantum ad eos cafus ap- plicabo, qui etiam alüs methodis, íed multo operofius, expediri folent , quo cum principia, quibus innititur, hac occafione expofuero, deinceps facilius eius applicationem ad quaeftiones (üblimiores füfcipere poffm.. Quoniam igitur mihi a relatione inter binas variabile, quam pro lubitu conftituo , ordiendum eft, a fimplicioribus incipiam, ac primo «quidem ab eiusmodi, quae ad fimi- les formulas integrales perducant, feu in quibus X et Y fimiles fint proditurae functiones ipfium x et y. For- mulie ergo integrales hinc natae ob fimilitudinem quan- titates tranfcendentes exhibebunt, ad eandem lineam curuam pertinentes , deinceps autem ad formulas quo- que diffimiles, quae ad.diuerfas curuas pertineant, fum progreflurus. RELATIO PRIMA inter binas variabiles x et y. Oca -4- y (x x 4-yy) 47 20 xy. r. Si hinc feorfim valores x et y extrahantur, reperietur : ——Sx- y(8S—yyxz—ay) J— M y m —S$ vq. 21130320 vbi quouis caíu difpiciendum eft, vtrum fignum quan- titati radicali fit praefigendum ? Fieri enim poteft, vt in ytraque formula, vel figua paria, vel difparia, locum ha- beant, ss | —AWMETHODVS CVRVARVM beant, dum alterutrum arbitrio noftro plane relinqui- tur: in quo iudicio inprimis natura variabilium x et y, vtrum afürmatiue , an negatiue accipiantur , fpectari debet. e. Ponantur breuitatis gratia. membra irrationalia: -I- V((88—yy )xx-ay )-P, et 4- Y ((88— yy) 3y-e'y )-Q. wt fit: ficque erit : P—-yy-r-óx, ett Q—yx--3y vüde quouis cafu facile colligere licet, vtrum quantita- tes P et Q habiturae fint valores affirmatiuos , an negatiuos. 5. Differentietur iam aequatio affümta, eritque : dx (oy x 4-8) 4- d y (oy. y A- 8 x) —o atque ob y 3-41-8y —Q , et yy 3-8 x — P, habebitur haec aequatio: Qdx-4- Pdy —o, fiue $5 -1- 2? — o. Refüitutis ergo pro P et Q valoribus, huic aequationi integrali : uM C ume CUH ACT Fio o / Y (96 — y y)xz —aYy) dd SEzvisy an — Conft. fatisfacit relatio inter variabiles v et y affumta. 4. Euoluamus haec accuratius, et quo facilius applicatio fieri queat, ponamus: Tay zc ApONDE TUO —ry yc Cp vt fit: d nri cui ms SENI dy es ! eritque "QVADRATFRÁS 'COMPARANDI. — 89 * eritque a——^ et à Y (Cp -- y y); 'ficque quantitates; f et "y arbitrio noftro relinquuntür. '5. Statuatur ergo ^^y — A, et 9 — A kk, ita vt k -fit noua .quantitas con(tans, -a - noftro arbitrio . pendens ; eritque az — Ak, ty — A,cet: — Y A(A-L- CkE) et aequatio canonica , - noflrae -aequationi : integrali -fatis- : faciens ,- erit : o zd —Akk--A (xx 4-5 y) A-2xy Y A(A 4- CEK) cfeu P L-Xy(A--Ch Ch k)--k y (A-4- C x x) : TX er CmOY-E chu Ry eco» «6. Si "Y (A -4- Cyy) negatiue -capiatur , itemque y A, tum -huius aequationis -differentialis dx —— 20€ ya iu Tr Cxa) — y (à a- €» 3 i integralis erit : .ozz—AKkk-- A (xx 4-9) —2 x) Y A (A 4à- CER), :ideoque mic Age 4A Chh EE y Ry(A -- Cy vel x — 282—089 A -M ^7. Quia ergo aequatio ntegralis -conftantem in fe comple&icur-k, quae in differentiali non ineft, "in- dicio hoc :eft, integralem «effe completam ; ficque dije: rentiali :nulla -alia jfatisfacit integralis , «nifi quae in for- jna inuenta -comprehendatur ^ Atque haec eft inte. igratio ;principalis, ad quam relatio inter x et jy affumita gperducit. "Tom. VII. Nou. Com. M 8. Hinc go METHODVS CVRVARVM 8$. Hinc autem deriuari poffunt. innumerabiles aliae integrationes. Si enim fint X et Y eiusmodi fun- &iones ipfirum x et y, vt vi relationis affimtae fit X —Y, eadem relatio fatisfaciet quoque huic aequationi differentiali : Xdx Ue b MN Y (Aa C xx) — e — V(A4-C » 5) Infinitis autem modis huiusmodi füuctiones aequales ex- hiberi poffunt ex formulis pro x et y inuentis. .9. Quo autem haec inueftigatio latius pateat, et X et Y (int fun&iones fimiles, eas non affumo inter fe aequales, eiusmodi autem pro iis valores indago, vt fit : | -——— INE He TT om c— atque quantitas V nes algebraica , fi fcilicet relatio $. 6. tradita locum habeat. ro. Cum igitur fit VOR — Tace exp erit (X-——vY)dx. . V(A4d-Cxx) — 4N et ob P—&Y A(A4Cxx)—/yy4-91—Ay-rxY A(&4-CRA) famto per $. 6. Y A negatiuo, erit Y (A 4-Cxx) — X Y(A--Ckk)-L Y A, vnde fiet: LO YMds o oy — ———m XYy(Àd-Ckh)—54A — r1. Cum fit porro ex aequatione differentiata dx (Ax —4Y A(A-4-Ckk)) —dy(xV A(A-41- Ckkj—A y) ponatur xy—c- 4, erit y — Ps », quo valore íüb- fütuto fiet dx(Ax—t — Z'(xYA(A-- Cxx)— Ay) , 3 feu OPADRATVRAS COMPARANDL — 9r f dix AUS 3390s. 4: 0 cu xXvy(A-A-Cxx)——yvA wt (xx —-y»vA D kdu —Y ficque erit: d Y — s Ro x —Y . * x L) 12. Quoties ergo z;,:,; eiusmodi fun&io ipfius &; quie ducta in du fiat integrabilis , toties valor quantitatis V aleebraice exhiberi poterit: hoc autem euenit, quoties X et VY fuerint poteílates parium ex- ponentium ipfarum x et y, propterea cum fit ex aequa: tione affumta xx-- yy —kk-A- 3 VA (A -- CE) 13. Ponatur ergo X — a" et Y —^, erit po- X — .X—YXo o. kdu filo m9; ex-3y— 13 et AES E ideoque yt vx« -1-Conft. — d x -1- Conft. -— ob rem habebitur : xxdx yydy d y (A 4-C xx) rires pes — Conft. mb) - os 14. Sit iam 7— 4; eritque II XXL — kk -- 2 VA(A -4r- CkE) vnde dV — "(KEY A -4- 2uV(A 4- C kk)) exgo V —" (kk VA -3-u Y(A -4- Ckk)). Hoc igitur cafu erit : J rictexs - | va-ccyy- Conft- 32 EV A-b xy V (A4- Chio) fimilique modo vlterius progredi licet. - 15. His igitur coniurgendis fi fuerit Xx--yy —kk-i- 2 xy V(1 -- Ek), fiue — & y (A-- Ckk) —hky (A 4- C xx) yA4 — J Y (A -- C E k) -- ky (A A- C y y) A—LUUECO Qaem. M 2 : haec o . METHODVS: CVRVARVM- haec. relatio inter. X et y fatisfaciet. huic. aequationi- integrali : 4 " JÉ irs M x4) - [i9 Oo € y em— Conft. -- Tv p P kk xyY (1-7 tkh). feu differentia qiiis formularum. intcgralium. algebraice - a(figuari; poteft. - REL ATIO: SECVNDA inter. binas, variabiles. x. et y o—a--2 (x4) 2i - y (x x AM- yy) 43- 28 xy 16., Quoniam ; . vti -in: praecedentibus. deprehendi- mus , , ambiguitas -fignorum: radicalium: ab; arbitrio noftro pendet , . dummode -eius: ratio-in- conclufionibus finalibus debite habeatur, fi: ad differentiam: binarum formula- rum integralium. peruenire. velimus , extrahendo. radices, habebimus : yLÉctm —B—5x-JVy8 BEY i2Qg(S — y)x -r- (9 — y y) xx) comm ee -8-) pese pa gd — y)y 4-65 — -YYo» I7. Statuamus. bbs gratia. has. formulas ir- rationales : Y(g NU 2 8(8 —y)x-r- (8 8 —y y)xx) P^ Y(BB—a'y 2-2 8:87 )7 27 (88 —Y 072)-Q. . eritque - —P-—-r-y-r-939x et Q—2- yx 4-3y. vnde | eliciuntur. iflae. relationes P-- Q— (y.—)(x—) y 2-8 Q— 8(8 — 27 (88 — y y): ÀP ary Q— oy -8)- (88 — yvy)a-- m X9. .- QUADRÁATF RAS. COMPARANDI..— 95 18. Aequatio autem propofita. differentiata dat; dx (Q A- *y x 4-8 y) A- dy (B A- y y3- 8 xj —0 fiue Qt dn vnde: oritur : ied fcu f 4* — f^". — Conft. cui ergo aequationi integrali fatisfàcit relatio propofita ,. indeque: valores. pro. x et y extracti. 19. Vt hinc fimili: modo alias integrationes obti- neamus, fint iterum X. et Y. functiones fimiles ipfarum: X:et y; ac pofito : - Xdy^ Yd cese tema pl definianur hae fün&iones ita, . vt V prodeat quantitas algebraica , ficque habeatur : [EE-gyEM T Conft, "uaa . | (x-Yds»' 20. Cum' igitur. fit - um E. erit 7 ylE-DuE - Em Y): ELIT Jae : : fcu. dV ti Qe Sit iterum: x y — 4, ideoque dj—*z —?25, eit: puo 'aequatione: differentiali dx(B-rya:39)- 4 (93-2893 2 (-yy48x co feu: dxiBx- By-ic yxa- WERE TP 21: Valore hinc: pro: d fubflituto habebitur : du . du(x —— -— Y) - dN — (x—)X8 A-yY (4-2) Pónatur :autem: vlterius: x.—4—- y — 1 ; - erit xx-- y—1t- 2: et. quia aequatio "aflumta in; hanc. formam abibit: o—a--2?(f--ytt A- 2 (8 — y)u ex: d dfenciando fit d£ (8-1- y hi — 0v — 8) du. fug y: — ym M 3 22. Hinc: 94. METHODFVS CVRVARVM 22. Hinc igitur fimpliciori modo obtinetur dt(X — v) dV -— y LEE—y vnde patet, fi X et Y fuerint poteftates ipfarum x et J,tum fractionem II per / et w, ideoque et per fom 7, ob g — 8"! commode exprimi poffe. ! 28. Sit pron za BLoYC- PU ac ponatur primo Tu erit E epu V m 3E vnde fit jesse $. p pro hoc cafu erit 3 xdx — f — Conft. - EH cui 2g aequationi integrali fitisfit per relationem inter X et y affumtam. à : poet. 2.4 Sit n—2; entque cp cei YH« de fit : (x 4- »)* 3a - dV EOS c Hoc ergo caíu Wabcuffie: d d (x4-2)* Ser es 124? — Co fl. -p- E629. 25. Si vlterius progredi Sd ponatuf $— 3 , eritque : $1. yt E" LL (y-—23)tt—28t—4 M CURE gydyy mto y PEE 1(-28)t5-tt- af e VY pi didi ; ficque erit gent AMBeWnr S iau x35dx y*d3 (y-29 X20-7)5 7: B (xc-4175)*-5a(x-475) i-o cde L-Con nf Seco s(y—o* — — 26. His igitur formulis coniungendis , Dm aequationi integrali f?* OVADR ATVRAS |. COMPAR AND. 05 J ipea H6 ue pine of 4x3002-95y--€yy-2- 299). V(B-acy A-:.3 y jxa- (88 —y xx) ViBB—e'y-3-:8(-y) »-1-(88—YY) 25) i: gb(4-] , 956c-.—0* | y :839-4-)3—: Qoc-py 2 sac 4 -Confi-€-L—3 bloy-4t 6(y — 8) TW. fitisfacit relatio affumta o — a -- 2 (8x 441-7) 4- y (x 24-9 y) 4- 28xy indeque valores pro x et y initio eruti. 27. Qao applicatio ad cafus particulares facilius fieri pofht, ponimus Q9 —ay —Ap; 8 (8—y)— Bp; gr dU y y Cp; vw fit T —Y (A- 2Bx-cCax)- et. Q — Y5(A-1- 2 By -1- Cyy) fiatque : Y —A-d-DE, et 9— YA (A-1- 2 Bk-- CE) EU n et 8—6e (8 4- vy) aet in: (A C — BB) kk atque &Lcc(Y zs ds € € (A -4- B k)* . RELATIO "TERTIA inter binas variabiles x et y o-— a-- mxx--nyy-- 20 xy 28. Extrahendo vtramqne radicem. habebitur 9 x--vy(V95—:mmnxx—ax) 1 2 s RNEECEUES 23:3 SRM OREEE ET — —8y-v(S9—mn)yy-—am) IGLUIE- C MLEPRKC COE T hinc pofito : PB Vu à —1mnm)xx-an) et Q—Y (88 —mn) yy- em) ent P—óx-r-y et —Q-3y-4-mx. 29. Per differentiationem vero obtinemus ; dx(mx-- ày)-- dy (ny -4- Óx)—o feu —Q4dx -1- Pdy—o, ideoque q lu vnde «96 AMETHODVS :CVRVARVM -vnde aequatio affumta huic .aeqaationi integrali Jd A cu $ fatisfacit. 50.:Sint,jam X et Y funciones ipíarum ;x ;et;y fingulatim ,. ac ponatur Xdx — Nudy:: (P Wo L ita vt fiat V quantitas algebraica : eritque xz --(X— Y)dx A e V .9x--nuy :31. "Pofito xy —u, vt fit dy—t-—T et: dx(mxx—nyy)-- du(ny A—-9 x) —0o d -d " vnde, cum fiat Seem rr OW — —du(X-Y) d Vizz Tp ete ;hincque non difficulter ;cafis :integrabiles :eliciuntur. :32. Sit enim -primo X — xx ,.et Y — yy yetit .dN — — du, et. V——uc-axy "Hinc relatio inter x et y affumta fatisfacit huic -aequa- .tioni integrali : y -[9212 — Conft. —a:y. 55: Sit fecundo X-—mmx',.et Y —nny, «etit dV zc —du(mxx--nyy)---du(a-1- 26 u) vnde fit V— (o 4-04) — xy (à 4-9 xy) Ergo huic aequationi integrali mm x*dx *d : P J gm e f 72 — Conft. -- xy (a 1-9 xy) fatisfacit xelatio affumta inter x et y. 44. His OVADRATIRÁAS | COMPARANDI. 97 34. His igitur colligendis relat'o inter x et y af- fumta (atisfaciet huic aequationi integrali: d x(91-4- 95 m xx -4- & m? x*) Misa 5c ui ÀJ $$- mm)x x-an) : v (8 9 - mn) yy —am) -— Contt. — 25 v y 4- (€ xy (a A7 8 xy). 55. Ponamus ad faciliorem applicationem : àà—mn—Cp; dn—-—AÁp.ct dig ——-—B, vt fit P— Vp(A-1- Cxx), et Q—Y$9(B2- Cy); erit 5 — &. Sit ergo m— B, et n—A, erit a— — f, et 3 -V(AB-F-Cp). Sit ergo £—C£RE, vt fit a--Ckk, et aequatio relationem inter x et y definiens erit : ozc—Ckk -r-Bxx-- Ayy-1- 2xyY (A B 4- CC kk) 86. Quam ob rem valores ipfius x et y hinc &runt : P CUNEO oe VIC BUS pU) x un ope ky C(B-2- Cy») uec pou moveo €xiítente : P—EYC(A -4- Cxx) et Q—XYC(B-I- Cy). 57. Hi igitur valores conueniunt huic aequationi " integrali : Jas. s uds rgo yag mae um] y(A4- C x x) vY(B a- Cy y) zc Contt. —9SevyV C-41- G xy -CRRA- xy Y (A BJ-C^&0)Y C. 38. Ponatur B—— 5 , quae aequatio latius patere vidcatur, NE conftantibus mutatis , prodibit i(ta aequa tio iniret i exer [Sod Egan VC (dr(9E B7) x &y)VE irn Pe (E 4- E; y) z Conft. - A 951 E Xy- AG dic Are G kx gy V (egt kk) ' Tom. VII. Nou. Com, N cui 98 METHODVS CVRVARVM cui fatisfaciunt i(ti valores : TRY T-xx)— x Y TA MM y o——kV(e 2-39) Vs - E) qui oris ex hac aequatione : Kk —Exrxx--i$jya- 2 xy V(&5 4- kb). 39. Hae formulae ratione fignorum vtcunque transmutari poffunt. Primo enim in formulis integrali- bus nihil mutando, tam &, quim Y (65 -- &&) pro lu- bitu vel affürmatiue, vel negatiue, accipi poffunt , dum- modo eadem figni. ratio vbique obíeruetur. — Deinde etiam tam Y C, quam YF, negatiue fumi poteft; illo autem caíü quoque Y (C--- xx), quippe XM hoc Yero Y(E 1-7) negatiue eft accipiendum. 40. Denique patet, fi C fit quantitas pofitiua ,- tum quoque F quastitatem — pofiuam — effe oportere , quia alioquin altera formula integralis fieret ^ imagiaaria. Sin autem C fit quantitas negatiua ,. tam eriam F talis fit neceffe eft; et quo hoc cafu imaginaria fe defiruant, pro kk quantitas negatiua accipienda erit; quo £ et £* fiant quoque imaginariae. 41. Hoc ergo «afü fequens habebitur aequatio integralis : dx 9L Sae "Ga vC c - 9 8E Bg rV gn "CY(A—Cxx) V(E—F y y) — Conft. A S: 95 xy sues G EX yai ge Ex xy V es) cui Á OVADRATFRAS | COMPARANDI. 99 cui fatisfüciunt ifti. valores: Ay AE A de Aborto dU Td. d E MCI E RV Gee) ex bac aequatione oriuudi ; UR Es A ovtonwy Yi E m kk— pxx-poJJ—24yY(cg — KE. 42. Hae formulae etiam eas, quae ex hypothe- fi prima funt erutae , in f& complectuntur , ponendo fcilicet E— A, et F—— C, quia etiam formulae fecundae hypothefis his non latius patent — 5i cnim in relatione fecundo loco aflumta pro x-r- zu et Jy 453 Ícri- bitur x et y, aequatio Orrnino primae formae oritur, fimilique modo fi hanc relationem conftituere velimus: o-a--20xd2(yMwyxr--oyy4202xy ea ficile ad relationem tertiam reduceretur , vnde eius euolutionem praetermitto, 43. Perfpicuum nunc efl, ex his formulis infinitas comparationes inftitui poffe circa quantitates tranfcen- dentes, tam ratione fpatiorum , quam arcuum, qui quidem vel a quadratura circuli pendent, vel a loga- pitbmis. — Etfi autcm hae comparationes etiam vulgari calculo inflitui poffunt, tamen non icutile erit otien- dere, quemadmodum eaedem multo facilius. ex his formulis deriuari queant; quod eo maius notatu dignum videtur, cum hic neque naturae circuli, neque logarith- morum, ratio peculiaris habeatur. — Ex quo facilius in- teligetur, quemadmodum haec methodus etiam pari IN 2 fücceffü 100 - METHODVES CVRVARVM fücceffü ad eiusmodi formulas integrales fe extendat. , quae neque ad circuli, neque hyperbolae quadraturame redocari poffunt. eu I De comparatione arcuum circulariani. 44. Sit radius circuli , feu finus totus — r, ac pofito fimr quocunque ——2, fit arcus ei refpondens —II.z, fumto H. pro nota eius fun&ionis, qua pea- dentia arcus a fuo finu denotatur. — Erit ergo, vti con- | : d : fat, Il.2—f 7. — 5; atque vt formuhs integrales $. 41. erütas huc transferamus, poni oportet: A - E ICESBOSU. 96—:, 435—070 o. 45. Ex his autem valoribus emerget haec ae- quatio: integralia. comple&ens : dt LEM KE. dy. NAE cui fatisfacere inuentae funt hie formulae : J zm xY (x —kk) - kY (x —ax2x) x—yY (x —kk)d-kY(x —yy) quae oriuntar ex hac aequatione : kk—xx--yy-zxyY(r-kk). 46. Per has igitur determinationes futifit Étufc aequationi ; IP wy Conft in qua conflans ita deterznimabitur : poaatüur 3 — o erit- que x-—£&; ex quo caífü prodit IL. £— II. o — Cont. Íeu OVUADRÁATVRÁAS. COMPARANDL — xox feu ob Il.o—o erit Conít. — II £, feu arcui. cuis" fi» .Bus —k. Hinc generatim habebis à TÍ. x — I1.y — HH. &. 47. Hinc ergo ffatim arcuum tam additio, quam fubtrictio colligitur. Si enim duo habeantur arcus IL & .et IL.y, quarum finus fint & et y, et. fummae arcuum finus ponatur —x, vt.fit IE x — ILI. £ —- IL. y, erit x — y YV(r—kk)--kYV(r-—5y) Porro maioris arcus finus ft —x, minoris —k, finusque differentiae ponatur. — y, vt fit II. y — II. xy — ILÉ, etit: y zzxY(r-kk)-kV(r-x2); vti ex elementis eft manifc(tum. 48. Perfpicuum etiam eft, quemadmodum hiac arcuum multiplicationem deduci oporteat. Pofito enim Jg-k, vt fit 3—2kY(r—kk), erit Il. y — 211 k. Ac fi valor hic pro x inuentus loco y fübítituatur, in for- mula x-cyY(r—k&)--kY(i—yy), ob IL.y-ca2IL&, prodibit II. xy — 3 I1. &. í 49. In geuere autem, fi Gt y (uus arcus z;k,feu ILy—nILk, et Y(x—yy) fit cofinus arcus zk, vti Y (r-—kk) denotat cofinum arcus K, atque ponatur x—yY(x -&) -EV(x-yy) erit. Y. — (24-1) TE. € Ex (inu ergo cuiusuis multipli arcus k& reperietur inus multipli vnitate altioris. ——— 50. Quo autem haec facilits expediri queant, valorem quoque ipfius cofidus Y(r—zxx) noffe conue. miet ; quen in finem cam ex formula puma fit; kY(x —x) c xV(t —kk)-—-y NUN /9 ^ fübfli- 05 AMETHODVS CVRFARVM fubftituatur hic valor ipfius x ex altera formula erit. KV(z —xx) —»r(r-k&)--kV(1 -ke((1—yy)) —y, ideoque Y(x -xx)--Y(x -kk(x -yy)-ky fimilique modo erit: Y(x 2y y) zz Y(x - &(x - x3) 4- Ex. sr. Inuentis ergo valoribus, tam pro x, quam pro V(r-xx), multiplicetur ille per X et productum ad hunc addatur , eritque Y (x -xx)4 Ax ZV(x -k&)( x -gy)-ky-- Ay V ( x-&k)--A&V (1 -yyy feu. V(x-xx)4-x—(V (x -k&) 4- A&)V (x-gy)H (AV [ x - kk)-k) Quo igitur hi fictores fimiles reddantur, neceffe eft, vt fii A—Y-—r, eritque : Y (x -xx)--xV -1z(V (1-kk)--kV - x) (V(1 -yy yv -a). 52. Hanc ergo formulam loco fuperioris adhi- bendo, ftatim patet, vt fit Il. x — 2 Il. £, ob y—&£, effe oportere Y(1 -xx)4-xV-r —(Y(x -kE)--EV- vy Ac fi hic valor pro x inuentus loco y fübítituatur , wt fit II.y— 2 II.&, prodibit : Y(r-xx)4-xY -1z(Y(r-Et)-kV -1y pro IL.x-aIl.E vnde in genere colligitor, vt fit II. x — z II. &, debere effe : Y(x —x x)-- x V-— 1 —(Y(x -k&) 4A- kV-1y. 53. Quia porro YV-1 ob fuam naturam tam ne- gatiue, quam affirmatiue accipere licet, erit quoque pro eadem arcus multiplicatione: Il.x—II.& Y(x —xx)—x Y —1 (Y(1 —kk)-kY —1)y | ideo- OVADRATVR AS - COMP ARANDI. 103 ideoque vel ' (V (1-4 E UE -hk-kY —1y V(1-—XxxE———— x. MILTREL- SEM (Gai- eer - bomi —kV -i1y vel, x: Sici 2Y—1 quae formulae quoque valent pro valoribus fractis ex- ponentis H. Ir. De Comparatione arcuum parabolicorum. 54. Sit AD axis et A vertex parabolae , quem tangat re&a indefinita AV, fuper qua capiantur abfciffae; pofito ergo parabolae latere reco -—-2, fit abfíciffa quaeuis AP — z, erit applicata Pp —222, ex quo arcus parabolie huic abíciffie refpondens erit Ap —J/f4 z Y(r--zz): qui cum fit functio ipfius z, denotetur per IT.z, ita vt II x figaificet arcum parabolae abícit- fae. z conucnuientem,, feu fit | TH.z—fdzY(x--zz) $5 Irationdlitate in denominatorem translata erit : ILz—f 6-22. Adhanc ergo formam wt formulae integrales $. 38. reuocentur , erit A — E —1; C-F-r, $9[—:1 et $$ —1 atque ($ —0. "Vnde aequatio alla integralis in hanc abit formam : füXü--xzx) ^ pdyG--»y» -.. y. Creo -20:26) y (14-»2) — Conft. -1- kxy cui diligunt hi valores : yz-kV (x-pxx)4-xV(a--bt). et x-kV (3 4yy) y Y (1-6) fumtis tam & quam Y(r-4-Kk) negatiuis. 56. Hac "Iab II. Fig. 1. $94 METHODVS CFRVARVM 56. Hac igitur inter v et y relatione fübfiftente pro arcubus parabolae erit: II. x—II.y — Contt. 4- b xy ad quam conílantem determinandam ponatut y— o, et quia tum fit x-—&k, erit. IL£—Con(t. — Quocirca ' ha- bebitur II. x — 1T.» — I.E 4- E xy. 57. Vt igitur haec aequatio locum habeat, relatio inter ternas abícias k,x, et y eiusmodi erit : x zkV(x-4yy)d-yV (14k), feu y-xY(x 4-kE)-EV (x 4-xx) vnde praeterea eruuntur iftae. determinatione : Y (xz xx) Y a A-M (13-7007 y. et. Y (12-57) — Y(i--kk)i--xx)-kx ex quibus porro clicitur : &cb- V (x 4-2 x) — (E- Y (y523- E) Y2-Y (22) 58. 5i manente eadem abíciffa &, eipagur aliae duae abícdffae q et p, wt fit qz kV (x4 pp)d-pV (v4-kk) et p—q4Y (x kb)-kY (1-24) feu 4 -4- V(121- 44) — (& A-Y (1 4- k&) p3- Y (1 -- pp)) erit TI. 4 - TI. p — IL. & -:- E f q. ideoque hanc aequationem ab illa fübtrahendo habebitur: GLx-11Ly)- (II 4-TI py E(xy-pq). 59. Pro hoc igitur cafu erit xX--v(r-d-xx) q--v(c2-290) —————— 3c YU-c»3) — $a 24 pp 2) : vnde relatio inter D,4,x ety fiue ! obtinetur: Erit B4). zcxV(r A 3y)- yv (x4 xx)2-4Y (x--pp)-pV (14-44). ct Voces pong) aids dim 60. DUADRÁATV RAS. COMPARANDI. — 105 60. Iam ob zu ;5-—Y(r--2)-5 erit: Y (x J-x3)H-x Y (149) (12-94) 8-9 X (1c0)-) vnde reperitur : x—JV (13-pb)(12-44)2-4Y (x3-pp) C12 9)-2Y (1 3-44) (x 3-77) 2 4 Quare erit : (H.2-T15)-(1.4-1L 9 (42V (1-09)-5Y (x- 44) CV G H0) -pY Gp) (a Y (o4 ). Problema r. 61. Dato arcu parabolae quocunque Ak, iaà were tice A terminato , ab alio quocunque puncto p arcum abícindere 54, qui arcum illum Ak füperet quanücate algebraice. aflignabili. Solutio. Pofita parabolae parametro —2, fit Kk abfciffa arcui A& conueniens, abfciffae autem punctis p et 4 reípondentes fint AP—y et AQ— x; eritque arc.4 — ILx-ILy et ar. Ak—ILk; cum igitur data fit abíciffWa A P—)y, fi capiatur altera AQcxLyY(-A-kk) -- &Y(1 2-9») ert IL x-ILy-IL&-i-kxy, ideoque Arc.p 4 — Atc. Ak -A- kx. Superabit ergo arcus $4, qui in dato puncto f termina- tur, arcum Ak quantitate algebraice a(Dguabili &x y. Poterit etiam a pun&o f antrorfum abfindi ar- cus p4', qui pariter arcum A & quantitate geometrica fü- Tom. VII. Nou.Com. O 000 peret ; "Tab r 1T » Fig. 1. 156 — METHOD/ES CVRVARIM peret ; ad hoc ponatur AP—x et AQ' E fitque y—x3y B. kY(1-31-xx); et cum fit Arc. p4' —Il x-1I.y , erit: Arc.pq' zz Arc. Ak -t- kxy Vtraque igitur folutio ita coniungetur , vt pofita abíci(fa data AP—f; capiendum fit : AQ-pY (1-5 -kY (1 4-0p: y et iue AA Tkk)-kV (x 4-pp) quo facto erit : Arc.pq— Arc. Ak-i- kp. AQ. Arc. p q' — Arc. Ak -I- kp. AQ" ficqüe duplici modo problemati eft fatisfacturn. Coroll r. 62. Fieri autem nequit, vt exceffus &£xy, quo arcus $4 arcum AK fuperat, euanefcat, deberet enim elle xe x —o ;:vel..y—0. 5 At ueafüs son Betet J--k, arcusque in ipfo vertice A inciperet in altero ramo ipfi arcui A&K fimilis capiendus ; altero aatem cafü, quo y—0, fieret x —k, et arcus 54 in arcum Ak abiret: vnde arcui Ak geometrice in parabola abfcindi nequit alius arcus ipfi aequalis , qui ipfi non fimul futurus fit fimilis. Coro v3! 65. Vicifim ergo dato arcu quocunque- 54 in parabola , femper a vertice arcus abfcindi poterit A Kk, qui ab illo deficiat quantitate geometrica. Cum enim nuuc datae fint abfíiiff&kg AP—y et AQC- x. erit AK-k-xV(r-Ljgy)-yV(i-ór-xx), qua inuenta, erit Arc.p4- Arc. Ak— kxy. | Coroll. QVADRÁATVRÁAS COMPARANDL — 107 Goroll. 3$ 64. Quin etiam puncto f pro incognito habito , propofito arcu AE, alius arcus p4 affignari poterit , qui illum fuperet quantitate data, puta — C. Habebimus ergo has duas aequationes : kxy—C et xx--yyckk4A- 2 xy Y(x A-kk) feu xx--yy—kk--*g V( -- kk); ergo x-47y— Y(kk-i- 4 2-55 V (1 A- kk) x—y-—Y(kk-5g -- 58 V(x 4- kk) Seu fint x et y binae radices huius aequationis quadraticae 22-Pz4-Q-—o ; erit Q-£ et P-V(kk--^ f 1-56 V (1 4 kk)) vnde 21V (kk4-564-£ V (x 4 kk)) 4- V (eg V (x4-Rk)). coroll 4. 65. Quantacunque fit haec quantitas C, modo fit affirmatiua, íemper prodeunt pro x et y valores reales, iique affirmatiui; At fi fit C— 0, fiet x—£, et / —o. Quin etiam poni poteft C negatiuum , quo cafu y reperitur quoque negatiuum , et aram quaefitus vtrinque circa verticem A erit difpofitus, — Verum fi gt D, necde eft wt fit. D ACLACIED feu D Zik(V(r-1-kk)—1); nam fi D effet maius, vtraque abíciffa fieret imaginaria. CorolMv s 66. Cafü auttm D——C-—ik(Y(r--kk)—x), erit zz ; ideoque x — -—- V M (i--kk)— 1) O 2 et 108 METHODVS CVRVARVM et y— — Yi(Y(r-i-kkb)—31); hocque cafa orietur ar- cus vtrinque a vertice. aeque exteníus, cuius defectus ab arcu A k eít minimus omnium , qui quidem geo- metrice conftrui poffunt. Problema 2. Tab. 1l. 6*7. Dato arcu parabolac quocunque ef , a dato Fig. 2. ejus pun&o quocunque $ alium abícindere arcum 54, ita vt arcuum ef et p4 differentia geometrice poffit affignari. Solutio. Pofito parabolae latere recto. — 2, tanget recta AV parabolam in vertice A, a quo capiantur abíiffae, quae fint : BE e AFz-f; APOSp. e AO —4 quarum tres priores e, f, p, funt datae , haec vera 4ita accipiatur, vt fit per $. 59. q--vV(r--33. f-vV(o-ff) Po-vYa-22)— e-- VG --ec) Tum vero fit k— f Y(1-1-ee)—eY (x 4-ff) , fcribeudo € et f pro y et x, eritque. (D1.7— 11.9) — (I1. f—11. e) —k(p4-—ef) Ideoque habebitur: Atc. 4 — Arc.ef —k( p4—ef). ; Hinc etiam apparet, fi pun&um 4 fuerit datum, ex formula tradita fimili modo punc&um f antrorfum pro- cedendo definiri poffe , vt arcuum differentia prodeat geometrice : affignabilis, Coroll. OPVADR ATV R AS COMPARANDI. 109 Caroll : 68. Ex reductione $. 60. facta patet effe pq—eff— (V (x-kee)-eY (--9p)) pY Gf fV G-rpp)) ficque, (amta abíciffa 4, ex aequatione Er REDE Ee erit : Arc.p4 — Arc.ef —( f V(1 4-e2)-eY (1 A- ff )(pY (13-00) e Y A- pp Y (3-0) 2-1 Y ( -- 9D) "ED ROTIATS 69. Si velimus punctum $ ita accipere , vt ar- «uum differentia euanefcat ; ^ feu fiat. Arc pq — Arc ef, oportet effe vel Y (x --ee)- eY s Aa py- le », vel pV (zc f) f Vr - bp]- Priori cafa fit p — —- c; pofteriori p — -- f, vtroque au- tem caífu arcus $4 vel, cum. arca ef congnüt, vel eius fit fimilis in altero parabolae ramo affümntus j ita wt geometrice duo arcus aequales exhiberi aequeant, quae non fimul fibi futuri fint fuiiles. Coroll.. 5. 3o. Cum fit &—fY(x -4-ee)—eV (1 4- ff), erit Y(1 4-kk) Y (x bee) 4- ff) —ef ; hiuc &V(v«- kk) zjfV(--f)-42eefV(xa-ff)-22j Y(1-ee) —eY (1 4- ff) AC fiue &Y (1--A)zfV (1 4f)- -eY Gen) - naf j [V (1 4-ee) eV (x 3f) ideoque kV (x 4-kk) f V(rA- f) - os e2)- 2 ef k. O 5 Quo 110 METHODVS CFRVARVM Quo circa habebitur : kef—ifV(1243- f) - 3e V(x 4- ee) - ikY (1 4- kb). Coroll.'" 4. 71. Quia igitar k fimili quoque modo pendet a p et 4, erit etiam kpq-ciqY(i-r-44)3ipY(1 -- pp)— 1k V(1 4- kb) Quare cum arcuum differentia fic — &pq—kef'; fi qua- tuor parabolae punc&a e,f,p,4 ita a íe inuicem pen. dent, vt fit : q--vV(r-a-a9 | f-a-v(r-2-ff) PHa-vG PP) — e--y(1-eo) erit Arc. 4 — Arc.ef — 14 Y (1 4-44) -1pY (1-Hff)-if V (1 ff) -r- ieY (121-66) quae expreffio, ob functiones quantitatum 5, 4, e, f a fe inuicem feparatas , eft notatu digna. Coroll. $5. 72. Relatio inter e,f,p,4 ctiam ita exprimi poteft, vt fit V(1--44)-4-( ree) -e) Y (x2 ff )-f XY G-0p)3-D) tum ob z——7;— Y --44)—4 erit: Y(1-r44)-42(Y ( 4-e6)3- CV (1-9) f) (18D) vnde datis e, f, et f, facile valor tam pro 4, quam pro p, emitur. C oroell-^"6: 75. Ex formula Coroll r. data apparet, arcum $4 íemper maiorem fore arcu ef, fi puncdum f a vertice OPADRATVRAS .COMPARANDI. — xix vertice parabolae A magis füerit remotum, quam pun- é(tum 2; contra autem arcum $4 proditurum effe | mi- norem. Ac fi quidem fit 5 —20, erit Arc.ef— Arc. p4 — ef( f V(1 -Fee) - eY(x 4-ff)); minimus auteni omnium arcus 4 euadet, fi capiatur. p—-—Y ;(V(x-r- ee) (1-4-ff) —ef-1) et q—-EYiQ/ (x Mm- eeya -- ff) -ef-1) tum- que erit : Arc.ef — Axc pq— 1e - fX (x TEM ist22) Arcusque $4 vtrinque aeque circa verticem A erit difpofitus. Problema 3. 74. Dato arcu parabole ef, a pun&o dato f Tab. 1l. abícindere arcum pz, qui füperet datum maultiplum ar- Fig. 3. cus ef quantitate geometrice affignabili. Solutio. Pofito parabolae latere. recto. — 2, fint in verticis tangente abíciffAae datae AE—2e, AF — f, et AP—f; tum capiantar abfiffAa AQ-—4; AR—rz; AS—;; AT-:; et vlima fit AZ-— 2; quae ita determinen- tur, vt fit: Pino £ft ciet eritque ex $. 71. / Arc pq— Arc. ef —iqVY (1-4-44)-:pY (1 c fv aff -ie Y(t-j-ee). Deinde ex pun&o 4 fimili d f. atur punctum 7, Wtufit ; r4-Vo-rr) 00 fA-YGÓ-Íf) fea Y--YG err) (deep és d4-Y(-Fi] — erv(i-r-ep 1€ gy Ga pp) 7 Nez y (ac ec) eritque 112 AMETHODVS CURFARVM eritque Arc. qr — Arc. e f — Ar Y (x-rr)- i qY (14-49) -1f Y (1 ff) --ieY (x -t-ee) qu4 aequátione ad illam addita prodibit : Arc. pr—2 Avc. ef —irY (1 4-77)—1 pY (x -Á-5p)-5 f Vx ff) -rTieY(i-ee) "eertio ex pun&o 7 capiatur punctum 5, vt fit: $4 yoest) 1 fe yo E-TÓ fet $-4- VC: 58) — (feas T-d-Yy (O-Tr) — 6e4— y(i 4-69» | $-EvGü-- pP) — Vez - y (i--ee) eritque : Arc. rs- Arc.ef 15V (x-1-55) - 3rY (1-07) — 4f V( x f) -rieY(r--ee) quae ad praecedentem addita. praebet : Arc. ps- 5 Are. ef — vil icd 15V (x 4-pp)- MERE A -r ieY(x-1-ee). Atque hoc modo fi me progrediamur , fitque & punctum poít z hutusmodi operationes inuentum , erit: z4-vV(-u-23).. mi Ef Pc-vYG-Pp— 'eAwy0a2ed vnde immediate pun&um z reperietur, ita vt fit: Arc. p z- n Arc.ef Z 38V (1 s2)-3 Y (pp) f Y (1 4— ff) -- ieY G-- ee) ficque arcus pz eft inuentus a dato puncto p abíciffus , qui arcum ef vicibus 5s íümtum fíuperat | quantitate geometrica. LorolL.:. 75. Quodcunque ergo multiplum arcus ef pro- ponatur, cuius multipli exponens fit numerus 7, fiue is fit integer , fiue fiactus, a dato pun&o 9 femper ab- Ícindi QVADR ATP R AS COMPARANDI. 1I5 fcndi poterit arcus. pz, qui hoc multiplum | excedat quantitate. geometrice affignabili; erit enim : Y 4-2) (Y (13:9)2-9XV (3-k]f )4-J ) Q/ (x -|ee)--0) et. V (1-e2)—e-(Y (1--9)-9XY G f£) PX keen)". CoroTt *16. Quodü ergo ad abbreuiandum ponatur : V(xs-ee)2-ezE ; V (12 ))-f-F 5 Ya 2p42-F PE" E" erit. Y (1 qub bns ge Imi Y (x E —UPEÉ vnde oritur : i , 3 P*F-L E? I BAS "dp es yi -pes)— yppgepeT £hteeri pyapett f omg 1 iz ness Fe—ES | 7*7. Hinc ergo fiet zY (1 S£)» ge | Quia tum fimili modo eft deos Dm eY(d-en)— En: Mi A-)— SEFE- et ipYG d-Pf)- sry erit : | | P*:FU-E* Pej-lro s(Ff-x o s(E)—1). Arc. p 2 - n Atc. Ef CESEe— .PP 8FF SEE Tom.VII. Nou. Com. P Coroll. 1f4 METHODVS CVRVARVM Coroll. 4. 58. Si huius expreífionis partes binae in vnam congregentur, reperietur iíta differentia geometrica : (F7-E*"(PF"--E7) m(FF-EE(EEFF-4-1 ) ———— * Arcpz-nAr.ef-——— jn gmpas — — SEEFF Coroll 5. 79. Quemadmodum hic ex puncto dato f alte- rum punctum z determinauimus, ita vicifüm, íi pun- €(um z pro dato accipiatur, antrorfum progrediendo, fimili modo punctum p ex eadem aequatione reperie- tur, ita vt Arc. pz fuperet arcum ef, z vicibus fum- tum quantitate geometrice aífignabili, Problema 4. $o. Dato in parabola arcu quocunque ef, inue- nire alium arcum fz, qui fe habeat ad illum in data ratione 7:1, ita vt fit Arc.pz — n Arc. ef. Solutio. Retentis iisdem denominationibus , quibus in probl. praecedenti eiusque. Coroll. 2. víi fumus ; quoniam fieri debet : Arc.p z— n Arc.ef — o quantitas illa algebraica, cui haec arcuum differentia aequalis eft inuenta , in nihilum abire debet. LHabebie mus ergo ex Coroll. 4. hanc aequationem : Epphnpge Ee PIA (FF-EE)(EEFF i 1) uL PUE Pona- OVADRÁATVRAS COMPARANDI. — 115 Ponamus breuitatis gratia [-— C, eritque nC *(CC- 14 CCE*4- 1) C?"P- l-— (C"—r EE vnde fit: Me Met — DN VE aIDe—pnbE Ze E 7 ideoque pas v ICC-r(CCE1) (e C-rKCCE-- ry "LAN )) 2 (C79— "—1CCEE 4(C"—1yC*B* —— C" fiue (E wes care dis I KCC-Y(CCE*-1r) 1 de 4(C^-:1CCER alt T. (C"^—:)CCEE c) Deinde íi pari modo ponatur Y (x --z2)-- 2 — 2, ert Z—C"P. Ex inuentis autem quantitatibus P ec Z ita eliciuntur ip(ae abfciffe p et z, vt fit: PP—:1 ZZ—1 p——p o «€2——,z- Reftituto autem pro C valore " fi ponamus : v( (FF-CEE(EEFF--1) , — 1: n 4ERFF(F*—EPS) "S ED n(FF—EE)(EEFF 4-1) di de 4EEFF(F"—EP) puso) Xx. reperietur : P—F'(M-N) et ;-— F*(M -A- N) Z—F'(M—N) et —E*M-- N) vnde concluduntur ipíae abfíciffae p—-—i;M('—E5-;N(F'"4-E" z-—--i;M(E*—E")-iN(F"4-E") p Cum ALTUS 116 METHODVS CFPRVARFÜM Cum autem M. et IN tam afífirmatiue, quam — negatiu& accipere liceat, capiatur NN negatiuum , vt punctum £z in iftüm parabolae ramum incidat, in. quo eft arcus £f, eritque P—iN(F'A-E" —:M(F*—E»? S825iN(E"4- B5 --:M(I"— E^ Ex quibus formulis fi definiantur puncta f et 2, erít Arc. pz — n Arc. ef. Coróll r. $r. Ambae ergo abíciffie AP et AZ-—3, . i funt comiparatae , vt fit: &-- p— N(F"-- E") et. 2— 5 — M (E 4 E^). Hinc erit valoribus pro: M. et IN. reftituendis : ODEUPM(Ee-SES(EERRAa-1:) Fü-E* ES. 4BERRGSCES 0 WEM ELT EHBEFF-EIJF*MHOEM) $pu-ss— " 4EEF F(F*"— E?") I. Coroll. 3, $2. Si fit Z-—— E, erit:z M-YC LEE d-ImÉi— TET et EGET d | vnde fit: 2--p—L1F-BIE: Zl. e64—p-iF-IEF—7» ideoque : 2p-—E-—£, fu p-céétsz—F—Efuzcf puncta ícilicet p etg in. puncta e et f incidunt. | |. Goroll OVADRATF RAS COMPARANDL. 117 Coroll.. 3. $5. Si arcus p debeat effe duplus arcus dati éf, feu nzc2, erit: EE ET Vobis e gr UE He) (EF uer) M (TEEFKEFF-EEE | TPEYY p 2EEFF(EE -FF) et N—Y Gz BPF(FÉTEE — IEEE) V S EEFTUREGEEE 55 Ynde (i arcus ef in vertice A terminetur, vt fit e— o, et E— £, etit Mz, et N—o; ficque prodit 2-i- 5-0, t z—p— -g— -— f; ideoque p—-f,'e gp Hoc ergo cafü arcus pz medium in verticem A inci- dit, et vtrinque arcum ipfi'ef, feu Af, aequalem com- plectitur. Coroll. 4. $4. Si arcus pz debeat effo triplus arcus. ef, feu fi--3, erit: : MYUCIIT CEFTOPCeLT EI ES d: umm y7) fiué M-YCTU e weveiiseer o. et NY PGCEIFREGS Coroll. . 3$. $$. Si hoc cafü, quo 7— 9 arcus ef i i? veiticé Á iücipiat, erit e— o, et E— zr, vnde M- ye: EESELEME (ine 2 F5 (F* 4- E? 1-1) 2EFE— P2 M-—(- Dy 2 B3 (F5 4E F2 -3- m y et i —2BFF—F-—— a Bi—(E.-—- 3994 unqh (FfAFAIE iy 4i ergo valor eft imaginarius. Pj " Corolf. 11$ METHODVS CVRVARVM (2oroll^od4: 86. Vt ergo arcus ef triplum exhiberi poffit, is non in vertice A terminari poteft, feu E debet effe maius quam r, atque adeo limes dabitur, infra quem accipi nequeat. Ad quem limitem inueniendum, reíol- vi oportet hanc aequationem 3E/F:-I-3EF-—2aF*--2EEFF--2E:-. In hunc finem ponaur EF —S, et EE-I-FF—R, erit : 3 $-I-3 SCC eRR—55S, ideoque R—Y (8:-4-SS-1-15) vnde fit : F 4- E—Y(2 S -i- Y(18*-- SS 2-18) F — E—Y (—2S-1- Y(:$:-24- SS4-:S)) Et cum fit Ez, et F2 1, debet effe Ri 2, et 85:-I-285$-I-352 8; ideoque S r. Coroll:.;. $7. Generatim ergo pro cafu 4— 3 oportet fit 8S'-I-3 SS 2RR—5SS ; ideoque K «V (:3:-1-SS-H5S) quare fi & fit numerus vnitate minor: reperitur F -4j- E — Y (284- aY(:38:-i- SS -i- i S)) F—E-cY(-2$-i-aY(iS:4-SS-r-:5)) Debet ergo effe aa zs tSTr. CoOLOlLt 5». 88. Ponamus S—2; erit aal :$. Capiatur &—1, vt fit EF—2, et EE-I-FF—Y 19; erit. F4-E—Y(Y 193-4) ; E—iV(Y19--4)—V(V 19-4) F—E-Y(Yig—-4); F—iV(Yr9--4)-AY(V1 9-4) ergo QVADRÁATVRAS COMPAÁARAÁANDI. 119 ergo e—i1Y(Y19-2- 4)—iY(V :9— 4) et f —iV(Y19-23-4)--£Y(Y 19 — 4) Porro reperitur : Ms5e erNELSO. vnde g——p—.,;(2-2-Y19)Y(Y19— 4) à hic ergo arcus triplus vtrinque circa verticem aequaliter extenditur. LII. De Comparatione fuperficierum fphaeroidis elliptict comprefíüi et conoidis hy perbolici. 89. Sit igitur primum propofitum fphaeroides Tab. 1l. ellipticum genitum rotatione ellipis BM A circa axem "'& * minorem AC. Ponatur femiaxis minor CA—24; et fe- — — miaxis maior CB— Y, exiftente ;z; numero vnitate maiori. Sumta iam in axe minore a centro C abíciffa CP—z, erit applicaa PM — Yz(aa—xx), vnde ele- mentum ellipiicum — 4x V *5-EL7—2** 90. Pofita nunc ratione diametri ad peripheriam — 1: 7c, erit poro füperficiei fphaeroidicae, a reuolu- uone arcus AM genita, feu quae refpondet abfciffae CP-»x, aequalis huic iategrali 2 m/4.x V m(aa4-(m-1)xx). Indicetur hoc integrale , quod tanquam functio abíciffae X fpectetur , hoc modo JdxV m(a a -A- (m —1) x x) — TI. x. 91. Portio ergo, (üperficiei fphaeroidicae ellipticae abíiffiG CP—x refpondens, erit —27.IL x: vbi functio ^ 120 METHODFS CFRVARVYM fun&dio IIx, vti perfpicuum eft, a logarithmis, feu recti- ficatione parabolae pendet , eritque. IIx-—-o, fi y—:0; fin autem ponatur x—a, tum 2 -.1I a exhibebit fe- miflem totius fuperficiei fphaeroidis. | 92. Sit porro conoides hyperbolicum | genitum reuolatione hyperbolae 4:7 circa fuum axem cap, cuius centrum fit in c. Ponatur eius femiaxis transuer- fus £2 —c, femiaxis autem coniugatus —eY7z. Sumta ergo in axe a centro c abíciffi quacunque cp-—y, quae quidem fit &-e, erit applicata pm -—Yn(yy—ce), et elementum hyperbolicum —f4y V &3—222—*. yy —cc 95. Hinc erit portio füperficiei conoidis iftius hyperbolici, ex arcu 4:7 genita , íeu abíciflae cp—y rcfpondens — 2 -/dy Vn'(n-- 1)yy —cc). Quod inte- grale cum fpectari poffit tanquam functio ipfius y, ita indicetur : JdyVn((n-- 1) yy -cec) 2 Oy fitque. € y— o, fi capiatur y—«. — Erit ergo füperficies conoidis hyperbolici abíciff.e c p — y refpondens z:27.9 y. 94. Comparentur hae binae formulae cum illis, quae fupra $. 58. funt expofitae, et cum fit: —— f(dxí(aa-r-(m— 1yxx)ym 1. Mens y (aa 4- (m — 1) x x) erit vet C-—mu-:; 9(YV(m-x)-aaVm; et B3 evt | vnde át 9E mes) et. B vraay 95. Deinde pro hyperbola cum fit dy(—cc-r-(n--1)»»)vn 9. —Jf c "46C—ec2m- (a3- y 2) fiat QVÁADRATVRÁAS COMPÁRÁANDI. — 12x fiat E-——cc, et F— -- 1; eritque ob & —o E dy(9L 2- $88295YF aa V mn(n1) dy(-14- E5225) Y (E. 2- FJ) "Y(m— 1) " V(-ee4-(4-1) 3) dy(9 4-7 -EERÉEJAYE. - aa Vm(n-A- x) eESO Inf Yib--rFyy) — . ecYn(m-i)- eu 96. His ergo fubflitutionibus facis habebimus hanc aequationem : 4^( E Tix i20 5) 0J— Cohft.- EE ay cui fatsfadt haec relatio inter X et y: 24 —kV(m— --2a1xX)— —xY(kk— D) feu m- (m—i)(n-4- ) aacc ) ipie udin ipid 3J) H-J Y (kk — (m—iXn4-1) vbi YVkk- CABLUNS aj negitiue accipi conueniet. 97. Vd ponatur k— 5-5, et fi fuerit yz V(aa- (m— 1)x x) 4- LY 5 V(Gt-1- x ee-ac) aev (n1) ay y (u-- 1) feu X — Su Y sre I )JJy-€e) - cy (Ti 1) Y ((n--1 )ee-ea) erit ILa-- 2228 t7 9y— Conft, 4- 8 7777 gy .98- Ad conft:ntem autem definiendam — ponatur x-—o, vt für Il. xz—0; eritque y—2, vndé ptodit : Cont, — £57 0*9 9e; ficque. habebitur : aawv m(n-A- 1) Q-pi)eevt DEM H- iiie) E -9e)— Ty At fi in hyperbola capiatur abíciffa Y ANAL erit füuper- ficies conoidis ex arcu ezz nata — 2 7.9 7- O e). Tom. VII. Nou. Com. Q 99. Quo- 122 AMETHODVS CVRVARVM 99. Quoniam igitur y per x determinatur, erit quoque , V (n-1- 1 Cyy-ec ]- 5 xY (m— 1) (0471 )271V (a2-4-(0—1 xx) ((n-4- 1)ee — cc) vnde fit: | JV (u--x)yy-ec]- (5 5 V (n-oxyee-ec)) Y (aa (m-1)xx)) --ax(t V (m-1 (n -- 1))-2- 003 Y(.n 4- 1)ee—cc)) fit I:0 Y(m —1)(n-4- 1) —6 ; ES Git d za hincque obtinetur : MU. 1)yy —cc) H-y Y (n A- 1) — ev in 1 à M37 (ST BV (nex eee) X Y (0-1 y) x V (21). 100. Datis ergo abfcifis CP—»x, et cf—e , ab- fcifla c5 — y ita definiri debet, wt fit yn 0yv—co4-y4Q4-i) (m—1)xx,x BEI erc et 4t e aa tu Y (m-1) Deinde autem eft DM LSSONMIT FON--eSp S deviuuphye se) ,. ter yuia i E €XyL— aywm—u)n4-) ^7 svm—inan) (7 2d(n 4-1) Problema Hugenianum. Dato íphaeroide elliptico lato A BC, inuenire conoides hyperbolicum 49:7, ita vt circulus defcribi poffit geometrice, cuius area aequalis fit fütura vtrique fuperficiei fphaeroidicae et conoidicae iun&tim fümtae. Solutio prima. QiOr. Manentibus pro vtroque corpore denomina- . DIEN . ym 4 1 tionibus, modo expofiis, flatuaur ;:/5 05. — I 3 fcu QVADRATVRAS COMPARANDI. — 123 feu cc — S SE? , vnde femiaxis transuerfus hyper- bolae c determinatur, numero 7 íeu eius fpecie arbi- trio noftro relicta : etitque ftabilita fuperiori relatione Muter cr Gb y II. x-4-(0y—02)— (rcm y en Yen. cc ro» Cum nunc fit füperficies fphaeroidis ex arcu BM nata, feu Sup. BM—2 .Ilx; et füperficies co- noidis ex arcu ez; nata, feu. Sup. emzc a m(Oy — O2); erit Sup. BM 4 Sup. P ESQUIPANEL 0 cu Vnde íi hae duae fuperficies junctim fümtae aequentur circulo, cuius radius L—7, ob eius aream -——7m7/7 erit T SL Iboline. ue 105. Hic iam continetur folutio problematis fenfu multo latiori accepti. Cafu enim Hugeniano, quo inte- grum fphieroides affumitur, feu, quod codem redit, eius ífemui(lis, erit x —4 ; tum vero punctum e in vertice 4 capi oportet, vnde fit e— c. — Erit ergo hoc cafu: cyn( m—1) . Jy-eYm-d--ag -—b fietque : ymntm—1). Sup. BA -1- Sup.au— 2 m (nA- 1)4 4 (m uis ro4 Radio ergo circuli vtrique fuperficiei fimul aequalis pofito — erit, rr 2aac(m(mn-- 1) -- Y un (m — x (nA-x)) fiue r—aY 2(Y m (n -4- x)-4- YVn(m— x)) Ym Qt 4 1) Q 2 Atque 124 METHODFS CVRVARVM Atque erit £65 — qs (Ym(n-- x) 4- Yn (m —1)) tum vero accipi debet c — 4Y ect. Quae eft folutio fimplicifima Problematis Hugeniani. Solutio fecunda. 105. Cum relatio inter v et y fi ita compa. rata, vt fit y(n4-:1) yy-—cc)-yV (12-1)... (m-— denxp x Y (1471) ee —ec)-4- ey (n-43—1) — Yr "iro ww 45 z- Vn s) aa«ym(n--:) y m(n 4 :) fitque. II. x -1- Ev non) Oo Tp (EDI, dey (ux neceomy v cei qd 4 (m — 1) SS y (n — 1) ^E y (n 4-1) ) Capiatur in conoide noua abíciffa c4 — 2, et pro e iam Ww J» vt fit (Cie r)mz—ce)a-z (4-1). ueni 2j «(Q3 1) yy—cc)4- yy (14:1) — zcy[Xu Tie a » (m I) 1 y - erit pariter II. x -j- 2 ^ 6 je Qy)— 3. ccyn(m — i1) (222Y(n4-. )z2—cc) ^ aayy((n4-:) yy 4-66) ecxv (a 1-4 eee od Y(m—:- XI inge 2A. aye Inrisdi 106 Addantur hae formulae inuicem , atque y prorfus eliminabitur ; fiet enim yn--1)2z —cc)-2-z (n-4-1) em Lo & Y (47: Enecerteue cO im jets: Y (m-1 1) elitqu: 2ILg- 299-9 gg) — En. cey n(m— 1) pu ii)en 6o .. aaey(n 4- 1)ee —cc) acc x v(aa-4-(m—i)xx) yim — 1) y (m —31) (0o Yy(na-1) : 107. Statuatur iam erri 2 feuccz - mien 2t erit per ^7 multiplicando Sup. BM4-Sup eg — 777669 , [9 aazqy((n-- 1) z—cc) in aaev((1—- 1nee—cc) iom ri Del ym 0 680 w(Qm——1:x 7017-5 yuGugg vnde * - Y(n4-1)ee —cco)--ev(n4-1) euni I-LT-— OVÁADRÁATUVRAS COMPARANDI. — x25 vnde ficile radius circuli aequalis definitur. 158. tit nunc pro cafu Hugeniano x — 4, et E c. "enmt: PECES X € (y n A- v (nr 1) e ect 1))* aam (nt-4—-1) Hincque inuento z, exiftenteque cc — —yaí — y. erit à mym(n--:) aaz((ri-1- 1)22— cc) qaccvm | »aaccy m Sup. BA-E-Sup.a8— 5; (1: 39-9 voci) Solutio Generalis. 109. Si hac ratione continuo vlterius progredia- mur, vt fupra pro parabola eft fa&um, reperietur, fi abíciffa cg — x exiftente, ef— e ita epi vt fit v (i-E-1)z—ecc)-- (1-2 :) ) ^7 T Yum-i )» aa«ymin-- 1) m(nu I IXG p Lr Lou es-e loYm P E: quy n-4- )z z—— c) aae y (n4 1)ee—cc) MEER YE DEB) TN b" MEE) (n 4-1) aav m(n-- x) SES Sup. BM-4- aTcc yn(m-iy Sup. en. EY iro. Pro cafü ergo Hugenii, pofito x— 2 , et e—e, , aavmí(n--i; . fiat evum ta MW et capiatur abíciffa, cq—2, ita wt fit: y(n-d-*)z—-cc)--zvV(n4J c( n4- Y (1 4- 1) —Um--Y- Xy eritque my m(na:) aazw(n--iyez-cc) aaccym , gaaceym Sup BA-FSup.2n— Mcc ( y Un —— 1) Y(m —:) 95 yn yin 4-1)) fiue Sup. BA 4- Sup. an — mi zY n((n--1)22-cc) -n e —m(sYn((n-o-1)22-cec)-nce A- ma a). Q 3 III, Quae- 126 METHODVS CVRVARVM IrI. Quaecunque ergo fuerit hyperbola, ex qua conoides nafcitur, dummodo fit 7; UA nume- rus rationalis, ab eo femper portio «7 abícindi poterit, cuius füperficies ad fuperficiem fphaeroidis BM A addita, per circulum exhiberi poteft, cuius radius 7 gecmetrice e(t affignabilis : erit enim r—Y(maa-ncc--sVn((n-A- 1)22-cc)). II2. Quo autem fàcilius pateat, quomodo ab- fciffa "x reperiri debeat , cum fit RE -i1)5-Y(mr1i)- CQ (rr) Y2Y XY im--Y (m-1)* erit £- Y (1-4-1)- MEUS Y )zO (n-4-1)-Y 2)(V m-Y (m - 3j hinc ficile tam 2, quam Y ((n -4- 1)2z - cc) colligentur. rr3. Hinc autem porro concluditur, fore zVn((n--x)zz-ec)- ;a- tT (V (12-1 4- V. n CY mc Y (m-x)y* — zeces V1 1)- Yn) Y m— V(n-1i)?* At (i ponatur breuitatis gratia Y (m-i1- Y(m— y) — M, et Y n4- Y (n-- 3)— N, erit z — E: ( M"N—M-N^), et ccyn. y — Y(maa-- ass; M*-M^»(MN*4-M*N7) ficque problema non difficulter conftruitur, dummodo exponens |. fuerit rationalis. I14. Haec igitur exempla. füfficiant vfüm, nouae methodi, quam adumbraui , oftendiffe ; etíi enim haec eadem exempla methodo coníueta iam fint foluta , ta- men non folum ad calculos admodum intricatos deue- niri OVADRATVRAS COMPARANDI. | 127 niri folet , fed etiam integratione , qua formulae diffe- rentiales, vel ad quadraturam circuli, vel ad logarithmos reducantur , abfolute eft opus. Huius igitur nouae me- thodi infigne commodum in hoc confiftit, quod eius beneficio eadem problemata, tam fine laboriofo calculo, quam fine vlla integratione refolui queant ; quam ob caufam inde merito multo maiora ac íublimiora expe- Gare licet, quae vim omnium confuetarum | methodo- rum penitus fuperent. COuGETUMUyOUAU om Wueceur o uer RO MRey apemceermceamecol o apetece 7E] c et pueecr| VIvIuo 7 noz Gmel Mes COFGECIKCS wu CAE DE- 128 4 Ee (o oy SEM DEMONSTRATIO THEOREMATIS ET SOLVTIO pe ioo IN ACTIS ERVD. LIPSIENSIBVS PROPOSITORVM. Auctore L EVLERO. "ees iftud et Problema verfantur circa arcus elipticos ; illo femitüs ellipfeos quaeque ita feca- tur, vt partium differentia fit geometrice affigaibilis hoc vero conítructio geometrica arcus poftulatur, qui fit Ííemiffis quadrantis elliptici. — Tam | demonftratio TTheorematis, quam folutio Problematis, fequuntur ex iis, quae iam aliquoties de comparatione linearum curua- rum praelegi ; et quoniam methodus, qua hoc arga- mentum pertracaui , non folum noua, fed etiam plu- rimum recondita videbatur, has propofitiones ideo pu- blicare conftitueram , vt. alii quoque vires íuss in iis euoluendis exercerent , nouisque methodis, quibus forte eo pertingerent , fines Analyfeos amplificaren. — Cum autem nemo adhuc (it inuentus , qui hoc negotium cum fücceffu fuíceperit , «etiamfi vix dubitare liceat , quin plurcs id (ruftra tentaucrint , merito mihi quidem inde concludere videor, praeter methodum, qua ego fum vías, vix vllam aliam viam ad huiusmodi ípecu- liiones patere. — Quia enim h ec methodus perquam ingirede , et quafi per ambages procedit, neque werifi- mile DFMONST. THEOREM. ET SOL. PROBL. 1259 mile fit, eam cuiquam , qui huiusmodi problemata fit aggreffurus, vnquam in mentem venire, mirum non e(t, has quaeftiones ab aliis intactas effe relictas. Etfi igtur iam aliquot ípecimina huius methodi fingularis ediderim , tamen operae pretium fore arbitror, fi eius explicationem magis illuftrauero , atque ad enodationem Problematis ac "heorematis propofii, accuratius accom- modauero, vt ea, faepius tractando, magis trita et fa- miliaris reddator. ^ Cum enim eius ope. ad maxime abfíconditas proprietates ellipfis aliarumque curuarum, quafi inopinato fim deductus, nullum eft dubium, quin in ea plurma alia profündifümae indaginis continean- tur, quae non nifi poft frequentiorem tractionem inde eruere liceat. Lemma. I. I. Si binae varibiles x et y ita a fe inuicem pendeant, vt fit: o —a-L- (xx -- yy)-- 2 y xy A- 8 x xyy erit fiue (imma, fiue differentia, harum formularum ín- tegralium IO MEASURE US TER joies 1 Ld RUNE Jg v(—aB--CYy- a5 —DB) )y-B6*) — f v(-aB-- Cy -o8 - BB) Bx ) aequalis quantitau. confítanti. Demonfítratio. Cum euim fit o—a-r-Q xx -d-y) -- 2 y xy -- Ó xxyy, erit inde vtramque radicem extrahendo : — yxcy(-ag--(yy-a$ —88)x x—-B$x*) J'— B -- 9 xx y ——dXEvCagOYy-a8-80y»-8859 "T*T .BAa-9yy Tom. VII. Nou. Com. R Ynde 109 DEMONSTRATIO THEOREM ATIS vnde fequitur fore : Bv -I- y x4-8 xxyz 4- V(-a8-t- Cy y -83 -BQ ex qiu) Bx tyi 9x yy Y Ca B a- Gy'y 69 88) 7- gà7*) Quodfi vero aequatio propofia differentietur, orietur: o — Q vdv-- dy -1- y vdx-A-yxdy 4-9 xyrd v-9 xy dy feu o—d x (8x -- y. y 4-9 xy y) A-4y Gy A- y X-3- 9x Xy) quae abit E hanc : dx (TEL pn xs ee co led eant Subftituantur loco denomiaatorum formulae illae irratio- nales, vt prodeant duo membra differentialia, in quibus variabiles x et y fint a fe inuicem feparatae , ac fu- mendis integralibus obtinebitur : s cei ia de MH Um dest T PE Á ica orca -B8)55-857*) 3 / VC EYTCECES) xx-852*)— C Onft. Coroll. r. 2. Summa harum formulirum — integralium — erit conftans, fi i0 vtraque radicis extractione figais radica- libus paria tribuantur figua ; íin autem figna ftatuantur difparia , tum differentia formulium —integralium erit conftans. Coroll. 2. 5 Si ponamus: —a —Ak; yy-—aó—Qg—Bk; —89o—Ck, vnde fiet : Quare fi relatio inter x et y hac aequatione expri- Inatur : i AETPBISEDD EET Ck&--ERQQ 1 Q*)- Ckxxyy erit ET SOLVTIO PROBLEMATIS. . ss erit | J3ozcsoaeom zh xuccsssspen- Contt. Coroll 3$. 4. Subflitutis autem loco o,9,"^y his valoribus, erit — zEV(ACkkA-BRBB-4- B4) 4- B vt(A 4- B zx -- Cx*) ex ^ B8-ckxx —yY(ACkk-- BkQB 4- B*)37 BV k(A -i- By y -4- Cy*) X ^ BB—ChR»»F qui ergo fünt valores illi aequationi integrali conuenien- tes, ct quia in his formulis ine(t conítans arbitraria CEN , eae integrale completum exhibere funt ceníendae. Corgllsas s. Ad has formulas commodiores reddendas , VAR A quia Pun ximo-tip-a --^g , ponatur *P-If et proditit : E xy A(A 34- Bf f -3- Cf4) 4- £f A (A -3- B xx -A- Cx) A—— Gyy aec jJ ox T UE MES -- Bff 34- Cf*; - f V A(A H- By y -- 5*) |OAL—CH»» quae funt radices huius aequationis : o——-A[ff--A (xx-121y)-2 xy V A(A--B f--Cf*) -Cffxx yy C DIE. ou. 6. Si.ergo relatio inter x et y bac aequatione exprimatur : o—-Aff4- A(xx4yy 4- 2x Y A(A B f-- Cf ) -C ffxx yp tum erit : —4* 5 Conft. dax feu NATEIUEEUET de Yy(AA-B xx 4 Cx) —9O0O. R 2 Coroll, [ vazexsyse ty d 132. DEMONSTRATIO THEOREM ATIS Caroll. 5 7. Viciffom ergo fi habeatur haec aequatio dif- ferentialis : ) S em P TFT yC(A--E rpm " relatio inter x et y ita fe habebit, wt fit : Lo zm&y ACA H- Bff 4- C/*) 4- f V A(A A7 Box C xf) —— A— Cfíxx Ja exa A(A up B fore CP A(Acp B yy-ie Cyty [ca i rryu cede Coroell; z. $. Verum propofita hac aequatione differentiali: dy d x Y(h43-85y-4- CJ — V(Ad-Bxx--CA€) — 9 aequatio integralis completa erit : xv A (A 3-B ff-4- Cf*) -- f V A(A-H- Bx x -- Cx*) J—-—— AcsGfcm 8 D qu JA UHCBIS-I- Cf) fil ACH R89 95 C8. [uu ÉÓA—UI DS Scholion. o. Retinebo determinationes huius poflremi ca- fus, quibus effcitur, quod fi relatio inter binas varia- biles x et y fuerit o—- Aff-- A(xx-Pyy)-2xyV A(A--Bf--Cf:)-Cffxxyy, 2 A( c y A(A-3- Bff 4- Cf*) --f V A(A-- Bxx-r-Cx*) iu y. o JE 1 2d C PEERS "o TEES t — 9 Y A(A-- Bff 4- Cf*) — f V A(A 4-B yy 2- C55) spi Vote NEQUE A—Cjffyy tum hanc aequationem differentialem locum habere : EE und BEEN ns y (A2- By y 4- C99) ESZZCU S T X-FG6x*) — 95 feu fumtis Mora. fore : [yip —|TuEREO) T agen ro ET SOLVTIO PROBLEAM ATIS. 133 Pro hoc ergo cafu erit: —- 2A — Cffx x) — x V A(A4-B f f-1-Cf*) Y(A--Bxx-4-Cx) — m et Y (A 47- Byy A- Cy*) — CERCCUDEEEIYNASERI -cj9 ficque fiet : fdy*4A fdx4A dV A-EBÓA-O*) (40/37) A7 XVAU-ESII 4 GP cCfRS) — O* Lemma 2. 10. Eadem manente relatione inter binas varia- biles x et y, vt fit uU DUM ET coram e e Ed Xyy) , feu LL Xy A(A A Bf f A- Cf) H-j V A AO JBxx-J-Cx*) I D'NTIDAUS E Ec Jaocioo — yv A(A 4- Bf f 4- C/*) f V A (A -- By y -1- C) BEDA oro diee GIÀY erit diffentia harum formularum integralium dyQt--95y5) — dx(9 4-95 x») - y (A47 Byy d- C9) 7 J. V (Ada Bxx -4- C x*) geometrice aíhgnabilis. Demon(ítratio. Ad hoc oftendendum ponamus hanc differentiam mW. fit: .dy(4-- 5») — d x (8| -4- 95 x x) EI y(A2 By» -4-C2*) — V(Ada-Bxx--Cx*) — d y . Quare cum fit gura — woa-2x pce, CrIt gw $B(yy—mx)dx ^ SBf(yy—xaja- VA — A A--Bxx--Cx*) — 35 (A— HUE A(A-3-Bjf-3- C] 9* Ponamus iam xy End y: fit y —z; et ^ o———Aff-A- Axx-A- s —2uY A (A-4- Bf A- Cf *)-Cffuu qua aequatione differentiata fit : o-Axdx- A5 o $299 ay ACA -BÉA-Cf *) -C ffudu ; R 3 vnde 1584 DEMONSTRATIO THEOREMA'IS vnde, ob Z—y. per x multiplicando oritur ; d x du X(A—Cjj xx)—xv AG (A-A-B/7--Gj*) — 4(55—xx) quae multiplicata per £5/ ( yy - xxjV A praebet : dV — 8. v Cont. 4-07. Quam ob rem pro formolarum integralium differentia haocbimus: dy(91-4-95y»" — dx(9[-.95xx) | X(A--Byy-a-C2*) da A-4-Bxx4-C4*) — — Conf. dig quae vtique eft geometrice afhgnabilis. Corgllm. 1t. Propofitis ergo duabus formulis integralibus fimilibus d y (9I 4-95») T phienrca x x) J. vY(A—E-Byy4-Cy*) y (^-3-Bxx-tr-Cx*) eiusmodi relatio inter y et y exhiberi poteft, vt ha- rum formulium differentia fiat geometrice affignabilis. e Coroll 2. 2. Hunc fcilicet in finem talis relatio inter varia- biles x et y ftatui debet, vt fit: oz - Aff A- A (xx4-)y)—2 xy Y A(A3- Bff--Cf*) -Cfrxpy cuius aequationis reiolatio cum fit ambigua, capi debet : LX y A(A -- Bff -H- Cf*) 4- fV A (A 4 B x x -I- C x*) "ud ; A—Cffxx we — y V A(A 4d- Bff H- CJ*) — f V A (A H- By y» C »*) PRMRIEEOHN A——Cjjyy 0 007 Coroll. ET SOLVTIO PROBLEMATIS. 135 Coroll. 5. Quemadmodum hic y per x et f, atque X per » et f definitur, iu ctiam fimili modo f per x et y definiri poteft. Erit enim Jv! A (A -4- B x x 4- Cx*) — x V A(A H- By y -- Cy*) o- CA—€xxy) -. vnde patet, fi fit x — o, fore y--f, ex quo caíü con- ftans illap in. valorem ipfius V ingrediens, definiri debet. Scholion. 14. Simili modo demonftrari poteft , etiam ha- rum formularum integralium differentiam dy (3L4-595yy4- €^ 55) 2. deceret gue. V ^ Y (A4-B))2-C)*) y (Ar Bxx 4 Cx^) effe geometrice affignabilem: Pofito enim. xy —u erit: d jn af Jy-vex)- FG 7*-x*)4- 3X 3 5- x5), ideoque dv —í,y35--€ (Jy 31- x x) H- GY(y* A- x xj y o- x*)) At ex aequatione cancnica habemus: u A Cf^ xx--yy c ib) y —É Cf*)4 Cffuu Ponamus bog ros gratia Y A (A-4- Bff-4-Cj *J Fff, vt fit DE rt e "s T (A -- 2 Fu-A- Cup) , eritque ob wd xXyy--xt-(xx--))—uu IN —e pmercunpee »Fu2-Cuu) ? rj 22 (A 4- 2 Fur Cunu?- - Gy ideoque mgand. » 3 iE E Au-- Fuu-r-iCs)—;$yc 7 noon (AA -2AFI ERA CT2EE i ECEZH-CCuy f Verum XN "Tb. Ilf. Fig. r. :56 DEMONSTRÁATIO THEOREM ATIS Verum pro praefenti inftituto , quo ellipfis nobis eft propofita, formulae in lemmate exhibitae fufficiunt. Lemma . 3. 15. Si C fit centrum ellipfeos , eiusque femiaxes CA—a, CB-— 2; atque ad verticem A ducatur. taa- gens AD, in qua fumatur portio indefinita AZ -— s, et ex Z ad AD perpendicularis erigatur ZI V, erit arcus, huic abfiffüc A Z— z refpondens, AM — f ym b*— (b* —aa) 2 "o Ppb-am ^ Demonítratio. Ponatur Z M — v; et ipfe arcus. AM— 5; erit ex natura ellhpfis : VM-—a- pl irre: hincque d v-—a-zV(bb—szz) et "eet e 2 cum " ds z—Y(dzt*-r- do?) erit 2022 dz p*— (bb—ac)zz -— -— day [rts WHCEBS) —E dí bb—zz * et iii $— Ax. AM —fi Y d integrali ita accepto , vt euanefcat, pofito z— o. Qorolk? 4. 16. Ád hanc formulam cpnrrahipcun ponamus bb-— hic et in fequentibus perpetuo ———75, wt fit q— b V (1 —7), eritque Arcus abíciffae A Z —z refpondens AM —/dzY Mia ; Seu ET SOLVTIO PROBLEMATIS. 155 d z(bb—— Seu cum fit AM-— Y^ — (ic MEE ERES) pw 0 prefio ad noftram formam traGatam / dioe i reducetur ponendo : 9(— bb; $y——n; A—P; B—-—(n--1)5; C— ia vt fit Y(A-- Bzz-- Cz*) Y (bó —z2)(66—n2zz). Coroll 2. 17. Cum ob a—AY(r—m fit do— yos) et dj—dzVPP— 2, erit anguli AMZ. nus —— 25 76b —zz2z "epo MAPS: 2y(—n MILD ET ——d-—.Xbbeaazo GUUSDBUNS — dx | X(bb—zz EL .uB t quas formulas probe notaffe juuabit bb zz fimus: AM ZZEM IL SY o n) «ofns AMZ-— y4(bb—nmnzz) tang AMZ— XU. Corolb * 18. Defignabo porro arcum A M, qui abfciffae cuique AZ--z refpondet, hac expreffone II: z, wt i AM-—ILU Sz TEE Hinc fi variae ab- fciffae ponantur AF—f; AP—5; AQ—4; ARZzv; AD—AE—? erunt arcus refpondentes : Af-II:f; Ap-II:p; Aq-II:45 Ar-IT:7; AMBZ-IT:;Z. Goroll. 24. 19. Hoc modo euam arcus, qui non in puncto À terminantur, commode exprimi poterunt ; fic enim erit : 'Tom. VII. Nou. Com. 5 arcus 158 DEMONSTRATIO THEOREMATIS arcusf —II :p —I1 : f; arcus p4—11: q— II : fe arcus 47 — II: r—II: 4; arcus pr —I1 :r— II: item arcus bp — II: 9—I1:5; arcus Bq—I1:5--II:4 Denotat enim II: arcum totius quadrantis AM B ; ideoque 4 I1: 2 totam ellipfis peripheriam. Problema r. "Es. PIT. 20. Propofito in ellipi arcu Af in vertice A Fi t. terminato, ab alio quouis pun&o f arcum abfcindere $4, qui ab illo arcu Af diícrepet quantitate geometrice affiguabili. Solutio. Pofitis abfcifis , quae; punctis f, f et 4 refpon- dent, AF—f; AP—5; et AQ—4, ex datis f et p conuenienter determinari oportet 4. ^ Cum igitur pro lemmate fecundo fit [—45b, $y——n; A—b*; B--(n- 1)55, et Cz capiatur 4 ita , vt fit: — bbp v (bb —ffybb —nff) - bb f V65— ppyb b —nbp) "opo ee ao ertque per lemmatis conclufionem : IINASS EE Rqg: quar PO GARTEN Mq: Jda— Vui dpy Conft. — b —pp— bb * At eft fdqV s z2M—n:q et Jdpv;;u-n.: : f, vnde II;g—1EÉ:A— Conít — E vbi tantum íüpereft, vt conítans debite definiatur. "Ve- mum; quia pofito $—0o, fit q—f, ad quem ca(um aequas ET SOLVTIO PROPBLEMATIS. 139 sequatione translata fiet : IT: f — Confl. quo valore ine troducto habebimus: Tied Dr £— BH fü Ar :p4—Atrc : Af — 114. Coroll. 1. ?1. Quia vero eidem abfíciffae A Q— 4, bina E €llipfi puncta 4 refpondent, ad hoc pun&um perfecte determinandum , etiam applicatae Q4 magnitudo defi- - nir debet: Eft vero Q4-a—;-Y bb-qq)-(b-Y (bb-qqy)Y (x -n), et b3 y (bb —ffXbb —ppi--bfpy(bb—u bb — nff B5 — up Y(b b— —4 4)— WINNER - np — "Tum etiam notari meretur Y Ung eee ARP rw (05 fr5t—5 —— ————— — ÓÁ—— e—— m————— fi igitur valor ipfius Y (»5—44) fit negatiuus, punctum 4 in fuperiori ellipfis quadrante capi dcbct. Coroll 25. 22. Hic igitur primo relatio notari debet, quae inter tria puncta f, p et 4 intercedit, quae ita efl com- parata, vt ex binis datis tertium inueniri pofíit : I. Si f et f fint data , erit LL bbpyb— ff) 66 nf 9c bf 6b — pp Ob app) x es E WIL: cy 1 ) b3 4 (bb —ff)(bb —pp—bfpy(hb—nff)bUnpb Y(b5- LI CE NENNT IUS yr ) b5v(bb-nffbb-npp —nbfpy(bb—ffXbbepp Y(b - -244)— P —ujbPP S 2 II. Si 140 DEMONSTRATIO THEOREM ATIS IL Si f et 4 fint data , erit: — bbqy bb 55 — nf) —hbfvibb e qdb5—nqdi — ; d ad 065 — nffQqq ) D3y(bb —f fb b— 24) -- bfq v bb —nff)bb—nqa b de uU UTC ER b*—-njjqq — a: yh nf fob 2 0-- abfq bb fob qq IIL. Si p et 4 fint data, erit: EETPTIETITPSTPENTITITRIT TEETE : 5 NDDAMRE. b V(b b — ppy(bb —43) -1-bpa V (bb —npp(bb—nqaq) Y (bb —ff)— iat m PHerW s : —— 63 y(b b —nppyíbb —nqq--nbpqv(bb—pp(bbo14 Y(bó—nff)— Phe TIE opt Ob c pps Hae autem formulae omnes ex hac nafcuntur: o——b'ff A- b*pp-1-8*q4— 2 bb pq V (05— ff (bb -n fP)-nffbbag quae adeo ad hanc rationalem, in qua f,p, et 4 aequa- liter infünt , reducitur ; o — /'( f*-r-p*231-4')H-4(n-1- 3999 bp qq 2 (ff/b 3-44 --Dp44)—2n5' fbpqa( ff-xi-pp--44)ytnnj pet Coroll. 35. 25. Harum formularum igitur ope, fi trium punctorum f,$ et 4 data fint bina quaecunque, teruum inueniri poterit, vt arcuum Af et 4 differentia geo- metrice fiat afüignabilis: Erit enim Arc. Af — Arc. 94— Arc. Ap — Arc. fq — 04, Coroll. 4. 24. Denotat autem 5 Gmiaxede ellipfis CB, et pofito altero CA —, fecimus ^5; —:—n; vade fi n-o ellipfis ET SOL/TIO PROBLEM ATIS. | 141 ellipfis. abit in circulum , €t arcuum affigoatorum diffe- rentia euanefcit. — Ellipfis autem abibit in. parobolam , cuius femiparameter — e, fi bb—4c, et azzev: Hoc k C 0 a "T Li : Boca Bebe er o6. pao--u. 1d60que bb n—-bbeYv(bb-g)-—s,Vübb-nf)-c5VGa-Ey vnde formulae fupsriores ad parabolam trans&rri —po- terunt. Coroll. 5. 25. Si exsdem formulas ad hyperbolam | accom- modare velimus, íemiaxem 2 ita imaginarium ftatui oportet, vt eius quadratum 4 fiat quantitas negatiua., Seu, quod eodem redit , in noflris formulis vbique loco bb Ícnbatur —545, et femiaxis 2 capiatur negatiue, tum vero 7 erit numerus vnitate maior. Problema 2. 26. In quadrante elliptico A B, dato pun&o quo- Tib. my. cunque f, inuenire aliud pun&um g, vt arcuum Af «t Fg. a. Be differentia fit geometrice affignabilis. Solutio. Ex praecedente problemate hoc facile refoluitur ; pofitis. enim femiaxibus CA—4, CB —^2 et^ z;*— n, puncum 4 in praecedente problemate in B vsque promoueri oportet, vt fiat q—6; tum fint abíciffae fuper tangeote A D vel axe. A B. fumtae, punctis f ct g refpondentes, AF — Cf—f et AG—C65—g, ita. vt, quod ante erat f, nunc fit g, atque ex dato pun&o f 63 deter- x14 DEMONSTRATIO THEOREM ATIS determinatio puncti g per formulas ($. 22.) iia (e ba- beuit, ob f —g et 4—4. LB yb fb aff) p ybb- 5. Dt mss pESC bb —nff* j LL bbj (bb —nff)bb—nbb) .. bfv(r—n) Y(bb —gg)— — i —sxbi nbbjf — JQbe-uff) bsy(bb—nfJ)bb—nbb) — bby (v —n) V(Bb—hgk) -— Ew, D. o —-— qQb5-uffy Vnde fi anguli , quos applicate Ff et Gg cum curua faciunt, ia computum ducantur, erit g— b fin AfF et f—» (n AgG. Atque hinc fequitur ifta conftrucio pro punco g inue- niendo: Ad punctum f ducatur tangens f T, donec axi CA producto occurrat in T, tum in ea, fi opus eft, produda capiatur T V — CB—4, et per V agatur recta (5G axi CA parallela, erítque pun&um g qunaefitum, ia vt arcuum Af «et Dg differentia fit geometrice afhgnabilis. — Verum ex problemate praecedente, ob p—g et 4—.D , erit haec differentia : Arc. Af — Arc. Be — "f —nf Vis. Ad quam conítruendam notetur effe ; bb— nff b ER » di—jff et ex natura ellipfis : ab bb4 (1—n) C'T—jv55znypy m y(PRRIDY Hinc fi ex centro ellipfis C in tangentem Ff demit. tatur poro b ob ang. CTS—ang. AfF, eiusque finum uii Lt —À €t cofinum — Vues erit TSCDIMCLS- vii. UL -55,j hincque m — bf-nff-bbj-i-nbbf ^ — nfibb-jf) bb-—i4f Sf— T f —Ts— (G3 y8i—5)— V65-306b-397) — f V sicat Portio ET SOLVTIO PROBLEMATIS. 143 Portio igitur tangentis f S, inter perpeudiculum CS. et pun&um contactus f coutenta, praebeoit GHicie pau ap- cuum Af et Bg , ita vt fit: Arc. Af — Arc. Bg — Arc. Ag— Arc Df — Sf. Coroll. "1 29. Haec diffrendia arcuum facilius — inueniri poteft, ( in f ad tangentem ducatur normalis f &; tum enim ex natura ellipfis ftatim conftat, effe C-—f —$i;f-nf Quare cum CS ipfi &f fit parallela, et pgulos BCS--CTS-TfF, eiusque ergo finus —Y 5 I^, etit Sf—CóünBCS—nfY i. CorolIL:; e. 28. Simili modo ex punco g definietur pun- c&um f; íi enim ad g ducatur tangens vsque ad axem CA, atque ab interíe&ione eius cum axe in ea capia- tur portio alteri femiaxi CB aequalis, haec praecife im recta Ff terminabitur, ideoque punctum f'monttiabit. Coroll 5. . £9. Conftru&io ergo pundi g ex dato puncto f ita fe habebit: Ad punctum f ducatur tangens, axí CA produ&o occurrens in T, im eaque a T abfcinda- tur portio T V, femiaxi CB diuidi) et rea G5 axi CA parallela, per punctum V acta, in ellipfi pun&um . quaefitum g definiet. Tum "enim, fi ex centro ellipfis C in illam tangentem perpendiculum CS demittatuf , erit "Tab. IIT. Fig. 5. :44 DEMONSTRÁATIO THEOREM ATIS erit Arc. Af — Arc. Bg— Redctae. Sf, hincque etiam Arc. Af— RectafS — Arc. Bg. Coroll. 4. 30. Cafüs notabilis eft, quo bina punda f et g in vnum colliquefcunt , ita vt arcus quadrans AfD in puncto f ita fecari iubeatur, vt partium .Af «et Bf differentia fiat geometrice affignabili. — Hunc in finem bb—fi ponatur in folutione z—f, vnde fit f—bY;;— hincqee 255ff —nf*—b', et 5-i-4-Ya -n-. Quare S" puncto hoc f capi debet abfcifa AF—f —bY -LP: atque, ob Y Eo — t , erit partium diffe- rentia Af—Bf— 9 — 175, que cum. fit »à— 75; , abit in Af —Bf—5—a, ita vt aequalis euadat diffe- rentiae femiaxium, ' Vnde pun&o f hoc modo definito, vt fit f —L Y —, erit etiam AC-L-AT—DBC-1- Bf fen du&o radio Cf ambo trilinea ACf . et BCf piri perimetro includuntur. Coroll.. 5. 51. Quia fupra habuimus CT—;— , erit pro praefenti cafü.C T — V (24-41-42) ob. ff—;43; vnde fequens concinna puncti f conftru&io deducitur. Bife&o. femiaxe. BC in. O, interuallo O T zOC--AC, definiatur in. C A. producta punctum T, vnde interuallo Tf-— BC.pun&um f in ellipfi defignetur: eritque f. pun&um. quaefitum, et recta Tf eius tangens, | Proble- ET SOLVTIO PROBLEMATIS. | x45 Prpblema. 3: 32. Propofita femiellipü ABa, in eaque fumto Tab. YI. quocunque puncto $, definire pun&um 4 ita, vt arcus Fig. 4. $D4 difrat a quadrante elliptco AD quantitate geometrice affignabili. Solutio. "Pofiti; vt ha&enus, femiaxibas CA—«, CB—? : bb— : : d «t ad abbreuiandum .4— —5— , in folutione problematis primi promoueatur punctum f in DB vsque, eritque vi eius arcuum .A D :et $4 diffzrentia geometrice affignabi- lis, vti requiritur. — Demiffis ergo ad tangentem AD ex p et. perpendiculis 5 P «et 4 , fint AP-—f et AQ--4, atque ob f—5 habebimus ex (22) — by b5-ppybb—npp) ..., Vbb— pb bb—npp bb-npp -pV(bb—nbbybb-npp) .-bpv(1—n) Yb- ^ o Nem ri WI bb—-nupp — wv(bb-npp) cnius quantitatis fignum — indicat, vlteriorem interfectio- nem perpendicui Q K pro pun&o 4 accipi oportere, fecus atque in problemate praecedente. ^ Cum igitur bb —pp . pp €Xprimat finum anguli, quem applicata PP cum curua facit, erit qg—^2 (in ApP. — Ad Q4, fi opus eft, productum , ex centro C dirigatur recta CK, UNE abo cn b aequidlis, vt fit CK—2, eritque 1.— 6x — (in ApP, hincque fin CKQ— fin ApP et CKQ-—4Ap2P. Ex quo patet rectam CK — parallelam fore tangenti in puncto $. Quare iuncta Cf, eaque, vt femidiametro fpectata, erit CL. eius (íemidiameter con- iugata, in qua proinde produ&a, fi capiatur CK — C B, 1om. VII. Nou. Com. T perpen- 1466: DEMONSTRATIO THEOR EMATIS perpendiculum KQ. ad CB .demiffum. in ellipfi . definiet« bb— pun&um 4. Quo inuento ob f—2; et.q—46Y — : erit arcuum. differentia : Arc. A B — Arc. pq — S —npVs i —np iA pP. Ducatur ad ellipfin in f normalis 9t, erit C9g— p, et. produda p9t in NN angulus C 9t N — ang. ApP: quire cum haec pNN fütura fit normalis in . diametrum coniugatam CL, erit CIN —2pínApP; vnde demiffo . ex p in CL perpendiculo,,. interuallum C N . aequabitur differentiae. illorum arcuum; ita vt fit: Arc. AB — Arc. 94 — CN... Goroll r.. 33. Cum.igitur. punctum. 5. pro lubitu. affumi : peffit, infiniti arcus p4 exhiberi poffunt, qui a. qua-. drante A B - differunt quantitate geometrice affignabili. Quare etiam hi arcus inter fe different quantitate. geo-.- metrice. aflignabili. CorolLl. ;. 34. Ex- dato ergo puncto 9 pun&um 4 ita de-- fnitur: Ad du&am C iungatur. femidiameter coniu-: gata- CL in K.producenda, vt fiat. CK aequalis femi-- axi CB, ad. quem. ex .K : perpendiculum. demittatur KQ, ellipfin fecans..in. 4,' erit 4-punétum- quaefitum. Atque. demiffo ex. 5. in CL perpendiculo 9 N , erit ferog qs Coroll. : '"ÉT *SOLYTIO PROBLEMATIS. x43 Gorellc x | 55. Quoties perpendiculum pN intra C et. K E. * ^eadit, arcus $4 erit minor quadrante A B, contra au- E. 'tem , fi ad alteram partem cadit , maior. ta fi prius "punc&um in zr.detur, et rectae Co conueniat femidia- :meter coniugata CL, qua produ&a in K, vt fit "CK—CB, et ex K ad CB, demiflo perpendiculo K Q. :fecante ellipfin in 4, quia hic perpendiculum 7v in CL demiffum ad alteram partem ' cadit, erit arcus z 4 — arcu A D—Cy. 'heorema. demonftrandum. 56. Si ellipis ABa(9 diametro quacunque 7t Fig. s. "fnerit -bife&ta , ad eamque ducatur diameter coniugata LA, cuius femiffis CL. producatur in K, vt. fiat CK alteri femiaxi principali CB aequalis, ad quem ex K -demittatur perpendiculum K Q , ellipfin fecans in 7, tum -ellipfis femiperimeter.pBL o ita fecabiur in -4, wt partium a4 ct pD4 differentia (it geometrice affigna- bilis Ductis enim ex $ et v ad diametrum coniuga- :tam LA mnormaliba 9N et m», interuallum Ny illi differentiae ita.aequabitur, vt fit Arc. a4 — Arc. pD4 Ny. Demonftratio. Quia CL eft femidiameter coniugata conueniens *femidiametro Cp, ex conftructione , qua pun&um 4 eft «definitum , patet per $. 34. fore: Arc. AB— Arc. 4 — CN. Te —. JDeinde 1:48 DEMONSTRATIO TH EOREM ATIS Deinde, quia CL eft quoque fémidiameter coniugata: conueniens femidiametro. Cz, ex $6. 85. patet cffe Arc. q— Arc. AB — Cy. Addantur hae duae aequationes, ac refultabit- Arc. T 4 — Arc. pq — CN 4- Cy — Ny; Coroll.. 57. Perinde e(t; vtri femiaxi principali femidiae- meter CL producta, eiusue portio, aequalis capiatur ,. dummodo. ex. eius termino. ad. eum ipfum. axem. per- pendiculum demittatur. Ita in CL potuiffet abícindi: portio C& femiaxi minori Ca aequalis; reca enim: qh4, per k& ad Cao normaliter. duda, in ellipti/| idem: punctum 4 prodidiffet.. Scholion. 58. En ergo. demonítrationem completam Theo: rematis in Actis Erud. Lipf. propofiti , quae ita eft comparata, vt nullo. modo ex vulgaribus ellipfis pro- prietatibus deriuari potuiffet, neque etiam Analy(íis in- finitorum multum. auxilii: attulerit, nii hoc ipfo modo, quo hic fum: vfus ,. in. fübfidium. vocetur. Ex profun- dis quidem fpeculationibus. Ill. Comitis Fagnani hanc quoque demonítrationem deducere liceret ; verum inde. vix via pateret , ad problema ibidem propofitum refol- vendum, in cuius ergo gradam Ííequentia funt prae.- mittenda. l'roblema" 45 "Tib. IV; 59. Arcum ellipticum quemcunque Ag ad. alte-- Eig. 1..rum axem principalem in zs terminatum ità. fecare. in: Jiu ET. SOLVTIO' PROBLEMA ATIS. 149 f» vt partium Af et fg differentia. Git geometrice a(fignabilis, Solutio. Pofitis dau CAc-a, CB-2, et breuita- di gratia g—P - 7; —, in verticis A tangente AD íü- mantur abíciffae , ac ponatur abíciffa toti arcui Ag dato refpondens A G—g , quaefita autem , quae puncto f reífpondeat, fit AF—f. Cum igitur differentia arcuum Af et fg debeat effe geometrice: aflgnab'lis, quaeftio continetur in. Probl. l..fümendo ibi p —f, et ponendo q-—8g, vnde: obtinebimus: has: formulas : z2bbfy (bb —f f)(bb—nff) rite A ptg peeugpeeen — bSbb—ff) —bff(bb—nff)' ., b(b*—sbb ff-i-nf*) uU c rum IN L-- PEeAT T b3(5b —nff ) —bff (bb —f, b(b* o nbbff A-nf*y: Y(bb—ngg)—-— zn aem E —À e TTA "ES E Ex quibus: combinatione: oritur : (1—n)b (b* 4-n7*) Y(bb—ngg)—nY(bb—gg)——-«-- hincque: nf* . V(bb—ngg)—nwv(bb —gg)—(,—m5 b* — J(bb—nugg)—nuy(bé—gg)H-Q —n)b quae formula reducitur ad nnf* | (vbb—ngg)—nv(bb—gg)—(r—n)byz —— MM ——— ——— MMà———— ——— b* ^ — 4bb (i n)gg — 2 y(5b — g gXbb —ng gl vnde radice quadrata extracta fit ; nff . V(bb—ngg)—ny(bb —gg)—(1—n)b:. -b- V(b6—gg)yb— v(bb-ngg y ——À ——MSÓ M M. uWI—— bb. v(éb—ngg)—V(b6—88). — - £8 ex qua porro. elicimus :: bb—nff —.(1—nXb—w(bb—sg)'—.. (b—V(bb—gg)v(bb—ngg(A- V(bb-g2) » —— —— ————9e9: ib — (bb-ngg)- Y(bb-gg) — et wUb-ff) — (i—n)Xb—v(bb—ngg) ..— (b-v (bb-ngg)(v (bb-ngg)-i-V(bb-gg)) T aps Y (bb—ng8)— Y(bb-gg) Dm £8 T5, Punctum 350 DEMONSTRATIO THEOREM ATIS Puncum igitur quaefitum :f ita. determinabitur, vt-fit: f gysY (b— Y 05— gg))ó—V (03—ngg)) Y(6-)— gs Y 0—Y 0b—ngg)X Y 05 ge)--Y (Un-ag)) Vbb-nff )—.?- Y (B-V (Bb— g)) (V(Bb- g&)4-V(bb-g g) Verum hoc pun&o f ita determinato, ob p—f et 4-£, pattium inuentarum differentia erit Atc. AK Arc. f g — "116 — UcX0h-e ey Ob neg) iCorol. a. 40. Cafüm huius problematis iam | foluimus (6. 30), quo arcus fecandu: Ag toti quadranti A B affa- mitur aequaiis Si enim ponamus .g— 2, reperietur, vt ibi, fcayisteno iy en te «t partium differentia prodit -—2—5Y (x —2)—46—«. Coroll. 5 4I. Si arcus.dati Ag alter .terminus in fuperiori quadrante exifiat, eique eadem abícifía AG—z refpon- deat, eaedem hae formulae valent , nifi quod valor radical Y (255—292) negatiue capi debeat , radicali V(b5—ngg) non mutato. Giorobll 42. Ita fi proponatur tota femiperipheria , rit 4—90, et Y (bb—gg)-c—5b, vnde pro hoc cafü ob- itinebitur : f— gys Y o b(b —Y(bb—ngg)) —b fcilicet M ED' SOLVTIO PROBEEMATIS.:. xsv fcilicet arcus A f. abibit in quadrantem ellipfi. Sin au- tem integra ellipfis- peripheria ;proponeretur , tum eflet et g—0o et. Y (bb—gg)— --5£, ficque valor ipfius f ptodiret: euanefcens, at pro Y (55 —ff) capi deberet —2: Problema. 