Dan mom Hem TITETE eia ae MRELPE m mare Tide Ra ed eveet "a MEHMEE nmm rn mumun ro I E1444 7b qa anao 0 SIR bi tà e at rap à Dmge Da am. "a Vastu pdt prr TA Ea e enn IEEUHHERU TERRE D Ü Meier irt (R8 ra gusten: Ho ins atit n mom D PETERE nini ! me ye 2d , NS " j L! T n ) la ! b ] i e 36 xl ! hi ] b Dos | i 90.145 1 " Ye LA LE » Lr HT y n D | i | ha y : TET ) , T7 ! , : à DECLA E h ET í L I Ni E x ! lo "D Á bj : ) Ag H n Y , Ój 2*4 [. , i] j ! * L] "*NL j J 4 'def h ] ' n " ML D IL PXATMS DA OA uno ih ADS Ly NOVI COMMENTARII ACADEMIAE. SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE .'TOM. XIII. po Ano MDCCLXVIII. PETROPOLI TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXIX, SVMMARIVM DISSERTATIONVM, QVAS CONTINET - NOVORVM COMMENTARIORVM TOMVS XIIL MATHEMATICA. d | I. De curua Hypergeometrica hac ae- quatione expreffa. | je MCA dad Au&ore L. Eulero pag. 35. n praefenti differtatione Illuftr. Auctor proprie- tates fingularis cuiusdam curuae explicat, quam nomine hypergeometricae infigniuit eam ob cau- fim , quod íi huius curuae abfcifüe fecun- dum ordinern numerorum naturalium capiantur , applicatae progreffionem hypergeometricam JJalijfü fequantur. —Etiimfi vero minus pateat, quomodo €x aequatione propofita , indoles curuae pro iis ca- fibus definiatur; vbi x per numeros fractos expri- mitur, in genere tamen liquet hanc aequationem etiam ad iftos cafüs applicari poffe, quoniam ex eadem omnino pateat, fi pro x —p, fit y—4, fore quoque pro r—p-i-ri, y—4(p-r-1) atque pro x-p—1i,.ycL. Infignes vero curuae commemo- ratae proprietates, quas hic contemplatus eft Illuftr. Auctor, quatuor omnino quaeftionibus contincritur , a 3 qua- 6 ec5 (o) 25$ quarum prima in eo veríatur, vt inueftigetur pro hac curua aequatio continua inter abíciffam x et applicatam y, quae pro fingulis valoribus ipfius x locum inuentura fit, /ecunda rationem exponit , qua directio tangentis ad datum quoduis curuae puactum definiatur, Zerija vero indolem portionis minimae huius curuae , circa id punctum fitae de- terminat et denique quaría naturam curuae circa pusctum eius infimum , vbi applicata eft minima definit. Pro prima vero quaeflione refoluenda , quum aequatio primum propofita, in alias ex factoribus in infinitum excurrentibus compofitas , variis modis transformari queat, ex quibus nouis aequatiopibus iterum alias deriuare licet; praecipuae earum $. 12. recenfentur, vt ex illis quouis cafü, quae ma- xime ad víüm accommodatae videntur eligi poffiat. Praeter iftas vero aequationes occurrunt quoque. fa- les, vbi applicata y per aequationem integralem de- finitur, erit enim pofito x — f, nouamque variabi- lem 4 introducendo y — f4u(Lif, integratione nimirum à termino 5 — o vsque ad 4 — 1 peracta, fimili quoque rátione erit y — f/e-" «P dv, vbi in- tegratio a valore v — o vsque ad v— «v extendi- tur. Pro inuefliganda ad datum quoduis curuae pundum eius tangente , imprimis adhibita eft ae- quatio V ex $. r2, quippe quae huic negotio ma- xime viía eft idonea, deinceps autem formula ge- neralis pro tangentis determinatione inde deriuata, ad praecipua huius curuae puncta adplicata eft. Si- militer x32 ) o ( $53» 7 militer ad binas vltimas quaeftiones explicandas, ae- quatio haec V in víüm vocata eft, vnde non fo- jum tra&us curuae egregie illuftratur , fed etiam radius curuaturae eiusque variatio per formulas Ini-. xime concinnas definitur. Quum vero Ilfuftr. Auctor obferuauerit for- mulam x. 2. 3 . . . . X exprimi quoque poffe per hanc feriem : A -x(r- 14-29 (a— 3) ete. quae quidem feries etiamfi ad curuae hypergeome- tricae naturam: explicandam nom admodum fit. ido- . nea, Geometrarum tamen attentione quan: maxime digna videtur; hínc reliquam huius differtationis . partem , vberiori huius feriei explicationi deflinauit, vbi eam flatim in generalioremi transmutauit fubfti- tuendo iu exponentibus 5 loco x cc iu coeffcienti- bus zz; loco X, €x quo igitur apparet, íi fuerit m"n-—im, fore fummam huius feriei — 1.2.3... qm. Quomodo autem pro aliis cafibus quibus zz et m funt inaequales , haec fümima comparata effe debeat , de eo imprimis fufius heic agitur. ^ Et generatim quidem demonftratur, íi fuerit & 5, poüis am- bobus numeris 7 et 7; integris , vel faltem — s numero integro pofitiuo , fore fummam huius fe- riei — o. — Pro hac autem fumma definienda , vbi n 2m fpecies primo euoluuntur cafus , quibus n-mm-r-rz,m-m--s we n—m-i-3 etc. tum vero idem in genere perficitur pro valore ipfius 4— m-r-2, quae : «m2 Co) $e quae quidem fummatio egregiam feriei allatae trans- formationem füppeditat, quam igitur illuft. Auctor alia. deiaceps via magis directa inueftigare , operae pretium iudicauit. ^ Atque haec demum inuefligatio, occafionem fübminiflrauit , eiusmodi fummationes multo generalius perficiendi , ita vt denotante :x func&ionem quamcunque ipfius x, etiam. fumma hu- ius feriei : jy 0iux—mOo:(x— 1)-4- 52-90. Jab —OSEEP pix 3)-4- etc. affigaari queat. IT. Quomodo numeri praemagni fint ex- plorandi, vtrüm fint primi, nec ne? Auc&ore L. Eulero pag. 67. bx maximi momenti quaeftiones Arithmeticas , praecipuum omnino locum tenet illa, qua quae- ritur de methodo explorandi naturam numerorum ; vtrum primi fint nec ne? Quamuis autem hoc ipfum , vix alia ratione generaliter perfici poffe vi- deatur , quam operatione vulgari, qua diuifio per omnes numéros primos , ráàdice quadrata numeri pro- w$95 (0 $m — D propofiti minores eft tentanda; quum tamen haec operatio pro numeris mediocriter magnis, iam ope- rofior fit, quam vt f(uícipi queat, hinc operae omnino pretium erat, eiusmodi methodum tradere, quae etiamfi pro certo tantum numerorum genere valeat , ad numeros tamen quantumuis magnos iub eo compreheníos , explorandos applicari poffit. , Quum itaque Illuftr,, Au&or poft Fermatium obfer- vauerit omnes numeros primos in hac. forma 4/-|-IX contentos non nifi vnico modo , in duos numeros. quadratos refolui poffe , exinde viciffim colligit numeros huius formae 47-1-r, qui vnico modo in duo quadrata re(oluuntur . fore numeros primos , illis tamen, numeris, exceptis , qui. ipfi funt quadrati. Examen igitur hoc, ita infltuendum eft, vt. a, numero. propofito, omnes numeri quadrati ipfo minores fubtrahantur ,. eaque refidua notentur , quae etiam numeri funt quadrati , vbi fi fiat, vt vel nullum vel plura talia dentur refidua, tum tu- .to colligere licet , numcrum effe compofitum 5. fin autem. vnicum detur , erit numerus propofitus vel primus vel ipfe quadratus, qui duo cafüs facile ab inuicem dignuofcuntur, . Liquet autem pro hoc fine obtinendo fufficere , fi a numero propofito tantum quadrata femifífi maiora fubtrahantur , quo ipfo nu- merus fuLtracionum ad trientem fere redigitur. Quum vero etiam baec operandi ratio pro numeris praemagnis nimis fit molefla , eae fübtractiones heic excludendae funt, quae ad talia refidua perducant , Tom. XIII. Nou. Comm. bt. quaa m $35 ( 0 ) $e3ee quae cum quadratorum natura confiftere nequeunt , qualia funt, quae his formis continentur 377-1-2, 571-32, 851H-|- 3 etc. Si igitur numerus propofi- tus Nzc44--1 fimul contineatur in his formis 3-2 et 5m-1-2 vel $3m-|-2 et 5m-1-3 , inde perfpicitur quales effe debeant numeri , quorum qua- drata fubtrahenda fünt. Scilicet pro r"^ fpecie, qua N-4n--: per has formas 37-1-2, 57:5-1-2 ex- primitur, continebitur NN in hac formula '607--17, vnde fi N—xx-i[-yy, erit x vel y, huius formae 155p--(r.4), nempe vel 15p-- r, vel 155p 4 4. Pro altera deinceps fpecie, qua N—472-1-r, du- plici forma 377-1-2 et 577-3 exprimi poteft , erit quoque idem N huius formae 60.27-1-53, vn- de ab eo, ifta folum quadrata fübtrahenda funt, quorum radices in forma r55p-1-(2.' 7) continentur. Omnes vcro numeri formae 47-j- 1, quum fub his quatuor fpeciebus comprehendantur : 16.2-|- 1, 16.2-1- 5, 1x6.2-1- 9, 16.4-1- 13 fi hae quatuor fpecies, cum binis praecedentibus combinentur , orientur inde octo nouae fpecies, pro quibus formae radicum numerorum fübtrahendorum facile exhibentur, atque tum demum totidem nouae fpecies oriectur, fi formae 32:4-1-5, $2.7-1- 13, $2.1-- 21, 32.5-1-29 cum binis principalibus combincentur. — Quae autem et quales fint pro quo- vis cafu, formae radicum numerorum fuübtrahendo- rum ex ipfa Diffrtatione addifendum eft, ad quam ftudio- e5$(0)829 ar fludiofe euoluendam Le&ores ablegamus, id tantum obferuantes , quod numeri primi hac ratione explo- rati 3861317 atque 1oogr4or tam magni fint, wt non fine labore taediofifimo , methodo vulgari , eorum indoles inuefligari poffit; quamobrem liquet examen heic allatum , eo maioris effe habendum ; quod ad numeros maximos fine vlla calculi prolixi- tate applicari poffit. ! Ii. T. INoua criteria radices aequationum ima- ginarias dignoícendi. Aut&tore L. Eulero pag. 89. Q'* a Newtow) aliisque poft eum Geometris, allata fuerunt criteria , ex quibus cognofci poffet, vtrum aequatio aliqua radices habeat imagi- arias nec ne.? licet in fe quldem vera et indubia fint, ad finem tamen propofitum .obtinendum mi- mime fuüffcere inueniuntur , quum nimirum quoties Tadices imaginarias indicent , tales quidem re vera aequationi ineffe deprehendantur, quando autem nul- lam radicem | imaginariam. indicent , faepenumero «tamen fieri poffit, "vt eiusmodi aequatioris vel plu- res wel adeo -omnes radices fint imaginariae. "Hoc iautem imprimis euenire folet jn eiusmodi aequatio- | b 2 nibus 12 ex32 ( 0 ) $0 nibus vbi duo figna eiusdem naturae fe continuo infequuntur , fic nimirum in aequatione biquadrati- Cà: X*-4x'—8Xx—24X-1-108—0, quamuis ad praefcriptum criteriorum iam dictorum. nulla radix imaginaria reperiretur ; tameu certifhmum eft, omaes eius radices effe imaginariis, quippe quum eadem aequatio refoluatur in has duas quadraticas Xx-8x-L18-o0 et xx—4x-|-6—0. In hac igitur differtatione Illuftr. Auc&or doctrinam de cri- teriis radicum imaginariarum accuratius pertractan- dam fibi propofüit, quem in finem , primum me- thodos explicauit , quibus Auctores vfi funt ad haec criteria inuenienda , tum vero. oftendit, quomodo multo pluro eiusmodi criteria erui queant. Przmum autem . principium . in. hac doctrina adhibitum in eo confifit, quod fi omnes aequationis cuiusdam radi- ces fint reales , et ex hac alia aequatio formetur , cuius radices aequentur quadratis illarum , tüm né- ceffurio fieri debere, non folum , vt omnes aequa- tionis fic formatae radices fint reales , fed. etiam pofitiuae , ex quo principio iam magnam buiusmodi criteriorum copiam deriuare licet. ^ Euidens autem eft , quod hoc principium multo latius extendi queat , adeo vt ex aequatione quauis propofita, aliae deriuari poffünt, quarum radices fint vel cubi , vel biquadrata , vel altiores quaeuis poteftates rudi aequationis propofitae. Secundum | principium in -eo continetur qnod fümma quadratorum ex differentiis radicum conílituat numcrum pofituum, vnde fi fumma e$88) o ( 58e 13 fümma omnium radicum dicatur z et fumma pro- du&orum :ex binis Db, clicitur aa 5 ;—; b. — Pet tertium principium haec dois à ea ratione indagan- tur, quod ex aequatione propofita duae aliae deri- ventur, de quibus etiam certi effe poffumus omnes earum radices effe reales , fi modo fingulae aequa- tionis propofitae radices fuerint reales. — Prima vero harum oritur, fi finguli aequationis propofitae ter- mini, per feriem arithmeticam 7, zy—1, 5—2, etc. multiplicentur ; fecunda vero íi iidem termini in hanc .progreflüonem | arithmeticam o, x, 2, 3 etc. -ducantur. Ex his duabus aequationibus gradus 7z— t, deinceps: tres nouae gracus z7— 2 deducuntur, vnde continuata hac operatione demum ad aequationes fe- cundi 'gradus peruenire licet , quae autem. criteria in aequationibus fic deriuatis locum habent , eadem quoque ad aequationem: primum . propofitam . appli- cari poterunt. | Quoniam vero. nimis operofum fo- ret,. fi per 'eiüsmodi deépreíffionem aequationum a sende diicrieris rd: inferi orem. hoc negotium — perfi- ceretur, hinc llluftr. Auctor generalem tradidit. me- thodum , qua ex. aequatione cuiuscunque gradus, iftiusmodi aequatio quadratica flatim elici poteft. His itaque criteriis abíolutis , quae ex charactere aequationum | quadraticarum deriuantur, fequuntur cea, quae fimili ratione ope characteris aequationum cubicarum eruuntur, et quorum L[liluftr. Auctor primus mentionem fecit. ^ Poftquam igitur characte- iem completum pro aequationibus cubicis , quarum b 3 Innes 14. ' $35 ( 0 ) $59 omnes radices funt reales. inuefligauerit ; often- dit quomoco criteria inde deriuatz, ad aequatio- nes cuiuscunque gradus applicari debent, quod fit, iftiusmodi aequationes ad aequationes tertii gradus ratione iam ante expofita deprimendo. ^ Vt autem hoc ficilius et expeditius inflitui queat, oltenditur quomodo in genere ex quauis aequatione , aequatio- nes cubicas elicere poffimus , quorum chara&eribus in víum "vocatis, oriuntur criteria pro relatione inter quaternos quosque coefficientes fuoccefhuos, quo- rum ope dignofcere licet , am aequationis propofitae radices fint reales nec ne ?* Simili negotio ex cha- ractere aequationum biquadraticarum radices reales exhibente , criteria erui poffent pro exprimenda re- latione inter quinos quosque coefficientes aequationis propofitae; fed quum hae formulae nimis euade- Tent prolixae , iis inueftigandis non incumbendum effe videtur. ^ Denique ad finem huius differtatio- nis Illuftr. Aucor exponit, quomodo fingula haec criteria, ex duobus tantum principiis, idque me- thodo admodum fingulari nec non concinua , dedu- cantur. | IV. —55 )0 ($59 15 ent: JpNJS Confiderationes de "Theoria motus Lunae perficienda et imprimis de eius variatione. Au&Gore L. Eulero pag, :2o. ponen fummi noftro feculo. Geometrae in eo füam exercuerunt induftriam ,. vt "Theoriam motuum Lunae omni ftudio perficerent atque a Celeberr. Mayero .Yabulae Lunares obíeruationibus apprime conformes conftruétae fünt, facile im eam quis induci poffet opinionem , hanc ipíam Theo- riam ad fümmum: perfeé&ionis gradum: euectam: effe; tantuni autem abeft, vt de eo fibi gratulari queant Analyfe , vt potius multae adhuc inaequalitates Lunae füperfint, quae neque.ex Theoriis ab Aucto- ribus in medium allatis nec ex Tabulis Mayerianis affienari poffünt, atque etiamfi hae, quoniam ad—- modum paruae fint, facile in praxi negligi poffunt, in Theoria tamen mimnme praetermittendae viderr- , tur, quonianr ea, íi perfecta érit, omnium pror- füs inaequalitatum . rationem | reddere debebit. — Vt autem Theoria feliciter excolatur , confultum omni- no eít, non ftatim a vero motu Lunae ínitiuni facere, quonianr explicatio perturbationum , quibus. erus motus Lunae tam: fecundum longitudinem quam. 16 epis (o) Side quam latitudinem afficitur , ipfas Analyfeos vires fuperare videtur. . Cafüs igitur primum fingendi fünt fimpliciores et quidem ante omnia motus Lu- nae in. latitudinem remouendus videtur, adeo! vt iam inueftigandum fit, qualis foret motus Lunae, fi in ipfo Eclipticae Pun incederet , tum vero quo adhuc maior facilitas obtineatur , motum Solis tam- quam vniformem fpectare licet, vnde id^ commodi aancifáimur , vt nullae aliae inaequalitates inuefti- gandae fuüperfint , nifi quae ab excentricitate orbitae Lunaris atque ab elongatione Lunae. a. Sole origi- nem dücunt. Sin vero adhuc maior fimplicitas de- fideretur , ipía -confideratio excentricitatis- orbitae Lunaris negligi poteft, adeo wt iam quaeflio. fit, de inueftigando motu Lunae, fi in ipfo Eclipticae plano , fine vlia excentricitate incederet , Sole -mo- tum fuum vniformiter abfoluente. Hoc: átaque;; in- fütutum , quum Illuftr. Auctor in praefenti differta- tione períequi fibi propofuiffet , primum | formulas differentiales exponit , quibus motus Lunae. in ecli- ptica incedentis atque tam. verfus Solem quam . ter- ram , fecundum legem: attractionis. JVew£onianam im» pulfae , definitur, ex quibus formulis poftquam "ope diftlantiae mediae Lunae a terra et ratione inter motum medium Solis et Lunae data, confideratio- nem maffarum Solis Lunae et terrae. eliminauerit ,. oftendit quoque qua ratione hae formulae differen- tiales ad integrationem perduci poffunt. ^ Hoc vero sbfoluto , explicat quomodo 'excentricitatem | orbitae Luna- eg (o) $$ a) Lunaris ia computum ducendo , ad formulas diffe- rentiales primi gradus peruenire liceat , quae in caleulo Aítronomico cum infigui emolumento adhi- beri poffunt. ^ Duplicem 'vero imptimis talem -heic adhibuit reductionem , quarum quidem priorem iam alibi füfius explicauerat, vtramque tamen heic fi- mul exponere voluit , vt de coinmodis ex vnaqua- que earum redundantibus iudicium ferri poffit Re- ductionem. autem deinceps generaliorem , quae binas praecedentes in fe complectitur , exhibet. — His au- tem reductionibus adhibitis , vsriationes tam femis parametri orbitae, quam excentricitatis et lineae apfidum formulis admodum concinnis et ad vfum pra&cicum accommodatis definiuntur, et praecipue quidem fi exceütricitas fatis fit notabilis , primam reductionem in vfum vocare licet; fin autem ex- centricitas füerit quam minima vel adeo nulla, neutra harum reductionum vti fas eft. Quum ve- ro hic cafüs merito pro fimplicifhmo fit habendus, hinc lIlluftr. Auc&or ad eum euoluendum aequatio- nes differentio - differentiales primum allatas denuo confiderationi fübiecit, indeque approximationes huic inftituto idoneas eruit. Atque inuentis fic binis ae- quationibus quibus motus Lunae continetur, operae pretium iudicauit, fingulos eorum terminos euol- vere; adeo vt hinc pro cafü iam allato, ad datam quamuis longitudinem Solis mediam , tam longitu- do Lunae, quam di(tantia eius a terra numeris ab- folutis exprimi poffit. Tom. XIII. Nou. Comm. c V. 1$ wee, (o)ss M: Annotatio quarundam cautelarum in inueftigatione inaequalitatum , quibus corpora coeleftia in motu pertur- bantur obferuandarum. Au&ore L. Eulero pag. 1:59. uod Vezwtomus de corporibus coeleftibus primus demonfítrauit , ea hac lege moueri, vtíe mu- tuo in ratione duplicata inuería diftantiarum — attra- hant, id adeo fufficienter per obferuationes compro- batum eft, vt nullum füperfit dubium , quin haec - fit genuina lex, fccundum quam omnium corpo- rum coeleftium motus peragantur ^ Quemadmodum enim theoria Lunae huic principio füperftructa, cum obíeruationibus optime congruat, adeo vt pro indu- bio baberi debeat ,. Lunam tam verfus folem ; quam terram fecundum regulam Mewioni commemoratam impelli; fic quoque dubitare noa licet , quin ano- maliae iftae , quae in motibus reliquorum planeta- rum , tam primariorum quam fíécundariorum obfer- vantur , fimilibus cauffis fint attribuendae. — Et qui- dem in Saturno et Ioue perturbationes hae. maniféfte fe produnt, in eorum autem Satellitibus perfimi- les motuum variationes obferuantur ac in Luna. In Marte vero , terra , Venere et Mercurio, quamuis | hae we35 ( 0 ) $80 I9 hae anomaliae, non adeo fint confpicuae , multum tamen a vero aberraret, qui horum Planctarum motum regulis Kefderiamis penitus conformem fla- tuere velle. Id enim fi locum obtineret , in ipfo- rum orbitis neque lineae nodorum vllus motus, nec apfidum variatio aliqua obferuaretur; quod tamen quum íecus fit, manifello inde colligitur hos pla- netas non vnice verfus Solem impelli , fed quoque infe mutuo agere , ex qua etiam cauffa fine dubio quaedam. inaequalitates in ipfo motu eorum oriri debent, etiamfi eaedem vix perceptibiles fint. — Vt igitur omnia corporum coceleftium phaenomena rite explicari queant , in vfüm vocanda eft refolutio iftius; problematis, quo. quaeritur de motu trium aut plurium corporum , quae fé mutuo attrahunt in ràtione reciproca duplicata. diflantiarum. Hoc autem problema in genere fpectatum difficilius effe videtur, quam vt fípes aliqua efle poffit , illius re- folutionem. completam aliquando inueniri poffe. Ra- tio autem huius difficultatis non. in Mecbanica quae- renda eít, quippe quum vires corporum accelera- trices , indeque ipíae accelerationes eorum facillime definiri et formulis exprimi poffint; fed in ipfa Analyfi continetur , quoniam aequationes differentio- differentiales quibus hae accelerationes exprimun:ur , plerumque adeo funt complicatae , vt refolui- ne- queant. Hinc igitur videtur completam et omni- bus numeris perfectam Theoriam motuum coeleftium exípectari non pofle, quousque methodus generalis c 2 non - 40 i wo ( [e] ) e cien e non pateat, aequationmes differentio - differentiales in quibus variabiles vtcunque inter fe funt permixtae refoluendi. ^ Licet vero hoc problema adeo genera- liter fpecatum tantis implicetur difficultatibus , pro cafibus tamen fpecialibus fieri poteft , vt illae diff- cultates multum diminuantur. ^ Sic cum quacftio eft de definiendo motu Lunae, qualis ex terra fpe- &atur, haec commoda quae folutionem faciliorem reddunt, obtinentur, primum vt motum Solis ap- parentem tamquam cognitum fpectare liceat, dein- de di(tantia Lunae prae diftantia Solis admodum fit exigui, tum. vero excentricitas orbitae et inclinatio eius ad planum eclipticae fatis paruae fiunt. | Si vero fupponeretur Lunam adeo a terra fuiffe remo- tan , vt Martis vel Veneris locum occupet, tum eueniet vt Luna motum planetae primarii fequere- tur, eiusque perturbationes fimili ratione. determi- nandae effent, ac perturbationes motus Saturni vel alius cuiusdam planetae primarii. In vtroque. igi- tur hoc cafu, diuerfo plane modo inaequalitates.mo- tus Lunae determinandae fünt , quippe quum in prio- ri Luna ellipfin circa terram effet defcriptura, in altero vero circa Solem. Qui igitur veram motus Lunae theoriam tradere vult, illi incumbit eam. ita exponere, vt pro omni Lunae fitu et ftatu locum obtineat. — Haec autem non folum. de motu Lunae valent , fed ad reliqua quoque corpora coeleftia ap- plicari poffünt. ^ Propofitis igitur tribus corporibus fe mutuo attrahentibus , omniüo maximi momenti eft «42 ( 0 ) $e 21 e(t disquifitio ,, qua . inueftigatur | motus refpcc&tiuus duorum horum corporim , qualis fpectatori in ter- tio- corpore collocato apparebit ; atque huius proble- matis folutionem: Illuftr. Auctor ia. hac | differtatione Sbfoluendam. fibi propofuit. .. Si itaque fupponantur tria haec corpora in eodem plano moueri, et fe mutuo attrahere fecundum regulam attractionis Vez- Lonianam , primum generaliter; oftendit quibus aequa- tionibus. differentio - differentialibus . exprimatur... mo- tus réfpectiuus duórum corporum: B. et C, qualis íÍpectatori in corpore A apparet , deinceps. vero ex- ponit quales mutationes, iflae aequationes fubire de- bent, íi vel vnius vel duorum. ex his. corporibus Ajy.B, C, maffae. vt euanéfcentes. fpectentur;. vnde fi. quaeftio- fpeciatim. fit. de |imotu; refpe&tiuo .Solis. et Lunae ex terra fpectando ,. defignantibus. A' terram , B. Solem et C. Lunam ,; duo: fpeciales oriuntur..ca- fus ,, alter quo tam .D,; quam. C pro euane(centibus habentur, alter:vero quo A. et. C. euanefcunt.. | Qua ratione, autem . iftarum. aequationum;- integralia pro vtroque cafu inueniri debeant, in. problematibus proxime fequentibus. docetur , , vbi. quidem pro. cafu pofteriori folutionem non ex ipía confideratione ae- quationum - differentio - differentialium . propofitarum deriuare licuit,- fed ex principio quodam aliunde petito; quamobrem eo magis confidendum .eft, ..ad motum Lunae accurate definiendum , multum fubfi- dii inde effe exfpe&andum , fi hanc folutionem di- re&e ex ipfis nempe.formulis differentio - differen- G3 tiali- $2 ext32 ( o ) S c9eo tialibus eruere liceret. Artificium autem heic adhi- bitum pro folutione cafüs huius pofterioris inuenien- da, multo quoque latius extendi poteft, ad defi- niendum fcilicet motum refpe&iuum duorum . cor- porum B et C, fi fupponantur corpora A et C | ad D (íecundum quamuis attractionis legem impelli , motibus tamen vwt antea in eodem plano peractis. Atque quum faepenumero contingat, vt. calculi compendia facilius. in problematibus generalior;bus quam Ípecialioribus inueniantur; hinc llluftr. Auctor motum reípeciuum duorum corporum B et C, qualis fpe&atori in A pofito apparet, fi omnia haec tria corpora in eodem plano moueantur et fecun- dum quamcunque diftantiarum rationem fe mutuo attrahant ,' generali problemate complexus: cft; - vbi quum ad fex aequationes differentio - differentiales perueniffet , quarum quatuor priores problemati fol- vendo fufüciunt , duae tamen vltimae non. plane vt inutiles reiiciendae funt, quippe quod iis in fubfi- dium: vocatis et cum reliquis debito modo combi- natis, non folum duae aequationes differentiales pri- mi gradus eruantur ; fed etiam hae folum cum víu adhiberi pofüint, pro illo cafü , quo A — o. Quo- niam denique conftet motum Lunae ,' fi terrae. val- de fit vicina, recte ad terram referri; fin autem admodum 'a terra diftaret , conueniens. fore , vt eius motus ad Solem referatur ; facile colligi poterit, fi quafi intermedium quendam flatum teneat, eius motum neque ad Solem nec ad terram effe referen- dum, ec3$ ( 0) $2 25 dum , fed ad aliud quoddam ^punctum medium , quam ob rationem ad finem huius differtationis oflenditur , qua ratione motus alicuius corporis ad certum quoddam punc&um relatum , ad aliud pun- &um vtcunque motum referri poffit. VI. Inuefligatio accuratior | phaenomeno- rum, quae in motu terrae diurno a viribus coelefbbus produci poffunt. Auctore L. Eulero pag. 202. Te iftud phaenomenon praeceffionis. aequino- é&iorum , quo punc&a aequinoctialia continuo re- grediuntur íeu contra feriem fignorum mouentur , cum veteribus etiam Aftronomis innotuiffet ; veram tamen huius phaenomeni rationem , in figura tellu- ris noftrae et actione, qua motus terrae diurnus a viribus Solis et Lunae afficitur quaerendam effe , nemo ante JVewtonum fuüfpicatus fuit, ^ Quemadmo- dum enim fi figura telluris noftrae perfecte fphae- rica effet, motus vertiginis ipfi impreffus eadem velocitate perpetuo continuaretur ; ita viciffüm fi haec figura a fphaerica recedat , adeo vt diameter aequatoris aliquanto maior fit.axe , ex viribus Solis ( et 24 «2 Co) 5e et Luaae hunc axem afficientbus ,. orietut momen- tum ad eum de fitu fuo dcturbandum. :: Qunm:ita- que llluftr; huius!differtationis Auctor, eam. Dye .namicae partem maxime ab(tru(am ,^ quae ;de moti» corporum Zyratorio agit, profperrimo fücceffu per- tractauerit ; adeo vt in gencre motus gyratorii cor- porum quacunque figura praeditorum et viribus quibuscunque fo]licitatorum filiciter determinari pof- fint ;-;hinc! iR praefenti differtatione €x. il!is. princi- piis. omnes inaequalitates motus terrae diurni expli- care conflituif , idque ita yt non folum verus mo- tus telluris gyratorius cognofcatur ; fed etiam reli- qui quos habere potuiffét ;; fi ab initio aliter fuiflet impulía. Hoc itaque in negotio vt primum confi- deratio figurae et ftrucuráe telluris euitari queat , quippe..quae plerumque ad calculos taediofiffimos - perducit , fta. infignis proprietas trium corporis axiumr principalium , quae in centro: inertiae Bor- maliter fe:decuffant, in vfum vocanda eft, atque tum quidem flatim liquet, fi tria momenta. iner- tiae refpectu horum axium , fint plane inter íe ae- qualia, motum gyratorium a viribus externis nul- latenus turbari , id quod quoque locum habet, et- iamfi. figura corporis gyrantis, quam maxime. fit irregularis , modo memoratam . illam proprietatem aequalitatis. momentorum inertiae refpe&u axium principalium poffideat. ^ "Tellus autem noftra quam- vis initio fuiffet fphaerica, tamen ftatim ac circa axem gyrari coepiffet, ob fluiditatem | eius figura muta- we ( Q ) S GO ; 25 mutationem fubiiffet, quam ob rem vt heic fluidi- tatis rationem habere non necefle fit, ftatim confi- derare licet tellurem , vt corpus folidum ea figura praeditum , quam vi fluiditatis fuae confequeretur , ex quo intelligitur omnes conclufiones hinc deriuan- das ob maris mobilitatem. aliquam corre&ionem ad- mittere. | Dum itaque confideratur terra vt eiusmo- di corpus, cuius vnus axis principalis cum axe proprie fic dicto telluris coincidit, reliqui autem bini huic normales ita funt comparati , vt momen- ta inertiae eorum refpectu fint aequalia, primum difpiciendum eft quaenam. varietas motui terrae diur- no, a motu qui initio erat impreflus inducatur:, . mentem a viribus Solis et Lunae agentibus penitus abftrahendo ; atque tum quidem perfípicitur , fi hic motus circa axem vel quemlibet diametrum aequa- toris imprimatur , eum non folum fore. vniformem, fed etiam axem gyrationis conftanter eundem fitum feruaturum ;; fin vero hic motus circa aliam lineam per centrum tranfeuntem imprimatur , tum motus gyratorius quidem manebit vniformis , ipfe vero axis circa. quodpiam coeli punctum circulum defcri- beret. | Accedentibus vero iam viribus Solis et Lu- nae perturbatricibus , non folum gyrationis celeritas admodum immutatur; íed axis quoque gyrationis motu magis irregulari fertur ; vnde operae pretium vifum. eft Illuftr.. Auctori quaeftionem adeo genera- liter proponere, vt ad eos etiam cafus pateat, qui- .bus terrae ab initio motum circa axem a principa- Tom. XIII. Nou. Comm. d libus 26 «3 ( o) $e libus diuerfum ivipreffum fuiffe fuüpponatur. ^'Vt igitur a fimplcioribus ad difficiliora - procederet , füuppofita primum aequalitate binorüm: momentorüm ipertiae , fequentes imiprimis cafus confiderationi (üb- iecit , primum quo vires perturbatrices vt cuanefcen- tes fpe&antur ,' fecundum quo aftrum: perturbans ^ in ipfa ecliptica et motu quidem vnifórmi incedere füpponitur , fertium quo: hoc aftrüm in orbita ad eclipticam parum iuclinata , fed motu vniformi cir- cumfertur, denique quartum quo aftro motus inae- quabihs fecundum. leges Kaepleriamas tribuitur , orbi- ta. vero; eius cum -ecliptica coincidit ; vbi quidem .vltimus cafus, ad explicandam perturbationem , quaàe ab actione Solis oritur , applicari ' poteft ,' tertius vero. cum vltimo coniunctus dabit explicationem perturbationis ab actione. Lunae: oriundae ;: commo- dum .autem accidit, vt non opus. fit ad horüm aftrorum inaequalitates refpicéere quum. enim. ano- maliaé ex motu medio refultaotes iam admodum fint exiguae , facile intelligitur eas , quae ex orbi- tae excentricitate oriuntur plane neglig! poffe. For- mulas vero analyticas quibus motus terrae diurni ob' vires Solis et: Lunae perturbatrices , variatio ex- primitur , poftquam Illuftr. Au&or expofüerit , eas- dem dein quoque numerice euoluit ; ita vt abfoluta quantitas. huius variationis inde innoteícat , vnde ap- plicatione facta; , ad. datum quoduis tempus. obliqui- tas. eclipticae eiusque variatio, non minus quam vera quantitas praeceffüonis aequinoctiorum et per- turba- «$35 ( 6 ) $eRe 27 türbationum motus diurai telluris noftrae , accurate determinantur. | | VII. Commentatio de vtiliffima ac. com- modiffima directione potentiarum —fri- Conibus Mechanicis adhiben- | darum... | Au&ore Daniele Bernoulli. pag. 242. Ce: in ;hac: differtatione ab Illuftr.. Auctore per- otractatum e(t argumentum , olutionem «onti- net quaeftionis Mechanicae | haud parum curio(fáe : füb quanam directione , potentiae motrices applican- dae fint corpori alicui .protrahendo ; vt tnaximus inde percipiatur 'effec&tus * Quamuis fcilicet primo quidem intuitu. videretur, potentiam refiflentiae di- rete :opponendam effe, re tamen accuratius perperfa, inuenitur plurimos dari cafus , quibos potentia fub directione ad refiftentiam obliqua cum maximo fru- é&tu applicatur. | Quoties nimirum potentia ad'cor- pus fuper plano afpero fprotrahendum oblique ap- plicatur, eiusdem potentiae duplex eft effe&us, vous ad corpus protrahendum , alter vero ad ipfum fub: leuandum , vnde patet ab obliquitate potentiae ah- ja difpendium fimulque vero lucrüm. oriti; ex d 2 quo /8 ema ( o ) See quo confequitur iflam potentiae directionem opti- mam ceníencdam effe, vbi lucrum fic oriundum , difpendium ab obliquitate ortum quam maxime .fu- peret. Quum vero fricio corporis füper plano afperi moti , partim. pendeat a pondere quo corpus ad planum ' dpprimitur , partim a natura plani corpori fubiecti ; fi dicatur P pondus corporis pro- trahendi , intenfitas vero frictionis plani fubiecti de- fignetur per i, angulus autem íüb quo potentia oneri fuper plano horizontali^ promouendo fit ap- plicata per z indicetur ; inuenictur potentia ifla oblipne applicata per hanc formulam expreffa : "ESEETM C Hinc itaque colligitur potentiam hanc fore minimam, düm denominator 7cof.z-4- fin. 3 eft maximum , bor eft quando tang.z—:, in eo 'au- tem cafü erit potentia haec. minima ad potentam dire&e applicandam vt. V(n2-1-1) ad z. . Sic quum Cel. Auctor obferuauerit viam filicatam ficcam , in trahas fuper ea protrahendas refiftlentiam | exferere , quae fit propemodum i ponderis promouendi ; ex hac theoria facile concluditur pro ifto cafu fore an- gulum z-— 26?,34^, quam regulam ab aurigis quo- que non male obferuari vidit , multo autem minor obliquitas fufficit , fi; via niue calcata fuerit obtecta; quoniam tum intenfitas fricionis admodum exigua eft. Pro rhedis autem curribus et aliis machinis rotalibus, emolumentum ex obliquitate ortum. pla- ne infenfibile fit, propter intenfitatem frictionis adeo diminutam , vt viX zj, poaderis partem fuperet. Ex EEr-Spe ( o ) e COR 29 Ex his igitur regula haec generalis formari poteft: obliquitatem potentiae tum vtiliter adhiberi , quando intenfitas frictionis (atis magna eft, ipíaque refiften- tia a f[íubleuatione ponderis notabiliter diminuatur, Vnde haec theoria quoque certis ca(ibus ad alias re- fiftentiae fpecies applicari poteít, veluti cum de pro- trahendis corporibus aquae in(dentibus quaeftio eft, idque imprimis íi ob potentiam oblique. applica- tam nón folum corporis natantis pars fübmerfa im- minuatur , íed etiam ob fitus mutationem iude oriundam', minorem ab aqua refiftentiam patiatur, 'Si vero iam quaeratur de angulo obliquitatis ; füb quo potentia applicanda eft, vt corpus fuper via ad horizontem vniformiter accliui protrahatur , eius quaeftionis folutio fimili plane ratione perficitur. Si enim angulus accliuitatis dicatur A, inuenietur po- "EDT | n fin« A -— cof. A. 334:18 d tentia ifla obliqua — 5,2 754.;- b, quae itaque erit minima , fi fuerit tang. z—7; , tum vero erit haec potentia fub angulo quaefito applicata DE [gn vbi probe notandum eft, fi de via decliur fermo fit fin. A negatiue fumi debere. Angulus autem ifte z co magis attentione dignus eft, quod idem fit, füb quo corpus proprio poudere in plano inclinato ,. fuperata frictione deuolui aut deorfum repere incipit. 25 PHY- go «232 (0 ) $2» PHYSICO -MATHEMATICA. I. De aequilibrio et motu corporum fle- xuris elafticis iun&orum. Au&ore L. Eulero pag. 25g. nter eas Mechanicae partes, quae nondum fatis excültae fünt, infignem omnino tenet locum doctrina de motu et aequilibrio corporum flexu- ris elafticis inter fe iuncorum , quam ob rem «eo maius pretium ftatuendum eft illis ,; quae liluftr. Auctor in hac differtatione de iflo argamento com- mentatus eft. — Confiderationi nimirum heic fubecit talia corpora rigida , quae certis inter fe iunguntur flexuris, quarum autem flexurarum ea eft indoles ,. vt vi infle&enti refiftant eoque maiorem refiften- tiam exfrant, quo magis. vis illa infledtens. flatum corporum naturalem , quem ante ioflexionem habe- bant, mutare annititur , fublata autem vi infl.&en-. te ob elafticitatem. flexurarum | corpora in fitum. naturalem reftituantur. — Vt itaque melius pateret. quibus principiis determinatio motus eiusmodi cor- porum innuitatur , fimplicifimum primo cafum con- fiderauit, quo duo tantum corpora rigida huius- modi flexura iuvpguntur; atque quum vtrumqme ho- rum "OUR D, ) quive 31 rum circa axem per flexurami tranfeuntem — moueri poffit, altero manente fixo, explicationem motus huiusmodi corporum ,' imprimis confideratione cen- tri inertiae ,' momentorum inertiae et vis elafticae inflexioni refiftentis contioeri concludit , quam. vlti- fnam *im finui aaguli iaflexionis effe proportiona- lem accurate demonftrát. | Simp'iciffimo vero hoc cafü expedito ; "ad cxplicati;nem motus plurium eiusmodi corporum flexuris iur ctorum accedit Illuftr. Auctor, vbi quum pirípexiffet hoc problema vix in genere tentari poffe; iftum tantum cafüm fpecia- lem examini fübiecit , quo omnes axes inflexionis in fingulis iuncturis inter fe (unt paralleli , motus- que in plano ad iftos axes perpendiculari abfoluatur, ina quo etiam fingularum partium centra inertiae fita cfa fuppoauntur. Antequam vcro motus eiüs- modi corporum Syftematis rite explicari queat, .pri- mum neceffum erat exponere , quibus viribus in. ae- quilibrio contineatur , ad hoc autem requiritur, noa folim vt eae conditiones impleantur , quibus aequili- brium' in corporibus rigidis obtinetur ; fed etiam in- füpér vt vires follicitantes cum vi elaftica cuiusuis flexurae in aequilibrio copfiflant. . Vt igitur priaci- pium hiüc deriuandum pro aequilibrio horum cor- porum determinando facilius applicari queat; often- dit lluftr. Auctor quomodo ex virium quaruimcun- que; momentis. refpecu ternorum axium inter fe normalium , definiri poffit earum momentom re- fpe&tu alius cuiuscunque axis "eum per idem pun- ctum 3? 233 (9) $8) éum traní(cuntis, wnde etiam momentum virium corpus follicitantium refpectu cuiusque flexurae, cu- ius axis fitum tenet obliquum facili negotio de- duxit... Regulam quoque dehinc tradidit , qua in vfum vocata, praecepta quae pro aequilibrio horum corporum valent, ad motum etiam eorum defi- niendum reuocari poffunt , huius autem regulae ap- plicationem in plurimis cafibus , maximis difficulta- tibus obnoxiam efle obíeruauit , imprimis quando nec axes iuncturarum inter fe funt paralleli, nec motus quaí in eodem plano fieret , confiderari pot- cít; quam ob rem. confultum ipfi vifum cft eum tantum cafum heic exponere , quo axes commemo- rati inter fe funt paralleli et motus in eodem pla- no peragitur. Pro hoc itaque cafu docuit , qua ra- tione inueniendae fint vires ad motus variationem requifitae , dum corpus aliquod motu quocunque variato incedit et quodnam fit harum virium mo- mentüm refpectu axis ad idem planum in quo mo- tus fit perpendicularis. ^ Egregiam vero huius pro- blematis applicationem exhibuit, dum motum cor- poris ex tribus partibus , flexuris «clafticis inter fe iunctis compofiti , et fuper plano aliquo vtcunque proieci , explicat et per formulas differentiales defi- nit; eiusdem vero quaeftionis aliam demum adfert folutionem €o magis attentione dignam , quod licet in eadem non opus fit principium | aequilibrii com- memoratum in vfüm vocare, ipfum tamen nego- tium per eam multo commodius conficiatur , quam per priorem. 1I. : x35 ( Oo ) Ceo 53 : II. | Se&io prima de flatu aequili brii fluidorum. Au&Gore L. Eulero pag. 305. ] 52m omnino foret , fi fingula quae hae tra- catione continentur , accurate exponere vel- lemus ; quam ob rem ne limites breuitatis, quas in hifce recenfionibus obferuare fas eft, transgrediamur, praecipua tantum capitum huius operis contenta ex- plicare conftituimus. In primo ícilicet capite, do- &rina de natura et varietate fluidorum pertractatur, naturam autem fluidorum Illuftr. Auctor in fingu- lari ifta proprietate conftituit , qua prefho quaelibet iis applicata per totam eorum maffam ita diffundi- tur, wt omnes particulae eandem fentiant preífio- nem, quatenus nimirum ipfum fluidum in aequili- brio manet ^ Eft autem di&a haec proprietas ita comparata , vt gon folum omnibus corporibus flui- dis competat , reliquis autem quae non fünt fluida , ineffe non deprehendatur;. íed etiam ex eadem, omnia tam motus fluidorum quam aequilibrii prin- cipia facili negotio deduci poffunt, vnde in ea pro- prietate. fluidorum | naturam; quoque recte collocari euidens eft. Quod ad fluidorum varietatem attinet , ila imprimis ia €o confiftit , quod quaedam eorum ita fint comparata ,. vt quantumuis magna vi - pre- Tom. XIII. Nou. Comm. " € man- 34 eos (o) St mantur, idez] tamen volumen femper retineant, alia vero eius funt indolis, vt quo magis compriman- tur, ad eo minus volumen redigantur, de vltima autcm hac fluidorum fpecie obíeruandum — eft, dari pro iisdem denfitatem tam maximam , quam mini- mam, quarum illi eft, ad quam haec fluida redi- gerentur , fi infinita vi comprimerentur, haec au- tem 6a, quae refpondet. eorum ftatui naturali, vbi nulla vi comprimente afficiuntur. Deni- que ad varietatem fluidorum etiam hoc ípecat , quod.a calore in maius fpatium expandantur, a frigore vero in minus volumen contrahantur , vn- de pro vario caloris gradu, maxima denfitatum va- riatio oritur. — Caput fecundum do&rinam continet. de aequilibrio fluidorum , quatenus eadem a graui- tate vel aliis fimilibus viribus non affici füupponua- tur. | Dum autem fluidum a vi quacunque externa vrgetur, non folum omnes fluidi partes fed etiam vas in quo continetur in aequilibrio manent ; | fcili- cet fi fluidum nullius compreflionis fit capax, omni- no maximis viribus refiflere valet ; fin autem fe comprimi patiatur, tum eousque vi externae cedet, donec eam denfitatem nac&um fuerit , qua vlteriori compreífioni refiftere poteft, atque ex his quidem perfpicitar quod füblata omni vi externa in fluidum agente , illud femper in aequilibrio coptineatur , et- iamfi nequidem vafi cuipiam fit inclufüm. Pro determinanda iam preílone, quae ex vi quacunque externa fluidum premente oritur, obíeruandum eft, quod e$5í(0)Zs2:3- 35 quod licet illa eodem modo definiatur pro flu'dis compreffionis capacibus , ac pro illis quae nullam admittuut comprefhonem , maximum tamen oriatur difcrimen , fi ad efftctum , quem in denfitatem ho- rum fluidorum habet attendatur , nam in his denfi- tas manet inuariabilis , in illis autem eadem depen- det non folum a prefhone , íed etiam a calore, qui in vnoquoque huius fluidi loco inuenitur; pro ftabilienda vero menfura caloris , haec regula obfer- vari poteft: calorem effe in directa ratione preffio- nis et inuerfa denfitatis. — In Capite zertio aequili- brium fluidorum a viribus quibuscunque fcllicita« rum generatim confideratur et regulae tradunt: , quae femper locum obtinere debent , vt fluidum Lu- iusmodi viribus acceleratribibus follicitatum | aequili- brium feruare pofht. Dein vero exponitur quibus- nam viribus afficiatur corpus folidum , quatenus eiusmodi fluido viribus internis follicitato , vel to- tum vel qua aliquam fui partem immergitur, ob- feruatur autem hoc corpus easdem fíuftinere preffio- nes, quibus afficeretur ea fluidi maffa, cuius nunc occupat locum , vbi tamen fimul necefe eft, vt cognita fit denfitas, quae fluido huic in locum cor- poris. fubftituto in fingulis fui punctis competeret. Quas demum vires, vas cui fluidum inclufüm eft, ab eius prefüone fufiineat , in hoc quoque Capite docetur et quidem oftenditur vas perinde vrgeri , ac fi fluidum vna cum ipío corpus conftitueret foli- dum ab iisdem viribus follicitatum. | Sequens Caput e 2 quar- 36 -2(o)$5$m€ quarium theoriam aequilibrii fluidorum a fola gra- vitate foilicitatorum exponit, principia nimirum in priori capite ftabilita , hic ad cafum | vis accelera- tricis conftantis , quae grauitatis nomine venit 'ap- plicantur, atque tum quidem perfpicitur corpus ío- lidum fluido graui immeríum , tanta vi furfum vr- geri, quauta eft fluidi maffa eius locum occupans , directo autem huius vis per centrum inertiae maf- fae huius fluidae tranfibit, totum denique vas, cui fluidum includitur , deoríüm premetur pollatté to* tius maffae fluidae ct huius preffonis directio per centrum inertiae eiusdem maffae traufibit, aequili- brium vero pro hoc caíu nullo modo fubfiftere pot- eft, nifi gradus caloris in eadem altitudive per to- . tam maffam fuerit idem. — Quo accuratius iam fta- tus ifte aequilibrii cognofcatur , feorfim confideranda funt fluida , prouti vel omnis compreffionis expertia funt, vel aliquam admittunt compreffionem , vtra- que autem flüidorum fpecies maximum iterum ad- mittit difctrimea , prouti fluidum per totam mas- fam füerit homogeneum vel minus. Pro fluidis prioris fpeciei homogeneis , quae communiter affe- runtur regulae Hydroflaticae valent , nimirum in his fluidis fuprema fuperficies femper in idem pla- num horizontale cadit, prefüo autem infra eandem vbique profünditati eft proportionalis. ^ De fluidis vero prioris fpeciei heterogeneis tenendum eft, illa nullo modo in aequilibrio contineri poffe, nifi in qualibet íectione horizontali denfitas fit eadem, adeo- / -e535 (0) $3 37 4deoque haec fluida heterozenea fecundum ftrata ho- rizontalia intér íe difpotita effe oportet , hinc quo- que caloris gradus in eadem altitudine idem eife debet , quod fi obtineri non poffit, nec acquilibrium fubüílere poterit, fed fluida continuo motu agita- buntür. Quantum ad fluida potterioris fpeciei atti- net, exhibuit quoque Liluftr. Auctor pro illis con- ditiones aequilibrii , eX quibus colligitur ifta fluida nunquam in aequilibtio manere , nifi in eadem al- titudine omnes eorum particulae, eandem fentiant préffionem , ^ vnde atmofphaera noftra nunquam in quiete erit, nifi omnes aeris particulae eadem den- fitate ad eandem altitudinem praeditae fint, atque hinc praecipua ventorum cauffa fine dubio erit quaerenda in inaequali atmotphaerae eiusque parti- cularüm flatu , in fpecie vero facillime hinc expli-/ cari poteft ratio ventus illius perennis orientalis , qui inter tropicos obferuatur. Caput demum quintum explicationem continet aequilibrii fluidorum | quate- nus ad centra virium fixa follicitantur , vbi condi- tiones praefribuntur , quae pro aequilibrio ob- tinendo locum inuenire debent , non folum fi haec. fluida ad vnicum pusctum fixum vrge- rentur ; fed etiam íi ad plura eiusmodi puncta fixa impellerentur , et pro cafü quidem priori oftenditur ad aequilibrium obtinendum. neceffe effe , vt preffio ad aequales a centro virium diflantias ea- dem fit, quam ob rationem omnia horum fluido- rum. ílrata aequilibrata figuram habebunt. fphaeri- e 3 cam, 38 we35 ( O0 ) Geoe" cam, pro cafu autem pofteriori fufficit vt in flra- tis aequilibratis prefho vbique fit eadem , ipfa au- tem figura horum ftratorum non amplius fit. fphae- rica , fed plerumque maxime irregularis. | Atque huius denique pofterioris cafus «confideratione | adhi- bita iam definiri poteft flatus aeqnilibrii fluidorum, quae ad centrum aliquod fixum follicitata , fimul a dato quodam axe fixo, viribus diftantiis. ab | axe proportionalibus repelluntur, quo ipío determinatio figurae telluris noftrae abfoluitur, tum vero et hinc erui potefl ftatus aequilibrii fluidorum tellurem no- flram ambientium oceani nimirum et atmofphaerae, fi infimul confiderentur vires attrahentes , quibus a Sole vel Luna afficiuntur , vnde explicstio . eorum phaenomenorum , quae in fluxu et refluxu maris cer- nuntur, aliorumque his fimilium , dednci poteft. PHYSI- «$3 ) o ( Sees 3» PUMYNMIT./AT " I. De calore animalium differtatio phy- fico Experimentalis. Au&ore lofepho Adamo Braunio. p39. 49. , alorem animalium. intermm €Clariffimus Au- &or in hac Differtatione explorauit ,/ quem quidem conftantem. repperit adeo, vt neque aetas in. homine , neque fexus , neque temperamen- tum, aut aliae circum(ítantiae vel mutationes eum caloris gradum , cuique animali proprium vel au- gere vel imminuere pofünt, dummodo homo vel animal fanum fuerit. Vfíüs eft thermometro Delis- liano, quod quidem hominibus in os inferuit vel vrinae recens excretae cum requifitis. cautelis. im- merfit. ^ Animalibus autem in abdomen apertum idem indidit, vel in fanguinem eorum ex vena in- cifa effluentem. — Calor hominis [fani 96 circiter graduum fcalae Delislianae. inuentus eft, vel 97; graduum fecundum Fabrenbeitiamem. ^ Calor vituli aeque ac porcellae go gradibus Delislianis vel xo4 Fab- 40 we ( o) $e Fabrenb. aequalis eft. Capellae, agni et ouis calor gradibus 92 Del. xox; Fabrenb. refpondet. ^ Aues calore füperant quadrupeda ; fiquidem plerique eo- rum vti auferes , anates, gallinae, columbae 8*7 Del. 107i Fabr. rubeculae vero .84 Del. 1rd; Fabrenb. caloris gradibus gaudeant. Animalia frigida vti - pi- Íces , ranae , infecta, quamuis iis; vnus alterue caloris gradus plerisque ab Autoribus adícriptus fit (vid. Hall. Phyfiol. Tom. Il. pag. 28. 29. 30.) omni calore, nifi qui atmofphaerae vel fluidis ambianti- bus ineft, deftituta inuenta funt. Idemque de ani- malibus valet, quae hyemem dormiendo confuümunt, quo tempore nempe hanc vitam vegetabilem agunt. Poft haec de maximo , .quem homines et | animalia ferre poffint, caloris et frigoris gradu. pauca difle- tit Auc&or. Denique hypothefes perftringit de-mo- do, quo calor in fanguine animalium producatur , eamque proponit ornatque , quae fibi prae caeteris placuit. UAE "Os ( 0 ) $:3e 4r ion TT. De offüibus Sibiriae foffilibus, craniis . praefertim. RKhinocerotum atque Buffalorum obferuationes, qoe er Defcriptio Leporis pufilli. " Audcore P. S. Pallas pag. 456 et 521. I priore harum differtationum exhibentur defcri- ptones variorum offium foffilium: quae in. borea- libus praefertim Sibiriae regionibus reperta, Mufeum academicum ornant — Primum eorum , rariffimum- que Rhiaocerotis cranium eft, cuius defcriptionem Cl. Au&or proponit, quamque eo maiori cura exara- vit, quod ftructurà ofhum huius animalis adhuc- dum minus nota fit; diligentiffime itaque fingulas huius cranii partes defcribit ,, fimulque oftendit nul- lum in maxillis locum dari , cui dentes primores commode infererentur , atque hinc, omnes illos hal- lucinatos fuiffe, qui Rhinoceroti ^ duos in fingula maxilla deates primores adícripferunt. Cornua Rhi- nocerotum , poft haec, examini fubiicit, de quibus id tantum heic adnotabimus , quod praeter fibras Tom. X1II. Nou. Comm, f lon- 42 me ( o ) erae longitudinales , ex quibus maximam partem com- pofita effe , foffilia eorum fpecimina docuerunt , per interualla quoque coalefcentia quadam , fiue . trans- verfis infcriptionibus folidioris texturae vndata atque di(tincta fint, quorum auxilio fortiora , vfuique aptiora reddi credibile eft. Hafce Rhinocerotum re- liquias, fequuntur crania Bufflorum gigantea, ad- miratione curioforum eo magis digna, quod anima- lia, quorum pars fuere , hodie tanta in rerum na- tura, nullibi exítent. Ex ftru&ura cornuum et con- formatione offium frontis apparet, illa non fuiffe Vri vel Difontis crania , fed ad Buffali genus referri debere , quod vero enormem eorum magnitudinem fpecat, cius rationem in climate et laetiori pabulo quaerendam effe, cum Cl. Auctore fiatuimus, Vl- timo loco foffle cornu Gazellae reicormis, varii- que Elephantorum dentes in Mufeo afferuati defcri- buntur, eorumque delineatione , offium Sibiriae fos- filium enumerationi finis imponitur. ^ De origine horum offum varii varia tradideruut , nobis vero fufficiat folum modo Cl. Auctoris ea de re fententiam breuibus heic indicaffe. Eo illa redit: quod neque di- luuio neque alii cuidam inundationi adfcribenda fit harum exuuiarüm origo, fed quod ideo tanta co- pia in hifce regionibus reperiantur, quia hae terrae calidiori coelo temporibus omni traditione humana an- terioribus fuerint füppofitae, ita vt animalia ifta ibi et viuere et fpeciem fuam multiplicare potuerint , vbi aunc nil nifi offa eorum fuperfunt. | Altera «$$ (o ) fe 43 N Altera differtatio Leporis pufilli continet de- fcriptionem | atque Mhifloriam , animalculi fingularis omnino ftru&urae, quodque Cl. Auctor praeterita hycme, cum Transuolgenfes campos ingreffus fucrit, prima vice vidit et cum aliis adhucdum ignotis fpeciebus animalium iftarum regionum obferuauit. Externa íua figura, multum equidem a vulgari lepore recedit, eiusdem tamen cum illo generis efle, duplicati dentes et pedum vellus abunde docent; quod vero ípccificas notas, quod internam ftructu- ram , quod denique mores huius animalis fpectat, id, quum breuius atque curatius, quam a Cl. Au- &ore fadum eft, tradi nequeat, ex ipfis Com- mentariis ad quos le&orem ablegamus, melius hau- rietur, f 2 : li 4 e$o)ss III. De formatione inteftinorum - obferua- tiones in ouis incubatis inftitutae. Pars Ill. Phaenomena amnii fpurii interna; vbi fimul de formatione Mefenterii, 'Tho- racis, abdominis alarumque et pedum agitur. Au&ore C. F. Wolff pag. 478. uae partes embryonis gallinacei im differtationi- .'bus, praecedenti Commentariorum Tomo in- Íertis , fecundum externum habitum confideratae funt, earum phaenomena interna anatomiae mi- crofcopicae beneficio in praefenti Differtatione dete- guntur et explicantur. In amnio fpurio, quod in- volucrum embryonis exterius eft, rima anterius apparebat, fouea ampliori furfum ad regionem car- diacam , deorfum ad regionem pubis minori foueola terminata , quae ipía ventriculi et inteftini , quod rima hac non longius eft in his embryonibus , ca- vitas effe dicebatur , ea ratione , vt membrana inte- ftini «dS ( o) eee 45 ftini vbi , ex mefenterio continuatur , vtrinque a fe inuicem fecederet , ventriculo et inteítino apertis reli&is , extrorfum et circa embryonem reflectere- tur , amniumque ípurium €o modo produceret. Amnium fpurium igitur diffetum et apertum eft, vt, quaenam fint illae partes interiores , quae ri- mam foueamque cardiacam et inferiorem foueolam efficerent, ex. quibusque amnii fpurii membrana con- tinuaretur, pateret ; res, vti dictum , inuenta eft. Ventriculus foueami cardiacam efficit , dum eius membranae im parte anteriori non clauduntur , fed reli&o orificio , quod foueanr ilam refert , in amnium fpur;um continuantur. Rimam fimili mo- do inteftinum medium producit, cuius membranae ,. anterius non claufae , vtrinque refle&untur, in- amuium fpurium: lateraliter abeunt. Et foueola in- ferior denique ab inteftino recto efficitur, quod fi- mili ratione membranis fuis in parte ífui fuperiori et anteriori reflexis in amnium fpurium tranfit. Haec vt breuiori negotio oftenderet Cl. Auctor , pri- mum embryonem expofuit ex ouo IV dies incuba- to, in quo nempe hae partes adeo iam comparatae funt, vt facilius cognofcantur, nec dubium effe poí- fit, quin fint inteflinum et ventriculus, quae pro iis traduntur. Deinde easdem partes in primis fuis principiis in. embryonibus duorum et trium dierum períecutus eft. — Eas partes in diuerfis his embryo- nibus anatomice defcripfit , mutationesque füccefüue accedentes notauit. mu E33. Quum 46 es (o) $59 Quum in defcribendis his embryozibus | verfa- retur, non potu:t omittere res quasdam. in iis ob- vias, a themate quidem alienas , fed tamen haud minus notatu dignas, et quae pariter ac inteílino- rum formatio ad. epizenefin ducunt. | Eiusmodi funt ortus thoracis et amnii veri; porro abdominis et mefenterii, denique alarum et pedum formatio. Vbi partes thoracis laterales , a coftis formatae, oriri de- berent , ex latere fpinae doríalis , ibi immediate ori- ri vidit in primis embryoaibus amnium verum ,. fine mora reflexum , quod in fcetu gallinaceo ma- turo €x termino totius trunci;anteriori ,' nempe. ex circulo vmbilicali abdominis oritur , certo hercle teftimonio nullum adhucdum exflitiffe |, thoracem. Similiter de abdomine vidit anguftifimas laminas, vtrinque iuxta fpinam dorfi pofitas , in amnium re- flexas, quae vix regionem lumbarem de toto abdo- mine exhibent... Hae, dum fuccefímue. antrorfüm prolongantur , cauitatem . paulatim referunt , apertu- ra tamen iofiru&am , quae. non minor. eft, quam cauitas in füo ambitu ipfa.. Denique apertura con- ftringitur , vt integer faccus abdominis iode oriatur ad analogiam tübi cibarii, quem fimiliter primo tempore apertum efle retulimans. Laminae. mefen- terii, quae inteflini, et amnii fpurii continuationes funt, pariter ac latera jntefinornm in. primo. prin- d feparatae exiftunt, foffunque efficiunt, in qua faces anterior fpinae, dorfalis. comparet. || Deinde in. vnam imnembranam coniunguntür, qua coniunctione futura e$ (o ) See 47 futura illa oritur , in prioribus differtationibus de- fcripta , quae fundus rimae et margo pofterior in- teflini eít. | Alarum et pedum primordia tubercula referunt fimplicia, ex füperficie corporis vix emi- mentia, quae fenfim denique prolongantur. In ho- rum füperficie interiori noua tubercula prodeunt, quae digitorum principia funt. Ex his omnibus tandem colligitur , partes corpo is animalis minime omni tempore ex(ltiffe , et ntegras quidem ;- fed partim productas, partim formatas effe ex aliis, prius productis, ASTRO- 4$ o2 (0) $$ AAS'TRONOMIC A. Expofitio vtriusque obferuationis et Veneris et Eclipíis Solaris factae Petropol in fpecula Aftronomica. Au&ore Chrift. Mayer pag. 54r. ontinet praefens differtatio recenfionem ifla- rum obfíeruatio;um, quae occafione tranfitus Veneris pér difcum Solis et Eclipfis Solis. heic Petropoli in Obíerüztorio Aflronomico inflitu- tie funt. Quum itaque principale momentum circa obferuationes Aftronomicas —inflituendas fit — ex- aca temporis veri cognitio , Cel. Auctor ante omnia obferuationes altitudinum Solis correfponden- tium a die 18 Maii vsqve ad. 25 «eiusdem menfis attulit , ex quibus innote(it motum pedunculi fui a motu medio folis tantum 9^, 53 defeciffe. — His expofitis , mentionem facit isfirumentorum , quibus ipfe eiusque Socii, ad obferuationern Veneris facien- dam vfi funt. — Scilicet Cel. Avctor tubum Achro- maticum Dolhndi 18 ped , Ccl. Prof et Acad. Secret. Euler alterum eiusdem gencris 7 ped. ad- hibu- we ( 0) Ges" 49 hibuerunt , Cl. vero Dnis .S:ab] et Lexel Te- lefcopia Catoptrica .SeZortij, 3 ped. 6 dig. et 2; ped. inferuierunt. Hoc apparatu inflructi , iam. 23 Maii vefperi, Obfíeruatores noftri, íolem vsque ad ipfius occafum contemplati funt, fed nullum tamen Veneris ingredientis veftigium viderunt , nifi quod hora 9, 9^, 39//, macula nigra , rotunda Cel. Au- &ori appareret, quam pro Venere iogreffüum füum iam celebrante habuit. ^ Hanc autem obícruationem Cel. Auctor ipfe quoque pro dubia agnofcit ,' quip- pe quum eadem non conciliari queat , cum illis ob- feruationibus, quae alibi circa ingreffum Veneris in- ftitutae funt, nam ex iisdem fequeretur primum contactum iuf: externum ad nünimum 5^ tar- dius euenire. debuiffe. Sequenti mane licet limbus Soli admodum vndulabatur ,«Geh famen Autori :eiusque fociis , momenta quibus Venfis-e/ Sole egrediens , limbum Solis, tam interne quam externe contingere vide- batur , íatis exacte determinare licuit. Propter temporis vero breuitatem , quo Venus in Sole con- Ípiciebatur , aliae obfíeruationes ad Veneris pofitio- nem determinandam capi non potuerunt, quam ca qua Cel. Prof Mayer diftantiam Veneris a limbo Solis auftrali , Micrometro Obie&iuo Tubo Io/fn- diauo applicato dimenfus eft. ^ Diametrum autem Veneris eodem Micrometro menfuratam, Cel. Au- &or magnit. 57/^^ inuenit. — Quod ad obferuationes circa Eclipfin Solarem factas attinet , monuiffe fuf- "Tom. XIII. Nou. Comm. à ficiat, 50 ec35 ( o ) $93" ficiat, quod praeter initium et finem feliciter ob- feruatum , Celeb. Auctor, Micrometro obiectiuo. partes lucidas difci Solaris dimenfus fit, Cd. ve- ro Prof Eulr immerfiones et emerfiones macula- rum praecipuarum in Sole eo tempore confpicuarum: obferuauit, quarum macularum pofitio deinceps ope micrometri obieciui quoque determinata fuit. INDEX 2e ( [6] ) e Om - X : INDEX COMMENTARIOR VM. Matbematica. L. Euler, De curua hypergeometrica hac aequatio- - no oxpre(fi ye—971.2? 953. « W'"pag. «5. Ejusdem , Quomodo numeri praemagni fint ex- plorandi , vtrum. fint primi, nec ne pag. 67. Eiusdem ,' Noua criteria radices aequationum | ima- ginarias dignofcendi pag. 89. Eiusdem , Confiderationes de theoria motus Lunae perficienda et imprimis de eius variatio- ne pag. 120... | Eiusdem , .Aunotatio quarundam cautelarum in in- veftigatione inaequalitatum ^ quibus cor- pora cocleftia in motu perturbantur ob- . feruandarum pag. :i59. Eiusdem , lnueftigatio accuratior — phaenomenorum quae in. motu terrae diurno a viribus coeleftibus produci poffünt pag. 902. D. Bermoull. Commentatio de vtilifima ac commo- diffima directione potentiarum frictioni- bus mechanicis adhibendarum pag. 242. B2 P. byfi- 52 eS(o)sc*5 Pbyfico-Matbematica. L. Euler De aequilibrio et motu corporum flexu- ris elafticis iunctorum pag. 259. Eiusdem , Sectio prima de ftatu aequilibrii. fluido- rum pag. 395. Pob y cx. I. A4. Braut , De calore animalium differtatio phy- fica experimentalis pag. 419. .P. S. Pallas, De ofübus Sibiriae foffilibus craniis praefertim - rhinocerotum -: atque. buffalo- rum , obferuationes pag. 436. t F. Wo] 3 De formatione inteftinorum obferuatio- nes in ouis incubDatis inflitutae p.478. p. S. Palla; , Defcriptio leporis pufilli pag. 52r. Afllronomica. ' Chr. Mayer , Expotitio vtriusque obferuationis ct : Veneris et Eclipfis Solaris fa&ae Petro- poli in fpecula afltronomica pag. 541. MATHE- MATHEMATICA. DE CVRVA HYPERGEOMETRICA HAC AEQVATIONE EXPRESSA 1ySEng Ya € 7p L3. Auctore L EV LE R.O. I. enotante hic littera x abfciff!hm et y applica- tam , aequatio haec immediate nonnifi pro iis abícifis , quae numeris inte2ris expri- muntur, applicatarum quantitatem indicat; hinc enim 1i fuerint abíule EE Oo, 1,:253:3,:049 S40 coetc erunt ) applicatae Ju. 40I14:3, 29/6, 244.120, 720 etc ita, vt dum abfciffae fecundum numeros naturales capiuntur , applicatae fecundum progrefhonem hy- pergeometricam Jfall/à progrediantur; quam ob cau- fam etam hanc curuam hypergeometricam appella- ri conueniet. Etfi autem per hanc aequationem in- numerabilia quidem iftius curuae puncta, fed inter Íe difcreta afügnantur; vniueríi tamen huius curuae A 2 j indo- 5 DE CVRVA QVADAM ». indoles per eam aequationem definiri eft cenfenda , ita vt cuique abíciffae certa ac vi iftius ipfius ae- quationis determinata refpondeat applicata. ^ Ratio enim iflius aequationis omnino poftulat , vt fi.ab-- fiffae cuicunque x—f conueniat applicata y—4, tum abfciffut x—fp-|- 1 refpondeat applicata y--4 (p-i- 1) abfbiffur vero x-p— haec applicatay—; .. Quam ob rem neutiquam arbitrio noftro relinquitur per infinita illa puncta data curuam quandam para-. bolici generis ducere , cum omnia plane eius puncta ex ipía aequatione determinentur. It. Praeter has autem applicatas, quae abfciffis per numeros integros expreffis refpondent, impri- mis notari merentur, quae inter eas cx aequo inter- iacent; et omnes per eam, quam abfciffe x—7 refpondere et quantitati ;Y c aequari olim oftendi , determinantur. Cum igitur fit. Y m——1, 77245385 090548; hae applicatae coniunctim tam pro abfcis- fis. pofitiuis quam negatiuis fequenti modo íe habe- bunt ; i pro HYPERGEOMETRIC A. 5 , pro abícifhs negatiuis pro abícifhs pofitiuis O I o. |--r - 0,8862269 —25|-7-1,7724558 II 0| —r|[d-e 1; 1,3293404 —1i/— 8,544907 22 (2| --€9 23 3,3233509 —2i|--2,53632718 86 —8--« 8; 11,6317284- —98i|—9,9453087 . 424 —4|-rTe 4; 52,842 71717 —44| 4-0,2700882 5 120 —5|-e 55; |287,88527'715 —5:;|—0,0600196 6 220 LÉG —L eo* 6; 1871,2543058 . || —61|-31-0,0109126 7 |5o40o 9 bb Hinc delineaui X |-eft applicata y. x iftam curuam eft applicata y in fig. r. expreffam Tab. I. quae ab abíciffi negatiua x—— 1, vbi applicxa fit Fig. r. infinita vsque ad x— 3, vbi fit. y —6 porrigitur , "hinc vero continuo in infinitam afcendere eft intel- ligenda; finiftrorfüm. vero , vbi pro fingulis abfciffa- rum valoribus integris applicatae abeunt in afymto- tas, vltra x—-— 1 non. expreffi. Ill. Confideratio huius curuae plures füppeditat quaeftiones haud parum curiofas , eius naturae accu- ratius cognofcendae inferu'entes , quarum. euolutio eo maio- A 3 6 DE CVRVA QVADAM maiori attentione digna videtur, quod aequatio pro curua more Íolito explicari nequit. — Huiusmodi quaeftiones primo circa determinationem reliquorum curuae punctorum praeter ea , quae facile affignare lcet , verfantur. Deinde in fingulis pun&is pofitio tangentis inGgnem inueftigationem requirit , quo fa- cilius tractus totius cüruae definiri queat. | Tum vero ex inípectione figurae perfpicuum eft inter ab- fciffa x—o et x—r, alicubi applicataim oimmnium minimam eflfe debere ; cuiis adeo tam locim quam ipfam quantitatem affignari operae erit pretium. Praeterea vero inter binas abíciffas negatiuas —1,—2,—3,—4,—5 €tc. vbi applicatae in infinitum extenduntur , neceffe eft dari quoque applicatas mi- nimas, quae quo magis finiftrorfum progrediamur , continuo minores euadunt, donec tandem prorfus euanefcant. ^ Denique etiam quaeftio de radio cur- vaminis in fingulis curuae punctis attentionem no- flram meretur , isque imprimis curuae locus notatu dignus videtur , vbi curuatura eft maxima, fiqui- dem manifeftum eft, in elongatione ab axe curuae ramos continuo propius ad lineam rectam — accedere. Has igitur quaeftiones refoluere infitui. Quaeftio prima. Pro curua bypergeometrica imuenire aequationetu continuam inter abfcifam x et applicatam y, quae ae- que locum babeat, fiue pro x capiatur mumerus integer , fiue fratius quicunque. ^ á 4. Cum HYPERGEOMETRICA. vi 4. Cum aequatio propofita y— t. 2. 3.. ... X focum proprie habere nequeat, nifi x fit numerus integer , eam in aliam formam transfündi oportet , quae ab hac conditione fit liberata; quod pluribus mo- dis per expreífiones in infinitum excurrentes fieri poteft , inter quas primum occurrit pe ; (Sf. etc. E—u 3 Eum 2 naar. qui facores in infinitum coatinuari dcbent. ^ Ratio huius expreífionis inde cft manifefta, quod quo plu- res capiantur factores , veritas €o propius, fumtis autem infinitis , accurate obtineatur : fi enim fa&o- rum numerus fit — 7, habetur z X * JTUCEEGTAUEGMECt60c4ex- I) cuius numerator fi ita repraefentetur : Ch cNC ttp Duck bali 915 PUN. denominator vero ita (r4-x)(24-x) (347) 4. - mm) (m4- 2)... (1px) deletis factoribus communibus prouenit Eie 2e $ee*c* cec" "79 J — (-iXn4-z)94-3) -- *- A SU Ines) 5 n4 iy. Quare fi » fit Mod d E: ob denominatoris fingulos fa&ores —2-- 1 eorumque numerorum — x, totus denominator pcr multiplicatorem (5-1- 1)* tol- litur, proditque aequatio propofita y— 1. 2. 3... x. 5. Haec forma aliquanto generalior reddi pot- cfi; cum enim totum negotium €o redeat, vt multi- $8 | DE CVRVA QVADAM multiplicator (u-1-1Y' poftremo denominatori (m4 1) (12- 2)(024-3) «4 «c (n2- x) aequinaleat , cafü quo numerus 7 eft infinitus , . euidens eft. huic con- ditioni quoque fatisferi, fi' multiplicator ille in. ge- nere ftatuatur (2-1-4)* exi(tente 7 numero quocun- que finito ; maxime vero hanc formulam ad infti- tutum fore accommodatam , fi litterae a medius quidam valor inter x et x veluti 4—V x. tribuatur. — Nunc vero neceffe eft: hunc multiplicatarem (7-4-4)' in tot factores, quot nu- merus 7 continet vnitates, refolui , quod commode "hac refolutione: praeftatur : (naci ds CT. CES ies DR ng Quocirca pro abfciffa quacunque x habebimus ap- plicatam : drj — ro (ü--2y* Q0-1-3 Pow 3 J-— a*, zn n LARES o) ^ Iu (EL etc. m infinitum ; quae expreflo femper veritati eft con'entanea , qui- cunque numcrüs pro z accipiatur, promtiffime au- tem 34 CET, Vn- de fiet : BEI xv [use o fs-ot d *?oi4d-X (ijo. Hd 24-X gung ET f er2I . etc. " m quae expreffo «ex infinitis facoribus formae ;—. a-p-m 4x : ( 34cm —i) praeter primum a^ conftat , et quo plu- res quouis cafu inuicem multiplicantur , €o propius ad HYPERGEOMETRICA. 9 ad veritatem accedetur. Hinc autem nafcitur prinia exprefüo , fi fumatur a— tz. 6. Eo magis autem haec expreffio ad vfum €ft accommodata , quo promtius facores ad. vnita- tem conuergunt, id quod enenit fumendo 42 —— , tum vero calculus eo facilius expedietur , quo mi- nores numeri loco x fubflituuntur , femper autem fufficit applicatas pro abfciffis x vnitate vel adeo ni- hilo minoribus inueftigaffe , quoniam iade facili ne- gotio applicatae per abíciflis y 4- 1, X-1-2, x-1- 3, X-1-4 etc. deriuantur. — Sit igitur x —£- exiftente «$5, eritque iR n 6 abra 26 ,s6ldaf 39 cens RU UE EU CAUSE 24-36 55-L« vnde applicatae poteftas J* ita prodit expreffa: (£5 6*(56-Fa)* (eB (s&--aj (s6&5(794-a) F . etc. J—' 3E (EXaE ray (2642) 362] dI Pro abfciffi nutem. x ——£ applicata y hinc colli- getur M 6$(6—a Curtio «Y. (se (se—a) J — E-a/ (E-a f 38-a* (28- ef Bster (s&af gg-ay. Sumamus exempli gratia x—1.et impetrabimus : l mU VE 2 qu 4« 4e 1I Gas T5 8,'8. 109 Lt CICSENMCOPOHOORNUCF EP EE etc. 27. 2n. (&1-4-3) « 316 m3 4-12 n& f d cuius factor in genere eue e DCN uia ZI Ow asco Bing.intelligitur , ^ quam Tom. xul. Non. Comm. B promte 10 DE CVRVA QVADARM promte hi factorés ad vnititem accedunt , erit igitur : x. , pt - x i , 2E rs I V 3^—i(iu Msn 57; Gr Aa Ure) E z) etc. vbi quidem nouimus éffe y*—7. Sin autem flatua- mus x—-—;, cui conuenit y — Y st erit ex altera expreflione 202. Y. 4. 4. S 6.6. 0. 8. B, tz l» Te! 5" /3.]3. '* 5. 5. 1g" Te 7s 17* etc. fex &—4(r— r2) ek. dm- de vero eft 5— 3 (1 4- (1 4- 2X1 arn) etc. ita vt altera crefcendo , altera decrefcendo ad verita- tem appropinquet. "m —4. 7. Commodius autem calculus inftituetur , f expreflio noftra in fingulis facoribus abrumpatur , tum «enim fequentes formulae prodibunt continuo propius ad veritatem accedentes ; 1 :--x2^ Jt 2 I 2 FUN SESEECLONGGAA 2 ) I 2 z ZEE yo VEM REX 2 Y E 2 3 4 9-4-Xx ^ t J-—i4-2 :4-x.ia-4X*e-pEt3ux i 3 . Quia HYPERGEOMETRICA zu Quia fi loco x fcribatur —x prodit applicata z—z erit per fimiles formulas: T4 Zr Xm ym z ' Xt o AP NE 3 z) J-——i-cx 24-7 ( 2 2 ME s--x 5 J-— Ux Ozox 5 sut 2 -u 4 3 10 -2I- X T J—iTmx i 3-- X* 4-- X ( 250) Quare pofito x— pro applicata y —;V v duplex feries formularum eo conuergentium refultat : -—À 3 mI£YI [223 pac Ys iy i261 ad Y Un b EET E: 4 acis. ivsciivs IVal—Àys [iYacLzVS etie ORE VVVA etc. 8. Huiusmodi autem producta commodiffime per logarithmos euoluuüntur; ac primo quidem ex forma generali numerum quemcunque a implican- te nancifcimur : ]y zxla-- xi E ext ieri etc, —/(1-E-x) —I(142)— (x 4-2) — (x 4 £) etc. et fumto a— —7^ , vt haec feries maxime conner- 2 gens reddatur: B 2 Py £2 DE CVRVA QVADAM NEDE IE X--5 X 5 X--7,4 j " Wiss sep- Axim Mx DUÉRILTPRILE etc, —I(x 4- x) — H1 2) — Ix --2)—1 (14-2) etc. Sumtis igitur his logarithmis naturalibus, cum fit in genere : JeEstcs m etnia 22 — zx 2X 5X : : X-perm——r—— X-pez T" "E 3 x-geomjt7l- S(x-qeampe 7(x-2my -r etc. €w o 2 Des 2x5 2 x^ » et l1 aao iamE sunm nare fequeutem formam infinitis feriebus conftantem adi- pifcimur : 1-MeÓX 3 , Y Y Y 3 [y zx xxx cs T cs ice - oap etc2. I Y E I Aix (rx cas eom edges t etc.) A (xx e uud xay etc-) iro cs Fer Fe es $ A(z-pzy T- x $4j9 d (x6; "u XE etc.) etc. 9. Primae feriei fumamus definitum termino- rum numerum qui fit —7, et cum fuperior pars ad vnicum membrum x/(a-1-5) redigatur , erit Iy-xliatn)-K(1-x)-1--ix)-(x4-5x) «(x -x) quae expreffho eo propius ad veritatem accédit, quo maior capiatur numerns 7, Sit igitur 7» numerus praemagnus ac pfimo quidemi babebimus /(g-1-a) —In4-$—I£-rF£.-— ete wbi loco 2 fumi —— conueniet; tum vero pofita breuitatis gratia fractione O, 5772156649015525 — ^, nouimus effe fümmam progreffionis. harmonicae : r--i HYPERGEOMETRICA. 15 D t r T vnde cum fit: Y H I I(n--a)z 1x 4-i4-;-& yo.4 du --5i7— ^. FU xnnL rzonn aa a? a "EU .-— ins«v asi — colligimus fümto q— ac ^gEd i-a 1-3 e-M-ix IE . .r X-—6XX-; xt casa er erdt S —HhI-Mu)-uwap Reuera ergo augendo numerum «a4 in. infinitum erit: lyc-Ax--x --ix --Íix -Lix etc | -Kxdexyq-rixr-i-4-uxpE--x)- ete. et fingulis logarithmis per feries cuolutis : ]y-—sXx-r-ixX(1--i--i-d6-F etc.) "icu s is eU cdm ORC T ixfu-rn4g-i--i-Ó- tc.) — s^ (1 c is $5 is Ht ete) etc. 10. Praeter has autem formulas, quibus cui- que abíciffae x conueniens applicata y afügnatur, methodus mea progrefhones indefinite fummaadi fin- gularem füppeditat exprefhonem ad eundem fcopum accommodatam. : Cum enim fit /y-/1 4-78 4-73 --/4.. . 2 -7x hanc progreffionem: indefinite fümmari oportet; in- troducendo autem valorcs numericos ; PB 3 Ac 14 DE CVRVA QVADAM Ge Eder D suede 6 FIIL——reus 6tquorum.prosueitla ir eff comparata vt fit 5BI2AA; 7C—4AB; 9D-—4AC--2BB; IIE-A4AD-A--4BC etc oftendi alibi fore ly—iloT--(x--1)x—x-4 sh d E P» rcen C 73$ x5 I, 2. L — 6. D de etc. quae feries prae fuperioribus hunc praeftat víum , vt quo maiores capiantur abíciffée x eo promtius verum valorem applicatae y exhibeat. | Cum igitur fi abíciffae x conueniat applicata y, abíciffae maiori X-1-" conueniat applicata y(x-- 1 (x4- 2)(x4- 5)... (x-1-5), habebimus íemper per feriem valde con- vergentem ; lIyzileqm—l(x-4-1)-/(x4- 2)-I(x4-3) ..... 7I 2) e (xr na ix ar n) 1, 2 B n2 324€ n2456D A -X-H- Spa) Tops pF I DODEOE D) To "Uat(s-pnay T etc. Quodfi ergo e denotet numerum, cuius logarithmus naturalis — 1, breuitatis gratia Sam: A 77219 2(x-m) 7 a3(x 4-2) rz SGCPS 7706, 7$ concludimus a logarithmus ad numeros rcgrediendo- S Yom xc--n Xx-n fpem J'— (ax iXX-4-2)(X-73)* « «- (X-4-2) grs e ) e vbi numerus integer zs arbitrio noftro relinquitur , quo HYPERGEOMETRICA 15 quo maior is autem accipiatur , eo facilius verum valorem ipíius s iuuenire licet. I. Denique etiam applicatam y per formue lam integralem exhibere licet , pofita enim abítiffa X-cp, nouaque introdücta variabili 4, prae qua quantitas $ vt conílàns tra&etur, erit applicata yzz[du(li? fiquidem integratio a valore 4-—o vs- que ad valorem 4—-1 extendatur. Vel fi forma ex- . ponentiali vti malimus , erit quoque yzfe udo integrationem a valore v—0 ad ?— c extendendo. Ex his quidem formulis, quoties abíciffAa ? eft nu- merus integer , integratio ftatim praebet y — x. o. 3g... f. at fi p faerit numerus fractus , hinc fi- mul intelligitur ad quodnam genus quantitatum tran- fcendentium valor i:pfius y referri debeat. Alio au- tem loco offendi, quomodo tum integrale per qua- draturas curuarum algebraicarum exprimi queat. r2. En ergo plurimas fíolutiones quaeftionis noftrae primae , qua pro qualibet abíciffa x etiamfi numero non integro exprimatur , valor applicatae y reperiebatur : quarum praecipuas fimul afpectui ex- pofuiffe iuuabit , vt inde quouis cafu ea , quae ma- xime ad vfüm accommodata videatur, eligi queat: x x x E I. Jyzm$d 3 1 EE G) Y ien (j) ^ Tr () : etc. x dme ce e ce ERE a E uL 16 DE CVRVA QVADAM DHL Pyzwiiageaedi GnwmutBrI Wee —IH(x-Ex)— K(14-ix)-G M ix)—I (1 4-1) - etc. IV. 1y— I T xx EC. -C0xz --xrd- etc. — K(14-x)-(14-ix)-/(1 -pu) (14 ix)-etc, V, dye edd sb 6ixe--ete. — K(14-x)—(14-ix)-J(14-x)—(14-x)- etc. Vl] Jyzc—Ax-r-ixx(1-rb-4-4-4-i-- etc.) e oc petod ond icit net --3 x* (1x 4-7 24 - s«-1- 34 Hi etc.) "1-5 A5 (X. 23s d^ ss pl is t etca) ciet VIIJy-o (a2) HEx-X4- 25— 53 exiflente A—0, 5772156649014225 e&t Zi gg DB Xen C— D-sis; Ed: 93:33 etc, 99555 EET Tum in tribus poftremis formis logarithmos natura- les accipi. oportet, Quaeftio f ecunda Iu curua bypergeometrica ad quoduis eius pun- Gun direiiionem: tangentis. definire. 15. Hic igitur affumimus pro quauis abfíciffa x valorem applcatae y iam eff? inuentum ; et cum diredio tangentis ratiooe differentialium 12 definia- tur, quippe qna fractione tangens anguli, quo cur- ; Ye HYPERGEOMETRICA. P7 wae tangens in loco propofito ad axem inclinatur , exprimi folet , tantum opus eft, vt quandam for- imularum inuentarum differentiemus. — In hunc au- tem finem formula V maxime videtur idonea , ex qua colligimus : $dg-—4A--r -i --icbicretà — Ex—IÍIER— CER Vix — etc. «quae exprefho in hanc concinniorem contrahitur : ! 2-2 Bop. al" spoupn] T sGain T gesem etc. vnde ftatim patet, fi x fit numerus integer nega- tiuus, feri non folum applicatam y, fed etiam for- mulam 22 infinitam , ita vt in his locis ipíae ap- plicatae , vtpote a(ymtotae fiant tangentes... Ponamus autem in genere aBgpinmig quem tangens cum axe conftituit —(p vt fit $2 — tang. p. . 14. Primum ergo hinc definiamus tangentes pro abíciffis », quae numceris pofitiuis exprimuntur, fiquidem. applicatae y fponte dantur. | L Sit ergo xzuoy: et ób y-cx fit à qa ——— A7-2—0;,5*72156649 — tang. (D vnde frt angulus z—2955,59/,39/, vbi fignum — indicat , tangentem dextrorfüm in axem incidere, cum eoque àngulum tantum -non '50* conftituere. H. Sit Xx etoby-a fit 3 — I-A 0,422784335 — ang. D, hincque angulus (9— 225,55". 'Tom. XIII. Nou. Comm. C 11. 18 DE CVRVA QVADAM IILSit x—2 et oby—2 fit? —9(1-:1-5—1,845568646 —tang.(D hincque augulus (— 615,357. IV. Sit.x—3 et ob. y z6 fite? — G(1--i--i-A!ctang. feu tang. (D— 7,536706010 et (p—825;26*. V. Sit xzc4 et obiy — 24. fit 52 — ou (1 A-idrebi—A) hincque. tang. (D— 36,146824040 et (D—887,25*. In. genere igitur fi ab(ciffi x aequetur -mmumero iu- Ep cuicunque 7, ob y — 1. 2..... . f erit PHERIE Ud oer ace glue: h(t 4d-iMpid-... i-a). ^15. Definiamus hinc etiam tangentes pro lo- cis intermediis , ac primo quidem 'ad abícifías pofi- tiuas relatis : Y. Sit €x—:, erit y-—1V atque : AE I—A-pi-PFEi-id-1-1 ete. fcu vicc A--2(i—i 1—i4- etc.) ——A--2 (1—/2) hincque 4.—tang:Qzy(2(1—/2)-4)20,0564899739, IH. Sit x—i erit y — iV atque Z3 8-—A-pFo(r-pi-li) vnde fit 22— tung, D — PaL Viii. s. IH. Sit x— 3 erit yz— Lr^ym E eer 4 2(1-4-s Gi a | dri-12) biuc tang. Q —y (2 (14-:4-:—/2) -A]- I,1031566405,y. Cum HYPERGEOMETRICA. X9 Cum. nunc fit Vs. (2(1—/2)— Pigs 9823353973 rt pro his cafibus: 1 X1; *—:0,8865269 Spain 63253584. (GIL yE— 1,98293404 tang. Q-- 0,9347845 xcu Jy 3,3233509 tang. p— 3,6661767 Xc—*; y— 11, 6317284. tan :.(D— 16, 1549694. O41; —52,8427777 tang (D— 984, 3290907 etc, | ) SE *i- Z 16. Àntequam vlterius progrediar , obíeruo fi fuerit pro abíciffa quacunque 3-5; .ylzmari neg; Qn tum pro abíciffa fequente fore xzpoeiiycg(pa-i)et tang QD—r(p4-1)tg pro abíciffa autem antecedente - xzcp— 13; y—5 €t tang, D-—s P vnde füperiores valores. facile retro continuare po- terimus : | ccu al dsccil cr 8862269; tang.(D— | 0,0325584. Ame Jy— 1, 7724538; tang. (5—.—5,4802308 X——3;y—-—93,5449077; tang.(D—— 0,12935538 X——i; y—2,3632718; tang.(D—4- 1,6617504. Xx——1 y-—0,9453087; tang. (p—— 1,04282536 X——32; y—4-0, 2300882; tang.(D—4-0,53751176 X——P;y-—0,0600196; tang (D——0,09669*71 X——V;y--0,01091:26; tang.(D—4-0,0195654. ctc. C 2 3 7. «0 DE CVRVAÀ QVADAM 17. Eadem aequatio differentialis ei curuae pun&o p. inueniendo inferuit , vbi applicata BH mi- nima feu tangens axi parallela. Pofito igitur 22-0; abfciffa refpondens x ex hac aequatione quaeri dcbet :. A—.E-d-Gxepm-i- ern biooen oU road Cie. quae euoluitur in hanc: AI (r-4d-h4-$-2-- ete.) — a^ (1-4-is4—$: 4-7 3:1-. etc.) T x*(z 4-737 $4- ete) — x* (x 4- is-1- is 2-55 -t- ete.) etc. Summis autem harum ferierum. proximis fübftitutis erit o—-1-0, 5772156649 —1,644934: 668 x --1,2020569032.v* —1,0828232357 X* -- 1,03692775514* —1,0173430620 Af 4-1,0083492774X' —1,0040773562 a7 —--1,Cc0200839284X' —1,0009945751 3? -|- 1, 0004941886 x ^—1,0002460866 x'' —--1,0001227233X''—1, 0000612481 x^ —3-1,00005058824X''—1,0000152823 x^ etc, Sin autem duae primae fractiones retineantur ,. fe- quens feries multo magis conuergens emergit e HYPERGEOMETRICA. 2I 6—-1-0,5772156649 | — | L; — siu --0,0770569032 X* —0, 3949340668 x -1-0,00567771551Xx* —0, 0198232397 X --0, 0005567774. X5 —o, vati c --0,00005526 78 x' —0,ooor"711i062 x^ IHE estin. Wecuhde uma acr Y xt --0, 0000006530X'" —0,0000019460 x" --O, 0000000706 X'* —0, 0000002150 x" -|-0,0000000078^—0, 0000000235 x^. I Hinc proxime reperitur x—;, verum. haec applica— ta minima facilius ope fíequentis quaeftionis defi- nietur, Quaeftio tertia. Pro dato quouis curuae bypergeometricae punto ,, indolem poriionis minimae ilius curuae. cirea. id punctum fitae: inueligare. 1 8. Pro abfciffa ergo data Ej inuenta fit applicata y— 4; et nunc quaeri oportet applicatam ,. quae abíciffae parumper ab illa difcrepanti 4-6 re- fpondeat ; qnae applicata ftatuatur —4--V. — Cum igitur fit fecundum formulam. V 1q— — sp -r-p -pJ9r] dqeupp oe p- P pen - E» ete: — fx p)-- xp) I9) 4) — etc. fi hic loco f fcribatur p-1- o, loco /4 prodibit va- Jor ipfius /(g4-Xp), quo ipfo quaeftio refoluetur. At fi ponamus /q— P, fcribeno p-i-e loeo p uo- tum eft prodire wdP , ofddP q d$P wf d* f(q-NV)— P ug * 4 optan e e dpt —— etc: C s EG 22 — DE CVRVA QVADAM Eft vero vt vidimus: Ap-— — Ain d- siappy te 353- p) zh soup ete. hincque porro: d d P 4 T L4 1 dp — Gacpy clo acp? 7i (aep C Guept ci ete. .d5 r2 3 3 P 1 I ncdft— — (G4cBB — Gasp — Ga BS ieueps — cuc. d* P l E] E t a Loidpt— (pBE 7d GacpA d Ge ps do (cepe -d- etc. etc. vnde ob P —74 colligimus : I(x --2)—— 5 0 4-9 (L5, 4 3179 27 erg te) Li 1 1 A- iat (Cap d Gp Guep - etc.) : Y 1 T ' —ig (s d- Gps i (neges - etc.) 1 1 I rut (crgo Ces d Gg -h- ete.) Aet pon LABLIZ 314, —,30 [(Cegs -ee (2 4-p)5 -4- (s 4-5 — etc.) €tc. rgo. Hic iam coordinatae p et q vt conftantes fpe&ari poffunt, quoniam litterae w et Xp nouas coordinatas a dato curuae punco fumtas atque illis parallelas referunt ; ex quarum relatione hic definita indoles curuae circa id punctum veríantis facile in- veftigatur, — Quare cum iam innumerabilia curuae pun&a aífigaauerimus , hinc tractus fingularum cur- vae portionum inter bina illorum punc&orum inter- iacentium vero proxime definiri poterit, — Primo fcilicet HYPERGEOMETRICA. 23 fcilicet ex illa aequatione differentiata colligitur vt aute inclinatio. tangcntis ad axem (D, fitque 25 tang. Q- q(-^4-]5* sosir eet etc)). Deinde fi pro aequatione dif&rentiai breuitatis gra- tia ponamus diy —Ado--Bodo--Cwdo -[- etc. erit radius curuaturae in dato curuae puncto ET Crus 7 laeti qu 1 veto: — B B-—tang. Q«- S E e Sie xy Pos 4b EZ -(s-- p) Es Xm etc. ) d cep t ers - erm cete) vnde fi radius curuaturae ponatur -— erit LILÍÍMESS e -t- 4 (c5 gs oer - cari ete 20. Quo autem inuefHigationem: directionis et curuaturae ad curuae punca a puo&o principali toordinatis 5» et 2 definito extendere queamus , po- amus breuitatis cauíx cH Epp" cpep hie) Pops det -P -o WCemR cere - GER cune etecQ cs T Gg 7 Cg - gd cte zR does -- (cepe d- GERA - Gees H- ete -$ etc. ?t fit JE) - Po iQu' TRo*1 10] Tu'4 etc 3. Iam 2.4. DE CVRVA QVADAM Iam hinc diffrentiando clicimus : 4* — (q-4-N)(P-i- Qu — Re? 4-S a7 — T u* -1- etc.) atque vlterius differentiando ds —a -4- V) P2^i- Qu —R e* 4- S*- T et -- etc. -- (a--)(Q—2 Ro 4-3$9^— 4T vf -I- etc.) dp dvi — 3 (q4-V)(Q—2Ra-1-359—4 To? 4- etc.) (P-I-Qu RU —pSu3UEtG) -41- (q-4-Ap) (P2i- Qe —Ro *-47 Su/— Tat 4- etc.) — (q-4-v) aR—65a-4-1 2 To'— etc.). His expeditis pro curuae puncto, quod conuenit ab- ífciffüue x —9-1-- et applicatae y —g-1-1p ' directio tangentis ita fe habebit vt fit tang.(D E z(q -i- Np) (Pa -Que—Re*-4-So-Tw*-1- etc.). Tum vero pofito radio curuaturae —, nouimus fore z TT dVy . ddp, ,. , d$ rzc(xr-Ls) : dy — 1 (sr cof. (D d (OE oc ad cof. D^ , vnde pro variabilitate curua- turae elicimus : — us — as cot. QD — Wut. dus fn. QD cof. Q. dO , ad Eft vero z; eng m: D. vnde conficitur: dr — rráw — c ; cof. i 749 is ad j fin. o cof. (pt. ^ Quae- HYPERGEOMETRICA. 35 Quaeftio quarta Naturam curuae bypergeometricae circa. punttum eius infimum Ww, vbi applicata efl minima, inuefligare. Quoniam hoc puné&um parum diftat a loco , cui refpondet abíciffa —: et applicata 21V flatuamus $5—; vt fit 4g—iY m, hincque primo quaeramus valores litterarum P, Q , R, S etc. qui prodibunt P—-A-1-3H-;4- 7; etc. 2 (1-72)-^20,03648997597853 Q — £-4-$A4£4i--etc. —0,93480220054468 R — i-r i7 4$: -4- etc. I0,41439832211716 Sc AULÓ 4-3 -- etc. —0,23484850566707 T —34- 6-4 2: $s-- etc. I0,144760408531276 L5 .Lt L6 ---5$ --etc. —0,09261290502029 W/ —5--'5--'$5-4-$ -4- etc. 20,06055822809843 Deinde vero eft .4 —1Y m—0, 88622692545274. 22. Hinc iam ante omnia definiamus locum M, vbi applicata eft omnium minima, quem cum leues approximationes oftendant refpondere abíciffae Xx—0,4616, pofito -1-9 —i-1-9—0, 4616, colli- gitur proxime 8 ——0,05383, qui iam valor ex aequatione P — o feu .. P-I-Qu—Re'-- So! —Tu*-- ete. —0- T om. XIII. Nou. Comm. D accu- 26 DE CVRVA QVADAM accuratius inueftigari debet. ^ Cum igitur fit. prope Q-——£ flatuatur 9—— 45— z, et facta fubftitutione necefle eft fiat" . . 1'0,03648007397859 — -1-0,03595395079018-1-0,9548022002Z -1-0,09061301526940-1-0,0318767942-1- 0,4143982z -7[-0,000013536188585-j-0,0010422272-1- 0,027097 22 -71-0,00000031677900 -|-0,000032945 Z-]- 0,001255 ZZ -1-0,00000000779479-1-0,0000010153Z-1- 0,C000532z —1-0,00000000019558-1-0,000000030 $ -1- 0, 000002 ZZ -1-0,00000000000496 15 0,03658065271970-1-0,9677552112Z-1-0,442855 22 0,03648997397857 0—0,00009065874113-1-0,9677552112-]-0,442835 2z vnde reperitur z-———0,09009368323 Mhincque 9—-—0,05836785523. Quocirca minima applicata sq. refpondet, abfíciffae 0:m—0,46163214477. Pro applicata vero zy. —q-i-w» euolui oportet aequationem l1 -oesiEus --i1Qu*—iRoe-L-;Sm'—:Te:- etc. ex qua colligitur Z(t -HÉjol- 0,000704053 por- roque I ue I—0,000703805, ita vt fiat ap- plicata minima zg—q--vy—0, 8856031945. 25. Definiamus iam in genere ex aequatione logarithmica valorem ipfius xp ac calculo fubduco obtinebimus "e — — " ' HYPERGEOMETRICA. 27 To4-o, 035648997400 -1-0, 468066860u* — 0,121069221I U* -T- O, 16521479 o* — 0,09560753 Q' etc. qui termini fi quidem o valde paruum accipiatur $uffciunt. Ponamus autem breuitatis gratia ?-I9erOw —90«*-—- €a*—&o* vt fit | $9—0,0364899740; £1—0, 468066860 $t—0,121069221 ; QG&-—0,16321479 &, —0,09360753 atque hinc habebimus : £y —q($524-29e- 33(9*-I-460—5 € 9*) ddy — (2£1-63(9-1- 12 €w- 20€ «). Quodfi iam hinc radium curuaturae in loco infimo E. vbi eft 9—-—0,0383 6785525 indagare velimus, d * ute i dian quoniam ibi eft TM z- O,ujent.i$ —c344y : Ponatut in hoc loco radius curuaturae —r et cum fit —24(£3-53t04- 6€ »'—-100)—0,9669949 prodit pro puncto j« radius curuaturae 7— 1,'66893. 24. Determinationes has pun&i curuae infimi M. ideo omni ítudio inueftigaui , quod non (ine ra- tione fufpicari licebat quemadmodum hoc punctum fingulari praerogatiua eft praeditum , ita numeros eius indolem exhibentes elegantiam quandam in fe effe EDD eMMEUS , 8c nifi fatis fimpliciter fiue ratio- D 2 naliter 238 | DE CVRVA QVADAM naliter fiue irrationaliter exprimantur, ad fimplicius faltem genus quoddam tranfcendentium quantitatum relatum iri. Praeter expectationem autem víu ve- nit, vt tale criterium elegantiae neque in abfíciffa Om--0,46165214477 neque in applicata -—0,8856031945 neque in radio curuaturae ibi- dem — 1,166893 appareat; nulla enim affinitas neque cum numeris rationalibus neque irrationalibus duntaxat fimplicioribus, neque cum quadratura cir- culi, nec logarithmis vel exponentialibus deprehen- ditur. Cum etiam [íi abfíciffa Ozz vt logarithmus confideretur , numerus ei conueniens aliquid promit- tere videri poffet, hunc numerum quaefiui et inue- ni —1,5866616, in quo autem nulla affinitas cum quantitatibus cognitis cernitur. 25. Antequam huic fpeculationi finem impo- nam , obfíeruaffe iuuabit formulam rz. 2. 3.....x etiam per fequentem feriem indefinite exprimi poffe a*— x (x-1 y -E2(x- 2y- M (x-5Y" -- etc. quippe quae quoties X eft numerus. integer pofitiuus fponte dat illud produ&um. rz. 2. 3 .... x: Hoc: vero: etiam: cs ifta: expreffio. latius. patens z a? — x(q—r - —(a-2j— LE (a 4—3)"-1- etc. I. 24. $ erit eninv fi loco x: fucceffiue fuübítituantur numeri O, I, 2. 3; etc. vt fequitur z. ax HYPERGEOMETRICA. 29: dac X a'—(a-1) —1 a^ — 2(a-xy-r-(a—2)'— x. x | 24: — 3(a- 127 3(47 2) -(a- 3 — 1. 2. 3 a* — 4(a-1)*-1-6(a-2y—4(a—3)(a-4)— 1. 2-8 4. à — 5 (a- x -43- 10(a-2)'- 1o(a-3)'A4-5(a-4)-(a-5y 2 1. 2. 3. 4. 5. €tce 26. Manifeíta haec quidem funt ex iis, quae de differentiis cuiusque ordinis progreffonum. alge- briicarum fünt demonítrata , "verumtamen ex ipía harum ferierum: natura. veritas haud facile. euincitur; vnde íequens demonfítratio non füperflua videtur. Cum pro exponentibus minoribus x res per fe fit perfpicua , ratiocinium. ita inftruo vt conceffi pro cafü x— 7 veritate, eam quoque pro cafü xLz4-r locum: habere. fim: oftenturus.. Sit ergo L a'"—n(a-ty- Facete NL E 2.45.84 et quia fumma NN. non ab « pendet erit etiam II. (a— 1) —n(a— 2 4 - — (a — 3 — etc. —N quae ab illa fübtracta. relinquit UL z— Esp je ED (a ay een, Sy-r-ete co 2 haec mdplicerur per 2 vt prodeat po UE) 14-1 n--i)n(n—i IV. ge mI (ax ye Eos ye ede a eetco huic NN aequatio. II in 2-1 ducta ,, nempe: Ds E ox. 39 DE CVRVA QVADAM V. p (n4 1)r(a-1y- 2 a (a y 4- 8899095 SY ete (21 1)N atque aggregatum IV-41-V dabit VI gre HE, yen EDS yee rennen. 3j 4-etc. -(n--x)N vbi ob Nz1.2.3...7 erit (4-1) N— 1.2.3...(n4-1). Euicum ergo eft, quod fi propofitio: noftra x(x—1)^h a(z—1)(x—2) a*—a(a-1 Y-- 7 (a-2y rrr (a-3y4-etesm is. 3....x vera fuerit cafü x —7, eam quoque veram effe ca- fü x—n--1. Quoniam igitur ea maniféfto vera eft cafü x—:1, hinc fequitur eam quoque veram effe pro omnibus numeris integris pofitiuis loco x af- fumtis. 27. Quanquam autem haec expre(fio íatis eft elegans et omni attentione digna, tamen ad no(trum inftitutum , cui curua hypergcometrica eft propofita, minus eft accommodata quoniam pro cafibus quibus x eft numerus fractus, haec fer:es non folum in iu- finitum excurrit , fed etiam fi denominator eft nu- merus par , terminos imaginarios complectitur , ita vt eius valorem ne appropinquando quidem collige- re liceat. — Ita pofito x—; prodit haec feries in- finita : Ya—iV(a—1)—ziY (a—2)—z &8Y (a-3)-ZZ&£3Y (a-4) — etc. cuius valorem effe —:Y mv, vix quisquam oftendere poterit. Pari modo fumendo x—-—; ex fuperioribus quidem iam nouimus effe Y mE HYPERGEOMETRICA. 3r Y 22-55 -- xo d- zly8n3- ríryG—35 -L- ete. Nihilo vero minus vberior huius feriei inueftigatio Seometris merito commendatur, imprimis fi ei am- plior extenfio indücatur , atque hac forma reprae. fentetur : : m(m-1) m(m-—:Ym - dile mu maie La ere C leui enim ftudio adhibito , mox admodum infignes proprietates deprehenduntur, quarum euolutio omnem attentionem noftram mereri videtur. Equidem quae mihi circa eam obferuare contizit phaenomena pror- fus fingularia hic in medium afferam. Obferuationes circa hanc feriem. £—á"-n(x-1y-- 2 J- 000-9 (3 J'-L- etc. L In praecedentibus igitur iam demonftraui , fi fuerit exponens 7—:z, fore huius feriei fummam Lfososh CORE, REM ita vt ea hoc cáfü non a numero x pendeat. Hinc autem primo colligo fi fuerit z—77— 1, tum fore s—o. Cum enim füumto z—z fit b 2. de a. 3 € o * 9 m — x"—nm(x—3 n4 TO i, yn. etc. erit fcribendo z— 1 loco x et z;!—1 loco ; fimili modo : y (m-1Ym-5) Js. 1.2.9... (m1) (a4 )"7— (m-1Xx-2074- & a (4-2)"7-ete, Iam 4; — DE CVRVA QVADAM Jam illa aequatio hoc modo referatur: mn g'.. 