i5 [HH "m "amm TERM n TEHEDM 3a ag Dono HIM i id 1 Doreen 5 HIM PEE DDREREIER EELEEEDPEHETR HR m m L2 ec uil. eoi » - e ENT friend ac MEI] bv E! - d V e * " » | ! MTM (d 1j MNA UP t V IRBRCAT TERN TYO M NOVI COMMENTARII ACADEMIAE. SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE 1 OM. XIV. pro Ann MDCCLIX PARS PRIOR CONTINENS CLASSEM MATHEMATICAM , THYSICO. MA THEMATICAM ET PHYSICAM. ENOUAGAD EE ENeEAU E NHAU a UE eA DEOS SUA tS bp Abo EU ENSE EAD Ab GODETROPOLI - TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXX. SVMMARIVM DISSERTATIONVM, | QVAS CONTINET NOVORVM COMMENTARIORVM | TOMVS XIV. PARS I : di anz m I P : —— N^ —— c ad 929 E f$ ND EN 2 p : » AA A REESE e PRAEFATIO. ouorüm Commentariorum quartum de- cimum propter rerum varietatem at- que multitudinem in ' duo volumina partiri placuit Academiae. Nam quum annus MDCCLXVIHI. maxime inclytus eflet duobus coeleftibus vno die phaenomenis, tranfitu Veneris. per Solem et. deliquio fo- lari, Indulgentiffimae Rofliarum omnium 77o- minae , Imperatrici CA'THARINAE II. vifum eft, ad fuftinendos horum phaenome-. norum caufa fusceptos labores atque peregrina- tiones erogare de fifco fuo fumtus neceffarios. Primo .quidem | deftinauerat Academia loca obferuationibus coeleftibus idonea qua- tuor, a feptemtrione Ko/am in Laponia , et. 2 mona- «d PRAEFATIO. monafterium Solowetzkoi in infula maris al- bi, quibus ex locis mora Veneris in Sole cognofceretur; a meridie autem Orenbur- gum et Guriew, oppida ad ripas laici. flu- minis fita, vnde egreffus Veneris ex So- le cerneretur ; poftea vero quam placuit AVGVSTAE numerum cum locorum tum obíeruatorum ampliari, quinque rubellorum millibus, quae antea largita fuerat, fuperad- . didit fex millia altera, quo fumtus ad dupli- catum obíeruatorum numerum fufficerent , et vt coémerentur noua ad hanc operam neceffaria inftrumenta, quibus carere pote- rat ÀÁcademia, fi prior numerus conftitiffet, - Tanta AVGVSTAE munificentia. exci- tata Academia obferuationibus aftronomicis aptiffima iudicauit loca. .Ko/am ,. F'mbam: et Ponoi, tria in Laponia oppida, tria. alia propter amnem laicum fita, Orenburgum ,: Orsk et Guriew, denique lacutum , in vlti- mis Sibiriae regionibus /ezae flumini. adia- cens oppidum. Agitauerat etiam animo. ab- legare quempiam Aftronomiae peritum Kil- dunam , infulam oceani feptemtrionalis, culto- ribus vacuam, frigidiffimam illam et a cultio- ribus locis longiffime remotam ; fed verita, ne tantis malis. fuftinendis non fufficeret obferua- tor, a propofito deterrita eft. iot] f Hiíce PRAEFATIO Hifce expeditionibus praefecti fuere duo Academici, J'uue»srkei et Lowitz, Adiun- é&tus Kraft, Aítronomi Geneuenfes Mallet atque P;Zet, centurio /s/emiez» et fubcen- turio Euler. Quam quisque obferuandis coeleftibus phaenomenis fortitus fuerit fta- tionem , indicatur in ipfo Commentario. Sub idem fere tempus placuit AV- GVSTAE alias infuper adornari expeditio- nes Hifloriae naturalis , fuperiori quidem tempore feliciter incoatas a. Mefferfecbmidio , Ginélino , Stellero et. Krafcbeninnikocio , fed poftea neglectas. Quibus expeditionibus qui raeficerentur electi funt ex Academicis G/c- in et Pallas, ex Adiunttis Lepecbin et Gül- den[flaedt, et fecundum hos Director horti pharmaceutidi Z/ck, non ille quidem Aca- demiae Ordinarius, fed huius expeditionis: caufa ab Academia ad tempus conftitutus. Quamuis ad fuftinendas expeditionis aftronomicae impenfas iam vndecim millia rubellorum gratificata fuerat AVGVSTA, tamen, ne quid deeffet expeditioni rerum naturalium cauía inftitutae, ad priorem fum- mam decem millia rubellorum adiici iuffit Clementifma Imperatrix, omnibusque cum praefectis tum | adminiftris harum expeditio- | num PRAEFATIO. num praeberi ftipendium duplex, et merce- dem veredaris debitam diflolui ex aerario 5 atque ne quid morae intercederet, prouin- ciarum Praefidibus miffa funt edicta, Impera- toria manu fignata, quibus iuffi erant Aca- micos humaniter excipere, atque iis de omnibus , quae ad expeditionem pertinerent, benigne gratificari. Denique íimngulis expedi- tionum praefectis data funt ab Armspliffimo Ordine diplomata, Praefidibus prouinciarum et procuratoribus (&oesogawb) exhibenda. Prius quam itinera fua ingrederentur Aca- demici , Excellentiffimi Academiae Dire&oris: Wrapriurm Couirrs Onrovi opera, in con- fpectum et venerationem .fereniffmae: PRIN- CIPIS, Eiusque Fili, Zmperü Heredis. et Magni Ducis, PAVLI PETROWITSCH admu(fi funt. eX y o Y S S "i az MATHE- : quupanscmsmamramimesmeucmum qu. on 5 à dii gi, dibus diih. dili gis. 2 E Se NIIP SP ^ S ES x qp" e Ww eec Deupecerapmicnecpepeeee emis MATHEMATICA- I. Difquifitiones Analyticae de nouo Problemate conie&urali Au&ore Daniele Bernoulli. pag. 5. uod in nouorum Commentariorum — volu- mine XII, llluftr. Auctor huius differ. tationis , attulerat infigne exemplum , quaeftionis ad doctrinam — probabilitatum pertinentis , ope folius calculi infinitefimalis folutae, id hac differtatione vberius exponere et explicare conftituit. Quaeftio autem , quam heic fibi pet- tra&andam propofüit fequens eft: Si ex duabus, tribus vel pluribus vrnis, in quibus fchedulae certo et aequali numero repofitae ita funt, wt. vnius. cujusuis vrnae fchedulae ab illis reliquarum. vrna- a 3 rum 6 we32 (0 )$t9e rum peculiari diftinguastur colore ; vnaquauis per. mutatione, vna extrahatur íchedula et in vrnam ordine fequentem transponatur, fic vt, quae ex —vltima vrna extracta fit, in primam reponatur; dato permutationum fecundam hanc legem factarum numero , determinare numerum fchedularum cuius- vis coloris, probabiliter in quauis vrna conten- tarum * Vt iam vera , quibus folutio huius- quaeflionis innititur principia tanto euidentius explicare liceret , cafum. primo fimpliciffimum , quamuis in fe fatis obuium , Illuftr. Auctori adfr- re placuit , eum fcilicet, quo duae tantum eius- modi proponuntur vrnae, pro quo quidem cafit poftquam ex principiis doctrinae combinationum ex- prefionem deduxit generalem numeri fchedularum pro quouis permutationum numero , oftendit. quem valorem., haec induat expreffo , fi non "folum numerus factarum permutationum ponatur infinite magnus; fed etiam numerus fchedularum permagnus fuerit et fic quidem pro infinito - haberi poffit; Hac facta füppofitione valorem eiusdem. | expréffionis calculo infinitefimali in fubfidium vocato: etfuit, quo cündem plane obtinuit, quéim «antea €x regulis doctrinae combinationum deduxerat. Hac véro quoque conftituta hypothefi , alia problemata, quae. pros - prie ad do&rinam permutationum'"' non pertinent ; ficilem: admittunt fíolutionem , quemddmodum fi duo fupponantur vaía duobts canaliculis ; inter fe communicantia , et duobus fluidis diuerfis impleta, T quorum eg22 (0 ) $53 4 quorum perpetua fiat traasuafatio ex vno vafe in alterum, et quaeratur quaenam. certo tempore clapfo fit lex permixtionis. Deinde explicationem cafus aliquanto difücilio- ris, quo tres proponuntur vrnae adgreffus eft Illuftr : Auctor, oftendit autem huius quaeítionis folutionem €o reduci, vt inueftigetur lex permutationüm pro fíchedulis , quae folae ab initio in prima vrpaà repo- fitae erant; inde enim reliquarum permutationes facili negotio deduci poffunt. Ex praeceptis igicur doctrinae combinationum , inuentis expreitionibus nu- merum íchedularum albarum , in quauis vrpà con- tentarum explicantibus , infigni artificio analytico adhibito ,' explicauit quomodo his expreífionibus alia forma induci queat, vt terminos contineant numero finitos , eosque omnes reales Tum veto eandem hanc folutionem , vt pro cafu priori fecerat , etiam ex principis calculi infinitefimalis deduxit , quo ipfo vtriusque confenfüs egregie illuftratur. ^ Deni- que confiderationes quasdam fingulares füperaddidit', ad illuftrandam legem , quam hae permutationus fequuntur , vbi quidem obferuauit non folum totum fyftema ad ftatum . permanentem vergere , quo. om- nes fchedulae in fingulis vrnis aequaliter inter fe funt permixtae fed etiam infinitas fieri, vltra citra. que hunc ftatum | permanentem tranfitiones ," antes quam ad eum perueniatur. | II. $ eta$ (0 ) $t$e II. Menfuüra fortis ad fortuitam fucces- fionem rerum naturaliter contin- gentium applicata. Aue: Daniele Bernoulli. pag. 26. DU fingulares naturae leges, quas tabulae an- thropologicae offrunt , praecipue attentionem - meretur illa, quae proportionem concernit , qua pati in vtrumque diuiduntur fexum , et quemad- modum in genere quidem conftet prolem máfculam praeualere , ita difficulter determinari poteft, vtrum hoc merae forti adícribendum fit , an vero natura ad procreationem prolis maículae aliquanto procliuior fit quam ad eam fexus foeminini * Hanc autem quae- fionem. optime dirimi poffe exiftimat Illuftr : huius differtationis Auctor, fi inquiratur in leges probabili tatis, quae pro vtraque hypothefi locum inuenturae fint, atque hac quidem, occafione eas, quae pro prima hypothefi , qua natura ad vtriusque fexus . procrea- tionem aeque procliuis affumitur , locum ides exponere conftituit... 5 Tradita igitur primum formula mne b quá probabilitas pro quocunque puerorum numéro dato exprimitur, oftendit maximam -probabilitatem : adeffe; gum infantum vtriusque fexus idem eft numerus, ipfam «55 ( 0 ) $22 ($9 ipfam "vero a medio recedenlo decrefcere et pro aequalibus a medio diílantis eandem effe; deiode quo maior fit numerus partuum , tanto difficilius - contingere vt in vtrumque fexum aequalitr diftri- buatur, eo tamen non obítante inaequal:tatem. - per numerum partuum diuifam femper decreícere, — la- fignis autem ct maxime memoratu digna eft lex, quam natura pro decremento probabilitatis, ex incre mento partuum oriundo, fequitur, et quae hoc continetur theoremate, quod probabilitas quam proxi- me fit in ratione inuería fubduplicata prolis .ge- nitae, Vt vero pro dato quouis partuum numero haec probabilitas facillime determinetur, inuenit Il- luftr. | Au&or hoc inftitutum optime profequi , fi ex probabilitate ,| quae pro ipío medio obtinet, reliquae verfus extremitates definiantur , in quo negotio id fingulare occurit phaenomenon vt in mediocri a medio diflantia omnis probabilitas tan- tum non euanefcat. Formula denique traditur fim- plex qua pro quouis cafü probabilitas fatis. exacte exprimi poteft, vbi fenfibiles aberrationes metuendae mon fünt , nifi dum probabilitates abfolutae ius iam euanefcunt. Tom. XIV. Nou.Comm. b ^. s EE Io -55 (0) $5 III. Confiderationes de 'Traiectorüs ortho- gonalibus. Au&. L. Eulero. pag. A46. j (us "natura. linearüm curuarum per aequationem coorJdinatas ipfarum | orthogonales et quantitates conítantes involuentem exprimitur, ita fi quaedam harum conftantium variabilis affumitur , infinitas inde lineas curuas communi lege contentas prodire euidens cft, curuae autem - illas. normaliter traiicientes , ipfarum traiectoriae orthogonales dicun- tur. Solutio igitur problematis. de curuis hifce €raiectoriis eo redit vt ex aequatione , qua relatio diffrentialium parametri et coordinatarum pro cur- vis fecandis exprim tur , inueftig. tur ália aequatio differentialis relationem | coordinatarum pro curuis fecantibus exprim:ns, quae aequatio ad integrabilita- tem pérduci debet. | Quum vero id. in genere nequidem aggredi liceat omuino e re eft, iftos noffe €afüs, quibus id perfici pot(ít, et qui imprimis ad hos fequentes redcunt. Primo fi parameter p füerit fünctio ipfarum coordicatirum x et y aequatio diffrentialis pro traie&oris cuis tantum variabiles X €t y contnebit adeoque eus inte?ratio pro .con- ceffa haberi poteft. Secundo fi y fuerit functio ipía- | ü - rum «esu o7) ep c r1 rum x et f problematis folutio redit ad integratio- nem àequationis differentialis folas 5 et X inuoluen- . tis, vnde faltem per confiru&ionem x ex p adeoque et y inueniri: poteft, Tertio (i x fuerit fun&tio ipía- rum p et y, vbi omnis difficultas confiftet in in-: tegratione aequationis differentialis folas y et p in- voluentis. Haec autem tantum val:re cenfenda fünt fi iflae expreffiones pro p, x et y fuerint explicitae fin vero formulas continerent integrales , tum inte- gratio aequationis d;fferentialis ad quam peruenitur non amplius.pro conceffa fpecari potcft. Interim tamen fiugulari artificio excogitat: eft folutio , iftius cafus quo y pcr hanc formulam fümmatoriam f Vdx expri- mitur, vbi V eft functio quaecunque ipíarum p et x. In praefenti autem differtatione Illufir. Auctor potiffimum — confiderationé dignam iudicauit ,' infi- güem harum curuarum proprietatem , qua inter fe reciprocantur. ^ Quum enim vtriusque fyítematis natura exprimatur certa relatione inter coordinatas X et y. et parametros, fi pro pofleriori fyftema- te parameter dicatur 4 , inde liquet non folum f et q per folas x et.y , fed etiam vicifüm x et y per folas p et 4 determinari poffe. Infignis autem pro- prietas , qua relatio harum quatuor quantitatum de- finitur, fequenti aequatione exprimitur 221065, "ed (12)-—0 b 2 Hac 12 £32 (0) S:de Hac vero aequatione in fubfidium vocata, x et y per fünctiones ipfarum f et q exprimere licet, et expreffiones quidem pro x et y inde oriundae ita comparatae funt, vt fi bina linearum fe mutuo orthogonaliter íecantium — fyflemata inventa funt, inde infinita alia talium fyftematum paria deduci queant. [Infigne autem hoc artificium , viam | quo- que fternit , ad folutionem iftius problematis, quo ea quaeruntur linearum algebraicazum fyflemata , quarum traie&oriae itidem fint lineae algebraicae. Cognitis fcilicet fimplicioribus quibusdam eiusmodi íyftematum — cafibus , inde infinitos alios facillimo negotio deriuare licet, Similiter vero et hinc fío- lutiones aliorum non minus clegantium problema- tum erui poterunt, quorumr praeprimis haec atten- tionem merentur, primum quo bina eiusmodi linea- rum orthogonalium quaeruntur fyftemata , quae ea- dem acquatione continentur , eo tantum cum difcri- mine, quod dum pro priori valor |parametri fit pofitiuus , pro pofteriori /negatiuus affümatur, et alterum quo eiusmodi quaeruntur curuae fecandae , vt 'curuae fecantes, eo tantum 3b ipfis difcre- pent, quod coordinatae x et y inter íe permus- tentur. IV. sien o) tees 13 IV. De. formulis integralibus. duplicatis. — AudGore L. Eulero pag. 72. (s anii de corporum foliditatibus et füperfi- ciebus, quum ad eiusmodi formulas integrales deducatur, quae ex produ&o differentialium dua- rum variabilium x-et y, et funcione quadam ha- rum quantitatum componantur , adeoque duplicem integrationem requirunt, antequam valor ipfis com- petens determinari poffit; res omnino fuit maximi momenti in naturam et proprietates harum. formu- larum accuratius inquirere. De formulis autem eiusmodi integralibus , quas duplicatas appellare dlufir Aucori vifum eft, tenendum eft, quod fi binae variabiles x et y plane a íe inuicem non pendeant , duplicem earum integrationem ita infti- tuendam effe, vt in vna earum fola x variabilis, in alte- ra vero fola y ponatur, tum vero loco conftantium quantitatum ' duas quaslibet functiones fingularum x et y adiici oportere, vt integrale completum inue- niatur , et perinde omnino effe quo ordine eiusmo- di inftituatur integratio ,' quum femper idem . pro- dire debeat integrale. ^ Hae autem formulae: plane diuerfae fünt ab i's, quibus foliditas vel füperficies *orporum exprimitur, in his enim fpofterioribus omnino aliqua relatio inter x ety. intercedit , vnde b 3 earum 14. | e£35 ( o ) $ed earum integrátio ita isftituenda erit, vt poftquam in priori altera variabilium vt x pro conftante aí- fumita fit, hac integratione peracta , ea per omnes valores ipfius y extendi debeat, et loco y extremus valor, quem recipit, fub(tituendus erit, vnde fit vt in pofleriori integratione .y non amplius ab x fit independeus , fed plerumque aliqua. functione ipfius x exprimatur , adeo vt pofteriorem integra- nem vnica variabilis x ingrediatur. "Ad determina-, tionem vero integrationum inueftigandam , fünctio- nem qua productum d4x4y multiplicatum | eft, vnitati aequalem fupponere licet, liquet enim aream bafis hac formula f//4 xdy exprimi, ex cuius for- mulae igitur integratione , etiam iftae conditiones quae pro hac altera //Zxdy valent praefcribi poffunt. — Infignes autem et plane fingulares funt aflectiones harum formularum duplicatarum, in ea- rum transformatione confpicuae, fcilicet quemadimo- dum variabiles x et y, in alias £ et v. certa ratio- ne.ab ipfis dependentes , -transformari poffunt ita etiam , pro x et y his earum | valoribus inuentis ; fubftitutis nouae oriuntur formulae duplicatae alias variabiles inuoluentes. —. Iam ,cum: quam maxime probabile: videri; poffet «nouas has. formulas . inte- grales inon: folum. in fe. complectere tales quas .;pro- ductum d: dv ingreditur, fed praeter has quoque alias quae ex d4«' et d/^ conftant, facile tamen perfpicitur hoc fieri non poffe , quia pofteriores hae formulae..d «*.et d^ in. fe comple&tentes, ex. nu- mero e2(o)S$ue 15 mero formularum duplicatarum | excludantur. | Hoc autem -dubium facile diluetur fi confideretur non plane neceffarium effe, vt noua formula | integralis duplicata priori prorfus fit aequalis, quoniam in hac pofteriore aliae plane, funt conditiones fub qui- bus integratio peragenda eft, ac in priori. Potifí- mum. igitur fundamentum cui haec transformatio innitituf ex eo peti debet , "quod prima integratio formae integralis per transformationem ortae ita in- flitui debeat, vt vel 4 vel £ pro conítanti habea- tur. Infgnem autem hae transformationes faepius habent vfum ad íolutiones faciliores reddendas, quod imprimis exemplo famofi iftius problematis Floren- tini illuftratur , cuius plurimas folutiones elegantes JMluftr .Auc&or hac occafione adduxit , quarum quae 6. 44. occurrit generaliffhima eft. Caeterum . quoque notari meretur huic differtationi occafionem dediffe elegans problema , de inuenienda figura corporis , quod inter omnia eiusdem foliditatis , minima fü- perficie contineretur, cuius tamen problematis folutio quomodo inueniri queat , nondum patet. Mas Euolutio infignis paradoxi circa ae- qualitatem fuüperficierum. — Auctore L. Eulero, p. 104. ([.)ereaoiedam in do&rina linearum curuarum , haec fempet locum obtincat proprietas, vt j pu 16 wc ( o ) Seen propofita quacunque linca curua, nulla alia affigna- ri poífit , priori ita loagitudine aequalis , vt arcus omnibus abíciffis refpondentes fint aequales, ita con- trarium plane in doctrina folidorum locum — habere inuenitur , fcilicet propofita fupcrficie quadam, in- numerabiles femper iaueniri poffunt fuperficies diuer- fae quarum portiones, fpatio cuique plani cuiusdam fixi imminentes prorfus inter fe funt aequales Vt autem ratio difcriminis , quod hoc refpe&u inter do&rinam linearum et fuperficierum intercedit, me- lius intelligatur, perpendendum e(t pun&um quod- libet füperficiei alicuius determinari per aequatio- nem, inter tres coordinatis orthogonales, quarum binae in plano quodam fixo ducuntur, tertia vero diftantiam huius puncti a plano fixo exprimit. Si igitur priores dicantur v, y et tertia z , inde dif- ferentiale ipfius z huiusmodi nanciícetur formam dz-—pdx--g9dy, elementum autem quoduis fuper- ficiei fic exprimetur ZxZy V(r-i-pp-1-943). Pro- pofita iam alia fuperficie quae quum priori con- gruere debet ,- intelligitur pofito 4z—rx-1-sdy ele elementum fuüperficiei pro cadem ZxdyV(1--rr -- 55), vnde oportet effe 55-1-2q—rr-1-55. Quod- fi autem quis dubitauerit , vtrum haec aequalitas alia ratione locum inueniat, quam ea qua p—r, et q—s, ponat folum $—« fin. 6, q—«v cof 0 et r—« fin. Q, s—v cof. (Q et mox inueniet praefatam aequalitatem adhuc locum obtinere. Maxime igitur curiofum hinc nafcitur problema: quomodo propofita quacunque : fuper- eo ( o) Gedeon 1 füperficie, aliae vel omnes ipfi congruentes inueniri poffunt, quod quum latiffimo fenfu folutionem non admittat, cafüs praecipuos íolutionem admittentes euoluere Il!uftr. Auctori vifum cft — In problemate igitur pr.mo , poflquam generaliter in naturam ea- rum füperficierum inquifiut quae cum fuperficie plana ad datum planum fixum vtcunque inclinata congruunt, oftendit non folum omnes alias fuperficies planas ad bafin aeque inclinatis cum primum pro- pofita congruere, íed fuperficie$ quoque conicas, quarum axes bafi perpendiculariter infiftunt , tum vero generalem et elegantiffimam adfert conftructio- nem pro füperficiebus cum plano congruentibus , fcilicet fi in plano pro bafi affümto , linea. curua ad ]ubitum defcribatur , et a fingulis eius' punctis du- eantür rectae ad curuam normales, ad bafin autem inclinatae , füb eodem anguio, quo fuperficies plana propofita inclipatur , omnes hae recae totae, fitae erunt in fuperficie congruente. In reliquis infequen- tibus Problematibus cafus aliquanto difhciliores con- ficderantur, vbi quidem parüm infignes iítlae fubfti- tutiones , quibus Illutr. Auctor vfus eft ad íolutio- nes inuenien?as, partim etiam elegantes conftru&io- nes, quae inde deriuatae funt , fingularem analyfta- rum merentur attentionem. In Problemate demum quinto, eae quaeruntur fuperficies , quae cum fpbae- rica congruuat, et(i autem folutionem difficillimi huius problematis Iiluftr. Au&ori eruere licuerit; ex ea tamen vix aliqua füperficies fimplior fpbaericae Tom. X1V. Nou. Comm. c con- B eS ( 0 ) Side congruens determinari poteft. — De folutione autem huius problematis in genere monendum eíl, eam non folum admittere eiusmodi füperficics , quarum natura exprimitur per aequationes, quae quan- titates continuitatis vinculo inter fe iunctas com- prehendunt , fed etiam tales vbi nulla continuitatis lex locum habere animaduertitur , fic pro folutione quidem problematis primi , füperficies pyramidales aeque fatisfacere deprehenduntur ac füperficies conicae. VI. De íümmis Serierum numeros Ber- noullianos inuoluentium. Au&ore L. Eulero. pag. 129. Nose: Bermoulhani , qui ita ab inuentore lacobo Bernoullo magni nominis Mathematico vocantur , eo magis notatu digui fünt, quod non folum ipfe iisdem fit. vfus ad inueniendas fümmas progreffionum ex poteftatibus numerorum naturalium fed etiam quod hi numeri poftmodum ab Illuftr: huius differtationis Auctore ad fummandas feries po- teftatum reciprocarum adhibiti fuerint — In hac au- tem differtatione , Illuftr. Auctori propofitum fuit , in eiusmodi ferierum fummas inquirere, quorum termini numeros Bermoulliams , praeterea — vero quoque alios factores fecundum legem quandam cogni- tam e (0)$3 ,*9 tam progredientes , inuoluunt. ^ Propofita igitur primum fimpliciffma huius generis ferie, oftendit quomodo per certas tran:formationes ope integratio- nis vel differentiationis inftituendas , innumerabiles aliae inde deduci pofüut, quarum fümmas itidem affhgnare licet. Dein vero alium fontem , ex quo iftiusmodi feries promanant in confiderationem ducit, Ícilicet formulam hanc generalem : 2S-oXdx-X-4 qax $955d:x "M €4 X . etc 1«2«380 X 3,2.» 50e x3 1.2«««7 d, x9 in qua X terminum defignat generalem feriei cuius- «unque pro indice v», S vero terminum. fummato- rium et 96,25, € numeros Bernmoullianos. Si enim 1n hac ferie introducantur numeri A, D, C, D quorum relatio ad priores 9(,95, € ab initio diffzrtatio- mis expolita fuit, hinc huiusmodi nafcetur exprefhio AdX- BPX,Cd5X Dpdx i i 2d XuTUEicl--TIqeta Ada? etc. —S—fXdx—i quae indicat fummam iftius feriei litteras A, B, C inuoluentis íemper in poteflate efle , quoties fum- ma progreffüonis, cuius X eft terminus generalis aflignari poffit. Ad vlteriorém autem huius verita- tis explicationem , Illuftr: Au&or , eas cori(iderauit fas ; I feries in quibus X — —- , potioresque earum cafus X feorfim euoluit, eos fcilicet quibus s fignificat vel 2 vel 4 vel numerum quemcunque , vel etiam vnita- tem. "Pro fingulis autem docetur quomodo earun: dem fcrierum fümmae ope methodi .primum. pro- c2 pofitae 20 et5(02)96$ , Li pofitae inuefligari debeant, vt eo ipfo non folum vtriusque methodi | confenfüs exponatur , fed etiam appareat, quibus in cafibus vna alteri fit praeferenda. VII. De Partitione Numerorum in partes tam numero, quam ípecie datas. Au&ore L. Eulero, p. 168. Mss qua lliuftr. huius differtationis Auctor, problema de partitione numerorum olim tra- &auit, quum ita fit comparata, vt etiam ad alia problemata foluenda adhiberi poffit, hac occafione eam ad folutionem vulgatiffimi problematis, quo quaeritur quot modis datus numerus, dato tefferarum numero proiici pofüt, applicare confüituit. — Haec autem quaeftio generaliter concepta eo redit, wt inueftigandum fit, quot modis datus numerus, in datum partium numerum difpertiri queat , quarum fingulae fpecie dentur , data quoque multitudine omnium harum partium.: Si nimirum concipiantur eiusmodi tefferae quae non íex vt vulgo habent hedfas, fed in quibus hedrarum numerus ad z/mnu- rerum vtcunque magnum afcendat , tum vero fa- ciebus harum hedrarum infcripti fint numeri a, QB.*y,9, quaeftio in eo verfatur , vt determinetur quot modis , proiiciendo 7 eiusmodi tefferas, nume- rus ea (o )$He 21 rds N-ptoduci poft, Vt vero ad huius proolema- tis tractationem eo facilior aditus pateret , Illutlr: Auc&or cafüm primo vulgatem , quo tcfferae nu- meris naturalibus ab r vsque ad 6 notantur. confi- derauit, circa quam oftendit , fi huiusmodi expre(lio- nis ( X'-L-x^-4-a7-1- x*-4- x47 37)" fiat euolutio, tum quamuis poteftatem x" in ea toties occurrere , quot molis proiiciendo z teíferas , numerus [IN cadere poffit. Deinde quomodo haec euolutio aptiflime fit " inftituenda docet, et quaenam inde oriatur determi- matio coefücientium , quae ita comparata efít, vt femper quilioet coefficiens per tres praecedentes ex- primatur, vbi id tamen notatu dignum cuenit, vt licet hi .coefficientes tandem. 1n nihilum | abeaat , et poftremi primis fint pares, id tamen ex ipfía earundem relatione inuenta nequaquam perípicere li- ceat. Porto faciliorem exponit modum, quo hi -coeffcientes inueítigari poffunt, pro quouis tefferi- rum numero, fi iidem pro numero vaüitate minore jam fuerint inuenti, vbi etiam Tabulam (ubiungit Oftendentem, quot modis omnes numcri ab 1 ad 56 tefíeris vulgaribus quarum numerus vsque ad 8 afcendit cadere poíüt. At vero quum euolutio for- mulae primum propofitae, alia ratione iaftitui poffit, vt quilibet coeffciens abfolute a(hignetur neque prae- cedentibus, ad hoc opus fit, ifthaec euolotio, tanto magis expofitionem meruit, quo facilius eadem ad ipfüm problema generale applicari: queat. — Meque Cc à maiorem 22 es bore maiorem quidem. moleftiam , hac euolutione adhibi- ta, faceffit problema adbuc gemeeralius propofitum quo fingulae tefferae inaequali hedrarum | numero praeditae füpponuntur. Si enim ex: cauffa propo- nantur tres tefferae, quarum prima hexaedra, fecun- da octaedra , tertia vero dodecaedra eft, quarum faciebus numeri naturales ab vnitate incipien- do inícripti fint, atque quaeratur quot modis tribus bis tefferis numerus NN cadere poffit; refolutio eius quaeílionis pendebit ab euolutione huius produ&i (x--A--.. aS (x-px^-pBS.. x')(x-a4X ...4x") coefficiens nimirum poteflatis. x", oflendet cafüuum numerum. Denique mentio inftituitur quorundam clegantium Theorematum Fermatii, quorum de- monftrationes , ope huius methodi , aptiffme in- vefligari poffe videntur, licet nondum conítet quo- modo id perficere liceat. Horum prius eft quod omnes numeri in tres numeros trigonales refolubiles fint , pofterius vero quod omnes numeri ex additione qua- ternorum quadratorum oriantur, quibus etiam hoc adiici poteft quod omnis numerus fit aggregatum 72; numerorum polygonalium, laterum numero exiften- te —:; wel pauciorum. VIII. ced ( [6] j C Cot 23 VIII. De inuentione quotcunque mediarum Proportionalium citra radicum . A extractionem. Aücore.. L.. Eulero. Pag. 188. | T hac differtatione Illuft. Auctor, methodum ex- L. ponit facilem et elegantiffimam, medias quotcun- .que proportionales ope approximationis, quantumuis accurate inueniendi, Fundamentum autem cui haec füperftruitur methodus iü. eo fitum eft, quod fi numeri quiceünqué continue proportionales proponán- tur, eofum quoqde differentiae in continua pro- portione geometfica eiusdem exponentis fint, fiü vero feries nümerorum propofitorüm à proportione geometrica aliquantum: aberret, multo rnaiorem fore differentiarum aberrationem , ex quo vicifftm colli- gitur fi proponatür feries numerorum à proportione geometrica aliquantum aberiantium , fümmas horum numerorum ad proportionem geometricám propius accedere. Propofitis igitur duobus nümeris À etr Á inter quos media proportionàlis quaerenda eft, ita procedere licet, vt affumtis pro lubitu binis numeris & ct b inde formentur hi tres à--b; ar--b, et ar--br, quorum bini priores fi compendii cauffa vocentur a/, b/, inde iterum hos | 24. e32 (o ) $93» hos numeros elicere licet 4/-t- 5^ a'/r-1- f , nec noa.vlterius progrediendo hos &"-- U^, a^" r--b^ ex quo intcdligitur eiusmodi fra&dioncs 5, P^ eo propius ad valorem mediae proportionalis accedere, quo longius haec operatio continuata fuerit, Simili ratione duae mediae pro- portionales inueniuntur, affümendo primum pro lu- bitu tres numcros a, 2,€, ex iisdem vero continuo formaodo alios hac lege vt fit a/— 4 -4- b c: p/—b-r-c-d-ars; c^-e-2-ar--ór; quo enim vlterius haec operatio continuctur co propius eius- modi numeri O, 0, £0, ra) quatuor numeros in proportione geometrica progredientes exhibebunt. Sic quidem fi inter duos numeros rationem duplam tenentes, quae- rantur bini medii proportionales , ponendo aq — r ; b—:1, 6-1, poft leptimam operationem inuenietur q"—10080 L/0—12520 (0-——16co: , vnde "Hae rationes i24: €t ;2205 valorem mediorum proportio- nalium fatis exacte exhibebunt, erroribus infra decies milefimam partem vnitatis fübfiftentibus Confimiliau- tem oprratione vti licet ad tres vel quatuor medias pro- portionales inuefiigandas, quin etiam ia genere huius mcthodi ope, inter duos numeros datam tenentes rationcm , quotcunque medii prcportionales expedite inueniri poffünt. Series autem numerorum 8,0 ,a'^ ete. Bib ub ee, c, 73 d, d'/d'^ etc. fingula- ex35 (0) $e2e 2$ finoularem merentur attentionem , quum earum ter- minos generales femper concinne exprimere liceat, et ita quidem vt mutua relatio , quae has feries intercedit inde facillime perfpiciatur, IX. et X. De integratione Aequationis diffe- rentialis qd" y3-ba"" a" ydx-pca" d" 7 3dx*2- . ., rydx" — Xádx*. et Methodus integrandi, nonnullis aequa- tionum differentialium exemplis illuftrata, L Encore A. L- Eexetb" p. Pr:5 et 258. Ae differentialis, cuius integrandi Methodus in priori harum differtationum proponitur , eo magis attentione digna videtur, quod inter pau- ciffimas earum fit, quae fub forma generali propo- fitae completam admittant integrationem. Poftquam vero haec eadem aequatio differentialis a. fummis noftri aeui Geometris, lljuftr. Eulero et. d' Alember- tj), iam dudum fit tracata, fuperluum quidem videri poffet, quicquid ad eam illuflrandam adiicere- tur; quum tamen methodus in hac diflertatione expofita, in quibusdam ab antea allatis differat, et "Tom. XIV.Nou.Comm. d Ííem per 26 e6.