5. 48. Propofito in ellipi arcu Ag altero ^ termino A, in axe principali terminato afhgnare arcum 4, qui - fit. praeci(e femiffis. arcus. dati. A g,;- Solutio: Manentibüs' füperioribus denominationibus, fint ab- fciffae, punétis et 4 refpondentes, AP — f, et AQ-4, atque ex puncto f, quafi effet datum, quaeratur q, wt differentia arcuum Af et p4 fiat geometrice afbignabilis, tum enim. quoque differentia arcuum fg et 54 geome- trice affgnari poterit, fiquidem fecundum problema. praecedens -areus "datus -A g,. pro: quo eft AG —zg , ita- fectus eft in f, vt parium Af.et fg differentia fit geometrice . afhgnabilis. Hunc ergo in fnem: effe. debet q— PY e El i feu oz P(pp-1-44—f)- 360pqV (0b f 65—nff )-nf2pa4:/ Quo facto erit Arc. Af - Arc. p q—* - 1-4. ideoque 2ArcAf— 2 Arc.pq— HE Af :ex:problemate praecedente habemus-:- Arc. Af — Arc. fg 25 :52. DEMONSTRATIO THEOREM ATIS qua aequatione ab illa fubtra&ta relinquitur : - L.anfpg njffg Ar.Ag—2AÀ:r.pq— i5 — db Quae differentia cum in nihilum abire debeat, habe- bimus : anfpq—nfg ct 2pq—f&g- Pro p4 fubftituatur ifte valor ;fg, et obtinebimus b'(pp3-qd) - Fff-A-bbfg Y b —ff Ja b-nffyinf'gg exiftente qc HMM , vd potus pro f introducatur valor ante inuentus: f-guV6—Y (0—88)(5 —Y(55—n£8) vnde fit: (o ffX0b-nfr 8840 cte (bv ge) Y 0b-n) Poflea vero ambae abíciffae 5 et 4 ex .hac aequatione — igg(j—nf*) habebimus: Y rf A- i fg3- gg — nf 80 p--4— eR UE en LV Utff- br fecic ibgg infe) jM DIS UN UU NE vnde wtraque abíciffa p et 4 feorfim facile affignatur. GotrolLl. t: 44. Si quantitatem fübfidiariam f penitus elimi- nemus, perueniemus ad has duas formulas : Dpt44 ET SOLVTIO PROBLEAMATIS. 155 25-—-44—xg50-YGb—g2)(b—Y(b—ngg)) in (5bb-I-3bY (bb-g £)4-35Y (bb-ngg)--V (bb-eg Ub-ng g)) 254—5j Y (&—Y (bb —gg)(b—Y(ba—nug&)- Coroll 2. 45. Si arcus propofitus Ag fit femiperipheriae aequalis, ideoque g—o et Y(bb —gg)--b, et V bb-ngg) -—í—"EE&. fiet pro hoc cafu: ry iae e" e 2pg-—bpg—o ideoque p— 0o et q4—4. Arcus flicet 94 abibit in quadrantem ' A D, vt natura rei pof(tulat. Problema foluendum. .46. In quadrante elliptico AB, arcum affignare EU íV, 4, qui praecife fit femifüis arcus quadrantis A B. E Solutio. Ponantur ellipfis femiaxes CA—2, CDB—27, fit- que breuiatis gratia —7;^— m. "Tum ad A ducatur tangens, in eamque ex punctis quaefitis p et 4 demiffa concipiantur perpendicua 9P et 4Q^, vocenturque AFP-p et AQ—4. lam manifeftum eít, hoc proble- ma effe cafum praecedentis, quo punctum g in B affu. mitur, ita vt boc fit g—4. Quo valore indudto formulae ($. 44.) praebebunt $5--44——XS -Gbb- dS et 2pgq— V Ez E td Tom. VII. Nou. Com. V At 1:54 DEMONSTRÁATIO THEOREMATIS -— E e Te At obe eft Y (1—7) — 5- et 1 — Eu vnde fiet : zx 50s bp-t-44— hincque : 38 4- «v b(a -- b) qdH-p—ibY-— Dur a--b5. ft: sb--sa-s yb(a-4- B) EEOL-IAVUM p Med ipfae abfciffae erunt: Bp, y stb i py Seen) ut IO q--5 a 4-6 En sb-4- 3a-1-« Vb(a-4-b) 5b-4- 32 — i Vi (a4 D) A [2-5 ib Yurus ü -pUBAEX Eis pYir qub qui ambo valores geometrice per circinum et regulam conftrai poffunt. ; Haecque eft folutio adaequata problematis in Actis Erud. Lipfenfibus propofiti. Cotroll ir 47. Si diftantiae binoram punctorum f$ et 4 a centro ellipfis defiderentur, notetur pofita AP—f fore EO! (4r PPP» atque hinc colligitur fore y(saa— 2a5-3- 555 -4-(a—by( V (oaa-4-: ab-3- 9bb) C D— pe. 2 ECC. 2 Ca (saa— 2 ab-4- sbb-3-(b—a)V ( 9223-1 4 ab-4- bb) q— 2 TUE 2 d GC oroll..5 48. Ambae abíciffu;ie 5 et 4 ctiam hoc modo ad conílructionem fortaffe aptius exprimi poffunt, vt fit : by sb-3- sa—V(928-1- 1 «ab-3- gbb)) A P —p-— 2V (MR TECUM , Lo 4 Uby(sb--sa-r- V (922-4 4ab-4-9b » A Q-— 4— ay 2 (2-4-5) Coroll. ET SOLVTIO PROBLEM ATIS. 155 Coroll 35. 49. Si ad puncta p et 4 tangentes ducantur ad occurfum axis CA, magnitudo harum tangerctium com- mode exprimitur. Reperietur enim CERO y(oad-4- 14ab-4- gb) — 3a—b RE C 4 l 2-2 40b- cbD4-:a4-b pro puncto autem 4 erit cadem tangens — Vis iatbesbiusn t, Corall. 4. 50. Concipiatur tangens T. ad alterum vsque axem CD continuata, et concurfus littera € — notari, eritque permutatis literis 2 et à: — V(oaa-1-14a5-1- sbb)-4-a-1- 3b op x QUERC 4 ideoque O5 —A9-— a -1- P. Oro. 2. 51. Solutio igitur huius problematis ad hanc quaeftionem mere geometricam reducitur : In auadrante elüptico A B. duo eiusmodi puncia p, et q aff;nare , | ita vt ad ea duclis tangentibus Tp ,tq0 quoad axibus produciis occurrant , fit pro vtroque O05 — T9—CA--CB et £2—04—CA-- CB ftu vt differentia partium | vtriusque. tangentis | aequalis fit. Jemijumunae axium. principalium. Hoc problemate conftructo, pun&a 5$ et 4 fimul ita Íunt comparata, vt arcus interceptus 4 ad totum qua- drantem AB rationem teneat fübduplam. V 2 Scholion Tab. IV. Fig. 3. x56 DEMONSTRATIO THEOREM ATIS Scholion. 52. Demonítrato nunc Theoremate, folutoque Problemate, quae in Actis Erud. Lipf. extant propofita, antequam huic inueftigationi finem imponam , proble- ma adhuc multo difficilius pertractabo , quo in ellipfi "arcus aífigaari iubetur , qui totius perimetri ellipíeos fit "Tab. IV. r ig. Iv triens. Quoniam enim faciliime arcus afhgnatur, qui totius perimetri.fit femiffis , vel quadrans, vel ope pro- blematis praecedentis etiam octans , haud parum notatu dignus videtur cafüs, quo triens poftulatur, cuius folutio, etiamfi ob fummam facilitatem , qua res de íemifli et quadrante expeditur , non admodum difficilis videatur, tamen ad inueíligationes perquam prolixas et operofas deducitur , quas fuperare tentabo. TLroblema s 2 53. Datum ellipfis arcum A b, ad alterum axem principalem in A terminatum, ita fecare in duobus punctis f et g, vt trium partium Af, fg ct gb binae quaeuis quantitate geometrice aílignabili difcrepent. Solutio. Ex punctis f, g, b ad re&am AD, quae ellipfia in A tangit, demiffis perpendiculis vocentur abíciffae: AF-—f; AG-—vw.ceWuAH-—BP : quarum haec AH-—— datur, illas vero duis f et g determinari oportet. Cum autem arcuum A f et fg diffe- *entia geometrica efle debeat, erit ex praecedentibus ; —— sbbfN(bb—ffYbb-nff) sS — b*-uf* "^. n — I, et Af - fa — apte ET ET SOLVTIO PROBLEMATIS. 157 Deinde quia arcuum Af et gb differentia debet effe geometrica, erit per formulas fuperiores : Lbbbw (bb ffpb-nff)-bbfv(bb-bb)bb-nbh) pep b et Af-gb— SE. 'Tum igitur quoque tertia differentia erit nÍSrp fs-ab— w(b-f) Quodíá iam .ambo hi valores ipfius g inter fe aequea- tur, obtinebitur aequatio inter f et 5, per quam propte. rea abíciffa f determinabitur, qua inuenta porro abfciffa g innoteícit. Coroll. r. $4. Aequatis autem duobus valoribus ipfius g, eruetur : (b —nfb—2bf-A- 2nfsbb)Vbb—fYbb—nf) *f—-nf)v(bà —-bb(bb—nbb) quae, fümtis vtrinque quadratis, ad duodecimum gradum afcendit. Coroll 2. $5. Si fit 5 —5, feu arcus Ab in D terminetur, habebitur ifta aequatio refoluenda : b—nbf*—2bf--nbbf: —o du nf*—2nbf:A-2bf—b-o. Problema $8. 36. In ellipi arcum 4 affgnare, qui fit tertia rj Iv. pars totius perimnetri ellipfis. * V 3 Solutio, xs. DEMONSTRATIO THEOREM ATIS Solutio. Pofitis femiaxibus CA —2, CB— 4, et breuitatis . ergo pic diuidatur primo tota peripheria ellipfis ia in punctis f et g, vt partium. ABf , faz, g8A differentiae fint geometrice affignabiles. ^ Statuantur his pancis f et g abíciffae refpondentes AF-f et AG--g quatenus haec in plag:m oppofitam cadit. — Problema igitur praecedens ad hunc ca(üm accommodabitur, fi ob pun&um b in ^A incidens ponatur b—o et Y (bb — b by—-tr- b, quo faco habebimus : L abbf4 (bb —ffY(bb—nff) i-i. gl HEP IE om epe f ficeque ert AG— AF-—-f': et ternae partes ellipfis ita different, vt fit: fag—ABf- et ABf—Ag—o. Cum autem fit g— —f erit : 2 bbf V(bb —fF)(bó —nff)——(b—nf9)f vnde quadratis fumtis elicitur : nnf*—6nb' f* 3- 4(n A- 1)55ff— 350! —o. Ad banc aequationem — refoluendam — fingantur — eius factores : (nf* -- Pff-4- Q )(nf* —9ff -- R) —o effeque oportet : —6nb'-n(Q--R)-PP; 4(mrr)F-P(R-Q); -3/-QR cX quibus fit: . 2 R--Q-IPELSU g.Q-IlUEDH vnde ET SOLVTIO PROBLEM ATIS. 159 vnde valores ipfarum Q et R in poftrema aequationé fübítituta praebent : P6—12n5*P*-I- 48nnP* P^ — 16 nn(n-4- 1yà* vbi commode euenit, vt fübtrah:ndo vtrinque 4n cubus relinquatur , cuius radice extracta fiet ; PP—4njt—24*Y enn(x —ny et P—2bY (414-2 Y onn(x —ny) Quo valore fubftituto , reperietur : -sbr(n- Y 2nn(x — ny) R-A-Q-— AU Dey 2 Y (411-2 nYonn(r-n 1-8Y--Y n'(1 - 1-n)) ) R-QLÉI s Deinde vero ipía refolutio fuppeditat : —P--Y( (PP—42Q) .— f --P-I- Y (PP-45 R) et — LÁ —— LL —— —— — — o ——— M— — —— dV. 2n 27 vnde , fübftitutis valoribus inuentis, obtinebitur : T - Y(a.n4- 2Y 2nn(x - ny) 4-V(8n-2Y 2 nn(x- n» -- 4Y(421-2n Y 2n1(1 -ny 4- Y 4n'(1 - n)*?)) mn VM y^ enn(x -ny)-- Y mn- s 172 nn(x-my —4Y(4n1 —2ny2nn(x —nf A- Y 4m(-n/) ex his autem quaternis valoribus alii locum habere nequeunt, nifi qui ff praebeant pofitiuum €t minus quam 2. - Inuento iam valore idoneo pro f, pro puacis quae- fitis ^ et 4 ponantur abfiffie AP—-p et AQ 4, ac ftatuatur : o—ó*(pp-1-44-(f)-2bbpqV (bh-ff bb-n ff )-n]f n» qd le itque x60 DEMONSTRATIO THEOREM ATIS eritque Af—p4—7 4 . hincque 3AÀAf—3pq— ep Supra autem habebamus Af--fg- ga capp ient | Quare vt arcus p4 praecife fit triens totius peripheriae, neceffe eft, vt fit 554—ff, feu 54 — —iff, vnde fit : 55--44—f- YO: — feb —nff)a- 35 hincque porro : 0--3p4pb- f Y Ob- fob nf Fiet ergo : : 4-b— ji Yasb'A-nf-6bbY(bb-ff)(bb- nf) q-2— is Y (3 A- nf'-6bbY(Gbb-ff)Ob-uf). Quia rectangulum p4— —1ff eft negatiuum , patet. bi- narum abfciffirum 5 et 4 alteram effe pofitiuam , alte- ram negatiuum. Cum autem fingulis abíciffis bina cur- vae puncta refpondeant, vtrum conueniat ex valoribus Y(bb—pp) et Y(bb—44) fiue. fint pofitiui, fiue negatiui, dignoícitur. — Eorum autem figna ita comparata effe oportet, vt fatisfiat huic formulae. Y (bb -q4)— by (05 —ffX55 — p 9)— bf p (55 — nffXBb— n py 0* -— nff Pb Cafus s—:; 57. Prae ceteris hic cafüs 29— 1, feu bb — eaa, €ft notatu dignus, quod hoc folo radicale cubicam rationale ET SOLPTIO PROBLEMATIS. | xói wationale euadit. — Erit fcilicet. Y 2nn(x —ny — i, et IP—55Y3; vnde R2-Q—0 et R-Q—2/Y5; ddeoque Q— —2*V3, et R—-1-/Y3. Cum iam fit ff—-—P--V(PP—2Q) et f--PJ-Y(PP—2R) erit £5 —-Y 3--(8-1-2Y3) et IL—-Ya--Y(s- 2Y 3) - Horum quatuor valorum bini pofteriores funt imagi- mari , priorum vero folus pofitiuus locum habet, ita vt fit: [ff—bb(—V3--Y(8-1-2Y3), quia hinc ff 55. «Cum porro punctum f füpra axem cllipfis C B exiftat., «erit Y (bb —ff)— —5 Y (1-A-V3—Y(g-1-2V3)) et Y(bb- -nff) — y:V(2-1-Y 3-Y (3-41-2Y 3) vnde Y (05-ff) (Db-njf )-—5— Y (8-5 Y 3-(34-2Y 3)V (8-2Y 3) fiue Y(bb -HYbb —nff) —-ibb (Y(o-3- 6 Y 3) — 2-Y 3). Cum nunc fit ff/|. —éb(Y(3 4-2 Y3)— V3), erit 2p5qg—-—ibb Y(8-34-2Y3)—V3) et 9p44q4—-ribb(3—iY(9-31- 6Y3)) €X quibus fit | (q-1-py —5bb(4-3--Y 5 —V (3--2 Y 3)-1Y (94-6Y 3) (q—py —ibbi(-1-3-Y 3-1-Y (8-2 Y 3)-3Y (94-6Y 3)) €t radicibus extrac&is q-- p —55Y (3 d- Y3)(6 —2 Y (3 4- 2 Y3)) q—p —ibY(s —V3)(6-4-2Y(3 2-2 Y3)) -. "Tom. VII. Nou. Com. X Hinc 162 DEMONST. THEOR. ET SOIPT. eic Hinc in fractionibus decimalibus erit -—0,81040904/5; f--0,90022472 b Y (bb-ff )—-0:4354205 0, V(bb-nff) —r0,7712300b 2pq-——0,54092727 bb, (qp)—0,48113420b Db3-44— 1,021406905; (q—-p/— 1,5616796 bb qp- 0,6936385 b, ^ p—0,9716548 b $-4- 1,2496712 5; q—-0,2780165 b ques valores pro f et 4 figura propemodum refert: atque ex formula Y (b5—5p) et V(bó—44) inuoluente: intelligitur , punctum f^ infra axem. B, punctum 4 vero fupra eum capi debere. QATLORORAMAd GILALAEERG E.) aEEUEEORIL.LILL UK eESEGGLINET JÉCCT WINS ecu E NS aeseerocescemromiroc upomeÀ CET uo c DE We Co) x6$ DE AEQVATIONIBPBVS DIFFERENTIALIBVS SECVNDE G R.A D Y 5. Auctore L. EVLERO. ^ 1. mnium -quaeftionum , quae quidem in AMathefi WL f(ufcipiuntur, :folutio .duabus conftat partibus, qua- isum :altera iin -€o sverfatur , :vt «conditiones, quibus :quae« iftio .determinatur , :ad :aeqüationes :analyticas perducantur; «quae -folutionem .continere .dicuntur , altera. vero pars 5in ipfa «harum :aequationum :refolatione occupatur. — Si «quaéftio :ad ;Mathefin mixtam, vel applicatam pertineat, rprior pars petend4 :eft ex principiis , «quibus ifta diíci- ;plina Mathematica innititur , :huicque fcientiae quafi eft ;ipropria; -pars :autem pofterior femper ad Anaiyfin jpuram «eft ;referenda ., «cum tota in refolutione aequatio- mumowerfetur. Jta fi quaeftio, vel ex Mechanica , vel ex :Hydrodynamica , vel ex Aftronomia, fuerit defumta, €X principiis :cuique harum difciplinarum — propriis quaeftionem -primum ad aequationes reduci oportet , tum vero iflarum aequationum refolutio artificis , quae quidem in Analyfi comperta habemus, vnice eft relin- quenda. Ex quo fatis eft manifeftum , quanti fit mo« menti Analyfis per cunctas Mathefeos partes. X2 2. Prin- 164 DE AEQVATIONIBYS | 2. Principia autem fere omnium Mathefeos aj plicatae partium iam ita funt euoluta , vt nulla. prope- modum quaeftüio eo pertinens jproferti poffit, cius: folutio non aequationibus comprehendi queat.. Siue enim quaeftio (it de aequilibrio, fiue de motu corporum: cuiuscunque ;indolio, «€am (íalidamm, qnam fluidornm " cum ab aliis, tum a me, principia certiffima füat ftabi- lita , quorum ope femper ad aequationes peruenire licet :- atque fi corpora coeleftia viribus quibuscunque in fí& inuicem agtre ftatuantur, Omnes perturbationes, quae: inde in eorum motibus efficiuntur ; non difficulter ad: aequationes- reuocantur ;, ita vt fi has aequationes refol- vere valeremus:,. nihil amplius: fupereffet, quod in his: fcientiis: defidérari poffet. ^ Quocirca omne. ftudium ,. quod in Mathefin confertur ,. vtilius impendi . nequit ,,. quam fi in. limitibus Analyfeos. promouendis. elabo-- remus. " | 150 3. Quoties autem problema ad. Mathefin. appli: catami pértinens tfactatur , rarifüme. in- aequationes alge- braicas incidimus', quarum refolutio ,. etiamfi. nondum: vlua quartam gradum fit. perducta, tamen. ope approxi-- mationum ita. exacte perfici poteft, vt pro. perfe&a' fit habenda. Perpetuo autem fere deuoluimur. ad- aequa- tiones differentidles , et quidem maximam partem. ad . differentiales fecündi ordinis ;. principia quippe. mecha- nica ftàtim differentialia fecundi gradus: implicant:; ita Yt fine Analyfeos. infimitorum fübfidio, nihil: fere. in his fcientiis praeftari liceat. — Cum autem. in refolutione aequationum differentialium primi gradus non admodum fumus profeci, multo minus eft mirandum,. fi aqua nobis DÍFFERENTIALIBVS SECUNDI GRAD. :65 fiobis haereat , quando quaeftiones ad aeqüationes diffe- rentiales fecundi gradus reducuntur. ^ Regulae enim , quae pro huiusmodi aequationum — refolutione funt in. ventae, et quas mühi equidem vindicare poffum , ita fünt limitatae , vt certis tantüiri cafibus, qui ron ad- fnodum: frequenter Occurrürt , in víum vocari queant. Eininemodi. antem. regoloe | pluree 2vp26C- in Comment. Acad. Petrop. et Vol. VII. Mifcell. Berol. 4. Interim. tamen. iam faepius ciusmodi fe mihi obtulerunt. cafus aequationum differentialium fecundi gra: dus, quas tametfi ope regularum illarum tractare non licuerit , tamen aliude. earum . integralia:— habuerim. perípe&ta ; neque. vlla- via. direda — patebat, qua. haec integralia erui poffent. | Huiusmodi cafus co magis funt notatu. digni ,; quod comparatio illarum aequatio num cum fuis integralibus. tutifhmam. viam. patefacere: videatur ,. earum refolutionem: per certas methodos per- ficiendi; In quo negotio, fi euentus fpem non: fefelle«- rit, nullum eft dubium , quin methodi hunc in finem dete&tae, multo latius pateant, ac noftram facultatem, : aequátiones- differentiales fecundi' gradus tractandi, non mediocriter promoueant. is ergo, quos huiusmodi fludia iuuant , non. ingratum fore arbitror, fi cafus illos mihi oblatos: commemorauero,: vt: occafiotem ' inde adipifcantur,:in hac parte Analyfin amiplificandi , tàri vero ipfe methodos- exponam, quás horum cafuum! contemplatio mihi fuppeditauit.- $. Primum huiusmodi exemplum mihi occür- it in Mechanicae. meae Tom. lI. pig. 465. wbi X 3- Ad: í 166 DE AEQVATIONIBES 3d hanc perueni aequationem differentialem — fecundi gradus ; m—t 2Bxddx—A4Bdx—a"t4pr--pp* in qua diffcrentiale .Zp 'fumtum :e(t conftans. Eius autem integrale aliunde mihi conftibat in hac forma contineri z "ni--1 ndtedes du s( - 1 FI Le exiftente 25^ —(r-Fpp)da--2pxdpdx--xxdfp. Po- teram «etiam notare valorem huius .conítantis C effe —-—(n-1)B. Diu tum temporis operam inutiliter perdidi in methodo .directa indaganda , «cuius ope iftam aequationem. integralem «ex illa .differentiali fecundi gra- dus «eruere poffem , :neque vllum: :artificium «cognitum huc .deducere «eft wifüm. Caeterum notari «conuenit, in- tegrale .hic «exbibitum «tantum «effe ;particulare, «quia non «Continet «quantitatem :conftantem .ab arbitrio inoftro :peu- dentem., .quae per integrationem effet introducta; infa autem oftendam «ob talem .conftantem :adiici pofle huiusmodi terminum E x*2f*. 6. In aliud fimile exemplum incidi in «opufculo- *üm meorum prima collectione pag. 82, vbi motum «corporum in fuüperficiebus mobilibus íüm perfcrutatus - perueni autem in :euolutione .certi «cuiusdam cafus ad hanc aequationem differentialem (fecundi gradus: ddr (F--M kh?0?ds3 — UE LIE Qerr-EFA-:Cu-H uuj -— o vbi differentiale du fumtum .eft «conftans , litterae autem F,G,H, Mk& et 0 denotant quantitates conftantes quascunque. — Nullo modo quoque. huius. :aequationis ünte- DIFFERENTIALIBVS SECVNDI GRAD. 167 fotegrale eruere poteramr, aliunde autem; noueram,, eius: juategrale effe .. Kürriee rco pg e (F-A- 2 Gu4- Hui) — 7 (G4 Hu) --Hqu — EZE y" CHEM, quod quidem etiam eít particulare ,' et quix tantopere e(t complicatum , multo' minus: patet y quomodo: per in- tegrationem: ex illa 4eauatione' erui queat. — Deinceps vero monftrabo, hoc integrale completunr reddi, filoco termini E adiiciatur 5 cL , ità vt C. defignet quan- ticatenmr conffantem, 3: reliquis ,, quae in: aequatione diffe- rentiali: fecundi: gradus infunt ,, plane non: pendentem. 7. Deinde etiam alix problemata tractans, perdu- &us füi ad huiusmodi aequationes differentiales fecundi $radus, quarum! intégratio non parum recondita vide- batur. Veluti huius aequationis differentialis fecundi £radus : | rrddr-Y-rdr!— nfids* fümto elemento 4; conflante , iategrale particulare qui» deny inueni effe : rdr--nrds -3-nnsd s—o quaé quidem; aequatio , quiz binae variabiles *^ et vbique earundem: dimenfionum , per metliodum a me olim exhibitami, tractari poffet. Porro quoque fe mihi obtulit haec aequatio differentio-diffcrentialis : ds (ass-A- Gs-- y) —rrdr?A- 2r! ddr (umtó elemento d; conílante , cuius integrale comple- fum deprehendi effe ; E - -u p. EERE a EREEY, :p gEC purGeeg 2arr quod, i68 — DE AEQVATIONIBFS ^C quod, quomodo inde elici queat, dud facile patet. Quin etiam ipía aequatio integralis, etfi eft differentialis primi tantum gradus, parum adiumenti afferre videtur, ob infignem variabilium implicationem. 8. Haec quatuor exempla fufficiunt, ad oftenden- dum, plures adhuc methodos deeffe , quibus aequationes differentiales fecundi gradus integrati queant, fimul autem , quoniam. his quidem cafibus integralia conftant , de earum inuentione non effe defperandum. ^ Equidem poft varia tentamina , quibus has aequatüones tractaui , comperi, totum negotium eo redire, vt idonea quaera- tur quantitas, per quam iflae aequationes multiplicatae integrationem admittant ; tali autem multiplicatore in- vento, integratio nulla amplius laborat difhcultate, Quemadmodum enim omnium aequationum differentia- liam primi gradus integratio eo reduci poteft, vt in- veftiganda fit functio quaepiam binarum variabilium , per quam.aequatio multiplicata euadat integrabilis, ita etiam, pro omnibus aequationibus differentialibus fecundi gradus, hanc regulam non dubito tanquam generalem in medium afferre, vt flatuam femper eiusmodi fün- cionem .variabilium dari, per quam aequatio multipli« cata reddatur integrabilis. pid .9. Loquor autem hic de eiusmodi tantum aequa- tionibus , quae duas folum variabiles inuoluunt, et quae iam eo fint perdu&ctae , vt differentiaiia fupremi gradus vBicam dimenfionem obtineant. ^ Ponamus x et y effe ambas variabiles, et pofito dy— pdx; dp—dqgdx; dq—rdx, drzzsda, etc. omnes aequationes differens tiales DIFFERENTIZLIBVS SECVNDI GRAD. 169 tias cuiusque gradus ad formas fequentes reduci poffe conf(lat : I. Forma generalis aequationum differentialium primi gradus D— func. or et 7) IL. Forma generalis aequationum differ. fecundi gradus g— Iunct. C4, 9 6ti.5) III. Forma generalis aequationum differ. tertii gradus r— fun&té (y. y, pet q IV. Forma generalis aequationum — differ. quarti gradus sc funt. (oy, Py, et n) et it porro de fequentibus altiorum graduum. 10. Cum igitur propofia quacunque aequatione difforentiali primi gradus p — func. (x et y), emper detar eiusmodi functio ipfarum x et y, per quam illa aequatio. multiplicata reddatur iutegrabilis , etiamfi faepe numero hanc fün&ionem affignare non valeamus, nul- lum eft dubium , quin etiam pro aequationibus diffe- rentialibus fecundi gradus 4 -— fünct. (x, y et p) eius- modi multiplicator exifítat, qui eas reddat integrabiles , ideoque ad differentialia primi gradus reducat. — Iam vero hic caíus diftingui oportet, quibus ifte multipli- cator vel binarum tantum variabilium x et y fünctio exiftat, vel infuper quantitatem f, feu rationem diffe- rentialium 2 inuolaat:; ob hoc enim difcrimen ipfa multiplicatoris inuentio modo facilior, modo difficilior Tom. VII. Nou. Com. 24 euadet. 170 DE AEQVATIONIBVS euadet. Cafüs autem euolutu facillimus habebitur, fi multiplicator alterius tantum variabilis folius fuerit functio. rr. Si igitur litterae P, Q, R, S, T fümantur ad defignandas quascunque functiones ipfarum variabilium X et y, fequentes ordines fimpliciores multiplicato- rum pro aequationibus differentialibus fecundi gradus conftituentur : Multiplicator ordinis primi ..P Multiplicator ordinis fecundi . . P2x--Q4y Multiplicator ordinis tertii . . Pdx^--Qdxdy -Rdy* Multiplicator ordinis quarti .. Pdx*4-Qdx'dy-- Rdxdy^4- S4)? etc. Hi quidem funt ordines fimpliciores, quibus p-$2 , vel ad nullam, vel ad vnam , vel duas, vel tres dimenfiones affurgit : facile autem colligitur fieri poffe ,. vt littera f vel per fractiones, vel irrationalia, vel adeo tranícenden- tia, multiplicatorem afficiat , cuiusmodi caíus ingentem campum nouarum inueftigationum aperiunt. — Hic qui- dem tantum in formis expofitis verfari conftitui, quia eae fufficiunt exemplis allatis expediendis, fimulque nos ad aequationes multo generaliores earum ope refolubiles manuducent. 12. Propofita ergo aequatione quacunque diffe- rentiali fecundi gradus, 4-— fund. (x, y et p), quae fumto Zx conftanti ad hanc formam redigetur 2 y- dx* fund. (x, y et 22) , tentetur primo multiplicator pri- mae formae P, num eius ope integratio füccedat? (in minus, DIFFERENTIALIBUS SECVNDI GRAD. 171 minus, fümatur multiplicator formae fecundae Pd--Q dy, qui nifi negotium conficiat , recurratur ad multiplicato- rem formae tertiae , tum quartae, etc. mox autem colligere licebit, vtrum per factores harum formarum integratio abfolui queat, nec ne? quo pofteriori cafu, ad formas magis complicatas erit confugiendum , ac dum- modo huiusmodi calculo fuerimus affüeti, facultatem nobis comparabimus, pro quouis cafu oblato idoneam multiplicatoris formam dignofendi: ad quem fcopum euolutio propofitorum exemplorum erit accommodata. Problema r. 15. Propofita aequatione differentiali — fecundi gradus : Y—t 22yddy—4ady—y"*sdx'(x -A- xx) * —0 in qua differentiale dx fumtum eft conftans, eius inte- grale inuenire. Solutio. Factorem primae formae P tentanti mox pate- bit, negotium non fíüccedere, nifi fit ?— — 2, quo qui- . « LAE 2 dem cafü foret P —z- et aequationis ^ d ERE : d x? : tednEra wncExa)-—O cerle .eftet 2adyy xd ; 2 x» "--rxs)-—— «dX, denuoque integrando haberetur 2480 —yri-Y(r--rxymer--8; ita vt hic cafus fpecialis nuilam habeat difficultatem. In gencre igitur pro valore quocunque exponentis 7, Y » tentetur 172 DE AEQVATIONIBVS tentetut. facor formae fecundae Pax -- Q4y, et aequa- tione ad hanc fpeciem reducta . gi 24ddy — 7 — Ui dx (x uU NC :-—0 produ&um erit : --2aPdxddy— TP nma : E inis — -I-2aQdyddy- £294 Q yt dady(a- xx " j quam per hypothefin integrabilem effe oportet. — Duo autem primi termini, qualesccunque P et Q fint fun- &iones ipfrum x et y , nonui(i ex differentiatione ho- rum 242P4xdy-r-aQdy* oriri potuerunt ; vnde ha- bebimus Primam partem integrals e 2Pd xy -1- aQdy'. Huius ergo differentiale fübtrahamus a no(tra aequatione d ^ et ob dP—4x(52 2-405) ; dQ— 4x 2)4- dy 45), aequatio ordinata erit: B gno 3 —BEyrttde(apexx)* -Q ynntaedy(x xx): iu RE iom —2a4dx 4(2)- 5adxdy Gc adr e )j —adxdy$8 2) quae ob 4x fíumtum conítins nullo modo iutegrabilis effe poteft, nifi termini per 7p et dy* affe&i . feorim fe tollant. Necefle ergo eft, fit: " d E dQ 4... DES (2y)— o, feu 4Qdy-E-ydy(35)2 et 55 -- 2 2(15224- G2) — o lam vt ex acquatione priori valorem ien Q eruamus, fpectemus x vt conftans, eritque dy3 )z—4Q, de- notat DIFFERENTIALIBVS SECV NDI GRAD. 173 notat enim 4y (39 ) incrementum ipfius Q ex folus y variabilitate oitum , vnde cum fit 4Q4y A- y 4Q — 0o, Obtinebimus integrando Q j*—K fünctioni ipfius xy tantum d ita vt fit o -N et (e) cra Ca) vbi ($5) erit functio ipfius x. Nunc iu altera aequa- tione quoque x fümatur con' tans , fietque : 4PdyA- 27d P252 (153-0 quae per y multiplicata et integrata dat : TIU a5), ideoque P-5 x oss ($5) vbi L denotat functionem ipfius y tantum. Deftructis ergo iltis membris, ob ciimerr. à (E yag Asa) erit altera pars i ea —da? f (( (ropes) (Ly pu utin AA —aadx*[ G3 2 (82-4 mE uem quae cum conftet "duobus RR , pro priori effe debet Lo, et membri f (1 T (; y dy (1E) x Ky" dy) K n--1 i-r integrale erit ei --xx)*. Supereft ergo vt red- y dK 21 (n—i)Ky 7x43 dx datur i5 asd (1-2 - xx)* SEMEL ai; iab pas HU -pxx)* ,feu 2 (0-12 EKxdx — (n— 1) 4K (1 -r- x2). D mS Atque 174. DE AEQVATIONIBVS Atque hinc elicitur. & — 1-47; ita vt alterius. partis Ti--: integralis membrum prius fit —uauauJ — da'(r-paw) di at membrum poflcrius ob L—0 et (i22 fiet d adx? —^adx $a nU cuius integratio cum fponte fuccefferit , totum negotium e(t confectum , et inategralis pars altera erit : TM: uuu yebidsetl ms int isi ückd aes ND AR Cum deinde fit L—0 et K— 1-t- xx, erit (2) — 2x, . x E . hincque fiet: P—5; et Q— 5,7; ex quo integralis pars prima habebitur axdxdy a(:-- xx)dyt Wh. T p E SEA Quocirca aequationis diffrentio - differentialis Pos adhibito termino conítante C4 ince completum erit: T4-t adx? 2axdxd»y di--xx)diy? — Ex gt $ s 1 "p ys d ue mA t dx(rMxx) * i TA fea per y* mulüplicando :. Dn--1 E] "de(rxxx) * Za(yyda*A-2xydxdyA- (a -Mxx)dy)-C ytdxy* quod egregie conuenit cum eo, quod ante per metho- dum indirectam eram affecutus. Coroll. * 14. Áequatio ergo differentio- differentialis Tn-1 2addy— ru cB td xe 1 -—- gu) *i—0 integrabilis redditur, fi muitiplicetur per hunc factorem xdzx ( Pu 1-H-xx)dy Ul 9E qui DIFFERENTIALIBUS SECVNDI G4AD. 155 qui fi aliunde cognofci petuiffet , integratio (ne vlla diifi.ultite. perfecta. fuiffet. : (CCOTOL. vg 15. Vicifhm ergo fi aequatio integrals inuenta n--: ayydx?--iaxydrdy-La(i--xx)iy* — Lus E yt 2 2 ENCIE ratur. JULI WEIT 'dx (CES VOLI Ea fümto elemento Zx coaftante differentietur , quo pacto conftans C ex calculo egreditur , differentiale erit diui- | d fibile per hanc formulam Te 4- ecz50 , feu hanc xydx-i-(1--xx)dy, et diuifione infüituta ipfà demum aequatio differentio- differentialis propofita proueniet, Gorall. 2. . . y Go - Xx) 2NMle 16. Si aequatio propofita per ——;-— multipli- cetur, vt habeatur amm 2 a(ddy — 5 j exem - ^ dx* (1p PESE -—Oo multiplicator eam reddens integrabilem erit : VUES dyYa --xx)-d.yV(x-r xx) Quire fi ponatur. y Y(r--xa]-— 2 , heec obtinebitur aequatio : adddz(r-p-xx)* 4adz*(Y-4-xx)? «axdxdz(;-XX — sadi? . e4y—0 Uu pCATuSPDT UU 5 ETE De zd z3 * "dg quae per dz mulüplicati iategraüonem admittit. — Erit enim integrale : 2 2 2 duc REED a 37K xta zt Cdi 4 Coroll. :366 DE AEQFVATIONIBVS —À Coroll 4. r7. Hinc ergo patet, quomodo per idoneam fubítitutionem — integratio fubleuari queat; cum enim aequitio propofita per fubfitutionem yz 7055 in: hanc pofteriorem formam fuerit transmutata, non am- plius foret difficile integrationem peragere. — Sed praeter- quam quod talis fübflitutio non facile occurrat , fi mul- tiplicator fuerit ordinis tertii, vel altioris, huiusmodi reductio ne locum quidem habere poterit. Scholion. 18. In hac folutione víus füm fingulari fpecie calenli, qva ad plurium litterarum. introducticnem vi- tandam diffcrentiale Was P duarum variabilium x et y expreffi per dP—dx($5)-I- dV (32) vbi more iam fatis vfitato , dx (27) denotat incremes tum ipiis P ex fola variabilitate iphus x hir et dy( (15) eius incrementum , quod ex PEL o folius y nafcitur ; conftat autem haec duo incrementa addita praebere completum differentiale ipfi 5 P px vtra variabili x: et y natum. — Hinc formulae (45) et (5 £) denotabunt functiones finitus variabiium x et y, quippe quae per differentiationem omiffis Pues haben- tur, ita fi ft P— y V(r-p-xx), erit ($5) — / EHE et (35)— V(r--xx) Tum ui cognita altera pa:te huiusmodi differentialis veluti x($-.) ipfa quantitas P inde ex parte coguofcitur. —Spectata enim fola x wt variabili DIFFFRENTIALIBVS SECV NDI GRAD. x73 variabili erit P—J/dx( 42 )-- Y, denotante Y functionem ipfius y tantam , atque ex hoc fonte in íolutione valo- res quantictum P et Q determinaui. —Manifetum eft quoque , fi K fuerit functio ipfius x tantum , tum dx( TA) eius completum differentiale iam | figüificare , ita vt fit IFEILLLUS porro autem haec fcriptio (4E) denotat idem quod ( E 42) (eu fi ponatur (5E EK erit (i2)— EX (235. Erit enim pariter k functio ipfius X tantum ; ita fi fit-K — Y (1 ca ers ($5 S SD t( e) — vExSg4044:;; hocque modo vlterius pro- gredi licebit, vt fit (EE) ms SR VID EGO atque haec ad intelligentiam tam huius folationis, quam fequentium annotaffe neceífe e(t vi(ürn. ^ Caeterum confideratio huius íolutionis facile deducit ad fequens "Theorema generalius, 'Theorema r. 19. líla aequatio differentialis fecundi gradus, po- fito dx conftante , n—m-s addy — 2 - y" dx*(a-a- 2 Bx yx) ?"n— z integrabilis redditur, fi multiplicetur per hunc factorem : (BG -- y x)dx Fera Bare nc io CY y atqne aequatio integralis erit : ary rda* 2 (m- Cist eur. aside "1 (aen rye E (m-— x. pgs jug cM NE da? n-—:m-—L-: P COR (a-1- 2 Qx-4-y x x) m-—.—Cdx. Tom.VII. Nou. Com. Z Coroll. 1:5 | DE AEQVATIONIBVS Co roll 20. Si füerit 7—r , prodibit ila aequatio diffe- rentialis fecundi gr«dus : ad dy— c m A EROEES — O (Bar "yox (a-- e G xy xx) dy n-1)j777 "d fit integrabilis, eius integrali exiítente : Gy yydx*-2 (m—-x )a( 4-^y x) ydxdy--(mn-x Y*a(a4-2 Qx4-^y vx My: em ua dx* 7 2(m—1)y^" ""(a--2gx-yxx Ko. r odil.4:9, or. Pofito 4 —1—/g., fi flatuamus. y ——e/"?*, aequatio noftra fiet differentialis primi ordinis : dx adv—y.avvodx-t- (zxzgx-a-yzsp — O cuius ergo integralis erit any ) yd x* 3-2 ke(Brvo) ydx dy4- y.*a(a4- 2 Bx-nyxa)dy* — Ec 2p Cy nda feu pro y valore fuo fubftituto WE gH die "a(a-- 2 x -nyxx)vov— ix de 2M "E e! aod: x quae ergo multiplicata per e — Cu Coroll. .5. 22. Statim ergo aequationis differentialis pro- pofitae : ado—y 499d£-A- Cyn —o pofito DIFFERENTIALIBVS SECUNDI GRAD. 1579 pofito C— 0, habemus aequationem integralem partícu- lhrem , quie eft: ocay-t 2 ja ny) eta (e- 2 arto ty xx oU zar €X qua per methodum a me alias expofitam — integrale completum erui poteft. ^ Quin etiam , fi illa aequatio differentialis per hanc formam ihtegralemi diuidatur , integrabilis reddetur. Problema 2. 25. Propoíita aequatione differentiali — fecundi gradus : c2 a d x? ns (x a-iBx-yxzx-a-0yyy — 9 In quà prae dx fumtum eft conflans , eius inte- grale inuenire. Solutio. Tentetur iterum integratio per (torem Pdv4-Qgy, ac polito breuitatis gratia. a -4- 2 8 x y xxd- yy Z, conuertatur aequatio in hanc formam: ddy4- SÀ* — o quae per PZx-- Qdy multiplicata praebet : Pdxddy 1- Qdyddy -- 22 -,- 2022 2:33 — e, Quae cum integrabilis effe debeat, dabit ftatim I. primam integralis partem — Pdxdy -A- 1Qdy: ; fupereft ergo, vt integrabilis reddatur fequens expreffio : —idy G5) Mx dy (12) 4 58232749 i. ttg os d | — dxdy (35) — dx* dy ($5). "ex Primum 1:855 DE AEQFATIONIBVS Primum ergo neceffe eft, vt fit eue , vnde fit Q. functio ipfius x tantum , quae fit Q—K; tum vero etiam termini j^ inuoluentes deftruendi funt, ex qui- bus fit : (45) -- « (52) — o feu fumto folo y pro variabili : di(145)--2d4P—o cuius integrale eft Pishoir denotante L quoque functionem ipfis x. Quare ob dp dL dd (1: — (ax) 7 83 Cn et dx fümtum conílans, altera pars integralis erit: dx] s (ods-ty dii Hedy-defdyGz is r3) aKydy det I —akEKfucse Pan HE vnde pro integrali nafcitur a Kdxxs II. pars —-74c & 4-2 x-Lyxx--cyy 2 p debet effe : ZziL dx-iy dK)- a por. usu Re &-r-yx) feu acLáydx -acyydK—aKdx(QA- yx )-1adK'/ a4- 2 Qx--oy xx4-c yy) vel acLydx- aKdx(j-4—y x—12dK(a4- 2x-t- y xx) Perfpicuum ergo eít, effe debere L—o et K—2a--20x-r y xx. Quare ob ax — —2y erit HI. vitima pars integralis — -- iyyydx*. Cum DIFFERENTIALIBVS SEC/VNDI GRAD. 181 Cum igitur fit : P--—yiB-i-yx)et Q-a-r-298x-ryxx erit nofter muitiplicator : —ydx( -- y x) -i- dy (a A- 2 Bx A- "y xx) et integrale quaefitum | habebitur : —dxdy(Q-y x) id (ada By nx Er QI" VITTT^ yan BI V At fi ponatur C— zz 4- C, erit hoc integrale : iyJjJydx NEM AA Moy x) idy(aA-20x-- yxx) CES CICER TRI E EI TS — Cda. Quae forma conuenit cam €a , quam fupra exhibui. "Phegrema "9 24. lítàa aequatio diffrentialis fecundi gradus po- fito dx conftante ' a n -- 'dx? ; ddy -- d Wisi. Q (21-2 Bt y xxd-6)) * integrabilis reddetur per multiplicatorem : —Jy dx (g-- y x) dy (a7 2 Bx A- y xx) et integrale erit : 15y dx*—y dxdy( A-ya)2 7i dy (a-t- 2 Bat y x) OMS n rm —- C das (n - 2) a 2 G.x er y X x i ey) * Coroll. r. 2$. Cafus problematis naftitur ex Théoremate hoc, & ponatur g— o. Ceterum integrale in. Theore- uia mate :5 | DE AEQVATIONIBFES mate exhibitum fimili modo elicitvr, quo folutionem problematis cxpediuimus.; vnde füperfluum foret eius demonftrationem adiicere. Coroll. ^9 26. Si ponatur c— 0, caíus habebitur, quem etiam ex Theoremate primo deriuare licet , fi ibi po- natur z; —o. — Dum enim pro a fcribitur : et. z-I- x loco s; integrale ibi datum perfeé&e congruit cum hoc, quod iftud Theorema füppeditat pro caíü c—o. LOTODE m 27. Hoc autem Theorema adeo primum in fe complectitur : aequatio enim primi n—m-a-r addy— 752 Aj" da? (a7 2 Bx-artyax) 777 20 I fi ponatur y— 2'—" abit in hanc: Tl n : 1—411-1-z a 1— I—n 2 ^ A^ 271—252 — LSU "ddz-rzt 7 "dy*(oq 2x4 yxx) -o 1—71 n—a4m--s feu 2435 LL gi" da* (a -t- 2 Qx-1- qq xS). d "n Quodfi iam ftatuatur 7 — 75 —2-- r, vt fiat n-i-n(m-i) aequatio haec abibit in iftam formam: —n— 4 addz ep A2 3 A ESSET. I OUbetueecr2BxEp noxa), *. 6 quae eft cafus particularis praefentis Theorematis, ex quo quippe naícitur , ponendo c— o. Coroll. DIFFERENTIALIBVS SECVNDI GRAD. 183 Coroll 4. 28. Praefens ergo "Theorema latiffime patet, atque eiusmodi cafus diffiillimos in fe complectitur, qui nullo alio modo refolui poffe videntur. Si enim c—0, fortafle reperietur methodus negotium conficiens , pro- pterea quoil variabiles non fünt inuicem permixtae: at fi e non —o, ob permixtionem variabilium nulla me- thodus cognita hic cum íucceffu in vfum vocabitur. Gorall*.:s. 29. Cafus hic imprimis notatu dignus hic occur- Ea uto ow Ie-r,'quo habetur. haec aequatio : ZIVWPPE D ddy -- IRAK n--s — o (xxi) * cuius ergo integrale eft: "n--3-2 A a(ydx —xdyy -- e 1. ran qualis iibons 0C i ra (n--2)(xx--»»)* Ponatur y ux, erit ydxy —xdy-——xxdu, fietque in- tcgralc : n-d-2342 ixdu Ei rarus b Eis (n--2)(1-r-234u) * ion e ideoque 24 — THOME um PIE LUW C. Lat s quae ob variabiles feparatas denuo integrari poteft. Scholion. 1:534 DE AEQVATIONIBVS Scholion. 50. Hic quoque multiplicatoris forma — fübftitutio- nem idoncam praebet, cuius ope aequatio differentio- differentialis in aliam tractatu faciliorem transformabitur. Statui fcilicet. oportet J— zV (a-- 2 Bx-- ty xx) Hanc vero ipíam fübftitutionem ífuadet formulae indoles nas (a4-2 x--yxx-r-cyy) ? quia hoc pacto vnica variabilis in vinculo relinquitur. At per hanc fübítitutionem ipía aequatio multo magis fit perplexa, ita vt, etiamfi per fictorem fimpliciorem cj dz(u--2 Qx-1-'y vx) ad integrabilitatem — reuocetur , id tamen minus pateat. Verum fi multiplicator fuerit ordinis tertii, feu altioris , ne huiusmodi quidem fübfti- totio commode inueniri poteft, vti in duobus reliquis exemplis víu venit. Problema 5. 31. Propofita aequatione differentiali — fecundi gradüs : g3yddy A-mydy caxdx - in qua differentiale Zx fumtum eft conftans, «ius inte- grale inuenire. Solutio. Quia multiplicator neque primi , neque fecundi ordinis fuccedit, ex ordine tertio defumatur. —Perducta ergo aequatione ad hanc formam : md* axdx?* d dy A-— p mS. -——9 multi- DIFFERENTIALIBVS. SECVNDI'CRAD. 185 multiplicetur. ea-per PZx*-4- 2 Qd xd ly --3R4y,: vnde ftatim. habebitur: I. prima pars integralis Pax*dy-A-Qdxd yn Ray €t integrando relinquitur haec forma: aa M dst, nord. dy ,aqReda dy Bi 3 y n — ATE ACER RCONNEDUAM GS MCWTRNE —o—drdy 52 — dede) - -44y d Sari » —dydy( re ) —dxdy 2j Tiaec autem forma integrabilis effe nequit, nifi mem- bra, quae 45^, dy? et dy* implicant, deftruantur. — Pri- mum ergo pro 4j* habebimus : | em — (13) — 6, feu 35mRady —ydR vbi.x fümitur pro conftnte , vnde fit R—Ky*", de- notante K functionem ipfius x tantum, ficque erit: (45)—y:"($5). Iam pro deftru&ione terminorum 4j* continentium , fiet : 2m mx, rr m (y "ze feu fümto x conftante : | anQdy ydQ —y "7 (12) quae diuifi per ges et iet: dat 2 LRL. ye (c 2 -L. A Jh A- 12 Sumta .denuo L pro functione ipfius x, ita wt fit Krslae-ibeyeme ro, ideoque dL 1 (39) X PPS) ant Tom. VII. Nou. Com. Aa Defir- 2f mPdxzdy? b 1:86 DE A4EQVATIONTLBVS Deftruantur. denique. etiam: termini dy* continentes. vnde prodit: —34Ky"—- "yc ym x) T "pr ea T3 mP. d P; hy — (19) exo: quae. fümta x: conflante per Jdy mapu praebet :: —39Kay* ^ —dy— yi dye e o imam gy A AES - P dy.—ydP-—o quae-per.j7-- diuifa et. intrggpta. dat : — 30 — H am-i ;R xy AID Lr ima up Mir DAS »J Ea JE —— 05 denotante- M. fun&ionem. ipfius. x; tantum; | Ergo fit: P-M j?- 5 Kay" ne y P) sep Pl ideoque (5) (5) — e Rm 2E ym(19- goevy Lupas cT d3 K -- imc Pam xs). * 0 Ad d d . . Nunc termini —2592557 77. 44«2,(5*), integrati , x pro.conftante fümta, fuppeditabunt. II: alteram . integralis . partem : : —2axds*(; Lg iR ERU (s 3))-Ndz*' 1 a. 5 d K -dX (xz yas ——EU M "e ue 2. "Md z 2b ddL d3K 72m Lj gi n dors x2 ) "3 Wwe nO ur za Haius : ergo . différentiale : pofito -y- conftinte- fümtum: ae-. quale effe debet: refiduae- parti TAN vnde per Zx** digifo. habebimus..fequentem. aequationem.: , aM xr DIFFERENTLÁLIBUS SEOVNDI GRÁAD. x89 - "a qe ve - ax 2 els d d Kz 4 M xy" -— edis e: RIS KS NE y s GE) Seed "a das) -—2 dle 2a2x 3 2x zm, md P, aia 1n suia oJ Cas) ien (Ta)-h- dict ddK 1 ddM rra * mA Cam x |a sm( cR S 'Eaena TE EN. q dd K T d*L PII x m-— 23)J7^ S das) T Znaj m Lg A Cri 6 SUE DE ^K (z)-— fünctioni ipfius x — (3. ;Hic iam fingulae diuet(ie ipfius y poteftates feorim ad Tihilum redigantur, et quia:j"——* et y^" —* (femel Occurrunt, nifi fit vel z.—2, velzr— 1, habebimus Me, et K-—o0; et fupererunt tantum termini pet uL dm inter quos folitarius 'eft j^" *** ; vnde effe «debet es Es — o, ideoque L—a-1- 2 Q x -1-*y xx, reliqui IDE A sata afeai dánt .: tx! —^ax(Ra-yz) ac(elBxísys3 «ax --Y3) 4 ; bg e e Up Y 1 2o 2m "Hinc debet effe &— o, et Bas Testi oet (Quibus conditionibus in geuere fatisfieri nequit ; confti- tuendi ergo. fürt cafus fequentes : 1. Si «—20, et *yo, fiet t9 2—— i, ita vt. aequatio "propofita fit: gy ddy —iydy —axd» feu dy! üm-dx* 3 ddy — ——»—y —9 Cum d. K—o,L-—x,.M*-0, erit: EE Q-—;; et P——25 et nofter multiplicator erit; —243*-- —— ,- àdeoque integrale quaefitum : —2dx dy FR zd dat y arzis c Cdat, Aa - (eu sxd LEITET 13$ | DE AEQVATIONIBFS feu per dx diuidendo 4xxdx* -i-xydy*-2yydxdy Cyydx* II. Sit «—0; 8—0; erit m—-—: $, €t sequitio diffcrentio-differentialis propofita : 2dy? axdxt* — : ddy —*- — yy —9O. Cum igitur fit K—o, Lx. et Ms O, erit I —o Q—xxy 5 SD -pay vnde. nofter ,multiplicator fie: D PRA 277^ et integrale quacum. tay di Vypxxy Midy tag: y Cdeusy "dez Cdss feu per dx: diuidendo, et y mültiplicando, UJ tdy--xxydy-k S ax'di e Sydy—Cy dat IL. Ante vero iam» duos cafus commemorauimus ;. quibus eft vel m—r, vel m—s. Sit ergo. primo: 9;— et aequatio propofita : ddy-- 5 iE, . ac fieri Hi: Q3) — --344xxK- -MXy (85) a xy ($55) TH EDMENG ay: (45) -tex(is)k ) Hexe.) —U GS 2) E249/ Q5) -ax ys Had j)— eJ C) vnde: obtinemus M—o; N- geafKuxds; et: CE dira - aL; E x(ra$) H- 105 CES (35s) — 0; FEM His: DIFFERENTIALIBVS SECUNDI GRAD. 189 His conditionibus fatisfit, (i fumatur : L—o;K-——r:;M.—0.cetN-—-aax* wude fit; K—y' 79 —o; P-—-32xy, Quare nofter multiplicator erit : | C—8axydx--5y4y* et integrale quaefitum : —3axyddy A-ydy:A-aydxA-aax dx Cd x^. IV. Sit iam z— 2, vt aequatio no(tra fiat ddy-- A — ETE o ac fatisfieri debet huic aequationi : Gr caMx-aaKxxy-ziaLy- axy (45-1 Jl ow -1- 5452) -- d Y (E) - T8 XJ.) — v7" (124). Erit ergo N—2a/[M xd», ac ftatui potet L0; K —0; Mcr, vnde fit N—izxx. Hinc vero fit: 3A —0:, 0-06. P—37 ita vt multiplicator füturus fit y2.:vy* et integrale : Jy dx*dy —jaxxdx? —Cdx!, feu 23)dy —axxdx-— Cdx. Coroll 1. :$2. Cafus ergo vltimus, quo (7 — 2, eft omnium facillimus , cum per multiplicatorem adeo primi ordi- wis confici poffit, quin primo intuitu aequationis 34yddy-- 2j dy —axdx* integrale yydy —iaxxdx--Cdx patet. Cafus autem primus et fecundus , quibus eft ;»; — —; et 5 -—-—$ per Aag multi- 190 DE AEOVATIONIBVS multiplicatorem formae fecundae , ob .R—o0 , reéfolui -potuiffente Topfoilils 533. Solus ergo cafüs tertius, quo .eft (— 1, re- folutu eft diffcillimus , quia requirit multiplicatorem fot- mae tertiae. :Quare notetur, íequentem aequationemm differentialem fecundi gradus Jy ddy -A- ydp —axdx—o integrabilem reddi , fi multiplicetur per 3)dy —8axda* set integrale «effe: J'Ay -3axyydv dy-ray: di nap dr —CAs. Coroll 5. 34. Porro autem notandum eft, hanc expreffionem in tres fàctores fimplices refolui poffe. Si enim pona- tur breuitatis gratia ge et p. -— 5 lY ge yy aequatio haec integralis ita repraefentari poteft: (dy d-eyda A e?xdx) Cydy- y eydx -ve*xdx) (y dy -rycydx A- Me xdx)—Cdax. Coroll. 4. 45. Hinc fi conflans C fümatur ——o, tres ftatim jgrodcunt aequationes integrales particulares : Jdy-A-eydx -—- c xdx—o J dy A- V cydx A- ve xdx—0o Jdy A-vcydx-A- p.e &dazzo quarum DIFFERENTIALIBVS SECUNDI GRAD. 19r quarum prima continet cafüm iam fupra (7) indicatum: duae. reliquae. vero. (unt. imaginariae. Scholion.. | 36. Reflat ergo quartum exemplum , quod erat: dá'(a55-1- Q5 - y) —rrdr 4-2rddr quod. pofito: | gc Jy ;. Vt fit; dr y My, : etddr—iy "dd 1y-i y. dy" abit. in. hanc. formam :; $J' ddy ds (ess Qs -- vy). | Ingenere autem obferuo, fi habeatur huiusmodi aeqüátio:: 5dj'—mr"di? -- page ni eam per fübftitutionem- £— /^ -P"^ reduci: ad; hanc: foes- mam funpliciorem :; Ex memi ij: "me nn ] S MN Sdites AUI. djs Hüiusmodi. ergo aequationes- omnes: complecti licet: in: Hac forma generdli:. ddy— y" Xdx*.. Videamus ergo: quibusnam cafibus: tani exponentis 7; quam fünctionis X; liaec aequatio 'integrari queat: per. noftram : methodum. . Problema: 4. 37: Cafüs pro exponente 7. et natüram fün&ionis X inuenire.,. quibus: haec. aequatio : differentialis . (ecundi gradus . ddy -A-y'Xdxzoj. vbi. x: eft. con(tans ,, integrari: queat: Solutio 192 DE AEOFATIONIBFES Solutio: I Sumatur primo" multiplicator primi ordinis P, et integranda erit haec aequatio : P4dy A-)" PXdx*zo ac integrilis pars prima erit ——PZy, ct integranda reftat haec expreffio : J'PX4a—dxdy ($5) —-dy (15) vnde neceffe eft, fit ( 15)-—o, ideoque P functio ipfius x tantum. Sit ergo P—K, et integrari oportet ob dx conftans : dxCK X dx—dy $5) cuius integrale nequit effe, nifi —ydx(i)——ydK. Oportet autem fit ;,"K X 4x* 4-y44K— o, quod. fieri nequit, nifi füb his conditionibus: AT eb p Ac tum aequatio integralis erit: Kdy —72K — Cx. Solutio 1L Sumto multiplicatore fecundae formae P 4 M04», . integrabilis efficienda «eft haec aequatio : | 2Qdyddy-A-P dxddy-I- X d A (Pdx--2 Q4y)—o vnde integralis pars prima colligitur Páxdy-r- Qdy. Supereft ergo , vt integretur: J" PX da*-1- 2,"QX dx dy —dx'dy $3) —dxdy (52) d é —dxdy G5) -dy (13)- Hinc SXIFFERENTI ÁALIBVS SECVNDI .CRAD. 195 ?Hinc quo termini tollantur, quibus dy plus vna habet «dimepfione , oportet. effe GS )— 0; ideoque Q—K fun&tioni ipfius x. ZDeinde habebimus (52)24- G8) —o, feu 2P-1-4y (15) — wnde fit ; z). P-L—(9 e (10-63) (s ilam altera pars integralis efit: dx'f(9"PXdx--2)7'QX4y— dyÓi)) fiue — aix d kic "eR E Xdy 1 ex dx (15) — d 6 4. 4y GAP ex variabiliate ipfius y ergo concluditur altera pars ,integralis. JL. dz Gi "^ KX— 02)2-1 59 4- M). dc -variabilitas ipfius x -poftulat, vt fit : J*X-UX(-L KG aun XS —» (ii DES IY) 4- 5 3. SSi 2 velimus indefinitum relinquere; effe debet d3K dM L—0;(3::,—0 et (5;)—0; tum vero n-4-3 EEG CERXG— o «nde «oll'gitur K $ o d A conftanti: at b (E —s erit K-a-4-2x-Fryxx, ideoque X — et "i-d-s (ax--.Bx-yxx) 3 Q-—aT2x-r- y xx; P-c-—2(QA- yx). Quocirca smultiplicator erit: -aydx(B-o3)-H- dy (a-i- ^ Boy s) "Tom. VII. Nou. Com. et ) :94 | DE AEQVATIONLBFES et huius aequationis differentio-differentialis |o Ay"dy ddy-- ; EP miro (a--20x--'yxX) 2 integrale erit : — 2yd xdy (B -A-*y x)-41- dy* (a-A- 2 8 x-4—y xx) -- cp A y: TUS LnxSpel- 7 dx; — Cut. (a3-2gx-iyxx) 3 ! Superfüat autem caíüs, quibus eft vel z—r, vel,z—2. I. Sit 7— 1; et conditiones praecedentes: poftulant LX--2)—05 zEK)-- EXE je feu LX 2x* --27L—-0 et RK4X p LX dK- das co hinc ft 2KKX--/ Ex —:Conft. ideoque oKKXdx2a-KZ4aK—i4K:—Cax* Eda*-3-idK*-KZ4a4K et X — ————————— pro priori conditione - autem — ponatur Vds EO. , Quare erit Wr Q-uKs Pr—» (£5. ; atque huius NS ddy --y X dx? — 0o. Edx*-- 23K —Ka4K Bxifteute X ne FUDSUÁÀ quascunque; fui- Cio ipfius x fümatur pro K; erit integrale: —ydxdyG S -Kdy-EyyK X da*4- Lydi ($5 —Cae Il. Sit »— 2; et conditiones poftulant : 2K4X-i-5X4K—0; LX — 035), (125 — o, Prima DIFFERENTIALIBVS SECVNDI:GRAD. 195 Prima dat X—AK ;, qui in altera fubftitutus praebet 2ALK dvd; : verum, ob (4 s der)— e, erit Tag id vnde, pofito K — (a 4- Q x)^, erit 2A(4-p-Qx) (p.—1 (p.-2) (i-- pri etg-i; hinque 2 AZ553Q'; et X—— CA . (a4-B3)? — ses(a-c 7. Porro o (a zi- e bos : P—oad8x-—:8)( a-- Qx); Confequenter huius aequationis differentio - differentialis ddy A- y! X dy — 9o. exiftente X — —4s5- —- , integrale eft s4s(&-4- Dx )7 1 dxdy(à-- Qx—; gta gx) )r dy (a^ Q3) — i6prysdas 123 —gyde--iEXE Cds z4s(t 243- Bx) 7 " ao (a -r- Bx)7 I. Si »—2, adhuc cafus notari meretur, quo L— a, et pofito - s] K-a*, erit SR *zu(g-ry(g.-2)a*—5, vnde fit j.-$ 9 €t 20 À— QUÀ ideoque «— zr. Quare erit aca. D L-—au $5 A X-— TE ac porro ua der M Is S n" ; r DN Pc is Coníequenter huius ae- 72w7 quationis : - ddy-- SEE. Lo $7 Bb 2 inte- 196 DE AEQFATIONTBVS integrale erit: | a4dxdy ... een H3-g yr [uu 2 Mx. vyydx' epit — Cds, TI 3. hs 3 - 49/X7 Solutio III. Surto multiplicatore P2x*-4- «Qdxdy-1-$ Ry, prima integralis pars exiftit. P éx:dy-I-Qdxdy-R dy*, a et reliqua expreffio" integranda J'PXdx*-1- 2 Q X dy'dy-A-3 y RXdx'dy" — dydy ($5) I dx*dy (45), -drárGs)- dedyqy) —dxdy ($5) -dy 88) vnde (latim, vt ante concludimus, R.— K- fanctioni i Er X*, tum vero Q—L-—r(. 2$ ergo S —( x x) -A e dx) . Deinde deftru&ie. terminorum per dy* affe&orumeé praebet : 3 KX— (5) - G2; ($2806, eX quo fit P— M—y( 239 2- iy Ges 4- As tK X. Cum ergo fit à— (325— y (185): £4 sentar n-pi zy EExy ob zy'OX4xdy— 2Xda'(5"Ldy — yeeigy (E PES) termini per dj affecti praebent em integralis: par- tem dx FEL LXj— "Een Dod [es zi ye i 2- me 1 yy dS) t -U' (ss 3)- Genaue t eu T4-N : lam DIFFÉRENTIALIBPS SECPNDI GRAD. voy Éarri vero, ob primum terminum. 5" P'X 4x*, effe oportet .: o—y MX-y"" X( M mm XOU KXXO . 2 1i d^. J z-. y ] me. 2/ : A 2 vg CRSS d ee )XO Hes 7 a) dd : dE pu d KS QC. 3 : 14/04 KK, Ter ] "EJ S) JI as) e o ERES Ci 2e)— dc Éic autem, fi » determinare nolimus, efle debet L—o,. ideoque R—- o, vride hic cafus ad' praecedentemi dédu- ceretur. Cornfideremms ergo' cafus fequentes :: L Sit 71; etitqie No; MX--(22)—0 5 ynde né X- ad: primam folutionem- reuocetur,. fier debet M —o; tum vero- habebitur :: "Se )-iis)— oe r d: . aiU / j 4d^X« X35 -ERKXOXA- IX (QA A-1002 (a -4- LS) H1 s ev Ác ne X ad niodurh cafüs praecedentis definiatur , quo: érat //— 1, ponatür L— 0; vnde X- ex hac aeduatio* He definir débet : :OCX d 9 Xdxdd idis dKd X id ddX-u K-o MH. Sit n—— i; eritque zZKXX—1(2,9—0; M05 N—o: dax dx? TU OMIPUE ME PIRIUT n4 2 MUN —X(n)—i04x 209; (aaz.)-—0; et 3x (125 4- £029 G3 2-162) — o fet 2Xd4K-- ?4K 4X 24- :K 42X — 0. fed. huiusmodi cafibus. non. immoror. bbs Solutio :98 DE. AEQV ATIONIBVS. Solutio IV. Tentetur etiam fa&or tertii ordinis PZx-2-2Qda dy-3-8 Rdxdy -d-454y vnde naícitur integrals pars prima : Pdx:dy-- Qda dy: -- R dx dy*-i- Sdy et reliqua. exprefio integranda erit : J" PX dx5-4-2 "Q X dx*dy-1-3 XB dE d y^ A-4758 Xdvd* -- dx'd/G) —dx'dyt 2, * 7 dedy (1 )-dxdr(a: » — dedy ($5) dxdy: (45) | —dxdy G5) dy G5 Erit ergo S-CK; R—-L—y(75; Ape 4" KX dy—dQ— 4y G2) 2-34 23) 0. Ne hic ín calculos nimis moleftos delabamur, ponamus M AigU-rHe WHEOTCOA UG ORC B: iam ob (yeso et gas Lo erit Qe Visap.4 Tum . vero- habebimus : 3BjX-(5- EEUU ene ergo P—ee BXy"* E Ud. T "ur zi d P : 4 À ddx et (25 —j wt TE x)- (na-iX icr s ld si) Hine ergo naícitur gue itegralis pars : ) Mus dx*( 5s ii HOW ra) acis t TET y d : (ap tcu: jus nes dd 1 dx 1x3) iique debet àx acid VET iOU PT —irEn rJ xSXUt (rs 3- eum aix y 20 2jdd X ilr GiEOGES TS d:03— (cp eb aeri d " ul DIFFERENTIALIBUS SECVNDE-GRAD. 199 : LR: ! dt Cui aequationi vt fatisfat, ponatur B— o; et (23:20 feu : E X— acr ofxi- yat, fitque GER] OMNES -- dI pour vnde erit : ec NT Reo; Q—-6Ay aa sBxiyxx) e P— 36 A5? y "(Gg - Y zy Quare haec aequatio differentio- differentialis : ddy -y Mat (a-i- 2 Qx-- y xx)-—o fit intesrilis, fi mukiplicetor per 367 (B-1- de ay ars rbyesedckad* T et vic eut ^ MB) (Byyidede 6 M -F-9y a4 ? xy xx) dx*- 27 Jody Cdx* atgue in hac folutione continetur exem plum quartum Coroll* 58. Quartum | ergo TN "(prs állatumr gequationem — differentialem maxime memorobilenr con- tinet , propterea. quod ea nonmfi per factorem tertii ordinis ad integiabilitatem — perduci poteft, vnde cius ántegratio pouio minus ab aliis EINEN expectari poteft. ui Coroll. &o DE AEQVATIONIBYS Coroll 2. $9. Si viciffim ergo ponamus. y—fe, vt fi PET et p- zy p. erit dy —; ade et ddy —t fidds-Cifz de et fPano propofita z &f. s ddx-4-2 Da | "dan -4- y dum Eri cuu QUY ff *&t integrabilis , fi muiltiplicetur ui LJ "d 362 *(8--yx)dxe Y f- ——— u ert ym Lid AN Le et integrdle erit : 5«f P-ryndeds? f- fe e Bx ny xx )dxt de? V f4-t t feoda 2d. 4 quen gie R12 -2 Bx-t- y xv) dx* x DE eyiudrg. f — Ch. feas f CoroM. 35. 4o Ponatur f/|'U f/— 4$, wt habeatur haec aequatio: 2zddz-r-zzdezs-r- da (a-1-2x-- yxx)—o Baecque fiet integrabilis , fi multiplicetur per: 2 scr yid x)d a* Eurer M dee EE eritque itcr 42 (B1 y x)dx*dz -(a-A- 9 Bxa-yxxydx da*-A-122dz* "p EsEIBR yr di —2'yzzdx'—Cdax* quae N DIFFERENTIALIBVS SECVNDI GRAD. zo:z quae aequatio etiam hoc modo repraefentari poteft : ((a 1-2 Bx-- yx x) dx*—82 d27) -i-8 SB ry) dx dz —A4nyzt—BEzz d Wu Coroll 4. 41.' Si fit ao; —0; et 'y-c, ícu ifti aequatio integranda- proponatur : oz ddz--zzdz-r-aaxxdx:—o, ea integrabilis reddetur per hunc multiplicatorem : 2aaxdes naxxdx?dz dz* dme UTER du et aequatio integralis erit: (aaxxdx^-z2dz^) -A-8Saaxz er E feu (aaw ada --zsda-) -4aa sdx-xdz asd —Easda*. Coroll. s. 42. Pofita ergo conftante E—0, pro hoc cafü $emina aequatio integralis particularis habebitur : L. aaxxda-r-zzdzo—sazdx(sdx—xdz)-—o. ll. eaxxdx:-zzdz4A-2aezdx(zdx—xdz)-—o quaram illa .refoluitar in exdx 4- dz — d- EdxYe2a haec vero iq. . . axéx—zdzzc--zdxY 2a. ... Scholion. 43. Euolutio horum exemplorum ita eft com- parata , vt non parum vtilitatis in refolutione | aequatio- num differentialium fecundi gradus afferre — videatur ; cum enim haec exempla, fi nonnullos caíüs faciliores eXcipiamus , ope methodorum adhuc vfitatarum expe- A Tom. VIL Nou. Com. Cc diri 202 DE AEOVAT. DIFFER. SEC. GRAD. diri nequeant, noua haec methodus, qua negotium per multiplicatores conficitur, non folum optimo cum fucceü adhibetur, fed etiam nullum eft dubium , quin ea, fi vberius excolatur, multo maiora commoda fit allatura. — Pari autem quoque fücceffü ad aequationes differentiales tertii et altiorum graduum extendi poterit , fiquidem certum eít, quacunque propofita aequatione dif- ferentiali cuiuscuaque gradus , inter duas variabiles, femper dari eiusmodi quantitatem , per quam, fi aequa- tio multiplicetur, reddatur integrabilis. Quod cum: étiam verum fit in aequationibus differentialibus primi gradus, et harum refolutio per methodum tales factores inuefti- gandi non mediocriter promeueri poterit; vbi quidem totum negotium eo reducitur , vt quouis caíü oblato idoneus multiplicator inueniatur ; atque in aequationibus quidem differentialibus primi gradus hic factor femper erit functio ipífarum x et y tantum , verum Ob hoc ipfim quod diuerfitas ordinum locum non habet, eius inue(tigatio multo difficilior videtur, imprimis quando ifte fa&or eft fün&io tranfcendens. ^ Cum autem haec ratio integrandi naturae aequationum fit maxime con- fentanea , nonu fine eximio fructu ftudium in ea exco- lenda collocabitur. ENV- «eee X o X ue 203 ENVMERATIO MODORVM JQVIBVS FIGVRAE PLANAE RECTILINEAE PER DIAGONALES DIVIDVNTVR IN TRIANGVLA. Auctore IOH. ANDR. .:DE SEGNER. randum per diagonalem in alia folui non poffe, vtpote quod ex fe ipfo vno tantum modo com- ponitur, notum eft: quadrilaterum autem ita diuidi duplicem in modum poffe , mox apparet. Neque dif- ficulter perfpicitur , modos, quibus quinque laterum figura per diagonales in triangula foluitur, quinque effe, quorum quilibet .difcrepat ab altero. .Sex autem, vel plurium laterum figurae, quot modis ita foluantur enumerare difficilius eft; eoque difficilius , quo plura, funt figurae latera. — Soluitur autem hexagonum in triangula 14. modis diuerfis, heptagonum 42, ogdogo- num i52, enneagonum 429; quos numeros mecum beneuolus communicauit fummus Ewlezrus; modo, quo eos reperit, atque progreflionis ordine, celatis. — Vtrum- que perfpiciendi cupido, poft tentamina quaedam inania, eos numeros eliciendi methodus occurrit adeo fimplex , vt in ea acquiefcendum mihi putauerim , quam hic proponam. Triangulum prima ordine eft figurarum planarum recilinearum , quadrilaterum fecunda , et ita deinceps, Cc 2 fic 204 DE FIGVRIS RECTILINEIS fic vt index ordinis cuiuslibet reperiatur , a^ numero: - laterum figurae vel angulorum duabus vnitatibus fubtra- &is. Ex quo fequitur, quod neminem latet ,. biangu- lum, vel lineam re&am figuram. non eff, vtpote cui. index. ordinis o. refpondet. Problema. Dato indice ordinis figurae planae rectilineae ,. z, datoque numero modorum , quo quaelibet eius ge- neris figura alia, ordinis, «cuius exponens numero. 4 minor eít, in triangulà foluitur: reperire numerum mo- dorum , quibus in triangula. folui poteft figura iHa ordinis 7. Solutio. ^" Si figura, cuius ordinis index eít.5,. in triangula íolui poffit modis 2, figura. autem ordinis 7, modis A, figura ordinis 2, modis:e, et ita. porro 5. figura. autem ordinis,. cuius. index eft. z-— 1, modis 4; figura. ordinis 1—2, medis $,, reliqua ;. dicaturque. numerus. modorum quaefitus,. quo figura ordinis proxime fcquentis n im triangula. foluitur , x: Éfriptis- indicious ab o ad. ?— r, ordine , atque ad. quemlibet adícripto dinifionum nu- mero, hunc in modum o: i vmepkcnAmafus. fe cobi S eed mm amie gos pane sdoorpsno, Tisipis [agat v erit numerus omüium indicum ita fcriptorum, wel par, vel impar: prius quidem fi 2— r impar fuerit, atque 5 par, pofterius fi z— x par fuerit, atque s impar. Si paríi numerus indicum, fac x—244--25p-4-2c0, et ita IN TRIANGVLA. DIVIDENDIS. zoy &3 porro, donec terminus intermedius nullus: fit. reli- quus Sin autem numezus indicum fit impar, iisdem facis, quia terminum intermedium vnum. fupereffe ne- ceffe e(t,. qui fit 7, huius quadratum: factis. adde ,. vt fiat x — ze -- 2:5 -- 2: 60.-1- etc. -- d dl. Ad indicem o e(t 4— x. Si enim linea recta concipiatur vt triangulum ; figuram iflam aliter atque aliter: diffolui: non poffe manifétum e(t ,. quis plures vna rectae. inter duo puncta non. cadunt. Hoc fumpto, fi. et numerorum illuftris. Ew/eri quinque. priores veri effe ponuntur, funt autem. veri omnes ,. reperietur nu- merus. modorum ,. quibus. in triangula foluitur figura ordinis fexti, fiue ogdogonum , faciendo fecundum fchema: adiectum. o: l Bi19[i5 escupil ig | 4. ld 5^ | ME r jr pose sotpras[ume. qme (p 4:28 | 4-20 | | Mas M. X-—2x42-p-2x1z-r 2x10. Sique hiüc porro per- Bere velis ad" enneagonum, quae figara- eft ens fepti- mi, erit ex fchemate producto, det NL Rugs 14 gus. [Totes "M x] T. d 2. | eT [ae HE CPRIN 264. -d- 84 | 56 429: x-—2x132-]2 34:2 --2x28--5x5.. Cc 5 Atque 206 JDE FIGVRIS RECTILINEIS | Atque fecandum perpetuam hanc legem, ex folo numero modorum oluendi r, qui pertinet ad figuram ordinis o, numeri eiusdem generis omnes, quorum cuilibet qui refpondet , ordinis index , vel vnitas eft, vel numerus vtcunque magnus, fenfim eliciuntur. Demonílratio. Tab. IV. Sit in triangula diuidenda figuta ACD EFGBD. Fig. 5. Cum érgo non alia effe debeant eorum triangulorum latera , quam quae eadem vel latera fünt figurae diui- dendae , vel diagonales: — quodlibet figurae latus, latus fieri vnius triangulorum , debet. ^ Sumatur ergo latus AD, ab eoque diuifio inchoetur fic, vt fupra bafin AD ftatuatur triangulum ,. cuius apex vel in C cadat, vel in D, vel in quodcunque huius generis punctorum reliquorum , quorum quidem numerus,. cum duabus vnitatibus minor fit numero angulorum figurae diuiden- dae , indici ordinis eiusdem figurae 7 aequalis erit. Quodlibet horum triangdlorum vt ADB a figura ACDEFGDB refecebit finitlram ACD, et dextram DEFGB, quarum illa, vel haec linea recta, vel bian- gulum , erit, fi apex trianguli ceciderit in puncta affumptis A, B. vicina, C vel G: fumma autem indicum, quorum vnus figurae dextrae , alter finitrae ordinem exponit , Ííemper eadem erit, z—:; vnde fi in- dex ordinis figurae finiftrae fit Oo, erit index ordinis figurae dextrae z—r, fi index ordinis figurae fini(trae fit 1, erit index ordinis figurae dextrae 2—2, et ita porro. Si IN TRIANGVLA DIVIDENDIS. 207 Si iam. a triangulo defcripto A DB. diuifio | figu- rae ita abfoluaur , vt primo figurarum refectarum finiftra A CD tot modis in triangula diuidatur , quot modis diuidi potefl, tum: et dextra: earum diuifio- num tor conftitui poffunt genera, quot. füupr AB triangula poffunt coníttui , id. eft, numero 7 ; cumque diuifio figurae dextrae nullo modo pendeat, a diuifione figurae finiftrae, cuiuslibet eorum generum tot fumi poffunt fpecies , quot modis fecari poteft figura finiftra, qua- rum cuilibet. tot füberunt diuifiones fingulares , quot modis figura dextra in triangula fecatur. ^ Vnde fequi. tur- in qualibet eiusdem! gereris fpecie eundem fore fe&ionum fingularium numerum, atque numerum fectio- num fingularium cuiuslibet generis proditurum , numero modorum , quibus in triangula diuidi poteft figura fi- niftra, per numerum modorum , quibus dextra poteft diuidi , multiplicato. | Litteris ergo z, 5, e, vt et d, et o, p, 4 eadem hic notantibus, quae notabant initio, ad primum genus, quo apex trianguli fuper AD defcripti, cadit in C, cum fit index ordinis figurae finiftrae — o, et index ordinis figurae dextrae 7—1; erit 24 numerus fectio- numi eius generis fingularium. ^ Ad vltimnm autem genus, quo apex trianguli cadit in G, cum index or- dinis figurae finiftrae fit 7— 1, et index ordinis figu- rae dextrae —o, idem prodit numerus fectionum fin- gularium huius generis 24, vt duo haec genera, pri- mum et vltimum , coniun&a, fectiones fingulares- com- prehendant numero 244. Ad alterum. dinifionum genus, 208 DE FIGV RIS RECTILINEIS genus, quo trianguli apex in D cadit, eft index ordi- nis figurae finitrae — 1, et index ordinis figurae dex- trae 5— 2, hinc mumerus fecionum fingularium huius generis — ^p. Verum ad penultimum fectionum ge- nus, quo apex trianguli cadit in F, cum fit index ordinis. figurae finiftrae 5— 2, et index ordinis figurae dextrae. r, idem fectionum fingularium numerus Pp et huic generi füberit , atque genus fecundum cum penul- timo fectiones numero 2579 comprehendet. —Patetque, eodem modo íi pergamus, donec genera, quae ita combinari. poffint , nalla relinquantur ,' collectis iu fum. mam facis 244, 2óp, 2c0 ex reliquis, vniuerfüum fecionum fingularium numerum ,' quae omnibus generi- bus fübíunt , obtineri. . Id autem futurum e(t, fi numerus füerit par. Si wero impar füerit hic expo- nens ordinis 7, combinatis ita duobus quibus libet gene. ribus, quae aequaliter ab extremis diftant , vnum relin- quetur in medio punctum E, ad quod, ductis AE, BE rectis, ciusdem ordinis figura refecabitur vtrinque. Vnde fi d fit numerus modorum , quibus vna harum figurarum diuiditur in triangula , idem numerus ad alre- Iam aeque pertinebit , eritque numerus | fectionum omnium generis in medio reli&i, quadratus Z4; quo ad füummam priorem 244-1-25p-1- 270 etc addito, omnium figurae propofitae fectionum fingularium nu- merus prodibit. Vehementer crefcunt modorum , quibus figurae pline re&ilineae in triangula diuidi poffunt, numeri, fic, wt viginti laterum figura ita^ fecari poíüt plus quam 469, IN TRIANGVLA PDIVIDENDIS. 209 469, oocooo modis. Appofui tabellam , quo id de- «laratur, cuius prima feries habet numerum laterum cuiuslibet figurae, altera indicem ordinis, tertia nume- ros Íectionum generis primi et vlrimi, coniunctos, quarta, numeros fectionum generis fecundi et penulti- qmi, et ita porro, ad quos apud indices impares acce- dit numerus íectionum generis intermedi. ^ Vltima tandem feries numeros iftos in fummam collectos. 23tque numeros vniuerforum modorom, fectionum omnis :eneris earum figurarum , quarum indices illis immi- ment, complectitur. Tom. VII. Nou. Com. Dd n IT) HI mni VIVI jen il adi XI | XII o|r "lale js 9 P r|^ gs i 2860/9724 | |€S | O4 | 858 2860 | 20 | 56 ($28 716 | : 25 | 420.1320 A Na: . | 196 1176 | sop oa acd pipe qe 22d nanclc Aaa BRNO A D ONLELIT XV | 26 XVIE .| II L2 E34 I4. I5 83592.| 117572 | 4160C24 1503800 5384880 |. 9724. | 33592 | 117572 | 416024. [1503800 $720 19448 77184. 235144 | 832048 4290 | I4500 48620 | 167960 | 587860 5696 | 12012 49040 | 15361836 | 470288 1764 | 11088 36036 I20120 | 408408 8 g[eeÉ.£- PorES 115256 | 377520 vote m Mets IoeIS j qb s ie 18404I EUIS RTT S | 751900 | 2692440 |9748845 | XVII XVII) TX r6 r7 | 19497690 69016140 252827580 5384880 | 19497690 69016140 | 5007600 | 10769760 | 38995380 2080120 7519000 26924400 1646008 5824356 | 21055200 I410864 4938022 17473c08 1283568 | 4434I44 15519504. I97340 4171596 | I4410968 we * 9" -» ec 245100 I390532» | 345- 8676 [126415790 | 469925500 | METHO : Wosw* ( o ) "EON 2II METHODVS SIMPLEX ET . VNIVERSALIS , OMNES. OMNIVM AEQVA- | TIONVM RADICES DETEGENDI. Auctore IOH. ANDR. de SECNER. Av» funt anni, vt in ficilem et generalem cur. varum generis parabolici defcriptionem — incidi ; quam ideo quaefiui , atque deinde fenfim perfeci , quod per eas curuas omnes omnium aequationum — radices quam fimplicifhme exhiberi pofié vidi, et vix miuus , quam per vllam reliquarum , accurate. Ea vero in re infigne compendium ineft laboris eius, quo arithmetica radices has per numeros decimales detegit , veris quan- tumuis propinqnos. Cum enim omnes methodi ad. id comparatae , qnae mihi quidem innotuerunt ,. Rap- foni, Haellyi, Newtoni, a numeris incipiant, qui ra- dices eas exhibent errore non nimio, eumque errorem repetito labore adeo imminuant, vt tandem contemni debeat: multum vtique taedii calculo decedere neceffe e(t, íi primus ille numerus, a quo calculus inchoa- tur, a vwero non magis aberret, quam parte füi decima, vel centefima. Solent enim regulae illae erro- res hos tanto magis imminuere, quo ipfi errores mino- res funt. Decimae autem et interdum centefimae pat- tis errorem , in figura non magna médiocri ftudio de- ícripta , euitare facile e(t, in plerisqne cafibus. Ddze Prodiit 2xz AETHODVS OMNIV M Prodüt ab eo tempore praeftans liber ,, Crameri* Znalyfis. curuarum | algebraicarum ;. quem. vt — primunr: euolui, eadem. via ad. detegendas aequationum radices: infiggaem eum G«ometram proceffiffe , Cap. IF. vidi - cum rnagna voluptate : quo loco excuíationem — quoque: adfert methodi, ab ea, quae maxime trita eft, nom nihil recedentis. et egregia multa de radicum limitibus :: fed curu:rum , quibus vna mecum vtitur, conftructio- ncs tradit eas, quibus fimpliciores et ipíe optare vide- tur. Quare fola mihi relinquitur, quam ita editis tanquam meam addere poffim, facilis illa atque vniuer- falis curuarpm iftarum conftructio. — INam et aequatio- nis folutionem , qua nititur , in. Newfom —Am"alfi fer quantitatum feries etc. tub. finem — eius. loci, quo aequationum | affelarum | rejolubo. docetur , adnotatam. poftea reperi. Id. cum ingens fcribendi compendium fe-- cerit, addam tameu, quae ad plenam dicendorum comprehenfionem neceffaria fünt, ne iis, qui haec le&ione digna iudicauerint , onus imponam , operofe quaerendi , quae ícribi ficile potuere. Sumo conflantem zz pro arbitrio, quam dico Parametrum , et variabilem z, ac ficio 5. — Deinde aliam conftantem. fümo A, fi&oque A ; nouam corm- flantem: B iungo. Prodit A Z -- B, fonctio fimplex Variabilis z. Hanc fun&ionem denuo in Z. duco , at- que ficto A 7, -- BZ nouam conflantem C. iungo. Prodit MT -4- B Z -r- C, functio quadratica eiusdem 2. Quadra. , AEQV AT. RADICES DETEGENDI. — 215 s . - QR. SUN : Quadratica hac fün&ione denuo im 7; ducta, at- 2 " . que fi&o A 2. -- B zz 4- C 2 quantitate. conftante D: adiun&a , cubica eiusdem variabilis z functio oritur - z3 z? 2 ita, A 7 -r B;-4-C;--D. Atque luc via pergeudo , functiones cuiuscunque ordinis variabilis affümtae s producentur, quas genes raliter exhibet formula ifta : A s" Bz"'-—: C z^—z | | Nat*—t rM m" mist etc. mh in qua quaelibet litterarum A, B, C . . . N, et ni- hilum. notare poteít, et quantitatem negitiuam. — Si ni- hilum notauerit harum htterarum aliqua ,. terminus. ,, quem afficit, e functione euanefcet , qua re faepe fuün- €&tio ad gradum inferiorem. deprimitur. mU trm E u—2 £t-—t* Si ponatur A "m Bou J-C iie d DE gn—m Tab. V. -I etc. -L- N-—x——J5 poterit aequatio haec lineamFig, ;. definre A B C D', cuius puncta. E ad. bafin. rectiline- am FG; per applicatas referuntur inuicem — parallelas EH -— 7r, qme a bafi illà abícioduet. partes DH — z, quarum omnium idem in eadem F G eft initium 1. Haec ewuz A B C D dicitur. e(&. gencris Parabolici. Si zr (ümatur aequalis vnitati , vel íi generatim ponatur 5 — x, aequatio liec paullo Gmplicius fcribi- tur iic Ax"-a4-Bx--Crt734-Dxxt-*5 ecc. M- IN x"—"-— y, vade mox apparet, huic Dds linez- ar4 AMETHODVS OMNIVM linearum. generi. ct rectam fübeffe. | Si enim fiat y— r, aequatio fit A x -j- B — y , quie vtique lineam rectam exhibet. - Omnibus autem lineis generis parabolici commu- ne eft, quod vna cum bafi füà F G , a dato in hac puno 1l, vtringe in infinitum excurrant , ductu nufpiam interrupto , fed tamen fimplici. | Quaecunque enim fumatur x, aliqua femper, per quamlibet ae- quationum , quae: fubfunt generali A x " -3- D x^—': -1- Cx^—*-P'et.— y , reperitur y , fed. vna plures nunquam. — Quaelibet ergo. recta alicui applicatarum EH in plano figurae parallela , curuam íecat ; fed fe- mel tantum , et in vnico puncto. Quae autem prodit y , cum et. affrmatiua eífe pofüt et negatiua, pro magnitudine atque coaditione conftanium A , B, C, atque ipfius variabilis v: linea generis parabolici: vel ad hanc, vel ad illam bafeos fuae FG partem cadere poterit, vel partim ad hanc, partim ad oppo- fitam. Poflerius fi contingat , bafis a linea neceffario fecatur. Verum , quibus punctis linea bafin fecat, vel vtcunque cum hac concurrit, ad ea eft y — 0 ; et, fi ad aliquod bafeos pun&um fit y — 0o, bafis apod illad punctum vel fecatur a linea, vel contingitur. Cum ergo conftet, plures in functione quacunque valores quantitatis variabilis ,— quibus functio conuertitur in nihilum ; vel quod eodem redit, plures aequatiohis A x" -i- B x^—' —A- Cx*—* -L etc. -- N7"—7"-—-0 radices, effe non poffe, quam vui- tates funt in exponente altifümae poteftatis eius variabi- lis 7: totidem locis, quot vnitates hic exponens 5 conti- AEQV AT. RADICES. DETEGENDI. — er$ continet , baüs a liuea fecari poterit, pluribus nunquam fecabitur , vef contiagetur; quamuis fecari, vcl contingi poffit locis paucioribus. Hinc fequitur, harum linearum fimpliciffimam , qnae exprimitnr aequatione A Z; -4- B — y , baün fe- care non nifi femel poffe , eiusque adeo flexum nul- lum effe, qui (i foret, poffet vtique bafin bis minimum fecare, Ergo hoc quoque indicio linea reca proditur. Curm autem hac aequatione expretffa AZ 3 BE-L.C—y, cum. bis tantum baün fecare poffit, vnum hibet flexum , plures vno nou hàbet. Si enim bisterue floxa effet, poffet et bafin ter fecare, vel qua- ter. Eít haec curua Apollonii Parabola , quod ex ae- quatione facile perfpicitur. Curua AS ur Be CZ--D-—» duos admittit flexus , quia bafin ter fecare poteft, non plures. Ea, quam exprimit aequatio AZ -- BÉ C Ba - --E-y, quatuor locis cum bafin fecare poffit, poteít ter- flexa effe. "Bt generatim numerus | flexuum , | quos: admittit curux quaeuis generis:paraoolici, femper: vnitate. minor eft exponente fummae dignitatis ,. ad quam abfciffa in eius aequatioue adícendit , id eft, (i exponens hic fit z, * eft numerus flexuam. 