1.2.9. Hz xt —nx(x-iy 2-7 x(x-2)"7 —ete. Emm a 2)" --etc. aequatio autem 2; per z multiplicata dat: i 1.2.3... mz m(x-x ni EE (o ci TED e n-1— etc; quae ab illa c' fubtra&a et diuifione per x fa&a praebet. o Ó-5gmeaen m (a a gni p SOM e 2)"—— etc. quae eft ipfa aequatio propofita pro cafu 2— m— 1I, cuius idcirco valor eft — o. x JL Eodem modo. oflenditur feriei propofitae fummam 5 quoque euanefcere cafu 2z—-—2. Se- ries enim illa 7 hoc modo repraefentetur : m(m—1) X — oca m Tx (y) OE v (a 2)"7— ete, ! For b. ru cr 2)" -1-etc, et fj in eadem ferie 9 fcribatur x— 1 loco x et sw;—1 loco sj, tota wero feries per zz multiplice- tur, fit 23.. o-ccmix POI x — 2j" -t- etc. 7 Hac ab illa fübtraca refiduum per x diuidatur, prodibitque : oan 7 a (v— x) -4- PE (y 2) — etc. Sicque HYPERGEOMETRICA. 33 Sicque feriei, propofitae fumma s etiam euanefit cafu 2—15--2, parique modo ofltendi poteít eam quoque eváliefttre cafibus n-—m—$5, n--m-4, et in generé 7; — 7j, exiftente. ? ; numero . quocunaue integro | pofitiuo. "Teneatur ergo feriei propofitae fummam effe ;—1.23.5.... cafu n—nm, ca(ibus autem quibus exponens 7 mel eft. numero 72 íüm- mam in nihilum abire, fiquidem numeri z? et n Jfünt,integri, feu (altem n—m numerus integet po- fitiuus. III. Quo igitur indolem. t cafüum Perfcrutemur fingulos terminos noftrae feriei euol- vamus et fecundum poteflates ipfius x. difponamus » quo paco confequemur: 1onps— ah ei ANT U e MS me—delj ec). ea AU (a PE nod xr: ret) e sre ete. ond quarum fingularum ferierum füummas fequenti . modo inueniemus ; prima aliquanto. gencralius exhibeatur , et cum eius fumma fit our ca ij -— (m-— Dr " Tm -u 2 m Ym— —(x - yy Y—mu---. 4 -—-.:a. -pr-ete cotitinuo eam att donebedt M il perpetuo loco 4Zg xeftituamus 4, fietque fignis mutatis ; Tom. XIII. Nou. Comm. E wu 44 | DE CVRVA QVADAM am(m—1) * 'am(m—iymesz) s EU Ts gui 2mm, pL URTMIUT S u - etc mu(1-wuy z 1. 2€ 2 rn) z - 1-uy"^ mu- Wu —- etc.— mu(x -u)"—'-m(m-1)u (1 mu- E --etc.zmu(1-uyj— —3m(m-—)w(x—uy- -pn(m-1 Xm-2)u (1-uy" ru 2973 ete mu (yu)! —7 (nx u(x—)"7--6m(m—1) | (m-2)u (1—uy" —mn(m-1Ym—2YXm—3)'(x-uy—* etc. | Hic ergo iam fcribi oportet &— 1, quo fa&o omnes termini in quouis ordine euanefcunt praeter eos, vbi exponens ipfius 1—9 fit —o. IV. 'Tribuantur nunc fücceffiue ipfi s valores 1,2, 3, 4, 5 etc. et loco coefficientis in genere Ue E 2 fcribatur breuitatis gratia (m). quo fa&o nancifcimur valores féquentes : fi | erit u-ib o (nee Uma: a-- (E x7 E CL)xn7:- etc. n—4 m 2| — (yt e re Cans (E) oec. :— (t e(t Heo $(5)n-oo( 7)" 4-301( 7^) 7-retc. "m-—35 1,248 —— mz 4l Lm e)ro (ES e65(7)875-5 5007 "rro i rete "m-5 1M SS I sz) "*Ha4o(7 yen7- 310 50(^- AU a- E695) /-5 etc. n-9 : (P )ynnS- ex 74 266(7z )277* 2646 (7, )174 22827 (55 )4"^* tete. 1a1e.6 7 vbi HYPERGEOMETRICA. 35 "bi formatio coefficientium numericorum ex antece- dentibus eft manifefta , eft nempe pro poftrema fex- ta ferie: 21—6.1-|-15; 266 —6. 21-1- 140; 2646—6.266 -- 1050 etc. Atque hinc ftatim perfpicitur , fi fuerit 27; valo- rem ipfius f euaneícere , in poftrema enim ferie fi n-;6 ideoque vel 5 vel 4. vel 3 etc. erit 2—)—0, (^ —2) — o etc. Tum vero etiam fi fit ;— «4, euidens eft fore LT. — 1, eftenim in infima ferie: 6 —6 eQr— 15: (—5)--05 (x)-—eo, (10 etc. Euolutio cafuum as—-4- x. V. Hinc primo cafus euoluamus , quibus eft »-—tm-|-1, et forma poftrema praebet fi has fummas — -——— ES - -— — $8 —3,1—4| 7; — 4$Xx—6 s f— 4,n—5|a4—5X—10 : s 98— 5,820105. .; 2 04-15 etc vbi priores coefficientes ipfius x ipfi 7, numeri ab- foluti autem trigonalibus ipfius » aequentur , habc- bimus in genere E a & elis diii iac od y ove o3 0 "banc aeqüationem ac m arie mai) UH CE ita vt fit | x snae e HE (n-a e RIG a eepet voids &cM Q9 0. roe Xm x " Fudlütio cafuum. zu -4-2. CL Pro his ergo cafibus habebimus fi fuerit | has aequationes T u—l.ni8 1 .9X4:21IXLERI /— 3(xx- Xeer) qmD2,8-z4| à 6x- la:3X-Li1.74 "^ G(E-2x-T£) un —:85 15295 inrz ex -$.6x4-1.23 l1 0(xx-3x4-v) mIu4gB Im -I$x- 6.10X--I. 65-15(xx-4X--5) am5,ncqpuhZira-q05x4or4ocir(xx-5x0t) uu -36,nzi8[n casa $.21X--1.266- 28(xx-62- 1) etc. quae formae ita repraefentari potins |" "egit I xx— es) 1i — 25 h-——4| sca mac i) m—3;n—5| sx z(ra—3a- "s i ts uua in z) f — 45 ue Rm. ESSE J 5e« 1 qu lLsen- Ert saris curd 6.19 dic; n—é fi fuerit MU l.i . |^ pw Eu LOIS 33 "e 2 f $ - eaae «6. — 1* js 21 XX—6X-rui vnde HYPERGEOMETRICA. 37 vnde manifefto fequitur , fi in genere fit n-—m--2 ERST CAREER naomact Seren) feu HN Lu CUES(G—IY-me Ergo hinc obtinetur ifta fummatio 7 -m(x-x 4E x-2 yre- cen cS "etc: — L2.3.....(m--2) G(x—2) 4-2) Euolutio cafüum 2—m-r 35. VII. Pro his cafibus habebimus E fuerit has aequationes Mexdedmdlm cms dh; * 6.1X-F-A4.IX-I.X fmL—2:4-l5| zz — 1OX -10.9X 5. 7X-1.15 2122 3; 126| L5 20x'-15.6x--6.25x-1.90 . —AjUz7 I1 2285X 21.10x TET. 65x-1.350 05; f 8| icm 364 «28.154 "F8: I40X-1. 1050 Las "hoc modo repraefententur z. BENE QU TUBAE E EN ascen) —— Is 2e € cca er ERAS -lém *—"l«b. & 2 . 3 2 | mm E 7^ 3. 1€ i Jg. 4 E esl —19 ; üemmÉ —— € i ia pcm e rm Ug ) '* Dosis 6 X z 4e 1$. 4. 4» 5) EIE — 12 i 4* 4s 3 YeZeu4-. P732 «L3 "x Eun e 0o 8 J s - 6. Za» 8 (c: A p 5e 5s |. X nes Xm 4 peru dee ) : PS ET | E 3 nde j$ DE CVRVA QVADAM vnde in genere concluditur -pro cafu n—m--3 s fü: UB mn: S 03m,2 TTE, LL mmma-i) 125047 —— 1 "* gor 3 (x 2X —-o—Se LJ E) m--30 m--2 —— TT S (a) etis 2) ita vt iam confequamur : aT gy X-I ye ai: mn ( x-2. yees " mm-m-g( x-5 y7*?etc. 1.5.8... (ma s)(s(x—2) -- Z(x—7)). Praeparatio ad cafus fequentes. VIII. Cum $. 4. formulas tantum ad cafum .u—6 produxerimus , «conemur pro iis fornam generalem eruere. — In hunc finem ftatuamus n-m--»^, et er "panda loco nie expreffionis B R82 x ECICEZ) - D fcribamus ( ) ita vt & denotet primum factorem numeratoris , 7 vero vlti- mum denominatoris. Ponamus igitur effe pro cafu mn—31 —— uM - ACE BE -C(7 ?ete. 3, " izicw-m e-A Se BE C) tete, ita vt A', B', C', D' etc. fint ii coefficientes, quos inueftigari oportet. Ex lege autem iftarum formu- larum vidimus effe; À' —5.1--A; B'—mA'--B; C'-mDb'--C;D'-—»C--D etc vbi euidens eft effe A —952—? qt A: —U7* 77 qu noftro. fignan- do modo A—(7) et A — (22 Iam pro fequen- tibus operationibus obferuo effe: * (ERST ES I(ER LÀ ym——1IJ ubas quod HYPERGEOMETRICA. 39 «uod facile inde patet , quod fit euoluendo : (ees ) — m-d-i-rpima-um--u—)..... (m-4- Hd 2X) — I» 2. E * . TO ———— y mA-M. 0 (m--u)m-a-u—:)...... (Ti - 1.2 (m-4- 1-1 — v) ( » ) — I» 3051 NO. lev er qe (y o 1) j3 vnde perfpicitur effe (77) — (7) — (7) — g;, IX. Iam vt fiat B'-B—mA'— (7 )m-s(*)-- (t3). ' fatuamus B — a (5) 4- e (2x hincque B' — « (72-5) .,- € (C prodibitque B'—B—o(555)-- etes vnde fit & —3 et 6— x ita vt fit B: — 8 (£—) -- (5). Pro fequentibus operationibus autem notetur effe ig genere: — | Cy )m (ra 1 TSES) e (v7 585) quippe quae forma prodit, fi valor ipfius (7) fu-- pra euolutus multiplicetur per mmu vei y— (rri) EE2-- (y- M). Y4-1 X. His obíeruatis cum cffe debeat C'- C-B', (7) mz s (92) ae a (5: et 4» DE CVRVA QVADAM ec CE) ma (CR) (E) cerit E w B — as (E82) e xo (889) à C8 flatuatur ergo ET) C— as Cz) ero E) 2) hinc C 215 C22) 2 10 (22) 4 1 (077). XI. Simili modo cum effe debeat .D'- Dzwuc quia eft [ m(-—)-—1 e Bb 4-3 [:-) e ax: m-3 Ji-m6g ) m[EES— suu erit mer m C'— xos( vnde. colligimus D'—105(55)4-105(77- za Ce Rh *) c1 (942) XII. Porro ob E-E-mD quia eft mE)m90)r 7) 2 (2x4) — NE 8 (t5) -- 5 (22-5) 4-25 (7: f (ESL. ema: a (5 — 6 (2) 1023 olli-- HYPERGEOMETRICA. 4x . colligimus uD'—945(7;-54-1260(77— ;— H-490(77- hincque E'— 945 (525)4- 1260 (5) 4-499 (577) - 56 (027) H3 (77) et vlterius Fg een yug. io) Qu Perses 77)4-17325 C "x )2-1918( 92 *- 119(5;-)-2-07-). Euolutio cafus s—m-- ^. XIII. Pro ferie d noftra cafü quo /—14:-4-^ ga mag yeh POE (y yn 20083 y -1L- ete. fi aequationem generalem füpra $. VIII. exhibitam GEM Dem Om e Kn es "i Mode A-- diuidamus per (22) — C CD. — 2» Ei pernenicmus ad hanc exprefionem A E UN. A— A( 1) H OcEDA II cUm) s x MR à (A | EAE (m * ;b' i — I -— 2 AT S enRImegCt * -I- etc. vbi loco litterarum A', D", C', D' etc. fequentes valores fubftitui oportet : A (225 — m mem B'—3 WEM i (—) C —i5()2-19(02)2- C77) «D'— 105 (25)4-105(522)4-25 (2)-- C2) E: —945(52)-i- 1260 (57) 4-499 7727 56077) 4- (97 ) F'—10395(52)-- 17825 (51)-- 945957) o 1918 (4) : -«umeln- J-- (7 *) Tom. XIII. Nou. Comm. F vbi 42 DE CVRVA QVADAM vbi eft 10395— 11.945; 173257 10.126045. 94.6 9450— 9 490 «4.1260 I918— 8.56 -r5.490 II9— 7.I T 2.56 &6.0 T I.I hinc fi pro valore fequente ponatur: G—e (E -ECEO-y C)3-s mu 4-5 C 24-0 hi coeffcientes ita determinabuntur : & — 15. 10395 € — 9. 119-1-3. 1918 5 pat 17325-1-6.10395 | £ — 8: I...-—1-2. 119 "y —II. 9450-1-5.17325 N77. 0, bia Ó — 10. r918--4. 9450 XIV. lidem autem valores commodius ita exprimentur : D'— (-EERAS (poe — Th-1 T2 Mi 6 S ETRTIS 77--1-105.^-: : pu £3 ML EN m—: DEW s Tr m-. mes CST ard- 56. 777-490, — E1666. "Eram E 7m — ^ T -—sz Th — 4 mu 0 £.* 7» OMNE F' s 2 14-119. — -I918. TL a E 94.50, 7 m-: TM. L --17325. T ORIG Tr nd E T5 —* ms m-— m-—— s, "10895. 477 zat. Eg S» x s ze) cuius HYPERGEOMETRICA. 43 cuius progrefhonis lex quo fàcilius perfpiciatur , po- namus in genere pcs TEM) T—: m—2 ML m—2 TL — M'-(7 IX. cr hp V Y hurt Rit W-prl et. et fequentem ml TL --M TI —t I Te t m —25 m—tr m —o2o Ti—3 NE- ui Xi4-« Parure M Eat cure wa i "WO. p za gn r.c ete atque hi coefücientes hoc modo per praecedentes determinantur a' —2a-r-k4-r; vnde has formulas facile Ee:58 -- (4-1 2a quousque libuerit conti- Y —4y--(.--3)8 -. nuare licet. à* — 56 --(Wk-r-4)vY & —6ec-r-(py4-5)8 XV. Subfituamus iam hos valores , aC pro fümma ;*fíeriei propofitae quando zz— -1- À obtinebi- mus íequentem S UE T————— ————— —— — MÀ Oc) 0 4-2) Hd ied (5 C eru ie y^ — Lat ETIN (a 88-9) LOAD x^ Tm-: m-2 FOE 2» ETIPIS OM re cds I5, E "rasta AO-) -:)5-5 m QM m-: m-a2 fen D EPRMES (121-25. 5 p 105. —ÁÀ prog m Ts T Leeds (124-56. 4.99, 2. 755 pp ago s, ci —F 945 "mil ome) SEEN NU Z5 -A- VL 6. e Y 3i T1 —1 zn c*cudbcir e - etc. pP: fubtra- 44 — DE CVRVA QVADAM fübtrahatur hinc primo poteflas iem mme AES AA—áíTYÀ—2m* (x- TP AP ATL NERETE A SÉ Eu te eO Y y^: as Accor com s À . Anni — -L- Y 5.22 £06 T SEA : -— etc. y: Commode autem hic euenit vt fit 15 2 105 s 945 6 160705 cuius quidem rei ratio per fe eft perfpicua; quam- obrem exprefüo fuperior euoluta fequentem induit formam X, ^O—1)m, X— AQ 2m Xe;omo, Mee(A-3)m, A 2 ; [x ;) Ein Iv 2« Z X ; Tu Iv. 25 CTI US x Es I.e. 4$ a (n afll—3) X... (A—4)m A uc suec tec d bs Meo ect Gm XVI In hac MC denuo poteflas ipfius x —7 fcilicet s Ium (x—7— contineri deprehen- ditur qua inde feparata P uad noftra erit: Un 1 Hi — Py — ds tH ss). etc- Mim cup erc cm (x2 4- EE mpm ch RETMM Gm - 1) NEST Ga —im) d EuQOTT s ia - S - 4m à)ete. o . P PLE pe n in qua adhuc continetur Nee Am Am-u)n-me ac Egure fupereft A. . (kÀ—5tm m 6 E cevo JT 6M Gim-— —4& i -1- i) vnde HYPERGEOMETRICA. 45 vnde fine dubio infüper liaec poteftas: accedit : Axe seid (X—sym 2sm2-— em 4-16 X4 O pRERPO RAE VDRET, 576 — c 2)* , Quocirca aequatio noftra ita erit comparata : DENEN LEN Ie 205 — ? 7" À E TIL S A — (k4-1XX 4-2) ^ « « (4-7) — (x ur. ds "LE ACE am A -1y.. AT m(sn—2) n un Eig. QE 1, 2 DPI 210 (x ] 1 EI A(X—1:)*.../A—s) m(: eem. myk-6 et Iu25xxb:0. 4032 XVH. En ergo feriei roftrae propofitae gene- ralis : £—at-M. n (a — yp t ROTLDU(y—.jma DUE aul pio aj" Sea olg, eximiam transformationem , quae cum per plurcs ambages fit eruta , ac pluribus operationibus admo- dum intricatis innixa , tantopere abfítrufa videtur, vt eius inueftigatio directa ingentia fubfidia in Ana- lyfn fit allatura. — Quo autem facilius hanc. trans- formationem períctutari liceat eam hoc modo re- praefentabo , vt fit bun oxens- s) Xx Xdlu Ip (x —n5X 5 AUX-1 cd x É I^ 2 5 X1). nm um E NE Ie 2.646 Gc RNOSUM $ AX-i)eX—7) qc p. "euge ru idet) t A(X-1)5../ X— 60) v. pase 1 ang md | etc. F 3 pro 46 . DE CVRVA QVADAM pro qua expreffüione hactenus quidem inueni m Pone c cuo m2 Q-— 5. 6. 8 B m(ssmm-—*2 m -4- 16) ecerX i OmSUUOMOE S — m(175 m3 — 420 m? —4- 404 m —144) Me 34560 - fed methodus defideratur harum litterarum . valores expedite inueniendi. XVIII. Imprimis autem hic notaffe iuvabit, feriem noftram in aliam effe .transmutatam , quae fecundum poteítates formulae x—7 ita progrediatur , vt earum exponentes fint A, 4—2, A—4. etc. bina- rio continuo decrefcentes ; tum vero litteras P; Q, R, etc. a folo numero 77 pendere, ita vt neque exponens A neque quantitas x in eas ingrediatur ; praeterea vero coefficientes praefixos folum nume- rum A implicare , ac legem progreflionis ex euolu- tione binomii ortae feruare, — Hac forma probe ob- feruata manifftum eft valores litterarum P, Q, R, S etc. feorfim ex ipía ferie propofita vel ex eius transformata $. XV. cuius lex progreffionis itidem eft cognita elici poffe, fiquidem ponatur x— ? fi enim tuli éapmiHmeA--o f Plo o T pofito autem A—4 fit Q— i cx x39 Ü M Scie MENDA g 3t pohto- AcSfuüt qeu vere y etc. XIX, HYPERGEOMETRICA. 47 XIX. Quodfi ergo hic loco 5a TOO) feries fupra 6$. XV. inuenta fubfütuatur , atque in hunc finem breuitatis gratia ponatur : 9( — x " Murus. 7.7 € — 1 -- 10.7 MÀ TTE 4) — 1 -|- 25. er ipei a— — -L 105. Mein € — 1 -1- 56. 777-1- 499.77. "7 -]- 1260, 7, , 7 -d- 945. —— Pod $ — rr 119. —;—4- 1918.5. p ogsd - VES 4-X7325. 7 .. 5 410395... 255 etc. adipifcimur fequentes valores p—RL—ec?:77--97 Q—Z—49,.7 77--685.7. 1 —4 €, 7, " 9n RacE —6 9.7. 25 Eee Tii m -206G.7. 2 --15 Qm 5 E. :-1- $8.7 m quem - in finem valores illos litterarum 9, 25, G, «D, etc. euolui conueniet , vnde prodit E x Et &—im--i) € cim --imclumm-A-m) - 48 DE CVRVA QVADAM Q-—im--im--imu—u-iás(m--2m--i ian €—£m-r-im-J4-im-W Moni -- m -A-hm-im) A—Lm--5w--ZEmn —2:. LH — ffi fu . .. $c&(mesm--5m-ym ms) hic autem praeterquam in primis terminis nullus ordo perfpicitur XX. Quod vero feries transformata fecundum poteftates quantitatis x— 7 progrediatur , id quidem per folam inductionem | agnouimus , verumtamen hoc neceffario euenire ita oftendi poteft. — Quoniam progrefio propofita fimili modo definit, quo in- cipit, ita vt vltimi bini termini futuri fint -1- 77 (x—m--1)^-—^-E(x—m)"-^, wbi figna fuperiora valent fi z fit numerus impar, inferiora vero fi par; fümamus :;z effe numerum parem, (eadem enim conclufio producitur fi fuerit impar) et pona- mus X— 2—-y, eritque asc (yp ema m s epe Cy ny mou ym ym Gmesymm et facta euolutione fecundum poteftates ipfius y — x m — 2 reperitur ; TUI ete) c CE mmo (ey mr 1-227? (n- aY- etc) (Emo (ny apo) Ez ace) etc. Hae - pIjU^ (.-—-- HYPERGEOMETRICA. 49 Hae (cries autem omnes euanefcunt , donec perue- niatur ad cam in qua exponentes fünt z;, eiusque fummam nouimus effe — x. 2. 3...., omiffis ergo prioribus , quarum qb ad nihilum reduci- tur, obtinebimus : r— (CREDO — (xn ac SE (n — 2" — etc.) E GEDUP (Dnm mayo ES r-a tete) etc. ficque manifeftum eft, quod demonfítrare fufcepi , fcilicet hanc feriem fecundum poteftates j^, Vn ys etc. defcendere. XXI..Tribuamus huic feriei fimilem formam ei quam $. XVII. habuimus , fietque E IE TET (Quem) — i52. 2o (eU cere 1) ad etc.) M e : mem - «(m4-z) m ny — T— v M mus etc.) ZA EE EX A1)... dA- (A73) Uca 1425-55 * (7 hf i- etc.) etc. vnde valores litterarum | P, Q, R etc. nouo modo ita determinare licet Le SUPCH n (Z Tyr: — i Ese - 1j - etc.) Q— cepa t7 (t - y yo t etc) — 7.8 crees (m-4-6) (2 Po 1)"-$ -L— etc.) SI bro qn P4 (G pO - —-T(2- Eje -]- etc.) à EC, Tom. XIII. Nou. Comm. G Hic so DE CVRVÀ QVADAM Hic quidem fimilium ferierum fummatione opus eft quoniam vero iftae feries folum numerum ;z inuol- vunt , noftra inueftigatio ad cafüm fimpliciorem - perdu&a eft cenfenda. | Ceterum nunc demum certo agnofcimus has litteras tantum a numero zz pen- dere. XXII. Quodü autem hic litterae » fücceffiue tribuamus valores definitos x. 9. 53. 4. 5. 6 etc. to- tidem inde valores pro litteris P, Q, R, S etc. confequemur , quibus cognitis, facile earum formas generales collizere licebit. Ita pro littera P inuenienda reperiemus fi: qi zz 0, 9 po PULL WES, 45^ P.35 p, Hu, Loue L1 NU etes diff. PAD SOUS ita vt hinc fit 5. 2^P—: et P—;z4 vt ante. Porro pro littera Q | | fi 4 059: 15218 db 5; 6 2618.5 Que o, $5 16,39, 79, 115,"168 Dif. I. | 3, 13, 23, 33, 43, 53 Diff 1I. Fo)30510 2 mol Te m(m—1) . 4 erit ergo o'"gi s [OS 87 -3-10 5; —m(stu- 2), hinceque Q — ————— 2^. 3. $ Eodem HYPERGEOMETRICA. T: Eodem modo pro littera R fi 9 —0, I, 2, 3 45 5 6 2^. 9. 3 R0, 3, 48, 9205, 544, 1135, 2048 Dift. I. 39, 45, 157, 839, 591, 913 Diff II. 4204 .112,.592,.952,, $592 Diff. III. 97054939, 159 vnde concluditur 25.5.7 R — 5 m -1- ox m(t— x) -- $ m(m-— x) (m—2) m(ss m? — 4» m - 16) 26. 32. 7 atque R — quos eosdem valores iam füpra fumus nad&i,. hinc igitur eandem operationem ad litteras fequentes ac- : cóommodemus. XXIII. Pro lit'era igitur S. habebimus: Blluerit 7/— O, . 13^. o, i. 44 5, 6 8.5.9 8 — 0, 5, 256,2013,7956,22085,49920 Dif. I. 55251, 1757, 5923, 14149, 27855 Dif. Il. 246,1506, 4166, 8226, 13686 III. 1260, 2660, 4060, 5460 IV. 1400, I4OO, 1400 Er fit 2^ 5.9S—5 m-F123m (m-1)-210m(m 1m. 2) v mm-iym-2m-3) mpzsm 713 — 420m? -- 104 m — 144 dt Se Pose aem Nunc porro pro littera T habebimus: , G 2 fi fue- 52 DE CVRVA QVADAM Ti TUETTÉ E19, 0.1025 55 254 5, 6 2" 3.11 T —0,9, 52, 7665, 46080, 174255, 499968 Dif.lL . 3,,599, 7153, 39415, 128175, 325713 IL 506, 6644, 3:262, 89760, 197538 IIl. 6138, 24618, 58498. 107778 ]V. £2 18480, 35880, 49282 V. 15400, I54C0 ' vnde fit 2.5. 11 T—5m--258m(m-x)4 1025 (m-x (um-2) 4 77em(m-1):-2Y0-3) t mm-i)m 2ym-sj(m-4) m(sas m*— 15:0 m3 -- 2684/52288 71,768) wet T — 2I—— 131 XXIV. Hos nunc valores ita repraefentemus , quo facilius lex progrefhonis explorari poffit; — 12 Qs. 127 7 (m—z) R-UEC Gr—imd-4) 127 StcubEr SQ diu Eum t 5s * m em (m*— ioo s --Lm— ?2U gen atque hic in primis et fecundis terminis lex pro- greílhonis ita eft mauifefta , vt iidem pro omnibus fequentibus litteris tuto affignari poflünt, in reliquis autem terminis nullam plane legem «etiamnum ob- feruare licet XXV. HYPERGEOMETRICA, 55 XXV. Pro valore ergo litterae V inueniendo flatuamus VL MEUS ns ?afcam —Bn -pey uu —3). Ex forma autem NET MsxneSn t -un(T x fnac 03m -aynei- etc. coliizimus fi fit fore $m—1; V— m-——aL5(5-J-a—6--y-3) d—2;, V— i; — is(—64-4-8a-48-L2y-8) mg, Vim ecce : (—243-27a—984.5*,—8) 17) — 43 CE Murder 3o 2 (—51 24 640-168- 4ry - 5) m-—35; V—i Ii (6254125a-2584:5y:8) 6 047 5. 7.» AI NO: VETLSLEL Ph e (7 en2162—866- r6). Hinc ergo fequentes formemus aequationes : &- SEE- icc "UL mm Age dnas 47 5 8a— 4962-7 2y— M I d 64 27a— 96-r3'y -9—72,,; 2-249 64a— 168-I- 4 y —Ó — T7725 4. s12 125a4—256-1-5*y —Ó — 52 -L. 625 216a—3568-j-6y —0 — 557 57 2L. o, G 3 Diffe. 44 | DE CVRVA QVADAM Diffrentiae nunc primae ita fe habebunt Tic Skye keus o feido 19a— s&-4-y-— my d 179 57a4— 976-7 Y— stes -r- 269 27* n 61a— 96-r-'y — xs 113 org—1ri6$--y— — — 625 fecundae vero per 2 diuifae dant 624—82z 9 -- 60 9u—65-— eint Ag p. £85 lo5.—5-— c 2zc Wa isl exer urs 574.7 P Kl. Tertiae tandem differentiae per 3 diuifae praebent LL $249 s. 669 EN 05M e——s; mcUEL gU 4b Mun 9T quae tres aequat ones praebent eundem valorem 572 4e lie 13 27. Em ii -—— Sz —— 5.7 am reliqui definiuntur fequenti ex quo valore i modo 6.572 0« 268 e 12. 1229. .— 4248 8. 0« 59 BEC T AL A40 T2753; Go TEC d s 274 157 ipi 255968 ey —— B — T: ciu ap T: I2 59 — 59.;?.11 1061376 3-4 hear ET Luc | XXVI. HYPERGÉOMETRICA. 55 XXVI. Confpe&ui ergo fimul exponamus lit- terarum P, Q, R, etc. valores hactenus inuentos P—— Q—— 7. 3 B ) RETLe— (Qu — 15) 1.7.5.7 Tl I2 2 404 I MI LM "—Liim-—liu Nem UP 173 2 " ; Jl. 24 5. 724 0 'l , 214 es CL pisa ancé a EN atl " 7268 Ram 129 unt — mM | 33 iex ; IH m) V I, 56 5« 74 Q4 T I Il 5 10 4 57255443, 4248 255968 41 . 1061Z YES 129 G CR s; IH — i75 IH -] 13473 IP 7 175175 Ex prioribus terminis concludo poteflates hic oc- currere , quibus feorfim. pofitis ordo facilius perfpici pofle videzur : po a eu (mij RT (m — iy -4- 123 --3 1.37 5» 7 TIL ei Led 16, 17 * Sc 124 £— (Gn -1y 7 | 175 us WM Ss 175 — $8355. 7.9 TL 5Y4 2» 17 4e T M 5p Tis 125 (m — ;) TW m- 35 GL. 1832. 5.72 9e 11 TI, 4 eru n - 72:17 $81296 73125569 V ax TENLOITM Cms Lr. 35 NM Df age IH ^d xri 251 Lac vm quin etiam proxime en termini hoc modo contrahi poffnt vt prodeat p EE ji D-— eT (m-— 2) Eee ue T DE CVRVA QVADAM Scr Quei e (nn- 2) qim — ((m- Sy -— 5 (n S 3-83) ou Ye $e 56 74 9 11 TIL 20. 17 75808 4627128 V — IPXWEEVIS (n-$ : (nm) 2 5$, V II m- Fx em 175 Nifi .vítímum — valorem — euoluiffemus , — videretur omrnes has expreffiones ad huiusmodi poteftates re- duci, quod autem nunc fecus euenire agnofcimus, Quocirca ex alio fonte in legem harum litterarum inquiri oportebit. XXVIII. Singzulos igitur terminos harum for- - iniarum potius euolutos repraeíentemus : p raus qi Ti Tí Ba IU Re — "6a 3 Be Z. 73 3 Supe m Tm T TL —- 64.9 32. 3 | 4. 9. 7 5.7 m* 7 m* IOI m^ Th —— 256. 27 ' . 64« 9 644 272.5. 5 UO aS T — 5s 7 m5 5,7 n4 61. m3 12 m2 qmm d agbM vo ss6s Eo. 256. 9 64.9 | EC UU: v 5,7. 01$ Sections m*. 6«o9m3 7990 m? 691 fi iBijgase i3 ac PM Lee LL LC TUEG HOSQON Ue eM CE 40666 27 | 20484 9 IO24* 27 $12« 3*3 126.27e« 567 suu D 14 vbi quidem. intcr terminos primos et fecundos iamt oriinem obferuatt mus poftremi autem omni ordine déltituti "videbantur , qüoad valore etiam-litterae V euoluto numerus 69r criterium nobis fuppeditauerit, in his poftromis terminis numeros Bermoulliam im- plicari. Defi- HYPERGEOMETRICA. 57? De(ügnemus ergo numeros Bernoullamos litteris «, 6, vy, 9 etc. vt fit ui: Esci ape ge pei Qo ete. et inter eos notemus hanc legem progreffionis ; uir liy. QU LXI E 5.40 2 i1 27, "1.203 33 7.66 7.6.5. 4 & ty — 22. 1.2.5 2911.2 905 as x 9. 5 'y 9. 8. 7. 6. 6 RERER: BESSER 25.1.2 5 «45 | Z6 0s v9*NY La" 11. 10 8 Er. 8 'y Ts datek 68 LooUE "T7 ——À 275 1. 2eZ 2*. 1 PS Í TO REN 7. a8.1 01371122 13, 12 £ 134. 4. 10. Ó 132.4. 8 y rz 4.66 Y952»4 X — 23,1.2.3 — 25.1.5555 5 Í 200h| 00 921; T IET d p 210, i. 11 etc. Ac poftremi litterarum P, Q, R, S etc. termini ita concinne referri poterunt «m 6m. ym $m tem om —— 2. 3) 4.59 6.7? 8.9 D) 109.11 ). 12. tà* XXIX. Quo autem nunc etiam inuefligemus quomodo ipíae litterae P, Q, R, S etc. progredian- tur, a qualibet eiusmodi multiplum praecedentis auferamus , vt primi termini tollantur , et quia has litteras praecedit littera Oz x, habebimus : —u0-—o Bum 14. em Q 12 — 77 4. 5 I ENT pem Yn, uhi Uer m R 12 Rhen duo Ub EA eom 1s E 2 S—zT"gR. zm Q0:m Pm 128.9 16. 5 Lr Tom. XIII. Nou. Comm, H T-— [4 — ,Q16 6 55 — DE CVRVA QVADAM oT zusp ZORT. m* 17 m3 7m? £m 128. 9 9 64e 24 5 SUNS INIT 19. 1I ÁO 5.7. rim 4srm* — 121 m3 7159 m* — (d Moe 2048.27. 512.27 2948.27.5 128.27. $ IXIg * Quodfi iam has formas penitius perpendamus , ac breuttatis gratia GT G mor TP Mii LI EON t z;-—90€5 T —Es Ly 8.9 — | 3 etc. fequentem legem fatis iil Ein in noftris litteris P, Q, R etc. deprehendemus : P-o'—o Q—iaP--7 706 —o R-lc)QueI IIS P-EIIC. y S—ta RA - LE IeQ- EIS papttd'co T-i« 8--ELER-TEy'QI POTe—e V—la T-LLLZeS-SUDy' RRECXSQ- IT OPEDA-O etc. hae autem nouae litterae o, 8', s^, à* etc. €x praecedentibus hanc fequentur legem : r — —- au — v ecu de d geelo y!— Zee —2;—0 à'— —25y !abeueuso — uoa --2wy rem [24 »*254 e*o2 m Y Xen casu RR £ ——34 LE -rP.eisY —Á 15227 e ALS 79-9 etc. Quo- : HYPERGEOMETRIC A. 59 Quocirca nunc quidem quaeftionem circa feriem il- lam fingularem , quam hactenus fum contemplatus, perfecte folutam dediffe fum cenfendus, vnde folutio- nem hic fuccin&e füm propofiturus. Problema. Propofita hac progrefüone indefinita :. pto Ys ye M IE ees tenen ooe eh eg eids fummam affignare , fiquidem A fuerit; numerus quicunque integer pofitiuus. Solutio. Denotent litterae 9f, 25, €, &» etc. numeros Bernoullianos , ità vt fit E fea f. (him a men A. .S—5s 6—7; ó—*y;gcem; 07 a ct15o2agq — -- Orr TA goles, |pesia Ioiqr5ó 181820455... |. 56977927 E. 546: E ; " AG 2 Q9 — 23749461029 ^q 9615841236605 c. 26** P ytuleser 4.6 2, ; ....84802531455587 9021907504284.5 ef - NEmMSud 230€ —————— T2 Te ví 6 etc. H 2 Quos éóo. DE CVRVA QVADAM Quos numeros ita progredi obíeruaui vt fit piosr qoc 9E 2 — $3 cg 2920195 NAUES z 8 ;9r € $,7.6 $5? i-a 3 -^E 2.4 5 291: 10. 0. 8 255€ im Sb REA is SUME 12. TT. 19 e 12. IT» TO. Qe 8 €c 3j E "Win i LT «UB GCLDBC uet ET. 14. 13. PI TE 14. I7. 12. Ir, 10. 245 2) -s. "WUIT S | LADEN UM m0 etc. Hinc iam quaerantur numeri P, Q, R,S etc vt fit P— 170m —— (1s 2s 2.2. 5 sump $52,:885m Ou 1. 2« 3e 4. 3 s9lm Siem $64» o 1€ Rc Uu 1. 2e 3» 4. 6 124 4 «4 7 73m R ee i5 04 EE ;€m posnem ——2 1. 2.9 3 Y ur2isi x 1. 2e « «2 7 1. 2*5, «9 vbi lex progreffionis etiam eft perfpicua. Hac ferie inuenta füumma quaefita 5 ita exprimetur : Jem m A — Ty d. KI *2? "(A4-m) — —(x- Us PUER Ye p (r— 2 sna 0 ( x—? ep Iv. ite x—2y— A N ze dou su etc. xbi HYPERGEOMETRICA, ó1 vbi notetur fi forte numerus zz non fit integer va- lorem produdi (A-i- 3)(A--2) .. .. (A-4175) per arti- ficia alibi expofita definiri pofíc. Corollarium r. Si loco numerorum Bermoullianorum numeros iis cognatos, quibus ad poteftatum reciprocarum fümmas íüm vfus, introducere velimus , hosque numeros litteris A, B, C, D etc. defignemus , vt fit A Lr, Bl m D z—— ga:dH E — ss quoniam hi numeri a piod ita pendent vt fit Wu DAS ^B; € — —35— C; etc. inter fe autem ita Monehom vt fit : 5B—2A'; 7C—4ADB; 9D—4AC-4-2 BB; IIE-A4AD--4DBC; 153FZ4AE-r. 4B D 4 2CC etc, Tum ex his numeris litterae P, Q , R, S etc, ita determinabuntur : BE - A ^1: Qm [pete A A B R —— E : TQ — 5. — 7 Lom» 6.5 B 6..3D LITE: SICURA TO p Bep lociim etc, H 3 Corol- ó2 DpE CVRVA QVADAM Corollarium 2. Si pro variis valoribus. numeri A fummam progreflionis propofito hoc fignandi modo /(^) in- dicemus , ac iam loco à fucceffiue fcribamus numeros oO, I, 2, 8, 4 etc. pro his cafibus füummae /(o), f (1). f(2), f/ (8) etc. fequenti modo | exprimentur ponendo breuitatis gratia x —2 —y: Kb) iore n2o.eem-— i E xu «(n Ei) —J EN » (152) £c zz P $4) mU elg D w6.llndea —J^ aiu OR d 2 --Q «(ma 5) —J *-- 10 P y? -4-5Qy ;j s.a —J -- 15Py*2-15Qy^H-R etc, Er Corollarium 5. Hinc ergo iftae fummae fequenti modo fingu- lae ex antecedentibus definiri poffunt f(x) zc PE yf (o) f (2) & 925 f(r) A- EEREPUE? gp AJ (o) [(3) 2 EE yf (2) 4- 99209 qu A (1) "uc A HYPERGEOMETRICA. 65 J(4)2 5E y f (5) 59 m A (a) - 289 B f(o) B- M uem nA f(s)- Essi yq) f(5- "iS ejt pow v enhUta b nv" mCf(o) (- ( JG) 5 yf(6 H- Z7? mA f( s - 5325 mBf(3)4- 12 teft) 5 g)- TESy/ f | eetnenh p fi )- enm er) 2 m Bf(4) E 14-2) T nCf(2) T ge venen " D f (o) quae lex progrefüonis infpicienti mox fit manifefta. Conc lufio. Nunc haud multo difficilius erit hoc nego- tium longe generalius expedire, ita vt, fi (D:x de- notet functionem quamcunque ipfius x fummam huius feriei M AM mim-) A^. en(m-1 m(m-1YX(m-2) szQix-mQ.(x-x 9-7 x -2) 7 :(x-3) aignare queamus. Perfpicuum enim eft hanc for- mam, differentiam ordinis zz exhibere iftius progres- fionis Q:x; Di(x—1); Q:(x—2); Q:(x— 3) etc. Ex iis enim quae in Inftitutionibus Calculi Differen- tialis pag. 343. in medium attuli, fi ponamus Q:x-—y, colligitur differentias fingulorum ordi- num efle: Ay 64 — DE CVRVA QVADAM d y ddy bn d* y d5 y AJy-—gdx — dub Ub a EHE z.dx$ ^ 2.:.4dx* LXsgas -- CÍC. Ay —À — 3 -- iiis £n ilsde ett. A!y— a — Mer E RE I kerda -L- cordi — Ele Ay e ER A LR E AD It — etc. ctc. qui coefficientes cum fint illi ipfi , quos fupra $. IV habuimus, eodem modo intelligemus differentiam ordinis z; feu ^" y, hoc eft ipfam fummam feriei propofitae fore £9) AE Dag y Pr dum (uui 1)da nr 7T (m--1) (m 1) (m4- 2)d x77 . Caqucy 7 (uA-n... (maa) 3 e quos coefficientes A', B', C' etc. fupra $. 13. de- terminaui. Quocirca erit A! m fm-:i:——2z B! NK: am(m-—1) (m--:i(md-2) — 1.2. s gi 1. 2. $04 ct Xi te HEUT 10 m(m— 1) 15 m (m—1(m—:) UERUET DAI d com 1. 2 « «2 6 D' 2s m (TR — 1) 10$ m(m —31)(m — a) Uyrsmeeg reri tedeommie ap Eu V ePPDEXC UU 20s m (m — 1) (m — zm s) -L- Ie 2 4 e «e a B etc. Quodfi iam nunc ponamus (p:(x—7)— o, ita vt v oratur ex y, fi loco x fcribatur x—7, erit vtique dv d'y md"€y — gpd"ey dg" 7 q^ adimi adiens e quae -HYPERGEOMETRICA. 65; quae aequatio íi inde fubtrahatur, calculus idem prorfus erit inftituendus , quem íupra expediuimus. Vnde introducendo easdem litteras P, Q , R, S etc. quas füpra definiuimus , obtinebimus fequentem fum- mae s valorem : | NUUS I6 ooa eum d a3. adus 1.2.4.0 x"7** "i 1.2...6dam5 V. 1.2...84gm V eie atque hinc fi fumatur y— D: x—2x"7*^ et vI—(x—2jy--^ manifefto eadem fuümmatio fequitur quam ante eruimus , ficque totum negotium redit ad litteras. P, Q, R, S etc. quarum indolem ex numeris Bermoullianis fupra deriuaui. Hinc flatim liquet, quod ante minus appare- cat, fi in functione y vel v numerus dimenfionum minor fuerit quam exponens zz quem quidem nu- merum integrum pofitiuum effe oportet, tum omnia diferentialia ordinis zz 'et fuperiorum in nihilum abire , foreque fummam s — o. Deinde hinc etiam planior patet via ad va- lores litterarum P, Q', R, S etc. inueniendos, Cum enim pofito düpgdsadni-: y odi vo ry dI sy dL——qgyn— qam -d- qas qam -- etc. 3 'Tom. XIII. Nou. Comm. H fit 66 DE CVRVA QVADAM HYPERGEOMETR. fit a4—— Worry emu est edhodi- pae STR erts óLIRIQum0) V[Qupute etc. functio autem y ex funcione v—(p:(x—7) nafca- tur fi in hac loco x fcribatur x-1-7 erit in genere d'y d" ssd i v.m d'*o mu dg dx" da qm y Ph dyvi 246 4.6 deest et vnde fi loco differentialium ipfius y, haec diffren- tialia ipfius o fubftituantur , fiet | d"o d'or e d'y det6- ——— (Lo z4T5)gos Tm d^3-:4) TE "E 2. 4 UI $— $1 ts Td etc. ficque habebimus : f m — ERIT Ourss Tn m PLAT TS 2e 4 sen — Rte € E n 4.41608 — Au Meer yi "ERIP T5 — ox Aee BEES TT wis REPE —Ey-2 je etc. facile enim perfpicitur has expreffüones alternatim euanefcere debere. QVO- eBo)ocCi. 67 QVOMODO NVMERI PRAEMAGNI SINT EXPLORANDI, VTRVM SINT PRIMI, NEC NK. Auctore L EFLER SO. l. nte omnia monendum eft, me hic non eius- modi methodum polliceri , cuius ope omnes omnino numeri, cuiuscunque fint generis , exami- nari queant, vtrum fint primi nec ne * Huiusmodi enim methodum vix aliam dari poffe exiftimo , ni- fi quae ad regulam redeat vulgarem , qua diuifio per omnes numeros primos radice quadrata numeri propofiti minores eft tentanda , quae operatio fane, fi numeri íaltem mediocriter magni proponantur , nimis eft molefta , quam vt füfcipi queat, ^ Quae igitur hic in medium affrre confütui , ad certum tantum numcrorum genus funt refiringenda , pro quo fcilicet hoc examen, vtrum fint primi nec ne? citra laborem tam operofum inftitui queat, — Cum enim numerorum primorum natura adhuc maxime fit abícondita , quicquid in hoc negotio praeftare li- cuerit , etiamfi alias arctiffimis limitibus fit circum- fcriptum , vía neutiquam deftitui eft cenfendum; i2 2. Nu- 68 DE NVMERIS 2. Numeros ergo tantum in hacforma 47-1 contentos fum contemplaturus , de quibus equidem poft Fermatium demonítraui , fi huiusmodi nume- rus fuerit primus, tum eum femper effe fummam duorum quadratorum , idque vnico modo. Vnde propofito numero quocunque huius formae 47-1- I, examen vtrum fit primus nec ne? hoc modo infti- tuetur. ^ Ab eo fucceffiue omnes numeri quadrati ipfo minores auferantur , eaque notentur refidua ,. quae pariter fint numeri quadrati; atque fi vnico modo numerus propofitus 474-1 in forma 4a--bb contineri deprehendatur , id certum erit criterium. numerum propofitum effe primum. Sin autem vel prorfus non in ea forma contineatur, vel plüs vno: modo , tum certe non erit primus; priori quidem cafu quo numerus £7-|-ri non eft fümma duorum: quadratorum plus concludere non licet, quam eum. non effe primum neque inde eius diuifores innote- ícunt, fin autem plus vno modo fuerit duorum quadratorum fumma veluti 45 -- 1 aa 4- bb —cc-- dd, tum hinc quaerantur eiusmodi bini numeri f et 4 t Q bc. 2 a--d s. : Xt.ht —— c4, V6 — proa, 4C Humeti agp et 55 -i-qq certo. habebunt. diuiforem communem ,. qui ergo facile affignatur.. 3. Propofito itaque huiusmodi numero 474- r- operationem ita infHitui conuenit, vt ab: eo conti- nuo: numeri quadrati fubtrahantur, eaque refidua. tantum notentur, quae etiam fint numeri quadrati; vbi PRIMIS PRAEMAGNIS. 69. vbi- quidem ftatim apparet , hanc fubtractionem. non. vltra.quadrata femiíü minora continuiri opus efíe.. Si enim. fuerit 44—-r-—aa-1-55,. horum quadra- torum alterum certe erit minus femiffe *—;—.. Vel cum horum binorum quadratorum alterum . neceffa- rio fit par, alterum impar , fufficiet vel.paria tan- tum ,. vel imparia quadrata ipío numero propofito: minora fubtrahi , quo pacto multitudo quadratorum, fubtrahendorum haud mediocriter imminuitur. Cum autem numerus omnium quadratorum ipío numero propofito minorum fit — Y (45-1- 1), eorum auteni. quae eius femiffe (unt minora — V. —Z2— ; erit qua-. dratorum íemiffe maiorum numerus — 1 — 73) V 4114-1). —ÉS Y (4n-r1) proxime ;; quae quoniam etiam | (ub-- trahi fufficit , hoc modo numerus fubtracionum ad trientem fere redigitur. —— TS 4. Maxime. ergo. expedire. videtur hanc ope- rationem ita inflitui, vt a quadrato maximo infra. numerum propofitum 47-1-r initium capiatur, in-. deque quadrata continuo minora fübtrahantur , donec ad quadrata femiffi minora perueniatur. ^ Velud fi numerus propofitus fit ror, fufficiet: inde- haec. tria: quadrata 100, 8r, 64. fübtraxiffe ,. quia fequens: 4.9: iam foret femiffi 50; minus, hoc modo cum: in-. ter tria refidua r, 20, 37- vnicum. occurrat qua- dratum r, hoc certum eft fignum ,. numerum: ror effe primum. Verumtamen: fi. numerus: propofitas 44-i-r fuerit praemagnus ,. etiam: hae. operationes: Is nimis 4o DÉ NVMÉRIS nimis multiplicantur; ex quo in id potiffimum: erit incumbendum , vt harármi fübtra&dionuüm numerus imminuatur, quod fiet fi eae excludantür , duae ad talia refidua perducunt , quae a quadratorum- natura abhorreant , cuiusmodi funt refidua in his formis contenltà: 372-123 5 9/4/-—|-2; 5-4-5; &m-4-5 etc. formae enim 87-123 et 87-7 ob indolem nume- ri propofiti 42-j-x nunquam occurrunt. |/ 5. Dantur autem certae numerorum formae 4.-|-1 fpecies vnde plurima quadrata inde fubtra- henda excluduntur. ^ Veluti fi fit £2--1- 54-2, ac ponatur hic numerus — xXx -i-yy, vterque nume- rus x et y in forma 3p-1l- 1 contineatur neceffe eft, ita vt numeri formae 35 eXcludantur, fimili modo fi fit 4"-1- x —5-1-2, vtrumque numerum x et J in forma 55-1-1 contineri oportet , et fi 45-- t —5m-1-3 in forma 55-1- 2. Denique fr 8723-5 —Xx-|-jy numerorum quidem cx et y alter eft impar alter par, hic vero adeo impariter par feu formae 4p 4-2. Quod fi ergo fimul fuerit XX--31)—3m--2—3512-1-2 numeros X et y fimul in his duabus formis 39-1- x et 5p-1-1 contineri oportet , vnde eorum forma concluditur : x vel y — x5 p T- (1,9. At fi fuerit XXu-yy--8--2-5U--3 forma PRIMIS.PRAEMAGNIS y forma numerorum x et.y eft et 3p d- 1,et 55 4- 2, quae duplex forma in,hanc vnam. contrahitur 4Uxvel y2c35p t (e, 7). ..6-. Quoniam hoc modo duae tertiae partes omnium numerorum , quos tentari oporteret, ex- cluduntur , hi cafus imprimis fuat apti, quibus examen fàtis expedite inftitue»e licebit. — Quare nu- mrorum IN-—-42z-i-1 eas fpecies. potiffimum. | con- templemur , quae vel in his duabus formis 377-1-2 € t57--2, vd in his 37-34-22 et 5m-4-3 conti- neantur. «Numeriautem prioris fpeciei ad. hanc. for- mam 155-12 reducuntur, qui cum . infuper in forma 47-i-1 contineri debeant , haec fpecies fequen- tü.formula exprimetur : d "Species .príma :.. IN — 60 -- 17 .qui- numerus :alio. modo. fümma duorum quadrato- rum. ffe nequit, nifi vtriusque quadrati radix fit numerus formae 159-i-(1, 4), fcilicet vel 15p-- 1 vel 155-—- 4, vnde numeéri tentandi ex his quatuor progrefhonibus funt capiendi : 1,16,31, 46,61,76, 91,106, I21, 156 ctc. 4719,34, 49, 64, 79, .94, 109, 124, 139 etc. 11, 26, 41, 56,71, 86, 10I, 1 16, 131, 146 etc. I4, 20, 44, 59, 74, 89, I04, I I9, 134, I49 etc. et reliquos omnes in hoc negotio praetermittere licet. 7. Si- 4^ 0UUPSEUNYMÉRIS 7. Simili modo alteram fpeciem euoluamus , quae duplici forma 377-1-2 et 5771-5 continetur , et propterea ad hanc ynam 1557-1-8 reuocatur. Hinc autem tantum illi numeri funt vfui, qui fi- mul funt formae 42-i-1, ex quo haec fpecies fe- quenti formula exprimetur: b 8, 25, 38,53; 68, 83, 98, 1153, 128,14.5,158 etc. 13,28, 493, 58, 73, 88, 103, 118,133, I 4.8. 165 etc. hoc ergo modo multitudo quadratorum fübtrahendo- rum fere ad trientem reducitur. 8. Neque vero his omnibus quadratis tenta- Ten inftitui opus eft, prout enim numerus, propo- fitus IN infuper. fuerit. comparatus , . inde praeterea multa.excluduntur. Cum enim omnes numeri fot- mae N—4-1 1 in has quatuor refoluantur : 162--1, 162-1- 5, 16 5n-1-9, 1650-17-13 h PRIMIS PRAEMAGNIS. cs .4 fi flatuatur N--xx-d-yy, et v denotet numerum. parem, y vero imparem, pro his fpeciebus numeri x et y fequenti modo comparati reperiuntur ; fi fit erit et LIÓZ7--. i| XI—a4U y—8p-l-1i N-—16-L 5| x—4m-- 2| y —8p-- 1 N-i62-4- 9| x—4m J- 95S —16n-1-13| x— 4m 3- 219 — 8p 4-5. |: 9. Combinemüs has quaternas fpecies cum bi-. nis praecedentibus , et obtinebimus fequentes octo fpecies, pro quibus formas tam radicis eim X quam imparis y exhibeamus : fi füerit N | erit x— | [ety—. 2401-- 37 6om-t-( 4,16)120p 4- (1,81,41,49) 240n-- T1660 m-- (14,26)1205 -- (11, 19,29,59) 2401-1-13760m-1-( 4,16)1205-- (11,19,29,59) 2401-1- 197 60 31 -- (14,26) 1205 -1- (1,31,41,49) 240H-- 593|60m (2,22) [120p 3- (7; 17,23,47) 24.0/1-4- 113/60 z -- (8,28) 120p -L- (7, 17,25, 47) 2407-|- 175/6071-- (2,22) 1205-1-(13,37,43,53) 340-|- 233|602 3- (8,28) [1205-1- (135 3743,53) io. Dantür. autem in. his numeris fpecies , quibus adhuc plures numeri tentandi excluduntur ,. quae ita fe habent Tom.XIllLNouComm. | K |. fft 94. ^DE NVMERIS LU fi fit ?' dent et NZ22S325-I-5 xg m-|y-ut65-L E N-324--13 "x—4m-b-2z |y-16p--3 N--325--213 | v—4mbHde 2 | y— 16p- 4 N23g2ü"«P-Eg| x—w i-i Lyrtf6sE quae cum binis principalibus combinatae praebent fi üt N erit p o WE ortos 4801-77 |6om-- (14,26) 2409 4- (19,29,91, 159) 480 n-1- 197,60: 4- (14,26) |2409 -1- (1431,49, 79) ) ) 4802-1-517|60 gi 3- (14, 26 240p --(11,59,91, lIozr) 480n-- 43760 m-4A- (14, 26) |240p 3- (41,7 1,89, 119) 4805-i-53 |6om-1-(2,22) |240p-3-(7,23,735,108) 4801-1-173|60 m 1- (2,22) |240p - (13,67,77,83) 48051-1-293,602-1-(2,22) |240p 1- (17, 47,97 ,113) 4807-E- 4T3,6011 31- (2,22) [2409-1 (37, 43,553,197] Hic ergo ex valoribus ipfius y, quos praecedentes fpecies admittunt , denuo. femiffis excluditur. Quoniam hic valores radicis imparis y multo. magis imminuuntur , quam radicis paris x, calculus multo euadet facilior et breuior ,- fi a. nu- mero. propofito N. fiquidem. in. vna poftremarum fpecierum. contineatur fucceífiue omnia quadrata im- paria ipfo minora fübtrahantur , refiduaque exami- nentur'an fint quadrata nec ne * harum operatio- num numerus fatis erit modicus , etiamfi numerus. propofitus fuerit praemagnus et quoniam radices per differentiam 240 increfcunt , infignia compendia in caleulo víürpari poterunt. ^ Scilicet. fi quaecungue quatuor minimarum radicumi dicatur —4, quia a ! nume- PRIMIS PRAEMAGNIS s5 numero propofito IN, fi medo in aliqua | octo. po- flremarum . fpecierum;. contineatur, vel quod; éodem redit fi fuerit vel huius formae 1504-1-77 week our 12045 4585, fücceffiue füubtrahi, debent. quadrata, a,(340 -F- 4), (480 -L- a) etc. notetur differentias effe vr b uexdds M. ade 9. 57600 - 4804 etc. fe- cundas vero effo conflantes. — 115200, quo pacto to* tum. negotium :ad.:-meras additiones. et :fubtractiones: reducitur; -et::quia quaelibet. radix fimplex 4 'tam' pofitiue- quam: negatiue bin potios j disponat UM «alculo. expedietur...:.—. s i. x5 | PrpTàs ine is rnt TE 12. Propofito numero .quantumus. $ magno, ANS qui vel in hac fora 120 1-77. Nel in. jns 1207/-|-55 contineatur , ehplorase vtrum. is fit pris mus nec ne ? ia Solutio. Statuatur N—aa-|-zz, et pro oconis formis ipfius N littera a quatuor habebit, valores íequentes fi fit .|erunt quaterni valores ipfius :.- IN— 4802-4- 77, 19, 29, 61, 109 ERE 4802-17 1977]... 1,81, 49, 779! un Nz- 4504-317 11,59, 91, IOI ji am 4801-457 4I, 71,89, 119 N-—48o-- 55 7! 82579:353 N —480n--173. 13,67, 77, 8 INzz48014-2993|. 17,47, 97, 113 ,INZ480o7--413|.87,48, 53, 107. 00 05 007- oo. K 2 Pro "6: DE NVMERIS$ Pro quolibet ergo numero IN habebimus quatuor va- lores ipfius a, quorum finguli dabunt binas nume- rorum feries defcendentes. ; N—aa; N-(e4o-ray; N-(489--ay; N-(720-a) etc. N—aa2; N-(240—aj;. N-(480-ay; N-(720-a) etc. quarum illius differentia prima: eft 5*7600-1- 4804 huius vero / 57600 —4804, wtriusque vero dif&ren- tia fecunda conftans — rr5200. . Ambae hae pro- greffiones. continuentur donec ad terminos: negatiuos perueniatur , ex iisque ii notentur, qui fünt nu- meri quadrati. Quodü tum eueniat, vt vnicus oc- currat numerus quadratus , hoc erit fignum indu- bium ; | propofitum numerum N effe primum ; fin dutem: el nullus numerus quadratus occurrat, vel plures vno, certo hinc erit concludendum , numetum propofi- tum N non effe primum, fed ex fa&toribus com poni: ns | Coroll. | r5. Quodíi ergo ntimerüs propofitus N in altera harum. formarum: 1207-- 77 et 1204-|- 55 continea- tur, tum fatis expedite examen in(titui poterit, vtrum is numerus fit prifhus nec né?: cuni quadrata ,. quae füc- ceffiue fübtrahi oportet fcilicet (24.9 X 4- a)* mox. ipfum numerum: N fint füperatura, -' . Coroll...2. I£. Si enim numerus -pfopofitus. N' vnum cuim non füperet ,.. quadráta' fubtrahendo — infra | 1 (1200 PRIMIS PRAEMAGNIS, jj (rz0o-1-4)' fubfiftent , eorumque ergo numerus pto quolibet numero a non ad g9 vsque aícendet; et quoniam quaterni huiusmodi numeri 4 habentur, paucioribus quam 36 operationibus totum: hegotiur conficietur. Coroll 5. IS. Si numerus N adeo decuplo füerit ma- ior, operationum numerus ad triplum tantum in- creícet , et quoniam pro. quouis numero q quadrata fubtrahenda eiusmodi progreflhonem conftituunt, qua- rum differentiae fecundae fünt conítantes , hinc in- gentia calculi. compendia. nafcuntur. Scholion. r6. Etfi haec methodus ad nonnullas tantum mumerorum íÍpcecies patet ,, quippe quae in altera ha- rum formarum 12072-1-'77 et 1207/131-53 fint con-- tentae , ea tamen neutiquam attentione indigna videtur. Cum. enim: eiusmodi. methodum , quae: fc prorfus ad. omnes. numeros extendat, ne fperare quidem liceat, quae fcilicet a. vulgari regula ,. qua: diuifionem per omnes numeros: primos: radice qua- drata numeri propofiti minores. tentari oportet , di- fcrepet , eaque fit multo expeditior; omnia com- pendia quae quidem in hoc negotio inuenire licet, neutiquam: fünt. contemnenda ,. etiamfi ea ad pau- ciffimas. numerorum fpecies extendantur, dummodo numeros quantumuis magnos. in fe complecantur. -^ K 35 Cum T DE NVMERIS Cum enim problema iam olim propofitum , quo numerus primus dato numero maior defideratur , adhuc vires ingenii humani fuperare videatur, non parum praeftitiffe cenfendus eft , qui numeros ' valda jnagnos, qui certo fint primi, in medium. afferre valuerit. "Víüm igitur methodi hic expofitae aliquot exemplis declarabo. Exemplum. r. r7. Explorare vtrum hic numerus 481057 fit primus nec ne? Cum hic numerus fit —1002. 480-1- 75 in prima forma continetur , vbi quatuor valores ipfius & funt I9, 29, 61, 109, calculus ergo fequenti mo- do inftituatur : g—- 19 q---L-29 481057 | 57600 4.81037, 576co || 361 . 9120 $41 15920 20 — 2480676 480676 — - 480196/4801 96— 66720 | 48480 .. 31520, 43680 du rADMBN 1152 — TIN DITISS —413956 432196 - T —4086*76 436516 — 181920 |163680. 186720158580 1152. 152 ||-221956277636 — —232036 1268516 — 274c80 $5506 5i 4-— PRIMIS PRAEMAGNIS 79 q— —L- GI .—-L 09 | 481057| 57600 481037| 57600 354324XL 29250 11881, 52520 —477316477316 — | —469156469156 — 86880| 28520 109920, 5280 —8390436448996 — || —359236463876 — 202080145520 225120|1204.80 D 188356305476 — — I84116,343590 1 258720 [4:2 356507. 46756 — IO7'T716 — In his refiduis duo occurrunt quadrata figno O no- tati dum reliqua non quadrata lineola — notaui ; ex quo concludo namerum propofitum non. efle primum. ^ Cum autem fit duplici modo duorum quadratorum fíumima fcilicet 481637434 ^-3- 541 ——5867--37Y' eius diuifóres, quos quoque fummas effe duorum: qua- dratorum neceffe eft, afhgnare licebit, fit. enim jp--44 diuifor, erit £ — SEL, wl -—IIA, hinc £ — $ vel f- — 5 ergo diuifores. funt 97 et 33091: Exemplum .2. 18. Explorare vtrum hic numerus 829853 fit primus nec ne ? . Cum hic numerus fit — 1728. 480-1- 415, ad. vltimam ífpéciem pertinet ,, vbi valores ipfius & funt 37, 43, 53, 107 calculus ergo 1equenti modo : inftituatur. -N-— T | |..DE NVMERIS a-cct ay 829853| 57600 1569| 17760 —828484828484— 75360| 39840 II52 j|I152 —758124/788644— - 190560155040 | 1152 152 — $62564633604— 505760270240 —256804363364— 4—-1- 53 829853| 57600 — A509 254 25440 — 82'7044|827044.— 83040| 52160 II52 |I152 —— —744904/794884— 198240147560 II52 |II52 — 545764647524.— 513440262560 [I52 M À——— — D..252324.384.964.— 377760 7204 -— a--l148 829855| 57600 1849 | 20640 — 828004828004 — 78240| 36960 1r95. |1192 —749764791044— 1934401152160 YI52 |II52 —5569524638884.— 508640267360 —247684[371524.— 7-07 829853| 57600 || 11449 51360 — 818404|818404— ro8960| 6240 II52 Jj1152 —99444|812164—- 224160|121440 1152 r152 —485284690724— 339560|236640 II52 D..145924|454084— 351840 102244.— Quo- PRIMIS PRAEMAGNIS. s: Quoniam hic duo occurrunt quadrata , vnde fit $29853—:482'-1-773' —382'-r-827T hic numerus non eft primus fed factores habet 257et 3229. Exemplum 5. 19. Explorare, vtrum hic numerus 2400517 fit primus nec ne ? Ex huius numeri forma — 5coo. 4804-31:7 intelligitur , eum ad fpeciem tertiam per- tinere, pro qua valores ipfius 2 funt 1 3, 59, 91, 10r, vnde calculus ita fe habebit : B E | m—- 59 2400317| 57600 2400317| 57600 I2I 5280 5481 , 28320 —24001962400196 — —283968362396836— 62880| 525320 85920 29280 II53 HuNtxT ^| 1152 | 1152 —283373162347876 —|| —23109162367556— 178080| 167520 2OII20, 144480 II52 IIS2 || —2109796,.2223076 316320| 259680 | II52 IIS52 —1793476/1963396 — 431520| 374880 II52 IIS52 —153619561588516 — 54.6720| 490080 IIS2 IIS92 — 8152561098436 — 880 «661920 605280 — —294916| 358276—|| —153316, 493156 — Tom. X1lI. Nou. Comm. L a— — 14574161499716— 523680| 515120 IIS2 IIS2 —— — — —! —933796| 986596 — 658880| 628320 82 DE NVMERIS q—-I- 9T 2400317] 57600 8281| 45680 —2392056|2392036 — IOr280| r5920 II52 II52 —2290756|2578116 — 2164.80| 129120 IIS2 ]|r1r5e —20742176|2248996 — 331680| 244320 IIS52 IIT50- —- —1742596|20046 76 — 446880| 359520 II52 IIS55 —1295716|1645156— 562080| 474720 I152 | rr52 —133636|1170436 — 677280| 589920 — 56556[ 580516 — GT PNG I 2400317, 57600 rosor! 4848a —28901162590r016,..0 ro6080 9120 bois Ade II52 —2284036/2380996 — 221280| 124320 IIS52 IIS2 — 2062756|2256636 — 33648C| 239520 II52 II52 —17262765017156 — 451680| 354720 II55 II525 —12745961662436 — 566880, 469920 IIS2 Il52 —1077161192516— 682085| 585120 —25656 607396 — Ex duobus. quadratis ,, quae hic occurrunt ,, nume- xus propofitus concluditur habere. factores 55. 45289. Exemplum 4. 20. Explorare vtrum hic numerus 58615317 fit primus nec ne? Cum hic numerus fit —8044.4.80--197 ad fe- cundam fpeciem pertinet et calculüs ita fe habebit : gp—. PRIMIS PRAEMAGNIS $3 n-—s-pL'm g---l293 5861317 57600 57600 I 4.850 I4880 — 3861316/3861316 — | | —358060356/53860356 — 58080| 57120 42720 IIS2 I152 115.9 — 3803256|3804196 — —53787876/5817656 — 173280| 172320 187680| 157920 "pq*27 I152 II52 — 86299563631876 — —93600196|5659716 — 288480| 287520 278120 IIS2 II$2 IIS52 — 3341476|3344356— || —3297316/3386596 — |J 403680| 402720 418080| 388320 IIS52 IIS52 II52 II52 0.2937796:2941636 — || —2879236:2998276 — 518880, 517920 533280| 503520 ils II52 IIS2 IIS2 — 2418916/2423716 — | | —2345956/2494756 — 634080| 633120 || | 648480| 618720 II52 II52 | II52 II52 — 17848361790596 — | —16974761876036— 749280. 748320 7636809, 733920 Il52 II52 IIS2 II52 — 1035556/11042276 — —9337961142116— 878880 849120 ^ . 864480| 863520 ^ 7754916, 292996 — Er ToT5 178756 — | LS (NES 84 ; DE NVMERIS G— 49 5861517, 57600 2401 283520 —3858916 8r1250 YS 34080 1152 —37771196/3824836 — | 196520| 149280 1152 II$2 —3581476,3675556— | 311520| 264480 II52 II52 —8269956/3411076— | | 426720| 379680 1152 d pA —2843236/5031396 — 541920| 494880 1152 1152 | —2301316|2536516 — | 657120| 610080 1152 Il152 — 1644196 1926436— | 472320| 725280 | 1152 —8718761201156— |. $404.80 | —3606,6 3858916— | a—-F 79 3861317| 57600 624I|. 37920 —38550763855076 — 95520, 19680 IPS ^ EIS —87595563835396 — 210720| 134880 II52 IIS52 —3548836|3700516 — 325920| 250080 II52 1152 —82229163450436 — 441120| 365280 II52 | I1752 —27817963085156 — 5$56320| 480480 II$92 | II52 —2225476:2604676 — 671520| 595680 TIS2 JI52 —15539562008996 — 286720, 9710880 1II52 —136372361298116 — | 826080 472036— Quo- ! PRIMIS PRAEMAGNIS. $5 Quoniam igitur in his refiduis vnicum quadratum reperitur , numtrus propofitus certe eft primus; aequatur autem ífümmae horum duorum quadrato- rum 1714'4-96r. Scholion. 21. Cum igitur iam certi fimus numerum 4861317 effe primüm , hic fortaffe maximus cft numerus primus quem nouimus; ac fi quis hünc numerum Ííecundum regulam vulgarem explorare voluerit , diuifionem per omnes numeros primos vsque ad r965 tentare deberet , qui labor certe non folum maxime foret prolixus , fed etiam fummope- re taediofus; cum tamen hoc modo totum negotium breui temporis fpatio facillime expediri pofüt. Si- mili modo tentaui numerum 5862997 — 80437. 480-1-437, ad quartam fpeciem referendum , quem pariter primum effe deprehendi. Nifi autem nume- rus propofitus in octo memoratis fpeciebus continea- tur, etiamfi fit formae 47-|-1, examen laborem magis operofuüm poftulat; quamuis negotium ita di- rigi queat, vt non pluribus fubtractionibus fit opus. Verum cum vniuerfa haec inueftigatio / plerisque omni víu de(ítituta videatur, hoc argumentum füfius non profequar fed Theoremata tantum , quibus haec methodus innititur , breuiter fübiungo. | 9M. Th. x. $6 Th. Th. Th. Th. Th. 2n. "Th: MH O0 0 o DE NVMERIS ri. Si fit x x-1-yy —9n-4- 1. erit wel x—3p vel x—9p-1- 1 2. Si fit xx-yy—9n-i-4 erit xXel xzz95 wel x—95-r 2 . 3. Si fit xx4-y — 954-5 erit vel x— 5p vel xc 9p-d-4 . Si fit xx-yy— 32-4- 2. erit x—3p 3-1 . Si fit xx-yy-—5n--2 erit x—5p-3-1 . Si fit xx--yy — 51-3 erit x—5p-1-2 . Si fit xx-]-yy— 2583-1 erit vel x—5p xel xzz25p-1- 1 8. Si fit xx-41-yy — 25 n-- 4. erit wel x —5p vel x—25p-—-2 9. Si fit xx--yy—251-1- 6 erit vel x— 5p vel x—255 1-9 YO. $i fit Xx--yylz25n--9 erit vel x— 5p vel x—25p-31-3 II. Si fit xx--yy—25f5-1-11 erit vel x— 5p vel x-259-1-6 12. Si fit xx yy 251-1- i4. erit vel x— 5p vel x—25p 1-8 3 pat "Th. Eh: Th. Th. PRIMIS PRAEMAGNIS. 87 rs. Si fit xx-1-yy— 25 1-41- 16. erit vel x— 5p vel 1—255-1- 4 I4. Si fit vx-4-yy— 25n-|1- 19 erit wi risp wl x-e5b-LEixe I5. Si fit x x-4-.yy— 25 n-|-21 erit web x2-25p velv--25p-1-rr 16, Si fit xx--yy—25-1-24 erit wel ac 59 vel. 3 — 255 51-7 Conclufio. Ex his theorematibus fequitur fi. fümma duo- *um quadratorum habuerit hanc formam xx-i-yy —144008--II40I tum quadrati imparis xx ra- dicem fore vel l. x— 480m--(75, 195) vel II. »— 1440774-(85,355,445, 715) vel HI. x— 24007-- (99, $501,651, 1149) vel ji. wipe I49, Bst '2101,2749,3101,3299 Ex hoc numerorum ordine fümto s— 7oo , explo- raui hunc numerum: 1c09140r, cuius refolutionem in duo quadrata vnico modo. fuccedere deprehendi , fcilicet $$ DE NVMERIS PRIMIS PRAEMAGNIS fcilicet 1251*-1- 2920', quod certum eft indicium hunc numerum effe primum. . Habemus ergo nu- merum decem millionibus maiorem 10091401, quem certo nouimus efle primum; fi quis autem alia quacunque methodo vti volucrit , nunquam profecto tantum numerum primum exhibcebit. NOVA ex32 )o(St$e $e NOVA CRITERIA RADICES AEQVATIONVM IMAGINARIAS DIGNOSCENDI. Auctore LESE LOUESRSGE Moo Newtonus et poft eum plures alii Geo- metrae in eo elaborarunt , vt criteria feu figua inuenirent , quorum ope aequationum cuiuscunque £radus radices reales et imaginariae dignofci poffent, fimili modo quo radices pofitiuae et negatiuae di- gnofi folent. Verum cuncta illa criteria feu figna hoc defe&u laborant vt quoties radices imaginarias indicant , inde certe quidem concludi poffit , tales radices iu aequatione reuera ineffe ; fed quando nul- las radices imaginarias indicant neutiquam inde con- cludere licet , omnes radices eflé reales, cum faepius euenire queat vt hoc non obftante omnes adeo ae- quationis radices fint imaginariae. | Hic defé&tus imprimis cernitur in aequationi- bus huius formae -r- X"-Eax*— px" —6cx^--d17—*--ex"——etc. — 0 vbi continuo bina figna eiusdem naturae fe mutuo infquuntur, tum enim omnia illa criteria quae hactenus funt prolata, nullas plane radices imagi- Tom. XII. Nou. Comm. M narias 99: DE RADICIBVS narias oftendunt, cum. tamen fieri. poffit vt plures atque adeo. omnes. fint. imaginariae. Ad hoc dilucidandum im genere aequatio quar- ti ordinis huius formae -- x*--ax*-bxx-cx-pd—o exhiberi poteft cuius omnes radices (int imaginariae; concipiatur ea «enim- conflata ex duobus huiusmodi fa&oribus xx-px--q et xx—rx--5s in quibus fit 5p-44q et rr 45 vt omnes radices fiant. ima- ginariae. Tum igitur fieri opportet a—fp-r; b—pr-q-$5 c—qr-ps et d—45; ideoque pr:pre4--5: et qrzp. Statuamus. ergo p-—ar et qg—6* et conditio- . nes adimiplendae erunt fequentes: paure qp eg HITWERAZPCTV. gi iskt des M rrt E g t Cum igitur ex quinta fit rr erit multo magis Sd e AS et Zn. vnde fit £4- r 4a« feu $4 4a—zx ct C. RE dos (pu Ero E Cum: quibus nouis conditionibus iungatur fe- cunda 67a et adipifcimur. cum: 404—1t»0 tun 44-X 2 —; inde fit à$- i quod per fe fupponitur quis 421; hinc. vero 4a&24«-1-1; per qua conditione im- plen- AEQVATIONVM 'IMAGINARIIS. — 5: plenda neceffe eft wt a'intra hos limites 2 --V 3 et. 2-Y 3 accipiatur vél potius ihtra limites 2-LY'3 'et r tum vero facile 'erit/ pro $6 "idoneos "valores inuenire ; -conttitütis "autem "xaloribus "pro a et 8 aeque fa-ile erit pro s 'et rr idoneos valores as- fumere. Sumto enim exempli gratia a — » debet effe O€2et0r1et-7 vnde intra limites 2 "et 7 -debet contineri; (fit igitur $— 3 et habebimus has conditiones TÉIUE Ct 4f506t 57 vnde r7 intra limites »5 et 3; dcbet contineri ; fumto -ergo $— 6 capi "poterit ;; —4 hincque fit p—58 €t 4-18; quocirca ex binis factoribus xx-8x-L18 et xx—4r-|-6 nafcetur haec ae- quatio quarti. ordinis | x'--4x'—-$xx-24x--1908—0 cuius omnes radices certo fünt imaginariae , etiamfi criteria fupra memorata hoc neutiquam innuant. Hoc autem femper certum eft, fi cuiuspiam aequationis omnes radices fuerint reales , tum illa criteria perpetuo locum babere; propterea quod in illis certae proprietates continentur , quae huiusmodi aequationibus conueniunt , quae autem negotium "non exhauriunt , fed quandoque etiam in eiusmodi aequationibus locum habent quae radices imaginarias juuoluunt. : M 2 Neque 92 DE RADICIBVS Neque etiam adhuc aliud principium conftat vnde talia criteria praefertim pro aequationibus al- tiorum graduum peti poffent ; interim tamen nurnée- rum talium criteriorum pro lubitu augere licet ,. quo hoc commodi nancifáimur vt dum quaedam nullas radices imaginarias indicant alia adueríentur , quorum fuffragium femper veritati confentaneum eft cenfendum.. Quod quo clarius appareat , methodos quibus memorati autores in hunc finem funt vfi breuiter hic exponam , tum vcro oftendam quomodo iisdem vefgiis infiftendo plura alia imo infinita fimilia criteria inueftigari queant. Primum principium. inde petitur quod fi cu- juspiam aequationis Omines radices fuerint reales , indeque alia aequatio formetur , cuius fingulae radi- ces fint quadratis illarum aequales , tum. huius no- Yae aequationis omnes radices non folum füturae fünt reales fed adeo pofitiuae , ita vt in ea figna -- et — fe mutuo alternatim infequi debeant. - Sumamus ergo huius aequationis : x" x7 bx" -A-6 x"—:-r-dx"—*-[ etc, —o omnes radices effe reales, indeque quaeramus nouam aequationem , cuius quaelibet radix 2. aequalis. fit: quadrato xx, feu z—xx; hunc in finem illius ae- quationis alternos tefminos ad alteram partem trans- feramus vt fit a -- ba^ 4-dx' ——4- ete. — ax! — -cx* 3- ex" ^"-etc. capian- AEQVATIONVM IMAGINARIIS. 93 capianturque vtrinque quadrata, quae iterum. ad ean- dem partem difpofita dabunt hanc aequationem: x?*"--2 b. qp ed.xt tepea fixe zb x7) -4 od-bb 0 -íbd o ---2bf | Eo i — 246 - 2ae --4d etc, —66 — 24g ! -266.. jj fu qua omnes exponentes ipfius x fünt numeri pares. Scribamus ergo vbique z loco xx et habcbi- mus. nouam. illam aequationem quaefitam , quae erit 2" 4-2 b. z"7-- 2d. — xf. z"—- rab. 2"-* etc. —o —a4 Tb5b -2bd T2bf —2a€ — 24e dd LES -2ag —2€&. In qua cum coeffcientes primi, tertii , quin- (ti, etc. termini fint pofitiui , fecundi vero quarti, fexti etc. negatiui , obtinebimus fequentes conditiones pro coefficientibus a, b, e, d etc. aequationis pro- pofitae 2b-aasjo — aa 2b 2d-—-bb-2ac o feu bb 52ac-2d 2f A-2bd-24e-cc 0 ecz» 2bd-»ae-i-of zb--2bf4-dd-2ag-2c670 etc. dd72ce-2bf-2ag-2b etc. M 3 quarum 94 DE RADICIRBVS quarum formularum ordo facile perfpicitur. En ergo iam infignes proprietates, quae omni- bus aequationibus , quarum radices funt reales , ne— ceffario conmeniunt , ita wt aequationis propofitae omnes radices reales effe nequeant, nifi fimul hae conditiones inter eius cocfficientes locum habeant. Neutiquam autem viciffm inde fequitur, fi hae conditiones locum habeant, etiam omnes aequatio- nis radices fore reales: quod exemplo aequationis biquadraticae ante allegatae x*-I-pa*-4a^—rx-- 5—0 fit manifeftum , cum «enim fà&a applicatione fit &4L——p; b-—4;rczcz—r et d— 5$; conditiones inuen- tae fponte implentur quoniam tique eft 5*2 —24; qgQz—2pr—25; rrz—245 hoc autem .non ob- flante nouimus , omnes huius aequationis radices cffe pofíe irspindtis Scholion. Quemadmodum hic ex data aequatione aliam elicuimus , cuius fingulae radices fint quadrata fin- gularum radicum illius, ita etiam inde aliae aequa- tiones inueniri poffunt , quarum radices fint vel cu- bi, vel biquadrata vel aliae pot:ftates altiores radi- cum aequationis propofitae. Poni fcilicet Opotsert webe— xt. web mu vel z— x? etc. et negotium huc redit vt or M eliminetur: pro qua operatione regulae paffim funt traditae. Verum ^ AEQVATIONVM IMAGINARIIS. 5 Verum calculus plerumque tam fit intricatus et moleftus , vt nemo facile bunc laborem fit íus- cepturus. Quare haud- abs. re fore arbitror- peculiarenz methodum. oflendiffe , qua haec eliminatio. facile ef- fici queat. Hunc in finem aequatio ordine inuerío cxhi- beatur vt fit 4-p- b x--cxx-- dx'--ext--fx*-4-g x5-4- etc.—o et pro cafu iam-euoluto , quo effe deber z—zr, facta. fubftitutione , quatenus. licet , habebiz.us a--Dx-|-cz-X-dxz-1-ezz-1-fxzz-|-g27-1- etc. — o ' wbi breuitatis gratia flatuamus: &--cz-L-ezz-|-ga-]-etc. —P et b-E-d2-1-faz-]-etc.—Q' wt fit P-1-Qx—0, quae aequatio per x multipli- «ata- loco. xx, ícribendo: z, dabit aliam eiusjemi formae Ex-rQs—o wnde iamr fücile x eliminatur; prodit eninv DEO0:—o quae formula operationem. füpra víurpatarm comple- ^ U 5 plectitur. . Ponamus autem requiri vf-fit E£— X7, facta- que fübftitutione quatenus iicet , habebis a bx--cxx-I-de--exz-—- fixm-p-gis-r- ett.z.O quae Y 96 DE RADICIBVS quae cum tribus partibus conftet , ftatuamus breui- tatis gratia 2-1-dz-|-gzz-1- etc. — P b--ez-r-bzz-retc. — Q c-- fz-4- iz z -A- etc. — R vt fit P--Qx-I-Rxx—o haec per x multiplicat dat. nouam eiusdem formae Rz-CPx4-Qxx-—0; haec denuo per x multiplicata dabit j Qz--Rzx--Pxx-—o. Jam vt ex his tribus aequationibus tam x quam xx eliminetur prima per L fecunda per M et tertia per IN multiplicetur, fiatque LQ--MP-4-NRz-o et infüper LR--MQ-A4-NP-o eritque tum LP---MRz-i- NQs—o. Ex duabus prioribus autem elicitur pe code UR —MQO—NP ideoque MPR-3- NRR2—MQQ-i-NPQ vnde fit x es PE—S. Statuatur ergo. M— PQ—RRz et NZzPR-QQ ac fiet L—QR2—PP quocirca aequatio quaefita erit 3PQRz—PFP'—Q'z—R'22—0. Hinc AEQVATIONVM IMAGINARIIS. — 97 Hinc iam fatis perfpicuum eft, quomodo eadem methodus etiam ad altiores poteftates fit accom- modanda. Secundum principium: ponamus aequationis propofitae x"-A-ax'—'--bx't—-pLcx"—-Letc— o radices effe —&8, —6, —'y, —Ó, — ctc. quarum. numerus eft. 7 vt fit a—a-1- 6 4- y 4-6 -1- ctc. et b a 6-1-&'y 4-40 -1- 6 y -1- 89 -1- etc. Et quia omnes radices funt reales erit fequens for- ma (a—8) --(a— v2 (a—-3y -- (6— vy-- (6- 0 -F-(y-—3/--etc. certe numerus. pofitiuus, facta autem euolutione , prodit (n— r) (&^-4- 8^ 4- y* 4r 0* -F- etc.) —2a6—2a'y —2a0-26y —268 - 2 y ó—etc. et. vero. vti conftat a^ --6-- y? -j- 0^ -- etc. — aa —2b vnde haec forma (n—1)(24a4—2 b)— 2 b — (n-1) 4a-2nb quae quantitas cum certe fit pofitiua crit ÜUE | Quae iam infignem continet propr'etatem hu- iusmodi aequationum quarum omnes radices funt reales: etf ea enim tantum ad tres terminos ini- tiales fe extendit, tamen mox patebit , quemadmo- dum ea ad ternos terminos quosuis fücceffiuos ap- .plicari queat. Tertium principium. Si aequationis cuius- cunque gradus: x*-I- a x77 AL p xn c1 21. etc. — 6 Tom. X111. Nou. Comm. N omnes 98 DE RADICIBVS omnes radices fuerint reales, femper duae aequatio« nes vno gradu inferiores inde formari poffunt qua- rum radices itidem omnes íunt reales ; altera ita íe habet nx" --(n-x ax? 7*4 (0-2 03x" — "(1-3 kx" — 4 ete —o quae ex propofita nafcitue. fi finguli eius termini per progrefüonem arithmeticam 7, 2—1 , 8—2, 2—5, etc. multiplicentur ; quia enim hoc modo vl- timus terminus per o multiplicatur , tots aequatio diuifionem: per x admittet , ficque vno gradu depri- metur: altera vero aequatio eft a x"7-- 2bx"7-4- 36x" 7-1 4d" 7*-4- etc. 7 O quae ex propofita nafcitur , fi finguli eius termini per progrefiionem arithmeticam o0, I, 2, 3, 4 etc. multi plicentur. Cuius demonítratio ex confideratione linearum curuarum. eff petenda : fi enim x denotet abíciffam et applicata flatuatur y — x" -4- aa" —-4- b 37 —* -|- etc. euidens eff applicatam fieri nullam. quoties abíciffa x radici aequationis propofitae aequalis capitur. Cum igitur noftra aequatio :7 habeat radices veales , in totidem» locis applicata y euanefcét , ibi- que cürus axem interíecabit. Inter binas igitur in- terfectiones certo dabitur applicata maxima, vbi erit dy pup i ; i5— 0, vnde tales applicatae maximae erunt nu- mero AEQVATIONVM TIMAGINARIIS. : 99 mero eite ad minimum; quodí ergo walor for- mulae » quaeratur qui erit aat (n- 1)a 3"—4- (n—-2)b 37 -1- etc. hic z-1 cafibus euanefcere poterit, [iue haec ae- quatio 2a?—' —L- (1-1)aa*— -41- (n-2)5 3"— -- etc. —o certe habebit z— r1 radices, hoc eft , omnes fuas ra- :uices reales, quae eft demonítratio prioris formae. Pro altera flatuamus :x—5 et aequatio hinc refültaus 1 -1- ay -4- y y -i- £y? -1- etc, — 0 itidem omnes habebit radices reales , quippe quae funt reciprocae radicum illius; quocirca aequatio per differentiatio- nem hinc fimili modo formata a -- 2 by -1- 367y -3- 4 d)* H-etec. — o etiam omnes radices habebit reales ; reftituamus nunc pro 7 valorem £, ac manifeftum erit etiam huius aequationis ax^— -- 25x" — -1-3ca" — 34- 4dx"—*-1- etc, —0 omnes radices füturas effe reales. Quemadmodum hinc duae aequationes vno gradu inferiores funt erutae , ita porro ex his tres nouae duobus gradibus inferiores deriudntur, quae funt si(n-1)x* —-n-x (n-2)ax"—:-(n-2)(1-3 bx"-*4-etc. —o r(n-x)ax?^-4- 2. (n-2) bx"—-4- 3 (1-3)c x"—'-1-etc.—o 1.2. 0x" —-- 2. 3. cX"—-1- 8. 4. d X"—'4- etc. —o. xs N 2 simili Ico DE RADICIBVS Simili modo ex his clicientur quatuor aequa- tiones tribus gradibus inferiores , fcilicet / n (n-1 (n-2)x"7-- (0-1 (0-2 n3 ax" (0-2 (n-3 (n- 4) | bx'"— -etc.—o x (1-1 (2-2)ax*—4- 2. (0-2)(1-3)5s"*4- 3. (n-3Yn-4) CX T Hi etc. ——o I. 2. (1-2) 37 — 4 2. 3. (n-3)ox"7* -—- 3. 4. (1-4) dx" -retc.— o i. 2. 4 6€X"^-- z. 3. 4 daX"—-1-8.4. 5 € x" — --etc. —o ficque continuo vlterius progredi licet quoniam igi- tur omnes iftae aequationes radices habent reales, quae criteria pro bis aequationibus deriuatis haben- tur, eadem quoque in ipfa aequatione propofita lo- cum habere debent. ! Applicatio ad criteria primi principii Faciamus ergo applicationem ad criteria, ex primo principio eruta; et prima aequatio deriuata. dabit : (a-3y à 9 zn(n-2)b (n- zy 2(n-xY(n- 3)ac— zn(n-4)4 (n-Sy e$ z(n- 2) (n-4)bd—2(n-x Jn-s aei 2nn-6)f etc. etc. | ex AEQVATIONVM IMAGINARIIS. — tox ex fecunda autem aequatione deriuata nafcuntur haec ctiteria 4bbT2.64ac 9662 2.8bd—25.5ae 16dd 7 2.3.5ce—2.2.6bf 4-2. 3ag 25002 2.4.6df—2. 3.108 --2.2. 8b b —2.8a6 |» Bt. etc. | Si tantum primum criterium aat 2b ad vl- timas aequationes cuiusque ordinis applicetur, íe- quentia criteria emergent aac 2b aa—cb 4 bb2 2.3.ac fu bb$iac 4.9.6677 2. 1.2.3.4 bd ec sbe 4.9. 16 dd 2.1.2.5 4.56€ dacice etc, Applicatio ad criterium ^ n principii er ———E Cum fécundum hoc principium. pro aequatio- ne quacunque 54^ 4 qa" —' -1- r x7—" -- etc, — 0 habeatur qq 7 5 pr binae aequationes vno gradu inferiores dabunt (n-ryaaS :E— n.(n-2)b feu aat z5- deinde 4052 50— aac feu Bb 1 —. ac; NS Tres ,102 DE RADICIBVS '[res aequáationes duobus guiibus inferiores autem dabunt IL (n-ry(n-2y agr en nr s yon 2) -5)b feu aa $5 g— —b IL 4 (n—2) bb SE s-r(s-3)46 . feu bb Hu :- ien 6 HL 4. 9. PII —l. 34.2.9. 4. bd feu. c6 Lib. Cum igitur ex quolibet ordine vltima aequatio fola praebeat nouum criterium ; omnia critepia hinc nata ita fe habebunt &ut- ab bb iae ec 2t z—bd d Em ine us etc. Hinc euoluamus ifi criteria pro acquationibas fingulorum graduum. T*. Pro xx-r-ax--b—o erit criterium 407 4b quod ita ef perfetum , vt fi it «272 45, radices certe fint reales. Ir. AEQVATIONVM IMAGINARIIS. 1:093 IF. Pro x-raexx-4-bx-r-c—0 erunt criteria a4acabs bbeS34e III. Pro x*--aax* Tec Me erunt criteria quib. bbeiac; eembg IV. Pro x*-r-ax'--0x*--cxXx-4-dx-4- ez o erunt criteria aaSih; bbbaae ecbcabd; ddetce V*. Pro a*-1- ax Tbat- pe e daa-kex y f —o ; €runt criteria aab; bbVae; ec Ybd; dd$yeceg eee df. Scholion. Omnia haec criteris a NMewrzon) im Arithme-^ tica vniuerfal: funt prolata et deduci poffünt ex cri- terio aequationums quadratarum , quod íi aequatio pxx--qx-*-—-o ambas radices habeat reales ne- ceffario fit 497» 4p. Cum. enim cuiuscunque ordinis propofita fuüe- rit aequatio, ope tertii principii ex ea taudem. plu- res aequationes quadraticae formae px ar-4- Qqx4-r—o erui queant quae omnes radices habent reales , fi iqui- ds propofitae aequationis omnes. radices füerié rea-: Iesz 104. .DE RADICIBVS les: hoc principium ad aequationes cuiuscunque gra- dus cxtendi poterit. Iti ex aequatione cubica. 3^ --axx-- bx-- € nafcuntur hae duae quadraticae 4xx--2ax-4-b-o ct axx--2bx-4-3c—0 vnde concluditur vt ante aat sb cthbb35ar. Simili modo aequatio quarti ordiais &t-caax*--bxax-rex-pd-o praebet has tres quadraticas 4.3.48 4-125, 9.0 01-2 m. 5 9 1,212 3 yo o p. Decio Ur 1.2.bxx--2.5 € Xx-- 3.4.0 —0 et aequatio quinti gradus aj ag yt5a bar, dexaddx-reo— fo) praebet has quatuor quadraticas 5.4.8. XX-1-4.8.2.ax-1-9.2. r.b —0 1.4.9 a4 091-242. 9 DX PI- 5 41 0— x.2.53.bx x-41-2.8.2. 6 X 4-3.4- 1.2 — O 1.2.5.06X4-1- 2.5.4.0 x -4- 3.4. 5. e — 0 quae fupra allata criteria fuppeditant. Quoniam autem operofüm foret has formas vlterius continuare rem generatim expediamus et ex aequa- AEQVATIONVM IMAGINARIIS. ^ :os aequatione cuiuscunque gradus ftatim | aequationem quadraticam. quamcunque cliciamus. Aequationem generalem ita exhibeamus . proxies a eer ki. ui-ece Oo I OQ TM d. dy 2—A— 2 AH—M-X n-^ o I.....85—^—3 4—A—-2 n-A—t1 Cirsanis dens rz deprd 48-A-5 n-^-2 I 5m 5 A-4-2 A-Md-1 A. [e AÀ--1 A À—I o A A—I ^—2 [e] 2 I -41-1.2.3...41—A—2.3.4.5 22.9.4... 8—ÀA5 112/3344 42 C A-I- 1. 9x CEUDMELS a LEA Li 9,5 Vnde patet pro ternis coefficientibus p, 4 et r hanc obtineri aequationem quadraticam quide; primo diuifa per 1. 2. 3- 4 .. . . 4—À—2 dabit — I c6 tov M rro tim: 02.8.4... Ae TQX y MD doped 3 Nu VUNETTO quie denuo per 1. 2. 3 . . . . ^ diuifa dabit MEO EI e ERI EE gy GENIS Tom. XIII. Nou. ob. O - vnde 106 DE RADICIBVS vude pro radicibus realibus hoc habetur criteriurg (n A—dÍy (4 y 1 (n—ÀA)Yn —X—11(4:YX-4-2) rw "Eat eh m 1 TERI ENG UNE I quod reducitur ad hoc q q e I zu p f. Quemadmodum haec criteria ex caractere — ae- qüationum quadraticarum funt deriuata , ita íi ca- ractere aequationum cubicarum , quarum omnes ra- dices funt reales, fimili modo vti velimus, alia noua criteria impetrabimus , ficque certius circa ra- dices imaginarias aequationum iudicium inftituere licebit. Problema. Caracterem completum inueftigare pro aequa- tionibus cubicis , quarum omnes radices fünt reales. Solutio. Quonidm conftat aequationis cubicae omnes radices effe reales, quoties regula Cardani ad fotmulas imaginarias perducit ; ponamus aequationem cubicam &*--axx-Ppx--ce-o ex hac forma nafci (x-- 5a) — Y p-i- Y q fumtis igitur vtrinque cubis prodit X axxd-iaax--sa'—p-t qt 3(Y p-- Y q)«Y pq vel —--4--(gx--4)f pq fu x-raxz AEQVATIONVM IMAGINARIIS. 107 C X5 --ax x-r-i qax ud ] —4a Y 2o) quae forma cum aequatione propofita comparata praebet b—ia2—3 Y pq et £—i 0 —p-—4—aY pq5 cum ergo fit geb Y »q—iaa—ib— hincque pqzeRmc et P4425 Sue Lese) colligimus (p—4) —(p-3-4y —454 |——54a(9b—2aay —£Zac(o9b—2aa)--ec —;ss(aa- gby quae quantitas fi füerit negatiua, formula $—4 ideoque ambae litterae 5 et obtinébunt valores - imaginarios ; quod «um fit fignum radicum realium ftatuamus | MENS ar mvbdtcA sic T) ns bineque ;4(95—2aa)— —6-H- Y (s5s(aa: $ by -o) et E ba(9b— 242) EY Gs(sa 3 by -u). . Vnde pro c deducuntur hi limites | £5a8(9b-2aa)-- 2 (aa— 3£5)Y (aa-5D) . - e£ sa(9 b-2aa) — s( (aa 3 D) Y (aa s 5). | O 2 Vel -czsa(9 5-24a)-c 108- DE RADICIDBVS Vc] quoniam inde habetur bb —3 acz (22-3) (244—5b)-- 3aV(;55(aa- 35 —o) pro bb-5ac hi oriuntur. limites bb—3ac 25 (aa-3bY(24a-3b)4-i a (aa- 3b)V (aa) bb-3ac ? 5(ua-gb)( 2aa—35)—;a(aa-3b)V (aa- 3b). Vnde deducimus bb-—3saec Li teicyes co (^ da— ib eu bb—sac gu a zb) aa—3b. coU es 2:5) et LE 2 (E IYBL c» " Quoties ergo ibis EE valor intra hos li- mites (MÀS ÀÓy ep (f—MÀÓC*—:Ü!». continetur certi fumus omnes radices noftrae aequationis cubi- cae effe reales. In quo adeo confiftit caracter com- pletus quem quaerimus, Corollarium r. Quia limites inuenti. locum habere. nequeunt nifi aa—3b fit quantitas pofitiua , hinc ftatim per- fpicuum eít radices reales effe non poffe nifi fit 4az2 3b: quod criterium iam in fupra allatis con- tinetur. Corollarium. », Deinde cum ambo limites fint quadrata ideo- bb — que quantitates pofitiuae , valor formulae 7;—i; qq—36b debet AEQVATIONVM IMAGINARIIS. — 1o9 debet effe pofitiuus; quare cum fit aa 35 neceffe e(t. vt fiat quoque P52- 3ac;. quod eft alterum cri- terium fupra iam allatum. Corollarium . 5. Videmus ergo non folum ambo criteria ante inuenta. in hoc cara&tere coatineri ,. fed hunc cara- &erem , praeterea. aliam. conditionem. comple&i , quae nifi impleatur, radices non futurae fint. reales, etiam- fi fuerit a4 55 et bb 5ac. Mirum igitur videri poterit. quod vnicus ca- racer plura criter.a in. fe. complectatur. Scholion r. Si in aequatione cubica füumamus effe c—o vt ea abeat. in quadraticam , manifeftum eft ad realita- tem radicum requiri vt fit aa7 45, atque adeo in hoc contineri caracterem completum. ^ Interim ta- men fi in noftro caractere inuento ftatuamus c£ —o, non tam facile patet inde fequi za 45; prodit bb - e (a V (aa- 3by ML TE iem Rad ido, operae igitur erit pretium inueftigare , quomodo ifle. caracter ad fimplicem formam aaz- 4b reducatur. Reuertamur igitur ad conditionem primo in- ventam , quae pofito c—o abit in hanc formam aa(9b-2aay-4(aa-3 by o O 5 quae foo. DE RADICIZPRV$ quae contrahitur in hanc -275b(aa-4b)-4o feu bb(aa—4b)?0 vnde) manifeflo fequitur a4 4 b. Ceterum tamen memoratu. dignum hic víü venit quod conditio | Maddie. eie aqi. | aa—8bm( 3 ) í prorfus conueniat cum ifla aat- 4D, ita vt neutra plus innoluat quam altera , ficque haec conuenientia tanquam infigne Theorema fpecari pofht. Hoc quidem oftendi poteft, quantitatem —— alterutri limiti ipfi fore aequalem fi füerit vel aa—4b wel aa—oco; intra quos cafüs extremos vtique cadit 44 7 4. Scholion .x Tíle caracter completus alio modo. prorfus fin- gulari inueftigari poteft, vnde autem non patet eum effe completum , nifi de eo. iam certiores effe- mus facti. Sequenti autem modo ratiocinium .infti- tui poteft. Si aequatio 3i*-I-ax x--b x-j-c omnes radices habet reales , tum pofito x —y-i-p aequatio | reful- - tans 77-44-1789) y 7 (b-1- 4p-1- 8p) J -- c4- bp --aepp-i-p'—o etiam habebit radices omnes reales; criteria autem iam cognita dant 1. (z--3py 7 3(b--2ap--s5p) hoc eft aat- 3b I. (b-31-2a5--3ppJ 2 3'a-3p(c-rtb--abp rp) hoc eft bb-3-(ab—9c)p-31-(4a— 5 b)pp7 346 , quae z AEQVATIONVM IMAGINARIIS. — rrr quac conditio impletur tam fi p—o quo fit DP 3ac quam fi p--oe quia aaz 3 b. Tribustur igittr ipfi ? eiusmodi valot quo formula illa fit minima , jatque etiam nunc illa erit t» 3ac. , Verum formula A--B$--Cpp fit mE fumto »-—zs ciusque valor minimus erit A — 25; facta er5Oo applicatione habebimus (a b — » cy bb — ,ua—isc d4t. Quia 227 35 multiplicetur per 4(22—3P) et "ob- tinebimus facta euolutione 8bb(aa—4b5) 7 81cc4-6ac(2aa— 9b) quod criterium completum füpra inuentum continet, Conclufio. Pro Applicatione ergo ad aequationes altiorum graduum fi methodo ante expofita inde deriuentur aequationes cubicae huius formae p* --4xx--rx-- 5:0. Criterium radicum realium in hoc confiftit vt fit "r—395 2(g3-V(gq—3pr)y q4—3pr—( Jy ) qua fcribendi ratione indicatur quantitatetn W8dde q-2-v' 4- V 2 g4—:pr), q—(2— intra hos limites (- 5 y ec (1—6 * 2p contineri debere. Appli- ^XI2 DE RADICIBVS Applicatio ad aequationem quarti ordinis acp -poban para sg eo: € Hinc methodo fupra oftenfa deriuantur hae duae ac- quationes cubicae 43-—- 5ax^-4- 2 b x -4A- c0 dX ay gcx--4d— O. Vnde, fi omnes radices fünt reales, inueniuntur duo fequentia noua criteria 4bb—9ac 2 (8a-d- Y(paa—2 4D) y et 94a—24b c ( 12 9cc—24bd 2 (25-3 Y(45b— 9ac)y 4bb—9ac ( 5a Simili modo applicatio fieri poffet ad aequationes quinti gradus , vnde tria criteria obtinerentur, et ita porro ad aequationes altiorum graduum. Verum res adeo in genere praeflari poteft, ita vt propofita aequatione cuiuscunque ordinis , in- ter quaternos eius coefficientes fucceffiuos tale .crite- rium inueniri pofht: eodem fcilicet modo calculum inftüitui opportet, quo fupra pro criteriis prioris or- dinis fumus vfi (vid. Scholion ante Probl.) AEQVATIONVM IMAGINARIIS. |. 1:5 3" 4-27 ba? LL ep ep qa tera era uui px ar--v—e E X, 2 "-A-3 n-A-2 mH-A-X H-X.... 8-2,n-1 m o I H-h-4 Tn-A-3 T-À-2 mn-A-Y...n-9 5-2 mg-r o Z-—k-8' n-A-4 1Ti-N-3 n-X-2...8-4 n-5 n-2 pica ced A3 A2 LII UU uE. I 0 AT 2 cARÉT A250 X- p]' o A4-I À A-I. 2A-2;.5.9 4 3 ji$9 b— X—LÁ Hinc ergo-'per continuas differentiationes ad hanc "'gequationem cubicam peruenitur 1.2.3. (1-A-3)-4-5.6...(A--3)px*4-2. 3.4. (11-^-2). 3.4.5. (bcne T3345 5 (pex): 2/34. QU eas, 6. s DELIS UA: to "qude 'diuifi per zr. 2.3. NOSE - Saidad sg X "fedücitur ad hanc (ipo ! | Qc ceno) px a Ca i dp er i *—6 uU X (n-X--Yn-Xs)). (Xy (1 —2A—32Yn—3A—1 Yn-X) " » à 2$ 1 M" v Cppocent niic eii fub feu (X4 JOcraY XR ERU: ay VU LEE 3 3(&--x (n-A-2Y( n-A-1 )r $4- (2- Ac 2n N-3 Ns b P . Quare ex aequatione generali- quacunque rar am? Lee dt -L-ex*-i fats e a7 bat "tere 2$ Tom. XII. Nou. Comm, P elicien- 114 DE RADICIBVS elicientur fequentés aequátiones cubicae IL Si A-—5—3 erit a (n—1Y(1—2)x*241-1. 3 (1—1 (n—2)axx-4-1. 2. 5. (0—2)5x --1.2.30—0 Ea gg e E ba 1-00. ; fi m—1) m -—2) ce —2) fcu P ETT Wes II. Si A—^4—4 erit (n—3ijn—3sYn— s) Dax 4-2 AUS brr--s. (26 xd 4d-o III. Si ^—7-—5 erit (n—- n - TOpy 4-3, C9 ev x-I-6.— dx-- 30620 IV. si Ac ME erit (n—: 0 PR X--4. Go dey- 10, 557 exX4-2 of—o etc. Quod fi ergo aequatio propofita omnes radices ha- bet reales, fingulae hae acquationes cubicae etiam fuas radices habebunt reales: "Vnde fequentia oriun- tur criteria " bb- rci E (n- 1: "v dec ee Tu go UE e M ect. ee recs HL 4. (n-aY bb-i. 22 4c 9.(n-1)aa (b -t- Y (bb-i. D gy dd-i i-e 9.n-3y 0, TES nc bd 16. (u-2)bb (c d- V (ee -3. is by £e-i. AEQVATIONVM IMAGINARIIS — ris e-ticdf e 16-(n-»' Gu eI (e$ 25. 25. (n—3) ayec etc. etc. E 8-3 . (2 4- y (d LP wio ynde lex progrefüonis clare perfpicitur. Obferuatio, Quae hactenus attulimus practer primum. cri- terium ad duo genera reducuntur , quae proprietates aequationum quarum omnes radices funt reales in íe comple&untur; primum genus eiusmodi relatio- nes füppeditat , quae inter ternos quosque coefficien- tes fuccefüuos locum habent, et quae iam pridem funt cognitae. Alterum genus vero eiusmodi prae- bet relationes , quae inter quaternos quosque coeffi- cientes fücceffiuos neceffario fübfiflere debent, fi qui- dem omnes radices füerint rea]les. — Circa vtrumque genus obíeruaffe iuuabit , nullam aecuratiorem rela- tionem. vel inter ternos vel quaternos cocfficientes fucceffiuos exhiberi poffe, i uoties vel vnica harum relationum in qua- piam aequatione locum non inuenit, certo conclu- dere licet non omnes radices effe reales: vtrum au- tem duae tantum vel plures füturae fint imagina- riae, hinc non definitur. Ex defe&u quidem vnici criterii concludi oportet ad minimum duas radices fore imaginarias, neque tamen hinc fequitur dug- rum defectum quatuor radices imaginarias indicare. ui B2 S$8Si 13:6 7 DE- RADICIBVS Si enim aequatio propofita fuerit tertii .gra- dus, duo cara&eres primi generis ad eam applicari poffunt, qui etfi ambo deficiant , aequatio tamen non plures quam duas radices ihaginarfas habere potett. Quemadmoldüm hos caracteres ex iüdole aequa- tionum quadraticarum et cubicarum , quarum radices funt reales , deriuauimus , ita fi commode aequatio- num biquadraticarum moo complecam.pro cafü quo omnes radices funt reales exprimere licerct; fimili modo criteria tertii generis inde "deducere poffemus quibus relationes inter quinos quosque coefficientes fuücceffhuos continerentur ; verum cüm formulae ni- inis prodirent prolixae , ad hunc vfum prorfus ineptae videntur. y. ipinpsa sa Conclufio. Cum hic plura principia in fubfidium fint vocata , coronidis loco oftendam , quomodo omnia haec. criteria ex duobus tantum principiis uiithdp fatis fingulari deduci queant. Propofita fcilicet aequatione cuiuscunque gradus x" -4-a V7 e bat pete etc. —o cuius omnes radices fint reales , pro priori principio aíffumo, íemper effc 207 25, quod per fe eít ma- nifetum , cum formula 22—25 exprimat fummam quadratorum. fingularum radicum , alterum — princi- | pium AEQVATIONVM IMAGINARIIS. iij pium in hoc confiftit , quod huies gequationis vno gradu inferioris 3 ^y ait. bxc reci d Adx"—CQpete ——9 etiam ormnes radices füturae fint reilés; "quod füpra ett denionftratum.- His iim duobus principiis conftitutis ratioci- nium. ita $rofequor. Jo t TCPro critéfüs primi generis , düatüo 3—y:f dénotanté" P quántititem realem , vt aequatio. hinc Pé(ültàus efiaminuüc omnes füas rsdices habeat E quae erit J"-pnrpy*- a4- m (m- DM py 5 p nti tn ac De mas, 1-étc. 1 Ver (uod Np app -retc. m" i 4 4 (u—2)59 ^ ett |^ T €. etc. | per prius igitur principium neceffe eft vt hic fit (mp-r-ay $ m(m— )pp-- 2 (u-— 1)ap-4-25 [ fa&a euolutione mpp-1-aap-r-aas 2b quod 'cum de omnibus valoribus ipfius 5 valere debeat, neceffe eft vt etiam de eo valeat , quo ex Kiiwoid fit minima , quod euenit. fi füumatur fp-— 7; , tum autem habebitur a2 z—; b ; quod eft primum cri- terium primi generis; ex quo reliqua per aequatio- nes quas fecundum principium praebet fuccefhue de- riuantur i P5 Aequa« ri$ DE RADICIBVS Aequationes Criteri x" -L gx"7'—AX- bxy"-——L etc oa4tz—b t (m — 1) ax" bt 1 sex" A etc. — ob b mis ac bx"———-scx"-—L- 6dx"--—etc.— occ —ED— bd c 4" 7-1-4dx"7-- 1063754 etc. — odd 2 7t. m RC e etc. etc. II. Pro criteriis fecundi generis. — Retenta fub- fütutione x —y-4-f aequationis inde refultantis , re- ie&o primo termino confideremus tres fequentes ad eosque criterium modo inuentum A5- f (5—. 4c 2, (m — 2) applicemus , quod hanc aequationem praebebit Cp - (m-1) ap-i-bY 27 5 (sc mpiea y grip (m - 1Xm Xm tam pec pep -- (m- 2)54-c vnde faca euolutione peruenietur ad fequentem con- Gb (aa-5; "T —:i zb)pp4- z (a b- 22; 6)P Fm bb T undc flatuatur nunc A i) vt valor primi 71— 1 membri fiat minimus, obtinebimusque US condi- EI tionem , Pak RE per C & bb— Es 2" 5. p) b - EE ac Quia iam a4? z— b, conditionem hanc . per 4(ca— a —; b) multiplicare licebit; tunc autem facta euolu- AEQVATIONVM IMAGINARIIS. I19 euolutione obtinebimus hoc criterium fecundi ge- neris bb(3aa—;— D e E T C-- x m — (mx ) 2a—-31nb) ex quo deinceps eruitur vt «sl inuenimus "bb — i. nri dy z r(m- 3 Wa—.- h I 4G Quae formula ad d dis differentiales applicata dabit reliqua criteria huius fecundi generis. — Hinc concludere licét, fi quis fimili modo progredi, et íecundum criterium huius generis ad aequationem transfornatam , pofito x—y-1-p, ac- commodare vellet , inde nouum criterium tertii ordinis deduci pofle, quod contineret relationem inter quinos coefficientes fücceffiuos : Verum tum in formula refultante littera $ ad quartam dimenfio- nem effet afcenfurum , vnde eiüs valor eam formu- lam minimam reddens non applius commode defi- niri poflet ; quamobrem hanc inueftigationem vlte- rius non profequor , eo contentus , quod criteria fe- cundi generis, quae adhuc noua videntur , exhi- buerim. : (a -- Y (aa- m: ). CON- (Oo cunsoietibi)oi C Biden OA CONSIDERATIONES DE THEORIA. MOTVS. LVNAE TERFICIEN- DA ET IMPRIMIS DE EIVS VARIATIONE. Pt Auctore Lorca! zindba be align Is Lh Theoria motuum Lunae a3 praeftantiffimis . Geometris fummo fludio eft inueftigata ," atque adeo: a Celeb. Profeffore Góttingenfi! Mayero^ "Tabulae Lunares obferuationibus apprime fatisficientes funt in medium allatae , plurimum tamen adhuc abeft, quo minus ipfa Theoria penitus exculta exiftimari ' poffit, | Quanquam enim forma iftaárum Tabularum: ex Thcoria eft deriuata j quae etiam 'plurés inaequa- litate. in^ motu Lunae aécuraté'füppeditauit" nonnul- lae; tdmen. maximi' momenti occurrunt, quarum quantitas ex folis. obferuationibus: eft definita d earum determinatio per folam "Theoriam nimis 'in- certa relinqueretur. Quin etiam nuilum eft dubium quin verus Lunae motus multo pluribus inacqualitati- . bus, quam quae in his Tabulis affignantur , perturbe- tur quae etfi in vfu practico ob paruitatem facile praetermitti poffunt , tamen in "Theoria minime Contemnendae videntur neque Theoria ante fatis ex- culta DE MOT. LVN. EIVSQVE VARIATIONE. 1:5: culta cenferi poterit, quam omnes prorfus motus inaequalitates, ne minimis quidem exceptis, accurate afügnare valuerimus. ' II. Ad Theoriam autem motuum Lunae fceli- citer inuefligandam , non ftatim ab eius motu vero exordiendum videtur , quemadmodum ab iis, qui hoc opus füfceperunt , eft factum , verus enim mo- tus, quatenus non folum fecundum. longitudinem , fed etiam fecundum latitudinem continuo perturba- tur, tot tantisque difficultatibus implicatur , et pe- nitus obruitur, vt fingulis expediendis neque noftrae neque Analyfeos vires fufficiant. — Quam ob caufam . in hoc tam difficili negotio methodum ab Aftrono- mis praecipue feliciffimo cum fucceffu vfitatam ad- hiberi conueniet , vt ante quam veros Lunae mo- tus inueftigemus , cafus nobis fingamus fimpliciores, multo paucioribus difficultatibus obnoxios, quos fi expedire licuerit , tum demum ftudia noftra conti- nuo propius ad veritatem applicare licebit. ]lII. Primo igitur motus Lunae in latitudi- nem prorfus remouendus videtur, ita vt non huius, fed alius cuiusdam Lunae, quae in ipfo eclipticae plano moueatur, motus fit inueftigandus ; quando- quidem: hoc modo calculus a grauiffimis illis diffi- cultatibus , quibus mmotus nodorum et inclinatio ad eclipticam. premitur, liberatur. Deinde ne ipfe fo- lis motus quatenus non eft vniformis- moleftiam | fa- ceffat, boc quoque obfítaculum in. principio tollatur, - "'Fom. XIII. Nou. Comm. Q et "Tab. Y. Fig. 2. 124 : DE MOTV LVNAE ct motus folis quafi effet vniformis fpe&etur. Hac ratione aliae inaequalitates inueftigandae non (üpere- runt, nifi quae partim ab excentricitate : orbitae lunaris, partim ab elongatione Lunae a Sole pen- dent. — Ac fi fimplicitas adhuc maior defideretur , etiam excentricita$ abiiciatur, et eiusmodi Lunae motus indagetur, quae fine vlla excentricitate in. plano ecipticae moueretur fole curfum füum vniformiter abfoluente. ^ Hunc tantum cafum adeo fimplicem qui accurate et ad computum accommodate euoluere potuerit, is certe iam plurimum in Theoria prae- füitiffe effet cenfendus. IV. Remota ergo inclinatione orbitae Lunaris, centrum terrae vt quiefcens fpectetur in T, et ta- bula referente planum eclipticae , fit tempore quo- dam 7 clapfo centrum Lunae in L et Solis in S. Affumta iam recta fixa TA ad principium fcilicet arietis ducta vocentur diftantiae: TL—«v, TS—u et LS—z, et anguli ATL— 0, ATS— 0, fitque breuitatis. gratia STL—(p-60—», erit z—Y (uu —29uco(4-- vv) vbi quidem diflantia v eft valde parua prae 4. — Porro demiffo ab L in rectam TA perpendiculo LV fit TV—x et VL-—)y, eritque x-— cof et y—vfin.Q. Hinc xcof.(p--yfin. D-v et xfin.Q-—ycof(p—0o: Ergo differentiando dxcot (D -1- dy in.(D— d(b( xin. -ycotp)—4v (eu dxcof.(D-i- dyfin.(D — dv et d x in. (p Z y cot. (D -r- dd (xcof(p-i-y fin.) —0 feu Zxfin.(D-dycof..D.- —-"vdd. Porro denuo differentiando : ddx EIVSQVE "VARIATIONE 125 dd» cof.(p-1-ddy fin.(p— db (dx fin.(D—dy cof b) —44v. feu ddx cof. (p--ddy fin..D—4dv-vdd» ddx fin.p—4dy cot.(D-1-4do( 4x cof.D-41- dy fin. (p) —— acad —vdd(Q feu ddy cof.(D—ddx fin.(—2» dvdtp-i- vdd. V. Iam maffae Solis, terrae ac Lunae defi- gnentur litteris S, T et L, ita vt fint vires acce- leratrices , quibus Luna vrgetur ad terram fecundum LT—,., etad folem fecundum LS—4Z;, quae ducta recta ;L; ipá TS parallela refoluitur in has binas vires ; *. Secundum LT—;: et 2*. fecundum L;—5*. : ái). deinde terra ad íolem vrgetur vi fecundum TS—4, et ad Lunam vi fecundum TL—;; hae vires contrarie in Lunam translatae dant vim fecun- dum L:;—;;, et fecund. LT— 4 ita vt iam Lu- na his viribus vrgeri ceníenda fit ; E su. E oc: LT—C --ES 25. fec, Lt— i — 2 quae porro fecundum directiones coordinatarum T V ct VL, feu ducta LR ipi TA parallela fecundum LR et VL, refolutae dant fecundum LR vim — t cof. $i cof. -4- & cof. 0 — £2: cof. 4 fcundum LV vim — ^ fin. 9 "5B $i. | | à; fin. 0 — $," fin. 6. Q2 VI, Lid DE MOTV LVNAE VI. His viribus inuentis fümendo temporis elemento 4: conítante ., priacipia motus praebent has :aequationes ddx, , (T-a-L)cf.D 'Socf.D sch$ , Suco.? EU mm vv LS "eas EO z3 ddy (I--1)fm.Q — Svím.D Ssfin.$ Su fiit di? — 77 vv ese C qa rad vnde ob DA. WW —esdvod(O--veddd et ddxco(. (D 4- ddyfin..:D — dv —vod Q7 nancifdimur has binas aequationes principales : qé 28289 pe dO og ipufuqr . d t? S WDR 5 ddv —vdq* (p asp Sv Sco.» uen * Miei ios Cm NS Ee cssc EENCLECMPN 2. dt? — vv z3 uu m ma Vt iam pro dz? valorem determinatum c M mus , confideremus motum Solis, qui cum ad ter- ram follicitari cenfendus fit vi 97 , habebitur fi- mili modo : 2zdudó--uddà8, . ddu—udé (S -- T) dt — —9 € 7 asD -—T WX fumamus iam Solis diftantiam a terra mediam —a, et motum medium tempori 7 conuenientem —2, d E T erit ex pofleriori aequatione ^j — — U^, wnde colligimus z5 — 27: ficque loco elementi d£ introducimus elementum cognitum pariter conftans 72, et has formulas adi- pifcimur : 1*. odod p-i- vdd D — setae s Ga z) (T--L)3dé* — sasdé* cof. LEM 2n ddv—vaq— — (T4-S)vv ^ S-- T (2s ama? ) M EIVSQVE "VARIATIONE. 125 "D , S , TP . Wbi notandum eft loco i7, vnitatem — ftribi licere cum maífa T-prae S euanefcat. VII. Vt litteras maiusculas S, T, L ex cal- culo exterminemus , contemplemur ctiam motum Lunae medium , qui quidem effet futurus , fi vires perturbantes a Sole oriundae abeffent ; hoc caíu fta- tuatur diftantia Lunae media a terra —«c, et dud e:us motus medii ad motum medium Solis -—7: cum igitur fit v —c et d(D—n42, pofterior oh N L) s.d "D -EBL nnc* tio ptaebet —ezndó: Weis teepud Quarc ires ex quo noílrae aequationes priucrputes fequentes in- duent formas: y^ advdd-Lodd.— o di my 2*. dde—vady — s, dip — e diy — adi cott — 5). Totum ergo negotium huc redit, vt iftae aequatio- nes commode tractentur , ac fi fieri queat ad inte- grationem perducantur: vbi quidem notaffe iuuabit , membra pofleriora quantitates 4 et z inuoluentia prae reliquis effe valde parua, indeque rationem ap- proximandi effó petendam. : i: VIII. Ponamus autem breuitatis gratia : z—3-——M et 23-4- cof. «(2 re 2) TON vt aequationes noftrae fiant 1*5. 2dvd (D 2- vdd D ——a M d£ (in. et 2*, ddv—vsdqy —— 7 4 —q Nd4é Q 3 vbi 126 DE MOTV LVNAE vbi ob v prae 4 valde paruum et z——Y(uu-2uvcofw -j-7 7) erit per approximationem (1- 5 cof. W)- s (3cofu- -* cof.) MP d -I4COÍ.«*--2 1cof. "etc. ideoque litterarum M «et NN valores prodibunt 27U ziccpd us pow — eoe e 5 co) s (3 cof. «— 7 cof.) Eus 1-14cofa -1-21cofa*) Nozu —8cof. v )4- e (8cof.w-scof.w )- iz (3-50 cof? -I-3 5cof.w*) -LA 5cof.*4-70cof.wX4-6 3cof.v/) vbi fingula membra fíequentia prae antecedentibus funt vehementer exigua. IX. Prima aequationum noftrarum | ad inte- grabilitatem perducitur multiplicando eam per o tum vero etiam per 29'4(D, pofteriori modo pro- dit v 'dQr—— aa de [Mv* dà fin. «. Deinde prior multiplicetur per 2v4(D et pofterior per 242v ac fumma dabit : edvoddo 4 pica T2 Pint ER «p in. | m dUÜ- sa NdZ'do vnde per integrationem eruitur: dv--voddr— loses —2a'd£* f Meddfin.- 24^ d£, Te Statuamus WE) gratia : iM q-——ectP et e [Mod fin. vef Ndo z—oQ vt EIVSQVE . VARIATIONE. 12* vt obtineamus has fornias: I* v'd(—-roicPdE et 2^, dv ood — e iis MT quae fado e—ex fiunt 1?, ad —-1- 2 PO? et 2*. dx --xxdd:r— m dd elis eritque : dp—-—* Max'cfin.x etdQ—- —7 (Mxdpia.t-Ndz) exiftente- s sa ARCL T cof v?) — 5E (5 cou cof) —Eü —-9cof4)H-5:« (aco. w- d )-2«(3-80€ofor -1- 35 cof. Y). X. Ex priore aequatione iam eft g(p— $T qui valor in altera fübflitutus dat: ELE diit" EE Lc agazL vnde elicitur : » 2 P L4 zx) vel etíam dxy4z:P znn P. | iss: qe y(a Qa t2 — £) zn" 2? hincque difimus quantitatem. 