Hon deniers eniur nin HERE ny ounnnpn) MAII a RA TERCIO M JAEV3 Tg "tí i nv Vi " e y j L] Y JI » Ld [21 Á i L ru ui Nu 1j iu x xU UL LU "Jj And ^ M / FUESNUT 1 * ; E o. E Ld : I ! " - * a j i j ! ". ! ui : rb ] Ji i JUI j "- TELE «64 P , » uA | "n D AN ua "A " : E ? SR ele TD LE | , h pu A B Ux 4 T UM PS n f ; f i ni " Á ND M (4 V - 1: 94 novato "ww NIE ^3 nma MU , » ] m EN. AR "v uS f bal LO NU v LN VADER" NOVI COMMENTARII ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE lOM. VIII. pro Annis MDCCLX. ect MDCCLXI. q AU S NS p j| Q OW 0:560)9:035::90:609€011010:€0:69500:02:0000 PETROPOLI TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXIII. ou a 2 E 4 s P) E — ro ds DL *orwrwpowred qe Viri ue mh n D : - x x - zm A "d " ) vw & , - * E E : "n » - P D * 2 * J ^d v P L P» 2 - i i : z Ec - . 2 - p , » * 3.7. n $* "3 - e E 2 i y b Fpeone ET "— Ae nos r: quee ah sd 4 pap d ! , Fs NT joy E M do- M ^w . E cM L : "s : - u- E ] p Pn are 4h » - po uw P a3 E re Le SVMMARIVM DISSERTATIONVM QVAS CONTINET NOVORVM COMMENTARIORVM TOMVS VIII. : us T ^ e: je ate » MATHEMATICA I. De- integratione aequationum differen- tialium. Au&ore Leon. Eulero pag. 3. qytum mox erit elapfum,. ex-quo idea Differentia: ' lium. et. lotegraliume. feliciffimo fucceffu in^ Analy. fin:e(t-inuecta ,. vnde etiam haec fcientia tanta fubito: accepit incrementa, vt, quicquid antea fuerat exploratam; vix comparationem: füftineat; :';Quanturmuis autem hoc no» vum calculi: genus. füummorum ingeniorum. fludio et in» defeffo- labore: adhuc. eft; excultum ,;: minime | tamen. id exhauítum eft reputandum , et quo vlterius in: hac fcientia penetrare licet,. eo ampliores campos etiam nunc prorfus incultas :detegunt Geometrae, qui vires: hamanas longe fuperire- videntur. - Cum. igitur labores. in^ hoc ftudio. impen(i: iam: tantum: vtilitatis attulerint';; eo. ma- gis hinc: animi. Geometraram | inflammari^ debent, vt omnibus viribus immén'um | hunc^ campuni perícrütari aunitantur... Quorum quidem: ftadia antiquis: tantum ele- mentis funt adfítrica, vel qui a Mathematicis difcipliais: prorfus; abhorreat, eos: idea. Infiniti, cui füblimores: iftae inueftigationes fant füperftructue ,. non ^ mediocri- ter. offendere folet ,;et. voce. perperam: intelle&ti , ple- rumque. fibi perfuadent ,. fubüliorem hanc. Analvyíeos (rumor à 5 partem: 6 - «$82 ( o ) Se partem tantum in vanis circa Infinite magna et Infinite parua ípeculationibus confumi , neque inde quicquam vtilitatis ad vera cognitionis noftrae "obiecta, quippe quae omnia fint finita, expectari poffe. Quae opinio, etfi vtiliffimis inuentis, quae fublimiori Analyfi accepta re- fcrre debemus, iam fünditus eft euerfa, haud támen abs re erit peruerfas illas Infiniti ideas , quibus ea innititur, remouere et emendare. Cum igitur vniuerífa Mathefis in omnis generis quantitatum contemplatione et. com- paratione verfetur, nemo ignorat, plerasque quantita» tes, quas in mundo. deprehendimus , continuo. variari, et perpetuis mutationibus effe obnoxizs. Coelum infpi- cienti mox patet, folem , lunam et ftellas fitum" fuum jugiter mutare , fola illa ftella excepta , fi quae forte in ipfo mundi polo fixa apparet: fitum. autem |; per. quan- titates cognofcimus , dum locum cuiusque flellae , fiue refpe&tu noftri Horizontis per Altitudinem et Azimuthum, fiue refpectu Aequatoris per Afcenfionem rectam et De- clinationem, fiue denique refpectu Eclipticae per Longi- tudinem et Latitudinem. definimus; vnde perípicuum eft; totam Aftronomiam cognitione quantitatum - contineri , quarum. aliae continuas rmnutationes patiantur, modo ma- iores modo minores, aliae vero perpetuo eaedem ma- neant, veluti Latitudo cuiusque ftellae fixae , etiamfi nunc quidem. hic leuis variatio fit ^obferuata. .. Harünr ergo quantitatum , quas natura nobis offert , diuifio in Variabiles et Conftantes fatis eft rnanifeíta ,. (imulque in- telligitur , difficillimam. noftrae cognitionis partem - in accurata quantitatum Variabilium inueftigatione effe con- ftitutam. Scilicet tum demum perfe&am cognitionem - motuum eS (0)$u- ? motuum. coeleftium , veluti. planetae, féu cometae; femus adepti , cum. pro quouis tempore eius locum in coelo, . hoc eft, eius Longitudinem et Latitudinem, affignare value- rimus. Ponamus nobis lunae motum hac ratione effe exploratum , quo melius noftras cogitationes figere : queamus ;. quicquid enim .de hoc caía dixero, id facile ad omnis generis quantitates. variabiles transferetur. Cum igitur ad quoduis tempus , quod pariter quantitate me- timur , lunae tum Longitudo, quam Latitudo; a(lgnari queat, vtraque haec quantitas per tempus determinatur, feu fi tempus a certa epocha elapíum denotetur littera £, tam Longitudo, quam Latitudo, lunae exprimetur certa quadam formula per tempus £ vtcunque definita, cuius: valorem pro quouis tempore £ affignare liceat. — Huius- modi formula generalis , cuius valor determinatus pro quolibet tempore determinato exhiberi poteít , — vocatur in Analyfi Functio quantitatis £, ficque. noftro cafü et Longitudo et Latitudo lunae erit certa quaedam Functio temporis £, cuius natura, hoc eft, ratio compofitionis, fi nobis effet perípe&a , motus lunae perfectam haberemus cognitionem , quae igitur tota in ratione illarum fun- &ionum fita eft ceníenda. Cum igitur inde conftet ; quantam mutationem lunae Longitudo et Latitudo quo- vis tempore íubeat; variatio etiam, minimo tempore fada , quae vtique et ipía erit minima , definiri, eius- que relatio ad ipfum tempus minimum affignari pote- rt; quae cognitio maximi eft momenti, cum inde mutatio momentanea innotefcat , nihilque hic impedit, quo minus tempuículum iftud | euaneícens -feu infinite paruum accipiatur. ^ Atque hic eft fons Infinite paruo- rum , in Analyfi receptorum ; vbi probe notari con- venit : «$32 ( o ) $e venit, non tam ipforum paruitatem , quam rationem mutuam, quae-xtique eft finita , confiderari : et quem- admodum huiusmodi Infinite pirva Differentialia vocan- - tur, ita Calculus, in eorum relatione fcrutanda occupatus, Differentialis appellatur: neque hic quicquam. de Infinite paruis eft metuendum , cum omnis calculus in. eorum relatione , quae eft finita , abfoluatur. Hactenus quidem affüumfimus indolem. earum formularum , feu Functionum, quae Longitudinem lunae et Latitudinem per tempus ex- primunt, effe cognitam; verum fi vicifüm ipíà muta- tio momentanea daretur , quippe quam ex viribus lu- nàm Íollicitantibus colligere licet , tum quaeftio ad n4:- tram illarum Functionum inueftigandam redacitur, to- taque lunae theoria ipfi eft fuperftruenda. — Hic igitur ex - mutatione momentanea, feu, vt Geometrae loquuntur, ex data relatione Differentialium, indoles ac natura ipfirum füunctionum determinari debet, in quo Calculus Integra- lis continetur. Quemadmodum itaque Calculus Differentia- lis docet Fun&ionum Differentialia, feu. potius eoram ra- tionem , inuefligare , ita vicifüm Calculus Integralis ex data Differentialium ratione indolem Fun&ionum eruendi methodum tradit. Vtriusque ergo vim ita commodiffi- me defcribere licet, vt fi o fuerit Funcio quaecunque quantitatis 7, ac ponatur Differentialium ratio $5 — D Calculus Differentialis methodum exhibeat, ex indole Fun- étionis v hanc Differentialium rationem f definiendi ; contra autem Calculi Integralis munus fit, ex data hac ratione f , feu eius relatione ad ipfas quantitates 7 et, indolem Functionis v eruere. Scilicet fi inter has quan-- titates 5, 7, et v aequatio quaecunque proponatur ; to- - tum. ' »$33 ( 0 ) $e 9 tum negotium eo redit, vt inde natura Functionis v, fed quomodo ea per £ determinetur, concludatur. ^ Quia vero ex illa aequatione data quantitatem | f e per ? et v definire licet, hinc eiusmodi aequatio Mz? 4-N4vc-0o nafcetur, Differentialis appellata, in qua litterae M et N vtcunque per 7 et v determinatae funt intelligendae , et iam quaeritur , cuiusmodi fünctio quantitas «v fit ipfius 7, feu, quod eodem redit, aequatio relationem in- ter 7 et v exprimens requiritur , vnde pro quouis va- lore ipfius 7 valor ipfius v affignari queat. Hanc igitur quaeftionem in latiffimo feníü acceptam Cel. Ew/lerus in hac differtatione contemplatur, et poft- quam animaduertit, eam tantum pauciífimis cafibus ad- huc refolui poffe,atque in hunc finem methodos maxime diuerfis a Geometris adhiberi folere, methodum multo fimpliciorem magisque naturalem exponit, omnes illos ca- füs expediendi, quae fimul viam ad plurimos alios cafus patefacere videtur. Quantum hic fit praeftitum, ex ipfo Auctoris fcripto eft iudicandum ; hic tantum notaffe iuuabit , aequationem hanc Mgz-I-N4vo--o etiam in latiffimo fenfu acceptam , exiguam tantum particulum vniuerífae Analyfeos infinitorum continere , quia tan- tum Differentialia primi ordinis compleatur. Quodfi enim 9 fuerit fun&io quaecunque ipfius f£, et Differentia. eT] i dv lium ratio ponatur ;; — f, etiam haec quantitas 5 eft biis ex cuius variatione iterum fimiliter ftatui pot- eft £5 — 4, quae quantitas 4. Differentialia fecundi ordinis inuoluere dicitur: quae cum pariter a 7 pendeat , ponaturque E zr haec littera Differentialia tertii ordinis implicare cen- fetur, et ita porro. Quibus pofitis Calculus Integralis ita de- Tom. VJIL. Nou. Comm. b fcribi 10 2e ( [e| ) e cSen fcribi poteft, vt fit methodus ex data relatione Differentia- lium cuiusque ordinis indolem Funcionis v inueftigandi, ex qua illa Differentialia nafcantur, feu, quod eodem re- dit, ex data aequatione quacunque inter quantitates 2,9,p,4,T ctc. quemadmodum quantitas v. per £ de- terminetur, inueftigari oportet. — Ab hoc autem per- fe&ionis gradu omnia adhuc inuenta Analyíeos artificia multo magis funt remota , et quae adhuc ignorantur, immen(íum fíüperant exiguam illam particulam , quam etiamnum euoluere licuit. Verum ne fic quidem tota vis Analyfis infinito- rum exhauritur, quia eiusmodi tantum functiones hic fümus contemplati, quae per vnicam variabilem deter- minantur , veluti longitudo vel latitudo lunae fpectari poterat , tanquam Functio folius illius quantitatis, qua tempus exprimitur. —Dantur autem vtique cafus , qui- bus eiusmodi Functiones quaerantur, quae fimul per binas, vel ternas, vel adeo plures variabiles determi- nantur. Huiusmodi exemplum íe offert , quando motus fluuii definiri debet , vbi aquae celeritatem pro omni- bus pun&is, quae in fluuio concipere licet, determi- nari oportet. ^ Cuiuslibet autem puncti fitus per ternas coordinatas x, y et z definitur , et celeritas in quoli- bet puncto tanquam Funcio ternarum iflarum variabi- lium x, y et s erit confideranda : quodfi ergo relatio inter harum et ipfius Functionis quaefitae differentialia intercedens proponatur, quam forte ex principiis motus colligere licet , quaeftio huc redit, vt eiusmodi functio v ternarum variabilium x, », et x definiaur, cuius Diffe- eS ( 0.) tie T Differentiale v. ad harum Differentialia. dx, dy, dz da- tam teneat relationem ; fíeu íi ponatur 4vo-—pdx --4dy--rdz,ex data relatione inter quantitates v, x, J, 2; D, d, ^ aequatione quacunque expreffa ; quaeri- tur, quomodo fun&io vc per variabiles v, y et z ex- primatur. "Tum vero, cum etiam $, 4, 7 futurae fint functiones coordinatarum x, y et 2, earum quoque dif. ferentialia , quae fecundi otdinis funt cenfenda , in com- putum ingredi poflunt, vnde hanc quaeftionem , vt la- tiffiqe pateat, etiam ad relationem differentialium fe- cundi altiorumque ordinum extendi conueniet. ^ Quodfi motus fluminis etiam cum tempore varietur, tum ad eius cognitionem celeritatem nonfolum pro quolibet puncto , quod iam ternis coordinatis definitur, fed etiam ad quoduis tempus affignari debet, ex quo cele- ritis quaefita , tanquam Funá&io quatuor variabilium , trium fcilicet coordinatarum et temporis, erit (pectanda. Quocirca Calculus Integrális generaliffime- ita definiri po- terit, vt dicatur effe methodus talem Functionem quot. cunque variabilium inueftigandi, cuius Differentialia cu- iusque ordinis propofitam teneant relationem. ^ Quic- quid autem adhuc in hoc geuere eft praeftitum , ad vnicum fere cafum , quo functio vnius variabilis ex data differentialium relatione quaeritur ; et parum ad- modum , quod quidem ad functiones plurium variabi- lium pertineat, in medium a Geometris cft allatum. In qno cum quafi Calculi Integralis pars altera fit con- fütnenda, fateri cogimur , eam etiam nunc fere totam incultam iacere. — Interim tamen certum eft, vniuer- fam "Theoram motus fluidorum huic Analyíeos parti b 2 maxi- 1 eda (0o) maximam. partem. inniti, in eaque vix quicquam fo- lidi aute. expectari. poffe , quam. fines Analyfeos. etiam in hoc genere haud mediocriter fuerint prolati. — For- tiori certe incitamento Geometris haud erit opus, vt omnes vires ad hoc quafi nouum, Analyíeos genus. ex« colendum. intendant. IT. Solutio Problematis de inueftigatione trium numerorum , quorum tam. fum- ma, quam productum , nec non fum- ma productorum ex binis , fint numeri quadrati, Au&ore Leon. Eulero pag. 64. E^ huius generis problemata plerisque Geometris nie - mis flerilia videntur , quam vt in iis foluendis operam. fuam. collocare, aequum iudicent , negari ta- men nequit, quin inde infignia incrementa Analyfis acceperit. | Ac certe in. genere affirmare licet, quo magis cuiusquam problematis. refolutio fuerit abfcondita, methodisque adhuc cognitis. fruftra tentata ,. eo. magis folutionis., fi tandem fuccefferit , pretiam effe confti- tuendum. ^ Ad hoc autem genus omnino referendum videtur problema hic pertractatum ,. cuius difficultatem mon folum. plures. conatus. irriti ,' antequam. ad. folutio- nem cod ( o ) eo I5 nem peruenire licet, fufcipiendi, fed etiam magaitudo numerorum fatisfcientium manifeíto declarat. — Quan : quidem folationem Cel. Au&or tanquam fimplicifhimam affert, ea maximis numeris. continetur; verum hic non parum intererit obferuaffe ,. ex ipfa Auctoris folutione multo minores numeros quaeftioni fatisficientes fatis expedite elici poffe. ^ Pofiis enim ternis quaefitis nu- meris nx, 4y, nz, vt tres fequentes numeros I. n(x--y 4-3); M. ngu(ay 4-224342); HI n xyz quadratos effici oporteat ; prima et tertia conditio ime pletur fümendo z52- 22952 et scm xy(x--y) (xy—9v). Vt autem fecunda impleatur, ftatuit Auctor :. xXy-vv-luus, x-tv, wt fityc— etia 22 y) tum. vero deducitur ad hanc ücqitionem!: $ muU It--1—ss$ uuw— 2s(tt-2-:)—z1t— ax eui facillime fatisfit fumendo. s— 2; fiquidem hinc fe- quitur 7 — ££—3. Capi ergo conuenit EIS 3 vnde fit 7 — US vbi numeros D ct 4. pro lubi- tu affumere licet, ita. vt hinc innumerabiles —folutiones obtimeantur : inter quas. fimplicifma videtur, quae oritur fümebdo 7-3, vnde/'fit'o— ret 4—— r, porro x— 1, J-—$etz—V. lam ob x--y-L-z-7, capiatur 2n226..54 €x iitirod conditione, ficque tres numeri fà- tisfacientes minimi. erunt : I..9.34- 396; IT..$.34-272; III.. 17.54757£ quorum. (umma eft. — 1156.— 54. b 3 füm- muli 14. asc ( [6) ) e co. fumma producorum ex binis —$8 9.54 -31-9.17.34" -1-8.19.94 — 19.54. produ&um omnium — 8.9. 17.54. — 8*.5*. 17. Hinc pronunciari poffe videtur, minimos numeros in- tegros problemati fatisfacientes effe 272; 306; 578; fractos autem hos 1; £; &. Caeterum hic notaffe iuuabit, fi tres numeri integri X, J, 2 defiderentur, vt tantum haec formula xy 4- x z 4-y a fiat numerus quadratus, eos in genere ita exhiberi poffe, vt fit : x--y-(a—by -- (d— ey J --2—(b— c) -A-(e—fy £--x-(ce—a)--(f—d) vnde fit x--y-r-z-—aa--bb--cc—ab—bc—dac --dd--ee--ff—de—ef—df , ipfique numeri. ita fe habebunt : xz(a-b)(a—ec-4-(d-—e)(d—f) y—(6—e)(b—2)-t- (e—f Ye— d) &—(e-a)(c— 2 a (f— a) f—«) vnde fit : Y (xy A-y2 2- x2) —a(e—f ) A- &(f — d) A- c (d- €) Vel fimplicius haec folutio ita enunciari poteft, wt fit: x—im--54; yz2mn--qr; s—nl-A-rp fumtis his fenis numeris 7, z," et p, q,r, ita vt fit: l-3-m-pLn-co et p-3-44-7—0 tum vero erit : Y (xy MA-yzA-x2)—14- mp mr-nq—np-Hr. III. eds (0o) I5 III. 'Theoremata Arithmetica , noua me- thodo demonfítrata. Aucore Leon. Eulero pag. 74. Qjingulari omnino Auctor hic vtitur methodo, ad plu- res infignes numerorum proprietates demonftrandas , quarum quidem nonnullas iam. alio modo demonftratas dedit , reliquae vero nouae fünt habendae , atque ad alias maiori adhuc attentione dignas viam parare vi- dentur. Ipía quidem methodus ita dilucide eft expo. fita, vt nihil ad ampliorem eius illuftrationem afferri poffit; at vero praecipuas veritates, quas Auctor feli- citer inueftigauit , hic recenfuiffe iuuabit. ^ Poftquam is iam gemina methodo eximium illud Theorema : quod forme a?— —x femper fit diuifibilis per numerum p, Jiquidem is fit primus , ueque numerus a per eum diuidi poit, demonftraffet ; hic non folum tertiam demon- firationem ex aliis principiis petitam adiicit; verum etiam idem Theorema , quod ad numeros tantum pri- mos erat adítridum , ad omnes plane numeros exten. dit. —Propofito fcilicet quocunque numero N, definit inde numerum 7, vt forma 4"—r per illum numerum NN certe diuifionem admittat; vbi quidem numerus pro lubitu affumi pote(t, fed tamen. ita comparatus effe debet , vt cum numero N nullum habeat diuifo- rem communem , feu vt numeri NN et. « (int inter fe primi, quae quidem conditio femper eft fübintelligen- da 16 632 ( [«) Seen da, etiamfi verbis non exprimatur. Demonftrat igitur Auctor, exponentem £2 íemper ita pendere a numero propofito N, vt aequalis fit multitudini numerorum ipfo N minorum , qui fimul ad eum (int primi, id quod exemplo magis perfpicuum reddetur. Sit igitur numerus propofitus INC 10; numeri autem eo mino- res , ad eumque primi, funt r, 3, 7, 9, ideoque qua- tuor, vnde fit 5—— 4. | Sumto iam pro. 4 numero quo- cunque ad 10 primo , feu qui neque per 2 neque per 5 diuidatur , ac certo pronunciare licet , hanc for- mam 4'—z. effe per 1o diuifibilem, hoc. eft, omnium huiusmodi numerorum biquadrata vnitate minuta diui- fionem per 1o admittunt. Veluti fi 2 — 3, fit 2'—1 — 80;Ííi 47 7, fit 4 — rz 2400 et ita porro: Quae- ritur autem hic ante omnia, quomodo pro quouis nu- mero N multitudo numerorum ipío minorum, ad eum- que primorum , cui numerus f£ aequalis eft fumendus , commode definiri poffit : vbi quidem perfpicuum eft , fi IN fuerit numerus primus, fore. z — N - z, propterea quod omnes numeri ipío minores, quorum multitudo vtique eft IN—r, fimul ad eum íünt primi. ^ Sed fi numerus IN non eft primus, eius ratio compofitionis ex primis eft fpectanda; vbi cum exiftentibus 5, q, 7, 5 numeris primis, omnes numeri ad hanc formam $*4P? 1?,9 etc. reuocari pe ab Auc&ore eít demon- ftratum : fifi N RES fore n g^ —(5- Jew. —- £N- p d, fore "-j*—(p- -1) Zt q-ra NA im fi N- -p ager Y, fore n—p*-—'(p- Hn f (q-1))7— (rx) feu n-N.RO $— TET | quIT TENET ficque et35 ( o ) Side | 17 ^ficque porro, ita vt pro dato numero N numerus 7 inueniri poflit ex. folis numeris primis in eum ingre- dientibus , nullo ad eorum poteílates habito re(pectu , quod in differtatione non eft animaduerfum. — lia fi N—120,qui numerus ex primis 2, 3, 5 componitur, vnde.fit 4-— 120. 1.2. 1— 32; atque forma 4-1 cer- te erit diuifibilis per 120, dum « nullum horum Ru- merorum 2, 5,.5 ebnipledrgt; Verum hic infuper obíeruare licet , plerumque minorem poteftatem eadem proprietate praeditam effe. Rationem enim harum de- monftrationum perpendenti mox patebit , fi fuerit N-— 5" 4PrY, formam 4"—1 per hunc numerum | fore diuifibilem, non folum cum 7 fuerit productum ex his tribus numeris: - | pp nn gu 1 gg fo Uns fed füffhicere, i pro & minimus communis diuiduus ho. rum numerorum accipiatur, quae obíeruatio haud in- elegans in differtatione eft praetermiffa. — Ita fi fit N-—120—5'.3 5, terni numeri pro exponente 7 . jnueniendo funt 4; 2; 4, quorum minimus | communis diuiduus lUa. ficque pronunciare licet, hanc formam a'—1 Íemper effe-per 120 dibiGBilem , dummodo 4 ad i20 fuerit primus. Simili modo fi NZ63—5',7, hi, duo, fictores dant numeros- 6^et 6, quorum dons communis di- viduus cum fit 6 , haec forma 4'— 1 erit per 63 di- vifibilis, fi modo a Reque. ternarium, neque farinae, contineat. id 14 d "AT: SE j A . win 'Tom. VIII. Nou. adus | c Sit HET woe ( o ) eco Sit N.— 32760 —2/.5'.5.4. 15 ,' qui fa&ores 'intér fe primi praebent hos numeros: 45 6; 4 5 6 ; 12 quorum communis diuiduus eff r2, ex quo haec for- ma 4" —r femper per 32760 diuifionem admittit, modo 4 nullum horum numerorum primorum , 2,3, 5, 7,19 inuoluat: veluti fi e— rr , eft 4 —1—831538428576720— $2760. 95800622 Vbi notari conuenit, effe : 95800622 22.37.61. 19. II17 Saepenumero autem. euenire. poteft, vt. pro fumto mu- mero 4 etiam. minor poteílas fatisfaciat., fed talis di- minutio ab indole numeri 2 pendet, nsque in genere minor poteítas, quam hic eft affignata , theoremati. tri- bui poteft. Supplementum quorundam theorema- tum arithmeticorum , quae in non- nulis demonftrationibus fuppo- nuntur. Au&ore Leon. Eulero pag. :r55. V trfantür. hiec Theoremata circa numeros, qui funt aggregata ex quadrato ct triplo alterius. quadrati format, ideoque hac formula generali fp-1- 344 con- tiner» e32 ( o ) Gira i9 tinentur. Scilicet; fi duae feries conftituantur, quarum altera conftet ex. numeris quadratis, altera ex iisdem triplicatis , vti L 1i, 4, 9,16,25, 36, 49, 64, 8t II. 3, 12,27, 48, 75, 108, 147, 192, 243 atque finguli prioris feriei fingulis pofleriorss feriei ad- dantür, oriuntur ii numeri , quorum. indoles hic con(i- deratur. , €t qui fecundum ordinem magnitudinis difpo- fiti funt ad centum vsque 457,12,13; 16,19, 21, 28, 31, 36, 3775 39, 49,48, 49. 52, 57,61, 63, 64, 67,73, 76,79,84,91, 93,977,100. Hinc fi primo excerpantur numeri, qui fünt. primi 7519,19,31,37,435 61,607.73, 79, 97 hi. omnes vnitate minuti per 6. diuifibiles deprehen- duntur, feu in formula 67-1-1 continentur, cuius quidem ratio: facile perfpicitur , cum ex forma 54-544 alii numeri primi oriri nequeant, nifi qui per 3 diuifi, vnitatem relinquant. Sed eius inuerfüm , quod viciffim omnes numeri primi iftius. formae 67-1- x fimul in: illo numerorum genere occurrant , veritas cít. multo. magis ardua , cuius demonfítratio maximas ambages po« flulat. Demonftrari fcilicet oportet, femper dari nume- ros p et q, vt fit 6n-1-1--pp-31-344 , fi quidem numerus 67-1-1 fuerit primus, vbi imprimis notari conuenit , nifi 65-i- x fit primus, hanc proprietatem faepius fallere, vti fit in numeris 55, 85 , qui etfi multi- plum íenarii vnitate fuperant ; tamen neutiquam in for- ma p5-1-344 continentur. — At fi huiusmodi nume- rus 67-1-1 (üerit primus, quantumuis fit magnus, c2 veluti 20. | £45 (0 ) Ste veluti. 0161 , certo. pronunciare licet; duo dari qua- dra pp ct qq, vt fit 20161— pp-i-344, reperi- tur autem p— 5: et 4— 50, neque plus. vno modo hoc fieri poteft. | En ergo fummam Theorematum hic fingulari prorfis' modo demonftratorum , . quod omnis numerus primus 'formàe 65-- 1 -fiper in hac torma Dbb-3-344, idque vnico tantum modo, contineatur, ex- quo fequitur, fi quispiam numerus formae 6n--1 vel. prorfus non in forma 95-1- 344 contineatur, vel plus. vno modo, tum eum certe non fore prittiüm. ' Funda- mentum aütém harum demonftrationdm in hac:propo- fitione eft fitum , quod fi numerus formae pp-3i-544 non füerit primus , eum non alios admittere diuifores , nifi qui ipfi in eadem forma. pp -1-344 contineantur. His autem principiis Auctor iam olim erat víüs ,. cun demonftradet ;; non dari duos cubos, quorum fumma, vel differentia, (it. cubus , tum vero etiam nuper , cum: noua plane methodo problema de tribus cubis inuenien:. dis, quorum Íumma fit. cubus , . foluiffet ,, quamobrem; vt hic nihil amplius de(iderari poffet, omnino . neceffe erat , theoremata ifla. rigidis. demonftrationibus con- firmari. . Caeterum ingenue. fatetur « Auctor , has de-. monítrationes. ex principiis imis alienis effe pe-: titas, fontesque magis proprios dari eo deducentes , ex ent Fermatius haufide videtur ,;.cum inde íe de- monf(trauiffe .affeneret ,. banc. aequationem.. generalem: 4" --5^-—c munquam locum habere poffe ,..ftatim at- que exponens 7 binarium fuperet , cum tamen PLu/erus hanc impoffibilitatem tantum pro. cafibus 2— 3. et f— 4. demonfítrare valeat, ex quo eo. magis dolendum c(t Fer-.. matiana inuenta temporum iniuria periiffe. V. et (0) 21 V- Confideratio formularum , quarum inte- gratio per arcus (éco 'conica- rum abfíolui poteft, .Au&ore Leon. Eulero pag. 129. (Qroodo integrationes aleebraice perficere non licet "5. valores integralium. per quadraturas linearum |. cur- varum vulgo exhiberi folent , dum ícilicet linea cur- va.aífignatur ,' cuius area eundem valorem. exprimat ,. vel faltém, eiusmodi,quantitatem , ex qua is determinari po(fit. . later huiusmodi quantitates , quae. dum — limites Algebrae communis quafi tranfcendunt , ^ Tranfcendentes appellantur , frequentiffime occurrunt , quae a quadratu- ri circuli et hyperbolae pendent, quoríüm omnes for. mulas integrales nullam irrationalitatem | inuoluentes re- duci. poffe conflat, atque hae binae tranícendentiumy fpecies iam ita víü in Analyfin funt receptae , vt pro» pemodum inftar algebraicarum. tractentur. || Quae. nimi- rum a quadratura circuli pendent , eae nunc quidem per calculum angulorum felicifüme expediuntur , quemadmo- dum. eae, quae a quadratura hyperbolae pendent , lo- . garithmis comprehendi íolent, quorum calculus nunc fere inter elementa refertur. | Quodfi vero | quadraturis magis complicatis. opus. eít,. euolutio multo. maioribus: difficultatibus eft. obnoxia. Etfi. enim. defcriptio linearum: curuxrum. conceditur ,.. tamen. in. praxi. nimis eft mole- € 3 ftum 25 egy (o). flum, areas iis inclufas fatis exa&e dimetiri. Quam ob caufam iam. pridem Geometrae in hoc elaborauerunt , vt loco quadraturarum potius rectificationes curuarum . in. hunc. vfum. traducerent ; quia. ftatim. ac linea, curua. ac- curate füerit defcripta longitudinem cuiusque arcus fine vllo apparatu ope fili dimetiri licet , in quo negotio olim Hermennus immortalem. gloriam eft affecutus, dum problema ab aliis pro defperato habitum fumma fagaci- tate refolutt , et pro cuiuscunque curuae quadratura li- neas curuas àdeo algebraicas inuenire docuit, quarum. rectificatione idem praeftari queat. Cum igitur nullum fit dubium , quin huiusmodi conflructiones eo fint ele- gantiores , quo facilius curuae ; quarum rectificatio adhi- betur , deícribi queant, in hoc negotio fectionibus co- nicis, Ellipfi fcilicet et Hyperbolae, meritó primae par- tes funt tribüendae ; et cum pletumque difficillimum fit indolem earum formularum integralium — perfpicere , quarum valores per arcus, fiue ellipticos , fiue hyperboli- cos, exprimere liceat, Auctor hic fingulari methodo prae- cipis formulas integeles inueftigat, quae hoc modo conftrudionem admittunt. Celeb. AJembertus quidem hoc idem argumentum: iam pridem in actis Acad. Reg. Prufficae pertra&auit , ^ Eweri vero methodus plane noua, qua arcus fe&ionum conicarum aliarum. curuarum inter fe comparare docuit, in hac inueftigatione eximiam praeftitit vtilitatem , vt hoc negotium multo vberius confeciffe videatur. Plurimae autem transformationes , quibus Au&or in hac ardua euolutione vtitur, in Ana- lyfi haud fpernendam vtilitatem babere poffunt. Inte- rim laudi ac dignitati huiusmodi ipueftigationum — nihil de- ec33 (0 ) $93 43 detrahetur , fi obfetuauerimus , nunc quidem in calculi applicatione ad praxin neque curuarum quadraturam, ne - que re&ificationem, magnopere defiderari, cum omnia multo facilius et accuratius per methodos appropinquan- di expediri queant. VI. -Confílru&io aequationis differéntio- differentialis etc. Au&ore Leon. Eülero pag. r5o. po aeqdatiónis, quam Auctor hic con(truendam - fufcepit, ita eft comparata, vt latiffime. pateat ,' ac per vniuerfim | Analyfin ampliimum habeat víum; cum in ea omnia , quae olim de celeberrima illa ae- quatione Riccatiana funt, inueítigata , contineantur. — Si hoc negotium per methodos vfitatas tentetur , fummae difficultates obftant, quo minus ad finem perduci queat ; nouam igitur Auctor ac proríus fingülarem.| methodum exponit huiusmodi aequationes tranctandi, cuius quidem dam pridem nonnulla egregia fpecimina cdidit ; neque : vllum eff dubium , quin ifa methodus, fi diligentius excolatur , infignia incrementa Analyfi fit allatura. Ca- fu autém euenit, vt haec tra&atio non penitus ad fi- nem fit perducta ,. fiue quacdam capita perierint, fiue *3b Au&ore fint neglecta. — Quae autem hic proferun- tur, omnino füfficiunt ad vim nouae huius methodi per- 24 et35 (o ) $5" perfpiciendam , atque adeo, quae defunt, ' ab attento le- &ore- harum. rerum. ftudiofo: haud. difficulter reftituentur. Quia etiam fi ex hac parte attento. excitetur, nullum eft dubium , quin Analyfis inde multo maiora incre-. menta fit confecutura. VII. ^ Annotationes in locum. quendam Car- tefii , ad circuli quadraturam fpe&tantem. , AudGore Leon. Eulero pag. i Du circuli ad diametrum effe incommenfu- rabilem, feu nullam dari menfüram ; qua tam dia- metrum, quam peripheriam , ita metiri liceat, vt nihil relinquatur , iam ab antiquifhmis Geometris eft. obfer- vatum., etfi hoc etiam . nunc aliter. demonftrari. non poteft, nifi quod omnes conatus huiusmodi menfuram inueniendi füerint irriti. — Nullos fcilicet eiusmodi binos numéros exhibere licet , qui inter fe eandem praecife rationem teneant, quae inter diametrum ac periphe- riam intercedit, €x quo in praxi tales numeri víur- pari folent, qui tantum proxime ad iftam rationem accedant , cuiusmodi funt Archimedei. v) ad 22 et Metiani 113 ad 3 555 tum Nero ab aliis ila. vera Id- tio mülro' 'accurfatius Dum. eris expreffa , v etiam Jn qnaxitiorum ^ ^ éiCulórüm' computo error omnino fit con- .e32 (0 ) eee 25 contemnendus. . Incommeníürabilitzrs autem in fe fpecta- ta non obílaret , quominus ratio diametri ad. periphe- riam geometrice affignari poffet, cum quadrati Diago- nalis ad latus quoque fit incommenfurabilis , atque in genere omnes quantitates irrationales, quae ab extractione radicum oriuntur, geometrice conítrui pofünt, Verum peripheria circuli ad genus lrrationalium longe fübli- mius referenda videtur, ad quod demum radicis ex- tractione infinities repetita pertingere liceat; vnde etiam geometrice plus praeftari non poteft, quam vwt vera peripheriae ad diametrum ratio continuo propius expri- matur. Atque hoc modo Confítru&io Cartefiana, quam Cel. Auctor hic perpendit, eft comparata, vt continua re&angulorum certa lege decrefcentium appofitione linea tandem cliciatur recta peripheriae circuli aequalis; haec- que conftru&io ita ingenioíe eft excogitata , wt ficilli- ma operatione citifme ad veritatem conuergat ; in quo eximium monumentum íummae inuentoris fagaci- tatis mirari debemus. — Eu/erus autem , dum hoc in- ventum obliuioni fubtrahit , plures egregias formulas et feries ad circuli menfüram pertinentes profert , qui- bus huiusmodi approximationes geometricae multiplicari magisque perfici queant. Veluti cum demonftrauiffet , denotante 4 longitudinem quadrantis circuli , cuius. ra- dius. — r, effe; (y o4 fec. :q. fec. 1 q. fec. 1 q. fec. i q. fec. 2, q.. etc. ^i | T ls. VIII. Nou. Cou. d | hinc 26 mae ( o) $ed hinc feqnens cctiftroctio fatis concinhd et elegaris coriclu- ditt. Con . C É ftituto. Qua- drante AO B rado OB iungatur nor- malis B C re- &ae OC an- € gulun AODB g bifecanti oc- $ currens in C. Z dix ne ERES Á e Tum huic OC in C normaliter iüngatur CD occurrens reae OD angulum AOC bifeani in D. Simili modo huic OD norrmiliter iungatur recta DE occur- rens recae OE angulum AOD bifeanti in E; hinc- que OE denuo normaliter recta E F occurrens rectae DE angulum | A O E. bifecanti in F; atque ita porro. Hoc mo- do tandem) peruenietur vsqué ad radium OA productum. in cuius puncto Z con(tru&io vltimo cadat; quo facto erit recta OZ longitudini quadrantis Be Z2fgA praecife aequalis. Plurimas autem alias huiusmodi conftructiones ex Formulis Auctoris ficile derjuare licet. ^ Notaffe hic iumabit , puacta B, C, D, E, F reperiri in tali linea cürud, cüius nitura, pofito angulo quocumque AO D- et rectà OD-—v, ita exprimitur , vt fit v—Us Hinc. enim fümta quaecunque ratione intet adgulaum (D et angulum rectum , cuius meníüra eft arcus 4, vt (it (Q—274, ent v— (n 74 ideoque re&a v geome- trice affisnari potzft. Cum autem angulo (D continuo immi- 535 (0) $t 27 imminuendo rs angue euanefcentem fuerit. peruenre tum , vbi fit ^5^ — x, tum recta v manifefto fit Qua- dranti 4 iron Similes autem formulas | alias m ict pro labitu fingere licet. VIII. Demonftratio generalis 'T heorematis Newtoniani de binomio ad poten- tiam indefinitam eleuando. AuGore F, V. T. Aepino pag. 159, M veritates mathematicae , quarum certitudo in aliis difciplinis tanquam exemplum imitandum proponi folet, extra omnem dubitationis: aleam collocentur, non fufficit , eas eiusmodi demonftrationibus muniri ,' quibus animi ad..diícendum - parati atque ingenio fatis perípi- caci praediti; acquiefcant , fed etiam omnino eft ne- ceffarium , vt omnes cui tiones folide. refellantur , . at- -que adeo. cauillationes Sophiftarum explodantur. | Ad -hoc genus imprimis eft referenda. cemonftratio Euclidea de aequalitate angulorum. alternorum | in-lineis parallelis, quae haud leuibus dubiis eft obnoxia , vt etiam fümmi (eometrae in ea firmius ftabilienda ftudium atque ope- ram collocauerint , iü quo autem non parum eft do- lendum , quod i(lae emendationes nimis fint prolixae et arduae , quam xt elementis inferi queant. Ilo Ana- lyf; etiam pura eiusmodi occurrunt demonftrationes , | d 2 quas 25 eS? (o ) $t quas cauillandi ftudium non mediocriter labefactare eft annifüim , cum circa quantitates :plurimae veritates tan- quim generales admitti foleant ; etiamfi demonftratio tantum ad numeros integros fit accomrnodata. — Hu- iusmodi obtrectationes imprimis expertam eft Theore- ma Newtonianum, quo potellas binomii (x-1-y)" gene- raliter in hanc feriem euolui ftatuitur : am a4, n— sy "DE Eos m X -- etc, cum tamen ifta refolutio nonnifi pro iis cafibus, qui- bus exponens 7 eft numerus integer, fit demonftrata. Tantum autem abeft, vt pro reliquis cafibus, quibus s eft vel numerus fractus, vel irrationalis ,— vel tranfcen- dens, vel adeo imaginarius » de cius veritate dubitetur , vt potius huic Theoremati in latifhmo fenfu accepto vniuería Analyfis infinitorum fit fuperftructa. — Hinc ii, qui eius veritatem in genere , Analyfi infinitorum in füb- fidium . vocata , demon(trare funt conati , ^ manifeto vi- tiofiffr:Qum circulum — in ratiocinando — commiferunt. Non inutiliter itaque collocauit laborem Auctor, cum demonfítrationem fundamentalis huius totius Analyfeos principii, idque per fola Algebrae communis elemen- ta, condere aggreffus eít. ^ Singulari autem omnino artificio , poftquam formulam (x-1-x)" huic feriei Ax" -- Ba" -- Ca7—* -- Da? -I- E 37—*-)-.- etc. aequalem finxit, oftendit primo quidem femper effe A-1, tum vero a ipta B buco C, D, E etc. ita pendere ;M vt fit : C— 2 DELE BR. ; EZ D. ac, 6tC- verum «t5 (0o) $5 | 029 "verum mirifico prorfus cafü hic víu; venit, vt ipí quantitas B hinc non determinetur. — Altera igitur hu- jus demonítrationis pars in hoc veríatur, vt aliunde oflendat , femper effe B— m, quod quidem tanto rigore praeftat, vt nulli plane — locus relinquatur. OX. | De functionum algebraicarum integra- rum .facoribus trinomialibus reali- bus commentatio. | Auctore Eo, 4T. Aepino P. 181. | qs haec commentatio ad 'Theoriam aequationurn algebraicarum cuiuscunque ordinis , fcilicet : pud AT Bat Can etc... -Mx4-NzZ o quam conflat femper refolui poffe in | totidem . factores fimplices formae x-1-p , quot maximus exponens 4 contineat vnitates. Saepe numero autem euenit , vt iti factores fimplices euadant imaginari , ac tum de- monílratum éft, numerum huiusmodi fa&orum imagina- riorum femper effe parem. . Quod autem praeterea. in Analyü affumi folet , tales factores imaginarios ita effe comparatos, vt cuique fuus conueniat focius , qui per eum multiplicatus productum producat reale; id qui- dem tantum pro aliquibus cafibus firmiter eft demon- firatum , generalem vero demion(trationem adhuc deti d 3 derari, - E ICOE derari ; omnes qui hanc Theoriam accuratius funt feru- tati , confitentur, — Quotcunque fcilicet aequatio. babue- tit factores imaginario s , quorum vnus fit x-L-p, ideoque f quantitas imaginaria , demonftrari debet, in. ter reliquos femper dari. ypum illius quafi (ocium x4-4; ita vt productum (x 4- f)(x -4) — xx -F(p-2-4)x-- p4 euadat reale ; ad quod quidem requiri perfpicuum eft, vt binarum quantitatum imaginariarum fet4 tam fum- ma, quam produ&um , abeat in quantitatem. realem. Huius itaque theorematis demonftrationem condere. ag- greffus eft Auctor, in quo quidem negotio ita pro- cedit , vt fi fupponatur , (cuius perfe&am demonttratio- nem, ex analyfi infinitorum petitam, fibi vindicat 44/ez:- bertus ,) ommes Qquantitàtes imaginarias ad formam A --DBY —:1 redücibiles effe, poftea fingulari quodam artificio , propofitionis antea indicatae probationem, inde deducat , quae quidem demonfítratio , ita comparata eft, vt per fe attentionem mereri videatur , etíi con- cedatur , füb affumta ab Auctore hypothefi , dari for(i- tan faciliores aliquas ad demonftrationem hanc abíoluen- dam via& —— n b. Solutio Problematis cuiusdam ad maxi- ma minimaue pertinentis. Auctore Steph. Rumowski pag. 189. poses hoc, cuius folutionem Cl. Auctor feliciter "^ perfedt, omni Geometrarum attentione dignum eft iudi- «32 ( 0) Se 2 iüdicandum, Erfi enim. ad. fimofam illam de Ifoperime- tricis quaceftionem pertinet, circa quam opera ac ftudio Cel. Euri nihil amplius reperitur ; quod. defiderari queat , tamen eius folutio in fe fpectata non folum eft pulerrima , íed etiam tantas implicat difficultates , | ad quas fuperandas infignia Analyíeos artificia requiruntur. €lar. quidem "Auctor idonei Variabilium ele&ione folu- tionem ita inftraxit, vt commode prima Integratio füc- cederet, et altera quafi fponte feparationem Variabilium largiretur...— [n folutione autem , quam ab Eglero filio fibi miffim communicat , prima integratio multo ma- iorem follertiam requirit , et haud contemnenda calculi artificia complectitur. — Caeterum ipía quaeftio, qua. pro data Coni altitudine inter omnes. bafes, quae. Cono ae- qualem foliditatem .conciliant , ea. quaeritur , vnde. coni füperficies minima oriatur ? neutiquam inutilis eft pu- tanda, cum talis minimi cognitio faepius ingentem lu- cem foenerari queat: quod magis perípicuum redditur , fi quaeítio eadem aliis verbis ita efferatar, vt inter omues conos tam eiusdem altitudinis quam. eiusdem füperficiei: is definiatur , ^ qui maxime. fit capax? Solutio autem . huius | problematis | tandem ad. eius- modi aequationem perducitur , quae innumerabiles li- neas curuas in fíe complectitur , iuter quas circulus etiam tanquam fpecies occurrit. — Ingrediuntur enim in aequationem finalem. tres nouae conftintes | arbitrariae , vnde pro earum diuerfa determinatione infinitae curuae diuerfae obtinentur. Quae infinita multitudo , . quomo- do cum problematis natura confiflere pofüt , haud fa- cile apparet, ampliorique explicatione indiget. — Namque à : fi 32 we3$ (0) $5 fi bafis circularis fatisfacit ; ita vt conus ei fuperítructus minorem habeat füperficiem , quam fi alia. quaecunque figura eiusdem capacitatis bai tribueretur ; omnino mie rum videtur, quid reliquae lineae curuae in folutione aeque contentae fibi velint, et quomodo ad problema foluendum accommodari debeant ? Ad hoc intelligen- dum indoles huiusmodi quaeftionum accuratius eít per- pendenda. Primo igitur antequam tota coni fuperficies vndequaque terminata confideretur , folutio ad. quemuis arcum indefinitum bafeos ita pertinere eft cenfenda, vt inter omnes curuas iisdem terminis comprehenías , quae fimul idem fpacium includant, «ea definiatur, ex qua minima füperficies conica gignatur. ^ Hic ergo tres res tanquam datae funt fpectandae, bina fcilicet. puncta, per quae curua tranfire debet, et area, quam iíla curua includi. ^ Quam ob rem f(olutionem completam ita comparatam effe oportet , vt curua quaefita per data duo puncta deícribi poffit, fimulque eius area inter baec puncta contenta datam quantitatem | nancifcatur, His ergo conditionibus vt fatisfieri poffit ,, omnino ne- cefle eft, vt aequatio finalis tres quantitates ab arbitrio noftro pendentes inuoluat. Quo obíermto iam perfpi- cuum eít, quid aequatio illa maxime generalis inuenta fibi velit, et quomodo ad vfum fit traducenda ? Quo- libet enim cafü oblato duo puncta, per: quae curuae eft tranfeundum , tanquam data proponi funt intelligen- da, vna cum area inter eà comprehenía ,' tum vero. ae- quationis ternae confítantes arbitrariae ita determinentur , vt linea curua per ifta duo pun&a tranfeat, et area inter ea comprehenfa datam illam quantitatem obtineat: " er »$ ( 0.) $3" 33 ex quo euidens eft, in aequatione problema perfe&te foluente neceffario tres conflantes indefinitas ineffe de- bere. | Deinde etiam notari conuenit , quomodocunque iftlas conftantes pro lubitu determiuaucerimus, vt curua determinata refultet, eam íemper problemati ita fatis facere , vt fümtis in ea ad libituin binis punctis, inter omnes alias lineas , quae per eadem puncta ductae ae- quale fpatium includant , quarum multitudo vtique eft infinita , ea , quae fuerit reperta, minimam generet fu- perficiem conicam. ^ Atque hoc modo vtique euenire poteft , vt curua fatisfaciens maxime a circulo difcre- pet. «. Statim. enim atque bina punc&a data non aeque fuerint a centro bafis remota , areaque inter ea com- prehenía ab area íectoris circularis diuerfa ,; neutiquam fieri pote(t, vt circulus quaeftionem reífoluat. | Ex quo ian perípicue intelligitur, cur folutio iftius | proble-. matis infinitam diuerfarum linearum curuarum multitu- dinem complectatur. Tom. VIII. Nou. Comm. e PHYSI- 34 eS (0o) ese PHYSICO - MATHEMATICA. | I. Dilucidationes de refiftentia: fluidoru m. Auctore Leon. Eulero pag. 197. TW uantam. refiftentiam quaeuis corpora in fluido, ve- (Q luti aqua, aut aere, mota patiantur, et quantum: inde eorum motus, debilitetur ? quaeftio eft in. vniucría Phyfica maximi momenti ,. cum: nullus motus. in hoc mundo exi(tat, qui ab huiusmodi perturbatio- ne fit immunis. Ex quo: iam: dudum. naturae fcrutato* res, atque imprimis. Geometrae, fummo: ftudio. fuerunt occupati , vt leges. iftius. refiftentiae ;, quam: corpora. iu fluidis: mota. íuftinenr, ipneítigparent, eiusque. veram quantitaten quouis. cafü affgnarent. ^ Primum: quidem. folam: experientiam. confulentes mox: animaduerterunt , quo. fluidum. fuerit denfius, eo. maiorem: effe refitten- tiam , idemque corpus. fimili: motu. in. aqua. latum. tan-- to maiorem pati refiftentiam. , quam inm aere, quanto aqua. aerem; denfitate fuperet. — Turm vero: etiam. facile obíeruarunt, im eodem fluido. refiftenriam. eo: effe ma- iorem , quo. motus fuerit velocior. — Imprimis autem: fenferunt, refiftentiam plurimum. a figura: corporis. pendere, effectumque fluidi eo effe minorem , quo: obliquius. in corporis. fiperficiem. allabatur ;; quod. difcrimen: praecipue ' in. we35 (0) $5 33 in nauigatione cernitur, dum aliae naues pro diuerfa fi- gura aliis multo aptiores deprehenduntur ad refi(tentiam fuperandam , ex quo nata eít quaeftio. plurimum. agita- ta ; cuiusmodi figuram naui tribui conueniat, vt mini- mam zrefiftentiam patiatur. Quae phaenomena vt ex- plicarent, atque accuratius explorarent Geometrae , ad motus principia denfügerunt, indeque per calculum de- finire íunt conati, quanta quouis cafíü refiftentia effe debeat, cum ratione celeritatis , qua corpus in fluido promoueatur, tum vero ratione eius figurae ; atque tandem vniuerfam refiftentiae Theoriam ad duplicem re- gulam reuocaffe funt arbitrati ;. quarum altera ad mo- tum directum pertinet, quo füuperficies plana perpendicu- liter in fluidum occurrit, eaque ftatuitur, refiftentiam quadrato celeritatis effe proportionalem , et quouis cafu aequiualere ponderi cylindri fluidi, «cuius bafis aequalis fit füperficiei motae , altitudo vero cum illa conueniat, €x qua graue cadendo eam ipíam celeritatem acquirat qua corpus aduerfus fluidum mouetur. — Altera regula ad motus obliquos fpectat , quando motus directio ad fuperficiem eít obliqua, eaque refiftentia quadrato finus auguli obliquitatis proportionalis ftatuitur. ^ Hinc quae- cunque fuerit corporis figura, «ius fupeificies in innu- merabiles particulas infinite fecta concipitur, €t pro qualibet angulus obliquitatis , füb quo in fluidum incurrit , indeque quantitas refiflentiae definitur ; atque ex his omnibus refiflentiis elementaribus tandem tota refiftentia colligi folet, quatenus quidem calculum expe- dire licet. Celeberr. igitur buius differtationis Auctor in eo verfatur, vt principia, vnde hae regulae funt deductae, eo accu- 56 535 ( 0 ) $s$e" accuratiori examini (übiiciat, quae cum hypothefi ma- nifefto fal(ae innitantur, qua, ad fimilitudinem collifionis corporum folidorum , particulae fluidi fimiliter corpus in eo motum percutere affumuntur, eas tanquam omni fundamento deítitutas reiicere non dubitat. ^ Plerumque quidem eas tam parum a veritate recedere fatetur , vt error enormis non fit metuendus ; veluti euenit, fi cor- pus figura non nimis irregulari praeditum. in. fluido am- pliffíimo moueatur, neque tamen celeritate adeo magua, vt pone corpus ob fluidum fequi non valens quafi va- cuum relinquatur. — Sin autem fluidum fpatio fatis an- guíto eft iaclufüm , in quo corpus motum partem fatis notabilem occupet , maniféflum eft, illas regulas imma- niter fallere debere. Si enim corpus totam cauitatem; qua fluidum includitur, repleret , procedere plane nov poffet, ac refilentiam quafi infinitam fíeoriret, nifi qua- tenus fluidum [e coinprimi pateretur. — Deinde etian regulae illae memoratae tantum partem corporis anti- cam refpiciunt , in quam fluidum aliidit, pars vero poftica plane non in cenfum trahitur , cum tamea ex- perientia te(le eius figura multum ad refitlentiam, fiue augendam; fiue minuendaim, conferat. His igitur perpen- fis Auctor luculenter oftendit, in refiftentia nullam phe colifonem iimilem €i, qua corpora folida im conflictu fe mutuo percutiunt, admitti poffe , quo ipfo totum fundamentum illarum regülarum corruit. . Partes autem fluidi anteriores iam antequam corpus motu fÍuo ad eas pertingit, ad motum concitantur, quo iuxta corpus defluunt, fpatium pone corpus relictam occupa. turae, ita wt reípectu corporis fluidum continuo circa id e$32 (0 ) $990 37 id refluat, quemadmodum nauigantes vident aquam continuo a prora ad puppim defluere. ^ Hinc perfpi- cuum eít, corpus in fluido motum ab eo aliam vim non fíuüftinere, practer prefíhonem , quam fluidum praeterlabens in totam eius füuperficiem circumquaque exerit, et refiftentiam nihil aliud effe, nifi effectum ex omnibus his preflionibus natum, motui corporis contra- rium. In quo primo tenendum e(t, íi prefhio aquae, iuxta corpus praeterfluentis , haud differret ab ea, quam aqua quieta in corpus exereret, quoniam tum omnes prefliones fe mutuo effent deftructurae , nullum — rrotus impedimentum , nullamque propterea re(iftentiam , inde effe exortaram. — Eatenus ergo refiflentia exiftit , qua- tenus aqua circa corpus praeterfluens aliam im id cxer- cet prefílionem atque aqua ftagnans; atque ex noc fonte vera refiftentiae origo eft haurienda. — Primo igitur motun aquae praeterfluentis , tum vero. preftionem, qua inde corpus in fingulis punctis follicitatur , dcfairi oportet , hiacque demum ex omnibus prefhonibus in- ter fe collatis vera refiftentiae quantitas affigoari poterit. Haec autem inue(tigatio maxime ardua eft ceni anda, cum perfe&am "Theoriam. motus ac preffionis fluidorum requirat. Etiamfi enim idem Auctor principia huius Theoriae perfecte euoluiffet , ex iisque omnia quae tam ad motum, quam preífionem fluidorum pertinent, formu- lis analyticis effet complexus, tamen Calculi ad. eas expediendas neceffarii fabfidia adhuc defiderantur , vt completam refiftentiae "Fheoriam inde vix fperare li- ceat. Cum autem ea duplici inue(tigatione contineatur, altera ad motum fluidi iuxta corpus defluentis, aitera &3 YCro L^ $$ enn . ( o- ) e coca vero ad eius prefhonem in fingulis fpectante , eiusmodi nexum Auctor ex Theoria agnouit, wt ex motu co- guito preflio, ac vicifüm definiri poffit. ^ Quodfi ergo vndecunque motus, quo fluidum iuxta corpus praeter- fluit, füerit cognitus, ex eo preífionem, quam corpus in fingulis punctis füflinet , indeque porro refi(tentiam ipíam determinare docet, idque ope regulae íatis fimplicis , qua euictum eft , quo celerius fluidum in quoque cor- poris puncto praeterfluit, ibidem preflüonem eo effe mi- norem , ita vt maxima pre(fio ibi in corpus exeratur, vbi fluidi motus fuerit lentiffuimus. Atque hinc iam in- tellipitur , partem corporis pofticam in determinatione refiflentiae minime effe negligendam , vti fit in eius vulgari aeflimatione. His expofitis Auctor vicifüm | in- quirit , quomodo cognita refiftentia, íeu preffione , qua corpus circumquaque vrgetur , inde ipíe fluidi motus iuxta corpus defluentis definiri, fimulque conditiones afügnari queant, fíüb. quibus talis motus locum habere poflit, vnde Theoria fluidorum haud ípernenda incre- menta capere videtur. IAmprimis autem cum refiftentia per vulgares regulas definita: faepenumero vix fenfibili- ter a veritate recedat, eos inueftigat cafüs, quibus haec determinatio cum veritate prorfus conueniat , inuenitque hoc fieri non poffe, nifi corpus habeat figuram cono- idis parabolici , fimulque fecundum. directionem axis in fluido promoueatur; quia autem hoc conoides nusquam terminatur, fed in infinitum porrigitur, manifeftam eft, plane nunquam . vulgarem refiftentiae determinationem veritati confentaneam effe pofíc. II. eS (0)ZSt 39 II. Principia "Theoriae. Machinarum. Auctore Leon. Eulero p. 250. H* non agitur de vulgari Machinarum: doctrina, qua -&- confítructio earum: et compofitio ex. machinis. fim- plicibus tradi folet ,, et quae ex folis principiis flaticis naturae. aequilibrii innixis petitur; itz vt ad ipfum: mo- fum , quo tamen totus. effectus: abfoluitur ,, vix refpicia- tur. ln hac igitur differtadione ea. potiffimum , quae ad effecum. machinarum: determinandum. fpectant, ex- ponuntur, in quo: negotio commode: víu' venit, vt quo-- modocunque: machina fuerit. compofita , nihil aliud. inde in. computum. ingrediatur ,. praeter folam. rationem, quae inter celeritatem: vis agentis et celeritatem. oneris mo- vendi intercedit, et ex machinae ftru&ura: fecundum praecepta in: flaticis. tradita facile innotefcit. Dina fci- licet loca im qualibet machina funt confideranda , in quorugr altero. vis mouens , in: altero. vero: vis. oneris reluctans: ,, applicatur ,; motuque machinae impreffo vi- dendum eft, quam: rationem celeritates. in his locis inter fe fint habiturae. Iamr cognita hac ratione certum. eft, ad: onus monendum tantam: requiri. vinr, quae ad onus teneat eandem rationem inueríam. | Hinc Auctor mo- mentum. vis. agentis. appellat. productum , quod. oritar , fi haec vis celeritarem, qua operatur ,. multiplicetur ; et vt ifta meníüra: fit determinata ,. celeritatem. exprimit fpa- tio. vno: minato fecuido confé&to. Simili modo mo- mentum. oneris; feu. vis. reluctantis ,, vocat. productum ,, quod. 49 we35 ( 0 ) $e quod oritur, fi haec vis reluctans per fuam celeritatem feu fpatium vno minuto fecundo abfolutum , multiplice- tur. Perfpicuum autem eft , hoc momento oneris ve- ram meníuram effectus, quam machina producit, conti- neri , cum fine dubio effectus tanto maior fit ae(timandus, quo magis oneri renitatur, et quo celerius promoueatur ; at momentum hoc modo expreffüm fimul effe&um vno minuto fecundo editum accurate metietur. Simili mo- do prius momentum vis agentis veram menfíuram acio- 7i; largitur , quam certe diftin&tius mente concipere non licet. In omnibus nunc motibus machinarum ope ef- fectis femper momentum vis agentis aequale eft mo- mento vis reluctantis , feu actio aequalis effe&ui , fi quidem a frictione mentem abftrahamus, et motus ma- chinae fuerit aequabilis. — Verum frictionis ratio haud difficulter habetur, dum ob eam tantum oneris momen- tum augetur, ita vt tum hoc momentum ob frictio- nem auctum momento vis agentis aequale fit ftatuen- dum , vnde pro data actione effe&us machinae ob fri- étionem vtique diminuitur. In machinarum ergo con- ftructione imminutio frictionis vtique maximi c(t mo- menti, at perfe&io machinarum non tam a minuta frictione ipfa , fed ab imminutione eius momenti pen- det, quod quomodo obtineri poffit , ipía frictione non minutá , ab Auctore docetur. ^ Quod vero ad motum machinae vniformem attinet , pleraeque quidem , dum funt in actione, aequabiliter mouentur; verum tamen in earum partibus faepe motus inaequalitas fpectatur, dum verbi gratia piftilla alternatim attolluntur et detruduntur, vnde actio machinae quoddam patitur detrimentum , atque we35 ( o ) £e | S 04 stque Aüctori anfam praebet hanc machinarum — condi- tionem accuratius inuefligandi. — His autem — praemi(lis tota machinarum perfectio eo reuocatur, wt data wi agente machina ita inflruatur , vt inde maximus obti. neatur effecus, quae quidem quaeftio primo intuitu fo lationis aon capax videtur, cum femper effectus fit $&ioni huius vis aequalis , nifi totam perfectionem in fola momenti frictionis imminutione quaerere — velimus. Verum Auctor hic imprimis oftendit , etiamíi vires ad machinam mouendam adhibendae fint datae , tamen idcirco earum actionem neutiquam effe datam , fed prouti tardius, vel celerius, operentur, eam modo ma- iorem, modo minorem, cxiftrere poffe; ex quo his viribus quouis caíü ita vti conuenit, xt carum actio fiat maxima; quia tum etiam effectus machinae maximus €fücietur. — Hic igitur indoles virium mouentium po- tiffunum «eli (fpectanda , vbi primo quidem , fi viribus bomisum vtamur, notari oportet, quantacunque vi homo, dum eít in quiete, operari, hoc e(t trahere, vel trudere valeat, tamen eius vim, quo celerius idem opus exequi debet, continuo diminui, ac tandem pror- fus euanefcere. Ira fi homo , dum quiefcit, onus roo librarum mouere valeat , idem progrediens co minus onus poft fe trahere valebit , quo celerius incedit , ac fi maxima qua poteft celeritate currit, ne minimum quidem onus protrahere poterit, cum omnes füas vires .jn proprium motum impendat. ^ Ponamus eius vires confumi, dum fingulis minütis fecundis fpatium 6 pedum percurrit ; et cum priori cafu, quo quiefcit, vis exerta fit 120 libr. celeritas autem nulla, pofteriori vero vis Tom. VIII. Nov. Comm. f nulla 4 etia (o ) $8 nulla, celeritas autem 6 pedum, vtroque cafü a&io ho- minis, productum fcilicet ex vi in celeritatem, e(t nul- la; dabitur ergo certus celeritatis gradus, quo fi homo operetur, tametfi minorem vim quam IOO. libr. exerat, actio tamen eius fit maxima, atque adeo machinae applicata maximum effectum producat. | Ad hanc de- finendam Auctor quidem ad hypothefin confugit , fed ratione non de(titutam, atque experientia confirmatam :; fumit fcilicet, fi homo, aliaue potentia agens, in quiete exerere. valeat vim — A , at vero celeritate —f pro- grediens nihil amplius praeftare poffit; tum fi idem homo celedtate -——v incedat , exerere poffe vim —(r-7YA: vnde cum eius a&io fit aeftimanda | z2v(1— 5$) A, ea erit maxima , fi füerit v—:f, et ipfa actio maxima fit —£Af. ta fi pro homine fumnatur A — 1oo libr. et celeritas extrema f — 6 ped. homo eíficacifhme operabitur, fi celeritate 2 ped. vno minuto fecundo aget, tum autem vim exeret — $ roo — 44ilibr. et eius actio erit — 447. 2 — 89. — Quoties ergo ad machinas mouendas operis hominum vti veli- mus, efficiendum eft, vt hominum motus fit 2. ped. fingulis minutis íecundis; fcilicet fi onus mouendum cum frictione re(ítentiam faciat R libr. id tanta cele- ritate 4 moueri poterit , vt fit Ru— SA f. ideoque y — t: vnde cum celeritas vis agentis fit — : f» machinam ita inftrui conueniet , vt fit celeritas vis ad . : A celeritatem oneris vt 1 ad 5. Idem tenendum eft de viribus animalium | cuius- que generis , quae ad machinas mouendas adhibentur 5 vbi e35 ( o ) $3» 45 vbi imprimis notandum eft, ea, quae maximae ccle- ritatis funt capacia, maximum effectum producere. Ita fi equus in quiete tantum anniti queat, quantum tres homines, fimul vero triplo maiorem celeritatem | füfti- nere poffit, eius actio efficaciffima nouies erit maior quam vnius hominis, vnusque equus tantum praeflare po- terit, quam nouem homines. , Eadem regula quoque locum habet in vi fluminis, cuius actio ad rotas cir- cumagendas eft maxima , fi rota tanta velocitate ver- fetur, vt celeritas aquae alljbentis fit pats tertia. — Haec igitur funt vera principia, ex quibus omnis gencris ma- chinae ad fümmum perf:ctionis gradum euchi poterunt, ad quod vulgarem machinarum doctrinam parum con. ferre manifftum eft. III. De motu et attritu lentium , dum fuper catinis poliuntur. Auctore Leon. Eulero pag. 254. ic qim olim in eiusmodi machinis excogitandis fue- runt occupati , quibus ípreta figura fphaerica len- tibus vitreis figuram , vel parabolicam , vel ellipticam, vel hyperbolicam, aliamue quamcunque inducere poffcnr, nunc autem etfi Dioptricae tam theoria, quam praxis, wberius eft exculta, praeclare ramen nobiscum agi arbi- tramur , fi modo lentes exactifüme ad fphaericam fi» £uram elaborar poífent; hoc enim fi praeflare liceret , fh multo m 09883 ( 0 ) $e multo perfectioribus certe tam telefcopii, quam. micro- Ícopiis, vteremur. — Duae autem íunt res, quae huic praxi impedimento. effe deprehenduatur : altera in ip- fius vitri natura flexibili et ela(lica eft fita , qua fit, vt . vitrum etiam planum catino concauo fortiter appreffüm tius figurae apprime í& applicet ,, inde vero remotum in priftinam figuram reflituatur. ^ Quamuis ergo lens exactiffime catini figuram induiffe videatur, plerumque tamen eius figura deinceps multum diuerfa reperitur ; quod vitium aliter euitare non licet , nifi vt vitrum , dum füper catino atteritur, ip(i leniffime | apprimatur , quo. quidem. modo. labore mukto- diurturniore je ett, . quem: artifices aegerrime füfcipiunt. — Alterum — impedi- mentum in ipfo catino reperitur ; cuius figura, dum lens atteritur, non parum vitiatur, vt neceffe fit, fae- pius veram eius figuram reftituere , antequam. eandem: fuerit adepta ; attritu enim. mutuo non íolum a vitro, fed. etiam ab ipfo catino, plurimae particulàe abradüntar. Hoc vitium. imprimis fe exerit in operis. initio ,, quo: lentis figura etiamnum vehementer difcrepat a catini figura, ideoque catius ia certis tantum locis atteritur ;. cui vitio quidem artifices remedium afferre ftudent , dum lentem per totam catini füperficiem circumducunt, cafuüi autem hic nimis latus campus relinquitur, quam vt quicquam certi hinc fperare liceat. ^ Quando autem leas iam proxime catini figaram eft adepta , vt laeui- gatione tantum fit opus, minus illud incommodum me- tuendum videtur, fiquidem vbique tantumdem a catino abraderetur. — Hinc Auctor fedulo in attritum , quem catinus a lente patitur, inquirit, vbi quidem mecha- nis- eds (o) 45 nismmum nunc fere vtique víu receptam | contemplatur , quo lens ope ítili eius. centro. applicati ita catio in gyrum aco. apprimi folet , vt interea libere circa fti- lum gyrari poíht. Hic igitur primo obferuat , motum gyratorium lentis femper aequalem effe motui gyrato- rio catini, vt vtrinque eodem. tempore totidem reuo- lutiones peragantur ; tum vero oftendit, lentem qui- dem per totam füperficiem. aequaliter atteri , attritum- que eo effe maiorem ., quo longius r"?. lentis centrum 3 centro catini teneatur remotum ,.2?. quo fortius lens ad catinum apprimatur, 3. quo minor fuerit lentis fuperficies , et 4^. quo celerius. catinus in gyrum. aga- tur, catinum. vero demonílrat admodum inaequaliter ab- radi , fiquidem lentis centrum. immotum teneatur ; vnde cum eius figura mox deprauetur , idem vitium in lentem. transferatur neceffe. eft , remedium autem, quo vulgo artiicices vti folent, dum centrum lentis per totum catinum deducunt , nimis incertum iudicat ; quin potius füadet, centrum lentis perpetuo imn eadem a ca- tini centro: di(tantia- detineri, atqne vt catinus vbique ae- quilem attritum patiatur ,' definit fieuram frníli cuius- dam vitri, quod in alio loco catino certa vi impref- füm.praecife tantum de catino abradat, vt tota abra- fio vbique. aequalis reddatur. — Tuüífrmus hic videtur modus, figaramr catini ab omni deprauatione immunem conferuandi , atque artifices hunc modum fücile ^ad praxin accommodabunt. ^ Confultum quoque foret lea- tem non vi manus minis inconftante ad caünum appri- mi , fed certo quodam pondere ita moderando, ne prius incommodum íüpra memoratum locum Lhabere f 3 poffit; 46 «mS e) poffit ; tum vero fingulari artificio conatum lentis cen- trifngum coerceri conueniet , vt hoc pacto nihi] plane fortunae et arbitrio artificis relinquatur. — Frufti autem ilius vitrei per fe otiofi figura facile determinatur, ae- que ac vis, qua id ad catinum apprimi debet, vt de- fideratus effectus obtineatur. Caeterum hic nouum do- cumentum principi minimae actionis praeter omnem expectationem cernitur, dum enim Audor motum len. tis fuper catino definiuit , eum ita comparatum effe in- wenit, vt inde attritus minimus exoriretur , ex quo hu- ius-principii vfus ampliffimus et foecundifhmus per vni- weríam naturam eo clarius elucet. IV. De noua quadam veGis proprietate Differtatio. Aucore F. V. 'T. Aepino p. 271. D hac differtatione denuo infignis cafus, quo princi- pium miniinae actionis eminet, profertur, atqne adeo ex natura vectis petitus, cuius proprietates nemis ne contradicente veritatibus aeternis funt annumerandae. Confiderat fcilicet Cl. Auctor , vectem aequalium bra- chiorum , quorum extremitates binae ad bina virium centra infinite remota fingulatim viribus quibuscunque follicitentur , quaeritque fitum , quo vectis fit in aequi- - librio futurus. Ad hoc wtramque vim reíoluit in binas, qua- «$35 ( 0.) Geo 47 quarum altera ad vectem fit normalis, altera vero in ipfam eius dire&ionem iocidens; atque demonf(lrat , aequilibrium in eo fitu fore , vbi fumma harum pofte- riorum virium in axis directionem cadentium futura fit maxima. Dolendum autem e(t, hanc elegantem. pro- prietatem nimis anguítis limitibus contineri, dum ea non amplius locum habet, ftatim ac brachia vectis in- aequalis longitudinis affumuntur, feu centra illa virium non fuerint infinite remota ; interim tamen non erit difficile hoc Theorema, adiiciendis adhuc quibusdam con- ditionibus, non quidem (ine elegantiae iactura. latius ex- tendere , quod autem eo. minus neceffarium. videtur , cum iam firmiffimis rationibus fit euictum , principium: minimae actionis per vniueram: Staticam , quoríum do. &rina vectis eft referenda, eminentiffume regnare. V. Defcriptio inftrumenti cuiusdam, nautis -. Barometri ad inflar inferuituri. Au&ore L. E. Zeihero p. 274. E Birometra vulgaria im naubus ob continuos motus et fücceffiones nullum vfum praeftare . que- ant, iam olim in(trumentum peculiare ad víum mari. num ab EH»okio erat excogitatum. —— Nunc autem CI. Aud&or aliud inflrumentum ex ipfa aeris indole pe- fitum proponit. Cum enim quouis tempore exacta cla- | flici- 4$ ec$ (o) $5 fticitatis deris meníura defideretur, «cylindrum cauum aere omnino vacuum in hunc finem commendat. Quia enim aer extremus tota vi elaítica íua in bafin cylia- dri agit, easque, fi effent mobiles, per cauitatem cylin- dri àd occurfum vsque detruderet , ne hoc eueniat, ela- flrum inter bafes in ipío vacuo conf(tituit , cuius vi eae diflendantur , ita vt teufio ela(tri quouis tempore .cum preffione aeris in aequilibrio effe debeat, ^ Aucta ergo. aeris €lafticitate bafes illae mobiles propius ad fe inui- eem adiguntur; ea vero minuta ab elaftro interno bafes magis repelluntur , ficque ex earum interuallo femper veram aeris preffionem agnofcere licebit, fi modo fri« &io hunc effédum non impediat. | "NL Duarum Machinarum etc. defcriptio. Au&ore I. E. Zeihero p. 279. ( ordeum vfus per vniuerfam Mechanicam ita eft amplifümus, vt artifices in iis exacte elaborandis merito omne ftudium et operam impendant; in quo negotio Cl. Auctor féliciffimo íucceffu iam dudum fuit Occupatus, atque hic ingeniofas inuentiones cum pu- blico communicat , quas ex ipfo cius fcripto perfpicere Oportet. VII. ap^ C [o y S eox« 49 XL Acus nauticae noua defcriptio. Aucore I. E. Zeihero pag. 284. os niei haec acus , exactifhme veram decli- nationem magueticam oftendens , fufpendi atque 'ad vfum accommodari debeat, Cl. Auc&or hic perquam ingeniofe docet; quod inuentum eo magis eft aefti- mandum , quo ampliorem nunc quidem vtilitatem a magnetis declinatione in. diuerfis telluris locis accurate obíeruata expectare licet. — Famofifüimum enim de in- venienda longitudine maris problema | commodius feli- ciusque expediri nequit, quam fi lex fuerit inuen- ta, fecundum quam. declinatio magnetis in omnibüs ter- rae.locis ad quoduis tempus mutationibus eft »obnoxia. Omnino autem effet optandum , vt fimul | inclinationis ratio haberetur, cuius autem accurata obfíeruatio multo maiores ambages et apparatus poftulat, quam vt a na- vigantibus commode inftitui poffit. VHI. De aequilibrio virium corporibus ap- plicatarum | commentatio. | ^ Aud&ore S. Kotelnikow pag. 286, Qe de aequilibrio potentiarum in Statica tradi fo- lent , huic propofitioni fündamentali innitutur , -quod.. potentia. per diagonalem parallelogrammi | exprefta "Tom. VIII. Nou. Comm. g , aequi- 50 e52(20)$3- sequiualeat binis potentiis per eius latera expreffis ;, haecque veritas vulgo ita demonflrari folet, vt motus. fatem primo initio impreffi ratio habeatur ; quod au- tem minime congruum videtur , cum Staticae principia ante folide demonftrata effe oporteat , quam quicquam de motu explicari pofüt. In primis quidem Commen- tariorum. noftrorum Tomis egregia occurrit huius veritatis. demon(tratio, quae ab omni motus confideratione. immunis ' negotium quidem plane conficit, fed tamen tantis am- .bagibus inuoluitur , vt ipfi inter prima elementa vix locus concedi queat. Interim tamen hinc ifti propo- fitioni palmariae tantum firmamentum comparatur, wt non Íolum ipía, fed etiam omnia, quae inde circa. acequilibrium quetcunque potentiarum proferuntur , ve- ritatibus. neceffariis acceníeri debeant. Ea namque pro- pofitione ftabilitur cuiusque. potentiae refolutio im — binas alias, quarum directiones cum. ad. lubitum accipi queant; quouis cafü omnes potentias, quotcunque fuerint pro- pofitae , ad binas dire&iones fixas reuocare licet, ex. quarum momentis deinceps (tatus aequilibrii facile determi- natur. Cel. Eulrus poftea eandem. hanc propofitionem: fundamentalem ex principio maximorum 3c minimo- rum fingulari- modo. demonflrauit ,, dum: affumfit, trium: potentiarum. puncto applicataram aequilibrium tum dari, €um omnes potentiae iunctim fümtae maximum eífe- &um produxerint , íeu fingulie punctum, in. quod agunt, fecundum fuam quaeque directionem: maxime: protraxerint. ^ Hoc igitur eodem principio: per omnes: Ícientias. foecundifhmo: hie vtitur Cl. Auctor ad ftitum. aequilibrii , quando plures tribus potentiae puncto. funt appli- -mBi(o)fde T Applicatae , definiendum ; fumtis fcilicet iu cuiusque po- tentiae directione puncto fixo, eum quaerit flatum, vbi fingulae potentiae , per diftantiam quaeque iftius pun&i 4 pun&o, in quod agunt, multiplicatae, minimum pro- ducuntaggregatum. —Potentiis ergo , quotcunque fuerint, per litteras A, D, C, D etc. indicatis , et pun&i, in quod agunt, 4diftantiis ab illis punctis , in cuiusque di- rectione aífumtis per litteras p, 4, r, s etc. ftatus ae- quilibrii ibi datur, vbi quantitis Ap--Bq--Cr--Ds4- etc. fuerit minima, íeu eius differentiale euanefcens, ícilicet Adp-- Bdq 4- Cdr 43-Dds etc. —o vnde fimul patet, perinde effe , vbicunque illa puncta in cuiusque dire&ione accipiantur. — Tum vero angulis inter dire&iones potentiarum per litteras a, (2, *y, à etc. fiogulatim. notatis , anguloque quodam indefinito (D in -«aleulum introdu&o , Cl. Auctor ex illo principio íe- quentem deducit aequationem $. 6. A cof. (p -1- Bcof (P cof. a -- Ccof. p cof, (à 4- 8) ] 4- Dcof. (D cof. (a 4- (8 4- *y) 4- etc. ES — B fin. (in. « — C fin. tin. (s 4- B) [.— ^ — D fin. ^ fin. (a 4- 8 - y) — E quae in ftatu aequibrii femper locum habere debet, quicunque valor angulo (D tribuatur. ^— Variis igitur ipfi (p valoribus tribuendis pro quolibet potentiarum. nume- ro plures infignes aequilibrii proprietates deriuat, eximio víu non deflitutas. — Si autem ipía aequilibrii determi. natio fpe&etur , duae aequationes, quotcunque etiam potentiae proponantur, füfficiunt , fiquidem , binis an- gulorum a, Q, vy, 9 etc. definitis; pofitio pun&i O determinatur. E Cum $2 es ( o) e caes Cum igitur füperior aequatio euanefcere — debeat , quicunque valor angulo: (D: tribuatur , facile perfpicitar', hoc euenire , fi modo bina membra , quorum altero cofinus anguli (D afficitur , altero eiusdem (inus , feor- fim nihilo: aequentur , vnde ME binae aequationes: Obtinentur : A -- Bcof a 4-Ccof. (a-- 8) -D cof. (a-- 4-7) 4- etc. — 0 et DBfin «-4- Cfin.(a.-r G)j3-D (iaa F8 ^y) 4- etc. — 0 quae ,non folum omnes formulas a Cl. Auctore allatas. in fe complectuntur, fed etiam aeque late patent. Con- veniunt autem eae quoque egregie cum regulis ex vul- gari theoria petitis, quibus ftatus aequilibrii definiri fo- let. .Si enim per. punctum O reca in directionem potentiae A incidens ducta intelligatur, omnesque vires fecundum binas directiones, quarum altera cum illa con- venit , altera vero eidem eft perpendicularis , refoluan- tur, tum omnium barum virium reíolutarum eae, quae in dictam directionem cadunt, fimul fümtae fe mutuo de(lruere debent, perinde ac eae, quae ad illam dire- &ionem funt normales. lllud fcilicet priori aequatione indicatur , hoc vero pofteriori. | Ix. De commoda acus declinatoriae fu- - fpenfione differtatiuncula. Au&ore S. Koteluikow pag. $04. (Q^ acus magnetica ftilo , füper cuius cufpide libere gyretur, imponi queat , vulgo perforari et capi- tulo eti2 (0) $e 53 tulo inftrui folet; quoniam vero huiusmodi perforatione curíus materiae magneticae non mediocriter interrumpi- tur, quo fit, vt plerumque acus plures duobus polos recipiat , eorum ftudium maxime e(t laudandum , qui fine vlla acus magneticae laefione idoneam fufpenfionem excogitare conantur, quod quidem acum cum alio cor- pore, in quo fufpenü(o fiat, firmiter connectendo ficile praeftari poffe videtur. ^ Verum hic obferuandum eft , punctum, circa quod acus mobilis reddatur. aliquaatillum fupra commune centrum grauitatis exiftere , fimulque totum pondus minimum effici debere , ne ftictio- ne motus impediatur. Cl. Audor igitur in eo potiífi- mum eít occupatus, vt minimo adiuncto corpore pe- regrino his conditionibus fatisfaciat. CRMGXAMSUmm GEDIUNEROG TID, EZUONERECHERERO —, tunnReR ue ULoCl— LUALORQU) GXMMGDEDUuoL EUIzupxs SIRO GLJCGc ELENESO OCXCHSTIZNEUEISILT qunm p D Canlummoroo cil RGGmONMeID " [ —— mmc ene ed g 3 PHYSICA T et32 ( o) $e PHYSIC ^. Linie. Plantarum rariorum defcriptiones completae. Au&ore Ioh. Chr. Hebenftreit pag. 515. i non noua in regno Naturae reperire occafio datur, quod quidem in vno loco haerentibus rarius occur- rit, cognita, at nondum fatis defcripta , pleniore defícriptione notiora reddere operae pretium eft. Hanc fibi prouinciam excolendam fümfit, dum nobifcum com- moraretur , Cl. He/benfireitius , cuius ftudium in accura- ta et completa Plantarum defícriptione iam ex praece. dentibus Commentariorum noftrorum voluminibus con- ftat. Plantarum hic defcriptarum et iconibus ad viuas plantas illuftratarum prima eft 7Mefferfcbmidia, hoc no- mine nuncupata in honorem viri de omni Hiftoria na- turali meritifümi Danielis Gottlieb. MefJer[cbmidii, Me- dicinae Doctoris , qui iuffüi PETRI MAGNI per souem annos totam fere Sibiriam , ea cura, quae in- telligentifümum et folertiffimum naturae indagatorem de- cet, perluftrauit ; eamque ad fontes Zrgumi fluuii circa lacum Da/azi reperit. — Mefferfcbmidii fchedis vfus b. JAmmamus deícriptionem huius Plantae edidit, fub 4r- &ufiae nomine, monuit autem fe non refragaturum , fi quis ab inuentore AMefferjcbmidiam — vocare — voluerit. Hoc fecit Ill. Limmaeus , at deinceps T'owmefortiae ge- neri «635 ( o ) $3 55 neri accenfuit. He/enfireitius omnino fui generis plau- tam effe docet, quae filamentis , fitu antherarum , fti- lo, fru&u, a Tournefortia differat. — Altera Aefcbynome- ne, vel Hedyfarum Sloani, planta eft a V. Ill. Hans Sloane in Infula Iamaica primum reperta, cuius vegetatio- nis hiftoriam et reliqua Hebenfireitius accurate deícribit, et iconem füppeditat , ifti , quam Sloanius ad ficcam , vt videtur, plantam fieri curauerat, meliorem. — Tertia Verbe(inae fpecies, vel Rudbeckie Zinnii, vel Zinnia Linnaei, ex Galliis originem ducit, Lipfae primum culta, et abinde Goettingam, Vpfíaliam , Petropolia ,. propagata. Secundum methodum plantarum Cel. Lu4- wigii ad genus V'erbefinae referendam effe. nofter exitti- mat. Hic autem characteres quoque , ab Ill. Limaeo in nous editione Syít. Nat. Tom. ll. pag. r577. (up- peditatae , conferri merentur. — Quarto loco Brafficae fpecies occurrit , Sinis indigena , et aliss quoque no- t3, at hic pluribis defcripta , vna cum aliis obferua- tionibus, quas Botanophilis non ingratas AE effe arbitramur. : IT. De gradibus Frigoris ac Caloris funr mis, quos certa fluida ferre pof- funt , etc. Auctore I. A; Braun p. 339. Man plaenomenas Congelitionís et Ebullitionis diuer- forum corporum haud exigui momenti, adeoque atten- $6 et35 ( 0 ) erae attentione et indagine dignifüma ^ Non igitur miran- dum eít, viros fümmos indagare eiusmodi phaenome- na fluduiffe , quos inter magnus Neuiomus primus íca- lam graduum caloris et frigoris in Actis Societatis Regiae Londinenfis menfe Aprili 1701. INN. 270. pu- blicauit. Facit eiusmodi indagatio ad naturam corporum fluidorum et firmorum detegendam , et ad diueríos , in diuerfis corporibus , effe&us caloris et ignis cogno- fcendos , qui faepe funt mirandi. ^ Corpora modo ad- parent in forma fluidorum, modo in forma folidorum, qui duplex corporum ftatus folius caloris et ignis eft effectus ; vti quoque forma vaporum, in quos refolui faepius corpora folent, praecipue in eorum ebullitio- ne, huc eft referenda. | Hinc fequitur, corpora fluida folo frigore in corpus firmum abeuntia , glaciem quan- dam, quae pro diuerfitate corporum diuería eft, confti- tuere, et ftatum fluiditatis a certo caloris gradu penden- tem, nil nifi glaciem effe fufam, vti eft aqua. Quum igitur fluiditas et firmitas conflituant tantum diuerfum vnius eiusdemque corporis ftatum , manifeftum eft , hunc duplicem ftatum ad effentialia corporis non effe referendum , fed ad extra effentialia et accidentia , feu modos, dum eiusmodi commutatio flatus foli calo- xi, nempe vel eius augmento , vel decremento , de- beatur. |. Non enim exiftimandum eft , cilorem et frigus effe res fua natura diüerfas ,* licet diuerfis nomi- nibus, iisque pofitiuis, ad illa defignanda vti coníueue- rimus. Frigus enim fola priuatio et diminutio caloris eft, et quando in. thermometris quibusdam terminus inter calorem ec25 ( O ) eoe 57 calorem definentem et Frigus incipiens ponitur, id me- re e(t arbitrarium. — Nam gradus frigoris 200, ícalae Delilianae, pro gradu caloris infigni haberi poteft ct debet, refpectu gradus 600 , qui circiter hydrargyrum congelare folet. Quod fi igitur corpus firmum calore fundatur, idem corpus effentialiter maneat neceffe eft , eiusdem generis. Cera fufa manet cera, aurum, ar- gentum et. omnia metalla füfa , manent metalla, et eiusdem generis, fcil. aurum, argentum etc., quo ipfo patet, duritiem .et firmitatem perpetuam pro charactere metallorum effentiali haberi non poffe, alis metalla füfa, in ftatu fcilicet fluiditatis, pro metallis non effent reputanda , quod abíonum, Quum hodie conftet hydrargyrum —íolo frigore sbire in corpus firmum, quae eiusdem huius differtatio- nis Auctoris Cl. Braumii inuentio eft, et calore rur- Íus mutari in corpus fluidum , an dubitari pote(t, Mercurium aeque ac reliqua tnetalia, Aurum , Argen- tum , Plumbum , Stannum etc. fi in forma fluido- rum adparent , dum fü(a funt , pro metallo vero fufo reputandum effe? Differentia enim nulla alia eft, nifi quod Mercurius multo minore caloris gradu fundatnr , quam reliqua metala, et propter hunc minorem gra- Qum , qui femper in Atmofphera regnat , perpetuo quoque in noftro terrarum orbe fluidum (eu foífuüum maneat neceffe eft, et frigore naturali in metallum firmum et durum , vti reliqua ; abire nequeat. Deíi- nat igitur. Mercurius locum inter femimetalla occupare; euehatur potius ad dignitatem — perfectorum — metallo» - Tom. VIII. Nou. Comm. h rum, 58 w$S$ ( o ) $3 rum,quod omnino fieri debere luce meridiana clarius eft, nifi quís ^ manifeíto — veritati demonílratae repugnare velit. Sunt igitur foli gradus caloris diuerfi, qui efficiunt, vt corpora modo fub ípecie fluidorum ,, modo füb fpecie firmorum, adpareant. Et hos ipfos gradus caloris diuerfos CI. Auctor in diuerfis corporibus, multis adcuratisque, quantum fieri potuit , experimentis, determinare ftuduit. Pleraeque determinationes nouae fünt , quae vero plane noua non íunt phaenomena experimentis detecta , ita. tamen funt comparata, vt cognita partim confirmen- tur, partim vero emendentur. Haec generatim dicta fufficiant , ad fpecialia. defceadere non attinet, quae in diflertatione ipfi le&or harum obferuationum cupidus euoluere non praetermittet. IIT. Cautelae circa obferuationes Meteoro- gicas adhibendae. Au&. Petro van Mufchenbroek p. 567. s obíeruationes et experimenta fola; veras firmas- que effe bafes Philofophiae naturalis , recte Cel. Auctor füb finem differtationis monet , quoniam fine his vera theoria condi nequit , fed loco verae et firmae Ícientiae naturae inanes fpeculationes et hypothefes fictae, quas delet dies , proferuntur. Sequitur hinc, inueftigationes huius generis veri- tatum ícrutatoribus naturae praecipue commendandas effe , e$4$ ( 0 ) $ed 39 effe, ex quibus coníectaria ad veram fcientiam naturae condendam hauriri et deduci queant. Ad veritates hu- ius generis pertinent quoque obferuationes Meteororum , quie , tantum abeft, vt fint negligendae cet füperficia- rie inflituendae, vt potius omnem adcurationem me- reantur et requirant, quoniam theoria Meteororum, quae tot et tantas generi humano promittit vtilitates , quam longiffime adhuc a íüua perfectione abeít. — Vti igitur theoria aftronomica , quae infigni perfectione. hodie gaudet , non nifi poft innumeras obferuationes multo- rum annorum condi potuit; fic quoque Meteorologia non mfi poft multorum annorum obferuationes ad per- fecionem quandam poterit perduci, Sunt quidem ob- feruat;ones Meteorologicae a multis hinc annis iam fa- €tae , [ed paucae copo indicato feruire poffunt , quia funt pleraeque minus accuratae et perfe&ae. Ope- rae igitur pretium eft, defectus et imperfectoines | ob- feruationum meteorologicarum vulgarium , quod b. Au- cor in hac differtatione fecit, indicare , et fimul, quo- modo accuratae et perfectae fint faciendae , oflendere. Et quem quis tutiorem viae ductorem de(idera- verit, quam eum , qui per totum fere vitae fuae de- curfum eam calcauit ? Beau AMufcbenbroekii experientia et folertia in obferuationibus et experimentis naturalibus inflituendis neminem latet. — Hinc nullum dubium cft, quin ipfius confilia vtilitatem fint allatura. — Hinc quo- que Academia non füperuacaneum cenfuit , eadem , etiamfi plura alias quoque in vniuerífum nota conti- neant, inferere Commentariis fuis. hes IV. 60 e35 ( 6 ) e coc IV. | Halonum extraordinariarum defcriptio. AuGore F. V, 'T. Aepino pag. 592. i ingeniofa vnquam in lucem. producta eft hypothe- fis, explicando phaenomeno cuidam naturali. defli- nata, ea certe eft, quam de Halonum atque. Parhelio- rum caufis propofuit magnus Chriflienu — Hugenius. Et(ü autem hypothefis ifta miro modo phaenomenis contentiat , de veritate ipfius tamen dubitandi , immo penitus ipfam reiiciendi , caufas fatis praegnantes inue- nerunt recentiores Phyíici, quarum vnicam hic ad- duxiffe fufficiat. Conftat ex obfícruationibus , et ab ipfo Hugenio ità ftatuitur, effe diametrum Halonis interioris fere (em- per 44 ad 45', atque fi plures ad(ünt , fecundae Halo- nis diametrum conflanter duplum huius reperiri ,. et ad 9o" afcendere , quae quidem obferuatio ita conftans eft, vt ad rariflima phaenomena pertineant Halones , quarum diametri antea aífignatis notabiliter aut maiores aut minores reperiuntur. ^ Cum vero Vir fummus phaenomena haec ex íphaerulis atque cylindris glacia- libus, in aere volitantibus , opaco nucleo praeditis , deriuet , pendere debent diametri Halonum , fecundum ipfius hypothefin , a ratione , quae inter diametros glo- buli glacialis et nuclei opaci intercedit ,, quam qui- dem rationem pro halonibus 45" ipfe Hugemius, 1000 ad 480, ac pro halonibus 9o'. xooo ad 680 ftatuit. Ardua $35 ( [o] ) eee 6& Árdui itaque iam oritur quaeflio , vnde fiat, vt natura in producendis globulis glacialibus , modo' allegatas cor- ticis diaphani ad nucleum opacum proportiones prae aliis affectet , ac fere nunquam , et inter innumeros, qui ad datae Halonis formationem concurrunt, globulos vix aliquem producat, in quo alia obtineret proportio. Effc&us enim naturae determinati a vagis proficiíci caufis nequeunt , fed determinatas expoftulant. ^ Quic- quid autem de ortu et formatione globulorum glacialium imaginari velimus ; nunquam tamen aliquam mente concipere poterimus caufam , quae non ad producendas quasuis corticis et nuclei proportiones quafi indifferens effet, vnde miraculi inflar habendum foret , quod in- ter plures cafus, quorum nullus peculiari .prae reliquis gaudet priuilegio , vnicus folus fere conftanter accidere foleat. Prouti haec euidenter probant, theoríam atque explicationem Halonum et Parheliorum ad defideranda adhuc pertinere , fic praefens Differtatio euincit ,' phae- nomenon ipfim , ad hanc vsque diem Phyficis non ita cognitum fuiffe, vt omnes et praecipuas ipfius circum- ftantias perfpectas habuerint. —Producitur namque , no- vum genus Halonum , quod Philofophiae naturalis fcrutatoribus hucusque ignotum fuit, etfi videatur in feptentrionalibus terrae regionibus mon ita infrequens effe, vt inter rariora numerandum fit. —Vidit nempe Auctor, Haloni coníüetae circulari 45^, iuné&tam Halo- nem ellipticam , cuius axis minor et verticalis dia. metrum Halonis circularis aequabat , axis vero maior , h 3 hori 62. wt ( Fa] ech«n. horizonti parallelus, fex circiter diametris folaribus axem minorem fuperabat. Solerter inquifiuit Auctor, qui defcriptum fe 1e- £iffe phaenomenon non recordabatur , an alicubi men. tionem ipfius inie&tam inuenire poffet , a(t fru(tra; vn- de pro nouo et incognito hactenus habendum ce ftatuit, Notifimum quidem eft, hinc inde allegari apud auctores Halones ellipticas , fed pitet ex intuitu, fer- monem nullibi effe, ni(i de Halonibus, quae in (e cir- culares quidem fügtig et a&uali iaftituta | dimenfione tales reperiuntur , aft per fallaciam opticam , cllipti- cam , íeu oualem , potius figuram mentiuntur. Bae - vero Halones, quas Auctor hic producit, id peculiare. ha- bent, quod non folum ellipticae videantur, fed dimen- fae actu quoque tales inucniantur, €t practerea axis ipforum maior horizonti parallelus fit ,. qui in | prioris generis Halonibus nunquam non horizonti perpendicula- riter infiflere videtur, Etü itaque Au&or nullum inuenerit veftigium , defcriptas effe alicubi Halones vere ellipticas, non diffi- cile tamen ipfi fuit agnofere, apparuifle idem hoc phaenomenon quibusdam obferüatoribus , aft ita iacom- pletum , vt iuftam fibi ipfius exinde formare ideam non potuerint. Quamuis.tandem Auctor, in nuda phaenomeni maxime norabilis defcriptione hic fubfiftat , neque ad eruendam. cauíam eaim ac fimilium phaenomenorum animum egg (o) S8 63 animum: aduertat , iungit tamen cogitationes " aliquas fuis, huc pertinentes, quaeftionum füb forma , in qua- fumi aliqua infinunt ; mirabilis phaeaomeni Halonum: et Parheliorum | caufam, füa éx mente, fine dubio in iis quierendam effe , quae. fürimus Newtonus de pro- prietate luminis, quam acceffüuum facilis transmi(fionis et reflexionis nomine infgniuit, detexit , vnde optan- dum e(t, vt aliquis Phyficorum ad vlterius examinan- dam hanc doctrinam , quae, nefijo quo fato, inde a Newtoni tempore fere negle&a ac inculta iacet , ani- mum: aduertat. ! V. | Pifcium rariorum: e. Mufeo. Petropoli- tano exceptorum defcriptiones. Aud&ore. I. 'T. Koelreuter p. iP de Im CI. Auctor édlébrát qighreh rerum naturd« lium thefaurum in Mufeo Petropolitano afferua- tum , et inprimis Colle&ionem Pifzium , quam immor- talls memoriae Imperator PETRVS MAGNVS a V. Cel. 4/5.Seba haud paruo pretio comparauit. Ipfe quidem Seba res Mufei fui rariores defcribere inftituit, et elegantis- fimis iconibus illuftratas duobus tomis euulgauit. Tertium autem, qui pifces exhibere debebat, mors in lucem emit- tere prohibuit, Hinc operam pro amplificanda Hiftoria naturali non inutiliter collocauit Koe/reuterus , dum pifces 64 d$ (0) $3 pifces rariores ; quorum vel nomina tantum , vel nmi- mis breues et defectuofae defcriptiones apud Auctores Ichthyologos extant , tam pleniore et accuratiore de- Ícriptione , quam iconibus füo0 du&u confectis , notiores reddere adgreffus eft, Sunt autem pifces a Koelreutero , dum nobiscum commoraretur, defcripti in vniuerfum tre- decim. ^ Ex his tres hoc loco comparent: Gaftero- pelecus Gronowi , fue Clupea (Sternicla) Linnaei, Trutta dentata ,. Piaiuu Brafilieninm | Maregrafii , et Gobionis fpecies , a nemine ante indicata. ^ Reliqui fequentia Commentariorum volumina ornabunt. Ratio- nem , qua Au&or in deícribendo et omnes pifcium partes menfurando procedit, laudare fuperfluum — foret. Fatebuntur artis periti , nihil, quod notatu dignum fit, praetermiffum effe, et, fi omnes Ichthyologi hac yia : incederent, fore, vt nihil in hac fcientia dubium aut in- certum remaneret. Monemus tantum , in nous Syfle- matis Naturae editione anni 1758. Ill. Limnaeum no- men vulgare Stermiclae, et denominationem Gafferope- leci Gromouii , non Clupeae pinnis fiauis, ventralibus minutimis , fed | Clupeae pinnis ventralibus. nullis , adícripfiffe, | Lo Jade d ASTRO- ee32 ( O0 ) Giika 6$ ASTRONOMIC A. I. Inuefügatio pofitionum | infigniorum Ruffiae locorum. Au&ore A. N. Grifchow pag. 42» ^ tlantem Rufficum Àn. 1745. ab Academia euul- [ gatum multa emendatione indigere, nemini no- tius eft, quam ipfi Academiae , quae ideoque, ftatim poft primum hoc tentamen abíolutum , de cor- rigendis eius erroribus ac fupplendis defectibus ferio cogitauit. ^ Pluribus opus erat obferustionibus Aftrono- micis ad pofitiones locorum accurate ftabiliendas. INon- nullarum quoque prouinciarum nouae delineationes geo- daeticae defiderabantur , prioribus, quae extabant, prae- flantiores , quibus fine pofitiones locorum ex obferua- tionibus a(ítronomicis erutae parcam tantum lucem ite- ratis laboribus affunderent. Rem hanc, propter magni- tudinem Imperii Ruílici , vltimis cogniti orbis limitibus terminatam , lente procedere . mirum nemini videbitur, Delineatae autem fünt, quantum ex nouis cum Aca- demia communicatis fubíidiis fieri potuit, tabulae nouae geographicae complures, quae, poftquam vltimam li- mam expertae fuerint , teftabuntur, non inanem fuiffe eorum operam, qui huc vsque in Atlante Ruffico emendando veríati funt. Cura , b. Grzfebouio hunc in Tom. VIII. Nou. Comm. i finem 66 «35 (O0) $3 finem demandata, haec fuit, wt pofitiones locorum, de quibus obferuationes aftronomicae habebantur, ex iisdem obferuationibus ac correfpondentibus aliis, inuefligaret di.) quod quanta accuratione ac follertia praefítitit , lecto- res in ipfo eius fcripto non fine voluptate perfpicient. Nos tantum Longitudines ac Latitudines locorum , ex eius inueftigatione determinatas, hic apponemus : Nomina locorum Longitudo Archangelopolis 56 21/735 Riga 4I. I8. 45 Reualia 4I. 57. 30 Dagher - Ort 39.:9525,0 JNarua ape Bereíow - 4l Samarowskoi jam 7 0- [| Demianskoi jam --0; "Tobolsk - - - Nouo Víolie SALIS D Weretie UJ4.. i545 Saigatka "Os d.a. Sarapul MO. 9.20 Vft - Y kskoe 69. I3. O Swinji gori 671.495.4.0 Cafan 66. 28. O Nifchnei Nowgorod T 0-0; Mofcua 55. 12. 45 Latitado 64". 56. 59. 58. 59. 65. 60. 59- . 36... 0 «45 vela . I8. Oo : 45. 46. Non poffumus non monere, haberi quoque Latitudinem vrbis Tobolk, opera V. Cl. Chbaeppe d' Auterocbe, cum tranfitum Veneris per difum Solis a. 1761 ibidem obíer- e$82 (0 ) Side 67 obferuaret , magno rigore ftabilitam , ex cuius obferua-. tionibus etiam patet, Latitndinem vrbis Cafan aliqua correctione indigere. ^ Habet namque Vir accuratiffimus pro Tobokk 58?. 12/.22// 9 vid. eius Memoire proCafn ^ 55. 43. 58 S du Pa[lage de Venus. Quadrantis quidem verificationem , dum — Cafani effet, non inftituit : inftrumentum autem optimum , quo víüs eft, tantis variationibus , ac iftud Cel. DeZis/e, ob- noxium effe non potuit; vnde de Cbappiang obíerua- tione intra minuti primi interuallum fecuri fumus, cum in De//eznam (üfpicio erroris aliquot minutorum cadat. Caeterum non ingratum erit lectoribus aftrono- mis, declinationes Stellarum Rige/, «y Draconis, flellae polaris et Pallicii, ex propriis obferuationibus b. Grifecbo- vij exacte admodum ftabilitas, hic. reperire. II. Latitudinum fpecularum | aftronomica- rum '"Tych. Brahei etc. difquifitio. AuGore A. N. Griíchow pag. 476. | s obferuationes Aftronomicas faeculo XVI. inflitu- tas maximam certe merentur attentionem , eae , quás fummi nominis Aílronomus Danus Tycbo de Brabe , Vraniburgi ,. aliisque in locis magno numero inítituit. Etfi enim organa, quae adhibuit T ycbo, perfectione ho- I" diernis 68 ex82 ( 0 ) Sites diernis aequari nullo modo queant, magna tamen, Ilf. Aítronomi íollertia , ipfaque vetuftas hirum obferuatios num, fummum ipíis pretium conciliant, — Vt vero tantus obíeruationum aftronomicarum theíaurus et nobi» ct pofteris in víum cedere queat, neceffarium inprimis erat, vt fitus Obíeruatoriorum, v. inítitutae funt, quantum fieri poteít, exade dererminarctur , quod iam ante fae- culum perfpexit Academia Scientiarum | Parifina , dum celeberr. Aftronomum Picardum in lnfülim Huennam mifit, vt in Vraniburgi arcis Latitudinem atque. Longitu- dinem íollicite inquireret ; aft minas fÉliciter ce(üt hic labor, vnde Celeb. Grijcbow:?, n was circa hanc rem diíquifitiones inflituendi , campus re &us fuit. Procedit in hoc negotio CL. "ir ea ratione , vt €x propriis fuis obíeruatis declinatio à a Leonis at heguli , atque flellae polaris magno — ^re determinet , tumque partim ex Picardi, partim ipfius Tycbonis, Obferuationibus, circa dictas modo ít inftitutis, Latu- tudinem Vraniburgi, ex prioribus 5 ^ 54^. 12/^.5^*, ex po(terioribus 55^. 54^. 17'/. 4^". calculi ope eruat , ea quidem cum accuratione ,. vt de Latitudine celebris huius Obferuatorii intra pauca fecunda certi effe quea- mus. Daniam reliaquens il. Brabaeus per aliquot tempus commoratus e(t in arce WAandesburgo, non procul a celebri "Germaniae emporio Hamburgo fita, quae nunc. Wandesbeck dicitur, ibique obíeruationes ha- buit, vtiles futuras , modo de. loci huius pofitione con- ftet. Aggreditur itaque huius quoque loci Latitudinis | deter- | ege (o)8ste 69 determiaationem Grifcbxwius , pari felicitate; dum ipfam ex ipüus Jyebopis obferuatioaibus 53'. 35/. 121". de- ducit. An(am hinc arripit CI. Au&or corrigendi enor- mem quendam errorem , quem in collocatione vrbis Hamburgi committere folent, noflro etiam tempore , Geographi atque. Aftronomi , dum vrbis huius Latitudi- nem 6,8. immo ad 20^. vera maiorem exhibent. In- w«nit nempe ex meníurationibus in agro Hamburgenfi infitutis. Grifebxwius, Wandesburgaim, vel Wandes- beck, ri/4/'/i magis feptentrionem verfus fitum effe, ac vrbis Hibarei medium 2 vnde Eleuatio poli Hani- burgo tribuenda prodit 55". 34/. 8". Addidit his difquifitionibus Auctor proprias fuas ob- feruationes, quas circa Latitudinem Obferuatoriorum Re- giorum, Parifienfis et Berolinen(is, f1mma follertia et excel- leutitffimo | inftrumento , Quadrante nempe tripedali Pari- fis conftruto , qui hodie in Oboferuatorio ^ Academiae noftrae afferuatut, inftituit, ex quibus prioris Latitudinem 4.8". 5o". 12;/. aliquot nempe fecundis maiorem ea , quam Sepia folent Aftronomi Parifienfes , —pofterio» rem 52". 31^. 0^. exa&e inuenit, rir. jo 555 (0) $3. III. Obferuationes Lunares correfpondentes. in Infula Oefilia habitae a. 1752. AuGQore A. N, Grifchow pag. sis. H* funt obferuationes a b. Grjfcbouo ex compa&o cum Cel. Abbate 4e /z Caille Arensburgi in Infula Oefilia, ad Parallaxin Lunae inueftigandam , inftitutae , de quibus in Summario Tom. VI. horum Commenta- riorum pag. 43. dicum eft, Academiam operam da-. turam , vt quantocyus lucem publicam adfpiciant. Ad- ditae funt obferuationes pro Refiactione determinanda, nec non pro Longitudine et Latitudine Obferuatorii Arensburgenfis , ex quibus prodit Longitudo Arensburgi ab Infula Ferro 39?. 567. vel. 39". 577... Affümta differentia Meridianorum Parifios inter atque Ferro infulam 19. 54/ vt in Faftis aftronomicis . Pari(ienfibus pro a. 1765. ftabilita legitur. Latitudo Arensbugi -. —- - — 58.157. 9/1, Latitudo Petropoli in Obferuatorio - 59*. 567. 23: Y£l. i94. Adplicatis. correctionibus ex deuiatione , praecefüone et aberratione , et adhibita refractionis tabula Caffiniana. ——R——€——Ó—— INDEX INDEX COMMENTARIOR V N. Matbematica. L. Euleri, De integratione aequationum differentialium p. 3. Eiusdem , Solutio Problematis de inueftigatione trium numerorum , quorum tam fumma, quam productum , nec non fumma produ&orum ex binis, fint numeri quadrati p. 64. Eiusdem, Theoremata Arithmetica , noua methodo de- monítrata p. 74. Tiusdem , Supplementum — quorundam — theorematum arithmeticorum , quae in nonnullis demon. ftrationibus fupponuntur p. 105. Eiusdem, Confideratio formularum , quarum integratio per arcusfectionum conicarum abfolui poteft p. 1 2 9. Eiusdem, Conftructio aequationis differentio - diffcrentia- lis p. 150. Eiusdem , Annotationes in locum quendam Cartefi, ad circuli quadraturam fpectantem p. 157. Aepini , Demon(tratio generalis Theorematis Newto- niani de binomio ad potentiam indefinitam eleuando p. 169. Eiusdem , De füuncionum algebraicarum integrarum fa- Coribus trinomialibus realibus p. 18r. Rumowski, Solutio Problematis cuiusdam ad maxima minimaue pertinentis p. 189. Pbyfico - Matbematica. L. Euleri, Dilucidationes de refiftentia fluidorum p. 197. Eiusdem , Principia Theoriae Machinarum p. 230. Eiusdem Kiusdem , De motu et attritu lentium, dum füper ca- tinis poliuntur p. 254. Aepini, De noua quadam vectis proprietate p. 27r. Zeiberi , Defcriptio inftrumenti cuiusdam , nautis Baro- metri ad inftar inícruituri p. 274. Eiusdem , Duarum Machinarum etc. defcriptio p. $79. Eiusdem , Acus nauticae ;noua defcriptio p. 284. Kotelükow,De aequilibrio virium corporibus applicata- rum p. 286. Jiudem, De commoda acus declinatoriae fufpenfione P. 304. Pb»fca. Hebeufireit, Plantarum. rariorum. defcriptiones :completae P. 315. Braun, | De gradibus Frigoris ac Caloris fummis, quos certa fluida ferre poffunt, etc. p. 559. - MMufcbenbroek, Cautelae circa obferuationes Meteorologicas adhibendae p. 567. «"epini, Halonum extraordinariarum defcriptio p. 592. Koelreuter, Piícium rariorum e Mufeo Petropolitano €x- ceptorum deícriptiones p. 404. Aflronomica. Grifibow, Ynueftigatio pofitionum | infigniorum Ruffiae locorum p. 455. Kiusdem , Latitudinum fpecularum aftronomicarum Tych. Brahei etc. difquifitio p. 476. Eiusdem , Obferuationes Lunares correfpondentes in In- faüla Oefilia habitae p. 515. X C7 0x MATHE- MATHEMATICA. - DE EN TIEGRATIONE AEQVATIONVM DIFFERENTIALIV M. Auctore L. EVLERO. P Yonfidero hic aequationes differentiales primi gra- dus, quae duas tantum variabiles inuoluunt , quas ^ . propterea füb hac forma generali M x 4- N 4y o, repraefentare licet ; fi quidem M et N denotent fun- C&iones quascunque binarum variabilium x et y. De- mon(tratum autem. eft, huiusmodi aequationem ' femper certam relaüonem inter variabiles x et y exprimere, qua pro quouis valore vnius certi valores pro altera definiantur. Cum autem per integrationem ifla relatio fnita inter ambas variabiles inueniri debeat, aequatio integralis, fi quidem ad omnem amplitudinem exten- datur, nouam quantitatem conftantem recipiet , quae, dum penitus ab arbitrio noftro pendet, infinitas quafi aequationes integrales complectitur , quae omnes aequa- tioni differentiali aeque conueniant. 