7 — x. Reperitur autemr. aequatio ; per quam puncta ffe- xuum horum exhibentur, facile.. Sit curuaà 'ABCDE apud punc&a B; C, D eo-modo flexa, quem hic «onfideramus- | Pundum fcilicet ,,. quod. lineum ABCDE ' mo- Fig. 2; Fig. 5. 216 METHODYS OMNIVM motu fuo defcribit, apud B, C, D dire&ionem mu- tet ita, vt cum ante recefferit a bai F G , iam ad eam accedere incipiat, vel ab ea recedere, cum ante accefferit. — Manifeftum eft, dum ita motus mutatur, pun&um illud fecundum directionem — bafi parallelam incedere debere , aique rectas , quae curuam apud pun&a B, C, D contingunt, bafi paralelas fieri. Vnde fequitur , ad haec puncta Zy prae dz euanefcere. Quare fi differentialis fuümatur aequationis , quae cur- vam exponit, deleaturque Zy , reliqua autem dinuidan- tur per dx , aequatio quaefita in promptu eft. Sumatur loco aequationis i cururuàm ABCDE 2 T— t x n—s exprimit , vwniuerfalis haec : Lem scita mh-—* z -j-etc. -3- M xctelg —y, erit aequatio quaefita : Non Hun. dig Wr aer I EU rius P i derit -i- etc.-1- 4 M-o per cuius radices punca dantur H , I, K, a quibus fi applicatae. ordinentur HB, IC, KD, cuu in pun&dis flexuum B , C, D fecatur. Sit iam A BC D E curua, . per harum. aequa- tionum priorem expreffa, ad bafin I G, et principium abíciffarum 1 ita füumtum , vt fi in ea aequatione y ponatur effe 9, radices aequationis 55 ex n3 Ars Br oC. ———2 -]- etc. -RML 4, N-—o emnes affirmatiuae fiant, quod dide femper licet, Dica- AEOPAT. RADICES DETEGENDI. s:j Dicatur aequatio haec D, ea vero, per quam puncta flexus B, C, D exhibentur, pofterior fcilicet ante hanc pofitarum , fit ^P. Erunt radices aequationis (D hae qutuor IF; IH, IK, IG ; aequationis autem XP radices erunt tres iftae IL, 1 M, IN. Manife- ftum autem eit, puncta, quibus radices iftae finiuntur F,H,K, G, atque L, M, N, alterne in bafi IG pofita effe. ^Quare radicibus vnius harum aequa- tionum datis, dantur limites, inter quos continetur quae-- libet radicum aequationis alterms. Sic radix IF aequa- tionis (^ continetur inter termiuos o et IL, eiusdem. aequationis radix 1H , maior eft quam IL, minor autem quam 1M , radix autem eius maxima IG intra terminos I IN. et ce continetur. | Contra . aequationis ^F radix minima IL intra terminos I F et I H- cadit, me- dia IM intra JH et IK, maxima I N inta I K et IG. Sed haec obiter. Porro , quaeuis linea generis parabolici , dum ita fecundum bafin in infinítum excurrit , fimul ab hac in infnitum recedit. — Nam in aequatione. A 2" -1- B z^ -LC2z"—*-|-etc.— y, vbi s in ingentem magnitudi- nem creuit, fiue pofitiua fit, fine negatiua , inferiores eius dignirates 2777, 2^—7 etc. prae fumma 2" eua- nefcunt , mutaturque aequatio in iftam : A2"— y, quae partes lineae extremas tanto accuratius exhibet , quo maior eft z. | Atqui in hac aequatione crefcente z neceffaio et y creícit, fitque tandem omni dabili maior. Ramus autem curuae generis parabolici in infi. nitum excurrens vterque ad eandem baítos partem "Tom. VII. Nou. Com. Ee C3- 218 METHODVS OMNIVM cadit , fi exponens s par (it: fin exponens hic fuerit impar , aler Lneae ramus ad vnam baáíeos partem in infinitum. excurrit, alter ad alteram. — Si enim ia ae- quatione pro ramis iftis Az"— y, numerus 7 par fit, eft 2* íemper quantitas affirmatiua, fiue z affirmatiua fit, fiue ueziiua. | Ergo et Az" vel affirmatuua.: erit, vel negitiui , prout A affirmatiua , vel negatiua eft, ad quimcunjue partem a principio fuo abíciffae protem- dantur. — Hiac et applicatae y ad hos ramos omnes ad candem bafeos partem cadent. Contra (i 5 impar füe- rit, z" affrmaniui erit ad. z affirmatiuas, et megatius ad z negatius. — Ergo et Az", et huic aequalis y, ad rimos in infinitum excurrentes ab. vna parte principii afficmatiua erit , ab altera negatiua. Poteft ergo linea generis parabolici ím cuíus ae- quatione 5 numerus par eft, baíün füam plane non fccare , quo cafu omnes radices aequationis, quae ex ila. deriuatar, pofito y —0o, impoffibiles funt. Impar autem . fi fuerit. exponeus iíle z, bafia femel minimum 3.linea fecari n-cefío eft, atque vnam minimum aequa- tiodis, quae per íuppofitionem y—o oritur, radicem effe realem. Hae funt proprietates harum linearum | pa'maríae. Q'od ad defcriptionem attinet, motum excogitare , quo íatis accurate defignari pofhat omnes, admodum dificie iudico, quare id neque tentau. ^— Verum puai&a liaexrum huius generis reperiuntur facilius, quum quis Íperiuezit, quoram fi fit magnus fit numerus , quae pcr ea deícribitur curua, a vero aberare vix poteft, AEQPAT. RADICES DETEGENDI. erg poteft. ^ Eftque puncta illa reperiendi methodus vbique fere eadem, quicunque fit ordo, quem exponens 7 indi- cat. Eft enim in eo folo aliqua diuerfitas, quod (ae. pius faciendum eít, fi » plures vhitates contineat, quod fit minus faepe, fi is numerus 4 minor eft. Declarabo rem exemplo linc3e ex genere para. bolico cubicae , quae aequatione TES "risiede Dzy definitur. ^ Abfciffas affirmatiuas ab ^ earum principio fumam verfus dextram , negatiuas vcrfus finilram.5. an- gulum applicatarum rectum ficiam , neque enim , vt i$ obliquus fiat, cum cadices quaermutur , opus eft; ipfas autem applicatas affirmatiuas (upra balin locabo ; nega- tiuas iufta. Sit bafis MN, in eaque principium abfcifirum O. Per hoc pun&um recam PO bafi perpendicularem facio, «um g^neratim augulus POIN anguio applicata- rum aequalis reddi debeat.. Jam fi linea acquaüonis , quam deügnat D, pofitiua fit, eam a. pundoo O in re&dam OP pono fupra baüin in OD; fi fit ncgatiua ; éam ab eodem pundo in OP inffà bafin. transfero. Ex pun&o D in «eandem lineam OP pono lineam aequationis C, pariter verfus füperiora in D C, fi affir- matiua fit, fed verfus infvriora , fi fit negstina — Simi- lem in modum 3a pun&o C lineam aequationis B in CD pono, veríüs fuperiora , fi afürmatiua fit, ted ver- fus inferiora , fi ea B fit negatiua. — Tandem a puncto B in BA lineam aequationis A pono fimili lege : weríus füperiora fcilicet , fi affrmatiua fit, et veríüs inferiora , fi fit negatiua. Pun&is ita in OP repertis , « Ee 2 litteras, 220 METHODVS OMNIYHAM. litteras , quemadmodum in Figura apparent , ordine adícribo. Deinde OQ Parametro :m aequalem facio, atque per Q re&um duco QR, initio du&ae OP parallclam: atque , his ita praeparatis, accedo ad inueítigandum y : ad datam vel affümtam z. Sit z ea —OS. Duco ST pariter ad OP pa- rallelam, perque A ago bafi parallelam Ac. Conne&o Ba et noto pun&um 45, in quo recta haec Bz pro- ductam S T fecat |. Per punctum P rterum parallelam bafi ago fe, et conne&o Ce, puncüum vero d, in quo re&a haec Ce candem ST fecat, noto. — Per hoc enim punctum 4, fi iterum reca traducatur 4e bafí parallela , connectiturque. De, erit; punctum , in quo haec De.produdam ST fíecat in curua conftruenda , atque Sf erit y ad affumtam z. Daucatur enim et per f re&a rf bafi parillela. Erit pímo A2 :95—AD.pBD, id e(t, per ea, mM affünta funt, zm: z—4A : pDB, ergo pB—AE,e sunt ef REA A;z--B. Porrmcep: "e — .pC: " id eft, 2:z—A^z3-B:4C, ergo OSA DLE et hinc 25 qC--CD-—ALA BC fes terea vero eq: fr —4D: 7, fiue, m : 3— Azz-- Bz- -TC:rD, ergo 7D-- AZ DES 4- CZ, et hinc fS-rO-zrD-- DO-Ass -- B; 27 CÉ-- D. Eí(t ergo haec fS aequalis » quaetitae. Eadem conflruend: ratio et ad eas abíciffas ob- feruabitur, quae vel ncgauuae funt, vel parametro oQ AEQVAT. RADICES DETEGENDI. 223 OQ maiores, ad quas pun&um S extra fpatium. OQ. cadit, ad hanc illam ve partem. Sed'producendae iam erunt Ba, Cc et reliquüe. huius. generis lineae ad ean- dem partem , ad quam cadit S, et per id puncum duca ST. Recarum autem iftarum Baz, Cc, De, tanto plures eruat, quo plura funt puncta A, D, C, D etc. quae aequatio fuppedirat. | Verum quaecunque curuarum P quae geqnatione o eR -— Nerei ,Ho— as egn—n p^ A roS C Q- Dez etc. N75 Ec contincntur , conftruenda fit, erit numerus punctorum A, B, C femper aequalis numero terminorum , qui in priori eius aequationís membro ineffe poffunt ; fiue ex- ponenti fümmae dignitatis z vnitate aucto, m-p-r. Poffunt autem duo, vel plura, horum punctorum in vnum coalefcere , quod contingit, fi aliqua quaatitatum A, B, C, D, ex. vel duarum plüium ve cum fignis fuis coniunctarum fumma fiat nihilum. ^ Verum hoc cafü, punctorum , quae ita coaluerunt, mon minus ratio habendi eft, quam fi difcreta forent Qua in re tanto minus erit errandi periculum , fi puncto , quod pro duobus aut pluribus: eft, omnes eae litterae. A, B,C, adf.ribantur, quae punctis adfcribenda füerant, quae ita coaluerunt. a Sit reperiundum pun&um curuae ABD** LCD. *.IE — y, ad abídiffim $—0OS. Reliquis ergo , vt dictum eft, fa&is, fiat OF aequalis lineae F aequitionis, / Deinde, quia terminus, qui vlti- mum F proxime praecedere debebat in aequatione , Ec 3 | Ez Fig. Ss 222 METHODYS OMNIVM EZ deficit, efique adeo E— 2o , apud pun&um F f- gurae etiam littera E ícribatur, atque punctum EF habeatur pro duplici. — Hinc ab E in ED transferatur linea aequationis D, puncto autem Det litterae C, B adícribantur, quia termini BE, CE. qui terminum D. praecedere debebant in aequatione , hic ambo deficiunt , habeaturque punctum DCB pro triplici. "Tandem ex B in BA ponatur linea aequationis A. Si iam ad abíriffain z— OS reperenda fit y, ducatur A z ba MIN parallela, deinde B, iterum 2c bafi parallela , tum Cz, porro 4e parallela bafi, deinde De, et fg, hinc Eg, tum 5i, tandemque FZ, quae produ&dam S T fecabit in pun&to curuae quaefito k, ad quod ícilicet eft applicata S5 —y. . Non fíubiungo de- monftrationem , quae facile peti poteft ex iis, quae ge neratim funt oftenía. In «onítructione hac multitudinem linearum iure quis culpauerit , quibus fi plura quaerenda fint curuae Fig 4*t5-pun&a , totam breui chartam oppleri neceffe eft, in- genti cum confuüfione. ^ Sed facile eft rei ica. de quo cogitandum vtique fuit, íi non in fola con- templatione fubfiftere, verum propofitum plane perfi- cere vellem. — Et primo quidem reca Ba eadem eft pro qualibet applicata, quam vbi fecat, in eum locum cadit pun&um 42. Poteít ergo recta haec Ba vtrinque in infinitum produci, quo facto, fimul atque ducta fuerit S T, punctum 5 praefto erit — Reliquarum autem re^"arum 4c, Be, 4e, Ce, etc. deícriptio plane euita- bitur hunc in. modum : Cape AEQUAT. RADICES DETEGENDI. 23 Cape tabulam re&angulam , qualem ad manus effe figuras cum cura defcripturo alioquin opus eft, et regulam afferculo inftrudtam transuerío , eum in finem, vt fi afferculus hic margine tabulae applicetur, omnes lineae , fecundum aciem regulie ducte. parallelae. fiant : qua quidem regula cum architectonibus paffüm vti fole- mus. Praeterea aciculam para, manubrio infertam. lta inftrucus, ductis ope reguhe illius marginibus ta- bulae applicatae, rectis MN, PO, QR, atque in OP pun&is A, B, C, D etc. legitime diípofiis, regula bafi MN parallela ad puncum A applicata, colloca acus apicem in 4, et duc Da vtrinque infinitam. — De- jude ad affüntum OS duc ST et produc. Habebis A. Regula bafi parallela ad P applicata, acum fifte in c, applica regulam ad acum c et ad pundum C. .De- inde acum iuxta regulam trausfer in d. ^ Applica re- gulam bafi parallelam acuti huic, deinde hanc iuxta re- gulam transfer in e, — Iterum regulam et acui huic ap- plica et puncto D, atque ita perge vsque ad punctum viimum. Erit 7 figurae 4. vei k& figurae 5. punctum curuae quaefitum. — Admodum expeditus hic labor cft, et errori parum | obnoxius. Caeterum omnis curua generis parabolici tranfi- bit per punctum 4, perque punctorum in rectam OP translatorum illud, quod terminum aequationis conftan- tem finit, qui in. figura 4. cft D, in figura autem 5, F Vtrumque facile patet, (i in aequatione fiat primo quidem z--;, deinde vero z— o. E(l euim ad ap- plkatam. in QR füumtam z—:;, quo pofito. applicata haec Fig. 6. 224 METHODVS OMNIVM haec | prodit. — A -- B-1- C27 D ete. — OA —Qaz. Ad applicatam autem in OP fumtam cum fit z—o deflru&is reliquis , quod in aequatione per z non affici-. tur, folum relinqui neceffe eft. Haec eft curmarum iftarum conftructio, quam qui tenet , radices aequationum facile reperiet. Sit data ae- quatio haec: 16 3 —28x —84x'-1- 27 Y—9-— 0, cuius quaeruntur radices. Facio ex meníura quacunque con- venienti A165; B— 28. Cz—8;)Dz--25; E-—-—9;aquolabore füperíedere. potuiffem , fi loco numerorum ipíae rectae A , B , C, etc. per aequatio- nem datae füuiffent. ^ Sumta deinde pro bafi infinita F G, et puncto O pro abfciffarum atque radicum prin- cipio , per O duco rectam bafi perpendicularem , in eamque colloco ordine retrogrado , OE -- E——9 ; ED—D-—27; DC-—C--85g C Dos BA-—A- 16. Deinde Parametrum fumo OQ pro arbitrio , sifi quod aliquod compendium in eo fit, fi vel vnius, vel decem, aut centum partium eius menfurae fümatur , € qua lineae A, D, C et reliquae. defümtae funt. Ge- neratim autem paruam potius, quam magnam, fümere conuenit, ne fcilicet aliquae radicum extra planum ta- bulie cadant. Per Q punctum rectam duco Q T ad OA paralldam , in eamque transtro Qa — OA, duca per A bafi parallela. Erit 2 punctum curuae , quae eadem tranfibit per E, vti dicum eft. Reliqua curuae pun&a vt reperiam , per B et z recam pono infniam , atque, ducta quacunque recta ad baün pers AEQVAT. RADICES DETEGENDI. 525 perpendiculari, eius partem inter curuam et bafin in- terceptam reperio, quemadmodum: oftenfüm ett, De- fcripta curua apparent, aequationis Azi-2-B£;4-CE --D£-LrE-o ries, s—OX-—90,; z—OY-o; £—OZ-o;et z-1-OV--o, quia fcilicet curua. ba- fin fuam. apud puncda X, Y, Z et V fecat, quo. rum tria priora ad dextram recae. OA partem ca- dunt, vlümum ad finiflram. — Erit ergo z— OX; *-—OY;zs—0OZ2Z,et gz:—OV. Iam vero, íi in aequatione propofita 16a* - 12 x* --56x'-1-19x'—18x—9-—0, ponatur effe x—z, 3equationem illam conuerti in eam , quae per curuam conftru&am exhibetur, et vltro patet, et initio lobíer- vatum eft. Erit ergo quoque x-2X prima radix hu- ius aequationis ; x— 27 erit eius radix altera; x— 927 tertia, omnes affirmatiuae , tandem x—J7 radix ae- quationis quarta erit , fed haec negatius — Quae quidem radices , fi per numeros exhibendae fint, vel diui- dendi erunt numeri , quibus radices iftae exhibentur , per fcalam ab initio vfurpatam , per numerum carun- dem partium , quem continet Parameter OQ, vel re- &x OX, O0Y, OZ, OV, non ex ea ícala, per quam exhibitae funt OD, OC, íed ex ipfo parame- tro 5, fiuc OQ pro vnitate fümpto, menfíurandae. Eft in hac methodo radices reperiundi ea infi- £nis commoditas, quod non opus fit curuam defcribere integram. —Pofitis legitime pun&is A, B, C, D, ac "Tom.VII. Nou. Com. Ff reliquis, 226 METHOD. OMNIVM AEQVAT. RAD. ete. reliquis , quemadmodum dictum efít, praeparatis, fi re: Cae, per quas puncta curuae determinantur , obiter du- cantur in aere , vt earum vefligium nullum relinquatur, facile apparet, an curua in loco quouis dato vehemen- ter dilet a bai F G,, vel «i propinqua fit. llis er- £o eius partibus, quae a bafi remotae funt, neglectis , hae tantum , quibus eam baün fíecturam effe f(perari poteft, cum cura claborandae erunt. Sic autem re- pertae radices deinde cálculo magis elimabuntur , quan- &un opus eft. CUu ERAN ceupuqeunat a mco mmetd BUENO CNRÉDUMESLNRSMUA grease niae co ies ios rEc rs Rr). €—Ó————————— DE «9 X o X "aste 227 DE PROBLEMATIS QVIBVSDAM ISOPERIMETRICIS. Auctore A PAVLLO FRISIO. 4$ 'heoria omnis curuarum eodem ambitu comprehen- farum , et proprietates quaslibet maximi , aut mi- nimi prae fe ferentium, a Geometris celeberrimis Bernoullio, Taylro, Hermano , et potifüimum Mac - Laurizo- et Eulero iu tanta lace nunc temporis videtur pofita, vt eorum lucubrationibus vix quidquam amplius adiungi poffit. Nihilominus tamen , cum in problematis huius generis refoluendis quaedam mihi compendia fefe obtule- rint, non fine aliqua calculi et temporis oeconomia, animum fubiit, ea breuiflime exícribere, quaecunque fint , €t Academiae communicare. Principio 6 curude A H,, femiordinata C T pona. Tab. VI, tur —y, abíifa PC-—x, CD—4x, CB-—-—dx, ec F8 fübflituatur in aequatione x-1-4x, ac deinde x— 4x, loo x, prodibt DF-—y--dy--id'y-i-id:y etc. et BGcy-dy--idy-—.d:y etc. quaecunque. demum fit ipía aequatio , et quocumque ex loco füpputentur ab- ícifüe x. Hoc dato alia non pauca confequentur theo- remata. Ex. gr. cum dy fluxionem primam femiordi- natae exprimat, quae fcilicet ducta tangente definitur , punda E, et F infra, aut fupra tangentem cadent, : Ff et 228 DE PROBLEMATIS QVIBVSDAM et curuà propofita A T H. erit verfus. axem. AE con- caua , aut conuexa, prout altera femiordinatae fluxio: d:y aut negatiuum , aut pofitiuum. valorem aliquem prae fe feret. Inde etiam fluent vulgares radii, et co- radii ofculatoris formulae, et ad affequendas. alias curua- rum cuiuscunque. ordinis proprietates ampliífimus. pate: bit aditus. At vero binos cafus, qui maxime ad rem: noftram faciunt, euoluere , et fingillatim. confiderare: opus eft. Prima femiordinatae fluxio y euanefcere ali- quando , et aliquando. infinita effe poterit ,, exprimi fci- licet fractione , cuius numerator ad denominatorem nullam. finitam. rationem. habeat. un primo: cafü fi fluxionum aliarum. fimili modo euanefcentium. numerus. par füerit, femiordinatae maximum,. aut minimum. ha-: bebitur: Maximum vtique , fi fluxio, poft euanefcentes. omnes füperftes, fit negatiua: Minimum; fi pofitiua. — In: cafü- altero: euanefcet. fübtangens curuae ,, congruet femior- dinatae tangens, et fiet axi perpendicularis. — Erit etiam femiordinatz immediate (übfequens — y -1- $-1-14*y etc. et. quae. antecedet. immediate —y--5--;d'y etc. fi ambae ícilicet ad. eumdem. ramum. curuae. A. TH. perti- neant, nec maiores fimul, nec fimul minores. erunt fémiordinata intermedia y. ^ In. eodem. igitur curuae: ramo , fàcta 4y infinita, maximum aliquod, aut mi- nimum. femiordinatae: nunquam. haberi. poterit. Poterit tamen fémiordinatz: diuerfis. ramis. eius-- dem. curuae: aliquando; interiacere..— Ramos. diuerfos. voco. €0s. ISOPERIMETRICLIS. 229 eos omnes, in quibus coordinatarum relatio eodem. fpecierum. ordine , eademque aequatione exprimitur , fignis. tamen negantibus, aut affirmantibus diffimili. Ex centro. circuli ex. gr. perpendiculari ad diametrum erecta, quae prodit maxima. femiordinata , in eodem circuli ramo. vtrinque producto. eft ; vtrinque enim fe. miordinatae. valor quantitate vnica exprimitur Y (22x-x"), aut Y (4^—x*), quemcunque demum valorem. obti- neant abíciffuü x. At wero in Parabola cubica GA M, cum facta CE—a, et abíciffis a pun&o C füpputatis pro- deat ( y-4) — a:- 2a^x4-ax^, fiue y-a4-2' * (-I- a-MA- x *, füperioribus fignis ad ramum. GA, et inferioribus ad AM. pertinentibus ,. ramos ipfos. inter fe inuicem: di(tin- guere neceffe erit. In priori ramo: femiordinata quae- libet proxime. antecedens erit —4-1-2' (a4 -x— 4x)" —a--es(a-x)t-2i4(a-x)-' dx etc. —y-r-dy—id'y etc... In ramo altero. femiordinata: proxime fubfequens erit —y-1-4y —id'y etc. — ltaque in rami vtriusque confinio A. femiordinata E A omnium minimi euadet. In aliis curuis vtrinque axi accedenti- bus, iu quibus fcilicet negatiua effet Zy, iisdem factis füppofitionibus. fémiordinata maxima haberetur. ^ At quamdiu ad eundem: ramum: pertineant femiordinatae ;, nunquam fient maximae, aut minimae, vbi euanefcat de- mominator illius fra&ionis, quae primam: fémiordinatae: fluxionem exprimit: Id quod generale nobis princi- pium: fuppeditabit, et ad enodanda quaeuis ifoperimetro- rum problemata maxime idoneum : Quantitates. fcilicet creícentes quomodocunque , aut decrefcentes euadere: maximas, aut minimas, non poffe, nifi prima. earum-. Ef5 dem: Tab. VI... Fig. 2. Tab. VI. Eig :50 DE PROBLEM ATIS QVIBVSDAM dem fluxio euaneícat. Poffunt enim quantitates omnes femiordinata curuae alicuius exprimi. Hoc pofito qu eratur cutua. AH E, quae proprieta- tem aliquam maximo , aut minimo gradu exhibeat. Sint bina elementa abfiffüt BC, CD, . femiordinatae MG, NT, perimetri GT, TF, produdaque CT. in P, ex terminis G et F ducantur duo alia alterius curuae elementa GP, FP, prioribus vtcumque proxima. Pri- mo, cum extremorum punctorum locus H,; E non detur, proprietas eadem maximi, aut minimi quaefitae curuae conuenire debet , quamcunque exiguam portio- nem GTF pun&a intercipiant. Deinde ex iis, quae modo diximus, confequitur , proprietatem ipfam non poffe elementis fingulis BGTC, CTFD conuenire , nifi etiam elementis alis BGPC, CPFD ita conue- niat, vt differentia omnis euadat nulla. ^ Denique fi radiis F T, GP defcribantur circulares arcus TO, Po, ob fimilitudinem triangulorum TNF, POT, et GM T, ToP erit PO Z* T , et To Ex. Datis hifte omnibus, fi in telligamus elementa BGTC, CTFD retinere proprietatem fuam , dum abeunt in elementa proxima BGPC, CPFD, aequationem huius formae habebimus, X —X-1-42X. TP—o, et quaefitam eruemus curuae aequationem . dX —o, fiue, quod eodem recidit, X — C. Antequam viterius progrediamur , demus exem- plum aliquod , atque illud quidem tritiffimum , quo curua H T E eius naturae et indolis requiritur , vt ex H ad E vsque corpus minimo tempore deícendat. In : GT TF . met hoc cafu, cum quantitas 7— "* 7—. vbique minima effe YAB — YAC debeat, ISOPERIMETRICIS. 281 debeat , fict iu i eT usps. c CP MER * : xta. dida yuÀ € yAC^- WAT! y 4C -.GT-—To TF--PO . . . —"xEOo o yXgo» €t deletis aequalibus, füpererit PO Dg MIQUP LPMIOSIT Sod OTT. Id XAC. €VAB 7 (TEyAC "GL.JAB 9? CT.VAB —T g» ae E . MC s S CAS indicabit fluentem ipfim .— VER conftanti quantitati aequalem effe, et in vulgari cycloide FR G , habebit Tab. VI. locum, in qua effe nouimus Nz: NQ—CM:MR Fig « —PM:PR-VPC:PR, fi in plano inclinzto cor- pus a B ad G vsque tranfire debeat, perinde erit: Quippe adhuc conílans manebit vis, qua in plano in- clinato corpus ad defcenfum vrgebitur , atque ad abío- lutam vim grauitatis erit in conftanti ratione altitudinis plani ad eius longitudinem. Fig. 5. Licet autem Cl. Ez/erus reliqua maximorum , mini- morumque et ifoperimetrorum problemata, aucto numero conditionum propofitarum, difficiliora euadere exiftimauerit, vt quoniam bina elementa curuae fingulis proprietatibus fingillatim exhibendis füfficiunt, binis fimul componendis, non nif terni, et plura pluribus effent (atis ; faepiffi- me animaduerti , ex curuis omnibus , quae proprietates A, B, C, D etc. aeque habeant , eadem methodo , ac pari facilitate eas curas decerpi poffe, quae pro- prietates alias F, G , H etc. maximo gradu , aut mi- nimo prae íe ferant, quaecunque fit proprietatum propo- fitarum complexio , et numerus Si enim fingulae pro- prietates exhibendae effent fingillatim , haoeri poffent eadem | methodo aequationes — totidem — huius generis X-X-1dX.TP—o,Y-—YX-r-4Y. TP—o, Z-Z44Z. TP-—o *52 DE PROBLEMATIS OVIBVSDAM TP-—o,etc. Quoniam igitur proprietates omnes im vna fimul curua effe. debent, compofitis aequationibus , prodibit ZX -4- 2Y -- 2Z etc. —o, aut, nifi aequatio- num termini iam homogenei inter fe fint, ZX -1- «d Y -- 5! dZ etc. — o, vel denique X -i- 4 Y 4-7 Z etc. z C. Problematum exémpla mutuemur ab ipfo Fulero, et inquiramus curuam , quae inter omnes ifoperimetricas maximam füperficiem complectatur. ^ Si fola prior conditio feruanda effet, haberet! GT-- TF— GP --PF-—GT-To-4-TF-LPO, et erueretur inde Ed —ED-TAe TP-—o. Altera etiam proprie- tas, fi fola effet, «exhiberet AB. MG-I- AC.NT —ADB.MG-—TP--AC.NT-4TP, fiue 7. AB. T PZo. ltaque proprietatibus compofitis, et fida AB-—zx, BC-—Z4x,BG—-y,MG—-—4y, HG-*, GT-ds, emerget CU ME S quae eft femper aequatio ad cir- culum. | Quod fi vero quaeratur curua , quae inter omnes ifoperimetricas circa axem. AH conuerfa generet maximum folidum , noua -haec proprietas dabit eodem modo, 7 AB". TP—0o, et aequationem füppeditabit 4^ dy -—ax^ds--b'ds, quae exprimet naturam curuae cla- fticae. .Si curua ea effe debeat, quae circa axem. AH conuera maximum folidum .et minimam füperficiem fimul. gignat , prodibit primo A B. GT--AC. TE-zZAB. GT-—To-4-AC. FF--PO, , ac deinde EARNO qpP—o , €t nouae cutuae aequatio fiet aqx4y —xdsA-b* ds, quie in aequationem ad circulum de- generabit , fi fit ^— 0, ad catenáriam vero, fi « fit in- fnita, et 5'—2«. -Si denique ex curuis 9mnibus ifo- peri- ISOPERIMETRICIS. M perimetricis ea requiratur , quae centrum grauitacs habeat ab axe AH maxime remotum , fiue in qua üt maxima quantitas omnis AB. ET , feruatis conditioni- bus fingulis, prodibit 4dy A- xdy —b4s, quae erit rur- fus aequatio ad Catenariam. Tranfeamus ad füperiorem problematum horum cliffem , atque inquiramus curuam , quae ex omnibus ifoperimetricis maximam aream complectatur, et fua circa axem AH reuolutione generet maximum folidum. lilico habebimus x*'45-- óxds—a'dy—e'ds. Quod fi ex curuis omnibus eiusdem longitudinis , eiusdemque areae , ea excerpenda fit, in cuius perimetro graue cor- bd pus celerrime defcendat , eruetur x s—44dy— eds. Pariter fi ex curuis omnibus eiusdem areae ea requira- tur, quae circa axem AH conuería generet idem foli- dum , ac tale infuper, vt motum fecundum axis dire- cionem patiatur minimam refifleniam , ad tuen- ! E: . AB.BC$ dam hanc vltimam conditionem effe oportebit Aa AC.CD3 AB.BC* AC.CD; ; d. xdydx$ Eres raa TFEROr adeoque edam —— x. T P, bxdydx* ^ 4 et conditionibus fingulis retentis, a x -4- x^ — 552 27- — (^, Si fümma omnium AB. ET maior effe debeat, quam in aliis curuis omnibus eiusdem longitudinis , eiusdem- ; 31e Diod. que arexe , erit ax -4- x —- 3; — «*. Congruunt aequa- tiones iis omnibus, quas plura elementa curuae confide- rando, in medium p:otulit Eulerus. Addamus exemplis hife alia quaedam. Decrefcat vis, qua fe attrahunt pun&a omnia in ratione duplicata aucarum diftantiarum, et requiratur curaa QH E , quae d : Tom. VII. Nou. Com. . Gg maxi- VI 334 DE PROBLEMATIS. OVIBVSDAM cte: maxime omnium attrahat corpufculum Lin axe H L. cozftitutum. — Erit, attractio elementorom G T, TF ; : as E GWCLAE "T F.L S. fecundum . directionem. axis ipfius exercita "oir ds d- XvrL£Ó "END TF--PQ. d.Lf-MG, —gH—LRH- ELS. Indeernetu qzcp DPO d. 1dy--y4d5. A —, : LG y aai) TP-o, faca fcilicct L A—z. Si vero quae- ratur curua , quae non ipíi quidem , fed füperficies. re- - volutione circa axem: genita attractionem maximam exer- Qo donxd y 4- xyd5 ceat, erit. (— 7 5277 TP-— o. Si denique totam folidum . maximam attractionem exercere debeat, SNR attra- - &io.ciruli radio R G, defcripti eft. 1 —;2, erunt ele- M - NT.LS-. menta- attractionis maximae- MG-"fILNT--LE G LY —MG-TP-*SURLRGNT4TPR-CSUH-gS vnde emerget E Lco. Foremnt hae proprieta: tes. cum . fingulis. faperjoribus -ad libitum. com poni, Si eius indolis carua effé debeat.ex. gr. vt circa axem LH : conuerfa generet folidum , quod. prae. aliis aequalibus. maxima attractione polleat ,. aequatio curuae.— habebitug: b?n--b?y — "m 2 E Ja-kyibes)p— 0. Xs. PHYSICO:. PHYSICO- MATHEMATICA.. l Md r* v uw. DL S SERT. ACTOFO DE QVIBVSDAM CIRCA LENTES CAVSTICAS ET SPECVLA VSTORIA EMENDATIS ET NOVITER INVENTIS (a) Be corec dis ERN MÁEIHBR: fe&us radiorum folarium fpeculis caufticis , aut' lentibus , coa&orum , fine dubio maxime mirandi funt ; fimul vero dolendum eft, phyficorum plu- rimos hifce organis carere. ^ Specula cauftica quidem adhuc, íed non fine magnis impenfis , haberi poffunt , lentes vero trium, aut quatuor pedum , quales Dom. de Tfcbirnbaufen olim confecit , vix a priuato poffiden- tur; dum earum vix quinque aut fex fuperfunt, — quae aut principum aut aliis technophylaciis publicis repofita adferuantur: (4) cui accedit , quod fürnos et machinas nouis fundendis et poliendis neceffarias , nemo priuatus fibi facile comparauerit. Neque ex folo vitro , maio- Gg res (4) In haec cogitata incidi, antequam, quae D. de Buffon in his prae- fitit, didiciffem. Optimum ergo duxi, fi cogitata mea illo or- dine, quo fe confequuta funt, recenferem , Domini de Buffon wero inuenta ; vbi occafio effet ; in notis adduccrem. [5) Vnam poffedit Lebmanuus, olim Phyücae Profffor Lipfi-nüs, qui plus fere fumtuum , quam priuati, et non adeo diuitis, ra- tiones ferrent , naturae inueftigandae impendit. — llla lens extat adhuc Lipfiae apud Lebwansi fiium ; aequo pretio vendenda. 2538 . ODE LENTIBVS CAÁVSTICIS xes aut perfe&tiores, quem JTfebirnbaufus dedit , elabo- xar pofle videntur. lnterim magnac effet vtilitatis ; fi inter phyfici.cu- ausuis füpelle&ilem lens trium .aut.quatuer pluriumue ipedumi reperiretur. — Tunc enim ali hac, alii alia occafione .experimenta inftituendi oblata , lentibus pro- priis opportunitatem fübminiftrantibus, magnus nouorum 4nueniendorum aperiretur campus. Haec effecerunt, "t de.mediis, fpeculorum caufticorum , inprimis vero dentium , víum magis communem reddendi cogitarem. Primo pecila, minoribus impenfis, quorum «effectus tamen pro ratione magnitudinis et. impenfarum infignis effet , perficienda meditabar. ^ Eo me ducebat Kircberi idea , fpecula talia ex planis componendi , et jparuum quoddam tentamen rei fic inflituebam: (o) Pluribus ligni fruftis ita coniunctis, vt figuram fcmel inductam mntare non poffent, totam compagem fecun- MEET CNN (.c) Foruito cum D. de Bufos in eadem cogjteta incidi, etíüi ad alium fcopum collimant. — llle enim :de fpeculis im longinquum focum proiiientibus cogitauit., Archimedea ,.quae narrantur, re- ftiiuturus, aut potius primo exhibiturus ; ego autem, quae metal- licis ípeculis ex amaffa continua elaboratis magna impenía obti- menttr j facilius conficere , ficque. vfum fpeculorum | caufticorum anagis communem reddere volui. lnuenta Dom. de Bufos vw. án Commentariis Acad. Reg. Seient, Parif. 1747. 1748. ET SFECFPLES FSTORLLSi — e3w fécundum- arcum circuli, cuius. radius erat. digitorum: rhenanorum triginta (íex , torno excauari curabam., Laütudo erat digitorum quindecim ,. craffities trium. Superficiei. ad. craffitiem | circiter. lineae. inducebam .. mas; fam ex farina, creta, fuligine , aqua mediante com- mixtis. — Hac plane ficcata ,. aliud. adhibebam ligaum., capulo., quo teneri poffet , inftructum , latitudine.,. quae circiter. duas tertias. latitudinis ligni cus haberet ,. cui adiungi fpeculum debebat, conuexitatem vero , cónca- vitati alterius illius ligni , et fpeculi. ipfius ,. congruen- tem.. Hoc. inftrumento- ligneo conuexo- fuperficiem. maffae, cauo. inductae , terebam ,. donec fuüperficies. polita fatis. et: perfecta erat; Dcinde: ex: fpeculis- planis- fécari? curabam - quadgata: exigua. quorum litera digitum. dimidium | rhenanum: aequabant , . quibus .cauitatem .illam obducebam , ita fpes culum cauum. ex. planis. compofitum. obtinens. (2) Cum: (4) .Reperit-Dom. de Bufou ( Comment: Acad. Scent: Parif. 1747. pag. 83. ed. Parif.) fpecula vitrea , mediocri diligentia .elabora--- ta, lucem. forrus. reflc&ere , fpeculis metallicis optinis; | imo- melius compofitione illa, qua ad Telefcopia catadioptrica vtuntur, Ad vrendi igitur. fcopum metallicis. vitrea | praefert. Vt: caua fpecula ex planis. vitreis componeret , varia ingeniofiffime excogi-. tauit. Speculum diftántiae focalis infignis quaerens , plana vitrea 168. quodlib:t.latitudinis digit. 6; altitudinis 8. "excedens con- iunxit, ficque lignum ad diftantiam ped.. 168: incendit; ftan-. num, plumbum, argentum , ad diftíntias. pedum 150, 130; Oo. liquauit.. Deinde aliud fpeculum ex 192. planis coniunxit, quoram. 240 DE LENTIBVS CAÁVSTICIS Cum hoc fpeculo varia experimenta inftitui, id- que pro ratione magnitudinis fuae egregios effectus edere reperi, licet nec füperficies ipfa fatis ex voto formata effet, nec fpecula omnia angulis fus fuperfi- ciem quorum 20 effe&um fatis infignem ad diftantiam 120 pedum, $0 ad pedes 240, et 160 ad pedes 360 ediderunt. De fuften- taculo hoc tantum monet, quaquaue'fum verti poffe; ípeculum vero quodlibet feorfim poffe moueri. Ego de fuftentaculo , cuiuis tali fpeculo compofito apto, cogitaui, quo pondus nimium ma- chinae non daretur, fpecula vero omnia fimul verti poffint. ld fic crederem effi poffe. Fiat crux lignea quatuor aequalium brachiorum , fingulis brachiis ad extrema fua in angulos rectos curuatis; huic afferes duo flexiles , vbique aequalis craffitiei et longitudinis , ita imponantur, vt fingula extrema afferum (ingu- lis extremis inflexis crucis incumbant. lungantur vero extremis crucis iofl.xis retinacula , füb quibus antrorfum et retrorfum duci poffit afferes elaftici, pon tamen decidere. Afferi-us elafticis impo- nantur fpecula pana, fic. vt exacte omnia in plano eodem fita fint. lam afferes hi:ta fibi imponantur, vt fe decuffent, non vero inferi de- bet vnum alteri, aut alio modo coniungi, fed fimpliciter fibi füperimponi. In ea parte, qua fibi mutuo incumbunt, cochlea applcatur, qua magis minusue ad brachia crucis vrgeri poffunt. Hac cochlea curuari poterunt afferes , et fpecula plana ante in dirc&um pofita curuedinem effii:.nt pro diuerfo cochl ae fitu ma- iorem, vel minorem. lllud par extremorum crudis reflexorum , quibus fuperior aff r incumbit, reliquum par excedere debet crafitie afferis inferioris , vt curuedines afferum in fuperficicbus parallelae fitae fint; nam aequali extremorum illorum inflexorum cruds longitudine inferior affer, fiue cruci proprior , exteriore magis 'curuaretur. Equidem curuatura afferum in rigore ciicularis pon erit, fed ita comparata , vt radius eius ofculi circa medium maior fit quam verfus extrema, elafticae fcilicet fpecies, fed hoc ipfum proficit magis,quam obeft. Specula decet laxius afferibus iungi , vt paulisper verti ad hoc vel illud latus poffint. ^ His omnibus ita perftis, cochlea ; de qua dixi; magis minusue cir- cumvol- ET SPECVLIS VSTORIIS. sax ciem fphaericam contingerent , hincqne radii multum aberrarent , et. non fatis in vnum focum colligerentur. Quibus non obftantibus, momento temporis flammam in charta candida excitaui , flannum in laminas tenues malleo diductum perforaui , aqua in vaículo vitreo vt ébulliret effeci , laminas aurichalceas candere vidi, et quae reliqua funt; licet illa. fpeculi aberratione certo certius dimidium radiorum perdatur. Inuentum etiam quoddam magni J/zzc; Newtoni ruminaui, qui fpeculum vítorium compofitum Societati Regiae Anglicanae obtulit , Derbamoe in Aftrotheologia L. 7. C. r. p. 166, verf. germanicae memoratum. Conílat machina ex cauis fpeculis feptem , quorum quodlibet habet latitudinem digitorum duodecim , atque j ita «umuoluatur, machina foli opponatur, et obfeructur , quanrum a fe diftent fuperficies lucidae , | radios a fingulis fpeculis reflexos continentes. — Quae íi non omnes fibi congruant, boc vel illud fpeculum , a .quo reflexi radii a reliquis fecedunt, tam diu vertere licet, donec omnes coincidant, in ecque fitu fpecula fir- mare. Lignum vcro; etfi vbique aequaliter craffum , non tamen «equali elefticitate. gaudet, igitur fi hic defe&us obferuetur , au- ferendo debito loco aliquid craffitiei, mederi ilis poffet. Si cur- vedo verfus extrema nimis infenfibilis fit , poffent afferes in me- dio craffiores fieri , quam verfus eXirema , fic. reperiretur tandem ruruedo , in qua diípofita fpecula plana radios fingula in quauis diftantia ad eundem locum refle&erent ; et in machina femel ita coordinata nibil fupereffct , quam vt cochleae ope diftantia foca- lis mutaretur, quae mutatio ab infinita ad paruos pedes pertige gere poffet, "Tom. VII. Nou. Com. Hh 242 DE LENTIBPS CAVSTICIS ita coordinata funt , vt radii illorum omnes in vnum idemque punctum: refle&antur; infignis: proinde effe&us.. Ita compofitum: fpeculum: plus praeftare poffe fimplici: certumv videtur, fi in vtrumque radii: folares: eodem: numero incidunt, aberratio quoque euitatur ,. infignis fütura , fi fpeculo vnico: fuperficies. dari. debeat: feptem illis aequalis; (e) denique minus plurium fpe- culorum: coniunctorum: pondus eft ,;, quam vnius fim- plicis , quod: fi magnum effe. debeat, tenue- fieri nom potett; Minora haec fpecula: componi: poffent ex: fpecu- lis: vitreis: planis: exiguis, quae: fingula. ad. magnitudinem: accederent eamr,. quac eft foci fpeculi maioris totius ,, íi füperficies effet continua: fic impenfae minuuntur ,, effectus vero', nifi multum fallor, maior adhuc: erit ,, quam: metallici ,, qualia vulgo" fabricantur. ^ Maiora: fpecula: vitrea: continua: efficiendi: aliam: methodum, eam- que- faciliorem. indicabo ,. vbi: de: lentibus: egero- . "Venio nunc ad ea, quae ciica lentes reperi: Bertelius: in libro" de: poliendis: vitris ,. (9liteifüng: sano Glass (e). Praeterea j; cum paralleli, axi: verfus: centrum folis dire&o; ii tan-- tum: radii incidant". qui ex: centro folis. exeunt, reliqui. angu- lis: diuerfis . maximon femidiametro folis: apparenti! aequali, ad! axem incdínentut, horum; a htere venientium y. alia' eft. reflexio quam: expendunt: D.. de: Buffon: et: Caffini' Comment: Acad.. Parif. 1747: pag. 32. et pj IO4.. Cel. Kasftnerus: in Optices. Syfte- mate" quod' germanice edidit: ( CXyollftánbiger" febrbegtiff Der Sptic ) Catop:ricae: analyticae: cap. 1. Prop. cor; 4.. concurfum: zeflexi radii cum^ axe ex. angulo: incidentis: cumv axe: definite: docuit. ET SPECVLIS VSTORIIS. |. 243 Ofasfdoleiffen) p- 5r. maffam vitri in furno fluentis an- mulo ferreo excipi iubet, vt pondere fuo in fuperficiera «auam infle&atur ; duas eiusmodi fuperficies iungi et 8quam intromitti. — Sed nec magua poffunt fieri haec witra, nec radii defiderati , imo ne quidem fphaerica fient, íed catenariae formam adfectabunt. ^ Ego vero methodum inueni, tabulas politas planas fpeculares cu- 4uscunque magnitudinis in menifcos curuedinis fphaericae exactae et defideratae mutandi. (f) Initio ' fumebam «atinum , quo ad vitra optica polienda vti foleo, radii digitorum fex , chordae circi- ter quinque digitorum 5 tunc fruftum vitri fpecularis zotundatum , cuius latitudo dimidio circiter digito ;mi- nor erat latitudine catini, :«catino impofitum , repone- bam fub tegula ill femicylindrica , qua in chymia Metallurgica vtimur, $juffel Germanis dicta ; poftea igne tegulam circumdedi , «t vitrum :mollefcens ad ca- um catini fe accommodaffe , ex luce, quam fuperfi- «ies fphaerica reflectebat, intellexi. Superiorem tegulae gartem carbonibus liberaui , wt paullatim refrigeíceret ; fed cum alius catinum. ex tegula tolleret , antequam fatis refriguiffet , ccauffae illi tribui, quod witrrm rimam ageret, "Hoc autem vitrum fortuito initio ftatim de- ibitum calorem erat confequutum , debitumque tempus in Hh igne (/) D. de Bufoó» ( Comment. Acad. Scienc. 1748. p. 367.) tabu- lis vitreis regularem curuedinem fe conciliaffe fcribit, methodum wero, qua id peregerit ; non indicat. Eo mapis ergo meam hic docendam ;putaui, inprimis cum :rem magni momenti D. de: JBuffon. exiftimet. i 244. DE LENTIEVS CAVSTICIS igne remanferat, füperficiei catini perfe&te fe applica« verat, puritate, quam habebat, cum infra catinum illud reponerem, nihil imminuta. Equidem catini ipfius figu. ram, ob expaufionem , quam metalla in igne patiuntur, paslifper mutatam effe, credibile cft, fed praefenti fcopo id haud officere. videtur. Huius exigui tentaminis fucceffü erectus, maíus experimentum capere decreui. Catinum cupreum, fede- cim digitos rhenanos latum , ad curuaturam fphaerae , cuius radius effet digitorum triginta duorum, primum $nalleo , deinde accuratius torno , elaborari iubebam ; tunc laminarum duarum, digitos quatuordecim et dimi- dium lat:wum , ex vitro fpeculari Veneto fectarum , vnam, cum catino, ad digiti dimidii crafhtiem. exterius luo teco, lateribus tribus impofui. ^ lta vero lateres ordinauerem , vt fub catino, in illis requie(cente , car- boues incendi poffent. ^ Aliis lateribus catinum cir- cumdabam , qui digitis duobus altores erant mat- gine catini , . fed ab eo ipfo margine paululum diftabant , vt carbones interiici poffent, ^ Lateribus imponebam tegulam (sSmuffel): fphaerice — fornicatam , qualis imponi folet teftis, - in quibus argentum plum- bi vitrefcentis ope depuratur , ( 96treibefeber Gen ) car- bones vero circumponebam. ^ Equidem vitrum mol- leícens pondere fuo curuabatur, calor autem ad latera, priecipue ad foramiaa tegulae, quae aer pcrflat, nimius erat, et in medio iufto minor, carbonibus fuperius in- cumbentious, ob altiorem tegulae forpicem , nimium a viro remotis. Margo igtur vitri liquefcebat , medium vero ET SPECVLIS FSTORIIS. . ass vero non exacte füperficiei catini fe applicabat, fed veficulis aereis. occupabatur. ^ Tunc quidem igiarus horum phaenomenorum, interitum vitri mei. portenden- tium, ignem fuperius, quantum licebat, augebam, vitrum poft aliquod tempus debitam formam coníequuturum exiftimans; perfiflebant vero veficae. Deinde carbones paulatim amouens, tantum modo ignis reliqui, vt ne nimis fÍübito refrigefceret. — Sed poftea vitrum catino adcretum , et rimis innumeris difcerptumn reperi, «wt, quo a catino fepararetur, malleo in puluerem effet contundendum , catinus vero denuo elaborandus. Haec eam ob cauffam retuli, vt intelligstur , quanti interit, ignem aequali vi applicari , ne vitro circa Dargines liquefcente , et ipfum perdatur,. et cati- nus ipfe, quod in maguis catinis non fine infigni de- trimento fieret , nouo libore in prifinam formam effet reducendus. Sequentia tentaraina , cum vitris minoribus, qui- bus ad feneftras vtimur, inílitui, catinum minorem prius memoratum adhibens, ne enchire(es nimiis fumti- bus addilcerem. Loco tegulae argillaceae , tegmem ex lamina fer- rea confeci, extremum eius in marginem non nimis alum infle&ens , anterius vero apertura conuexa illud inftrueus, vt fieri folet in tegulis argillaceis; fuperiorem partem planam effeci, wt carbones vitro fatis propin- qui effent , reliqua , vt ante, peregi, id potiffimum agens, vt vitro calor aequabilis tribueretur , aut maior potius medio vitri, quam margini. Hh 3 Sic 246 IDE LENTIBVS C AVSTICIS Sic fatis bene :mollefcens vitrum .cauo catiri (e applicabat, fed , dum refrigefceret, rimam agebat, idem- que fatum plura vitra .experta funt, dum plura experi- menta inftituebam. : ÀHoc incommodum «euitaturus varia tentaui , «quo. rum illd tantnm .defcribam , quod femper poftea &x voto fuccefhit. Circa lateres ponébam cineres per cribrum a&os, wt fimul incalefcerent , «et cum vpum vitrorum illorum debitam formam .effet adífequutum , .carbones quantocyus 3 füperiore tegminis ferrei -parte remouebam , omnia vero cineribus calidis tegebam , nihil aperti relinquens 35 fic vitrum integrum feruaui. ^ Haec plus quam decies «um vitis minoribus , felici femper euentu, repetii. Poft haec fecurior ad maiora progrediebar. Ca- tinum ferreum, decem «circiter digitos latum , quantum fieri poterat, fecundum arcum circularem malleo ela- borabam ; «omiffa wero «tritura, .quia non opus erat rem exactifüme perfici. Deinde ex vitro, quo ad fe- neftras vtimur, frufta octo digitos lata fecabam, reliqua, vt ante, fperagens, ficque omnia probe füccefferunt. Eorum bina coniunxi, quorum effectus etiam non con- temnendus fuit, «etfi propter catinum minus accuratum focus bene terminatus et coactus non effet. ^ "Tandem priorem .atinum maiorem cupreum rurfus adhibui, in €o vitrum Venetum alterum , digitos fere quindecim rhenanos latum , curuabam , .cui fimile jperiifle antea retuli , egregio cum fücceffü, quantum exactitudo ca- üni ET SPECYLIS VSTORIIS. — z4y fint cuprei admittebat. Hoc vitrum , alii plano, etiam: Veneto',. iungens, lentenv digitos quindecim latam ob-- tinui ,. bonos: (atis: effectus: edentem ,. fed: effectibus lentis: aequalis: ex: vitro" folido: conflantis: inferiores ; cuius rei: cauffa. e(t ,. quod catinus;. ob: tenuitatem laminae cupreae, quae eumv confítituebat ,. fatis exacte: in' fuperficiem: fphaericam: malleo: deduci! non: poterat. figuram. etiam: im igne mutauerat. Igitur vitri figura, catini figurae: ceterum, congruens ,. accurata tamen' non' erat, vnde imagines diftorquet ,. focum: vero non: fatis: terminat ,, tc fatis cogit. Huic malo fácile mederi poffumus catinis ferreis: craffioribus, operaque omni adhibita , vt: tritura: debitam: formam: et: cauitatem confequatur 5; multitudo: vitrorum ,. qui in tali catino. formari: poffunt ; impen(as facile: re- flituet:. Expertus fum: negotium? quoque: im catinis argil-- laceis: füccedere.. Tanr de: his: dicam',. quae' vt: omnia: bene cedant;. obferuari debent, prouti pluribus tentaminibus illa: didici. Sii vitrum: alicuius momenti! formari debet ,. fruftu-- lun eius: vitri? antea: igni' exponendum eft',! donec? can- deícat,. quod, fi! polituram' et: perfpicuitateme feruet' ,. operationi: idoneum eft. — Accidit: enim mihi ,. dum: yitrum' fpeculi. Veneti ,. quod! ea' parte, vbi: craffities: vitri menfurari! folet, nigrum: erat, formabam ,. vt illud: polituram: omnem: perderet, füperficiem: nactum füperficiei! vitri! ruditer triti: fimilem.. : | Recepta 248 DE LENTIBVS CAÁVSTICIS Receptaculi eius, in quo vitrum reponitur, vt - tegulae argillaceae , aut tegminis ferrei, fuperior fuper- ficies non nimis a fürdo remota effe debet, ita tamen, vt per aperturam anteriorem totum vitrum fpectari poffit. Hac ratione carbones incumbentes melius agunt in vitrum , illudque citius in. medio , quam ad margines calefaciunt. ^ Curandum quoque eft, vt vitrum totum aequaliter candefcat , rubrum colorem aequalem vbique exhibens. Nam fi color eius in medio obícurius rubeat, circa marginem vero albidior fit, in periculo vitrum verfatur. Quam primum vitrum ab igne rubet, follicite ad curuaturam , quam mollefcens confequitur , attenden- dum eft. llla facile percipitur ex reflexione lucis et imaginum füperficiei fuperioris tegulae , carbonum , etc. a vitro fpeculi ad inftar caui factae. Magni vero refert , momentum exacte notare, quo vitrum fuperficiei catini perfecte fe applicauit , tuncque ftatim remoueri ignem omnem fíüpra vitrum , miaximam quoque partem ignis ad latera , deinde omnii quantocyus cinere calido contegi, ne vllibi aper- tura remaneat. Hoc momentum obíeruare , vía demum ad- difcimus. Si nimis diu requiefcat vitrum , aliquid fcoriae (Sunber) eius, quod a catino candefcente fecedit , ad- haeret, et vitrum turpat; partes etiam vitri ex ma- teria tenaciore conílantes , vti nodi etc. calore nimium durante emergunt , exactitudini fuüperfidiei obfünt , vnde ET. SPECPLIS VSTORIIS. »ab vnde patet, quanti interfit, momentum ternporis., de quo dixi , accurate -obferuare, Praeftat citius, quam ferius, vitrum refrigefcere-; nam pofito etiam , iftud catinum in rbedio nondum attigiffe , figura tamen fphaerica, etfi minus conuexa , erit praeditum. — Si vero medium planius effét margi- nibus , repeti poffet operatio. Dum au&rtür ignis, et vitrum cineribus contegi- "tur, inferius non omnes carbones aufcrendi fíünt, ne vitro fubito nimis calor omnis fubtrahatur rimasque . agàát. Sic igitur duobus vitris formatis, aut vno faltim, fi habeatur praeterea planum eiusdem latitudinis ; iun- gantur illa ope picis in aqua non folabilis , addatur epiftomium ,-et iucludantur annulo ligneo, quo ad vfum aqua repleri poffint. (g) Ad lentes permagnas, v. g. pedes octo, decem, duodecim , latas, formandas, quatuor portiones füperfi- €iei fphaericae formari poffent , arcubus duobus metalli- «is fe decuffantibus in medio iungendac. Ex Ex vitis curuatis, ciuo medio aqua repleto, lentes vílorias conficere- docet D. de Bafüós ( Commeot. Acad. S.icnc. 1248. p. 308. ) Ex vocibus travailfes. regulierement , quibus vtitur ; inferri poffe videtur, vitra curuata àb ipfo poliri. Suadetetiam, "wt falium pluribus;generibus, vno poft aherum in aqua folutis ; "denfitas eius et refra&tio augeatur. "Tom. VII. Nou. Com. li z () 250 DE LENTIBVS CAVSTICIS Ex vitris hifce in fuperficie pofleriori amaleama- te obductis, egregia fpecula vítoria poffent parari (). (b) D. de Bufon |. c. p. 307. variis modis cochleae, quam tabu- bulae in medio perforatae applicat , ope , deinde aeris, fulphure accenfo abforbendi , paulifper curuare :abulas vitreas docet, vt ad magnam diftantiam radios refiexos colligant , ipfe vero enchi- refium harum incommoda quaedam indicit, inprimis quod tabu- lae facile frasgantur. — Remedia, quibus incommoda haec tollere ftudet , ingeniofe excogitata effe non nego ; mihi tamen vimiam operam nimiasque impenfas poftulare videntur, ne dicam dubita- re me, an femper fint fucceffura. Sulphur, vt aerem poft fpe- culum abforbeat , accendere vult ipfo ípeculo, m:dio in lentis conueXae figuram trito , cum , quantum ego video, facilius id applicata lente vftoria minore vulgari effi poffit; neque ad curuandas cochlea tabulas non perforatas, aeris auxilium tam operofe eft aduocandnm. Vnum ex mediis facilioribus idem ob- tinendi, tale mihi effe videtur. — Prifma quadrangulare tenue ferreum vtroque extremo incuruetur , in medio vero habeat fo- ramen, cui indu&a eft cochlea foemina. Huius prifmatis extrema inflexa ad annulum, cui fpeculum incumbit, firmentur (ic, vt fpeculi fuperficiei anteriori incumbat, foramen vero medio fpeculi refpondeat. lgitur lamina craffiore aurichalea centro fpc- culi impofita, cochlea vero mare, per foramen adada, curuari fpeculum fenfim poteft. laura aliqua fit, fed exigua, lucis ; ferro partem. fpeculi tegente; haec ia&ura, vt quantum fieri poteft diminuatur , craffities prifmatis fcicer exigua fit, latitu- do paulo maior; applicetur vero fpeculo fic, vt craffities fit fpeculo parallela , latitudo perpendicularis. — Sic foramine per la- titudinei tranfeunte , fatis firmitatis chochleae adigendae fupere- rit, radii autem a craffitie pauciores impedi.ntur. Huius rei experimentum cepi tale: Tabulam ex vitro fpe- culai veneto , diametri dig. rhen. vigioti duorum, craífitiei li- nearum duarum , annulo circumdedi , fuppofui vero cochleae. iis fimili, quae ad (igilla cerae imprimenda adhiberi folent, dcinde viuum cochka medio eius imminente, tantum curuaui; Te rar ET SPECFLIS VSTORIIS. 251 ferri poffe a vitro credidi; atque ita reperi: medium lineas rhe- nanas du:s protrufum. ^ Kepetii experimentum , et vitrum ira flexum , dies plures detinui , nullo eius damno. Hanc vitri cur- vaturam , fi, quod in rigore non eft, circularem fingamus , per- tinebit illa ad radium pedum triginta ; datura fpeculum diftantiae focalis quindecim. Haec quidem curuatura, pro ratione magai- tudinis tabulae , Buffoniaua multo maior eft Cum hoc vitro; in parte pofteriori non obdu&o , nulla tentamina inftituere potui. Speculorum vitreorum fegmenta longa, fed exiguae latitudi- nis, infipoiter incuruari fe patiuntur, «t hinc componi poffent fpecula vftoria, fuftentaculo adhibito , quale antea , cum de fpe- culis planis ad imodum D. dc Bafos coniungendis agerem ; de- fcripfi. [leere ene .LDZ4ó IL Dodo [nnxxcl c: JP c c f c (CC El e LL Ii'2 PHAE- ape ff (o ) dde PHAENOMENORVM. IRIDIS. SEV. ARCVS: COELESTIS DISQVISITIO. Auctore: S.LLM. KOTELNIKOJF. Ii. ,uantum ftüdia mathematica et: phyfica, poft in^ (Q ventum Calculum differentialem — et. integralem - incrementi ceperint , rerum mathematicarum: peritis non ignotum eít, praefertim — fcientia. motus, quae eít ita difficilis, vt fine his calculis ad. plurima. problemata nequidem | acceffus- pateat., nunc. vero. ad. tantum perfectionis gradum perducta. eíl, vt alias in- tricatiffima — problemata , facili labore refolui poffint: Víus igitur. eorum coniunctim. per. totam mathe(in li- tifme patet, nam. per. plurima phyfica problemata ita. folui folent, vt vterque in. fübfidium: vocetur. ^ Sed: de calculo. differentiali.iure. dici. poteft, quod,. fi. exci- pias ea, quae per. methodum ordinarium. maximorum: et minimorum: folui folent , paucithma. re(tabunt, quae. teftificari.poffent, eum fine integrali etiam aeque facile: adplicabilem effe. Neque tamen negari.poteft , dari ,. extra. methodum maximorum . et. minimorum., proble-. mata, quae ope eius refolui queant. Ecce tale exem. plum in difquifütione proprietatum lüdis, feu arcus. coelcftis. PHAENOMEN. IRIDIS DISOVISIT. 35s. coeleftis;. vbi traditur methodus facilis, . amplitudinem Iridis.,. pofitionem , latitudinem, ordinem. colorum etc. inueftigandi. 2. Sed. antequam. aggrediar, calculam ,. principia, quibus ille. innititur, paucis explicabo.. Vetus opinio eft lridem oriri a pluuia, aut quibuscunque aqueis vaporibus cràffioribus , radiis. folaribus. illuminatis ;; nam. et. Lucre- tius, de Rer. natur. L.. 6. Hinc. vbi fol. radiis. tempeftatem: inter opacam: Aduerfa. fulfit. nimbrorum. a|pergiue. contra ,. T'wn. color. in. nigris exiflit. nubibus : arqui. Radi íolares in.guttas aqueas incidentes infringuntur. et fic in. colores . feparati ad oculos deiiciuntur, effc&tum eorum, quem Iridem vocamus, producendo. Ex opticis conftat; ra. dios folares-recta progredi a fole, et inter fe parallelos;effe ,. propter.tam magnam eiusa.terra di(taatiam, quod etiam in: dioptrica. perpetuo füpponi folet.. Simili modo hic. ra-- dios folis. non.íolum: ad: guttas aqueas- peruenire — paral- lelos.,. fed. et.: poft. reíra&iosem ita ad. oculum: deferri. debere ,. vt. eiusdem. coloris (int. inter. fe. paralleli, hoc: eft, ea lege progredi, vt rubri. cum . rubris., .caerulei cum. coeruleis etc. femper. inter.fe eandem. diftintiam feruent.. Quod et: natura rei. po(tulare. videtur; nam. fi. illud non: effet ,.. radii. poft: refra&ionem: feparationemque iterum : confunderentur, neque. defideratum . effe&tum ; in oculo producere. poffent. 3. His principiis ftabilitis-id. lacramur, vt: als Tab. VII. SGO., nempe, quem radii in:guttam. aqueam. inci- P9 Bentcs, et ifti, qui poft. quotcunque. reflexiones , , quae peufüunum hic.confiderari: debent, ex gutta iterum li 5: €gre- taé4 | PHAENOMENORVM -IRIDIS egrediuntur formant , maneat conftans. — Quem angu- lum in pofterum vocabo breuitatis gratia amgu/um am- plitudinis , nam quo maior eft hic angulus , eo amplior lris videtur, id eft, füb maioris circuli arcu. — Vt autem clarius percipiatur, quid per angulum amplitudinis intel- ligam , fit S corpus luminofum , ABC guttula aquea, incidat radius S A. in eam in A , qui ibi refia&us pro- grediatur in D, ex B refle&atur in C, ex Cin D; ex D in E, ex E in F etc. et poft has reflexiones tandem egreffus ex guttula perueniat ad oculum O , fecundum rectam FO. Producantnr iam rectae OF et SA do- nec concurrant in G , et prodibit angulus OGS , qui vocatur mihi engulus amplhtudimis ; feu , quod perinde eft, fi ex centro C ducantur rectae CM et C N , radiis FO et AS parallelae, erit angulus NCM—SGO; an- guum NCM vocabo in pofterum «mgulum amplütudi- fis. : Tab. VIL 4. Confideremus nunc fimpliciffimum cafüm , quo Fig. z. radii folis non reflexi in gutta aquea iterum eiiciuntur. Sit C gutta aquae , quam fíuppono fphaerica effe figu- ra; nam et re vera nullam aliam in aere libero acci- pere poteft. .Incidat in eam radius Solis SD in D vtcunque, duc ex centro C radium C DB ; erit PDB angulus incidentiae. Radius S D , ingrediendo in gut- tam in D, refringetur ad perpendiculum CD, ct per- gendo ad alteram partem guttae in E, formabit cum eo angulum refractionis CD E, vbi egrediendo refringe- tur a perpendiculo CEA, et perueniet ad oculum, quem ílatuo in O. 5. Quia Dprsmusuo. 255 5. Quia guttula aquae eft figura fphaerica, etit CED-—CDE, fed in. SDB: fin. CDE-— Gn. OEA: fin. CED, ergo SDB-—OEA. Ducantur ex C re- &ae CN et C M, parallelae ipfis DS ec E O, erit MCN angulus amplitudinis. ^ Ponatur angulus incidentiae SDB-— (QD, ang. refra&ionis — 6 et angulus amplitudi- nis —42. Cum finus anguli incidentiae ad finum anguli refra&cionis habeat rationem ' conftantem , ponamus eam effe 1:5 et erit: fin. D: in. 6 — 1: m hinc fin. 6 — mín. (p. 6. Denotet 7 arcum 1i80', qua littera in po- fterum femper vtemur ; nam ea in determinationem anguli Z iogreditur. Quia angulus SDBZOEAZNCD —ACE-Q, et angulus CDE-—CEDC-— 6, erit DCE —m—20. Ergo angulus amplitudinis Z erit — v 4- 2 0 —2(D. Habemus itaque duas aequationes fin. 0 — m fin. (D et Z—m --20—2(, ex quibus anguli 06, (D et Z determinari debent. | 7. Quamuis duas aequationes et tres indetermina- tas quantitates habeamus, tamen, quia Z femper a 6 et (D pendet, poffümus omnes tres determinare , eliminando £ per differentiationem ; nam fupra oftendimus hunc angulum Z4 debere effe conftantem , ideoque eius diffe- rentiale — o. 8. Cum aequationes inuentae fin.Ó — min. (D et -—mc--20—2(D fint verae , erunt etiam. earum dif- ferentiales 26cof.0—m4(Qcot «D et 40 —4(D. verae. - Ex quibus habetur cof.0— mcof.(D, et hinc tang. 0 : -—tang. z36 PHAENOMENORUVM TRIDIS z—teng (p ergo 0— (D, qui valor anguli $ fi in ae- quatione d — 7 -- 206 —2(D fubflituatur , prodibit Z— 7. Vnde patet rectas (CIN ee CM. cum rectis DS. etc EO coincidere.; et radium folis. SD.EO recta per cenrum guttae tranfire debere. :Quod oftendit, nullam hoc cafu dridem oriri ;poffe. -9. Hic notari débet. quod quamquam aequatio imter cofinus ex differentiali verae acquationis finitae fin 9 —mfíin. deducatur, tamen prorfus falía prodiiffe videtur. Nam, qui (£26, debet effe.cof 95 cof. D; hic vero reperitur cof 6 — cot..(p. Sed fi ad conclufionem refpiciamus, patebit, aequationem cof. — zz cof. (D etiam habere locum; nam 6—(D—o reperum eft, ideoque tota aequatio cof.9 — mco, (D euanefcit. Forte bic alicui dubium Oriri poteft , quod ab aequalitate tangentium ad aequa- litatem angulorum conclufionem fecimus ; (ed hoc du: bium tollitur, fi attendamus ad id, .quo neque 0 ne- que (Q2 reco effe poteft. —Pergamus itaque ad alios cafus períequendos. Tab. VII, 10. Ex Optica conftat radios folis SD in gut- Fig. 3. tam C. in D incidentes in ingreffü reftingi ad perpen- diculum 'CB, et ad alteram partem in E delatos non omnes exire, fed partem eorum refle&ti in À, ita vt angulus. incidentiae DEC fit aequalis angulo reflexionis CE A. Ponamus ergo radios poft hanc vnicam reflexionem in E, ex guta in A exire; radii in exitu iterum refrin- gentur, fed a perpendiculo 'CAz, quia ex denfiori medio in rarius tranfeunt , et peruenient ad oculum O fecun- dum ream AO, ita wt angulas OAz fit aequalis SDDB, quod ex proprietate circuli et ratione anguli incidentiae et ircfractionis perfpicitur. ii. DISOTTSTTTO. 257 1r. Quia fin. SDB:fin. EDC— x: , erit iisdem denominationibus retentis fin. 0 —17 Gn, (D vt fupra; et hinc d) — dp— "e. Hac aequatione in pofterum , tamquam ca- nonica, femper vtemur ; nam ea exprimit relationem incrementorum , more incidentiae et refractionis. Ducantur Doro, recae CN et CM, ipfis SD et AO parallelae, erit M CN. angulus amplitudinis, qui inuenie- tur, vt fequitur. Cum lineae CN, DS ec CM ,AO fint ioter fe parallelae, erit. angulus SDB—NCD — MCA—OAa—(O et DEAc--20; nam vertex eius eft in peripheria, et infiftit arcui. D A , quare arcus DAc--46, vnde fi fübtrahatur 24D, habebitur angulus amplitudinis Z—40 —»(-—2(20—0). 12. Inuenta modo aequatio Z—2(20—(0D) dif ferentietur, et prodibit propter quantitatem conítantem £, quae differentiale non habet, fequens differentialis aequatio , relationem inter 40 et d(D exprimens, 240 —Ad(Q, feu eel At ett d — T ; vnde obtine- tür haec aequatio finita relationem angulorum 0 et (p contiaens, nempe cof. 6 —— 2 :wcof. (D. 15. Habemus itaque duas aequationes finitas pro duabus variabilibus 0 et (D, quae íunt fin. € — m fin. D, et cof. 0 — 2 m cof. Q^. Ex quibus eliminando alterutram , inuenietur tam 0, quam (D, in numeris abfolutis expreffie. — Sume. qua- drata vuriusque aequationis, et. habebis fia. 6 — uim in. (D^ et cof 0 — 4 m m cof. (D^ , quae fi addantur, erit. zm fin. D' —E- 4. m m cof. Q' — (in. 0 -4- cof. € — x. Sed eft cof. (D — 1 — fin. D' , quo (üb(lituto elicietur. fin. Tom. VII. Nou. Com. Kk duy 34$. PHAENOMENORF M IRIDIS (p Y tL et cof(p — V "ULL, wnde tang. D uy t—— tug 6-2: tang Qt? — 2029--0) 14. Vt autem formula Y *7——— maneat realis, neceffe cft, vt fit 4mm cr etmm- zr; quod fi eueniret, et foret 4.7272 et 114 7» x, vel tantum 475 — 1, tunc formula foret imaginaria, ideoque nullam iridem videremus. Hoc eueniret, fi illae guttae, ia quas radii folares incidunt , effent ex fluido aere leuiori. Veluti , quando in aqua radii folis incidunt in bullulas aereas afícendentes , animalia aquatica nulam iridem tunc vi- dent. At fi multitudo exiguorum globulorum vitrco- rum in aqua penderet, tunc fimili modo, vt in aere, iris oriretur. "Tab, VII- 15. Non abfimili modo inueniuntur anguli 0 et Z, Fig. & fi radii folis poft duas reflexiones ad oculum per- veniant. Sit fol in S et guttula aquae in C, in eam- que incidat fafciculus radiorum íolis SD, et poft duas reflexiones E, et À perueniat ad oculum O, ea lege, vi fupra commemoraui. Erunt fübtenàe DE, EA, AB inter fe aequaks, ergo arcos BEA D-— 1-1- 66, hinc BD-—7-—69. Dacantur ex centro C recae CM, CN, ipfis BO, DS parallelae, vt habeatur angulus am- plitudins MCN -—Z, cuius menfura eft arcs s B --BD--Dz. Sed gD-—Dn- (0, vnde Z— »—66 -2-20-—m-2(30—0). 16. Sumatur differentiale aequationis inuentae — m—66--20,et prodibit 4d —$5at $6. rr. in- ; dé ^ moo. - ; venimus 3$ — ^as» €X quibus habetur haec aequatio: cof. 6 — 3 m cof. (D, et ex matura refiactionis ifta: | fin.8 i. DISQVISITIO.- e$9 fin.0 — mn. (D. — Eliminetur iam alterutra incogaita- rum , vt füpra fecimus, et elicies fin. (p — Y *77—-— et cof.(p — Y ——77, vade tang. (D— Y —— 7" et tang. | (—itang. (D , quibus inuentis erit 4— *—2(398- (D), 17. Expediuimus cafum , vbi radii poft duas' Tab. VIT. reflexiones , perfequemur etiam eum , quo radii poft Fig. s. tres reflexiones E, T, A ad oculum perueniunt, Si haec figura attente confideretur , patebit, arcum DF effe —BF—40, ergo BFD—80. Concipiantur ex centro C rectae CM, CD radiis BO, DS parallelae ; erit NCM angulus amplitudinis. — Et quia rectae CM et BO, CN et DS íünt inter fe parallelae, erit arcus Bm-—Dn—(Q. Si ergo hi duo arcus. ex arcu BFD afferantur , reftabit arcus z; F7, id eft angulus amplitu- dinis , et habebimus 5-——80—2 (—2(40- d. 18. Sumatur differentialis aequationis — 8 0-2 (D, et obtinebit mim ue vnde cof. 6 — 4zcof (p, et ex natura refractionis. fin. 0 — min. (D , vnde tang. Ó -zitang (p. — Reftat tantam , wt tang.(D inueniatur, quod fiet elimioando finum et cofinum anguli 6 — Hoc- que modo inuenietur fin.(B— Y E, co((p—Y 775 — Ergo tang.(D—— V 257 — ; tang. 6 — ;tang. (D. ec - 89 —2(, vt iam inuenimus. 19. Examinemus porro cafum , vbi radius poft T VI. - quatuor demum reflexiones , E, F, G, D, ad oculum O f& 9 deferatur. Quaeratur primum arcus DA, fic arcus ft, qui eft menfura anguli amplitudinis MC N, facile inue- . hietur ; nam eft —20—AD. . Quia fübtenfae DE, T EF,FG, GB,BA ex natura circuli et lege reflexio- K k 2 nis «60 PHAENOMENOR M IRIDIS nis funt inter fe aequales ; erunt etiam arcus, quos fübtendunt, item DG, EB, FA, atque etiam GE, BF inter fe aequale. — At et DG— DE—GE-— m-649, qui cum GB, BA et AD conftituit totum circulum ; quare habemus 37-7-—100--AD-—27m, vnude AD--zo0—m. Ergo Z-m-—100--2(p-—m —260— Q. 20. Inuenta hac aequatione Z — *— 100 -41- 2 b, fi calculus vt füpra inítituatur , reperietur tang.(D IoyUT7Txm $ qua finc Y577." et cof, Q —yt— m, tang 0ó—itang.(D, quibus ánuentis erit d—m-—100-2-2(—m—2(50—0). "Tb. VI. 21. At fi poft quinque reflexiones, E, F,G,H,B Fig. 6. radius folis ad oculum ^O perueniat , erit arcus AD-—120,et propterea angulus amplitudinis Z— 12 0 —2(-—2(60-() Vnde reperitur fin. (p — V:577— coi — Y —75-, qure tang.p— Y ^L. et tang. 0 — i tang. (D. 22. Poft fex reflexiones E, F, G, H, L B, erit (—m—140-4-2(-—m-2(20-0), quia Z—2(-AD e AD—140—7; quae tang (D — Y 87 2——, ues -itang.(Q. 25. Ex huc vsque Bicis fatis patet, quo- modo ifta formularum inuefligatio , pro angulis (D, 0, et 2, vlterius continuetur. Hoc tantum notandum eft, vt figurae quam fieri poteft commodiores delineentur ,- ne lex formularum turbetur. — Nam antequam calculus in numeris abíolutis perficiatur , non apparet , quomodo figurae delincari debeant. Quam ob rem quaelibet fi- gura DISQFISITIO. 26s gura ita accommodanda eft, vt lex quaedam in pro- greífione anguli Z continuo obíeruetur. —Expreílio iítius anguli talis. eft, vt fit —pm-1- 46 -4-rQD, et lex, quam nos hic obferuamüs , eft eiusmodi , vt coeíRiciens * Mri fi numerus tefibxiogum fit pM , et fiat , fi par. . Coefficiens 4 eít femper numerus par ende , íi numerus reflexionum impar , negatiuus , fi par; at 7 e(t negatiuus pro numero reflexionum im- pari, pofitiuus pro pari, et femper binario aequalis. 24. Sequens tabula exhibet formulas continentes valores angulorum (D, 6 et Z, fecundum numeros re- flexionum difpofitas, vbi in prima columna numeri reflexionum , in fecunda tangentes angulorum inciden- tiae , in tertia tang. ang. refractionis et in quarta valo- res angulorum amplitudinis praefentantur. 1; tang.(D- Y 1535; tang. 0 — tang. (D; Z-72(20-0p) 2; tang. (p— rm tang. 0 — tang. (D; Z-m-»(30- 0D) 8; ung. D- V 7; rang. 6 — tang. D; £22 (40-0) 43 tang. (D y ue. taug. 0 — 1 tang. (D; Z7 -2(50-(D) 5; tang. (D- Y S7— .. tang.0 — tang, (D; Z-2(60-(D) 6; tang.(Dz Y P7; tang. à— tang. (D; Z2m-2(70- D) 1. etc. 25. Si has formulas confideres , videbis coeffi- cientes ipfius tang.(D progredi in ferie harmonica X, i; 5) 1, ;, C(C- Vbi tantum primus terminus — x deeft. Sed ex analogia patet, poít o refractiones de- bere effe tang D— YT, tang 06 — tang. D, vbi tang.Q— Y —1 eít imaginaria. ^ Quod egregie. cum u K k 3^ Verie 264 PHAENOMENORF M IRIDIS veritate confentire videtur, nam , nullus datur angulos incidentiae , vt poft o refiadiones iris prodire poffet , quare etiam tangens illius anguli debet effe imaegi- naria. Quod attinet at angulum Z ille fecundum ana- logiam debet efle — 7—2(0— (D), quod vel ex hoc verum effe perfpicitur , t calculus oftendit $— (p ideoque £— 7. 26. Vt autem formulam generalem ex particula- ribus deducere queamus, inuentas formulas fupra, tam pro pari, quam impari numero reflexionum, figillatim confideremus. . Formulae pro pari reflexionum numero: E o; tang. (D— Y 275; tang. 0 — tang. (D; Z—m-2(0-0) ging. — Y. sU tang. 6— sang. OD; Z—m-2(s-&Dy 4; tang (D— MEL tang. 6 — 1tang.(D ; 96— m-2(56-D) 5; tang. (QVE; tang. 0 — tang. P; £—-2 (7 0-0) ' etc. Ex contemplatione harum. formularum perfpicitur, coeffh- cientes ipfius tang.(D «effe. eos terminos ex ferie har- monica, quorum denominatores funt numeri impares, coefficientes ipfius 0 ipfos hos denomipatores, et coeffi- cientes litterae 7; íub figno radicali eorum quadrata. Quam ob rem, fi P dcnotet numerum quemlibet inte- grum affirmatiuum, erit 7;:., coefficiens indeterminatus ipfius tang (D; hinc tang.:p— Y — REP E. tang 6 —guug.D eto m—2(06(2p-211)- QD), deno- tante 2p numerum refiexionum. pr Formu- DISOVISITIO. 26g Formulae pro ped reflxionum numero. z; tang.D— V37— ; tang.0 — :tang.(D; Z—2(20—0p) 3; tang. (D— V2 72; tang. 0 —tang.(D; Z—2 (40-0 5; tang. (D— Vi. tang. 6— itang. (D; Z—2(60-0p) 2; tang. — V £77; tang. 0 — 1tng. D; Z—2(80-() etc. Vu fupra pro pari numero reflexionum coefficientes ipfius tang. [D erant termini feriei harmonicae ex locis imparibus, fimili modo hic, vbi numeri reflexionum funt impares, coeffiientes ipfius tang. D funt termini eiusdem íeriei ex locis paribus, ita vt fi ponatur nu- merus reflexionum indeterminatus —2p-1-r, deno- tane f numerum iategrum n mm ; "cerit y te i) mm i: B Q-ytur eer müg gd ende cs ting. Q vet & — 2 (2 8(p-3- 1)— QD). 27. Cum formule 2s(20—0), 2(40—0), e(66—() etc. exhibentes valores anguli Z, pro nume- ro impari reflexionum , fint complementa ad duos rectos, poffumus affumere pro iis cm — 2(660—0) T—2(48—0Q), v—2(68—0) ec. Propter. €3, quod calculus ob hanc rem non perturbatur ; at lex progreffionis melius: perfpicitur, ita vt fi pora. : D . n*(p4-:1y-x mus numerum reflexionum —, erit tang. (Y ——77— tang. 6— z—.tang.(D; Z— v— 2 (0(p-31- 1)— (D), quae formulae pro pari et impari reflexionum numero va- lent. luuat interdum tamen meminiffe, quod pro 6 eo cafü, quo f eft impar , eius complemen:um a(fumimus. 28. Con» 264 PHAENOMENORYM IRIDIS 28. Confideretur nunc formula , qua exprimitut tangens anguli incidentiae , et patebit , crefícente nume- ro reflexionum f, crefcere tangentem anguli (D, idco- que etiam ipfum angulum , qui fit maximus, quando p-— oo. Ponatur ergo f— oo, erit tang. (D — oo, hinc .(Q—9o*. Quod oftendit angulum (D. tum fore 1ecto aequalem , quando numerus reflexionum eft infinitus ; nunquam igitur maiorem recto euadere poffe, continuo tamen crefcere , creícente p. 29. Quia angulus incidentiae (D maior recto effe non poteft, at vero (-1- 1)0 , crefcente numero f, crefiit in infinitum , exceffus ergo eius fupra (D tam poteft euadere magnus, vt c—2(0(p-1- 1) — QD) £at negatiuum et multo maius v. — Hoc eít angulus Z, fecundum formulam 7— 2(6(p-31-1)— (D) inuenietur tandem negatiuus et maior 7. Sed id nullam difficul- tatem in applicatione formulae parit ; nam fi datis an- gulis (D et 0 numero reflexionum 5$ figura conflruatur, flatim patebit, qualis angulus Z debeat effe, — Vel etiam fi angulus Z reperiatur negatiuus, et. maior bis recto, ad €um addantur tot bis rccti ;. quot fufficiunt , ad illum afürmatiuum , et duobus rectis minorem , efficiendum. 