2 Q-1-—* — 2 nun- quam fieri poffe negatiuam ; euaneícere autem pot- €eít, quod fit dum Luna vel in apogeo verfatur vel in perigeo, quandoquidem vtroque cafu fit Zx-o. Ceterum fi vires gie tes abeflent pro motu medio, 228 DE MOTV LVNAE medio, quo x—r et d(p—n4Z foret nz Y 2 P, feu P—inn et nn—2nn-r-2Q (eu Q—-—;nn, qui er- £o valores his litteris proxime conueniunt. XI. Nifi excentricitas orbitae euanefcat vel fit quam minima, eius introductio in calculum fatis commode ad formulas differentiales primi gradus manuducit, quae ad computum aftronomicum ma- xime videntur accommodatae. — Duplici imprimis modo haec reductio infititui poteft, vade deinceps alias latius patentes eiusmodi refolutiones deriuare licet. — Alterum quidem modum iam alibi fufius fum períccutus , fed dignitas materiae omnino requi- rere videtur, vt vtrumque hic dilucide exponam, fimulque cognationem oftendam , quo facilius intcl- ligi pofüt, quanta emolumenta inde expectare liceat. Redudio prior formularum inuentarum ope excentricitatis facta. XII. Ordiamur a formula pofleriori , quae per Y 2 diuifa. eft : j AY P-dQY(QA-T — 7) — 0]. " ac flatuamus E , feu xc—b-—. wbi fe- 1 — 4 Cof.Q 5 quentia funt obferuanca: 17. Quantitas P in c ducta ob v—cex exprimit femiparametrum orbitae , quatenus ea cum ellipfi comparatur ; foretque p quantitas couflans , fi vires per- EIVSQVE VARIATIONE. 129 perturbantes abeffent , nunc autem erit quantitas va- riabilis. 2^, Quantitas 4 in eadem comparatione denotat excentricitatem , quae ob vires perturbantes pariter vt variabilis eft fpectanda. 5". Angulus e defignat anomaliam veram ab apogeo computatam, et ob v—cx, erit diflantia apogei — LI et diftantia perigei — i3, vnde femiaxis transuerfus orbitae — ;—— d 4^. Loco vnius variabilis x introduximus tres nouas f, q ct o, inter quas autem iam. vnam .de- terminationem ftabiliuimus qua. Zx euaneftere debet fi fin.o —0; alteram determinationem confideratio formulae irrationalis fuppeditabit. | XIIL In formula Q-- 7 — 3 loco 5 fubfü- 1 — q cof. a tuamus valorém affüumtum ——277*, et prodibit Q--7- 2» 3 cofu-- $5 2b 4 cof. o ——27 P» 1 cof. o* cuius radix moa Deor factorem habere debet fin. oportet vt fit 1. . cin, et 25 QT Lib ficque prodeat Q-- 3 — . — — "$ifünw. Quo fio erit £ y p—— id - ps £u ix — E fin. 9. Cum autem fit € — - -- cof. a.d. f —2 2j afipn.o, g- cx) euh q habebimus 7 (4p — 46) fin. o — — 55 — cot 9. 7 5. Ex fa&is autem binis hypothefibus erit primo E — 5$ et ob ML altera dat icis 19—0, — nn Tom. XIII. Nou. Comm. feu 156 DE MOTV LVNAE feu Q-- 25 (1—99)—0 hiticque uj 20-7396: Hoe d$ dM TUE i. ai nique prima aequatio 4D-^77— dat 132-3 ,5-— feu dZ — P4... ?(1— - d 60fao?* XIV. Quia nunc P et Q funt quantitates , quarum differentialia faltem vt cognita fpectantur , variationes momentaneae. elementorum motus fequen- ti modo fe habebunt. | ji . . dP . : 1*. Pro quantitate 5.erit 4p—, , ideoque —2q0* 1 2 dp—xuc Ma dQpün. « vbi. x —;—au " 249. 2^. Pro — orbitae 7 habemus 4. T DENT ideoque 4.' C ins en um «i Nda).. quia vero eft osdpan fin. à erit 1—46 N q fin. à. 2 1 sd (Min. ES. -—4 5^. Inuento differentiali quantitatis p » Quam i in gp ; gu p r4 R tantisper vocdbo R, erit qg—1-pR et 55 — $p— 5 » vnde fit 20; 9 — zi Ripo erg. 1 d RSS d.t --— s. Pp 5 d-R — PAR vbi £ loco p et iR PES. inuenti fübftituantur , PRESS zu qxdt M(2c9f04-4 fins) * fin.v Y Nf. . deme (r—q60f9) — — eR ideoque a3 xd D ,M(zcoí.« 4 qfin «?) fin. Y .N fir. tà d. "ue (C woe —— Ck rej) vnde EIVSQVE: VARIATIONE. 1 e vnde. concluditur $ .- qeu : , $ (4-49) iio — 175 x46. EN cof. d.7- feu $ (dp- do)fin.a End jii «&*-q fin. ay um, PM l nac hut cT4ng* ap. pad. a icq hieRuE pes i6 ON sin or d aSocx d dy Pair ni «XT ia i ^ 40p- do-— Tuueg A rm 1—qojm 57 —Neofóy-.- vnde motus lineae abfidum definitur. 2s . His vàriationibus. déliamit erit tandem: —14—9 sz ffghgUr 2g qpyiupon misiln y1toQ s Pa 1— 46.0 et dZ—; Wo—qmuf jd qua pofleriori formula ratio inter 7D et 27, : illinc vero ratio inter 4Q et da inar f ilo» sbn Redudio ABE formularum. inuenrarum ad differentidlia primi gradus. d XV. Aequationi polterior ee inducatur fonma: : yb dpV(Qrs-E aus » priore exiflente xx4(—d44Y»P, et excentricitas ita introducatur vt ponatur x— 5-4 qcof. 06, ficque diflantia maxima fit -——p--4 et minima 25-4, vbi autem quantitates et: 4f funt m Cum nunc. fit : 13i il e - d —1qd it: id Ei e31O0lc6r IH ;: em doced quito ETTSGMS , quae exprefüo euanefcere debet fi fin —0, valor ipfius ,x in altera parte füb- füitutus. dide EE c TEC pM 3büy R 2 : Qxx 132 DE MOTV. LVNAE Qux--nny—P —Qpp4-2Q p4cof. a 4- Qgqcof e^ --nnp-4-nnqcof.a — P. Hic ergo ponatur 2Q 9-1-nn-—o et Qqq— —Q pp —nnp--P vt fiat Y(Qxx--n1x —P)—fin.eV (Qpp --nüp—P)-—--4fin.o Y-Q. . At ob "prs RP habemus Qq4—Q ?9-1-P, feu Q- m po , vnde fit TE 20D. o ?—-2Q. Quare altera aequatio hanc des formam : € YP--gdQ üin.gY-Q , feu 5? Y(pp-99)—-qdQb fin.a vnde colligimus : — z2-2-c9f.0)d Ji dp-i-dqcof.o—gZufin.g—— TAA .Hinc fingularum quantitatum . variationes momenta- neas ex diffrentialibus cognitis ZP et 4Q affignare poterimus. 1^. MC iN qu dat e -24Q, I t u1n f 2*, Ex aequatione ——£- E -29— P feu per: L 7, fequitur qnd? — 2qdq y db(pp-3raq —pdP Cdp MET feu gdg — 228 ed vnde fit gdq— Pp 5. Hi valores in vltima aequatione fubftituti dabunt : »ppdo , jd(pp--qq)Qcofi) —— pdPco ui —q(b-1-qc0f-2) KDfin.os. un nn4j C we qdofin. 0—7 4b—40 vnde EIVSQVE "VARIATIONE. 153 vnde fit: , 1PGOÍ q4d afin.9— E (254 A-(bb-3- qq )cof o) — 22? cof. o q3 (4-3 cof.) d D fin. TH Y(Pb—a44) . xdQfimo . | -a3 4?. Cum autem fit dx —- 555 erit d P— Mad in. —ai N4 x fin. : ) et 4Q — -e 4 (M xfin.y— JGz—55)» qui valores in formulis inuentis fubftituti praebent: | — 2a ppxdd Nq fin. t dp— — wwe (Mfin.m— y(5p-75) L 2Y ,. NC Pb-2i-a9) fin. tà dq — TEE (M finx(2 cof. a- g fin.u*)4- NP finn ) nuc do — jou — sei? (M fin.w (2 p-1-qcof a) fin.o N(2?4 4- (bb 4- q3)c0f. e) ) LAS Y(?b—244) , : — T! xdQdy . Denique ob 2P— I eft 2— AH exiftente X —)-1-4cof. a. Reducdio generalior binas praecedentes in (e complectens. XVI. Statuamus xc , vbi angulus o ita fe habeat vt cafu fin. o— o cuancefcat dx; feu vt diftantia fiat maxima cafu 0—-0, minima vero cafü agus. : dx | dp-Ldqcofmo —4do fin. d rcof. à—rda fin.t Erit ergo -z— $-1- 460j.t *is 1 —Tr of.a feu dx — dp-Ldqcofo dr cof.ca. (pr -2- q)dcofin.co * — r4 cof.« i 1—FrC0f.Q ^— (P-1-4 cof. :3)(1—r cof.ca)* Nunc fiat fübftitutio in exprefhone Qux x-1-znx—P quae abibit in hanc formam : R 3 --Q?p 134 DE MOTV: LVNAE C 2-Qp p-1-2Q pqcof o-4- Qgqcof. sf7] | 4-22P --nnqcof.a ace sibilo | p —nnprcof.o —Prrcoto |^ BOLSA L zv &Pr cof. a Hic primo flatuatur n2/pr—4)— 2 Pr-3- 2 Q pq, de- inde fit Q^»p-a-nnp-P—-Qqq--nnqr-APrr; vt fiat Y (Qvx-A-22x —P)— OXRPET D fin. t ideoque Er d Pp— —iPVIBPP- net m fin. o, 1—T C0. vnde fequentes determinationes deducentur. XVII. Quaeramus primo rationem inter P et Q quae ob ng — e—áÀ 7? ex aequatione Q5p--nnp—P—-—Q qq3-nugr4-Prr ita reperitur :* Q (gf —pqqr-i-bpa—q) — P(-pra-pr—a- ar) quae per pr-i-q diuiía dat 6s ES ep Q(5p-44)—-PGa-rr) eu Q—-— - Hinc prior determinatio 2z(pr—4)—2Pr-3-2Q 4 praebet PPq(i—rr)... 2F(bbr—qar—$d Jr par) ampr-q—2Pr—"iy P e— (0 PBCME e NE a rs 2R(p-a-qrm) : T et per pr-g diuidendo nn—"5;—44 » Ma Vt fit £Pb—34...2P -. )1—rT | —3Q. p--4qr — "n €t p-pgr— naa* Deinde EIVSQVE "VARIATIONE. 155 Deinde loco zz iterum fcribendo t5, 5-^* fi Qip--unp- pi Crsatnan iren vnde concludimus : | dx | —(pr-- a)dQ fin.co - —7(i—rcpo)v(pp-—dqqx* o - L] d L js Li At ob yl 5, forma diffrentialis 7 ita exhi- beri poteft vt fit dx dp--dacofco drcoí;o .— (pr3-qdefino ^ —(pr-r-gq)dqfino X — x(i—rco9J.0) "u^ i-re o x(i— rco) — (—rcojo) y pp— qq) * Quocirca erit (ora-qMefin.o | (br--q)xd Ofin.o * BEL. ES 1 s—4p —t4p4-dqcof. a4 xdrcof.a, XVIII. Quodfi iam formulas fuüperiores ad P et Q redudias differentiemus, ad fequentes expreffio- nes perueniemus : -i-dp(0p-72 p qr--90)-dA pg ppr-qer) - gdr(pp-qq) 23 io (P-3-qr?dP PdP KS Tim di(x-rr)--rdq( y-rr)2-qdr(x-rr)2- sprar - :Et27-99- vnde cum differentialia 7P et dQ dentur, bina tantum trium elementorum Zp, Z4 et dr definiun- tur, tertio quafi arbitrio noftro relicto. ^ Verum —(r--43 xàQfin.o ob due mE rcof.a) V (P P—44) * MIT i erit; gP——-5749 May fn.w et 88 xd( : N(pr--g)m.o — d Qi 23 -haecn (M fin.« — irm Vel ^d DE MOTV LVNAE Vel etiam angulum « pro lubitu affumere licet, ac tum binis illis aequationibus hanc tertiam uacudb s LL (ra-q) dofrn. o (pr 4-qyxd$ fin-v dp-i-dqcof.o-4L-xdrco. 9g — *7— uuo — ead omnia tria elementa 4, d et dr definiri poterunt. EETETERT xxdOwv(p-rar) Denique ob 2P—- 2 7. erit: d5 — vip nv(ppP-qq) * - XIX. Mirum videbitur , quod in hac redu- €&ione angulus c arbitrio noftro relinquatur , cum certe pofitio et motus lineae abfidum minime a noftra voluntate pendeant ^ Verum hic perpendi Oportet, eatenus tantum diflantiam -—cx fieri maximam vel minimam facto fin.9— 0, quatenus idem angulus «o non in reliquas quantitates ita in- greditur, vt in valore pro ^^ inuento fü&or fin.a iterum tollatur. — Quodfi exempli cauía reperiretur Y(pp—44)—5fin.o, minime amplius concludere liceret pofito fin.o—0, formulam 20 effe euanitu- ram. Quocirca angulus w neutiquam inter quanti- tates affumtas admitti poteít, nifi forte conflet a cuiusmodi angulo pofitio lineae abfidum pendeat. XX. Antequam hunc cafum deferam , binas illas aequationes differentiales pro elementis 75, dq et dr inuentas diligentius examinaffe iuuabit. | Ac fi inde primo elementum 4p elidatur reperitur: dq um r)ra-) -r-dr(pr 3p q)-— -(r-rr) dPA-Cpp-24-26-4-:pqr )aQ., -rar "nm fin autem inde elementum 44 .exterminetur ,. prodit dp —rrXbra-3) nm dr(pr-3-qy |. r(x—rr)dP2- (2b2-- pr 4-997)d0. f4-0r—— $--qr —— Ln ON Eieco x EIVSQVE. VARIATIONE. 157 Eie&o autem elemento Zr obtinetur | dp(pr-i-q)— EIU RE E EP 100. Quod fi iam harum binas quasque in locum illarum fubftituamus , calculus haud parum fiet fimplicior hae vero videntar commodiffimae : dq(pr-i-q) ^ (epr-eq-carr)dP-- q(pp —4q4)00; —— ——MÀ PEXCUEU Wimmer O10 S9ueupi dp— Pam — Dont anÜpr-i4) TT da(ix—rr); . Leer H2 eaa eat ndo. dr en eric LE l ] Be gp Vnde affurito q reliqua. elementa "cile. dcterminan- tur fin autem angulus LR cognitus fpe&tetur, hinc rentiali. fupra data (XVIIL) fubftituti - determinatios: " elémenti' dq fuppeditabunt.- Peruenitur autem ad hanc aequationem : SAN Tul ymo daq( pr-i-q) fin.* —(p ^ai 2) fin. NM OI Y eR C ! Y(PP—44) wuo2* — axipepa( 29r-1-9--4 rr-(p-t-gr(a-errxofa i (rbin pts eate anq(1-rr)cof o) Tmareen (b- -40)-- (9-0 tt--at cot e . HDD qa o par cola?) (o XXI. Subftituendo mod. "hic EE 4P et. dQ valores fa pra, indicatos (XVIII). - o dafs dono — du. 39d -q cof. u) : "Parr o- "EM —40 a3 T Sina vin. eU nnc PET Dora. ap ipn nip bx -pr)co a Ic 2-2) ]Hewt- - Q(pr-q-- 241r)cot.o") ec lD9Nrdd PNE peqa Mdbearyposn 4-aq)cof.t 4 q(pb4-104-7 par ) cof?) nnc(pr-4-3 1 m Y(PP—44) - om. X111. Nou. Comm. S fi qui- 138. DE MOTV LVNAE.- fi quidem nunc totam aequationem per (pr--4)fa « diüidere licuit; commode enim víu venit, vt mem- brum elemento M fin.» affoum fa&orem r—cot cu -—fin.w' fortiretur. T ANS Quodíi iam hic. ponatur 4— 9 , reductio re- fultat prior fcribendo 4 loco r, fin autem. ponatur rzzo, reductio habetur pofterior , vnde intelligitur quanto latius: pateat .haec reductio geéneralior . ambas praecedentes in fe comple&ens. | Loco 4P et 4Q etiam in praecedentibus formulis fubftituantur valo- fes ac reperietur : nr a3M xd(Q fin. dp— EET e einorspar C 2900-3 par-- 24 (p 07)cotu, 131 d: | --q(prA-axot«) a3Nx d fin.co d-meücrepar dV DP 12) dy — em E (pr--q- 2 (p-t-qr)cot-a-i-(pr—4 -r- 24rr)cof. e) | atNxd(bjin. to (E5:3:2137 547) nnc(i—rcofu) V V (pp—44) et loco d4. valorem fuperiorem fubftituendo : dpfn. — pr--3 (3. — A Ceca) f-rir — $a (du — yir — a3MxdQ/fin-v fin aocof.ta mo & SN 2td (Dcof.co. nne(i—Troj4»)* (pr -(43-24 r cof. u)-— ainc(: —rcof«tu) | Pb-31-42-V-:pqcof. o) « VIPP-——1403: &eübr2cdfse (rae deor (qu 00 cr) aSMxdObfinmfin.o , — crap. (25--q1-ptrM(q-39r 3277 pr xof.o-cr(pr- qt 2arr ota ) ri EIVSQVE "VARIATIONE. 159 Á3 Ou. oottene a 1-rr(pp--qq)coto cr (fp-- 443-2 par )cof- t). XXII. des excentricitás orbitae. fatis fuerit no- tabilis, commodiffime reductione prima vtemur , quid ibi aberrationes a motu regulari in ellipfi facto definiuntur. Sin autem excentricitas fuerit quam minima vel adeo. nulla, neque primam. redu&io- nem neque fécundam in vfum vocare licebit, quan- doquidem anomaliae e tum ne locus quidem relin- quitur ; 4c fpectata quantitate. 7 faltem vt minima, . quia ea denominatorem formulae .pro 4(p—4o. in- ventae affiit ,. motus lineae abfidum nimis fit va- gus et ilicéstds,: Neque etiam adhuc perfpicio, quo- modo poflrema 'reductio fümendo. o—*.in hac in- -weftigatione vtilitatem afferre poffet, tam propter multitudinem , quam complicationem formularum , quas refolui oporteret. ^ Nihilo tamen. minus . cafüs uo excentricitas plane euanefceret fine dubio .pro — fimpliciffmo effet habendus; ex quo in eius refolu- tione merito omne ftudium 'collocandum videtur: quo his difficultatibus füperatis deinceps veri motus — lunaris inueftigatio feliciori fücceffuü füfcipi , neque tantum: ad vfüm prácicum fatis. conuenienter , fed etiam multo accuratius abfolui queat. . Neque qu- tem ad hunc cafum euoluendum alia via aptior vi- detur, quam vt ad ipías aequationes differentio - dif- ferentiales reuertamur indeque approximationes. Jdo- neas petamus, | WEXCX S 2 Invefti- 1! 146 DE MOTV LVNAE 1 Inuefügatio motus fi Luna. in eclipti- i9 N cà fine vlla excentricitate fol au- l A dq vniformiter moueretur. XXIII Pobamus in ipfis aequationibus ' diffe- rentio differeatialibus. v 2-cx, et habebimus. * -— M. ad EA cad TE E EAT s M ee a*. ddx-xdQ t ldd 2T NdE o et quia motus folis affumitur vniformis erit u—4 et 6—46 ideoque (p—4-1-", hinc. —-Mcsxcof«—i zd 1—5cof.x) — $5: (3.cof. 1-7 cor!) 2 N-x(1-3 cot? HE a coLa-5 cox? )-E(3 -gocof" | -"-35cofw — ; vide binae noftrae aguatiaues erunt T x40 bL4 ke rax b. Es. "- ZSuxfin. »( des hn w)- Sour fin. v(3cof.X-7cof.w") «game cd " PCR 4a(1-3cof. 8 aeofm-s cof esas (3-8 oco[^r--3 PT. 1 vbi cum z-fit quantitas quam minima , has aequa- tiones in partes fe&tas concipere licet, quae fequen- tibus multo fint maiores , ad quem ordinem etiam approximationem accommodari conuenit. $c XXIV. EIVSQVE "VARIATIONE. 141 XXIV. Si omnis perturbatio abeffet , foret ób Pryor euanefcentem , vti vidimus , x—r d d et ;; — 5 hincque 77 — s — x. Nunc perturba- tione accedente flatuamus : x-ri--P--Q-4-R et i -—mn--p-3-44-r hincque 2 —n-ri--p--4--r, wbi P, Q, R et f, q, f Íeries maxime decreícentes referant , cum ferie- bus fuperioribus ex perturbatione natis comparandas ac has ipfas quantitates tanquam functiones anguli * Ípe&emus , fiquidem nouimus omnes inaequalita- tes ab hoc folo angulo pendere. Erit ergo gx —4P --dQ-i-dR et per $2 —(1-1)4-p4-4-- f multi- m --pdP -- p4Q e eh Se -- 44P quae forma differentiata Aen iam elemento 4*4 conftante dabit "t -— dr VP --(n- JA MY TU dé !| ppddP -Dpd44Q o 1 p dPdp-- dpdQe:du doqi DOJIp. 9a ' --4ddP --d4dP. S 53 multi- 142 DE MOTV LVNAE muljtiplicetur denuo: per ^2, prodibitque c — Yu-xyddP-r-(r-xy ddQ--(n- 1) ddR] - -r-2(n- 1 dd? --s(n-x)pddQ | | 4r (n-1)4p4 P-- (4- 1)4pdQ ld r-2(n-1)gddP A -- (n-1)24 4P 3-ppddPj -ppdpdP) isa modo cum fit 349 — dp--dg--dr per 2 vii acini etit Free in— 1)dp-r(n-1 )dq--(n- 1)dr | dp MALI Ch --24p at et 42: — JU eq ETATIS t -- 9-1 254 ac tandem ds—aü-aP- 2 Q—»2R 3PPT6PQ — 4 P*. XV. Hos igitur valores in aequationés no- ftras introductos fecundum ordines ftabilitos diftribua- — mus, vbi quidem elementum 4^, quippe quod fpon- te intelligitur , omittamus. | * Aequa- EIVSQVE VARIATIONE. 145 * Aequatio Prima IT. | II. 1V4 A-2n(n-x)4P4- 2n(n— 1)4Q. 4-2fnjfn-1)d R. A (n-1)dp H- 2 npaP -- 2 4p4Q F3fin.«cof«4- 2 (&—1)p4P -p2nqd? -F(n— 1)24 -A- 2(n-1)04Q ,. * pdp -- 2ppdP " 4 (n—- 1)P2p (o-p-2(71i)44P —— ^F 3 Pin. cot « -F(n-x)dr . —i;(in.«(1-5cof.w) 3-2 44 | oed 4b --(n—-1)P44 -CPpdp ck -1)Q4p -1- 8 Qfin. 4cof — $- Pin.w(1 - 5 cof.4*) — 22s fin. w(3cof.w-7 cof.) Hic fcilicet ordo: primus deeft, quia fublata pertur- batione primae aequationis omnia membra fponte : euaneícunt, ; Pro .* Huius aequationis nonnifi integrale particulare hic quaeri- ;tur, quod fcilicet hypothefi affumtae, qua excentricitas euanefcit, conueniat, et manifefto huiusmodi habet formam P—A--Bcofg^ Integrale autem. completum foret. P— A -4- Bcof. w^ -4- M fin. «4 4- N cof. 5 s Vbi M et N funt conflantes arbitrariae , quibus conditio ,,, txcentricitatis continetur. — Id quod peeuliarém evolutia- ^ ' mem meretur, 144. DE MOTV LVNAE Pro fequentibus autem ordinibus terminos ad quemuis pertinentes feorfim nihilo aequari oportet. XXVI Aequatio altera fequenti IA in membra diftribuitur. »f Aequatio fecunda. I. II. HI. IV. — nn (n-xyddP (n-iyddQ — |-3-(n— xy 44R an 2p — H-2(n-1)pddP T 2(n-1)p44Q. —snnP — HM (n-1)4paP 4-2 (n—1)gddP 4(r-3cofw') —2n4 - T-0o0-1)4p4Q um -F(n- 1r dgqd4P —2nPp C pp44P —3nnQ --P4pdP «3522PP —onr -E P(1-5cofw) —2p4 HA scof.- 5cof) —2nPq | uds —2n(Qq —3nnhk T6nnPQ LDATHIT z9-3 cof. w) -F EP (3 cof. — 5 cof v) —a(3- -3ocofas 7E85cofar). vbi miertibrum primum fponte fe tollit." XXVII. Secundus ordo ex vtraque aequatione quantitatibus fecundo loco affumtis definiendis infer- . vit, EIVSQVE VARIATIONE. 14$ vit , «quae - funt. P. et f, ideoque ex. his duabus :ae- quationibus determinandae., . / 1^. 2n(n—i 394-04 Mak a £p rius | 2. (n-1)y4d P-21pdw — -gnuPdw-i-dw (1- 3 co. deco. Prior autem ipteérata dat 25 7—1i)P--(n-1)p-^--:coft fou p —-22P-- z^ -- ien Mn valor in altera fubftitutus praebet : * (n1 YddP--nnPdw 2 TA a EUST NM A. W)-zo - feu (n-1)'ddP--nmPdw A dw- M Mdafcofwdw-0. — HI Statuamus , quandoquidem . forma . integralis fponte | patet. Pi A 1 Bcof. w', fi effet 24 — 4(n—1y pm deberet. PASS Beof-w -- C fin. *«Cof.* , erit i1 —— 2 Bin. wcofw et S L2 Bcof. 3-2 Bfin.w 23 D— 4 Bcot Y €t fada fubfüitutione- "oritur : A o(n-ryB -bsnA— tapa | IET NW 4 (n- xy Beofr Muir der ERES cofw3 hincque B a S gium Ert PAzi--4nA--2(n-1 yB e. p—-25A —2nBcotaw | :1 "- $ 4 Dd | To ELLE , Tuin ^ | Eam, Quare fi ponamus: 4 P-—A-r-Bcofw et p—9(-- 85cof. vf — om. XIII. Nou.Comm. T quan- 146 —DE MOTV LVNAE: quantitas; A. arbitrio. noftro relinquitur , enisqpe —35(2n—ài 2 R ipis (i yas n) atque ca xm "nA peus D et. 25— cur -2aB. Quantitas A ideo. manet. judge. vt vcl diflantia : media vel motus medius. ad veritatem definiri pos- fit, ob perturbationem- enim ; i c conueniat cum diftantia media 7 non cs cum Tütione- edt con- gni et vic ffun. A "XXVIII. Ad quantitátes tertii ordinis Q et 2 determinandas ! has habem us. aequationes : 2nn-i 1)4Q- (n-1 1 Yiq3- a(a 2n-i )pz P-Fpdt p2- (n— I ) P dh : | -F3Pfn. "cof. 4-5 22D. q(1-5 cof ]-9 (1-1 YQ e E n—-1)pdd P-F(n-1 JapdP-pp- c. "Pp --3mPP--P (1-3co£w)-7; 3 cof-X-5 cof.) o. Cüm autem' fit. P— A 4 Bcof.w* et. p 90-85cof. w* erit dP— —2B fin. cof v et dp——2 S5 fin. McoLw hi valores in prima aequatione fubftituti dant axe K(art-19 Bfin-wcof- 4 20-15 Büinowcof.w -; yu Hin w(1-Scof)-o —2905 —225 35 —2(n-1)5A . —»(mr1)95B. d 34A c4 sB ') 3 r^ 90 i . vnde EIVSQVE "VARIATIONE. 147 vnde per integrationem elicitur dag z: AS. 1)g4(2(25-1 9B 9EB- (u-1 1)85A-:A)cofw* -i- iaceo Ico. —A —o(an-x 95B442525-4-:(2-1)95 B-: B)cof'rt fit breuitatis gratia | 2(2n- 1)9(B-I-905 1-(5-1)98 A — TJA—a — Hs2-3)5B-4-:535— erit dm DINI. xisresa a; Cof Ww i- cof.t— rur i5 eofs M -- IL cof Tum pro altera aequatione ob ddP— 2DB-—4Bcof.« eft e 1 dd 4(n-1)9(B- S(n-x 9(Bcot. E -8(n- 1J83Bcof ii His ini conb cR x). tu |oc9(n-x 9B. - pp TE -283 — 29/5 E —22Pp. [LomwNA —8n*«Boc c*3nnPP —229$5A 3i: d4-38A A 6n2AB qm- -xofw)r A —354A Ab I— — ————— ELM 274A 2na ls EI 4; PPP —20DB$35. -én- -bSB. — 85 85 --522BB EE inch n5 cof | XXIX. Pro rcfolutione- huius aequationis: po- ni oportere manifeftum eft : | | EL. Q—C-1- Dcof, w--Eeof Y --Fcof-1-Gcof.« ddQ .. Ww —— eique 2 PUTA | Tie 2D-4Dcot-w-1 6 Ecof.x*- Fcof-4-9Gcof.»* 416G Hinc 148 DE MOTV LVNAE' Hinc iflae nafcuntur aequationes : —duC--2(n- 1 Dr 4(n-x)3(B- Scan mA | ! --A—£i-E o2 (n-xy E-(n-2(30-2)D-2 (50-4)9(E-1-8(n- 1)25B. 2n —29(95—- 2125 A--GnnA B - 3 A-- D-- ;—; o (gneqion Aint »( HGB fos rzerDB-ambB ' udo. o-ó(n-: :'G-E(en-1 DEED i cde (Sn -xc o—c-—(21— 3)(4n73)G— ds vnde ordiue retrogado litterae G, F, E et D de- terminantur; tura ' vero €x prima valor ipfius & quaeratur , vt C maneat quantitas indefinita , ac ^" ^ tum etiam. valor litterae q innotefeet per quantita- tes iam definitas A, B, 9| et 95, ex quibus a et G- refultant. Si enim ponatur 12-4 cof. w- €cof - -j- S cof. «-4- G cof. «*. erit T SI T! $-—-2anD-— &—— 2-4 H-5 S—-anEF-— cin | d GO -—- z nG E OUR XXX. Simili modo perturbationes fequentium "ordinum ex aequationibus fupra datis colligi poffe | per EIVSQVE "VARIATIONE. 14g pet fe eft mabifeftum, Calculus -quidem haud. pa- rum fit moleftus ac. taediofus ^ verum. fufücit me- :thodum eum. euoluendi hic dilitcide expofuifle , ita vt nulla difficultas fit metuenda *praeter calculi pro- dixitatem. : Interim fequentia mimembra':ita fiunt par- va, vt pro vfu aflronomico facile, reiici queant. In- ventis autem his omnibus litteris binae aequationes quibus iam .motus lunae continetur ita fe. habent xci A--C--( B--Djcof. v^--Ecof.w--Fcof.4-4-Gcof.4* 4 42 —n4-9:4 €4- (8-- cof. € Esp orgia! *- Gcof.w exiflente Z(D— 4 wv4- 4£, et 4 — 5e — 1; vbi ma- nifeftum eft conflantem A nihilo aequalem poni poffe , dummodo C in calculo retineatur , vt ratio media d(p:44 ob fequentes terminos aliquantillum a vero valore 5 depulíi corrigi et ad veritatem re- duci poft modo infra exponendo. /.. Operae dutem pretium erit hos fingulos ter- minos euoluere fumendo pro 7 valorem per obfer- vationes definitum , quia eaedem inaequalitates; et- iamfi ad cafüm hunc maxime particularem Mrdi- nentes, tamen in vero quoque lunae motu locum jinueniunt. "XXXI. Sumamüs ergo Á—0, et cum mo- tum lunae medium cum íolis motu comparando fit 42—13,25586, cileulus pro determinatione harum inaequalitatum ita fe habebit: el T3 n-—rv5. et 350 nc 15,25586 45 — 1 -—12,25586 25—1—:25,51172 81-2—37,16758 4— 9 —11,25586 B-—- 0,0146899 I3—3—-09,1223904 2B -—-— 0,5894546 25 — -1- 0,5118450 232 7-0,0377191 C—'B—-o, 1664559 9( — — 0,12875368 DE. MOTV LVNAE l(21—1)— 1,4067594 l3 x—0,4771213 13(21-1) — 1,8858607 (n — 1) 22 1,0883440 l(n—2)21,051:3787 l(3n—2) — 1,5771191 5,7168418 ]— B —8,1670189 I-U2 x9, 4260979 I(u—1)2 1,0883440 Ll —:9,987]1473 I9" --*0,8910909 dn L——1,:424049 ]on | — 1,4234379 ]1—22B-—9,5904568 I(n—1y —2,1766880 fe — 1,054280: ]-2——p— p eedg9o SII Xxxxil. Nunc pro litteris a. et H calculus ita habebit : e(n-1)9(B—4- 0,096492. 9( 95 — — 0,065893 DET. i(5n—3) — 51,63965 1(51-35)258—-0,257897 a D £9 — 0,130993 — 0,1c6904 - 0,030599. 1 3f — — 9,1097023 ]B — — 8,1670189 ] 2 — 0,50105300 i(21—1) —1,4967394 -i- 8,9844910 ]9( — — 9,1097027 [35 — 4- 9,7091385 — 8,8188412 CE-CNIE EIVSQVE VARIATIONE. IT —iB—-r0,911018. /:1(5n-5) 2 1,5002316 6——0,095886 — /$5 — -9,7091585 1B — — 8,1670189 — 9)8763890- 125.35 — 9,4182770 v sog dfe Ex, —0,8010890:*- . PERETA | 2rMIR$TO Binc primo quaeratur littera E. rA —r2(n-1i JB-4-1,105820..../:8 B — — 7,8961574. —2295 Bzc-1-0,199340 Í(n—3) — 1,5883440 - 1,505160 12. —21,0791812 — 25.25 —.— 0,261986. 7 —0,0436826 ) 5 7- 1,048174... 125, — 1,4234379 -4-3n1BB—-ro, 113756 (—.9,2995953 om B — 4- 0,044069 1B B — 6,3340378 E "- 1,200999 Inn. —2,2448158 o E m o,201419 [3, —0,4771213 MELLE. 995580 ... -- 9,0559749 ergo E — D bpUEMeoy ]5 ——8,9817552 [21 -—1,4284979 — 0,4051931 Fnit it 0885440- | — 9,3168491 H0,99358—9,9972028 I(31-4) —1,5534895 ]; 51-4) — 1,7943437 3,34785532 PO JE Z -- 6,6493696 XXXIII. .182 DE MOTV LVNAE XXXIIL Porro pro littera D. x2(m—1) E—--0,803968 —2(51-4)9B—-—0,235557 --9,56841I 48 (1-1)295 B——0,737223 — 0,168812 —29(28 — 0,131786 —0,037026 B z-toldPA690 UE dUobrg16 -6- p--.——71- 0,066192 (n-2) 51-2)D—-- 0,214476 Ergo D—-1-0,009034052 2(n-iyD--4-0,010239 . 4r A (1-1) B— 4- 6, 192984. --0,203214 m0 C nnC- i5 —--0,1866431 DA TO ,007040-- inC Ergo € —o, 007040 —inC —22D-—-—0, 0009028 -« L—z—22-—09,0024970 n—1i Ergo 9——0, 0033998 up gibus iP. 0118250 e fec. n d-o.eojtasT á -— —0,016573 --0,186641- 1E-I-4-6,6493696 I(n—1y —2,1766880 ]:o -—roT9tB1a -4-9,9252388 123:4B— -- 75711516 K5n—4)— 137948437 (0712953120953 la —--8,4857072 123 —0,3350989 fps 8$2080II lo 014476-8,1606486 Kn-2X3n- -2)-2 6284978 ID -5,5321508 Kn-1j - —2,1766880- "Iz xo,$9$0300 | 8,0098688 J9(9(272- 8,2194054 cp, ESpPeSqu bpm ; jan 2-1,4234379 7,9475691 ID ' — s482205208 l2nDzz -4-6,9555887 la — --8,4857072 d(n-i) — 1,0883440 -1- 7,3973632 ]E-——-rF6,6495696 ]25n | —1,4234379 -- 8,0728075 Ergo EIVSQVE; VARIATIONE. 153 "Eno €——0,0040013 7 /6 — —8,9817552 255335029; 02:& 203 2; 1g1i—1) 1,988340 (2n-3)(42-3)G2-12,90796;- | —7,8934112 IR.1I07 cT Íío0oIoO zh * 1j ] ——3 — 1,5002316 K(n—1)221,0883440 4 ca —0O;,4118876 4,43 E2956989700 atibaorm 10i01 - ,3,1108576 oer "G—-0,010945:t- ^ 1, 1108576 —112,90796 qanes 5n ^v. (da 1,3712844.—/(21- 5) Eu memo | 1,6991735 — (41-3) deis) G.—— 9,896597. Lr as SED Ce DN XT VE ars exist ada 425. 8; fe 8,9403991—1G 2 1766889 -— J(n- 1 ? phase Doo? . f dan-i) Es, na6i. E | 677815 13— A | —0,99528390 Ergo EI nus: 9,684136. 2 "m | 585 0,4118876 EN 2n FID 2,25032. ipo0,0 — Mg coperti 213 o 0,8890089 Eo cyan uh 14619—0,3316683 Ian- —1)—1,4067394. ó -"» a "d uloszare — 6,122390, ^ -u [1 S—-nnLE WA i i0 4F —24-8,9249289 n -H'8—e, 29096. a3niil gua G 224-8,0403997 NS ^ c , ; enne ED emis 20399. ;- 2 n |a n. —1:4234379 EAE —-1|-0,3483668 6-— 4 9149495. Co danGo —9,4638376. HiTom.XIINonComm ^ Y XXXIV. 154. DE MOTV LYNAE XXXIV. Ex his igitur valoribus-colligimüs : x—1 --C—0,014656 cof. v 4-0; '996346 co xi --0,084.126. z cof. 4— 0,010975 cof vé 4$- 13,134.163-:nC--0,50844.5cof. Y! -0,00 400 1cof —2,55277.cof.4--0,4949.7- cof. v! vbi conftans C ita definiri debet , vt motus medius ex pofteriori forma erutus praecile conueniat cum motu medio.ex obferuationibus .deducto. In hunc . autem finem | poteftates cof. w* et cof. w' ad cofinus angulorum, fimplicium reduci debent, quia inde partes conflantes emergunt cum. principali .coniun- gendae. Scilicet ob cof. v2: cof: 2» et cof. e ed -]- 1cof. 227 scof. 4v, fit pars conflans:: ^— - 13, 386885—inC ipfi »— 13,25586 aequanda, vnde fit inC— 0,131025, ideoque C—0,0065895. Kuolutis autem. poteftatibus. cof. « reperitur | [hod x2-0,999428—0 ,007195 cof. 2-0, 0000 56cof. 4^ -1-0,075897 cof. 3—0,00274. cof. 3 ao. d 13,25586 t0, 252222 cof, 2 4-0,000 oocof. 4 UE, 98157 Cof. 43-0,1237 7 cof. 3 4. XXXV. Quo hinc fiéilius- ipfum angulum o definire qp ponamus breéuitatis- gratid j ij$-n-cr erit NETLCCUE: I. ph: ux 67» — n—i--r n—1i — E e—y FT X 5 ! fit EIVSQVE "VARIATIONE. 155 fit r—acof. 2 »-4- &cof. 4-17 y cof. 4-41- 0 cof. w*. erit rr—ioaa-L-iaacof4w omiffis reliquis terminis , qui ad ordines fequentes deuoluerentur , et ob par- vitatem facile negliguntur. ^ Integratione ergo infti- tuta prodit | &fi2w — mn. — ym bfmnimw )|INS n pu- nouit Wear e ies T Rc o qae: : aa a a fin. ^ v ; pos --xumig Y TE oai vbi eft: f 1 . [* 4—4-0,252222; 6— -0,000500; (y z- 1,9815. 2 | à—--0,1237. i atque iam ante quidem C ita definiri debuiffet, vt €t hic particula z;—;; v tolleretur, prodiretque fe- . n — cundum motum medium (Q-—4--;—"-—4A --1,081593*. Singulis igitur terminis euolutis .et in minuta fecunda conuerfis habebitur : QQz541.0815931- 173^, 147 fin. 2m I,, 06 3fin.4« 4- 2721". —- fin.q— 57" : 2-fini 9 v. — XXXVL Sed cum $ ex motu medio non innotefcat ;. relatio primo. inter.Z et v eft ftabiliendz, quae .ob pzé-- dicitur :. EODAS 8 "E IA Q.— efi. ^ 8fi.«w — Yyjirnw Sfmmw a[n—i) ^ ^(n—:» ^ («—3j 7 san—ij & a fin. 4 vy "it nd sr (n — ij V 2 hinc- :36 . — -DEUMOIV/ LVNAE| hincque colligitur z «^; d w- Conft.-p 12,25 $8624-2122^^,43f10.23| 13/^,02 5.4 v : - $3548^7 fin.» 6947 7 fih. 39. vnde haud difficulter ad datam folis longitudinem mediam angulus * colligitur ,, tum vero erit c v -6é. Denique diflantia lunae a terra babebitur : v—€(0,99942 8-0,007 to5cof.ax-co, MCA 4o 07589 drerià o ; 00274 peor om At ex maffi Solis, lunae ,. et tere quantitas c ita: 3 T L definitur, Vt: fit ^7 —— ples 22d ,, vnde patet. ob. a&ionem íolis diftantiam lunae mediam aliquantil-. lum imminui. T... XXXVII ]n vero [e moti eaedem iae: inaequalitates quoque Occurrunt , vnde haud inutile. erat eas omni cura uierbinit 1 3 ub Aftronomis au- tem nomine variationis lunae. defignantur , quia - omnes in vna tabula comprehendi poffunt , argu- mentum. diftantiae folis a luna prae fe ferente. ^ Pa- tet autem eius partem: pofteriorem a parallxi folis - pendere , feu a fra&ione:7 , dum" prior abfolute da- tur. Quare fi quantitas huius, inaequalitatis pro variis angulis per obferuationes innotefceret , inde viciffim parallaxis folis concludi poffet. ^ Cum igi- tur Tabulae Mayerianae cum coelo ita exacte conue- d niant, WOITIREIVSQVE/OVARI ATIONB2») :C x39 "miantj; vt inaequalitates: tanquam ex obferuationibus. eoucluíae: fpectari queant ,' comparatio noftrae. for- mulae: inuentae-cum his Tabulis .parallaxin' folis no- bis exhibere poterit.?;! Confideremus : folum: cafum ; quo .angulus:;w— 90?, quia; tum | pars variationis abfo- luta euanefcit , eritque per formulam noftram vas tiatio —— 34042/^.7 tabulae autem Mayerian;e ha- bent —1/,59^-—-—117^" vnde fequitur 7- — —— -29:, cui rationi cum ratio parallaxium fit ae- qualis ,' parallaxis. autem lunae mrdia fit 57^, 1577 EEUU n5 erit parallàxis folis — 25; — i1:^. Haec fortaffe. methodus. parallaxin-folis definiendi reliquis ex- cepto veneris tranfitu , longe antcferendu videtur , fi quidem tabulae Mayeriamae nunquam vltra minutum a coclo diffident ; quia enim haec variationis portio ad 117^ affurgit , leuis mutatio in parallaxi folis affümta fíenfibilem aberrationem a veritate produceret vt fcilicet parallaxis folis prodiret. — 87^ tabulae Mayerianae loco — x1'7// habere deberent — 84^, ex hac autem folis parallaxi foret 7- — 400. Confide- rari poteft quoque maxima variatio angulo 4-155? fere refpondens, quae ex no(tra forma eft ——21225// —23050//.7-; at ex Tabulis Mayerianis ——41^,41^* 23050 —— 2501^, vnde fequitur 7 — 77, fed liaec con- clufio minus eft certa, ob effe&um a parallaxi folis ortum multo minorem. ^ Contra vero maxima va- ritio hinc potius oriri videtur —— 2202/^» feu 36/,42/^. Verum hic probe animaduerü iode S Bu Vs ex 158 DE MOT. LVN. EIVSQVE VARIATIONE. ex excentricitate partem quoque ipfi fin.2» propot- tionalem nafci , quae in' his tabulis cum vera va- riatione eft coniuncta. Haecque e(t caufa , cur pa- ralaxin folis ex variatione vbi fin. 2 €—0 et fin. 4w—o feliciter determinare licuerit minime vero ex varia- tione mmaxima, ANNO- et32:) o ( S:te (135 ANNOTATIO QVARVNDAM CAVTELARVM IN INVESTIGATIONE CRM ARAM QVIBVS CORPORA COELESTIA IN "n MOTV PERTVRBANTVR OB- Ee is SERVANDARVM. beati Auctore. X1 "m aS. | E: mE P. queso dà cd Q* perfédtio , quae Àdhuc. 1 in Many. Aftro- nomiae defideratur , in refolutione huius quae- flionis continetur, vt trium pluriumue corporum , quae fe mutuo in ratione duplicata inucería diflantia- rum attrahant , motus definiatur ^ Cum «enim ex motibus Lunae , quos iam fatis exa&e per Theo- riam affignare licuit, vires illae, quibus corpora coeleftia in fe mutuo agunt, penitus fint confirma-- tae , nullum fupereft dubium , quin leues illae ano- maliae , quae in motu planetarum tam primariorum quam fíecundariorum obferuantur , eidem caufae fint attribuendae. — In Saturno et Ioue ifta motus per- turbatio adeo nimis eft maniféfta, quam vt in du- bium vocari poffit; atque etiam in reliquis plane- tis $ eti eorum motus regulis Keplerji multo magis ett 160 DE CAVTELIS CIRCAÁ-INVEST. — eft conformis,. tamen nonnullae a Tabulís. A(trono» micis PU are obíeruantur, quae nulli alii cau- fae nifi eorum actioni mutuae adfcribi poffünt. .$a- teliitum autem cum louis tum Saturni motum fi- milibus perturbationibus ac lunam effe obnoxium y obíerüationes fatis manifefto declarant — ^ ^ 2, Quanquam autem in Marte, Terra, Vene- re cet Mercurio tales perturbationes iridis funt con- fpicuae , vt aberrationes a calculo aítronomico folis elementis minus recte conftitutis tribuendae videan- plerianis effe confeutifüenin euidentiffime oftendi pot- eft. — Si enim hi Planetae, vti iftae Regulae a fummo Newigno (unt expofitae , vnice ad folem, fe- cundum rationem reciprocam - düplicatam diftantias rum pellerentur , non folum quisque miotum fuum in eodem plano ellipfim defcribendo perficeret , fed etiam haec ellipfis omnino foret imrnutabilis ,- füum- que axem perpetuo in écdem fitu effet conferuá- tura. Cum igitur tam lineae nodofum , "quam | ab- fidura cunctorum "planetarum 'etiam EE ftella rum fixarum pon quiefcant , manifeftum hinc con- fequimur . criterium , bos planetas non vnice folem verfus. impelli. , féd ifla phaenomena aliis caufis de- beri , quarüm "efftus etiamfi AW in motu lineae abfiduín "et "nodorum cernatur, tamen dubium eft nüllum ,, quin inde etiam. vel minimae acr Jitates i in ipfo earum. Hjotd à profeifcantur, ign d E P an mu INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 16: | 3. Quantumuis autem Tabulae planetarum in- Ea ac praecipue terrae ad coníenfum obíerua- tionum accommodatae | videantur, tamen faepenu- mero minutae quaedam aberrationes animaduertun- tur, quae tabulas cuiusdam erroris arguunt, in quibus inueftigandis nunc quidem fere omnis Aftro- nomorum induflria confumitur , poftquam craffhora huius fcientiae momenta fatis felici cum fucceffu funt expedita. — Verum nullo modo fperare licet , iftas leues aberrationes per folas obferuationes vn- quam ita in ordinem redigi poffe, vt praedici queant, in quo omnis Aftronomiae vis verfatur ; minimi etiam errores, qui in obferuationibus plane euitari nequeunt , tale inftitutum omnino irritum reddunt , dum femper in dubio relinquunt , quanta pars re vera motum planetarum afficiat. — Quemadmodum etiam ad eam accuratim motus Lunae cognitionem qua nunc quidem fruimur , folis obferuationibus in- nixi nunquam certe peruenturi fuiffemus, nifi Theo- ria in fubfidium fuiffet vocata. 4. Etfi igitur fummum ftudium, quod Aftro- nomi ad artem obíeruandi perficiendam impendunt , imprimis eft neceffarium , tamen maxima incremen- ta huius fícientiae potiffimum a Theoria fünt ex- fÍpccanda , qua nifi praxis adiuuetur., parum inde commodi ad veram cognitionem BR coeleftium xedundare poteft. — Vniuerfà autem "Theoria ad pro- -blema initio memoratum reducitur , vt motus plu- "ium corporum, quae fe mutuo attrahant in ratioue - dom. XIII. Nou. Comm. X Ieci- 162 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. reciproca duplicata diftantiarum , accurate determine- tur. Solutionem vero huius problematis non folum eff2z diffücillimam , fed etiam fi in genere tractetur , vires ingenii humani fere fuperare , omnes qui in eo vires fuas exercuerunt , íatis fuperque funt ex- perti. 5. Si duo tantum effent corpora , quae fe mutuo attrahant , quaeftio nulli amplius difficultati effet obnoxia, cum vtrumque circa commune cen- trum grauitatis perfectam ellipfin effet defcriptu- rum. Verum ftatim ac tria confiderantur corpora , problema tam fit difhcile , vt omnia artificia quae quidem adhuc funt detecta , ad id perfe&e foluen- dum minime fufficiant, — Haud igitur vtilitate cari- turum arbitror , fi has difficultates , earumque cau- fas accuratius examinauero ; quandoquidem illarum enodatio ne fperari quidem poterit , nifi ante dili- gentiffime füerint perpeníae. ^ Quin etiam haec ipfa contemplatio nouos aperiet fontes, ex quibus folutio petenda videtur, qui etfi initio parum adiumenti praebere videantur , tamen vberior meditatio fortaffe nos continuo propius ad intentum ícopum perducere valebit. 6. Quaeítio ergo , quae omnem Aftronomiae vim in fe comple&itur, ad Mechanicam feu motus fcientiam refertur, cuius principia iam ita folidé funt confüituta , vt eorum applicatio ad cafüm pro- pofitum nulla laboret diffhcultate ; vnde caufam te- nebra- INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 163 nebrarum , in quibus adhuc circa accuratam mo- tuum coeleftium cognitionem verfamur , minime ignorantiae noftrae in motus fcientia tribuere licet. Peruenimus autem non difficulter, quotcunqne etiam fuerint corpora fe mutuo attrahentia , ad aequatio- nes differentio - differentiales , quae in fe omnia mo- tus phaenomena comple&untur , et ad quarum re- folutionem totum negotium reducitur, — Non igitur difücultas in JMechanica motusque determinatione eft fità, fed omnis in Analyfi continetur, cuius imperfectioni vnice eft imputandum, quidquid adhuc in Theoria Aftronomiae defideratur. *. Forma harum aequationum differentio - dif- ferentialium iam fatis eft nota , ex iis fcriptis, quae- cum de Luna, tum de perturbatione motus íaturni prodierunt , vnde patet motum vniuscuiusque cor- poris nifi fiat in eodem plano, neceffario ternis huiusmodi aequationibus includi: in quibus omnes quantitates variabiles , quae ad fingula corpora per- tinent, maxime fint inter fe permixtae; ita vt nul- lius corporis íeorfim fümti motus definiri queat , quin fimul inaequalitates motus omnium reliquo- rum corporum inuoluantur. Ex quo fumma diffi- cultas , qua huiusmodi motuum determinatio impe- ditur, per íe eft perfpicua , neque vllum remedium extare videtur, nifi vt methodus generalis aperia- tur aequationes differentio - differentiales quotcunque , in quibus variabiles vtcunque inter íe fuerint per- mixtae , refoluendi ; talis autem methodus nimis nia- X2 gna 164 | DE CAVTELIS CIRCA INVEST. zna ftientiae. Analyticae incrementa requirit, quam vt ea vnquam íperare liceat. 8. Tanta fcilicet imped:menta occurrerent ,. fi problema de motu trium pluriumue corporum fe mutuo attrahentium in genere et perfecte effet fol- veidum; pro dato autem cafü plerumque fe offc- runt eiusmodi commoda , quibus illa impedimenta multo redduntur leuiora. ^ Veluti fi quaeftio fit de tribus corporibus, Sole, terra ac Luna , huiusque motus, qualis ex terra fpectatur, definiri debeat , qua quidem quaeftione tota Lunae Theoria contine- tur; primum commode euenit , vt motus folis ap- parens tanquam cognitus fpectari poffit, propterea quod perturbationem | in motu terrae ab attractione Lunae oriundam pro nihilo reputare licet. Deinde etiam folutio non mediocriter inde fubleuatur , quod diftantia Lunae prae folis diflantia fit perquam exi- gua, fimulque vis Lunae abfoluta multo fit minor vi terrae. Tum vero etiam excentricitas orbitae Lunaris non nimis magna, atque inclinatio eius ad planum eclipticae fatis parua. plurimum confert ad difficultates fuperandas , his autem commodis Tabu- lae Lunares, quae quidem reliquis praeftant ,. ac- ceptae funt referendae. 9. His autem fubfidiis nullus amplius locus relinqueretur , fi vel Lunae a terra diftantia' effet multo maior, vel eius maffa feu vis attractiua ab- foluta multo fortior exiftreret , vel íi orbita eius multo INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 165 multo maiorem haberet excentricitatem , vel. denique fi cum plano eclipticae multo maiorem angulum conftitueret: quarum conditionum fi vel vna vel plures in Luna deprehendereatur , eius motus hac ratione nullatenus definiri pojlét, neque eius inae- qualitates per fimplices angulos , vti in tabulis lu- maribus fieri folet , repracíentare liceret. ^ Si talis Luna terrae contigiffit , vix patet, quomodo eius motus faltem ita prope cognofci potui(fet , vt erro- res non fuerint vehementer enormes: boc quippe cafu Luna quafi medium quendam ftatum inter f(a- tellitem terrae et planetam primarium cílet fortita , fpectari deberet. 10, Cum igitur confüeta methodus Lunae mo- tum repraefentindi , tabulisque complectendi omui vfu deítitueretur , 6 ftatus Lunae tautillam muta- tionem accepiffet ; fatis hoc eft indicii, folitam. mo- tus Lunae repraefentationem naturae non effe con- formem. . Praeterquam enim quod motum Lunae tantum vero proxime definit, et accurata determi- natio innumerabiles huiusmodi inaequalitates require- ret, quarum praetermiífio quidem in (tatu, quo Lu- na reuera verfatur, "errorem vix notabilem gignit 5 fi alius ftatus Lunae obtigiffet, noa folum inaéqua- litatum harüm , quae adhuc ejent notabiles, nu- merus in immenfuüm augeri, fed etiam id incommo- di facile accedere poffet , vt iítie infinitae inaequali- tates ne feriem quidem conuergeatem conflituerent , xerum -continuo fierent maiores; ex quo iftius mo- X $3 di x66 | DE CAVTELIS CIRCA INVEST. di repraefentatio motus Lunae omni plane vfu effet caritura, ir. Quo magis autem diflant'a Lunae a terra augeretur , co grauiora ctiam obfítacula motus de- terminationi aduerfarentur ; neque tamen ideo aucta diflantia continuo multiplicarentur. Nam fimulac Luna eousque a terra fuiffet remota, vt locum Ve- neris vel Martis effet occupatura , ifta obftacula ite- . rum fed quafi contrario quodam modo euanefícerent, dum Luna motum planetae primarii effet fecutura , cuius perturbationes , fi quae a vi terrae efficeren- tur, alia plane methodo inueftigari deberent. ^ Haec fcilicet inuefligatio fimilis foret illi , qua perturba- tiones motus fíaturni , aliusue planetae primarii , quae ab attractione alius planetae "primarii oriuntur indagari folent ; quae etfi per fimiles formulas ex- peditur , tamen multo diffimili modo inflituitur ; ibi enim Luna primum circa terram fecundum re- gulas Kepleri moueri , affumitur , atque aberrationes ab his regulis quaeruntur; hic vero motus Lunae, quafi circa folem fecundum easdem regulas fieret , fpectari, et aberrationes ab hoc motu regulari affi- gnari deberent. r2. Quantumuis igitur motus Lunae deter- minatu fit difficilis, fi quidem determinatio ad omnes diftantias, in quibus Luna a terra collocari potuiffet, patere debeat, tamen dantur quafi duo cafus extremi, quibus motus facillime definiri pof- fet , INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 164 fet , quos propterea probe expendi conueniet. Prior fcilicet cafus , quo determinatio motus Lunae nulla difücultate laboraret , foret , fi Luna terrae effet proxima tum enim fecundum regulas Keperi circa terram perfe&am ellipfin effet defcriptura , cuius alterum focum centrum terrae conftantef occuparet. Pofterior vero cafus locum haberet , fi Luna a ter- ra tam longe effet remota, vt quafi in regione Martis vel Veneris verfaretur ; tum enim iterum motu regulari effet inceffura et circa folem ellipfin defcriptura , cuius alter focus in centro folis exifte- ret. | Vtroque autem cafu facile foret eius motum non folum per calculum definire , íed etiam ad ta- bulas reuocare. r3. Hinc igitur colligimus veram motus Lu- nae, fi neque terrae fit proxima , neque ab ea ni- mis remota , determinationem ita comparatam effe debere , vt ambobus memoratis cafibus in determi- nationes illas fimplices abeat. ^ Atque hic infignis defecus in methodo , qua motus Lunae ad certas regulas reüocari folet , ftatim deprehenditur , quippe quae tantum ad alterum cafüm extremum, refertur. Ita fcilicet tantum motum Lunae definit, vt fi di- flantia Lunae a terra euanefceret , motus quidem regularis et regulis Kepleriamis conformis effet pro-' diturus; verum fi Luna in immenfüm a terra re- moueretur , non folum non ad regularitatem illam, qua tum Luna effet progreffura , appropinquaret , fed potius ab ea in infinitum effet digreffura. Nul- lum 168 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. jum igitur eft dubium , quin huiusmodi methodus; quae ad vtrumque cafum extremum aeque inclinet , naturae rei multo magis fcret confentanea ; atque negotium multo felicius effet expeditura. 14. His confiderationibus etiam problema ge- neralee de motu trium corporum fe mutuo attrahen- tium non mediocriter adiuuari videtur. — Sint enim propofita tria corpora A, DB, C, quae fe inuicem in ratione reciproca duplicata attrahant , et quaeratur , vti in Aftronomia quaeftio inftitui folet, motus refpectiuus, quo corpora duo B et C, fpectatori in A pofito mo- veri videbuntur; litterae autem A, B, C denotent maffas horum corporum feu eorum vires attractrices abfolutas. Quodfi iam vnum horum corporum euanefceret, ha- beretur cafus duorum corporum tantum, quorum mo- tus fine vlla difficultate definiri poffet ; vnde obti- nemus illos cafus extremos , ad quas folutionem ge- neralem aeque dirigi oportet. lflas igitur extremi- tates diligentius examinari operae erit pretium , ve- rum ne difficultates nimium obruantur , motum omnium trium corporum in eodem plano fieri affü- mam , quoniam fi difficultates pro hac hypothefi effent fuperatae , reliquae ex planorum diuerfitate oriundae haud difficulter vincerentur. Problema. r. 15. Si tria corpora A, B, C fe mutuo attra- hant in ratione reciproca duplicata diftantiarum ,. at- | que INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. x6» que in eodem plano moueantur, definie motum corporum DB «et. C qualis fpectatori in corpore A pofito apparebit. Solutio. Quoniam corpus A tanquam in quiete perfi- frens confiderari debet , ex quo motus binorum re- liquorum fpectetur , ducatur in plano motus per A linea reca ^w A c ad puncta aequinoGtialia feu alia punc&a in coelo fixa, direc ; ac tempore quocun- que ab epocha quadam elapío 7 reperiantur bina re- liqua corpora in B et C ad quae ex A ducantur re&tae AB et AC. — Vocentur ergo hae diftantiae AB—2; AC-y; itemque angui 'v AB—5?; Y AC-—4,9ui longitudinem vtriusque corporis re- ferunt; tum ponatur horum angulorum differentia BAC—4-—5p-—s, eritque iuncta reta BC—Y (xx -yy—22xycof.j)—v. lam «um horum corporum maffe fint A, D, C, eaque fe mutuo attrahant in ratione reciproca duplicata diftantiarum , fequentes habebimus vires acceleratrices 2 ! follici BA vi — z; I. Corpus B follicitatur fecundu x um NR NOST UABC vi — S, « C (litamr 4 $CA vi— -. 1I. Corpus C follicitatur fecundum xi d CB vp Corpus autem A follicitatur a corporibus B et C »irbus acceleratricibus fecundum A B— zz fecundum : Tom. X1lII. Nou. Comm. Y ACZ "Tab. II. Fig. x. 175 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. ACIE y | Quare cum corpus A debeat in quiete retineri , hae vires fecundum directiones contrarias in corpora B et C fünt transferendae. — Praeter vires ergo fuperiores , fi ducamus BM et CN parallelas ipfis CA et BA, infuper has habebimus: ig BAvi— E I. Ccrpus B follicitatur fecundum ; T BMvi — — yy EM | CAvx e II. Corpus C follicitatur fecundum Pond Vires ergo quibus haec corpora coniunctim follici- tantur , funt ; CBA: viz AI Corpus B- (ollicitatar fecundum 4 B C vi — 6 iB Ns D QM XL uw Corpus C follicitatur fecundum J C B vi — 5; LC IN. vi ue Quaeftio ergo huc redit, quomodo motus corporum ab his viribus fallicitifonpmm futurus fit comparatus. Hunc in finem duc&is ad recam 'w 2 perpendiculis BP et CQ, illas vircs refoluere licet, fecundum dire . &iones fixas , quarum alterae BP et C fint ipfi v.e: parallelae, alterae vero BP et CQ ai eam normales ; ad quod noffe oportet fingularum rectarum inclinationes adaxem wa. Ac primo quidem rectae BA et CN eo INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 171 eo inclinantur angulo: V AB — v N C5; recae vero CA et BM angulo YX AC— Y MB — 4; ve- rum reca BC hl axem inclinatur angulo CBé, cuius finus eft — 959 et cofinus —*—7— €: Cum ian fit BP— m A P—xcof p; CQ—fin.4 et AQ — Jj cof. q fiet Hinc ergo corpus n (ollicitabitur fequentibus Pas acceleratr:cibus : Secundum Bb fecundum B P "za. cof f "Ih fin p "v x cof. p — ycof.q C xfin.p—yfin.q v». v Len. v -6- 55 Cof. 4 ; y i.q. Porro autem corpus C (ollicitabitur fequentibus vi- ribus acceleratricibus : Secundum C c fecundum C Q. A a- C An ER cafod ^: fin. q B ^ «cof. p— ycof.q B owJin.p —»fin.q n SES v : EECEDS "DT Rey IB'd ual. -- z5 fn. f. Ponamus breuitatis gratia has vires: cue PANEM [e zx a COIT SSP C (x fin. T S n. dcs il * G B f. - c 73 BOUE LU p co p — R ACESÉ B (x fin. 8 — 9 fin. q) "Bra coU DMETACIOTTI VET Peg i.n jp-—s Y erit- ^». 19s DE CAVTELIS CIRCA INVEST. eritque ex principiis Mechauicis tato elemento temporis d£ conf(tante : ài dd. xcof.p-4- P — 05 asdd. x Gm p-1-Q— o áp dd. y cof.q-4- Rzz05. q4dd. yfin.q- 4-5 — 0 Hinc autem: per idoneam: combinationem: elicitur z P cof.p-4-Q (in.p-4A- 4 (dd x —edp^) — o Qcof.p — P fin.p-1- ag(2 dxdp--x ddp)—o R cof. q4- S fin.q-A- 4p (ddy —y dq") —o S cof q — Rfin.q-4- 3s (247 d q-A— ddq)-— o. At ex füperioribus formulis fit : | P cof.p t Qfin.p d -- Ecnungte. Pd Qcofp —P tin. p——RÀ I Pd A-a-C B(xcof.s—») B cof. s: — AM uam Rcof.q4-S fin.q— 55 L -rc -p B x fin.s B fin. s i Scof4g—Rfimq———7w ovx vnde pro motu amborum corporum determinando fequentes quatuor aequationes prodibuntz * N-LE C (x — y cof s) € cof.s; —— I. ddx-xdf M idU(zz-- ER o II. 2dxdp-i-xddp--3dt (Us — 9 2)—o XH. ddy—ydq'A- dr (eS Or uS EE die Bx fin.s: Bjin.s ÀV. 2dydq-4-y ddq-i-idi (v — x4)—9- Coroll. INAEQVALIT. MOTVS CORF. COELEST. r73 Coroll. r. 16. Circz hae aequationes im genere id tan- &umr annotindum duco quod li prima multiplicetur per yíin.s; íecundz per DES — ycof.r tertia per —aíin.s ct quarta per (3,77. ycof 5, fumma productorum futura fit : (Qrddx—xddy )6n.sA4-xy(dq?— dp^)fin. nEEEN xxddpd 2xdxdp) THES (ayddq-i-2ydydq) — 2 ydxdpcot. s— xyddpcof.r —exdydqco(.s—xpddqcot.s — o in: ps efi "e uxd-- x ydg dx—ady) tin. s—xy(d--dq) cof. £5 dd. COoroll.. & .17. Si haec ad motum Lunae transferre veli- mus, in A terra conftituatur et D. pro fole, C ve- zo pro Luna habeatur. | Cum autem magnitudo maffae Lunae non in computum veniat, fiquidem ad perturbationem motus terrae inde oriundam hic non refpicimus , facto C—o, has habebimus aequa- tiones | A-- I. ddx—xdp'--idr. E xx —O II. 2dxdp--xddp—o 4 pro motu folis: HI. ddy-ydq4-: di (y, EHE Bo Io 'pro motu 1V. 2dydqA-yddq--idi* (587 — 55.5) —9 $Lunae. x x '" x13 Corolt. i4 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. Cotto. 18. Motüs ergo folis ex terra. apparens erit regularis feu regulis Kep/eriamis. conformis. ^ Pro Luna autem alter cafus extremus locum habebit, fi diftantiae x et v fint quafi infinities maiores quam J, fcu: Luna circa terram in minima diftantia reuol- veretur, quo cafü etiam eius motus regulis Ke/e- riaüis foret conformis, hisque aequationibus conti- neretur : III. 4dy -ydg-idr. E o IV. 2dydq-1-yddq—o qui cafüs etiam ex. generalibus formulis nafcitur, fi inaffa folis D. vt euaneíceas fpcc&tetur. Corebhus. 19. Alter autem cafus extremus obtinebitur , quo Luna veluti planeta primarius circa íolem re- volueretur , íi maffa terrae A pro nihilo habeatur; hoc igitur cafü motus Lunae ex terra fpe&tatus his aequationibus exprimeretur. Bcof. s III. -ddy -ydq'--1dp (0,2549 | P IV. 2 dydq-A-y ddq-- idi (ES 5 Ee) — C eireil: s. 20. Etfi autem hoc cafu motus Lunae fit re- gularis, tamen refolutio iftarum aequationum minus patet; INAEQVALIT. MOTVS CORP. COBLEAT.. 195 patet ; propterea quod motum ex tcrra vifum. defi* niunt, ficque inaequalitatem fecundam, vti ab Aítro- nomis vocatur, fimul inuoluuot. —Quamoorem ha- rum aequationum refolutio a pofleriori efl c^gn'ta; quae ergo fi fuerit expedita , non parum ad re'olu- tionem aequationum generabum collatura e€eíle vi- detur. Cor o1 b nit. ?1. Hoc igitur certum eft, refolutionem for- mularum generalium feu faltem earum , quae $. 17. pro motu Lunae fünt exhibitae, ità comparatam effe debere, vt tam formularum $. 18. quam formuia- rum $. r9. integrationem in fe complectatur. Il- darum fcilicet integratio oriri debet ex generali , fi ponatur B—0, harum vero fi A—o, quare vtrum- que cafüm íeorfim euoluamus. Problema 5. $2. Propofitae fint fequentes binae aequationes differentio-differentiales : A ddy —ydq'-A- idV.5;— 0 et 2dydq-i-yddq—o quarum integralia inueniri oporteat. Solutio. Poflerior aequatio per y multiplicata ob 47 .conflans ftatim praebet hoc integrale yydq—a dt. Deinde 176 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. E Deinde prima per 2dy poflerior wero per 2y44 multiplicata fummam dant: 2 dyddy-A-2ydydq -- 2yydqddq Adi. 52 — 0 cuius integrale eft: dy --yydg — 84r a-* 27. . Cum igitur fit dq. erit ETE Adi dy -p. 7,47 256 giro - ideoque sib indt UE PNE —aa) vnde fit Qosmio E ji eimi rus di— Y (65 -4- Ay — aa) et d d — »yy85y 4 Ay—aa Quo autem conftantes arbitrarias « et 6 «commodius definiamus pro y introducamus angulum $, wt fit —n c dà fin.0 y —i-uag et dy mxapg o et^ 09-puAyecan dir ereeri sey n mtd e idet (1.—7 cof. 8)* flatuatur a^z—iAc et 6ec-- Ac—aa—mnnaa, feu. 6cc-- $Ac—innAÁAc ideoque eI—J(r2nmn) mnc. e eritque $yy-- Ay-aa— s E LGET HE Y (£yy-4-À y—aa) (1-ncof. 0) aiias m fin-8 I -—Á or i LA. Quibus valoribus füb(titutis habebimus : s mecdge" 2 AUC di--uIasae VaaMEet ug 2— di ideoque per nouam variabilem 9 EE ita defini- qus. vt fit : fpe 3 1- €. - ; — "Ww NE p B. ^ l qg—f--40; J— 1 —1n Cof. 0 et dt — (ua Y A uu Coroll. INAEQVALIT. MOTV$ CORP. COELEST. 177 Coroll. r. £3. Eodem modo etiam fuperiores aequatio- nes motum folis continentes coní(truentur : A -- B ddx— xdy 4-idt'. zz —0O et 2dxdp4.xddp—o fi enim breuitatis gratia ponamus A-1- B—E erit — n AT Lm. WEE . — L0" "n 2 i p—e-4n xX— 1—7,1.c0f. Y) 3 dic eg N Eg d Cum autem vtrinque elementum temporis 4f fit idem , erit 2 2 kie d" z (— n c9f.0)* Y A e -— Exsau E. Coroll. 2. 24. Si nolimus nouam variabilem introducere, quoniam inuenimus , a4—5;AÀc et e—— 2 (1—nn), . A , erit Y (6yy-I- Ay—aa) —Y zz (—6e-4-2ey —3y M4 nnyy) A . zv z(ri--m8»-—c)(e-(x—7)y), ficque habebimus dt —EGUnna- ce 8 et d BET ERID dE D» quae formulae ita ad «ellipfin fünt accommodatae , vt ;——, denotet diffautiam apogei , et LL; diftan- tiam perigei, vnde diflantia media eft .—;; , ex- centricitas C7, et c femiparameter, Corotkl 3. 25. Simili modo pro motu folis, nullam nouam variabilem introducendo habebimus has form ulas : —xdx«w»5»a d —aàax di — — 4E (14-m)x—a)(a—(1:—m)x). mj €t P—zq«os zy (1 4 m)«-a)a-(i-m)x) Tom. X111. Nou. Comm. Z vbi .DE CAVTELIS .CIRCA INVEST. vbi fignum — praefixi ; vt motus ab apogeo com- RUEUE. vigwqui made oboe m3boX .ce 002 &ilob muon e Coroll. $ dc. eu. E 26. Sin autem nouam variabilem vtpote angu- lum introducere velimus , id etiam infnitis aliis (i veof d modis fieri poteft. Veluti. f uut y— reperiemus ;. nia»rmla er u— zu di E EEUED yt Pe "n —— (i—n c». 8)* Lt )» ; Es 15 vbi diftantia apogei eft — ^E; diflantia ^ perigei pem 1 ) — :C—J diflantia. media: — Lec ,' et excentricitas uw UU I— yy — *t-E* - tum wero femiaxis coningatus eie s S 411032 — c(i—»v) " et femiparameter Co SUE s sod ton 1 ) -— j 13 iPfoblema:(9«*(24-1)55 * 29. Si propofitae - fint fequentes aequationes differentio - differentiales : ni adea? spup 3 cof. s. ddy —ydq --idp (E2czEREn , Bos —9 — jJ 2 dydq Ay ddqdc-i di^ Her itm Ms - o 20 " exiflente ;—4—p et — | TOP? 9 ddx—axdpr AU]. ROME et 2dadp-i-sddp—o earum inregralia. inuenire. "n INAEQVALIT. MOTYS CORP. COELEST. 1:79 Solutio.: Pro relatiorie quantititum X €t p ad tempus | jam inuenimus: iU —xdxyaoa ^ —adx 41 — y (eme aya— (m) et b-incu x-aY(a-(:—T1)x) qui valoresein ipfis Vtofóhtis aequationibus fünt ad- hibendi. | Quod autem. ad has.ipías aequationes at- tinet , recordandum eft iis defignari eiusmodi mo- tum .corporis C, qui ad. punctum B. relatus. futurus .:effet. regularis. Duca. ergo. B&. axi V, s. parallela :Á ponamus aogulum. CB2 — 4, ob DC—v—V(xx- -1-)y —2xycof.f) habebimus pro hoc motu iftas ae- fpatones- ? || o—bdvs E i — — M — et d [/ gem "uy (i-o 5X6 - (irai) vy At eft Moe cya c - et coli dosi S2. Atque hinc elicitur: . quc Ert-03da-1- Od x—32xdy)fin. LESEVIC di m 5» PB OCTHCOR,yU1C6vb?D Oti3Dt- vnde nanciícimur : eid piod ido —54y) fi. p— -xy (dp -4- dq)cof.« xm dL VB. Eo igitur primo x et p deinde etiam v detur per ;, ifla aequatio xx—2xycof.$-1-yy — vv, cum hac coniuncta determinabit duas reliquas quantitates in- '"eognitas y et q. — Verum definito v per 7, ex €o primum quaeratur angulus 4— CD, quo inuento ,9b xfin.p—yfin.g—vfin.z et xcof p —y cof. q-—«cof.u : x s erit —— — X EE EE 1 — 180 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. : n, p— (in. - erit tang.4— 255-5 33 et y — V (zx-1- 002 x0 ! cof.(p—u)).' Verum inuenimus effe u—/f zc. ocio » et angulus 4 etiam facilius ex hac forma, tang.(q.— f) p Pr re erui. potefl, eritque idcirco o fin. (p —u) 0 vin. (p—u) tang. 5 — x voy. p—u) feu fin. ;— s COTOIL 5 | 28. Pro aequationibus ergo differentio - diffe- rentialibus propofitis hanc na&i fümus refolutionerm. Primo ad datum tempus £ quaerantur valores x et p per has formulas : BENELI. dxw2 qiu. i —a x ipu m VE(-43-7)x—aXa—(1-m)x) et dp— —— x ((oem)x-aja-ni-m)x): Deinde ad idem tempus colligatur valof ipfius U — per hanc formulam —vdvowvsb d! — y&G-Eiv—o6—0—129 quo inuen:o definiatur porro Vina u vt fit: —bdov du — v y((: --: 3v—B)X5—(u-v) — po vv oo Vi ;D5 vüde taadem habebitur y — Y (xx-ppv- 2 xocof.( p-u) et xfin.p —vfin.u vím.(p-1) taug.Q— 25, —,, feu tang. (q pi-ting. fee e Coroll. 29. Si igitur proponautur reíoluendae hae aequatioucs latius patentes ddy / J INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 12 ddy —ydq' A- Mir (sy A- ETE iL TEE) — o a dyd4 indicar ME) ddx— xdpf A-idr.z—o et àdxdp-i-xddp—o exiftente vy — xx--yy —2xycof.s$ et 5—q—5; fo- lutionem iam inuenimus pro binis cafibus extremis altero. quo B—o (in probl 2.) altero quo A—o (in probl. 3.). | Coroll. 5. 50. Ponamus pro cafü B—0 prodiiffe y —P et q—Q pro cafü autem A —o prodiiffe y —R — et —S, ac manifflum eft folutionem formularum Los parentium , quae fit y —T et 4 —V ita effe debere comparatam , vt pofito B—o fiat T—P et V—Q, pofito autem A—0o fat T—R et V—S, vnde iam quodammodo folutiouis generalis xn colligere licct. Coroll 4. $1. Solutio autem cafus pofterioris, quo À—o, etfi rej natura confiderata , motuque ad corpus B relato , fit facilis , tamen (i aequationes noftras dif- ferentio - differentiales fpe&emus , difücillime conftat, uemadmoedum íolutio inuenta ex iis immediate cli- cui potuetit. — Pufito enim A—o, folutio vix mi- nüs recondita videri debet , quam fi non effet Azo. ?h * 9 Coroll. 182 . DE CAVTELIS CIRCA INVEST. C'otoldL www 52. Pro motu ergo Lunae accurate determi- nando, atque adeo in geneie problemate de motu trium corporum fe mutuo attrahentium oae maximum adiumentum inde merito eft expectan- dum , vt cafus ille quo A—o, ex fola contempla- fione. formularum differentio - ictemciatidi euolua- tur. Hoc faltem eft certum , nifi hanc cafüm ex- pedire valeamus , multo magis de. folutione generali effe defperandum. "uU o rg das: ley eos 33- Dui igitur pro hoc cafu folutio , quam 4 pofleriori concinnauimus conftet , methodus tan- tum Analytica idonea et quafi "Rolite fe offerens defideratur , cuius ope eadem illa folutio a priori ipfas aequationes diffrentio - differentiales tractando erui queat. Nullum enim eft dubium , quin eadem methodus pro folutione generali. minime fucceffu fit caritura. Mean Jderkgen cvs im d "sq. Quoniam a pofteriori iam valores finitos pro quantitatibus y et q clicuimus , haud abs re erit earum differentialia quoque | contemplari 5. quorum euolutio cum laborem non parum taediofum requi- rat, ca hic apponam : dq IN AEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 183 ; e 4. q-e— vdu du(o— cof. eid es RUE UB ICE -A- xdp (toco. xoc. (bou) . edu(v—2x cof. p—u)) —vdx — xdv) fin. (5—u)—vdp(v— x c cof. (fu). $— , UE dz E S aw xv(d p — du) fin, jam. (p-:) vnde componitur : d -axdp'4-dv -.-vvdy? —adxdv cof. ( * B uw, ; —axvdjducot.( (0— m xdedpfin. ( p—u)- 2vdxdufin.( (9-1). NE E E EN Denique fi ex aequatione , qua v per 7 Pid tur, conítantes b .et i per integrationem ingreffae itepdm per differentiationem . tollantur , prodibit : diy 12824» 4 R07 79 03 quae propterea. acous i SEuibhí Mo. aue eft "n mode [9 4—21 1E UT & MAT E Scholion. Rm $5. Hae. formulae. autem , quarum ope. ifta. refolutio aequationum cafu A—o , Obtineri poffet, nimis funt com plicatae , €aruimnque imuentio ipfa ni- mis recondita, quam vt Analyfiae occurrere poffent. Quo autem inuefligatio directa eft difficilior, eo magis in eam inquirendum: videtur; quoniam... inde procul dubio infignia fubfidia ad problema | generale: expediendum merito expe&tare . licet, Cum... autem, hoc artificium , quo folutio cafus A—o, .tam, facilis. eüafit , multo latius pateat, atque ad omnes leges áttra&totlis extendatur, ex contemplatione huius ma- ioris amplitudinis fücilius fortaffe id , quod quaeri- mus, 184 . DE CAVTELIS CIRCA INVEST. mus, elici poterit; vnde idem Problema latiffimo fenfu acceptum fimili modo reíolui conueniet. Problema — 4. 36. Si corpora A et C ad corpus B attra- hantur in ratione quacunque diftantiarum ab eo, ea- que in eodem plano vtcunque mioueantur, definire motum refpectiuum , quo ambo corpora B et C fpecatori in À pofito circumferri videbuntur. Solutio. Quia omnia ad fpe&atorem in A pofitum funt referenda , ponantur , vt ante, diflantiae A B—2;. AC-—y; BC-o; et angu Y AB—5; YAC—4 . et BAC—q-p—5; vt fit v—Y (xx4yy - 2 xycot.r). Tum fit vis acceleratrix qua corpus A ad B trahi- tur — X, et ea qua corpus C ad D attrahitur — V; eritque pro puncto A quafi fixo fpecato, vis ac- celeratrix qua B follicitatur fecundum BA—X qua C follicitatur fecundum C B— V qua C follicitatur fecundum CN — X. Hinc ratiocinium fimili modo quo füpra inftituendo obtinebimus fequentes quatuor aequationes : | I. ddx—xdf'--idr'X—o. II. 2dxdp-1-xddp—o III. 22y — dq*-- idi (327. V 4- X cof. s) —o IV. 2dydq-1-yddq-i- idi. (A77. V — X fin. 5)—o. Bina- INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 185 Binarum autem priorum folutio eft in promtu , fe- cunda enim praebet xx4p—az:, ideoque dp— i3 : qui valor in prima fubditus dat: dd x—*2— --iXdPi-o,qui per 24x mulüplicatus pro 'jn- tegrali habet : 2o 4x -pc *22P -- de f Xdx—6dp vnde fit — o—rzdx 1 à T ads Tid * di— 7 raa Yir) et.dp—zyxz-aa-3JXdxy Quanquam autem nullus patet modus, quo binae pofteriores aequationes refolui queant , tamen confi- deratio , quod motus corporis C ex DB. fpe&atus fit determinabilis , earum folutionem largitur , fi; enim ponamus angulum CB£—«, ita vt fit: j . — 1 LI 1 . —./y C0J. A fin. — £2- ? Aum i cof. 555? 22 f. q z fin. 2didiin finu. ; et: tàhg. d — zai 5-aju5 J— V (x. -vv—2xv cof. (p-u)) — Wfn.p-u.. hincque tang.5— z— 7 5—3— tang.(q—2) inter v, V. et fimiles. habebuntur aequationes , at- que. inter. x, X et f, ficque. binae. pofleriores aequa- tiones aequiualebunt iftis ; ddv—wvdu' --idt*. V—o et e dvdu-i-vddu—o vnde fequentes valores integrales eliciuntur : J.— mà» . sii IosSuedeh) ac di— qgvo-yy-vojYad) » du—zyvv-Yy- "vf Y dv) quae: fimul. aequationibus III et. VI, fuperioribus fa- tisfacere funt. cenfendae. up | om. XIII. Nou. Comm, Aa Coroll. ^DE CAVTELIS CIRCA INVEST. - Coroll. 37. Si ex aequatiore iuter v et: f conftantcs à et v per difforeniationem |. toilantur , eA aequátio differentias tertii gradus: -— « vd'v-1- 3dvddv--idt'(3 PME C : quae aequatio facile quoque deducitur ex formulis: ddv— vdu'--iVdt*—o et idol e uddu—o nam. prior dat di —52*-pidp u » ideoque dif rentiando : dvdà ; vdv—vd | 2duddu—-- ES » — 2d. iL qd qui . olas rcs in altera per 2 du multiplicata 4dvdu. *aedudduco fubftituti praebent aequationem. inuentam. Coroll 2. 58. Haec quidem fünt facilia ,. fed cardo rei in hoc verfatur, vt certa affigaetur methodus, cu- ius ope inuentae formulae diffzrentiales primi ' gra- dus, immediate ex quatuor aequationibus ' primo in- ventis erui queant. ^ Atque in hoc negotio eximia Auidieon Brempue confiftere- videtur. nb .$cholion. orm 59. Cuni autem nulla adhuc pateat. via. boe praeftandi , ipfa huius def. &us commemorat o vtili- tate non cariturà videtur, qua fagacitas - Analyfta- rum incitetur Quin etiam haud alienum erit pro- Joa ALLE "lema INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 187 .blema de tribus corporibus fe mutuo attrahentibus . in fenfu latiffimo 'euoluere , . vt attra&io legem |. di- ftantiarum quamcunque íequatur , faepe numcro enim calculi compendia et artificia in problemati- bus generalioribus facilias" inueniuntur , quam in fpecialioribus , quoniam ipía limitatio non raro im- pedit, quominus ratio artificiorum , quae adhiberi queant, perfpiciatur. edo To: v Rróblefha/ g, -40. Si tria corpora A, B, C fe mutuo attra- hant in ratione quacunque . diftantiarum , eorumque motus in eodem fiat plano , determinare motum re- fpeciuum, quo corpora B et C fpectatori in A po- fito circumferri videbuntur. Solutio. . Quia hic corporum a&io. mutua fpe&ari de- bet, eorum maffie in computum . funt ducendae. Sint igitur vires acceleratrices , quibus corpus A vrgetur ad B—BX, et ad C—CY, quae in reli- qua corpora translatae füppeditabunt cum iis, quibus ea acu follicitantur fequentes vires acceleratrices : , (— f BA vic(A--B)X .Corpus B follicitatur fecundum 4 B2 vi — C V C LER d hn 7^ BMvi— CY -MO hs Aa 2 Corpus 188 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. CA vi—(A--C)Y Corpus C follicitatur fecundum E vi— BV CNvi— BX vbi X, Y et V fünt eae diftantarum A B— x; AC-—y et BC—» funciones , quibus vires attra- €iuae praeter maífas funt proportionales. Hinc igi- tur pro motu corporum fequentes aequationes col- ligentur. : : L. ddx-xdj' -t-idr ((A-4-B)X-A- 57279) V e CYcof.s)-o IL edxdp--xddp-idr(CY fin.S— 27—V)—o - IH. ddy-ydq -dr(A4-C)Y 4-B 9577 VL BXcof.s)-o IV. 2dydq-i-yddq-- di (E N —BX fin.5)—0 vbi eft 2, vv—xx--yy—2xycofs et 5—g—f. Verum praeter has aequationes aliae exhiberi pof- funt motum pariter in fe continentes , quae oriun- tur , fi motus corporum A et C relatiuus, quales fpecatori in B pofito cerneretur, fimili modo euol- vatur. /Pófito autem angulo CB5—» vt fit | SHwp—yfm4 (e cof, , — ESL pera fn.u— obtinebuntur hae aequationes : ddv-sidu'- di (B C) - 52:029 y. A X cof (5-4))-0 addu vddu-A- P (AXfin. (p—4)- 5 —2—? Y )—o ddx INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 189 dic -ndp dr (A4 B)Xa- Grey. 1-CVeof( $2u)-o adxdp--xddp4-idr (7 P2—9 y — CV fin. (p74) —0 quae duae poftremae cum füperiorüm I et IT conue- niunt ob. — fin. ;— v fin. (5—u) et ycof.5—x — vcof. (p— v). Quanquam ergo motus corporum per quatuor ae- quationes tantum determinatur , iis tamen duae hic inuentae Commode 'adiungüntur , quippe quae non parum ad folutionem idoneam inueniendam conferte poffe videntur; ficque habebimus fex fequentes ae- quationes, quarum autem quaeque T iproble- mati foluendo fufficiunt. : L ddv-xdp-idr((A4-B) X-- E99CN. 1 CYcof.i-o Il. 2dxdf--xddp--idr (CY fin. — 7-. CVfin.s) —0 III. 2j 4g 4r ((A--C)Y 4 BV--BX cot.:)-o IV. 2dydq-yddq--i dr (7-. BV fin.s—BX fin.s)—0 V. ddv-vdu*A- idi (B--C)V 4 E2PP AX 4-77 A Y)-o VI. 2dvduAvddu idt? (2-AX fin.s —7-AY fin: je. Coroll r. kr. Praeterquam quod eft $—9-p, circa has quantitates notari meretur effe vv—xx43y-—22ycof.r, tum vero vfin.u—xfin.p—yfin.g et vcof.-u—xcof. f —Jycof.4; vbi anguli. 4 €etu inclinationes recta- rum AB, AC et' BC ad rectam fixam Y & denotant. T Aag Porro LI .190.; DE CAVTELIS CIRCA INVEST. Porro autem. eft x : y : v—fin.(g—u) : fin(p-u):ün.y fiue is oc | " | BL EIE ES eub eit xy cof. sr vco.(p-u); v—xcof.(p-u)—y cof (g-u); et | | J —xcof. s — v cof. (g — u). / b . Coroll. D. a His lirdvosmidi d diuerfis modis 'combi- nandis. aliae. non. incongruae. formari. poffunt ;; impri- mis autem duae funt notandae combinationes ,- quae ad iaceo dre o»deducunt. :. Prima: oritur IL£:-c1V. 2, vp 268p pdt qpasmen NOCET E oou d 2vdvdu-rvvddu C B Rab EE. quae integrata dat: «xd y5da vvdu, vt rg m Mira - Coroll, d 45. In altera . omnes (cx coniunguntur - hoc modo : 2d 2 à 2 OEOS-dE NI LIV Se vi S vnde emergit: | | adx ddx--s xàxdp*-p:xxdpddp ur: 2d»yddy-4- 2d ydq" 1-2 yydgddq C : B — adoddro 4 rvd'vdu?-Evpduddu EU TUN INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 19: (4 SEP 4-295 Vy. LY Zycof 74-Y xdpfin r- s Vapfin. 5] di SES Y dy 4-075" dy 4 X dycot.s- X ydgfin 5-22" ddfin.sl—o | -- ES ao EE Per EHOINS 7 Y do--Xydufin.s- Y xdufin. At Lit Coroll. 4e — L— d p Iam vero ett x PM 2e bg hos in Ki et. mE dva fagi d- Tar: V^ 14-dy cii Og ain — ud: dv 4- dx cof. ái; KM — du, fin. rmdy vnde integrando elicitur: | MI xeridpt ECAE PUEROS: Ec. .-00. DAGAEIUT RT a e 2M i-e s Jdxdx f . dy: jYdv p 7 (A4 Bc ur (Bg ac Petr e amo . quae aequatio principium lio uteaelslioqis virium'. yi- varum in ie Pei see d 4 | Coroll. s. .— 45. Patet hinc. QR S fint vtilitatis binae aequationes potiremae* V ét Vl, 'etiamfi in." reliquis . iam contineantur. ^ Si enim fit A-—o, aequationes quatuor priores. nullam idoneam determinationem fuppeditant; 'ex illis autem facillime ad dátüm quod- vis tempus tam diftantia v quam. angulus z affignan- tur. Atque hinc merito éooclud're videor , in in- yeftieatione perturbationis mo:us. planetarum ab his poíftréemis aequationibus non exiguum fru&um iure eui fpera- Tab. II. Fig. 2. :93 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. fperari poffe, qui iis negleQis vix ac ne vix qui- dem obiineri queat. Scholion. 46. Quoniam igitur vidimus , motum lunae , fi. terrae. effet valde vicina nullo labore definiri poffe, dum is ad terram. referatur , fin autem luna multo magis a terra di(taret , vt planetis principa- libus effet accenfenda , tum eius motum ad íolem referri conuenire; hinc concludendum videtur. pro cafü , quo lunae motus vtriusque naturae eft parti- ceps, quemadmodum re vera víü venit, tum eum forte facillime definitum iri fi neque ad folem ne- que ad terram , fed ad aliud quodpiam punctum medium. certa ratione motum referatur. — Hunc in finem. fequens. problema adiicio , in quo generatim motum corporis ad datum, pun&um relatum ad aliud punctum vtcunque motum referre docebo. Problema 46. 47. Motum corporis C ad punctum A rcela- tum , ad. aliud pünctum O, quod refpectu puncti A ytcunque moueatur, ita referre, vt is qualis fpe- &atori in Q conftituto fit appariturus , definiatur. Solutio. Pofitá diflantia AC-—y et angulo *AC—4, binae habentur aequationes difKrentio - differentiales , quibus INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 193 quibus ad quoduis tempus 7? valores y et 4 defi- fiiuntüt , hasque ^ siftatiotid ita comparatas ^ effe vidimus : à Hs 3 2 dy dq 1 ddq-A- Mdr—o et ddy AEN | quas obferuo ex his formis effe natas: dd.yceof.q-4- di^ (Ncof q—Mffin.g) o. — dd. yfin.q-4- dt^ (N in.g-- M cog) — 6. - Iam pro motu punci O ftatuamus diftantiam AO-m s. angulum 'Y AO — 75 pro dato fcilicet tempore f, atque vt motum corporis C ad hoc punctum re- feramus , vocemus diftantam OC—s et angulum YOC-u. Cum igitur fit ycof.g —cof.n-- zcof. a et yfiu.q— qün.z--zfincw, his valoribus ibi fubfti- tutis habebimus : has duas aequationes. - : A-(ddm--mdn' cof ti-(2dmdn--mddn)Gn.n-dt*(Ncof. £-Nts. qo -F(dda—zdur cofw-— (2 dzdtu-1-&ddt)fin.ww Is. -(ddin-mdir in. n-H(2dmdn--mddn)cot.n--dt*(NGn.q--Mcof 4)-0 "(dass - zd »Jün. w-r(2dzdw-4- &ddw)cof av vnde :combinatio I. cof. «»-4- 1L. fin.av. praebet ddz—zdur A-(ddn -mdn' )cof.(w-n)--(2.dmdn--madn)fin.(sv-m) dt? (Ncof. (w9)-1- Mfin; (2-4); Jae . haec. vero combinatio II. cof. ay — I. fin.ev dat: — edzdw-4-zddw-(ddmn—mdn*)n Mmi onibenta cof (wt) eec ov o dr( Mofa q )- —Nfin. go pepnaco di j TOT Á ^^"Tom. XIII. Nou. Comm, Bb ficque 194 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. ficque pro corporis C motu quaefito. refpectu . pun- &i O ad quoduis tempus, 7 his. binis. aequationibus tam diflantba OC—z quam angulus Y O C — y de- finitur. Tum vero quia nunc elementa AC —y et Y AC—4 ex calculo elidi debent , in Egan A. CO notandum , effe angulos: AOV—w-n; OAC—4-z4; et ACO—v-4; hincque yy—mu --z z-4- 2 mz cof; (w-n) atque m fin. (w — n) tang. Gv —g)— —C z4-m cof. (&9 — ni) vnde colligitur : mjin. Dem z-imcof.(uw-n) J fimili modo ob tang.(g-5)— 5 eor is s) erit fin. (g- 0) — P Sm et cof. (q- - nyc ei) LO SE WENM . 48. Cum ergo ante ad quoduis tempus. t. de- finiri debuerint quantitates y et 4, nunc motus co- gnitio perducta eft ad determinationem quantitatum z et w, vbi quantitates z; et 7 arbitrio noflro re- linquuntur. fin: (u-4)— et cof. (ap - 9) — Coroll 2. 49. Totum igitur negotium eo reuocatur , quemadmodum quantitates 77 et 7 pro quouis tem- pore 7 affümi oporteat , vt inueftigatio quantitatum Z et w facillima reddatur. His enim inuentis quan- : . titates - INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 195 titates y et 4, motum corporis C ex A vifum de- clarantes , inde facile colliguntur. Scholion. ^50. Operae igitur pretium erit hanc metho- dum ad motum lunae accommodare , vt pateat , an quicquam lucri inde expectari queat? Facile. autem intelligitur.punctum O in ipfa rea AD centra ío- lis et terrae iungente affumi conuenire , quia alio- —. quin nimis magna linearum et angulorum .multitu- do calenlum non mediocriter perturbaret. ^ Pofitis ergo vt fupra trium corporum maflis A, D, C, di- ftantis AB—»x, AC—y, BC—», quarum functio- nes X, Y et V rationem virium. in his diflantiis exertarum .exprimant, et angulis v AB—? v AC—2, BAC-—4—5—;, vt fit v— Y (x x--5y — 2 xycof. x) in fequente problemate in motum corporis C, quemadmodum ípectatori in O pofito. fit apparitu- rus, inquiram ; vbi quidem vocata diftantia. AO—z, angulus ACO-—7 ipfi Y A B — aequalis eft fta- tuendus — Problema 7, 5*. Dum terna corpora A, B, C fe mutuo in ratione quacunque diftantiarum. attrahunt , mo- tum corporis C refpectu puncti O perpetuo in recta AB vtcunque affumto , definire. T i fes Bb2 Solutio. :96 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. Solutio.- iid Primum ergo tam diftaniam AC-—y quam angulum Y A C — 4 ex calculo eliminari oportet ; per noua elementa OC-—2 et wOC—*w ob pun- &um O introducta ; vbi quidem vidimus ob. /7— f, et q—nzzq—p-—s effe; Jy —mm-i2z-4- amico (w--p) « et fin (o4) — P, ep (uj q) c tT B -fin. 2S «(y —f) cath Tops (9—p) 5 ] Porro cum fit "oc z, OB—x-m et tBOC— à erit BC—ov-—Y((x—my d-zs—s(x—m)scof (wp) x—ycs &— m -—ifaice[; C tm weto ov - - «3 Y X n»n Jy—ux cof, ; 220085 mec) —— ——— CR mft His fubftitutis primo pro elementis x et p has ha- bebimus aequationes ; dispu dong (A-- B)Xdr'4-i Cur (sigla cy Y AUTECNS Tnm (w— D) Y)— ig o adxdp--xddpA Cd (PP y — 3A Hor Deinde cum in problemate praecedente pofuerimus: .. ddy —ydq--4- Nd — o. et iid vad 1 Maro erit comparatione facta : om NzdA4C)Y34 —€—— —Á estu p y] M —iB(RLB y tL) Bio. fupereft INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 197 füpereft ergo vt colligamus hinc iftos valores: Primo N cor (u.-) 4^ M fià. (up) — Nene iret — ceo pon P y 4-1 B(s—(x— ni) cof (v —p)r * 4-i Bcof.(w— 9). X deinde ... nm 2)— Nfin.(w —)— oem AXOn SCC Y 1rpG-m)Gn (w-p). ; -: Bn (w-p).-X oci: d motu corporis C, quatenus ad pun- ' &um O refrtur et variabilibus z. et «v definitur, has adipifcimur aequationes : , ddz-zdur A (ddim-mdp? cot. (sp) 2dmdpA-mddp)fin (wp) 2^-i(A4-C)4r (a «i m eot. (v —B)x- — 4Batr(a-Gi-m)cof. (w-)). ;--4-:Bat'cof.(w-5).X—o L adadu -i-sddu—(ddm— —1ndp^)in.(w -9) -41- (2 dm dp a -4-mddp)cof. (zv - p) -x A--C)dr.m fin. (m5). 5-3 Bdt". (x-m)fin.(w—). — ;Bdt' fin.(w w—p).X- o. .Coroll. i: "- m Si diana AO0-m perpetuo datam teneat rationem ad diftantam A B—x vt fit In—ax, erit : jgy—aaxx--zz-p- 2axzcof.(w-p) eto vv-—(x -ayxx--22-2(1-a)xzcof. (w-) - ad; Db 3 vnde M (z-4-mof.(au—))—Nm fin.(w—p) BOSpT-U TR REESE TT :98 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. ^! —— | vnde patet exiftrente a—20, fore y—2, fin autem fit &-—1, effe v—2z, quemadmodum quidem per fe eft manifeftum. Coroll 2. 553. Sumto autem z—ax erit ddm-mdp —a(ddx—xdp') ideoque dáni-mdy — La (A--B)Xdt -3oC (ax-i- cot (u-5)) Edr* — ia C((1-a)x-z cof. (a-p) dt* et 2dmdp-- mddp—- a Czfin.(w-p).; X dr Lia Cain. (w-p). dr" qui valores in. Ó csi fubftituti praebent IE dda-zdw' 4 ((1-4)B-&.A )cof.(w w-p).Xda-- 426 PI ined -— | -(B-4-aC)Y(a-(1-a)xcof.(sv-p)).; TT E) e dadw--sddw-i(1-&)B-o.A)fin.(w-p). Nds xX(-2)C--AJaxfin. (zv pP Yd c iX MR eu: EO i Qiroli 9. 54. Nunc ergo effet videndum , vtrum nu- mero « eiusmodi valor tribui poffet, vt harum aequationum refolutio facilior euaderet , quam cafi- bus a—o0 et a—1, vnde vulgo motus kinae inue- fügari folet. | Scho- INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 199 Scholion r. . $5. Quanquam de commodis quae hinc forte fperare licet , nihil adhuc pronuaciare licet, tamen ;ex his formulis cafus maxime memorabilis deduci poteft, quem iam alia occafione euolui. "Certum fcilicet eft lunae initio eiusmodi fitum et motum intra terram A et folem B tribui potuiffe, vt per- petuo in eadem directione a terra ad folem porrecta fuiffit permanfura , ideoque foli iugiter coniuncta . apparitura. Ad hunc cafum inueftigandum , Capia- mus puncum O in ipfo illo lunae loco, ita vt fit z2—:0, ideoque y—ax et v—(r —2a)x atque | ambae noftrae aequationes inuentae in hanc vnam coalefcunt ((z-«)B-aA)X-rà((1-a)C4- A)v 4 1-aXB--aC).1—o. Vnde fi ponamus X—3^, Y—y^ et V—4^, vt 5 fae genio ee dy PO EE SE Gary rg cix haec aequatio in iflam abit formam : ((1—4) B—2A--e^((1—2) C-21-A)— "ue HraC)-o fcu . A (a^—a)-B(( x-a.)^-( 1 -a))4-C(a eX 1-a)- -a(1-a ^ —o vel eA 773) Gea] spec -(i-aj-)-o . vnde ex data maffarum A, B, C ratione valor fra-. tionis a elici, ficque loca illa lunae , quibus foli perpetuo maneret coniuncta definiri poffunt; vbi quidem perfpicuum eft fi efft A— 1 , hoc vbique víu venire poffe. "Die. (3: . Scholion . ( A4-B)? $00 DE CAVTELIS CIRCA INVEST. Scholion 2. 56. Haec fpeculatio accuratiorem | éuolut.onem meretur , et quia attractio rationem reciprocam du- plicatam diftantiarum fequitur , folito A--—2, ha- bebimus : | A(1 ma) B(r—(:—4)) ,.C((—m9'—2a9) —— &à- 6m a —aP o9 fea UN A(1-a)'(1-«)-Baa(3a-322--2"H-C(1- 3a4-3aa- 2a eo. quae fecundum fpoteítates ipfius « difpofita praebet (A-4-B)a* —(sA-r3Bja *--(A--3B--2 C) — (A-1-3C)a* TOM rM vbi fi ftatuamus a— fit -(A-B)r-2(A4-B)é419(A- Bactey Aia eo 4-8€C€ | -L 24.C ita vt valor fra&dionis & a refolutione huius aequa- tionis quinti gradus pendeat. ^ Quodfi bina rods A et B inter fe effent aequalia foret Au—2Aw--17AÀu-o himgcque vel u—0o et uc J-4C --12C A—2C--4(4CC —:16 AC — 16 ÀA A) VO cg — —Hur t I———Uu vnde reliqui pro y valores fiunt imaginari. Sin autem. B repraefentet folem , vt fit quaü B e. quia tum a« fit minimum proxime erit (4-i-3B *(A4-C) —— —- et accuratius. Y(A--3B4-2C) VP ALES | Sra C]B- -Q5A--6Cy "— YUerSBR2C) | 9(A43B4-3C)V (A4 CJ A--3B4-2C)' Scholion 3C -A-Czo feu e — INAEQVALIT. MOTVS CORP. COELEST. 2ox Scholion. 5: 57. Iumabit forfitan ipfi & hunc valorem in- genere tribuiffe, ita vt pofito X—z;, SERES, et ime eei (r-a)B-a4A— (TE a t S quidem eum in lunae motum inquirere VA. d ad cafum iftum memorabilem proxime accederet, ita yt diflantia z |i ein maneret minima. Quia enim SINE AÁ z z: cof. ("v - p) 1 I tum jpoxane Üt :Qqwm Batut s CUu poat "UU ! , -L Le. binae aequationes motum exprimentes ad has formas reducuntur: — by A I— "da o uduf ARP qp Eg al ttg (1a) zin. — À' cof. (nu) B--4C QAO aC adadw--sddw4- EC EUH -P qq: (ERSTES — quae fi motus folis pro vniformi et diftantia x. pro conftanti habeatur , ita repraefentari poterunt : —^dda—zdu'--yzdp(r—scot(w—py)j—o ^— .o2dzduw- zddw- 3 yzdy'fin.(w (wv —p) cof. («v ^p) — o quae. aequationes , cum Z vnam dimenfionem non £xcedat pro fimplicioribus funt habendae. | IN- sS n. .. Tom. XII. Nou.Comm.- 202 «8 ) o ( $e INVESTIGATIO ACCVRATIOR PHAENOMENORVM -QVAE IN MOTV TERRAE DIVRNO A VIRIBVS COELESTIBVS PRODVCI POSSVNT. Auctore L. EV LER O. — Mm terrae diurnum a viribus Solis et Lunae ita affici vt inde aequinoxiorum praeceffio et axis terreftris nutatio exoriatur Neuromus iam erat fufpicatus , ^ Acutiff. vero A/emberrus dilucide | de- monftrauit. Quod fpecimen fagacitatis humanae eo pluris eft aeftimandum , quod illo tempore fübfidia dynamica , quibus haec inue(tigatio innititur , neuti- quam adhuc fatis erant euoluta , ex quo fümmas et grauiffimas calculi difficultates füperari erát neceffe. Principium autem harum perturbationum in eo eft fitum , quod telluris corpus a figura fphaerica rece- dit, ac diameter aequatoris aliquantum füperat axis quantitatem ; quodfi enim eius figura perfecte effet fphaerica, motus vertiginis ipfi feme] impreffus per- petuo eadem celeritate continuaretur , axisque eandem directionem couferuaret ; neque vires externae vllam immutationem in hoc motu efficere valerent. Sta- fim autem ac terrae figura a fphaerica difcrepat , ex DE PHAEN. MOT. TERRAE DIVRNI etc. 203 ex viribus Solis ac Lunae nafcitur momentum ad axem de fitu fuo deturbandum tendens , quatenus quidem hae vires oblique in axem agunt. | Quo- circa in hac inueftigatione , poftquam vera terrae figura effet conftituta , ex lege attractionis vires So- lis et Lunae fingula terrae elementa follicitantes de- finiri, indeque momenta pofitionem axis afficientia colligi oportuit; tum vero fümma adhuc difficultas jn effe&u determinando refidebat , quem. illa virium momenta iu, fitum axis exerere debeant, quod fine profundiffima cum Dynamicae tum Analyfeos fcien- tia nullo modo praeftari poterat. Cum autem non ita pridem haec dyramicae .pars maxime abílrufi, quae in motu corporum gy- ratorio circa axem mobilem definiendo eft occupata, a me fit fatis profpero fucceffü ita pertra&ata , vt - ja genere corporum quacunque figura praeditoruin motus dum a viribus quibuscunque follicitantur , ad formulas analyticas fatis fimplices reduci queat; haud incongruum fore arbitror , fi ope huius methodi omnes inaequalitates , quibus motus terrae diurpnus perturbatuf , ita accuratius determinauero , vt non folum vérus motus, quo terra cietur , inde inno- tefcat , fed etiam inde aliorum motuum , qui in terram cadere potuiffent, fiquidem initio aliter fuis- fet impulía , indolem perfpicere liceat. ^ Quae igitur de hoc argumento füm meditatus , fequentibus pro- pofitionibus fum complexurus. Cc 2 ! É 404 DE PHARN. MOTVS TERRAE DIVRNI F.-Quacunque/ figura! terra fit priedita ad prae- fens inftitutum ^nón "opus "eft^ veram 'compofitionis ritíónem ; qua fingulae partes inter fe funt diflribu- -t1e-et ordinatae j, noffe ; verum fufficit Vt ex prir- cipiis, quae circa motüm. corporum rigidorüm im genere ftabiliui ,^ terni axes principales fe mutuo in centro grauitatis feu potius inertiae normaliter decus- -fahtes./ notetur, momentaque iüertiae refpectu ^ fin- ;gulorum: explorata. habeantur. ^ Hinc pofita terrae ^maffa tota — M, fi ex centro inertiae I educti fint -axes principales IA, ED, IC, eorum refpectu mo- menta inertiae his formulis Maa, Mbb, Mec defi- gnabo. .His enim tribus momentis inertiae yniuerfa internae. ftructurae ratio ,. quatenus quidem inde notus determinatio pendet , continetur, ita vt iam taediofiffimis illis calculis , quos alias 2n et. ftru- &ura terrae exigere folet , fuperíedere queamus. IL Quodfi haec. tria momenta inertiae. inter fe effent aequalia , omnes plane axes per centrum terrae ducti pari gauderent proprietate ,, omnesque aeque pro principalibus haberi poffent , ita wt ter- .2,. circa quemcunque axem initio gyrari. coepiffet. , hunc motum perpetuo fine vlla. axis et celeritatis alteratione effet. profecutura , neque etiam a viribus peregrinis vlfa perturbatio effet pertimefcenda. | Per- inde fcilicet terra fe effet habitura , ac fi eius figura pirfe&e effet fphaerica , omnisque materia .aequabi- SET) circa centrum diftributa ; vbi imprimis eft no- " tandum -oX A VIRIB. COELEST. PRODVCT. | og tandum lianc infignem ^ proprietatem etiam in figuras maxime irregulares competere pofle ,, dummodo ter- na illa momenta inertiae. füeriot inter'íe aequalia, hoc ;autem in fguris maxime irregularibus euenire poffe minime dubitare licet. III. .Eatenus ergo tantum motus tertae diur- nus perturbationes pati poteft, quatenus terna eius momenta inertiae. principalia inter fe non funt |ae- qualia. Verum etiamfi terra initio fuiffet fphaerica ftatim atque circa certum axem gyjrari cocpiflet , ob fluiditatem circa aequatorem. .intumefcere debuiffgt , vnde refpectu axis gyrationis momentum inertiae in- crementum accepiffet. — In hoc autem negotio flui- . ditatis rationem minime habere licet , cum principia dynamica neutiquam adhuc ad hunc fcopum fint euoluta; ob quem defectum vtique cogimur térram tanquam corpus folidum fpecare , cuius figura nul- lis viribus follicitantibus cedere queat. ^ Quamobrem quae de eius motu diurno fum traditurus , ita funt accipienda , vt ob matris mobDilitatem , qua actioni virium quodammodo obfequitur , n correctio- nem admittere intelligantur. IV. Terram igitur tanquam eiusmodi corpus .folidum confidero , cuius trium axium principalium vnus puta IA cum. eius axe proprie fic dicto , qui. jab. altero. polo ad alterum per centrum porrigitur -conueniat , et cuius refpecu momentum inertiae fit —4Maa. X Bini ergo reliqui axes principales in Buiur (063 ipfum 206 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI ipfum aequatorem cadent, et quoniam omnium ime- ridianorum par effe ratio videtur , momenta iner- tiae eorum refpectu tanquam inter fe aequalia fpe- Cari poterunt, ita vt fit cc— b. Hoc autem ad. miffo omnes diametri aequatoris axium principalium proprietate aeque erunt praediti ita vt terra circa vnumquemque eorum libere gyrari poffet. ^ Vnde cum puncta B et C in aequatore pro lubitu accipi queant, dum 90? a fe inuicem diftent , alterum B in eo meridiano, qui pro primo habetur , affumere licebit; ita in fuperficie terrae arcus AB primum meridianorum defignabit. V. Quoniam motus terrae diurnus potiíhmum ab eo motu qui terrae initio fuerit impreffus, pen- det , quanta varietas inde proficifdi potuerit , ante omnia perpendi conueniet , ac primo quidem men- tem ab actione Solis et Lunae abftrahendo. — Jam fatis perfpicuum eft fi terrae in rerum principio motus £gyratorius vel circa axem vel quempiam diametrum aequatoris fuiffet impreffüs, hunc mo- tum ita perpetuo vniformiter duraturum fuiffe, vt axis gyrationis conftanter idem coeli punctum re- fpexiffet. ^ Sin autem terra circa aliam quamcunque lineam per centrum tranfeuntem gyrari coepiflet , tum motus quidem gyratorius vniformis manfiffet , fed ipfe axis gyratorius interea circa quodpiam coeli puncum per circulum quendam minorem vnifor- miter fuiffet circumlatus , quemadmodum alibi de huius- A VIRIB. COELEST. PRODVCT. scs liuiusmodi corporibus, quae moimentorum inertiae principalium bina habent inter íe aeqmlia, fufius demoníltraui et hic nouo modo fum demouftraturus, VI. Statim autem ac vires perturbatr'ccs. fiue Solis fiue Lunae accedunt , vtrunique motus genus ita afficitur , vt vel gyrationis celeritas immutetur , vel axis , circa quem terra gyratur motu magis ir- regulari feratur. — Ad hanc perturbationem inuefti- gandam quaeftionem latiori fenfu acceptam tractari conuenit, vt íolutio etiam ad «eos cafüs pateat, quibus forte terrae ab initio motus circa axem a principalibus diuerfüm fuerit impreffus. (Cum enim 3 viribus follicitantibus axis gyrationis de fitu (uo deturbetur , omnino neceffe eft, vt etiamfi hae vi- res abeffent gyratio circa axem mobilem definiri queat. | Tum vero etiam ad fcientiae. incrementum noa parum conducere videtur, fi etiam indolem eorum motuum , qui in terram cadere poffent , etiamfi re vera in ea non in(int affignare valeamus. Quocirca formulas generales ita fum inftructurus , vt etiam ad cafüm quo bina momenta inertiae prin- cipalia non forent aequalia accommodari queant. VII. Cum ob vires perturbatrices omnia phaeno- T:b. II. mena ad coelum immotum referri oporteat, fit cir- Fi&- 3 culus v 42 :— ecliptica , et E eius polus; et quo inueftigatio aeque ad lunam ac folem pateat, fit O4 R orbita aftri perturbantis eclipticam fecans in nodo afcendente $9, et nunc quidem hoc aftrum hae- 208 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI haereat in S, per quod punctum ducto latitudinis circulo ESQ erit v Q longitudo et Q'S latitudo aftri , tum vero Y 4) longitudo nodi. Ponamus er-. go haec elementa 'Y 42 — o, ang. 'Y 4) O — e, arcus 4$ Q-qycE5-—)5 atque ex trigonometria conftat fore cotang. — tang.e fin.(g—«). Haec proprie ad lunam fünt accommo- data, pro fole autem inclinatio feu angulus Y (9 O- € euanefcens eft fumendus , et ob latitudinem nullam - arcus ES—p conftanter manet 90". VIII. Pro actionis autem , quam aftrum S in terram exerit, quantitate, fit v eius diflantia a- centro terrae at e ea diftantia in qua aítri vis .at- tracrix ipfi grauitati naturali eft aequalis ita vt eius vis centrum terrae follicitans fit ad grauitatem . Vt 55 ad rz. Porro autem fit g altitudo, ex. qua £rauia in terrae fuperficie libere delabuntur tempore: vnius minuti fecundi , quibus pofitis quantitas actio«: nis aftri in terram hac formula 757 -continetür ,* quam breuitatis gratia littera V — *57^ denotabo; Vbi obferuandum eft fi corpus ab aftro attractum ad diftantiam — v in circulo reuoluerctur, id fin- -gulis. minutis fecundis. angulum effe percürftürum , qui fit — Y —«:— Y V.. Ex quo fi aftrum' fit fol Y V denotat motum terrae medium vni minuto fecundo conuenientem ; fin autem aflrum fuerit lu- na, ac mafíla lunae aequalis ftatuatur maffae telluris, fore Y V. motum medium: lunae. vni minuto fecun do A VIRIB. COELEST. PRODVCI. — 209 do conuenientem. — Quoties autem mafía lunae mi- nor fuerit mafífi terrae , motum illum medium in ratione fubduplicata diminui oportet; vnde ex cogni- to motu medio valor litterae V facile definitur. IX. His praemiffis teneat iam elapfo tempore ; in minutis fecundis exprimendo terra fitum in figura repraefentatum , vt axis eius feu polus bo- reus fit in A, primus meridianus AB, et BC qua- drans aequatoris, vbi B et C fpectantur tanquam bini reliqui axes principales terrae, ^ Ponantur ergo arcus et anguli ftatum terrae definientes : 1*. Diftantia poli A a polo eclipticae E feu EA-/ 2^. Longitudo poli A feu angulus vEA-—w 3*. Situs primi meridiani feu angulus EA B— (. Hincque colligantur fequentes arcus: Bcc. nu W esc qui per trigonometriam fphaericam ita definiuntur vt fit: | cof. 4 — fin. p(fin. cof (q— v) 4- tang. ecof: /fin.