2. Propofita igitur huiusmodi aequatione differen- tiali quacunque MZx-1-NZy—o; tota vis Anmalyfeos in hoc confifit, vt aequatio finita inter easdem varia- Á 2 biles 4 DE INTEGRATIONE biles x et y eliciatur, quae eandem inter illus relatio- nem exprimat , atque ipfa differentialis , et quidem la- tifiimo fenfu, ita vt conftantem quampiam arbitrariam, quae in differentiali non ineft, contineat. — Verum fi haec quaeftio ita generaliffime proponatur, nulla plane ad- huc inuenta eft via ad eius folutionem | perueniendi ; at- que: omnes cafus, quos adhuc reíoluere licuit, ad nu- merum perquam exiguum reduci poffunt, ita vt iu hac Analyfeos parte, perinde ac in reliquis, maxima ad- huc iucrementa defiderentur; neque ob hanc caufam vn- quam plena omnium huius fcientiae arcanorum cognitio expectari queat. 5. Quae quidem adhuc in hoc negotio funt prae- flita, ea fere omnia ad hos cafus referri poffunt, qui- bus aequatio differentialis MZ x-1-N4Zy--o, vel fponte feparationem varíabilíum admittit, vel per idoneas fub- ftitutiones ad talem formam reduci poteft. Quodfi enim introducendis loco x et y binis nouis variabilibus v et z, aequatio differentialis propofita in huiusmodi formam Vdv--Z4z--o transmutari queat, in qua V fit fün- Cio ipfius v tantum, et Z ipfius z tantum , totum ne- gotium erit confectum , dum aequatio integralis com- pleta erit : JVdv-I-/Zd z— Contft. «quae manifefto illam conítantem- arbitraríam , per gene- ralem integrationem inuecam comple&itur. Atque huc fere redeunt omnia artificia, quibus Analyftae adhuc in refolutione huiusmodi aequationum fünt vfi. 4. Ni AEOV ATIONV M .DIFFERENTIALIVM. 5 4. Nifi ígitur aequatio propofita differentialis fponte ' feparationem variabilium admittat, totum negotium iü hoc coníumi eft folitum, vt idoneae fubflitutiones, quae ad íeparationem viam parent , inueftigantur , in quo etiam faepius fummam fagacitatem, quam Geometrae ad fcopum obtinendum adhibuerunt , admirari oportet. Interim tamen cum mnulla.certa via pateat, huiusmodi fubflitutiones inuefligandi , haec methodus minus ad rei naturam videtur accommodata , ex quo confítitui, aliam - methodum non nouam quidem, verum tamen etiam- nuuc non fatis excultam , accuratius perpendere, quae vti fuübítitutionibus nou eget, ita etiam naturae aequas tionum magis confentanea videtur, dum eius ratio in- doli differentialuum innititur, tum vero etiam priorem methodum, velut partem, in fe complectitur. . .5. Aequatione differentiali ad hanc formam Mdx--Ndy- o perducta , confideretur formula Mdáx--Nd4y fine refpectu habito, quod ea euanefcere debeat , et examinetur, vtrum ea fit differentiale cuius- piam fun&ionis ipfarum x et y , nec ne? Quemadmo- dem hoc examen fit inftituendum , íam paffim abunde eft explicatum ; vtramque fcilicet functionem M et N Aifferentiari oportet, et cam earum differentialia huius- modi formam fint habitura : dM—pdx-r4dy etdN——rdx-A- sdy difpiciatur , vtrum fit 4—7, nec ne ? Quodí enim fuerit q4— 7, hoc infallible eft criterium , formulam Mdx--Ndy effe integrabilem: at fi non füerit 4— r, aeque certum eft, iftam formulam ex nullius finitae fun- €tionis ipfarum x et jJ differentiatione effe ortam. Ex A 3 quo ó DE INTEGRATIONE quo tota quaeflio ad duos cafus reducitur , quorum al. ter locum habet, fi fuerit 4—7 , alter vero, fi hae quantitates 4 et 7 non fuerint inter íe aequales. 6. Ad aequalitatem igitur, vel inaequalitatem , quantitatum d et 7 agnofcendam , ne cus quidem eft, vt funciones M et N penitus per differentiationem euoluantur , fed füfficit in fün&ione M , quae cum dx eft coniuncta , quantitatem x vt conftantem fpectare, eamque tantum eius differentialis partem quaerere, quae ex variabilitate ipfius y tantum naícitur , fi quidem hoc modo membrum 44y obtinetur, valorem autem ipfius 4 fic erutam hac. fcriptione we denotare foleo. — Simili modo altera functio IN, quae cum 4y ef coniuncta, ita differentietur , vt y pro conítante tradetur, et ex va- riabilitate folius x imipetretur differentialis pars zx, vbi valorem ipfius z pariter per ( 2^ ) exprimo. Quodfi ergo formula IM dx -1- INdy ita füerit comparata ,. vt fit ( 42) nz m , ea eft integrabilis , eiusque integrale fe- quenti modo inueniri poterit. Quo facto, fi hoc cri- terium non locum habeat, videamus quomodo fit pro- cedendum. Problema 1. 7. Si aequatio differentias Mgx-1- Ndy— o ita fuerit comparata, vt fit 25, y — s ), inucnire eius ae- quationem integralem. Solutio. Si fuerit (15 )— ( S), tunc datur. fün&io fini- ti binarum variabilium x et y , quae differentiata prae- bet AEOVATIONV M DIFFERENTIALIV M. *? bet Max-i- Ndy. Sit V ita funcio, et cum fit dV —M4x--Ndy, eit Max differentiale ipfius V , fi tanum x variabile füumatur , et IN dy eius differentiale, fi tantam y variabile capiatur. — Hinc ergo viciffim V reperietur, íi vel Mx integretur, fpectata y vt con. flante, vel. INZy integretur, fpectata x vt conftante: ficque haec operatio reiucitur ad integrationem for- mulae differentialis vnicam variabilem inuoluentis , quae in hoc negotio, fiue algebraice fuccedat, fiue quadraturas curuarum requirat, concedi poftulatuar. Cum autem hac ratione. quamtitas V duplici modo inueniatur, et al- tera integratio vice confítantis fün&ionem quimcunque ipfius y , altera vero ipfius x affumat, ita vt fit et V— fMdx-- Y, et V—fNdy-4- X, femper has functiones Y ipíus y,et X ipfius x, ita de-- finire licet , vt fiat /Mdx-1- Y — fN4y-i- X , id quod quouis cafü facile prae(tatur. Quo facto cum quantitas V fit integrale formulae M Zx-1- NZy , euidens eft, aequationis propofitie Mx4-i-N4x-—o integralem aequationem fore V — Conft. eamque completam , pro- pterea quod inuoluit conftantem quantitatem ab arbitrio noftro pendentem. Coroll 1. 8. In hoc problemate ftatim continetur cafus ae- quationum feparatarum. Si enim faerit M functio ipfius x tantum , et IN functio ipfius y tantum , erit vtique d! dN * dM : i (35) — e e(25)— 0, ileome (17) — (£2); qui eít ergo cafus fimpliciáhmus , quem problema in fe com- , plectitur. Coroll. $ DE INTEGRATIONE Coroll 2. 9. Quodfi autem in aequatione differentiali M 2x --N4y-o fuerit M fünc&io folius y, et NN folius y, vtraque pars feorfim integrabilis exiftit, atque aequatio integralis erit; - fMdx-i-f/ N 4j — Contt. Coroll 5. 1O. Praeterea vero noftrum problema refolutío- nem infinitrum aliarum aequationum differentialium largitur, quarum omnium character communis in hoc confi(tit, vt fit (5) es ($3) , earumque refolutio per in- tegrationem formularum , vnicam yariabilem | continen- tium , expediri poteít, Scholion Tr. 11. Quoties ergo in aequatione differentiali M4x--Ndy—o fuerit 5) — (23), eius refolutio nullam habet difficultatem , dummodo integratio formu- larum vnicam variabilem — inuoluentium — concedatur ; quam quidem iure poftulare licet. Interim tamen de- terminatio fünctionum illarum X et Y, quae loco con- ftantium introduci debent , moleftiam quandam creare videri poffet, quae autem fingulis cafibus mox eua- nefcere reperietur. Verum quo magis et haec operatio contrahatur, ne duplici quidem integratione eft opus. Poftquam enim altera pars Mx, fpectata y tanquam confítanti, fuerit integrata, quod integrale fit — Q , fta- duatur V— Q-1- Y, pofito tantisper Y pro functione inde- AEOVATIONVM DIFFERENTIALIV M. 9 indefinita ipfius y, in quam altera: variabilis x — proríus non ingrediatur. Tum differentietur denuo haec quan- titis Q-1- Y, tra&ando x tanquam conftantem , et quia differentiale prodire debet — N zy, ex hac con. ditione functio Y facillime definietur , quandoquidem ex rei natura hinc fponte eliminabitur quantitas X. Inuenta autem i(ta functione Y , aequatio integralis erit Q 4- Y —Conft. quam operationem fequentibus exem- plis illuftrari conueniet, Exemplum zr. 12. Integrare bame aequationem. | differentialem : 2axydx-i-axaudy—y dx—3xyydy zo. : Comparata hac aequatione. cum forma M Zx-1- Ny zo, erit : M-zc2oaxy—y et N—axx—3xyy. Primum igitur difpiciendum eft, vtrum hic cafus in problemate contineatur? quem in finem quaeramus valores : (15)—24x—37, ct (29 —24x—3)7, qui cum fint aequales, operatio praefcripta neceffario fuccedet. Reperietur autem , fümta y pro conf(tante : [Mdxcaxxy—yx--Y cuins formae fi differentiale füumatur, pofita x conftante, prodibit : axxdy—-3yyxdy -A-dY —Ndy, et pro NN valore füo 2xx- 5 xyy re(tituto, fiet ZY —o, ex quo náfiitur Y — o, vel Y —conft. Quare aequa- tio integralis quaefita habebitur : | a xXy—y' x— Conft. Tom. VIII. Nou. Comm. B Exem- I0 DE INTEGRATIONE Exemplum 2. 13. Integrare bane aequationem differentialem : yády--xdx—-2.ydx .— (y — x RE Comparata hac aequatione cum forma Mgx-4-Ndy-o erit : E lam wt pide: du haec aequatio im cafü problematis contineatur, quaerantur valores differentiales: d M 2 2 — OR V NS trib-emdecd pepe qui cum fint aequales, negotium fuccedet. ^ Quare fe- cundum regulam colligatur, fumto y conftante, integrale: Lfxdx-—2»dz... 8x EIIE JMdáx dw (y-x* —— "yc 7 (G-xy ac reperietur : [Mdx-—i(y—x)-5532-Y | cuius differentiale , fümto x conflante , producere debet alteram. aequationis propofitae partem iNdy; vnde habebitur : : A CUPIEA pap Cum igitur fit N Zy — — pet dYnio.et Xii: conftanter. enim in Y negligere licet, quia iam n 2equationems integralem | introducitur, quippe quae erit: I(y—x)-—,—; — Coni. Exemplum 3. 14. Iuterare banc aequationem differentialem : LES yydz ydy (y dx —2xdy)v(xx-»» wl x 7 xe tbe CDRUON aR COT HEREIN Come AEQVAÁTIONFM DIFFERENTIALIVM. xx Comparata hac aequatione cum forma M Zx -Ng»—o, habebimus : Mo XX4-)yy--ywvnx--y) Lum vy(xx-a-») Biccsbfisi-un we tied Leld EITU IN euni vnde pro moe explorando quaeratur : dM 3 Ugo 3y (25)— ue -L- xy 6x45) € dN. dali acre d i Ant T - ud "gH M cdd 1L aiaf ( d onde 0,03 qui valores reducti cum fiant aequales , fcilicet "nm Dedi 2y Q2 E72) | EuJ audisse $63 V (ac. -4- y )) refolutio erit in poteflate. Inueftigetur ergo , fumto y «onftante : JMdx— lx — 22- 4- [$5 V (xx A9) At per regulas integrandi , formulas vnicam variabilem inuoluentes , .quia hic y .pro conftans habetur, re. peritur.: 2 dX ne Li mmy Xx yy y (XX --yy)— F x3 Y (xx --yy)—-— 2 X x d-1 y ita vt fit: Pim eee ae y »y) Ve) —9 JM dx —Ix— 22, 20000 20 VL fete y At huius quantitatis difirentale; affümto x pre conftan- ) idu eng te, quia praebere debet Ny — — 3 ? x nancifícemur : : c um dys(xwe-yy) || dy —— 5 Hr Ss N4j- 4 C^amxmx ^ ^ axxXy(ax-yy) S ycpyrdY qua forma .cum illa «comparata. fiet : Lo dyYy (xxr) w»dy d'y. uisi d AE e ud Y 3 Rak n TITTEN ZWICT T VOEL9) vbi: termini , qui pru continent x, fponte fe deflruunt, ita-vt fit Y —22- et Y —ily. Quo walore pro Y inuento , obtinebitur aequatio integralis quaefita : ]x—2. 19062 9. y Go 3- yy) yy Conft: D z Scho- i: UCUÓBÀESODBNTEGRAÁATIONE Scholion 2. 15. Ex his exemplis fatis perípicitur , quemad- modum perpetuo operatio praeícripta fit inftituenda, ita vt hinc nulla amplius difficultas moleftiam fáceffat, nifi quae ex integritione formularum, vnicam variabilem in- voluentium, quandoque relinquitur , dum integratio neque algebraice abfolui, neque ad circuli hyperbolaeue quadra- turam reduci patitur. ^ Verum tum fuperiores quadratu- ras fimili modo tractari oportet ; et fi quae difficulta- tes relinquantur, eae non huic methodo (aunt adícriben- dac. Quam ob rem hic affumere licet, quoties ae- quatio differentialils Mdx-1- NZy—o ita füerit com- parata, vt in ea fit i) —(£8 ), toties integratio- nem eíle in noftra poteftate ; vnde ad eas aequationes pergo , in quibus hoc criterium non habet locum. T heorema. 16, Si in aequatíone differentiali MZx--N4y-o non fuerit (5 yis (48 , femper datur multiplicator; per quem formula Mx-1-N4Zy multiplicata fiat in- tegrabilis. Demonftratio. Cum non fit (3)-— (33) , etiam formula Max-i-Ndy non erít integrabilis , feu null3 exiftit functio ipfarum x «et y, cuius differentiale fit Mx --Nd4y. Verum hic non tam formulae MZx--N4y, quam aequationis M dx -1- N dy — o, quaeritur integrale ; et cum eadem aequatio fubfiftat , fi per functionem quam- AEQVATIONVM DIFFERENTIALIVM. 13 quamcunque L ipíarum v et y multiplicetur , ita wt ft LMZx--LNd4y--o, demon(traudum eft , femper ejusmodi dari functionem L, vt formula LMZx--LNZy fiat integrabilis. ^ Quo enim hoc eueniat, neceffe eft, vt fit : Ca)y— m) vel : duca (ESPERA Qgy: cum fit (25—Q, et ($2 ) —P, fun&io L ita debet efft comparata, vt fit L($5)-1-MQ—L(Z3 ) 4- NP. Euidens autem eft, hanc conditionem fufficere ad defi- niendam füncionem L, per quam íiformula Mdx-FNdy multiplicetur , fiat. integrabilis. Coroll. r. 17. Inuento ergo tali multiplicatore L, qui red- dat formdlam MZx-i-N4y integrabilem , — aequatio Mdx--N4y-—o0, in formm LMdx-1-LN4y—o translata, integrari poterit methodo in problemate prae. cedente expofita. Coroll 2. 18. Quaeratur ícilicet, fpectata y tanquam con- flante, integrale /L Mx, ad quod adiciatur talis fun- &io Y ipfius y, vt fi aggregatum /LMdx-1- Y denuo differentietur , fpectata iam x vt conftante , prodeat LNdy. Quo fa&o erit aequatio integrals /JLM dx ^1 Y — Conft. B 3 Coroll. 14 DE INTEGRATIONE Coroll. 5. r9. Multiplicator igitur L ita debet effe com- paratus, vt pofito gL—P4x-- Q4 ; fatishat huic aequationi : dM SERE àN L(5)-- MQ—L(zz)4-NP vel huic: L NP—MO dM dN maps uds Jum aar vnde manifeftum eít, fi effet (2 —($X) ,potL fumi poffe vnitatem, vel quantitatem conítantem quarm- cunque ; dum fit P—o0, et Q—o. Scholion. $0. Si ergo hinc in genere multiplicator L in- veniri poffet , haberetur vniueríalis refolutio omnium aequationum differentialium primi gradus ; id quod ne fperare quidem licet. —Contentos ergo nos eífe oportet, fi pro variis cafibus, pluribusque aequationum differen- tialium generibus, huiusmodi factores inueftigare valea- müs. Sunt autem duo aequationum generi, pro qui- bus tales factores commode erui poffunt, quorum al- terum eas comprehendit aequationes , in quibus altera variabilis nusquam vltra. vnam dimenfionem exfíurgit ; alterum vero. genus eít aequationum | homogenearum. Praeter haec vero duo genera plures ali exiftunt cafus, quibus inuentio talis factoris abíolui poteft, quos dili- gentius examinafle , vífü non carebit, «um haec fola via patere videatur ad eam Analyíeos partem , quae adhuc defideratur , excolendam ac perficiendam. Quam ob AEQVATIONVM DIFFERENTIALIVM. i$ ob rem hic confüitui , plura aequationum genera colli- gere, quae per huiusmodi moult plicatorerg ad integra- bilitatcm perduci poffunt. Problema | ub 21. Cognito vno multiplicatore L, qui formu- fam MZx-1-N4y integrabilem reddit, inuenire infinitos alios multiplicatores , qui idem officium praeftent. Solutio. Cum formula L(MZx-1- N Zy) per hypothefin fit integrabilis, fit eius integrale —z, ita vt fit Zz —L - (Mdx-i- Ndy) , exiftente z quapiam fünctione- ipfa- run x et y. Denotet iam Z fün&ionem quamcunque ipfius z, et quia formula ZZz eft etiam integrabilis , ob Zdz—LZ(Mdx--Nd4y), manifeftum eft formu- lam propofitam M4 x-1-N4y quoque fieri integrabi- lem , fi per LZ multiplicetur. — Dato ergo vno mul- tiplicatore L, qui formulam M4x-1- Ndy integrabi- lem reddat, ex eo innumerabiles alii fa&ores LZ in- veniri poffünt , qui idem fint praefüturi , fümendo pro Z funcionem quamcunque integralis / L(M 2x --IN y). Qorollb 4 22. Propofita igitur formula differentiali quacun- que MZx--Nd4y, non folum vnus, fed etiam infi niti dantur multiplicatores , qui eam integrabilem red. dant. — Quorum autem vnum inueniffe fufficit , |. cum reliqui omnes per hunc determinentur. Coroll. r6 DE INTEGRATIONE Coroll 2. 25. Si ergo habeatur aequatio differentialis Mx --Nd4y-o, «ea infinitis modis ad integrabilitatem perduci poteft. Sine autem capiatur multiplicator L, fiue alius quicunque LZ, aequatio integralis inuenta. o- dem redit; fiquidem ille factor L praebet z— Conft. hic vero /Zdz — Conft. id quod conuenit cum fZz et fit functio ipfius 2. Exemplum zr. 24. Inuenire omnes multiplicatores , qui reddant banc formulam a ydàx-A- 8xdy intgerabilem. Vnus multiplicator hoc praeftans in promtu eft, &*y d x -- 4: x dy fcilicet. z—. Sit ergo L — 75, fiatque 22— 7; —- LG 2x nds y A ynde integrando prodit z—a/x -- Q /y -— 2f. Denotet iam Z functionem quamcunque ipfius z—7/2a75?, hoc eft ipfus 2*9, Stau. omnes fioe quaefiti in hac forma generali z;5, funct. x*5P continebuntur. Simpliciores ergo multiplicatores reperientur, fi loco füunctionis poteftas quaecunque ipfius x75? capiatur; ficque formula «y dx-i- Gxdy integrabilis redditur per hunc multiplicatorem latius patentem x^" —',y8"— ^, Si magis compofiti defiderentur, plures huiusmodi vtcunque inter fe combinari poterunt , t habeaturA a47— ya: --Ba*n-:48m-—: etc, Exem- AEQVATIONVM DIFFERENTIÁALIVM. xy Exemplum 2. 25. Inuenire omnes multiplicatores ,. qui reddant benc formulam differentialem ax ^ —' y'dx-r- gx" y''dy integrabileu. Y Hic iterum ftatim fe. offert vnus. multiplicator L--x qui praebet dz— 5 -1-527, vnde fit s—a/x—(QIy —x 25 Pofito igitur Z pro functione quacunque ipfius x58, omnes multiplicatores continebuntur in hac expreffione Z I E y fün&. x*,P. Si loco iflius fünctio- nis fumatur poteftas quaecunque x ^"y9", innumeri hinc obtinebuntur multiplicatores, vnico termino conftantcs x*"-* j8"—", fumendo pro z numeros quoscunque. Scholion. 26. Fieri igitur poteft, vt duae pluresue huius- modi formulae differentiales a y^ — ' y" Zx-- (9 x *y'7'4y communem recipiant multiplicatorem : quod fi eueniat aequatio differentialis, €x huiusmodi formulis, tanquam membris, compofita; integrabilis reddi poterit, dum mul- tiplicator ifte communis adhibetur. Quem cafum iam olim tractatum euoluamus. Problema 5. 27. Propofia fit ifta aequatio differentialis : aydx-- Qxdy -A- ty x"— y'dx 4-0 x" y'7 dy—o cuius integralem inueniri oporteat. Tom. VIII. Nou. Comm. C Solutio, 18 DE INTEGRATIONE Solutio. Ad multiplicatorem idoneum inueniendum , quo haec aequatio reddatur integrabilis, confideretur vtrumque mem- brum feorfim. Ac prius quidem membrum a y Zx 4- G.x dy vidimus integrabile reddi hoc multiplicatore x *"—* j49"—' , 1pofterius ^ vero membrum yx"—'yd x --à x^y' —dy hoc xY"—^y,9"—*, Quia nunc pro 52 et 1 numeros quoscunque accipere licet , bi duo fa- &ores ad aequalitatem reduci poterunt ; vnde fit - an—x-—"ym-y et n—x—óm—y ideoque » — "—f£*23- — i-i ^t, hincque obtinetur gU EGQE e aL tree His valoribus pro zz et 5s inuentis, i(te multiplicator communis dabit hanc aequationem integralem : zn Bn 4-2 xY735" — Conft. Coroll 1. :2$8. Haec ergo aequatio integralis femper eft algebraica, fiquidem pro s;et s valores veri reperiantur. li igitur tantum cafus fingulari redu&tione indigent , qui: bus numeri z; et » vel in infinitum abeunt, vel eua- ne(cunt. CorolE" 5 29. Infiniti autem euadunt ambo numeri 77 et 7, fi fuerit a. 9 — Gy. — Verum, hoc. ca(ü ipíai aequatio differeatialis in duos factores refoluitur , hancque formam acquirit (ay dx3- 8x dy (1-2 a^ 7*7 )—0 ideoque AEQOPATION/M DIFFERENTIALIVM. 19 ideoque erit vel aydx-A4- Q xdy o, wel x -3- Za*— J'—'zco, quarum refolutionum neutra difficultate la- borat. Coroll 5. 30. At fi fiat ;y—0o ,íeu y(v—r)-—ó(g- r1), confideretur numerus z, vt valde paruus, et cum fit per feriem conuergentem x" 1-4 casilx-- o^ n (I) -Fetc.et 9"— 4-Qniy 4-8" n Uy) 4-etc. erit Eath48n—t-L alx 1 G]y — Ix)? prima parte ;in conftantem inuoluta. ^ Hoc ergo caíü crit aequatio integralis : ] 58 1-1 x Y" 9" — Cont. Coroll. 4 $1. Statuatur ergo pro hoc caíü .—y*-' et. yz ók-1, vt habeatur ifta aequatio differentialis : aydx-F ix dy A- y 3Y5S tid x partt 4y oo et cum fit & — 4 72* — &, erit aequatio integralis ]a*58 ^- 14155 k— Conf. EPOrofE 52* Simili modo fi fuerit f27—0 , feu a (v —1) — (p-1)ob ixYnj3"— /xYj5, fi ponatur gc ak x et v— Bk--1, vnde fit - —-Rs erit hu. jus acquationis aJ da- Qx dy t y x*558t9- 1g x -- 8 x55 2,7 0 Qo». inte- 20 DE INTEGRATIONE integralis —ix-thy—B aat Conft. Scholion. 33. Neque vero buiusmodi refoltio ia. membr, quae per eundem maltiplicatorem" reddantur integrabilia, ad omnis generis aequatioaes patet. Euenire enim wti- que poteíb, vt tota aequatio per quampiam quantita- tem muliplicata integrabiis euadat , cum tamen nulla eius pars inde féorfim intggrabilis exiftat , ex quo huic tracdationi , qua hic íum. víus , non nimis tribui oportet. Problema 4. 34. Si propofita fit aequatio. differentialis Pax-4-Q ydx-- Rdy—o vbi P, Q et R denotant fün&iones qusscunque ipfius x, ita vt altera variabilis y plus vna dimenfione non ha- beat , inuenire multiplicatorem , qui eam tenue inte- grabilem. Comparata Iac ME cum forma Mdx--N4y-o ert M -— ded et N—R , vnde fiet Tow gt pe. Statuatur iam L. pro multiplicatore quaefito , fitque dL -——pdx-i-qdy, atàue huic aequationi fatisferi oportet. Np—Mj . (Q. dR, Rp—(P-I-Q»)4 "RU RT uA UU [ne d Cum. AEOVATIONVM | DIFFERENTIALIV M. ex : d eed. Cum, iam fit Q— $2 functio ipfius x. tantum, pro L quoque fünctio ipfius x tantum accipi poterit , ita vt fit quo, et diem aad vnde erit : d d e. 5 -M, fu Qdx—d4R—T- cet LL Qdx dR 5 Y. o£ : ideoque E T7Ro— ow. Que —€À habebitur IL-— n —IR, et fümto e pro numero , cuius logs "xithmus hyperbolicus eft vnitas , prodit [2025 — Il R - dn Rf ' Inuento autem hoc multiplicatore erit aequatio inte- gralis "Qd x oda Pdz, ru [H6 78 oye EJ — Conft. Caroli. £ 35. Si aequatio habeat formam. propofitam , ea, antequam hoc inodo traétetur,, diuidi poterit per R, vt hanc formam induat Pax Qd dy-co., ftu flatim affümere licet R — r , quo facto multiplicator erit £47, et aequatio intcgralis [e/Q4*P4x-pe/o47y Copft, Coroll. 3. 36. Si ponatur hoc integrale f2/92* p gy i 9/Gdxy— s. $a vt z fit functio. quaepiam ambarum variabilium , tum vero Z. denotet functionem quamicunque ipfius z ; omnes ' gultiplicatores , qui formulam P4Zx-r-Qydx-- dy reddunt integrabilem., ia Lac forma generali utis continentur. C3 Proble» 2.0, DE INTEGRATIONE Problema . 5. 57. Si propofita fit aequatio differentialis : Á Py"dx-- Qydx-i- Rdy —0o vbi P, Q et R denotent functiones quascunque ipfius y, inuenire. multiplicatorem , qui eam reddat integrabilem. Solutio. Erit ergo Mz Py^"-4-Qy et N—R, hincque - (5)—sBy- --Q, e(10)—34 Quare pofito multiplicatore quaefito L et ZL—54« --4dy, erit ex ante inuentis ; Rp—Py'4— Fingatur L— 5^ , exiflente S functione ipfius v tan- "gs | : tum , erit 9 ——, —, et q-m$Sjy"—', quibus valori- bus fübftitutis , prodibit 1 &R Quae aequatio vt fuübfiflere als , fumi debet z2—— n, ac fiet Rds — G-2)6 FN dR sis —(1-5)Q-3, feu ie "n [i . Vnde cum integrando proueniat Sp ons -X.,erit, ob 8 —-n, multüplicator quaefitus : dicit yod L—K* (, 7098 et ud integhahs erit NE T " TE dr nfost— Conf. Coroll 1. AEQ ATIONFM DIFFERENTIALIVM. 23 Coral $8. Si n—o, habemus cafüm ante tractatum déquationis Pax 4-Q ydx--Rdy—o, quae. per multi. Qéx plicatorem & e' ^ * integrabilis redditur; et cuius ae- quatio integralis eft [945 [935 € o8 -4-j[Tt87 7 sciConfi. PODLIOI. 59. At fit n—.a, vt aequatio. differentialis fit : Pydx-- Qydz --Rdy— -o multiplicator, ob 1 —7——0, erit -,; quo aequatio re- ducitur ad hanc formam "$*X 925, 7? -—0, cuius integralis manifefto eft. / 7^ x04 e Iycsidends Scholion. 40. Caeterum hoc problema ex abtecedente fa- cile deducitur. Diuidatur enim SONG diffcrentialis pro- pofita per 7", et habebitur : Pdx--Qy'^"dx--Ry-—"dy—o Ponatur j'7"— 2, erit (1 —5) y7"dy— d; ui ae quatio tranfit in hanc: Pdx--Qzudx--—Rdz—o quae cum aéquatione prcblematis praecedentis conuenit. Cum igitur hae duae aequationes referendae fint ad ca- fum, quo altera variabilis nusquam vltra vnam dimen- fionem afcendit , hunc methodo hac per multiplicato- Ies 24. DE INTEGRATIONE res expediuimus. Pergo itaque ad alterum genus aequa- tionum diffeientialium homogenearum , quas etiam hac methodo tractari poffe conftat, — Ad hoc autem lem- ma , quo natura fünctionum homogenearum continetur, praemitti neceffe eft, fi quidem operationem €x primis principiis petere velimus. Lemma. 41. Si V füerit fun&io homogenea, in qua bi- nae variabiles x et y vbique & dimenfiones conftituant, eius differentiale ZV — PZx-1- Qdy ita erit compara- tum, vt fit Px-3-Qy —x5V. Demonftratio, Ponatur y — xz, et functio V induet huiusmodi formam a"Z, exiftente Z/ quapiam functione ipfius z tantum. — Hinc ergo erit V — sx" Zdx--x"dZ. Ad has duas variabiles x et z etiam differentiale pro- pofitum 42V —P4x--QdZy reducatur , et cum fit dy-—zdx-r-xdz, erit aV —(P4-Qz)2x--Qxdz neceffe igitur e(t, vt fit nx"— Z—P-1- Qe, et per x vtrinque multiplicando : zax"Z-—V-—rx-d-Qxz —Px--Q y:ita vt fit R-3- Q y —2V. Coroll. r. . 42. Quia ergo habemus duas aequationes : dV -Pdx-r-Qdy, et nV —Px--Q hinc AEOVATIONVM DIFFERENTIALIVM. $5 hinc ambae fun&iones P et Q^ definiri poterunt; re- perietur enim : — ydW—nvVdy nVdx-—xdàdv P- Jdx-—xdy et Q — yáx—zxdy? Coroll. 2. . Quoties ergo V eft fun&io homogenea n din íonom, toties ob PU ) e Q— (22 2) erit —ydV—nVdy —nVdxecxiv (i)— LS et (27 p ydx-xdy vbi notandum eít, in his rationibus differentialia fe mutuo tollere, feu vtrumque numeratorem fore per Jdx—xdy diuifibilem. Problema éó. 44. Propofita aequatione differential! M» —-- Ndy—o,in qua M et N fint fun&iones homoge- neae ipíarum x et,y eiusdem ambae dimenfionum nu- geri, inuenire multiplicatorem ; qui eam aequationem reddat integrabilem. Solutio, Sit » numerus dimenfionum, "vtrique fuün&ioni M et N conueniens, eritque is 6. praec. 58&Mdx-xdM 90 N-—nNd» Gr jme ydx—xdy et Miete ydx-—ady 'jdeoque EETITTIIDERTLENTI big) (Ge — "ydx-xdy -Jam facile colligere licet, dari multiplicatorem, qui etiam fit functio homogenea ipfarum x et y. Sitergo L talis - [Nou. Comm. Tom, VIIJ. D functio 26 DE INTEGRATIONE. füuctio. homogevea sr dimenfionum. Quare: fi in $. x9. poatur dL — P4x-1- Q7, erit (42.) ydp—mridy — mLtdx—sxdv | dien yjdx-—-xcy2? et Q. — 7ydx-——xdg. hincque, cum. effe Pur ds $.. 19. ERIDES 2b CS obtinebitur e per ydx—xdy multiplicando ; —mnLNdy—mLMdx-j-MxdL "lh b. eONME mENd) 7M X-pMx € n(Méx-- Ndj)-xdM-ydN vnde elicitur :- du |. (m e 1) (M d xx - Nd y) — xd M.— y dN: E vm c di quae. formula manifeílo fit integrabilis pofito m-4-$—- x, quo. fa&o erit /L— —/(Mx-1- Ny). — Quam ob rem. mnultiplicator quaefitus habebitur. L — i zu. Goroll. .r. 48. Propofita igitur aequatione differentiali fio- mogenea: M 2 x -A- N dy — o, ea fácillime ad. integrabilita- tem: reducetur:, » propterea: quod. formul Mz: EP Ld eft: integrabilis., cuius. integrale, per, methodum: fupra tradi-- tam. inuentum, dabit: aequationem. integralem | quaefitam.. CorollL..s- 46; Eo. cafü tantum. incommodüm — oritur, — vbE fit Mx- Ny-o, wluti. euenit. in. aéquatione yd —Xáy-o, quae diuidi. deberet pen xy—xy—oxy. Sed: quia huius. diuiforis miwltiplam quodcunque aeque: faisfüit ,. diuifor x y. ne& uum conficit ,. quemad-- modam. per fe eft. Su uino ! Scholion;. AEQVATIONVM DIFFERENTIALIF M. 23 Scholion. 47. Notiffuüma eft methodus, quà fagaciffimus lob. Bernoullius olim omnes aequationes differenti:les homogenezs ad feparabilitatem — variabilium — perducere docuit. Propofita fcilicet huiusmedi aequatione .M 2 x -rN4y-o, in qua M et IN fint funciones bomo- geneae 5 dimenfionum ,- ponere iubet y —tux, quo facto funciones M et N huiusmodi formas induent, vt fit M—»x"U, et Nz-a"V, exiftentibas U ec V. fun&ionibus ipfius 4 tantum. ^ Aequatio ergo propofita per x* diuifa abibit in hanc: Ugx-- V 4y — o. . Cum autem fit dy —udx-i1-xdu, habebimus U2x-- Vudx -- Vxdu-c-o, quae per x(U-- Vw) diuifa fit fepara. bilis, feu haec forma €U 4- V u] dx--Vxdu ax (U a- V 1) integtabilis. At eft (U-41- Vu) dx A- V xdu— (Maáx--N4y) et 3^(U-1- V ) M-- NN». Integrabilis ergo erit haec formula : OMEN LUERUS a asm Expofitis, igitur his duobus aequationum — geheribüs ; quae per idoneos multiplicatores integrabiles reddi pos- funt , videamus, ad quaenam alia genera eadem metho- dus extendi poffit: àc primó quidem obíeruo , omnes aequationes differentiales , quae aliis methodis integtari poffunt , etiam hac methodo per idoneum multiplicato- rem tracdari poífe, id quod in fequente problemate -«larius explicabitur. D» Pr oble- s | DE INTEGRATIONE Problema 7. 4.8. Propofita aequatione differentiali MZx--Ndy—o, fi inuenta fuerit eius integrals aequatio completa , affi- gnare omnes multiplicationes , qui aequatorem —diffc- rentialem. reddant. integrabilem. Solutio. Cum aequatio integralis completa inuoluat quanti- tatem conftantem arbitrariam C, quae in aequatione differentiali non ineft, vtcunque ea (it implicata , quaeratur eius valor per refolutionem | aequationis, qui fit C— V, eritque V functio iparum (x et y, quae infüper conítantes aequationis differentialis in fe come ple&etur. — Tum ifta aequatio C—V differeritietur , ficque. prodibit o— 42V. — Ac iam neceffe eft, vt 4V diuiforem habeat ipfam formulam differentialem propofi- tam. Sit itaque g4V-——L(M4Zx--N4y), eritque L. multiplicator idoneus, qui aequationem — differentialem propofitam reddit integrabilem. — Deinde cum, denotante Z functionem quamcunque ipfius V, fit etiam — formula Z4N —LZ(M4x-I- N dy) integrabilis, expreffio LZ omnes multiplicatores includet, quibus aequatio differen- tialis propofita Mgx-1- Ndy— o fit integrabilis, Coroll 1. 49. Quoties ergo aequationis differentialis M zx --Ndy-:o integrale completum affignari poteft, toties: mon folum vnus, fed plane omnes multiplicatores defi- mire licet, quibus ea aequatio integrabilis reddatur. Coroll. AEQVATIONVM DIFFERENTIALIVM. 5 Coroll 2. $6. Cut ergo alis methodis plurium aequatio- tum diffoentialium — integralia completa (int inuent4 , hinc tnethodus hadenus tradita , quae ad duo tantum aequationum genera adhuc eft applicata, non mediocri- ter amplificari poterit. Scholion. 51r. Interim tamen, nifi ad fpecialiffima exempla defcendere velimus, aequationes differentiales ,— quarum integralia completa affignare licet , ad exiguum nume- rum reducuntur. Ac primo quidem occurrunt aequatio- hes differentiales primi gradus in hac forma contentae dx(a-1- 8X -A- y Y) 3À- 4y (0 A- €x 21 £ y) —0 quae quia facile ad homogeneas reuocantur , etiam hac methodo per multiplicatores tractari poterant. Deinde . memorata digna eft haec forma dy -4- Pydx -- Q yy dx —Rd4x, cuius fi conftet vnus valor fingularis fatisfa- ciens, ex eo integrale completum elici poteft, ex quo his cafibus multiplicatores idoneos affgnare licebit. "Tertio etiam perpendi merentur cafüs huius aeqneationis dy--yydv— ax" dx , ab inuentore. Riccatiana dictae , quibus ea ad fcparabilitatem — reduci poteft. — Denique exiflunt cafus huius aequationis y dy -i- Py dx — Q dx, qui cam fint integrabiles, ad multiplicatorum inuefligat:o- nem funt accommodati. — Hinc noua patfiet via ex data multiplicatorum. forma eas aequationes inueniendi , quae per eos fiant integrabiles, vnde fortaffe haud fper- nenda analyíeos incrementa haurire licebit. D 3s Proble- 30 DE INTEGRATIONE | Problema 8. 52. Propofita aequatione differentiali primi gra- dus : | (a4- 8x A- yy) dx A- (8 247 ex 2- 4y)dy —o inuenire multiplicatores, qui eam reddant integrabilem. Solutio. Reducatur haec aequatio ad homogeneitatem po- nendo : Xx-—t--f ety—u-i-g, vt prodeat (x-1- Bf H- yg H-Bt-yà)dt «- (9-3-fA-2g-8 --Zu)du-—o quae pofito x-I-Gf-1i-yg—0 et. 9--ef-i-6g—0, vnde quantitates f et g determinantur, vtique fit ho- mogenea, fcilicet (g£-- y »)dt-1- (et A7 Gu) du— 0 ; ' jdeoque per multiplicatorem g;riy-Esrzcrzus lütegra- bilis redditur. Hinc inuentis litteris f et g aequatio propofita integrabilis euadet , fi diuidatur per (0 BG fy o Qv n (x f)0-2)H-50—8) , feu per : Bxx A- (vc x y 6yy- (8f v 8352) * -(24g c y f 3- fy 6f] Cy-EOfg t 588 Cum autem fit f—W5-— et g — AES prodibit diuifor quaefitus : Bxx M. (*y Ah e) yai £y y - DERE E CCBRS cupfcpHyo Hnc ndccr m ———— M —M—À — M DT cu ipai en EY tcEYW y 'y [] E—— In. AEQVATIONPM DIFFERENTIALIVM. sx IÍnuento autem vno diuifiore, feu. multiplicatore, ex eo reperientur facile omnes poffibiles. Coroll r. $3. Forma ergo diuiforis, per quem aequatio: differentialis. 1 (a3 Gx A- yy )dx A- (9 -1- ex -1- $y)dy — 0 redditur integrabilis , eft Bxx-a- (y A-)y x 3- $3y A- Ax 3- By 1- C. vbi conftlantes A, D, C fupra funt definitae. Coroll. 2. 54. Cum diuifor inuentus. etiam. fatisfaciat , fi per y—(94 multiplicetur, patet, cafu, quo 4 — y s, diuiforem fore — (acc—3c-I- Gy 9— aQZ)x- Cy y 9 a y Tac - 89 2)y ay 9 -aaZ --a8c- 30 qui pofito 3 — mf;y-nfis—mg;é-—tg, abit in miag-9f) (mg—rf)x--n(ag—9f)(mg—nfyy - (ag—9f) (óm— an) Coroll 5. $5. Quare fi aequatio. propofita. füerit huiusmodi: («--ftmx Y ny))dx4-(9--g( mx-eny ))dy-o €a reddetur integrabilis., fi diuidatur per (mg—nf)(mx--n7)24-9.4 — on. füe per mx--nuy-1- I —O At Ífifüerit ue—nf— o,. unite propofita, iam. i ipfa. eft. intc xtcgrabilis,. Prob» 52 DE INTEGRATIONE Problema 9g. 56. Propofita hac aequatione differentiali : dy A- Pydx A- Qyydx -I-Rdx—o vbi P, Q et R fint funciones ipfius x. tantum , fi conftet , huic aequationi fatisfacere y — 7 , exiflente v fün&one ipfius x , inuenire multiplicatores ; qui iítam aequationem reddant integrabilem. Solutio. Cum aequationi fatisfaciat valor y — 7, erit dv-i-Podx-- Qupdx-i- Rdx-—o; fi ergo eus y-—97--£, habebitur Pdx odit x Qdx — du i E V i C -Em —o fiue : dz—(P--2Qv)ezdx—Qdx—o quae integrabilis redditur per multiplicatorem g JC 2Qv)dz. Hic ergo multiplicator per zz multiplicatus conueniet aequationi propofitae. Cum ergo fit 2— 52, multi- pliator aequationem propofitam integrabilem — reddens erit : E z^ e- P4-2Qv)do Sit breuitatis gratia. e—/(*-3- 209 4* —— S... Ouia aequationis dz-—(P--2Qv)esdx—Qdx-.o integrale eR , Sz—fQS4x— Contt. omnes multiplicatores quaefiti VP cabal forma: p-s fü. (5. -JQSd) , | vbi AEQVATIONVM | DIFFERENTIALIVM. 35. wbi per hypothefin v eft functio nad ipfius 3 ideo- que etiam S—eg-J O20 )dx Coroll :. 5*7. Multiplicator ergo, qui primum fe obtulit , eft z ; * o 4* . (yvy ,tum vero etiam multiplicator erit ers qui etfi continet formulam integralem f/Q 5x, faepe nu- umero illo fimplicior euadere poteft. Coroll...,5. 358. Si erim S eft quantitas" exponentialis 5. fieri poteft, vt /Q'S Zx huiusmodi formam S T induat; - exiftente (T functione algebraica , quo cafü multiplicator erit , ; 9S SENE pe en y—v—(y—v)*T — (y—s(1- Ty 4- Tv) ideoque algebraicus, quod iu priori forma fieri nequit. Corell--5. 59. Cum his duobus cafibus multiplicator fit fra Cio, in cuius folum denominatorem variabilis y ingre- ditur, ibique vltra quadratum on aícendat , innume- rabiles alii huiusmodi multiplicatores exhiberi poffunt: Sit enim /QS4x—V, et fra&tionis (55 denominato- rem multiplicare licebit per A--BG55-V)4-C(53- Vy, ficque erit generalior multiplicatoris forma: S Acc 22st pga qi o BO ein vos WARN Uc UIS ROT v) fiue : S CURE LI RR Ms LM MAS VT. 2x. rc c HU MBA VIUA. 0. 0:0 d MM 2 ctos MN ( 4 —BV-4- CV V)y?—(2A'U— BS-2BVv-1-2 C SV-i- 2CV Vv )y4-A vU — B SU —B V vo-- C59 4-2CS Vv-4- CY ?93 Nou. Comm. Tom. VIII. E Coroll. 4. o 34- DE INTEGRATIONE Coroll. 4. 60. Quod(i ergo haec formula Er EE D Ed füerit integrabilis , denominator ita debet effe compara- tus, vt fit SL—A-—BV--CVV,SM-S(B-2»CV) —29(A—BV-2-CVV) et^ SNzCSS-Sve(B-2CV)-Fvv(A-BV--CVV) exiflente dv --Podx4-Qvvodx- t Rdx-o, 82e tme V —jfQS dx. Problema ro. 61. Propofita aequatione. differentiali praecedente s dy-r- Pydx -A- Q yydx -4- Rdx— o inuenire functiones L , M. et N ipfius x, vt ea per formulam. Ly -- My -1- N. diuifa fiat. integrabilis.. Solutio. Cum igitur integrabilis effe debeat haec formula :. dy-r-dx(Py--Q. y» y 4- R) ^ —— Llyy--My-aN per proprietatem generalem effe: opportet , bora per. (Lyy-A- My-A-N) muliplicauerimus : x»er »de C"uN E QMjS— SRLyd- NP Then dx dcr —PLyy--2QNy— RM Vnde pro determinatione funcionum L , M et N has confequimur aequationes :: L .4L-PL4x—QMd4xe-— Il. 42M—2RLZ4x—2QNZ4Zx Ill. ZN ZR M4x —PN4x, ex AEQVATIONVM. DIFFERENTIALIVM. 35 ex : quarum prima deducimus : Mie-tLo 4L Jl a I:omipc:q AW et ex fecunda; IN — — Q — ids» ind qui valores pro M et NN in tertia. fübftituti, dant : — PdM RdL Q?4N—1. 9 Cum autem fit, fumto differentiali Zx confante UI Edr PLdQ. ddr dodr 4M—— "Qu. — G4x-l- Goda» Crit N-RLODPdL 2 LdP Q PhdO-, ddl àQdr, —Q 7":Q0dx sQQdx -Fzosax tio QQOdx* "03dx* : PPdL PLdP PPLdQ. PddL PdOdL RdL et dN— 390-007 505 -:00da4 L zQ*dx- Q. quod ergo illius differentiali debet aequari, vnde fit: o-QQZ'L-3Q4Q0Z4L-PPQQ4L 23^-2 QQ4PaLde 4-34Q'4L-- 2 PQ2QaL 2x - QYLd4Q--4Q'RaLax* Uu QQLZ4PZ2x -Z-PPOL42Q4x' —QOL24x44P zs PQLZx ddQ -- 3 QL4P2Q dx — 5 PL2Q'4x -i- 2Q'"LaR dx" —2Q'RLaQdx Haec autem aequatio- fi per Z5 TEE integrari poterit , eritque «ius integralis Conft. — Ik LdLdQ dl? | PPLLdx* | LLdPd« Q3 MEQUE TUTO QQ' PLLdQOdzx 2?RLLdx$ -- —Qr— EI m. quae in hanc formam abit : 2EQ'4i3-2QL44L-2U4L2Q-Q4L' -PPQLL4s -eQLLZ4P4x--2PLLZQdx--4QQRLL 43^. Quodfi ponatur L — 2 z, aequatio induet hanc formam: 07 — aQdda—4dQdz-z(PPQdx^ -- S QdPdx —2P4Qdx—4QQR 4x). E 2 Coroll. r. 46 DE INTEGRATIONE Coroll r 62. Quoties ergo per. problema praecedens ,. valor: ipfius L' afügnari poteft, toties aequatio differentialis tertii ordinis hic inaenta, et ea fecundi. ordinis, ad quam illam reduxi, generaliter. refolui poterit: quae refolutio ,. cum. alias. foret. difficillima, probe eft. notanda: Coroll 2. 63. Scilicet. fi v fuerit eiusmodi fün&io ipfius, quie loco jy pofita, fatisficiat. aequationi. gy -i- Py dae: -- Qyydx--Rdx—0o, capiatur S — e7/( e :9)4x ffatuaturque V — /Q S x,. quo fà erit. pro noftra i Koh, ier. 3 EN — A—BV--CVV aequatione differentialí tertii ordinis L.— 7———,-—-——5. qui valor cum tres conítantes arbitrarias complectatur ,. adeo erit cius aequationis differentiale. completum. . j Coroll. . 5. 63. Si fit P— o, Q— r et R functio quae- cunque ipfius x, aequatio differentialis tertii. gradus hanc: accipiet: formam :- o—4L--4RZ4ZL4s3 --2L42R4x pro cuius ergo differeniiali completo inueniendo, quae: ritr primo füncio: ipfius x , quae fit — v , quàe fatis- faciat huic aequatioói Zv-L-vodx-A-RZ4x-—os tam ponatur V — f e—*/"2? qx, eritque L—(A— BV H- CVV yetiivàs, Coroll. 4. AEQVATIONPM DIFFERENTIALIVM, — &5 Coroll. 4. 64. Ydem ergo integrale fatisfaciet. huic aéquatio- üi differentiali fecundi gradus : » Edx -2Ld4L—-d4L'--4RLL4x et, pofito &, — z z, etiam huic : € s i oTcddz--.Redx pro ut iaque eft z — e*/" ^ V(A-BV -4- CV V). Scholion. 65. Omnino- animadüerti meretur. haec integratio; quippe quae ex aliis principiis vix quidem —praeftari poteft. Hinc autem adipifimur integrationem come ple&um —fequentis aequationis differentio - differentialis fa- tis late patentis : ddz4 Sdxdz-A4Tzsdx — Primo nempe quaeratür valor ipfius v: €x hac aéqua- tione differentiali primi gradus ; do--vodx-r-Sovdx--Tdxr—o quo inuento ponatur brcuitatis ergo V — 270797597 qx eritque ze y(A--BV-a- CVV), fi modo conftantes arbitràriae & , B. C ità accipian- tur, vC lC AC— ;BB — E, (ique adhuc duie. con- ftantes. 2rb:trio. noflro relinquuntur, vti natura integratio- Bis completae poftulat. EL AN A Es Exent« 38 DEINTEGRATIONE Exemplum r. 66. Propofita fit baec aequatio differentias dy--ydx-r-yydx—$5-—o, euius. multiplicatores , qui eam reddant. integrabilem , in- vefligari oporteat. Erit ergo, Problema 9. huc transferendo, P — M —1: e R — —£, et quia aequationi fatisfacit valor 2 — à, Certo — i. Quare fiet S — e—/( ud Ls et multiplicator,qui primum fe offert, habebitur em-k Hunc autem porro multiplicare licet per fonctionem quamcunque huius fonmae —7* — ; — jé às; cum x( xy — 1) e x vero haec forma integrari nequeat , alii multiplicatores idonei affignari nequeunt. Ob primum ergo integrabi- lis eft. haec. forma : duet 2: (dy -A- y dx A-yy dx —22) cuius, fi x capitur conflans, integrale eft. À e* x(xy—1i) rb quae differentiata, pofito y conftante , praebet €t dx(xxy--2xy—x—1) : xX(xy—ry queda e E c * quod aequari debet alteri membro os n ydeyy d -35 ev x —ZXàdze. vnde fit 2X — Xa (xy x y eJ 723 -r-à)-e xa? ficque AEQPATIONVM DIFFERENTIALIPM. 59 ficque integrale completum noftrae aequationis eft. mE, e dx | x(xy—i) ^ -jfe. um Coni. Exemplum 2. 67, Inuenire multiplicatores idoneos, qui red- dant hanc aequationem. integrabilem : adx. : dy AM dx-— (a 4- Box A- Yo) LO. Cafus fingularis huic aequationi fatisfaciens eft TU cnl "hehe J'—à&à-rBx Bx--yxe —U exiftente & — 18 4- Y (1G — ay -- 2). Cum nunc fit P—o, et Q— rz, erit —fskdx-c-2yxdzx S —e'e«c06x-Yycx vel pofito breuitatis gratia -I- Y (2188—a*y -1- a)— 1m exit : d $—RmER nd x et (o dx ci mE A ap Ln Multiplicator ergo primum: inuentus eft x ndx e &4-Qx--Yxx 6-4 c -4- 'y xt xe ((a.43- Bx 3-7 Y xx) y — k — yx qui porre duci poteft-in functionem quamcunque huius quantitatis: dem ow . YTR-d-DBx-n-yxzx Efe 1: e. (E RmR-EWSZDI— EY zm ) Ducatur ergo in ndx Lr Bara (& -4- x -—tyxx]y—k-— ym (& M- B.Xxed- Y xx) n — k —'yx- ac 4o DE INTEGRATIONE ac prodibit multiplicator algebraicus : AME CSEMERENUEU TU 0 OMIPINTRIN CUPS (Ca A- B ac yao x) y— R — y x) (( ai B oc et "Y 262) y 4- n — k— yx) qui reducitur ad hanc formam : ——— $— —— Lá —M — MÀ —— € a a À—À '—2yx—B-v(BB—4oy--4a) pom utin M c [ee Bon ex) m d Acquationis autem integrale completum eft , ndx — f. & 4-8 x -4- yx (&2- Bx-3-yxx) 5. ya-n—hk—'yx EN f - (&-3- Bx-i- yxx) )—h— un za E exiflente 7 — Y( 8—4a'y 3-42) et kl Ex quo aequatio integralis completa erit ndx &--Bx-r-yxx " -(ea--Dx--yxx)-Ln——-2yxs 0 E z(a-- Bx Yxx ) ) y—n—(-;yx — — Conft. «uius indoles eft manifefta, dummodo DEM B 8-4ay e- 44) fit numezus realis. Quodfi autem valor ipfius » fit imaginarius, puta n—IiV-—1, ob eP*-—'z-cofp-1- Y —1f[in.5 , aequatio integralis e ad realitatem perduci poteft. Sit -mnf s. v IER —p et 2 (a3 Bx-cryxx)y- vi 2tyX-4, eritque €a: (cof. p-I- Y -1 fin. ). iens —Conft.—- A4BY -1 hinc fit : qcof. p —mtn.p -1- (mcof. p 4- 2fin, p) V— 17 A 4 243- Btn --(Bg—Am)Y —1 aequentur feorfm membra realia et imaginaria : qcofp —mtün.p — A q-- Bm; mcof p 4 Gn.p2Bq- Am quae duae aequationes congruunt, fi capiatur AA--DB-1. Sit AEOVATIONV M. DIFFERENTI ALIV M... ax Sit itaque conflans arbitraria A — cof.0, vt fit B — fin.Ó et cafa, quo Y (B8 — 4a*y -A- 4a) — mV — x , aequatio realis erit qcof.p—mufin.b—4cof.0-1- m(n.0 feu 4 — E Ea COLuT Quare aequationis differentialis (mm--8g8—«ay)dsz. dy Jydz-V iaceBscyssE — pofito 2—/ zcgz-ryzz, aequatio integralis. comple- ta eft 2(a4-Bx-- yxx)y— Q-2-2 YyJ 1-1 cot, ig coy x im cot. $——4 160,9 — 4 &-- x-- y xx ( i Q-y xp imtang. i2? —180*-6,et habz Ae ELT TS Vel fit 0 — 1 80?-Z,et habebitur y muse rs Hoc autem caíü notandum eft, integrale fpeciale, ex quo haec omnia deduximus, fieri imaginarium ,. quo tamen non obítante inde integrale completum in forma reali exhibere licuit. Exemplum 5. 68. Propofita aequatione. Riccatiana dy -A- yyáx —ax"dx--o, pro cafibus exponentis m, quibus eam Jeparare lieet , imuenire weultiplicatores idoneos. .Sit y- v valor aequationi fatisfaciens , et cum fit PZo, Q—z, et R— —22x^", erit primus multi- plicator, aequationem integrabilem reddens, e^ 2[vdox ? (» Lv Tom. VIII. Nou. Comm. F per 45 DE INTEGRA iONE per quem fi aequatio multiplicetur, cum integrale com- pletum fit — d d £i "yay fe :[vd x44 — Contt. Quare fi Z/ denoret fan&ionem quamcunque huius quan- titüis , omnes multiplicatores continebuntur in hac forma : (3—wY Hinc fi:.ponatur fe—7/"?^* y — V,. omnes multipfica- tores in hac forma ES contenti obtinebuntur ; fi capiatur: L—2e:í/***(A—BV-4-CV V) M-—B-—-2sCV—229e7/*4*(A--BV-1-CV V) NzCe- 4? 4* (B-2CV)4-ove: * xt A-BV--CVV) Verum hic valor ipfius L fimul eft integrale comple- tum huius aequationis diffcrentialis tertii gradus: ocdfL-a4ax"dLdx:—2maLlx"—'4dx: hincque etiam huius fecundi gradus: Edx*—2L44L—4L:—4aLL x"dx* exiflente E— 4 AC—BB. Scholion. 69. Re attentius perpenía aequationem differer- tialem tertii ordinis etiam methodo directa refolui , eiusque integrale completum idem, quod hic eftaffigna- tum , elici poffe deprehendi. Sit enim propofita haec aequatio : | VCL-A-4R4L4x--2L4R4x:—o vbi - AEQPATIONVM DIFFERENTIALIVM. 45 «bi R fit functio quaecunque ipfius x, fütmto differen- tiali zx con(tante. ^ lam quaero functionem ipfius x, per quam iíta aequatio multiplicata euadat viri Sit 5 ifla fünctio , et aequationis S4: L-- 4SRdLAY -A-25L4R4x'—o antegrale erit - SdaL- 25 4L X L(448 A- 4SRdx* din 2€da* dummodo fit | d:S--2 SdR dx* 3- 4R4Sdx*—o. Sufficit fcilicet quemuis valorem particulariter fatisfacien- tem fumfiffe. At haec aequatio, per S. multiplicata, ne- glecta con(tante, dat integrale : SddS —idS*-I- 2SSRda*—o. Ponatur S:—e2/"4*, eritque 2 do--*ovdx-- 2Rdx-o vnde negotium huc redit, vt pro v fàltem valor pat- ticularis inuefligetur, qui fatisfaciat huic aequitioni 'diffe- rentiali primi gradus: 2v -3- vv dx-j-R 2x — 0, queni igitur tanquam conceffum affumo. Hinc noftra: aequa tio femel integrata erit, ob S— e^/"»4*, - ddL- avdxd LE L(adodt- Avody" y ARdy ca Co nega Cum igitur, ob R 2x— —4v—«vvdx, habeamus ddL—2vodxdL—2Ldxdo— 2Ce- due das eius integrale manifefto. eft : dL—aLvdx—Bdx--2CdxJe—:/v3225 et per e—^/*2* denuo multiplicando integràle, prodibit Nd L—A4Bfe-o de ka C fe Pg fo P3. Quare 44 DE INTEGRATIONE Quare fi breuitatis gratia. ponatur. fe —7/"^*gx—V, habebimus | L-e/"3*(A--BV-4- CVV) prorfus vti ante inuenimus. Problema 2. 7o. Propofita aequatione Riccatiana dy -i-yy dx —ax"dx, inuenire eius integralia particularia , cafibus, quibus ea feparabilis exiftit. Solutio. Ponendo 4— «ee, et m — — 4n, tribuatur 3m toni ifta forma: dy -A-yydx —ec x— * "dx —0. Cum enim quacítio circa integralia particularia verfetur, nihil intereft , vtrum €a fint realia , nec ne. Quo au- tem fàcilius, et vna quafi operatione, hos caíus , quibus . per funcionem ipfius x exprimere licet, eliciamus ; ftatuamus y — ex^ 7 ** -4- EE et fumto 4x. con(tan- te, nancifremur hanc aequationem differentialem. fecundi gradus : dda | 2cx—"dz zdx dx z ddz 2cdzs 2ncz — dx oxUdx aki cuius valor fingatur : ACA M Dain7 Corm Da: 4- Ex?"7* 4- etc. —2nex—"—dx-- — o, feu quo AEQVATIONP M DIFFERENTIALIV M. 45 quo- debite fubftituto obtinebimus : oc n(n—x)Aax"7-1-( xigu-a Be? * kd sp-a ser mci *-1-ete -2ncAx-"-4-2(31-1)e B-- 2 (s8— 2)€C -4- 2(72- sc D —2ncA —2ncDb —2ncC — 2ncD vnde coefficientes fidi ita determinantur : —n(n—2)A sn rb As-rA-—O. B. nuc e 2(41n—2)/ C4 (3n-1)(91-2)B—o ; Comcs el: — csn—32X5n-7) € 2(6n-3)cD-1-(5n-2)(51-3)C-—0; DE eEscNIG. Statim igitur atque vnus coefficiens euanefcit , fequentes fimul omnes euanefcunt , id quod euenit his cafibus: — e. — Y^, — To — . -— P — Za —3$. -— E (ORE; U—$; n—3i;-—;, etc. Denotante igitur i numerum 'integrum quemcunque, quoties fuerit "n—uET , toties refolutio | aequationis exhiberi poteft. Erit enim .y—«ex 7 *" 4- 2f. exiftente Z—Ax'--Bx—'--Cx7—-- Dx?" -L-Ex9—*-- etc. Proueniet ergo hic valor particularis ipfius y: P ade 17—-(8n-1) Bx?—-4(5n-2)Cx97: JI—7XUUER Ax*-pOBar—-p Carol "Coroll 71. Quodfi ergo ifle valor particularis ipfius y vocetur — v, efit aequationis propofitae multiplicator idoneus —e7 */"47, — * —.. Ac fi ponatur fe —*/"^* gx -l- etc. B3 V, 46 | DE INTÉCRATIONE —V , fumtis A—o0, ct C--0 , erit alius fa&or fir- plicior Mor pISSYy,-( p agp/TS Vy up ove 555y, Coroll. 2. 942. At eft fváx z——— —— (Ax T Bit -- Ca? *-L etc. — 4€ (2171 ] x? — p I1 vnde fit e LLL — qe no! C PHEBAPU Cx X erc): €x quo porro inueniri poteft valor ipfius V 2/e7^53*2 5 qui fi fuerit huiusmodi £7 * /*À*T, exiflente T. fün&io- ne algebraica, erit füperior multiplicator algebraicus. (oroN^"», 75. Inuento valore v , feu integrali particulari aequationis propofitae , inde fiatim habebitur integrale completum eiusdem , quippe quod erit : abd IUE E: E ELA — fe7*1*3*24 — Contt. Cafus 1. quo 7—o. 74. Pro hac ergo. aequatione Zy--yydx-eedax, ob B—o, C--o etc. erit valor particularis y — e; Quare AEOVATIONF M DIFFERENTIALIV M. 45 Quare pofito ezcr, erit «—*/*4* —47*. et. V — (giis 4x-—-— ,;.€- *^*, vnde integrale completum «eft £g ?^* í mr ier EM — 268 Contb, E Aaa Porro, ob. e:/và*V —.— 2-, et y— c, erit mukiplicator algebraicus : — Conft. r z VigagU om ze qni reducitur ad 5;5——- » vti per fe eft perfpicuum. Cafus 2. quo "—r. 75. Pro lc ergo aequatione. y -4- 7d x —R ? ob B—o, C—o etc. «rit. valor particularis y— 75 4- 4. e Quare pofito e— Ls erte- vd i x e yI.s XX di 2€ e£ *. Hinc integrale completum eft £c 2€ o r3 TUM ANE Ee XXxy—x-c : 2c feu e* zx2-— t L fum ^ xy—x— rÜERS Porro, ob el vdsy [a cR eL. vU z- —2 ; habebitur mul- tiplicator algebraicus : | I : I 33))- 339-1 — E MULT - is fiue 4$ DE INTEGRATIONE cda fiue aequatio propofita dy 1-7 dx — —z«- — fit inte- grabilis, fi dinidatur per (xy—1) — zx Cafus 35. quo 7 — £. -— 76. Pro hac ergo aequatione dy43ydx-ecx. *dx—o eft B— — 5, C—o, etc. vnde integrale particulare (X. rcx xem — -——m 2-—-I l—I 3cx | S€X Y et e^ afvdx — e 6c xs Con. s I yox 54- I Ld —ÀÁ (sex) — ry 18;" (3ca*—1) Quare integrale completum eft i : 1 DES 3cX 4 I hincqee V —Je- *^** 1 e7 6065 T & *"scx dpt UP icldha. "iieude do os Conft. (sex) —1:yy—8cex "(gex?—1) 18636x—1) -—— [ "- * ^ $8 fiue e—*7 y(1--30X H-3£6X — —— Conf J(1—3635)-acex. 7 Tum,ob e/*4*V—:—9ccx!, prodibit diuifor aequa- 186 ! tionem integrabilem reddens ; -L8cex Py —9eexgy v Cafus AEOV ATIONV M DIFFERENTIALIVM. | 49 2 Caífüs 4. quo &-—;. 77. T hac ergo aequatione dy 4 y y dx-ccx "dx-o eftt B— -1- ;;, C—o etc. vnde PREDN Pene - "px ENT pex traer is E gc 3ecx x et e P" — pias lu m eX quo porro elicitur: (gcx^-t- x) c E E vat $dx Ld "( gex* -x) (sex^--x) 18€ (gea 3- x) uare integrale completum erit : B P -— d r- emo 1 ar cx )y—i--8cex "-9ex ' (x—8 iex y-i- DUCIT Pac Oc NP T (x4-3cx jy x — 55x aec? * xx—occx* SUIS, is Tum ob e/"4*y— D T prodit diuifor alge- braicus aequationem propofitam integrabilem reddens : (x4 3x?) y-1 -8ex *-8cex *Y((x-8cx*)y- 1-- 3ex *-3cex *)- | Cafus 5. quo £ — ;. 48. Pro ws ergo aequatione dy -- y ydx-ccx dx -o etm 1. 0m LR Doct ideo- Tom. VIII. Nou. Comm. G quc 3 J BEINTEGRATIONE. que integrale particulare : Um Té a 2s —4. Jos A6. T X-—LGÓX o Lex 4 100pX67-3 "56x : | m Wt X-Ix $1. PIT a. MT T2. —5 ; 29x —-5cex- ^? : ftu y—-— ——--—— --w,. Vade. integralé. come. 25c6X- 156X 4- 5; plétum- oritur: e- 106 x$ (81-1522 -eases ccv) y Sex "en EIL ut m (3—15. x 4-2 cca y-scex * PT E Et.fi huius fractionis . ponatur numerator (3-15 ge 25 acp 5 cex 5-2 $ ex P;et: denominator-(3—1 scx *roscex! yr seex- *— 256A n erit diuifor. aequationem - propofitam uis reddens, zPQ. Cafus 6. quo.5 —;- 79. Pro hàc:ergo ape) one-dy 4-y yd x - ce x.!da-e;. eit.B—t 5: et QLi—2E.D-oet. hingues integrale. Pecuiue pur J-—6X, Ter Mr Koo di weed -9* ici uc 256ccX ae ISQX --3xX 25 i: -bsoces "-prsey Tg 25ccÓ -p15ex! -- 93x vnde AEOPATIONFVM ;DIFFERENTIALIVM. 31 vnde dieere empleo. obtinetur : eei (33-156 pa seca DUE "goce "R56 ts jet -2 - (ax-L15ex q ascex? )9»—8-15cx '-30ccx s asc? Ac negle&o fa&ore éxponentiali £?** m productum ex mumeratore et denominatore praebebit diuiforem , per «quem aequatio propofia diuifa euadit integrabilis. Problema r5, 8o. Denotante i numerum quemcunque inte. rum , exhibere refolutionem huius .aequationis : cA dy -A-yydx—ccxsi dx —o. Solutio. Cum igitur fit &— au , 1cperietur B-—-— ( à 21)7 A 2(224-1)€ (Gz2r7 2) r7: i4: )i(i-1) C—4-— RENXCAVINS REGE Uo pM A. irs paerpad Cr ps Uieert TED FE 2. 4» 6( 2 1 -4- 1 )3c5 Ciz aim s)6 2-7 200i 2 :)(1 —3 )Gi- 207 8) E—4C 2. 4e 6o i 6.8(22-- 1 )*c* A etc. tum vero integrale particulare erit : -I2b6€ T1 -i-. --zo -—4 yzexin voce cob - it pgeetr pr i-2 Crete 1-3 zt ME etc. ES ES d—s Wem -L Bas "nu yn LUE ond G 2 quod $2 DE INTEGRATIONE quod vt ad eundem denominatorem reducatur, ftatuamus: 9[ — cA A P(i— 1) 25 em 2 (2i-pi) A GA 0i G —ai)G— 2) E o z SUE 2» 4 (21 -24- NGA A G7) Unc 030 — UL 26 — s) EC a. 4. 6 (21 -£- 1) tet SIM etc. vnde fiet: s s -1—35 EM —i om 9 [xs a- Sc aA vrmtu- Gro p etc. ———ER———BÉI— dC —j-—TI-——— 1-—31 t 2—— meme. 9p Rp yere ! Qc. $ua -|- etc. A ig n porro breuitatis gratia ; i—Ó i—2 ij—— 3 Apte --B x0 4 Cayo i471 -4 Dx etc. — P 1—1: i—2 i— Am Bae 4RCae — Dae LL etc. cc cpm 1 —i-2 Lg Jorn e 8270 e Cn Urn pec —i-ti —i-— —i—3 t 9e -2- 9547 — Gi 4 Gy Hi etc. Cy atque integrale completum erit : -F: Ki p. ai--ai E. É : 2(2i--1)6x Q y —AL ces B os dest Tum vero diuifor, aequationem propofitam reddens in- tegrabilem, erit — (Py — 98 Q y - 9). Coroll:--g $1. Quodfi érgo in aequatione Zy4-yydx-r ax! axo coefüciens a fucrit quantitas negatiua , vt pofito "ee AEQVATIONVM DIFFERENTIALIVM. 583 a-——«c6, fit e quantitas realis , integrale completum hic inuentam formam habet realem , et qnouis cafü facile exhiberi poteft, pariter ac diuifor, qui aequatio- nem integrabilem reddit. Coroll 2. $2. At fi « fuerit quantitas pofitiua, puta a—42Z , -— 41 vt habeatur haec aequatio: dy 4-yydx-Faaa^^*'dx —o, erit c—aV-—r1, et coeffücienes B, D, F etc. et 9f, (€, (F etc. fient imaginari ; vnde valores particu- lares P et j-e prodibunt imaginari. Coroll. g- 85. Hoc tamen cafu, quo c—a Y - 1 et cc—-ad, fient P-i- Q et $$ 2- S. quantitates. reales, at. P—Q et 9$ — £O ninaginariae. /— Quodfi ergo. ponatur P-2-Q-sR;PP-Q— 2SY-—r1; q$-- O — 23 et. 0$ —$) —2 Y —z emt R, S, 9 et € quantitates. reales , et ob P—R--SV-i; Q-R-SY-1i; $-90--&OY-1; (ficus; Rom et fiet diuifor, reddens sequationem integrabilem, (RR 4-83) yy —2(R t 4-557 2-834 5 ideoque realis. G 5 - Coroll. 4. $4 DE INTEGRATIONE Coroll. 4. $4. At eodem cafu .c—4aY -1, ob £7?" —cof 2(2i4-1)aa* ^ Y I coís(aita)ax -Yy -1ifinp,erite —Y -i.fin2(22-4-1)a23*'--'; vnde pofito breuitatis t gratia 2(2;-1-1)2a?'-** —, erit integrale comple- tum : | 1f (R—SV/—1y—9--6/—1. (cof. p -V —x (n.p). ce sy—ijy—&-—6y—i — Conf. quae forma eít imaginaria. Dorohll-^ z. $5. Tribustur autem conftanti talis. forma: &—($ "V —:, et aequatione integrali euoluta , erit : (Ry — 30) cof p— (Ry — 9 in. pY — 1—($y — €» cof ? Y —1— (Sy — € fia.» — (Ry - 5p a— (Ry — 5X) BY —3 --(Sy - 9a Y— x 4- (Sy — € g. Yam aequentur feorfim partes reales et imaginariae : (R- 3t cof. p-(5y- €) n. p-u(Ry-30-3- (57-2) (R-30) n. p--($7- D) cof p-G(Ry- 9) — a($» -€) quae duae aequationes conueniunt , fi modo fit aar za. Sit ergo a— cof. Z, et fj. — fin.Z, prodibitque ex vtraque Ry —9 ji.p--fmo g.l— Sy-— 6 — ape -— Cot. " $ Coroll. 6. AEQVATIONF. At DIFFERENTIALIV M.. 5$ Coroll 6. $6. Sumto ergo pro Z angulo quocunque, fi fit. &— aY — x,. erit integrale. completum aequationis: pro- pofitae. exiftente. mca -r i)a 4^ I Problema: '15.. 87. Denotante z.numerum quemcunque integrum; exhibere refolutionem huius aequationis.: : d dyJ-yydx—ecx—' dx —07 Solutio. Quia eff z— —-—., haec refolutio dériuari pots e(t ex folutione- praecedentis problematis ,. ponendo — i- loco ;. Quare. tribuantur litteris B, C, D, etc. fequen- tes- valores : iU —1) —1)/ " Hi — Tk 2 (2.4 —1)c A. Qa, 6d nA. 2.4 (22.—— 1)? c* D— NND CSI CEN 2» 4. 6 (2.1 e 1)5 69 etc, 'Tum: 56 DE INTEGRATIONE Tum vero alterarum litterarum 9p, 35, €, S etc determinatio ita fe habebit : 9[—cA 9y-—or A G-c- 2-4 oleo e — Sh "PORT EL T ; A G) -l.pCE3U3X JUR a I cT 2. 4. 6 (21 — 1)5 c2 etc. Quibus valoribus:con(litutis, ponatur breuitatis gratia: i Trid Ti rip: Axti— Bx? /7'--Cx:/—7: --Dx^—'-r etc, —P APO --i-H-I i-i --i4d-:i e — Bii pri -pDr!—'rEet —Q —-i —i4-2 x 977-9 u7tup Est EG bee 9) —i—1 —i -i--s L9[sin p gai — Erie ete, — €) atque hinc ftatim habentur duae integrationes parti. culares : b. on. Ll y—p NT: Hess Tum vero UD Anean completa erit: BU i. et diuifor aequationem inii integrabilem reddens, fit —(P5-95(Q»- 9». 2 (2 2i—iyan Conft. e Coroll. AEQVATIONPM DIFFERENTIALIVM. 3$ Co?DH, €. $8. Quodíi autem aequatio propofita fuerit hu- iusmodi : " dy--yydx-- aaa —'dxczoó vt fit cc—-— 24, et ca Y — 1, iütegrationes. particü- lues exhibitae fient. imaginiáriaé ; cb DB, D, F, etc. iem 9[, G, (€ etc. imápinarias, dum rcliquatüin lit- terarüm valores fünt reales. Coroll..2. 89. At fi ponatur: P-PQczR; P-Q-—25Y-:; $$--0—23d et S—20—28Y-1 quantitates R, S, S, et C5 nihilo minus éent, vt ante, zeales , €t diuifor aequationem reddens integrabilem erit : (RR -1-55)55-s (R914-5 €) 4-909024 O G5. Coroll 35. 90. Tum vwero,fi ponatur breuitatis caufa 2(2/-1) à —-— * 43*/—'—p, aequatio integralis completa erit: S»y—€" vnde elicitur : . St n. —?— C cor, t? JC RüECERIS cR wbi angulus Z vicem gerit conftantis arbitrariae. Tom. VIII. Nou. Comm. H Scholion. 58 DE INTECRATIONE Scholion. 91. Solutiones horum duorum poftremorum pro blematum non tam per accuratam analyfin íunt euo« luae, quam per incuctionem ex cafibus particularibus fupra expeditis deriutae , ^ quandoquidem progreffio ab his cafibus ad fequentes fatis erat manifefla. — Funda- mentum autem harum fíoluionum in hoc potiffimum eft fitum , quod fo'urio particularis , vnde omnia funt deducta , re vera eft geminata, cu» quantitas c, cuius. quadratum tantum in aequatione differentiali occurrit ,. aeque negatiue, ac pofitiue, accipi po(ht. Quoties au- "tem huiusmodi aequationum binae folutiones particulares fünt cognitae, ex iis multo faciliu« folutio generalis ,. in- deque multiplicatores, eas integrabiles reddentes, erui pose funt , id quod operae pretium. erit clarius expofuife- Problema rz. 92. Datis duabus íolationibus particularibus — fu iusmodi aequationis : dy A-Pydx A-Qy ydx -- Rdx —0 inuenire eius folutionem generalem, et multiplicatorem;- qui eam integrabilem reddat. Solutio. Sint M et N huiusmodi functiones ipfius x, quae loco » fubftitutae , ambae aequationi propofitae fatisf- ciant, ita vt fit: 4M 4-PMZx-r-QM*dx-I- Rdx—o e dN -3- PN2x 4- QN dx 3- Rd — o. ! Ponatur AEQVATIONVM | DIFFERENTIALIUVM. 359 —Nz .Ponatur $—À4 — 2, feu y — L—— S, erit dM-— i ida M auda - NA S ndn dA EE o oos oor ns quibus valoribus in aequatione propofita fubftitutis, et tota aequatione per (1—2)' multiplicata, prodibit : (1-2)2M -z(1 -z)dN-H(M -N)d-4-P( x -2)M dx- P(x - z)Nzdx --QMMdx-2QMNzdx-1- QNN2zdx-4- R(1-z)'dx—o. lam pro 4M et dN fuübftituantur valores ex binis fu- perioribus aequationibus differentialibus oriundi : — P(1—2)Máx-Q(1—2)M'*dx-R (1—2)dx -FPa(1—2)Ndx-4-Qa( x-2) N'dx4-Ra( 1-2)2x--(M-N)dz—0 -- P(1—2)Mdx--QM'dx -- R (1 —2)'dx —Ps(1—2)Ndx—2QMN24dx -- QN'zzdx qua aequatione in ordinem redacta, orietur : Qz M'dx -1- Qz N'dx 2 QM N zdx-1-(M-N)4a—0 feu Q (M—N)4x-- 2 — 9, ita. yh fit: v kem C e-/ Q.(« - N)d x vnde aequatio integrata generalis erit: g/ GM — N)dx J-—X — Conft Pro multiplicatore autem inueniendo , notetur , aequatio- -nem propofitam, facta fubftitutione primum per (x—zy, effe multiplicatam , tum vero diuifam pen z(M—N), euafifft integrabilem. —— Statim ergo per u A ; muli plicata fiet EE ex quo factor crit LES Nw qui Ob z-—7-x hanc induet formam : | Cy- M) (y - N)* H 2 Proble- "" DE INTEGRATIONE Problema zs. 93. Propofita aequatione. y dy -i- Py dx -Qdx-o, inuenire condit:ones. fun&ionum P et Q', vt huiusmodi muluüplicator ( y 4- M)" eun reddat integrabilem. Solutio. Ex naturi ergo differentialium effe. oportet : i5 d. y (y 4- My — zd (Py --Q Cy -- Mf vnde cum M fit functio ipfius x tantum, erit ny( y- M) 7 35 —PCGr3- Mya-n(Byr- QO rp Mp7" quae diuifa per (y-1- M)" —" abit in hanc: 2345 — (n-- 1) Py 4- PM a-2Q- vnde nece(ífe eft fit: ^ Rol LcEBM 0-7 MdM P— aa e& OQ — n RES IL UE pes iowft. UE DL His igitur valoribus fübftitutis aequatio |. "yd MdM X. pagi ssp fit integrabilis, fi maltiplicetur per ( y -1- M)". Coroll. r. 94. Quia hiec aequatio: eft homogenes, ea quo- que fit integrabilis, (i diuidatur per (7-1- 1) yy-A- ny M —MMcr4-M)(m4-1:)y-M) Neque ergo hinc &ouae aequitiones. methodo hac tractabiles. obtinentur. Coroll. 2. 95. Quoniam autem habemus duos. multiplicato* 1ic$ ()-I- MY et Grim fialter per alte- rum AEQVATIONVM DIFFERENTIALIVM. 6t rum diuidatur, quoties conftanti arbitrariae — aequatus dut Biigrale completum. — Quare aequatio ydy M zu —n-, — O generaliter integrata praebet : (y -4- My '((1-1- x) y —M) — Conft. Problema 16. 96. Propofita aequatione y 2y--Pyd x --Qdx-o, inuenire conditiones functionum P et Q ; vt huiusmodi multiplieator (yy-t- My-1- N)* eam reddat integrabi- lem. Solutio. Ex natura differentialium fit neceffe eft : 25 LJ (0) My - Ny — 354. (Py-Q) (yy My-- NF Cum igitur M, N, P et Q fint per hypothefin fün- &ones ipfius x, erit, ficta euolutione : 8) (y -I- My a- Ny (527 2-43) - Por My Nr -A- 2(Py 4-QJC 24-7 M) (gy 23- My A4- N —* et poft diuifionem per (yy 3- M yA-Ny-: 28)y4s-l- 42 — (21-41 1)Pyy A- (H7 1) PM y-A- PN 4-290Qy -d-"7QM Hinc fiere oportet : ]l. sz4M—(2n-r-1)PZx IL. ndN— (n24- 1)PMdxd-21Qdx Il. | o—PN4-7QM Prima dat P—654.az, et vltima 0 as H 3 feu ó | DE INTEGRATIONE fau Q—c jus , qui valores in media fübftittti prae« bent : L—n(gn-:)MdM — 21NdM naNc-— T C Cmn En (2423-3) M4N-I- 2 N4M —(1-1- 1312 MMZM LETRA quae multiplicata per M ?*-' et integrata pracbet : e "Ex (21-21- 1) M?" Nc Conft. -- (2-- 1)/ M742M 44-d-4 feu (25-1-1) ^" N— Conft, -- 22 M zx vnde ft N—a M? iM". Cum ergo fit -270-45 Pgx—^*23U. eg One lg LN HIE RN. A an-]-r AS 2n-- I 4(ane-p1) ifta aequatio differentialis : | -20-3 1 ; r nydM MdM eu 2 -j-1 —. JA X 4(an--1) . ILLM 4M-—o integrabilis redditur , fi multiplicetur per (v 2- My 4- 1M Ar a Mey. Coroll 1. 97. Si fuerit —:7—5 — x , feu n— —z; tio differential eft homogenea, et fi d e Íeu 7—-—i1, primi gradus. Vtroque autem caíu nulla eft difficultas, cum aequatio facile tractari poffit. Coroll, AEOPATIONVM DIFFERENTIALIVM. 65 Coroll. 2. 98. Magis ergo abílrufi erunt cafus, ibn ex- ponens 1747 neque et o, neque t. Sit ergo - 5 —4, vnde fit 25— — 7. et aequatio differentialis Jdy -i(m4-3)yd M4- iC 4- 3) 4M; m: )M" 4M-o integrabilis reddetur per multiplicatorem -m-»x Q 24- My 4-1 MM 4- M7 Coroll. 3. 99. Quod fi iam pro M functiones quaecunque ípfius x fubítituantur , aequationes tam complicatae for- mari poterunt, quas quomodo aliis methodis tractari oporteat , vix lique£ , cum tamen hac methodo earum refolutio fit in promtu. Scholion. 100. Si quis haec veftigia vlterius profequi vos luerit , dubium eft nullum , quin haec methodus mox multo maiora fit acceptura incrementa , quibus vniuerfa Analyfis non mediocriter promoueatur. — Specimina etiam hic euoluta ita fünt comparata, vt viam ad inueftiga- tiones profundiores parare videantur, praecipue fi infüper alia aequationum differentialium genera fimili modo per- tra&entur. Veram haec, quae ha&tenus protuli, fufficere videntur, animis Geometrarum. ad ampliorem huius methodi enucleationem incitandis , quem epu mihi, equidem. potiffimum propofueram.. SOLVTIO 64. S88 ( 0 ) "ER SOLVTIO PROBLEMATIS DE INVESTIGATIONE TRIVM NVMERORVM, QVORVM TAM SVMMA,QVAM PRODVCTVM, NEC NON SVMMA PRODVCTORVM EX BINIS, SINT NVMERI QVADRATI. Auctore L EVLERO. Xo E problemata huius generis , quae Diophantea ap- pellari folent , parum vtilitatis afferre videntur: famen certum eft, Analyfin Mathematicam, atque adeo etiam eam partem , quae circa infinita veríatur, ex methodo problemata Diophanteai foluendi, maxima in- crementa cepiffe. INon folum autem huiusmodi proble- mata, fi fint difficiliora , fines Analyfeos plurimum am- plificauerunt : fed etiam vim! ingenii mirifice acuere fo- lent, wt etiam in aliis problematibus , quomodo folutio- nem inftitui oporteat, fàcilius perfpicere valeat. Quam ob rem huius generis problemata , praecipue fi modus foluendi magis füerit réconditus, minime contemnenda effe arbitror. Dum enim fingularia artificia ad eorum folutionem requiruntur, ab iisdem quoque egregia fübfi- dia ad vniuerfam Analyfin vberius excolendam expecta- xe licebit, 2. Ad hoc autem genus potiffimum referendum videtur problema propofitum, quandoquidem id diu et DE INVESTIGATIONE 65 et multum per varia Methodi Diophanteae artificia fru- ítra tracaui , vt fere etiam de eius f(olutione — penitus defperauerim. —— Tandem vero , quafi inopinato, folu- tionem fum confecutus, quae co magis notatu digna videbatur, quod minimi numeri, quos quidem — adhuc fatisficientes elicere potui, funt ita praegrandes, vt mi- rum non fit, folutionem tantis difficultatibus fuiffe in- wolutam. Quare cum methodo fingulari ad iftam fo- lutionem pertigerim , eius ampliorem explicationem vfü non effe carituram arbitror , cum fimili fortaffe modo aliae quaeftiones multo adhuc difficiliores füperari queant. i$. Quaeruntur ergo tres numeri, quibus tres íe. «quentes conditiones conueniant: I. Vt eorum fumma fit numerus quadratus. lI. Vt fümma produ&orum ex binis fit numerus quadratus. HI. Vt produ&um omnium trium fit numerus qua- dratus. Quod problema etiam hoc modo enunciari poteft , wt quaeratur aequatio cubica z'—paz-r-qz—r—o, omnes íuas radices habens rationales , cuius finguli coeffi- Cientes 5, 4 et " fint numeri quadrati. Poffet adhuc adiici haec conditio, vt ifti numeri fint integri, verum per fe eft perfpicuum , quomodo inuentis ternis nume- xis fractis fatisfacientibus , ex iis facile integri, qui ét- jam fatisfaciant , formari queant. Quicunque enim terni humeri fatisfcere fuerint inuenti , iidem per numerum quadratum quemcunque multiplicati aeque fatisfacient , quo pacto fra&iones facillime. tollentur. "Lom. VIII. Nou. Comm. I 4. 66 DE INVESTIGATIONE 4. Sint igitat 4x, ny, nz tres hniusmodi mu. meri qua-fii ; ac fatisfieri oportebit his conditionibus : I. Vt fit n( x 4-y 4- 2) — Quadrato II Vt fit nn(xy-- xz 4-y 2) feu Xy 424-2 2 Quadrato I. Vr t a^ xyz fen 2xyz — Quadrato. At primie et tertiae conditioni fatisfiet , fi reddatur xyz(x--y-t z)- Quadrato. Ponatur ergo : (00 Xyz(x-y-4-z)—ecv(x--y--iy vnde per x-i-y-1-z diuidendo erit Xyz—vv(x--y--z), hincque z— Cum igitur hinc fiat xyzc tM Wt 7xyz prodeat, quadratum capi debet, n—m'xy(x--y)(xy—ovov) Hisque valorib:s pro z et s aífumtis, fatisfacum erit primae et tertiae conditioni. "vv (x A4-—] *y)-——vv * 5. Hinc itaque noftri tres aumeri eruat primus nx— mmxxy(x-t-yYxy—ov) fecundus. ny —mmxyy(x-r-y)(xy—ov) terius — nz—minovxy(x--y) vbi per numerum arbtrariam 7z fractiones, fi quie forte eccarrent , tolli poteruat. — Verum contemplemur iam Xd Andit;/aner do ; LL vv(x-Ry) M vis) conditionem , quae ob z— zy-vwv Iequirit , «hr: 20 0v(x-y)* TRY Xy "xycwe c Quadrato. Pona- NVMEROR/V M. 64 Ponamus in hunc finem: vv --uu Mu-vU-— uu wt füt ye ———. et $— erit xyy—vv-|-ug et x--y— LET efciendumque eft , vt fit vU-FUu--—— rece rv-et — Quadrato. uxx — )0v7--ux 6 Ponatur x—f9; vt fit y — —;,—-, effeque vv x 4» "uu debet UU -L- uu -- CX peu — Quadrato , feu multplicando per z£uz Huwvo-M ttu!) (It-1-x) -- uiv Tt-1- x)--u*— Quadrato , fiue w'(ftt-41-1 ) --uuv( gtt-4-2)-i-w (tt 4- 1) — Quadrato- Statuatur huius quadrati radix — vo(ft-1- 1) -1i- suu, erit vv(37t-1- 2) A-uu(£t - 1)222 sov (tt -4- x) p osuu, vnde elicitur mo--. ff--:1-53 uu — A2. — Quadrato, Sit porro s—:—^7 , et habebitur : "D 15 2ri-rr--1 as uu — at*-(ir-p:)it-A-2:- (704-4) Multiplicetur numerator et denominator per 27?—rr-4- t, vt fiat vv» Grt-rr2-i* Mu— 4TI*-2(srr-E-sT—-1) 5 -- (205-7 3TT 24-2 1—3)U-2(3 r—1)r-pE t)t2E2( 7-1) n4 3 4. Tota ergo quaeftio huc eft perducta, vt ha- jus fracionis denominator reddatur ideato e pofito enim Art "—2(arr-b-8r—1)! d- (25 -- Svr 2r 9) —2(sar—s)(ra- 1)t2- 2(r—1(r4- 1) —QQ I 2 erit és | DE INVFESTIGATIONE erit. definitis hinc 7 et 7r UD 2ri—rr-L-: ' ibus) : Dem. d , um vero xX—/9oet y— ——u- vnde numcri quaefiti dcfiaientur. — Ante. autem ,. quam ad iflim aequadonem. pertigimus ,. folutionem. iam li- mitaumus pofitione xy —vv-— uu , quae. reftrictio: pro- be eít notanda, quoniam. nullum. eft. dubium ,. quin eius- modi extent. folutiones,, in. quibus. xy —?v non fit nu- merus quadratus , easque propterea hinc non reperiemus, Verum hanc limitationem. ideo. facere füm coa&us, vt ad iftam. formulam: quadrato. aequandam. peruenire licue- rit, quippe quae: ita. eft. comparata, vt per cogüita are tiüicia refolui. poffit. Sicque. tota. folutionis. vis in. redue &ionibus $. praeced. eft fita. $. Pluribus autem cafibus haec formula et qui- dem infinitis: modis quadratum effüci poteít, quorum: praecipui, et qui flatim. fe offerunt funt:. 1^). Si. coeffi- ciens ipfius 25, fcilicet. 4r, feu r, fuerit numerus quadra- tus. 2") Si terminus vltimus 2( r — r )(r-- 1) feu 2(r-— x) fuerit numerus quadratus : vtroque: enim ca4- fü per regulas. cognitas. valores idonei pro £ elici, tum vero: porro. ex. quolibet. alii. noui inueniri poffunt. Sin. autem fimul et 7 et 2 (r — x ) fuerint quadrata, vna operatione plures. valores idoneos pro £ eruere licet, neque vero hic, vt plerumque fieri folet, folutio fim- plicior fe offert ; eti enim fi 2(r— x ) — quadrato, fatisacit valor ? — o , tamen inde. prodit x-- o. et jJ — oo, qui valores pro natura. quae(tionis plane. funt incongrui. Excluduntur enim folutiones , quibus vnus trium numerorum quaefitorum euaneíceret , quia tum quaeftio. NVMERORJ/F./. 69 quaeflio effet facillima et circa. duos mumeros verfare- tur, quorum tam fumma, quam produ&um, effet qua- dratum. Cafus 1. quo ponitur f£ r. 9. Hic cafus fimplicifümus videtur, quia vlti- mus terminus noflrae formie' euanefcit, primuwque fit quadratus. Habemus ergo 4it—10t-- 4t£- 8t QQ et Ts E. Ad hanc aequationem:. foluendam ftatuamus Q — 2 27 -3f eritque 411—812 90; 2£—7—85 et t—— S. At hinc fiet 7- — —— — L7; vnde habebimus q-—36;4—179; lzz—- et x-—tvczci28 indeque porro y — ie 47699 367.47609^ Eti ergo x--y-—— A et g— ua ac. tres. numeri quaefiti erunt,. ob. Xy — 7 V—UM, : 1282«25. 1249: 47609:1737 : Bine ecu cese pewern f TU 128. 251.12497. 42609. 1727 Secundus. m 1287. 128915 1n dut. 67. 128«25. Y24 ge 47609? nite rr "Tertius: FTT 3282/12/87... ro. Ad fra&iones tollendas ponamus fg — 7 » eruntque terni noftri numeri. Primus — 128'.173*.1 249.4609 — 128*.173* ti Secundus — 57.173'.124.9'.47609 — 5.17 9*.1249 bin 1249. 43609 Tertius — 367.1249.47609^ -2 836747609 Dos qui- 40 DE INVESTIGATIONE quibus numeris euolutis erit Primus — 4903567436. 5946364x Secundus— 934533025. 5946564.1 Tertius — 61701264. 5946564x quorum prcdu&um manifefto eft quadratum 2 quippe 57.567. 128*. 173'. 1249'.47609*. Summa autem reperitur 25. 59463641* et fumma productorum ex binis : 173'.594636417. 1824892455936 cuius radix quadrata eft 173.5946564.1. 4271836 rir. Pro eadem aequatione refoluenda poni poteft Q-—»tit—it— $, vt tres primores termini tollantur, ac prodibit -8f--F- i-r 1,,feu o7173£-- 55, ergo 2 — Z7. 405 [5 207563 Hinc Qu ee ud- 32: 178 1s ——— 128. 175? et T — -d- L54. Sumi enim poteft valor ipfius Q tam negatiue quam pofitiue. Statuatur ergo Q—-144.173;4—207563 ; erit x — 9. B1 27 729 et y — ———. vnde iam manifeftum eft, ad tam enormes perueniri numeros, vt folutio praecedens prae hac multo fimplicior fit aeftimanda. | Superfluum autem foret , huiusmodi folutiones nimis complicatas vlterius euoluere, quia in huius generis quaeftionibus folutione fimpliciffima plerumque contenti effe folemus. Cafus NVMERORF M. 7X Cafus 2. quo ponitur r—; 12. Hac pofitione vltimus formulae noftrae ter- minus fit quadratum , eritque 7 — 5^, exiftente QQ-—6r—«uP-- tb À- Iam, ad tres terminos vltimos tollendos, ftatuatur vA T eritque 6i—9p—xut* -zb5 et E— 8 hincque Q—*7* et 7-.—;2, vnde v-—19 et &— 14. 721 is Pub Lm EL 5$y Nunc igitüp'erit'u—10-—60; et yl—1— — 4T57 ideoque x --y— 5 et tres numeri eicit iti : s » 55741572! 06 Primus — m Im — 4.607.551. 4153 60» 5577 4157«106 Secundus —7 7 MIEL 147.99 T. 415 3612 60e 557o 41527 RON Lu MEREL197.597.4€54* pofito :— 60: hique numeri iam notabiliter funt mie nores quam ii, qui cafü primo funt inuenti. :3. Quoniam ergo hi numeri ob paruitatem attentione digni videntur , ii ita exhibeantur : Primus zc 705600. 3315449 Secundus — 109172.2315449 lertius — 1500677. 2315449. Quorum numerorum fumma eft —2315449*, et pro- du&um. — 14*. 197.607. 557*. 4157^*, ficque vterque nu- merus quadratus. At fumma productorum ex binis erit (14^. 407. 147. 557-171 4".60".19*.4157-4- 147.557. 197. 4157)23154497 quae vL. DE INVESTICATIONE quae reducitur ad hanc formam: : 14^ 2315449*.6651333489 cuius radix quadrata cft 14.2515449.814393. | Sunt astem hi numeri circiter 15000 vicibus minores, quam primum inuenti. Cafus 5. quo ponitur r5 STET ,ct habebitur 144; Poffo r—5 fi -— MEI haec aequatio refoluenda : QQ-—a21*—70f-- 841t—641-1-64. lam ad ternos vltimos terminos tollendos ftatuatur "m Q—8—4-- V1 , eritque 121570 P — 21 94 Ts RA fap tae ;8. 213601 vnde elicitur £2— 7. et Q— V, D uem uri C $29. etr Da SRI T 128/07 Ergo Eo Yo m Pc dex 37. 251* ideoque v ——23.97 et 11237. 251; ium X-iv-23. 24? ét y — 27772. Verum fücile perfpicitur, hos numeros in immeníum excrefcere , vnde iis emoluendis füperíede- mus. Contempkmur ergo adhuc vnum cafum , quo tam primus, quam. vltimus terminus formulae QQ fiunt quadrati. Cafus 4. quo ponitur 7—g. 15. Pofito r— 9, fit 7- — ^5, exiflente QQ—3670—55380£-- 1938 7 P229 mbSege i600 Tollmus terminos primum et duos vltimos, ponendo Q— 40— 2t-- 611, et habebimus — 5380/4 171612 4E 287 -- 4801 E vnde NV MEROR/JV M. 73 nde elicimus pro vtroque figno Se 10l 16,23 fuperiori 7 — ? vtrinque autem prodeunt jncwon 7-—- RE numeri nimis magui. $2» 77 "lollamus ergo tres terminos vltimos, ponendo ,Q—40—- fid US hinc autem numeri multo ic maiores reíultant. Poffet porro pro binis terminis primis cum vltimo tol- lendis poni (Q—.677— ^7 ; -- 40, verum hinc multo minus ad numeros fimpliciores perueniemus. 16. Ex his fatis tuto concludi poffe videtur, mi- animos numeros problemati fatisfücientes effe eos, quos $. 18. clicuimus , .qui «ergo, /fi penitus per multiplica- donem. .euoluantur. ,, ;erunt ; v Primus 1635780814400. titia 252782198228. vuU" TerBus obe: 3474741058973. Sin autem in fra&ionibus numeri fatisfacientes fimpli- «iffimi defiderentur, ii indidem affignari poterunt , his per 2815449* diuidendis ita vt hi numeri füturi fint: 795600 2819449 - 196 » i^sSecundus — 57. | quiae Dd | ' Tertius Te quorum tam fümma, "quam fumma productorum ex ibinis , et omnium trium -produdum , funt :iumer quadrati. lH j Primus [E kuf'om. VIII. NO COR." 2 ; iu THEORE- uÁ 7T 0 98 (0) 9839 THEOREMATA ARITHMETICA . NOVA METHODO DEMONSTRATA. Auctore EL EPFTEROS. bp varias computandi operationes , quae vulge in Arithmetica tradi folent ; huiusque difciplinae quafi partem — practicam conftituunt , eiusdem pars Theoretica , quae in indaganda numerorum natura ver- fatur , non minus jam olim tractari eft coepta, quem- admodum ex. Exuclide et Diopbanto intelligere licet , vbi infignes numercrum proprietates erutae reperiuntur ac:demonfltratae, — Quo magis autem ' deinceps numero- rum indolem et affectiones Mathematici funt fcrutati , multo plures eorum proprietates obíeruauerunt , vnde pulcherrima "Theoremsta numerorum naturam illuftrantia deriuauere , quae partim demonítrationibus funt munita, partim etiam nunc iis indigent, fiue quod eae ab auctoribus non fint inuentae, fiue temporum iniuria deperditae : ex quo genere plurima paffim occurrunt huiusmodi Theoremata numerica ; quorum demonftra- tiones adhuc de(iderantur, etiímíi eorum veritatem in dubium vocare noa liceat. ^ Atque hic infigne difcri- men, quod inter Theoremata arithmetica et geome- trica intercedit ; non parum mirari debemus, quod vix vlla propofitio geometrica proferri pofüt, quam mon fit in promtu, fiue veram, fiue fal(am, oftendere, ^. dum LI NOVA METHODO DEMONSTRATA. 55 dum contra multae circa numerorum naturam notae funt propofitiones ; quarum veritatem nobis agnofcere , neutiquam vero demonílrare liceat. — Magna huiusmodi Theorematum copia a Fermaio relicta habetur , quo- rum demonftrationes maximam — partem (c — inueniffe affirmauit, quas cum eius fcriptis interiiffe in eximium huius ícientiae detrimentum non parum eft dolendum. Quot autem talium Theorematum demonuftrationes vel funt cognitae , vel reftitutae ; ^in iis certe multo maior vis ingenii elucet, quam vix in vllo alio demonftra- tionum genere deprehendimus ; vnde in hoc negotio non tam vtilitas ; qua fcientia numerorum illuftratur , eft aeflimanda., quam maxima f(übtilitas , qua huius- modi demonflrationes prae aliis diftinguuntur. ^—— Atque ob hanc caufam , cum iam fàepius , quam plerisque aequum videri queat, in hoc genere laborauerim, ope- ram mihi equidem non perdidiffe videor , neque etiam nunc theoremata , quae hic propono, vwtilitate caritura confido. | Notatu imprimis dignum vifum eft Theore- ma illud Fermatii , quo omnes numeros in hac for- mula 4?—'— x contentos, femper diuifibiles effe per nu- merum f, fiquidem is füerit primus , neque tamen 2 per eum diuifionem admittat, affrmauit ; cuius Theo- rematis iam geminam dedi demonflirationem. — Nunc autem idem in latiori fenfü contemplor, atque in ge- nere, fi diuifor non fit nwmerus primus, fed quicun- que IN, inueftigo , cuiusmodi exponentem poteítati cui- cunque tribui oporteat, vt expreífio z"— x íemper fit diuifitils per numerum IN, dummodo numerus 4 cum €o nullum habeat diuifoteem communem. . Inueni au- K 2 tem J6: THEOREMATA ARITHMETICA tem hoc (emper wíü venire, quoties. exponens. 7 aequa" lis. fuerit multitudini numerorum. ipfo NN. minorum , qui fint ad IN. primi. — Ad hoc ergo. demonftrandum,. ante: omnia huiusmodi: theorematibus cft. opus, ex. quibus, propofito numero: quocunque. IN, cognofci poffit, quot inter numeros. ipfo: minores. futuri. fint. ad. eum. primi , feu qui nullum: cum. €o. habeant. communem. diuiforem 5. quae. theoremata: iam: ipfa, multo: ampliorem. vfum. ha- bcre , atque- ad alias; magis abíconditas numerorum: proprietates aditum: parere , videntur. is autem prae-- miílis ,, demonftratio: veritatis. propofitae ita eft. compa- Zata, vt maiore. attentione. non. indigna videatur. 'Theorema. r. r. Si per numerum quemcunque 7 termini pro-- egreffionis: arithmeticae: cuiuscunque ,. cuius differentia fit: numerus ad. z: primus ,. diuidantur, inter refidua occurrent: omnes. numeri. diuifore. 2; minores.. Demonftratio. Sit progreffonis arithmeticae terminus primus ——4, et differentia — 4, quae fit ad & numerus. pri-- mus, feu quae cum numero: 7 nullum. praeter. vnita-- tem: habeat diuiforem: communem ,, ita. vt. progreflio» arithmetica: fütura: fit x: 4,4--dja--2d,a-1- 3 da - 4 dja -A- 5 d, etc. ac dico: fi finguli. termini per numerum 7 diuidantur ,. inter. refidua: omnes: numeros. ipfo 1. minores: Occurrere. ^ Adi NOVA METHODO DEMONSTRATA. 7 Ad hoc demonftrandum fufficiet huius. progre(fionis tan. tum 7 terminos confideraffe , qui (unt ; 4,4-1-d,a--2d,a-A-3d, . . - a-t- (n-1)d. Quodfi ergo ifti termini finguli per diuidantur, omnía refidua. inter íe diuería effe oportet. Si enim duo ter- mini, veluti 2-1- q.d et 2-1-»d, exiftentibus [& et v numeris ipfo 7 minoribus, per 7 diuifi paria praebe- rent refidua , eorum differentia (v—X)4 vtique. per & effet: diuifibilis... Cum: autem; numeri d et 7 nullum ha- beant diuiforem communem ,. neceffe effet, wt v — yk diuifionem per 7: admitteret ;, id quod effet abfurdum , ob y—pM 7. Quare cum omnia. illa refidua fint di- verfi, eorumque numerus; vtpote terminorum numero aequalis, fit — n, in iis omnes: plane. numeri ipío jr Thinorcs oteadem fcilicet :: S REA ONIS TRAP CE REM fiquidem differentia progreffonis d fit numerus ad' diui- forem propofitum s primus. | Q.. E. D. COTIOIDTTS . 2. Inter terminos: ergo progreffionis arithmeticae cuiuscunque, quorum: numerus eft 7; dummodo differentia: eius ad 5 fit numerus: primus ,. certe. reperitur . vnus y» .qui per z eft diuifibilis : tum vero etiam aderit vnus, qui per s diuifus ditum: refiduum r relinquit. E Coroll.. 2. $. Si ergo" numerus d ad n fuerit primus, fem- pet numerus: huius: formae: 2 -1-v | exhiberi poteft ,. K. 5 exiítente: 28 THEOREMATA ARITHMETICA exiftente 2 numero quocunque ct » minore quam z, qui per numerum 7 fit diuifibilis , atque etiam fub iis- dem conditionibus femper talis dabitur numerus z -1- v5, qui per 5 diuifus datum relinquat refidunm r. CotoLL «25. 4. Datis igitur numeris z et d, quorum hic 4 ad *» fit primus, femper inuenire licet numeros |. et y, vt aequationi huic: a-vd-— 9, vel etiam huic: &--v»d-gyn-i-r (atisflat, quicunque numerus minor quam f pro £ aflumatur. Scholion. 5. Quod de progreffionis arithmeticae termino- rum numero 7 demonfílrauimus, id de tota progreffione in infinitum continuata valet: termini enim , qui poft ilos » terminos fequuptur, eadem ordine reproducunt refidua , [fi per 5s diuidantur. ^ Ita terminorum poft & -i- (1— 1)4 fequentium , qui fünt a-ErZ, e (n-- 1)4; a--(n--2)d etc. per s diuiforum refidua, conueniunt cum refiduis ex terminis initialibus 2, 2-1- d, 44-24, etc. natis. Atque fi tota feries in infinitas periodos diftri- buatur , cuique z terminos tribuendo, hoc modo: qb. . ad (n-x)P|a- nb... (001-1 J| a-- ob....2-- (8-1) termini cuiuslibet periodi eadem praebebunt refidua, eodemque ordine difpofita ; omnium enim periodorum termini cum primi, tum fecundi, €t tertii etc. con- ftanter paria dabunt refidua. — Quare 6 rationem refi- ... duorum NOVA METHODO DEMONSTRATA. $39 duorum coguofcere velimus , fufficit vnicam — periodum examinaffe. Theorema 2. 6. In progreffione arithmetica , cuius terminorum numerus eft —7, totidem termini erunt ad numerum f$, primi , quot inter numeros ipío » minores dantur ad 1 primi ; dummodo differentia progreffonis fuerit ad s numerus primus. Demonftratio. Sit enim «4 terminus primus, et 4 differentia progreffionis , quae fit ad ; numerus primus, ideoque ip(a progreffio 7 continens terminos ; &,&443-d,a-31-2d,44-3d, ..... a-A- (n—x)d. Quoniam igitur, fi hi termini per numerum 7 diuidan- tur, inter refidua occurrunt omnes plane numeri ipío 7» Ininores ; ponamus ex termino quocunque 4&4-i-»4 re. fulare refiduum r , ac manifftum eft, fi r fuerit nu- merus ad z primus, illum quoque terminum 44-v4 ad 2 fore primum, fin autem f' cum 7 habeat quempi- am diuiforem communem , idem quoque erit diuifor communis numerorum 5 et 2-1-vd. Quare quot in- ter numeros ipío s minores fuerint numeri ad s primi, totidem quoqne inter terminos progreffionis arithmeticae propofitae habebuntur numeri ad 7 primi. Q. E. D. 7- Si "^ fuerit numerus primus , quia omnes nu- meri, ipfo minores, ad ipfum quoque fünt primi, quorum 86 THEOREMATA ARITHMETICA quorum numerus ergo eft aequalis —72-—r 5 in illa etiam progreflfione arithmetica omnes termini praeter vnum erunt ad s primi, quippe vnüs per » eft diuii- bilis. Coroll. 2. /$. Sin autem 7 fuerit numerus compofitus ,. inter umeros. ipfo. minores dabuntur .quipiam , qui cum; eo diuiforem habeant communem ; totidemique. Vero etiam feperientur in progreffione arithmetica , quibus iidem communes diuifores cum 5» «conueniant. | &orollo: 3. 5. , sincifissgoiq 9. Ita fi fit 2-6 , quia inter numeros ' fenario dninores fuht"duo ad .6. primi, fcilicet. 1 et :5-;- in omni progreflione . arithmetica .6 terminorum : . o: i 4,4--d,a-3- 2d, a-A- 3d, a-—4dya-A- 5d. duo tantum erunt ad 6 primi , dummodo differentia Z fit ad 6 numerus primus. ^. Tra fi capiatur gu. 4-5, horum fex numerorum 4 , 9, 14, r9; 24, 29, duo, filicet 19 et 29, ad 6 fünt primi, vüus 24. per 6 diuifibilis ; reliqui WS 4 95 jm ad 6 eurer per mde ac 2y 35 E * " ; : "n Ww ON "19 i 14 Sc otio n. | snpotp muabis xo. Haec Theoremáta in doctrina et contempla- tione naturae numerorum. HET habent víüum, hic autem ea folum adhibere vifum eft ad hanc quacftio Siem: enodandam : "Propofito nmero! quocunque. , quot nter mmmeros ipfo muünores futuri fint ad eundem Miu niB- i. i5up Tult "NOVA METHODO DEMONSTRATA. 81 vum n primi? Statim quidem patet fi s fit numerus primus, omnes numeros ipfo minores fimul ad eum fore primos, eorumque idcirco numerum effe —7— 1. Verum fi 2 fit numerus compofitus, multitudo nume- rorum ipfo minorum ad eumque primorum eít minor, quanta autem fit quouis cafü , non tam facile affignari poteft. Ita, fi fit 7— 12, inter numeros minores tane tum quatuor reperiuntur ad r2 primi, fcilicet 1, 5, q,1r:etfíifit »— 6o , numeri minores ad eum pri- mi funt ; I,7,11,I3,17; 19,23,29,31,37, 41, 49, 475 49,53:59 quorum numerus eft 16 ; vnde reliqui 45 omnes cum 60 diuifores habent communes. | Moneri hic conuenit; vnitatem ad omnes plane numeros effe numerum pri- mum , etiamfi omnium fit diuifor ; id quod ex defini- tione eít euidens , qua. numeri dicuntur eífe inter í& primi , qui praeter vnitatem alium nullum agnofcunt diuiforem. 'Theorema. 5. II. Si 7 fit pote(las quaecunque numeri primi , feu 2n— p", inter numeros ipfo minores tot erunt ad eum primi, quot vnitates continentur in $"—597-—' Epp - i). | | Demonftratio. .. Multitudo omnium numerorum poteftàte: 7 — 5? minorum eft 5"— x , inter hos autem reperiuntur qui- dam , qui ad ? non íünt primi , ornnia fcilicet ipfius f multipla , minora quam 75, nullique alii praeterea : ex quo íequentes numeri ad s non erunt primi: P.:p,3p,4p cw -"-- F-p Tom, VIII. Nou. Comm. L quo- $2 THEOREMATA ARITHMETICA h quorum numerus eft p"—'— r ; quo ablato a numero: omuium ipío 2s—fp" minorum, relinquitur multitudo: eorum, qui ad f" (unt primi , quorum numerus itaque et. —p'"-—R-— prr) Qo Eun CorolL .r. r2. Hinc igitur primo fequitur , id quod per fe eft manifeftnm, 6 fit À —p exiftente 5 numero primo, numerum omnium numerorum ipío minorum ad. eum- que primorum effe z—$-—r , fiquidem omnes numeri ipfo minores fimul funt ad eum: primi. Coroll. 2. :5. At fi fit 7—p , inter numeros ipfo mino- res, multitudo eorum , qui ad eum funt primi, eft —pp-p-—p(p-1); reliqui, quorum numerus eft p- z,, ad n—$' erunt compofiti , feu per 5 diuifibiles, CorolL : $- X4. Propofita autem: numeri primi por qua- cunque 7— 5", inter numeros ipfo minores, quorum. multitudo: e(t — 9"-- x , reperiuntur 5" —" —r , qui funt per p diuifibiles, ideoque ad 9" non primi : reliqui vero: omnes, quorum numerus eft — 9" m dm d. ry ad 9" (unt primi. Scholion. 1$. Si ergo numerus propofitus z fuerit poteftas cuiuspiam numeri primi, ope huius regulae aflignare pote- NOVA METHODO DEMONSTRATA. $5 poterimus, quot inter omnes numeros ipfo minores füturi fint ad eum primi. Quando autem numerus f$, ex duobus pluribusue numeris primis fuerit conflatus, hinc nondum ifta quaeftio confici poteft: praecedentibus au- tem Theorematibus adhibendis iftam quaeftionem — latius patentem reíoluere poterimus. 'Theorema 4. 16. Si numerus z fit productum duorum nume- rorum primornm f et 4, feu ? —p4 , multitudo omnium numerorum ipío minorum ad eumque primorum eft z(p-)(4-1). Demonfítratio. Cum numerus omnium numerorum ipío 9—54 minorum fit 54-1 , hinc primum ii debent excludi , qui per f funt diuifibiles , deinde vero etiam ii, qui per 4, hisque deletis relinquetur | multitudo quaefita. INotentur ergo ab wnitate vsque ad p4 numeri, Ks funt ad ? primi, hoc modo: Eis 2 3,5 TOOUEMT PTT p--1, p-c?, p--8. Doe4 c o- o£ 2p--1, 2p-1-2, 2p-r-3, 2p--4 - - 83p-t 3p--1, 3p-i-2, 8p-1-83, 8p-31-4 -^ * 4p-r LJ LJ LJ LJ (q-1)p-1; (4-1)p-2, (4-1)9-o8, (4-7 - pa atque iam ex his ii tantum eligi debent, qui fimul L 2 quoque 8&4 — THEOREMATA ARITHMETICA quoque ad 4 funt primi. Confiderentur ergo feries verticales, quarum numerus eft ?- 1 ; quaelibet autem continet 4 terminos in arithmetica progre(lione creícen- tens, differentia exiftente f , quae eít ad 4 numerus pimus. In qualibet ergo ferie verticali omnes termini praeter vnum ad 4 erunt primi ( per $. 7.); vnde vnaquaeque feries verticalis continet 4- X numeros ad 4 primos — Quare cum numerus fíerierum —verticalium fit f-1; in omnibus continentur fimul (p-r)(q-r) nu- meri ad 4 primi , iidemque igitut etiam ad productum $4 erunt primi; confequenter iuter omnes numeros ipío b4 minores ar (p-1i)(4- 1) numeri ad 4 puümi. Q. E. Coroll r. 17. Cum multitudo omnium numerorum ipío produco $4 minorum fit f4-1 , inter eos femper funt (p-1)(q-1)z-p4-D-4--1 primi ad pg, reliqui vero, quorum numerus eft $-1-4-2, ad eum (unt compofiti, feu cum eo communem habent diuiforem vel 5, vd q. Coroll. 2. 18. Hoc etiam inde patet, quod inter numeros ipfo producto $4 minores fint g- 1 numeri per f die vifibiles , fcilicet : p.o2bj3P3 4p e (410p i deinde inter eosdem íunt f-1 numeri per 4 diuifibiles, nempe : 4.24, 84. 4d « (p-1)4 qui cum ab ilis omncs fint diuerfi , omnino habentur (4-1) NOPA METHODO DEMONSTRATA. $5 (q-1)--(p-1)29-4-4-2 numeri, qui ad f 4 non funt primi. Coroll. 5. I9. Si ergo quaeratur, quot ab r vsque ad r5 fint numeri ad 15 primi? ob p—3 et 4— 5 , regu- la docet eorum numerum effe 2 . 4—8 , quippe qui int E£.5255 44. 7,. S. IE £3, L4. Simili modo ab 1 ad 35 ob p—5 et 4— 7, multitudo numerorum ad 55 piimorum eft 4. 6— 24, hique numeri fant: 3, 2,3; 4,6,8, 9, 11, 12,13, 16, 17,18, 19 22,23; 24426,27,29,31,32,3534- Scholion. 20. Quoniam hic quaeftio eff de numeris, qui ad quempiam numerum fint primi, eoqne minores, €os commode partes ad iftum numerum primas appel- lare licebit. Ita fi numerus propofits füerit primus —fp , numerus partium -ad eum primarum eft —- 1: fi numerus propofitus fit poteítras quaecunque numeri primi — 9", numerus partium ad eum primarum erit Lp-p—'-—$(5—1):2t fi numerus propofitus fit productum duorum numerorum minorum difparium — 4, numerus partium -ad. eum primarum eft —(f-1)4-1), hocque modo ambages in loquendo contrahemus. Si- mili modo demonílrare poffemus ,. fi numerus pro- pofitus fit productum ex tribus numeris primis difpari- bus — 4r , numerum partium .ad eum primarum fore —(p 1)(4-x)(r-1): hocque adeo ad productum plurinm extendere liceret. ^ Verum fequens propofitio emnes hos cafus in. fe compleéctctur. L 3 Theore- 86 — THEOREM ATA ARITHMETIC A "T heorefnia s. 21. Si fint A et B numeri inter fe primi, et numerus partium ad A primarum fit —4, numerus vero parium ad B primarum fit — ; tum numerus partium ad productnm AB primarum erit — 27. De monftratio. Sint z, «, Dj ys tss fees. cu obdmert Sii ipfo A minorés ad eumque primi, íeu partes ad A primae , quarum igitur partium numerus per bypothe- fin eft —^2. "Totidem ergo erunt numeri ad A, itidem primi erunt ab A ad 2A, item 424A ad 34A , et ita porro. Hoc modo exhiberi poterunt omnes numeri ad A primi ab vnitate vsque ad numerum propofitum AB , quos fequens fchema exhibebit : I; a, CE ON TE M. o A-d-1, .A-ra, A-rQ..... A-ro zA--1, 2À--a, 2AÀ--FQ ..... 2À-l-0 SÀ-I-1,:. 8A c-2,: gÀcl- Bi io^ 3A4-0 Li * (B-1)A41, (B-1)A4-,(B-1)4--G, ... (B-iJActe. Hic fingulae feries horizontales continent « terminos, numerusque omnium ferierum horizontalium eft — B; vnde omnes feries iunctim offerunt a4 D terminos, qui iam omnes ad A erunt primi. Inde ergo adhuc ex- cludi debent ii, qui ad B non (ünt primi, vt hoc modo relinquantur, qui non folum ad A,fed etiam ad B, ideoque ad ipfum productum ABD, fint primi, feu ex " NOVA METHODO DEMONSTRATA. 83 ex his feriebus ii tantum termini numerari debent, qui etiam ad B fint primi. Hunc in finem confideremus feries verticaliter ; et cum numerus ferierum verticalium fit — 4, quaelibet feries verticalis continebit DB termi- dos in arithmetica progreffione auctos, quorum diffe. rentia cum fit — A, ideoque numerus ad D primus, per Theor. II. quaelibet feries verticalis tot continebit terminos ad B primos , quot dantur partes ad nume- run D primae ; eorum ergo numerus eft per hypo- thefin — 2. — Cum igitur fingulae feries verticales con- tincant ^ terminos ad D primos, qui propterea etiam erunt ad productum AD primi, numerus omnium ter- minorum ad AB primorum, hoc eft partium. ad hunc numerum AB primarum erit —25. Q. E.. D. Coroll.:-. 22. Si infuper tertius numerus C adiciatur, qui fit ad vtrumque praecedentium A et B, feu ad eorum productum AB primus , et numerus partium ad C primarum fit —:; tum numerus partium ad produ- &um ABC primarum erit — 22e. — Productum enim AB confiderari poteft tanquam vnus numerus, cuius parium ad eum. primarum fit —242; et quia C ad AB eft primus, Theorema hic habet locum. ""Corolt 2. 23. Cum igitur vnusquisque numeras N^ refolui poffit in factores inter fe primos ,. qui fingüli fint vel ipfi numeri primi, vel poteflates primorum , ope hu. ius regulae multitudo partium ad numerum quemcunque N primarum. affignari poterit, Coroll. 3. $$ THEOREMATA ARITHAMETICA Coroll 2? 2 24. Exiftentibus fcilicet p, 4, *, 5, etc. numeris primis, ominis numerus IN in huiusmodi forma IN— 9^ q",r',s* comprehendetur ; vnde numerus partium ad N primarum erit ; p^ (p— 1). 47 (q— 1). r7 (r— 1). 57 (s 1). Coroll 4. 25. Pro formis igitur numerorum fimplicioribus multitudo partium ad eos primarum ita fe habebit: numerus | multitudo partium num., mult, part. propofitus ad eum primarum pto» ad eum prim. E HUN Ir an pb b(p—) LEM ICRRHUMITU EE p pPpip— 1) b4pb-1X(2—1) par |(p—1Yq—x)r— 1) pà'* bo-au) B Oo o0- OP BAO.O€MNsV TS $4 po-w(q-1) dix re $*4* |p(p—1)4(4—) har par |p(p— 1X4 — 1)yr— ») "E" 94rs |(p-xYq—xyr—1)y(—1) 16| 8 NONINUCICES YI pic ede 5*4 p*(p— 1)4— x) 129 |. 18 pP«4 p(p-—1)4(4—1) 20| 8 pur F(p—-iXq—-xY(r—-9) |12)|i$ per f p—04(4-1)(r—1) ||23 | 22 pDqusip(p-1)q-zx)r-iy5-1)||o4| 8 | 4r st (2-1) (-x)m-1Y(5-1)- 1) | 2s ! 2o Coroll. NOPA METHODO DEMONSTR ATA. 89 Coroll 5. 26. Hinc igitur propofito numero quocunque multitudo partium ad eum primarum expedite | definie- tur. Veluti,fi proponatur 360, cum fit 360 — 2*.37.5, &ritt multitudo partium ad 360 primarum — 4. 6. 4— 96. Scholion. 27. Haec circa multitudinem partium ad: nume- rum quemuis primarum pro praefenti inftituto fufficere poffunt. Interim tamen circa ipías partes ad quemuis numerum primas haec notaffe iuuabit : fi numerus pro- pofitus fuerit IN, atque inter partes ad eum primas oc- «currat numerus «, ibidem quoque occurret numerus N-2; quoniam, exiftente à ad IN. primo, etiam N-« ert ad NN primus. X Hinc.pro quouis numero partes rantum eius fíemiífe minores inueniffe füfficiet , cum re: liquae fint earum. complementa ad ipfüm numerum N. Simili modo, (i. (N fit numerus par, inter partes ad IN primas etiam occurret ;iN-&, tum etiam ; N-1- a. ltem fi N fit diuifibilis per numerum quemcunque 7 dnter partes ad: eum primas quoque occurrent hi numeri ; (02N dea; N-e8, SINH-«... ,EC)N-L aet N-& hincque multo facilius ipíae partes iftae actu exhiberi poterunt. Theorema 6, 28. Si numerus x füerit primus ad N, tum (mnes poteftates ipfius x per IN diuifae relinquent re- fidua, quae erunt ed numerum NN prima. ' Tom. VIII. Nou. Comm. M Demon- 9o THEOREM ATA ARITHMETICA Demonftratio. Cum enim x fit numerus ad IN primus., omnes elus poteftates erunt quoque ad IN primae ,, ideoque fi per NN diuidantur, »reíidua etiam ad IN erunt numeri primi. Q. E. D. Coroll 3. 20. Inter refidua ergo poteftatum ipfius. per NN diuifirum alii numeri non occurrunt , -nifi qui -fint partes ad IN primae; quarum numerus cum fit pro jndole numeri IN determinatus, innumerabiles exiftent poteflates ipfius x, quae per IN diuifae «aequalia :rélin- quunt rcfjuua, Coroll 2. 50. Inter refidua autem ifta ex diuifione potefta. trm ipfius x per numerum IN orta femper reperietur "nitas, propterea quod inter poteflates ipfius x etiam referri debet 3?^— 1. —— Vtrum autem praeter vnitatem 'ttium omnes reliquae partes ad IN primae inter refidua 'Occurrant , nec ne? mox videbimus. | Coroll.. 5. $1 Si pro x capiatur vnitas, omnia refidua runt voitates , quicunque numerus pro N fuerit affum- tus. Deinde fi faümatur x —N- 1, qui numerus ad IN eUam c(t primus, in refiduis , ex diuifione poteftatum (N - 1)*, (N-«)', (IN-1y, (N-ry, etc. oris, nonnifi duo reperientur dinerfa, fcilicet 1 et IN- 1, quae con- tinno íe alternatim. excipiunt. Coroll. 4. NOVA METHODO DEMONSTRATA4. 54 Coroll 4. . $2. Prout igitur numerus x ratione ad. IN. fuerit comparatus, vtique fieri poteft, vt iter refidua omnium poteftatum ipfius'x non omnes partes ad diuiforem N primae occurrant. .. Cor oll. .5. 33. Si ergo omnes partes ad numerum IN. pri- mae fint z, €, 5, €, d; 6, - . . . . quarum. numerus fit — n, inter. refidua. memorata, vel omnes iftae partes Occurrent , vel quaedam tantum, inter quas autem Íem- per vnitas Mpericas. BR all € $4. Quod(i non omnes illae partes im refiduis ex diuifione potefítatum — ipfius » per numerum NN relictis Occurrant, illae. partes in duas cliffes diftrbuentur, qua- fum altera. continebit partes in. refiduis occurrentes , al- fera Wero partes in refiduis non occurrentes. Theorema ^ Si feries poteflatum x^, x, a", 2^, a* x^, efc. per nu- merum N, qui ad x fit primus, diuiddiur , cousque rzefidua prodibunt diuerfa , donec pcrueniatur ad potefta- tem, quae iterum vnitatem pro refiduo praebeat, Demonítratio. Quoniam fie poteflatum 1. x, x', à*, x*, etc. in infinitum continusta , omnia refidua diuerfa effe ne- «eant, necefle. eft, vt tandem quodpiam ex praeceden- M 2 tibus ov THEOREMAÁTA ARITHMETICA tibus refiduis redeat; ac dico: vnitatem effe id refiduum; qood omnium primum fit rediturum... Quod fi cuis neget, fit v^ ea poteftas, cuius refiduum prirum . im Ícquentbus ex »oteftate x"-7*" redeat ; cum igitur po- teftites x^ et x"7*" aequalia praebeant refidua , earum dilcrentia x^" — y^ — 3^ x' — 1) per numerum IN erit disfibiis. ^ Verum product! x*(x'—1) factor prior ad: IN eít nümerus primus, ergo alter x'— r per N diui- fihilis fir neceffe ett. — Hinc antem poteftas x' per N diuifa refiduum daret —r , ficque vnitas inter fequentia redua citius redibit, quam. refiduum poteftatis x", quip pe a:0d per hypotheün demum in poteftate altiore x"--' recurrit. — Ex quo euidens, nulum refiduum ite- rum occurrere poffe ,. nifr ante vnitas inter refidua. re dierit. Q. E. D: Coroll r. 36. Poftquam diuifio terminorum feriei r, 2, a, X", x*, etc. per numerum NN ad x primum: ab initio: . dedit refidua diuería, puta r, a, (Q, *y etc. tandem ite- rum occurret primum refiduum r; quod fi oriatur ex poteftate: x", numerus. praecedentium refiduorumr diuer- forum erit — y. Corollk :2. 