50. Si radius folis incidat in guttam aquae in D, et poít numetum reflexionum f iterum egre- diatur , quaeritur conílructio geometrica anguli ín- cidentiae , refractionis et amplitudinis. — Quia guttu- ]lam aquae fuüpponimus figuram babere fphaericam , concipiatur circulus maximus per punctum D tranfiens; per hoc punctum et centrum circuli C ducatur recta indefinita « C^; fuper ea capiatus CB Z Y (x 2a) et in puncto * DISQVISITIO. 265 punco DB erigatur perpendiculris B — V (zm(p4-1y'-1), in eaque capiaur Bg, quae fit ad totam B vt x ad f--:. lungantur puncta C et Q, feu ex centro C ducantur per pun&a Q et g rectae CF et Czgz, quae fecabunt circumferentiam in F etz. Capiatur Ff —EF et zr—nE, iungantur puncta r et D et ducatur per f et D recta f D5; erit 7 DD E, angulus refractionis et «DS incideatiae , fole in S exiítente. 51. Con(truto tali modo angulo incidentiae et angulo refra&ionis, adplicetar chorda Dr in circulo EDf, vicibus p-i-r,; hocque modo determinabitur punctum , vbi radii poft numerum reflexionum f ex gutta aquea iterum exeunt; fitque illud punctum A. Ex centro C per A producatur recta CAH arbitra- riae longitudinis, et fiat fuper AL centro A verfus regionem rectae DS, angulus HAOC-— ang. 4DS, hoc modo determinabitur locus oculi O. Si porro ex cen- tro C ducantur re&ae CM, CN, rectis AO, DS pa- rdlelae, erit MCN angulus amplitudinis. 32. Sit guttuüla aquae quaecunque G , et angulus Tb. VII. amplitudins , qucm conftruximus pro f reflexiones Fig. 9. SGO, exiftente fole in S, patet oculum in reca GO conítitdi debere , ex quo fit, vt ípectator videat pun- &um coloratum G fecundum dire&ionem OG. Con- cipiatur ex S per oculum O re&a SO» indefinita , erit GOo— OGS —4- OSG, fed angalus OSG, propter antam íolis a terra diftantam , ita e(t paruus, vt prae OGS negligi queat, et propterea eric 0oOG — OG S. Ergo angilus GO erit angulus amplitudinis; ab eo Tom.VII. Nou. Com. L1 enim a66 PHAENOMENORVM IRIDIS: enim. amplitudo Iridis pendebit. Nam quo maior ifte: angulus, eo íüb maioris circuli arcu Iris apparebit. 33. Cum fit, vt.angulus. GOo pro quauis fpe- cie lridis maneat conflans, ípecantes ex. O | videbunt quaqua verfus pun&a colorata G.g,g etc. a recta 5Oo - angulo GOo diftantia, quae fpeciem circuli varie colorati : efücient. — Circulus hic erit ba(is.coni. cuius axis eft . recta, ex folis centro per oculum íÍpectitoris tranfiens , . et vertex in ipfo oculo. — Ex quo fit. vt- nunquam - duo-fpe&tatores fimul-eandem , et in eodem loco. vi- dere poffint ; fed quilibet fpe&antium , quotquot fint:, aliam inque alio loco confpicit.. — Mutato: itaque loco . fpectatoris , locus lridis- mutatur. 34. Falluntur ii , qui dicunt, quo. pluuia fpectá- tori proprior eft, «eo ba(is coni erit circulus minoris : radii, adeoque arcus apparebit. minor et vice vería. Quamuis hoc verum fit , quod accedente pluuia , bifis . fic re vera circulus minoris radii , inde tamen non fcqui- tur arcum minorem adparere debere. — Nam adparitio magnitudinis obiecti ab- angulo optico. pendet; prouti : augulus opticus: augetur, vel minuitur. — Hic vero ifte angulus manet-idem, ex quo non poteft fieri, vt lris minoris.maiorisue circuit arcus, accedente et, recedente - pluuia, adpareat, 55. Duo cafus hic confiderandi funt; altér quau- do angulus S Go minor reco, alter quando ille rectum excedit. — Primo caíuü Iris ita videbitur; vt fol.a tergo fpe &atoris exiftat, at fecundo-medium focum inter folem et fpectatorem tenebit. Ducta concipiatur per oculum fpecta- toris D SQ VA SIT I-O. 267 'toris reca horizontalis H 5, et fit angulus SGO-— 9. Patet exiftente Ííóle ad altitudinem -à lridem videri non. poffe, at apparere eam incipere , quando folis altitudo fit 28 et eo füb maiore circuli -arcu , quo -differentia inter altitudinem íolis et Ó maior euadit ; at 'euanefcente altitudine folis, hoc eft, quando fol in hori- zonte -verfatur , lidem femieirculi fpeciem reprefentare debere. — Si vero ó fuerit maior re&o , et angulus GOo-— m--ó, tunc fieri poteft, vt totam lridem vi- -deamus, quae fpeciem circuli repraefentabit. Cdp | "s -— E 114 36. Ex formülis noftris, tang.(p — y 729-7: ét tang.6— z-L tang. (D, íi eas ad cafüs particulares adplicare velimus , conftrüendi fünt primum geometrice anguli (p et 0, vt $. 50. et 31. docuimus , ex quo innotefcet , ad quam regionem angulus Z conuergit. Tum demum quaerendi funt eórüm valores in. numeris abfolutis. — Conftru&tioni iftorum -angulorum tabula fe. quens inferuiet , "vbi in prima columna funt numeri re- /flexionnm , in fecunda valor formulae Y Ggm(p-3- 1) -1) —Q., in fricionibus decimalibus. Valor vero ipfius Eorrust LA N-'re£ LODS N EICOTIN S POP Q ERA niu ceh unniunam! TO RH NCRUAUD 9T I I. i 4 2461 19. 715.9 4 10.08 49 A | 2-0. 5 Ze 4e 8.1697 bri. | 9.9 E pocas PaL Mo Jod I2-)0. 7 37. Si iam -conftractio figararum ex formulis inuentis modo fupra tradito fucceffne inflituatur., patebit 3$ ita comparatas effe, vt formulae exprimentes valo- Ll2a 168 268 PHAENOMENORVM IRIDIS res anguli Z^; ex quo pofitio Iridis coguofcitur, fequenti modo determinentur, vt fit: : pro numero reflex. 1,2/—40- »(p —2(20-0) 2,6/—m— 60-1- 2(p— m-2(30-0) 5,£/—27-8 0-- 2(pz2m-2(40-0) 4,4/-3m-100-34- 2(p-3 m. »(506 (D) 5,6/-4m-120- - 24m -2(60 (p) 6,2/25m-140-1-2(p25m-2(70 QD)etc. Ex his ficile perfpicitur, fi Z i7, ridem inter fo- lem et fpe&atorem adparere debere ; at (i Z5 Z7, vel £c 2m,etexceffus eft minor i7, Iris ita videbitur, vt fo] a tergo fpectatoris exiftat , quod ex fequenti tabula clarius patebit, vbi omnes cafüs in his formulis contenti exponuntur. Caíus , quibus fpe&ator | Cafus vbi Iris medium medium locum tenet. locum tenet. oom prom: Lim ÉEsisi m 67 xT im An ae e S £ $- 4. m etc. 6 &- 2 q etc. feu quod eodem redit, 2omittendo o7, -7,27,37, 47 etc. Iris in medio 9 17; 9im-;492-;795 7m;etc. Spect.inmediod sm; CS Zm 6 c TIV oum 38. Inuenta hoc modo pofitione lridis , quanti- tas anguli amplitudinis Z cx bis foriaulis determina- bitur Pro DISQVISITIO. 269 Pró'numero reflex. 1, 4 — 2 (29 - d) 2,6-—m-2(30-Q) .3,6—27-2(40-0) 4,622 (50-0)- 5,6z2(60-Q)-2m 6,2—8m-2(70-Q) 7,6-4m-2(80-0) 8,4—2(99-()- 9, "eset etc, Ex quibus ficile patet , quomodo illae vlterius progre- diantur. 59. Ex his formulis particularibus iam facile ge- See deduci poffunt. |^ Nam numeris reflexionum 45,55, 8, 9 etc. refpondent valeres anguli Z re- pettiue n ue Q), 2(50-)-m, 2(609-O)-2m, 2(90-0)-5-, 2(xo0-Q)-4m, etc. at numeris reflexionum 2, 3, 6, *5 etc. refpondent fequentes ipus Z valoes -c—25(50—0), 2-c-2(40—0), $7—2(79—0), 4--2(80-() etc. "Vnde colligi- tur, fi numerus reflexionum quicunque datus, cuius in- I mum B(n—;) dex eft, fit huius formae 1 4-—- 2A) eBoe e $ s C(5—24) ;6D(n—1) EI UICE a C—iec2 etc. , quam breuitatis gratia P. vocabo , fo- re £— 2((x-3- P)0- -(n-1)m. Si vero numerus re- etc. vbi -A:———— , eec p ; Ane flexionum datus in hac forma Q-—2-r- — -Ip a ET LsB(n—:) £t. ) 316D(n— s) d pcd t te PS Lg sete. vbi À irme SUPR AME pB—*c-2», -) ca : ?), etc. fit cont'ntus, et eius index —27, erit Zt -- 2(( 1 -- Q)0- D). En 40. Vt 230 PHAENOMENORVM IRIDIS 40. Vt igitur pro dato: numero reflexionum :an« gulus Z inueniatur , videndum primo- eft, in qua forma datus numerus coniineatur, et cui indici refpondeat, quod facile perficitur , fubftütuendo :pro 5 numeros integros afürmatiuos 1,:2, 53, 4, 5 etc. Nam inuento tali modo indice et forma numeri reflexionum dati , angu- lus Z, ex formulis paragrapho praecedente traditis , facil- lime reperitur, poftquam anguli (D et 6 ex formulis tang. (p — Y 220777! et tng.0—5,- tang. (D. deter- minati funt. Exempl. Sit numerus reflexionum datus — 1, erit z 1—P et zx, quia numerus datus.eft formae P. Ergo £-40-2(p. Atcft pro radiis rubris 777,5; et pro violaceis m —. Bxitpro ra- mm(paib—: ^ 4590 : eL 20»m(p4-)*-r disrubts--— rie c5pr wolags-—-——1 22224. 14.3,65 - VI S320 Pro radiis rubris : lpg.14580 — 4.1637575 ]Ios: tang.(D — 10.2279659 log.5105 — 3.7078256]!log. .2 — .0.3010300 a — ——— — — M — ——— | — —— — MÀ ——— M Ut log.-5" — 0.45593191log. tang. 0 — 9.9269359 log.tang-(— 10.2277965:9 | Ergo qi Aosta" Ego «|: 059 .29^.24//] Hinc --xczw21'423^. Pro radiis violaceis | log.14364— 4.1572452 |log. tang. (D— 10.2156668 log. $320. 78: 9t 16llog. $2 — Oo.3010500 —— ll nid e 0.4313336 log. tang. 6 — 9 9146368 log. tàog o -—19 2j d) Ergo 6 — 39.24.18". Breo.- D-—59 40^52" Hinc 4 Bt d. Exempl. DISOFVISITIO PE Exempl. Sit datus numerus reflexionum $— 2, erit tang. (D LILy $77—' et tang. (— ;tang.(D. — Et quia numerus —mnm datus reflexionum in forma Q. continetur , erit 5—Q— e et n— r, hioc — 21-2 (( 1c Q)0- Dy: -2(350- (D). Eít.vero pro. radiis rubris 7—;., €t pro violaceis 81. — 8 2 75, erit pro rubris .?—,5 — ^L. et pro violaceis 9TUTp-——4 47168 8 --nmj — 5329 $4 Pro radiis rubfis. log. 47385 —. 4.6756409| log. s (D —10.4859056' log. 5103 — 3.7978256j|log, ó. .— 0.4771213 ^ C —H— ID o —Humms—Á VEmncm M REND log. tang. 6 — x0.0067813 po 0 45 .26/.5 1^. — ÁÀ—À 473835. igo p——r- 24019678753 log. tang. D- 10 4839020 Ergo — Q-71.49/.55^. Hinc 250".58/.44 pro violaceis log. tang. D— ro. 4758679 : 10g. Sid 0-4771218 log. ——— '0.9477359| log. tang..$ — 99957466 . log: tang. s -10.4738679|l:go. | — 02244" 47! 77, Ergo Q- Gne P A. e Hinc Z — 54^.9/.36/7. log. 47168 — 4.6756475 log. 5320 — 39. USE "Tabula, 49. PHAENOMENORYM IRIDIS Tabula, quae exhibet angulos incidentiae , refra- &ionis, amplitudinis , pro datis numeris reflexiogum , ab x vsque ad 8. Pro radiis rubris N.refl. Qo 0 z zT. 1595.23.27" 40?.12/.10"| 4323" 17.52 2. |71.49. 55 |45. 26.51 | 50. 58.44 5 | 76-50. 16 [|46. 54. 40 [1388.35.12 4 | ao^ Syr 47. 32. 11 |136. 6.16 5. 81. 25. 40 |47. 52. 22 $1.39. 4 6. |82. 41. 12 [5$ 3.53 | 32.28. 9 2 83. 37. 14. 148. 1313.25 |116. 12.20 8. |84. 20. 28 148. 16.29 |158. 7.58 Pro radiis violaceis Spese Q 0 é 1. 158^.40/.52^ | 39 .24/ 18//| 40* 15/.28^ 2. |71. 26. 9 |44. 47. 7 | 54. 9.36 $8. | 76. 53- 20 [46. 16. 5 x42. 9€: ^ 3. 4: 129. 54..90 *140..5$. 29 1150.25 D 5. |81. 14. 42 |47. 15.39 | 44 38.24 6..182..32-.55 2 47497. 39 7] - 40. 40: 0E 7. | 98. 29. 9 |* 55-5 125 33.14. $454. 4:2a.10. 21:42 40... 8 | 169. 54. 16 41r. Ex his iam facillime omnia, quae adhuc requiruntur ad ]ridem pro dato reflexionum numero diftincte cognofcendam , deduci poffunt. Nam ex da- tis angulis (D et 0 inuenitur Z tam pro rubri; quam violacei coloris radiis , et ex angulis £ , latitudo Iri- dis, ordo colorum et eius pofitio refpectu oculi fpecta- toris , - DISOVISITIO. 243 tors, vti fequentes tabellae repraefentant. In his tabel- iis liter: 7 defignat colorem rubrum , v violaceum, et T- denotat , quod in Iride color ruber fupremum, violaceus infimum teneat locum et vice vería. S denotat locum folis , O locum oculi fpectatoris et I locum 1ridis, ita wt S. O. I fignificet. folem a tergo fpectatoris effe , feu fpectatorem debere inter folem et Iridem flare. At S. L O denotat, lridem medium locum inter folem et oculum celles tenere. - Latitudines Iridis Ordo colorum N. refl.| N. refl. N. refl. I. T 1*.464/ 24/7 | I. 2. $. 10.55. "ini 3. PNE | Zh 2 4| 5 49-26 p | 5. | 6 58 40 9. PR 5| - | 6. | $ 18 35 | "r4 morir 9.20 4 iq M a 8. Li 90 935 | | | ppl ctl N. refl! Pofit. em N.r. b jS. "n I ——————MÜ TOR E EDT P. ips dn LIN .H P. I. S.1.0. BUDE nro T 2. S.I.O E S.O.I S: LQ 42. Cif wi ilias lridis finui anguli 4 (it proportionalis, crefcente igitur finu. anguli £, crefcit ami- plitudo lridis et ,vice verfa, hoc eft, Iris eo fub ma- ioris circuli arcu adparebit , quo maior erit finus an- -guli 2. Erit ergo ampliffima , quando Z— ic ; nam tum fit fin.Z maximus. Quo propius igitur angulus 4 Tom.VII.Nou.Com. Mm ad 274 PHAENOMENORV M IRIDIS ad duos rectos accedit , €o mimo euadit SEHPMIRD Iri- dis. Omnes Lriüdes, quorum angulus amplitudinis 4 maior eft recto, in ea regione, ii qua fol Nébafad con- fcipientur, eae vero quorum Z i7 in regioue oppo- fia apparere debent. Si angulus Z eft $1, et fol in horizonte veríatur, Iris fpeciem femicirculi , et fi ille ad altitudinem 4 afcendat , totius circuli imaginem re- fert. At exiftente Z1, nunquam lris maior femi- circulo videtur , et creícente altitudine folis, diminuitur; prorfus tandem difparet , fi fol ad altitudinem Z afcen- derit. | 43. Duae igitur tali modo fpecies Iridum — ftatui poffent, altera vbi augulus Z i7, altera quando ille 2i. lrides primae fpeciei ita funt comparatae , vt crefcente altitudine fíolis arcus ille, fub quo adparent, dimiuuatur. — At fecundae fpeciei tales funt , vt arcus ifte creícente altitudine folis augeatur ; illae in regione foli oppofita, hie vero in eadem, vbi fol verfatur , confpiciuntur. Commode characteres earum a. numero reflexionum fümi poffunt. — INNam omnes reflexionum numeri pro I primae fpeciei in hac forma conti- mm 1))(n— 2) — *(n— :)(—3)(n— nenur 1 4- 3 .q.:8—3d0—3. 10—090—20—1 s(n—1)). Lee 16(0—1) «. .« (n—5) 22(n— 1)(n—2) .« . . (n- 6) -- 1.2.9-* DURO uias EI. - etc. —1) At pro lride íecundae fpeciei in i(la 3 -- 3(n—31)(0—:) 4(n—31)(n—:)n—3 s(n- 1 "mE OU -- Ecl. Y we dEÀbouxY -k- 1542 ap» BEHUUGEDE ez ai(n— 1))(n—2)..«(n—96 etc. Vel lo2€632555*5j 162735455256 TT Eus ON 1b 2 aci — — fi ponatur. ' Gu edo) 9) c m RED s) 2(—:)..(n—3 — «(n—53) . - - (n— 7) "Lum 21513125 "m 325895354 7 8—24. ac m R, numeri DISOVISITIO. 29g numeri reflexionum pro lride primae fpeciei in hac forma continebuntur: 2-1 (n— 1)(n— 2)R , et pro Iride fecundae fpeciei in ifta: 2—- 2-1- (n— x)(n— 2) R. Series ifta R ita continuatur: terminus antecedens multiplicatur per 2, ad numerum abíolutum vltimi factoris in nu- meratore additur vnitas, per hunc nouum factorem terminus praecedens multiplicatur et diuiditur per nu- merum abíolutum ig nouo iflo fa&dore contentum 4. g, * . . — 2)(n—24)(n — . vt inueniatur terminus 2C—20— 99 — 9, eins praece. sffies Ya) dentem (—297 7 myultiplico pér 2 et habeo 977-9, ad numerum abfolutum vltimi f&ctoris 7— 4. addo vnitatem, et obtineo nouum factorem 7-5, per j- 5 multiplico nume- ratorem, et per numerum eiu: abfolutum 5 denominato- ; 1 E MEI T EEUU MR rem, et prodit terminus íequens H0 —9, Ita fi velis fcire numerum reflexionum pro lride primaria, pone z— ri, pro fecundaria 7-— 2 et ita porro. 44. lris primaria primae fpeciei faepe in coelo confpicitur, fecundaria vero raro , at de tertiaria dubi- to, num eam aliquis obferuauernt. — Ea oritur poft quinque reflexiones et (íex refractiones. — Celeberrimus AMufcbenbraekius ait, in Lapponia obferuatam füiffe, in- ter fecundariam et primariam fitam , iisque non con- centricam. — Sed eam obferuationem füfpectam effe ex €O0 patet, quod omnes [rides in eadem regione coeli confpicuae fünt inter fe concentricae , nam. axes cono- rum in quibus videntur, per centrum folis et oculum fpectatoris tranfeunt , ita vt omnes ifti coni vnum eun- demque axem habeant , praeterea. dris haec eft fere eptem gradus lata, et angulus amplitudinis eius vno M m2 untum 276 PHAENOMENOR. IRIDIS DISOVISITIO. tantum dimidio gradu angulum amplitudinis fecundariae excedit, quam ob rem cum fecündarià confundi debet, ita vt fecundaria fupra tertiariam depingatur. ^ Sed et in eo celeberrimus vit peccare videtur, quod afferit , eam poft tres reflexiones oriri debere. 4.5. Quod attinet ad lrides fecundae fpeciei , eae propter folis fplendorem —*ideri non poffunt. ^ Haec fpecies Iridum obfíeruari folet noctu circa lumen cande- larim , praefertim in Dalneis et aliis locis vaporibus aqueis valde inquinatis. — Poteft etiam talis Iris ad folis fplendorem 'obferuari , fi poft eam exiftat aliquod .aedi- ficium non multum luminis reflectens, DESCRIPTIO «se X 6 X O3 273 DESCRIPTIO AC EXPLICATIO iNOVORVM QVORVNDAM EXPERIMENTORVM ELECTRICORV M. Auctore i Ev CU. A EPINO. SI. ransmiferunt ad Academiam , A. R. S. 1755. À. Reuer. Patres Soc. L qui Pekim commorantur , práeter alia, experimenti quoque cuiusdam electrici, ab ipüs inflituti, hiftoriam , cuius fumma huc redit : Lamina ex vitro cryftallino conítans, füpra chat- tam aliquoties complicatam pofita, pelle ouina pilis Orbata, tamdiu fricabatur , vsquedum ele&ricitatem fàt fortern confécuta effet. Adplicabatur tum haec lamima pyxidi ligneae, vitro tectae , acum magaeticam , ob- éruandae declinationi adaptatam , continenti, ea ratione, - Xt vitrum , . quo capíula cooperta erat, fere continge- ret; quo fa&o íequentia obíeruabantur phaenomena ; 1) Acus magnetica, libere ftilo fuo incumbens , ád vitrum pyxidem tegens confeftim furfüm abrepta , laminae haic qua agglutinabatur , ac vltra 2 vel '3 horas conftanter adhaerebat. 2) Poft hocce temporis iüteroallum acus fponte decidebat , non vero paulatim , fed cum impetu quo- "dam, et poft aliquot vibrationes fuper ftilo fuo factas, .àd quietem fitumque 'confüetüm | redibat. M m 3 3) Attol- 27$ EXPERIMENTA 5) Attollebatur tunc limina pyxidi impofita, et dico citius acus denuo fürfum rapiebatur , vitroque , quo pyxis tecta erat, denuo agglutinabatur , nec ante 2 vel 3 horarum decuríüm decidebat. ^ Quod(i vero 4) interea lamina primum commemorata denuo pyxidi imponebatur , ftatim acus recidebat, confeftim vero rurfum attrahebatur , denuo íüublata lamina. ^ lta femper eueniebat , quoties lamina pyxidi vel admoueba- tur; vel attollebatur, ac vel centies repetere hoc expe- rimentum licebat. Mirandi iure funt, quos hic recenfent Rev. Pa- tres electricitatis effectus. — Admodum enim paradoxum videtur , quod electricitas , quae. poft longioris temporis decurfum penitus exítincta videbatur , momento quafi, idque fine vlla noua frictione, aut excitatione, per ío- lam laminae a pyxide remotionem , refíuüícitata fuerit ; quodque iun&is denuo vitris ftatim rurfus exftingui po- tuerit. $. 2. Quam primum experimenti huius ad me per- venit notitia , perípexi ftatim , mirabiles ipfius euentus fponte quafi, ex Theoria Electricitatis Franck/iniana, ( quae, quod nulli hypothefi innitatur, ac vnica fit, quae phae- nomenis ex affe fatisfücit) mea quidem fententia fola vera exiftimanda eft, profluere, atque ex ipfa tam clare concipi , vt omnes, quae experimentum comi- tantur, circumftantiae , vel a priori innoteícere potue- rint Excitatus proinde füi, ad rem vlterius tam ra- tiocinis , quam nouis quibusdam , quae imaginatus fum , experimentis , examinandam , qui lbores cum memoria ETLECTRFTCU. 279 memoria non prorfus indigni videantur, fcripto com- prebendere ipfos conftitui. $. 3. Recenfionem primum experimentorum infti- tuam , quibus obíeruationes Rev. Patrum occafionem praebuerunt , quo poftea, quae de caufa horum phae- nomenorum meditatus füm , eo melius explicare queam. Sunt autem , a me infítituta experimenta , fequentia : Exper. I. Repetendum mihi videbatur experimentum Pceki- nenfe , quapropter laminim vitream AB, fülcris T5. VIII. ligneis C, D, pollicem circiter altis , impofui , ac ali- - uv quid pulueris leuioris infra laminam hinc inde difperfi. Accepta tunc altera lamina, priori fimili, attritu panni lanei ele&ricam hanc féci, ac fupra priorem pofüi. Obferuaui tunc 1) per aliquot minuta, puluerem infra laminam difperfum attrahi ab ipfa , atque repelli , vti fieri fem- per folet, íi corpus electrificaaum — pulueri appropin- quatur. 2) Elapfo hoc tempore ele&ricitatem penitus ex- füngui , vt nulla vlterius attractio, aut repulfio, fit ob- feruabilis. 3) Separaui tunc laminam electrificatam a lamina AB, ftatimque, dum hoc fieret , refufcitabatur electrici- . ta$, limina AD denuo coníuetas attractiones ac repul- fiones electricas exercente. 4) Ceffantibus etiam his phaenomenis, admota denuo lamina cJectrificata ad laminam ABD, totum hacte- ' 280 EXPERIMENTA ha&enus defcriptum experimentum, non accedente not füctione , aliquoties repeti potuit. EXperM "p Ipfim laminam AB electricam factam, pofui fuper fülcra C, D, wbi confüeto more in puluerem agebat. Ceffante hac actione, quod poft aliquot mi- nuta fiebat, laminam digito , aut alio corpore non per íe electrico; in fuperiori füperficie contingebam , ac refuícitabatur ele&tricitas , ea in regione , qua tangeba- tur lamina, fic vt lamina confueta electricitats ederet phaenomena , puluerem fubítratum — attrahendo et re- pellendo. . Exper, ... lll, Tab. VIIT, Regulae orichaleicae AD, vitreis fulcris impos Fig. 2. fitae , iuxta quam pendebat libere filum lineum made- fadum CD, admoui tubum vitreum , aut cylindrum ex fulphure fufüum , elec&rificatum , ab extremitate A, ad diftantiam ro aut i» pollicum , ac 1) obfermaui , filum lineum (tatim attrahi a re* gulae exiemitate D; per aliquot momenta huic co- haerere , mox vero feparari , ac in fitum. verticalem redire. 2) Si tunc tubum per aliquot pollices. propius ad- mouebam , denuo idem eueniebat, ficque eXperimen- tum repeti aliquoties poterat , vsquedum tubus, extre- .mitatem regulae fere contingebat. | 3) Lente tunc retrahebam tubum per aliquot pol- lices, ac filum denuo attrahebatur, mox vero ad fitum verti- ELECTRICA. 28r werticalem redibat. ^ Vlterius remoto tubo idem rurfus eueniebat , vnde etiam hoc phaenomenon aliquoties ob- feruare licebat , vsquedum tubus ad diftntiam initialem xo aut 12 pollicum rurfum remotus erat. Exper. IV. . Loco fili linei, hactenus víürpati, fufpendebam particulam füberis vtcunque fphaericam , — magnitudinis lenticularis , ex filo tenuiffimo ferico , probe exficcato , ac inftituto , vt prius, experimento , admotoque tubo vitreo «electrificato ad extremitatem regulae A, in Tab. VIII. diftantia 12 circiter pollicum Fig. 3. 1) pendulum CD attrahebatur ab extremitate DB, ftatim: vero rurfus ab ipía feparabatur, neque, vt filum lineum , ad fitum verticalem redibat , fed vltra ipfum repellebatur. » 2) Tubo vitreo propius admoto, repulfio conftan- ter augebatur , retrado vero tubo rurfüm imminueba. tur, vsquedum vltra 1o pollices , fiue diftantiam initia- lem , remotus effet, tum enim tandem repulfio muta- batur in attractionem , pendulum vero attractum a regula fiatim rurfus feparaoatur , ac in fitum verticalem Tedibat, vlterius neque attracum, neque repulfum. («) Exper. (a) Magna in hoc ac fequenti experimento cautio adhibenda cft, fi rite fuccedere debeant. — Praecipue cauendum cít, ne anguli folidi, a planis regulam terminantibus , inclufi , fint admodum acuti, fed fi ficri potcft. aliquantum — rotundati, — Si hoc ron attenda- 'Tom.VIL Nou.Com. . Nn 282 E X^P-ECRPL'MPESMT. A EXob M. Idem experimentum in(titui , adhibendo cylin- drum fülphureum , loco tubi vitrei, et omnia euenie- bant, vt in experimento praecedente. Exper. . VI. Regulae orichalciceae faepius dictae , prope quam fufpenfum erat pendulum defcriptum , admouebam tu- bum vitreum electrificatum , ad diftantiam 3 vel 4 pollicum , ab extremitate À, fimul vero extremiiatem B digito | contingebam. Retraco tum primum digito . 1) Pendulum nec attrahebatur, nec. repellebatur. Remoto autem quoque tubo , ílatim attrahebatur , ac poftea repellebatur. 2) Cum tubum rurfus idmouebam , continuo de- crefcebat repulfio, vsquedum tubus fere ad diftantiam initialem denuo admotus effet. Poftea repulfio tranfi- bat in attracionem , qua fàcta . pendulum rurfus rc- pellebatur. 3) Retrahebam tunc tubum, et fücceffiue re- pulfio rurfus imminuebatur , ac in attractionem muta batur, qua facta pendulum denuo repellebatur. 4) Sub- 2 CPSEYE , e Ros Ld. : "m attendatur ; poftquam fa&a funt, quae nüm. 5. pràecepi, non , mnis repulfo ceffat, fed pendulum, poft vl£imam attractionem , aliquantum , debiliter tamen , repellitur. | Rei huiüs rationem infra tradam, — Optimum eflet , adhibere huic experimento , loco fegulae, cylindrum laeuigatum metallicum , hemifphaerio, eiusdem cum cylindro bafeos , vtrinque terminatum, ELEUOITRBOA 285 4) Subflituebam tunc cylindrum fülphureum — tubo. vitreo , ac obíeruabam , admoto eo, vti in num. 2. cum tubo vitreo ficum erat, repulfionem eo magis creícere , quo magis admotus erat cylinder, decrefcere Vero , quo magis remouebatur. | Exper. VII. Repetito eodem experimento , fed loco cylindri vitrei, fuülphureo in vfum vocato , euentus quoad uum. ri et 2 prorfus idem manebat, — In num. 3 vero tubus vitreus idem praeflabat , quod cylinder fulphureus in antecedente. Exper. VIII. Dum pendulum in experimento IV a regula repellebatur , repellebatur quoque a tubo vitreo electri- ficato ipfi admoto , attrahebatur vero a cylindro ful- phureo. Contrarium fiebat in experimento V. Exper. IX. In experimento VI, dum pendulum repellebatur 4 regula , fub circumftantiis num. 1x. addu&is, repelle- batur a cylindro fulphureo , attrahebatur a vitreo. Sub circumfítantiis num. 2. repellebatur a vitreo , attraheba- tur a fülphureo. Sub circumítantiis num. 3. vero rur- fus a fulphureo repellebatur, a vitreo attrahebatur, . In experimento VII femper contrarium accidebat, - | Exper. X. Tubum vitreum electrificatum admoui extremi- tati fili; orichalcei, craffitiei, qualis eft calami anferini, Nn 2 quod 284. EXPERIMENTA quod ex altera parte acuminatum erat, ac cufpide fua intrabit in campanam vitream , aere. vacuam. — Ad- moto tubo, erumpebant ex cuípide , larga materiae ele&ricae flumina , lucentia , diuergentia , ac ad difcum - metallicum , cui impofita erat campana , progredientia. Retracto tunc tubo , cuípis denuo lucebat , non autem tam larga luce , fed multo minori, fcntüllam viuidam quafi referente. Exper. XI. Loco tubi vitrei in praecedente. experimento, ad- hibui fülphureum , qui eadem producebat , aít ordine in- verfo, phaenomena ; admoto nempe cylindro fcintila , remoto ipío, larga, de quibus locutus fum, flumina ad- parebant. Exper. XII. Summo apici barometri lucentis admoui cylin- drum vitreum , aut ex fülphure fufum , electrificatum , ad diftantiam 8 circiter pollicum. — Obferuaui tunc I,) Spatium a mercurio vacuum viuido lumine totum repleri, quod vero mox cxftinguitur. 2.) Promoto vlterius tubo veríüs barometrum vno alteroue pollice , denuo fimile fulgur videri. ....8.) Repeti poffe hoc experimentum , vsquedum cylinder barometro fere contiguus fit fitus. - 4) Retraco tum tubo per ahquot pollices , ba- rometrum denuo lucem edere, idemque fieri repetitis vicibus, vsquedum cylinder ad 7 vel 8 digitos a ba- rTOmetro remotus eflet. 4.) Ex- ELECTRIC 4A. 285 4.) Fxperimenta haec omnia ex Theoria Ele- étricitatis Frameküniana optime explicari poffunt , ac tanquam totidem probationes veritatis huius theoriae , cum qui tam apte coníentiunt , habenda (unt, Quo hoc commonflrem , opus erit , vt quid euenire debeat fecundum hanc theoriam , fi duo corpora, quorum vnum e(t electrificatum , alterum in ftatu. naturali con- ftitutum , fibi inuicem appropinquantur, generatim prius exponam. | Supponimus igitur corpori D in ftatu na- Tab VIII. turali conftituto , nullamque corpus non per fe ele&ri- Fig. 4- cum immediate contingenti , appropinquari corpus À, quod itidem non nifi fluidi ele&trici quantitatem natura- km conunet. (^) Cum partüculae corporeae , quae corpus A conflituunt , materiam ele&ricam in D con- tentam attrahant ; particulae vero fluidi electrici in A contenti , aequali vi ipfam repellant, ob vires fe mu- tuo deflruentes nullus effectus producitur — Sumatur autem in A fluidi electrici copia vltra naturalem auge- ri, ac ob auctam repulfonem , quae in B continetur materia electrica , a f(uperficie 25, propelli debet , Fig. £. veríüs fuperficioem c4, ex qua, fi nullum adfit im. pedimentum , libere emanabit; fi vero huic ef- fluxui obex ponatur, quod fit, fi corpus D vbiuis ae- re , aut corpore quocunjue alio per fe electrico , quae quippe admodum difficulter materiam elecricam in fe recipiunt , contingatur ; fluidum electricum verfus c4 Nn 3 in pro- (^) In figuris, quae buc pertinent, corpus, aut corporis pars, lincis fe . interíccantibus deniprata, indicat fluidum. ele&ricum ibi abundare; punéis notaia, deficere ; ommuo alba, exa&e adeílc copiam na- ralem huius fluidi. : 286 E XEERTJAET.A4 propulfum , ac cedere nefcium , : comprimetur. | Circa - 4b itaque flüidi electrici copia imminui , circa cz. ve- ro augeri debet, vnde corpus D, eum , quem cxhi- bet Fig. 5. ftatum affumere debet, i. e. inter a et lineam quandam ef fluidum elecricum minorem, inter ef vero ct cd maiorem acquirere. debet denfitatem , quam in flatu. naturali, vbi aequaliter adhuc. per totum corpus diflributa, erat, habuerat. (€) 5) Si iam füperficies cd a corpore quodam non electrico contingatur, aut quod eodem recidit , aer ipfam contingens remoueatur, vtroque cafu, materia ele&ri-. ca in parte efed accamulata , fe vel in. corpus con- tingens, vel per vacuum , in proxima corpora non per fe Lon nnnm RR (c) Si rem. exa&ius con(ideremus , facile concipimus , denfitarem flui- ' di ele&rici in corpore B contenti fore difformem , ita, vt fi- Tab.VIIL |. reQa bd craffitium. corporis. B. repraefentet , ac^ huic applicentur Wig. 14. in quouis puncto r ordinatae rs, diflereptiae , quae intercedit. intet denfitatem , quam habet in eo corporis loco cui puv&um r refpondet, materia electrica, ac denfitatem naturalem, proportionales, cadentibus ordinatis negauuis verfus finiflram , pofitiuis. verfus dextram ; (int punda omnia s in curua quadem 45fp , re&zm 54 alicubi vt in f interfecante, eaque proprietate donata, vt fit fpatium 4f aequale fpatio / 4p. Naturam huius curuae ha&enus determipare non li- cet fpecialius , ncc licebit , mifi tam felices fiet aliquando naturae fcrutatores , vt legem , fecundum quam . crefcunt ac decrefcunt repulfiones et attriCtiones ele&bricae , detegant, Id interim facile patet, quo maior fit intenfitas repulfionis , eo magis fimul cre- fcere ordinatarum magnitudinem , pun&umque interfe&tionis pro* pius ad 4 accedere, Sed ioquifitionibus huiusmodi, cum in hac noftra difquifitione parum pra:ftare queant vtilitatis , immorari , confoltum non duco. Sufficit, breuiter haec monuiffe, fimulque in iis, quae hic, ac in fequentibus protuli, me fummam ac g-o- meétricm exa&itudinem , prouti hic inutilem ; non quacfiuiffe, lc&oribus indicaffe. : ELECUT!RUIC'A. 285 fe electrica, diflribuere debet, vsquedum eiusdem fit inibi Benccinihd quae eft in Dai contingente. Tum EM corpus *eum :adipiícitur ftatam ,' quem exhibet Fig. ; pars nempe zbef. minorem , pars vero efed ean- den circiter continet fluidi uelaéhrici- copiam , qualem in ftatu naturali habuerat. Facile vero patet, fi capiatur iam fumma fluidi eledtrici, in hocce ftatu in B con- tenti, minorem eam füruram effe , quantitate. naturali, Quanquam enim in parte efc , copia naturalis adfit, in 3ltera tamen parte. 25ef defe&tus. datur , vnde aggrega- tum hoc, quantitate naturali minus, non effe non poteft, 6) Si iam füpponamus remoueri corpus A, ceffabit omnis repulfio, vnde fluidum electricum liber- tatem rurfus nancifditur , aequaliter fe per corpus D di- firibuendi. Cum igitur iam fluidi electrici copia natu- riis in B. fit imminuta, faca aequali diftributione , quaeuis pars minorem , quam quantitatem naturalem , continebit, ac corpus totum , in ítatum Fig. *7. tran- fibt, íeu negatiue elecricum euadet. 7) Confiderauimus hac&enus cafum , vbi in cor- pore A , fluidi ele&rici copia vltra. naturalem | aucta erat; fi vero. iam fupponamus, imminui ipfius copiam, infra naturalem. ,' euentus contrarii. erübt priorum. SiTab.VIII, nempe primum €t corpis A; et corpus D , in ftatu Fig. 4 maturdli füpponuntür, attractionis, quam'corpus A in fluidum :electricum in.B contentum exercet, effectus, acrepulfione , . qua. materia ele&rica in ^ A conten- ta4 in. eam, quae in D continetur ;^ agit, ^ deftruitur. Sublata autem : quantitatis; fluidi: ele&tici aliqua... parte: ex c A, Íeu 288 EXPERIMENTA A, feu corpore hoc negatiue electrico facto , ceffante tunc repulüone , materia electrica attractoni verfus fu- perficiem 42 obtemperare debet, ^Oritur hinc vero ftatus, quem exhibet Fig. 8. ; in fpatio nempe a5ef materia electrica condenfatur, in fpatio efcd rarior euadit. $) Si iam, pofteaquam B hunc ftatum confecutum et, füperficies ed , aut corpore non per íe electrico contingatur , aut aer hanc fuperficiem ambiens remo- veatur, priori cafu ex corpore fuperficiem contingente, pofteriori ex corporibus propinquis non per fe electri- cis, per vacuum , materia electrica, in partem efed tamdiu tranfibit, vsquedum aequilibrium fit reftitutum , i. e. vsquedum , vti in Fig. 9, pars efced fluidi ele&rici. copiam rurfus naturalem circiter nacta fit. Hoc vero fico corpus B plus materiae electricae con- tiacre, quam in ftatu fuo naturali , manifeftum — eft. Remoto itaque corpore A , vbi ob attractionem ver- fus 45 iam ce(fantem , aequabilis fluidi electrici diftri- butio per totum corpus facta eft, in quauis parte cor- pois D, vii Fig. ro. exhibet, fluidum electricum abundabit , feu totum corpus pofitiue ele&ricum euadet. 9) Supra a me expofita phaenomesa , ex hacte- nus explicatis, felicidhme deducuntur , nec vllum occur- rit inter ipfa, cui caufa fufficiens affignari non poffet, — Bre- vis principiorum ad experimenta adplicatio luculenter hoc commonftrabit ; antequam vero tradere hanc ag- grediar, in mentem hic le&oribus reuocandum erit, quod aliunde iam íatis conftat, nec cuidam cui experimenta electrica fatis funt familiaria , igaotum erit , 1) Cor- ELECTRICA 289 1) Corpora duo, quorum vtrumque eft vcl pofi- tive, vel virumque negatine ele&ricum , íe inuicem repellere ; quae vero heterogeneam habent electricita- tem , fc mutuo attrahere, (4) | oy Vis (4) Quaefio hic oritur, an nunquam homogenee electrica fe attra- hant? ad «qoam omnino affirmative refpondendum cf. — Propo- fitionem. enim meam non intelle&am volo, vif de eo cafu, wbi dvo ifta corpora habent ele&ricitotem aut pofitiuam , aut. ne- gatiuam , in gradu non admodum inaeqvali. — Dai poffe, mifi haec conditio adfit, inter homogenee ele&rica etiam attraCt o- nem, tam cx obferuationibus conflat , «quam fe«qu nti. demon- ftretione euincitur. — Sit gradus electricitatis in corpore A —- a, in B —», et repulfionis inter haec corpora quaptitas I— q. Conftat iam rer experientiam , fi a — b, dari repulfionem y fi wero 4 "manente conftante, 4 imminuatur vsque ad Qo, "épulfio- nem mutari jn 'atra&ionem. — Si itaque 5 sb a ad o vsque. decrefcat , decrefcit interea q a valore pofitivo in fui negau- vum , feu contrarium. — Neceffe igitnr eft, vt inter iflos 2. valo- res v, quorum alter refpondet 5 —- a, aher P — o, fiat q aliquando —- o, vnde datur neceffario valor quidam ipfius b, :tadens inter a et o, cui d — o refpondet. — Sit hicce valor T— c, ac pro omnibus valoribus ipfius 7, qui cadunt inter c ac o, dabirur attractio. — Interim, cum corpora heterocenee «le&rica fe fcmper attahant, tutum ex repulfone formatur iudi- tium , an duo corpora fint homogenee electrica. Vera enim eft fine exceptione propofitio: uae fe repellunt ; funt homcgenee tleCrica ; aft dantur cafus, vbi falfa «f eius conuerfi: qu:e ho- mogenee elétrica funt , fe rcpellunt. Addo iam, dum fub prelo füdat haec differtatio , me phae- nomeni.de quo hic loquor, caufas , atque vniuerfam attractionis et rcpulfionis el&riae theoriam , in fecundo capite "T entaminis mei T beoriae. ele&tricitatis et. magnetistmi explicaffe , ad quem ita» que librum le&ores ablegandi funt. 'om. VII. Nou. Com. O o * Ago EXPERIMENTA — $) Vitrum, (e) corporaque huius generis ,. frictio» ne, pofiiouam , fülphur vero, caeteraque corpora refi- nofà, negitiuam adquirere. ele&ricitatem.. .. $.10. Facile iam concipitur, cur in experimento: Pekini. infütuto ,. dum tabulà cryftallina. fri&ione ele&tri- ficata,. pyxidi magneticae. imponebatur, acus magnetica, fürfüm rapi: debuerit. Mani£tlum enim eft, ex $. 4. vitri, quo pyxis- cooperta: erat ,- fuperficiem: inferiorem: pouue electricam factam füiffe,. vnde corporis pofi- tiue electrici edere phacnomena.,. acumque. attrahere: debuit. ^ Aitractionem- hanc fequi debuiffet: repulfio ,. fed obílitit tam. acus: magnitado , quami paruus: puricto- rum , in quibus acus laminam contingebat , numerus ,. quo minus. hoc. ftatim fieret... Ob figuram enim acus, aC praecipue ,. ob impofitum: ipfi capitellam , non' nifi: Tab Vil£n duobus pun&is « et 5, laminam contingere potuit. Fig. 9. Tranfiit itaque ia acum. primo- quidem . ftatim. momen-- to,. quae circa 2 et £haeicbat, abundans materia: electrica ;-fed: quantitas ifta iufto minor erat, quam wt: totam acus pondeiofae miaffami , ad repulfionem vsque;. electicam . reddere. potuiffet: — Conftanter: itaque. acus- atirahi debebat, vsquedum fufficientem: electricitatis gra- ^ dum naa effet, quem vero non ni(i admodum lento: gradu, coníequi potuit. Cum enim materiam. ele&ri« cam non uifi per pnon&a Aet D. recipere poteat ,. ncceffe. erat ,- vt. materia. clectrica- ex. caeteris. laminae párti- Ce) lhtelligendum kie e& vitrum politum, — Attritum: nempe, vs- qu dum polituram ac pel'uciditatem | amifcrit , Cmattaefchfiffen Q3la8) vt ex Cantoni experimentis conftat ; fiidione ordinario modo inftitüta, fit negatiue clc&ricuim. NOS ELECTRIC A. 2901 partibus, in viciniam punctorum A et D, inde vcro in acum ipfam, tranfiret. Conftat autem ,cum vitrum fit corpus per fe electricum , fieri hunc tranfitum materiae ele&ricae , ex vna ipfius parte in alteram , admodum difficulter , lentoque gradu. ^ Mirum itaque non eft, fat longum sempus, et vel duas horas , necefarias fuitle, sntequam acus ad repulfionem vsque ekctrica facta fuerit: — Poftquam autem hunc gradum tandem .confe- cuta effet, cum impetu , vti ficum eft, repelli de- bebat; fic enim femper fieri foret , fi corpus electri- cum , alia, quibuscum fuam commouuicauit .electricitatem, zepellit corpora. 6. xz. Abrepta autem .eft interea infignis fluidi electrii , ad füperficiem vitri pyxidem tegentis infe- riorem propulfi, copia , dum partim in acum , partim lente in latera ac fundum pyxidis tranfit, vnde, quod ex 6. 5. patet, fublata iam lamina pyxidi impofita ,. vitrum — pyxidem tegens negatiue elecricum füctum eft. Attrahebat hinc denuo acum, quae repelli rur(us antea non poterat, quam notabilem amififfet fluidi cle- €trici copiam. — Fieri autem hoc iterum non poterat , nifi admodum lente, cum traufitus materiae electricae ex acu in virum per duo folum puncta « et à fieri poffet, ac nunquam materiae electricae per vitrum diftributio velox effe queat. ..$. 12. Si vero interea lamina ele&rica pyxidi rur- fum imponebatur, ob accedentem denuo repulfionem , pyxidem tegens vitrum in flatum , quem habuerat, antequam lamina remoueretur , renerti debebat. — Cum igitur in inferiorem ipfius fuperficiem , materia ele- Oo 2 étrica an EXPERIMENTA &trica rurfus condenfaretur , haec ele&ricitatem | negat- vam. amittebit, acumque vlterius retiaere non pote. rat. Ex(tin&da hinc videbatur elericitas., facile vero ,. füblato vitro. ele&rico., ablatague. cum. eo. repulíione ,. reíufcitari quafi poterat. $. 13. Coincidit cum: hoc experimento, eorunr,, quae. a: me; inítituta. fünt, primum ; quae enim hic oc- currit diuerfitas.,, non: nifi ex: eo: ortum. trahit, quod; loco. acus. ponderofae: metallicae ;,, puluerem leniorem; vitro; fübftraueram. — Quaeuis nempe pulueris huius. pat- ticula ,, ob. minimam materiae in. ipfo. contentam co» piam, momento citius, ad primum. laminae: contactum fluido electrico. replebatur, vnde ftatim. repulfi, ad. tabulam , füpra: quam: experimentum: inftituebatur,, re- . verti. debebat. — Di(tributa autem. in: hancce: materia: electrica, in. pulüeris. particula: abundante, haec. ftatum naturalem. mox. acquirebat;,, vnde. denuo; attraliebatut: ;, vsquedum. poft varios; puluifculi cuiusui$ itus; atque reditus, tanta; materiae ele&ricae ,, ad. inferiorem vitri fuperficiem: propulfi, ablata. effet copia, vt haec nom miüi proxime quantitatem. naturalem. contineret , quo» facto. omnia. phaenomena: ceffire. debueruat.. Praeterea, in; toto. boc. experimento: nihil eft, quod. non: iam: ane tea. fuffcienter- (it. explicatum;. | $; 14. Omnino: rurfüs; fimile: ef prioribus. experi- menronim: meorum: tertium:, vbi loco: laminae. vitreae;, regulam, ociclialceam ,. fulcris, vitreis. npe vfurs paui; Admouebam: huic: r) cylindram; vitreum ele&rificatum:,, veríüs. ex-- tremitatem, A, ad. diftantiam, ro; circiter. pollicum ;; Inaté.- ELECTRIC A4. 293 materia itique ele&rica verfus extremitatem DB propulía . ($. 4.) pofiiue ele&ricam hanc reddebat, — quapropter filum lineum attrahebatur. ^ Adhaerebat autem regulae hoc filum, vsquedum per i(tud , quae. in. extremitate B. abundabat , materia electrica ,,. eo: fe. gradu: diffipare ac diffluere poterat, vt ipíài non nifi fludi elecirici quantitatem. naturalem. vlterius. contineret ,, quo facto omnis ex: ele&ricitite actio. ceffabat,, et filum. in: fitum verticalem. reuertebatur. | Admoto: tum 2) vlterius. tubo ad diftantiam: v. c. 8' pollicum ,, creícente tum: repulfione,. (crefcere enim repulfionem;. vt et attractionem. electricam ,, cum. decrefcente. diftantia y, fatis conflat, quanquam: , fecundum: quam — diftantiae: fün&ionem: fiat hioc. incrementum , detectum:. nondum: fit) materia electrica denuo: verfus PD. propellebatur ;; ' wnde eadem , quae antea, phaenomena oriri! debebaot ,, quae: toties. repeti poterant, quoties, admoto: adhuc: propius tubo:, repulfionis. intenfitas denuo» augebatur.. Retra&o autem: iam -. $8) tubo per aliquot: pollices, quoniam in tots regula electrici fluidi copia infra naturalem. imminuta erit, ($ s) ac ob decrefcentem. tum: repulüonem ,, materia: ele&rica,, im regula. contenta , fe. expandendi li-- bertatem. nacta. erat ,, ex parte verfus A fe diftribuere: debebat; — Cum: igitur extremitas DB fic aliquid: quantis tatis. naturalis. amitteret ,, negatiue electrica. baec. facta, filam. attrahebat.. "Tam: diu autem: regulae: hoc: coliaes rebat, vsquedum per ipfum: adfluere tanta: materiae: ele&ricae copia in laminae. extremitatem: D: rurfüs: po-- terat , vt haec. flatum: naturalem nanciferetur ^ Hoc Qo. $ Yero» a4 EXPERIMENTA? vero ficto , vlterius nulla dabatur .ex ele&tricitate in filum actio. — Plane idem accidebat toties, "quoties tu- bus vlterius remouebatur, vnde, cur repeti potuerit exe perimentum , fatis patet. $. 15. In hoc experimento , fi loco tubi vitrei, ex fuülphure fufüm cylindrum adhibebam , euentus inde plane non mntabotur. Aft inde ad explicationis identita- tem concludi non poteft. Attritus enim cylinder ful. phureus , non, prouti vitreus, pofitiuam, fed negatiuam, adi- pifcitur. electricitatem. Oppofitum itaque hic habemus, prioris cafüm , rec experimenti huius explicatio, ex principiis hactenus vforpatis, fed ex iis, quae $. 7 et 8 expofita fünt, petenda eft. — Fit autem hoc tam fücile, vt nemini, qui hactenus propofita nota fibi red- diderit , negotium faceffere queat , vnde labore hoc me fuperfedere pofle exiftimo. $. 16. 1n experimento IV , vbi loco fili linet, particulam füberis, ex filo ferico fufpeníam , adhibebam, ea folum ex ratione euentus aliquantum diueríüs prodi- bat, quod pendulum ipfum electricitatem affumere , ac affumtam conferuare poterat , id qnod in filo lineo lo- cum non habebat. Poflquam itaque per repulfionem a tubo vitreo , regulae admoto , exercitam , extremitas B pofitiue electrica facta füerat, pendulum attrahere , flatim vero cum ipío electricitatem fuam communicare, hinc ipfum repellere debebat — Admoto tum tubo pro- pius , creícebat repulfionie intenfitas, atque fluidum cle- écucum tunc vi maiori verfus B vrgebatur, vnde ma- gis ibi condenfatum , maiori femper vi pendulum re- pellebat, EÉLECTRICA dns pellebat. — Retra&o: vero: aliquantum tubo, ac decrefcente tum repulfone, fluidum electricum libertatem, (e magis aequabiliter di(tribuendi, rurfus nancifcebatur , vnde cius den(tas circa D. aliquantum. decrefcebat ,. fimul vero in- tenfitatis vis, quacum pendulum repellebatur, minor fiebat. Renmioto autem: tubo ad diftantiam longiorern , fluidum. ele&ricum , plenariam tum' libertatem na&um , omnie no, aut quim proxime faltem aequabiliter, per totam regulam íe rurfus diftribuebat , vt fic extremitas B omnem fere eleQricitatem — pofitiram amitteret. — Interea. au- tem , quam femel acquifiuerat ,; pendulum electricitatem coníeruabat, vüde ab extremitate. DB. attrahebatur. Facta: aurem hac attractione , ac. materia electrica. abundante: ex. pendulo: in regulam difperfa ,, omnis ele&tricitas ceffa- bat. (f) Sr, wü.in experimento V.. feci,. cylinder: fidphu-- (/) Si anguli. folidi regulae iufto acutiorés' erant', non- ommino , vt^ antea iam indicaui, ele&ricitas- ceffibat; . fed poft vltimam | at-- tractionem- pendu'um "urfus repzll.batur. | Caufam agnofcit hoc phaenomenon. propricta:em cufpidum ,* de: qu'bus conftat, fi in: Corpore materia elc&teica- abundat, fponte cx. ipfi: fluidum cle- Gricum ,. non obftinte. aere. circumfluo , fe- diffipare, aut; fr defi- Cit,'per ipfas-intiare. Si-iraque anguli. folidi regulae acutiores etant,-aliquid materiae ele&b kae. circa D. abundantis per ipfos: diffuebat , vnde tu*c ,'rerracto- tubo ,-tota regala aon in ftatum naturalem 5 vi. debuiffet . reuertebatur ,: fed. negatiue — electrica fiebat. Hanc itaque negetiuam elc&ricitatém: cum ; penculo ^attra- &o communicabat , hi:cqu: iftud. r pellebat./— Vere. quoque in hoc cafu pendulum ; fupra allegata: ratione; cxaminatum j: poft- vlimam repulfionem ; a-cylindro fu phusco' repellebatur , indicio , omnino, vt dixi, negatiue ele&rium factum fuiffe Fucile- haec; EO ou peapdiq. Íunt 5. adplicantur: ad. fcquens - experimen- tum LI :6 |EXPERIMENTA fulphureus loco vitrei adbibetur , eadem quidem oriun- tur phaenomena , aít non eft eadem, ratio , rurfus ex 6. 7 et 8 perenda , vnde vero «uiuis vel primo intu- àtu patet. (g) 6. 17. Dum in experimento VI. regulae tubum a4dmouebam , conden(abatur quidem materia electrica weríus extremitatem B , aft contactus digiti anfam ipfi | praebe- (g) Obtulit fe mihi , dum f.ripto haec comprehendcbam, idea ro- "Tab. VIH. Ly ig. 10. vi cuiusdam huc pertinentis expcrimenti. — Supponatnr tubus vitreus eké&trificatus, non regulae, fed pepdulo appiopinquari , ac per fuperius expofita fatis patet, fi abc. fit globus ex filo 1ferico fufpenfus, propelli debere materiam ele&tricm in ipío con- temam a d verfns D, vnde pars eius regulae obnería 44e po- fitiue ele&rica euadet. — Attrahi itaque debet glo ulus a regulae extremitate B , quae «eodem hoc momento, ob repulfionem ; quam tubus ele&rificatus exercet, negatiue ele&rica fata cft Dum vero. globulus attra£tus regulam contingit , materia electrica, im parte abc accumulata, per regulam difpergitur. — Fit. itaque tum globulus negatiue ele&ricus 5 ac fortiter a tubo attrahitur, Inftituto. periculo, euentum theoriae omnino confentire obferuaui, modo debita cum cautione irftituantur «xperim:nta. — Neceffe enim eft, vt particula fuberis filo appenfa fit, quantum fieri poteft, fphaericae, aut fphaeroidicae figurae ,' nullosque habeat api- ces, aut angulos, per quos materia ele&rica dffure poffit. Praeterea in aere ficco. experimentum inftituendum eft, aer enim humidus fxile aliquam materiae ele&ricae , ex globulo propulfae , partem in fe recipit. Vtroque cafu pendulum fit negatiue cle- &ricum , quamuis regulam non contigerit, vnde ftatim a tubo attrahitur. Eft autem. tom. nunquam non attractio admodum de- bilis , et lenge inferior ea, quae fit, fi pendulum prius a tegula attradtom fit, — Si cylinder fu'phureus adhibearur loco vitrei idem eontingit , aft. contrasia de caufa, phaenomenon. M ELECTRIC JA. 599 praebebat , fe per digitum diftribuendi, vnde in hac extuemitate , non nifi circiter copia materiae electricae mdturalis fupererat. ( $. 5 ) Remoto itaque digito, in peodulum nulla dabatur actio. Aft remoto tum tubo, fluidoque ele&rico aequaliter per regulam nimc diflri- buto, negatiue electrica haec fiebat , ac hancce electri- citatem 'cum pendulo attracto , flaüm vero repulío , communicabat. Si tunc tubum cenuo magis magisque xegulie admouebam , materia electrica verius. D — magis magisque rurfum condeníabatur, vnde negstiua elcctrici« tàs extremitatis huius decreícebat, immo tandem in ele. éricitatem pofitiuam tranfibat, quare pendulum initio minus repellebatur , tandem ero attrahebarur, ac poft. uam eam, quam iam "habebat extremitas D, electrici- tatem pofitiuam nactum effet, denuo repellebitur. Re- tricto tandem tübo, ob continuo imminutam repulfio- nem , contrario ordine , extremitatis D electricitas pofi- tiüa imminuebatur , ac in negatiuam rurfus tranfibat , vnde omnino et penduli repulfio decrefcere , ac in at- *radionem tandem mutari , debebat, 6. 18. Si vero, poftquam facta erant, quae in ex- perimento dicto num. x. praecepi, cylinder fulphuseus, loco vitrei, regulae admouebatur, ob cylindrvm hunc negatiue electricum ,.— fluidum electricum continuo ma- gis a B verfus A attrahebatur, quo magis tn'um ad- ioucbam. Crefcebat itaque in extremitate DB electri- Citas negatiua , fimulque penduli repulfio , remoto au- fem tubo. decrefcebat. — Euentuum experimenti VIT. «aufam concipere jam quiuis facillime poterit ; vnde "Tor. V1I. Nou. Com, Pp peculig- ap | EXPERIMENT A peculiarem | eius. explicationem , ne taedium moueam: le&oribus, non addo. 6. 19. Vcritatem explicationis meae infigniter ccm-- probant, ac extri dubium omnino ponunt, experi- menta Vlil atque 1X. — Demonftrant. enim, vere: tunc: pendulum, aut pofitiue, aut negatiue, ele&ricumo fuiffe, cum fecundum. theoriam hactenus propo(itam;, aut: hanc, aut. illam: ele&tricitatem , nanciíci debuerat... Eftenim opti- Ins frodus ,. examen , .quamnanmeoppofitarum electricita- tuin. poffideat: pendulum; inftittendi, 1s,. quem hic adhibui, vt quoque iam (upra. $. 9. indicaui. . Vlterius circa experimenta ifta. nihil monendum habeo ; | quiuis. «nim lectorum — facillime | per fe comparationem inflituere euentuum , cum fupra traditis , ac, qui vbiuis íe manie. fellat , detegere confeníum poterit. $. 20. Quam maxime norinda: quoque: funt experi- poentr X, Xl, ac Xll, quae itidem. cum theoria — pes: nitus confpirant. — lam: diu: obferuatum eft , quemcun- que materiae: ele&ricae:,. ex: vno» corpore: in: aliud. fien- tem actualem tra fitum, modo: aliquali: fiat cum cele- rtate ac violentia, cumr luce: fémper:.,. fecundum cir- cumftantias , magis minusue. viuida, combinari. —Debe- mus autem |. F rancklino et alis. detecionem . legum ,, lecundum. quas | lucis. huius. apparentia , prouti materia electrica ex. cufpide metallica. vel. effluit, vel in illam influit, variatur. — Conftat nempe , fluidum . electricum, dum ex cuípide effülut, conum. luminofum , dum in. fluit mon talem conumr, fed fcintillulam folum .qua(i quandam , cufpidi infidentemr, fiftere. |. Suppofitis . his expeiimentum X, exactius contemplemur. $. 21. ELECTRIC A 299 6. 2r. Intrabat in boc experimento cufpis in fpa- tium aere vacuum , vnde nihil hic aderat , quod' libe- rum materiae ele&ricae ex cufpide effluxum , aut in ipfim influxum , impedire potuiffet. ^ Dum igitur ex- tremo fili metallici alteri, extra campanam prominen- ti, admouebatur tubus vitreus electrificatus , materia electrica, verfus cufpidem propulía , ibi non, vt alias, .condenfabatur , fed libere emanabat, feque in corpus proxinem non per fe ele&ricum, :difum nempe me- talicum , recipiebat. — Imminuebatur autem neceffario fic fluidi electrici, in filo «contenti, copia, vnde remoto rurfum tubo, fluidoque .electrico aequaliter ftatim .diftri- buto , filoque iam negatiue electrico facto ; ruríüs ma- teriam electricam ex difco metallico attrahebat. | Ob- temperare huic attractioni poterat fluidum -electricum ; ob aeris abíentiam , vnde in cufpidem ftatim influebat,, filumque in ftatum naturalem rurfus reducebat. | $. 22. Fieri autem mon poterat vterque tranfitus', fine fatis fenfibili luce , quae fecundum füpra monita ; -3dmoto tubo ; ad coni luminofi ; (5) remoto autem P P2 10] utüÉctkrs ri onse Nen SH ET S Eccli dace Lus ES RUE A 4h) Primo «qdidem intuitu, vix vlla inter hoc phaenomenon, ac confuetum conum luminofum , intercedere videtur fimilitudo. Loco. enim- huius- coni, confpiciuntur 3, 4 v:que ad 6, raro plures, luminis tractus, vacuum percurrentes ; quorum quiuis digiti fere habet craffitiem. — Aft :coincidere nihilominus vere hoc phaenomenon , cum f»epius :di&o cono , fequenti ratione covftare poteft. Admouestur primum tubus filo meta!lico , antequam aer rarefadus eft, et videbitur conus immutatus. Exbauriaur tum Sliqua , modica tamen aeris pars ; ac denuo admoto tubo vide- bitur; »p25.VTIT. Fig. 12. 500 EXPERIMENT A eo, ad fcintillulae fimilitudinem accedebat. —Euidegs iam quoque eft; cur cylinder fulphureus eadem , aít ordine inuerío, produxerit phaenomena, Fiebat enim, vt (a- cile cuiuis patet ; cufpis vacuum intrans, ordine inuer- ío, negatiue primum , deinde vero pofitiue ele&trica. Perünet huc quoque experimentum Xll. cum barome- tro lucente inftitutum , vbi , admoto tubo vitreo , ex tubuli barometrici interna füperficie in. vacuum propulfa materia ele&iica in mercurium fe recipiebat , remoto autem . ipío ; ruríis «€X mercurio in vitrum tranfibat. Idem hoc euenire debebat , fed ordine inuerío , dum cylindrum ex fíulphure fufum , loco vitrei ; barometro admouebam. $. 25. Nihil hactenus ad explicationem experiment fecundi ficiens attuli, fed ea propter hoc fa&um eft, quiz , praeter principia fupra expofita ,. alia quaedam adhuc praemittenda fünt, priusquam eius rationem red- dere queam. — Ponamus laminam vitream 45e4 atteri in faperficie 4b, ac cum inde fluidi ele&rici in hac fupe;ficie augeatur copia , repul&onem haec confüetam exercens , ac per vitrum. fe ftatim diftribuere non va- lens, materiam electricam in vitro contentam veifüs (d propellet ; ac, fi cedere illa nequeat , ipfam verfus. hanc bitur qu'dem ptürfus conus luminofüs, fed ex paucioribus £« ac crail'oribus falis confiftens, Pergeodo func porro in euacua« tione , contiruo' radiorum cx cufpide diuergentium ; conum lu- minofun - copflitü-niüm y numerus inminuitüur , ac craffiries cu'usuis radi aügerür, vsqnedum tandem in phaenomemon fe- pua deícriptüm degeneret, ELEZCTRICLI 4ox .hanc pattem conden(übit. ^ 'Fota itaque lamina in fla- tum, quem Fig. r2. exhibet, redigetur. —lntra a5 nempe et ef materia electrica conden(ata , inter ef et gb rarefadta ,. inter gb vero et cd rurfus conden- fata erit. ^ Quodfi iam fuperficies cg a corpore non electrico contingatur , materia electrica , repul(ione: coaca, in corpus hoc contingens tranfibit, vsque ad aequilibrii cum corpore contingente reftitutionem. |. Or- tum hinc trahet ftatus laminae, qnem: Fig. 13. ex- hibet, wbi inter «a^ et ef materia electrica conden- fata, iuter ef ac g b rarefaa , inter g b. vero ac eZ in ftatu circiter naturali conftituta eft. Idem hic ftatus fucceffiue inducitur laminae , fi ipfa puluerem leuiorems attrahat atque repellat. $.24. Si nunc lamina in füperficie 27 a corpore son ele&rico contingatur , pars fluidi, in. 222f conden- fai, in hoc corpüs contingens fé diftribuet , vnde, ob imminutam repulfionem , hinc materiamr electricam. in parte laminae efed magis aequabiliter diftributam ,, fuperficies c7, minimum im ea parte , vbi contingitur; negatiue ele&rica euadens, corpora leuiora ipfi viciua attrahere debet. 6. 25. Qui, quae hactenus propofui, pauío attentius confiderare voluerit, eximium theorie Francklnianae €um phaenomenis confenfum nom mirari mon poterit, Phaenomena, quae Bic protuli, tam paradoxa atque «omplicata primo: videntur intuitu, vt fperare fufhcien. tem ipforum explicationem vix liceat. INihilo minus Pp3 ex $004 EXPERIMENTA ELECTRIC A. ex duabus his proprietatibus materiae electricae , quod eius partes fe inter fe repellant, a reliqua vero. mate- ria corporea , in mundo reperiunda , attrahantur , tam clare deducuntur, wt de veritate explicationis dubitare non liceat. Eft hoc infigne veritatis priuilegium, quod quae inde per ratiocinia deducuntur, experientiae nun- quam non: confona inueniantur, quapropter, cum no* vum hic dederim fpecimen , accidere hoc, vt alias femper folet, 'Theoriae Freneklinianae ,in nouis quoque hic prolatis: phaenomenis , iure de veritate ipfus vltee rius dubitari non poffe, videtur. CILGULLERIMUEULD GLCEOEILLICUE EUNDI ELS) Succ Tnm CEU cue UE Domlce ceu eeceweecs meme Cr veces MEET) QCTLALLDELUEIO—-ey GSTIENARDUS C OERIOUEIeTn— C) QOCUELODNDMOCOUER CLLCLIIZL UAROISEM DE TEC OR UIT APIS Co ) nte fis OBSERVATIO OPTICA DE MVTABILITATE | DIAMETRI — APPARENTIS FORAMINIS ANGVSTI, OCVLO PROPINQVI. Auctore F. V. T. AEPINO. I. 9v nuper in inflituendo: experimento quodam oc- cupatus, obiectum quoddam , per foramen par- vum ,, in tenui lamina. plumbea. fa&um , cuius diameter decima lineae parte: vix: maior erat, oculo (inittro con- tcmplarer, obferuabam fortuito, foramen iftud , (i dextrum. oculam clauderem ,. maius, fi ipfum aperirem', minus, wider, fic vt. alternis. vicibus, oculo. dextro claufo at- Que aperto ,. alternis: etiam: vicibus. foraminis: diameter. Crefcere- atque. decrefcere- videretur. 2) TIofigne paradoxum videbatur, obiedi cuius-- dam diametrum apparentem augeri aut minui polle ,. quanquam vera ipfius diameter non folum , fed. et. dis- flantia ipfius ab oculo inuariata perfileret: — Vitériori itaque injuifiione dignum — videbatur phaenomenon , quapropter aliquoties tentamen repetens , ad omnes cire cumí(tantias diligentius attendebam.. — Obferuabam. tum non folum , -defcriptum .miodo: phaenomenon: femper: locum habere , fed et fimul annotabam: &) Canme i4 — OBSERYFUTIO d) campum vifionis, quem per foramen faepius di&um confpiciebam , vna cum apparente foraminis diametro minui atque augeri , prouti oculus dexter vel claudebatur, vel aperiebatur. B) Si oculum dextrum , mediantibus palpebris , clauderem , augebatur quidem tam foraminis, quam campi vifionis, diameter, quodfi vero tum manu oculum adhuc obtegebam , vlterius rurfum .diameter augebatur. Etiimfi quoque palpebram non deprimerem , fed manu folum oculum obtegerem , nihilominus augmentum. dia- metri infequebatur. *y) Exace quidem menfürare , quantum fit hoc diametri incrementum , aut. decrementum, difficile admo- dam expertus fum , reperi tamen , cum foramen dimi- dium circiter pollicem ab oculo remotum «erat, tabula vero, quam adípiciebam, tres circiter pedes ab oculo di- ftabat , fi diameter circuli , qui per foramen confpicie- batur, dum apertus erst oculus dexter, ponatur — I, &ffe tum diametrum circuli , qui confpicitur fi oculus dexter, mediante folum palpebrae deprcfhone, claudatur, majorem , quam 1i, fi vero manu praeterea oculus adhuc obtegatur; fieri tum diametrum — hanc norabili-- fer adhuc maiorem , ita vt fit fere —— 2. $3) Quo caufam phsenomeni fatis iam defícripti eruerem , operam dedi , vr, quanta effe debeat campi Jifionis per foramen rotundum, .oculo propinquum , diumneter, inueftiparem. — Suppofui itague in figura ade iecta, O.P TIC. 305 deca , rectam AG defignare oculi axin, BC .diame Tb, vr. trum pupillae , DF. diamctrum for.minis, IH. vero Fg. 16. denotare planum q31oddam , ad ax«m vifion's AG. per- pendiculare: — Facile iam patet, fi per puncta B et F ducatur recta DF , atque producatur vsque ad planum 1H , cui in H occurrit, puncta omnia, inter G et H fita, depingi debere in oculo, quae vero vlra H d.fta fünt ab axe vi(lionis , fui imaginem 3n Oculi fun- cum prolicere non polle. ^ Luminis enim radi, a punáo eiusmodi vltra H fiio. emanantes , ac per fora- men DF traníeuntes, omnes prope pupillam tranfeunt, negre ipfim inuant, a reliquis vero punctis inter G et H fitis exeuntes radii , minimum €X parte , a. pupilla excipiuntur. Erit itaque recta G H , campi apparentis in plano I H diameter dimidia. — Quodá iam ponatur AG-—e, AE-—A,AB-—«u, EF-—r, erit primum AD-J-EF: AE—AB: AN, hinc AN— 55 , ac GN—AG-ANCT*—**—' * Quoniam autem por- 10 AN: ABZ GN: GH, erit GH— 5—5*7—*, 4) Inuoluit formula heec quaptitatem. o, fine femidiam.trum pupillae , vnde patet . pendere diime- trum campi vifionis , atque for.minis apparentem , €x pupillae apertara.— Quoniam autem. quantitas haec o, fola e(l, earum quae formulam ingrediuntur , in quam, quod in experimento füpra defcripto mutctur, fofpicio cadere poteft , certi efie poffumus, totum phaenome- non, non nifi a pupillae mutabilitate, pendere. — Facile VerO patet , generatim aucta pupillie apertura ; aug ri Tom Vll. Nou. Com. Q q fimul 306 OBSIEPA,9—0 fimul GH. Quodü enim ponatur tranfire & in o -1- e, fubftitnto hoc valore loco &, eudet GH in ette . Je q— b vnde erit augmentum , quo creícit GH-* D iue quie quantitas, cum ob 5-34 ft femper pofuiur, au&o a, augeri fimul GH. luculenter patet. 5) Concludendum eft ex his, fi oculus dexter ,. aut palpebrarum ope claudatur, aut manu, vel corpore alio opaco obtegatur, in finitro tum oculo pupillae aperturam iufigaiter augcri. ^ Cum vero hoc fit res, quie an ita fé habeat, immediata experientia inmote- fcere poteft, ante fpeculum tentamen inítitai, atque obferuaui , omnino verum effe, quod modo prolatae me docuerunt argumentatione. Dum enim oculum- dextrum clauderem , admodum notabiliter dilatari in (i- nitro pupillie aperturam , aperto vero rurfus ipío, contrahi eam, percipere difüncte potui. 6) Noti(ümum alias eft , pupillam quantitati la- minis in oculum incidentis, proportionaliter minui at- que augeri, ita , vt aucto lumine contrahatur , immi- nuto augeatur; aít apud omnes, qur mili innotuere , fcriptores opticos, propofitionem hanc de eo folum oculo enunciatam , faltem intelle&am , reperio , in quem lumen immediate incidit, nuilibi autenr, nexus cius, quem inter vtrumque oculum detexi, mentionem in- ie&am video, vnde obíeruationem hanc meam nouam haberi poffe iudico. 7) Anato- QUO TABOLA |O 367 X) Anitomicis atque Phyfiologis , vnde oriatur confenfus is, oculi vtriusque , vt mutatio in vno con- tiagens, alterum quoque afficiat oculum , inuefligandum relinquo. Singularis autem , quae hinc elucet, naturae rerum, feu. fapiendfümi potius auctoris ipfius , prouiden- tiae, mentio adhuc iniicienda videtur. Qui fano gaudent viroque oculo , tentamine inftituto obíeruabunt , fe vno oculo obiecta extra (e pofita , non minori claritate con fpicere , quam. fi vtrumquz adhibeant, faltem de | me- met ipfo, hoc affirmare poffum. —Q'acrenda eff rei huius ratio fine dubio in ea, quam expoí , oculorum proprietate. — Quodfi enim pupilla ocui alterius non immutata perftaret , claufo altero, dimidia folum quafi claritate confpici tum poffent obicca. ^ Quo minus autem hoc fieret , quod faepius moleftum foret, talem dedit natura oculis mechanismum , vt claufo oculorum altero , alterius ftatim pupila tantum aperiatur, quo duplam minimum luminis quantitatem. oculus rccrpere , atque fenfatio eandem coníeruare queat, quam habue. rat claritatem, 8) Supereft, vt vnius adhuc, quod fupra anno- taui , phaenomeni rationem reddam. — Si, poítquam oculus dexter palpebrarum--ope. claufus.e(t, manu obte- gitur, pupiile apertura in oculo finiftto magis adhuc increfcit. Ortum hoc trahere inde iudico, quod pal- pebrae oculo obcuctae, non fint penitus opacae , fed, vt quaedam adhuc luminis fiat in oculum impre(fio , permittant. Si igitur manus oculo opponatur, exclufo Qq2 etiam - g0$ OBSER/ATIO OPTIC 4. etiam hoc lumine , dextri oculi pupilla, et per con- fenfum quoque finiftri, magis adhuc augebitur — Effe vcro palpebras non penitus opacas , fücili experimento conflare poteft. Si enim palpebrae oculis obducaptur , ac hi tum lucenti. obuertantur- foli ,. tantam transmittere ipfas luminis quantitatem , quaé moleftam creare poteft fenfationem experimur. Patet idem quoque exinde, quod, fi oculi claufis palpebris obuertantur candelae ,. tum vero manus oculis opponatur , denfiores quafi ociri. tenebras obferuemus. ume Y) VORAERSUBEIIEUGS Uem) LUI Uc UeeL. UPSDILG MR DXCr óc c TzMSE EU RETA Va UNO RENI, ACVS "34 (0) ise 809 ACVS NOVAE DECLINATORIAE DESCRIPTIO AVCTORE IO. ERN. ZEIHERO. Quum pridem do&tiffimus ac amiciffimus Collega , Dn. Aepinus, acum magneticam 5 pollices vix longam , eademque forma , quam Fig. t. repraefentat , Tsb. 01e elaboratam ,. me. praefente ,. limaturae ope examinaret , polos i(tà QUdtBOR. centraque tria magnetica oftendebat. (vid. fig. 2.) Acus haec perticarum.— magneticarum ' 9 Ope de nouo fricabatur, et ita quidem , vt poli per- verterentur, priores confequenter euaneícerent , acus- que nouos , et tantammodo: duos, quorum centrum in medio acus effet ,, acquireret. — Obtinebat quidem no- vos, prioribus contrarios ,. fed iterum quatuor polos. Experimento hoc plus decies reiterato , acus nouos quidem , prioribus contrarios , aft quatuor femper polos obtinebat. Caufa huius phaenomeni non alia effe poterat , quim quod hoc modo elaborata acus re vera duo chalybis fru(la , tenuis annuli ope inter fe coniuncta, repraefentet. QQuodfi autem duss perticas chalybeas ope fraftuli chalybis , feu ferri, refpectu totius perticarum maffae parui, inter fe iungamus, pari modo quatuor acquirunt polos: quum € contrario , immediate fe inter fe contingentes , quaelibet vnicum modo habeat polum, ambaeque fimul Dune vnicam modo repraefentant perticam. —— In acu Q43 modo IX, 25 i 419 ACVS NOVAE modo defcripta difcrimen nter criffitiem ambarum ex: tremitatum , et annuli capitulum gerentis ,, amboque fruta iungeutis , valde erat magnum: nam crura acus capitulum verfis, tam fecundum Jatitudinem , quim cras- fiiem , valde diminuebartur, acusque capitulem — adeo excauitüum erat, vt annulus reli&us cra(ftie fua cras- fitiem papyri vix fuperaret. Hinc apparet, quanti mo« menti fit, ne acus medium, cui capitulum | affigitur , nimis tenue elaboretur, E Experientiae iam enarratae anfam mihi praebue- funt, acum inueniendi, ab omnibus iis defectibus li- beram. —— Experimenta circa magnetismum — in(tituta docent, virgam chalybeam , quadrilateram , multo ma- gis latam, quam ctraffam , per totam longitudinem crafhtie aequabili , nullo loco interruptam , forti(fime induratam (germ. (QGasfart) , prae omnibus reliquis ad accipiendum fummum magnetismum , eundemque con- feruandum , effe aptiffimam. — Si eiusmodi virga, pertica- rum magneticarum auxilio, fecundum. regulas requifitas affricetur , nunquam plures praeter duos polos, nun- quam puncta confequentia fic dicta accipiet , licet lon» gitudine acus vulgires multum fuperet ; immo femper eft ia poteflate noftra, centrum eorum ita locare, vt lineam virgae medium tranfeuptem in duas aeqmales dinidat partes. Acus itaque ,et qualitate et forma ad virgam iam memoratam accedens, omnibus alis huc vsque cognitis , longe praeferenda crit. Nunc DbECLINATO^IAE DESCRIPTIO. — a3 Nunc fíüpereft ; vt dicamus , qüomodo acus debeat füípendi ,; ne eam in medio exícindi fit opus. X Ad id vero obtnendum , fequentem in mo- dum peragere oportet. Fig. 3. repraefentat acum nouam, Tb, TX, prismaticam quadrangularem ., latitudine craffitiem fuam Fig. 3. quater feu quinquies circiter fuperantem. ^ Extremitates fint acuminatae, vt gradus poffint indicare, vel et tota acus parallelepipedi formam retinere poteft , fi cui animus eft Ionio eam inítruere , quod perinde erit. Fig. 4 et 5. fant anie orichalceae, e quibus vna vel alte- rà ad füfpendendam acum eligatur. — Fruftalum bibrachiale AD Fig. 4. duabus mediantibus cochleis tenui(fimis , Fig. 4- cra(hitie vix fextam latitudinis acus partem attingentibus , ad acus medium affigatur, — Paruula ifta duo foramina ; quibus cochleae rz, 2, inferuntur perticae magueticae , nulum omnino detrimentum afferre poffunt. — Si quis vero hoc pertimefceret , aafim Fig. 5. praeferre. poffet. Frufium hoc theca CD eft inflrac&tum , cui inferitur acus, et cochlea E mediante firmatur. F, f, eft cochlea chalybea acumine indurato , cuius ope acus füfpen- ditur. — Acum inter atque anm trabecula traiicitur , Fig; 5. achitae , aliusue filicis fraftuio excauato in(tru&um , cui cochleae acumen imponitur, acusque fupra illud mouetur. X Ope cochleae F punctum fufpenünis plus minusue a centro grauitatis pro necefftite remouetur , vt acus plus minusue ad latera ofcillare quest. Fig 6, acum Fig. 6. vna cum fuo apparatu repraefentat, quam Illaftri Conuentui Academico nunc elaboratam fito. ^ Acus haec, cuius longitudo 7; poll. latitudo 4 lin. craíüties x lin. pe- dis 41». ACIS NOVAE DECLIYVAT. DESCR, dis anglici cft, fictione perticarum mazneticarum exi- mii poilet vi, polo:que non nifi duos rece pofitos, centroque magnetico in acus medium rite cadente, ob. T:b IX. tinet. - Fig. 7. repraef ntat limaturae ferri in chirra acui t* 7* impo(ta difperhe aiftiibunonem , € qua fius polorum et numerus apparet. Reiteratae obferuitiones cum. acu. hxcce irfti- turndae , praercgatüuaüm eiu» prae ieliquis acubus huc V»suus vfitatis o[teadent. Df ——— — Dee E mmm PHYSICA PHYSICA. Tom.VII. Nou. Com. Rr NITRA- | Me idi "heil. A eoi vipera ens da peu bes. ui s Tuch Pes: rona AES vgute nn x t4. "MPH! "TÉ Uta t T D 1 - ' d C (T. NA i b pur dm a d Uh an aeris ] .yaus Altes cH uds cum cte » tnde à wipe D NITRARIA PLANTA OBSCVRA EXPLICATA à CAROLO LINNAEO. ,.4 Iz vulgo nota wegetabia in hune vsque diem Tab X. vix alia .obfcurior NITRARIA , Imperii Rutbenici | plana, quam hic explicare conftitui. SYNONYMA. INITRARIA Schoberi. (Cafia firactu nigro mean. Rutben. 