(g — «)) cof. «— fin. e(— fin.(D fin.(g—)—cof./cof.(pcof.(g—p) -- tans. e fin./cof. D fin. (g — «)) cof. (— fin. p (—cof. (p fin. (g—/) 4 cof. fin. cof.(4j—V) — tang.e fin /fin. D fin. (2— o)) vbi notetur fore cof.£*-1- cof. 4^ -4- cof. 0' — rz. Tom. XIII. Nou. Comm. Dd A. ero. DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI X. Nunc cum refpectu ternorum axium prin- cipalium A, B, C momenta inertiae terrae fint Maa, Mbb, Mec quacrantur primo tres quantita- tes X, y, 2 ex his aequationibus : dx A-5522 di ( y &— 3 V cof. cof. 0) —0o d y--— 5 dt(xz— 3 V cof. £cof. 0) — 0o bb-— : dz--—L—— di(xy—8Vcof.cof «)—o tum vero rcbqua elementa fitum terrae determinaus tia ex his aequationibus colligi oportet : d] —-—di(yfin.(-4- zcof QD) T . dt(ycof. O — 2) duree: in. Q) yu Ap PI ;) jr Seo jam. WV quarum aequationum ratio ex iis, quae de motu corporum gyratorio circa axem wiobilctii alibi tra- didi, haud difficulter deducitur. XI. Quoniam vero momenta inertiae pro axi- bus B et C aequalia flatuimus vt fit cc— bb , pri- mo quidem ob dx--o habebimus x— f quant tati ncmpe conftanti ; tum vero ponendo breuitatis gra- tia ^^ — a feu 5;— 1-1-4 , quinque fequentes aequationcs refolui oportet : dy--adi( fa— 3 V cof. cof. 0) —o dz —adt(.f y—3V cof.cof w)—o d | —- di (fin. D -1- 3 cof. p) A VIRIB. COELEST. PRODVCT. oir i iu , df(ycof. Q— z fin.) do-f4r — Jiu. o dt ( ycof. — z fin. Q) ! A Wed mmy ex quibus binis pofterioribus eliminatis J et 5 'colli- gitur d -- d Np cot. —f4t ita vt formula 4(p-1-dxpcof./ fit temporis elemento. proportionalis. | |: XIL. Quo nunc has aequationes diftinctius euoluam , a fimplicioribus ad difficiliora ita ordine afcendam , vt primo vires perturbatrices tanquam euanefcentes fpectans motum terrae diurnum ,' quo- modo tum fe effet babiturus , definiam, deinde aftrum perturbans in ipfa ecliptica motu vniformi circa terram reuolui affümam , vt eandem perpetuo fer- "vet diftantiam v, et V fit quantitas conftans — De- inde aftrum etiam vniformiter ad diítantiam con- flantem. fed in orbita ad eclipticam parumper .incli- nata circumferri ponam. — Denique vero aftro mo- tum inaequabilem fecundum leges Kepieriamas tri- buam , orbitam vwero eius in ipíam eclipticam inci- dentem confiderabo; qui bini pofleriores effectus coniunci ad motum lunae verum accommodari poffunt. | — NOR E I Euolutio cafus, quo vires perturbatrices euanefcunt. XIII. Pofito ergo pro hoc cafu V — 0, binae Ere aequationes fiunt : m 30213: Dd d y ex2 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI dy--afzdi—o et dz—afydt—o vnde colligitur ydy--zdz—o0, et yy-zz-—bb, ad quam aequationem cum reliquis coramodiffime confirrendam , notari conuenit , in coelo dari pun- &um fixum L, circa quod polus A vniformiter gy- retur, dum interea terra circa hunc polum etiam vniformiter reuoluitur. ^ Hoc ergo punctum L in calculum introducentes ponamus: TYEL-—y, EL—, LA—nz, exiftente EA—7 tum vero etiam angulos in triangulo fphaerico EAL ELA-23, EAL—yk et AEL—v vt fint elementa y, zz et 7 conftantia , angulus ve- ro ELA- tempori proportionalis. ^ Vocetur por- ro etiam angulus L A B—e, eritque YEA-IWL(y-—» et EAB—QD—o - y. XIV. Hijs pofitis ex trigonometricis habetur : cof. /—cof.imcof. t -4- & n. m fin. n cof. X vnde ob z; et s conftantes differentiatio praebet: dlfin.]—d fin. zífin.nfin. A fin. —— fin. —— fin.v et quia ji. ons — jfn.n erit di—dfin.nfin. y. —4Afin.z1fin.y. Deinde cum fit fimili modo: cof. i — cof. cof. n -1- fin. fin. cof. pj. et cof. n — cof. /cof. tt -1- fin. /fin. t cof. v TM erit A VIRIB. COELEST. PRODVCT. 215 etit quoque diffrentiando : —-dlfin.Icof.--dlcof &n.zcof p.— du. fin /fin.nfin. p. ozz- dlün.lcot.m--dlIcof /in.smcot.y—4v6n Iin.mfin.y vnde colligitur : dy.— EP LIS mi fe 2* (cof Ifin ncof..—fin.Icof.t) d&— — PET mem) (cof Ifin.mcofy-fin.Icof.m). | Jan Ljin. m jin. y XV. Ex trigonometria iam recordemur effe: " A E puru eo frenum HUPrmeEtequ oed. fimilique modo etiam fin in. cof. m.—cof.L fin. mcof. — LL Jin.1 cof. n— cof. T fin. n cof. ji COL zer uer cof. y.— NM vnde conciunius dece differentialia ita defi- niuntur : — d fin. m cof. m.CO[. V c dA f fin. n cof. qz dy. — — T Usi --1eb dy— ETES T NE ficque pro elementis prius adhibitis habebimus : | d fin. d fin. cof. y. d. fin. m cof. dap. BINDS et di— do --— m. 4r aba 1 vbi loco cof.j. et cof.» priores valores fcribi conue- niet, vt omnia ad elementa «, 7 et ^ reuocentur : XVI. Nunc igitur ftatuamus : yzbceofco etz-—-—bfí[inoc qui valores in prioribus aequationibus fubflituti dant : —bdcfin.o —afbdtfin.o—o feu do — —afdt. Dds Tum 214. DE PHAEN. MOTV$ TERRAE DIVRNI L4 Tum vero ob Jy fin. (p -i- cof. (D— bfin.((p —e) z —bfin.p. et ycof. (p — fin. («D Pcot ((D—o) — P cof. s ternae pofteriores aequationes has induent formas; j bà diczdXfn.mfn.w-— bdrfin.p., feu XI 433 d^ fmm mer b dt cof. . 1 4d —efdt-— gu. fir..1 cue tang. 1 —. bdtco.& ^ bát( fin. nco-m— fin.moo. nof. z dNP— nn uDe-— Jm. 0? bdt Autepenultima: autem. ob. ZA— es per 4 diuifa dat ids b fin. m coj. Y bcof.lcof. — — b (cof-1cof.y. fin. n. fin. -- fin. m cof. G-ra)f— Jim. n jm4l.— — Oe fie T ince 3 n E cof. m —cof.1cof.n Veérüm. cum fit cof. — uus | et. cof.y— cof. n—cof. -Icof zr Jat. Lj m. 1 obtinetur : -. — b(cof.m —cof.1? co, n) b co. n. (1 -4ra)f — fm. 1? Jin. n — [fin.n ita vt etiam quantitas b—(x-ra)ftang.? determi- netur, fitque adeo conftans , vt. rei natura poftulat. XVII. Ex dato ergo coeli puncto L, ad quod motus terrae eft referendus , ab eoque axis diflantia LA-cn, motus terrae ita. fe habebit, vt primo axis A circa illud punctum L vniformiter reuoluatur "OLERHE IND 6i a) celeritate angulari 7 — 5; — ios ZW quippe qua pA) | fingulis minutis fecundis angulus — Cad z^ abfoluitur ita vt hoc motu angulus ELA continuo increfcat. Tum vero interea ipía terra circa axem: A. gyrabi- tur x " A VIRIB. COELEST. PRODVCT. — 2r5 tur celeritate angulari 5 — —af, qua angulus LAB continuo imminuetür; vbi notandum , quantitatem f a motu terrae primum impreffo pcriade atque ar- cum 7 pendere, litteram « vero rationem compo- fitionis terrae inuoluere. — In motu autem quem terra reuera eft initio adepta ,' arcus LA— 7 eua- nefcit , ficque fine viribus perturbantibus , ipfe arcus LA cum polo A fixus maneret, totusque motus ex angulo LAB-— Q ita definiretur ; ^ vt ob. 5—0 effet celeritas angularis EN amm P ihab patet quantita- tem f exprimere celeritatem angularem miotus ter- rae diurni. XVIIL Si terra eiusmodi motum vertiginis accepiffet vt arcus L A-- 7» valorem haberet notabi- lem , polus A maiori celeritate circa coeli punctum L reuolueretur , fiquidem conftans f eundem retine- ret valorem , ipfa véro terra lentiffime interea circa axem A in plazam contrariam . conuerteretur , — ob fradionem a minimam , ita vt hoc motu neglecto terra circa axem per coeli. punctum L tranfeuntem reuolui videretur ,. fpatio faltem temporis non ni- mis magno tempore autem labente quia fenfim alia terrae puncta coeli punctum L fubeunt, terra alium axem gyrationis recipere videbitur ,. ex quo. etiam aequator et locorum latitudines mutationem — patien- tur, ficque tam coeli quam terrae phaenomena in- gentibus perturbationibus forent. obnoxia , etiamfi nullae vires perturbatrices exteruae accederent. : XIX. 2x6 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNÍ XIX. Hoc cafü fi pro quouis tempore 7 fi- tum terrae refpectu eclipticae definire velimus ; pri- mum ad hoc tempus angulum A — CL: Conft. colligi oportet , pro quo fàcile tabuia conderetur. Tum vero hoc angulo inuento ftatim "habebitur axis A a polo eclipticae E- diflantia EA —/ ope formu- lae cof./— cof. zcof.n-- fin.zzfin.n cof. X — vbi z et 8 funt certi anguli dati. — Porro pro fitu arcus EA quaeratur angulus » vt fit cotang. yz c fnnc eritque angulus v E A — xp — y — », denotante «y angulum quendam conftantem. — Denique pro fitu primi meridiani AB feu angulo LAB— o—c- pg, primo angulus c tempori proportionalis ex formu- la c—Contt. — «f: facile colligitur, tum vero angulus p. ex hac formula capiatur: L— jin.n cof. m — cof. n fin. m caf. X [m. m fin. X ficque ftatus terrae ad tempus propofitum erit de- terminatus omnem autem hunc calculum commode tabulis complecti liceret. Hoc cafü expedito ad vi- res perturbantes progredior , quae tractatio praepa- rationem poftulat , reliquis cafibus quos fuüícepi prae- mittendam. cotang. v. — Praeparatio ad effe&us virium pertur- bantium euoluendos. XX. Quoniam hic effe&us eft minimus, ex cafu praecedente facile intelligitur , quomodo hanc tracta- tou VIRIB. COELEST. PRODNCT. . »i:3- tractationem aftiffime.füfcipi conueniat; --. Vhiuerfus fci- licet motus quoque ad coeli quoddam punétum L re-- feratur , qnod autem. non amplius tanquam fixum fpe- &etur , fed àta. ,pro wàriabili habeatür, vt tafn angu- lus vEL- Y quam, arcus EL— et LA—7z a. Viribüs pertürbüntibus ^ "parumper. immutari .cenfcan-^ (uf; "neque étidm anguli ELA et LAB—c idiotc pieni tempori exacte: proportionalia: - capere funt cenfenda ; quamobrem quoque quantitas 5 tan- quam variabilis erit tractanda. ^ Ponamus deinde vt fupra; EA —/, angulo EAL-—K, AEL-y tum vero angulos YE AE: e EAB-—Q- vt t Vp —y-» et p-—o-y. | ! XXI. Statuamus ergo etiam nunc quoque és yb cof c^ et & —— b'fin o et quia quibtitatem. b quoque xt variabilem fpecta- jnüs, binae priores aequationes differentiales fient : db cof.a—bdo fin.g—afbát fin.o—3aV dt cof. P'cof. (—o —dbün. 9—bdocof. g— afbdicof. 6-8 V dicof. COT w4—o vnde per combinationem elicimus : —hác-—o.f bdt—3 aN dtcof Z(&in ccof.—cof. Go. igi ; "db 3aV ditof:ó (cof.acof.0-4-fin.ecofw)-o: ^. Ponamus breuitatis gratia ' cof.ccof.w-fin.ccof 0(—P- et. esie Aniafüc .aicof.y-Q. St: habeamus ha :aéquationes :: | dc — afd t cevpál oce et CBE GM "Tom.XIII.Nou.Comm. Ee «17 Nes er8. DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI Verüm ex formulis fupra 6. IX; ü bd ida feu c —Qc- colligimus : —fin 4 (fin. p fin. (q-N/)-cof./ cof. "m (qv /)-tang: ein] cof. s. fin.(g — o 2) Q—fin.$ (—cof.j. fin. MN); eot In. MCof.(4—N/"4-tang.e fin. /in. y. fin. (g—9)) cuis cof.é-fin s(fin of. (g-N)-Eang: ecof. /áin. (q-u)) Reliquae vero aequationes erunt: 5,0 1 bd i fin, y. |" d—4de—dy—fdi— EE fmg.l hdt cof. dxvy — d'y —- dyc XXII. Haec iam differentialia di, du et dy ad differentialia 7^, d; et d^ reduci oportet; ac primo quidem cum fit cof. /— cof. zcof. nr fin. m fin. s cof.A erit differentiando : dIGn.I—dmn Gin.mcof.n4-d ncof. m fin.n. --dAGn.mfin.nfin.X —dincof.mfin.ncof-A—dnfin.mcof.n cof . quae forma ob | fin. cof. m— fin.72 cof. n cof. — fin. Teof.gj et fin.zcof.n — fin. tt cof. cof. A — fin. 7cof. y tranfit in hanc fimpliciorem : : difin.I— dm fin /cof.y--dn fin.Icof. p.-- 7A fin.mfin.nfin.A feno .A. VIRIB. COELEST. PRODVCT. — 219 j VX j . ] LJ . feu cum fit Duelo fcm —5 in hanc d]— din cofy -- dncof: y. -- d^ án. nin. Me XXIII. Deinde vero fimili modo elicitur : dm — dicof.y -3- d ncof. À —- d p. fin.zfin.À vbi fi loco 4/ valor modo inuentus fubftituatur , prodit dm — dmcof. y^ -- dn cof. y. cof. y -1- d ^ fin. fin. & cof. v : -1- d y. fin. 2 fin. A -1- d'icof. ^ feu ob cof. À-1- cof. p.cof. y — cof. lin. y fin. y diifin.y—dacof. fin. jfin.y--2A in.nfin. |.cof.»4-d p fin.nüin A. Eft vero fin.zfin.j.—fin.zfin.y et fin.nfin.A — (in.7 fin, vnde. per fin.» diuidendo habetur: duifin.y — d'icof. in. p. 1-2 fin. mz cof.v -- dy fin.2 : LL dm |fin.y dn cof. 1 fin. J. d fin, m cof.v ita vt fit dy. — djin.l RR DUE TS TE. [ANE Verum quia elementum Z/ tam commode exprimi- ' tur, vt fit d] — bdifin.y. praeftabit hunc valorem ftatim introduci vnde prodit — bt mn. y co M. cof. v -4- d m. — d n ce. d dy. — Füg t COH THOST AFTER fimilique modo ETE SHDGIUUMEE EE OL M TESIRAN j dy-— So fin. m fin. X XXIV. Ex prima ergo aequatione adipiíci- mur : | | : - bdtfin. .—dimcof.y 4-dncof. p. -- 4A fin. n fin. y. Tm j ; e 2 at 250 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI at tertia aequatio praebet —— : b d t cof. v. bát fin. j.cof. du —dmcof. A d'y — fin] 7 fin mjfm.A M 7 fieemfin. Lu dha— dmcof.X feu "ug npo EE fecunda vero aequatio ad 4 D fpe&ans dat- LLL bdtcofj.cof.l — bütfin- cof, v dm d stof.X. P, "s — fai- .odit.l 27 HONOA c fin-nfin.À — vbi. notandum terminos elemento 54: affectos, cuin fint LL. b dt C fin. 1t cof. v —4- fin. v cof. uen Jin, yan. v fu« p. cof. yr frn.v cof. ic uor t "bd QS la ob cot.zz-— a . fin. dris "um grise in Ira ; finem , ; | p ) ita vt fit | hdtoof.n iuc nin LAM Pdte of.o do —fdt— finn -- 7 fin: n fin. X Mbcgprimus bdtcofim , dm-—-dncof-X ,. s& V Pdátcof.G D hincque (1 -ra)fdt— fin.n^ -l- 7m. n Jin nfin X — XXV. Nunc igitur fumamus 5—(1-ta)ftang.n vt viribus euanefcentibus, arcus 7 et 47 prodeant conflantes , et poftrema aequatio dabit - seVPdtcof.nfim.A cof. dm — dncof. ETT aw. arcus vero 7 ex hac integratione eft definiendus tang. n — (5, / V Qdtcof. d sa VOdtef. Qc nt feudm-c pag vnde fit du— d (Pf h-i-Qeitn) 'hinc- ;& VIRIB. COELEST. PRODVCT. — 221 hincque porro — ' za V dtcotneof.d diico.y dncof. y. 277775, 4 fà n.X( Pcof4-Qcof:mcotnfin.y). Inbentis autem Siridtioofl dm et dn, erit LL 02S fdt dm cif v —dncpf. f. EX LeN. n 77 ^ fin. fin. y. fcu dA— iG -m f | . dm(fin.mcof-n-fin. edt mof.) i: dn( fin.nco ncof.m- fin 4meof.ncof.) cOJ. n. D fire mJin-n fir. X 7 ym. mjm.nji X ——— et anguli * E L variatio fimul innotefcit , quáe eft : — du—dmc(. soVdtcof.ncof.2 dy— screqer quee exuit (Q cof.nfin.A-P cof X) fubflitutis autem pro dz et 4m valoribus reperitur r d dt cof. . dX— "x - — ee (B(fin,mcof.n-finucof.nicof.A) -1- Q(fin. z cof. zicof.nfin.2)). . Denique pro angulo EAB—(b habebimus : ge (i72) f t fin. cof. cof. t x r2 dt fin. i nof. dO zfdi— WC DUE RJHRE — et dv — —.jin-lcof. m ita vt fit d(p-1-dipcot.J—f4t , in quibus integra- tionibus arcus s et z tanquam conítantes fpectare licet , fimul vero erit proxime dA— UP g, , f- quidem perturbatio fuerit minima. XXVI. Qüo baec nunc propius ad praefens inftitutuüm accómmodemus , obferuandum eft in mo- tu vwertiginis terrae arcum & quam minimum effe flatuendum., ita vt ob 7 —f4: iam f denotet an- gulum vno minuto fecundo confe&um ,. et angulus w odn integrationibus pro conflinti haberi poterit. Ee53 Dein- 9 LII 22» DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI TA A Mi ! Deinde ob cot.p.— 7 E RE , colligitur fore n fin angulum | 4 — 180* —AÀ— Em a ita vt fit. in, A cof. 7 fin. À fin. K-— fin. A MEA , fin. (k4- M) feug: m cof. p. — eof. A) ring ; cof. (^ -1- M) - negle&is terminis vbi 7 ad altiores poteflates ex- furgit. Porro ob cof./—cof. m -4- t in.m cof. erit [zm -ncof. "MEN nca fV Qdtcof.Z; m—; 5 ; [ V dicof. &( Pfin.-A4-Qcof.2) d^— (c2) fdt — za V d.t cof. Q (P fin. m - n cof. n(P cof X — Q fin. À)) Q 4-27 TILEOSUSURIG(m.m Cu) 079 -(1-:2)fdi ERAEES z aVdt Levate pim Dm -Pcof. À) doy zi Vaio QA SN Ly P (4) — fd nr mt m cof. À À à dp — — zn: croce dere LOS Jin. m XXVII. Cum fit proxime 'k cio "—A, et —m in quantitatibus P et Q his valoribus vti ud ex quo erit: —fin.fXfin.Ain.(g-NP)--cof.a cof.Acof.(4-NP)-tang.elin.z cof. A fin (4,—)) Q—fin.f(cof.^ fin.(q-/)-cofm fin.Acof.(g-Np)4-tang.efin.m fin. Afin.(g— «)) exiftente cof.d—fin.f(fin.zicof.(q-Ny)H-tang.e cof.m fin.(g-)) vnde A VIRIB. COELEST. PRODVCT. ^ 223 vnde colligitur : Pfin.A -- Qco.A — fin. fin. (g— y) Q fin.À — Pcof. A — fin. p ( — cof. zcof.(q—N» )-4- tang.e fin.z fin. (g— «)). Hinc totum calculum fatis. expedite abfoluere lice- bit; valor tantum. anguli À moram faceffere vide- — V P d tcof. tur , ob terminum — S quantitatem mini- mam 72 in denominatore inuoluentem ; quae fi eua- nefceret , hic terminus adeo in infinitum excreíce- . ret. Quod cum in motu terrae eueniat, manifeftum eft líanc appropinquandi rationem noftro cafü locum habere non poffe ex quo aliam methodum ingredi conueniet , quam nunc accuratius fum expofiturus. Alia methodus formulas inuentas euol- vendi, ad motum vertiginis terrae magis accommodata. XXVIII. Refümamus noftras formulas pro motü vertiginis fupra expofitas : 1*. arc dakigbocgae 0—o 25, 3 25 — af y-- 5 aV cof. Zcof. —o 3*. di —dt( fin. (p-A- zcof. D) 4^. dép — fdt — i (y cof. — fin. Q) 5*. d — ei (7cof.(p—zfin.(): | vbi . $34 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI vbi primum obferuo ,. fi vires perturbatrices.- littera V EIS A ui contentae euanefcerent ;' binis: 5 ripribys, aer x— bün. [ 2f ^" , praefenti autem cafü "quantitatem - ^ Wu euanefcentem accipi debere. Quare cum ob quanti- j tatem 'V. particulae quaedami a "hos vàlórés ye x accedant , has ipfas particulas iliueffigari /coduenit a quibus deinceps reiectis illis membris litteram. Li in- ^q voluentibus j ; erit vtendum. LM UETH XXIX. Hunc in finem antem, opus, eft ante omnia formulas cof.Zcof et: cof. eot giis bus de facta reductione reperitur; cof.écof--;in.p* (—finJGn. (D fin. e (9p) fin;cof. Ico VM cof. 2(q— )! | j tangafin cof. (án. (29—.—9)--tang.«fin.7cof. fin. | | i (Np—u)4-tang.ecof /fin.(peot. (24--u)? |—tang ecof Écof. Qfin.(2g—p —o)-—tang:ecof 7cof.cpfin |d (sp -&)-— tang.ecof /in.(pcof.(N/-w)]o. omifílis terminis quadratum tang.c" implicantibus vtpote minimis; quam - ob. caufam! pro fim. — Cwapesgmgrsr: etam ,vnitatem fcribere .licet. Hinc etiam angulo (p in finus et cofinus iple » inuoluto , adipifcimur : " 4tof Zcof-——fin.a cof. Q- fin. Icot (9 24--29)2-in-kof(--24—2 2 -fideofh, o 5 -fÓndcot] | —tang.e cof. o/fin.((D-1-24—/—) -tang.ecof. alfin(Q-2g4-v ro -- tang ecof.7 -Ftang.ecof.] —— |] --tang.ecof. 2/fin.((D-Ap 9) tang ecof. 2/fin.(Q-4-Np—&) — tang. ecof.7 — tang. ecof. 7 n . vbi. B ^A VIRIB. COELEST. PRODVCT. . »»5 vbi notandum eft xp effe longitudinem puiécti | fol- füitialis aeftiui a termino fixo wv puta prima flclla arietis Quodfi ergo longitudo primae flellae ar'e- tis a pun&o aequinoctiali verno computata ponatur x, erit Vp--x — 90? et. Ap —99o^—x, indeque q—v/—44--x—90?, vbi g-1-x denotabit aflri lon- gitudinem a pun&o aequincétiali verno computatam quae ex tabulis habetur. ^ Hinc ergo per miros co- finus erit 4cof.ócof.X4 —-fin 2/cof.(D fin. a3 xof l)cot abut 2X) — fin.[ 1 —cof4 cot (D-24424) —tang.&cof/-cof.2/ cof ( (D.-2q4-1-0, 4 tang € (cof:Zi-cof. 27 cot (D- 242-e-x) "tang £(cof - cof.2/):ot.(-1-«-1-x)—tan? & (cof /--cof 27)cot.(p-u. 1) vbi &-1-x denotat longitudinem nodi afcendentis 42 a puncto aequinoctiali verno computatam. XXX. Quodfi ergo pro víu tabularum 4 de- notet ipfam aílri perturbántis longitudinem a puncto aejuinoctiali verno computatam , fimilique modo 9 lon:;itudinem nodi afcendentis , erit 4-of ócof. *—— fin.2/cof (D--fin./, 1--cof)cof. ((D—2 2)-fin.7 (1—cot Z;cof (D-1-29) ng &(cof./—-cof.27 cof. D-4-«)— tang e(cof.Z -i- cof. 2/)cof.((D—«) -tang.s(cof./-cof. 27)cof.((D-1 2 9-«)4-tang e'cot./ Xd - cot. 2/Kuf.(D—244-«) Tom. X1II. Nou.Comm. Ff vbi 6: DEPHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI vbi fi loco (p fcribatur (D-4- 9o? oritur valor alterius formulae 4cof.Zcof.0, quam ergo feorfim euolui, non eft opus. Deinde obíeruo fi aftrum- non ia cir-. culo aequabiliter circa terram circumferatur, vt Jon-. gitudinis 4 incrementa non fint tempori proportio-. nalia, tamen ex cognita inaequalitate motus, hos, cofinus, in cofinus aliorum angulorum tempori pro- portionalium euolui. poffe , quod etiam de ipía for-. ma V -—*£-^ eft intelligendum, quae cum illa con-: iuncta patiter ad cofinus angulorum tempori pro- portionalium reuocabitur, quoniam ipfe angulus (Y celeritatem angularem motus diurni terrae defigaans, in his integrationibus vt tempori proportionalis fpe- - Cari poteft, — Quocirca certum eft has formulas ita femper expreffum iri vt fit 3a Vcof.Zcof.-Acof.D--B cof. (D-87)--C cot(- y cD cof ((b-àf) --33cof. ((3-67)-r €cof. (Q--y2)H-9cof(Q--87) 3a Vcof.écof.0——A fin.(p-Bfin ((-6:)-C fin.(D—y:)—D fin| (—37) —$5fin ((D--87)—Gfin (D4-y2)-Sin-.(D4-à:) vbi pro quolibet aftro anguli 87, yz, ó7 etc. quot- cunque fuerint , cum coefficientibus facile exhi- bentur. à etc. etc. XXXI. Statuamus iam do-— mdt et af—an, fitque .pro quantitatibus: » et à non omiffis parti- bus ánte commemaoratis : | 3—b .& VIRIB. COELEST. PRODVCT. $7 piter ttt4-O cof. p4-P cof; (—67)4-Q cof((p—z)4-R eof (b 37) in 4-Spcof.(D--67)4 cof: (D--£) -9teot(Q(4-9 )* uzbGn.st-Ofin.(D—P fin. (— 67) —Q fin.(D — ^y) — R fin.((D—87) P — —9ofin.(D4: 87). fin. (D4-yr)—9t án. (p.97) ac : ficta fubfitutione in prioribus aequationibus fiet —nhfin. nt—mOfin.(—(m—8)Pn.(-8/)— pati ((D4-6:)etc. ub —nO — mnP — (o oA LB o E: nbcof. nt —nOcof. Ld ((D-67)—(m4-8)Spcof ((p-4-67) etc. cb —nO 5 P —n*$9 f THEEN TB T5 quae cum congruant, confequimur has determinatio- nes: NORTE eise D eebunmsel gut n:aurnxlD |. JOrmz ugs; P tna-m-—ó Q-— Pm«—y);R-— n-- m—3$ etc, € m-r-y? Ru fee etc. » fücque quotcunque fuerint termini haec integralia fa- cile formantur. $5 ppm wm ndn SCIL A XXXIL His autem valoribus pro y et z, in- ventis colligimus fequentes formas: Jfin.D-rscofD-Pfin. ((D-ent 4-(P-99)6n & -(Q-2)6n.y? | -F-(R—9X) fin ! £ etc. .. Jof. (P—zfin.—Pcof ((o4-nt)8-O-CP4-99)coft 87-1-(Q-- 9) Cof."y? 4A- (R4-90)cof. à 7. etc. Ffe ex 228 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI eX quibus primo veram poli aequatoris a polo ecli- pticae diftantiam E A—4/ elicimus ; cum enim fit ; dI——bdtfin.(C-4-nt)- (P-99)dt fin.6:-(Q-€))dr fin.*y: — etc. fi haec diflantia media ponatur —[, erit integrando I—IE -A- ze cof ( p 1-21) 4- Pg cot 8: -- 97 cof. yt R— "i- RIO cof. à £ ec. Deinde pro angulo EA B — O , quo motus gyrato- rii celeritas definitur , accuratius cognofcendo habe- mus : ao. be.(b-nt) —0O (P —- 95) dt —f-—-—us fang. L 7 fang. Lo tang. cof. ei- etc. vnde per integrationem elicimus : c b fin.(Q-4-nt) ot (P31-35) (zn. 6f (0-0) (Q 4-2) fin)*yt i (D—ft —ai og — iang.] — $tang.| — —- *ytang.] — CC. Denique pro vera longitudine primae flellae arietis x—90?—3b, colligimus : bf b fin. (D —- n1) ot Pa-3)»fn.6t — (Q-- £)fin. yt X—YVo mna): fte Bing WE. yfin.l . (R -- 90 fin.$ t E 9 Jin. 1 etc. qua aequatione praecefíüo aequinoctiorum cum omni- bus inaequalitatibus determinatur. XXXIII. Hic denotat s celeritatem | motus diurni , vbi loco vnius minuti fecundi aliud quod- vis tempus datum accipere licet , dummodo reliquae celeritates ad idem tempus referantur. X Sumto ergo tempore vnius diei , erit 5 — 360^? cui etiam litte- ra f aequalis eft cenfenda , tum vero erit /—am vbi A VIRIB. COELEST. PRODVCT. 2:9 vbi notandum , effe à—*5 7^7 fra&ionem minimam ita vt 4 prae s quafi euaneícat. — Reliquae celerita- tes angulares nunc etiam ad tempus vnius diei re- ferendae ex motu et vi aítri perturbantis peti de- bent, cuius locum cum vel Sol vel Luna occupare pofüt , pro vtroque feorfim has anomalias in motu et axe terrae fcrutari conueniet. . Vnde mox pate- bit non opus effe ad horum aítrorum inaequalita- tem motus refpicere cum anomaliae ex eorum mo- tu medio refultantes iam adeo fint exiguae, vt quae infuper ex orbitae excentricitate EERCHEDAUE , tuto negligi queant. De perturbatione motus diurni a vi folis producta. XXXIV. Pro fole ergo inclinatio e euanefcit , ac pofito folis motu diurno —q. eft vt füpra vidi- mus V— gg. et celeritas folis £4 — j.; — exiftente g longitudine folis media. ^ Cum ergo fit 4.cof. & cof. « ——fin. 2/cof.(D-- in./( 1-4-cof.) cof.((D—2 4) — fin /(1x—cof./)cof.((D-1-24) erit 5/—24, et 6—2g. tum vero j A—-—iepg.in.2/7, B-iepg.fin./(14-cofJ, $8—-:apq fin./(x — cof.) hincque 0— —3sauufin.21 P— — 38g fi ia-cof 1) —3app. fin. Y o —cof.1) -—"46--am 3 — X(i--2)m—s m—:h) ) pa AM(ieERR)m A2À) Ff 5 et 230 DEPHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI et fequentes litterae Q,9 ) etc. euane(ícent: XXXV. Quare primo pro diftantia polotum . aequatoris et eclipticae EA —7, pofita Bac diftantia media —l, E I—I 4A- exu cof. (-- out) Deinde pro angulo EAB-— Q^ colligimus ' say corr? (P 4- 9) fin. jq b fin. (Qaem mt) Qf i-e bgm 2Mlang.l | 7 (4m o)mteng.l--— vbi iam tempus 7 in diebus eft exprimendum ; : 1? z A " eritque. f—m—iZ555 77; (eu potius denotante f motum' terrae diurnum primo impréffüum is ob a). y. cof. 1? vim folis cenfendus eft acceleratus particula Pr Ae , Denique pro longitudine primae flellae arietis. obti- nemus : qme b fin. (D i-a m t) 3 a yq cof. 1 (P. 25) fn.» q gc (1 4-7 a) m fin. 1 ^F iopem 1— 2 jim. 1 vnde patet decur ftellam arietis quotidie per fpa- i. p. cof. 1 tiodum 2-5» promoueri. De perturbatione motus diurni a vi lunae producta. XXXVI. Hic conflat pro e angulum circiter 5*.capi oportere; quodfi iam 4 denotet longitudi- nem lunae mediam, » cius motum diurnum; Qo longitudinem nodi pau et b. eius motum diurnum- retrogradum et 4g — y et 22 ——0. Tum yero fi maf lunae aequalis effet terrae foret Vz», D^ VIRIB. COELEST. PRODVCT.: est V—vyy;'fi ergo flatuatur maffa terrae ad maffam lunae vt,1 ad A, vt pofita terrae maffa —M fu- tura fit maffa lunae —AM erit V—2Avy. nr remus iam formam: ust cof.w—-fin, 2]cof désthn. K(1-1-cof.7) cof. i iRuaur e(cof.7 | -Fcof. 27 )cof.((b-0) RI I(1-cof.])cof (p-1-29)-- tang. e(cof. 7 ers —-cof.2J)cof.((D4- o) | -tang.e(cof.] cof. 27)cot((D-244-9) —tang.e(cof/-cof. 2/)cof.((D-- 24 w) atque hinc confequimur hos valores: .—-iaAvsfin.2/; B—iaAvv(ün.J(1-4-cof D)? exis 29. ! S-- ga vyfin. /(x s " * ficque —-ioMvtang.e(cof.IH-cof.2 ^ A D—--c € Z-1-iaàyy tàng &(cof. I-cof. 2]) : et sccge i D—Hobitang. e(co£/-cof. 2.7) " x "e z—oytang.e(cof.—cof. WIL ^ MM XXXVII. Ex his porro íequentes valores di- diii: ) Lo—:GAvvfinol, 4 38 vyfin. fin.l(v-R-coly |. 9 NEDLE dium "4(-r)m-3v — ad — sa vyfin.10: — eof. D $— Pru; mp3. (| — sa vytang. t (co'. Lee) fuis Fm HT ae vore rm i; B 3a vytang. £(cof- 1— cof. 2 T' D 19 —' 4(1--a)m —o) KR. $332» DEPHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI R— -- 204 -- 3 6 vvtang.t 'eof.1 -— cof. cof. «T) uA 7 ((-a)n—z:v—o) 9g — —30À vy tanzt cof. ! —Cof, 2l) — (a4-a-zv-A-09 vnde pro obliquitate eclipticae oritur I-A... oto g— 93n EP cof. (2 q-u) pro ccleritate rotationis (en bis EAB-—QO vero o— ErhavapE.; Q -- 3 fin. 2 3 (Q.-- D.) fin. € — $999 9 — UE 0 tang. 1 2 (1-4-«)m 2 vIang A (R 4-90. HY e ET 7 (2v -4-0)1ng. L et pro longitudine r?*v i sa ^ vy cof. 1 (P 3- 9) fiv. 2 q (cm in E peer has -— 241-2) 10, i aes EE TIT cb AGE agat LLL (27 90 jin. (2 ied (a v 4 0) Jin. | ficque a vi lunae motus diurnus primum impreffus 3 AX vv cof. 1? terrae augetur particula 705.555 - Euolutio numerica harum formularum. XXXVIII. Primo cum / denotet diftantiam polorum aequatoris et eclipticae , erit nunc. quidem eius valor medius — 23^, 29^, quo in his formuls vii poterimus. Deinde ex tabulis aftronom:cis col- ligimus: motum fols diurnum medium — &— 3548/4 motum lunae diurnum medium » —47455 motum nodcruri diurnum medium 0— — 190; inclinationem orbitae lunae mediam :£— 5? et EL a ct. e Mon . A VIRIB. COELEST. PRODVCT. 233 et pro motu diurno medio ipfius terrae circa axem fümamus (1i--4)mz- 360'—1296000^ quandoqui- dem in terminis minimis valores proxime veros ad- hibuiffe fufücit. — Hinc pro formulis ex vi folis na- tis erit : Q—-7",2849afn. 2/7; A—k0,0c1 232 a finJ(1-Fcof]) 0, 8624235 730137954 4 : 2:5 ——9,001021afin./( 1—cof/) | 7,0090374. Pro formulis autem ex vi lunae natis : Q—-1 302", 13aAMin.; 0,0 14.809aMin.J 1--cof./) 3.1146541 8,1705403 PE—0,o I 2777 7«Min.A I-cof.7) 8,1064437 $—-—0, 59792 a^ (cof. /-41- cof. 2.7) 9, 7766439 | 5 — 0,598112 (cof. ]— cof. » 7) 9,77677179 «EST 0,001 29. (cof. ]-4- cof, » 7) . 751116918 GS —-—0,00112 &^ (cof. ]— cof. 2 7) 730478673, XXXIX. Si porro loco / valorem 25,20 fübftituamus hi valores ita fe habebunt ^. Tom. XIII. Nou, Comm. eT pro ^34 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI .. pro vi folis | pro vi lunae Qz: — 5^,55494 O — — 951//,80a^ 0,7263152 |. 2,9785458 £o J- 0,0007886a S 4- 0,011313 47 zum — 0,00003387* | —— —0,0004222A P—» : ^e VE 2 4-0,0008223 a -— c—4-0,011735 eA. P2-9 P--9 ;h ——7R0,0007549a --—4-0,0108912A $-5— 0, 95643aA a sqip, I40430aX g-D — 1,09686 4X 9-5 —o, $1600 zpy-4-9,002074^ 4B 0, 000264 —— —-4-0,002334^ EXE —0,0018142. XL. Quodf iam longitudinem folis littera defignemus, vt a longitudine lunae 4 diftinguatur , ternae noftráe formulae pro motü terrae -diurmo in- ventae ita [íe habebunt teripore 4 in diebus ex- pretfo ; | £—[A-kcof(OD pount) 30,0008 22 3acof24-x 096 86aAcof.a ! --0,0117354Ac0(:2-1-0,002 3 3aAcof.(2q-) C A VIRIB. COELEST. PRODVCT. 255 k fin. ( -4- em t) st*, SEC U 950007549& 951^, 8oxÀt 0501089r 4 Á 8 PPS "fs ia — fin.a 9» 00181 | OOrI8T &À — gu in.(eg4-o) e-f; ramo 5", 12349 A f | 959007549 a fii. 2p tang. I tang. ] — lang. | 9514,80 &ÀE — 0,010891 C Tweed 0 mgr. fn.2g 0,81600Q X "mmgl Ín.0 O0, OO18I jIXA tangl — fin. (2 qr à. XLI. Quodfi hic coefficientes finuum et cofi- nuum in minuta fecunda conuertamus reperiemus ; f-F-kcof. (Q-rami 4- 1702 cof 2 4226230a2cof. 0 T2421 aA cof.294- 480« A cof. (2 4 -1- a) azC-UR emn Vor", 3636:— 391" afin. 2p -- 2388^,5aX— 563 aMin.oq —422383a^fin.a — 9872Min.(22--u) Q-f (une. Munt V. ia asóaI- 3g 8 afin.2p 7-2190,7a4À? — $130aA(n.24 —9387400 aAfin.o -— 859oMin.(24-1-u) Gg es vbi ) 236 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI . d. b ; vbi lóto (——z fcripfüi k. In ftatu autem, quo ter- ra-veriatut haec conífais £ euanefcit , quod nifi eueniret , motus quidam ofícillator us ipfi diurno fo- ret admixtus, cuius ofcillationes abfoluerentur tot diebus , quoties fractio « in vnitate continetur. De obliquitate eclipticae eiusque variatione, XLI. Pofito | pro obliquitate eclipticae me- did, ea erit maxima , fi longitudines folis —p et Lunae —4 vel fint o. vel 6 fignorum , fimulque nodus afcendens in ipfüm pun&um aequino&iale. vernum incidat, vt fit o—-0; tum enim erit má- xima eclipticae obliquitas —[-r 120a-4-2291314^ min. fec. Minima autem reperietur , fi nodus de- fcendens incidit in principium arietis vt fit o — 180*, fimul vero Sol et Luna in pun&is folftitialibus ver- fentur ; tum autem erit minima obliquitas —l —1704—22817129A min.íéc. ficque tota variatio , quatenus a viribus Solis et Lunae efficitur erit 540à-1-4573024^ min. féc, quae ex obferuationibüs aeftimatur quafi r8". XLIIL Quo autem hinc veros valores quan- titatum 4. et À definire queamus perpendamus pro- motionem mediam primae ftellae arietis , quae in- . ma ul Bm H tCCI-HEM n? A VIRIB. COELEST. PRODVCT. »37 teruallo vnius diei fit pet fpatiolum 134524-1-23887aA min.íec. hincque interuallo vnius anni per 48704 --8724c0aA min.íec. quod ex obíeruationibus ae- füimatur 50:7. Prior autem valor r8// ob parui- tatem non tam certus videtur , vt nulla correctione egeat. . Factis ergo aliquot hypothefibus pro nu- tatione numeti A indeque fracionis a valor ita prodit. fi nutatio 18/7 "EUH RS 77.19" erit deett 36s epis E s €t (e — 253 ? 373 5 388 N $90 vnde patet vt phaenomenis fatisfiat , maffam lunae vix maiori terrae parti quam ;; aequari poffe. Neque ergo fententia JVeuromi fubfiftere potet , qui lunae maffam parti quadragefimae terrae aequalem aeftimauit ; et f(íententia Cel. Da. Bernmoul multo propius ad veritatem accedere eíl ceníenda , qua lunae tantum pars terrae feptuagefima tribuitur. Ac fi nutationem axis terrae non vltra r9// per ob- feruationes ftatuere licet , maffa lunae adhuc eít mi- nor, neque partem octogefimam quintam terrae fu- perare poteft. XLIV. Ponamus ergo à—;5 et A— 5, hinc- que &A— ss, et variationes in obliquitate eclipticae ita a longitudine folis 5, longitudine lunae 4 et lon- gitudineé nodi afcendentis w pendebunt, vt fit 1—4-4-0,57€0f.2 5 4-0,095 cof. 2 q--8, 87cof.u--0,0 19 cof. (2 g 4-7 w) Gg 93 coeffi.- 558 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI coeffcientibus in minutis fecundis exprefhís | Cum igitur fecunda et quarta aequatio ne decimam quidem minuti fecundi partem conficiant ,.iis omiflis erit [—1-27 0,57 cof. 25-1- 8,87 cof. o quarum aequationum prior cofinui duplae longitu- dinis folis eft proportiopalis vixque íemiminutum fecundum fuperat pofterior vero cofinui longitudinis nodi aícendentis eft proportionalis , et fere ad 9^ afcendere poteft, quod egregie cum obferuationibus confentire videtur. De praeceflione aequinoctiorum feu longitudine primae ílellae arietis, XLV. Hic primo confideranda eft huius ftellae longitudo media , quae ad quoduis tempus ex prae- ceffione annua facile determinatur. Sit ergo r longi- tudo- media ad datum quoduis tempus , ac pro eius longitudine vera inuenienda , pofitis ad hoc tempus longitudine folis —5p, luaae —4 et nodi «afcendentis —o erit eius longitudo vera: X-—r—1,30fin 25—0,221n.29— 16, 56fin.s omiffi poftrema aequatione , vtpote partem trigefi- mam minuti fecundi non füperante. Hinc patet fi nodus afcendens fuerit in '* o*, longitudinem me- diam imminui 16; min. fec., fin autem fit in ::6?*, "tantundem augeri, tum vero íi íol werfetur in 15^, vel ^W 15^, eam minui x! fec. tantumdem vero A VIRIB. COELEST. PRODVCT. »39 vero augeri, fi verfetur in éQr5? vel x15?; cor- tectio a loco luaae peidens negligi pote(t. Ex quo perfpicitur longitudinem veram ftellarum fixarum a media vsque ad 48/^ diícrepare poffe. De inaequalitate in. ipío motu diurno terrae a viribus folis ac lunae producta. | XLVI. Haec inaequalitas ab angulo (D pendet, quem videmus non exace tempori cffe. proportiona- lem ; cum fit reuera : (— 360?:—1, 20fin.2p —0, 2ofin.2q4— 15, 2o (in. & —0, 03 fin.(2.44- u). Eft autem (D angulus EAB, quo primus meridia" nus terrae AB a circulo coéletti A E, qui eft colu- rus folftitiorum ab occidente in áHcitent recedit , quod etiam de quouis alio meridiano terre(tri , et coluro aequinoctiorum eft intelligendum. Ita fi fe- cundum motum aequabilem colurus aequinoctiorum , feu punctum aequinoctiale vernum iam per noftrum meridianum, occafum veríus angulo f proceffiffet eius vera élongatio a noftro meridiano effet (D—f— x ,2Ó0 fin.25—0,20fin.2g—15,20íin.9 omiffa vltima in^ sequalitate vt inferfibili. XLVI. Quoniam «ulminatio- puncti |, jaequino- Salis verni:im ephemeridibus quotidie . affignari ;fo- Sli2o: let, e40 DE PHAEN. MOTVS TERRAE DIVRNI let, nunc quidem cognofcimus illis temporis mo- mentis punctum aequino&iale vernum fi fumma barum aequationum | fit negatiua ad meridianum nondum appuliffe, íed ab eo etiamnunc efle remo- tum tot minutis fecundis, quot aequationes illae praebent. | Sin autem tota aequatio fiat pofitiua , indicio id eft punc&um aequinoctionale vernum | iam per meridianum tranfife , totidemque minutis fe- cundis ab eo occidentem verfus effe remotum. — lllo igitur. cafü ferius culminabit temporis interuallo , quo per motum diurnum aequatio illa conficitur , hoc vero cafü, iam ante tantum temporis interual- lum culminauit, XLVIII. Maniféftum autem eft hanc motus diurni inaequalitatem tantum in punctis aequinodtia- libus et folftitialibus cerni, cum ea proxime fit ae- qualis inaequalitati in praeceffhone aequino&tiorum ; ita vt in ftellis fixis nulla huiusmodi inaequalitas locum fit habitura, íed interualla temporum , qui- bus cadem ftella fixa ad meridianum | appellit , tuto pro aequalibus haberi queant. Refpectu ergo ftellarum , fixarum motus vertiginis terrae perfecte e(t aequabilis , neque vllam perturbationem a viri- bus folis et lunae patitur, ficque illa motus irregu- laritas vnice ab inaequabili aequinoctiorum — praeces- fione: proficifii eft cenfenda , neque ergo variatio ila in longitudine ftellarum fixarum effecta vllam variationem jn earum culminatione gignit ; ex quo neceffe A VIRIB. COELEST. PRODVCT. »41 neceffe eff, vt pun&orum aequino&ialium culmina- - tio totam illam irregularitatem perfentiscat, XLIX. Hi effe&tus a viribus folis ac lunae in motu terrae diurno producti probe funt diftinguendi ab iis, quos a viribus planetarum in terram agen- tibus nafci olim demonftraui , qui etiamfi quoque punca aequinoctialia et obliquitatem eclipticae affi- ciant , tamen ex fonte prorfus diuerfo promanant, dum iis ipfum planum eclipticae immutatur, ae- quatore manente inuariato. — Atque ex his binis caufis coniun&is omnes irregularitates , quibus flellae fixae obnoxiae videntur, explicari oportet; quae phaenomena nunc quidem ab Aftronomis eo maiori cura funt obferuanda , cum ad ea perpetuo omnes illae minimae aberrationes in coelo, ad quas. maxi- me funt attenti , referri debcant, " Tom. XIII. Non. Comm. Hh COM- Mao 00 o9HP)o(f8e COMMENTATIO ^ DE VTILISSIMA AC COMMODISSIMA DIRE- XTIONE POTENTIARVM FRICTIONIBVS MECHANICIS ADHIBENDARVM. Auctore DANIELE BERNOTVLLI. GU ED uoties onera fuper plano afpero mouenda occur- . runt ,. fieri id nequit, etiamfi planum per4 fecte fuerit horizontale, quin onera , pro ratione ponderis, refiftentiam manifeftent ,, quae Mechani- cis frictio vocatur; huiuscemodi refiftentiam fupera- re debent traharii iumentaue cum traham proue- hunt: alius eft indolis frictio. in curribus , rhedis aliisue. machinamentis. rotalibus , quae multo minori opera protrahuntur ; Cum. vero. baiuli in ripa ince-. dentes nauem poft fe trahunt, hi quidem refiften- tiam a naue experiuntur aut patiuntur, at haec re- fiftentia nihil commune habet cum fri&ione. Nullo interim habito. difcrimine , difputatum fuit, fub quanam directione potentiae motrices effent appli- candae vt maximus inde fructus perciperetur ; valde paradoxa videtur quaeftio , an motrix potentia non fit femper dire&e opponenda refiflentiae , funt qui de DE VTILISS. DIRECT; POTENT: AD etc. 245 de hoc dubitant axiomate; veram autem dubitandi, vel potius negandi , rationem plane intactam, fi be- ne memini , reliquerunt : duobus dicam verbis quod Yes eft; quoties refiftentia inuariata manet dum agit potentia mouens , faluum manebit axioma ; quando- cunque autem refiftentia ab actione potentiae varia- tur, idem fallere poterit axioma. — Interim nemo dubitabit quin potentia mouens in ipfo plano verti- «ali per direcionem motus tranfeunte. locanda fit ; quaeritur faltem an directio potentiae ad dircctio- nem motus inclinanda fit àn praefato plano nec ne. $. », Cum nuperrime hanc praefatam contro- werfiam iterum a viro, cuius merita magni facio , viderem agitatam , eandemque ad normam, quam dixi , perpenderem , non poteram non protinus per- Ípicere , menfuram fuüperandae fri&ionis pendere ab ipfa directione potentiae onus protrahentis; etenim quando potentia trahens fuperiora verfus dirigitur , tunc ipfum corpus fimul protrahitur atque .fubleua- tur; pofterior autem actio frictionem diminuit: fic igitur aliquod oritur ab obliquitate potentiae difpen- dium fimulque aliquod lucrum; fcilicet. potentia protrahens abíoluta non tota vtiliter impenditur , fed viciffim ipfa diminuitur refiftentia. — Iam itaque veram habemus dubitandi caufam , num potentia di- rece num oblique oneri protrahendo fit applicanda ; fi obliquitas potentiae plus noceat quam diminuto zefiflentiae prodeft, conducet onus directe protrahe- A Hh 2e re s 244 DE VTILISS. DIRECTIONE POTENT. re; fin minus, praeferenda erit directio potentiae aliquomodo obliqua: haec cum ita fint, tenuis cal- culus litem diiudicabit ; nec iniucundum fuit intelli- gere praeftare potentias obliquas adhibere quam di- fectas , obliquitatem autem füos habere limites, quos vltra citraque nullum lucrum adhuc fperari poffit , ipfum vero lucrum alicubi effe maximum. Haec vt tanto planiora fiant paucula quaedam de frictio- nibus praemonebo. $. 4. Corpora füper plano quiefcéntia non ali- ter dici poffunt fricionem habere quam virtualiter ftatim vero ac mouentur fübito totam fuam frictio- nem manifeftant fiue lentiori fiue velociori motu ferantur, nec enim quicquam velocitates ad frictio- nem fiue augendam fiue diminuendam conferre ex- perimentis innotuit. Idem corpus fimiliter pofitum alii atque alii plano fuper incumbens aliam atque aliam frictionem motus opponit, ita quoque idem planum diüerfis corporibus füppofitum diuerfas fri- &iones producit , etiamíi corpora nec figura, nee fitu, nec pondere fint diuerfa, Si porro eidem (u- perficiei planum contingenti modo maius modo mi- nus imponatur pondus erit quantitas frictionis fem- per ponderi poportionalis , perinde quoque cft fiue partes füpefficiei vniformiter fiue inaequaliter ad pla- num apprimantur , modo fumma apprefiionum ea- dem maneat; fingula autem corporis puncta motu inter fe parallelo moueri hic fubintelligendum eft : hinc Lj AD SVPERAND. FRICT. MECHAN. 2435 hinc fequitur fricionem diminui a potentia quae apprefüonem corporis contra planum fuppofitum di- minuit et effe diminutionem fricionis diminutioni appreffionis. proportionalem. | Sequitur etiam frictio- nem fimilis fuperficiei , cui idem pondus iufiftit, eandem effe, fiue maior fiue minor fit füperficies planum contingens. ^ His praemonitis rem ipfam aggredior primo autem agam de frictione oneris fu- per plano horizontali promouendi atque inquiram , fub quanam dire&ione potentia oneri fit applicanda ; vt minima potentia ad motum requiratur, $. 4. Sit iata planum horizontale AE, cui incumbit fuper bafi BC' pondus P: Putetur pun&o C potentia applicata , quae pondus P trahat in di- re&ione CE; talem potentiam deinceps vocabo, 4j- vée(iam , quae eft aequalis integrae frictioni , ponderi P fuper bafi BC, debitae , quae cum fit ipfi pon- deri proportionalis indicabo potentiam Zire am per $-; pendet autem numerus 7 a natura füperficierum quibus bafis corporis et planum fuppofitum fe con- fingunt ita vt communiter intra 2 et 4. confiflat. "did. Hh 3 His Ld ?46 DE VTILISS. DIRECTIONE POTENT. His ita definitis ponatur nunc, potentiam aliam applicari fub dirc&tone CG fitque angulus inclinationis GCD-—2z ipfaque potentia corpus pro- 1rahens — 7; ecrit iam potentia obliqua 7r ita deter- minanda vt cum potentia directa 7- comparari pos- fit: hunc in finem repraefentabimus potentiam Jinea CG eamque refoluemus in werticalem CF at- que horizontalem CD, quarum prior, ad protra- &ionem plane inutilis, tota. impenditur in fuble- . vandum onus atque dimianeüdam appreffionem eius contra planum füppofitum , dum poflerior , appres- fionem nihil mutans, tota impenditur in protractio- nem. Eft autem potentia CF— mfin.z; hinc ap- preffio corporis ad planum —P- m-fin.z atque adeo friio — 2/77. quae fricio facienda eft aequalis potentiae Cut ore, vnde *—7 Pm ger T-coíz fi- ? we Ti — nc. z 4- fin.s $. s. Ex praemiffa formula , potentiam CG exprimente , facile intelligitur , fi primo angulus z nullus fit pafieaque paulatim increfcat , fore vt ifta potentia fenfim decrefcat ad certum vsque. gradum deindeque iterum augeícat: igitur directio erit , qua potentia minima requiritur ad onus promouendum ; haec autem directio determinabitur , fi denominator 2cofz-L-fin.z quantum fieri poteft , maximus | ac- cipiatur adeoque differentiale ipfius ponte —o: ert —724zfín z--4zcofz— o vel s 5-4 liue taüg, u— 5$. Hinc AD SVPERAND. FRICT. MECHAN. 2»4*y . . ^ n Hinc etiam: fin. — ;z—— y nn "nna nm atque cof. z— P et 7, cum eft minima , — yz; , vnde fequitur effe potentiam directam ad potentiam minimam vt Yan4-x ad :.. Intelligimus iam non parum: fübleuari iumenta: aut baiulos in protrahendis trahis , cum potentiam prae - fata lege furfum: dirigunt ;; tanto. maius autem fore emolumentum , quanto maior fit frictio. fiue: quanto minor affümatur litera s. Haec folo intuitu. paruu- lae fubiunctae. tabellae apparebunt, vbi pondus. ipfum: protrahendum indicatur per apos intenfitas. autem. frictionis decrefcit ab ; vsque 13 Intenfitas Potentia | Inclinatio. [ Potentia: frictionis. | directa | Potentiae |protrahens: . fiue : [fiue L- |fiueangulus | fiue | 0,5 500 265.94^ 44] 6, 4. 400 21. 48 MATE 6,3 500 T6:'42 288. 6, 2 200 II. I9. 196: 0, P. 5. 43. 99;- 6.6. Quum trahae Mbson via. filicata. ficca: trahuntür, puto effe frictiionem. . propemodum ae-- qualem dimidio. ponderi fiue 7 — z;; igitur: theoria: noftra docet , fünes ad angulum. 26. graduum , 54. min. effe dirigendos , hancque. regulam: aurigas noftros non male obícruare vidis. fic diuturnus. re-— xum 248 DE VTILISS. DIRECTIONE POTENT. rum víus apud plebem non raro quidem praeuenit docilem eruditorum folertiam , verum inuenta aut obíeruata folus nunquam perficit. At fi via niue calcata fuerit obteca , multo fet minor frictionis intenfitas mnítoque minus funcs duc&tarii , quibus equi trahae alligantur , erunt incli- andi nec, meo quidem iudicio, vltra duodecim gradus: imo fi vel omnia recte inftituantur , parum juuabit lucellum , vtpote quod cum ipía frictione decrefcit et quidem propemodum in ratione frictio- num quadrata, $. 7. Quod fi nunc hancce noftram theoriam ad machinamenta rotalia , veluti rhedas , currus etc. applicemus ,. facile intelligimus , nihil aut parum admodum emolumenti ab obliquitate potentiarum fperari poffe, praefertim fi axes bene fuerint axun- gia obliniti: ita enim frictiones fuper axe , non vl- tra trientem apprefüonum affurgent ct ab actione rotarum infigniter porro diminuuntur; ita vt, re- bus omnibus bene perpenfis, integram refiftentiam non vltra vigefimam totius ponderis partem com- muniter affurgere credam : fic foret ; — 4,— 0,05 ipfaque obliquitas debita tres gradus mon attingeret. nec potentia ipfa vltra vnam ocingentefimam po- tentiae directae partem diminueretur , cuiusmodi 1u- cellum nemo curabit: tota res paucis expedietur ver- - bis; wiüler adbibetur obliquitas. potentiae. quando. ve Jiften- AD SVPERAND. FRICT. MECHAN. 249 füflentia direffa motabilem ponderis promouéudi partem éffcit ipfaque efiflentia ^a diminutione vel fubleuatiotie ponderis motabiliter diminuitur , haec regula valebit quaecunque fit refifléntiae fpecies aut quomodocun- que 'oridtur; modo itaque detur relatio inter immi- nutum ipemádus oneris horizontaliter promouendi eius- que refiftentiam 'diretum | imminutam , determinari poterit obliquitas fub qua potentia atilifbine adhibe- tur. Sic igitur theoria ad alias quoque refiftentiae fpecies adhiberi poterit, "veluti ad protrahenda :cot- pora aquis infidentia. . In;his corporibus potentia furfum inclinata du- plicem habebit. effectum ; primus. erit vt corporis matantis ;pars fübmería imminuatur atque fic mino- rem refiflentiam ab aquis patiatur, alter vt pofito maturalis corporis immutetur, .a qua fitus immuta- tione refiftentia aquarum inado diminui modo -au- geri poteít pro configuratione corporis ; hic inuaria- ta fupponitur motus velocitas. | Si foret corpus cy- liadricum aquis innatans in eoque conftanter fuppo- natur axis verticalis ,, pro tali corpore data veloci- tate protrahendo eaedem valerent regulae quas dedi- mus pro fri&ione corporis fuper plano horizontali moti fu peranda. At fi de nauibus ab hominibus vel equis, in ripa progredientibus , protrahendis quae(tio fit, deuoluemur ad cafus , quibus potentia directa fere nulla eft, fi cum pondere totius nauis comparetur, fic *vt potentia maui fit tantum non "Tom. XIII. Nou. Comm. li hori- 250 DE VTILISS. DIRECFIONE POTENT. horizontaliter applicanda atque plane negligi debeat. parum lucelli. quod ab obliquitate fperari pofht. Ma- le .igitür fcriptores nullaque. ratione innixi , huiusce- modi refiftentias cum. frictionibus immediatis perin- de habuerunt, ac íi vbique potentiae füb eodem obliquitatis angulo effent applicandae. ^^ $.:.8. Quae dixi de directione potentiae in fri- étiones füper plano- horizontali fuperandas adhiben- dae , egregie confirmantur, fi tota res.hoc alio mo- do: concipiatur ,. fingatur nempe catena extenfa et vbique in planum füppofitum horizontale vniformi- ter grauitans ; tum» vero extremitati eius anteriori potentis applicetur ,' qua catena oblique furfum. et antrorfüm: in. directione ipfius catenae protraliatur z: fit rurfus potentia ifta —- 7, angulus obliquitatis elus —z, pondus. catenae — P, longitudo eius —/, potentia directa in totam catenam protrahendam re- quifita 7. Nunc autemr patet fore vt pars catenae eleuetur atque ab omni frictione liberetur ,' dum: pars reliqua etiammmum humo incumbeaus frictionem fuam. retinet ; igitur fi potentia obliqua 7 refolua- tur in verticalem: et" horizontalem , tunc verticalis tota impendetur in eleuationemr partis eleuatae ,. ho- rizontalis vero- in protractionem partis humo in- cumbentis ; fit pars catenae eleuatae —— x, pars al- tera humo incumbens —4/— x, fiet pondus partis eleuatae — 7 P' alteriusque partis —LE P, erit au- tem huius pofterioris partie frictio —Ar P; hinc | ioa fequi- /AD SVPERAND. FRICT. MECHAN. s: fequitur fore potentiam verticalem , qua pars cate- mae eleuatur — 7 P et potentiam horizontalém , qua «79r catena protrahitur — P P; igitur erit potentia ab- Il—31x-pzx foluta a —PY (5; -4- —Frhsalb e. quae cum ,de- bet effe minima , facienda erit longitudo X—iu 3 ergo potentia verticalis extremitati catenae applicata fine .7- P iam erit — atque potentia horizon- ]— /'|jP talis protrahendae catenae dicata fue BTE TET P : "MEHR Boer P . hinc potentia abfoluta fiue mzPY (cu agura-BVua ));atque baec quan- titas proríus eadem eft cum ea, quam $. 5. alia me- thodo inuenimus. — Eft porro potentia horizontalis. fiue ei DER QOL. D zz-L. ad potentiam verticalem fiue, 7 — ficuti fi- mus totus ad tangentem anguli quaefiti z, vnde tang. $— , quod idem pariter $. 5. inuenimus. $.'9. Fhütise du quaeftiunculae ss and paucae , quae omnes inter íe confentiunt , afferri poffent; füperaddam | vnicam 5 fit. fcala «ex .duobus vectibus parallelis et aequilongis conftans eique onus fuper impofitum ; alterum ícalae extremum | humo fuperincumbat horizontali , alterum a iumento vel baiulo geftetur fitque fic ífcala onufla protrahenda ; quaeritur vbinam centrum grauitatis ifüus fyfítema- tis locandum fit vt minima potentia abíoluta requi- ratur. Solutio huius quaeftionis plane eadem eft, quae quaeflionis praecedentis, fi eaedem accipiantur denominationes, quarum analogismum quisque me , Ii 2 non - 252 DE VTILISS; DIRECTIONE POTENT. non. explicante ,. perfpiciet ,, modo. nunc per x. intel-- ligatur. diftantia. inter. centrum. grauitatis, et. extremi- tatem. fcalae. pofteriorem. atque. per. /—x. di(tantia in- ter centrum. grauitatis, atque; extremitatem. anterio-- rem. fic vt inuertatur ordo, cuius. ratio per fé pa- tet. Hoc modo; fiet iterum. f—ui potentia. verticalis, extremitati anteriori fcalae applicata —z; c atque. potentia. horizontalis: protrahendae: fcalae. onu- nP — flae dicata. — ;;,—; potentia. abfoluta: 7 — yz x: 5 quae. omnia. vtut. diuerfimode. ad. mechanicam. pra- &icam. accommodata... egregie ,, inter fe: confpirant;,. ita. vt quaecunque füerit frictionis. intenfitas. indicata: per 1, eadem vbique oriatur potentia. abfoluta ;, cum: eft. minima ,. m $. 5. definita. fuit. JEuerit: v. gr. 4— 2 erit: catgnn ita: oblique: trahenda. vt quinta. eius. pars. de. humo. cleuetur. et: reliquae. quatuor: quintae. partes. eidem: porro: incum-- bant. In fcala. autem. ita. erit: pondus. fuper, impo- nendum. vt centrum. grauitatis. totius- fyflematis quin-- ta parte totius longitudinis. ab. extremitate: pofterio- ti diflet , ab altera. extremitate. quatuor. quintis. par— tibus. Si. maior: fuerit. valor. litterae: 2, idi eft, fi - minor. ponatur: fri&tionis. intenfitas.,, minor: etiam. ca- tenae. portio, eleuanda. magisque. centrum. grauitatis. fealae onerandáe: erit. ad: extremitatem. pofleriorem: appropinquandum.. $.. 10.. "AP, SVPERAND. FRICT. MECHAN. 254 $. xo.. Videamus: nunc quoque ,. quomodo: res: dnflituenda fit in. via. vniformiter accliui: Hunc in finem. accipiatur ,. in. figura: paragrapho: quarta. appo-: fita, linea AL. pro horizontali ,. fic vt A E. deno- tet viam. accliuem. fitque. angulus. accliuitatis: fiue: angulus. EAL — A; lineae autem FC et. GD- non. vt verticales. fed. vt. perpendiculares. ad. lineam: AE; confiderentur. ^ Nunc, praeter frictionem ,. corpus fuo. pondere: infuper: refiftit. et liquet. fore ' potentiam: - directam ,. ad protrahendum corpus requifitam — P fin. A. ipn. Quod fi vero: potentia: 7: obliqua. furfum. trahat fub. directione. C G. rurfusque angulus GC D' dicatur. z. erit. nunc. potentia. 2o njin. A pco. Ax P: —- fin. Anc. z- v4 2e in: Bac: expreffione: numerator: conftans. eft , denominator: autem: variabilis. idem: qui. in. fine. pa- ragraphi quartae ,. fequitur. potentiam. T. fub: eadem conditione: minimam: doe erit: igitur. FO . ficuti: in. paragrapho: quinta. aii pcr ue tangigsc ipfüque: potentia: minima , poft fubflitutionem: prae-- fti. valoris. z: congruasque. adhibitas. expreffiones: fiet: .À EE. Indicat: haec: expreffio,.. effe: rurfus. potentiam. directam: ad: potentiam. . minimam. vt: Y (n1 4- x): ad: 25, quod: idem: $, 5; inuenimus. $. rr. Notabilis: mihi: videtur: praefita: angu-- li 2, minimae: potentiae: refpondentis ,, conflantia: ii pro 254 DEVTILISSZDIRECTIONE POTENT. pro quacunque, accliuitate aut etiam decliuitate — viae vel plani füppofiti ;- conftanter enim tangens iílius anguli eft — £5, fed et alia infup:r. eft. eiusdem an- guli proprietas , quae , quamuis notiffima fit, hic praeprimis notari meretur. Nempe omaue planum, cui corpus fuper imponitur, ad certum €t defini- tum angulam inclinari poteft, ante; quam jpfum corpus proprio fuo - pondere. frictionem 'füperet. ac füper plano deuoluatur fiue deorfum | repat; hicque ipfe angulus eft, qui in theoria noftra vbique et conftanter | indicatur. Etenim , pofito iterum hoc. angulo — z., pondere — P. et frictione. horizontali . —i-., erit potentia, corpus deorfum trahens — P (in. g ms P I et fri&io — ;- cof. 2, vnde rurfus tang. £ — ;. Huiuscemodi proprietates haud obfcure indi- cant, ineffe aliquid in argumento nofiro quod fit ipfi rei naturae accommodum atque effentialiter in- fitum. ! Caeterum patet, fi via fit decliuis , fore tunc terminum. fin.A, negatiue. füumendum atque , fi decliuitas tanta fit vt corpus fua fponte -defcendere incipiat , fore 7 — o, imo potentia ifla erit nega-- tiue accipienda , fi tang. A fimul maior fit quam 1, At huius loci non eft his disquifitionibus abftraétis , quae nunquam ad praxin applicari poffunt , - im- morari. 6 r5. ———. AD SVPERAND. FRICT. MECHAN. 255 -$. xa. Dirünutiones potentiarum ; qu4s per- tracauimus , funt. plane diueríae indolis, a diminu- tionibus potentiarum quae ab víu vedtis alteriusue machinae fimplicis miutuantur. ^^ In his eaimr via, fub. ipfa dire&ijome poteniiae , perficienda: tantum cre- Ícit quantum ipía potentig decrelcit et propterez labor abíolutus idem cenferi poteft, mifi quatenus fpecialis. fiue hominum [fiue animalium faborantiumy conflitutio aliqualem rei diuerfitatem iniiciet. — In. nofiro autem argumento tantum abeft, vt pro di- minuta potentia maior vix 2 direijone potentiae perficienda (it, quin ipfa quoque via haec fimul diminuatur atque- adeo nouum fuperueniat lucrum z eff enim: motus abfolutio ad motum fecundum di- reíliomem potentiae , cui foli potentia applicatur ,. vt finus totus ad cofinum- obliquitatis et in hac quo- que ratione laborem , iu protrahendo onere infum- tum, iterum diminui aliqua cum ratione affirmare: Licet, ^fi modo intra certos limites fubfiftamus: Optandum. autem. foret. vt. pro- quouis . labore ,. cu- juscunque fit generis, vera defatizationis menfura: innotefceret tum de hominibus tum de diuerfis: ani- malibus; haec notitia a baiulis, curforibus pediti- bus- aliisque- operariis tum- etiam ab--aurigis equiti- "bus, ftabulariis caeterisque huius ordinis. homini : bus melius quamr ab aliis acquiretur : velim auteny wt vbique de penío diurno íérmo fit vt fic fingula comparari poílnt cum €o' quod iumenta baiuliue: gusce , cum imi fuam totam vnice in pro- 3 | trahen- es6 DE VTILISS. DIRECT. POT. AD SVP. ete. trahendum -onus locant; ifti venim labori quotidie ferendo quid valeant fic fatis notum «eft. Haec dum explorata habeantur , 'tutiffime hac regula vtemur ,. laborem :quemcunque aeftimandum effe ex potentia adhibita «et ex motu ad :dire&io- nem potentiae relato , modo fimul defatigationis , quae foli inceffui libero debetur, ratio habeatur. PHYSI- PhESICO-——— MATHEMATICA. Tom. XIII. Nou. Comm. Kk DE E un MEE etin w EME |] ae rs TIR oes ise hel ea Hoe e b ww «o5 ) 6 ( £225 $59 DE AEQVILIBRIO ET MOTV CORPORVM. FLEXVRIS ELASTICIS IVNCTORVM. "Auctore UE TUI GEUR D. Duccdl hic rigida confidero ;.. quorum. autem duo pluraue ita inter fe fint coniuncta , vt fepara- tioni quidem refiflant, verumtamen in fingulis iun- €turis imnflexionem feu motum gyrátorium circa quempiam axem admittant. . Tun&uras autem ita comparatas affümo , vt ifla inflexio non libere fuc- «edat, íed vi (nfigireti €o VER relu&tetur, quo xnaior inflexio produci debeat. ^ Datur fcilicet in " "huiusmodi corporibus ftatus naturalis , in quo fine actione cuiusquam vis externae fe quafi fponte con- feruent; quo magis autem de hoc ftatu per infle- Xxionem deturbari debeant , vt eo maiori vi fit opus ad eiusmodi effe&um producendum. Denique vero his flexuris eiusmodi vim infitam tribuo, vt poft- [ quam corpora de fitu naturali fuerint depulía, cef- fante vi inflectente , ea fponte fe in flatum natura- Kk2 lem. 260 — DE AEQVILIB. ET MOTV lem reflituant, in quo quippe natura elafticitatis confiftit. 2. Ad hanc igitur indolem funt referenda omnis generis corpora elaftica , veluti laminae elafti- cae, quae incuruatae vi pollent fefe in ftatum naturalem reftituendi. Hoc tantum intercedit difcrimen , quod in huiusmodi. corporibus nullum detur punctum, circa quod inflexio fieri nequeat ita vt ea tanquam ex infinitis elementis , ope flexurarum elafticarum coniuncta fpectari oporteat. ^ Hic autem quo latius inuefligationes noflrae pateant, corpora ex finito partium numero conflata contemplabor , quae partes fingulae nullius figurae mutationis fint capaces, fed in ipfis tantum iuncturis circa fe inuicem elafticita- tis refiflentia fuperata infle&i patiantur. 3. Quo autem clarius omnia principia , €x quibus huiusmodi corporum determinatio motus eft petenda , perfpiciatur , inueftigationes a cafu fimpli- cifimo , quo duo tantum corpora huiusmodi flexu- ra elaftica fünt coniuncta exordiri conueniet, fic enim omnibus circumílantiis probe .perpenfis multo .tutius ac felicius ad maiorem corporum hoc modo inter fe iuncorum numerum progredi licebit. Ante . omnia igitur hic in ipfa iun&ura axis ille confiderandus Occurrit circa quem vtrumque corpus moueri poteft ita vt altero fixo alterum circa iftum axem de fitu - naturali detorqueri queat, quatenus vis inflectens elafticitati füperandae par eft — Deinde vero vtrum- que CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. »6x que corpus féorfim eft fpe&andum , quae cum fint rigida , mechanica cognitio ad motum definiendum requifita cum centro inertiae tum vero momentis inertiae continetur. 4. Sit igitur reca M; axis flexurae , qua Tab. III. ambo corpora fünt coniuncta et dum ea in ftatu na- Fig 7 turali verfantur , fit alterius corporis centrum iner- tiae in A, alterius vero in B, quae quidem in figura ita exhibentur quafi cum axe Mz effent in eodem plino, verum vtique fieri poffet vt plana M As et MBz certum quendam angulum inter fe confti- tuerent , quemadmodum etiam rectae normales Aa €t Bb ab vtroque centro inertiae ad axem ductae vel in vnum vel diuería puncta incidere poffunt , quae circumftantia fi ad motum fpectemus, probe eft obíeruanda. ^ Hinc ergo in quouis flatu violento inclinatio planorum M Az; et MB, cum naturali fiue fit nulla fiue aliqua , comparari debet quoniam 3 differentia quantitas vis elaflicae , quae tum ad re- fütutionem exeritur , pendet. 5$. Ad vim elafticam autem mente faltem Fig. z. concipiendani , ítatuatur axis flexurae plano tabulae in L normalis, et fit AL ftatus naturalis , ita vt tum ambo centra inertiae in planis quae rectis LA et L5 normaliter infiftunt , reperiantur. | Nunc au- - tem confideretur flatus quicunque violentus ALD, - quo alterius corporis centrum: inertiae in planum - re&ae LB normaliter infiftens fit detrufum , ac fta- Kk 3 tus . - s65 . DE AEQVILIB. ET MOTV tus deturbatio ex angulo BL erit aeftimanda; cum tendat ad hunc angnlum extinguendum ; atque ih calculo. vis. ela(tica finui huius anguli proportionalis flatui folet , cuius ratio ita exhiberi poteft. Vi elafticae, reuera iufitae fubftituatur mente filum ela- ficum. B5, vi praeditum fe in ratione longitudinis Bb. contrahendi; ponatur LB—LZ-—1k angulus BLL-—o, vt fit Béó—2bfin.29, ideoque. ipfa . vis —Efinig quae cum punc&um B in dirctione BP follicitet , crit eius momentum ratione axis L—E fin... LBfn.LB2-—EPfin.iocof. iac i E 5 fio. 9; 5 vnde patet momentum vis elafticae , quod hic eft fpectandum , non fine ratione rari anguli inflexio- nis BL? proportionale flatui. 6. Si extremitates A et D filo AB con(ftrin- gantur, euidens eft hoc modo corpora in flatu vio- lento retineri poffe, vbi imprimis tenfionem fili ad hoc requifitam notari conuenit. X Sit igitur T ifla fili tenfio reftitutionem in ftatum | naturalem . coer- cens , cuius momentum ad inflexionem augendam cum fit —T.LB.ün ABL-—T.AL.fin.BAL , ob AB:fn.ALB-AL:fn.ABL, erit id — -EeEE | finn ALB , momento elafficitatis , quod fit —Efin.a aequale ponendum vnde pofitis LA —a, LB—5, angulo naturali; AL5—2^ vt fit ALB— Mc Q, et AB —V(aa--bb — eabcof.(X —o)) erit tenfio - quat E ftn.) V (a a 4- b b -—2ab cof.( D sup "XO ES DE oM Quodfi ergo in 1j fiatu naturali partes LA et L5 in dircttum nt — ab e vt hr A180 DnE T— 7. Hic | Lo s mc CORE. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR, 265 —. . 7. Hic. cafüs. per íe quidem perfpicuüs eo Tab.IIT. magis cft: memorabilis quod imgens paradoxon in: P8. 3 oluere videtur. Si enim duae virgae rigidie AL, LB in L ita elatere fint iunctae , vt fponte in di- rum fiut 'exenfe ; eaeque couftrictione &li AB in flatu inflexo ATL E dctineantur , bod | videbi- fur, quomodo tenfio fili quautititi pig boc eff ipfi fiii.longitudini AD -proportionalis effe queat, quandoquidem: hoc modo ad inflexionem minorem fnaior fili tenfío, ad maiorem autem minor requi- ritur. / Scilicet minutas fih tenfione , virgae fubito ía ftatum naturalem rcflient cum tamen tenfio mi- nor maiorem inflexionem füflinere poffet. ^ Contra autem aucta fili tenfione , inflexio adeo augebi- eur, cum tamen maior inflexio minorem tenfionems exigat, $. Quo hoc paradoxom dilucidemus, virganr AL vt fixam fpectemus, vt altcra BL cum a cer- ta vi feeundum BA quae fit — D, tum ab elatere Bb folicitata cirea pundum feu axem L fixum mioueatur. Cum: igitur pofitis LA— 2 LB—2, BLbí—o, wt fit excidere m E ft hil d diee T GTI ela- . virgae BL momentum. inertiae EO E axis L fla- cdd damus —PDec, erit ex motüs: principiis cmd "Dabyfinaw CICEEXTR AIT 97 m — Ebíince, denotante g alti- tudinem lapfus vno minuto fecundo , fiquidem tem- | pus d Tess E i64 DE AEQVILIB. ET MOTV pus 7 in minutis fecundis exprimere velimus. Muí- tiplicemus per dw et integrando obtinebimus 2: —C | E5cof. a —D V(2-)- bb4- 2 abcofi o) fümamus motum a quiete incepiffe, cum erat 9— a, vt conftans C rite determinetur, ac fiet | pBcecedo? |. "rdg — E b(cof. a— cof. a)-- D V(a« 4- bb-A-2abcoía) — D Y (a a 4- bb--2 ab coto). 9. Nunc igitur oflendendum eft, fi fuerit vis p—zr65552:9759 tum virgam LB in ftatu initiali , vbi erat angulus BLb—-a perpetuo quiefce- rc, fin autem vis BA—D fucrit hac quantitate maior, tun virgam LB angulo BL continuo creícente verfus LA rotari; contrarium vero ceue- nire, fi vis illa D fuerit minor, hocque cafu vir- gam LB ad fitum LP? acceffuram cffe. | Primum quidem inde patet quod non folum ipfa quantitas cui quadratum celeritatis angularis 25; aequatur , cafu quo 9 —a -euanefit fed etiam eius diffrentiale , ideoque et acceleratio , ita vt virga LB tum per- petuo in fitu initiali fit permanfura. ^ Pro reliquis cafibus fit breuitatis gratia Y (za-1-bb-4-2 e bcof.a)—f et Visaibbor s Een ug, eritque rr zs n D(s- -f)- (z —f) 85 Ober D). Pona- E . tur iam D — 7E, yt fit n Bodo maius modo mi- pus vnitate fietque 5729 — (s —f)(s-I- f— 2 nf) ; et ccleritas angularis erit M —Y gacli(2 —f)Y(z--f- 2n). 10. Quod- CORP. FLEXVR. ELAST; IVNCTOR. 265 10. Quodfi iam fit nz rz, ita vt vis D A ela- terem füperet , primo quidem angulus « augebitur, et diftanta ADB—-z diminuetur, vnde pro motu fecuturo erit f — Y see (f—z)((21— 1)f—2), ex quo euidens eft ob 227—172 ri, dum angulus BL» crefcit , et z minuitur celeritatem non folum nus- quam ceffare, fed continuo augeri , donec virga LB prorfus in directionem LA reducatur. . Sin autem fit nr, ftatim diftanta AB—z increfcit , vt fiat sf.e Yid Gu-Gs-if), wb ob 27—1-jr, euidens eft crefcente z etiam celeri- tatem angularem continuo augeri, donec virga in fitum naturalem LZ reftituatur , fiatque. 2—a-1- Z£. Tum vero hac celeritate, motus angularis in plagam contrariam vertetur, fiquidem iunctura id permittat qui motus priori omnino erit fimilis, 1r. Tempus autem ipfüm huius motus non- nifi per quadraturas fatis perplexas definiri poteft, quae diffücultas adeo vix minuitur, etiamfi elaftici- tas prorfus euanefcat , et virga LD circa axem L libere ftatuatur mobilis, a vi confiante D iugiter fecundum direcionem BA follicitata. ^ Pofito enim i-o, babebitur PszdR—f— A, vnde colligitur Vis cB ^ —— : zdz di Bcc — vV(f —zYa-b-r- zKa 4-6— za 4- 2 — bXb-6- 2 —a) bxittenté —aa--bb-4-2abcof.a , ideoque f a-r-5, quae formula integranda certe maxime eft compli- cata, quod in tali cafu tam facile ad praxin reuo- Tom. XIIL Nou. Comm. L1 cando, :66 DE AEQVILIB. ET MOTV cando, mirum videtur. ^ Neque elafticitate admifia calculus multo fit intricatior cum pofito D — EJ tum habeatur : d v a Bug «Me o— 22 dz mud $ 2-0 PE Í Bacc — Vf —zX(an—iYf-zX zXa-i-b-4-zya-4-5— zXa-4-2—b) (542-2) quae quidem aequatio fi b—24 íeu LB—LAA in hanc fimpliciorem formam abit 2 dum —-c2dz dí Y Bacc — v (f —z)(zx — (2X —1)f— z)(2 a--z)(2a— zy r2. Vnicus cafus occurrit , qui faciliorem in- tegrationem admittit; cum fcilicet fit f-2«4 ob ff-2aa(r--cofa); numerus 5 ita accipiatur vt jio. BULUM d fiat (22—1) f22a, feu 257 T -Y(14cofa) — cotta —5dz et cum fit diV$i s — us-avti—zuQGs integrale reperitur : MT PS Np UTE ue i Y Bacc — ««a( ERAS (Ang. cof. "7" Ga-Lf)s4—2) . ) quae formula euaneícit fümto z—-f pro motus ini- tio. ln minutis fecundis ergo habetur: Peu 9 4aa——6afa (6a f)m wv Bcc - $ — JyiEg(;a—f) Ang. cof. —71 —T'Ga--f):a-—z) .— :y(ün-J)Egf E (n—2)(221 —1)f -- (3n 2) : Ang. cof. T A(au-—1i)f—z) vnde fequitur tempus quo virga LB in 2 LA : B compellitur fore — Tue e íecundis Ita fi initio dieti fuiffet EU , ideo- que 27—1—Y2 feu n— —5*^ erit hoc tempus yBcc y25»— B totum — yzzg;y:—: Ang cof L—,;, qui angulus proxi- CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 267 proxime continet oii ; 94 et in partibus radii 2, 287436. 15. Si virzam LA , quam hic vt fixam fpe- &auimus , etiam mobilem faciamus, vt ambae fi- mul fuper plano tabulae , ad quod quippe axis infle- xionis fumitur perpendicularis, moneantur , nullum eft dubium quin problema multo fit difficilius, et pro- fundiorem Mechanicae cognitionem poftulet. | Multo porro difficilius fiet problema , fi hae binae virgae in vacuo vtcunque proiiciantur , vt ax's inflexionis non amplius fitum fibi parallelum .conferuet , eae- que infüper extrinfecus a viribus quibuscunque folli-- citentur. ^ Quodfi praeterea corpus ex pluribus con- flet partibus, flexura elaftica inter f& coniunctis, nc- que adeo axes inflexionis in fingulis flexuris fuerint inter fe paralleli : nefcio an quis foiutionem faltem tentare auderet. Equidem hic tantummodo eiusmodi plurium partium compagem fum confideraturus , vbi omnes axes inflexionis in fingulis iuncturis inter Ííe fint paralleli , atque motus ita fit comparatus, vt in. eodem plano abíoluatur , ad quod illi axes fint perpendiculares, et in quo fimul fingularum partium . centra inertiae fint fita, etiamfi methodus ,. qua fum víürus, multo latius pateat. - ; 14. Principium autem primarium , cui omnium huiusmodi mótuum determinatio innititur, ex Sta- tica fcu ea fcientia , quae circa aequilibrium virium eft occupata , peti oportet. . Nifi enim conílet , a Lls: quibus 268 — DE AEQVILIB. ET MOTV quibus viribus corpus quodpiam , cuiuscunque indo- lis fuerit, in aequilibrio contineatur, determinatio motus , ab aliis quibuscunque viribus variati fruftra fufcipitur. ^ Euolutio autem accuratior huius prin- cipii eo magis eft neceffaria , quod ipfa motus de- terminatio , vtcunque is füerit intricatus , femper leui adhibita confideratione ad flatum —aequilibrii reuocari poteft, dum vires ad motus effectionem requifitae viribus quibus corpus actu impellitur ae- quiualere , ideoque contrarie applicatae cum his in aequilibrio confittere . debent , quod adeo etiam in motu fiuidorum locum habet. ^ Quocirca ihueftiga- tiones a ftatu aequilibrii incipiam. Problema r. 15. Si corpus ex quotcunque partibus — compofi- tum , quae flexuris elaflicis inter fe fint coniundiae , a 5 im quibuscunque fuerit follicitatum , definire condi- iones , quibus bae wires fe muluo in UE aadio-- coer- €eani. Solutio. Primum omnium obferuandum eft cunctas vi- zes perinde in aequilibrio effe debere , ac íi corpus prorfus effet rigidum ; fi enim fingulae flexurae fu- bito rigefcerent, inde virium aequilibrium neuti- quam turbaretur ; quocirca primo quidem in eas conditiones eft inquirendum , fub quibus vires cor- pus CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 269 pus follicitantes fe inuicem deftruerent , fi totum corpus tanquam rigidum ípectetur. Hunc in finem fingulae vires corpus follicitantes ita euoluantur , vt quaelibet puncto corporis Z, applicata fecundum ter- nas dire&iones fixas Zp, Z4, et Zr, quae ternis axibus inter fe normalibus IA, IB et IC fint pa- rallelae refoluantur. ^ Sit igitur vis Z p —fp, vis Zq-—4, vis Zr—r, et ponantur ternae coordinatae fitum pun&i Z definientes et iisdem axibus paralle- lae IX—x, XY—y et YZ—z, ac primo quidem conftat, fümmas omnium harum ternarum virium feorfim nihilo aequales effe debere , vnde hae tres conditiones colliguntur , vt fit: X 5 HU MEL gara S. TiO quibus obtinetur , vt corporis centrum inertiae in aequilibrio conferuetur. Verum hae tres conditiones nondum fufficiunt, etiamfi corpus totum foret rigidum , oportet enim infüper, vt corpori circa nullum plane axem mo- tus imprimatur; ex quo momenta omnium harum virium refpectu axiscuiuscunque fe mutuo deftruant, neceffe e(t. — At trium virium f, 4, * momentum refpe&u axis IA in plagam BC eft —ry—42; re- fpe&u vero axis IB in plagam CA eft —z—r»x; et refpe&u axis IC, in plagam AB eft —4x—py, vnde tres fequentes conditiones prioribus íunt adii- ciendae : 4^. f(ry-43)205; 5". /(pz—rx)—05; 6^. f(qx-py)—o. L135 Fa- Tab. II: Fig. 4. 2o DE AEQVILIB. ET MOTV Facile autem patet , dummodo hae fex conditiones locum habeant, momenta virium refpectu omnium plane axium , vtcunque accipiantur, pariter in nihi- lum abire. Nunc fex iflae conditiones fufficerent , fi to- tum corpus effet perfece rigidum , fin autem con- íftet ex partibus inuicem flexuris iunctis , necefle in- fuper eft, vt vires follicitantes cum vi elaftica cu- iusque flexurae, in aequilibrio copfiftant. Sit igitur in IN eiusmodi- flexura , cuius axis inflexionis fit reca £4 wvtcunque ad ternos axes inclinata , et ex ratione iuncurae et quantitate inflexionis - dabitur elafticitatis momentum , quo reftitutio in ftatum .Laturalem circa axem /4 intenditur. — Sit Ez hoc elafticitatis momentum , atque ad aequilibrium re- quiritur vt virium follicitantium. momenta refpectu eiusdem axis £4 fumta, fint vtrinque momento cla fticitatis E& aequalia. Cum fcilicet omnia virium momenta refpe&u axis ; 4 fumta fe mutuo deftruant, totum corpus per flexuram /INz in duas partes di- ftributum e(t confiderandum , quarum altera cis al- tera trans flexuram porrigitur ; atque momenta vi- rium alteri parti applicatarum refpecu axis 74 quo- rum fumma fit Vs, momento clafticitatis. Ez ita aequalia. funt. ponenda ,. vt reftitutioni in flatum. na- turalem reluctentur; tum autem fponte fumma momentorum ex altera parte fumtorum , quorum fumma eft——V5*, etiam momento elafticitatis Ez erit CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 7: erit aequalis pariterque reftitutioni aducrfabitur. Hinc quaelibet flexura peculiarem füppeditat aequationem, .Quae omnes cum íÍex ante exhibitis, conditiones ae- quilibrii quaefitas comple&untur. Coroll Tr. 16. Si partium iunctura ita eft comparata, vt inflexioni prorfus non refiflat , qui eft cafus cor- porum perfe&e flexibilium, tum pro fingulis flexu- " ris vis elaftica Ez euanefcit , et ex vtraque parte virium momenta refpectu axis inflexionis nihilo ae- qualia funt ponenda. Coroll 2». 17. Quo haec clariora reddantur , fint duae virgae aequales AC et BC in C ita iunctae, wt inflexae vi quacunque fe in directum extendere co- nentur: quibus in A et B applicatae fint vires ae- quales Ag, BP parallelae et ad vtramque virgam ae- que inclinatae, in C vero applicata fit vis duplo maior Cc illis item parallela , quae tres vires pro- inde erunt in aequilibrio fi ambae virgae vt vnum corpus rigidum fpectentur. — Vt autem ob flexuram in C aequilibium non turbetur, primum virga BC vt fixa fpe&etur, et vis Az momentum exe- ret ad inflexionem virgae CA augendam , quod er- go vi elafticae flexurae aequale effe debet. ^ Simili modo fi virga AC fixa concipiatur, ex vi B6 ; naíce- "Tab. TII. Fig. 5. 272 DE AEQVILIB. ET MOTV - nafcetur momentum priori aequale et contrarium quod tamen pariter inflexionem augere conabitur , ideoque vi elaflicae flexurae aequabitur. — Ex quo patet quomodo virium vtrinque agentium momenta íe mutuo deftruant feorfim vero cum vi elaftica flexurae in aequilibrio confiftant. Coroll-. 5. 18. Vbicunque ergo datur flexura , ibi corpus neceffario in duas partes dirimitur , quarum altera fi fixa concipiatur alteri motus circa axem flexurae imprimi queat. Quae partium diftinctio pro qua- libet flexura quo facilius percipiatur, reliquae flexurae omnes tanquam rigefcerent , funt confiderandae. Pro - his autem binis partibus virium follicitantium mo- menta probe a íc inuicem diftingui oportct. . Scholion. 19. Ex hoc principio manifeflo fluunt , quae iam olim de aequilibrio corporum tam flexibilium : quam elafticorum füm commentatus; dum a viri- bus quibuscunque follicitantur. ^ lbi autem omnes flexuras tanquam in eodem plano exiftentes affum- feram , cui fimul omnes axes inflexionis effent per- pendiculares, Nunc igitur idem principium ad com- — PPP plexum ampliffimum extuli , vt ad omnia flexurae | genera latifüme pateret , quo quidem fcientia aequi- libii maxime promota videtur. ^ Verumtamen ipía huius - 3CORPJELEXVR. ELAST,IVNCTOR. 275 duius principii applicatio (aepenumero ingentes ad- huc di fücultates inuoluit , dum virium follicitantium miótheonta reí (petita i$ cuitiscübque' oblique fiti non finé (ürnma-: moléítia definiuntur;; ^et fecueduim. prae- , cepta vüleanria ad' calculum reuocantue, —— JDifücultas fcilicet tum gotiffiinum offenditur , quando axis fle« xürae 74 ratione axium 1A,'1B 5 1€, .fécundum qtos fingulae' vites follicitántes ve(ohuümtur , fitum tenet vtcuuque obliquum ; tum enim -nonnifi. calculo pérquam pro'ixo ét taediofo, eius, refpe&u' virium Lp, Zq ct Zr momenta colligantur, cum tamea - negotium fatis facile fuccederet , fi. axis 74 vui .prin- dpalium IA, IB,et IC foret " pirallelus , fimilique 3modo inftitui poffet , quo 'earundem virium mormen- ta refpectu iplorum axium IA, ID, IC in folütio- ne -fünt computata. . Egregium izitur fübfidium fcientiae aequilibrii allatum eft. cenfendum. fequente - prepofitione , qua oftenfurus fum , quomodo ex vi- 2 | rium quarumcunque momentis disce ternorum "oaxjium inter fe normalium inuentis , facile definiri poft earundem virium momebtum refpe&tu alius suiusque axis obliqui per idem puné&um du&i: A tos Problema....2. 2o. Si demur virium | quaiumcunque auomenta weppeciu termorum axium lA, YB, IC inter fe morma- ium in puncío Y , imuemire earundem virium. momentum - vefpeciu axis Mdiqupque obliqui 10 pen idem punc£um . Llereiedi. , EX Tom. XIII. Nou. Comm. "a M eai Goes 274. DE AEQVILIB. ET MOTV Solutio. Tota haec inueftigatio commodiffime ad tris £gonometriam fphaericam reduci videtur. ^ Centro ergo I radio —* fphaera deícripta intelligatur , cu- ius fuperficies ab illis ternis axibus traiiciatur in puncis A, B, C, ita vt arcus AD, BC, CA fint quadrantes, in puncto O. autem tranfeat axis obliquus. IO, ad quod ducantur arcus circulorum maximorum AO, BO, CO. His pofitis fint virium follicitan- tium momenta refpectu. axis IA Lr; in plagam BC axis IB— Mr; in plagam CA axis IC— Nr; in. plagam. AD. lim quaecunque fint iftae vires, earum loco hic: eiusmodi vires determinatae. fübflituantur , quae ea- dem momenta gignant ,, iisque: propterea fint aequi- valentes. — Quare. in puncto B applicata concipiatur vis BL—L, cuius dire&io arcum BC in B tan- gat, quae cum fit normalis in radium BI axi IA. perpendicularem , momentum. dabit refpectu axié$ IA—Lr in plagam BC tendens , et quia haec vis. cum reliquis axibus IB et IC in eodem plano ia- cet , eorum refpectu nulla praebebit momenta. . Si- mili modo in C applicata concipiatur vis CM—M . fecundum tangentem arcus CA cuius momentum. - refpe&u axis IB erit — Mr in plagam CA ten-- dens, refpectu reliquorum vero axium nullum .pro-.- ducit CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. $7; ducit momentum. Denique etiam in A concipiatur wis AN—N fecundum directionem AB, vnde na- fcitur momentum refpectu axis IC— Nr in plagam . AB. Cum igitur hae tres vires BL—-L; CM—M et AN—N ipía momenta propofita refpe&u terno- rum axium IA, IB et IC exhibeant , eas loco vi- rium , quaecunque fuerint , vnde ifta momenta funt nata, fubftituere licebit, ita vt nunc tota quaeftio . huc redeat, vt harum trium virium momenta re- fpectu axis obliqui IO definiantur. Pro fitu igitur axis IO ponantur anguli ; AIO--A, BIO—qet-CTO—» qui a fe inuicem ita pendent vt fit cof. A* -j- cof. ^ --cof. y'zc 1 et cum ratio trium virium fit eadem, vis BL—L ad arcum BO indinata angulo OBL refoluatur in duas inter fe normales et in fuperficie fphaerae fitas , quarum altera in BO cadat, quae erit —L«ofOBL, altera vero huic normalis —L fin. OBL, quarum illa refpe&u axis IO nullum praebet momentum quia eius directio cum hoc axe in eodem plano exiftit, haec vero cum fit ad pla- num IBO ideoque etiam ad rectam DS ex D in 1O normaliter ducam perpendicularis dabit refpectu axis IO momentum —L. fin. OBL. BS in plagam BC. Ef vero BS—rín.BIO—ríáün.BO , ficque iftud momentum fit —Lrfin.BO. fin. OBL. . Pro- ducatur arcus. AO in P, vt fit AP quadrans et in arcum BC normalis; atque in triangulo fphaerico Mm 2 rectan- »46 . DE AEQVILIB. ET MOTV rze&aagulo BOP erit fin. OP — fin. BO- fin. OBE hiacque momentum illad —Lrfin. OP —Lrcof. AO —LrcoLA. Simih modo-ex vi CM—M refpe&tt axis IO- colligetur momentunr — Mrcof p, in plá- gam CA, et ex vi ANN momeatum —Nrcof. y ii plagan AB. — Quae plagae cum ratione motus eirca axem I1O^ generandi conueniant, ex viribus folicitantibus, quarum momenta Lr, Mr, Nr re- fpe&u axium IA, IB, IC fünt- coguitr, concludi- tur.fore momentum refpectu axis: obliqui 10 — Lrcof.A-- Mrcof E -- N rcof. y. . in plagam A DC, quod ergo- ex momentis j-didis ei «ili negotio obtinetur. Coroll. 21. Si axis IO. in aliquem principalíumr ves luti- IA. incidat. momentum ipfi L fiet aequale, quod inde e(t manifeftum , quia arcus AO—X euanefcit, et cini reliqui BbOx-[&. et CO zv» euaduut quadrantes; Coroll.. 2. 25. Fieri:poteft vt momentum : refpe&u — axis: IO euinefcat, idque inünitis modis. Angulo enim. A1O0c-cX* pro lubitü-affümto-, reliquos q& et v-ita affumere licet. vt. fiat L cof A -1- M cof. jc-1- N eof. yz o manente- cof. -i- eof --cofvy'—:; Cum: enim . inde- fit cof. y — EE» &t NINn, NZ(MMA-NN) cof: "^ 417- 2:L: M cof cof -ELLcofX- n abdnie die siint c esas as aae tir hünc-- | CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 557 —LMof.X-l: V(NN(MM 4-NN) fin.A* — EL NKCoEM) hincque cof.jJ.— mb ) —LMco.A-t- N V((LL 4- M M--NN) fin. À* —LL). Be ep[gt o PUEUUENNGENN OC 00-0 A L A quod fieri poteft dum fit fin.À DURLLGEMM-ENAD eritque —L Noof. AZ MV (LL 4- M M 4- N N) fin. A — LL) Bun caf VEA Dawes T et anguli jJ. et » prodeunt reales.. Coro 5 e3. Cafüs deinde imprimis notatu digaus: oc- currit, quo virium momentum refpectu axis IO fitomnaium maximum ; euenit hoc fi.hic axis ita capiatur. vt. fit : "S. Abd accion aos i cof:A — Y(OLZEM? AN?) ; cof. —q L?X-M?--N?) E cof. y — jr wir : tum enim eius refpedu erit momentum. — r Y (L* e MEN). | Corotl 4. ^ o24. Huius ergo | problematis ope. momentum virium corpus follicitantium rcefpe&u cuiusque fle- xuxae. euius axis. fitum . tenet vtcuuque obliquum definire , ideoque (íequens. problema reíoluere pote- — timus. js Problema- 7 lr 6owso Si^ cor ptus. ex. partibus | quolcumngue y. guae plexus elaflicir fint coniun&iae , compofitum a wiribus Mm 3 quibus- "Tab. IlH.. Fig. 7. s78 | DE AEQVILIB. ET MOTV quibuscunque follcitetur , earum | momentum: — ve[petiu vniuscuiusque flexurae IN, cuius axis tINu fium denet vicunque obliquum inueftigare. Solutio. Locus flexurae IN ternis coordinatis inter fe normalibus definiaur quae fint IL—7/, LM-—z, et MN-—» et in N tres concipiantur axes N/, Nu Nn ifíüs coordinatis paralleli , ad quos axis flexurae 74. ita inclinetur, vt fint anguli /N4—^ , mNu-—yM,nNau-v ideoque cof. ^ -- cof. j^ -- cof. Y* — r1, reliquae vero flexurae rigefcere concipiantur. Ita corpus in hac flexura in duas partes difpefcitur , quarum vtraque circa axem flexurae , motum reci- pere poteft altera manente immota. Virium «ergo quae alteri tantum parti funt applicatae, momen- tum refpecu axis 74 indagari oportet. — Huius par- tis fit Z punctum quodcunque coordinatis IX — x, XY-y,YZ-z definitum , cui vires fint appli- catae quaecunque , quae ad ternas directiones Zp, Zq, Zr reducantur, fitque vis Zp—p, vis Zq-4, vis Zr—r. lam primo harum virium momenta coligantur refpectu axium fictorum N/, Nz, Nr, ac manifeftum eft fore earum momenta FL e. refpeu axis N/—4(n—z)— r(m—y) in plagam sun 1 refpe&u axis N z —r(/— x)—p(1—2) in plagam n refpe&u axis Nu——p(m— y)— q(|— x) in plagam 7m. Quibus CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 249 Quibus inuentis ex problemate praecedente earundem ' virium refpectu axis flexurae 4 momentum conclu- ditur fore in plagam /mz: g(n—z)coCX—r (m—y )cofAJ-r (L—x)cof. p.—p(n—2)cot y. --p(m—y)coty—q(1—x)cof.». | Omnia ergo haec momenta per totam corporis par- tem colligendo ob quantitates /, ;z, 7» ct angulos 2, M,» conftantes impetramus totum. momentum quae- fitum : (micof.y—ncot y.)/5--(ac0f— Icof.v) fg4-(Icof. ceauaf A)fr -i- cof. Af (ry — 4 &)d-cof. .f(p £—rx)-4r- cof. vf(q x—py). Coroll. i. 26. In flatu: ergo: aequilibrii hoc momentum vi elafticae. qua. flexura. in. N. eft. praedita , aequale poni oportet, fiquidem. vis: elaftica: hanc corporis par- tem , ex qua momentum eft colle&um in plagam. - contrariam. 2:777. flectere. pant (rapa: n 2*7; Cum igitur. quaelibet flexura. Madii aequationem. fuppeditet ,. omnes: hae: acequationes illis fex , quas fupra: indicauimus- adiun&tae ftatum aequi- librii. corporis *determinabunt: | Scho- "ab. IV. Fig. 9. 280 DE AEQVILIB. ET MOTW ^ S codi 6:2. 8i 28. Én ergo wéra principia , ex quibus fatus | aequilibrii corporum flexuris clifticis praediorum ,. dum a -viribus quibuscunque . follicitantur , -dc&urti debet. Quae cum latiflime pateant, omnia ea Hie adhuc de aequilibrio corporum flexibilium, er. elafti- corum funt inueftigata, in fe comple&untug, dn. his autem inueftigationibus omuium flexuruinm. ,AXCS,. inter fe paralleli funt affüumti, quo calculi euolutio- magis plani et facilis redderetur; fin autem ifti axes inter fe non fuerint pardlleli , calculus nou fü- lum maiorem moleftiam inuoluit., | fed etium... .füm- mopere difficile eft pro omnibus inflexionibus, quae huiusmodi corporibus induci M fingularum partium fitum ad calenlum reuocare , wt principia hic ftab'lira in vfum vocari queant. " Quie diffcul- tis quo clarius perípiclaatur , cafum fatis fimplicem euoluam , quo corpus ex tribus tagtum conftat. par- 1 tibus quatum iun&urae axes habeant inter "fe nor- males, et quae ftatu maturali in dirfe&tum exteme | dantur. Problema 4. "n malis, iuntlurae C vero dXig C'y in ipfum di ca- dai d e ad bC fa uormalis ; inucflgare vires extremis i 29. 48) tres. virga? AB, EC, CDoita: ymntion iuniae , tL in fe napreab in dlrecfum io aur. ^ "- cndAd ir ndi d nep e ) v CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. »8r salibus A et T) applieundar , quae bas wirgas in fla- tu quocunque imflexo feruare valeant. Solutio. Pofits AB—«a, BC—b, et CD-—:, fint hae virgae per. inflexionem redactae in ftatum Tab. IV. Fig. 9. ABCD, qui ita repraefentetur , vt virgae AB et. BC in plano tabulae iaceant , et BC recae AG fit parallela , ita. vt flexurae B axis B£ ad idem pla- num fit perpendicularis , flexurae C vero axis Cc in hoc plano ad BC ideoque etiam ad axem AG fit normalis, circa quem tertia virga CD furfum fit flexa, ex cuius termino D in planum demitta- tur perpendiculum DH, indeque ad AG normalis HG. Sit iam angulus inflexionis in iunctura D—Z, et elafticitatis momentum —Eefin.Z, inflexionis au- tem in iunctura C—w« et elafticitatis momentum —F f íin.w; eritque ob BC ipfi AG parallelam an- gulus BAG-—Z, hinc AE—acof.Z, et BE—2f(in.Z EC-CR-HG, tum vero EB-—BC--2. "Porro ha- -bebitur CH—«ecof.€* ec DH-—cfin.y. Iam vircs ad hunc ftatum conferuandum requifitae fint in A ternae AP—P, AQ—Q;, et AR—R in D vero - fimiliter ternae Dp—5, D4—4, et Dr—r: vnde fi corpus fpectetur vt rigidum primo habemus: 15. P-2-5—0; 2*. Q-1-4—0; 5*. R-- r—o. Deinde ob AG—acot. Z-4-5-1-cco.X; GH-—afin.Z, et DH—cfin.w erit quoque ex problemate primo: Tom. XIII. Nou. Comm. Nn 4^ 282 DE AEQVILIB. ET MOTV 4^arn.Z-eg nz; 5*. cpfin.y-(acof Z--b-Fecofw)r-a 6". (acof.Z --b-4- ccof.4)g —ap fin.Z — o quia pro viribus in A coordinatae x, y, z euanefcunt, vnde hae vires ita debent effe comparatae vt fit pz (aco. 4-b--ecotw)5; q—asüin.Z et rzesfin-X et P-—-—p;. Q—-4; & R—-r. Nunc flexura in B confideretur, et pars BA a vi- ribus fibi applicatis de ftatu naturali detorquetur momento —P. BE — Q. AE , quod clatticitati Ee fin. Z aequale pofitum. dat —apfin. Z-1-aqcof. 4 — Eefin.Z feu —(ab d accof.»)s— Ee; hinceque &—;5 pg Denique pro flexura C confideretur pars CD, cu- ius vires praebent momentum de ftatu naturali de- torquens —r. CH—$.DH momento clafticitatis F f. fin. aequandum , vnde prodit —c(acof.£ -- D) s Ff feu. s — BOr Ex quo patet inter ambas inflexiones certam rela- tionem intercedere debere, vt a duabus tantum | . viribus in terminis A et I) applicatis aequilibrium | feruari poffit: oportet fcilicet fit Eec(acof. &-4- b) —Ffa(b-cecofw); ac tum vires ante aíhgnatae huic ftatui inflexo conferuando erunt pares. Coroll. CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 253 Coroll r. 50. Quia tres vires in A applicatae cum tri- bus in D applicatis in aequilibrio confiftere debent , vna vis illis aequiualens vni his aequiualenti aequa- lis et contraria effe debet ; facile autem intelligitur ambas has vires in ream AD extremitates iun- gentem cadere debere. Coroll... 2. 51. Hoc etiam cum formulis inuentis. egregie conuenit, fi enim extremitates A et D filo conftri- ctae concipiantur cuius tenfio fit — T , pofita recta ADc-Ek, habebimus vires affumtas porsiCebeeeseaT. Q— WT, n RIUEUT ideoque ; — T, Coroll 5. 42. Hinc ergo interuallum A D-—£ cum ten- fione T in computum testi erit primo a (54-ccof.«) — E** et c(aco.Z-- 5) — 5: deinde vero eft M 2.ab cof. ad 2bc cof.--2 accof. £ cof. 4. b k b Cum ergo fit cfi —T. T q » €t cof. — psc — — - fa&a hac fübftitutione prodit : | kkzaa—bba-eed- ue Nnas 1nde 284 — DE AEQVILIB. ET MOTV vnde tenfio ad hauc inflexionem continendam fit T — ky Yy2EFef — WVac(kk-4-bb—aa-—cc) quae ergo per longitudinem fili AD et elafticitates vtriusque iuncturae determinatur. Coroll 4. 535. Ex data ergo longitudine fili feu inter- valo AD-——k cum vtraque elafticitate non folum. tenfio T íed etiam inflexio in vtraque iunctura de-- finitur, dummodo eueniat, vt anguli £ et. * pro- deant reales ; quod fieri nequit nifi eorum cofinus fnt vnitate minores, Scholion. | 54. Solutio autem hic data maxima incomi- moda atque adeo contradictionem inuoluere videtur. Cum enim nullum fit dubium ,. quin pro qualibet longitudine fili feu interuallo AD certa tenfio T requiratur ad virgas in ftatu, inflexo- - continendas tamen fi pro T valor inuentus. fübftituatur , omnino euenire poteft ,, vt alterutrius angulorum £ et w; co- finus prodeat vnitate maior, ideoque inflexio im- poffibilis.. — Confideremus " tantum cafüm quo altera claficitas puta Ee fit infinita ,. quod eodem redit , ac fi iunctura in E rigefceret , nullamque plane in- . fÜlexionem admitteret. Hic ergo cafüs vnicam flexu- ram in F habens conuenire deberet cum eo, qui fupra $. 6. eft euolutus a,,6t pro cuius qualibet in- flexi- TU CaL Pu. Tu DR ^ 1 CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 285 flexione tenfio fili T eft affignata. ^ Verum fi in - forma hic inuenta ponatur Ee—-cv, tenfio T prodit quoque infinita , hincque cof. —— eti cof 4 o2, quod manifefto eft abfürdum , praeterquam quod etiam angulus Z fieret imaginarius fi ba. Hic certe aperta contradi&io cernitur quae non folum huic cafui , quo altera iunctura rigefcit eft propria , fed etiam. vtraque flexura admiffa faepenumero 1lo- cum habere debet. | Nullum tamen hic calculi vi- tium deprehenditur , ex quo maximi erit momenti in caufam huius difcrepantiae a veritate diligentius inquirere. ! Solutio. difficultatis. 85. Analyfin autém vniuerfam accuratiüs cón- templanti mox patebit folutionem inuentam non efle completam ; fed in calculo quasdam folutiones , quae certis cafibus folae locum habere poffunt, per'diui- fionem aequationüm effe füblatas. ^ Scilicét cum fit kkzaa-r- bb-1- cc-1- 2 ab cof. £ -4- 2 be cof. q-1- 246 cofécof.w ob s— —,, binae reliquae aequationes reuera ita prodierunt expreffae :- Ta(b-ccof.w)fin.Z Eekfin.Z et Tc(acof. Z--D) in. ' -— Ffkfin.