37. Quando autem poteftas: x" refiduum dat rz, idem quod primus terminus x', poteflas fequens. gt idem dabit refiduum quod. x"; et fequentium — quaecua- que x*** idem quod poteftas x". Cum enim. diffe- renti NOX4 METHODO DEMONSTRATA. 95 entia x' ^ ^ —x*— x^ (x'— 1) (it. diuifibilis per IN,. ne- cefle eft, vt ambo termini x'7*^ et x^ per IN diuifi ddem: praebeant refiduum.. E. Coroll. 3. 38. Cum poft poteítatem . x* eadem. refidua Y, à, Q, y etc. ordine recurrant, poteftas x*", fimi- lique modo poft eam poteflates x^", x*"', x5" etc, omnes per N diuifae idem refiduum zr relinquent. Quin etiam omnes poteftates x^^, x^ 7t", qM», nens, yn etc, aequalia refidua fuppeditabunt. | Corolk 4 | 59. Si igitur x" füerit infima poteftas, quae poft X"'—: iterum vnitatem' pro refiduo praebeat, nume- rus diueríorum: refiduorum: erit v. — Cum ergo numerus partium. ad numerum NN primarum fit —, fieri certe Bequit , vt fit «2-7: erit ergo vel y —n, vel yn. . r Coroll 5. 40. Si ergo feries poteftatum r, x, x", x^, etc. vsque ad x^ continuetur, inter eas certe vna faltem: feperietur praeter primum terminum r, quae per NN. diuifT vnitatem relinquat. ^ Plures fortaffe , huiusmodi poteftates. aliquando ,. íed pauciores vna nunquam exi(lent. Scholion. : 4r. Refidua proprie femper íünt numeri minores diufore IN, fed nihil impedit, quo 1zninus numeros M 3 etian 9&4 — THEOREMATA ARITHMETICA étiam maiores tanquam refidua fpectemus, ciiusmcdi relinquuntur ,; fi. quotus nimis paruus accipiatur — Ita fi in diuifione. cuiuspiam. numeri per. N- relinquatur. IN--2$ hoc refiduum aequiualens ipfi «& cenferi debct ; hincque, fi de refiduis fermo fit, omnes hi numeri a, N -1-2, 2N-L-a, $N-1- a, etc. inftar vnius refidu! « funt confiderandi. ^ Scilicet. multipla. quaecunque. diuiforis IN fiue adiecta, (iue' demta a quopiam refiduo a eius natu. ram non mutant, atque hoc modo: etiam numeri: ne» gatiui commode inter refidua referuntur ; veluti: &-—N pro eodem refiduo eft habendum ac a; et refidnum —z aequiualet refiduo IN — x. — Ex his conficitur , omnes numeros, qui per IN diuiff idem. exhibeant refiduum &, pro: eodem- re(iduo. haberi poffe, ex quo euim nu- mero per diuifionem. quotum: nimis paruum- fumendo oritur refiduum. veh N -1-a, vel zN -r- o, vel 3 IN 2-d etc €x eodem, quotum: plenum: fumendo,, nafcitur. refi» duum a; tum: vero indidem:,. fi- quotus, capiatur nimís magnus, obtinebuntur refid:ia negatiua a—N, vel a 2N, vel a—3N etc. quae ergo etiam. ab «& non diícrepare funt cenfenda.. Thorema $8. 42. Si dum: termini progrefhonis r, xj x*, x*, &$*, etc per numerum [IN ad x primum diuidantur, refidua fuerint rz, 4, 5, c, etc. in iisdem quoque Oc- current tam fingulorum omnes. potefhtes, quam pro- duca quaecunque vel binorum ; vel tezrnorum , vel quot- libet im fe multiplicatorum. Demon- NOPA METHODO DEMONSTRATA. 95 Demonfítratio. Nafcantur refidua 4, 2, c etc. ex poteflatibus a*, 3P, xY etc. ac numeros etiam maiores quam IN iu refiduis admittendo , ex poteílatibus a?*, x'*, x'* etc. orientur refidua 4*, 4, z* etc. quae igitur etiam in ferie refiduorum r, 4, 5, c etc. continebuntur. — Tum vero poteílates 2*--9, a-Y, y2--8-—Y etc. relinquent tefidua 45, «c, abc etc. quae ergo etiam iu ferie refiduorum inueniri debebunt. Producta igitur, quomo- docunque ex refiduis z, z, 5, c etc. per multiplicatio- nem formata, omnia in eadem ferie refiduorum occur. rent, fi quidem fingula per ablationem diuiforis N, quoties id fieri poteft, ad minimam formam reducantur Q. E. D. Coroll zr. 43. Haec indoles refiduorum eo clarius efuceret , fi eorum loco ipfae illae poteftates ipfius x, vnde funt Orta , fübílituantur ; tum enim manifíto non folum omnes poteftates harum poteftatum, fed etiam earum producta quaecunque, in refiduis occurrunt. Coroll 2. 44. Neque tamen ideo numerus refiduorum in. déterminatus euadit ; quemadmodum enim iam vidi- mus, ex innumeris poteftatibus paria refidua prouenire , it, [fi omnia haec refidua, ex mutua multiplicatione nita, ad formam minimam reducantur, ad multitudi- nem modicam reuocabuntur, Coroll, 96 THEOREMATA- ARITHMETIC A ovo 45. Ita fi minima poteflas, quae per NN diuifa iterum vnitatem relinquit, fuerit x", ita vt numerus refiduorum 1, e, 5, e, etc. fit —», tum in eodem nu- mero omnia producta , ex multiplicatione numerorum 4, b, c, etc. nata, continebuntur, fi quidem ab iis di- vifor IN toties, quoties fieri poteft, auferatur. ' Scholion. 46. Vnicum exemplum omnibus dubiis, quae forte circa hanc apparentem refiduorum multitudinem naf poffunt, foluendis fufficiet. Sit igitur x— 2, et pro diuifore fumatur N— 15, qui fcilicet ad 2» fit pri- mus; iam fingulae binarii poteftates per 1i5 diuifae, fe- quentia relinquent rcfidua DOU. 142,27. 08. DE Gr m Bo. QUNM EET Ic[. XO danBn T de Vellei m EE etc. - Potcftas igitur, quae. primum vnitatem reproducit, eft 2*; a4 qua refidua continuo eodem ordine 1r, 2, 4, 8 re- petuntur, ita vt tantum quaterna refidua diuería occur- rant — Hic iam manif(lum eft, quomodocunque haec refidua in fe inuicem multiplicenurr ; nupquam nume- ros inde produci, qui non in eodem quaternione in- . cludantnr ; poftquam fcilicet ablatione diuiforis 15 ad formam minimam fuerint reuocata. — In hoc quoque exemplo inter refidua non omnes partes ad 15 primae Occurrunt, fed inde excluduntur iflae partes 7, 14, 13, 14, quae pariter ad 15 funt primae ; vnde diflributio fupra NOPA METHODO DEMONSTRAÁTA4. 93 füpra fat inter partes ad diuiforem primas, qae in refiduis occurrunt , et quae non occurruh^t , iliuflratur , ad quam pouffmum in fequentibus prob: refpiciatur. Thorema 9. 47. In refiduis ex diuifione pote(tatum cuiuspiam numeri per diuforem ad eum primum relictis , vel omnes partes ad diuiforem primae occurrat , vel nu. merus partium non occurrentium — aequalis erit , vel rationem tenebit multiplam ad numerum partium , quae refidua conflituunt. Demonftratio. Sit feries poteflatum x, x, x^, x', a^, x^ etc. et diufor IN ad x primus, cuius partium ad ipíum pti- marum numerus fit — 7. Sit porro x" minima po- teftas, quae per IN diuifa iterum vnitatem relinquit , ita vt- numerus omnium diuerforum refiduorum fit —y, quae cum omnia fint ad IN numeri primi, corum nu- merus erit vel Z7», vel minor; priorique cafu inter refidua vtique omnes partes. ad N primae | occurrent. Confideremus igitur cafum, quo y 7, fitque z, 2, 5, c, 4, etc. omnia refidua ex diuifione poteftatum X, ug. «so cium mu sper diuiforem IN relida, quorum numerus cum fit —», mon omnes partes ad IN primae ibi occurrent. — Sit Agitur 'a "huiusmodi pars'in refiduis non occurrens, ac demonftrari poteft , nullam quoque horum numerorum &4, ab, ac, ad etc. in ref(iduis occurrere. — Nam fi Tom, VIII. Nou. Comm. N- a y8 . THEOREM ATA. ARITHMETICA a4 effet refiduum poteftati x^ refpondens, quia « eff quoque. refiduum ex. quapiam. poteflate, puta x*, ortum, foret x^-—AN--a4, et X5— BN-1-24, ideogge x—ax -—(A-aB)N per N diuiibilie. ^ Cum autem: x* ad N fit numerus primus, et x*-aaf—(1^— -&),. numerus x^—Í-a effet per NN diuifibilis, ficque poteftas: 3^— per NN diuifa relinqueret refiduum «, contra hy- pothefin. ^ Cum igitur a, az, ab, ac, etc. quorum. numerus eft —y, (fint numeri ad NN primi, atque di- vifione per IN ad partes ad IN primas reuocari poffint, flatim atque vna pars & ad N prima in refiduis non: reperitur, fimul quoque » eiusmodi partes affignari pos- funt in- refiduis non. occurrentes; — Numerus ergo par- tium non occurrentium , nifi fit nullas , ad minimum: e(l — y; ac (i praeterea füerit pars ad NN prima Q in his non refidus. non: contenta, dénuo' habebuntur v pat- tes pounze in re(duis; non' occurrentes ; ficque porro.. Qaare. fi non. omnes partes ad: diuiforem IN primae in: rcfiduis occurrant, numerus partium non' occurrentium: acceffario .efl vel. —» vel 232», vel — sy; vel alii: culpiam multiplo ipfius v», hoc eft . numeri- diuerforum: refüduorum.. Q: E. JB. CorolL. r. 48. Conflituto ergo. difcrimine. inter portes ad diuiforem IN. primas eas quae funt refidua., et eas quae non íuat refidua ,. ex. demonfttatione . patet. produ&um: ex refiduo et non.. refiduo in claffe non-refiduorum fem-- per contineri; lta fi. « fit refiduum ;. a. Lipi gar modum & 4. Certe. non. erit: refiduum« Coroll. NOVA METHODO DEMONSTRATA. 99 :Coroll. 2. 49. Contra autem iam füpra vidimus productum «x duobus pluribusue refiduis in claffe refiduorum | repe- riri. Vnde fequitur ex vno non-refiduo et quotcun- .que refiduis im claffe non - refiduorum occurrere debere. Scholion. .50. Vis huius demonftrationis ifto nititur funda- wnento , quod fi inter refidua occurrant partes I, 4,6, ;£ , d, etc. ad diuifiorem primae , atque a fuerit etiam pars ad diuifiorem prima in his refiduis non contenta , tum producta omnia az, ab, ac, ad, etc. non fo- lum in refiduis non occurrere, quod quidem perfecte eft demonftratum , fed etiam ea effe partes ad diuiforem IN primas, omnesque inter fe diuerías ; feu fi ea per N , actu diuidantur , relinqui -refidua diuerfa. ^ Illud quidem per fe eft perfpicuum ; cum enim tam a, quam 24,7, ,£,d, etc. fint numeri ad IN primi, etiam eorum. pro- ducta ad iN prima fint necefle eft. Quod autem pro- ducta.ag, ab y «c, «c, etc. fiat omnia ad IN relata inter fe diuerfa, intelligitur, quod fi verbi gratia duo «z et a5 per N diuifa paria darent refidua , eorum diffe- rentia aó— a 2z-a(b —a) per IN effet diuifibilis, ideo-- que et /—2; id quod hypothefi, quod 4 et 5 fint di- werfae partes ad IN primae , repugaat.* "Theorema 1o. -.51. Exponens minimae poteflatis x", quae per iumerum NN ad x primum diuifa vnitatem relinquit ; N 2 vel :00 — THEOREMATA ARITHMETICA vel eft aequilis numero partium ad N primarum, vel huius numcri femiífis , aliaue eius pars aliquota. Demon(ftratio. Sit 5 numerus partium. ad IN. primarum, quarum cum » conítituant refidua , erit numerus non - refiduo- rum —7.y. Vidimus autem hunc numerum effe vel —o , vel —», vel — 2v, vel alii cuipiam multi- plo exponentis y. Sit ergo n —v--(1— 1)v, ita vt e denotet vel vnitatem , vel alium quemuis numerum in- tegrum , atque hinc obtinebimus g — my et y— 5 : vn* de patet exponentem minimae poteftatis ipfius x , quae per N diuiífa vnitatem relinquit, effe vel 25, fim- t; vel — 5, fi m — 2, vel in genere effe partem quampiam aliquotam nume z,qui exprimit multitudinem partium ad diuiforem IN primarum. Q. E. D. Coroll. r. $2. Si x" fuerit minima poteflas , quae per mu- merum [ÍN ad x primum diui(à vnitatem. relinquit, fe- queotes poteítates idem refiduum relinquentes funt x^*, x", x'^ x , etc. neque praetera vllae aliae dantur, quae pcr IN diuifae vnitatem relinquant. « CorolL.. 2. $3. Exponens ergo huius poteflatis minimae fern- per cum numéro partium ad diuíforem IN primarum ita connectitur, vt fit vel illi ipü, vel cuipiam cius parti aliquotae, aequa]is. Scholion. NOFA METHODO DEMONSTRATA. 1o Scholion. 54. Quo haec ratio clarius perfpiciatur ; — iuuabit aonnullos cafus fimpliciores perpendiffe. Sit igitur x—2, et pro IN fumamus íücceffiue numeros impares , vtpote ad x—2 primos, atque exhibeamus minimam potefta- tem binarii, quae per quemque numerum imparem di- vifa vüitatem relinquat. Diuior num. part. [min. pot. 2" quae N ad eum pr. |per N diuif. vni- n tatem relinquit. $5 | £8 |2 ego v—n 5 4 EO yc e] 6 2 o— y— 1f 9 6 [|2' — v—n 1I IO 2 o— yc 15 12 2" —— ycn 15 8 2* —— y-—!n 17 16 [Ls.' — y—!s 19 18 [ 2" — v—n 2I 12 2$ ——— yis 25 22 2" —— y-cin 25 20 2" o—- yc—n 23 18 2" —- y—n 29 28 2" ——- ycn 91 39 2! L—- yclis N 3 "T heore- i02 THEOREMATA A4RITHMETICA Theorema rr. 55, Si fuerit IN ad x numerus primuüs, ct 5 nie merus partium ad IN primarum , tum poteftas a^ vni- tate minuta femper per numerum EN erit diuifibilis. . Demonftratio. Sit enim x" minima poteftas, quae per NN di- vifa vnitatem relinquit , eritque » vel aequalis ipfi nu- mero z, vel parti eius cuipiam aliquotae z. Cum igitur 3'— x per N fit diuifibilis , quia forma x'""— x factorem habet x'— 1, etiam ifla forma x""— z, fcu A"—1,per N erit diuifibilis. Q. E. D. £oroll. 53. 56. Si ergo diuifor N fit numerus primus 5; neque x per j- fit diuifibilis , tum femper numerus A?—'-1 per numerum primum p ct diuifibiis, vti quidem dudum demonftraui. Coroll. 222. | £57. Si praeterea f, 4, 7, etc. fint numer primi, x neque vllum eorum implicet , ex hoc theo- remate fequitur , has formas K diuifibiles per xf | [ af —3) | E a($—G-—1) LI $4 xtb (P1) — i p " yPO— D——g | $54 ami mir 1) i $4r. Coroll. NOFA METHODO DEMONSTRATA. xo4 Gorolh 3 . / 58. Si x et y fint primi ad diuiforem NN, cuius artium ad eum primarum nurherus fit — 9 , quia. tam 3"— r, quam j"— r, eít diuifibilis per IN , erit. etiam .X"—J" femper diuifibilis per numerum. N, quod .eft Theorema generalius.. Coroll £ 59. Propofito ergo numero qnocunque N , cuius partium ad ipfum primarum numerus fit —7 , quicun- que numerus ad N/ primus pro x capiatur, formula: X'— 1 femper erit per numerum: NN. diuifibilis. C amolluuus. 60. Saepe numero vero etiam euenire poteft, vt- d 1 huiusmodi formula fimplicior, veluti x"— x vel 3?* — r.,, H wel x*"— r etc. fit per numerum NN diuifibilis ,. quae: circumftantia pendet a certa indole numeri x. .Scholion- 61. En ergo nouam demonítrationem — Theore-- matis Fermatiani, quod íi fuerit f numerus primus, omnes numeri in-.hac forma 4?—'-: contenti fint: per diuifibiles, dummodo numerus z non fit per 5 diuifibilis. Duas autem iam dudum huius theorernatis de- deram demonflrationes ; fed ea quam hic exhibui , iis praeftare. videtur, «uod non folum ad numeros pri- mos? 104 THEOREM AT. ARITHMET. WOVA etc. mos adítringitur. Quicunque enim numerus IN pro di- vifore accipiatur , dummodo 4 ad eum fit primus, hic numcrus z'-1 íemper pet N erit diuifibilis, fiquidem f denotet numerum partium ad IN primarum , quae pro- pofitio multo latius patet, Wjuam Fermatiaui. Ex quo eo magis vtilitas 'Theoremátum primorum elucet, qui- bus numerum partium ad quemque numeram primarum definiui, quae fine bac applicatione -nimis fterilia videri potuiffent. A RR E SVPLE- «s ( 0) MER 10s SVPPLEMENTVM QVORVNDAM THREOREMATVM ARITHMETI- CORVM QVAE IN NONNVLLIS. DEMONSTRA- TIONIBVS SVPPONVNTVR. AuCore EU ETUEO XD. i nuper demonftrauiffem , non dari duos cubos, quorum fümma fit cubus, fine (üfficiente proba- tione affumferam, omnes numeros in hac forma conten- tos mm--mmn--n5, quaeforma facile ad hanc reduci- tur: 5 -1- 344, nunquam alios admittere. diuifores , nifi qui ipfi in eadem forma contineatur. Atque hinc con- clufi, fi forma ]/m-1-::5 --nm fuerit cubus, aliaue poteftas , eius radicem quoque numerum eiusdem for- mae effe futuram ; cui fundamento etiam tota demon- ftratio modo memorata innititur. Cum deincep. me- thodum nouam et maxime generalem expofuiffem, tres cubos inueniendi , quorum fumma fit cubus, quae fimul omnibus adhuc vfitatis facilitate longe praeftabat, non folum eatidem iüdolem numerorum, 1n forma /-3-1244-7, feu pp-1-344, contentorum, tanquam certam affumfi , fed etiam in euolutione folutionis fuppofui, huius generis numeros alios diuifores primos, praeter ternarium , non implicare, nifi qui effent formae 6x -1- 1. Quin etiam viciffim affirmare licet, omnes numeros primos iftius formae 6x-1-1 ; cuiusmodi fünt 7, 13, 19, 3r, 37,43,etc. ita effe comparatos, vt in forma fp--344 contineantur : veluti E 2, ui 2, NES 2 ID eg zu L9e4-F3.1 ,139-1-L-8.2 510-4. -HF3.I ;31-2 193.5 ;etc. "Tom. VIII. Nou. Corm. Oo Quae x06 THEOREM AT A4 Quae Theoremata , eti iam a Fermatio fuerant prolata, nusquam tamen adhuc demonftrata reperiuntur: ex quo operae pretium me facturum putaui, fi has aflertiones rigidis demonftrationibus confirmarem , quo fimul füpra memoratae demonftrationes ad fummum certitudinis gra- dum eueherentur. His proprietatibus innituntur ratiocinia, quibus frm deductus, ad ües cubos, quomm fumma itidem eft cu- bus, hinc autem omiffis ratiociniis folutio confüeto mo- do adornari poterit , idoneis formis pro radicibus cubo- rum affuümendis. —Quarum ratio etfi non perfpiciatur, ta- mcn in hoc Analyfeos genere problemata plerumque per huiusmodi formulas feliciter excogitatas refolui ío- lent, in quas fiepe numero, vel cafu, vel poft plurimz tentamina , incidimus. ij Ita fi tres cubi inueniri debeant , quorum fümms fit cubus, pofitis eorum radicibus x , y, et z, ftatuatur X -LFy--z-w. Tum vero iftorum cuborum radicibus fequentes formae tribuantur ; x-—(m—nm)p-44; — (ü—pp—(m--n)g J-—n-n)p—44 — v—ppt(m-—n)4 et quoniam loco quaternarum quantitatum X,» X6ty, quaternae nouae 77 7, f et q in calculum introducuntur, - his pofitionibus problema non reftringi eft c — Cum igitur vi problematis effe operteat x'-Ly —v-z, fue (xy xx - xy --yy)-z(- 2)(v9--92-1- 22) per affumtas formas habebitur : £3 ARITHMETIC A. 10j x--yzamp;xy—xyd-yyz Qm - snm pp -6npqq4-34* 9 —2-22H4,UU4-UV5-Hzz-98p'-6nppq- (mm--ann)qq hisque valoribus fubflitutis obtinebitur , diuifione vtrinque per 27 facta: (mm-1-3 nn)p —6npp44-- 35d —3p'q —Ónppaq -r-(mm--3nn)q Nbi cum termini medii fe vtrinque deftruant , fiet (mm 3n9)(p -4)—3p'4-3p4 — 8p4(p' -4) Hic igitur commodo víü venit, vt haec aequatio per $ -4 diuidi queat , in quo ipfo fümma vtilitas noftrarum pofitionum confiftit; nancifcimur enim hanc aequationem "mm--3nn—38p4 vnde affumtis numeris zz et n cum altero reliquorum $ vel 4 pro lubitu alter fponte et quidem rationaliter determinatur , quod eximium commodum non locum haberet , nifi poftrema — aequatio diuifionem per $'- 4" admififfe. Nifi ergo fractiones euitare velimus , habebi- mus ftatim mm Ne. zn qe Verum etfi isaiours facile erui poffunt, dum aeque multi- pla quaecunque radicum x , y , z et v pariter fatisfaciunt , tamen ad exprefüones fimpliciores pertingemus, fi nu- sneros zz etf ftatim ita affumamus, vt 757 -1- 377. pri- mo diuifible euadat per 3 , tum vero iníuper . duos contineat factores , quorum alter pro p,alter pro 4 ac- Cipi queat. Primo igitur ftatuatur z— 3& , vt fiat p4q-—nn-rskk ct quia, vt mox demonftrabo, numeri formae 771-5 kk O 2 alios 108 THEOREMATA alios non admittunt diuifores., nifi qui ipfi fint eiusdem formae , ponamus: nn--akk-—(aa-r-3bb5)(cc 4-344) Vt fit: p—aa-i- 35b et q—664- 344 eritque vel n—aec-A- 85bd; k—bc-ad;m—a3be- 5ad veln—ac — Sbd; k— bc ad; m --93b564-5ad Hanc pluralitatem vilomm per ambiguitatem fignorum ita exhibere poterimus, vt fit m--—--3(bed- ad): nzz-- (ae- Sbdy ileoque diner(i valores pro s et m, fumtis pro a, b, c, d^, num«cris quibuscunque, erunt l. m-A-u—83(e-ad) A- (ac— 30d) ; m-n—3(bc-A- ad) —(4€—354d) Y. --72—3 (bc--ad) — (ac- 354) 11—n— 3(bc--ad) -F(ac— 35d) II mu-ru—3(b-ad)4-(ac4-50d ) ; j t— n—3(be— ad) —(ac23- 3/4) IV. m-r-n—3(be—ad) — (ae-t- 39d); 11 —n— 3(bc—ad) -F(ac-1- 304) Hinc autem fequuatur folutiones , quas iam dudum fü- fias expofui, quare ad propofitum reuertor, fequentes propofitiones d. UOS e Propofitio [ Y. Si numeri a et ó non fint numeri inter fe « primi, tum nume:us 24-1- 505 non erit primus, fed diufibilis erit per quacratum. maximi communis diuifo- xis numerorum 4 €t £&. Demon. ARITHMETIC 4A. 109 Demonftratio. Sit enim zz maximus communis diuifor numero- rum 4 et D, ita vt fit 2— mc et bó — md, exi(tentibus iam c et d numeris inter fe primis, quia alioquin non effet maximus communis diuifor. Ac numerus 224-305 iaduet hanc formam : z/m(cé-1- 34d) , quae propterea certo. diuiforem habet zm. Coroll. r. 2. Nifi ergo numeri 2 et 5 (int primi inter fe, numerus ex iis formatus 22-1- 355 primus effe nequit. Neque vero hinc vicifhm concludere licet , numerum 44-1- 355 femper effe primum , quoties numeri a et füerint primi inter fe. Coroll. 2. 5$. Primo autem patet, numerum 24 -1- 525 di- vifibilem cffe per ternarium , dum numerus a fuerit multiplum ternarii , etiamfi caeterum 4 et 5 fuerint numeri primi inter fe. — Neque vero vnquam forma «44-31-3505 per 9 alüorem ve ternarii poteftatem — eft diuifiblis , nifi ambo numeri a et ^ communem diui forem habeant 3. Coroll. 5. 4. Deinde etiam patet , formam 24-1- 502 nu- merem parem cíle non poffe , nifi ambo numeri 4 et À vel fint pares, vel impares. Vtroque autem cafu numerus 24-1- 325 nonu folum per 2, fed ctiam per & erit diuifibilis. O 3 Coroll. i10 THEOREAMATA,!| Corollonmas! 3 s. Non ergo datur numerus formae e -1- 525, qui fit impariter par, fed flatim atque admittit diuifo- rem 2, fimul erit diuifibilis per 4. . Vnde quoties hu- iusmodi numeri füerint. pares, quaternarium , tanquam eorum factorem fimplicem, confiderare licet, etiamfi alias quaternarius, vtpote binarii quadratum, non inter nume- ros primos referatur. Corolb,;,5. 6. Si ergo numerus formae 22-1- 325 fit pri- mus, non folum certo conftat, ambos numeros 4 et effe primos inter fe, fed etiam vtrumque non effe im- parem. Neceffe igitur eft, vt alter fit par, alter vero impar. Propofitio Il. 7. Si numerus formae 22-1- 365 per ternarium eft diuifibilis , tunc etiam quotus eft numerus formae eiusdem. Demonítratio. Si numerus 22-31- 355 per 3 eft diuifibilis, ne- ceffe eít, vt radix prioris quadrati z fit multiplum ter« narii. —Ponainus ergo 43:6, et numerus propofitus ert 9cc-1- 35b, qui per 5 diuifus dat quotam 5cc4 Z5, qui vtique eft numerus eiusdem formae 44-1- 3 47. Scholion. 8. Notari hic conuenit ipfum quoque ternarium effe numerum formae 44-1-3b5, quippe qui prodit, fi Qo et b—r. Confideramus autem has duas formas 44 -1-8 bb et mim--mn-j-nn tanquam aequiualentes, quoniam ARITHMETIC A. YIY quoniim. pofterior in priorem tranfit, ponendo 7—a--5, et 7—42—24; vnde quicquid de altera demon(lramus , etiam de altera valet. Pofíterior autem , caíü y; —- x et z— 1, maniféfto dat 3. ^ Videtur quidem forma "u-r-71-r-"n, f numerorum zz et 5 alter fuerit par, alter impar, ad priorem reduci non poffe, quia tum in integris effe nequit yj —4-1-5, etn —b —4; verum dantur adhuc aliae réductiones , fcilicet 2-— i-i- s, et b—m,(ue a——m-r-in", et b—n, quarum ope, fi nu- merorum 77 et z alter fuerit par, alter impar, forma mm--mn--n"n ad «a-- 356565 reducitur. Propofitio III. 9. Si numerus formae 24-1-325 per quaterna- tium eft diuibilis, tum etiam quotus erit numerus eius- dem formae 223-3525. Demonftratio. Diuifio formae 22-31-3455 per 4 füccedit, fi vcl vterque numerorum 4 et 5 füerit par , vel impar. Priori caí(ü ponatur 4— 2e, et 5—24d, fictque 2a4-305 —4c6-1- 12dd, vnde, diuifione per 4 inftituta, prodit quotus cc-1- 54d. . . . Sin autem vterque numerus 2 et J fuerit impar, tum corum, vel fumma, vel differentia, certo erit diui- fiblis per 4. Namque, cum tam 2-1-2, quam 4-5, fit numerus par, eorumque fümma fit 24, hoc eft nume- rus impariter par, neceífe eft, vt alter eorum fit im- pariter par, alter vero pariter par. Exit ergo, wel : a-4r-b 115 THEOREMATA 4 --b— 4c, vl 4-b— 4c, ideoque 2— 4€-- b: quo valore fübfüituto fiet 4a-r- 3bbzzi16ec A- 8beA- 4b Ynde, diuifione per 4. inflituta, prodit quotus 4€€ À- 2bcd- bb — (b H- c) -43- 3c0. Coroll. :r. 10. Hic pariter notaffe iuuabit, ipfim quater. nirium etiam effe numerum formae 42-1- 355 , inde refultantem , pofitis z— x , et /— 1. — At ex forma Hilli--mnA-nn quaternarius nafcitur, fi ponatur 2-0, et 17-2. Coroll 2. rr. Cum igitur viderimus , dari numeros formae &4-1-355b, qui tam per 5, quam per 4, fint diuifibi- les: nunc demonftrauimus , quotos ex vtraque diuifione refultantes etiam effe numeros eiusdem formae 4a4-355. Coroll. 5. 1:2. Quodí autem ambo numeri « et 5 fuerint impares, tum quotus, eX diuifione numeri 22-1- 305 pet 4 naícens, erit numerus impar. Vidimus enim, quotum effe 4cecd- 25c-1-50 , qui, ob 5» numerum imparem , certo eít impar. Scholion. 13. Quod hactenus de diuifione numerorum for- mae 24-1-36b per 3 «ct 4. demonfítrauimus, idem demonítrabimus de diuifione per numerum quemcunque alium ARITHAMETIC A 11$ slüium primum formae 42-1- 365; quotum fcilicet inde oriundum pariter fore numerum eiusdem formae. Hunc in finem, vt breuitati confuülamus , denotabunt litterae P,Q,R,S etc. numeros primos formae 24-1- 357; inter quos tamen etiam quaternarium referemus, etiamfi non fit primus, propterea quod binarius ab hac forma eft excludendus. Propofitio IV. 14. Si numerus formae 22-1- 355 e(t diuifibilis per numerum primum P—p-1-344, tum quotus eft etiam numerus eiusdem formae. Demonftratio. Si 44-1- 325 eft diuifibilis per $5-1-344, tum etiam 44pp-i-3bbpp per eundem eft diuifibilis, item- que 22pp-1-34444; quare etiam horum numerorum differentia 34244- 3bbpp, ideoque et aaqq-bbpp —(aq--bpyaq-bp). Cum igitur 555-31-344 fit nu- merus primus , neceffe eft, vt alteruter iftorum fàcto- rum , fcilicet vel 24 -- 2p, vel aq-óp,fit per pp--344 diufibilis. — Ponatur ergo pro vtroque caí(ü «4 3- óp— (Dp-1-344); hincque fiet gx DUPLO c Jg mq-A- bmp -- P). Verum quia 4 eft numerus integer, et » et 4 numeri inter fe primi, neceffe eft, vt 725 -1- 2 diuifionem per 4 admittat. Ponatur ergo mp -1- 5 — -1- 14, eritque óí-—mp--nq eta-agmq--np Cum igitur numeri « et 5 neceffario hoc modo expri- Tom. VIII. Nou. Comm. P mantur , IIA4 T IDEQRGXEUM AUT A4 mantur, fiquidem numerus 22-1- 305 per f free 344 fuerit diuifibilis , hinc obtinebimus ^ - aa-r- abbzgmmpp-i-ommqq-- anngq-A-nnpp —(pp-r-34qnu-- 3 mm) vnde patet, hunc numerum, per numerum primum P—5p-i-3544 diuifura , pro quoto dare zz 4-3 mm, hoc eft numerum formae aa-1- 322. Coroll r. 15. Quoties ergo numerus formae 24 -1- 355 di- viforem primum . habet P—55-1-544. quotus eft numerus formae 4/57-i-33:;. Vel, quod eodem redit, fi numerus 24-31- 345 conftet duobus fa&oribus, quorum alter fit primus P— 55-1- 344, tum etiam alter factor fiue fit numerus primus, fiue compofitus, erit numerus formae 4nn-1- 9 uw. Coroll. 2. 16. Si igitur numerus 24-1- 355 duobus con- ftaret factoribus, quorum alter non in forma 224-377 contineretur ; tum alter certe non erit primus formae. pp 3-344. CorolL. 5. 17. Ex demonfílratione patet, quomodo innu- merabiies numeri 24-1- 322 exhiberi queant , qui omnes fint diuifibiles per. fp -1-344; eiusmodi nempe numeri obtinentur capiendo — a-—3mq--np «et óLump--n4 neque ARITHMETIC A. 115 neque hic amplius opus eft, conditionem adieciffe , vt pp--344 üt numerus primus; quoniam his. valo- ribus affumtis in genere fit 24-1- 322 — (pp-1- 344) (n2 3mm). Coroll. 4. 18. Hinc igitur viciffim :ntelligitur, fi duo plu- recue numeri quicunque formae a4-1- 355 in fe inui- cem multipliceztur, productum femper fore numerum eiusdem . formae. - Quod enim de produ&o duorum valet , facile ad productum quotcunque talium. numero- rum extenditur. Scholion. I9. Etiamfi autem verum fit, produ&um ex duobus numeris formae 42-1- 3555 itidem effe nume- rum eiusdem formae , tamen hinc per legitimam con- fequentiam nondum inferre licet, fi numerus formae &4--3bb diuiorem habeat quemcunque p-- 344, tum etiam quotum eiusdem formae effe futurum : ta- met( enim et hoc werum fit, tamen peculiari indiget demoaflratione mox exponenda. Eiusmodi autem con- clufionem illicitam effe , vel ex hoc exemplo patebit : cum productum. ex dios numeris paribus fit numerus pir, fi quis inde concludere vellet, numerum parem per parem diuifum quotum etiam parem effe praebitu- rum , is certe filleretur. — Demonftrationem ergo hu- ius vetitstis a diuifore primo formae ?p-1-544 fum exoríüs, quae conditio eatenus demoaftrationem afficit , quod absque €a perperam coacluderetur , cum pro- P2 ductum "tu, 116 THEOREMATA ducum (a4--bp(aq—bp) fit diuifibile, alterutrum fa&orem diuifibllem effe debere per pp-1-544. De- inde vero etiam ex €o, quod p et 4 ünt numeri inter fe primi , deriuauimus produci $(mp-- 2), quod per 4 eft diuifibile, factorem mp-1-5 per 4 diuifibi- lem effe debere ; quae poflerior conditio cum priore neceffirio eft connexa. Propofitio V; £o. Si numerus 24-34-5355 füerit diuifibifis per productum ex duobus pluribusue numeris primis formae $p-544, tum etiam quotus erit numerus eiusdem formae, puta f9/4-i- 3 mu. Demonftratio., Sint enim P, Q , R, etc. numeri primi formae $P--344, numerusque 22-1- 325 diuifibilis per. pro- ductum P Q R. Sit M quotus inde refultans , ita vt fit 24-1-3 5 —MPQ R. Cum igitur fit 553::7* —MQR, erit per prop. prae. MQX numerus eius- dem formae. Ponatur itaque MQR —cc-1- 344, erit £525:54 — MR ; ideoque, ob eandem rationem, hic quotus MR numerus eiusdem formae flatuatur, itaque MRzee--3ff, et cum (it 3*7 — M, erit pariter M numerus formae 7//-1- 5mm. Coroll .. 21. Si ergo numerus z2-1-320 füerit pro- ductum ex numeris quotcunque primis P,Q, R, S etc. formae uwmiTmnmMETILCA 9 "'axm formae $5-1-544, et praeterea numero M, ita vt fit 443-805 — MPQRS, certo. affirmare poterimus, hunc numerum /M effe eiusdem formae feu M — n 4- 3 m. Carolr 75. 22. Quodfi igitur numerus 22-31-3252 vnum ha- beat fa&dorem A, qui non fit numerus formae 7Ó4-37, tum alter factor neque erit numerus primus formae ?$p-3-344, neque produ&um ex duobus pluribusue huiusmodi numeris primis. COTODIT "3 23. Eodem ergo caíü fi ponamus 2a--5/5-AB, et A non füerit numerus formae 727-1- 3777; tum B vnum íaltem factorem primum complectetur ; qui non erit huius formae. — Nam fi DB eft numerus primus , non erit formae fp-1- 344, lin autem non eft pri- mus , quia non ex meris numeris primis formae pb--344 con(tabit, vnum ad minimum factorem con- ünebit, qui non fit eiusdem formae. : Coroll. 4. 24. At fi exitente 223-325 — AB, factor A non fuerit numerus formae z5-1- 371777, tum vel ipfe erit numerus primus, in hac forma non contentus, vel falrem factorem implicabit primum, in hac forma non contentum ; fi enim AÀ ex meris numeris primis for- mae 95-31-5344 eflct conflatus, ipfe foret numerus eius- demi formae, P5 Coroll. * z18 THEOREMATA Coroll. $5. $5. Hinc fequitur, fi numerus 22-1- 555 vnum habeat fa&orem primum in forma $p-i-344 non con- tentum , tum eum infuper certo adhuc alium factorem inuoluere ; qui aeque non in hac forma pp-1-344 contineatur. | Coroll. 6. 26. Ita iam ante vidimus , fi numerus 4a -- 35b fit par, feu fa&orem habeat 2, qui numerus non eft formae f$f-1-344, tum eum infuper eundem facto.em 2 complecti , feu non folum per 2, fed etiam per 4, effe diuifibilem. Scholion. 27. Exhiberi quidem poffunt numeri formae &4-31-5ó0b, qui per numerum quemcunque IN fint di. Vifibiles , etiamfi IN non fit .numerus formae: bb3-344 ; dum fcilicet pr» 2 et & multipla quaecunque huius nu- meri N accipiuntur: ita pofito 4z- 8NN , et 4—mN, numeris 24243-3500— NN(mm--377), non (folum per N, ed adeo per eius quadratum. IN 'N, fit. diuifiilis; hocque ergo caíü vtique duo adfunt fi&ores M et N, quorum neuter in forma $$-1-544. continetur, wti 6 25. oítendimus. — Verum fi 2 et 5 fiox numeri in- ter fe primi , hic cafus locum habere gequit, ex quo merito dubitamus, num numerus inde formatus 24-345 praeter binarium. vllum. admittot. diuiforem , qui non fit formae p»3-344? De bin»ao quidem hoc negari ne- quit, com quoties 4 et 5 fuerint numeri impares am- bo, diufio per 2 íxccedat, at vero tum infuper bina. rius ARITOH MOETIC JA. 119 rius ineft , qui cum illo coniun&us praebet fa&orem 4, qua fimplicem. fpe&andum. ^ Diligentius igitur exami- nandum reftat , vtrum, dum 4 et 5 íunt primi inter fe, numerus 24-1- 3256 habeat vllum diuiforem — primum , qui non in forma $5--344 contineatur, nec ne? quod quidem effe negandum mox rigide fum demonftraturus; in quo negotio autem probe e(t cauendum , ne cafus binarii, quem. excipi oportet , in demonftratione quic- quam: turbet. Propofitio VI. 28. Si daretur numerus primus A, in formi Bp--544 uon contentus , qui effet diuifor cuiuspiam numeri a4-4- 355, numeris e et £ cxiítentibus inter fe primis, tum: exhiberi poffet alius numerus primus prae- ter binarium, minor B, in forma p5-r-344 pariter non contentus , qui etiam füturus effet diuifor cuiuspiam nus meri-formae 22-1- 345 , in quo numeri a et P itidem forent inter fe primi. De monftratio.. Quia z et ó íünt numeri primi inter fe, ct ga--3bb per A diuifübilis ponitur, erunt ii quoque primi ad A. Si illi numeri effent maiores, quam A, ftatut poffet 2— mA -1- e, et b—n5A -- d, vt numeri € et Z, qui pariter tum inter fe, quam ad A, füturi effent primi, forent femiffi ipfius A minores, fcilicet € iA et d; .A , quia A, vt pote primus , eft im- par, cafum enim quo A-—-2 hinc excipimus. Prodi- ret autem hac pofitione dà -i- 30b —tmnA A -I- 208A 6-1-664- 300A A. -- 625 d 5dd hincque 120 THEOREMATA hincque obtineretur numerus cc -i- 3d minor, quam AA, qui effet per A diuifibilis, et quotus foret minor, quam A. Cum igitur A fit per hypothefin numerus iu forma $bp-—-344 non contentus, vel ipf& quotus, fi fuerit pri- mus, non erit numerus formae ft 34 4, vel, fi fit com- pofitus, factorem habebit primum in hac forma non contentum. Sit B vel ipfe quotus vcl ifle eius factor ; eritque certe B-ZA, ex quo daretur numerus primus B minor, quam A, in forma f$-i-544 non contentus ; qui effet diuifor numeri cc-1- 3 2d, exiftentibus nurneris € et d inter fe primis. Dico autem hunc numerum primum BD a binario *. . dd . fore diuerfum. Vel enim quotus ——L' 2^ foret impar A ? vel par: et cafü priori binarius in eo non contineretur , ficque numerus D. non effet 2. — Cafu autem pofteriori quotus binarium quidem , atque adeo quaternarium — in- volueret ; vnde cum 4 fit numerus formae f? p-1- 344. neceffe effet, vt ile quotus alium infuper factorem primum in forma P? --344 non contentum implicaret. Vel fi ce-1- 3d d efKt per 4 diuifibilis, quod eue- nirec, fi vterque numerus c et d effet impar , eius qua- drans :(cc-4- 3dd) ad formam ee -4- 3f reduci poffet, quae cum per A etiam nunc foret diuifibilis , multo ee4- 3f f magis quotus *52;77 implicaret fad&orem primum impa- rem in forma $p-1-344 non contentum. Propofitio VII. 29. Omnes numeri huius formae aa --5bb , fi- quidem 4 et P fint numeri primi inter fe, praeter bi- narium nullos admittunt diuifores primos , nifi qui ipfi in forma pp-i-344 contincantur. Demon- ARITHHMETIC A. 121 Demonftratio. Si enim. numerus quispiam formae 24 -1- 3 P5 ha- beret factorem primum quamtumuis magnum A , quí in forma f?-1-344 non contineretur, ex eo inueniri poffet alius numerus primus B, minor quam A, nec in forma pp-1-344 contentus, qui pariter effet diuifor cu- iuspiam numeri formae 42-1- 3 P2, exiftentibus a et à numeris inter fe primis ; atque ex hoc numero D fi- mili modo alii C, D, E continuo minores eiusdem indolis inueniri poffent, haecque diminutio nunquam tcr- minaretur , neque etiam vnquam ad binarium perueni-: retur. Cum igitur exhibitio numerorum integrorum con« tinuo mimorum inuoluat contradictionem: fequitur, prae- ter binarium nullum dari numerum primum in forma $P-3-544 non contentum , per quem vllus numerus formae «4-1-35b diuidi queat , exiflentibus e et & numeris inter fe primis. | Coroll 1. 3o. Omnes ergo diuifores primi , qui conueniunt numeris formae 44-1-355, fiquidem 2 et 5 fint numeri inter fe primi, ipfi in eadem forma 59-1-344 conti- Bentur; dummodo hinc binarius excludatur. Coroll 2. 31. Si igitur numeri primi in duas claffes diftri- buantur , quarum prior contineat eos , qui funt formae $9-1-344; poflerior vero cos, qui ad hanc formam om. VIII. Nou. Comm. Q. reduci 122 THEOREAMAT A reduci nequeunt : omnes numeri huius poflerioris claffis ex ferie. duuiforum numerorum formae 24-1- 355 ex- cluduntur, Coroll. 5. 32. Nifi ergo numerus 22-1-325, ecxiftenti- bus 4 et 5 numeris inter fe primis , ipie fit primus ,, erit is productum ex meris numeris primis formae Pb-3-344; dummodo quaternarius etam inter hos numeros. referatur. Scholion. | $5. Quod. produ&um ex duobus pluribusue mu- geris formae pp-i-544 iterum in forma aa2-i- 355 contineatur ,. fupra. oftendimus; indeque. ergo parebat, fi: P, Q, R, S, etc. denotent numeros primos. in for- ma f5-1-544 contentos, productum ex quotcunque huiusmodi numeris P, Q , R, S, etc. femper ad formam &a--3bb reuocari poffe. Nunc autem huius propo- fiionis inuerfam demon(ílrauimus , qua patet, numeros formae 22-1- 3/5. nullos alios factores admittere , nifi: qui ipfi fint numeri formae ?5-1-344. Hic quidem affümfimus, numeros z ct 2 effe primos inter fe: fin: autem non effent primi, fed maximum haberent di- viforem communem: 5, wt fit e-—me, et b—md, tum numer a4-4-gbb—mm(ce--3dd) primum: habebit factorem: quadratum 777, cuius radix poteft. effe numerus quicunque , praeterea vero alios non: in- voluet ARITHHMETIC A. 125 woluet factores primos , nifi qui ipfi fint formae $5-1-344- Propofitio VIII. 534. Omnis numerus primus formae $5-1-344, fi per 6 diuidatur, relinquit vnitatem , feu in forma numerorum 67-1- I1 continetur ; excepto ternario , qui etiam in forma $p-1-344 continetur. Demon (ítratio. Cum $p-i-344 fit; numerus primus, quadra- tum p per ternarium non eft diuifibile, íed per $ diufum relinquit 1; quia ergo 344 diuifionem per 3 admittit , fümma $$-1- 344 per 3 diuifa refiduum da- bit — 1r; eritque propterea numerus formae 37-1- r. Cum autem 55-31-5344 fimul fit numerus impar per hypothefin, neceffe eft, vt 77 fit numerus par; vnde, pofito z; — 22, formula 627-1- x omnes complectetur numeros primos ifi forma $p-1-344 contentos; ex- cepto ícilicet ternario ipfo , cuius fingularis eft ratio. Coroll r. 35. Quia omnes numeri primi, exceptis 2 et 5, vel in hac formula 65-1- 1, vel in hac 6 5— 2, conti- nentur , euidens eft, nullos numeros. primos poflerioris formae 67—1, in forma pp-i- 344 contineri. Q 2 Coroll. 124 THEOREMATA Coroll 2. 56. Hinc omnes numeri primi formae 67—z qui (unt : | 5, 1I; I7, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, etc. ex diuiforibus numerorum formae 22-1-355 funt exe cludendi, feu nullus numerus huius formae 22-1- 325, dum quidem fint « et 5 numeri primi inter fe, exhi- beri poteft, qui per vllum numerum primum formae 65-1 fit diuifibilis. Scholion. 37. Vtrum autem omnes numeri primi alterius formae 65-1-r , qui funt : 7,13, 19, 81, 37, 43, 61, 67,73; 79, 97. etc. fint diuifores numerorum formae 22-1- 355; íeu, quod eodem redit, an omnes in forma pp-31-344 con- tineantur ? ex allatis nondum affirmare licet. — Inde enim tantum confítat, omnes numeros primos formae $b-344 fimul in forma 67-j-x contineri , et pro- pofitio inuerfa peculiari indiget demonítratione ; quae ita concinnari debet ; vt , propofito numero primo formae 672-i1- 1 quocunque , oflendatur, femper quem- piam numerum formae 44-1- 325, in quo 4 et fint numéri primi inter fe , exhiberi poffe, qui per illum numerum 6757-L-r fit diuifibilis: in quo negotio loco formae '22-1-3bb etiam. haec ff-- fg --g£ illi aequiua- lens accipi poteft. Si enim numerum f et g alteruter, puta £z, fuerit par, erit J--1s--88— (i8) na Ga : in ARITHMETIC A. T (in autem vterque fit impar, erit tam f-1-£ , quam f-£, numerus par, et [ff fzA-gg — RE ML QG4UE Quod erga exhiberi queat numerus ff-I- fg -1-£g per numerum primum 67-p-x-diuifiblis, ita vt f et £g fint primi inter fe, fimul conftabit, numerum 6 5 -- x effe numerum in forma 554-544 contentum ; id quod. in fequente propofitione demonftrabimus. Propofitio IX. 58. Omnis numerus primus formae 6 5-j- x fi. mul in hac forma 59-i-344 continetur. Demonftratio. Iam dudum demonftrau , fi 65-1-x füerit nu- merus primus, per eum diuifibiles effe omnes numeros in hac forma a4"'— 5" contentos, dummodo neuter nu- merorum 4 et 5 íeorfim per 67-1-1i fit diuifibilis, Cum igitur in fictores refoluendo fit q^ — 59 — (a —pr)(at-- a p Ar- onm "dtemter horum faücorum per 67-1-1 fit diuifibilis ne- effe eft. — Quodü ergo dentur cafüs, quibus factor "e" —L" non fit diuifiblls per 67 -1- x, vt tamen, ne- que 4, neque 2, per eum fit diuifibilis, iis cafibus certe aler fa&or 4'^—- 47 42:"-i-5'" , hoc eft numerus for- mae ff-i-fz-i-gg, per 65-1 erit diuifibilis, ideoque mumerus primus 65-i-r foret in forma $5-1-544 '€ontentus. Demonítrari igitur debet, ^dari calus, quibus Q3 forma 126 THEOREMAT A forma 4*— J^" non fit diuifibils per 67-1-1. ^ Ad hoc efficiendum fumo £— r, et oftendam , fieri non poffe, vt omnes ifti numeri : $7—1;,98—144 4T — 5 Bites go puse. (Uf) t qe fint per 65-1- x diuifibiles, vbi quidem pro e omnes numeros ipfo 65-1- 1 minores, ideoque primos ad eum, affüumi pono. Nam fi omnes hi numeri per 67-4- 1 effent diuifibiles, eorum etiam differentiae, cum primae, tum fecundae , et fequentes omnes, per 674-1 effent diuifibiles , ideoque etiam differentiae ordinis 257 , quae funt omnes conftantes, et hoc modo exprimuntur: ime —J6a— | gm gm 0 D ires) doom... (2--2n) vbi , cum fit 27-1- 2 65, nullae pote(lates numero- rum per 6 2-1 diuifibilium ingrediuntur. Aliunde autem conftat, differentiam ordinis 25 effe —1.2.3.4... ...2, quae, cum certe non fit per 67-1- 1 diuifiblis , mani- fefto indicat , reperiri adeo inter hos numeros: A UPMIT TS C1; M PPS os A acE S P rr RE vnum , vel ctiam plures, qui non fint per 67-1- 1 di.ifibile, ^ Dum autem vnicus detur huiusmodi nu- merus 4^—1 per 67-1- 1 non diuifiblis, per eum erit diuifibiis 2*"——- z:^—1- 1r , hoc eft numerus formae J--fg--££,in quo neque f, neque g, fit per 6n-i-1 diuifiblis. — Confequenter numerus primus 6n-1- 1 eft formae 5-1- 344. Scholion. $9. Omnia ergo, quae cum in demonftratione Theorematis , non dari duos cubos, quorum fumma fit cubus, ARITHMAMETIC A. ray €ubüs, tum in folutione problematis de inueniendis tri- bus cubis , quorum íümma fit cubus , affumíeram , iam plane rigide funt demonftrata. —Aífümíeram autem pri mo, numeros formae a4-1- 355, feu ff -- f ggg, nullos admittere diuifores primos, nifi qui ipfi fint eiusdem formae , deinde omnes numeros primos iftius formae fimul in formula 65-1- x contneri, ac vicise fim omncs numeros primos in formula 6 7-1- 1 con- tentos , fimul effe numeros formae 55-1-344. Quaré nuuc, tam ila demonftratio , quam folutio ,' pro per- fectis funt. habendae. — Interim: tamen faüteri cogor. ia hac de natura numerorum Theoria plurima etiamnum defiderari , atque Fermatii demonflrationes de»erditas fine dubio multo profundiores fpeculationes in fe effe complexas. ^ Eo enim modo, quo víus fum ad de- monítrandum , füimmam duorum -cuborum nunquamr poffe eff& cubum., non perfpicio , quomodo deémori- ftratio ad poteítates altiores extendi poffit ; cum tamen Fermatius demon(trationem habuerit , neque (ümmam 4" -- ^, neque differentiam 4"— 2", nunquam efle po- teftatem fimilis exponentis c", quando exponens z füe- rit binario maior. —Demon(trandum ergo effet, hanc acquationem 4" -- 2" — c" in rationalibus nunquam lo- cum habere poffe, ftatim atque exponens 7 binarium fuperet , nifi vnus numerorum 4, 5, c euanefcat. De- inde etfi demonfiraui, numeros primos omnes formae" 65-1-r effe in formula pp--344 contentos , tamem fimili modo demon(trare non licet , numeros primos formae 875-1-$ femper in forma fp-1- 244 contineii, quod tamen aeque eft certum , et a Fermatio demon- Ho ftratumi. as8 THEOREM ATA ARITH. M ETIC A. firatum. — Succeffit mihi quidem demonftratio , quod numeri primi formae 45-1-1 fint omnes duorum qua- dratorum füummae, fimiliqge modo demonfítrare poffum, omnes numeros primos formae 87-1-t1 fimul in for- ma fp-i-244 contineri: verum plurima eiusdem ge- neris theoremata proferri. poffunt aeque vera, veluti quod omnes numeri primi. vel huius formae 2054- E, vel 2072-1- 9, fimul in formula $9-1- 544 continean- tur, et huiusmodi plura alia, quae tamen nondum video , quomodo demonítrari queant. |^ Ex quo Theo* tia numerorum nobis adhuc maximam partem abícon- dita eft. cenfenda, CON. $44 Co) ww 129 CONSIDERATIO FORMVLARVM, QVARVM INTEGRATIO PER ARCVS SECTIONVM CONICARVM ABSOLVI 2. POTEST. b : Audc&ore | L. EVLERO. Lemmata. -Fgzz fk—gb 4, Dur I dd EHE y ax-b pofito x— Y -kzz) zzdz i Miet. dent 1L MELIVESTNEE T idz "geri es -b —MftY ura € x—Y(f-rgzz) et y——Y (b-3- kzz) «ee 4E Acn aded ie £c (fk—gb)sx ut (b-r-kaz) MU TI a-bxx — yltisb fiy» ue I pofito *—JV(B 3 kzz) et XVAUDEL TT dzsY(b--kzz) | k-- Cgb—f k)xx WIE (f--gasa) | SL. Du-jívrx E tue —-gbyyy v. n m Tom. VIII. Nou. Comm. R pofito 139 CONSIDERATIO I ! E vis pofito *—Yy gas) e J— V(f--gzz) dz —t 11 UMrSRIUP V. /Oxgsau V cian 734 47 E fk-ebyns | | m k—gy —fi-gb/ a Yg yy b hi E: zy abebas pofito x — Yfizez) e J—" fF -rgsz | dz 1—-kxx ope ir Pg cm NC queas" NL. [r$ Ea) V (f 8 62) Uds f*(gb—fk)xx uuc Nit £—ky Taba bet ig- i QEUETILLTAS E AERE pofito x — y (-Fkzs) 7 — b kan zzdz m pte i ical VIL / CErgizgV (b kus)- JV EE (Eb Füsx tiv V MPLNP : —p-gp | 47 Y 13837 a MEE j ors b-r-kzz pofito *Y— Vf) 77 f-rgzt zzdz 1—bxx rn Lr re o e E fg x i VIII. [5 tr kez y Y (f3g85) dx gf k-gb)xx | | x by y —f gb- fi 17 Y £Lgyy gri I pofito & — Y (b-i- kaz) e y— bakzz TT "I heore- FORMVLARV M. 151 "T heoremata, f--zzz yfizsb-cgue L fdz Y, kao MAY xx—b pofito x — Y (b-4- Ezz) f^gsz ftz2zz vuArt-f Gifielér Tui tue mra rte Lodi rm f--s2z b-r-kzz fueum fen : A RARCLECHPE Lu] pofito x — Y III. fa: d rrt adi g4f&- & —ib)yx pofito cem fies & ybxles f*-2b I—gxx w. Jes bk ko " dgaz! Ok nu D LT. J^-gb)xx 4 z pofito MIS | pes 4 T BH, f Vitas t-gxx E ea kzz | pofito x— fs : fies um bres n» -fk xv iM M V VERE c daY fagus* pid XY-5- -fkrkxx pofito my ege) figem f vLpes 4407 fk 2 oxu—b Vir Jis p ins Y fygsi* pi JexY f 'k —gb-rgxx pofito A fuz frs VIL 22 SV res ^ "YE b--kaz prem Q R 2 vbi 152 CONSIDERATIO - En Ffk-ebux fb £b., ,f- (s b-fEyy e a d —7 gb" d 1-kyy o ^ ja "—VUrRES et T1 — Yers] vbi PZ ues gb Je T4. T "n zd Y Bf s Re op | ie dian pofito. x— 7 7 Em Xo XE fog oc f& y IAAAE E uv ava dut i pE LT Va cm £h Au *jdj rr mer "da a--Y( lr 5s z) et nici atque. Q— Jin m 2 a T oye Liv st ini pu ue pe M Er s a.yltemm. ab-fk [E fism. A be-kzz 1 Ts VET E» bkaz Tee fhgzm s bd gh- x 4 (fE ebax m fj k-eb y£ish gb-fb)y bi p- 77 fus ye LN ACCMM EG z * PP pier Ma vy LESE Af. pyLI EVE. Sn WE 1 ES -fk x * i "eft PIA b ybi Pz 7, fdxv gb-f k--kxx dk /oY f'-gb-ayy RES x—Y(f--gz2) et n- Y (b-a- kzz) | atque FORMVLARVM 145 Utm viprwen o sfyy- 8 uique. Q— p: An. STE uen. k—g yy 5--k E gu neryt ter L—————á ety — viret À 2-55 yis gzz g JBD-r-kzz XIL. f2z Y x "iosin dim PC HsBer- Q ? ig 7 [B yEXUb- f0xx fk-gb MES. & bk. erae RXG or pi e wo b--Cfk-g b) vy JdyvY —————— [4 :—4J) off s t E Volum potsegy em fac TREES CM R-fxx arf Uf vr-b ERO C JY Lau eru j* x e d m " d TM n y? L-kzz pofito x— 7 TEE et y— fog b-fk | b-kz. b XUL Qvi E6E LATE URINE fV LIT. up biksm bk frau igiduv ftgzz p II gt eb-f&) xx xx fta b (fk-zP yy I^ is dcm Wigs Et bel yv 1—4g Jy | geli. ry E t CYG-ages) Theorem Pibpuieet f--z2* RT yL*s fara jac FEDERE V. Vp Y b. kx x? zo vB p de- notat. conílantem arbitrariam , pofita inter x et z hac | xelatione::: | R$ gkxx 134 CONSIDERATIO £lhxxgz-pxx-pzz-o xzV(p- f (p--gb) --fb—0 fiue —Ey(--fE(--eb)-- VpCf H- gz zy (b-- hzz) XALlIlÉ—— P$d—gkzz Hypothefis. Haec fcribendi formula IIx [4] denotet fe&ionis conicae , cuius femiparameter — r, et femiaxis trans- verfus — 4, arcum a vertice fumtum, cui in axe trans- verfo conueniat abfciff — x. Corollarium. Si a fit quantitas pofitiua , hoc modo defignatur arcus elipfis; fin negatiua, arcus hyperbolae. Si modo x fue- rit quantitas pofitiua et minor quam 24. Integrationes formulae fdzv As inr cafus diftributae. Ciis 1, Ja35y LES?*. b-- dax Integrale eft pri c Ueb) v» kVfk- ..j s Vsssie m, vel etiam per Theor. I. f. o ufeegb, Y(b—kuz) | fe--£b CT YUERET fi EU LM e Caíus II. jacy L5 z» exiftente ft»gb Integrale eft e : ZNVim PEE Or ft ze" SA ge DO TESR ve -"FORMVLARV M. 135 vel etiam per Theor. I. fn FUCPERRNM Lan d Ls mm ft-gb7 C--yjfkbl fi € y ED Catus III. [22 Y —— wr iss xiflente f & b rer rid ^ $4 Integrale eft immediate : b—fk k 8" "i. II E LOS (aV I) dut. : C wi M gs-fk gb -fk Ca(us IV. ono , exiltente fk Sz 5 Integrale eft per Theor. I. Em -ebfk ees Cj T Yg5- td uo (CoyYs "Ej cres Caíus V. fdzY pore. Integrale eft per Theor. III. ud rr —Y(fk--zb Y(fk3-£5) is " 7 yg (b kz a) vel etiam per Theor. II. -fa4gzz | ftgb f* Yk( Te a 3i] Ces EX diss ^ QW fk a nfeegh "Yg (b zz) zs el Cas VI. fdz Y —7- 18 HS , €xiftente f&z-25 Integrale eft per Theor. III. -fhgren ufo P aged 7) Ln] Ce -kdkua ^ydksb DJs ( Yg(-htez 356 CONSIDERATIO. vel etiam per Theor. IL. -ft-gzz fk-gb | fk VK -fA-gzz) -b-r xa ide jus fk-gb Vg b as) | Cafus VII. Jasv L8 5? iflente fk gb Integrale eft per wem Iii. C4 guyb-hes -kzz eb - (eb-fE) y fk f* Yf(b- IN er a. | k f—gzs kVfk zb—fk Yb(-gzx) gb-fk Cafus VIII. p t in i E , exi(tente fk gb Integrale eft kem Theor. Ii. ser (| EP-fke Y (gb- Jn. fi C4-zY C 25D z- | —kzz. gu [fh MYg(b—kza f: etiam per Theor. V. C 4-2 Y —— b—kzz Cape CIC EY (gb-fk). —gb-4 fk c- Fee Y(gb 5. don f*gsz). pde zd Cafus IX. jas v 13-82 ws c ur sd f*5sb Integrale eft per Theor. Xx. c Ut-EP, fran (f-gb E Tw. Has Mak x "gb b--kzz kVfk gb Y pe "YF ERA EDO vel etiam per Theor. XIII. (fa-gb)z, b-kes (ft-gby fb, Vf S bk us "AVfk Uu Qu YF gay 75] ft-£b vs - hex) ENT ygini " SM apt. Cafüus id fic fies Yrs jp tes 4527] : XFORMVLAR-F AM. 15*" Ca(us X. fax V Z7: Er exiftente fkt-gb Integrale eft per Theor. IX. 5s f—z2z (fh —g b) | Vk f—8 2:2) fk € -r diese ^ kyYji n^; s (1 T7 yu k—gb) / Íf |^ nft—sbh av — gh) —fk-r-gb —ygk—gbl gh src uro am deeem —] Y€l etiam per Theor. XI. —b-r-hzz (fk — g by] gzz) cC-7 PV T-ik kyjh | EC f AU RCEREUS fig V kg Eta -- sor liEPE i-i) E&J Cafus XI. fücv ittis Integrale eft per Theor. XI. jz —b-hzz feb YU by fece C- P J-rT& zx a Se — Kg 2x) (fFh-a- gb) f kh! Tu OE - Meter cquh TE emerat 30 ETE vel etiam per Theor. xir. gz4/ -b--kzz iex. YU k--gb five € k zx j4-gam nr TE M Jm E RC one) (E EI - ^ 4yjk ATE T aMBR I y Cafus XII. [22 V 5-52 Integrale eft per Theor. XIII. (fk3- gb)47 b-a-kzz feeds Ze fite c- bk TY Face qme Tgb eR Us "d Gk -- Eb) L SPMNUEC Hi gue :) 4-8 Omnes ergo caíus formulae [dz Y 5-52 , dd cunque litterae a; Q, yy , pide comparatae , per arcus fe&ionum conicarum integrar poffunt. Tom. VIII. Nou. Comm. S Nou 18 CONSIDERATIO Non folum igitur formulae. initio commemoratae integrationem per arcus íectionum conicarum | admit- tunt, fed etiam innumerabiles aliae , quae per fubíti- tutionem ad formam JZxY —d fe reduci patiuntur, cuiusmodi funt d P: p.f d pct -fdx QyfeEeEL : fdy y£o-—t--i5 bep-huz — bxa-k— b yy -—k y'^5^--hzz) z pofito: x —£ et y — dz xx-g yy—k 2^. Zay(J ZayU- V gezyo--92)— — -H dx MEE M dy V fyy-k -rgb pofito xc YXEED et yzXutisz) uei Vc rnm f3-gzz --hzz Eve Eua) (o7 kun) -peg dt V i risa" fg fig jdz jó 3 cuius formulae reductio etiam ita inflituitur : 4- ES EN, fxx—h ME ETT Fere: T^ LN ld m LEM piis pofito: xx2Y 532—727 vel etiam fic: dz y—£gX2 —f»»y . Meere spes LL a ree Tas spas JV Eoo egy z MIS (AVI v à pofito xY—75-gazz) €t J— y G-c gaz) Ponamus zz—« atque obtinebimus fequentes formulas, quae pariter, per arcus fectionum . conicarum conftrui poterunt 5 dvY( fA-gv) 1 doY (f-4-ev) v o Yyab--Kku) p v Va b--kv) dvYv m do S M yu Y (J2A-£) gv)b--k) 3? 4 Y --gv)0-A-&k9) 5* FORMVLARVFV M. 159 doV( f--qv) ai. | do LN IE SCR ME NY Boreae gems m 9m (b-31-kv); Y v ^ vV«( f--gv) b kv) do doVwo Ad (f--gvXV w(b-i- kv) S DegvjY (bk) hae enim vicifim, pofito v— z2,ad formas praeceden- tes reducuntur. Hinc patet, iftam: formulam fatis late. patentem ad ar- cus fectionum conicarum reduci poffe (A--Bu)iu Kv RT (Y-2-7$ uXE-C-$u) » quae imprimis notari meretur. Ponatur enim «4 u-v, vt fit 4— 73 , haecque formula transmutabitur in hanc : dv(AB— Ba-1I- Bv) : M VI TDIVWETUIEZ DESTITIT quae ad binas formulas, fub n?. 3 et 4 allatas, reuocatur. Quare, (i a-3- Gx-r- y xx--ó x^ habeat tres factores reales , haec formula dx/A--Bx) |. | avc STy*zrua P2 modo expofito integrari poterit: femper autem vnum factorem certe: habet realem. Sin autem bini fint ima- ginarii, formula a -1- (8 x -4- ^y x x 4- Ó x^ ita referri poteft J(pp-i- 2154 y 4-44» y) , exitente n2 x , vt defi- niendum fit integrale harum formularum ; -Cdwy Dd5«4 SU eem idR e Jose: que eee UTTETL Ponatur Y (5p 2254) 34-4439) — p-3-4)2 , fietque LL 2pbí(z—mn) J—LIycxzy. qua fubftitutione prior formula abit in d 2 v yd z P jJyU(—zKi-zy.-cEE; COnftrübilem :'poflerior vero 2 in 17505 CONSIDERATIO 2DVop dV (zt) dzV (z 2n) in hanc - — ———, ; cum vero fit / Vq (1- 22s (1- —Z2 Lo £víz— -n) zdz —— —vy—ziz)— tf nz—3Ya-z ps) etiam haec per fupe- riori conflrui poteft. Sicque in genere habetur con- dx(A--Bx) firucio huius formulae f yz Td rs p E eui Problema r. : . dx Integrationem huius formule fA Ede per arcus feCtionum conicarum perficere. Solutio. Q 'antitatem. 24-5 x 4e cx x 4- dx" -- ex* (emper in duos fac&ores trinomiales reales refoluere licet, qui fiut (a-4- 2 G x4- y xx) et (3-3 2ex4- 5v x) i ita vt habeatur haec formula integranda : [777—377 67:223 Ponitur à -4- 2£x 2- xx — (à 4-2 Qx-- y xx) y, vt formula propofita fiat f TUEXuXD At acquatio affümta per radicis extractionem praebet er óx- By — y xy Y Y 2- 4) 4-7), pofito ? — 88 —ay ; 4— a2 — 2e-1-y8 ; et r—cc— Q4. "Tum vero eadem differentiata dat : dx(s--6x—(8y —'y xy) —idy(a-2r- 2 x -A- ry xx)) fu 4x — idy &4-2Qx- yx — nO B-y Quare — FORMVLARFM. ^ xax Quare fi pro hoc poftremo denominatore valorem irra- tiondlem modo inuentum fübítituamus , formula propo- fita abit in hanc : 5 TUNES Yy(pyJ-- 4) A-7r) cuius integratio per arcus fectionum conicarum fupra e(t oftenfa. Hic igitur nafcitur quaeftio ; quid tenendum fit de hac formula: dx(A--Bx--Cxx») — — À—— ÀÀ MÀ Euidens enim eft, non neceffe effe, vt numeratori al- tiores poteftates ipfius x tribuantur ; quam etiam Cel. d'Alembert fatetur , fe in genere ad rectificationem fe- cionum conicarum perducere non pofle. Confiderat quidem in Vol. IV. Mem. Acad. R. Berol pag 254 «fum, quo A—o , C—o et 4—0, ita vt formula fit cL conaturque oftendere (pag. 257.) cius integrationem cafu d4—4«ce per, arcus fecctio- num conicarum abfolui poffe: verum methodus, qua vtitur, negotium minime conficere videtur, vti rem ac- curatius perpendenti mox patebit. "Transformationes au- tem, quas deinceps tradit, cafus nonnunquam hoc modo tractabiles fuppeditant. Quocirca haec inuefligatio ,. vti eft difhicilima , merito omni attentione digna eft cen. fenda: vnde etiam mea tentamina fuper hac quaeflione propofuife iuuabit. Bo Proble- 134 CONSIDERATIO Problema 2. Inueftigare conditiones, (üb quibus integrationem dy(9-- àv--9 1 huius formulae f 3j TH $3 € p ES Lr Yu ad hanc d PeOox fimpliciorem f £c oz uc TR 7— reducere liceat. Solutio. Statmatur inter variabiles x et y talis relatio : exxyyA-2xy gx4-yy)H-óxx-r-eyy- 26x y-2Ywx420y4 X-0; cuius coefficientes ita determinentur , vt fit Bá—«n—-y3—o; Z0—wyx—ti€»—o vy Y 7 &£— 9f; y£—a6—c— 1"1-9x—6€; in Bx—-50—$ et. £ó-- 2y »-ax—óc—4 00— hincque erit pro denominatore transformatae : A-— aó ; ju bos Lie CZ ZZ 2 flc an- 9e ary Cum autem nouem habeantur litterae o, , ^, 0, &, Z, * 9, X, his feptem conditionibus praeícriptis vtique fa- tisfieri poterit, relinqueturque adhuc vna arbitrio noftro determinanda. Si iam breuitatis gratia ponamus : 9[ /'--295 4 G 52 G) 7 €—Y e Ax CxxFE-X , refolutio aequationis affumtae praebet : axjy--2Qxy-Óx-Tyyy--ZyM-€-0—YY &XXy-i-2y Xy-- ty -A- Gxx-- 6x A-0(— VX cius» FORMFLARV M. Yu eiusque differentiatio ducit ad hanc aequationem : d d | "X -- 4x — o. Ponamus ergo: n d 3 a-0o»-95»» —V Jdem Ran y31,*47:35 52-€ 524-2 52-8) — V 7J wy(Ax*A-Cx*--E) ? ac fit V talis fun&io algebraica : V-—umx-r-ny dc pxy dic iqxx dc iryy- txyy. Hinc fíumtis diffzrentialibus terminisque homogeneis feor« fim aequatis, reperientur fequentes determinationes : — gp bi L — Y * . — «€ bi . — — e— praeterea vero haec determinatio accedit, vtfit9[ £259. Deinde vero fit: | e g'—y»*. (og. — AX Definitis ergo cocfficientibus. a, B, vy, 9, £, 4. 4, 0, x, quibus conftit relatio inter Y et y, ex iis innotefcunt quantitates. A, C, E, quibus inuentis, fi fueric 9| 0 - 953g, erit : 393 4-Yy 4-3») — Pu 2534-6 24. $54-€) — — Conft. -- Bray toy) dx (S9 4Q- Bre vw )*X cuc TE yx) 4 Y(AX'--CX GE) — Dummodo ergo fuerit Oo-czE. formulae propofitae íne tegratio reducta eft ad hanc (impliciorem ; f TIU. B. Corollarium [ Determinatio coefficientium a, , ^y, etc. com- modifime hoc modo inílituetur: Primo quaeratur va- lor ! x44 ,CONSIDERÁATIO lor ipfius.s ex hac aequatione : — $:5—202s:: 29 0 — 295€: Q-—^7.—wue i hM quae, cum fit cubica, certe valorem realem pro s fug- gerit: quo inuento , fümtaque ad arbitrium quantitate f, fit breuitatis gratia. $— 55 — u, tum autem valoreg omnium 9 coefficientium ita fe habebunt: g—yyTE-— re ET $—uu pec MACPW TET ' Y — iu» SES e s Ó 9 — aiu? oz ru) B—:g—; —iu(:9[4-€52-1(054-$95 e— i (49[u-3955-1-Gss) ; x— i4 35 -3 8:). Coroll 2. Alio adhuc modo idem praeftari poteft. —Ex- tracto fcilicet, vt ante, valore s ex hac aequatione: € — 9595 — ss , 29 0—295€:; NE TT $-—3s MC : pofitoque breuitatis gratia ^g. 5; — tw, et,fumto ? pro arbitrio, erit ; rytE5-e 99; Lm one Er s ) p Td y yrs , -—75 vifu e— t(49[u- 9. Quo; i —yUEE -IyÉEm (stu; x—t (5-2 05—4 Gs). Coroll. [ FORMVLARV M. 145 Coroll. 5. Si fuerit 9| :(£ — 9595 : OG) , aequatio. cubica valori s definiendo fit inepta. Hoc autem inccmmodum facile tollitur, transformanda formula differentiali per po- fiionem y—y-1-2; qua etiam forma numerationis non turbatur. ! Scholion. Pofito S, —59f , et $0—7595 , integratio huius formulae : d y (9j -1- 1*5 y -4- n9 y y) yt y* 1-235 5-1 € y?4- 2 0.5 --G) * femper reduci poteft ad integrationem talis; d x(P--R xx) Yy(Ax*-I-CXxx-E)? quie, fi denominator Ax*--Cxx-1-E in huiusmodi duos factores reales ( f--gxx) G-r-kxx) fe refolui pa- titur, per rectificationem fecionum conicarum confici tur; at, fi talis refolutio non fuccedit , fequenti artifi- cio negotium abíolui poterit. Problema . 3: Si in formula E oos quantitas Ax*-Ca"*4-E in fictores reales huiusmodi ( j--gxx)b-r-kxx; re- folui nequeat , eam in aliam transformare, quae pet arcus fecionum conicarum certo integrari queat. Tom. VIIL, Nou. Comm. T Solu- zs CONSIDEÉRATIO Solutio. Taducatur alia variabilis z, cuius relatio ad x hac &equitione exprimatur z 4Exx2!f—4xxzzY AE- -4Ezz--2VAE-C—oO vbi YA E erit wtique quantitss realis , fi. quidems Axf--Cxv--E noa habeat factores binomios reales. Hinc autem; fict : d x(P-A-Rcc d vas EE)— — Conft -RYA- dz p—RYT SENE EM ( -4- ) V(442z -A-(V«-ovAkbzz T-2A- im qua noua formula quantitas, in wicoddd d cone tenta, certe im duos fa&ores binomios- t4. eft. refolu.. bilis, cum. fit (C-6VA E) —i16E(2A- E z - 2) i ; propte- rea quod hinc fequitur CC4- 4CY AE-A- 4^ E. z(C-A-2YAEJ/-o. Aliter. Habeat noua vague d z um x talem relationem : —.AE L—x*—2bzzco YE xS EGER) n, sibi "-Cxxz&d-t eritque : dr(Fa4owexzy — CR... pn Er XE qiuE get s Er ore. LR Lp FORMVLARVM 143 «uius denominator pariter certe in factores reales bino- mios ett refolubilis. dte v0 s Gonclnito, His demonftratis maniféftum eft, hanc formulam: Kay L LÀ» 53-235» -—- n91y y) np - v 3E» *4- 05,3256 34-0 )-- €) femper per arcus fectionum «conicarum confirui poffe. Cum igitur denominator femper in duos ficores tri- nomiales reales refolui poffit, hac formula ita exhiberi poteft : EGUI ET cum 23 cuius ergo eadem datur C lieostio: Porro augendo vel diminuendo yy quantitate :conftante j. formula noftra etiam ira répracfentari poteft ; Jf dy M -I-'N vy) 35 *-I- CJ J4- 2 D 34-E)* In his autem -fere omnes «cafus, quos quidem per reti ficationem fe&ionum -conicarum integrale licet, conti. neri videntur. Sed in medium afferamus adhuc aham scductionem, s--. Problema IV. Inucftigare conditiones , füb quibus integratioaem ' huius formulae : |o L4»0 Ov myv 2 | J 137 9—6)7-25,*€ 2d hmc fimpliciorem ; d x(P--Ox--Rxx) " Jvk (3 Bai--Ca!--2iDx) perducere liccat » 123 ^ See [| trit 1:48 CONSIDERATIO Solutio. Statuatur inter variabiles x ct y talis relatio : axxJyJ--2xJ(Qx--y y)--9xx-- ey yA- 26x y -r-2"x-r-20y--x-—0, cuius coefficientes ita determinentur , vt fit : (Q-«39—9; yy-—ac—9f; y4—29— 8:—35 006 —:k—0; «»—à0x—G; Zu—x—o006—9$) atqie ZZ-4-2y«—ax—9:- 400—6G , quem in finem definitur primo f ex hac aequationc cubica : p'-i€pp-(9I€ 258) (€9IC-9/ 88 -9525()-o Deinde, pro lubitu fumto numero 77, definitur 4 ex hac aequatione quadratica : 44— 4 (Sm - 95) -- (m & -p) (mp—9[) — 0, quo fa&o, fi denuo numerus arbitrarius Acciprtur z, erit: — Jin iE e-inon. j quic bnc e T— 2 ".p——94— mm Q) ? — nyuimp—3i-mmQ) wr II BE METTE P MUN MT € — yup—Wu—mn&) » X — nuyinp—dü—mmne) g——oer» — Lm — qv: n p—3I— m €) » € — nivmp-3—mn &) o myfbp—353€ . —. Y*0p—9€ "Y — 4X(inp—3 —€ 2m)? y — Yy(2mp—323-—mme A S p —3b --98(m € — p) — "Wipp— a3 €; mp—3i— mm €y Quibus inuentis erit : B—Z—aw—yó; D—Z0—wyx-t^ et Cc 22-7 290—ax —0c—A y v Pona- FORMVLAHRFV M. 149 Ponatur iam : LL. d((35 -- iy 4-90 y ) KT Y(0*71-235)54-€211-22)4-8) — — Conft. (2 MTS M "i f d —J $3 x$4- Cx*4- 2D 3 atque reperitur, vt "a D ET: m umc ath deinde P— 9 ,-G/—29* . & —?* (t R —6. Neceffe autem eft, vt in formula bisiotis fi.9( $32 9598, neque ergo haec reductio nouos cafus fuppeditat. At s bs x-—zz, formula transformata abit in hanc: dz(P-i-Qzz) — 2 f gus zf- Cz*-4- 2 D) quae reducto faepe facilius fuccedit, quam praecedens. T5 | CON- 50 E OL CONSTRVC'TTO- '4EQVATIONIS DIEFKERENTIO. & DIFFERENTIALIS Adi 4- (B-3- Cududy 4- CD TEéCCEa)Mdj)-o , ced: nip du conftante. i v. K s : j C4 ET. P | Au&ore. L EVLERO. (^x ; ^ L E. de I nau vA à teet hanc differentio- aitrérebdaters latiffims. patere , ex plurimis formis, in quas eam trans- mutare licet , facile intelligitur ; plerumque autem eius- - modi complectitur cafus, qui, cum fint aequationi Rz- catianae fimiles, íolitis methodis neque ad integratio- nem, neque ad variabilium íeparationem reduci poflunt. Primo «enim, ponendo y —.e/?", renocatur-ad hanc aes quationem differentialem primi gradus : (B-—Cu)zdu A!du EE 4&2 -1- pa EvrFuu "- zzdu-- PIECEER —O, quae deinceps ad alias fubftitutiones ampi:(br um cam- pum patefacit. — Quam ob rem non parum Analyfi confultum fore arbitror, fi in genere iftius acquationis conftructionem docuero Red quod per ea, quae olim de aequatione Riccatiana Siboiu Íequentem in mo- dum praeftari poterit. 2. Concipio autem y determinari formula qua- pism integrali praeter quantitatem y nouam variabilem x inuoluente , tà M in hac Antegratione fola x, vt va- zjabilis, "UCONSTRVCTIO- AEQVATIONIS. — 351 giabilis ,. quantitas 4 vero vt conítans, tractetur. Cum sutem integratio , fiae analytice, fiue per conftructionem quadraturarum , fuerit abíoluti, quantitati x valor qui- am coníbins datus tribuitur, quo fi&o integrale re- raefeatabit. functionem: quandam ipfius £ , quae fit ea dpa, quam aequatio propofita-exigit —. Totum: ergo negotium huc redit ,. vt formula illa integralis quantita- tes 4 et x inuoluens inueniatur , quae hoc modo tra» Cati verum valorem ipfius y: exhibeat. g. Ponamus ergo effe y — f/ PZx(u-4- x", im qua fornuls P. denotet functionem: quandanr ipüus x ab 4. immuuem, quam: quidem demum definiri oportet.. Quae cum füerit cognita , integrale faltem: per: quadra» turas concedetur, idque pro quocunque: valore ipfius g, iquae:in integrutione vt conftans fpe&atur.. Tum integrali dta! fümto ; vt pro quopiam: valore: ipfi: x' tributo: eua» meicat, ftiutuütur pro: x: alius quispiam: valor definitus: et conftans, ab' uw fcilicet nom peuuens 5; quo: facto: ae- quabitur y functioni cuipiam: determinatae: ipfius. 2; quae fit ex ipíà ,, qua. aequatio propof(ita: refoluitur-. so. 4X» Btfi autem. in. integratione. f Pdx/u-i- x)* quantitas. pro: conftante hab.tur, tamen. eius ircre- mentum: a(Bgnari poteft ,, quod: capit ,. fi. pro: »w ftatuae tur /-- du, et integratio fimili modo abíolaatur. EX principiis autem. alioi expofitis collizitur-hoc incremen- tun —7"4du[Pdx(u--xy—'" . Quare fi haec formu- la eodem | modo: tractetur, ipfique- x: poft. integrationem xalor determimtus tribuatur , cum (uerit y— f P d x (u4- x)* €rtt nunc, qnat.nus. variato: z: fimul: y. variationem: (ü- bit, dy—ndujPdx(wA-x)] —. — Ac f porro fimili "T modo rs» CONSTRUCTIONIS AEOVATIONIS modo differentiale ex variatione ipfius 4 ortum colli- gamus , ob du conftans confequemur : ddy —n(n— x)du f Pdx(u-- xy—?. s. Cum igitur his integralibus modo — praefcripto ita fumtis, vt ipfi x valor quidam determinatus tribua- tur, ficque ea in meras functiones ipfius 4 abeant, ha- beamus hos valores: y—fPdx(u-t- x); à» — nf Pdx(t d-x7— et du cc n(n— x) /Pdx(u-i- xy—* neceffe eft , vt vi aequationis propofitae fit A f Pdx(u-i- xy -A-n(B4- Cu) f Pdx(u-- x^ --n(n—1X(D-r- Es-- Fu) / Pdx(u--xy—*—o in quibus integralibus fola x vt variabilis fpectatur, vero pro conftante habetur. Haec autem aequatio tum folum. locum habere debet, cum poft fingulas. inte- grationes quantitati x valor ille determinatus ab z-non pendens füerit tributus. 6. In genere autem , dilciiun ipf x ifie vá- lor affignatur , ifta quantitas non euanefcet, fed potius cuipiam quantitati ex 4 et x compofitae aequabitur , quae autem ita comparata effe debet, vt illo cafu, quo pro x valor ille determinatus fcribatur , euanefcat. Sit igitur R (u-- x)'—" ea quantitas indefinita , cui fupe- rior forma in genere aequetur, vbi R fit eiusmodi functio ipfius x , quae tam pro eo valore ipfius x, quo integralia fingula euanefcentia redduntur , quam pro €0, qui ipfi poft integrationes tribuitur, in nihilum abeat. Quos valores ex ipfa indole huius functiones R : colligi DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. 155 colligi conuenit, haecque etiam eft caufa, cur eos non flatim determinauerim. 7. Quamdiu érgo x adhuc eft variabilis, et wt conítaus fpe&tatur , neceffe eft, vt expreffio Rx ; dn aequetur huic formulae integrali : JP4xu-xy—(--Aus ^ --2Aux -i-Axx -EnCu — -nzCuc -pnBx —-(| -L-2Bu -rnn-1)Dj -Fn(n-x)Fuu --n(n-x)Eu «uius propterea differentiale aequari oportet huic: [oW ca UD j ^ -r(n—21 )Rax.) Quia autem R ab » pendere non debet, «conditiones fatisácientes his aequationibus continentur : A--2C-2-2(n—1)F —o 4R-(2A--1C)Pxdx-i-2(B-- (n- 1)E) Pdx XdR --(0—1)Rdx—APxxdx-1-nBPxdx--n(n-1)DPds. 8. Si valor ipfius ZR ex fecunda in tertia íüb- ftitaatur, habebitur : (n—ax)R—-—(A--2C)Pxx —n(1—1)EPx--2(0—1)DP €t quia ex prima ett -A—zCcz(n—x1)F, E R—2zP(Fxx—E x-r- D). Deinde ob 2A--2C-—- 2z(n—a1 )FE-4C fecunda induit hanc formam : dR—nPdx(—(C-1- 2(n—1 )F)x-1- B-1- (n—1 B) quae per illam diuifa dat: dR — (C e s(i— p) sda- E (B-1- (n7 1)E)de —— —Ó——— ED 713. 7 Tom. VIII. Nou. Comm. V vnde 3134. CONSTRVCTIO AEQVATIONIS vnde, cum R fuerit inuentum, erit Rdx PX LYIS RC L exponens autem 7 per primam aequationem definitur , xnde fit g — pE—C-EY(E- O7 eph ups 9. Hic plures X c Occurrunt , ac primo quidem ratione exponentis 7, íi is prodierit imaginarius, puta 2—— p. -i-Y Y —1, notandum eft, efíc y *—— cof. Ir4- V 1. fin /r, ideoque z"zr"(cof. vr --Y —1i. fin.v/7r) , vnde imaginarium exponentis ope fiuuum ad imaginaria fimplicia reducitur, ex quibus de- inceps eorum deftructio mutua facilius perficietur.. De- inde inueftigatio functionis R. huc redigitur, vt fit €xdx—Bdz. IR —-(n—x:)K(Fxx—Ex-r-D)—/rzi-i:4-5 quae denuo ad hanc formam iP MUT IR: 01 (Fcx-Ex £D) (B-: Bem Nifi ergo fic B. — SQ , Videndum et ; an formulae integrandae denomiuator Fxx— Ex--D habeat duos factores fimplices reales et inaequales , am vero aequales ? tum vero an in huiusmodi factores fit irrefolubilis?: prae- terea c fus, quo F—o peculiarem euolutionem poftulat quos diueríos cafus feorfim pertractabo. I. Cafus quo B—*z. ET ro. Áequatio yes reíoluenda erit A y SE 2F2)2-(D4- Ez-Fiuu)8g —o pro qui fi fumamus y-—/P2x(u-i-x) , habemus primo 8—.— 2 p—CTEv(m F—Cy-—.QAF) ENT Tu» , tn Yero K-— DIFFERENTIO-DIFFERENTIALIS. rss R—(D- -Es--Fax) HESS , hincque 3M d Péx-idx(D-Ex--Fxx) *F, ita vt fit (D-Ex--F xx) art. quod integrale eiusmodi terminis ipfius x comprehendi —C —-4-i debet , quibus quantitas (u4-x)'— (D-Ex4-Fxx) n euaneícat. rr. Quoties ergo formula D— Ex-i-Fxx duos factores habet reales , ea duplici cafü euanefiit, vnde . bini integrationis termini conítitui poffunt ; ad hoc autem neceffe eft, vt eius exponens —7-1- 1 — 25 qui iB — FEY Oran) fit pofitiuus, quia alioquin 3F ? ? quantitzs illa , cui formula propofita aequalis ftatuitur , non in nihilum abiret. | Hoc igitur caíu conftructio aequationis nullam habebit difficultatem , propterea quod ob figuum ambiguum exponenti femper valor pofitiuus tribui poteft. Sit enim exponens ille — 7 , et habe- bitur 4FFzmn—AFFm--4AF--2CF—CC—o quae aequatio fi habet radices reales. ob terminum — 4 FF; negatiuum , altera certe erit pofitiua. Quem calum diligenter profequamur. . 1:2, Sit D—aa, EzzoetF—-r, ita vt haec aequatio fit refoluenda : Cad ddy A y -- 1 -- («4 —uu)g a — 0, Ww eritque x56 CONST. AEQVAT. DIFFER. DIFFERENT. eritque g— 58-40-30 80-4) nius. valor femper eft realis , nifi A fit quantitas negatius maior quam i(r4-Cy: hinc erit du p rui (C —ÜEYe EECE LU euius valore pofitiuo: fumta, erit. pro refolutione noftrae a2equationis 4— £fdx(u--xy(aa—xx)'—' quod integrale ita capiatur, vt pofito x—a« euanefcat ;. tum vero flatuatur x — —4 , et pro y prodibit functio ipfius w aequationi fatisfaciens. Prout iam füerit nume- rus realis, vel imaginarius ,. fequentia exempla (übiunga- inus. 13. Exemplum x. Sit C— 2, et A—— 2, vt propofita fit haec aequatio : c NESCIT, -— 5 - i das --- dus —Oe erit 2— 1, et p , vnde fit y —fx(u-1- x) et ob» —ay -- 2S LLUTM — ag— xax integratio ipfius y ita abfolui debet, vt pro terminis: integralis z2—xx euanefcat, hoc eft fi fuerit x—a et x—-—a. Fiet ergo y——ux-l-ixx—au—iaa , et pofito. iam x—-—4, erit y — —2:44 , qui valor aequa- tioni vtique fatisfacit, et generalius quidem: y— aw, ex quo: porro: integrale. completum eruitur, ponendo: y—uz,, vnde fit 2aadudz--(aa—uu)udde—o, feu. 3 —— e cp. anim dà d udi u(aa-uu) —— Lo y 2 u u vel ATE Vb uousc— 0, que — dat .uudz. CR " aa—uu — - Qu, porroque 2— y — E "- ^ confequenter y — y u— Quu— Qaa. ANNO- EL ICUDL- 157 ANNOTATIONES IN LOCVM QVENDAM CARTESII AD CIRCVLI QVADRATVRAM SPECTANTEM. Au&ore LE. WPLIEEU. ,n excerptis ex Maiiofcfipis Cartefij paucis quidem t verbis refertur conítrucio KS. geometrica promtiffime ad circuli veram dimenfionem' apptopin- quaus, fed quae Gue Cartefius ipfe eam inuenerit , fiue ab alio habuerit communicatam , acuti(fimum ilreutoris ingenium , illo: praefertim' tempore, luculenter declarat. Qui deinceps hoc idem argumentum pertractarunt , quantum equidem memini, nullam huius eximiae con- ftru&ionis mentionem faciunt, vt periculum fit, ne tandem: penitus: obliuione: obruatur: Demonftratio: qui- dem, quae nom adiuncta reperitur, haud' difficulter fuppletur ; verum! non' folum elegantia conftructionis Yberiorem explicationém' meretur, íed etiam" tam in- fignes conclufiones inde deduci poffunt, quae per fe omni attentione dignae videntur. ^ Pulcherrima autem haec conftrüctio ipfis Cartefii verbis ita eft propofita : » Ad quadrandum circulum nihil aptius inuenio , 7psp, r. qum íi dato quadrato 57 adiungatur rectangulum — cg Fig. r. ,comprehenfum íub lineis «c et 5c, quod fit aequale quartae parti quadrati 5f: item re&angulum: 45 fa- »6éum ex lineis da, dc , aequale quartae parti praece- Vs »,dentiss, 1:58 ANNOTATIONES IN LOCV M ,deütis; et eodem modo recangulum ei, atque alia ,Jnfinia vsque ad x: et erit haec linea 2x diameter ,Circult , cuius circumferentia aequalis eft. circumferen- , tiae. quadrati 7f. Vis igitur huius conftru&ionis in hoc confítit, vt continui appofitione iftiusmodi . rectangulorum cg, db, ei, etc. quorum an&uli füperiores dextri in diago- nalem quadrati productam cadunt, tandem ad punctum X perueniatur, quo terminatur diameter circuli zx, cuius peripheria aequalis eft. perimetro quadrati 5f, feu quadruplo rectae 4. Cum horum recangulorum quodque aequetur parti quartae praecedentis, iam ipíe Carfefus obferuat, fummam omnium horum rectangulorum aequalem fore parti tertiae quadrati 2f; quod quidem manifeftum eft, cum huius feriei i-r 1,-1- 4; d- 44 -1- etc. in infinitum continuatae fumma fit. — ;. | Praeterea etiam Carfefiws indicat rationem , cui haec con(üructio innititur ; concipit fcilicet polygona I€- gularia 8, 16, 32, 64. etc. laterum , quorum perime- tri fint inter fe aequales fimulque perimetro quadrati Pf. Iam cum a5 fit diameter circuli quadrato infcripti, ita affirmat fore ec diametrum circuli o&ogono inícripti , tum vero ad diametrum circuli 16gono, ae $2gono infcripti, et ita porro. Vnde liquet 4:x fore diametrum circuli polygono infinitorum laterum — regulari |infcripti , ideoque eius peripheriam aequari perimetro quadrati. Quo facilius demon(trationem huius conftructionis adornem , obíeruo , quae hic de diametris circulorum &icuntur, «etiam valere pro radiis, ita vt 45, ac, ad, ae OFENDAM CARTESIL 59 «e etc, fpectari poffint tanquam radii circulorum , qui- bus fi circumícribantur polygona regularia 4, 8, r6, 32 etc. laterum , eorum perimetri futurae fint inter fo. aequales. Problema. Dato circulo , cui polygonum reguláre quodcun- que fit circumícriptum , inuenire circulum | alium, cui fi polygonum regulare duplo plurium laterum circum- Ícribatur, perimeter huius polygoni aequalis fit futura perimetro illius polygoni. Solutio. Sit EN M circulus datus et EP fémilatus poly- Fig: z- goni ipfi circumfcripti , centro exiflente iv C ; CF au- tem fit radius circuli quaefiti , et FQ femilatus poly- goni ipfi circumícribendi. Neteffe ergo eft, vt fit FQ: femiffis ipfius EP, et angulus FCQ femiffis anguli ECP. Qaare recta CQ angulum ECP, et recta QO ipi CE parallela lineam EP' bifecabit. Cum nunc ^ft ^"EV:CE-—FQ:CF e | EV: CE EP: CE 4- CP eit FQ:CF — EP:CE--CP fed quia FQ — :EP, erit etiam CF — z(CE-- CP). Hinc auferatur CE, et habebitur EF — ;(CP — CE) . ex quo erit rectangulum CF. EF —i(CP^-CE^)—iEP- ideoque punctum F. ita definiri debet , vt fit rectangue " lum, fib CF et EF compreheníum, aequale parti quare tac quadrati rectae. EP, feu ipfi quidrato rectae FQ. Coroll. x Eig. 3. 160 ANNOTATIONES Coroll r. Cum fit CF. EF-FQ* erit CF: FO—FQ : EF, vnde ducta recta QE, fiet triangulum FQE fimile triangdlo FCQ, ve ECV, ideoque angulus. FQE aequalis angulo ECV, Cum fit CE: EV— EO: EF, punctum F etiam ita definiri poterit; ex O ducatur reca ad CV productam normalis , eaque bafi CE in F occurret. Coroll 4. Si polygonum circulo EN M circumfcriptum fit fliterum, erit angalus ECP — 7-, denotante 7 men- furam duorum angulorum. rectorum ; et angulus ECQ-Z. Hinc fi radius CEzr, ert. EP-rtapg.T- et FQ—irubg;. Coroll. 4. Iam quia c FQE— , erit EF— FQtang. 7; c irtang. E ;» Verum fi vocemus CF—, erit F QuEtanb. ; mile ob FQ-irtag.; fiet zc irtáng. , cot... Demonftratio Conílru&ionis Cartefianae. Sit iam CE radius circuli quadrato infcripti, CF octogono infcipti, CG polygono regulari 16 laterum , CH QUENDAM CARTESII. x6 CH polygono 32 laterum et ita porro. Sit porre EP íemilatus quadrati, FQ femilatus octogoni ,. GR polygoni 16, HS polygoni 32 laterum, etc. et quia haec polygona eiusdem perimetr affumuntur,; erit FQ—iEP;GR—;FQ-—iEP; HS—;GR—IiFQ EP, etc. lam ex problemate praemi(o eft CF. EF —iEP'—FQ'; tum vero ex eodem fimili modo ! CG. FG—iFQ'—iCF. EFC GR' CH.GH—1GR'—:CG. FG—HS*' etc. ficque pun&a F, G, H etc. eodem plane modo deter- minantur ; vti habet conftructio Cartefianz ; et quia interudlla EF, FG, GH etc. continuo fiunt minora , fatis promte ad puuctum vltimum x appropinquatur , entque Cx radius circuli, cuius peripheria aequatur perimetro polygonorum praecedentium , ideoque rectae EP od&ies fümtae. Q. E. D. Coroll r. Si ponatur CE—2, CF—2, CG—e, CH—4,etc. progreflio harum quantitatum. ita eft comparata, vt fit ob EP—2 b(b—a)—1aa;, c(c-b)—ib(b—a); d(d-c)—ic«(c-P) etc. ideoque posue ies, Qum P-EYGBE EP). geo etc. 2 et harum quantitatum infinite(ima eft radius circuli cu-- ius peripheria eft — 8 4. Tom. VIII. Nou. Comm, x Coroll. 5. 165 ANNOTATIONES IN LOCUM Coroll. 2. Cum fit angulus ECP femire&us, fen ECP— 7, ert angdi FCQ-——7; GCR--7,; HCS—E j'éte Quire ob EP—24; FQ— i2; GR — i2; HS5— i4 etc. erit per. cotangentes CE-acct.7 ; CF-;acot 7 ; CG-iacot.7, ; CH-iacot.7, etc. Vnde denotante z numerum infinitum , fit harum li- nearum vltima — £acot. 7. C oroll. 2. Sed. cot. — x: tang. us PA et quia angulus 7; elt 4TL infinite paruus ,' erit tang.7; — 5, posé cot gent Quare linearum illarum: vltima fit — 5^, quo radio fi circulus deícribatur, erit eius peripheria — 2 7.5 — 8 a. Coroll 4a. Deinde quix ex coroll 4. praec. probl. eft EF —FOQtang.FCQ, erit ob eandem rationem : FGLGR.ung.GCR; GH-—HS.tang. HCS etc. vnde haec interualla fequenti modo: exprimentur : EkF—iatang.7; FG—:2tang. 5; GH-— «tang. Z, etc. antecedens vero ad analogiam C E—2tang 7 — a. Coral. s. His cum praecedentibus collatis nancifcemur : CF —« (tang. 7-1- 1 tang.7) — 1acot.7 CG — (tang. 7-1-1 tang 7-]-;tang. T)— 1zcot. 5. i CH —« (tang. 7-1- tang. 74-: tang.7,-- itang.7;)-342c0t.75 etc. ficque QVENDAM CARTESIL 163 ficque omnium huiusmodi progreffüonum fümmae expe«- dite affignari poffunt. Corell, 6. In infinitum ergo progrediendo obtinebimus fum- mationem huius feriei : tang. 7-1- itang. 7-1- 1tang. 7, -1- » tang. 7; -41- etc.— 7 quae ergo. per quadraturam circuli determinatur. — Hinc occafionem arripio fequens problema foluendi. Problema. Denotante (D arcum quemcunque circuli cuius radius —z, inuenire fummam huius fíeriei infinitae : , - tang.(D-1-:tang.1D4tang.2 (D -;tang 10-p-75,tang «(QD etc. Solutio. Si in fig. 2. vti fupra e(t conftru&ta, poratur an- Tab. I. gulus ECP— $, erit FCQ—:0: iam. pofito FQ-1 E 2 eit EP-—2, hincque CE—2cot. (0; CF—cot. 1 et EF—tang.:D, ex quo habetur: 2cot.(D —cot.:(D-tang.:(D. et tang.XD— cot.:p-2cot.c:b eodemque modo tang.(p—cot.(D—2cot.2(. Collo: centur hi valores tangentium per cotangentes expreífi in ferie. propofita tang. D— cot (D — » cot. 2 D itang. XD—;cot. 1D— cot. (D itang.1(p—icot;(D-icot. : (D 1 ang. D—3cot-;(D—;cot. ip 1«l- ete: | X2 ^s et 164. ANNOT ATIONES IN. LOCVM et colligendo confequemur : / * tang. (D coL Q- 2 cot. 2 (D tang. i-1ng 1D — oti - 2cot.2 (p tang D 1-icug 1D 4-ftung.: xD —:cot.1 -2cot. 2p tang. Dr itaog ;D4-;tang. :Q-Aiung. 1pzicot.iD-2cot. » D etc. vnde in infinitum M CSbur nd: fi » denotet numerum infiaitum, quia t1ng.; e? , hincque cot. 1 D — s , erit: :coti--$, ideoque fumma feriei aia tang D4-:tang 1D -itaug £D Hang. D-retc. 7$- 2cot. «(D Vnle fi 2p eft Biss rectus, feu eie cot 7 —o fit feriei fumma — $$ —7 , qui eft cafüs fupra tractatus. Ex hac íerie plures aliae deriuari poffunt non minus notitu dignie I. Ex pss RFT: quami I y e pt m ipta Fu; MP a L3 MV sali ME E. poer dd head vel cum fit. 57$ — fec. QD. erit quoque (fec. p ^ c (fec. 10 ) 7 s(ec 20D) ar (fec s D) 4c ete. Dunsepm — o II Deinde ob cot('—'*—7*?, ec fn 2 Q* ?.— cf. LL 59 erit vbique per 2 diuidendo : I I UR EEi- Ud. n. Mta —————————— x -- of. 2 p - CEP eorpy un 4. MER 10 I 4| 1col. (p * ^ ign I M S feu OVENDAM CARTESIL x6$ feu pro (D fcribendo 1 I I I i-o Cai hei nnd "Ga oi) 2 2 4- DB 10) HEN r—coí2Q QqQ III. Si feries 'inuenta per 4(? multiplicetur et integretur, ob /4Qtang. oJ 25*-— —lcof. (D, et J2 4 Q cot. 2 (p—/6n. 2 (D , habebitur —icof. (p —Icof. 1 (D —Icof; ip — Icof.; (b — Icof. 5 (p - etc. —lId - (in. » p -1-. Conft. ad quam conítantem definiendam ponamus D-——0, et quia /cof.o —/1— 0, ex priori parte habemus o, ex pofteriori vero ob fin.2(p— 2, habemus /p—/2 -i- Con(t. — —/2 -1- Con(t. vnde Conít.—/2. Hinc ad numeros progrediendo erit : 2o ES cof. (p cof; 15 cof. : (p cot. ; (p cof. 44 etc. — fin. 2 p IV. Cum fit 5:5 —fec.(D, habebitur etiam hoc Theorema pro fecantibus : fec. (D fec. 1D fec. : (D fec. ; (D fec. 5 D etc. -— vnde (i ratio diametri ad peripheriam ponatur — r : 7 et 4 denotet angulum re&um , fi ftatuamus 2 (D—4, EXT et: fec. 14 fec. 14 fec. oq fec. 35 q fec. 2,4 etc. — 7. X S Problema. 166 .— ANNOTATIONES IN LOCUM Problema. Innenire feriem quantitatum: 2, 5,c,d,e f; tc. cuius haec fit proprietas ,. vt fit: — cc—b)—Àb(b—a) 3 d(d—c)— i72) 5 e(e—d)—3À4(d—e) etc. feu vt quantitates inde deriuatae b(b—a) e(c—-by, d(d—c); e(e—); f(f—e), etc. decrefcant fecundum rationem quadruplam. Solutio. Cum fit tang.;(p— cot.1p — 2cot.(o., fi mul- tiplicemus vtrinque. per cot.1Op, ob táng.: (D cot. 1» zzi erit coi. ;(D(cot. 1D - 2cot.(D)— x. - Statuatur er- go a cot. D; — ir cot. 1e — 2r cot. 205; d-ircot.1$, etc. eritque V(-Z)—1 hic B(b—2)—" S -T)cr hinc e(e— b) (Sa s yis hinc d(d—c)— 7s - etc, Quare haec feries a-vcot Q;b— ircot.1;ezircot.1;dzircot. 100; ete. hanc habet proprietatem , vt quantitates inde formatae b(b—a) e(c—-b); d(d—c), e(e—4d); etc. in ratione quadrupla decreícant. - ! Coxell. z. QVENDAM CARTESII. x63 Coroll r. Datis duobus terminis primis 4 et P reliqui £,d,e,f inde (ucceffiue ita determinantur , vt fit b-r-X(s;bb—ab Y(2cc—bc d--X( 2dd —cd ideoque binis terminis initialibus pro lubitu affumtis, tota feries ope harum formularum exhiberi poteft. Coroll. 2. Datis autem terminis 2 et 5, inde angulus (D cum quantitate f ita definitur , vt fit: 2V (bb — ab : tang. (D — 195—959 et r—»2Y(bb—ab) vnde inuento angulo (D reliqui termini etiam ita expri- muntur , vt fit: Pasircot/ 20: 4— Creo, $,e— Lrcot. &(D etc. Coroll. 3. Hinc iftius feriei termini infinitefimi fient — 5» 3d quem valorem termini feriei fatis cito conuergunt. . Quaeratur fellicet in circulo radii — r , arcus cuius tan- bb—ab) | YS geus —**C7— "^. qui arcus fit — (D, et feriei noftrae AM - c bb—aby termini infinitefimi erunt — 2*9 29. , Scholiom. Caeterum hic monuiffe iuubit pundá P', Q , Tsb. I. R. S, x fia effe in curua quudratrice veterum , Fi 3- propterea quod applicate EP, FQ, GR , HS ean- dem inter íó rationem tenent, quam anguli ECP, » FQ, 168 ANNOT. IN LOCFM. QVENDAM CART. FCQ, GCR, HCS etc. Et quoniam x, vbi haec curua in bafin incidit , iam olim circuli quadraturam in. dicare eft inuentum , vnde ei iftud nomen eft inditum, conftructio Cartefii cum hac veterum quadratura egre- gie quidem conuenit ; fed multo commodius et accura- tius panda E, F, G, H etc. fuccífiue praebet , quam a continua bifectione angulorum expectari queat. DEMON- Seo ( o ) 3e 169 DEMONSTRATIO GENERALIS "'HEOREMATIS | NEWTONIANI DE BINOMIO AD POTENTIAM INDEFI. NITAM ELEVANDO. Auctore F. PF. T. :.AEPINO. X) Nissen , 3c per vuiuerfam analyfin vtiliffimum theorema INewtonianum , cuius ope (x-1-1)" per feriem indefinitam potentiarum ipfis .v exhibetur , in- ductione primum «erutum , variis poftea demonftrationi- bus a diuerfis auctoribus communitum eft. Inuenerunt autcm , qui exactius rem rimati funt, plerumque ali- quid , quod in probationibus eiusmodi reprehenderent. Solet «nim in analyfi hoc theorema ad quosuis cafus extendi , ac adhiberi, fiue ; fit numerus integer, vel fia&us ; fiue fit pofitiuus, vel negatiuus ; fiue fit ration:ulis, vel irrationalis, wel tranícendens ; immo, fiue habeat valorem realem , aut imaginarium. ^ Requirere ^ ergo videtur ea, qua praecellunt difciplinae mathema- ticae, exactitudo, wt et huius theorematis eiusmodi con- datur demonítratio , quae àd omnes modo dictos valo. res ipfius z; fe aequaliter extendat , nec ad vnum ho- rum cafum folum pertineat. 2) Pleraeque autem , quae hactenus prolatae funt, huius theorematis: demonítrationes , (i íecundum hanc Tom.VIII. Nou. Comm. Y normam r1. DE BINOMIO AD POTENTIAM normam examiuentür; nom fatis generales deprehendi: folent. Non enim ordinario , nifi pro eo cafu, vbi 7r eft numerus. integer pofitiuus ,. valent, nec íiluà verb tate ad caeteros exteudi poffont. ^ Optarunt hac de caufa iam diu Mathematici, vt vniuerülis, neque ad vllum: valorem fpecialem ipfius zz reftrifta , ^ proftiret demonflratio. Contigit mihi nuperrime , eruere proba- tionem , perfectionibus , quae requirebantur ,. donatam ,. quam cum Ill. Academia: fcientiarum. hic. communicare: conftitui.. 3) Cum explicari debeat (x-1- x)" per feriem füpponamus : | e-Lay— Aa4"--Hi"— LOW LCD a vbi A, B, C, D' - - potentiarum. ipfius x: coefficientes. indicant. ^ Arbitrarie. quidem: hic affamo, fore. hanc formam feriei, quae hic quaeritur ,. aít nihil inde me- tuendum eft. Si enim impoffibile foret ,— vt (x -4- 1 per feriem. eius formae , qualem habet expefita , expli- cetur, ratiociniz, quibus folutionem: tentabo , ipíz, hanc: impoffibilitatem detegent. —'"Fotum enim: negotium. huc redit, vt coefficientium. valores ernamus ,. quos fi. ima- ginarios inuenimus , formam: hanc impoffbilem , fin: minus , poffibilem ipíim effe, rite concludimus. 4) Patet autem hic ftatim, coefüicientium. valores: ab sr pendere, feu A. B. C - - - fore functiones ipfius. $5. Non enim fieri poteít, vt coefficientes maneant jüidem , fi zr varietur ; fequeretur enim inde hoc ab- fuürdum , effe (x-4- 1)". x—(x-- 1)^7-7. — Sunt ita- que. coefficientes. ifti ,, pro. dato: quidem: valore. ipfius 77 conftantes ,. aft non. ita pro diuerfis. Sic v. g. fi loco: tij (uc- INDEFINITAM ELEVANDO. 171 $4 Íucceffhue ponantur gy — 1, $4 —2, 91-53 - - - coeffi. cientes A, B, C, D - - - diuerfos quoque induere de. bent valores. 1n pofterum valores iftos , hac ratione indicabo , wt 7 elpondeat A", B", C^ - - - - m-—3 t: Jis Auc pu-t Cn—i s E. qrTeeeacauwm— Bv €v05wD0- o "o " poc o---AnB,C .-- -: "wnude probe notandum, nifi aliud monuerim , expreffio* nes huiusmodi A", B^, C" - - hic mihi non denotare, wt alias folent, potentias iftas harum literarum, A,B,C, neque 7 hic effe exponentemv potentiae , fed indicem, «x quo, ad quemnam ipfius 77 valorem quoduis A, B, C, pertineat , determinatur. 5) Suppofitis his, cum fit per hypothefin (x--1)" ORAT Ono pam Lomo: eye 0C eit (2 ( x21 ) "^ — 2"A" x" -- 9" B" xn—: 47 2n Cm yn: --2*D"47—-3: -- -. Eft vero quoque , (2(x-1- 1))" —((2zx--1)4-1)", vnde neceffe eft, vt fit (2(x--1))" -- A"(»x-- 1)" -4- B"(2 x -4- 1)—' 4- C"(2 x 417 1) DIM ip—.--- ..:6) Euoluamus feorfim , potentias (2x-1-1)", (ex-i-1)"-, (2x-1-1)"—7 - - - in feries, ac erit 2x iy insip AUT Tm, p^ n ausor Cn amo. 4-:97t73 D) am: Bor gea T peESATOXT pen [Em rers (2x4pre—8- 202 lum 92& pemtRAT2u mana gno EJ i5uontiseom C meas. gecbRS A XT | Yu2 Quodá :74 DE BINOMIO 4D. POTENTIAM Quod(i hos valores iu. formulam. fupra repertam. fübfti- tuamus, erit (23--2)" a" AT AT xL o m—Ampmym-! P em-sAm(Cmym- p 4m-sAmDymymos .. q27—B'AT-eCO.DO"—]B"B"- aus" - - ya ( m AT. d un- mp: MA -z"—)UAT- l.l Obtinuimus ' itaque * diueríos. valores. pro. (2 x -4- 2). quos. comparando, fequentes oriuntur aequationcs:: 27A? — sUATAY "QUEM E QmcwpDAMUED L HurASIUEL emm an—c(APUTSBRET —-LCTAUCUR eM cza"—(APD"A-B^C"—:-- C^B^-:-1.]D)"A7-5; - 7) Reducta prima harum. aequationum: pro inue« niendo. A", erit A"—r. — Indicium. hoc. eft ,, A. gene- ratim. non. pendere: ab. zz, fed. effe: quantitatem: conítan-- tem. Cum. enim. zz indeterminatunm affümtum. fit , ac ipfi refpondens valor A repertus fit — r , patet, wt- cunque variato z, A valorem ——r conílanter retinere; wt proinde AT Cc ATIS ADR L Ser ES EL ecl da. aequatio, 2"D"— s"—'(A7"B"-- B7A7—:)— 27-'(2B") — 2" D*, identica: eft,. vnde ex ip(a nihib concludi. poteft. DB itaque hac ratione determinari nequit , fed; eius valor peculiari. ratiocinio: inueftigandus. erit. 8) Seponamus tantifper hanc. diíquifitionem ,. ac ad caeteras. aequationes. progrediamur.,. et q«omodo- cae- teri coefficientes. pendeant a D. inuefligemus. — Ex tertia: asequatione eft 2"C"7—2"—:(AT"C*-- B7B7—'C"A"—2.. qua. reducta , adhibendo: fupra: repertum: valorem. ipfius. ku B"»—: A, eric C" — —, Antequam nunc ad: quartam , rr. X a2equationemz tranfeamus ,. antecedenter notandum. erit ;. cum: INDEFINITAM ELEVANDO. 198 B"p"—: Y no 1 B"—: m — —— Si füe——I Cur eum fit. C iz fore C deny B"—:B"—2s e 2E I. 2. quod. prodit , fi loco s fubftituatur zz— r, facta autem m— pm: hac fübftitutione, vtique fieri debet C"—'— —— ———, r. 2 4c ita porro. dem: etiamr im caeteris coefficientibus ;. fi fimiles occurrant cafüs, femper tenendumvr erit. — Si iam: redüucamus aequationem. 2" D) — »?"—7( A" D» -F B" (i m-e. Cm B*n—s.- pmAe— ) etit 6 D^" .- -- Eff enim C"—* aequale C . B" peg B"B^7- n"- AL mco. 1. 12 emm a mori — fiue D"— y.2. Simili modo, operationenr vlterius continuando , re- B^?B7-: B"-:]-: B"B- Br-:B-:Br-e EE ucc ncr nandi i I.2 3.4 nz 3545 Vnde colligimus — fore generatim, fi fit T coecfficiens. termini fti ab initio, nom connumerato termino D"^Bn-:p2-2 "e B»-r2-* primo; T"—EHIIT - at: united ad: 9) Nblolutü ac erit negotiunv,. modo valor ipfius B',; quem methodo, quam: hactenus fecuti fumus, mon obtinuimus , eruatur. Viam parabunt huic inuefli- gationi fequentia : Summtur zz recipere valores 7, s, et 7-5 , acerit (x-p 1 )—(x-- 1) .(x-4-1 "E Eft autenr EM eno 2i T—.-,ac(x-d-a3)y —rpBue—€Ile- L. C UR hinc. (x-- ry. (x-prymar I pBan er QUUS,. --rBx dupescg: mu os Ys qua- — — —— 174 IDE BINOMIO 4D POTENTIAM quapropter,cum fit quoque (x-1- 1) ?— ar zn prn 370-2 LL, ent BC- B'-- BS 10. Cum igitur fit generatim D^ — P'-- B! , erit quoque B" 3^ - B" Z E". 5i itaque zz increfcat quantitate qua- cunque 5, erit incrementum, quod inde capit B", perpetuo conftans , qualecunque fuerit zz. Denotat nempe DB'-** —B* incrementum ;. quod capit D , fi augeatur quan- titate 5; hoc vero cum fit — B',. patet hoc incre- mentum íolum ab 5, nullatenus vero ab 7, pendere, quapropter idem femper reperiri debet, quamdiu 5 ma- net idem , vtcunque varietur zr. ^ Vicifüim autem hinc facile patet ; íi ;z decrefcat quantitate 5, fore deere- mentum , quod inde patitur B" , itidem «conftans, ac aequale. Bz | | 11) Ponendo itaque fücceftürüe z—- ----- c3554$7-2y64$,19:7125,. 24-2 5 yr Sio mi - erunt B refpondentia - - - - —3BD , —2 P^, —D5,o, --B,--2PD,--35B-----, wnde patet, fi s fumantur in progreíhone arithmetica , progrediente fecundum denominatorem ., fore B refpondentia, iti- dem in eiusmodi progreíffhone , habente denominatorem B. Quoduis itaque B erit ad refpondens fuum zz in ratione conflante. — Sit s infinite paruum , et pro- greffio - --- - —35, - 25, 55, O, e -5, -- 255; -H-35-- - vtrimque in infinitum continuata , traufeundo per «con- tinuum , comprehendet omnes valores reales ipfius 77, quapropter generatim affirmari poteft, fi s füerit.nu- merus realis quicunque ; fore B" ad z; in ratione data. 12) Ex- INDEFINITAM | ELEVANDO. . iy$ 12) Exhiberi itaque poteft generatim D" per » zz, pofito À numero conítanti, vnde nunc res eo reducta eft, vt ad problematis folutionem plenariam , vlterius nil nifi determinatio ipfius X requiratur. ^— Sufficit au- tem , cumr fit conílans, vt pro vnico cafü determi- netur. Fieri hoc poteft minimo negotio fequenti ra- tione :.. Cum pro ca(ü z—r, fries x" 4- B" 3"*—* A-C€mnym—-:.-. — -LBe[BE --- abire debeat im (x--r), etit B'—r. ^ Quapropter, cum (it B" —Am, fiet pro hoc caía X.— r — Conttat itaque genee- riim , pro quouis numero: reali effe B" — zm. r3) Notamus hic fpeciatinr, quoniam in fequen- tibus aliquis huius propofitiouis erit v(us: effe quoque pro ca(ü z/!—0 ,X— r. Patet hoc füfficienter ex eo, quod o fit aliquis valorum: realium, quos 7. recipere peteft. Quodí vero adhuc quis dubitet de veritate hu- ius affert , ficile conuinci de ex re poterit, Cum nem- pe 5 ac D* dari queant, quae: tam: parum differunt ab o ac D^, quantum ipfe volueris, dabuntur s ac B5, quo- rum: ratio a ratione o ad B* recedit, minus omni quanto: dabili. — Aff ratio haec s ad DB* perpetuo mia- net — r: x, quantumuis parux fint ^ Ratio itaque o ad B" ab ratione r ad r differt minus. ommi quan- to dabili , vnde huic aequalis non effe non: poteft. Pa- tet igitur, B. effe functionem ipfius zz talem ,. vt nom folum zr ac b" euaneícant fimul, fed euaneícant etiam. cum ratione aequalitatis.. r4) Quanquamr ratiocinium , quo hic víüs fum, xem: pro valoribus realibus ipfius 77 prorfus extra du- bium iy6 — DE BINOMIO 4D POTENTIAM bium ponat, adplicari tàmen ad valores imaginarios noni poteft, vt incautius agens fupponere quis poflet. Quan- quam enim progreffio —25, —5, 0 --3-1-25, cafíü quo ; eft infinte paruum , tranfeat per continuum , tamen non comprehendit nifi valores reales , neque, vt- cunque continuetur , per ipfam tranfitus ad vllam. quan- titatem imaginariam patet. lmmo ne exhiberi quidem poteft progrefho arithmetica , tranfiens per continuum, quae omnes valores imaginarios in íe «complecteretur Sic v. g. ponendo .5 infinite parnum, progreffio - » - - -- —25Y —1,—5Y -1,0,-2- Y -1,-p- 25V -1 ----, comprehendet equidem omnes valores impoffibiles fore mae AY —1, nullos vero forme B--AY-—zr, ac fimiliter haec progreffio - - - - - - —2(as--5Y—1), — (as-1- 5Y—1), o, -- (es-i-$5Y —1), -i- 2 (a 5-75 Y-—1)- --, praeter imaginarios formae aA-1-AY - zr, nullos formae GA-1- AY —1, continebit, 15) Quanquam autem omnes quantitates ímagi- Aarias comprehendere in vnica, etiam per continuum tranfeunte, progrefhone non liceat, exhiberi tamen fem- per poteft eiusmodi progreffio, datam quamuis imagi- nariam in fe comprehendens. Sit enim numerus ima- ginarius propofitus —I, et capiatur eius pars quaedam aliquota , infinite parua, r, intelle&to i numero infinite magno; ac progrefo - - - - —5-, — 4, o, ecc m proprietate adducta donata erit. — Quodfi jam füpponamus 12 recipere icc hos igloses, enit m B refpondentia - - - —2B' ,- B, o, 4-B5, Jp 2B, vnde INDEFINITAM ELEVANDO. 177 vnde et pro hac progreífione erunt B. femper. ad re- Ípondentia zz in rátione data. ^ Quodfi igitur rurfum ponatur B"— A77, erit A conftans. — Quoniam vero haec lex quadrare quoque debet in B? , (quippe quod eft terminus huius feriei , vnde ratiocinia quibus n. 15. vfus fum , etiam hic adplicari poffunt) erit o ad B* in ratione A ad r. Supra vero oftenfüm eft (n. r5.) effe hanc rationem o ad B^, rationem acqualitatis ; qua- propter erit quoque A ad r in ratione acqualitatis , feu d I. 16) Conflit igitur iam generatim effe D"—;, fiue zz fit numerus realis, fiue imaginarius quicutique. Quodü autem hunc valorem , in fupra repertos valores pro C", D^", E" - - - fubítituamus, erit (x -1- 1)" — Lam -L-fx"—' -LOIUm— LT —2 "quod eft ipfum theorema a Nezwtono propofitum. —xn-— 3 7) Quanquam vero hactenus a me propofita demonítratio fini fuo abunde fatisfaciat , defiderabunt - tamen adhuc, qui demonfítrationum rigorem amant, vt ab inductionis, cui ex parte innititur ; labe ; immunis reddatur. Quo hoc obtineri queat, fumamus theorema Nexvtonianum werum effe repertum, pro coefficientibus 7 primorum terminorum feriei x"--B"x7—:--C737—? - - ac dico, probari tunc femper poffe, quod termini proxime fÍequentis (r-i-1)ti coefficdiens, etiam füb eadem lege comprehendatur. Facile autem patet L, cum pro coefficientibus primorum feriei terminorum lex ifta fupra vera deprehenfa (it; fi propofitionem modo pro pofitam hypotheticam ne probauerim , vlterius tunc 'Tom. VIII. Nou. Comm. "2 de 17$ DE BINOMIO AD POTENTIAM de vniuerfali Nezwtomianae legis veritate dubitari nom poffe. . Tentemus igitur ipfius demon(lraionem , vt vero ad.hanc via aperiatur , quasdam, de potentiarum integrarum pofiiiuarum ipfius (x-i- 1) natura; praemit- tamus confiderationes. | 18) Quoniam, fi zz fuerit integer pofitiuus, po- tentia (x15 1)" per acualem — multiplicationem euolui: femper poteft, fupponatur haec fa&a, ac fale con- cipitur, (x-- 1)" bac ratione a&u euolutum , affume- re femper formam feéquentem, x"--Ba"—c-pCxam—-.--.-7Lxu-Nxr4-r. vnde fequitur, numerum terminorum, ex quibus po- tentia quaeuis integra pofitiua conftat, femper effe fi- nitum , ac aequalem zrj- r , vltimum. vero terminum femper effe aequalem vnitati- — Tam facile haec ex re- petitae multiplicatioais natura concipiuntur ;. vt demou- firationem addere omnino noh opus fit. 19) Si igkur de legis Mezufomiamag veritate noue dum vniuerfaliter , fed pro primis folum 7 terminis ;. conftet , potentia (x-4- 1), equidem per legem banc ;. non nifi vsque ad terminum rtum euolui poteft , . aft. cum ipía fic euoluca nom nifi vuicus terminus deficiat ,, compleri tamen femper poteft; addendo nempe vnita- tem , cui quippe femper terminus vltimus. aequalis effe: debet. 