(09)29 femper conducat eandem veritatem — pluribus modis elcuiffe, non prorfus inutilem exiftimauit Cl. Au&cr . huius differtationis operam , quam huic materiei explicandae impenderat. Quum igitur haec aequatio differentialis, fit generalis gradus nimirum 7;, wbi "» numerum quemcunque integrum denotat, primum disquirendum fuit, qualis fit forma aequationis diffe- rentialis, gradus proxime inferioris z7—r, ex propofita per integrationem eliciendae , fcilicet inuentum eft eius formam plane fimilem fore propofitae , atque ita repraefentari pofle: 4" d" -'y -aa" 7 d"7ydx-- 62-7 * d" ydx*--. --Aaydx" ^ —eda"-* vbi &,(,... ^ denotant coeffücientes ex | quantitati- bus conftantibus conflatas z vero füncionem ipfius Xx, vnde totum integrationis negotium reduci- tur ad inueniendos valores a, (9, ^ ct functionis z Heic vero fingularis haec íe prodit circumftantia, quod ex aequatione propofita, tot oriantur aequatio- nes differentiales gradus proxime inferioris, quot 75) continet vnitates , vbi: tamen faepenümero fit, wt plures earum inter fe prorfus congruentes deprehen- dantur, pro diuerfis igitur his cafibus, integrale completum diuerfa ratione inueftigandum — effe per- fpicitur. Primum itaque fi omnes aequationes differen- tiales gradus proxime inferioris inter fe fint diueríae ab vna earum reliquas fubtrahendo , eruentur aequa- tiones diffgrentiales gradus adhuc inferioris s — 2 tot, quot hic numerus 7-2 vnitatibus conflat, atque | e35 (0 ) $e 23 atque fi haec operatio continuetur, demum per. venietur ad aequationem finitam valorem :pfius y exprimentem. . Quum vero hic valor ipfius y ex tot functionibus ipíius x componatur , quot 77 con- tinet vnitates , oflenditur quomodo per folam diffe- rentiationem , coefficientes , quibus hae functiones ipfius x afficiuntur inuefligari queant, Deinde explicatur , qua ratione integrale com- pletum quaeri debeat cafu , quo aequationum diffe- rentialium gradus z—1 quaedam inter fe congruunt reliquae vero inter fe fint diuerfae, quin etiam qua- lem formam id integrale completum | induat, dum plane omnes aequationes gradus 4— 1 congruunt, adeo- que vt vnica fpectari poffunt. Porro et is cafus confiderationem fingularem meretur, quo plures dantur claffes aequationum differentialium congruen- tium gradus 7— 1 , pro quibus aeque fücile ac pro rcliquis integrale completum affiguari pote(t. Deni- que exempla quaedam adiiciuntur , quibus regulae pro quocunque cafu allatae illuftrantur. In pofteriori harum differtationum , | exempla quaedam aequationum differentialium — fuperiorum graduum adferuntur , quarum integratio ad plures 3equationes differentiales gradus proxime inferioris deducit, per quarum igitur inter fe comparationem vel ad aequationem finitam peruenire licet, vel etiam faltem ad aequationem dif&rentialem multo fimpliciorem , ad cuius igitur integrationem totum d 2 negotium 5$ E (9 ) Stc négotium denuo reducitur. Praeter eas autem aequa- tiones differentiales , quas ibi attulerat Cl. Auctor etiam fequens aequatio, eadem ratione tractanda , artentione digna videtur. dy d! y 3- add y? -AA- bdy* ddy -1- cdy* — ot Si enim huius integrale ponatur 4y--a/ dy: —Lb/ e^? dy'dx"—* fequentes pro a/, ^ et » inuenien- tur valores f—-—4; A—-bx 4 (bb — t2 -4- a)c) — D] ECT ET ReHEIPIE EA et 24/— —; b/ vero fit quantitas conftans pro lubitu affumta. Pofito i iam maioris breuitatis gratia f V (bb —4(2--4)c), fequentes duo oriuntur aequationes differentiales ddy A- £5 dy — he RH ym id ess ddy -A- 54 zu NOME LÀ dy dent vnde fi uit a priori fübtrahatur haec oritur aequatio : ' £g. dycze? LU (Ae* z AcBe 377 ay dy--* (eu o dytttmIe rus (Ae? zb -be' ST», ME te é numerum cuius logarithmus hyperbolicus — rx PHYSICO- we32 ( o ) eee» 29 PHYSICO -MATHEMATICA. J. Commentationes Phyfico- Mechanicae de Fri&uonibus, variis illuflratae - exemplis. Au&ore Daniele Bernoulli. pag. 249. l ommentationibus hifce occafionem — Hluftr. Audcori fübminiflrauit quaeftio de motu vir- ^ gae plano afpero incumbentis, cuius ex- tremitati potentia. quaedam oblique effet applicata, virgam motu lentifüimo protrahens , cuius folu- tio licet primo intuitu facillima videbatur , ali- quae tamen minus exfpecatae fe maniféftarunt difficultates , dum definiendae erant directiones, fub quibus fridiones motui refiflunt, Hoc igitur argu- mentum de directione refiflentiae ex fr.cticne oriun- - dae , dignum iudicauit llluflr. Auctor quod heic aliquot praeceptis et exemplis illuflraret. Dum vero effe&us fricionis definiendus efl, primum obferuaffe iuuat , haud maiores potentias corpori applicatas füpponi debere, quam quae ad frictionem füperan- dam fufficiunt, ne fcilicet fimul inertiae rationem d 3 habere / 96 e$(o)t5 habere neceffe fit. (Tum vero et hoc notari mere- tur a fimplici potentia, cuplicem corpori motum induci alterum rotatorium , alterum progrefhuum , pro vtroque motu autem definiendo fingulares obfer- vandas effe regulas. Cafus fimplicifhmus, quem heic confiderationi fübiecit llluflr, Auctor, is eft , quo corpori fiin- plici , cuius fingula elementa motu communi pro- ferri cenfentur , duae applicantur potentiae, ^ Si fcilicet plano horizontali incumbere concipiatur eius- modi corpus fimplex, eique applicetur potentia tan- ta , quae fricionem eius fuüpcrare valeat, adeo vt corpus motum directionem huius potentiae fequatur, tum vero fuperuenire putetur alia potentia cuius dire- &tio ad priorem fit perpendicularis, quae autem intenfi- tate priori cedat, quaeritur quaenam inde in motu corpo ris oriatur mutatio? Licet enim non defunt, qui exifli- ment, omnia in ftatu priftino permanfüra , re ta- men accuratius perpenía inucnitur corpus jam mo- tum fuum profecuturum, fecundum directionem inter directiones potentiarum mediam , id quod facillimo hoc experimento abunde confirmatur: Si in tabula ad horizontem aliquantum inclinata , protrahatur corpus fecundum directionem , inclinationi tabulae et plano horizontalis parallelam ; deprehendetur cor- pus hoc ad interíectionem continuo propius accede- re , quin et tanta iam non opus efle potentia ad corpus protrahendum , quanta opus foret fi corpus tabulae t2 )o( $3 31 tabulae horizontali incumberet. Deinde eum explicat Iilufir. Auctor caíum , quo duobus corporibus A et B fimplicibus , filo tenui aut virga omnis poaderis experte inter fe iunctis , motus inducitur applicando anteriori horum corporum D potentiam quamcun- que obliquam , quaeritur nimirum , quaenam fit relatio inter frictiones horum corporum et poten- tiam mouentem * Heic vero duo cafus fcorfim confi- .derandi funt , prior quo corpus B cui potentia ap- plicatur motu circulari circa , A feratur , fo/ferior quo ambo corpora mouentur. Horum rior oritur, fi refoluta potentia in duas directiones , vnam nor- malem ad lineam corpora iungentem AD , alteram cum ipía colucidentem, vltima harum potentiarum minor fit fri&ione ipfius corporis A, fo//erior veto fi haec eadem potentia aliquantillum fuperet frictio- nem corporis A. His euolutis quaeftionem' aggre- ditur Illuftr. Auctor de motu virgae plano afpero incumbentis et cui potentia obliqua applicatur, ad cuius faciliorem explicationem conducere exiftimauit fi primum confideraret motum rotatorium virgae circa pun&um quoddam fixum, inde oriundum quod potentia perpendicularis ipfi applicetur, hinc enim ipfum centrum rotationis virgae liberae deduci de- bere animaduertit, fi folummodo obferuetur , hoc pun&um ita fitam effe, vt minima potentia virgae motus induci queat. Singularia autem omnino funt, quae circa hoc centrum rotationis obferuanda occur- runt , ícilicet fi potentia extra virgam AB ad diftan- 32 ei (0)Sf45 diftantiam quafi infinitam adplicetur, caTet centrum rotatiouis in ipfüm medium virgae, fi diminuatur diflantia potentiae a virga, accedet centrum rotationis ad oppofitum virgae terminum A, fi applicatio fiat in ipfa virga, adhucpropius ad alterum virgae terminum A, qui a potentia magis diffitus eft accedet, denec appli- catio ia ipfo medio fiat, quo cafü idea centri rotationis plane definit, quia virga motu parallelo ince- det, tranflata autem potentia veríus alteram ex- tremitatem virgae A, protinus centrum rotationis verfus terminum D transferetur. IT. " Sectio fecunda de Principiis motus fluidorum. Aucore L. Eulero. pag. 27o. oflquam in Prima Sectione Tomo XIII. horum Commentariorum inferta Iilut: EvrERvs na- turam et ftatum aequilibrii fluidorum pertractaffet , in hac, principia quibus doctrina de eorum motu innititur, explicare conftituit. Primum igitur huius Sectionis «caput, coufiderationes circa motus fluidorum in genere continet, vbi oftenditur perfe- &am motus fluidorum cognitionem , ad haec qua- tuor capita reduci , denfitatem , preífüionem , vires follici- ES ( [6] ) d 33 follicitantes et celeritates quibus quodcunque elemen- tum fluidi fecundum ternas dire&iones fixas inter fe normales mouetur , quae fi ad. quoduis' tempus afügnari poffunt , quicquid fere ad motus fluidorum cogüitionem ,pertinet innotefcet. Heic autem mani- fefla (e prodit differentia inter motum fluidoruüm et corporum íolidorum ,, quemadmodum enim in tolidis fufficiat trium pun&orum non in directum fitorum motum. determinaffe pro inueniendo motü omrium, ita ex aduerfo in fluidis, fingulis elementis peculiaris inefe potet motus, adeo vt praecepta pro motu folidorum heic nequaquam applicari pothnt. In reiiquis ad hoc caput pertinentibus problcmatibus docetur, quomodo datis celeritatibus , quibus vnum- quodque fluidi elementum | mouetur , inueftigari queant , translatio cuiuscunque moleculae huius fluidi tempuículo infinite paruo, "variatio quae inde in. denfitatem infrtur et ipfa acceleratio , et de vltima quidem. id omnino notatu dignum occurrit, quod celeritatis incrementa fecundum quamlibet directio- nem a binis rcliquis celeritatibus pendeant, fecus ac in corporis folidis fieri folet , in his enim fi cele- ritas fecundum quamcenque dire&ionem.dicatur v, tempore. per 7 defignato , acceleratio femper "per hanc formulam. (£2?) exprimetur. —In Jecümdo huius fecionis capite principia explicantur motus fluido- rum 3 viribus: quibuscunque follicitatorum. —— Heic nimirum .docetur, quomodo datis viribus corporis follicitantibus , non folum vires eius acceleratrices fed Tom. XIV. Nou.Comm. e etiam 54 ec53 ( 0) Sex etiam motus ipfius definiri debeant. ^ Aequationes vero differentiales ad quas doctrina motus fluidorum reducitur , tanto magis notatu dignae fíünt, quod fünciones quatuor variabilium a íe inuicem non pendentium inuoluant , adeoque :ad nouum calculi genus referendae funt. Quicquid enim in calculo integrali hucusque praeftitum eft, fere ad functiones vnicae tantum variabilis extenditur , ea huius calcu- li parte, quae circa fun&iones duarum — variabilium verfatur parum adhuc exculta. Ex quo igitur li- quet quanta etiamnunc calculi fubfidia ad Theoriam fluidorum rite tracandam defiderentur. Quamobrem in.id.quam- maxime incumbendum eft, vt aequa- tiones ; :quibus | haéc doctina continetur, tam ad maximam quam fieri. poteít fimplicitatem , quam minimum numerum reducentur. inuenit. autem Iluftr. Auctor vniueríam motus fluidorum doctri- nam ad duas reduci poffe aequationes diffrentiales fecundi gradus , per quarum igitur integrationem quicquid hoc in negotio defideretur abfíolui poteft; Capui. tertium applicationem . continet principiorum in capite praecedenti ftabilitorum. ad fluida ciusdem denfitatis. Quum vero vix fperari queat , vt problema generaliter conceptum de . motu fluidi homogenei , facilem admittat folutionem , confultum duxit ]lluftr. Aucor cafus particulares confiderare, quibus motum huiusmodi fluidorum deflnire licet. Ad quos impri- mis fequentes pertinent, primo íi ternae. celeritates plane euanefcuut , quo cafu fluidum in aequilibrio verfa- «52 (o) Stm 35 werfbitur , déinde fi hae celeritates fuerint conflan- tes, adeo vt omnia fluidi elementa motu vniformi et parallelo ferantur , tertio. fi ternae fluidi celeritates, per funciones temporis éxprimantur, tuin vcro de- nique fi fluidi celeritates certam et conflantem inter fe teneant rationem. Quum vero quae in hoc capi- te adferuntur, motum íolum fluidorum homogeneo- rüm progrefliuum Ípectent, fequens explicationi mo- tus gyratorii huiusmodi fluidorum ab llluftr Auctore deftinatum cft, vbi eum quidem cafüm praecipue notatu dignum iudicauit, quo fluidum ita circa axem fixum gyratur, vt fingulorum «elementorum motus fit vniformis , celeritates vero functionibus quibuscunque diftantiarum ab axe proportionales: Ia Capiie quinto motus explicatur fluidorum pro co cafu , quo haec formula udx--vody-rwdz integra- tionem admittit, vbi x, et z tres coordinatas ortho» gonales , quibüs locus elementi fluidi definitur defi- gnant, & vero v et zw celeritates eiusdem clementi fecundum. directiones fixas in quibus x,y et captae funt. Huic vero cafui ideo peculiare affignatum fuit caput, quia is explicando motui fluidorum per tubos in quo Theoria praeprimis adhuc fuit occupata, jnfcruiat. — Caput, demum Jextum tractationem. conti- net de motu fluidorum ex ftatu. initiali. definiendo id nimirum heic quaeritur, vt ex fitu. elementi cuiuscunque initiali, deflniatur quem fitum certo elapfo tempore habebit , nec non qua denfitate et preífone afficiatur. & 2 PHY- 36 e$$ (o) PHYSICA. I. Mus Suslica. Auctore A. I. Gueldenflaedt p. 589. urem hunc minus adhuc cognitum , cam- porum auftralis orientalisque Ruffiae defer- torum incolam, quem hic Zoologis offert Cl. Auc&or , adeo folerter propofuit , vt in delinea- tione ipfius plura defiderari fere nequeant. Traca. tio a Cl. Aud&ore de illo elaborata complectitur 1*. defcriptionem omnium partium cum dimenfio- nibus accuratam , 2*. Anatomiam omnibus numeris abfolutam , 3?. oeconomiae fingularis , fatorum mo- rumque notitiam concinnam et 4^. annotationes , quibus /füs/icza a marmota, criceto aliisque maxime affinibus generis murini fpeciebus diftinguitur , per- fpicuas. Character fpecificus hoc modo audit: Mus corpore fufco flauefcenti , dorfo maculis rotundis albidis variegato , cauda pedum longitudime , deprefja pileja , palis tetradacfylis. plantis pentadaczylis. — Nobis mus hic ipfiffimus eft Citillus Agricolae , quem nemini Zoologorum poft illum , etiamfi in Polonia et Roffia auftraliori frequentifimum animalculum, ocu- lis videre licuit. 1l, eius (0o) 37 IT. A n3 8j Dy: £40 Cid Au&ore A. I. Gueldenflaedt p. 403. omen triuiale , quo Cl. Auctor hanc anatis ab Ornitholozis adhuc vix determinatam | fpeciern ditlinguit, 4yrocam loquor, Roffice vrinatorem nmpr- poke (Nyroc) fignificat. . Data exaca deéfcriptione omnium partium vtriusque fexus , characterem con- ftituit hunc: 4mas rufo nigricans ," abdomine ,^ fpeculo alarum. criffque. albis; ^ Maxime affinis Amas | nyrova e(t anati faligulae , diuer(as tamen et. con(ítantes fpe- cies illas conftituere multifaria obferuatione didicit CL Au&or. Memorabilia funt migratio , nuptiae, oeconomia , vfus , quae in fine operis adfert. IIT. Mur A Spalax nouum Glirium genus. -Au&ore A. I. Gueldenílaedt p. 469. ee notitia ordinis Glirium , examinatisque -. generibus, quae hic ordo comprehendit, ad ipfum Characerem animalculi nouum huius ordi- nis genus conítituentis , Cl. Aucor explicandum accedit. Audit ipfi Spalax , Gs denzibus primoribus 3 e $ in 38 ee35 (0 ) $93» in viraque maxilla cuneiformibus planis 5; roftro fro. bofcoideo , pedibus pentadaclyliss auriculis caudaque mul- li. | Effentiam - characteris huius geterici itaque in dentium primorum figura ponit, rec Cl. Auctori 4 veritate alienum videtur , Spalacem , cui nomen triuiale Micropbtalsus dedit, Talpam verficolorem ette febae , quam Ill. a Lisme Talpam ecaudatgm palms iridaciylis nominauit, | Singularifümum. eft, «t in hiftoria quadrupe- dua res inaudita ,- quod. vifu. plane careat Spalax nofter: nulli enim oculi pcr cutem apparent; nec vllum foraminis vefligium in cute caput Oobtegente detegendum, . Spatium tamen inter apophyfin zygo- maticam ofílis maxillaris et inter mufculum crota- phytem occupat conglomeratum quoddam glandulo - fum , liquidum fpiffüufculum. puri laudabili fimilli- mum , in celluíis continens ; centro huius conglo- merati per ceilulofam adharet oculus corpufculum nigricans , globofum , vix femine papauerino maius, antice. fubpellucidum nitidum referens , in| quo ob minutiem nec pupilla nec liquores difcerni queunt. Anomalum igitur hunc eflé oculum , nec ad uifum de(linatum vnusquisque animaduertit , quoniam non tantum , vt fupra commemoratum ,.. appertura per cutem careat, fed etiam muículo fübcutanco valido veftita fit. — IV. wc32 ( o) eoe" 39 | IV. Peregusna noua. Muftelae. fpecies. Au&ore A. Y. Gueldenítaedt p. 4.41. quom defcriptione et anatomia Peregufínae, varia ad phyfiologiam animalis huius pertinentia pul- chre adfert Cl. Auctor. Victitat haec beftiola wt omnes congeneres carne, praefertim muribus miartmo- ta criceto , fuslica , jaculo aliisque camporum - tanai- cenfium | inermibus phytophagis , inter. voraciffima animalia eft referenda idque ratione ftrucurae. tra-, &us inteftinalis breuiffimi nec. valuulofi , .quae , com- munis fere et maxime neceffüria, eft. omnium... mere, "arniuorarum:. conditio. ^ Olera , pacem, oua. et. "el, quae peregufnae expofuit Cl. Auctor, intacta veliquit, gallinam viuam oblatam autem mox pedi- xus prehendit , dentes femoribus gallinae infixit et fanguinem auide füxit. Dentibus gaudet ad conte- rendas plantarum partes ineptiffimis ad carnem au- tem dilacerandanr et praedam necandam aptiffimis. Mirum in modum in campis tanaicenfibus aliisque: auftralis orientalisque. Roffiae defertis vaffiffi- mis flabilita, eft politia naturae, humana arte non turbata; numerofiffmae enim plantatum | myriades campos hofce obueftientes partim infe&orem ' laruis , partim. auibus graniuoris , partim - quadrapedibus xi i phy- £o we35 ('0-) $e$eo phytophagis deftinatae , vt aequilibrum inter plantas feruetur , ne vna fpecie nimis multiplicata altera fuffocetur et pereat. Sed iterum cauendum füit , ne horum animalium numero nimis auco , nimia plantarum copia comedatur , et hac via plantae pe- rcant ; hinc -conditori naturae quam plurimis auium infectiuorarum fpeciebus , haud paucis aui- bus ornithophagis , variis quadrupedibus carniuorig quadrupedibus phytophagis infeftis, apta | domicilia. in his campis parare placuit ; vt proportio inter creaturas , quae. finis. eft; politiae natura, feruetur. Expofitis variis quae mores , nuptias, domi- eilia aliaque ad oeconomiam animalis pertinentia fpcétant , peregusnam fuam nomine fpecifico a con- generibus diftinguit fequenti : Mu/lela. pedibus fife, eapite es corpore fubtus aterrimis 5, corpore fupra brun- meo luteoque vario; ore fafcia frontal , auriculisque albis, V. De Ouo fimplici gemellifero. Au&ore C. F. Wolff. pag. 456. Ii practernaturaliter conftituti , fiue | monftra hi fuerint irregularia , fiue foetus connati, fiue gemelli, vni tamen ouo inclufi , ab omni tempore a phyfiologis magna cum attentione confiderati fue- runt, co fine et ea fpe, vt aliqua tandem inde lux et925 ( 0 ) ceo 4t lux theoriae generationis adfünderetur. De ouis ge- mellificis 4ri/Poteles iam meuütionem - fecit... Deinde Fabricius ab: Aquapendente de iisdem vberius fcripfit. Denique Harvaeus 'quoqué fuas his addidit obferua- tiones. '"Verüm ,:quae oua gemellifica ab. his aucto3 ribus vocatur ; eà neque véro fenfu talia, fed po- tius gemellà oua, vni teftae inclüfa fücre; (fiquidem ^itello ;- qui- effentiam oui conftituit; nou fimplici, qui géminuri foetum" produceret , féd duplici vitel- lo duplieique ^ albumiüe praedita ^ fuerunt ;) neque videtur "illi àu&ores^ «nquám embryoies horum ouofum ipfos in. ouis iücubatis ; fed ^mérd' taritum: oua Bon iticubatà vidiffe ; quod fatis ex. defcriptione, quatn: trüádiderunt, éet'ex diffenfü eoründetm refpeótu foetüum apparet j dum 4r iftoteles. foetum 'gemellum, Fabricius 4ütem- monftrüm - potius fore ' fufpicatur , quod prodiret ex 'eiusmiodi óuis gemellificis dictis , et^ Harvaeus tandem ^ ab' vtroque iterum diffentit. Subie&um ,'?^de' quo hic agitür, ^vérum? ouum ge- meififerni: füit ; fimplici albamine ; fimplicique vi tello, ex quo duplex embryo propullulát ,. inftru- &um , fex quidem dies incubatum ; quo tempore ícilicet foetus gallinaceus in ftatu embryonis adhuc- dum verfatur et notabili tamen magnitudine iam gaudet , vt nudis etiam oculis perluftrari queat, praetereaque plurimas partes inchoatas, licet non- dum perfectas, iam habet. Praemilfo difcurfu de differentia inter oua gemella et gemellifera , deque in fpecie priorum natura et ortu , Clariffimus Auctor Jj Tom. XIV. Nou. Comm. f flatum 42 «H2 (o) Spe ftatum naturalem oui fex dies incubati breuiter de- fcribit, vt accuratius eo intelligantur , quae fingu- laria et praeter naturam. huic fübiecto infunt. .De- inde defcriptionem. oui gemellif£ri ipfam aggreditur. Praeter ea , quae iam. indicauimus , plura alia. fin- gularia non minus digsa notatu in eo ouo. occur- runt; veluti abíentia amnii et fitus embryonum.- nudorum proríus extra vitellum ,. cui pedunculorum epe adnecuntur; cum. naturaliter . intra externam. vitelli membranam embryo inclufus eíl; et. alia, quae in Differtatione | ipía legenda. Denique. coníe- éaria quaedam addit de ftatu. oui, gemelliferi | ante. íextum incubationis. diem ; nam iíte quidem ex, praefenti fiructura concludi poterat. . Porro. fimili modo de ftatu eiusdem. poft diem fextum.. . Poxro- de partu. vel 'exclufione .foetuum. eiusmodi. gemel- lorum, qui illum terminum fuperuiuere vix poffe videntur. Denique de. ortu monftrorum , quae non fieri ex gemellis compreffis et! concrefcentibus; | fed: ex vegetatione potius ipía luxuriante , fatis luculenz. ter oftenditur. | VI.. 532 (o ) $8 43 VI. Defcriptio pifcis, e Gadorum genere, Ruílis Nawaga (marara) dicti, hi- florico anatomica. Au&ore I. T. Koelreuter pag. 484. P iftem hunc oceani europaei incolam , ichthyolo- gis quidem recentioribus notum a memine au- tem deícriptum , quem, Cel. Audcori nobifcum com- municare placuit , «a folertia explicauit , quam Lectores in operibus Koe/reurerianis pulcherrimis ex- pe&are confüeuerunt. — Datis exactis defcriptionibus omnium partium externarum omnibusque partibus internis cultro ,anatomico fubiecis , fynonyma lll. a Line et Artedii adfert. — Eft Nawaga Gadus (Callariay) tripterygius cirratus varius , cauda "integra, maxilla fuperiore longiore Lim. Syft. Nat. ed. XII. Tom. L. pag. 436. n. ». Dolendum eft, vt de oeconomia plurimarum incolarum pelagicarum , quae iucundiffima eft Zoologiae pars, ichthyologis fere nihil dicere liceat. T4 ^ VIL 44 eis (o)23- VII. -Deferiptio quorundam. animalium. a Au&ore b Lepechin pag. 499. I. hac commentatione fex C quinque aues et ynum mammale defcribit Cl. Auctor. - Prima. auis eft Parus dorío dilute coeruleo inferne albus capite albo tania ad. oculos et medio abdomine mae cula oblonga ex atro coeruleis füfcia alarum media alba, qui Ruffice Kniaefiok ( xaasiokb) nominatur et in virgultis. circa Synbirsk habitat. — S'ecunda eft fterna. Tíchegraua (uerpasa) fuperhe ex albo caua , inferne. niuea capillitio nigro albedine irrorato , Io- ftro coccineo , pedibus nigris, quae ad mare ca- fpium. frequentiffima et voce rifüm aemulatur. Ter- iia eft Fringa , inferne alba, fupra nigra lituris longitudinalibus flauefcentibus , fafcia alarum alba, | pedibus lobatis, quae ad lacus falfos habitat et DIRE mare cafpium gregatim volitat. — Quwina eft. Ardea pumila, capite et collo flauicante caftaneo alboque variis, dorío caftaneo , inferne albicans, quae etiam ad mare cafpium babitat. —Quinia eft Motacilla Ple- fchanca (nxemanka) dorfo pectoreque nigris , capil- litio abdomineque albis, quae in foífis praeruptis circa Saratow et alibi ad Wolgam habitat, vbi in modum hirundinis ripariae effodit cauernas horizon- tales , profundas , aliquando etiam aliarum auium ca- vita- e$32 (0) $82 7 vitates occupat. Singularis eft propagatio huius auiculae : decem enim pullos Cl. Auctor in nido vnico. inuenit. Mammale de quo agit; e(t Mus. oculis. minu- tiffdis, auriculis caudaque nullis, corpore rufo cinereo, quem incolae Slepyfchok (cxempmmokb) vo- cant. . Hunc murem Cl. Auc&or primus omnium inuenit; "idemque eft animalculum quod CI. Guei- denflaedt | Spalacem nominauit. et cuius in hoc. fum- mario don 409. mentionem fecimus, rum : De Capra Saiga et Erinaceo aurito.- Diflertatio... - Au&tore Saraeli quoi Mtis pag. 512. P: pars aiffebétioné huius exactam ' defcriptio- nem Capraé Saigae exhibet , quam Illuftr. a. Lin- n? in Xll" editione fyft. naturae Tom. Lp. 97. n. ir, Capram 7aj/aricam cornibus teretibus rectius- cülis'perfe&e annulatis: apicé diaphanis, gula im- berbi, nominauit, et beat. Gwnus füb nomine lbicis -imberbis be Commentariis noftris: propofuit. Pofterior. pars Erinacei nouam fpeciem tradit, quam Cel. Auctor in regione Aftrachanenfi frequentiffimam obíeruabit et.ob aures;exítantes.. aurium. nominanit. 46 eti (o) Side IX. | | Lychnanthos volubilis et Limnanthe- ium peltatum noua plantarum genera. Auctore Samuel Gottlieb elit, p38- 525. po haram plantarum , quam Cel Auctor ad Tanaim legit, ad Decandriam Trigypiam lll. a Linne pertinet, — Dato charactere: generico , allata etiam defcriptione omnium partium eXacta, paulu- fum adhuc haefitare videtur; ita enim e expri- mit: aut Lychnanthos noftzr Silene erit, aut Cu- cubalus , aut demum Saponaria. Sed fi haec gene- ya bene diftin&a funt, neutrum recte ingreditur. - Faux coroata a Cucubalo eundem feparat. — Ab eodem et Silene Bacca globoía wniloccularis,,.. Atque a Saponaria //fylo trifido recedit... Summe videtur conuenire cum Cucubalo baccifero, fed cum eum nunquam vidiffe meminerim nil determino. . Nec errauit Vir Cel. et nobis Lychnanthos nihil, aliud quam Cucubalus baccifer effe videtur. Alterum genus Limnanthemum peltatum | pu- t1, quod ad vrbem Tícherkask in paludibus inue- nit, ad Pentandriam monogyniam llluftr. a Line referendum eft. Nos in Limnanthemo fummam: cum cS (o) Ste 4T cum Menyanthe mymphoide affinitatem | aniomduer- timas: omnia enim. quae: de illo. dixit Cel. Auctor etianr:de hoc dici poffünt;, excepta Corollae quinque petala , quae in Menyanthe nymphoide quinque gartita.. X. Obferuationes et defcriptiones | botanicae. | Auctore L Gaertnero pag. 53r. ()* hac Differtatione plantarumr partimr noua- rum: partim minus fufficienter antea deftripta- rum: exácam delineationem: Botanicis offert Cel Auctor, Prima earum eff nous fpecies Veronicae ,. quae Cel. Viro Veronica grandiflora racemis latera- libus faxis , foliis oppofitis , crenatis , hirfütis ; caule adfcendente ,. flolonifero ,. audit. CHI norm quidem prorfüs noua fed minus rite hactenus defi- nita plantz, quam beat. Sze/lerus cwm priore im Kamtíchatca legit et Gmelus Fk. Sib Tom. $3. p. 219. veronicam: foliis inferioribus ouatis , crenatis 5, fuperioribus rotundis mucronatis, caule fpica ter- minato , appellauit. — Hanc , cuius character in ca- lyce altero latere fiffo cum flore diandro confiftit ,, Cel. Aucor diuerfi et nouique generis effe cogno- vit et Lagotidem dixit. ^ Nomen triuiale huius "m | plantae 48 -c35 (0 ) $s3e plantae eft Lagotis g/auca foliis radicalibus petiola- tis, caulibis et fpica terminali fefülibus, Tertia eft Bronus ouatus panicula: ouata, fafciculata, erecta; fpiculis oblongis :. intermediis "primoribus breuius pedunculatis ; fecnndariis fcfhlibus , qui ad maris calpii littora habitat. ^ Quarta et quinta funt agro- pyri noui generis ex ordine graminum duae fpe- Cies , agropyron. puta zrif/atum fpica, compofita, flofculis lirfutis,' et Agropyton zriticéum fpica fim- plici ,flofculis Tacnibus. Prius llluftr. a —Linne Bromum fpiculis diftiche imbricatis, feffilibus , de- prefüs , dixit, et beat. Gselimu; Feftucam culmo fpi- cato , fpiculis multifloris, in Flora Sibirica nomina- Xihon . pofterius yero noua fpecies eft quae ad .Wol- gam et laicum vt et in tota fere Sibiria auffral in locis fterilibus. pafiim occurrit. — Sexta eft Rubia cordifola | frequentiffima in rupeftribus Sibiriae trans- baicalenfis planta, cuius femina Zachertius Pharma- copola apud. Argentifodinas argunenfes et botano- philus mifit. Septima eft Anemone fu/la flore .ca- lyculato; fcapo aphyllo pubefcente , foliis radicali- bus ternatis , incifis, quae etiam inter plantas Si- biriae propeias numeranda, Octaua eft pulchra Di- gitatis g/utinofa Chinae feptentrionalis incola, I XI. e ( 0 ) $e 49. . XL. Defcriptiones Quadrupedum et Auium anno. 1769. obferuatarum. - Au&ore P. S.. Pallas. Pag. $A47- ross quadrupedum et, quinque auium minus aüteà cognitarum deftriptiones Cel. Autori hac Differtatione cum eruditis communicare placuit. Quadrupedes funt Mus Cirillus et talpinus et — Erina- ceus auritus Aues vero Anas rutila, Sterna Cajpia , Motacilla /eucomela Loxia erytbrima et Parus cyanmus. In omnibus his defcriptionibus eadem. elucet foler- tia, cadem eruditio , perfpicuitas. ea , quam an- tea femper ,in fcriptis noftri Zaologi inuenerunt lectores. . XII. Nouae Infe&orum fpecies. Auctote E. Laxmann pag..595. i maguos illos fcarabaeos americanos , quos Cel. Koeheuter pulchre deícripfit , excipiamus , nihil de Infecis in Commentariis noftris occurrit. — Vt etiam de Rufíficis et Sibiricis Infectis eruditis ali- - Tom. XIV. Nou. Comm. g quid go et5$ ( 0 ) $52» quid conftaret , operae precium effe duxit Aué&or , qui plurima hade vaftiffimi. Imperii animalcula , per. totum íexennium collegit , tredecim has fpecies tra- dere. Primae feptem harum. ad Coleoptera , octaua et nona ad Hemitera pertinent, ^ Speciofiffimae funt quatuor vítimae Myrmeleon puta Kojywanenfe, Ichneumon gigas, Conops feiiolatus et Aranea /ingo- rient. | Cum autem in deícribendis ipfis breuitati magnopere ftuduerit , plura de illis in hoc fum- mario. dicere. fuperuacaneum , putauimus. INDEX. «$32 ( 6 ) Stew 51 INDEX DISSERTATIONVM. Matbematica. D. Bernoulli, Disquifitiones Analyticae de ncuo pro- blemate coniecturali pag. 3. Eiusdem , | Men(üra fortis ad. fortuitam. fucceffio- nem rerum naturaliter. continsentium applicata pag. 26. L. 2 did , Confiderati.nes de. traiectoriis orthogo- Oc nalibus pag. 46. Bit De formulis integrabbus duplicatis p. 72. Eiusdem , ^ Euolutio infignis Paradoxi circa aequa- litatem. füperficierum pag. 1o vis dii Dé fümmis ferierum numeros. Berzoul- lianos imuoluentium pag. 129. | De partitione numerorum in partes, tam noftnioco2omamero quam 'fpecie datas pag. 168. Eiusdem ,.;De inuentione quotcunque mediarum pro- portionalium citra radicum extractionem pag.. 188. 