« ita vt illa etiam praebeat fi. — 0o haec vero fin.q—0, quae quidem ambae folutiones fimul con- fiflere nequeunt, nifi fit k—4-1-b-1-e hoc eft in ' fitu naturali, — Verum quoties diflanta AD—: | Nn3$3 minor 286 DE AEQVILIB. ET .MOTV minor eft quam 4-1-b-|-e, toties euenire poteft , vt fit vel Z—o vel 4—20, hoc eft vt altera flexu- ra nullam vim patiatur. Quodfi nimirum fit £—o, et virgae AB et BC maneant in dire&um extenfae ; altera aequatio praebet Tec(a-i-b)— E fk , ideoque fit tenfio T zm u3 angulus autem *« ex prima aequatione kk —(a-4- by --ec-4- 2e(24- b)cof.« .de- finitur. .. Simili modo fi. »—0, quo cafu in F. nulla inflexio oritur, fiec T— D et kk — (bc) -1-a4 --2 a (b -43-é)cof. Z., vnde angulus Z cognofci- tur.- Sicque femper pro quolibet interuallo A D—k duae folutiones locum habent, «quarum altera in- flexione in E caret, altera in F,:atque nunc demum intelligere licet , 'cur aequilibrium :plane non detur, quod duplici. inflexione. gaudeat. — i«Duplex nempe inflexio locum — habere nequit., "nifi füb conditioni- bus in folutione «contentis, «quae huc redeunt, vt cum fit cof/Z «x "et col.» & x, fiat Eek2 Ta(b4-c) et Ffk Z Tc(a-4-5) ; Quia vero tum eft vti inue- Lu ky EF yUBReP nimns d Mjarzir 7:3 Im mimecr Te hae conditiones. dant 2a (b -4- cy Ee a (kh -- bb —aa-—cc) EA REDIT) et py XI . quo- "eld quidem limitum. ille manifefto maior et hoc , cum ex comparatione inflituta fequatur aac(a-- by (b-y-cy e ac(kk--bb—aa—scy feu 2 (a-3- b)(b-3-c) - kk-3- bb —aa—cc. hincque (aci-b-3- c) f kk vti rei natura poftulat. Nifi "rw CMT Ld CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 287 Nifi ergo pro fümto interuallo AD --E ratio ela- flicitatum Y intra illos limites]'contineatur , tenfio- né fil AD duplex inflexio produci nequit, wt ae- quilibrium oriatur. Coroll. r. 56. Hae ergo conditiones, ratione efafticita- tum FP v£ data fpectata, huc redeunt vt fit 1". kk 24a-41-cc—b b 4-502 Hd et O2 kk Gaa-t-cc— bb 0E, Fs quarum quantitatum minor fi adhuc maior füuerit quam (2-31-b-1-£), pro quouis interuallo AD-—Ek, duplex inflexio in acquilibrium ingredi poteft, fin autem ea minor fit quam (2-1-5-1-2)', tantum in maiore fili contra&ione. tale aequilibrium obtineri poteft. Coroll:. 2. 37. Quodíi tres virgae fint longitudine aequa- - les; feu b—c-—ca conditiones illae dant sEe 1*. kk aa(1 31-52) ; 2*. kk aa (1 4-]). - Quare fi ambae elafticitates fint pares, vtraque dat k-354 et pro omni fili contra&ione tale aequili- l i i Eek brium dabitur, vnde fit tenfio T-— ps ob | : y dk — LFf—E^,.et inflexions co.Z— * 27-9 — x^ et | NS — 6» — 19 mi vt fia ! ! Hus r2 2 45kk—aa ILI Eek feu cof.;4— co. ;« — Y ^ su , et Wu co dc Coroll. 288 DE AEQVILIB. ET. MOTV Co a9l.l. «9. 5.88. Quodfi autem. eodem. cafu. 5 —c— 4 , am- bae elafticitates. fint inaequales; puta Beca Ff. y fen Ee — Y; 2» debet effe * kk Zaa(x -- 4) et |2*. Wiegoats aig vnde tile aequilibrium non datur nifi fit k-GaY 5. Tum autem. erit tenfio.T — zz 5:55 et inflexio vtraque Nee kk — co(Z— YEET*9 Ll, et cof «— fet fe. Vnde fi "ner inflexio in F etiamnunc eft it Ff l| et Z—9o ac T— —- filo autem magis ad- ftricto vt fiat k— 24, tum prodit cof. T — a et cof 4 — Y 3—1 , atque Tos Coa Gr. 04s 49. Confideremus etiam cafum , quo virgae funt insequales fitque a—2« et 5— 2a, eritque. : 18, Ff 12 B e Le E RC: re) et kk S aa(—2-1- 795). Quare fi fuerit. vel - -— i vel *;41 ; nullo plane inodo huiusmodi aequilibcium obüncri poteft. Scholion r. 4o. Euolutio huius cafus víu non carebit, cum inde pateat faepenumero pluribus modis ae- quilibrium exiflere poffe. ^ Quod cum eueniat in corpo- | CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 289 corporibus gemina flexura praeditis , id multo magis contingere poterit , vbi adhuc plures flexurae ad- mittuntur , quarum axes inter fe non funt paralleli; haecque circum(tantia in doctrina aequilibrii fine du- bio maximi eft momenti. ^ Etfi autem haec prae- cepta tantum ad aequilibrium pertinere videntur , tamen etiam ad motum definiendum adhiberi pof- funt, dummodo iis fequens principium ex natura motus petitum adiungatur. Ex quotcunque partibus corpus fuerit. compofitum, unicuique parti generaliffiuue tribuatur su01us. quicunque, et inuefligentur vires ad eius variationem. producendam requifitae : tum iflae «ires in contrarium wertantur., baeque cum viribus , quibus corpus adu follicitatur , jn aequilibrio confflere debent , ex quo praecepta. pra gequilibrio definiendo Iradita certum. aequatienum. mume- vum fuppeditabunt. ^ Deinde vero motus wnmicuique parti tributos ita temperari oportet , wt mon folum fmgulae partes maneant contiguae , fed eiiam axes iuncturarutm debitum fitum | conferuent. Quae conditiones cum illis aequakionibus eoniuncíae verum motum deteriinabunt. Scholion 2. 41, Tametfi autem; hac regula totum. nego- tium conficitur, tamen in eius applicatione faepe infignes adhuc difficultates: obítant , quo minus cal- - culus expediri queat quod potiffimum euenit , quan- . do nec. axes iuncturarum inter 1e& funt paralleli , Tom. XIII. Nou. Comm. Oo nec 'T'ab. IV. Fig. 1o. 290 DE AEQVILIB. ET: MOTV nec motus, quafi in eodem plano fieret, confidera- ri poteft. Tum enim cuique parti motum quem- cunque tribuendo , praeter motum progre(íliuum cen- tri grauitatis in calculum induci debet motus gyra- torius circa axem quemcunque per id centrum du- &um, eumque adeo variabilem ; cuiusmodi autem vires ad huiusmodi motum requiraotur, nonnifi pluribus formulis non parum complicatis declarari potefl. : Deinde etiam in tali motu generaliffime confiderato non facile definitur, quomodo fitus axium vtriusque iuncturae, quibus haec pars cum contiguis cohaeret , varietur, quod certe non fine taediofo calculo fieri poteft. (Ne igitur his tantis difficulta- tibus hic impediar, quas forte aliquando füperare licebit, inueftigationes meas ad eum tantum cafum adftringam , quo omnium iuncturarum axes inter fe fünt paralleli , totusque motus ad idem planum re- vocari patitur, quippe 3 quo cafu femper eft exor- diendum , antequam difficiliores azgredi conueniat, Problema 5. 45. Si corpus quodcunque in eodem plamo mouca- zur iu quomodocunque «ariato, inuenire vires ad mo- ius variationem "requifitas , earumque uomentum ve[pettu: aliusculusque axis ad idem planum perpendicularis. Solutio. Exhibeat tabula id, planum , in quo motus fieri concipitur fitque M. maffa corporis, cuius cen- trum CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 9: trum inertiae iam verfetur in M pun&o coordina- tis orthogonalibus IQ—»x et QM-zy determinato ; tum vero fit Ms momentum inertiae corporis refpecu axis pcr ipfum centrum .M tranfeuntis et ad planum normalis. Per punctum MM ducatur re- €&a EF ad iun&uras, quibus forte hoc corpus cum aliis cohaeret ; etiamfi enim fieri poffet , vt confti- tutis his iuncuris in E et F, recta EF non fit tranfitura per corporis centrum inertiae ; tamen ab hac irregularitate mentem abftrahamus, quippe cu- ius ratio facillime in calculum induceretur. | Dudis porro per M rectis M;s, My. coordinatis x et y parallelis , vocetur angulus FMzz— p. — Cum iam quantitates Y, y, et M. labente tempore, quod indi- cetur littera 7 varientur , quatenus haec variatio non eft vniformis viribus opus eft ad hanc motus mutationem in corpore effüciendam. Ac primo qui- dem pro motu centri inertiae requiruntur vires al- DHL. TET Mdd AE tera in directione Mz — —;5^ , altera in dire- &ione Mp. — 1227, fümto temporis elemento 4: conftante ; hic quidem eius quadratum 47* fine coef- ficiente 1nduco , quia notaffe fufficit, fi tempora in minutis fecundis exprimere velimus , loco 47^ fcribi oportere 2247 denotante g altitudinem , ex qua graue vno.minuto, fecundo delabitur, fiquidem maí- fae et vires follicitantes ad pondera reuocentur. Por- ro autem pro motu gyratorio corporis circa M re- 4 | Mmmdd quiritur virium momentum — LA in pla- gam Xx, Yy tendens, quo angulus FMj. magis Oo 2 gpe- a9» DE AEQVILIB. ET MOTV aperiatur. — Huius ergo momenti loco, fi vtrinque capiantur interualla aequalla. M X—MYc--m, iis normaliter fubfiitai poffünt vires aequales et contra- rae XxccYy— *T?25. quippe quae folum mo- tum gyratorium afficiunt , dum in fe fpe&atae fe mutuo deftruunt. His viribus inuentis, quae ad motus variatio- nem requiruntur videamus quantum momentum praebeant refpectu puncti cuiusque V feu. potius axis ad planum motus normalis ibi conftituti , qui cum fit axi gyrationis in M confiderato parallelus , a viribus Xx et Yy in eum exeretur par momen- Lo Mmmdd tum —— ——Z—- in eandem plagam T tendens. Tum. vero fi pro hoc puncto V f(tatuamus | coordi- natas IT— T et TV—V; a vi Mzg—E23* orig. — dti? : ..Mdd tur in eandem plagam TÓ momentum — tis (V-y), : Mdd a vi autem. Mp.— ^;7— momentum in plagam Mddy H Box contrariam T£ — —57-(Ll—«x) . Hinc ergo vniuer- füm momentum refpecu axis V in plagam TÓ erit — UTE Ip "qe (Vy) — IRA (T—3) — za (mmddy.-i-xddy —y dd x-A- V ddx — T dd y). C'orolLk i. 45. Notari hic in genere meretur , quod vi- rium momentum refpecu axis M inueotum idem maneat pro omnibus aliis axibus illi parallelis; quod eatenus tantum locum habet, quatenus vires illae - Xxx . CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 593 Xx et Yy funt aequales, et in contrarium directae, Quemadmodum enim earum momentum refpectu Ex M eft —Xx.MX-L-Yy. MY—Xx.XY, it etiam refpectu axis F momentum in eandem plagam et Xx. FX—Yy.FY-—Xx. XY, quod idem de omnibus aliis valet. CDEOLDL 5 44. Hactenus nulla ratio eft. habita puncto- rum E et F, vbi hoc corpus forte cum aliis ope flexurae eft coniunctum ; ita hic EF eft recta quae- cunque per M du&a, vt angulus F Mz — y. in com- putum duci queat , quo quippe ratio motus gyra- torii definitur. Goat" 45. Quodfi ergo iun&urae E et F cum cen- tro inertiae M non in directum iaceant, alterum tastum angulum FM;z in computum expofitum introduxiffe fufficit , quandoquidem alter E M/ ab eo, angulo quodam conftante differt , ita vt fi ille fue- rit FM-—p., hic futurus fit EM/— y. -- Conft. et vtriusque differentiadle quod in hunc calculum r | ingreditur , fit idem. Problema 6. 46. Si corpus ex tribus partibus A DB, BC, cd IV. MM in D et C flexura elattica. iun&is compofitum pr ME p Oo 3g füpet p T" 4 MER. s r — v7 d " 294. DE AEQVILIB. ET MOTV fuper plano vtcunque proiec&um moueatur , eius- motum definire. "Solutio. Vtriusque flexurae in B et C axis fit ad pla- num tabulae perpendicularis vt ratio motus exigit ; fumta in plano directrice IR, in eam tum ex iun- &uris D et C, tum ex vniuscuiusque partis centro inertiae L, M, N demittantur perpendicula ,-ac po- nantur coordinatae : IPzzy;jPp—ySTQ-—zr QMCUCOIRIXCG RN fit porro maf partis AB—L,. partis BC—M, partis CD—N et momenta inertiae cuiusque partis refpectu fui centri inertiae pro parte AB—L//, parte BC— Mz, parte CD— Nn. Vocentur etiam anguli BL/-3, CMz-py, DNnzv vbi quidem affümo rectam BC per ipfüm centrum - inertiae M partis BC tranfire, et ponantur inter- valla : AL-—a, LB—a, BM», MC—$, CN—?, ND-y eritque : : jJ x/—x--acof.A-1-b cof. ;. 3//— x/-- 6cof. I7 cof.» | J/ Xy-- afin. -4-bfin.y. ; y" —y'-- 6 fin. - rc fin.y. His pofitis cuiusque partis motus progrcíliuus pou 4 lat.vires vt vidimus IRSE 9 DT CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 29$ M ddx' : Nddx*" , DER ie MW ONS— ux Ldáy UNUM d'ebsros LN d y" L^-— dt 3 My — dd£. 355 Ny adXs s Quouiam igitur corpus a nullis viribus extrinfecus follicitari affumitur , primo nancifcimur has duas x cap . Lédéx 4- Mddx Nas" cse; feu Lx -j- Ma" 5 IN A4 eA FEL 2. Lddy A- Mddy/ -3- Nady"—0; feu Ly-1- My^ -- Ny" — B: 4-35. Porro neceffe eft vt virium requifitarum omnium - momenta refpcctu axis cuiusque , ideoque etiam pro axe l euanefcant vbi T—o0 et V—0; vnde fequi- tur haec tertia aequatio: 9*. L/lddA-A- Mmmdd y. -A- Nnddy pier udin —J3' ddx/)H-N (x ^ddy/' —J" dd x" )—o0. Praeterea ad flexuram vtramque eft refpiciendum ; cum igitur in DB fit inflexio facta per angulum —g—2A in C verso per angulum v—q, fiquidem in flatu naturali puncta A, B, C, D in dire&um ia- ceant, ponatur momentum elafticitatis in B—E efin. (p —*) et in C—Fffin.(v — 4). Hinc pro flexura B ex altera totius corporis parte - AB nafcitur virium requi&tarum momentum , ob T—3r-4-ecofA. et V2cy--afin.A ita expreffum LIlddÀ. "di 296 DE AEQVILIB. ET MOTV llddA ,.Ldd Ldài cR AS can. LI ? &cof.À, in plagam ;Q tendens quod jS fuüumtum cum vi elaftica iun&urae quae in eandem plagam tendit in aequili- brio effe debet , ex quo obtinetur haec aequatio : Lildd*X La (d d x fi Y —dd y cof. X 4^, ESOS Lo EREREITOU2 2:9 — Refin. (V — 2). Pro iun&tura in C vero confideraudis viribus ex par- tibus AB et BC ortis nafcitur momentum in pla- gam cK tendens: Llldá Lddx Lddy Eee) so Rc Mmm ddy Mddzx' "quc ie ge e vnde colligitur haec aequatio : *. "rr -- ar (afin. N-F (b-1- 8) fin. y) — 2 («cof A (b4-6) cof.) Mmmddu , Mdd Mdd "X ERE VUES C fin. jc — 77527. 8cof. j — F f fin. (v— y). Ex his ergo quinque aequationibus ad quoduis tem- pus 7 definiri oportet has quinque quantitates *, y, À, p, Y, cum reliquae coordinatae x/, j^, a'^, ex his iam determinentur; Corzoll . r. 42. Tertia aequatio- per fe integrabilis praebet hoc integrale : LJ1d^ A- M nud y.A-NmdyA-L(xdy-ydx )-M (dy ada) -- N (^ dy" —' d«' ^ y-Cdt Har prima autem et fecunda geminam integrationem ad- miferunt vbi notandum eft, fi totius corporis cen- trum - CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 295 trum inertiae quiefcat, conftantes A, B, et 9f, 2$ euaneícere. Coroll 2. 48. Si aequatio quinta a tertia auferatur , re- manebit : : INnnddyA-Lddy(x4-acoA4-(b4-8)cof. y.)2- Mddy/(x/ 4 &cof: g.) —L4éex(y-r-atinJ-r-(54-6)tin.y)- Mddx/(y^- 6 fin.) vltpaidi diua: i5 ca ; —-—Ffdrün.(v— y) bi fi loco zx, y, x^, y" valores füpra dati Tubi tuantur prodit INunddy4-(Lddy4-Mddy" 4-.Nddy"" (x-4-&cof. DU cof.y | cüLddz-EMdds Nd y 6fin.y.)- Neddx" fin.y 2i -z—Ffdrfün.(9—&) «juae ob aequat. n. x et 2 contrahitur in hanc Nanddy-- Nc (ddx^/ &in.y—2dy^cof.y) —— Ffat*fin.(y— k) quae eadem prodiiffet ftatim , fi elafticitatem flexu- rae in C cum momento virium ad alteram partem CD pertinentium comparauifíem. Coroll 5. 49. Subtrahamus quartam aequationem a quin- 1à., et fiet? Mmmddy.4-Ldds(b4-6)fin.g. 3-M da". 8 fin. —Lddy(b-r-6)cof. y. — M dy". &cof. p. | 000 084 Ffdr fin. (y— y) — Eedi^ fin.(y. —2) —. (Tom. XIII. Nou. Comm. Pp fub- 298 . DE AEQVILIB. ET MOTV fübftituantur hic ifi. valores :. "asi raf ^ Mddy/——Lddx-Nddx/^ et. Mddy/—-— Lddy -Nady^ ac re:ultabit Mramdd y. -Lb(ddx a. y. —ddy cot yc) Ffar*fin. (v-g) —Né(ddx"'fin.y.—ddy"^cof. v) -Ecdi?(in.(q.-A]. Coroll. 4. 50. Praeter aequationes ergo iam integratas , vel potius loco aequationum. n*. 3. 4 «t 5. has enolui conueniet: — LIlddN-- La(ddxfin.A- 4dy cot.3) -Eedtr n.(g.-4) Mam dd y---Lé(ddx fin.y.-ddy cot. y.) --Ffdz?ia.(v-p.) —Né(ddA!Gn.g.-dd)''cof.1.) ^ -Eedr*fin. (uc. A) Nnunddy—N c(ddx/" in.y—ddycof.y) ——Ff. di*ün.(v-M.) €x quarum. contemplatione infignem analogiam. col- lgere licet. : | Scholion. 31. Merge fcilicet. ponamus :' Edda diy QN dd xi T ^» Nddy" : dr —p; p —4;Ydp^—-[i j ds —-4 hincque Mddx —— rum e dr —f —p et —q4 —1 trc$. poliremae. aequationes has induunt formas : EllddAà E TTERI -- à (fin X — geof X) — Eefin. (gj —X) Mmmd^y; "TE CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 259 M AB p b (pfin. y. — 2 cof. pj.) — 4- F fin. (y — p.) -1- 6Cp^fin. —4^cof.j) —E.efin.(p. — 2) WNumddy 4r —--c(p/ fin.y —4' cof.y) — — F f&n. (v —4). Ac fi in prioribus aequationibus hos valores affum- tos fubfttnamus, fequentes obtinebimus determina- tiones: —L (M -- N)a dd. cof. A —L (M —- N)5 H-N8)d d. cof: —LNe dd. cof. v p (L-4- M 4- N)dt* —— cL (A 4-7 N)o dd. fin — L (0M 4- N)b 4-N6) d d. fin. — L Nc d d. frn. y Mr sdia VA an lda4- Md N)dt? —LNadd. 1d. cofJ-A — —N(Lb 4- (E -4- M) $€)dd. oti — NC Med cage cof. v — (L--Ma-N)df? 7... — YNadd. fin. A — N(L b-4-(L -- M)6)d d. fin. y — N(L 2 M)c dd. fin. Jin.v : 15 pam s pa (L-- M 4-N) di? /— qui valores fi ibi fübftituantur , ternae tantum erunt variabiles A, 4, v» quas ad datum tempus z definiri portet , ad. quod tres illae aequationes fufficiunt. AAttendenti autem facile patebit quantitates f et 4 vires defignare quibus partes A B et BC in iuncu- xa B praeter elafticitatem cohaerent , feu quae eas 3 fe inuicem diuellere conantur. - | Ala Solutio eiusdem Problematis. 52. Statim igitur vires, quibus partes in fe mutuo agunt praeter iuncturae cuiusque clafticita- tem , in calculum introducere licet , vnde hoc com- modi affequimur , vt motum cuiusque partis. feor- fim definire queamus neque amplius opus fit , prin- Pp2 cipium 500 M DE AEQVILIB. ET MOTV cipium aequilibrii in fübfidium vocari. -Factis ergo iisdem. denominationibus , quibus ante fümus vfi Á perpendendum eft, binas partes contiguas ob nexum certis viribus in fe mutuo agere, quibus efficitur ne a fe inuicem diuellantur. In iunctura igitur B füumamus partem A B ob nexum cum parte feéquen- te BC follicitari binis viribus B5—p et B6—9 fecundum directionem coordinatarum , atque ab iis- dem viribus pars DC in plagas contrarias afficietur. Simili modo iunctura C exerat in. partem. DC. vi- res Ce/ —/ et Cy — 4^, quae ergo contrario modo agent in partem. CD. ; 55. Iam fingularum partium motum feorfinr euoluamus , e£ cum pars prima AB follicitetur vi-- ribas B5/—p et B6—4 praeter vim. elaflicitatis im iun&ura B, quae motum. progreffiuum non afficit. Quare pro motu progreffiuo huius partis habebimus: eS et prs da ih vbi notandum eft , fi haec pars AD infuper extrin- fecus a viribus quibuscunque follicitaretur , earum rationem etiam in motus huius determinationem introduci oportere. ^ Quod vero ad motum gyrato- rium huius partis A D. circa fuum centrum | inertiae: L attinet ,, quo angulum BL/— X augeri fumimus, euidens eft virium f et g momentum ad hunc mo- tur accelerandum: effe —aqcof.A—«pfin.A. Elafti- citatis autem. in B. momentum Eefin.(g.—2) folum motum CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR. 3oz motum gyratorium afficit, huiusque quidem partis accelerando; dum eo fequentis BC motus gyrato- rius retardabitur , ex quo pro accceleratione motus si. : . L : gyratorii partis AB. obtinemus. —7 22 — & (q cof. ^ —pfin.X)-4- E efin: (y.— A). 54. Secunda iam pars BC follicitatur in B & virbus B//——9, B6——34, in C vero a viribus Cc — f/, Cy —4^ vnde pro motus progreífüui ac- celeratione colligimus z Mdda^ - Mid ag —p' —p et^jg —q —T4- Ex iisdem vero viribus nafcitur momentum pro motu. gyratorio circa centrum inertiae M accelerau- do — 64' cof. y. — &' fin. - -43- 0 q.coC y —bpfin. p. ; praeterea. vero ctiam a. momento elafticitatis in C, «uod eft F f fin.(v — j.) acceleratur , a praecedente au- tem in D retardatur, vnde colligitur haec aequatio ere — (894b q)cof. p. (Ep bp) fin. pF fin. (v) —Eefin.(y. —^). 55. Tertia pars, quiax eff vltima, tantum in C follicitatur a viribus Cc/—-—$ ^ et Cy—-—4 , tum vero etiam a: momento elafticitatis in. C—Ff. fin.v—g) , quo motus tantum: gyratorius. retarda- tur. Pro motu ergo progreffiuo: habebimus : N.d d x^ Uwdidig" 2 / "di^ L—-—p) et 73:- —-—4 n s P3 ac 3o: DE AEQVILIB. ET MOTV at quia ex his. wiribus nafcitur momentum ad mo- tum. gyratorium | cirea IN. accelerandum SÉ ^ cof.y —fp/ bin.v. ifta elicitur aequatio , | Nnnddvy -eEUC cof. y Cp^fin. y)—F f fin. (y.— Hi 56. Hae formulae ezregie conueniunt cum an- te inuentis, ex quo haec methodus foluendi eo maiore attentione videtur digna , quod non folum negotium mülto comzodius conficít, fed etiam ita eft com- parata, vt nifi ante eius confenfüm cum praecedente perfpexiffemus, vix audacter afíeuerare eflemus aufi, ab elafticitate iuncturarum motum centri inertiae fingularum. partium. prorfus nón affici. —Aequationi- bus autem ex his quafi nouis principiis erutis ad- jungi conuenit hafce X/—x za cof. A-- cof. 5. x" — x — B cof: p. 4- e cof. v J/— y zzafin.A--bfin. 5: 3" — y/ — fin. & 4 cfin.y. Hincque fimul perfpicitur, fi plures tribus partes inter íe per flexuras elafticas effent coniunctae , at- que adeo etiam fingulae inter mouendum a viribus quibuscunque folficitarentur , quomodo motus deter- minatio ad formulas analyticas perduci debent. Euolu- CORP. FLEXVR. ELAST. IVNCTOR.; ^ 365 Euolutio analytica. formularum. ijnuentarum. 53. Cum fit ex hoc lemmate: | - fia. D d d. cof. & — cot. (44. fin.a — —44 uw cof. (« — 5) -- 4a fini (o —Qy fi ad contrahendas formulas (üpra $. sr. inuentas | ponamus : LXUN EP rd Q et xs E — a&quationes gd motum contincnics dus. induunt | formas z: I re (p. —)-(P5-4-QSladj. in. (p.—À) -t- Qacddvcot. y—A)—Qacdyv fin.(y—X) z Eedufin Aq n IT... Mounddy.--(PbbA: zQBE TRE) coco P m ene ir -F(P£4-QS)add Ncof. fu. )4-(Pb-- Q8 ad nf e x) -F(Qb-RS/cddvcot v )—(Qb E RS edv fin.(v- y. ) z Ffdr'ün.(y- |«)—Eedt*^fin.(p.—X) VIL. Nauddy--Recddy-A-Qazdd & cof 9—X)4- Qaid Nfin. (v—A) -H(Q--R8)ddpecot (vp. )94QUA- RE) ed in (v— zz Ffdt'ün.(v— y) quae 304 DE AEQVIL. ET MOT. CORP. FLEXVR. etc. quae primum additae integrationem admittunt : (LI4-Paa)d A-i-(Muumn-4-Pbb-3-2 QU64-R88)2p.-2-(Nmm-a- Rec) dy — -1- (P5 -3- Q$)a (25 -1- d v.) cof. (y. — 9) 4- Qe.c (43 -1- dy)cof.(y —2) -F(Qb-4-R8) c (d p.--d v)cof. (v - &) — Cf. Tum fi prima per d^ fecunda per dj. et tertia per - dv multiplicetur fumma itidem fit integrabilis dat- que : X(L/-4-Paa)dN:—- (Maitn-4-Pbb-1- 2 QD84- R66)gy.* 1 (Nmn--Rec)dy* »V(Pb-4-Q8)adAdy.cof.(g.-X)2-QacdMvcof.(v-N)- (Qb--RO)ed s dycof(v- y.) —Evedi'cof.(g.—^)--Efdt'cof.(vy—.)2-Dár". SECTIO -$)o(GSt5- 305 SECTIO PRIMA DE SIATV AEQVILIBRII FLVIDORVM. Auctore L. EVLER OO. CAPVT LL. 4 DE NATVRA ET VARIETATE FLVIDORV M. Phaenomenon Tr. i. S fluidum.3 vi quacunque preffum in aequilibrio verfetur, tum preffio per totam fluidi maffam ita aequaliter diffunditur , vt omnes.eius particulae parem vim fuftincant. .. Tom. XIII. Nou.Comm, 'Qq lllu- Tab. V. Fig. 1. 806 DAE. S-T| AEN Illuftratio. Sermo hic eft de fluido in aequilibrio exiften- te quod propterea omni motu deftitutur, non ob- flaate vi, qua id premi aífumimus: vel fi primo a&ionis initio, motus quidam in fluido füerit exor- tus, eo demum ceffante hic flatus fluidi confidera- tur, ita vt fluidum iam et preífionem fuítineat , et in aequilibrio verfetur. ^ Quod quo clarius percipia- tur, fit fluidum vaü A BC.DEF inclufum , in quo ope emboli £O tubo ABP infertae data vi pre- matur, cuius dire&io in ^O ad füperficiem fluidi perpendicularis eft intelligenda. Nunc igitur quando affrmamus hanc prefhonem per totam fluidi maf- fam diffundi , id primo, refpectu parietum vafis ita eft interpretandum , wt fí vífpiam effet foramen em- bolo O aequale et operculo CD claudendum , id pa- rem vim effet fuflentaturum , ideoque aequali vi apprimendum , ne a fluido. depellatur 5 cuius quippe vis operculum vrgens 74 ipfi vi prementi pO efi aequalis. Si aliud fimile operculum: c 4. maius mi- nusue concipiatur quam bafis emboli O vis id fe- cundum direcionem 5/7 "vrgens in eadem ratione maior erit minorue quam vis emboli. X Vbique ergo vafis parietes intus a fluido pelluntur talibus viri- bus, qüae fi fpatiola , in quae agunt, bafi. emboli O fiat aequalia , fingulae ipfi vi embolum trudenti erunt aequales: deinde vero obíeruandum eft fingu- las has vires in fuperficiem , quam vrgent, effe perpendiculares, quod quidem ex notione preífionis "per AEQVILIBRII F LVIDORVM. $07 per fe eft manifeftum. —— Denique haec prefío non folum in latera vafis intus agit, fed etiam per vniueram fluidi maffim aeque viget, in medio namque fluidi fi concipiamus molem quamcunque fgb haec a fluido ambiente vndequaque pari vi comprimetur, eamque idcirco fuftinere debet, ne in fpatium anguítius compellatur, vbi quidem pa- ritef liquet , has vires perpetuo in fpatia, quibus applicantur effe normales. ^ Hic autem perinde fe res habet, fiue moles fg b fit corpus peregrinum , fine ipfius fluidi vas implentis pars. Co Tuad lr. 2. Si ergo emboli bafis O dicatur — ff et vis embolum vrgens —p, tum fumto in vafis lateribus fpatiolo CD —/f id extrorfüm pelletur vi z4—4$, fin autem aliud fümatur fpatiolum cd—gg, id íu- finebit vim zr—75p cum fit haec. vis ad illam ^ vti gg ad ff. Coroll. 2. 5. Cum virium menfura commodiffime a pon- deribus petatur , fi loco vis p fubfítituamus pondus columbae , bafin — ff et altitudinem —a habentis , quae quidem ex nota materia conftare eft concipien- da, tum foliditas 2f praebebit menfüram vis f hincque pro alio quocunque fpatiolo 68 vis id vr- gens erit — a g g. Qq2 Coroll. 508 DE STATV Coroll 3. 4. Hic ergo modus vim prementem 5$ exhi- bendi hoc infigne praeftat commodum, vt fola illius columnae altitudo 4 fufficiat omnibus preflionibus , per totam. fluidi maffam cognofícendis: ^ quodlibet enim fpatiolum vim fuftinet aequalem — ponderi co- lumnae, cuius bafis ipfi ifti fpatiolo aequatur alti- tudo vero perpetuo eft —a. Scholion r. s. Hic manifefto affümfimus fluidum a nulla alia vi follicitari praeter eam qua embolus vrgetur : a grauitate igitur aliisque fimilibus viribus, quae immediate in fingulas fluidi particulas agere folent ; hic mentem omuino abftrahi oportet. Fluidum er- go vafi inclufüm grauitatis expers concipi debet , et »fub hac tantum conditione phaenomenum eft acci- pieudum: fi enim fluidum grauitate effet praeditum, partes inferiores praeter preffionem emboli etiam a pondere fuperiorum deprimerentur, indeque eueni- ret, vt vafis latera circa fündum maiori vi pre- merentur, quam in fummitate. — Quemadmodum autem 3 grauitate aliisque fimilibus viribus preffio- num aequalitas hic ftabilita perturbetur, deinceps tam pro ftatu aequilibrii quam motus inueftigabi- mus, hoc loco tantum notaffe iuuabit maximum difcrimen inter vires externas feu extrinfecus in flui- dum agentes, cuiusmodi eft haec vis embolo appli- cata AEQVILIBRII FLVIDORVM. . $695 cata, et inter vires grauitati fimiles , quae quafi intus fingulas fluidi particulas follicitant cffe confti- tuendum. Scholion 2. 6. Mirum omnino videri debet, quod ab wnica vi, eaque quantumuis parua quafi innumera- . biles nouae vires quantumuis magnae generari queant. Statim enim ac fluidum in fpatiolo O ab embolo premitur ,. tota fimul vafis cauitas interna , quan- tumuis ea fuerit ampla in fingulis elementis a pa- tibus vitibus vrgetur, fi fcilicet elementa bafi em- boli O aequalia capiantut , ex quo amplitudinem vafis augendo haec multiplicatio in infinitum ex- pandi poteft. ^ Deinde etiam eaedem vires fubfiflere poffunt , etiamfi vis embolum premens in infini- tum diminuatur , dummodo emboli baáfis in eadem ratione imminuatur: quem enim effetum producit vis p in fpatiolum f f agens, eundem plane effe. cum producit vis ;5.p fpatiolo ;5:/f applicata. Quod etfi fummopere eft mirandum , tamen meuti- quam vt abfürdum legibusque naturae contrarium Ífpecari debet , neque enim ftaticae praecepta ideo in dubium vocari folent , quod vircs minimae ope ma- chinarum in immenfuüm augeri poffe oftenduntur. Cum legibus autem naturae hoc paradoxon ita con- ciliare licet, vt dicamus ab his viribus etiam in immenfüm multiplicatis nullam a&ionem produci: Em fluidum in aequilibrio ftatuitur. Sub- Qqa3 . leto 810 'eadBTEr OS TpAAT VO lato. autem aequilibrio. fimul. atque. motus exoritur, - ab his tot tantisque. viribus non maior effectus pro- ducitur, quam qui fit illi vi principali embolum follicitanti confentaneus, | .Scho * ion 2» " Quoniam vidimus a fola vi embolum. O premente tot vires quafi per vniueríam fluidi. mas- fam excitari ;; eaque duplicata etiam has fieri duplo maiores hinc tuto concludi pofle videtur , fi eidem wafi duo huiusmodi emboli accommodentur , quo- rum vterque vi eadem prematur , etiam omnes preffiones in fluido duplicari debere ,. haec certe con- clufio ei canoni inniti videtur , quod canía gemina- ta etiam effe&us duplicetur. ^ Nihilo tamen minus haec argumentatio prorfus eft fallax: meque duo illi emboli quicquam amplius praeftabunt quam vnicus, quod etiam tenendum eft, fi multo plures eodem modo adhiberentur , quod. ingens paradoxon facile diluetur , fi circumftantias phaenomeni probe per- pendamus. | Cum enim vis sp in bafin nf f non maiorem producit preílionem , quam vie f in bafin ff sgens, euidens eft a duabus pluribusue aequali- bus viribus , quarum fingulae embolos aeque amplos £rudant, eandem plane in fluido pre(fionem oriri debere atque ab vnica: hocque ergo caíu falfum eft A caufa duplicata effe&um duplicatum produci. Hoc autem clarius inde intelligitur , quod operculum CD foramen embolo O aequale tegens tanta vi appri- AEQVILIBRH : FLVIDORV M. 31I ipprimi debeat, quanta vi embolum agit , fi igitur loco. operculi fimilis embolus adhibeatur , ei. quoque 3equalis. vis applicari debet ,; eum tantum in finem , » vt aequilibrium: conferuetur :; neque ergo inde noua preffio in ;fluido generari: poterit: fin autem hic al- ter embolus maiori minoriue. vi impellatur , aequi- librium plane tollitur atque effectus inde oriundi de- terminatio non ad hunc locum pertinet. KU : Biginni:g - Conclufio, IMS. qox. hoc phaenomeno colligimus naturam fluidorum aptitime in ea proprietate collocari , quod quaelibet preffio iis applicata per totam eorum maf- fam ita diffundatur vt omnes eorum partes eandem fentiant prefhonem , quatenus fcilicet fluidum in ae- quilibrio. perfittit. | Explicatio. 9. Natura fluidi in eiusmodi proprietate con- ftitui- debet, quae: non. folum ^ omnibus fluidis fit communis ; fed etiam. vt omnis materia in quam ea- dem proprietas competit, rece pro fluido habeatur. Acquabilis. autem cuiusque preffonis diffufio ^ per omnes. fluidi: partes. vtique eiusmodi | eft : proprietas , "quae non folum in omnibus fluidis- agnofcitur ,: fed etiam omnes materiae ftatim ac proprietate hac füe- rint praeditae ," merito ad genus fluidorum referun- "tur; tum vero etiam nulla materia hac proprictate 2012 defti- Tab. V. Fig. r. 312 DE STATV deftituta pro fluida haberi poteft. Neceffario autem haec proprietas omnia fluidorum attributa inuoluit , quae vulgo tam in particularum [umma paruitate , quam cohaefionis defectu conftitui folent , vt facilli- me fibi mutuo cedere et inter íc agitari queant, nifi enim particulae effent minimae et diffolutae , perípicuum eft noftram proprietatem nullo modo locum habere pofle. ^ Praccipuum autem momen- tum in hoc confiftit, quod ex hac proprietate omnia tam aequilibrii, quam motus. fluidorum principia planiffime deriuari poffunt , ita vt quaecunque. ma- teria hac proprietate fuerit praedita , ea neceffario tam in aequilibrio , quam motu leges iftis princi- piis innixas fequi debeat. ^ Cum igitur huic foli proprietati vniuerfa aequilibrii motusque fluidorum doctrina feliciffimo fucceffu fuperftruatur , dubium plane e(t nullum quin vera fluidorum natura et eflentia in ea proprietate conftitui debeat. Scholion r. 10. Primum autem ftatim hac proprietate corpora fluida maxime diítinguuntur a corporibus folidis: quacunque enim vi corpus folidum tabulae apprimitur, eandem praecif vim tabula fuflinet idque in eadem directione , neque inde in corpore vlla. vis latera verfus nafcitur. ^ Scilicet fi in "vafe ante confiderato ABCD EF, corpus folidum con- tineretur , vel fi fluidum in eo contentum per con- gelationem in folidum transmutaretur , tum id ab embo- AEQVILIBRII FLVIDORVM. $153 embolo O prefíüm fundum tantum oppofitum E 4 pari vi vrgeret , multo minus adeo fürfüm circa A et B was impelleret, quemadmodum a fluido fieri Obíeruauimus. Tum vero etiam haec proprietas fluidum diflinguit ab aceruo minimorum corpufcu- lorum folidorum: veluti fi idem was arena effet re- pletum tum quidem a preífone emboli O non fÍo- lum fandum, fed etiam latera vafis quampiam vim fentirent , vt foramine pertufo arena erumperet, verum tamen hae vires neutiquam inter fe forent aequales , vti fit in fluido, fed fundum embolo op- pofitum femper maiorem vim fuftineret quam late- xa. — Quin etiam vis in latera exerta maxime foret jnaequalis , dum a difpofitione fingulorum granulo- rum, prouti dlia ab aliis impelluntur pendet, quem- admodum «ex principiis flaticis colligere licet: vix autem arena füperne circa A et D, fi ibi foramen fierct , effet. eruptura. Scholion 2. i1. Hinc igitur fequi videtur materiam flui- dam neutiquam pro congerie plurimorum corpufcu- lorum folidorum minimorum qualem aceruus are- nae exhibet haberi poffe: quoniam talis congeries nequaquam ea proprietate, in qua fluidorum natu- ram conftituimus , foret praedita: neque etiam per- fe&a lubricitas his particulis folidis adiecta negotium conficere poteft. Si fortaffe ipfis iofuper motus in- teftinus tribueretur , qualis a calore oriri concipitur, Tom. XIII. Nou. Comm. Rr etiam- 514. DE STATV etiamfi in fenfüs non incurrat, phaenomeno propo- fito fatsfieret , cum per experimenta fubtili(fimus marmoris puluis in vafe igni expofitus naturam fluidi mentiatur; interim. tamen: merito adhuc dubi- tamus, an iu tali materia preffiones quaquauerfus. aequaliter. diffündantur * Hinc igitur in phyfica , quae- flio,, vtrum vltimae fluidorum particulae pro foli- dis haberi queant nec ne ? minime adhuc. confecta eft cenfenda ,, neque minus dubium etiamnum vi- detur am vltimae folidorum particulae rece pro folidis. habeantur * quoniam enim: plurima: corpora folida. ope. caloris fluida reddi poffunt; íi foliditas minimarum: particularum. fluiditati adueríaretur , ea. etiam, in. huiusmodi. folidis ,, admitti non poffct. Haud magis etiam: Tiquet, quid de materiis femi - fluidis. fit fentiendum , cuiusmodi íunt mel, exangia, aliaque olea craffiora ,, in quibus non tam particulae. folidae implexae , quamr nimia cohaefio. fluiditati obfiftere. videtur: Tta etiam cera , quae in frigore: eft. corpus. fatis durum, calori expofita mox butyri confiftentiam: adipifcitur, tum: inftar mellis fit corpus femi fluidum ,. aucto. vero: calore: tandem ita perfecte fit fluidum: , vt minimos. corporum: po- ros penetrare: valeat ,. veluti ex iniectionibus. anato- micis: conftat : hoc ergo: cafu omnes. gradus. a. maxi- ma duritie: ad. perfectam: fluiditatem: diftinguere li- cet, qui ita continuo: nexu inter íe cohaerent, vt difficile: fit: limites; affügnare ,/ vbi foliditas. definit et ! fluidi- AEQVILIBRII FLVIDORVM. a:$ fluiditas incipit. Buin autem aqua congelafcens in. glaciem conuerüitur, haec transmutatio quafi puncto temporis efficitur. 4 Scholion 2». E - x2. Non hic locus eft fuper «eiusmodi .quae- flionibus difputandi , neque etiam earum enodatio ad. praefens inftitutum vllam vtilitatem effet | allatu- ra. Hic nimirum fufficit oftendife dari eiusmodi materias, quibus. fluidorum definitio. hic data. con- veniat: verum «ctiamfíi tales. materiae, quae pro perféte fluidis haberi queant, in mundo non exifte- rent , nihilo tamen minus fcientia cuius fündamenta hic ftabilire conftitui fubfifterét , (ummumnque adeo vfum eífet habitura: perinde ac quae a mechanicis dé corporibus vcl perfecte duris, vel perfecte clafti- cis traduntur , fümma vtilitate non deftituuntur , etiamfi exiftentia huiusmodi corporum in dubium fit relinquenda. - In leges itaque tam aequilibrii quam motus eiusmodi corporum fum inqüifiturus , in quae definitio fluiditatis hic data competat , parum folli- citus, . vtrum in mundo talia corpora exiftant nec ne ? Intériia tamen nullum eft dubium , quin aquae natura tam prope ad hanc definitionem accedat »; wt nulla aberratio ab hac theoria fit metuenda, quod pariter de aliis materiis aeque liquidis eft tenendum. Aer autem multo magis hac fluiditatis proprietate eft praeditus; atque in aethere ne minimus quidem - fluiditatis defe&us admittendus videtur : . Rr2 haec -— x "Tab. V. Fig. 2. 316 IEXSOT AOGEAY haec autem diuería fluida ob alias rationes maximé- a fe inuicem difcrepant , quod difcrimen pariter ex phaenomenis accuratius inueftigari conuenit. Phaenomenon 2. r5. Alia fluida ita comparata deprehenduntur, vt quantumuis magna vi premantur, idenr fem- per volumen retineant: alia vero huius funt indo- lis, vt quo maiori vi premantur, in «eo minus fpatiunr redigantur , antequam: ad aequilibrium per- veniant: in vtroque autem genere proprietas fhuidi- tatis ante memorata aeque locura habet. / Illuftratio. . Prior indoles, qua fluidum perpetuo idem volumen conferuat quantacunque vi prematur, in aqua aliisque fimilibus fluidis obferuatur : poflerior vero. a&ri potifmum eft propria, qui aucta vi pre- mente continuo in. fpatium. anguftius comprimi fe patitur. Quodfi nimirum A BCD EF aquam con- tineat, eaque ope emboli A O B prematur , quan- tumuis fiue magna vi fiue parua embolus adigatur , aqua femper idem volumen. in vafe occupabit , ne- que. embolus etiamfi in infinitum aucta vi pre- mente quicquam vlterius in. tubo protrudi poteft ; verum vas ipfuüme potius diffringetur. —Ponamus au- tem iam aqua effuífa, im vafe nihil praeter a&rem contineri, eumque iam a data vi embolum vrgente in AEQVILIBRH ^FLVIDORVM. — sty iu flatum aequilibrii effe reda&um , vt nunc in va- fe fpatium vsque ad o vbi emboli bafis cernitur , Occupet; in liocque flatu per totam maffam eadem illa prefho: reperiatur , qua embolus vrgitur, vti matura fluiditatis poítulat. Hoc pofito fi vis ia. em- bolum agens augeatur , is fimul profundius in vas adigetur, donec in aequilibiium peruenerit et quo magis vis illa intendatur , in eo minus fpatium aer comprimetur. Contra vero minuta vi premente , ex nom amplius a&rem in hoc flatu retinere valebit, fed. retropelletur aere fe im maius fpatium expan- dente ,' donec in eum ftatum perueniat ,,' vbi haec minor vis aequilibrium fuiffet productura. ^ Hocque difcrimen inter aquam «t aerem maxime notari meretur. | CQorpfru y I4. Aqua igitur perpetuo eandem conferuat denfitatem fiue a malore vi comprimatur fiue. a. minore, fiue etiam prorfus a nulla: vnde de aqua. praedicari poteft, quod cuiuis prefüoni eadem deufi- tas refpondeat. J €otoll... 2. rs. Aéris autem: ratio longe aliter eft comnv- parata , cur vis maior eüm ir minus fpatium adi- gendo , ipfi tanto maiofent deafitatem inducat; Ad quamuis eérgo vimr prerüeütemr certus denfitatis gra- dus. ef affe&us', et vicifüne quaeuis denfitas certam vim: comprimentem fupponit. - Rr4 Coroll. 318 DG:sTusu Coroll. 3. 16. Si igitur vis premens certae cuidam bafi innixa ponatur — «ct denfitas fluidi —4 , cum. fci-. licet in aequilibrium füerit redactum: tum pro aqua q cft quantitas conftans neutiquam a vi p pendens: pro aére vero 4 eft certa quaedam functio ipfius f» ita vt data altera , altera fimul determinetur. Scholion 3.- 17. Non obftante hac infigni differentia, tam aér quam aqua ad genus corporum fluidorum « aeque refertur, propterea quod natura fluiditatis fupra fta- bilita vtrique. conuenit, in modo autem tractandi hinc maximum discrimeu naícitur , fiquidem in motus inueftipatione potiffimum ratio denfitatis a qua inertia pendit eft habenda. ^ Aqua igitur cius- modi eft fluidum, cuius denfitas perpetuo manet inuariata , quomodocunque a viribus vrgeatur, quip- pe a quibus in minus fpatium. coar&ari omnino ne- quit, ita vt ab actione virium eius denfitás nullam mutationem patiatur, ex quo.aqua fluidum vocari folet nullius compreffionis capax. Atri autem con- tra denfitas , quae füae naturae fit propria, tribui nequit, quoniam prout a maioribus vel minoribus viribus. vrgetur, maxime diueríos deufitatis gradus | recipere poteft. Hinc aér dicitur fluidum 'compref- fionis capax , et quoniam ceffante vi comprimente fponte fe iterum relaxat , «et in maius fpatium ex- pan- AEQVILIBRH FLVIDORVM. 419 P4 gandens denfitatem imminuit, vis elaftica ei tribui- tur. »Omn'no enim. quanta vi opus eft ad acrem in datum deníitatis gradum redigendum , tanta praecife vi pollet fe iterum expandendi , quemadmodum ae- qualitas inter actionem et reactionem poftulat. Ex quo patet hanc vim elafticam aéris perpetuo vi comprimenti effe aequalem , neque differre a viribus inde per totam maffam diffufis ,, quibus tam parie- tes vafis , cui aer eft inclufus , quam omnes partes inter fe vrgentur. ^ Quamobrem. elafticitas a&ri tri- buta ab illa vi prcílionis per primum — phaenomenom ftabilita non eft diftinguenda, quae cum etiam aquae fit communis , aliud difcrimen hic non eft admite tendum , nifi quod aqua conftanti praedita fit denfi- tate , a&r autem variabili ,, quae in omni flatu a vi premente. determinetur. Scholion. 2. r8. Expcrimentis autem euinci folet , ^ denfi- tatem: a&ris proxime effe vi comprimenti proportio- nalem , fàcile autem intelligitur hanc proportionali- tatem. non vltra: certos limites locum. habere poffe. Si enim. denfitas. femper: effet vi comprimenti exacte proportionalis,. inde fequeretur euanefcente hac vi :€tiam- denfitatem: euaneícere. debere, ita vt minima aéris portio a nulla vi compreffa, íé in fpatium infinitumr effet expanfüra ,, quod. merito abfurdum videtur. Contra autem non minus abfurdum foret ,. vi comprimente: in: infinitum: aucta ,, etam. denfita- tem. "Tib. V. Fig. 5. 320 ^gyHE $T'A' Ty tem fieri infinite maguam , ficque aéris maffam quantumuis maznam in fpatium euanefcens compelli poíle. Quae ambo incommoda wt euitentur ftatuen- dum eít pro aére tam dari deunfitatem minimam eamque finitam , quam ceffinte vi comprimente re- Cipiat: quam etiam maximam pariter finitam ,- ad quam non nifi vi infinita redigi poffit. Repraefen- tet fcilicec rea A B minimam denfitatem , À C ero maximam denfitatem aéris , quarum illi vis comprimens nulla, huic wero infnita refpondeat , atque manifeftum eft, fi denfitas quaecunque media A P aéri inducatur a vi comprimente per applica- tam PM zrepraefentata , quatenus fcilicet datae bafi innittur , tum punca M, reperiri in eiusmodi li- nea curua B M V, quae in B axem AC tangat, neque vltra verfus A porrigatur , tum vero ab axe continuo recedat, et rectam C D in C axi norma- lem habeat pro afymtota neque etiam vltra eam contiauetur. ^ Huiusmodi lineae euruae innumerabi- les excogitari poffünt , veluti fi pofita denfitate mi- nima A B—? et maxima AC—:* vocetur denfitas quaecunque AP—»x et preffio ei conueniens PM—y - ifta aequatio yy——nn9— feu y-—n(x—b)Y$—l his conditionibus fatisfacit, fi enim x-—b fit y —o fi y-—c fit y——o'et vltra. hos terminos valor ipfius Jy prodit imaginarius, Scho- AEQVILIBRH ; FLVIDORVM. — gei S cchi!o.Ti-o/no -$. . 19. líta formula analytica. rem. nobis aperit maximi momenti, cum ea.non folum. aéris indo- lem. nobis. illuftret ,,. fcd ctiam. fimul aquae naturam, quamtumuis ea diuería videatur in fe. complectatur. Si enim minimam denfitatem A B— À et, maximam. ACc-c inter fe aequaks fieri ponamus ,- habebimus hanc aequationem | y — 8 (x— DUE quae neceffario inuoluit conditionem x—42 ita vt denfitas tum per- petuo maneit eddem , quaecunque fuerit prefho jy. Ita aqua et aér hoc tantum a fe inuicem. difcrepare funt. cenfendi , quod in aére maxima et minima denfitas, cuius eft capax, plurimum a fe inuicem diftent, in aqua autem inter fe conucniant. Quare fi aue concipiantur materiae a&ri fimiles, quarum, deufitates maximae et minimae continuo propius ad fe inuicem accedant, ita vt interuallum BC conti- nuo minus fit biben , hoc modo continuo propius ad naturam aquae accedetur , quippe quae hinc reuera refültabit interuallo BC penitus eua- nefcente; ^ Plurimum autem intererit hanc circum- ftantiàm probe obferuaffe qua tam atris quam aquae natura eidem formulae analyticae fubiiciuntur , ita vt haec duo fluida non vniuerfa natura fed tantum gradu a fé inuicem difcrepare fit iudicandum. — Quae ergo in genere de fluido quocunque cuius denfitas maxima et minima quocunque interuallo difcrepant , trádentur , ea aeque ad a&rem atque ad aquam ac- commodari poterunt. ' Tom. XIII. Nou. Comm. S Con- 322 DE STATV .Conclufio. 26. Praecipua ergo fluidorum varietas in eo diferimine eít conftituenda , quod inter denfitatem minimam et maximam cuius quodque fluidum ca- pax eft, intercedit; tum vero etiam inealege, qua à quauis preffione fluido certa denfitas inducitur. Explicatio. 21. Quae hic de denfitate. afferuntur , de flui- dis tantum homogeneis funt intelligenda , quae per totum fpatium , quod implere concipiuntur , eadem denfitate fint praedita ; fi enim fluidum ex diuerfis materiis conítlaret , de cuiusque partis denfitate iudi- cium feorfim effet ferendum. — Dum autem materia homogenea confideratur , eius denfitas ex tota maffa per volumen , quod occupat , diuifa aeftimari debet, ita vt manente mafífa eadem , denfitas volumini re- ciproce proportionalis fit cenfenda. ^ Hinc minima cuiuspiam fluidi denfitas ex eo volumine colligi debet , in quod certa eius maffa, dum a nullis vi- ribus vrgetur, fe expandit, maffam fcilicet per hoc volumen diuidendo , maxima vero denfitas fimili modo ex eo volumine ,. in quod eadem. maffa a vi infiaitaà coar&tatur. | Quare aqua eiusmodi fluidum eft dicendum , cuius maxima et minima denfitas fint inter fe aequales , ita vt eius denfitas a nullis viribus vllam mutationem patiatur. n aére autem hae duae denfitates maxime difcrepant minima enim certe LI AEQVILIBRII FLVIDORVM. — 323 certe plus quam millies minor eft cenfenda ea quam fíentimus, dum aér a pondere atmofphaerae comprimitur, maxima autem denfitas, ad quam viribus non nifi infinitis redigi poffet, fi auri den- fitati aequalem aeftimemus , quafi quindecies millies ftatum naturalem füperaret ; ficque maxima denfitas aéris foret ad minimam vt 15000000 ad r. ex quo immenfum difcrimen inter aquam et aérem colligere licet. : Uu Sc alid I. 22. Per fe manifeftum eft, quomodo in tan- to interuallo inter binas denfitates extremas , omni- bus preílüonibus ab euaneícente , ad infinitam vsque; cuique fua definita denfitas conuenire poffit, cum id ex formula $. 18. exempli loco allata clariíffime perfpiciatur. — Verum quomodo eadem formula ad naturam aquae fit accommodanda , ita vt pro omni- bus preffionibus eadem prodeat denfitas , non tam perfpicue intelligitur , quia pofito c—4P formulae y-—n(x-—Pb)VPz—3 valor.vel imaginarius vel nullus effe videtur. — Ad hoc dubium autem diluendum flatuamus differentiam minimam inter denfitatem minimam b et maximam c fitque exempli gratia b — 1006000 et c — 1000010; dum pro omnibus denfitatibus vires refpondentes 7 ita fe habebunt, fcilicet cum denfitati x conueniat prefio Jy" " Ss2 (x— 9213 DES STATV x —1 9009008; (x iva 1060000) VES. 1000010 — X foluet fumto 5/— 100 Íequüens tabella - nodum denfitas X prefho y 10002000 (o) 100000I 33s 1000002 IOO 1000003 . | 196 1000004 526 100COO5 500 IOOOOOÓ - 735 1000007 1069 1000008 rI6o0o 1000009 2700. 100.010 Le Quia enim hinc patet quomodo prefüones diuerfis- fiinae denfitates proxime aequales producere poffünt. facile intelligitur diferimen in denfitate Pone guae mefcere poffe. ^. iji Bi hemos 5; $5. Non femper vi ac&uali, qualem fupra embolo applicatam fumüs. contemplati , | opus eft ad aérem aliaue fimilia fluida in dato ftatu |preffionis conferuando. .Si enim ponamus aérem in vafe A B CDEF ope vis embolo O applicatae in ftatum aequilibrii, effe redactum , vt iam vbique quaqua- verfus eandem vim exerceat ,' embolum fubito vafa agglütinari atto wt jam perinde fit fiuc folli- AEQVILIBRII -. FLVIDORV M. 325 follicitétur nec ne? ac.remota vi illa manifeftum eft acrem vafi inclufum in eodem (tatu períeuerare , atque easdem preífiones in latera vafis exercere, ex quo iam clariffime intelligitur , has preífiones vnice denfitati adris in vafe incluü effe tribuendas , ita vt quatenus a&r ad certum denfitatis gradum — fuerit redactus , eatenus etiam quaquauerfüs easdem vires exerceat , quibus opus eft ad iftam denfitatem aeri inducendam. , Ad aquam quidem idem ratiocinium haud transferri poffe videtur , fi enim dum aqua in eodem vaíe ab embolo vim quamcunque fuftinet , embolus fübito cum vafe coalefcat , aqua etiam fi- mul. nullam amplius preffionem fentire — videtur. Nerum quia ftatim. ac aquae minimam compreffionem concedamüs , hoc quoque phaenomenon exhiberi de- bet, dubium nullum effe poteft, quin etiam in ve- ra aqua locum habere debeat, fed ob aliam ratio- nem -effé&us mox euanefcere debet , quantaecunque enim fierent vires quas latera vafis durante pre(fione . €mboli fuflinerent , fi embolo conglutinato coucipia- mus latera vaí(s his viribus vel minimum cedere, quod reuera fieri tuto affümere licet, tum aqua fi- mul omnes has vires amittet. .— Hanc igitur veram caufam effe intelligi oportet , cur embolo vafi affixo "aqua fubito nullas amplius vires preífonis exerceat, Phaenomenon 5. 24. Omnuis generis fluida a calore in maius fpatium -expaudi.,.a frigore autem in minus fpatium | IM con- $26 DE STATV contrahi experientia declarat, «quatenus quidem ob vires follicitantes hoc fieri licet. | Illuftratio. Quae fluida aquae funt fimilia quorum denfi- tas a nullis vitibus comprimentibus alteratur , ea tamen aucto calore in maius fpatium ita expandun- tur, vt nulla vis hunc effe&um coercere valeat , minuto autem calore effectus contrarius producitur denfitas ergo a calore minuitur a frigore augetur. In fluidis autem aéri fimilibus hoc phaenomenon ita fe habet , vt aucto calore ea tantum in maius fpatium íe expandere conentur, ac tum demum fe actu expandunt, quando vires comprimentes hunc effectum non impediunt. ^ Cum igitur ante videri- mus, in aére quemuis denfitatis gradum cum certa prefüone «effe coniunctum , id eatenus tantum eft intelligendum , quatenus aér in eodem caloris ftatu verfatur , caloris enim mutatione haec regula vehe- menter perturbatur. Aucto namque calore dum den- fitas manet eadem, preffio augetur: dum autem pref- fio manet eadem , denfitas minuitur , contrarium vero euenit calore imminuto, ita vt tum denfitate manente eadem preffo debilitetur , preífhone autem eadem manente denfitas augeatur. Apprime haec conueniunt cum iis quae in phyficis tradi folent , fi modo loco preffonis elafticitatem fubftituamus , quo- niam enim fub notione preffonis elafticitas. commo- diffime comprehenditur , ideas hic eo minus multi- plica- AEQVILIBRIL FLVIDORVM. 52'y plicare nolo, vt eadem principia tam ad aquam quam acrem accommodari queant. Coroll r. 25. Etfi ergo denfítas aquae omni virium comprimentium actioni refiftit , tamen non pro con- ftanti eft habenda, quia cum calore aliquantillum variatur, ita vt pro quouis caloris gradu peculiaris denfitas aquae fit tribuenda. CorollL 5. 26. In aére autem iam non amplius preffio 2 fola denfitate pendet, fed infüper caloris ratio ha- benda eft, quo aucto eadem denfitas maiorem preí- fionem poftulat , minuto vero minorem. Preffione autem feu elafticitate eadenr manente , calor auctus aérem in maius fpatium diftendens , eius denfitatem diminuit. Cor oH. 3. 27. Si ergo aér non femper vel vbique co- dem calore eft praeditus , preífio qua pollet , tan- quam functio fpectari debet tam denfitatis quam. ca- loris, ideoque tanquam functio duarum quantitatum variabiliumy, qua vtraqüe creícente augeatur , vtra- que vero decre(cente minuatur. Scho- (ab. V. Fig. 4. $28 DOE/ S: TIN TONG Schotion- x. 28. Quod fi ergo denfitatem — littera. 4^ calo rem vero littera r defignemus , preffio autem litte- ra p repraefentetur, qua. vel vis in.'datam bafin agens indicetur , vel potius altitudo. columnae. certae cuius- dam materiae copflantis , cuius pondus aequatur, vi prementi quaecunque fuerit bafis quandoquidem hoc modo quantitas bafeos ex | calculo extruditur. ^ His igitur pofitis quantitas p vt functio binarum 4 et r eft fpectanda , de cuius natura hoc tantum nouimus quod crefcente vtraque 4 et * etiam f augeatur. Quomodocunque autem quantitas f ab iftis binis 4 et r pendeat, ea per applicatam cuiusdam fuperfi- ciei fequenti modo repraefentari poterit. ^ Sumta. enim fuper recta A D portione AR—r et in pla- no tabulae ordinata illi normali RQ—4 ex Q ci- dem plano perpendicularis erigatur QP— haec in certa quadam füperficie terminabitur , cuius natura fi effet perfpecta , pro quouis alio calore Ar alia- que denfitate r q applicata , ibi ad hanc füperficiem erecta qp prefhonem veram effet exhibitura. — Pro quouis autem calore AR—7 in recta ad eam nor- mali tam denfitatem minimam R M quam aér tum a nullis viribus preffus induit, quam maximam RN quae ipfi a viribus adeo infinitis inducitur notari conucnit, quoniam applicata Q P—p in M euaneftit in NN. vero fit infinita, quod fi fimili mo- do in z; et 7 eueniat ,. fuüperficies in punctis M et sz planum tangens inde verfus N et 7 progrediendo conti- AEQVILIBRII FLVIDORVM. $29 continuo eleuabitur , vt in 1pfis pun&is N et s» ad alitudiaem infinitam exfurgat: vltra hos terminos autem nusquam porrigetur. In axe A D fine dubio quoque huiusmodi duo termini dantur , quorum al- ter minimo , alter vero maximo calori refpondet , quem. quidem aér recipere potelt: ficque tota fu- perücies fpatio cuidam finito in plano tabulae im- mincbit. Scholion ^5. 29. Quemadmodum autem fupra relationem inter denfitatem qg et preffonem p dedimus quae non adeo a veritate abhorrere videtur , ita nunc etiam calorem introducendo fimili formula rem illuftrare. poterimus ponendo : [ " p-agr-A)Vim exiflente B quantitate conftante maiore quam A. Hinc énim pro quolibet calore x fi denfitas fuerit r preíffo p euaneícit, eritque adeo haec denfi- tis mínima ifti gradu caloris conueniens , pro den- fitate autem Q— preffho fiet infinita, haecque pro- pterea denfitas maxima eiusdem caloris: tum vero etiam haec formula declarat ,^ quando denfitas fuerit calori reciproce proportionalis, . vt 47 .aequetur quantitati conflanti mediae inter limites A ct B preflüonem p fore eandem , veluti experientia poftu- dare videtur. . Quod fi ergo haec formula phaeno- menis aéris fatisfciat, hic imprimis notandum eft "Tom. XIII. Nou. Comm. Tt eam 335 d E-S T AT V eam quoque ad aquam egregie pertinere, dummodo quantitas conftans B ipfi A aequalis ftatuatur , tim enim p.rpetuo fit oportet 4r—4A feu denfitas calori reciproce proportionalis , et fimul omni preffioni locus conceditur. Ex coníideratione vero etiam ge- nerjli $ praec. natura aquae obtinetur, fi pro quo- vis gradu caloris termini denfitatis M et N euane- flant, tum enim tota fuperficies fiet cylindrica pla- no tabulae normaliter infiftens , quo indicatur cui- que calori determinatam denfitatem refpondere , cui omnes preílones ab euanefcente vsque ad infinitam aeque conueniunt. | Scholion 5. 30. Pro praxi autem , nifi denfitas aeris fít vel nimis magna vel nimis parua, quoniam tum manente calore prefíío proxime vt denfitas eft , ma- nente denfitate autem, calori proportionalis ae(timari poteft , quandoquidem certior ratio calorém metien- di adhuc latet , poni conueniet f—74r ita vt pref- fio rationem fequatur compofitam denfitatis et ca- loris. ^ Verüm vt liaec formula etiam ad aquam accommodari poffit, generalius poni poteft : P-—A--m(ngr—A) vnde fit 5 — "qr fi fumatur m-- x, qui valor ita- que naturae aeris conuenire cenfendus eft. Pro aqua autem hunc numerum ;w infinitum capi oportet , indeque perfpicuum eft, nifi prefüo p (t infinita , necese AEQVILIBRII . FLVIDORVM. 331 neceffario effe debere 2.4 r — A ita vt pro quouis «aloris gradu aqua certam condenfationem recipiat: tum vero ob s —«» et & qr — A— o valor ipfius $ prorfus manet indeterminatus , neque vlla preffio valebit eam aquae denfitatem , quae ipfi pro caloris 8radu conuenit , vel minimum immutare, — Quam- cunque autem legem fequi libuerit , id fatis iam eft perfpicuum , naturam aquae non adeo a natura a&- ris diforepare, vt non commodifime eidem generi fubiici queant: quod quidem in fequenti tractatione , €ft maximi momenti, vt quaecunque in genere tam circa aequilibrium , quam motum inueftigauimus , deinceps aeque ad acrem atque ad aquam transferri queant. Nihil igitur hic intereft , fiue dentur flui- da mediae cuiusdam naturae inter aquam et aerem, quae 3a "viribus vrgentibus quodammodo condenfari fe patiantur fiue minus? ac Theoria a praxi remo- ta femper aeque fubfiftere cenfenda eft. . Id tantum tenendum eft in fequentibus perpetuo fluida perfecta «onfiderari per quae omnes preífiones quaquauerfüs aequaliter diffunduntur. it. -CAPVT "Tab. Lus Fig. 5. 332 — DE STATV CAPVT II. DE AEQVILIBRIO FLVIDORVM REMOTA GRAVITATE ALIISQVE SIMILIBVS VIRIBVS. Lemma. 31. Si corpus cuiuscunque figurae per totam füperficiem. vndique normaliter follicitetur a viri- bus aequalibus ,, quatenus in aequalia fuperficiei ele- menta agunt , tum. omnes hae vires coniundim fe mutuo, deftruent; Demonftratio. Referatur tota fuüperficies ad ternas coordina- tas inter fe normales, quae pro puncto fuperficiei quocunque 5. int AM— x MP-y et Pp—z, fum- tisque elementis MN-—PQ-—dZx et PR—QS—dy , vt in plano pro bafi affümto A M P' habeatur re- &angulum elementare PORS—4Zxdy cui in. füper- ficie corporis emineat elementum 4r $5, in quod. normaliter: ducta. fit recta p O' bafi in. O occurrens. Hoc. igitur elementum f qr * per hypothefin. fecun- dum. directionem 5 O follicitatur a vi areae huius ipfius elementi proportionali quae. ergo: vis commo- ! diflime: AEQVILIBRII FLVIDORV M. 333 diffime exhibetur pondere columnae. cuiusdam mate- rialis normaliter ifti elemento infiftentis , et cuius alutudo vbique fit eadem —f. | Cum iam recta pO normalis fit ad fuperficiem erit elementum 4 r$ ad areodam PQRS-—4xdy vt reca p O ad Pp—z hincque pq r s — 97 dx dy ex quo pondus illius columnae. aeftimandum eft. — p £2 4x dy. qua vi elementum 47r in dire&ione pO vrgetur. Nunc igitur hanc vim fecundum directiones terna- rum coordinatarum refoluamus , ac pro directione p P quidem vis tota multiplicari debet per zd vnde vis fecundum direcionem f'P follicitans prodit —pdxdy vnde cum coordinatas inter fe permuta- re liceat , vis qua idem elementum fecundum di- recionem AÀ M vrgetur , erit — f y d $ et fecun-- dum diretioneem MP—$dxdz. Cum harum trium virium fimilis fit ratio fufficit vnanr confide- raffe , quae fit vis ^ zx dy qua elementum p qr s in dire&ione 9 P follicitatur: vbi obteruetur, cum corpus vndique fit. terminatum , rectas pP, 4 Q, Rr, Ss productas denuo füperficiem alicubi traiice- re eiusque elementum abfcindere debere, quod cum pari vi vrgeatur fecundum: eandem directionem P f fed contrariam , hae vires. fibi aequales et contrariae íe mutuo deflruent. ^ Simili modo pro viribus pdydz ecpd'xdz quibus elementum pqgqrs fe- cundum: dire&iones A M. et M.P. vrgetur, dabun- tur alia fuperficiei elementa , quae vires his aequa- ls et direcde contrarias füftinent : quod cum in 'Iut 5 omni- 334 DIE .STATSE emnibus elementis eueniat , perfpicuum eft omnes omnino vires iunctim confideratas fe mutuo perfecte deflruere , et in aequilibrio continere. | | ouEolLlir 42. Duo hic cafus occurrunt , prout vires itae aequales vel extrinfecus fuperficiem introrfüum vrgendo agunt, wel intrinfecus fuperficiem extror- fum diftendendo, vtroque autem cafu omnes vires iunctim fumtae in aequilibrio veríantur, oto bue 53. Neque ergo ab huiusmodi viribus corpus ad motum cietur fiue id fit folidum fiue fluidum , dummodo iis fuftinendis par fit, fcilicet fi vircs in- trorfüm vrgeant, corpus in minus volumen coarcta- re , fin autem extrorfum pellant, in maius diften- dere conantur. Quare dum corpus huic actioni fuf- ficienter refiftat nullus plane effectus ab huiusmodi viribus producetur. Coroll. 5. 34. Si igitur corpus per totam fuüperficiem ab huiusmodi viribus aequalibus normaliter vrgea- tur, fiue extrorfum fiue introrfüum , nulla vi exter- na opus eft, qua id in flatu fuo contineatur, fed ponte ia quiete perfíeuerabit. 'Theo- AEQVILIBRII FLVIDORVM. — 355 lTheorema. 55. Dam preffio qua fluidum extrinfecus vr- $etur, per totam eius maffam aequaliter diffunditur, tan omnes fluidi partes, quam vas in quo coanti- netur , in aequilibrio confiftunt. Demonftratio. Quoniim per naturam fíuiditatis preffio flui- dum. vrgens aequaliter per totam eius maffami diffundi- tür, latera vafis in quo continetur vbique eiusmodi vires aequales fuftinent quales in lemmate praemiffo fumus contemplati , ita vt quoduis elementum fufti- neat vinr ipfi proportionalem ,-quae commodiffime per altitudinem certae columnae indicatur , quippe cuius pondus eam vim exhibere cenfendum eft. Qua- re cum latera vafis ab his viribus normaliter ex- trorfüm vrgeantur, ed fe mutuo deílruent , et vafi ab illis nulla mutatio igducetur , dummodo diften- fioni fufficienter refiflat. Deinde cum etiam fingu- lae fluidi particulae a paribus viribus quaquauerfus comprimantur, in aequilibrio pariter erunt confli- tutae, dummodo vlteriori comipreíhoni refiflant , quod euenit fi fingulae partes eam habeant denfita- tem eumque caloris gradum , cui eadem prefífio conueniat. At fi fluidum aquae fit fimile , ne hac quidem conditione eft opus, cum in omni flatu etiam maximas vires fuftinere valeat. Coroll. 336 DE STATVY Coroll 1. 36. Corpus ergo etiam huic fluido immer- fum , quia vndique a fimilibus viritus compr'mitur, erit in aequilibrio, neque ad vllum motum ab his preffionibus concitabitur. ^ Perindeque hic eft, fiue hoc corpus fuerit denfius fiue rarius quam fluidum. Coroll. 2. $7. Dum fluidum in vafe contentum ope emboli vrgetur , et preffio eadem per totum flui- dum diffunditur, vires a fluido ipío exercitae fe in aequilibrio fuftinent: was autem. a vi embolum vr- gente perinde ac corpus folidum follicitatur, et cum fluido inclufo promoueretur , nifi vi contraria fu- ftentaretur. Scholion r. 58. Cum de ipío vafe, in quo fluidum c con- tinetur , quaeftio eft, eae vires quas a fluido inciu- ío patitur, probe funt difticguendae ab iis viribus , Tab. V.quae extrinfecus ope emboli in fluidum agunt. Po- Fig 2. namus ope emboli p O fluidum iu vat ABCDEF contentum vrgeri , et jam in aequilibrio veríari , omnes ergo fluidi partes tam inter fe quam in la- tera vafis agent viribus aequalibus, quas vt vidi- mus certa altitudine — f repraeieotare licet , ac. per lemma patet fingulas fluidi partes vtpote quaqua- verfus aequaliter preffas in aequilibrio contineri , ne- que AEQVILIBRH FLVIDORVM. 333 que in iis vllum motum inteftinum generari. Qua- tenus porro latera vafis ab iisdem viribus extrorfum pelluntur , quoniam hae vires fe mutuo deftruunt , eatenus etiam ipfum vas in aequilibrio feruatur. Verum praeter has vires, vas etiam fuftiuet vim qua embolus vrgetur, idque perinde ac fi cum fluido vnum corpus folidum conftitueret ; ne igitur ab hac vi ad motum concitetur , vi contraria et aequali opus eft, vt totum vas cum fluido in quiete rcti- neatur. Sin autem embolus vafi affipatur , et iam vis externa tollatur , fluidum quidem in eodem fta- tu períeuerabit , fed vas nullam vim extriníecus fü- ftinens per fe in aequilibrio erit conftitutum. r Scholion 2. | 59. Quoniam in hoc capite fluida neque gra- vitati neque aliis fimilibus viribus fübiecta affumi- mus , quae actione fua corpora quafi penetrant, fed tantum vires extrinfecus in fluida agentes contem- plamus, veluti embolorum ope, quarum actio in certam tantum füperficiei partem exeritur , haec duo virium genera follicite a fe inuicem diftinguere con- venit , quarum illas grauitati fimiles vires , internas appellare licet , quoniam faltem fingulis particulis infitae videntur , etiamfi earum cauía extrinfecus . fit quaerenda : hae autem vires embolorum ope vr- gentes merito externas vocamus, Hoc igitur capite in ftatum aequilibri fluidorum inquirimus , quando a nullis viribus internis follicitantur; vbi inprimis Tom. XIII. Nou. Comm. A no- 338 DE STATV notandum eít, remotis his viribus internis , idcirco preíloncs internas , quae a viribus externis per to- tam fluidi maffam diffunduntur, minime tolli, ideo- que cum viribus internis minime confüandi oportere. Quam confüfionem felicifiine euitabimus , fi vti in- ftituimus ,. iffas preílones in calculo per altitudines exhibemus , dum vires internas veras grauitati fi- miles more in mechanica recepto exprimimus. Quae- cunque fcilicet preffio in fluido reperiatur , qua omnes. partes tam íe mutuo vrgent, quam in late- ri vafis agunt , €a conuenientífüime certa quadam altitudine — f indicatur , vbi quidem certa quaedam materia vniformis grauis affumitur ex qua fi for- metur columna cylindrica illius altitudinis aequal's p, cuius bafis fit aequalis ipfi füperficiei preffionem fuftineati , tum huius columnae pondus preffionem fit relaturum. | Huius materiae, ex qua iftas colum- nas formamus , denfitatem. vnitate con(lanter denota- bimus, ita vt earum folid tas fimul pondus preífho- nem refcreus fit exhibitura, dum cuiusque alius initeriae pondus ex volumine in denfitatem multi- - plicata. aeftmatur. — Quando enim etiam grauitatem a fludo excludimus, tamen nihil impedit, quo minus in preffhone definienda grauitatem in fubfi- dium vocemus. Scholion 5. 4o. Quodü fluidum etiam a nullis viribus extcriis vrgetur , ita vt eius partes nullam plane pres- AEQVILIBRII FLVIDORVM. 5129 preffionem in fe mutuo exerceant, tum huiusmodi fluidi maffa quaecunque , quomodocunque cius partes inter íe fuerint difpofitae , femper erit in aequili- brio, neque opus eft, ad fluidum in quiete conti- nendum , vt id vafi cuipiam fit inclufum. |^ Hoc ergo caífü preffio atque adeo altitudo preffionem me- tiens vbique erit nulla , . etiamfi enim aliquod vas fluidum ambiret , eius tamen latera nullam ab co vim fuftentarent , perinde-foret , ac [i vas plase abeffet , hocque valet , fiue fluidum fuerit homoge- neum fiue heterozeneum fiue compreffionis capax fiue fecus. — Si fluidum inflar aquae nuüllàm com- preffionem patiatur, fingulae partes naturalem fuam habebunt denfitatem , quae fcilicet. cuique. pro ra- tione caloris conuenit: íin autem fluidum veluti aer compreffionis fit capax, tum quia nullae vires comprimentes adfünt , quaelibet. pars fe ad minimam fuam denfitatem componet , quae cum etiam a ca- lore peudere poffüt, fimul huius ratio eft habenda, ita vt hoc aequilibrii cafu in fingulis partibus den- fitas fit minima, feu volumen, in quod fe pro gradu caloris expandere poffunt, maximum: quare quo hoc fieri pofüt , vafis fluidum continentis ideam plane remouemus. — At fi fluidum a viribus exter- Tis vrgeri fümamus, id neceffario vafe inclufüm concipi debet, cuius latera cius preíhonem fuftineant et diffufionem coerceant : hunc ergo cafum prout fluidum compreffionis vel fit dibus vel fecus, accu- xatius euoluamus. Vv 2 Bio "ab. V. Fig. a. 340 DE STATV Problema r. 41. Si fluidum nullius compreffionis capax in vafe a vi quacunque ope emboli vrgeatur, defi- nire preffonem , per totam fluidi maffam diffufam, feu altitudinem , qua haec preffio repraefentatur. Solutio. Sit bafis emboli O, qua fluidum normaliter premitur — ff vis autem embolum trudens aeque- tur ponderi P, quandoquidem omnes vires diftin&if- fime per pondera exhibentur. ^ Introducetur iam materia quaedam homogenea, cuius denfitas fit co- gnita, et vnitate expreffa, huius quaeratur mafía, quae grauitati expofita idem effet habitura pondus P huic autem mafííae tribuatur figura columnae cy- lindricae feu prismaticae , cuius bafis füit — ff, at- que altitudo ponatur — f, ita vt volumen columnae prodeat — ffp ob denfitatem — x fimul pro maffa ideoque et pondere habendum , quod ergo illius ponderis P loco adhibeatur. ^ Quoniam igitur quan- tacunque fuerit emboli bafis ff, fluidi prefho. femper eft eadem , modo altitudo illa ? fuerit eadem , haec ipía altitudo f conuenientiffuüme pro menfura preffio- nis affümitur * eaque cognita quantitas prcíhonis fa- cllime. cognofcitur. | Ac primo quidem fi quaera- tur quanta vi latera vafis vbique premantur, ea in elementa minima diuifa concipi conuenit , quoniam preffüo in fingula normaliter agit; íi enim maior portio AEQVILIBRH . FLVIDORV M. 54.1 portio confideraretur a pluribus. di(trepans , diuerfi- tas directionis hanc determinationem turbaret, ^ Sit igitur in vafis cauitate interna c d ejusmodi fpatio- lum , quod pro plano haberi queat , eiusque arcola — kk: atque preffio, quam id fuftinet , aequabitur ei ponderi , quod effet habitura maíía illius — mate- riae homogeneae denfitate — 1 praeditae , cuius. vo- lumen foret — kk f; tantaque vi iftud fpatiolum e d fecundum .dire&ionem 7; in id normalem pre- metur. — Hinc ergo omnes vires, quas vafis parietes a fluido fuftinent, clarifüme agnofcuntur. Pares autem vires etiam omnes fluidi partes fg 5b a circumftluo vndiquaque fuftinent,. neque tamen de ftatu fuo naturali deturbantur quia nullius compres- fionis fünt capaces , atque vires ipíae vt vidimus fe mutuo in aequilibrio tenent. ^ Quin etiam corpus folidum huic fluido immerfüm easdem vires effet experturum , ac propterea etiam in quiete períeue- raturum. Tum vero aequilibriam aeque locum ha- bebit, fiue fluidum fuerit homogeneum fiue hete- rogeneum , fingulae enim partes fuam quaeque cone feruabunt denfitatem naturalem , quae cuique cum ratione indolis tum caloris eft propria. ^CQoroll 1. 42. Quodfi ergo in codem vafe diuerfa flui- da veluti aqua, fpiritus vini , et mercurius , vtcun- que fuerint permixta , omnes partes non obflante preffione emboli in perfecto erunt aequilibrio, neque | Vw3 vlla 542 DE STATV vlla adeft caufa, quae fingula ia vnum locum con- gregare nitatur. Coroll 2. 45. Talia ergo diuería fluida eam mixtionis rationem , quae ipfis femel fuerit inducta perpetuo conferuabunt, neque in lateribus vaüs vllum diícri- men reperietur, quippe quae fiue a fpiritu , fiue ab aqua, fiue a mercurio tangantur , paribus viri- bus follicitabuntur. Coroll. 5. 44. Quin etiam fi in vafe tantum aqua con- tineatur , eaque vero in aliis locis alio caloris gra- du füerit praedita , quaeuis portio denfitatem fuo caloris gradui propriam habebit: neque ob preffio- nes internas vlla mutatio in permixtione exorietur. Si enim per communicationem mutuam mox omnis aqua ad eundem calorem reducitur , id ob aliam contingit rationem phyficam ad quam hic non at- tendimus, Scholion. 45. Quando experientia oftendit in tali diuer- íorum fluidorum permixtione denfiora fundum pete- re , rariora vero furfum pelli hoc manifefto a gra- vitate proficifitur , quae in denfioribus maior eft, in rarioribus minor. Hic autem omncs cogitationes a grauitate aliüsque fimilibus viribus internis abflra- himus, EQVILIBRII FLVIDORVM. 345 himus, vnde eiiim illi effe&ui nullus locus conce- ditur. Plurimum autcm intereft noffe, remota gra- vitate omnem variorum fluidorum permixtionem aeque fubfiflere poffe , neque etiam prefífiones exter- nas vllam mutationem efficere valere: ne eos effe- &tus, quos grauitate admiffa euenire videmus alii cuipiam cauíae adícribamus. ^ Simili modo corpo- rum huiusmodi fluidis immerforum ratio eft com- parata, quae fiue fint denfiora fiue rariora fluida in eodem perpetuo loco perfeuerant, neque a viri- bus vndique aeqüaliter prementibus vllam | impulfio- ncm ad motum recipiunt. Id tantum euenire pot- eft, vt fi tale corpus fu:crit lagena vitrea caua, ac preffiones eius robur fuperent, ca diíffringatur ficque eius particulae ad motum: introrfum concitentur ,. ifte vero effe&us neutiquam ad praefens inftitutum eft referendus ; aeque parum ac ille, quo fluidum in variis locis vario calore praeditum per. commu- nicationem mox ad eundem caloris gracum redigi videmus , qui cfféctus nou tam prefhoni interoae quam alii caufae phyficae adfcribi debet, etfi negare nolm eum ab maiorem preffionem mutuam acce- lerarti poffe. Tum vero hic inprimis tota moles fpecari po:eft, quae fi fuerit fatis vafífa, vtique euenire potefl, vt gradus caloris in variis regioni- bus maxime diftrepet , et diutiffime (ine altcratione coníeructur. , Pro- Tab. V. Pig. 2. $44. DE STATYV FressTMS ow 46. Si fluidum compreífionis capax in vafe contentum. a vi quacunque ope emboli comprima- tur, praeter preíhonem definire denfitatem in fin- gulis locis, cum id fuerit in flatum aequilibrii re- dactum. : Solutio. Fluidum ergo aéri fimile in vafe A BCD EF contineri affümimus , quod a data vi, quae pondere — P exhibeatur, embolum $0O vrgente eousque iam fit redactum , vt in aequilibrio confi- ftat. Quod cum euenerit preífo perinde fe habebit, ac praecedente cafu , quia natura fluidi hic nullam diuerfitatem parit , ad eam ergo definiendam fit ba- fis emboli O —J/f et quaeratur columna eiusdem bafis ff et altitudinis —f quae ex materia illa vni- formi denfitatis — x conflans habitura effet pondus .-— P atque haec altitudo f tam in ipía fluidi maffa quam in vafis lateribus vbique preffionem menfura- bit, prorfus vt in praecedente problemate oftendi- mus. Quod autem nunc ad denfitatem fluidi in fingulis punctis attinet , videndum eft vtrum vbique idem caloris gradus verfetur nec ne? Vtrumuis igi- tur contigerit, ponamus in Q gradum caloris efle — tr et quia fluidi natura certam fupponit legem , fecundum quam preffio tam a denfitate quam calore pendet , ob datam hic preffionem — f, ex ea lege, quomodocunque füerit comparata , determinabitur denfi- -AEQVILIBRIE FLVIDORV M. 345 «denfitas fluidi in ho- loco Q , quod fi in omnibus puacis fiat, per totim fluidi amaffam iam inno- &efcet den(itas fime ea fuerit vbique con(lans fiue va- riabilis: neque hic refert , vtrum tota *maífa fit ftui- «dum ciusdem generis nec. ne? "Coroll 1. 47. Ad aequilibrium igitur producendum em- cbolum eousque adigi :oportet , donec b auctam cdenfitatem , preffio interna aequalis fiat vi embolum, wrgenti, :quae "Bui €x altitudine 5 eft aefti- zmanda. Cor^oll. 48. Si embolus tum vafi ^ ipd vt flui- «dum in vafe vndique claufo contineatur , omnia in «eodem flatu manebunt, preífio (cilicet . "Vbique erit *adem, altitudine — f "gnofcenda et ex bac pres- fione et calore in fingulis punctis Q. denfitas agno- Acetur. C OTOTME c 19. Vicifm ergo quoque fi huiusmodi flui- «um in vafe claufo contineatur preílho per totum was erit eadem , ideoque ex cognita denfitate et. ca- lore in quouis loco cognofcetur. ^ Simul ergo in- telligitur , quanta vi P embolo applicanda, opus fo- xet, ad fluidum in hunc ftatum compellendum. Tom. XIII. Nou. Comm. y dh Scho- 346 ELE EU. Scholion I. 50. Ex cognita denfitate in fingulis iint maffa totius fluidi definiri poteft , tota enim maffa in elementa infinite parua diuifa, cuiusque volu- men multiplicetur per denfitatem , et huius formu- lae integrale per totum fluidum . extenfum . dabit maffam fluidi , fimulque pondus quod ob grauita- tem effet habiturum. — Quod cum inertiae fit pro- portionale, in motus determinatione potiffimum erit "confiderandum , quia hic autem adhuc circa aequili- brium verfamur, maffae ect inertiae confideratio non- dum in computum venit. — Hic tantum monuiífe fufficit , .quomodocunque eadem fluidi maffa a viri- bus externis in maius minusue volumen redigatur , inertiam feu materiae quantitatem perpetuo eandcm manere: neque etiam ob auctum minutumue calo- rem vllam alterationem | pati. Scholion 2a. 51. Stabilita preíhonis menfüra quae ad mo- firum inftitutum maxime eít accommodata , eadenr fuppeditat nobis idoneam rationem denfitatem:. cuius- que fluidi metiendi. — Cum enim illa menfura fit petita 2 materia quadam homogenea , cuius denfita- tem vt cognitam ípectamus et vnitate defignamus ,. cuiuscunque alius fluidi denfitatem certo numero exprimi oportet , qui fcilicet fit ad vnitatem. vt haec denfitas ad illam: ac fi fluidi denfitas non vbi- que AEQVILIBRIT FLVIDORVM. 347 que fit eadem , pro quolibet loco numero variabili , qui fit 4 eam denotari conueniet. Quod autem ad calorem attinet, cuius ratio etiam eft habenda, nul- la certa meufura. eius adhuc eft cognita , vnde defi- nire liceat, quando alius calor alio fit duplo maior, thermometra enim nihil aliud declarant, nifi alium caloris gradum alio vel effe maiorem vel minorem. Liberum ergo nobis eft, modo quocunque varios ca- loris gradus metiendi vti; vnde pro aére hic modus videtur maxime idoneus, vt fi pro denfitate data q —b et certo calore r--«c preffio fuerit p — a, tum is calor duplus r— 2 cenfeatur, qui pro eadem denfitate aéri preffionem duplam p —224 inducat, vnde manente denfitate 4 — 5 pro quocun- que sen r prefüo erit p— 7 7': ficque vicifüm ex preíhone p gradus caloris r volligi poteft. Cum de- inde praeterea pro eodem calore preffio fit denfitati proportionalis , fiquidem | denfitas ab vtroque limite extremo -multum diftet , pro aére hac formula ge- nerali p — 52 vti licebit. — Generatim ergo erit calor directe vt preího feu elaflicitas a&ris, ac reci- proce vt eius denfitas: quorum elementorum illud ex barometro , hoc vero ex thermometro aéreo co- gnofcitur. Pro aqua autem productum 47 videtur - effe quausius conftans. Xx23 CAPVT Tab. VE Fig. 6i. $48 — IEEOS$ DATEHES C APV'T HI. DE AEQVILIBRIO FLVIDORVM. A. VIRÍBVS. QVIBVSCVNQVE. SOLLICITA-- TORV M. IN GENERE. D Probletimz - 52. Si fluidum quodcunque a. viribus. quibus-- cunque: follicitetur inueftigare conditiones. fub: quibus: fluidum. in aequilibrio: confiflere poffit. Solutio. Confidexetur. fluidi particula. elementaris. quae-- cunque fub: figura. parallelepipedi. k / m5 x ^ y. v. ad. ternas. coordinatas- inter Íe weg relata ,. quae: fiut A S — x SK-——y et KE — 2 , ita. vt. paralle- lepipedum ex harum differentialibus. fit: formatum ,. ideogue eius volumen; — dx dy dz.. Statuatur: den- fitas fluidi in. puncto- & — 4: pofita: femper: denfitate: eius. materiae , qua: ad: preffiones- definiendas: vtimur: 1, €ritque maffa totius. elementi — 4 Z2 x d y d z,, quae fimul fi id effet granitati expofitum ,, eius pondus. exprimeret —— lamv a: quibuscunque viribus loc ele- mentum: follicitetur ,. eas. femper: fecundum. directio- nes ternatums coordinatarum: feu: axes. principales. AP, AQ,et AR, inter fe normales. refoluere: li- : cet. .AEQVILIBRII: ELVIDÓRVM. —— $46 xét, fintque hae ttes: vires ii puncto follicitantes: . fecundum: £7 — P,. fecundum: k y — Q' et fecundum km — RK: quae: vires: accelerattices- intelligantur",. po- fita grauitatis. vi: acceleratrice" — 1» Mhiüc noftrum elementrmr: pro: ratione: maffae qdx dy4£ ab his. vi- ribus- acceleratricibus: animatum? follicitzbitue- his. tri- bus. viribus: motricibus fec AP" vi —Pqgqdxdyd fec. AQ: vi —Qaqdxdydz: fec. AR vi —Rqdxdydz. vbi litterae: P-. Q« R. numeros- denotant: vt: functiones ter- narum: variabiliumr x; y,. z: fpe£tandos.. Cunr autem: fluidum: in: aequilibrio: confiltat ,."nece(fe eft^ vt. ha- rumb virium: actio: a: prefhionibus. idem: elementum: vndequaque: vrgentibus cosrceatur,.. Hunc in. finem fit altitudo: preffionem: in: puucto-k exhibens — $: quae: cum: pariter" vt fünctio: ternarum: variabilium: Y, J- et z- confiderari. debeat ,,. ftatuamus- . eius: diffe-- xentiale: | dp-—Ldx--M4y--Ndz ita: vt: fit more fignandi fecepto: 2 M MCHUI NES P PER iam: prefhones ,. quas fingulae: hedrae: noftri parallélepipedi: ab: his- viribus- fuflinent, ac - primo» quidem» pattt: preffhiones- hedrae / 4A v. füpera- re- preffiones hedrae Lu v y in. fingulis: pun&is: par-- ticdla: — EL Zx quare cum. vtriusque: harum: hedra- rum area fit — zy z: elementum / noftrum: fecun- dum: dite&ionenr. P^ A. vrgebitur: wi —— L 4x 4y 4». E preffiones: hedrae: 72 yj.» excedunt. preffioaes- Xx5 hedrae 350 DE STATV hedrae k/* X in fingulis pun&is particula. — M dy. vnde elementum fecundum directionem Q A vrgetur viMdxdydz: ac tandem fimili modo reperitur elementum noftrum íecundum directionem R A vr- geri vic NZxZydz. Cum nunc hae vires il- las, quae ex viribus follicitantibus nafcuntur, con- tinere in aequilibrio debeant , quia "direciones funt contrariae necefle eft fit L-—Pqy MCCOQq Ce WN-—RI, Quare ex viribus follicitantibus prefüo fluidi in pun- €to k ita definitur , vt fit dpzcq(Pdx-- Qd y--Ráz). Denique vero fi gradus caloris in puncto k littera v defignetur , quem vt cognitum ípectare licet , dabi- tur quoque relatio inter litteras f, 4, * ex natura fluidi , ex qua denfitas 4 per p et r determinetur ; fi ergo haec conditio cum illa aequatione differen- tiali coniungatur , ex viribus íollicitantibus , quae in fingulis punctis agunt vna cum gradu caloris r col- ligi poterit preffo fluidi 5 in fingulis locis, inge- que porro denfitas g, vt d in aequilibrio con- fiflere poffit. COLDIES I $5. Si vires follicitantes euanefcant vt fit P—o, Q—o, R—o, fit 4p.—0o ideoque f quanti- fas conflans, tum fcilicet preffio vbique per totam fluidi AEQVILIBRII FLVIDORVM. 5r fluidi maffam eadem effe debet, vt aequilibrium lo- cum habere poffit, prorfus vti in capite praecedente oftendimus. i ary ox y Page 54.- Ob vires autem fÍollicitantes preího per fluidi maffam fit variabilis , eiusque variab;litas. cum ab his viribus tum a gradu caloris pendet, fi- quidem denfitas 4 per prefhonem fp et calorem r determinatur. Euenire ergo poterit , vt prcíüo ali- cubi euaneícat , vel adeo negatiua euadat. COrLalL. 7. : 55. Aequilibrium ergo locum habere nequit , nifi aequatio. 7? — g(P4x-i-Q.2y 4- R4z) fit poffibi- lis: quod cum non nifi füb certis conditionibus. eue- niat ob plures variabiles , euidens eít infinitos dari cafus , quibus aequilibiium ne locum quidem. habere. poffit. . quos ergo cafus in pofterum follicite per fcrutari conueniet, Scholion .r. 56. Fluidum hic nusquam terminari affümfi ,. quoniam conditio vafis id continentis nihil ad de- terminationem preflionis confert ,, fed tantum im- pedit, ne fluidum. diffluat. Pro lubitu ergo fluidum limitibus circumfcribere licet , idque confiderare ,. quafi vafi effet inclufüm , tum vero ex ftatu aequi- librii hic definito patebit ,, quantam prefüonem late- el 452 UUXDGDUOST A TY | 1a vafis in fingulis punctis a fluido fuftineant, wnde viciffim .colligere licebit quanta firmitate ^ vas prae- ditum «efle «oporteat, wt his preífionibus refifte- re, fluidumque «coercere waleat. | lmprimis autem hic inaequalitas preffüonum fpectari debebit, wt wbi latera vafis maximas wires íuftineant , innotefcat, Sin autem eueniat , wt alicubi preffio prorfus .«eua- Tefcat, ibi plane inon opus eft fluidum coerceri , fed Íponte in tatu. fuo perfeuerabit , «etiamfi ibi was omnino apertum qelinquatur. — In hac regione flui- dum dicitur ad libédlam compofitum , eiusque ífu- perficies vt extrema fpectur , quia etiamfi quic- quam fluidi vltra «am «xifleret , id ob defectum prefhonis non -«obaereret , :t quafi plane aLeffet, confiderari poffet, ^ Extrema «rgo cuiusque maffae fluidae fuperficies eft «a , wbi preíüo -euanefcit , «et ftatus aequilibrii fponte «onferuatur , vt ibi vafe non opus fit ad diffiuxum «coemcendum. — Sin autem vafi alicubi apertura tribuatur, hinc patet quanta vi.ope emboli haec apertura obftrui debeat ne ibi fluidum effüluat , quae vis vtique euanefdit , fi apertura in extremam fidi füperficicm cadat. QQuan- do fluidum a fola grau/tate animatur, baec extre- ma fuperficies fimul eft fuprema , ad libellam com- pofita, quod idem euenit [fi vircs follicitantes ad punctum fixum conmnergant, quo cafu fuperficies íu- prema fit fphacrica. | Scho- AEQVILIBRII FLVIDORVM. 353 Scholion 2. : 57. Quomodo autem preffio feu altitudo eam metiens p in flatu aequilibrii fieri poft negatiua , difüculter perfpicitur. ^ Cüm enim prefüio pofitiua particulas fluidi ita afficiat , vt fe mutuo penetrare conentur, ifteque effe&us tam ob impenetrabilitatem quam ob difficultatem eas in anguftius fpatium com- Primendi irritus reddatur , negatiua préífio in hoc confiflet , vt fluidi particulae quafi fe mutuo repcl- lant: quoniam autem nifi fluidum vafi fit inclufum, nihil impedit, quo minus partes a fe inuicem rece- dant, continuitas mox diffoluetur, neque ergo ali- ter aequilibrium adeffe poteft, nifi quatenus fingu- lae particule ab omni nexu folutae feorfim quie- fcant — Hic autem caíüs non amplius ad mechani- cam fluidorum eft referendus ,' quia fingulae guttu- lae tanquam corpufcula folida tractari debent. In vafe autem fluidum continente preffio negatiua mul- to minus locum habere poteft, cum fieri nequeat , vt latera a fluido introrfüm premantur ^ Ex quo flatuendum eft, quoties calculus preffionem declarat negatiuam , toties fluidi continuitatem tolli, idque quafi in guttas feparatas difpergi , vt eiüs confide- ratio non amplius ad praefens inftitutum fit refe- renda: cuius quippe principia huic innituntur fun- damento , vt fluidi partes continuae maneant. Hoc autem non folum de aequilibrio fed etiam de motu fluidorum eft tenendum , nusquam preffüonem fieri Tom. XIII. Nou. Comm. Yy poffe 354 D;E ;5 TjÀ-T3IV poffe negatiuam , quin fimul continuitas tollatur. Ac fi in motu aquae per tubos, ab auctoribus in- terdum preífüo negatiua fieri afferitur , id ita eft accipiendum , earn tantum fieri minorem preffione atmofphaerae , ideoque adhuc effe pofitiuam. — Sta- tim autem ac reuera fit negatiua , difperfio in gut- tas obferuatur , vti videmus in fontibus falientibus , qui poftquam fümmitatem attigerunt , in guttas di- fperguntur : ibi igitur preffüio negatiua fieri eft cenfenda. | Scholion 35. 58. Circa ipfas porro vires follicitantes , vnde ternas vires P, Q et R elicuimus, omnino tenen- dum eft , cas neutiquam ad libitum fingi licere, fed ita affümi debere, vti in mundo reuera exiítunt. Primo ergo occurrit grauitas , quae nifi fluidum, quod confideratur , maximum volumen occupet , quantitatem et directionem conílantem habere eft cenfenda , fin autem fluidum maiorem habeat ex- panfionem grauitatis dire&tiones conuergere funt fta- tuendae , veluti quaudo totum mare vel atmofphae- ra a&rea examini fübiicitur. Deinde etiam attratio vniuerfalis , qüa non folum corpora coeleítia, fed etiam- eorum partes íe mutuo attrahere deprchen- duntur plurimas vires. reales füppeditat, quarum actioni fluida fübiiciuntur. ^ Hae autem vires omnes hac infigni gaudent proprietate , vt ex iis formula differentialis Pdx-1-Q Zy-4- R4z femper euadat ve- rum AEQVILIBRII FLVIDORVM. 355 rum diffrentiale mem finctiofis Mb & yet z ideoque fit (25) — (45 2): (£5) — ($5) et (395 z-( 22) atque huius functionis indoles eo magis cft notatu digna, quod ea in principio minimae actio- nis ab lll Praefide de Maufertuis inuento ipfam quantitatem actionis exprimat. ^ Quod fi ergo haec quantitas actionis defignetur littera V, vt fit V —Pax--Qdy--R4z habebimus 75—44V , et quia q per p et r determinatur , intelligitur , nifi quan- titas r ita fit comparata, vt haec aequatio integra- tionem admittat , aequilibrium plane locum habere non poffe, fin autem vires P, Q , R pro lubitu fingere liceret, vt formula PZx-4-Q4y-- Réz in- tegrationem refpueret , tum fluidum aequilibrii pla- ne non foret capax, nifi forte in calore eiusmodi variatio ftatui poffet , qua aequatio inuenta fieret integrabilis. — Cum igitur huiusmodi cafibus aequili- brium nullum plane locum habere poffet, fluida perpetuo motu agitari neceffe foret. Problema 4. $9. Si fluidum a viribus quibuscunque folli- citatum in aequilibrio confiftat , eique corpus quod- cunque folidum fit immerfum , inueftigare vircs , quas hoc corpus a preífione fluidi ambientis fuftinet. Solutio. Sit B C D E id corpus folidum, quod ei fui- do , cuius ftatum aequilibrii modo definiuimus , fit Y ye immer- Tab. VI. Fig. 7. 96 BiE:$ TUASEIM immerfüm , ab eoque circumquaque eas füuftineat prefliones , quas ibidem inuenimus. — Ad eas autem euoluendas primum obíeruo hoc corpus casdem pati preffiones , quas íuftineret ea fluidi maffi, cuius nunc locum corpus obtinet: quo circa in locum corporis mente fübítituamus aequale fluidi volumen, quod cum füturum effet in aequilibrio, neceffe eít, vt preffones quas a fluido ambiente fuftinet , aequa- les fint et contrariae actioni virium P, Q, R idem volumen íollicitantium. — Probe autem hic eft ani- maduertendum iíti volumini loco corporis fubftituto in fingulis pun&is eam denfitatem tribui oportere , quam aequilibrii conditio ante definita poftulat, ex quo forte neceffe eít vt etiam caloris ratio habeatur. Definito autem effe&u , quem hae vires P, Q, R in ifto volumine producunt, ei aequalis erit et con- trarius is effectus quem corpus folidum propofitum a preífionibus fluidi ambientis fuflinet. CorolLl r. 60. Cognitio ergo fola virium , quibus flui- dum follicitatur , non fufficit ad vim , quam cor- pus immeríüm fíuflentat, definiendam , íed infuper noffe oportet pro eo loco quem corpus occupat, quamnam ibi fluidum habiturum effet denfitatem in fingulis punctis. C origdltus. 61. Hinc in eodem fluido, prout corpus in 93lio atque alio loco conftituitur preífiones id maxi-. me VA AEQVILIBRIL FLVIDORVM. 8357 me diícrepantes füftinere poteft, hocque non folum ob. variationem virium follicitantium , fed etiam ob variationem. denfitatis quae fluido in diuerfis locis ineít: etiamfi in loco , quem iam corpus occupat , nullum adfit fluidum , ac fortaffe denfitas huic loco conueniens nusquam alibi in fluido reperiatur. Coraeb. 6». Deinde etiam plurimum intereft , cuius- modi fitum idem corpus in fluido teneat: fieri enim poteft vt idem corpus fi tantillum inuertatur longe alias. prefiones fuflineat. — Quamobrem non folum volumen corporis fed etiam figura cum fitu pluri- mum conferunt.ad vim , quam füftinet definiendam: nifi forte fluidum fit homogeneum «et graue, quo cafu haec vis a folo volumine pendet. Scholion r1. 65. Hoc ergo cafu facillimo excepto, determi- natio virium , quas corpus fübmerfum fuftinet , cal- culos faepe vehementer moleftos poftulat , quoniam omnia elementa fluidi intra volumen corporis con- cipiendi confiderare oportet. ta (i parallelepipedum elementare k /mnx X V v in loco corporis fuerit , cuius maffa eft — qd x dy d z, fingulae hae formulae diferentials Pqdxdydz,Qqdxdydz et Rgqdx dy dz ope triplicis integrationis per totum corporis volumen extendi debent , cuius figura fi fuerit irre- Y y 3 gula- Tab. VI. Fig. 6. $58 XATDOEU SSTORUPUN gularis, haec inueftigatio valde fit difficilis ,— neque in genere pro viribus quibuscunque P, Q, R quic- quam definire licet. — Totum ergo hoc negotium in fequentes tractationes eft referuandum , vbi prae- cipuos virium follicitantium cafus, qui quidem in mundo locum habent, accuratius euoluemus: hic vero fufficiat , methodos quicque praeftandi in gene- re faltem indicafle. Scholion 2. 