20) Si igitur probatum — habeamus —theorema Nextonianuim pro primis r terminis, ponendo xr-—r, r.r——1 T. Yr—1«T—2 "T ENIM, He Lh. L o gti E erit (I-]-I) o ZEE unb I2 er 3e 2- 35 TFC T. is a. --I. z1j Sup- INDEFINITAM ELEVANDO. 179 21) Supponendo iam legis Newtoniama» | verita- tem pro primis 7. terminis, proponatur inueniendus coeffciens termini proxime fequentis (r-1- 1). Po- namus hunc coeficientem —— T, coefficientes vero ter- minorum ipfum proxime anteccdentium S, R, Q. - - -, €t ex argumentationis ratione , qua fupra víus füm , manifelum | cíL, pro inueniendo T fíequentem reperiri debere. aequationem ; ONES 2 EA E nri-d) dun "s Cnigm— DM bs dtr Ru: 1. Sn pn—r4-: EIS Ng aspi Y (lue (r-2)T"— [Eng vr I mE. "2c. -- R?" (h-—FTc3" bn—o-- jP 22) Quodfü haec-fiita, B"S"—' C"R"—3 .- quorum omhium fumme aequatur (27— 2) T", exactius confiderentur , patet formari ea, hac ratione, wt fi vnus factorum fit coefficiens pertinens ad terminum atum à primo , aiter tunc pertineat ad atum a termi- no (r-1- 1) to, pofteriorque hic habeat femper indicem 3-4, prior autem indicem zz. ^ Si itaque prior ho. rum. fictorum dicatur |i, pofterior IN, erit fub condi- tione legis JNecomianae , walentis vsque ad terminum rtum, M"— T.7T—1:.m0m—3 ——— - m-—a--r 102 My weiTdE wan 13 N^ TL Tmp—1.Tb— 2 — — — — m—r-ra--9 D rcu dor aiu. diam : prre eM MDC 1 OR 20 E11 F-SEEGUCR LEES ETSI? NIE P e - o0 0-om-—ráa-g TY. T4 2 0-« euua u mime fN mà LL Ts m o 1 zLcacu URN Ex hinc M" N — (1.2.3 7 - - a)X(7. a. 12---F--a) 25) Patet igitur omnia ifta fica, D^S"—, C"R*-* - . - - habere numeratorem. eundem, quippe Za qui 180 DE BINOMIO AD POTENTIAM etc. qui ab «, non pendet. Vocemus hunc numeratoremr breuitatis caufi L. Si itaque tribuantur « fucceffue omnes valores integri ab x vsque ad 7—1, reperietur (5" —9yTU — : Ihe 2e PCR —EEDA Je r—ay $ TES G. 2. z)ya. 203 — i nm F'RTRENS UY La UDREGU -- —r-a) —Lk rem nra Dicatur haec feries fractio- num k, ac ducta ipfa in rz. 2. 3. ----c-rf etit TOT o — 1. T2 P eem R(r.a.gierr--cncf)tueei eR ce e . 3 . r Cp De te RE aaepe o" —5 : — — ——, hinc (27-2) 7 1.2.53---r7 (fiue T" m-t.m-2—-—---T—r-4-t 1.2. 3 —--f nuxp orm " quae formula, cum ea, quam theorema Newtonianum füppeditat, plane coincidit. 24) Cum itaque theorema INezwfonianum verum: fit pro coeffciente termini fecundi, idem verum quo- que erit pro termino tertio, hinc pro quarto , quinto, fexto , ac quocunque eorum, qui hos fequuntur ,, in in- finitum. [Sn pn——— — "c m————Á DE WEE (0) MER o0 ier DE FVNCTIONVM Ab: GE. B«R«AJF CAR. V«M INTEGRARVM FACTORIBVS TRINOMIALIBVS REALIBVS COMMENTATIO. Auctore BI GPeAaBBEUMIDENO: 1) unctionem algebraicam integram quamcunque , for- mae x"-|-ga" —'-- ba" —t-pga"n o: ---- in factores fimplices huiusmodi, x -J- «4, x -- , X-]-'y; etc. numero 77 refolubilem effe, conftat ex elementis , vnde cognitum quoque eft, dari functiones "algebraicas integras eiusmodi, quae im meros factores fimplices reales refolui nequeunt, fed inter quorum factores , imaginarii admittendi funt, quorum autem nume- rum femper parem effe debere, demonftratum habetur. 2) Cum x-r«, x-- Q. - - -, (apponantur effe factores functionis. x" -1- e x"— '--5x"7—* - —-, quam in pofterum per CO indicabimus , combinando , prouti "libuerit, binos quoscunque ipforum , v. g. x-i-«, et X-]-*y, etiam produ&um illorum, fiue a^ ax -r- ay, | T erit factor functionis CO. Factores eiusmodi compofi- .tos, ex binis fimplicibus conflatos, quoniam ex tribus conflant terminis, rimomiales vocare. mos | eft, vnde .fünctio quaeuis algebraica integra , in meros füctores 43$ trino- 18* DE FFNCTIONVM ALGEBR. trinomiales , numero 7, fi m füerit par, in *——' vero trinomiales, atque vnum fimplicem , refolui poterit , fi m fuerit impar. 3) Pronunciant fcriptores analytici, fün&tionis cu- jusuis algebraicae integrae , talem (emper poflibilem effe refolutionem in factores trinomiales , vt , fi s; fit par, meri factores trinomiales reales , atque fi zz (üt impar, meri prodeant factores trinomiales reales, cum vnico factore fimplici, itidem reali. Occurrit iptum hoc theo- rema apud Ill. Eurum, in Introducione ad analyfin infinitorum. Tentauit quoque demonftrationem ipfius , Vir fummus, atque pro functionibus quidem , quae non nifi duos continent factores imaginarios, ex ipfis ele- mentis de rei veritate facile .conítat , pro iis vero fua- &ionibus, quae quatuor eiusmodi continent factores, ad- modum ingeuniofim füppeditauit Vir llluftiis demoanftra- tionem. . Non extenditur autem ' demonftratio |.ifla | vl- trà huncce cafum , neque ad poteftates altiores. appli- cari poteít, quapropter et ipfe Ill. inuentor, non füm- mo rigore hoc demonftratum effe, fatetur... Cum. ita- que fe mihi demonf(tratio dire&a , fatis concinna, atque vniueríilis ,, minimum quoad functiones algebraicas, ob- tulerit, operae pretium iudicaui , de ipía ad llluttriffi- mam Academiam deferre, 4) Cum factores trinomiales fpectari queant, quafi ortum traxerint €x combinatione binorum atque binorum factorum fimplicium , theorematis veritas, pro functionibus , quae omnes factores fimplices habent rea- "les, nulla laborat difficultate. ^— Quomodocunque enim | com- FACTORIBVS TRINOMIALIBVS. — x83 combinentur bini atque bini factores fimplices, per fe tamen patet, factores trinomiales , qui fümt producta eorum , fore reales, modo fimplices omnes fint. reales. Tota itique quaeftio non fpectat nifi eius generis functiones , inter quorum fàctores fimplices imaginarii "occurrunt. — Cum porro numerus facorum imaginario- rum femper fit par, coufequens eft, fi zz fuerit impar, functionem CO, vnum minimum admittere factorem realem. Sit iíle x-1-Z, atque fi ponatur C diuidi per ipfim , prodibit fünctio gradus z— r, hinc parium di- menfionum , quam vocemus (t. Cum itaque fit O-(Cx(x-4-4), fufficit pro hoc cafu, mon(taffe, füncionem (c in meros fà&tores trinomiales reales, re- folubilem: effe, ^ Cum autem. (C. fit functio dimenfionum parium , non requiritur, nifi vt theorema noftrum de- monfíiretur pro functionibus parium dimenfionum , ne- que opus eft , vt ad functiones impares fpeciatim re» fpiciatur. 5) Occurrant ergo inter fünctionis O, quam im pofterum parium effe dimenfionum femper fupponimus, fictores imaginari quidam , numero 275, atque de- monítratum erit theorema noftrum , modo probare queamus, íi x-1-8 fit fa&or imaginarius fün&ionis O, dari inter caeteros fa&ores imaginarios femper. aliquem, qui in X*-1-9 du&us, producit fa&orem — trinomialem relem ,. ad quam itaque propofitionem probandam ;. toti noflra quaeftio: reducitur. 6) Sit itaque functionis CO factor imaginarius , X-u--4Y 1i, ad qum formam reduci poffe omnes 184. DE FVNCTIONVM ALGEBR. omnes eiusmodi fàá&ores imaginarios, conftat, fitque X--v-zY —ri facor, qui in priorem du&us pro- ducere fupponitur fadum reale. ^ Cum ergo fit facto- rum iftorum productum —x-u X rmv --2Y —zs -pPuvcY-—r --v --mzY-—i --zY—1i -—f8z. patet, reale hoc effe non poffe, nifi talia fint z et v, vt coeffcientes huius produ&i fiant reales, id eft, nifi quantitates imaginariae , quas coefficientes inuoluunt, fe de(lruant. 7) Talia itaque effe deberi vU et z, vt fit n Y - 1 -F-£Y —r1:-co, atque goY —r-L-mzY —r1 pariter — 0o. Obtinemus autem has aequationes reducendo , z-c—pm, atque v—-1-7:. Factor itaque imaginarius , qui cum x--7-j-nY-—: combinatus producit facum reale , alius non efíé poterit , nifi ifle x -i- zu —8 Y —1 Probandum itaque nobis incumbit , fi fuerit x -1- 75-4. Y —1 factor fun&ionis. O, neceffe tum effe, vt quo- que x-4-:-—15Y —i buius fünctionis (ctor exiffat. . necs Ponatur m-acot.Q, etn Y - 1x afin. V— z, atque erit a — nm? Lu 5:5, Vnde fit fit z LA 2$— Bs tas Q, fi- ve^ formulm inuertendo (Q — A tang. ;-, atque 7H 7"of. A tang. 7- et ia exprimi poteft, wt (it x 4- acof. D 4- a Gn. (DV-1 intelligendo fub (D arcum, cuius tangens eft — 7, po- : "ec cof. Atang. 7 " * * 9) Si Fador itaque x-- z-1-1Y —1, fito radio — rz, fib « vero quantitatem FACTORIBVS TRINOMIALIPVS. 185 9) Si iam quantitas x-1- «cof. Q -i- a in (pV— z, fit &&or functionis O, ex elementis confit, 6) qoin- titas —a(cof. (D-1- fin. D Y— 1) fubftituatur in. functione loco x, totam tum fünctionem euaneícere debere. Subflitutio autem ifta admodum facile perficitur. Cum nempe fit x ——a (coi Q 4- Gn. DY — 1), erit x' c-r (cof, 2 D 4- fiu. 2 D Y — 1) x^ — — a (cof. 5 (D -4- fin. 3 (D V —1), atque generatim x" — -- a" (cof. m Q -- in. Q V —1) | wti demon(tratum habetur apud Ill Eurum in Introd. ad Anal. infin. Tom. I. pag. 98. Si im fübfítitu- tionem iftam acu perficiamus , obtinebimus: ka" cof.mQ -aa"- cof. (m-1 -- ba"7cof.(m- 2 - - -- --. : m (4.27 fin mQ-za77 fin.(m-1 D4-la "fin (m-» p- -)x V 1$ — Ponatur a"cof.mQ -ao7-'cof.(-1 )D--2a"-*cof (m-2 (D - ----- P et a"fin.m( -27-' Gin. (m-1 XD--oa"- üin.(m- 2). - - ac erit P-1-QY — 1 —0. 10) Si P-- QY— 1 fit —o, confequens inde tft, effe P—0, atque Q—0; nifi enim hoc effet, concludendum foret, effe QY —1—-— P, id eft quan- titatem imaginariam , resli , quod contradictorium effe ; per fe patet. Cum ergo fit P—o, et Q— o, erit non folum P-j- QY -1— o, fed etiam P—QY-:i-—o. ' 11) Vt iam determinare queamus, an fictor fimplex, x-i-zm —2Y 1, qui adhibendo denomina- tiones $. 8. affumtas, tranfit in x-- cof; (p — afin. (p Y-—1, quique fólus eft , qui cum priori combinatus Tom. VIII. Nou. Comm. Aa pro- 186 DE FFNCTIONVM ALGEBR. productum reale efficere poteft, fit quoque factor fun- cionis O, fübflituatur quantitas —a (cof. (D—(in.(p Y —1), - loco 3, et difpiciatur , an hic valor fun&ionem Q* euancícere faciat. Quoniam autem X* — -4- a (cof. e (D— fin. 2 (p Y —1) X' — — a (cof. 5 D— (in. 5 p Y —1) et generatim — 3^ — -1L- a" (cof. s (D — fin. 4 (Y —, fundio CO per fübftitutionem iftam , tranfit in -- a" colui - aa" cof. (m-1 XD--ja"-cof.(m-2)0 » - - - (—a"Gn.mQ--2a7-' Gin. (m-1 KD—ba7- (in. (m-2 D- -- (xV-x vnde fit, fi denominationes $. 1o. affümtas , víurpe- mus P—QY —z:, quae quantitas, fi füerit nulla, in- dicio hoc erit, quantitatem x -j- acof. G— afin. (DY- x -z—x--m-nY-—r, effe factorem fünctionis O. — Su- pra autem 6$. ro. probatum iam dedimus, fieri nom poffe, vt fit x-1- 7-1- n Y —1 factor functionis O, fiue vt fit P-I- QY— 1 —o, nifi fuerit quoque P—QY—z z-o, fiue x--m-—nY-1i factor eiusdem fünctionis. . 12) Perfpicuum hinc tandem eft, x-i-z--5Y -15 non poffe effe factorem fuünctionis O, ni(i x-1-m-nY -x quoque ipfius fi&or exiflat, atque factorem ipía habeat irinomialem realem , huncce, x--2:mx--m. Ne- —n gotium itaque nobis propofitum , abfolutum iam eft, aft dubio tamen adhuc occurrere debemus, quod fíüb- naíci poffet , circa cafum , vbi fünctio C plures habet factores aequales, vbi nempe factor imaginarius, x-5 -]-^Y —1; bisaut ter, aut plurbus vicibus functionis huius FACTORIDVS TRINOMIÁALIBUS. — i8: huius fa&or exiítit. — Videri nempe poffet, demonftra- tionem a me prolatam , euincere quidem, íi x--z: --aY —1, fit fior funcionis O, etiam x4-m—8Y -1, inter reliquos factores occurrere debere, aft non pro- bare ipfm, quod toties occurrere debeat pofterior , quoties prior occurrit , quod tamen, íi contingat non eífe , ecuidens eft, reíolutionem in meros factores tri- nomiales reiles füccedere nom pofíc. r3) Leui autem negotio hoc dubium - aufertur. Si nempe fün&io CO habeat quantitatem. x 4-m4-gY -r, 2 vicibus pro fictore, patet ex demonfiratione prolata, minimum vnà4 vice x-1-77—7 Y —1, fore eiusdem fun- ctionis fa&dorem. Diuidatur ergo fun&dio (O per fa&to- rem trinomialem x*-4-25:x-1-7., atque. prodeat —mqn 373-1 ^y -- j/37— 1 o'y37—5 -----— Ce jnter cuius factores x-1-72:-1-7 Y -r1, adhuc z—zr vi- cibus occurrit. Haec itaque fun&io , vi demonftratio- nis noftrae, denuo minimum vna vice habebit factorem X--—5Y—1:. —Si ergo denuo diuidatur fün&io (C, per a^-- 2x -p-gm^, atque prodeat 2 —1Hn | yn 1. al | xs A yum—s p opm Il. — quae fün&io, x-L-m--nY —ri, n—2 vicibus pro facore habebit, euidens eft, et ipfam, minimum vna vice, factorem x-Pmz-—5Y-—r habituram. Perfpi- cuum autem eíl, continuari poffe hanc argnmentandi methodam , vsquedum poft z diuifiones, pcruentum fit ad functionem di, Ten anion iquam inm m nieb uw b, Aa s inter 188 DE F/NCTIONVYM ALGEBR. etc. inter cuius factores, x-1-5:-1-nY — 1, vlterius non occurrit. Inter huius aütem functionis fa&ores, etiam X-L-m-nY-: vlterius occurrere nequit. — Si enim haec quantitas foret factor ipfius 5, ex demonftratione noflra abunde patet, étiam inuerfim neceffe eft, wt tum fit quoque x-i-7-1-2 Y—x ipfius fior. ^ Aft locum non habet pofterius , quoniam per inítitutas di- vifiones numero 7, hic fàctor penitus fublatus eft. Manifeftum ergo eft, (i x-r 7-7 Y-—-1 pluries oc- » currat inter factores functionis cuiusdam , totidem exacte vicibus etiam occurrere dcbele alterum , x -p- 74 -—üY-1r. SOLVTIO. —À € ROI e RR RR "ee ( o ) "oo 1$9 SOLVTIO PROBLEMATIS CVIVSDAM ADMAXIMA MINIMAYVE PERTINENTIS. Auctore STEPH. RVMOIFSKI 1) doe commercium epiftolicum iuniorem "Fulerum in- ter et me intercederet ;. in litteris menfe Ianuario anni praeterlapfi ad me datis, fignificauit, fe problema Data altitudine Coni determinare figuram. bafis , vt conus inter omnes «lios eiusdeus [uperficieà maximam . babeat | Jo- liditatem a patre propofitum foluiffe, voluitque vt ego in foluendo problemate vires meas experiar. 'Ten- taui igitur eiusdem problematis folutionem , et partem ad eum transmifi. Interea autem ipíam folutionem humanifime mecum communicauit, qua accepta ani- mus incefht , vt meam quoque ad fiaem perducerem. Exhibita igitor mea folutione, Euri ex litteris ex- cerptam fiftam , quo appareat diuerfiras. folutionum. 2) Sit figura bafis AM N, quae vtique in fe re- deat neceffe cft. Incidat demiffum ex vertice V per- Ty T. pendiculum in D, et fit VD-—2, per pincum D Fig. 4. ducatur vtcunque recta AN, quae pro axi feu diame- tro curuae quaefitse haberi poterit. — Ex pun&o D ducatur ad curuam rectà D'M, et alia ei infinite. pro. pinquaa D, et dicaaur DM — s, ent zm-—4z. Sta- tutur iufupgr ADAM z (p, erit MDzuzaQ, Mrza4db A43 et 99 SOLFTIO et Mm—YV(dz' --zzdQ') Ex pun&o D ducatur infiper in tangentem MQ perpendiculum DQ, et grodibunt triangula M zzz ec DQM fimilia , qui ene ptr erit DQ — a2 5 sd$5 et QM—yaz rnm. Hinc VQ—Y(VD'-I -DQ') — Yaa 24- 3z —— Y(aadz* -E(aa-- zz)zzdQ) 12 zd» T Yv(dz?-24-z2zdd7?) -* Elementum ergo fuper- ficii V Mz erit — 9 — 1 Y(aadz*--(a24-22)umd D) et füperficies arcui A M refpondens erit — 1f Y(aadz* --(«4-4-z2)zzd(p ). Cuius integrale ita capi debet, wt pofito (P —o, ipíum euanefcat. Elementum autem areae bif DMrm-—izzd(Q et hinc area ADM —i/fzz4dQ, foliditas autem partis coni arcui. A M re- fpondenti erit —1iafzzd(Q. Commune ergo omni- bus conis debet effe la[zzdQO, et maximum mini- mumue :fY (aadz -r- (4421- 2:2) 22d D* ), quae ex- prefio pofito 2 — p4(D tranfibit in fequentem. 1 f/2p y (aapp -A- (aa -1- 2 z) zz). 3) Comparentur nunc hae expreffiones fecundum regulis a Celeberrimo Eulero datas cum formula Zap jn qua Z ponitur functio quaecunque ipfarum Q(Dz et p atque ponatur dZ-—MdQ-r-N4z--P4p-4Qd44 etc. prior ergo expreíffio dabit Z — zz, quod differentiatum €t comparatum cum 4dZ dat M-o N—255, P250 etc. Poflerior autem Z-— Y (aapp-i- (aa 4- z 2)z2), Hinc M-o, N FA uusgis eu et P- y VIR Per easdem ergo maximorum et minimorum regulas debebit effe a(N—25—25z. Ponatur zu €, €t prodibit N— 4$ -2e02—6, quae dua in pd (p dabit Npdp—paP—2czpd(Q-o feu Naz PROBLEM ATIS. 191 Ndz-pdP-2cczdz—o. Hinc Ndz--pdP-2eczdz —d4.Pp. Quod integratum dabit Y (aapp-i- zz(aa-A-22)) —ecz z —P p -4- Conft. nebimus z55:5: 224-22) -00-Fcczz , vnde p'definietur : — &Yy(z2(22-1-722)* —(aa-3- za; (bb-1-ccz.z)3) fequentem in modum 4p— 77 ——, p suman et ob 5 — 4g nancftimur aequationem figuram baítos exprimentem Y que adxs(bb-Lceszs) DO dd me Sy (22(aa-41- 22)? — aa-i-zzY(bb--cc zz) et iz : | adz(bb-I-cczz) ga. o — Conf. den Sy (zz(aa-4- zz) —(aa-r-2zz)(bb-1ccz z)*)* vbi conftans poft integrationem ita definiri debet, vt pofito (—0; 2 obtineat datum valorem , eum nempe quem habet, fi pun&um M transferatur in A. — Toties ergo curuae, problemati fatisfacientes prodibunt algebrai- i |), adz(bb-cczz) » cae, quoties "- V(2 2 (aa 4- z z)* — (aa-4- z z)(bb 4- c6 z s?) praes bet arcum circuli commenfürabilem arcui (p 4) Haec erant, quae ad Ew/erum priusquam eius folutionem acceperim transmifi. Cum aequatio inuen« ta in genere integrationem admittere non videatur, ad cafus fpeciales erit deftendendum. ^ Ponatur in aequa- tione inuenta 2 —aa, feu bb —aacc, et habebimus pro matura curuae quaefitae. fequentem — aequationem accdz - : 5 dOo- (zz—c*(aa-izsj Quae mutari poterit in fequen- qce tem dd-— Yucy zyGz-:5- Ct pofito brcuitatis r-c* : : I RR Am ERST da ir gratia ;,— — 7, prodibit 4(p— XU EEEIPE Vn- [ DONERIE ARR emo zz EM. pig de 2 Mice uees prodibit /227 55 1-72: — 4. At Y(zzdd)--4z7; €(t perpendiculum ex centro D in Rangentem demiílum, quod quia eft conftans — 72 —5., Curua Tab. [. Lig. 5. 105 SOLFTIO «uru1 problemati fatisfaciens hoc cafu erit circulus, r4- dio z— defcriptus, 5) Aliae atque aliae curuae problemati fatisfacien. tes obtivcebuntur, prouti conílantes, quae in aequatio- nem naturam curuae exprimentem ingrediuntur , deter mnentur — Nunc foluionem Ez/zi eius verbis con- ceptam tradam. — Sit A CB bafis coni, altitudo — eius OC-ao. Ponitur CP—x, PM—y, dy—pdx et habebitur foliditas comi — 24/y dx. — Superficies autem —ifdxV(aa(x-A-pp)-i-(y—px)). —Quaeftio igitur et hoc modo enunciari poterit , vt inter omnes curuas AMB, quibus idem valor formulae fydx conueniat , fen quae eandem aream includant , definiatur ea, pro qua valor huius formulae fiat minimus. — Ad quod folacendum, conftat, primo vtriusque harum formularum valorem diffzrentialem, fcu, wt alio modo vocatur, va- riationem, inueflipari , tum vero alterum multiplo cu- iuscunque alterius aequalem flatui oportere. ^ Quodfi ergo hi valores differentiales, feu variationes, praefixione litterae ó' indicentur , aequatio pro figura bafis ita ex- primetur 40/y dx—àJ dx Y (aa(x3- ppt ( y—px) ). Cum igitur negotium ad inueftigationem harum varia- . tionum perducatur , ex methodo maximorum et mini- morum contemplemur hanc formulam /Z4x, in qua Z fit füuncio quaecunque, tam variabilium x ct y, tam. earum differentialium , feu pofito 2y— pdx, quantita- tis f, quandoquidem haec forma binas noítras com- plectitur. Quia ergo Z eft functio quantitatum | finita- rum x, y et p, ea differentiata talem praebebit formam dZ-—HMdx-r-N dy -41- P4p -1- etc. et quouis cafu quan- titates ems a FE mon i on i RA »". PROBLEMATIS. 193 €itates M, N et P innotefcent ; quibus inuentis dabitur formulae fZ4xvalor differentialis. — Pro priori ergo for. mula f»dx,; quia Z-— y, erit M—o; Nz1 et P—o. Vnde eius variatio erit vt x. Pro altera vero formula JdxV(aa( x --pp)-r-(y —px)) erit eodem modo MI—ETLAOONIUIPE e poauP-iy-H Vnde litteris breuitatis gratia retentis erit huius alterius formulae valor differentialis vt IN ici Quare pro fi- gura bafis coni confequimur hanc aequationem 27 — LET denotante ;z; numerum conftantem , «euolutis omnibus aequatio abibit in. hanc a(y— | à (ca p— x( y — pxy*à Bini poftremi termini aequationis hoc modo in vnam fümmam colligentur — 3o (aa b xXx y) ita vt noftra Aequatio hanc formam induat E d (A) mdx—:9—bm4m erac io)dp fm ea per f prodibit CB) ways Or 0D EY ..4apdp(aa-xx--yy) —z5 . Fiat combinatio (A) x-F(B);y «a dabit m(xdx--ydy— scd PEDI po v2 GC EE) quae integrata pofito 177— 7, et adiecta conflante ab n(xx--yy--ab) — EA (uc EDO Pa) hinc pofito 2— « circulus elicietur. 6) Cum «x aequatione z — non ftatim pateat curuam quaefitam effe circulum , e£ Eulerus id mon exponat, lubet SE Jl hic demonf(ltrationem adii- «ere. Cum fit 7— 257, fümtis quadratis habebimus tandem T——.(1-i-pp)— (y-pay. Ponatur y— u, xet Tom. VIII. Nou. Comm. bb prodibit yz Z Y94. SOLVTIO PROBLEMATIS. prodibit dy — udx -4- xdu — pdx. Vude jeu c.t aequatio praecedens mutabitur in fequentem e ee —(u—p) xx,iumendis logarithmis fit I I b) —2.(u- 5): vis CUN Ft differentialibus WII ze Hine: ob pL — ^* prodibit r-p&-0, quod ob $— X etu poftintegrationem dat xx jy - Conft. quod manif:íto eft ad circulum abfcifüs a centro come putatis. Pergit. Eulerus : 93) Aequatio n(ab y- xx 4- yy) — EEmpo- m porro per fubílitutionem y-pxcuY(x un 22 hanc fup- peditat aequationem. 2657 227-20) — zi)» iam co- nemur omnia pcr nouam. variabilem. determinare , at fübftitutio affumta dat per differentiationem (C jr Y(x4-p pr "res GN Vnde oritur ob. y-px-kuY (1 4-pp)- (Do-—5y V(r--Pph-;cXg. ^ Sutuatur poro breuitatis. ipsi Mad AGLER EU erit Semung pro curua &b-4-xx--Y) ..— . aaUU —ab MEXGdK —U;, hinc xx tryy-—-—uc — s (rop) uu, ex qua CE vt p per 4 vel U determinetur, tunc. x et y ex (C) et (D) per folam. variabilem. expreffa. ha- bebimus: Cum igitur fit Lu (1-3-2p)-3-uu4— —— Ed erit ftirim .dpo dU y: — VU) LL—— 14-pP m— — J(aaU.—ab—uu(i—U) Si pro 4 ex antecedenübus valor per U expreffüs füb- flituatur , aequatio feparata integrari poterit per fignum fuüummatorium. Hinc p inaoteícet per U, ideoque etiam: per x, et problema erit folutum. PHY- |^ — PHYSICO MATHEMATICA. Bb» . DILV- d ts E ud T ? f P pd d- E : COME E DIS 4 * yit do ro - Pe E 4 L M b iu waa Lu 4 9E ) o ( ERIS 197 "DILVCIDATIONES | DE RESISTENTIA FLVIDORVM. vibuc dip - EV LE RO. c rs Ds modo quaeftio: de refiftentia ,, quam corporá' folida in fluidis mota patiuntur, tractari folet ,. al* fero negotium tantum. vero proxime plerumque: confi citur, dum quantitas refiftentiae per regulam fitis con cinnam ad calculum reuocatur; .àltero wero refiftentiae doctrinam ex ipía fluidorum pata et preffione, quam in corpora exerunt , per profundiffimas: Hydrodynamis cae. inueftigationes conftituere' |. Geometrae. funt conati. Quo pofteriori . modo ' fi negotium ad finem ' perduceré liceret ,- omnia, quae. ad menfüram refiftentiae pertinent, inde accuratiffime definiri: poffent ,, neque amplius coacti effemus, ad . modum priorem: confugere , quo prope tan- tum vera refiflentiae magnitudo exhibetur. . Verumr etiam nunc tam longe ab iíta. perfe&a refiftentiae co gnitione abeffe videmur , vt. priori modo , etiamfi eius defectum. probe norimus , minime carere queamus , fed €o potius, quoties refiftentia indaganda. occurrit , vti: debeamus, . 3 x IL. Prior autem. modus, quo Newtonus pluri- rnumi eít víus, etiamfi eius aberrationem ^a veritate Aon IB videatur ;; , hac regula ad calculum inpri- & Bb 3 mis 19$ DILYCIDATIONES Ynis accommodata continetur, vt refiftentia rationem «ompofitam fequi cenfíeatur , ex ratione duplicata cele- ritatis , qua fluidum impingit, «et ratione pariter due plicata finus anguli , quem directio impulfionis cum fuperficie percuffa conftituit. ^ Hinc ergo fi pro allifio- ne fluidi perpendiculari , vbi angulus ille fit rectus, zefiftentiae quantitatem nouerimus, fücile erit, eam pro quauis allifione obliqua aífignare. ^ At vero fi fluidum perpendiculariter füperficiem quampiam planam feriat, refiftentia aequalis aeítimatur ponderi columnae eiusdem fluidi , cuius bafis fit ipía füperficies percuffi, altitudo vero congruat cum €a, ex qua graue cadendo ipíam fluidi celeritatem. effet. impetraturam. II. Haec regula cum ob facilem víum in cal- culo, tum vero ideo potiffimum commendari meretur , quod 23 veritate plerumque haud notabiliter abludere deprehendatur. Nam quod ad principia attinet, qui- bus innititar , nullum plane eft dubium , quin ea nimis fint vagi, atque a vero (ftatu, ad quem accommo- dantur, remota, quam vt conclufio inde deducta pro certa admitti queat. — Maximam enim partem haec regula eft petita ex collifione corporum, dum fluidum continuo in corpus data celeritate et fecundum directio- nem motus fui impingere, conflictumque exerere con- ciptur ^ At vero certum eít, fluidum néutiquam in corpus hoc modo impingere , fed antequam ad corpus perueniat, tam fuam directionem, quam celeritatem, ita inflecere , vt cum | ad corpus peruenerit, fecundum ipfam eius fuperficiem praeterlabatur , nullamque aliam "im in corpus exerat, praeter preífionem, quae ipfi in - fingulis DE RESISTENTIA FLVIDORVM. x99 fingulis contactus punc&is conuemit. ^ Quam ob rem counclufio , quae ex ratiocinio tam peruerío- deduci folet, minime pro vera haberi poteft. IV. Quo hoc clarius perfpiciamus , flumen con- cipamus , quod data celeritate fecundum directionem OV feratur; iam vero in hoc flumine corpus collo- cari AM E, quod quantam vim a flumine fit füften- taturum , definiri oporteat. Atque per regulam vulga- rem haec vis ita inueftigatur, quafi in fingula corporis puncta M vena aquea IM fecundum directionem flu- minis, eaque celeritate , qua flumen progredi affümimus, incurreret , ac per conflidtum verum corpori vim in- ferret. Interim tamen fi actionem fluminis , prouti re vera fe habet, perpendamus , mox percipiemus , tractus feu quafi riunlos fluminis , qui fupra corpus in notabi- li diffantia celeritatem füam cum: directione retinue« rant, vwti f,f,f, g,g,g, etc. cum propius ad corpus acce(lerint ; curfum füum infleCtere , atque tandem iux- ta corporis latera defluere, quae deflexio in figura ex- hibetu. ^ Ex quo manifeftum eft, nusquam eiusmodi conflidum fieri , qualis in confütutione regulae vulga- ris concipi folet. V. Quin potius hinc manifeftum «eft, iffam aquae vim , quae fub reftiftentiae nomine comprehen. ditur, a preífione aquae iuxta corpus praeterlabentis proficisci, quam idcirco preífionem inueftigari neceffe eft , fi refiflentiam accurate affignare velimus. ^ Quare vera ratio refiflentiam. determinandi , qua alter modus fupra memoratus continetur, huc redit, vt preílionem quam Tab. If Fig. x. 460 DELFCIDATIONES - uam corpus in fingulis pun&is a fluido fuftinet, de- finiamus : at' vero haec quaeftio altioris e& indaginis, quam vt eius enodationem a profecibus, quos adhue in hydrodynamicis fecimus , expectare queamus. — Hic enim finguli rinuli , ex duh fluuius conftat, et quem- admodum curfüm fuum circa corpus infle&tant, con- fiderari, atque omnes illae lineae curuse. ff, gg, bb, etc. quafi füb communem aequationem redigi debent; vnde deinceps aquae celeritas in fingulis cuiusque Ei pun- €tis concludi queat. | Hac autem demum celeritate. co- goita, ipfam prefhonem , cui hoc negotium. innititur , afügnare licebit, a tam perfecta autem motus fluido- rum cognitione adhuc longe abfumus. VI. Quae Celeb. A/embertus de refiftentia fiui: dorum in peculiari Tra&atu e(t commentatus , . hanc fummam difficultatem, veram refiftentiam inuefligandi , magis demonflrant, quam leuant. Cum enim Vir acu- tiffimus omni adhibita fsgacitate hanc quaeftionem —. ad- a2equate explicare haud. valuerit ,^ vt inde refiftentia , quam quaeuis corpora in aqua mota patiuntur, aflignas ri poffit: magno hoc nobis eft argumento , quaeftio- nem tsntopere effe difficilem , vt vires humanas ran- tum non fÍuperare videátur. ^ Quae ego etiam nuper in aliquot differtationitus de motu fluidorum — expofui , nullum fubfidium huc afferunt. Etiamfi enim omnia, quae ad motum fluidorum pertinent, ad aequationes analyticas reduxi , ^ tamen ipfa Analyfis minime adhuc ita eft exculta, vt illis aequationibus refoluendis fuffi- iat. ^ Quae fum alii de hoc argumento fünt meditati, haud feliciori fucceffu vires füas ingenii funt experti, VII. Et( - DE RESISTENTIA FLVIDORVM. 201 VII. Et autem determinatio preffionis in gene. re, hoc eft in omnibus punctis fluidi, tam a tractu fingulor;m riunlórum , quam ab aquae celeritate — pen- det, tamen inueni , fi quaeftio ad vnicum riuulum re- ftingatur, tum pretffionem in fingulis eius locis per folam celeritotem defiuiri. | Quare cum corpis AME 3b vrico riuulo f; f, f contingatur, omnisque refiften- tia ab eius preffionibus folis oriatur, fi raodo preffio- nem hnius riuuli in fingulis eius pun&tis cognofceremus, inde facile reGftentiam ; quam corpus a fluuio (íuftinet , definire poffemus. ^ Tametü autem ifla celeritatis co- gnitio per riuulum corpori proximum non minoribus difficulratibus fit fubiecta , quam determinatio preffionis generatim confiderata , tamen hoc inde lucri nmanciíci-. mur, vt fi nobis licuerit , fiue. per experientiam , fiue vndecunque, celeritatem suidi iuxta corpus praeterlaben- tis cognofcere, hoc folum nobis (atis fit futarum ad ve- ram refiftentiam. corporis accurate determinandam. Vill. Si enim ponamus celeritatem , qua aqua circa elementum corporis M praeterlabitur , debitam effe alitudini v, atque affüumamus, vt vulgo fieri fo- let, omnes riuulos in plano horizontali verfa, ex iis, quie demonítraui de motu fluidorum in genere, colli- gitur, preffionem aquae in pun&o M expr.mi per al- titudinem &— v, ita vt quantitas k pro toto riuulo f, f, f, f, eundem obtineat valorem , ideoque in pracfíenti negotio pro conftanti haberi Bedt ; etiamfi pro diuer- fis riuulis diuerfos fortiatur valores. — Hanc autem pres- fionem &— v ità interpretari oportet , vt corpus in M 4 pondere columnae :queae,, cuius altitudo fit —£&- v, '" Tom. VIII. Nou. Comm. Cc folli- :02— DILVCIDATIONES follicitari fit cenfendum. Pro bafi filicet. huius colume nae fumi debet elementum fuperficiei corporis in M, quod ab ifta vi normaliter vrgebitur, vti in omnibus preffionibus euenit, hincque porro more folito quantie tatem totius refitentiae colligere licebit. IX. Quanquam autem circa celeritatem. aquae apud fingula puncta MM nihil habemus exploratum ex Theoria, tamen fi experientiam in füb(dium vocemus, egregias refiftentiae proprietates cognofcemus. Cum enim au&a celeritate in eodem riuulo preffio diminua- tur, contra vero augeatur celeritate imminuta, certo affrmare poterimus, in quibus locis corporis AME. aqua velocius praeterlabatur , ibi refiftentiam effe mino- rem , quam iis locis, vbi tardius praeterfluit: quae ves. ritas (i probe perpendatur, plura alia infignia confecta- ria füppeditare poterit. ^ Ac merito hoc ingens para- doxon videri debet, quod a maiori celeritate refiften- tia minor, 3a minori autem celeritate refiflentia maior oriatur ; quod primo intuitu regulae vulgari dire&e ad- verfi videtur. — Sed omnis difficultas euanefcet , fi perpendamus, hic diuer(is fluidi celeritates ; quibus eo- dem tempore fíüperficiem corporis ftringit, inter fe comparari. Neque minus certum manet, fi vel flu- vius velocius moueatur, vel corpus celerius aduerfus aquam trudatur, refiftentiam quoque maiorem cffe futuram. X. Viciffim ergo vbi per experientiam refiften- tia maior deprehenditur , ibi celeritas fluidi praeterla- bentis minor fit neceffe eft ; cum igitur nouerimus, iu iis DE RESISTENTIA FLVIDORUM. o5 üis füuperficiei corporis partibus , ad quas directio flumi- nis OV propius ad perpendicularem accedit, refiften- tiam effe maiorem , atque omnium maximam , vbi dire&io fluuii OV ad corporis fuperficiem fit normalis; in iftis locis quoque celeritas fluidi praeterlabentis mi- nor effe debet. — Ad angulum fcilicet A MI erit refpi- €iendum , qui quo fuerit maior, feu recto propior, ibi celeritas aquae tanto minor fit neceffe eít, contra au- tem eo maior, vbi hic angulus diminuitur. In figura igitur exhibita celeritas aquae praeterlabentis circa A. erit minima , circa E. vero maxima : atque hoc etiam experientia manifefto declarat, qua conftat, aquam circa verticem A plerumque fere penitus ftagnare , impri- mis fi angulus OAM fuerit rectus. XI. Quoniam igitur nouimus per regulam vulga- rem , quantumuis debili nitatur. fundamento , refiftentiam tamen parum a vero aberrantem obtineri, eius beneficio celeritatem aquae iuxta corpus praeterlabentem vero proxime aífignare poterimus; et quoniam in eodem riuulo O in fingulis locis f f f f E. amplitudo: recipro- cam tenet rationem celeritatis , hinc (imul amplitudi- nem iftius riuuli corpus contingentis in fingulis locis definire licebit. — Tum vero porro primo hoc riuulo conftituto fimili ratione riuulus fequens fg f , feu fe- cundus, ex hocque tertius g b bg , indeque fequentes wero proxime defignari poterunt. ^ Quae determinatio- nes etfi a veritate aliquantum recedere funt ceníendae, tamen in tam ardua inuefligatione infigni vía non ca. rebunt. Quodfi enim iam vero proxime tractum fingu- lorum riuulorum vna cum aquae celeritate cognoueri. Cc 2 mus, 24 | DILVCIDATIONES mus , nullum eft dubium , quin deinceps multo fii- lius füummas difficultates , quibus haec quaefto eft in- voluta , fuper.re valesmus. Inde faitem colligere h-e- bit, quemadmodum aequatio ge»eralis figuram | finguio- rum riouiorum complectens debeat effe comparata. XII. Quodfi autem. celeritatem. flumi, qui in notibili a corpore diítantia circa O fecundum | directio- nem OV mouetur, vel, quod eodem redit , celerita- tem, qua ipfum corpiss AME in aqua ftagoante fecun- dum directionem AO fertur, debitam eff? ponamus altitudini c, per regulam vulgarem nouimus, vbi.cor- poris fuperficies ad dire&ionem fluminis fit perpendi- . cularis , ibi refiftentiam exprimi per ipfam altitudinem €, fía autem in loco /M angulus iacideniüae A jál, du&a re&a MI dire&ioni AO parallela , ponatur - D, per eandem regulam conftat, fore. refiftentiam in M—e fin.QU. Hinc ergo , comparatione inftituta ; fi aquae juxta corpus praeterfluentis celeritas in M. debita ftatua- tur altitudini v, hanc adipifcemur aequationem : cfin.(D' —k— v, ideoque v —k— cfin. (*. Quocirca ex hac formula veram aquae celeritatem ad fingula corporis puncta M. affiguare val-bimus. XIII Tantum ergo fupere(t, vt hinc conftantem quantitatem & definiamus, quae quidem ex caíuü, vbi angulus QD cft rectus, fiücile colligetur. ^ Experientia enim tcflatur, in his locis celeritatem aquae allabentis effe nullam , tum vero etiam nulla adeft ratio, cur aqua, vbi directio fluminis ad fuperficem corporis eft perpendicularis, in hauc potius plagam, quam aliam, di- | labe. DE RESISTENTI4 FLVIDORVM. sog hheretur. — Ex quo conficitur , fi angulus (D füciit reus, ideoqne fin. D— 1, tum efle oportere 2 — 0; vnage maniféto fit &— e, feu ifta cou(tans & praeci(s eit aequalis alitudini flaminis celeritati debitae. — Pofita autem £— e, habebimus 2—e-cfin. Q*, feu o —ecot Q, hincque Y v—cof.Q. Y c: vnde hanc infignem pro- prittotem — deriuamus , quod celeritas aquie iuxta cor- pus ad MM praeterlabentis fit ad veram celeritatem fluminis Y c, vti cofinus anguli A MI ad finum totum. Atque hinc in E, vbi tangens dire&tioni O A. et pa- rilicla , feu (D— o, erit v— c, feu celeritas aquae ibi acqualis refultabit ipfi flaminis celeritati in. O. XIV. Hinc difimus, fi celeritatem — nus, qua vehimur , ex velocitate aquae praeterlabentis aeftima- Te velimus, atque nauis fecundum directionem OA progrediatur , tum in naui eum locum E effe eligen- dum , vbi tangens horizontalis directioni AO fit pi- rirela. Atque in hoc loco tuto concludere poterimus, celeritatem nauis aequalem effe velocititi aquae, quae hic praeterlabitur: fin autem in alio loco, vti in M, hoc iudicium inftituere vellemus, eo magis erraremus, quo maior^ fuerit angulus AMI, nauem (cilicet. nimis paruim reputantes ; quoniam celeritas aquae in M praeterlabentis minor eft celeritate nauis , et quidem in ratione cofinus angali AMI ad finum totum. Ia- terim tamen probe eft recordandum, has determinationes non fummo rigore effe veras, fed tantum idoneas ad ve- ritatem appropinquationes. / Cc5 XV. 'Tab. II. Fig. 2. 206 DILVCIDATIONES XV. Ac regula quidem haec certo fallit in cor. poris parte pofleriori ENB ; fi enim ponamus, vt in parte anteriori, effe v — c cof. (X, puppis nauis praeci- fe tanta vi propelleretur , quanta prora repellitur; vnde a4 pun&o E retrorfum formula v—c cof. (' eo magis 4 veritate difcedet , quo propius ad D perueniamus ; tantum ergo in parte anteriori A M E, tanquam toleran- ter vera , admitti poteft. Interim tamen hinc con- jiectando fufpicari poterimus, quomodo motus aquae prae- terlabentis circa puppim nauis ENB fe fit habiturus. Si enim puppis nihil ad refiftentiam conferat ; certum eft, aquam ab E ad DB celeritate vniformi défluere , ea fcilicet, quae debeatur alütudini c, et quam iam in E recuperauit. Sin autem in hac parte lentius decurrat, nauis hinc propulfionem accipiet , qua refiftentia dimi- nuetur. Fieri autem nequit, vt vsquam euadat v 7, quia tunc preffio prodiret negatiua. Hoc enim cafu a- qua poft nauim vacuum relinqueret , et nauis quafi ful- cum traheret; vnde ob deficientem preffhonem a tergo refiffentia vtique augeretur. XVI Si igitur puppi nauis EN B eiusmodi fi- gura tribui poffet, vt aqua ab E et B progrediendo retardaretur ; atque. circa IN et B minorem habitura effet celeritatem, quam in E, talis figura conftru&ioni nauium effet aptiffima iudicanda , quia hoc modo aqua puppim adeo antrorfum propelleret , refiftentiamque prorae diminueret. Verum fi experientiam confulamus , talem figuram vix dari colligere licet , quin potius omnis cura eo conferri debere videtnr , vt ne alterum incommodum vfu veniat, quo ob vacuum pene na-- vem - DE RESISTENTIA FLVIDORVM. 2037 vem reli&um refiflentia adeo augetur. In eo imprimis ergo circa figuram puppis erit elaborandum , vt tale va- cuum euitetür, ac puppis ita infenfibiliter ad B vsque con- vergat , vt aqua eam iugiter fequatur, neque riuulus E f eam vsquam deferat. In hoc etiam in(ignis illa nauium proprietas verfatur, qua puppi talem figuram conciliare ftu- dent, vt aqua libere ad gubernaculum decurrere queat, quo- effectu fruflraremur, fi aqua circa puppim nauem defere- ret, neque in gubernaculum allideret. XVII. Ex celeritate autem aquae iuxta corpus defluentis figuram riuulorum illorum , per quos aqua motum íuum infle&it ; fatis exacte colligere porerimus. Ac primo quidem pro riuulo corpori proximo fff eius amplitudo vbique celeritati reciproce debet efe proportional: Cum igitur, pofito angulo AMI Q, Ta, 1r. celeritas aquae in M fit — e cof. (D, in hoc loco am- Fig. s. -plitudo riuuli f erit vt ;z5. 5; quia autem hunc riuulum anguflifium concipimus , motusque aquae in M fe- cundum. curuae tangentem dirigitur , amplitudo M 4 ad curuam ftatuenda eít normalis. Quare in normali QM produ&a capiatur portio M4, quae fit vbique wt zug, feu vt fec. D, ob c conftantem , et. punctum 4 erit in curua proxima fg4e riuulum exhibente. ^ Ve- rum hic (D denotabit quoque angulum PM Q, pofita applicata PM ad fluminis directionem OA perpendicu- lari: vnde erit M4 vt 5. Prodacatur ergo vbique applicata PM in p, vt pars produGa Mp fit conftan- tis magnitudinis , et ex 5 axi AO agatur parallela 54, normalem Q M produ&um íccans in 4, eritque pun- &um 4 in curua quaefita, XVIII. 208 DILFCIDATIONES XVIII. Cum ergo curua fg4e hac praedita fit proprietate , vt fic interudllum Mp conftantis magnitu- dinis , in puncto E , vbi tangens curuae cft axi AO paraliela , ipfa riuuli amplitudo Ee, quae eft ap[lica- tae PM parallela, hanc amplitudinem habebit, feu. viciffim interudllum. M f vbique ifti amplitudini E e acquale cft capiendum , vnde patet , quemadmodum ab E per M ad A progrediendo amplitudo riuuli continuo augeatur. Hinc ergo pro vertice corpoiis A, fi recta A d fuerit ad curuam normalis, pnnc&i g ab axe AO diftantia D4 quoque interuallo Ee erit aequalis , et quoniam hic riuuli amplitudo per ipfam re&am D4 aeftimari debet, in hoc loco D4 aquae celeritas aequalis eft cenfenda celeritati in. Ee, hoc eft verae fluminis cele- ritati, ita. vt hic fluuius adhuc vero fuo motu fcratur, neque vllam ob corpus oppofitum mutationem fubierit. Quin etiam,fi corpus in A angulo terminetur , quaeli-- bet alia re&a Ag ad axem AO magis inclinata pari- ter ad curuam in À normalis e(t cenfenda , vnde et hic diftantia ab axe Gg ipfi Ee et D4 eft aequalis, ficque vltra d riuulus inciudetur recta Zgf, axi A O pa- rallela. XIX. En ergo figuram primi riuuli fg4e corpori AME proximi et altera parte cum axe. AO tum corpore AME termina , per cuius partem ante- rorem Oj D4 aqua motu fno naturali affluit. — Cum autem vltra D 4 ad corpus appropinquauerit , ob creícentem amplitudinem rinuli, eius motus partim re- tardibitur, pirtim. dir.ctionem ita inflectct , vt ab f ad 4 Vsque dircdionem quidem curuae f 4 fequatur ; ex al- tera DE RESISTENTIA FLUIDOREM. ^ 09 tera vero parte. primum fecundum axem DA, tum vero fecundum ductum curuaàe A M progrediatur ; at- que ad A ob maximam amplitudinem motu minimo feratur. At vero fingula interala Ee, M4, D4, Gg infinite parua fünt concipienda, quae fi denuo in duos pluresue riuulos minores fübdiuidentur , vti in fi- gura bifecio per lineam f'g/d' 4/e/ repraefentatur , vude motus aquae per fingulos hos riuulos eiusque re. tardatio et inflexio multo clarius perfpicitur. . XX. Quanquam haec tantum. proxime ad veri- tatem accedere funt cenfenda , atque adeo vltra A ver- fus O lex continuitatis in formula noftra non amplius obferuatur, cum vi formulae amplitudo riuuli in 7 non per re&am D4 fed A4 cffet. aeftimanda , tamen haec ita ad veritatem , quam experientia monfítrare folet , accedere videntur; vt fi non per hanc ipfam con. ftu&ionem , tamen per fatis fimilem vera figura fin- gulorum riuulorum definiri fit cenfenda. Per experien- tiam enim certum eft, tantum in modica a corpore diftantia motum demum fluminis pertürbari incipere ; ita vt, cum retardetur , tum. circa corpus inflectatur , omnino vti delineatio riuudlorum fecundum formulam noftram facta manifefto declarat. X Atque in parte cor- poris antica AME nullum eft dubium , quin interual- la lateral: Mp fint inter. fe proxime aequalia , pone corpus autem , vt vidimus , haec aequalitas ceffibit ; dum ibi .ipfae amplitudines M4 potius aequalitatis le- gem fequi videntur. XXI. Vt a fimplicioribus incipiam , terminetur qp yy corporis pars antica duabus lineis recs AE et EF, Fig. 4. Tom. VIII. Nou. Comm, D d qua- 210 . DILVCIDATIONES quarum — haec fit dire&ioni flaminis parallela ,— illa vricunqae inclinata ; haec fcilicet. figura quafi femiffis corporis eft fpectanda , iudiciumque partis vltra. rectam AC fitie pari modo abíoluetur, dummodo punctum A maxime promineat. Iam ad riuulos defignandos ad recam inclinaaüam AE ducantur normaks A4, Ee, tum in dato interuallo D4--Ff', direcioni fluminis OA paralldae agantur oZ , fe, iunganturque puncta d et e recta de ; ac linea compofita odef repraefenta- bit tra&um riuuli proximi, fimili vero modo fi inter- vala D/4/, F/f^ maiora capiantur, figura rinuli fe- quentis o/d'e/f^ prodibit. Sic quidem fecundum regu- lm inuentam figura riuulorum exprimetur ; reuera au- tem circa Z et & anguli obtundentur , quia aqua nom fubito , fed fucceffrue , directionem mutabit: vnde quo magis riuuli a corpore diítabunt, eo magis eorum tractus ad vniformitatem accedet, quin etiem interual- la Ff ratione D4 ita infenfibiliter diminuentur , vt tandem riuuli fatis remoti directioni O'A plane paralle- li reftitusntur. XXIL In primo ergo rimulo aqua per totum tractum Oc4ZD celeritatem fuam et directionem retinebit, ac mutatio demum in diftantia A D a corpore incipiet, nifi quatenus ob incuruationem ad 4 hoc intermallum 3liquantum augeri eft cenfendum. — Cum igitur fit D'4: AD--AB: BE, erit ifta diftantia ante corpus, in qua motus aquae perturbari incipit, AD—7;.D4 — Dd.tang. DAE. — Vnde (fi angulus BAE fuerit re&us , hoc ípatium in infinitum augeri videtur; ve- rum cum ipíà riuuli amplitudo D4 pro infinite parua fit DE RESISTENTIA FLVIDORVM 2I fit habenda, binc interuallim ad. magnitudinem finitam redigetur. Verum fi plures pofitiones lateris EA , vt E a, inter fe comparemus, quae omnes eadem latitudine A E fint praeditae , ponamusque D E-a,B A - x , et amplitudi- nem riuudi D4—Ff —f, locus D, vbi motus aquae primum perturbari incipit , a recta BE diftabit inter- vallo BD—x-4-Z , quod fit omnium. minimum , fi x—Yaf, ieu Ba—Y BE D4, quo cafu angulus Ba E lam minime a recto diftlabit. — Verifimile autem eft , fi fpatium. Ba adhuc minus capiatur, atque adeo eua- nefcat , interuallum B D nou fieri magis, cum pofitio BE non in maiori ditlantia motum aquae perturbare valeat , quam pofiuo aE , vade et pro pofiiune DE hiec diftanria crit cenfcenda. B D— 2 Y af. XXIIL Hinc ergo colligere poterimus , quo- modo aqui ad fuperfiiem. BE , quae ad dire&ionem fluminis eft normalis , alluat. Scilicet riuu'us 07, cuius ab axe OB diftantia. fic DDZ, motu. inakerato — affluet vsque ad g, vt (it diftantia BD—2Y BE.D4, hic- que demum motum.füum inflectet ad e progrediens , Fig. $, vüde fecundum ef. l.eüi EF parallele. profretur, vt - fit diflantia Ff — O4. — Simili modo riuulus remotior vium fequetur o^d^/&/f'^, curfum fuum iam in 4" infle- étcns, vt fit ieteruallum. BD'—2VBE.D'Z. In fpatiis autem B ct 24/, quia ibi amplitudo riuulo- rum eftmaxima , motus aquae erit. tardiffmus, et ad B penitus qq icfcet , vnde hic refiflentia quoque erit maxima, ad E verfus F autem , ob riuuli primi am- plitudinem decrefcentem , continuo diminuetur , neque tamen diminutio tinta cfTc poteft , vt refillentia inde orta a D dz Icgu- Fig. 6. ay DILYCIDATIONES regula vulgari notabilitet abhorreat. Haud aliter refiftentia comparata fore videtur, fi latus E B retro fuerit inclinatum. XXIV. Sit iam corporis figura A MF quadrans circuli , atque, ad tractum riuuli proximi inueniendum, ponatur radius circuli CA — CM — a, amplitudo riuuli in F, nempe Ff—f. Pro puncto quocunque circuli M ponatur abíciff(i CP—x, applicaaa PM-—y , wt fit xx-r-yy —aa. Tum produ&o radio CM in z, "wt fit applicata d quaefitae 9: —y-i-f, erit ab- fciffa .C p-zx-r5. Statuantur ergo pro cum omf 'coordinatae CpcXx, pm-Y, vt fit Y —y-r-f e az (DE. — eritque y — Y —f et x — EOD qp. de ob xx n pro curua 2o;7f habebitur haec aequatio (XX -4- YY)(Y-fy-—aaYY: que 6 f vt parameter variabilis fpectetur, innumerabiles iftius- modi curuas o77f exhibebit ; quae omnes fecundum axem AO in infinitum extendentur, ab eoque tandem interuallo ——f' diftabunt, vnico caíü excepto, quo f-—o ipfum circulum AMF referente. Cum enim fit XX-—g-s-YY , fi X in infintum abeat, fiet Y —f. Neque vero omnes bae curuae riuulos xhibebunt, propterea quod quaeque fequens non eodem amodo ex praecedente definitur, vti prima ex ipfo cir- culo eft conftructa. XXV. Si curia AMF füerit alia curua quae. *ühque ,-aequatione inter CP— x et PM-—» conten- ta, «t pro riuudlo proximo of Us SR CpXe ipm—Y , ent Y —y-r-f et X—x— 22, fiquidem 4nteruallum f fuerit minimum. At quoniam figura fe- 'querr- DE RESISTENTIA FLVIDORPM, 213 qquentium rinulorum a praecedentibus fimili modo defi- mitur, fi interuallum Ff—f ftatuatur. finitum ,.— curuae omf figura expre(fione magis complicata definietur. Ac pro applicata quidem erit Y —y -i-f, verum abfciffa X. talis erit functio ipfarum x etf, vt fit d2-- (505 o, vnde natura functionis X. determinatur. Si enim po- matur per feriem X — x- fP-1- ff Q -f' R -i- f S- etc. exiftenibus P, Q, R , S etc. functionibus ipfius x, cuius quoque data eft functio y, erit 4y—(dx —fdP--fdQ—f'4R-i-f'dSetc.(P-2f Q. -- ff R — 4f S-1- etc.) vnde fit: D-—-4».£4.12-—PdP.op 20 -PdQ-—;QdP q^ -PdR-.QdO—:RdP |J Bc us Dos rema ez Us GRE sde ^ Mie su 4doc — etc. ficque data curaa AM omnes riuulorum curuae 077 affignabuntur , ac per feriem, quidem infinitam. XXVI. Qauoniam hae formulae tantum vero proxime tractum fingulorum riuulorum declarant, íü- perfluum foret, in iiseuoluendis operam confumere. Ve- rae tamen formulae ab his non admodum erunt di. weríae , ac fortaffe earum reíolutio multo facilior eua- 'det. Praeterea vero notari conuenit, formulas veras non omnino .determinatas effe poffe, nifi forte extenfio fluuii in latitudinem fit infinita ; nam vtcunque fluuius circa corpus curfüm infledat, ad ripam tamen eius direcionem íequetur. Vnde aequatio inter X et Y ita debet effe comparata , vt pofito f— o , praebeat ip- fam corporis figoram AM ; fin autem — ipfi f certus quidam valor tribuatur, vt tum figuram ipse -«exhi- beat. ta fi ripa rectae AO ad diítantiam — fuerit . D d paral- sj DILECIDATIONES parallela , ac ponatur CF—a, aequatio inter X. et Y has proprietates habere debet , wt pofito f— 0 , inde ip cuzea AM refültet, feu. fiat X — v et Y —y, fin autem ponatur f ——a , quo cafa puncum f in ri. pim cadet, vt tum fiat Y — b quicunque valor pro X. fit proditurus. XXVII. Hinc autem fatis probabiliter refiften- tiam definire poterimus, qua corpus AMF in fluido candi OCIH datae amplitudinis CH — 5 motum pa- titur, ad quem, cafamr regula vulgaris non eft accom- modata. Sit igitur celeritas , qua corpus fecundum di- recionem AO promouetur, — c, et riuuli axi proximi amplitudo Oo — 2; amplitudo autem corporis maxima CF—2; vt fpitium. i8. canili re(iduum fit FH 5-2, per quod, cum fluidum omne defluere debeat, affumo enim, id neque fupra corpus neque infra defluere poífe, amplitudo riuuli in Ff erit ^7" e—f, vbi RoErirs debita fit altitulini &. vt fit kff — eee, fcu k—q— ^ Ponatur nunc pro corporis figura CP— x; PM —5, et pro rivulo Cp-—- X. et pm — Y , neque hic erit Y —y—f, neque Y —y—e, fed medium quendam te- nebit valorem , vt fit Y —y—-^ 2e At eft Y—y: b—» y(dx*4-23y? Mmz-aáx: Y (d5^ --dy), vnde fit Mg zz. Yr) Si ergo celeritas aqme ad M defluentis debità (ic "alti- AP S. QyMestdxt-edy*) ——08 cbbdx? tudini qQ, erit KC TMApaces o Ü-—UeCE6, feu U—(b- yydx14-dyt) XXVHL Iam vero fluidi preffio in M elt per rcefiflentiae theoriam veram aequalis. altitudini C— v. Scd quia in F preffio debet effe nulla, euidens eft, bb chb fore C— k— g—., vnde preffio in M. erit — s DE RESISTENTIA FLVIDORVM . ars cbbd x* j :, . — UTR CcRETEE 35» quae cum fit normalis ad corpo. ris fuperficiem , inde nafcetur refiftentua ex curuae cle, i3 goa 2 - ebbdy cbbdx*dy . mento Y(dx* 4-dy'! oriunda — -5—; -A- (5 y (dA? » cuius integrale dabit totam refiftentiam. — 5i ges mn. : ; : dx* dy fluidi 5 effet infinita, foret refitentia — - cy t cJ z: 52 Si eigo A MF füerit linea reca AF, fitque CA—5, qo exiftente CF—2; ert 2—y:x—4:5b, Ííeu 2-y — 7, d : d x* (a a -4- b D) et dyz-— 55^, hinceque 43^-1-4y — —— 44 — . Vn- acbbx bbcbb de hoc cafu refiflentia erit — C —- zi— -- quai»o- quae per totam rectam AF extenía fiet: acbb , .bbcb bbcbb acbb abbcb . ———— —— — —— — aiu (b-ay -1- as-pbb — (arxbUXb—) — (b—a* — Ga-pitpo—3 quae expreffio abit in hanc: Gi 5o. — At fi flui- a*e dum effet infinitum, refittentia foret — z5,; quae fi pouatur —R, illa refiftentia erit — ^57 5 R, idco- que maior, quam R. XXIX. Experientia quoque hoc ipfum egregie confirmat , qua conítat corpus ia canali angoítiori pro- motum, maiorem pati refitentiam, quam in canali am- pliori, atque adeo (i amplitudo corporis CF amplitu- dini canalis füerit aequalis , ita vt corpus canalem per- fede expleat, tum refiflentiam fieri infinitam. — Quia enim fluidum non ni(i per fpstium FH defluere poffe affümitur, hoc ípatio euanefcente corpus moueri non poffet, quin fluidum in minus volumen compingere- tur; at flüdum nullius compreffionis capax affumitur. Quod fi planum ad directionem motus fuerit normale , - vti fi ipfa linea CF —a celeritate Y c in dire&ione CO promoueatur, refiftentia in fluido infinito foret Zac—R, in 216 DILVCIDATIONES in canali autem. amplitudinis CH — 5, eadem linea. re- fitentiam fuftinebit —G rs R,quae ergo erit ad illam vt CH' ad FH'. Nifi ergo amplitado CH prae am- plitudine corporis CF füerit praegrandis, augmentum refüiflentiae erit notabile. Sic fi CH—2CF erit re- fiflentia. — AR, fi CH — 93 CF , erit ea Re ac i fuerit CH — 10 CF, erit refitentia —v?R — xjsR. XXX. Quanquam autem hinc riuulorum, per quos aqua circa quodque corpus defluit , defignatio non adeo | difücilis vidétur, tamen eorum natura cum principio continuitatis vix conciliari poteft. ^ Cum enim riuulo- rum partem corporis anticam cingentium amplitudo fit cofinui anguli, quem tangens corporis cum directione motus conftituit, reciproce vero íaltem proxime pro- portionalis , iuxta partem pofticam vero eorum ampli- tudo fit quafi conftans , nulla huius anguli, quem ( vocauimus , fünctio excogitari pofle videtur , quae pro parte antica , vbi hic angulus eft pofitiuus , eius cofinum proxime exhibeat, pro parte autem poftica ; vbi ifte angulus fit negatiuus , quafi non amplius ab hoc angulo pendeat, íed conftans euadat. Interim hoc certum eft, amplitudinem riuuli exacte per ;;3 non exprimi, quii tum fimilis mutatio circa partem pofti- cam locum habere deberet, quod veritati repugnat. Caufam quidem ampliationis riunlorum in parte antica agnofcimus , fimulque in parte poftica abfentiam huius caufae concedere debemus, íed quomodo haec cum principio continuitatis , cui calculus eft fuper(truendus ; cohaereant, nullo modo patet, ex quo fumma diffi- cultas , ] DE RESISTENTIA FLVIDORVM. azt:*5 cultas, qua Theoría motus fluidorum etiam nunc pre- mitur, multo magis perípicitur, «uo propius ad eam perüngere videmur. XXXI. Quae hactenus tradita funt, tantum ad refilentiam plani proprie fünt referenda , nihilo - vero minus refiflentia nauis aliusue corporis in aqua moti inde colligi poteft, dum eius partem íübmeríam per feciones inter fe parallelas in ftrata minutiffima fectam concipimus. lta fi AMENB füerit fectio nauis quae- cunque horizontalis , eius efiftentiam inde quoque aeftimare licet, fiquidem aqua refiftens in hoc plano permaneat , ncque fürfuim vel deorfum iuxta nauem defluat. . Quod igitur ad figuram. puppis E N B attinet, in genere intelligimus ,, aquam iuxta eam defluere non poffe, nifi lineae END curmatura fit vbique valde exigua. Cum enim in Ef nulla detur preífio , nulla ; inde vis adeft, quae motum aquae ab E fecundum -di* re&ionem axi AB parallelam progreffürae inflecat , atque hanc inflexionem a fola grauitate aquae produci debere , quod. quidem in fectionibus profundioribus ci- tius euenit, quam magis eleuatis. Tum vero, quo: ve- locius nauis. promouetur , eo difficilius aquae decurfus incuruatur , et nifi inflexio EN D fit fatis parua, aqua nauem deféret, et ob deficientem ibi preffionem aquae, refiftentia prorae etiam a pondere aquae proram vrgen- te augebitur , quod ingens vitium nauium reputatur. XXXIL. Etiamfi autem aqua iuxta puppem END bene defluat , neque iftud incommodum fit pertimefcen- dum , tamen hoc ad facilem gubernaculi actionem , ad quam non minus nauem inflru&dam effe oportet , non -. Tom. VIII. Nou. Comm. Ee fufhi- "Tab. II. Fig. 2. 2x$ DILVCIDATIONES fufficit. — Cum enim aqua fere vsque ad DB defluxerit; quia ab altera parte fimili modo fertur, perinde mo- tum continue debet, quafi fecundum recam BV Obex ipfi obiiceretur ,. et. quia prope D curíuüm in- flectere cogitur , perinde: vti in A eít facum , eius motus:eo magis retardabitur , quo maior fuerit angulus ABN, quod quidem in. maioribus nauibus wíu venire poteft, etiam fi linca ENBB fit arcus circuli admodum magni ; in aqua autem circa B fere ftagnante guberna- culum vix vllam vim exerere valebit, ^ Quocirca ne- ceffe eft, vt figura EIND: non folum lente. incuruetur; íed etiam. in. D cum axe AB. angulum fatis acutum conftituat. Interim tamen , ob iftam aquae retardatio- nem circa D, nauis inde. maiorem preffionem füftinebit, qua refiftentia prorae imminuetur, vnde , nifi guberna- culi ratio haberi deberet, angulus fere. rectus ad B cur» fum nauis potius acceleraret , quam. retardaret. XXXIIL Hae autem confiderationes ad commo: diorem euolutionem formularum, quibus vniuería Theo- ria motus fluidorum continetur, viam aperire videntur. Cum enim ifle formuiae in genere pro quocunque loco tam motum fluidi, quam preffonem , exhibeant , quae fimma generwitas in caufi erat, quod hae for. mulae. minus tractabiles euaíerint , €a, quae hactenus fant allata, non exiguam fpem. facilioris calculi faciunt; fi non folum riunlos, per quos fingulae aquae parti- culae deferuntur , contemplemur , fed etjam harum cur- varum tralectorias orthogonales in calculum | introduca- mus: quoaiam: enim hae traiectoriae cuiusque riuuli. in quojue loco amplitudiaem | commodiflime | oftendunt , inde DE RESISTENTIA FLUIDORVM. àt9 inde. celeritas aquae , quae in quolibet rimulo amplitu- dini reciproce eft proportionalis, 'aptiffime — defiaitur , vnde deioceps preílio per forma'am .concioniorem ex- primi poffe |videtur.. .Affumo autem, tam omuem aquam, quam eius motum , in eodem. plano effe con- füitutum , eumque iam ita ad ftatuin - permanentem effe perductum , vt. riualotum | tra&us; fit - conftantes , neque vlli amplius mutationi obnoxiae. XXXIV. Quo autem. haec facilis ad Theoriam refiftentiae accommodari queant, omnes determinatio- nes ad figuram corporis AME aquae immiffi referri conueniet.. Hanc ergo figuram, pro fixa habebo, quia in re(i(tentiae -inueftigatione, perinde. eft, (ine corpus con- tra aquam fítsguantem, fiue. aqua. contra corpus quiefcens pari celeritate feratur. luxta corpus ergo aqua; qui- cunque motus ei tribuatur, íccundum eius figuram AME praeterfluet , et in dors diftantiis. motus aquae. fiet per certas lineas curniss R Y S, ny 5, quibus riuuli conftituuntur. Talium riuulorum feries intra AME et RYS infinita multitudo concipi debet , quae omnes inter fe tantum ratione parametri differant. sit MYy traie&oria orthogonalis quaecunque , quae ex M egreffa omnes riuulos normaliter traiiciat , vti etiam in M ad ipfam curuaam. datam AME et normalis. — Hocque modo puncta riuulorum Y et y inprimis cüm puncto M connectuntur, vt magis ad boc punctum, quam ad aliud. quoduis pertinelé fint cenfenda. XXXV. Ponamus ergo pro ifto puncto M. ab- fíciffm AP-—:s, et applicata P M exprimetur per cer» tam quandam functionem ipfius. 5: pro riuulo autem Eeas RYS "Tab, IIT. Fig. 1 a0 " DILVCIDATIONES RYS parameter fit —5, qui pro íequente ry5 abeat in 5--d5, pro ipfa autem cura AME. euane(cat. lam fitus puncti Y pendebit partim a pun&o M, par- tim à parametro, vnde eius coordinatae , quae fint AX--x, XY-—zy, erunt fünctiones iftarum — dearum quantitatum $ et 75; ponamus ergo : dx-Pds--Qdb et dy-—Rds--Sdb, quae relatio inter x et y ita debet effe comparata, vt, poüto 5—0, ipfaám curiam AME praebeat: at fi ipfi certus quidem et conítans valor tribuatur, aequatio fit proditura pro curuaà R YS; pro qua ergo erit Zx—PZs$ et dy —Rd;s. Sin autem punctum M fixum fumatur, variabilitas íolius parametri 2 dabit traiectoriam ortho* gondem MYy, pro qua ergo du&a applicata proxi- ma xy, et Y z, axi A X parallela, erit X x —Q4^ et Jz—Sdb; qui pro punctis im eadem traiectoria fitis quantitas 5 non variatur. XXXVI. -Cum iam Yy fit id curuaam R Y S nor- malis, crit ex natura traiectoriaram — orthogonaliumt sy Yz—dx OCegqy-:PI—R' vdenrs-OR DE m ideoque PQ-I- RS-—0. Vt huic conditioni fatisfacia- Ihus, ponamus ftatim : )— KT, t o5-tae DL wtoht dx—Pds---RT4b et. dy —Rds—P Tb. Porro autem erit riuuli amplitudo Yy— :dY (QQ-ESS). -cT45Y(PP-I- RR), cui cum celeritas aquae in Y, quatenus aqua in eodem. riuulo . comparatur ; fit reci- proce prapostionalfs, pofita , celeritate in. Y-s, ftatua mus 9-— rysrPuxgj, Vbi D denotat fun&ionem | ipfus "f para- DÉ RESISTENTIA FLVIDORVM. s21 parametri 5 tantum. ^— Refoluatur haec celeritas fecun- dum directiones coordinatarum x et y, fiatque celerita- tes deriuatae fecundum A X —4 et fecundum. XY—27; dc B JO0SPO MR BR HT FIRE €t 0 — rPrLRE i BB 1 vnde ob u4-1-vv —ss erit EHE IPRSCHRT. . L] . B T 1 SOCCXVIT COD. Deu Clt PR uEDSS IE habebimus : PTs€ RTss li —umgumk CUL TR Conueniet autem potius ipfas his celeritates 4 ct v im calculum introduci, quam quantitates P et R ibi relin- qui ,. vnde pliggtus; Bv. ——PBu P4; R-—yg55 T—g59uw? 7—'".& et dx-——ps(uds-I-Todh) et dy —gzs(vds-T udb) quas ergo formulas integrabiles effe oportet. ^ Quare quia ss—z4u-i-vv et B functio ipfius P tantum, facile colligitur , cuiusmodi functiones effe debeant u, o et T, vt his duobus requifitis fatisfiat. Siquidem, quod regula vulgaris exigebat , celeritas in quouis riuulo pro- portionalis efTet comu anguli, quem curua cum axe facit , feu S-— JIPPOSRE] , haberemus Cu-—ss, exi- ftente C fun&ione air. b tantum , ideoque v— Y (Cu-uu) fu uy—'c et v—c Y(CC—ss), ita vt integrabiles effe deberent hae fotcuie d Bdb dx- .ezd s Wo Y(CC -ss); dr- cv V (CC-s)- e -- di. Ees3g XXXVII. 222 DILVCIDATIONES X XXXVIII. Verum jam perpendamus, quid Theo-. ria motus fluidorum requirat. Oftendi autem, fi preítio aquae in Y exponatur per alitudinem 5, et ex viri- bus acceleratricibus nafcatur efficacia —— V , tum fumtis x et y vtcunque variabilibus ; hanc aequationem locum habere debere : p—N —f(udx (32) - 94x (35) A- udy 12) vy (15) Totum ergo negotium huc redit , vt iíta formula in- tegrationem actu admittat ; nifi enim hoc eueniat, ta- lis motus, qualis per quantitates 4 et « fingitur, omnino (übfiflere nequit. Si quaeflio de preífione re- ftringatur ad vnicum riuulum , oftendi hoc integrale eo reduci , vt fiat p— V —is9w, vbi iss referat altitu- dinem celeritati aquae debitam , vti iam íüpra inueni. Verum pro tota motus extenfione neceffe e(t, vt. illud different'ale , cuius integrale occurrit, fit completum., vti quidem loquendi mos eft. XXXIX. Quodü formulas hactenus inuentas huc transferre velimus , habemus quidem valores pro Zx et dy; verum pro formulis (25) et (72) notandum eft in differentiatione ita folum x poni variabile , vt y ma- neat Ap GRE ergo ob dy--o erit Tudó— vds feu db —22 , vnde fit dx — Tu Quae f ponamus du —Kd;--Ldb et do —M45-1- NdÀ erit yi hac hypothefi E Lvds,, Bds — KTü--Lv dz —(Kds-tz I sug Tu. 1B EY ANS. Bds — MTu-ENV irn a Clu )! Ty— ^ B Simili- DE RESISTENTIA4 FLVIDORVM. ssg Similiter pro oe Urt (m) affumitur x conftans, vnde erit EU S et WE dis ficque prodibit : . 5) — (Ks — 5) Rm go — (M icis uud B XL. Ex his ergo differentiale íüperius, cuius integrale in formulam pro 5 datam ingreditur , abibit in formam fequentem : -- zs (td 5- Tvd5) (KTu-1- L«) -F zes (uds-1- Tvdb)(K To —Lu) -P ss (vds — Tudb)(MTu-A-Nv) -F sw (vds — Tud5)(M Tv — Nu) quie quatuor formulae flatim ad has duas rediguntur: K(uds-i- T vdb)-1i- M(vds—Tud2). Cum iam fit K—( et M-() | preffio quaefita 5 fequenti definietur aequatione: BN -J (uds A- Tvd) )G3-- (vds — T udbX$2)) feu ob udu-4-vdv—sds habebitur ; p-vV-jdst " T4 CL ER XLI. Haec formula adhuc concinnior reddi poteft, introducendo praeter ipfam celeritatem w, eius quoque directionem. Sit ergo (D angulus quem dire&io mo- tus in Y cum axe Ao faücit, et quia fit u—— s cof. (D et v— s fin. D, conficitue hinc ogu—udv — —s94Q, ficque preffio $ definietur per hanc aequationem ; p—V Juss) Tusdb(Ss )) quae e24 | DILFVCIDATIONES quac non amplius pendet a pofitione coordinatarum ; vtpote arbitraria ; et hic quantitates , «s et (D confi- derandae fant tanquam fünc&tiones ipfarum s et. Hic vero euidens eft , fi 5 fumatur conftans, integrationem nulam habere difficultatem ; cum prodeat p—V-—iss--D | denotante D füncionem parametri D; quare fi et eius variabilitatis ratio habeatur, effe oportet db (*25)- 4D - Tes db (^0) vnde its obtinemus TuREIAR vt effe debeat eds A — (E )-À- Ts s($9)— fun&ioni ipfius P tantum. XLII. Verum infüper neceffe eft, vt formulae differentiales pro Zx et 4y inuentae fiant completae feu integrabiles ; valoribus autem pu w etw fubftitutis ha- bemus : dx — 35(dscof. (p -1- T 4éfin. D) dy — «(d sfin.cb — T db cof (b). Quae formulae vt fiant integrabiles neceffe eft fit: fi breuiatis gratia ponamus 4,— O, O cof. (p. E -bo án. Bof iua n B fia. D 2s "5 T 4s O fin. (p. e Do cof. dX a Bfo. Sep 2 2 EN Bcof. D. 2s vv 5) quae DE RESISTENTIA FLVIDOREM. seg quae formulae reducuntur ad has duss: SR IB 1. 20 Teo4o dGQ Bust55J— vs "us m a gor e ai^ Ergo praeterquam quod fit (2 —ess( -- neceffe eft, vt ifii ird prp I 4d I v dO "es 4,6 e SEL eiat fint functiones folius parametri 4. XLIIL. Ex his iam poterimus diiudicare , num eiusmodi fluidi ftatus , cuius refiftentia perfecte fequatur regulam vulgarem , fit poffibilis, et füb quibus condi- tionibus * id quod inuefligauiffe Operae «erit pretium. Regula autem vulgaris poftulat ; vt fit 4— 7; cum- igitur hic pofüerimus z— scof p, fiet s — Ccof. D, exiftente C. functione ipfius 5 tantum : hinc erit d d( d dC C -Cíin. 77 " et ( -)-— 3,950- Cfin..pC7 EM Verum eífé oportet Ous( C dj) vnde fit CCO cof. e —-— C fin. o2 — fin o (32) Bu i (22) ideoque 9 —Ccof ot» Tue ure pp b di : «6 , erit Cum autem porro effe debeat 77—s(7 ue o; C4C d Cs Q? 4Q a ^ — cof. * - CC fin. (Pcot. D( ere Po b 25) «| 'Tom. VIII. Nou. Comm. Ff "i 43:66 DILVCIDATIONES fiue 4D. .Cac ü CLE, 4$ dp wu 6 9- fud. (25) XLIV. Hinc fi tantum 5 pto variabili habeamits; $ vero vt conítantem ípectemus , habet hanc - ae. quationem differentialem :. d — caes SEI et funt inda quim fi more confueto integremus., et loco: conflantis- functionem ipfius s, quae fit 22, introducamus , dum E et F pro fünctionibus ipfius 5 tantum. affüumimus , ob- tinebimus : un D WM TER |o E [RIS S CC4E. exiftente IC—1/ 4 e D—iCc- EIOS Hinc ergo eruitur : FdE—EZF--Z4E-—E x dQcot. (o ———— ^ Set JEIILSOMABIREO y FZE- JF Sa Eéx ia vt fit: | 4D MB Wu AS iEn UUESJJ TN OREESyTS dp F4E-EZ4F--E4E .- di) a (F-- X)dbY E(F- -ERXJ XLV.. DE RESISTENTIA FLVIDORVM. s23 "LV. His valoribus fubftitutis obtinebimus: F— E--z *—CY-ELEC .,EY E( --Z) | did —C(F-E--Z) (FJ-Z)4E ds- EdF 4s dE. edF TEN onamus breüitatis ?ratia —— — e; 2 c acis QS M cob roe eI TFI Io — UE U(FAI-E)-IC-RF-E-F ze —I(e(F 4- X) - f E). Sit porro Ze—«:d5 et df—Zdb, eritque fumto folo 5 "variabili Wo "4e goa, dy Dd id O046— diui adii joie FEZ)-fE At vero effe debet 4;—- cue d 2)- (o5 «nde ob Bep eECPEE E-EZ) e(F--35 -fE fer Os EYE. ^ c MB. ces fo foe PAX BuDcccE Us. JEUF ESE 4F4-ECjE XLVI. Quia haec formula ab altera variabili s omnino immunis effe..debet, transformetur in hanc fpeciem : CB ues, f f-* efE—ZeE Bdb— ECGEUFESGU. TzEIZ-E: Ff2 ynde às UDILPCIDATIONES vnde manifeftum eft, effe oportere : ec f-e(F4-z. )-ef E( f-&)4- (cf E-ZeEXF--Z.)-EE/ef-4e)-0 ideoque ee( f —e) —E(Ce—sf ) et ef (f - o — E(e— ef) ficque neceffe eft, e fit f—e, vnde BESESetF-E; atque hinc prodit zij— TÉ 4 i ;ideoque ^P MM TT feu B—zy;. Porro vero erit Ec YE(E-4-2)) (OY EL e 0———-cisy — zx se denique fin. (p — js ue eof qo YEA. LE XLVII. Verum ob F—E, fit /C-Z/E et C-VE, vnde fumta pro E. functione quacunque ipfius 5, et pro Zi functione quacunque ipfius 5, ftatuaturque ZE——edb et dXi— o ds y EX Ex epi Ec Y(EA- X) COE IRESENC OU ELT CC4E iem D—;CC-i/f —g —iE-iE-oO vel conftans. E qud i5 um vero erit Qu^ EcVE: * denique B Y(E-- ob Ta 9 A -—— , obtinebimus sus cds edb -2 4— VES La EYEZX hincque x — —yYÉz uu Say : Quare DE RESISTENTIA FLVIDORVM. 229 x 4 obw ur» Quare cum fit Ep V eitxrx-—-2 (zg- E Sit £—a, et fiet xx —44a2-—4ay. Preffio autem in OBS y 246€ Erz) — T X4 4a XLVIII. Iam ergo audacter pronunciare poffu- Tab. III. mus, regulam refiftentiae vulgarem exacte locum ha. Fig- 7 bere non poffe, nifi quando figura corporis AED fuerit parabolica, et finguli riuuli a e 2, 4/e/5/ quoque fint inflexi fecundum parabolas, quae cum illa parabola AED, tam axem EF, quam focum F; habeant commu- nem, vnde et vafis extremam. oram. ae(3 fecundum fimilem parabolam formatam: effe oportet. Cum. igitur in reliquis cafibus ominibus regula vulgaris a veritate aberret , refiffentia quoque aliam. fequetur legem , neque ifti regulie erit confentanea. ^ Quando ergo fpecie hu- jus regulae nonnulli feducti putauerunt , fieri poffe, vt corpus in fluido nullam refiftentiam paffurum moueatur, propterea quod actio fluidi im partem pofíticam deftruat vim in partem anticam exertam , et in flaidis terreftri- bus haec deftru&io a tenacitate prohiberi ceníeatur ;, iam manifeftum eft, hanc conclufionem: nullo modo ad- mitti poffe. Quia enim corpus parabolicum A E B non vtrinque terminatur, hic cafüs neutiquam ad refiftentiae doctrinam traduci poteft. quouis loco Y erit 9 — V — Ei ccm Éumacmmso) VW TACARGEÉUO Ef PRIN- "I 1 PBORdDON-CCOPPIOA THEORIAE MACHINAR V M. Aud&ore L EFVLE RO. X. poo ommes macbinas in duas cla[fes diftribui com- venit: quarum prima eas compleclitur , quae. dum in adione verjantur , ita eni formiter mouentur , «t omnes eius partes perpetuo motu vnijormi ferantur. — Ad. alte- ram vero clajem eae pertinent machinae , quarum. fin- — gulae partes in motu juo modo dtélerantur, modo retar- dantur, etiamfi forte iota macbina motum | vniyormem. guentiatur. ; Prioris claffis funt machinae oneribus eleuandis deftinatae , item molae frumentariae, quippe quae dum in-actione debita verfantur, omnes earum partes iugiter motu vniformi agitantur, ita vt nusquam neque accele- ratio, neque retardatio motus, adfit. Piftrina vero, aliaeque machinae, quae tundendo opus conficiunt , quoniam piftilla alternatim attolluntur , ac remittuntur, ad claf- fem pofteriorem íünt referendae : quorífum etiam perti- nent omnis generis horologia , in quibus cum nullum proprie adfit onus fuperandum , tota actio in alterna partium acceieratione ac retardatione confumitur. Ma- chinae quoque aquis attollendis deftinatae huic claffi funt annumerandae, quoniam cum embola non motu vni- formi PRINCIPIA THEORIAE MACHIN ARV M. 25x formi agitantur, tum etiam ipfi aquae ; quae primum füerat in quiete , motus imprimi debet, ad quod necef- fario acceleratio requiritur. —Pofterior ergo claíhs latiffi- me patet, atque adeo faepe machinas, quae ad prio- rem pertinere debebant, recipit ; id. quod earum- vitio euenit ,, quando dentes, quibus rotae fe mutuo vigent, non ita fuerint eliborati , ve dum vna. motu - vniformi gyratur, religuae pari motu cieantur, íed quafi per fuccufliones impellantur. — Alio autem. loco oftendi , cu- iusmodi figuram dentibus binarum rotarum fe. insicem trüdenrium :tribui oporteat , vt dum altera. motu. vnifor- mi circumagitur, alterius quoque motus futurus fit vni- formis. Quam neceffaria autem. haec fit. machinarum diflincio, ad earum. actionem. re&e perípiciendam , mox clarius exponetur. 2. In Macbinis primae claffis , quae in. omnibus partibus wotu oniformi feruntur , vis ad earum motum eonferuandum requifita praecife aequalis eff ei, qua opus efl ad aequilibrium , feu. quae. refiflentiae tantum non fa- gerandae par eft. Quae igitur vis aequilibrio producendo fufficit, eadem motum quantumuis celerem in machina , dum- modo füerit vniformis, conferuare valet. Hinc fi ma- china ponderi. 100 librarum. eleuando- deftinata ita. fit infiructa,. vt pro aequilibrio: opus fit vi ro. librarum , eadem vis 1o librarum füfficiet .ad. idem pondus roo ff. celeritate quantumuis: magna vniformiter | eleuandum. Statim enim ac motus machinae ad vniformitatem — eft perductus , quia fingulae partes ob. inertiam | ad. hunc mos 255 PRINCIPIAÁ inotum conferuandum funt difpofitae , continuatio mo- tus plus non requirit , quam vt refi(tentia motui aduer- fans fuperetur, quae cum eadem [it atque in flatu quietis , eadem vis, quae machinam in flatu quietis con- feruare , eiue motum vel minimum valet, ad motum vniformem conferuandum fufficit. — Mirum quidem vi. . debitur et experientiae contrarium , quod celerrimus motus maiori vi non indigeat, quam tardiffimus; cum ta- men in machinis, vel aqua, vel animalibus actis, nullum fit dubium , quin ad motum velociorem producendum maior aquae copia, maiorue animalium numerus requi. ratur. Verum his cafibus perpendendum cít, augendo . vel aquae copiam , vel animalium numerum, vim inde ortam non augeri, propterea quod, quo velocius ma- china mouetur, fiue aquae, fiue animalium vis in ma- chinam agens minuatur: vnde fit, vt etiamíi pro mo- tu celeriori maior. vis non requiratur, tamen maiori fiue. aquae copia, fiue animalium numero fit opus: quod idem de reliquis virium generibus, quae ad machinas mo- mouendas adhiberi folent, eft tenendum. — Minime igi- tur noftra propofitio , qua motum etiam velociffimum , d:mmodo füerit vniformis, maiorem vim non exigere ftatuimus , quam tardiffimum affirmamus , veritati ad- verfari eft cenfenda , quin potius, vti. firmi(himis "Theo. riae principiis innititur, ita quoque experientiae apprime conformis deprehenditur ; dummodo quantitatem virium rite aeftimare dicamus. 3. Hinc euidens efl, fi vis macbinam — follicitans vel maior fuerit, vel minor ea, quae ad. aequilibrium con jeruandum requiritur , feu. quae ipfi vel aninimum | motum : 411 -—- THEORIAE - MACHINARV M. 255 imprimere valet , tum motum macbinae priori. cafu | ac- celeratum. pofleriorài vero retardatum iri. | Viciffim ergo intelligitur, fi motus machinae de- beat accelerari , maiorem vim requiri , quam quae ae- quilibiio conferundo fufficiat: hoc enim caíü non folum refiftentiam , feu vim motui machinae proprie aduerían- tem, vinci oportet , fed etiam ipfi accelerationi inertia tam oneris, quam fingularum ipfius machinae partium, reludatur. Quamobrem fi ex vi data, quae fuperet eam, quà ad aequilibrium füftinendum opus eít, mo- tus machinae acceleratus definiri debeat, praeter vim refilentem fimul inertiae ratio eft habenda , quae in- veftigatio idcirco proprie ex principis motus eft expe- dienda, dum confideratio motus vniformis per fola prin- cipia flatica, feu aequilibrii, perfici poteft. Vnde fit, vt fi accelerationem cuiuspiam machinae definire velimus , in calculos plerumque admodum moleftos prolabamur , dum motus vniformis facillime ad calculum reuocatur. Similis e(t ratio retardationis motus, quae oritur, fi vis follici- tans minor fuerit ea , quam aequilibrii conferuatio exi- git: tum enim vis refiflentiae , motui machinae relu- ctans, quatenus vim follicitantem fuperat, in retardatio- nem motus impenditur; cuius accurata explicatio pari- ter ex motus principiis efít petenda. Quando ergo machina alternatim | motu accelerato et retardato agitatur , tute concludere poffumus, vim follicitantem — alternatim maiorem. minoremque effe ea , quae ad motum vnifor. mem eífet neceífaria: difficillimum autem plerumque erit ipfam accelerationem | et retardationem — affignare. Interim tamen fine dubio pronunciare licet , fi omnes Tom. VIII. Nou. Comm. G g illae 234. VPOROIUM Cu PUESM illae vires modo maiores, modo minores, ad mediam quandam vim reuocentur, hanc minorem non effe fü- turam ea vi, quae ad motum vniformem requireretur; fi modo acceleratio et retardatio vtrinque aeque a imo- tu vniformi diícedant. 4. In macbinis prioris claffis , quae totu. onifor- wi agitantur, productum ex «i follicitante in. celeritatem, qua incedit ,' aequale eft producio ex wi vefiflente in .ce- leritatem , qua promouetur. : Haec propofitio fequitur ex principio vniuerfali aequilibrii , quo conftat tum binas vires contrarias ma- chinae cuicunque applicatas effe in aequilibio, cum impreffo machinae vel minimo motu vires fuerint recie proce vt fpatia percuríai, feu vti celeritates ; hinc enim producta vtriusque vis in fuam celeritatem fient inter fe aequalia. Oftendimus autem, in motu machinaram vni- formi ad refiftentiam vincendam maiorem vim non re- quiri, quam in ftatu aequilibrii : vnde, cum motus ma- chinae tam vi follicitanti, quam refiftenti, certum celeri- tatis gradum tribuat, íi vtraque vis per fuam. celerita- tem mrultiplicetur ; ambo producta neceffe eft, vt incer fe fint aequalia. Verum celeritas, qua vis quaecunque mouetur , fecundum directionem eius- propriam aeftima- ri debet ; in directione fcilicet vis mente. concipiatur fixum quodpiam punctum , cum quo conferatur pun- &um, vbi vis machinae applicatur ; et ex mutatione momentanea diflantiae horum punctorum celeritatem definiri oportet. Quomodo autem quouis cafü haec bi- na produc , quorum aequalitate actio machinae cornti- netur, recte exprimi conueniat, mox accuratius expone- tur. THEORI4E MACHINARV M. " $55 Quod autem ad machinas motu non vniformi ope. rantes attinet , hinc. fatis eft perípicuum, (i productum ex vi follicitante in fuam celeritatem maius füerit , quam productum: ex vi refifteate in. fuam celeritatem , quoniam tum. vis. follicitans maior eft quam motus vniformitas requirit; motum machinae inde accelerari ; contra ve- ro, fi illad produ&um hoc fuerit minus, retardari. Ex quo intelligitur, iftorum productorum accuratam cogni. tionem ad actionem omnis generis machinarum defini: endam maxime effe neceffariam. ^ Quomodocunque ergo machina fuerit compofita , hic non tam ipía compofi- tionis ratio in computum ingreditur , quam ratio cele- ritatum , quibus cum potentia cum onus, dum machi- nae motus imprimi concipitur ,; promouentur : quando- quidem ex hac ratione ftatim ratio inter potentiam et onus, quam tam: motus vniformis, quam acceleratus et | rerardatus requirit , ianotefcit. A 5. Momentum effectus inuenitur, fü vis motui machi nae relu&ans, feu cui mouendae maibina deflinatur, per viam «bea dato tempore. dejeriptam multiplicetur. Pro boc aus tem tempore, bie perpetuo minutum — fecundum | a[Jumemus. Ina hoc momento effectus vera continetur notio effe&us a machina quacanque editi. Quo celerius enim onus, feu vis refiflens, mouetur, feu , quo maius füerit fpatium , per quod dato tempore promotetüur, eo mi4- ior aeítimatur machinae effectus, et, manente celeritate eadem , quo maior fuerit ipfa 'eGfleiitis', eo maior quoque .. effectus cenfetu. ^ Ad hoc ergo momen- tum definiendum primo. ipfa vis refiftens , quatenus amotui machinae reluctatur , explorari , eiusque quantitas 2 EE Gg ! pet 256 PRINCIPIA per pondus aequiualens exprimi debet, tum vero di- fpiciendum eít , per quantum fpatium ea dato quodam tempore promoueatur. Hinc momentum effe&us ad definitum quodpiam tempus adftringitur , pro quo hic commoditatis gratia minutum fecundum affuümamus ; ita vt hac exprefüone effectus vno minuto fecundo editus indicetur , vnde autem fàcile ad quoduis aliud tempus , fiquidem motus füerit vniformis; transferri poterit. lta fi onus, cuius pondus — Q , fit verticaliter attollendum, idque fingulis minutis fecundis per altitudinem 4 eleue- tur, ert momentum effectus — Qa. Sin autem onus horizontaliter promoueri debeat, eius tantum frictio fape- randa eft, quae fi aequiualeat ponderi Q , onusque pa- riter per fpatium 2 fingulis minutis fecundis protrabatur; momentum effe&us pariter erit — Qa. At fi onus fuper plano inclinato furfum trahi debeat , vis refiftens Q partim pondere oneris, partim frictione exprimenda erit. Quod fi in. molis momentum effectus fit aefti- mandum , indagari debet vis ad molam circum agen dam requifita , cuius quidem pun&um applicationis im- primis eft fpe&andum ; quod enim quo magis ab axe motus fuerit remotum, eo minor vis refiftentiae fupe- zandae par erit. Quoniam vero haec vis per fpatium vno minuto fecundo per curíum multiplicari debet , quod in ratione diflantiae ab axe crefcit, productum eandem quantitatem retinebit , fiue diftantia illa maior minorue affumatur , vnde momentum effus fixum obtinebit valorem. — Si machina ad aquam eleuandam fuerit. accommodata, ex Theoria fluidorum oftendi poteft, momentum effectus inueniri, fi copia aquae , | eius THEORIAE 4 ACHIN ARV AM. (257 eius fcilicet pondus, quae fingulis minutis fecundis ele. vatur, per totam altitudinem eleuationis | multiplicetur , fimilique modo pro omnibus omnino cafibus momen- tum, effe&us affignari poterit. 6. Momentum. impul[us fimili modo reperitur ,. fi vis tacbinam actu impellens. multiplicetur per. [patium , quod ab ea dato tempore conficitur : «bi iterum pro boc dato tempore tünutum Jecundum | ajJumetur. Duae ergo res requiruntur ad momentum impul- fus conftituendum ; primo fcilicet ipía vis impelleus , cuius quantitatem pondere metiri licet , deinde fpatium, quod ea agendo fingulis minutis fecundis abíoluit: ha- rumque duarum quantitatum multiplicatione momentum impulfus oritur, quod ergo homogeneum erit cum mo- mento effe&us. ^ Circa aeflimationem ipfius vis impel- lentis plerumque ad celeritatem, qua in machinam agit, eft refpiciendum ; nifi enim haec vis a grauitate pon- deris. defcendentis petatur, quod, dummodo aequabiliter deícendat , perpetuo aequali vi vrget, aucta celeritate ,, qua in machinam agit, fimul eius quantitas diminui folet, idque diuerfimode pro varia virium follicitantium natur. Ita fi machina operis hominum animaliumue impellatur, eorum vis actu exerta maxime ab adio- nis celeritate pendet: cum enim animal vi indigeat ad fe ipfum mouendum , atque omni , quo pollet, niíü adhibito fe vltra certum celeritatis gradum mouere ne- queat , quo propius eius actio ad hunc gradum acces- ferit , eo minorem vim exerere valebit , quippe quae cum illum gradum attigerit , penitus euanefcet. Quare fi, vim impellentem aeftimare velimus , minime magnui- Ggs tu- 25$ Pu ISN OGUBTSP A tudinem conatus, quo machinam quiefcentem follicitat, tanquam eius .menfüram accipere debemus , fed: ad hoc iam ipíam celeritatem , qua machina mouetur , fpectari oportet , vnde pro natura vis agentis eius veri quan- titas definiti queat: atque hanc demum vim per viam minuto .fecundo percurífam multiplicando obtinebimus verum momentum impulíus. —Iftud vis agentis decre- mentum a motu iam acquifito ortum clariffime perfpi- citur in machinis a vi illabentis : aquae impulfis: quo celerius; enim rota aquaria gyratur, eo minorem vim ab aqua füftinet; dum contra vis aquae in rotam quie- tam eft maxima. Probe igitur cuiusque generis virium, quie ad machinas mouendas adhibentur, natura eft ex- ploranda, vt pro quolibet «celeritatis. gradu vera vis agentis quantitas aflgnari poffit. 7. Si macbina fridliowe careat , eiusque motus fuerit oniformis , momentum effedlus praecife aequale erit momento impulfus , ideoque ex cognito momento im- pulfus verus effeius eiusue momentum — poterit — deter- minari. Affumo hic primum, machinam frictione carere , tum vero eius motum effe vniformem , vt: conferuatio motus. machinae nullam vim requirat , totaque vis im- pellentis actio in onus promouendum impendatur. Ita enim fiet, vt füperatio vis relucantis maiorem vim non exigat, quam quae aequilibrio continendo füffice- ret, propterea quod Ííolum onus motui machinae re- fiftentiam opponit. Cum. igitur productum ex vi re- fiftente in fuam celeritatem — aequale. fit vi. impellenti f B3. | per THEORIAE MACHINÁARVM. —— 259 per fuam) celeritatem multiplicatae , haeque. celeritates fint vt fpatia eodem tempore confecta, fi earum loco ífpatia vno minuto fecundo abíoluta fübfttuamus, illa producta abeunt in momenta impulfus et effectus , prouti ea modo definiuimus , quae igitur inter fe aequalia effe oportet. Hinc fi cognita füerit quantitas vis impellen- tis vna cum celeritate , qua agit, inde fimul momen- tum effectus innotefcit ; ita fi vis impellens fit — P, fpatiumque, quod ab ea fingulis minutis fecundis confi- citur, — f, exprimet Pp momentum impulfüs, cui cum aequale fit momentum effectus, fi Q defguet refiften- tiam oneris, et 4 fpatium , per quod vno minuto fe- cundo promoueatur, erit Q 4— P, hincque 4 — f. In hac formula nota illa aequalitas inter caufam et effecum continetur , quatenus ea quidem rite ad actio» nem. machinarum accommodatur ;. eique actioni machi- narum certus terminus praefigitur, quem nunquam trans. gredi valeant. Pendet igitur quantitas effectus non fo- lum.a quantitate vis impellentis , fed etiam a celeritate, qua agere poteft, et quoniam vidimus, plerasque vires , quae ad machinas agitandas adhiberi folent, ita effe comparatas, vt auca celeritate. ipfie minuantur, de quantitate effectus nihil certi definire licet , nifi explo- ratun fit, qua lege quantitas vis impellentis pro fin- gulis celeritatis augmentis diminuatur. Atque hinc eue: nire poteft, "vt manente eadem vi follicitante , cffe- &us machinae plurimum variari poíht, prout fcilicet ea vis alia atque alia celeritate . fuerit praedita , quod tamen neutiquam. aequalitatem inter caufam et effectum euertit , propterea quod in iufla caufae aeftimatione fi- mul celeritatis ratio baberi debet. 8. 240 TOPRIGTUN CTI 8. Friclio vero , quam partes macbinae ,| dum inter fe commouentur exerunt , mon admodum iudicium macbinarum turbat , . quoniam enim motui macbinae re- lutatur , refiflentiam oneris tantum. augere efl cenjenda , ex quo tomentum effejus data quadam quantitate au- geri debet, antequam momento impulfus aequale flatuatur. Hic ex experientia affumitur frictionis quantita- tem eandem manere, quantacunque celeritate machina moueatur : vnde machinae cuiusuis propofitae (rictio explorari poteft, fi remota oneris refiftentia inueftigetur, quanta vi opus fit, ad machinam , dum eft in quiete , vel tantillum commouendam ; tanta enim vis deinceps quoque in motu , vtcunque füerit rapidus , perpetuo ad fricionem fuperandam requiretur. ^ Perinde igitur erit, ac fi refiftentia oneris certa quadam quantitate fit aucta, ficque commode fricio cum ipfo onere coniungetur , ita vt ob frictionem refiftentia oneris maior fit aefti. manda, quam re vera e(t. Quoniam enim refiftentia oneris perpetuo eadem manet, quacunque celeritate moueatur, frictio congrue ad oneris refiftentiam adiici- tur. Dum minus congrue propter eam vis impellens quapiam quantitate imminui conciperetur , quia haec cum celeritate motus variatur , etiamfi ratione recte in- ftituta res eodem redeat. ^ Atque hinc frictionis nulla ratione feorfim habita refiftentia oneris ob eam aucta ftatim per experientiam cognofci poterit: quaecunque enim machina cum adiuncta oneris refiftentia fuerit propofita , quaeratur vis, quae illi vel tantillum com- mouendae par fit, atque ex regulis flaticis ftatim col. ligetur ; quanta fit tota vis refiflentiae , quae tam ex onere THEORIAE MACHINARVM. — 4t onere ipfo , quam ex frictione refultat. Quae fi fuerit cognita, ac ponatur — Q, ea in momentum eff.&us in- troduci debet, cui deinceps momentum impulfus erit coaequandum , dummodo motus fuerit vniformis , pror- fus vt ante eft praeceptum. — Totum ergo negotium huc redit, vt in computo ob frictionem refiftentia oneris data quapiam quantitate augeatur, ac momen- tum effectus ex hac refiftlentia aucta determinetur , cui aeque ac ante momentum impulíus aequale flatui debebit. o. Propofita macbina cum refflentia [uperanda ente omnia indagari debet quantites vis impellentis , quae ad eam in motu wniformi conjeruandam — requiritur. Haecque inuzfligatio commodiffime per experimenta. inflitui- jur , vt fümul friciio im effectu comprebendatur. In hunc finem bina machinae loca praecipue funt notanda, vbi tam vis impellens, quam refiftentia oneris, applicatur , atque ex flructura machinae patebit , quae- nam ratio, dum mouetur , inter celeritatem vis im- pellentis et celeritatem — oneris. intercedat. — Quare fi quantitas oneris, íeu vis motui machinae reluctantis, fue- rit — Q, et ratio celeritatis vis impellentis ad celerita- tem vis reluctantis fit vt zz ad 5, quantitas vis im- pellentis. foret u-— fi motus machinae ob frictionem non impediretur. Quando ergo frictio adeft, quae in- fuper vinci debet , maior vis impellens requiritur , ad quam inueniendam, cum frictio difficulter a priori defi- niri queat, commodiffime ad experimenta confugietur. Machina fcilicet in quiete conflituta ei in loco , vbi vis 'Tom. VIIL. Nou. Comm. Hh im- fa 242 ApDVPUEEUN- E. ISBLE SU impeilens eft applicanda, vis adhibeatur , quie prime áequilibrio conferuando par fit, deinde ca fen(im augea- tur, quoad machinae vel minimum motum imprimere .valeat ; . hocque. modo habebitur ea ipía vis, quae mo- tui machinae quantumuis celeri, dummodo fuerit vni- formis , conferuando fufBüciet. |^ Ob frictionem. autenr haec vis maior: prodibit, quam 2s eoque magis hanc quantitatem excedet , quo maior fücrit frictio ;. feu. po- fia hac vi per experimentum inuenta —P, erit P 275. ideoque pz -F- F, cxiftente F 'eius augmento ad frictionem — füuperandam — requifito. Vel fi ponatur F—Z,.obP-—t (Q-1- G), fiio eundem praefta- bit effe&um , ac fi loco refiftentiae Q maior. refiftentia. Q--G (uperari deberet. Neque vero opus eff, vt ia hoc experimento vis exploraus P in eo: ipfo loco, vbi deinceps vis impellens applicari debet ,' applicetur; fi enim in alio loco applicetur , cuius celeritas ad celeri- tatem in. loco vis impellentis fit vt pc ad », eique vis reperiatur — II, hiac facile coucludetur vera vis iai pellenis P' quantitas, quippe quae erit P-- I1: quem admodum: ex. principiis flaticis e(t manifeflim. — Hoc ergo modo plura experimenta infitui poterunt , quar certiores de veri qnantitare vis P rcdóamur. ro. Quantacunque fuerit vefftentia | [aperanda machina femper ita infirui potefl , wt data vis impel- lens ,. quae fumul data celeritate agat , ei vniformiter wiouendae [ufficiat , vnde itaque momeütum effzlus fponte ünnotejcet. Ex- THEORIAE MACHIN ARE M. 243 Exprimat Q refiflentiam fuperandam, quie fimul füicionem rite ae(timatam et ad locum reüílentiae re- du&am complectatur: deinde fit P vis impellens, quae dingulis minutis fecundis fpatium p abíoluat ; quoniam enin vires, quibus machinae agitari folent ,. ita funt écomparatae , vt aucta actionis celeritate minuantur , de fearum quantitate abfolute nihil certi pronunciwre licet, "ifi celeritas , qua agant, fimul definigter. His poáitis, ex vulgaribus Mechanicae elementis conítat, quemad» modum partes machinae inflrui ac difponi debeant, vt vis P refiftentiam XQ in aequilibrió continere — valeat. Kffciendum fcilicet eft, vt dum machina tantillum. moe vetur , fpatia tam a vi impellente P, quam a refiftentia Q percuría ipfis viribus fint reciproce proportionalia. Machina igitur ita inftru&a, motus quicunque vniformis maiorem vim impellntem quam P non requiret ; et quia vis impellentis quantitas eatenus eft — P, quatenus ea praefcripta celeritate agit, hoc eft fingulis miautis fecundis fpatium — conficit , etiam in motu machi- nae vniformi haec celeritas vi impellenti conueniet. Cum igitur momentum impulíus t — Pp, eidem mo- mentum effectus erit aequale , ita fi g denotet fpa- tium , per quod refiftentia Q fingulis minutis fecundis promouetur ; quia eft Q4—Pp , erit QS. ficque verus machinae effectus innotéfcit, fiquidem motus vni- formis fit capax. — Quoniam vero in. refiílentia füpe- randa Q fricionem fumus complexi , euidens eft, quo maior fuerit frictio," eo minorem effe futurum verum machinae effcécum. — Hinc fi fri&io aequiualeat vi G in loco refillentiae applicatae , atque iam Q denotet Hh 2 ipfam 244. P-R EN-C'I PI.A ipfam refiftentiam füperandam , erit Pp—(Q-1- G)4, ideoque verum. momentum effe&tus Qg —Pp—G4, cu itd e Pa dier 99 . feu ob q— gc erit id Q4—àaà-cf.— ERO C fcilicet in ratione Q-1- G ad Q minus erit, quam mo- mentum impulíus P. ir. Nifi vis impellens fit pondus de[cendens , eius quantitas a celeritate, qua agit , pendet , ita «t pro ce- leritate nulla fit maxima, tum. vero aucia celeritate decrejcat , donec , cum. celeritas datum gradum | attigerit , penitus euanejeat , neque vnquam bunc gradum fuperare queat. Ita vis impellentis diminutio ratione au&ae ce- leritatis clarifüme in impuliu aquae contra obicem mo- bilem perfpicitur. Ponamus enim obicem effe planum, et aquam in eum directe celeritate altitudini c debita ilidere , obicisque füperficiem effe — 24, erit vis aquae aequalis ponderi gmaflae aquae, cuius volumen eft — 22; quae flatuatur — A. — Iam fi obex habeat motum, quo impulíüi aquae directe cedat, eiusque celeritas de- bita fit altitudini v, perinde erit, ac fi aqua tantum ce- leritate Y c—Y v illidat , cum ante celeritate Y'c in- curriffet , vnde nunc vis impulíus aequabitur ponderi maffae aqueae, cuius volumen eft —aa(Yc—Y v) quae ergo ob 24c-——AÀ erit —A(r—Yz)- Cum igitur haec vis euaneftat, íi fiat Vo — Ve, eademque fit —A, dum adhuc in quiete verfatur, generalius actionem huiusmodi virium ita defcribere poterimus ; vt dicamus, fi quantitas talis vis , dum quiefcit, fit — A, dum autem fingulis minutis fecundis fpatium. — f percurrit; THEORIAE MACHINARVM. — s4s- percurrit, euaneícat, tum fi ita moueatur, vt fingulis minutis fecundis fpatium 9, exiftente «3f, abfoluat , eius quantitatem fore —A(xr—E). Quae etfi ex na- tura impulfus aquae funt defüumta , tamen latius patere; atque adeo in actione hominum animaliumque locum habere videntur; de quo eo minus dubitare licet, cum huiusmodi vires nonnifi propemodum ad calculum re- vocari queant. — De hominibus ergo atque animalibus , quorum ope machinae agitari folent, ftatuemus , fi hominis animalisue , dum quicfcit, vis fuerit — A, ea vero, quando fingulis minutis fecundis fpatium — f percurrit, euanefcat, tum eiusdem vim , dum ita mo- vetur, vt fingulis minutis fecundis fpatium — abfol- vat, fore — A(r—Fy. Quodü ergo talis vis, dum fingulis minutis fecundis per fpatium —f fertur , pona- tur —P, erit P—A(1-— E), ac fi infuper conftet vis A, quam eadem vis in quiete exerit, hinc viciffim concludemus maximam eius celeritatem f, qua nullam amplius vim exeret: erit enim 1—- — Y, hincque f— ;L5., vnde natura huiusmodi virium diftin&te intelligitur. io. Si buiusmodi vis ad macbinam mouendam adhibeatur , quae in quiete maior fit, quam vefifleutiae aequilibrium requirit , tum macbina mox ad motum wvni- formem perducetur , quo deinceps perpetuo. agitabitur , fi- quidem ipfa macbina motus vniformis fuerit capax. Sit igitur haec vis impellens ita comparata, vt in quiete eius quantitas fit — A ; dum autem fingulis Hh 3 minutis 246 POROIEN. OCODPUM minutis fecundis fpatium — f^ abfoluit, in nihilum abeat: eiusdem ergo vis impellentis quantitas erit — A (1 -Ey, dum minuto fecundo fpatium — conficiet. Sit porro tota refiftentia fuperanda — Q , qua fimul fricio com- prehendatur , ipíaque Machina ita inftrudta , vt ftatus aequilibri vim — 7; Q' requirat. His pofitis; quia affu- mo effe At Q, flatim ab iniio motus machinae accelerabitur, et quoniam aucto motu vis impellens continuo imminuitur , acceleratio tamdiu durabit, quoad vis impellens quantitatem 7, Q attigerit, Re vera quidem hoc demum tempore elapío infinito eueniet, verum plerumque mox ab initio machinae talis motus impri- metur, qui ab ifto vniformitatis gradu vix parte cen- tefima differat, qui igitur in praxi iam pro vniformi haberi poterit. Quod fi euenerit , 3 pis Jam ES yniformi ipe poflit, neceffe eft, vt it A(x ——) — 5 Q A — ideoque 1— 7 B —Y x et piii quae for- mula (ordi exprimit, quod tum a vi impellente fin. gulis fecundis abfoluetur ; visque refiftens ergo eodem : —R.-.n vmA--vYvno tempore per fpatium —;-——z. — yza f promo- vebitur. ^ Vnde momentum effe&us habebitur — 7; Y"7A—19 t(Q—'-(1—Y z5)fQ, quo fimul momen- . xb dud dinpullos definitur. Patet ergo, quo maioris ecleri- tatis vis impellens füerit capax , antequam actionem amittat, eo maiorem ab ea produci effe&um ; his au- tem cafibus machina tardius ad motus vnuiformitatem perducetur, — Ac fi adeo fpatium f fuerit infinitum , quo cafü vis impellens con(tanter eandem quantitatem A. retineret, THEORLAE MACHINARVM. | 247 retieret , tum | quidem tandem cfféctum in infinitum excrefcere. poíle , verum mox tam debilia incrcmenta acciperet , vt a leuifüma refiflentia vlterior acceleratio impediri poflet. Semper tamen caeteris paribus cffectus eo maior cbtinebitur, quo maius foerit fpatium f, etiamfi is non im eadem ratione augeri fit cenfengus. s. Efiamfi igiur eadem impulfione ad eandem refiflentiam Juperandam vtamur , effeius tamen. plurimum a macbimae indole pendebit , feu a ratione m: n , quae inter celeritates vis impellentis et refiftentis. flatuitur. Haeeque adeo ita temperari polerit , vt maximus. effe- éus confequatur. Quoniam pro pofiionibus modo in gcnere tradi- tis inuenimus momentum effe&us — z( D1— Y f Q, patet eius quantitatem manentibns A , f et Q plurimum a ratione-77:52, quam ftru&ura machinae praebct, pcn- dere ; fi enim füerit vel 5, — 0 , vel Vt 1, (eu Uu vtroque caíu cffc&tus penitus euaücícit. — Vnde inter li- mites ó et * dabitur valor quidam medius pro fractio- De ;- capiendus , qui cum maximo effe&du futurus fit coniunctus ; quem ergo potifhmumr operae pretium: erit cognouiffe. Ponamus in hunc finem 7L-—— £z, et huic formulae zz — RE maximum valorem conciliari oportebit ; reperietur autem 22— 3 22 Y 2 — o, ideoque z22iYi quare habebitur 7-— 55 feu machina ita inftrui dcbet , vt fit celeritas vis impellentis ad. celéri- tatem vis refiftenus vt 9Q ad 44. Quodü ergo ifle valor 248 PRPNCEIPTA . - n valor Ed ui fia&ione z fübflituatur , fiet y:9— ct 1—Y 5; —:; hinceque maximum momentum effe. é&tus Qn etus sul 5 :ui o 27 Af. Hinc igitur luculenter perfpicimus , quantopere effectus ab idonea machinae diípofitione pendeat, cum vnico modo iíte effe&us maximus obtineri queat, fcilicet effi- ciendo, vt fit 5:2— 9Q:4A,a qua proportione fi ma- china recefferit , femper minorem effe&um producet, etiamfi tam vis impellens, quam vis refiftens, cum fri- ctione maneant eaedem , quam fi haec iufta ratio ob- feruetur. [Interim fi vel taotillum ab ea aberretur , detrimentum in effecu vix erit fenfibilie ; quoniam maxima et minima aliquam latitudinem — admittunt , id quod commode evenit , quia in praxi hanc ratio- nem íummo rigore vix obfíeruare licet. — In eo tamen erit. elaborandum, vt machina, quam ficri poteft. exactif- fime, ad hanc rationem accommodcuur. 