4. I. Lexell, De integratione" aequatiouis differentia- lis pag. 215. Eiufdein , Metbodus integrandi , nofinullis aequa- tionum differentialium exemp.is illuftra- ta pag. 238. | Neg Pby- ($2 ed (0o)6$t5 Pbyfico- Matbematica. D. Bernoulli, Commentationes Phyfico- Mechanicae de fri&ionibus variis illuftratae exemplis pag. 249. L. Eulri, Sectio fecunda de principiis motus flui- dorüm pag. .270. P b»fica. 4. L Gueldenflaedi , Mus Suslica. Eiusdem , Anas Nyroca pag. 403. Eiusdem , Spalax, nouum glirium genus pág. 409. Eiusdem , Peregusna , noua muftelae ípecies p. 44.1. C. F. Wolff , Ouum fimplex gemelliferum pag. 456. 1. T. Koelreuter, Defcriptio piícis ,- € gadorum gene- e, Ruffis nawaga dicti , hiftorico . ana- tomica pag. 484. J. Lepecbin, Defcriptio quorundam animalium p. 498. SS. G. Gmelin , De Capra Saiga. et. Erinaceo aurito pag. 512. Eiusdem ,. Lychnanthos volubilis et esser ccn peltatum | noua plantarum genera pag. 525. 1. Gaertner , Obferuationes et defcriptiones botani- cae pag. 53t. P. S. Pallas , Defcriptiones quadrupedum et auium Anno 1969. obíeruatarum pag. 548. E. Laxmam, Nouae Infecorum fpecies pag. 593. MATHE- ^w ^ MATHEMATICA. FP ACA ENS DISQVISITIONES ANALYPLCA.E BdbiNOGoNIMVBASOIICB MIA A ESL CONIECTVRALL "Auctore DANIELE BERNOFLLI. $25 ad; "Mint duae, tres, pluresue vrnae, in quibus fin- gulis fchedulae certo et aequali numero repo- | fitae putentur, íchedulae autem vniuscuiusuis vrnae fuo peculiari colore a íchedulis reliqua- rum vrnarum ab initio diftinctae fint; tum porro fchedulae fucceffive , forte tamen , permutentur hac lege vt quauis vice ex fingulis vrnis fchedula vna extrahatut , et deinde in vrnam ordine fequentem 'tramslocetur, illa autem quae ex vrna, vltimo loco pofita , extra&a fint, in.primam reponatur: -his ita pofitis datoque permutationum , praefato modo facdarum , numero quaeritur numerus fchedularum cuiusuis coloris quae probabiliter in "quaüis vtna A 2 coüti- 4 DISQVISITIONES. ANALYTICAE continebuntur , quoties autem extractio ex fingulis vrnis fimul facta fuit, fimulque. eo , quo. dixi, mo- do in vrnam fequentem fchedulà quaeuis transpofi- ta, integram iftam operationem vnius permutatio- nis nomine indico. Tale eft argumentum , quod nunc difcutiendum mihi. propofui :: - potuiffét quidem generalius. proponi , fumendo. numeros fchedularum primitiuos in diuerfis vrnis vtcunque inaequales eas- que vel ab. ipfo. initio: qualitercunque permixtas ,. at aliquid concinnae breuitati dari poffe putaui. $ 2. Quamuis obuius fit calculus pro duabus vrnis eum tamen ob nexum , quem habebit cum: fequentibus , apponam : fint igitur in prima vrna 7: Íchedulae: albae. totidemque nigrae, in. vrna altera ,. erit fecundum notas combinationum atque probabili- tatum regulas, poft primam permutationem , nu- merus fchedularum albarum in prima vrna refi- duarum — 2 —1, poft fecundanr permutationem — o —206—3. - 1, poll tertiam. permutationem: UE . — (n — 3)*: no— . 2 habebitur (z—329—5 X -- r5. poft quartam: — Y — 3 —— dà e 2* — ? : utv (—)mHM Q0 qot i; poft quintam. im n — 2)* (n — 2)3 (n —2y T —2 : GL URMAe Temas hoa de secet. fic: porro; inde colligitur ,. fi- generaliter. numerus facta-- rum.permutationum. füerit * atque ponatur breui- tatis. gratia —z^— s& fore; numerum: fchedularum: T -—1 albarum in prima urna reliquarum 5 a aiaolod- (1-3) f: bap n — — DE NOVO PROBLEM. CONIECTVRALL 5 -—in(r-4-m") De hinc reliquarum fchedularum: diftributio. per. fe. intelligitur. '$&. 8. Quia m femper eft vnitate minor euanefcit terminus 77", fi r fit numerus. admodum magnus atque tunc fit numerus íchedularum. albarum- in prima. vrna refiduarum fimpliciter — £4; ftatus is eft. afymptotos., ad quem dum: permutationes fiunt , magis magisque peruenitur ,. nifi fuerit 7? vel aequalis vnitati vel binario ; etenim fi. vnica Ííchedula alba vrnae primae et vnicxr nigra vrnae alteri indita. füerit, fit z — — x alternisque vicibus vel nulla vel vna fchedula alba in. vrna erit locata , quando: quidem formula nofítra abit in :( x Te rc Lg fi vero füerit 4 — 2. fit 9 — o formulaque indicat. vnitatem feu' valoremr medium fiue probabilem inter fingulos valores poffibiles. Haec non vrgebo; aliud. eft quod. potifümum. intendo nempe vt. inquiratur quid: futurum. fit ,, cum ipfe fimul. numerus. fchedu- lirum permagnus. e(t ita vt pro infinito veluti BHaberi poffit, nec.enimr tumr amplius mumerus z^ negligi poteft, nifi r fit velati infinities maior welipfo numero z: Hàc facta fuppofitione incidimus: argumentum , quod folo- calculo infinitefimalhi breuiter expediri poffe, nulia combinationum habita Yatione , oftendi ix. Commentariorum volumine XII. Igitur confenfüm vtriusque methodi.,. vt^ novo argumento: manifeftarem', animum: iiduxis; |prae- fertim cum. hanc eandem- methodum. infinitefi A. 3. malem: 6 . DISQVISITIONES ANALYTICAE. malem in fequentibus , quae magis erunt abflrufa ; pariter adhibere confítitui ; INunc in. viam redeo, 1 - $. 4. Quod fi proinde numerus 7 pro in- finito habeatur , erit z pari iure veluti infinite. paruus, quem vocabo a fietque 9&; — 1 —a; «rgo formula noftra 1 n (x -4- m" ) numerum fchecularum albarum in prima vrna refiduarum exprimens dabit in (1 H-(1-4)) : Eft vero (s—a)^— r-ra s LEE a ist s -, — etc. quae feries aequalis eft fimpliciter c^ I I qu vel — "LECCE vbi litera c denotat numerum, p^5g cuius logarithmus hyperbolicus vnitas eft, aut pro- xime numerum 2, 7 r8. Igitur fi numerus quae- fitus fchedularum albarum poft r permutationes in prima vrna refiduarum indicetur per x , habebitur I X-—in(r---— Cn $. 5. Iam vero quaeritur quemadmodum ilem valor altera methodo inueniri queat , confide- rando nempe quantitates x et r tanquam , fluentes , quod vtique fieri poteft, quamdiu vnitas pro valde parua refpe&u numeri fchedularum in vrna refidua- rum haberi poteft: Hoc ita pofito haud difficulter apparet fore d x — —*dr--'— dr, vbi primum membrum debetur fchedulae extractae :- alterum . im- x —d 2X—n : d à - miffae. Inde habetur ———, — —;-— velilog "x;—- x e DE NOVO PROBEEM.CONIECTVRALI 9$ |t Lip r vel. Ux T » vnde protinus fitxzin(i-4- EL € Pinf vt antea habuimus. ": ng: 6. Sunt itaque gera quaeftiones. folu- tu multo faciliores ,. cum, numerus fchedularum ceu infinitus habcri potcft , quin fere totam fuam in- dolem mutant et vix adhuc in cenfüm probabilium referendáe videntur , etiamfi folutionem alteram ex meris pfincipiis artis coniecandi deduxerim ; per- fpicuum enim «ít, pofteriorem | noftràm p ena plane eandem bre. , fi duo füpponantur vafa duobus canaliculis inter fe communicantia, per quos perpe- tua fiat transuafatio duorum fluidorum | in. ambobus vafis contentorum. et protinus perfecte permifcibi- lium, fique lex permixtionis pro quouis temporis buio quaeratur. Velim autem notetur numeros vel mediocriter magnos fine fenfibili errore pro in- finitis haberi poffe; fuerit, verbi gratia , 9 — 200 et 7 — 100, dabit formula paragraphi fecundi nu- merum fchedularum albarum in prima vrna proba- biliter reliquarum — 156 ?, dum hypothefis infinitae magnitüdinis exhibet 156 ;. Imo potuiffent numeri feligi multo minores, : $. 7. Faciem aliam Problema nofirum induit cum plures quam duas proponimus vrnas, tres modo. fi fuerint, protinus in calculos incidimus faris perple- X05 ; miratus füm nouam adhibendi calculi indolemi inde- $ |. DISQVISITIONES ANALYTICAE. indeque iudicaui latius patere ac putaueram vfum algorithmi iüfinitefimalis: in huiuscemodi quaeftioni- bus pertractandis. Prius vero quam .ad examen. de. numero fchedularum veluti infinito defcendam, folu- tionem exponam generalem ex principiis víitatioribus deductam vt fic quisque perfpiciat, fi rem vlterius profequi yoluarit ; viam Quam debeat «calcare. 6. 8. Sint igitur nunc tres vrnae, quarum prima ab initio contineat z fchedulus albas, altera totidem nigras, tertia autem totidem rübras ; füp-. ponaturque poft datum facdarum permutationum. numerum , fuperefíe in prima vrua. A fchedulas albas , fiilqde in vrna fecunda atque tertia nume- xum féhedularum albarum effe B et C: Eft autem perpetuo A-;- B -343- C — »; His ita. pofitis quisque facile videbit fore poft nouam fuperuenientem ' per- mutationem numerum fchedularum in prima , fecunda: atque tertia vrna ——:4—€; 0 —28-E^ qtqug 2-705. Cognita autem diftributione fhedularum albarum caetera omnia fíüa fponte ingotefcunt erit. nempe- numerus fchedularum nigrarum in vrna prima —C;. in fecunda — A; in tertia, — B atque rubrarum in vrna prima — B, in vrna fccunda — C; in tertia — A; Igitur de fola diftributione albarum inquiram. ^ Quia vero,,vt vidimus, flatus fequens €X dato praecedente cognofcitur , fiatusque ini- tialis datus eft, omnis variatio ab initio vsque ad quamuis factam permutationem intelligitur. ^ Ta- lS | ' | bulam €luceícit. Nume- rus per- muta- [ : tionum. Prima o. p. L4 IRL X ín — ay 4. n n — :3 4-9 3. nn (n — Q2 s(n—1) 4. n3 (n— 1)5 25 10 (1 — 1)? 5. n (n — 1 4- 2o (n — 15 2-1 6. 7 a5 $ EM ien (soi [s Pene pede 6- .DE NOVO PROBLEM. CONIECTVRALI. g bulam adiicio, qua progreffio terminorum magis etc, 5 (n PRMEDEN 6: m sni "n? n? n—1) -- siia ee cns Be DCSO caste ne n? 8(rn—1)7 -—7o( BL panem (n-1)8—i 71 Sings 8 rl n? L etc. Numerus fchedularum albarum , quae probabiliter erunt in vrna. Secunda Tertia Qu » 20 — i» T i —3» sni) nn TL i0. (n — 1) -- 3 pe u* 15 (n — 1)* 4 6 (n — 1) UU MEN 2r (n—31)5-L2:1(n—:)? CUT uU EE ien essen ketnisy ac 126^ n-i item ou) $. 9. Quicunque animum ad praemiffim ta- bellam attenderit , grcfhonis , quae talis eft. hic facile perfpiciet legem pro- Indicetur numerus facta- rum permutacionum generaliter littera r, affumaturque binomium cuius alterum membrum fit 4— x alterum I, iftudque binomium f-eleuetur ad dignitatem r, fic vt habeatur. ((7— x)-1- 1^5 conuertatur quantitas in feriem : iy «-rn-iy- 4. ie 2 7 n—1)y"-4- : Tom. XIV. Nou. Comm. Je 2. 3 B TRIS (n— xy dcin liaec JB mA ES In NS :9 — DISQVISITIONES ANAYLTICAE. In ifta ferie, quam vocabo, generatrice ad- dantur primus , quartus, feptimus etc. terminus, eorumque fümma diuidatur per z"—7', ficque ba- bebitur numerus fchedularum in prima vrna; Deinde fi addantur fecundus , quintus, o&auus etc, termi- nus füummaque pariter diuidatur per z'—' habebitur numerus fíchedularum albarum in vrna fecunda;- Denique fümma tertii, Ííexti ,. noni etc. termini dinifa per 7^—' dabit numerum fchedularum albarum - in tertia vrna. ^| Vnde per fe:liquet , numerum omnium íchedularum albarum , vi huius contia am - .nis, eff conftanter —7, prouti natura rei poftulat. '& 10. Res eo; quo mihi obferuatae. fuerunt ordine profero ; lam vero facile intelligere potei ex praecedente paragrapho, quotcunque fuerint vrnae, praeftam íeriem generatricem femper eandem per- - Ianere , primum autem eius terminum pertinere »ad primam vrnam , fecundum terminum ad fecun- ,dam vrnam, tertium ad tertiam et fic porro donec peruentum fuerit ad vrnam vltimam , tumque .terminos fequentes eodem ordine iterum tribuendos effe vrnae primae, fecundae etc. donec fecunda perio- dus finita füerit , quo facta tertia incipit periodus incipiendo iterum ab vrna prima et fic deinceps, vsque dum omnes feriéi termini füerint exhaufti. Erunt porro finguli termini diuidendi per 77^ '; hoc fa&o indicabit fumma omnium terminorum ad ^ eandem DE NOVO PROELEM. CONIECTVRALI. zz eandem vrnam pertinentium numerum omnium íchedularum albarum in ifta: vrna contentarum. Et haec eft folutio generalis problematis | noftri paragrapho primo expofiti. | $. rr. Videamus nunc an ifta.folutio generalis confentiat cum folutione , quam dedimus pro duabus vrnis in fine $. 2. vbi vidimus effe numcrum íchedularum albarum in prima vrna contentarum marem") veb-im(r-—-(-Y), nam.ibi breuitatis gratia pofueramus 77 — —;- ; Praefens vero folutio generalis dat numerum ífchedularum alba- (n—1y r.(r—1)(n—a)-* .rum in prima vrna — aes I. 2. 1i B ues Jos (C no )n- yt adis al mu nos oportet. igitur vt pracfata feries indefinita fit aequalis 2 z( x 4- ( —— y), vt ifta aequalitas appa- reat, confiderabimus praefatam quantititem fub hac (n-1) x (71-1 jag Nunc vero fi ambo numeratoris binomia in fcriem. indefinitam. conuertantur fiet vt termini plane iidem alternatim vel duplicentur vel deftruantur ficque 'ipfifüomam folutionis generalis formam exhibeant. . At pro cafu hoc particulari praeferenda vtique eft expreffo paragraphi fecundi ceu longe compendiofior. B 2 | 5i | altera forma z«((( Eu 1) fiue 12 DISQVISITIONES: ANALYTICAE. Si vnica confideraretur vrba., permaneret vti- que in illa idem conftanter numerus fchedularum albarum , quod ipfüm pariter folutio generalis indicat, 6. x2, Iam propius ad id accedo, quod potiffi- mum confütutum habebam nempe vt pro tribus vrnis oftenderem quemadmodum iftud negotium ope 'caleuli infinitefimalis confici pofüt, fi quampluri- "mae fint fchedulae faepiusque permutationcs fuerint repetitae ita vt numeri z et r veluti infiniti cenferi poffint, cuiusmodi examen fecimus pro dua- bus vrnis $. $. 4 et 5, hanc difquifitionem vtraque methodo , analyfi nempe communi atque infinitefi- mali faciam , vt rurfus confenfus inter vtrumque eluceícat. Si flatim fermo fit de vrna prima, habebi- mus, vi paragraphi noni , numerum fchedularum albarum in illa contentarum, mutata tantifper forma negle&isque terminis negligendis ita expreffum v dva y3 pyó n,(1 —1) (x--c-zurexrens- etc. ) Eft vero per paragraphum quartum quantitas I (x—5)-—,r, quae proin quantitas fubflitui 7" poteft ; poftmodum pari methodo definiri poteft "mumerus fchedularum albarum in vrna fecunda ac denique DE NOVO FROBELM. CONIECTVRALIL, 15 denique in tertia, hoc modo inuenimus numerum fchedularum | albarum. n s - Y pur conor. In vrna I. vk Mere ssp — eg te. » TL n * ze. VT r 2.3 Nn AE In vrna I cm ue ETHER —— etc ) " -- etc. » 1.92. PUE In vrna HL— zt cuestuz I —Ó m Hic sin vt et in hifte formulis fa&orem pofleriorem , ferie infinita expreffum , ad quantita- tem terminis finitis circumfcriptam reducere tentemus qui quidem in re non niemini, quid ab aliis iam praefütum fuerit: quicquid id fit, haud abs re mea fore puto, fi omnia fimul confpe&ui exponam. $e 15. HM a prima ferie infinita ds- 2 E - BPO LL. Mg petites fumma /S. quaeritur , tici fic habebimus. - mato EN zi LL -l- etc. — S Huius ; aequationis fumatur differentiale | ter- .üi ordinis . poaendo ,. elementum dr conftaus iet confiderando.. quantitatem. .r. tanquam fluentem ; fic recurrémus ad ipfim feriem ^ propofitam , B 3 mul- :4 — DISQVISITIONES ANALYTICAE, E TET T. : m multiplicatam per 5» , proindeque habebimus. 5 sd v! — qd S. n3 : Completa. huius aequationis integratio ne- ceffario tres continebit quantitates conftantes, e- quidem facile apparet affumi - poffe aequationem mr S—ac"^, fi ponitur m —r: habebit fic m tres radices, nempe gy — 1; m-—í(—i--Y—35):2 etm —(—1—Y-3) 2, qua propter nunc affümere r T poffumus aequationem. S — « és cn bien ES dpt Yo 3s , quae fic tribus gaudet quan- titatibus conftantibus arbitrariis & , Q et yy, quarum ope fingulis circumflantiis fatisüeri poteft, quae in eo confiftunt , quod numerus fchedularum initialis in quauis vrna arbitrarius eft, fi quaeftio generaliff- - ma proponatur ; vnde liquet argumentum noftrum, fi vel decem ponerentur vrnae non nifi aequatione differentiali decimi ordinis recte explicari poffe, quae tamen femper integram admittet integrationem, Notum autem eít, quanütates exponentiales ima- ginarias in finus ct cofinus conuerti poffe; eft Ty-3 —ry-s , fcilicét £^ 7 — fin, "Get e| ww ccc6coB))T8* atque 2n his fa&is fubftitutionibus obtinebimus aequationem meris terminis realibus expreffam , nempe DE NOVO PROBLEM. CONIECTVRALL £5 5o rc TR fin. eR Jes ec 2 Iam aliud non fupereft quam. vt determinen- tur quantitates conflantes a , (9 et "y: id vero ex- inde petendum eft, quod fa&o r-— 7/0. .fieri » debeat $—1, dS—o, atque d4S —o hinc fequitur effe « - sy 2.1; x 8vs y tn ED Myr. Lad deinde 4——L- 14 24 ——Du49 00e sia out dau. Ex hiíce aequationibus deducitur effe a—si go et y —523 ficque fif NE vys Sii 6*3 cofin; "Y. CODE ifle valor, terminis finitis fimulque realibus expreffus, potet npe feriei in infinitum continuatae 1i -l- — -- czz7.36--etc. fit ver- Rr tMETIDbeE. quadranti: circuli «cuius radium 27r Wnitas exprimit — 7 — proxime 7, fiet S—ic** Haec ad vrnam primam. | Simili plane modo determinatur valor feriei fecundae quae pertinet ad wrnam' fecundam ; iíle quippe valor eadem exprimitur aequatione generali cum hoc folo difcrimine quod coefficientes a 9 ety nunc alium acquirunt valorem , quandoquidem facto. T — O fieri debet i(la fecunda faEtó8 -—g'fue., feries indicetur per S/, oportet fit S^— o; tum fe cd aque f$f 0, vnde apoyo; l3 d I 16 - DISQVISITIONES ANALYTICAE. : a-J-:9Y5—iy-—axectac—igY.a—iy-co atque fic fit o zv e oe 1290 : y —? uv EIN n. Lj T355.c.1/a "ZTIS xY: g o ben ae desint i628 co8, 77, Denique fi fummam feriei ad tertiam vrram pertincntis indicemus per S^, reperiemus pauculis fnutatis iisque , plane obuiis. y —-T — 4 zig 2g fn. tX —ig2ncos. YS. $. 14, Quod fi nunc in paragrapho x25. in- ventos modo valores loco ftrierum fübftituamus inveniemus numerum fchedularum.albarum pro fin- gulis vrnis, nempe. EUST In vrüa priga z-jm-j-j W.c3 n, cos, Y? -—31 In vrma fecunda z—in-- —hg n. CoL 26a a2 cnr P m — 5r In vrna tertia —i5n— ".6 2.Sint*s—^0 7m : ya 2n- Lay, 1 xz Cof mas Deinde fchedulae nigrae fe habebunt in vrna f:curie da, tertia. atque prima .fimulque Íchedulae .rubrae in vrna tertia prima et fecunda, quemadmo:um fchedulae albae fe habent in vrna prima , fecunca et tertia , fic vt omnes ct fingulae fchedulirum diftri- butiones in fingulis vrnis, fecundum regulas pro- bab4ditatis nunc fint cxace - €eterminatae pro pii: the ..DE NOVO PROBLEM. CONIECTVRALI. 14 thefi-quod numeri 7; et r ita fint magni, vt ve- luti pro infnitis baberi queant. . lflaque omnia terminis finitis exprimuntur , quae antea non aliter quam per feries. indcfinitas determinari poterant. lNotetur porro vclim , omnia et fingula ex princi- piis artis conie&andi communi aualyfi fuiffe dedu- &a; etenim quae $. r3. dicta funt non tam ob rem ipíam , quam in gratiam calculi commodioris maiorisque concinnitatis expofui, tum etiam vt no- tabili oftenderem. exemplo infignem «onfenfum , inter methodos comununes et nouam methodum , quem lam paffüm pro, huiuscemodi. quaeftionibns - adhibui folis calculis infinitefimalibus vfus: fateor equidem et nouam iftam methodum fuas habere fpiras .tri- casque; at, ni fallor, tanto melius fcopo noftro refpondebit fuaque praeftantia fimul ac nouitate erit commendabiliss Caeterum ipfa ifta methodus. requi- rit vt numeri 2 et.r permagni fint ,. quod idem in poftremis tribus paragraphis vsque fuppofuimuis. $. r5. Sit itaque, retentis denominationibus €aeteris , numerus fchedularum albarum in vrna prima *-—* et in vrna fecunda — y; fic erit nu- merus ifte pro vrna tertia —n7—x—jy; fi nune quantitates x, y, et f Prius fluentes confidere- inus, erit dyxc -—f dre ———Ó 4r, wbi prius. —membrum debetur extra&tioni ex vrna prima, alte- rum trarsportationi ex vrna tertia in primam ; vmn- de dr — —— ; fimiliter erit dy 2 -22* -4- 47 vel Wn. X1V.iNoa; Comm. C ür :8 — DISQVISITIONES ANALYTICAE dr — L5, vude xL cL vl xdx—ydx | —ndy—oxdy-—ydy: haec acquatio paullo fiet fimplidor fi ponatur x--iz-]-p et y—in —4 , fic enim fit 25d4—49dq—fpdp-1-qdp. ^ Haec aequatio ob permixtionem indeterminatarum , cum. nondum integrari poflit, ponam. q—/p atque 2q—:4p - pdt; fic Get, fi calculus recte. ponatur £? — t—*- dr, quae pofíterior aequatio ita eft integranda , vt ab initio fit x —7 et y —0, vel vt fit p—zn et £2 integrata autem aequatione habebitur relatio inter p et £, indeque deducetur relatio inter x et y ita vt y per x determinari queat, quo demum facto recurrendum — erit ad aequationem — elementarem dr — 25 eiusque integratio tentanda , vt fic ha- beatur relatio. inter r et x. — At vero ifta metho- dus, quae prima fe offert , fit nimium complexa atque plane inutilis; igitur aliam viam inire coactus. rem ita füm aggreflus, Supra obtinuimus 4». — .!—* 27; vna cum p ? f—ir—i hac altera aequatione 27 — 22, quae füétis con- d v gruenter fubftitutionibus, quas affumfimus , dat. —* Eo ic ie ie L————1 vtraque aequatio iam integrar! poteft atque fic determinari valor quantitatis $ aeque ac valor quantitatis 7 per functiones quantitatis r3; to- tum negotium commodiflime fic abíoluetur. Pona- DE NOVO PROBLEM. CONIECTVRALI. 19 | ids Ponatur 7— 5-1-i tuncque obtinebitur ^? — ES M C EPIO $£ds | dr —ds dp 5dr ——— — fimulque — — ; Hinc —— ———— $5; TO m EE iu A 5d p 5f I — -, cuius integralis eft log. —— — — — — - P ipieen ft log. p 2 mds Jut log. * vel -—3:T - PE TERN P—3Yü -rirs) Porr uat n c dst 7 arc. tan OIIO a€ HO oo at cs Ec ves arc tang, T D Pe Y3 : -—28$ Nui "PR Fg fiue zD—— V. arc. fecant, Y ISpeQ quae fi in vertatur , dat. Y (1 4-255) — fecant. arc. 7** ; fubfti- tugtur ifte valor atque fic habebitur —sp "2n af fue 5— 27 cof arc. 9 2-3 3 Íccant, arc. MEA Ps nif bino 56 Cum vero füerit LccIaretang — $2, erit — 55 L es cial TVs tang. arc. 777 fiue me ;—i—-—12 tng.ar 77. (m i " Y 3 xfin,Y* vnde 7—7;—*7 tang. arc. 15^ fiue —;— —— —7, —- iis Ton 2 cof, (C's Quia so DISQVISITIONES. ANALYTICAE Quia denique pofuimus füpra x —3;4-r-p et y—:n — —4g-iau—tp, oportebit valores inuéntos quantita-- tam p et £ fübflituere , ficque ioueniemus numeros quaefitos x ct.y, qui denotant- numeros fchedula- rum albarum in vrna prima dtque fecunda contén- farum , qui ambo fi a numero 7 fuübtrahantur- ha- bebitur numerus fchedularum albirum in vrmBa | ter- tia. His omnibus ita factis, obtinemus: numerum fchedularum albarum : a —357 In vrna prima ——4in]J-im.e 7. Cofarc.* 3 — 3 ——— 2 3 In vrna fecunda cir €? Sin. arc. £9 Lt gom — $T. —:n In vrna tertia. —45— 7.6 2x, Sit. arc, 3 — 2 c 2n zu A Pi Atque iftae formulae plane. fünt eaedem cum iis quas $. r4. expofüimus , nec id tantum valore fuo fed et ipfa exprefhone; notabilis mihi viíus cft con- fenfus nouam inter, methodum. meam alieramque principiis. familiaribus fuperinftrucam: 6. 16.. Paucula füperaddam. de argumenti pro- prietatibus ; et primo quidem ítitim apparet totum fyflema vergere. in- ftatum" petmanentem eumque afymíptoton , quem dermaum' poft. permutationes.. nu» incro infinitas attingat ; tum vero fchedulae omnes fingulis; in vrnis aequis partibus funt permixtae ; nec DE. NOVO PRODLEM.CONIECTVRALI. 2x mec;id prouidexe diíheile erat 5, verum, modus-. quo Coniinue fit.ad (tatum permaneotem: acceílus, mihi plase- fuit improuifus; fcilicet fufpicabar jT vt numerüs fchedulatüm albaruma in, vrna prima iode- figenter. .decréfceret,,: im .feounda et tertia viciffira increíceret nunc aütem. video infinifas, fieri - in uruis vrua vitra citraque flatum , qui;permanens erit , , tranfitioncs . variationesque, motu, vndulatorio continuo decref^ente , diminui tandemque enaneícere, Notati, autem merentur. formulae analyticae,. quibus hüiuscemodi.acceffus receffusque .eorundemgue. pet petuae diminutiones indicantür.: acceffus .receffusque natoram fequuntur finuum, atque cofinuum | eorum- que. diminutiones debentur commüai fa&ori eX po- —sf neutiali: c/29 , |^ Huiüsmodt autem ! ex pretfic ones- jn variis. qoaeftionibus phyfico - mechanicis$ ,; vel faltem fimniles!, aliquoties me- obtinui(fa- memini. Inquifa- mus nunc in- Cafus praecipuos. - & r7. Confiderabimus primo omnes illos Cá- fas quibus: Cof, arc.7*3 —0 ,-id eft, quibus ———* eft vel aequalis quadrant circüli , cuius radius ini? tas eft, vel triplo aut quintuplo aut. feptuplo etc, quadranti. Sit fcilicet. quadrans iftius circuli — 4 fa- ciamusque *"5—4 vel.—34 vel —54 vel —74 ete. adeoque fucceffiue T — T. fiue — Ul fite — 11 EIS fiue 73 €tc. la omnibus iftis cafibus , numero in- finitis , fit. Cof arc. 7 ** — o. et Sij, Arc; 5i re (774 2073 2» . DISQVISITIONES ANALYTICAE adeoque numerus. fchedularum | albarum in prima vrüa-— i7; verum in vrna fecunda erit numerus SLE E — 3qvY à ifle fuccefhue —aü--y. € . vel sf -l- 75 6 —$qv3 —70Yv3 vel 31-7. € vel iH-db- 7-6 etc. Deni- que fi omnes iftas quantitates exponentiales accipia- mus negatiue habebimus fucceffue numeros fÍíchedu- larum albarum in vrna tertia, — Sit, verbi gratia, 42-—$0oo ponamusque q—?' et c— 2,718, erit poft primas 5445 permutationes numerus fíchedula- rum albarum in vrna prima — 1000, in vrpa fe- cunda —1i146 «et in vrnad tertia — 854: tum fi ro886 nouae füperueniant permutationes , confimi- les numeri fient 1000, 1001, et 999. Ieitur iam omnia.ad ftatum permanentem erunt proxime re- duca, : Exinde apparet , qui fiat vt ftatus perma- nens non fit, etiamfi numerus íchedularum albarum in vrna prima fuerit ad trientem reductus; etenim cum prima vice id euenit, erit numerus fchedula- rum nigrarum in eadem vrna prima -— 854 et numerus íchedularum rubrarum -— 1146 , igitur ftatus permanens effe nequit. 6. 18. Quod fi nunc fcire cupiamus numerum permutationum 7, poft quem numerus fchedularum albarum prima vice in fecunda vrna fuerit ad trien- - — tem redu&us, oportebit ambos terminos —7—.c 2" —3s37r Sin. arc. -Y3 — $. e **. Cof. arc. 775. facere — o, haec | autem DE NOVO PROBLEM. CONIECTVRALI, 23 autem conditio" "Obtinetur cum fit arc; ^ — ; /2 1L Y. LM 1 H 3 fiue —- — 7,» qui numerus tertiam tantum par tem efficit €ius qui pro vrna prima rcquirebatur ; e(t enim inter 18r4 et 1815. ^ Simili modo baec quaeflio: determinatur *pro tertia vrna;, vbi nunc : In leq t: Li " . N : erit —- — —7 fiue quinquies maior quam pro. vraa fecunda adeoque r-— proxime 9072. Quoties autem numerus fchedularum albarum fit — 152, in quacunque vrna id contingat, tum. ab ifto valore iterum recedit modo in vnam modo. in alteram partem po(tmodumque iterum. accedit. hique receffus alicubi maximi fiunt pro quauis. periodo ; poft primam tamen periodum tantum nonu toti euaneícunt. 6. 19. Denique inquiramus , quisnam futurus fit fecundum leges probabilitatum , pro quauis vrna minimus maximusue íchedularum cuiusuis coloris numerus ,qui vnquam praeíumi debeat et quotnam permutationes requirantur vt eo perueniatur. . In- cipiam a fchedulis albis in vrna prima duo autem funt modi, quibus maxima ifla vel minima defi- niri poffunt ; alter iu hoc pofitus eft, vt differen- tiale numeri fchedularum fiat — o, alter vt nume- rus ifte in vrna prima fiat aequalis numero in vr- na tertia, tunc enim extractio ex vrna prima fit aequalis transpofitioni ex vrna tertia in primam vterque modus eodem recidit, quod ipíüm formu- las nofiras tanto magis confirmat. Sic intelligimus fore ?4 |. JDISQVISITIONES ANALYTICAE ''! fore. Cof atc. cw - 751 Sin. arc. DYT vel tang.atc. DY2.—uL V $; quoties! hue fatisfit conditioii , fatis- fieri autem poteft modis "mfinitis,- obtinctur mini- mum aliquod maximumue , primum' autem erit inter minima minimum At tangens Eo indicat artum: 120^, eft dgitur —»5— 2g fiw * — — hinc r— 7257; etgo pott 7257^ ipedipadisoties nu- merus íchedularum albarum in vrna prima fit, quantum vnquam fieri poteft, minimus defcendit- que a numero initiali 5000 ad 955; tumque ite- rum increfcit fed pirum vltra rooo rurí(usque de- crefcit fed vix infra rooo defcendit: quoniam au- tem in his cafibus numeri fchedularum albarum in vrna-prima et tertia iidem funt , habebimus pariter poft 7257 permutationes in vrna tertia 953 fche- dulas albas adeoque in vrna fécunda 1094: Sic poft easdem 7253 permutationes erunt in vrna fe- cünda 955 íchedulae nigrae, in tertia 1094. et in prima rurfüs 953; denique erünt fimul in- vrnà tertia 955 fchedulae rubrae , in prima roo4. et iü fecunda. 055; hoc modo fingulae fchedulae pro qua- vis vrna determinantur pfo-cafu quo íchedulae aij- bae in vrna prima ad minimum fucrint reduétae numerum. 6. eo. Sed et porro calculo noftro fübiicia- mus, ad quem numerum maximum affürgere poss fint fchedulae albae in vrna ecunda atque tertia et quot permutationes rcquirantür vt id eueniat. Pa z tet DE NOVO PROBLEM. CONIECTVRALIL 2$ tet autem pro vrna fecunda fatisfaciendum effe huic aequationi Cof. arc, 71? — —— Sin. arc. 7", fiue tang. arc, 137 —Y 3; hinc js : —4q aut 7- — 5 — 1,210; hinc 7— 365309 tuncque fit numerus fchedularum albarum in vrna fecunda — 1165, qui proin nu- merus maximus eft, ad quem fchedulae albae in vrna fecunda affürgere poffunt idque obtinetur poft 3630 permutationes eoque tempore vrna prima pariter continebit 1163 íchedulas albas, tertia vero vrna nonnifi 674. | Denique numerus fchedularum albarum maximus fit in. vroa tertia , quando poni- tur E uc 2g fiue r — 10890 atque tunc nume- fus ifte fit 1004. qui fimul valet pro vrna fecunda. Quae momenta praecipua pro fchedulis albis allata funt, haec fola transpofitione ^ vrnarum ad fÍchedulas nigras rubrasque applicari poterunt. | Te- nue erat per fe argumentum variis tamen , mi fal- lor, titulis. vtile, potiffümum autem fcopo quem habui , accommodum. i 4 Tom. XIV. Nou. Comm. - D MEN- aó . wp to)gdm | MENSVRA SORTIS AD FORTVIÍTAM SVCCESSIONEM RERVM NATVRALITER. CONTINGENTIVM APPLICATA. Auctore DANIELE BERNOFLLI. CMS (Qreoe varias attentius exarminauerit tabulas anthropologicas immenfo labore congeftas, fa- cile, ex magno obíeruationum numero, plures per- fpexerit maturae leges nec praeuifas nec. exfpeótatas: idemque dixerim de innumeris rebus aliis, fi modo pari indu(lria exploratae fimulque pro diuerfo re- rum circumfítantium afpectu ordinatae fuerint, Duo funt , quae in huiusmodi disquifitionibus | notanda veniunt; fcilicet euentus fortuiti , quos forti adícri- bimus, et leges ipfi forti praefcriptae ex magno euentuum numero diiudicandae ; innumera cum fint argümenta , quae huc pertinent vnicum allegabo exemplum atque id ipfum feligam quod iftis anfam dedit obferuatiunculis. — Cum varias iterum infpice- xem tabulas anthropologicas argumento infliti quod de proportione agit, qua mati in vtrumque diui- duntur fexum , prolem autem maículam praeualere nunc MENSVRA SORTIS CÍRCA S$VCCESS. etc. s münc vno ore fitentur omines; id phaenomeni vel mera contigit forte quamuis fua natura aeque ad vtrumque íexum procliui vel aliqua erit in ipfa forte modificátio , qua procliüior redditur ad fexum mafculinum quam ad alterum , plane vt íors in proiectione duarum alearum pofita procliuior -dici- tur ad numerum fíeptenarium quam ad fenarium,; iflam vero ambiguitatem longe melius explicabit, qui gradum probabilitatis pro quouis euentu prius ücterminauerit ; hunc vt in me fufciperem laborem, non haefitaui ; vtramque disquiram 'hypothefin fi Deus vitam ac vires concefferit :numerosque emer- pentes ad tabulas quae proftant applicabo. .In prae- fentia.rerum primam - percurram lhypothefin, qua natürà ad vtriusque fexus forfnationem /aeque facilis - atque prona fupponitur. :$. e. Fuerit murnerus :partuum aünuorum —c2eN, quem fic ;parem facio vt idem :effe poffit numerus :de wtroque /fexu: quaeritur ^quànta fit probabilitas , vt numerus puerorum'datum feu prae- Ícriptum obtineat valorem ; fit numerus ifte muy dE indicatur autem probabilia alicüius rei ffactione cuius 'nüterator eim habeat rationem ^ad denomi- mitorem 'wt'numnierus cafuüm 'fadorabilium ^d nume- tum cafüüm omnium, fi aéquali facilitate cafus finguli contingant; hoc fénfü maxima , quae haberi poteft , 'probabilitas 'vnitate exprimitür -eaque res Ere Quae non poffunt non contingere , indicat. 