64. Alia autem flatim fe offert methodus di- reca hoc idem problema íoluendi , dum preffiones , quas corpus in fingulis fuperficiei fuae elementis fuftinet , perpenduntur , eaeque fecundum ternas di- rectiones fixas refolutae per totam fuperficiem in vnam fummam colliguntur. ^ Verum hic antea ae- quationem differentialem pro preíüone f inuentam integrari neceffe eft, vnde nifi prefüo fatis fimplici- ter exprimatur haec methodus in calculos inextri- cabiles praecipitaret. — Id tantum hic commiodi eue- niret, quod dum preffio p per integrationem definien- da conítantem quandam arbitrariam recipit. per cir- cumílantias fluidi datas definiendam , haec quanti- tas conftans in hoc negotio prorfus non in compu- tum ingrediatur, propterea quod preffiones circum- quaque aequales fe mutuo defiruunt. ^ Eatcenus ergo tantum corpus fubmerfuüm a fpreffonibus fluidi ad motum impellitur , quatenus hae preffiones non funt aequales; inuenta autem hac vi, qua corpus impel- litur, AEQVILIBRII FLVIDORVM. . 359 litur, fi ea cum reliquis viribus, quae in idem corpus agunt, comparatur , facile iudicare licebit , vtrum corpus fit in quiete pecmanfürum , an vero . motum impetraturum. ^ Quoniam vero hic tantum de aequilibrio agitur, nifi corpus in fluido fponte quiefcat , id vi quacunque in hoc ftatu coníeruari coucipiendum eft, nifi forte quaeftio de primo tan- tumi momento, quo corpus fluido eft immiffum , inftituatur. Frebléi 5. 65. Si fluidum quodcunque a viribss quibus- cunque follicitatum füerit in aequilibrio , eique cor- pus folidum ex parte tantum imumergatur, definire vires , quas eius pars fübmería a preífionibus fluidi fuftinet. Solutio. Ante omnia notandum eft hunc cafum locum habere non poffe, nifi in fluido, in quo datur ex- trema fuperficies , in qua preífo prorí(us euaneícat , quae ergo non indiget vafe continente quo coercea- tur. Sit ergo F C E G haec füperficies fluidi ex- trema ideoque aperta, dum in reliquis locis vafe quocunque continetur , hicque corpus folidum B C D E fluido ita fit immerfum vt portio CDE fub fluido verfetur, portio vero C B E. promineat ; quo pofito qnaeftio eft quantas vires hoc corpus a pres- fionibus fluidi fuftineat. Primum autem obferuo, fi portio Tab. VI. Fig. g. $60 "Np" Ug "TOP. portio prominens C B E fecundum ipfam fluidi fuper- ficiem extremam C E refecetur, partem reliquam etiamnunc easdem prefífiones efle fuflentaturam, nunc autem haec pars C D E quafi tota effet fluido im- mería confiderari poterit , dummodo ftrato fluidi in finite tenui tegi concipiatur, qua conditione ne opus quidem eft, quia per totam fuperficiem F C E G preffio eft nallá. Hinc per Problema praece- 'dens vis, quam haec pars fubmería fuflinet sequalis et contraria eít illi vi, quam vera fluidi portio hunc locum occupans et cum reliquo fluido aequi- libium feruans a viribus follicitantibus P, Q et R fuftineret. Mente ergo fpatium C DE fluido re- pleatur, cuius denfitas in fingulis punctis, ad ae- quilibrium requifita per fuperiora patebit , et virium P, Q et R follicitatio in hanc maffam exquiratur ; quae in contrarium vería dabit vim quacfitam , a corporis folidi parte fubmería fuüftentatam. (COPEPTMUT Y 66. Si haec vis inuenta ab iis, quibus. cor- pus folidum per fe follicitatur. perfc&e deflruatur , id fponte in hoc flatu períeuerabit , et fluido infi- debit , fin fecus eueniat corpus vel maius vel mi- nus immergetur, vel conuertetur , nifi a noua . vi acequiübrium conferuetur. iouwore Tabl». 67. Inuentio ergo iftius vis codem modo in- fütui debet , vti in praecedente problemate oftendi- mus : * AEQVILIBRII FLVIDORV M. 36r mus: praeter volumen fcilicet partis fubmerfíae eius quoque figuram noffeé oportet, tum vero potifi- mum denfitttem quam fluidum hoc volumen occu- pans et cum reliqua maffa in aequilibrio confiflens , in fingulis punctis effet habiturum. ^. Quae inuefti- gatio ita eft comparata , vt nonnifi in cafibus par- ticularibus deinceps tractandis fufcipi queat. Scholion. 68. Imprimis autem notandum eft, non fem- per omnes vires elementares quibus volumen quod- dam fluidum a viribus P, Q et R foliicitatur , ad vnicam vim omnibus aequiualentem reuocari pofle; fed quandoque eas vires ad duas, interdum etiam *d tres reduci debere, vt paucioribus non idem effectus obtineri queat. — Haec autem virium fuüppu- tatio eodem modo inílitui debet , quo in corporibus folidis a viribus quibuscunque follicitatis vti fole- mus, quandoquidem hae vires, poftquam fuerint inuentae , facta inuerfione ad corpus folidum funt applicandae, In maffa ergo fluida, in locum partis fubmeríae fubftituta, primum notetur centrum iner- tiae , deinde vero ctiam per id terni axes inter fe normales duci concipiantur , quo faco primum omnes vircs .follicitantes elementares in ipfum cen- trum inertiae transferantur , earumque vis aequiua- lens vna quaeratur. — Praeterea fingularum virium elementarium mornenta refpectu ternorum axium colligantur, vt pateat quantum virium momentum ' Tom.XIII. Nou. Comm, Zr corpus 262 DE ÉTACPE corpus circa fingulos axes füftineat. Denique cadem ila vis cum his tribus momentis contrario modo corpori folido in locum fluidi reftituto applicetur , ficque facillime patebit quemnam effectum in eo fint producura , et quomodo hoc corpus in quiete conferuari oporteat, Problema 6. 69. Si fluidum quodcunque a viribus quibus- cunque follicitatum fit in aequilibrio et vafi cuicun- que inclufüm , inuefligare vires, quas totum vas a fluidi preffüone in latera exerta fuftinet. Solutio. Si omnes prefüones inter íe effent aequales, vas fluidum continens foret in aequilibho, neque vlla vi externa opus effet ad id continendum : Ea- tenus ergo tantum vi opus eft ad vas fuftentandum, quatenus prefüones in eius latera non vbique funt aequales. — Tum autem funt inter fe inaequales , quando fluidum a viribus, quas hic litteris P, Q, R indicauimus , follicitatur vnde leui attentione intelli- gitur, vas omnes eas vires füflentare , quibus fin- gula fluidi elementa a viribus P, Q et R follicitan- tur, fi enim omnis maffa fluida fubito in corpus folidum concrefceret , easdemque vires fuftineret , eae quafi in ipfum vas immediate agerent , confide- rari poffent. Eadem autem veritas per ratiocinium fupra adhibitum confirmari poteft; concipiantur la- tcra / AEQVILIBRII FLVIDORVM. 36s tera vafis tenuifüma , idque fluido quafi infinito immerfum fpectetur , ita vt fluidum externum cum interno in aequilibrio verfetur. Hoc pofito euidens eft preíüones , quas vas a fluido externo fuftinet , praecife aequales et contrarias effe iis viribus, qui- bus a fluido iaüterno vrgetur , et quas hic inuefli- gamus. Verum preífiones externae, quoniam totum vas vt folidum corpus fluido immerfum fpectari poteft, aequales fünt et contrariae , viribus quibus fluidum vaíi inclufüm ac&u follicitatur ; denuo igi- tur conuerfione fada , et fluido externo penitus re- moto , perípicuum eít totum vas omnes fuftinere vires , quibus fluidum inclufum follicitatur. [ OS S T1.. s mL. 7o. Vas igitur totum perinde vrgetur , ac fi fluidum vna cum vafe corpus folidum conftitueret , quod ab iisdem viribus follicitaretur. ^ Interim ta- men in preffione quam latera fuftinent ingens erit difcrimen , quia in corpore folido preffones longe aliter propagantur atque in fluido. Coe l5 71. Vt ergo non folum fluidi aequilibrium , fel etiam ipfum vas cum fluido in quiete conferue- tur, neceffe eft vt vas extrinfecus a viribus idoneis fuftentetur ; et quantis viribus ad hoc opus fit cx principiis pofitis determinari oportet. Z2 Scho- ES D; Tuxdlidi Scholion. 55. Hic fluidum a vaíe vndequaque includi et compefíci affumimus , nifi forte in ea regione , vbi preflio eft nulla , vas fit apertum et fluidi fu- perficies haec extrema nuda appareat. | Sin autem alo loco fuerit foramen , idque ad eruptionem im- pediendam ope emboli debita vi intrufi obturetur, tum vas praeter illas vires fluidum follicitantes, etiam hanc emboli vim íuftinebit , quae cum pro emboli bafi maior minorue effe pofft, diuerfiffümis viribus idem vas fübiectum effe potefít. Statim vero ataue embolus vafi afügatur feu agglutinetur, hae nouae vires fubito euanefcunt, ac vas folas priores fuftineg. CAPVI IV. DE AEQVILIBRIO FLVIDORVM A SOLA Ris pc SOLLICI- TATORVM. Problema 7. ANB. i fluidum quodcunque a fola grauitate deorfum follicitetur quae concipiatur vt vis conftantis ma- guitudinis , cuius dire&iones fint inter fe parallelae omnia AEQVILIBRII FLVIDORVM. $65 omnia momenta ad ftatum aequilibrii requifita ex- ponere, et principia ante (tabilita in genere ad hunc catum accoinmodare. Solutio. Spe&etur planum tabulae vt horizontale , cui 'etzo dire&io vis follicitantis vbique fit normalis , quantitatem autem huius vis acceleratricis littera 8 defignemus , ipíà grauitate naturali exiftente — r1, vt pateat quomodo phaenomeoa fe effent habitura, fi grauitas foret vel maior vel minor. —Concipiatur nunc fluidi elementum quodcunque in Z,, vude ad planum horizontale demiffo.perpendiculo Z Y, et ab Y ad rec&am fixam A P du&a normali Y X, fint térnae 'coordinatae locum .punci Z definientes AX—x, XY-—y,«et YZ-—z. In Z porro fit gra- dus caloris — r, denfitas fluidi — 4, et altitudo prefionem metiens — f, ita vt relatio inter f, 4, per fluidi naturam fit data. Cum nunc clementum in Z deorfum fecuadum Z Y follicitetur vi accele- ratrice — g, pro folutione generali capitis praece- dentis hic habebimus P—— 0, Q— 0 et R — —£, vnde aequatio differentiaEs conditionem — aequilibrii exprimens erit p— —g442, quae nifi denfitas 4 ita fit comparata, vt integratio fuccedat , aequilibrium .omnino locum habere nequit. Dato autem aequili- brio reliqua problemata in cap. praec. tractata faci- lem folutionem admittunt: Si enim corpus folidum ABCD E fluido fit fübmerfum , id furfum vrgebitur m 0 AME tanta Tab. VI. Fig. 9. Tab. VI, Fig. 7. 'Tab. VI. Fig. 8. $66 DUE 5 TATIW tanta vi , quanta fluidi maffa eius Jocum occupans et cum reliquo fluido in aequilibrio confiflens a grauitate g deorfum pellcretur , quae ergo vis hu- ius maífae fluidae ponderi aequabitur et per eius centrum inertiae erit directa. — In ipío ergo corpore B CD E notetur hoc pun&um G quod maflae flui- dae in eius locum fubftitutae foret centrum inertiae, toto huius maffae pondere exiftente — G, et hoc corpus fluido fubmerfum furfum pelletur vi — G, cuius d rectio per punctum G tranfibit. Simili mo- do res fe habebit fi tantum portio corporis CD E fluido immergatur, pro quo cafü, quae modo de toto corpore funt dicta, hic tantum do pete fub- mería fünt intelligenda. Si denique fluidum fuerit vafi inclufum , to- tum vas inde eandem vim fuftinet, ac fi fluidum in folidum concrefceret , pondere fcilicet totius maí- fae fluidae deorfüm premetur , cuius directio tranfi- bit per centrum inertiae totius maílae fluidae in vafe contentae. CorolLl x. 24. Duo igitur cafüs hic follicite funt diftin- guendi, prout variabilitas denfitatis 4 aequilibrium admittat vel minus. ^ Si enim aequilibrium exclu- datur, fluidum perpetuo motu agitabitur , neque ea quae de ftatu aequilibrii funt tradita , vllo modo locum habere poffunt. Coroll. AEQVILIBRI FLVIDORV M. 367 Coroll. 2. 75. Cum autem ex fluidi patura relatio de- tur inter preffionem 9 denfitatem 4 et calorem r, denfitas q vt fünctio ipfarum p et r fpecatri pote- rit; nifi ergo calor r qui a loco pendere ceníendus eft, a fola altitudine Y Z — z pendeat, aequilibrium plane locum inuenire. non poterit. COTON s 76. Hinc fequitur aequilibiam tum folum exiftere poffe, cum gradus caloris in eadem altitu- dine per totam fluidi maffam fuerit idem. | Sin au- tem in paribus altitudinibus calor fuerit diuer(us , fluidum nullo modo fe ad aequilibrium componere poterit. Scholion :r. 77. Fluidum hic in genere fum contempla- tus, ita vt hae conclufiones tam ad fluida aquae fimilia, quam quae veluti aér compreífionem et rarefactionem admittunt, accommodari queant. Qua- re quo natura aequilibrii accuratius — perfpiciatur , vtrumque fluidorum genus f-orfim euoluemus; in priori quidem difcrimen probe eft notandum, prouti fludum per totam maffam fuerit homogeneum nec ne? cuius quidem cafüs, quo fluidum vbique ea- dem gaudet denfitate , totam hydroftaticam vulga- rem comple&itur. — Sin autem fit heterogeneum , fiue id fiat permixtione diuerforum fluidorum , fiue idem , $68 D E STAT idem fluidum in diuerfis locis diuerfo caloris gradu fuerit praeditum , hic imprimis quaeftio euoluenda occurret , quando aequilibium fit pofübile et fub quibus conditionibus, — Altera autem huius capitis pars circa fluida compreffionis capacia ver(abitur, vbi etiam plures cafus tam pro permixtione , plurium huiusmodi fluidorum . diuerforum quam pro varia- tione caloris expediri conueniet. Scholion 2. 78. Vbique autem cum ftatus aequilibrii füe- xit definitus , etiam inueftigabimus, quomodo corpo- ra folida ipfis immería fe fint habitura, vbi impri- mis notandum eft, nifi fluidum fit homogeneum feu vbique eandem habeat denfitatem , regulas vul- gares de vi, quam corpora fübmería fuftinent , non amplius effe veritati confentaneas. Quodfíi enim den- fitas fluidi fuerit variabilis pro loci diuerfitate, tum etiam locus, vbi corpus folidum fluido immergitur, confiderari debet: fiquidem pro eo loco, quem cor- pus folidum in fluido occupat , etiamfi fluidum in- de iam fit expulfum , tamen diligenter perpendi oportet , quantam denfitatem fluidum , mente faltem in locum folidi fubftüitutum, in fingulis punctis effet habiturum, id quod ex conditione aequilibrii eft de- finirendum. . Non íolum enim tum pondus huius maífie fluidae quaeri debet , fed ctiam eius centrum iuertiac , cuius locus potiffimum a variatione denfi- tatis AEQVILIBRI FLVIDORVM. jeg fatis pendebit. Nifi enim hoc puncum exacte fue- rit cognitum , media directio vis, qua folidum a fluido vrgetur , affignari non poteft. APPLICATIO ad fluida omnis compreffionis expertia. Problema $8. Z9. Si fluidum füerit homogeneum , eiusque. denfitas g vbique eadem feu conftans ,. flatum aequi- librii affgnare , et quantas vires tam. vas continens quam corpora immería fuftineant , definire. Solutio. Cum denfitas vbique fit eadem ponatur 4— et folutio fuperior praebet 7p—-—géi4sz, vnde inte grando elicimus p—gé^(b—2z), exiftente 5. conflante per integrationem ingreffa. In eleuatione igitur fu-. per plano horizontali , a quo altitudinem z fumfi- mus, facta ea z— preffhes euanefcit , ibique ergo exifit extrema fluidi fuperficies quae propterea etiam eft horizontalit.. Sit ergo F E G haec fuprema fu- perficics ad libellam compofita, et C Y D planum horizontale pro bafi affüumtum , vt illius eleuatio fit EY —^ atque in altitudine quacunque minore YZ-z, prefio erit p—gb(b—z)—gb.EZ. In .eadem ergo altitudine Y Z preffo vbique efl eadem, 'Tom. X1II. Nou. Comm. Aa. et Tab. VI. Fig. 10. "Tab. VT. Fig. ri. &h ^ vog sTuwE et profunditati E Z infra füpremam . füperficiem FG proportionalis , praeterea vero fequitur rat'o- nem grauitatis g et denfitatem fluidi b: | Quodfi nunc hic perinde atque in preflon:s euolutione. gra- vitatem g vnitate indicemus et pro. matcria vni- formi, ex qua preffio definitur, hoc ipfüm fluidum. fübftituamus. vtpote etiam homogeneum , fiet altitu- do preffonem metiens p—^—2-— EZ, ita vt iam in loco quouis Z preffio f aequetut ipfi profundi- tati E Z infra fupremam fuperficiem ; et corpus quoduis huic fluido immer(um furfum vrgebitur vi, quae ponderi aequalis voluminis fluidi eft aequalis quod cum fit homogeneum , eius media directio per corporis centrum magnitudinis tranfibit. - : Vas autem totum fluidi quod continet pondus fuflinebit, L.ornodl. $0. Quamcunque igitur vas tale fluidum con- tinens habuerit figuram , fuprema fluidi fuperficies Ff, Ee, Gg in idem planum horizontale cadit, in qua preíffio vbique eft nulla. — Infra autem hanc füperficiem preífio vbique profunditati erit aequalis , fiquidem hoc ipfum fluidum loco materiae illius homogeneae grauis, ex qua prefüo definitur, in vfum vocetur. Coroll.. 2. $1. Circa latera ergo huius vafis in T pres- fio aequatur altitudini T V, ita vt fpatiolum ad T. norria- AEQVILIBRIL FLVIDORVM. g71 mormaliter prematur a vi aequali ponderi columnae ex eodem fluido formatae , cuius altitudo eft T V €t bafis ipfum illud fpatiolum. : Similique modo ad 8 prefího altitudini 7 V aequabitur. Coroll' 5. $2. Quod ad corpus folidum quodcunque im- merfum D C D attinet quoniam tam denfitas quam grauitas fluidi vbique eft eadem, perinde e(t in quo- nam loco intra fluidum id fit collocatum ,. femper enim furfum pelletur vi acquali ponderi paris vo- luminis B C D fluidi, cuius media directio E eius centrum redes tranfit, Scholion. 83. Haec funt principia vniuerfae hydroftati- cae, ex quibus omnia, quae in hac difciplina tradi folent , facillime deducüntur , quae cum fátis fuper- que iam ab Auctoribus fint expofita ; iis plenius cuoluendis hic non immoror. ^ Ad maiora potius pergo., quae. vulgo minus accurate tractari folent , quando fcilicet fluidum ex partibus heterogeneis eft compofitum , quorfüm referendus quoque eft cafus , quo idem fluidum diuerfis caloris gradibus efl prae- ditum , quoniam tum etiam eius denfitas eft diuer- fa: vbi imprimis animaduerti oportet his cafibus fieri poffe,. vt aequilibrium nullum proríus locum inueniat , ideoque fluidum continuo motu agitari ; AK aw av neceí- ed "yab. VI. Fig. 9g. Tn NN |^^DE S5 T:ATT'NW neceffe fit. — Cuius motus determinatio etiamfi" huc non pertineat, tamen quodammodo eius rationem , perfpicere licebit , vnde plurima phaenomena natu- rae fatis feliciter explicari poterunt. Problema 9g. 84. Si fluidum nullam compreffiouem. patiens. fue- rit beterogeneum , feu ex diuerfis materiis. fluidis nix- tun , definire rationem permixtionir vt aequilibrium Jubfiftere poffit , finulque aequilibrii pbaenomena. Solutio. Denotante littera g vim acceleratricem — graui- - tatis , fit q denfitas fluidi in pun&o Z, cuius locus per ternas coordinatas AX —x, XY-y et YZ-z determinatur. ^ Si igitur altitudo 5 ibidem preffio- nem exhibeat, pro aequilibio hanc habemus ae- quationem dp—-—g4dz, quae nifi integrationem admiferit , aequilibrium oriri nequit. ^ Neceffe ergo eft vt denfitas 4 a íola variabili z pendeat, quia alioquin integratio excluditur; fi enim forte obii- ciatur , hoc fieri poffe, dummodo quantitas 4 füe- rit functio binarum variabilium f et z, euidens eft, quia tum altitudo f fünctioni ipfius z aequalis in- veniretur , etiam 4 per certam fünctionem ipfius z expreffüum iri. Quare ad aequilibrium neceffario re- quiritur vt denfitas g a fola variabili z pendeat ; quae conditio eo redit vt in aequalibus altitudini- | bus € AEQVILIBRII FLVIDORVM. 373 bus z, feu in qualibet fe&ione horizontali eadem vbique denfitas reperiatur. Diuerfa ergo fluida pla- Tab.VII. nis horizontalibus a fe inuicem feparata eífe opor- tet, ità vt fi F G fit fuperficies fuprema, vbi pret- fio euaneféit, per eam vbique fluidum eiusdem den- fitatis. expandatur , quod iníra iterum plano hori- zontali H I terminetur: vbi fi aliud fluidum inci- piat, id quoque vsque ad planum quoddam hori. zontale inferius extendatur , ficque porro fi plura fluida. diucría fequantur. ^ Quodfi in tali fluido cor- pus foiduom BCDE fit immer(im , eius loco fluidum, quod cum reliquo foret in aequilibrio con- fideretur , eiusque tam pondus quam centum iner- tiae O notetur , quo facto hoc pondus dabit vim; qua corpus BC D E a preffüonibus fluidi furfum pelletur , cuius directio per pun&um O tranfire. eft concipienda. Denique fi cafu figurae denfitas füpre- mi ftrati F I fit — /, fequentis HL —, et infi- mi KN-—7, prefio in loco Z erit. —g (GI. /--IL. m--LZ. n). Coroll..: $5. Plura ergo diueríae denfitatis fluida in ae- quilibrio confiftere nequeunt, nifi fecundum ftrata horizontalia inter fe füerint difpofita. ^ Ac fi initio alium fitum habuerint , vel ad iftum fe component, vel fe intime mifcendo fluidum homogeneum con- "fütuent, vel nunquam ad aequilibrium peruenient. Aaa 53 Coroll, Fig. 12. 5874 DE STATV. " Coroll 2. $6. Cum idem fluidum pro diuerfo caloris gradu. variam denfitatemn recipiat , perípicuum eft, etiam fluidum alias homogeneum fe ad acquilibrium componere non poffe, nifi per quamlibet fectionem horizontalem calor vbique fuerit idem. Scholiohn E. 87. Vt plura fluida heterogenea in aequilibrio confiftant, fufüciat ea fecundum . ftrata horizontalia inter fe effe difpofita , vt per quamlibet fe&ionem horizontalem per totam fluidi maffam facam den- fitas vbique fit eadem , neque ad hoc abíolute re- quiritur, vt fpecifice grauifümum locum infimum, leuifümum vero fupremum occupet. — lta aequili- brium daretur et fupremum ftratum FI argen- tum viuum , medium H L aquam et infimum KN oleum contineret ; verum hoc aequilibrium minime effít ftable; quoniam ]euiflima /facta concuffione , ftatim ac-grauioris fluidi particula in inferius le- vius cederet , aequibbrium ita- perturbaretur ,. vt grauifümum fündum effet petiturum , leuiffimum vero in füpremum ftatum íe. recepturum , quando- quidem haec tria fluida ab intima permixtione, qua fluidum homogeneum oriretur. abhorrent Quam- obrem vt aequilibrium | perenne obtineatur ,. vario- rum fluidorum flrata ita difponi debent, vt deer- fum defcendendo continuo grauiora feu denfiora Oc- - cur- AEQVILIBRIH |. FLVIDORVM. 375 currant. At fi fluida etfi denfitate differentia, facile permitceri patiantur , aequilibrium vix obtineri pot- eft, nifi ea ita confundantur ,. vt fluidum homozge- neum mentiantur. | Vtcunque ergo fluida denfitate differant, tamen per agitationem ita fe tandem dis- ponent , quemadmodum ftatus. aequilibrii poftulat. Scholion 2. 88. Fieri autem poteft , vt fluidum adeo ho- HRogeneum nunquam iu aequilibium . perueniat , quando fcilicet caufa externa adeft, qua fluido in vna vafis parte continuo maior caloris gradus im- primitur ,. veluti fi vais F N aquam continentis la- teri G N ignis fit appofitus, quo aqua in regione E N contenta multo calidior conferuatur , et vas in alteram partem F M fatis protenfüm fit, vt idem caloris gradus eousque propagari nequeat, ac circa F M aqua perpetuo fit multo frigidior. ^ Cum igi- tur in parte igni vicina E N aquae denfitss fit mi- nor, in oppofita vero FL maior, aequilibrium nullo modo locum inuenire poteft, cuiusmodi au- tem motus in eo fit futurus , ex fequenti ratiocinio conici poterit: Concipiamus diaphragma verticale E L aquam calidiorem a frigidiori feparans , atque yt in eius ima parte Z preffio vtrinque exiflat ae- qualis, neceffe eft aquae calidioris altitudinem E Z füperare altitudinem fr;igidioris e Z. Hoc ergo mo- do impedietur ne particula in foraminulo Zz ad -Anotum incitetur, at in locis altoribus verfus & fumtis Tab. VIIT. Fig. 13. 576 TEX peer. fümtis preffo aquae calidae fine dubio fuperabit preffionem frigidae , ex quo fi totum diaphragma foraminibus pertufum concipiatur , per fuperiora aqua calida effüluet in regionem frigidae. Qui fluxus fimul ac inceperit ob auctam altitudinem aquae fri- gidae eius preffio circa fundum in Z augebitur con- traria vero calidae minuetur, ficque aqua frigida hic in locum calidae pelletur ac fimul prior caufa aquam calidam in regione fuperiori verfus F vrgens denuo vigebit. ^ Qui vterque fluxus cum perpetuo continuari debet , etiam penitus fublato diaphragmate EL, euidens eft hoc cafu quo aqua in regione EN iugiter maiori calore praedita eft quam in regione oppofita F L «eiusmodi motum perennem in aqua ineffe debere , vt fuperne circa GF fluxus fiat ab G ad F aquae calidae in locum frigidae , inferne autem contra ab M ad N aquae frigidae in locum calidae ; nifi forte amplitudo vafis N M ita fit par- v4, vt tandem aquae per totam extenfionem idem caloris gradus induci queat. Scholion. 5. $9. Haec conclufio ex theoria deducta , , óds fluilum nunquam in ftatum aequilibrii peruenire poffit , nifi in aequalibus altitudinibus vbique idem reperiatur caloris gradus , maximi eft momenti, ac xatio etiam huius phaenomeni nunc perfpicue co- gnofcitur quae in eo eft fita, quod fi fluidum ita fit difpofitum , vt circa fundum aequilibrium detur, id AEQVILIBRII FLVIDORVM. — $74 id prope fupremam füperficiem prorfus excludatur. Ex quo intelligitur, quo profündius fit huiusmodi .fluidum , quo in maius fpatium id extendatur, «et quo maius fuerit discrimen in gradu caloris , eo fortiorem effe debere iftum fluxum internum , quo €irca fuperficiem aqua calida in locum frigidae, cir- ca fundum autem contra aqua frigida in locum «ca- lidae continuo fertur. Si ergo in mari eiusmodi locus detur , vel lacus quidam ita fit. comparatus , vt in altero termino aqua perpetuo fit.magis calida quam in termino oppofito , hoc phaenomenum im- primis cerni debebit , vt in fuperficie aqua continuo à loco calidiori in frigidiorem «defluat , «circa fun-. dum autem fluxus contrarius obferuetur. ^ His per- penfis fatis verifimile videtur , «oceani fluxum intra tropicos ab oriente in occidentem ab hac cauía po- tiffmum oriri , quandoquidem a fole mare in locis orentalioribus multo magis calefit, quam in occi- dentalioribus , qui -effe&us infüper a continuo folis progreffü ab oriente in occidentem haud mediocri- ter augetur. APPLICATIO ad fluida compreffionis et rarefactionis capacia. TEPrObletmeu?s 1. 90. Si fluidum aeri fimile a grauitate anima- yum vbique eodem caloris gradu fit praeditum , flatum aequilibrii definire et preffionem in fingulis. locis. Tom. XIII. Nou. Comm, Bbb solu- "ab. VL. Fig. 9. 978 DE ST ATVYV Solutio. Affumto quodam. plàno. horizontali A X Y^ füpra quod altitudines huius. fluidi. menfurentur ,. fic: in Z eius particula quaecunque ,, eiusque. altitudo - fuper. ifto. plano YZ-—z.. Denfitas porro. ibi fit. — 4, et altitudo preffhonem. metiens — f$; et quo- niam gradus caloris vbique idem ftatuitur ,. denfitas- q 3 Ííola prefhone p pendebit eiusque. certa erit fun- &io ex natura fluidi definienda. — Grauitatis nunc. vi. acceleratrice. pofita — g, pro qua in.menfüra pres- fionis vnitate vtimur-, flatus aequilibrit hac. aequa-. tione differentiali Zp——g24z. definitur, quae: cum 4: fit functio ipfius » femper. integrationem admittit , et- integrata praebet Vac ere g(b—zx),. vnde primo. in-- telligimus ,. aequilibrium- femper. locum . babere ,. et- cum in eum ftatum peruenerit ,. preffionem . in- fin- gulis locis affignare poterimus.. Patet autem. pres- fionem f. per folam- altitudinem z. determinari ,. ita: vt. vbique. ad acquales alütudines. eadem futura fit- preffo. 5. — Cum. igitur. euolutio. huius. fórmulae : pendeat a ratione, qua. denfitas 2: per preffionem p determinatur , aliquot ' hy pothefes: percurramus. I. Sit primo $ — 7, ita vt. denfitati b' conuee niát preíio a, et generatim preffo denfitsti fit-pro- portionalis. Quare ob. qu habebimus s Ipcg(b-a), ac fi fumamus in.plano horizontali A XY deníita- tem AEQVILIBRII FLVIDORVM. 379 Xemi elfe — 5, et preffionem — 47, fiet ;- /2 —gb, ddeoque ;-/p — ;- la—gz feu TM z. — XI. Loco alterius fyputhelis- fupra ex aeris ma- xima et minima denfitate flabilitae quia ad integra- tionem minus eft idonea, fequente vtamur ad phae- nomena egregie accommodata. — Pofita denfitate mi- mima —:/, maxima vero —7 ftatuamus qM wbi & denotet prefionem valde magnam , quam ex- perimentis vix attingere liceat , verumtamen talem , vt pro preffionibus mediocribus. zzk prae zp quafi euanefat , quod cum denützs minima 77 prae ma- xima 4 viX pa!S ;ss aeflimari queat, facile efficitur , fi verbi gratia preffione atmofphaerae in plano dhorizontali A X Y pofita — «a fümatur k — 100: wel etiam & — zooo 45 hoc autem mo- do fi preffio mediocris non vehementer ab a abhor- reat , in illius formulae numeratore pars j£ prae *?,in denominatore vero pars f prae £ negligi poterit wt prodeat 4 — a feu denfitas preffioni proportionalis , wt aéris indolés m. Hinc ergo noftra aequatio differentialis erit wi gs dp—— gdz, vnde fi in ipfío .plano horizontali A X Y fuerit preffio — a, integrato praebet a—p (n —myh m h-r-na u ue Tux. mka-np—£8£5 . Quodfi denfitatem in eodem plano horizontali voce- "WEN ; mh--.na ; (TD oar S mus — b ob b — -—;— ert kb .—. ideoque mme b5)a -4- n (b — m) (n — m) (b 2— n) opo : Dü-u-nio0—m)p in gencre q- (n—ba4a-(5—m)p T (n — ba -r-(b—m)$ pP ? Bbb2e ex 380 DE STATV ex quo aequatio. noftra ftatum. aequilibrii definiens: erit :; P (n—) (a— 5b)a (n. — mb a- -i-^ 7 wu n n(b1m) Jorngcieusdbcmpccnen Cun iedtüe fur(um. afcendendo; preffio: 5: continuo: diminuatur pro eius quauis diminutione: infra a. al- titudo z. hinc facile. definitur, ac: preffio f. plane n . : $ —mYn —b)a euanefcet in. altitudine ,, quae: eft: — sme o (n:— b ] WIR vbi. denfitas. po — n,, et. atmofphaera. pe-- nitus definere eft cenfenda. ^ Quantam: preffionem. folida huiusmodi fluido. immería: fuftineant,, ex: prae- cedentibus fatis. intelligitur. (Coroli.. t1; 91. Quia: preffio: atmofphaerae. per. altitudines; mercuriales. menfürari folet ,. denfitas. mercurii. vni- tate: eft denotanda; vnde. parum. a: fcopo: aberrabi-- mus ,. fi maximam. aeris. denfitatem; 7? etiam: vnitate: defignemus:: tum: autem. denotante: iam. a altitudinem. barometri in. füperficie. terrae. erit propemodum: den- fitas ibi P — ;45,, minima: vero denfitas zz mini- mur. adhuc. millies. minor. eft. acftimanda.. Corpll, «2. 92. Quodíi porro. grauitatem. g: vnitate. de-- fignemus. aequatio; inuenta. erit :. 2d 9999 (1: — m)a (1 — m)a SCCOaE brio a 1 —-10000 7l. JS ONTYD I d -4--(1 —-10000 m)$. vnde: —— o L(L——X——— — 3 AEQVILIBRII FLVIDORVM. 38x vnde tota atmofphaerae altitudo. facta preffione eem 2) 96999 (1 — m )a ] :—m reperitur. — 4-|- l—;- 5:5» Quare pofito 5m — 10" quia exponens ,« eft valde magnus ,. erit proxime : &—a4-—p-r-10o000] Pim " hincque : altitudo: atmofphaerae. — 4. -1- 10000 4- (M. —4) 4 1o. Coroll. 5. 93. Cum igitur fit a — 2: ped. et /10772. 50258 fi altitudo. atmofphaerae. flatuatur. — ^ 4, vt ^ fit numerus maximus , fiet hinc A— 1 —25026 (y. — 4). mu £f'moldo fit M — 6 eu 7—.:555» Ht A—2..23026, ct 25026 ped. pro milliari germa- nico. aeftimatis altitudo atmofphaerae ad quinque. milliaria: affurget ,, fumtoque |X — 8. ad decem mil- liaria.. CoroLl. 94. Si ergo: altitudo: atmofphaerae: aeftimetur 5; milliarium erit: aeris. cenfitas: minima: //— i5: ,. qui valor cum. tantum. centies. fit minor: denfitate , quam: fentimus ,, experimenta. pneumatica. vtique fua-- dent. vt flatuamus. 7: — iss , ct altitudinem at- mofphaerae ro. milliarium. vnde. pro. quauis altitudi- ne z: erit z—4—p--100004/,; 77 — jbique. erit b.b b. 5; den-- G-4-10900p Né 7 DE ST'AUTW A ars ims afi anssiiririioss S denfitas -aefis q — i355 -p- zm desea denfitate mer- .eurii exiflente — r. Scholion. 95. Hae duae hypothefes «etfi natura prorfus «diuerfae tamen inter fe vix diftrepant, nifi preffio fit vel nulla vel.adeo infinita. .Quando autem pref- fio nulla flatuitar , diftrimen cerritur maximum, «um :prior hypothefis, atmofphacrae altitudinem in- finitam tribuat.altera vero finitain, antequam au- tem afcendendo ad hanc peruenitur , ratio qua et denfitas 4 .et preffio p decreícit , ex vtraque &hypo- thefi eadem fere prodit. Ac fi liceret infra planum AX Y in vifcera terrae defcendere , vix vlla diffe- rentia perciperetur , nifi ad maximam profunditatem fucrit deuentum , quanquam in defcenfu differentia fenfibilior fieri debet quam in afícenfü, ex his for- mulis autem tabula condi folet oftendens quantum in afcenfü ad quamuis altitudinem prefio cum denfitate minuatur, in defcenfu vero augeatur, quae autem .ab experientia haud mediocriter abludere de- prehenditur. — Cuius rei caufa non in eo fita eft putanda , quod hic non veram relationem inter den- fitatem et preffionem fimus fecuti , quomodocunque enim ea fuerit comparata , feHper pro iis altitudi- n'bus ad quas nebis afcendere licet , eadem lex pro- dire débet, propterea quod in his variationibus den- fitas fatis exacte prefüoni eft proportionalis. —— Vera autem huius aberrationis caufa fine dubio in eo eft quae- AEQVILIBRIL FLVIDORVM. 883 quaerenda ,. quod. hic toti atmofphaerae vbique. eun- dem. calorem. tribümus, cum tamen experientia longe aliud declaret ,. qua. nouimus aícendendo gra- dum caloris.continuo diminui ,. ita vt ad certam aluitudinem fub aequatore. aeque.ac fub polis vbique terrarum. frigus intenfifümum. fere. ia eodem gradu reperiatur ,. atque. tota- caloris et. frigoris variatio et .viciffitudo tantum circa terrae fuperficiem obferue- tur , cum etiam in terrae interiora penetrando. con- tinuo magis:ad aequalitatem componatur. ^ Lex vc- ro ,. qua-calor: furfum. afcendendo diminuitur , nul- lam: certam. regulam fequitur.,. fed pro variatione climatum. et. tempeftatum | maxime eít irregularis ; vnde in. fequente. problemate. rema. ita. generaliter fum complexurus., vt' ad. omnes cafüs. accommodari queat; pro fcala nempe caloris in quauis altitudine lineam curuim: quamcunque. adhibebo ;. vbi autem hoc perpetuo eít tenendum ,. nifi. vbique in aequali- bus altitudinibus idem frt caloris. gradus', aequili- brium plane dari non poffe. . Problema rr: 96. Data fcala caloris pro: qualibet. altitudine fuper plano.horizontali ,. definire ftatum^ aequilibrii atmofphaerae. et. preffionem | cum . denfitate aeris .in quauis altitudine. Solutio: À plato horizontali- C A D. afcendendo per a1- Tab. VIT. titudinem verticalem A.Z — z.fit.ibi gradus calo- Fig; 14. ris- $384 DE STATV ris — f repraefentatus applicata Z R curuae cogni- tae CR r, quae eft fcala caloris ; tum vero in ea- dem altitudine fit denfitas aéris — 4 et preffio — f, quae fimul dencotet altitudinem mercurii in baro- metro ad Z conftituto, ita vt hic denfitas mercurii vnitate exprimatur , ideoque 4 fit fra&io valde exi- gua. In ipfo autem plano horizontali C A D fit gradus caloris A C—e, denfitas aeris — 5 et preffio feu altitudo barometri in. A — a. — lam pro altitu- dinibus ad quas afcendere licet , ante vidimus pres- fionem denfitati proportionalem ftatui poffe, fiqui- dem calor fuerit idem; calore ergo var'abili affumto fi eius menfura adhuc incerta ita determinetur ,^ vt manente denfitate eadem calor preffioni proportionalis aeflimetur, habebimus p — 527, vnde fit 4 — /. Quare cum ftatus aequilibrii hac aequatioue differen- tiali contineatur "P ——da , pofita vi grauitatis ac- celeratrice g — 1 erit giae quae aequatio cum rz fit fun&io ipfius z vtique integrationem ad- mittit , fimulque indicat hoc cafu aequilibrium lo- - cum habere, quo cum SRUOID IOS peruenerit fiet integrando 7p — Conf. — 75/27. ^ Ex fcala caloris .. CRr iiec id alia curua D S $, vt fit vbique yq - , ideoque A D — 1, et Et quadra- turam huius curuae habebimus pa —-. ADZS, vnde definita prefhone p pro ldrudins AZ-sz,erit jbidem denfitas 9 — P —- s. Vel fi loco calo- ris r ipfam aream curuae D 5 » in calculum intro- ducere AEQVILIBRII FLVIDORVM. 385 : à à Qucere velimus ponendo / 7^ — 5, ita vt 5 fit cer- ta functio ipfius 2 euanefcens pofito z — o, erit i es acd. bs cd 5d: fupcae * ,etob rz ^j, habebitur 4—,52 —b lndds n vbi notetur , fi calor per totam altitu- dinem effet idem fore s — z , fin autem calor de- crefcat functionem $ in maiore ratione crefcere de- bere quam z, ita tamen vt pofito 2 — o fiat *—0o et irm 1, vnde flatui conueniet s—2-Fa2^ exiften- te At 1. Quo fa&o erit T ,.et q— 2? Serm " obe [1-242 77). Coroll r. ioasai 3 Quodfi ícala caloris C Rr fit linea. recta werticalem .À Z. in altitudine z — P íecans , ita vt ibi calor prorfus euanefcat; pro hoc cafü habebimus bb T —(1 — ») tum vero f -- 4 (1 —Es et 4 —b sz —1 * ) i nt (145-44 . Hinc pofito z — 5 preffio ibi eua- nefet , denfitas. vero. q vel euanefcet fi 27 z- vel ert —b fi b—; vel adeo infinita euadet fi 27. uo reL.. .2.-- 98. Si fcala caloris fit logarithmica fürfum cum verticali À Z z conuergens , feu z— p ]— erit Tom.XlII.Nou.Comm, - Ccc re 386 DE $ TCACTAY ae 2 : « boy 1 5 dE D vu. r-ce " , hinc 4 — T & , ideoque 7 —— 7e? 2, / 2 à Hi "pasos vnde integrando colligitur DI7—6-—1i), ex qua sequatione- pro. quauis elevatione z preffio f affigna- ri poterit. Hoc cafu in. altitudine infinita, tam pres- fio f quam denfitas 4 cum calore r euanefcet. . CoroTl.' 5. 99 Si calor etiam defcendendo decrefcat for- mula rem AM LOMIT ad hunc cafum. accommodari r--aAz^ poteft (Garda pro ^ numerum imparem vnitate. femper maiorem. Veluti pofito A — 3 , habebimus —bz c 4 IILL ,p- FX Pezzi ;—z-|-«2', hinc p— ae * (14-azz) atque, g — Z7 (123-3422) Hic fi ponatur. z—«e»,. cum calore etiam: preífio cum denfitate euanefcet. Scholion r -. roo. Relatio inter preffionem , denfitatem et calorem , etiam generalior in calculum introduci poteft, ei qua füpra fümus. vfi conformis, vbi den- fitatem. minimam -— 75 maximam vero — s flatui- mus. Sit enim bic ob calorem variabilem $- — 522 c — kp : feu q— Ee et junto £-—1 aequatio diíffe- B LI as o L] 5, — rentialis 5; 754p — —— jntegrata dàt Au (n —m)k M ud cdz Ea Ómhuoaup-Í s | Pro cafü ergo: praefen- ti, vbi denfitas. in füperficie terrae — b fit p— Sb et AEQVILIBRII FLVIDORVM. ^ $87 ie NISI , (n — m)(b-—mpec et g — (m 4- c (n—5, paceé omi) 4 (n —m)ba Ic hsq 0 u$ BE TS hincque Cum autem ob denfitatem. mercurii — x — fatui queat 2? — r, ac tam 5 prae 2, quam z; prae b fit fracio minima , fatis exacte habebimus: | | | " dmi t e Ee cdz ii pi Isgxeuuig f R^ ; Hic fi vtamur hypothefi r — ———7 zz obtinebimus € — (m RET cu -- 3422) et '" a—p--E E eds as vnde pofito p -—o'tbta deo eges edet quae fit — b ita definitur, vt fit a -- £- 77 - —b-r- abs eX quo patet a ita exiguam Baltibliéu: effe debere vt etiamfi b fit altitudo aliquot millarium , tamen x bb non fiat numerus ien agnus. Ponamus ergo -080p: a bb — A, eritque r— Bia. Mes q— n A Iia) hb--:AÀzz ] 5(bb--Xzxz) bb et m o-i ITE E bb vnde fado p—o, ob z—b erit 4-4- 5- /2; — (1-35, et q — m(r--32A) Verum quia ob maximas at- mofphaerae mutationes hic nihil eft certum vel con- flans , vberior euolutio huius hypothefis prorfus fo- rct inutilis. Ccc 2 Scho- 588 DE STAT/VW Scholiom 2. 10r. Quascunque autem. conclufiones hinc in- ferre licet , probe femper eít tenendum , eas locum non habere , nifi atmofphaera fuerit in. aequilibrio ;. ftatim enim atque ea. ventis. agitatur ,, omnia quae hinc de preffione et altitudine. barometri tradi folent, maxime perturbantur, neque amplius. quicquam: cer- ti ftatui. pote(t,. cuius circumflantiae. imprimis: ratio eft habenda , quando. altitudo. barometrica in. diuerfis altitudinibus. et profünditatibus. obíeruatur etiamfi enim [tatus caloris perfecte effet cognitus, nihil ta- men inde colligere liceret , nifi atmofphaera pror- fus. effet tranquilla. ^ Vt autem. atmofphaera: in. ae- quilibrio. confiftere: poflit ,, omnino. necefle, eft , vt in. aequalibus. altitudinibus , íeu. per quoduis. eius. ftra- tum horizontale. denfitas. vbique fit eadem , vnde etiam eadem preflio cónfequitur. ^ Vidimus. autem hoc neutiquam: euenire. poffe ,. nifi fimul in aequali- bus altitudinibus. vbique idem: caloris. gradus. vigeat ,. ex quo fequitür , quoties in. vna terrae regione ad eandem altitudinem. aé&r. füerit calidior vel frigidior quam in alia, aequilibrium nullo modo. fubfiftere poffe , fed ventum neceffario: exoriri debere. non. ante: ceffaturum. quam per ingentem faltem: terrae tractum in quouis. ftrato horizontali a&r fefe ad eundem ca- loris gradum compofíuerit. — Quod cum. rariffime eueniat, mirum non eít, atmofíphaeram vix vn- quam proríüs effe tranquillam ,' ideoque dubium. eft nullum ,, quin: haec. praecipua. ventorum. caufa fit fta - tuenda:. AEQVILIBRII FLVIDORVM. 389 tuenda. | Cuiusmodi autem motus in aére oriri de- beat , quando. in aequalibus altitudinibüs gradu ca- loris difcrepat, tametfi haec quaeítio ad theoriam motus. fluidorum. pertinet ,, tamen. fimili modo , quo fupra vfi fumus, quodammodo colligere licet, quan- tum quidem: ad. praeíens .inftitutum | fufficit; atque hinc plurimorum: phaenomenorum. caufam. intellige- re licebit. Problema :a. Io2. Si calor atmofphaerae in vna regione multum. difcrepet ab eo , quem in alia. regione ad eandem altitudinem. babet , ita vt aequilibrium lo- cum habere nequeat ,, motum. aéris. hinc. oriundum. praeterpropter faltem. definire. Solutio. Sit aer regioni A B. imminens. maiore: calore Tab. VII. praeditus.,. quam qui regioni C D imminet; conci- P'£- 15- piamus. primo. prope terram tubum horizontalem bc a regione calida in frigidam. porrigi , et atmo- fphaeram in: eo flatu effe , ^ vt preffho in 5 aequalis fit prefhoni in c, ideoque aér in tubo bc quieícat. Ob: calorem: ergo. circa 5; maiorem quam circa c, denfitas. ad 5. minor erit quam ad c, hincque par a&ris valumen. ibi minus habebit. pondus quam hic. Nunc fimilem. tubum: horizontalem 8 altius fi- tum. confideremus ,. ac mauife(tum. eft prcffionem ad E minorem. effe preffone ad 4 pondere columnae Qc c3 aeris 890 DE. $ T.A T.V deris a b ad. 8 protenfie ; fimilique modo preífio- nem ad y deficere a preffone ad c pondere colant- diae a&ris a c ad yy protenfae, at haec columna ob denfitatem maiorem per c'y grauior eft illa; vnde cum preffiones ad £ et c fint aequales, preffio ad ey vtpote malore parte minuta minor erit preíbone ad 5, quippe quae minore parte mulicatur. Ex quo neceffe eft a&£rem in fuperiori tubo a regione calidiore in frigidiorem propelli; qui fluxus cum aéris molem n regione írigida augeat, in calida vero rninuat , etiam circa tubum inferiorem dc ae- quilibrium mox turbabitur, ^et aér hic a regone. frigida iu calidam propelletur. ldem eueniet fi a&- rem primum circa tubum füperiorem C» in ae- quilibrio fuiffe ftaruamus , ita vt tum prefhones ad 6 et y fuerint aequales , tum enim a 8 ad 5 de- fcendendo preffüio minus. accipiet au;mentum quam 3 *ty ad c defícendendo , quia ibi aéris denfitas mi- nor eft quam hic, ex quo in c preffo erit maior quam in 2 et a&r frigidior per hunc tubum in. lo- cum calidiorem propelletur , quo fluxu 'etiam ae- quidibrium fuperne ita turbabitur , vt iam aér cali- : dior per tubum $« in locum frigidiorem deferatur. Hinc ergo remotis his tubis tuto pronunciare pos- fumus, fiaér regioni. AB imminens colidior fit aére reziodi CD imminente , tum infra ventum oriri a re« gione. frigida in calidam, fupra autem contra ventum a regione calida in frigidam tpirantem. | Tum vero de vi huius venti duplicis, in genere fequentia no- tari AEQVILIBRID FLVIDORVM. ^ 39: tati licet. |. Primo quo maius fuerit difcrimen intet calorem et frigus, eo hunc ventum fortiorem effe. de- bere... Secundo -quo maior fuerit altitado 5 8, per quod hoc difcrimen porrigitur ,, ob maiorem aequi- librii perturbationem etiamr ventum accelerari opor- tere. "Tertio. vero quo. minus regio frigida a- calida diftet ,, eo magis etiam ventum. augeri, quia tum. minor a&ris maffa ab iisdem viribus per tubos cb et 8'y eft propellenda, dum contra fi hae regiones maxime di(tent , fluxus agris, admodum lenis oriri débet ob iufignern maffam movendam. CorolL r ro3. Si ergo duo conclàuia vieina: per ianuam. inuicem. communicent et alterum füerit calefa&um , alterum frigidum, tum infra a&r, ex conclaui frigido in calidum | intrabit ,. fupra, autem. habebit fluxum contrarium , vti experientia oftendit. € erodti 5. rox. In eodem porro conclaui, quod ope fornacis eft caléfadum in regione infiriori aér ad fornacemr accedit , in fuperiori vero inde recedit, ficque prope fornacem continuo furfum aftendet , et motu fuo exiles machinas agitare valet, prouti ex- perientia, declarat. | Bb mods 5; 1o$. Si in foco camini ignis accendatur, fti- tim atque aér ci imuninens calorem concipit, in re- " gione. $92 DES STATX:' gione inferiori a£r vndequaque ad ignem -propelli- tur, et.cum fumo per caminum egreditur , dum eius locum aé&r exterior per rimas conclauis intrans fupplere valeat. Coroll.. 4. 106. Haec etiam caufa eít, quod in Africae littoribus quae interdiu ab imminente íole maxime vruntur, continuus ventus ab oceano afflet in re- gionibus fcilicet humilioribus , dum is fine dubio in füblimi curfum tenet contrarium. Scholion .. 107. Hinc igitur perfpicuum eft quantum ifte fluxus aéris ad ignem fuper focis et in fornacibus fufcitandum conferat, dum continuo motu ad ignem appellens per caminum afcendit , ac phaenomena no- tiffoü producit. Id tantum dubium hic exoritur, quod exempla «eiusmodi caminorum non defint, quibus ifte aeris fluxus minime .confpiciatur ac po- tius fumus a fluxu contrario in.conclaue depelli 'vi- deatur. Quanquam autem vitium plerumque in eo eft pofitum , quod vel ob anguiliam vel alia impe- dimenta camini liber aéris aícenfüs coérceatur, ta- men haec fola caufa huiusmodi aduerfis phaenome- nis explicandis baud fufficere. videtur. |. Ad fumum autem fefe a&ri admifcentem. hic quoque eft, atten- dendum , quo fine dubio denfitas aéris haud medio- criter AEQVILIBRII FLVIDORVM. 393 criter dugetur; cum enim affluxus aéris füpra ex- plicatus. inde oriatur, quod a calore denfitas aéris diminuitur, fi eueniat, vt ob fümum tantundem augeatur , ille effe&us prorfus ceffare debet , quin etiam ob maiorem denfitatem curíus contrarius per caminum defcendens fürnum in conclaue expellere - poterit. — Quare ne hoc incommodum víu veniat, imprimis curandum eft, vt fumus liberrimum exi- tum per caminum inueniat, hocque modo eius quan- titas prope ignem ita diminuatur, vt aér inde vix maiorem denfitatem adipifcatur. Scholion 2. ro$. Num autem ventus ille perennis oriens talis ,, qui inter tropicos obferuatur , ab eadem caufa oriatur * haud fatis liquet, quoniara in locis magis ad occidentem fitis , ad quae fol curfum fuum dirigit , calor atmofphaerae maior certe non eft, quam in iis quibus fol imminet. Et cum poft meridiem de- mum .-alor fentiatur maximus, hinc potius fequi videtur , a régionibus occidentalioribus aerem afflue- re debere. — Quo autem hic aliquid certius ftatuere Tab. VII. queamus repraefentet circulus A B D C globum ter- Fig. 16. raqueum , in quo fit A locus, cui iam vel fol immineat , vel vbi calor fit maximus , ita vt tam in regione occidentaliori B quam orientaliori C gra- dus caloris fit multo minor. Hoc pofito certo af- firmare licet , fi fol perpetuo eidem loco A immi- Tom. XIII. Nou.Comm. . Ddd neret, 504- DES TOAUT WA noret, vel calor maximus ibi perennis foret , tum vndequaque perinde aérem prope füperficem ad lo- cum A delatum iri, ita vt in B ventus occidenta- lis, ia C vero orientalis fentri deberet; dum in regione füblimi a&r vbique curíum contrarium effet hab turus. — Nunc autem ponamus maximum calo- rem ab A continuo occidentemi verfus proferri, ac manifeftum eít inde affluxum ab oriente intendi , ab Occidente autem debilitari debere. | Si enm haec promotio caloris fatis effet rapida , facle intelligi-. tur motum ab occidente prorfus extincum iri , at- que vniuerfam atmofphaeram fere vniformiter ab oriente in occidentem conuerti debere; quae cum quafi fponte fe ad talem motum componat impetu femel accepto , vix opus effe videtur, vt in fupre- ma regione motus exiflat contrarius , quo iactura vetro facta compenfetur; vel fi adfit talis motus, multo erit debilior. Neque ergo dubito caufam eu- r perennis in zona torrida principio hic flabilito et cum motu telluris diurno coniuncto attribuere. CAPVT AEQVILIBRII FLVIDORVM. . 39$ CAPVT V. . DE AEQVILIBRIO FLVIDORVM AD CENTRA VIRIVM FIXA - SOLLICITATOR VM. Problema 15. 109. S. vis acceleratrix , qua fingulae fluidi particuláé ad centrum virium vrgentur, fit fuün&ioni cui- cunque diflantiae ab hoc centro proportionalis í dein nire fluidi ftatum acquilibrii. S.olntig. Sit A centrum virium per quod tranfeat pla- Tab. VIT. num illud fixum A X Y, ad quod fitum fingula- rum fluidi particularum Z, referamus per ternas coordinatés AX — x, XY —y et YZ-—z fitque. in Z preffio — p et denfitas fluidi — 4. ^ Statuatur nunc puucti Z a centro virium diflantia A Z— v, vt fit o9 — xx-yy-|-zz, et fit V ea fundio di- ftantiae v, quae vim acceleratricem in Z fecundum Z A exprimit. — Haec vis fecundum ternas coordi- patas reíoluta dat vires fequentes : Ddd 2 fec. Fig. 17. $96 DESTATV fec, dire&. XA vim — Y vt fit P——77 fec. dire&, Y X vim — X vt fit Q—— fec. dire&. ZY vim — 5" wt fit Rz— 5 - Quocirca ex probl 3. pro ftatu aequilibrii fluidi hanc habebimus aequationem dp-—-— Y (xdx-A-ydy A-z dz) quae ob vdv—x4x-i-y4y-1-2dz contrahitur in hanc : | dp—-—4VN dv. Quod fi iam denfitas g ita fit comparata , vt haec aequatio integrationem admittit, quod non euenit, nifi 4 fit fun&io binarum quantitatum 5 et v, fta- tus aequilibrii locum habet, eiusque natura per im- tegralem huius aequationis exprimetur. CorolL. in rab. VII. rro. Vt ergo fluidum ad aequilibrium fe Fig. 18 componat, denfitas g tantum a diftantia a centro virium AZ-—v et a preffione ? in loco Z pendere debet ; quia autem tum ex aequatione dp——4V do preffüo p per folam diftantiam v determinatur, etiam denfitas per folam diftantiam «v determinabitur. CQorblL' . Irr. Si ergo fluidum fuerit in aequilibrio , tum in aequalibus a centro A diftantiis hoc eft per | totam «elt AEQVILIBRII. FLVIDORVM. 397 totam íuperficiem fphaerae radio AZ — v circa cen- trum deícriptae vbique eadem prefho $ eademque denfitas-g reperietur , ii quod de omuibus füpcerfi- ciebus fphaericis concentricis eft intelligendum. ut otrtolL.s. I12. Quod fi igitur in diftantia AC» pres- fio euanefit , per totam quoque füperficiem fphae- riam CE G F euanefcat neceffe e(t, haecque fu- perficies fluidi fuprema eft cenfenda. ^ Vnde patct fluidum in aequilibrio conftitutum neceffrio figu- ram fphaericam induere, in cuius centro pofitum fit centrum virium. Coroll 4. 115. Si preíffio in C euanefcat, erit in loco eentro propiore Z, pofito interuallo CZ ——v—u, prefhio 5—/q4Vdu, integrali hoc ita accepto, vt euanefcat pofito 4—20, hoc autem integrale , expri- mit pondus columnae fluidae ex C in Z^ protenfae , quo €a a vi centripeta ad Z vrgetur: Quare ad centrum A accedendo preflio f continuo augebitur. Scholion T. rr4. Ratiocinium hoc clarius reddetur, fi co- lumna? cylindricae C Z/ bafin tribuamus — ff, wt eius volumen ob altitudinem CZ—wu fit ff u, ct in- cremeutum cius, dum alütudo elemento 44 auge- Ddd s ; tutis 598 DE ST AT VW. tur, —ffdu; maffae ergo elementum ob denfitatem ia Z--4 erit — ffqdu, quod in vim acceleratricem V, qua deorfum íollicitatur ducum , dabit ponderis incrementum —ffqVdu; ex quo totius columnae C Z pondus erit —ff/g V du, quod fi ponatur — P, preffio in Z crit 9 — 5; ; vnde perfpicuum eft pres- fionem iu Z ponderi columnae fluidae |C Z cfle proportionadlem ,. fiquidem haec columna a faprema fluidi füperficie capiatur. Quoniam igitur haec co- lumna quo magis veffus centrum A extenditur eo fit neceffario ponderofior, fimal intelligitur ;. quo propius ad centrum A accedatür , eo magis preffio- nem p augeri debere, Atque hinc etiam vis, quam quoduis corpus folidum fluido immerífum ab eius prefhonibus fuftinet , colligi debet , quippe quae ae- qualis et contraria eft ei vi, qua mafífa fluida in locum corporis folidi fubflituta a vi centripeta vr- getur. Hincque ex vi, qua corpus folidum ipfum a vi centripeta follicitatur , iudicare licebit, vtrum id in fluido fit quieturum , an vero vel furfum vel deorfum pellatur * prouti haec vi illi fuerit vel ae- qualis; vel ea minor maiorue: quin etiam fieri poteft, íi ambae vires non per idem corporis pun- &um tranfeant , vt'ej interea. motus quoque gyrito- rius imprimatur, à Scholion 2. Ir5. Si ergo denfitas in locis a centro À zeque remotis non fit aequalis ftatus aequilbrii lo- cum AEQVILIBRII FLVIDORV M. 399 cum babere nequit, qualem autem tum motum. adipifcatur fluidum , fejuenti modo colligere licebit. Ponamus in locis b et 6 denfitatem minorem effe quam :n locis c et *y, fluidum autem ita effe dis- pofitum, vt in 5 et c preífiones fint aequales, ideo- que fluidum in tubo £c in aequilibrio verletur ; quo pofito preílo ad $ maior erit preífüione ad "y, quoniam pro illa obt nenda a prefüone in b pondus columnae rarioris 6 2 (uüburahi debet , pro hac vcro denfioris «y c. ^ Fluidum ergo per tubum füperio- rem $'y a loco, vbi denfitas eft minor defluet in locum , vbi denfitas eft maior , qui fluxus fimul ac inceperit aequilibrium in tu»o inferiori b c turbabi- tur, hicque fluidum denfius ad rarius fluere inci- piet. — Idem motus prodibit fi primum fluidum in tubo fuperiori $ y in aequilibrio fuiffe affüumamus. Quocirca tuto concludimus, fi in regione $5 denfi- tas minor füerit quam in regione «yc, tum infra fluidum ex c in 5b (upra autem contra ex 8 in y fluere debere ; qui motus tamdiu durabit, quoad aequilibrium locum inuenire queat ; ac fi ob calo- rem ad 5 6$ minorem denfitas ibi conflanter fit ma- ior quam ad e'*y hic motus perpetuo durabit , qui eafüs omnino conuenit cum illo, quem fupra euol- vimus. Scholion 5. 116. Pro diuería ergo fluidi indole circa ae- quilibium fequentia fünt notanda. ^ Primo fi flui- . dum 4.00 DUE. STUETTN dum fit homogeneum denfitatem habens inuariabi- lem , veluti aqua eodem vbique caloris gradu prae- dita, cum íe ad aequilibrium compofuerit ,.. in ae- qualibus a centro virium diítantiis preffio vbique eft eadem : fin autem fluidum fit heterogeneum , cuius tamen fingulae partes nullam denfitatis mutationem patiuntur , aequilibr.um fübfiftere nequit, nifi in ae- qualibus a centro virium diflantiis denfitas vbique fit eadem , at tum etiam preífio ibidem aequalis fit neceffe eft. — Idem tenendum eft, fi idem fluidum ob diuerfos caloris gradus ratione denfitatis difcre- pet, tum enim ad aequilibrium requiritur , vt in aequalibus a centro virium diflantiis vbique idem reperiatur caloris gradus , quod nifi eueniat , aequi- libium locum habere nequit , fed in regionibus in- ferioribus fluxus dabitur perpetuus a loco frigidiori in calidiorem , in füperioribus vero contra a loco calidiore in frigidiorem. ^ Quod fi fluidum aeri fit fimile et denfitatem habeat variabilem non íolum a gradu caloris fed etiam a preífione pendentem ; tum aequilibrium dari nequit, nifi per fingulas füperfi-: cies fphaericas circa centrum virium deícriptas vbi- que idem caloris gradus regnet; tum vero etiam per totam cuiusque harum fuperficierum expanfio- nem et denfitas et preího eadem deprehendetur. Ia his igitur omnibus cafibus maxime intereft fluidi maffam in eiusmodi ftrata diuidi, quae a centro virium aeque diflent , ideoque figuram habeant fphaericam , quae flrata aequilibrata vel libellata vo4 | care «e AEQVILIBRII FLVIDORV M. 4Oor care licet ; fimili modo quo cafu ante tractato , vbi dire&iones grauitatis inter fe erant parallelae , haec frata plana et horizonti parallela accipi debebant. Problema 14.- 117. Si fingulae fluidi partes ad duo pluraue centra virium fimul follicitentur viribus accelera- tricibus, quae vtcunque a diflantiis pendeant, condi- tiones inuefligare , fub quibus fluidum in aequilibrio confiflere queat. Solutio. — .. Sint plura centra virium fixa C, C^, C^ vt- Tab. vri. cunque difpofita fine in eodem plano fiue fecus; ac P8 :9. fluidi confideretur elementum quodcunque in Z fi- tum , vbi denfitas fit — 4, et preffio — f. Ponan- tur huius punci Z diftautiae a fingulis. virium centris ; , Cc y. C Eeciphs C aiios aA ct vires acceleratrices , quibus ad ea feorfim follici- tatur, fint V; V^, V^. Harum autem virium effe- ctus ratione aequilibrii feorfim definire licet , quo- niam fupra vidimus in genere pro aequilibrio eff de- bere ^? —Pdx-- Qd y-4-Rdz , wbi fingulae vires refolutae in P, Q, R partes peculiares inducunt. Calculo ergo vt ante fubducto pro fingulis viribus ternae coordinatae ex calculo excedent, et ad hanc aequationem peruenictur : £P ——VNdo—N' dv —N^dw* 'Tom. XIII. Nou. Comm. Ecc vnde 402 VIRO. BET DASTEOM vnde patet fi denfitas g fuerit vel coaftans, vel a fola preffione f: peadeat , integrationem — fuccedere , ideoque aequilibrium locum habere , cuius indoles hac aequatione exprimctur : f £$— Conft. —/ V dv —f N' dv/- f Vds Wbi notari meretur formulam integralem fV 4 re- praefentare actionem vis V; quare fi omnium vi- rium iuncim confideratarum | actio tota — flatuatur —W, wt fit Ww zJNdo-r-fN'dv' -- f N" dv" habebitur [- Conít, — W. Notio autem huius actionis ita eft ftabilienda , vt pro quouis fpatii pun- &o , quod virium actioni fubiicitur , certum fortia- tur valorem longitudine feu altitudine quadam ex- primendum , fiquidem vires acceleratrices V, V^, V/7 grauitati homogencae numeris abíolutis indicantur ; ita vt adio virium in quouis pun&o euadat preffioni homogenea, quippe quam etiam certa altitudine re- praefentamus. —Actione ergo in calculum introducta erit aequatio differentialis pro ftatu aequilibrii 7 P —-—44dW , vnde fi denfitas 4 non folum a preffione 5 fed etiam a loco pendeat, veluti fi cuilibet loco certus caloris gradus conueniat, tum aequilibrium locum habcre nequit, mifi calor vnice ab a&ione virium W pendeat, ita vt in omnibus punctis, vbi eadem actio viget, ibi etiam calor fit idem ; tum autem in iisdem locis quoque denfiras et preffio in aequilibrio fiet eadem. Coroll. AEQVILIBRII- FLVIDORVM. ^ 408 C»opnolk:d:a. 118. Totum ergo negot um eo redit, vt omnia puncta, vbi actio virium eft eadem probe notentur, quae cum pro quauis actionis quantitate W in cer- tam quandam fuperficiem cadant, talis fuperficies ftratum aequilibratum repraefentabit; ita vt in quo- libet firato./| aequi iiorato acio virium vbique fit eadem. . Pythia 2. 119. Ad acquilibrium igitur id maxime re- quiritur, vt per fingula ftrata aequilibrata fluidum vbique eandem habeat denfititem , tum vero etiam preffio vbique erit eadem in quolibet fcilicet ftrato aequilibrato. — Vnde perfpicuum eft extremam feu füpremam fluidi fuperficiem fecundum huiusmodi ftratum aequilibratum fe cofnponere debere ; ex quo haec. ftrata ad libellam difpofita funt ceníenda. Coroll: 5. à I20. Si vnicum fit centrum virium , omnia flrata aequilibrata figuram habent íphaericam certro virium defcriptam , ideoque inter fe erunt parallela. . Sin autem duo pluraue adünt centra virium , figu- ra fingulorum flratorum aequilibratorum ddiódula fit plerumque irregularis , ncque ea amplius inter fe crunt parallela , fed potius craffitie inaequabili | praedita. Eee 2 Scho- 44 DE STA'TY Scholion r1. r2r. Duse hic occurrunt notiones maxime notatu diguae , quarum: prior eft notio actionis vi- rium , quae in quoduis pun&um agunt, atque alibi oftendi hanc notionem in principio minimae actio- nis, maximi effe momenti , ex quo fi forte ea qui- busdam geometris vel nimis metaphyfica vel adeo nimis flerilis füerit vifi, hic certe fummam eius vtilitatem agnofceit, Dum enim vires quaecunque acceleratrices in punctum definitum agunt, ibi cer- tam exerunt a&ionem quae conuenientiflüme co mo- do, quo hic vfus fum , repraefentatar, dum fcilicet quaclibet vis per dii -centials dire&ionis fuae multi- plicata integratur , et Lhaec integralia ex fingulis viribus nata in vnam fümmam colliguntur ; vnde Conceptus metaphyficus formari poterit. — Ita hic littera W dum exprimit fummam formularum J Vdv -- f V/ d v' A- f V^ dv defignabit actionem virium V, V^, V^ pun&um Z, in quo fluidi ele- mentum concipimus , follicitantium. — Parum autem refert, quantam conftantem ob integrationes intro- ducamus, quoniam hanc notionem eo dirigimus , vt omnia loca, in quibus eadem ineft actio defimia- mus; interim tamen cum elicuerimus f 22 Conft.- W pro quolibet cafü haec conftans facile determinatur. Hinc igitur nata eft altera notio ftratorum aequili- bratorum , quorum quoduis eam vniucríam füperfi- ciem complecitur, cuius omnibus punctis eadem actio AEQVILIBRII. FLVIDORVM. ^ 465 ac&io conuenit; quantae autem fit vtilitatis haec no- tio in aequilibrio fluidorum definiendo , hic iam fatis copiofe eft declaratum: at vero etiam in motu fluidoram iaueftigando aeque eft neccefforia , vti ex fequentibus patebit. ^ Determinatio autem horum ftratorum aequilibratorum pro qualibet virium fol- licitantiun. hypothefi , ad problema geometricum reducitur, cu us folutio autem plerumque ita flt dif- . ficilis , vt ftratorum borum figura inde difficulter cognofci queat. Quoniam vero huiusmodi cafüs vix in rerum natura occurrunt , operae haud eft pre- -tíium hunc laborem fuícipere; quin potius vires rea- les, quae in fluida terreftria agunt, eorumque fta- tum aequilibrii afficiunt , fum exploraturus, " Scholion 2. 122. Cum fcilicet omnia , quae nobis cirea aequilibrium et motum fluidorum explorare licet , potifümum :ad fluida füper terra conítituta referri coaueniat, aquam nimirum et. a&rem , perpenden- dum eít a cuiusmodi viribus haec fluida praeter grauitatem follicitentur. ^ Ac primo quidem occur- rit vis centrifüuga , qua haec fluida ob motum ver- tiginis terrae , ab eius axe repelluntur, quam ipfis .9b axe diftantiis proportionalem effe couftat. | Etü enim confideratio huius vis, ob motum vnde nafci- tur neutiquam ad theoriam aequilibrii pertinet ; ta- men quia eius actio eít perennis, ílatim ac fluida fefe in certum ftatum compofuerint , hic ftatus vt P Eee3 aequi- 406 D.E'/S TAGSM aequilibrium fpectari poteft , fiquidem is perfecte cum €o conuenire cenfendus eft, quem eadem fluida induerent , fi terra quiefcente fingula fluidorum ele- menta praeter grauitatem continuo 3 viribus ilis ab axe repellerentur. — Quamobrem quomodo flatus aequilibrii in hac hypothe( comparatus effe debeat, plurimum intererit hic inuefligare , cum conclufio- nes etiamfi fictioni innitantur, tamen minime a ve- ritate aberrare fint putandae. — Deinde ctiam conftat tam folem quam lunam vi fua attra&rice in fluida terrae effectum fàtis notabilem exíerere ; qui etiamfi cum continuo motu fit coniunctus , tamen ita. ad flatum aequilibrii reuocari poteft, vt conclufiones vel non multum a veritate abhorreant vel faltem ad motus cognitionem deinceps inueftigandam maxi- me fint neceffariae. Quare etfi fol et luna quotidie circa terrám circumferantur , conueniet quaeftionem. ita conftitui, vt terra in quiete fpecata , fol vel luna perpetuo eidem terrae puncto imminere. con- cipiatur, et flatus .aequilibrii fluidorum ab hac vi cum grauitate coniun&a productus definiatur. Tum enim his aíltris etiam procedentibus intelligetur , quempam ftatum fluida quouis momento induere conentur ; tametfi enim nunquam in aequilibrium fint peruentura, tamen cognitio aequilibrii quod qua- & affe&ant, maximam habebit vtilitatem. Pro- AEQVILIBRII FLVIDORVM. 40*7 Problema rs. 123. Si praeter: vim centripetam , qua flui- dum ad pun&um fixum C vrgetur, fingulae par- ticulae Z ab axe fixo A B per centrum C tranfeun- te repellantur viribus diflantiae X Z ab axe propor- tionibus definire ftatum aequilibrii , fluidi cuius- cunque. Solutio. Sit fluidi elementum quodcunque in Z, cuius denfitas fit — 4 et preífio —p; ponatur eius e tia a centro CZ — v, cuius funcioni V aequalis fit vis acceleratrix , qua id- elementum ad, C vrge- tur, huius ergo vis actio in. pun&um Z erit — f Vdv, partem confítituens ac&ionis totius ante littera W indicata. Altera vero pars oritur cx vi qua elementum Z ab axe ABD repcli affümimus , fit ergo perpendiculum ex Z ad axem ductum Z X --x,et vis ipfa acceleratrix repellens. — 7, quoniam diftantiae x proportionalis ftatuitur. — lam ex praecedentibus perfpicuum eft, fi haec vis contra- riam haberet dire&ionem Z X , eam fpe&ari poffe vt vim centripetam ad centrum in dire&ione Z X infinite remotum tendentem , ficque eius actio foret x o Ea L/^.--—4:nunc igitur qua vis ab axe repel- xx lit, actio flatuenda eft — — 77 , ita vt actio tota "Tab. VIII. Fig. 20. pro elemento in Z fit — f V4v—;7 loco litterae w fubfti- 408 DE STATV fubftituenda , ex quo pro flatu aequilibrii haec ba- betur aequatio f? — Cont. —fNdv-i-;;. feu dp —4 Ht -N do) vnde patet nifi denfitas q fit conftans a fola preffione 5 pendens, am infuper ipfam actionem W inuoluere debere cum alioquin aequilibrium fub- fiflere non poffit. Pro aequilibrio ergo neceffe eft, vt denfitas 4 fit vel conflans, vel functio folius prefüonis p, vel funé&tio duarum quantitatum f et W —fVdv—77. Si ergo calor fit variabilis , eum functionem ipfius W effe oportet , ita wt in omnibus locis, vbi actio W cft eadem , hoc eft in quolibet firato aequilibrato , fit idem. ^ Tum vero ibidem et denfitás et preího eadem fit oportet; ac fuprema fluidi fuperficies fecundum tale ftratum ae- quilibatum femper erit difpofita. ^ Pro grauitate. hic funcionem quandam V diftantiie CZ -— v in- troduxi quia eius indoles eft ambigua; fi enim iu vifcera terrae deícendimus , haec vis ipfi diflantiae proximae cenfetur proportionalis , fin autem fupra terram per atmofphaeram afcendimus , quadrato di- flantiae reciproce proportionalis aeftimatur: ex quo coniicere licet prope fuperficiem quousque vel aícen- dere vel defcendere datur, grauitatem recte conftan- tem et vnitati aequalem poni, vnde erit dp —4 GI —ddv), pro ftratis autem MEL habebi- tur haec &equatio o — Conft.-;- 77 , quae ergo ex- primit naturam .fupremae füperficiei fluidorunt, Ita fi AEQVILIBRII FLVIDORVM. | 409 fi femiaxis totius fuperficiei fit C A — & vbi x—o, femidiameter aequatoreus vbi 9 — x, ex hac aequa- tione x — k -4- 55 , definitur x—f—Y(ff —2fk) vbi notetur f effe quantitatem maximam. Coroll r. 124. Si ergo quaeftio. fit de figura oceani terram cingentis, pofita denfitate 4 — 1, erit pro ' loco füb oceano quocunque Z preffio p—k-1-5; —v vnde pro fuprema fuperficie erit. k -1- j-—v—o0, vnde vt füpra fit femiaxis C A — & et femidiame- ter aequatoris —f— V(ff—2fk)— ke a fi- quidem f multum fuperet K. Coroll 2. 125. Cum reuolutio, terrae circa axem abíol- vatur tempore 23^,56/,45//—86205//, pro quo numero fi ícribamus v», et altitudinem lapfus vno minuto fecundo facti ponamus — g erit quantitas illa f— 5 denotante m peripheriam circuli , cuius diameter — 1; ex quo colligitur f — 376474180.g et ob femiaxem terrae k — 19601352 ped. parif. fit f — 289,95 k, ex quo femidiameter aequatoris pro- dit — k (1-1-,55) — iss f. Coroll. 5. 126. Pro preíhone autem atmofphaerae , fi in terrae füperficie fub polo ponatur altitudo barome- 'Yom. XIII. Nou. Comm. F ff tri 4o D ES TIATY tri — a, denfitas pnis b, exiftente defitate mer^ curii 1, 0b q:— TÉ erit um E 2), "et vbique in fisici maris ob À&-- 75; — 9 — 0 alti-- tudo barometri p erit eadem — &. ^ Sub. gequatore autem ob ftrata craffiora atmofphaera altius aífurgit quam fub polis. cH job 127. Mirum.hic videri non. debet |. quod fe- midiameter aequatoris parte tantum ;»5 fuperare in- ventus fit femiaxem terrae, cum tamen experientia. iam conftet exceffum ad partem 55, affurgere. — Ra- tio huius difriminis in eo latet, quod hic graui- tatem perpetuo ad centrum direcam et a fola diftantia ab eo pendentem affümfíimus , ita vt quo- modocunque terrae figura mutetur , grauitatis tamen eadem effet menfura. ^ Verum nunc fàtis euictum eft grauitatem ab attractione omnium terrae partium proficifci , ideoque ftatim atque terrae figura fphae- rica alteretur, ipfam quoque grauitatem mutatio- nem pati, atque haec grauitatis mutatio in caufa eft, quod ob motum vertiginis terrae aberratio a fi- gura fphaerica multo maior exiftat, ^ Hugenius quoque qui primus figuram terrae definire ex theo- ria eft conatus , dum ad folam vim centrifugam re- fpexit , grauitate vt inuariabili fpectata eandem ra- tionem inter axem terrae et diametrum aequatoris fcilicet fere 580 : 58r elicuit, ex quo calculus hic adhibitus minime fufpectus videri debet. Hic autem locus AEQVILIBRII FLVIDORVM. ^ arr focus non eff, wt ex vera attra&ionis iadole calcu- lum propius ad veritatem accommodemus , dum pro aequilibrio tam aquae quam aris cognofcendo haec allata abunde íufficiunt. Neque etiam ei cafüi quo in iisdem flratis caloris gradus difcrepat , immoror , cum. fatis conílet ex íuperioribus, cuiusmodi motus £um oriri debeat. Problema 16. . A 1328. Si terrae centro C immineat. in E fiue fol fiue luna fiue aliud corpus attrahens án ratione reciproca duplicata diflantiarum | definire flatum aequilibrii fluidorum circa terrae füperficiem fitorum , hoc eft oceani et.atmofphaerae , dum tam ferra quam corpus in E fine motu fpectantur. ' o*oq q »ooiten Solutio. | , Pofita diflantia C E— b, fit mafía terrae —C, «corporisque E-E ita wt in jfüiftanga quacunque . did, Ae vis attrahens terrae — 4j corporis. vero Ec Zi, Confideretur iam fluidi elementum |. quod- ;cunque in Z, cuius denfitas fit — 4 et preffio — f; ac vires acceleratrices quibus hoc clementum vrge- tur perpendi' oportet. Vocentur diflantiae C Z — c et E Z—4, vt pofito angulo ECZ—(, fituu— bb —ibocot(-L9o, ac primo pun&um Z follicita- "tur ad centrum Cvi--i,, quae abit in vnitatem Az in pir HT ipfa capiatur ; is adios gis. lio eit a — —7 partem totius actionis Wis [vs ae 2r Tab. VII. Fig. ZIe 412 DE STATV W confütuens. Tum vero idem elementum Z ad E vrgetur vi —R, cuius propterea actio eft d —E —ypREEB—— Quoniam vero centrum terrae quod ad E incitatur u-z, in quiete fpectatur , tanta vi fingula puncta terrae in direcionem contrariam vrgeri funt cenfenda , hinc ducta Z Y ipü EC pa- rallela , feu Z X ad EC normali, vt fit ZY -CX — vcof. Q, pun&um Z infaper follicitari ftatuen- dum eft fecundum Z Y vi — E , Cuius ergo actio E / ibid pie ICM Ard Quamobrem tota actio —€ in puncto Z erit W — —4-— LpESSES ; ficque pro ftatu aequilibrii habebitur haec aequatio : dp—-—q(E- ERR. ERES x vbi notandum aequilibrium locum habere non poffe nifi denfitas 4 fit vel conftans vel a fola preffione 9 pendeat, vel functio fit binarum quantitatum p et W ; tum igitur etiam tam denfitas 4 quam preffio f certis functionibus acdionis W aequabuntur. — Pro ftratis autem aequlibratis aequatio generalis erit C v : ui Evo: 22 — Conft. Cum autem diflantia 5 prae v valle fit magna, erit per approximationem vco. D . we(scof/D?—1) , vscof. Y scof. 2 —:) sU s - gocof. 9 - ilh bh)» y C0) V9 UCXOENES yeu o D$ . hiucque coll gitur actio. tota omiffis conticdiisis 2—€ | Evotseof. ^ i) 3 eund E Peg Des ) TT. ep o p T í exiftcnte gp — —44 W. Noodadios autem " fi fe- - midia- AEQVILIBRII FLVIDORVM. ^ 423 midiameter terrae vocetur — k, fore i — I, ideo- que C— kk, tum vero fi in E fit luna haberi proxime E — 45 C-— 5, fin autem E fit fol eius diflantia media a terra exiftente — P, fore E-—-— Td m k3 C—umuxt ideoque * — vrxcR ob C—kk, dum pro luna fi s diftantia a terra me- dia ponatur —^—60k eft ES err Coroll. x29. Siue ergo in E confideremus fiue folem fiue lunam , pofito S —i exifleate pro luna 5»— 17280000, at pro fole 27— 38894140, erit actio va Verg eng v5 co', 9 (s cof, Q* — 3) W-—' A NUUUEETNUZTÉRT et pro zcqu.librio- phis haec aequatio. dp——qdW. Coroll. 150. Pro mari ergo fi eius denfitatem ffatua- mus conftantem 4 — 1, vt preffio p definiatur p altitudinem columnae aqueae , fit 5 — Conft. .4- vv(co. Q* — 1) v3 cof, dt e. dt Ls) Bieucnoaak qm o Tysbw 7T js qui c poftzemus terminus tuto omitti poteft, vnde pro füperficie maris vbi $ — o, pofito liggide ametro- C A — & vbi —o, habebitur aequatio ka ERG Ken o 3 f L lg mie o v3 cof. e. cn. 1m -59 d vnde COMMI HE proxime pez EUIS , ita vt fit CD- kn exiflente pro luna adi 1 21 A — M p pro fole vero 7; —; ped. paris. | Fff5 Corolf, ax DE STATV Coroll.: 3. 151. Pro atmofphaera autem , fi in A fit al- titudo birometri -za et dénfitas aéris — b ob q—42 hk 7 1 ft n — Conf. — ^" feu 1f — A ps AMEN, -h—. Vbique ergo in füpetficie terrae vbi g—k sk Bk erit b zL1t— : cu ds feu p-a— -— DT » Quare i in (A. et B barósietélm tenebit maximam altitudinem in D vero minimam, differentia exiflente — ;5;; ped. pro luna, at —— 5 ped. pro sus quae ergo (entiri nequit. | Jilorp I di 152. Sole ergo vel luna in E. ! velare: mate fam in A quam e regione in DB intume(cit, in D vero fübfidit , neque tamen differentia maior foret quam 12ped. pro luna et $ ped. pto fole, fiquidem haec luminaria perpetuo eidem loco A imminerent vnde fi coniun&im agerent, quod fit tam in «con- jun&dione quam in oppofitione , maxima maris alti- udo fuperaret minimam fere 2! ped. Cum autem ambo luminaria continuo ab oriente in occidentem progrediantur , facile intelligitur antequam aquae in A et B confluere queant, luminaria iam vIterius €ffe promota, vnde fit vt in quoque loco aqua tat- dius intumefcat , quam fol vel luna per eius zenith wel nadir tranfierit, idque eo magis, quo maiora impedimenta affiuuxui obflent, veluti fi per freta yel jen minus gu rg Rent Tum. vero - xbi AEQVILIBRII FLVIDORVM. 4az$ vbi affluxus ifle maiori celeritate contingit , ob im- petum conceptum fieri poteft, vt aqua ad multo maiorem altitulincm | eleuetur , quam pro ratione aequilibrii : cum.enim tantum. aquae affluat , quan- tum ad infignem maris tra&um tumefaciendum fuf- ficeret , fi mare fubito littoribus in anguftum fpa- tium coarcetur, omnis aqua eo affluens ad infignem altitudinem uicendere debebit ,| quemadmodum . fatis nota.aeftus marini phaenomema declarant. Scholion 25. 153. Videamus etiam accuratius , quemadmo- dum atmofphaera a tali actione aíficiatur , et quan- ta in ea aícendendo vbique denfitas et prefho fit fu-- turi. Terrae igitur fuperficiem. fphaericam affümen- tes , cuius radius fit — k, fi in loco quocunque a ré&a C E angulo — «D remoto per altitudinem —* afcendamus vt fit v—k-j-5, ex aequatione füpra in- b 2 venta colligimus fore proxime p—2—55—* ais edd dum fcilicet altitudo barometri in A ftatuitur — 4, et aéris denfitas — 5, mercurii denfitate exiftente — xy. In altitudine ergo ií(ta s denfitas aéris erit bb bbhfin.Q* . ; —be-.plvbr SPD » vnde fi in hoc loco Gizi- 271a ? columnam. aeream confideremus cuius bafis fit — ff, bbss maffa aéris in ea contenta erit — ff/ qds—ff(bs—7; sbht|eS, Talis ergo columna in. A vel B con- bbss )» ftituta continebit quantitatem a&ris — f(bs— AO Aat d 416 DE STATV at fimilis columna in D quantitatem a&ris — ff(b s bb bb " z P2: 02r? 7) ex quo illa hanc fuperat quantitate sbbffhs — C. -. Quare neceffe eft vt infignis portio a&- ris in loca A et B affluat , in regionibus D autem atmofphaera minuatur, vnde in aere fimilis motus reciprocus atque in mari oriri debebit neque tamen barometrum in A vel D hoc aéris augmentum | in- dicabit , propterea quod ob vim ad E vrgentem grauitas acris eo congefli diminuitur. Quanta autem celeritate aér verfus loca A et B affluat, dum lu- minaria ab E promouentur , hinc minime definire , neque etiam probabili modo coniecare licet, cum ifta quaeftio theoriam aequilibrii longe tranfcendat. Quae autem hac&enus de aequilibrio -fluidorum funt tradita omnino fufficere videntur omnibus quaeftio- nibus huc fpectantibus euoluendis : neque propterea vlteriori explicationi immoror fed potius progredior ad principia motus fluidorum ftabilienda, quae mul- to maiorem curam ac diligentiam requirunt, PHYSICA. EH XSICA Tom. XIII. Nou. Comm. Ggeg DE — Mt .- n yz. Z2 * CE a MEME * bv d SRR AT Ps. "y ; 1 " $i 1 . "IA 7^ * " IT : Á t Ly 24 : , B Ez - Coro ede * f ee) biet YMS Li D à 2s i - ; AS DR e$5)o(Zti 419 T | DE - CALORE ANIMALIVM DISSERTATIO PHYSICA EXPE- RIMENTALIS Auctore Jenu. Bot rii 0 Hw corpora terrefliria füum calorem , qui per orbem terrarum diftributus , vti per totum Planetarum fyftema eft, ita vt nullus locus et nul- lum corpus, quod omni calore et igne careat , effe videatur. Facile hinc iudicari poteft , quid de fri- gore abíoluto , quod nonnulli fomniant, fit haben- dum. . Fac dari eiusmodi locum et corpus quod omni calore et igne plane careat ,| quomodo igitur £&iusmodi frigus abfolutum cognofci poteft et deter- minari? Summum frigus, quod in his terris adhuc innotuit , eft illud , quod ego primus arte produxi, dum hydrargyrum congelare animum induxi, et reuera congelaui, non multum vltra fexcentos gra- dus ícalae Delilianae haberi poteft; fed multo maio- rem frigoris gradum effe poífibilem , nemo facile dubitabit , qui vero determinabilis non videtur. Eo- dem. modo fummi caloris et ignis gradus ;.determi- natio non eíl in poteflate, fed de hoc alias. ^ Cete- à Ggg2 rum jió DE CALORE rum corpora orbis terrarum non aequalem habent calorem. . Huc funt referenda corpora vita praedita , praecipue corpora animalis. Habent enim animalia, fí non omnia, pleraque tamen , calorem quendam additiuum feu addititium , quem quoque vitalem , infitum et innatum vocare folent. Hic calor omni- no mirabilis, et omni attentione dignus merito re- putandus eft, vti quoque femper a viris eruditiffi- mis eft reputatus. — Nam in diuerfis animalibus deprehenditur diuerfüs , maior, minor et vix ac ne vix quidem fenfibilis — Deinde hic calor admiratio- ne et confideratione dignus eft quod conftans fit, Ícilicet idem caloris gradus diuerfo tempore et. lo- co, cum hac tamen reftrictione vt corpus animale fanum fit et maneat. | Nam calor animalis non manet conflans, fi corpus in morbum et ftatum praeteraaturalem incidit, et extraordinarium. In ani- mi deliquiis vix ac ne vix quidem calor eft fen- fibilis , contra ea in febribus ardentibus calor hic incrementa maiora et minora fumere folet, wt ex- perimenta demonftrarunt , vt alia attentione digna nunc taceamus., Progrediamur igitur ad ipfa expe- rimenta, quae animiaium calorem addititium | de- mon(ítrant. Hunc calorem effe exploratum. thermo- metris ordinariis ficile adparet , quum gradus cálo- ris tanti non fit, vt aliis in(ítrumentis opus fit, qualia funt Pyrometra , Machina Mortimeri, qua conflat mu!to maiores caloris gradus metiri , quam thermometris ordinariis, quae praeterea etiam ad hu- ius ANIMALIYV M. 421 ius generis experimenta inítituenda non apta et ad- commodata funt. "Vfi fümus thermometris vtplu- rimum Delilianis, in quibus vti conftat o fiue ziphra indicat aquae bullientis calorem , et numerus r50. pun&um congclationis aquae. Longitudo thermometri erat mediocris, Íícilicet oco aut noucm pollices pa- rifenfes vix excedens, longiores enim minus com- mode tractari poffunt. — Bulbus thermometri erat fphaericus , vt commode inferi in cauitatem anima- lis fa&am pofft, et generatim melius adplicari. Plerumque vno eodemque thermometro vfi fumus, nifi necefhütas illud mutare coegerit, v. c. dum fra- &um füit, aut aliud vitium contraxit. Quum con- ftet thermometra ceteris paribus füb eadem baro- metri altitudine impleri debere fi concordare debent ; quae adhibui omnia, impleta funt füb altitudine fere media 28. fc. pollicum parifienfium. . Porro .et haec cautio in explorando animalium .calore eft obíeruan- da ,. vt fufficiens adhibeatur tempus. ^ Sin minus, gradus caloris quoque erit minor. ^ Sufficiens tem- pus illud erit iudicandum , . fi mercurius. non . am- plius adfícendat , fed fubfiflat , qua cautela. neglecta experimenta non poffunt non fieri vitioía , vti iam multa id genus vitia in obíeruationes et experimen- ta irrepfere , et diffenfüm in experimentis fecere. Situs oculi quoque re&e comparatus effe debet /i. e. ne füpra et infra punctum thermometri obfer- vandum fit conftitutus. — Alias facile vuius alterius- que gradus error, vel ia. defe&u committi poteft, vcl Ggg2a in 422 DE CALORE in exceffü. Quam exa&iffime igitur fieri poteft fitus oculi cum puncto thermometri |conuenire de- bet . His cautelis obíeruatis experimenta mea ther- - mometro Delisliano rite conftructo inftitui.;. Notaui gradum , vbi fubfiflebat mercurius in. thermoméetro; qui igitur fummus caloris gradus caloris. animalis erat Primum experimenta fecimus ad hominis ía- ni calorem explorandum quam adcuratiffíme. Infe- rui vtplurimum. thermometrum | vel in |.o$.. meum vel in os aliórum ; et tam diu ibi detinui ,' donec hydrargyrus in thermometro non amplius adícende- xet; quo facto obferuaui mercurium circa numerüm 96, et 95 [letiffe fcalae Delilianae. Conuenit nume- rus hic 95 cum numero 98, et $ü cum nümero 97i fcalae Fabrenbeitianae. Fabrenbeitius. iam càlori humano acifblde &. 96? ícalae thermometri fui. «4Conuenit hic numerus cum gradu 96; thermometri Delisliani. Differentia igitur inter obfíeruata qmea et inter Fabreubeitiana non magna eft, fcilicet vnius gradus aut ad. fum- mum duorum gradnum. Multo maior vero .diffe- réntia reperitur inter mea et aliorum nonnullorum obferuata, dum .91. 92. 93. 94. €t 95. fcalae Fabren- beitianae an. humano adfignarunt. | Quum igitur hi .gradus omnes multo minores fint his, quos. ego per innumera reperi experimenta : facile iudicari poteft, tempus non füfficiens effe adhibitum. donec fc. mercurius non amplius adícenderet , et mercu- kius calorem: perfecte adfümeret. Calor wrinae fere con- ANIMALIV:M. 428 éonuenit, debitis cautelis adhibitis , cum calore in- dicato, vnum tamen: gradüm «et ad. fummum, 1; hic calor vrinae maior obíeruatus mihi; eft, qui gradus fine dubio gradus caloris vifcerum adiacentium . eft. Nam a calore fanguinis procul dubio pendet calor partium corporis humani et animalium calidorum; hinc mirum non efít omnes corporis humani partes et animalium fere aequalem habere calorem. ^ Cautio in - calore vrinae explorando haec inprimis eft necef- ria,. yt vitrum feu vas calorem wrinae iam fere pofüdeat, vas enim nondum fat calidum fi- ftit gradum caloris minorem. ^ Obtinetur autem haec temperies optime, fi experimentum, demum initituatur , poftquam iam vitrum femel vel ali- quoties vrina recens miffa, fuit imbutum. ^ Quodfi ágitur vrina 4nimalis recens tami facile haberi poffet, quam hominis, expedita effet methodus caloreni Aifeerum animalium adcurate explorandi. ^ In qui- busdam difficultas non adeo magna reperitur. Sunt haec experimenta inftituta tempore diuerfiffi- mo et loco in diuerfiffim;s fubiectis ; pueris , puellis, adultis , et femper calorem fere eundem obferuaui , fi vnum et.ad fummum 17' gradum fed raro, excipias, poíita fcilicet fanitate hominis. Hoc quoque de di- verfo -fexu intelligi debet. ^ Nam differentia tam in Ore, quam in vrina faepius vix fenfibilis deprehen- debatur — Eft hic gradus caloris corporis humani minimus inter .corpora animalia quadrupedia , vti &xperimenta mox adduceuda demonfítrabunt. — Calo- rem "ny DE. CALORE rem animalium quadrupedum fequentium fere. cx- plorauimus. ^ Calorem vituli et bouis; porcelli et fuis; capellae et caprae; agni et ouis; canis, felis- etc. : Ad calorem vituli quod attinct vt ab 'eo in- cipam , eum reperimus 99. graduum thermometri noftri feu fcalae delilianae , tam in fanguine recens effiuuente, quam in abdomine fecto. Hic gradus 9o. conuenit cum numero ro4. fcalae Fabrenbeitianae. Quod fi igitur calor hominis ponatur aequalis 96. Fabreubeitii: fequitur , wt hic gradus caloris fuperet calorem hominis 8. gradibus, vel fi ponatur 97. feptem gradibus maior erit calor vituli quam ho- minis. Eundem caloris gradum quoque. reperi in porcello fcilicet aequalem 90? noftrae fcalae. Ergo et hic gradus caloris maior erit 8 vel 7 gradibus caloris hominis. | | Calorem capellae tam in fanguine recens ef fluente, quam in abdomine fe&o reperi — 92? fca-- lae noftrae, qui gradus conuenit cum numero ror fcalae Fabrenbeiti. ^ Eft igitur hic caloris gradus minor, quam antecedens vituli et ferculi , maior tamen humano 4i gradibus Fahr. Calor agni et ouis a calore capellae et caprae parum aut nmihil omnino differebat. Calorem canium et felium | non exploraui per fectionem viuam , vti in antecedenti- bus animalibus: feci , fed tantum inter femora, n- veni ANIMALIVM Less veni calorem felis — 92 ícalae noftrae eoque — xor: Fahr. Eft igitur et hic calor, vti capellae , 47 Fahr. maior humano. Sed folet calor internus vi- Ícerum et fanguinis 2. gradibus maior effe, íi íe- centur; addendi igitur adhuc erunt duo gradus, ita vt calor fanguinis et vifcerum felis maior humano cenfendus fit 61. Calorem canis vel canum inter femora reperi — 98. thermometri noftri, qui caloris gradus conue- nit numero fcalae Fahrenheitianae 100;. ^ Quodfi et hic duo gradus addantur ,. calor internus vifcerum et fanguinis canum erit cenfendus — 102; ideoque maior humano 6; vel certe 5i. Haec hic fufficiant de animalibus quadrupedi- bus, quorum calorem exploraui et explorandi occa- fionem habui , alia alio tempore. Quodfi haec experimenta. recte confiderentür , et comparentur, patebit primum calorem hominis omnium quadrupedum exploratorum effe minimum, Nam minor gradus quam 96. et noftri thermome- tri, et Fahrenheitii , calor horum animalium non eft deprehenfus , ideoque non minor calore humano. 2) Porro gradum 9o. noftri thermometri effe ma- ximum in animalibus quadr, quorum calor mihi ex- ploratus eft — fcilicet 104. fcalae Fahrenhcitianae. Non autem exiftimandum eft hunc gradum 9o. fi- ve 104. Fahr. caloris, effe maximum omnium qua- drupedum , neutiquam , dantur fine dubio maiores; Tom. XIII. Nou. Comm. Hhh qui Ed5 DE CALORE qui vero adcurate explorati noi fünt, vti quoque qui fit maximus, nondum conftat. Sed de his alias. Differentia caloris inter haec animalia non adeo magna eft, fcilicet tantum graduum $8. Fahr. a 96 ad 104. f. At enim vero differentia caloris multo maior eft in auibus Hae enim fuperant calorem quadru- pedum , vti ex fequentibus patebit experimentis. Aues varii funt generis, quarum calorem exploraui, vt anferes, gallinae noftrae et indicae, gallopaui , anates, columbae et varii generis aues minores. Ca- lorem anferum inueni in abdomine fecto et fangui- ne — 87 ícalae noftrae , qui numerus conuenit cum numero rio7i fcalae Fahr. Eft igitur hic gradus caloris maior ro? F. calore humano, et calore quadrupedum , quos exploraui , maior 3i Fahrenh. Nam :i04' F. maximus caloris gradus eft, quem deprehendi inter animalia quadrupedia, qui nume- rus conuenit cum 9o. fcalae noflrae. | Eundem ca- loris gradum quoque inueni in diuerfis aliis ad auium genus. pertinentibus, vt gallinis et gallis gallinaceis in abdomine fecto et fanguine. Eundem quoque caloris gradum conuenire ob- feruaui anatibus, gallopauis et gallinis indicis feu Africanis , columbis, fcilicet in abdomine fecto et fanguine. ^ Parua enim aut nulla differentia reperta eft mihi inter calores harum auium maiorum. —Át enim vero mirandum videtur aues minores maio- rem ANIMALIVM. 427 rem poffideré caloris gradum vtplurimum. ^ Reperi nempe in duabus auibus minoribus rubeculis dictis , gradum caloris — 84. noftri. thermometri. Conuenit hic numerus cum numero III fíca- lae. Fahr. aut propius i114. qui eft maximus calo- ris gradus, quem inter aues adhuc obferuaui. Su- perat igitur hic caloris gradus calorem. humanum 15 fere gradibus, et quadrupedum qui eft — 9o — 104. feptem gradibus. Sub alis auium duorum gra- duum minorem reperi, vtplurimum calorem, quam in fanguine et abdomine fecto, vti inter femora qua- drupedum effe quoque folet, Eft igitur differentia caloris. inter ipfas aues fat parua, fcilicet trium graduum noftri thermome- tri , et inter aues maiores fere nulla, licet hic ca- lor, fi cum calore homiüdum et animantium quadrup. comparetur , omnium fit maximus, Sed veniendum nunc eít ad animalia frigida - fic dicta, quae fecundum experimenta noftra , omni calore addititio carent , fed tantum calorem habent medii amb'entis , fluidi aquae et a&ris.. — Huc per- tinent primum potiffimum piíces branchias agitantes, et pulmone carentes, Pifces varii generis füere, circa quos cepl ex- perimenta , vt lucii, anguillae ,' bramae: ( Braxen ) carpiones fiue cyprini,lampretae et alii. Omnes hos pifces calore additiuo carere, innumeris reperi expe- rimentis , adcuratiffime inflitutis, — Immift pifces in Hhh 2 diuer- 428 DE CALORE diuerfas aquas, diuerfie temperiei , et femper obfer- vaui piftem eam temperiem aquae adfumfiffe, in qua fatis diu fuit detentus, quamuis differentia tem periei fat magna erat. Summa cautio eft adhibita , quum . pifces ape- rirentur, ne calor manus afficeret. thermometrum ; foramen íeci tantum in ventre pi(cium , vt bulous thermometri inferi poífhit, quo facto femper obíer- vaui eundem caloris gradum fuiffe pifcis , ac aquae ambientis. Non igitur videtur dubitandum, quin fi pifces di- &o calore interno plane non careant, is tamen certe non fit fenfibilis et obferuabilis, vti in plantis , arboribus et fucco arborum. Diuería autem ratio caloris animalium marinorum et pifcium pulmones habentium eft. Haec enim aeque ac animalia terreftria fuum babent calorem addititium , vti delphinus, canis marinus. Phocae enim calor 1o3 tribuitur, ideoque 7 gradibus F. maior humano. Par eft ratio infectorum, licet congre- gata calorem quendam efficere poffünt, qui tamen ad calorem — internum referendus proprie non eft. Porro ad animali calore additiuo carentia quoque pertinent ranae quas exploraui. Circa ranas quoque plurima «cepi experimen- ti, quae eodem modo inftitui, quo circa pifces. Scilicet , aqua in quam immifi raaas , erat diueríae temperiel. Pro hac diuerfitate tempceriei et calo- ris, ranae quoque diuerfum poffidebant calorem , et ad- r ANIMALIVM. 429 adfumebant. Sed et hic, vti in pifcibus , magna opus eft cautione , ne quid alieni caloris immifcea- -tur, et vitium fubreptionis committatur, a quo Procul dubio non funt immunes, qui ranis aliquot caloris interai gradus tribucre , indepeadentes a flui- do vel generatim medio arabiente, aére ct aqua etc, Denique ad animalia calore additiuo carentia funt referenda animalia alias calida , fed hieme fomno fépulta, eoque vita minima tantum prae- dita. ^ Mures alpini, vti marmora hieme iacent. Sic in alis quoque animalibus hieme dormientibus , - nullum calorem vitalem obferuare licet. — Nullam hic quidem propriam experientiam et propria expe- rimenta fequi poffum; ftudebo tamen et meis obfer- vationibus et experimentis , fi -fieri poterit, haec confirmare. Alia nunc praeterimus , quae in pofle- rum forfitan addemus et cum aliorum obferuatis , ad- curate comparabimus. — Nam facile intelligitur haec experimenta a me facta et recenfita , omnia plane noui, et primum a. me inftituta non efc. Inferuient tamen etiamfi antea fada, vti genera- tim experimenta de nouo inflituta feu repetita 1)ad con- firmanda antecedentia; 2) vel ad corrigenda et emen- danda; 5) ad perficienda ; 4) falíà et erronea refu- tanda , et infirmanda; 5) dubia et controuería certa rcd- denda, er decidenda, quaeque fibi contraria, concilian- da. Experimenta vero non repetita, femper minorem Hhh 5 habere 458 DE CALORE habere fidem quam repetita cenfentur , idque iure meritoque. Quae in antecedentibus adduxi experimenta , potiftumum pertinebant ad hominem animaliumque fanorum calorem internum invariabilem. Calor vero e(t variabilis et diucrfus in hominum et animalium morbis , maior fcilicet et minor pro varietate mor- borum; maior in febribus ardentibus, minorque in ani- mi deliquis. ^ Hinc thermometra iam ab antiquis inde temporibus ad flatum valetudinis explorandum funt adhibita , vt a Sanc&orio et aliis; variabilis ta- men hic calor praeternaturalis ad certum tantum ter- minum deprehenditur adfcendere ; praefertim in fe- bribus fcilicet. ad gradum 105 et z1ro6. * et 8. thermometri Fahr. Hic notatu dignum eft, in febri- bus exiftente etiam paroxismo frigoris duos et tres caloris gradus reperiri plures, quam in flatu fanita- tis hominis. Sed haec funt diligentius adhuc excu- tienda , pauca enim adhuc funt huius generis expe- rimenta genuina , in plerisque ingentia fubreptionis vitia commifere , dum non ad legem thermometri, fed ad fenfüm , calorem determinare. conati funt. Hinc gradus caloris tradidere tam magnos, vt ma- nifefto viuere homines ct animalia non poffent am- plius. ! Suntne igitur certi determinatique sradus ca- loris, quos tolerare poffunt homines et animalia , ct quos ferre nequeunt fed moriuntur et pereunt ; calore j ANIMATLIVM. 