14. Si vis impellens ita fit comparata , vt cele- ritate € omnem actionem amittat ,| macbina. femper. ma- xbnum praeflabut effedium , fü ita inflreuatur , «t wis im- pellentis. celeritas jiat pars tertia ipfius f. Sumo bic, vt et in fequentibus, fpatium vno mi- nuto íecundo percurfum pro meníüra celeritatis ; ac huiusmodi vim impellentem contemplor, cuius dum et in quiete quantitas fit — A , quae autem celeritate f ha omni a&ione deflituatur. — Huius igitur vis, dum celeritate — f procedit , quantitas erit Eme j. Quodfi THEORIAE MACHINÁARUM. ^ 49 Quod( iam refiftentia ope macbinae fuperanda fit -Q,, et ratio celeritatis vis impellentis ad celeritatem rzfi- flentiae ponatur — ra, qme ratio a. (tru&tura machinae pendet, vidimus, vt effe&us maximus obtineatur , fla- tui oportere ;, eH Tum vero pro celeritate vis impellentis . nancifcimur ptr —(ir—YZze: ert itaque ob Y 77—2,p —if. Hoc autem immedia- te ex actione vis impellentis. colligi poterit , quippe «uius momentum impulfus maximum reddi debet, vt maximum momentum effectus obtineatar — Verum fi vis impellens celentate $ agere affumatur, quia tum elus quantitas eft — A ( 1 -5 ),erit momentum im- pulfüs MPG quod maximum fadum prae- bet A(1 ——/— EU PEN. 1:—5— f hincque $9 Gd osesele Kfe&us igitur maximüs produci nequit, wifi vis im. pellens ita agat, vt cius celeritas P fit pars tertia cele- riatis f, qua omni actione priuatur. —Pofito autem p-—if , ert quantitas vis impellentis — A(r--1)' ——$A; vnde pro data vi re(iftente machrna ita attempe: rari debet, vt vis $ A in aequilibrio confiftat cum vi rcüftente frictione fimul complexa , feu vt vis $ A tan- tum non motum rnachinae imprimere valeat. Scilicet fi tota vis refiftens fit — Q , celertas vis impellentis ad celeritatem refiftentis ftatui debet, vt 9Q ad 4A, quo facto momentum effcctus, ideoque et. momentum ampulfus erit —,2Af , quod nullo modo maius effici Tom. VIH. Nou. Comm. li po- 250 PRINCIPIA poterit feu fieri omaino nequit, vt ab eadem vi im- pellente maior effectus obtiueatur. 15. Cum vatiore celeritatis ,| qua. vis. impellens acit , macbina ad maximum ejjectum producendum fuerit inflcucia , frillio quoque Jpeciari debet , quae primo, quamum feri potefl , erit. diminuenda , tum | vero — eius e[je&ius eo minor reddetur , quo longius vis impellens ab axe , circa queur macbinam vrget , vemouetur. Affümo ergo fiictionem iam eo vsque effe mi- nutam , vt minor fieri nequeat, et vim impellentem rotae effe applicatam , cuius radius fit — 7 , in eadem autem. diftantia vi opus effe F ad frictionem fuperan- dam. ]lam fit Mf momentum impulfus, idque maxi- mum , cuius vis impellens eft capax , quae agat celerita- te — p, et quia vis ad. friétionem fuperandam requifi- tà F, vtpote in eodem loco applicata, «eadem ccle- ritate agit, erit eius momentum —Ffp , ideoque ves rum momentum effectus detracta frictione erit. — Mf — Ff. ex quo quantitas effe&us ob frictionem minutas aeftimari debet. —Ponamus iam , rotae illius. primariae radium augeri im ratione 1: A, ita vt vis impellens ea- dem nunc applicetur in diflantia Az ab eius axe, et in hoc loco vi tantum: opus erit 4F ad frictionem fu. perandam :. machina autem paucis mutandis denuo ita inftruatur, vt pro motu vniformi vis impellens celeri- tate f, cui maximum momentum impulíus refpondeat, incedat , et cum frictio nunc tantum huius momenti partem àiFp poftult , verum momentum effectus hoc caíu THEORIAE MACHIN AFF M. 25r cafa erit — Mf—5Fp, ideoque eo maius, quam caíuü piaecedente , quo maior fuerit numerus A. Hinc igi- tur patet fieri poffe, vt ab eadem vi impellente , fri: €tione non imminuta , multo maior effectus impetrari poílit: hic autem fuppono, aucto ilius rotae diametro frctionem non augeri, vnde haec regula ita debet li. mitari, vt quatenus augenda rota hac principali fii- cio vel non augetur , vel faltem in minore ratione augetur , quam diameter rotae , eatenus femper conue- niat hanc rotam maximam fieri. Antequam autem ad hanc regulam confügiamus , maxime intereft, vt no- tis artificis fridtionem , quantum quidem fieri poteft, diminuere conemur ; tum vero obíeruatio huius regulae nibilominus maximam afferet vtilitatem , propterea quod, etiamfi frictio fir minima , ob eam momentum cffcctus adhuc notabiliter diminui poffet , fi fcilicet ^ denotaret fractionem valde paruam. 16. Denique plurimum ad macbinarum perfectio- mem confert motus vniformitas , ad quam ideo imprimis macbinas inflrui oportet , fü enim motus mon juerit cni- formis, fed per interualla modo intendatur , modo vemit- atur , tum effectus femper erit. minor. eo , qui Jecunaum rtgulas praecedentes. obtineri. po[Jet. In motus difformitate enim non folum portio vis impellentis in füperanda inertia confümitur , fed etam nonnifi maxima celeritas aequalis eft e1, quam machina effet habitura , fi motus foret vniformis. lamque dum motns acceleratur , vis impellens maior lia ett 25* PRIM CITTA eft vi ad aequilibrium requifita, eiusque idcirco celeritas minor, quam ea, quae motui vniformi conueniret ; etü autem interdum machinae motus celerior ineffe queat, quia tamen hoc euenit, quando machina mon in totum onus agit, inde nihil omnino in augmentumt effectus redundat : vtroque ergo caíü femper non pa- rum de vi impellente perit , quando motus non erit vniformis. Quare in hoc potifhmum eft incumbendum, yt machinae, quantum fieri poteft, motus vniformis con- cilietur. Hunc in finem igitur , primo rotae , quae íe mutuo mouent, ita funt fabricandae , vt dum vrma vni- formiter mouetur , etiam reliquarum motus prodeat vniformis, id quod dentibus rotarum debita figura in- ducenda effcietur , quod argumentum antehac pertra- €tau. Deinde defe&us vuiformitatis imprimis eft per. timefcendus , quando machina piftillis alternatim attol- lendis ac demittendis, vel deprimendis, deftinatur, pro- pterez quod corpori, quod eít in quiete, non fübito mo- tus imprimi poteft. — His ergo cafibus machina ad pi. ftilla ita eft applicanda , vt motus machinae non fe. quatur motum piítillorum , .feu vt ille vniformis ma- nere poffit, etiamfi hic a flatu quietis acceleretur ite- yumque retardetur , qui effectus commodiffime per bra- chia incuruata impetrari folet ; dumr enim huiusmodi brichiam piftillum eleuaaudum primum arripit , motum . fuum continuare poteft, etiamfi piftillum — parum — attol[- ltur; id quod etiam víu veuit, quando piftillum ad maximam altitadiuem fuerit elevatum. — Quoniam au- &&n hoc paco piftilla motui machinae non (emper pari Yl THEORIAE MACHINARVM. ——s53 vi reluctantur, ea, fi plura füerint, ita difponi oportet, vt machina quouis momento in piftilla plura, quorum alia fint in loco imo, alia in fummo , aliaque in medio ftatu verfentar, agat ; fic enirn. reluctantia aequa- bilis reddetur. — Idem obferuandum eft in omnibus machinis, quibus motus reciproci produci folent ; ac perpetuo, quando his tribus regulis erit fatisfa&um , certi effe poffumus, machinas ad fummum perfectionis gradum, cuius funt capaces, effc euedtas. Tab IV. Fig . 254 «EB (0 ) dE DE MOTV ET ATTRITV LENTIVM DVM SVPER CATINIS POLIVNTVR. Auctore L.oEVOLOER:O. 1. |a plures modos, quibus lentes íüper catinis , fiue immotis, fiue in gyrum actis, atteri ac poliri folent, hic eum tantum ad examen reuocare conítitui, quo catino vniformiter in gyrum ac, lens ope ftyli eius centro applicati ad catinum apprimitur, quo fit, vt ipfa lens circa ftylum libere mobilis a catini motu in gyrum agatur, et quatenus eius motus a motu catini difcrepat , eidem atteratur, ficque politura perficiatur. Quoniam hac ratione arbitrio artificis nihil aliud prae- ter locum , vbi lentem fuper catino detineat , relinqui- tur Hic modus lentes poliendi prae reliquis. geometri- cae inueftigationis capax videtur , dum contra, vbi to. tus lentis motus ab arbitrio artificis pendet, vix quid- quam definire licet. "2. Sit igitur PORS catinus ope machinae rota- toriae certa quadam velocitate vniformiter in gyrum agendus, circa eius axem O, quem verticalem affumo, vt motus catini in plamo horizoptali abíolustur. ^ Lens auem AEBF ope f(tyli eius centro C applicati ita - con- DE MOTF ET ATTRITE LENTIVM s55 continuo ad catinum apprimatur , vt pun&dum C im- motum feruetur , lens autem circum id libere reuolui queat. Catino iam in gyrum a&o, ipía lens circa . ftylum in motum abripietur , moxque vniformiter cir- cümagetur , cuius motus celeritatem ante definiri oportet, quam effectus attritus, íeu celeritas, qua fingula lentis punc fuper catino teruntur, a(lignari queat. 3. Denotet u celeritatem. gyratoriami catini , ita ad diftantiam quandam fixam a centro O, vnitate in- dicandam relatam , vt in diftantia a centro quacunque $ fit celeritas vera — 42, cuius quadratum uzz, wt meníüras certas obtineamus , exprimat altitudinem huic celeritati debitam: hac ergo littera 4 motus catini pror- fus determinatur, quippe qua conílat , punctum quod- cunque catini 2 cuius diftantia ab axe O füerit OZ —z, ita moueri, vt eius directio fit recta Zmad OZ normalis, celeritas vero —42z, quae tanta eft intelli- genda , quanta ex lapíuü grauis per altitudinem. zzz z acquiri folet ; ; quandoquidem catinus in plaeam PQRS cirumagitur ; fi enim in plagam contrariam circum- ageretur pari celeritate , celeritas quidem puncti Z fo- ret eadem , fed directio Zi s contraria effet flatuenda. 4. Quod porro ad lentem attinet, primo eius diameter AB in computum eft ducendus, cuius femiffis ft CA—CB-—z. Deinde plurimum refert, in quan- ta diflantia eius centrum C a centro catini O ope ftyli fixum detineatur, quae diflantia ft OC—c. — Tum *ero fi de effectu attritus iudicare velimus, vis qua ea £56 DE ATTRITPF €a ad catinum apprimitur, rationem haberi conuenit, quae vis aequetur ponderi — P. ^ Cum autem tanta vi tota facies lentis inferior catino apprimatur, "vis qua quaelibet eius portio atque adeo «elementum apprimi- tur, ex eius ratione ad totam fàciem erit colligenda ; fiquidem affümimus, lenti iam catini figuram eíle indu- ctam , totumque negotium fola politura effe abíol- vendum. — 5. His quae circa lentem funt nota conftitutis , jnueftigandus eft eius motus, qui ob ccntrum C fixum alius effe nequit, nifi gyratorius circa idem centrum, et qui inter quaerenda primum locum obtinet. ^ Statim quidem patet, lentem ob motum catini ;, quem in pla- gum PQRS fieri pono, in fimilem plagam AEBF abreptum iri; fed celeritas huius motus etiam nunc eft incognitt. ^ Sit ergo fimili modo huius motus celeri- tas gyratoria — v, ita ad diftantiam fixam —z relata, vt puncti lentis cuiuscunque Z, cuius diftantia ab eius- centro C füerit CZ — x, celeritas vera futura fit — vx, directione exiflente Zz ad CZ normali. — Tum vero vt punctum C immotum teneatur, quoniam motus catini totam lentem auehere conatur, fítylo praeterea vim contianitentem applicatam effe oportet , cuius quantitas pariter erit inuefliganda. | 6. Quo nunc flicius haec, quae funt incognita , definire liceat , ante omnia motum refpectiuum cuius« que lentis puncti ratione catini explorari conuenit, in Quo motu verus attritus confifit. — Ac primo quidem at* LENTIV M. 257 attritus centri lentis C fuper catino per íe eft mani- fetus ; cum enim ob diftanuam O C— c, punc&um ca- tini C celeritate — «4 in directione Ce ad OC nor- mali feratur, lehtis autem punctum C quiefcat, haec ipfi c4 erit celeritas attritus; quae ergo eo maior eft, quo longius centrum lentis Cz centro catini O deti. neatur. Euidens autem eft, effectum politurae ab hac attritus celeritate ita pendere , vt partim illi ipfi, par- tim preffioni futurus fit proportionalis. 7. Celeritas attritus autem omnium reliquorum lentis punctorum íüper catino , non folum ab huius; fed etiam a lentis motu pendet, ad quam inueftigatio- nem figuram fecundam maiori fpecie expreffam accom- modemus. Sit ergo pro puncto lentis quocunque Z Tab IV. diftanta CZ —x et angulus ACZ-— (b, ad CZ nor- dern maliter iungatur Zz—-vox motum verum puncti lentis Z exhibeus. Catini autem punctum fubiectum Z, po- fita diftania OZ —z, feretur in directione Zz ad OZ normali celeritate — 42. ^ Sumta ergo Zm--uz, fi catino et lenti fimul motum imprimi concipiamus fe- cundum directionem Z», ipfi Zi? oppofitam, et celeri- tate Zv— vx; tum vero completo parallelogrammo 3.Z yz ducamus diagondlem Ziz, res eodem redibit, ac fi puncto lentis Z quiefcente catinus fub eo pro- moueatur in directione Zz celeritate — Z;z , quae ergo erit celeritas attritus. puncti Z. $. Cum autem fit OC—c; CZ— x, et angulus ACZ . —0erit OZzzs-Y(ee-t-xx-r72cxcot (QD). Deinde pofito angulo COZ — o , erit tang. à — 77.3 'J om. VIII. Nou. Comm. Kk et 258 I "E M TANT y et dhcp ela t porro ang. CZO—(-«s, et c fin. (D c lin. tng.(D— «4)— zs, atque (D—-u)— 7. In triangulo. autem. Zyz eft Zy-—ox; z»-— Zm-uz et. angaülus Zy 2— CZO—Q- o5. vnde colligitur ZaucV(vvxa-d-uuzz-—2uoxaco.(D— ()). Inde vero. colligitur: zcof. (p—«) — x -4- ecof. (D, quo valore: fubftitnto: fit: Zzu-Y(voxx-puuzgz—esuoxx -auigtdo iei (QD) feu: Zu-Y(eceuudzcu(u—v)xcol. D 4- (.— yx x]. 9. Pro fitu. deinde huius lineae. Z z, quae celeri- tatem. attritus. puncti lentis Z. exprimit, erit primo. CZ». angulus. rectus , tum. vero. cof. y Z z — ZmeLy—zy 0 —(u—-v)x-—cucq oc LM Zv— — —— uc cfnCZ»4-vZay f ES cu fan. LatfnyZao 5577 "mem var ca cuin 9 — . coft. Nro derer en Si. ergo: in. fig. x. lineam Zz (íü- perne. cum. CZ. angulum. conftituere- affumamus ,, crit. fin. CZz — estre e co. CZz — — 2-9. exiftente: Zz-Y(ccuu-- 2cu(u—v)xcof. Q-- (u- v) x x)s; vnde: pater, fi fuerit AC Z— (po, fore Zx— ct -- ((—7)x5: et: angulum: CZ z: re&um,, ac^ fi. praeterea: fit Xx — o, erit. vt. ante: celeritas. attritus. centri: lentis. (C om 1o, lam: quaeftio: huc: redit, —quamnam: habitura: fit: rationem. celeritas gyratoria: lentis: v; ad. celeritatem. gyraoriam catini g! * ad quam; refoluendam. duae. pa- tent: viae ,, altera. indirecta. ex. principio: minimae. actio- nis; L EN TIIF AM. 259 nis petita , altera directa ex principiis motus negotium conficiens. ^ Secundum priorem nullum eft dubium , quin motus lentis ita comparatus fit futurus , — vt. attri: tus totus fiat minimus. Quare fi in Z elementum fa. perficiei lentis concipiatur, erit id ob veriabilititem tam diftaniae CZ —x, quam anguli ACZ-— Q5, ita expreffum — xZx4(, quod per celeritatem attritus Ziz multiplicatum , dabit eius attritus. quantitatem xdxd( V(ceuu-t- 2cu(u—v)x cof. Qr (u-v)'a x) cuius integrale per totam lentem exteníüum ^ minimum effe debet. rr. Producta recta Z.C vltra C, concipiatur par elementum — fuperficiei x4x4(D ad alteram partem redae ABD, et quia hic fit vel x vel cof. (D. negati- yum , eius quantitas attritus erit xdxdQ V(ccuu—2cu(u—v)xcof.Q -r- (u—v,"xx) Collectis his. ambobus elementis, euidens eft ; eorum fummam fieri minimam , fi fumatur v— u; id. quod vtraque formula irrationali in feriem conuertenda facil- lime patet , dum additione poteftates impares ipfius x, ac proinde etiam ipfius 4 —7c , fe deftruant ; vnde mi- nimum ratione celeritatis v inueftigando manifefto. cli- citur v-—4, quod cum de omnibus elementorum fibi hoc modo oppofitorum paribus valeat , fequitur etiam , totius lentis attritum minimum effe futurum , fi. fucrit v —1, ideoque lens aeque celeriter in gyrum agatur atque catinüs,. ita vt ambo aequalibus temporibus fuas- 1cuolutiones abíoluant. ' "REX VOCUM Is 460 D B erTwWegREIT 2. Verum etiam via directa ad eandem cou. clufionem manuducet. — Cum enim experimentis con- ftet, fri&ionem a fola pre(fione pendere, neque cele- ritatem attritus quicquam, fiue ad augendam, fiue dimi- nueudam frictionem, conferre , elementum fuperficiei xdxd( in Z vi quadam ipfi proportionali , ob pres- fionem vbique aequalem , in directione Zz follicitabi- tur; quae vis ergo fit —ax4xd( ; et quia centrum lentis C. immotum tenetur, erit huius refpectu momen- tum illius vis —axZxdd. CZfin.CZz a x dzdQ. x((u — v) x -4- c u cof d) — d4(ccuu--acu((u-- v) cof. "eof. Q -i- (u — v)y* x x) Ex elemento autem oppofito, vti füpra, fumto, orietur momentum e x d x (Q. x((u — v) — c u cof. Q) 4 (ccuu—acu(u — v) x cof. Q--(u-—vxx)* 15. Nunc autem , quia motus lentis iam ad vniformitatem compofitus ftatuitur , neceffe eft, wt horum momentorum íumma vniuería ad. nihilum redi- gatur, quod cum fiat in binis elementis oppofitis , fi capiatur v — 4, idem pro tota lente valebit. — Idem etiam per integrationem folito more. elucet , pofito enim vo—24, ex clemento Z oritur momentum —axxdxd(Qcof.(D, vnde pro fe&ore. clementan CZ colligitur momentum —iax dO eof o, et pro toto ad marginem vsque, extenf iaa dQ cof. D, cuius denuo integrale eft — £4 ge sq ie per totam len- tem extenfum , donec fiat (D— 360', manifefto in ni- hilum abit, quod non fieret, fi non effet v —. — Vi- cifim ergo altera methodus per alteram | confirmatur ,: et cum principium minimi per fe fit euidens, patet fimul LENTIF JAM. 26r fimul alterum , quo fricio a fola preffione pendere as- fumitur, veritati omnino effe confentancum. r4. Definita iam celeritate v — 2, non diffi:ile erit determinare vim , cui flylus centro lentis C appli- catus , praeter pre(honem P, reniti debet, ne centrum lentis C a motu catini abripiatur. Cum enim fit vt ert Zz--eu, ffnCZzzcot( et cof CZz—-fin.(D, i4 ve fic CZ2— 99^ -4- D'j^e& "zZnzzQ-—ACZ. Ob fricionem autem vrgetur elementum füperficiei len- tis xdx4( fecundum directionem Ze vi conftante ; et quia tota füperficies , quae eft — 42, denotante 7 peripheriam circuli, cuius diameter eft — rz, apprimi- tur vi P, elementum illud apprimetur. vi — "52522 cuius parti quafi tertiae fricio aequatur. — Scribamus autem generalius A pro parte tertia , ita vt elemen- tum in Z fecundum Zz follicitetur vi — ?322*2? "Taa » quae fecundum directionern CZ praebet vim — AP zdoxddfin-D i Tad et fecundum directionem ad illam normalem vim LL APxdxdQeof.(0 ; —— 15. At per ea, quae füpra oftendimus , omnes iftae vires normales fe deftruunt ; vnde ítylus füftinere debet alteras illas vires fecundum CZ. agentes, quae funt M et quafi ipfi centro lentis C fecundum .dire&ionem CZ applicatae effent, concipi poffunt. ^ Quaelibet vero huiusmodi vis refoluatur fe- cundum directiones fixas CA et Ce, eritque vis fecun- dum CA Misit m euro , €t vis fecundum Cc LIN Illa primum integrata , pofito Kk 3 X-—4 262 DE MTXREITF xa, dat 3 P din. (pcot. (p — 2: Papin. 2 (D, cuius porro integrale eft — A P(r—cof.2(p) Pofio nuuc pro tota lente (D— 360, haec vis fecundum CA eua- nefit —— Altera vis fecundum Cc femel integrata dat A Pan. — ^ Pa4((x—cof.2(p), cuius fequens integrale eft — 2", P((D — fin. 2 D) , et pofito(p— 360" -——27 prodit vis fecundum C £—— 12A P. 16. Ob motum 'ergo catini ftylus fuftinet vim — i1AP (ecundum directionem Cc, quam artifex. con- tinuo vi contraria et aequali renitendo de(lruere debet, fiquidem centrum lentis immotum tenere velit. — Quare fi A—:,haec vis aequatur fextae parti preffionis totius P, qua lens catino apprimitur, cui conclufioni per fe verae vnicus cafus adueríatur, quo «enuum lenus C ipfi centro catini O apprimitur; tum enim . quia lens pari motu cum catino circumagitur, nullusque attritus exercetur , flylus etiam nullam. vim fuftinet. At hu- jusmodi exceptio femper ; quando de frictione agitur, admitti debet; cum enim in motu tardiffimo frictio aeque fit magna atque in celerrimo , motu tamen pla- ne euanefcente frictio quafi íubito euaaeícit. — Neque ergo hoc incommodum tanquam vitium calculo eíl imputandum. 17. Cum duplici demonflratione euictum fit, effe v—u, idem etiam experientia egregie confirmari de- prehendi; in quacumque enim catini loco lens detine- batur, eius reuolutiones femper exactiffime cum reuo- lutionibus catini conueniebant , neque vix vllam inae- | quali- LENTIF M. 263 qualitatem, ne in motus quidem initio , obferuare licuit. Vnde patet ftatim. ab initio motus reuolutiones lentis fe ad cam aequalitatem. componere ,, quam calculus oflendit ; quin etiam motu catini modo intenfo, modo remiffo , lens eandem. inaequalitatem fequi obferuata eft. Hic ergo infigne cernitur fpecimen foecundiffimi illius: principii minimae actionis, quod.eo magis omni attentione dignumvidetur, quod etiam in motu per frictionem: impe- dito tam felici cum fucceffu adhiberi potuerit, cum hacte- nus eius víus tantum in motibus liberis a^ viribus veri nominis, quibus fri&ionem: vix. annumerare: licet ,. per-- turbatis , fit ofteníus.. 18. Quoniamr igitur ex eo , quod inuenimus: v-—1u, fequitur effe celeritatem: Z z— e. patet. in eo- dem lentis. fitu omnia. eius puncta aequali celeritate: atteri, ideoque. pari. vi laeuigari ac^ poliri, quo' ipfo hic mechanismus non: mediocriter. reliquis: antecellit ,. cum alias. alia. lentis: puncta: fortius ,. alia. debilius ,. atteri: foleant. Praeterea. vero. hic: perfpicitur ,. celeritatem. at- tritus^rationem fequi. interualli. OC — e,. ita. vt. fi. cen- trum lentis C centro: catini. O applicetur ,. nullus plane: attritus fit futurus; quo: longius autem interaallum. O C: capiatur, €o maiorem fore attritam ,. idque in: eadem ratione, Quam ob rem omnino neceffe eft, vt ca- tini magnitudo multum: fuperet; magnitudinem lentis ,, quae regula etiam: ab' artificibus: probe. obferuari: folet, 19. Hic igitur ingens confpicitur difcrimen inter: frictionem. et attritum , quae duae res vulgo confundi: folent.. Tsb. IV. Kip. 3. 264 D Eb TUR RU folent. Fricio enim, fiue motus fit tardior, fiue velo- cior, perpetuo manet eadem . cum attritus eiusque cffe- cus, qui in abrafione eft conftituendus , maxime a ve- locitate pendent, ex quo attritus quantitatem commo- difime metiemur eius celeritate Zz in pre(üionem du- Xa. Quare fi in fuperficie lentis confideremus elemen- PdZ tum ZZ, quod quia catino apprimitur vi — Z7. , te- . . IB dz riturque. celeritate — c4, erit quantitas attritus 5, - Hinc ergo lens eo promtius laeuigabitur €t polietur , . quo maior fuerit quantitas Ls ; quae proportionalis eft 1', vi P, qua leus catino apprimitur, 2^, celeritati 4 ; qua catinus in gyrum agitur, 3^, interuallo OC—e quo centrum lentis diflat a centro catini, et 4^, deni- que reciproce fuperficiei lentis, ita vt quo lens fuerit maior, eo tardins laeuigatio perficiatur. 20. Hic autem non tantum ad lentis attritum eft re- fpiciendum , fed qnia catinus etiam atteritur, eiusque füperficies abraditur, nifi vbique aequaliter radatur , mox eius figura alteratur ; vnde fit, vt deinceps etiam lenti figura a propofita aberrans inducatur — Quam ob rem neceffe eft, vt etiam attritus ipfius catini accura- tius inueftigetur. — Primo autem patet omnia catini puncta ab eius centro aeque remota quauis reuolutione aequaliter atteri. Confideremus ergo catini punctum qucdcunque L 3 centro catini O diflans interuallo OLc-o--y, quod vna reuolutione tamdiu tantum atteritur, quamdiu per angulum MON profertur. —Cum igitur . Pcu attritus momentaneus fit 2-7; , vna reuolutione integra j ] Pcu ang.M ON totus attritus cenfendus erit — z;,. ——4-— , fiquidem puncti LENTIVHM. 265 punéi lentis L quantitas attritus vna reuolutione ex- 2 P primatur per 5j; 21. Cum nunc fit rt cu OCc-ó. OM —OL—j, erit cof. LOMITUTIL- * , vnde ,ob 7—180', is sdittitus puncti catini L durante vna ; mee CC6—ü2-4- yy reuolutione —4-. A cof. "RETE , quae expre(fio tantum pro iis cauni punctis valet, quorum diftantia a centro O intra limites AO —ec-1-2 et DBOcz-ze—a continetur, quoniam tam in vtroque limite, quam extra eos , attritus euanefcit. Hic autem notandum eft, fi fuerit £454; et y—a—c, fore Acof. T Ts —18o'—'m, íeu haec catini pun&a perpetuo atteri , quod multo magis valebit, fi fuerit y -2—c, hoc fci- licet caíü fpatium circulare circa centrum. catini O ; cuius radius eft —2— e, perpetuo attritum patietur, et quidem aequalem ei, cui lens eft fubiecta. — Cuiusmodi attritu fi totus catinus afficeretur , non effet metuendum, wt eius figura deformaretur. Cum autem folum ípatium annmulare catini lenti fe applicans atteratur , quamdiu quidem lens in €odem loco detinetur, eius tantum figura alterationem patitur, eamque non aequabilem, vnde fphaericitas eius tandem vehementer mutabitur , lentique proinde figura a ícopo non mediocriter aberrans imprimetur. Huic incommodo artifices remedium afferre conantur , dum lentem modo propius admouent ad centrum catini, mo- do ab eo longius remouent , quo paco quidem cati- Tom. VIII. Nou. Comm. L1 num Tib V. Fi. 1. 266 DE WTTRETV num circa centrum atterunt , fed circa marginem attri-- tus multo minor manet, ita vt ne hoc quidem modo: catinus per totam fuperficiem aequaliter radatur. —De- inde vero etfi hoc modo attritus non tam inaequabilis. fit, quam fi lens iugiter in eodem loco. detineretur , timen is non certa quadam lege diftribuitur, vnde fit, vt figura catini a fphaerica mox notabiliter recedat ,, folique fortunae fit tribuendum , íi quandoque. bonae: indolis lentes hoc modo. elaborentur.. 25. Ad catini avtem attritanr aequabilem: red-. dendum optimum remedium videtur ,. fi fruftum. quod-- dam vitri praeter lentem (uper catino atteratur ,, cuius. figura et preffio. ita fit comparata, vt fingula. cazini punca, tam. a. lente, quam: ab ifto frufto,, aequabilem ate tritum. patiantur. Quo. huius fru(ti figura fimplicior pro- deat, ponamus. interuallum BO. euanefcere, feu effe O C— c —CB--z, catinique radium. OA diametro. lentis 24 effe aequalem, quandoquidem, cum. lens perpetuo in eo- dem loco. detineatur , füperfluum foret, catinum amplio- rem efficere. Sit igitur EO i figura. ilíius. frufti vitrei quaefita, quod continuo catino in eodem: loco- applica- tum detineatur, eique pondere — Q apprimatur ,. cuius. area fit —ee. Quoniam nihil refert, quo- in. loco- hoc fruflum — applicemus ,,. concipiamus id in. fitu DOHVT. 24. Cum igitur catini puncta L a centro O interudlo OL —y diftantia ob c——4 a lente attritum pati. LENTIVF M. 264 peine cuius quantitas vna reuolutione efl — A cof. 2 c LM. Tum vero eadem puncta L füb fiufto vitri per arcum VR deferuntur celeritate zy , et quia preífio in fingulis punctis eft vt 2: , erit aglanpus at- OBEKY : uitus in vna reuoluione — 777.25; — ;;4,, RV , vbi 2 my peripheriam totius circuli SEROHE Neceffe. ergo eft, vt (ümma harum expreffionum 7 5 LM-r-zeKV fit quantitas conítans , quae flatuatur — PUT. Atpo- v7 ToS fita re&a OD ad AO perpendiculari, ob arcum LM K LTIy,erit haec conftans — z;,,.L MK , ita vt habea- tur As aequatio : MULA SI 2Tee TS .LMK quae reducitur ad hanc: d ECCE "n Tay »s. Erit ergo arcus KV —$5 MK, exiftente OK-—y; vnde porro area fpatii DÓHVI-—ee defi- niri poteft. Cum enim fit MK —yAfin.2;, habebi- tur KV—655.4A fin.2, A hincque areae elementum KV. dyz-1z. dy.Afin.2;, cuius integrale eft &zz (y Afin. -- Y (4a4—y)) —24) quod per totum Sud extenfum ponendo —24 praebet aream totam 2Pee 4Pee ee— (at 2a)- Ru (n-2) vnde quidem non area ee, fed pondus apprimens Q, 4 definitur; vt fit Q—iÓT-— 3" ; vnde fiue ponatu 7-7 L12s fiue 268 DE ATTRITV fire c — 185, dat Q—,P, feu Q — 2: P, vnde conflat; gs quanto pondere fruftum viui catino apprimi debeat. 26. Ad figuram autem fols vitrei inuenien- 2ibyee dam quia inuenimus ^57 — 4—; , habebimus hanc aequationem ENT IT .MK, vbi ee pro lubitu affumere licet. MW ergo ES URBEA E vt area frufli fit ad cud lentis, vt t—2 ad m7, ítu 4. ad ir, fiaque K V — 7. MK. Ad quam aequationem conftruendam ducto per centrum lentis C quacrante CHX, quem reca OM fecet in T, erit TX —5. MK, ideoque K V — X T. Vbique ergo íumatur arcus KV aequalis arcui X T , et fpatium curua OHVI et radio OD inclufum dabit figuram frufti DOHVI, feu in fitu lentem non impediente EO ^vi, quod pondere Q- P — 114 catino appreffum defideratum prigftabit effcum,; wt fi- gura catini non deformetur. 27. Etfi conftructio lineae Ovi eft fuifie, dum vbique arcus ko arcui x£ aequalis eft capiendus; con(lituto femicirculo Oz D femi(fi lentis aequali , ta- men conueniet, aequationem huius cüruae ad coordinatas orthogonales fàlem proxime reduci. Sit igtur Op—f et f v—4, exiftente Ok—y —Y (pp-31-44) etOx-a, et vocetur angulus kOz— A (n. 225 — D , vt fit y- 2a fin. (D, mds ob ko—x:?—a(, hincque angulum kOv—7? E — me reperietur : OCC ct 4— 2 4 in. Q lia. » vude LENTIFM. 269 vnde approximando colligitur q—0,5463p-1-0,03513. 1. Initio fcilicet circa O haec curua abit in rectam ad OE angulo 28", 39/, cuius arcus femiffi radii aequatur inclinato; pro puncto extremo autem £z fiunt coor- dinaàc p—4—2a4Y 2. 28. Facillime autem huius frufti figura in praxi T4b. V, hoc modo delineabitur: Radio OE diametro lentis Fig. 2 acquali defcribatur circulus , in quo primo capiatur ar- cus Fi— 45^, tum vero arcus Ez íemiífi rectae OE a2equaiis , qui continebit quai 28", 59^: Deinde centro O radio dimidio Oc defribatur arcus cg continens 50', ac ducta recta Oz linea quaefita circa O cum hac recta confüudetur ; tum vero ab ea paulatim re- cedens per punctum g tranfibit, indeque proferetur ita in puncum i, vt hic circulum E; tangat. — Fruftum ergo vitri terminandum eft primo recta O E, tum arcu Ei, ac denique linea curua Og; oftenfo modo prae- fcripta: hocque vitrum catino appreffum — pondere Q— *P, dum P eft pondus, quo lens ei apprimitur impediet catini deprauationem. 29. Hic modus figuram catíni intemeratamn con- feruandi in vfum vocari nequit, nifi lens ita -detineatur, vt eius ora ad centrum catini vsque pertingat. — Si enim a lente centrum catini plane mon attereretur ; quoniam etiam a fiuflo viri , quod catino immotu L153 1n. 270 DE ATTRITV LENTIV M. incumbere affümo , nullum attritum — pateretur , nihil inde abraderetur , neque «ergo deprauatio eius cauerí poffet. Quae e(t caufa, cur hic lentem vsque ad ca- tini centrum O porrigi affumferim. Caeterum cum tam lentis centrum C ope fítyli, quam totum vitri fruftum perpetuo in eodem loco teneri debeat, artifex firenuus ope fimplicis mechanismi haud difficulter hoc exequetur , fimulque effciet, vt cum leus dato pon- dere P catino apprimatur, fruftum vitri debito pon- dere Q , quod ad illd fit vt 8 ad zr, fit oneratum. Hocque pacto lentibus praefcripta figura induci poterit ; dum inter operandum figura catini non deprauatur. DE "oce ( 0 ) "NOSE 27: DE NOVA QVADAM VECTIS PROPRIETATE DISSERTATIO. Auctore FEE FS GREPINQS T euolsenda magnetis theoria occupatus ,. fortuito in notabilem quandam. vectis proprietatem incidi , quam, . vtpote non inelegantem , et a|/ nemine, quantum fcio ,, animaduer(am ,, obliuioni. eripiendam | effe iudicaui;. vnde non incongruum puto ;. fi. ipfius in. Commentariis Academiae. mentio: iniiciatur.. Nouam iflam: proprietatem: fequens; comprehen- m4, v dit theorema :. V'edis B.A C, aequalium. bracbiorum , Fig. 3. extremis pundis B et C applicatae cogitentur vires da« tae magnitudinis ,. trabentes. fecundum. dire&tiones ,— rectis fpofitione datis LM et ON, parallelas , Jecurdum lineas nempe BD et CF. — Exbibeatur aitera barum virium per reciam. B D, altera per. EF, et prior refoluta. co- &itetur in vim veli parallelam CB, atque normalem ED, pofleriorque fimili mod» im vires CG et GF. Dico fore veclem ABC im aequilibrio confüitutum, quan do eum adquifiuit fitum ,, ot' [umma virium EB et CG fit. maximum. Pro demonftranda propofitionis iftius veritate, co- gitetur pofitione data recta tertia RS, fitque an- gulus 272 DE NOVA QV ADAM ui guus LPI—o, OQH— 8, BKH— Q, rea BD—A, CF vero — B. — Quaeramus iam fitum vectis, fiue angulum (D, qui fummam rectarum BE atque CG reddit maximam. Quoniam hic angulus LPI fiue BHlI—e«, BKH vero — Q, crit EBD—2a-4- $, vnde obtinemus in triangulo rectangdlo EBD, EB- A cof(a-1-Q). Similiter eft angulus FCG— G- (p, atque CG—Bceof (8 —(D). Fit itaque E B.-CG—A ccf; ( &-5- p ) 4- Bcof.( 8— p )— (Acof. « 4- Bcof. 8) cof D— (A fin.a —Bfin )üin.(D, quae quantitas fi de- beat effe maximum , erit, poftquam capta funt diffe- rentialia/ — ( A cof: & -1- Bcof. g)fin. (p 20D — (A fin.a — B fin G)cof.(pZ2p- o, vnde deducitur tang Q-PImLIM A. ex qua aequatione deductus valor ipfius (D, quaefito fatisfacit, Ex flaticis porro notum eít, effe tum vectem BAC in aequilibrio conftitutum , quando ett ED-FG. Cum ergo fit, vti ex füpra traditis facile concluditur ; EDC-—A fin.(a-3- Q), atqe GF—Dfin.(Q—(0), erit pro flatu. aequilibrii A fin. (a4- D) — B fin. (8 — 5), fiue A fin. a cof. (D -41- A cof afin. (p — Bfia 8cot. (p — B, cof. 8fin. D, vnde fit EAE 4 — tang. (D, qui valor, cum idem fit cum antea reperto , veritas afferti noftri abunde patet. Dubium autem incidere poteft le&oribus, an recte afferuerim, BE-1- CG effe maximum , conditio enirn , quod quantitatis iftius differentiale euaneícat , pro hacce re probanda non füffiit, cum BE-1- CG quoque effe poffit minimum , immo contingere queat, vt VECTIS PROPRIETATE. 273 vt neque maximum fit, neque minimum. — Aft dubium ficile tolli poteft. ^ Ponatur breuioris expreflionis caufa, Bfin 8—Afin. 4 —N , Bcof.G-j- Acoa4 — M ,. atque BE--CG-z. Quoniam iam pro catu 4z— 0, 3 ztang. (D, erit fin. - Lo atque. cof. — 7:7. ; quos valores fubftituendo 1n formula fupra reperta, erit pro cafü gz— 0, z— Y M'-- IN. Sit porro (p iftud, qued refpondet z—0, — «p, atque fit (D. refpondens alii valori ipfius z—L-1-*y, eritque tum. z— M cof. (4p 2-7 y ) 2- N fin. (Np. -- y ) - M cot. 4p cof. y — M fin. vp cof.*y 4- N fin.p cof *y 4- N cof. Xp (in. sy , quae forinula, ob fin. Mp aue oet cof. Ab — JI , tranfit in cof.»p YM"-4i- N* — z. — Quodü ergo z refpondens dz. euanefcenti, quod fupra repertum eft — Y M'-L- NN, indicetur per 2^, erit z^cof. y — x. Cum itaque cof^/, quicunque valor tribuatur angulo ^y, fit femper minor radio , fiue vnitate , erit generatim z«;2/, vnde z^ omnino, wti affcrui, eít gsuaximum, GOEOGoeu uU UE o emncouuueoouuo ceeme ccnsa Uemzroceumumenenzp COUNUUSEEU Ince eum CEcIIIHEIERI Tom. VIII. Nou. Comm, Mm DE- 274 LE DENE DESCRIPTIO INSTRVMENTI CVIVSDAM, NAVTIS BAROMETRI AD INSTAR INSER VITVRI. AV CTORE IO. ERN. ZEIHERO. | Jraecipuum Barometri marini requifitum in eo con- fifttt, vt aer in eiusmodi agat corpus, quod nauis agitatione nullam patiatur mutationem. —— Quare jam (üperiori (aeculo Celeb. Dr. Robertus Hook , fumma eiusmodi inflrumenti vtilitate conuictus , Darometrum quoddam , quod concuffionibus nauium non alteretur , excogitaut , coniungendo Thermomeuum Florentinum cum Drebeliano, et, infüituta vtriusque thermometri comparatione , in quorum vnum aeris pondus fimul .3git, alterum autem nullam ab eodem patitur muta- tionem , ícalam, diuerfa aeris pondera indicantem , per- ficiendo , vti ex Transictionibus Anglicanis notum eft. Pari etiam. modo Cel. A4montons Darometrum víuüi huic memorato inferuiens iauenit , idque in Actis Parifinis defcripüt. (*) Vtrumque fortaffe inuentum non modo perféctius,. fed ad víum etiam accommodatius reddi poflet, (i quis rem , de qua agitur , denuo fufcipere velit. Hac occafione, dum omuia quae huc fpectant momenta, penfitabam , nouum inuentum íubiit, quod, qum —— ——. ————— (*) Vid. Mem, de l' Acad. des Sc. de P'aris. ann. 1705. p. 62. DESCRIPTIO BAROMETRI NAVTICI. 2*5 quum fortaffe ad alia inuenta, multiplici vfü praeclara, aditum patefacere pofht, in publicum — proferre non dubitaui. Si concipiamus mercurii loco in tubo Toricellia- no elaterem , euidens eft, «eum vsque dum compres. fum iri, donec aeris preffioni perfecte refiffat. — Inde porro fequitur, elaterem hunc fub altitudine mercurii in Darometro Toricelliano minore, e. g. 27, minus comprimi, quam fi altitudinem. 28 vel 29 digitorum attigerit. — Hic itaque elater non fíecus ac columna mercurialis ,, mutato aeris pondere, fpatium | quoddam percurret , et fi indice inftrueretur , pari modo, ac mercurius, inde oriundas mutationes indicabit. Hoc autem fequenti modo, ego vt arbitror, T5. vj effici poteft. Conftruatur cylindrus metallicus ABCD, .quali alias ad euacuandum feu comprimendum aerem vtímur , eidemque adaptetur embolus E pertica EF inflructus , ita, vt minimam , quantum fieri poteft, patiatur frictionem ; fedulo tamen in conítructione ca- veatur, ne aer intra parites cylindri et emboli latera fefe infinuet. Inter huuc E, illiusque operculum AB; adaptetur fpiralis G, quae altera extremitate embolo E, altera operculo AB fit affixa. H eft alter embolus, quo aer in cylindro inter vtrumque embolam conten- tus euacuatur. IK eft capus, mediante cochlea K em- bolo H vel iungendus, vel pro lubitu ab eo feparan- dus. X Pyxis, feu. fundus CD, foramine quadraugulari, emboli partem eiusdem formae r. 1i. commode reci- piente, eft inftru&us. 2. 2. eft alia emboli H pars ro- Mm 2 tunda, 426 DESCRIPTIO tunda, inque fe incifim habens cochleam , — huicque refpondet altera, femina 3. 3. quae embolum per fo- ramen fündi quadrangulare retractum retinet. 4. 4. eft annulus coriaceus, inter cylindri annulum 5. 5. et pyxi- dem CD pofitus qui impedit, ne aer externus em. boli latera fubeat. ^ Embolo H itaque verfus embolura E protrufo ad fpiralIis omnimodam compreífionera (dematur autem prius hamulus «a, vt arce ad fíe inui- cem applicari poffint emboli) indeque ad fundum vs- que retrato , fpatium inter E et H euacuabitur, et externa embolum premens aeris columna fpiralem G dd certum gradum extendet, donec aeris prefhoni per- fe&te refiflat. Prouti autem aeris pondus mutatur, fpi- ralis etiam plus minusue extendetur, embolusque vna cum íua pertica F E, a minimo aeris pondere ad maxi- mum vsque, fpatium certum percurret , €t quodlibet perticae EF. pun&um , ad externam operculi füper- ficiem AB relatum , pondus aeris mutatum. indicabit. St igitur ad notandas mutationes ponamus , alti- tudinem mercurii effe in DBarometro communi. 28/^, 4/'! ped. Rhenan. vis, qua fpiralis G. trahitur, ae- qualis erit preffioni columnae mercurii , fectionem. em- boli E. transuerfam pro bafi, ac 28^/^ A", pro altitu- dine habentis. Adeoque, vt determinetur ,. quo vsque fpiralis hoc aeris pondere fuerit extenía , quaenimque virgae EF pars extra operculum A B promineat, ni hil aliud requiritur ,, quam vt auferatur fundus CD, €xtrahatur embolus H, hamuloque a, embolo infixo, adpendatur pondus columnae mercuriali aequiponderans ;. idemque BAROMETRI N AVTICI. 2T idemque erit, ac fi aeris columna embolo E incum- bens omni fua preffione in fpiralem G. ageret, et per- ticae EF puacum in lineam AD cadens defignare poterit; hocque modo alia quaeuis pun&a a minima mutatione ad maximam vsque inuenientur , ponderis tantum, vel addendo,'vel auferendo, quantum Darome- tti Toricelliani altitudines , a. minima mutatione ad maximam vsque, requirunt. ! Quum tota viciffindo ponderis aeris, vel merci- ri, decimam quartam partem circiter attingat, fpatium, quod punctum quodlibet perticae EF percurrit , non admodüm poteft effe magnum. . Vt autem iftae mu- tationes reddantur notabiliores , efficiatur ,; vt virga fub motu ad rotulam (9 patiatur frictionem , huicque acus Q'y afügatur, qua in laminae LMN, cui cylindrus ABCD duorum cingulorum ope annectitur ; oppofito latere diuifiones in limbo inferiore notatsze indicantur. Ne autem pertica vacillet , fed in motu füo rotulam fccum femper circumducat, ad ó alia rotuli, quae elatere c inflructa eft, perticamque ad Z articulo dona- tam , ad priorem adprimit , affigenda eft. Quum interdum fierí poffit , vt acus cafü de lo- co fuo excidat , virgam immotam derelinquens ; ne- ceffe erit, vt certa Darometri altitudo , e. g. media, figno quodam in virga notetur , e. g. linea transuería , quae fub medio aeris pondere in fuperficiem AB iufto cadat, et acus diuifionem in laminae limbo MN fa- Gam in partes duas aequales diuidat, — Haec fi obfer- Mm 3 vetur 278. DESCRIPTIO BAROMETRI N AV TICI. vetur cautela , inftrumentam , perticam vel deprimendo, vel retrahendo, eo, vsque , donec linea füperficiem. A B attingat, acumque. (9^y ad diuifionis medium dirigendo, denuo femper verificare poteris. Ad excludendum vero omnem aerem, qui alias emboli E latera fuübire facile poffet , olei et feui miftu- ri (germ. (C peife) füper embolum ad aliquot linearum altitudinem affundatur. — Si autem poft aliquod tempo- ris interuallum effet , cur aerem clandeítino irruptum füfpicemur , tunc denuo euacuare cyliodrum , «et, fi fpiralem fuae elafticitatis fecifle iacturam foret coniectu- ra, de nouo puncta determinare oportet; id quod fa- cili opera fieri. poteft. DVARVM C88 X o O( OE 279 DVARVMMACHINARVM, VNIVS AD PERFICIENDA QVAEDAM INSTRVMENTA, GERM. Stánbeleifem, ALTERIVS AD COCHLEAS INFINITAS EXSCINDENDAS IDONEAE, DESCRIPTIO. AVCTORE I. E. ZEIHERO. M om fiue inftrumentorum a modernis fi. brefactorum capitula rotunda ; cochleis adiuncta, et capíulas cylindricas , mediante | cochlea | connexas ; . firiatis feu crenatis donatas effe marginibus ,' nonnulla- rum inftar monetarum , notum eft; id quod germanice vocant geránbeft. Crenae autem i(lae non tam orna- menti cauía, quam potius magnum ob víüm, quem praeffant , conficiuntur : multum enim ficiunt, vt mo- do dictae partes et firmiter apprehendi, et commode moueri queant ; cum e contrario in glabro margine non habeant, quo obfirmentur , digiti , ita vt cochleae foluendae faepius nobis non fit poteftas. | Inftrumentum , quo conficiuntur margines ftriati , Tab. VII. e(t di(cus chalybeus Fig. r. 5. 7, 8, 9, 10, circa frontem excauatus, ac crenatus: crenae autem. nihil aliud , quam cochlearum typi fünt. CD eft furca, qua difcus circa. axem , altera extremitate capite, altera cochlea inftructam', mouetur. G eft vncus, quo ca- pulo ligneo inünuatur. Opus 280 DESCRIPTTO Opus autem marginandum torno formatur modo fequenti: annulis hunc in finem torno iam efformatis , ac politis, inftrumentum, Sánbeleifen: dictum, fulcro im- ponitur, vti quoduis inflrumentum tornatorium ; porro inftrumentum inter tornandum contra marginem operis marginandi fortiter premitur, tam diu, donec «renae infürumenti annulis perfecte fint impreffae: id quod per- acus aliquot reuolutionibus factum erit. Machina autem ipfa, ad iftiusmodi inftrumenta perficienda , vt et alia quaedam , cochleis infinitis qui- busdam fingularibus , quibus inftrumenta hodie inftructa reperiuntur, exícindendis adaptata , vno eodemque fün- datae funt principio, modo ratione ftru&urae parum diuerfae , quantum fcilicet fingularum peculiaris requirit vfus, Cochleas infinitas modo dicas anglicanss omne id, quod in hoc genere adhuc inuentum eft, fuperare, nemo inficias iuerit: ideoque non incongruum fore iu- dicaui, fi vtramque machinam , qualis in vfum labo- ratorii Mechanici a me inuenta , elaborata , llluftrique Conuentui exhibita eft, defcriberem. "T3b, VJI. Fig. x. n. 15, 2,53,4,5, 6, totam Ma chinam primo loco nominatam, fecundum omnes ipfius partes , dimidio minores, quam elaboratae exfiftunt ; repracfentat. ADB, CD, eft par laminarum , mediantibus fru- füs 2, 5, cochleis iuncum , eo modo , vt, fi neceffe fuerit, iterum feiungi poffit. E eft pars mobilis, ger- manica voce Qapfer dicta , quae cochleae F, partem b tranfcuntis ope protrudi et retrudi potett. GH, DVARVM MACHINARUM. ss$x GH eft cingulum machinam circumdans , mo- 'bile, clauo «cochleatim, ftriato c4 fülcimenti inflar in- feruiens. Hic clauus, feu cochliditypus c4, circa extre- mitatem 4 quadrangularis eft , thecae pariter quadran- gulari apponendae , ac cochleae feu claui ope firman- dae , adaptatus ; thecae modo defcriptae gyrgillus IK applicatur. Altera extremitas Z7 pari modo, aut claui, aut cochleae ope, in loco fuo retinetur, quod quilibet pro lubitu fuo difponere poteft, modo cochliditypus ita fit firmatus, vt circum quidem gyrari poffit, mon tamen vacillet, fed in fitu füo femper retineatur. Quodfi igitur machinae huius ope difcos crenatos (9iánDeleife ) performare animus eft, primum diíci chalybei torno perficiuntur , quorum diameter circiter duplex iconis s. 7 , craíhtiei cochliditypi proportionata eft. Singuli difi medium foramime patet, cuius. dia- meter foraminum 42, 2, n. r. diametrum adaequat. lidem circa frontem excauantur ita, vt ipíorum cauitas comuexitati cochliditypi circiter refpondeat. ..Quo facto, eorum duo machinae applicantur , vti ad n.5;, £, 7, videre eft. Interftitium. inter laminas , atque diícos chalybeos , bracteis tenuibus , rotundis , Ori- chalceis , perforatis , impletur, €t totus apparatus clauis ff, waüciur ita, vt vtramque machinae laminam tranfeant. — Difcorum vnus inter immobilem partem vtriusque laminae , alter inter mobilem , cochliditypus autem inrer frontes difcorum ponitur. Diftos ita fige- re oportet , vt eorum.fiontes conuexitati cochlidity pi refpondeant , ne inaequabili modo exícindantur. Tom, VIII. Nou. Comm. Bn VN His 282 DESCRIPTIO His ita difpofitis , mediante cochlea F pars mo. bilis E, vna cum fuo difo, contra cochliditypum , hicque contra diftum oppofitum, protruditur ; denique cochliditypus gyrgilli ope circum mouetur, fic cochli- dia, ad frontes difcorum oppofitos feí(e applicantia , eos fecundum directiones oppofitas circumagent , ac, parte-mobili magis magisque protruía , fenfim fenfimque discorum frontibus fefe impriment. Aft caute ficiendum eft hoc opus: cochla F enim paulo nimis intenfa , clauus feu cochliditypus , vt- pote valde induratus, facile diffiingitur ; exercitio (olo ácquiritur fenfus quidam , quo, an refiflentia nimis magna fit, nec ne, percipitur. ^ Cochleam enim leui- fér taütum intendere oportet , vt, difcis prima vice re- volütis, vix: cochlidiorum tramites. fint. confpiciendi ; poftea arctius fenfim: cogitur cochlea , donec poft plu- res reuolutiones crenae fatis profunde fint impreffae. Adhibentur antem nom eam potiffimum ob cau- fam duo difci, vt vterque fimul exfcindatur ; fed potius, vt cochliditypus ex vtraque parte fibi UM oppofita aequalem patiatur refiftentiam , nec frangatur: id quod alias, ob iius in Clialbenr actionem , facile accidere poffet Quod(íi vero cochlidity pus admodum. crafíüs fit, fine fracturae periculo vnicus etiam difcus exícindi poteft. Altera, cochleis infinitis exfcindendis inferuiens machina , ratione ftru&urae a priori aliquantulum | dif- fert: partim , quod opera diuerfae valde diametri hac mediante exícinduntut ; ; partim , quoniam clauus tantum modo DVARVM MACHINARVM. 28$ do, in orichalcum , vel ad fummum in ferrum agit, nec opus eft, vt clauus difcos duos fibi oppofitos fi- mul exícindat. | Machinam totam , omnesque eius partes ; dimi- dio imminutas, fig. 2 ct 3. n. 1, 2, 3, 4, 5, repraefentant. | AB, CD, pariter, vt in machina priore , la. minae fant, cum parübus 2 , 5 ; mediantibus cochleis, capitibus quadrangularibus in(lru&is, coniuncae. GH e(t cingulum vna cum füo cochliditypo c 4. — Cuneus im cingulo GH et cochleae F eft interponendus, vt haec illi innitatur , cingulumque GH vna cum fuo co- q chliditypo cd ad opus exfcindendum apprimat, vti ad fig i: funt foramina , operi firmando inferuientia , quorum vni vel alteri , prouti diameter operis elaborandi illud requirit ,.vncus f inferitur ; quem in finem , ne vncus, nifi forte foramen período. impleret , vacillet, fed fir- miter in fuo remaneat fitu, quadrangularia itla facta funt foramina. In eissmodi enim operibus, prout Tes poftulat , diuerfae cráffitiei axes obueniunt. Quum. diíci integri raro , . vtplurimum- autem | fe- micirculi vel quadrantes , aut fe&tores circulorum ex« fcindantur , facile. e(t perípe&tu , neceffe. effe, . vt co. I, punctis notatum videre eít. eee ctc. Tab. VII. et VIII, chliditypus reducatur , opereque ab vna ad alteram ex- tremitatem peracto, denuo adigatur. Reliqua autem momenta, machinae huis vfum concernentia , quum e prioris machinae dcicfiptibhe pa- . teant , fi (üperflüum foret repetere. Nna | ACVS Tab; 1X. Fig. 1. Fig. 1. et 2. Fig. 2; et 3« 254. 4E (0 ) VEN ACVS NAVTICAE NOVAE DESCRIPTIO. AVCTORE I. E. ZEFIHERO. Iss in. nouse acus declinatoriae. defcriptione pro» : prietatibus ,, quibus effectum eft, vt pertica clia- lybea, tanquam pars acus princeps, vim maximant. magneticam , nec, mifi polos duos acceperit: viterius: meditatus füm dé inueniendo aliquo modo, "vi cuius prisma eiusmodi chalybeum ita poíht fufpendi, vt li- bere fcfe circummouere ,; ac per conmfíequens pyxidis. nauticae vfitatae ad. inftar inferuire queat ; id quod obs tinebitur fequenti modo :: Elaboretur virga: magnetica (A, B) eodem plane: modo , quem: ad acum declinatoríam perficiendam ad- hFibere oportebat ,, perforeturque. pariter. duabus cochleis: cauis (x - 2)5. loco: autem apparatus praecedentis ,- irme tur nunc, ac iungatur cum. acu; fruftam: orichaleeum: (CD.EF) Fruftum. hoc ex: lamina (C D): confiftit ,. cuius: in: medio: pyxis: (5), achate , cauitate conica vel parabolica: (I) inftru&o ,. munita," continetur, ^ Eidenr aminse: circulus. (E F) columnellarum ope (3-4) eft: affixus, totusque: apparatus. mediantibus. cochleis (1.- 2). perticae. chalybeae anne&itur.- Quum: circulus ad | conferuasdum- aequilibrium: fa&us fit, e rei natura fequitur, | illum. tam longe in- fia virgam effe ponendum , vt ceuttum grauitatis com- mune ACFS NAFTICAE.DESCRIPTIO: — sss mune totius apparatus füb: centrum motus cadit ,. acus- que asquilibrium femper. reftituatur.. Mluncque in finem circulus "ifte columnellarum" (3-4) ope cum acu eft. coniunétus , vt fitum fatis profundum obtineat. Cui Nonio vwti libet , circuli arcus (E F) ,. qui- Fig. « bus acus extremitates inflruuatur , diuifionesque defignan- tur, pari modo mediantibus columnellis (3-4) iu. tan- ti a fuperficie acus inferiore diftantiz difponat,. quan- ti ad conferuandum acus aequilibrium requiritur , fic. ci culo, primo. loco deícripto, non. erit. opus.- Nng : DE TIT IE DE ^e AEQVILIBRIO VIRIVM CORPORIBVS ADPLICATARVM COMMENTATI1O. Auctore $. KOTELNIKOF. T. No vt fpero, dubitat , quin illud , paffim tradi- tum et demonftratum in libris mechanicis, theore- ma de aequilibrio trium — corpori adplicatarum virium fit. vtiliffimum ; nullam tamen eius demonftrationem ita effe comparatam , vt nihil obiici poffit , aut in du- bium vocari. ^ Omnes vero ifítae difficultates euanefíce- rent, fi principium minimae a&ionis , a Cxléberr. Mopertuifio dete&tum, admittere vellemus ; de cuius ve-: ritate fere amplius dubitare non licet, cum ea a Celeberr. Ewlero aliisque adplicatione illius principii , tum ad Mechanicam, tum ad Staticam, et inde deductis legirimis confequentiis , ita euicta effe videatur, vt. " absque dubio inter veritates iam rigide demonttratas referri poffit —Ex principio illo non folum trium v*- rum in aequilibrio conftitutarum proprietates , fed. et plurium, eadem facilitate deducuntur. "E contrario per methodos adhuc vfitatas , non nifi de tribus tantum vi- rious , quantum mihi conftat , facile demonf(trari folet , eas effe in aequilibrio , fi quaelibet earum fit, vt finus anguli DE AFQVILIBRIO VIRIPM. ^ 884 anguli a.directionibus reliquarum . facti. ^— Theorema hoc etiam ex principio minimae actionis, ni fallor, iam faepius demonftratum eft, fed. methodus haec ad plures, quam tres vires nunquam extenía füit; egre- gias tamen praebet et maxime notatu dignas proprie- tates ;. fi corpori plures vires adplicatae , in aequilibrio cori(titutae ,. confiderentur. . 2. Sint vires puncto alicui idilitdtad- A, B, C, D, E, F, G ctc. et earum diflantiae. refpéctiuae 5, 4 Y, $, £5, u, x etc. — Erunt momenta iftarum virium Ap, B4, Cr, Ds, Ez, Fu, Gx etc. — Et quia actio- nes harum virium per earum momenta exprimuntur , principium. fupra memoratum , ad fcopum nobis pro- pofitum ita enunciabitur, «o£ fuum aGhionum ommium vi- rium. punclo adplicatarum debeat -e|Je jemper amimima , fi nempe vires in aequilibro funt. Ex hoc igitur prin- cipio erit Ap--Bq-- Cr--D E t--F u-A- etc. minimumi; -Et ex natura fninimi debet effc: - A dp-1-Bd q3-Cdr-i- Dd ;-3-E d s-1-Edt -Fdu 4- etc. Hoc eft, íi fitus puncti, cui vires funt adplicatae; etiamfi iuc parum mutetur, tamen fumma actio- num debeat effe eadem , et propterea differentia inter fummam acionem prioris flatus et. poflerioris erit ni- hilo aequalis , feu. nulla. 3. Videamus nunc, quales obtineant valores , ipfae T4b. X. dp, dq, dr, ds etc. (i fitus puncti, cui potentiae Fig. 1. .A, D, C, D etc. adplicatae funt, infinite parum im- mutetur, Hunc. in finem. ponamus potentias A, B, C, isst 28$ DE AFOVILIBRIO VIRIVM. D, E, F, G etc adplicatas efe pun&to O, in diftan- tis AO, BO, CO, DO, EO, FO, GO ctc. hoc eft, $, d, v, 5, 1, tu, x etc. easque effe in ftatu. aequilibrii. Vocentur angui AOB-——e«, BOC—0, COD-—v;, DOE-—S,EOF-—:t, FOG—Z, GOAcc*, etc Pomamus nunc puscum O. translatum effe in |o, et tranfibunt f, q, f, 5, f£, 4, x etc. in p-t- dp; q-1- 44, Y--dr, $--ds, £-4- df, u-1A-du, x-1- dx et; Cum vero fumma acionum refpedu puncti (O fit Ap-- B4 --Cr--D;-rEt--Fau-A-Gx -L- etc. erit eadem refpe&u ipfius o A(p-1- dp) A- B(q-4- dq) 4- Cr4-dr) -A- D( 5 4-45) 4- E(£ 4- d£) A- F(u à- du) A- G (x4-dx) -1-etc. Hinc differentia A p -1- B4 -- C ár -1- ete, quae aequalis nihilo. effe debet ; ideoque Adp-i-BdqA-Cár-- Dds 4-E4lt4-Edu-A-Gds4- etc.—0. 4. Vt iam valores ipíarum 45, d4, 4r etc. de- terminentur, concipiatur ex o per O duca recta in- definita oO N, et ex A tamquam centro , radio AO deícriptus arcnlus Oz, et habebitur, propter AO—Az, 40—dp. Ponatur angulus NOA — (Q, et quia NOA-— NoA-1- OAo-No04A, propter OAo infi- nite paruum , erit 75 — Oo. cof. (Q— mcof 5 , pofito Oo:-dm. Eodem modo, fa&o ex B radio BO ar. culo O^, habebitur o5— 44, et propter OBo infinite paruoum NOB-—NOA--AOB-—NoB, hoc eft Q--a-—NoB. Hinc d4—4dmcof.((-1-a). Haud diffimili modo determinabitar. dr — 4; cot. ((D 4- «4-Q), ds— dmcof.(-i-a-4- g--*y), dt— dm cot. ((-4-a4- Q er y 2-0), duc dmcot.((-- a —- (94- *y -1- 0 -4- €), dx z- dincof ((D-1-a-3- (8 d-y4-03-6- rZ), ete 7 5. Ex DE AEOVILIBRIO FIRIVM. 289 5. Ex his valoribus ipfarum 4f, d4, etc. per- fpicitur fimul lex , fecundum queam formantur, ita vt fi etiam numerus potentiarum fit infinitus , valores in- crementorum , diftantiarum virium — puncto adplicata- rum, facile per cofinus angulorum , a directionibus vis rium fàctorum , determinantur ; quae lex vt melius percipi poffet , placet valores illos in ordinem ponere, dp—dm cof. ; d4q—4dm cot((4-a) ; drzdm cot.(D-- a4 Q) ; ds— dm cof (Q-Fa--g4-y) ; dt—dmcot (QD--o-- g2y 49); du—dm cof.(Q -4- a -- 8 -—- *y 4-9 1-8); dx— dm cof. (D-i-a-1-83—y 3-94-63-2);. etc. vbi attente confideranti obuium -erit, valores iftos ita formari. Si nempe punctum O, cui potentiae A, D, C, etc. adplicatae funt, concipiatur ex O ad diftan- tiam infinite paruam in o0 tranfüffe, «et ex o per O ducta recta indefinita oO N , quae cadet intra aliquem angulum , a duabus potentiis formatum , "vt in noftro cafü intta AO G, eumque diuidet in duos alio AON et NOG, tum fàciendo initium a potentia G vel A, quod perinde eft, .determinabitur incrementum diftan- "Tab. X. Fig. x. tiae AO per cofinum anguli NO A per Oo mutiplicatum; €t incrementum diftantiae fequentis potentiae D, per co- finum fummae angulorum INO Aet A O B, per Oo mul- tiplicatum;:et incrementum di(lantiae tertiae potentiae C, per cofinum ífümmae trium angulorum praecedentium NOA, AOB et BOC, per di(tantiam Oo multiplica- tum ; «tc. Ita vt fi numerus potentiarum fit — z, incrementum diflantiae vltimae potentiae erit aequale pro- ducto ex cofinu angulorum praecedentium 7—1 in Oo. ^ -"'Tom. VIII. Nou. Comm. Oo 6. Va- 200 DE AEVILIBRIO VIRIVM. 6. Valores incrementorum diftantiarnm — virium pun&o adplicatarum , hoc modo determinati, in ae- quatione, Adp-i- Bdq-- Cár -4- D45 -4- etc. —0o quam canonicam vocare licet, fubflituantur, et pro» dibit A cof. (D-L-B cof.(Q-4-a)-4-C cof (D4-a 4 Q)--D cof ((D-a -l- Q-4y )H- E cof (-3- a41- 8 A1-7y 4-9) A- etc. — 0 feu dco J 4 D-4- Bcof. (eof. e Cof cof (o. 4- 8)-4- cof Dcof.( ai—4--'y)-4- Ecof. Dcof (a4 - D4-y4-5)-2— ed ena —Bjii jui a —Cfin Qji. «a 8)— Dfin-Dfüs(o-4- B--^y) — Efi jin 37 B-41-Y 24-9 )2à- etc) 5 — Ex hac vltima aequaüone ratjo potentiarum determi- nàn debet. 7. Cum fius puncti o fit arbitrarius , angulus (D variae magnitudiais effe poteft, ideoque propter diuerfos valores finuum et cofinuum ipfius Q, aequatio generalis plures partiales praebere poteít, prouti íücces- fiue alii atque alii termini euanefcant. — Angulus QD, denotante 7 femicirculum , poteft effe vel o, vel i7; vel 7;.vel ic; vel 27; wel $7; etc, — Erunt cius finus refpectiue Oo; I; O5 SE MES [o I; Ctc. et cofinus Ij CO ES 63 L1. O; Etc. Reliquorum valorum ipfius (D vsque in infinitum , fi- nus et cofinus coincidunt cum quatuor priorum O;i 7, 7, et i7. Vnde patet aequationem generalem , plures duabus praebere non poffe, quae prodeunt ponendo pzse'ec gms Qosim epo v vel D—T5 et DE AEOVILIBRIO 7VIRIV M. 291 et D—im; vel D—o et (Q-—im. Nos fümemus in pofterum femper hos duos valores —o fcilicet et^ (pe zm. $. Vidimus füpra, quomodo valores incremento- rum diftantiarum , quarumlibet potentiarum , inuenian- tur, et demonftraumus , pro vnico valore cuiusuis in- crementi dari duas aequationes; propter duos diuer- fos valores ipfius (D; videamus quoque, quot valores accipere poteít incrementum diftantiae cuiusuis poten- tiac puncto O adplicatae , dum punctum illud fucceffi- ve ex vno loco in aliud transferatur. — Primo intuitu adparet, puncti O fitum poffe mutari, non folum ita, vt cadat in o, intra angulum DOE, fíed etiam intra quemlibet alium , a direcionibus duarum virium fictum; et cum talium angulorum tot fint, quot numero po- tentiae , tot etiam dantur varii fitus puncti O, ita vt quoduis diftantiae incrementum , alium , pro alio puncti O fitu, valorem obtineat. |^ Si numcrus potentiarum fit —7, quoduis incrementum f, 44, dr etc. fo:tie- tur 7 valores diuerfos. ldeoque;, propter fupra demon- fuata , aequatio generalis canonica praebebit 27 ae- quationes particulares , ex quibus valores potentiarum in aequilibrio conftitutarum , angulorumque ab iis facto- rum , determinandi funt. 9. Quoniam ex algebra conflat, tot debere effe ae- quationes, quot funt incognitae , dubium hic füboriri poteft, plures dari aequationes , quam neceffe eít ; nam potentiae per finus angulorum , et finus per potentias tantum determinari poffunt, quare non pluribus 7 ae- Oo2 quatia» 29» — DE AEQVILIBRIO VIRIVM. . quationibus opus effe. videtur. denotante 2. numerum potentiarum. . Sed in pofterum patebit , quamlibet po- tentiam duplici modo determinatum iri, et quaeuis bi- nae determinationes , re vera non nifi vnicam dant tantum aequationcm ;, naturam aequilibrii continentem. . XO. Supra demonftrauimus legem , qua valores ipforum 4p, dq, ds etc. formantur, pro qualibet po- fiuone recae oON , a fiu puncti o pendente, — Ita pro pofitione recae o ON , quando ifla cadit intra an- gulum A OG, habuimus 4p-dm cof. D, dq-dm cof ((D--a), as—dincof.(Q-1-a-i- 3)ete.. Si iam recta ON, promoueatur, et fücceffhue intra angulos AOB , BOC, COD etc. cadat , dum iterum ad aagdluun GOA re- deat , valores ipforam 7p, d4 , dr etc. ita fe habe: bunt, pro qualibet pofiione recta O N. P. dpldmcot. (b dmcof( oigey Ore EA) dg|dacot (Q-Fa) Idiucof SU AD i drdmcot(D ar) . : Idmicot (Q4- Q) d sdincof.( or Q4 y) ..— inco y Q4-y) dtidiucot(O-43-a--B--y43) . — |dmcot(Q--4- y à) dudiaicotc (-1-o---iy--6-pe) — |duicof (4e Br y 346) dx dincoC QD -4-a4- i *y4 8 464-4) daacot (QD 4-*y 4-8 4 e4 2) DE AEQVILIBRIO VIRIVM. ^ 295 3- 4. apdimcof.(D-4-*y--3--8-EZ 4-w) Minicot (D4-9--e4-44-w) -. - dq dincot (CD -1-y 4-8 4-6 4-7 4-w--2) diticol (D --9 4-64- Z 4- 4-2) drdiicof. (p à : . |dicot((--34- ebrei at) ds |dmcot:((D--*y) JM. adeeotb....- Blos dtdmcot.(D4y49) . dmcot(DH3) | - - - du dincof.(CD4-^y -I-8 4-2) . dmcot(Di34e) - - . dxdmcot(D--^y--à-ex-a) |. — |dmeof(D43-eHI) - o - g. 6. dpldmcot(Q-e--£--w) - - .|dmeot(DEZ4w) - - - pd dmcot(D-etZ--wa) — 2 jdmcot(D-óaw2) -—- dridincot (De -Z-pw--a-) — ldmcot(D--Z--w*a48) -- di duco (Dc erbe) dincoti Dac enc ra-r re) i didmcot(Q ^ - -o c Mincof.(GD-4-Z 4-4 -4-y 3) dudmcot(Q--s) ^ - - - jdmcofQ dvjdmcot(D-e-Z) - - - ldmicot. (4-7) J. apdmcot. (QD-Ex) dg diicot.(CD-Ew-4- a) d/|dincof: (C --w--a-4-() ds|dizcot (CD----a-- 4-y) dt dimcot(D-4-w4- a y 4-9 dudmcoft (CD4-v Tor Q-Ey 494-6) dxidincot.Qp In hac tabula prima columna repraefentat valores ipforum dp, dq, dv etc. pro pofitione rectae oON intra angulum GOA ; fecunda pro fitu eiusdem rectae intta angulum AOB ; et tertia pro fitu. intra. angulum BOC ct ita porro. Oo 5 £F. e04 — DE AEQVILIBRIO VIRIVM. rr. Tabulam hanc adornauimus , pro eo cafu, vbi feptem potentiae puncto O adplicitae fünt, et ob eam rem tantum , vt facilius adpareat, qua ratione , " pro quolibet incremento diflantiae , tot valores formati Fig. 2. poffiat, quot potentiae funt. Nam ex infpectione fo- lum. huius tabulae lex formationis abunde perfpicitur , neque explicationem eius exhibere neceffe eft. Ad nor- mam huius tabulae, quolibet cafu dato, pro. quouis potentiarum numero, fimilis facile componi poterit ; quod fequentibus exemplis illuftrabitur. 12. Sint pun&o O tres potentiae A , B et C adplicatae , et vocentur diftantiae A O— p, BO-—4, CO-—r; et angui AOB—«a , BOC:-2, COD-y. tum erit ex füpra demonflrtis , retentis denominatio- bus 2z et (D, dp-diucof. o dp-dincof (4-4-y) dp dmcot (D4-*y) dq-dmcof((D--«) — |dg-dmcot (D dq-dincot: (CD ^y o) dr-—dmcot(Q--a--Q dr2dmcot(--Q) — |drzdmcot.b quibus in aequatione canonica A dp -j- B44-4- Cá r —o fubftitutis prodibit . Acof Q-i- Bcof. ((O-1-2)-1- C cof. ((D-21- à-41- 8)—0 II. Bcof. D--Ccof. (4- 8)2- A cof. ((D4- G4-y)—0 III. Ccof. Qj-4- Acof. ((Q3-y) -À- B cof (-1-y 41-2)—0 feu I.. Acof Q-1- Bcof. Dcof.a-- Ceo. (Dco (a- 8). — B fin. in.a—Cfin. Qn (a--8 «9 II. B cof. (p -1- Ccof. (cof. 8-4- A cof. (p cof ( 8-4) ET —C fin. OC in. G — A fin. D fin. ( aes IH. Ccof. cp -i- A cof. cof. sy -- Bcof. (cotra. — A fin. (D fin. y — B (in. (p AS. id Pona- DE AEOVILIBRIO VIRIVM. —— s9$ Ponatur — 0, erit fin.(9— 0 , et cot (D— x , tunc orientur : ; I2 A - Boc d-r:Cceof (a 8)—0 II. .B -4- Ccof. G 4a- Acof( 8 -4- y)— 0 III. C -- A cof. yy -1- Bcof (^y 4- «) —0 Eft vero propter a -4- Q -1- y - 2 7r, cof. (a4- G) zcof sy, cof.( 8-4- y) — cof& , et cof (^y -4- a)zzcof (9, qui- bus fübflitatis habebitur : A -1- Bcof. o, 1- Ccof. y Zo; B -4- € cof 8-1- Acofa zo; C -I- Acof. y 4- Bcof. 8 z— 0 ; : Eodem modo, pefito D—:-, propter fin.:D— t, et cof (Q— o, obtnebitut: ! B fin. « 4- €fin.(a-1- 8) — 05; (fin. G-- A fin.( G4-)765 A fin.*y A- Bfin. (y 4- à)zz0 3 Ex quibus prodit: Bin. o — C fin. y ; C fin. 8 — A fin. à; A fin. y — Bfin.Q; Ex his aequationibus, valores ipfarum B , C et A in prioribus fübftituantur , et habebitur : I. Afin.a-1- Cfin. y co à -4- Ccof. y fia. a —0 II. Bán. 8-4 Afin. «cof -1- Acof. a in. Q —0o III. C fin. -i- B (in. gcof.*y -- Bfin. y cof. 8 — o. Ex quibus oritur : A fiu. a — Cin. Q; B fin. G— A fin. *y ; Cin. — B (in.a; 13. lnuenimus igitur fex aequationes fequentes: A fin. a — Cfin. 8 ; B fin. — A fin. y; C fin. y — B (in. o; B 6n. a — C in. y; Cin 8 — A (in. a; A fin.»y — B fin. ; quarum , binae inter fe conueniunt ; fcd hoc in aliis cafibus, Fig. 5. 296 DE AEFOQVILIBRIO VIRIFM. cafibus , vbi plures potentiae confiderantur, non fit. Lex, qua iftae aequationes formantur, eft talis: Numerando potentias ab A veríus dextram , hoc ordine A , B, C, priores tres aequationes obtinebis, fi primam potentiam multiplices in cofinum anguli adiacentis ad dextram ilius potentiae , illudque productum aàequabis tertiae po- tentiae , in cofinum fequentis anguli multiplicatae. Eo- dem modo formantur tres aequationes , numerando po- tentias in partem contrariam , fecundum ordinem A, C, B. Si harum aequationum I et IV , ILet V , III et Vlt, combinentur , habebis tres aequationes ; aequilibrii natu- ram continentes: | Il. A(fin.a 4-fin. y ) — ( B-3- C)fin.G II. B( fin. G-1- fin. à )-2 ( A 4- C ) fin.» III. C(fin. »y 41- (in: 8) — ( A -3- D) fin. 14. Pro quatuor potentiis, vbi AO-$, BOc-4, CO-—r, DO-—-;, habebitur , exiftentibus angulis AOB-—c«, BOC—Q,COD—-y, DOH-—$; dp—din cof. b dp—dmcot ((D-3- 8 -1-^y 4-8) dq—ducot. (4-2) dq—dmcof. D dr—dáucot ((O-1-a-4- ) dr— dmcot.((D-1- Q) d$ —dincof (QD -4- a 8-1-7y) dy——4mcot (D-1- 8-17y) dp— diicof (D1- 84-71-89. |dp—dicot. ((—1—y.4-3) dq-— dincot (QD -41- y 4-64 a)|dq—dmicol (Q4 8 —L-a) dr— dincof. (D dr— dmcot-(Q1- 9 -- a-4-8) ds—dmcot.(CD-1-y) ds—zdm cof. (D quibus valoribus ipforum 4p, 44, dr, ds in aequa- tione Adp-3i-Bdq -AA- Cdr-3- Dds—o | fubfti- DÉ AFQPILIBRIO VIRIVM. —— £97 fubftitutis , elicientur quatuor aequationes fequentes : : . Bcof. D cof. Ccof.(cof.( D cof. Qcof. c LAS OE a t CO e (a B) € Din ac B EA TT Yl. cof. D ( B 4 C cof. 8 -4- D eof. (8 4- 'y ) 4- A eof. CQ 3-y24-3))? — —— fin. Q ( C fin. B -4- D fin. (B a 'y ) 4-A fPn« (B IY 8.) — 2 fr. cof. D ( C A4-. D cof.'y -4--^ cof. Cy 4-8 ) 27 B cof (y 4-9 -i- x)? — — fin, Q ( D fin. *y 4- A fin ('y 4-9] -I- A fm. (y 2-6 24-3 )5$— 9 CRDI dera obl err — fin. ( A fin. $ -- B fin. ( $ 4- & )-4- C fin. ( $9 4 -1- fit vti füpra fecimus (D— o, erit fin. D — o, cof. (p — r, qui valor ipfius (D dabit hos aequationes : I. A--Bcof. a 4- Ccof. (^y 4- 9) -3- Dcof. à —0o II. B-1- Ccof. 8 41- Dcof.( a -ji- 8) 4- Acof.a —0 III. C 4- Dcof. y -4- A cof. (a 4- (8) -t- Bcof. (8—0 IV. D -1i- A cof. à 4- Bcof. (y 4- 8) 4- Ccof y —o Item , pofito (—1i7, prodibunt, propter fin.(p — rz et. cof. (D— o, fequentes: IL ]Bfín.a—D fin à-1- Cfn.(ry 4-8) II. Cfn.8 — A (in. a-4- D (in. (9. -4- a) z I1. D (in. y— Bin. 8 -c- A (in. (&4- 8) | IV. A fin.9 — Cn yy-4- Bán. (8 -4- yy ) Multplicentur quatuor priores aequationes refpectiue per fin.a, fin.Q , fin.sy , fin.O et pofleriores per caf.a, cof. , cof^y , cof.ó ; tandem in prioribus pro Bfíin.a cofa , Cfn.QcotG, Dfíi.-cof^y et Afin.3cofó fubftituantur earum valores , ex pofterioribus deprompti. Et hic priores quatuor aequationes in fequentes trans- formabuntur : t I Afin.a-1- Cfin.(a 4- y 2-8 ) 4- Dfin.(a-1-8) —0 II. DBfin.g-1- Dfia.( 8 -1- a 4- 9.) 4- A fin.( 84-2) —o IIT. C in. y -- Afin. (^y. «1: & 417 8) 41-7 B fin. (sy-24- 8) zo AV. D (in.ó -- Bá. ( 9 -41—y -1- 8) 4- C (in. (-4-*y) —o Aom. VIII. Nou. Comm. Pp ex 298 DE AEQVILIBRIO VIRIVM. ex quibus , quia fia. si its nem Q; fin. (a3-0y —-—fin.(Q- y) etc., elicientur A fin. & — C fin. B-I- Dfn.(8 --'y) Bfin. 8— Din. y 4— A fin.( y -i- 8 ) C (in.»y — A fin. 9 -1- Bfin.( à 2-8) Dn. 9— Bán. &:-4- Cfin. (a.-1- Q)- . 15. Inuenimus igitur oco aequationes , quae fi- mili modo formantur, vt et primum inuentae fex ;, nempe fi potentiam. quamcunque A. multüplices per. fi- num anguli, inter eam et proxime Ííequentem intere cepti , hocque productum aequale ponas: fummae pro- du&torum , ex tertia potentia ab A. numerando in: fie num. auguli ,. inter. eam' et: fecundam: intercepti ,. et ex. quarta ia: finum: angulorum: inter' eam: et: fecundam: ia- centium : — aequationes:,, quae. hoc: modo: formantur ;. et: quas iam füpra paragrapho: praecedenti: elicuimus, funt; L Afi.a—C(n. 4-Dfin.(8-4-y) Jl. Bf -—D .(n.-*-A fin.(»y 2-8) II. Cán. y— Afin. 9. -1- Bin. (à -1- à) IV. Díin.ó — Bn. a-4- C fin. (a 2- Q) V. Afin.ó —Cfín. y -- Bn (y 4- Q) VI. Bfin.a—D fin.ó -4- Cfin.( 6 4- y) VII.. Cán G— A(n. à-4- Dfin. (a7 0) | VIILD (n. ^j —B n. Q.-1- A fin. ( Q -21- & Ex quibus, combinando I cum V ,. II. cum: VI ,. III cum Vll , IV cum. Vlllva , fiunt quatuor acquationes, aequi- - DE AEQF ILIBRIO VIRIEM. 299 4equilibrii naturam potentiarum A , B , C et D con- ttinentes , A (fin.a-1- fin.9)—C(fin.(8-1- fin.*/)-4-D-41- B) fin. (B-1-*y) B ((in.8-1-fin.à) —Dy((n.y 2—6n.8 )-à- (A 4- C) fin.(y -1- 2) C(Gn.*y -1-fin.(8)—A (fin. -41-6in.2)) 4-(B3- D) fin. (8 4-2) D(n.9 4-fin.*y)—:B((in.a 4 fin.G-1- (C-1-A) fin. (e.1- g) Tb. X 16. Sint quinque potentiae A, B, C, D, E Fig s pun&o O adplicatae , quarum diftantiae fünt D34,7, $,t£;et angdli AOB—a, bOC-— f, COT y DOE-ó et EOA—:; erit ex fupra demonftratis dp—dmcot- db Wp-dimcot.(Q 4-8 --y 4-9 2-2) 4q-dmcot.((Q-1- a) 14—dmcof (D dr-dmcot (-1-a-1- B) dr2dmcol.((5-1- ) ds-dmcot (QD-4- a4- 84-*y) ls dmcof (QD--4- 8 -4- *y) dt -dincot.(CD-4-a.-1- 81—y 1-9 1 /t 2dmncot. (D 4- 8-t- y 4-8) $4-dmcof (^y 4-8 -4- £) [dp dco. (Cb-t- à --:) f4-dincot (Q—4- y 43-8 4-e-4- a) idis aue Q-r 6-4 £-- a) 4l -dincot. d dr—dincot (QD -1- 9 -1- £17 a4- Q) ds - dmcot (QD -i- ^y) ds - diucof (D dt -diicot QD A- y 4-8) .. dizdmcot((D-1-0) dp— dmcof.((b-1- €) pa — ducot.(Q 4- e-1- a) dr— dincof ((-- £-4- 47 (8) ds —duicot ((D-1-:-4-a4- Q-41-*y) dt — diicot (D Subfitntis his valoribus ipforum 45, d4, ds etc. füc- ceffiue in aequatione Adp-1- Bdq -1- CàrA- Dd; -3- Edt— o Pp2 elicien- goo DE AEQVILIBRIO VIRI M. ehcienter fequentes aequationes: Y. cof. DU A-4-B cof.a-- C cof. (o 17 B) 4- D eof// a1 81—y )-4.- Ecof [a -4- B-1- "4-5 t —e —fin.d(3jino A4 Cfin.( 4-8) 47 Dj in(o--4-B-—Yy)-2—- Ejn-(&-—— 84-49) )5 —— II. cof, Q( B-4- C cof, G-- D cof. (84—y)-—E eof. (8——'y-4-5 )-i- A cof.(B——y 4-5 Hon —e. —/jn«Dic fin.3--Dfiu(Q--y)-- Ej12. (B—4—'y 4-9 )-—A[in(B-4— y 4-9 24-6) III. cof. (C 4—D cof.*y 4- E cof (*y-4-8 )-4—A cof ("y4-8 4-8) -— Bcof. y 28 RGAHEAY. —Jjin«D (fin. YA E fii(y—8)--A 13 0y 4-8 2178)4-B/in«(y4-8 4-£-1- 2). IV, cof. (D4- E cof, 4 A. cof (5 —)-4-B cof. (3 4-54 )-1- C cof. S. Cere —e6 —]Jin.( (E fia 9-4-A fmn.(8 —4-£)-—B fin. (4-€-4-&)-— Cf in(8 4-870477) $— V. cof. (E-4-A cof.& 4-B cof. (e--) 4- Ccof. (E24 a4 8) 4D cof (e-4- B --a-1— y) 1 —À —Jin. T (A fin. € B in«(£ 4-0) :- C fim (£-1- 8 47 B)2t- Din (4-0 4- 4-7 72).5 — —— . [j — 17. Ponatur nunc Q-—o wt füpra, et erit fin.(p—o et cof (D— 1, tumque orientur fequentes aequationes : I. A-- Bcof. &-1- Ccof. (sy -41- 6 -1- c) 4-7 D cof. (8 4- &) -- Ecof.e— o II. B-1- Ccof G -1- Dcof. (6 -41- € 4- 4) 4- Ecof. (£27 a) -- Acof.a—o III. C 4- Dcof. y -3- Ecof. (c 24— & 4- (8) 4- Acof (a-4- (8) -- Bcofg — o IV. D-1r- Ecof. Ó 4- A cof (a 41- 8-3-y)-A- B cof.(G 21 y) -j- Ccof. y —o V. E-r Acof.e 4- Bcof. ( 4- *y -1- 8) 47 C cof (oy 4-9) -—E-Dco9-59. Item pofito Q—m, fiet fin.(D—zx et cot. (D— o, ficque. proueuient iflae aequationey : L Bína—Ef(n.e-1- Df(in.(9 4- e) 4- C fin.(^y-1-9 4-0) Il. Ctin. GB— Dfin. (a 4- 8 4- cj4- E fin. (a-1-6) 24- À fin.a IIL. D fia. y — E n. (a-1- 8 4-€)-I- A fin.(a-3- Q)H- B fin ]V. Efiu. —Afin.(a 4-( 4-"y) 1- Bfia.(8-1-y)-4- Cfin.»y v. ET NU UU CLMET C c d ulti- DE AEQVILIBRIO VIRI M. gor Multiplicentur priores quinque aequationes per fin. a, fin. Q, fin. y, (in. 8, fin.e, et pofteriores per cofinus eorundem angulorum ; tandem valores ipfirum B (in. cof.u, Cíin.Qgcof 8, Dfin.-cof.^?^, Efin.ócofó et Afin.ccofe, in prioribus fubftituantur, et transformabun- tur iflae aequationes in fequentes: I. Afin a—Cfin g4-D fin.(G-1-y)--Efin.(G-4-*y 31-2) IL Bfin.g—D fin. y-1- E fin.(»y -4-9)21-A fin.(y-1- 94-2) III. C fin. —E fin.9 -1-A fin. (6 -1- c) -1- B fin. (63-e-4-a) IV. Dfin.ó — A fin. c-1- B fin. (c3- a) 4- Cin. (e1- a-1- 8) V. Efin.c— DBfin.a-1- C fin.(a4- 8)-3-D fin.(a-1- 81- y) quae naturam quinque virium, in aequilibrii ftatu exiíten- tium , exhibent. 18. In hoc caífü eadem lex deprehenditur , quam et fupra in formatione aequationum — obferaauimus ; neque opus eft, vt plures cafus euoluantur, ex his iam tuto concludere licet , aequationes iftas fequentem in modum formari: Quaeuis potentia per reliquas ita de- terminatur , vt multiplicata in finum anguli, inter eam et proxime íequentem intercepti , aequetur tertiae ab ea potentiae ; ductae in (inum anguli inter fecun- dam et tertiam iacentis; plus quarta, ducta in finum angulorum , inter fecundam et tertiam , tertiam et quartam interiacentium ; plus quinta potentia, multi- plicata per finum trium angulorum , inter eam et fíe- cundum iacentium; et fic porro. 19. Si iam potentiae I et V; II et I; III et II; IV et III; V et IV combinentur, prodibunt fequen- Fp3à3 tes Fig. 5. $02 DE AEOVILIBRIO VIRIF M. | tes aeqvationes , naturam aequilibrii quinque potentía- rum continentes : A ( fin. & 4- fin.e ) — C (fin. $ -I- fin (4j —- à) -t- D(üin.$ -t- fin (61-))-1- (B-1- E)fin.($ 44, 41-8) B( fin. 6 -- in. a ) — D (in. y -1- fin. (8 4 £)) -- E (in.e -t-fin (*y47-8)2-(A-1- C)fia. (y 41-8 4-€) C( fin.*y -1- (in. $8 )] — A ( fin.a 1- fin (6 2 £)) 4- E((in --fin (a-4-c)-I-(B4- D)(n.(ó 4-:-41-a) D( fin.8 -1- fin. y ) — B(fia. 6 4- fin. (e 2- à) À— A (fin € -r-fin (a4 $)-1- (C2- E. fin. (£-£- a41- 8) E( Gin £-1- fin. 9 ) — C((in.*y -4- fin.(a41- 8)) 4- Bi(in. a -i- fin ($2 y )-I- (D-1- A )in.a.1- 84—y ). 20. Sint itique fex protentiae A, D, C, D,E F punco (O adplicatae , asgulique ab iis comprehenfi &, 6, y, 9, c, £5. erit. per regulam fupra 6. i8. traditam À fin. a — Cfin. 6 -1- D in (63- y) 41- E (in. (8 -1- *y 1-8) -r- Fün (6-4 --64- c) A fin. Z — E (in. c -1- D fin. (c 3- 8 ) 4- Cn.( -- 8 y) qe —- Bfiu.(e-4-8 -- y -4- 8) hinc MM E E ME Eodem modo inuepiuntar Ir. B (iv. B 4- fin. o) — E( fin. (& -- y) 4 fin. (€4- €) 4- D ( fir. *y A fin.f8-4-t 4-0) -F(A EO YS dini de F(Ji* fin. (€ 4— 84- y) II. C ( fin. in. B) — F( fm.(6 —4 o0 4 fin. (€ 47 8)) 4— E ( fin. A fin. 4-620 Ire me gm peces dq à 43-E4- € 22a) A- A ( fin. a 4- jin. (€ - L8) Iv, D ( fin.8 -4- fin'y) — A4 fin. (a 4— 9) 4- Jin. Q 4- ) 4-B( Jin. 4— fin. -4-4-£)) -- (E 4- C) fi (6 4- 2 H7 3 47 B; A 8 Cfin.e 4- fr «(a -3)) V. E (Jin. £4- fin. 8) — B( iin. (a-4- 6) 4— fim. (B-4—y))2- A ( fin. £4 fin. (a 9-4 y) -- (CF —- D)fi». (&4- a 1-2 A- CC fin. "y a- fin. (G5 a -2)) VI. F (fín.$ -4- fin.£) — C fin.(B—- a)-4- fin-(y-4-8] -4- B( fin. -4- fin (B-4—y 4-8?) 7i- (A417 E) fin. (a-4-B-1- Y 4-9) 47 D (Ji, 9 -4- fin. (y-4-B-2.)- : 21e DE AEQVILIBRIO FIRIV M. 303 21. Hae fex aequationes naturam aequilibrii fex vium A, D, C, D, E, et F pun&o: O adplica- tarum perfeé&e determinant. Et quouis dato caía, pro quolibet numero potenüarum , facile inueniuntur , per regulas fupra. traditas. Veritas vero Theorematum, his aequauonibus contentorum , €x eo etiam oftendi pot- eft, quod quaelibet harum: aequationum euanefcere de- bet, hoc eft: omnes termini fe deflrucre debent, fi potentiae et anguli ab' illis. facti omnes fuerint inter íe aequales. — Sumamus ad hunc fcopum, vnam ex fuperiori paragrapho exhibitis fex- aequationibus , veluti. Vltam:. F(fin. i - fint) —C! fin, veneti ent fin. &4- fin. (84-*y-1-8))2-/ A 4-E) fine --84-Y2-39)4- D fan. 8 A-fin('yA-9-A-4)»- 22. Quia pq. gi. 4-0 4-£-- G— 2 7, erit 3-6 -2-a—2m-(84-s4-6) et a4-6-1-y -3-0— 2 —(c3- 4), quare fin.(gy -i- 8-437 à) — —fin (9 -- € 4- 6) et lon Gir cuni qus Simp eiat quibus: fübfti-: tutis fiet, —— cfi ( fin, F (fin. 2 4- fin. c) — C (Jin (Re) pedit irrbae!) Ponatur nunc R—B--C-D—E-E et. a—e—y-s ze—ó, et prodibit;. 2.fin- o. — 2 fin. z &-1- fin. a-1- fin: $ —— 2 -1- fin. &: — fin. 3 & vbi. omnes. termini: fe: deftruunt.. DE. 304. EMT 310307 DE CO M^ME OD AD CSS DECLINATORIAE SVSPENSIONE DISSERTATIVNCVLA. Auctore S. KOTELNIKOJ,. l. presens docuit, acus magneticas non perforatas nom folum maiorem vim magueticam accipere, fed et id lucri adferre , — vt facilius. effici poíht , vt acus duos tantum polos magueticos a puncto fuípenfionis aeque diftantes adipifcatur , quod in acubus in puncto fíüufpen- fionis perforatis difficillime obtinetur. ^ Nam praeter expectationem plures poli exoriuntur: quo fit, vt mo- tus acus declinatoriae perturbetur, et ideo experimentis cum tali acu inftitutis confidere non licet, quod iam CI. Zeiberus in differtatione ante tradita annotauit. ^ Ve- rum pauciffimae acus hoc defectu carentes fibricantur. Jgitur non mediocria in fcientiam rerum nauticarum totamque phyficam redundabunt «emolumenta , fi ifte defe&us commoda acus f(ufpenfione —euitari poffit. Cuius rei in gratiam contigit mihi incidifle in fequens, non fümptuofum et ad praxin aptiffimum , a.us decli- natorias füfpendendi artificium, vbi non eft neceffe, acum pertundere , vti adhuc fa&um eft. II. DE COMMODA ACF. DECLINAT. 305 II. Defcriptio. 1. Fabrefiat limina chalybea , parallelopipedi fi- guram habens, in vtraque extremitate in cufpidem abiens , perque totam longitudinem aequaliter craffa , jn qua centrum grauitatis determinetur, et notetur li- neola transuería. 2. Lamina ad acum declinatoriam hoc modo fà- brefacta induretur et imbuatur vi magnetica, ope dua- rum magneticarum laminarum , feu magnetum artificia- lium, ad laminam ita adplicatorum, vt ad partes con- trarias inclinati angulum efficiant , verticem ad lami- nam habentem. ^ Frictio ad centrum grauitatis lineola transuería notatum incipiatur , ibidemque finiatur , tra- hendo magnetes dextrorfum et finilrorfüum ad extre- mitates vsque laminae. Hoc modo obtinebitur, vt la- mina non folum duos tantum polos habeat, fed et centtum eorum commune cum centro grauitatis lami- nae coincidat. 3. Fiat ex ligno conus truncatus, cuius bafis infeior habeat diametrum multo maiorem diametro bafis fuperioris. — In bafi fuperiore huius coni fiat inci- füra transuerífi , ad axem coni normalis, et quae ad laminam accuratiffime quadret , ita vt lamina in eam impofita cum cono firmiter cohaereat. Tom. VIII. Nou. Comm. «9g 4. Ia 3066 DE COMMODA ACF 4. In bafi inferiore coni fiat fecundum eius dxem cauitas conica , cuius altitudo vix non adaequet altitadinem | coni, propterea vt puuc&tum fíufpenfionis , quod eft in fündo cauitatis ; cadat fupra commune . centrum grauitatis acus et coni. 5. Lamina imponatur in incifüram , iu fuperiore bafi coni facam , ita vt lineola transuerft , centrum grauitatis laminae defignans, per axem coni traníeat ; füfpeudaturque in pixide, eodem modo, vti acus ordi- nariae füfpenduntur. Iit. Quodfi acus parum) ftabilitatis habeat; auf it- vertatur ; quod indicio eff, centrum grauitatis effe fu- pra ceutruri fufpenfionis , tumi fiat annulus ex graui metallo , et ad inferiorem coni bafin adcommodetur. Poteft etiam; huic incommodo obuiam iri, fi conus ita fabrefactus fit, vt ex duabus partibus conftet, fuperior ex ligao, inferior vero ex metallo. Inte- rim notandum efl, poridus coni debere effe maius pondere dcus. — Attamen artifex curare debet, ne pondus coni fit valde magnum refpe&u ponderis acus ; hoc eft: ne iufto maius fiat, et füperfluo pondere acum fegniorem reddat. Vt igitur inter pondus coni et acus defiderata femper proportio obtineatur , fequens problema (übiun- gere placet. IV D'EC€TLINSTÓOÓRIX4 7 IV. Problema. Dato pondere acus declinatoriae, determinare di- menfiones coni truncati , fi illius pondus ad pondus acus habeat rationem datam. Solutio. Sit pondus acus ——5; et pondus coni — 9, denotante ? numerum integrum. Ponatur pondus vnius digiti cubici chalybis — 5; erit volumen acus declinato- — 7? linearum cubicarum. Dae — Sit porro grauitas fpecifica chalybisad grauitatem fpecificam materiae, ex qua conus fabrefactus debet effe, yt 7 ad ; et foliditas coni —S. Ent $2 Sed ex geometricis conflat, pofita diametro bafis inferioris coni — x; füperioris ——y; altitudine 5, et ratione diametri ad. peripheriam ——1 : 7, foreS — 5 vU giae — a&mb(xx--yx--yy); vnde obtinetur xa-axy--yy— SE, Quia ratio diametrorum bafium coni truncati eft arbitraria , ponatur »— Ay, denotante A numerum ynitate maiorem , et habebitur Jy Qi I-A 2x) Ll ien sonp vnde y— VUE E XN Yn mb et X —Ay. Qqe V. 508 DE COMMODA A4CF A /A Sumta igitnr altitudine coni 2 pro arbitrio, bafium diametri ex traditis in praecedente paragrapho determinabuntur ; oportet tantum numerum 2A definire, vt iÀ( c -l 1) paruum valorem obtineat. Haec formula exhibet valorem diftantiae centri grauitatis coni truncati , ab inferiore eius bafi. Sed quum debeat effe At 1,et ternarium non multum excedat, tum enim conus erit deformis ; nam fi ponas A— 3 , erit diítantia cen- tri ab inferiore bafi 2-i5. Sumamus ergo A ita, vt diftantia centri grauitatis fit praeciífe —;5. ^ Quam ob rem erit Ó2--— ui vnde habetur haec aequatio AÍ—4A --8A—5-—0 cuius radices funt, 1 ; 1; 1--Y6 ; 1—Y6 V]. Vt igitur diftantia centri grauitatis coni cadat ad :5 ab eius bafi inferiore, fumatur A— 1-1- Y 6 et erit: 20 on$ ——L er os deer pud m EIE et x—Jjy(1i-4-Y6). Sed quia Y 6— 2.44949 , erit 4—3,44949 , quie fra&io decimalis dat fequentes fractiones pro A : 7/5. 3X 60 pi 3: D 3 T 3.993,29 3 ? quarum poflrema fatis accurata eft. Si ergo fumatur &c-Iiiyca wixchsapeegwdax— o4 NE Nel. x 205 925097 femper DECLINATORI A. 399 femper centrum grauitatis coni erit ad ; eius altitudinis depreffüum. | Hoc tamen notato, quod maiores numeri propius ad veritatem accedunt. VII. Si quis parum curet, vtrurn pondus coni datam habeat proportionem ad pondus acus, nec ne ; is po- terit ex paragrapho praecedenti fümere rationes diame- trorum. d tamen refpicere debet, vt pondus coni fit maius pondere acus. Sed propter eos, quibus propor- tio ponderum , acus et coni , curae eft, (unt fequen. tes abfoluti valores diametrorum : J— 12:283. i piel AE SAI IV ur Quum lignum ad hunc víüm aptifimum fit ebe- num , propter fuam duritiem et grauitatem ; eft enim ilius grauitas fpecifica ad grauitatem fpecificam chalybis indurati vt 1. 177 ad 7. 204: €erit 201527777171 et Ym-—0.39086 ; ideoque y—39.19Y 55 ; et X — 155.16 Y ;5; fed ad flabilitatem acus obtinendam fufficit altitadinem coni — 6^ ftatuiffe, tum centrum grauitatis acus erit ad minimum adhuc ad z/^ infia pun&um fü(penfionis depreffum. | Mox vero oflendam, quomodo efficiatur, vt centrum grauitatis profundius cadat. Ponatur ergo — 6^ , et erit 4216.06 Y * et x—55.4V d. VIII. Quia pes cubicus aquae ponderat 62: libris Am- ftelodamenfes, (eu 480000 grana, ideoque pollex cubi- Qq.3 cus Tab. X. Fig. 6, $10 DE COMMODA ACFV cus Rhenanus ponderabit 278 grana ; eft vero graui. tas fpécifica aquae àd grauitatem fpecificam chalybis vt 1 ad 7.704: erit pondus pollicis cubici chalybis 22140 grana, ideoque 5b — 2140 ; quare 3216.06 Y AL, et X— 55.4: V B Ix. Quum conum ita determinauerimus, vt eius cen- trum grauitatis cadat ad profunditatem duabus tertiis eius altitudinis aequalem , et fi acus adplicetur, tum afcendet , et erit ad vnam tertiam circiter altitudinis tantum depreffüm: igitur, vt centrum grauitatis acus inferius deprimatur , cono talis figura tribui debet , vt maxima pars eius maffie ad inferiores partes colligatur; quod íequenti modo obtinebitur : Fiat conus fecun- dum datas dimenfiones, cuius pondps fit aequale pon- deri acus, deinde ita tornetur, vt non tacta bai ínfe- rire, ad partes fuperiores multo gracilior. reddatur. ( vt figura reprefentat) Tum ponderetur, vt ablata pars maffae innotefcat. ^ Poftea obducatur lamina auri- chalcea , pondere ablitae maffae aequali, tam cauitas conica, quam bafis inferior coni. Lamina vero, qua bafis obducitur, debet craffior fieri ea , qua cauitas coni- ca obducetur. lta obtinebitur, Yt acus magnam ftabili- tatem habeat. 2. Et quum ín tornando difficile eft obíeruare , vt conus ad datas d menfiones exacte fabricetur , adhibea- tur DEAS KM ATOQURdo4s an tur cautela: lamina aurichalcea bafin coni | obducens fiat ponderofior ablata ligni portione. ^ Sed hanc pro- portionem ponderis et altitudinis coni tantum tum obferuare licet , cum pondus acus fit non infríaa 500 grana ; in minoribus vero altitudo 5» minor, et pon- dus maius accipere conueniet , prout neceffe erit. For- mulae vero ad abfíolutos diamctroram bafium valores- determinandos adhibeantur fequentes : der 89e 19Y.zxdz] in partibus decimis pol- X—135. 19 y ne licis Rhenani. Exemplum [. Sit pondus acus — 2140 grana; fümatur pondus coni aequale ponderi acus:, et altitudo. —— 6"/^. . Erit. 1—15 2140; p — 6r, Vnde inuenitur y — 167 ; cc 5 3 Exemplum II. Sit pondus acus. —555- grana. - -Et fiat pondus. coni aequale ponderi acus ; altitudo vero — zc 6/". But. »-—:535.) n-- x. Vnde fit diameter bafis füperioris —y — 8". ceci UMIECHIOTS xu 23". Exemplum III. Ponatur pondus acus — 6o grana ; pondus coni du- plum ponderis acus ; altitudo 2— 4^. — Erit »—2; | p-—69; (Tab. X. Fig. 7. 312. DE COMMODA ACF DECLIN AT. p-—60; vnde inuenitur y — 5; x— 16. In hoc cafu lamina aurichalcea ad bafin accommodare non erit opus, etiamfi a fuperiore parte coni dimidium eius ponderis auferatur. Scholion. . Si quis fümptibus nolit parcere, iubeat parare ex aurichalco, aut fi malit ex argento, campanulam ced, quatuor vel quinque lineas altam ; ad cuius bafin iun- gatur, cochleae ope , annulus 7 2, aequalis cum acu. de- clinatoria ponderis ^ Ad "verticem vero campanulae adcommodetur lamella ef quadrangulari foramine prae- dita, per quod acus tranfire et cochlea g firmari pos- fit. Parietes vero campanulie verticem — verfus valde tenues debent effe , fed bafin veríus craffiores. PHYSICA PHYSICA. MESS ( 0 ) SERM 91$ PLANTARVM ALIQVOT RARIORVM DESCRIPTIONES COMPLETAE. ADIECTAE SVNT DELINEATIONES III. Auctore IOH. CHRIST. HEBENSTREIT. I. MESSERSCHMIDIA. Lis Hort. Vpf. p. 36. ARGVSIA. Amman. Stirp. Ruth. p. 29. TOVRNEFORTIA foliis lanceolatis , floribus corymbo- fis , caule herbaceo. Lgzm. plant. p. r41. n. 7. E initium Maii planta ex terra prouenit, turio« nibus copiofis forma capitulorum globoforum , compactis ex foliolis conuolutis , anguftis et pubefcenti- bus. Iacrementum cauliculorum et foliorum , primis, poftquam ex terri prodiit, diebus , eft admodum len- tum et vix animaduertendum : augentur vero cunctae partes. multo euidentius , íi congelationes nocturnae ceffant, et pluuia folum aliquoties irrigauit. . Menftruo fpatio vtplurimum exaco, ad iuftam in ea: perueniunt fingulae partes magnitudinem , et planta, omnibus fuis partibus exornata , difquifitioni eft aptiffira. ^ De ra- dicis aetate primum quaedam praemittenda erunt, cum ea multum conferre videatur ad fingularem illius con- ditionem diiudicandam. — Viuacem admodum effe, diuque fuperftitem , exinde colligo, quia in adfignato ei loco Rr2 in 516 PLANTATM!M in horto per decennium iam creuit, et quotannis criffitie, turionibus et pluribus gemmis nodofis augetur, latiusque fcrpit. Aliquot vero annorum fpatium requi- ri, antequam füfficientem copiam füccorum colligat, et caules florentes et fructus perficientes proferat, hoc iam. adnotauit mrzanus in Stirpium rariorum , in Imperio Rutheno fponte prouenientium , deícriptionibus, Pe- tropol. 1759. 4. p. 50. lll. Limeus in Hort. Vpf. pP. 36. caules plantae pedales vidit, nullum vero flo- rem vel fructum , exinde etiam hanc ítirpem genere dubio , AMef[Jerfcbmidia , tradere coa&us eft. — Eandem denuo in Spec. plantar. p. r4r. inter incertas adhuc plantas T'ournefortiae generi adíociauit. —Mihi itaque fubnafcitur fufpicio, in horto Vpfilienfi, aetatem iuflam nondum adfecutam , aeque ac olim hic, flores fructus- que ferre recuíare. — Fructus, nec apud nos perficit, licet. quotaanis floreat, et eos promittat. . Radix itaque depicta ad exemplar recens, eít perennis ,. calami. olo- rini craíhtie , tenax , extus fpadicea, multis tuberculis ceu tot gemmis in omni ambitu praedita , horizonta- liter repens , et copiofis fibrillulis capillaribus ad tuber- cula, et vbi finitur, infiru&ta ; intus alba et parum fuccofa. ^ Caulis adícendens eft firmus , inflexus tamen aliquantum ad terram , inferius rotundus , (üperius, vbi rami ex alis foliorum exeunt , augulofüs, hifpidus, foliis copiofis, et ramis ad cacumen vsque, vbi flores collocantur , veftitus. — Folia caulina et ramea funt an- gifta, lanceolata, integra, tenuibus et copiofis pilis Obfitài , in aueríi parte ex albido virentia et fericea quafi facie ; in aduería profundius virore perfuía , neruis et DEUSVCOITPTIGOGNES. ig et venis aliquot inflructa , et breui petiolo cauli al- ternatim adhaerentia. — (Per negligentiam pictoris fa&um efle moneo, quod in íuperficie folii fuperiori multae venae excurrentes , quae tamen abíunt, delineatae exhibeantur). ^ Singulare quid obferuaui in incremen- to foliorum , nempe augmentum horum durare per omnem aeílatem, et folia, quae primo vere confpiciun- tur , lineari-lanceolata , pubefcentia , rigida , etiam con- fertim pofita, fi caules perfectos confideras aeftate ca- dente , nunc triplo maiora effe, viridiora , flaccida et rara, dimenfone etiam fíüs vtplurimum conuenientia. Integritatem caules et folia conferuant ad primum geli- cidiüüm vsque ,. quo, fi laeduntur tantisper, protinus corrugantur , nigrefcunt , non tamen decidunt , íed vna cüm caulibus pereunt. | Rami plures in fuperiori caulis parte ad. alas foliorum oriuntur , alterni, palmares, quibus dein füccrefcunt alii in medio et inferiori loco, minores et tenuiores. | In fümmitate plantae et ramo- rum íüperiorum , pedunculo communi elongato et fub- diuifo in aliquot ramos, pedicellis breuiffimis flores tres quatuorue infiftunt ita, vt. corymbum quafi forment. Calyx eft monophyllus , quinquifidus , laciniis lanceola- tis, hifpidis, conniuentibus, dimidiam tubi partem: haud attingentibus. — Corolla eft monopetala, regularis, infün.. dibuliformis , tubo cylindrico in fundo globofo, limbus quinquifido , íegmentis ad horizontem directis , fülco longitudinali excauatis , in ambitu finuatis , apicibus ex- tremis deorfum flexis. ^ Color corollae in limbo in vtraque fuperficie penitus eft albus, in tubo interius flauus , exterius viridis, et in fundo, vbi calyce tegi- Rr3 tur, 518 PLANTARV M tur, flauefcit. Stamina ad(unt quinque in medio tubi, filamenta breuiffima et antherae fuübulatae erectae flauae; pifillum ftaminibus breuius, ftigmate globofo fícabro , quod extremitati globofae tubi clauis inftar infixum eft. Semina adhuc fruftra exfpectau. ^ Et ne parte prima- ria deítituta prodeat haecce defcriptio , eam —füpplere in animo habebam Clar. JMefferfcbmidii | expofitione , data ab Amano in ftirpibus rarioribus Ruthenicis. Sed mutanda fait fententia , ideo , quia in nonuullis emen- danda eft.inuentoris de femine huius plantae enucleatio. Forte fortuna inueni in feminario horti nonnulla huius plantae femina vetuíta , et perfpexi clare, ea effe duas capíulas offeas, fubftantia fpongioía exterius veftitas , fecundum longitudinem leuiter cohaerentes , quarum quaclibet in parte exteriore conuexa, fi transuerfim diffecatur, duos nucleos oblongos , incuruatos , angulatos, in loculamentis feparatis includit. —Capíülae totius, ex duobus hemifphaeriis coalitae , figuram , loculamenta , et nucleos , tabula adiecta repraefentat. Ex characterum genericorum diuerfitate diiudican- das et denominandas effe omnes plantas , fententia tam certa tamque firma eft, vt probatione nulla indigeat. Quodfi itaque perluftramus plantam , et fingularem fractificationis ftructuram | ab omnibus adhuc cognitis plane diuerfam deprehendimus , neceffario quoque ei; ad euitandam in diícernendo ab aliis confufionem , no- vum imponendum erit nomen genericum. | Ad hasce autem plantas, charactere fingulari donatas , referendam effe Mefjerfcbmidiam , omnes iam perfpexerunt , quot- quot eam diíquifiuerunt , nec reliqui refragabuntur , qui- bui DES CIT? TRAOULE S. 329 bus in pofterum occafio dabitir, eam propius contem- plandi. De varia denominatione illius pauca tantum addam. B. AMeffer[cbmidius ; primus inuentor, eam in Xenio lfidis Sibiricae ^ quod 1n. tabulario | Academiae adferuatur , a loco natali penes Argunum fluuium ; "rguniam vocauit. | Hoc nomen et defcriptionem , | in loco natali concinnatam , ftirpibus fuis Ruthenicis Clar. 4Ammonus inferüit. Sed nefcio, «cur mutata compcella- tione illam dixerit 4Azgwiam Optime tamen infimul monet , poffe etiam in pofterum vocari AMefferfcbmnidi- 4m ab indagatore. Ill. Limmaeeus in Hort. Vpíal. 1748 in 8vo emiffo , equidem . /MefJerfcbmidiae genus | condi- derat ex hac noua, de qua fermo eft, planta : in fpe- ciebus vero plantarum Anno 17535. editis, illam ad Tournefortiaé genus retulit. — Si vero. conferimus cum AMejJerfcbmidia characteres genericos , a Linnato in ge- neribus plantar. edit. quint. (1754. . Tournefortiae adícriptos , cognofcimus , in quam plurimis , praefertim in fructificatione, difcrimen fane maximum. — Praecipuas differentias allegare ideo rmeceffarium erit, quia exinde difcrepantia vtriusque generis comprobabitur. ^ Differt itaque MefJerjcbmidia ab eo x) filamentis , quae non funt longitudine tubi corollae , fed breuiffmae ; 2) fitu antherarum , quae non in fauce corollae , fed profundius, et quidem in medio tubi ; haerent ; 3) ftlylo , qui fta- minibus eft breuior ; 4) fructu, qui eft ficcus , omni pulpa deftitutus , ex duobus hemifphaeriis coalitus , quo- rum fingulum duo loculamenta diftinca habet, femen vnicum includentia, feu nucleos oblongos , angulatos al- bidosque. Ad memoriam igitur renouandam et confer- vandam Tab. Xl. 520 PLANTARFVM vandam viri optimi , Danielis Gottliebii Mefferfcbmidii Gedanenfis, Med. Doctoris, qui ab anno 1719 ad 1727 omnem diligentiam et ftudium indefeffum | impendit , colligendis et deícribendis naturae thefauris regni Sibiriae, plantam hanc ab ipío denominare : minime improbandum erit, cum idem honor et alis exhibeatur , quorum merita in rem botanicam videntur alicuius momenti. Exfpe&amus in poflerum , adhibita vlteriori cultura , femina matura ab hac planta, quae communicari pote- runt cum iis, qui delectantur cultura et propagatione plantarum , nuper detectarum. Vt vero aliquam inte- rea fibi acquirere pofünt huius vegetabilis ideam ; adieci iconem , confectam ad plantam in ^ horto. academico florentem , et quam Cel. manus olim defcriptioni fuae , cum tantum plantas iuniores poffidebat , addere non potuit. Dum .4emmanianae deícriptionis ^ mentio- nem iniicio , quae bona et completa eft, fi fructum excipias, infimul etiam reprehenfionibus forte nonnullo- rum , qui me actum egiffe putabunt, data alia. defcrip- tione , obuiam ire debeo. ^ JDeclinare ^vero has com- mode potero, rationem adducens non fpernendam ; quia incongruum mihi videbatur emittere iconem folam fine expofitione aliqua , vel et lectores amandare- ad librum, quo forte plures carent , fi plantam , nuuc demum. de- lineatam , infpiciunt. Explicatio Tabulae I. A. Planta in naturali. magnitudine, B. Radix repens cum. turionibus, a. Calyx cum piftillo, b. Corolla absque calyce. «. Eadern D'ESCRIP'TTIO:YNE;S. $21 &. Eadem tubo difft&o , vt flamina cum piftillo in con- fpe&tum veniant. d. Capfula integra. e. Hemifphaerium fru&us ab interiori facie expofitum. f. Fru&us integer transuerfim diffeus, vt quatuor he- mifphaeriorum loculamenta appareant. g. Hemifphaerium , fubftantia exteriori fpongiofa orbatum, offeum , cum duobus loculis , vt monftrentur. femina j ab interiori facie apertis. b. Semen. II. AESCHYNOMENE caule hifpido, foliolis acuminatis; leguminum articulis fuborbiculatis. Royen. Flor. Leyd. Prodr. p. 384. Haller. Hort. Goett. 1753. p. 265. Linn. Spec. plant. pag. 713. n. 2. HEDISARVM caule hirfuüto mimofae foliis alatis ; pin- nis acutis minimis gramineis. S/o42. lourn. to lamai- cc Ton: ^p. r86.'t30. 118. fip. 3. Inter femina , ante triennium ex Anglia huc mif, reperi Hedyfirum quoddam americanum — minus mimofíae foliis Sloan. inícriptam , quodque (atum , fpa- tio decem dieram elapío proueniebat , et laeto incre- mento fumto , poft duos menfes flores exhibuit , quos fequebautur femina matura , (iliqua articulata inclufa. Pe- rit tum planta frigore tacta , quae ex ftructura fua, et celeri omnium partium euolutione, videtur annua. Quae €e ea notaui, dam vigebat, breui hac expofitione re- feram, et commemorationem horum anguflioribus limi- tibus circumfcribere potero, quia planta, de qua dicu- rus fum , fuperiori faeculo iam inuenta et delineata , et aute aliquot annos denuo ab lll. Ha//zro in Enumeratio- "Tom. VIII. Nou. Comm. $5 ne 322 PLANTARFM ne horti Regii et agri Goetting. 