2 Facile 28 MENSVRA SORTIS Facile autem ex theoria combinationum colligitur , fore quaefitam probabilitatem — —— 2N. ( IN—1) (2N—2). DLRCECE (2 N—m--:).(2N—m-—-2). (2N—mn 4-1) t 1242 e. $ «seco (Ill — 2) * (m — 1) . Tii 9'N vbi tam in numeratore quam denominatore fractio- nis indefinitae tot funt fa&ores accipiendi quot (unt vnitates in z. Si vero proponatur cafus 7)— o, quo fcilicet finguli partus puellam | dediffse fingun- tur, per [e liquet fore tunc probabilitatem — — EEPCE atque adeo longe minimam fi vel mediocris fuerit annuus partuum numerus. Crefcente numero 77 in- crefcit probabilitas atque maxima fit in medio , vbi fupponitur z — N idemque adeo infantum . vtrius- que fexus numerus eft; vltra medium probabilitas decrefcit fic vt pro aequalbus a medio diftantiis aequalis fit probabilitas, quod notum eft ex natura vnciarum in binomio ad potentiam 2 N eleuato, quas ipía noftra formula Pparagraphi fecundi fiftit füccefüue fi numerus z; inflar numerorum natura- lium progrediatur. | .$. s. De cafü , cuius modo mentionem. feci- mus , aequalitatis inter vtrumque fexum plura oc- currunt notanda : faciamus igitur pro ifto cafu 4 Z N atque fic formula noftra generalis in praecedente paragrapho expofita talis erit 2N. 2N .(2N—1). (2N—2) ^. . :e (NA). (N-4-2). (N3-r) Li ue? a D» $ ve vov (N—2)» (N—20.ON "EL CIRCA SVCCESS. RER CONTINGENT. . 29 Sic igitur pro paucioribus -partubus maxima ifti probabilitas facile determinatur; quo maior autem eorum eít numerus tanto. difficilius. atque rarius continget vt íexu [íüo in duas diuidantur claffzs praecife aequales ; verumtamen probabilitas applicata ad numerum partuum crefcit crefcente numero IN, quod demde demonftrabimus: hiuc fiet vt inacqua- litas ioter vtrumque fexum , diuifa per numerum partuum , probabiliter decrefcat , quod pariter di- cendum eft de omn:bus obferuationibus, cuiuscunque fint generis , incerto paffuü procedentibus: omnes in hoc conueniuat Authores; minorem! praefuümendam effe aberrationem ex pluribus infttutis obferuatio- nibus quam ex paucioribus: at normam , fecundum quam iftae aberrationes ,' caeteris paribus diminuan- tur a repetitis obferuationibus , nemo adhuc quod AKciam docuit; hanc inferius tradam. $. 4. Formula , quam in praecedente paragra- pho expofüi , indefinita hoc laborat ineuitabili in- commodo vt laborem requirat in(uperabilem , - fi magnus füerit partuum numerus (afcendit autem Parifiis atque Londini propemodum ad viginti mil- lia) etiamfi tabulae logarithmorum in auxilium vo- centür; at de hniusmodi exemplis plerumque fer- mo eít eorumque potiffimum —curiofus fimulque enormitate calculi abfterritus viam quaefiui compen- diariam , quam paullo curatius deícribam , quoniam in plurimis aliis argumentis conducibilis eft. D 3 Pri- 8o MENSVRA | "SORTIS Primum expreffonem analyticam atque inde- finitam pardgráphi praecedentis in aliam tranftuli formam concinniorem fimulque infüituto noflro ma- gis accommodam , nempe hant z^ N—s :N—5 2N—: y Xe oRero 4i) Jg us ENS: NN ITEN vbi tot funt ordine füo factores accipiendi quot funt vnitates in N, id eft, in numero partuum di- midiato. —Praemifía hac transformatione rem porro ita füm aggreffus $. s. Ponatur, pro numero factorum NN, pro- ductum ex omnibus factoribus —4 pofíteaque noutmm fuperuenire putemus factorem , ponendo fcilicet N 4-1 loco numeri N; fic fiet nouum productum pro (N-r x) Peres ctodupd EU] ign Quoties igitur numnierus N vnitate augetur , toties produ&um 4 diminuitur quantitate ager t iftud Yéro decrementum valde paruufn éft, quando nu- mierus N "M áffümitur; Hinc ériít proxifiie —dqid'N etu sk; Whde Orttur parie Et hàc aéquatione dif&renusli , "poftquam — ititégrdtà fuerit vti licébit ad determinaudum valorem 7 pro dáto nüméro N, fi modo aliquot 'fi&ores | initiales in formula ptüecédéiitis patagraphi "fucrint a&tü "in- ter fe multipliciti ; 'attamén , maioris wtcuràtiónis caufa lubet alteram, velüti fecünui "ordinis ; "füper- addere corré&iunculam : igitir notetur valdfli in dedu&urn fuiffe éx miütatione quae oritur fi loco N pona- CIRCA SVCCESS. RER. CONTINGENT. 3x. ppoatur N -1- 15 potniffztt autem pari iure; cx inu- tatione deduci quae fit cum loco N. ponitur N—x atque tunc obtinetur aequatio differentialis paululum diuerfa, nempe cM — LE- : hinc recte concludi- tur, accuratiorem. fore. aequationem: diterentialem fi denominator medius accipiatur igtes 2, Ni-4- 2. et 2 Noi fue aequalis dimidiae fimmae eorum, id cft, 2 N 4-1: vtemur ergo acguatione differentiali acenratori-et fupra expetationem fatisfaciente NL MENOC pa ^ — ONG Integratio iftius aequationis ita eít inflituenda vt, mediaute quantitate gliqua conítante addenda, vnico fatisfiat cafüi ; quo plures autem — habuerit factores initiales , €o accuratior erit formula pro tot facto- ribus confé&quentibue quot libuerit; ponamus igitar, quod pofito numero factorum initialium — f, pros du&um emergens fit — A; habebitur ab integratia- ne oraefatae formulae differentialis — siet CORRI: N ri og: 4 — Og 2f--; , 1uc juo cue de gl Ra 4 — oc 4Nr 6. 6. Praeftantia, praetae methodi magis elu- cefcet (fi exemplum affumatur cuius valor per fe 7 pateat, 320 MENSVRA SORTIS .— pateat. — Proponatur formula indefinita , praecedenti fimillima , nempe | | euius valor ianifefto eft ipe el :' videamus autem quid noua methodus indicet; íit rurfus productum ex omnibus fa&oribus — 4 ; fi vero nouus füperue- . * N--: vs " q * niat factor, erit productum Japd. dod dec cde *nde nunc oritur — 44:4 N — &1—: 1 (iue — 24 —— üN — dn. Quod fi e contrario vltimus fiüétor refe- cetur , fiet —f4cl ergo affüumto ruríus deno- minatore medio, faciemus — £4 — ^N. , cuius in- q Na 5 tegralis , retenta fignificatione asd f «t A an- tea adhibitarum , erit log.7 - — log. j A fiue —[M-3A: at vero in ifto Sites pe eft Kc E Mí gi BEI : ja cft igitur fimpliciter atque generaliter 4 — — fic vt methodus, in hoc quidem exemplo, exacte in- , q p10, dicet. quod res eft. Plura alia hac de re adiici poffent, fi id inftituti noftri ratio permitteret: $i Se Quiebogue fimplicem aequatiotem in fine paragraphi quinti expofitàm ad exempla qualia- cunque applicare volet ; aberrationem certe vix fenfibilem deprehendet. Quo maiorem autem facto- rum initialium numerum , indicatum per f, acu multiplicauerit atque numerum A .determinauerit , eo accuratius quaefitum prolucum 4 pro integro fadorum numero IN inueniet. Exemplum allegabo ipfi CIRCA SVCCESS. RER. CONTINGENT. 55- ipfi methodo quam maxime intiicum ; ponam fimpliciter f— 2; fic erit A — 2*; — i atque | fiet q-— ju) pouatur porro fimpliciter N — 5 at- que fic ot — $,. Eft autem verum productum ixix$*$Xixicia,q40d ab altero vix differt; | "at multo accuratius reípondebit formula- noftra , fi numero f maiori fuperinflruatur computus; ponam igitur f— 12 atque adeo Y (4f--1)— 7; fic fiet productum ex duodecim factoribus initialibus fiue A — 50» vnde AY (a f-i-1) — 1222 — 1,12826; adeoque pro affümto numero f— 12, prodit q— Vu j! atque ifto valore , qualiscunque fuerit numerus IN, absque vllo plane fenfibillD] errore vti licebit. $. 8. Intelligitur ex formula generali 6. 2. f maiusculus fuerit partuum annuorum numerus , probabilitatem fere nullam effe circa initium et fi- nem atque maximam fieri circa mediam etiamfi et tunc pro quouis. cafu fpeciali parua admodum fit: Nunc autem porro intelligitur hanc eandem probabilitatem decrefcere crefcente numero | partuum et ita quidem vt fequatur quam proxime rationem inuerfam fübduplicatam prolis genitae; theorema iflud calculos, qui prima fronte infuperabiles vide- bantur, infigniter fubleuat: computus enim vnius exempli protinus indicat caetera omnia: Velim no- tetur infuper inquirendum fere vnice effe, quid for- ti tribui poffit circà medium , vbi exigua eff inter Tom. XIV. Nou. Comm. E vtrüna- 34 MENSVRA SORTIS vtrumque féxum differentia, cum vix fieri poffit vt inaequalitas certos transgrediatur limites , quod ipfa teflatur experientia , fi wariationes , non inae- qualitates , confideremus. — Haec cauía eft , quod con- veniat potius argumentum profequi a medio veríus extremitates quam 'viciífim. 6. 9. Defcendamus iam ad exemplum; per- magnum fíupponam partuüum numerum , qualis quo- tannis effe íolet Parifis atque Londini; faciam 2NcIc20000 fiue N — 10009: pro hoc exemplo quaeritur, in hypothefi naturám aequaliter in for- mationem vtriusqué fexus effe procliuem , quanta fit probabilitas vt numerus puellorum fit praecife — 10o0oc. Nemo profe&o computum conabitur ad ductum formulae paragrapho quarto expofitaé, mul- toque minus ad formulam paragraphi tertii recut- fct; verüm fi formula vtamur in fine paragraphi Íeptimi tradita , protinus inuenimus q— 0, 0056413 fiue q— . Tali probabilitate gaudet , cui aequa 177; forte res füerit cum 176 colluforibus: paruula. fpes eft, minorem tamen aeftimabam ante inítitutum caleulum. — Si vero in ciuitate mediocri foecunditas ponatur centies minor, erit per paragraphum prae- cedentem ., pro fimili euentu expectatio decies ma- L] e IO 3 ^ lor atque adeo proxime — 9g] Haec de aequali : ' editorum partuum in vtrumque fcxum diuifione. - ! $. 10. CIRCA SVCCESS. RER. CONTINGENT. 35 $. xo. Permanere nunc putetur valor litterae N et omnem variationem cadere in valorem litte- rae ;; fiue in numerum puellorum in progenera- tione annua comprehenforum: animus fcilicet ett variationem probabilitatis inquirere , dum numerus 3: íentüm fenfimque , fiue in vnam fiue in alteram partem , recedit ab numero NN. Igitur faciam füc- galline qu — Ni rium. mEEN-... NEC-N-, vbi p. indicat numerum quo puelli 1 numero N diflant fine in exceffü fiue in de- fecu, quia in vtramque partem probabilitas aequali- ter decréfcit. Patet autem. ex formulis $.. 2 3 adhibitis , — probabilitatem — fücceffiue fore x i EH (LNX(N—9 NX(N—:x(N—2) d (Nc 1)x( N4- 2) 4 3 ? (N-7:)X(Na-2] XIN (N3-3) T etc. vnde for- mula gencralis quae. probabilitatem | exprimit, qua numerus puellorum fiat —IN-- [4, nunc talis erit N -N—: N—2 C N—Mlpt N-ci SNges SN ads" stre X Naus d N 2-M : Valor autem litterae 4, qua formula haec multipli- gx 12826 — cata eft , adhuc eft (vi $7.) — gy Gui $. 1r. Ecce iam tabellam ad praeceptum prae- cedentis paragraphi confiructam. vbi- rurfus ponitur N — 10000, in qua columna prima denotat valo- rem litterae jx, altera. vero PIE T ipfi re- fpondentem. 36 o3 24 SWENEN EE Jpe! Ec Ge hx Op UP s ok Hun Do MENSVRA SORTIS IT. (9: 9999 4 (95 9996 4 493 9991 4 [9 9984. 4 0) 975 4 (0$ 9964. 4 .|0, 9951] [04 9936 4 49: 9919 q- «35 99090 d 0: 9379 4 I2: .|o, 9881 4 0, 9804 4 409) 9775 4 494 9744 d .|0, 9711 4 .|0» 9677 4 |o» 964.1 q .|0» 9604. q C» 9565 q .|0, 9524 d :8.|0, 9481 4 09, 9436 4 25.00,9389 4. | 0, 9856 4 | T. 201 2*7. 2 s 29. 30. 3I. 39 33. 34. 35. 36. 37- 38. 39. 40. 4I. 42. ^ 4 $. 12. Appofüi primam hanc tabellae por- tiunculam co fine vt inde quaeftionis minime in- vtilis, CIRCA SVCCESS. RER. CONTINGENT. 5337 vtilis , quam mente conceperam , folutionem dedu- cere poffem: quaeruntur fcilicet ambo limites a medio aequidi(lautes hac lege , vt eadem fit proba- bilitas, numerum^ puerorum hofce limites effe trans greffurum vel non transgre(furum. Solutio huius quaeftionis requirit , vt indage- tur. quotnam termini tabellae ab initio veríus fi- nem (int addendi , vt. duplum fummae auctum quantitate 4 fiat — ;: fümma enim terminorum , "ltra medium pofitorum , dat fummam probabilitatum, vt numerus puerorum üon tranícendat limitem, eadem- que fumma citra medium pofitorum exprimit fum- mam probabilitatum. vt numerus pucllorum non de- fcendat infra limitem oppofitum , eapropter fumma eft duplicanda ; denique huic duplae fummae addenda eft ipfa probabilitas 4 pro caíu j. — 0o fiue pro aequalitate inter vtrumque fexum. Ad normam huius praecep- ti inuenitur diflantia vtriusque limitis a medio fiue M — 47 quam proxime: Etenim íumma quadragin- ta feptem terminorum eft — 493, 6406 4 , eius duplum — 87,2812 4 cui fi fuper addatur 4 oritur 88, 2812 4g: Inuenimus autem paragrapho nono 4 — 0,0056415, vnde tandem quantitas finalis prodit 0,4980,quae paullo minor eít quam !: Quod fi vero affüumatur 44 — 48 , tunc eadem quan- titas finalis fit — o, 5070 atque adeo maior quam & interpolatio dat proxime M. — 47i: diftantia au- tem mutua limitum erit 2 44 — 94:. Igitur tandem inter 20900 partus annuos aeque probabile cerit, 3 vt 38 ^^. MENSVRA SORTIS vt numerus maículorum non euagetur extra limites 9953: et 10047. quam vt illos limites. transgredia- tur, fi modo fors. vtrique fexui aeque faveat. Pofle- rius tamen. aliquantillum probabilius eft ob fractiun- culam neglectam. $. x3./Simili: modo. problema noftrum . folue- tur pro.quocunqué. alio numero IN; verum. quis nouüm pro quouis exemplo ferat laborem ? Datur compendium Operis; dico enim numeros quaefitos p. quam proxime íegui rationem . fubduplicatam dato- rum numerorum IW, quod quidem | ex fpraemiffis , fi. attcntius fuerint examinata , facile colligitur, tan- foque erit accuratius. compendium | quanto maior affumptus fuerit numerus partuum. —Ponatur nume- rus partuum annuus in tota Gallia fiue & N —600000, adeoque, IN — 390000, qui numerus trigefies. maior eíL- praecedeaite ;. dico. fore. nunc. V — 47; x Y:80. 2258,89 atque 24 — 517,6. Sic igitur in hy- pothefi , quam commentamur, aequipollentiae for- tis pro vtroque fexu, aequa erit .certatio , fiue con- tenjas maius fore in Gallia. fexus. difcrimen , ' fiue - miuus. Quod. fi vero pro vrbe mediocriter copiofa ponatur numerus partüum -annuorum -— 9oo, id eft, centies minor quam. qui in paragrapho praece- dente, fuit affumptus , fiet numerus q. decies minor 4T fine, — i9 — 44725, uec ambo limites magis. quam; 45 a íe inuicem diftabunt. — Hinc intelligimus, effe CIRCA SVCCESS. RER.CONTINGENT. 39 effe paullo probabilius vt differeütia inter vtrumque fexum .non.excedat denarium quam vt excedát. - l $. r4. Lubet nunc pofterius i(tud exemplum dire&e computare, vt veritas compendii in-praeceden- te. paragrapho adhibiti elucefcat; huuc .in | finem aliam. tabellae. portianculam -apponam pro IN — 100 ad ductum formulae indefinitae' paragrapho | decimo deícriptae ,. in qua fufficiet. quinque .coufideratfe terminos pro numeris naturalibus 1,2,93,4 €t 5, his alio. fine .superaddam . probabilitates pro | numeris 19,15,20,:25, 30, 855, €t:40:. prima columna ruríus ordine fuo fingulos hos numeros indicat, dum fecunda columna docet probabilitates refponden- tes: maximam. vero probabilitatem | pro cafu . pet- fectae aequalitatis inter vtrumque fíexum.;, id eíl, pro x — o, nunc indicabo per 4. | I. ME | I. IL 1.0, 9901 4^ || 15.|o, 1057 4" 240, 9610 42^ | | 20.0, o1819 4^ ! 8:9, 9143 4^ 1125.40, 001864. q^ 4o, 8528 q^ | 30.o, ooo 1124 4" 35.|0, 000003924. q^ 5.0, 7797 q 40-0, 0000000 7774 2^ 10.0, 3691 4" Eft autem propemodum 4/ — X ($.9.) vel dccuratius 4/ — 977775 — 0,056534 vi paragraphi feptimi atque hic valor ia fingulis numeris erit .. fubftituendus. ^ $. 15. P JMENSVRA SORTIS $. 15. Sümatur nunc fumma quinque | prio- rum terminorum et habebitur 4,4979 g/; huius duplum — 8,9958 4/, cui addatur 4/ atque fic obtinebitur 9, 9958 d^ vel o, 5631 et haec quidem quantitas maior eft quam ?; at fi fumantur quatuor priores termini erit füumma eorum — 5, 7182 4; huius- duplum — 47, 4364. d : fi addatur 4^ habebitur nunc 8,4564.4/ vcl O, 4755 haec autem quantitas nunc minor eft quam 5; ergo regula noftra com- pendiaria optime quádrat cum vero vaore: fic itaque pro ducentis natis fi fiat certatio, num fexus differentia maior futura fit quam decem . vel non, dico poflerius effe probabilius et aequam demum fore certationem , fi 5651 offrantur con- tra 4569: imo poterit audacter ducenties millena millia contra unum offerre , f. alteruter fexus infra 60 deícenderit. " 62 r6: Quae di&a funt de quacftione para- graphi duodecimi , qua limites. pro. aequiprobabilita- te, fiue valores j& ad datum numerum NN, deter- minandi erant , eius funt indolis vt conuerti poffint - hinc nouae quaeítiones formantur, in quas analyfis dominetur: Siut, verbi gratia, duo Collufores a'ea continuo inter Ífe certantes , vter quouis jactu, prout alea fine numerum parem fiue imparem attulerit, punctum vnum laücrifaciet , nec prus - finita res fit, quam cum alteruter alterüm 94. pun- €tis vicerit, quaeritur numerus jactuum poft quem aeque n CIRCA SVCCESS, RER. CONTINGENT. 41 la seque probabile fit, vt certatio finita fit^ vel non finita: Solutionem indicat paragraphus duodecimus ; erit nempe numerus iacuüm — 2oooo vel tantil- lo minor ob neglectam fractionem numero 294 adii- «iendam. Si lucro 94 puncorum fubftituatur minus, veluti nouem aut decem pun&orum, requirentur 290 iactus vi pàaragraphi decimi fertii, Nec video methodum magis dir.Cam , qua buiuscemodi quae- ftiones folutionem admittere poflint. $ 1*7. Paruula tabella paragraphi decimi quar- ti haud obfcure nobis indicst, qua lege probabilita- tes a medio verfus extrema decrefcant; praefertim exinde apparet, omnem probabilitatem in ^ mediocri diflintia a medio tantum non totam euaneíce- 1e etenim, fi M — 40, fit probabilitas relatiua —0,00000007774 4^ et probabilitas abfoluta £2 0,000000004478 , quàe fi vel omnibus proba- bilitatibus. pro terminis infequentibus addatur absque omni fcrupulo negligi. poteft. | " "Velim porro notetur harmonia, quàe inter tabellas 66. r1 et r4 intercedit , quandoquidem probabilitates in priori tabula pro numeris ro, 20, 39,40 et 50 proxime iisdem coefficientibus , nume- ricis exprimuntur, qui in altera tabella pro nume- ris décies minoribus id eft, pro numeris r, 2, 3, 4. . €t 5, quod quidem haud difficulter ex theoria Amofira prouidcri poterat. Quia vero. numeri colum- Jae. íccundae in tabula paragraphi undecimi non ^ «Tom. XIV. Nou. Comm. F admo- 42 . MENSVRA SORTIS admodum mutantur, fequitur inde fore etiam füm- mam decies maiorem proxime, quandoquidem decies plures termini funt accipiendi et cum e contrario .4/ eft propemodum decies maior quam 4, fequitur quod fumma :r0o,2»c,39,40 vel 50 terminorum fit proxime aequals in tabula $. xri. fummae r, ,2,3,4 vel 5 terminorum in tabella $. r4. poft- quam nimirum valores pro 4 et4/ fíubftituti fuerint. 6. 18. Huiusmodi obfervationes egregie vfu venire poffunt; Ita intelligimus eandem effe prope- modum .probabilitatem abíolutam , vt inter ducentos natos numcrus puerorum non nifi ad 70 aíceudat, quae eft inter 20000 | natos, vt non nifi .ad 9700 perueniat: vtraque probabilitas tam exigua eft vt füperfluum fit calculos vltra hos fines extenderc, in priori cafu fit .. — 3o iu altero jr — 300. Vnicum eft quod füperaddam ; formulam .nemi- spe dabo mon indefinitam fed determinatam , quae | uon male admodum numeros vtriusque tabulae ex- primit, fi modo intra certos fubfiftamus limites ; hanc formulam eodem fere modo inveni , quo vfus fum in paragrapho quinto ad detegendum quam proxime valorem 4, qui probabilitatem pro. perfecta aequalitate inter vtrumque fexum denotat. Sit gene- raliter. dimidius omnium natorum numerüs — N; x fitque rurfus numerus puerorum — N -- &, dico fore propemodum probabilitatem huius cafus — S9 CC N CIRCA SVCCESS. RER. CONTINGENT. 4$ modo. numerus g. non fit multo maior quam. YN: Eft autem Q probabilitas pro cafu aequalitatis inter vtrumque fexum et c e(t numerus- cuius logarith- mus hyperbolicus vnitas eft , fiue c — 2, "718. $. 19. Vt vim huius fimplicifimae formulae, ynico termino expreffe , dignofcere liceat, recur- ram ad paruu'am tabellam $. 14. in qua N — 100 et 4 — Q, numerosque fecundae columnae ad du- &um iftius formulae computabo: fic aberratienes immediate innotefcent. ] En EE | I. II. 1.0, 9got 4| 1 10.10, 3679 q^ 2.|0, 9608 q^| [t 5./O, 1654. d^. 3.0, 9141 7 m 0,018232 Q^ 4.|0,85224"| [27.|0, 001931 4" 5.0, 7789 4^] [30-1 0, €001235 4" i Ex collatione apparet aberrationes vix effe fenfibiles et vbi paullo fenfibiliores fieri incipiunt relatiue , ibi probabilitates abíolutas fere totas eua- nefcere : Liccbit vtique regula compendiaria vti quamdiu nümerüs [4 non excedit numerum. 3 Y N. Eadem librabimus lance formulam. pro alio et quidem longe míaiore valore literae N: Sit ite- rum lÀN-— 10000 vt diuerios caus conferre poffimus cum tabula. paragrapho undecimo exhibita et directe computata; fic erit valor. Q idem quod. in tabula indicatur litera g; ponam autem pro yg fuceffiue p s nume- 44 -» — MENSVRA .. SORTIS i J numeros ro, 90, 30, 40, et So: his pofitis inueni- untur ptobabillitates refpondentes 0, 99014;0,960845 0,9141: 4; O 85224 €t 0, 78894: ipla vero ta- bula. paragraphi undecimi dat o, 9900 430, 960445 0,913142; 0,851745 €t 0, 7783 4: qui profedo numeri tantum non ad amuffim inter fe conueaiunt. 6. 20 Perfípecta praeftaotia regulae vnicum fuperaddam exemplum , quo appareat quemadmodum vbique calculus inftitui debeat pro nuieris qiiibus: cunque. ; Iu egregio opere viri de hifce rebus longe meritifhmi, lob. Petri Süsmilb , editione tertia parte fecunda plures annexae, funt tabulae , in quibus pag. 17. videmus , quod in Prouincia Selandica a. 1758 natae fucrint 5555 filiolae et 3805 puel- li; vnde numerus nitorum. — 2 IN — 73358. atque N — $669: quia vero numerus puellorum erat 3805 , habebitur p. — 136 ; hinc £5 — 5 4575,04: érgo probabilitas, qua numerus puellorum fit prae- cife — 3805 , in. hoc exemplo indicatur formula d — 0, 0006628 Q , ifteque valor tanto accuratior eft, quod numerus p parum vltra numerum 2 Y N aícendit igitur probabilitas pro cafu aequalitatis inter vtrumque fexum eft ad probabilitatem qua numerus puerorum iftam aequalitatem. praecife fuüperat numero 336 vt 10000000 ad 0, 0006628; probabilitas yero abíoluta Ep pofteriori cafu habetur £á pro Q p CIRCA SVCCESS. RER. CONTINGENT. 45 wel 9 valor paragrapho feptimo definitus fubítituatur nempe o,09931:3; hoc modo ifta probabilitas abfo- luta. fit — o, 000006173; dico autem , quod in hoc parvulo valore incerti effe poteft, id folum duas figuras numericas vltimas fípectare. Sic igitur videmus poffe pro omni cafu probabilitatem abfolu- tam determinari absque vt per caíus intermedios, procedamus atque hoc demum eft quod potiffimum intendebam , cum haíce difquifitiones fusciperem. $. 21. Quae dicta funt adhucdum pure funt analytica , quandoquidem —procreationi puellorum pueHarumue fubftitui potuiffet extractio fchedularum fiue nigrarum fiue albarum ex vrna fi modo fchedu- lain vrnam reponatur priusquam noua fiat extra- &io; tum, fi numero aequali fchedulae de vtroque colore in vrnam repofitae fuerint, habebimus, quod nobis res fuit; Quod fi vero (chedulas nigras numero praevalere ponamus , incidimus in alteram hypothe- fin, qua ponitur naturam magis vergere ad fexum formandum mafculinum.quam muliebrem. Alterum iftud argumentum , quod prius ceu fimplicem in fe continet cafüm , non. poteft non nouos obiicere labo- res mihi nondum exploratos: quicquid id. fit. negotii proximo fuüfcipiam otio. F5 CONSI- gp um we35 ( o) etdee CONSIDER A'TIONES DE TRAIECTORIIS ORTHO- GONALIBVS. Auctore L EVLE R GO. rr lroblema traiectoriarum orthogonalium, quod olim Geometrarum fagacitatem diu multumque exer- cuit, ita fe habebat vt propofttis infinitis lineis & Y ,ay communi quadam lege contentis, quaerantur. aliae lineae. B Y y. illas normalter iraicientes ad. quod. foluendum fequentia mo- * mentà MERENE oportet. 1 X B S ; Cum: lineae fécandaé communi quadam ae- ib siun contineantur , haec aequatio praeter binas coordinatis 1 Xx et X Y —y, pammetrum inuol- vet 5, quae pro eadem curua A Y eundem valorem retineat , valore autem mutato reliquas cufuas ex- hibeat. 2*. Hinc ifta aequatio differentiata parimetrum P quoque variabilem fumendo huiusmodi formam induet L 7y — corvi i V vnde pro eadem curua AY, CONSID. DE TRAIECT. ORTHOGONAL. 47 AY, ob dp-o, eric 29 —i ; ideoque -du&a ad dx eam reca normali Y S fiet fuübnorinalis XX S — T. 58*. Verum haec eadém fübnormalis X S pro curua fecante B Y debet effe fubtangens, ds reten- tis pro bac curua iisdem coordinatis. 1X — x, et XY —j, neceffe eft fit eius fübtanzeus sis eng ideoque L 2x-4- M Zy — o. 4^. Pro lineis ergo fecandis ipropo(ita aequatio- ne inter coordinatas x, y et parametrum variabilem p. quae differentiata praebeat LZy — Mdx-- N24, pro curuis fecantibus haec habebitur aequatio diffe- xentialis Léx-1- Mdy —o. II. Totum ergo negotium huc eft reduc&um , vt data huiusmodi aequatione differentiali; ;Lidy — M dx -- Ndp, methodus inueniatur hanc aequationem L4x-L-Md4y-— o integrandi , ina quo quidem nulla foret difficultas fi quantitates L et M folas binas coordinatas x :et y implicarent exclufa parametro 5, quia tum in ea duae tantum occurrent variabiles x et y, et huiusmodi aequationum integratio merito hic tanquam conceffa fpe&atur. | Verum fi quanti- tates L et M -infüper parametrum f inuoluaut, ita vt aequatio LZx-1-Mdy—o tres contineat. quanti- tates vatiabiles x, y et p, eius integrationem ne fuíipere quidem licet, nifi fimul cum altera. ae- puis data Ldy M4x--N4p coniubgatur , in- deque -49 . CONSIDERATIONES deque vna trium variabilium penitus extrudatur , vt aequatio differentialis inter duas tantum variabi- les obtineatur. ^ Quod nifi efficere licuerit, vix quicquam circa naturam traiectoriarum orthogona- lium definiri poterit, quare quoties haec difficultas occürrit, problema hoc merito inter difficillima re- fertur ; tantumque abeft vt hoc problema etiamfi olim fummo ftudio fit tracdatum , pro conft&o fit habendum , wt potius etiamnunc maxima attentione dignum fit iudicandum. : IIT. Cum igitur totum :negotium €o redeat, vt pro traiectoriis eiusmodi aequatio differentialis elicia- tur, quae duas tantum quantitates variabiles con- tineat , praecipuos percurramus cafus, quibus hunc fcopum. aflequi licet. 1?. Ac primo quidem fi aequatio pro curuis fecandis ita exhiberi queat ; vt parameter f per coordinatas x et y abfolute BRUST , íeu functioni cuipiam ipfarum X et y aequetur, baec aequatio differentiata huiusmodi dabit. formam, 2p — Páx -J-Q4y, in qua Pet Q funt fünctiones ipfarum x et y tantum. quae cum. forma. Ldy—Mdz--Nd4p comparata praebet L—Q , Mzc—P etiNca,Qua- re pro traiectoris haec habebitur. aequatio: Qx —Pdy-o duas tantum variabiles. x et y inuoluens, cuius adeo integratio pro conceffa. haberi. potefl... ., o 2. DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIBVS. 49 o?. Si aequatio pro curuis fecandis ita exhibe- ri queat, vt applicata y aequetur functioni cuipiam ipfarum x ct f, ex eiusque differentiatione prodeat dy-—Pdx--Rd4p,ita vt P et R fint. functiones ipfürum x et p tantum , tum ob L— zx, M—P et N --R, pro traiectoriis habebitur aequatio dx4-P 2y—o, quae ob y —PZx--R4p abit in hanc formam: (r-FPP)Z2x-4-PR 2p— o, duas tantum varia- iles » et x implicantem. 5^. Si aequatio pro curuis fecandis ita exhibea- tur, vt abíciffa x aequetur fun&ioni cuipiam ipfa- rum y et f ex cuius differentiatione — prodeat dx-Qdy--Rdp, vbi Q et R fint functiones ipfarum ,y et f tantum tum ob L—Q, Mc i1 et N--—R, natura traie&oriarum | exprimetur hac aequatione QZ x-I-dy — o, quae ob 4x — Qdy--R4p- transformatur in hanc (1--QQ)Zy - QR 2p— o inter y et p tantum, IV. x; Quoties ergo vel parameter 5 per ambas coor- dinatas x et y vel altera coordinatarum per alteram et parametrum definitur, inuentio traiectoriarum ad aequationem eiusmodi differentialem — reducitur in qua duae tantum infunt quantitates variabiles , cuius propterea refolutio tanquam concefía poterit fpectari , etiamfi forte nulla etiamnum pateat via negotium expediendi. Hoc autem intelligendum eft Tom. XIV. Nou. Comm. G fi 50 .CONSIDERATIONES fi illae expreffiones fuerint explicitae , fiue fint alge- braicae fiue tranícendentes , fin, autem tantum per formulas integrales dentur, in quibus altcra, varia- bilium. pro conftante habeatur , tum. aequationes. in- ventae nullum praeftant víum , ni(i forte p:culiari artificio a. formula integrali liberari queant. — Veluti fi pro curuis fecandis huiusmodi habeatur aequatio Jg, Vd, xbi.V, fit functio: dpfagum, ^ay set. 5 in hac autem integratione parameter p vt conftans fpectetur: tum enim pro valore ipfius 7y —P Zx --R4p, habetur quidem. P — V, íed quantitas KR — noua forma integrali implicatur dum fit R —/4 x( FPT in qua integratione iterum- fola x variabilis affumitur. Quare cum. aequatio pro traiectoriis futura fit Y- Hz5r5. da (r--V V)dx--Vdpfdx(a3z)—0, ob hanc formnlam integralem minime pàtet, quomodo eius refolutionem inftitui conueniat. V. Quo haec difficultas clarius appareat cafum fingularem euoluam , quo aequationem pro traiecto- ris exhibere licet et qui iam olim methodo perquam ingeniofa fuit erutus. Quaeritur fcilicet , cuiusmodi functio ipfarum x et p debeat effe quantitas V , vt cum pro curuis fecandis fit y / V dx, aequatio pro traiedoris (1-- V V)dx--Vdpfdx(5,)—0, per certam quantitatem multiplicata iutegrabilis eua- dat. DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIDBVS. $: dat. Sit ifle multiplicator y", exiftente I1 functione ipfius 5 tantum , vt habeatur. II d x( 1 vv UY --dpflldz(si)—o quoniam enim II quantitatem x non inuoluit, erit vtique T2pfdx(z;)— dpfidx x(&. lam fltuatur huius formae integrale — f. vt pro traiectoriis habeatur haec aequatio. Idx(14-vv) ifte. Irdx(:--VV) 4t et cum eius differentiale ex variabilitate vtriusque x et p natum fiat : BI isdpf deti PL SESA bom Quare flatui oportet : : | fHax(5,)—fdx te lis aeg | feu. T1 GG ; d. BoxYv)) Cum nunc in his differentialibus fala p wt variabilis, X- vero vt con- flans fpectetur facta euolutione . prodit : NHav-— nn -J- SmeeYY) feu HdV —— di 4- VV) L7 peau E n picta ad váàv vu Cum! ideoque — X aed I 7 WOAYYRTU ON (3eeYY . 2 ) ys " vnde integrando. elicitur I1— SEDES loco con flantis. indrodu&a X functione ipfius x tantum; Hinc ergo fit V — i JU Xx — Im) G2 VI. 52 CONSIDERATIONES. VI. En ergo cafum fatis elegantem fimulque non parum late patentem , quo traie&orias orthogonales exhibere licet etiamfi aequatio pro curuis fecaudis fit J——fauxx—ng Vbi X denotat fün&ionem quam- cunque abíciffae x , atque II fün&ionem parametri f quamcunque, ita vt forte haec formula integralis nullomodo euolutiornem admittat. Pro traiectoriis enim, ob 1--VV — £7 ., habebitur ifta aequa- —Hm ? XXdx l : z tio f —mn-— — C. quae pro diuerfis valoribus conftantis C infinitas praebet curuas, quae omnes normaliter curuas datas traiicient. Pro iis quidem aequatio inter coordinatas x et y eliceretur , fi ope aequationis y — f Txr-npo parameter .f ciusue fun&io II eliminari poffet verum. ad conftructionem aequatio inuenta iam maxime eft accommodata. Pro quauis enim parametro, feu quouis valore litterae II fuper axe deícribatur curua, cuius appli- cata — 4 Jxx umm , in eaque abfícindatur area da- tae areae aequalis, cuius abciffa fi fit — x, applica- tà traiedtoriae erit y —/. .