178 $. 956. Dà Hamel. Arb. 131. (OOfyris foliis obtufis. Hort. Vf. 29s. Gmelin Sibir. s. $. 237. 7. 98, HISTORIA. AMMANVS in Sfirpibus rarioribus Rutbenicis, "huius, quantum noui, mentionem fecit primus, cum defcriptione a Gmelino miífa, fed absque flore. Ego ante «duodecim iam annos, «e miífis, per amicos Rutheni BDotanicos feminibus , plantam obtinui laete virentem , fed exípectata diu efflorefcentia.,, genus prodere adhuc nefciam , «dum 1748. hortum :ederem Vpfalienfem , fide acquiefcens Ammaniana , ad Cafiam "Tourmnefort , quae. mihi Ofyris dicitur, eam ablegaui. Rx 2 | 76 NITRARIA PLANTA In Speciebus Plantarum non aufus fümy plantam, nondum vifis floribus, genuinam Ofyridis fpeciem con« ftituere , quam. verbo tantum tetigi p. 1022. GMELINVS in F/ora Sibirica proponit defcriptio» nes Srelleri , Seboberi , Lercbii deftitutas. floribus, quos anxie per omnes amicos e loco natali quaefiuit ; de genere Otyridis haefitabat , cum obferuaret ,. fructum non: vmbili- catum fuiffe vertice triangulo, Ofyridi proprio. Du HAMEL in Traité des Arbres 1755. edito; nomina tantum Ammani et Gmelini habet , praeterea nihil | Ne vero diutius, et vltrz decennium , fterilemr hunc Hortus Vpfalienfis aleret hofpitem , operam -omnem in id conferebam ,. vt detracta larua flos pro- zumperet. . Collocaui itaque diftindas huius fpeciei plantas in diuerfo folo: alias in Caldario, in Tepi- dario , in Frigidario , fub dio aprico, (ub vmbrofo alias , nec quidquam hifce omnibus aliud profeci , quam quod intelligerenr , plantam et ferre clima Indi- cum Caldarii , et gelidum | noftrum fub dio, at vero minus vmbrofum armoare. Altero anno alias in gleba pofu humofa, alias im arenoía, alias in argillacea, inque fabulo calcareo alias; quas omnes placide ferebat iniurias etiammum: fterilis, fed arenofo prae reliquis dele&abatur, humidum Mhumofíüm in primis refpuens. "Tertio demum . anno cum obferuarem folia fucculenta et fübíalà , nec non flaturam fimilem maritimis plan- tis et falinis, fübolféci; eandem defiderare folum falfum : his accedebat , quod Seboberus dixerat, plantam Nitra- ram 3 locis vligiaofis , nitrofis vulgo falino-mutiaticis, et ÓBSCVRA EXPLIC AT A. 517 é& Sftellerus notauerat, eandemo ccutrere ad locum falfum. Phantae itaque füb dio" nafcentis radicibus primo vere anni praecedentis adiiciebam lib am dimidiam falis muriatici f. Culinaris, aliis plantis adeo lethiferi, flocci pendens ,, vtrum: vn3 ancipiti periret experimento, vel non, cum facile. plures. depactis taleolis. recüperarem : at euentus ita ex voto fucceflit, vt infequente' auno' 1758. pri- mum proferret anxie quaeficos et. pro" determinatione generis fyflematici defideratos Flores, quos hic, vna cum totius Plantae defcriptione noua, cum Botanico Orbe communicare operae pretium duco, ne planta. haec barbaras inter et obfcuras feponatur.. DESCRIPTIO: RADIX lignofa ,. fibrofa , patula. CAVLIS: fruticofus,, fesqui - feu: bipedalis:,. diffu(us,. pro? firatus , ramofi(fimus ,. rimofüs , cinereus Rami alerni, fübadfcendentes , ramofi ,, lonz gitudine caulis, fübincani ,. ad folia promi nentes dentibus obtufis, truncatis. ^ Praeteri- torum annorum ramuli faepe terminati apice arido, qui fpinam fragilem mentitur. FOLIA ramez, alterna , erecto patula , — feffilia: ,- | faepius bina diflindla im quouis dente ramuli raro 5,4[.5 fed floralià et fuperiora itr fertiliori [olo verna: funt , famen: fanplicia: y. vt in plerisque alüs plantis. $15 NITRARIA PLANT A4. Z"oliola fetilia ,lanceolato - linearia , fübcarno(a , inte- gerrima , obtufo acuta , auenia , planiuscula , pollicaria , annua, fuperius a íc inuicem ma- gis diuergentia. | jSStipulae duae , minimae , acutae, inflexae , obfcu- . rae dentibus ramulorum infertae. PEDVNCVLI faepius duo , folit:rii ( atero terminali ad afin vltimi foli exorto; altero ex «la foli pe- Multimi) adícendentes , teretes , aphylli, ebra- &eati, laeues, virides, foliis .duplo longiores, bifidi : ramulo Altero bifido, altero trifido ; fübracemofi. IFlores fubfe(liles , e latere füperiore ramulorum pe. dunculi , alterni, íaepius quinque, vel fex, CALYX. Perianthium monophyllum , fudcarnofum ,. fe- miquinquefidum ; erectum, minimum , acutum , piride , perfiftens. XCOROLLA. Petala quinque , lineari - lanceolata , cana- liculata , apice fornicata inflexoque hamata , &- cüminata , &/»z , calyce triple longiora. STAMINA. Filamenta quindecim , enuius fubulata, .erectiufcula, 42/52, longitudine petalorum. z4uze- rae Íubouatae , luteae. TISTILLVM. Germen conicem , fuperum , definens in filum , :breuiffimum , a germine mon difünclum, Jlaminibus dimidio breuis. ^ Stigma coricum , fcabrum. PERICARPIVM. Tyrupa ouato - oblonga , monofperma, SEMEN. Nau euata , acuta , trilocularis, | CON- OBSCVRA EXPLICATA. | 3:9 CONCLVSIO. CHARACTER GENERICVS i$ défciptione fructificationis habetur, exclufis: tantum. vocabulis ,, li seris; minoribus. fcriptis. GENVS difün&iffimum- eft, nec cünr vllo, in hunc vsque diem: cognito, facile confündendumi. —S/z- minz enim. conftntes quindecim: fünt,. quod fingulare admodum, et, quantum ício, Pegano tantum commune;. quod a Nitraria toto: coelo: recedit fructu: capfülari.,. triloculari, polyfpermo: —Pefa/z. etiam Nitrariae apice .hamofà rariffime in. aliis oecurmunt generibus, vt alia. taceam. Nullam. ideoque affinitatem liabet cum Ofride ;. nec flores fexu. diftincti funt, vt Gmezio: videbantur apud? JAmmanum ; neque cum E/zeggno quidquam. commune: babet Nitraria,. vt. Sze/lerus putauerat.. SPECIES fingularis admodum e(t, quod. Foli& fint neqne fingularia, meque compofita, ícd femper 3 ad 5 eidem denti f. bafi. innixa ,. tamen feparata: ,. quod extra Pini. genus. in' Plantis rariffinaum: CLASSES. etr ORDINES. Auctorum mnuüc' fiie le. intrat. RAIE XXX. Arb. Fructu rion viibilicato.- z. Prue mifera. | : HERMANNI XXIV. Aib. fr. non vmbilicato;; &. Prunifera: monopyrena RIVINI. V. Pentapetala regularis; 8. Bacca. TOVRNEFORTII. XXI. Arbor Kofacea; s Pill. in Daccanr. ; | | DOSES ) ROYENI 320 NITRÁR. PLANTA OBSCVR. EXPL. ROYENI. XVII. Diplofanthera. 3. Staméda erecta. LINNAELI XI. Dodecandra. 1. monogyna. Locus: circa lamifebam locum falíum. | Gmelin. In Urunfcinenfi deferto ad locum falfum. Sze/ler. Ad Wolgam fluuum. Secbober. Prope Aftracaniam. Lercbe. Solum expoícit arenofum , humo mixtum , duriufue lum , apricum , falfum. Floruit luli 8 , fub iniüio Menfis groffficationis cum Orobo Sibirico , Crepi Sibirica. Petala ante explicationem | inuoluta , nec incumbentia funt. Gemmae imbricato - verrucofae , obícurae. FIGVRA. Guelinus in Flora Sibirica 2. Tab. 98. wnicam huis reliquit figuram , fed adeo mancam , vt certus fim , quod nullus fructum ab ea dignofcat, cum neque habitum fiftat, neque folia diftinguat , operi itaque pretium duxi , aliam addere. Nofira fitit ramulum decumbentem cum ramulis adfceg- dentibus in magnitudine naturali , vbi pleraeque partes in confpectum prodeunt. POLY- (00 AB X o CA 22: POL YPI MARINI, RVSSIS. KARAKATIZA , RECENTIORTBVS GRAECIS O'x«vzz7s5$ DICTI DESCRIPTIO. Auctore IO;EPHO THEOPHILO KOELREVTER. ÁK-—Cum animalium mariaorum hiftoria ; qualem nunc habemus, omnium maxime manca, et multitudo eorum atque diuerfitas tanta fit, quanta terreftrium. vix effe poteft ; naturae fcrutatores hanc fcientiae naturalis partem vlterius et accuratius perficiendi , omnem fuam vt impendant operam , neceffe eít. Exiguus valde eorum eft numerus, quorum in- ternam perípe&um habemus ftruCuram , paucorum ex- terna rite eit deícripta facies, et quamplurimorum huc vsque defideramus notitiam. ^ Multorum quidem exftare defcriptiones, fatendum, et f(üum cuique Auctori tribuere fis €eít; verum hae ipfae quoid maximam partem tam breues funt , tamque fuperficiarie confectae , vt in di- veríum potius trabant , quam certiores reddant, lectores. Perüciamus igitur ab alus negleGa , et, quae reftant, incognita , omni cura defcribamus, Sedula aquatilium difquifirio eo plus dele&amen- ti et vtiliatis nobis affcret , quo maior haec inter et terreftria obtiaet diflimilitudo. Tom. VII. Nou. Com. Ss Si às. POLTPI MARINI Si- quis. fummam. formde- ac ftru&urde , inter- vtrumque animantium. genus, diuerfitatem. in dubium vocare, vellet , is. certe, vel fola- proprietatum. aquae et aeris: confideratione ,. vel ex. ipfa, animalium: infpectione, huius. afferti veritatis. conuinceretur. . Natura. quidem: in; procreandis. animalibus ,, fi de generalioribus- fermo. eft, easdem: femper: fequitut. leges, certosque. fibi. conftituit. fines, verum. eos. mille. modis variaque fub. forma: exfequi; valet, omnibus. largiendo vitam , fenfüm , incrementum: ; ac generandi. facultatem. Hac. perfectione. fiuitur; Elephas- aeque. ac: Balaena, eiusdec"que. Acarus. non. minus. particeps. factus efl, quam. Monoculus.. Aft!: quanta. inter eos tam externarum quam: internarum; partium. diuerfitas.?? Quantum — vidus , incrementi-,. propagationis- ac; vitae. termini difcrimen ; fi mágna cum, paruis. comparamus: animalia ? : Vt inueniamus. omnium. harum diuerfitatum ratio nemr,, et. firu&uran. corporum: potiffimum perícrutari , et: ad. id: refpicere; deberauss, . quod: cuiusiibet. ftructurae; necefhitatem.. poftulabat:;,| Quo. diuerfior: eft; vnius.fiructu- , 13; à. ftru&tura. alterius ,, eo maior; quoque. formae. et: morum: erit diuerfitas , et, quo. minus. difcrepat ,. €o- maiorem: horum, deprehendemus. fimilitudinem.. Haec: autem; nec; in« vnica-- corporis: parte; neque. in. fingulari. quodam: more. quaerenda: eft; | fed. ex: toto. potius. computanda ; - quod ;. fi: negligimus.,. fücata- fimili-. tudine: decepti ,. facillime. in. errores. inducimur-,, cont- mifcendo- corpora. plane: diuerfa ,; e. quibus. dein. innu- maeri. oriuntur. paralogismi ,, qui ab. omni. tempore fcientiae NDA ed x: DE S DOS T,BET 129, 13723 'feientiae naturalis incrementi. fumma fuere impedimenta. E contrario ícientiae huius peritus , corporum natura- -dum :difpofiioni (fecuüüdum veras ipforum affinitates. *"conciunaudae ítudens , haud facile -hallucinabitur ; probe ?gnarus, -feriern hanc ^concáarenitam., 'faluo reru in. ordi- jme ;maturali., haud :diffolai, nejae idtegrum Syftema "componi poffe, :priusjuam omaia huius feriei membra Jabentur coguita. — -lürerim "cexum 'e(t, "Syltema, "veris fundatum adiiitatibus, fije "eiusmodi perta de "qua n "dixi -, fit 1maginiria , "fius "reuera talis "exiftat., "omuibus "numeris fore "abfolutuir ; 'id "vero fiae b ed "Omaium "corporum 'Coguitione ' dif iquam 'con- ftrui poffe, quis non videt? Licet animalia terre(tria 'cüum aquaticis comparata, immo et fingula inter fe «collata , *magnum nobis exhibeant difcrimen , in qui- busdam tamen ipfis eit conuenicntia, eaque 'eo maior *quo proprior 'eorum affinitas. *Coufideritionum, ^quas modo inftitui, materiai *raebuüit fpecies quaedam animalium marinorum , ab MHiftwiie naturalis fcriptoribus Polypi 'nomine infigaità , 'uius nuac longe wberiorem , quam dederant nobis Ve- teres aeque ac Recentiores, "externarum partium de- fcriptionem beneuolo le&ori tradam, praiemi(furus antea Tuius animantium generis, aliorumque quorundam , illis affinitate. proximorum , confpectum. Quae generico nomine Mollafca', vel Mollia , ol'in wocauit animalia Ariftoteles ,. ia fpecie. funt ^ Polypus; Lolgo, Sepia et Lepus marinus. — Hife alia, ego Quidem vt arbitror, Omni iure annumerar poffint $s AA anuna- $24. POLTPI MARINI animalia, haud incongrue Zoophyta di&a, fc. Polfy- pus aquarum dalcium , Lernea Linn Vrtica et Pulmones marini, quibus Caput Medufae , Holothurium., Mentu- lm marinam adiungere haud longinqua füadet affinitas, Omnia haecce animalia, quod ad íotmsm externam attinet , in eo inter fe fimilia funt, «qaod corpus ha- beant vel oblongum , vel fübsotundum , ac perpeudicula- riter compreffum , cuius extremitatis anterioris margini circumponuntur fentacuía certralia, in quorum medio os tanquam in centro pofitum eft. Tentacula ifta, quae ab aliis ctíam pedes, vel brachia , dicuntur, non folum ad praedam capiendam , eandemque ori admouendam , verum etiam ad natan- dum et ad ambulandum vtilia effe, iisdemque veluti ancoris inniti, íeque contra aeítus marinos nauigii modo ftabilire (4) animalia, ratione et experientia confirmatam eft. Numerum «eorum in diuerüs animalibus valde interdum "differre , ex fequeatibus ficile colligitur ; Se- pis nimirum et Loligo decem , Polypus marinus octo; Lepus marinus Bell. feptem, Polypus aquarum dulcium fex , Lernea. Linn. quatuor, Vr-icae quatuor, velocto, vel plurima , quorum numerum vero ab Auctoribus indefinitum accepimus ; Pulmones marini et Holothuria odo , et fortaflis etiam plura, Caput Medufae , quod Stella arboreícers Rondeletio dicitar, quinque , per plu- rimas bifürcationes ramoía habent , ramis octoginta mitli- ()) Auf. de. part. Anim, J——Á DESCRIPTIO. 325 milliam (4) numerum füperantibus ; Mentulae marinae tentacula indefinita funt, ipforum vero acetabulorum numerum quatuor excedere millia, DBellonius teftatur. Iis , quae illuftrationis caufa habui dicenda , ex- pofitis , tranfeo ad ipfam -Polypi deícriptionem : Poly- pus, ab infimae aetatis Graecis O^xvámus , Anglis the Pourcontrel, vel Sea Polype , Gallis Poupe , dictus , ab Loligine et Sepia , quibuscum alias prie ceteris maxi- mam habet fimilitudinem , primo ftatim intuitu — facil- lime diftingui poteft, fi ad ífequentes attendimus chara &cres : Primo optimam diflincionis notam prae fe fe- ,, |. «4 runt tentacula, fiue pedes * , iu Polypo octoni, forma "Fig. 1. A inter fe fimiles , eiusdemque fere longitudinis , et. ratio- ne abdominis * fat longi ; vtpote eodem triplo circi- * Fig. 1. ter longiores; in Loligine vero et Sepia decem depre- henduntur pedes, quorum octo, proprie fic dicti, for- ma quidem inter íe fimiles ; eiusdemque fere longitu- dinis , abdomine vix duplo longiores funt , reliqui duo autem , a quibusdam improprie promuftides dicti, for- ma non tantum a ceteris pedibus differunt , verum etiam eosdem longitudine multum fuperant. Sic quoque cum Polyporum acetabulis comparatum eít, quorum duo tan: tum ordines 10 fingulo pede, ipíaque acetabula vtro- rumque ordinum fitu inter fe alterna et íe(flia confpí- ciuntur *, cum ín Loligine et Sepia minus ordinate di-* Fig. 3. fpofita, numeroque plura, peduaculaa , magisque con. ^ ** ^ füpata fint. S33 Secundo (s) "Tranfa&. Philof. No. LV. D m POLTPI MARINI Secundo Polypus', refpe&tu abdominis facile «que- que dignoicitur, quod ouatum «t ccnuexüm magis, bre- vius, tactuque per omnem ipfius ambitum molle eft, pinnisque lateralibus .deftitutum ; idem vcro oblongum magis et planum., :ac :prona fua parte, in .Lolgine quidem , :ob ;fübftratum ;cuti gladium :carti agineum , «et in ;Sepia , :ob -interpofitum os , .digiti imprefliont. efi ftit; praeterquam. , quod:ipfius margo , vel. ex toro, el.ex-parte , ala, .a produc .cute orta, :auctus, et quafi pinna , inftru&tus videatur. Caeterum ,-ad di- ftinguendum .Polypum .a reliquis: huius :generis :multipe. dibus , fequens fufficiet nomen fpecificum : - POLYEPES pedibus -oclo , fimilibus , intermediis «qua. «tuor ,eraffiovibus: «qeetabutorum.alternantium ordine duplici ánflruttis. "Priusquam.de MAGNITVDINE horum animalium mentio iniciatur , -praemorendum. habeo , "feptem eorundem indiuidua difquirendi occafionem | mihi "fuifle, quorum quinque ii aere leuiter ficcata , omnibusque , prae: ter pulmones , cor, vafique maiora fíanguinea , vifceribus erant fpoliata; quem in finem .fecione longitudinali alueum iis incidunt pifcatores, vt ,.a putredine .defenfa., jeiunii tem pore , ;gratum - praebeant alimentum 5 reliqua duo veio integra in (ípiritu -vin: füere :afferuata. .,Ad reddendam .ilis priftinam , quam -explica- tione amifcrant , mollitiem, flexilititem et extenfionem, ea per octiduum .aqua frigida .detinui fübmería, id guod etiam ficile ;füccefft ; «quod vero lopgitudimem et .crafhüem naturalem in -totum iterum recuperaue- xint, .contendere non aufim; id «enim «eundem -exfic- cationis k ! E T DESCRIPTIO. T cationis- gradum', et: aequabilem, tam totius, quam partium ,. contractionem- füpponit ,. quae varii effe po- tuit ; exiguum. tamen; fi:quod.erat, interfuiffe difcri- men ;. ex folo: adfpectü: facile: erat: iudicatu: Quod. ad . dimenfionem , . et: comparationem , inde inflitutam , attinet. cautus- füi, ne. vnum. v. g. pedem plus ,. quam alterum, . extenderem ,. ità,. vt propor- tioni ,. quam: conítituam ,. fides hzheri poffit ;. eorum . Yero, . in:fpiritu:vini: afferuatorum ;. quae- aquae: haud im- mifi, longitudo, et: cra(hities ,. paulo: maior;. quam a me: quidem : indicabiturz.; , ceníenda- etit';. quoniam abeffe haud. poteft ,. quin: omnes: fibrae", in: ifto: liquore con- tracdae ,, partes;,, quae: iis. compouuntur ,. breuiores fitlant- — Caeterum: magnitudinis: difcrimen ,. et aetas, feptem: horum: indiuiduorum: ex: aliz* quadam: circum. - ftàntia , de. qua- poftea* loquar ;..aeftimari. poterunt; Longitudo: pedis- longioris: Polypi.,. inter: iftos feptenos- maximi ,. poft-füfficientem- in: aqua- emollitio- nem; erat (2) 1,6", et:a-bafi pedum ad. extremum. vs- Tj x], que:corpus- 6^; 8"^. Longitudo pedis- longioris Polypi-* *Fig. :. oraniumeminimi, ex:fpiritu:vinr exemti, 57^ 3/^'aequa- €t 2. bat. et- a: bafi pedum: ad.' extremum. vsque: corporis: e^ s"'' Reliqui: quinque Polypi;,.. partim: mediae ,. inter- hos, magnitudinis, partim» maximo: ifto: haud multo: erant infériores: — Polypos faepe: inuenirt ,. quo- rum. pedes. bina füperant cubita ;. Ariftoteles fcribit, et, - jm: exterioribus. Carteiae locis ,' talenti pondere dari; Sirabo- refert . quod. fidem. haud fuperare videtur. SVE- (à) ^ ped; "^ poll, "^ Linz figniféat;. (Tab. XI. *Fig. 1. c. dá POLTPI MARINI js SVBSTANTIA corporis potiffimum mufculofa , . hinc mollis tactu ; durior tamen ; quam aliorum ani- mantium caro. Cutis, carni füperinducta , omnino laeuis, nec pili, neque fquamis ornata. Nullum quo- que in toto coipore verum os delitefcit , hinc Arifto- teles, naturam haec auimalia, ob eandem rationem Mollufca ab eo dicta , inter carnem et neruum ; me- diam obtinere, dixit. Caput *, et oris bulbus (fi hunc ita vocare licet ) ratione reliqui corporis ; digiti impreffioni omnium maxime refi(lunt, illud , ob foraicem cranii car- tilagineum , hic vero , ob tunicas cairtilagineas et corneas laminas, quibus componitur. Pedes tantam quidem, ac caput et oris bulbus, duriticm non habent, lovge ta- men firmioris funt füb(tantiae , quam collum et abdomen. COLOR in prona corporis parte , fc. in dorfo, capite et pedum facie ; acetabulis aduería, ex purpu- reo nigricans , faturatus ,' abdominis latera veríus dilu- tus , luxta acetabula , feu ad latera pedum profundior in tota vero fupina parte pallidiffimus.. Si corporis pronum accuratius adfpicitur , margiaes apparent pluri- mi, faturatiores , plana, vt plurimum oualia, vel ob- longa, pallidiora coercentes , in medio corpore, vbi faturatior eft color, contigui, ad latera vero, medio pallidiora , diftincti , quibus cutis quafi fquamata reddi- tur. Praeter illos, in ambitu faepe cernuntur maculae fubrotundae , obícuriores , in fundo. pallidiori difpofitae ; punc&a defuper innumera , nigricantia , cuti vndique adfperfa videntur. In iunioribus modo defcriptas color pilidior eft, quam in aetate prouectioribus ; nec illo- rum cutis tam relata rugofaqueé, quam horum, apparet. Poftquam bESCRIPTTIO. 329. jPoftquam de eo, quod generatim Polypum con- eruit locuti fumus, propiüs nünc ad eum accedimus, totum ipfius corpus in tres potiffimum ' partes «difper- tiendo: f. in PEDES, CAPVT, cui adiungimus :col- lum, et ABDOMEN , feu ventrem. In PEDIBVS notamus ipforum ium ,. formam , Tab. XII. groportionem , magnitudinem , /acetabula. * , denique *Fig. 3.7 aue TRDY AW TE. vnum cum altero iuxta ban, on- €t ^ ** Fio. s. nc&entem. Ne Quobitm in Siquentibds huius vel illius peli S figillatim mentio fieri debet ;' praeuenietdae -cconfüfionis caufa, certi eligendi funt chaséteres ; pre vnus ab: altero diftinguitat. ] «* X .Ponamus igitur ante, nos Polypum ** pronum , UK Fig, as jta, wt extremitas ipfius ventris nobis fit proxima , pedes vero antrorfum porreci , erunt horum quatuor tenuiores , dextri et finiftri lateris , quorum duo * *Fig. 1.2. frontem , duo ** fitulam , , ante alueum pofitam , re- ^ 2: 4 ?- fpiciunt ; 3. €t quatuor craffiores,, illis interpofiti y quorum : "Yi it 2: "E duo * in dextro, duo ** in finittro latere collocan- z. 2. d 4 tur, pedibusque tenuioribus , vel füperioribus , vel in- in^ E ig. 1.5.1. ferioribu; , COntigui funt. | IT - Incipiendo itaque a füperibtibes , vnum poft al M "m terüm , ex fitu et mügnitudiüe , defignabimus , "modo ,.7. », fequenti : I) * Pes tenuior , fronrem. refpiciens ,' dex- *Figr..e ter. I) ?*** Pes tenuior, frontem refpicieus , finifter. , E i à. e. IID * Pes craffor , ^ dexter, pedi tenuiori , frontem , , i 5 refpicienti , dextro ; contiguus. ^ 1V) &* Pes craffior , *Fig. ».b. "Tom. VII. Nou. Com. Tt Gnilier, 2 si zd E EN 2. y'a ius $50 POLTPI MARINI finifter , pedi tenuiori, frontem .refpicienti , ^ finiftro , *Fig.r. conügaus. V) * Pes craffior, dexter, pedi tenuiori., "Yi 5 filulam. refpicienti , dextro , contiguus, VI) ***. pcs X apt craffior, finifler , pedi tenuiori ; fiftulam refpicienti.,. fi- *Fig.r. g. niftro , contguus. VID).* Pes tenuior; fiftulam re. T 3 : /; [piciens , dexter. yn ** Pes tenuior , fitulam re- 2j d E ;,(piciens finifter. " Licet ím praecedentibus iam ^moonitum füerit , AMollufcorum pedes anteriori corporis extremitati , feu capiti potius , fi quod. habent, infiftere ,- alia tamen , refpectu. ad fitum. habito; nobis.fefe.in Polypo circum. ftantia. offert;, heic | loci non praetermittenda :.. videmus: nempe , pedes. fiue fupinus , fiue pronus iaceat. Poly- pus, in aequali a fe inuicem diftantia haud effe difpo- DURS ;^ fitós, quin fuperiores , Qui * frontem, ab inferioribns, . *Pyis s qui ** fiflulam refpiciunt magis effé remotos , quim A 2.c. d, intermedios * vnius lateris ab iis X * alterius, ftatim. yr ef . poffit. animaduerti. ^ Vel, concipiamus, animo , Polypi "Fig i pron pedes, antrorfüum. porrectos : eosque fücic: interna. ar 2. g. b. aequabiliter a fe inuicem diftzntes, premi vtrinque ho- rizontaliter, et orietur modo defcriptus fitus ; pari amodo , íi quis volam vtriusque mauus componeret ,. digitus femper determinati generis vnius mianus in eundem. alterius | vergeti. ... Eodem. plane modo cum Polypis comparatum. eft : pes. fc. tenuior ,. frontemy, ree: *Fig. 1. t fpiciens , dexter. X, im pedem. tenuiorem ,' frontem. re- ; * Fio 1, d; fpicientem , finiftrum. *, inclinat, et fic porto. Situs: vero huius neceffitas. ex. cirepndantia quadam, de: qua. panlo inferius loquar, fatis elucefcet. — Praeterea quoque; | pedes ——— DESCRIPTIO. $3T pedes dto tenuiores, fiftulam refpicientes , prae aliis extrorfüm et deorfum magis flexi, et arcuati funt. Forma omnes teretes funt, vltra dimidiam fere ipforum longitudinis partem , abhinc vero , ad extre- mitates. vsque , (latera magis compreffa of(tendunt. pacies eorundem interna ; ad bafin, lateraliter com- preffa eft, duo qua trianguli latera exhibens, quorum angulo, qui in pedis medium cadit, infima acetabula infifluut. — In eodem loco, ad bafin fcilicet ; paulo angufiores * funt pedes, quam in aliquali ab ea diftantia , vbi quinta totius ipforum longitudinis parte abfoluta, maximam **, quae naturaliter ipfis competit, babent crafüüem , abhinc vero, fenfim fenfimque ite- rum gracilefcentes ; in tenuiffimos tandem de(inunt apices, .lpforum longitudo in vno eodemque fubiecto, variis videtur effe mutationibus obnoxia: facillime enim poteft accidere ; vt cafü quodam apicibus mutilentur , €x quo incrementi non tantum , verum longitudinis etiam, inaequalitas oriatur, neceffe eft. Pedes interim quatuor craffiores , Hitániue inprimis inferiores, qui pedibus, fiftulam refpicientibus , contigui funt, reliquis, caeteris paribus , vt plurimum ongiores effe, e feptem indiuiduis conicere potui; omni tamen exceptione haud carere hanc obferuationem , € duorum, in fpiritu vini coa- feruatorum , menfura , paulo inferius addenda, facile erit iudicata. — Craffitem pedum in vno eodemque fübie&o differre , eandemque intermediis quatuor íemper effe maiorem , füpra iam expofitum eft. | Diuerfitatis huius ratio eadem forte erit, b quam medii animan- | Tt2 tium * Fig. 3.95 *Fig. 3 rz $15 POLTPI MARINTI tium. digiti . exterioribus. craffiores. "et. longiores "facti funt... Fig. 3.4. Tandem: ordo. nos; ducit ad: Acetabula * feu orbicniares. illas; lacunulas,, quae. per totam: internam: pedum. faciem: diftribuuntur 5. hae: vafcula: quafi. referunt: coaica , fübftintiae düriufculae , VIX. tamen. cartilagineae,, * Fio. 3.7. fündo, ** elemato: et. conuexo', ' lateribus. *?* vero. orbi-- "EI g. j3.0.cularibus., firiatis.,. Hilabijsd mollioribus ,' praedita, quae, a. fündo. vix eleuata ,. ftatim: introrfum ,. in. PS fündi. connexitatem. inclinant, finum: relibquentia: mes dioctiter te&um ,' mox. vero. "oblique fürfum- et: extror-- | *Elg.aifo füm. tendunt, et in. marginem. tenuem: ** abeunt, ad: * cuius. (imarmititem. cntis- pedum; communis: éermrinatur » eamque: nullatenus. tranfcendit ;. vnde. interna: acctabulo-. rim. füperficies.,, quae. tenui: tantum: membrana: obduci-. tur, pallida: valde: apparet: ,. cum: exterior: ipforum amc- bitus. colore: purpuraícente ,. cuti: proptio-,, fplendeat:. Caeternm: haecce: acetabula:,, quoad. maximam: partem ,, fnpra. pedum. fuperficiem. eleuata. (ünt;. Qaoad. formam:, omnia: inter: fe: conueniunt... (itu: vero»er: magpitudine. différunt:;; a: bafi. pedüm: nempe: * Vi»; quatuor. *. vel: quinque, in; lineas recta: fe. inuicem: fuüb- ** Fiz. 3. fequnntur ;, cetera; omnia: vero» alternatim 9**- in: duplici: ^ * b. ferie. difpofita, funt; et:,. quod: a: pedum: liafi,. ad: quin«- Fig. 3.4. tam: *- fere: horum: longitudinis. partem: ,, fübito: incre-- fcant:,. ab; hinc: iterum ;, ad! extrema: vsque; fenfim: fene. fimque: decrefcant,, de- magnitudine: notandum... In: eadem: ratione: fefe- liabet. cornndem: diffantia ,. quam: iüter: fe: innicem: feruant:: In; aequali; a. bafí diftàn- tia: DESCRIPTIO. 333 | tis pedes;,. frontem: refpicientes ,. plura: füftinent: aceta bula, pro» ratione: minora. * , magisque conge(ta, quam *- Fig. - 5, pedes. craffiores:, im quibas: ,. fub: iisdem: conditionibus, 4 e pauciorv,. maiors *, magisque: a: fe- inuicem: remota, * Fg » iens. deprehendi: | b.id.m. |^. Si' pedes, fiftulam. refpicientes ,. praeter" acetabu-- lorum: magnitudinem: et. proximitatem ,. in: quibus, cumr pedibus frontein: refpicientibus- conueniunt, numero: a: craffio - ribus: di(crepent,. exigus erit differentia. ,. cum vno: tantam: veli altero: acetabulo^ ab- illis: interdum: füperentur- i nte- rim: de: numero: acetabuloram ,. cuilibet: pedi: a: natura: coaftituto: ,. nondum: aliquid: cert: mihi: conftat j; varia» liilem: sug geque: ac pedum: longitudinem » Ob) ease d » quas; fupra: dedi ,, rationes 5, füfpicor;. Quod: dé «conuergentia: pedüm: vriüs: generis: 4ntea! dictum: eft ,. id: de- ipforum: acetübulis: quoque. valet ,, quie: fibi mutuo: femper: refpondent j; vnde- necefltas; fitus: pedum. per fe: i der Vt momenta: * quiedim, quae ad: Poljpi hiftoriam pertinent,, et quae, in: hunc. vsque- diem, nondum ,, quod: fciam:,. a: naturae: fcrntatoribas. extra: .ommnem: din- bitationis: aleam: pofita: fünt , clarior: exponam: lüci;,, priemittenda: rit tabula:,, ad: inftitueadam: , inter: «id in: fpirita: vini: conferuatos: Polypos:,,. longitudinis gepum numerique: acetabulorum» comparationem: concinnata :: Tt3 Poly- 3534 POLTPI MARINI * Fig. 3. Polypus |Polypus mi- fk Fig. 1. maior. X nor. ** et 2e ; TRUE "Z y Pes ten. front. refp. dex-| ^ * Tuis vat integer. integer. ' |t78 acet| 96. acet. "2 P 77] "4 "74 Pes ten. front. refpiciens? » 9 «5 7» 3^ finifler integer. | integer. , |168 acet.| 120 acet. | I 7 x HI 77 , 9", Pes craff. dexter, ped. ten front. refp. finiftr. Pes craff. fin. ped. tenj!/ , 9/5" front.refp. dextro cont. integer. | | integer, | I9I a3cet| 107 acet. ..Pes craff. dexter. ped ten.|1 1 . 3^:,: 8/4. fifl. refp. dextro cont. integer"| integer. |I42 acet. 72 acet. Pes craff. fin. ped. ten|17,17/,9/"67", fit. refp. finiflro cont| integer. | integer. 1198 acet.| 107. acet. NE erp T ETPmRT Pes ten. fift. refpiciens J' . o af ^iy 8I " dexter integer. itruncat. ad 2. |191 acet.jatitudinem. 28 acet. $i | FleM | iu P4. Pes ten, fift. refpiciens ||1 1759.5" , 3^. finifter. | integer. | integer. j210 acet| 95 acet. Summa 1479. 679. Licet DiESCHIPT:ITO 335 Licet acetabula organicae valde fint ftru&urae , €um corporis incremento tamen augeri numero , pedes- que , Polypis mutilatos , redintegrari , renatamque | par- tem nouis iRítrui acetabulis, quis credidiffet ? Vtrumque tamen demonítrant. duo haec , inter fe collata indiuidua. De illo ne cogitarunt quidem | Phy(ici , huius folummo- do mentionem fecerunt J4rifloteles et. Plinius (4) , num vero propria id. affürmauerint experientia , an relatum ipfis fuerit ab aliis, incertum. eft? Prius fuüfficienter probat acetabulorum — numerus , in Polypo. maiori longe maior, in minore minor. Differentia haec accidentalis effe nequit , cum. in caete- ris, qui hos magnitudiue füperabant, eo maiorem fém- per acetabulorum numerum deprehenderim ; quo quis maior altero erat. 'Aft, ne quis extremos pedum api- Ces im minimo Polypo vel mutilatos, vel extima ace- tabula tam exigua fuiffe, fufpicetur , y oculorum aciem effugerint , monendum , quod et huius pedes non mi- nus ac maioris ititébros , €t acetabula, ad extremum. vsque , aeque dc ilius, di(tin&e viderim. .— Quod ad poffetius attinet , Polypi minimi pes* craffior, dexter, pedi tenuiori, frontem refpicienti , dextro contigms , nobis fit exemplo . Quippe qui truncatus olim , temporis fücceffir nouam protrufit por- tionem: **, 9/ longam , quae acetabulis viginti feptem fuit inflmcta et 3 bafi; x^^ Jata,, craffitie m decrefcens , in. tenuem. valde apicem: abiit. Eundem (4) Fia Hif. na. Libr TX. Cop. T— $. XEVIL p r9. "CU edi. Padf. 4to An. MDC. LXXXV. n Fig. I. b. pgs *Yig. r.2 Qu. de $536 POLTPI MARINI Eundem ca(uüm in alio, inter.duos, modo :me- moratos, mediae magnitudinis Polypo deprehendi, cuius pedi tenuiori , fiftulam refpicienti , finittro , 6", 6"^ longo, ac truncato accreuit noua portio , 1^ longa, ad ipfius bafin, quae fümmitatem fruncatam crafliorem tangit, 5^^^, ad alterum extremum , .denuo mutilatum , 17" lata. Summa huius pedis acetabulorum «rat 69 , quo- yum 3r in portione -renata numcraui. Noua haec portio , trunco cra(hori , olim mutato , inüftens, te- nuior eft, ipfiusque acetabula münora magisque congefta funt, quam reliqua , in trunco pedis confpicienda. - Pedibus itaque füb incremento fefe fecundum omnes dimenfiones extendendi, non folum , datum eft , quod cum toto corpore commune habent, verum etiam prae- ter hanc alii, eaque propria, gaudent facultate , qua ipforum extremitates progerminant, nouaque continuo protrudunt acetabula , fiue integri fuerint pedes, fiue truncati. Illorum vero prouentum nec ad eorum bafin, neque in medio füccedere , fed ad apices tantum , ex- inde clarum eft, quoniam parua nunquam magnis mix. ta vifa funt; quod alias, fi contrarium obtineret , pro- portionem , quam inter fe femper immutatam et con- ftanter fernant , turbaret neceffario. Duo tantum in hunc vsque diem mirabilis iftius facultatis. exempla , quae maximam cum praefenti ha- bent analogiam , cognita fuere eruditis , quorum vnum cancri , ftellae. marinae alterum , füppedirant ; illorum enim chelas, pedes, antennas et orís ten:acula , velex pate tantum , yel ex toto deítru&a , redintegrari. ite- rum, D:£ SCR TP T1:/O. 337 Tum , vel denuo rena(ci, Ill. de Reewmur, cuius € vita difceffum , ob fumma eius in Phyfcam et Hiflo- riam naturalem merita , omnes lugent eruditi, fatis füperque demonítrauit (2) ; horum. vero radios , quouis modo murulatos, reparari , obfermarunt Cel. JIwffigu , Guettard , Gerard. de Villars (b) , Needbam (c) ,- alii- que. Nec mirum id omme nobis videbitur, fi in mentem reuocare velimus phaenomena, in aquarum dul- cium. Polypis, vermibus varii generis aquaticis, Lumbri- cis terre(iribus, Hitudine - Limace, Millepedibus aquaticis , Virticis marinis etc. obíergata , quibus omnibus , in duss pluresue partes diffe&is, fingulae partes in totidem trans- formantur animalia, primo , quod antea. comuncta effor- mabaaot, fimilia ; quae fane eo maiore digna funt ad- müratione , quo minus auguttis fingularis ifta propagatio circumfcripta eft limitibus ; experimento tamen , in can- erorum cauda inflituto , non refpoudiffe euentum , Ill. de Reausur (d) teftatur ; neque feliciori cum .füccetu - in Polypo noftro poffe inftitui , facile crediderim. — Sic ! quo. (4 I: Comm. Acad. Scden. Parij An. 1:712. Hif. 45. Mem. 295. edit. Amft, (P) Mem pour fervir à lhiftoire des. Inf. pr. Mr. de Reaumur, Tom. V]. An, MDCCXLII. 4to Preface pag. 61. 62. et 63. (c) In tri&atu ; cui tituluseft : New Microfcopical Difcoveries , Lond. ^ 1745. 8vo pas. s. fcribit: ,,1 have by me the Arm. ofa »;Stàt - filch repairing | its Lofs, preferv'd jn Spirits, wbere the a»protrudet Éxtremity is difticdy vifible , as not having atriz » ved to the Diameter of the reft of the Arm. ,, 4) Àh Comm. Acad. Sden. Parif. Hi& 45. Mem. z95. edit. TÉ Amft. pag. 811. BTom, VII. Nou. Com. Vv 3398 POLTPI M ARINI quoque , ftellam marinam, iu duas pluresue partes transuerfim. diuifam, íücceffü temporis in totidem abire: animalia integra atque perfecta, valde dubito, cun eius. radios tantum , ad corpus refe&os , renaíci, QGe- rardum de Villars (a). docuerit experientia ;. Loliginem: tamen. atque. fepiam. eadem ,. qua. Polypus. nofter ,. gau- dere: facultate ,. nullus. dubito. * Fig. 3.6 Membranae * , quibus; pedum inferiora coniun- guntur , validae: fatis: ac: craffae,, ortum: fuum: trahunt ex- cutis. prolongatione: et duplicatura ,. fibrarum. mufculofa.. rum ftratum continente. Earum vna , quae inter duos: *Fig. s.4.pedes , frontem refpicientes * ,. expanditur ,, omnium minimam. habet. íüperficiem ,. infequentes. latiori et. al- .Fig- 3-".tius. excurrente: *- gaudent, infima. ** autem. qua pe- $&3-^ges, fiftulam: refpicientes ,, counectuntur,. ab: imo: pe- dum affurgens , priores exten(ione fua fi non füperat , certe iisdem: aequalis: eft. — Omnes: vero ,. poftquam palmatae effe defierunt ,. vlteriori. ipforum: decurfuü. pe- dum latera quafi alata: reddunt. * ig. 1.0; Defcriptione pedum abfoluta , tranfeo ad. CAPV T € ^. h^. et, quae ad id referri poffunt , partes. — Notamus: - * Fig. 3. tante: omnia. oris. * aperturam: , in pedum: centro , el-- lipticam ,. exiguam ,, et in: refpectu ad. oculos, hori- zontaliter. difpofitos ,. perpendicularem. Eundem: fitum: fequutur. dentes. bini ,. nigricantes;,, «qpij; Quorum extremitates * ,, prominentes , aduncum: Pfittaci Mn roftrum: quodammodo: forma: referunt. — Oris. mnc iftam: (a) Mem.. pour: fervir. à l'hiftoire: des: Inf. Tom... VI. Preface: pag... 63. DESCRIPTIO. 339 üffam aperturam coar&tantia , tenuia , plicata , in varios dobos diuifa, et ad oras fimbriis linearibus ornata fünt. Ipíun caput, imae pedum bafi, coarctatae , proxime iunctum , mole quidem paruum eft, ad verticem leuiter ámpreffüm , facie inferiore planiufculum. Oculi * duo, * Fiz. 4. ad latera capitis pofiti, fübrotundi., pro illius parui- € P. tate grandes. — Longitudo capitis «eadem circiter eft, quae inter huius frontem , et fummum membranae pe- dum , eam refpicientium , marginem :menfuratur. "Vidi etiam inu capite omnium , quos difquifiui , Polyporum , nico tantum, et minimo quidem, «excepto , qui iis caruit, appendiculas tres cutales , anguftas, tanquam totidem barbulas , quarum vna :ante , altera fupra oculum , can- tho tamen ipfius poftico ;proprior, quam antico, tertia denique pone eum , «erat difpofita. «Quae fupra ocu- lum, caeteris duabus duplo maior erat; abfolutam vero omnium longitudinem «certo determinare difficile ft, quoniam vltra modum fe extendi elongarique facile finunt. Partem capitis contraciorem 7 pofticam pro ' Fig.1. 4. €ollo habere poflunt ii, quibus diftinctio haec placue- rit; id ipfum autem tam breue et ab ipfo capite tam parum eft diftinctum , vt. nomen illud vix mereatur. Tandem ad ABDOMEN * deuenio , quod oua- *Fig. t. 7 tum , et perpendiculariter vtrinque compreffum eft, ?:/7^ diametro horizontali verticalem füperante , ita tamen, vt fuperior aeque ac inferior abdeminis facies fübconuexa permaneat, adeoque latera eius * maximam inde La- *Fig 2.» bere conuexitatem , per fe patet. In huius füperficie fuperiore, feu in dorfo , non mifi appendiculae cutales funt confiderandae , numero | V; X. 2 qua- * Fig.2. 7. et 2. *Fig.2. 4. 340 POLTPI MARINI quaternie , quatum prima ad anteriora et mediuin dorf confpicitur ; in aliquali ; ab hac, diftintia , binae aliae; ex aduerío. fibi: oppofitae , et in medio fere dorfo cons fitutae, quarta ad pofteriora et medium pofita. Omnes; a bafi latiore in apicem affürgentes, planum formant fubtriangulare , lateribus corporis ebuerfüm , eorumque longitudo in maximo , quod vidi, fubiecto , duarum erat linearum, nec in eodem multo longiores erant barbulae , circa oculos, excepta media, 5.— 6 lineas longa. In vniuerfüm itaque decem fünt appen- diculae , ab elongata cute ortae, tres íc. im vicinix finguli óculi , €t in dorfo QastuóP easdemque in.omni- bus obferuaui Polypis; fi duosiftos, in fpiritu vini ferua- tos excipiam , quorum maior iis tantum; quae in dorfo funt, minor omnibus plane catuit. In inferiore abdominis fuperficie varia occurrunt notanda , inter quae omini attentione digna eft ipfius alui apertura *, tam larga. et patens, vt per eant pulmones ficile pofünt confpici; Saccum nempe mu- ículofüm effe abdomen , in quo praeter pulmones, vi- Ícera , propriis inuoluta membranis ,; recondantur ,' ana- tome huius animalis docebit vberius. i In (ümmo ventre , füpra alueum', Pfua * caua exporrigitur autrorfum füper capitis faciem infe? üorem , quam modo in dextram, modo in finiftranv transferre. partem , hacque mare transmittere dicuntur Polypi (a). :lofündibulum- ifta: refert; conicum , perpen- diculariter Wed iUd et pl , cülus lumerr fupe- () Ex Arif. Plinius, Hif. nat. Libr. IX Cap. XXIX. $. XLVL. p. 318, edit, Parif, in 4to. An. MDCLXXXV. E z due Cx D'ES'OmlITTIOG. 841 füperids * exiguum, inferius * amplum eft. Summi- fas ipfius, parum incuruata , extrorium flectitur, et a eapite aliquo diftat fpatio. Eadem , ad baün, vtrin- que fibi habet connexum velum * quoddam conniuens, quod, íi expanditur, finum offert amplum , lumine -fitulae maiori haud multo inferiorem, fündoque gaudet obtuío et imperforato. Fiftula aeque ac vela e tunicis compofita funt robuftis , ac tenacibus, quae mufculofam , qua mouen- tur, includunt ; immo cartiliginea fere , et claftica quorundam mibi vifa füit fiftula. 5i quis fibi fingat margines filulae, et velorum, cum íummo aluei mar- gine connatos , fiftulaeque fümmitatem — plane conftri- .&am , claufüm omnino habebit abdominis alueum ; nec, vinum animal, fi neceíhtas ita poftulet , eum fübinde plus minusue claudere , vero difümile mihi - videtur, 2c In fpatio ; | inter imum fiftulae ; velorum , et fummum aluei marginem , relicto ; quod in minimo Polypo 3;/^/ aequabat ; obfermaatur lacerti '* duo muículofi ; ad latera pofiti ; qui ab angulo , fiftulae veloque communi ; lato ;. et ;. quoad figuram ,' fere -xhomboideo principio. procedunt , tunicae. mufculofe * 'ope inter íe iuncti, cuius in medio duo apparent oftia, quorum id 7, quod fuperius, et proxime fupra alte- rum fiium eft, filum ferreum. tenue ad duarura linea- rum profunditatem admifit vsque ; in alterum * vero, -quod in&rius , et largum magis eft, ad 5 vsque lineas idem immittere potui.. .Déecurruat canales , quibus haec oftia refpondent, intra mauículofam tunicam , ac infe- ei Vv3 rioris * Fig. 2. o. nig. *Yig.2. s et Hic " Ens. H. H. * Fig. 2.. * Wig. 2.5, * Fig 2.9. *Fig. 2, z .mum, mediumque aluei marginem 442 TPOLTPI MARINI rioris extremitas illam fuperioris quafi lambere videtur; tunicae vero mu(culofae medium , ftatim, vbi ad fum- * peruenit, hunc verfus eleuatur , eique adnatum, feptum conftituit 5; longum. Quae de fepto oftiorumque fitu modo dixi, de minimo tantum Polypo dicta velim; longe enim aliter res fefe habebatin Polypo maiori, itidem in fpiritu. vini feruato , in quo, neque oftia circa tunicam mufculo- fam, neque feptum offendi, licet digitum vnum alte- rumue , ad duos vsque pollices, fine vllo impedimento, in ipfüm alueum immiferim ; duo tamen .eiusmodi ori- ficia , in ligamenti cuiusdam lati et mufculofi margine; quod lacerti muículofi finiftri pars erat, diftincta, fibi- que proxima vidi, ac, praeter ifta , alia duo, femilu- naria, ad fuperiorem arcum .artilaginea ; quae ;forfan abrupti illorum .erant fines; faltem interna , oftiisque obuerfa abdominis facies canalium reliquias prae fe fere- bat, quorum vnum effe inteftinum rectum , alterum folliculi; liquorem nigricantem continentis, ducum ex- cretorium, €x anatome comperi, Supereft, vt mentionem faciam orificii, quod in Polypo maximo, et quidem in abdominis: par- te poftica, finiftra et laterali, deprehendi: — Erat nempe illud , in füperficie ipfius externa , fubrotundum, patulum , vnius lineae diametri, ftilumque immiffum , ad quatuor vsque lineas, retrorfüm admittebat. Sepa- rata cultello cute, fub qua latuit , in oculos incidit ca- nalis, fübftantiae duriusculae et albicantis ; quo diffecto, apparuit , ipfius cauitatem. anguftari exitum verfüs, ac, in DESURIPTIO. 343 2 im vnius lineae ab exitu diflantia ,' eleuari fübftantiam et finum poft fe relinquendo ,. valuulam ibi formare fpuriam ; qua contentis mora iniücitur; ftilus enim, in oftium immiffus , eam tranfit quidem , in canale vero, verfus exitunr ductus , in eandem facile impegit. Caeterum: laeuis. erat ifte canglis ,, nilque , praeter plan. tae cuiusdim marinae fragmenta minora continebat, et, poftquam ad quatuor vsque: lineas füb: cute decurrit ,. abdominis fübítantiam — perforabat ,, verum , eodem in. loco, abruptus, potioris fui tractus veftigia tanr'um re- liquit, in: interna" abdominis fuperficie: confpicienda.. ZOOPHY- 344 «eee (o) MER ZOOPHYTI MARINI, E CORALLIORVM GENERE, HISTORIA. Auctore Lodi RIELR EIE TIER Praefatio, Dares mihi ante aliquot menfes varia, ia mari albo genita, Naturae corpora , quae Archangelo- poli huc Petropolin miffa accepit Amicus , cuius erga me beuneuolentia factum eft, vt eorum, quae prae reliquis attentione digna videbantur, tam deícriptionem, quam accuratam delineationem tradere nunc queam , inter alia nonnulla obuenerunt Zoophyta, quorum par- tim defideranda eft vberior, quam; ab illis"iraditam , — legimus , defcriptio , partim quae in hunc vsque diem in fündo maris delituere incognita. ^ Quod in praefenti differtaiione exponam Zoophytum , alis, in pofterum tradendis , ideo anteponendum effe iudicaui , quod ad explorandam non folum eiusmodi corporum ftructuram et naturam, quam inter animalem et vegetabilem quafi mediam efie pluribus argumaentis- probare alio tempore conflitdi, verum etiam ad illuftrandam Corallii rubri , cui proxima fimilitudine accedit , hiftoriam — plurimum conferre poffe , mihi videretur. ^ Quae autem . ad Vtriuse gp eL pe ZOOPHTTI MARINI HISTORIA. | 345 vtriusque inter fe comparationem, et fpeciatim ad Co- .rallii rubri illuftrationem , proprie fpectant , fub annota- tionum forma textui fübnectam, ne, fi huic immiícean- tur, oboriatur coafufio. * X 0€ 0X 3X 0X * * * : p POTES : Tab. XIII. CORALLIVM fpongiofum , leue; ramis tuberofis, Fig. rz. nutantibus ; tuberculis agegregatis, Arbufcula marina coralloides. — C/uf. exor. b. pr. Corallina IL. fiue Corallinae facie grumofo cortice. Cafp. Baub. et Io. Baub.' Hil. $. p. 805. Cap. XLII. Planta marina coralloides — J7'orm. uuf. 230. : Plante appellée par les Mariniers Main de Larron. Marfili Hif. pbyf. de la mer. Part. YV. p. 85. Pl. XV. n. 74, 75. Pl. XXXVIII.- Fig. 177. munajgs, 39; et DI X Xo9D6 Eie. T2 9 MS 9. s. 455. papi r6sy Pontoppid. Nat. Hif. «on | Nor. Copenbag. 1753. x. Th. pag. 2759. I. Tab. No. 2». Fig. No. 1; et pag. 274. Tab. No. 12. Fig. No. 4. Tom. VII. Nou. Com. Xx Lythoxy. 346 | ZOOPHTTI MARINI Lithoxylon Norucgicum. Linm. Muf Te[f..p..12o. Tab. X Alcyonium ftipite arborefcente , ra- mis obtuíüs. Ejusd. Sy. Nat. edit. dec. p.. 803. Ho. X. (2. Defcriptio. *Tb. XIII Caulis a poftica facie conuexas, ab antica * pla. dg. niufculus, inferius * autem vtrinque leuiter compreffus, v Yon nodos , feu ?uberz ***. potius, paíhm protrudit variae e c c. Wagnitudinis , fubtrotunda , verrucofa , ad pofticam fa- ciem numerofiora, ad anticam pauciora. Haec conflantem in fitu ordinem haud feruant, vtpote modo oppofita fibi inuicem, vel fecundum caulis longitudinem vel latitudinem , modo altema , rarius autem confluentia. "Fig. 1. d. Praeter haec tubera folitariae * etiam vel bi. Fig. 1. e. nae **, interdum ct ternae **, pauco quidem numero, Vi&1-f verpucae , vel fuberculz (b), occurrunt. Tota denique caulis füperficies oris innumeris *Fig.i.g. eft. pertuía, in planiore caulis facie * euidentioribus , in conuexa obícurioribus, quorum (ínguli , íi curatius *Tab XU adipiciuntur, papille * (c) minimae centro obferuan- Fig o.b. XIV Fig.i ( im jd (a) Tantum diftat ab Alcyonio, quantum v. g. Agaricus a Lyco- perdo ; vtpote forma fubfílanua atque ftru&ura diuerfiffiimum, (p) Haec "Tabules Marfillio ,— tudercoli vel promimenzz Vital. Douato dicuitur. («2 G'andulbs Marül. l.c. pag. r:i2. j,L'entiere fuperfizie de »'écorce paroit toute grainée «n forme de chagrin, par l' amas »Xdes glandules, (Vid. Tab. XXV. Fig. :15. F. F.). L HISTORI A. 347 tur infulpti. — Hae in antica caulis ficie ,. iisque in locis praefertim , in quibus poros euidentiores * videre *Tib.XIII. licet , vix fenfibies et quafi obliteratae, longiorique Fig. :. z- interuallo pofitae fünt; cum e contrario in poftica caulis facie , et, tam circa tubercula *, quam füper *Fig. x. i. haec ipfa *, inprimis facile in oculos cadant. Omnium *Tab. XIII, autem euidentifümae , proximeque fibi adiacentes, in Fig. :. 7 ramis caulinis, de quibus mox dicam , obíeruantur. Ls s . 1g. Rami " vagi vtplurimum e caulis lateribus, quo ;. ub ipfo parum graciliores fünt, rarius ex anticag-vel po- *Tab.XIII. flica eius fücie orti, erecti, tubera non folum, prout Ei Wt caulis , et quidem poftica fücie potiffimum, folitariaque ' tubercula haud pauca ferunt, fed in fuümmitates etiam *T,b XTII. g£uberofis, werrucofas , ac nutantes " definunt. Fig. 1. c. Rugae * longitudinales , irregulares, quas in ra *Tb.XIll. mis copiofiores longe ac profundiores quam in caule Fig 1-27. videmus, fub Zoophyti exficcatione demum ortae effe, illorumque prae hoc maiorem íücci abundantiam indi- care videatur, cuius poft euaporationem fieri aliter non potuit,- quin mollior ramorum fübítantia corru- garetur. Papillae innumerae, in medio .perforatae, totam, pariter vt in caule, ramorum füperficiem | occupant , et diftindae melius ac conterminatae , quim in iflo, funt, quamuis fuübrotundam vel hemifphaericam potius ipfarum figuram , ob diftorfionem a contrahente fefe fubftantia paffam , cum oblonga " haud raro commu- *T4b. XV. tauerint. Fi g.r Xx2a Tubera 348 ZOOPHTTI MARINI Tubera xamorum , íi debitam acquifiuere magni- *Tab.XII. tudinem , partialium quafi ramorum * füb forma ap- Fig. 1. 4. parere , " teftantur ipfoum aliquot , gracili bafi ramis "Tb XII. (n MR infifle 1tia. "iO ats. Tubercula , fiue folitaria *, (iue in tuber "*, quod ce 4^ jnter fe formant, aggregata, papillata JOC* (ipt in am- XIII Fig. bitu (4), inque medietate labiis *49&* odo (e), toti- 2. m. eic, dem oris aperturas * anguítas relinquentibus, inftructa. E Ar Eadem , licet magnitudine haud paria fibi fint , ec "T5. infigniter sic inter fe non differunt , fi pauca SiCi- XII pias, notabili planitie atque paruitate ** ab aliis fücile Fg.1-:.*- diftinguenda. Yig.2.t etc. Tab. XIV. Multo magis diuerfam vidi labiorum formam at- "bexiv. que fitum ; modo enim repanda ?****, infündibulum Fig. 1. & JO? inter íe efformantia, patentia x, eaque ra- "PT. riora, modo conftri&ta introrfumque flexa **, quorum XIII G. pleraque funt, immo, licet minori numero, 4dco abícon- Es c dita, diftorta atque retracta , vt os vel deforme fit , vel 1 Six eT x impli- XIII E. F. Tab. XIV. Fig. 6. 8. (4) In Coralli rubri tuberculorum ambitu papills pari modo effe s pa. difpofitas , patet euidenter ex jugos Marfil. Tab. XXV. XHL C. |, 10 Eig 2a03-080:0d- 0 5.. eBIBIS: XIV.Fig.4 (e) Donati | Saggio Della Stor. cuf Mods Dell' Adriat. Venez. *Tab.XIII ^ MDCCL. pag. 49. 1a pü luoghi innoltre della ft.ffa H. Ps (corticis nempe) s'offervano piccioli tubercoli o^ prominenze che Fig. fi danno a divedere all'occhio nudo (Fig. A. f). —Qacfi tu- j^: "Tab. bercoli alle loro bafi fono larghetti, e ro:undi (Fig. L n. n.) XIH. Fig. fi riftingono alquanto all parte fuperiore (o) s terminano 2.1D.Tab. ^ in un labbro groffetto divifo regolarmente in otto. parti (E. S S.) XIV.Fig.: — (G S. $), pià o meno eguàali, dalle quali 'viene ad cfler et Fig. 5. | formata la boca (l c. G. « El. a) di dafchedun tubercolo etc.,, BpDSTOmWIAÀ 349 fimplicem . tantum maiorem porum ^ referre videa- *Tab.XIIT, tur ( f). Integra etiam interdum tubercula , quae he- B. XIV. mifphaerica ordinarie fünt, parum diflorta confpiciun- P'& 3 tur, hiacque labia etiam maguitudine inter íe haud raro inaequalia *. | *Tab.XIIT. j ^ ;1 D.et Tab. Haec ipfa vero labia, dum contracta funt, trian- — xry. gularia apparent, bafibusque *, vt ita dicam, extror- Fig. s. o. fum , apicibus ** vero conniueatibus oris medium re- 1135.XIV. Ífpiciunt. Hinc etiam patet, cur Os, vel apertura labio- p rum communis, fit ftellata; labiorum enim apices liberi, — XIV. consmiuentes, ftellae medium, latera vero contigua ipfos Fig. 1. ftellae radios efüingunt. ^ Poffet etiam ipía labiorum fubftantia, fi cui ita placuerit , ftella inuerfa nuncupari. "Notandum autem hic eít, labia ifta effe tantum ap- parenter triangularia , quippe quae altius in oris interio- ri * deícendunt, et, ex toto repanda, vncinata 3** "Tib XIV, et lamellata *** quafi apparent. P. T4. Numerus tuberculorum omnis in exemplari, na- XIIL F. turali magnitudine * deépi&o , erat circiter 667, inter m 2n quae vnicum tantum, decem (g) labiis ***, iisque yj v. NUX 4 omnibus Tab. XIV. Fig. 6. *Tab. XIII (f) Marfillius , cum pag. zr2. aperturam tuberculorum ordinarie Fig. r. ftellatam effe dixerat, paullo inferius addit :: ,, mais elle (fq $^ (sLaD. » aperturae figura ) n'eft pas toujours de cette forte , et on trouve. XIII. » de ces mémes trous, fpheriques fans rayons et d'autres defi- Fig. 4. . ». gure oblongue ;, "Tab. XIV. 4g) Marfillius femel de fex (]. c p.112.) bis de o&o (l.c. p. 115. Fig. 2r.«. ^ et I71.) nullibi vero de feptem labiis feu radiis loquitur 5 valde (itaque fufpicor, «ex chalcographi phantafia fadum effe, vt in - Tab XL. Fig. 180. No. z. plures Corallii florés fex feptem- que so — ZOOPHTTI MARINI omnibus numeris abíolutis , inftrn&um — videre — mihi contigit. Subflaniia terrea eft, cum gelatina et fale marino permixta , valde porofa, fpongiofa, raíü atque fciffu facilis , digiti tamen impreffüoni nequaquam cedens. Particula eius dentibus contrita, vel cultro fecta, eo- dem fere modo íe habet, ac fic dicti fepiae offis pars fpongiofi, cum quo, quod ad haec attinet, maxime conuenit. Glutinofi etiam et coriacei aliquid prodit mafticata. Terreis particulis omnium maxime confer- tus eft cortex , paucioribus medulla , pauciffimis paren- chyma ; íalinarum refpectu primum tenet locum me- dulla , alterum cortex , parenchyma tertium; glutinofis vero abundat parenchyma , minus medulla, omnium minimum cortex. Color ex albido lutefcens vndiquaque; longe alium autem vidit olim C/z/jus , et nouiffime Cel. Linnaeus: ; ile íc. miniaceum , hic vero rubrum, cuius ne ftigma quidem in noflro apparuit. Tantam diuerfitatem non mirabuntur ii, quibus plantarum , quas vulgo vocant, marinarum in colore varietas , plurimas ob cauías mu- tabili , eft perípecta. Odor grauis, non iníuauis tamen , qualem corium illud album vel flauefcens fpirat , quod alutarii perficiunt. Sapor íubíaltus , absque amaritie. Pondus Numerum radiorum o&onarium vtplurimum obferuari in Cel, Donat l| c. legitur; vid. Not. (e). Nimiam harum partium paruitatem et inaequalem contractionem aut exte nfionem ín caufa effc poffe, vt vnum alherumue labium , ni probe aduertas, ocu- lium adem fadle fugiat; in nofiro ipfe fum expertus, HISTOR 1 A. 55r Pondus erx vnciae vnius cum duabus drachmis, ex *Tsb. xirt quo, fi naturalem. in Tab. XIII. Fig. r. magnitudinem Fig. 6. x. Ípectes , fpecificam eius grauitatem , cum fpecifica Co- E Ms ralliorum — rubrorum grauitate comparatam , exiguam **T,b yr valde effe, facile erit iudicatu. —Erat autem ratio eius Fig. o. y, &d aquam , vt 600 circiter ad rooo. | Tab. XV. Strucfura compofita e(t ex. cortice *, parenchy- eT mate ** atque medulla ****, quibus addi debent tuber- xp - cula ftellata , certa procul dubio , eaque connata ac na. Fig. 6. z. turilia, polyporum domicilia. iem Fig. Cortex, (b) exterius Zoophyti ftratum, idque tenu- Tus. XIII ifümum , papilis plurimis, quarum mentionem füpra Fig ;. et iam fecimus, in medio poro * fimplici, minimo, nu- XV.Fig. z. dis oculis tamen confpiciendo , perforatis fcatet , quibus 4, "Ds. transuerfim diffe&is, apparet , poros nihil aliud effe , xy, — quam canaliculorum, feu ductuum ** breuinm, horizon- Fig.6.5.4, talium , per corticem *** non tantum , fed per ipíam Fig. 8.« «. etiam parenchymatis fübftantiam ** extenforum , et'ab E. teg exterioribus interiora veríus fenfim ampliatorum orificia (2). xiv. Fig, Diffe&orum horum ducuum lumiaa fübrotunda *** vel 24. 2 e oualia *9** (unt; de quibus ftatim plura. d Tab. Subflantia Fi 10. "'[ab. XIII (b) Ex Corallium rubrum cortice gaudet ; vid. Marfil. Donar. aliique. Fig. 6. y. ()) Dari eiusmodi poros, iisque refpondentes du&u:, tam in Co- fFig.1:. et ralio rubro, quam in pluribus aliis plantis marinis, ex analo- 12 XV.Fig. gia ftatim diuinare licet; vidit enim Marfillius, quas ám- 3-455.c & proprie fatis glandulas vocauit papilla, et ductus , foras patentes ** Tab. poro , quoque vidiffet, nifi forte difficultas ,. eos in. molli pa- XIV. renchymare obferuandi , obftitiffet. Immo non amplius dubium F'ig.o 1. nx. efle poteft , quin exiftaot , fi Cel. Peyífonelium * in TraníaG, Tt^ oTab. Philof. Vol. XLVII. MDCCLIIL Lond. edit. attendere veli- XIV. mus, ME 21. EL 552 ZOOPHTTI MARINI Subflantia corticis , vt apparet , homogenea , al- bida, compacta , rafuque fàcilior eft. parenchymate atque medulla, quoram illud ob glutinis exficcati re- crementa , haec, quod coactilis ad inflar aliquatenus fe habet, cultro minus cedit. Cortex etiam cum paren- chymate arce cohaeret, adeo , vt ne diuturna quidem maceratione nexu fuo foluatur. Parencbyma , (1) craffus cortice inuolucrum , flauefcens ac fpongiofum eft; transuerfim enim diffectum, praeter maiora ductuum iftorum lumina , plurimos vn. *Tab.XII diquaque poros, vel cellulis minores * , nudo tamen Fg. *?. oculo confpiciendas , offert. e deu Hoc ipfum inuolucrum in lateribus caulis atque 1g.2 Yr 1. sqobxri ramorum conuexis craffius ?* atque fpongiofius eft, Fig. 6. y. quàm in planioribus eorum fàciebus ** et in ramis maior Tab. XV. eius craffüties atque laxitis, quam in caule, obferuatur. Yie. 5. c. e^ Tab, Quod XII. DE X mus, dicentem ; pag. 453: » "This bark appears pierced with Ei L. f » little holes , and thefe anfwer to fmall cavities upon the fub- t » ftance of the Coral. When you take of a piece ofthis bark, ,» you obferve an infinite quantity of litde tubes, wich con- » ne& the bark to the plant, and a great number of little » ghnds adhering to thefe tubes; but both one and the other do not difin&ly appear, excep: when they are füll of juice. It is from thefe tubes and glands that :he milky juice of » Coral iffues forth. ,, * Poftquam librum manufcriptum , cui Titulus eft: Traité du Corail ete, ab Auctore acceperat Societas Regia Scientiarum Londina, fummam eius in Vol XLVIL. publicauit. (/) Hoc in Co;allio rubro a cortice non diftinxit, fed pro vno eo- demque cum eodem habuit, Marfillius , iure ab eodem feparauit Donatus , exterius inuolucrum «orteccia ; interius "[omaca vocando. HISTORIA 545 Quod ad ipfam vero parenchymatis fubftantiam attinet , cellulofus eius contextus ceo fpongiofior eft, quo maior ductuum transuerforum inter íe diftantia , et quo minor eft horum diameter ; hinc in caule *, iis- "Tab. XIII. que in locis, in quibus tubercula deficiunt , laxior vt ,j[P, XL plurimum , quam in ramis ac inter tubercula * , ob- pi, , rs. feruatur, vbi compac&us magis atque compreffus e(t. Tab. XIV. Omnium autem maxime conftipatum vidi eius ftratum Fig 21 * ad tüberculorum cellas * , quarum ambitum proxime Tab XIII cingit. | Hu Fig 5,5- H T et (Tab. Eadem omnino ductuum transuerlorum ratio eft, xiv. Fig, quorem lumina, pro maiore vel minore ipforum inter 22. xx. fe diftantia , contextusque cellulofi aucta vel imminuta laxitate , vel minora vel maiora funt. —Propior autem *orurn vicinitas , tantaque luminum amplitudo vix fpe- Gatur alibi, quantam tüberculorum- cellas * inter vi- "T3b XIII. *ere licet; plus enim fpatii, quam ipfe contextus pa aiv. xenchymatis cellulofus , occupare non raro folent. Fig. 2x, Nec formam luminum omnibus eandem effe pofle, ex hoc flaüm elucet, quod ad varias, quas papillae pariuntur, contractiones ac diftorfiones et ipfi fe componant canaliculi : fubrotunda (c. vel oualia, quorum plurima funt, in faciebus trunci ramorumue planioiibus, elliptica in conuexis eorundem lateribus , immo aliquanrum angulofa circa tübercnlorum celu: *Tab.XTII, las haud rara transuería fectione in conípecum veniunt. Pg e iu. Sic qvoque fündi feu bafis conformatio non eadem mae x omnibus eft; modo enim planus, modo plus minusue 25. in medio depreffus, modo e lato in anguftlum fübito Tom.VII. Nou. Com. US contra- 344 ZOOPHTTI MARINI contractus ; haec. celiularum regionibus , iítae caulis ac ramorum fàciebus et lateribus , uunc memoratis, pro- priae funt varietates. i; *Tab XIV Tam cellujarum parenchymatis minimarum X; F 2 265 quam | du&uam transuerforum interna füuperficies ?€* ** Tab. colore e croceo-flaueíceate , ipfa vero parenchymatis XIV. Fg. (ubítantia , fimili quidem , aft longe pallidiore, in fül- ?P C" füreum inclinante , tina eft. —Excidit etiam e pluri- mis horum du&uum inter diffecandum. molecula e rufo- flauefcens , plus rninusue rotunda, concretam referens gelatiinam. — De reliquo parenchyma medullae aeque firmiter , ac ipfi cortex , adhaeret, nec, licet diuturna prius maceratione fuerit emollirum , vllo modo |. inte- grum (5) ab ea feparari poterat ; num autem vigens Zoophytum delibrari fe patiatur , quaeritur ? Medulla (n) maximam pluribus in locis Zoo- phyti partem , eamque internam , conílituens, albida, cortice (m) ldem fier in Coralio robro Peyfnelius refert , libr. "cit. D3g. 453. 5 Lhe bark of Coral covers the whole plint. from : the root to the extremities of the fmalleft branches. — It will pezt of; but this is only when juff taken.out of the wster. After it has been expoíed íor a fhort tine vo the air, you camot detach it from the body of the Coral, without rubbing it to - powder.;; C2) Haec Corallii rubri pars Subfiance de Coral Marfillio, Donato materia: del. Corallo audit. Si explorata ommibus effet veritas, nec mera tantum hypa- the(is, qua fubfbntiae Corallii lapideae gene(in v.| ex globulo- rum lapideorum d:pofiiione , vel ex liquore la&deo , e patenti- bus parenchymatis vaforum extremitatibus effluente; ac fucceífiue - dapi- "v HISTORI A. 345. cortice tenacior, ípongiofior, rafuque difficilior, in *T.b xri. transaerfum diffe&a , poros * exhibet diueríae magni. Fig. 6. z- "Xudinis, Ííc. peripheriam | verfus vtplurimum minores, d? EL in medio maiores, numero iis, qui in cortice et pa- renchymate diffe&to ductuum transuerforum lumina (unt, haud pauciores , minus tamen concinno difpofitos ordi- ne, magisque irreguiares, Diffe&a fecundum longitudinem medulla , confpi- ciuntur fulci * , vel ftriae cauae , canaliculis iftis ; quos "Tab XIIT, vermes xylophagi fodendo perficiunt , quodammodo fi- Fig. rapid miles, modo breuiores, mode longiores, inque longum Fis i A e €t flexuofe parum excurrentes. Hi ipfi vero non ab vno ad alterum trunci ra morumue extremum continui, fíed breui vtplurimum itüuere interrupti funt , porisque füb tran:uería fectione coufpiciendis refpondent, nec nifi canales adaperti funt, in medietate ampliores vtplurimum , verfus extremitates anguítiores. — Interna eorundem füperficies membrana quafi fericea eft obducta, confpiciendaque hinc et inde | praebet oftiola *, egredientium fc. ramorum lumina , "Tsb XIv. in quos ipfi canales difpertiuntur. "n sgh Medullae etiam füperficies * perbreuibus ac in- Tab XIII. *, Fig. - et aequalibus fülcis fcricea pariter membrana inueftitis, ^7 y Xy. - €xarata Fig cr. """T'ab.XV. Fig. 6. a. s lopídefcente , ^ evincere conati- funt recentiorum. fummi — Naturae Ícrutatores , maximam , quod ad banc attinet ,— corallinm | intet : atque zu rem noftrum ,. quantümüber qu'ad reliqua illi fimile , profiteri diffimilitudinem , certe forem coactus; verum organicam fubftantae illius effe ftrudturam , in peculiari differta- tone demonftiabo, s46 | ZOOPHTTI MARINI exarata, et quafi exeía eft, horumque' in finubus. hinc et inde videntur canaliculorum — medullarium , periphe- "Ti, XV. riam veríüs. oblique. excurrentium , oftiola *, fuccis Fig. 6. 2. medullam et pareuchyma. interfluentibus peruia. ^ Pae xenchymate cultello caute relciffo ,. fuli hi vna cum fuis oftiolis facile. quidem. et vbique denudantur, in maioribus tamen. ramis caulibusque , in. quibus amplio- es. profuündiores et diflindi magis funt, quam in te. nerioribus ramulis ,. omnium optime. füb. oculos cadunt. Admiranda íane . Zoophyti huius ftru&ura eft, *Tab.XIII quod medulla, in medio * alias confiftens, in. fron- TL. deftentibus ramorum extremitatibus ?** de via quafi de- Fi. flectat, cellisque polyporum contiguis attribuatur tantum Ta5. XV. locus in latere *, de quo iftà deflexit, ne fc. hae vl- F - bXI 'eriori , , quod rholitur natura , obftent incremento. Fig. 5. : Dantur quidem ramorum extremitates. et tubera o * [ab "Xr e trunci ramorumue láteribus protrufa, quae ab omni ** Eig. 3 € parte cellas contiguas, tenuibus tantum parietibus a fe *"Ta Xil inuicem — féiunctas, offerunt ; verum ex liis nouos. ps xiv, enaíci haud poffe ramos ;. — non videt? Medullae: Fig.2;.er enim pars, quae in eiusmodi tuber abit, cellis nun- Tab. XI. quam tranfcendit, fed intra illud, tenui faepe extre- zd xix. mitate, prope extremarum dolori fundum ** termi Fig 24,» Datur. Accedit etiam , quod fitu, quem in: tuberum * did. horum medio femper conferuat medulla , praeclu- dantur. Corailio o . cuius. tubercula. in MAC. in- ter fe inuicem diftantia difponuntur, mecbanismo ifto mon erat opus, cum e contrario noftrum ,. quod: glomera ea congerit, absque eo inu tantam, quanta non HISTORIA. 547 mon raro excellit, maguitudinem (0) excrefere non poflet. Satis firmum etiam exinde adferri poteft argu- mentum , quo polyporum , cellarumque , quas- habitant, ex ipfo Zoophyto ortus probatur , feníü' non. minus proprio, quam quo Cereorum v.g. flores ex. ipía. plantae fubílantia pronatos, nec parafiticos effe affe- rimus. Cellze * , polyporum: habitacula, quorum quod- 5 Ta5XTII vis verrucae, feu tuberculo; in Zoophyti füperficie. con- 2rd e fpiciendo , refpondet, vlteriorque ipforum tuberculorum, Fio.54.g.g et quantum- de. polyporum. exuuiis licuit diguofcere. ,. reflat expofitio. Tenui primum.-, ransuerfim per^ tüberculi 7 "Tab. Xi fümmitatem , refe&a lamina, praeter. corticis ** (übftan- "T Tab: tam, qua ipfi conítant labia ,. et aperturam ,. quam ,,, * inter: fe formant ftellatam ,. nihil in confpe&tum. prodit. ** Tap.. XIV. Fig. Iterata eodem. modo- fectione ,. làbia non, vti zz, o. si prius, cum cortice contimmi, féd íüb diftin&ae ftellae Nac * albicantis forma , parenchymate *** exterius, interius XiV. x finuofo hiatu. 39€ ab eodem feiun&a apparent; — Paren- s. E ' chymatis tum contextus fpongiofo-cellülofus, quo pro- ^^ Tab - |pior eft tuberculi fummitati ,. eo fübtilior. atque tenerior ,.. Fig. deprehenditur. . $^ Tab. pr RAE : XIV. Fig. Yys Diffeca x5... GG TREEXTSA "E iii ls t (0) Trium enim. pedàm ,. immo duarum faepe vlüarits » et quod: excedit , altitudinem attingit. cum. Corallium rubrum pedem: parifinum | rato- foperet, *T4bXIV..4 48 ZOOPHTTI MARINI 'g- I2. m, UM Diffecta labia, quae ivné&ta ftellam. repraefentant , Tib. xiy. fübtriangularia * funt, angulo acuto ** flellae centrum, Fig. 15. 7. duobus obtufioribus leuitcrque exftantibus **** parenchyn a ter Tab. refpicientia; hioc, quod his interponitur latus 7€*4€* XIII. N. , 7;b xry, €marginatum yel fimum eft. ? Figa 3 vo. Ab angulis omnium labiorum obtufioribus ' dupli- XHpN, C85, wel, wt difün&e magis loquar, ab obtufiore Tab. XIV. vnius et proximo , fimili, alterius angulo **, fitu. ad Fi 13.0. cellae fundum perpendiculari, ad internsfn eiusdem fu- Tab.XUL perficiem panfüum wtplarimum — videre licet, feptum *** xiv. Fig. tenuiffimum, coloris fiaue(centis ; hinc hiatus füpra me- :4.*. fnoratus in tot, quot fepta fünt, octo fc. loculamenta ** Tab. quafi diuiditur. XIII. O. Ay XIV. Facta profundius fectione , reflexae labiorum ex- Ig: 14 X- : * 5 : Ass niit Tap.xry, tremitates 7. in ftellae , magnitudinis nunc imminutae, Fig. 14.,, 2mbitu deteguntur , Joculamentis fupra didis refponden- "Tab.XIV. tes , Íícptisque continuatis, vt prius, a íe inuicem Fig. 1?, qisiunctae. 135 145 [ EE 18 4a à. Hae ipfae autem pro vario fitu, vel fecione, 3 " . . apres varia etiam íub forma apparent, integrae modo, modo l1: PR diflo&tae. Interfüitia, a xeflexis labiorum extremitati- 18,.bbbb. bus relicta, íepti loco, femel tantum repleta vidi "" Tab. gelatina, — Praeterea corticem inter atque paren- XIV.Fij. (hy ma 39* du&uum faepius. memoratomm — lumina , 24. €. €. : . . . For variae diametri, iterum patent. XIJ. L. C ONE COND NE ts M.N.O. Ex his facile intelligitur, labia inflexa ?****, fj. dis PecFig. fecentur transuerfim 999^ tanquani corticis continuationes, 4,5. Tab. eO wsque in ambitu inter fe cohaerere ,^ et fub flellae- XIV.Fiz- forma fore apparituras, donec loculamenta verfus re^ Md flédan- - 14;18,2I et 22. HISTORIA 549 *T3b. XIV Fig. 14.o. fle&antur *; nec improprie infündibuli , o&o angulis Fg. E5«18 atque catiis, alternantibus , limboque totidem laciniis »» T5. inftruci , inaerüque imaginem ** füb hoc ftatu ferre XIII. R. dicuntur. Reflexa ?* autem facile omnia in omnibus Tab. XIV. tuberculis vidi, denuoque infexa **, ita, vt extremis E LXIV apicibus ****. cellae fundum refpicerent. Interdum ta Fiji, men , licet ranus, vnum vel plura !abia recta fundum Fs. 24. f. cellae. verfus extenfa, eiusdemqué lateribus quafi agelu- XI D tinata. *, confpexr, cum. reliqua folito more reflexa ite- ;, t4 rumque infexa ** fuerint. | Latiores *** (emper et cras- . * Tu, fiores fub hoc fitu, füb ifto vero tenuiores, filiformes ** .XIV. Fig. ac elongatis ** cffe eorum extremitates, cognoui. "s d Labia, prima vice inflexa, fi fiters eorum fe- 54. ; eA fpicias. colamnam, feu conum e potitts , repraefentant, "Ti XIV OCo carinis totidemque exftantibus angulis longitudinali Fg £7. bus exornatum. i pe "ib. Notandum etiam eft, [abíi, quam longe fünt XIv Fig. extenfa, colore tamen et ubi a cortice non dit- I7. 7- ferre , verasque eius effe continuabones , inferiorem ij autem labiorum inflexorum partem füperiore effe albi- , ;, dt diorem , conílaater vidi (5). O,P. R, S. Denique monendum erit, eadem ab ez, qua re- Tn V. flexae. fieri incipiunt parte , omnem , ad apices vsque, Hs PIN ceilae. fundo. obueríam. ficiem Sani exficcati fpecie , et. 22. ceu pellicula 9**** obícure flaucfcente, habere obdu&am *T«b XIV eiusdemque attenuata productione ipforum inter fe co- WM b. T haerere XT... Fig, 175 !H. fff ^*k 'Dab (2) Quae huc, vsque. di&a funt, et amplius dicentur; fummam XIIL.Q R. noftri. cvm Corallio rubro, conucnientiam pr. banr fufficienter ; proüt "Tab, XIV. ,.id ex Au&crum de Corallio fcriptis faiile colligitur. Ei. 20. € -F** Tub. XII Q. R. S. Tab. XIV. Fig 23,20. 19.4.44. 8 2*£ 550 — ZOOPHTTI MARINI haerere extremitates. — Hac ctiam mediante lábia cum *Tab.xIV. feptis * füpra dictis, cellaeque lateribus funt connexa. P 14.'