1755. in 8. edito, quoad partes praecipuas, florem nerape et fructum , de» fcripta eft, Deficit vero illius exacta icon: ea enim, quam dedit S/oemens ia Hift. Iamiaic. Vol. I. pag. 186. tab. 118. fig. 3. minime tolerari poteft; ct a Cel. Royenio Flor. Leyd. Prodr. pag. $384. iure mala ad. pellatur , hinc meliorem, et ad viuam plantam fictam, exhibeo. Vegetationis hiftoriam paucis dilucidabo. Plan- tulae ex terra prouenientes , — perfiflentibus — aliquamdiu cetyledonibzs , ex cauliculo , tenui , terete , hifpido emittunt. folia pinnata , folitaria , alterna. — Si planta pedis altitudinem attigit, in inferiore loco ad latera fo- liorum emittit ramos procumbeates , iu fuperiori adíür- gentes. Exporrigitur tum caulis ad pedes duos et vl- tra, neque tamen multum volumine augetur : crafífities enim eius vix ad duas lineas parifinis, vbi maxima eft, accedit. Rami numero, quo altior fit planta , augentur ita, vt babitu externo fruticulum quafi ; ramis vndique obfitum , repraefentent. Nunc ad fingulas par- tes fcorfim defcribendas, progrediendum eft. Radix eft . vnica, fibroía, fibrilis albis donata. ^ Caulis adíurgit vnicus, rectus , rufeícens , totus hiípidus, pilis inferius rutilis paucioribus, fuperius viridibus et copiofioribus, ve- ftitus, parum lignofüs, teres, emittens plures vndique ramos, fuperiores adíurgentes , inferiores vero terrae horizontiliter incumbentes. Folia pinnata, foliolis alter- nis denfe pofitis, et ex paste fibi quafi incumbentibus , huceolatis , acuminatis , in extremitate ciliatis, fuperfi- cie prona laete viridibus , fupina glaucis, 25 — 30 pari- bus, feu pinnis. Coftae adhaerent foliola breuiffimo pe- tiolo D'EISECUrT.PSI ONES. 323 tiolo ita, vt pars poflerior , oblique quafi dedolata , appreffa fit coítae , et íi decidunt , fouea rotun- da in cofta, vbi adhaeferunt , confpicitur. ^ Folia perfecta figuram equidem habent lanceolatam , cofta tamen fémper non nihil arcuata , reclinatum fiftit | fo- lium. $i tanguntur manu, foliola complicantur ad co- ftam immotam , fed tardius, ac in mimofa fic dicta pudica , neque facile ante aliquot horas iterum expli- cantur, hinc etiam difficillimus eft labor exíiccare ra- mum , ob celerem collapfum et contractionem partium. Omni vefpere , et dum pluuia cadit, folia quoque com- plicantur et dependent. Duratio et vigor eorum breuis admodum eft; hinc caules et rami adultiores folis fere orbati et denudati apparent, cacumina vero ramorum defluuium , füccrefcentibus femper aliis, abunde fup- plent. Stipulae ad finem petioli pofitae fuat ex dua- bus partibus conílantes, quarum vna , folio contigua, maior eft, altera vero, pedunculo communi axillari adílans, minor deprehenditur. Figuram habent lanceo- latam et in fuperficie externa nonnullas rübicundas ve- nas , quae difparent paullatim. — Pedunculus filiorum communis, ad latera foliorum pofitus, fitu parallelo cum iisdem extenditur, his tamen eft longior, filifor- mis, pilofüs , irregulariter ramofüs , bracteis amplexicau- libus ouato-acuminatis ad fingulum pediculum florum pofitis. Flos vnicus fuftinetur pedunculo proprio, vuciali fere , cincto duobus foliolis ouato - lanceolatis oppofitis, in ambitu ciliatis , et calyci arce appreffis. Calyx eft monophyllus bipartitus , parte altera poft vexillum ma- iore, reflexa , leuiter bifida , in nonnullis fpeciminibus Ss a inte- 324 PLANTARFAM integerrima obferuata , altera carinam füftentante mino- re , canaliculata , et in extremitate ciliata: tridentatam prout Ill. Ha//erus eam effe indicat , non inueni. Flos eft papilionaceus : vexillum fubcordatum , patens, re- flexum , lutefcens , (ifabellinus eft color) venulis rubi- cundis longitudinalibus et macula aurea rotunda ante vnguem variegatum , alis paullo breuius: alae ex ouato- oblongae , obtufae , rectae , vexillo longiores et limbo laterali exteriori deflexae , lineae purpureae veftigio vix apparente in medio: carina alis breuior , dipetala, foliolis lunulatis exterius purpurafcentihus. Stamina de- cem in duobus diftin&tis corporibus ad baün vsque fiffis, quorun quodlibet in filamentis, altitudine füccefüue decrefcentibus , quinque antheras fuftinet , luteas , paruas et rotundas. Stamina cum piflillo et ftigmate fübulato in carina abícondita latent: füccedit legumen inflexum , articulatum , fcabrum , articulis poft maturitatem folu- bilibus, numero variantibus: femen reniforme vnicum luteo - füícum , in quolibet leguminis articulo fuborbi- culato inclufüim. — Ex datis huc vsque characteribus quilibet cognofrit , a Cel. Royenio íüo iure noftram plantam ad genus Aefíchynomenes effe relatam , et ab co in Flor. Leyd. Prodr. pag. 584. denominatam : Aecfchyaomene caule hifpido , foliolis acuminatis , legu- minum articulis füborbiculatis , quem et fecuti funt lil. Halleru$ et Linnaeus , retenta Royeni. denominatione ; itte in. Hort. Goetring. pag. 265 , hic vero in Spec. plantar. pag. 715. n. s. Inuentionis gloria debetur Ill. S/oaneo, qui eam in locis meridionalibus infulae Ia- maicae fponte creícentem legit, et in catalogo plantarum, quae DIEM OQ RILPIIGQ NS S. :3e5 quae in infula Iamaica fporte proueniunt , Lond. 1696. 8. pag. 74. vocat: Hedy(irum caule hirfüto mimofae foliis alatis pinnis acutis minimis gramineis, In hiftoria Iamaicae Vol I. pag. 186. eam vlterius expofuit, et iconem quoque dedit, fine dubio ad. exemplar ficcum / concin- natam , quia folia et flores quoad maximam partem deficiunt ; hinc Cl. Royemi iudicio omnino mala. Explicatio Tab. II. Tab. XII. A. Plantae ramus in naturali magnitudine. * Flos ab antica facie. ldem a poftica. . ldem a Jatere expofitus. . Staminum fifciculus . Ouarium, . Calyx bilbitus cum ftamínibus et legumire foecundo. Legumen maturum. . b, b. b. Leguminis articuli; quorum fingulus ab. aliis diftin&tus , vnicum femen continet. i. Semen. US Vu n6 ES III. VERDESINA foliis oppofitis ouato-acutis integerrimis , fcabris, pedunculorum fummitatibus incraffatis et. fo- liofis. RVDBECKIA foliis oppofitis hirfutis, ouato-acutis, calyce imbricato cylindrico, radii petalis piftiliatis. Zinn. Ca- tal. plant. hort. acad. et agri Goetting. p. 409. c. icon. Radix huius plantae eft fibrofa, vnica, recta. Ex corpore, pollicem longo, in extremitate obtuío et quafi truncato, oriuntur radiculae plures quaqua ver- füm repentes, tenaces, albentes, in radice euulfa paul- lo poit rufefcentes ; fibrillulis pluribus donatae. ^ Supe- $5553 riores 526 JPLGOUWAT-ARDM riores radiculae , ex capite radicis et reliquo eius am- bitu prouenientes , inferioribus, paullo ante defcriptis ; funt tenuiores et numero pauciores. Caulis eft inferius fimplex ,^ rectus , duos vel tres pedes altus, inferius glaber et teres, fuperius molli et tenui lanugine vefti- tus, calami olorini crafhtie, hinc verfus füpremam partem attenuatus ,. vbi et folia fibi propius adftant , quodam modo angulatus , vnico flore , inter ramos ex- orto , terminatus, et fibi relictus , inclinatus. | Folia radicalia adíant nulla, íed tantum caulipa et ramea. Haec in parte caulis inferiori , et paullo etiam altiori , femper funt bina, oppofita; minora, pauciora et an- guítiora fuperioribus, quae numero terna, volumine maiori et copiotiora ,. ouato-acuta , feffilia, fcabra, pal- lide viridia, integerrima , in füperficie prona venofa, in fupina tribus vel quinque neruis prominentibus do- nata , et ratione fitus, (emper deflexa apparent. — Ex alis folioram fingulis proueniunt rami, folis eiusdem formae et fitus , ac in caule , ornati , oppofiti , erecti primum , poftea patuli, altitudine inter fe diícrepantes. Interdum eo in loco, vbi alias ramus ex(ürgit , petio- lus tantum aliquot linearum , duo vel tria folia pro- ferens , oritur, pro imperfecto ramo habendus. Rami per paria in caule a radice ad dimidiam plantae alti tudinem creícunt, ex aduerío fibi oppofita , numero incerto ; in füprema vero parte, vbi tria folia caulem ambiunt , ibi etiam tres rami conípiciuntur,, flores citius, ac inferiores rami, exhibentes , quod alias minus follemne in floreftentia , prout etiam illad , quod rami proximi , infra florem , qui caulem terminat, pofiti, | dum DOE S CURnPTIGO NE S. $27 - dum increfcunt, hunc altitudine multum füperant. Lon- gitudo, feu potius altitudo, iftius partis, quae ex fquamis rigidis , imbricatis, conftat, et communiter calyx voca- tur, in planta, quam defcribo , erat nouem lineas pa- rifinas , licet interdum et in maius volumen excreícat: figura eius eft cylindrica , antequam iam nominatae fquamae a fe inuicem diícedunt, et flosculos tubulofos et lingulatos emittunt ; poftea refert figaram coni inuerfi. Magnitudo earum primum defcribenda erit, antequam ad fitum , colorem , ftructuram , figuram ct numerum progrediar. . In inferiore. parte. calycis pofitae fünt fquamae duplo minores reliquis , in media et füprema parte collocatis ; augentur enim volumine femper, quo altius adfcendunt , et fupremarum limbis reclinati flores radiati incumbunt. ^ More imbricum deníe fibi impo- nuntur, et quidem ita, vt dimidia pars, imo duae tertiae , vnius ab altera obtegatur. ^ Textura earum fere eft cartilaginea ; nullum. enim — parenchyma — laminas diftendit, et tantum funt membranae laeues, elafticae et concauae, lineis longitudinalibus nonnullis exaratae. Co- lor, quo nitent, in parte exteriore eft pallide viridis , punctis nigris quafi coagmentatis factus, in interiore luteo-viridefcens ; in apice fummo, fubrotundo et mol. liori , exterius eít linea fufca et profunde viridis. Fi- guram obuerfe ouatam equidem omnes habent: atta- men cum inferiores duas lineas, mediae et füpremae: quatuor et fex lineas , altae funt , facie externa diuer- fae non nihil apparent. — Ab vnguibus anguftis fenfim ampliantur , donec in parte paullo fupra medium latis- fimae factae , denuo anguflantur ; apex vero eft fübro- tundus, 528 PLIUNT'FSRAFUM tundu:, membrana molliori , antea indicata , quafi co. ronitus. | Numerum foliolorum calycis infimul ad- ponere , füperflumm vider — poffet nonnullis: attamen ideo omittere nolui, quia conftantem illum effe cogno- vi; in multis enim floribus diffectis eum femper ex 22 ct 24. foliolis conftare comperi. ^ Poftquam caly- cem expoíüi, tranfeo nunc ad flores. Hi duplicis ge- neris funt : ali in radio fic di&o lingulati et. piftillati tintum , alii in difco , tubulofi et hermaphroditi. .Ra- dii fiofculi in flore, cui nihil ex omnibus fuis partibus deeft , duodecim femper numerantur , et lingulam - fifuut ouitam , in apice crena voa vel altera emargi- natam , Octo lineas longam , quinque ad fex latam, nitidam , deflexam , duabus luteis venis fecundum lon- gitudinem excurrentibus et multis alis transuerfalibus notitam. Colorem luteum flores ifti habent, fed ideo prae reliquis huius claffis notabiles, quia in flore adul- tiori et femina maturefcente perfiftunt immarcefcibiles , et exiguam alterationem coloris patiuntur. — Continuus eft fiofculus ifle lingulatus cum femine triquetro , ftria- to, cincreo, 1ncuruo, nec vmquam ab eo feparatur. Ex medituliio flofculhi exit piftillum vnicum , diuifum in daas tubas lateas , incuruatas, duas lineas longas. Alterius generis flores, hermaphroditi nempe, pofiti funt in thalimo conico paleaceo, lineam craffo et fun- gofo, quorum ii, qui centrum difci occupant, citius reliquis efflore(cunt ; conftantes autem ex corolla mo- nopetala tubulofa ;, tubo breui in fine glooofo et quo- dam modo compreffo, limbo in quinque íegmenta linea- ria, extus ferruginea, intus lutea et tomentofa , diuifo. Stamina DESCRIPTIONES 329 Stamina quinque ia medio tubi, diftinca habent fila- menta breuiffüna et antheras cylindraceas, tubulofas , parum inter fe cohaerentes , licet cylindrum | forment. Piftillum per florem defcendit ad femen vsque, et in extremitate altera , ex tubo exporrecta, diuiditur in duas tubas, prout in lingulatis: — Semina inuoluuntut paleis lanceolatis, omnem ambitum illorum vaginae inftar circumdantibus , in apice prominente colore pul» lo infe&is, «€t funt angulata , anguíta , coronata duo- bus denticulis fübulatis , altero. breuiori, altero longiori, quamquam nonnunquam alter, vel deficiat, vel vix confpicuus fit. ^ Abíoluta nunc partium fingularum ex- pofitione , progredior ad conftituendum chara&erem genericum , ex florum et feminis conditione petendum, Secundum | methodum a Cel. Lu4wigio elaboratam , quam íequor, pertinebit ad claffem florum compofito- rum mixtorum , et íi adtendimus ad reliquas notas characterifticas , pro conftitutione generum adíumtas , quales funt calyx fquamofus , thalamus paleaceus et fe- mina angulofa, ad genus Verbefinae planta ifta , tame quam ípecies genuina, referenda eft. —Differentiam fpe- cificam in foliorum fitu oppofito , et pedunculo florum breui ac incra(ffito , tribus foliis conílanter veftito , fa- cillime inueniri poíle credo. Reliquis itaque Verbefi- nae fpeciebus adiungatur nomine fpecifico : Verbef(ina foliis oopofitis ouato-acutis , integerrimis , ícabris, pe- dunculorum fümmitatibus incraffatis et foliofis. — Non- dum octennium effluxit, ex quo rarior haec planta ex Gallia; in Germaniam miffa, non mullis innotuit. Quantum recordor, Cel. Bernb. de luffeu eam ex Tom. VIII. Nou. Comm. Tt Ame- 550 PLANTARV M America meridionali accepit ;, et nomine DBidentis fapo- nariae folio Lipüenfibus communicaui. ^ In viridario inftru&tifümo Cel Ladwigii ante aliquot annos primum floruit, et ex ilo a me 1755 primum femina Pe- tropolia. miffa: tum vero 17357 cum aliis rarioribus cultam et florentem deícripfi et delineandam curaui. Repetii vero fationem hoc anno ideo, vt de vege- taüone illius, aetate et perduratione in climate boreali certi quid notare valerem. — Dum iam confecta effet delineatio , et deícriptio compofita, offertur mihi Cata- logus plantarum horti academici et agri Goettingenfis, con- fcriptus.a Clar. Zinuio, Dotan. Prof. Goetting. (Goetting. 1757. 8.), in quo haec" Verbefina ex feminibus, Lipfia quoque acceptis, ab au&ore catalogi Rudbeckiae , tam- quam noua fpecies; adnumeratur , infcripta : Rudbeckia folis oppofitis hirfuütis ouato- acutis, ealyce imbricato cylindrico , radii petalis piftillatis , et. icone illuftratur , in qua vnicus flos, vna cum fingulis partibus floris et feminis fifitur. Quia vero totus habitus plantae fingu- larem quamdam formam prae fe fert , et rami erecto- patuli , caulem ipfum füperantes, venuftatem fpeciofam ftirpi conciliant ; non auocari potui a propofito, quod ceperam , iconem iam confecam, omnem Labitum denuo repraefeutantemr, hic tradere , quod minime difplicebit ji$ , qui plantam nouam , habitu et forma prorfus peculiarem , infpicere. cupiunt, vsque dum vul- gatior fit, quod proxime füturum , cum quotannis copiam feminum exhibeat , et non adeo magna cura Wbique proueniat, Expli- DEwWSCRIPTION:E S. 551 Explicatio Tab. IH. T.b. XIII. 4AÀ. Plantae natiua magnitudine expofitae pars fuperior. a. Calyx cum difti floribus. b. b.b. Squamae calycinae variae magnitudinis, c. Radii flofculus ab interiori facie cum femine triangule nudo. 4. Diíci flofculus cum palea vaginali femen. obuoluente, t. Vagina,feu palea eiusdem flofculi, f. Semen , difci flofculum füftinens, £. Ditci flofrulus cum fao. pedicello. b. Semen difci bidentatum. i IV. BRASSICA foliis oualibus, fübiategerrimis , &oralibus am- plexicaulibus, lanceolatis , calycibus vnguibus petalorum longioribus. Ling. Cent. l. Plant. Vpf. 1755. n. 54. Radix annua , caukefcens , lignofa, emittit vndique Tadiculas plures albas , fucculentas, fibrillis copiofis in- ftructas. — Folia radicalia copiofa, quae in capitulum colliguntur , antequam caulis ex radice protruditur, vt- pluimum pedem longa, et dimidium lata, oblonga, Obuerfe ouata ; in margine vndulata et dentata , den- ticulis apice callofo inftru&is ; füperficie prona viridia , regoía, glabra, fupina glauca , laeuia. ^ NNeruus folii penitus albus ; in bafi vnciam latus, in aduerfa parte leuis et depreffus, in auería verc exftans et fulcawus , ex quo fecedunt etiam vtrimque plures venae albentes, fubítantiam folii perreptantes. ^ Caulis in planta florente et femina maturante ,. circa terram duos pollices cras- fus , canaliculatus , glaucus, quaqua verfum plures ra- anos alternos emittit: fuperius glaber et. quodammodo | Pe angü- 532 PLANTARVM angulofus, tres quatüorue pedes altus. — Folia in caule et ramis (unt fzihilia , amplexicaülià, cordato-lanceolata, denticulis minoribus et rarioribus inftructa, fuprema vt plurimum integra. ^ Flores in pedunculo communi ante florefceatiam denüus colleci , vmbellam quafi fifftünt ; poítea vero diíhti in fpica elongata fucceífiue aperiuntur, prout in reliquis filiquofis ità fieri folet : propius pedicellus fex lineas longus florem fuftinet. Calycis foliola funt quatuor, fublutea: duo exteriora bafi gibba et latiora, duo interiora anguftiora , omnia fubulata , concaua , canaliculata , erecta, poft decidua ; fuperant altitudine vngues petalorum, et eminent inter petala, vbi ftamina breuiora pofita funt, hinc etiam petala oppofitum fitum , ton cruciatum, habent. Peta- la funt fübrotunda, concaui, in apice vnica crena emarginata , lutea, terminata vngue breui , lato-lancco- ]:o-albido. ^ Glandulae quatuor virides: ftamina fex filamentis linearibus teretibus, quorum duo breuiora exioríum flexa , quatuor altiora ere&a, columnam tetragonam formant: his infiftunt antherae oblongae ; acuminatae, biloculares , extroríum flexae, feu diftantes, puluerem luteum difpergentes. ^ Stylus vnicus , fiigma capitatum minimum. Siliqua bimaluis, linearis, lateri- bus compreífa, daos pollices ionga , nodofa, propter valuulas tenues, per quas femina, in thalamo füngofo haerentia, tuberculorum — inflar extus confpiciuntur ; feptum valuularum prominens dimidium pollicem lon- gun. Semina matura rotunda , fubfufca , fplendentia , guftu acria. Huius plantae femina , vnde ad nos dela- ta fint, paucis indikare non fuperfluum erit, praefer- um DOES OR EPIIT IONS. 333 tim hanc etiam ob rationem , quia peregrinator qui- dam, qui Chinàm haud ita pridem vifitauit, adferuit , ac fi in regno finenfi brafücae et finapi fua fpoute non crefcerent. ^ Huius vero opinionis vanitatem non folam indices plantarum antiquiores , qualis eft immor- talis Boerbauii, qui in indice altero II. p. 1e. Draffi- cam finenfem folio lactucae , flore luteo , quae forte noftra eft fpecies; et p. r3. GSinapi chineufe folio acanthi, inter plantas tunc temporis iam notas, enu. merat : fed etiam omnis futura dubitario plane tolletür, fi certiores facio curiofos, aeque in China ac in aliis regionibus , brafficam quamdam effe indigenam. — Sciant itaque exteri, commercium litterarum Acad. Scient. Petropolitanam diu iam cum R. P. Societ. lefu Pcki- ni commorantibus habere , illosque. fubinde femina varia infimul nobis tranmififfe. ^ 'Talem collecionem femi- num etiam 1756 per mercatores ruíficos Pekino Aca- demia Scient. impetrauit. Inter ea fáfciculi duo erant, alter Draífra finenfis, alter Caules finici maximi, in- figoiti, Vtrumque femen fatum, et ex terra proueniens, protulit vnius eiusdemque fpeciei plantas, hanc nempe, quam expofui, brafficam. ^ Nifi me inftigaffet curiofi- tas et experiendi defiderium , an differrent etiam cha- racteribus fpecificis ab huc vsque cognitis brafficae fpe- ciebus indicatae, omififlem forte horum íeminum fatio- nem, quia iam ex commercio litterarum | antecefforum meorum cognoueram , plus vice fimplici non ea folum femina transmifífa effe , quae Sinarum regno indigena funt , fed et alia, ex aliis prouinciis fenfim illata. ^ Simile quid et nunc facum fuiffe, intel- its lexi 334 PLANTARFM lexi perfpicue : adpofita enim erant alia brafficarum fe- mina, nullo peculiari titulo infignita , quae dederunt brafficam fic dicam oleraceam eiusque varietates ornni- bus cognitas ; hinc colligo , coli plures ibidem pro vfu oeconomico. Sed redeamus ad no(tram. Plantas iu- niores , fi obiter infpiciuutur , nemo ad braíficas re- ferret ; exacte enim habitum Lactucae fatiuuae , roma- nae dictae , referunt. — Meníem circiter adultae folia ia capitulum colligunt, molle et oblongum ; tum breui interiecto temporis fpatio caulis protruditur, et rami copiofi et patuli excreícunt. ^ Altero meníe poft fatio- nem , fi tempeftas coeli fauet , iam flores profert , et quarto menfe exacto femina maturantur. —Frigus fepe temtrionale , quod exeunte meníe Auguíto iam ingruit, minime ob texturam mollem et íuccofam perferre va- let. Si conie&ura non inprobabilis locum inuenire poteft, braffica forte noftra, ea ipía eft planta, ex cuius femine premitur oleum illud , quod Sinenfes adhi- bent in cibo et lucerna, proat refert Zfmonymus, Suecus; in Oeconomia Sinarum Holm. 1757. 8. plantam, fcri- bens, ex qua depromuntur íemina pro conficiendo oleo , raphano effe fimilem , et florem habere luteum. Experimenta tum capi poterunt, cum fufficiens copia fe- minum colle&a fuerit , neque illa irrita fore praeuideo , cum iam alia fpecies braíficae radice cauleícente — füfi- formi, feu Napus filueftris, oleum fuppeditet, ad multos víus familiare. ^ Antequam vero finio diífertationem , probandum mihi incumbit, genuinam etiam effe fpe- Cem brafhicae , eique infimul imponendum nomen fpecifi- cum , quo ab alis fíui generis clare diftingui poffit. | Super. DUEB S-CiR IP T FO'NES. 335 Superfluum vero foret denuo hic enumerare notas cha- racterifticas ;— quas pro ftabiliendo genere DBrafficae ad- fumferunt methodorum auctores. ^ Conferantar modo datae a nobis fuperius deícriptiones, et notatae in fingulis paribus conuenientiae , cum genere brafficae ; compro- babit tum , et fimilitudo , et aequalis fabrica partium , huic , nec alii generi, adnumerandam effe in pofterum. Accedit fententiae noftrae non leue robur etiam exin- de, quod lll Limaex; ia Centur. Plant. I. Vpíil. 1755. n. 54. adfgnauit ei etiam iam locum inter braffhcas. ^ Attuht enim b. Oséeck, redux ex China, femina , hinc vegetantem , florentem et fructus feren- tem difquifiuit et denomipauit. Retinemus hinc datum ab eo nomen fípecificum immutatum : Praíhca foliis oujlibus , fubintegerrimis , floralibus amplexicaulibus , lanceolatis , calycibus vnguibus petalorum — longioribus. De noua planta vna cum deícriptione exhibere ico- nem , omnibus numeris abfolutam , minime fuperfluum effe reor: attamen , íi adumbratio exacta, fecundum omnes partes datur, et hic labor omitti poteft. Cu- raffem certo confici iconem , nifi me auocafftt a — pro- pofito diuulgatio iam facta plantae alibi. — Obftitit. mihi et hoc, cum dubius haerebam , annon icon Pauli Hermanni , in Paradifo batauo pag. 250. data, et quae Sinapi indicum maximum , lactucae folio, fifüt, aeque noftrae plantae , ac Sinapi, conueniat. X Quodfi enim cuiquam volupe eft, conferre datam loco indicato de- Ícriptionem et iconem cüm brafüca hac florente, co- gnoícet ftatim , calycem , florem et fru&um omnimo- dam conuenientiam inter fe habere , nec meliorem et accu. 936 PLANTARVYM accnratiorem , fi folia excipias, de nouo firi poffe iconem. Sed qua fiducia tu allegas hanc iconem, obii- ciet aliquis ? Num te latet, illud Sinapi, quod Her- mannus defcripfit , et. delineatum dedit , a. Boerbauio , Linnaeo et alis omni tempore ad Sinapi relatum effe? Fateor hoc infolens effe, praefertim fi d«eícriptionem Il. Linnaei de hoc Siaapi in Hort. Vpf. pag. 19r. datam , curatius perpendo, et cum planta hac confero; multa enim indicantur ibi figna, quae diffuadent con- fandere Sinapi illud cum braffica: feci illud tantum , ob florem et fructum , braílicae noftrae. fimiliimum. Quan- tae difficultates fefe obiiciunt ei, qui plantam , quam pro noua habendam effe credit, cum | denominationi- bus incompletis et iufto breuioribus antiquorum conferre ftudet, ii tantum norunt, qui hunc laborem in fe fü- fÍcepere. Q»odfi enim adfirmamus , a nemine huc vs- que mentionem fàctam effe plantae a nobis difquifitae , incumbit nobis infimul probare , ifta loca , vnde acce- pimus femina, a nullo botanico adhuc efle perluftrata, neque etiam illinc vmquam ad exteros mifía effe fe- mina. Pofterius de Sinarum regno non valet. — Cum enim commercium exterornm cum Sinis fat longo ab- hinc tempore iam inftitutum fit , pluresque peregrinato- res attulerint inde plantas indigenas , nunc vbique cognitas ; non improbabile eft, et huius plantae femina olim effe exportata. — Huius affert veritatem — exinde probari poffe contendo , quia Boerbauius in indice al- tero Il. pag. 12. recenfet Drafficam finenfem —lactucae folio, flore luteo. Si nudum illud nomen accipio , prout plantae inditum eft, quid impedit, quo minus credam , DESCRIPTIONES. 3j credam , effe noftram fpeciem , cum folia radicalia, prout fupra monui, habitum lacucae fatüuie exacte referant. Occafione hac opportuna , düm Sinapi fpeciei mentionem inieci ;, non incongruum erit, quaedam hic addere de quadam fpecie, hactenus dubia. Notum enim eft, in indice Boerbazaui pag. 15. inter Sinapi fpecies haberi etiam aliquam , quam acanthi folio vo- cat. Citat hoc fynonymum lll. Linmeeu; ad ípec. 5. Hort. Vpíal. pag. 19r; in Speciebus vero iterum omifit , fübftituendo folum Sinapi indicum lactucae folio Hermanni. Cl. Zimmiu in Catalogo horti et agri Goet- tingenfis vtrumque fynonymum fimul adducit. In fe- minario horti academici adfíeruabatur quoque Sinapi acanthi folio infignitum , quod fatum , minime fpeciem Linnaei Spec. plant. n. 4. indicatam dedit, fed eam potius , quam. Ill.. Ha/lerus Hort. Goett. -pag.-250 re- tento nomine Sinapi orientale maximum rapi folio Tourn. Il. R. H., quoad florem et fructum defcripfit. Folia illud habet pinnata , pinnis tribus irregulariter dentatis , impari maxima ; reliqua ex defcriptione alle. gata Halleri petenda. Eodem tempore feueram Sinapi, €x China 1:756. -acceptum-, ideo. celebratum apud Sinenfes ; prout in capfula adícriptum legitur, quod », Milus radices coctae cum raphani maioris radicibus » crudis commixtae et maceratae per aliquot horas in » vafe claufo habeant faporem forti(fimum ,, collatis ve- IO vtriusque foliis, floribus et filiquis, nempe eius, Tom. VIII. Nou. Comm. Vx quod 338 PLÁANTÁARVM DESCRIPTIONES. quod acanthi folio acceperam , «et huius ex China ac 'eepti , cognoui , minime differre ípccie, íced nomine tantum. Nemo itaque a me exigere poteít vlteriorem de hac fpecie relationem , quia eam iam Ill. Ha/erus, et Linnaeus Cent. Plant. Ll. n. 55. nomine fpecifico Sinapi filiquis retrorfüm hifpidis , apice fübtetragonis «ompreffis ; exhibuere. DE ow (o) $39 | DE GRADIBVS FRIGORIS SVMMIS , QVOS CERTA FLVIDORVM GENERA FERRE POSSVNT , ANTEQVAM FIANT SOLIDA , IN GLACIEM ABEVNTIA ; ATQVE -GRADIBVS SVMMIS CALORIS, QVOS ACCIPERE POSSVNT, DONÉC BVLLIRE INCIPIANT, ET IN IPSA BVLLITIONE CONTINVATA, DISSERTATIO EXPERIMENTALIS. Auctore e Il. A. BRAV N. Q'calam: graduum frigoris et cáloris infigues afferre vti- &O litates, ad naturam fluidorum pariter atque firmo- rum corporum, adeo quoque ipfius ignis, melius cogno- fcendam, dubio caret. Publicauit primum , quod fciam, eusmodi ícalam graduum . caloris et frigoris magnus Newtonus in A&is Societatis Regiae Londinenfis menfe : Aprili 1701. N. 270. Nomen Aucoris hic quidem additum. non legitur , tribuitur tamen illi in Opufculis, vbi baec fcala opuículum XXI conficit Tomi Il. ."Scalam graduum frigoris perficiendi occafio pro» «ul dubio in locis feptentrionslioribus maior eft ; quam jn minus feptentrionalibus ,, in primis hiemibus faeuio- ribus. . Quum igitur hiemem anni 1757 et 1758 ve- bementiorem hic Petroburgi experti fimus, hac op- Yva portu. 340. GRAÁADVS FRIG. ET CALOR. portunitate vtendum cenfui, variis experimentis inflituen- dis ícalam ;, frigoris potiffimum , perficiendi et ampli- ficandi. Antequam ad ipfa experimenta exponenda pro- erediar, quaedam de Thermometris praemonenda vi- dentur, quibus iu capiendis experimentis víüs füm. Scala Deliliana a me eft adhibita, qua etiam in, ob. feruationibus meteorologicis. faciendis vtor, vbi. fcilicet cifra gradum caloris aquae «ebullientis , et numerus 150 gradum aquae in glaciem abeuntis, et aquae fub glacie notat , fiue: niuis regelafcere incipientis. Nullam enim differentiam vnquam obferuare potuimus inter gradum niuis regelari incipientis , glaciei recens natae, et aquae íüb glacie ,, quamuis innumera experimenta in hunc finem infüituerimus. — Hinc quoque non dubitaui- mus in thermometris noftris faepius Punctum | congela-- tionis ope aquae (íub glacie determinare , quia minimo , tempore haec methodus indiget, quod commodi(ffimum . tunc inprimis eít,. quando. thermometri puncta fixa. paullum. loco. mota videntur , quod nonnumquam con. tingere poteft et folet pluribus experiments in(litutis. Non ignoramus quidem quibusdam hanc deter- finationem puncti congelationis ope aquae fub glacie dubiam videri poffe, quia experimenta quaedam —pro«- bare. videntur aquam. maiorem frigoris. gradum non- nunquam recipere poffe, quam niuis regelafcere iucipien- fis, vel giaciei recens genitae. At enim vero nihil tale obfermare: potuimus , quamuis omni diligentia adhibita in bunc finem expe- rimenta IN FLVIDIS. $41 rimenta ceperimus atque repetierimus plurima. ^ Texi. mus vitra. cera, et aliis: operculis ex vitro et ligno, porro varia olea, lini, cannabinum, oliuarum , nucum et effentialia aquae füperfudimus , in omnibus hifce experimentis fub eodem gradu fcilicet 150 glacies in aqua oriri coepit. — In quolibet vitro thermometrum a me immerfum erat. Aqua circa bulbum thermome- tri congelata retinebat ab initio eundem gradum niuis regelascere imcipientis, fed tota aqua in vitro congelata adíüumebat paullatim gradum frigoris" aeris ambientis , 170 et. 180 etc. Ratione. temporis,. quo ia diuerfis vitris aqua gelafrere coepit, omnino differentia mihi eft notata. Nam primum aqua in vitro aperto eit gelata, cum nondum vefügium glaciei, neque in vitris tectis, neque in iis, in quibus oleum aquae innatabat, deprebendere- tur, et in his quoque congelatio diuerío tempore con- tigit, licet omnis aqua, quum aeri frigido exponere- tur, eiusdem füerit temperiei , quod ctiam de oleis fuperfüfis e(t intelligendum. —— Non igitur valet confe- quentia , hoc vel illud fluidum minori tempore ad congelationem , quam aliud, indiget, ergo fub minori gradu quoque gelaícit, quum conditiones effe queant , tam refpedtu vafis, quam naturae fluidi aliaeque, quae efficiant, vt fluidum citius, tirdius, temperiem aeris adíimat ; hinc quoque in omnibus experimentis. noftris ad tempus non attendimus, intra quod in quolibet flui- do congelatio contigit, fed tantum ad gradum .thermo- metri iminer(i. Vv35 Punctum 34? — CRÁADFS FRIG. ET CALOR. Pun&um fixum alterum more confueto aqua bul. Jiente eft. determinatum , fed füb certa et determinata barometri altitudine fcilicet 28 poll. pedis regii parifien- fis, quum conftet thermometra variari , fi füb diuería barometri altitudine aqua bulliat, cui immerguntur. Ad eandem profunditatem quoque aquae ebellienti funt jmmerfa, nimirum 6 pollicum paris. — Bulbus in omni- bus thermometris erat fphaericus, elegimus autem hanc figuram ideo, quod minor portio fluidi explorandi re- quirebatur, quam fi formam cylindraceam , aut aliam bulbus haberet. Hydrargyrum erat idem purum, quo . thermometra funt impleta , et hac ratione. thermome- tra fatis concordantia obtinuimus , quibus gradus frigoris et caloris fluidorum adcurate explorare potuimus. Pars inferior tubi thermometrici ad duos pollices nuda plane erat , nulli tabulae adfixa, vt eo commodius et adcu- ratius immergi potuerint in fluida exploranda. Vd folemus non minus termino pofitiuo in ad- fignando frigore, quam calore ex coníuetndine loquen- di, quamuis frigus mera fit caloris priuatio et diminu- tio, ita vt caloris gradus minores refpectu caloris gra- duum maiorum, gradus frigoris dici poffint. ^ta gra- dus frigoris 200 Ícalae noftrae fatis magnus eft refpectu graduum frigoris in regionibus calidioribus, fed paruus reífpe&tu maiorum frigoris graduum e. g. 280. 300 etc. quo refpectu igitur caloris gradus eft et dici poteft, vti jn terminis et ideis relatiuis , quales et frigoris et calo- ris funt, fieri folet. Nul'us igitur terminus caloris de- finentis , et frigoris incipientis abfolute indicari poteft; mere arbitrarium eft jn thermometris fügoris gradus ab DPxm FPLPIDI:S. 343 db eo caloris gradu numerare incipetie, quo aquia in glaciem abire folet , quamuis hoc non iuconuenienter fieri poteft. — Multo minus caloris augmenta et decre. . menta vltima, feu caloris et frigoris terminos vltimos, ddügnari poffe , per fe patet. —Hiuc facile intelligitur, terminum materiae frigorificaé nihil pofitiui inuoluere, et inuoluere poffe. Sunt enim materiae frigorificae fic di&ae nihil aliud nifi materiae calorem aliorum corpo- rum minuentes , vt eít fpiritus nitri , vitrioli , falis, quin fpiritus vini glacier contufae et niui adfüfa. Item falia niui mixta et alia. — Neque hae materiae frigefa- cientes in omnibus corporibus calorem diminuunt, et frigus. producunt, vt potius in aliis calorem augeant , et producant, vt idem fpiritus nitri et alii fpiritus aci- di et vinofi, qui refpe&tu niuis funt frigeficientes , re- fpectu. aquae íunt calefacientes. —. Sed haec hactenus ; veniendum ad. ipfa experimenta «eít. ^ Materiae, circa quas experimenta infítituimus ; fuerunt potiffimum r) Solutiones falium, 2) Viua et ípiritus vini, 3) Olea, po« tifmum expreffa, 4) Metalla quaedam. Ad folutiones falium quod attinet , quarum phae: nomeda primum proponemus, notandum eft, in omni- bus folationibus eandem aquae quantitatem effe adhibi- tam , fcilicet ealycem vitreumr, ex quo vinum bibi folet ; aqua fere pleuum. Calor aque fere erat gradus 60 , qüo cera fune di folet. Sales ipfi eundem gradum caloris tencbant. Solutio ad' purti&üm faturationis facta eft. ^ Gradus ca- loris viimos , quos in ftatu fluiditatis, et initio fir- mitatis 344 — GRÁADVS FRIG. ET CALOR. mitatis ferre hae folutiones potuerunt, notaui, quando fuperficies aquae falfae glacie obduci coepit. En ipfos frigoris gradus , quos in ftatu fluiditatis vltimo tulerunt diuerforum falium folutiones , fiue fub quibus in glaciem abiere. Solutio falis communis in glaciem abiit fub gradu r8$ Solutio falis ammoniaci - . - 181 Solutio falis dige(tiui Syluü — - . - 165 Solutio facchari - 4 - - IÓI Solutio cinerum clauellatorum * . - 161 Solutio falis alcali depurati — - - » 160 Solutio falis Ebfon. - - - - 156 Solutio nitri depurati - - - 155 Solutio falis fedlicenfis - . - 154 Solutio aluminis - - - - 155 Solutio vitrioli veneris - - - 152 Solutio vitrioeli communis - - . X$à2 Solutio boracis venetae - - - I52 Solutio filis Sibirici - : - - IS2 Vripa - - - - - 152 Solutio arcani duplicati - - - I5I Solutio tartari albi — - : - - 15I Ex comparatione diuerforum frigoris graduum , fub quibus diueríae hae falium folutiones in glaciem abire coeperunt, adparet, fíolutiones falium communis et ammoniaci omnium maximos frigoris gradus fuftine- re poffe, antequam ex ftatu fluiditatis in ftatum foli- ditatis vel firmitatis tranfeant. Hinc IN FLVIDIS 345 Hinc fi intereft , cempore hiemis aquam in fta- tu fiuiditatis manere , fale communi in aquam iniecto obtineri poti(mum pote(t, quum hic fil maxime con- gelationem aquae impediat, atque fal ammoniacus. —— Vtrum vero ptoportio a me indicata inter gradus figoris folutiones falium congelantes femper obtineat , ad- firmare non aufim, quum, fi etiam caetera omnia fint paria , eorundum falium diueríi bonitas et puritas e(fe poífit. Non igitur in his et fequentibus quoque expe- rimentis adcuratio geometrica requiri poteft, fed et haec et fimilia cum latitudine intelligenda effe facile confpicitur. Differentia graduum frigoris procul dubio pendet vel a maiore fàlis copia , quam diueríae folutiones re- cipere et continere poffunt, vel etiam a diuerfa falium .paturi atque textura. Nam quum eadem aquae quantitas , quam in expe- rimentis noftris adhibuimus, non eandem filis diuerfi co- piam foiuere foleat , ftd admodum diuerfam , fequitur, vt in diuerfis folutionibus diuerfa quoque infit falis quantitas, Quantitatem hanc diuerfam falium in diuer* fis folutionibus determinare multis experimentis non in- feliciter fludvit .E/lerus in Commentariis Academiae Derolinenfis anni 1750. Iam maior falis copia. vtplu- rimum maius quoque impedimentum congelationi obii- cere poteft et folet, hinc mirandum non eft, aquam maiore falis copia impraegnatam maiorum quoque fri« goris graduum effe capacem, magisque congelationi refi- ftere poffe. Aqua igitur marina circa littora mülto fa- cilius congelatur, quam in locis a littoribus remotiori- "Tom. VIII. Nou. Comrn. XX bus; 446. GRADES FRIG. ET CALOR bus, quoniam circa littora aqua marini minus falía effe folet , potiffimum ob fluminum influxum ; hinc non- nulli ftatuerunt , vltra viginti milliaria ab ora maritima maria non congelari , quod tamen experientiae repu- gnat. vid. Mu[Jcbenbroskii Effaài de Phyfique $ 925. Maiorem íalis copiam in aqua folutam , congelationem quoque magis impedire, illa quoque experimenta de. monfítrant, quibus diuerfi generis files in eadem aquae quantitate. foluuntur ; conítat enim. eandem aquae quanti- tatem , fi vnius generis falem non amplius íoluat , folue- rc tamen alterius generis adhuc poffe et folere. ^ Quae in hunc finem experimenta inflitui, in pofterum cum alis huius generis communicabo. Interim diífimulan- dum non €eít, deprehendi tamen fíolutiones maiorem falis foluti copiam «continentes, minus tamen aliis, mino- rem falis copiam continentibus , congelationi refiftere , quod igitur a diuerfa falium natura et fpeciali textura generatim pendere debet, íed fípecialius hoc difquirere huius loci non efl., nec inftituti. Caeterum monendum adhuc eft, cauendum effe, ne fakum praecipitatio fiat in congelationibus folutionum falinarum , quod impedi- wi, dum vehementiffimo frigori eas expofüi , vt con- gelatio quam breuiffimo tempore contingeret. Hac ra- tione obtinui glaciem aequaliter faláam , in quantum gu- ftu percipere potui. Quas íalium folutiones frigori expofuüi, vt con- gelarentur , easdem igni quoque fíübieci , vt ebullirent , tam ad initium ebullitionis determinandum , quam | ad eos gradus caloris definiendos , quos in continuata bulli- tione adíumerent. Conítat [NS POLOGUIINISS. 347 Conftat gradum caloris aquae bullientis effe con- flantem. — Conítantes gradus in íolutionibus noftris non effe , nec facile e(fe poffe, haud difficulter praeuidi. Sunt enim fluida maxime heterogenea , quae maturam et texturam durante bullitione. non poffunt nou muta- re. Variationes tabula fequens indicabit. Solutio falis communis bullire plene coepit circa. 5. infra o. continuata vero ebullitione adícendit fupra o ad gr. 20 thermometri mercurius. Solutio filis ammoniaci, vti aqua, bullire coepit circa o. continuata ebullitione attigit gr. 15. Solutio cinerum clauellatorum iam plene bullire coepit circa gr. 15. infra o. i continuata bullitione peruenit ad gr. 2o (upra o. Solutionis facchari initium plenae ebullitionis infra o. - 2 contigit ; in continuata ebullitione fpiffior facta notauit. grad. fupra o. 25 thermometrum. Solutionis falis alcali depurati, initium bullitionis infra o. 5. continuata bullitione fupra. o. 8. adícendit mercurius, Solutio íalis fedlicenfis plene bullire coepit infia o. 3; dein. fpiffior facta adícendit fupra o. 15 thermometrum. Solutio vitrioli communis et veneris plens bullire ince- pit infa o. 3; et in continuata bullitione ftre. eun- dem gradum retinuit, ad r enim fupra o tantum adícendere vifum eft thermometrum. Solstio fzlis Sibirici conftantem fere gradum quoque in - .ebullitione retinuit , nam íüpra o. ri tan:um adícen- dit thermometrum immerfum. Xxe "17 Solus 348 CRADVS FRIG. ET CALOR. Solutio aluminis füpra o. x bulliit Solutio boracis venetae fupra o. 2. Arcani duplicati folutionis initium o. continuata buil- tione , fupra O. 3. mercurius adícendit. Solutio falis Ebíon, infra o. $ coepit, dein fpiffior facta fupra o. 2o. thermometrum adícendit. Quod fi hi gradus caloris , quos folutiones falium indicatae, vel fub initium ebullitionis , vel in. continua- ta ebulliione, adífümferunt , inter fe comparentur ; con- Ípicitur vel circa o, vti aqua fimplex folet , bul- lire coepiffe , vel infra cifram , vti pleraeque, adeoque fub minori gradu, quam aqua folet. Et aqua marina (üb multo minore gradu quoque bullire incipere dicitur, ícilicet fub 22 infra o. Sed proportio certa et conftans gra- duum caloris , quam hae folutiones inter íe feruent ,'ex his faltem experimentis erui poffe non videtur. Videri quidem poffet folutionem , quo plus contineat falis, eo. fub minore gradu bullire incipere debere, fed ex com- paratione experimentorum non patet, et diaeríae falium naturae ratio hic quoque eft habenda. Plura igitor hic funt experimenta inftituenda , ad explorandum , vtrum aliqua ratio et proportio forfitan erui poíht circa initia faltim ebullitionis plenae. — Caeterum folutionem cinerum. clauellatorum | minimo caloris gradu ad ebullitionem. in- digere confpicitur. Píenae ebullitionis initium pofut, quia aqua quo que conflantem gradum non nanciícitur et retinet , nifi. omnis aqua plene bulliat. Ad ebullitionem continuatam quod attinet , facile patet in ea nihil conftans et perpetuum facile determi- nari IN FLFIDIS. R4» nari poffe. Nam quo [ongius continuatur ebullitio , eo plures vapores aquei abeant in aera neceffe cít, eo magis igitur quoque confiftentia fluidi mutetur oportet. Continuauimus in noflris experimentis ebullitionem. . do- nec manifefto folutio in quibusdam ípiffior fada eft, in alis vero donec fere dimidia aqua fuerit euaporata. Quae (íolutiones fere eundem caloris gradum in ebul- luüone retinuerunt , eas ab aqua communi parum aut nihil omnino hoc refpe&u differre, — manifeftum eft. Caeterum in eiusmodi experimentis omnia ad punctum determinari non poffe, íed cum latitudine quadam effe intelligenda, iam ante monuimus , quum et materiae ratione bonitatis differre queant, et vix fub iisdem circumítantiis femper repeti poffint. Haec hactenus de folutionibus falium , plures in pofterum communicabo ; fed nunc ad alia experimenta progrediendum eft, fcilicet ad ea , quae de vinis et fpi- ritibus vini cepimus. — Vina varia varios frigoris gra- dus in vltimo fluiditatis et primo firmitatis ftatu tule- runt, nimirum Íub fequentibus frigoris gradibus in gla* ciem tranfiere. Vinum Hifp. et illud, quod Sect ou s ghe. füb gr. 163 Vinum Tinto dictum I67 Madera Maluafier - - - 167 Vinum Hungaricum vetus - - 165 Madera vinum - - - 163 Vinum DBurgundiceum —- - - x62 Vinum Florentinum — - - 16r Vinum Roquemor - - - 16I Vinum Margaux - - - 16r Vinum La Kx en 356 CRADVS FRIG. ET CALOR Vinum Francicum album vetus - - 160 Vinum Campanenfe - - - 160 Vinum d'Ermitage dictum - - 160 Vinum Rhenanum - - - I59 Vinum Hoogbrion - - - IS9 Cereuifia anglicana , Aledi&a - - 159 Vinum rabrum Francicum - - I55 Acetum vini optimum - - Tg95 Cereuifia ordinaria , vti hic haberi folet - 152 Ad fpiritus vini quod attinet , fequentia phae- nomena frigori expofiti monfltrarunt. ^ Spiritus vini Fectificatus fub gradu frigoris 197 nullum. congelationis veítigium oftendit, multo minus fpiritus vini rectifica- tiffimus.. Sed fpiritus vini gallicus ,— vti hic vendi fo- let , iam fub gradu r94 particulas glaciales confpicien- dis praebuit. Spiritus vini Ruflicus optimus fub gradu 192 et vulearis fub gradu 19o in glaciem abire coepit. Quod circa folutiones fjülium monuimus, id hic quoque valet, fcilicet. haec experimenta | adcurationis geometricae non effe capacia, fed cum latitudine. qua- dam e(fe capienda. Quis enim ignorat , vina eiusdem generis, etiam, quae pro optimis haberi folent , non eundem femper bonitatis gradum habere íolere ? Nos quae potuimus optima nancifi vina , in experimentis adhibuimus. Ex comparatione frigoris graduum , quos ther- mometra in vina immería monfítrarunt ; dum in gla- ciem. abire coeperunt, manifeftum eft, vina dulcia ma- iores caeteris fiigoris gradus fuftinere poffe, donec con- gclen- nAOFLETIITSX 351 gelentur, quod patet ex experimentis de vino hifpa. nico, et ficco, vel Se&, vino Tinto, Madera Malua- fier et vino hungarico, quod vltimum tamen tantum frigoris gradum in ítatu fluiditatis vltimo perferre non potuit , quantum quatuor priora , illaenim 167, hoc autem 165 tantum füflinut. ^ Minimum frigoris gradum tulit vinum rubrum ordinarium francicum, quamuis pro optimo füi generis haberetur, quo vfus fum. Vtrum hae proportio- nes frigoris graduum, quas indicauimus, adcurate femper ita in experimentis fe habiturae fint, quacítio eít, quam pro certo adfirmari non pofle quilibet perfpicit , qui tantum confiderat eundem bonitatis gradum femper haec vina habere nec íolere, nec facile poffe. Vina et fpiritus vini, et generatim fluida fpiri- tuofa , procul dubio eo magis congelationi refiftunt , adeoque eo maiores frigoris gradus, qua fluida, ferre pos- funt, quo maiorem fpiritus copiam pro dato volumine continent. Hinc fequitur, quod eiusmodi experimenta indicia quantitatis fpiritus in fluidis eiusmodi contenti praebere queant. ^ Quo infigniores enim frigoris gradus eiusmodi fluida fpiritnofa , qua fluida, (üftinere poffunt, €o maiorem ípiritus copiam ; quo minores, €O mie norem Ípiritus quantitatem continebunt. ^ Salis contenti tamen ratio quoque erit habenda , quem congelationi magis minusque, pro varia eius natura et copia in flui- do contenta, refi(lere, ex fuperioribus patet, vti quoque ex ípiritibus fic dictis acidis elucet, de quorum congela- tione in pofterum agam. — Argumentum igitur femper rit& procedet: quo rmnaior fpiritus copia in dato fluido con- tuetur, eo magis fluidum congelationi refiftet, fed fore fitan- 55a GRADVS FRIG. ET CALOR. fitan omni exceptione maius argumentum non erit, fi inuertatur: quo magis congelationi fluidum fpirituofum sefiftit, €o maiorem fpiritus quantitatem habeat neceffe eft, nifi oftendi dato caíuü potet, rationem íalis con- tenti negligi poffe. Porro ex his experimentis intelligi poteft, quan- do fluida fpirituofa a congelatione libera fütura fint, quando contra conglaciationis periculo expofita, íi con. fiderentur frigoris gradus , fub quibus congelari coepe- runt. Sed facile confpicitur, hoc. tantum valere poffe, fi in ipfo fluido, thermometro immerío, frigoris gradus exploretur. Nam aer ambiens maiorem faepius frigo- xis gradum diu habere poteft et folet, quam fluidum in vaíe contentum. ^ Aqua ipfa in medio diu fluida mnanet, quamuis gradus r6o er amplius in aere regnet; quae tamen in media glacie contenta retinet nihilo minus gradum 150, quod et ex fuperioribus mani- feftum eft, et alias fatis conftat. Caeterum cautionis adhuc mentio eft facienda , quam in hiíce experimentis inflitutis adhibui , et quae in inflituendis eft adhibenda. ^ Notum enim eft, eius- modi fluida fpirituofa, quum fint heterogenea , in con- gelatione infignem pati mutationem, et eadem non per- manere , dum partes fpirituofae in medio fluido con- gregantur , et hinc maioris frigoris gradus capaces fiant neceffe e(t, quin folo frigore et congelatione ex vino fpiritum vini fieri poffe conftat. —Vt igitur euitetur et euiporatio ,. et. mutatio fluidi , quantum fieri poteft , haec experimenta tunc démum fíünt capienda, quando . 1n IN FLVIDIS. osa in aere atmofphaerico multo maius frigus regnat, quom fludum , vt congelascat , requirit. — Sic enim conjela- tio breuiffino tempore contingit , vti. ccntigit. in noftis experimentis , ita. vt fenfibilem — diffcrentiam fluidorum obíeruare non, potuerimus , quando pa ticW. le glaciales conípiciendas íe praebere .coeperuot iü hifce fluidis, et nos punctum congelationis notauimus. | Progredimur ad phaenomena exponenda , . quae et vina ct fpiritus vini , tam fub initium '.ebullitionis , quam in continuara ebullitione monftraront [Nos hic tantum initium plenae ebullitionis notauimus , ,quia fa- cile adparet in progreffu «ebullitionis fluida eiusmodi Ípirituofa ob euaporationem perpetuam —infigniorem , infigüiter quoque mutari, ita vt eo propius ad natu. Tam aquae accedant, quo diutius bullitio coptinuatur. : Hinc femper maioris quoque caloris gradus ca- pacia fieri folent et debent , donec tandem gradum. ca- loris aquae bullientis. attingant a, quae funt minus fpirituofa , adeoque ab aqua parum aut nihil omnino amplius differant. — Spiritus vini re&ificatifimus füb gradu thermo- gnetri noflri 3? infra o plene bullire coepit, et hic gradus quoque in progreffu ebullitionis conftans manfit, wti aquae bullientis. "Spiritus viui gallicus bullire coepit infra o fub gradu 2o, fed eundem caloris gradum in progreffu non obtinuit, fed calor aliquot gradibus auctus eft, idemi quoque dicendum eft de fpiritu vini rectificato , qui fub eodem gradu bullire coepit. A "Tom, VIII. Nou. Comm. Yy Vina 354 . GRAÁADFS FRIG. ET CALOR. E Vina (üb initium bullitionis gradus caloris fequem- . tes monítrarunt in thermometro. immerfo, : Vinum hifpanicum plene ebullire coepit notante thermometro noflro. immerfo infr o gradus 15 Vinum Tinto dictum - - " I$ Vinum rhenanum & [] » Z 15 Vinum d'Ermitage - - 423). MBisik Que Vinum Madera - - - - 1$ Madera Maluafier IND . - 2 12 Vinum vetus hungaricum . A E Iz Vinum burgundicum X - - * - I2 Vinum campanenfe 2 «dU. d 15 Vinum gallicum vetus optimum - - 12 Vinunmr Se& dicum : u T * IO- Cereuifia anglicana Ale dida ^ - - ^ 1g Vinum rubrum ordinarium " 2 z 3 Acetum vini, vti aqua - - x o Quod fi hi gradus caloris diuer(i, fub quibus fpie ritus vini et vina ebullire coepere , inter fe compa- rentur ; adparet primum fpiritum vini rectificatiffimun fub minimo caloris gradu bullire. incepiffe , fcilicet. no- tante thermometro immerío 32 infia o. Porro per- Ífpicitur folum fpiritum — vini rectificatiffimum gradum conftantem. in progreffu ebullitionis reünuiffe. ^ Ratio huius phaenomeni fàcile perficitur , quum fpiritus vini rectificatifimus fluidum minime heterogeneum omnium, quae tentauimus experimentis, procul dubio fit ; adeo- quc in ebulltionc parum ant nihil omnino mutetur. Quam IN FLPYPIDIS . $55 Quum fpirits vini recificatifimus minimum - caloris gradum ad ebullitionem requirat , fequi omnino videtur, fluida eo minori caloris gradu ad ebullitionem indigere , quo propius ad naturam ípiritus vini recti- ficatitlimi accedunt , adeoque eo maiorem , quo longius ab ea recedunt. Quo maiorem igitur fpiritus puri co- piam continet fludum, eo minori ad ebullitionem gra- du opus habet, contra eo maiori egebit calore , | quo. minor ípiritus copia erit in fluido contenti. Hinc ex gradibus caloris maioribus füb initium. bul- litionis , et minoribus adcurate notatis, de minore et maiore fpiritus in fluido dato contenti copia quoque iudicari poffe adparet. Sed ron adeo facile eft, pun- €tum initii bullitionis adcurate notare, nos initium bul- litionis tunc demum flatuimus ; quum tota fluidi füper- ficies ebullire inciperet , haec ratio eít, cur initium plenae ebullitionis adpellauerimus. .. Initium autem bulli-. tionis primae ab initio plenae ebnllitionis effe . diflin- guendum , vel ipfa aqua monítrare poteft, quae fem- per aliquot gradibus a prima et partiali bullitione — ad plenam differt , maior vero haec differentia in vinis mihi eít. obíeruati, fcilicet 1o graduum et amplius. Quum autem flatim poít initium ebullitionis calor creícat , difficultas adcurate initium bullitionis obferuan. di fatis patet. — Pondus atmofphaerie non fíolum in. aquam , fed etiam in reliqua fluida bullientia, influere , atque differentiam quandam producere, me. non mo« nente quoque facile perfpicitur, Nos fluida noftra fpi-. rituofi ebullitioni expofuimus , notante barometro 28 pollices. pens regii parifienfis, aut quam proxime. Xy Deni- 456 — CRADVS FRIG. ET CALOR. Denique ex comparatione graduüm caloris, quos fluida fpiritaofa in ebullinone adfuümere folent , iudicati poteft, vtrum punctum fixum v. g. per fpiritum vini vulgarem in thermometris fpiritu vini. impletis deter- minari poffit. — Satis patet nullum fpiritum vini calo- rem aquae bullientis adfumere poffé, quamuis etiam vilí(fimus fit, et certe ille fpiritus vini, qui gradum caloris aquae ebullientis adfumere in ebullitione pote(t, parum aut nihil ommino ab aqua differat oportet. So- lus fpiritus vini rectificatiflimus huic fcopo feruire pot- eft, quoniam gradus caloris in ebullitione conftans eft. Sed fatis pro fcopo praefenti de fpiritibus vinofis et vinis , ad olea veniendum eíl, quae frigore et ca. lore nobis quoque funt explorata. Olea quumi fucceffiue ftigore fpiffiora fiant, do: nec in maffam firmam et duram abeant; punctum congelationis eodem: modo, ac in praecedentibus fluidis, determinari non potuit: Nam in antecedentihus fluidis congelationis punctum definiuimus, quando fluidum fri- gori expofitum , vel glacie oóduci incipiebat, vel par- ticulae glaciales adparébant , vt in fpintibus vini fieri folet ; in oleis methodus paullüm matanda erit, Im merfimus fcilicet thermometrum oleis, vti antecedenti- bus fluidis, et attendimus ad gradum frigoris thcrmo- metri immerfi , quando fluiditatem omnem non folum amifit cleum, fed ita durum fieri coepit, vt cera, calori non expofit, efíe folet. Gradus frigoris, fub quibus in diuerfis oleis hoc factum «eft, fuere fequentes. Oleum EN CE n" »TSs 357 Oleum olivarumi in maffam firmam abiit füb gradu frigoris, quem thermometrum immeríum notabat, 165. Oleum nucum ex ftatu fluiditatis in ftatum — fir- mitatis tranfit , thermometro immerío monf(trante gra- dum frigoris 171. Oleum lini in glaciem abiit füb gradu 197. Oleum caunabinum fub eodem gradu 197 corpus firmum ex fluido factum eft. Explorauimus praeterea alia adhuc olea, tam ex- preífa, quam deftillata, feu effentialia, quae alii tempori feruamus , pluribus circa ea experimentis inítitutis. Ex comparatione diuerforum frigoris graduum , quibus olea recenfita congelarunt, patet, oleum oliuarum minimum frigoris gradum requirere , vt ex fluido fiat folidum et firmum corpus, quum iam fub gradu 165 durum fa&um fit; contra oleum lini, quocum canna- binum conuenit , maximum frigoris gradum, quum de- mum íüb gradu 197 in glaciem abierit. Olea frigore firma corpora facta veram et. pro- prie di&am glaciem effe, nemo, opinor, dubitabit , qui confiderit, aquam fieri glaciem , dum ex flatu fluiditatis in ftatum ^ firmitatis. folo — frigore tranfit. Omnia igitur corpora firma , quae folo frigore gene- rantur, glaciem veri nominis effe et dici proprie poffe, dubitari non poteít, vt cera dura , vitrum , quin ipía metalla, quum aqua nil aliud fit, quam fuíà glacies. Oleum lini frigore non indurari , ad hoc vsque tempus , quod fciam , exiftimatum eft. «— Quum in di- veríis regionibus diuerfi frigoris gradus regnent ; miran- Yys dum 558 GRADUS FRIG. ET CALOR. dum non eft, fluida effe in hac vel illa. regione. incon gelabilia , quae tamen in altera, vbi maiores frigoris gradus obferuari folent , congelari folent. ^ Refpectiue jgitur femper intelligendum — effe , refpec&tu fcilicet loci et temporis, quando fluida quaedam incongelabilia pro: nunciata fünt, et pronunciari folent , per íe patet. Hae bent igitur regiones borealiores praerogatiuam infignem in capiendis experimentis ad frigus pertinentibus, prae aliis minus borealibus. Ex dictis porro intelligitur, quid de thermome- tris oleo lini repletis fit fentiendum. Nam quum iam fub frigoris gradu x97 in maffam duram abire foleat oleum lini; thermometrum oleo lini repletum ad in- figniores gradus frigoris obferuandos effe ineptum , facile confpicitur, neque contractio et dilatatio proportionalis in maioribus frigoris gradibus obtinere videtur, dum fenfim fenfimque fpifhus fit, quam vt gradus frigoris adcurate indicare poffe videatur. | Olea frgori et congelationi magis minusque re- fillere , non aliunde , nifi a diuería eorum: puritate effe omnino videtur. ^ Conftat olea effe corpora mixta et heterogenea , continere particulas terrenas, falinas et portionem aquae maiorem minoremque. ^ Quo igitur: oleum erit purius, eo magis quoque congelationi ree fitere poffe. cenfendum erit. ^ Olea igitur deftillata ,. quae et aetherea , et effentialia; adpellari folent , quum ab expre(fis non nifi puritate et fubtilitate . differant ; fiügori et congelationi magis refiftere debere, quam ex- preffa, facile generatim iudicari poteft. ^ Et fpiritus vini quid aliud funt, quam olea fübtiliora et puriora.? Eadcm 14N FLEIDIS. 359 Éadem haec olea expreffa ad ebullitionem pet- duximns, ad explorandum, íüb quo caloris gradu bullire inciperent ; €t vtrum conílantem , an inconftantem ca- loris gradum in -continuata ebullitione thermometrum mercuride immeríum monfílraret. — Phaenomena nomi. natim in oleo nucum fequentia obferuauimus. —Fumum jam emittere coepit ,.. thermometro immerío mon- ftrante gradum caloris 160, fiue calorém aquae bul- lientis. 2) circa gradum 360 íüpra o fpuma et quae- dam partium agitatio circa parietes vafis eft. confpecta. 3) non ita multo poft plena ebullitio coepit. 4) Ali- quot rninutis fécundis poft plenam ebuflitionem , mer- curius in thermometro immerío bulfire coepit , et con« tinuo oleum flammam quoque coricepit , hinc obferua- tiones nullae amplius locuin habere poterant. Reliqua quoque olea, vel in initio plenze ebulli- tionis , vel paullo poft, mercurium in thermometro bulli- entem effecerunt , adeoque obferuationi finem | impofüe- runt. Sub diuerío quidem caloris gradu ea bullire in- ceperunt , quami diuerfitatem tamen ob fumos fpiffos emiffos adcurate notare non potui. Caeterum in ebullitione oleorum probe duplex bullitio eft diftinguenda. Prior ebullitio cum ftrepitu fit, et pro- «ul dubio. ab admixta aqua eft, pofterior genuina plas .€ida, fine flirepitu, fecundum noftras obferuationes con- tigit. Patebit hoc euidentius ex fequentibus experimen- tis. Primum butyrum purgatum bulliens | effecimus; Prior bullitio cum flrepits. coepit iam , thermometro immerío mercuriali 169 fupra o, calorem fcilicet aquae Nik bulliege 360 GRADVS FRIG. ET (CALOR. bullientis monftrante. Sed non diu durauit , ita vt nul« lum amplius ebullitionis veftigium mox adpareret. Dein lente et placide bullire coepit , quo facto mercurius in thermometo ftatim bullire coepit: buty- rum hoc poft ebullitionem frigefactum in maffam da- riffimam inftar lapidis abiit coloris nigricantis. Ceram praeterea ad ebullitionem coegimus , phae- nomena mihi obíeruata huc redeunt. 1) Cera liquefieri coepit circa gradum 60 infra o. 2) Spuma cum ftrepitu circa gradum 25 infra o eft orta. 5) Cefluit haec fpuma et ftrepitus circa gradum 55 circiter fupra o. mox fumus fpiffus fequutus e& , et 4) paullo poft vere bullire coepit , quo faco 5) hy- drargyrum in thermometro quoque bullire incepit. Flam* mam cera non concepit , mercurio bullire incipiente. Ex hií(ce phaenomenis recenfits circa ebullitio- nem oleorum expreífforum et corporum oleoforum pa- tet primum, gradum caloris mercurii bullientis iis gene- ratim tribui poffe, quia vel in initio plenae ebullitionis, vel paullo poít, mercurium in thermometro bullientem effecerunt. Deinde adparet in ebullitione gradum caloris con- ftantem non manere, qui vero thermorhetro mercatiali in continuata «ebullitione explorari nequit, quoniam ipfe mercurius ad bullitionem cogitur. — Ratio , cur eius- modi olea gradum caloris conftantem non retineant , nee que retinere poffint ; vel ex eo facile intelligirur, et praeuideri poteft , quod fint corpora admodum hete- sogenea , quae in bullitione confiflentiam fuam et in- dolem IN FLVIDI S. 361 dolem mutent oportet, vti experimenta quoque do- cent. In oleo raparum feéruente pyrometro fuo Z/ufJcben- broeckius obferuauit , calorem illius aequalem fuiffe 714. gradibus fcalae. Fabrenbeitiane. ' Quum hic gradus multo maior fit, quam ille , qui mercurio bullienti tribui folet , fcilicet. 600. fcalae Fabrenbeitianae ; operae pretium exiftimaui , gradnm caloris hydrargyri bullientis de nouo, quam adcura- tifüme fieri poteft, explorare, vna cum quibusdam aliis metallis, quatenus fub certo caloris gradu fundi, fluere- que incipiunt , atque rurfus firma fieri corpora, et in fpeciem quandam glaciei abire. In praefenti thermometro mercuriali fequentia corpora metallica explorauimus. | Primum plumbum liquefieri coepit circa gradum $20 fupra o fícalae noflrae , qui conuenit cum gradu 596 ícalae Fabrenbeitianae ; alias 550 — gradus f. initio liquefa&ionis et fufionis tribui folent. Stannum purum ex flatu firmitatis in ftatum fluiditatis abire coepit, monftrante thermometro immer- fo 170 gradus fupra o. qui numerus conuenit cum 4.16 Fabr. Tribui folet gradus caloris 420 Fabr. alias flanno fundi incipienti, adeoque differentia parua eft, vix vllius momenti, quoniam initium fufionis quam ad- curatifime adnotari quoque nequit, in progreffu autem calor continuo infizniter crefcere incipit. j Bismuthum fundi coepit füb gradu fupra o. 235 z— 494. Fabr. Attribui "bismutho galeri incipienti alas 470 Fabr. folent. . /'Tom. VIII. Nou. Comm, EN — Zin- NS 462. GCRADVS FRIG. ET CALOR. Zincum quoque thermometo mercuriali Main conatus fui, fed conatus fuit irritus. Nam mercurius in thermometro prius bullire coe- pit, quam hoc corpus metallicum —liquefieri | inciperet, Plura circa metalla tentamina , quae firma. in flatu fo- lito adparent 10 noftra tellure, fimplicia et. mixta in pofterum coramunicabo.' | Ex hifce tentaminibus igitur adparet dimerfitas graduum caloris, füb quibus metallorum mihi in praefen- ti exploratorum ftatus firmitatis cum - ftata' | fluiditatis et ruríus ftatus fluiditatis cum — ftatu - firmitatis. com- mutari incipit. Quum enim metalla fub eodem fere gra- du caloris. folida fieri, quo fündi folent, incipiant; iidem gradus initii füfionis et liquefa&tionis , erunt quoque. gra- dus initii foliditatis , vel firmitatis. Nam vti aqua in glaciem abire folet füb gradu 150, fic rurfus füb ea- dem fere gradu regelaícere et fluidum fieri incipit. Aqua enim et glacies recens genita eundem thermometri gra- dum habere folent. —— Metalla. igitur firma pro congelatis reputari debent, - et hinc pro glaciei fpecie , quae autem multo mino- zem fiigoris gridum , quam glacies aquae, requirere fa- let. Scilicet fecundum noftra obíeruata quam proxime plumbum $29 gr. fupra o. fícalae noftrae ; ftannum 170 fupra o , bismuthum fupra o. 235 , qui gradus omnes alias infigniores caloris effe folent, frigoris ta- men refpectiue dici Jae, quatenus metalla dicta congelant. Hydrargyrum perpetuo: adhuc in ftatu fiiditati ad- paruit, nunguam in flatu firmitas. . Summi: frigoris ) ' Ratu- IN FLVIDIS. 363 naturalis gradus in omnibus regionibus obferuati e flatu fluiditatis in ftatum firmitatis eum tranferre non potuerunt Habet quidem Academia obferuationes | in . Sibiria fücas , quae congelationem mercurii indicare videntur , quum tam in thermometris et barometris folidus vifus fuerit. Quoniam autem íüb gradibus frigoris multo infignioribus , in aliis barometris et thermometris mer- curiis fluidus per(titerit ; non credibile eft, mercurium fuiffe tunc temporis congelatum , €t forfitan nullus fri- goris naturalis gradus illum figere et congelare poterit , forfan frigus artificiale magaum praeítare hoc poterit. Mercurius igitur fluens aeque ac alia metalla in ftatu fluiditatis, pro metallo, certo caloris gradu fufo, haben- dus videtur qui vero f ib multo minori caloris gradu , quam reliqua metalla, fundi folet, contra maximum frigoris gradum, vt fiat firmus, requirere, caeterum ean- dem natüram quam reliqua "metalla , habere omnina videtur. * Veniendum tandem eft ad ebullientis mercurii phaenomena. ^ Monenda hic quaedam prius (ünt de thermometris, quibus gradus caloris mercurii bullientis -exploraui et explorari debet. Contingere nimirum fo- let, et faepius mihr contigit, vt mercurius in thermo- métro , crefícente calore , et infigniores gradus 250 et , 900 füpra o. adquirente , diuidi foleat , et non conti- mus perftet, quo ipfo obferuatio vitiofa fiat neceffe eft. M hoc caueatur, mercurius, quantum fieri poteft ,. ab Zz2 | omni j XTConfitimatà haec vide. in Differtatione mea: De congelatione. mer- curii a; me: detecta ; Bracleed in folemni Academiae conuentu cd '6,. 1J690L5:0* iar dE ids 364 . GRÁADVLS FRIG. ET CALOR. mni aere eft purgandus , et thermometrum ita ims plendum , vt nullum aeris veftigium in bulbo thermo- metri adpareat. Quae cepimus circa ebullitionem mercurii expe- rimenta adnotata, omnia ita comparata fuere, vt met- curius in thermometro non diuifüs, fed continuus per- manferit ad termimum ebullitionis , reliqua ; tanquam vitiofa , reiecimus experimenta. Vfi fumus in his tentaminibus duplici metho- do, ordinaria, qua calor bullientis alicuius fluidi im- merío thermometro explorar folet, et alia propria , qua thermometrum carbonibus candentibus impofui , et áta attendi, donec primum ebullitionis fignum adpare- ret. In hac methodo pofleriore cautione et attentione non mediocri opus eft. Cautione , vt calor carbonum candentium iuflo maior non fit, alias adfícenfus mercu- ri regularis non fit, et mercurius quoque ob hanc caufam interrumpi incipit. ^ Talis igitur calor effe debet , vt adícendat mercurius non nimis celeriter , adeoque, quantum fieri poteft, lente. Attentione magna opus eft, vt primum ebulli- tionis fignum notari poffit, quod con(iftit in primo fübfultu mercurii, adeoque prima commotione irregu- lari. Hic primus fubíultus circa eundem thermomsetri gradum adcurate femper facus non eít, termini funt inter numeros 4I4. €t 424. füpra O. Quod (i igitur medium fumatur inter hos mume- ros ; initium ebullitionis mercurii figi poffe videtur cir- «a gradum 419—715 Fabr. Plurima experimenta in- ftituimus IN FLVIDIS. 565 füituimus in honc finem: hac methodo, et eundem fem- per euentum obíeruauimus. Ian altera methodo , qua thermometrum mercu- riale mercurio in vafe aeneo ad ebullitionem — perducto immer(ümus, differentia quaedam mihi eít obíeruata, Scilicet hydrargyrum iam bullire in vafe coepit, quum thermoimnetrum immeríum notaret gradum 395 et 400. Sed in continuata ebullitione in vafe, paullo poft mers curius in thermometro quoque ebullire coepit , fub gra- du 414, 420 et 424. — Non igitur priores gradus 395 et 400 pro initio .plenae ebullitionis mercurii haberi poffunt , fed pofíteriores , quoniam tunc demum aequalis calor mercurii bullientis in vafe ; et in ther- mometro immerfo exfiffere coepit. Nam quum ther- 'mometrum mercuriale vnum pollicem circiter fupra bul- bum tantum immeríum effet; facile intelligitur, calorem omnem mercurii in vafe bullientis continuo cum mriercu- rio communicari non potuiffe. Satis igitur experimens ta vtraque methodo inítituta concordant. Caeterum in repetitione horum experimentorum omnia ad puuctum confentire non poffe, fàcile concedet , qui confderat differentiam rhercurii bonitztis, ponderis aumofphaerae forfitan quoque vitri thermometrorum , aliarumque cir- cumfílantiarum , quando «experimenta capiuntur. —1INos mercurium purum: adhibuimus , non quidem reuiuificas " tum , qui pro purilimo lhaberi [íolet, (ed ita tamen purgatum ;, vt impuritatis omnis nota abeflet. Experimenta ipía inftituimus , monflrante baro- metro 28 pollices Parif. aut quam proxime. Nam ipondus atmofphaerae in calorem mercurii bullientis Zz3 aeque 566 GRADVS FRIG. ET. CALOR. IN FLVID. aeque influere , ac in. calorem bullientis aquae , du- bium effe nequit. Vtrum mercurius in ebullitione continuata con- ftantem retineat gradum , thermometro mercuriali decidi poffe non videtur ,- vt ex experimentis nobis captis patet. Nam licet calor mercurii in. thermometro. fenfim cre- verit, continuata in vaíe hydrargyri ebullitione ,. ita vt videri poffit , eundem caloris gradum hydrargyrum in vafe bullientem non retinuiffe ; tamen inde enidenter concludere non licet, calorem mercurii in vafe bul. lientis etiam auctum fuiffe. Nam. fieri. potuit , vt idem caloris gradus perfileret, qui tamen non contiugno , fed fucceffiue, cum . mercurio in. thermometro. immerío com. municari potuit. ^ Hoc igitur phaenomenon. , vtrum calor in mer-' curio. bulliente fit conítans , an non, aliis in(trumentis. ac thermometris - Feed explorandum effe. fa- cile confpicitur. | i^ — Caeterum ebullitio omnino effectus caloris pátticu-, las maffae in vapores. diuidentis , et fübito dilatantis potius videtur, quam dilatationis aeris inclufi, aut. alte- rius fluidi eliftici in vniuerfo: exípanfi; et vti mercurius ebullitionis eft capax , ita. reliqua. metalla fub certis con- ditionibus illius quoque effe capacia , cum ratione dubi- tati nequit. Vid. Lecons de Phyfique expérimentale par Mr. Noll Tom. IV. pag. 4535. OH 553 b Meca 0H Ut NUR WR (o) WEN 363 CAVTELAE CIRCA OBSERVATIONES METEOROLOGICAS ADHIBENDAE A ctore PETRO «wan MFSCHENBROEK.. M'*5 MU Á unie vti Barometro, Ther. A mometro, Hyetometro, Euaporatorio, Notio- metro ; rents ho et fi quaedam alia fit inflru- menta, quibus ftatum atmofphaerae praefentem , prae- cedentem aut füturum aliquomodo cognofcere aut ex- .plorare licet. JNeceffe igitur eft, vt eiusmodi inftrumen- tis vtamur maxime perfectis, vt obfíeruationibus fidere queamus , atque ex iis probas colligere fcquelas. Me- morata inftrumenta funt admodum vulgaria , faepius de- ícripta , fed raro tam bona ac perfecta, quemadmo- dum defiderantur, ideo obíeruationibus cum iis inftitutis fidere non lhcet: operae pretium igitur erit, ea defcri- bere , vt omnino perfecta a perito et folerti fabrefiant. Incipiam .a Darometro , quo: pondus vel preffum: atmofphaerae acreae inueftipamus , eiusque augmentum vel decrementum variis temporibus comperimus. Ab experientia edocti firmus fimplex Barometrum effe prae- flantifümum ad obíeruatiomes certas capiendas et memo- riae tradendas. Conftat id tantum ex tubo vitreo, redo , cylindrico , vltra 30 pollices Rhenolandicos lon- go , longitudo: maior nequaquam nocet, praeítat tubus 49 469 CAVTELAE CIRCA 4o pollicum breuiori et tantum $30 poll. Altera huius tubi extremitas in rotundam definat fornicem, quae herme- tice ( vt dici folet ) claufa fit. — Altera extremitas fit aperta , fed oblique in(tar cunei definat , vt cum in- fliterit mercurio , ex cauitate tubi fàcile mercurius effluere , et ex vafe in canum influere poflt, ni(i tu- bus a fundo vafis, de quo mox agam, aliquantum diftiterit , tum enim tubi extremitas plana effe poteft, patulaque eft mercurio vía. Diameter cauitatis tubi fit ad minimum ;, pollicis Rhenol. maior capacitas non no- cet. Craffior hic tubus vulgaribus eft; qualiscunque füe- rit, menfüranda accurate ct memoriae tradenda eft: nam in tübo amplo mercurius ad maiorem fubit alti- tudinem , quam in apngufto, difcrimen interdum eft 2 linearum pollicis: Quoniam huc vsque ratio amplitudi- nis cauae habita non füit, nec ab obferuatoribus ad- notata, nullis hactenus defcriptis ebferuationibus baro- metricis fidere licet. Craffiies viri vix difcrimen af- ferre vifum eft: notandum ctiam eft genus vitri, tum in qua regione , et in qua officina vitraria tubus factus fit; vtinam eius vitri ingredientia notare fimul poffe- mus ! fed artifices haec celant ; idque caufa eft , cur nunquam Philofophus de vera altitudine mercurii in barometro fit certior , vitro vno maiorem vim trahentem. €t repellentem poffdente altero. Antequam mercurio impleatur tubus , mundanda et polienda e(t cauitas interna ; nam haec in officina vitraria, dum recoquebatur lento refrigerio , contraxit fumum , et fordes a vitrario inflatas: praeterea fuper- ficies aliquantum inaequalis et afpera eft; nifi omnis afperi- OBSERPATIONES METEOROL. 36$ asíperitas politura tollatur, nunquam accuratiffime tubus inercurio impleri poteft: tollitur afperitis hoc pacto. Capiatur filum ferreum craffitudinis ac efl acus texuilis , purum , nulla rubigine aut fordibus infectum , longius tubo, et in capitulum craffius defiaat vnum extremum ; circa extremum hoc ^'conuolustur puriffimum cotoneum, idque filo puro albo lineo in duobus locis firme cir- cumligetar , adeo vt medium cotonei, ventris inftar. inflatum j aliquantum difficilius ingrediatur tubi cauita- tem ; eliflicitas cotonei efficit, vt adimpleat ' partes anguítiores et ampliores tubi ," et füperficies: interna abradi polirique poffit. "Tum cotoneum humectctur alcohole vini, et circumfpargatur in' rotundum calx ftanni teuiffuma , €t prius a craffioribus partibus. mun- data et lota in aqua ; hac calce teratur interna tota tubi capacitas aliquot horis; nifi hoc taedium quis deuorauerit , nunquam opus habebit abfolute perfectum; Peritus in arte videre poteíl a priori vtrum tubus intrinfecus quidem probe laeuigiri queat, fi non, reii- ciendus eft ; idem internofcet , an tubus fit fatis laeui- gatus et politus. Hoc cognito omnis calx flanni eft ex tubo eluenda, quod tantum faepius repetitis fit. nouis cotoneis, tandem. probe ficca calce flanni , aut alio poliente puluere iniecto , ^cauitas vherius ficcatur | et politur; quod fi aeftate , coelo fereno , in fole nitente tubum calefeceris et poliueris memorato modo , certior eris cauitatem effe omnino, ficcam. Prae(tat tubum; in fole. calefacere,, quam prope ignem prunarum, quia hic femper fumum eiaculatur , qui aerem inficit. Ideo barometra funt aeftate , coelo fereno ct ficcifümo, cone Tom. VIII, Nou. Comm." Aaa ficien» so . CAVTELAE CIRCA ficienda , nunquam hyeme, multo minus tempeftate hu. mida, aeris humore cauum tubi irrepente et fuperficiei extemplo obhaerefcente. Deinde eligatur mercurius Tyrolenfis nouus, mun- difimus , qui in phiala chemica longioris colli. infufus, flet in. vafe ferreo cum arena et a fubditis ignibus ebul- lit, vc orbetur omni humore et aere, 1deo conti- nuanda eft ebullitio , donec in phiala nullam bullam inter vitri et mercurii füperficiem fupereffe videamus : quo vifo committatur refrigeícere. Iam aliquis tubus vitreus amplior intrinfecus et extrinfecus probe mundetur ab omnibus fordibus, tra- datur Encauíto , qui ex eo in flamma lampadis lique- fa&o íormet infundibulum cum roftro capillaris an- guíliae , parum longiori tubo barometrico: formetur tubus capillaris vt intrinfecus nihil fumi conceperit, ex- trinfecus tamen denuo cotoneo et ílanni calce eft ab- ftergendus , ne quid oleofi fümi aliarumue fordium adhaerefcat , inferius tubi orificium fit adeo anguítum, yt exigua guttula mercurii lente effluere poffit. In inuerfüm tubum barometricum | immittatut roftrum capillare vsque ad fornicem : ponatur hic ap- paratus in fole , vt incalefcat ad gradum *70 vel 80, mercurius in phiala paris caloris fit; qui tum effündatur in infundibulum , lente ex ora inferiori effluxurus. Sol- . licite curandum ,. vt infündibulum femper multum mer: curii capiat , nec vnquam ante tubi plenitudinem eua- cuetur: íi enim id contigerit, polteaque impleretur denuo OBSFRPVATIONES METEOROL. 337 denuo infundibulum mercurio , aer,qui in tubum capil- larem vacuum ingreffus deltefcit , deorfum | preffus, pel- leretur per mercurium , qui aliquousque tubum baro- metricum iam implet, t hinc inde in eo haerefcens corrumperet omnem -exantlatum laborem, adeo vt euacuandus tubus, €t omnis: impletio ab ouo inchoanda foret. Ex Tubo iam impleto lente extrahatur infundi- bulum cum roftro capillari. Prudentia opus eft, ne frangatur. "Tum vero in tubo oritur inanitas, quae af- fufo mercurio facile. impletur, praecipue íi breuioris roftri tubo capillari vtamur. Sed circumfpiciendum eft, an ibi loci bulla aerea adhaerefcat ; haec immiffo filo ferreo furfüm tolli poteft. j Hoc pa&o habebitur tubus barometricus perfecte impletus mercurio, et vehementius lucem extrinfecus alla- bentem reuerberabit , quam vllum fpeculum vitreum ; nec vllibi locorum bullae aereae comparebunt: ne qui- dem in inuerfo poftea tubo. ^ Capiatur nunc vas vi- treum cylindricum , diametri 6 poll. Rhenol. et x: poll. altum , cui infundatur mercurius: eius orae con- veniat operculum ligneum , in quodam loco exíciffum, vt tubum capiat: feruit hoc obtegendo mercurio ad- verfus fordes in aere natantes: Sublato operculo clau- datur extremitas aperta tubi barometrici digito , inuer- tatur tubus, et extremitas vna cum digito deprimatur füb füperficie mercurii in vafe, remoto digito effluet mercurius ex parte fuperiore tubi, donec, quod reflet , eft in aequilibrio cum pondere vel preffu. atmofphaerae. "Vas cylindricum ;. cui barometrum infiftit , tam amplum. capiendum eft, vt mercurius , qui in tubo Aaaa varie- $72 CAVTELAE CIRCA varietatem tripm pollicam in altitudine fentit in Belgio, effluens , altitudinem mercurii in vafe fenfibiliter. non augeat , accuratam obíeruationem turbaturus: pofita igi- tur diametro cauitatis in tubo 2j poll. et. vafis: diame- tro 6 poll erit varietas in altitudine mercurii in. vafe tantum , lineae , quae | propter —paruitatem — internofci mequit, adeoque absque vllo fenfibili errore. omittitur, cum in fummo -adícenfuü et deícenfü' mercurii in tubo duntaxat. tanta. ft, in omni intermedia altitudine mi, nor , nec' vllo nuda diftinguenda. | | ] Totus hic "apparatus. imporiendus. afferi ; oue *probe ficci , uius | parti inferiori adnexa eft eapía; quae vas cylindricum concludat ; afferis pars media ex- cauetur , vt in ea tubüs barometricus capiatur . vsque adi -dimidium craffitiei ; lignum 'ebenum eft laudatiffimuni ,. ;eum nec calorem, nec frigus, fentiat ; et vix humorem: -aereum Íorbeat: fi alio. vtamur ligno, necefle eft, vt ab omni. parti adlinatur oleum lini aliquoties ; a quo po- ri obturantur. — Scala iam affigatur ad latus tubi, et quidem ad vtrumque , in Belgio menfura, Rhenolandica . vtimur , incipiatque a pollicibus 2*7 a füperficie mercu- -rii im vafe, et de(nat in 3o pollices. ^ Scalae. Ratitudo loco obferuatoris refpondeat ; alia cnim conuenit locis -fub.aequatore , vti regno Peruano; alia locis polaribus. Oportet, vt quotide aliquoties altitudinem. mercurii ; jn. barometro ebíeraemus ; fufficit id mane, ipfo meridie, tt no&u feciffe, quibusdam femel electis pro arbitrio ; ct deinde ftatis horis, atque ordine obferuationes hae funt notandae : cum autem. atrox coorta eft. tempeftas,;, | eualipet hom; vel femihorio, infpiciendum eft. barome- trum ; OBSERFATIONES .METEOROL. 378 trum , vt. minima. cognofcatur mercurii altitdo. durante tempeflate ; quae fi diligenter memoriae fint tradita , vt et in aliis adiacentibus regionibus , vel et. diftanti- bus , latitudo. tempeftatis ,. limites.,. progreffus , directio, ct quo in loco maxime. faeuierit ,, cognofícetur. lNotentur. quoque. celeres adícenfas vel. defends mercurii in tubo, aut diuturna requies, zh Menfe elapfo altitudines mercurii omnes - obferua- tac in fummam: addantur ,. quae diuidatur per. nume- merum dierum multiplicatum prius in 3, quia tres ob- feruationes quotidie , funt fictae , -quotiens- mediam alti- tudínem mercurii indicabit ; haec ícribatur inter maxi- mam ét minimam. altitudinem ;: quo pacto fere omnia intelliguntur , quae. obferuationes . barometricas . fpectant 4n eo loco, vel vrbe et regione , in quibus factae (ünt ; et notata altitudo. foli, füpra maris , fuperficiem. . Quod fi veram. pondus vel preffum. atmofphae- rae obíeruator in íüa fede ex 'barometri altitudine erue- 1€ cupiat , ratio caloris etiam» eft habenda. | Eft enim tubus barometricus ctiam fpecies thermometri , mer- curio a calore rarefcente , a frigore Ld deüfo , ideo .aeftate : mercurius eiusdem ponderis eft aliior in. tubo, hyeme humilior... Si hyeme , quando aqua iu.glaciemy verti incipit , mercurius fleterit in tubo ad altitudinem 29 pollicum Rheu. .aeftate regnante. acítu po grad. paris ponderis flabit ad altitudinem 29 poll 44; linear. "Amontorfius. in Gallia a maximo frigore ad . fummurm aeftum in coclo regnantem Parifüs ,4 volumine increse cere tradidit in /'Hifloire de P4cad. Roy. des Sciences JH. 1704, Dag. 224 eb 364. Propter aíperitatem ge- Aaa 3 hy $74 CAFTELAE CIRCA lu Petropoli difcrimen altitudinis maius erit: fcala ac- cürata eum in finem femel eft condenda. Quia pes Rhenolandicus cubicus mercurii eft pon- deris Trica(hni f& 899. Z 8. «ex altitudine mercurii in barometro fciri poteft, quó pondere atmofphaera pedis quadrati fuperficiem corporum premat, quae in folo iacent: lubet hoc in íequenti Tabula exhibere : pollex diuifus e(t in r2. lineas. Altitudo Pondus. |Alritudo ^ Pondus. mercurii. mercurii. Poll. Lin. 1f. Vuc. |PolL Lin. 16 Vnc. £3 0—1933—14. (28 — 7 -2047- 41| Altius in I— 1939— 151. $ -2055- 4. | Belgio 2 — 1945 —13. 9 -2059- $51 | barome- 3—1951— 12i | IO -2065- 42. |trum non 4.— 1957 — 12. 11 -2071- 2! eft, quàm 5$ — 1963— 11i |:9- o -2077- 2 |go poll. 6 — 1969— 11. I-2083- 1;neque 7 — 1975 — 10. 2 -2089- i.jinfra 9? 8 — 198r — 10. $ -2095- i. pol.Rhe- , 9—1987— 9; 4 -2101- o nol. ob. IO—19953 — 9. 5 -2106-151.|feruatum II—I999 — $i. (6 -2112-15 huc vs- 28 — 0-—2005 — 8. 7 -2118-141 que. b geniis N ec Mim 8 -2124-14 ?—2017— 7 9 2150-13; 3—2025 — Ó6;. IO -2156-13 4.—2029 — 6 II -214.2—-I2| 5—2035— 5; | 30— Oo -2148- O;. 6 —2041— 5. | y» Ali- OBSERVATIONES METEOROL. 335 Aliqui Philofophi omni induftria altitudinem baro- metri obíeruaturi , ex ligno leui, parum lato; f(fcalam fabrefecerunt ,. cuius inferiori extremo affixerunt - orbem planum. ex fubere , leuem, diametri 2 vel 3 pollicum, Lignea haec. fcala vix defcendit in mercurium , ob leui- tatem .ei innatans; attamen. adfcendente mercurio in vafe, adícendit (cala , defcenditque defcendente mercurio. Hoc pacto, vera altitudo mercurii in tubo videri poteft, eftque haec fatis laudanda. methodus , quando inferius vas cum mercurio eft auguílius. — Scala natans appellata fuit. Alii diuifionem Nonnii applicuerunt , diuidentes pollicem in ro partes aequales, «et applicantes fupra hanc laimioam mobilem ope cochleae ; diuifam in ii partes aequales , quo pacto conuerfione cochleae attol- lentes vel deprimentes laminam , et attendentes quae- nam lineae conuenientes vnam efficiant, pollicis cen» tefimas partes diftiuguunt. - Oportet ; vt obferuator attendat ad mercurium in tubo , qui tangit füperficiem vitri , fiue vbi ora fuprema atta&us eft: haec enim fíola pro vltimo limite altitudinis haberi poteft , reliqua fuperficies mercurii in tubo rite diftingui nequit. ^ Hoc incer- tam facit omnem obferuationem : nam quando mercu- rius in tubo incipit defcendere , fuperficies füperior ro- tunditatem amittit , planior fit, immoto adhuc annulo, qui vitrum attingit ;.— adeoque axis columnae mercurii primum defcendit ; mox partes, quae ambiunt axin, tum quae fucceffiue maiori interuallo ab axe abfünt, iam, íuperficie fuprema fere plana , defcendit mercurius, qui (uperficiem vitri attingebat. "Quando mercurius ia tubum 376 CAFTELAE CIRCA tübum altius adfcendet; axis columnae primum adfcen: dit , mox partes axi vicinae , eumque in rotundum ambientes, quamuis hae minus in altum furgant ;- ideo: füprema columnae in tubo fuperficies fit admodum con- Vexa , mercurio , qui vitrum attingit , adhuc immoto, nec hic adfcendit, nifi conuexitas columnae magna euaferit, et ad latera defluxerit ; leuis concuffio id. ac- celerat.. Prolixior fui in Barometro defcribendo , quin hoc. inftrementum transportàri ex. regione in regionem nequit, fed oportet, vt concinnetur-in loco obferuatoris. Alterum inftrumentam calori et frigori coeli ob- feruandis feruiens eft Thermometrum : laudatiffimum eft, quod mercurium continet, et fabrefactum 'eft a folertis- fimis Fabris, G. Fabrenbeitio , aut H. Prinfio , Amfte- lodamenfibus. "Quomodo huiusmodi thermometra con- flruenda fint, olim prolixe defcripfi. Ad ea maiori pe- ritia, quam ad barometra, opus eft, tum vt quis in arte encauftica veríatus fit. ^ Poffont' autem facile et tuto tranfportari ex Amf(lelodamo ad quascunque regio* nes: modo iaceant in capfula ferrea , fint inuoluta adi- pi refüfae , prius tamen cincta leumscule foeno, vt me- dium in liquefacta adipe teneant locum. Capfuülam claufam ambierit largum ftramen , atque apparatus thecae ligneae jncludatur , quae hoc pacto omnes iniurias carrorum to- lerat; et poftea ex capíula ferrea , aquae calenti im- miffi, a qua adeps refünditur, integrum tollitur ther- mometrum. Oportet, ^vt (cala Fabrenbeitii : ad latus thermometri vtrumque fit adícripta ; furíüm ad gradus x20 fupra o , infra o ad gradus 60 ;; fed haec deor- fum longior fit necefle foret , fi in Sibiria frigus afper- rimum OBSERVATIONES METEOROL. s75 rimum explorandum effet ; quale expertus eft 126 erad. füb o Nobil Gen. Quoniam "Thermometrum fca- lae infidens iniuriis aeris eft exponendum , oportet, vt fcala fit caelata in lamella aenea, quae ab omni parte bene fit inaurata. | Caeteroquin orichalcum ab aereo fale intra 20 annorum fpatium e(t erofum; imo in nonnullis regionibus ocyus. Sufpendatur fub dio , obuerfüum plagae feptentrionali, ne vnquam directe a fole, GI aut a radiis repercufüs illuftretur , attamen fit in loco patente et vmbrofo; vmbrofi enim aeris calor tantum eft notandus, quia eft conftantior illo, qui a fole communi- caretur cum Thermometro , multis varietas tibus propter aduolantes recedentesque et nbactas nubes fubiecus. Tum ne hyeme a grandine frangatur , vel a niue refrigeretur, pendeat ex afferculo viridi , et fub tec&o ampliori, vti in íchemate videri poteft. Quotidie ter iisdem horis notetur calor, qui- bus Darometri altitudo obíeruata fuit. Finito menfe graduum , calorem indicantium , nu- meri in fümmam addantur, quae diuidatur per nume- rum obferuationum , ita calor medius eius menfis in- noteftit, ex quo , vtrum hoc menfe coelum calidum , an frigidum , an temperatum füerit, colligitur : inter maximum et minimum calorem menfis Ícribatur me- dius calor. Si menfis hyemalis fuerit et gelet , glaciei craffi- ties qualibet no&e in aqua flagnante vel lacu formatae notetur, tum quanta craflties currente meníe contige- Tom. VIII. Nou. Comm. Bbb rit ; 378 CAVTELAE CIRCA rit; quando inceperit regelari, quo tempore penitus refüfa fit glacies; quomodo glacies in flumine fuerit comparata , quo tempore vtramque ripam iunxerit, et reliquerit. Attendatur ad gradum frigoris, quando fo- lum pruina correptum füerigt, quando linteum ma- defcens fub dio fufpenfum , congelari coeperit : an fem- per gclet ftante mercurio in gradu 32, an. femper re- gelet. mercurio maiorem calorem quam. 32 gr. indi- cante? ' Au venti gelu accelerent , minmuant, vel retar- dent, et quinam ? An concufífio- aquae. in: vafe congela-- lationem. acceleret ?/ An aqua congelet aeque: cito. im vafis. aequalibus , in. eodem: loco: pofitis ,; ex. quacunque materia vaía fuerint formata * Sed. et ad. Lunae. phafes. attendere. oportet, et explorare, am vbiuis terrarum: idem, quod' in: Delgio. conítanter, euenit. Quotiescun-- que fit nouiluniumr ;; prima quadratura , plenilunium ,, vel. vltima: quadratura: gelante: tempore ,. afperitas. gelu. aliquantum: remittit, et quidem: vel ipfo: die: phafium ,, vel pridie ,; aut poftridie, adeo: vt nunquam: perftet: idem. gelu. vigor. duarum. feptimanarum decurfü ,. quam-- vis poft vnum: alteramue: diem: recape(fat vires ;, afpe- riusque quam: antea: increfícat : contingit. etiam. vt mul. to. modeftius. pergat, imo: fiat regelatio: quae: totam: refündat glaciem. ^ Gelare. in. Belgio incipit, regnante: vento: orientali ,, non cum: auíltrali vel occidentali ;. quamuis. in. diu. durante: gelu. et. hyeme, gelu. quidem. cum hifce ventis. perftet.. Quibus horis memoriae: traditur Barometri et Thermometri. altitudo, iisdem. obferuentur- venti: qui. fi ex. vexillo in. turri non: recte. fpectari poffint ;, vti faepe: OBSERVATIONES METEOROL. 379 faépe fit, praecipue noce illuni, aut omnino ferena et fine vllis nubibus , tum fequenti modo norentur: Modo obíeruator in loco patenti, et bene perílabili degat, nec montes, turres , aedes vicinae altiores de- curííum ventorum turbauerint, tum excelfiluma pars te&i eligatur, ex qua emineat vexillum a ventis re- gendum ; afüxum fit firme longae virgae fericae , qualis Íeruit cortinis, virga traníeat foramen in te&o , in quo capiatur laxe ab annulo aeneo , qui aperiri claudique ope articuli poft , vt in hoc annulo libere fit verfa- tilis inflar axiculi rotae in anía ; inferius virgae extre- mum fülciatur palo , infiftenti pauimento , cui infidet concauum aeneum excipulum , vnctum olco , vt lubri- ca fiat virgie | perpendicularis ad folum fitus , veríatio in rotundum ; ad arbitrariam diflantiam ab hoc extre- mo, furfum , fit affixus tenuis flilus, qui index erit, et parallele ad folam verfetur circumacta virga ; tum ex ligno formetur circulus amplus, per cuius centrum tranfit virga veríatilis , affigaturque tecto vel contabu- lationi ; parum fupra indicem, fitque ad folum paralle- lus, vt index circulum percurrendo ventum regnantem defignet , qui in oculos fpectatoris, furfum —tollentis vultum , incurrat. Planities circuli diuidatur in octo partes aequales ,' quibus nomina octo ventorum inícri. bantur; licet eum partiri in plures partes ; fi maiori accuratione ventos notandos iudicauerimus ; oportet cir- culum ita affigere contignationi , vt Septentrio et Auíter apprime congruat cum linea meridiana terreftri, ab A(íltronomo in eo loco defcripta; non autem e Bbb2 di- "LIS CAVTELAE CIRCA directione acus magnceticae , cui fidi nunquam poteff , quia eft omni momento temporis irrequieta. Hoc modo no&u et interdiu veatorum plaga ob- feruari poteft: fed praeterea notandum eft, au veutus fuerit nullus, leois , violentior, au fíaeuiat procella ? Interdiu hoc vtcunque detegitur ex rnotu ramorum im arboribus, aut ex velociori motu alarum , quae ín molis a vento agitantur, et vel penitus obtegantur velis a molitore, vel iaterdum duo vela parum ob- voluuntur regaante violentiori vento: vel quatuor vela aliquantum conuoluuntur : vel duae alae non obducun- tur velo, aliis duabus obtectis: vel nulla vela (uat expanfi im alis: vento magis fieuiente molitor alas fir- mat et eas ad adueríam venti plazam circumuertit , ne a vento laedantur ; interdiu (ic fatis ventorum — impe- tus patet diuicendus in partes 8 notandus o,r,2. 5,4, 5,0, T7. Si molae , quae a ventis agitantur , ibi loci non fint, tum poteft dolium aliquot lapidibus oneritum ex fune 2o pedes longo (íufpendi ex palo cum longe eminenti brachio , qui (teterit in loco patenti. Ventus in dolium incurrens , id in ofcillationes agitat, eo ma- iores , quo vi maiori afflauerit, ex minoribus maiori. busue ofcilationibus obferuator breui ventorum impetus diftinguere difci. — Caeteroquin in víüm vocari poteft Anemometrum quale Noo. Chr. JFolfus in Elem. Math defcripfit, aut fimile aliquod Leutmannus in Tr. de Meteorog vel in Y'Hitt. de l' Acad. Roy. dcs Scienc. Neceffe OBSERVATIONES METEOROL. asi Neceffe eft , vt venti velocitas obferuetur , quan. fum fpatii dato tempore percurrat: id huc vsque a nullo Philofopho praeftitum eft ea accuratione , qua opus e(t, quamuis multorum problematum folutiones inde pendeant. Ab experientia enim compertum eft, omnes modos magnis defectibus effe (übiecto» , nullis. que fidi poffe. Praeterea ope inftrumenti explorandum eft, au quocunque anno eadem quantitas venti fupra eundem fiet locum , an difcrepet , tum quantum , et an perio- dus fit copiae ventorum aliquo annorum decuríu ? Non exiguam ia hoc themate nauaui operam, machinam quandam et obíéruationes breui in lucem editurus. In- terim ex hifce inreliigitur, quaenam ad obferuandi me- teori adhuc defiderentur; nullus dubito, quin alii folertes Philofophi animum intenfuri fint ad omnes defectus füupplendos. 7 Magnae vtilitatis eft. Hyetometrum , quo copia pliuiae quotidie libentis meníüratur ; hoc inftrumento itaque detegitur , quantum pluuiae quolibet meafe, quo- libet anno ia ea regione cadere foleat. lta dies humi- diffimus anni , eiusque menfis humidiffimus notatur , et multos annos íecum comparando annus humdiffimus , ficciffumus , mediique humoris fcitar ; cuo; nouiffe magui refert, quoniam ennorum et menfim fertilitas 4 pluuii largiori, parcioriue, nonnullis reenfibus labente, pendet, tum et aquirum in fluminibus intumefcentia , €t exundationis periculum, aut aggcrum fractura prae- videtur, cui in tempore füccurri poteft. —— Bbb3 Hye- 482 CAYVTELAE CIRCA Hyetometrum , Belgicis obferuationibus idoneum, fequenti e(t forma :: Ex aere fuluo fiat vas quadratum, cuius quodlibet latus fit vnius pedis Rhenolandici; fit fundus decliuis tanquam infündibuli , latera quadrata fint octo pollices alta, "vt niuem largius deciduam ca- piat vas: fündo decliui afferruminatus deorfum fit tubus aeneus , 8. poll. longus, conicae figurae , vt aliquous- que phi»slae gulam. ingrediatur , eamque accurate op- pleat, ne illapfa in phialam pluuia euolet fub vaporis forma. Capiatur deinde phiala vitrea quadrata , cuius latus planum adamante diuidatur in aliquot partes, quae hoc pa&o eruantur: Cognitum eft pondus pluuiae in pede cubico Rhenolandico íf& 65. Vnc. 5. drach 7. gran. 9. ponderis Tricafüni , quo tempore coelum 5o gradibus calet. Hoc pondus diuifum per r99, dabit quotum , indicantem pondus pluuiae in pede quadrato et altitudine vnius lineae , id proxime eft 3573 gra- norum. Vafículum mundum, in accurata [ftans bilance , capiat hanc quantitatem. aquae , quae in phialam in- fundatur , noteturque in latere altitudo aquae: vel ipía phiala ftet in lance, ad facoma in aequilibrum re- dacta , infundaturque aqua, donec 33753 granis euaferit ponderofior. Infüo «et adnotatio continuetur donec phiala omnino fit plena: effufa aqua adamante non fcindente , fed radente , ducatur ad quamlibet diuifionem in vtroque latere factam , linea recta, et numeri albo pigmento lateri infcribantur : ampliores — huiusmodi phialae 30 diuifiones capiunt , quae omnes defignant alitudinem lineae pollicis. Hoc pacto manifeflo videri poteft OBSERP ATIONES METEOROL. 383 poteft quantitas pluuiae , quae pedis quadrati lineae altiiudinem fàcit: imo peritus facile difcernet partes li- neae , qualis accuratio fufficit. Si quolibet menfe effun- datur pluuia. ex phiala, nouo meníe fit noua nume- ratio ; fi currente menfe plus pluuiae ceciderit , in tem- pore effündatur pluuia , et in annalibus figno notetur, effuüfam effe pluuiam , denuo delapía addatur numero praecedenti ,, et. humoris. decidui. copia. hoc. menfe. cognofcetur.. Hyetometri pars fuperior aenea: emineat ftyloba-- ta, cui infiftit :: ftylobata. fit thecae: inftar. caua; lignea, 2; pedes alta,. parte fuperiori in. medio. perforata , vt tubus vafis: aenei: libere. tranfeat,, et: maxima pars fündi nuda. fit: im: cauitate- ftylobatae: ponatur phiala, iam diuifa ,, quae: infiftat: afferi ,, feu: potius: fit. pauimentum pro: altero: mobili: afferi,, in: priore: iacenti ,. et. cui: cum infiffit phiala,. huius. gula: roftrum- tubi: aenei. capiat 5 hoc. mobile: afférculum: fubtus: remoueri. poteft, tumque: tantundem. defcendit phiala',, quantum. gulam: ingredie- batur: tubi: roflrum ;. deinde: phiala: depleatur, mox ite- rum. in: ventrem: ftylobatae: reponenda: et. afferculo: fül- cienda,. Hyeme: aqua. in. phiala. congelatur ; obferuato: gelu: eximatur. phiala ,. et: vacua. feruetur. in^. alio: loco: aedium.,. ita tamen, vt quotidie in: ea: fieri poffit men- fura niuis. vel grandinis. delapfae. et refufae.. Subftituatur: eius. loco: vafculum. aeneum in ventre ftylobatae: (üb roftro: tabi.. Si itaque: ningat,. vel grandinet,. raro: tan-- ta niuis. labitur. copia ;. quae: füperat: altitudinem | 8: poll. qualem. pars. aenea. capit. — In ventre ftylobatae pona-- tur: prope. fundum: vafis. tefla: cum: prunis ,, vt nix. re- fun-- 584 CAVTELAE CIRCA fundatur, refüfa excidit ex roftro tubi in vafculum aeneum , liquida fündituret menfüratur in phiala vitrea: fi ningere defierit, et euaporationem aquae arcere vo- luerimus , aeneum operculum imponatur Hyetometro , et prunas iniiciamus operculo, quo modo et a prunis fuperioribus et infra fundum pofitis celeris fit niuis aut grandinis refüfio ; et fimul obferuari poteft raritas niuis deciduae , quae in magna altitudine parum aquae fup- peditat. Hyetometrum huiusmodi in medio areae paten- tis, aut ampli horti, vel in excelío loco, íed ad quem fàcilis eft acceffus , ponendum eft, optima in obferuatorii aftronomico fedes eft: non enim pluuia femper recta labitur, fed a vento variis agitur directio- nibus: fiftitur a turribus, templis, excelfis aedibus , altis arboribus ; ideo fi bina accuratifüme fabreficta fint Hyetometra , quae in variis locis eiusdem vrbis ponan- tur, pluuiae quantitates non femper concordes com- perientur. Si niualis aquae aut fpluuiae variis temporibus deciduae grauitatem fpecificam fcire cupiamus, atten- dendum eít ad calorem aquae ope inmi(fi Thermome- tri mercurialis, deinde fiat penfio, inmittendo bulbum vitream folidum , pendulum ex filo equino, et ex ac- curata bilance hydroftatica , et obferuando quantum de pondere ia aqua amittat: Haec enim methodus eft omnium accuratiffima , nec , quantum fcio , defectibus vel vitiis inquinata, eftque prolixe defcripta a Cl. sGravejandio in Elem. Phyficae. Exami- OBSERVATIONES METEOROL. 