-: vel fufficit no- (X X —— II)" taffe has duas E : NE gdx XXdx y —— ex II HI) et C —/ zxx- (XX ——milij Wbi notetur C defignare parametrum traiectoriarum. VII. DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIBVS. 55 VII i Verum his quae iam olim copiofiffime funt pertracata , diutius. hic immorandum non cenfco ; fed potius alias con(iderationes , ad quas me haec quaeftio perduxit, in medium affram. Ac primo quidem , quod per íe eft perfpicuum obferuo lineas fecandas et traiector/ias inter [e reciprocari ; atque quaeftionem circa duo eiusmodi fyftemata linearum veríari quae ad eundem axem defcripta , fe mutuo vbique ad angulos rectos interfecent. ^ Vtriusque autem fyflematis natura exprimitur aequatione inter binas coordinatas x et y ct parametrum , cuius va- riabilitas infinitas lineas füppeditat. ^ Pro altero er- go fyftemate. fit. parameter — f, pro altero vero z-4; vnde duas concipi oportet aequationes, alte- ram inter x, y et p, alteram vero inter x, y et 4; inter quas quaenam intercedere debeat relatio ,. vt propofitae conditioni fatisfiat, hic accuratius fum inueftigaturus. Supra autem vidimus, fi pro altero Íyftemate habeatur huiusmodi aequatio differentialis L4p--Mdx-1-INZy—o0, tum naturam alterius hac aequatione NZx—M4y—o expreffüm iri hicque «ius parametrum 4 vt conftantem fpectari. : VIII. Quia nunc aequaio NZx—Mdy-o duas tantum quantitates variabiles x et y continere in- telligitur , et huius fyítematis parameter 4 in con- flante per integrationem accedente demum jnuolui- G 3 tur, 54. CONSIDERATIONES tur , aequatio differentialis pro altero f(yftemate , etiam parametrum 4 pro variabili habendo, ita erit comparata: Kgg-43- N4x— My — o. Hincque no- vimus aequationes differentiales pro viroque linea- rum fyftemate ita inter fe effe connexas, vt fint: Lép-—-Max--Ndy-—o et Kdgq-1-Ndx—Mdy—o. Si in illa » in hac vero q per x et y detur, et vtraque aequatio ad integrabilitatem perducatur , for- Inae prodibunt huiusmodi; dp— M(Pdx-r-Qdy) et dq — N(Qdx —P dy) vbi P et Q denotant fünctiones ipfarum x et y quascunque , M. vero et IN. eiusmodi multiplicato- res, qui illas formulis differentiales PZx -1- QZy et Q4 x —Pdy integrabiles reddant. — Quod cum femper: fieri poffit, hinc facile infinita huiusmodi fyflematum paria exhiberi poffunt: veluti fi it P- X fun&ioni ipfius x et Q—- Y fünc&ioni ipfius y no- flrae aequationes intcgratae ita fe habebunt: p—|Xdx-A-f/YXdy et q— ds — (22, IX. Definiamus quoque ambas coordinatas per pa- ^ rametros p ct 4, et aequationes noftrae ita fient comparatae E LMóp-z-KNdq.—. Walsh cito a beans LNdp—KMdq .— quae DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIBVS. 55 quae ad has formas concinniores. reuocantur : dx—PR4p-r-QSdq et dy —PSdp—QR4q atque hic iam P, Q, R. et S. denotant functiones ipfarum. 5 et q eiusmodi , vt ambae formulae inte- grabiles euadant. — Cum igitur x et y fint functio- nes ipfarum. p et j^ RS d ER OL zx pus PR—(2) u$ — 2]; P525 QRz-5 hinc colligitur ifta us proprietas vt fit (d x (d.x d-yX d X 262--(909—» indeque porro haec quaeftio maximi" momenti, quo- modo fi pro altera coordinatarum x:et y detur fun- &io ipfarum 5 et 4 ipfi aequalis, inde functio ip(a- rum p et 4 alteri aequalis erui debeat: quae quae- ftio. ad. eam calculi integralis partem eft^ referenda , quam demum .excoli coauenit. pue d Cum folutio huius aequationis admodum ar- dua videatur , operae erit pretium binas aequationes modo inuentas. dx —PR45--QS44 et dy —PS54p—QR 44; alia methodo refoluere. ^ lmaginaria fcilicet haud! reformidantes inde, colligimus :. dx--dy Y —x-—(R--SY— »(Pdp-Quqv- Do fimili autem modo fit neceffe eft: | dx—dy Y—1—(R E UAM Iam $6 CONSIDERATIONES ÁE Iam quaecunque fuerint P et Q fünc&tiones ipfarum p et 4 multiplicator femper inueniri. poterit hanc formulam ambiguam P4p -4-Q44Y —1 integrabilem reddens: fit ergo M ifte multiplicator et ponatur f/M(P4p--QdqV—1)— T-2- VY-1;atque pro R--SY—3 affumi oportet functionem quamcunque ipfius T-d- VY-1 in Mdu&am, vnde facta inte- gratione prodibit . j x-1-J Y —1 — fun&. (T---VY —1) et xj Y —1 — fun&. (T—VY — 1) hincque colligimus has formas integrales : x-ip:(T4VY-1i1)»5r:(T-V Y-1bM iA: (T4-VY—1) — uu 4AWuT-—VY- a) JZua(TEVY-3)]FZ-T(T-VY-:))AQ(T4é-VY-1) CEAOT-—WWem quae femper ad realitatem reuocantur, quaecunque functiones his fignis T €t A denotentur. XI. Hic quidem litterae T et V denotant functio- :nes binarum parametrorum f et 4 fed minime ar- bitrarias, definiuntur enim ex formula differentiali Pdp--QdqY —z, vbi P et Q neceffario funt quan- titatées reales. — Verumtamen fine hac conditione in- doles illarum quantitatum T et V erui poteft, con- fiderando quod effe debeat (75 (27) -1- (22) (2)— o. Cum DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIBVS. 57 Cum enim iuuenerimus : eiyY-r-X :(T4-VY -1), et x7 Y-1z0:(T-VV-x) erit differentiando : L (2)4- G2 V-31- (05H 2)Y 2 Z/ (P-EVY-1) II. TM 2j (d 15)-- (Y -1)E^ (T4-VY'-1) IL. (22 CV n (I5)Y-) ^ (T-VY-1) MN. T ($1) RE )-62)V-3)0 E-YY-4) Pollipiutte hinc "opta IxIV et III x II in vnam fummam ac reperietur : 2(55) (599-2022 2 5 2X7 27 G2 625 2) zx KT4- VY — 1). 9^: (T—VY—1) ideoque functiones T et V ita fünt cam paratae j yt fit dT, (d ry ^ Aeg) ld t d rg) rs: XII. Hinc ergo intelligimus pro TT et V ;eiusmo- di fün&iones ipíarum p et q fumi debere, quae iam ipfie idoneos valores pro coordinatis X et y praebe- ant. Quare inuentis iam duobus valoribus bina linearum fe mutuo orthogonaliter .fecantium — fyfte- mata exhibentibus , X —4 ha doll exiftentibus t et 4 eiusmodi. fun&ionjbus binarum parametrorum peu ove t (S) 09-6) C) m. hinc facilime infinita alia "talium . fyftematum | paria . /Iom. XIV. Nou.Comm. H deriuan- 58 CONSIDERATIONES deriuantur, quae binis fequentibus aequationibus con- tinentur —;r:(t-2-4Y —1)-- F:(t-uv —1)— m As(r-t-uv — I y— 3-i 40-471) J—VuE Y — 1) LT: (rV x)3-15:044Y i) --iA: (f—uY.— x) i quam formam magis complicatam ideo elegi, vt imaginaria fingulis functionibus euoluendis fponte fe deftruant. XL Hae formulae co magis ad praxin funt accom- modatae, quod eadem operatione infinitae folutiones obtineri queant. Prodeant enim pro T' variis fun&i- onibus determinatis fumendis ex forma 2T: (t4-/Y —1) --ib:i((f—uY-1) hi valores T; T^; T^; T^^ etc, ex hac vero —— F:(r--uY - 1)-——TV:(t-uY —1) hi V,V/, V^, N^" etc. atque valores quaeftioni fatisfacientes erunt fequentes | xzaT-4-6T/-ryT/4- à l^ '"—N—6V'— y V^ — i V^ y—aV--6V^4ny V/^4-8 V/" 4£T-27- 614-41 7-4- eT" vbi litterae o, 6, ^y, 8, &, 2, », € denotant coefficientes quoscunque. Probe autem notandum eíl valores homologos V, V, item T^, V^ etc. ex iisdem fünctio- nibus D: fimulque omnes ex iisdem litteris 7 et 4 «ffe formandas Neque enim hinc jn genere conclu- ^" ' dere DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIBVS. 59 dere licet .fi fatisfaciant -yalors x — T,y—V, tum vero etiam ali quicunque x —R, y—S inde quoque hos x a T-- GR et y —aV -4- 6S efíe fatisfacturos ; hoc enim non valet nifi functiones R et S ex iisdem litteris? et 4 fint natae atque functiones T et V. Hinc probe cauendum eft, ne fuperioribus formis generalibus plus tribuatur, quam. .fas cft. XIV. Valores fimpliciores litterarum T et V ex jam inuentis quantitatibus idoneis 7 et 4 formandi, ex poteftatibus loco functionis T fhtsitirugis nafcuntur atque ita fe habebunt: T: | T—:—uui|T-—i—31w|T-—ti*—6ituiu Vzzui V— atu V—3tiu-w | V— 4 Pu —41 ex acte vero negatiuis oriuntur: [9 tc. Tig —it—uu|mqo-t5—stuv —i^*—6ttuu-d u* ES 77 (tia-uuy P (TET AI wo E BE: X — — stu — sttu—us —*4i5u—4tus E d (it-puu)y? 7 (ti-4-uu) 7 (ft--uu) vbi obíeruare licet fi ponatur z—vcof. D et u—v fin. (p tum omnes hos valores in iftis formulis fimplicibus contineri T — v" cof. p D et V—9^ fin D Totum ergo negotium huc redit vt pro r et 5 eiusmodi idoneae functiones ipfarum p et 7 obti» ncantur , vt fiat : TTSIETDESOCTSIECUEET xV. 60 CONSIDERATIONES. XV. . , Séu quod eodem relit fumtis pro P et Q fün&tionibus quibuscunque ipfarum p et 4, confide- retur formula differentialis P4p--Q4qY-—z, et quaeratur multiplicator eam reddens integrabilem tum integrale ex parte reali et imaginaria conítaus comparetur cum formula z--4zY — 1, indeque vtriusque litterae 7 et 4 valor idoneus elicictur Vnie primum obferuo fi P fit fun&io folius f et Q folus q, prodire z — /P4p et u—fQd q. Qonam autem hae formae f/P 4p et /Q44 aeque pro parametris amborum fyftematum linearum haberi poffunt atque ipíae quantitates 5 et 4, idem eít ac fi hinc ftatuamus 7 f et 4-4, neque etiam la- tius patere , cenfendi eft haec pofitio 7 — a -1- 6 et 4 — y q-3- 9. — Interim. tamen fi fumamus cx cef Qr fonum dp--dq V —1 non folum dat z-— et w.—4, ied quia illa formula per &--52 Y — x multiplicata manet integrabilis , et integrale eft inp —n4-- 4p V — des dime iüde etiam lü obtinentur valores: ;P—mp—ngetu-np--mg. qui vtique latius pateré videntur, verumtamen, quia valores inde. natos. T, T^, T^ et V,V/, V^ etc. combinare licet , non aliae lineae inde nafcuntur, atque ex fimplicibus valoribus ; — p €t «— 4. XVI. DE TRAIECTORIIS ÓORTHOGONALIBVS. 6:1 XVI. Státuamus ergo f£ — fp et 4 — 4, ct percurra- mus fimpliciori linearum fyftemata fe mutuo ad angulos rectos fecantium : ac primo quidem occur- rünt hae formae : Edu mb —eg.ct yazelgi---x p vnde eliminando primo 4 tum vero f ambo linea- rum fyílemata his aequationibus continebuntur : &X-1-ey —(aa-- ec)p et ay—ex-c(aa-1-6c)q vttamque continens infinitas lineas re&as inter fe pa- rallelas quarum quaelibet rectas alterius. fyftematis normaliter fecat qui fine dübio cafus eít fimpli- ciflimus. Lr XVII. Sumatur fecundo T—:;;—uu et V—21iu, et quia binis terminis iungendis lineae tantum ad alium axem transferuntur flatuamus fimpliciter x—p—44 et y —2p4; vnde cum fit Y (xx--yy)—pp-4-44, elidendo alternatim 4 et f, pro binis linearum fy- flemqtibus adipifcimur has aequationes Y(xx--3y)-i-x--2pp et Y(xx--yy)—x — 244. Quare fi loco 255 et 244 fimpliciter fcribamus 5 et 4 hae aequationes ita. fe habebunt : Jy—pp-2px et yy—4q4-3-24x. H 5 | Vtra- d CONSIDERATIONES Vtraque aequatio infinitas continet paiabolas fuper communi axe ex eodem foco deícriptas, dum alte- rius fyftematis parabolae dextrorfüm , alterius vero finiftrorfum excurrunt ; quae eft pulcerrima parabo- larum proprietas , fine dubio iam olim obfíeruata. Praeterea obferuo etiamfi praecedentes valores T p et V—4 cum his combinentur , tamen easdem pa- rabolas effe prodituras. XVIII. Statuamus nunc T—-2£-5:44 et V-3ttu-u*, formemusque has aequationes : v—p'—3pqq ety—3ppq—q quarum haec dat p— V 2-7. , qui valor im pri- | | qIlL2—24 y 2e * ma fübttitutus praebet : y—2—7 du fum tis quadratis : 27q X x —y* — 150 y y d- 484 y 4-7 644* fcribamus 4 et p loco 4? et p^, et aequatiories pro ambobus linearum fy(ítematbus erunt: 27gXX—)'—154J9y-4804y— 644 27D)» — —x'-3-15pxX —48ppx-1-645* quae autem ad proprietates agnofcendas commodius. ita repraefentantur : cu NS AcEM e E w-u-rp ue uas 60g : [die quae Ll DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIBVS, 63 quae aequationes dant lineas tertii ordinis, quae pro vtroque fyfiemate funt eiusdem naturae, dum coordinatae tantum permutantur, XIX. Confideremus etiam fünciones ex poteftatibus ini cm«— j (uod u nesatiuis natas fitque CE EYPI- et Nears atque ob 7—9 et 4—4, habebimus: —c b — q T — Pp et J — p5-caT Hinc fit x x -4- y y — bcn d , ideoque pro ambobus linearum fyftematibus habebimus has aequationes: x—p(xx3-99) et y—q(xx-1-y). Formam vtriusque parametri ita immutemus wt 1 ftatuamus p— 7, €t4- , et bina linearum fy- ftemata his aequationibus exprimentur : XXx--yy-—2px et Xx--yy— 24y quae praebent circulorum bina fyftemata. M XX. Euoluamus etiam ex eodem genere fequentes formulas , fitque " : — Db--14 et — 294 i U ef-aa4* " (pP Hinc primo elicimus : — 0 Y yc; em Am SM (pp4-44* uS onem N^ TNNT ita vt fit Dein- 64. CONSIDERATIONES Deinde cum fit bp-1-44 — zu, reperimus 2f — X-- Y (x x A- y ») no mde yea Ícribamus nunc i Et. 7 loco 2pp et 244, et bina linearum fyftemata his aequationibus expri- muntur XxX-yy—px--pY (xx4yy) et. xx43y—4Y (xx49y)—4x quae reducuntur ad has: Gray epi Gex-p y) e ppyys feu Jyspp-i-px—xx PY Gpp--p x) Gxrxel-yy- r2 initiis feu AS qux —4Y (3443-42). Haec adeo duo linearum ífy(lemata fub eadem com- muni aequatione quarti ordinis continentur , dum in altero tantum parameter negatiue accipitur. XXI. Haec folutio ideo :omni .attentione digna .vi- detur quod in genere per integrationem eft eruta , atque adeo ad íolutionem huius problematis maxi- me accommodata : Inuenire ea linearum algebraicarum fyftemata -qua- rum iraie&oriae. ilidem Jit lineae , algebraieae. Quamdiu enim aequatio. pro illis lineis inter coordinatas x et jy. copnfideratur , enodatio huius quaeftionis frufira füfcipitur; «totumque arüficium , ad hunc fcopum perducens in «o. eft fitum E .quod vtram- disk) tv DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIBVS. 65 vtramque coordinatam per binas parametros variabi- les vtriusque fyftematis reuocauimus. ^ Solutio igi- tur huius problematis ita fe habet , vt «ex quouis cafu inuento facillime infiniti alii affignari queant. Sint enim 7 et 4 eiusmodi functiones parametrorum p ct q, quae iam coordinatas binorum fÍyítematum referant ita vt fit: 65 132-03 63 — o. 'Tum aliae quotcunque coordinatae x et y obtine- buntur , fumendo x--y»Y —r-—f:(t--uY—1), vnde fi 7; et 4 iam fint fünctiones algebraicae , omoes functiones algebraicae formulae ;-1-4 Y — 1 , » pariter pro x et y functiones algebraicas praebebunt. XXII. Totum ergo negotium huc redit, vt primo cafus fimpliciores pro 7; et 4 innotefcrant; ac fim- plicifmi quidem fe ftatim offerentes funt 7 — p et 4 —q4, vel etiam 7 — ap --6q et u—y pq, qui iam vberrimam me(fem binorum fíy(ítematum algebraicorum largiuntur. qTum vero hic cafus fingularis notari meretur 1- pia -L-q) et uz Vg (A p) qui quomodo fíatisfaciat fumendis diffrentialibus in- telligitur : d ty — v(a 324.5. (d 1Y — : dstY (es TET cues eer hinc (£2) (mi (25) — autas (E) — Y8— hine (25) (22)24 - Tom. XIV. Nou. Comm. I ex 66 CONSIDERATIONES ex quo propterea etiam infiüitás alias folutiones de- riuare licet. — Ipfe autem hic cafus pulcerrima duo fyflemata linearum fecundi ordinis füppeditat: pofi- to enim : xX--ap--fq et Jy bq—pq ob xx-r-yy—ap--54 pro vtroque fyflemate prodeunt hae aequationcs : 1*. fP(xx A-yy) — x x ca p(b —p) —0o 2^. q(cx-3))2-ayy —b4(a--9)—0 quarum haec eft pro infinitis ellipfibus, illa — vero ob bf pro infiniis hyperbolis fuper communi axe ex eodem centro deícriptis. . XXIII. Supra iam oftendi (14) quomodo ex huius- modi valoribus idoneis pro ; et v cognitis infinitos valores T, V, T^, V^, T^, V^, etc. elicere liceat , ex quibus deinceps porro infinita alia (yen paria formari queant , füumendo X—aT—:V--5$1/— —ENC y TA VA etc. J—aV-r-eT4 $V^E-ZT/4- y V^-4-«4T^ étc.— Hos quidem valores T et V ibi ex folis me" bus formulae ;-j-zY—1r elicui, ponendo T-[-VYV-r — (r--uY - i) eodem autem jure aliis quibus- cunque fünctionibus vti licet. Veluti fi ponamus cQ. -—f-£g(i-puy-—i)— f--gt-a-guy—: a T VM aL C bakü-Muy—3:)— Er TELE US nominatorem primo zealem reddamus tum vero adipifcemur ; Y DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIBVS. 67 mm (fa-8t)(b--Rt)--gkuu et V — uEbenfk)m 7 (b-RIYy-kkuu (ba-RO Ac kuu wbi notaffe iuuabit, cum fit T-VY —r -ixE-iY-t - —(f--gtYy--gguu hk: fore TT-- V V— E, AE, hinc enim colligitur : —(fh-2-gb-i:gkt)T —g(f--g1) Ty VW C YT e^ füm VÉRO etiam T (&-4-kt) —kuV —f4-g1 et TT-.-VV— EUeLAS Lcoglm gg item k T 4- CP Xn —g-o XXIV. Applicemus hanc euolutionem ad cafüs fim- pliciores ac ponamus primo 7 .— p et 4—4, et. pro T et V ipfas coordinatas x et y .ümendo binae poftremae aequationes praebent — he gb -p2gkp)x—g(f-- gp) — C£ g£p)x-3-£g4» 2i k(ba-kp) . DISEGRU DO e (ba-kp)x—kaqy —f-rgp quarum prior folam parametrum f continens, iam alterum linearum fyftema exhibet, quae quidem 'Omnés erunt circuli. "Tum 'vero ob ij comd osa pro altero fyítemate orietür haec aequatio : facta reductione. i quae etiam infinitos d .comple&itur : "Pro altero cafü faciamus a—0,2— cc, et loco p et qQ Ícribamus fp et qq vt habeamus L-—p4q et u—qV(ce—pp) hinc ergo. fiet —— ag g)X-g xx-r-.yy- AE T iE U-- EPOD; P rpg (ee 8p d t EPR tüm wero etian: '"" I2 xx 68 CONSIDERATIONES vo pp ED - Oy a-s ghgacyCGc- p p)-gga v (bb) (b-3-h pqyy xx4yjt m UAIDeEEs) masmm CU IUE ep) ut - I ipuEE MUT HIER Vadc occum. Wir pr IT EROS LIESS elicit pro altero fyftemate haec aequatio : -£—0 a — (gb--fR)e | (gh—fh)by | f& Wo ARCHE T SL DR uy BRW(So SUME Lr Quae cum hac forma repraefentari queat: Xx--yy-py-aa pro circulis alterius fyftematis aequatio erit XXx-yy-qx-aa itidem pro circulis. Talibus circulis in mappis munii meridiani et paralleli referri folent. XX. Ne ifle calculus tantopere fiat moleftus, fi iu genere velimus ponere ;—Yf(a-4-4) et u—Y q(b—p), primo hinc tam f quam 4 per ;/ et 4 exprimamus vnde fequentes nafcentur aequationes obi -pruu)-ap(b-p) et o—auu- q(123-uu)-bq(a 4) Iam loco T et V capiendo ipfas coordinatas x et J ex formulis fuperioribus colligemus : D (fh -A- gb)x —fg —bk(xx- yy) — (kx—g)(f —bx)—bkyy 7 dk(xx--yy)—28kX--88 | ^ — (kx—gy-4kky» uL i£b-—fhy : (k x—g)* -- RR y Ponamus ad calculum contrahendum f—hx-br et kx—g-ks wt fit fk—gbbk(r-1-5) atque $-— DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIBVS. 69 plESOH—; y c 0l).0-35 ideoque CURSDWEERY, k'ss-cyy iz aur rTSS-i-(rr-4-55)y y-i-y* — bb tT yo kk (554-95) hk ssa-yy Nunc quia r et s abfciffam x inuoluunt , aequatio- nes pro binis linearum fyftematibus ita erunt com- paratae. I. o—b(ri—yyy—pirrAxyYGosAyy) — 880 —P rs e yyY II. oa(r4-s)yyM-q(rrxay ora )— "- sry quae ambae ad lineas quarti ordinis referuntur. Nunc cafü a — o, cuius euolutio ante valde erat difficilis poflerior aequatio per 5 5 -1-yy diui fta- tim dat ocrr-J-yy— or 3y) feu. bb(rrdyy)—bkkq(ssA2y) quae: ob r —/- — x et 5— x — 1- manifíto eft ad circulum , prior vero ob (rr3-)(54-39) — (rs-J»Y fo AMERM y abit in hanc: o—(b—f) (rs—J —P (rA- sy Jy, feu rs—yy — (r-i-5) y V 54 ; pariter pro circulo, XXVI. Ex folutione autem generali füpra data etiam hanc quaeftionem elegantiffimam enodare poterimus, quam alia methodo vix tractare liceat. Inuenire eiusmodi bina jyflemata linearum fe sutuo normaliter. fecantiuta , quae ambo fub eadem. ae- quaiione conijmeaniur , iia vi prouij parameiyo valor 155 iribua- 40 CONSIDERATIONES tribuatur. vel pofitiuus el negatiuus ambo inde wafcan- iur. fyftemata., Cafüm fimplicifimum huic conditioni fatisfa- cientem iam fupra 6. 1*7. fumus adepti, quo haec aequatio Jy — 5 p- 2px, prout parameter $ vel pofitiue vel negatiue accipitur , duas parabolarum feries exhibet, quae íe mutuo ad angulos rectos interfecant. XXVII. Solutionem autem latius patentem reperiemus , fi ponamus x--yY —1—(p-2-4qY — 1y "—(pp-—qq-A-229Y —17 .quae forma permutandis paramettis p et 4, abit in (04—bp-1- 254 Y —3y —(73/(5p—44—2p4Y —ay | L(—aijfG-yY-—1) ideoque tum x--yY —r: abit vel in x—yY —1 vel in —x-1-yY— 1 prout z fuerit vel numerus par vel impar. lllo autem cafu tantum applicata y hoc vero tautum abfciffa x negatiue accipitur, et vroque curuae manent eaedem , íeu fub eadem ae- quatione contentae. Ex quo fi litterae a, 6, »y, etc. idenotent numeros impares quoscunque , geminam folutionem hinc: confequimur : | ]. x-yY—1-—A(p2a-4Y-1y pA e- C(p4-4Y —a) etc. AI. err A (p-1-qY-1) *--B(94-4Y —1)** 7E C(-1-4Y — x)'* etc. An DE TRAIECTORIIS ORTHOGONALIBVS. jx in priori fcilicet omnes exponentes funt numeri im- pariter pares, in pofleriori vero pariter pares: lit- terae autem «&, 8,.'y etiam. numeros negatiuos at- que adeo fractos; dummodo numeratores et deno- minatores fint impares denotare poffunt. Generali- us vero hae duae ita exhiberi poffunt, vt pofito jp—44-3-2pq4Y —Á3ic—R formula x-yV—1 ae- quari debeat fünctioni vel imipari vel pari ipfius R. XXVIII. Adiungere infüper liceat hoc problema. Inuenire eiusmodi curuas fecandas , vt curuae fecantes ab ilis mon aliter difcrepent mifi quod | coordi- natae X ei y inler [e permutentur : feu vt eaedem l- "eae ad axem priori normalem translatae illas morma- lier iraüciant. Soluetur hoc problema ope huius formulae X4yY —X-A(p-r-qY -1Y--B(p-4Y -1)-C(p-2Y - x) fi loco exponentiam a, $, ^y capiantur numeri im- pares vel formae 4i-1-1 vel formae 4;-|-3. Hu- ius autem duplicis generis numeros imparcs in «a- dem forma inter fe neutiquam permifcere licet. Vn- de x--»Y —1i aequari debet eiusmodi füncioni impari ipfius f-1-2Y —1, in qua nullae aliae oc- currant poteflates , nifi quarum exponentes fint vel ommges formae 4i-j-1, vel omnes formae 4i-1-3. DE 72 «$2 ( o ) $e DE FORMVLIS INTEGRALIBVS DVPLICATIS. Auctore L. EVLERK O. X. N corporis cuiuscunque propo(ti vel foliditatem vel fuper&ciem vel alias huiusmodi quantitates definire velimus, id per duplicem integrationem fieri folet ; Formula enim differentialis bis integran- da tali forma Zdxdy exprimitur, binas variabiles x et y continente quarum altera fola in priori inte- gratione vt variabilis fpectatur; poíterior vero inte- gratio ad alteram iam vt variabilem fpectatam in- fütuitur. Hioc quantitas per duplicem iftam inte- grationem refültans duplex fignum integrale prae- figendo indicari folet hoc modo : // Z 4 x dy, quippe qua cuplicatione formula differentialis — propofita Zdxdy bis integrari debere eft intelligenda. — Hu- iusmodi igitur expreffiones geminato figno fuümma- torio affecas hic formulas integrales duplicatas ap- pello, quarum víüs cum latiffime pateat, in earum indolem hic diligentius inquirere , earumque pro- prietates et affectiones accuratius euoluere conftitui.: 2. Pri- DE FORMVL. INTEGRAL. DVPLICATIS. 75 2. Primum igitur cum X et y fint duae quan- titates variabiles a (e inuicem non pendentes, Z ve« Yo denotet earum functionem quamcunque, formu- lae integralis duplicatae ff Z d x 4y vis ita. exponi poteft, vt quaerenda fit fun&tio finita bingrum ifta- pum variabilium x et y, quae ita bis differentiata , vt in altera. differentiatione fola x in altera fola y pro variabili habeatur , ad formulam Z dx dy de- queat, lta íi fuerit Z-—2, euidens fore f//a dxdy. -caxy; genemlius vero erit f/fadydy —axy -- X -- Y , dénotante X. füun&ionem. quamcunque ipüius x et Y ipfius y, quandoquidem hae duae quantitates per geminam. illam differentiationem ex ealceulo tolluntur. 4. In genere autem fi V' fuerit étiztanae functio ipfarum x et y, quae bis differentiata ita vt. modo eft praeceptum , praebeat Z 2 x dy; erit qui- dém vtique V — — dxdy; verum duplex inte- gratio infüper. fun&iones arbitrarias. X et Y . illam bb. ik: hang. ipfius y inducit , vt fit, generaliffur.e :. OffZ4dxdy zN--X-- Y. | Ex flatim perfpicitur , huiusmodi formulas différen- riales neceffario aff&&tas effe producto Zx 4y ,; neque propterea fecundum hanc fignificationem — tales. for- mulas ff Z d'x* vel ffZ d^ quicquam | fignificare ; fiquidem per ipfam rei naturam excluduntur, dum- in altera integzratione fola x, in "a vero- fola La vt variabilis tractatur. Hei. 2gpnt ; Lem. XIV. Nou. Comm. K M. Con- 74 DE FORMVLIS 4. Conftituta fic, forma huiusmodi formula- rum integralium duplicatarum f/f Z4dxdy, ita wt X et y fint duae quantitates variabiles a fe inuicem non pendentes et Z functio finita ex iis wvtcunque compofita, haud difficile eft duplicem integratio- nem , quam inuoluunt, inftituere ,. quod quidem prout primo vel x vel,y fola variabilis confidera- tur, duplici modo fieri poteft. Sumta fcilicet pri- moy pro variabili , altera x vt conítans tractatur , quaeriturque integrale /Z d y quod erit certa quae- dam functio ipfarum x et,y; qua inuenta fufcipia- tur formula differentialis 2x/Z dy in qua iam y vt conftans folaque x vt variabilis tractetur, eius- que quaeratur integrale /72 x/Z dy qui erit valor quaefitus formulae integralis duplicatae propofitae ffZ4dxdy. Si in hac duplici integratione ordo variablium x et y inuertatur, valor quaefitus ita exprimetur f/ 25 / Z d x, qui ab illo non difcrepabit. 5$. Ob hunc confenfüum fit, vt talis forma ffZdxdy promifue fiue hoc modo f2xf/Z4y fiue hoc / dy /Z d x exhiberi poffit; vtrouis autem vtamur, regulae vulgares integrationis funt obfer- vandae , fi modo notetur in ea integratione , in qua vel x wel y pro conftante fumatur , conftantem in- troductam eiusdem fore functionem quamcunque. Nis luti fi Brogésstun haec forma f/f 935. — fx f 2 XX4- yy Expy» ob / —5^ — — 1 A tang. 2- -1- 2X , denotante 2X. fun- mpg y I d x du dz cionem quamcunque ipfius x, "ait | pi WX--)9 —f€T A tang. INTEGRALIBVS DVPLICATIS. — 75 A tang.J- - X, vbi in integratione adhuc perficien- da y pro conftante habetur. Simili vero modo re- peritur EET Sep A tang. 7- -j- Y, in qua inte- gratione X conftans affumitur , in quo quidem exemplo confenfus binorum valorum inuentorum non fatis eft perfpicuus. 6. Interim tamen veritas confenfüs per feries T fale oftenditur ; cum enim fit A tang.7- — 7. — A tang. ?- , denotante 7. etd elis yet: 3er À tang. 7 — 7 — usnm erit. d um EA [^ Atang. T T" n-RSL rs pem - etc. Tf et dy —T E A tang. 7- —a4y-m 3n Iv 2 -etc. 4 f:x éx quarum vtraque oritur: [f ZEE XM Y-LhÓ4M-2L «x -r-y9 25 cR He LU CC, Verum vbi ambae integrationes füccedunt , conue- nientia fponte fe offert : quod quidem pluribus exem- plis oftendiffe fuperfluum foret, cum eius ratio ex natura differentialium et integralium perfécte fit demoaftrata. : . 7. Haec igitur tenenda funt de iftiusmodi formulis integralibus duplicatis , quando binae varia- biles x et » nullo plane nexu inter íe cohaerent, ita vt in altera integratione altera, in altera vero altera conftans accipiatur. — Verum tales formulae m K 2 non 49 T Tab I. Fig. 1. 36 |. "^ DE FORMVLIS non confundendae fünt cum iis, quibus vt initio dixi , foliditas et fuperficies corporum | quorumcun- que. exprimi folet. ^ Etfi enim hae formulae etiam duplicem integrationem requirunt , et in priori al- tera binarum variabilium puta y fola vt variabilis tractatur altera x pro conftante affümta , tamen priori integratione peracta , ea per omnes valores ipfius y extendi , ficque tandem loco y extreraus valor, quem recipere poteít, ftatui debet , qui plerumque ab x pendet, ita vt hoc valore poft primam iutegrationem loco y conftituto in pofterio- rj integratione y tanquám functio quaedám ipfius x ingrediatur , neque propterea pro conftanti haberi queat, qua conditione fit , vtaltera integratio pluri- mum immutctur, etfi priotf fimili modo vt ante abfoluatur. 8.. Quod difcrimen quo clarius perfpiciatur , exemplum attuliffe iuuabit. Quaeratur ergo folidi- tas fphaerae , cuius centrum fit C et radius CA—a, ac primo quidem portio eius quadranti ACD infiftens, cuius elementum :eít. columella Y Z y z arcolae Yy-dxdy infiftens, pofitis CP—»x, et PY —y eritque eius altitudo YZ—V(aa—-xx—yy); hinc foliditas columellae elementaris —4xdyY (aa-xx-yy) quam bis integrari oportet. Maneat primo inter- vallum CP—x conftans , et integrale /ZyV (aa-xx-yy) ita füumtum , vt Oen pofito y — o , dabit por- tiunculam areolae P»Yq infiftentem , quae ergo erit INTEGRALIBVS DVPLICATIS. sj erit —1yY (aa xx-—yy)-5(42-xx)A(Gn. 2 —. lam hoc valore in altera integratione vti oportet , fed antequam is inducatur, per totam diítintiam PM exteudi debet , vt habeatur elementum folidi- tatis toti areolae P? M s infüflens; pun&o autem Y ad M vsque promóto, fit y — Y(aga— xx), qui ergo valor loco y fubftitui debet , ita vt in fe- quente integratione quantitas y minime vt conftans confideretur , haecque tractandi methodus plurimum a praecedente difcrepet. 9. Pofito ergo y —Y(aa-xx) , fit f/dy V(aa-xx —Jy)—z(aa—xxX).cum fit Afin. 1—7; ficque inte- gratio adhuc abfoluenda erit f/dx/dy V(aa —xx—yy) —rff(as—xxWMx, vbi quidem vnica variabilis x ineft, fed non ideo, quod iam hic y pro conftanti habeatur , fed quia pro y certa quaedanr functio ipfius x eft fubítituta, — Haec altera vero integratio ita inftituta , vt euanefcat pofito x — o, dabit foli- ditatem portionis fphaerae, quae areae C B M P in- fiftit , quae idcirco erit —7(gax —247); vnde fphae- rae octans feu portio toti quadranti A C B infiftens prodibit puncum P vsque in A promouendo vt fiat x — a. — Tum ergo foliditas octantis fphaerae erit —74', hincque totius fphaerae — *7 4^ vti conflat. Ex quo exemplo intelligitur , talem foli- ditatis inueftigationem plurimum differre. ab integra- tione duplicata formularum primo expofita. K 35 IO. crab. T: Fig: 2. 78 DE FORMVLIS 10. Quod fi non totum octantem fphaerae, fed cam tantum eius portionem quae areae rectangulari . CEDPF infftit inuefligare velimus, prior integratio vt ante ioflituenda eft, fed ea peractaipfi y valor PM debct tribui , qui quidem eft conftans et propterea haec inueftigatio ad primum genus videtur accedere, verumtamen €o difcrepat , quod integrale determina- tum prodeat, cum ibi functiones indefinitae X et Y inucherentur. Pofito ergo vt ante fphaerae radio CA-a,fit rectanggdli CEFED latus CD-—e et C E — f: et folidum elementare areolae P p Y 4 infiflens erit vt ante iy Y (aa— xx—yy)3r i i(aa— xx) A fin —2- -xx)) quod vsque ad M extenfum , vbi fit y — f; erit jfY(aa—ff — x x) i(aa-xx) A fin. Y(aa—zxx) vnde folidum areae CPEM infiftens fequenti inte- grali exprimetur. JJdxV (aa-ff- x x)-.- if (aa-xx)dx A fin. E "rer fi quidem ita definiatur, vt euanefcat pofito x—o. Euoluamus ergo feorfium has binas formulas. ir. Ác prima quidem ftatim praebet ; JdxV (aa-ff-xx ix Y (aa- fx ae i(aa-ff )À. fin; ——7—755 TET if. pu Jxid x altera; autem ob Z. A fin. 77755 — Co Vgscdicpn ita transformatur : J/(aa- INTEGRALIBVS DVPLICATIS. — 49 "UWUN —(aax-ix')A fin.——— poems (aa —;xx)xxdx SOR —xx) Y(aa —ff —x) ad quam pofiremam partem integrandam , notetur effe A fin.———— ft f an-ti)dx An. a Tua) afdx Viam ff (aa-xx) Ix] fads (aa—xx Va Y (aa-ff-xx) huius ergo dabitur multiplum quoddam , quod illi formae adiecum praebeat talem formam- (aa—ixx)xxdx Eat ag Mee SIT pomi —ff (aa—xx) (aaxx—ix'-p-maf)dx ; T7 (aa— xx) Y(aa-ff-xx) vt 4axa—ix'-pmaf fiat per aa—xx diuiüibile , id quod fit füumendo 7 —— 7 ; hincque- erit (aa —ixx)xxdx 2 g* e. Job J(ga— xx)Y(aa—ff—ux) g^ Y (aa — ff )(aa—a4x) (2aa—xx)d x Te den s ^ 15. Cum igitur fit (2aa—xx)dx f Vids fA ff -xxy anat JAfin. Ya n dbsniene -XX) erit qq (aa—:xx)rxdx | — (aa xx)Y(aa — f —2xx) — —— 8o. DE FORMVLIS ; fx "m l Kd Ln -ff-xx Afin. WV (aa-jf (ad-&x) (34a4- ff )A fin. Ga ff) ixV (aa xa) Buca)... c Woo ipe vaa—x3j — — (aax-i x) A fin. Tu yieic-en —34 "Afin. 775 aa — Juri -i-« f (34a-- ff) A fin. 7 Xm "ift Y (aa ffi) Quare pofito x—CDc-—e, erit foliditas portionis fphaerae re&dunguio C DEF infilentis : vefPY (grs t fo aac A M qui Een 3 |; 1€ A fin. — rad A fin. urtayunuct af(sa4a—ff) Afin. 53 €f V(aa—ee—f) quae expreffüo reducitur ad hanc: ze fY(aa—ee- )2- f( 5 udin aeg A lin, 4 734: A fin. 255—825 ' -r- ve(54aa—ee) 13. Si ergo rectanguli terminus F vsque ad peripheriam porrizatur vt fit. ee-1- ff— aa, pri- mum membrum euanecfcit et arcus. e reulares tria reliqua. afficientes. abeunt iu. angulum. réctum feu. m" eritque | foliditas T(iaeae--iaaf—ié —if'—ia!) feu ob /— Y(aa—ee) . z((2aa-4-ee)Y(aa—ee)—2d MEME T di quod. folidum fit maximum , fi eSI , fitque id tum — in ud , dum foliditas ocantis fphae- rae cft —ed. lta ;vt noftrum folidum: fit ^ ad octan- INTEGRALIBVS DVPLICATIS. $1 ocantem fphaerae vt 5 — 2 Y 2 ad 2Y». Sin autem punctum F non ad peripheriam quadrantis pertingat , fueritque f — e erit íoliditas quaefita — 1eeV (aa— 2e J-:e( 3aa—ee)Afin-; 77 —22 34 Àfin.z;-ee Quare fi fuerit A fin. ———* — : A fin. ——— 5. —a' :e(3aa— ec) Yy(aa—ee ag —ee folidum algebraice exprimetur. 