. Eadem pellicula tentacula * o&o diuergentia , db füb obliqua ad fürdum directione , exporrigit , feptis Q« S, füccedentia , fündoque leuiter cohaerentia. Sed et haec Tab. XIV. variant: non raro enim inflexa atque contracta füb Dd ^ coni cótopartita bafi flellae lamellatae * faciem prae DAS De füper interior cellae füperficies ** membrana; ab. . Fi 15. pelliculae ili valde fimili, ipueflita eft, pro vera cius Fig.16.4, COntinuatione habenda. Parr ' Pelliculam banc, annexasque ipfi propagines, po- ;, lypi effe exuuias, dubium non eft: fitus enim eius, 16.4. — forma, fubftantia, color (4) etc. nihil aliud. produnt. Ita octo polypi tentacula , bafi coha.rentia, extremis- que labiorum apicibus adnata (7) fub xadiatae pellicu- lae (4) Simili fere pcft exficcationem colore infc&os effe "Corallii rubri flores inter alios Mar/llus zu&or eft , lib. cit. pag. 113. » Ces. concavitez (cellae. fc.) font toutes remplies d'un fuc glu- ,tineux, qui dans le tems que la plante eft fraiche, «f de s,couleur de lüt , mais qui en fe fechant fe confolide , en for- ,me.de croute; et prend une couleur de fafran; ui tire fur » le rcuge, () Polypum e fua demigrare poffe cella , nemo mihi fale per- íuadebit : eorum «nim cxuuias, quartum quidem in fico ex- emplari licuit difeernre , — labiis ai&e femper adhaerentes , nec vnquam feparatas vidi. — linc, quam Corallii rubri polypis facultatem — tribuit .Doratus in lib. cit. pag. 5C. ,, qual fino 5,3 tanto che i| medefimo an ma*tto fia vivo ; 0 non patito j ,» fla fempre ripofto dentro la celletta ; benché fia affatto fciolto ; »* HISTORIA 36i he * fpecie apparent, membranaque, cellam inuefliens *T4b xrv. ventrem polypi, nunc inanem, efformat. Fig. 25. Ex fitu etiam , quem et poft mortem feruaue- vant fere omnes, fequitur, polypos vel protinus, wt fenferunt , fibi infidias ftrüi, vel füb vltimo demum nixu tentacula fua , vna cum annexis labiis , per os in ipfum ventris cauum retraxiffe ; id quod pluribus huius generis polypis cum his commune eft, Exinde tamen, omnium in praefenti indiuiduo obuiarum cellarum — po- lypos vno eodemque tempore vixiffe , et aeque bene valuffe. omnes , ítatuere nollem. —— Procul dubio in eiusmodi Zoophyto, quod debitam acquifiuit magnitu- dinem , plura millia cellaruum vacua, vel verius poly- porum fepulchra funt, longe pauciora vero, viuentibus adhuc incolis inferuientia. — Stemmata enim gentilia plu- xima referunt Zoophyta, quibus cognationum ordi- mes, a generis auctore ad vltimos pronepotes, fünt infculpti. Priusquam ad ipfarum cellarum — defcriptionem progrediar, id vnicum de tuberculis adhuc dicam, quod €orum vnum alerumue fimplici tantum , in anguftum, xcípectu aliorum , et inane cauum ducente, poro per- fora- s,€ feparato da qualunque parte della medefima etc. ;, in dubium adhuc voco. Nec comprehenfu facile «ft, fi ab omni nexu folutum ac libe- rum «oncedamus , quomodo labia fua , quae cum eius fubftantia comparata dura valde funt; pro lubitu vel protrudere vel inver- tere valeat polypus. Tom. VII. Nou. Com. Zu $62 — ZOOPHTTI MARINI *Tab.XIII foratum * viderim ; ftella fc. quam labia alias effoz- A. «tJ mant inflexa , penitus deficiente, cortex et parenchyma. Tab-XIV.- : Fig.2, ec Clrca porum , foras patentem , terminabantur. 19 Quum cellae (5) fingulae fingulis refpondeant tu- berculis, €a, quae, in reífpectu ad horum numerum ct 6 ( f ) Placet hac occafione varios ex Marii lib. cit.. proferre. locos; "qui quum emendatione ac enodatione aliqua opus habere mihi viderentur ,' animaduerfionum: materiim praebuerunt. fequentium z . pag. r:3- inquit Au&cer. ;, Il y a (fc. iv exiremitabus: ramo- ,,rum iam iam» induratis) pluGeurs Cellules rondes, ctcuffes ».dans la méme fubftanc qui font auffr remplies d'un fuc » de lait glutineux , lequel en fe fechant devient jaune, de »,méme que celui des tubules de l'écorce. , Cellae, de quibus: hic eft fermo , quasque in Tab. XXV. Fig. rzr4. N. N. N. depiclas fifüt Au&or, non aliud fwut , quam foueolae , fubftantiae lapideae fuperfiiei plus minusue impreffae. Suam: iflae originem: ducunt ab oppofito c-llae increfcentis fundo, cui exteriora, ea- que , durante cellae incremento, procal dubio nondum indurata: vaforum medullarium ftrata cedunt ;' quae, futuro particularuuae calcariarum infarctu petrefacta , impreffa olim: cellae fundi veftigia retinent ; non nifi fucedeutibus nouis vaforum ftratis .. lapide- Ícentibus ,. delenda. Eaedem foueolae, fi laCte, fiue recenti, fiue exficcato , (int repletae , fà&a parenchymatis a. medulla feparatione , fundum: cel- le, tenacus huic adhacrentem, vna cum polypi parte fuiffe aix- ruptum, indiio cft ^ Reapíe id accidiffe , dum parenchyma a medulla vngue feparauerat Audor, non ex Fig 1:22. Tab. XXVI. folum, in qua oblongae iftae ac albentes la&is guttulae Z5, €, x, magnitudine et numero, et fitu tuberculis in cortice exacte rsfpondentes , cellarum polyporumque partes indicant ab— ruptas, fed ex ipfo etiam textu, euidenter patet? pag, 115. » Les letttes z; z; z, montrent les amas du lait dans les. cellu—- ;»»le», qui parmi le rouge.du Corail , femblent, fi l'on peut. fe a»íervir de cette comparaifon, le pus de boutons d'um goleux, » quand * HISTORIA. | .863 et diítantiam dicta funt in praecedentibus, denuo hic &xponere non eft opus. Zz2 | De 3»quand on leur a Oté la peau.,, PPolypi enim , quos fub hoc fatu :non. nifi contra&os videre potuit. ZMar/üli , €t. xeceffus , «quos tunc quaerunt ; füb aliarum ;cellarum et la&is fpecie ei non femel impofuerunt. Tode etiam intelligitur , cur foucole iftae; ramorum trunciue bafi quo propiores, feu , «quod idem. eft, quo priores «ortu , :eo ;»planiores snagisque etiam obliteratae prae Tecentioribus deprehendantur 5 nec minus , cur ramorum difficilius quam :trunci perpetretur decorticatio ; et cur in illis maius fit iparenchy matis «cellarumue rupturae , «quam in his, periculum, Accuratius longe de foueolis poft Marium locutus eft Donatus n lib. cit, :pag. 49..,, Alla .celletta cede il luogo 1a materia 5 dd 'Corallo con piciole cauià: quefte per altto a non fono molto 3,patnti :ne^ rami vecchi , € groffi ma beni ne" giovani; e ne' ffottili :etc,.5, | "Denique verbis etiam , «quae loco ad huius animaduerfionis ünitium .a me prolato mox fubnexuit /Mar/illius, mea de foueo- lis fententia valde confirmatur : p.g. 113. ,, Ces Cellules font toujours en plus grand nombre , pl'us profondes , et plus lar- 45g65, vers l'extrémité des. Branches, que non pas aupié- du »»pied.,, "Pluribus ac profundioribus, «quam inferius , circa ra- morum extremitates et noftrum effe inftru&um , fupia dictum eft; et eadem gaudere ftru&ura Corallium rubrum,tam ex ZMar- Jillii wecbis, quam ex iconibus, euidenter patet: ex illis nempe pag. 118. ;, La verité de l'exiftence de ce lait etc ,, v:que ad pog. c ex his vero e Tab. XXVII Fig. 125. D, ». E, 3. F, G, 7. — Fig. 126. inae TO AMI. F, B.C 53 C. Celas enim hic expofitas a po! yporum cellis non EUREN fed easdem plane effe, ex eo ftatim. clarum eft, quod tuberculis in fuüperficie confpiciendis dire&e oppofitae ; et magnitudine figuraque reliquis fui generis pares fint. Neceffarium omnino erat , haec fcribere , ne cellas ab. aliis vel di- vetías ve] in medullae fubftantia penitus Paehet Hi Tec absque gracuia cius 364. ZOOPHTTI MARINI De figura itaque, aliis atque aliis cellis varia ad« modum , primo dicam: folitaziis nimirum ac genera- tim eius diffe&ione confpiciendas, circa ramorum extremitates vidiíle AuGorem ;. quis credat. —— pag. 113. ,, Les lignes P. P. P. ( Tab. XXV. Fig. t 14.) ,,montrent les endroits oü finit la confiftence pierreufe des Bran- ,» ches, et commencent les pointes molles en fortant de l'eau; » €t qui en fe fechant deviennent trós- faciles à. broyer , n'étant » qu'une Écorce qui embraffe une graade quantité de Cellules , ;lequelles fe rempliffent fucceffivement du fuc de lait, qui fe » fixe à la dureté de la pierre etc. —— et pag. rro. La par- » tie ou. fragment marqué G. (Tab. XXV!I. Fig. 125.) eftle »,bout de la branche qui pour l'ordinaire eft plus gros, et d'une » figure plus irréguliere , que les parties fuperievres de la. bran- » che mieux formée. Cela provient des creux ; que forme par »Íes divers contours la fubftance de lait, qui s'étendant em » Ootdre de couches, fe condenfe à la dureté du. Corail, et con-- ,»fecutivement ces vuides fe referrent ,. et font prendre aux Ra- »mcaux la figure qui leur convient, et qui eft à peu pies » ronde ,, Licet Corallium: rubrum , mollibus fuis adhuc in. ftru&um extremitatibus, videre mibi nondum contigerit, harum» tamen conformationem a Zoophyti noftri conformatione non di- veifam valde effe ex /Marfilii verbis partim , partim ex fumma, quae inter vtrumque eft, analogia facile aufim concludere. Ma: gnus enim cellarum , et lade quidem repletarum ,. numerus im praediclis. ramorum extremitatibus, harumque , prae parte rami ipfis proxima , maior craffüties, magisque irregularis figura, quid aliud portendunt? quam fimilem cellarum , poly pos continentium ,. congeriem, qualem et in noftro videmus Zophyto. Adde,quod. obíeruatione haec confirmentur vlterius , quam in Tranf, Philof, loc. cit. pag. 450. ex Boon refert Cl — Matfo) feqq. ,. Boccone obferves farther, that he íaw feveral fürrows under 5» the bark of the Coral, which terminate at the extremities cf » the branches, about whkh one might clearly fee gam 25 Hina HISTORI A. 365 tim omnibus iis, quae tubera inter fe haud formant , "T4b.XIV conica * (7) eft, fundo íc planiufcwlo 7** coni bafin pc fümmitate apicem obtufum, referente. — In tuberibus vero yry, Fig, quibuscunque vtplurimum pytiformes ?***, alias ex ob- to. y. verfo ouato-oblongae *F*** , aut acuminatae *, (ummitate ^^ T5. fc. ampliore ac obtufa , fundo autem anguftiore , plus Am minusue acuminato **, vel obtuío etiam. cum acumi **** Tp. ne *X** aliae fübouatae , fundo 9**9** ]euiter truncato, XIV. Fig: omnes * autem , habito ad proportionalem vniuscuius- T bxiv libet magnitudinem refpe&u . praecedentibus "* profun- Fig. 25. C. diores cellae funt. —^Nec rectae omnes íünt: deorfum ** Tsb. enim leuiter incuruatae *** in nutantibus ramorum ex- XIV. Fig. tremitatibus , quae ab altero tantum latere polyporum i: p BE domiciliis funt inftru&a , hinc et inde occurrunt. Ea- ** "T, randem transuerfim — diffectarum — lumina plus minusue XIV. Fig. fübrotunda *, vcl oblonga ***, immo ob diftra&tionem, 24. e quam plures paffae effe videntur, non raro ex oui yp. Fig elliptica funt, diametro longiore Zoophyti longitudini , 4;. F. breuiore latitudini parallela. " Tab.XIV ACE ; , L2, i. Ct Cs Z8 Neque , Fig.2 5. A.C.F.etc. | et Fig. 26. »fmall holes of the form of à far, which he imagioes are de- " LabXIV yftined for the produ&ion of branches.,, ^ Parua ifta atque ftcl- Fig. 19.. — lta foraminula tuberculorumr ora effe, quis non perfpicit ? etl'ig 25. HA Kab. : ] qe - . U f 2 i XIV. Fie, (?) De Corallii rubri cellis Donatus habet feqq. loc. cit. pag. 5c. G.G »1l vano della celetta & riftretto. come in um cono (F.t) sab XIV ,,Otufo all' apice il di cui ventre ha un diametro maggior della Fig.a2.H. » Eafe.,, Non eandem autem. omnibus fore figuram , ex prae- ;. cedentibus ( vid. Not, f.) facilis eft. conie&ura.. Tab.XIV Fig. 22. I. g66 — ZOOPHTTI MARINT Neque vnum eundemque fitum (u) omnes habege *'Tab.xIV. Cellae , vtplurimum quidem .horizontalem *, fiue trans- Fig.2:. verfum , ita, vt fub angulo recto cum medullae füper- L.À-C.*. &cie cogant; in grandioribus autem tuberibus , tubero- fisque. ramorum exterius , fire ex toto, fiue ex Fig «6M. proximae ket ; infequentes transuerfae 3, Ma 2 denique , omniumque rariffimae, reclinatae ?*** funr. ac Nexus cum ;medullae fuperficie , fundo :mediante "UU"Tab. pariter, ac transuerfis ductibus cellulofoque ;parenchyma: ALES tis contextui , omnibus «eft arctiffimus. 3 Parenchymatis terminis etiam .circumfcriptae fem- *T4b.XIV. per. funt, nec nifi rariffime medullae quafi immerfus ** m. ^i^. ipforum fundus «obferuatur. | Quum membranae , «céllam «efformantis, parietes vltra internam labiorum bafin haud protenfi effe vi. deantur, facculum .(x) fuperius patentem , «cella eius- modi repraefentat.. Eosdem denique parietes poris plurimis, mudo etiam oculo in extremitatum tuberofirum cellis prae- primis vifibilibus , effe "pertufos, monuiffe fufficiat. ANALYSIS CHEMICA. Fxper. I Die XV. Febr. hora decima matutina paruulum ' huius Zoophyti ramum , ups vnius diachmae «et viginti (^4) Vid. Donat. loc. cit. pog. 50. , 1! fondo di ta! celietta guarda ;» 1| piede del Corallo , e la bocca la parte ramofa , o piü rimota » dal piede. ,, De fitu. vel dircctione idcm plane ; quod de fi- gura ( vid. Not, (r)) fentio. *) ldem de Corallio rubro affürmat JDormatus loc. cit, pag. 49. HISTORIA. $63 "Wginti fex granorum aquae frigidae immifi, cui pri- Ynunr innatabat. — Paullo poft bullae aereae plurimae in eius. füperficie confpiciebantur aggregatae. ^ Circa vefpe. ramr fübfidebat ,, et altero inmane , hora nona, vini albi gallici, aqua permixti, colore , odore Zoophyto pro. prio, faporeque fubfalfo ,. S ubuta erat infuüfio ; ipfe ve- Xo ramus emollitus ita , vt pre(fioni aliquantum cede- det; tumidus autem magis, quanr ante ipfius immer. fionem, tunc mihi nou videbatur ; nec ftellaramr labia plus dilatata , quamr antea. Immo; ramo per quatuor dies et vltra modo' im aqua frigida ,, modo' in calida alde , macerato', figna tumientiae euidentiora , .hiarusue ofculorum ftelliformiunr infigniores , — vix apparuere , certiima: quidem hauffae. aquae: tanta copia, vt TUUM examinatus drachmas tres, quatuorque grana pondere fuo nunc exaequaret.. Neque eum in falis communis folutione plus, quam antea, emolliri,. fum expertus. Quae fequun- tür, experimenta II—VIEÉ. cum: infufione funt inftituta, Exper. IF. A. fyrapo: violarumi (uum cum: viridefcente coms mutauit colorem» iufufio.. Exper. IIT. A. fpiritw falis ammoniaci, nullam. primum paffz e(t rautarionem ; poft aliquot horarum: interuallum; ta» zen parum: lacte(cebat. 1 Exper. IV. Ab oleo tartari per deliquiurv parum» turbufene . *t3, cum; fubfequente copiofa floccorum: albentium: prae- : ipie s6$ ZOOPHTTI MARINI cipitatione. — Praecipitatum hoc faepius edulcoratum terra €rat pura , calcaria , in acidis diffolubilis, Exper. V. Á Spiritu Nitri parum turbulenta, vel lactefcens, diaphana tamen. Saturato poftea nitri fpiritu. oleo tart. p. d. nihil praecipitauit , fed limpida manfit folutio , fedimenti tamen e fordide flauefcente albicantis parum depofuit, in fornace calefi&o repofita. Exper. VI. Spiritus filis easdem , quas nitri fpiritus, dedi$ mutationes , fub mixtione ortas. ^ Eodem poftea fatu- ;ato oleo tartari p. d. limpida manfit, ct in fornace calefacto aliquot horamm interuillo fedimenti fubfufci exiguam quantitatem depofuüit. Exper. VIT. Ab aceti immixtione mutatio nulla. Exper. VIII. &) Laminulis ac fruftalis quibusdam | minoribus ra» mo, antea per tiiduum in aqua macerato,, abfciffis , nitri fpiritum affüdi, et exorta eft fübito. effcruefcentia fumma, vt omnis liquor in fpumam refolui videretur. Peracta efferuefcentia , mixtura brono colore, limeiíae ac fruftula par'im obfcnre bruno, partim fubfofto erant üncse. Mixtura dein oleo tart. p. d. faturata , tur- bulenta, lactea, «nm flauedinis tin&ura ,— impellucida CX HISTORÉEA4O0 s65 ex magna particularum albicantium , actione hac e fuo foluente feparatarum, copia facta eft, quibus ad vitri fundum praecipitatis , liquor füpernatans vini gallizi albi €t limpiditatem et colorem induit. P) Eodem fpiritu fruftulo maiori, cortice, pa- renchymate atque medulla conftanti, quod ramo , ma- cerationem nondum paffo, refecueram , affüfo, fimilis oriebatur efferuefcentia, vt prius ; nitri fpiritus eundem, quem infufio, parenchyma vero, durante effernefcentia, colorem indnit nigricantem , quafi fuiffet aduftam. — Ia- teruallo autem aliquot horarum fruflela , in vtroque experimento , a et (9 adhibita , croceo colore fenfim tingebantur. ^ Saturatus dein fpiritus oleo tart. p. d. eadem plane , ac in c, dedit phaenomena. Exper. IX. Spiritus falis fruftulo maiori, cortice, parenchy- mate atque medulla.conftinti, et in aqua nondum ma- €erato affufus , efferuefcentiam ftatim concitabat, minus quidem impetuofam, quam in Exper. VIII, aft diu- tius durantem. — Ceffante hac , frufiuli partes, cohaefio- nem inter fe feruantes , éeteiata primum , vt in Exp. VIH. haud mutabant, fed horae intervallo demum ni- gredine inficiebantur , eaque dilutiore cortex , faturatio- re parenchyma , pallide fufci tinctura Yero medulla. Fruftulum , elapfis viginti quatuor horis, aquae iniectum, fundum petit , cum fimile huic (Exper. VIH. Q) fa- pernataret ; vtrumque vero füffcienter edulcoratum , fam colore, quam confiftentia, fungi igniarii particulam. Tom. VII. Nou. Com. Aaa optime 30 |) ZOOPHTTI MARINÍ optime referebat. — Mixturae oleo' tart. p. d. faturatae idem. contigit , ac im Exper.. VIIL. Exper. X. Superfüdi vefpere: fruftulis: nonnullis acetum' vul- gare ; inceperunt tum: ftatim: commutare. fenfim! fuum: cum fufco colorem, et poftero: mane: carbonum! inftar nigra erant Aliquot dierum interuallo? poft: inftillaui: folutioni nonnullas: olei tartari p: d: guttulas', et exorta inde eft efferuefcentia: fümma ,. la&eícebat mixtio , et incraffabatur ;. diluta: dein; aqua',. paullo" poft: fedimentum: albicans, fat copiofüm', deponébat, vna cum» materia: quadam: rufefcente, parciore copia admixta. — Hanc aceto: propriam: licet: facile" fufpicarer, ne' dubium tamen vllum. füpereffet ,. eidem: aceto: feorfum inftillaui: aliquot: olei tartari p. d.. guttulas, et: rcfpondiífe. fufpicioni: euentum ,. fum expertus, quum' vix inde oriri effer: vefcentiam , certe valde lenem , viderem , materiam: vero» rufefcentem , vt prius, ftatim. apparentem , et paullo: poft in. vitri: fündum íe praecipitantem ,. absque fedimenti: albicantis: depofitione , manifefto indicio :. ace- tum: vulgare: terram: Zoophyti. calcariam ,. tardius: licet: ac placidius, quam caetera: acida', foluiffe ,. eandemque: poít' füum: cum: alcali connubium: reddidiffe. Exper. XI Fruftula,, Exper. VIIT, IX,. X, adhibita ,. bene: elutz atque: exficcata' ,. carbonibusque: candentibus: iniecta, €ornu vel lanae ambuítae odorem: cum fumo: fpirabant , oleum HISTORIA. 37€ cleum magis magisque empyrevmaticum , füfcum , foe- tidum eructabant , tandemque in caput mortuum ni- grum , fpongiofum .et friabile .conuería , confumtoque penitus oleo , fortiori igni expofita , in terram albam, in acidis folubilem , fatifcebant. Exper. XII. CTruftulum , ramo .abfciffum :non macerato, ad «candelae lumen dum accendebatur , «cum flamma ar- .debat. Exper. XIII. 'Fruftulis, ramo , ;non .macerato partim , partim mmacerationem ;paflo, abíci(fis .fuperfudi fpiritum vini recti- /ficatifimum .alcalifatum ;; ;prodibant (ftatim bullae aereae, .et vnius .horae interuallo flauefcebat infuüfio , vini gallici inflar. — Inftillaui :«tunc ,ei guttatim .aquam , .af nulla fübfequebatur ;praecipitatio. — .Ab affufis fpiritibus acidis parum lactefcebat. Exper. XIV. Fruftulum , non ;maceratum prius, in vrina aeque 3c oleo tartari p. d. immutatum perfiftebat. CONCLVSIO. "Euidenter itaque patet , :füuppeditare Zoophytum moftrum, etiam .absque vlla vel ignis vel fortiorum quo- umcunque .menfítruorum .adhibita vi , mera tantum in Aqua frigida maceratione , 1) Sad marinum , fapore fuo Aaa | de 332 ZOOPHTTI MAÁRINI fe ftatim pródens; 2) Principium quoddam alcalinum ; bituminofum , quod ab alcalino fpiritu (Exper. HL) et. ab acidis fortioribus (Exper. V, VI et XIIT.) iu fpis- fius cogitur, et violarum fyrupum ( Exper. II.) viridi colore inficit, tam colore et fipore , quam odore fuo fingulari, quo particulae ipíus volatiles ac fubtiliores nares feriunt, coguofcendum ; 4) Terram calcariam , ab affüfo alcali fixo (Exper. IV.) vinculis íuis liberae tam. Maximam autem huius partem , quam et man- ducatione fola iam detegimus , fpirituum acidorum ope ex ipfa Zoophyti fubftantia , cui artius inliaeret , de- mum elici poffe, Exper. VIIL, IX. et X. optime cla- rum eíl; neque minus ex his patet , eo expeditius et impetuofius factam fuiffe eius folutionem , quo fortior adhibita fuere menílrua, wt et,, quo magis a particu- lis bituminofis, quibus quafi inuoluta erat , macerando fruftulum ía aqui, liberata atque denudata fuerit ; inde etiam intelligitur ; cur fruftalum , Exper. IX. adhibi- tum , petierit fundum , cum fimile , vtpote bituminofo íui0 iam ex parte macerationc orbatum , hincque leuius factum , f(üpernatiret ; 4) Oleum animale vola- !ie, Exper. XI. igois ope demum productum , magna fatis in copia, cornu vel lauae ambuftae odorem fpi- rans. Nec dubito, fub eadem operatione etíam exi« guum falis fixi quantitatem: fuiffz elicitarm , quamuis ex- perimento exiftentiam eius ob nimis parcam, quani füppeditabat fruftulum , copiam: probare nou potuerim. Dam Exper. VIIL, IX. ec X. inftituebam ; acida iu cortice omnium maximam , in medulli minus impe- &uof(am , in parenchymate vero minimam , vel plane gullarni HISTORIA. 373 aulam excitaffe efferuefcentíam , obferuare licuit; id quod cum co, quod in differtationis limine iam expo- fitum füit, exacte conuenit ^ Quod bituminofi, ab aqua foluti, pars neque ab alcali, neque ab acidis affu- fis fuerit mutata , Ííed intacta plerumque relicta , color flauefcens, per omnia fere experimeuta perfiflens , pro- bat íufficienter , et quam fubrile ét imimutabile illud fit principium ; facile inde colligitur. Plara quidem , optauerim valde, wt Zoophyti huius experimenta ; inprimis deftillationis ope , maiore in portione capere potuiffem ; attamen ex modo re- cenfitis particularum eius conffitutiuarum cum. . particülis Coralliorum: conftitutiuis ; caeterarumque omnium plan- farum marinarum , couuenientiam «et animalem non inus, ac harum ; indolem fitis patere arbitror. Quamuis autem éxigua e quantitate ; quam ex- perimentis impendere licitum erat , rata fingulorum principiorum pars accurate detetmisari mequeat ; pro €erto timieu affirmare aufim, terra calcaria Geratophytis jc Coralliuis veficularibus (perius quidem , (ale volatili Oleoqué animali autem inferius effe , iftaque € contrario Corallio rubro et Madreporis piaeftituram » his ab iig - dm fuperatum iri Zoophytum: noftrum. ITE E DÉ- "Tab. XVI. ' Fig. 3. LU 274 4o X o )( "Bae DESCRIPTIO 'TVBIPORAE, MARIS ALPi INDIGENAE. Auctore I. T. KOELREVTER. , Vubipora emofa , jinterflitiis Jubrotundis diftincta dubulis ramorum —confluentium — fi mplicibus , flexuofis , aggregatis et .conglutinatis. Defcriptio. "Tubipora haec, quum ab ima, eaque anguftiore, bafi ftatim. ramofa .exfürgat , et multiplicatis iugiter ra- mis in longum .et latum íe .diffundat , acaulos et ex omni parte vniformis eft: tota quanta íc. ramis mutuo amplexu fefe excipientibus, .et ad fingulum ipforum confluxum intercapedines fübrotundas, vel ouales, efficien- tibus con(tructa. lpíi autem :rami «mera funt tubulorum innumero- rum, gracilium , fimplicium , varie flexuofi et incondite paralleli reptatus, e ramo in ramos modico füb diuergio - ac obliquo fub ductu ad fe inuicem excurrentium, .cae- mentoque fubtilifimo temere .conglutinatorum faíciatim digefta .congeries. Sic fociali inftin&u «niti vermes mmetuendis iniu- ris pares funt, difperfi facile ;perituri. Nátisoieni tubulerum longitudinem definire :vix aufim : termini enim , et, quibus circumícribuntur , -ori- ficia, DESCRIPT. TPBIPORAE. MAR. 3j4$9 ficia, hinc et inde' tam fpar&m,, quam gregatim, confpi- cienda,. an a natura. fuerint, an: cafa, fa&a, non patet ;. vtriusque. effe gcneris omuium maxime: probabile eft. Diameter fingulis aeque ac omnibus idem e(t Conflanter,: et vndiqueuerifum o&auam' vix: fuüperans lini pari. partemi; Tefta: eft. € grifeo feu fordide' albicans: exterius ,. interius candida, fübílantiae; calcatiae/ tenüiffima. ac fragili(fima.. Pondus: 3iij,. 2f adeoque magnitadinis refpectu valde: Eos | | Caeterum. Tubiporam hanc in interítitiis fuis fo- Vere vnum alterumque :perpufillum buccinum ,. mytilum atque. Fucum. foliaceum',. immo: adnatas fibi ,, tanquam comites: indiuidüos',. cochleas',. ferpulas,. efcharae cornuta rudimenta, milleporaeque: prolem circumferre ,. notan- duin ;: id! quod! ei! cum! plurimis Zoophytis familiare eft. Denique. etiam: corpu(cula: lentiformia, e rufo: fla- vefcentia:,. meram: exficcatam: referentii. gelatinam! eidem fatis migua' iv copia! leuiter' adhaerere ,, non: omittam ,. licec. dubius: fim, vtrum pro: polyporüm;: aut vermium; exinüiis, an' pro animalis: cuiusdam: marini: ouulis, ea ha- Bere: debeam. XQX UK OX UK Inter corpora: Sitiimha : Pase de intima: naturae vegetabilis et: animalis: vijone: teftantur, non: vltimum: tenere locum! Tu»iporam noftram ,. quis; non: perípicit ? Ex: rambía! enim facie; quie vegetabilis: eft;. cam fi'quis iudicet plantam, ex: tubulbtum: ftru&ura: et: natura: ver- Baum Opus pronunciabit. Vtrique- fententiae vtigüe- non deeft: 575 . DESCRIPT. TVBIPORAE MAR. E deeft ratio. — Pofteriorem chemica analyfis probat vite- rius, analogía ifluítrat : 3) Spiritus acidi efferuefcentiam in tubulis excitant, omnem: foluéndo terramy calcariam, quae potior eft eorum 'pars conflitutiua. ^ Quod intactum relínqui- tur , ipfe contextus vaforum organicus eft, indolis glutiriofàe , priftinam prae fe ferens formam tubu. lorum. Hic, ptunis inie&tus, coru ambufti odcrem de fe fpirat , certum olei animalis volatilis alcalini indicium , et carbonem exhibet, iftius carboni fi- millimum. | Eadem quoque, quae tubulorum contextus, cor- puículorum lentiformium , füpra memoratorum, na- tura efft. &) Affünitatem noftrae, ià hunc vsque diem incogui- tae, cum aliis Tubiporarum fpeciebus, quae. apud Auctores paffim occurrunt , exempla probant fequen- tia: 1) Corallina tubulofa, ramulis tenerioribus , in lapidem conuerías /Memorabi!. Bafileenf. 1714.8 . Bafil. germ. ed. Part. l. pag. 94. Tab. |. fig. k. et Part. 11. pag. 180. Tab. II. fig. d. 2) Marfil Hift. phyf. de la mer 'Tab. IV. Fig. 15. 3) ibid. Tab. M. Fig. 9. fed Fig. 1—15. deficere deícriptiones, dolen- - dum. 4) ibid. pag. 153. lin. 9, 10, 11 et pag. 154. lin. 1 et 2. Tab. XXXIV. Fig. 168. No. 6 et 4. breuiffimis verbis defcripta. — 5) Tubularia purpurea Tourn. infl. 515. t. 542. 6) Argenv. Concb. p. 352. Pl.:29. Fig. B. C. D et E. ) CON. [22] * SS. Oo X Ba 377 CONTINVATIO HISTORIAE ZOOPHYTI -MARINI E GORALLIORVM GENERE. Auctore I. T. KOELREV TER. - dp fic dictas marinas ia ftupendnm faepius excres- X cere maguitudinem , qua terrae arbores non raro €xaequánt, tam hiftoriae naturalis Ícriptorum, quam pe- regrinatorum , aperte te(lantur relationes; fide diguiflimae. Memorabile eiusmodi corporum marinorüm exem- plum praebet Coralli fpongiofi truncus *". e Gazo- phylacio Petropolitano — depromtus. Quamuis autem iüferior eius extremitas non circa radicem , quam vo- cant, abíciffa effe videatur, omnesque praeterea. rami , quibus ipfe olim füperbiit, mutilati fidt peífime , ex reliquo tamen infignis , ad quam ,excreuerat Corallium, aeftimari poterit magnitudo. — Nec baec vnice eft, quam mireris; forma non minus et flructura , quum ad intimius perfpiciendam Coralli huius naturam conferre quaedam pofünt, admiratione aeque ac inuefligotione . funt digniffimae. Quum: vero praefens hoc exemplar, vtpote omni- bus notis effentialibus conueniens, pro vna eademque cum ifia fpecie , cuius ampli(hmam — IHlaftriffimae | Aca- demiae tradidi defcriptionem , fit habendum , non nifi accidentales, et, quas proprias habet, notas receníebo ,. et tanquam appendicem illi fübnectim, Tom.VII. Nou. Com. Pbb Truncus 5378 HISTORIA * * * T5. XVI Truncus * hic, 3 ped. x poll. 4 lin. altas, in- Fig. et2. ferius ** 4 poll. Jatus et 1x poll. 8 lin. tantum cras. ""lab.XV. fus, hinc tam ab antica, quam poftica facie valde com* '& T preffus, reda primo aícendit ad x ped. s poll. vsque, iude fübito et maxime inclinatus pedali et arcuato flexu pergit, abhinc in re&um denuo extenfüs, leuiori tan- *Tab.XVI dem proclinatione terminatur. ^ Latitudo ?* eius et "EXVI craffities *** ab inferioribus fuperiora verfus fenfim de- Fig. 2. crefcunt. Vtraque facies non modo plana, fed hinc ct *""DI;b.xv inde etiam in medio plus miuusue prcfunde finuata **€*, Fig.8.2. et [atera. 3999€, refpectu facierum , anguíta quidem , aft Fs nd 'conuexa valde. Ramis haec penitns deftituuntur ; pla- »""* "Tub na autem vtraque ficies viginti feptem circiter, variae XV.Fig 7. diametri ac fine ordine fpargit, a pennae olorinae ad e gone pollicis immo et fesquipollicis craffiiem , ex parte ad- Fig. , 4, huc füperftites , mutilatos **, partim penitus refci& *Tab.xvI. fos "*, — Coaluiffe horum vnum, minorem ?***, cum Fig. 1. b. alio maiori ***9**, füb angulo acuto , ita , vt inter fe XVL Fi. ct truncum , e quo vterque prouenit , interftitium relin- ;.c c quant triangulare , notatu dignum : proprietatem enim ** "Tab vegetabilem potius, quam animalem, et huic Zoophyto, Ad Fig. vt plurimis aliis, conceífim indicat. J, * EC Tab Color ab ima truaci parte veríus füpremam e id Fi&- (ordide luteo fenfim fenfimque in cinereum abit. Odor nullus. Sapor falis vix quicquam prodit. Sonum edit digito pulütus, qualem — vafa fi&ilia edere folent. Pondus 4 18; 3), Sj, 3j. Cortex ZOOPHTTI:.MAÁRINI. -$9$9 Cortex. in parte trunci inferiore rimas ^?* non tantum egit plurimas , a fubitanea foríin exficcatione ortas , fed variis etiam locis rudi contreciatione eft de- tractus, . Papillae per dimidiam trunci partem obliteratae , caeterum non rninus copiofae et aggregatae, quam in Tab. XIII. Fig. rz. Tubercula * ftelliformia , polyporum exuuiis foe- ti, adeo rari, vt vix viginti per totam trunci fuper- ficiem difpería numerauerim. Parenchyma compreffam magis, nec adeo laxum, quam in caule, Tab. XIII. Fig. x. depi&o. Durior in vniuerfum etiam fubftantia , ne medullari quidem excep- ta, hinc fciffu etiam paullo difficilior. Quod in priore differtatione de medullae canali- bus dictum fuit, et de hoc valet trunco , fi excipias tantum , maiora ductuum lumina in transuerfa bafis fe- &ione * non in medio, fed ad latera potius et pa- renchyma veríus hinc et inde effe confpicienda , licet in fuperiore truuci extremitate , ac in eius ramis trans- verfim diffe&is , eodem modo, vt in iflo caule, fupra deícripto , fefe habeant. 3 x * Ramuli uonnulli tuberofi huc quoque fpe&ant , e caulinorum genere, trium quatuorue pollicum longitudi- nis, tnberculis ftelliformibus plurimis praediti, qui cau- lium huius trunci deperditorum olim fuiffe videntur particulae; iftis enim in Tab. XIII. depi&tis omnino fimi- les.funt , excepto colore , qui rofeus eft in cortice la- , Bbb2e . — biisque "Tab.XVI. Fig. 1. 4. v Tab.XVI. Fig. I.€. € vTab. XV. Fig. TA EL HYSTOOWWXTT biisque- tubercualorum cum eodem continuis. ^ Obdactun ac confperfum quidem hiac et inde vidi corticis (upere ficiem. puluere albicante , íed falinas effe particulas , quae fücceffu temporis ex fübftantia effloruere , nec cor- tici naturales, guítu percepi. Praeter eas igitur, quarum mentio in priore dif- fertatione faci e(t, fíequentes in Zoophyto hoc obfer. vandae funt proprietates: 1) Nafci illud in. mari Norwegico (2), Albo (vid. Diff) et Mediterraneo (A); et quidem. ex. non. medio- cri profunditate (c). 2) Daün habere , more aliorum. füi generis ,; ame pliatam et paullatim. attenuatam. (4), lapidibus vel cons chis (e) affixam. 3) In tantam. faepius excrefcere maguüitudinem ( f), vt terrae arbores, non infimae proceritatis., facile: aequet. 4) Cor- Ddt. — — Ling: (a) Worm. loc. Mif qf. pag. 120. "i ) Marfil. loc. cit. Cc) Marfil. pag. 163. ait: ,, Les Pe&theurs l' accidiiond ordinairement- avec l'hamegon à un fonds de 4o et 5o Braffes, et Lintaeus: de fuo refert loc. cit. extra&dum effe. profunditate 380 pedum. 4) Worm. loc. cit. 5, Caudex infim3 parte. dilatatur, vt manie. »ftfle appareat , fcopulo eam inhaefiffe, non quidem. in fibras. ;,,Tadicum diuaricatur ; fed in amplitudinem. paullatim. attenuatam: oy EXtenditur , in ambitu pedem ferme aequantem ,. " (e) Marfil. loc. cit. ,,elle croit für des pierres ,. et. fur. des coquil-- lages.,, Conchae inhaerentem: vid. apud eundem Tab, XXXIX. Fis. 178. (f) f) Quin Worm; loc: cit. alterum. et integrum indiuiduumv, lone. gitudine quatuor pedum, ad bafin craffitie tantum brachuali fvcritg, ZOOPHTTI MARINL gs 4) Corticis colorem in recens extractis album effe "d bafin, paululum fupra hanc albo rubroque mixtum; indeque vlterius per caulem ; omnesque. ramos , non nifi rubrum (g) ; rubrum vero hunc colorem in non. nullis in purpureum , in aliis ia coecineum ; in pluri- .bus tamen in flauefeentem (5) vergere , feu auroreum 5$ huncque pofteriorem fub exficcatione Corallii in albido- luteum, feu flauefeentem (i), qualis Zinziberis eft, de- Bbbs gene« | ————————X————X a ———————— P et Cel. Liwaei exemplar, licet pedes 2I attigerit, caudicent truncatumr vix brachii craffie Babuerit , facile liquet , quid de ma.nitudine noftratis ,— cuius trunci inferior, eaque reftiffa, ex- tremitas 4 pollices lata eft; et i&ias a Cel. Pontopp. loc. cit. pig. 273. Ll defcripti ,, et "Tab. No, 2. Fig. No. r. delineati indiuidui, cuius truncum feptem pollices latum effe legimus , ftatuendum fit. — Hinc, quam modo laudatus Av&or fub de- fcriptionis finem expofuit: , CYBie a8 aufferffe Der Qweige ,,befbaffen gemoefen , Eann id nicht fagen , oeil. fie , feibert p alle. abgebroden fínb; unb wenn Diefe8 nid twoáre, fo y müfte fonft Die ganje 9lusbreitung Derfelben nad) Sos ,/ portion fo arof fep, baf man oiefen 9Iff oielleicbt. nicb£ jm mein aus, gefibroeige in mein: Gabinet, moürbe baben p bringen: Éónnen,, iufta omnino conie&ura cft. (g) Marfil. loc. cit. Le pied en eft entierement blanc ce blanc tn peu p'us haut, eft mClé de rouge, et cette derniere couleut fe répand par tous les ramcaux ,.. | (b). Idem. loc. cit. .,, Ce. rouge n'eft pas femblable en toutes les plantes de cette. nature; car en quelques-unes il tire fur le poarpre, en d'autres il eft vermeil, et en pluüeurs il eft - jaunátre;,. Ci) Wormii omnia ndiuidua , quae ex Norwegia ad eum funt delata, coore albicante ad flauedinem tendente, qualis in Zin- zibere oberuatur ; praedita fuiffe; ex loc. cit. patet. . Vid. etiam | Postopp... loc. cit. pag. 275. No. 4,—— et noftr. caulis ramofus, in priore differtatione defcriptus, vt et truncus modo: expofitus, 382 AW nQGumuu generare ; attamen et exficcata inueniri , miniaceo (7), faturate rubro (77) , et rofeo (z) colore praedita ; pa- renchyma ormnibus effe flauefcens (0), albicantem (5) . vero dmeduliam. 5) Truncum , - vt in Corallio rubro, aliisque , in regione bafi proxima, maximam (4) habcre crafhitiem. 6) Trunci ramorumque ipfius principum vtramque Tab. XIII. faciem effe compreffam .* (»), eandemque communiter Fig. r. P. ramis praebere ortum "* ac bafin, omnes confíequenter T XVl et finoulos ramos in vno codemque plano. contlitutos , f. AFig d trunci "caulinmque planitiei direde oppofito? qua in re d. d. Keratophytorum indolis particeps fadum cff Corallium "" Tab — noftrum. 2) Truncum prius, quam in ramorum brachia fe fpargat , notabile crafftiei capere incrementam , fuoque yolu- (1) Ciufi loc. cit. Arbufcula cortice te&a erat. rubri coloris, vt minio: inducta videretur, qui an afcititius fuerit, ipfe fuo | tem- pore ignorabat, Sed erroneam JJormii fententiam loc.cit. 5, Co- » lot rubicundus, qui in Cluf planta vifebatur, non fuit na- »turalis, fed afcititius, - vt recte fufpicatur. » recentiorum. ob- ' feruationes fatis demonftranr. pm.) Pontopp. loc. cit. pag. 275. din 4. et Lim. loc. cit. (2) Idem loc. cit. pag. 2735. No. (0). Lim. loc. cit. ,, Interior is ( qui nobis parenchyma dici- tur) a fubftantia lignofa confiftentia molliore et flaa diftinguitur et£.. y; (2) Clu loc. cit. —— Poutopp. loc. dit. pag. 273. No. 1 —— et Lins, Muf. Teff. pag. 120. («) Vid. Clu. Worm. et Marfil. 'Tab. XV. Fig. 74, et Tab. XXXIX. Fig. 158. No. 1. (r).Ponropp. loc. cit, pag. 273. 1. et Lim. loc, cit. —,, Caudex —— verfus inferiora parum. compreffus,,, ZOOPHTTI- MARINI. 383 volumine paucos iílos ramulos, quos ab ineunte ado- leícentia extendere folet, longe füperare ; hanc fine du- bio ob caufam , vt pluribus ferendis par fit, et aetate grandefcat. 8) Eundemque ingrauefcente aetate, multiplicatis iugiter ramis tuberibusque ; paniculam (5) formare in plano ampliffimam , ac verfus alterum latus nutantem , vt, expletis naturae finibus, proprio tandem fub onere concidat. 9) Corticem a parenchymate , hocque a medulla tam quoad fubftintiam , quam (tru&turam , effe diuer- fifnum , et ficile a (e inuicem diftinguendum ; hinc vnum in alterum non mutari, fed medullae aeque ac parenchymati fuam , a natura conceffim, vegetatiuam indolem effe , patet. 10) Corticem parenchymati , pareachyma medul- lae arctiffimo eoque ingenito nexu effe coniunctum. 11) Papillas in nudis trunci " regionibus, quae tuberculis carent , non maiori inter fe diflare fpatio , quam ia fimilibus ramorum tenuium locis; increícente itaque medullae perimetro easdem augeri numero, Oportet. 12) Subflantiam vniuerfim in ramis teneriorem fpongiofiorem ac molliorem effe, quam in trunco. ; 13) Cor- € 5) Clu loc cit. ,, Arbufcula —— in multos ramos laterales cos- que in anteriorem partem nutantes diuifa ,, ldem etiam. Jor- mius femel itrumque affirmat loc. cit. et Linn. Muf. Te. »Rami —— füperiores —— qui panmiculam.conftituunt —— , pa- rum mutant verfus anteriora, ac ít haec arbor crcuiffet ad latus *üpis (übmarinae,,. *Tab.XVI. 354 HISTORIA 15) Corticem vbique fere eiusdem effe. cra(fitiei , compactum vero magis, duriorem, maiorique ter. re(trium particularum copia infartum in trunco , quam in ramis. 14) Parenchyma in trunco ramisque crafüoribus "Tab. XV. tenue quidem mentiri ftratum ", aft compactum et Fig. 7.2.4. compreffum magis eff&, quam in ramis tenuioribus , eren eorumque tuberibus, in quibus fpongiofius et laxius eft, 9.44. Tab, àc Và cum polyporum cellis plus fpatii faepius, quam XVI.Fig. ipfa medulla, occupat. 3.g.etFig. 15) Truncum * ramosque ** principes puram fere 2. €. "Tab, xy, Pütamque effe medullam , hancque eondo fenfim ra- Fig ;.er Hefcere, et gracilibus in ramulos *** tuberaque *"*** jm- Fig.9. miüffs propaginibus terminari. Tab. 16) Medullam € fubftantia conftare fpongiofa , et XIII. Fio. ; : : à ; - * Tr '' canaliculoram congerie longitudinahum , breui vtpluri- XV.Fig.g. mum itinere interruptorum ; «et plus minusue fexuofe Tab. XVI. excurrentium ; €x his oriri alios angufliores, perbre- Tig r5 ves, indifpofit ac indifreto ordine oblique in latera 2. f. 5' fuperficiemque medullae fubreptitantes , eorundemque """Tab, extremos fines, vifum pene effugientes , veficulofo fpon7 XV.Fig.8. piofo medullari contextu intercipi. á Ev i 17) Ramorum, tam ex trunco, quam e cauli- wa bus, prorumpentium , productionem fíolius veficulofo- . XIIL.Fig. fpougiofi medullas contextus vegetabilis effe attri- D o BU. 18) Tuberculorum , polypis foetorüm , nurcerum , refpe&u ad locum , cum medullae decremento increfce- re; hinc in trunco ramisque primariis omnium rari ma, in ramis fecundariis copiofiora , im extremitatibus ramue ZOOPHTTI MARINI. $85 ramulorum tuberofis ipfisque tuberibus copiofiffima ; maximumque eorundem prouentum , vt plantarum fru- étificationem — animaliumque generationem , vltimum Plantanimalis effe finem. : 19) Zoophytum hoc, b initio vegetabilem ma- gis, quam animalem , actate increícente — plus. plusque fenfitiuam viuere vitam. 20) Labia tuberculorum cum cortice effe continua, polyporumque tentaculis arciflimo | et ingenito nexu coniuncta ; vt et 21) Polyporum exuuias in omnibus , ne vetuftif- fimis quidem exceptis, tuberculis deprehendi fuperftites; hinc, vt e cellis finis vnquam demigrare queant poly- pi; fieri nullo modo pofíc. .22) Eosdem polypos, in cellis contentos , Zoo- phyti effe opus ; contendere vero velle , Corallium ru- brum, vel molle hoc, et Keratophyta x ipforum po- lypis ftrii , non minus ' ridiculum , quam arbores a fuis exftructas dicere floribus. 25) Denique Corallii noftri, probe licet exfic- cati, ramulos teneriores in aere bumido rurfus emolle- fcere, et , Hlexibiles fieri,, monendum. NB. Tab. XIII. Figurae omnes naturali Tab. XIV. Figurae omnes aucta y Tab. XV. Fig. 2, 2; 3» 4» 5» 6 au&a : — 75:85» 9 et xo naturali magnitudine expofitae, Tab. XVI Fig. r. et 2. ad tertiam partem imminutae. » Tom.VII. Nou. Com. Ccc "7060. * Tab.XV. Fig. 1:0. * "Tab.XV, Fig. 10.2 ** ibid, 5. $* ibid. c, * ibid. 4. 386 HISTORIA * * * Zoophyto ifti, e Coralliorum genere, fpongiofo , cuius füccinctam llluft. Academiae tradidi defcriptionem, adiungere liceat ex eodem genere tuber * pyriforme , nutans, quod in Gazophylacio Petropolitano inter Co. ralii rubri ramulos, leuioris momenti habitos, diu fa- tis delituerat. Eft autem hoc tuber ratione fliructurse et fub» ftantiae. priori. (imillimum , excepta tuberculorum fielli- formium magnitudine , quae paullo minora funt , colore incarnato , et pyri forma , qua differt. Carneo autem colore folus eft imbutus cortex *, parenchyma ?*** flaucfcenti, albpicante medulla 3€?€*, Labia * tuberculorum veram corticis effe conti- nuationem , et in hoc fübiecto ex colore fatis fuperque elucet , quippe qui iis cum cortice vnus eft idemque ; immo vt alterius fpeciei labia ccrticem albedine ex«el- Junt, ita eadem in hac quoque faturatiore, quam ipfe cortex , rubedine tincta funt. Extra omne itaque pouxur dubium, quod in priore differtatione de labiis contenderam. De reliquo tuber hoc tubercula flelliformia | ex omni parte gerit, inque fmi medio confiflentem SE: medullam. Ex ZOOPHTTI MARINI. $87 Ex forma igitur reliquisque attributis illud Arbu- fculae , a Cel. Pontoppidano in Hift. Norweg. Tab. I. pag. 2975. V. defriptae , et Tab. No. 12 , Fig. No. 5, delineatae particulam effe, fücile iudicauerim , pro certo tamen nemini obtrudam. ^ Specie interim ab antece- dente differre , et. forma et tuberculorum — paruitas vi- dentur innuere ; fípecificum vero nomen «ci imponere €o vsque differam , donec maiorem huius Corallii por- tionem aliquando videre mihi continget. CINGLS-EROHIS WRcISuC SERERE eo mactnnr One EIU) GESPODRUTTEMPR- LE) GURCSUNpepeg Cour qup Ra meo Doro c HERES Ccco ODBSER- 588 ET. 2020 — OBSERVATIONES METEOROLOGICAE FACTAE PETROPOLI,; ANNIS MDCCLV. ET MDCCLVI. ST. V. ET CONSECTARIA. Auctore 1. A. BRAVN. bferuationes meteorologicae vltimae, quas in Com- mentariorum nouorum Tom. V.exhibuimus, per- tinent ad annum 1754. n praefenti igitur ordine fequuntur obferuationes annorum 1755 ct 1756. Quam methodum in füperioribus obferuationibus adhi- buimus , ea et hic vfi fumus , eadem quoque infiru- menta fÍunt vfurpata ; plura igitur circa. methodum. et inftrumenta monere quum fuüperfluum videatur: flatim ad ipfas obíeruationes repraefentandas progredi licebit. Sequuntur primum altitudines barometricae füummae et infimae menfium fingulorum, intelligendo pedis Parifien- fis pollices duodecimales, eorumque partes cente(imas, per quas variationes ponderis atmofphaerae borum duo- rum annorum hic Petropoli innotefcunt , dein varia- tiones caloris, quas obferuationes thermometricae often- Qunt , denique meteora potiora. Altitu- E CBSERFVATIONES . METEOROLOGICAE. $89 m Altitudinum — Barometricarum Annorum 1755 et 1756. Summa. | ]Infima. ^ Differentia. lanuxii ^ zroetr2 . 28.80 -- 27.47 die 2 - 1.33 Februarii ^5 . ^.:28.60--27.95 - 18 - 0.65 Martii 5. .528.58--27.50 -58 - 1.23 A prilis 29 4... 28.53-27.43 - 19- O. gO Maii 24 . .28.45--27.72- 12 - 0.73 Iunii 18... . 28.23 -- 27.63 - 153 - 0. 60 Iulii 6... .28.25--27.45 - 19 - 0. 80 Augufti 7 * .28.50--27.40- I-I.IO Septembris 7.8.9. . 28.55--2764- r-O;.7r Octobris 18 |... 28.35-- 26.95 - 24.- 1.40 WNouembris; 4 |. .:28.20-.27.15 - 28 - 1105 Decembris 10 . . 28.52--27.30 - 18 - 1.22. Ergo Maxima huiusanni 1755.28. 80. Minima 26.95. iDifferentia et Varia&io annua. 1.85. d nns 1756. Tannuri 25 . 28.65 -- 27.05 d. 3-r.60 Tebrurii 2x1 .2823.-- 27 30 .- 5-0.99 | Marii 2.3 .28.85 - - 27 13 /- 14- 1.22. - Aprilis; :| 2.. 28.50 - - 27.63 - 298-0.63 Maii 9o. 28:83! 527.30/ ss 3 - o. 6go* Junii 74 28.90 9 - 27.45 /.- 22. 0,85.» ]ulii 8.28.43 -- 27.62 - 295-0O.8r Augufti 1.28.85 -- 23.75 - 22-0.62 /Septembris 9. 28.62 - - 27.43 ^. 24-1.20 Jüobris 28. 28.6012 -- 29.41 - 25- 1.20 L Ccc 3 INouem- 390 OBSERVATIONES Nouembris 22. 28.73 - - 27.29 - I-1.4$ Decembris 7. 28.80 - - 27.72. - x10-r.o8. Led Maxima igitur hoc anno eft 28. 80. Minima 27.05. Spatium variationis altitudinis mercurii annuae 1r. 75. Eft igitur maxima. huius anni xr756 altitudo aequalis fummae altitudini barometricae anni praecedentis 1755, quum duorum horum annorum altitudo fumma. fit 28. 80. Quodí haec fümma altitudo. comparetur cum fumma altitudine annorum antecedentium , patefcit alti- tudinem íümmam annorum 1755 et 1756 effe mi- norem íumma alias hic obferuata. —— Fuit illa ab anno 1750. 29.10. quie 175c. lanuarii 15 e(t ob- feruata , indicata nobis Commentariorum nouorum "Tom. V. p. 578. | Ad hunc annum 1750. vsque omnium hic obfíeruatarum fumma füit 29. o1. pedis regii paris. fiue 30. 95. pedis Loprdinenfis, vti quoque in laudato Tom. V. Commentariorum nouorum videre licet. Manet igitur altitudo 29. ro fumma adhuc ob- feruatarum hic loci altitudinum - barometricarum , quae igitnr 75 fiue 3; lin. Par. maior eft fumma altitudine 28. 80. annorum 1755 ct 1756. Summa altitudo 1755 lanuarii 10. et z2 mihi notata , fub fequentibus circumftantiis contigit. ^ Ventus erat d. 15. WNW 2 et d. 12 idem ftre, fcilicet WzgNs-. Diebus antecedentibus ventus füit variabilis ; fequentibus autem ad d. 16. vsque fere idem perflitit , dein in. INN mutatus, quocum frigus quoque creuit ad x86. Thermometrum monf(trabat d. 10. 163 ct d. 1$ 162i METEOROLOGIC AE. 39! 162:. Diebus antecedentibus et fequentibus proximis minores frigoris gradus fherant obferuati — Dies 1o et I2" 5 erant nubili , vti quoque dies proxime antece- dentes et confequentes. | Minima barometri altitudo 1755 füit 26.95 Obíeruata mihi Octobris 24; anni vero 1756 mini- ma 27.05 notata Ianuarii 3. Et haec et illa altitudo minima maior eít altitudine minima alias. hic obferuata, fcilicet pollicum | 26. 41. pedis parifienfis, fiue 28. 18 pe- dis londinenfis. — Quum igitur fpatium variationis Mercurii 1755 íit 1. 85. ét anno 1756 1. 75; fpatium in- ter adícenfus terminos et deicenfus Mercurii in tubo- torricelliano manet idem , vti anno 1750 efít deter- minatum, ícilicet 2. 69. —— Manet igitur media quoque alitudo eadem 27. 75: (iue 27 pollices et 9 lin. pe-- dis par. intelligendo medium arithmeticum inter altitu- dinem fummam et infimam, quo fenfu Kraftius mediam altitudinem fumfit , quum alias fatis conftet, per mediam altitudinem communiter eam intelligi , quae refulat, fi fümma altitudinum per numerum obferuationum | diuida- tur, qua ratione et mediae alitudines menftruae et anpuae erui folent , quas; quoniam vtilitate non cae rent, forfian in poíterum quoque addemus. Caeterum | adaotanda adhuc funt antecedentia , concomitantia et confequentia ; füb quibus horum duo- rum annorum altitudines minimae contigere. — Altitado minima anno 1755 Odtobris 24 Oobferuata 26. 95. contigit vento W S W. antecedente et confequente ven- to vario. "Thermometrum monftrabat 148, et regela- batur. Nubilum erat mane, fed coelum dein clarius facum nox f(íerenilüma ít fequuta Dies antece- dentes $92 OBSERVATIONES dentes 3 die r5.erant nubili, et dies quoque fequéntes 235. 26. 27 et amplius, generatim vltra. fex: dies hoc menfe feredi. non fuere ; caeteri nubili, pluuiofi et niuofi. Mercurius ab 28.55 d. 18. h. zr. p. m. ad hanc altitudinem minimam defcendit. Infima altitado 1756 Ianuarii 3 — 27. os -fub fequentibus circumfltantiis accidit. — Dcícendit. mercurius ab altitudine 28. 80 ad hanc à die r. . Ventus erat SW, antecedens S et fequens O, dein IN. Thermome- trum 150 mon(trabat, diebus antecedentibus 147 et 148, diebus aliquot fequentibus ab z48 ad 159. variabatur. Dies 3 fuit nubilus et niuofüs, vti ^ quoque - proxime antecedentes et confequentes. .Quum haec: minima alti- tudo 1756 meníe lanuario contigerit, illa -vero. 1755 menfe O&obri ; et ex hifce et aliis multis adparet, mi: nimas altitudines certis menfibus non euenire , vti quo- que maximas, fed promifcue quolibet menfe ét fub diuerfis quoque circumflantiis. : Si differentiae et variationes menftrüae nibicie tur et confiderentur , patet in' differentiis et variationi- bus menítruis anni 1756 legem illam fatis adcuraté obíeruari , qua variationes menfibus primis et vltimis quam mediis, maiores effe folent: fed variationes men* firuae anni 1755 exceptiones menfibus Februario et Augufto ficere videntur. Nam menfe Februario diffe- rentia eft tantum £5 fiue fere oco lin. parif. adeoque folita minor ; contra menfe Auguíto folita maior dé- prehenditur, fcilicet x poll. r lin. et quod excurrit, fed h:rum exceptionum cauffa procul dubio ON in- folitae huius menfis, eft adfcribenda. . :Caete- HETEOROLOGICAE. 395 1 "Ceterum differentia vel variatio menftrus. maxima b 1755 — 1. 40: menfe Octobri , et miniraa S meti- fe lunio. Anno vero 1756 maxima fuit x. óo men- fe Ianuario, et minima 4 menfe. Auguflo. Differunt igitur hae maximae et minimae differentiae , vti men- fibus, quibus funt notatae, fic quoque quantitate , licet aninimarum parua differentia fit. — Vt eo minus de adcuratione. harum obfíeruationum quis dubitet , mone: mus, nos has inftituiffe , et adhuc inftituere folere, fecundum fria Barometra fimplicia fatis exacte concordantia, quo- rum tubi fere. aequales funt ,. diametri fcil. 2 lin. et quia mutationes in Darometro Hugenino (unt fenfbi- Hores, ita vt initium defcenfus et -adícenfüs fatis adcura- te ab attento obferuari queat , quod in barometris fim- plicibus fieri non poteft, certe non tam facile, adhibui- . mus fimul ad huuc fcopum Barcmetram THugenianum , quod. xti confiat, alias altitudines fat fideliter non monftrac. Caeterum has altitudines barometricas effe in- fütutas in altitudine fupra: Neuam fluuim circiter 15 pedum iam monuimus. Haec hactenus de obíeruationi- bus barometricis , fequitur vt ad thermiometricas pro- grediamur. Et hae quoque obfernationes fecundum tria €t plura thermometra fitis exacte concordantia factae funt, ad qnae, quod iam conftat, fcala Deliliana eft adplicata. ')Compofuimus 1755. tabulam comparationis vfitatiorum thermometrorum , comparauimus vfiratiores fcalas there mormetricas cum noftra, vt vno obtutu gradus fcalae no(lrae , non adeo alibi vfitatae , cum aliis comparari poffint. — Sequati fumus in ea conficienda pctiffimum George Martine, zn. Effays Medical and Pbibfopbi- . Jem.VII. Nou. Com. Ddd cal $94 OBSERFATIONES cal pag. 215 Tbe comparifon of different tbermometers, €t proprias experientias , quas alio tempore commu- nicabo, quam hic adiicimus. Obferuationes thermometricae, maximum €t mini- mum «caloris gradum cum differentia per fiogulos men- : fes anni 1755 exhibentes, funt, quae fequuntur. Calo: Minimus, Maximus. Differentia. lanua | 23. - -- 192 .. 1481d. 8 .- 453i Febroatlü — 12.13.21.18931 - :x481d. 17 - - 935 Martii 8.- -- 173. 7 - 187. 29 - - 36. A prilis 10 ct 13. 160 - - 126.22.27.28.- 34 Maii 16. 142 - - 106. 3e - - 36. Iunii XI. 135 -- 104. $0-- 3r. lulii 30. IS3I - - IO9. 34s 22. Augufti r8 et29. 136 - - r18.7et22 - - i8. Septembris 13. 14. | 145 - - i24. I.- - 2I. Octobris — 23. 55 -- 133. EF. 7.- - 20 Nouembris 24. 172 - - i4I. $--3r Decembris r2. 183 - - r48 17.18.19- 55 Frgo frgus maximum 192 et Calor maximus 1:024. Differentia et variatio caloris annua 88 graduum. Annus r756. Yamnrii &. 178; - * 146.1» 30 .-- 32* Felruarii 24. 174 - - r42. II - - $52. Martii r. IO. - - Er28. 30 - - 42. Aprilis J4. 183 .- - i16. 29 - - 37. Maii METEOROLOGIC AE. 395 Maii $. I49 - - IOS. 25 - - 44. lunii | 3. 138 * - 105. $0 --33 luii $8et 30. 136. - - rxo3. $5--533- Auguli —— 1r. I4O0 «-« - I2I, — HITS Septembris 8. 144 - ^- 128. 24 -- 16 Odctobis 28. 161 - - Ir4o. I4 - - ?I Nouembris 92. 1853. - - r44. 4-- 839 Decembris 25. 188 - - 15241 I4-- 55i. — HER a Ergo frigus maximum 188, et Calor maximus ro3. Differentia vel variatio annua 85. Cem Minus igitur frigus huius anni 1756 eft frigore duni praecedentis 1755 gradibus 4. Differt tamen fri- gus anni 1755 maximum a maximo alias hic obferuato 9 gradibus. iNam ad hunc vsque annum maior frigoris gradus, quam 201,23 Kraffio et me obferuatus non eft. DDelilius tamen 1755 lin. 27 gradum 202i et 204 fe Obíeruaffe teftatur , in. Mermoires pour fervir au progres de ! Afironomie et la. Pbyfique. — Annus 1759. hunc - miáximum frigoris gradum mutauit, dum frigus ad 212 auctum eíl, vti ex fequentibus obferuationibus anni 1759 patebit. Infigniores porro frigoris gradus anno 1755 praeter maximos menítruos notatos fuere. | Imnuarü 1. 188. d. r7. r76 cet i18r; d. 18. 183. 186 ct 1895 d. 19. 185 ct 190; d. 20. 191 et 185 ; d. 21. 180 et 183 ; d. 22. 186 ct 188; d. 24. 180; d. 25. 181; d. 26. 183; d. 23. 187; d. 28 et 29. 188. Februarii 14. 172,d. 21x. 178 ct 183; d. 22. 181. Nouembris 24. 170 et Ddda 1975: 396 OBSERVATIONES 172; reliqur dies huius menfis mitiores. Decembris 7. 177 €t I80;. d. 1o €t 12; 174 et E5350 LT £L. d. 147 r70. Notandum hic ed in quibusdam: Germaniae locis tantos frigoris gradus, quantos antea nunquam , hoc anno. effe obferuatos, (Vid. Nouellas literarias: Goettingenfes No. 59. huiusanni.) Nimirum Goettingae Februarii 8. ft. n. gradus- r9 iafra o. fcalae Fahrenheitianae , conueniens cum noftra 192:. Cattlenburgi, loco a. Goettinga circiter duobus milliaribus germanicis fito, Februarii x. ft. n. circa mediam no&em gradus frigoris 30 infra o (calae Fahren- heit. e(t notatus, conueniens cum noftra 2012. Patet igi- tur hinc primum , frigus Goettingenfe fuiffe aequale: maximo: frigoris gradui hoc anno Petroburgi: obferuato- ,. Catteüburgenfe autem fere *02 non (folum | maximumy huius anni gradum írigoris: multo íuperaffe, fed etiam omnium adbuc hic obferuatorum maximo: fuiffe aequa- lem. Non obfítantbus infignib:s hifce frigoris gradibus im Germania obferuatis, exiftimamus tamen, hiemem: liuius. anni hic Petroburgi fuiffe faeuiorem, quoniam gradus fri- goris magni. in. Germania. breuifümum — tempus. tantum durauerunt , infigniores contra frigoris gradus Petroburgi. füere conítantiores et diuturniores. ^ Durationis. autem frigoris in. diudicando- hiemis gelu effe praecipue ratio- nem hab6emdam, perfe facile intelligitur... Caeterum. tauti: frigoris gradus in. Germania. eo. magis fuat: admírandi ,. quo receptior fuit opinio; infra o. fcalae Fahrenheitii-frigus crefcere neque folere, neque ficile poffe. Frigus Cattlenbur- genfe incidit in. Febr. r. ít. n; adeoque in Ianuarii 2 x. ft: v. quo: die. hic Petroburgi frigus manc erat 183,.et:vefpert 189., :-METEOROLOGICAE. 397 180 , die vero antecedenti 20 , erat mane x 91. vefperí 1851. Frigus Goettingenfe infigne obíermatum eft. Febr. 8, ít. n. adeoque laumarii 28. quo die frigus mane erat 185 et no&e 188. node antecedenti 187. Ergo noftrum frigus maximum anni 3755 , aequale 1: 925 duobus diebus tardius hic incidit; ícilicet lan. 23, quam frigus Cattlenburgenfe , et 5 diebus citius , quam frigus Goettingenfe. Non igitur vniuerfe flatui poffe videtur frigus quafi migrare ex locis feptentrionalibus in minus feptentrionalia , vti quibusdam vifum. eft, et nonnunquam videri poffet. Infigniore: frigoris gradus anni 1756, prae- ter notatos maximos quolibet meníe, fuere fequentes, Ian. 16. 177. Satis mite frigus huius menfis fuit. et folito. minus. Februari 2r. 172. d. 24. r74 et huius menfis frigus folito minus füit. Nouembris 20. 175 et r76. d 21.7138 et 185; d. 222 185; d. 28.175. . De- cembris 1. 170; d. 4. 175; d. 5. 178 et 180 d. 6. 180 et 182; d. 7. 179; d. 23. 174 €t 1755 d. 24. 182; d. 26. 180. Maximum frigus roz anni 17553 füb hiscircuni- ftantiis contigit. —INotatum eft Ianuarii 23. hora 7. 3. m. vento vix fenfibili, vti folet in frigore infigniori.. Ventus antecedens lenis ININ Wr. et fequens IN W r füit.. Barometrum moríftrabat 28.00, ad quam altitudinem 4 28. 18 d. 20. obíeruata deícenderat, fequens altitudo barometrica fuit 28. 03 dein 27. 9s. . Antecedens obíeruatio. therenometrica monflrabat 88 , et fequens 180. Dies 25. füit fíerenus, vti quoque plerumque folet frigore iugenti. Dies antecedens. fuit quoque fere- Jus , confequens. autem: nubilas.. | | Ddds Frigus 95 OBSERVATIONES Frigus maximum anni 1756 incidit in. Decem- bris 25. h. zr. p. m. fub fequentibus circumflantiis mihi notatum. Ventus erat o et lux borealis placida. Ventus antecedens IN r , confequens autem N W 2. Nox erat fereniffma , vti quoque ipíe dies ferenus, et ante- cedeus ; Íequens autem nubilus et niuoífüs, — Antecedens frigus erat 182 et 185, fequens vero 180 et rÓ6r. DBarometri altitudo tempore obferuationis erat 28. 42 antecedens 28. 35 etíequens 28. 40. Licet igitur frigus maximum certo meníe non oriatür; vti 1755 menfe lanuario et 1756 menfe Decembri contigit ; folent ta- men hi duo menfes hic loci fere effe, in quibus frigus maximum. totius anni incidere folet. Quemadmodum in fümmo frigore altitudines ba- rometricas infignes effe folere et debere conflat, fic quoque tranquillum effe folet , et venti raro ex NNO - et O, frequentius ex INW et SO fpirare folent. Vi tranquillitas quoque regnat in magnis caloribus. Confiderauimus liactenus frigüs maximum , fiue calorem minimum , fequitur, vt confideremus nunc calorem maximum horum duorum annorum 1755 €t 1756. Parum aut nihil inter fe differunt hi calores maximi, éft enim anni 1755. calor maximus 104, anni véro 1756 — 103. Ad hoc vsque tempus maximi caloris gradus hi fere effe folent; (equenti vero tempore 6 gradi- bus calor maximus. au&us eft, vti ex. fequentium innorum obferuationibus patebit. ^ Saépius gradus ro4 eft obíermatus, vti ex antecedentibus obferuationibus communicatis manifeftum eft. — Eft igitur differentia et varia- METEOROLOGIC AE. 599 es variatio maxima caloris anni r755. gr. 88. et anni 1756. graduum 85, quae quoque parem differunt ; et fere ordinariae hic effe folent. ^ Maxima caloris varia- tio men(irua anno 1r755. fuit meníe lanuario 4352, míi- nima meníe Augutto gr. I8. Maxima vero anni r756. menfítrui gr. 44 menfe Maio, minima autem gr. 16 meníe Septembri. Maximae igitur et minimae caloris variationes vel dif- ferentiae certis anni menfibus contingere non folent , neque quantitate conuenire, quamuis multum non diffe- rant, quantitate horum duorum annorum. — Maxima intra nychthemerum — 22 , minima — o, quod faepius quoque fieri folet. — Differentia maxima adhuc mihi hic -obíeruata inter thermometrum foli expofitum et ia vmbra con- flitutum eft 30 gr. et minima fole per nubes lucen- Je 24 et 5. : Calor maximus 1:04 anni 1755, incidit in Tu- ni 3o p. m. inter 2 et 3 obíeruatus fub íequentibus circumflantiis : Calor diei antecedentis p. m. erat 105 et fequen- tis r15. Ventus erat S1, vti quoque die antecedenti, fe- quenti autem mutatus in W 2 et porro in W 3. Dies ipfe erat ferenus , vti quoque antecedens et conícquens. E longinquo tamen paullum tonuit. Barometri altitudo 27. 95. eadem quoque die antecedenti integro , fequenti vero 28. IO. fuit. Calor 400 OBSERV ATIONES Calor maximus anzi 1756. ulii s. h. s. p. m- eft obíeruatus. — Ventus erat NO» vti quoque die an- tecedenti, feguenti O et ONNO?. — Altitudo barometrica 28.22, antecedens 28. 19 et fequens 28.30. Dies erat ferenus ct fol] rubicundus, vti quoque dies antece- s , quin omnes a luli 175, iidem confequens et plures fequentes. — Maximi calores certo menfe quoque non orientur, lunio tamen vel Iulio ordinarie. Caeterum plures huius anni 1756. dies iofignem calorem habuerunt , praecipue huius menfis. Maii 25. 105;lunii 7 et z2. x10;lulii 2. 104; d. 6. 105; d. 7. 1032; d. 8. 104; d. 9. 106 ; d. x1 rur(üs 104; d. x9. 112; d. 2x. 1115; ita vt hic menf(is partim ob infignes A gradus, partim ob continuum fere calo. rem, fuerit calidiffumus. Anni vero 1755. infignes caloris gradus, praeter Tunenfruos notatos, fücre fíequentes; Maii 2r. rr2; d. 25. 108;d. 28. 109;d.29. 1115d. $30. xo6; junii 22. 106; d. 25. 110;d. 24. 112; d. 25. 107; d. 29. 1905; d. 50. 104 ; luli 3. 109;d. 4. 110 d. 5. 110;.d. 6. IrO; d. 16. 112.. Fuit gitut -ec huius anni "anelli filias omnium calidiffimus, licet. non tam calidus, quam Iulius anni 1756. — Notandum tamen eft, menfem lulium non femper caeteris effe calidiorem hic, fed multas occurrere exceptiones, yt et o nes antecedentes teftantur. Circa obferaationes thermometricas monendum adhuc exifimamus, antemeridianas noa effe certa ho- ra METEOROLOGCICAE. a4oe: ra quouis die factas, vti plerique folent, fed quantum fieri potuit, füb ortum folis; pomeridianae femper in- ter h. 2 et 5. quoniam aliter frigus maximum , et calor maximus diei haberi non poteft. Nam regulariter ca- lor maximus p. m. h. 2 et 5 effe folet, a quo tem- pore rurfus decrefcit ad. ortum íolis vsque , quo igitur tempore regulariter caeteris paribus minimus effe folet et debet. ^ Supereít, vt potiora receníeamus Meteora et Phaenomena. Primum venti vehementiores anno 13755. fuere fequentes: Ianuarii menfe nullus vehementior, caeterum venti ex omnibus quidem plagis fpirarunt , potiffimum tamen ex NN et O, vti quoque meníc Februario ean- dem direcionem potiffimum retinebant , et inter eos nullus vehementior. | Menfe Martio folo die 2'7. fuit S 5, leniores caeteri, potiffimum autem füere ex W et S. Aprilis 5. W 3, caeteri maxime ex W. Maii 9. N 9, reliqui vari ex omnibus plagis fere aequaliter fpirarunt. Menfe Junio vehementior nullus, caeteri potiffimum ex W et O. Iuli 2». W 3, reliqui potifüimum ex W. et S. Meníe Auguíto vehementior nullus , reliqui potiffimum ex S dein ex W. . Septembri nullus vehementior , caeteri autem potiffimum ex W et S, minus tamen fiequenter ex 5, quam ex W. | Meníe Oc&obri maio- rem pa:tem W regnauit, nullus vehementior. Nouem- bri vehementior nullus, regnauit autem potiffimum S et W; Decembri vehementior nullus, reliqui variabiles admodum. Tom. VII. Nou. Com. Eece Venti 402 OBSERFATIONES Venti vehementiores anni 1'*756. per fingulos menfes fuere, qui fequuntur. lan. 9 8.35 d. 27 W regnauit potiffü(mum S et W. Februarii r2 W3; d. 29 O35, reguaut W et S. Martii x2 ONO mer- curio ab h. 5. p. m. ad rr. p. m. im barometrg defcendente a 27. 80 ad 27. 67. et porro d. r4. ad 27. 15, quo die vefperi ceífauit ventus, mutatus paullo ante in W 5; d. 26 $35; et hoc menfe S. ec W regna. runt. Aprili vehementior nullus ; reliqui varii, vt fo- le. Menfe Maio itidem vehementior nullus , regnauit W et NW. unii x4 et 15 WNW s reliqui varii. Iulio vehementior nullus ; fpirauere potifüimum W et. S. Auguílo vehementior nullus, reliqui ex W et O prae- cipue flauere. Septembri venti varii, nullas vehementior. Od&obri nullus vehementior, regnauit potiffimum W. Nouembri nullus vehementior, regnauit S W. — Decem- bri venti varii , inter quos nullus vehementior. ^ Ex hife ventorum obferuationibus patet. primum, duos hos. annos a ventis vehementioribus fatis füiffe liberos ,. quum íecundum antecedentes obferuationes venti velie- mentes multo frequentiores effe foleant. ^ Deinde vnica procella Martii 12. r756. inter ventos vehemenriores notatos occurrit ;; quod etiam rarius accidit, quum noi facile annus: a. procellis hic liber effe foleat. Porro ex comparatione plagarum, vnde venti fpirarunt , patefcit,, per totos hos annos potiffrinum W deinde S regnaffe, id quod vtplurimum fieri hic folet. METEOROLOCICAE . ' 403 Ad gradus ventorum quod attinet, vel me non snonente adparet, me cüm multis aliis 4 gradibus effe contentum , vbi 4 ícilicet procellam indicat, caeterum €onítat alios in 8 gredus diuidere vehementiam venti quoque folere. ÜTonitrua et fülmina his duobus annis fequentia mihi font obíeruata. — Primum anno 1755 contigit lunii 7. h. 6. a. m. quod primum alias vtplüri- mum menfe Aprili fieri folet, quin etiam menfe Mar- tio, quod rarius. Altitudo barometrica 27. 92 , gradus thermometri i25, ventus S crant; d. 12 circa me- ridiem tonitru cum magna pluuia et grandine , baro- metri altitudine 27. 75, calore 126, vento W; d. 28 h. s. p. m. barometmum 27. 95, thermometrum 120 mon(rabant, vento 55; d. 3o tonitru e longinquo , altitudo barometri 2*7. 95 et calor o4. luli $ to- nitru cum pluuia, mane vento O, thermometro 123; barometro $8.00; d. 19 fülgurationes frequentes nocte; fed nullum tonitru. ^ Angufli r2 tonitru , vento SW, barometro 27. 80, thermometro 134. Anno 1756. Apr 3o primum tonitru mane, quo turris templi St. Petri in Caftello fülmine percutfa delapfa eft mane poft h. 5$. a. m , barometro nótante 27. $0 et thermometro i15, vento SW. Maii 4. fulgetra , calore 138, pondere atmofphaerae 28. 18 item d.-*7 vefperi fulgurationes, calore 139,. barometri- ca altitudine 28.05. lunii 2r. p. m. tonitru, vento S50, thermometro 125, barometro 27. 785 d. 23 to- Eee pitru 464. OBSERVATIONES nittu cum grandine , vento N W, barometro 27. 83, thermometro. 127 notantibus ; d. 29 tonitru vehemens ab h. ro. a. m. durauit ad h. 4. p. m. barometro 27. 98, thermometro r25, vento W. Iulii x tonitru p. m. thermometro 12r, barometro 28.08; d. 4. p. m. tonitru , thermometro: 120, barometro 28. 10 ; d. 1r et 17 tonitru, barometro 28.00 thermometro 122; d. r9 tonitru cum pluuia, barometro 27. 85, ther- mometro ii2, quod fuit hoc anno vltimum. Quod fíi hae obferuationes tonitruum vtriusque anni inter fe. comparantur, patefbit , primum tonitrua anno 1756. multo frequentiora; . quam anno 1755. fuiffe et vehementiora. Nam anno I1755. diebus tantum 5 tonitrua , eaque non "vehementia fuere, quum contra ea anno 1756. diebus 9 vtplurimum (à- tis vehementia tonitrua acciderint , eaque periculofa. Vti prima et vltima tonitrua vtriusque anni fatis diffe- runt, dum primum anni 1755. contigit demum Iunii 7, contra primum anni 1756. April. 3o, vltimum anni 1755. Auguíti 12, contra vlimum anni 1756. iam Iulii 19: fic differentia multo maior nonnunquam - eft deprehenfa; quum tonitrua iam meníe Martio incepe- rnt, vt monuimus, et vltimis Augufti diebus defierint quod. tamen rarius. Addidimus in recenfendis tempeftatibus fülmineis ventos, vt pateat ex quibus plagis potifüimum eae ve- nire foleant. Scilicet vtroque hoc anno potiffimum ex S et SW, id quod alis quoque annis vtplurimum fieri | ! folet METEOROLOGICAE. 405 felet, quie ex SO, vehementiora vtplurimum effe fo. lent, vti quoque interdum ea ex S. — Praeterea adiecimus obferuationes barometticas et thermometricas ; quoniam intra certos terminos ponderis aeris et caloris tonitrua fieri videntür praecipue faeueriora. — Nam non f£cile tonitrua inprimis faeua hic obferuantur , íi mercurius vltra 28 pollices Parifienfes adícenderit, vti ex his et alis pluribus obferuationibus elucet. Nam illud Iulii x €t 4, quo tempore altitudo mercurii 28. 08 et 28.10 notabatur, fuere leni(fima et e longinquo. — Si porro calo- res confiderantur , omnia tonitrua vtriusque anni medio: cri calore orta funt , pleraque fcilicet vehementiora inter caloris gr. 115 et 139, vti quoque vtplurimum aliis annis fieri folet. | Meteora emphatica vtriusque anni huc fere re- deunt : Halo circa folem adparuit 1755 Ianuarii 28. h. 4. p. m, thermometro notante 175, et barometro 27. $0. vento SO 2, fequuta nocte eft Lux borealis exigua. Circa lunam halomem obferuaui Octobris r4. h. II. p. m. tenuem et pallidam , notante barometro 28. oo, thermometro r42. vento SW zr. — Anno 1756 nullam plane halonem neque circa lunam , neque circa folem obferuare mihi contigit. Minus igitur frequentes halones, quam alias, hifce annis füere, tam circa folem, quam circa lunam , hae illis et hic loci multo frequen-- tiores effe folent ordinarie. Eee35 Auro- 406 OBSERVATIONES Aurorae boreales anno 1755 et 1756 mihi no- tatae fequentes funt. lanuar 28. 1755 nocte circa h. ii. lux borealis (ine motu et radiis zenith verfus eui- bratis adparuit , notante barometro 27. 92, et ther- mometro 188. vento vix fenfibili, vt folet. Ventus antecedens er fequens erat SO2. — Plures hoc anno ob- ferugre mihi non licuit. — Anno 1756 Septembris ir. itidem lux borealis placida confpecta eft h. r1. p. m. monftrante barometro 28. 52, et thermomeuo 14r. vento O vix x , per diem fuit SW 2. Porro Decem- bris 25. h. x x.p. m. lux borealis, fed rurfus placida vifa eft nocte ferenifüma, vt folet, notante thermometro 188, barometro 28. 42, aere tranquillo. Nulla igitur vtro- que hoc anno infignis aurora borealis adparuit, falim mihi notari potuit, quod fatis infolitum adhuc, vti quoque talis exiguus earum numerus eft rarior. Has auroras boreales venti vehementiores non praeceflerunt , neque frigus fequutum eft, vti alias nonnunquam — fieri. folet ; praecipue , fi fuerint infigaiores. Obferuationes acus magneticae eo magis nunc adiici- endas putamus, quia interdum motum ofcillatorium , pro- cul dubio ab ele&tricitate aeris pendentem, in acu magnetica, nobis detexiffe videmur. Poteft igitur hac ratione praefen- tia et defectus, gradus maior et minor electricitatis atmos- phaerae ad mutationes tempeftatum multum concurrentis , fine omni periculo obferuari. Sed acus debet effe mobi- liffima, — De his obíermationibus in pofterum plura ; hic tantum monemus, declinationem mediam adhuc fe- re METEOROLOCICAE. 