431 €alore 'vel frigore ? Sunt omnino; fed in diuerfis (üb- iectis diuerfi. Hominum alii maiores , alii minores caloris.et frigoris 3radus füftinere poffuát , prouti confüetudo , altera natura vel üffragatur, vel minus. | Vtplurimum tanti caloris gradus tolerantia ilis tribui folet, quantus eft ille ,, qui corum fan- guini conuenit. At enim vero multo maiorem caloris grá- dum homines et animalia perferre poffunt, certe ad breue tempus , et pro coníüetudine maiore «et mi- nore, tam in balacis , quam in locis calidioribus. Ricbmannss pro fua confuüetudine ferre potuit in tepidariis gradum r25. Fahr. vti et mihi, quum hoc experimentum faceret dixit, et ícripto quoque anhotauit., | Calor in tepidariis ruíficis ordinarie effe folet $8 nofiri thermometri, qui.eft aequalis 106; Fahr. Etfiíunt calidiffima calor deprehendi folet 80^, eft hic gradus aequalis 116 Fahr. Gradus igitur calo- ris, quem Réibmaenwus fuftinuit , maior adhuc eft nouem gradibus. In calore tepidariorum recte in- dicando refpiciendum eft ad altitudinem , in quo ther- mometrum eft füfpenfüm. | Nam quo maior haec eft, eo maiof quoque effe folet et debet caloris gra- dus , quum furfum tendat calor, vti conftat. Bene tolerari faepius poteft calor inferior, quum paullo fupe- 452 DE CALORE fuperior fuftineri nequeat vti ipfe expertus. in cafis rufticorum iu Liuonia fum. Non potui ibi erectus flare , fed (edere debui, -quo modo calorem alias mihi intolerabilem facile toleraui. Par eft ratio ani- malium. — Poffunt et haec maiorem caloris gradum perferre, quam eft calor fanguinis eorum. Canes in vaporariis inclufi vario caloris gradu periere 115. 120. 146. Cyprini viuere poffunt in aqua calida 92 et 94. In gradu rir. Fahr. pifes mortui, ranae tamen adhuc viuere poffunt, In calore — 146. Fahr. paffer mortuus eft in- tra feptem minuta , et in eodem calore paullo poit periere canis et felis: — Multa hic füperfunt vcl plane non determinata vel non adcurate. —Difficilius multo determinari poteft gradus frigoris , quem ho- mines ferre poffunt et animalia «t quibus frigoris gradibus moriuntur et pereunt. Et hic confuetudo multum facit.. Pueri rufticorum hic maiorem fri- £oris gradum facile ferre poffunt, quam alibi, Di- verfo frigoris gradu et homines et animalia moriun- tur et pereunt , et fub diuerfis circumftantiis , qua- rum omnino ratio eft habenda. ^ Aues migratoriae et quae íe occultant cum aliis animalibus hieme . dormientibus , minimum frigoris gradum fuftinere poffe videntur; id quod etiam de infe&is valet, quae quidem maximum caloris, fed minimum frigoris gradum ferre poffunt. ^ Eft et hic magnus campus nondum cultus et excultus. Pereunt plantae diuer- fo ANIMALIVM. 433 fo frigoris gradu , pereunt homines et animalia, iti- dem diuerfo frigoris gradu, qui gradus aut. non- dum , Aut non fatis adcurate funt; determinati , . vti quoque re vera tam facile determinari non poffunt. Plantae quoque poffunt maiorem et minorem frigo- is gradum fuftinere. Vnde diuifio inter. plantas calidas et frigidas nata elt. Denique quaeritur , vnde fit hic . animalium calor internus , additiuus , quum non pendeat. a me- diis ambientibus et circumflantiis ? ? Sententiae hic in magna funt pofitae varietate , quarum nulla fua ca- ret difficultate, hinc haec, quaeftio femper pro. diffi- cillima enodatü ett habita. Alii potifümum . ad fer-. mentationem, quandam. in fanguine prouocant , alii ad ele&ricitatem ,.alii ad motum languinis progres- fiüuum, ^ Alii fafficere hic putant, hunc animalium, calorem ' addititium adpellare jnnatum , quafi. hac, . ratione intelligerentur ortus et gene(is caloris in fan- guine ct partibus. animalium. .Eft qualitas hoc fen- . fü obfcura Scholafticorum calor innatus. Qui ad fermentationem prouocant fibi viden- tur a&ionem caloris in effcruefcentia et confli&u partium fanguinis potiffimum ' inuenire. ^ Philofo- . phari hi quidem non miile viderentur, modo eius- modi motus inteftinus démonflrari poffet. — Hunc vocare occultum fem non conficit, et decidit vtrum eiusmodi motus fi&us fit an realis. "c om. XIII. Nou. Comm. Iii Non 434 D E. c A L o KE. à Non Sas hic philofophari videntur quí cauffam caloris huius in electricitate pofitam exifti- nint. Sed et hoc gratis afferi videtur , quod ve- ro pluribus oftendi poffet , fi fpatium et fcopus ' hic permitteret. Alias hy potheíes. lubens praetereo. - " D gétie igitur omnium omnino iita cenfendi funt, qui rationem caloris animdlium im 1mmotu fanguinis progrefhuo quaerunt, attritu. et fri- éione. Nam diminuto niotu fanguinis ,, diminui- für quoque calor. fanguinis et animalis partium , vti euidentiffime , animae deliquia hominum ,. et , illa. animalia oftendunt et démonftrant , quae hyeme dormire et fomno fepeliri folent. | Nam. in his vi- ta minima tantum ineft, et motus fanguinis mi- nimus, vix dc ne vix quidem fenfibilis. — Iacent enim quaedam , vt mures alpini ad inflar mar- morum. Par ratio eft omnium aliorum in hibere maculis fuis dormientium et íomno fopitorum ani- malium.. Concdludendum hinc omnino videtur; vt alias; ; ceffante cauffa caloris animalium inter- ni, ceffare ct ipfum calorem tanquam effe&uny et ceffante effecu , iplàm quoque cauffam ceffure: debere. Si motus aquae celeris et aliorum fluidorum per canales fenfibilem caloris effe&um non produ- cunt, videtur potifümum hoc inde effe, quod non fatis fint heterogenea , vti fanguis animalium eft, quae attritum et fricionem fatis validam efficere queant. Sed fubfiftendum hic mihi eft, plura ct fupple- p 79 ANIMALIV M. as füpplementa dabo in pofterum. — Ceterum , vti in tota flru&ura et conformatione machinae hominum €t animalium , Dei omnipotentia, fapientia, et bonitas eft admiranda , fic inprimis quoque in hoc, quod vitam, fanitatem ,. quin fuauitatem vitae .de- pendentem a calore interno et motu fanguinis per cor aequabili fecerit ,' turbato enim hoc motu, ani- zi quoque tranquillitas turbari folet, DE Pd LLLI Bo [Y 436 e$32 ) o ( $e ii DE ' .OSSIBVS SIBIRIAE FOSSILIBVS CRANIIS PRAESERTIM. RHINOCEROTVM AT- QVE BVE FALORWM » OBSERVATIONES. iot ed ROS PALLAS (2: n Mufei Ill.. Academiae: curam: gere- - re atque diuitias perluftrare. coepi ,. ftatim: ad- tentiore examine. digna. mihi viía. funt. offamenta. fof- Jflia-- animalium--exoticorum-; -quae- ex- omnibus- Im- perii Ruthenici ,. praefertim. e: borealibus. Sibiriae: re- gionibus aduecta ,, maximo: hodie: numero. et: infinita. paene varietate Mufeum illud ornant.. Sunt ea: ma- ximam partem Elephantorum variae: magnitudinis. ac aetatis reliquiae , numeroque .- fatis. probant. im- menfam horum animalium copiam , quae per vni- veríam borealem Afiam , a. patria. elephantorum. ho- dierna remotiffimam , fparfim. defoffa. iacent. Quan- quam enim, - pofterioribus. maxime faeculis:,. incre-- brefcente curioforum in. conquirendis. naturae. mira- culis induftria ,; in Germania (2) ,, Italia: (2) ,, Gal-. lia: (a) Sic inclaruerunt: offa foffilia prope: Canfladium in. Sueuia re-- perta ,. de quibus egerunt. Dav... Spleiffius. in. Oedipo: ofleclogico.. Sraphuf.. r£ ; OI e 2171 * ji - !* DE OSSIB. FOSSIL. RHINOCER. ET etc. 457 lia (c) , Anglia (7), Polonia (e), imo extrema. quoque Islandia (f^) vario tempore variisque in lo- dE Hd cis Sraphuf. r;ot. 4. Yo. Cun. HanzNnERG in. tractatione. de Lilio — lapideo f. Encrino Guelpherbit. 1729. 4. c. f. et Y. Saw. CARL in Lapide Lydio philofophico - pyrotechnico. ad offum foffilium ' docimafim. analytite demonftrandam adhibito. Franc. ad M. v704. Dein famofum eft fceleton elephantinum. in. collis arenofi inte- meratis flratis repertum prope Jergtomna inter Erfurtum et Longofaliffam '"Thuringiae ; de quo. confule I. Geo. HocERvM in JMiftell. Nat. Cur. dec. 3. an. 7, 8. p. 294. obf. 175. praeler- tim vero Gvir. EnN. TENTzELIvM. in epiffola ad. dnton.. Ma- gliabecchium. Goettingae 16906. 4. pofteaque Jenae $. germanico idomate edita; vt et in 48. anglir. vol. 24. m. 234. Vt alia praeteream , v. gr. offa et dentes verofimillime elephantina Manhemii ex. antiqua ripa Nicri fluuii effoffa, de quibus Ion. Dau. Gevzn. in JMift. N. C. der. 2. an. 6. p. 176. obf. 8y. et imprimis celebrem cauernam fyluae Hercyniae, prope Elbingero- . "dam, cui BavwANNIANAE nomen , de qua Coxn. GesNERvs —in libello: de frgurir lapidum p. 155. 157. alique. ' (5) In Italia Auctores perpauci offium foffilium memorias. füppe- .. ditant; aliqua tamen habent recentiorum. nounulli, qui nunc ad. manus non funt, et HreR. Ausg. LANGEMANTEL in. ZMifr. AX. cur. det. 2. an. 7. p. 466. obf. 234. (£) Carolo VIL. imperante, circa an. 1456. reliquias elephanti ix ** Gallia effoffas ; aliaque Gallorum. de offibus gigantum prodita eodem referenda ,. afferit MoAuxEvs in 4G. angl. vol. 34. n. 403. Recentiora Eboris in Gallia effoffi, etiam in '"l'urchefiam mu- tabilis, exempla vide apud Ill. BvrrowivM iff. nat. vol. XI. ed. min. .X XLI. p. 209. feqq. et offium aliorum p. 20$. 227. veritum : 458 DE OSSIBVS FOSSILIBVS cis eruta füerint fceleti elephantiui, gigantea frag- menta et ebur foffile in omnibus fere apud exteros Mufeis occurrat , nulla tamen vnquam regio tot ' tanta- ventum molarem Mon rouvs habet za£. hif. of. Northamptonf. f.2j2. Et in Staffordiae comitatu in marga repertam maxil- lam elephanti Ros. Prom zat. hiff. of. Staffordf. p. 78. Vna- que cum iflis Gloceflriae et Londini repertas reliquias eiusdem belluae, e proprio Mufeo recenfet Ill. StoAwE |. c. In Hy- bernia quoque occidentali , quatuor pedibus fub terra profundi- tate , fupra flratum e ramis et herbis reperta fuerunt offa ma- gna, friabilia, cum quatuor maximis dentibus verofimillime ele- phantinis ; obferuantibus NevittE et 'T'u, MoriwEux in af. hiff. of Irgland Dublin. 726. 4. p. 128, « (e) In Polonia lectum Ebur foffile memorat Cown. Gs de Jig. lapid. p. 157. et circa Gedanum Krzrw Aff. nat. giftium Aff. £1. p. 29-32. ad Viftulam haud procul a Varfauia Rza- Cz1NSKI fff. nat. cur. Polon. p. t, 8. qui etiam varia ex aliis au- &toribus collegit, praefertim circa antra fic dicta draconum Lipto- yienfia Hungaríae , offibus variis , etiam elephantinís , fparfa , de quibus autopta narrat, et dentes ibi lectos vrfi vel leonis caninos celebrat BavckMaunvs epiff. itiner. cent. I. ep, 77. p.12.[tqg. — Aliis quoque Pannoniae in Jocís reperta varia ex elephanto , coflas, vertebras, dentes exfertos atque molares , tibiam , maxillam , recenfet et partim delineat, Ill. Comes Man- &iLLI in Dannb. Pannon. DBMyfiti vol. IT, Part. I. p. 73. tab. 28-31. Contra quem vero et GonorivM in Belgio a Romanis elephan- torum reliquias deriuantes pugnat, et diluuiana effe mauult StoawEvs L c. p. si. fg. 0 : (f) Exemplum rariffimum reperti in Islandia molaris elephantini prodidit Ban THoricvs for. Hafuienf. vol. I.'p. $3. obf. 43. Forfan et huc aliqua faciunt ab Orig. IAcosako recenfita, RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 4359 tantaque in hoc genere grauiffimarum et antiquifli- márum telluris mutationum monumenta prodidit , ác Sibiria noftra , cuius fubterraneum Ebur , quam- quam hodienum nonnifi cafü riparumque ad maiora flumina ruinis detegi folaet , ea tamen (ic quoque €opia legitur , vt inter merces indigenas non vlti- muri obtineat locum , ilfud praefertim , quod in terris -hyperboreis aeterno gelu rigentibus reper- fum , plane incorruptum et torüatlli operi adhuc aptum eft. "Sls ocn | Miraretur nemo , fi in Itafia , Hifpania, Gal- lisque folis inuenta fuerint elephantina offi, quum in has regiones Punicis maxime bellis, et in Italiam Tarentino quoque , imo et ad luxuriam fpectaculo- füm , infignes horum animalium greges addudc&os fuiffe , ibique periiffe, ex hiítoriis conftet. Ad fimi- les itaque cafus , poft explofam vulgi in Sibiria de .béllua fübterranea maxima (Mamomi) fabulam (g), multi etiam docti viri offamenta elephantorum. Si- birica referre haud dubitarunt: animalia illa modo 4 Iudaeis, quos Rudbeckius in borealem. Afiam mi- | Xeos graffe (g) De his vülgi in Sibiria ineptiis. imprimis euoluendi funt Yl. Basit. NiceTAE fil. Tariscurscuv in Zi P pfalienfibur et GnwrrINvs in Zfimerario Sibirito. ^ Deinde vero YsBRANDvs IpEs atque SrRAurENBERGivs. — Vocabulum JMamont , quod Belluae fabulofàe tribuitur, et vnde Ruffi offa foffilla Jamon- fouaia off appellarunt ,' verofimillime ."Tataricae originis eft, .o. quorum lingua: mazio terram fignificare accepi. 4.4.0 DE OSSIBVS FOSSILIBVS graffe fomniauerat , modo ab Alexandro M. imo a recentioribus quoque Afiae domatoribus, "Tíchingis- chano et reliquis Mongalorum imperatoribus (5) in longe diffitas hafce regiones deducta fuiffe . perhiben- tes; quorfüm tamen illorum neminem vnquam pe- netraffe , multoque minus tot Elephantos viuos de- ducere potuiffe , fatis conftat. — Quandoquidem vero in media [talia ,; vbi tot circenfibus. maxime ludis elephantos periiffe fcimus (7), fübterranea eorundem veftigia nonniü rarifüíme detecta fuerint ; contraque elephantina , cum ipío, apud omnes tamen facile populos pretiofo, adeoque non defodiendo aut teme- re abiiciendo ebore , íaeculi iam fere fpatio, per vniuerfam , qua ad extremum orientem atque bo- ream (4) Ce. Bavenvs hanc viam multis argumentis munire adlabo- rauit , et in Mungalorum quidem patriam et auftraliorem | Sibi- riam elephantos ficile perducit , per bella Mungalorum, fi fi- des hifloriis, cum Indis et "Tataris gefla.— Conf. Petersburg. Anmerk. über. die Zeitungen an. 1730. n. 90. p. 359. feq. - Vbi tamen fimul improbatur haec quoque fententia, ob immenfum dentium eburneorum in Sibiria iam ab vltimo inde faeculo quo- —-tannis lectorum , cui numero elephantorum bellicorum vniuer- . fae Indiae exercitus fufficere haud potuiffet ; nedum fi perpen- das multo maiorem offium vim in terris intaclis vafliffimis ad- huc latere, quae pofleros manet, imo forte nunquam exhau- rietur. | i (i) Teftis praefertim Priwivs hif. mat. lib. P IIT. cap. 6 vbi L. Metelli pontificis victoria 142. elephantos in Sicilia de Poenis captos et in Italiam transueclos, ibique periiffe narrat; cap. 7. varüs temporibus in circo exhibitos et confectos enumerans. RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 441 ream latílme patet, Sibiriam fefe magna copia manifefiauerinft , longeque maiorem vim, non tan- tum prope flumina, vbi cafu, wti dicum, dete- guatur, fed per totam illam continentem terram latere credibile fit ; tantum belluarum exercitum in regiones illas inhofpitas humana opera deductum non fuiffe, fed elephantinum forte genus, temporibus omni traditione humana anterioribus, in his ipfis terris , mitiore tunc certe coelo gandentibüs , atque, fi dicere fas fit, foli magis obuerfis, diu vixiffe multiplicaffe , ct pereuntium cadauerum offibus fo- jum ditaffe, quidni potius concludamus? Nihil enim nunc moror fententias eorum , qui vel voluntaria Obcoecatione miraque pertinacia-intra terram genita, cum petrefacis vulgo dictis omnibus, offa Sibirica putarunt, vel fub diluuii vniuerfalis aliusue globi cataftrophes tempus , profugos Elephantas, cum re- liquis calidioris coeli animalibus , in has terras, ad aliquot millenas leucas ab eorum patria diftantes , incredibili curfu contendiffe , ibique meríos tandem perüffe exiftimarunt. — Cni vltimae opinioni impri- mis I. G. Gmelinus olim nofter fuiffe videtur (4). Et tale quidem fuiffe quondam borealium re- gionum , imprimis Sibiriae clima , vt Elephas cali- difi- (&) Gurixvs in Zfinerar. Sibirita vol. I. p. 157. a cuius opinios ne haud plane alienus videtur Ill. Bvrrourvs- Tom. XIII. Nou. Comm. Kkk 442 DE OSSIBVS FOSSILIBVS diffimi coeli alumnus, et temperatius quoque clima nonnifi aegrius, cum plenaria foecunditatis exftin- &ione ferens , ibi viuere atque multiplicare non re- cufauerit , praeter eorum numerum hac terra obru- torum , de quo apud omnes conflat, porro probat elegans BARTRAMII obferuatio (/) de teftaceis marinis nonnifi calidioris zonae in borealibus hodie terris petrificatorum ftrata confítituentibus , quam vndique confirmatam videmus ; probant aut probare viden- tur elephantina íceleta et hippopotamorum dentes noftris temporibus in America feptentrionali non tantum a Gallico quodam duce (7) , fed nuperrime etiam ab Anglis (7) lecta. Quum enim certo fcia- mus (1) Nempe teflacea petrefacta in feptentrionalis Americae monta- nis copiofe reperiunda, non ea effe, quae hodie in mari al- luente fub eodem latitudinis gradu viuunt, fed in multo cali- diore demum tractu, verfus auflraliorem Carolinam et Flori- dam demum occurrere , obferuauit Acutiff. Barramiur eoque argumento , er repertis in Sibiria offibus elephantinis .Burneti theoriam , de diuerfis antiquae terrae climatibus , confirmari putauit; tefle Ka/mio in Jfinerar. Z4meric. (ed. germ.) vol. z, p. 281. (m) Femur elephantinum maximae molis, in Canada repertum defcribit, et plurimum fimul ibi repertorum offium , interque alia molaris Hippopotami meminit Bvrrouivs £ c. p. 230 - 235. (1) De fceletis complurium elephantorum in montibus Americae borealis ab Anglis nuper inuentis relationem optimi Corrrw- sou: ad Amiciffimum ScurosskERvM nuper accepi, et vt accu- xata offium in Angliam delatorum detur defcriptio, valde opto. Famam de offibus gigantum immenfae flaturae in. Penfyluania effoffis iam acceperat Kar. 4 c. p. 258. RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 445 mus Elephanti atque Hippopotami genus in tota hodie America non reperiri, neque magis, quam reliqua calidiorum Afiae et Africae regionum ani- malia, nouo orbi communia effe; nulla alia via in Canadam animalia ifta tranfire potuiffe video , quam ab extrema Afiae orienti obuería extremitate, quam totam eorum pariter offamentis fparfam effe vide- mus, quaeque olim minus forte lato ab America freto diremta fuit. ^ Fateor tamen , rationem non poffe reddi , quare nec Elephanti , quos in Ameri- cam vere transfretaffe reperta ibi offa argumento funt, neque alia aeftuantis zonae, quibus aeque fà- cilis , atque illis erat tranfitus , animalia , frigefcen- tibus Americae feptentrionalibus , in meridionales plagas recefferint , ibique fpeciem propagaucrint ,' vt eorum faltem aliqua nouo orbi cum Afia atque Afri- ca inter tropicos comprehenfis communia hodie ob- feruarentur , quod tamen fecus fe habet. ^ Lubentcr etiam fateor, neque in his, neque circa marina petrefa&da per totam continentem terram copiofiffi- me diffeminata , nos certi vnquam quidquam affcre- re poffe, imo ne hypothefin quidem vllam fingere, nifi Deum e machina excitando, aut ingeniofa Bur- nei, WWbifloni , Buffonii aliorumque de globi noflri fatis commenta adoptando et ornando. Ego illa acutioribus ingeniis enodanda relin- quo. Ad retracdandam vero materiam , a multis auctoribus diligenter agitatam , impulerunt me reli- Kkk 2 quiae p" DE OSSIBVS FOSSILIBVS quiae in intima Sibiria repertae et in Mufeo noftro depofitae Rbimocerotum , Gazellae indicae , atque im- meníae ftaturae Buffalorum , quantos hodie nec Afri- c1, nequc calidifüma India gignit , quique Tauro- elephantum nomen, ab antiquis Zoologis immani Aethiopiae ferae tributum , iure fibi pofcere viden- tur. Et has quidem exuuias defcriptione tanto. rea- gis dignas effe credidi , quo luculentius id. filtem euincunt , non clephantas modo , fed alia quoque ealidiorum: regionum , etiam. fera ac. indomita, adeo- que certe non humanis viribus adducta animalia , in his olim terris, vbi nunc «eorum offa fuperfunt , vixiffe et multiplicaffe ; vt dolendum omnino fit nonnifi magnae molis: offa hucusque per Sibiríam colle&a fuiffe, multoque maiorem minorum. fceleto- rum copiam forte negligi ,. quibus lites in hac re omnes dirimi dudum potuiffent. ^ Auctores certe , qui Elephantes , vt dixi , bello per Sibiriam fpar- fos fuiffe crediderunt , et tempus, ducem, exerci- tum , quibus deduci potuerint, adeo anxie quaefiue- runt, vano deftitiffent labore , fi praeter prius ex- pofita non. ignoraffent plurimorum . calidiffimi coeli animalium reliquias, in eadem Sibiria pariter repe- riri (0) Sed praeter elephantina offa nihil adferri vide- (o) De offibus Sibiriae foffilibus , Mamonteis dictis, praefertim egit Ill. TATiscnrscEv in 2487. P7pfalienfibur ; Cf. etiam. Pe- dersb. dumerk, gu den Zeitungen |. c... Dein e MassERscuwr- 'e : MO RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 445 viderünt , imo hodiernis quoque auctoribus vix alia innotuerunt. Nempe megliguntur a barbaris harum rerum, colle&oribus minorum animalium offa, et ea folum mittuntur, quorum iftis moles mira et commendabilis videtur. — Non tamen du- bium eft innumera alia minoris magnitudinis offa exoticorum animalium ibi paflim fupereffe , quibus nobis ob iafcitiam atque füpinam incuriam plebecu- lae carendum eft; idque folo offium in Sueuia can- ftadienfium: exemplo di(cimus , vbi omnigena diuer- fifümae ftaturae animalium extraneorum offa, ele- phantinis immixta fuiffe dicuntur , vt antra draco- num di&a Liptouienfia , et in Hercynuia celebrem fpeluncam .Bawmannanam nunc non memorem. De fofülibus Rbimorerotum in calidiffümas In- diae atque Africae tractus hodie relegatorum , per aquilonares terras fparfis reliquiis , nemo , quod mi- rum , hactenus fatis expreíh quidquam memoriae prodidit. Refert quidenr in itinerario fuo Cel. Gme- linus. (.*) circa. Lenam. flumen. inuentum aliquando Kkk 3 fuiffe pi0 Bnrvwivs in. 248). angl. vol. 40. n. 446. StoANEvs l. fu- pra citato, Ings, SrRALENBERG, LAvn. LaNcE, Le Bav; Ion. BELr. anglus, et GwrLINvs in fuis itinerariis, tandemque, cum Bvzrrouio , D' AvsENTONVS L. c. (*) ltinerar. vol. 3. p. 14$. Nempe miles Spiridon Portniagin ; ad offa mamontea conquirenda miffus ;. 2oo circiter ftadiis ruffi- cis a promontorio facro (Stoia£oi nof[) verfus 7 ffiauskoi 3s eulum; 446 DE OSSIBVS FOSSILIBVS fuiffe ignoti animalis caput , bouino fub fimile, cornua tamen fupra nares gerens. Verum praeterquam quod il- lud non viderit ipie, eiusque relatio e diuerfis videatur circa Taurorum atque Khinocerotum reperta crania, relationibus coaluiffe , ne in fufpicionem quidem Rhinocerotis ipfum -perueniffe apparet. ^ Differtius quidem , et iure credo, ad Rhinocerotem refert maxillae portionem cum molaribus, haud procul a Cantabrigia repertam Grewiusr (p); fed tamen is quoque , incredulis, fola dentium comparatione fre- tus, minime períuafit. ^ Certiora igitur hoc loco dabimus et minus ambigua futura. | Habemus enim quatuor vera et fatis integra R/imocerotum in Mufeo erania , habemus quinque genuina, variae molis cor- "ua eiusdem animalis. — Eaque omnia in media Si- biria reperta fuiffe certum eft; quamquam locos, vbi fingula inuenta füere, non accurate confignatos inuenerim , neque affirmare poffm cornua iisdem cum craniis in regionibus eruta fuiffe; cum de vni- co tantum craniorum ex affixa fchedula liquido con- flet, illud vna cum maiore, quod integrum habe- mus naculum , circa Lenam in terra turfofa reperit cranium elephan- tis cum cornibus , nec longe ab eo loco amimalis ignoti cra- mium cet. — Videntur etiam Rhinocerotis offa fuiffe, quae Gw- LINVS p. 153. vna cum craniis "Tauro- Elephantis infra defcri- bendis , reperiri dicit ad. Nifzhnaia - Tunguska; e quibus fibi vifa , tibias, femora, in fumma breuitate fcribit crafíiffima. fuiffe. (p) Mufti regal. Societat. pag. 32. tab. i6. RHINOCEROTAM ET BVFFALORVM. 447 mus cornu (fig. 4.) in tra&u lacutenfi anno 1727. Tab. X. oblatum fuiffe. Quia fceleton Rhinocerotis vllamue P8: eius partem nondum ab vllo auctore deícriptam in- venio, in exponenda fingulari fabrica cranii huius animalis paulo verbofiorem effe liceat. Rhinoceros, prouti ordine naturali proxime ad fuillum genus collocari debet , eidemque multis fiructüurae momentis pariter ac vitae genere mori- busque affinis eft, imo apri quandam fpeciem afri- canam , quae nuperrime innotuit (4) dentium quo- que primorum defectu, corii natura , roftrique. cor- nea duritie proxime refert: ita et cranil conforma- tione nulli quadrupedum generi aptius conferri poffe videtur. ^ Ea tamen cranii pars, quae cornu Rhi- nocerotis füftinet , cuius ille fitu pariter atque na- tura ab animalibus cognitis omnibus. diff£rt , ipíà quoque ftru&urae et figurae plane peculiaris eft , neque vlli inter reliquas quadrupedes. exemplo com- parabilis. Scilicet omnem. vim animalis robufliffimi ig haec eius arma dum dirigeret natura ,. roftrum , cui extremo innatum eft eorum primarium , offea compage validiffima ita firmandum erat, vt imma- nes indomiti animalis inque omnia coeca rabie ruen- tis impetus fuftinere queat. Hinc totum primo cra- nium , quod exíerendis belluae viribus quafi vectem * praebet (g) Aper aethiopicus, quem in Miftellaneit Zoologitir, et nuper, addita icone caftigata , nouisque obferuationibus in Spicilegiorum Zoologicorum Fofcit, II. nuper defcripfi. Tab. iX. Yig. 1-3. 448 DE OSSIBVS FOSSILIBVS praebet ; e folido fere offe robuftifüme fabrefactum eft. Nulla enim , inaudito fere exemplo , apparent futurarum veftigia ; totaque cranii fubftantia , wbi- que craffüflima , parum intus raritatis , quam di- ploén dicunt, habet, imo per aoguíta quoque et oblonga , pro -encephalo recipiendo , olla cauatur. Nihil porro zygomatbus et illa quae inter roftrum et ollam cranii comprehenditur , portione ,robuftius effe poteft . Deinde quum in animalibus reliquis omnibus offa nafi et maxillaria in regione hiatus nafalis late deficiant , et extrema roflri mera. carti- lagine perficiantur , (quam in folo afhni genere fuilo , cui pariter infigoior promuícide vis erat ex- ferenda , officulum columnare fulcit,) Rhinocerotis contra cranium füpra narium caua craffo fornicato- que offe luxuriat , et hoc infuper fepto inter duo narium caua perpendiculari, craffffimo , longitudi- naliter füffulcitur. Si denique retro produ&um oc- cipitis latum cacumen firmandis mufculis ceruicali- bus, cranii leuatoribus , deftinatum ; fi condylos maximos, fere ginglymoideos , capiti fupra colum- nam vertebralem valide iactando, tanquam trochleas, deftinatos confideraueris , conftans apparebit naturae iolertia inftrumenta vbique actioni et viribus exíc- rendis adaptantis. | Olla fiue pofterior pars cranii , wt modo di- éum eft, irregulari fübtetra&dra pyramide feu po- tius cuneiformi peccine ( vt in fuillo maxime gene- re) retrorfüum, adfürgit , quam circumfcribunt fuper- fücies . RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 449 ficies fuperne tres, cum poftica latis craffisque mar- ginibus concurrentes. Superficies haecce fofferior, in- ferne in medio foramine occipitali magno , fuperius incifo , et vtrinque comdyZs inde a foramine trans- verfis, fubfemicylindraceis , extroríum adícendente conuexitate auctis praefinita , planiufcula eft, ita ta- men, vt füpra foramen occipitale leui conucxitate tumefcat , hinc foraminulo furfum obliquo perforetur, et fupra illud leuiter , at lateribus , fapra condylos infigniter deuexa cauetur. Superiorum facierum me- dia plana fere eft, pofteriusque latior in trausuer- E füm occipitis pectinem definit, anterius autem de- cliuis et denuo latefcens , in conuexiorem frontem fenfim euanefcit. ^ Superficies /azerales obliquiores , verfus orbitas fenfim infigniter cauatae defcendunt , et plerumque , incerto quamuis loco , circa medium geminis foraminibus, calamum fcriptorium admitten- tibus pertufae funt, quorum ab altero latere in vno craniorum noflrorum folitarium füpereft , et in alo vtrinque ambo oblitterata vix apparent. | Non Praetereunda quoque funt infignia foramina , quae condylorum occipitalium bafin permeant, ct. digi- tum minorem facile transmittunt , arteriis vertebra- libus verofimillime deftinata , introrfüm verfus cra- nii cauum paulo anguítiora, extrorfüm et deorfum in femicanalem proceffuum adftantium effüfa. Praeter bos ipfos procof/fós , qui maftoideorum loco funt, aZi habentur fübter cranii cllam minorcs Tom. XIII. Nou. Comm, ETT et 430 DE OSSIBVS FOSSILIBVS ct anteriores , adeoque ftyloideis fitu comparandi , figura autem , vti priores, pyramidati , et longitu- dine quoque iisdem fubaequales. ^ Supra geminos vtrinque proceffus maius auditorius patet , fubtus et poftice tubere angulato offeo munitus. ^ Intra eos- dem vero proceffus notabilis vtrinque eft fff petrofi angulofa difformitas , in Lbjaiy lacero vndique fere libere et abrupte prominentis. |^ Medius inter fora- mina lacera j/bmus cranii (infigniter carinatus eft, obíolefcente tamen verfüs palatum iugo. Quanquam ipía. cranii olla antrorfüm vere coar&etur, offea tamen eius fübftantia imis lateri- bus, mox ante meatus auditiuos latefcit et in zy- gomata aífurgit , poftice depreflo-ancipitia , dein per maiorem longitudinis partem triquetra , antice vero, vbi fupra molarium bafin implantantur , obfoletius tetraédra , atque extror(um tuberculofo- prominula. Orbitarum cauitas perampla , vndique aperta , neque margine fere , nifi anterius, verfus zygoma- tis radicem /uggrundio defuper limitata tuberculofiffi- mo, quafi lacero , et duplici plerumque foramine. peruio. . Vbi deficit füuggrundium , notabilis eft /i- ?a prominens, fed magis introrfum pofita. Foramen. opticum. pofterius in fundo orbitae latum , antrorfum fpectans, exterius veluti offea lamina valuatum , pollicem facile admittit.. Anterius ex aduerío optici foraminis ex orbita continuatur canalis digiti medii capax, magno foramine zygomatico paulo pone hia- tum narium effüfus. Frons RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 451 Frons inter orbitas atque antica crura Zzygo- matum latiufcula , tota , imprimis verfus latera , tuberculis crebra , fcaberrima , et in vno praefertim fpecimine quam maxime hiulca; in omnibus vero fuleis ramofis , arteriarum , per foramina fupracilia- ria e(ícendentium , et calamos fcriptorios aequantium, veftigiis , arata eft. — Videtur haecce front's in anti- quiore fpecimine notabilior inaequalitas orta fuiffe 3b incremento et ortu cornu fecundarii , quod fenio- ribus Rhinocerotum plerisque adeffe arbitror , quod- que, faltem in africanis (r) , adolefcentulis iamiam propullulat. Huius enim bafis totam ferme frontis aream paulo ante medias orbitas occupare folet. LDAthuo Venio (r) Vana eft Rhinocerotum in vnicornes et bicornes diftinctio- Vnicornes enim fpecie diuerfi effe non videntur , quamquam re vera exiflant , longiore et magis fubulato cornu , faltem in Afia. Cornua duplicia innumera vidi, et in tenera iam aetate, fere fimul prorumpunt. 1n quinquennis capite Promontorio B. Spei ad Mufeum Sereuiff.. Principis Zduriaci miffo , fecunda- rium iam infigniter protuberabat , quamuis primarium palmo vix effet altus. Vidi , raro exemplo , cornu fecundarium Rhi- nocerotis , femipedale , a bafi poftice apop/uy/im acutam , coni- cam , fefquipollicarem exferens , fimillimum illi; quod Grpr- vscnivs in ZMaferia IMedica celebrat , quodque pariter fecunda- rium fuiffe autumo. —— Per huiusmodi credo lufum explicandus erit locus Atcgx. Hawrr Tow in Zfccount of the. Eaff - Indies CExlinb. 1727. 8.) vol. i. p. 7. vbi cornu Rhinocerotis africani "" friplex defcribit, e quibus primarium erat 18. vnciarum , pro- ximum I2^ etf poftremum $^. — In capite R hinocerotis capen- fis cornu fecundarium bafi vsque in frontem , inter oculos, ex- tenditur , adeoque recte a Ko/bio frontale dicitur. 452 DE OSSIBVS FOSSILIBVS Venio nunc ad extremitatem cranii , feu o- firum , ad bafin , inter zygomata crafhfhimum , et fubtus aluearibus molarium dentium poflerius am- pliffuügis auctum. . Haec ipfa vero a/uearia antror- fum fenfim angufliora rofiri molem fubtus paulatim contrahunt, Palatum inter alueolares veluti vallos aequabi- le, leuiter excauatum , prope molares pofteriores vtrinque forgmüne pennam minorem vix admittente , et aliquot minoribus peruium, ad fauces deficit mar- gine obtufo , qui medio tuberculo , ad inftar valuu- larum cordis lunarium , intercipitur. —Criffae piery- goideae a palato retrorfum clementer decrefcunt; et vbi fere euaneícunt , adeft vtrinque foramem infigne , quod digitum minimum vix non admittit. — Ante- rius fub extremo roftro , loco foraminum palatino- rum plerisque animalibus folemnium , dehifcit pala- tum iata triangulari , poftice acutifümo , quem feptum nafale introrfum bipertit , et cuius poftico angulo feraminulum adítat folitarium , fere coecum. Latera extremi roftri vtrinque ampliffima 72- rium cauitate , antrorfum effuía , late patent. ^ Has interftinguit fepzum continuum , folidiffimo et digi- tum fere , praefertim verfus anteriora , craffo offe conftans, verfüs fauces margine conuexe tumidulo praefiaitum, marginem vero palati non exaequans , fed citra eundem terminatum. — Narium aperturas defüper late obumbrat et roftrum obtuíe terminat Lefludo RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 453 tefludo fuboualis , conuexa , e craffffümo offe facta .et robufta fepti pariete longitudinaliter fuffulta. Hu- ius externa tota facies tuberculis longe, quam ín fronte, prominentioribus exafperata eft et confragofa, in medio tamen longitudinaliter laeuigata magis, et veluti rapbe quadam inícripta; margines iisdem tu- berculis quafi laceri apparent. ^ Camerae narium compreflae funt et retrorífüm maxime "verfus eth- moideos anfractus dilatantur , quorum tamen mini- me infignis eft apparatus. Prope aperturam narium anteriorem intrinfecus e fuperiore cuiusuis camerae fornice defcendit lamina offea craffa, inuoluta , fiue es concboideum. fpongiofum. Ex afueolorum reliquiis apparet , animalia quorum fofülia deícribimus crania , «eolaresr fuperio- ris maxillae dentes vtrinque babuiffe fenos , feu for- te feptenos: adeft enim in vno fpecimine dens ante alueolorum feriem minutus, a quo rciquorum , qui in omnibus noftris fpeciminibus defunt folis. ra- dicum veftigiis relictis , moles fenfim crefcebat , ita vt poflremi omnium maximi fuiffe videantur; pe- nu'timorum vero aliquem effe a Grewio delineatum ex illius cum alueolis craniorum noftrorum compas ratione fatis fit verofimile. Non parum miratus füm , in omnibus qua- tuor craniis nullum omnino füpereffe veftigium den- dum rimorutm , quos graui(hmi auctores , Parfonius ; 1115 et 454 DE OSSIBVS FOSSILIBVS et cum eo Linnaeus, Buffonius ,' Cbardin (5) aliique Rhinoceroti tribuunt, a molaribus remotos et in vtraque maxilla folitarios. ^ Quamquam enim nullos huiusmodi dentes olim in ficcato capite Rhinocero- tis circiter quinquennis, Promontorio Bonae Spei in Mufeum .Sereniffmi Araufinis Primiipis miílo, de- prehendiffem , tamen fübdubitabam , et aetate pro- vectioribus demum erumpere putabam. Pofteaquam ' vero in fpeciminibus adultis Mufei noftri ne vefti- gium quidem apparere video, vbi dens talis infitus fuiffe, vel firmari poffe credatur, non poffum non fufpicari , auctores qui primores dentes Rhinoceroti tribuunt omnes , hallucinatos fuiffe, et primum e molaribus conoideum voluiffe: Idque tanto magis credibile erit, íi perpendamus, qui Rhinocerotis hiftoriam dederunt, omnes nonnifi viuum animal examinaffe , in quo difficile fane et fallax effe debet dentium ícrutinium. ^ Accedit , quod interuallum inter primos molares et apicem maxillae fuperioris in cranis non admodum prolixum fit, quodque palatum. mox ante molarium alueolos in. angufítum iugum et veluti carinam fenfim contrahatur, wt nec alueolo locus fit vllus, neque dentes illi pri- mores , fi adfüiffent , tam magno fpatio, quam au- &ores illi dicunt, ab inuicem diftarent. Adde etiam, | quod (7). Chardin voyage en Perfe (edit. va Parif. 1725.) vol. $. p. i32. Bovrzronu. /. cif. p. 241. €£ 275. PAnsONS in Z4. angl, n. 470. RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 455 quod Rhinoceros, cui accuratiffimus alias D' A4uben- ie"us. primores dentes fuiffe fcripfit, e data magni- tudine etiam iunior videatur fuiffe illo , cuius ipfe ficcatum cum pelle caput diligenter in. Mufea— 42- Tiac0 luflraui, et cui itaque dentes illi per aetatem adeffe omnino debuiffent. ^ E quibus omnibus iure concludi pofle credo Rhinocerotem — conformatione dentium cum Dradypode atque Dafypode conuenire. Neque folum hoc. eft affinitatis, praefertim cum Dafypode momentum ; namque huius cutis pariter atque pedes non exiguam ftructurae fimilitudinem cum Rhinocerote produnt , quanquam hunc nihilo- minus fuillae genti magis propinquum effe putem. Crania illa Mufei noftri, etfi vix determinan- dae antiquitatis. dicenda fint, et monumentis huma- nis forte omnibus anteriora , tamen corruptionem tanto temporis fpatio , etiam in fpongiofiore parte, vbi molares fuerant infixi, parum fenferunt, Nem- pe, vt fupra de Ebore fofüli monuimus, glacies regiones illas continuo ad(tringens , neque per aefta- tem in terrae profundo refoluenda , animales hafce reliquias contra edacis aeui dentem quafi loricat atque firmat. ^ Itaque craniorum etiam , quae de- fcripfimus , fübflantia füfca quidem , fed praedura ad- huc eft, nec nifi in füperficie calcinata atque ochra- ceo vel limofo terrae , in qua fepulta iacuerunt , colore inquinata atque imbuta. — Imo in vno nitor etiam et odor, quum raditur , offeus paffiim fuper- eft. lllud vero, quod antiquifimum , hiulca fronte prae- ? 456 DE OSSIBVS FOSSILIBVS praefigne füpra memorauimus , corruptius eft et tota fuperficie ad infignem fatis profunditatem caki- natum , vngue facile raditur. Duo alia paffim in fu- perficie leues fecuris , vt videtur , ictus paffa funt, iis maxime in locis, vbi cornua haeferunt; non autem affirmauerim cornuum adbaefionem hifce icti- bus anfam repertoribus dediffe. ^ In horum tandem vno frons a dextro latere, proxime fupra oculum, maiufculo foramine, fed rotundato perrupta eft, quod viuo animali inflictum fuiffe videtur. Vt aliqua proftet craniorum noftrorum men- fura , liceat hic inferere tabulam comparatiuam omnium fpeciminum , fecundum menfurae Parifinae rormam expreffim ; in qua notari velim terminos omnes filo , fecundum fuperficiem adplicato explo- ratos fuifle : ipoll. Iin.[poll. lin.[poll. lin.|poll. lin. Longitudo tota ab extremo roftro, ad prominentifümam partem occipitis/of- ^e vapets (Di HTus OTT? ST;"5 T9090 TET ENUS e—- palati inde ab angulo carinae. i ante hiatum palatinum notabil| 12, o0] 8. o —— aluearium pro dentibus - | 9. 3| o.o| r1. 3| 0.0 —— tuberis cornigeri fupra nares | 10. 6| 1o. 6]. 0.0 circiter - - 2CUDem Xr. ted vg. rcp grs tme —— hiatus narium - - -| 8.5 45:617. 0 ——— zygomatisa meatu audito. rio ad foramen zygomaticum exteriorem arcum menfurando 9. 9| 9.6| 8.9 9.9 Tech fumma cranii inter tube- - RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM.:4545 rofitates zygomatum anteriores 1I. 9 |IO. 6 | 10. 3 -—— iut:r proceffus orbitales - |11. 4 | O. O | rx. 1 -—tubers cornigegti - - - 7.9 T6. 6. 6 Profunditas ollae cerebri ftylo ex- | | porta - - - - - - 79 6. 10] 6. 9. Procedo nunc ad Cornua Rhinocerotum Sibirica, quorum , vt monui, quina in promptu funt. — Et haic quidem. omnia primaria fuiffe e magnitudine, proportione et figura ficile apparet. ^ Minora fiue frontalia cornua vel ob minus infignem molem a colle&oribus neglecta, vel Rhinocerotes qui hafce Ipoll. lin. poll. lin. poll. lin.poll.1in. 6. 6 plagas quondam occupabant vnicornes füerunt , quod . in Afiticis hodienum frequenter obfíeruari auctorum aliqui afferuerunt. — Duo e quinis Mufei nottri cor- mibus foffülibus integerrima funt; eaque mole, figu- ra et proportione nihil infolti habent. Vuius nem- . pe longitudo eft 33^". 3/7, circumferentia imae ba- feos, quae famen filorum extimorum et breuiffi- morum ftratum amifit , 23//. 6/7. et paulo fupra baün 157^. 6// vnde fenfim in fübulatum acumen adtenuatur, retroríum clementer curuatum. — A/terius lonziludinen: deprehendi 24. x^^ 4/"/ circumferentiam infimam 1^. 7.9/7 et quinorum pollicum füpra 'bafin diftantia 17.24. 6^. figuram autem omnino priori fimilem. ^ Vtriusque fübftantia nonniü in fu- .perficie antiquata. fiffuris hinc .in&e fatifáit, qua- Tom. XIII. Nou. Comm. Mmm les Tab.. X. Fig. 4. 458 DE OSSIBVS FOSSILIBVS les et recentia fpecimina ficcatione non raro con- trahunt. Dolendum eff in tribus reliquis cornibus e Sibiria miffis, quorum vel figura vel magnitudo: minus vulgaris fuit, ab ignaro et rudi populo fe- curi, vt videtur, ablatam fuiffe ab vtroque latere fübftantiam ; cuius rei nullam aliam mihi fingere poffum rationem , nifi hanc , quod vel ea fubftantia. corrupta atque in fibras füas refoluta fucrit, vel fi- militudinem acicis , cornuumue caprinorum concilia- re iis voluerit vulgus. ' Vmuig ex his rnutilatis et cornuum [bicis ad inftar planis cornibus longitudi- nem aequat 4 pedum et vnius fere pollicis. — Cur- vatur illud arcu infigni, et' maiore quam hactenus - in Rhinocerote obferuatum eft; — AJzrwz, quod iti- ' dem, ob fingularem circumcaefüram , icone expref- fum eft, altitudiue eft 27.8/^ rectiufculum ; fingu- lari autem ratione anterius verfus bafin craffefcit , fituque magis reclinato couftitutum fuiffe videtur; ita. vt tota figura a folita infigniter abludat. "Terrium,. cuius icon minus neceffaria vifa eft, vti primum ,. paulo magis, quam vulgaria , incuruatur , et' arcua- tam fere figuram vnguis Ardeae exprimit, longitu-- dine 2^. 11//. 6//^ proportione fere eademr, quae- in: cornibus integris fupra indicata eft. Subílanti horum cornuum duriffima: quaimnié et rigida , adhuc, tamen ita in füperficie praefer- tim refoluta eft, vt iz cornea longitudinalia , paral- -JRHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 459 paralléla , quae in' recentibus firmiter compacta ae- géerrime apparent, egregie confpiciantur «et facili epera feparari queant. taque cornu Rhinocerotis e talibus. filamentis fiue fetis corneis totum. compofi- tum effe, longeque alia ftructura gaudere , atque cornua. perfiftentia , lamellata animalium plerorum- que ruminantium , rete D'AUBENTONUS expo- fuit. Similem fere crafhifhimae epidermidis conftitu- tonem ., e fibris ad. cutem perpendicularibus , in Manato f. Vacca marina STELLERVS olim | nofler defcripüt. | Subfimilem etiam ftru&uram inuenias teftarum Mytuli margaritiferi fole. vel igne calcina- tarum. X Verum in Rhinocerotis cornu. hoc praefer- tim mirabile eft, quod media praefertim — fubflantia adultioribus excrefcat. | Figura enim cornuum adte- nmuata imprimis debetur numero fibrarum fuüperiora verfus imminuto:; extimae fcilicet varia a bafi di- ftantia veluti praetritae et íeneícentes definunt ; | vn- de in plerisque recentibus Rhinocerotum cornibus fuperficies verfus bafin mufcofa quadam hifpiditate horret. ^ Hoc autem phaenomenon a fola belluae 8&ione , cornu ad arbores coutinuo adterentis ,' deri- vari haud poterit; fic enim cornuum cacumen, quod ma'orem, vim patitur , minus creíceret , pari- que modo detritum et fenio quafi confumtum ob- feruaretur; quod fecus euenit. Extremitas enim cornuum femper folidiffima ac fanifüma deprehendi- tur; et natura animalium partes exter/us iniuriis praecipue obnoxias, cornua , vngues, roílro auium 11 Mm m 2 (prae- 460 DE OSSIBVS FOSSILIBVS (praefertim Picorum), infita vi quadam vegetatius ; iis maxime in locis vbi maiorem adtritum pat:un- tur, continuo fupplet , nec fenefcere patitur. Hinc ncceffario ftataendum eft , fibras in cornu Rhinocero- tis extimas , fuccrefcentibus e. nucleo feafim interio- ribus, inutiles et effoetas non amplius creícere , fed velut emortuos. capillos apicibus deteri atque. refolui. Praeterquam quod in cornibus Rhinocerotum foffilibus ftructuram . fibrofam confirmatam inuene- rim , fingularem quoque obíeruaui fibrarum per in- terualla. coaleícentiam quandam , iu iis maxime fpe- ciminibus , quorum fubftantia lateralis fecuri dedo- lata eft, confpicuam. ^ Haec ideo quafi articulata aut infcriptionibus transueríis folidioris texturae vn- data diceres; neque aptius comparari poteft huius firucturae ratio et adípe&us, quam cum mufculis rectis | abdominis in humano cadauere, quorum laxiores fibrae mufculofae , infcriptionibus transuerfis in tendineam albedinem et fübftantiam deníatis, - in- terruptae funt. Atque vti hos mufculos per tendi- nea interualla firmari intelligimus , ita quoque cor- nuum fubítantiam compactioribus illis fpatiis infigni- ter contineri , nemo non videt. d-bITPHÁHI|HI|HHHEHS S S HMM ERM Poft defcriptas Rhinocerotum reliquias praeci- puam in Ofteophylacio noftro adtentionem - meren- : T tur RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 461 tur eramia Buffalerum gigantea , quorum | integrum vnum et complurium fragmenta «e Sibiria adlata habemus. Gigantea dico, quum maxima vrorum noftratium in Muíeo feruata crania, omnesque Buf- fali Capenfis. aut Indici, quas viderim aut defcriptas inuenerim, reliquias tantum füperent, quantum . illa à craniis boum domefticorum , ifta a Buffalorum ltalicorum. mole diftant ,' quae prioribus collata. py- gmaea certe dicenda funt. Animalia, quorum cra-- nia illa fuere , hodie tanta, in rerum natura ,. quod fciam , nullibi exftant. Neque enim Buffali calidit- fimarum regionum , quibus hocce animal. natura de- flinatum e(t, nec vri noflro aeuo. maximi ," armen- ta Hungarica atque Podolica iftis faepe vix. minora ,. et vaftior iisdem Bifon. Americae feptentrionalis , qui poft Rhinocerotem et Hippopotamum: quadru- pedum omnium certe maximum eft (7) , ad Buff- : Man qiias «4 lorum (£) Ill. Bvrroxivs , nefcio quo argumento , Bifontem America- num minorem effe credidit, quam funt Afiae atque contermi- - nae Europae feri "Tauri (iff. nat. vol. .XI. edit. min. X XIII. $104.) a quibu: tamen iflius originem iure deducit. Putauit Ícilicet, Vir Illuftriffimus, omnia animalia , quae ex antiquo or- be in Americam transmigrauarint , minora et. debiliora euafiffe. Et tamen Alcem , Rhangiferum , Damam , Leporem , Vulpem nigram (quae eft Lupus niger Bvrrowr), in America boreali potius maiora effe , quam in Afia orientali, certis mihi conflat - documentis. Similiter Brsow americanus, quem fecundum prae- conceptam hypothefin et ex male intellectis , vt videtur, itine- ratorum relationibus, minorem Afiatico (latuit, re vera Vris vel 462 ^ DE OSSIBVS FOSSILIBVS lorum , quos frigidam nunc totam Sibiriam olim aluiffe e lectis offibus conftat, molem nequaquam adtingunt. Loca in quibus huiusmodi crania reperta füe-: re Cel. GMELINVS in zrinerario fuo nominat: ex-: tremam Sibiriam , circa Anadyr fl. et regiones ad Neo - Tunguskam. Integrum vero, quod Mufeum noftrum ornat, cranium illud eft, cuius ad llgenfe munimentum (I/ginskoi Offrog) effoffi meminit idem (Rinerar. vol $3. p. 753). ldque Celeberr. MVL- LERO noftro deberi , qui. illud a facerdote illius loci acceperat, in. catalogis rerum naturalium a: GMELINO transmiffarum inuenio. Fuit autem in ripa llgae fluminis vernalibus aquis fübruta inucn- tum ; nec alia prope: offa adfuiffe dicuntur. ^ Extra Sibiriam inuentorum craniorum taurinorum tam vaflae magnitudinis duo tantum «exempla habemus; quorum alterum in zs angliir vol. 37. pag. 42'7. 14b) KLEINIVS , alterum. I/. BVFFONIVS in aureo füo opere (5ifl. matur. ed. minor. vol. 23. p. 267.) communicarunt. Prior defcribit atque delineat occiput tauri, vel. potius Bufali , cum cornibus ; deter- vel maximis vaflior eft et procerior 5 vti ex vifis adultorum cra- nis, et viuo Bifonte , Philadelphico , an. 1766. in Belgio exhi- bito didici, quem nondum ad adultam tamen aetatem perue- niffe cornuum paruitas. arguebat , etfi mole iam. Vrum infigni ter fuperaret. Neque fane vllam inuenio rationem , quae in pinguiffimis feliciffunae Americae pafcuis , armenta fera minue- re debuiffet, *« RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 463 detruncatis , vix inferius noftris. magnitudine , et fi- gura iisdem. fimillimum ,. prope Dirfcbau in Geda- nenfi regione effoffum ;;. in eoque diftantiam | inter bafíes cornuum r pedis et r; pollic. latitudinem in- ter Orbitarum margines 1^. 4// et circumferentiam cornuum ad bafin i/.6/^ pofuit. ^E paulo minore animale füit nucleus cornu bouilli , quem in Galliae quodam flumine inuentum recenfüut DBVFFONIVS , cuiusque circumferentiam 1^. 1/7. 8/7 effe fcripfit. 4 Crania zoíra, cum quibus KLEINIANVM córnibus et orbitarum conformatione omnino conue- nit, Vri vel Biíontis non füiffe, fed ad Buffali ge- nus, hodie calidioris Indiae inquilinum , referri de- bére infignis latitudo et conuexiufcula planities fron- tis atque bregmatum , prominentia orbitarum tubuli formis, latitudo offium maxillae füperioris, et fi- tüs deniqué cornuum mágis, quam im Vro, trans- verfus et reclinatus , neque non corneae vaginae fi- gura externe angulata , atque infigniter rugoía , at- £uunt. Quae difcriminis momenta vt melius appa- reant, in tabula noflra altera , praeter integrum il- lud cranium e Sibiria foffle a fronte et a latere expréffum (fig. r. 2.) etiam vri maximi noftratis éranium duplici item icone expofuüi (fig. 3. 4). Quae cum icones fürnma cura, feruatis, ad appo- fitam diminutam menfürae in pollices diuifae fca- lam , cunctis propertionibus , exactifüme delineatae fuerint, finc vlteriore verborum apparatu inde et vera Tab. XL XII. Fig. 1. €, M 464 DE OSSIBVS FOSSILIBVS . vera vtriusque forma , et differentiae , atque infignis cranii fofflis magnitudo fatis fuperque intelligi po- terunt. ^ Adferam tamen menfuras vtriusque gene- raliores , filo exploratas; quamquam et haec opera; ob iconum perfectionem füperflua fere videatur. In Buffali jin Vri Cranio foff. cranio. poll. lin. poli. lin. Longitudo cranii a fine offhum nafi, qua fronti committuntur ad cri- flam transueríam occipitalem - Longitudo offium nafi, quorum in cranio foflili dextrum breuius3/// Longitudo aluearium pro molari- bus, quae in cranio foffüli , ob defectus , fatis accurate menfu- rari haud potuere — — Eadem ratio impedimento füit,quo- minus longitudo offhium maxillae fuperioris comparari potuerit - Longitudo nuclei cornuum Ooffei , exterius fecundum arcum adpli- cáto filo, a corona bafeos ad api- cem .— -—- 5.07 7 0-57 Latitudo fumma occipitis inter an- gulos maftoideos , vt ita dicam, Circumferentia arcus occipitalis , in- ter hos ipfos angulos maftoideos 213..0. 16: 6 18. 9 |I5 6 RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 465 In Buffali | In Vri Cranio foff. cranio. poll. lin. |poll. lin. Altitudo occipitis a margine fora- minis occipitalis ad criftam trans- veríaum feu arcum occipitalem -| — 4. 2 3. 9 Latitudo cranii inter cornuum ra- dices - - - - | r1r93. xri | xo. O0 Latitudo inter extremas orbitarum ors - - - o. - r4. zx | 1r.9 Latitudo inter foramina füpra-or- bita .- - - - -] 8.9 6. 2 Latitudo maxillae füperioris ad molares poftremos. ^ - - - 48.0 2.:2 Nucleus cornuum offeus in giganteo noftro Buffli cranio 14 pollices circumferentia explet , quum in maximo Vro vix 8 poll. excedat. ^ Cor- neae waginae , quae nucleos offeos loricat , craífities , in vtroque cranio non potuit exacte comparari. Quod in foífili cranio füpereft corneae fübftantiae , nouem , vbi media craffties , lineas aequat. — Dex- trum buius cornu , (cui fere integra fupereft vagina, externe longitudinaliter angulata et verfüs bafin ru- gofifüma ,) cum corneo inuolucro commenfuratum vix 15 poll craffitiem dedit; quum in Vri corni- bus eadem deprehenía fuerit 10^. 2/7. ^ Vnde ma- jus corneae fübftantiae in Vro volumen apparet. Vaginae iftae corneae , in cranio foffüili antiquitate Tom. XIII. Nou. Comm. Nnn in 466 |. DE OSSIBVS FOSSILIBVS in lamellas refolutae , ftru&uram corau bouilli per firata accrefcentem: et a textura cornu Rhinocerotis füpra expofita diuerfiffimam elegantes exhibent. 1l- lam autem corneam fübflantiam', quae alias facilli- me putrefcit , in cranio per tot fecula folo, fed frigore adfítri&o , condita magna pro parte adhuc- dum fupereffe mirumr videri non debet, cum ipfum quoque cramium' paffim nitorem offeum feruauerit. Praeter cranium iftud integrum — dicendum , habemus ex tribus aliis fragmenta ; occipitis. nempe pertiones , cum» vno alteroue cornu füper(tite. | Ho- rum vnum, quamuis. quibusdam- menfüris priori cedat, (interualla cornuum ri2//^.3//^ et longitudi- nem nuclei offeéi 21/7. 8/" praebens ,) ob latitudi- nem tamen occipitis inter. angulos. maítoideos men- furati maiorem (ri2//. 10/7) et infigniorem nuclei cornuum craáffitiem feu circumferentiam (13//.) fe- nioris: animalis videtur fuiffe. Fragmenta illa, fub mitiore forte coelo e terra eruta, corruptionem mujto magis fenferunt. Tastos olim Buffalos (7) in Sibiria vixiffe ex eorum reliquiis videmus. — Hodie: vero ne in Indiis quidem pares gigni minus habebit miraculi, fi pon- deraueris , quantum. noftris füb oculis paffim addant anima- qu) Poffet huc referri locus Prim Aff. nat. lib. TIT. cap. 37. » Vrorum cornibus barbari /eptentrionales potant: vrnasque bi- nas capitis vnius cornua implent. RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 4675 animalibus domeflicis incrementum clima et pabuli largioris atque pinguioris qualitas, quantulosque eaedem .cauffae alibi producant earundem fpecierum pygmaeos. Quis non nouit infignem inter armenta Podoliae et macros ericetorum boues, quis inter pufillos arietes feptentrionalium regionum et Indi- cos vel Capenfes proceros ignorat differentiam. 1mo maior adhuc eít inter pygmaeos Iadiae orientalis vel Infularum feptentrionalium equos, illosque quos Frifia aut Anglia generat; maior inter Vrum aut Bifontem Americes , et bouem paruulum, gibbofum, Zebu dictum Africae et Indiae, ^ Et vt propius ad effe&us climatis Sibirici etiam hodiernos accedamus, quantum non diftant Musmones Corficae ab aricte ferofeu Argali orientalioris Sibiriae , quamquam hic vere fit vnum idemque cum iftis animal. Si vero olim calidiorem fuiffe Sibiriam «t feliciore coelo gaudentem infuper ftatuamus , fine qua conditione frigoris impauentiffimi Buffli ibi viuere haud po- fuiffent , ratio. in propatulo eft, quae eoscem in pinguiffimis tunc pafcuis ad tantam molem potuit auxiffe , quam fofflibus craniis videmus ; quum etiam hodie Americae feptentrionalis , quam | ma- gnam cum Sibiria fimilitudinem habere omnes fà- tentur, mitiore in climate , Virginiae , Penfyluaniae Canadae in fyluis, Bifontes cum Europaeis et Afia- ticis certe congeneres , et ex antiquo in nouum or- bem olim migraffe credendos, in ftupendam ex- crefcere molem certo conftet. Nnn 2 Cre- A6$ DE OSSIBVS FOSSILIBVS Credo fic etiam climatis habendam effe ratio- nem in explicanda gigantea flatura eeruorum , quo- rum in 'Hybernia praefertim effoffa miramur cum vaftiffumdis cornibus bipedalia crania. ^ Quamquam enim aliqua ex illis alcium et tarandorum fuiffe concedam , imo affirmem ; vidi tamen et ab aucto- ribus nonnullis memorantur reliquiae , quae ad gi- ganteam quandam , hodie nullibi reperiundam cerui vel fpeciem vel varietatem pertinuerunt; idque prae- fertim de eo affirmare aufim cranio, cuius meminit TH. MOLYNEUX (2). id S S SS SEXXXLEXXLCXXX-- Supereft animalium exoticorum calidi climatis in Sibiria olim viuentium tertium monumentum , nempe cornu fofüle Gazellae recicornis (x), quam: hodie (v) De cornibus ceruinis maximis in Hybernia frequenter. effoffi euolue "Tn. MovixEux naf. hif. of Ireland p. 157. vbi cranium praefertim defcribit 2". longitudine , cuius cornua in latitudinem Io. 1o. fpargebantur , ramis lateralibus duobus inflructa et ex- tremitate latiffima , palmata. ^ Conf. etiam "Tr. Kuowrrow in Zi; ugli. vol 44. p. 124. tab. i. et I. Horxius Af. "Ingl. n. 472. p. 257. Quae autem defcribit Iac. Kerrv ib. m. 394. p. 122. vera Alces cornua funt, et Rhangiferorum quoque cornua in Hybernia reperiri monet Cn. Mon TiMER id. n. 444. E- 389. Quae vero Morvwtux obferuauit ob cranii magnitudi- nem, ad Rhangiferum referri nequeunt. (x) Volo Antilopen bezoarticam Spicil. Zoolog. Fufcir. f. p. 14. quae eft Capra Gazella LiNNAE:, et Pafan Bvrroxu, [n hu- ius "4 RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 469 hodie fola , quantum fcimus , Africa alit, quaeque Thi, poflerioribus curis, nomen Orygis antiquo- tüm , ad aliam olim Gazcellae Afrae fpeciem a me relatum , merere videtur. | Conuenit enim M huic, quod de jio contrario Orygis PLINIVS refert; cu- iusmodi miram velleris conftitutionem in nulla huc vsque animalium fpecie, praeter Gazellam iítam et Zebram africanam obferuare potui. Conuenit etiam quod de cornibus Orygis, apud nonnullos Africae popu - los haftarum loco vfitatis prodiderunt AGATHARCHI- DES, STRABO, et LAMPRIDIVS. — Cornu iftius fofülis re&i(fimi , 27/7. 6"^ longi et valde corrupti figuram ideo adponere non placuit , quia nullo mo- do a vulgaribus huius fpeciei , plerumque item re- &iffümis cornibus , in curioforum mufeis paffüm oc- Nnn 3 curren- ius nuper pelle eleganter feruata , miram illam obferuaui pilo- rum difpofiionem. — Nempe in lumbis vorfex eft pilorum , proxime ante maculam quandam rhombeam nigram , quae caudae bafin ftipat ; ab hoc vortice per fpinam longitudinaliter pilus antrorfum tendit , vsque ad verticem capitis , a media ve- ro fpina vtrínque transuerfim defluit , verfus abdomen et impri- mis hypochondria fenfim refluus, ita vt pilis ab inguine ad- fcendentibus occurrens in imo vtrinque hypochondrio alium efficiat infignem vorticem. Idem fere notatur in Zebra africana, fed minore gradu , etenim vortex lumbaris longius a cauda re- motus eft , neque reflui per latera pili vorticem in hypochon- driis conftituunt , fed verfus aluum aequaliter deorfum tendunt, fecundum directionem fafciarum. — Singulari autem modo vtrin- que ad fpinam vndulati huic fant pili , maxime verfus iubam- "Tab. X. Fig. 5. 40 DE OSSIBVS FOSSILIBVS currentibus differunt , horumque optimas icones pro- pofuit ill. BVFFONIVS (y). | Nolui autem hac occafione praeterire aliud Gaze//;e cuiusdam Indicae, quae apud Zoologos plane non occurrit, cornu fin- gulare , generali quidem forma prioris cornibus per- fimle, gracilitate vero, annulorumque conuexitate ac glabritie diuerfiffmum , cuius ideo iconem in Tabula X. adiiciendam curaui. Hoc itaque corzu longiffima quae viderim Ga- zellae prioris cornua proceritate fuperat , etfi longe tenuius fit, maxime ad bafin. Quum nempe vul- garia Gazellarum cornua tantum 25 ad 3o polli- cum longitudine , circumferentia vero ad bafin 5/^ plus minus vulgo inueniantur , noftrum contra in longitudine 53 proxime fpollicum , circumferentia ad baün feu crafftie vix 3/7. 7/// explet. ^ Deinde non, vt vulgaria , rugis acutis, inaequalibus, pofti- ce veluti furfum terfis annulofum eft; fed «nmulis aequalibus, conuexis , diftin&is, 35^ circiter latis, fübarticulatum , quorum inferiores paulo latiores, füummi fenfim obfíoletiores funt , vt tandem vltimus feu quadragefimus verfüs extremitatem cornu laeuif- fimam prorfus euanefcat. Horum annulorum primus et vicefimus ad pofterius cornu noflri latus in duos. aequales annulos difcedit. ^ Inter fingulos annulos inferiores , apparet //ria gemina elcuata , obfoletiffi- ? "Ind. (y) Bvrrox. Aiff. nat. XII. t. 23. f. 5. -^ RHINOCEROTVM ET. BVFFALORVM. 471 mà. | Notandum quoque eít non omnino rectum - effe cornu illud, fed ver(us extremitatem leuiffume faleatum ; fubflantiam autem effe nigerrimam , et extus glabram, quamuis nulla certi(ime arte polita. Apparet ex his cornu noftrum etiam ab iis differ- re, quae lll. BVFFONIVS tabulae fupra citatae fig. 1. et 2, tamquam. diuerfa a vulgaribus, expreffit. Expofita iam funt, quae huic commentationi anfam dederunt. Antequam vero coronidem fcripto imponam , liceat ditiffimam offamentorum et dentium elepbantinorum foffilium íeriem , qua mufeum noftrum exterorum vniuerfa cimelia longe fuperat , breuiter exponcre. | Loca vbi ifla omnia-reperta fuerint pro- - dere neque poffüm , neque noftra intereft. « Sufficit noffe, non tantum ad omnia fere Imperii Ruffici maiora flumina aliquando lectas fuiffe elephantorum reliquias , et Tanaim , Volgam , Iaikum , Dvinam; Obyim , cum Tobolio, Tom et Irtifch fl. neque non. vlterioris Sibiriae lenifeam , Angaram , Chatans gam, Lenam , Indigirkam , Kolymam ;. imo verfus extrcmum orieutcm. etfufum quoque Anadyr fluuium, ripis fuas lambendo atque cauando gigantea paffim detexiffe fceleta ;; fed. paffim etiam in locis ab omni fluento remotis , occafione 'puteorum aut fündamen- torum pro aedificiis , complura paffim eruta fuiffe, magno teflimouio totam banc telluris partcm | inpu- meris elephantorum reliquiis fcatcre, — Reperiuntur offa illa vsque ad ipía oceani" glacialis. littora, et ibi 442 DE OSSIBVS FOSSILIBVS ibi praefertim integerrimum et ab omni corruptione feruatum eruitur Ebur , quod alibi vel calcinatum , exefum , et in lamellas cretaceas refolutum , vel faltem tinctura terrae flaueícente , caítanea , imo li- vido-coerulefcente inquinatum offendunt. Habemus in Mnufeo rria integra elephantorum fofhlia eramiz , quorum et aliquot dentes fimul ad- lati, et vnius maxilla adfunt, praeter fex alias, quarum crania non habentur, maxillás. — E craniis vnum permagui elephantis fuit; quippe quod parcis- fimo modulo, ab tipp? incifüra media ! ad al- veolorum. marginem 3/. 5/7. 6"^ aequare inueni , quum in maximis Petropolin olim adductorum cra- nium vix 2/.10// excedat. ^ Alueolorum fingulo- rum roftri diameter in .eodem cranio eft 5^. 10^ et ebur vnius lateris, quod in Mufeo fi- mul adeft, in longitudinem curuatur . 87. 11^ folidiftüumum ^ atque ex albo flauicantis . coloris. Repertum fuit hocce cranium in arenofo, montis cliuo, ad ripam orientalem Indigirkae fluuii prae- ruptam, ex aduerío ripae quam Szramoi - jabr wo- cant, et ab accuratifimo MESSERSCHMIDIO olim Petropolin miffüm. Plura ibi fimul fceleti offa oc- currebant , quorum et aliqua fimul aduecta funt; praefertim | femur , quod inter. cuncta Mufei noftri foffilia offa eminet , et longitudinem , quamuis carie temporis abfümto capite , 2 pollicum . excedit ; p us humerum finifürum 2^. 11^. 6^^ longum. Alierum RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 4573 Altbrum ex ifüs cranis, curante item MESSER- SCH uIDIO Petropol.n delatum , haud infolitae: mo- Ls etl, ec cum plerisque fceleti oflious, coflis etiam, fcapuls et verteoris , e ripa Lenae fluuii , non lon- ge. ab eius;em oliio effoffumn fuerat. ^ Vnde fertum erütum fit , non fatis conftat, .— Longum «effet innumeros Muféi noftri dentes fülfiles eburneos variae mols atque curuaturae , fe- cundum figurae et magnitudinis fingula momenta profequi. Dextri partim funt, partim finiftri late- ris; Quidam , praeter colorem, quem flauum ,. fer- rugineum , füícumue contraxerunt , ebori recenti foliditate fimil:zs; alii vel tota fubftantia , vel aliqua fui parte calcinati funt, vt pulchre appareat lamel- lofa, et fimul a centro radiaiim fibroía eboris tex- tura, . Duos folummodo ex his adtingam , quorum alter ob infignem molem. notabilis ; O&opedalis fere, quanquam alueolari portione atque mucrone orbatus, circumferentia explet ad bafin 1^. 7/7. 6^ et in me- dio 1/.3/. Alter Archangelopoli in Mufcum mif- füs. et folidiffimus non modo pro infigni longitudine gracillimus ett i ongit. 4/.10^ circumferentia in medio maiore 9^. ad alueolum "7. 3/7^), fed etiam miro modo in fixam fpiram veluti manibus tortus , accedit ad dentem elephantinum recentem a. GRE- WIO (muf. rezal iociet tab. 4.) delineatum. . Prüetereo plerimos zolares elephantinos vario tempore e Sibiria aduectos. ^ Inoumera praet reo Tom. X111. Nou. Comm. Ooo con- 474 DE OSSIBVS FOSSILIBVS coafracorum offium fragmenta. . Integros vero biu 1212r0$ Octo habemus , v/mes quatuor , fcapulas fractas tres ofa , pelur duo, femora integra quinque; fed vertebrae tantum binas fofhles. — Haec omnia, vna cum craniis , aliquam quidem intra terram füperfi- cietenus calcinationem paffa funt , et linguae acriter adhaerefcunt , offeum tamen etiamnum raía odorem, imo quaedam paílhm et nitorem feruarunt ; colorem vero plane fordidum , füícum vel buxceum , ocreo- limofüm , acquifiuerunt. Ex enumeratis offibus (quae ad elephantos pertinere dudum ,' ante D' AUBENTONUM , cui hoc tribuit BVFFONIVS , accurata eorum fecun- dum figuram et proportionem , cum fceleto ele- phantino recenti comparatione demonftrarunt e nmo- firis Celeberrimi Viri MESSERSCHMIDIVS, DV- VERNOY, GMELINVS ,) egregie confirmatur D'AUBENTONI obferuatio circa incrementum os- fium in iunioribus animalibus maxime in longitudi- nem , poft adultam "vero aetatem magis in craffi- tiem luxuriantium. Didici etiam e numerofis Mu- fei noflri craniis et maxillis. elephantins, varieta- tem aliquam in fitu dentium exfertorum obferuabi- lem, quorum alueoli modo tota longitudine paralle- li et arcte contigui funt, modo leuiter diuergunt , vel tandem paralleli inter fe diftant, fpatio faepe quatuor aut quiuque vnciarum ; et tunc interiecto pariete offeo et cellulofitate coadunantur. — Demum ex RHINOCEROTVM ET BVFFALORVM. 45$ —ex iisdem craniis et maxilis appàáruit vera. dentium molarium conditio , quos modo folitarios , modo geminos elephanto tribuerunt auctores, in vtroque veraces. — Iuniores enim elephanti molares quidem extus in qualibet maxilla habent vtrinque folitarios, oblonga atque detrita corona prominentes ; verum adfunt fimul intra cauernas maxillarum , in imis faucibus repoftas, latentia fingula germina. ^ Eaque fucceffu temporis excrefcunt , e cellulis fuis oblique antrorfüum prorumpunt , antiquorum dentium faciem pofticam planam trudunt , eosdemque loco fuo fen- fim depellunt , vt hi tandem toti extra fenfim ob- folefcentes alueolos affurgant et denique fponte exci- dant. | Tunc iam anteriore füi parte , quae latior eft et prominentior, exíürgunt noui illi molares, atque manducatione conuexum primo eorum iusum du planitiem fenfim adteritur ; crefcunt dein praefer- tim fecundum diametrum longiorem , dumque ex antiqua fede antrorfüm veluti progerminant et pro- truduntur , priorüm molarium alueolos , quaeque horum fuperfünt veftigia , comprimunt, obruunt et oblitterant ; acquifitaque demum per totam long;tu- dinem area molari plana, oblonga, in íeram ani- malis aetatem perfiftunt. ^ Omnes fere huius incre- menti gradus in Mufeo noftro demon(trari poffünt , vbi fimul apparet conftans haec, inter molares pri- máe aetatis et füccedentres illos, diftin&io ,^ quod priores non folum multo minus in longitudinem exporrecti fint, fed et complures habeant radices Ooo 2 coni- -4]6 "DE OSSIBVS FOSSILIBVS couicas ; cum. fecundarii contra toto corpore in lon- gitudinalem, carinam et veluti cuncum |. coarctentur , quo alusolo füo inhaerent; vnde extra alueolos etiam figura tota facillime diftinguuntur. Quum fupra probabiliorem effe dixerim fen- tentiam illorum , qui elephantos | olim. in Sibiria multiplicaffe ftatuunt , ne huic opinioni foli fauiffe dicar, pro coronide adiiciam obferuationem primo 1ll. TATiSTSCHEV , qui maxillam elephantinam, vni. cum monitis et Belemnitir , prope pagura Woldina repertam in Mufceo noftro depofuit; aliam- que STELLERI, qui reliquias elephantinas , et fi- mul Ichthyodontes feu vulgo dicas G/ofopetras in Tura fluuio reperta memorat. Nonne haec autem iis feruiunt , qui omaia diluuio tribuere ament. Sed quis non potius credat petrefacta illa marinorum corporum , in verum lapidem mutata, offibus ele- phautinis , quibuscum reperta funt, quorum tamen natura altcrata non eít, longe antiquiora effe, at- que tum iam iis in locis fparía iacuiffe , vbi matus forie et educatus occubuit tandem elephas. ^ Quic- quid fit, non difputo, neque vllam hypothefin te- naciter. defendo. Qui vero omnia explicare amant , quantum lubet hypothefibus indulgeant , atque ante omnia explicent , quanam ratione axi/la Rosmari a IOSEPHO MONTI obferuata in agrum Bonien- fem , cornua monodontis feu Mon:ccerotis marini in mediam paífim Sibiriam , immenfa vis coralliorum exoti- DE OSSIB. FOSSIL. RHINOCER. ET etc.: 474 eXoticorum et magua pro parte incognitorum in "Gothlandiam eique vicinos maris balthici tractus , aut in moatem S. Petri prope Traietum ad Mo- fam , itemque conchylia marina indica in elatas mediterraneas regiones , et in montes fub ipía ar&o mari glaciali vicinos, inter Piafidam et lenifeam fluuios, vbi ifta corpora hodie petrefa&a reperiun- tur , delata fuerint ? E: Ooo 3 DE 478 eS )o(ide DE FORMATIONE INTESTINORVM OBSERVATIONES IN OVIS INCVBATIS INSTITVTAE. P uwrns LE Phaenomena amnii fpurii interna, vbi fimul de formatione Mefenterii, Thoracis , Abdo- minis, Alarumque et Pedum agitur. Auctore Ur d OL EG $. 119. pom canalis inteftinorum in Differtationi- bus, praecedenti Commentariorum Tomo in- fertis , ita comparatum effe dixi, vt fit tubus fim- plex , re&ilineus, anterius apertus , cuius membra- nae, vtrinque reflexae, continuarent in amnium fpurium , quod amnium verum , ex embryonis ab- domine continuatum , aeque ac embryonem ipfum, includit. —Inteftina igitur exterius in amnio fpurio integro in confpe&um veniunt , adeo tamen, vt fo- la.eorum fuüperficies interna íet cauitas füb fpecie - qui- DE FORMATIONE INTESTINORVM. 479 quidem foueae cardiacac , rimae et foueolae inferioris appareat. — Si igitur exteroam confiderare velis fu- perficieen , quo ex habitu, figura et connexione in- teílina cognofcantur; amnium fípurium aperiendum eft. -Phaenomena igitur , quae intra hoc apparent , quae interna appello , huíus Differtationis obiectum conflituent. "Vt, quantum fieri poteft, breui(fime ad demonítrationem eorum perueniam , quae in fu- perioribus differtationibus adfirmaui ; foueam cardia- cam ventriculi cauitatem , rimam inteftini medii et foueolam inferiorem inteftini recti cauitatem efle ; primum exponam fübiectum III. dies duodecimque horas incubatum , quod autem non minus in omni- bus fuis: partibus perfecum eít, quam embryones effe folent IV. dies incubati. Hac enim aetate intefli- na adhuc in illo ftatu primordiali funt , et ita ta- men fimul comparata funt, vt pro inteftinis facile agnofcantur. ln embryonibus aetate füperioribus fta- tus ile et phaenomena iam euanefcunt; in inferio- bus inteftinorum primordia, nifi ex. perfectioribus fubiectis iam nota fuerint, vix cognofcuntur. reet n b Embryo $. 120. In embryonibus igitur, quatuor dies incu- jj 5. batis , vel in fub:e&o praefenti (Tab. X1lI. Fig. r. 2.) , rum. Lim- perfe&ione illis aequali , fi membrana areae inferior bus et (Gg. 1. r) quae bullam (fig. x. a. &. c.) producit , ES a füperiori membrana (fig. r. r.) foluitur et ad an- pj. ^ tcriorem partem embryonis refle&itur , quo ipío fci- dium vm- licet fa&o bulla defiruitur, amnium verum in con- bilici. fpectum a EMT ig.2.8. i. 480, DE FORMATIONE fpectum venit (fig. 2. &. &:) quod , nifi laefüm eft, fübtiliflimae veficu'ae inftar expaníum et pellucidifli- mo humore repletum apparct, in praefenti cro fubie&o collaptum crat. Primum , quod hic notabi- ls occurrit ,. limbus abdominis eft, (fig. 2. i. i. i.) eX quo amnium verum continuatur, cuiusque in fuperiuribus mentiorem iam feci. lle a regione pubis antzrius inc p't, inde retrorfum vtrinque recta procedit ad paruam a fpina doríali diftantiam vsque. (jum incipit adíccndere parallelus fpinze dotíali , quacum f:íciam fcu. laminam intcrcipit abdominis lateralem (H. H.) fatis anguftam achuc, quae vix quartam partem exhibet abdominis perfe&i et inte- £ri. — Ad regionem .cardiacam vel paulo fuper hanc regionem - limbus antrorfüm curuatur et cum limbo alterius lateris coniungitur. - Limbus ifle oram con- füituit cauitatis totius, quae abdomen, peluim et thoracem comple&itur, quae fatis longa et lata , fed minus profunda eít propter anguftiam laminae late- ralis abdominis (H. H.) ^ Apertura huius cauitatis , quae non minor eft, quam cauitas ipfi in fuo am- bitu, primordium eft vmobilii; ea enim, prout parietes cauitatis , praecipue lamina (H. H.), incre- fcunt, imminuitmr ct con(ringitur ; donec vltimum paruum inde orificium pro largiffimo facco abdomi- nis euadit , quod auibus pro vmbilico eft — Hoc tempore de toto facco abdominali fola regio lumba- ris, quam limina (H. H.) exhibet , et aliqua pars regionis hypochondriacae vtrinque adcít. 6. x2r. INTESTINORVM. 4.81 $. 121. Ex ipfo hoc limbo membrana amnii weri coatinuatur, íed aliter , quam in quadrupedi- bus hoc fieri folet. — In his enim abdominis cutis ad regionem vmbilicalem in longum funiculum vmbilicalem producitur , qui vafà vmbilicalia conti- net, et ex eius füniculi fine demum membrana re- flexa amnium conítituere iucipit. — In auibus nullus vnquam füniculus exi(tit ; femper mera eft apertura abdominis loco vmbilici , maior priori tempore , deinde anguftior, et ex huius aperturae limbo mem- brana orta cóntinuo retrorfum flectitur et amnium verum confítituit , quo ergo caput, dorfum, cauda et tubercula alarum pedumque teguntur. Loco ven- tris magna, quam dixi , apertura eft, quam ergo ton modo abdominis fed fimul ipfius amnii veri quoque aperturam effe , facile intelligitur. $. 122. Ante hunc limbum abdominis mem- brana apparet, ex inteftinis continuata , reíecta in lac figura ad aliquam vsque partem (7.) quae fur- füm et retrorfüm reflexa in ftatu naturali amnium ípurium producebat (fig. r. a. b. c), quae etiam nunc in hoc praeparato , vbi reflexa in fitum natu- ralem reftituitur, eadem rurfum phaenomera, fo- veam cardiacam , rimam foueolamque inferiorem of- fert. (fig. r. f. N.) Idem quoque limbus intefti- palis in hac interiori membranae bulle fuperficie apparet (fig. 2. k. k.) quo exterius in bulla integra fouea et rima cingebantur (fig. 1r. &) adeo, vt fa- Tom. XIII. Nou. Comm. Ppp cile Amnium verum Fig. 2. b. b. b. Rimam, exterius in amnio fpu- rio appa- rentem, cauitatem inteflini medii ; fu- tu'am ipfum mar- ginem in- teftini me- fenteri- cum ; fo- veolam in- feriorem cauitatem geQi effe, eftenditur. Fig. 2. et S. 482 DE FORMATIONE cile fit easdem membranae huius partes , quas ex- terius in bulla integra vidimus, interius quoque, in huius membranae fuperficie interna recognofcere. Quodfi nunc examinare velis, quaenam partes fint, quae retro lmbum inteftinalem | fequuntur , quae exterius in bulla integra foueam cardiacam , . rimam et foueolam inferiorem conftituebant , quas cauita- tem inteflinorum effe dixeram. ; nihil opus eft, quam vt limbum abdominis, vna cum «eo, quod de abdomine et de. thorace adeft , fimulque pedem et alam remoueas , quo hae membranae partes, tum quatenus extra abdominis cauitatem eminent, tum quatenus intus reconduntur , plenius in conípectum veniant , quo. fado hae partes ita apparent ,, quem- admodum in figura 5. delineatae funt, vbi vides ,. immediate poft limbum: inteflinalem inteftinum ipfum fequi , adeo vt, fi nunc merbrana (7.) in prillinum fitum naturalem reflectitur ,. ita quidem ,. vt limbus ipfe vna cum membrana reuoluatur , quemadmodum in fitu naturali fe habet , manifefto appareat, labium: marginis rimae exterius (fig. r. e.) a limbo ; inte- riu5 a parte inteftini (fig. 3. M. z.) anteriori for- mari; rimae cauitatem reliquam effe ipfius inteflini cauitatem , et formari a media pofteriori parte in- teflini (fig. 5. M. z.); futuram autem , fiue fun- dum rimae effe poftremum inteftini marginem, quo laminae vtriusque lateris cohaerere ct mefenterium confüituere incipiunt. Saepius et variis in fubiectis hoc experimentum infütui ; neque aliter , quam .vti dixl , INTESTINORVM. 485 dixi , fe rem hibere, inuenire potui. Dum in tali praeparato , quod figura 3 exhibet , membrana (rm.) autrorfum reflexa eft, ventriculum vides (7.) inre- fünum medium (z. M.) et re&um (f. 4.) ; vbi hanc membranam renoluis, vti eft in fitu naturali ; in lo- co inteftini medii rimam vides priflinam , in amnio fpurio integro vifam , fuperius in loco pylori fere, ex quo duodenum. defcendit , fouea «nunc cardiaca apparet , et inferius loco principii inteftini recti fo- veola eft. Cae:erum de figura , quam confideramus fecunda notandum e(t, videri , quafi limbus intefti- . nalis (k. k) in parte media ab omni retro continua- tione liber effet et feparatus a partibus , quae itidem extra abdomen eminent, (7) quae partes cleuatio- res ipfius inteftini medii func. — Hoc inde euenit, quod inteftinum. medium, maxime in parte fua me- dia valde depreffüum fitum , et verfüs latus embryo- nis dextrum . inclinatum ef[. Dum modo autem membrana (5) antrorfüm paulisper trahitur, wt inteftinum plicatum extendatur, totum inteftinum .a parte fuprema (o.) vsque ad rectum (p.) tanquam vnum cum limbo continuum, quemadmodum in fi- gura 3 apparet (fig. 3. 0. m. p), in confpectum venit. Malui tamen phaenomena , vti fponte appa- rent, et partes maxime in fuo fitu naturali delinea- re. Licet enim ruditer fatis: meas delineationes Ículptor reddiderit, accurate tamen reddidit vt ex- plicationi phaenomenorum et defcriptioni fufficiant , neque quidquam veritati detrahant. ^ Caeterum inte- | Pipe ftinum Scholium de fitu cor- ' dis in hu- ius aetatis embryo- nibus. Fig. 1. 2.5. 484. DE FORMATIONE finum medium accuratius, quomodo fe habeat in huius aetatis embryonibus ad $. 126. et inteftinum recum ad $. rs37. definietur ; fouea autem cardiaca quod cauitas fit ventriculi certo tempore in expli- catione embryonis trium dierum ad $. 146. demon- firabitur. 6. 125. Caeterum inteftinum hoc medium ex- tra abdomen non modo íéd «ctiam extra amnium prominere totum , fatis manifeftum eft et ex fola confideratione figurae patet. ^ Quod cor autem atti- net , non negauerim, hoc tecum effe in huius qui- dem aetatis embryonibus. Apparet interim in figu- ra I. Vbi partes omnes in fitu naturali , et embryo totus valde compreffus per membranam bullae , qua includuntur, transparent , limbum abdominis , eun- demque amnii veri limbum (C.) accurate tangere marginem inferiorem auriculae finiftrae (k.). Quod- fi ergo cor hoc tempore ita fitum eft vt ventriculo fuo re&a deorfum et potius paulum retrorfum (in figura 3 enim fpina doríalis extenfa eft) fpcétet , neceffe eft, vt totus ventriculus cum canale auricu- lari (fig. 3. a4. 5.) extra thoracem , abdomen et amnium verum promineat, et in üinterfütio illo (fig. 1. 7m.) inter amnium verum et fípurium fitus fit, tecus in hac figura a parte fuperiori transpa- rente inteftini (fig. zr. 7. In figura e vbi embryo amnio fpurio exutus, erectus eft, auricula (g.) vna cum corde fuürfüm íe retraxit. — Verum cum tamen thoracis primordium hac aetate adfit , quod auricu- las INT ESTINOR V M. 485 las anterius et ateraliter tegit, et ad eorundem - marginem inferiorem in amaium verum . refle&itur ; hoc (íüfficit , vt aliquatenus. cor thorace tecum eff2 hac aetate dici pofüt. In iunioribus autem em- bryonibus aliter comparatum eft; quemadmodum in inferioribus patebit. $. 124. Dete&is autem viíceribis ad modum Tab. XIII. fig. 3. in füprema et anteriori regione thoracis cor Ma fe offert , adeo fitum , vt apice fuo obtufo deorfum, go pi. n: bafi fürfüm refpiciat. ^ ln eo in hoc latere finiftro Cora? ca. ventriculus. finifter (a.) auricula finiftra (c.) et ar- cus aortae (d.) apparent. ^ Ventriculi finifltti. pars inferior dilatata et rotunda, fuperior (5.) verfus au- riculam anguftior eft, quam partem Perill. Hallerus primus, ni fallor, diftinxit et canalem auricularem merito vocauit. .Auricula finiftra , dextra maior, collapfa et corrugata tenuibus plicis fere circularibus apparet, et ia media fui parte fere femper guttam fanguinis coagulatam , per tenuem auriculae mem- branam transparentem fouet. ^ Aortae principium in hoc latere non apparet; emergit in latere dextro cordis; inde antrorfüm adícendit et retrorfum porro curuatur , arcumque producit deícendendo. — Retro auriculam finiflram appendix quafi apparet (e.) vtri- vsque auriculae , ex qua vena caua defcendit , quae collapfa plicas itidem producit varias. ^Vena caua fe in hepar immergit , cu'us lobus finifter ( f.) in hoc Hepar( latere apparet, anguftus, veutriculo et duodeno in- "PpPp.3 cum- 486 DE FORMATIONE Ren (7.5) cumbens. Miram figuram renes habent, qui proxi- me ad fpimam doríalem .vtrinque fiti funt , eius- que ductum íequuntur. ^ Lincares fere funt et lon- giffhmi ; incipiunt in regione thoracis retro. pulmo- nes et defícendunt ad infimam inteflini recti | extre- mitatem vsque, cui vtrinque inferuntur. ^ lNeque . vretheres diflinguuntur neque in parte fuperiori va- Ventricu- j qut lus Fig. 3. I z et Duodenum nu. forum .conglomeratorum quid. fimile obíeruatur , fed toti reni vniformis , eaque aliena a folita , ftrucura €ft, lamellata fcilicet , lamellis transuerfaliter pofitis diftin&is et vere feparatis , quae praefertim. in ante- riori füperficie diflin&e euolui poffunt, in. parte po- fleriori vero quafi füni cuidam affüguntur. . Poft diem feptimum denique et ocauum ex his lamellis £lomeres vaforum complicatorum euadunt. ! 6. r25. Inter renem et hepatis lobum ventri- culus fitus eft, qui ex. loco, connexione aliisque fignis non agnofci non poteft (fig. 5. I. 7.). Ille €x oefophago ortus.recta defcendit in duodenum (;. /J, quod retro membranae. partem (0.) porro in intefti- num mcdium (m.) tranfit. | Adeoque hac aetate ventriculus ipfe non apertus , fed integer iam eft et quod (fig. 1.) adhuc fupereft foueae cardiacae. vefli- gium nou immediate in ventriculum íed.in | duode- ium et iode in ventriculum ducit, huiusque igi- tur duodeni cauitas eft. ^ Tertio autem die finito, quo tempore fouea cardiaca in fuo flatu perfectionis cí, eadem ipfius ventriculi cauitas eft, vti ad 6. 146. , IN TESTI N^O R*V-M.^ 487 6. 146. videbimus. Quae füb ventriculo et duode- no fequitur membranae pars (0o.) ea eft, in qua ve- nae adícendentis , idemque vitellariae vtriusque trun- eus haeret , qui fi fanguine depletus eft; vti hic contigit , quafi limbis vtrinque cinctus et tenuiori membrana factus effe videtur. ^ Ad inteftinum ta- men pertinet, idemque füpplet in hac facie laterali finiftra. dnt | $. 126. A duodeno (A) inteftinum medium incipit et defcendit vsque ad rectum (f.). Hoc me- dium comprehendit in fe rudimentum totius intefti- norum tractus, qui in adulto corpore duodeno et principio recti , vbi caeca oriuntur, intereft. — Effi- citut , quemadmodum $. 120. iam dixi , a mem- brana partium bullae lateralium , eaque eius parte, qua rima formatur , vtpote quae ipía inteftini me- dii cauitas cft. . Vidi in aliis fub'ectis , non totum inteftinum intra rimam reconditum fuiffe , fed eius partem: tantum pofteriorem , minorem ; anteriorem, eamque maiorem partem reuolutam füiffe et contri- buiffe ad formandum limbum , qui exterius in bulla integra apparet (fig. 1. e). Vidi inteftinum eo vs. que reuolutum , vt totum dicas inteftinum medium inuerfum fuiffe., Tum.rima eo anguftior eft et mi- nus profunda , et limbus eo latior. Quo autem ri- ma profundior eff, eo quoque limbus femper angu- ftior , eoque pars minor de inteftino reuoluta eft, quod facile intelligitur. In ipfo quoque hoc fübiecto aliqua omnino pars de inteftino reuoluta eft. Quan- | tum Ynteftinum medium quomodo in huius aetatis em- bryonibus comparas tum fit accuratius defcribitur (I. m. M. p.) Inteftinum rectum quomodo fit compa- ratum in embryoni- bus 4 die- rum accu- ratius ex- ponitur. Fig. 3. p. 4. 488 DE FORMATIONE: tum enim limbus (fig. r. e.) latior eft limbo (fig. 5. k), tantum illi de inteftino acceíhit. —— Confiftit igitur inteftinum medium totum in duabus laminis, in marginibus füis pofterioribus coniunctis et in me- fenterium. continuatis , marginibus autem antcriori- bus feparatis reuolutis et in bullae partes laterales continuatis. $. 127. Inteftinum rectum (fig. 5. p. 4.) in- tegrum eft, infundibuliforme ,. vtrinque complana- tum. Incipit fuperius hiatu furfum oblique et an- trorfüum fpectante ; inde curuatum retrorfum deor- fum in cylindricam partem verfüs anum excurrit. - Eius laterales partes planiores (f.) continuationes funt laminarum (M) ex quibus inteftinum | medium conftat ^ Hiatus limbo cingitur, a limbo inteftini medii deriuato. ^ Pars anterior immediate €x ea membranae bullae parte continuatur , quae inuolu- crum caudae conftituit. — Margo pofterior eft conti- nuatio futurae inteftini medii , quae in hoc quidem inteftino exterius in amnio fpurio integro obferua- tur, in inteftino recto vero apparet , dum anterior ejus pars fe&ione longitudinali aperitur, quod. non difficile experimentum aliquoties inftitui. Hiatus in- teftini recti in praeparato huius figurae patet , dum membrana (k£&.) in fitum naturalem refle&itur , et eft ipía foueola iuferior (fig. 1. N.). Margo nempe hiatus limbo cinctus ora eft.foueolie; cauitas intefti- ni reci pro eadem foueolie. cauitate facillime et manifefto recognofcitur. Atque hic quoque idem , quod (0 INWES T N-Q; R;VrM. 4.89 quod de inteflino medio notaui , obtinet; non to- tüm inte(tinum rectum intra foueolam recoaditum effe , . fed partem eius fuperiorem (fig. 3. f.) quae prope oram eft, reuolui in fiu naturili vna cum membrana (k.) et contribuere multum ad augendum foueolae limbum (ág. rz. N.) $. 128. In dextro latere. remotis membranis et partibus thoracis abdominisque lateralibus. vna cum ala et pede, vifiera liuius conditionis in confpectum veniunt. — In fuprema et anteriori thoracis regione cor apparet, eiusque quidem ventriculus fini(ter maior, minor dexter , arcus aortae ct auricula dex- tra. —Ventriculus finifter (ag.) dextro longe maicr, neque ideo tectus ab hoc, figurae globoíae eft, cum in latere finiftro ob canalem auricularem , in quem ille'abit , oblongior effe videretur.. In eius dextra fuperficie paulo fuperius ventriculus dexter fub fpe- cie protuberantiae ei adhaeret (£.) qui fire femiglo- bofam figuram habet, tamen verfus aortam paulo longior excurrit. ^ Ex hoc aortae arcus (ve.) adeo oriri videtur, vt non mirum fit, fi Malpigbius hoc phaenomenon pro veritate accepit ,. quem JMalpigbii errorem Perill. Ha//erus correxit. Retro arcum aor- tae auricula dextra fita eft. — Haec vti finiflra faepe fanguine diftenta , faepe tamen collapía inuenitur , foletque figura effe fere rotunda et fuperfcie gaude- re leuiter conuexa, margineque anteriori crenato incumbere ventriculo dextro ct aortae, ^ Pone hanc "Tom. XIII. Nou. Comm. Qaqq pulmo Vifcera ín latere dcx- tro: Fig. 4. Ventrieult * cordis (a.5.) Aorta (c.) Auricula dextra ( d.) Pulmo te.) Hepar(//) Ren (g. g.) Arteria vi- tellaria TA Lamina in- teílini me- dii dextra (Fig. 4.4.4.) Embryo II dies incu- batus. Ei. 5. Caput cor. 490 DE FORMATIONE pulmo apparet (6); corpufculum oblongum fere cylindricum. — Tencrrima inter omnes partes fübftan- ta gaudent pulmones fere pellucida. ^ Inferior. pars mammillaris fubtiliffimae veficulae inftar primum in confpectum venire folet. Inter cor et pulmonem fub ipfa auricula hepatis lobus: dexter fitus eft (f. f.) oblongus curuatus fuperficie anteriori concaua , cui cor incumbit; a parte eius fuperiori vena caua reci- pitur. Ren (g.g.) confueta fua figura lineari iuxta fpina dorfalem decurrit , inm re&um inteftinum infe- ritur. — Sub ipío pulmone arteria vitellaria dextra prodit, defcendit, in membrana bullae continuat. Vena vitellaria ex trunco venofo communi (fig. 3. 0.) orta defcendit fimilique modo in membrana con- tinuat. 6. 120. Lamina inteftini medii dextra, ab extremitate inferiori duodeni (fig. 3. /) orta, a pri- mo hoc ortu in latere dextro apparet (7.) fub ipfo lobo hepatis dextro (/f.) inde aequali latitudine de- íÍcendit. — In hoc autem latere dextro nullo limbo anterius lamina inteftinabs a reliqua membrana bul- lae feparatur , diftinguitur autem ab eadem vti et a pofteriori micmbrariae parte, quae mefenterium con- flituit, maiori aliqua craffitie et opacitate. Intefti- num re&dum nulla alia phaenomena offert im hoc latere, quam quae in latere finittro iam obferua- ta funt. $. 150. Confideratis ha&enus inteftinorum pr:- moris qune fe habeant in embryonibus 1V. d.erum ; INTESTINORV:M. 491 dierum ; eadem primordia nunc rcpetenda funt ex primis , quantam fieri poteft, embryonibus, vt, vn- de haec quoque, quae hactenus vidimus , primordia füum ortum duxerint, patefcat. | Primum ina hunc finem inquiramus fíubie&um illud idem , quod in ptioribus differtationibus in figura 6. quoad exter- num habitum integrum ct amnio fpurio inclufum expofüi; nam in iunioribus nihil aliud de inteftinis intus deprehenditur , quam quod etiam in integra bulla fponte in conífpectum venit, ^ In hoc fubiecto igitur bullam aperui, vaginam capitis a parte em- bryonis fupracardiaca detraxi omnemque membranam bullae ad interiores fui limites prope limbum refe- cui, ipfamque, quae adeft de amnio vero, partem fupracardiacam remoui, vt nudus embryo remane- ret. Tum ifle apparuit ad modum figurae 5. In eo notari merentur fynciput (a.) ex lobis anteriori- bus cerebri compofitum , permagnum ; deinde occi- put (2.) et pone illud medullae oblongatae tubercu- la (c. 4.) quae partes füb fpecie quator vel quinque tubercdulorum in vnam feriem difpofitorum in pri- mis embryonibus XXIV. horarum , qui plane ere&i funt et proni cubant , iam obferuari folent. Deinde cor fingulari fitu fe offert , quod bafi retrorfüm et ea parte in qua apex poít haec oritur, antrorfüum reca refpicit. — In eo corde auricula finiftra (5.) maffulam fanguinis coagulati in fua cauitate habet ; figurae fere rotundae cft; tenuiffüma membranula conftat. ^ Inde canalis auricularis (Z.)breuis antror- Qqq2 fum Lamina ab- dominalis , primor- dium abdo- minis. Fg. 5. '492 DE FORMATIONE füm et paulo furfum producitur , qui magis dilata- tus in ventriculum finiftrum (&. ; vnum nempe eundemque canalem continuatum abit, tum ifte cur- vatur paulum deorfum et maxime fimul dextroríum; iterumque ad locum (4) retrorfüm et füríum cur- vatur et nunc ab ipío termino (7.) aorta effe incipit. 