14. Quo autem rem generalius complectamur quaeramus folidum areae cuicunque GQHR infiftens cuius elementum cum areolae Y y— 4 x4y infiflat, idque fit —2xdyY (aa—xx—yy), prima inte- gratio fumto x conftante praebet ;Zx(.y V (aa-x x —yy) Cr-(aa—xx)Afn 2) Sint iam ex natura curuae GQHR diflantiae. ex- tremae PQ—4 et PR—r, atque folidum | elementare areolae QR infi(lens erit Ee i Ear X Li 4 —4Y (aa —xx—44)—(aa— xx) A fin.zz 3 Quare cum 4 et r poffint efle functiones. quaecun- que ipfius x, euidens eft quantum abfit, quo minus quantitas y in fequente integratione pro conflanti habeatur. Sequens autem integratio a valore x OE .ysque ad valorem x— OF eft extendenda. 15. Si figura bafis GQHR a reta CA traiiciatur vt quaeratur folidum bafi C G H. infiftens Tom. XIV. Nou.Comm. L cuius 'Tab. I. Fig. 3. "Tab. I. Fig. 4. $2 DE FORMVLIS cuius natura exprimatur aequatione quacunque inter CP—x,PR-—r,eri folidum: jfdx (rY (aa—xx—rr)-4-(aa—xx) Afin. MOLISE vbi problema non inelegans fe offert, quo figura bafis CGH quaeritur, vt folidum ei iufiflens algebraice exprimatur. Statuatur in hunc finem r—Y (2a4— xx) vt folidum indefinitum areae C PRG infiflens fit if(aa—xx)dx(uY(x —uu)--Afin.u) quae expreffio transformatur in hanc: t(aax—ix)(uY(xz-uu)-M-Afn.u) —f(aex—ix)duY(x—uu) Fiat iam f((a22x—ix)duY (1-ug)-na A fin.z4-a*U exiftente U funcione algebraica ipfius 4, et cum fit foliditas z(aax-ix")uY (1 -u1) -àU t-(1aax-1x-1a) A fin.u. €a erit algebraica cafü —37-1-522x —674': dum- gmodo 4 euanefcat pofito x—0o, tum enim foliditas erit —na' uY (x—uu)— aU. 16. Ponamus ZU—U'Zz, ac prodibit haec inter x et 4 aequatio: qui 1 — na3 Uum Li Ul 1—Uuu Yi —uau) Fingatur .U— muY (x—14), | erit U zitat " I—Uu) vt 4 cuanefcat pofito x —0, debet effe ;;— —;, «t fiat 66X—; ees —2nafuy BEICLISI MM hiuc- INTEGRALIBVS | DVPLICATIS. $3 - —— y (aa—2xx)(:2ax—x) (1— — y6nad3(saax-—x do EP -EEM Arma a5 (zaax—»x Y IRE) fit foliditas illa ETATE e EE Si haec foliditas locum habere debeat, facto po —d. y y (aa xx saxa) LL. 3/ x (a — x) (saa— xx X—4; fit 421—353 roy E mY (a3 -xY(2a—x) ac pofito x—4, erit foliditas —24*, et curud pro bafi inuenta eft linea quarti ordinis. 17. Quae hic de foliditate portionis fphaericae dátae bafi infiftentis fünt tradita , fimili calculo ad quaeuis alia corpora accommodari- poffunt, cum' tàntum in fornula Z dx dy quantitas Z alio modo per x et y determinetur dum hic erat Z-Y (aa-xx.y). Quin etiam fi füperficies corporis cuiuscunque datae bafi imminens definiri debeat, id integratione gemina fimilis formulae differentialis Z 7 x 4y eodem: modo expedietur: ita fi corpus fit fphaera, elementum fuperficier areolae elerientari bafis d x 7.»y imminen- SUD adxdy ^ i MLSUen d oahnun - eft Y(ad—x x-—— ) ita^ vt fit Z x y (aa —xx—yy)? cuius gemina integratio pari niodo pro ratione bafis, cui imminens portio fuperficiei quaeritür, eft infti- tüenda. ^ Atque in genere qüantitates quaecunque aliae cuiusuis corporis, quae certae bafi refpondeant , ope fimilium operationum determinabuntur. —— 18. Quaecunque ergo Z. füerit functio ipfarum X et y pro integrali duplicato f//Zdxvd4y. primo quaeritur integrale f/Z 4 y , quantitate x vt conflante fpe&ata, idque extenddtur per! totam quantitatem y, | L 2 ficque "Tab. .l. Fig s. 84 DE FORMVLIS ficque extremi valores ipfius y in computum in- gredientur, quae erunt functiones ipfius x, ex bafis figura cognitae: ficque pro /Z dy orietur functio ipfius x , quae in dx ducta denuo more foli- to debet integrari. Idem tenendum eft, fÍi ordine inuerío primo formula /Z 4 x integretur , fpectato J wt conítante quod integrale dum per totum inter- vallum x extenditur extremi valores ipfius x eidem J reípondentes , qui erunt functiones ipfius y, inue- hentur, ficque / Z d x abibit in functionem ipfius. tantum , quae per dy multiplicata denuo ita inte- grari debet , vt integrale per totum interuallum y extendatur. —Vtroque ícilicet modo integratio per totam bafin eft extendenda, eademque praecepta funt obferuanda , qualiscunque Z fuerit functio ipíarum X ect y. 19. Baíi ergo data, determinatio integrationum perinde fe habet, ac fi quantitas Z effet conftans , quaerereturque tantum integrale f/f d x d y, quo area bafis exprimitur. Quare ad praecepta , quae in de- terminatione horum integralium obíeruari oportet ftabilienda , fufficiet pofuiffe Z — 1 , vt integrale duplicatum ff xdy de&niendum fit fiue. autem fumatur x fiue y , extremi valores vtriusque deter- minabuntur per aequationem bafis figuram expri- mentem. Scilicet priori integratione peracta , wbi puacum Y vbicunque intra terminos extremos erat affüumtum , tum hoc pun&umi in peripheriam bafis trans- INTEGRALIBVS | DVPLICATIS. 85 transfcratur, quo pacto x et y fient coordinatae bafis, inter quas aequatio datur, ex qua deinceps fiue J per x fiue x per y determinabitur. 20. Quae quo clarius perípiciantur, fumamus bafis figuram effe circulum centrum in G et radium GQ habentem, ponamusquee CF—f; FG-g, et GQc-., erit pun&o Y in peripheriam huius circuli wansato ec—(f— x) -- (g —y»)- lam ad aream buius circuli inueftigandam fit primo x conflans , eritque f/2y — y 4- C, et quia y habet geminum valorem in noftra bafiy — g d4- V (ee—(f—- xy), haec integratio ita determinetur, vt integrale euauefcat, dum ipfi y minor horum valorum g£—Y (ee—(Cf —xy) tribuitur, ita vt fit EU Via ay) Nunc ergo y vsque ad alterum terminum y —g --Y( cc-(f-x) J*) extenfo erit /dy 22 V (ce-( f-x y), EX iam per dx multiplicatum et integratum praebet : /dx/gy- C -(f-x) V (ee - (f -x i) - ee A fin.—5 quod vt euanefcat pofito x Zf/—e fit CZecA fin. 1 -7 cc. Porro ftatuatur x —f-1-c. et ob cc A fin. /—* z-—ccA[Ín x--tcc erit area quaefita. tota mr6c--Ttgee-mece, wti conftat, 2I. Si has determinationes accuratius per- pendamus videmus extremos valores ipfius x ita effe comparatos, vt alter fit maximus, fiquidem IT bafis (86 DE FORMVLIS. "T'ab. Y. Fig. 4. bafis tota quadam curua in fe redeunte terminetur. Hi ergo ambo valores reperientur , fi aequatio natu- ram bafis exprimens differentietur , et 4 x — o po- natur. Quando autem bafis non vna quadam linea curua terminatur , fed portione quapiam veluti CGH continetur, cuiüs bafis CH fit maxima tum minor terminus ipfius x manifefto eft — o , maior autem ipfii CH aequalis: eodemque cafu termini applicatae P R abfciffie C P — x. refpondentis funt alter — o, alter vero. — PR, Quacunque ergo bafi propofita eius figura ante probe eft examinan- da ipfiusque termiui quaquauerfüs explorandi, quam inueftigatio areae vel cuiusuis alius formulae inte- gralis duplicatae fufcipi queat: definitis autem ter- minis quibus area continetur , inde d:terminationes integrationumi funt petendae. 22. His de integrationum determinatione ex- pofitis, infignes maximeque notatu dignae aff ctio- nes huiusmodi formularum integralium | duplicata- rum perpendi merentur , quae in earum transíor- miàtione occurrunt. Scilicet quemadmodum | coordi- natae eiusdem curuae infinitis modis fumi poffunt , ita hie loco binarüm variabilium x et y, binae quaecunque aliae variabilés in' computum — introduci poffunt, fiue eae pariter fint coordinatae, fiue aliae quantitates vtcunque definitae. tà tslis transforma- tio iü genere ita concipi poteft, vt loco x et y fun&iones quaecunque aliarum duarum variabilium ; et INTEGRALIBVS DVPLICATIS. 85 i et v fubfütuantur , hisque in aequationem pro bafi datam introdu&is, fimili modo limites «harum quantitatum 7 et v quibus figura bafis terminatur , definiri poterunt. ^ Vtcunque autem hae fubflitutio- nes fumantur , tandem poft duplicem | integrationem femper eadem quantitas refultet neceffe eft. 25. Si loco x et y aliae quaecunque binae cooidinatae orthogonales iatroducantur puta 7 et 9 quod fit in genere ponendo : xcf--mt-4-vY (xi-mm)etyzgdatY (x-mm)-mo manifeftum eft elementum areae bafis, quod ante erat 2x dy, nunc per dzdo pides dette Cum autem iude fit dx—mdt--doY (x -mm)etdy-dt Y(x -mm)-mdo minime patet, quomodo loco 2x4y per bas fubfti- tutiones oriri pofíüt d/£4v; dum potius prodiret dxdy-—mdiY(x-—mm)--(x—2mm)dtdv — nda V(x —:) quae autem formula, vtcun- que ad geminam integrationem adaptatur, íemper in maximos errores inducet. — Multo minus ergo hinc colligere licet, fi loco x et y aliae fünctiones ipfarum 7 «et cv fubflituantur, cuiusmodi expreffio loco Z x dy adhiberi debeat. | 24. Ac primo quidem obíeruo nullam hic effe rationem , cur expreíüo loco 2x y in calcu- lum introducenda ei aequalis effe debeat ; quod tum dcmum $8 DE FORMVLIS demum neceffe effet , íi binae intcegrationes eodem modo vt ante fecundum binas variabiles inftitueren- tur Cum autem nunc aliae variabiles 7 et v ad- fint, atque altera integratio per variabilitatem ipfius 7, altera ipfius v fit adminiftranda , quae operatio- nes a praecedentibus plurimum differunt ; formula iam loco d x4y inducenda non ex aequalitate aefti- mari, íed potius ad fcopum, qui eft propofitus , accommodari debet. — Et quoniam iam binas inte- grationes fecundum binas variabiles 7 et v diftingui oportet , manifeftum eft formulam loco 2 x4y ad- hibendam neceffario producto 27d v affecam effe, et huiusmodi formam Z 47d v habere debere. 25. Quo haec certius expediantur , meapcat primo x, et loco » introducatur alia variabilis g, ita vt fit y functio quaecunque ipfarum x et 4, et dy —Páx--Qd4u Si iam in priori integratio- ne x conflans fumatur, erit vtique dy —Qdu, hinc /£/dáx dy —fdxfQdu, ita vt nunc loco for- mulae Zx4y habeatur Qd xu, cuius integrale duplicatum proinde etiam hoc modo exprimi - pote- rt fdufQdx, wbi in priori integratione fQzx quantitas 4 fumitur pro confítante. — Quodfi nunc fimili modo s retineatur et loco x introducatur functio quaecunque ipfarum 7 et v, vt fit4x—Rdt -I-Sdu, in tractatione formulae /dufQdx prior integratio / Q d x, in qua « conflans ftatuitur, abi- bit in hanc /QR 47; ita vt integrale duplicatum fit INTECRALIBVS DVPLICATIS. 89 fit /duf QR 4t feu promifcue //QR:du vnde manifftum eft ob has ambas fubftitutiones loco for- mulae 4x4y hanc QR Z7 d 4 tractari debere. 26. Introducamus nunc ftatim loco x et y has duas nouas variabiles 7 et 4, per quas ille ita determinentur , vt fit: cdx—Rdt-A-Sdu et dy— Tdt-1- V du vnde valore ipfius d x in forma dy — Pd x A-Qdu fubftituto fit y —PRZ4z --(PS-- Q)4u, ita vt üit PR — T et PS H- Q— V, vnde fit P— et "d Q—V fieqe QR — VR —ST. Quare, vi harum fubftitutionum, loco 4 x Zy vti debemus . for- mula (VR —ST)4t 4u quae bis integrata iuftis; ad-- hibitis determinationibus aeque aream totius bafis praebere debet, atque ipfa formula 2x 4y bis inte- grata. Quod autem hic. pro formula areae bafeos J/4d x dy ett oftenfum , locum habet pro quacunque alia formula //Z d x 4y,, quippe quae per easdem fubftitutiones transformatur in hanc f/f ZIV R—ST) didi dummodo in Z loco x ety affumti valores fubftituantur. | Pari enim modo binas integrationes ex figura bafis determinari oportet, 24. Quod fi ergo ponatur: . dx—Rdt--Sdu et dy— Tdt-- V du looo Zx4y confequmur (RV—ST)4: du, quae formula plurimum differt ab ea, cui productum Tom. XIV. Nou. Comm. M dxdy "Tab. 1. Fig. 5. 9o DE FORMVLIS dx dy reuera e(t aequale; etiamfi enim termini per di" et di^ affe&i , vtpote ad duplicem inte- grationem inepti , reliciantur tamen quod ref(tat (RV --ST)4:du ratione figni a vera formula dis- crepat. "Verum hic non leue dubium exoritur quod cum coordinatae x et y pari paffu ambulent, noftra formula potius differentiam RV —S T quam inucr- fam ST—RV comple&atur: quod dubium eo ma- gis augetur, quod fifuperius ratiocinium refpe&u x et y inuertiffemus eaedem fubftitutiones nos reuera ad formulam (ST—RV)4rdu perduxiffent. — Sed quia.totum difcrimen tantum infigno verfatur , al- teraque formula alterius eft negatiua, hinc determi- natio abfoluta areae bafis, quippe cuius quantitas abfoluta quaeritur , nullam mutationem realem pa- titur. 28. Haec autem magis fient perfpicua, fi modum quo füpra (20) ad aream EQHR inuenien- dam vfi fümus attentius copfideremus. — Primum fcilicet. ex integratione formulae f//4d x y deduxi- mus hanc aream — fd x (PR —P QJ), vbi quidem PQ a PR fübtraximus, quia manifefto erat P R *- PQ,, fed in ipfo calculo nulla continetur ratio , quae praecipiat , vt potius PQ a P R quam vicis- fim PR a P Q fübtrahamus, ficque non aduerfante calculo potuiffemus aequo iure eandera aream per f4x(PQ-— PR) exprimere, quo paco ea negati- va fed priori aequalis proditura fuiffet — Ex quo perífpicuum .eft fignoum -j- vel — non quantitatem areae, INTEGRALIBVS DVPLICATIS. 9: areae , quae quaeritur , afficere, €t calculum pari iure ad vtrumque perducere poffe | Quam ob cau- fam fuperius dubium ita diluetur , vt dicamus aream quaefitam ita exprimi debere , vt fit — -- /Jdtdu (RV—ST), et vt area pofitiue expreffa prodeat, quouis cafü eo figno vtendum effe, quo -- (R V-S T) reddatur quantitas pofitiua. 29. Hinc ctiam dubia, quae forte oriri pos- fent circa inueutionem areae curuarum, quarum partes vtrinque ad axem funt difpofitae , et quibus "tyrones faepe non parum turbari folent, facile re- foluuntur. Si enim curuae QA R ad axem AP relitae area tota Q A R abfiffaie A P —x refpon- dens definiri debeat, eiusque partes A P Q et APR feorfüim confiderentur, certum 'eftfi altera A PQ af- firmatiue fpectetur vt fit —--Q, alteram APR negatiue concipi debere, vt fit — — R. Neque ta- men hinc fequitur aream totam QAR fore 2 Q-R, quippe quae euanefceret , fi ambae partes A.P Q et —A P;R efftnt aequales; fed perinde ac fi ambo pun- &a Q et XR ad eandem axis partem fita effent , area. perpetuo e(t .— 4 f/4 x(PR —PQ), vnde ob JP Q. ZwiziQ et-/ PR: x zz2-—R, cfit--tota :are1 z--(Q--R), vti rei natura. poftulat. 30. Ope autem tàlium fubftitutionum , quibus loco binarum varisbilium x et y binae quaecunque "aliae introducantur 7; et 4 faepe numtro' integratio- "nes plurimum fubleuari facilioresque reddi | poffunt , M 2 ! et "Lab; Y. Fig. 6. 'Tab. I. Fig. 5. 92 DE FORMVLIS et quouis cafü haud difficile et fub(titutiones maxi- me idoneas reperire. Veluti fi area circuli EQHR ad axem CP relati definiri debeat, vbi ob CF — f, FG-g, GQc—c erat ec—(f— inni -rF(g-Jy, poni conueniet fu Cdi Decem ume P Sn JL Vis un) vt.flat £06 cet £—6.; Tum vero ob -— -—df .fudu — LU tuns Mdbatiut eu T (RP INT n etna vüc-guu) 2109s (r4 uus eia" loco 2x dy per $. 27. adipifcimur : Zz d u ( —— tuu — tdtdu 1 1 - x. cuu) — PE cuius duplex integrale ita ex primatur; f- * ftdt. Iam Jem eft /z dt —itt — i606, et area tota:erit 1e c f Dp... dum ipfi & omnes valores poffibiles tribuuntur , quandoquidem & non amplius aequationem pro bafi afficiebat. ( Rcs 31. Quo hunc vfum clarius explicemus, con- fideremus iterum fphaeram. centrum C et radium C Aa habentem , cuius portio bafi circulari per- pendiculariter infiflens quaeri debeat. Quia radium CA per centrum huius circuli G ducere licet fit FG -p-o, vt fit &e-z(f —xy --2y st To- lidum quaefitum es Y (a a — x x —y y) fta- tuatur idm X — 55; €6J — youauo Vt fat XA 1d c kat Yiga--x— —yy)—Y (aa —t1t) , et pro 2x dy prodeat 1777, ita vt foliditas quaefita ita exprimatur f. IEEE TENE quae integrationes icu ? deter- INTEGRALIBVS DVPLICATIS. 93 determinari debebunt ex aequatione hinc pro figura bafis oriunda : cc —ff — 1 fis ori e— vcpas zu 5 Meu fos wy (cc-pccuu—ffuxs) y (o 4 uu) vel Y (x 4-uw) — Et —CCc-rtt eb — 52. Confideretur primo 7 vt conftans, fiet- que integrale — f/z d£ V(ga--t:). A taug. s, vbi conftantem adiici non eít neceffe quia euaneícente fimul y euanefcit, quaeramus enim primo folidum femicirculo infifleus. ^ At integrali hoc primo ex- tenío ad terminum extremum , ob "nn 4—A eu. c fit id y(i NAE ff-—zcc ft d1 Y (aa — t1). Acof, 4—7— cuius integrationis limites fünt ; —f—c et £—f-1-c. Si non fíoliditatem huius portionis fphaerae, fed eius fuüperficiem bafi quati imminentem definire vo- luiffemus peruenturi füiffemus ad hanc formulam DTI ff-—cc4-tf T TED 5 À cof. E at operae idis non videtur eius integrationem fufius profequi. 553. Methodus autem huiusmodi formulas in- tegrales duplicatas tracandi haud parum illuftrabitur fi eam ad problema illud quondam famofum Floren- tinum accommodemus , quo in füuperficie fphaerica portio geometrice affignabilis requirebatur , cuius fuperficies algebraice exprimi poflit, lmmineat talis M 3 fphae- Tab. Y. Fig. 4. 94. DE FORMVLIS fpbaerae portio cüruae GRH caius propterea figu- ra eft determinauda : in qua fi ponatur CP — x PR-—y, fuperficies fphaerae imminens bac formu- la integrali duplicata exprimitur //f - Jüsl- PUR Iam nulla fubftitutione adhibita ; fi primo x pro conftante habeatur , prodibit fa d x A fin. zv; —23» qua portio fphaerae aream indefinitam CPRG te- gens exprimitur; et quaéftio nunc huc redit, wt eiusmodi aequatio algebraica inter x et y a(hguetur, vnde pro tota ara CH R G portio fuperficiei fphaericae ei refpondentis fiat algebraice affignabilis. 34. Ponamus breuitatis gratia 77 —, vt fitny —vY.(aa—xzx), ac pofito, x celu v —1n: quoniam fuperius integrale euanefcere debet pofito x» — o: Erit ergo füperficies fphaerica aream indefinitam CPRG tegens —axA fin. —a/ 7355. fumto hoc integrali ita vt euanefcat pofito ^x — o. Statüatur nunc f..—*—— — f A fin;v — « V , deno- tante V. functionem quamcpnque algebraicam ipfius ,V, quae abeat in. IN. pofito x — o, eritque füper- fides nofira CaxAfin.v- afAfin.v--«a V 4-fa A fin.n-aaN, atque X per v ita determinabitur, vt fit. ecol irem um fit iám CH. ac ponatur x — b, quo cafu p |. 8 fia 9 — m et V M , et cum füperficies. propofi- ta fit ab A (in. —af Afin. 1:-1-aaà MA- af A fin;z-üaN : ea INTEGRALIBVS DVPLICATIS. 95 ea algebraica effe nequit nifi fit b À fin. i —f A fin. im -- f A fin. — o 55. Hic igitur primo arcus quorum finus funt z; et 52 inter fe commenfurabiles reddi debent, nifi forte fit 7 — o , quo cafu (fufficit fieri 5» — f, Quod etf facile infinitis modis praeftari poteft. tamen hoc problema multo facilius adhibendis fubfti- tutionibus ante expofitis refoluetur. Ponatur ergo CUGSLTER ESO tJ — uS, Wtfüatxaxqpyycit, et pro dxdy prodeat £77 , atque fuperficies portionis fphaericae hac formula integrali duplicata atdtdu exprimetur. ETT Sumatur primo m Y conflans erit ea —— / -* E (b—' Y (aa —tt)) quae iam facile abfolute integrabilis reddi poteft: ponatur enim aequalis functioni algebraicae cuicunque ipfius u quae fit — V eritque b—Y(aa—::)—2* 0-29 et portio füperficiei fphaericae adeo indefinita erit —V, vbi pro V fünctionem algebraicim quamcun- que ipfius z accipere licet. 36. Simplicifimae folutiones deducentur ex z Zz- Hale guy d hac hypothefi V — VOrcpaajo VhRde fit 5 ..-—au--€$ (1-1-uu)i b — Y(aa—ti)z ER y (i uuy hincque Ponatur Tab. Il. Big. v. 96 DE FORMVLIS Ponatur b — o , et cum per füubftitutiones fit y—? et £z Y(xx-|-yy), erit pro curua. quaefita Y (xx--yy)(aa— xx-—JyJy)—ay—$x et pro füperficie V — 5052-827. Hinc cafus fimpliciffimus oritur ponendo 8—0, et o—a vwnde prodt aaxx—(xx--yyy-—o feu yy —ax-—uxx ita vt curia GRH fitcirculus diametro A C deícriptus et V— 777 55) lnfini- ti alii circuli diametrum —— 4 habentes ac per centrum fphaerae tranfeuntes reperiuntur fi fit $5 Y (aa- aa), 1 TN i —a (ax-4-5 y (2a —«a)) vnde fit ax-L-yY (aa-aa)zxx4-3y et V — VERE CY —aV(xx--yy) vbi notandum eít quantitatem. V pro natura rei conftantem quandam affumere. 57. Concdpiatur ergo octans fphaerae. fuper quadrante A C B. extractus cuius radius C A —2, qui fimul fit diameter femicirculi CR A , in quo fi. ducatur corda quaecunque CR , et perpeudicu- Hün KP owtt CP—mxetPR-—y, ctr et 4 erit tangens anguli A CR. Quoniam igitur pofüimus P — o , prius integrale quo 4 erat conftaus et V (a2 —::2), quod cum cuanefcat fi z—a, euideus eft id non per cordam CR —: fíed per eius complementum RS extendi. Hinc repetita integratio / £4 Y (aa—77) eam fphaericae füper- ficiei portionem exprimit, quae trilinno R VAS imminet, quae ergo ob Y(aa—tt)— zc eft INTEGRALIBVS DVPLICATIS. y — O00 eft — 22. -- 4a, integrali fcilicet. ita fumto wt euanefat cum angulo ACR. Quare ob "rase UR cof ACR, duco perpendiculo S T, Ter illa füperficies 2 aia CT JeseALA T-SA Ve ducta corda AV. Confequenter portio füperficiei fphaerae fpatio CERA SB inter. quadrantem et femicir- culo intercepto imminens aequatur eis i radii fphaerae. ! 58. Contemplemur autem adhuc eiusmodi Tab. t. cafum , quo prima integratio euanefícat pofito ;— o, Fi& 8 feu ^ b—a4 ac ponatur V—z444, quae expreffio fimul füperficiem — quaefitam praebet. ^ Erit ergo a—Y (aa-tt)-ia(x4-uu)et V(aa-it)-ia(r-uu), ita vt fit z—ia Y (3--2 uu-u*)feuzz£a V(x-pauy(s-uu), vbi et CR—7, et 4 denotat tangentem anguli A CR. Ex hac aequatione | patet ^ fi. fit 4 —— o fore ;—-**- ; fcilicet curua quaefita radio A C ita in E occurrit vt fit CE-CA. '— , eique perpen- diculariter infifit. Tum fi angulus ACR augeatur ad femiretum A CF , vt fiat u/ — XY , erit z— a; hocque cafu curua per ipfum punctum, F tranfit, ibique quadrantem ofculabitur ; ac fimul diftantia £ fit maxima, Dehinc curua introrfum reflectitur. et z euanefídit fi 4 — Y 3: hoc eít curua centro C ita immergitur, vt eius tangens in C cum radio C A faciat angulum 60*. . lom. XIV. Nou.Comm. N 39. 93 DE FORMVLIS 59. Tota ergo curüa in quadrante defcripta fieuram habebit ERF GC, et ducta in ea ex C reca vtcunque CR, augulique ECR tangens fit — 4, tam portio fuperficiei fphaericae fectori ECR imminens algebraice poterit afhgnari , eritque ea —iaau. Quare fi C R. ad occurfüm cum tangente A'T producatur , ob A T — a4 ea portio praecife aequabitur triangualo C A T: et portio imminens fetori E CF erit —;20, fi autem angulus ECR maior femiredo fumatur, vt fit. 2 r, quia tum Y(aa—tt:)—YV(aa—xx—yy) quae eft eleuatio (u- perficiei fphaericae fupra quadrantem , fit negatiua , fuperficies in inferiori o&ante capi debet. ^ Quodfi huius curuae aequationem inter coordinatas CP—x et PR—) defideremus ob 77 —xx--yy et uz, habebimus : 4Xx--4yy—aa(8-1-222. — 2^) — 221229) x) quae diuifa per xx-1-Jy praebet : 4xXx*'—5aaxx—aayy feu sj ise p dee 40. Hanc folutionem reddere poffümus gene- raliorem ponendo V—au, fietque a — Y (aa—i1) —b(1--uw) hinc Y (aa—:1)z-a —-b—buu, ergo if—2ab—bb--2(a—b)buu—bbut—(x-i-uu)(2ab —bb-—bbuu). Qua ad coordinatas orthogonales translata , diuifio per xx-1-yy iterum fuccedet , fietque at'-(2ab—bb)xx-bbyy feu y —Y(2ab-bb-xx) ac HR T INTEGRALIBVS DVPLICATIS. 99 Ac portio fuperficiei fphaericae fe&ori E CR huius curuae imminens erit — *^? — b A T: quae cx- preffio locum habet , quamdiu £4 - *—; hoc eft donec anguli E.C R. tangens fiat — Y *—, vbi fit b :— 4. Tum vero angulo ECR vltra aucto per- pendiculares füper curua erectae ad hemifphaerium inferius protendi debent, quo cafu fuperficies eo magis augetur. — Si ergo fit 5 —a quia Y (az—11) vbique fit quantitas negatiua , quantitas £. AT por- tionem fphaericae füperficiei ad inferius hemifphae- rium continuatae exprimit. 41. Sit adhuc 5—a, ac ponatur V — 476-629 —aa4* vt fuperficies affignanda euanefcat pofito 4—o, eritque a—Y(aa—i1)-— 256—239 et Y(aa—i1)2a- 25—88 vbi notandum eft, fi haec expreffo fiat negatiua,, ibi in hemifphaerium inferius defcendi. ^ Ex his autem prodit. 17 2(6—au) —(e-—«auw aa yG 3-u uu) 1-- uu Quare euanefcente angulo E C R cuius tangens —, erit ——— 2 6 — 66, at fi 4 —$. , euanefcit z. Pro altera parte axis C A. fit 4 negatiuum , ac. pofi- to 5 -— — v habetur íuperficies ncgatiue expreffa — ca(x—é$v) E m-— — Tucrvow —9€*4 et cura hac definietur ae quatione N2» vnde I00 .DE FORMVLIS vnde pofito v infinito prodit t-—2a-—42; wbi recta CR fit in curuam normalis, quod etiam eue- nit, vbi v — £- et LI Y (aa -- $ 6) — aa —658, Quare ne fiat / imaginarium oportet fit Y (aa -- 68) — 2. 42. Confideremus cafüum quo «— — 7 et 8—.—, vt fit füperficies V —aa(7- — ill ni 2? y2z y2 v2 (14-uu) " -— 2(r2-u 0 Guy üa — Aat uu) 2(1-p- uu) . vbi patet fi « — — x fore / — o; tum vero vt fe- quitur : írg-—os inris oum e uem GU gi yo c Hr cu. [xy 5 peg yit vbi notandum cafibus 4 — x et ; — co rectam C R fore in curuam normalem. In hoc ergo quadrante curua no(ílra fere cum quadrante confunditur , cum vbique fit proxime z-—4: cui portio fuperficiei Íphaericae imminens erit —a4Y 2, quae deficit a füperficie totius octantis , quae eft 244 parte fatis parua 24(7 —Y 2)—0,15658aa. Ad alteram axis CA partem haec curua in centrum incidit vbi tan- gens cum CA faciet angulum femirectum. 43. Verum folutio $. 55. data multo magis amplificari potet , cum enim fuperficies fphaerae afhgnanda hac formulá exprimatur: 9» fees - rD-- uu y(an—tt)? et in integratione f. "usc : m quantitas 4 vt conftans confideretur, integrale ita exhiberi poterit U-V(aa-z7), ?enotante U füncionem quamcunque ipfius 4, quae formu- INTEGRALIBVS DVPLICATIS. IOI formula quoniam euanefcit fi Y (aa —227) — U et i—YV(a4—UU), ab hoc termino quantitas 7. vlte- rius protendi eft concipienda. Denotet iam V aliam quamcunque functionem ipfius z, quae abeat in C pofito 4—20, ac ponatur fuüperficies f z£X— (U - Y (aa—1:0))—aN —aC :-uu eritque hinc Ü—Y (2a —ip-tX03om ideoque Y (a4 —:1) — U —2X6-t-29 vnde alter terminus ipfius 7 definitur. 44. Hinc igitur folutio problematis Florentini ita generaliffíime adornabitur. ^ Confílituto quadrante circuii ACD, cui ocaüs fphaerae infiftat , ^ radio CA exiftente —4, du&oque radio quocunque C S, vocetur anguli A C S tangens — 4; tum primo cur- va EQG ita conftruatur vt fic C Q—Y (22-UU), . et perpendiculum ex Q ad fphaericam vsque fuperfi- ciem erectum. QM-—U, denotante U fünctionem quamcunque algebraicam ipfius 4. Si 4-0 abeat CQ in CE, cc QM in EIL . Deinde alia defcri- batur curua F R H, vt ev | C€R-— 710 PRI, 10 Ao truy) et perpendiculum ex R ad fphaeram vsque pertingens RN-—U-—Z£2Ye9 denotante V aliam quamcunque functionem algebrai- cam ipfius z, quae abeat in C fi 4—0; quo cafu fimul CR in CF et RN in F K abeat. Iam his duabus curuis conflructis portio fuperficiei fphaeri- à; N 3 cae Urabi Wr. Dig. 9; 102 DE FORMVLIS cae areie EQRF imminens et intra terminos I, K, M, N contenta, algebraice exprimetur erit- que —a(V —C). 45. Haec de natura formularum integralium duplicatarum commentandi — occafionem — praebuit problema aeque elegans atque vtile iu analyfi, fi quidem eius (olutionem euoluere liceret. ^ Quaere- batur fcilicet inter omnia corpora eiusdem foliditatis id , quod minima füperficie continerctur : quod qui- dem ad ternas coordinatas orthogonales x, y et z relatum , pofito dz —p4x--4dy ita analytice ex- primitur, vt inter omnes relationes harum trium variabilium , quae eandem quantitatem huius formu- lae integralis duplicatae /fzdxdy contineant, ea de- finiatur cui minima quantitas huius /JaxdyV (x4-pf-4-24) reípondeat. Quod problema fi per theoriam variatio- num aggrediamur , effici oportebit vt fiat aóffdxdy Y (1--pp--qq)—29/fzdxdy ita vt totum negotium ad variitiones huiusmodi formülarüm —integralium — duplicatarum — indagandas reducatur, 46. Quooizm vtraque formüla duplicem in- tegrationem exigit, fi in. priori x pro conflante habeatur , no(ia aequatio itd repbraefentabitur : a9 [dxfdyY (x A-pp-1-44)—9/dx/udy Vérum hic probe animaduertendum eít, poftquam interralia. /dyY(1-Ffp--94) et fzüy fuerint iüüenta tum variabilém y non amplius indefinitam ícu INTEGRALIBVS DVPLICATIS. ro35 feu ab x non pendentem relinqui, quin potius pro y certam functionem ipfius x quam [figura corporis exigit , fübftitui oportere , ita vt in fecunda inte- gratione quantitas y non vt conftans feu ab x non pendens fpectari queat. Quia autem ob figuram corporis etiamnunc incognitam ifta functio non con- ftat, neutiquam apparet, quomodo variationes iftiusmo- di formularum duplicatarum determinari debeant. 47. Ipfa vero huius quaeftionis natura alias praeterea determinationes requirere videtur , quarum ratio in folutione haberi debeat. Nam quemadmodum fi curua quaeritur , quae inter omnes alias eandem aream includentes breuiffimo arcu contineatur: non íolum bafis A P fed etiam duo punca B et M, per quae curua traníeat, praeícribi folent, ita etam in noftro problemate non modo bafis , cui corpus tanquam columna infiftat pro cognita aífumi debere videtur, fed etiam ipü extremi termini fuperficiei quaefitae. Quodfi enim hae res non praefcribantur omnes, ne quaeflioni quidem certae locus relinquitur: nam etiamfi bafis praefcriberetur , termini vero fupremi fuperficiei arbitrio noftro reliquerentur mani- feftum eft, quo altior fuerit columna eo magis foliditatem auctum iri eadem manente fuperficie fuprema ; quandoquidem fuperficies laterum non in computum ducitur. Multo minus autem problema fine bafis praeícriptione vllam vim retineret , quo- niam bafi coarctanda quantumuis magna foliditas «um minima füperficie poffet effe coniuncta. EVO- "Tab. II. Fig. 10. 104 t5 (o) $93 EVOLVTIO INSIGNIS PARADO XI CIRCA AEQVALITATEM SVPERFICIERV M. Auctore E UeEVUEUEUEURS Ha doctrina linearum curuarum , fi proponatur quantitas , cui arcus cuique abíciffae indefinitae refpondens aequalis effe debeat, linea curua inde ita determinatur vt plus vna fproblemati fatisfacere neutiquam poffit. "Veluti fi pro coordinatis ortho- gonalibus x et y, quarum illa x abfciffAm haec y applicatam denotet , eiusmodi linea curua quaeratur, cuius arcus abíciffae x conueniens aequetur eiusdem fünctioni cuicunque X, problema perfecte determi- natur, atque nonnifi vnicam lineam curuam ad- mittit. Cum enim ftatui oportat ,, Y(dx^4-dy)-4X, pofito ZX-—P4x, vbi P itidem erit functio data ipfius x, fiet dy —dxY (PP-— x) cuius formulae in- tegratio aequationem determinatam pro linea curua quaefita fuppeditabit , fiquidem conflans per integra- tionem | inuecta naturam curuae non afficit, fed tantum eius ab axe diftantiam definit. — Ita propo- fita linea curua quacunque praeter eam nulla datur alia, ipfi ita longitudine aequalis, vt arcus omni- bus EVOLVT. PARADOXI CIRCA AEQVALIT. 