403 16 4i gradibus a borea W verfus aequilem , adeo- que hic fatis effe conftantem, qvod iam monuimus Com- mentar. Nou. Tom. V. pag. 359. occsfione recenfionis declinationis finicae Pekmi conflintis ; videlicet. z^ gra- duum a borea W verus, nori variatae a triginta inde annis. Differentia inter declinationem maximam et minimam 1ó minuta prima hic non facile excedit, quantum adhuc obíeruare potui. Altitudinem plíauiae adcurate ob impedimenta ad- notare non potui, hinc eam hic praeterimus , vti quo- que reliqua meteora aquea , rorem , nebulas , grandines niues, quoniam omnia íunt ordinaria. ^ Refpectu roris monemus tantunr, nos impofuiffe plantis quidusdam vitra ampla, vt illum rorem , qui merus füdor planta- run? eft, rite ab rore decidente diftinguere potuerimus; vbi quidem: illum: aeftate fere. omni die mane obfer- vauimus, rarius autem decidentém , id quod et aliis iam obíeruatum; effe conflat, Hiems anni 1755 fíatis frigida, continua fuit, et bona hic, praeceffit auctumnus bonus, qui vt plurimum progpofticum hiemis qualitatis effe folet. ^ Aeflas quo- que fàt bona, quam hiems bona praefignificare faepe folet, vti quoque ver mature ingruens. ldem valet de anni 1756 bieme mitiore. Ab indole igitur auctumni faepius qualitatem anni füturi probabiliter hic diiudicare licet. Caeterum vltima congelatio 175.5: Aprilis 20, et pri- ma rurfus Octobris 5. eiusdem menfis ; prima nix die 2r, Neua flumen elacie obdu&um Nouembr. 24, et 1756 | nocte 4oe8 OBSERPATION. METEOROLOGICAE. . noce inter rr et 12 menfis Nouembris. Vltima con- gelatio 1756 Aprilis 17. et rurfus prima Odtobris 1o. Neuae glacies fracta et foluta 1755 April. 3 et 1756. Aprilis 2. Annus vterque quoque fat fertilis fuit in his re- gionibus , fi potiorum prouentuum ratio habeatur, vni- verfalis enim fertilitas vix ac ne vix quidem vnguam contingere folet et poteft. GIIGWNEEGEDNEUM ommum QoIxaSueituorlmun—ri eum muore Unos ome pprteumor VESCUREN SRUMESS qe Mo SER ASTRO- ASTRONOMICA. Tom. VII. Nou. Com, Fff DE E i quM T, qn; xui vr asi Pe TE FU. E eos Vos jong: LE " Pu tao? Farb d D * LENA * M4 H i ^i 4 Moo etit P^ m" neus ipn. oos RPM AME 11 nt. pn Pos fie Hi age ist pun | —- Anat Tesi «4 — dee yai: ui us 2. (0) «ele 4t DE REFRACTIONIBVS j IN ORIS SEPTENTRIONALIBVS Auctore G. H EINSIOQ. garmt Afítronomi , vt elementum hoc in praxi defideratifümum , omni, qua licet, certitudine elaborarent ; co plures fe "obtulerunt varietates , in qui bus euoluendis ftudium omne nondum exhauftum eft. Locum quoque obíerustoris tum quoad libellam , ^ tum quoad fitum refpectu Aequatoris hic attendi debere , experimenta fuaferunt. ^ Si locum obfíeruatoris füb omnibus circumftantiis femper eundem ponas, genera- tim quidem refractiones variari deprehendes pro diuería fideris fuper horizonte altitudine , quam quidem varia- tionem dudum cogaouerunt Aftronomi , et ad leges certas adílringere allaborarunt, vt cuique altitudini viíae certam atque determinatam adícribere — potuerint re- fra&ionem; aft fi quaeras , an, manentibus licet omni- bus, experientia quoque in eadem altitudine eandem femper refractionis quantitatem doceat , (abítrahamus ab €0 difcrimine , quod difficultas obferuandi producere fo- let) difcrepantiam faepiffme notabilem inuenies. — Vt kanc eo melius cognofcere atque diftinguere poffimus , refractimes , quae fe in eadem altitudine vifa, fub qui- F ff» buscun- (Q maiori cura refra&iones aeuo recentlor] inda- 412 DE REFRACTIONIBVS buscuüque caeterum circumítantiis , offerre folent , bre- vitatis caufa Pbamologa$ vocare licebit. — Jam wero ante imncmoratus obferuator in vicinia horizontis refra&iones homologas admodum variabiles fubinde experitur tum eodem. die, in eadem aeris temperie , interiecto tan- tum tempore exiguo ; tum diebus diuerfis in eadem licet anni tempeítate ; tum in diuerfis anni tem- peítatibus pro diuerfo caloris et frigoris ftatu ; ita, vt ob hanc refractionum inconítantiam | Aftronpomi quoque obferuationes coeleftes in vicinia Horizontis, quantum licet, euitare foleant. In maioribus quidem fiderum altitudinibus idem obferuator tantam refractionum — ho- mologarum inconftantiam non deprehendit , — vt. nunc refracionum variationes fecundum altitudines | certiori modo definire et in tabulam redigere ipfi liceat ; ali- quam tamen khomologarum varietatem adhuc. inuenit connexa cum: aeris temperie refpectu caloris et frigoris, et alligatam. quafi ad gradus thermometri , | dum | maio- rem refrictionem experitur regnante frigore , minorem calore, eandem thermometro eundem gradum notante; prout id obferuationes coníulto inftitue DN. LE MONNIER in Praef. ad Hiflor. coeleflem , ex DN. CASSINI DE THVRY v Commentar. Acad. Reg. Geient. Parif. ad an. 1742. et 17748. inculcare videntur. Sed excedat nunc obíeruator e füo loco , .quem hactenus immotus tenuit, mutetque eum , non quidem ratione fius geographici refpectu circulorum terreftrium,, fed quoad eleuatioaem: (üper termino. aliquo relationis ,, quem. libelia definire folet. — Altius verbi caufa afcendat; feu IN ORIS SEPTENTAHION ALIBV S. feu 3 terrae centro magis recedat, et obfíeruatas tuuc reftaciones comparet cum homologis in pri(tino loco füb iisdem circumftantiis definitis; minores iftas inueniet ac ante. Sic ad libellam fuperficiei maris maximae , "caeteris paribus, prodeunt refractiones homologae ; mi- nuuntur deinceps continuo pro maiori obferuatoris ele- vatione füper iíto libellae termino ; prout luculenter didiit DN. BOVGVER ex obferuationibus fuis in vicinia vrbis Owifo inftitutis , (vid. Commentar. Acad. Reg. Sc. Pari. ad an. 1739. et 1749.). Tandem obferuator locum füum —geographice quoque mutet refpectu Acquatoris terrae, feu mutet latitudinem geographicam , feruatis interim libellae re- liquarumque circamftantiarum conditionibus ; difcrepantia iterum in refractionibus homologis fe offeret ; minores itae prodire folent in vicinia Aequatoris terreftris ,, ma- iores accedendo ad Polos ^ Hanc refra&ionum varieta- tem in praefenti potiflimum refpicere animus eft; quo in negotio pro modulo quafi accipiamus Tabtlam re- fractionum | Cajfinianam , quae pro latitudine Parifienfi Aftronomis Gallis vfum femper praeftitit infignem ; ita quidem , vt refractionum homologarum füb minoribus áltitudinibus praecipue habeamus rationem , quae difcri- men íüppediare poffunt notabile ; cum e contrario ab- folutae refractiones in altitudinibus magnis non fatis fenfibiles effe foleant. 'Obfermtiones iam. RICHERII in infula Cayenna feculo fuperiori, et recentiores BOVGVERIL in regno Fff 5 Peru- 414 DE REFRACTIONIBVS —;Peruano infltutae, rem, pro fitu obferuatoris in vicinia acquatoris , extra dubium ponunt. (vid. Hiflr. Acad. Reg. Sc. Parif. ad an. 1709. p. x4o ad. Batav. et ad an. 1739. pag. 62.) Refra&iones aequatoreae vtique inueniuntur minores refractionibus homologis Parifienfi- bus. Aft fi obferuationes coníulas , quae refractionum conditiones patefacere poffunt in regionibus refpectu climatis Parifienfis borealioribus , rem nondum deciíam inuenies. Infperatus Solis exortus , qui Hollandis in Nouz Sema (ub latitudine borcali 76 graduum hybernantibus contigit die 24. anuarü ftyl. vet. an. 1597 , argumentum praebet infignis refradionis ho- rizontalis in oris feptentrionalibus , quam | Riceiolus in Geerapb. Reform. pag. 263. ex füo calculo 2. grad. X/. 56^. aíhgnat, et quae fere quadrupla eft homo- logie in Tabula Caffiniana. Ex obferuatione Solis inoc- cidui , cui Bibergius an. 1695. Tornmouiae,íub latitudi- ne boreali 65". 45/. a íe definita, inuigilauit , refra&tio 58. minutorum in altitudine vifa o*. 23/., ideoque fere dupla homologae Parifienfis emergit. (( Vid. Come sent. Acad. Reg. Science. Parif. ad an. 1700.) Et fic quidem augmentum refracionum homologarum in' 3cceffü ad Polos fatis euictum videtur. E contrario re- centiores Illuftris Z4Maupertuis obíeruationes itidem Tor- "0ua£ habitae , totam fere conclufionem euertunt. Ex altitudinibus enim. Solis meridianis in vicinia Horizontis inter 1". 57/. et 2^. 46/. captis ad finem anni 1736 et initium 1757. ideoque hyberna tempeftate , quae re- factiones , caeteris paribus , maiores efle deberent, de- ductae refractiones parum vel nihi] difcrepabant a re- fractio" 5 IN ORIS SEPTENTRIONALIBVS. 4x5 fta&ionibus homologis Parifienfibus in tabula Caffiniana; quam conuenieritiam quoque altitudines meridianae Vene- ris inoceiduae ad finem Aprilis an. 1737, nec nou diftantiae Stellae polarís et. Arcturt a Zenith obferuatae docuerunt ; ita, vt ipfe Cel. AMaupertuis concluferit , (i refra&ctiones im vicinia aequatoris notabiliter minores in- veniantur homologis Parifienfibus, eas progrediendo Pa- rifiis ad circulum polarem fenübiliter non variari. (Figure de la terre ed. Dat. 1738. pag. 169.) Nec obferuationes BZlbergii fententiae huic refragari luculen- ter oftendit idem Cel. obíeruator , ex cleuatione Poli Tornouiae a fe definita, quam 8. minut. maiorem in- venit Bilbergiana, imo rr. min. maiorem , fi Bilber- £i obferuationi debita elementa füiffent applicata, id quod maiorem in refra&ione Dilbergiana emorem wti- que arguit. His itx comparatis, cum id, quod Hol- lndis in Noua Semla contigit, animaduerfiones quoque admittat, etíi demus , infolitum quid in refra&ione ho- rizontali ibi accidiffe ; quaeftio : e» refraclienes PDouolo- gae accedendo ad^ Polos incrementa capiant; diícu(lionem: vlteriorem non refpuit. Obfíeruationes ab exercitato obferuaitóre et in(lru- mientis idoneis confulto inftitutae; folutionem eiusmodi quaeftionis fuppeditare debent, quibus co maius pre- tium fífatuendum eft, quo rarior iis faciendis concedi- tur opportunitas, et quo maiora impedimenta et vitae incommoda pro' conditione regionis, in qua fieri de- beut, füb zona nempe frigida pofitae, et ob coeli in- clementiam: inhabitabilis , fe offerre folent. — Summorum i1 Rufiae: 4.16 DE. REFRACTIONIBFS Ruffiae. Imperantium | gloriofifima munificentia felicite£ faü&um e(t, vt eiusmodi obferuationes pro circumiftan- farum conditionibus vtique rariffimae reuera extent, in- ftar fra&us fingularis , quam celebratifüma — Rufforum in Kamfcbatkam | expeditio fübminiftrauit. ^ Scilicet Ludo- vicus de lIsle de la Croyere , . obíeruator | Aftronomis notifümus , qui in dica expeditione ftudium fuum in eo pofuit, vt fitum locorum Rufe et Sibiriae geogra- phicum ex obferuationibus coeleftibus. colligeret , circa finem anni 1737 iter fecerat in extremas, quae re- fpe Iakuti, vrbis Sibiriae, ad decurfum flumii Lenae boream veríus fitae funt, regiones. Penetrauerat vsque ad habitationem hybernam ad . dextram fluuii OVemek ,- haud procul ab oftio, quo ifte in. Oceanum feptentrio. nilem íe exonerat, extructam , et inde Hybernaculum Olenek ( Olenek - Zimow'je ) didam. ^ Diflat iftud ab oftiis fluuii Lemae in occidentem ; et latitudinem — habet borealem. 73^. 3^. 52^. vt infra patebit. Peruenit in hunc locum aofter die r6. lanuar. ftil. vet. an. 1758, a quo tempore vsque ad initium Aprilis eiusdem | anni varias ibi inftituit, circa altitudines Solis et fixarum meridianas aliaque. phaenomena , obferuationes , quae fi- mul cum aliis ab obferuatore noftro in itinere Kam- fchatkenfi poftea habitis, poft mortem «cius I//ufri 4ca- cademiae Scientiarum Imperial fuerunt tradita. — Solutis. quidem chartulis et nonnunquam inordinatim difpofitis , vt ferre folent eiusmodi itineris incommoda , confignatae erant iftae obferuationes ; hoc tamen non impediuit, quo minus varias , ad praefens inflitutum optime faci- entes , certo excerpere licuerit. Quid fi hae obferua- tiones ' IN ORIS SEPTENTRIONALIBV S. 41* 1 tiones docerent , refractiones Olenecenfes ab homologis Parifienfibus nihil differre , immo potius his paululum mi- nores plerumque prodire ?* Nonne fententia llluftris AMaupertuis eximium in modum confirmaàretur ? Nonne fingulare pret&um obferuationibus iis ftatuendum — effet , quae in tam propinquo ad Polum acceffü, quem nul- lus Aftronomorum vnquam attigit, refractionum homo- logarum conítantiam inculcarent , €t quidem íub eius- modi circumftantiis , quae alias refractiones folito maio- res indicare folent , in loco nempe humili, haud pro: cula littore oceani fito , et in ea anni tempeftate, quae rigidiffimum gelu in regionibus memoratis procreat Sed ad inftitutum: quod vt rite profequar, pri- mum obferuationes ipías transícribam , illuftrationem ea- yum deinde addam , et tandem deductiones fubiungam. JEn obferuationes : "Oleneci Nomina —— Altitudines meridianas *&n. 1738. flyl. vet. fixarum obferuatae. id. x3. Februar. Aldebaran $2*.52/.50". Rigel 8. 8. o ets auftr. Capela — 625.17. o Capela ^ 28.25. 2 Lyra $2.8. 15 verfus bor. «d. 1:4. Februar. Aldebaran $2.52.50. Rigel $. 8.30. u auftt. Capella — 62. 16.40. Capela — 28.25.20.2... , Lyra 21.18.30. em bot, "Tom. VII. Nou. Com. Ceg Ali. 418 DE REFRACTIONIBES Altitudines meridianae limbi fuperioris Solis. ( apparenter énferioris ) ob[eruatae verfus. auftrum. Febr. | 4.| 47.1 7/. o^. dub. | Mart. 1413.30". o^, G uu S7. EXEDE E 5 [t4 17. 50. 5. 4. |14- 40. 15.dub. 5. 8[16. I4. O. 6. 9|16. 37. 30. 6. IO|!7. I. O. dub. 9. ILIA 25. 96 (8.58.45. 20. g.I5. |21. 19.15 lI. AI.45. VUCNCEM CA |i23.36. O 12 4. 44.3. XQ A-5. 28 g3Oe V'Apl. 1 In tranfitu Lunae per Hyades, qui Oleneci die 15. Februar ftyl. vet. an. 1738. contigit, obíeruator nofter feliciter annotare potuit occultationes a limbo Lunae ob- fícuro duarum fixarum 5'"^ magnitudinis, fibi valde vicina- rum , quas Bayerus im Vranom. vnica litera 6 fignat, (TabXVllcui obferuationi fchema extemporaneum, vt Fig. z. fitu Fig. 1. inuerfo monf(trat , euidentiae caufa adpinxerat. Ope tu- bi aftron. 7. ped.-ftellam A (re vera auftraliorem) "vi- dit immergentem 6*. 29/. 417.; ftellam vero B (re "vera borealiorem ) 67. 44/. 23/. tempore vero. Mo- mentum IN ORIS SEPTENTRIONALIBVS. | 419 znentam pro A intra 9. vel xo , pro D intra 5 vel 6 fecunda temporis certum pronunciat; obftitit enim 'wentus. Hae funt obíeruationes , quas nunc dilucidare «onuenit. JInftrumentum, quo altitudines Solis et fixa- xum captae funt, expreffe quidem non nominauit nofler; cum autem ifle an. 1733 Petroburgo Sibiriam petens eum Qoadrantem transportauerit ; quo antea vwíus füerat .Archangelopoli «€t in nonnullis Lapponiae locis, Parifiis nempe ab artifice CHAPOTOT confe- €um , radii 18 digitorum, cuius mentio fit in Tom. III. (Comme. Acad. dmper. Petrop. p. 433. €t 438. nul. ilum :eft dubium , :quin idem inftrumentum — adhibuerit án obíeruationibus Olenecenfibus. —lpíae altitudines. tran- fcriptae ita funt :comparatae , prout «eas obíeruationes dàmmediatae fuppeditarunt , nulla praeuia cognitione , an Jinea fiduciae -diuifioni Quadrantis rite refpondeat ; an wero eror; "wt dici folet, hic fe offerat ; mec refra- .&ionum .et refpe&tiue paralaxium vlla habita eft ratio. lmo altitudines fixarum 4neridianae tum veríis auftrum, tum -veríus boream, coníulto captae funt, vt inde error quadrantis innotefceret ; qua methodo obferuator nofter in itinere (fuo per Sibiriam vbique fere víus eft. Cum " hoc momentum, :cam .quo eleuationis Poli determinatio «conne&itur , primam poftulet difquifitionem , methodum iftam , prout eam quidem .concipio, in víüm [fequens item exponere conducet. Referat HOR horizontem , HPR meridianum ;: Pol locum werun , A pun&um, in quo Aequator Ggga vere 420 DE REFRACTIONIBVS vere meridianum traicit, vt fit PR Poli, AH Aequa- toris eleuatio vera , ifta boream , haec auftrum veríüs. Fingamus euidentiae caufa, tum in P, tum in A ali- quando fixam exiflere. — Ope quadrantis, cuius errot detegi debet, exploretur vtriusque fixae altitudo meri- diana, alterius PR, verfus boream , alterius AH. verfüs auftrum , atque, fupponendo aliquam refractionis tabu- lam, v. c. Caffinianam . tanquam. vniuerfalem , (vt ve- ritas faltem approximando cognofcatur , et confideratio. refra ctionis excludatur) propter refractionem — cortigatur. Si PR--AH (tanquam fumma alitudinum poli et aequatoris) deprehendatur — 9o. gradibus, in(trumentum. nullo laborabit vitio, vt per fe patet; fin vero (umma altitudinum obferuatarum difcrepet a 9o. gradibus, da- bitur error Quadrantis; iusque duplum inuenietur ca-. piendo differentiam inter complementum altitudinis. (tel lae aequatoreae ad 90", et alütudinem:.— meridianaa flellae in Polo pofitae. ^ Ponamus enim inftrumentum: altitudinem vera maiorem notare. | Hoc modo ope iftius colligetur ftellae aequatoreae altitudo meridiana, feu eleuatio Acquatoris eH. (maior vera A H), cui refpon- debit altitudo Poli «R, tanquam complementum ad 90^, (minor vera PR), deducta fcilicet ex obferua. tione ftellae auftrum verfus, exillente Pr—Az. Aft, cum inftrumentum altitudinem ftellae in Polo pofitae cadem quantitate etiam maiorem vera prodat, ex ob. feruatione boream veríus inuenies loco PR altitudinem pR, exiftente Pp(—Aa)-—Pm Quadrantis errore, cu. ius duplum 5*7 eít differentia inter complementum alti- tudinis flellae aequatoreae ad 90^, nempe 7R, et alti- tudinem P d IN ORIS SEPTENTRIONALIBVS — 4sx tudinem — meridianam obferuatam R ftellae in Polo pofitae. Similiter, inuerfo tantum ordine , res fe ha- bet, fi inftrumentum. altitudinem vera minorem fiítat ; vt Fig. 3. luculenter exponit. Inde etiam patet, er- Fig s. rorem. Quadrantis Pp effe Jubtratliuum ab obferuata al- titudine 2 R(Fig. 2.), fi altitudo Poli 7R ex obferua- tione ftellae auftrum veríus definita minor fit altitudine Poli »R ex obíeruatione ftellae boream verfus deter- minata; e contrario edditiuum ad obferuatam altitudi- aem 9R (Fig. 3.), fi altitudo Poli 7R ex obferuatio- ne f[tellae auftrum — verfus deducta maior fit eleuatione Poli pR ex obferuatione ftellae boream verfus inuenta; wt fcilicet vera prodeat altitudo ftellae PR. Fixae quidem , vt hactenus euidentiae caufa fup- poluimus, neque in Polo, neque in Aequatore exiftunt, vt methodus praefcripta immediate ad praxin deduci poffit; aft cum ex obíeruatis fixarum altitudinibus meri- dianis, adhibendo earundem declinationes aliunde cogni- tas, altitudo Poli eodem modo mediate definiri poffit, ac fi immediate ex obfermitione fixae, aequatoreae , vel in Polo pofitae, cognita fuiffet; praxin ad confideratio- nem praecedentem mediate referre licet. — Obfervetur fcilicet alicuius fixae , quae meridianum in plaga auftra- li traafit , aiutudo meridiana, (quo maior ifta , eo mi- nus erit periculum refra&ionis) et ope declinatioais eius €x Catalogo notie, adhibita propter refractionem cor- recione, determinetur eleuatio Poli cR errorem Qm-Fig.2.et 5. draetis adhuc inuolnens. ^ Similiter obferuetur alicuius fixae in plaga mridiani boreali altitudo meridiana , ct G&ga ha- 422 DE REFRACTIONIBIS habita declinationis et refra&ionis r.tione , exinde ínise- niatur eleuatio Poli pi iüdem Quadrantis errorem com-- prehendens. — Differenua. pm inter TR et pR dabit duplum Quouadrantis eriorem , qui an adairiuus, an íub- tractiuus fit, fecundum praecedentia diiudicari — debet. lpía tandem eleuatio Poli vera PR innotefcet ex mu. mero medio arithmetice proportionali inter 7 R et pR. ln hoc quidem negotio refractiones primum circiter tantum cognofcuntur, ob ignotum Quadrantis errorem 5 aft fi hic approximando detectus fuerit , tum refractio- nes, tum ipíum inflrumenii errorem , certiori modo concludere licet. ^ Solem quoque loco fixae auftrum verfus culminantis eligi poffe facile patet. Sic quidem "habetur methodus vniuerfalis ; Aftro- nomo peregrinanti perquam vtilis, tum errorem in- ftrumenti , tum eleuationem Poli promte inueftigandi 5 aft inter .obíeruationes fupra .exhibitas «occurrit aliqua «ircumílantia , quae methodum particularem — admittit definiendi elenationem Poli priori praeferendam , .cum ifta neque fixarum .declinationes , neque -inftrumenti aberrationem , fed tantummodo refractiones proxime cognitas praefüpponat. Scilicet, fi vna eademque ftel!a circumpolaris íemper conípicua pro .conditione fitus Poli refpe&u verucis in renolutione fua .diurna -meridia- num .traliciat , vna vice verfus «auftrum , .altera vice verfus boream , prout in .obferdationibus fuperioribus Capella exemplum praebet , praedicta methodus locum habet. ^ Particularem iftam voco, quia in regionibus Polis vicinioribus tantum adhiberi poteft. — Cum enim diftan- IN ORIS SEPTENTRIONALIBVS. — 453 diflantia ftellae a. Polo nonnihil excedere debeat diftan- tiam Poli a Zenith, vel eleuationem | Aequatorís pro loco aliquo terreftri, wt memorata conditio locam in- veniat, meceffe e(t, vt altitudo Poli füperet 45 gra- dus; in cafü enim huius altitudinis — 45?, fit di(tantia Poli a Zenith —45^?, et fixa diftantiam a Polo — 45? habere debet, vt vna vice tranfeat per Zenith , altera vice horizontem ad partes Poli ftringat ; quae conditio limites ponit vltimos. — Si infüper periculum refractio. nis in vicinia Horizontis ad partes Poli confpicui euitari debear, ponendo eum inu finem altitudínem fixae mi- "mimam —-20*; requiritur altitudo Polí — 55", et diftantia iftius fixae a Polo —35?, wt faltem haec Zenith traiiciat. ^ Quibus ita comparatis rnethodum iftam pro iis terrae locis falutarem tantum pronunciare licet, quorum eleuatio Poli excedit $5. gradus. Sed ad methodum ipfam: cuius gratit fequen- Fig. .4. tem praemitto propofitionem. Sint H ZR Meridianus ; HOR Horizon ; Z Zenith; P Polus; PR Poli eleua. tio; SDN diurnus ftellee circumpolaris , cuius diftantia a3 Polo PS nonnihil maior fit eleuatione Aequatoris, feu PZ; altitudo ftellae meridiana auftrum veríus SH, bo- ream veifis INR ; dico effe BER 354. Eft enim arcus SPN- 180 -HS-NR, PN(-:SPN) m SELES-NE etPR(—PN-A4N R)c CLESINE / 1809 — Cum "T DE REFRACTIONIEYVS Cum tota demon(ratio hiice nitatur conditioni- bus, wt fit HPR femiciculus, et PS PN; fi ab S et N refpe&u Poli P ad eandem plagam capiantur arcus Ss, INz, inter fe aequales, ita tamen, vt adhuc $ in auftrali, 2» in boreali plaga aneridiani «exiftàt ; ob P; tunc —P; itidem «erit PRIÓGSTEUEME Ponamus iam, wt :et ;hactenus fecimus, altitudines ftellae. noftrae. veras effe - HS, :NR , «et PR eleuationem Poli veram ; inftrumentum autem , quo altitudines 'ca- piuntur , has iuflo maiores prodere , ita, vt loco H 5, NR, ex obfetuatione acquirantur -H 5, z R, exiítente Ss;—nN, dum fcilicet error inftrumenti $5, vel IN, idem fit , fiue altitudo .meníuretur :verífus auftrum , fiue verfus boream; patet per formulam (PR — -——EF—* ex altitudinibus obíeruatis Hs, »R, Quadrantis errorem adhuc inuoluentibus , itidem .altitudinem .Poli veram in- veniri. — Neceffe autem «ít, vt altitudinibus «obferuatis ante applicentur debitae refractiones , «quas quidem :ob incognitum adhuc inftrumenti errorem proxime tantum excerpere licet , citra tamen periculum nimii erroris, fi error Quadrantis fit exiguus , et altitudo .&R. non ad- modum parua. Inuenta fic Poli eleuatione , adhibendo diítantiarn ficllae obferuatae a Polo ex «catalogo , altitudo meri- diana eius vera calculo detegi, et ipíe Quadrantis error inueniri poteft , fi ifta cum -obferuata altitudine «com- paretur. Quod fi error nimius prodiret, altitudines ob- feruatae IN ONIS SEPTENTRIONALIBVS — 42s feruatae inde propius corrigi , et refra&iones certiores a(fignari pofíunt, vt demum, repetita operatione , et €leuatio Poli et error inftrumenti rectius colligantur. Methodum hanc applicemus nunc ad exemplum Capelle. Altitudo eius meridiana media ex obfíeruatis veríus áuftrum eft 62*. 16/. so'/"., weríüs boream 2$". 25/. 10/, Adhibitis ex tabula Ca/finiaua refia&tioni- bus conuenientibus , 30/^. et 1/. 49/'/; refpectiue, ha- betur per praec. eleuatio Poli — 75". 3^. 30". Ex hac deinde et declinatione Capellae ad datum tempus ex "Tab. Cami petita inueni altitudinem meridianam eius weram verías auftrum. — 62*. 587. 20^, eamque cum "obíeruata 62". 16/. 20^ , habita fcilicet rcfractionis ratione comparaui , vt haberetur Quadrantis error. pro- xime — 22^. o^. additiuus ad obíeruatam altitudinem , quem nunc eum in finem tantisper feruaui , vt refra- Ctiones propriores cognoíci poffent, quae etiam denuo applicatae fuperiorem Poli eleuationem — 73". 3^. 32^. producunt, His peractis ex methodo priori proprius inquifiut jn Quadrantis errorem et Poli eleuationem. — Quem in finem adhibui altitudines medias obferuatas, fed refra- €ione liberatas : Aldebaran 327. 517. o. Capellae 62. 16. 2o. t verfus auftrum Lyr . $1. 15. 85, Capelhe | 28. 23. 23. ... Tom.VII.jNou. Com. Hhh et verfus boream 426 DE REFRACTIONIBVS et cum iis contuli declinationes boreales earundem fixa- zum ad tempus propofitum , vt ex obferuationibus, tun: veríüs auftrum , tum verfus boream (ctis eleuationem Poli cognofcerem , errorem Quadrautis adhuc inuoluentem. Cum autem declinationes iftas fecundum —diuerfos Auctores nonnihil inter fe difcrepantes deprehenderem , elegi eas, quas tradiderunt Caffinus (à) | Halleius (b) Ie Monnier (c) pro Aldebaran 15^.56/.49/. 15'.57'. 67^. 15'.5 7.18". Lyra 58.32.5594. 88433. 68. :358..38. 45 Capela | 45.41. 49-. 45.42, 8X. 455 Aye Inde demum factum eft, vt prodiret eleuatio Poli er- rore Quadrantis nondum liberata ex obferuationibus borealibus Capellae 72^. 41/.54^. pro declin. Caffini. 72 4t. 2. - - - Halleii. 972. 41. 40. —- - - ]le Monnier. Lyne 72.43. 9. —,5 T. Caffini. 72. 42.27. - - - Hilei. 72. 42.10. - - - (]e Monnier. Med. 72. 41. 59. €x (a) In Tab. Afton. pag. 145. (^) In Cata'ogo, qui pro vfu Obferuatorii Imper. Petropol. quon- dam in Mft, elaboratus «ft. . T m (^] Jn Sud. La théorie dde Cometes; à Paris 1743. 8vo pag. 115. IN ORIS SEPTENTRIONZLIBVS, 423 ex obferuationibus auftralibus Capellae 945.25. 29. pro dechn Caffini. 33. 26. 1. —- - — Halleii. 43.25.28. - -— - le Monnier. Aldebaran | 75.25.49. - - — Caflni. 43.26. 6. - -— — Halleii. 75.26. 18. miran le Monnicr. v Med. "73.25.51. Med. ex obf. bor. 72. 41. 59. vnde Quadrantis error duplus o. 43. 52. fimplus O. 21. 56, atque Eleuatio Poli vera 758«.58.:5 54 Si fatius ducas, errorem Quadrantis inuentum fin- gulis deductionibus auftralibus , quippe periculo refractio- nis minus obnoxiis, applicare , atque numiris, qui tunc eleuationem Poli veram exponunt, adiungere eam, quam ex methodo pofteriori, ope folius Capellae , nulla declinationis eius habita ratione, cognouimus — 73".37.3 5"; füumendo mediam inuenies E/euationem Poli weram 243 .9/. 52/^. quam in víum fequentem , vna cum er- — vore Quadrantis — 21/. 56/7. additiuo , fermare conue- nit. inde erit É/euatio A4equatoris vera — 16^. $6^. 8^, Stabilitis his elementis , prona nunc eft inuefli- gatio refracionum Olenecenfium , ex obíeruatis fixarum Hhh2e altitu- 45$ ^ DE REFRACTIONIB/S altitudinibus meridianis. ^ Eiusmodi fcilicet —altitudiní addatur —Quadrantis error, vt prodeat altitudo ex obferuatione folam adhuc refra&ionem inuoluens. Ab €a fubducatur altitudo fixae meridiana vera , quam cle. vatio Aeqnatoris vna cum declinatione fixae ex catalogo nota füuppeditat. Differentia exhibet refractionem alti» tudini obferudtae , et propter erroreri Quadrantis corre» Cae, competens. Sic pro Rigel cft Altit. merid. media verfus . üuftrum ex obferu. $7. 8^ 149€ Error. Quadrantis 21, $6. Alt. obf. refractionemi fo- lam inuoluens $. $0. 1 f. Altit. merid. verá $. 24. 15. Refractio ex obfetu. MELOS pro altitudine 8*.50^. 11" cui Tabula Caffmiana ds- figuat refractionem |.6/.25//, ideoque 2$4//^ maioreri Olenecenfi. Altitudo vera fic deducta eft: Declinatio auftr. Rigel ad an. 17584 Menf. 5. Februar. fecundum Caffinum — 89.32.20", Hallium — 8. 31. 55. le Monnier 8. 51. 32. Med. 8. 31. 56. Eleust. Aequatotis, 16. 56. 8. D -] Alt. merid. vera 8. 24. 12. Reli-- ÍN ORIS SEPTENTRIONALIBVS. | 4s9 -Reliquas fixas tranfeo, quippe quibus alium in finem lam ífüm víus. ^ Solis potius obferuationes nunc funt adhibendae , quae, vt facile patet, fimilem in modum tra&ari poffunt, modo ad tempus, quo meridies verus Oleneci dato die celebritur ; declirátio Solis ex Ephe- meridibus vel aliuüde conftet, id quod coguitam fup- ponit Meridiani Olenecenfis pofitionem. ^^ Antequami autem huius inuefligationem inftituám , dubio , quod fe óéffert, occurrendum eft; quodque prima fronte omne üegotium euertere videtur. Scilicét in definitione Poli pariter ac erroris Quadrantis Obferdationibus applicüi té- fra&iones Caffimianas , ideoqüe tacite €ognitas füppofui £efractiones Oleneceüfes , éasque Parifienfibus aequales. Nonne circulus adeffe videtuf, €umi de réfra&ionibus Olenecenfibus quaeftio fit ? Sic quidem vidctur ; aft res éum in finem fa&a eft, prot et incidenter iam monui; vt elementa ifla appfoximatüido innotefcant. ^ Si enim icfra ciones Oleneceníes hoínólogis Parifienfibus effent &équales ;; dedu&tiones fore faluas quisque perfpicit. Nec error notabilis eis inducéretur ; fi Olenecenfes à Parifienfibus norinihil difcreparent , praefertim fi obfer- Wationcs extra pericülum nimiae refractionis pofitae , $t fa&um eft, in hoc negotio adhiberentur. — Aft fi i magna locum habituta -effe difctepantia , ^ prout facile quisque füfpicati poffet, tunc vtique de remo vendo íctüpulo folliciti effe deberemus. ^— Scrupulus ifte áugétur , fi cogitemus , diíctepantiam | iftam errorem producere debere in determinatione tum ^ eleuationis Poli, tum erroris Quadrantis; vtrumque autem concur- fere ad efficiendam refractionis definitionem | erroneam. Hhh53 His Yig. 5. 430 DE REFRACTIONIBvVS His ita conflitutis expediet inquirere , quaenam aberra- tio in determinatione eleuationis Poli pariter ac erroris Quadrantis fit proditura , fi in definitione horum ele- mentorum confideratio refractionum proríus nmegligatur ; his enim aberrationibus perípectis iudicare non folum licebit, quinam error in ipíarum refractionum | inuefti- gatione inde refültare poffit; verum etiam, quantum hic error minueretur, poftquam Tabula iam aliqua re- fractionum adhibita fuerit in determinatione eleuationis Poli et erroris Quadrantis, fi quando füfpicio adeffet , refradiones quaefitas a refractionibus homologis Tabulae füppofitae nimium differre pofíc. Sit igitur AH Aequatoris , PR Poli eleuatio ve- ra. Euidentiae caufa, vt füpra, ponamus fixam ali- quam in A, pariter ac in P, wt iftius, aequatoreae fcilicet , altitudo meridiana verfus auftrum fit AH; hu- ius, polaris nempe, PR boream veríus. Sit error Quadrantis verus ita comparatus , vt obferuatis altitudi- nibus addi, ideoque a veris altitudinibus fübtrahi debeat: hoc enim paco res ad cafüm noftrae diíquifitionis ac- commodatur. Capiatur furfum Aa-— refractioni , quae altitudini verae AH competit; deorfüm autem a2— errori Quadrantis vero ; et manifeftum eft, (i ope Qua. drantis huius exploretur altitudo meridiana fixae aequas toreae, loco AH acquiri altitudinem ZH, errorem ine frumenti et refractionem inuoluentem. Si ex AH concludatur eleuatio Poli, inuenietar PR — «H - . - - . cR — aH : - - pu ueloog exiften- IN ORIS SEPTENTRIONALIEVS. |. 451 exiflentibus Pe— Aa, pe— aa; vnde fub his condi- tionibus ex obferutione fixae veríus auftrum altitudo Poli ^R colligitur. — E contrario ex obferuatione fixae polaris veríis boream , loco PR primum acquiritur PR propter refracionem P2, quae alütudini verae PR refpondet , et deinde cR propter errorem Quadrantis óm, ita vt nunc eleuatio Poli ex obíeruatione conclu- datur z R, exiftente P5 —pc—aa- eror Quadran- tis vero. — Si iam per methodum füperiorem — inueniri deberent eleuatio Poli et error Quadrantis , fumendus effet numerus arithmetice proportionalis medius inter $R et TR, quem ponam QR, exiftente pO—Q —cipm; et tunc iudicaretur Q R. eleuatio Poli, 1:57 vel ?Q autem error Quadrantis; cum e contrario eleua. tio Poli vera fit PR, error Quadrantis verus c, vel bc, vel aa. Quo paco foret ex neglecta refractionum aberratio eleuationis Poi PQ( —PR-— QR); et a/er- valio erroris Quadrautis —pc—pQ. Vuamque defi- niamus per refractiones neglectas Aa, P2. Eft nempe PQ—?5Q-?P : —ipm—$pe--Pe ob pQ—ipm,et pP—pc—Pe. Eft porro prv—pe--em —pc--óm—be, ob cem—bm—bc Eo c— P6 : Ob mj-—fc —29ce—PÀ—Pec, | ob bc—Pb-1- Pc ipT—pe—iPb—iPe; vnde PQ—5:c—;P5—iPc—pc-A- Pe —iPce—iPb ! —iAa—iP5, ob Pr—Aa, Aber- 452 DE REFRACTIONIBVS Aberratio erroris Quadrantis fiet pe-pQ— Qr : SZP.-PQ — Aa—iAa-LiPb — iAa-r.P4 Hoc modo neglectus refractionum procreat non folum, errorem | in- definitione eleuationis Poli aequalem diffe- rentiae refractionum adhibendarum , verum etiam, abere rationem erroris Quadranüs, quae fummae refractionum adhibendarum acequiualet. ^ Hae refractiones Aa, P4, non abíolute adftrictae fünt ad altitudines veras, A H, PR, vt euidentiae caufa in hac difquifitione fuppofui- mus. Cum enim cx altitudine fixae alicuius meridia- na, fiue verfus auftrum, fiue boream verfus (umta , ope declinationis eius ex Catalogo notae , mediate concludi pofüt el.uatio. Poli, Quadrantis errorem et refractionem comprehendens , eodem modo, ac fi immediate id praeftitum — fuiffet ex obíeruatione fixae aequatoreae vel polais; patet, refractionem quaeftionis tunc altitudini vcrae iftius fixae extra. Aequatorem vel Polum pofitae refpondere. S: igitur in noflro negotio eiusmodi fixae eligantur , quarum alütudines meridianae fint fatis magnae ; periculun nimiae aberrationis in eleuatione Poli et Quadrantis errore euitari poteft. ^ Rem vnico exemplo illuftrare conuenit ex füperioribus obferuationi- bus. Supponamus itaque tantisper, refnrictiones Ole- necenfes homologis Parifienfibus effe aequales, et ehgan- tur altitudines meridianae , Capellae verfus auftrum —62?.16/.50/^, Lyrae veríus boream z—217.18 .22^^ Illi IN ORIS SEPTENTRION ALIEV S. 435 i4 Ti refpondebit refractio — 31/^. pro A« (fig. 5.) ha- benda; huic — 2^.29^/^ per P explicanda , neglecto fcilicet Quadrantis errore ; quodfi vero ifte circiter co- gnitus füerit per methodum fuperiorem , verbi cau — 22'/. additiuus; refiacio propius haberetur Aa-30", Pb —2/.27". (Contemnendam hic effe ceníeo diícre- pantiam Tefractionum , quae altitudinibus vifis adícribua- tur, ab iis, quae veris alütadimibus debentur, quas- que poflulat theoria) Tunc autem ex neglectu refractio- num emergeret aberratio in eleuatione Poli —1Aa —iP^ o^. 50/7. — 27, $3! Es 2 ———581^, wbi fignum negatiuum indicat, eleuationem Poli ex conclufione , nempe QR, maiorem eífe vera PR quantitate 587"; et aberratio in. errore. Quadrantis effet. —;Aa-1- P4 — 17.28;", qua error verus Quadrantis excederet eum ex con- €lufione. : Sic quidem pro conditione datorum et hypothe- fis noftrae fat notabiles inueniuntur aberrationes , quae tamea tantae non funt, vt omne aeílimium circa re- fractiones, praefertim in vicinia Horizontis , impediant. Videamus ergo , quantus error inde refültaret in refra- Qionibus ipfis , fi eas ex falfa Poli vel Aequatoris ele- vatione , falfoque Quadrantis errore , prout vtrumque elementum ex neglectu refra&ionum acqui(iuimus , de- riuare velimus. — Hunc in finem (nt PR Poli, AH Aequatoris eleuatio vera, in S fixa aliqua culminans, HS eius altitudo meridiana vera, AS declinatio auftra- lis vera ; et habebitur HS—AHC- AS. Sit iftius fixae alütudo meridiana falfa, inftrumento fcilicet capta, HI; Tom.VII. Nou. Com. lii er- Tab. XVII Fig. 6. 454. DE REFRACTIONIEZVS - error autem Quadrantis verus I additiuus , vt habeatur altitudo meridiana H; ex obíeruatione folam refractio- mem inuoluens. Si igitur ab H; (—HI--I;) fübtra. hatur HS, dabitur refrac?io vera Si, ita wt fit Si (—Hi-HS|-HI--I;—AH 4- AS. | Ponamus nunc eleuationem Poli falam effe QR , exilente PQ aberratione eius a vera (PR), cui aequa- lis fit Az, vt prodeat eleuatio Aequatoris falfa gH. Ca- piatur as— A S — declieationi fteilae verae auftrali , et patet, nunc Hs(-—4H--45) pro altitudine meridia- na vera fixae, fed filfo, haberi. Sic, vt ante, alti- tudo fixae inftrumento capia HI, et fiat Sv— errori Quadrantis falfo, qui in noftro cafü minor eít errore vero Ii quantitate wi(—Ii—l1w), quae aberrationem in errore Quadrantis exponit. — Si iam capiatur HX —HI-r-1»), altitudinem meridianam ex obferuatione acqui&uiffe , fed. falío , credimvs folam refractionem comprehendeatem ; vnde HX4—H;— s*. fi(tet refracio- nem falam, xa wt fit Sy —Hvy—H»5)—Hl1-4-Iq —41l-r45. Differentia igitur inter refractionem ve- ram $; et falfam s exhibebit errorem in determina- tione refractionis commiffum. | Eft autem Sj —54- HI --Ii-AH-S-AS-HlI-l1«4-2-a4H—25-—li—I —AH-r«4H (ob AS—2a5)—»«i-(AH—4H)— —Aa-wi—PQC-- differentiae inter aberrationem in errore Quadrantis et aberrationem in eleuatione Poli, quae in no(tro exemplo conficiet 1^. 281^/—581/7—50'7, qua quantitate refiacio vera falfam excedit. — Cum - abermatio erforis Quadrantis (in fig. 5 ) it Aa EPA; aberratio autem in eleuatone Poli, in exemplo noftro negatis m ^: r4 IN ORIS SEPTENTRIONALIBVS. 455 ntegatiun , ——1Aa-1-iP5 ; fet differentia —1Aa --1PP--;Aa4—!PP-— Ada, ita vt error, qui in de- terminatione refractionum committi hic poteft, tan- tummodo aequalis fit refra&ioni Aa, quae altitudini fixae auftrum. verfus captae refpondet. Ab inftituto nimis alienum effet, íi alios obfer. vationum cafüs expendere , vel theoriam adhuc magis promouere vellemus. ^ Sufficit oftendiffe, ex neglecu refractionum in determinatione eleuationis Poli et erro- ris Quadrintis, errorem quidem committi, fi ipfae re- factiones deiüde fint detegendae , fed exiguum , et con- flantis pro omnibus refractionibus magnitudinis ,. dum- modo femel ex obíeéruationibus flabiliueris elenationem Poli et Quadrantis errorem, fàlío licet , neglectis neme pe in definitione horum elementorum refractionibus. Quisque deinde perfpicit , eiusmodi errorem non impe- dire, quo minus zrefractiones, praefertim in vicinia Horizontis , -— 9 cognofcantur , quae deinde , fi lubet , anfam praebere poffunt, ex iis approximando confiruendi "Tabulam refractionum ,- et opé eius ele- menta ante ftabilita corrigendi, vt demum adhuc pro- pius innotefcerent refractiones in vicinia Horizontis. Sed eiusmodi proceffüm abbreuiare licet,. fi in deter- minatione praedictorum elementorum ftatim adhibeatur Tabula aliqua refractionum iam nota , verbi caufa Caf- finiana, vel Parifienfis. Sic enim quaeéftio de cognofcen. dis refractionibus in alio loco, v. c. Oleneci, nunc huc redit, an refractiones Olenecenfes aequales fint ho- mologis Parifienfibus , an ab his diuerfae , v. c. maio- zes. Si aequales fint, nullus métuendus eft error. in | lii inuefti- 4356 | DE REFRACTIONIBFS inueftigatione refra&ionum Olenecenfium ; fin vero die verae , v. c. notabiliter maiores ; error quidera com- miit:tur, fed admodum exiguus, eius nempe magnitu- dinis in exemplo noftro, qua refradio A« (fig. 5.) alitudini Capellae (circiter 62^". 39/ adhibito errore Quadrantis) refpondens fub climate Olenecenfi homolo- .gim Aa füb climate Parifienfi excederet. ^ Fingamus, priorem effe duplo maiorem pofteriori, quae fuppofitio enormem difcrepantiam — in refractionibus homologis prope Horizontem productura effet ; exceffüs, ipfi Aa fub climate Parifienfi aequalis. (—30//.) , indicaturus effet errorem in determinatione refractionum Olenecen- fium committendum , qui vtique tantus non eft, wt diiudicationem morari poflit ; an refractiones Olenecen- fes in vicinia Horizontis ab homologis Parifienfibus mul- tum difcrepent , nec ne. Et hoc eft. palmarium quae- füonis noftrae , cum neutiquam folliciti fimus de refra- &ionibus Olenecenübus omni rigore determinandis, id quod etiam a Quadrante 'exiguo, radii fcilicet 1i. ped. in obferuationibus fuperioribus adhibito , expectari nequit. Remoto nunc dubio, in id incumbendum eft, vt definixur pofitio Meridiani Olenecenfis refpectu Me- ridiani loci cogniti. — Huc ' faciunt. obferuatae Oleneci occultationes duarum fixarum fupra deícriptae. — Vtinam refpondentes earundem occultationum — obferuationes füb . Meridiano cognito habitae extarent !. tunc. enim Meri- dianorum differentia ex voto poffet determinari ; quo faco , praeter vfum , quem intendimus , Geographia Sibiriae borealis incrementum infigne captura foret. Aft cum IN ORIS SEPTENTRIONALIBVS. 4537 cum tranfitus Lunae ad iflas fixas in omnibus. Europae regionibus (reliquas tranfeo ) interdiu acciderit ; fpes refpondentes nancifendi obferuationes eripitur. — His ita conftitutis, ad calculum ex tabulis aftronomicis confugi- endum eft, vt tempus íüb dato Meridiano, v. c. Bononienfi , üumeratum afífignari poffit, ^ quo eiusmodi octultatio ^ Oleneci-contigit; hoc enim cum momento eiusdem occultationis fub meridiano Olenecenfi obferuato fi comparetur, differentiam Meridianorum | Bononienfis et Olenecenfis exponit. — Eo quidem. modo, ob fre- quentem calculi a coelo, in motu praefertim — lunari, aberrationem , omnis rigor in determinatione praedictae Meridianorum differentiae expectari nequit; ea tamen tim prope cognoícetur, "vt error fenfibilis in negotio noftro, quo tantum declinationes Solis ad tempus me- ridiei Oleneci defideramus , metuendus non fit Rem ex tabulis Caffimi fum profecutus. ^ Ex iis ad Februar. an. 1738. habetur Longitudo Latitudo auftral. " ftellae B. 4^. 17". 43". T1 - 55. 47". 15". COLE MEETS S. ID See ue s s . Cognito iami ex Ephemeridibus Manfredi die 1s. Febr. 1738 circiter moimento coniunctionis centri Lunae et " fixae B e centro terrae vifae , ad interuallum — duarum horarum. ex Tabulis Ce/f/mi loca Lunae vera computaui, et fequentia elementa pro conítrucione fíchematis in- veftigaui : * d DEI S Tem- 4355 DE REFRACTIONIBV$ Tempus verum o^ verae centri D) et * B füb merid. Bonon. 1758. Febr.25.ft. n. 255. 87.28". Latitido centri C) auftral in o^. - — -— 5*.15/.36". Diftantia centri 9 a * D. boream verfus in circulo latitud. -,- - --- O0.831.$9. Horaris OQ in longitud - - - -- 0.29.49.- esoisuio oss fatieadi decrefe; ^ — — 2^ 70. 0/14 Pirallaxis. D horz,. - - - --- 0.54.45. semidiam. 2) hotiz; - — -— - -- o.r4.48. Angulus Meridiani vniuerfalis curn circulo la. titud. orientem verfus — .— .—-— —.I0,E9:. Decinatio * B boreal - - - - - xs.2r. 2. Culminatio * B tempore folari vero fub Meridiano Bonon. d. 26. Febr. ft. n. - 5?.35". 4^. Eadem fub Meridiano Olenecenfi, cognita an- te circiter Meridianorum differ. 27:1. hor. 5.56. 13. Tempus. verum o. verae centri D) et * A fub Meridiano Bonon. - - - Febr. 25. 23*. 9/.19", Diftantia centri 2) a * A in circulo latitud. boram verfü! —- - - - - - o'sy.ro^7, -. Declinatio * A. boral | —- - - - 15.315.932. ^. Culminatio * A tempore Solari vero (üb Meridiano Olenecenfi d. 26. Febr. ft. n. 5?.567. 18^. - Ope horum elementorum more confueto conftruxi fchema, €t €x €o cognoui Tem. —— IN ORIS SEPTENTRIONALIBVS. 439 ' Tempus verum ad ldem eratex — Vnde diffe- meridianum Do- obíeruatione rentia Meri- nonienfem nume- . fib Meridiano — dianorum ratumd.25.Febr, — Olenecen( d. ; 26. Febr. ft. n. Immerfionis * A- 25^. 9/.34". 6".29/ 41". "Pas. 3", eR i-o 09B-ag.sr. 225^ 4:44.29. "p 29:51. Diffcr. 15. 28. CTI KON I. I4. Cum interuallum immerfionum vtriusque flellae ex Íchemate non nihil difcreparet ab eo ex obferuatione.; aberrationem hanc a latitudinibus, vel Lunae, vel ftellarum, cum coelo non prorfus coníenuentibus, pendere iudicaui. Quodá enim diítantia vtriasque flellae a centro Lunae in circulo latitudinis tantummodo imminuerctur quarta parte minuti primi ; interualla ifta tum propius inter fe conueniebant, tum Meridianorum differentiae ex vtraque immerfione definitae eiusdem fere magnitudinis reperie- bantur. Ea deduc&iones ex hac hypothefi: —— — — Tempus verum — Tempus obferuat. Differentia Bononiae Oleneci Meridiano- rum Immerfionis * A.23*.. 7/4577. 65.29^ 41^. 9h a1. 477, RÉ- - *B5.22.10. 6.44.23. 7-22.13. Diffr. I4. 25. 14. 42. O0. I9, Statuere ergo licebit Differentiam Meridianorum | Bononi- enfis et. Olenecenfig— 1" 22/. qua Olenccum orientalius eft Dononia. Tandem 440 "DE REFRACTIONIBVS Tandem frudus harum diíquifitiónum fünt repor» tandi, vt nempe ex obfíeruationibus Solaribus fupra ad- ductis refractiones Olenecenícs cognoícamus, et cum ho- mologis Parifienibus comparemus. Scilicet; ex Ephe- meridiba MANFREDI pro fingulis obferuationum die- bus excerpfi loca Solis ad Meridiem medium Bono: niae computata , quae ope motus diurni Solis et ftabi- litae Meridianorum differentiae , nec non aequationis temporis, tranítali ad Meridiem verum Oleneci. Ex his, pofita Eclipticae obliquitate — 25". 28^. 20^. de- terminaui declinationes centri et deinde limbi fuperioris Solis , adhibita nempe femidiametro Solis apparenti. ex Tabula Caffiniana. Eleuatio tandem — Aequatoris Ole- necenfis patefecit altitudines limbi fuperioris Solis ve- ras Oleneci. — Cum his deinde comparaui altitudines limbi füperioris obferuatas , quae fupra deftriptae funt , poftquam eis addideram Quadrantis errorem. et. debitam Solis parallaxin. — Exceffus pofteriorum altitudinum fu- per priores docebant refractiones Olenecenfes. — Tabula autem Caeffinjiana Parifienfes homologas fübminiftra- bat. | Omne megotium Tabula fequens luculenter ob eculos ponit: . Oleneci IN ORIS SEPTENTRION ALIBVS. 44t Altit. merid. limbi. Altit. merid. Refradiio fis. . I17.26^ 9. 53. 8. 49. 9. 4 7. 33- 8, 17. . 6. 56. "7. . 8I. 45. 4.8. 59. 538. 5. 59. 15. 22. (Rab. 12. o. 2. 2I. I. 42. I. 55. M p p o3 O O0 G d va d Via v Js. . 11^.15'f, 9. 58. 9. 26. 8. 54. 8B. 3. 7. 38. 73. O. 6. 4t. 6.23. 6. 8. $. 54 E, IO. 4. 54- 4. 26. 4. 1I. 3. 56. 3 42. 3: 37» D. T6; p. rr. 3 7. ds 2e 2. 46. 2.35. Oyeneci 4&5. 1738. fuper. obferu. ad-. limbi fuper. Olenecen- Parifien- fil. nou. bibitis errore Oua- — O vera. drantis e£ Parallaxi. Februar. 33... 4.39/. 6". dub. 4^.27/.40^ ES 5. LO. O. YEeDbs. 5:9... 15. 18. 5.39. 6. 5.30. L7. 19. 6,04 36. €XAC.^ 5. 514.32. 21. 6.42. 6. dub. |. 6.34. 89. 22. 7. 4 $6. dub. | 6. 56. 19. nile Og G. Es db: 0:17 «d er15 71 542 25. :1:9..,84 (6,bon. .8,. 2480. 41.26. ...8. 30. 36. dub... 8.24. 49. UAM dcr et aos AD aas 8.47. 15. 28. 9. 14« 3Ó. i j:9« 98,51. . Mattino: 329». ufu IO. 18. 18. 5. II. 9g.2I.: EP..4225 ? S15. LIPS 506, 12.14.12. P CONTENSTTWMECGT T9.4ondX$ 8 12. 15.52. 6, 13. 48. 7. 134. I4. 39. 56. 14.55. 2I. X5. I5. 2.21.dub. 14.58.59. I9. 16.56. 60. 16. 33. 42. 20.. 16. 59. 36. 16. 5*7. 24. 21. 17.29. 6. 19.21. $6. 22. 17.47. 6. 17. 44. 45. 26. 19.20. 50. 9.19. 8. 29. 20. 31. 20. 20. 29. 27. Tom.VII. Nou. Com. Kkk April. 442 DE REFRACTIONIBVS April ^ rz. 2r. 4r. 20. 21.539. 15. *. 5$, 25.7. 2, :52,;, 9:465, B5. BDbS3. E. 2998559) 551 594.423. 13:20. 23.ItT. 8. 92.12. "Roy, 7 28.58. S. 23. 56. 30. Y.35. ZR. IQi PB. ELE 28. 28. 98. 1.27.. 20 12.:.,25. 50:08 8. 25. 47. 49. 2.52. 2. IL. Sic quidem ope Ephemeridum, vel Tabularum aftronomicarum, res confecta eft, quae legitimum de refra. &ionibus Olenecenfibus iudicium füppeditare poteft. Cum autem tempore eodem , quo obferuationes folares Oleneci Aabitae fuerunt, varias limbi füperioris Solis altitudines meridianas Petropoli in obfíeruatorio Imperiali ope Sex- tantis muralis , radii circiter 5. ped., indagauerim ; expediet obíeruationes immediatas inter fe componete , €t ex coelo ipfo refra&iones Olenecenles quafi addifcere. Altitudines iftas aliquot correctionibus purgatas, prout deícriptas eas afferuat Archiuum Academiae , cum pun- éto aliquo Sextantis comparaui , quod ductu obferuatio- num íolítiialium Aequatori coelefti vero refpondebat. Exinde enim — adhibitis refractionibus et parallaxi ex Tabula Cafliniana , immediate concludere licuit declina- tiones limbi fuperioris Solis veras. — Vt autem iftae ad meridiem verum Oleneci transferri poffent , fuümfi diffe. rentiam meridiamorum Petropolin inter et Olenecum — 65, 6^, quam fcilicet differentia meridianorum inter Petropolin et Bononiam ex Eclipfibus Satellitum — Iouis cognita — 1^. 16/. et cum ca inter Bononiam ct Olenecum — 5^. 22^. comparata docet. In quo ne- gotio víus fum motu diurno Solis in declinationem , prout IN OXIS SEPTENTRIONALIBUVS. 443 prout eum ex longitudinibus Solis in Ephemeridibus . eonfignatis , adhibius declinationum tabulis, in fcrupulis etiam fecundis deduxi. Inde innotuerunt declinationes hnmbi fuperioris Solis verae in meridie Oleneci , et tan- dem , ope eleuationis Aequatoris iftius loci, altitudities meridianae verae limoi fuperioris Solis , quae cum alti- tudinibus obf.ruatis et correctis colummae 2 "Tabulae praecedentis comparatae monftrabant refractiones Olene- ceníes. Summam deductionum in fequentem Tabulam coniicere licet. Oleneci — Altit merid. limbi Aitit. merid. limbi :— Refractio 4n. 1738. [uper.Cobjeru.Ole- fuper. O vera ex — Olene- Parifien- Jil. mu. — neci, adbibitis er- obferu. Petropoli- cenfis. —— fs. rore Quadrantis et — tanis deducta. parallaxi. Februar. 15. 47.39". 6", dub. 49.28/.55"/ 10^.51^. rz1/.15^, * 17. 5 19. 6. vent 5. 9. 34. 9 32. 9. 58. * 22. 7. 4.936. dub. 6.56 48. 7:48. 777. 38. 24. 7. 46. 21. dub. 7. 40. 28. 5. 59. 1. 0. * 25. 8. 8. 6. bon. 8. 3.48. g^ qune 6. 4I. 26. 8. 30. 56. dub. 8.25. 9. $2191. 5.16.24. 23.8253; ^6. 8. 47. 39. 5.9. 6. 8. 28 9.14. 36. 9. 9 48. 4. 48. 5. 54. Matt. 19 16 56. 6. 16. 33. 36. 7. 204 109. 16. 20017. 24. "6. 7. 20. 48. 2.18. 93. 7. 22.17 47. 6. IT 4M. 42. CONDES "e. 2. 26.19. 20. 50. 19. I8. 50. 2-5 Q, 2. 46. 29 20. 31. 20. 20. 29. 53. I. 4T. 2. 35. April, 1.21. 41. 20. 21. 58. 53. 2. 27... 2. 27. : 3993. $8. "s. 23 56. 6. $. 59. — 2. 12. Kkko ie e 444 DE REFRACT. IN ORIS SEPTENTR.- OObferuationes Petropolitanae , ex quibus altitudines me- ridianas limbi füperioris Solis ad meridianum Olene- cenfem deduxi, iisdem refpectiue diebus funt infitutae , praeter eas, quas figno (*) notaui, quippe quae obfer. vàtionem vel proximo die paaecedenti, vel Petropolita- nam fequenti fidam, et ope motus diurni Solis in de- clinationem. reductam concernunt. Si. iam fümmatim expendas, quae hactenus tra- dita fuerunt , ficile concedes, vel refractiones Olene- cenfes'homologis Parifienfibus nonnihil minores , vel iis - aequales effe habendas , ita, vt Parifüs accedendo ad dPolum. refractiones homologae fenfibiliter non. varientur.. aM X o X SE - " RELATIO OBSERVATIONVM | ET EXPERIMENTORVM , QVORVM INSTITVEN- DORVM ITER ANNO MDCCLVII. IN INSVLAM OSILIAM. SVSCEPTVM OCCASIONEM PRAEBVIT. | Auctore 4 N.GRISCHOX. MINE VV ATA gui P En circa grauitatem bene. ficio Penduli immutabilis ducta 4e la Condamine Parifiis elaborati et ad Aca- demiam Imperialem transmi!i inflituta. I. Pendulum hocce immutabile Horologio Aftrono« mico fimile , machina cultellata , moderatore Grabauo, et virga chalybea 26. polL Parif fere. longa, lenteque ponderofi, cuius diameter 52 poll. Parif inftru&um per dies aliquot motum füum continuans eo praecipue confilio ab lll. de /z Condamine eft excogitatum , vt differentiae grauitatis , quae per ofcillationes. Penduli fimplicis difficillime obícruantur , huius organi beneficio accuratius commodiusque defiairi queant. Hanc ob cau- fam longitudo virgae huius Penduli variari nequit, 8o .1 Kkk 3 propter 4a OBSERFATIONRES propter virgam lenti infertum et agglutinatam , ita vt grauitatis differentia ex difír.nbüa numerorum ofcilla- tionum eodem temporis interuallo et in eadem tem- peratura confectarum cognofatur ; comparato nimirum motu Penduli imrnutabilis fiue 2d coelum ipfum , fiue ad Horologium Aftronomicum,; cuius vires ad amuffim funt exploratae. Notandum autem cft, Pendalum hocce knmutabile , loco difci horarüi, indice e(fe munitum , cuius reuolutio integra rooooo ofícillationibus Penduli abí(oluitur , ita vt hic et caeteri duo huius Penduli in- dices non horas et minuta , fed numierum "ofcillationum Penduli denotent. ^. Exbibiturus fum itaque non folum praecipuas compara*iones, quas inter hocce Pendulum im- mutabile, et Horologium Aftronomicum ab artifice 7 biout elaboratum , Petropoli, Reualiae, in Infula Ofilia , et in nonnullis Liuoniae locis inftitui, €t quae «xplorandae motus Pendulorum aequabilitati inferuiunt; verum etiam obíeruationes Aftronomicas exquifitones, ibidem , ad vtriusque Penduli motum cognofcendum , maxima , qua potui, accuratione habitas ordine, referam. — Cum vero grauitatis differentia ex motu Penduli huius immutarilis. accurate erui nequeat, nifi experimenta in eadem tem- perie aeris inflituta , vel faltem ad eandem aeris tem- períiem reducta fint, Thermometri iuxta Pendulum im. mutabile et Horologium Aftronomicum affixi gradus in omnibus et fingulis experimentis fedulo adnotaui , et fi quis praeterea DBarometri flatum — defderet , illum in obferuationibus meis meteorologicis inuenijet notatum. IL. OP: OSILIENSE S. 447 II. Obferuationes. et. experimenta. circa. gra- vitatem ante abitum im. Infulam. Oflliam, Penduli zmmutabilis beneficio, Petro- poli inf'ituta. d. Aug.maneó^.45'.33/".]- - - rs? (üprao Appul Sirii dzAug.- . - - «| - - 4:5 - - | adfil.vert. d.iiAug.mane- - - - . * 415: - ^. Teleíco- poítmerid.z. 25. 59; V.]- - 2000016 - - piifixi bi- vefp. .82.244- d] - 4190015 ^- -| pedalis. d.ifAug.mane6. $0. 541- d- - 8750014; - - 054. E; - JI -4- Sus Qu. poftmerid.2 44. 231- j419.-1- 1995016 - -- d. Aug.maneg. 48. 42 - -|rR. -j- gorso15i . - potmerid.r. 22. 6; - 27. 4- 1300016 - - d.i$Aug.maneg.ir.18;- |s5.-1-945O0O 1S9 - - pottmerid.o. 57. 28; - |3*. -1- 10090316. - - 4. 7.91. -|3R5.3-253o0016 . | d.i; Aug. EIL Qu i54 Seis" Lnd. Ls 16; - -Appulf 17 ; : limbi Solis Ala comparatio. CYXORMI d.i5AÀug.mane|8. 59. 591v.il - 6100015; - - Trnftorii pofimerid.t. O.45; -| - 7750016; - -| sped. vefp. 25. 37i 8. -1- 12109hi5i EA d. ;$ Aug. mane|8. àl1 303 - [15. 2-2 530301151 ^ - pofunerid.|r. 19. 545 « 17. -1- 7750016; - - Alia 4498 OBSERVATIONES Alia comparatio. 1757. l1. Horol. SUNY A tron. d. 4; Aug. mane 8.16^ 35/7; Velp. 129,52, 23 1— die imd mane 6.45. 55; -|- Utiliuouns | ihe. Perid.immutab | Reaumur. - - Q -* 15 ;lüprao - - 54550 a6i - - e L s: gh. -| A ppulf Sirii mane, 9.12.10; -|1".-1-2500 |15; Te ad fi] ;vert. | | Telefc.fixi Qí2447U; -|p - 3Nv(E, Sw Appulf. x^ polmerid.- - .- .- - - Js - . -|limbi. Solis vefp.. 9.31.58 - à --53200 161. - ..|ad fil. vert. d.7 24 antem. 11. 6. IO - |2F.-1- 9ooo.161 2. Elaersficit Dd vefp. ro. rL'2.284 2V.se^ BGAOER X6-r-v -idlov 5 seg. mane ds 43-34$ - | LU o c|ippulfus mane 8. Ir. ig V.4j2 ". --950c0 a5 -. -]S5irii ad fil. 9.46. 5 - 35.-- 2200|16; -. | vett. Tele. deri Ícopii fixi. Motus iier Horologi Afrodobric pro die Solari medio i Aug.et?/ L3d ex obíeruationibusSirii fuit 24P. 37.46// jr Aug.et? Sor ex obferuationibusSolis - 24 3. 46; 7 $E Ct sp. ex Obferuationibus Siri - 24. 3. 4615 Confecit itaque Pendulum immutàbile fpatio diei Solaris medii a d.15.ad 14. Aug. ft. v. 98948, 1 Ofcillat."] MEL. om I4.adris Aug. - 98948,2 - - | | 151 is.adi6 Aug. - 989456 ^* - Therm. 15: — 18.ad19 Aug. - 98946,1 - -* Reamm. 4 16 — 20.3d2r Aug. - 98946,4 - - | indiane | 162 — 21.4422 Aug. - 98946,4 - - EC o 422.4423 Ang. - 98946,7 » - U; 102 0 tar OSILIENSES. is Per medium igitur inter ifta experimenta motus Pen. duli immutabilis diei Solari medio refpondens in tem- perie aeris 16^. Therm. Reaumur. fupra o Petropob ert 9894.7. Ofcillat. III. Obferuationes et. experimenta circa. gra- vitatem snediante. Pendulo immutabili Reualiae inflituta. T. Horol. | A (tron. d. & Sept. mane]. 77.517. 27//1 poftmerid.. 4.22. 55 ]1*.-4- 15050 142. - II. 'B.rTi - - . JAppulf.« à II. 20. $9 - 1^-- 470 "4 -* [ad lamin. Olcillationes ; 1herm. Pend. immutab. Reaumur. - - $0000, me fupra o 1757. d. $ Sept.mane| 6. 43. 71v. vert. Tran- fitorii. II. 7.21 A ppulf. « ad fil. vert. Tranfitorii. EI. 8:12i Appulf. a 'G 11.25. 57 - |2*. -I- 42700 131. - .jadlaminam d. $ Sept. manc 6.18.34; -2*.-1-31000 13; .- .| verticalem 5 d | Tranfit. Alia comparatio. innej 9.45.52 -|- - 85000|I4 7 -| DI 9- 75. - - e Appulf.a '6 ad fil. vert. ] [ l | Tranfit. Tom.VII. Nou. Com. Lll 1757. 40 OBSERFATIONES 19597. T. Horol. | Oftillaiones | Therm. d.jSept.mane Aftron. |Pend.immutàb.| Reaumur. riM 94954" - - - '[| fuüprao |App.& dad II. I7. 24. |15.,-1- 40750 13: - -| lam.vertic. d.$ Sept.mane| 6. 50. 30 -|1*.34- 71800 [r3 - - | Tranfitor. II. 7. $i| - - - d|- * -|App.« 8 ad fil. vertic. Tranfit. II. 97. 461 | - - - -|- - - JAppul( a 9 rI.I5.30 .|27.-1-89500 |3 -^- - |'ad lamin. &Sept.mànd 7. 18. 31 -|25.-1- 72400 |13 - .- | verticalem e. e. .59ept.mane| 8. 15. 42;-|5^.-1- 75000 |13 -- '- | Tranfitor. Alia comparatio. . 1 Sept. poft- | 1 merid. | 3. 19. I1 -- - 3950131 - £. d. 4 Sept.mane| 7. 32.30 -" 30650|:13 - j poftmerid. | 5. 6.43 -1R, -- 16000 JOOMPEN US II. 6.40 -F - - .L * - -Appulf av ad fil. vert. Tranfitor. DI. .21.3. 4 4&4 d. f -JAppglbw II. 253. I2 -15,-1- 55800 [122 - ad laminam d.i3Sept.maáne| 7. $6. 51; -18.-— 71020 [r?; - -| verticalem pofünerid. [| 0. 32. 39 -1*.-31-89900!:2; - | Tranfitorii. Ex praecedentibus. obferuationibus fequens Horologii Aftronomici motus pro die Solari medio colligitur ; nimirum : Ex obferuationibus d. 3 et 4 Sept. ft. v. habitis 247.3/.47/,5 d.4et5Sept. - -- :24 8.48, 3 d. 5. OSILIENSE S. 45Y d.setóSept. - - 24.8.48, 9 d.6etogSept. - - 24.5.48, I — Per medium ipitur inter i(tas obferuationes motus Horologii Aftron. diei Solari medio refpondens a d. 3 ad 9 Sept. ft. v. erit - - »45.5/.58//;1 | Hoc Horologii Aftronomici motu admiffo , Pen- dulum immutabile fpatio diei Solaris medii in temperie aeris media 13; Therm. Reaumur. fupra o. abíoluit a d. 5. ad 4 Sept. ft. v. 98945,2 Otcillationes 4.ad 5 Sept - - 98942.5 - - - s.adó Sept. -- 98940, 9 - - '- 6.ad 7 Sept. - - 989409, 7 - - - q.ad 8Sept - * 98941,6 - 4 - $.ad9Sept. -- 989457 - «4 . 9.adioSept. - - 989415,,7 - -4 - Per medium itaque inter ifta experimenta motus - Penduli immutabilis pro die Solari medio in temperie aeris 13'2 Therm. Reaumur. füpra o. An. 1757. men- fe Septembri Reualiae füit 98941,8 Ofcillat. IV. Obferuationes et. experimenta circa. gra- vitatem in Ofdia Infula. Penduli | immau- tabilis beneficio diuerfis. ann. vempefta- "bus perfecla. Propter coelum autumno An. 175*. hiemeque in- fequente plerumque nubilum, paucas quidem pro teme L112 poris 454^ OBSERVATIOWES poris fpatio obferuxtiones im Infula Ofilia peragere licuit; fequentes tamen obferuationes ad^ motum Penduli immu- tabilis definiendum , et grauitatis differentiam inter Ofi- lam Infulam et Petropolin accuratifme — dimetiendam fpectantes, fumma inílitui diligentia. 1757- 'Y. Horol. Ofícillationes | Therm. Aftron. Peüd. immutab.|R eaumur.]l. 15. O&. vefp.[11?.18/.5477. | | cica metid| - - - - yefp. 6.23.42 - -| - (- 0-2 -JAppulfus . Ar&uri ad 2. fil. vert. : Tranfitorii - - -JAppulfus : Ar&uri: ad lam inan . vert. Tran- fitorii 6. 24. 2O citc. 6. 29. 10; dz.Oct.mand 8.28.13: v.2 15..- 81500|; — vefp. |rr. 33. 402 -| 25.-- 43550 02 — d.;5.O&. manc. 8. 10. 59.» -| 2*. poftmerid. | z. 17. 25;- - Ala comparatio. d... O&. poft-| | merid. 3.49. 162 --—--- goo|R8 — d.;2Odc.mane 8.46.21; 4--- 70000] — potmerd.] - - - - c ie 31757. OSILIENSE 6. 453 1757. | 'F. Horol | Okillationes | Therm. | Attron. Pend. immutab.| Reaümur .| - » Appulíus . Arcturi ad | I.fil. vert. . 'Franfitorii - € -KAppulfus Arcturi ad ' 27 RI. vert. "Franfitoris A ppulfus- Axcturi ad laminam verticalem ! "Franfitorià Manifeftum eft ex iftis obferuationibus Arcuri, Horologium Aftronomicum a d. 16. ad 2o. Oct. mo- tum fuum fuper tempus Solare medium acceleratfe 3/. 50/^, 4 pro 245. Vnde emergit per medium motus Penduli immutabilis ad diem: Solarem medium pro ifto tempore, et pro temperie aeris media 6'7 Therm. KReaumur. fupra o, 98945 Ofcillationes. | - Alia. inquifitio. £8. £500HEC.-. 7| oes ST oan 6.27. 24i - - 2R.- 85008 — d.29'mane ro.1i8. 6 --|2*.-- 736508 — | vefp. - Ld » 405 mane Mt «td -[6*: fupra or víp.- - 4. 4 -- e 5$ |* 4 &Rmie.---o dX o7 - | wdbp.p - - - -po M SD 4-54. OBSERVATIONES 1759. T. Horol. | Ofcillationes | Therm. Aítron. — |Pend.immutab.|3eaumur, - d.4S- mané - - - - |- - - - drzifüprao vefp.- *- - - Fs - - 8 - - di 5T mahe e x" ovde gun PES uc antemerid.| o. 59.11;v.1|- - o- 7. 3*1. 535 vefp. | 6.20. 29 - T 0-1 -* -Appulfus Arc&uri ad I. fil. vert. Tranfitorii, 22.49. -- - - - | -*- -JAppulfus II.4I.I5iV.;- - 44000|8 - - -|Ar&uri ad d. :50*t antem.| 0.25^.10^. - 96350|7. - - -|2. fil. vert. vefp.- - - - - - -8. - - -| Tranfitorii. d. 77D mane | 9. 22. M KR 1: $» 58o pre vep.- - - DD TUSU EMI Nen d. Rs 7-7 310.498. $6; - 2. -]- 95000 lg: . Ee Ex hifce obferuationibus colligitur motus | Horo- logii aftronomici ad diem Solarem medium 24?.5/.50", adeoque motus Penduli immutabilis pro eodem tem- poris fpatio, et ad temperiem aeris mediam 5*; Therm. Reaum. füprao - - - 98945. Otcillat. Alia inquifitio. d.:Nou mand. - - Eo€-!- 5. o-6.füpra veíp.| 4. 18. add - 5.2 e--2- jAppulfas 4.25.17 «|. - - 650/6, - -JArcturi ad | 2. fil. vert, Tranfitorii. 1757. OSILIENSES. 455 1757. T. Horol. [| Ofcillationes Aftron. Pend. immutab.|Reaumur d.jiou.man] - - - |- - - -d45.--- merd.| - - -- - -- 4.I6.II1-| - - - -- J4Appulfus '| Arcturi ad .. 1 fil. vert. Tranfitor. I18.3:1-- - - - - « JAppulfus 4.81.29 -|- - 99759 Ti - - - Aréui ad 2. fil. vert. Tranfitor. .Habebimus 'itaque fecundum iffas obfetuationes ^ appullum Ar&uri ad 2. fil. Tranfitorii d. $5 Nou. 187,3 Ofcilat. Pend. immutab. et d. ;? Nou. 98861; Ofcillat. eiusdem Penduli , ita vt motus iftius Penduli pro die fidereo fit. 98673, 8 Ofcillat. et pro die So. lati medio in temperie aeris 6^; Therm. qme fü- pra o - - 98944 Ofcillat. ! Alia inquifitio. 1758. | d. lan. vefp.| 8. 15.39 - |- * - - -|siinfrao Appulfus (3 Orionis ad [ Mat so0 C |ofil.: vértic. | :: Telefc fixi 18. 6.-- - - *- -..- - -Egretus 8 ! ' Orionis 1758. i 4:6 | OBSERVATIONES 1758. | T. Horol | Ofillaiones | Therm. 1 Afiron . |Pend.immutab.| eaumur. d.;5Ian mane11?.59./18"7.|. - - 3400 6' infiao|. vefp. | 8. 22. 44. 1- -- 579006. —— d. 2; Ian. mane|11. 14. 19: vefp.| 7, 14. 16;- - 99000 Boe Kk t —— [Appulíus & € ad lami: nam vert, | 1 Tranfitorii. 2o. 9 s [6i —— |Appultus G Orionis ad fil. vertic. Teleícopii fixi. 205 o — —[Egreffus Orionis. BELLE 8.15, 47 - I$.24YV.14; Per medium inter iflas obfermationes. motus Ho- rologii aftronomici ad diem Solarem medium inter d. 8 ct 9 Tan. fuit 24". 4/. o^, 6, et motus Penduli immutabilis pro eodem temporis fpatio in temperie aeris 6" vel 6"; Therm. Reaum. infra o - - 98957 Ofcillat. Alia inquifitio. d.Slan.vefp|t:s. 9 - -|p - - - -iinfrao d. ;; Ian. mda. bis MODC Mies m d. "n Ian, P im nth m -- - -3 —— d.:?lan.poftm| 3.36. 2;-F - -2700]|*5 d. 7; Ian. DL: 43 — 1758. OSILIENSE S. 4.6 1758. 'T.Horol. | Okcilationes | Therm. Aftron. — |Pend. immutab. Reaumur. d.;*lan. mane| 9. 58. 591- 1". -1- 75600| infia o d.i Ian. mane|ai. 31. 8 - |$*.-i- 80600 i21 —— Alia comparatio. d.:$Tan. mane]ro. 55. 42:- - 1800|2: —— wvép.| 7.14.19 -- - - . :|— —— Appulf.a d | adlaminam verticalem | Tranfitorii: $.35.49 -g - -» - -[3 —— |Appulfus G Orionis ad fil. vert. .| Telefcopii fixi. 18.16: -- - &« - -|[— —— |[Egreffus Orionis. .d. d lan. mane| 9. 6.291v.;- - 95300081 —— vefp.| 5.44.2923 - 17. -1- 28500 |2; —— Per medium igitur inter iftas obíeruationes prodibit motus Horologii aftron. diei Solari medio refpondens 24^. 3/. 56/5, et motus Penduli immutabilis pro ifto temporis fpatio in temperie aeris 3. Therm. Reaum. inffa o0 » - 98955; Otcillat. "Lom. VII. Nou. Com. Mmm 1758. 458 OBSERVATIONES 1. iloroi. |.| Qicllauones. | 1 herm. Aftron. Pend.immutab |Reaumur.] Alia. 1nquifitio, d. 3 7 antem. |1 1* 12", (ida t---* 0. 25r infrac] d - Now po | d.*. 155 antem.|1 iq E M gom mu vefp. 9.13. 6 - |. - eT -[*ppulfüs 47 ' Orionis ad | fil vert. | | | Tel. fixi. PTRC LOIR RR NOROON [égreffus 4 d$ ;antem| o. 17.22 - -|sK-1-500 -|r - .| Orionis. Alia comparatio. d.*5. 15; antem. 1r. 57. 40 - - - 500 5;i VelDJ | 9.13, 5 - -5 7 -|&ppulfus 4 ' Orionis. ad | Gl. vert. Te- | lefcopii fixi Eo. 557 "2 ^greffus yy d.z.E magg- - - - Wb Tou ic Orionis, velp. | 6, 2x. 39: - i*-1- 25500 | COUTPIES Per medium itaque inter iftas oHieaiones motus Horologii Actronomici ad diem fidereum fuit 24*.5^.56"", x et Penduli immutabilis motus pro eodem tcmporis fpa- tio in temperie aeris 2^. Therm. Reaumur. infra o 98954. Otcillat, Alia OSILIENSES. 459 Alia inquifitio. In Ifthmo montuofo Infülae Ofiliae (vulgo Schworbe) e regione Curlandiae fito, in praedio Torkenhoff: 1. Horol. | Okillationes | Therm. Aftron. — |Pead. immutab FReSUDUNT. G.SPODE XI. m 7 | 3458 -- 2H ds A ppulfus m.m i.". jd - ez -| Sirii ad fil. d.:zFebr.mand]8. -* e i. - SMS YI Vert, Trad. poftm. ]3. « | - - 8; - |[ftorii. vepi ou 34 - [E4X2r3rcirc|o: - -.[AppulfSirii ad fil. vert. | Tranfitorii, INB. Sirius minutis ante aliquot fecundis filum verticale Tran- fitorii iam transgreffüs per nubes emicabat ; quare Ap- pulfum eius ad iftud filum hodie accuratiffime obíeruare non licuit. | Alia inquifitio. alio in loco maritimo Arensburgenfi fpecnlae Aftron. proximo peracta. HE Ter. Sefp. 9^. -o02 cp o7 6858 -5".infrac|Appulfus « n En PASS dus e auiadfil. E ab^ Mui mag 9 27 .UU- EUIS o6 1 12— | wert, Tran- PORE Da ums ood iS ne METUS vp |9 - - -1rX*-4-50o39 -|51 ——l|Appulíus « Cygui ad fil. vert. Tran- torii. Mmm»s 1758. 460. OBSERVATIONES 1758. T. Horol. Ofcillaunones | Lherm. Aftron. Pend.imm utab.|R eaumur.| iP,-p 5141: | - -Appulfs a d.y.P mane 8^. - - -L - - -si ——|Cygn ad mer. |r2. - Me0- e s ——. lamin.vert. velp. |o Tranfitorii. - - ^. .25.-p- 3726 -4: ———jJAppultüs «& Cygni adfil. vert. Tran- fitorii. 25,-1-3828 -|- - -j|Appulífus «& Cyguiad la- min. vert, T'ranf(itorii. Patet igitur ex iflis obferuationibus, Pendalum im- mutabile in temperie aeris 8: Therm. Reaum. füprao fpatio diei Solaris medii in praedio Torkenhoff confecis- fe fere 9894.4. Ofcillationes: In altero autem loco ma- xitimo Arensburgenfi fpeculae Aftron. proximo, Pendu- lum immutabile in temperie aeris 5^: Therm. Reaum. infra o die Solari medio abíoluit 989567 Ofcillationes; quod cum caeteris obíeruationibus et experimentis me- dia in Infula Ofilia inftitutís fatis bene refpondeat , ar- gumento eft, grauitatem in Ofilia Infula pro locorum differentia nulli obnoxiam eífe varietati notatu dignae. Alia OSILIENSE S. 461 Alia inquifitio. : 1758. T. Horol. Ofcillationes | Therrn. Aftron. Pend. immutab. Reaumur d. 7.17 vefp.|o^.23/.47"5 - -- - x100 -'ifüptao 4.11. 52 - -. - - -n ——JAppulfa d dz-max- o - 7-2 oeFo- - oe ——|adÉfl vert. poimer]- - "^- - «4H ——4Tranfitorii, d. d. 35. Apr. vefp. 35.58/.54" | vefp. |2.23.39 - -|[r.-1-8o00 -11 —— Iu. 4d s. 11 -————lApnulf. a 3 y X»: mane|r. 58. 133 - -|t^.-1- 55600 1; -—— ad fil. vert. Tranfitorii Confecit itaque Horologium Afítronomicum —fecun- dum iftas obíeruationes die Solari medio 86652, 8 Ofcil- lationes ; Pendulum autem immutabile éodem temporis fpatio in temperie aeris 1; Therm. Reaumur. füpra o, 989511 Otcillat. Alia inquifitio, - Fo sAppulfus & * 4400 |g?füpra o mp ad fil. vert. Tele» fcopii fixi. 2 c 05 j4Appulfus e 3 | ad 1 fil.vert. "Tranfitorii. z 'LEÍ]!/— sAppulfus a 8 ad 2fil. vert. Mmm; 1758, 4. 5.281 |- 4 T7. 241 | 462. OBSERVATIONES 1758. 4. Horok. | Otcillationes | T herm. Aftron. — »Pend.immutab. Reaumur. 10. 25 [- - - fupra o Appulf.a d. ;i. Apr mane- zs d 5s Je lcm adlaminam pofimerid. zz. 8. o | - 82700 |9i j vertiealem. vefp. | 3.58.43 |- s EN PPM E "p ad fil. vert. Tele- Ícopii fixi. 44 xí 45 7- . 2 -Egreffus a 4. 4. 56 |1*. -4- 3050 |9: gi. -— 4. 9. 29; |- - -- - -Appulf a ad2fil, vert. "Tranfitorii, 10. II |- - -- - -Appulf ag adlaminam d.:s.Apr.mane 4. 3.34 |15.-1- 52500/8; ———, verticalem. Mino .9,05 5005 17. dc . jJBo- son "p a : vert. Tele- fÍcopii fixi, 4. 1.94 |.|- - Jd x "Hgreflis a 4. 4.23 2*.-|- r700 |9: 130 d : 4s ERE Ie - -- - -Appulf.a ad1 fil.vert. Tranfitorii. 9. 181: |- . "- - -Appult av ad»2fil.vert, 10. O ]- : -- - -Appulf. a 9 d.:i. Apr.msne 4. 27. 5i P7. -1- 526008; —|adlaminam poftmerid. 10, 50. 25; 25, -1- 775009 ——4j verticalem. Ex Ka OSILIENSES. 463 Ex iftis obferuationibus colligitur motus Horologii Afironomici pro die Solari medio 86625 Ofcillationes: Penduli vero immutabilis motus ad idem temporis fpa- tium in temperie aeris 82 Therm. Reaum. füprá O, 98944; Otcillat. Alia inquifitio. T. Horol. | Otcilauones | Therm. Aftron, — Pend.immutab. Reaumur, d.:;. Maii vefp./8".12^.27 - - Job Áppul(s e 1458). Serpentarii ad fil. vert. 'Felefcopii, fixi. 14.581: -]|- . | 2 -Egreffus eg 8$. 19. Ó - - H Serpentariá AE nn: BEnBl e. xi pibe n poner ,- - T oj" : W vefp|$. 12. 152 -- - - -Appulüs g | | Serpentarii ad fil. vert. Telefcopii, fixi. 14. 471 - - - -Egreffus e 8.21. 29 - |17. -1- 28200 8 ——— Serpentarii d.z.I manes. 57. 7i - 7.4 676507; —— Betbuer.ulcur m. 6 EHE 19 i3 vefp. |o. 9.50 - ls, -- 30200 7: Fx bhiíce obíeruationibus deducitur rnotus Horolo- gü Aftronomici diei Solari medio refpondens — 86625 Ofcil- 464 OBSERVATIONES Ofcillat. Motus igitur Penduli immutabilis pro die Sola- ri medio in temperie aeris 8^. Therm. Reaum. fupra o erit 989431 Otfcillat. Alia inquifitio. Ofcillaüones | Therm. — Pend.immutab. Reaumur. d. v. 5. vefp. 9024. |r3^füprao APP: a Aquihe ad 1fil. vert. Tranfit. 91333 - - - ad2fivert. - - d. maneg. - - - » Ee vefp. 657 1- - RN 4 o—— vefp. |1*. " 689! 13: $1 ——-|App « Aquilae ad x fil. vert. Tranfit, 1 A - .K - - ad2zflvert. - - iT velp.s. Penduli immutabilis pondus eleuaui. T. — T 23 nig 0—— 12682 |13; ——App.a Aquilaead 1 fil. vert. Tranfit, :2792)b.; - 4j. .1- .-. ado ub - d.n] maneg.|- - - -19 —— "vefp. 6, - - dr — E -- 11349132 ——- |App.o Aquilaead x fil. vert. Tranfit, 114582]- - -- - - adoflhlvet - - d... Aug. mane". To -2 Haus A vefp. ET. - - 14i — S,AÀugmane$M. | -/ -— -12] — mob. : . XM ' 35. -- 86791 13: ——- App. e Aquilaead 1 fil. vert. Tranfit. $9788; - - - a - '"gdZ5b VOI... Per O sTILIENS:. 