385 Examini chemico pluuia, diuerfis menfibus de- cidua, fübiiciatur , vt partes componentes , falia , olea, terrae etc. innotefcant, quae omnii funt aduotanda : pluuíae enim impuritates multis difcrepant modis; nec mifi chemica analyfi cognofcuntur. Diebus humidis ter quotidie pluniam notaffe fuf- ficit, exinde enim quantum labente menfe ceciderit, conftat. Neceffe etiam, vt figurae floccorum niualium et grandinis microfcopio fpedentur, et delineatae accu- rate adnotentur. Notare eriam oportet, quantum aquae quolibet die, menfe, et anno, in vaporem veríae in auras cuolet. Hoc inuefligatur Euaporatorio , fiue Exatmofcopio , quod eft vas ex aere fuluo ;. caumm , forma p'rallele- pipedi , íesquipedem altum , cui quodlibet latus orae apertae fuperius eft 6 pollicum 5 ergo 36 pollicum quadratorum eít apertura. Deinde in regula aenea mo- bilique infculpantur pollices 18, vt fundo vafis infiftens apponi interiori lateri poffit, et exemta ex vaíe ap- pareat altitudo aquae in vafe. —— Vafi infüundatur aqua ad altitudinem pedis, fuperius mane relinquitur, vt capiat plauiam , nec haec exeat: ponatur prope Hye- tometrum in patenti area, vel loco medio horti, aut, quod mclius eít, in obferuatorio aftronomico , vt a fole in rotundum illufiretur , iucalefcatque in eo aqua; et 3 vento perfletur. Ex comparata altitudine pluuiae in Hyetometro , et altitudine aquae in Euaporatorio ; fupputatur facile, quantum füb forma vaporis in fübli- me exiuerit. Praeterea fabrefiat craticula ex filis tenui. Tom. VIII. Nou, Comm. Ccc bus 486 CAVTELAE CIRCA bus aeneis, magnis qnae diítant interuallis; haec orae vafis imponatur, ne auiculae aduolantes aquam potant, quod caeteroquin contingere folet: haec fila nec euapo- ratione obíunt , nec illabenti pluniae. Ia diario itaque notari potelt, quantum aquae nuctemeri fpatio in vapo- rem füerit conueríüum , quantum veatus et (olis calor Operati fuerint in aquam, ita ventorum ficcorüm ope- rationes intelliguntur ; praecipue — meufibus aeítiuis. Diícrimen obferuabitur , quando vas minoris maiorisue alitudinis fuerit: ex vafe enim altiori plus: vaporis ex- fpiratur ; fi vas in loco vmbrofo fteterit , nec a vento - Jambàtur , multo minus vaporis expellitur. — Ideo pro- be notentur altitudo vafis, locusque in quo fteterit. Attamen hyeme in regionibus frigidis hoc vas füb dio relinquendum non eft, quia ab aqua in glaciem cou- firicta et fe expandente rumiperetur. Tum glaciei eua- poratio et. menfaranda , vt poftea quantum vaporis toto anno in altum adícenderit , fupputetur. ^ Capiatur ex glacie parallelepipedum , pedem altum , cuius quod- libet latus eft 6- pollicum , quod circiter eft 16 16. Si tanta glaciei moles comparari nequeat, prioris loco fübftituatur maffa quadrata, cuius quodlibet latus 4. pollicum, craífities femipollicis , vel integri pollicis ;, pro arbitrio et regionis coelique conftitutione , tantum diligenter no- tetur , quantae craáíftiei maffa fuerit ; iniiciatur lanci ftaterae. Romanae, cuius fcapus breuior ex feneftra emi- neat: altera longior, in quo aequipondium vagatur, fir in conclaui , pendeatque ftatera ex trabe. Omnibus in aequilibrium reductis , notetur pondus, quod quotidie adícribatur ; fed fi ningere aut grandinare coeperit , fta. : - tera OBSERVATIONES METEOROL. 587 Xera eft füb tec ponenda; nam flocculi niuales et gran. dines a ventis appulfae in lancem glaciemque incide- rent, nec remedium arcendi hucusque comperi , nifi lanx cum glacie amplo laxoque facculo, ex íerico ad- modum raro, et füb forma tecti fuperius expanfo, tege- retur, ex quo nix et grando facile excuterentur. Nunc ordo exigit, vt de Notiometro agerem , cuius bepeficio conílaret, an aer ficcus huümidusue fit, quantum humoris füb dato volumiue caperet , quando dies humidiffimi , quando ficcillimi in anni fpatio eue- nerunt : fed ingenue confiteor, me nec vllum Notiome- trum , quod recte huic fcopo (atisfaciat, in. vllo auctore inuenife , nec me aliis hucusque machinis voti com- potem fàcum effe. Quisque fuos deperit foetus, enco- miisque extollit, vtinam rigidiori fa&do examine vitia £t defectus fimul notaffet. Quaedam íunt | Notiometra , quae noua primis menfibus ab humore aereo bene affi- ciuntur, fequentibus menfibus minus, peritque femper temporis fucceffüu mobilitas , nec durante anno valent amplius. Indicaet autem modo maiorem minoremue ae- ris humorem , minime quantum humoris aeri füb dato volumine infit. Praeterea Notiometrum vel íüb dio ponendum eíl, vel in conclaui. Hoc plus minusue per- flbile erit, aeremque ficciorem capiet claufüm , quam apertum ;. fub dio etiam in loco perflabili ponendum erit, fed tum a radiis folis non. parum turbatur. Hae et aliae difficultates tantae fünt , vt quorfum me ver- tam neícius, potius de JNotiometris fileam , quam longo iir fermo- 388 CAVTELAÁAE CIRCA fxmone taedium creem. Scribo hsec omnia, quee ab experientia poít inanes impenías didici. Interim alix notanda fünt, quae ad hiftoriam me- teororum ípectant. Obferuetur quibus diebus , horis matutinis, vefper- tinis , nocGurnis, labatur ros, et quanta copia collecta fit in corporibus, quibus vfi, in eo capiendo, fuimus; tum in quaenam corpora lbatur? An im omnia ex tri- plici regno, an im quaedam: tantum, tum; im quae core pora? An ros tantum ex folo et aqua im altum ad- fcendat 5 Am vero et adícendat , et relabawnr? Haec enim omnia differre comperi in variis regionibus ,' ad- €o vt ros, veluti omnia alia meteora (funt fuis regjo- nibus propria, diícrepet in quolibet loco. Obferuetur am quoque ros melleus cadat, et quibus temporibus? Solet in Belgio cadere in folum et aquam , pinguitudine afficere vtrumque , cum fit tan- tum oleum , ex foliis arborum ab aeftw expulfum , aliquantum: volatile, fed igne orbatum ocyus relabitue in terram. "Tantum magno regnante aeftu comperitur ,, plerumque cadit ante meridiem , et notabili copiar hinc, fi diuturmus fuerit aeftus, folia celeriter orbantur oleo , flaueícunt, et aduentante autmmno decidunt, quae aliis annis vltra mmení&m adbuc poeiftitiffemnt viridi et in arboribus. Notandi quoque fünt dies nebuloffí, quibus horis inceperit aut aduentauerit nebula, quonam tempore €huucrit coclum , quot anni diebus regnauerint nebulae; aD OBSERAJATIONES METEOROL. $$9 qm rarae , an denfae füerint, vt lucem: penitus ademe- rut, quod bis ipio merdie emeniffe vidi ; au foeie.nt , an noxiae , vel innocuae fuerint ; qualem humorem praebuerint colle&ae im f[peculis vitreis, vel parinis porcellaneis , ttm quales excitauerint morbos ; nam ar« Bno 1752 nebulae ex Polonia ortie, aduenntes in Deleium , atroces excitarunt et periculofas Peripncumo- nias. SpeSentur fiepe nubes im coelo füblimi; notetur, quot ordines diuerfarum: altitudinum compareant, quae- Ham infifant, quaenam moueantur, anm flrictae a fole adícendant , defendant, vel eiusdem altitudinis et die flantiae a folo: fuerint. Dies, quibus fülminauerit, et tonuerit, fn ed regiae ne notentur; an fulmina noxia, am bruta fuerint 2 Quas- mani intulerint calamitates£ Sunt enimi regiones, iu qui- bus nunquam fülminat, funt im quibus crebra fulmina, funt im quibus vehementes funt fragores , et plerumque damuofi; funt im quibus rara et fre nunquam — aerum- noíi noxique íunt fülmina , nec magnum eft lo- corum interuallum; , im quibus tanta fulminum difrimi- m eueuiunt. QOoties igitur toto ammo fülminauerit, aut et fulgurauerit, fupputetur fub finem anni. Notetur mumerus procelhrum , et quibus diebus tempefíates füribundae violentaeque fuerint, et quas in. sulerint rebus humanis iniurias. Quoties grandinauerit , et quando im eranis grame dimis aliquid. infolens fpe&arum fit, quas aerumnas attue lexint.. | Ccc 3 Quoties 3909 CAVTELAE CIRCA Quoties nioxerit , quantum niuis deciderit , quo die maxima copia, an infolenti figurae ? Notetur, quot dies humidi, ficci, nubilófi, praenubili , fnbnubili , fe* reni, toto anno füerint ; ; quot noces Íerenae, quot nu&emera fereua. Quibus noctibus et quoties aurora borea filíerit , et cum quibus phaenomenis. Quoties et quando Iris folaris lunarisque ap- paruerit. - An fülferint coronae circumnectentes Solem , Lu- nam, Planetas, et quaenam tum coeli conftitutio fuerit. An Dolides, vel alia ardentia meteora in coelo füerint vifa ; defcribatur horum curfus, claritas, ma- gnitudo , fragor, «et an calamitatibus affecerint res hu- manas. - Notandum etiam eft quolibet menfe vernali , quando arbores, quae funt vnius fpeciei, quando aliarum fpecierum , quando herbae nonnullae , quae fingulae (uis nominibus funt appellandae , inceperint protrudere gem- mas, emittere folia, flores; quonam tempore folia fuerint perfecta et adoleuerint, quando flores marcefcen- tes petalis orbabantur, an inféftati ab infectis, et a quibusnam ?* Quomodo gramina «et fruges creuerint, fatae ante hyemem , vel vernali tempore ; an aefítate fruges bene maturuerint , an copiofe collectae , an arborei fructus maturi, fàporis grati füerint, an mi- nus arriferint palato , veluti fünt cerafa, pruna, poma, pyra, amygdalae , mori, vuae etc. an laete creuerint legumina, quibus homines veíci folent , aut quid nocue- rit incremento ? an boues, oues, capri, fues, laete luxurient ' OBSERVATIONES METEOROL. 49r luxurient in pafcuis, vt niteant ? an morbis infe(tentur et ,quibusnam ? Notentur quoque fedulo morbi, qui quolibet mene fe homines inuaferint , morborum decurfus, cauía , cu» ratio fimul addatur. Quando haec omnia accurate et ordine memoriae traduntur, hiftoria meteororum multum increfcet ; ita enim conflabit, quaeaam hyemes fint mode(tae, quae- nam afperae, earumque periodus ; quinam anai fzrüles, quinam fint infertiles ,' et ita appellandi: non quod omnes Íípecies frugam , fructuum , leguminum, eodem anno laete et magua copia prouenerint, id enim nun- quam eueniffe vidi, fed quod maxima pars frugum ad vitam neceffariarum abundanter colle&a fuerit. Nullus dubito, quin pofteritas alia meteora fit de- te&ura, quorum potior ratio erit babenda , quod 6 in his adnotandis diligentes faeculi fpatio fuerint Philo- fophi, magaas vtilitates pro genere hamano colligent , et fcientiam rerum naturalium — multum — promouebunt : fi autem, hifce ; vti rebus inutilibus, neglectis, focordes euiferiot , et potius fe exercere in inudiibus fpeculatio- nibus et hypothefious fingendis voluerint, poít multa molimina et herculeos exintlatos labores , comperieot, íe profeciffe nihil: folae enim Oobferuationes , fola ex- perimenta fuat verae firmaeque baíes Philofophiae natu. ralis. Losses nc Lan d HALO- 39* Lo EO DE HALO ON V.M EXTRAORDINARIARVM PETROPOLI VISARVM DESCRIPTIO. Auctore E... AEPINO.. 1) dmodum frequens eft apud nos halonum folarium apparitio , quod colligere exiade facile poterunt lectores , fi accipiant, annotaffe me in aduer(riis, inde a die 25. Aprilis 1758, vsque ad diem 2o Septembris, eiusdem anni, viginti fex halones a me confpectas, minimnm vero duplo plures hoc internallo a me vifas effe, ob fummam enim pbaenomeni. fre- quentiam negligentius ifla annotaui. 2) Circumflantiae huius phaenomeni apud mos fere conítanter eaedem funt, quae et alibi comitari iftud folent. ^ Apparent nempe halones iffae , coelo neque penitus fereno , neque penitus nubibus obícurato, fed tenuibus nebulis obducto, quae hebetint quidem folaris jucis vigorem , atque peculiari quodam pallore , ab adíueto facile diftingueudo , ipfius .radios inficiunt , non yero omnem ipfis tranfitum denegant. —Vnicus, fub his circumflantiis, confípici folet circulus, folem tanquam centrum cingens, diametrum habens. 45 cir- citer graduum ,. et latitudinem diametro folari proxime aequalem , intus rubens , exterius vero ex albo coeru- leícens, HALONFPM | DESCRIPTIO. 593 fefcens, areaque a circulo ifto comprehenfà, reliquo coelo obícurior efle folet. 5) Rarius occurrit Parheliorum phaenomenon , etfi.et hoc apud nos frequentius confpiciendum íé prae- beit, quam in Germania, aliisque terrae regionibus auftralioribus. — Vidi hoc phaenomenon anno fuperiori 1758 quater, die nempe.25 Aprilis, 15 Maii, 19 Auguíti, et menfis Octobris , nifi fallor, d. 15, femel autem d. 19 Aprilis huius anni 1 759, atque aliqua obferua- vi, quae, vt orbi erudito iunotefícant, admodum digna videntur, vnde exactam eorum deícriptionem Acade- miae tradere conftituit, 4) Die 23 Aprilis, Anni 1758, id, quod Fig. x. Tab. XI. ; exhibet, confpiciendum fe mihi dedit phaenomenon. Fig. 1. Solem S, tanquam centrum , cingebant circuli bini. Prior eorum CF ED, eiusdem erat diametri et latitu- dinis , atque fimiliter coloratus, prouti effe folent ha- lones fimplices confuetae, de quibus $. r. locutus fum, aft id peculiare habebàt, quod area elliptica albefcente, cuius axis maior horizonti paralldlus, CGEH, cin- | &us effet. Erat nempe , area quidem CF ED, a cir- culo hoc comprehenía, reliquo coelo aliquantum ob- fícurior , aít fpatia lunulaià CGEFC et CHEDC, arcu elliptico exterius , circulari interius, terminata, vi- vido albore refpiendefícebant. ^ Secundi circuli infra Solem non nifi pars quaedam IK, quadrantem non adaequans , videbatur. ^ Erat circuli huius diameter 9o fere graduum , latitudo diametro folari circiter aequa- lis, atque colores prorfus iidem , qui in circulo Soli Tom.VIII. Nou. Comm. Ddd pro- 394 HALONVM propiaquiore. — Interius nempe rubicundo . exterius ex albo coerulecente , colore tinctus erat. Tertius tandem circulus, SLM IN, completus. erat , totus albefcebat , pergae Solem ipfum traníeus, horizontali du&u coelum cingebat , atque itióem — latitudinem — habebat, folari diainetro. proxime. aequalem. s) Coufpe&ui porro fe dabant parhelii duo in annuli horizontalis SLM iN, cum perimetro areae el- lipticae, C GEH, interfe&tione fiti , ad G et H. Vi- vidam ipfi fpargebant lucem , aft figuram non habe- bant rotiadam , f:d irregulariter quadrilateram. — Verfus. Solem rubro colore tinci erant, ex parte vero a Sole auerf1i, ex coeruleo albeicentem | colorem exhibcbant. Coronmee — horizontalis arcus Gzz, Hz, parheliis propia- qui , vegetiori lumine quam caeterae annuli huius par- tes refplendefcebant , qui tamen fplendor, recedendo a parheliis, magis magisque languidus euadebat, vnde cau- darum , horizontaliter exporrectirum , — pífeudo- foli G atque. H. annexarum, apparentia oriebatur. j 6) Circa halonem intimam, CFED, adhuc fe- quentia annotabam. a) Arcus ipfius fummus , 54, et infimus , 5, im verücali A D reperiundi , tantum prae fe ferebant fül- gorem, quem oculus perferre vix poterat. Pro parhe- lis tamen fulgentes has areas íumere , oblonga ipfa- rum figura non permittebat ; nullam enim , quoad figue ram, cum Solis imagine habebant fimilitudinem. 8) Lo- DESCRIPTIO. 395 ) Loca F, D, vbi annulus horizontalis. albicans fecabat halooem CF ED , neque parhelios exhibebant, negue vegeüori lumine , quam caeterae halonis | partcs , praedita erant. : ^y) Videbatur mihi aliquoties , aream — totam CGEH, elipfi, intus rubra, exterius coerulea ; cin- &am effe, ob íummam vero colorum debilitatem , Oculis fidem habere pertimeícebam. Plura tum temporis, etfi phaenomenon per ali. quot horas duraret , circa iflud annotare non potui. 7) Redibat autem d. r3 Maii idem phaenome- non, quoad quasdam quidem circumflantias minus com- pletum , quoad praecipuas vero multo di(tinctius , quam iftud, quod d. 23 Aprilis confpexeram. Siftit eius delineationem — Fig. x, ac prorfus fimile erat antea Ts XII y defcripto , nifi quod - Fig. x. 1) Circulus horizontalis albus SL M N, admodum debilis effct, 2) Parheli, ad G «et H fii, parum fplen- derent , 5) Secundae halonis,.íolem cingentis, arcus qui- dam IK, aft minor, quam in phaenomeno 23 Apri- lis, confpiceretur, — Praecipue autem. notabile hoc erat, quod 4) Vniuerfa area elliptica halone elliptica , CGEH, cin&a effet. - Erat halonis huius axis maior, fiue transuerfus , horizonti parallelus , coniugatus vero , fiue minor, ad horizontem normalis, priorqne axis pofteriorem , qui halonis circularis CF ED diametro Ddd 2a aequa- "Tab. XIT. Fig 2. 596 HALONV M aequalis, et 45 circiter erat graduum , fex quafi gra- dibus füperabat. ^ Caeterum elliptica halo, eandem habebat latitudinem , ac circularis , quam | includebat , fimilique ratione colorata erat; interius nempe rubra, exterius pallide coerulea. — Loca rEs, pCq, vbi halo elliptica circularem contingebat , ac cuim ipía confünde- batur, fülgore vix oculis ferendo: refplendefcebant ,. aft, ob oblongiorem tractuum iftorum. figuram, nullam cum. parheliis habebant fimilitudinem.. Vltra horae folidae fpatium — perfiftebat phaeno- menon ,:quod. inter elegantiffuüuma , quae vnquam con- fpexi, numero, Poft horae vero effluxum , diffipa- bantur tenues nebulae aerem replentes, vnde langui- dum primum euadebat phaenomenon, coeloque penitus. fereno. fa&to, omnino. tandem. cuanefcebat.. $) Idem. phaenomenon d. r9. Augufti, eiusdem. anni denuo obíeruabam. Circa horam nempe rr et i folem intuens , confpiciebam ,, et fupra et infra ipfüm ,, arcus aliquos coloratos, aípectum praebentes talem ,, qualem. fiftit Fig. 2. Statim füfpicabar, videre me partem. phaenomeni, d. 23. Aprilis et 13. Maii coa- fpe&i, et arcum PCQ , FEG, ellipticae, arcum ve- r0 RCT, HEI, circularis. halonis, effe partes. — Erat hoc momento aer valde ferenus, ac vix et ne vix quidem tenues quasdam: obferuare. licebat nebulas. — Ad- vehebat autem. ventus. N.W. continuo plures vapores, atque, prouti hi denfi magis fiebant , coinpletum magis euadebat phaenomenon , et antea defcriptis fimilius. Circa horam tandem 12 tale fere fe fiftebat, quale exhi- D ES.CARIPTJ O. 397 exhibet Fig. 2. nifi quod annulus horizontalis SL M N, pirheliique G, H, admodum debiles effent. ^ Quoad caeteras circumílantias omnes, dimenfiones nempe dia- metrorum et latitudinum halonum circularium et el- lipticae , earumque colores etc. omnino fimile erat phaenomenon hoc iíli, quod d. r3 Maii conípexeram. Difhpatis verfus h. zr. vaporibus, proríus euaneícebat. 9) Die tandem 19 Aprilis, anni currentis 1759 denuo: initia huius. phaenomeni videbam, ita fe (iftentia, qualia ipía exhibentur in. Fig. ». ^ Exípecabam, an denuo fe compleret, aft fruftra hac vice, fíereno enim. faco. coelo phaenomenon. euanefcebat.. ro) Facile in oculos incurrit, quatuor haec a me recenfita phaenomena omnino vnius eiusdemque fuiffe generis , neque aliam inter ipía dari diuerfitatem , quam quae eft phaenomeni, quod mox magis, mox zninus completum , videndum íe praebet. ^ Cum igitur vnum. hoc idemque phaenomenon quater ad minimum, anni fpatio , apparuerit , pro rariori forte non haben- dum cíi, neque et hanc ob rationem extraordina- rium iftud vocaui, fed eam folum ob caufam , quo- niam Phyficis hactenus omnino fere ignotum eft. r1) Quos euolui fcriptores de parheliis atque ha- lonibus , euolui autem plurimos , filent fere- omnes de phaenomeno , quod hic deíciipfi, neque aliquam areae et halonis. ellipticae. iniiciuat mentionem. In magno nem- pe delineationum aut. defcriptionum huiusmodi — phae- nomenorum numcro , non nifi quatuor inuenire potui, quae huc referenda videmtur, ac cum meis obferuatis Ddds aliquam Tab.XIL. » Fig. 2. "Y'ab. XII. Fig. 3. 398 H Z4LOUNY'M aliquam habent fimilitudinem. — Refert .primum Hugernius in Differtatione de Coronis et Parbehis , quae Occurtit inter ipfius Opufeula polibuma , pag. $21. 359. f44. obíeruationem a Sebeinero anno 1630 Romae inflitu- tam, vbi dicitur : Solem , S, ambiuiffe duos circulos ex- centricos. ABDC et AEDEF, fe mutuo in linea verti« cali GH interfecantes ;— prouti monítrat Fig 3. Fate- tur Sebeinerus , non fatis diftinctum apparuiffe phaeno- menon, vnde inducor , vt füípicer , idem ac ego, afl fubobfcure , vidiffe Sebeimerum. ^b Ellipfeos enim cir- culum cingentis apparentia , parum abludit, quae produ- citur ex duorum circulorum interíe&tione figura. Deinde in Tran[actionum Anglicanarum Num. 13. pag 219. Jqq. inuenio; ex Diario eruditorum (.lournat des SQae vans) ad anum x666 defumtam , quatuor parhelio- rum delineationem , et defcriptionem , fÍequentibus ver- bis conceptam : Tbe gtb of April, of tbis prejent Tear, -» tbere. appear'd tbree Circles in tbe Sky. — One of tbem aas Very great, a little interrupted , | and. swbite. every sbere.- - - lt paffed tbrougb tbe midi of tbe. Suns Dk, and «was parallel tbo tbe Horizon.- - - Tbe. Jecond ovas mueb lef , and defeciive im jome places , ba- ving ibe Colurs of a Rainbow. - - - It bad tbe true Sun for its Center. — "Tbe tbird was lef, tban tbe Jirfl , but greater tban tbe Jecond. — It wvas mot entire , but only an Areb , or Portion of a Circe , wwbofe Cen- der was far diflant from tbat of tbe Sun , and «wbofe Circumjerence did , by its middle , joyn to tbat of tbe leeft Circle, interfecling tbe greate Circle. by. its two . extreams. In tbis Circle were dijcerned alfo tbe Colours of DESCRIPTIO. 399 ef a Rainbow.- - - At tbe place , wberz tbe Circum- jerence oj. tbis tbird Circle did clofe eub. tbat op tbe Jecmd , tb.re was a. great. brigbtnej] of Rainsow Colours, müxt tggetbir : And at tbe two extremities , bere (bis. fecond. Circle. inter[ecled tbe fir , appear'd two Parbeli?s , or. Mock uns 5 - - - This Appearance. is Jod upon , as one oj tbe motablefl , tbat cam be [fezen, ày reajon of tbe Excentricity of tbe tburd Circle , and becaufe ,| tbat tbe Parbelia avere not in tbe Inter[ection 0j tbe fecond Circle , awitb tbe great. Circle, but. in: ibat of tbe tbird Circle. — Quod. vero. defcriptio haec cum Figura mea 2 coaferatur, luculenter potet , de eodem ipíam loqui phaenomeno , quod ego quater vi. di , modo quod in Gallia non integra viía fuerit halo ellpiica CGEH , fed inferius folummodo , quafi ipfius. dimidium G EH. 12) Tertium , quod huc fpe&are videtur exem--- plum, idem, quem (upra iam citaui , Hugenius füppeditat, bc «it pag. 348. 349. Vifa nempe eft, Parifüs in Dibliotheca regia; d r2. Maii, A. 1667, Corona cir- ca Jolem , cuius diameter inuenta efl 44 graduum , et latitudo. limbi eius X gradus praeterpropter.- - -. Abpa- vui' praeterea. pars quaedam. maioris circuli , qui | fupe- viorem coronac partem tangeóat , et cuius extrema gerjus ineriora wergebant, - - - quae pars circuli üs- dem, quibus corona, coloriaus , fed dilutioribus , [plendzbat. Quem quidem arcum , coronam tangentem , cil pfeos. meae fuiffe partem coniicio — Tandem. recordor, in Journa! des Scavans , A4. 1685 , narrari , vidiffe Caff- nun Lalonem Solem cingentem , ac extua «am, ab- XUEO- - 400 . HALONV M vtroque Solis latere , parhelium , vtrumque aequalem, cum Sole vero, füpra horizontem habentem altitudi- nem, qui vero parheli , non in halone fiti , fed vtrin- que, ad aliquot diametrorum íolarium interüallum , in- de remoti erant, quos parhelios eos fuiffe, qui in meo phaenomeno, ab annuli elliptici , cum horizontali circulo, interfe&tione formantur, magna cum verifimi- litudine credi poffe , exiftimo. 15) Non ignoro , Nexwtomum in Opticae libro , a fe vi(ae halonis ellipticae, lunam cingentis , mentio- nem inicere , aít, fi, quam exhibet, eius. defcriptionem intueamur, liquet, aliud prorfus, quam ego , vidille ip. fum phaenomenon. Sic enim (cribit Vir fummus, Opticks , II. Book. Part. IV. Obf. XIII. pag.m xxr. ii2. Tbe like Crowns appear fometimes - about tbe JMoon ; for in tbe beginning of tbe year 1664 , Febr. rofb at nigtb, I faw two fucb Crowns about ber. - - - At tbe fame time tbere appeared a Halo about 22 de- grees , 35/ diflant from tbe Center of tbe Moo. It eva$ elüptical, and its long Diameter avas perpendicular 10 tbe Horizon , verging below fartbefl from tbe Moon. 14) Ex hactenus prolatis, iure iam concludere mihi poffe videor, contigiffe mihi primo , iuftam ac- quirere ideam , pbhaenomeni, quod ante me pauci, nemo autem , quantum ício, completum , ac fatis di- fün&um, conípexit. ^ Obferuaui quoque A. 1758, d. 15. Octobris, fi recte recordor, ( diem enim anno- tare oblitus fum ) denuo halones et parhelios, quod vero phaenomenon, ab antea defcripto, omnino diuer- fum, aliusque generis fuiffe puto. Siflit eius delinea- tionem DESCRIPTIONES. 4o tionem Fig. r. atque quoad halonum calores, diame- Tb. XTIL . trorumque ac latitudinum dimenfiones . equidem fimile Fig. z. prorfus erat, phaenomeno fuperius defcripto , aft quoad circumflantias aliquas notabiliter ab ipfo diuerfum erat. Namque - 1i) Neque areae ellipticae albefcentis, neque annuli elliptici, iutimam halonem circularem ambientis, vl- lum hic aderat veftigium. 2) Halonis internae arcus fuüpremus et infimus, mon maiorem, prae caeteris annuli partibus, oftendebant fplendorem. 3) Parhelii F, D, in halonis internae CF ED, cum annulo horizontli SLMN interíectione praeciíe fiti erant. | : 4) Arcum videbam THK, crura füríüs vertentem, partem nempe circuli , Zenith. ZZ pro centro habentis. Erat hic arcus fimiliter colorátus, ac halo CFEDS, eiusdemque latitudinis, vertex vero ipfius H , a Solis centro $ , 45 circiter gradus diftabat. Eiusmodi arcus inuerfi , in antea defcripto phaenomeno, ne vefítigium quidem vnquam confpexi. .15) Patet, hoc vltimo defcriptum | phaenome. non, maiorem , cum iis, quae alibi in meridionaliori- bus Europae regionibus frequenter obferuata fuerunt, ha- buiffe affinitatem , quam reliqua. ^ Non id iam ago, vt theoriam halonum atque parheliorum exquiram 5 nil enim , nifi diftin&tam obferuationum mearum de- fcriptionem tradere , propofitum habeo, Quo interim et alios Phyficos, ad diligentius obferuanda huius ge- neris phaenomena partim , partim ad euoluendam ct Tom. VIII. Nou. Comm. Eee pet- 425 HALONVAM perficiendam eorum theoriam , excitem , quaeftionumi fub forma , iungere bic placet aliquas cogitationes meas, nondum fatis maturas. . Qv. zr. Nonne parheliorum atque halonum phae- nomena omnia ad duas cla(fes red:gi poffunt , — qua- rum primam conftituunt ea, vbi halo intima ellipfi lu- cida, annuloque elliptico colorato cincta cft, alterum vero genus eorum eít, vbi areae ellipticae atque ha- lonis ellipticae nulla adíünt veftigia * Atque, nonne ad bina haec genera ita reuocari poffunt omnia, quae ha&enus vifa funt huius generis phaenomena, vt often- di queat, omnem quae inter ipía obferuari folet diuer- fitatem , non pendere aliunde , nifi quod idem plaae- nomenon, mox minus, mox magis, completuur ape pareat ? | Qv. s». Nonne prioris generis phaenomenom borealioribus , —pofterioris generis auftraloribus * terrae regionibus , magis frequens ac commune eft? Videor mihi hoc fufpicari poffe exinde, quoniam vnius anni interuallo quater primum — phaenomenon hic Petro- poli vidi , quod alibi rariffimum effe , inde concludo , quod, inter ingentem ab alis confpectorum numerum , pauciffima inuenisntur, quae , ad primam hanc claffem pertinere , cevfenda funt. Qv. s. Coelum , oculo iftud iatuenti , apparet, prouti fornix compreffus, ellipticus. Circulus itaque , folem aut lunam cingens, in ellipticum hunc fornicem proie&us , appirere debet, quafi effet ellipis ;— axin maiorem babens horizonti perpendicularem ,. et inferius a luna, aut fole, longiori interuallo diftans , quam íu- perius. DESCRIPTIONES. 43 perius. — Nonne itaque dubitare licet , an halo a ANewiomo via ($. 13.) ex fallacia optica potius, quam ex caufa phyfica , elliptica apparuerit ?* Non enim nos docet Vir fümmus , an ellipucitatem — haionis ex di- qnenfione , an ex nuda ocunrum aeítimatione , obfer- vauerit. Ov. 4. Eth a magno Hugenio in Traclatu de Coronis et Parbelüs propofita , de ortu phaenomeno«. rum huius generis, hypothefis, ingeniofifima fit, tan- toque Viro non indigna ; nonne nihilo minus vera horum phaenomenorum cauíà in iis quaerenda eft prin- cipis, quae propofuit New/onus , Opticks, II. Book, Part. IV* Non obftat, quod Hazzenisna hypothefis , phaenomenis, quae explicanda fibi fumfit , apte fatis conueniat Non enim ingeniofa figmenta , fed verita- tem, quaerimus Phyfici. Qv. 5. Nonne ex iisdem mode allegatis prin- cipis Neztoniamis, halonis noctu candelam accenfam -cingentis explicatio , repetenda eft? Praeftlo enim funt argumenta , quae plane demonftrant ,— halonem iftam , non extra oculum , fed in ipío fpectatoris oculo , for- mari. Sed de his alibi vberius agam. - Ecez2 " PISCIVM 404 484. ( 0 ) es PISCIVM RARIORVM E MVSEO PETROPOLITANO EXCEPTORVM DESCRIPTIONES. Auctore L T. KOELREFVTER. (C Mufeum. Petropolitanum , rebus naturalibus , € |" toto terrarum orbe congeítis, ompium facile in- fuuctifümum , praeterita huius anni aeflate perluílra- rem , plurima: mihi fefe obtulerunt Naturae Cimelia , quorum mentionem. partim nullibi factam effe inuenio, partim. quorum nomina tantum , vel nimis breues ac defcctuofae apud. Auctores, faepius ineruditos , paffim leguntur defiriptiones , quorumque pleniorem. magisque elaboratam. omnes mecum optarent Scientiae naturalis cultores hiftoriam. ^ Locupletiffimum rerum naturalium. thefaurum , a Cel. olim Seoa collectum, quem pretio. baud paruo fibi comparzut PETRVS MAGNVS,;, varia continere , quae omnem. merentur attentionem ;, coniectura fatis probabili nemo. non. perfpiciet: — Licet enim modo laudatus Seba maximam rarorum rerum partem in libro, qui titulum gerit : Locupletiffimi. rerum: natur alium: "I befauri accurata: dejcriplio eic. 1734, im fol. Tom. I et ll. deícripferit, iconibusque optimis iluftrauerit , principem tamen. Hifloriae naturalis. par- tem , Ichthyologiam puta , fenio, vel morte, fine dubio. praepeditus, non, elaborauit , quamuis. Pifces Amphibia. mumero in collectione fere füperarent. ^ Hi igitur prae &lis noui quid fuggerunt Naturae curiofo , quare, fi un PISCIVM DESCRIPTIONES. 495 in defcribendis. eorum rarioribus meam: impendam ope« ram, eam in amplificanda fcientia: naturali. haud. fru(t;a. collocafíe fpero.. e * uud Gafteropelecus. Gros. muf. 2.:no. 1s. Clupea pinnis flauis: ventralibus minu- tiffimi. Lim Syfl. Nat. edit. dec. p. 31g. no. 7. (Sternicla). EF. Defcriptio. Color corporis, íi a capite verfus caudam» ad-Tsb XIV. fpicias piftem , fordide flauefcens ,. fin vero e' directo A Hs aduerfus latera eius. intendas. oculos, fplendide argenteus " ^" apparet ,. quo fplendore eriam. irides, lamellae iuxta oculos, et opercula branchiarum , íub. quocunque: ad- Ípiciantur angulo , praedita fünt, ex eoque , pro. varia rad:orum reflexione , fubinde coerulei parum. refplendet , id quod; etiam circa. dorfum. ita contingit. — Summo capiti pinnisque pectoralibus viroris diluti aliquid. eft admixtum; reliquae vero: pinmae: pallidae omnino ,, in coloratae ac: pellucidae funt. — Nec circa: caudam, vidi maculam , nifi füb: ea intelligatur linea longitudinalis ufca , de qua inferius. dicetur: Totum: corpus. valde compreffum , latum, et, fi latera refpicias ,, ventricofüm: valde, a margine füperio- Ecec35 e 406 .— PISCIVM E rc verfus inferiorem crafütie paullatim decrefcit, ita, vt abdominis pars anterior in marginem , cultri aciei inflar, acutum, et papyro haud craffiorem, terminetur. Eadem quoque anterior corporis pars pofteriorem lati- tudine multum (uperat. '* Caput füperne planum , ad latera compreffum , et antice ; circa os, quafi retufum eft; fuperior enim maxilla capitis vertice fitu haud inferior eft, eiusdem- que margini antico maxillae inferioris medium reípon- det, quae , claufo ore , fitum fere verticalem obtinet , et a fuperiore aliquantum .prominet. ^ Si.caput ab an- teriore adfpicitur parte , apparet inter duo maxillae in- ferioris crura, íeu in mento, finus fatis profundus , quem , nifi de vtriusque maxillae praefentia nullum iam effet dubium , ab inferioris abfentia ortum fuiffe , facile quis iudicaret. — Ex huius finus imo ab initio ftatim arcuastum. emergit abdomen , quod primo ali- quali quidem gaudet craffitie, mox vero, íub vlteriori arcuato decurfü, ad anum vsque, valde attenuatur , in- que acutum valde abit marginem ; haec anterior cor- poris pars , cuius limites a capite ad pinnarum pecto- ralium bafin fere, et ab hac oblique deorfum , ad anum vsque, excurrunt, nullam fouet cauitatem , :ne- que vifus , fed folidam , ex fibris carneis, radiorum inflar, e centro ad marginem excurrentibus , .conflaram offert fübftantiam , licet füb ventricofi facie , qualem ipfus prae fe ferunt larera , facile poffit imponere , vt pro vero abdomine , vifcera continente , a quouis haberetur. Mem* D EJSGIRIPTIONIES. a4 Membrana branchioflega ; tantum abeft , vt, more folito, füb poftica aut laterali operculi branchia- rum parte collocetur , quamuis huius apertura late. pa- teat, vt ad antica potius , in. menti fc. finu , fit quae- renda, cuius imo vtraque , fub angulo acuto coniuncta, affigitur , poftquam ambae ab operculi lateribus , . qui- bus adnafcuutur , receffére. —— Officalum: ia. membrana ifta vnum alterumue diftinguere quidem potui, verum, ob eorum paruitatem , de numero certi quid. affirmare vix audeo ; fic quoque, ob eandem rationem , branchia- rum fítru&uram defcribere nequeo, modo, earum vtrin- que quatuor adeff?, monituius. Superior aeque ac inferior maxilla denticulis mi- nimis et acutis armata eít. Narium foramina, ab vtroque latere duo , inter labii fuperioris latera et (u- periorem ac anticum oculi orbitae marginem , confpis cienda funt. Capitis füummum ,. quod , vti füpra iam fuit di&um , planum eft, marginem habet vtrinque prominentem €t acutum , neruoque alio longitudinali , per ipfis medium excurrente , in duas aequales diui- ditur partes. Laminarumi iftarüm argenteatami , orbitae plus quam dimidiam partem , inferiorem fc. et lateralem ipfius margitiem , cingentium , qüatüor fünt, quarum poflica reaiformis, mediae maguitudinis ; inferior eiusdem fere figurae , fed ad vtrumque extremum truncata , maxima; qede hanc fequitur, anticarum vna, triangue laris , oinnium minima eft. Oper- 408 PISCIV M Operculum branchiarum , quoad maximam pat. tem , formatur a lamina poftica , omnium maxima , quae ex ouato-lanceolata , et fuleo quodam , a dorfo laminae orbitalis pofticae vltra ipfius medium trausuet- fim excurrente , incifa eft; . fecunda operculi lamina, priore longe minor, itidem ouato-lamceolata eft, ha- rumque duarum laminarum extremitates acutae fe inui- cem excipiunt ; fecundam fequitur tertia , linearis, ad maxillae inferioris partes potius, quam ad branchiarum operculum , referenda. ^ Hifce modo memoratis, tam Orbitalibus , quam branchialibus laminis , duo interpo- nuntur arcus offei, qui füb infima, maxima, orbita- lium lamina potifümum in confpectum veniunt. Pofíte- rior operculi branchiarum margo cute producta amplia- £ur, ad aperturam firmius et exactius claudendam. DDorfam ab initio planiufculum , leuiffüme afcen- dit, fenfim dehinc conuexum factum, reco fere de- curíü fuam attingit pinnam , «cuius ad afin deícendit fimul, inde vlterius deícenfa fuo , minus tamen decli- vi, ad pinnae caudae principium vsque, pergit — Ab ano vero corporis margo inferior, ad pinnae ani fr- nem vsque , in linea reca oblique afcendit , ab eodemque füb angulo obtufo infractus , ad caudae ga nam recta procedit. Si latus corporis obuertatur luci, ^b eius tenui- tatem pellucent inteftina , quae a pinnae pectoralis bafi oblique deorfum ad anum ducuntur, füperne maiora wolumine , inferne tenuia inque rectum terminata mihi wifa, et, wbi latiffima funt, duas vix füperantia lineas. Horum DIE SQOSR I?BRST 140; N-E S. - eb Tiorum fciei -pofticae vefica quaedam accumbit, femi- lunaris figurae, 1; lin. in medio lita, €t, quantum quidem de fumma eius pelluciditate füfpicari licet , aere forte repleta , .cuins cornu fuperius ac obtufius fupra pinnarum pectoralium .bafin capiti , feu potius brauchia- rum operculis, contiguum .e(t, inferius et acutius proxi- ame infra anum fubfiftit; eademque fua conuexitate pofticam Corporis partem., concauitate inteftina refpicit. Notandum autem interim eft, anum , et, quam ante fe gerit, pinnu- lam ventralem fpuriam., collocari inter duas duplicatas fqua- gnularum , vltra corporis marginem prominentium , feries, quaram vna , 2 lin. longa , bis octo , altera, x lin. longa, bis quatuor , iisque minoribus, componitur íquamulis, hu. jusque poflerioris inter duplicaturam aditum fatis lar- gum ad iflfam veficam patere ; fetam enim ad cius emnedium vsque et quaquauerfüm círcumducere potui , profundiorem tamen eius immiffionem membrana quae- dam , qua intus forte obducta erat cauitas, impediuit. JNec ea propter contendere velim , fetam , per oftium intrufam , in ipfum veficae cauum perueniffe ,. neque «am ipíam pro vera vefica natatoria , aut oftium illud pro ductus pneumatici oflio , venditare. Pofticae extremitati primae Íquatnparum feriei a latere finiftro adiacet piunula ventralis fpuria , penicilli- formis, quae, 5 circiter radiis , ? tantum aut i lin. vix longis, nec, quantum quidem di(tinguere potui , membrana inter fe connexis compofita, verae pinnae nomen haud meretur. ^ Alterius minorum íquamarum feriei extremitati pofticae principium pinnae ani conti- . Tom. VIII. Nou. Comm. F ff guum 410 PISCIFM guum eft. Iíta, de qua modo dixi, vefica abdomi- nis cauum clauditur, nec vllum praeterea vifcus pone eam difpofitum effe videtur. Squamae tenues, fübrotundae partim , partim. omles , integerrimae: maximae earum partem corporis. anticam , infra et ante pinnas pectorales, cet laterum medietatem , íupra et infra lineam longitudinalem. oc- cupant ; mediae magnitudinis dorfum et caudam , mi- nimae inferiorem veficae regionem , et marginem cor- poris, pinnae ani contiguum , inueíliunt ;; maximae omnium lineam. latae funt, vel eam quoque parunr excedunt. Duae tres ve fquamarum feries, tam fupra; quam infra lineam. longitudinalem , punétis funt pertu- fae , lineas quafi efformantibus. Nec im capite, neque in branchiarum. operculo, vllum. fquamarum occurrit veftigium. Pinnae duae pectorales ,, proxime infa magnam operculi branchiarum laminam: fitae , fortes íünt , et patentes, pro corporis. paruitate magnae , radiisque vne decim: compofitae , primis fortibus valde et arcuatis ,, omnibus autem. a primo ad vltimum ex. ordine bre- vioribus.. Pinna dorf. vnica, caudae proprior, quam. core poris medio, pinnaeque ani principio fitu: adhuc pofte- rior, breuis, octo radiorum , fatis tenuium ,, vltimo» bifido., figura. quafi. rhomboidea.. Pinna ani longa, $2 radiis, eiusdem fere vbique: longitudinis,. 1 fc. vel x rj lin. longis, conftructa. Pinna «audae bifurcata., 36: circiter radiorum. Ex DESCRIPTIONES a4 Ex Infula Zeylim aduectum : effe teftatur Muf. Petropol Catalogus ferpent p. 470, in quo füb No. 351 (4): ,,Pifciculus argenteus Zeylauicus , circa caudam maculofus,,: vocatur. Quibus notis a Gronouiano hic differat , quibus- que cum eodem conueniat, cum ex ipía defcriptione; - tum €x iconibus (atis elucet. II. Menfur a. Poll. lin. Longitudo tota, fc. ab oris extremo ad apices Parif. radiorum pinnae caudae longiorun | rx |ro e - . aàb oris extremo ad extremitatem cor- poris fqiamoüam - - - -|r| Ab extremo Oris ad oculi medium - - -|— |zi »- - - ad marginem operculi branchiarum| — . pofliaum - - - |— |4j - - - ad principium pinnarum pectoralium| — ||55 - - . dd primam prominentium fquamarum abdominalium - - |— [9i e ». * ad pinmulam ventralem fpuriam et anum - - «». |-— [16; * - - ad prinipium pinnae ani « - -|— [riz -2.-22-.2225-252 5 doü - - .— |r1: Longitudo pinnarum pectordium *» - - .|— |7: - - - pinnae dorfi ad ban - - - -.|— |: - -. 25 - - radiorum longioum |— [2 - - .-» - dniad bin - - - |- |; e » * e» - (audi; fc. a primis radiis ad | longiorum apices - -|— [5 Fff2 Extre- PM PISCIV M Extremitas corpátis fquamofà. in. caudae pinnamjPoll. pa extenfa ad - - - - -|j— Diameter ocudi. - - - --- - - Diftantia inter primi pinnae. pect. radii bafin et andum - - - - - - . inter anum et primi pinnae ani radii]. bíia - - - - - - « - e» inter vlimi pinnae ani radii bafin , etj primum pinnae caudae BE - Latitudo. horizontalis (2) per. oculorum axes. - |: - - - - s - ad dorf initium - - | - - - e 2 - * principium pinnae dorfi e 9 2 -2.2525^24- - - Caudse|. e - perpendicularis. (P) per oculi. medium| -— - e *- per pinnae pectoralis. principium s - -« e per maximam corporis latitudi- ' . mem, pone pinnam pect. - a e. -m- - per auum - LED — - - -].o— s - - - per pinnae ani finem. - - -|— es 9 - - 2 - - Caudae principium -| — C——áÁá CEWUERNACSIOKENED cope 100. (a) Pifce ere&o , .horizontaliter fümta. (P) Pifce lateri incumbente , horizontaliter fumta; DESCRIPTIONES. 2z3 XX KE ke m 'Frutta dentatz , dorío plano; abdo- mine acuto, prominente ; taeni& longitudinali, argentea ;. pinna. ani longiffima. Piabuci Brafilient. Marc- graf. MW illpugbb. Hift. Pife. p. 25-4 "Tab. N. 13. fig. 4. | - cap . DBeiriptios Color Pifis ia S. V. afferuati € pallide. teftaceo T2b. XTW.. fhteus e(t, qui tamen ,. eo viuente , vel haud longo Fig. 4. poft mortem tempore , plane alius effe debuit; Squa- mas nempe. argenteum oftendere fplendorem , dórfum- que oluacei effe coloris, viridi hyacinthino permixti ,. ex. AMarcrajio allegat ZZ ilugbbeius. A pofüco oper- culi branchiarum angulo: cacnia argentea , vix fpleudens,. in linea re&a ad m.dium 0a(is caudae pinnae tendit ,. fummo: dorfo. in: decurfüa- iuo propior, quam imo ab- dominis matgini, ab initio fenfim litior facta, duas. tertias. longitudinis corporis adtingit ,. vbi- latiffima, 15. ]incam íc. làtz cít', athinc ftatim decreícens ad finem vsque.. Lamiüae iexta oculos et branchiatum opercula. argentei , haud tamen fplendidi , coloris fünt; irides. vero, inferne quidém argenteae, maximam tamen. par E Tp m 'oo HE 21 PISCIVM tem faturate flauentes ; iisdemque alias rubri parum fuperius effe admixtum , 7Maregrafius perhibet. Pupilla oualis eft figutae , ^ diametro perpendicue lari horizontalem (uperante. Quod ad corporis formam attinet , nefcio, quam ob caufam et mihi et aliis caput huius pifcis inuerfüum quafi vifum fit; interim tamen, (íi probe aduertas, capitis fummi ambitum leuiter depreffum , imi vero conuexum , fitumque oculorum fíolite inferiorem , huic fallaciae aufam dediffe , demum pcrípicles. — Ab extre- , P mo mandibulae fuperioris ad decem lineas vsque caput ac dorfi initium aícendit quidem , fed in refpectu ad ambitum vtrumque refimum eft ; abhinc vlterius , fed conuexo ambitu, leuiter aícendit dorfum ad pinnae dorfualis primae principium vsque, inde aliquantum rectum fequitur decurfum , fenfim tamen circa pinnam adipofam leuiffume defcendit , moxque iterum verfus pinnae caudae principium , breui quidem itinere ; leui- ter aícendit. — Ab extremo mandibulae inferioris cone vexo fub du&u eo vsque defcendit imi corporis am- bitus, quo a pofticis pinnae pectoralis radiis linea per- pendicularis poteft duci, dein noua maiorique füb cone vexitate pergit ad angulum pinnarum ventralium inter- num, 4a quo leuiffime iterum et recta deícendit ad pinnae ani principium ; abhinc denuo fecundum totam huius pinnae bafin curfu fere rectilineo , adícendit, tan- . demque ab vltimo pinnae ani fine ad pinnae caudae principium vsque leuiter iterum defcendit. Expofita ambitus defcriptione , me conuerto ad ijpàm corporis fuperficiem , eiusque conformationem. Ver- DESCRIPTIONES 4$ Vertex capitis glaberrimus, pellucidus , conuexus, - dorfi initium veríus magis fit declius ,, magisque ad la- tera compreffus , proceffü fubulato,,. glaberrimo in dorfi iniium , ad 3i lineas vsque, excurrens. —Ipfum dorfí initium , leuiter conuexum , ftatim in planitiem abit , quodammodo carinatam , marginious vtrinque fübacutis circumícriptam , et ad pinnam adipofam vsque fefe ex- tendentem. | Semel quidem ea interrumpitur pinnae dor- fualis primae parum eleuata bafi, et ab hac pinna ad alteram adipofam. vsque non amplius carinatum | habet reliquum fui tractum , fed plana omnino eít, margi- nesque vtrinque minus acutos exhibet. —Dorfi extre- mum pone pinnam adipoíam ex planiufculo. flatim in conuexum,. et quodammodo acutum, contrahitur. Planities dori , modo memorata, ante pinnam primam , vbi latiffima: eft, 2; lin. latitudinem abfoluit. Abdomen. ab initio. fübacutum ,, mox infra pinnas pectorales , ad. alteram euruaturam , attenuatum — valde acuüfhmumque euadit, ob fquamarum ibi prominentium: duplicaturam ; idem ante anum planiufculum , pone eundem fübconuexum , iuxta pinnae ani ba(in fatis com- preffum ,. et attenuatum , in extremo. tandem. cum dore fi exiremo. conuenit. lpfü vero corporis latera compreffa , et leuiffime tantum eonuexa fünt; id quod ex menfura, inferius addenda , clarius patebit. Oris rotundati rictus mediocris. Extremo: vtrius- que mandibulae limbo: infixi funt denticuli circiter fe- decim , breues , obtufi , fübtriangnlares ,, albicantes ,, gnorum. orae cilis brunis, quafi minoribus denticulis ,. inflzuun- a6. —ORPSRBPDAM inftrauntur.. Pone dentes, intra os , vtriusque maxillae ductum fequitur membrani , $ lioeam lata , retroríum expanía, fea margine libero fies eípiciens Con- fpicitur etiam. iu palato anteriori , in diftantia. vnius di-- beae ab oris limbo , parua quaedam eminentia, dua- rumque linearum interoallo ab esdem linguae extremi- tas obtnía, laeuis ac libera in confpectum vemt — Maxilla fuperior ore claufo , inferiore parum longior, aperto vero , breuior aliquantum -effe. videtur. — Narium | fora- mina vtrinque duo , orbitae füpremo margini altitudine aequalia, ac inter oris extremum et oculum in medio fere difpofita: anteriori fuübrotundo , minore ; pofteriori femilunari , maiori , membranaque eiusdem figurae ad &imidium. obtecto. . Oculi , comparate ad caput, fatis magni. Orbitae margo membrana auctus eft, fuper €orneae partem extenfa , «immobili. Angulus o- perculi branchiarum füperior , feu pofticus , 72 lin. ab Oris extremo diftat , inferior autem , ad vtriusque mem- branae branchioftegae coalitionem , ifto zr lin. fitu an- ferior eft. | Operculi branch/iarum margo membrana termina- tur, qualis in plurimis pifcium occurrit. — Caeterum &otum caput cum íuis partibus glaberrimum et fíquamis omnino deftitutum eft. Membrana branchioftega quatuor tantum officula continet , quod in hoc genere fingulare eft. PDBrauchiarum numerus vtrinque quaternarius. Squamae mediocres , deníe congeílae, tenues, 3ntegerrimae , partim fübrotundae , partim ouales: maxi- &'arum diametro 1; lio. sninimarum ; lin. vix füpe- Lines DESCRIPTIONES. . 4 Linea longitudinalis ftatim. a principio , quod in taeniae argenteae initium cadit , ad pollicem sque: de- fcendit, abhinc cum eadem taenia , pariter ad. pollicem wsque, parallelum feruat curfum , ab eiusdem margine üuferiore fub hoc ftatu duas lineas remota , denique fürfim fenfim flexa, ipfi taeniae argenteae , in diítan- tia vnius pollicis duarumque linearum ab eius extremo, denuo immergitur, in eiusque medio reca ad caudae pinnam excurrit. —Vbi incipit linea longitudinalis ; a dorío 2;, a ventre 7; lin. circa pinnarum —ventralium bafin a dorfo 7i, a ventre cultellato 6 lin. circa pin- nae ani principum a dorío 7; , a ventre 5; lin.; ad ipfius ingreffüum in taeniam argenteam a dorfo 4, a ventre 42lin. infra pinnam adipofam a dorío 3, a ventre pariter 3 lineas diftat; ab initio it1qne dorío propior , quam illi., tandem ab vtroque aequaliter diftans. Pinnae octo, fátis rigidae ac fortes: pinnae pee étorales radiis tredecim , rectis, et a primo , indiuifo , ad vltimum ex ordine breuioribus , compofitae. . Pinnae. ventrales , ad bafi appendice | fquamofa , tetroríum fpectante, auctae , radiorum odo,a primo, indiuifo , ad vitimum ex ordine Dropigranis. Pinna dori prima , cuius principium principio pinnae ani e dire&o opponitur, radiorum decem , quo- rum primus fecundo dimidio breuior, indiuifus, íecun-. dus longiflimus , indiuifus, caeteri ex ordine breuiores et. ràmofi, vltimus bifidus; omnes ab vtroque iri niem- "Mona prominente. aucti. - Tom. VIII. Nou. Comm. Gegz. Pinna 418 PISCIV M Pinna doríü fecunda , adipofa , principio fuo 2; lin. anterior fitu , quam pinnae ani finis, bafi an» guftior, in extremo latior et attenuata , margine füpe- riore arcuato , inferiore recto fere praedita. Pinna ani radiorum quadraginta (4) fex , eiusdem fere inter (e longitudinis , primis exceptis; 2 — 9 enim, qui nodo diflinguuntur , reliquis paulo longiores funt ; primus; 2j lin. longus , et fecundus fimplices , a ter- tio ad vltimum vsque omnes ramofi. Nodus primus iu fecundo radio duas a bafi pinnae lineas diftat , cae- teri ex ordine pinnae bafi propiores. X Pinna caudae, viginti fex circiter radiorum , modice bifurcata. Exftit hic Pifts in Cat. Pifc. Muf. Petrop. p. 498, No. 507, (üb nomine: ,,Piícis Harengi fpecies, ventre miire intorto. ,, Cum vero vel primo füb in- tuitu vix vllam cum Harengis prodat fimilitudinem , quin porius ob pinnam , fic dictam , adipofam , quam pro charactere Trattarum effentiali omnes affumunt Syftematici , ad truttaceum genus debeat referri , noua id fpecie multiplicare , ipfa natura iuffüt. Icon, quam a AMareczrefio primum, poftea in 77 illaugbbeii Ichthyo- graphia , denuo aeri incifam accepimus , rudis valde ;ac vitiefa eíL, pinnae enim doríi primae fitum iufto an- terio- (4) In alio indiwiduo, quod ab oris extremo ad apices radiorum pinnae caudae longiorum quatuor pollis, ac vndccim lineas. longum erat, pion. peCt. r3, ventrales 8 , dorf. 1ma 9 , ani42 radiis compon:bantur. — Anteriores pinnae ani radii nodos , vt im priore ; non oftendebanr, DESCRIPTIONES 419 teriorem , et fecundam , adipofim ; magnam nimis, et radiis quafi infüru&dam exhibet , quibus omnino caret. Meliorem itaque , et ad naturalem pifcis magnitudinem factam , fiflo. Menfur a. Poli. lig. Longitudo tota, fc. ab oris extremo ad apices Parif. radiorum pinnae caudae longiorum |:5 |3 * 7 - ab oris extremo ad extremitate corporis fquamofam - - - - 4 zr Ab oris extremo ad oculi medium — - - .|— * 7^ 7 - ». ad marginem operc. branch. poficum . - - - |— |gr Ab oris extremo ad principium pinnarum pe Gordium -- - ... YI T omn T mitti umaucss m oso ventralium Tie re -imLIDR E Bel m nia eimoderf. prima 9 Tutos Lt de s m" PL e isfecundáe 21 TOP SEUDNSSURINENOESH MMOL IlHS ml - . 8i mss 3i ad cadum; puce nie ug 4- Longitudo pinnarum pedoralium - - - ipeum] mer. -Uwventrala ee 22 7 o2 Zi " - . pinnae dorfi primae , ad bafin, 4. 7 7 * * -.* - radiorum longiorum - s. D Um im. s fecundae , ad bafin, "p 7" " " - - - - a bafi ad extremum - 2i "bci RAM sansr ad ADdGR, oct] s IO "TT 7-*.63:5f | fadiomm ptimorum. » . - 6 -5- BE ce i- s pofticorum - - p Ggga Longi- 420 PISCIFAM Poll. in.. Longitudo pinnae caudae, fc. a primis radiis, feu Parif. ' ab eius principio , 'ad longio- ^ | ^ rum radiorum apices - - - Extremitas corporis fquamofa in. caudae pin- nam extenfa ad - - - - Diameter oculi horizontaliss- - — - - - 2 -' 2 - perpendicularis - - - - JDiflantia. inte. primi pinnae pec. radii ban et primum. pinniàe ventralis- ra- dum - - —- - --- 4 . inter primi pinnae: ventralis primique| 1 pinnae ani radii bafin: -- -[ « « - jnter vltimi pinnae ani radii bafin, et pri- j "mum pinnae caudae radium | - - * inter vltimi: pinnae dorfi primae radii bafin et pinnam fecundam, adipofim ;; - - - - » - jhter marginom pinnae adipofae 'pefti- cum: et" primum. pinnae cau- -dae radium - -^- -'.: Latitudo. liorizontslis,. per. oculorum axés- - - eo» - perpofticam operc. br..marginem - e « - &ü principium pinuae dorf ' primae e —-7- --^7.4- ——— EM eiii E -o- ol 2. 0o 2 - -* edudae- Latitudo perpendicularis per oculi médium. - - - 9-0. pe EROR pitin. ped. - 47 - DESCRIPTIONES 3 Pai: lit; Latitudo petpendicuhiis $ lin. pone pin: pe&.| Parit principium, vbi maxima latitudo - -| r [5j | 2 20. o - - perprincipium pinn, ventr.-| 1 |z2 | GNE E T om M mU. Imm -D Ir. 2 "-.- - -.perpinae anifinem —- ^ -|— |4: T7-----5 - «aue principum — 55; Ir HE; Gobio , pinnis pe&toralibus. flabello. in- fi (lentibus ; ; pinna. dorfi prima. ra- diorum io: fecünda 15. Deferiptio BEL AULAM Colorem pitis naturalem Spiritus Vini conférus.T Tab. XTV.. forits in pallidum et exalbidum mutauit. Fig: 5.«t6 A mandibulae füperioris extremo: caput ad' ocu- los vsque, in fummo: vertice difpofitos ,. ftatim .notabi- liter adfcendit , quorum ad marginem pofticum dorfi eft initium ;,. in. linea. fere recta ad fecundam ipfius pins nim ,. et i hac! füb. leuiffima vixque notabili. curuatura: caudie piünam verfus excurrentis. — Á. mandibulae infe rioris: extremo: abdomen: modice: defcendit vsque adi anum, a quo modice adícendit ad pinnae ani finem ,, et: vits abhinc recto fere curíü caudae pinnam attin» git: Latitudo corporis horizonüalis- ab oris extremo adi principii piünàe dórü primae viciniam vsque finüm iu- Ggg3$ . — erefciti,, 425 | PISCIVM crefcit, dein ad caudam vsque fenfim decrefcit ; latitu- do e contrario perpendicularis , quae in vniueríum ad anticam maior eft, quam ad pofticam corporis partem, ab oris extremo ftatim haud exiguum capit augmen- tum iuxta oculum , et adbuc maiorem ad pinnam pecoralem , diminuitur vero fenfim ab ano ad corpo- ris extremum. Frons ante oculos decliuss valde, ac planiuscula eft, capitis vero verticem oculi totum occupant. In- ter hos et pinnae dorfualis primae initium , dorfum in medio profunde fàtis-carinatum , vtroque tamen margi. ne conuexum, inter vtramqne vero pinnam , vt et inter fecundae finem, pinnaeque caudae principium, planiuscu- lum ; abdomen ante pinnas ventrales planum , — inter has et anum fíubconuexum , inter pinnae ani finem et pinnae caudae principium ci .dorfi parti, quae huic e 4dire&o opponitur, forma omnino fimile eft. ^ Latera autem corporis planiuscula , vel leuiter tantum cens vexa funt; hinc totum corpus cathetoplateum eít, Superficies corporis eliberrima cutem exhibet , qualem in Gadis et Enchelyopis deprehendimus , fqua- mulis nimirum minutiffimis obtecam , defquamatoque pifce, corio illi fimilem , quod Sagrin vulgo dicitur. Prona capitis pars, refpe&u corporis, breuis: limites enim ei orbitarum poftici ponunt margines ; fin vero quis, latera eius refpiciens , branchiarum opercu- Jum, tanquam partem conflituentem , ad illud rcferre vdit, D'ESCRIPTTIOWES | velit, ei certe , ob late patentem huius ambitum , magnum videbitur. Os obtufum. —Rictus oris patens. — Claufo ore , maxilla inferior fuperiore paullo bremor eft; vtraque vnica dentium acutorum ferie inftruitur , quorum inter- medii lateralibus maiores, leuiter incuruati , et , in in- feriore inprimis maxilla , prae ceteris antrorfüm expor- reci funt. Duas ab oris extremo lineas , ad palatum - fuperius, fimbria quaedam transuerfa , vaide eminens, ad palatum inferius linguae corpus valde oblongum con- Ípicitur, cuius apex obtufüs , maxillae vndique adnatus, x lineam circiter ab huius extremitate diftat. Narium foramen vtrinque vnicum , ab oris an- gulo 5, a maxillae fuperioris extremo — 1; lin. diftans, Oculis , quam oris extremo , propius, minimum, vix-. que peruum mihi viíum. Oculi in femmo vertice pofiti , grandes, maxi- mam partem prominentes, contigui, cuteque funt ob- duci, a communi orta, cumque fclerotica tunica, quae fubiacet , et membranacea, nec ita dura e(t, ac alias effe folet, tela mediante cellulofa cohaerente. —— Circa. marginem orbitae inferiorem oculi protuberantia finum efficit anguítum , fatis tamen profundum , cuius in imo cutis ad ipfum oculi infériorem marginem , (üb palpe- brae fpecie , reflexa apparet. Latera capitis ac brauchiarum opercula cute leui; eiusdemque indolis, ac in toto eft corpore , inueftiun- tue 4 05 cogPd $C ENEM tur; Íquamas tamen in ea detegere non potui. Sic operculorum quoque margines eius productione au- | gentur. Apertura operculi branchiarum 'angufla valde, wtpote vix 2; lia. longa ,; füb' poftico illius margine quaerenda. eft.: In membrana branchioflega , qua coer- cetur maxime operculi "apertura , ofíücula nülla t amnis: Équaimae denfe coge ftus , fübrotundae , planae, enuiffimae , finapis feminibüs vix maiores, deciduae ; decidere autem eas facilius ad anteriorem , quam ad poíteriorem corporis partem , obferuaui. Linea longitudinalis obfcura , albicans, ad' angue dum bafis füperiorem iftius pinnae pectoralis flabelli , de quo flatim dicam , orta, reca fere ad caudam de- currit, in «eamque ab vtroque latere lineolae minores &lbentes , ab interfhitiis mufculorum: pofterioris corporis partis ortae , oblique excurrunt, tam a dorfo defcen- - gentes, quam ab inferioribus adícendentes. Anus patulus , quatuor lineas oris extremo pro- pior, quam pinnae caudae extremitati, poftico fuo margini appenfim gerit papillam grandiufculam , oblon- gam , retrorfüm fpectantem, et, quantum "videre potui, imperforatam , füb qua finus fatis profundus in- corpore . confpicitur, ab ipía papilla maximam partém obtectus. Pinnae DESCRIPTIOÓNES "4e ^Pianae ventrales duae , pectoralibus fitu anterio- res, planum efformant ouale , fibique inuicem ita proxime adftant , vt in vnac confltae effe videantur; jntimorum quidem radiorum bafes , membranae tenu- -iffüimae 'et anguftiffimae ope; Glbibtefit , ipü vero hi fingulae- pinnae radii ad apices vsque foluti fünt, neque .extimus vnius pinnae radius cum extimo alterius con- nectitur , quod ; fi obtineret , pinnae hae non planum, fed infündibulum potius, inter fe formarent. Singula earum fex inftru&a eft radiis , ab extimo ad intimum ex ordine longioribus, et , extimo fimplici , excepto, omnibus. ramofis, ' MU Pinnae pectorales , ad extremum lanceolatae , ad bafin latiores ; fituque ventralibus pofteriores , lacerto €nidam, feu brachio, cómpreffo, fubtriángülari, infi(tunt, cüits -ba(is, feu articulus , pofticum operculi bránchiarutn marginem contingit, pinnarum ventralium bafi e di- recto oppofitus , Ciudemque , tanquam flabelli, ope ipfe pinnae mouentur. ^ Hae e tredecim conftruuntur radiis, ab extimo ad medios, 'ab vtroque latere , ex ordine fenfim longioribus, plurimisque fimplicibus, (i medios excipias , veríus extremitates leuiter diuifos. Pinna dorfi prima , aequali, refpe&u diítantiae ab oris extremo, cum pedloralibus fitm gaudens, radiis faffülcitur duodecim , mollibus ac fimplicibus , a primo .ad vltimum ex ordine breuioribus , et ad t lin. vsqué apicibus fuis;vltra membranam connectentem excurren- tibus. Si expanditur haec pinna, triaugulare efformat - i: "Tom. VIII. Nou. Comm. Hhh pla: 46 ca vyBISGELAM planum ,. tuncque demum etiam: quinque iftae. confpi- ciuatur maculae: rufo-füfcae , quibus in rrembranae fum- mo, primum. inter et. fecundum, íecundum. ac. tertium, tertium. et. quartum , quartum. et quintum, quintum de- nique , et: fextum, radium, notatur... Margo. vltimi: huius pinnae. radii: pofticus. membranae: ope. medio. doifo. an- nectitup,. yc oU Vd 3 | ; 30i: . Pinna. dorfi. fecunda T pinnae ani- dp Maso p^ tredecim- eft. conftructa ;.. anterioribus: breuioribus , pollerioribns longioribus ,. omnibus. mollibus: ac. fimplici- bus, (vltimo: excepto ,.. qui bifidus. eft, ) radiisque. alte- rius pinnis tenerioribus. ac. oret oribus, à Inti ani. a geld cum: priore f» , € radiis componitur decem ,. a primo..ad vltimos ex ordine longioribus.;, ac-- omis except vinmag. bifida, fim- pheibusoid. rouilim2esr cunenasosoh, xdedbp. mmOdEHGN " QA ovn ... Pinna: caudae: collapfa. lanceolata ;.. eie vero ex: ouali. oblonga: e(t ,. radiisque circiter: triginta; compo: fita, a primis ad medios ex. ordine longioribus , inter. mediisque ad. extremitates. ramofis. — Licet: hic.. Pifcis ,.. ob:, ampliorem oris. ricum , grandiores. oculos. ,. cor pus: quodammodo anguillaeforme et (quamis. minutiffimis obte&um.;,. cum Gadis aeque ac cum: Gobionibus: habeat. affinitatem , pinnae tamen ven- traks. obtu(ie ,. fibique adeo proximae, vt in vnicam fübrotuadam: connatae effe videantü , quum. in aede iq 1H | Li VIV agdlias DESCRIPTIONES. 43 dlias multo acutiorcs, magisque a; fe inuicem. remotae deprehendantur ; obionum , horumque. fpuriorum , generi eum potius: fübiungunt. Quid. vero; de; fpecie indicem breuiter dicam.: Cum Paganello (2) Vencto- rum et lozo (^) Romanorum quandam quidem. ei effe ümilitudinem , ex dcícriptione colligitur ; cum lozo inprimis, «quod. radiorum: pinnae doríualis primae ex- ' tremitates: fupra; membranam , eos conne&tentem ; 'emi- meant, ipfaque huius pinnae snembraná: in-fümro .ia- culata fit; verum numero radiorum eiusdem pinnae. nimis ab eo differt, quam vt eiusdem cum hoc fpeciei eum .effe crederem.. Variabilem quidem. effe radiorum in.pinnis numerum , . propria. 'obferuatione dudum co- gnoui, in. tantum autem differre ? At in duplum in- crefcat., et quidem fine alius, eiusdem generis , : pinnae radiorum numeri incremento , nunquam mihi obuenit. Quum igitur in plurimis, ha&enus cognitis, Gobionum Ípeciebus , primam doríi pinnam «onflanter fex radiis, fecundam vero. 10, 11i, 13, 14, 16, 17 effe (uffül- tam, recentiores contendant Au&ores, (c) nofter autem in Le dorfi prima duodecim , in fecunda tredecim Hhh2 Obti- Lcd € 4) Viliugbi. Hit. Pifc, Libr. 4. pag. 207. $. II. Tab. N. 15. 4. Linn. Syf. nat. edit. dec. p. 263. no, 2, (Wi llougbh. Hif. Pifc Libr 4. pag. 207. $. Ill. Lim. Sytt. mat, edit. dec. PB. 263. no. s. (6) Lim. Syft. Nat. edit. dec p. 262; 263. No. 1,2, 3) "Uo o4«m$ 425. 09 3 WPNHUSCUE SM obtinuerit radios, pinnarumque ambae confequenter ma- guirudine inter fe fere pares fint, cum ob eandem ra- tionem in caeteris fpéciebus earum: anterior. minor, pofte- rior maior. enàfcatur , defcriptum: 4 nobis piícem pro noua- Gobionum fpecie habere , COnucnir, ; Patr i1 .eius mihi Jc ool eft, mec lsd de. eo referre : poffum quod in Cat. Mat. GL ipw. eius - pos fit mentio, ^ yita: nenfuro. Poll. fim, Longitudo totà , ft. ab oris extremo ad apice Parif? P » [ a R5 Q7 xd- "T" cw o X er EE [s] E O£ o0 TY e 8 wu H 1 "corporis Fine quaes iilii he E 1 - ^2 7 4'--2' gb oris extremo ad oculi medium| - o. - € -Uad angulum operc. br. ni iles » - A ^cum ^ - DIPUM eic dd: pianárum ventralium prin- "v" P OPUS m E TPOS ad flabeili pe&- ban. (a . marginem inferiorem ad pinnarum pectoralium pri mos radios - - * [ $ $ ) L] i L] L] L] LJ L] | 1 i -o9 2 c 8d prinipium . pinnae dorfi - Ul primae - IT ZQUUPP RDUM SEN II CU fecufidde 4 9 à t L] BA £. £3 ; t3 8 9 Lj] Lj [] DESCRIPTIONES. 429 Poll. lin, Parif, Losgitudo pinnarum ventraiun - - - -— 6 T5 0-40 pectoralium T7 - — Us *.*-» pinnae dorí primae, ad bafin - -|— |ó | Los 02 5 -o radiorum longiorum| — |9 Ku - e rtefre nr fccundac, ad bafin, JT— 1735 -- - o. 2 -c--- rFadiorum longiorum — [s e... 2 dGni,ad bafin,.- - - -|—]|s - 07 09 2 o-. radiorum longiorum — (3i - -* - - . Caudae, fc. a primis radiis, feu ab eius principio, ad longio 4 b .rum radiorum apices - -|— |ro E: ve c9 corporis fquamofa in caudae pinnam extenü ad - - - -|—53 Diameter oculi. - --- - - - - - 4-42 Diftantia inter primi pinnae venérulis radii bafin et primum pinnae pectoralis radium -| — |5 - - - interintimi pinnae ventralis, et primi pinnae ani radii bafin - - -| zx - - - inter vltimi pinnae ani radii bafin, et primum pinnae caudae radium -|— |8; » * - inter vltimi pinnae dor(i primae , et pri- | mi pinnae dorfi fecundae radii i biín - - - - - - .|—5 - - » inter vltimi pinnae dorf. 2dae radii bafin Latitudo horizontalis per otnlorim axes -- - - - per pofticum operc. br. marginem - - . per principium pinnae dorfi primae -!— 4. hh 3 Latitudo 450. PISCIVM DESCRIPT- Latirdo horizontális per principium pinnae dorfi | Latitudo perpendicularis per oris angulum - - - "t MET m - - - E .- - - [| e - - - LJ ^ * L.J - - - es - Ld - - - uu Poll. lin. Parif. fecundae -|— - - - - - «audae - - OP P * - pectordium *|—- - - pinnae ani -|— per pinnae ani,finem — 4s | (er caudae principium) — | 3:1 COuESsemDuI—RUuD coLL————xe017) L———————- QMACNWERORRNED ccxmusEENEN C—MEISIL EMGESEEÉ —— — — — SEIEN, I3 ASTRONO. ASTRONOMICA. INVESTI-- . 98 (0 ) cte 433 INVESTIGATIO POSITIONVM INSIGNIORVM RVSSIAE LOCORVM SECVN. DVM EORVM LONGITVDINEM AC LATITV. »DINEM OBSERVATIONIBVS ASTRONO- | MICIS MECVM COMMVNICATIS . INNIXA. Au&ore A. N. GRISCHOW. um mihi ex mandato Illuftriffimi Praefidis emen- (:: dandi Atlantis Ruffici cura demandata fit, de " locorum infigniorum Ruffici Imperii pofitionibus ex aftronomicis obferuationibus rite determinandis cogi- tau. Hunc in finem Academiam rogaui, vt me- cum communicaret obfíeruationes aftronomicas , quot- quot funt, in Archiuo afferuatas. — Quo facto , prae- ciprorum primum locorum longitudines ac latitudines , quantum potero, accuratifüuu(me ex fupra memoratis obferuationibus elicere , et prout eas cognitas habebo , cum Cl. Academicis communicare (ítatui, vt peractis calculis ; Catalogus longitudines ac latitudines praeci- puorum locorum exhibens corítrui pofífet. Sequentes, igitur inpraefentiarum acceptas habeatis locorum deter- minationes 10go. | | Tom.VIII. Nou. Comm. lii Deter- 434 . POSITIONES INSICNIORVM Determinatio - differentiàé - inter Mefi- 'dianum Petropolitanum et- Ar- - changelopolitanum. - Quamuis V. Cl. De P Isle de, la. Croyere annum Tem integrum Archaugcelopoli fit commioratus, paucas tamen ibi habuit eclipfium Satellitam Ioüis obferuationes, qua- rum praeterea maxima pars debita accuratione carere mihi videtur. —Vnica tantum fefe mihi obtulit eclipfium Satellitum louis obferuatio reliquis. praeftantior atque ac- curatior , ex qua Meridianorum differentiam — füpra dictam eruere fequenti modo conabor: | 5 77 Emerfio primi Satellitis Iouis obferuata Acchangelopoli- | ,. ij 3328. Mart. 3. 9^ $6*. ags/^ Aequatio meridiei (übtrah. 25 £f 4 —— — Tempus verum emerfionis 9? 56^. o// Eadem obfíeruatio habita eft Madriti 7. 6. 17 Different; Merid. inter Archangel. et Madrit. 2^. o^ €—€ Different. Merid, Parifios inter; et Madritum 24. 18 (übtr. Difcrentia Merid. Parifios inter et Archangel. 2^ 25/.25 7 Pofita diff. Merid. inter Parifios et Petrop. — x. 52. o erit dier. quaefita Mer. inter Petrop. et Archang. 05.35. 2 5/^temp. et Longitudo Meridiani Archangelopol. — 56^. 217. 15// Haec Meridianorum differentia non facile maior - flatui/ poveft ,— habita imprimis circumftantiarum | huius obfergationis , de quibus de la Croyere mentionem fe- cit, ratione ; 5i enim fecundum monita Cl. de la Croyere S RVSSIAE. LOCORVM. 435 Croyere veram. emerfionis momentum obíeruatum eius. dem emerfionis tempus praecedat, Meridianorum diffe- rentia prodibit minor, quantitate nimirum errorem in obíeruatione haerentem aequante. Calculus igitur nofler eorum plane conuellere videtur opinionem ; qui longitudinem | Archangelopolis augendam . effe | contendunt ; longitudinem huius vrbis e contrario in mappa Academiae notatam ,.IO mini- mum minutis primis Aequatoris imminuüendam effe ftatuo. | Cl. de P Isle quidem in Tom. IIT. Commenta- riorum differentiam . Meridianorum | inter. Petropolin et Archangelopolin , dimidio. circiter vnius. minuti primi temp. maiorem affignauit ;. notandum vero eft CI. de P Isle obferuationes cdiptuns fatellitam Iouis a Cl. de /a Croyere. Axchangelopoli habitas, fine vllo delectu omnes adhibuiffe , et quod maius eít, aequatiorem — Meridiei , qua tempus a de /2 Croyere notatum corrigendum erat, prorfus neglexife ,' vt- in. Ephemeridibus: obfetuationum Archangelopoli habitarum: videre eft. Ad latitudinem huius vrbis fcite determinandam, lis praecipue. víus fum. obferuationibus . , quibus fimul quadrantis error innotefceret , aequalibus nimirum , fiue "potius fere aequalibus - alitudinibus fiderüm boream auftrumque verfus, vno eodemque. inftrumento obferuatis. .Paucae. quidem eiusmodi reperiuntur in Ephemeridibus Cl. de la Croyere obferuationes , iis tamen adornandis ita ftudui , vt latitudo exinde deducta accuratior forfitan fit'cenfenda ea, quam Cl. 4e /z Croyere ex diuertis Obferuationibus ,' pofito-' errore quadrantis in omnibus with lii 2 limbi 436 . POSITIONES: INSIGNIORV M. linbi eiusdem punétis con(tante , adhibitisque elementis noftris temporibus accuratius ab aftronomis definitis ; . eruere e(t conatus. Nonnullas tamen hoc in calculo, vt et in fequentibus, correctiones minores, recens ab aftronomis probatas, ex. gr. aberrationem ex fucceífiua luminis propagitione ortam, et propter defectum fuffi- Cie.tis accurationis in obferuationibus ipfis, et propter inopiam Cátalogi, vera fixarum loca minoribus illis aequá- tionibus correct: , exhibentis, pa(fm omittere fum coactus. Obferuationes itaque ad noftrum inftitutum. maxi-- me idoneae , fünt altitujines meridianae marg. C bor. Obíeruarae 1728. d. 2. 21 et 26 Febr. ft. n. quis cum altitudinibus meridianis a. Lyrae d. 23 et 26. Febr. eiusdem anni infra Polum captis , fequenti modo corn parare confultum vifum eft. Altit. mer. app aLyraeinfra Polum d. 23 Febr. — 13^. 157. 20^ ! d.26 Febr.— 13. 14. 40 Altit. merid. app. aLyraee media, - .- -—413.15'/. o" Refiadio — — 4. 8. Altit. merid. a Lyrae refr. corr. — 13^ 10/52 Déclniio a Lyrae - - —38*.35/. 15" bor. Comparatio alt. meridd. « Lyrae infra Polum cum altit. rer. colis d. 2 Febr. Altitud. merid. app. marg. O bor. — $8*.53^ so" Reft. et parall. — — 6. o dil $.47 50 iDimetOcÉ 316.17 Altitud. RVSSIAE LOCORV M. - 437 Altitud. merid. centri O refr. et Paral. cort. — — $8.31. 35^ Dift. mer. centri O a Zenith refr.et Par. corr. — | 81^.28/. 237 Dit merid. a Lyrae a Zenith refr. corr. —. 76 49. 8 Summa dift. merid. obferuat. a Zenith —— 158^.17'.55" Pofita obliquit. eclipt. An. 1728. — 23'.28/.58" Declinatio centri O erit - - — 16?.58/"50"A. Dift. centri O a Polo Aequat. bor. — 1067.58.30 Dift. « Lyrae a Polo Aequat. bor. — 51. 26. 47 Summa dift. a Polo aequat. bor. —158.25/.17^ Summa dift. merid. obíeruat. a Zenith — 158. 13. 55 , ? Dift;'— 35 424^ Error igitar quadrantis ab altit. obferuaus fübtrah. — 37. 517^ Alitudo merid. a Lyrae refr. corr. — 13.104. $2 Error quadr. — 3. St Altit. merid. vera a Lyrae — 153^ 3^. i^" Declinatio « Lyrae — 538. 35. 13 Altitudo Aequatoris — 25". 26. 12/* '"Eleuatio Poli Archangel. — 64^.55/.48^/ Comparatio altit. merid. « Lyrae infra Polum cum altit. merid. o d. 2r. Febr. Alütudo merid. app. marg. O bor. — — 15. 4^.45^ Refi. et Paral - - -— -— 3.28 ; NUI 17" ; Diameter O. — IÓ I4 D oncncsmndiznud lii 3 Alt. 438 POSITIONES INSIGNIORVM Alt. merid. centri O Refr. et Parall. corr. Dift. mer.centtri O a Zenith refr. et Par. corr. Dift. merid. a Lyrze a Zenith refr. corr. Samma diít. merid. obíeruat. a. Zenith Declinatio centri Dift. centri CO a Polo Aequat. bor. Dit. a Lyrae a Polo Aequat. bor. -— - Summa diít. a Polo bor aequat. - - Sümma diít. merid. obíeruat. a Zenith Different. Error igitar quadr. ab altitud. obfer. fubtr. ATE merid. «a Lyrae refr. corr. - "Error quadr. - - Alti. merid. vera a Lyrae ue Decin. « Lyrae Altitud. Aequat. Eleuatio Poli Archangel. Comparatio altitud. merid. fra Polum cum altitud. d. 26. Febr. Altitudo edd: app. marg. O bor, - - Reft. et Paral. - - - i Diam. O E 14 .45/. 5^" 22:15. 14 877 E 176. 4. dS rx pmi A LEE Eod 0*,.45^.2 3/4. 100 .48/.23//1 LI—51«426.499 l1 9 /x.p6)77rT ——I152 .I2'.IO''& m $^ S^ s — "i 5! zz rg un0/ suf ——7 4 38 c org. 6549" - 58.33. x-9bor. 25'.26/.2 4" — 64 .53/.36/*, « Lyrae in- merid o., ll 16.54. 4pf4 — de 4 16. $4. x8 —DDLlbo 408 Alit. — — —— — RFVSSIAE LOCORV M. 439 Altit. merid. centri CO Refr. et Parall. corr. — 16 35/.88^ Dift.mer.centri O a Zenith Refr et Par, corr. — 73^ 24^. 32^ Dift. merid. a Lyrae a Zenith Refr. corr. — 76.49. 8 Summa dift. merid. obferuat. a Zenith - — 150^ 15^ 407 | . Declinatio centri O — 8^.55/.25^ À« Dif: centri O a Polo Aequat. bor. - - — 571987. 55/8f^ Dift. « Lyrae a Polo Aequat. bor, - - — 51.26.43 Summa dift. a Polo Aequat. bor. - - —:50^ 22.10" Summa dift. merid. obferuat. a. Zenith —150^.13. 40 Diffnso -— i(on9tao!l Error i igitur quadrantis ab altit.obferu fubtr. — ats" Alütudo merid. e Lyrae.Refr. corr. - - — 13" 10^,52// Error quad. - - - — -— 4.rg. Altit merid. vera a Lyrae - - . E TEM 67.33" . Declin. «. Lyrae - T íÍ —— 88.533. r5bor. Alit. Aequat[. - - - - - 2 57.26/.36// Eleuxio Poli Archangel. -* - - — 64^33/.24". Ex prima igitur. comparatione prodit eleuatio Poli Archangel — 4 .33 4.48; 6X fecunda q* 35^ zcL oS €x teria — 64.35. 247. | Hinc media atque »proxime ad veram accedens eleustio Poli Archangel. erit — 64^. 35^. 36", In mappa Academiae (itüs vibis Archaogelopolis minutis aliquot. iufto borealior eft | ! Deter- 440. POSITIONES INSIGNIORVM Determinatio longitudinum : vrbium Rigae et Reualiae. Incertae atque ancipites femper mibi vifae funt in mappa Academiae vrbium Rigae et Reualiae nota- tae pofitiones , refpectu praecipue earum longitudinum. Operae igitur quin pretium effet non dubitaui, vt ex obferuationibus , quas Academiae Adiun&us Kraffilnikow hifte in vrbibus habuit , earum longitudinem atque lati- tudinem diligentius inueftigarem. — Longitudinum deter- minatio , cum nullae adfint obferuationes Satellitum Iouis refpondentes iis, quas Kraffilmikow habuit , difficillima quidem videtur ; artificium vero, ia quo elaborando ac - perficiendo noftris. temporibus euigilarunt Aftronomo- rum curae et cogitationes, eclipfes Satellitum Iouis tabu- larum ope (tricte praedicendi , noftro in negotio difficul- tates vel maiori ex parte tollere atque fuperare valet : Tabulie enim motuum Satellitum Iouis , quas Cel. JFargentin paucis abhinc annis, ex. magno obferuationum numero, follerter concinnauit , adeo arcte cum coelo funt connexae , vt calculos eclipfium | 1? Satellitis Iouis, fe- cundum harum Tabularum numeros infítitutos, raro. inte- gro minuto primo temp. ab obferuationibus diffentire foleat. Summo propterea iure , obferuxtionibus corre- fpondentibus calculo noftro abfentibus, obíeruationes, im- primis eclipfium 1"' Satellitis Iouis reliquis accuratiores cum calculo ex füpra dictis tabulis conferre et longitu- dinem locorum , de quibus fermo, «exinde fequenti modo deducere licet. An. 1159. RVSSIAE LOCORV M. 44 A n.1750.d. 531. Oct. ft. v. ol. 4/.26" tempore vero ob« | à; feruata fuit accu- rate Rigae emer- fio I""Satell.Iouis, tubo 16. ped. 153. 39. 30. tempore vero e- merfio haec con- tigit Parifiis fec. Tab. Cel. 7 ar- gentini. 15.247. 56/ / Differentia Meri- dianorum Parifios inter et Rigam. An. 1750.d, 18. Dec. (t v... 9.447. 14^ tempore vero o- ptime obfíeruaba- tur Rigae emerfio 1"/ Satell. Iouis tubo r6 ped. 8.18.57 tempore vero e- merfio haec con- tigit Parifiis fec. Tab. AW argent. PPS Cd 1?.25/.37^^ Differ. Merid. Differentia itaque Meridianorum media, ex binis emerfionibus I" Satellitis Iouis optime obferuatis, deducta, — 15,25/.15/. fno Occurrit adhuc in ephemeridibus Kra/filnitowii emer fio Il// Satellitis Iouis exa&te obíeruata Rigae An. 1750. Tom. VIII. Nou, Comm. Kkk d. 22. 442 POSITIONES INSIGNIORP M d. 22. Dec. 65.0/. 45^ tempore vero : fecundum 'Ta- bulas /7arzent. emerfio haec contigit 4. 39. r9 temp. vero Parifiis ; differentia itaque Meridianorum ex haec obferuatione prodiret — x. a1. 24, Cum vero I]? Satellitis numeri non adeo exa&e coelo refpondeant , horumque Meridianorum differentia fapra ex obferuationibus 1" Satellitis accuratius deducta, fit — 1?.25/.15^, hac fecundi Satellitis obferuatione, ad inueniendum veram Merid. Parifini et Reualienfis di£- ferentiam, vtar. In ephemeridibus enim obferuationum: Krafilnikowii duae tantum obuiae funt II^ Satellitis ob. feruationes Reualiae habitae ; altera ab ipfo Krafifuikow d. 29. Dec. x750. peracta fuit, altera autem d. 30. lan. 1751 a diícipulo Kurgamow aere impuro ibidem habita eft. Priori propterea ad no(lirum inflitutum wti fis eft. Hunc vero in finem ex fupra relata emeríione I^ Satellitis Iouis d. 22. Dec. 1750. Rigae obferuata, errorem "Tabularum JZ'argent. primum deducamus neceffe eft. Si ponamus igitur differentiam Merid. inter Pari- fios et Rigam ex emerfionibus primi Satellitis Iouis ac- curate fatis efle definitam , haud difficile patet, errorem. "fabularum JJ/zrgentinii fecundi Sacellitis Iouis tunc tem- peris fuiffe — 3^. 50^ a tempore ex Tabulis deducto: fabtrahendis ,, verum vt habeatur emerfionis momentutn. Obferuatio Reualiae habita 7 tantum diebus pofterior eft altera, ex qua errorem Tabularum. determinaui , eaque .de caufa hunc ia finem optimo iure adhiberi poteft. Quo ftatuto, inueni tempus emerfionis verum fecundi Satellitis Iouis fec. "Tab. M/argest. fub Merid. Parif. d."29. Bec. 1750-27. 1445537; ubdadtis 3^. so ] pro RVSSIAE LOCORV M. 443 pro errore. Tabularum, habebimus verum emerfionis mo- mentum Parifiis 7^. x1/. 9/7, quod Reualiae obferua- tum füit 8". 587. 577. Differentia itaque Merid. inter Parifios et Reualiam erit — 1^. 27/. 5o" temp. et lon- gitudo Reualiae — 41^. 577. 30", longitudo autem vrbis Rigie — 41" 18/. 45^, pofia longitudine Meridiani Parifini 2 20". o^. Secundum Mappam geogr. Academiae longitudo Reualiae eft — 427. 147, et longitudo Ri- gae Parif. — 4.27. 17^, adeo vt error in longitudine Meridia- ni ReualienGis fit — 16;/^ et Meridiani Rigeufis — 58; -fiue integro fere gradui. Riga itaque in Mappa geogr. Aca- demiae Merid. Petropol. propior quam Reualia, nunc qagis occidentem veríus eft collocanda. Neque vero mi- .hi temperare poffurn, quo minus fatear , obferuationes, ad definiendam latitudinem aeque ac longitudinem hifce in locis inflitutas , haud fufficere, fiue. non adeo effe accu- ratas, vt earum beneficio füpra dictarum vrbium latitudo €t praecipue longitudo, intra vnum min. prim. temp. ftabiliri poffit. Tabularum primi Satellitis Iouis erroris quidem quantitatem accurate definire non poffumus, eam vero vnum min. prim. temp. non füperare, ftatue- te fis et. De errore in obíeruationibus ipfis haerente, A4eque quidem incerti fumus ; ex obíeruationum autem circumítandis concludere licet , errorem hunc, fi quis adeft , a tempore emerfinum fupra norato e(fe fub- trahendum , ita wt longitudo Rigae et Reualiae erroris Juiusce quantitate decrefcere , error contra vero Map- pae geogr. eadem quantitate accreícere debeat, Kkka i Lati- 444. POSITIONES. INSIGNIORF M. Latitudinis vrbis Rigae determinatio. Latitudo vrbis Rigae vt rite determinaretur, Krafilnibowius aequales capere debuiffet alütudines fixa- rum in vtraque Meridiani parte; hoc vero aílronomo- rum artificio negle&o , altitudines Solis in parte Meri- diani auftrali obferuatas , cum altitudinibus fixarum fere aequalibus, in parte Meridiani boreali, fiue infra Polum captis , comparare cogimur. Obferuationes itaque, quae inftituto noftro maxi- me accommodae videntur, íunt altütudo meridiana ap- parens marginis Solis borealis obíeruata d. 8. O&. 1750. — 23".14/.20" et altitudo meridiana apparens e Vríae maioris eodem in(trumento infra Polum obferuata d. 12. Odobr. 1750. — 23". 77.0". Pofita obliqutate Ecli- pricae tempore obféruationum — 23". 28/.30/^, et dif- ferentia Meridianorum inter Parifios et Rigam —1*.9 57.1 5", inueni declinationem centri Solis pro meridie d. 8. Oct. —10'.1^,16:/ A. Decinatio vero e Vríae maioris fec. Catal. Cl. 4e /z Caille eft — 567.147. 35^. bor. Ad arcum igitar Meridiani appareutem , limbo Solis boreali et e Vríae maioris interceptum , inueniendum, diftaniam | apparentem limbi Solis borealis et e Vríae maioris a Polo Aequatoris boreo in vnam fummam 'colligamus neceffe eft: diftantia autem centri Solis vera a Polo Aequatoris boreo eft — 100^. 17.162", quo- circa erit diítantia vera limbi Solis borealis a Polo .Aequatoris boreo — 99. 45^. 7;//, eiusdemque diftan- tia apparens — 99. 45^. 0", pofita nimirum refractione c9/.16;/ ect Parall. Solis an altitud. — 9^7 Simi modo RFSSIAE LOCOREM.. 445 modo prodibit difítantia vera e Vríae maioris a Polo Aequatoris boreo. — 33 . 45^. 25// eiusdemque diftantia apparens, propter refraCctionem 2/.17/,— 33 .43/.8// arcus igitur Meridiani apparens inter limbum Solis. bo- realem et e Vríae maioris — 135'.26/.8^. Eundem iam Meridiani arcum | ex obferuationibus füpra relatis inuenimus —— 155 .38/. 40//, quo cum antecedenti com- parato, habebimus duplum erroris quadrantis — 12^. 32 ideoque fimplicem quadrantis errorem circa 23. altitud, gradum — 6/.16// ad altitudines obferuatas addendum. . Errore quadrantis circa füpra dictum diuifionis punctum ftabilito , facili negotio ex iisdem obferuatio- nibus veram vrbis Rigae latitudinem fequenti modo afhgnare poffumus : | ' Altitüdo merid. app. limbi O bor. — 235^". 14^. 20^ Error quadr. — -4- 6. 16 A— Altit. mer. app. errore quadr. corr. — 23". 20'. 36/4 Refract. et. Paral ^—— .— 9.. 71 Altit. merid. limbi Olis bor. vera — 23^. 187. 2824 1 Diameter O — — 16. g DG C TNELTCISE Altitud. merid. vera centri Olis — 237. 27. 1927 Declinatio centri Olis — 10. x. 161 A, Noa UE eT Altitudo Aequatoris vera — 33". 5/. 36^" hinc Eleuatio Poli Rigae | — 56. 56". 24", Eodem modo eleuatio Poli ex altera obferuatio- :ne flellae e Vríàe maioris deduci poteft. ^ Multo vero . accuratius definiri poffet eleuatio Poli, fi Krafifmikowius Kkk 3 aequa- 4456. — POSITIONES INSIGNIORPM: aequales obferuaffet fixarum notabiliorum altitudines me- ridianas boream auftrumque — verfus. Latitudo vrbis Rigie in Mappa geogr. Acad. eft —56. 51; cir* citer. Latitudinis vrbis Reualiae determinatio. Latitudinem vrbis Reualie conümili modo ex sobíeruationibus fixarum, a Krafilnikowio ibi habitis , defi- nire conatus fum foi in finem adhibui akitidiueli meridianam dpparentem [telle Rigel, obíéeruatam Re- valiae. d. 19. Tan. 1751 — 21'.58/.20"^, itemque al. titudinem | apparentem meridianam y. Draconis d. 2r. Ian.. 1751. eodem organo inuentam — 20'.55/^. 5^. * Declinatio ftellae Rigel, fec. meas obferuationes Parifiis habitzs, pro. terhpore obferuationis eft. — 8".350/.35// A. *€** Declinatio autem "y Draconis fec. obíeruationes Cel. A(tronomi Anglicani Beujfj mecum communicatas 51 .51^21/ bor. pofita cleuatione Poli Obferuatorií Grenowicenfis ^— 51*.28/.530". Hift pofitis , erit diftantia vera (lellae Rigel:;a Polo Aequatoris boreo —:98.30/.83/^, eiusdemque diftantia apparens propter refra&, —2—98*. 28/.7/^. ^ Eodem modo reperimus diftantiam veram ^y Draconis a Polo boreo equat. ——48*.28/.39/^ eiusdemque diftantiam apparentem a Polo —38'.26/.7^. Arcus itaque Meridiani apparens inter. Rigel et ^y Draconis erit — 136'.54/. 147. Se- cundum obferuationes fupra relatas vero eiusdem arcus mnenfüra eft ——337'.8/.35//^, ita vt erroris quadrantis duplum fit — 14 TL erroarque eiusdem inftramenti ptg zz" Yol" 3d 2 xt obfíeruatas addendus ; ; qua RUSSIAE LOCORF AM. 44] quo inuento, eleuatio Poli Reualiee fequenti calculo definitur : Altitudo merid. app. Rigel z-21*.58/.20^ Error quadr. — -i- 7. roi Altit. mer. corr. —22*. 5/.30i" Refr. — —- 25.95 Altit. merid. vera —22'. $3/. sj" Declinatio ftellae — 8. 50. 321 A Altitudo Aequat. —30'.33/.38// vel Eleuatio Poli Reualiae — 59". 267. 22/7. In Mappa geogr. Academiae huius vrbis latitudo tt —539.22*. * [nuefligatio declinationis flellae. Ri- gel ex obferuationibus , quas quadran- te 5 ped. radio in Obferuatorio Regio Parifino inflitui. 1748. ft. n. Ad lumen crepufculi et diei 4. Mart. altit merid. app. ftellae Rigel — 32*. 4.17. 37. 3 7. Mart. ^ - h - 82.:455 49, Q 16. Mart. - E - : 32. 41. O. 8 Error huius quadrantis, ex vtraque verificatione circa horizontem et verticem inftituta deductus, aequatur 50// ab altitudinibus obferuatis fubtrahendis. ^ Habebigmus: igitur altitud. merid. ftellae. Rigel, errore quadrantis et refracione corre&am , vt fequitur: d. 4. 448 POSITIONES INSIGNIORF M. d. 4. Marti — —525:59/.5".3 jJ. Mart: - - 52. 39. 4. O 16. Mart. -'* $92 39.0. *8. Aberratio flellae Rigel in declinat, d. 4. Mart. eft — 10//.2, d. 7 Mart, — 10/;5:et d. 16 Mart. — 10^. au(trum verfus. ^ Quantitates has ad. altitud. merid. füpra notatam addendo, inueniemus altit. mcrid. Risel erroré quadrantis, refractione et aberratione cor- rectam , d.:4.. Mart: «$E 52:4394: 19/^: 5 9$ oMartáci- 924999241 16. Mart. -.- 32.39. 1r. 2, hinc ———— — — Media alt. mer. vera Rigel — 32^. 39/. 15. Eleuitionem Poli Obferuatorii Reg. Parif. i. iaftrumento accuratifire inueni — 48?. 507. 14" , fiue " altit. Aequat. — 41^.9/.46", ex qua facili negotio fluit declinatio vera fítellae Rigel ad initium menf. Mart. 1748. —892.50/.553/^ Auftr. Corre&tio declinat. huius fteilae a nutatione axis telluris producta, aequatur 7/.$ add. ita vt eius declinat. media ^ad init. menf. - "Mart. fit — 8*.30/.40'/. 8 A. fiue declinat. media ftel- lae Rigel ad initium An. 1748.-—58'.30/.41^//.6 A. Variatio declinationis (lellae Rigel annua cum fit 5 7 habebimus . declinationem huius. ftellae mediam ad E Ian. ft. v. 1751. reductam — 87. 307. 26/". 2. A. Aber- ratio in declinat. tunc temporis erat — 7.3 auftrum verfis et correctio declinat. ob nutat. axis telluris ——0^.6 fübtr. quocirca erit declinatio ftellae Rigel ap- parens ad 19 Ian. ft. v. 1751. reducta — 8'.30".33/. A. * In-- RFSSIAE LOCORVM. 449 ** [nuefligatio- declinationis flellae y Draconis ex obferuationibus Cel. Beuifii in Obferuatorio Regio Grenowicenfi fe&tore 8. pedum radio peractis. 1748. Àug. . Limbofecoris Orient.fpect dift, "y Drac. a verticez o?. 5^. 5" Dor. Aug. 5. Limbo fect. Occid. fpe&. —0". 5^. Ros. Aberratio declinat. flellae ^» Drac. d. 5. Aug. aequa- tur 16^. 1, et d. €. Aug. 15.7 boream verfus. Diftan- tia igitur huius ftellae a vertice Obferuat. Grenowicen- fis, aberratione correcta, etit : d. $. Aug. — 0?. 9". 48/7. 9 5$. Aug. Z-07,5/. 9^.8 hinc - Vera *y Draconisa vertice diflantia — o?. 2^. 59^". 1 Eleuatio Poli Obferuatorii Grenowicenfis ponitur —51*.28/.50/^, ex qua porro deducimus declinatio- nem veram ítellae ^7 Draconis circa tempus füpra no- tatum — 51?.31/.29^.1.bor. Correctio praeterea de- clinationis huius ftellae , a nutatione axis telluris pro- du&a , tunc temporis erat — 5^." add. ideoque decli- natio ^ Draconis media ad initium anni 1748. —5$1?.51/.55//.4. bor. habita nimirum variationis de- clinat. huius ftellae ob praeceffionem aequinoctiorum mediam ratione. Ad declinationem iam apparentem *y Draconis pro tempore obferuationis Reualienfis inueniendum , ha. "Tom. VIII. Nou. Comm. L11 bemus 450. — POSITIONES: INSIGNIORF M: bemus. variationem. declinat: huius ftellae. mediam ,. in:- teruallo. temporis. inter. obferuationem. Reualienfem et: epocham fupra. notatam. refpondentem. 2//. 5: fübtr. Cor. rectionem. Pep iapecdu huius. ftellae: ob. nutationem. axis. teliuris — 1^. 4. add. et. aberrationem: in. declinat. teme. pori. obferuationis conuenientem . — 1 3//". 4. auftrum. ver- . fus, hinc declinat. «y. Draconis. apparent.. ad; 21. Ian.. ft. 34/1751: —595 1.517; 2d Ei bor:; Determinatio, longitudinis. loci: Dager-- Ort: ad: oram: maritimam. Infulae: Dagho. occidentalem. fiti.. Quia: Krafünikowius. eodem: in. itinere. nonnullas ; quoque: obferuauit. in. Infula. Digho 5. in; loco. Duger- Ort ,. primi; Satellitis Iouis: immerfiones.,. non: alienum: effe. videtur. a. noftro. ipflituto; ex: memoratis obferuatio. . nibus. loci. Dager-Ort: longitudinem: methodo: in: deter- minatione: longitudinis. vrbis. Rigae- expofita: eruere 5, praefertim; cum: immerfiones. Satellitum: ad. hocce. nego-. tium. magis, adhuc: multo;, quam, emerfiones, (int accom-- modatae.. Án; x750.d. 3 1. Iul. ft: v. x 13524577. /^ tempore: vero ac-- curate. obferuata: fuit: in: loco. Da- ger. Ort. immer... fio primi Satellis. tislouis tubo. 16;. ped.. à 1ob RVSSIAE LOCORVEM. 5t 10P, 26.! 44". "temp. vero im- merfio haec con- | | tigit Parifiis fec. Tab. PFaig. "rs ,23/ Diff:rentia Mer. Parifios inter ct locum Dager- 'Ort. An. 1750.d. 16, Aug. ft. v. 109... 47. 25^ temp. vero ob- feruabatur ibidem immerfio primi - Satellitis Iouis tü- bo 16. ped. coelo grate fereno, ven- 'to :autem "vehe- nente. $8.46. I6 temp. vero im. merfio haec con. tigit Parifis fec. Tab. V argent. noz 2 " .* ^ 15.18/. 3// Differentia Mer. An.1*750.d. 6. Sept, ft. v. 15^. $57. 32/7 temp. vero accü- ratiffüme obfet- vata fuit ibidem immerfio primi . Satell. Iouis tübo: 16. ped. L ] l 2 14^ 453. POSITIONES INSIGNIORVM 145.35^. 6' temp. vero im- merfio haec con- tigit Parifiis fec. Tab. Z7/'arg. 1^. 187, 26" Diff. Meridian. Differentia Meridianorum igitur media inter Parifios et locum Dager-O:t erit —2 15 18^. 207^, et loagitudo loci DagerOrt — 39? 35/. — Secundum Mappam geogr. Academiae huius loci longitudo eft — 39". 26". Determinatio latitudinis loci Dager-Ort. Eleuationem Poli huius loci, ex aeqmilibus fixg- rum altitudinibus meridianis boream atque auftrum ver- fas captis, fic determinare adnifus fum : D.20.Iul. 1750. Krafülnikow quadrante 27 ped. radio obferu. Altitudinem merid. app. Lucidae Aquilae — 397. 25. 42^ d. 29. Juli! —- (e. - o LCC89. 25.57 d. 28. Juli!" 25 uo - 2199.26: m Altit merid. app. media « Aquilae —— 39?. 257. 55 Eodem inflrumento fequentes cepit in parte Me- rdiani boreali altitudines meridianas x Draconis : d. 21. Iul. 1750. — 407.147. 20 8. Aug. - - - —40. I4. $5 5$. Aug. - - -— 490. I4. 20 Altit merid. app. media x Draconis — 407. 14/.15^^. Decli- R/SSIAE LOCORFM. 455 Declinatio & Aquilae temporé obferuationum | fü- pra relatarüm eft — 8?.13/. 53^. Bor. — Declinatio ve- .10 x Draconis z— 717.9/.55^//. Dor. Diítantia itaque vera & Aquilae a. Polo Aequat. boreo erit 2 81*.46:. 9^ eiusdemque diftantia apparens ab ante di&o Polo z81?.44/.56//. Simili modo prodit diftantia vera x Draconis a Polo Aequat. boreo — 18?.50^. 5^ eiuse demque diftantia apparens — 18?.48^.56^. Arcus igi- tur Meridiani apparens interiectus — 100*. 337.52; cum vero idem arcas ex altitudinum merid. obferuata- rum complemento prodit — 100?.:9/.50^ erroris quadrantis duplum erit — x4^".2^/, fiue error fimplex ab altitudinibus obíeruatis fubtrahendus — 7^. x^". Poli igitur eleuationem fequenti iam ratione eruere licet : Altitudo meridiana app. a Aquilae — 39 .25^.55^ 7 Error quadrans — — — 7. r Altit. merid. app. errore quadr. cotr. — 39 .187.54/ Ref. — — r. rr Altitudo. merid. vera -« Aquilae —3 9?.1 deddin Decdin. bor. fidlae — 38.13. 53 Altitrdo Aequatoris — 35x*. 3/.50'/^fiue Efeuatio Poli loci Dager-Ort - - —58?.56^.10''. Vt de latitudine huius loci euidentius conflaret , fimilem calculum aequales Solis ac fixae à Vríàe maio- ris altitudines meridianas adhibendo fequenti modo inftitui ; L1i3 D. 1o. 454. — POSITIONES INSIGNIORV7M D. xo Sept. 1750. Krafihikxw altero inftrumerte 15 ped. radio obferuauit in loco .Dager-Ort. altitudinem apparentem meridianam limbi Solis borealis 1?. 5 8'. 10^, «eodemque die altit. app. umerid. «à Vr(ae maioris infra Polum :— 31^. 58*.0"*. "Declinatio «centri Solis pro "meridie d. ro. Sept. pofita differentia — Merid. inter Dager - Ort et. Parifios zzaBhganst. 2e; et -.obliquitate 'Eclipticae 723?.28*.30*4, ent —0?.41/.54/ bor. iDeclinatio vero a. Vifüo ma- doris fecundum Catalogum Cel. de a Caille 263?. 5.5 2!!, JDiflantia igitur wera centri Solis a Polo Aequatoris bo- TO erit. z:89-. 18/..6"/ «eiusdemque diftantia apparens 89 .46/.41", pofita itaque 1 diametro Solis 2167.14, prodibit diftantia app. limbi Solis bor. a Polo Aequat. boreo — 89 .0/.40//. Diftantia vero apparens a Vr- fae maioris ab eodem Polo, habita fitus huius ftellae- infra Polum ratione , eft — 26'.52/. 34^. — Arcus propterea appareus Meridiani inter limbum Solis borea- lem et.a Vríie mai. infra Polum erit 2115 534.144, .eiusdem- vero arcus menfura ex obferuatis altitud. merid. elicitur — r16'. 54. 50'^, -wnde duplum erroris quadran- tis — 10/.36// fiue error quadrantis fimplex ad alti« tudines vein addendus — 5^. 18^. Altit. mer. app. Vrfae mai. infra Polum — 317. 8^, o^ Error quadr. 2 -1- 5. 18 392- 3.318 Refr. — — I. 34 RESSIAE LOCORVAM. "m Aititudo: merid.. vera: a: Vrae: mai. —32?. 1/.44/4 Declinatio: flellae:—65.. 5. 5 Altitudo: Aequatoris.— 519. 4^ $^ fiue: Eleuatio. Poli! —589:55:.525^*, Qua: cum: füpra: inuenta. comparata, | latitudo: loci: Dager-Ort videtur: effe 2—58?.56/.0^^. Secundum: Mappam: geogr. Academiae: huius. loci. latitudo. eft. Sg ua | Determinatio: latitudinis. vrbis. Naruae;. Krafinikowius: in: itinere: Reualia: Petropolin: pau- cas. habuit- Naruae. obferuationes:,, altitudines nimirum: cepit. meridianas;: fixarum: nonuullàrum: quadrante? zz: pedi. radio, ex: quibus;,. quantum" potero',. accurate: huiusce: vrbis: latitudinem: fequenti: ratione: definire: conabor.. Ad. hoc: inftitutum: maxime. idoneae: videntur. altitudines: meridianae. Sirii: et: Lucidae: in: cauda: Cygni ;' Sirii: altit. merid. app.. obferuata. eft: — 14?: 144. 45^, Lucidae. ve-- ro: im cauda: Cygni. altitud: app. merid.. infra. Polum: —13*49:20/*. Secundum: obféruationes. Cel. Le: Monnier. declinatio: Sirii? ad. tempus obferuationis- reducta cft: — 167.25" 32'/A.. Lucidae- autem: Cygni declinatio: L44?.24/.2/^ Bor. Hifce: admiflis:,. erit: diftantia. ve-- I2: Siri; a: Polo: Aequat: boreo: — 1067. 23^. 52^ eius- démque: ftellae. diffantia. apparens, habita. altitudinis- ob. - féruatae. ratione,. — 106?.19/:4»'^ Simili: modo pro-- dibit: diftàntia- apparens: Lucidae. in: cauda: Cygni: a: Polo: Aenuat:. boreo: — 457. 32^. 1/^;. harum: fümma: fiftet. ar-- enm. Meridiani: apparentem: inter: Sirium: et: Lucidám: Cygnii 456 . POSITIONES INSICNIORVM Cygni 21 5 17.5 14.4 5", qui obfervatus füit 151.55 .95*^. Erroris itaque quadrantis duplum eut —— 4^.12^, fiue error fimplex ad altitudines obferuatas addendus —2/.6//. Altit. merid. app. Sirii — 14'.14/.45" Error quad. — 4- 2. 6 a—— 14. 16. 51 Reft; ^— 8o Alüt, merid. vera Sirii — 14 .15^. 1^ Declin. Sirii auftr. — 16. 25. 32 Altitudo Aequatoris —gpfis6* "m fiue Eleuatio Poli Naruae —| — 597.254. 27". In Mappa geogr. Academiae huius vibis latitudo eft — 59". 51^. Inuefüigatio pofitionum locorum non- nullorum , per quos iter habuit lof Ns. de lIsle. Determinatio. latitudinis vrbis. Berefow. Varias multasque quidem inftituit De 7 I5/us Be- yefouii obferuationes , nullas tamen cepit altitudines fi- derum aequales Auftram Boreamque vetíus , ex. quibus inflrumenti errores accurate definiri poffent. ^ Boream verfus enim nullam praeter Pollucem obferuauit fixam, cuius igitur altitudines meridianas cum altitudinibus me- ridianis Arcturi, ad latitudinem huius vrbis determinan* dam, comparare cogimur. ^ Dis quidem Derefouii in- vefti- MRESSIAE LOCORV M. "T veftigauit: De: PI5lius errorem. quadrantis circa horizon- tem per inuerfionem huius organi, nimirum d. r2. Maii 1740, vbi error. quadrantis circa "horizontem erat -— 6!,.1: ad' altitudines obféruatas addend. et d 24. Maii , exiftente tunc errore organi circa horiz. 25^. 2^ add. Errotem vero quadrantis circa Zenith. illo faitem tempore non determinauit. Quam ob cauíam: conful- tum vifum e(l, inflrumenti errorem latitudineuique loci fimul fequenti modo eruere. | Altitsdo merid. app. Polaris infra Polum 1240. d. —5- Máil fl. n. — 61.454. 30/7 d. 7.Maii - - - 61. 45. o d. 14. Maii - - - 61. 45. O Mediaigi. EN mer.app. Pol.ad id tempus —. 61^. 45*. j^ 1o AE[I. utr 2$ Akt. merid. obferuata Polar. refract. corr, — ox ga 42^ Altitudo merid. app. ArQuri. ^ —— ..1740. d. 14. Maii ft. n. cipe teutd gt à 15. Maii - - - - 46, 51. 50 18. Maii- - - - 46. 82. 10 A ciis altitudo merid. app. Ar&uri. — 46 .31*. 38^ Refr. Er ET o RET T! Altit. merid. obferuata Arcturi refr. corr. — 46. 50.477 ^... Hifce pofitis, declinationem ' apparentem — Polaris ad tempus fupra notatum fic definire conatus fum. Ex obíeruationibus quas Parifiis habui, eduxi declinatio- Tom. VIII. Nou. Comm. Mmm nena 458 | POSITIONES INSIGNIORV M nem mediam telle Polaris ad initium Anu. 1748. —873?.57/.22/. Motus Polaris annuus iu declinat. cum fit — 19^. 37'/^^ , erit declinatio Polaris media, ad tempus obíeruationum — Derefouii habitarum — reducta —877.54'.521/. Propter nutationem axis telluris füb- trahenda funt 9^^ vt obtineatur declinatio Polaris vera — 87.54.4531. Aberratie huius ílellae in declinat. tunc temporis erat — 13^ auftrum verfus, ita wt eius declinatio apparens, ad tempus fupra memoratum , fit —587'.54.30i' bor. Declinatio Ar&uri ad idem tem- pus ex catalogo Celeb./e Monnier prodit 220 .33 31 bor. Hinc complem. declin. app Ar&uri — — 69". 26. 56; Compl. declin. app. Polaris Cz hes B SER m —À —— aa Arcus Merid. inter Ar&turum et Po- larem infra Polum ICUDETMeeS IO, a2. d Compl. altit. merid. obferuatae Po- - laris infra Polum, refr. corr. - —— z-28*. 15, 18" Complem. alt. merid. Ar&uri ob- feruat. refr. corr. - - L—43. 90. 15 Arcus Merid. obferuatus inter Ar- . &turum et Polarem infra Polum SE". iupra | 71. 532. 26 Erroris quadrantis duplum - - — O33. E Sine error fimplex ad altititudines obferuatas addendus - | - | — 6. Errore quadrantis fic iauento, latitudo Berefouii nullo iam fere negotio definitur. Alti- RVSSIAE LOCORVM. 459 Altitudo enim merid. Polaris infra Po- lum refr. correa. —61'. 44. 42^ Y Error quadrantis — -- 6. 2j Altit. merid. Polaris vera — 617. 50'.444" Diftantia app. Polaris a Polo Aequat. — 2. 5.29: Eleuatio Poli vera Berefouii —63'.56.14 Huius loci latitudo fatis accurate in Mappa geogr. Aca- demiae denotata eft; longitudo vero, :quae ex obfer- vationibus Berefouii habitis accurate deduci non poteft, fecundum Mappam aequatur 83.2. Determinatio latitudinis vici Samarowskoy - Yam. :Hoc in vico femel tantum in tranfitu obferuauit De TIslius alitudinem Solis meridianam, ex qua quan- tum -potero accurate latitudinem deducere modo fequen- ti conabor. ^ 1740. d. 14.:Iun. ft. n. altitudo merid. appar. marg. Solis bor. —52?.54".50" DPonamus errorem quadr. — -L 5. o TE i 52.89. 30 Refr. et Parall.; — — 34- 2 Diameter Solis L——a 5. 49 Altit. merid. vera centri Solis | —52^.25'. "E Ponendo longitud. huius loci —.862 -et .obliquitate Mmm 2 Eclipti- 460 POSITIONES | INSIGNIOR/ M. Eclipticae 2 23.38.30", inueni de- 3 : 3 o 1 « clinàt. centri Solis —23 .18.553 —— : Alit. Aequat. — 29. 