165 bus abfciffis refpondentes fint aequales, — Quae enim 2 Geometris de aequalitate linearum curuarum pas- fim funt inuefligata , haec aequalitas non ad omnes arcus eidem abíciffae refpondentes «extenditur; fed pro vna tantum determinata abíciffa fcu etiam plu- ribus, nequiquam autem omnibus locum habere poteft. — Ex quo perfpicuum eft non dari duas li- neas curuas diuerfis, quae ad eundem axem relatae pro omnibus abícifis habeant arcus inter fe aequales. Haec ideo praemonenda duxi, quo clarius infipne discrimen , quod inter lineas curuas ct fu- perficies intercedit , perípici poflit. Cum enim fu- perficies perinde "d planum quoddam fixum ac li- neae curuae ad axem rectilineum fixum referri ea- rumque portiones cuique fpatio in illo plano affum- to imminentes indagari íoleant; etiamfi hic pro quouis fpatio quantitas füperficiei imminentis pto- pomatur , inde tamen natura fuperfidiei neutiquam determinatur , íed íemper innumerabiles tuperficies diueríae exhiberi poffunt , quarum portiones cuique fpatio plani fixi imminentes fint inter. fe aequales. Quae circumfítantia a natura linearum tantopere di- Ícrepans eo magis omni attentione digna vicetur, quod infigne paradoxon in doctrina folidorum com- plectitur. | lta fuper bafi circulari hemifphaerio conftituto , fapet eadem bafi innumerabilia alia foli- da exílrui poff] omnino mirum videbitur, quorum non íolum tota füperficies .acquilis . fit füperficiei "Tom. XIV. Nou. Comm, Oo hemi- 1906; EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXI hemifphaerii, fed etiam quorum füperficies cuique portioni indefinitae bafis imminens fuperficiei fphae- ricae eidem imminenti fit aequalis. Quin etiam fi ba aliud planum oblique immineat, cuius proinde quaclibet portio ad bain cui imminet datam teneat rationem , infinita alia folida íeu fuperficies fiue conuexae fiue concauae aíffignari poffunt, quarum portiones quaeuis indefiaitae ad bafin cui imminent, eandem teneant rationem. — Hoc igitur infigne pa- radoxon in Theoria folidorum hic accuratius exa- mini fuübiicere con(titui , cum inde haud leuia in- crementa tam in ipíam hanc Theoriam quam in analyfin redundatura videantur. Primum ergo veritatem huius paradoxi eui- €urus, determinetur puncti cuiusuis fuüperficiei fitus ternis coordinatis orthogonalibus x, y, z, quarum binae priores fitae fint in plano fixo, tertia vero 3 ilius punci ab hoc plano diftantiam exprimat. Cum iam natura fuperficiei aequatione inter has ternas coordinatas contineatur , ex ea valor ipfius z eliciatur, qui differentiatus praebeat Zz —p4x--44dy; quo facto conftat elementum fuperficiei hac formu- la dxdyY (x-4-pp-31-44) exprimi, imminet autem hoc elementum rectangulo infinite paruo bafeos dif- ferentialibus Z x et Zy formato. ^ Quodfi iam alia habeatur füperficies , €x cuius aequatione inter eas- dem ternas coordinatas x, y et z prodeat dz —rdx -1-:dy, elementum huius fuperficiei eidem — rectan- gulo CIRCA. AEQVALIT. SVPERFICIERVM. io7 $ulo dry imminens erit 2x dyY (1--rr-- 55; vude manifeftum eft, fi fuerit rr—t-55—pp-3-44; hoc illi fore aequale ; et cum haec aequalitas in omnibus elementis locum habeat , etiam cuique fpatio finito in plano fixo feu bafi affumto aequa portio vtriusque fuperficdiei imminebit ^ Verum quaeftio füpereft principalis , vtrum baec aequalitas fre-:*5--pp-1-4q4 fubfiflere poffit, quim fimul fit r—p et —4, vnde eadem fuperficies prodiret ; famaque huic principali conditioni fatisfieri oportet , vt formula rdx-i-54y integrationem admittat , quod an praeter cafum rc-p et f—4 firi poffit non tam facile liquet. | Omnis autem dubitatig vnico exemplo euaneícet quo eft p—2 et q—2-, vt fit z— 2? fi enim pro altera füperfcie €apiatur r— 7- et 5 — 7, vnde wtique fit rr. 5; —fp-i-44, eius aequatio erit z — 527. ^ En ergo duas füperficies proríüs diuerfas, alteram hac aequa- foné 202— Xx-iyy alteram vero liac az-— y contentam , quae ita inter fe conueniunt, vt omni« bus fpatiis in bafi affumtis in vtraque páres füper- ficiei portiones. immineant. Huiusmodi füperficies congruentes appellabo, vnde nafcitur .haec. quaeftio - maxime curiofa, quomodo propofita quacunque fuü- perfcie , alias atque adeo omnes ei congruentes in- Vefligari oporteat. ^ Quod problema latiffimo fenfu acceptum cum fit difficillimum , cafus quos mihi quidem euoluere licuit, in fequentibus problemati- bus complectar. O 2 Proble- 198 EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXI Problema r. 1. Si fuperficies data fuerit plana ad bafin feu planum fixum vtcunque inclinata , inuenire omnes alias fuperficies ipfi congruentes. Solutio. Cum fuüperficies data fit plana eius natura tali aequatione exprimitur z—a-1-4x--7y, quae ad. bafin inclinatur angulo , cuius fecans eft Y(r--mm--n5). | Hic ergo ob dz--mdx-r-ndy eft p—m et q-—:5, ideoque pp-1-44 conftans. Statuatur ergo 7 — a cof. o et $—a n.a exiftente a-Y(mm--nn), ac neceffe eft angulum eo ita per binas coordinatas in bafi affümtas x et y definiri vt formula dz—adxcof.a-|-adyfin.a integrabilis eua dat. Cum igitur per transformationem fiat & —a (xcof. ai-1-y fin. à) 4- a fd o (x in. & — cof. «) euidens eft huic conditioni fatisfieri, fi fuerit x fin. —ycof à fun&io quaecunque anguli e. JDenotet er- go in genere KL functionem quamcunque anguli o, ac flatuatur &fin.o —ycof.o—a XY eritque z—a(xcof. a-1- y fin. a -- «f da) vbi notandum eft litteram «— Y (2214-1) denota- re tangentem anguli , quem planum propofitum ficit cum bafi. " Coroll.. CIRCA AEQVALIT. SVPERFICIERVM. 109 nO or odl9- vr. e. Primum crgo pitet fi planum propofitum bafi fit parallelum, ideoque a—o , fore etiam z—o, feu z — conft. ita vt omnes fuperficies congruentes fint etiam planae bafi parallelae; quod quidem per fe eft manifeftum , cum tale planum fit minimum, quod cuique bafis portioni imminere pofht, neque propterea aliud detur ipfi aequale. Corolla 3. Sin autem planum propofitum bafi non fit parallelum neque etiam perpendiculare, ita vt. «& valorem quemcunque finitum obtineat, tum vti- que innumerabiles aliae fuperficies congruentes afli- gnari poffunt: cum fünc&io £Y penitus ab arbitrio " pofiro pendeat. | 1 QoreolL: 5. 4. Quoniam formula Zo( x fin. 9 —y cof. à) integrabilis effe debet. haec conditio etiam impletur, fi fuerit o — o , ideoque angulus e con(tans; Sit ergo u—4 ; fietque z—a(xcof. Z--y fin. Z )-1- conft. quae eít aequatio pro plano ad bafin aeque inclinato ac propofitum : ratione autem interfe&ionis wvtrum- gue ab eo difcrepare poteft. Exemplum zr. 5. Pro füperficiebus autem diuerfis Kon fit primo f/(L,dg—0, bincque £(L—0: et ob O 3 Xfn- "Tab. III. Fig. 1. i190. EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXI x fin.a—y cof. o fiet fin.« 0-195555)! cof. à — 3 7» vnde aequatio pro füperficie prodit: z—oa Y (xx--yy), quae eft ad íuüperficiem conicam , cuius axis bafi perpendiculariter iufiftit , latus vero inclinatur | an- gulo cuius tangens eft — «. Cum enim hic omnia plana tangentia ad bafin fub eodem angulo inclinen- tur, ratio congruentiae eíl manifefta. Exemplum 2. 6. Sit a X) — b fin. a-1- cot o. erit af X do -a-—bcofuo--cfín w Fit ergo x fin. o —y eof o — b fin. &-1- c cof, o, hinc: P9 — 2? atque Qi.) intu EL EDI. Um cct SEE yc — Ww cR ERR — y(x-—bp A Re vnde colligitur. z-—a(Y((x—by-r-G --cy)42-a) quae eft pro fimili cono refpectu bafis vtcunque aliter conftituto , ita. tamen vt eius. axis bafi per- pendiculariter infiftat. Exemplum 5. *. Plano bafis in ipfi tabula affümto, fit recta. A X axis. abíciffuum. x , et X Y — y ; iuncta AD ipi AX normali fumatur angulus BA M—«o, et defcripta curua quacuaque EM , exprimat radius AM cam funcionem ipfius, & quam per a £L indicaui. Ad hanc AM cadat recta Y. M. normaliter et. ob: angulum. ATM Zo, fiet ACM xx fin. u—y cof o. pror- CIRCA AEQVALIT. SVPERFICIERVM. rrt prorfus vt folutio inuenta poftulat. Tum vero erit M Y -—xcof. 9-- y fin. o. Porro radio AM iunga- tur normaliter reca M V —/A M.4«o eritque zzca(YM--MV)-a Y V: fciliet in. pun- &o bafis Y erigi debet perpendicularis aequalis ipfi a. Y V eaque pertinget ad fuperficiem — quaefitam. Vel fi füper reca VY perpendiculariter conftituatur angulus cuius tangens —« , vertice in ipfo puncto V exiftente , latus fuürfüm vergens totum fitum erit in füperficie quaefita. Simili modo fi fuper alia quacunque re&a 9 77 O conftituatur planum ad bafin normale, in eoque ex v ducatur reca cum $O faciens angulum , cuius tangens -— a , etiam haec re&a tota in fuperficiem quaefitam cadet ficque tota fuperficies facile determinabitur. Scholion. 8. Conftru&io haec attentius confiderari mere- tur. Primo igitur curua E M z circa punctum A . pro arbitrio eft defcripta , et rectae cuique ccu radio A M normaáliter iunca eft reta MY, in qua vltra M produ&a capi debet MV —/f/AM.d4o, atque ex puncto V facile educitur reca , quae tota in fuperficiem quaefitam incidit. Hic animaduer- to fi radius Az; ipfi A M fit proximus, ideoque ang. MA m—du, fore retam mv-—M V-r- A M.d e. at et Mj.— AM.do, hincque zv— & V. Quod fi ergo reca o: priorem V M fecet in O erit ele- mentum V « arculus circularis centro O defcriptus. Hinc 112 EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXI Hinc loco curunae E M pro arbitrio defcribi poteft curua V v, ad quam fufficit in fingulis puncis V,v normaliter eduxiffe rectas VO, vo, fuper quibus deinceps angulos, quorum tangens —a, erigi oportet. Hinc ergo colligitur fequens facilli- » pa conftruá&io. Confliru&tio omnium füperficierum pla- nae congruentium. | o. Super plano pro bafi affümto defcribatur pro lubitu linea curua quaecunque B PF, ad cuius fiogula pun&a P in plano bafis ducantur normales PQY, euolutam illius curuae C QG tangentes. in Q. Ad pun&dum autem Q bafi normaliter infiftat recta QS, vt fit QS— a PQ, tum rccta PS tota erit fita in fuperficie quaefita. — Haec. ergo conftru- €&io adhuc breuius ita enunciari poteft: efcripta in plano pro bafi affumto ad lubitum curua quacunque B PF, ad eius fingula puncta P * extra bafin educantur rectae et ad hanc curuam normales et ad ipfam bafin inclimatae fub. angulo cuius tangens —« tum omnes ifliae rectae in infini- tum productae totae erunt fitae in fuperficie congruen- te, ideoque eam determinabunt. Ratio huius confiruct;onis etiam per fe eft eui- deüs, cum enim omnes re&ae SP in fuperficiem in- yentam cadant eoque in curua-D P F. terminentur , ctiam CIRCA AEQVALIT. SVPERFICIERVM. 115 etiam omnia plana tangentia hanc curuam tangent , ideoque ad bafin (füb angulo cuius tangens —a incli- nantur vnde fuperficiei portiuncula bafeos elemento dxdy imminens erit —dxdyV(r--aa). Scholion. 10. Imprimis autem hic notaffe iuuabit hanc conftructionem latiffime patere , cum defcriptio cur- uae BP F prorfus ab arbitrio noftro pendeat , quod ita eft interpretandum , vt pro ea non folum cur- uas regulares aequatione quapiam contentas fiue al- gebraicas fiue tranícendentes accipere liceat , fed etiam ex pluribus partibus diuerfarum linearum vtcunque compofitas, quin etiam lineas libero manus ductu vtcunque defcriptas. Ita fi eius loco perime- ter trianguli accipiatur , prodibit fuperficies pyra- midis : circulus autem femper dat fuperficiem conicam, Problema 2». 11. Si füperficies data hac aequatione 24z—xx4yy exprimatur , inuenire omnes füperficies alias illi congruentes. Solutio. Cum pro fuperficie data fic adz—xdx-4- y dy, ponatur pro quaefiis az —raáx--*dy, atque neceffe eft fit rr -j- ss — xx-1-y y, vnde eiusmo- di valores pro r et s elici oportet, vt formula Tom. XIV. Nou. Comm. P rdx Qii4 EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXI rüàx--s4dy integrationem. admittat. ^ Ac cafus quidem. ftatim obuii funt primo r-——y et s— x, vnde oritur az — xy, deinde r— x et s ——y, vnde fit 2az-xx—yy quae autem a priori non eft diuerfa , dum mutando binarum x et y in bafi directionem fimilem recipiunt formam ; ac ge- neraliter quidem ponendo x— X cof.Z— Y fin.Z et y —Xfin.C-|- Y cof.Z, prior dat az-X X fin.cof-Z-i-X Y (cof.2"-(in.Z*)- Y Y finZcofZ feu 202— X X fin. 2 -1-2XY cof. 2£—Y Y fin.2£ quae fumto angulo 24 re&o maniféflo in formam pofteriorem abit. Vt autem alias fuperficies clicia- mus, ftatuamus rr— x x-1- 2 9 ct $5 — y y—2q. Hinc cum fit az—frdx--f:dy habebimus rd fdx V (xx-- 2) —Àix Y (ex-1-29)4-0J(-V (4-20) —fdv l(x4-Y (xx-29)) Jsdy— fdyY y—2v) — iyYQy—2v)— v IGy--Y (yy—2v) T/dvI(y-A- Y (yy—2v)) quare. vt. fumma fiat integrabilis, fumi oportet pro ]3.2- V (y y —2) 1 1 1 ERAS functionem quampiam ipfius y quae fit /V, eritque az—ixV(xx--29)--1y Y(yy—2 v) — 1 32g-V(yy—27) V/V -EfdolV cxiftente SHEVvisz iym fcque introducendo nouam. variabilem v, eiusque fünctio- nem quamcunque affumendo ad quoduis bafis pun- Qum perpenaiculum erigi poteft vsque ad fuperfi- ciem. CIRCA AEQVALIT. SVPERFICIERVM. 1ri5 ciem quaeftam pertingens, — Notandum autem eft effe —9/V-4-fdv1V ——/?3Y, ita vt logarithmus ex calculo egrediatur. ^ Verum lic iungens incom- modum occurrit, quod relatio inter x, y et v ni- mis difficulter expediatur; ex quo aliam folutionem adiungo. Alia Solutio. 12. Cum effe debeat rr-55-—xx--yy fla- tuamus : x—7vcoí. (D, y—v fin. D, r—vcof.a et »—wvfin.o eritque dx—dwcol(p-vdQ (in.XD et dy-4v fin.(D--vd(pcof.(Dhincque adz— vdvcof((-e)-vvod QD fin.((Q-co). Iam cum fit Judo cof.(—)—1 vv cof (Q-0) 4-2 fvv(db —da) fin.((p—«) erit az—ivovcof.((D- 9) -1/vv(dp-41- 4o) fin. (D - v) quod vltimum membrum integrabile effe nequit , ni& fit vvfin.(Q—o) fün&io anguli (p--e. — Sta- tuo ergo íecundum fignandi modum iam pafüm receptum , 2vfin.(Q-o)—F^:(D-4-0), vt fiat 2a4z-«vcof.(D-w)-F : (Q9) exiftente d. F : ((D-4- o) — (4-47 49) F^: (D-1- 9). Vel introducantur alii bini anguli qj et y» vt. fit —EEe Q —F*—*, hincque habebitur Ei fagi ; xz vcof (p, y—«fin.(D tandemque Fg HA ur 240&—CVcFEUM P2 quae | ii3 EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXI quae folutio multo eft fimplicior; nihilo tamen mi« nus tertiam fubiungo. Solutio tertia. 13. Cum effe debeat rr--55— xx-1-yy, po- natur yr -zxXcof.g-]-yfin.o et &— xfin.a—ycof. o eritque adz—xdxcof. Bi di odd 9 —dycof. a ideoque qz —ixxcofo—;Jycof.o-- T dins V iuge - unn -s(xx 5) fin. «). Sit itaque £L functio quaccunque anguli e, ftatua- turque 2xycof.o-—(xx—yy)fin. 9 —€L eritque 2az—(xx-yy)cof.a-41- 2 xyfin a-f/£Lda quae folutio praecedentes fimplicitate multum füu- perat. Corolk r. i4. Si in. hac vltima folutione ponatur x— cof et y—cfin(D erit xx—yy—^cvvcof.2(p et 2xy—cvov[íin.20Q; ex quo folutio ita his duabus aequationibus erit contenta vv fin.(2(p—o)-— € et bieoo coro Dij vbi pro €) fundio quaecunque anguli 9 accipi poteft. 15. Cafus euolutu facillimus habetur ponendo. XY Acofa--Bfin.e vnde fit f/f£L4w — A fiu. a — Bcof. CIRCA AEQVALIT. SVPERFICIERVM, 117 —Bcof uw. Hinc poftrema folutio dat (2 xy — AJ cof. o —(xx-—yy--B)ün.e vnde elicitur : -— BOSE LAM RW on or atio E M fin. o — s (20904)? — AX y-- 2B(Xx—)y)-- AA--BB) ^ V EN — 1 voro EB pe SE V(xx4-35» —AAÀXy-4- Xy 4- 2B(xx——7)) 4-AA-F-BB) fcribendo V. loco formulae radicalis. Hincque fit 242-Y ((xx--yy —A4Axy-A-2D (xx—yy)H- A A-- BD). Coroll. ' 5. 16. Cum in tertia folutione formula de(xy cof o —i(xx—yy)ün.e) integrabilis effici debeat , euidens e(t hoc fieri fi angulus o conftans accipia- tur. Sit ergo a—4Z prodibitque folutio iam. [fupra indicata 242 —(xx—Jy)cof.Z -1- 2 xy fin. Z« ConfítruCuo generalis. USUPORus AUC Sy ler" XY —y erit pro Cos roll.:. AY —» et angulus XA Y—. ^ Düucatur AN uwt.fit.ang..Y AV -—-XAY — et Tüumta A Dc-—2, capiatur A V tertia proportionalis ad AD et AY, vt fiat AV —?7. — Ad alteram axis pat- tem ftatuatur angulus XAM-—90o^—ao, erit angu- jus VAM—9o?-i-2(p—w, ex V ad AM ducatur normalis V M, eritque AM—-—*? fia. (20—o) , ideoque. (4— — A M. z, et. VM—7? cof. (2 p—«). Ex hac ergo conítru&ione colligitur 202—23.VM—4/AM.du feu 23-VM--/AM.do P »H fuimna- "Tab. III. Fig. 3. ^ ii$ EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXI fumatar ergo MP—/A M. do vt fiat 22—VP, ac fupra iam vidimus , in quacunque curua füerit pun&um M, curuam CPG pun&um P continentem ita effe comparatam , vt reca M P ad eam fit nor- Xoalis. — Quare reiecta curua B M F eius loco cur- vam CPG pro arbitrio affumere licet , vnde haec conftructio conficietur. Sumta in bafi recta À X, in eaque AD-a, ad lubitum deícribatur curua quaecunque C P G , ad quam in quouis puncto P ducatur normalis indefi- nità P V, in qua fumto puncto quocunque V du- &aque re&a AV bifcetur angulus D A V recta A Y cuius longitudo fümatur media proportionalis iter A D et A V, et in puncto Y ad bafin per- pendiculariter erigatur recta femiffi ipfius P V ae- qualis, quae ad fuperficiem quaefitam pertinget. Si hoc modo in fingulis normalibus P V in inünitum produ&is omnia puncta euoluantur ,' omnia- fuperfi- ciei ex curua CPG oriundae puncta. determina- buntur. Scholion. 18. Solutio huius problematis multo eft dif ficilior quam praecedentis , cum reduc o. formulae rdx--$dy ad integrabilitatem , ita vt fit rr-- 55. -—xx-Lyy haud exigua artificia requirat. Qui au- tem alios, cafus tentare voluerit, faepe tantas offen- det difficultates ,, quibus. fuperanlis omnis (agacitas Analytica vix fuüfficere videtur. Quare íolutionem gene- CIRCA AEQVALIT. SVPERFICIERVM. iig generalem etiamnunc vix fperare licet; quae huc redit vt propofita formula integrabili pdx--44dy , inueftigetur alia formula rx-1-sdy--dz itidem in- tegrabilis , ita vt fit fr-I-$5L—pp-1-94. Statui quidem poffet r—cofa-i-gfin.a et $— qcof 9 —pín,o, fieretque : dz— (pdx-i- qdy) cof. a-- (qx —pdy) fin. vbi cum p d x -i- q dy fit integrabile ftatuatur inte- grale — « eritque z— ucof. o--/(uda-4 qdx—pdy)fin.a. Neque vero patet quomodo angulum & per x et J definire liceat vt haec formula integrabilis euadat. Quare eiusmodi cafüs euoluam , vbi mihi quidem difficultates füperare licuit. Lrablemsasa:s. 19. Si füperficies data hac exprimatur a2équa- tione 22 —X4x--Ydy,wbi X per folam x et Y per folam Y detup, inuenire omnes fu perfi- cies ifti congruentes. Solutio. Quod fi ergo pro. füperficiebus quáefitis po- natur. dz-—rdx--sdy, neceffe eft fit fücMSILXXLIYY fatuatur ergo r-Y(X Xov) et 5;zY(YY—2wv) xt fiat z-f(d2xY(XX--2e)4-4yY (Y Y —22)) Iam :20 EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXI Jam quaeratur integrale formulae 4x Y (X X--2 v) fumta quantitate v conflante, quod fit — P, ita vt P fit fun&io ipfarum x et v, quam tanquam datam fpectare licet ; ea igitur differentiata prodeat dP— dxY CX X-t-29) t Rdo , vbi quidem conftat foe Rf ——M quantitate 9 pro conftante habita. Su modo fpcétata v. vt conftante quaera- tur quantitas Q—/ 47; V(YY-—29v), eaque denuo differentiata vtraque y et «v pro variabili gn prodeat 4Q—4yY (Y Y-ev)-Sdv, eritque 5—-f——52— quae ergo quantitates pariter erunt cognitae. Hinc faca fubftitutione habebitur. z—f(dP—Rdo--4Q—5dv)— P--Q—/(R--S)4o et nnnc formulam (R--S)4Z* integrabilem | reddi oportet quod aliter fieri nequit nii R --S ft functio ipfius v. Sit itaque V func&io quaecunque ipfius v, et fumatur R--Sz-V, eritque 2—P-4-Q-JV dv, in quibus aequationibus conflructio generalis omnium fuperficierum congruentium continetur. Probliema:-.2. 20. Si pro fuperficie data coordinata ad bafin perpendicularis: exprimatur functione homogenea 7 dimenfionum ipfarum x et y , inueftigare omnes fuüuperficies ipfi congruentes. Solutio. Ponatur y — 4 x , et aequatio pro fuperficie data talem habebit formam G"—7z — X" U cxiftente U functio- CIRCA AEQVALIT. SVPERFICIERVM. 121 funcione ipfius s tantum , quae ergo erit data. Hiac fit. "T rq U d x 4- à" dU. ab et dy-—udx--xdu, erit: q^ —' Y-— n — 1 d U dU . 4 dé (nU dx-F t 3, — 1 dx) ita vt fit 9—2a" ^' (nU —- 772) et q—2" —'27, hincque 55--gg-x'" ^ (n8 UU c 949 p Cent, Siatuatur 259 U U —HEU4U -- C525 U* — V V, ita vt etiam V fit functio data ipfius y: et iam pro fuperficiebus quaefitis conftituatur haec aequatio differentialis gni b X qopaete ac neceffe eft vt fit rr -- 55 — V V. Nunc pro J fübflituto valore ux , fit. gc dzcza—((r-asu)dx-c-x du) hincque prius membrum integrando per x. (o ee EN CO Yn —dr-—sdu—uds a"—'z—lx (r3p su)A- fx" (s du t) Statuatur. r— V cof. (p et *— V fin. D , vt habeatur ta^ —' z — x" V (cof. D2- 2 in. D) 2-/a" (t— x) V dufin (D --Vddy fin.D -ucof.p)- 4 V(cof.p-t-ifin.Qp)) Hic formula diffrentialis (72 — 1 )V du fin. (D -- Vdcb( fin. D—u cof. )—42V( cot (--u fin. (D) duas tantüm variabiles y et (D complectitur , dabi- - Tom, X1V.Nou. Comm. Q tür 122 /EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXI : tur ergo multiplicator M itidem | functio ipíarum 4u ct (D qui eam reddat integrabilem: fit erga M((1—1)V du fiu. Q-1- Vadb( in. (—u cot; )—4 V(cof (D J-4 fin. p))z: 4S et S etiam érit functio affignabilis ipfarum wet (D, inde cum fit E na! 7x3 V (cof. Eu fia. D) Ef —— euidens éft hanc formulam ijutegrabilem effe .non poffe nifi fit x fun&io ipfius S. Ponamus ergo Xx"—MF*': S fietque n2" —'z—a"V( cof. Qu fin. (HE: S Pér bicas porro variabiles &'et (D, déterminantur M et S, hincque porro x ct y x, atque z4 vnde ob fünctionem arbitrariam -hic indroductam haec íoiutio eft generalis. Scholion Tr. *?1. Hic modo prorfus fingulari euenit, vt cafu 4 — o haec folutio locum non inueniat, neque etiam | patet. quomodo huic incommodo occurri poíht. Quod hic eo magis mirum videtur , cum alioquip buiusmodi cafus alio modo tractati fatis - - facile expediantur. lunterim haec duo problemata laifüme patent, et ex III. cafus rcfolui poffunt quibus füperficies data eft cylindrica ; ex IV.. vero quibus CIRCA AEQVALIT. SVPERFICIERVM. 125: quibus eft. conica , qui etiamfi videantur fàcillimi y tamen folutiones hiuc refultantes formulas tranícen- dentes valde complicatas intolüunt, vt inde fuper- ficies. congruentes fimpliciores nullo . modo. elicere liceat. Verum neuter horum cafuum ad fuperficiem fphaericam accommodari poteft cuius natura :cum hac aequatione 2 — V(aa—xx-—.y) exprima- tur ,- pro acquatione -fuperficierum — congrueütium dz-rdx-sdy fieri debet pfe MIS quomodocunque autem hinc quantitates r. et 5 definiantur, haud patet quomodo formula. rdx-- sdy ad integrabilitatem perduci pofht. ^ Dubium tamen eft nullam , quin dentur infinitae fhpesticis fphae- ricae congruentes. Scholion.. 2. ..&2. Cafum autem , quo füperficies propofita eft fphaerica , aliosque fimiles expediri. poffe | obfer- vaui, fi in plano fixo pro bafi affumto binae coor- dinatae non orthogonales capiantur, fed altera fu- matur rca ex puncto fixo «educta, altera vero angulo eius. pofitionem - determinante contineatur. Sit igitur C hóc puücum fixüm, ct recta CA .po- fitione data, et pró puücto qdócuoque in bafi af-. fümto V flatoatür reca; GIN SHIP. et angulus ACV-QO, perpendiculum: alitem! in V infiftens ad fuperciem . pertingens fit 2, quod ita per v.et (D Tab. III. Fig. 4. . exprimatur vt fit. du—pdo-1- qd; confideretur.. primo angulus (D conflans et fumto [Vo— 49 per-. pendiculumi pun&o' v infifleis- erit 2-j-54v vnde E Q2 tangens 24 EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXT. tangens in recae VC pun&um Q incidet vt fit VQ -L.: pum confideretur diítantia 9 vt con- ftans, et fümto angulo VCuz4( vt fit Vu-zvad perpendiculum puncto 4 infillens erit. —2z-31-240; quare in recta V P ad C V normali tangens incidet in P vt fit VP— 7^ vnde planum tangens bifn feca- bit recta P Q, ad quam ex V demiífo perpendicu- lo VR, erit VRZ * 279. — yUI.5?,; ideoque anguli quem planum tangens facit cum bafi, tan- gens — Y (pp -i- 12) et fecans — V (x-4- p p 4-22) Quare cum in bafi fpatiolum re&angulare v V 50 fit —vdvd(Q, elementum fuperficiei ipfi imminens habebitur — ved Y(1--pp-1-2-), ex quo alia fu- perficies aequatioue. dz—rdv-i-sd(D expreffe illi erit congruens fi fuerit rr-3-22—pp--23. "Verum etiam hanc fubftitutionem in analyfi praecedente inftituere licet, vti ex folutione problematis fequens tis perfpicietur, Problema $. . $8. Si fuperficies propófita fuerit fphaerica radio —a defcripta, inueftigare omnes füperficies ipfi congruentes. Solutio. Cum aequatio pro fuperficie [fphaerica fit z-—Y(za—x*X-—yJ)) pofito dz —pdx--qdy i cA CREATE UE eso AA ent p UT Y G4 —44—)J2) et 4 — y(3a4—Xxx—)J)) vnde Db CIRCA AEQVALIT. SYPERFICIERVM. ia5 bp--44-— ,———. Quare fi pro (üperficiebus ga x X—)yy quacfitis aequatio fuimatur dz —rdx-r-r4dy, oportet — XX Ó-» ; fit rr-- 5$ — dicDx.czyy | Nunc Wero fatuatur UN &—ucof(D et yzvíin.D , vt fiat tr-bgRIIT—, eritque. dz —4dv(r cot.(D-i- s in )-I-v4 (ps cot. («D —ríin.D), pro qua breuitatis gratia fcribatur dx —Rd4o-LSvo4Ó, wbi perfpicuum eft etiam fieri oportre RR-4j-SS— .77— , wnde idoneos valores pro R et S erui conuenit , vt formula Rdo--Svatp integrationem admittat. — Hoc autem per problema tertium — praeftari poffe manifeftum eft. —— Ponatur enm S—7 et R — Y (:*? — — 1*) et habebitur dza—doY(.—7— —)--£dQ , fcu dcc: Q-r- f(dv Y C7 —H)-— (4r). Quaeratur eiusmodi fundo ipfarum v et z, vt fiat dP—doVY(.2*. —'1)--Qaz ag —-"v sta vt fit P— f oYt(. i—7. —55)Ííumto 7 conftante ; do : et Q—-: rj vvy(.29 — —IT) fumto BIST 4 con- 430—770 Uv ftante. "Tum igitur fit z—tr0O--f 4P—Q4t— (dr) fu z —P--:10—fai(Q-- 0). Quo circa neceffe eft 6t Q-1- (5— fun&ioni ipfius £ quie fit T, vnde fit (D— T—Q et &—P-4-T:;—Q: —[T4t —P-—Qr--fidT. Q 3 Sxho- 126 EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXI Scholion. 24. En ergo folutionem huius problematis difficillimi vnde fimul patet fimili. modo problema multo generalius quo rz--55.íeu RR-1-55 aequa- ri debeat functioni cuicunque ipfius v reífolui po- tuiffe. | Verum. cum hic valores litterarum P et Q nonnifi maxime tranfcendentaliter affignari. poffint , neutiquam- patet, quomodo vnica faltem fuperficice fumplicior inueniri queat, quae fphacricae fit. con- gruens. Ceterum hic artificia, quibus hactenus formulam. r d x -4- 5 Zy ad integrabilitatem reuocare licuit diftinctius expofuiffe iuuabit. Hic autem pri- mum obíeruandum eft in hac formula ternas varia- biles contineti, praeter x ct y fcilicet vnam: nouam in litteris r. et, $: inuolutam , cuius. relatio.ad x y ea quaeritur, qua illà formula intcgrabilis reddatur. Axtificia. autem liic adhibéndà co redeunt, vt pcr. idoncas fubflitutiones terndc nouaé variabiles 7; w et & introducantur , quaeftioque eo. redigatur ,. vt hu- iusmodi formula Mr -- N72: integrabilis fit effi- cienda , tertium enim diff£rentiale Z« (empcr.,cli- ilitàre licet , ita vt haec variabilis: &/: tantunT ia quantitat bus "finitis M et N contineatur. — TFurnü autem. fequentibus. cafibus- folutionem elicere: licebit , 1*. Si alterutra. quantitatum M et IN euanefcat, famqude fi N'— o, vt formula Mar fit integrabilis, neceffe eft quantitatem b fünctioni ipfius 7 aequari fado igitur M — E^:z, vndé relatio inter- térnas varia- CIRCA BEQVALIT. SVPERFICIERYM. I27 variabiles f , 9 ^i 4v generaliífime dcfüuitur erit f Med rz E 2 2. Si formdlla M4r--Nau huiusmodi formam habeat S( P7 -1- Qd), vbi P et Q fint functiones tantum binarum varlabilium .£. et 4, tertia vero zw ju (olo fa&ore .S contineatur. — Tum enim femper inueniri poteft multiplicator R vt fit R(Pa4:--Qa2u)—4V ficque quantitas V definiri queat , quae crit fun&io rcipfarum vy et 4. Hoc modo formula abit in, iw ;ac iam fílatui debet S-cRE': V, formulaeque integrale fiet / 2.4 V —F: V. 5*. Refolutio quoque fuccedit fi quantitas M. tantum fit functio binirum £ et 4 tertiaque «a iü fola N infit, tum enim eiusmodi fun&ionem — bina- rim :/ et 4 quae fit V inuenire licet, vt fit 4N —Mdr--Sdu hoc molo formula propofita hanc induit formam 2 V -(N — M)4u: ficque capi debet N — M -4- F^:4 et integrale erit V 4-F ; z. 4^. Si tertia variabilis : ita in vtramque quantititem M. et N. ingrediatur, vt binae funcio- nes ipíarun z et 4 puta P et Q dentur, quibus haec forma M Q-- NP a variabili zv immunis reddatur, tum íolutio fequenti modo obtineri poterit. —:Q. dp —R dq Pdg—Sd^ 41 — "PQ—RS et du—yu—Ee Con- 1:8 EVOLVTIO INSIGNIS PARADOXT . Conüderetur formula differential P2: —Qd4au, quae multiplicatore R integrabilis reddatur;. pona-. turque Zvo—R(P4;—Qdu), eritque v functo cognita ipfarum £ et 4, vnde vicifüm f per 4 et v definiatur ac fiet dic93.-2.T, "Quare formula propofita erit : Ko--NPgy 349, vbi 9E Y? eft fün&io ipfarum 4 ct v tantum ficque reíolutio per n*. 4. abfoluetur. Scholion 2. 25. De his integrationibus imprimis notandum eft, eas cffe generalifimas, dum fuuctiones maxime generales cuiuspiam variabilis in integralia introdu- cuntur, pro quibus adeo functiones nullo continuita- tis vinculo contentas , quae vt fupra videmus ex libero manus ductu nafcuntur, affumere licet.. Quin etiam omnium huius generis quaeftionum criterium in hoc confifit , vt tales fünctionés prorfus ab arbitrio roflro pendentes in éarum fíolutiones intro- ducantur, X DE "o3 ( [o] ) C COcu 129 DE | SVMMIS SERIERVM NVMEROS BERNOVLLIANOS INVOLVENTIV M. Auctore L EFVLER OQ. I. peni fint notatu digni numeri ab Inuen- tore Bermoulam vocati , quippe quibus olim lacobus Bernouli in Arte coniccandi eft vwíus ad progreffiones —poteflatum — numerorum naturalium füummandas , cum ab aliis, qui ferierum doctrinam nouis inuentis locupletauerunt , tum «etiam a me abunde eft oftenftum , vbi per eosdem numeros fe- rierum potefiatuun reciprocarum ífummas expreffas dedi. ^» Bermouliur quidem progreffionem horum . nu- merorum ob ca!culi moleftiam non vltra quintum. terminum continuauit , qui funt i, i, L, 4, 5, at- que Auctori vsque ad vndecimas poteflates (ümman- das fufficiebant, ^ Poftquam autem fatis ^concinnam huius progreffionis legem detexiflem , 17 eius pri- mores terminos affipnaui. Ipfos vero numeros Ber- noullianos refpect:'ue per numeros 6, 1o, 14, 18,22 etc. multiplico quo denominatores fiant fimplicio- Tom. XIV. Nou. Comm. R Ies, x30 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS res, terminosque huius nouae feriei litteris 9f, 85, €, O, C etc. defignans, earum fequentes reperi valores : «vi wie e*€ qe "^ UcE Mc ONCE I ter AE up uel qo H £ o B5 IS € —— 1181820458 273 EN —— 7697792? c-A— E PRENN bi — 25740461029 15 DU —— 8615841276005 ium. man .- EA 231 2 2 94802531453397 LEES € — M P 85 LL 90216075042845 IE 3 ». Contemplatio autem ferierum poteftatum: reciprocarum , quarum fíümmas quoties exponens eft numerus par, per fimiles poteítates numeri 7r peri- — mU RP. ME BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. 15r peripheriam circuli , cuius diameter eft — r, refe- rentis definiri pofle demonftraui, horum numero- rum nexum multo clarius exhibuit. Si enim has fummas fequenti modo defignamus : I-3-5--Z--5--4a--et.— Am E-l-5 -1- 5 3-2, -1- 5-l- etc, — Bt Eu-- i-o EE ee Cm I--L--n--h-Ln-d-etc.— Dm I-b- 5-7 sl zr -1- :8-1- etc, — Ec primum per hos numeros A, D, C, D etc. prae- cedentes 9f, $5, €, (O etc. ita determinari oftendi vt fit: p, c zc SA. — 1.25 32 44 S $— reip € — C LC) erae nap on ———— CIT 26 —— 3.2.35.» II c Pererug $—-— ENCO 13 — 219 ctc. ideoque —— 2? 