465 Per medium inter iftas obíeruationes a d. 26. Iulii ad d. 2. Aug. vsque, fumma diligentia inflitutas, prodi- bit motus Penduli immutabilis diei Siderco refpondens 98666 Ofcillat. adeoque motus eiusdem. Penduli pto die Solari medio in temperie aeris 13; Therm. Reaum. fapra o, 98956 Ofcillat. Caeterum notandum eft, in obferuationibus hifce diebus Penduli immutabilis benefi- cio habitis , ad veram grauitatis differentiam -definien- dam maximi effe momenti , quod in eadem fere tem- perie aeris eodemque anni tempore peractie funt, quo Obferuationes huc fpe&tantes An. 1 757. Petropoli inftitui. Facili nunc negotio breuiter enumerare poffumus fequentes numeros Ofcillationum , quas Pendulum immu- table An. 1757. et 1758. fecundum obfernationes füpra relatas in Ofilia Infula diuerfis anni temporibus, pro va- ria aeris temperie , fpatio diei Solaris medii abfoluit. An. 1757. menfe O&obri - 9894.5. Ofcil a] "l 6. fuprao menfe Octobri - 98945.. - cie menfeNou. - 98944. - - CH An.1758.menfelanuar. -98957. - - 6*. infia o meníeTanuar. - 989551. - -|Reaum. ONE menfelanuar. - 98954. - -j Therm. í 2. — meníe Febr. - 98944.circ. - j ndicante 81.fuprao menfeFebr. - 989567. - - | t infra o menfel(ariio- 98951! - - 1:.füprao meníeAprili - 9894421. - ii S —— menféMaio - 98943; - -| | 8. —— meníe Iulio et Augufto - 98936. - -[ j13; ——.- Tom. VII. Nou. Com. Nnn- Patet 466 OBSERF ATIQ WES Patet igitur, variationem vnius Ofcillationis in mo- tu Peuduli immutabilis, pro. die Solari medio, re(pondere g?neratim variationi temmperatürae, vnum gradum Ther- momcetri Reaumuriani exaequanti quam proxime. M. Obferuationes cirea. grauitatem , Peuduli ninutabilis benefiio-, Pernautae - 4416 |t8?.fupra oAppul(i: a Aquilae ad — —| filum veiticale Te- -- —| leícopit fixi. — -jAppulíus a Aquilae ad: — —| filum verticale Te- babitae. 1758. Uicillationcs | 1 heim. Pend.immutab.|Reaumur. d.i$. Aug. vefp 9^; d.ij.Aug. Bre. "d em Pod o4 Pu EP vefp. or d. ac i1 1F, -1- 3082 -|17:. d. :*. Aug. mane 6" Dep S T ipe vefp. 5 Due oU brEEE &. 3. Ang. mane 5^. wefp.5^--- .- "*h& — —| leícopii fixi. — —|A ppulíüs a Aquilae ad: — —| filum verticale Te- — —| lefcopii fixi. — —jAppulíus a Aquilae ad flum verticale Te- leftopii fixi. Manifeüum eft per iftas obíferuationes, motum Pen- duli immutabilis pro die Sclari medio, in temperie aeris: r7. lherm. Reaum. fupra o, rmneníc Augufto Perna- viae íuifft 98956. Otfcillat. ) VA. PE rS DEED T. €»: LE TEE E um ^s »— OSILIENSES 46 VI. E Objeruationes. exquifiiores. circa. grauita- tem, wiediante Peudulo inmmutabili, Dor- pati iuflttutae. "a 1758. '(T. Horol. | Otüllationes A fron. Pend. immutab. d Sept.mjane| 8^.55".36" |- - .58700 Therm. Reaumur. I4 sfüpmc| ^-^ :|Meridies QuSO, lTo2 p -s MuR Xm oq Yelp emi - dos eM A caca a." cia P ero d. 4 ; Sept. mone| S. 35 s m da 35970 I1 3i- —— | 1O. altitud. vetp. s», L. f 7. órg. —— [Solis cor- d. ASept.anten " O. 28.0 BB. d, cds Irg. —-— j|reípond. de- vefp. 5. 1 - L5 o-cRo- - - -[rAl —C— | ductus. d. à & Sept. mane| 9.55. 59 -|3 --1i- 57480 |E32. —— Alia com paratio. £od.circ merid | O. 84. 52 y - . 69700| [I3 -—r Melp.jó" 1: - LL o. s - - 414. —— d ZSept.manciio. 9. 58 -15.-1- 58450 12i. -— vefp.G^. |- - - --- - - - -181. — d. ZSept.mamrd 8. 48. 15. - 25. $1539 134. — D. x3. 425 Wie 3 qu as IMeridies vefo, .19. 48 - |z P. -- de I4. —— | verus ex | 1 5. altitud, Solis cor- jrefpond. de. ductus. d. 32 Sept. mane E 55.58 - 3. -1- 5485014. —— Nnn2aO Dies 46$ OBSERVATIONES Dies Solaris medius fecundum praecedentes ob- feruationes aequatur. 24^. 3/.. 49/1 Horol. Aftron. quare motus Penduli immutabilis pro die Solari medio , in tem- perie aeris r3. Therm. Reaum. fíipra o, fumpto medio, erit 9894.1. Otcillat. Alia inquifitio. 1758. T. Horol ] Ofcillationes | Therm. Aftron. Pend. immutab | Keaumur. d.3 o "antem. 15,0125 "« .« 520 |t 1".(upra o AdprsEL. mere cad-. "^ De TENURE, wefp. | 8.45.2233 0$ 7 c] —— —-Ingreffus « ! Aquilae in. camp. Te- leícop fxi.. 48, 162 e]-- Mm — ——Appulfus « Aquilae ad. fil. vert. "Telefcopii. fixi 51.331 -]-- - * - | — —Emgreffus a: | ' Aquilae. . vwfp oh - - - m oro e Jtr. d:^XP"mane | 9.48. 58: -| - 86280|9. —— poflmer. | 2. 14. 20 - i --- 5150 r1; —— | vefp.] 8i5z, 6:9 — vlc. die —-Egreffus & 10:33. 32 - |15.-1- 38675 | 9$ —— | Aquilae. € campo Te- lefcop. fixi. — 1758. OSILIENSE S. 469 Tl. Horol. | Ofcillationes | Therm. Aftron. — |Pend. immutab.| Reaumut. d.79^^ mane | 9. 32. 2 - 1*5:-1- 83800| 9i. — potmer.[ 2.15. 8 -2*.-- 3200 12. —— vefp.A MT - - Wn - 2 o [rai — 8.52.29 - 2*. -- 29030 |roi. —— | Sog ibm ooumpt| TIT Íngre(fus. «- Aquilae in camp. Te- leícop. fixi. 1758. Aquilae ad. fil. vert. "Telefcopii fixi, 5dc9 pn moe suom (77 Bgreffus . at] Aquilae, d.:*SP^mane ro. 9 34 - 2*.-31- 85050 | 9... — pottmer.| 2. 40. 16 -|5R. -3-. 3600 111. — velp. | 5. 20. 12. - 35. -4- 14560 |12. Ex obíeruationibus d. 2x. 22. et $3. Sept. habitis. reuolutio- fixarum. (uit 25^. 597. 53/7, 5 Horol. Atlron.. adeoque dies Solaris medius. 247. 3/. 50". Per medium igitur motus Penduli immutabilis pro die Solari medio, in temperie aeris ri*. Therm. Reaum. fapra: o, erit 98942, x. Okiillat.. Nnng j CA- A40 OBSER/PFA X T'OUNNIES CAPVT Il. Experimenta exquifitiora circa graui- tatem, beneficio Penduli fimplicis inflituta. I. Pendulum fimplex; quo ad experimenta in hocce Càpite referenda víus füm, fimile eft illi , cuius defcriptio- nem Cel Bouguerus in libro cui titulus: /e Figwre e la Terre determinée par les obfzruations de — Mrs. Bouguer et de la Condamine , exhibuit, | Ce. 4e /« Caille Pendulo illo fimplici non folum Parifiis , verum etiam in Promontorio Bonae fpei víus eft, idque eo ad me beneuole transmifit confilio , vt eiusdem inflra- menti beneficio differentiam grauitatis Petropolin inter €t caetera Terrae. loca, vbi experimenta mediante hocce Pendulo fimplici inflituta funt , adeoque longita- dinem Penduli fimplicis ad fingula minuta fecunda temporis medii ofcillantis Petropoli adhuc nunquam in- veftigatam , eo accuratius tutiusque exploratam habere- mus. Hanc itaque inflrumentorum opportunitatem non negligendam effe exiftimaui ; ideoque ad veram graui- tatis differentiam Petropolin inter et Ofiliam Infulam , quie per experimenta Àn. 1752. et 55 exquifitiffimi Horologii A(tronomici beneficio inflituta, opinione maior prodibat, accuratiffime flabiliendam, bocce Pendulo fim- plici praecipue vti mihi con(titutum erat, — Nihil bic dicam de cautionibus , quae ad eiusmodi experimenta rte infituendg , ueceffario funt adhibendae , quarumque cogni- OSILIENSES. 41 €ognitio experimentorum aíbduitate paratae. — Notare tamen iugat, me víun effe filo tenuiffimo ex foliis alo&s parato, (fil de pite) quod non nifi poft longam temporis intermallum a pondere appenü pondufículi pau- lulum extenditur. ^ Aeris temperaturam , cui virga cbalybea Penduli fimplicis expofita erat , et ante , et eirca experimentorum tempora, fedulo obíeruaui , eaque tantum adnotaui experimenta, quae mibt prae alis exquifitiora feliciusque peracta vifa funt; ita vt exiguae illae differentiae, quae in experimentis infra relatis occur- runt, Ííoli fere difüculiati , qua Penduli fimplicis «t Horologii Aftronomici Oícillationum comparatio premi. tur , adícribendae fint. II. Experimentz exquifitiora, mediante Pen- dulo fimplici, circa grauitatem Petro- poli diligenter inflituta. An. 1757. d.i. Àug. Pendulo funplici rite. ftmmaque.. cura ad motum adornato, Ofillationes hu. ius Penduli fequenti modo cum. Ofcillatios wibus Liorologii Aítroaomici cormparaui : Expe- 409; OB SERV 4TIDION:ES Experimentum is "7T.Horol. | Retardatio Aftron. — | Pend.fimpl. Oicill. 1'Qq^. o TD Longitudo fili in hocce experi- 47.20 ]- - mento inuariata, Therm. Reaum. 2,:0.40 ]- - indicante 17^. füpra o. Ig. O ]|- - DiesSolaris medius ex obferuationibus 40. 55 Horol. Aftron. ita vt Pendulum fim- plex ifto temporis fpatio fecundum 54. 90 E EPEEREEP GE 6. hoc experimentum abíoluat 865 1 8,2 A anu LiT. ) Sumto medio 15/.22 X-seyedlat | I | 2 3 27. 30 - 4 fupra relatis aequatur 242. 3^. 46^: | 5 [] Experimentum . 2. T. Horol. | Retardatio Aftron, Pend. fimpl. Ofcill. d. 24. Aug. 9. so". o"|- - o Longitudo fili inuariata, Therm, 46.29 |- .2 Reaumur. 18?. füpra o. 10.26. 15 |- - 5 Secundum hocce experimentum Pen. 39 52 |- - 6 dulum fimplex fpatio diei Solaris me Sumto medio zx 3/16" : - dii conficit $65 1 7, 4. Olcillat. QO^SILIENSIES. 473 Experimentum 3. Aíltron. |Pend.fimpl. d.7.$5. 1. Horol. |t; .Ofcill. Longitudo fili accuratiff. et toto 2532/. o"7|- - 0 experimenti tempore inuariata. $57. O |- -2 'Therm. Reaumur. 1 8?.fuprao. 28.25 |- - 4 Ex obferuationibus in praece- 49-20 |- - 6 denti Capite relatis 86626,x 1——5..421—— -—Otcillat. Horol. Aftron. diem Sumto sony i | ^? $Solaem medium exaequant. Prodibit igitur motus Penduli | fimplicis pro die Solari medio — 86518. Ofcillat. Experimentum — 4. 3s xo", "A - o Longitudo fili inuariata. 5.40 ]- |- zx Therm. Reaumur. 1 8^. fupra o. 28.46 i- -2 4I. 48 - - 9 Secmdum hocce experimentum $4. 5XY |- — 4 $6515. Oftcillationes Penduli II. 7 50 |- - 5 fimplicis diei Solari medio re- oe estivi (ponmdent; Sumto medio 13/. o^"]- - x Ip Tom. VII. Nou. Com. Oooc . Experi? £74 OBSERVATIONES. Experimentum . 5. d.7. 9 T. Horol | Retardatio Aftron. [^ fimpl. Ofcill. 15227. o" -O 57. 10 - I 10. 10 B. 25. 10 du 36. 10 - 4 , 4 30 A - 5 6 b Sumto medio 13^. 6^ Longitudo fili accuratiff. et in- variata. Therm. Reaumur. 17. füpra o. Quia Horol. A (tron. fpatio diei So- laris medii conficiebat 86626,x Otcillationes, Pendulum fimplex fecundum hoc experimentum — eodem temporis fpauo abíoluet 86516. Oftcillationes. Experimentum ó. à: do MN CN D de - 0 Longitudo fili accuratiff. et 16.10 |- - 1 inuariata. 29.28 !- - 2 Therm. Reaum. 1 7*: fuprao. 2. 85 ec 55.55 |- -4 Ex hocce experimento con- 10. 9. O j|- - 5 cluditur motus Penduli fimpli- 22 2$ |- - 6 cis pro die Solari medio 86517 L —- Ofcillat. Sumto medio 153/.13/|- - 1 Ex hifce itaque experimentis exquiftioribus Pe- tropoli inftitutis , fequentes colligimus numeros Otfcilla- tionum Penduli fimplicis, fpatio diei Solaris medii con- fcctorum ; Ex OSILIENSE;S. 435 Ex 1. Experimento 86518,2 Ofcill. Therm. Reaum. 15^. fupra o 2. - * - 86517,4 . - LUNG. um m 3. - - - 86518,0 : : - 18. — — A. US c9 Ihe 8655.0 - - ^ 18. — — 5. " ». $6516,0 L - - I7. — — 6. - 7 € iod . - - BON — —- Per medium igitur - 86 517 517 Otill. Therm. Reaum. 17 bs *: fuprao III. revers exquifitiora beneficio Pen- duh fmipleis circa. grauitatem Reualiae | infüituta. Experimentum r. Án. 1757. T. Horol. E d.&.Sept. Aftron. |Pend.fimpl. |! Otfill. $3? 567. o"|- .o Longitudo fili accurata et $18. ^X - X inuariata. 20. 9 $2. 12 9. 9.15 2 Therm. Reaum, 15^. fupra o. -3 Ex obferutionibus íüpra iam - 6 exhibitis colligitur motus Horol. - 7 Aftron. pro die Solari medio 36r ws — 24 .3^48/41:5 hinc erit fe- cundum hoc experimentum mo- tus Penduli fimplicis ad idem temporis fpatium — 86508, 9 Otcillat. Ooo?. Experi- 21. IS xs Sumto medio 12^ Ae I 466 OBSERFATIONES Experimentum 2. d.4. Sept. T. Horol. | Retardatio Aftron. Pend. fimpl. Ofcill. g^.17/.o"|- - o X In hoc experimento virga cha- 29. O l - r lybea ar&e ad ponduículum bi- 41. 30 l- - s conicum Penduli fimpl. appli- - cata ; longitudo fili autem toto experimenti tempore inuaríata. Therm.Reaum. 154 (üprao. 8. 6. 12 |- - 4 . Horol Aftron. hifce diebus fpa- 31.530 |- - 6 tio 24. hor. temporis medii Buinto micdio 1241472 A confecit 86628, 1 Otcillationes, ice, ita vt fecundum hoc experi- | | mentum motus Penduli fimpl. ad idem temporis fpatium fit $6510,2 Otfcillat. Experimentum 3. d. 4. Sept. 8*.58". dus - 0 Longitudo fili accurata et in- 9.10.28 |- - I variata. 22.48 |- - 2 'Fherm. Reaum. 1 3;. füprao. 34.56 j- - 8. Ex hoc experimento concludi- 47. 10 |- - 4 tur motus Penduli fimplicis pro IO.II.35 |- - 6 die Solari medio 6$8651ixr,r : pee: wer -Otillat. Sumto medio T e - I pig Experi- OSILIENSE S. 473 Experimentum . 4. d. j Sept. T. Horol. | Retardatio Aítron. .| Pend. (impl. Otcillat. Longitudo fili accurata et in- 9".ii.3o"|- - 0o wvwarita:Therm. Reamur. 15". 56.29 |- - 2 füpra o. 48.45 |- - 3S8 Secundumobferuationes in Cap. I. 10. r. 5 |- - 4 relatas, Hoiol. Aftron. fpatio diei Nor Solaris medii confecit 86628, x T Otcillat. Pendulum igitur fimplex ex hocexperimento codem tem- poris fpatio abfoluet 865 12.Ofc. Sumto medio x2/.26^ L Experimentum 5. d. Sept. ro?» 33/. o"|- -— o Longitudo fii inuariata et 45.15 , - rx accuratiff. pygagit- 9 'Therm.Reamur. 1 5^: (üpra o. II. 9.24 |- - 3g Pofito, vt fupra, motu Horol. 21.28 |- - 24 Aítron pro die Solari medio 33.48 | |" - $ -:86628;1 0fcilat. prodibir ex 58.45 |- - *3 hoc experimento exquifitiffimo S i crar — —— — motus Penduh fimplicis ad idem umto medio i2^11^"|- - mz NAR temporis fpatium — 86509,6 Oícillat, Ooo S3 Experi- 4:8 OBSERFATIONE S. Experimentum 6. d. 5 Sept. T. Horol. | Retardatio | Aftron. — | Pend.fimpl. !. Ofcillat. 1? 46/. o"|- o Longitudo fili accuratiffima,et 2.10.18 |- - ^» |pertotum tempus experimenti 22.32 | - $8 huius exquifitiffimi inuariata. 34.35 l- - 4 "Therm.Reaumur. 13"; (upra O 46. 46 l- - s Admifífo motu Horologii Aftron. 59. 7 ;- ^ 6 f(upra inuento, habebimus motum II.IO |- - *5 Pendulifimplicis pro die Solari Sumto-me ETC TS EGIT KERI peu medio , fecundum hocce experi- mentum 86509, 4. Ofcillat. Experimentum 7. d. s Sept. 105.15. o^ | - - o Longitudo fili accurata et in- 24.50 |- - rx variata. $7. 0 |- - 2» Therm.Reaumur. 1 5". füprao., 49.25 |- - 3 Ex hocce experimento deduci- 31. I.55 |- - 4 tur motus Penduli fimplicis pro 14.80 |- - 5 86628, 1 Ofcillationibus Horol. . " "197 — — — A(tron. fiue pro die Solari medio Sumto medio — 12^ 67]- - $6508 , 8 Ofcillat. Experi- OSILIENSES. 479 Experimentum 8. d. 3 Sept. T. Horol. | Retardatio Aflron. !Pend.fimpl. Otcill. 115.1/. o^|- - o Inhocexperimento virga chaly- c. id j^ - 1 beaarctead pondufculum bico- o |- - 2 nicum Penduli fimpl. applicata ; A. 24. so 8 «BE longitudo fili toto experimenti 40. 53 3s - 4. tempore inuariata. Mirtin du 12 5 — Therm.Reaumur. 1 5"; füpra o. pena Secundum hocce experimentum Sumto medio 12/30 2 ie motus Penduli fimplicis pro die l Solari medio erit 865 1 2,6 Ofcill, Experimentum 9. d. 5 Sept, 1*.5o*. | Ul Longitudo fili accurata et in- D2IIEL ET e. 2 6T variata. 14.15 |- - 2 Therm.Reaumur. 15": (üprao. 26.50 |- - 35 Exhoc experimento patet, Pendu- 39. o |- - 4 lum fimplex fpatio dieiSolarisme. 51.56 | - 5 diiconficete 86509, 3 Ofcillat. u— || à m re HQ Sumto medio 12^ 9^7|- - z Experi- 4350 ORBRSERFVATIONES Experimentum LOS d.:;?Sept. T. Horol. Retardatio Aftron. Pend. fimpl. Ocillat. S*.20lxo"1T Ll- oo Longitudo fili accurata et in- 32.55.4230- i1 variata. 45.25. 1- - 2 'Therm. Reaumur. 12^; (üpra o. S45 l- - $3 Secundum hocce experimentum 9.10. 50. |- - 4 Pendulum fimplex fpatio diei So- 28. S9. l - .5 laris medii abfolut 86511, 7 55. 20. Ap - 6 Okcillat. Sumto medio — 12/^.24"7|- - zr Motus igitur Penduli fimplicis pro die Solari me- dio determinationes, ex praecedentibus experimentis, Re- valiae fumma cura inftitutis, deductae, fequentes fünt : Ex 1. Experimento 86508, 9 Ofcillat. Therm - $6510,2 - 8 - 2M sil ciui 23 ach -— - 4. - € - 5. rl - Se poem. E w-- 8$. T - m HE - ou 10. - -— iml Fer medium gitur - - $6511,1 - - M 86512,0 - - - $6509,6 - - » 86509,4 - - T 86508,8 - E - 86512,6 - - " 8$6509,9 * - - 86511, 9 — es $6510, 4. Ofcillat. Therm. . Reaumur. 13 .füprao IS8f2 — -— 134. — — I3. sd "T 18Q5 e 1352 icem SEES X3. — I3z-c— D X30 on 121. E57 13 .fuprio . Iv. OSILIENSESs. 48r IV. Experimenta exquifitiora, beneficio Pen- duli fimplicis, circa grauitatem in Infula Ofilia. iníütuta. Cum inutile foret, omnia ac fingula experimen- f3, quae circa grauitatem,; Penduli fimplicis beneficio , in lufula Ofilia inftitui, perícribere; in fequentibus inquifi- tionibus in numerum Ofcillationum Peaduli fimplicis Ípatio 24. horarum temporis medii confectorum , ea tantum adícripü experimenta exquifitiora, quae ad mie- dium inter omnia experimenta vno eodemque die fuc- ceffue et diligentiffime capta, proxime accedunt ; notato etiam medio, quod ex ceteris experimentis fimul captis colligitur, wt denique medium inter omnia experimenta innotefcat. Notandum tamen eít, differentiam quae diuerfis experimentis vno eodemque die diligenter infli- tutis interceflit , in fpatio temporis retardationi vnius Ofcillation. Penduli fimplicis. refpondente per medium concluío 20 vel 25 Okcillationes Horologii Aftron. raro exaequaffe , nunquam fuperafle. Tom.VII. Nou. Com. P P P Inqui- 482 d. 0i Sumto medio . | d. :2 Nou. Sumto medio Per medium inter duo aliaexper. hodie inft.. Per mediumigitur in- ter omnia experimen- ta hodierna. OBSERVATIONES Inquifitio 4. T. Horol. | Retardatio Afiron. | Pend. fimpl. Otcill. 3^.:9/^ 1- o Longitudo fili accuratiff, M 50 - .L- - Y ettoto experimenti teme rcs che - 2 poreinuariati. 59. 15 - l- - 8 Therm.Reaum.7".(üp.o. $1.15 - A4 Secundum obferuationes in: Lcd 4o - |. - 5 Cap.l relatas, motus Ho- cereo gane rol. A (Iron. diei Solari me- E2^. A reos , e d L] Inquifitio 2. ra 30^. o/^ 4I. 30 - 52. 50 - 2. 4. 25 5 d DR - ecd z 1^. ET rr. 29-| 11^, "S — Q BiU g40 M^ dio refpondens fuit 866 30, 4. Ofciliat. Pendulum fim-- 'plexigitureodem temporis: fpatio conficiet 86510, 4. "Ofcillat.. Longitudo: fili accurata et intiariata. "Therm Reaum.*7 [upra ov Dies Solaris medius ex ob» ferimtionibus d. 18 et rg "Nou. habitis, et in. Cap. I. relitis, aequatur 866552 Ofcillat. Horologii: Aftron. vnde prodibit motus Pend.. fimplicis. pro: eodem tem-- poris fpatio: fecundum Baec: exper. 86509, 3. Ofcillat.. OSILIENSES. 483 Inquifitio 5. e TI T. Horol | Retardatio Aftron. | resina | Okill. 25.507.507 |- - O Longitudo fili inhifce exper. 3. 2.10-]- - x accuratiff. et inuariata. D bu- l- - $ "TFherm. Keaum. 6^ fupra o. 24.44- 1)- - 8 Exhis experimentis colligi- 36.14- |- - 4 tur motus Penduli fimplicis 47.44; |- - 5 86635; OOlcillationibus Horo- Su dto ceti TE rit Aftron. fiue diei Solari Pe; Mtem qxo | " medio refpondens 86508,4. er medium inter pope: Ei Ofcillat. 5. alia exper. ho- die inftituta. IY,$4-]- - I ———— —————t— i Per medium igitur iater omnia expe- | rimenta hodierna. 11.23 |- - z Inquifitio. 4.. d. 5 2 35.57". zd - . o Longitudo fili accurata et yim - r iummtiata. 4. 0. aul - 2 'Thenn. Reaum. Ó'. (üprao. 15. - 5 Eadem aeris temperatura in- 24.2 eA TE - 4 ter5.et7 . Therm. Reaum. fü- s6.20-|- - 5 prao perbafce diesconferuata, doit die do ii4si|- - ———— — *tmotus Horol. Aftron. dieiSo- lari medio refpondens erit | $665 5: Ofcillat- adeoque motus Penduli fimpl. ad idem temporis fpatium ex hoc l exper. deductus 86513, 4. Ofcillat. Ppp2 Inqui. 484 OBSERFATIONES Inquifitio | 5. d. y." . 'TY. Horol. | Retardatio Aftron. | Pend. fimpl. Otcill. aP 46'. o" |. - o Longitudo fili accurata 57.14. 1 - I et inuariata. "ne oru EE Therm. Reaumur, 6?. 20. 5 - d fupra o. 31. 15; |- - 4 Pofito, vt fupra, motuHo« 42. 40 - 5 rologii Aftron. pro dieSo: x mm AF oe d A anedius 663 s PENDE Sumto medio — 11.18 5 " ' prodibit mots Penduli Per medium inter 2 ala experimenta hodie inítituta. Per medium igitur inter omnia experi- II. 26 cid menta hodierna — iz/.23//j;!l- - I Inquifitio 1758.d. 4. Ian. 1*.15/. o"|- - 9 ZOoclx v [SE $8.25 i- -2 50.26 [-^-3 2, 2.10 [|- - 4 13. 55 S Sumto medio 114. 46! : : Per medium inter 5 alia experimen- ta hodie inftituta. 11.49 !- - I Permediumigitur] 7 — | interomniaexper. ,, DTAPPET hodierna. - - I Ad fimplicis ii temporis fpa- tio refpondens 86508, 5 Ofcillat. 6. Longit.fili in hifce exper. accurata et inuariata. "'Fherm.Reaum. 1^1 inf 0. Horolog..A(lr. fecundum obferu. in Cap. I. relatas, fpatio diei Solaris medii confecit 86656, 8 Ofcilla- tiones: hinc erit motus Penduli fimplicis ad idem temporis fpatium ex hifce exper. deductus 865 1 4. 5 Okfcillat. Inqai- OSILIENSES ds Inquifitio 7. - T. Horol. | Retardatio Aftron. — |Pend. fimpl. Otcill. d. ux 39.50. o^] Liga ee Longitudo fili in his ex- Ad Sos. [a T É perimentis accurata et Lil sa" inuariata. 26.20 |- -3' Therm.Reaum.2"t inf. o. 58.20 |- 4 . Ex obferaationibus fupra so. 40 |- - 5 relais motus Horologii ——À —74d7—— ——— Aftron. pro die Solari me- Sümto medio 1i2'. 4 Pér medium inter 2 alia experimen ; "^ dio füit 86656, 1 Ofcillat. ta hodie inftituta. 12. 7 | Habebimus itaque fecun- 4 dum haec experimenta —...IDotum Penduli fimplicis — |o— "uper ! | ; sc apnd ded. pro eodem temporis fpatio i ^ : : $6516,8 Otcillat. rimenta liodierna. 12. 6/":|]- - x Inquifitio 8. wyet — 85. 5^ o7|. - o Longitudo fili accuratiffi- 17.10 [- -* Ina et inuariata, 29. 40 |- -2 Therm.Reaum. 2? fup. o. 41.55 |- - 3 Horologum A(tron. fe- $4439 |- 4 . cmndum obferuationes in 6. 6. 5 |- - 5 Cap.L exhibitas, hi(ce dic- ce tte uA Cz LU o bus fpatio diei Solaris me- Sumto medio 23:5 5]- ^ — qi $6632,8 Ofcillationes d medium Yater 3 | - abioluit; Pendal. fimplex toni oeiiocn ligas igitureodem tempor fpatio ex hifce experimentis con- - - Pet medium itaque o dydii. (P fciet 86514,6 Ofcillat. inter omnia exper. hodierna. ES MIR inus Ppp 3 Inqui- 400 |ORBRSERFATIONES Inquifitio 9. T. Horol. | Retardatio Aítron. | Pena (impl. ! Otcill. dU Adr um XP gU xu Longitudo fili in hifce 21.20 -1 - e€Xperimentis accuratifli- $93.94 i- -9 mà et inuariata. 46. 3 |- -3. Tham Reaum 9*.(upra c. 58.42 |- -4 Exobferuation. in Cap. I. BILE wif- 5 relatis deducitur motus Ho- — Sumto medio 12/.22//:]- Per medium inter | rologii Aftron. diei Solari medio refpondens 86625 Otcillat. Ex quo itaque 1 sp A ig ial colligimus motum Penduli hi 7s gh 12.25 l "^L fimplicis ad idem temporis Per med.igitur inter 985 P S27 e. V9 fpatium fecundum . haec omnia exper. d. 14. experimenta 86508,6 eti5Aprcapta. x94247|. - t Otcillat. Inquifitio 1o. ü v I. uad o" l - Longitudo fili in his ex 24.20 - perimentis accuratiffima (e 1 36.55 | 2 et inuariata. 48. 50 -3 "Therm.Reaum. 8": (üp.o. 4. 1.485 |- 4. Horologium Aftron. fpa- 13. 53 n 5 tio 24. horarum temporis : medii abfolut 86625 Sumo médio — x2^.1 T 9^ iu Ofcillationes: hinc motus *s Eme. Penduli fimplicis pto €o- et 22 Maii inftituta. 12^.221!- dem-tempogia (odio ul Pér. medium. igitur Voandik hie experimentis erit inter omnia expet. 6630619 Dict. d 2»ret22Maiiinftit. 35^.25»5^" |. - x Se- 17758. OSILIENSES. 487 Sequentia experimenta , cum. ad ftabiliendam ve- eim grauitatis differentiam Petropoli inter et Ofiliam Infülam maximi fiat momenti, tum propter aeris tempe- raturam , cum ob anui tempe(tatem , quae maxime congruunt cum circumf(lantiis experimentorum huiufce geueris anno 175". Petropoli inftitutorum,, omnia pro- vidi praecauique , vt haecce experimenta mnrmaxima cum cura atque diligenti: caperentur. ^ Antequanr vero ex- perimenta ipía referam», obíersationes quas ad: vices Horologit A(tronomici examinandas inílitui, hic appo- nere iuuat. d.7,.Aug. mance? Therm:Reaum. iuxta Hore A Rec iE fimpl. coll. H fupra o pottmer. C - 11*,59^.5 s" Horol. Afr. App Aqu adi unt Tranfit. 2i vefp. s I. 3I - - ad 2l. vert. - d &.Aug. mane 7?. Therm. Nc - e dai a ep poftmer.. * - - - vefp. r15.59/.41". *HoroL Aft App.adquil. adr ül vert. Tranfit. 1 4t. xs EX. T. 174 - - - ad 2fil. vert. E d 5 Augmane 7^. Therm.. Reaumur. - EU Ms - poftmer. 5^; - "ep. r1). — " Horol. A ftr. Ado: «quil adzfil.v vert. Tranfit.1 41 AES. d. $2Y.i - ^ ad.2fil. vert. In- eX ura Güncus ucSEPS 488 0 B'S"E«qUVTAT Inquifitio d. £.Aug. T.Horol |Retardatio Aftron. |Pend.fimpl. ^. Otàll. ris 44 d -0 54. 88 aom O. 6.53 | 7-2 19. 9 i7 - 9 31.25 l - A 43.30 1|]- -5 Sumto medio — 12^. Per medium inter 5 ejia experimenta hodie inftituta. Per medium igitur inter omnia expe- rimenta hodierna. 12^. r2. 6;|- i VAR Inquifitio d. &. Aug. 0*".35" o" 47: ? 6) 59.530 y.11.535 5s 55 unobgo DeMoO - ^ - ovem. S Sumto medio 12^".1 ue Ter medium inter 4. alia experimep'a hodie capta. per medium igitur jnter omnia exper. hodierna. 12. 15 ma e rm p IONES II. Longitudo fili in his ex- perimentis accuratiffima et inuariata. Therm Reaum.1 4^1. füp.o. Ex obíeruationibus füpra ex- hibitis deducitur motus Ho- METMRAGE 500 Aftron. dici Solari medio refpondens 86622; Ofcillat. Habebimus itaque motum Penduli fimplicis ad idem temporis fpatium fe- cundum haecce experimenta 86503,3 Ofcilat. 12. Longitudo fili in omnibus hifte experimentis accu- ratiff. et inuariata. Therm.Reaum 41 45; fup.o. Motus Penduli fimplicis diei Solari medio, fiuc 86622; — Okcillationibus Horo!. Aftr. refpondens, fecundum haec experimenta erit 86504, 7 Oícillat. Tnqui- OSILIENSE S. 489 Inquifitio | 15. d. £.Aug. T Horol |Retardatio Aftron. |Pend.fimpl. Otcill. 4"35/.0o"|- - o ' Longitudo fili accuratiffima 37.22 |- -r et inuariata; 49.40 |- -2 T herm.R eaüm. 1 4^:.fupra o. 5$. 1.55 |- -»53 Ex hife experimentis dedu- 14.15 |- - citur motus Penduli fimpli- 26. 15 : - $ cis 86622: Ofcillationibus ; CEN Horologii Aftron. fiue diei Sumto medio 12'.19/1- - 1 Solari ^ medio ^ reípondens Per medium inter $6505,2 Okcillat. 4. alia experimenta hodie perada, | 12.17 |- - X Per medium igitur inter omnia expe- riment.hodierna. 127.1?" $|- - zx Traecedentes in grautatem inquifitiones recogno- Ícendo ,- fequentes ex adductis experimentis , in. Ofilia Infula inflitutis , colliguntur motus Penduli fimplicis pro die Sclari medio determinationes : Ex 1. inquifit. 1757. menfeO&tobri — 86510,4O0filla 7 :*.füpta o 2. - - - menfeNouembri 86509,3 - - |Therm. |^ —— 3. "- - '"-^ menfe Nouembii$6508,4 - - JReum. B^ — 4. - - -, menfeNoummbri86513,4 - - |indicane| 0*9. —— 5. - - - meníeNouembri86508,5 « » [, j6*, —— Tom.VII. Nou. Com. | Qqq Exp 6. 490: OBSERVATIONES Ex 6 .inquifit. dida menfeTanuario8 63 x 455 Ofcillat. € 7 i*5infrae: 7T: - - - qmenfelanuario86516,8. — —- 8. - - . menféMartio 86514,6 2" füprao 9.. - - - menfeAprii 8$6508,6 mem. | g. — 10.. - - - menfeMaio 865085 - E 2 bcicam: r 8 —— II. - - -. menfeAuguíto 86505,5. - indicante I4 i —— 12. -: - .-. gmenfeAuguílo86504,7 - - I4 1 —— Ij. .-—. -. «. menfeAuguíto86505,2 - -l Mai S Si. varias hafce motus Penduli. fimplicis determi-- nationes inuicem. pro- variis. Thermometti gradibus com- paremus ,. facili. negotio cognofcimus,. variationem tem- peraturae trium. graduum. Thermometri. Reaumuriani . accurate fatis refpondere variationi duarum. Ofcillatio- num. in motu Penduli fimplicis pro fpatio. temporis: 24. horarum. V. Experimenta: circa. grauitatem , .bene-- ficio Penduli- fimplicis ,. Pernauiae. inflituta.. An. 15 58.d.27. Aug. vefp. o9: 17.26" Horol. Aftr. App.a Aquifae ad filum vert: Telefcopii fixi bipedalis. d. ME vefp: 9.1". x1'^ Horol. Aftr: App. a Aquilae ad idem fi- lum. vert. Expeti-- OS LI E NS E S. 49r. Experimentum H d..55 mane T. Horol.| Retardatio Aftron. || Pend fimpl, Oícill. :g^.10". o^|- - o Longitudo accuratifüma et 25.18 |- inuariata. 47.14. Ex obferuationibus fupra de- 59.42. fcriptis, motus Horol. Aftron. -X $4.50 |- -2 Therm.Reaum.1 7^:.fuprac, TE 4 "Yo. 2.'T 5 | - $ diei Solari medio re(pondens —— —— (uit $6621,5 Ofcillat. vnde : :colligitur motus Penduli fim- plicis ad idem temporis fpa- tium, fecandum hocce expe- rimentum 86505 Otfcillat. Sumto medio 12/.24^ Experimentum 2. d. v. ffr mane 1 4^.34' | - 9 "Longitudo fili accuratiff. et 46.30 |]- -z ánuariata. ^ 59. 10 1i- - 2 "TTherm.Reaum.17^: (üprao. XI. II. 32 l- - $3 Pofio, vtfupra, motu Horo- 23.57 i- -4 |logii Aftron. pro die Solari $6.17 |- -5 medio — 86621,5 Otcillat. "mr uy 0/3 m — — prodibit ex hoc experimento chia - ode rae ^ motus Penduli fimplicis ad idem temporis fpatium 86 5 o6 Qq4 » Expert 49. OBSERVATIONES Experimentum . 5. Eod. poftmerid. T. Horol. | Retardatio Aftron. |Pend fimpl. Otcillat. atur pilas so Longitudo fili accurata et I$.45 |- -I inuariata. 31.35 |- -?2 Therm.Reaum.r8'".fuüpra o. ik z Secundum hocce experimen- tam Pendulum fimplex fpatio 5 diei Solaris medii conficiet d—RF— 86508,6 Otcillationes. Sumto medio | 12/.47/: / Per medium igitur inter omnia experimenta mo- tus Penduli fimplicis, diei Solari medio refpondens, in temperatura aéris 17'1. Therm. Reaum. füpra o Per- nauiae erit 86506, 5 Ofcillat. VI. Experimenta -exquifitiora: circa graui- tatem, mediante Pendulo fimplici... | | Dorpati inflituta. Experimentum ^r An-17258,d.2 67 o", $47. o7] - o Longitudo fili accurata et in- c UAE MMCS I varijta. l8. ilc 2 Therm.Reoum. 11^.füprao. 39.10-|- - :8- Exobferuat. in Cap. 1. exhi 4.2. 20 - 4 bitis, motus Horol. Aftron. pro. 54- 23m - 5 dié Solari medio fuit 86630. —— Okillat. Pendulum ümplex T igitur fecundum hocce experi- meütum- eodem temporis fpatio conficiet 86510, 5 Otcillat. |». Exper- t RT -- UÜ. : M — 4, -—- Sumto medio —12^/. 4 3 "OSILI'BEN;S.EsS. 493 Experimentum 2. T. Horol. ecu Aftron. (Pend.fimpl. Ofcill. Eodem obi0/45"7|- « o Longitudo fili accurata et in- 22.50 -]- - t variata. 35. 6-|- - 2 - Therm.Reaum. 111. füprao. 47.15-|- - 3 Admiffo motu Horol. Aftron. 59.353 -|- - 4 fupra definito, prodibit motus. "IS ——Penduli fimplicis,diei Solari me- 1 4 ZA XMES he ; Sumto medio Su Ed... * dio refpondens, ex hoc experi- | mento — 865 11, 2 Ofcillat. Experimentum 9« p | Eodem , 5^. 9^. o"|- - o. PLongitudo fili accurata et inua-. 21.25-|- - 1 riata. 33- 45 ] - - 2 'Therm. Reaumur: 12*. füpra o. 6.10.33-1- - 5 Secundum hocce experimentum : Fiber roto ———-——- Pendulum fimplex fpatio die So- Sumto medio — :2^22"|- - 1 qu medi sbfolt 86513, 2 | Otcillat. $ Experimentum A4 d. S ond i^21/ o/|-. - o, Longitudo fili. Seuniciff ma et 45.36 -|- ^- 2. inuariata. T WEIT l -. 93. Therm. Reaumur. 11^füprao. 2.22. 19-|- - 5 Pendulum fimplex igitur fecundum sar moxkizzHa(h 2. 8C experimentum fpatio 24. ho- m iQ / " Ju ign s IP j T^ rarum temporis meii conficiet 86512, 5 Olcillationes, Qqqs Experi- 494 OBSERT ATIONIES Experimentum — 35. d. 252 T. Horol 4|Retardatio* Aftron. Pend.fimpl. Otcill. .2525^530"|- - o Longitudo fili accurata et inua- 50. 4«-|- - 2 riata. $. 2.25-|- - S8 Therm. Reaumur. 11^: (upra o. 27. 5 |- - .5 Ex.hoc experimento concluditur S niilid i X25 SEIT T mons Penduli fimplicis diei Sola- 10€ ib, sis l -ri-medio refpondens 86512, 6 -Ofdillat. Experimentum 6. d. 290^ — x11^26/. o"|- - o Longitudo filiaccurata et inua- :38.30.|- - zx riata. 50. o 1l. - 2 'Lherm. Reaumur. 1 1 1. fupra o. .09..2. 93 |- - 38 Secundum.hoc experimentum Pen- 14.50 |- - 4 dulum fimplex fpatio diei Solaris 26. (59 -- -* 5. medii conficiet-86510, 7 Ofcillat. Sumto medio x2/. 6" 6"1- - zr Experimentum d Eodem 2b.11^. 50" |- - Oo Longitudo fili accuratiffima «t 24.X0-|- *- zx inuariata. .36. 34 3t - $ Therm. Reaum. i2'. füpra o. 49. o-l- - 8$ Erit igitur fecandum hoc experi- $8. 1.15 -|- - 4 mentum motus Penduli fimplicis ad X9.40-,- - 5 diem phu medium 86513, 2 Compact is Colligi- OSILLIENSES. 495 Colligimus itaque fequentes numieros Ofcillationum Penduli' fimplicis: fpatio: diei. Solaris. medii. Dorpati. con- fectarum Ex r. Eiperlitento 86510,5 Qiallar " 712^ fuprao 2 -U. $6511,2.--- -[, XI$ —— 3- -— - 86513;2. - | PO AL. - 86512,35; - -| Therm. | 1x; —— Bid -o86512,6. - -4eaumur. Bii —— 6. - —- 86510,7 - -j|indicante.| 111; ——- n -- - 86515;2-. - - E od r——- Per. medium igitur 86512. Ofcillat. Jirifüprao CAPVT IL. Retardationes Pendulorum: Petropoli: Reualiam,. Arensburgum, Pernauiam,. et Dorpatum.. I. Cum obféruationes atqué ^ experimenta ,- ad defi- miendás grauitatis differentias" fpeCtantia: mihi inftituta , in praecedentibus capitibus: diligenter: fint expofita',. facili nunc negotio 'eas ftabilire: poffüumus Pendülorum. retar- dationes;. quae ex: nof(tris obferuationibus-, fiue expéeri« mentis, ad eandem aeris' temperiem reductis;- fluunt, et quae deinde grauitatis: differentiis, inter. loca' fupra nomi- nata: determinandis, inferuient... Vt autem de rei veri-- taté eo certiores- effe-- cd y Ad conclüfiones *ex: ob. feruationi« 496 OOBSERFATIONES feruationibus Penduli immutabilis beneficio habitis de- ductas, limmam experimentorum, mediante Pendulo fim- plici inftitutorum, adiicere non ab re fore vifum eft. II. Retardatio Pendulorum Petropoli Reualiam. Demonftrauimus fupra (CAP. I. p. 449.) Pendu- lum immutabile in temperie aeris. 16^. Therm. Reaum. fupra o fpatio diei - Solaris; medii Petropoli- conficere accuratfüme. 98947. Ofcilationes. ^ Eiusdem Penduli motus 24. horis temporis medii refpondens Reualiae , in temperie aeris. 135. Therm, Reaum. füpra o re- pertus fuit per médium (pag.451.) 98941,8 Otcillat. Cum vero fecundum obíeruationes in Ofilia Infula infti- tutas variatio vnius gradus Thermometri Reaumur. pro- ducat. variationem vnius. Ofcillationis quam proxime in motu Penduli immntabilis diurno (pag. 466.), motus Penduli immutabilis pro die Solari medio in tempera- tura aeris 16». Thc«arm. Reaum. fupra o. Reualiae erit 98938,8 Otlcillat. ita. vt retardatio Penduli immutabi- ls Petropoli Reualiam vnius diei Solaris medii inter- vallo fit 8,2. Ofcillat. Simili modo vidimus (pag. 474.) motum Penduli fimplicis diei Solari medio refpondentem , in temperie. aeris 1772. "herm. Resum. íupra Oo Petropoli effe $6«:7. Ofcillat. Reualiae contra in temperatura aeris 159 Therm. Reaumur. íupra o0, 86510,4. Ofcillat, (pag. 480.). datione antem habita variationis diuerfis "Thermo« DSTLTENSES. 4:07 "Fhermometri gradibus refpondentis füpraque determi- minatae (pag. 490.), prodibit motus Penduli fimplicis, diei Solari medio et temperaturae aeris Petropoli obfer- vatae refpondens, Reualiae 86507,4. Ofcillat. vnde con- .cludimus retardationem Penduli fimplicis Petropoli Re- Waliam vnius diei Solaris medii interuallo 9,6 Ofcillat. IIT. fRetardatio Pendulorum Petropoli Arens- burgum in Ofilia Infula. Petropoli obíeruaui, Pendulum immutabile in tem- perie aeris 16*. Therm. Reaum. füpra o diei Solaris medii fpatio abfoluere 9894.7. Otcillationes ( pag. 44.9.) In Ofilia autem Infüla huiusce Penduli motum ad di- verfos "Thermometri gradus diligentiffme | examinaui , eumque fupra ( pag. 465. ) exhibui. ^ Obferuatio- nes atque experimenta , huius Penduli beneficio 1758. lulio et Augufto menfe inflituta , proxime quidem pro temperie aeris accedunt ad obferuationes huc fpectantes 1757. Auguíto meníe Petropoli habitas, eamque ob caufam ad comparationem inter grauitatem inftituendam maxime idonea effe videntur: baud iniucundum tamen fore iudico , omnes ac fingulas obferuationes, circa mo- tum Penduli immutabilis in Infula Ofilia habitas, fecun- dum legem variationis motus huiusce Penduli fupra in- xentam ad illm aeris temperaturam , in qua experi- menta Petropoli funt inftituta, reducere et hic exhibere. &ollgitur igtur motus Penduli immutabilis pro die So- Tom.VII. Nou. Com. Rrr lará 48 OBSERVATIONES lari medio in Ofilia Infula obferuatus, et ad temperient aeris 16?, Therm. Reaum. fupra o reductus. Exo fera. An. 1757. meníe OX. intemp. aerisó t [upra o habitis 9893 4.8 Ofe, —— O08. - - - -Ti — - - 989355 t NOdius edu cr iib. dE 98933,8 1758. — hn. - - .- -6-inffaAo- - 98935.3 ——la. - - 23. —-- - 989350 ——]lam - - - -2*5. —— - - 989346 —— Febr. - - - - Sfupro- -98936.0citc. - —— Feb. - - - -5'iinfao- -98935,7 —— Mart. - - - -r'z(üpro- -989360 —— Aprili - - .. .-8 ——.- -98936,3 Maio - - -. -$. —— - -989350 Yulioet Augufto - - 2 -98955,3 — — Per medium igitur 98934,7 Oíc.. t Laud e2 LJ » Quum vero ob(eruationes, meuíe Iulio et Auguflo habitae , ob rationes fupra adductas caeteris fint prae- ferendae , flatuere. poffümus, motum Penduli immutabilis pro die Solari medio ad temperiem aeris x6". Therm. Reamur. füpra o im Infula Oflia effe 989351. vel 98934. Olcillat. ita vt retardatio Penduli immutabilis. quaefita Petropoli Arensburgum. vnius diei Solaris me- dii interuallo fit. x3 , vel r3:. Ofcillat. . Secundum | experimenta, mediante Pendulo fimpli- ci diligentitfime: inflituta, dies Solaris medius. exaequatur accuratiffüpe 86517. Otfcillationibus Penduli fimplicis Petropoli ofcillanis, Thermometro Reaum. indicante x7. fupra OQ. ln -"Ollis Infula "— ad variam aeris tempe OSILIENSES. 499 — geile beneficio huius Penduli, inftitui experimen- lupra iam defcripta ; ex quibus ea, quae menfe Een ibi capta funt , ob adductas rationes, ad grauita- tis differentiam Feligpcflin inter et Ofiliam Infulam in- dagandam , aptiffima iudicaui. Nihilo tamen minus caetera etiam experimenta omnia, in Infula Ofilla inftitnta, et ad temperiem aeris fupra notataim 17: Therm. Reumur. fupra o fecundum regulam ( pag. 490.) traditam reducta, in medium affex- re víui effe vifum eft. Prodibit igitur motus Penduli fimplicis in Infula Ofilia, diei Solari medio refpondens, et ad temperiem aeris 17 1. Therm. Reaum. füpra o reductus: ; zr. Inquif.175 7. menfe OG in Um aeris 7. fupra o pera&a(x .exp )86503 , 4Ofcill. 2, - " - -- New - 9. - - --(3.xp)86502,3 - « 39. - *- - -- No. - - 6. - . -- (4.expJ)86500,7 - * 4 7 - - -.No. - - 6.'- - - -(rexp)86505,3 - - $. - - - -- Nou. - - 6. - - - -(s3.xp.)86500,8 - - 6. - 1758. -lLn. - - i'Linfao - - (4.exp.]86501,8 - - 9. - - - -- nn. - - 2- - --(sexp)86505,9 - - 8. - - - -* Mat. - - »'fíupao - -(4exp.)86s04,3 - » M9. - o - -s-- Ap. - — 9.- - - -(sexp)86502.9 - - B. -u-- Menag caelnretoptibur dot RO dile o. s . II. - - - -- Ag. - - 1341.- - - - (6exp)86501,3 - - E. -7--—-Amg -^- :m-o- o -- GeXppjs6sonT -- E3. - - - -- Au. - - i4L- - - -(s.exp86505,2 - .Per medium igitur inter omnia experimenta 86502, 4O0kcill. Rrr2 Cum 300 OBSERFATIONES Cum itaque motus Penduli fimplicis; per medium: inter omnia experimenta. conclufus, fere nihil diícre- peta numero Ofcillationum huius Penduli, inter experi- menta. exquifitiftima. menfe Auguíto inítituta medio, maxima cum certitudine ftabilire poffuüumus motum Pen- duli fimplicis in Ofilia Infula ad diem Solarem medium: in. temperatura aeris 171. Therm. Reaum. füpra Oo — 86502:. Ofcillat. adeoque retardationem Penduli: funplicis vnius diei Solaris. medii interuallo Petropoli: Arensburgum in Ofilia Infula. 14:. Ofcillat, IV. Retardatio Pendulorum Petropoli Per. nauiam. Cum Pendulum immutabile. Petropoli in. tempe- tie aeris 16'. Therm. Reaum. füpra o, fpatio diei So-- laris medii conficiat 98947. Ofcillatioues , Pernmauiae autem eodem temporis interuallo. in. temperatura. aeris 17. Therm. Reaum. füpra o 98936. Otcillationes , (pag. 466.) habebimus: motum Penduli immutabilis, dici Solari medio et temperaturae aeris 16'. fupra o re- fpondentem , Pernauiae: 98937, 6 Otcillat. adeoque re. tardaionem Penduli immutabilis Petropoli Pernauiam vnius diei Solaris medii interuallo. 9 , 4. Ofcillat. Penduli fimplicis motus pro die Solari medio, ia temperie aeris 17':. Therm. Reaum. füpra o Petropoli aequatur 8651*. Ofcillationibus; Pernauiae autem in ea- dem acris temperatura 86596 , 5 Okfcillat. (pag. 492.) Vnde OSILIENSES $OI Vaude colligitur retardatio Penduli fimplicis vnius diei Solaris medii interuallo Petropolt Pernauiam — xo , 5 Otcillat.- V. Retardatio Pendulorum Petropoli Dor- | patum. Motus Penduli immutabilis, diem Solarem medius in temperatura aeris rri. Therm. Reaumi. fupra o ex- aequans, Dorpati per medium füit 98942,1 (pag. 469.). Reductione autem facta, fecundum regulam fupra tradi- tam , prodibit huius Penduli motus, díei Solari medio: in temperie aeris 16. Therm. Reauri. füpra 6 JDor- pati refpondens 98936, 7 Olcillat. et propterea retar- datio Penduli immutabilis interuallo vnius diei Soliris: medii Petropoli Dorpatum 1o, 3 Ofcillat. Inuenimus: (pag 495:) per medium inter experi- menta, Penduli fimplicis beneficio Dorpati inftituta , mo« tum Penduli. fimplicis Dorpati ita fuiffe corpáramm, y vt in temperatura aeris 1i ;. Therm. Reaum. füpra o fpatio diei Solaris medii ad 86512. Olcillationes affur« geret ; a. quo numero , fi fuübtrahantur fécundum regu. lam noftris experimentis probatam 4. Ofcillaiones pro differentia temperaturae aeris , remanet. motus Pendili fimplicis , diei Solari medio in temperie acris 174. 'Therm, Reaum. fupra o Dorpati refpondens , 86508. Ofcillat. vnde denique colligitur. retardatio Penduli fim- plicis Petropoli Dorpátum vnius dici Solaris medii. in- termallo 9. Otcillat. po PN Rrr3 | CAPVT qos OBSERVATIONES CAPVT IV. Meditationes circa decrementa graui- tatis, noflris ob'eruationibus et ex- perimentis probata, Ex obferuationibus atque experimentis fupra de- fcriptis, fatis , me iudice , intell'gitur, decrementa graui- tatis Petropoi Reualiam, Arensburgum , Pernauiam et Dorpatum , quae ex Pendulorum retardationibus , in praecedente capite definitis, cognofcuntur , multo maiora effe iis, quae ex recepta Telluris "Theoria colliguntur. Decrementa p:aecipue grauitatis Petropoli Reualiam et Areusburgum in Ofilia Infula, pro parua illa latitudinis differentia, adeo infignia funt, totque experimentis diuerforum inftrumentorum beneficio inítitutis probata , vt attentione noftra digna fint. Difcrimina quidem in decrementis illis grauitatis occurrunt exigua inter Pen- dulum fimplex, er illud, quod vocatur immutabile ; ( hoc enim paulo minori, illud contra paulo maiora prodit grauitatis decrementa ): caufam vero in vitiis inftrumen- torum potius, quam in erroribus obferuationum , latere palam eít, poftquam obfernationibns atque experimentis fupra defcriptis fatis füperque probaui , quantam cautio- nem curamque adhibuerim , vt experimenta , vtriusqne Penduli beneficio inflituenda , ex fententia füccederent. Simili modo quin differentia, quae inter experimenta haecce recens capta, et ea, quae 5 vel 6 abhinc annis beneficio exquifitifümi Horologii cuiusdam A(tronomici Petro- OSILIENSE S. $05 Petropoli et in Ofilia Infula inftitui, obuia eft, caufis quibusdam occultis, fiue ignotis, adícribenda fit, nullum dubi- taudi locum relinqui exiftimo. Horologium enim, quotuac ad ifta experimenta víus (am, quam accuratiffime affabreque fecundum inuenta et praecepta Cel. Gra Parmi eft elabora- tum. Omni cura in hoc incubui, vt Horologium illud Aftro« nomicum, capfis folidiffimis. inclufüm, ita transportaretur, vt virgae longitudo: nulli mutationi, praeter illam, quae ex diuerfis caloris. gradibus oritur , obnoxia effet. Illud in fpecula Aftronomica Arensburgenfi ita ad motum adornaui, vt fitum: eundem; obtinerent omnes Hoiologii partes, im quo Petropoli pofítae fuerant ; eius motum fíaepifhme per octo. fere mienfes, praeíentibus iis, quos ex Academia rerum marimarum adiutores: habui, ad coelum exploraui , et obíeruato infigni illo grauitatis decremento Petropoli Arensburgum , illud cum Acade- mia lmperiali,. neque minus cum lll. de /a Congamine communicaui. Poftquam 1ll.. de /z Condamine humanifl- me ad me íüam hac de .re fententiam; perícripíerat, caufasque indicauerat, quas ille detexit, cwm. fimile quid ir iünere ipfi in. motu Horologii cuiusdam. Aftronomici obferuatumr eft, «€t quae fufpicioni locum. aperire pos» funt ,. eas omnes. in. meo: Horologio: diligentiffime exa- minaui , nihilque. inueni, quo tale quid effici poffet ;, fiquidem. motus. Horologii per octo illos menfes in Ofilia infula maximae. femper fuit regularis. aequabilis- que. Horologio noftro eadem. via eademque cura atque cautione, quae in tranfportatione eiusdem» Petropoli Arensburgum adhibitae fuerant, mari Arensburgo Pe- topolin. reuecto , €t in eodem. loco, quem» ante abitum A $4 OBSERFATIONES in Ofiliam Infulam in fpecula mea Afítronomica Petro- burgenfi occupauerat , collocato , obíeruaui motum Ho- rologii diurnum in eadem aeris temperatura , neglectis minutis aliquot fecundis , accuratiffime aequari motui illi diurno , quo Horologium noftrum Petropoli anno füpe- riori, ante iter in Ofiliam Infülam füfceptum , proceffe- rat. Nemo igitur dubitabit, quin .decrementum illud giauitatis infigne Petropoli Arensburgum memorati Ho- rologii Aftronomici beneficio detectum , et per multos meníes con(ítanter obferuatum , admirabili hocce Horo- logii confenfü fecum ipfo confirmetur atque probetur quam maxime. Si quis enim infignem illam differen- tiam in motu Horologii animadueríam perturbationi ignotae Horologii ; fiue partium , quibus machina haec componitur , tribuere malit: iure quaero , qui fit, vt perturbatio illa notabilis mirum in modum in Horo- logio, Arensburgo Petropolin tranfportato , adeo exacte fit reftituta? Ex Tabulis, motum Horologii noftri Aftro- nomici, cum Petropoli, tum in Ofilia Infula obferua- tum, exhibentibus, quas cum conuentu Academ. faepius communicaui, facillime intelligitur, Horologium noftrum Aftronomicum, virga ex ebeno parata inftructum, pro variis 'Thermometri gradibus, varia quidem celeritate procede- re , lignumque re vera fecundum longitudinem a frigore contrahi, et a colore extendi, fed tamen fíatis regulari- ter, ita vt in eadem aeris temperatura Horologium Petropoli conftanter multo celerius (30/^ circiter. inter- vallo diei fiderei) moueatur, quam Arensburgi in Ofilia Infula et Reualiae. ^ Praeterea infigne grauitatis decre- mentum Petropoli Reualiam et Aren:burgum illo tem- pore OjJLTEWSES. "T pore ex iis colligebatur experimentis , quae inftrumenti cuiusdum elatere inítructi, et ab artifice quodam | Lube- cenfi ad augmenta vel decrementa grauitatis. obferuanda excogitati , et ad B. Kicbmannum wansmifli, beneficio Arensburgi et Keualiae in(titui. B. Ricbmanmus enim hocce inftrumentum ipfe Petropoli examini fubiecerat, et ad me, propter difficultatem parandi Penduli fimplicis accuratifümi in officina mechanica Petroburgenfi , Arens- burgum transmiferat. -ilentio hic praetereo eas obfer- vationes, quas eodem tempore alius Horologii Aftrono- mici minus accurati beneficio inftitui, et €x quibus haud minor grauitatis -différentia Petropolin inter et Arensburgum colligitur. — Quia "gitur hifce rationum momentis memorabile illad :grauitatis decrementum — Pe- tropoli Reualiam :et Arensburgum probabile redditur quam -maxime , operae pretium vifum eft, non folum mihi et Academiüie lmperiali, verum etiam iis viris doctis extraneis, quibuscum .meas «communicaueram .ob- feruationes , vt obíeruata iíta motatu digni(hma nouis experimentis, aliorum inftrumentorum ad hunc vfum accommodatorom beneficio inftituendis , verificarentur ; quod «equidem experimenta noftra, fupra relata, vtriusque Penduli , fimplicis nempe atque immutabilis , beneficio peracta, praeftitura effe confido. Difcrimina quidem in- ter noua haecce experimenta et ea occurrunt, quae 5 vel 6 ab hinc annis mediante Horologio Aftronomico, fecundum praecepta Grabami elaborato , inflitui ; fed «ircumftantiis -omnium * horum experimentorum — fatis iam candideque enarratis , iudicium fit penes lectorem, Tom. VII. Nou. Com. 55S vtrum s06 OBSERFATIONES vtrum- grauitatis. decrementa. infigaia- Petropoli: Reualiamr et Arensburgum,. ex. prioribus noftris experimentis 5. ab: hinc annis, Horologii Aftronomici. exquifitiffimi: beneficios inflitutis,, deducta, in rei: veritate fundentur.,. an. potius;. fortaffis. parte aliqua, ignotis; mihi. prorfus Horologi& vitiis. perturbationibusue, fint adícribenda. ^ Attamen ex- perimenta. noftra. recens diuerforum — inftrumentorum: beneficio inflituta. confiderando, . cognofcimus, decrementa: grauitatis exinde. conclufa, re ipfa maiora.effe, quam, vt cum reguiaritate figurae Telluris; eiusque texturae inter» nae, compoai. poffent ;. et. in hoc experimenta: recensg. Penduli. immutabilis aeque.,. ac: Penduli fimplicis; beneficio; peracta, egregie concinunt. cum iis; quae- mediante. Ho« rologio Aftronomico 5: ab hinc annis inflitui ;. excepta: quantitate. infoliti. decrementi grauitatis.,. quae. ex : expes rimentis. recentioribus; minor. prodit. — Quod ad exiguam: illam. quantitatem. attinet.,.. de. qua. in- decrementis- gra« vitatis. Petropoli. Revaliam»,. Arensburgum et: Pernauiam: experimenta. ;. mediante. Pendulo immutabili. inftituta; . difcrepant ab .iis, quae. beneficio Penduli- fimplicis . capta: funt, cum decrementa- illa: grauitatis ex his. paulo: ma» jora. colligantur., quam- ex. illis, tantillam. differentiara: obíeruationum. et. experimentorum erroribus tribuere- poffemus :. fcire. tamen- intereft.,. vtrum. experimentis, ope Pendali fimplicie peractis, aun- vero- experimentis, . mediante Pendulo- immutabili. inftitutis; magis fidendum: fi. — Haec quidem, ob.aecuratiorem: et commodiorem: modum. numerandi- Ofillitiones. Penduli. immutabilis, certo. temporis fpatio. refpondentes, praeferenda. effe. vi-- dentur$; OSTLIETNSES iso3 zdentur; illis autem propter inflrrumenti fimplicitatem maior fides haberi pote(t: dubium enim .nullum eft, «quin motus Penduüli immutabilis variis caufis miagis per- "turbari ,-eiusque vicifütudines minus regulares reddi pos- fint, quam Ofcillationes Penduli fimplicis :harumque mu- "tationes. — Perpenfa denique differentia, quam inter 'ex- perimenta circa grauitatem recens inflituta, et ea inue- mimus, quae aliquot àb hinc annis Horologii Aftrono- nici exquifitiffimi beneficio peràcta fünt, nefcio quilis *xactitudo in dignófcenda grauitatis differentia ab expe- ximentis, Horologiorum beneficio inftitutis, fperanda fit. *Conftru&io enim Horologii Aftronomici, quo 5 abhinc -Anüis ad experimenta inftituenda "víus fum , fimilis eft firucurae Pendüli immutabilis, quod nunc ad ifta expe- :rimenta adhibui, (vel ;potius perfectior, ob -pondus:multo maius ,.quo *Horologium noftrum Aftronomicum 3d 'mo- xum .cietur) excepta Virga, quae in hoc ex chalybe , in illo ex ebeno, eft parata. Hifce rationum momentis jn hanc fere adductus füm fententiam, vt grauitatis diffe. rentiam ,.ex experimentis Penduli fimplicis beneficio in- ftitutis, aepiusque repetitis, collectam, caeteris paribus, 3nagis fidam tffe crederem. "Caeterum, rationibus noftris expofitis, de .hoc iufti harum rerum aeftimatores iudi- cent Reftat nunc, vt decrementa grauitatis, €x noftris *xperimentis deducta , paucis ad ea comparemus , quae €x recepta Telluris theoria pia diuerfa. locorum — latitu- dine colliguntur. ema " LI Ad- *0 OBSERVATIONES I. Admiífis experimentis circa grauitatem, ab Aftro- nomis Academiae Reg. Parif. fumma cura inftitutis , decrementum grauitatis Petropoli Reualiam pro diffe- rentia latitudinis dimidii gradus , fecundum axioma, quod grauitatis incrementa ab Aequatore Polos veríus fequane tur quam proxime rationem quadratorum finuum lati- tudinis ,, producit retardationem diuroam 2 Ofcillationum Penduli fimplicis ad fingula minuta fecunda | temporis medii o(cillantis. Secundum experimenta, mediante Pendulo immu- tabili inflitata, retardatio diurna Penduli Petropoli . Re- valam eft 8, 2 Ofcillat. Penduli immutabitis (pag. 496.) fiue 7,2 Otfcillat. Penduli &implicis ad fingula minuta fecunda temporis medii ofcillantis. Ex experimentis Penduli (implicis beneficio captis retardatio Penduli diurna Petropoli Reualiam colligitar 9,6 Ofcillat. Penduli fimplicis ad fingula minuta íecuu- da temporis medii oícillantis. (pag. 497.) II. Decrementum grauitatis . Petropoli Arensburgum in Ofilia Infüla, differentiae latitudinis 13 grad. refpon- dens, per Theoriam collectum , efficit rerardationem diur- nam 5; vel 6 Ofcilationum Penduli fimplicis ad fin- gula minuta fecunda temporis medii ofcillantis. Per OSILIENSES. | 205 Per experimenta, ope Penduli immutabilis peracta, inuenimus retardationem huius Penduli diurnam Petro- poli Arensburgum in Ofhilia Infula 1 51 Ofcillat. (p. 498.), adeoque retardationem Penduli fimplicis ad. fingula. mi- nuta fecunda temporis medii ofcillantis 12 Otcillat. Per experimenta, mediante Pendulo fimplici infti- tuta , ftabilitur retardatio diurna Petropoli Arensburgum I4; Ofcillat. Penduli (mplicis ad fingula minuta fecun« da temporis medii oftillantis. (pag. 499.) III. Decrementum. grauitatis Petropoli Pernauiam, diffe - rentiae latirudins 17. grad. refpondens , ex Theoria in« ventum, product retardationem diurnam | 5£. Ofcillat. Penduli (implicis ad fingula min. fec. temporis medii oícillantis. | Secundum experimenta fupra exhibita, retardatio Penduli immatabilis diurna. Petropoli Pernaniam eft 9, 4. Ofcillat. ( pag. 50r. ) fiue retardatio diurna Penduli fimplicis ad fingula, minuta fíccunda temporis medii ofcillantis 8 , 2. Ofcillat. Experimenta Penduli fimplicis beneficio peracta, exhibent retardationem diurnam Penduli fimplicis ad fin- gula minuta fecunda temporis medii ofcillantis Petropoli Pemauim 10, 5 Ofcillat. (pag. 501.) 5555 IV. sio OBSERVATIONES 1V. Eodem modo ex decremento denique grauitatis -Petropoli Dorpatum, differentiae latitudinis z;. grad. re- fpondente, per 'Theoriam ,colle&to, oritur retardatio diur- ma 5i Ofcillat. Penduli fimplicis ad fingula min. fec. temporis medii .ofcillantis. Retardatio autem. Penduli immutabilis .diurna Pe- &ropoli Dorpatum fuit 1o, 3 Ofcillat. ( pag. sor.) wnde emergit retardatio diurna Penduli fimplicis ad fia- gula min. fec. temporis medii ofcillantis 9. Ofcillat. - Experimenta noflra, mediante Pendulo fimplici jüftituta, oftendunt retardationem diurnam Penduli fim- plicis ad fingula minuta fec. temporis medii ofcillantis RRHODOR Dorpatun itidem 9. Ofcillat. Hifce comparationibus conftat, decrementa prauita- tis Petropoli Reudliam , Arensburgum , Pernauiam et Dorpatumn noftris experimentis ftabilita, notabiliter fupe- rare ea, quae ex "Theoria (rais! Decrementa praefertim. grauitatis Petropoli Arensburgum et Reualiam adeo a Theoria defle&unt, vt duplo et triplo, imo quadruplo et quiatuplo, maiora fint, quam pro Theoria, ^Tanta differentia pro tam paruo locorum interuallo, tot experimentis, diuerforum inftrumentorum beneficio infli. tutis, notatu quin fir digoa, et defeQni materiae in illis regionibus maxime tribuenda, nullus dubito ; nifi forte &rauitas pro diuerfa locorum longigwdine diuerfa fit. Spero ÜÓSILIENSES gras S$gero itaque fore ,- vt líaecce experimenta incitamento* fint, grauitatis; etiam in- locis: füb. eodem parallelo»fitis; e& fatis: magno- longitudinis interuallo ab inuicem | remotis; inue(tigandae : eiusmodi enim experimentorum- maxima cum accuratione. inftitutorum: numerus: ad huc valde eft exiguus, et hanc ob caufam diligenter adaugendus ;. eo magis, quod. hactenus nulla inftituta. funt Pendulorum ex. perimenta eo confilio, vt. grauitas pro- diuerfa locorum longitudine examinaretur. Haec vero experimenta, no- ftris fimilia, fed longius in-Longitudinem-extendenda, ad. veram. Theoriam Telluris condendam maximi effe mo: menti: apertum eft omnibus... Neque defunt experimenta;. viris doctiffimis exercitatiffimisque inflituta, quae irre- gularititem notátu digüi(imam in-augmentis graüitatis ab Aequatore Polos verfus produnt ,. vel faltem | regularita- temi miaximie fuüüpecam reddunt: ex: gr. Celéberr. Picardus affeuerat; in-longitudine Penduli ad fingula mi muta fecunda ofcillantis Vraniburgi et Parifiis, imo ad: auftraliffimam Galliae oram! füb latit. 431. grad. fibi nularzh effe obíéruatamr differentiam | febfibilem , -quamuis^ maximam ad experimenta: adhibuerit diligentiam. aceura-* tionemique ;; cum tamen pro- ifto- latitudinis: interuallo, . diff-rentia^ longitudinis Penduli- ad finghla min. fes. oftilantis, fecundum "Pheoriamr-fit i; lineae , fiue 56. eircitec Ofcillat, intezaallo- 2 4; horarum Penduli ad (insula min fec. ofcilantis ;- quantitatem vero hanc adeo íea- fibilem: experimentorum: praecifionem- Cel. Pieardi effa- zide vix credibile eft. ^ Infolitis: itaque grauitatis diffe. zentiis proDatis., de. regularitate. curuaturae — Meridiano- rum; z12 OBSERVATIONES tum terreftrium dubitare fas eft. "Operae igitur pretium erit, vt, praeter Pendulorum experimenta, etiam gra- duum diuerforum mmenfürae füb eodem .Meridiano capi- antur quam diligentifhme , neque megligantur graduum parallelorum dimenüones , praefertim 1is in 1ocis, vbi grauitatis effectus a "Theoria infigniter defle&tat : Pendu- lorum enim «experimentis , cum graduum terreítrium menfura coniunctis, tutius iudicare poffumus, vtrum irregularitates circa Teliuris füperficiem , an vero in in- timis Terrae viíceribus , lateant. CAPVT- V. De Longitudine Penduli fimplicis. ad . Ífingula minuta fecunda temporis medu ofcillantis. T. In praecedentibus capitibus de differentia tantum -grauitatis , quam in füperficie Telluris experimur , Pe- tropolin inter et loca nonnulla, ad Eftoniae -et Liuoniae oras fita , egimus ; nunc autem abíolutam Penduli fim- plicis, ad fingula minuta fecunda temporis medii Ofcil- lantis longitudinem grauitati proportionalem , definire ani- mus eft: quod haud ingratum fore eo magis confido, cum circa longitudinem Penduli experimenta in noftris regionibus adhuc nulla fint inftituta. Duobus vero mo- -dis Penduli longitudinem hic determinare poflumus ; Pen- 'O-S"'I-L I-E'N:/S ESS. 5913 'Penduli nimirum immutabilis, et Penduli fimplicis ' bene- .ficio,, quae eo.confilio a Ccl..de //a Caille huc (ont transmiffa, vt.comparatione inter.motum | horum ' Pen- .dularum, primo Parifiis, deinde Petropoli, obferuatum in- flituta, de vera Penduli fimplicis longitudine in noftris regionibus eo .certius conftaret. Vera ;enim Penduli firplicis ad fingula :minuta fecunda temporis medii -efcillantis "longitudo, quamplurimis et accurati(fimis: ex- perimentis, beneficio Penduli fimplicis huc transmi(fi in» ftitutis, a Cel. de la Caille Parifiis ftabilita eft 3.:ped. $8 lin. 55: quare ad longitudinem Penduli fimplicis in noftris regionibus defiuiendam non neceffe eft, nifi vt longitudo :Penduli Parifioa augeatur in ratione quadra- :torum numerorum Ofcillationum Penduli eodem tempo- xis fpatio et in eadem aeris temperatura Parifis et no- ftris in regionibus conféctarum. TI. Longitudo Penduli fimplicis Arensburgi, in :Ofilia Infula, ad fingula minuta fecunda temporis medii ofcil- lantis. — Cel. de j« Caille An. 1756. initio Aprilis men- fis obferuauit , Pendulum immutabile in temperie aeris 6;. Therm. Reaum. fupra o fpatio diei Solaris medii Tom. VIL.. Nou: Com. Ttt Pari- $14 OBRBSERFATIONES Parifiis conficere 98908 Ofcillationes ; in eadem aeris temperatura Pendulum hoc immutabile in Ofilia Infula abfolut. 98945 Ofícillationes: longitudo taque Pen- duli Parifina erit. ad longitudinem — Penduli in Ofiia Infula, vt (989098 )' ad ( 98945 ).. Vnde emergit longitudo Penduli fimplicis ad fingula. minuta fecunda temporis medii in Ofilia Infula ofillantis 3. ped. 8, $8. lin. , Simili modo Cel. de /a Caille An. 1755. d. 9. Maii fümma diligentia et accuratione obíeruauit, Pendu- lum fimplex in temperie aeris 12'. Therm. Reaum. fupra o fpatio diei Solaris medii Parifis abfoluere $6454. Ofcilationes. — Secundum noflra experimenta huius Penduli motus temperature aeris 12'. Therm. Reaum. fupra o, et diei Solari medio refpondens, in Ofilia Infula erit 86506 Ofcillat. Vnde colligitur longitudo Pen- duli fimplicis ad fingula min. fec. temporis medii in Ofilia Infüla ofillantis 3. ped. 9, o8. lin. Il. Longitudo Penduli fimplicis ad fingu- la minuta fecunda temporis me- di Petropolh ofcillantis. Pendulum immutabile, conferuata femper eadera aeris temperatura , in Ofilia Infula fpatio diei Solaris medii OSILIENSES. 815 medii confecit 9893531. vel 98954 Ofcillationes, dum Petropoli eodem temporis fpatio — abfolaerat 90947 Ofcillationes; — Subdu&o igitur calculo , longitudo Pen- duli fimplicis ad fingula min. fec. temporis medii Pe- tropoli ofcillantis, fecundum experimenta Penduli immu- tabilis beneficio inflituta , erit 5. ped. 9, oo lin. Pendulum fimplex fecundum , experimenta huius Penduli beneficio infüituta , in temperie. aeris ri. "Therm. Reaum. füpra o fpatio diei Solaris medii An. 1757. meníe Auguflo, Petropoli confecit 8651* Otcil- lationes : vnde colligimus motum Penduli fimplicis pro die Solari medio , et temperie aeris 12'. 'Therm. Reaum. (upra o Petropoli effe 86520 , 7 Ofcillat. In eadem temperie aeris idem Pendulum fimplex Parifiis eodem temporis interuallo abfoluit 86454. Ofcillationes. Hifce pofitis, prodibit longitudo Penduli fimplicis ad fingula minuta fecunda temporis medii Petropoli ofcil- lutis 3. Ped. 9, 23 lin. d IV. Longitudines Penduli fimplicis ad. fin Caes minuta fecunda temporis me- dii Reualiae, Pernauiae et Dor- pati ofcillantis. Eadem ratione emerget ex no(lris experimentis , et Es, quae Cel. de /z Caill Parifiis inftituit, longitudo Ttt Penduli $16. OBSERFATION.ES Penduli:fimplicis: ad. fingula minuta. fecunda: temporis- medii ofcillantis : Per : immutabile 5: . 8, 93: Lini. Reualiae i Pendulum immutabile- 5; Ped. 8*, 95: Lini Per Pendulum fimplex - - 3. 9, 13: GR y Pendulum immutabile 3. 8, 92: Pernauiae 5, | Per Pendulum fimplex-- - 3. 9, I2* . SPer Pendulum immutabile 3- 8; 91: Deren i Pendulum fimplex-- - 5; 9; 14-- Ex hifce calculis - conftit , Pendulum: fiimpléx | maiorem: conftanter . exhibere: longitudinem Penduli, quam: Péndu- lim: immutabile , exiftente. differentia. 20. circiter: part. lineae.centef. fiue t. lin. quod. difcrimen: adeo - fane- eft notabile. .vt longitudinem: Penduli :dire&e iaueftigari : operae. pretium. fit. . WW. Inquifitio. in^ Longitudinem: Péndüli: fimplicis ad fingula. min.. fec. temporis: medii ofcillantis: ex: noftris experi-- mentis directe eliciendam.. Ad. hocce negotium: perficiendum: iis. vti juuat experiments , quae Auguflo menfe. An. 1758. in Ofi-- lia..Infula, Penduli. fimplicis- beneficio, fumma diligentia « inflitui et: p. 488 et 439 defcripfi.. Pér:mediüm: intet: ifla: experimenta . Pendulum . fiínplex. in: temperatura: aerisi: OSILIENSES. gy aeris. 14^:. Therm. Reaum. füpra o fpatio diei Solaris: medii abíoluit: 86504, 4. Ofcillationes.. Pendulum fim- plex. igitur: celerius: mouebatur, quam pro tempore me- dio, exiftente differentia: 104,4. Ofcill. pro horis 24. Cel..de:/4: Caille experimenta exquifitiffima ,. Penduli: fimplicis beneficio An. 1755. d. 9. Maii, in temperie: agris 12?. "Therm. Reaum. fupra. o- inftituit, .et' longitu- dinem virgae. chalybeae: inuenit: 5;. ped. 32 lin. ac- curatifime refpondere. — In noftris experimentis longis tudo virgae, pro' differentia temperaturae', paulo maior: fit nece(fé eft, iz, lin. fere; et'haec: virgae: longitudo - mihi'fatis- accurata vifa eft, . quantam. ego quidem iudi- care potui: Diameter: pondufceuli^ biconici 'mihi: vifa eft: aequare 9,92 lin. pedis Pàrif, Hiíce- praemiffis: cal- culum fequenti modo adornare. pofTüinus : : Ped. Lin. Longitudo virgae ad —— applicata in: temp: aeris 147 - - - - 3. 35;02^ Semidiameter pondufculi - .— -- - - 4,96 Diftantia centri grauitatis pieds a pancto- Ofillationis - - - - i pel: er c9 a aqua fi fübrahantur; —-- 7 7 - 0,02 prodibit diftantia: centrt" Ofcillationis - Penduli fimplicis: a puncto fufpenfionis; fiue - longi» tudo Penduii.. -. — -- -- -- -. $8: 7596 Titt:35 | Cum $18 OBSERVATIONES Cum Pendulum in hoc ftatu fpatio 24. hor. Ped. lin; 104,4. Ofcillationibus celerius procederet , quam pro tempore medio, ad longitudinem Penduli fupra. inuentam addatur - ^ - - 1,06 vt prodeat longitudo Pendulis fimplicis - ^- 3. 9,02 JMiddiris" denique ^ ^. "um quaes COSE, eg ray habebimus. veram longitudinem Penduli fimpli- cis ad fingula min. fec. temporis Solaris medii | inOfilia Infula, in loco aere. vacuo ofcill. 3 P. 9,077 Lin, Haec longitudo Penduli fimplicis, cum vnica tan- tum parte lineae centefima ab ea Penduli longitudine difcrepet , quam íüpra ex comparatione numerorum Ofcillationum Penduli fimplicis Parifiis et in Ofilia in- fuüla, in eadem aeris temperatura confectorum, deduxi- mus, argumento eft, in numeros atque meníüras a Cel. de /a Caill ad me perfcriptas , nullum . irrepáiffe errorem. Ex quo porro liquet, differentiam hanc no- tabilem inter Pendulum immautabile et Pendulum fim- plex, perturbationi , cui fiue. Pendulum immutabile, fiue Pendulum fimplex fuit obnoxium , effe adícribendam. Ex confenfu autem fatis egregio Penduli immutabilis cum Pendulo fimplici, no(tris in experimentis horum Pendulorum beneficio captis obuio, patet fimul, hanc perturbationem , fi qua acciderit, non Pendulis in meam manum traditis, íed potius in via Parifiis Petropolin accidiffe ; ita vt nihil exinde de accuratoine noftro- rum OSILIENSES. 519 rum experimentorum, mediantibus hiíce Pendulis Petro- poli, Reualiae ; Arensburgi , Pernauiae et Dorpati in- füitutorum , neque de ceititudine coauclufionum ex illis colle&arum detrahatur , fed tota füfpicio in grauitatis differentiam — Parifios. inter et noftras regiones cadat. Caeterum non video equidem , qua ratione Pendulum fimplex Parifiis ad nos tranfportatum perturbari , vel vitiari potuerit , nifi forta(hs virga chalybea , ad longi- tudinem fili Penduli fimplicis menfurandam deftipata, in via Parifis Petropolin paululum incuruata, et propterea longitudo Penduli iufto miuor reddita fit; id quod ex- perimentis a Cel. de /2 Caile huius Penduli beneficio Parifiis iterum inftituendis , aptiffime eft dilucidandum. Interim tamen ab argumento noftro non alienunt effe videtur, longitudinem Penduli fimplicis ex iis inda. gare obferuationibus, quas Horologii noftri Aftronomici exquifitiffimi, füpra defcripti beneficio, in hunc finem et Parifiis et Petropoli fumma diligentia inftitui,. ^ Obfer- vaui nempe An. 1749. in Obferuatorio lil. Je AMonuier Parifiis, in temperatura aeris 125?. Therm. de P Isízani, reuolutionem fixarum effe accuratiffime 25P. 567. 12// Horologi Aftron. Horologio hocce excellentiffimo, maxima cum cura atque cautione Petropoln tranfpor- tato , conferuata femper longitudine virgae huius Horo- logii diligentithme «eadem , ex magno obferaationum numero inueni reuolutionem fixarum in eadem aeris temperatura 125^. Therm. 4e Isleami Petropoli effe 25^.57/.14/^ eiusdem Horol ^ Admiff igitar longitu- dine 526 (OJIBS E RV AT. OSTLIENSES. dine Penduli fimplicis ad fingula minuta :fecunda ; tem- ;poris medii ofcillantis ; a Czl :e./a ^ Caille Parifiis in- venti ^3. ^ped. :8,55 lin. erit ^( 237. 56/1 Y" ad (255.543/. 14^] .vt .3. ped. 8,«9:5 lin. ad' longitudi- nem 'Penduli fimplicis ad fingula minuta fecunda -tem- poris .medii ofcillantis :Petroburgenfem :5. ped. 9, 1$ En. quae vix 5 partibus linsae centefimis diffrt: ab ila.ex noftris experimentis , Penduli firaplitis beneficio infitutis , fupra collecta. "Egregius hiccé confeufts arga- -mento.effe poffet, Pendulo fimplici magis, quam .P'er- .dulo immutabii, effe fidendum ; ita vt longitudinem ; Penduli fimplicis ad fingula minuta fecundá temporis medii Petropoli otcillantis ftabilire ^ po(fimus 3. ; ped. 9, 20 lin. menfur. Parif. Comment ov. «fc. up. ye (Prop Jn. T. J&6.. n Comment. Nav. vlc. mp. e . Fetrop Jom. Vr Jab. 1. d 4 Comznenf yr dup Se etrop om. ZZr. Jaáó. m. | j Comment. Wov . adc. mp. óc. Zetrop. Jom .FA ab. Ht. - D Comment. Xov. "Ac. Imp. Sc. Petrap. Zóom.F Tab. 117 erum EE Comment. Nov. Ac.Imp. e Petrap. Tom. FI Tub. L7 7.2. Co veent- Atv de Ioop. Sc. Z'etrop Jorn.VIt. Ih. Cor ent Mar Ae mp : Se Zetrop Jor. Vit. Th. Comment JAov.dc f Amp ec. Jetrop om M.Jh6:YXT Ue" commernt AVov c. Jmp Ac. Tetrop Torn. VIE Mad. YT E rnv zu Kc JU otrop à Jor ail. Zàó.WI. P» S | £bimmment Aer. Ac Amp. Wc dFetrop br gll. Jà6 . Var. [ 8 5 Qommend Mon demp Ne Petrap.om.VIr Ta. VEL, C i p 2. meom m eM —€Ó ctomznende Mn ue mp. e Petrap. Vom. Vir Tad. VIL t ri M VRORPTH BEENDEN omment- Mou Ac Ingo c.Tetrop. Tor Vat Tad XX. 7n 7 Gommen£ «Avec. mp. Sc. Vetrop. Jom. VII Tab .X. Gomment clar. cc mp. Sc. V etrop. Jor VIETG X. COmznent. Gy. vtc mp e .Petrop Jom Vir Jab. —Ó - E—— : COmrnent. Ay, vtcXmpp dc Petrop Fam Vi dab. Xr : À | on Gommet..AJGv.. 4c np. óc. Pehrop Torn. Ym.Tab. XH. * Cozmmnent. IWov. c. Imp. Sc. Petrop. Tom . Vil. Tab .. X Ill . Cc Xn " X (f Comment. Nov. adc. Imp. Sc. Petrop. Tom . VII. Tab X IT Comment. «Nov. «4c. mp. Se dPetrop, Jim. VIL.Ja5XIV. ' TUE dee 4. (n. xr. (e 23x 5 (T XX a (ug X. 'omment. eA. ee mp. Se d etrop, c (— CR (ig xxr. Jom. VIL JKab.XTV. l Jb " ZIom .ZAL. Comment. Nav. 4c Amp .de.lPetrop. bag " - v Ae 1x4 ce m . Comment. Nav. c Imp Je. Petron Tom FAL . Tà Cormanent JANov. Mc : mp. Je trop. Tom. VII Té XVI, ———-—- : l ; X Z v Pa. BRE Comment Nov. tlc mp Je (CPrtrop Tom VII Tab XVI | Go» 22 2. [d A ^ . ?7 * 'O. . (24 Ve 4c efe UD P " e Z7 7 Q n "P O24. P1 Goo tient-« Lou de. onsec. I btrop. «ore. VIE I XM. ] Bor. n nan ' Li "t v PVP amo cd uper 5 oen ac Um Nr] c TUS e » DIA - . , C , , $- 3 SY NSET Y 3 S9 P - "xS. NUUS LN ] AN TNNT T " p Vveewm M. TUN: TON vM LI " : M * E» , : , i lY | Í NS * MS " " Hi ! Li * Ne ' | * y i "1 p" »». B US 5 ^AQYS stes NS xtv? ^ae gy Me " VORAUS n Voss qu "v LE AAA. x $38 Ye x eS XN! 12$ vimamed s: s. ui Bo mew ; MUT auch RT P. IU io Se? Mo "OAMVGOOGME 1999 MECUI iles. e ger, de var SuVT Med pp Mr wie vo rmv vy mme : v b "3 iv 1 OHNE ee 4d e us * FE x15.1 ] 9 f T e d Li í 4 vv 5 B m & YU i mE yo» Yes vNNSAM CR Wer iHe ! b b AA A ATO ———Ócátt m 1 4 — sum t e à ' B * - Us IT DAY £*«*,3 — 4A NA ym ^ ! ode 7 £ucEm 3 ^ ü AT AMÓÁC Mos. EOD My etg | e. dIttrop orn Val ab. XVII. Comparatio: Thermometrorum. Maxime Vsilalorum O* C fouae Dultie nter cador, fuh y. alhtudine lao metrica 28. pod. reg. Parr |£4 -Cera Áiquefit . Calor in. &alneur Ruso veltementtor. c 85 T Calor in Éalnecs. vf plurumum. . s | 3 MEUF [T] Calor fumant corporta anc fang inn (Ur oq 4OO et. umnae,Uemgue. max tmu adhuc Metropolt obféruatus efu lu 42-455 7. tv. 5 - alor femperatus , quads «xt in celles propindtorus d "m n Junctum. congefatint agaae, et aguac, eub. glaete . CFrgus maxunum artiftcaade a UhrenÁeaho rateta]us productum mctura fptriie. nitri cum ince naa vs ^ 345 Vergar maium. adhucPetropelhi obferuatum. Dee, 2.6 MT58 . v eSpurituer vtr in thermometrs 295 gelafua. cat. cA caumurua CIingus in «fibiria facii o&feruatum n Ufrigur maximum adhuc ob /éruatum contigit femffae fan. à, £55. rtv Cozezzezf Nov. Ae. fe. Jfotrop .Zóze.. VE. 7a26.XIX. P foem. HILOS - - - Conmenentz Mri. Lr. o. Poltrop. Tons. Vt. Tab XIX Jem Umnberfar LR ^ E MEC D s ] DTI Im j Es d. SÁ, mon arr