6. 151. In parte embryonis infracardiaca la- mina exterior (0.5.4. 5. z. 2. ) rudimentum abdomi- nis exhibet , quod autem magis multo diftare a per- fe&o abdomine, quam illud in fübie&o IV. dierum, (fig 2), facile patet. — Mera fiquidem lamina eft oblonga , angufta , leuiter concaua ; neque cum fac- co abdominis, qui largiori cauitate , anguftiori ori- ficio gaudet , vllam fimilitudinem habet. |n fub- iécto quatuor dierum ambitus cauitatis, nifi maior ambitu aperturae , aequalis faltem erat eidem, — In hoc embryone leuior concauitas laminae pro cauitate abdominis et 'peripheria laminae íeu margo loco aperturae cft. ^ Hacc caeterum peripheria limbo in- flructa eft tenuiffimo , qui limbo (fig. 2. i. i.) re- fpondet. Partes vtrinque laterales laminae (u.u.v. v.) referunt laminas (fig. 2. H. H.) quae regionem ab- dominis lumbarem conftituunt. — De tota regione epigaftrica , de vmbilicali , de toto hypogaftrio, de ipfa pelui nihil adeft. | Probe enim notandum eft, partes, quae in adulto corpore in poftremis locis abdominis reconduntur ,' renes, laminas mefenterii , et meforecti, in*hoc embryone nudas eminere ante oram INTESTINORVHM. 493 oram laminae abdominalis. ^ Laminae fcilicet inte- riores ( f. f. r. r.) laminas mefenterii repraefentant , quae renes fibi exterius applicatos habent, adeo vt ren a lamina mefaraica diftingui nequeat. Pars au- tem harum laminarum- infima: meforectum. exhibet. 'Quodü igitur nihil e(t, quod. meforectum aut locum futuri inteflini reci, neque coccygis rudimentum anterius tegit , peluim adeffé dici non poteft. — Ex marginibus lateralibus laminae abdominalis , (5. 7.) ex quibus in fübie&o quatuor dierum (fig. 2.) nec mi- nus in embryone trium dierum (fig. 6.) amnium verum - continuatur , quod' in praefenti fübiecto II dierum. in. tota regione infracardiaca deficit, mem- branula. continuatur tenuiffma , quae fe applicat ad membranam areae inferiorem , ex laminis (f. f. r. v.) continuatam , et tanquam huius membranae lamcella- fuperior feu exterior confideranda eft. 6: 152. Partes laminae abdominalis [aterales (u. u. 9. v.) fuperius ad regionem (p.42) wbi lamina magis, quam in parte inferiori concaua eft, angu- füiores euadunt et denique ia regione cardiaca ipía plane euanefcunt, adeo- vt margines laminae abio- minalis furfüm in immediatos fpinae dorfíalis: mar- gines anteriores (5.f.) tranfeant , valde- fibi propin- quos, et faciem fpinae anteriorem anguftifümam in- ter íe includentcs; pars enim fpinae dorfíalis ( f. d. e.) regionem eius thoracicam refert: — Ex his margini- bus fpinae doríalis anterioribus (7. f.) vtrinque mem- Q44 3 brana Quid loco thoracis fit? 'Tho- rax ipfe deficit, 494 DE FORMATIONE brana amnii veri oritur fupracardiaci , quae, dum oritur , ilico retroríum reflectitur circa fpinam tho- racicam , eiusque vaginam , ipfi fpinae conformem, cylindricam , conftituit. Membranae autem amnii veri fuperior pars, quae caput inuoluit , ex proces- fibus (g.f.) oritur et actutum inde circa fynciput (a.) refle&itur et íüper occiput porro in partem amnii dorfalem continuat. ^ Ammnium hoc füpracar- diacum , angufta capitis et fpinae dorfalis thoracicae vagina eft, quae in dorfo ad regionem cardiacam terminatur plica femilunari. ^ Ex quibus nunc facile patet , nullas hoc tempore thoracis partes laterales, quae in adulto a coflis efficiuntur neque partem eius anteriorem , quae a fterno formatur, generatim nul- lum thoracem adeffe. ^ Nimirum in foctu , prope- diem in lucem prodituro, amnium oritur ex aper- tura vmbilicali abdominis et continuatur ex cute, quae prius pectoris fiüciem anteriorem , deinde abdo- minis regionem epigaítricam . et vmbilicalem deni- que, obduxerat. In quadrupedibus quidem cutis , ex apertura continuata , in longam prius füniculi vmbilicalis vaginam , attenuata , producitur , et tum demum in amnium abit. — In auibus vero imme- diate ex apertura vmbilicali in amnium cutis refle- &itur. In auibus igitur in ipfa apertura vmbilicali, vbi cutis in amnium reflectitur , finis abdominis fi- mulque principium amnii ponendum eft | Nunc in embryone IV. dierum (fig. 2.) iam vidimus, aper- turam vmbilicalem maiorem «eíle quam in foe- tu ; I N'T-ES' T-I N-O'R'V"M. 495 fu; extendere fe furfum ad regionem vsque circiter card'acam. — lbi ergo immediate ex fine thoracis amnium oriebatur in parte füperiori; et regio de ab- domine epigaftrica nulla aderat. . Lateraliter amnium oriebatur ex parte abdomin s lumbari; pars iliaca ct vmbilicalis fimiliter deficiebant. ^ In praeíenti deni- que embryone Il. dierum apertura vmbilicalis ite- rum maior eft; extendit íe íurfum ad regionem primae vertebrae dorfi vsque (fig. 5. f.) quae eadem fimül regio maxillae inferioris (g.) eft; (nam quae pro collo fumatur , pars fpinae doríalis , non datur hactenus; circa diem o&auum illa in collum elon- gatur) Atque in eodem hoc loco ad regionem pri- mae vertebrae dorfi amnium quoque oritur imme- diate, et refle&itur, vbi ortum eft, immediate circa fynciput embryonis. Lateraliter autem ori- tur vtrinque ex margin bus anterioribus fpinae dor- falis et fimiliter actutum refle&itur. ^ Oritur ergo amnium in ipfis iis locis , vbi thorax oriri deberet; idemque in parte fuperiori pun&um (fig. 5. f.) , prima fcilicet vertebra dorfi et eadem linea laterali- ter (^ f.), latus vertebrarum dorfalium , quae in corpore adulto principium thoracis exhibent , in hoc embryone principium amnii veri, adeoque finem thoracis fuppeditant , id eft, vt paucis, quod res eft, dicam verbis, thorax hactenus nullus adeft; nam fi quis diceret , thoracem tamen adeffe , fed inuifibi- lem , ftd pellucidum &c. eum alias res agere, facile patet. ^ ; $. 133. 496 DE FORMATIONE Et cor nu- 6. 153. Cor, quod ad faciem anteriorem iid i fpinae dorfi thoracicae fitum cft, nullo thorace ha- extimoeg- t&tenus tectum effe hoc tempore , non opus eftj. vt bryonis ia- moncam, fiquidem thorax hoc tempore nullus adeft. volucro te- Sed neque amnio vero tegitur, nifi in poftrema $^ ^ (forte füi parte , adeo nempe, vt dimidia circiter poflerior auriculae (5b.) pars vtrinque ab oriente membranae amnii parte laterali tangatur , ante- rior vero eius dimidia pars, porro canalis auricula- ris (i) totus, et totus ventriculus (k.) nec mon aorta (4) nudae promineant extra hoc amnium tho- racieum, — Hoc enim dum lateraliter ex marginibus anterioribus Ífpinae (5.f.) oritur, vix antrorfum producitur, quin acutum reflectitur retrorfum ad formandam vaginam cylindricam circa fpinam dorfi. Superius autem membrana amnii orta ex proceffibus (g.f.) multo minus cor tangit. ^ Atque hoc valet de corde dum in f[fyfítole eft et contractum. . Vbi vero idem in area viua, fanguine in ventriculum impulfo, di(tenditur, faltim ad alteram tantam ,. quam nunc in hac figura habet, longitudinem an- trorfüm fagittae inftar profili. Sic igitur cor nul- lo thorace; nullo amnio vero , fed folo fpurio , et quidem ea eius parte, quam vaginam capitis dixi ; immediate tegitur. - Ita ergo omnino mirum eft, cor non modo intra embryonem non -exiflere, fed neque eius proximo inuolucro , amnio vero conti- neri ,. fed folo exteriori demum inuolucro , amnio fpurio nempe, includi. Quod quidem «€o magis notan- INTESTINORVM. 497 notandum mihi fuit, cum Perill. Ha/lerur, princeps harum inquifitionum Autor , cor omni tempore a - thorace tecum effe , adfirmauetit d Tom. oki pag. 364-). | 6. 134. Si haec lamina abdominalis ($. Pd rudimentum íaàcci abdominis in embryone duorum dierum , cum abdomine in embryone IV. dierum , et cum adulto facco abdominis , comparatur ; facile apparet , quomodo fucceffiue eiusmodi . perfectum ab- domen formetur. In primis, qui obferuati funt , embryonibus lamina abdominalis plana eft, caeterum longa et anguíla. ^ Inde incipit. marginibus fuis la- teralibus adeo antrorfüm curuari, vt lamina. fiat concaua, qualem. in praefenti fubiecto habemus. De- nique margines contrahuntur magis magisque et pa- rictes contra increfcunt. Sic fpecies facci nunc pri- mum oritur , orificio in parte anteriori magno. in- ftru&i; quae fere conditio eft in embryone (fig. 2.). Denique au&is magis continuo facci , aut. conuolu- tae. laminae , lateribus , marginibusque continuo. ma- gis. confiricis , tandemque, concretis , perf&ctum | inde et claufum abdomen euadit. 6. 155. Thoracem autem oriri ," manifeftum eft, dum membrana quam ex marginibus vtrinque fpinae dorfalis thoracicae (E f.) et fuperius ex pro- ceffibus '( g, f: ) Continuari , et ad amnium verum Schol. de formatione abdominis. Scholium de forma- tione tho- racis, pertinere dixi , ^ incipit ádco prolongari , vt à pro-. ceffibus (g.f.): verfus. cor . defcendat , a marginibus Tom. XIII. Nou.Comm. Rrr vero 498 Dk FORMATIONE- vero (b.f.) antrorfum verfus idem producatur , prus quam íuríum füper caput et retrorfum . fuper Ípinam doríalem reflectitur. — Tum ea membraóac pars, quae a fproceffibus et marginibus. verfus cor producitur , quaeque interior eft, ad thoracem per- tinet , eiusque primum rudimentum refert; illa vero, quae poft reflexionem furfum 'et retrorfum continuat , quaeque exterior eft, ad amnium perti- net et ipfa membranae reflexione fuperior thoracicá pars aperturae vmbilicalis efficitur. Quo igitur lon- gius membraua , prius quam reflectitur , deorfum et antrorfüm producitur, €o maior de thorace pars adeft In praefenti embryone a primo ortu imme- diate reflectitur ;; ideoque nullus thorax adeft, et tota membrana ad amnium pertinet. In embryo trium dicrum (fig. 6.) ad notabilem iam longitudi- nem illa defcendit tum in parte anter'ori (fig. 6. zz.) quae fterni primordium refert , tum etiam in parte laterali (fig. 6. 7.) cuius aliquam in hac figura par- tem refecui , vt auricula cordis detegatur, Sic fuc- ceffiue defcendit haec membrana per regionem tho- racis, per epigaftricam regionem ad regionem vm- bilicalem vsque , et formatur ea ratione paullatim: thorax , regio abdominis epigaftrica et. vmbilicalis. Videtur autem conítrictio embryonis et. capitis. de- preífho aliquid ad hunc defcenfüm. membranae et formationem thoracis contribuere. Semper enim fu- perior membranae pars, quae eX procefífibus (fig. 5. &.f.) continuatur, íynciput (a.), circa. quod illa adf.en- - INTESTINÓRVM. 495 adícendit , tangit. | Dum igitur embryo conftringi- tur, et caput deprimitur , neceffe eft, vt membra- na fimul deprimatur. Tamen non vnicam , neque praecipuam caufam effe, quin, etiamfi caput erectum teneretur, tamen thoracem forte productum iri, facile largior. Siquidem meéchauicis eiusmodi caufis parum tribuo in formandis corporibus organicis, quae viribus potius , matefiae inditis , mea quidem fententia debéntur. : $. 136. In anteriori laminae abdóminalis fátié Aperturae concaua fimilis fere continetur laminà anguftiór et Ege ow magis conuoluta (f f. r. r.) cuius in defcriptione aper- E j turae amnii fpurii ($. 100.) füb nomine fiftulae in- apparentis teftinalis mentioném iam fci. ^ Ea vero non inte- explicatio. füni primitiui ipfius fed mefenterii primordium ^u iim . 1 Ln H &Cyy e xliii i In 4, .,, dium me- huiusque duas laminas, a fe Inuicem adhüc dum ieri ex feparatas , et late pátentes , exhibet , adeo vf intéf duabus la- vtrasque has lamellas , quae fiftulae pariétes. cónfti- minis di- tuunt ; nuda. fpinae dorfalis facies anterior appareat, od fündumque fiftulae huius féu laminae concduae ceffi- ciat. . Vti igitür fouea cardiaca füo tempore ,. di6 fcilicet tertió finito , ventriculum ;. vti rima poft díem: tertium. inteftiüunt medium ; vti dénique (fó- veola iüferior- die tértio finito inteftinum rectümi- refert; ita apertura amnii fpurii feu fiftula intefti- nalis mefénrérii primordiüm exhibet. — Marginés con- (Diff prior. fig 6. m. 5. fW. w) interiores feu inte- ftinales ,; qui,: dum (üceeffiué conftringuntur, futürara- : Rrr 2 efi- $90 DE FORMATIONE efficiunt (Tab. prior. Diff fig. 7. 7.) : Hinc ergo patet , füturam proprie effe marginem pofleriorem inteftini medii, .feu | coniun&ionem: pofleriorem la- minarum inteftinalium (fig. 3.:m. M.) vbi hae la- minae coniunctae incipiunt. mefenterium : conftituere. Dum igitur futura formatur , pàrtes huius laminae laterales vniuntur , et mefenterium hac ratione ori- tur, fimulque inteftinum medium formari incipit. lllud ergo fimili fre modo ;, vt inteftinum ,' fit, dum duae laminae , |quae :fepáratae - prius : fuerunt , coniunguntur et concrefcunt. . Et patet igitur j. fi ad formationem inteftinorum . refpicimus j. ea - non. modo laminas fuiffe meras planas certo tempore. die: fcilicet quarto , quae marginibus anterioribus fepara-: .tis reuolutisque pateant, folisque pofterioribus in Quid loco inteflini medii hoc tempore fit. Nul- lum eius mefenterii . laminas. continuatis , cohaereant , fed: adeo fuiffe repraefentata, prius quam ad hunc flatum per- veniunt, fcilicet fecundo die finito, per laminas, quae neque marginibus pofterioribus cohaerent , fed a pri-: mo principio feparatae fünt et late a fe inuicem di- flant. | Hoc modo de his laminis mefenterii fepara- tis notandum eft, «eas adhucdum renes fibi exterius adiectos vtrinque habere, adeo vt laminae ( f. f. r. r.) renum aeque ac mefenterii primordia referant. $. 137. Quid nunc de inteftini medii, pri- mordio hoc tempore .fentiendum | fit, facile patet. Cum margo fíiflulae apertae margo inteftiualis me- fenterii fit, et inteftinum igitur in parte membra-. nae INTESTINORVM. 5O0I nae exteriori quaerendum fit; €a membrana vero ab ipfo margine fiftulae immediate extrorfum refle- catur, adeoque bullam conftituere incipiat et ab eo termino igitur ad bullam . ipfam - pertincat ;. nullius locus et nulla particula in hac: membrana füpereft , quae pro inteftini. primordio: haberi poffit; confe- quenter nullum. hoc tempore: inteftini primordium adeít. In embryone IV. dierum (fig. 3) inteittinum pars quidem eft; membranae. bullae , fed diftin&a ta- men.a reliqua bullae membranaa aliqua opacitate , cum reliqua membrana tenuior et pellucidior fit. 1n hoc autem embryoue nullum non modo fignum datur, quo interior. huius membranae pars, quae inteftinum referat, ab exteriori diftinguatur , quae ad bullam pertinet s fed neque locus datur, vbi in- teftinum exiftere dici poffit , neque particula in membrana eft, quam ad laminam inteflini referre , vel pro ea (urere liceret. — Eftque accurate cum inteftino medio, veluti cum thorace hoc tempore comparatum. X Producitur autem lamina inteftinalis, quemadmodum de thorace dictum füit , dum mem- . brana bullae proxime ad terminum laminae mefa- raicae per nutritionem augetur, et fic noua mem- branae pars inter laminam mefenterii et eam. mem- branae partem , quae ad bullam pertinet, produci- tur — Hoc vero poft diem tertium denique fit, quando laminae mefenterüi iam vnitae funt. Diftin- guendum igitur effe , videmus, inter productionem et formationem inteftini medii. In embryone qua- Rrr3 tuor rudimen- tum hacte- nus adeft. Primordii ventriculi conditio. (Fig. 5.) $02 DE FORMATIONE tuor dierum vidimus illud inteftinum nondum for- matum. effe. Erant emm loco inteftini duae lami- nae marginibus poflerioribus coliaerentes , anteriori- bus autem patentes et reuolütae. ^ Dum pofthaec hae laminae etiam. anterius coniunguntur; intefti- num ex his laminis formatur. | Hactenus ergo non- dum formatum: eft in embryone IV. dierum. — Sed laminae tamen adfunt, ex quibus formatur. In praefenti embryone 1l dierum iftae laminae non- dum adfunt. Ergo prius laminae producuntur; de- inde ex iis inteftinum formatur. $. 158. Ventriculum non fatis diftin&e vidi quidem in hoc embryone; aliquid tamen reperi membranae (7) quod eius locum occupabat , fed ita non erat comparatum , vt pro eiusmodi ventriculo, qualem in embryonibüs , aetate fupérioribus inueni , haberi potuiffet. Figura confueta deerat. Erat au- tem (2) membranula fimplex transuería , ex fupe- riori laminarum mefenterii parte continuata, Sicuti laminae me:enteriüi in partes bullae laterales, ita haec membranula in vàginami capitis producebatur , quemadmodum hoc ip(üm in extéttà bullae facie (Tab. Diff. prior. fig. 6.) apparet. ' Haec itaque cum primordii ventriculi fit conditio, pro vero quoque primordio eius hanc membranulam agnofco, fed tamen diuerío ab illis (fig. 3 €t 6.) et graiu perfectionis inferiori ideo , quod (olia figura externa conoidea non gaudebat. $. 159. LANCT.EGTUIGN;O ROVOM. 2503 $. 139. Euidentius autem inteftini recti pri- mordium , quomodo comparatum fit hac aetate , conftat. Laminae meíaraicae , quae fuperius latiores fuut , deorfum continuo anguftiores euadunt , donec in regione (.y.) praeter limbum nihil adfit. ^ Hic folus limbus: ergo ad finem vsque extre»itatis me- dullae vtriaque decurrit , ibique ex vtroque latere- coniungitur (z.) extremitatemque globofam . fpinae dor(alis (y. ) cinzit. Haec inferior itaque limborum coniupctio ( 2.) primordium .inteftini recti eft. — Ex comparatione enim non modo cum embryone fe- quenti (fig. 6.) vbi huius inteftini primordium | in- fuudibili forme iam eít;. (ed etiam ex connexione partium facile patet , haac li mborum. coaiunctionem effe marginem illius inteftini , quale (fig. 6 ) exiftit, fuperiorem , feu oram , qua id terminatur , et quae fimul limbum foueolae inferioris in bulla efficit, quae quidem non meforetum (ed pom inteftini primordium eft. $. 140. Inteftinum re&um igitur primam fuam originem inuolucro caudae debet et inde for- mandae foueolae inferiori ; quemadmodum thoracem vidimus pendere a parte füperiori amnii veri, qua vagina circa caput formatur; vtrique enim fimi- "lem effe rationem facile patet. Dum | membrana areae inferior circa extremitatem embryonis inferio- rem in fpeciem bullae eleuatur , quae ipnuolucrum caudae conftituit , buius bullae margo füperior ipfa haec Quid loco primordii inteflini re&i adít. Sola lim- borum in- teriorum coniunctio. (Fig. 5 2.) De forma- tione inte- ftini re&i Scholium. . De fortna- tione pel- vis Schol. 504 DE FORMATIONE: haec pars limbi eft, vel coniunctio limborum, quam pro reci primordio agnofcimus. Margo nempe ille fuperior inuolucri efficitur, dum membrana ad hunc locum. refle&itur et rugam producit , cuius lamina interior adfcendens inteftini recti primordium eft, exterior defcendens ad inuolucrum pertinet. — Simili modo vidimus thoracem fieri, dum membrana a proceffibus (g. f.) defcendens primordium thoracis , faltem aetate paullulo fuperiori , eademque reflexa adícendens amnium verum referret , eaque ratione fimilem rugam produceret. Deinde tota haec ruga dum per nutritionem pars interior aeque ac exte- rior elongatur , magis magisque adícendit ad regio- nem pubis vsque; fic lamioa interior , quae intefti- ni reci ^paries anterior eft, perficitur; fimulque eiusdem parietes laterales et pofterior crefcunt et inteftinum infundibuliforme oritur. : $. r4r. Hine pceluis ortus intelligitur , cui omnino iterum «eadem inteftini recti et thoracis conditio eft. . Quemadmodum inteftinum continuatio- inuolucri caudae eft, et cüm eo inuolucro rügam producit , ita peluis primordium, vti thorax, amnii veri .continuatio eft, et fimilem rugam cum eo conftituit, quae inter vtrasque laminas rugae inte- fini re&i continetur , . fimulque cum hac ruga cre- Ícit et adfcendit in folitam foueolae inferioris altitu- dinem. In hoc quidem embryone peluis nondum obíeruatur , fed in adultioribus eius primordium fub fimilis INTESTINORVHM. so; fimilis limborum abdominalium coniunctionis fpecie primum apparet; qui limbus. marginem 'offium pu- : bis tum in fpecie refert. ifte fenfim eleuatur et in eam denique formam abit, quam in figura fequenti confiderabimus, $. r42. Generatim , quemadmodum in Dif- fertatione praecedenti , analogiam effe vidimus in flatu embryonis primordiali inter: totum |. truncum , tubum cibarium , fyftema nerueum areolamque pel- lucidam ; fingularem magis fimilitudinem | obtinere facile patet, inter truncum embryonis in fpecie et tubum cibarium. Thoraci quippe ventriculus , ab- domini inteftinum | medium , peluique inteftinum re&um refpondet. Tubus cibarius in amnium fpu- rium continuatur , eiusque principium eft, adeo vt ex ventriculo in fpecie vagina capitis ,' ex inteftino medio partes bullae laterales , et inuolucrum caudae ex inteftino reco propagentur. ^ Similis conditio trunco eft refpectu amnuii veri, in quo easdem fa- cile, quasin fpurio notaul, partes diftinguas , vagi- nam capitis, partes laterales, et inuolucrum caudae. Simili igitur mcdo analogae trünci partes in analo- gas partes amnii veri continuantur , iisque principia -fuppeditant. Ex thorace, vel in iuniori embryone ex radice thoracis vagina capitis in amnio vero ori- tur. Ex faftiis abdominalibus , quae regionem lum- barem referunt, partes laterales amnii veri, ex pelui iüüolucrum cáudae in amnio vero producitur. Porro autem vidimus ($. 135.) in exemplo thoracis "Tom. XIII. Nou. Comm. Sss et Scholium de Analo- gia inter truncum embryonis in ftatu . primordiali et tubum cibarium. 506 DE FORMATIONE et in peluis exemplo, ita effe cum harum partium trunci formatione comparatum , vt prius exiflat amnium verum , quod in ipfis iis locis , ad fpinam nempe doríalem immediate , oritur , in quibus par- tes illae trunci, fi adeffent , oriri deberent. ^ Tum . ipfum harum partium amnii veri principium ad fpi- nam doríilem prolongatur , et hac ratione partibus trunci, veluti thoraci , pelui , formandis anía prae- betur. | Eandem vero conditionem refpe&u forma- tionis vidimus quoque in inteftino medio ($. 137.) cuius locum in embryone duorum dierum ( vbi amnium verum quoque thoracis locum occupat,) partes bullae laterales occupabant , adeo vt hae im- mediate ex marginibus anterioribus laminarum me- faraicarum orirentur , vbi laminae inteftini medii oriri debuiffent. Similem quoque in inteftino recto conditionem vidimus ($. 159.). . In ventriculo ($. 158.) non ita diftincte quidem vidi, íed nullum dubium eft, fimili quoque modo cum hoc effe com- piratum, Denique abdomen in primo initio lamina explanata eft , quae fenfim conuoluitur, marginibus- que conítridis et lateribus auctis in faccum muta- tur, tandemque clauditur ($. x34.). ^ Idem de in- teftino medio valet. Imo de toto trunco affirmare licet , eum fuiffe laminam planam, quae margine fuperiori deorfum voluto thoracem , margine infe- riori furfum curuato peluim, et marginibus laterali- bus ad fe inuicem antrorfum conniuentibus abdomen producat ^ Atque idem omnino de tubo cibario va- let. INTESTINORVM. . soj let. Neque negligendum eft, ficuti caput embryo- nis depreffum formationem thoracis adiuuat ($. 135.), ita fimili modo, conílricto rurfum per thoracem corde , et deorfum compreffo , adiuuari formationem ventriculi ; cui formando vagina capitis fimili mo- do, ac amnium verum thoraci , anfam praebet. 6. 145. Dum lamina abdominalis , conuoluta, marginibus conílrictis , tandemque concrétis in fac- cum vltimum abit claufüum , et eam formam perpe- tuo retinet; lamina vero inteílinalis conuoluta cy- liadricum tubum apertum prius, deinde marginibus conftritis claufüm efficit, et denique , formam tubi retinendo, in longiffimum canalem extenditur, multi- fariam curuatum et complicatum : an diuerfi huius euentus phaenomenorum , in ftatu primordiali fimi- lium , caufa, vel aliquid caufae in eo confifit, vt abdomen intceftinum continens, ab eo dilatetur in latum faccum ? inteftinum vero in abdomine con- tentum , non dilatatum retineat ideo tubi fpeciem , et cogatur, dum in minori fpatio comprimitur , in plexus fe complicare ? Non multum me credere his explicationibus mechanicis , fuperius iam dixi. Thoracem , abdomen , peluim , ventriculum , inte- füna , formari , non perpetuo adfuiffe, id vidimus. Qua ratione formentur , id vidimus quoque; caufas effcientes non vidimus , neque de iis íermo mihi eft in his differtationibus. $ss 2 6. 144. Scholion. De caufa differen- tiae inter abdomen et tubum cibarium in adulto. Renum primordia f rr) Phaeno- mena in- terna in embryone Ili. dies incubato. fig. 6. €aput (a. b. c.) Cor o. f.q. 508 DE FORMATIONE $. 144. Denique renes quoque laminis mefen- terii adhaerere , iam monui, quibus ijitur non ío- lum mefenterii, fed renum quoque primoraium tfe- praefentatur ,. adeo , vt interior fuperficies láminas melenterli , exterior renes exhibeat. ^| Non quidem feparaui has partes a fe inuicem , vt vtraque haec primordia diftin&a viderim ; fed multa tamen funt, quae de vera exiftentia renum , his laminis applica- torum , dubitare -non fíinunt. 6. 145. Ad fubiecum denique tranfeo , cuius in prioribus diffortationibus externa innolücra ex- pofui, vltimum , quod in figura feptima. ibidem delineaueram , quod nonnifi duos dies duodecimque horas incubatum quidem fuit , fed fubie&o tres dies incübato facile tamen aequale erat. ^ lnuolucris ita- que omnibus exutis, praeterea laminis abdominali- bus lateralibus , inferiorique parte laterum — thoracis remotis partes interiores fecundum fig 6, in latere finiftro hoc modo in confpe&um veniunt. Caput, quod eleuaui , vt cor et ventriculus diftincte videri pofünt, adeo erat pofitum , vt occiput (£.) antror- fum , fynciput (z.) verí(us cor profpieret. In an- teriori parte thoracis cor, vt folet, comparet , adco fitum , vt ventriculo fuo , qui die fccundo (fig. 5.) antrorfum directus erat, oblique deorfum ninc pro- fpiciat, quemadmodum die quarto finito idem ven- triculus re&a deorfum et potius retrorfum. paulis- per fpectat (fig. 3). Egregie hanc fitus cordis mu- tatio- INTESTINORVM. $309 tationerd intelligere licet ex incremento thoracis ^ ($. 135.) explicato. ^ Cum die fecundo nullus adfit thorax, qui poffit cor continere et comprimere , ventriculus fanguine dilatatus recta autrorfüm pro- , fiit, eundemque fitum in ftatu, vbi neque agit, neade patitur, inter Ífyftolen et diaftolen medio , conferuat (fig. 5.). Tertio autem die finito dum thorax im parte fuperiori formari incipit ,, cor ex priori fitu deorfüm paullatim premitur; denique die quarto , vbi thorax magis inereuit illud magis quoque verfus corpus embryonis coercetur. | Ex ío- Iis his phaenomenis, nifi loco thoracis amnium ve- rum a fpina doríali oriri et furfüm- abire vidiffern die ífecunlo, colligeret forte; nullum. thoracem exiftere , Perilluftris Vir, qui cor nudum effe ne- gat; "Auricula finiftra (0.) maffülam fanguinis fouet, vt folet , coagulati , tenuisque veficulae iuftar trans- parens eft , et figuram globofam- habet. Inde pau- Io anguftior canalis auricularis (f.) oblique antror- fum deícendit et in protuberantem ventriculum fi- nitrum (4) dilatatur, ex quo canalis cordis in dextrum latus curuatur ibique in arcum aortae ad- fcendit.. — Retro cor hepatis lobus finifter apparet Hepar. oblongus , tenuis, deorfum in membranam (r.)con- tinüatus et retro hunc lobüm hepatis ventriculus (5.). $. r46. Ife nunc iam ea figura et habitu pd gaudet , quo fatis manifefto cognofci poffit , figura bei ch nempe oblonga, fere conoidea , extremitate füperiori foueam 5S5 3 a4ngU- cardiacam 510 DE FORMATIONE effe in hoc anguítiori , ex oefophago continuata , quae rudimen- embryone oftenditur. tis paülmonum tegitur. . Inde paulo antrorfum cur- vatus defcend.t et apertura inferiori denique termi- natur. Haec apertura ventriculi (v.) , quae eadem fouea cardiaca eft, tenero limbo cingitur , qui deor- fum in limbum inteflini continuat , et ficuti in fa- cie externa bullae vena adícendens rcéta in foueam cardiacam intrare obíeruatur , ita in hac quoque fuperficie interna haec vena egregie apparet (7.), fanguine diftenta , quae adeo in ventriculi cauitatem recta intrat , vt totam hanc cauitatem occupet , et ventriculus fanguine venae turgere , eique quafi ex- ternum inuolucrum feu vaginam praebere videatur. Tamen proprie non in cauitatem ventriculi , fed potius in eius membranam tranfire dicenda eft haec vena, licet totam cauitatem fere occupet. ^ Ventri- culus enim continuatio eft membranae bullae ; iam vero hactenus in ea membrana intraque cius füb- ftantiam , quafi inter duas laminas vena proceffit ; ergo in ventriculo quoque in ipía eius membrana procedere pergit. — Videtur autem in cauitatem in- troire, quia vena fanguine turget et fuper parie- tem internum ventriculi tantum eminet vt parua ventriculi cauitas ea occupetur. In aliis fübiectis , vbi vena fanguine minus diflenta fuit , vena quoque minus cauitatem ventriculi tenere vifa eft. ^ Caete- rum , foueam cardiacam effe cauitatem ventriculi in hoc embryone , ex fola confideratione huius figurae 'eiusque comparatione cum (fig. 7. Diff praec.) pa- tet. LI INPTiESTINORNSXIM s tet. — Vidimus exterius in amnio fpurio integro (fig. cit.) venam adícendentem in foueam cardiacam intrare et fe abfcondere. ^ In membranae fuperficie interna (fig. 6.) recognofcimus eandem venam in eodem loco, vbi exterius in foueam cardiacam in- trabat, in ventriculum intrare. — Orificium igitur foueae cardiacae orificium ventriculi , illius cauitas huius cauitas fuit. .In fubie&o illo IV. dierum (fig. 5.) quod aptum quidem erat ad demonftran- dum primordium inteftini medii, eiusque ortum, non adeo euidenter conditio ventriculi apparebat , qui hoc tempore cum parte intefüini duodeni inte- ger iam eft et perfectus. — Rima nimis iam conftri- &a et orificium foueae catdiacae a ventriculo remo- tum eft; adeoque fouea cardiaca ad ventriculi caui- tatem ducit quidem in illo IV. dierum embryone, non autem ad ipfüm ventriculum pertinet , fed ad duodenum potius — In hoc autem III. dierum em- bryone fouea cardiaca ab ipío ventriculo efficitur. $. 147. Retro ventriculum mefenterium incipit Mefente- et deorfüm inter limbum inteftinalem et renem ad flum nune inteftinum re&um vsque continuat (j.) Hoc nunc fmm intefti que continuat (jy.). coge idem eft, quod (fig. 5.) laminis, ex quibus conftat, (fig. 6. y) faparatis a fe inuicem et patentibus fiflulae apertae fpeciem prae fe ferebat , et cuius laminae angufítio- res renibus tegebantur , quod nunc laminis extenfis et vnitis membranam vnam refert. — Ad limbum fcilicet inteftinalem (sv.) vsque laminae cohaerent, et Laminae inteftini medii, vix inchoatae. (v. tw. 3.) sI2 DE FORMATIONE et idem locus füturum arcum minorem inteftini , vel marginem pofteriorem laminarum ^ inteftinalium refert ; cum ipfo vero limbo ilMae laminae incipiunt fepirari et in bullam refle&i. Caeterum arteria (B) inter renem et mefenterium prodit et in membrana bullae pora continuat. $. 148. De inteftino medio nihil praeter lim- bum (z ) adeft, qui adeo tenuis et debilis quidem eft, vt vix diftinguntur. [Incipit a limbo aperturae vedtriculi , continuat dcorfüm et in inteftimum re- &um abit. Hic ergo íola membranae pars eft, quae ad inte(linum pertinet , eiusque primordium refert, Quicquid retro hunc limbum eft ad mefenterium , quicquid ante eundem eft ad membranam bullae pertinet. — Laminae enim a fpina doríali vsque ad limbum connexae fünt et mefenterium igitur referunt. Llimbaum autem marginem anteriorem' effe laminae inteftinalis patét ex comparatione figurae tertiae j et quae anterius fequitur membrana (x.) menifefto ea- dem eft (fig. 3. 7». Pro lamina igitur inteftipali nihil reftat praeter ipfum limbum. ^ Caeterum lim- . bum huuc eundem effe qui (Diff. praec. fig. *. 7) exterius apparebat et futuram igitur marginem po- Ófteriorem effe inteftini medii. quilibet facile videt , adeo , vt de laminis inteflini medii hoc etiam tem- pore nihil adfit praeter marginem eorum poftre- mum , quo illae toniuüétae mefenteriüm conftituere incipiunt. $. 149. L] INTESTINOR V M. 515 $. r49. Inteftinum re&um in latere hoc fini- Inteftinum ftro infuündibuliforme ( z. 7.) apparet, apice oblique deor- rectum fum retrorfum, hiatu furfüm antrorfum pofito. llle 25957 inanum abit; hic aperturam et foueolam inferiorem — (, 1) conftituit. | Dum enim membrana (x.) refle&itur ; àn eo loco , vbi nunc inteftinum eft ( z. 7 ) foueola apparet, adeo vt foueola fit inteítini recti cauitas. Ex comparatione autem huius cum priori figura apparet, quomodo inteftinum rectum increfcat. Dum futura formatur, laminae mefenterii a renibus vtrin- que foluuntur , vniuntur et conftituunt mefenterium. interim limbus ille inuolucri caudae et rudimentum inteftini re&i (fig. 5. 2.) dum nutritur et increfcit, -adfícendit , et euadit ex fimplici ruga paries inteflini anterior; fic tubus hic infundibuliformis oritur. $. 150. Similis inteftini recti conditio pelui peluis (/ i] (4 i) ef Hic priori tempore fimiliter füb plicae eiusque fpecie, exterius circa plicam inteftinalem (fig. 5. 2) formatio, pofitae , apparet et coniunctio inferior limborum abdominalium eft, marginemque pubis refert. Tum .fimili modo ifle margo nutritione auctus adfcende- re, globofamque extremitatem fpinae dorfilis, quam ha&enus cingebat (fig. 5. y.) inuoluere incipit (fig. .6. k). | Deinde porro vsque in regionem foueolae inferioris adfcendit (fig. 6. 7.). Sic paries anterior peluis , fimulque craffüm inuolucrum producitur , .quo inteftinum re&um, interea formatum , aeque ac fnis globofüs (&.) includitur , quodque peluim con- Tom. XIII. Nou. Comm. HEEL (0 ftituit. Renes (A). De pedi- bus et alis. 514 DE FORMATIONE: ftituit. ^ Hoc peluis primordium in media parte conftriagitur ibique regionem perinaei efficit. Infe- rius eadem adhuc fpinae doríalis extremitas globofa íci inuoluta carne pcluis apparet (k) et primor.ium vropygii conftituit , foletque cauda vel apex caudae vocari. X Süperius idem adhuc (fig. 5. z.) margo: fed craffior ex quo amnium verum deriuatur , et qui regionem pubis nunc refert , apparet (fig. 6. 7. i.). $. 15r. Renes füb íolita figura laminarum anguftarum longitudinalium apparent ( A.) foluti au- tem funt:a laminis mefenterii , quibus hactenus ad- haerebant.. $. 152. De. pedibus et. alis quaedam adhuc addam. ^ Apparere eas. primum fub tuberculorum figura in. theoria generationis. dixeram. —— Videmus haec tubercula. in. embryone 1V. dierum (fig. 2) per amnium verum transparentia. Ala (fig. 2. f.) fu- perficie externa conuexa glabra gaudet. ^ Superficies interior ;, quae ad thoracem applicata eft, plana eft, glabra, inaequalis , impreffionibus eminentiisque in- ftructa, Ad marginem pofteriorem, quae pars craí- fiffima totius tuberculi eft, qua idem corpori ad- haeret, füperius inferiusque productiones carveae ex- currunt, quibus fimiliter ala corpori adfigitur. — In pede fimiles funt füperficies ; margo vcro qui in hoc fitu inferior effe videtur, embryone extenfo "poflerior eft, quo pes corpori adhaeret, ex quo fi- miles quoque prodüctiones excurrunt. Margo ante- TIOÍ, IN F,ESTLNOAR SYM 2; rior, ia hoc fitu fuperior , acutus eft, Sic quarto die. finito haec rudimenta fe habent. — In praefenti embryone aliter comparata fünt , vti ex folo pede (üg. 6. 5.) patet. . Totum. abdomen hoc tempore apertum eít et limbo craffiufculo terminatur. — In ipfo hoc limbo ad folita loca fuperius alarum , in- ferius pedum tubercula propullulare incipiunt vtrin- que. In embryonibus (Diff. praec. fig. 5 et 6) nulla prorfus in limbis tubercula diftinguebantur. In illo quidem (fig. cit. 5.) lamina abdominalis a lamina inteftinadli nondum plane feparata erat; lim- bi tamea in regione. alarum feparari incipiebant, In hoc (fig. cit, 6.) limbi abdominis toti feparati funt, fed nulla veftigia tuberculorum ia iis depre- henduntur. Quando haec primum apparent, vix a limbo ipfo diftinguuntur. et merae eius incraffationes funt, quae pedum et alarüm prima rudimenta re- ferunt, Poftea vero , düm ex labio interiori limbo- rum [lamina abdominalis antrorfüm prolongatur , tu- bercuülum in füperficie exteriori abdominis exiftere incipit, quod hactenus in ipío margine eius feu limbo collocatum erat. ^ Interim continuo figuram meri tuberculi , qualem in praefenti quoque fubiecto (fig. 6. b) habent, conferuant ; denique die quarto fere finito eam fingularem formam induunt , (fig. 2.) quam defcripfi. $. 155. Dixeram in libro, germanico fcrmo- dein mne fcripto , de generatione (6$. 70.), quo tempore Lue qtto prima digitorum. $16 DE FORMATIONE prima rudimenta digitorum nondum videram , fore, vt haec, fi deprehenderentur , fimili tuberculorunt fub fpecie in confpectum venirent. Saepe poft haec embryones eius actatis offendi , vbi prima digitorum initia videre licuit. ^ Recte quidem tubercula dixi effe, Nam vidi vbi vix eminebant ; vidi vbi füc- ceffiue magis protuberabant , accurate rotunda im ambitu fuo. Eatenus vero erraui, quod credidi , ex margine anteriori acuto ipío fore vt prodeant , quae potius in füperficie interiori prodeunt prope margi- nem anteriorem , €t repraefentantin fpecie extremos apices digitorum. ^ Retro haec tubercula rotunda longitudinales totidem eminentiae in hac interiori füperficie apparent, ex anterioribus rotundis verfus marginem pedis pofteriorem deriuatae , quae digito- rum phalanges referunt. ^ Vix eminent in füperfi- cie interiori , quae inferior pedis futura eft, et mar- ginem anteriorem non attingunt; fucceffiue autem eloogantur , vt ante marginem prominere incipiant, tandemque in digitos excreícunt. ^ Margo vero ille pedis anterior acutus ; in plicam paruam cutaneam abit, quae in adultiori pede fupremam articulatio- nem digitorum tegit partimque in eam , quae di- gitis intermedia eft. Facile patet, in auibus aqua- ticis fore, vt idem margo in illam fimilem fed longe maiorem plicam interdigitalem — natatoriam abeat , quae his animalibus propria eft. $ 154. INTESTINORVHM sr7 6. 154. Ex hoc flatu embryo in illum, quem. Quomodo fub initio huius differtationis defcripfi , (fig. 2. g.) inteítina folo partium incremento tranfit. —Pars membranae, 57 xcd quae oram foueae cardiacae eandemque ventriculi ef- qie gau ' ficit , increí(cit. Sic orificium defcendit , ventriculo deat in il- permanente im fuo loco; oritur ergo hac ratione enisi pars duodeni. Limbus inteftini medii , contiguus quo funt in hoc embryone margini meíenterii, per incremen- die IV. tum membranae ab eodem antroríum remouetur ; Qua ratio- oritur ergo inter limbum et marginem mefenterii-P* E. pirs membranae noua, quae laminam inteftini medii 3 E conftituit. Denique , dum. inteftinum re&um cre- fcit , eius orificium adícendit ,, adeo, vt totum. in- teftinorum orificium , fouea nempe cardiaca, rima et foueola contrahantur magis magisque , et ventri- culus contra. et inteflina interius. increfícant. ^ Sic flatus (fig. 2. 5.) oritur. Idem hoc negotium nune porro continuatur. Fouea cardiaca exterius et rima magis conftringuntur , adeo , vt denique ad paruum orificium redeat haec inte(limorum apertura ; ficuti in prioribus difftrtationibus iam dixi ; quo ipío effi- Ci , facile patet, vt totum inteflinum medium de- nique in integrum tubum transmutetur , relicto tantummodo. paruo foraminulo in parte eius media anteriori, ex quo membrana areae inferior , feu in- terior vitelli tunica , continuatur. Pars huius tuni- €ae , quae anguftem: illud orificium. conftituit ,.. ipía denique elongatur et in ductum abit breuem , qui ductus. communicatorius eft inter faccum. vitelli . et Ttt3 intfti- 31$ — DE FORMATIONE inteftina. — Interim , dum baec exterius aguntur , dum inteftinum clauditur , hoc quoad. longitudinem, figuram et fitum, interius fimul mutatur. ^ Ventri- culus , hactenus perpendiculariter fitus, vt cardia. furfum , pylorus deorfüm fpe&tet, in fitum trans- verfalem. tranfit Duodenum (fig. 5. i. 7) in arcum incipit intumefcere , anterius verfum , qui inteflini arcus fuperior et minor eo tempore efl. "Tota me- dia et inferior inteftini | portio (zz. M.) fecundum maiorem arcum producit , antrorfum fpectantem , fed adeo fitum , vt fuperior eius pars, a portione (m.) formata in latere; embryonis dextro in. confpe- &um veniat, in finiflro fe fere fubducat ; inferior autem arcus pars, a portione (M.) producta magis in finiflra regione verfetur , «€t minus inde in dex- tro latere appareat. — Haec die fexto et. feptimo fiunt Denique plures eiusmodi arcus et flexiones «canális inteftinalis :producuntur. $. 155. Loco plurium corollariorum , quae ad dilucidandam | theoriam generationis (pe&tarent j vnum tantummodo fübiungam , quod epigenefin . confirmet. ^ Vidimus varias corporis partes, veluti thoracem ($. 132.) certo tempore nondum exiftere , et exiftere eo tempore non. poffe; neque concludi- mus, thoracem non exifítere , eo argumento , quod obíeruatus non eft; íed vidimus in eo loco, wbi thorax oriri delicet, oriri amnium verum , quo notum eít, terminari in foetu anterius totum trun- cum 5 ENT E. ST I:-N O R- V M. 519 €um, atque hinc concludimus , quod ifte thorax, qui non apparet, non exiftzre pofht, adeoque non -exiftat. ^ Idem de pelui obferüatum eít,: cuius lo- cum pars inferior amnii occupat ($. r4r.) fimiliter vidimus in €o loco, vbi lamina iateftini medii "Utrinque incipere deberet , aut limbum inteftinalem , qui terminus huius laminae anterior eft, (6$. 148.) aut immediate partes bullae laterales incipere ($. 157.) certo teftimonio ,. has laininas. inte(tini: medii hoc tempore adeffe non poffe. ldem: de inteftino: recto valet ($. 139.) Hoc primum: argumentum effe puto epigeneíeos ; vnde. nempe «colligi pote(t , partes corporis non fempcr. exílitiffe (ed: fucce(fiue produ- &as effe; quomodocunque caeterum. haec: productio fiat; nàm non. dico. per coacurfüm particularum ; per modum fermentationis 5: per caufas et' rationes mechanicas; per vires animae partes. produci; proe duci vero dico. Si illae partes in ftatu. paulo adul- tiori confiderantur, nouo. aráumento anfam praebent. Nunc primordia. earum adfuat , fed ita comparata , vt fücile cognofcas , nondum. -éffe partes. integras , iamiam formatas , -fed. talia rudimenta, quae in eius- modi partes traasformanda. funt. .Loco inteflini me- dii , id eít totius tractus intefítinorum ,. quae intefti- no duodeno et recto intereft ,, duas fimplices lami- nas vides , marginibus anterioribus reuolutas, cae- "terum planas, feparatas et 'diflantes 'a fe inuicem ($. 126.', immo priori tempore "per totum mefen- terium feparatas ($. 136.). 'Quaero igitur, an hae lami- 520 laminae firmabit. DE FORMATIONE fint integrum inteftinum ? Nemo fane af- Hinc concludo igitur , partes integras et formatas non femper exílitiffe, íed certo tempore poít conceptionem formatas effe, — Nolo vberius lo- qui de flatu embryonis XXIV: horarum , vbi fim- pliciora multum omnia funt; nam non credo , va- lidiora his, quae iam dixi, dici pofle. Fig. 1. * Explicatio Tabulae. Pars areae , cui embryo inhaeret, exícifía, in füperficie inferiori; quo amnium fpu- rium cum transparente embryone appareat , ex ouo IV. dies incubato. ^ Pertinet haec figura ad feriem obíeruationum in differta- tionibus prioribus deícriptarum , quibus amnium íÍpurium eique phaenomena ex- terna exponuntur; fequitur immediate poft VIL figuram Tabulae prioris et explicatur - 6. x15. 114. -f. Pars areae vafculofae exíciffa, inuería, cui bulla incumbit. b. c. Bulla fiue amnium fpurium curua- tum fere reniforme. . b. i. 1. Embryo fimiliter contractus. trans- parens. 5. occiput. g. fynciput. 7. fpina dor- falis. /. ala finiftra, k. Au- INTESTINOR VM. $21 k. Auricula cordis finiftra, in. qua. maffula (àn- guinis coagulati. B. Thoracis pars lateralis. finiftra, C. C. Limbus orificii abdominis , idemque ori- ficii amnii veri limbus (fig. 2. 7. i, Tab. prior. Diff. fig. 7. x. x.). | e. Limbus. inteftinalis, idemque. orificii amnii fpurii limbus (Tab. prior. Diff. fig. 7. n. v.). 9i. Spatium in, regione abdominali inter amnium fpurium et verum , vt quae partes in eo continentur , extra abdomen vel thoracem et extra amnium verum fitae fint. Sunt autem. fitae in eo fpatio. inferior pars cor- dis, totum inteftinum medium et fuperior pars redi — 4. De inteftino medio aliquid. transparens. Re- liquae partes , compr.:ffe , non difüuncte transparent. f. Fouea fubrotunda ; ex fouea cardiaca, rima et foueola inferiori orta , adeo tamen com- parata , vt in parte eius fuperiori fouea cardiaca , in media rima. in inferiori: foucola fatis di(tin&e adhuc cognofcantur. N. Foueola inferior cum. fuo limbo. P. Vena vitellaria dextra. o. arteria eiusdem la- teris. 7. arteria, vitellaeia finiftra. s. vena adfcendens. 4. Veficula vmbilicalis , a membrana areae tecta. f Tom. XIII. Nou.Comm. - Vvv Fig. g22 DE FORMATIONE Fig. 2. ldem fübiecum , in eodem fitu , membrana amnii fpurii a füperiori areae itiéfhbrana fo- luta ;- antrorfum reflexa , reíeca ad partem vsque 7. relictam (vid. $. 120.) quo em- . bryo apparet folo amnio vero inuolutus. 8. Particula. membranae areae fuperioris , in folo hoc loco amnio vero: adhaerentis. b. b. b; amnium verum collapfüm. ($. 12r.) £&, Embryonis occiput. (4) Synciput. D. Tu- berculum medium , quod poft diem VI. euaneícit. . €. Spina dorfalis E regio offis coccygis. Ala finiftra. F. pés finifter ($. 152.). . Auricula finiftra cordis ($. 125.). . Thoracis pars lateralis. Rugae et plicae ab amnio.- vero productae. 4 i. à Limbus orificii abdominis , ex quo membrana amnii veri continuata immediate reflectitur ad amnium formandum , adeoque aperturam relinquit in abdomine (i. i. i.) ambitu abdominis ipfo non minorem ($. 120.). H. H. Regio abdominis lumbaris, quae fola fafciae longitudinalis inftar fpinae dorfi vtrin- que adhaerens de abdomine adeft, et anterius limbo terminatur. ($. 120.) I. Huius. fafciae poflerior pars gibba , a fübiecto réne (Dg. 5. y. 9T k. lom. n. o. p. partes extra. abdominis. cauita- tem prominentes. mas V n k. Kk. Fig. INTESTINORVHM. ' 52g k. k. Limbus inteftnalis (fig. x. kj) ex quo membrana amnii ípurii 7, continuata ilico refle&itur ad formandum amnium fpurium relinquendo tanquam orificium eiusdem fo- veam illam (fig. x. m.) ($&. 122.) & Quod videtur effe interftitium inter limbum (k.) et partes (z.) eit profundior inteftini plica (vid. $. 122.). s. lnteftini medii , paulum complicati partes eminentiores eaedem , quae transparebant per membranam amnii fpurii (fig. z. s.) (S. cit.) 7". Pars membranae amnii fpurii antrorfum re- flexa plicata ($. cit.). e. Eiusdem membranae pars quae verfüs ven- triculum continuat per. foueam .cardiacam , quae truncum venofum continet ($. 125.). p. Superior pars inteftini re&i ipfius (fig. 3. f-). 3. Idem fübiectum ; deftru&to amnio ; remotis partibus lateralibus thoracis, fàí(ciisque. abdo- minalibus vna cum limbo , cum alis pedi- busque et capite; remanente fola de "trunco Ípina dorfali; quo vifcera in confpectum ve- niant ($. 124). aq. Ventriculus finifter cordis. 4. canalis auricu- laris. c. auricula finiftra. 4. arcus aortae ($. 124). €. Saccus venarum , in quo orificium venae ab- Íciffae, . (ibid.). Vvv2 f. He- 524 DE FORMATIONE f. Hepatis lobus finifter. (ibid.) g. membrana in- de deducta ad membranam amnii fpurii ap- plicata; membranofi , quod auibus eft, dia- phragmatis primordium. . Oefophagus. i. ventriculus. ($. 12$.) k. k. Limbus inteftinalis , quo membrana amnii fpurii (5) ab inteftinali lamina (m. M,) cuius ila continuatio eft, diftinguitur, qui, fi vna cum membrana (5.) conformiter fitui naturali refle&itur , foueam: illam (Fig. x. z.) eandemque cauitatem inteflini reftituit. ($. 122.) 4 Duodenum , retro membranae partem (0.), cui adhaeret , defcendens ($. r25.). 75. M. Inteftinum medium. Eft mera lamina inteflinalis finiflza , quae cum fimili, dextra, fibi contigua , inteftinum medium refrt (S&. 126.).. 5». Pars membranae amnii fpurii, ex lamina inteftinali continuata , plicata. ^-^ Sw n o. Huius membranae pars oblique. furfum fu- per inteflina decurrens, quae truncum. ves nofüm continet ($. 2. 0.). f. Pars fuperior inteftini reci infündibulifor- mis ; eadem , quae (fig. 2. f) extra peluim et extra amnium eminebat, quae in fubiecto: integro fig. z. foueolam inferiorem: conftituit ($. 127). Q.. In- INTESTINORUVM sey q lateflini re&i pars inferior integra Cylindri- €a, vt ipfe ventriculus hac aetate eft, reli- quo inteftini tubo, his intermedio, toto an- terius aperto. (ibid.) r. r. Mefeznterium ; eadem | membranae amnii fpurii (2) et inteftinalium laminarum conti- nuatio, in quo vero ambae laminae cohae- rent, quaé huc vsque feparatae funt. r. f. Reu finifter ($. 124.) 7. t. fpinae. doría- lis pars. s. Arteria vitellaria finiftra. Fig. 4. Idem praeparatum figurae 3. in latere dex- tro. ($. 128.). «. Ventriculus cordis finiller. 2. dexter. c. Aor- ta (ibid.). d. Complectitut hic ab arcit aortáé auricula dextra , quae in hoc fubiecto depleta nom diftin&e apparet. (ibid.) : e. Pulmonis dextri primordium f. f. hepatis lobus dexter (ibid.) g. g. Ren dexter (ibid.). . b; b. Arteriz vitellaria dextra (ibid.). i. i. Laminz inteftinalis ad inteftinum medium formandum dextra. ($. 129.) k.. Inteftinum re&um. 7. mefenterium. 5. !. Lamina dextra membranae amnii fpurii, 5$. Vena vitellaria dextra. N. truncus venofus. 9. 0. Spina dorfalis. | Pm VvvYg Fig. $26 DE FORMATIONE Fig. 5. Idem fubie&um , quod priori tabula fig. 6. integrum exhibitum erat; amnio ípurio et membranis .reliquis. exutum , siktenfim. (S. 130.). -à&. Synciput, lobos Cordis anteriores continens. :$. Occiput , quod lobos cerebri pofteriores con- tinet. (ibid.) £. d. Regio nuchae, ex :tuberculis -fiinilibus compofitae. 2. e. Regio thoracis e. z. reliqua fpina dorfalis, regionem abdominis exhibens. g. Pars maxillae inferioris finiftra. f. Proceffus; an prima cofta ? Inter banc et maxillam (g) anterius amnii veri membrana oritur,et immediate circa fynciput adícendit. ($. 132). | E b. Auricula finiftra .cordis ;. canalis auricularis ($.. 130). .k. Ventriculus cordis vnicus finifter. 7. Aorta (ibid), s. Membranula eadem , quae (g. lig. 3. 5. Pars membranae amnii fpurii ea , qua fouea cardiaca formatur, idemque ventriculus.($. 1 58.) 4. p. g. s. T. z. Rudimebtum abdominis. ,;Mera lamina concaua , ia fpina doríali et lamcllis lateralibus (v. v. w. w.) formata ($. 13r.) e. Pars laminae abdominalis füpcrior cóncaua dextra (ibid.). p. 5. Margo laminae abdominalis fuperius in- trorfum , inferius paullatim extrorfum ver- gens , INTESTINORVM. ^ 4e3 gens, acutus.adhuc , deinde in-limbum in- tumefcens. (fig. 2. i. i) idem, qui Tab. prior. (fig. 6. 7. 7) (ibid. - q..Pars laminae abdominalis (fuperior, finiftra " maxime concaua. In hoc loco tuberculum alae: propullulat. 2; Margo lámiuae abdominalis, vbi haec ma- gis patet et planior eft, craffór. dextro margine; idém (Tab: prior. fig: 6. 4.); ru- " dimentum illius (fig. 2: 2. 7). - v. v. Lamella abdominis lateralis - dextra (ibid.), &. 4. Eadem in latere finiftro. — Efficiunt. hae- lamelae, limbis vel marginibus íüis termi- natae foffas illas laterales (Tab. prior. fig. 6. r. Q.) ($. 100.) et funt. primordia -fafciarum , quae quarto die: abdomen. conftituunt (fig. .2. H. H. ) ($. 131). JK. f. t. vou 2. Fiftulam inteftinalem dixi ( Diff. prior. $.. 100.) Proprie mefenterii rudimen- tum, exbibet , cuius laminae feparatae funt, et late patent, exterius autem renes fibi ap- plicatos habent, ($. 136: (r44.) f. J.. Lami- . na mefaraica dextra :cum rene dextro. r. r.r. finiffra. | Horüm. margines anteriores -iidem ^ (Tab, prior.: fig. 6. s m. m. wu) et primor- dia limborum (fig. 2. k. k).: z». Interftitium :inter- vtramque laminam | me- fepnterii , in quo nuda fpina doríalis in con- fpectum 328 DE F ORMA TIONE: fpectum venit; idem (Tab. prior. de 6. ) ( 136). . . X. Spina dorfalis, J'-. Vropygii feu coccygis. primordium. £. Peluis primordium , ,quod diftinctum effe de- bet a. fimili interiori. intcftini recti primor- dio (vid. Tab, prior. fig. 6. w.) ($. 139. .140. 14I.) Fig. 6. Idem fübicétum , quod (Tab. prior. fig. 7.) . integrum in parte areae vaículofae exhibetur, membranis exutum . ($. 145.) a. Syndiput £. tuberculum illud (fig. 2. D.) (ibid.). C. Occiput. 4. principium amnii veri, quod circa caput reuoluitur. €. Spina dorfalis thoracica. f. Rudimenta cofta- | rum ? £ Pars thoracis. 5. auricula cordis finiftra. . Canalis auricularis. k. Ventriculus cordis ($. 14.5.). ]. Lobus finifler hepatis (ibid.). zr. Ventriculus (6. 146.) 5". Límbus ventriculi ,. quo ifte a. reliqua, quae ex eo continuatur, membrana amnii fpurii (f. q.) diftinguitur , idemque ipfe lim- bus foueae cardiacae (Tab. prior. fig. 7. Kk) in füperficie pofteriori vifüs (confer. $. 146.). v. Membrana phraenica , eadem. (fig. 5. k. fig. 3. Ly P. Vena Fig. INTESTINORVM. $29 $. Vena adfcendens (Tab. prior. fig. 7. 4) deorfum reflexa ($. 146). . . q. Pars waginae capitis in eaque furculi venofi (Tab. prior. fig. 7. r. 7.) deorfum reflexa. 6. Idem fübiectum , quod (tabul prior. fig. 7.) integram in parte areae vafculofae exhibe- tuf , membranis exutum '($." 145.). 4. Syuciput. d. occiput. c. tubertolüm illud (fig.. 2:391) (bidoy omnid 1g Spina dorfalis thoracica. € regio "nuchae. .f. Rudimenta coftarum ?- £. Alae primordiüm-'reclinatum. iae Primordium pedis ($. 153.).' i. Regio pubis. Kk. vropygium. L d 4 Cauitatis peluis primordium (S. r50.) Cod Principium. amnii veri, Sue circa caput reuoluitur. ( € 1 | Qj.5 toU$« Pars tlioracis: 0. auricula: Bürdis finiftra, f. Canalis auricularis. 4... Veütriculus. :cordis ($. 145.). zr. Membrana phraenica , eadem (üg. s. m. fig. 5. g.) ex lobo hepatis finiflro conti- nuata. f. Oetfophagus-.a - pulmone. tectus, 4. Ventriculus ($. 146.). i. Vena adícendens (Tab. prior. fig. 7. 4.) deor- fum reflexa ($. 146.). 4. Pars vaginae capitis in eaque furculi venofi (Tab, prior. fig. 7. r. r.) deorfum reflexa. "Ü' Tom. XIII. Nou. Comm. Xxx v. Lim- $30 DE FORMATIONE INTESTINORVM. *«. Limbus ventriculi , quo ifte a reliqua , quae ex eo contiüuatur, membrana amnii fpurii (4. 4.) diftinguitur , idemque ipfe lim- bus oueae cardiacae (Tab. prior. fig. 7. Kk.) in fuperficie pofteriori vifus (confer. $. 146). t. Limbus inteflinalis idem , qui (Tab. prior. fip. 7. n) et primordium ipfius (fig. 2. k. k.) ($. 148.) X Pars membranae amnii /fpurii, antrorfüm xeflexa ,, quae, fi vna cum limbo in fitum naturalem. rcfle&itur , futuram reftituit. (Tab. pror. fig. 7. 4) ($. 148). J. Mefenterium., nunc formatum ($. Ld z. Superior pars inteftini recti, infundibuli for- mis, quae, reflexa membrana in fitum na- turalem , foueolam inferiorem reftituit (Tab. prior. fig. 7. f. ($. 149). À. Ren finifter , a mefenterio nunc feparatus, 3B. Arteria vitellaria. DE- e$) o. ( Sie 53r DESCRIPTIO LAIPONLIS LWSILLt Auctore E ow R4 LL. M»: dantur in Imperio Rutheno, eiusque va- ftiffüma praefertim. parte Afiatica , quadrupe- dum e cenfü animalia , quorum notitia hactenus vel plare caruit naturalis hiftoria , vel quae, poft cele- berrimorum etiam virorum Mefferfcbmidii ," Gmelini , Stelleri , in his labores , obfcura tamen, nec rite il- luftrata effe Zoologi. conqueruntur. ^ Süfficiat pro " exemplis nominaffe Mofchum , Antilopen orientalcm, (axXepeub). Ferorum in defertis Mungalicis et Trans- Jaicenfibus -Equorum fpecies , Canem Alopecem (kapcakb), et Melanotum (kaparaHb);, Muftelam Jutreolam (Hopka); Tandemque Murino e genere Citillum , Murem leucofti&tum (cycauxb), et Iacu- lum Afiaticum (2eMAs3H0 saüUenb); vt reliqua mira, tenebrisque praefertim condita Orientalioris Sibiriae atque Camtfchatcae animalia taceam , quae vtinam in natali folo ferutari poffe olim largiatur fortuna. Ne igitur polt peracta , quae diuinus AUGVSTIS- SIMAE in fcientias amor per va(tiffimi Imperii fe- liciffmas prouincias inftitui iuffit , itinera phyfica , horum maxime animalium in hiftoria ^defiderari Xxx. quid- 582 DESCRIPTIO quidquam poffit mihi praefertim: fedulo. curandum efle duco , omnique deligentia. adlaboto. VEM: | Neque fucceffü hacenus caruiffe me, cutiofi gaudeant. Vix enim Trans-volgenfes modo campos attigi , et iam plus multo, quam fíperaueram ,' in Zoologicis noui.ct notatu digni occurrit. Obferuaui hac ipfa hyeme, et auium aliquas pulcerrimas , in- cognitas , neque defcriptas antea fpecies , et quadrau- petia varia , parum vel plane mon Zoologis notat quae praefertim hyberno fubinde otio eod animus eft. iu. Primum erit ex his, quod .Leporem.. pufillum. appello , animalculum , quale in rerum matura dari ne quidem fomniaffem vnquam : vera Jeporimi generis. fpecies , fed minutiffhima ,. variisque externae et in-, ternae ftructurae momentis admiranda. ^ In campis circa. voloam ,. imo et vltra. Rhymnum fiue laicum diítis minime infrequentem illam effe. audio , ita, vt etiam vulgari nomine et peculiari inter Tataros nou fit, quorum. a. pler'sque vocatur S'uan , aliis, communi fere cum muribus. Campeftribus . nomine , Kir. - fickan: ||. Apertos campos (cmen») folitaria colit, ibcue ; vwti-Citillus. et mus. leucofti&us , cuniculis füb terra latet, quibus plerumque nocu exire con- fucnit. ;.. Hanc. ob. caufam , et quod etiam hyeme vagatur, fefeque vefligiis pariter , cuniculique aper- tura füpra ;miuem prodit, haud raro capitur. deci- pulis, quas illo iplo tempore. venatores ,. fupra cius- b | modi LEPORIS PYSIELI. 533 modi antrà, Ermineis vulgo habitata , flatuunt. Infeftatur tunc:et a. feris. minutis campeftribus ,.. Pu- torio , Ermineo ,. Muftela ,, quibus hyeme , ob tor- pidas in cuniculis Murium campeftrium varias fpe- cies , parcior praeda venit , facilisque eft: de imbelli animalculo victoria. ""UoKeflate. variis: herbis: fucculentis ' paíci. folet ani- malculum.;; vbi vero has opprefüt hyems, et omnia niue teca funt, excrementis animalium. maiorum phytiuororum , praefertim. equorum :et ouium, con- tentum victitat ,. quibus. ventriculum quoque in- dif- fecto fpecimine- repletum. inueni. ^ De prolificationis et geftationis tempore ,. deque catulorum. numero nondum conflat; ea. vero vernis menfibus füppleri. poterunt. . Digna. interim vifa-eft firu&ura | Leporis. pufüli , quae Zoologis citius: communicetur.. Deutium fuperiorum duplicatione et figura , digitorum numero quihario in palmis , et in plantis quaternario , birfuje pedum , «velleris colore ct in- dole , imermaque partim frucfura , cum congeneri- bus, FLepore vulgari atque cuniculo , conuenit illi. Qotitra: "Capitis figüra , breuitate: auricularum et. ar- - duum pofteriorum 5: caudae vcxo- plenar'o. detcé&u | ab vtroque infiititer diterepat. | Co firu&ura varia non minus, quam in lépore- vulgari acmirarda eft ; et numero zoforin lepus pufillus. ómnia, nota ani- malia, fuperat praeter Cauiam Capenícm a. me pri- mum defcripta in Máfcellaneis: Zioologieis- et Spicile- Q1 A xx giorum $34 DESCRIPTIO giorum Zcologicorum fecundo fafciculo ; «uius animalis folum cranium in -fonte quodam Sidonis antiquae repertum nuper. memorauit I/ir. BVFFONIVS in hift. natur. vol. XV. pag. 205. Huic 22. enim ab vtroque latere numerantur , Lepori pufilo tan- tum 17. i In craffo inteflino diffe&i fpeciminis —4frarides circiter decem inueni praecife tales , quales in equis, fed triplo vcl quadruplo maiores , plerumque fesqui pollicares inueniuntur , quae tamen figura et, ni- fallor, fpecie conueniunt cum minutis Afcaridibus hominum inteflina inféflantibus , inque gallinis, quae fimeta frequentant ;, vulgaribus. . Vix cubium eft, has ex ouulis wel vermiculis cum Equino ventre ib animalculo comeftis natas, ideo parentum fere in magnitudinem excreuiffe;. nullam. enim aliam cau- fam video, quare in tantillo animalculo vermiculus ile in tantum luxuriauerit , quum tamen in ipfo homine femipollicarem longitudinem vix vnquam attingere obferuetur. ^ Afcarides iffae omnes in parte coli coeco proxima et trifariam cellulofa haerebant. Vellus Leporis pufili noftri ad tolerandam hyemen fatis largum eft, et e praelongis pilis com- pofirum , lanugine etiam corpus molliter fouente. Quamquam omnium fere animalium recentia maxi- me vellera, calido loco ficcata, frictione electrica fiant, in nullo tamen phaenomenon iftud facilius , leuiffimoque adeo tactu effici , ct pilos veríüs ap- LEPORIS PVSILLI 535 propinquantem digitum promptius affurgere vidi , quam.in hoc et vulgari Sorice. Imo in Lepore minuto , fortiori frictione , nuda manu inítituta , in loco tenebrofo copioíae etiam fcintillae eliciuntur ; «uod in Erminei quoque cauda obtineri poteft. Deícriptio. Magnitudo Ratti ; Habitus fingularis. Caput oblongius, quam in Lepore vulgari, vellere largiter veftitum. Tab. XIV. Fig. x. Nafus -Leporinus , totus villofiffimus , vix an- - gulo inter nares nudiuículo. Labium fuperius biloboum , ad feptum narium vsque. obfolete bipartitum , siferiur dentes vaginans " vt in congeneribus , gliribusque omnibus. Dentes primores (Tab. XIV. fig. 3. 4. quae funt naturali magnitudine) albi , fuperiores duplicati ; horum. eazerieres (ulco canabculati , extremoque ar- gute .emarginati ,, ita tomen, vt commmunis acies Fig. 3. 4. tantummodo fit tridentita , interiori nempe vtrius- - que dentis angulo contiguo et quafi coadunato. | Denticuli pone bafin maiorum minuti , obtuüi (Fig. . 4.. lnferiores dentes fimplices , oblique trunca- , plani. Myflaces per roftri Medi latera fparfi , pi- lis fuperioribus nigricantibus , inferioribus reclinatis , praelongis , albidis (Fig. 3. 4.) Verruca fupra- ocu- laris tripilis , parotica. vnipilis. | Dcus $86 DESCRIPTIO Oculi mediocres , obfcuri. — Zwriculae rotunda- tae , latae , vellere femilatentes , intus gryfco-villo- fae , verfus marginem fuícefcentes , — Timuho: tenerrime pilofo , albidae. T Truncus: gracilis, abdomine fubuentricofo; Ca da nulla; 4drius breues , etiam poftici. Palkae pentadactylae , pollice xemoto , breui, digitis duobus | exterioribus degradatis (fig. 5. a. 6. vbi dextra)... P/amiae tetradactylae , extimo praefer- tim breuiore (fig. 6. a. 5). Folae fiue foleae pedum, - vt in lepore , pilis horrentibus , confertis hirfutiffi- mae; pofticorum vsque ad calcaneos , . villoque fub- reflexo , füfcefcente ; anticorum illo albido verfus: digitos vergente , (fig. 5. 6. b b). Vellus largum , proque tantillo- bita feto prolixum. — Lamugo vbique denfía ,. tenerrima ,. fufca. Pili re&i , praelongi , ue in dorío fübpolli- cares), extremitate gryíeo nigroque varii, vnde ori- tur colo corporis fere leporinus ^ Ambitus oris, gu- la et pectus albent; corpus fubtus reliquum et pe des im e gryfeo-lutefcente albicant. M enfurse: un dasamd ' Pondus animalculi integri aequat vnciam vnamr medicam , cum feptem circiter drachmis. pq en Lodbitiud animalculi ab apice nafi adcoc- ^ cygem Parifinae menfürae - - 5/.6^. "Eadem ab' apice nafi ad vngues extenforum ru i pedum anteriorun. - - - .- ^$. 9: itin LEPORIS PVSILLI. 557 Item ad vngues extremos plantarum ex- tenfis artubus pofticis - - - - 7. 6. "^ Longitudo capitis a nucha - - - - rx. 6. —— —— antibacehiü |. -. - - - - zx. o. —— ——— palmae ab articulo carpi ad ex- tremos vngués - - - - - - O. Ói —— —— Femortum - - - - - o. 9 -—— .—— Tibarum - - - - - - rz. o. ——- Plantae a calcaneo ad extremos wnguiculs - - - - - - - I1; 0o—— ——— jAuricularum - - - - - $. Earumdem latituto - - - - - - 'Circumferentia capitis ante auriculas - ——— ——— 'Thoracis pone pedes anticos - —— —-— Abdominis - - - - - e6erooo v Zootomica. Hepar feptemlobatum , wentriculus arcuatus , finiftrorfüm gibbus , fundo fecundum «ardiam (Tab. "XIV. fig. 7. a.) in feceffum fiue finum rotundatum (Litt. c.) adfurgente. Inteflimmm a Pyloro (Litt. b.) ad craffüum vs- que fubaequabile, ad fümmum calami cygnei ampli- tudine , minore autem verfus duodenum , et extre- mo ileo (fig. 8, A.) Longitudine tripedale. | Coecum (tg 8. «—5b) fesquipollicare, calami fcriptorii capax , teretiufculum , apice obtufo incurua- tum , verfus ilei infertionem (Litt. 5.) fenfim am- plitum atque cellulofum. . Tom.XIII: Nou.Comm. Yyy Colon AN E I AIT CO I» »35 I2: DUCI iPTiO LELEPORIS PVSILLI. Coon per longitudinem quinque cum dimidio pollcum , (Litt. P—4.) digiti minimi amplitudine, imo ex parte (c—4.) capacius , ligamento fecundum mefenterii infertionem decurrente crifpatum , in ceél- lulas transuerífas integras. ^ Hime x poll et g lin. longitudine aequabile (Litt. 4—2.) teres, calamo Ícriptorio craffius. Tuv longitudine itidem 1^. 3/7. denuo exampliatum ^/Litt. e—f) tribusque ligamentis longitudinalibus , mefenterico vno , duobusque planis inftar coli humani in cellulas trifariam difpofitas , trans- verfas concameratum , quae in fericbus binis anguftae funt, et transuerüm lineares, in tertia ampliores. Sequitur zandem inteftiaum | calamo fcriptorio vix capacius (Litt. f—g.) cellulis oualibus excremen- ta formantibus moniliforme , adtenuatumque in /57- teflinum . vltimum , excretorium , trium et dimidii pollicum longitudine. Afcarides (fig. 2.) im priore parte coli (fig. 8. b—4d4.) latebant , octo vel decem. Diapbragma centro tendiueo , fagittato , am- pliffümo. Rea dexter fitu altior, magnitudine fabae; finifter paulo minor. ^ JVefia piío amplior; effer exilifluüomi. Cor magnitudine dupla fabae. In /celeto: clauiculae arcuatae , magnae , (cum fint in. lepore rectae , minutae , et inutiles,) hume- ro laxe cohaerentes — Co/flae ab vtroque latere feptem- decim , quarum denae fpuriae. ^ Srzermum quinque articulorum. : Coccygis os ifchia paulo ex füperans , planiuscu- lum , articulorum quatuor , longitudine 5 linearum. ASTRO- hd igi ne i reci ASTRONOMICA. EXPO- w535)o(Z23- 541 EXPOSITIO. VTRIVSQVE. OBSERVATIONIS- VENERIS ET ECLIPSIS SOLARIS FACTAE PETROPOLI IN SPECVLA ASTRONOMICA. Auctore CHRISTIANO MATER. Altitudines Solis correfpondentes. ipe I8. Maii captae quadrante 2; pedum. Mer ies medius [ZW M. 2 2 2 2 2 2 2 2 .|Ex his fit merid.. med. Aequatio . . . |Meridies verus . Temp. med. mer verir1 !'zÓ |59,5 *yy Altitu-- $42 — OBSERVATIO VENERIS 4 Altitudines Solis correfpondentes. Die r9. Maii. ton i ————————————————————————— 'T. Pend. ad ortum|Alt. limbi Solis olis app. fuper. 'T. P. ad occafum. Meridies medius. r —Usy UR rq Ms FE TSERRU Wr wenn d] 079m 9 " r, Aequatio |Meridies verus Die 2o. Maii 'T. Pend. ad ortum|Altit. limbi C) app. fuper. (I. t. ad occafum. Aem o |Meridies medius. H. M. S G.M. S. IHL|IM. S H. [M.| s. H.|M4 $.. 19 9, 9 |23 3941/28 3 |4|36 j9121295|- 5 7 40|r3| o 39 42 o|2124513 | 10 4 |limb. 14126/20 linferior. 54 156 o|2]|309 | 1? 37 41| 0/58 52|9 O2 23 17 [| rid 4126 28- 47 42 01212687 IB i| 32 14137 40 46 20 o |.2 | 26 Mp to P ON eid 41 'si 20 2 m 7 o|27]27 | Meridies med. ex his| o | 2- 26, 69 Aequatio j We 7, 26 ; | Meridies verus | o2 18; 93 | emp.med.mer, verit 1 »n 16,0 — Altitu- ET ECLIPSIS SOLARIS. 543 Altitudines Solis correfpondentes. : Die 25. Maii. . Pend. ad ortum / Altit. limbi C app. fuper .'T. Pend. ad occaf. |Meridies medius. VEECONENET S ONG IM, S. , H. M., S. Hj|M.| S. 8- as .| 20 38| ?|45 22 27 o1|2 225 46 | 56 38|33|22 17 51 o[2 23,5 54 | 8 '|39|22 18 10 39; HUS eds TO 9 Oo |54 40| 6|29 3|357 0.2 |25 5 19 | 43i 42| 6|10o 45, 6 0|? 24 75 28 39 43 To 36 35 [9] DIOE. o 30 | 19 a3|r1r5 ail etn SUTNIDTAS IMerid. ex his med| o | 2. |23, 40 Aequatio n... 7s 7707 Meridies verus . M 16,33 T. med. merid. verixr 57 43,6 Ex comparatione meridiei veri Sec. Diei 18. cum 19. quantitas diurnae retardationis penduli erit| 9^, 42 cuin20 - - - - -- -- -:- -|5, oj cum dg i si- le mim EMINUS o. 5 Diei rg.cum 20. - - - - - - * - -'- -[|8, 65 QUIM S SML rwILsS Dc NLES CU ERE. T S xend. 0, 71 Diclab.cum239. 7 orm mouguri-e.s5- -' jm, o6 Relicimus quantitatem 8^ 65 , quod haec differen- tia manifefte tabulis debeatur , plus minus incremen- to diurno motus medii Solis ex íola interpolatione atque iu íolis primis decimarum notis appropin- quantibus , vt manifeftum eft comparanti plures eiusmodi tabulas ^ Eum vcro errorem nouis ac pro- lixis 544. OBSERVATIO VENERIS lixis calculi laboribus nunc velle detegere , prorfus inutile foret huic noftro inítituto. — Sumpto autem eX 5 reliquis penduli retardationibus medio , retar- datio diurna eiusdem e(t 9//, 57, quae obferuationi- bus omnibus fatisfacit. Ita enim ex datis meridierum momentis eui- dens eft primo, tempus meridiei veri die 24. Maii ad pendulum fuiffe o^,2^, 16", 21. dein .euidens quoque efít, pendulum hoc non fequi tempus me- dium , neque accelerationem habere refpondentem huic motui Solis medio , cum nulla fit neque ac- celeratio , :neque retardatio eiusdem refpe&u motus veri folaris , nifi vnius circiter decimae , quo cen- trum Solis fequenti die v. g. 24 tardius appulit ad meridiaaum noftrum, quam die 23, quae tamen acceleratio iuxta motum medium Solis deberet effe 0/8. Nulla ergo pro tempore obferuationis ve- fpertinae feu matutinae diei 25 pars proportionalis accelerationis aut retardationis horologii quaerenda eft, et ad tempus meridiei aequatione correctum addenda , vel ab eo fübtrahenda , vt habeatur tem- pus verum factae obferuationis ; íed a tempore ob- feruato fübtrahenda folum (funt 2^,r:6//, eo quod tempus verum in meridie femper fit o^, o/, 0^ et horologium die 25 Maii füpra t. v. indicauerit 2/,16^^, 33. Placet rem exemplo declarare , quamuis id Aftronomis notifümum fit. ltaque fi pendulum motum ET ECLIPSIS SOLARIS 4s. niotum medium Solis exacte fequeretur , et meri- diem oftendiffet v. g. die 18, quam inuenimus. o^,. 2^; 20^, 50, ob incrementum diurnum . acceleratio- nis motus medii Solis — 8//; die r9 profecto often- dere debebat o^, 2^, 28//, 50; oftendit autem ex ob- Íeruatis Solis altitudinibus correfpondentibus correctis o^, 2»/, 19" : ergo a die 18 ad rg retardatio diur- na pébdult méi füpra motum medium Solis fuit, wt füpra dixi, 9^, 42 fupra motum autem verum - Solis fuit falla, Id ipfum alia ratione clariffime oftendi poteft, conuertendo tempus verum fàcae cuiusuis obferua- tionis.in tempus medium , idque comparando tem-: pori penduli: — Ita tempore conta&us interioris in: egreffü Veneris 4 me obferuato pendulum meum. eftendit 15^ 28^, o, a quo fübtractum tempus me- ridiei cius diei óP, 2/,16/,;43 -' '"-"|h.lm.|:s. rclinquit. tempus. verum - - 2 - ]|15l25|43,7 inde fubtra&to tempore medio meridiei veri |I 1 5743.6 6 — Refiduum eft tempus medium non correct. |15. 28| o,1 Acceleratio diurna motus medii Solis fupra motum verum a die 25.,ad. 24. eft 9^ 8, ergo pars pro- portionalis debita interuallo 15^, 28^ erit $7 9r, quae addita. tempori medio non "porredio 15^, 928^, QS producit tempus medium factae do e MIR 15?,28/,6^. Sed enim pendulum meum a die 23 in 24 defecit a motu medio Solis quantitate 9", 93. quare vt tempus medium reducatur Tom. XIII. Nou. Comm. Z2 ad 446. OBSERVATIO VENERIS ad tempus penduli, pars proportionalis , interuallo. i5 horarum, 28^, 6" ^ debita, (quae eft. 5/7, 98) au- . ferenda eft a tempore medio dato rs^, 28/,6//, et reüduum 15?,28/,0//,02 , fatis oftendit ,. tempus: obferuatum penduli congruere tempori medio , ne-. que vlli alteri reductioni locum effe pofíe. Atque hiüc patet, ftatum penduli et tempo-. ris veri ad praecifionem vnius fecundi exacte cogni-. tum fuiffe. Ceterum , ne quis cafüs pendulo acci- dens obíeruationem turbaret , duo reliqua pendula. Londinenfia, virgis quoque mmetallicis inftructa , quae biduo ante llluftriffimum Collegium Marinum . füb-. miferat, et quorum acceleratio diurna vnius, et re-; tardatio alterius a pendulo normali 5/^ non .fupera-. bat, duo item reliqua Parifina praeftantifmi artifi-. cis le Paute, et tertium D. Charoft per «eos dies. frequenter cum normali collata et explorata funt. Infürumenta ita diuifa, vt mihi pro obferuan- do conta&u Veneris tubus achromaticus Londinenfis. 18. pedum infignis bonitatis : alter 7. pedum pari- ter achromaticus Praenobili D. Profeffori Euer, qui eft Academiae a Secretis: telefcopium catoptricum Scborii 24 pedum. CL Dno Adiun&o Lexel: alte- rumi maius 5 pedum 6 digitorum eiusdem celeber-' rimi artificis Dno $/a5/, expeditionis meae Socio ,' feruiret. | Quod / ET ECLIPSIS SOLARIS. 547 Quod in inferiori Speculae. conclaui non ita commodus ia orientem profpectus pateret, placuit obíeruandae Veneri füpremum. eligere tabulatum , locum , fi quis vnquam , folidum ac fornice et cu- pro claufüm. Figuram is refert circularem , cu:us extimam oram ambit murus 2; pedes craffus et 4. fere pedes altus; huic ferramenta complura circum ad perpendiculum infiftunt , quibus cylinder ligneus annulis ferreis armatus cum reliquo | machinamento inductus eft pro facili tubi maioris motu horizonta- Yi et verticali. — Praeterea tubus 18 pedum clatris inclufus atque ita in aequilibrio pofitus eft, wt vix manu Obferuatoris indigeret ; transmiffo per annu Jum ferreum humi fixum füne vacillationi tubi (a- tis cautum erat. Simili apparatu regebat in omnem partem. fuum quoque tubum Praenobilis D. Profef- for Euler. Sociorum duo reliqui ifto minime indi- gtebant pro. fuis telefcopiis fupra feparata fulcra com- mode infiflentibus. E tribus, ad numerandas vibra- tiones penduli conftitutis , alterni minuta fecunda mumerare , tertius numerantibus prope pendulum, .ne quis error irreperet , inuigilare affucuerant. —Col- locatum. infuper pone Obferuatores pendulum Parifi- .pum , quod ipío die 25. hora 5. vefperi ad idem fecundum temporis cum. normali compo(itum eft , a quo die 24. hora 4 matutina nonnifi 5/^ aberrabat, vt Obferuatores fuis ipfi oculis minuta prima tem- poris expedite viderent. ZZL . pe $48 | OBSERVATIO VENERIS De obíeruatione Veneris vefpertina - die 25. Maii. Iflo apparatu iam inde ab hora 5 et dimidia vefperi diei 23 fixo in Solem obtutu intuebamur. Caelum erat ferenum , limbus Solis conftanter beue terminatus , nifi tum , quod quidem vnus ego tubo 18. pedum notaui , cum tenuiffüima incifüra maculae nigricantis extimam oram et orientalem et occidenta- lem Solis fabinde perftringeret ; indicium id fuit emer- gentis et immergentis maculae. Fuit, cum de hoc fpectá- culo ob fufpicionem fatellitis Veneris Socios admone- rem ; fed quod huiusmodi marginales lunulae, quarum omnino 4 fücceffiue obferuaui , et figuram referrent irregularem , et poft duas horas magis increfcerenüt vel euanefcerent , facile eam fufpicionem dimifi. Ita caelo conftanter fereno certi omnino fü- mus, ad horam vsque 9.5^ T. V. nullum vefti- gium Veneris aut eius fatellitis apparuiffe, a quo "tempore ob viciniam horizontis vaporofi limbus fo- lis femper magis vndulare , atque etiam iftis vapo- ribus aliquantum tegi , videbatur. — Cum ecce cen- tro folis iam infra horizontem depreffo, (nam occa- íum totalem apparentem eo die circa horam 9. 1o/, 40^ 'T. V. obferuaueramus) repente Venerem omni- no nigram , atque eiusdem apparentis magnitudinis, qualem poftridie confpexerum.j intueor hora 9.9. 39^ T. V. Illu- "ET ECLIPSIS SOLARIS. 549 Illu&onem fuiffe opticam , eo minus. per(ua- dere mihi poffüum , .quod eo momento iisque cir- cumílantiis temporis de Venere "videnda ípem fere omnem abiceceram. — Ipío autem momento penduli 9^. 117. 55^. id phaenomenon me confpexiffe , ex repentina mea vociferatione teftes habeo | obferuatio- mum Socios. ;Porro cenfeo , refractione fieri potuiffe, vt Venerem omnino nigrám , id eft luce |orbatam poít occafum .centri folis ;;; atque limbo boreali folis ita nube «temperato, prope contactum. exteriorem viderem. ' Confopat locus in fole per tubum Aftro- nomicum apparens ad occafum , fiue ex parte limbi Solis apparenter occidentalis , confonat tempus et calculis et egreffui Veneris refpondens; quod tamen sliarum obferuationum decifioni relinquendum eft. Quidquid antem fit de obferuatione vefperti- n*, meum iam eft, obferuationem matutinam Illu- firifümae Academiae exponere, eamque primum ad- monere, mos omnes vno circiter quadrante horae ante ortum Solis íletiffe eodem loco ad obíeruandum paratos, d Zing Obfer« 850 Temp. Pen gius Ver. OBSERVATIO VENERIS Obferuatio Egrefífus Veneris die 23 Mai. .. t4:52]|1 ; vili 58 Venus oriente Sole in parte - limbi borealis videtur , limbo | |Solis et Veneris vndulante, ma- leque terminato. :Videtur centrum Solis effe in horizonte. Venus verfico- lor , nam limbus *eius borealis rüber , auftralis caerulefcens , medium nigrum Obferuatori- us omnibus apparet. Venus melius terminatum limbum habere videtur et co- ores difparent , vndulatio ta- men adhuc notabilis. | Conta- «us interior certo necdum con- tigit. 94.|42 52 26 25|59 152343 |27|50| ;2553,7| Domino vehi ooi call in- terior. effe videtur , limbo So- lis necdum incifo. 23|53 2540,7| Cl D. Adiun&us Lexe/] eun- dem contactum videt. Idem contactus Profeffori Mayer videtur accidere. Temp. ET. ECLIPSIS SOLARIS. 551 Temp. LM Ver| bilem Loctlicholrd et curuatu- ram limbi folis Profeffori Mayer . |practeriiffe videtur, | Eandem limbi incifionem . proxime a contactu notat Prae- nobilis D. Profeffor Euler. Dein micrometro obiectiuo iftantiam Veneris a limbo So- is auftrali metiri aggreffüs . ffum, vt locum Veheris i in lim- occidentali Solis quam pro- Xime- determinarem. ^ Chorda verticalis obferuatione. inuenta ít in partibus diametri Solis |—3 dig. 5. lin. 45, 3$. par- ticul.. feu 3r /, 867,134». vt fequitur: digo dina patk. c. oso 15 4I | O |15]38/44 2. 45 I9 SI. "BI 285: It |. |quae fuit diflantia Veneris a limbo Solis auftrali. ^ Subtracta quantitate ifta 21/,8/,565 ex diametro Solis in ipía eclipfi ob- feruata 317^, 56/^, 734. fequere- tur, centrum Veneris a proximo limbo boreali in egreffu remo- "i ? Temp. 5s? OBSERVATIO^ VENERIS Temp.Pend. Temp. Ver.tum fuiffe 10, 28/, 369. fed .|M. enim Eum Veneris: €gref- (ütn' erat 15?,54^,59^/, id eft 44:5" ^" ante had "dimidii infitutam ; igitur, fupputanda ft pars illa exigua proportio- n in partibus circuli maxi-. .Jmt ,- "et| per eam diftantia hacc. d er -28//, 969 obferuatione in- : [venta siliiuegdal eft Plures di- menfiones ob, viciniam tempo- [ris contactus | exterioris | capere 420* 4 tui. Is | ita abit: | | FOUPP STabP |-|] | | | P [^7PCED. Adiun&us L358,9| Eéxe jcontadtnm "ogni PraenóbilisD. P: d | vident, | 346, 7 Pici M ge j ! | E opea Ex contactu Ae exteriore a me pridie (CO vifo : e mh d - Cos c aie ri al 9^ 9, S» Rt. contactu. "Mun - otl jm -5- 13, 43, 45, 7 —udcmar "Sequitür E. dirationem tótiüs. tranfitus i | fuiffe . - sr ^". - 6, 34, 1,7 ET ECLIPSIS SOLARIS. : 553 'IH. Moram inter conta&um interiorem et exteriorem obfícruatam H.|M.S. a D. Stiablo 1740 a Praen. D. Prof Ewlerjo 1745 a Cl. D. Lexello 1743 a Prof Mayer 1757 Conflitueram primum, omnino fupprimere di- menfionem diametri Veneris, a me micrometro ob- ieciuo , tubo Palatino 7. pedum adhaerente, fadam "hora Penduli 15, 7^, 48^, feu 15" ed TV. amque a me inuentam r. lin. 4. particul. , id eft 57/; eoquod in annotanda hàc obíeruatione , omiffa linea, particulas tantum fuiffe notatas inuenerim ; ' fed, re mclius confiderata , vifum eft, rem, vt ac- ' ciderat , communicare. . Atque talis quidem fuit obferuatio celeberrimi huius phaenomeni , caelo non vsque adeo iniquo, vt non potius confidam , eam plurimum profutu- ram ad veram parallaxeos inquifitionem , fi cum : laborem in fe fufceperit lllufirifümvs , et toto. orbe notifimus Dominus Prof(ffor Leonardus Euler. | ld certum , paucis poft egreffum Veneris minütis vn- du'ationem limbi Solaris omnem fublatim , | nobis pulcherrimam occafionem praebuiffe faciendae - Lonae ' obferuationis eclipfis Solaris inftantis, quo toto tem- -—- "pore nulla in caelo nubecula : apreraüjt, barometro flante ad altitudinem 28. dig. 2-lincarum. Tom. XIII. Nou. Comin. Aaaa Et 554 OBSERVATIO VENERIS Et ego quidem tubo *. pedum achromatico ope micrometri obiectiui phafes huius eclipfis me- - tiebar : Praenobilis D. Profeffor Eur tubo dioptrico 9. pedum, habente micrometrum ordinarium, macu- larum immerfiones et emerfiones: Cl. D. Adiunctus Lexell eodem , quo mane víus erat, telefcopio Schortii diftantiam cornuum : D. .S;abl altitudines Solis obferuandas fufceperant , quamuis illi ab hoc negotio fuerit abftinendum , quod eius opera in di- rigendo micrometro et notandis particulis maxime indigerem. Quod ad valorem partium micrometri perti- net, eum ex affümpta diametro Solis pluribus ante diebus conclufimus. ^ Captis enim plus quam 4o. eiusmodi obferuationibus prope mceridianis id tan- dem deduximus , particulam vnam micrometri mei proxime aequalem effe 1^, 0565, vnde lineam ae- quiualere 52^/^, 8250 , atque decem eiusmodi lineas , i. e. digitum 8/,48/, 2500, cui bafi innititur ta- bula micrometri huius Palatini, Neque minus inde conflat, ifto micrometro in 5. digitos Londinenfes diuifo , quorum finguli continent 10. lineas, angulum fübtendi poffe 44^", 1,2500, magno fane Aftronomicarum obíeruatio- num commodo; fiquidem huiusmodi inftrumento coniunctiones omnes fixarum cum planetis et prae- cipue cum luna multo quidem exactius , quam mi- crometris ordinariis , determinari poffunt. Sed enim de víu huius micrometri atque eius pracflantia non eft ET: 4ECLIPSIS-SOLARIS. 555 eft hic dicendi locus. Mihi nunc fatis eft ofteadere, me ex dimenfione diametri Solaris, per eos dies quotidie vaiiantis', variata quoque menfura micro- metri, fümpto femper ex pluribus obferuationibus arithmetice medio, veritatem proxime attigiffe, vt reductio particularum eiusdem in obferuatione ecli- pfis Solaris omauino pro iufla et exacta afíumenda | videatur. Obferuatio Eclipfis Solaris . Petropoli in fpecula Aftronomica die 25. Maii 1769. Tubo achromatico JJo//ozdi 7. pedum , microme- trum obiectiuum habente , fatta a. Chrifiano Mayer , Sereniffimi Electoris Palatini Aftronomo. Immerfiones. 'emp.Pend, ^ |Temp. Ver. H. |M| S. Partes Microm.(Minuta reducta. Minuta reduécla. Dig. lin. partic] M. S. Decim| M. S. Decim. Partes lucidae. Partes obfcuratae 9 |10/28, 7Ziinitium 14/54 8|3/|38 |29|43137 1851 310/946: 29.60 xm «13:3 30] 56 2234 80er l.osuad aa 529..1.5 1.3 |. 33 2532 2.8 cds ru ro 6:8 18 30950 2|6]| 29.923 | 25 | 03 Sir 69 3430 2|5| 7322] 8.338 |9]|28 39 37/2X zc ssBexEIis-i»92 "To-|22]| $80 4034 Ahi EAaTCIS IEJ0) Hi ]|?4 92 4319 2|r|49 |9j2r1/|09 j|I2]|15 64 4548 2a|x|g2?^318 [4^ | 81 1g? [54] 4! 5145 17091 321! iy ravit esóuWAPISIS | 96 5531 r|o| 2316 ]|46]|19 |4|5o| 62 59,26 TSI ZELÓ [08 | Bur wn [7 | 92 10| 847 1]71|45475]45 99 3*5|59| 74 Aaaa 2 T. Pen- 556 OBSERVATIO VENERIS ————— Gai dump Rope E De LC E: i | Emeríones. E Penduli/Pemp.Verum,| : lPartes mierom |Minuta reducta, i;Minuta redutla | H. M. S-| ELS UMS SS Dig. lin. partic| M. S. Decim, M..S. Decim. Partes lucidae. iPart. obfcuratae| $ [9) kh E 17 [26:1 UO DERIT 8119 [|16|10[ 92 |t5 [25 8r F ja2r|r4 18 138 1|8]| 47 "|x16|40| 5o |t4 156. 22 24 |29 22 LR 119. 26:65:17 xt 77:314 24f 95 27g 24|5t. E290 [1065 17|47| 59. 13-| 49. 14 3o [s 28 | 30 D^ 6 |18|35]|66 3 uU TOZ 35 | 33104, 6 2.|2 12742) 19 | o.] 88- |P SR 2S 84 | 25 37.25 243|45»55|21| 3|94 |10|33| 68 : [42 545 40 |38 25| »53|22| 6|?? |9 |39 5: íi |45 41 43 | 28 2]6|4 0o9/22|54.-49 |8 | 42, .33 ML 53|34 3|9|103126|35| 63 |4| 1| xo |^ [59 45 57 |29 3 2| 7»2|28| 8|09 |3:|18 72 23| 3434 | x1 | E || 18 3 |3 | 4o |29 | 45 48 | 1| 51| 24 B] o 3 |51 3|4 1492/39/38 | 52. 58 2I 8 309 '6 [r4] Finis. 9 5 7 |40 |Diameter | 3 [5 45» 3| 31 | 36 7344 | T (Q. capta ; microm. jobie&tiuo Ex diflantia cornuum heliometro.a Cl. D. Lexc// dimenía diam. lunae — 33/. 56^, 4l Ex initio et fine medium huius eclipfeos eruitur hora ro. 8^, 20^*2 'T. V. Duratio tota 15; 55 027 EG Cl. D. Ad'un&us Lexell initium eodem pror- fus momento temporis, quo ego, 9", 10^, 28^, 7 obferuauit: finem r1^,67,9/" "T. V. hinc duratio tota fit 1^, 55/, 40/7 medium eclipfeos 1c^,8/, 18^, 8, £y V. ? D. ET ECLIPSIS: SOLARIS. 557 D.- Szabl initium. 4. Secundis nobis citius vi- dit;tubo quadrantis: Palatini ,. nempe 9^, 107, 247^, 7, cuiüs..etiam Oooleruationi pro véro contactu limbi lunae ita de&rcendum effe puto, vt detractis; adhuc. 2//^, initium verum huius eclipfeos ponendum effe cenfeam ' 9^^, 10^;25. "1. V. qua correctione adhibi- tà medium eclipfeos fit 10^; 8/, 18//; 9, et: duratio: tota 1*5, 55^, 51^, nempe 6/^ ct ? decimis . maior , quam iarmediate ex. ipfa obferuatione a me facta eruitur, Impeditus accommodando micrometro fuo Praenob. D. Profeflor Euer initium. quidem non ob- fcruauit, fed finem in proic&ione Camerae. obfcurae notauit.x35,.584, 5/7, L...V. Eundem. quoque finem in inferiori conclaui fpe- culae | Aftronemicae . obíeruauit Praenob. D. Profeflor. Koteluikow. tubo. fuo achromatico 11^, 12^, 42 vel 43//. fui penduli, quoc factis plurimis comparationibus fpatio. ^24. horarum accelerabat fupra. pendulum | Londinenfe 55^. Aliunde tamen conílabit, indicem eiusdem penduli praecedere 4^, 2/7 pendulo Londinenfi; vnde hac quantitate 4/,2/4^, a. tempore | ob(eruato . fubtra- &a, tempus huius obferüationis imcidit in rz^, 8^, 4o^ penduli Londinenfis, feu in x1?, 67, o4/7 T. V. atque hiac iterum füublatis 18^, quanta fuit acccle- ratio penduli Praen. D. Prof. Kore/nikow ab hora 3. ma- tutina vsque ad horam r'T, contingit tempus verum | Aaaa 5 finis 558 OBSERVATIO VENERIS finis huius eclipfeos a Praen. D. Profeff. Korelnikow obferuati 11^,6/, 6//, quod proxime coincidit cum tempore a Praen. D. Profeffore Eur in proiectione obferuato. Quantitas obfcurationis ex mea obferuatione erat 6 dig. 065. feu 15/,50^,744 eiusmodi par- tium , quarum diameter Solis hora rz. 7/,4c/', " eodem micrometro dimenía capiebat 31/,36/^,734:4.. Quantum ad dimenfionem diametri lunaris, ex repetita dimenfione diftantiae cornuum lunae, capta 3 Cl. D. Lexell ope alterius heliometri , telefcopio catoptrico Schortii adhaerentis, eius quoque valorem partium fcalae ex comparatione dimenfionum diame- tri Solis confecuti fumus. Nam cum paulo ante et poft tempus huius eclipfeos diametrum Solis appa- rentem vtroque heliometro dimenfi effemus , CI. D. Adiuncus Lexel| eam inuenit 4?& 1'"* j9f9* ope fui micrometri , qualem ego in meo , tubo 7. pe- dum achromatico Do/londi accommodato, deprehendi 596 gc, aperi 4C Hinc! fata Baa ione vtrius- que micrometri ad eundem valorem partium , ap- parentem diftantiam cornuum , atque inde apparen- tem diametrum lunae fupputauimus, ET ECLIPSIS SOLARIS. 559 De Maculis in Eclipfi hac obferuatis, earum- que pofitione. Maculae in Sole erant omnino 6. Farum immerfio et emerfio a Praen. D. Profeffore Euler ita obíeruatae funt. Temp. Pend. Maculae maioris immerfio H. | M.| S. Limb. dext. - - - | 9138 | 5 Limb. finifL. - - - | 9/39 |40 Immerfio - | 9 49-|19 | lae I. Maculae I Eléicküor 4: sols siduo/d .Immerfio - | 951: |42 | Maculae IL 5 6o -- 10 56 |o | Maculae III. Immerfio - 9/53 |32 Emerfio - -(10/56 |20 | ; fef " Mac. paruae Immerfio o|o 25 Emerfio - - 1o 52 |41 |. sipiptg p 1o |26 | Mac.in margine 5/1 Emerfio |11 5 |r2 Finita obferuatione pofitionem macularum. mi- . crometro obiectiuo determinaui, fed earum duntaxat, de quibus füfpicio effe poterat , vel effe , vel faltem propinquas effe fatellici Veneris , cui obíeruando jam pridie et triduo poft toti eramus Tapa in his fufpicionem praebuit macula tertia, mole valde exi- gua et magis ceteris rotunda ; quamuis et ipíà in limbo inferiore irregularis appareret. Pofitio - 560 OBSERV. VEN. ET ECLIPS; SOLAR Pofitio . Macularum Intuitu diametri Soleris verticalis et hori- zontalis. "Temp. o T.Verum.| -— gig. lin. part. margo finif'er -| x1? 48' Ludi. AAA E oí - Maculae mái. Pofitio horiz. | | margo déster -irr |5i |t6 | rx 49.0 zr (2$ |9 Eiusdem Pofitio vertical. -|x1 |p7 |30. |i $5 14 I 3. Ko Pofitio vertic. -,|12'|11 |p3 | 12 9 137 17 "27 E Be "n Pofit.'horizont- r2. |r8 |39 m 16 DE T l4L x6 pofit. horizont|ra |24 |21 | 12 !22 5 NRVTIA Mac. in.margine : | "" poíit. vertice. - (t2 129 43 42 | 20,57 0/19. 187 «Ex his obferuationibus apparentem trium ma- cularum fitum in fchema coniecimus , affumpta dia- metro Solis 359 partium- decimalium , feu 3 dig. 5 lin. 45 particularum , quo. pofito. Maculae maioris diftantia. a limbo occidentali Solis fit 151. a limbo auftradli - - - - x57. Maculae gt : diflaatia 3 limbo occidentali - ^- - 148. a limbo aufiradi - - - zrzes;. Maculaé marginalis diftant. a limbo orientali - ^ - - org. ab eodem limbo verfus auftrum - 023. qe i ! TO, 1 L * Simi ratione. et trium reliquarum macularum, et plurium. huiusmodi potiti ones fequentibus diebus a J"me.determinatae funt quarum hic vnum duntaxat exemplum . ad ciusdem diei. obferuationcs. pertinens dedimus. Nov. bim. dad. Sc. Zezop. Tom. XIII. Tab. T. -—- Mov. Comm. Acatf. o. Ferop, Tom . XI. Tb Hr. e c — E) A. ó [S EN « LN wu | Nov. Comm. Acad. Y. Jenop Tom. XIII. Tub EV. Tor. XI 05 Nov. Comm. Acad. Sc. firop ^6 PRS cmgmSe m Te, tre uA perc EE EE JVov, Comment Acad. . Se .Jetrop. Tom. XII Tab, V. — E —— Ji v etrop. Tom. XIlL'Tid Vf. ZNov, Chmznent. Acl Jeter SITUE. ov. THHAMEME n6 dead. c Nap Jon .XZJ. Tub. HJ , Pu. 19 . | Tj —— m 9 e -—— Fue 7m. —— o E Nov. Comm. gp iS, up cum Tom. XIIIL Tab. VIT. c -——- -—— S z Nov. Comm. cad... Sc. Fetropoi 4Vov, comment Acad, cient. Jeotrop. Torn. YIlI. Tab, IX. Www NN NIAI WS NS 2 IAM T9 PP 2/7070) ME S uci » !) 4Vou, (omment cad, Svíent-. Jetrmop. Tom. XIII. Tab. 1X. ' yat : * oc - f | Nov. Comment. Acad. «Sc. Jetrop. Tom. XII. Tab X. Nov. Conznent. cad. «Sc. Petrop. Tom. AH. Tab. X. 4g. S. H E s e £ * H FrTETETTTTT J | 5 | 40 7 20 E AVov. Comment. Mead. Jc.Petropol. Tofn. XIII. Tab. XT. Nov. Corument. Acad. .Sc.Petropol. Tol. XII. TalXI. IPHPHEHRSPHERT Ag —— —L————E——) : 10 1s 40 24 JVov. Corament. Acad. Sc Patropol bm. XIII "Tao XIT. Nov. Cermment. Acad. Sc Jetropol. Mom. XIILToLNII FrTTT 10 15 /Vav. Comm. Acad. sr. FPetropol . Tom. D Y LJ : A XL Tab XI —— ——Ó— Nàv. Comm. eed. Sc Petropot . "Tom. XI Tab XIt At - E Nov. Comment; Acad. Jc. Zetrop. Tom. XIII. Tab "Nav. Comment Acad. Je Fetrop. Tom. XIII. Th. Comment. Acad. Sb. Ietrap. Tom . XIII ad Class. A stronom, " 2 vada düametré Jolarta. NS / apparens wn. tubo Astronomteo. / à AMacuht o Major fr ^ | Maro HL - Att Pement deut S Petrap, Torn. XIlE ad Clas. eaa. d'uxmetrt Jotarra. y; apparens a tubo A tronomieo. o Mult Mayor f "n AY ads Ron Ap SE MONS nj M H AX v ud TF |j " ! " ». kef nM Á hi e nr M Ó dd. : A Jj "a En jd X H d "Ls c E , d . FEN -— H , "ape mu ^ " "we : 2 - cir s -X 3 aia d 4 T cl uiii je isi : mu - [A —— € : . "i7 neni e 15 [s | / EX " TT. [! m , rf " as . Lh :) í / : ] As — — « i L vd / ! - deg z D Me e EE aen TE M MREAT: rn Danis rr eed, CONUS Ma A4 o fI