4. 34 fiue Eleuatio Poli vici Samarowskoy Yam —-—60' 55:1. Secuncum Mapp. geogr. Acad. huius loci longitudo eft — 86^. 39' et latitudo. —- 60*. 58. gajiurco98 nggblA ni seems uil oppo «Dol aget Determinatio latitudinis | vici Demianskoy - Yam. De PIslius Samarovskoy - Yam | profectus, altitudi- mem marginis Solis borealis maximam: .im- vico .Dé- mianskoy - Yam rimari adnixus eft, amque inuenit D 26. lunii ft. mL Ee on dL ua ;Pofito, errore, quadrantis | — -i- 5-:/0O erit od Alit. marg. O bor. max. errore quadr. corr. — uno. 9. o" Refr. et. Parall. 33. | | S4. 8.27 fDiameter Olis — -— 35.48 EIL IT SES 0 Altit. maxima vera centri Olis — 59.52.59 Pofità long: huiüs vici 7 87^.25^, erit Declnatio centri Solis — 23.23.15ideoque Altitudo Aequat. | — — 30* 29. 26" fiue Elcuatio Poli vici Demianskoy- Yam — 59.30.34". In Mappa.geogr- Acad. buius loci longitudo ponitur qas: et latitudo 59^ 38. T Deter- RVSSIAE LOCORY M. 461 Determinatio latitudinis vrbis 'Tobolsk. Binis hac in vrbe obferuauit De PIslius marginis Solis borealis altitudines meridianas, alteram d. 5. lul. iÍn 5. 2st .52'. 50", alteram d. x5. Iul. 253. 29'.0", hac vero in obíeruatione ventus valde erat impedimen- to, pauloque ante obferuarionem- obferuator vitrum qua- draniti Obiectiuum fuüblatum reflituerat ; ea ^de caufa priorém obferustionem ad determinandum latitudinem adhibere fatius videtur. 1740. d. 5. Tal. ft.n. Aft. máxima app. i marg. O bor. —$4*. 52.50" Ponamus, vt ante3, errorem quadr. — -- 5. o ni S4" 57.30" Reft. ct Parall. — 42. 54. 56. 58 1 Diam. Q z — 35. 48 Altit. merid. vera Centri Olis TC RUUAI. f9 i Pofita longit. huius vrbis — 857.56, E erit declin. Centri OQ —22. 43. 56 bor. Altit. Aequat. — 317. 53.14" (iue.- Eléuatio Poli verà vrbis Tobolsk — 58^. 6.46". Altera autem obferuatio , quantum 3 praecedenti differat , in fequenti calculo elucebit. Mmm S5 1740. 462 POSITIONES INSIGNIORV M 1740. d. 15. Iul. ft. n. Altít. merid. app. marg. O bor. —55?.29. o" Error quadr. — -- 5. o € —ÓÓ— uà 53. 34. O Refr. et Par. — — 34. ^: $8. 33. 26 1 Diam. O-—-—15.49 Alt. merid. vera Centri O —5 39. 13/870 Decin. Centri .O — 2r. 3r. 1x bor. Alt. Aequat. — $1*. 46'. 26" (iue Eleuatio Poli vera vrbis Tobolsk — UL In Mappa geogr. Acad. vrbis Tobolsk longitud. ponitur —85*.56', eiusdemque latit. — 58. 7. Determinatio longitudinis atque lati- tudinis vici Nowo- Vfolie itemque vici Weretia. Vnicam tantum hoc in itinere rite obferuare po- tuit De PIs/us Eclipfin Satell. Iouis, immerfionem nimirum primi Satellitis Án vico Nowo- Vfolie vifam s eX qua accurate fatis huius loci longitudinem modo fe- .quenti deduxi.: xn 3740.d. 2. Sept. ft. n.1 5?, 5'. 12": temp. vero fatis.bene obferuata füit in No- wo- Víolie immerfio primi Sat. Iouis. Eadem RPSSIAE LOCORVM. 463 Eadem immerfio fecundum Tabulas VV argent. contigit Petropoli d. 2. Sept. 15^.19'.51". Circa id vero tempus calculus ex Tabulis /Largent. 30" circi- ter citius quam obfíeruatio incidiffe videtur ; addendo igitur 30^ ad tempus immerfionis fupra inuentum, pro- dibit immerfio primi Satellits louis vera Petropoli 135.29 20". Differentia itaque Meridianorum erit fecundum haac obíeruationem — 1?. 44", 52" fiue lon- gitudo vici Nowo-Víolie | — 74^. 13'. Qua cogüita , latitudinem | quoque huius loci ex obíeruationibus De P Isli eruere. iuuat. Hunc in finem ea vtar altitudine merid. Solis, quam ibi obferuauit De 7 Is/u; quadrante nouis filis in- flraco recensque verificato. Inuenit enim d. r2. Sept. ft. n. Altit. merid. app. marg. O bor. — 34*.49'. 50" Error quadr. d. xr. Sept. ex inuer- fione quadr. circa horiz. inuentus — -1- 47.10 34. 55. 33 i Diam. O Z — 15.59 Alt. merid. vera centri Olis — 54?.39'.54" Declinatio centri Olis — 4. 3. 28 bor. Alt. Aequatoris — 30?. 36'.. 6" fiue Eleuatio Poli vici Nowo-Víolie 2 59?.253' .54'. Vicus 464. POSITIONES INSIGNIORV M Vicus quidem hic Nowo-Vfolie in Mappa geogr. Academiae non occurrit , de alio autem pago Weretie 5 Verítis a Nowo-Víolie auftrorientem verfus. diftan-- te, cuiusque locum in Mappa inueni denotatum, men-: tionem fecit. De 7 Is/ius in. verificatione quadrantis circa horizontem .occupatus. Ex hac igitur diftantia et po- fitione vici Werctie, refpectu vici Nowo - Vfolie , facili iam negotio longitadinem atque latitudinem eiusdem afhgnare poffümus. Peracto enim calculo, inueni. dif- ferentiam. latitadinum |. vici Weretie et Nowo- Vfolie : — 1.15", differentiam vero longitud. —2'.23'. | La-| titudo itaque vici Weretie erit — 59. 222 eiusdemque longitudo — 74?.15'.23'. | d Secundum Mappam geogr. Acad. huius vicila»; titudo eft — 597.20; et longitudo T4. 29. Déteiaattb longitudinis atque. Ee i tudinis vici Saigatka. ^" ^^ De P Islius monet, vicum Saigatka ab vrbe Ca- fan fecundum longitudinem diflare circiter 4*.15' or- tum .veríus: Longitudinem autem vrbis Cafan de /'Lslius ipfe accuratiffime- determinauit —66?.28', ita vt lon- gitudo vici Saigatka fit — 70.43. Longitudine hac vici Saigatka admiífa, eiusdem latitudinem fequenti calulo definire valemus. 1740: RUSSIAE LOCORUM. 465 1*740.d. 23. Sept. ft. n. Altit. merid. app. marg. O bor. obf. — 555. 14'.. o^ Error quadr. — -- 7.10 mmm VERRE coc. 33. 21. IO Refr. et Par. — — 1.13 33. 19. 57 i Diam. O-— — 16. $ MÀ E ESSE ues VER END Alt. merid. vera centi O ——33. 3.55 Declin. centri OQ — o. 12. 50. A Alt. Aequatoris —33 .16.45 fiue Eleuatio Poli vera vici Saigatka — 56?. 45'.;. Secundum Mappam geogr. Academiae huius loci longitudo eft — 72?.31', latitudo vero — 5 7?. 12', ita vt error in longitudine ad r. Gr. 48. Min. pr. in latitudine autem ad dimidium Grad. affurgat. Hinc quoque pofitio vici Offae , totiusque regionis adiacentis , erit corrigenda. Determinatio longitudinis et latitudi- nis vrbis Sarapul. Diftaniam huius loci fecundum longitudinem a Saigatka definiuit De 7 15/jus 30' Aequat. occidentem ver- fus, fiue eiusdem longitudinem — 70?.13' Latitudo autem ex [fequenti altitudine meridiana Solis accurate Obferuata fluit : "Tom. VIII. Nou. Comm. Nnn 1740. 466 POSITIONES INSIGNIORVM 1740. d. 24. Sept. Altit. merid app. marg OQ bor. —55?. 7. o* Error quadr. — -4- 7. 10 Kefr. ct Par. — — . 1. 13 tuu. t ——À——— 53. 12. $57 : Diam. O — — 16. 2 M Áltit- merid. vera centri O — 32. 56 55 Declin. centi Q — 0.36. 20 A Altit. Aequatoris — 33. 33 I5 fue Eleuatio Poli vrbis Sarapul — 56?. 26;'. In Vapps geogr. Acad. huius loci longitudo po- nitur — 72*.0', eiusdemque latitudo — 56^ 561. Erro itaque in longitudine —1?.47', in latitudine vero —30". Determinatio longitudinis atque lati- tudinis vici Vít- Ykskoi , ad ripam fluminis Kamae, e regione oft fluminis Yk fiti. Cum differentia Meridianorum inter vrbem — Ca- fan et vicum Vít- Ykskoi. fecundum De 7 Islum fit — 22:9 erit longitudo huius vici —69?.15'. Latitudo autem ex íequenti definitur alütudine meridiana Solis in vici Vft Ykskoi obferuata ; 1740. RPSSIAE LOCOREM. a67 1740. d. 2*7. Sept. ft. n. Altit. mer. app. marg. O bor. — 327. 51. 50* Error quadr. ponitur — -1- 7. 16 Ren et Pa — — 31.14 — Mt: i beo P1 ? Diam. O — — 16. 5 Altit. merid. vera centri O — 52. 21.23 Decin. centri O — 1. 46 46 A Altit. Aequatoris — 34^. 8'. 9" fiue Eleuatio Poli vera vici Vfl-Ykskoi — 55? 51'.50". Vicus hic in Mappa geogr. Acad. falfo nomine vo- «atus Ieko, longitudinem habens — 70?.48^, latitudinem — 56?.24/, Error itaque in longitudine — 1?. 55^, in latitudine — 32^. Determinatio longitudinis atque. lati- tudinis vici Swinji - Gori, ad diflantiam 2 Verfl. cis oftium fluminis Vjatkae fiti. Differentia Meridianorum | inter Vft - Y kskoi et Swinji-gori aequatur fecundum Mappam 1?. 30'; admiffa igitur longitudine vici Vít- Y Kskoi fupra inuenta, erit longitudo vici Swinji-gori — 6 7?.43' circiter. — Latitndo huius loci €x altitudine meridiana Lucidae Aquilae a De /'[sie obíeruata modo fequenti deducitur: Nnn 2 1749, 46$. POSITIONES INSIGNIORVM 1740. d. 28- Sept. ft. n. Altit. mer. app. « Aquilae — 42. 50'. 15" Error quadrantis — 7.10 Ref. — — rz. 3 Alit. merid. vera a Aquilae — 43. 36. 22 Decin. « Aquilae —— 8. 12.28 bor, Altit. Aequatoris — 54. 23. 54. fiue Eleuatio Poli vera vici Swinji-gori — 55. 36. Longitudo hnius loci fecundum Mappam geogr. Acad. eft — 69*.18' et latitudo — 559.5. Error igitur in longitud. — 1^. 55', in latitud. —21*. Determinatio latitudinis atque longi- tudinis vrbis Ca&àn. i ' Plures. inftituit. De / Ius in vrbe Cafan obferua tiones, ad determinandum huius loci latitudinem fpectan- tes. ex quibus altitudo meridiana Lucidae Aquilae ibi- dem obferuata ad noftrum inítitutum maxime videtur - idonea. 1740, d. 8. O&. ft. n. Altit. merid, app. & Aquilae — 4:27. 21/.20'4 Ponamus error. quadr. — -i- 7. ro Ref. — - rx. 3 RVSSIAE LOCORFAM. 469 Altit. merid. vera « Aquilae — 42. 27. 27 * o Decdin. & Aquilae — 8. 12.28 bor. Altitudo Aequatoris — 34. 15. fiue Eleuatio Poli vrbis Cafan — 55. 45. Cum vero error quadrantis ante iffam obfíeruatio- nem d. rr. Sept. in Nowo-Víolie inuentus — 7'. 16^, non congruat cum errore eiusdem inftrumenti poftea , nimirum d. r3. Nou. in Nifhni- Nowgorod reperto —— 4^. 40/^, nihil certi circa. veram vrbis Cafan latitu-. dinem definire licet. ^ Pofito enim errore quadrantis -— 7'.10^, erit latitudo vrbis Cafin — 5 5?. 45^, ad- miífo autem altero 4' 4o", prodibit latitudo huius vr-- bis—.3e29w, "eT Lifius , quidem ipfe latitudinem vibis Cafan flatuit — 55?.47', dubium autem aliquot min. prim. emper relinquitur , neglecta verificatione quadrantis , quae in vrbe Cafan erat peragenda. Longitudinem huius vrbis accurate. diligenterque: determinauit De / Is/jus — 66*.28'. Secundum Mappam geogr. Academiae huius vrbis longitudo aequatur. 667. 25', latitudo autem 557.44. . Determinatio latitudinis vrbis. Nifchni- Nowgorod. Latitudinem huius loci, cum verificatio quadran- tis, paulo poft peractas itai obferaationes; fit ioftitüta, 4ccurate fatis ex fequenti altitudine merid. Lucidae: Aquilae definire licet. Nnn5 1740. 470 POSITIONES INSIGNIORPM 1740. d. 5$. Nou. ft. n. Altit. Merid. spp. & Aquilae — 41*. 48' 40* :Error quadrantis — -1- — 4. 40 A41. 53. 20 Ref. — — az. 5 Á]tit. merid. vera a Aquilae — 41. 52. 15 Declinat. « Aquilae — 8. 12. 28 bor. Altit. Aequat. — 33.39.47 fiue "Eleuatio Poli vera Nifchni-Nowgorod — 56. 20. 13. Huius vrbis longitudo ponitur in Mappa geogr. Acad. — 629. 19", latitudo autem — 569.18. Determinatio latitudinis vrbis Mofconuiae. Quamuis menfem integrum Decembr. De 7Ilius commoratus fit Mofcouige , paucas tamen ibi propter tempefítatem — aduerfam inftituit oObferuationes ; ita vt praeter altitudinem merid. Polaris ftellae bis obferua- tam. et altitudinem meridianam Palilicii femel captam, mullae occurrant eobfíeruationes determinandae latitudini huius loci inferuientes. ^ Ex memoratis autem altitudi- nibus meridianis huius vrbis latitudinem modo fequenti jnueftigare atque definire conatus fum : 3740. d. 26. Dec. ft. n. Altit merid-app. Polaris fupra Polum — 5'7*.46'. 40^ 27.Dec. - - - - - . $743 9 Media RYSSIAE LOCORPFM. 47t Media itaque altit. merid. obferu. Polaris fupra Polum — 57. 46.50" - Refr. — — 4o Alt. mer. obf. Polaris refr. corr. — $7. 46. 1o Eodem circiter tempore, nempe d. 30. Dec. ob- feruata fuit Mofcouiae eodem organo altitudo meri- diana appar. Paliliiài - - - - ——50*.8'.30" fiue Alt. merid. obíeru. Palilicii refr. corr. — 50. 7. 58. Ad quadrantis iam errorem definiendum harum fixarum declinationes accuratiffime fupputentur, neceffe eft. Inueni autem ex obfíermationibus , quas ipíe Pari- fiis fumma cura in(litui, declinationem apparentem Po- lais ad finem Anni 1740. * —873?.55'.15'.r. bor. Parique modo declinationem | apparentem — Palilicii ad idem tempus &* —15?.57'.45".4 bor. Quibus ftabi- litis , erit Diftant. app. Polaris a Polo Aequat. bor. —. **. 4'.44^.9 Dift. app. Palilicii a Polo Aequat. bor — 74. 2.14. 6 CES. ncm) Differ. diflant. a Polo Aequatoris bor. 271. 57. 29. 7 ——— Diftant. obferu, vera Polaris a Zenith — 32?.13'. 50^ Diftant. obferu. vera Palil a Zenith — 39. 52. 22 — Summa diflant. obfenut. a Zenith —: 25.6. 1£ Different. diftant. a Polo Aequatoris — 71. 57. 30 " — , Erroris quadrantis dupl. — o. 8. 42. fiue error quadrantis (implex ad altitud. Obíeruatas addendus — oor. Hinc 472 POSITIONES INSIGNIORVM Hinc altit. merid. obferu. Polaris refr. corr. — 5 7?. 467. 10/* ; Error quadr — -- 4. 2r Loss Altit. merid, vera Polaris fupra Polum —5*7. 50. 31 Dit. app. Polarisa Polo 2/2. 4. 45 Elemtio Poli vera Moftouiae 755. 45. 46. * [nuefügatio declinationis. apparentis flellae Polaris ad finem anni 1740. Secundum obferuationes a me Parifiis An. 1748. habitas, declinatio ftellae Polaris media ad jnitium An. 1748. elt. —8897/5 9 657. ! Motus iam Polaris flellae annuus in declinatione aequatur 19.57 , vnde declinatio Polaris media ad fi- nem An. 1740. — 87*:55'. 4". 2, Ob nutationem axis telluris fübtrahenda funt 9^, vt prodeat ftellae. Polaris declinatio vera ad finem An. 1740. 2 BE 5 Ado n. Aberratio denique huius ftellae in declinatione tunc temporis erat — 1 9". o boream verfíüs, ita vt declinatio Polaris apparens ad finem An. 1740, fit 287?.55'.15".r. ** [nueftigatio declinationis apparentis Palilicit ad finem An. 1740. Antequam declinationem apparentem — Palilicii ad tempus propofitum affignpemus , ex certis accuratisque obíeruationibus huius flellae declinatio media, h. e. aber- ratione «et aequatione mutationis axis telluris correcta, eít deducenda atque. flabilienda. — Hunc vero in finem fequen- RFVSSIAE LOCORVAM. 473 fequentes fum adhibiturus obferuationes , quas ipfe qua- drante 3 ped. radio, ad lumen crepuículi et diei, in ob- feraatorio Regio Parif. (umma cura | inftitui. 174.8.d. 22. Febr. Alt. mer. app. Aldebaran — 57?. 9'.48^.9 19 Febr. ? Mert. - om - - - - e 57- 9. 50. $ a MONI UE Via Dee d DR pi gra gens 22 Febr. zMaei "ag me Weg eO c57. 9, 48. 3 5 Mart. - - - - - - - $5$3.9.47.0 Error huius quadrantis, ex vtraque verificatione de- ductus, aequatur 30^ ab altitudinibus obferuatis fübtrahen- dus. Quo rite applicato habebimus altitud. merid. Palilicii errore quadrantis et refractione correctam, d.i. Pebr 7 0505070 93. 8.41.9 EAR T mon. $3.59045..8 c rere ero Sy, S4. B Cou T s m m RTI B. 41.12 iMmt - - - 7*7. 8.49. Oo. Aberratio Pallicii in declinatione e(t d. :? Febr. 4^4 ^ 1o Febr. —— 4^ 9, Febr. —— $5" . —1 6 5 QR Mart, —— 2 «I ? d. p Mar. — 2-23 d o 3 c d. 5 Mam. -— 2.8 aultmm ver- fus; hinc altitudo merid. Palilicii errore quadrantis , refra&ione et aberratione correcta : POCPODE — 508 25 5 | Altitudo itaque meridiana me- o. —57. 8.45. 9| dia Palilicii errore quadrantis, Wenn 757.8. 44 7| refra&ione et aberratione cor- 22. Febr, 2 Mar. 75 7. 8. 43. 6| recta, ad iaitium menfis Mart. &; Mart 2 57. 8. 42. 8| f.n. A. 1748. 57.8 44,1. Eleuationem Poli verám Obferuatorii .«R. Parif. eodem inítrumento accuratiff. determinaui 248.50 127 2.) "Tom. VIII. Nou. Comm. Ooo qua 474 POSITIONES | INSIGNIORV M qua admiffa , erit declinatio Palilicii vera ad init. menf. Mart. ft. n. 1748. — 15.58.56 .6 bor. Correctio declinationis huius ftellae ob nutationem axis telluris tunc temporis erat — 8^". 5 fübtrah. et motus Palilicii in declinat. annuus — 8^". 21" , ita vt declinatio Pali- lici media ad :. Ian. fL n. 1748. accurati(l. (üpputata fit 2 15.58.46" , 5 bor. Facili iam labore inueniemus declinationem — Pali- lici. apparentem ad tempus obíeruationum |. Mofcouiae habitarum , id eft ad finem A. 1740. . Motus sum huius ftellae annuus in declinat. cum fit — 8". 21^, prodibit declinatio medii Aldebaran ad finem A. E — 15.57.48" ,o bor. Corre&tio declinationis propter nutationem axis telluris eft — 4^". 4 fübtr. hinc decli- patio Aldebaran vera — 15.57.43 ,6 et declinatio eiusdem apparens ad finem A. 1740, ob aberrationem in declinat. — 1". 8 bor. verfus, — 15".57..45' 4. bor. Adnotationes circa longitudinem vrbis Moícouiae. Longitudo huius vrbis, cum nullae prifcis teme poribus ibi habitae fint obferuationes aftronomicae , ad determinandum longitudinem idoneae , ab interuallorum ae(timatione populari ad noftrum vsque fere aeuum prae. cipue pependi(fe videtur. Ferquarjonus huius quidem fae- culi initio meníuram viae publicae , qua itur Petropoli Mofcouiam, agendo, Meridianorum harum vrbium diffe- rentiam accuratius definire ftuduit, eamque inmeniffé di- citur — 7". 29', fiue $9. 56" temp. Non obflante au- tem hac Ferquaríoni meníura Aftronomorum boa pars, qua RVSSIAE LOCORVM. 475 qui auctoritate nefcio , differentiam Meridianorum — Pe- tropolin inter et Mofcouiam flatuit — 40' temp. fiue 1o grad. Aequat. ita vt folum obferuationum aftrono- micarum pondus hoc de difcrimine diiudicaturum videatur. Hunc in finem operae pretium duxi, anno 1758 occul- tationum quarundam fixarum a Luna calculos tradere Aca- demiae, cum Adiun&o Krafümikow, tunc Mofcouiae com- morante, communicandos. Quo facto, obíeruauit Mofco- viae laudatus Krafiüikow ^ vnicam occulationem — fixae nimirum ó 9 a Luna, mihi quoque Petropoli vifam , ex qua cum plus otii na&us ero, veram Mofcouiae longi- tudinem — fupputabo. Interim tamen mon abs re fore iudicaui, Mofcouiae longitudinem ex obferuationibus tran- fitus Yrii per Solem, Mofconiae et Parifiis habitis, modo fequenti eruere. D.'-: M5 obfermnte Krafiniko:w , Mofcouiae limbus 9. occid. e Ole egreffus eft . - -0*,58'.55" ft. v.p. M. Limbus autem $ orient. egreffuseft o. 41, 25 Hinc egreffus centri 9rii - TU NI Tom oM Corre&. ob paralaxin add. — 48 Lees ull Egreffus centri 9rii Mofcouiae eb- feruatus ad Merid. Parif. redu&us o?.40'.58" Egreffus centri Yrii Parifiisobtler. 10. 20. 7 JDifferentia Merid. inter Parif. et Mofcouiam — 27.20'.5 1 ^. " E . [.j Longitudo itaque Mofícouiae — 55 * 15/4. 45!! , z6 circiter min. pr. minor ea, quae ex 9 xrationibus geometricis Ferquarjomi prodit. Ooo?2 .LATI- 476 "Wie ( o ) Re LATITVDINVM SPECVLARVM ASTRONOMICARVM 1TCHONIS BRAHEI , VRANIBVRGENSIS NEMPE ET WANDESBVR- GENSIS, NEC NON VRBIS HAMBVRGENSIS ET VTRIVSQVE OBSERVATORII PARISI- ENSIS SCILICET ET BEROLINEN- SIS DISQVISITIO. | Auctore A. N. GRISCHOVY. p inue(lieatio rerum aftronomicarum variis feme per fuperftruatur obferuatis , quae , quamuis in cer- tis ac inconcuffis habeantur , nouis tamen correctioni- bus faepiffime egeant ; conclufiones exinde deductae in- ter Íc faepius videntur abhorrere , quanquam , fi fuuda- menta curatius examinare liceret , diffenfus foret nullus, vel exigaus. ^ Eodem modo res fefe habet in difquifi- tionibus aftronomicis, quae comparatione antiquarum et recentiorum obíeruationum innituntur. Quantum enim vtilitatis eiusmodi difquifitiones excolendae Aflronomiae afferre valent, tantum detrimenti nobilis illa fcientia ex iis capere poteft, praecipue cum conclufiones ex comparatione antiquarum et recentiorum obferaationum hauftae , elementis male ftabilitis, in varias A(lrono- mos adducunt fententias. — Ad hoc probandum maximo eft argumento diffenfio A(tronomorum ex. c. circa de- «rementum obliquitatis Eclipticae ; vt caetera taceam haud minus notatu digna, quae in Aftronomia funt controuería. Haec vero opinionum diffenfio originem praecipue ducit partim LATITVDINES | LOCORV M. 477 partim ex negligentia Antiquorum in tradendis fingulis et obíeruationum et inftrumentorum circumílantiis , par- tim ex €o, quod recentiorum | Aftronomorum nonnulli errores inftrumentorum veterum A(ftronomorum omnibus veíligiis non indagauerint, et ex tenebris eruerint , ne- que elementa , quibus eorum difquiütiones fuffulciuntur, ad lancem exegerint ac determinauerint. Ex omnibus obferuationibus veterum A ftronomorumr eas, quas nobilis Tycbo. Brabe, A(tronomus faeculi X VI. longe celeberrimus, inftituit atque perícripfit, in pretiofiffi- mis habendas et fingulis circumftantiis maxime illu(tratas effe in confeffo eft. —Subtiliffimus ille rerum coeleftium | in-: veftigator longa experientia et víü rerum . exercitatus ; cum videret, quantum ad. Aflronomiam perficiendam in-- tereffet, vt vetuítiores obferuationes cum recentioribus accurate comparari poffent , nihil. habuit antiquius, quam vt in obíeruationum íuàrum ephemeridibus ipfe notaret fedulo omnes illas circumítantias ; quibus obferuationes hae praeclarae commendantur pofleritati quam. maxi- me. Theíaurum obferuationum clariffgmi huius Aftro- nomi perluftranti, non latet cura ilia fumma atque dili- gentia, qua adnotauit organa a(ítronomica, quibus in fin- gulis obíeruationibus víus eft , conftructionem inftrumen- torum , methodos, quas ad ea examinanda et vetifican- da adhibuit, et conditionem inítrumenteorum obíeruatio- num tempore. In(igniuit baud minori ftudio eas obfer- vationes, quas prae aliis accuratiores iudicauit ;. indicauit faciem coeli et tempeftatem in plurimis obferuationibus; modumque, quo, ad organa aftronomica in plano Meridiani collocanda, víus eft; quae omnia fedulo candideque notaréen- - QOoo 3 tur 475 LATITVDINES tur neceffe erat, vt pofleri fractum ex Herculeo Tycbo- sis labore percipere , eiusque obíeruationes , quas ipfi, quo tempore inílitutae funt, fümma accuratione fuppu* tare non licuit, calculo fubiicere poffent. Cum itaque harum obferuationum dotes, ad. illo- rum temporum rationem, tantae fint, tamque praeclarae , dubium nullum eít, quin elementa Aftronomiae plurima , quae ex comparatione antiquarum et recentiorum ob- feruationum petenda funt, ex Tyebonis obíeruatis accu- ratiffime erui atque ftaviliri poffiat. Declarant hoc etiam labores quorundum Aftronomorum celeberrimorum, qui non folum in obíeruatis Tycbonis emendandis atque corrigendis, verum etiam in iis cum obferuationibus re» centiffimis comparandis defüdarunt. ^ Neque in pofterum in hoc opere et ftudio ceffibunt Aítronomi. Quanto enim vetuíliores fuerint Tycbonis obfíeruationes , tanto euadent defideratiores atque vtiliores ad perícrutanda re- rum coeleftium arcana. Quia vero conclufionum ex TcPbo- f$ obferuatis hauriendarum et in vfum A(tronomiae deri- vandarum vtilitas fumma ab accuratione harum obferna- tionum pendet, haud leui momento aeftimanda eft dis- quifitio errorum organorum aftionomicorum , quibus ob- feruator ille diligentifüimus vfüs eft, nec non elemento- rum, quorum cognitio, ad pofitiones Siderum determinan- das, maxime eíl neceffaria , Longitudinis nempe atque Latitudinis locorum , vbi obíeruationes habitae fünt , in- vefligatio. Haec quidem omuia Tycboni ipfi erant. de- finienda; fed praeterquam quod füo modo fedulo annixus fit, vc elementa haecce in apricum proferret, notandum eft, motuum coelcftium aequatiuncülas plures effe noftris tempo- LOCOR/P M. 479 temporibus deprehenas , quae Tjcbonem omnino latebant, quarumque propterea rationem in digerendis atque íup- putandis fuis obferuationibus habere non poterat. Adde praeterea, quod hypothefis refractionum , folertiffimi huius rerum coele(tium contemplatoris aeuo, valde effet imper- fe&a, cum finxcrat rcfractiones proSole maiores effe, quam pro Planetis et ftellis fixis. Adducebatur infuper, vt pu- taret, refractiones fixarum circa 20 gradum altitudinis fupra horizontem, Solis vero circa 45 gradum altitudinis, prorfus ceffare ac euanefcere; cum contra iam centum fere ab. hinc annis inconcuffis obíeruationibus demonftratum fit , refra&iones in aequali fupra horizontem altitudine eius- dem efle quantitatis pro quouis fidere, et ad verticem . vsque extendi. Multa quidem adhuc de refractionibus effent dicenda , quippe quae et Aftronomos huius fae- culi celeberrimos occupatos tenent ; fed hic de illis im tranfitu, canquam de fonte, ex quo deriuati errores in Ty- ebonis calculos latitudinum geographicarum atque pofitio- num fiderum fluxerunt, mentionem feciffe fat cft. Ne- que minus notandum eft denique, methodos nonnullas, quibus Tycbo ad verificanda organa íüa aftronomica vfus eft, faepius irritas fuiffe , quod a certis quibusdam peudebant obferuationibus atque operationibus, quae di- ligentifimum hunc Aflronomum in nefcios nonnunquam inducebant errores. —Poflquam autem cura atque labore Aftronomorum noftrae aetatis. organa aftronomica mee thodique obferuandi ad illud praecifionis fa(tigium euecta funt, in quo nuuc cernuntur , facili negotio complura ftabilire poffumus elementa , quae corrigendis veterum Aítronomorum. obferuationibus , definiendisque pofitioni- 480 LATITFVDINES bus, praecipue fpecularum aftronomicarum, ruinis iam pridem oppreffarum , inferuiunt. Hunc in fiaem Cceleberrimus Pieardus An. 167r. a Ludouico XIV. Galliarum. Rege, in Infulam Huennam, quae in Danico freto. Zelandiam inter et Scaniam fita eft, miffus füerat , vt Vraniburgi , h. e. arcis , quam Rex Daniae Fridericus ll. Aítrorum contemplationi. ibi exftruendam curauerat , et in. qua Zycbo Íeriem obferuationum aflronomicarum 1:5. annorum pertexuit , Longitudinem | atque | Latitudinem accuratiffime obíerua- ret. — Magoum hocce confilium in multas magnasque incurrebat difficultates , in relatione huius itineris a P;- cardo enumeratas. — Manebant tum nulla fere — veftigia famofiffimae "Tycbonis fpeculae a(tronomicae , et obfer. vationes , quas ibi ad Latitudinem definiendam | Pzcardus habebat, minime cum iis,quae eodem tempore Parifiis ex compacto inftbituebantur, concinere videbantur ; ita vt Picardus hancce viam, directe determinandi Latitudinem fpeculae aftronomicae Tycbonmis, ipíe defereret. Sub fi- nem Anni 167r. Picardus ibi , quadrantis 5. pedum radio confpicillo tubulato muniti beneficio , altitudines meridianis Polaris ftellaae infra fupraque Polum | quam diligenti(me obferuabat , inueniebatque ex hifce obfer- vatis diftintiam apparentem huius ftellae a. Polo Aequa- toris boreo 2.27.25", et Eleuationem Poli apparen- tem Vraniburgi 55?.55' 20". . Rieberius contra eodem tempore Rupellae obferuationibus a(tronomicis inuigilans, ope fcxtantis 6. pedum radio, diftantiam apparentem íftellae Polaris a Polo determinabat 2?.27' 5", adeoque 20" minorem ea , quae Picardo in Infula Huenna ob- feruata LOCOCYVY A. ^— 481 feruata fuerat. —— Parifis vero, quod maius eft, fub idem tempus variatio obferuabatur ip flella polari ad 2 fere miouti prima affurgens. —— Abnormes et inexpli- cabiles hae differentiae. Picardum .ita perplexum incer- tumque habuerunt , vt de Latitudine Vraniburgi directe accurateque determinanda defperiret. — Quam ob rem, xt demandatum negotium — conficeret ,. de. Eleuatione Poli Vraniburgi methodo indirecta , per obfíeruatam nimirum Parillelorum Parifienfis obferuatorii et fpeculae allronomicae Vraniburgen(is differentiam, definienda co- gitauit. Determinauit igitar per medium inter obfer- vationes accuratiores difforentiam — Parallelorum — Vrani- burgi et Parifienüis obferuatorii 7^.4'.5^, et Eleuatio- nem Poli veram Vraniburgi 557.54..15 , fiue 25" cir- citer minorem ea, quam per alteram inuenerat metho- dum. Quamuis vero Eleuatio Poli Vraniburgi metho- do iadire&a condu(a accuratior videatur ea, quam Picar« dus ex. methodo directa collegit, nulo tamen modo re&e de tanta differentia diiudicare poffumus , nifi in errorem quadrantis , quo Pieardus ad hocce negotium. vfus eft, accurate inquiramus. Mihi itaque propofitum eft, hoc loco, quantum maxi- me poffum,extra omnem dubitationem ponere ea, quae ad Latitudinem Vraniburgi fpeGant , vt comparatio inter 7y- cbonica obferuata et recentiorum Afltronomorum obferuas tiones inftituenda eo meliores in pofterum habeit exi. tus, Hunc in finem primo adnitar, errorem quadrantis, quo Picardus in laífula Huenna vfus eft, ex huius Afítronomi obferuatis nonnullis , ad | obferuationes, quas egomet Parifiis inflitui , comparandis, eruere ; id quod Tom. VIII. Nou. Comm. Ppp non je ^ LATITPEDINES non folum Latitudini Vraniburgenfis obíeruatorii quan- tum licet accuratifüme ftibiliendae ; — verum etiam alis obferuationibus compluribus, quas Pieardus «eiusdem in- firamenti beneficio in Infula Huenna habuit, corrigen- dis, inferuiet. Deinde calculum Eleuationis Poli Vrant- burgi obíeruationibus a T jvcbone ipfo Vrauiburgi per- acis et a me concinnatis nixum exhibcebo. Collatis enim Tycbonicis obferuationibus cum iis, quas ipfe Pa- rifis habui , «errorem quadrantis, quo 75cbo ad has obfíeruationes inftituendas víus eft, pateficiam. ^ Símili modo, demonítrata obíeruationum | Tyebonicarum , fi praecife fuerint corre&ae , admiranda accuratione , non dubitau, Eleuationem Poli arcis Ranzouianae Wandes- burgi , vbi Tycbo e Dania difícedens exceptus, per tem- pus aliquod obferuationibus aftronomicis inuigilauit , ex obíeruatis Tycbonieis deriuare atque corrigere , fimulquc Vrbis Hamburgenfis Latitudinem ex obferuationibus . et menfíuris, quas egomet Hamburgum inter et Wandesbur- gum An. 1749. cepi, ea qua potui praecifione defi- mire. — Cum vero elementa nonnulla , quibus ad hofce calculos perficiendos vtor, iis nituntur obferuationibus, - quas in Obferuatorio Regio Parifienfi ipfe fumma dili- gentia inftitui, haud alienum hifce difquifitionibus fore Xudicaui, et eas adiicere obfíeruationes, quas mihi ad La- titudinem Obferuatorit Parifienfis definiendam eodem in- firumento im fimofifimo hocce Obferuatorio habere contigit. ^ Superat quidem Eleuatio Polit Obferuatorii Parifienfis, ex meis obferuationibus deducta, minutis ali- quot fecundis Latitudinem , quam Cl. Ca//ni aliique Aftronomi celeberrimi fpeculae huic aíftronomicae affigna- Ent 3 LOCORV A, 485 runt; neque tamen defaünt obíeruationes optimae notae, quae Latitadinem. huius Obferuatorii maiorem , adhuc arguant. Obferuationes denique, quas circa Latitudinem Berolinenfis Obferuaterii inftituere mihi licuit , hac oc» cafione fimul exponere, calculoque fubiicere, iuuat. Eleuationis Poli Vraniburgi fecundum obferuationes Cel. JPzcardi determinatio. Cum organa aftronomica , quibus Cel. Picaráus Ntebatur , quippe quae telefcopiis loco pinnacidiorum in- firu&ta erant , longe excellerent prae iis, quorum adhiben- dorum copia Tycbeni fuit, Eleuationem Poli Vraniburgi ex Picardi obferuationibus primum praecipueque eruere ac definire fas eft. Quia autem cardo huius rei verti- tur in determinando errore quadrantis , quo Picardus víus eft , feligam hunc in finem altitudines meridianas Reguli et Polaris ftellae , quarum altera a. Picardo in Infula Huenna auftrum verfüs, alteri in feptentrionali plaga fuit obferuata. — Harum vero fixarum declinatio» nes praecifé cognofcere , methodus haec cum poftulet , eas ex meis obíeruationibus diligentifiume ftabilire inpri- mis adnitar, vt poftmodum ad tempus quoduis propo- fitum reduci commode queant. Ad definiendam itaque declinationem « Leonis, fiue Reguli, iis vtar obferuationibus, quas hunc in finem - in Obferuatorio Regio Parifienfi quadrantis tripedalis be- neficio habui ^ Ibi enim per plures obferuationes vix 3. 4ue. min. fec. ab inuicem diícrepantes, inueni altitu- Ppp2 dinem 484 LOUT.YTPBPNES dinem meridianam apparentem Reguli ad lumen cre: puículare, coelo eximie [ereno, initio menfis Maii Anno 1745. captum 5... Maa? 2 S oM Ex qua fi auferatur erzor quadrantis - - - 30 Altitudo merid. app. Reguli correcta erit 54. 21. 29 Subtrahendo refractionem pro hac altitud. et ad hanc anni tempeftlatem - - - - 39 i — € À———M Prodibit altit. merid. Reguli errore qua- drantis et refraCtione correcta - - 54.20. 50 Eleuatio Aequatoris Obferustorii Parif. eo- dem inftrumen'o adinuenta eft - - - 41. 9. 47;hinc Declinatio apparens Reguli ad. initium menfis Maii 1748. erit - - - 1$. xr. eo:bor. Ad accominodandam nunc huius ftellae declina- tionem ad noftrum víüm, declinatio eius apparens füpra determinata in mediam conuertatur neceffe eft. — Dici- mus enim mediam pofitionem eam , quam ftella habe- ret, fi nec eflct aberratio a. piopagatione fucceffua lu- minis, nec deuiatio ab axis terrae nutatione ; apparen- tem vero pofitionem eam, quam ex obferuationibus. aftronomicis directe elicimus , affe&am . nimirum et aberratione et deuiatione.' — Apparet igitur pofitionem ftellae mediam, reducendae ac definiendae pofitioni eius apparenti ad tempus quoduis propofitum, commodifíime inferuire. Peracto itaque calculo prodibit deuiatio Reguli in declinationem ad initium menfis Maii 1i748. i^".x | au- LOCOR/VF A. 435 auftrum — verfus, et aberratio eius in declinationem ad idem tempus 1".6 aultrum verfus; vnde emergit de- clinatio Reguli media ad initium menfis Maii 1748. 13?.11'.5".2, (iue; habita praeceffionis mediae Aequi- nociorum ratione , declinatio Reguli media ad initium anni 1748. 13^. 11'. 10^. 3. Colligitar porro praeceffio media Reguli in decli- nationem a tempore, quo Picardus tlellam hanc Vrani- burgi obferuauit , nempe a fine menfis Aprilis, fiue ab initio Maii anni 1672. ad noftram vsque obferuatio- nem :21'.56".0 auítrum verfus, adeoque declinatio Ré- . guli media ad initium Maii 1672. 15*. 32". 41". 2, fiue ob deuiationem in declinationem $^".9 bor. verfüs , et aberrationem 1^". 3 auftrum verfus, declinatio Reguli | apparens-ad idem tempus 137.32'.42". 8. Reftat nunc, vt fimili modo declinatio Polaris flel- lae definiatur ; haec enim res eo maioris momenti effe videtur, quod inter Aftronomos Gallos, tefte Picardo, tunc de diflantia ítellae Polaris a Polo non conueniebat. Ad hocce negotium perficiendum , adhibicurus füm obfer- vationes , quas circa Polarem flellam anno 1r748$, in. Obferuatorio Regio Parifenfi inflitui, quarumque fum- inam poflea lucide explicabo. —Prodit autem fecundum memoratas obferuationes diftantia apparens Polaris ftellae a Polo Aequatoris boreo ad zr. Ian. 1 748. 27. 2'. 12". 2; fiue ob deuiationem huius fellae in declinationem 5". 7 bor. verfüs, et aberrationem 1 9". 9 itidem bor. verfus, declinatio Polaris ftellae media ad idem tempus 877.57 .22". 2 bor. Cum. vero praeceffio media Polaris flellae in declinatio- nem a tempore, quo ftella haec a Pzcardo Vraniburgi ob- "UPgpS feruata 486 LATITPDINES feruata fuit, nimirum a fine menfis Aprilis, fiue ab initio Maii anno 1672. ad initium vsque An. 1748. fit 24/,s9//.0 bor. veríus , habebimus declinationem Polaris ftellae mediam ad initium Maii Anno r672. 879.52/.25//.2, quae aucta 3'.1 pio deuiatione bo- rcli, et imminuta r2^/.1 pro abetradone auftrali, dat. — declinationem huius ftellae apparentem ad idem tempus $1..92..244. 2. Conümili modo habebimus praeceffionem mediam : flellae Polaris in declinationem a fine anni 1671. ad finem vsque menfis Aprilis 1672. 6".1 bor. verfus ; deuiationem huius flellae in declinationem circa finem Anno i671. 2'.4 bor. verfus ; aberrationem in decli- nationem ad idem tempus 19.8 bor. verfus, hincque declinationem borealem apparentem — Polaris ftellae ad finem anni i671. 87?.324/.39/.3, fiue diftantiam eius apparentem a Polo Aeqnatoris boreo 2?. 274. 20^. 7, Ablatis denique 4^. pro refractionum differentia , pro- dibit diffantia apparens Polaris ftellae a Polo , quae ae- quatur dimidiae differentiae inter maximam et mini- mam altitudinem — huius ftellae circa id tempus Vrani. burgi obferuatam , 2?.27/.16/.*. Piczrdus diftantiam illam memorato tempore Vraniburgi obferuauit effe 25. 25!. 25^, ideoque 8" maiorem ea,quae noftris fta- bilita fuit obferuationibus atque calculis ; cum contra ex Ricberii obfernatis eadem diflantia colligtur r2" minor ila, quae ex noflris calculis fluit. lugens atque nota- bilis ille diffenfus obíeruationum | Pzeardi et Rueberiü multo maxima eX parte erroribus obíeruationum et in- . fuumentorum tribuendus eífe videtar , neutiquam vero, xt LOCOR"V M. 457 vti Picardo vifum eft, refra&ionum viciffitudinibus ,, quippe quae ad tantam altitudinem tantae eff non pos. funt. Sed in differentiis illis inordinatis, quae Picardi obíeruationibus cum — Récberii vel Aftronomorum Pari- fienfium obferuatis intercedunt , difcutiendis morari nunc animus non eft. Ofdtendiffe fufficiat, Picwrdi obferua- tiones circa diflantiam Polaris ftellae a Polo, de qut- bus in praefentia maxime agitur, cum noflris magis concinere. - Stabilita nunc noftris obleruationibus et Reguli et Polaris flellae declinatione ad tempus, quo Picardus ha- rum fixarum altitudines meridianas Vraniburgi obferua- vit, facili negotio error quadrantis, quo Picerdus vfus eft, adeoque vera Eleuatio Poli celebratiffimi Obferua- torii Vraniburgenfis fatis accurate definiri poteft. An- tequam vero calculos hofce inceamus, obíermtionum Pi- cardi noftro iudicio delectarum rationem reddere fas eft. Ad hunc finem altitudinibus Polaris ftellae meridianis et fupra et infra Polum a Picard? obferuatis examini fub. iectis, inuicemque comparatis, demonftrare adaitar, quae nam ex illis caeteris fint praeferendae. —Piecerdus altitudi- nem meridianam apparentem ftellae Polaris füperiorem fub initium menfis Nouembris An. 1647z. ob(eruauit effe 58. 23/. o, et circa finem eiusdem auni- 587.224 454, Deuiatio ftellae Polaris i» declinationem — cirea — initium menfis Nouembris An. r67:. aequabat 2", o bor. ver« fus, et aberratio in declinationem 10^. o. itidem bor. verfus. Sub finem anni x67zr. deuiatio eiusdem ftellae erat 2^. 4. bor. verfus et aberratio 19". 8. bor. ver- fus ; praeceffio autem media Polaris ftellae in declina- tionem 488 LATIUITVDINES tionem ad hocce temporis interuallum aequatur 44. o bor. verfus , ita vt differentia altitudinis meridianae apparen-. tis flellae Polaris fupra Polum füb initium menfis. INo vembris et circa finem. An 1671. fit 14/'. 2 , quibus ablatis ab altitudine meridiana apparenti Polaris flellae | füb initio menfis INouembris 1671. obíermata ;. prodibit eiusdem ftellae altitudo meridiana apparens. refpondens ad finem anni 1671. 2 58^. 22/. 45//. 8, quae cum vix vno minuto fecundo ab altitudine illo tempore obferuata differat, indicio effe videtur, altitudines meridianas Pola- ris ftellae Picardo fupra Polum obíeruatas nullis erroribus notatu dignis effe inquinatas. Sed videamus , quomodo altitudines. meridianae inferiores huius ftellae. fe habeant, Picardus binas refert eiusmodi altitudines , alteram circa finem An. 167r. obíermtam , 55 . 27/. 55//, alteram fub finem menfis Aprilis 1672. captam, 55?.27/.45/. Patet autem ex calculis fupra relatis, deuiationem (telae Polaris declinationem eiusdem a fine anni 167r. ad fi. nem vsque menfis Aprilis An. 1672. o". 7. augere , &um aberratio eandem 31^. 9 imminuit ; praeceílio ve- ro Aequinoctiorum media Polaris ftellae declinationem eodem temporis fpatio 6" .-X € ; ita vt. fummatim Aprilis 1672. mmt 1 minor Wed quam füb finem anni i671. JQuodíi igitur altitudo meridiana ftellae | Polaris fub figsen menfis Aprilis 1672. infra Polum obféruata 55^. 27/. 45^ augetur 25//, prodibit eiusdem flellae altitudo apparens meridiana inferior refpondens ad finem anni 1671. 55. 28/. 10/^ , quae altitudinem illo tem- pore obíeruatam 15/ fuperat minimum , cum altitudo meri. LOCORTF M. 489 meridiana hiemali tempore obferuata ob refractionum vicifbtudines minutis aliquot fecundis maior adhuc ftatui poffet. Ex quo colligitur , quod altitudines meridianae ftellae Polaris infra Polum a Picard? obíeruatae , non aeque congruant inter fe, ac altitudines meridianae fupra Polum captae, Cum vero in inuefliganda altitudine meridiana inferiori ftellae Polaris alteri praeferenda ad noftrum fcopum momenta maxima pofita fint, notan- dum eft, iam fupra effe demonftratum, pofteriorem alti- tudinem meridianam füperiorem Polaris ftellae. priori ad amuílim conuenire , diftantiam contra apparentem huius ftellae a Polo, ex Picardi obferuatis conclufam 8^, iufto maiorem effe: haec autem differentia oritur, eam adhi- bendo altitudinem meridianam ftellae Polaris inferiorem, quae circa finem anni x671 Vraniburgi obferuata fuit ; €x quo inferre licet, altitudinem illam meridianam in. feriorem Polaris ftellae iufto minorem effe, ratione alti- tudinum meridianarum huius flellae fupra Polum obfer- vatarum, — Reftat igitur, vt videamus, quaenam fit diftantia apparens Polaris ftellae a Polo, quae ex altitudine meri- diana huius ftellae fub finem menfis Aprilis 1672 in- fra Polum obferuata fluit. Oftendimus iam fíüpra, alti- tudinem hancce meridianam apparentem praecife ad fi- nem. anni 1671. reductam «eílé 53?. 28/. 10". ;. qua dempta ab altitudine meridiana 3pESEEUE., Haie tem- pore fupra Polum obíeruata 58". 22'. 45// , refiduum erit 4. 54/..55/^, adeoque huius. dimidium , fiue diftan- tia apparens Polaris flellae a Polo. 2?..2 77. 1 77/7. Deter- minauimus fupra huius ftelle diftantiam. apparentem a Polo ex noftris obíeruationibus ad pracfatum tempus Tom. VIII. Nou. Comm. Qqq4 25, 499 LATITYyOEPXNES 2^. 2/. 16", 5 , fere vt iam ex reductis obferuationi- bus Picerdi inuenimus. Admirabili hocce confenfu prae- ftantia altitudin:ss meridiinae Polaris (tellae circa finem men(ís Aprilis 1672 obferuatae , prae aitera, quae fub finem anni i67: fuit obíeruata, quam maxime proba- tur ; ita vt , reiecta hac, illam folam ad perficiendum calculum Eleuationis Poli Vraniburgi adhibere non du- bitauerim. Emergit itaque ex noftris obíeruationibus decliuz- tio Reguli apparens ad tempus , quo Picardus ftellam hanc Vraniburgi obferuauit , nempe ad initium Maii 1672, 15. 32/. 427. 8 , E declinatio apparens Polaris flellac ad idem tempus 87. 32/. 14/. 2 , atque hinc fumma Sn AME declinationum harum fixarum 98. $^, 3" ,a quf Mop 43^. pro re- fractione ad acidum 531 ct 54/. pro refractione ad altitudinem 4772, prodibit fumma diftantiarum — ap- parentium meridianarum Reguli et Polaris ftellae a vertice Vraniburgenfi 78^. 53^. 26". Secundum Picardi obfer- vationes altitudo meridiana apparens Reguli erat Vrani- burgi initio menfis Maii 1672. 47'. 40/. o^ , et alti- tudo meridiani apparens fiellae Polaris infra Polum 53. 27/. 45" 4 vnde confequitur fumma diftantia- rum apparentium meridianarum obíeruatarum Reguli et Polaris ftellae a vertice Vraniburgenfi 78". 52^. 157^, qua comparata ad earundem diftantiarum fummam, (ipfi ex noftris obferuationibus deductam , prodibit differentia 1/.11// adeoq'e error quadrantis Pjcardi ab alttudini- bus, huius quadrantis beneficio — obferuatis , fubtrahen- dus 35^. Errore LOCOR"P M. 491 Frrore quadrantis Pzcardi in apricnm prolato, Eleuatio Poli Vraniburgi ex Cel. huius Aftronomi obfer- vationibus fequenti modo accurate definitur : Eft enim altit. app. minima flellae Polaris ex Picardi obíeruationibus —^- - - $5'.23/45/ Error quadrantis fubtrahendus - - - - - $5.5 Altit. minima Polaris flellae correcta - — 53. 27. 9. 5 Refracio fübtrahendaa - - - - - - - 45. Altit. miníma Pol. ftellae errore quadran- tis et refract. correcta - - - - 53.26.26. 6 Diftantia app. ftellae Pol. a Polo ex meis €t Picardi obíeruationibus - - - 9.57.45. 8 Adeoque Eleuatio Poli vera Vraniburgi 55. 54. 12. 3 Nobilis Tycbo Brabe Eleuationem Poli Vranibur- $i flatuit effe 55^ 54/2; Picardus autem eam ex fuis obferuationibus determinauit primum 55^ 54^/4.40^^, de- inde vero 55?.54..15//, ita vt prima Picardi deter- mminatio dimidio ferme vnius minuti primi, altera vero paucis tantum minutis fecundis a noftro calculo differat. VXerum circa illam determinationem Picard; Eleuationis Poli Vraniburgi , quae accuratior tutiorque ab erroribus effe videtur, notandum e(l, eam differentia Paralielorum Parifienfis Obferuatorii et Vraniburgi a Picardo obferua- ta effe innixam , | obíeruationesque , quas Pieardus et Aflronomi Regii jn Obferuatorio Parifienfi hunc in fi- nem compacto inftituerunt, nonnunquam re vera 10^ ab inuicem diícrepare , quamuis Picardus perfüafum habe- Qqq s ret, 492 LATITVDINES ret, inftrumenta ad hocce negotium adhibita perfecte con- gruere. Accedit etiam, quod Eleuatio Poli Obferuato- rii Parifienfis a. Picardo admiffa iufto fit minor ; hanc enim ob caufam Cl. /e 7Monnier in Hiftoria fua — coe- letti Eleuationem Poli Vraniburgi adauxit ad 557.5 47.20". Caeterum perífpecta atque perpenfa ratione, qua Eleuatio Poli Vraniburgi fupra definita eft, quin praefens deter- minatio caeteris anteponenda (it, nullus dubito. Cl. Hor- rebow , Daniae Regis Aftronomus , Eleuationem Poli Hafniae variis modis obferuauit effe 557. 40^. 59^ , ita vt admiffa Parallelorum differentia Hafniam inter et Vra- niburgum a Picardo inuenta 13/.30//, fecundum hafce obferuationes Eleuatio Poli Vraniburgi fit $57. 5 4^. 29", adeoque 17^ maior ea , quae ex noflro colligitur cal- culo. Cum vero parum vtilitatis Aftronomiae promo- vendae ex diíquifitione huius differentiae redire videatur, accuratione noftrae determinationis fatis iam , me iudice , probata, melius eft fimili methodo fecundum obferua- tiones a Tycbone ipío habitas Eleuationem Poli Vrani- burgi diligenter indagare , vt inflituta comparatione, et de accuratione inítrumentorum nobili(fimi huius Aftro- nomi, et de praecifione, quam ad obíeruationes hábendas adhibuit, eo rectius exiftimare, eiusque obíeruatis eo tutius vti poffumus. Determinatio Eleuationis Poli Vrani- burgi obferuationibus , a nobili Tycbo- ze Brabeo habitis, innixa. Praefens difquifitio vt bene procedat, obferuationes Tycbonicas ad hocce negotium maxime idoneas aucu- | pemur , LOCORYFY M. 1 493 pemur , neceffe eft. Quamuis enim Tycbo permultas inftituerit obferuationes definiendae latitudini —Vraniburgi inferuientes, non omnes tamen ad accuratam determinatio- nem aeque idoneae cenfendae funt. Perpenfis igitur atque comparatis omnibus obferuationibus huc fpectantibus , illae, quas Tycho fub finem men(is Februarii anni 1588. circa Polarem ítellam habuit, mihi ad praefentem dis- quifitionem aptiffimae omnium viíae funt: congruunt enim non folum cum obíeruationibus menfe Decembri (ubfe- quenti peractis, verum id quoque accedit, vt eodem fere tempore eodemque inftrumento altitudo meridiana Reguli faepius obferuata fit. — Vnde facili negotio error quadrantis, quo Tycbo víus e(t, modo praecedenti inda- gini erroris quadrantis Picard; fimili, definiri poteft. — Habebimus itaque ex obfíeruationibus Tycbonicis per quadrantem chalybeum fub finem menfis Februarii anni 1588. Vraniburgi habitis faepiusque iteratis ,— alti- tudinem meridianam apparentem Polaris ftellae infra Polum E - - : etl .s2tu59/. 2 C et altitud. merid. appar. Reguli circa idem tempus eodemque organo obferuatam - 48. 2. 30. Ad errorem quadrantis, quo Tycbo ad hae ob- feruationes inflituendas vfus eft, eruendum, determinaturus fum, vti in praecedenti calculo, ex meisobíeruatis, de- clinationem ' Reguli et Polaris ftellae ad tempus fupra notatum. —Admiífa igitur declinatione Reguli media ad 1 Ian. 1748, fupra ex meis Oobferuationibus | inuentà , 15?. 117, 10/7. 5. bor. prodibit ob praeceffionem Reguli mediam in declinationem a tempore obferuationis Ty- ebonis ad x. wsque lan. 1748, 45^. 7.8 auftrum ver- Qqq 3 fus 494 LATITFVDINES fus, declinatio Reguli media ad finem menfis Februari 1588. 157. 56/. 18"7.1 bor. Cum vero ad idem tem- pus deuiatio Reguli in declinationem fit 3/^.7 auftrum - verfus , et aberratio 6//.2 itidem auftrum veríus , erit ad tempus iam notatum declinatio Reguli apparens 13*. 5 6'.8/^.2. Tycbo quidem ad hocce tempus declinationem Reguli admittit ferme fefquiminuto primo maiorem ; huius autem differentiae caufa praecipue in falfa Tycbo- "i; hypothefi refracionum pofita effe videtur: hac enim hypothefi effe&um eft non folum , vt Tycbo Eleuatio- nem Poli Vraniburgi iufto maiorem inueniret , verum etiam , vt ex duplici hoc errorum fonte , declinationes boresldt juflo maiores, auílrales contra dito minores prodirent , nulla habita ratione errorum organorum aftronomicorum | Tycbonicorum, Simili modo declinatio Polaris ftellae ad tempus obferuationum — T'ycbonicarum fupra notatum definitur. Habemus nempe ex noftris obferuatis declinationem me- diam f(tellae Polaris ad 1 Ian. 174.8. 87?. 577. 22^ 2.bor. 3 qua fi auferantur 52^.55^/.5 pro praeceffone ftellae Polaris media in declinationem , prodibit declinatio me- dia huius flellae ad finem meníis Februarii An. 1588. &37^. 4/. 26/^.3, atque hinc ob deuiationem Polaris ftellae in deciinatiomm 1//.8 auftrum verfus, et aberrationem 5/! 4 boream verfus, declinatio apparens ftellae Polaris ad idem tempus 877.4^ $2//^.5, (iue diítantia eius appa- Zeus a Polo Aequat. boreo 27.55/.277/. 7. Hifce LOCORF M. 493 Hifce ftabilitis, habebimus declinationem apparentem Reguli ad finem menfis Februarii 1588. 1 3? 567.8 ^.2 bor. et coníequenter eius dif'antiam app»reetem a Polo Ae- quatoris bor. 76?.4/.51^/^.8; at cum diftantia apparens Polaris ftellae a Polo Aequat. boreo ad idem tempus in- venta fit 2?.55^.27/^,7 , erit fumma diftantiarum ap- par. Reguli, et Polaris ftellae a Polo Aequatoris boreo 48?.59/.19".5, a qua fi auferantur 54// pro refra. &ione Reguli , et 45// pro refractione ftellae Polaris , remanet fumma diítantiarum apparentium — meridiana rum Reguli et Polaris ftellae a. vertice Vraniburgenfi 489. $'7/. 40". $. Secundum obferuationes Tycbonicas autem diítantia apparens meridiana ftellae Polaris a vertice Vraniburgenfi tunc erat 57?.0/. 40^, et Reguli diftantia apparens meridiana a vertice Vraniburgenfi 417. 57^. 30^, adeoque fumma diflantiarum appar. merid. obferuatarum . Reguli et Polaris ftellae a vertice Vraniburg. 78?. 5 8^.10"*, Apparet igitur, fummam diftantiarum obferuatarum cal- culum noftrum 29//".5 füperare, et errorem quadrantis Tyebonici hinc effe 1:i4//.7 add. quo inuento eleuatio Poli Vraniburgi fequenti modo nullo fere negotio defi- nitur : : Tycbo (fab finem menfis Februarii Anni 15588. ftellae Polaris altitudinem — apparentem minimam — obferuauit effe - - - - - - - - - 529.59'.20". Errore quadrantis addto - - - - - - r:i4.7 Prodit minima ftellae Polaris altit. apparens | corda - - - - -. - - 52.59. 84. '1 Refradione fubduda - - - - - - - 45 m7 7 Relldk 4.96 LATITFDINES Reftat minima Polaris ftellae altit. errore quadr. et refract. correcta — - ^ - — 52'.58/.49^.3 Cui addendo diftantiam apparentem fel - lae Polaris a Polo - - mud D. 55, DEED RÀ — Vraniburgi latitudo quaefita erit - ^ - 55. 54. 17. 4. Patet igitur Eleuationem Poli Vraniburgi ex obfer- vationibus 4ycbonmieis concinnatis atque correctis dedu- (am 5 tantum min. fec. differre ab ea, quae ex ob- feruátis Picardi eodem modo concinnatis et correctis flut. ^ Admirabili hocce confeníi perpenfo, conuinci- mur, curas et cogitationes nobilis Tycboris,in obferua- tionibus íümma diligentia et accuratione inflituendis , neque minus in organis aftronomicis affabre conficiendis euigilaffe : maiorem enim accurationem ab inftrumentis pinuacidiis munitis fperare aut exfpectare non poffümus. Perfuafüm potius habemus, obferuationes Tycbonicas, mo- do vt fedülo concinnentur atque corrigantur, excolendae Aftronomiae magis magisque effe inferuituras. Latitudini arcis Wandesburgenfis, nec . non Hamburgenfis | vrbis, de- terminatio. 9i Ad arcem Wandesburgum , cui hodie nomen eft JF andeibeck , Henricus Ranzouius nobilem Tycbonem, e Dania difcedere coactum , inuitauerat. Quanquam T7y- cboni ilic fedem fixam habere mens non effet, varias tamen ibi autumno. anni 1597, annoque infequenti, in- füituit obferuationes , praecipue circa Planetas, quae cum P. vtili- LOCORF M. 497 vtilitatem haud contemnendam afferre poffint, operae pretium fore iudicaui, vt huius arcis, in amoena regio- ne prope Hamburgum fitae, Latitudinem, ex obferuatis Tycbonicis, quantum. poffem, accuratifme eruerem. Cal- culum hunc -eo libentius attingo , quod ex pofitione arcis huius refpectu vrbis Hamburgenfis mihi obíeruata, Latitudinem Hamburgi, de qua recentiores Aftronomi et —Geographi plus quam 8. min. prim. difcrepant, multaá «um accuratione ftabilire ;poffum. —Difquifiionem Lati. 4udinis huius vrbis et in Geographia et in Aftronomit víuü effe palam eft, cum Fabricius et Iungius, fpecu- Jatores coeleftium rernm diligentiffuüumi , complures ibi inftituerint obferuationes, ad Aftronomiam excolendam fortaffe aliquando profüturas. Accuritione obferuationum | Tyebonicarum ex con- :fenfa harum obíeruationum cum -obferuatis Picardi circa «Latitudinem "Vraniburgi praecedentibus calculis fatis pro- /bata , eandem' praecifonem in definienda ex Tycbonicis -obferuationibus Eleustione Poli W'andeiburgi et Hambur- £i fperare licet , modo vt barum obferuationum Wan- .desburgi habitarum rite corrigendarum copia fit. Con- tinet. autem — Hiftoria coeleftis Tyebonis Brabei ob(erua- «iones nonnullas circa Regulum et Polarem ftellam Waudesburgi habitas , quae fimul ad errorem organi; quo lyebo víus ett, dei ecudnm. et ad Latitudinem W'an- desburgi definiendam commode adbiberi pofíunt. An. .tequam vero ipfum calculum aggrediar , facere non poffum, quin moneam , obferuationes, quas Tycbo Waudesburgi initio anni .2598. habuit, non adeo effe accuratas , vt Obferuatis illo tempore altitudinibus Polaris ftellae et Tom. VII. Noa. Coram. Arar Re- 498 LATITFVDINES Reguli vti tute poffimus: Organa enim Tycbonica tunc erant ; 7ycbone ipfo tefte , aliquantum. vitiofa, et me- ridiana hnea nondum fatis accurate defcripta. — Verifi- catione autem orgauorum aftronomicorum et meridianae lineae pera&a , obferuationes melioris notae circa Pola- rcm ftellam et Regulum meníe Martio eiusdem anni inflitui coeptae funt , quas itaque ad fequentem calcu- lum adhibiturus fum , easque praecipue, de quibus Tycbo ipfe bene exiftimauit. Obferuata nempe füit Wandesburgi medio men- fe Martío anni i598. altitudo apparens meridiana Reguli 50*. 19^. 10", eodemque organo per idem tem- pus altitado apparens meridiana Polaris ftellae. infra Po- jum 50?.44'. 0/7 Pofita igitur ex noftris obferuationibus. füpra ex- ploratis declinatione Reguli media ad x. lan. 1748. 153*. 117. 10"/.5 bor. prodibit ob praeceffionem — Rezuli mediam in declinationem inde a medio Martio 1598. vsque ad 1. lan. 1748. 42/.19//.7 auftrum verfus, declinatio Reguli media ad medium menfem —Martiura 1598. 153?*.53/.50/^,0. Deuiatio autem a eguli in de- clinationem cum fit ad i(tud tempus 2^". 5 boream verfus, et aberratio in declinationem | 57.3 auftrum. verfus ;, emerget declinatio apparens Reguli ad medium Mastiuirs 1598. 135.53/.27/,.9. Eodem modo declinatio apparens Polaris flellae ad tempus obferuationum Tycbonicarum circa hanc ftel« lam Wardesburgi habitarum definitur. — Declinatio enim media ftellae Polaris ad r. lan. 1748. fup inuenta eft 87757/.22^.2. bor..a HiMpeaabaneus 49/.34 . pro prae. LOCOR/V M. 499 praeceffione media Polaris flellae in declipationem a medio meníe Martio 1598. vsque ad r. lan. 1748, re(tat declinatio media Polaris ftellae ad medium men- fem Martium 1598. 87'.7/.48/42, quae aucta 3'7. 4. pro deuiatiooe ftellae Polaris in declinationem boream ver- fus, et 1^4 pro aberratione huius flellae itidem boream verfus, dat declinationem apparentem Polaris ftellae ad idem tempus 877.7/.55/^, fiue diflaniam eius appa- rentem a Polo Aequatoris boreo 2*?. 52^. 7". Addendo igitur diftantiae apparenti Polaris flellae 4 Polo nunc inuentae diftantiam apparentem Reguli ab eodem Polo *56?.6/.35/, prodibit fumma comple- mentorum declinationum apparentium Reguli et Polaris flellae 789.587.40/; a qua fi fubtrahantur 50^' pro refracione ftellae Polaris , et. 51" pro refractione Re- guli , habebimus fummam diftantiarum apparentium me- ridianarum Reguli et Polaris ftellae a vertice Wandes- burgenfi ad medium Martium 1598. 787.5659". Diftantia autem apparens meridiana | Polaris ftellae a vertice Wandesburgenfi tunc a Tyebone obferuata fuit 39".16'.0", et diftantia apparens meridiana Reguli ab eodem vertice 59*.40'.50"; ita vt fumma diflintiarum merdianarum obíeruatarum a vertice Wandesburgenfi fit 717. 56'. 5o", adeoque error quadrantis Tycbonici ab altitudinibus obferuatis fubtrahendus 4^7, quo detecto, ad calculum ipfum Eleuationis Poli Wandesburgi | pro- gredi poffumus. Rire Alttudo $00 LATITVDINES Alttudo meridiana apparens fteliae Polaris infra Po- lum a Tycbone Wandesburgi ob(eruabatur $09.44". o" Subduc&tis pro errore quadrans - - - - 4$ Remanebit altitudo merid. apparens mi- nima correcta - - - - - - 50.48.55. 5 Subtrahendo refrafdioneem - - - - -* - 5o. Emu Die Qu ee vate Prodit altitudo merid. minima errore quadr. et refractione corr. - ^ - 50.43. 8. $ Diftantia apparens Polaris fiellae a Polo aequatuE! 9 4] 9 ce mo omi nd35528. m LO Hinc Eleuatio Poli vera Wandesburgi - 53. 35. 12;. Latitudine Wandesburgi. in apricum prolata , fa- cili iam negotio Latitudinem vrbis Hamburgenfis defi- nire poffümus. .Obíeruaui enim, turrim W'andesburgen- fem € templo quodam in media fere vrbe fito fpectas tam 54^".30' a Septentrione Orientem veríus declinare, Diftantia vero templi huius Hamburgenfis a turri Wan- , desburgenfi ex menfüris, quas in agro Hamburgenfi ce- pi. aequatur 1780. hexapedis Parif. ; ita vt ex hifce datis et ex Latitudine Wandesburgi fupra inuenta diffe- rentia Meridianorum Hamburgum inter et Wandesbur- gum prodeat 234^. Aequat. fiue 107" temp. — Ele- vatio Poli vera autem Hamburgi 53?.34..8 . Si iam Eleuationem Poli Hamburgi ex noftro calculo deductam ad Latitudinem comparemus , quam Aftronomi et Geographi vrbi huic affignarunt , patet, plerosque Latitudinem Hamburgenfis vrbis iufto maiorem feciffe. — Secundum NEQU geographicas ferc omnes Latitudo LOCOR/VF A. $01 Latitudo huius vrbis tertia circiter vnius gradus parte praecedentem determinationem fuperat. —Kep/erus Lati- tudinem hanc 8; miu. prim. , Caf/ffimi 72 min. prim, et Tycbo i min. prim. circiter iufto maiorem admit- tunt. Cl..Iungius, Fabricium adiutorem habens, cum de Latitudiae Hamburgenfis vrbis accurate. determinanda co- gitaret, faeculo proxime praeterlapfo negotium hocce bi- norum organorum aflronomicorum pinnacidiis munitoe rum et in Anglia confectorum beneficio péragendum fufcepit. Latitudo autem, quam Iuzgiu; ex fuis obfer- vationibus , quarum fingula non perícripht , vrbi huic afhgnat, 62 min. prim. noftram determinationem fupe- rat: Cl. Kircbium vero proxime ad noítrum calculum accedere, ex eius differtatione de hocce argumento con« fcripta, et Miícell. Berol. inferta, facile demonttrari pot eft; fed nihil eft, quod diutius in hac difquifitione mo» .emur ; magis intereffet Longitudines fpecularum aftro- . nomicarum Tycbonicarum munc eodem praecifionis gra- du, quo Latitudines, inueftigare atque flabilire , . fed hanc difquifitionem ad aliud tempus reiicimus. ^ Sufficiat hic tanquam in tranfitu monuiffe , Cl. Kirebium ex obfer- vata Eclipfi folari differentam Meridianorum. Hambur- gum inter et Derolinenfe Obferuatorium determinaffe 12'.45". temp. ita vt ex hac obferuatione et praeces denti calculo differentia Meridianorum Berolinenfis Ob- feruatorii et fpeculae aítronomicae Tycbonicae Wandes- burgenfis fit 12.35" temp. fiue Longitudo Wandesbur- gi 27".574. Di'quifitione Latitudinum fpecularum aftronomica- tum Tycbonicarum ad exitum perdu&a, promiífo teneor, Rrr3 €as. 502 LATITVDINES eas exhibere obíeruationes, quas ad Latitudinem Parifien- fis Obferuatorüi Regii indagandam íumma diligentia in- ftitui. Obferuationes iftae non folum in(eruient proban- dis declinationibus fixarum , quas ex obferuationibus codem inftrumento in Parifienfi Obferuatorio a me habitis de- duxi, quarumque nonnullas ad praecedentes calculos adhibui ; verum etiam ad exiles illas differentias , quae in Latitudine fümofi(fimi huius Obíeruatorii obuiae funt , diiudicandas atque dirimendas, non inutiles erunt. Obferuationes aflronomicae ad Latitu- dinem Obferuatorii Regii Parifieníis definiendam habitae Anno 1745. AL.an. Sequentes obferuationes circa Polirem ftellam ex- quifiti quadrantis tripedalis radii fuper linea meridiana in pauimento turris occidentalis Obferuatorii Parifienfis - defcripta collocati beneficio ad lumen crepufculare et diurnum, nullo lumine peregrino fila telefcopii collu- ftrante , inftitutae funt. d. 11x. Ian. obferuaui altit. merid. appar. Polaris ftellae füpra Polum - $0*.55'.45^. 7 I&.lat./5 —-) - c a e UPC, pu DE, 20,1an. — e1- -—- "wr BO. 53.454. 28 50.4; - ^ 64. EU mr mU CT C BO ES qu Cum obferuationes hae diuerfis diebus habitae funt, conferti inuicem commode nequeunt , nifi omnes 4d vnum eundemque diem fecundum praeceffionis , de- viationis LOCOR/FHZA^M. $65. viationis et aberrarionis leges reducantur... Quam ob rem piaeceffionem, deuiationem et aberrationem | Polaris (tel- lae in declinationem ad dies obíeruationum fupra. nota- tos fupputaui, et in fequenti tabula exhibui, vt harum correctionum ope obíéruatae altitudines meridianae Po- laris ftellae ad x. lan. 1748. reduci queant. Praeceffio Polaris ftellae in declinationem. 1 r. lan 1748. vsque ad ir. lan. o^. 5] I4. -- O di Bor. 26. 2 cU x. verfus 90J 4i9' 6| Deuiatio ftellae Pola. Aberratio ftellae Pola- ris in declinationem. ris in declinationem ae- quatur EL eium Mie .Iothr | DhDorh. ad 1. Ian. 174.8. s. que d. 1.Ian.1748.19^.97] $90. - - 9 Erit igitur altitudo meridiama obferuata Polaris ftellae fupra Polum deuiatione et aberratione correQta et. ad rz. lan. 1748. reducta Ex ima Oferuatione «^ - - 505 54/11/.$ E cu canas uU SODeL ii UC HIBUT PS UI OP d MOM yr CCONMID T EU Vcn c e SOT SRr c —— au Per medium igitur inter iftas obfermationes 55. $4. 9. 6 Eodem quadrante eodemque in loco altitudinem meridianam Poluris ftellae infía Polum quantum — potui accura- $04. LATITVDINES accuratiffime .obferuaui , eamque d. 257. Maii 1748. coelo eximie fereno ad lumen crepufculare plus vice fimplici inueni 46. 48^. 55^. Cum vero praeceffio media Polaris ftellae in de- €linationem a d. x. Jan. x748. vsque ad 27. Maii fit 7/^..9. boream veríus, deuiatio autem huius flellae in declinationem d. 25. Maii 1748..6^..5 itidem boream verfus, et eius aberratio in declinationem die notato 16^". 9, auftrnm veríüs , -proaibit altitudo meridiana ob- fermata ílellae "Polaris infra Polum deuiatione et aberra- tione correa et ad x. Ian. 1748. reducta 46*.48/.57" ^3. Antequam vero in füpputandis hifce obferuationi- bus vlterius progrediar, de iis dicendum erit .obíeruatio- nibus, quarum beneficio quadrantis huius verificatio per* acta fuit. ^ Quadrante hoc per inuerfionem ad :Hori- zontem iam verificato, reftabat, vt eius verificatio ad Zenith more confueto inflitueretur; quae cum fit diff- cillima , omnia .prouidi praecauique, vt negotium hocce bene fub manus fuccederet, lucidae Perfei beneficio proxi- me ad Zenith Parifienfe accedentis. Plano itaque quadrantis tripedalis radii füpra me- morati fumma cura verticaliter füper famofiffiuma meri- diana linea marmorea obferuatorii Regii Parifienfis col- locato, fequentes altitudines meridianae & Perfei ad lu- men diurnum mihi et Celeb. 4l /Mornier coniuncté obíeruatae funt : LOCORV M. $05 Facie quadrantis Orientem fpectante , D. 16. Februarii 1748. 90. -L- 67. 59/7, 9 EU nor merger BO) |- - - - ohm Facie quadrantis: Occidentem fpectante , — D.. 21. Febr. 1748. 907.—5/.59'". 1. accuratiff. coelo grate fereno. Vt fummam feruarem praecifionem in füpputandis comparandisque eiusmodi obferuationibus vfitatam , fe quentes füpputaui correciones,, reducendis altitudinibus meridianis füpra notatis inferuientes : Praecefho media «a Períei in declinationem Ad 1. Ian. 1748. vsque ad 16. Febr. i^^. 9) | 17. - Ir. 9! Dor. 20. - -2. o[ verfus ok mr B. 0j Deuiatio « Perfei in | Aberratio « Perfei in : declinationem declinanonem ad n, Sobre M Bor. |d. 1.Ian. 1748. 10".9") 2i.Febr.- - 8. 2$ verfus r6.Febr - - 9. 5 p. E 7-30: m:50 1924 20, « -- 21. *« -- 9.0 Adhibitis itaque hifce corre&tionibus, ad reducen» das altitudines meridianas a Períei fupra exhibitas, hae bebimus: Diftantiam meridianam obferuatam a Perfei a ver- tice Obferüatori Reg. Parif. deuiatione et aberratione correctam et ad r. lan. 1748. reductam , Tom.VIII. Nou. Comm. $ss ex $06 LATITVDINES ex ima ob(eruatione 67.40"/1. bor. veríus'] 2d - - - 6.44.0 - . - |Limbo qua- gtia - - «- 6.41.7 - - Ldrantis ad "E | Orient. ob- Per medium igitur inter ; hafce obferuationes - 6. 41. 9 bor. verfus, eco. €x 4ta obferuatione 5. 39. 9 bor. verfus. Limbo qua- drantis ad Occid. ob- - verfo. Prodibit igitur diftantia media merid. a Períei a vertice Obferuatorii Reg. Parifienfis ad x. Ian. 1748 6/.10^,9 boream veríus, adeoque error quadrantis circa Zenith ab altitudinibus obfíeruatis fubtrahendus | 3x4. Cum vero eiusdem quadrantis error, per alteram — inuer- *fionem, circa Horizontem inftitutam, inuentus fit vix duo- bus minutis fecundis minor , aíffumere poífumus 30^. pro errore huius quadrantis ad obferuationes noftras cor- rigendas conftanter adhibendo , modo limbi diuifio hu- jus quadrantis nullo errore fit inquimata. Differentia r. 2. Reftat nunc, vt refractiones, quibus ad corrigendas obferuationes Polaris ftellae fupra relatas vtendum eft, quantum poffumus, accuratiffime ftabiliamus. Ad hoc efficiendum notandum eft ,. altitudinem Mercurii in Ba- rometro diebus illis, quibus Polarem ftellam menfe Ia. nuxio fupra Polum obíeruaui, eandem ferme fuiffe, quae. . d. 27 Maii , quo "dititudinem Polaris ftellae minimam cepi , obferuabatur , vtroque nimirum tempore fere fum- mam ; temperiem contra aeris maxime diuerfam , exi- ftente differentia 4o. fere grad. Thermometri De PLs/ieni ; quae LOCORV M. 5017 quae temperiei aeris differentia fecundum noftras obfer- vationes Petropoli et in Infula Ofilia habitas, in refra- &ione pro'altitudine Polari. Parienfi differentiam 3". minimum procreare valet. Pofita igitur refractione pro altitudine Polaris ftellae maxima Ianüario meníe in Ob- feruatorio Reg. Pariüenfi obíeruata 49'^, refractio, quae alitudini ftellae Polaris minimae meníe Maio Parifiis ob(eruatae conuenit-,* 53/^. fuperare non pote(t. Hifce admi(fis, calculus Eleuationis Poli Obferuatorii Regii Pa- rifienfis fequenti modo perficitur: Alut merid. obferuata ftellae (' Polaris deuiatione et aber- Lcd Polum 50*.54/. 9".6 - rationecorrecta ad 1.Tan. jinfra Polum - 46. 48. 597... 1748.e.t - - - -[(, - Emor quadrant - - - - - - -—0.0.530- inst 3 proalt.max. — o. O0. 49 - Religttio | Sp 19^ Debo —0.0.553 - " m Altit. merid. med. flellae Po- SfüpraPolum 50. $2. 50. 6 laris corda - .- (infia Polum 46 49. 94... 7 Differentia - - - - - - - - a4 3.15.9 Diftantia media flellae Polaris a Polo - 2. 23.537. 9 Altit. merid. med. ftellae Polarisinfra Polum 46. 47 34. * Eleuatio Poli vera Obferuatorii Regii Parif. 48. 55. 124. Latitudinis Obferuatorii Regii Beroli- neníis determinatio. Obferuationes, quas ad Latitudinem Berolinenfis Ob- feruatorii ftabiliendam, in loco. quodam , ab Obferuatorio ipío 1^. boream verfus remoto, peregi, quadrantis tri- Sss 2 peda- $08 LATITFVDINES pedilis radii fumma diligentia meo du&u Parifiis con. fecti, et duplici limbi diuifione. in(tru&ti, beneficio , in(ti- tutae funt. X Per(pecta nempe huiufce quadrantis prae- flantia atque praecifione , praefertim in: limbi eius diui- fione , examinatoque axis tubuli ad quadrantem — hunc applicati parallelifmo , planum huiufce organi fuper li- nea meridiana accurate defcripta verticaliter collocaui, et fequentes altitudines et Polaris ftellae, et oculi Draconis, Latitudinis Berolinenfis. Obferuatoriüi definiendae et qua. drantis verificandi gratia , fümma qua potui accuratione Obferuaui. Altitudines ftellae Polaris meridiapae infra Polum ad Lumen crepuículare et diurnum An. 1350 Beroli- ni obferuatae. D. 24. Maii fl. n. 50" 30^.27^ 47] | 28. - - - 50.90. 25. 2| Coelo eximie fereno 40. - - - $0.80.23. Ó| atque placido. x.luni- - 50.530,27. 4| Vt barum obferuationum | comparatio accuratius commodiusque infílitui poffit ,' obferuationes hafce omnes ad primum diem lanuarii An. 1-50 ft. n. reducere iuuat. Corre&iones autem ad illam reductionem adhi. bendae fequentes funt : Praeceffio media Polaris ftel'ae in. declinationem Ad x lan. 1750 vsque ad d. 24. Maii 7'/'. 27) 25. - - ". 8lBor. 39. - - 7. 5| verfus piu y. d euiatio flellae Polaris in declinationem Ad x. lan. 1750 - - 6".9) Bor. 1. luni - - - - 6. « verfus | Aber- LOCORV M. $óg Aberratio Polaris (tellae; ia declinationem Ad r. ln. 17359. .- - 19^.8 Bor. veríus 24. Maii - - ^- - 16. i1 2$ - -- - - - 16. g| Auftrim 30 - -- - - - I7. jt verfus. rY luii ^-:.- ^- - T3. $ Reductione fa&a habebimus altitudinem — meridia- tiam obíeruatam Polaris ftellae infra Polum deuiatione et aberratione correctam et ad x Ian. r7$0 reductam, ex Ima obíermtione « - 50'".307.29".6 $da x9 2 - .- -" -7^ $0 $39:23. 5 gtia.- - - - -. - $0.90. 26. 6 4tA.- - 2 - 3850.80.50. 6 Per medium igitur inter iftas obferuationes 50 50. 28. 6 Ad errorem quadrantis, cuius beneficio praece- dentes obíeruationes habitae funt , explorandum, fequen- tem inflitui verificationem , per inuerfionem huius in- ftrumenti circa. Zenith, fumma cura Berolini peractam; obferuaui nempe Facie quadrantis Occidentem fpectante, An. 1750 d. 25 lul. ft. n. Altitud. merid. T. leen - 90?-- 122^".o 26. - 2» - -* -Lrreo, OE 0-2 7-07 7 2-118. amo -. -— ---20m- FU "UESISO Facie quadrantis in Orientem conuería, Àn. 1750 d. 1o. Aug. ft. n. Altit. merid. d appar. Q Draconis - - 90*—5325'^5 1j. Aug. - - - - - »* -—80. 3 $ss 3 Con- "8 -J $10 LATITVDINES Concinnandis comparandisque hifce altitudinibus Draconis obíeruatis, inferuient fequentes correctiones de- clinationis huius ftellae : | | Praeceffio media 8 Drac. | Deuiatio 8. Draconis annua in declinationem in declinationem pro | $^. 1. auftrum verfus | tempore - obferuatio- .| num praecedentium, | 1/^.5 auftr. verfus. Áberratio Q. Draconis in roe Pata ad d. 23. lulii 1750. . - 2.57 ::31^. 7] 26. (05 0. 7. 2. 0 - 12.55 | Boream . veríus 234 G4" dou) 2 ale dis] 28. (— 4.9... — 18. 04 ro.Aug. - - - e» - 15. j| 13. AUS. - - - - - 16. 21 Ratione harum correctionum habita , prodibit altitudo: meridiana. obferuata (3 Draconis: aberratione. et deuiatione correcta , et ad x lan. 1750. edt) Limbo quadrantis ad Occident, conuerfo : ex obferuat. d. 23. lul. - .- - 9o?-i 180^. 7 EO TE EB or P 99. 1 SA ET PRU UET- 123 09 29. t4 d - -r50. O Per medium ígitus .- .-. - -- 90^-1-129/.*. Limbo- quadrantis in Orientem conuerfo :' ex obíeruatione d. 10. Aug. - - - .96?—45".e | : I39uomtheuwmh- - —493. 8 Per medium itaqij? - . - - - go?—44. r. Hinc '"LOCORV M. (0 s. Hinc diftantia med. mer. (9; Draconis a VerticeBerol. iu primo fitu quadr. 8^... 9^. 5 Au(tr. verf. -.-- *inaltero fitu quadrantis o. 44. rAuftr. verf. e—À Differentia, fiue duplus quadrantis error cira Zenith - - - - - x.235. 6 Error quadrantis fimplex ab altitudi. uibus obferuatis fübtrahendus. - -. 42.: 8, et Diftantia media meridiana (8 Draconis 3 Vertice Berolinenü. -. ^. -. 5; | ad r. Tan. 1750. f. n. -. -«. -17.26/". gAuftr. verf. Eiusdem quadrantis verificatione miore folito per inuerfionem circa Horizontem Berolini caute peracta, inueni Altitudines circa Horizontem captas per hunc quadrantem 41/^.6 iufto miaiores exhiberi , ita vt tuto - flatuere. pofimus arcum huiuíce' quadrantis 90. graduum iuftae effe amplitudinis, totumque errorem — huius or- gani ab altitudinibus obíeruatis fubtrahendum — conftanter aequari 4237. i Hifce praemiffis Eléistio Poli Obferüatorii ^ Bero- linenfis fequenti; ratione ex noftris ceps de- finitgr, zo uU I Alt. mer. Polar. fléllae infa Polum dfe deuiatione et aberrat. corr. et ad obferu. Der. et 1 lan. 1750 reducta eft - - 50*.50/. 29". 6 À qua fi fübtrabatur error quadrantis - - - . - 42 Reftat altit. merid. med. Pol. ftellae infra Pol. correcta et ad x Tan. 1750 reducta 50. 29. jeg 6 Dempta refractione aefliu$ - —- - - - 46. Rema- $12 LATITVDINES Remanet altit. mer. med. Pol.ftellae infra Polum errore quadr. et refractione cor. rectaad rIam 1750. - - - - So. 28. 59. 6 Cui fi addatur diftintia med. Polaris ftellae a Polo ex obferuationibus noftris Parif. adr Jan. 1750. reduda - - - - 2. 1.58. 5 C UNRDUDERCIEEOEMEEDO Prodibit Eleuatio Poli vera Obferuatorii Regii Berolinnfis - - - - 52. 30. 58. Eleuationem Poli Berolinenfis Obferuatorii hac occafione alia methodo demon(trare atque comprobare, 4 praefenti difquifitione alienum | fore non exiftimo. Methodus autem, qua nunc vtar, nititur aequalibus: fere - altitudinibus meridianis Polaris ftellae et Reguli Berolini vno eodemque quadrante obíeruatis. — Obferuaui nempe Berolini in loco fupra iam defcripto An. 1750. d. 15. Maii ft. n. fole lucente, altitudinem meridianam appa- rentem Reguli quam potui accuratiffime 50^. 40^. 48^. rz, Cum vero praeceffio media Reguli in declinationem 3 d. x Ian. 1750. ad d. a5 Maii fit 6".0 au(trum verfus, deuiatio Reguli in declinationem d. 1 Ian. 1750. 4/.9, et d. 15:Maii s" .5 au(lrum verfus, et aberratio huius ftellae in. declinationem d. x [an. 1750. 4.9, et d. 15 Maii o'". x itidem auftrum verfüs , prodibit altitudo meridiana apparens Reguli ad d. 1 Ian, 1750 reducta 50?.40/.49". 9. Altitudo meridiana apparens Polaris flellae | infra Polum ad idem tempus, fecundum obferuationes Beroli- nenfes füpra exhibitas, aequatur $09. 30'.55'. 3; ita vt fübtra&dis ab vtraque altitudine 46".pro refra&ione , fumma - ALOCORrF M. 513 fumma diftantiarum meridian. obferuatarum Reguli et Polaris flellae .3 vertice Berolinenfi ad. x. lau. 1750. fit 78*.49.45': 8. Declinatio Reguli. media ex. noflris obíeruationi- bus in Obferuatorio Reg. Parif. babitis ad d. r Ian. 1748. fupra inuenta eff 13?.:1/.10'.3 bor. . Habita irique praeceffionis , deuiationis et aberratiouis ratione , habebimus declinationem Reguli apparentem ad r. Ian, 1750. 139.10! 26"7.2 , [iuc eius complementum 367.49/.33/.8. Diftantia apparens Polaris flellae a - Polo ad idem tempus ex memoratis obferuationibus colligitut | 2*. 17". 3177. 8, ita vt fumma diftantiarum. merid. apparentium Polaris flellae et Reguli a. vertice Berolinenfi ad 1 lau. 1752. (t 78?.51/.5/.6 , quae : . comparata cum fümma diflantiarum | merid. obferuata- rum Reguli et Polaris ftellae a vertice Berolinenfi ad d. 1x lag. 1750. 78^.49'.46".8, dat errorem qua- drantis ab altitudinibus obferuatis fübtrahendum 39". 4. Quare fic bfoluctur calculus : Alt. merid. Regi interdiu Berolini Obíeruata et ad Obferuatorium Be- * rolinenfe et 1 [an. 1750 reducta eft. 50*. 407. 50^". 9 Error quadrantis fubtràhendus - - -4 - - $9. 4 - Altit. merid. appar. Reguli ad t Tan. | j /.. 1750 errore quadr. corretto - 50. 40. II. $ Refra&io aeítiua fabtrahenda --- - 46. Altit. merid. Reguli errore quadrantis etrefra dione correda - - - 50.99. 25. 5 Tom. VIII. Nou. Comm. Ttt Decli- dry — LÁATITPDINES LOCORFM. Declinitio apparens Reguli ex obfer- - " vationibus noftris Parif collecta et add. ri lan. 1750 reducta - - - r4? 16/.26^ 2: Eleuatio Aequatoris vcra. Obferuatorii s Regii Berolinenfs - ^-^" - - ^57. 28. 59, fiue Eleutio Poli vera - - - - - 525.51. rz. Egregius hicce confenfus praefentis caleui cum. práecedenti Eleuatiouis Poli Berolinenfis. Obféruatorii de- términatione noftrarum obféruationum. in "hac differta- tione relatarum , et conclufionum exinde 'deductarum accurationem mirifice comprobat , eoque rem adducit ;, vt certiffime ftabilire pofprüs Eipyanibricha, Poli. Obfez-- vatorii Denon ns 52*. 3r. toad 65 CES (o y E no sts OBSERVATIONES LVNARES /CORRESFONDENTES. IN INSVLA *OSILIA ^ ai a /.— ,HABITAE ANNO 1955. 5 — 7. Y Sl Ee Auctore ERA L M:i- "GRISCHOW. $e .o Tee Pend. Aftr. | d: 25 Oct. 1907.5 | 9^. 26// App. 2di- Habs Ó ad &l; "wert. 2v .Lilerids prox... 3djum 497 8- 45. 29: App. a. Aquilae ad, fil. vert. tot. rd :;Merid.: prox; TS T 5rd 45. 25; Alt. gVssis 29^ Ftfil. RAE Per iqubedf lm» 42.521; ponte d V. adfül. vert, Mer. ventoS$W |. — - *" ^ Jroxa pha nabes .. onmadute. Ls p 26. Alt. 'V. 2 51?.20* ^ fil. -Fo*. 68, Per nubes A EC Rotrom e PE ER pott x 145. 52/. 8717 Alt. marg. Duetoris sio fil.--cR.20*, nationem (252. 59 lady. 3103 TR NU aia 0,9570 centri Lunae. Md » s UNE 332 8 un 1 App. eU adfil. vert. Ret 0X, "i »J P Li 59; Áltit. gd — 527740" QUE Ji. 1 *- M ca Te X) EP»: 33 nario) l 7n BP . tj «lc : 9r s E SRM EN itti tb. - ; 0. 10. 31i App. 2dilimbi O ad f. vert, Met, prox. intra va ' dübius. | wrrnyrri "à bee, P P At, E d i /OJ1 2 RM. M i2y VOL - ! nds "d BOUM -- WES idrail [2 qc j4 34 Sa eadun sad qnt ! Tt Temp. 523 $16 OBSERVATIONES ers Pend.Aftr. d. 29^ o^15/.377/ Merid. verus ex 9 altitudin. O refporid. O. 15. 34.6 App. ceuti QC obíeruat. ad fil. wert. prx qne rues Merid. prox. 0.0... 9" —duk d. 5 Nov. o^. 25^. 45^" Merid. verus ex 6 altudia. O ESI O0. 25. 42. App. obíeruat. ecntz (ad fil. vert. Merid. E: | SP. 42/.51^/. Alt. rok idi 50^t £*.367*. "4; 92. -7*- - - 2. 86i Pernubes — 44. 92 App.ad Bl. vert. Merid. prox. ten. 45.7172 Ali -—- 05-107 :27^395 19*.55/.581/ Alt. marg. sr an 245?.0^-Fifil.-- 18.29*. $3- 958 -'-—t- scs — I. Be 54. 121. App. 1 bio Jic 3a fl. vert. Mer. prox. 54.48 Ali. - - - - - - -rr84 Sg LER Um Es c e ipie OW Sg. m pop DINI ud cbedmicED Cor iC. ba «dun m cx LL PvIMECVS e ti. LC PM. TAE dc e 617 To laca PR $6. 29$ - - - 9 - - 9 v 4. 9T 96.52..- ^. * - Far. v- . " " € EK. 4X c a verum mer MEN ZU E eia a. DE : t 11. 24". o Diam. app Joa tan. Micr. Gib. 35*. 33. Oe eT ENT S canit o UN 7 - H 33. 34. Q —-— " "um NM - uw o. 35. 6 d.:2 Nov. o?. 26/2 17 App. x limbi C'ad fil. vert. Mer. prox.circiter Per nubes — 28. 41; App. "-— - 2 - - - ptOX. ten. Temp. LVNA4RES 317 Temp.Pend.A ftr. d. 1 Nov. 13^. 54/24" Alt. marg. Jjaebor 25 1?.20 ^16]. 5, 25*. : Accurata 56. 11 App. 2dilimbi 2) ad fil. vert. Merid. prox. intta rvel 2^^ dub. Plures aliit. Cjae capere propter nubes non licuit. Alit. merid. G'V' cum alti. merid. P hodierno die Obferuata comparanda ex obferuatis d. :* Oct. col- ligi potett. d. 2 Nov. 16^, 547. 221^ Alt. marg. J'aeauftr.- 44?.20/—25,47*. Be $$ Mo. purge um S ss S SA gio WM UT ue LAMQUE Ii c. gef 85. 30 - * - ^ » 6o 55. 44 2 MMSUNNSE SEIS. w^ $3. 55. 58i d T - - - 64 56. 15 - - - — - - 64 £60. 303 - . - 64. 56. 42 App. edi limbi ae ad fil. vert. i. Mer. . prox. : 4; Ahi. - ^ - -*^ - 269 "v 2 WES - 2.34 i» o ^ Diam. ET o E cornua 187. Micr. Grah; | L35*.31* (dur, eit pidas Lo Tut M NP T 43. 9 M , » i 325 20 28) 17.2 21^ Alt. a$) —45*.0/— is 96!F. 17. 34 App. e ad fil. vert. Merid. prox. . 327. 88i . ; * 1. 95. " 18. 20 - P P i. 94 | 38. 57 "uds CaA T Ttt5 | Temp. E d 4:8 — OBSEREATIONES TonB Pend. Aftr. d: 15 Nov.. 3^. 59/.43^. App: a Aquilae ad fil. vert. Meu prox. Per nubes 4. Oo. 9 Alut. c, Aquilae 24o?.0^4 o*.40F. tenues O. 40 "tail lit F yr o5 4* le: 5 07 - - - 42 I. 50 - E - - 4:2. 1 15P. M 46^/ Alt. ict. min. zE 3o/—ifil 41 r2*: 82454855 7 cod anuo ab E 33. 9i App Q can. min, ad fl vert. Merid. prox. 39-484, À üt. «sir - - -o XISABA 34.13 Vero 1: Wa 34. 45 - ed S I. 142 Per inter. 17^. 4.87. 26/^; Alt.marg ie auftr. L4". o/—1fil.-oR. »3*: vala,ludi- (.. 50.33 . - kx XD TH "Ga. us 253232 ADP: 2di limbi D. ad n vert. Merid. prox. pO. circitet d. 25 Nov. o5. 317.501. App. i" limbi O ad fil. vert. Metid. & DIOX. - Su 94.111 App. 2di limbi O ad. fil. vert. Merid. ct | prox. dz» scoP 35". 55/3 j Ap? »mi limbi C) ad. E ert. Merid, q 4 à prox. 35: 15* Ao 2di limbi Olis ad idem filum 1753.9 da EDUC ad. horam ; acfimatam difpofitis. d. 2 Ian. ^ fi?, 49". 25/^ App /adi'limbi.O ad: fil: vert. Mer. prox. d. 2; Febr. of, Qe po" s Meridies verus ex E atit. Olis add eod. 8^. o/. 23^ Alt.marg. Quae bor. zu *.^- £l. -E28.29*. e. 462 7 ARR QNS on - 79. 25i qaT €1T Temp. G 1 L 1/4 N-AÀ R.E-S. n $T9 bs Pend Aftr. v X. (5$. App. 1 limbi y ad filum vert. Merid. prox. Coelo I. 29. ÁAltit. E r --2. 24 fub. . 2N LUE 5r 3 - -.A9. 56 fereno. 2. 28 . - - Zone 2." 91 - - - - de. 26 8. 24- MS - - 0$, 25; 3. 47 - Ld we v. 21i 165. 12*.56/^ Altit.Ar&turi— 5 27: 10/—2 6l. pa R. 29? 1, anos o4. 6 ^App. Ar&ari ad fil: vert. Merid. prox. ; intra 2/^ dubius. r$c2r Altit.: -- - -— 00 ow$* 238^ 15.46 . 4 3/728 E Feber |O5,- 1/10" App. rmi limbi ad &l vert. Mer. prox.. (05058. 28$ App. 2di limbi O ad idem. filum. 7 d..5 Febr. 1 e ii. 54" "islérsenr t Altitud. a Hydraé- ob. CR C 248. 1901228. o5. 75^. Paulo poft.cul v addas c HE opt ede ea LM, J6 min. per inter I E * Mme donae p E n valla ferena.. ef ^ 2. 4o". o M marg. Dàufir.—2 2^ 5 o/-26]i59R 16 5 N t A. 2 a $eogable - 5. 67 4T. we - - - zi DBTE 4I. 49. XR era 5. 735 LS DOS Ie ToS Fede m. C mL 5. 77; 42. 54. - - PUO 2U -—L s085 (42 54. ud E! A " ^ S. 825; 43. II M si^ G-20 6M - 5. 844. EHE COPNUENUNME Toc sonst . Temp. &« i. Febr. eod. iB Rebr. o5; 9^3 a, App. rmilimbi (C ad fil. vert. Merid, 2529 OHNE E 5 Temp. Pra Aftr. 45^. 36/2 App- 2di tapuiy ad fil. vert. Merid prox. 48: 54. Alit. - -5- —$5.99?1 15^, 4'. o Diameter Sieanp: cornua immgens Micr. Grah. -29445H 9. 0 diera E3266. ode "2 81 16. 0 - T - - "^ 55. 27. O0 E - rx . - DONB. o^, 4/.5$9/ App. tmi limbi O ad fil. veit.Mer.prox. 9. 121. App. 2di limbi O ad fil. vert. Mer. prox. 6'. ^. 4//$, Merid. verus ex 5 altit. O refpond. | prox. dubius 3. 46; App. 2di limbi C ad idem filum .12 Febr. 89. 8/.47/; App. « Lyrae ad fil. vert. tubi muralis eod. x16?.57/. 2^ Diameter 2e app. cornua tranf. Micr, Grih,. — 327, 395 59. O PAM ; * EE LL 17. O. O E - " « » 38; 2. O0 - - - - E 39 o pice LI cel. rca 5. . 2 Febr. oP.. 77.47 Merid. veris ex. g. altit. O refpond. O, 7. 48i App. ceatri O ad fil. vere Merid. prox ex obíeruatone 6. 42; App. rmi limbi O ad fil. vert. Mer. prox. $. 541 App. 2di limbi C ad idem filum. Coelo 15^. 67, o" Diameter Qe apparens cornua tranf. un à Grah. — 9325. 19i, eximie 9. [6] " ^ - - - 201 fereno II. O - mod ab geri in * 18; 12, O0 ^ - z ^ " 18. Temp. LVNARE S. $21 Tre Pend.Aftr. 13^. 23^. 47" Alit. BMsnatt 30/—16l.—2*. o7?, fereno 24. 9 - - - - 2. 96i 24. 35 - - E -5.* 3$. 96 et 2e3:.6 - - - - 2.97 £5. 18 App. iind ad &l. vert. Merid. c aere 26. 36 - * I? 155.487. 25": App. Lg ad fl. vert. Merid? Eu tran- — 185. 5. 1"/ Alit. marg. Sae auftr. — 11?.30/-28. 51^, | $. 25 - - uus E * 2. 394 quillo 5. 39 i - E * T 2. 34. 6. 12 - Tl; - - 2. 35 6. 41 - 3h14: 1e - £ 2. 94. 3 m OudAm I CR TESTO cti. a. gal 7. 24 DU m e 3 * 2. 35 ; vis - 2. 36; 7. 451 App. adilimbi Jae ad fl. vert. . Merid prox. 8. 10 Altit. - - E . 2585 8 2$ - - - - 25 39. q. *» 35r 9. 46). 1273 App. & Lyra ad " vert. tubi muralis. Error indicis Micrometri quadrantis triped. conft. inuentus fuit in luful. Ofilia — 5;*"* — 7^//:, quibus al- titud. fiderum (upra notatae augendae íüunt. ^Valor ro. Reuol. cochleae huius Micrometri aequatur. c?. 217. 1^^$ et latitado fili penduli — 9/^. Error quadrantis eft 40^ ab altit. obferuatis füpraque notatis fübtrahendus. Error indicis Micrometri Grahami tubo 8 ped. applicati Arensburgi aequabat 20 partes ad diílantias vel diametros obíeruatas addendas. Valor autem 30 Rcuol. Tom. VIII. Nou. Comm. Vvv coch- "A ORSERFATIONES cochleae huius Micrometri , vel r200. partiunm -—23/.28/:. Diametri hoc Micrometro. obferuatae fü» praque notatae errore indicis 20. partium corrigendae: funt omnes. Obferuationes Aftronomicaeexceptae ex: Ephemerid. Aftron. pro eruenda longitu- dine Obferuatorit Arensburg. ex obferua- tionibus, quas hunc in finem mecum communicauit Cel../e: Monnier.. Obferuationes. Cel. /e- Monnier. 17155. Sept. 24. 23^. 53^. 18/^ Midi vrai par les hauteurs: correfpondantes du Soleil: 2$ on a: trouvé que 25^. 554: 421^ — 360; degrés à. la. Pendule- &6. 23". 564; 5:/* Paff. dn centre. du Os. Midi vrai 25^. $64. 151/^ 2*3. I5. 45^. 331/^ — 2. bord. de la. Lune L5. 48. 412 -— & du Taureau L5. 57. 36: - Aldebaran. 23. 55. 95. Midi vrai. Obferuationes praecedentibus refpondere- tes in Obferuat. Arensb: habitae 1752. d. ;i Sept, Meridies. verus. ex. 5: cg O: refpondi. — 23: $64: 25^ Pendi. d, 3. Sept. 23". $7^.531/^ Pend. App. 2di limbi C» ics ad. fi. vert, Merid. prox. 2J d. d. LPUTNARE,;. $e . Sept. 14^. Luna, et 16 Palilicium per quadrarit; "obferunta fuere Sept. 23^. 58^. 9/^ Pend. App. 2di limbi C ad [ fil. vert. Merid. prox. Sept. 6^. Lucida Lyrae in q. Merid. auftt. et 15^. 8 *y per qnadr. obferuat. füere. tod. 15^.417.56*' Pend. Alt. marg. 2. bor. 250 .30/--6*. 4*, coo ONU FT WERE ICH COOLE cde y o 5 A«RUQg uM cm ww 4 - - C ure TOS xe "mw deem T Orio S Ib : eal dati EE 12; App. 2di Iul 5e ad£l. vert. Merid. doux eod. 15^50 .39"* Een 3i € U ——50.30/—535.46F. EE om d. 48 1 5?^.52*. 9i Ash. eu - 8l vert. Metid. pro&. 52. dra. 2:ieiamM-dipHeimiv0»53$. 44 az al Do uacftE m ma ode 424 B Ups aM cdaisosed- cua. (dust t S e 165.25* Diam. 7Ojae app. cornua iungens Micr. Grah. d. E n5 s Idjs od. 17*. e Orion. 185. & Lyme in q. Merid. bor. ob- feruabantur. Sept. 23*.56/.16" Pend. App. xmi limbi O ad fil. vert. Merid prox. 58.25 - - - edi limbi O E idem fil. . Sept. 25^.57 1-4. Pend. Merid. verus d. 23. Sept. ex 3. altit. 'o refpond. Comparando obfetuat. meridiei hodiernam cum ebíeruatione d. ii. Sept. inítituta , patet motum Penduli Vvv 2 Aftr. $24 OBSERVATIONES Aftr. ita fe habere vt diem folarem medium 36^. r. fuperet, vel quod adidem redit 2 55.564 40 ^. 2Pend.—360^. Quia vero eiusdem Penduli, cuius virgae longitudo tem- per eadem eít, motus Pcetropoli inuentus ita fuit com- paratus, vt. 23^. 554. 14^^. — 360. colligtur ex noftris Obfíeruationibus Arensburgi iaftitutis longitudinem Penduli Arensburgi multo minorem effe longitudine Penduli Pe- tropolitani, quin imo a lege eloagationis Penduli ab Ae- quatore verfus Polos recepta adeo aberrare , vt operae pretium fit bhaíce obferuationes diligentiffuime — profequi, Eandem fere aberrationem confirmat altezum: Pendulum virga ferrea munitum. Inueftigatio longitudinis Obfer- vatorii Arensburg. ex obíeruatis eclipfibus Satellitum louis. Comparatione inftituta inter ob(eruationes eclipfium: Satell. 2uis Petropoli habites et calculum fécundum Tab. WFPargent. patet, immeríiones imi Satellitis 2j. menfe - O&. et Nou. 1752. ex Tab. praedictis fupputatas 55/7 praecedere easdem immeríiones Petropoli obíeraatas; qao pofito longitudo Obíeruatorit Azensburgenfis modo íe- quenti colligitur. | d.zX. 1752. Immerfio xmi Sat. 2r. | Parifiis (ec, Tab. Marg. — 14*.31^.40** Error Tab. add. $3 Immerfio correa — 14.532.533 Immerf, Arensb. accur.obf. — 15.52. 50 Dif£ LVNARES. $25 Diff Merid. inter Obf. PariC et Arensb. — — 15. 194.5 7^ d. zt. Nou. Immerfio mi Satell. 2j. Pa- rifiis fec. Tab. arg. — 145.58'.15/ Error Tab. add. — 55 Immerfio correcta — 14. 39. 6- Immerfio Arensb. obíeruat. — 15.58. 45 Diff. Merid. inter Obf. Parif. et Arensb. 1^.19*.594 Confimili modo colligitur differentia illa Merid. ex ob- feruat3 immerfione 2di Satell. 2j. puta. D. i: 2£- lmmerfio 2di Sarell. 2;. Petro- poli obferuata ^ x4*.50f.2144 Diff. Merid. r. 52. Immerfíio Parifis — 12. 58. 2r Immerfio Arensb. obíeruat. — 13 53.28 dünnen cunmeuuseranpet Diff. Merid. inter Obf. Pari, et Arensb. —— a^^ 3^ Cum vero: in hac obfícruatione coelum. Arensbur- gi admodum effet vaporofum, coniicere. poffumus ,. im- merfionem: hanc iuffo: citius fuiffe obíereatam ,. adeoque differentiam. Meridianorum ex: illa deductam iufta. veraque effc minorem, id quod. praecedentes .conclufiones egregie confirmare videntur, ita vt differentia Merididianorum inter Obferuntoria.Parifienfe et Arensburgeníe. donec accura- tius determunetur, flatui poffit — 1^. 1 9^. 45/7 vel 50". Vvvg Pro $46 OBSERVATIONES Pro Refra&ione. determinanda in Ob- .. feruatorio. Arensburgenfi. : d. 15. Sept. 1752. 6'.5/. 54/^. Pend. altit. a Lyrae —290?)50[-L-1 fil 3500. pta Yoo4W£XC3Us2 ÜRIRIUTEL. -/ - - 9. 16i 7. 54. & Lyrae ad fil. vert. Merid. prox. 8. 52 Alüt. - - - --- o. 18 9. 51 visi, A RI eod, : 85.3. MN a Lyrae infra Pol. 27^ -1R.25*. 46590 9 2-0 € 7 o. EF. £5$ 5.je6X | .x IUe WELT Lg! uo .Ah h. 18. 6/ ftella per 6. o App. aLyraead fil. vert. Mer. prox. nubes tenuiff. obierua- 7. sz3 Altit. - Aa eM d c- batur. —* 8.. 19/4 139 di om m. oc uud d. £ OG. 1752. o^. s/.24"/ Pend. Merid. verus £od. 9^.10^.57/ Pend. Altit. Fomalhaut : 15. 10^ —1 fil.-]- 1. 50*, 32. 20 - - - - * - - I.42 Quamuis coelum hac in obferuatione eximie effet fe- renum , ftellam tamen Fomalhaut non nifi per in- je 2s LUE licuit. d. £, O&. 4 .46;^^ App. rmilimbi O ad fil. vert. Mer. prox. 4 574 App. 2di limbi O ad idem filum D NEUE" d. 5. OG... o^. 57,484 Pend. Centrum O adfil. vert. Merid. prox. ( mora traní. difci O obf. — 2". 12" ) eod. 15". 44 .22^ Pend. Altit. Capell.-7 3 30^ 4 ifil.-o*.73*. rv Ww. Coelo LVNA4ARES. $2T CoMo v1 »58 5/49 "i. 12m aT IS - o. 755 6. 19: 5 - - - - Oo: 73 p 6.55 - - - hi " 0.77 eximie vor dic Im nid nw à: 76 p. 9. 77 fereno J. 25 Apc Cápilljé e fü vert. Maid: prox. 8.56 Alit. .- - T €- 9. 74. 25? 567.4 ^"Pend.g. 9- .-—- - .- A 0. 73: — 860. 9i Be mM Tet e EP M 9.75 9.427 vs - * - - 9. 74r 2 Q9 1. - - - o. 22E£ d. 1t. Febr. 1753. o^. 7' 4E ^" Pend. Merid: verus ex g. Alt. C refp« 7. 48, Pend. centri O ad fil. vert. Merid.. prox. (27.1 2/^. mora obf.tranf difci); eod.. 18" 30'.r2" Pend. Altit. Capellae infra Polüm: 21440 5 fil.-E 18:447. gcomqe. Rod ene ehe Uo Tas 3« 492 Coelo eximie - 31. 5$ e-- -06 n» - Y. 415 51. 28 m.. La e»- --— L. 58. fereno 32. 8 E I. 34. $2. 26 Agp- Capell ad: "m vert. Mer. prox, 23^.56' 46; Pend 33. 2r * - I. 34. zt 469 33.43 - E - z Y. 373 g4 HE -5T de - r.39i 34. 40 - - -c - P 40s. 34.58 — :: r. Dun 42- d. SN: Limbo qua rantis in Merid.. pofiti occidentem Ice: 9.32" 5 i; Pend. Ait. rebns -9o 3o "^v. LübroM ga. 33. 12. T x 24 - Q. 85á; Coelo, 528 OBSERV ATIONES Coelo 99.55/.32" grate $53. 56 fereno 34. ?3 34. 4I Sec. callum 35. 17 Caff. per Meri: 55.52 E tranfiit 9*.3$^.37: Pend. 36.45 37. 5 37. 3I 37. 56 38. 29 38.55 35. 37 App. ET ; ad fl. temp. 56. 25 Altit. o. $51 O» 8 4. Oo. $3 O. 82 Oo. . Bo o 8I vert. Merid. prox. 88 D.is. Febr. 17553. 0^. 6^. 5" Pend. Merid. verus ex 5 Altit. C) refp. D. "n ebr. $2. $9 39. 24. 33. 34. 34. Alt. 34. 56 35.23 35. 50 i 36. L d. 2. Febr. d. oe 47 33. 55 App. C6 ad 2. 2 2 » I9. 32. 26 Pend. Alt. Q Cafliopeiae. infra Polum I26 T -d- 2R, 52*, 51i «49 «49 ad fil. vert. Merid. prox. -L- 2. 50 2. B nh 51 . 52 Zr «53 E E4 ud " Pend. Me verus ex 9 Altit. O refp. "els b 0.192 152" Pend. Merid. verus ex 6. Alt. O refp. O0. 40. 11 Pend. app.centri O ad fil. vert. Mer. prox. 44. 29 a;"— uit d. CEXFPNAÁARES $29 d. ** ie oX41'. 97" Pend. App. centri O ad fil. vert. Merid. prox. d. 25 W^ o5 45*,5 5!" Pend. App.centri (O) ad fil. vert. Merid. prox. ' €od. 8^38'354" Pend. Altitud. (8 Andromedae füpra Polum ——06.0.-1-2^* "P. «LU asi im oA, t i - Mu ede 39,19 - - - - : - 2. 1O 40. 152 App. B Andr. ad fil. vert. Merid. prox. AXMEO Nin uoWCE TA romper. me PB qw 5 LAS ONE USE. oe i az d. 4. Mart.o?.15'.59^ Pend. App. centri C) ad fil. vert. Mer. prox. eod. 13^.38' circitér ( hora nimirum culmin. ) altitudo Q. An- dromedae infra. Polum .— »?. 50' -i- o^. OF. exactiffime. Secundum obíeruata circa tranfitus & Lyrae per fil. Tubi muralis d. ;4. et 5. Mart. peracta prodit motus Pend. Aftrou. ita comparatus , vt. 23^. 567. 46?" — 360". Pro determinanda refractione ex-compa- ratione obferuationum Oefilienfium circa Íftellas. auftraliores habitarum. cum. iis, quas circa easdem in promontorio B.$. habuit Cl. de la. Calle. It. pro - varia- tione refra&ionum Alt. Merid. ob- feruatae in Inf. Oefilia. t d. ;257^* 1252. Altit. Merid. app. Rigel .25?,20'—1*.2 7". eod. - , -..Altir. Merid. app. Siri. — 155. 20;- ; fil. -- 2. 54^. d.2.Oct. - Altit, Merid. app. Sirii — 155.207. -4- 27. 467". d.i.Od. - Alt Merid app. Siri — 159.5307. -i- 2* 48". d.z.O&. - Altit. Merid. app. Sirii 15. 20 -1- »* 49F. d. 2, Febr. 1755. Altit Merid.app aHydrae- 2 4?.10 fil. -poR, 36", . Tom. VIII. Nou. Comm, Xxx cod. a2 1 2 9 à 539 OBSERVATIONES - eod. - - - Altit. Merid. app. & ^4 — 167.56 — 0". 65*." eod. *-* - - Altit. Merid. app. 8 'w — 12? 407 1E. 567. eod. - - * Aitit. Merid. app. a :w —96* o^ fil. n 14". d. 5. Febr. - - Altit. Merid. app. a ww, — 69. o'. -1- 1. s g? ! d. 5 ; Febr. 1^.ante culm.Alt. Mer. app.Sirii — 15?. 207 4- 2^. s0:F. cod. coclo eximie Altit.Merid. app. 8 — 12^.50^-z fil. -25.97". eod. fereno : Altit. Merid app. w, —6'.0 /-4- 1*. 6c*. . 4.Maii - - Altit.Merid.app. 8 W — 12^. 50^ — 38. 18". eod. .- - - Altic.Merid. app. a Ww — 6?.0/—; fil. 4- x- 1 4v. d.7 15 — . . Altitud. Merid. app B W 12". 5o ;.31. 24. d 26 Maii - Y pa - 7 — Altitud. Merid. app. à WX — | 9". 40^4- 8^. 6. Obferuationes fixarum , quae eandem fere habent Altit. Merid. Arensbur- gi et in Promont. B. S. d. :* Nou. 1755. Altit. Merid. app. & 4) — 45*. 0/— 1*. 95*. d. $& Febr. 1753. Altit. Merid. app. Vindemiatr. — 4.42.0 4-17. 75F. Obferuationes Oefilienfes flellae Polaris pro determinanda Eleuatione Poli Obferuatorii Arensburg. d.:2O&. - - o^11/43";Pend.app.cent.Od fil. vert. Mer.prox.- d. $ Q^ 1352. oP.12^.19; Pend.app. cent Q id fil. vert. Mer.prox. d.Z &c - - 10^17/.56// Pend. altitud. Polaris fapra Polum 00. 22 ROM 5875, | v-28. 90 - - . 38 2r. 8 App. Pol. PT fil. vert. Merid. uod 22. 9 Altit. - - - I. 37; ag67gar "REPE ir Shu c 24 45 TU sU PEE. 25. 47 sje iet i a I. 39; LVNARES. 531 31. 43 RU AEN eo cas UES a ng 33. IO - - 3 uS : l1. 42; EC 3 — € 50 M IEME ^ z. 4d 35. 34 . D: - " f X. 47 36. 5$ I. 50 que et 9* 13^.35// Pend. Meridies icdinds ex 6 " O refpond., «od. 10". 15^.5 1^ Pend.Alt.Pol.füpraPol.260?.209 --16l.- 15. 4.1*, 16. 20 e - - p -— 1, 595 I6. 45 - - - - - I. 58i £j. .0 - - - - T 1.39 17. 25. E - ^ zx. 39£| 17. 55 FUN Pol. ad 8l. vert. Meri. prox. 19. 16 Altit. AMNES, - 7 I. 38; 20. 48 - - - * « 1. 39€ d. 2». o*. 40. 15//; Pend. Merid. verus ex 6 altit. O refpond. 40. IY -— App.centri O ad fil. vert. Mer. prox. 2/5 — diff. d. 4; Dec. 19^.59/.15/ Pend. Altitud. Polaris infra Polumr — 565. 20^-- 2 v 1 fil. —25.6*;. 20. O. 32 - AOSLIIGG - 2.9 I. 59 - - 2. 8i CS Nu Pol. ad &l. vert. Merid. prox. 5. 24. Altt. - - E "URT I U e 8. 54 " * - 2. 2j d. *, Dec... 0^, 55*. 2971 CERE App.centri O ad fl vert. Mer. prox. d. ;? Febr.1753. o^ 6'/. s" Pend. Meridics verus ex 5.alt. O refp. d. 2 Febr. 145.17/.45^ — Pendul. Altitud. Pol. infra Pol. x2 565 209/—-2R. 6F. 18. 7 - - - - - [M 18. 30 - - - - - 2. 8i 18.58 .- - - - - 2. 81 Xxx2 19. $35 OBSERVAT. LVNARES. 19.21 - : - - 2. 8i 19.553 - - - - 2. 9i 20.20 - - - - 9. 1I LS - - - 8€ 2. 9 21. I4. - : - - 2. 9 21. 9€ - 2 - - 2.. 8 21.49 - - - E 2. IO 22.25 - - - - 2. 9i xt - - - 2. IO |. 23. 46 App. Polaris ad &l. vert. Mer. prox. 25.15 Altit. - - E 2. IO 26. 4 - - - -. 2. & 27. .6 - - - - 2. 6 28. 4 E - - - Da bj j^ - - - - 2. *9 - - 2, Qs d, 2: Febr. o^ Pen p^ Pend., Meridies verus ex 9 alt. O refp. Pro definienda differentia Parallelorum Obferuatori Petropolitani et Arensburgenfis. d. 7 $5. 1752. Petropoli obferuata fuit 2^. 4.5" poft cul. minationem et o^. 46^^ poft appulfüm ad fil. vert. quide alit apparens Procyonis — 35^. 5o! -4- zfil.-i- 2*. 5671. d. 3$ Od. 1752. Arensburgi obferuata fuit altit. Merid. appar. Procyonisz3 7?.40^4 2fil.—1P.5 2*: Calculo rite peracto, prodit ex hifce Obferuatis differentia Parallelorum quae- (ad T zc1541^14^, Ye 15". Conuanent. Á ec. cnp. S2! e trop. Jom. VIII ab. T. | Comment. cv. odo. cnp. Sc. dfitrop. Jm. VIE. Tub.T. Qi Po ( oómment 7 fe op he trop VJ óm lZl7ab. M. Comment. eov «le op e Petron Jom TZ 2 H du ue ; [Ecc ace A. D ZA T o TDDA [3 TB d | ( omment. Sféo TC dtp JEU Hop Tom. VZI Tà61H LODS Slo vc inp EU rtrop Tom. Yzt Tab Comment Jy. vc. Sn». N Sv. Prerop. Jon. Y .Ja6ly Comment V8. de. np. Ses dÉotrop. Jor, VII al I7 i Comment. JWov. Ac. S. Petrop. Tom. VIII. 'Tab.V. * », Comment. Nov. 4c. Sr. Petrop. Tom. VIII. Tab. V. lenis Comment Mov. vec Imp ; JO Qetrap Ton VILI 1T z. e. e Comment. Jov. etc. mp . Je «V etrop "om..VII .Ta6.VIE . IIT | im j^ Il I li p EET E 1 **d I M DEI IAN ONU VR l TIE ADT T | MN ^V trop "Tom VI fib VI. y Az. Comment ov. tc . dp. Jc. «trop. J'orn . VII Ja5 VH. ^ SS D | E L E d h3 M à ; uc Z2. G H TUI TRI po —r—— -— Vtt Jab VUE Comment. Iov. 4c. Se. Pelrop Tom VII Tab Ix. B N Comment. Iov. «4c. Se Pelrop.To m VIITab. D ! Conmmnentc £12). D, Jy. Óo. otro 1277/7 ZLX. Comment EJ9v oo, org. So. trop, Jor VIZ, Tux. Me Cormmen ELMO». tc. mp Se errap. orn Vll XI, T S S od E $ N Comment; Wov. Ac. JotpaYcAbbrup orc VET. 184 XT. Wd EN (N I T wd Cose vf midia. INSANE. NV 22 mpm yof pep NU E * daga yd uer opee47 upuoeeno ) ES z 3 S P M 2 Tm) S & X 4 Y Gmment.JA8y - Ac. Am MU ofchinomene Comment. «491. Tcp, -ofehinomene ií e a Jom. VILE Jeebh XII. 3! XN Mv Ac np fePetiy Tom. FHUI.Ta6.XII 3. ^ ^ 4A ""opato. a2 td 7 E S hi Nx MN hi Nl ^ ^s M N S nos Lr (20/70 2 AX QUE Comment.cxov,. de Iro Se M btrop sry, Vitt ad Xitt, " ; ; Prbeszn [74 Comment. Aov.« (c «9p. dc. (rop lm Jl ab. XUL . c. LT. - v : un E omment. Nov. 4c. mp. We. Petro. Jóm..Vr . Ji XEV- QUA ERST Comment. Nov. tc. Smp. o Petrop. Jm .Vüz ..Zab XIV. Ne. ^ Wi y * 11 Na n , d ! n ] i ^ [m nm " a peus ' E [D [ pp n , T4 H L si í : Nu mu p "iu / hU mr wv up Ae is ^; AUI Buona HLHEPHDE Bn mre n j m ma u iYaanin nnno pore non Yet d WrrHUM s: THHrT IHREN Hn DOO DDDOPOEE uu : ] Us Winnnimimibinhin, mon j Vs eet nim 1 Vari Dein FL eran rom DH ; "up tres an "utn LIOPITDETHEE "Hey iHa En PILAR ADLER IAIUA zt TODA za IANISS UII P OO z m QU Vl: ve de n dM EPA iE VS a erar ar D Ez FERCPPHUPIEUSRPETOGDU CIE