9I etc. 5. Porro antem pro litterarum A, B, C, D etc. progrefhone duplicem. obferuaui. legem , cuius ope quamlibet per praecedentes determinari licet. - Prior lex. quemlibet terminum, per fingulos praece- dentium ita definit , vt fit I N—— Ie3e $ R 2 :34. DE SVMMIS SERIER. NVMEROS I. 2. 3 Ub pev. Do 2 Ie.2» 3 I.2 3 C -— Bir M H 1» 2^ I. 2 o 1. 2 7 C B- i A Y & mp € 53 m4 3 1l. 2. 7 le 2. 9 E-— D e B A TU. 1e. 2*5s2* 3 le 2455» 7 Ia'2leasse LIT Altera vero lex commodius quemüis terminum per produéta ex binis praecedentibus fequenti. modo exprimit : S B-—25A* exi ente A-— 47 C-—«4AB 9D--4AC--»BB IIE-—A4AD--4BC,. 15F —4AE-r-4BD-4- 2CC 159 G—4 AF -4- 4BE-r- 4CD 17H—24AG-r 4BF-rF-4CE-- ;DD etc. vnde etiam mihi quidem has feries tam longe con- tinuare licuit. 4. His expofitis hoc loco in fümmas plurium ferierum , quorum termini iftos numeros A, B, C, D, E etc praeter alios fa&ores, quorum lex per fe eft maniffta , inuoluunt , incuiferl conftitui , ità v mihi in genere propofita fit inueftigatio fumme huius fcriei S BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. :33 S-—uaAax-L- SBx*--"y C x5-4-0 D a* 4- € E x'? 4- etc. dum litterae a, 9, y, d etc. feriem quamcunque coguitam conítituunt , eximias euim hinc enaíci feries , quarum fummae, omni attentione fint dignae pluribus fpeciminibus iam oftendi. ^ Incipio igitur ab hac ferie : S—A x -i- Bx* -- Ca5 -41- Dx* 4- E x? -1- etc. quim per priorem legem progreífhonis litterarum A. B, C, D ctc. manifefto ex euolutione huius fra- Ctionis refultare manifeftum eft : Y 2 m Y armen m A od VIQR. v LO UZVE 2 I US 1 6 I TE r CR durat ;* TA ioc "ORTA etc. cuius denominator exhibet inilloms fr Ts eiusque dzco.x dx fin. — X differentiale 997 — 4*7 -* per —7 multiplicatum ipfüm praebet numeratorem , ita vt fit: —. fün.x— x cof. x Tw 2 fin. x hincque fumma iftius feriei EA A a^-- Bx*-4- C à^-- D x! A- E x? 47 etc. — 1 — xcot. x' wbi notari meretur fi x euaneícat , forc íummam: —ixx ixx obcot.x— en zs Rap ctu 5. Ponamus xx—--yy, totamque fetiem ne« gatiue exponamus, vt quaeratur haec fumma: 4— AÀyy —By*-I- C55 — Dy 4- Ey'? — etc. R 5 atque 1534 DE SVMMIS SÉRIER. NVMEROS atque cum iam fit per EUM Berna zu ou s rrr nem z;J" -i- etc. iub. y a ajyep ciis LL IL y ete. cuius denominator " zx (675, eiusque diffe- rentiale — (e]—672)-- (? --€7?), quod per 2- multiplicatum dat numeratorem — — CN —€-7) --i(& --6—?) ita vt huius feriei fumma fit 4 ss Cafüs hic notari meretur quo y— 1 , haecque feries fummatur : A—B--C-D4-E- etc. c Lip icm. Si hic pro litteris A, B, C, D etc. ipíae feries affumtae reftituantur , et quatenus fieri poteft, in füummas colligantur, erit 1 : f bi 1 Y T T A- i -b-i--447l-sa*Xxi"l- T6 5r etc. -— - 6. Inuenta fumma feriei A x! -- Bx: -i- C x5 -- D x* ^17: etc —i-—iX cot. x in qua fimul alteram complecti licet &y'— By'- Cy —Dy* -r- eic, —2 22-1 —7 tam ope differentiationis quam integrationis innume- rabiles aliae inde deduci poffunt. quarum fumma pariter BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. 155 pariter affignari valet. ^ Multiplicata fcilicet illa ferie per 4" differentiatio dabit (n4-2) Ax" *-L- (3-4) Bx" *--(14-6)Ca" 7 5- E (14-8) Dx" 77 etc. xot Yes fiue 2fn x (14- 2) A x* 4À- Cn 1- 4.) Bx* 4- (11-6) C a5 -1-(14- 8) D»' etc. ——3—a(n4j-L)x cot. x-j- £5 *? fin. x? EM uoce am cot. x-4- fin autem illa feries per 3"—' dx multiplicata inte- S$retur, prodibit fequens fummatio : A ft4u-2 B Qn--« C Q6 D .Hu-L-s E cU eh rr bESedS Oeo npe gta —ca"—ifàX"dxcotk quae fumma vt cognita eft fpe&anda, etiam for- mulae fx" dx cot. x integrale euolui vel exprimi finite nequit Quin etiam ambabus operationibus combinandis ac repetendis infinitae feries formae & À x^ -1- 6B x* -- y Ca 34-8 Dx* 4—- CX (u | obtinebuntur, vbi literae «, 6, *y, 9 etc. fint. producta ex duabus pluribusue fractionibus , quarum - tam numeratores quam denominatores progreffiones arith- Tmeticas conftituant, Veluti fi feries per diffzrentiatio- Li , d c . . Li nem inuenta per 77 multiplicetur et integretur orietur : —42A 21044 & 1 74-6(0,6 —fÓ] X xcCx,.m LTUAGXu "i Bx TX i etc. mad cu — "s 2 [1 2c ita: 1:55 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS ita vt fit. ; "NU DA x --IBat--1CaS--iDax--eteo—31 Ll — J:n. x -' Datur vero praeterea alia methodus omnino fingularis ex ferie inuenta alias innumerabiles eruendi quarum fümma itidem affignari queat. Hunc in finem íeriem principalem ita repraefento : Aa! x?-- B a! x*4- Cát x5-- Da x'*--etc.—;-;axcot. ax eamque multiplico per eiusmodi formulam differen- tiaem X4x, vt fi poft integrationem ipfi x certus valor x 2f tribuatur, integrale f X a"d x valorem nan- cifatur concinnum : fcilicet vt fiat: fXvdxcafXdx; f[Xx'dx —86[Xa'du; fX xí dx Ly J Xx dx etc. quo fa&o nafcetur huiusmodi fcries : 2 6 8 1. afXxd xcol.aox aAq"--a8Ba* 4 08y Ca^ ae yo Dat -pet-—:i7—sx ax — vbi X ita accipi poteft, wt a, 5,*y, Ó etc. fiant vel numeri in arithmetica progrefüone procedentes , vel fra&iones , quarum tam numératores quam denominatores talem ^ progrefhonem . conftituant. Veluti fi fumatur. X-—axn—(i—a^f erit pofito. x — 1 . ideoque . an dx(i-v fm X dra —XY [az J aT dx(1 —apy—E qur gx(1 pe pd M fabu x i-am tes fama r1—| y 2L fatta mt fanda -M|j LAC etc, At S7 conia —— t E TN BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. r37 "At fi füumatur Xdx-ce-"**3" qx erit pofito poft integrationem x ——«eo ideoque cnn atto m ES fe m atat Nc erES 2 2l E -- fe Thu xU ds e— d E x Mipicno o yr üx- -— kicuodipis ne-4 dx y ME n € 5 ete " Sumto autem Xdx—x'—'dx(Ixy" fit pofito x—t1 poft integrationem : 40S S tuuiT A. M0 Mur (fx dx(lxy — 4 —— figno -- valente .fi ;& fit numerus par, contra figno —. 8. His autem transformationibus ,; quae alibi fufius fünt expofitae, hic non imimoror, fed alium fontem , vnde huiusmodi feries. promanant , con- templabor quem olim, iam mihi aperuit, füummatio progrefionum generalis fcilicet fi feriei. cuiuscunque icrminus generalis, feu is qui indici x cónuenit;, ponatür.— X, vt fit X functio quaecunque ipfius x, huiusque ferie terminus fümmatorius flatuatur z2S8' reperi: fore de numeros Bermulliams. 96 E €, $O etc. aS—afXdx--X-p 4X. sx Q0 casx zasdx 1525/6: 501/202 N qugq AE i Tom. XIV.Nou. Comm. S ih vnde R5 ij$ DE SVMMIS SERIER. NVMEROS. vnde fi alteri numeri A, B, C, D etc. ad. fummis poteftatum reciprocarum relati introducantur ,. de- ducimus : "moe adX Bd x, cox DdX 2? d 25 Quare fi feriem cuius terminus generalis eft X et fümmatorius — S. pro lubitu accipiamus habebimus hanc füummationem : AdX — Bd5x Cd5x D4d/x i : 2dx 2 dxi "Ur pr 3 —azetelS—fXdx—i Quaecunque ergo pro X fumatur functio ipfius, conceffa progreffionis, cuius X eft terminus gene- ralis, fümmatione iftius feriei litteras A, D,.C, D etc. inuoluentis fümmam affignare poterimus, etiamfi forte eiusdem fummatio fecundum praecepta modo expo- fita inftituta fummis difficultatibus fit obnoxia. o. Frimum ergo ipfi X tribuamus eiusmodi valorem wt fit X — FT vnde fit dX/ —n CX -—mn(mnar)(v--2) c4X dx Cu PIE d x "E qs j p mmm 1) e ees 4) et quia eft bua ET -|- O atque ; Y I I $—1--— ad uu dee BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. habebimus hauc feriem : o MUR —nA n3-XYn4-2)b ft-E5)€ nA wreryeenB caferxyetayetaio a arti PELLE "gj: "NCEN vbi conftantem .O ex cafu quodam . cognito .. definiri conuenit , quo ipfi x certus tribuitur valor. ta pofito x— «e, quoniam tum tota feries in nibilum abit conftans haec O exprimet fummam huius feriei 3 : I I I I in infinitum continuatae 1-- E -- IM Ad. 55 --etc. quam nouimus per quadraturam circuli 7 exhiberi poffe quoties exponens 2 eft numerus par. Hos er- go cafüs primum. euoluam. Cafus I. .quo - lcu. ro. Hoc ergo cafu »—c» fit conftans, O — 77 — A m, pofitaque huius -progreffionis- fumma | inde- finite 20d DE YT$ x1 I amer om habebimus hanc fümmationem : LIN Gne trei Gre BresitP ete 2x3 23 x5 2 x? — uU ER: M nl. 3 eS nu A m" feu *224À- 71 1,2. 344. B "tcr 0 Yr2 ve ee f -oLa c deb Wrap Mes Ieri T$ 7 —- ete. EUM T DMRE frena P$ Cuius i40 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS Cuius ergo fümma quoties x eft numerus integer exhiberi poteft. Ita obtinebimus: piALSURERE, p net o troc P ob ete A q*- 1 nik. egem putt n Heel n 4 A m - i —4( 471) EA ees opua DT $C oassPlpet—gAm—i p —9(t -F:.-.) cIA—dueihp tun$U 2 ts pete — 16 À v —[ — I6(1-4- i-b 5-1 1). II. Inueftigemus iam easdem feries methodo fupra expofita, et cum ibi inueniffemus : Aay -Ba' y t Cà y Day! -- etc. — 1 ————— multiplicemus. per. £77 y dy , et integratione ita in- füituta vt integralia euanefcant pofito y — o, ftatua- mus y — v, ficque adipifcimur : fe? ydyz-— — j—26£7?y-—25.1e7-1-1.2— 1.2 fe? yt dy zz—6? (yt2-4g5-2- 4.5 Y A 4. 3. 2.J -l- 4. 8. 2. iiic 12.3.45 SuSE fimilique modo [€ Jfdy 21:2. 3.428/6 5: fe 7 y! dyzz 118 .... 8. Hinc itaque perueniemus ad hanc fummationem erp d e?—Ii 2d Pona- 1.2 Aa-1....4 Ba*--1....6Ca?-etc.— tfe ydy. 2 BERNOVLLIAN.INVOLVENTIVM. z4i Ponamus nunc 2 —; vt prodeat haec feries: »2À Y»202. 4 B. 1,2... 6C 1,2... .,8 D M —cAPM p MD CUP. lp ete, 3 cuius füummmam nouimus effa — A7T'—i, nunc au- tem candem ita expreíífam inuenimus: | &e--1 Ide? —IlIufydyoy—i -— ri. afe T34y. y — I fi modo poft integrationem ponatur y — c. — Cuius veritàs hoc modo oftendi poteft: fit &—"—z et nunc integratione ita abfoluta , vt integrale eüane- ícat pofito 2 — r, flatui oportet z — o, quae- fub- flitutio praebet Yt) A 3/4 y. y — i fda.ls — fdzla.(-1- s -4- 5 4-25 I—5 -L 8 -i- etc.), Verum ob v7 da] xy d UR fact re zm Ia-£—4— —— | f BITu can ua- ceo i pO hit /2^—^'d2]2— '-, hincque per feriem 1 yp enr Y I I I H 8[Jdy. y 1 5-47 5-l- &d-etc.Amm—: vti -Oportet. 12. Facilius idem oftenditür ponendo r—2-—« feu $—1—o, vt iam integralia a termino v—o vsque ad terminum «c-r. extendi debeant ; tum autem nofira fumma ita exprimetut — 2 msc - ; f(x -). 14? '"DE SVMMIS SERIER. NVMEROS. 1(1-v)-1, quam aequalem effe oportet ipfi A m7 - 5, ita vt fit Era vise dv pass l p/í(y — AmTmzi-ift4l(1—9)24-ifdvel v) at f/doI(x —-e)——(x—9)l(x—9)--(1—59)—1—— 1 ficque fit neceffe eft A mm-——/£*. 7(1—9), quod per fe eft manifeftum. Cum "enim fit —lx—-9)-— v--iv'--iv'-1-iv'-L- etc. 'erit integratione fecundum legem praefcriptam | in- füituta: —f£* (x v)— t Hes nHeete zÁÀAm. 15. Euoluamus etiam fimili modo -cafüm "Li atque oflendi oportebit fore : 2 eocbeem sje ?.ydyi 73. — 9 4ÀmT —i—A(1--3) é — 1 » : et f&u fg —ydy-—— — Au 4-1-911«-,]- 8T —9. e —1 Ponamus e *—1-—c, vt iam integrale 4 -termino 9—0O vsque ad v— x extendi debeat , et. habebimus ob c7? —(x-9),.y-—-el(x- 2), et —— hanc aequalitatem demonfirandam : —4 f tT? dol(x—2)—8Am—9 verum BERNOVLLIAN.INVOLVENTIVM. 143 verum vti iam obíeruauimus eft fdvi(x—v)-—-—1i et fvodvl(x—«)——i vnde conficitur —8/??1(1-9)-12--3-8AÀmT'-9 ftu f &* Kx -o) Am; 14. Simili modo fi capiatur 2——: oflendi de- bet effe eite X Afe ?3dy-, —-329Àm-i-9(r2-i23) EI £ — I "Mp o e'4-I T 7 feu fe? y dy. ux 18A r-i8(r4d4i4 i) e —r EP : Ponamus primo e * —z vt fityz—53/z et dy rtis habebimusque : el em m e 2 gf[2zdziz.3-—9fdz(—zz—esz—»s4 -)x at eft /zzdz/z —--5, [3d zig — -1; fd gg —-4- x vnde noftra formula integralis euadit 18/45 ]g—18(r--i-L-i)-- i it vt fit /4*z— A m vti iam fupra oflendimus atque hoc modo etiam fequentium: cafüum veritas euincetur. 15. Sin autem fíümamus ari, wt fíum- manda fit haec feries: — t4. DE SVMMIS SERIER. NVMEROS 1.2 À--1I.9,5.4D- pr... 0 C- 1... 8 D4- etc. " quoniam fit x—, ex $. 10 fummam affignare non licet, fiquidem valor progreffionis St 4-; 45-4. .-F Ed 228 quando terminorum numerus — ; mon conftat. Altera vero methodus eius fummam praebet : pope ovx ? fe-2 iati mie ife dy. vmi Aem uae pofito e^? — z in hanc formam transmutatur a ifdz lg, 2-£25 —;—f 257 —1 fdzlz—i paro et quia f/dz/z — x, fict ea fiH5—1-zgai ST et -—iciAÀmTm-r. )1— 2$ Quod fi iam ponamus fumto x—; fieri S z— ^ eadem fumma reperitur — ; A 7 7 — 4; A vnde condudimus forte i A-T-7—1-—;Àmm—;A ideoque quantitas illa incognia ^ — 4— 2AÀ m ex quo hanc progreffonem interpolare licebit r 4—2Àmm 12d -£—2AmTTA ir eg I-h& 4—2ÀmmT-F$-r4 Idi 0| £—2AÀm77 PETS Icicobzdad4—2ÀTTV;it4stis etc. et quonam termini infiniteimi funt aequales, fit 0 X-caid aet. C 4( 1 pide H- etc. )- 2 A T T | quae | | : UT ERGESGS- - « BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. 145 quae aequalitas per fe e(t manifefla cum fit I-J-i-sd-: €t. — A m m et 145-5 4- etc. -i Amm. 16. Con(deremus rem in genere fitque al vt fummanda fit haec feries infinita. HEU UE p eenpcmh o neeet De DT p etc. ac pofito "sig reperitur eius fiümma . E rw, dl LIT To 1 —————— "m EL — n fat dalu.— cs iei quae reducitur ad hanc formam n ancrgsls nn n —1 n n nf — zn NX [a dalz— Cum autem fit fs" —'dziz—7-, per euolutionem primi membri nancifcimur hanc feriem illi aequalem I TL nn nn cni Mab Ep ACE E Cia etc. Verum ex $. 10 ob 2x—* feu X— — pofito Eom on) eadem fumma prodit rami onccac iE S qua cum praecedente comparata colligitur. S-ATT— 47 TA 4m. 4mm imm 2T.-ny NE (61 7n)? C (sm--n)* €x quo valorem ipfius S afügnare poterimus , quicunque numerus fra&us pro x accipiatur veluti fi ftatuatur x —-" erit Tom. XIV. Nou. Comm. T S-A 4. 4 Tn T T —.- ete, :,6 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS $- AT —ui elt Lu € RED CHia etc; quae feries hoc modo immediate per x commodius exhibetur , vt fit (aBmESI(ag 14 XXE UY 17, Quod hic per tantas ambages inuenimus, ita obuium videtur, vt flatim- immediate €x fcrie prima deriuari potuiffct. Cum enim fit D r I H I ir Am —IduebeeeScdgut mm Toc tete hinc vtique manifeftum eft fore Id. PECCAU iip "ITE. pemnis Quia vero illa feriei fumma .A 7^ non eft veritati confentanea, nifi littera x denotet numeros integros quo quidem cafü'conclufio eít , perfpicua , eius certitudo: pro cafibus quibus x eft numerus fractus vel adeo irrationalis, maxime adhuc dubia relinquitur, et cum nunc quidem pateat, cam inter veritates effe referendam , hoc certe neutiquam ex iflo breui ratiocinio perfpicitür , ac nifi praecedentes rationes negotium confeciffent , merito maximam haberemus dubitandi rationem. — Nunc autem plena fiducia hoc ratiocinium multo latius extendere ]icet ità yt. fi fuerit 4 ^ "hinc BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. 147 hinc tuto inferre queamus fore generatim TISNMENNL So Ras 5 s cT LL cetg D META X" (x-rr)' (xr2)" (x--8)* etiamfi x non fuerit numcrus integer fed fractus vel adeo irrationalis quicunque. Cafus II. quo » — 4. 18. Pofito primo indefinite SC-I-A-Ci-3-cb brut tum vero hac ferie in infinitum continuata a qo LuSE EL Lee, 9n infri (um vt fit. O — B m, habebimus hanc Sy mptiseem pL ELE uM d iM 2 «x? 23 x7 ge Lu px z z -uB quae ptr — 1. 2. 5 4^. multiplicata abit. in hanc 1527. «4-À- — 122 4 6-B 1.25..c68 C /- 1.25. «e 10D p mn 2$ x3 25! x* 27 X t et. cg.29Bm7a-.—2x—6S$x ficque quoties x eft numerus integer, ifüus feriei fumma exhiberi poteft. Per numero$ ergo 9f, 25, € etc. erit « 9 —:2.p2:€- 229.1 etc, E rd qu 24-682 43-22 rg. Eiusdem autem feriei fummam eX forma fupra iuuenta definire poffumus , quae erat; T 2 Aay :48 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS EAE B a Ju I 24 y Aay -Bay 4-Cay- -Day 4 etc. — haec enim per e—? 5! Zy multiplicata et iritegratione a termino y — o vsque ad y — e» extenífa praebet 1.2..4À4—1.2..6D2 4-1.2.. 8Ca^— 1.2... xoD4 4- etc. d ce ZUM WE — ife VÀ dy. E gne a Hanc vero formulam integralem hue fubftitutione hoc modo euoluere licet: cum fit 1-re?) ;5— 1! 4- 2.6 79 -- 9 e7*9J -1- 2 £797 -1- o e 7*9 .1.. etc. 1—6€ multiplicetur per 16775 dy, et quoniam in ge- nere eft J€ y dy zz—em (9 aa B MEE —) mIXAS fumma illa transformatur in hanc feriem infinitam -— monildss Soc Q1 cad) e eru GAMSTUSO yt etc. Hinc pofito a — 7 vt prodeat prior feries , erit etiam 6 x* 6 x^ 5t 6 X* XP dor. MC. VENC DART MENTI DI —6Bmx--5—2x-—6S2x ideoque per 6 a^ diuidendo Eutr uda cui DET prorfus vti fuprà iam animaduertimus. Lina etc.. uice e cure don Cafus BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. 149 Cafus IIl. quo n eff. numerus quicumque. 20. Primum hic obferuo, fi ponatur feries infinita 1 1 I I I---u-d--—-d--—d--24-etc. O0 2 5 4 5 -hanc ftriem ex euolutione huius formulae integralis aed Ia) —' oriri f — , fi integratio a termino z— o I-—2 vsque ad terminum z — r extendatur. Cum enim: hac lege obferuata fit [2"- da(Iz)-— a" Ig tm ——— J57- da(lday — m8 xo san ge Ri gt api [27— da(Igy z— [37— dz(Igy tr etc. - » Tet Wat 1.2.5... (1—1) erit in genere -- f/2"-'22(]2) LRL in n vbi fignum füperius -i- valet fi 2 fit numerus im- par inferius vero —, fi 4 fit numerus par. Quam Ob rem euolutio formulae -- / 25 (72 J—' praebet hanc feriem füb eadem lege ambiguitatis : 1.2, 9... (1 — 1) (x pu id A desk addis) Tc LR AS ita vt ht ràsz MIT us: » 2:3 v»s»»» (n—.5)J 1—3$ T 3 21. 150 .DE SVMMIS SERIER. NVMEROS: 2r. Simili modo haec-ferics ad datum. quem- vis terminum indefinite fummari poterit, fi enum ponatur : Spero ose Bre ILE Ei 2 5 4- UNE e 7-1.2.8....(n-1) 1—z aed ioc ii quae formula veritati eft confentanea fiue z; fit nu- 1 merus integer fiue fractus: vnde cum fit Ly 2 d UAE Lm [9:26 jr cg (2) m (m--2" "Gg perfpicuum eft fore : Tw i- etc. I i íBH ow I (mr). (m--2) (m--3) (mr4 Quocirca cum fümto- m—1i fit S—Oo- — etc. I 7S IRL ROS EUIS Tis Jpn zyrbetesc poko olo on Bie waa —1) O0, hinc el'cimus : S—O0- (2^ — 1)0-4- 2*— 27— (2*2) s: vnde valores interpolati ipfius S ita fe habebunt fi fit BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. r5z fi fit - |. erit S emo o "n —s 2" —(2"—2)0 m-—I r 5 MT E. 2"---x —(2'—2)0 À I E-— Pub ou t i I. BU s 89 -— 9; Y hus T $3" o" 127 o* uu — 9: 9 z"--se sk (3*—2)0 etc. fi. ad. fingulos. terminos addatur (2"—2)O, iique tum per 2" diuidantur , vn interpolatio hus ius feriei I Yi o; T, 17-3 Ust Io IT T 2*3 etc. 22. Cum fümma feriei infinitae O per qua. draturam circuli feu litteram 7 fit affignabilis, quos ties exponens 7 füerit numerus par, notari meren- tur fequentium formularum integralium | reductiones ad circuli quadraturam : -— d dash 152 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS f 2& dlgzi. Am Nc f sparse ngBw ——4 5 yc ibi c. Fam 3 (Sy mae 2. v Bst. IÉ-—RE9e f EX sy z—ai.2....9Em? É—2-€m-* etc. Atque hinc eo magis eft mirandum , quod nullam dz E dz dz narum formularum f .2* (Jay, f.3* (Iz) , f 45- (/z) etc. nullo modo ad quampiam quadraturam co- gnitam reducere liceat, cum tamen ex hoc ordine prima formula f. -( &) maniféfto per logarithmos abfoiuatur. | ! 23. Scribamus nunc in $6. 9. z loco x, et 2equationem ibi datam per. — 1.2... (n— 1)m" multiplicemus , vt obtineamus hanc fümmationem: 12... À .— 12.6 «(Tl H—-2)B iis 1421 -4-4)C LL Pee. (1-6)D3 LC: 2T 23. m? 2? m? 27 m? 1.2: (-1)0m'—Sm --;——-) n——tI fimili autem modo quo fupra fumus vfi (19), po- nendo «4 — — eiusdem ferei füummam — per fcquen- tem formulam integralem expreffam inueniemus : 4 ell Vero yall -trincoq0y. C Ryargy, ita LU ec dm rli D e BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM, 155 ita vt fit e T, tfe? yn—' dy ILMAPTS 2... (1-1) (Og"- Sm"--:) Mer m atque ob 1-gm—-— 1-0 — erit gy'—'dy —r2.....(n— 1)m"(O—S) R6 quae formula integralis ponendo &—7?'" — z ad eam quam modo tracauimus , reducitur fícilicet f 2 (/zy—', fiquidem eius integrale a termino z — z vsque ad terminum £2-——o extendatur. Cafüs IV. quo »— 1. 24. Hic cafus peculiarem tractationem — poftu- lat, quia feriei 1-[-i-[: -;etc. fumma eft infi- nita fit ergo indefinite S-—i--i--i-id-.....Li vt quia ob X—x eft /X4x——4ix, habebimus hanc fümmationem LEA 1l» 2* SB 2» 5C 1,25.9.7 D cxx OPER Y HE TuS X* —LU- TX ALIE etc. Ix 2S O 2x 2? x9 feu per - x multiplicando: i BI nieeic. — em etc. z(0-S)4- zx. a? x9 vbi conftantem O ex caíü per fe cognito définiri oportet. Veluti fi fümatur xr, ob S—z et jx — o,-erit - Tom. XIV. Nou. Comm. Nd Qn: 134 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS OLEUM Eret$O o nfenD I- etc, Y zm 25 28 Quo autem ifte valor ipfius O facilius obtineatur , ponatur x— 1o, et cum fiat: (O—-i—i—-i—i-i.....—i4 DTE 4- xolzo rA. Ln2.3 B LOEHISPOROCRLOTRURUC e iD6- T3 20. 20$ Tie 205 207 Mer ? -F- etc. hinc valor ipfius O per fcriem maxime conüergen- tem eruitur : O — 0, 57721566490155325$ qui numerus eo maiori attentione dignus videtur, quod eum , cum olim in hac inue(tigatione multum fludi confuümfifféegaz , nullo (modo ad cognitum quantitatum | genus reducere vàlui. Eo autem in- vento vicifüm feriei harmonicae ad quotcunque ter- minos. continuatae fumma fàcile afhgnatur , cum fit xd-icpEprueti6lL pic Od4ixLRI —L OCA 10 NS. Il £o PEEL UA M a3 x* 2? x 27 x8 25. Cum autem fcripta littera z7; loco x feriei rb LÁcesB o; rai Ur. no2..€7 D etc 2 T 23 m3 2? m? 2? qm? fumma , quae modo prodiit —(O—5)m-4-i--mlm exiftente S— 1 --i--5;--.....,4, etiam ex hac ferie ; 1-677 — 0g Àay-Bwj*-- Cay: -D «^! -- etc, — i. : gU d 24y H — zT — — Li eph idee BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. z55 lI i xu uum definiri poffit, hanc ope- rationem fufcipiamus. Multiplicemus fcilicet per e—?" dy et integrale a termino y—o vsque ad y—c extendamus , et quia in genere eft fe—?j"4y z1.2.93..... M, nanciícemnr IÀa-1.2.3 Bà 1.2.....5 Cà?- r.5..... 7 Da? ete. e ?dy e ?dy med 2 2a J op 79 Quare pofito a — —. erit — e—? dy (O-S)m-- i-2-mimo—-—i—mf c ilcBm ideoque pofito z — r1, fiet e ?dy e-?^dy 0O—-—f 5 34 5 ita vt numerus O quem quaerimus, duplicem quan- titatem tranícendentem inuoluat. 26. "Trapsformemus has formulas ope fubfti- tutionis €^? — z fietque intezralia a termino z-r vsque ad z — o extendendo edu. s op dre c dz -—z--lz 2) / iz y -—H 1—2 TIE Vel flatuamus 1—z-—«v, vt iam integralia a ter- mino 9 -— oO vsque ad v — 1 extendi debeant, pro- p 4 fis erg. d q. eg -—"yU) Mu px t :56 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS At maxima difficultas hic in eo confiftit, quod vtraque pars feorfim euolüta praebeat numerum in- finite magnum quae autem duo infinita neceffario fe mutuo ita tollere debent vt pro O obtineatur valor ille finitus füpra a(fignatus, Retenta autem priori forma integralia more folito a termino z — o ad z — r extendamus , wt fit O —/2* -41-f 2, et cum denotante ; nume- rum der fit DAE z''— i), erit dz ; O—f[f4;-ificu Bam ponamus su, vt fiat . ur d aui cs a Quyl—— uy p d aeie- quarum formularum euolutio praebet : Lu 2í 32 Ocu SE --;4 etc. i iji 2i 2i--1 3i 3i4- CERES d LUE gi iot LACNCU T, ;4 jur eue ^e "wid 335^ [Dv ex —u um. etc. et ponendo vti oportet z — rz, fi O-—--1i-—(:- ——-- —— EL. B ra Bes 21—4 --s— (Z2 xc E zs Msg wo "dr (i4 veh ut DEDENL nn) etc. vbi notandum eft harum progreffonum harmonica- rum pr —— : ; primam — diuTIcRL GRE oaerco- ob / numerum infinitum exprimere /2 fecundam /:, tertiam BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. 157 tertiam 7:, etc. ita vt habeatur per feriem fatis fBmplicem et regularem : Oc:-/2 ES NO, RP RER -l- etc. 27. Eandem hanc fíeriem ex prima ftatim forma deriuare licuiffet , fi enim ibi (24) ponatur X-e fit o—S-—/x—O ita vt fit mrebBideiEi..esedÓRhà-Óx quia vero tam feries x-1-24-;:.....--; quam 7x habet valorem infinitum, quo facilius pofterior a priori auferri queat conueniet / x iu totidem partes diuidere, quot prior feries habet terminos , quod manifefto fit hoc modo Ix —hü--di4-dH$-4ee2204lE. vnde feries inuenta conficitur, — Haec feries nunc pluribus modis in alias formas transmutari poteft, ex quibus valorem numeri O facile quam prexime faltem colligere licebit. Primo enim cum fit gc hoc e etc. habebimus HE WourccbevtC) mtd. seb bs Trete) --i-d- RR Ld-etc.) —i(u TLnci6545-et) --i(rd-Ldh4d 5-4 ete)—; (rt Ld LL ete) etc. n—:1 un FZadueb£tpeee V8 erit ^ 1358 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS- ' erit etiam O—i(5 4-52-5-2bete) d$ 5d do s ete) 2 "spese ecpteie)-- 39-5 -r- a 1o pe -F A-5273 --ete)2- 1054-5 H7 5-2- 5-2 etC) | etc. | 28. Huius pofterioris formae confiderentur pri- mo partes. priores poteftatibus paribus contentae ; quae modo fupra adhibito expreffae ita fc habebunt : (Am —1)-2-i(Bmt— 1) 3- $(€ m —1) 4 ete. Contemplemur ergo feriem hanc: P—(Am —1)x' 2- (B * — x)x* 4- (C a5 — 1)a* -- etc. eritque ex 6. 7. P—i—imxcotmx— .—7— , cuius valor cafü x — 1 reperitur ponendo. x— r—0 .eua- nefcente 9, tum autem oritur poiQ4-te- rm La 1-2E20-4-09 : t&(2 —t) — X Jy—(Q 21-42-20 — 1 [5] — $2 it fu P—i-4- 5 -— LESS —i-d-Ig Iw Q(2 —€) vt quod omnino notatu dignum videtur fit Aq —1-r-Ba*—1-4- Ca, — 1 4- Dm'-1 etc —;. Deinde per integrationem elicimus : f*à3*zi(A m- 1)xx p; (Bm- 1)x*4- (C m- 1)5*- p etc. hincque j*32 5X I LI me ae (ex ye im feu / *4* —:l(z—2xx)—110777. Ponatur nunc ite- x Tx rum x—31—0 fietque vano wtpca Jp MAN rM RA BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. 159 Pdx—: Ligfnme — it: fietque f/ *775—;/2u ues alita velfit s(A mm — 1) 4-; (D m*- 1) 4-s(C mT— 1)-- etc, — 1/2 hac autem ferie a fuperiori ablata relinquitur : s(A mm — 1) Fi(B m*- 1)--1(C m5— 1) 4- etc i - Ho ita vt fit Oci-in--i(--45-ri-2-ete) -- i527 5-5 ete) TE H7 524-54 etc.) etc. 29. Cum igitur numerus O duabüs conftet partibus , quarum prior eft 4&—3/12—0,4034264097200273, ipfe autem numerus —0,1737892551815052 fi ergo fimili modo haec altera pars ad logarith- mos vel quadraturam circuli reuocari poffet , nihil amplius in hoc negotio defiderari poffet. Haec au- tem pars altera ob 32" cci eT e eteocaf oio nm toits (1—22)* 1—Z22 fequenti forma exhiberi poteft : (175—152) 1G4-1— 4/2) 2-7: (5-2 712) 4- etc. quae autem denotante 7 numerum infinitum, fponte reducitur ad hanc expreffiónem 1-pid-6..ee-rRi-di—-i4-i us ; ita i560 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS ita vt hinc nihil noui eliciatur, cum adiecta parte 3 priori i—;/2 oriatur vt per fe conftat O-cri-i-d-aàd-....-Pi-—di. Manet ergo quaeftio magni momenti , cuiusnam in- dolis fit numerus ifle O, et ad quodnam genus quantitatum fit referendus. S; ferminus generalis X —.x. 50. Hic ergo erit /Xdx—x/x—x ct ob dew IP. MESECUEEE y. 5. 1254 221 085. — 1 — & fiet porro £— — V3 $e — 3 4x — ti5-* etc. Vnde fi ponamus indefinite : S—ix--12-2-73--04--......-Ix habebimus hanc oues dcm d ako oi Me Jioi2l. £P 6t; Sly — xlx-4x-0 Tu 23 x$ 293 x? 27 quae conftans ita :effe dcbet comparata, vt vni ipfius x valori fatisfaciat. — Sit ergo xr— rz et cum fit SEU ERE. —O ar iIieniP2pclnia4£ hisstP apetece Cum igitur fit peu : roov I Aay-Baiy 4- Cay! - Dey Peicda- CUR i5 Ob fe-?y*dy-1.2 ....m multplicemus per &? Ll et integratio fuppeditabit Aa-1.2 Ba?-- 1 2.3.4Caá* -eteife m T » — tfe B e» dy. Qm, eh -K yai mE STRE T cula jnte- PERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM.: 161 integralibus his a termino y — o vsque ad y -—«w extenfis, 51. Statuamus nunc 4—--2— , et obtinebimus 2 hanc aequationem : e? dy e? d - —O--S4 x— xxx -—f cus au Vgpcér q) J 9» in quibus integrationibus quantitatem x vt conftan- tem ípe&ari oportet. Quare fumto x— fiet ec? dy edu e-2dy Duy rIcuf enm vmievS ! lyacemp Moy 7 eA DPTAP Ld e—?dy | et quoniam eft -- EL 4-ft—v—.etit b / JI J- u j e?dy edy ev 8 Spe ase tH y repite Hic fi ponatur £—2?-—z et integralia a termino £—0 vsque ad z— 1 extendantur, reperitur : de B I6 W/ a Ls MD de. rds. b O-2-:—i 1z None (1z)? neque vero hinc natura huius numeri O cognofci poteit cum tamen aliunde conftet eum effe —;/2 m, ficque partim per logarithmos partim per. circuli peripheriam determinari. Quemadmodum — ergo ifle valor eruatür operae pretium erit accuratius perpendiffe. 32. Quoniam a Wallfio inuenta eft haec aequal tas 9g. 2.2 44 4. 6946 8948. 10410 Paco. 3 Eu ZUR 9. 11 etc. qom. X1V. Nou. Comun. x erit 162 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS erit logarithmis fuümendis i[plla—ls--i4—15 416—137 18—194- etc. fcu hoc modo per duplicem feriem ' :][n—]o M 14- 6-84 104-/124- etc... . -. Hoax Ao (x-A-1) SR TDI fg ie etc. —/(2 x-r1) fiquidem vtraque feries in infinitum quidem fed tamen parem terminorum numerum continuetur, feu ipfi x vtrinque idem valor tribuatur: quae duplex feries etiam hoc modo exhiberi poteft uz-cda--i4--16-24-184-..... --l2x—il2x —1x—13—l5—13—.....— l(2x—1) At ex ipfa noftra ferie fumto x infinito habemus Ix4-124-13 4-14 ....- IxzzO —n r (x27i)Ix vnde fi x72 feu ad quemlibet terminum 7/2 ade datur fit 121a. 4- 16-18 4... I2 xzO- x A- x02 M (x4-2)I Deinde fi ibi loco x fcribamus 2x prodit Ix -l2--H34-44- . .. MH 2x20 —2 x2 x )/2 4(2x4-1)x a qua fi illa auferatur relinquitur : lx 13S A. EI(2x—1)z2-xM (x2) xIx quae füummae fi in illa forma loco vtriusque feriei fübftituantur orietur haec aequatio : alz-Fil2x —O—x-M- xI2 E (x4i)ha —O0-—i/24-1/ TX—(XT2 in His vnde BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. 365 vnde concluditur O—2/7-41- 172 x 4: ]2—ilv—il&em feu O—0, 9189385352046727417803297. 33. Cum ergo fit Qi. m hinc viciffim colligimus fore JE -foci5u cen P ETE ficque patet has. tres integrátiones , fiquidem a termino z-—— o ad terminum :;z-——a1 extendantur perduci ad quantitatem /2 77 quod quomodo per calceulum oftendi poífit, haud liquet, vnde haec inueftigatio eo maiori attentione digua videtur. Facile Die UH ette L5 mL—fL.iawtfiti-i fui S corddn Uz)y —Iz -— 74 Parum quoque lucramur küsindb z—w ét [e—-i(1-v) exiftente i; numéro infinito confequimur autem hanc aequationem. EE ni p'^'dwv fiel TUO Epi ge ———d&f——— i(r-4) / EX T quae intezralia pariter ab v — o vsque ad y —I extendi dcbent. 34. Euolutio harum formularum nihil aliud fuppeditat nifi quod ftatim ex prima .aequatione fumendo. numerum x infinitum 'concludi poteft, quia enim tum feries litteras A. B. C. D etc. com- ple&ens euanefcit, habebimus ioci Tee LGUIP Eau Qopix—(x4MilxM4e 22 vbi 164 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS vbi cum feries /1 xr. p conftet. x- terminis quaelibet reliquarum, partium" (x -3-2)/x et x in feriem totidem terminorum conuertatur. Ac pofte- rior quidem x totidem? terminos vnitati aequales praebet , prior vero (33-2)/X fequenti modo euol- vitur : b | Momcii--ia--i8....-Li(x—1)2-Ix --1:--1--1....--I -- 1 Slrvlevylg....—(x-))Kx-ri)-(xe85)x ; MrcTi2....-ua—XK—2bRx—)x-2i) vnde colligitur haec fefies fatis concinna: iamcai-(4—i)-(Gi-1)-(/—1)-(Ui- "ed quae commodius hac forma euis i—iLamcih-i--i li—x- iiv ];— x etc. Terminus generalis huius E eft 27 5 — 1 , qui in hanc feriem euoluitur: —--—— zz et EX ex quo per infinitas feries " habebimus : i--I5--ad- etc —tommPw"wimecort - — NL 1-iam-— unt i iskeBr et L^ "qoe rou su 9? "ires LT" etc. etc. vL BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. 165 vbi cum feries poteftatum reciprocarum primo ter- mino. truncatarüm occurrant ,. erit I-Jo"-iC Ami) (Cz Bm -12 (£s "Cm jd etc. fupra autem inueneramus : Miei. A .2 «s. 3e ; D I—;]2T7—4—:—P E TR D etc 2 55. Huiusmodi relationes eo maiorem atten- tionem merentur, quo magis funt -abfconditae , vnde operae erit pretium fÍíeriem modo inuentam accuratius euoluere. Hunc in. finem cam -gencra- liori forma complectar , ftatuens : P-FAÁGT EIBm«'uw-« CmTu di Da' dá 4 etc. Q—iATL. LIBE 4: C027 4: DT 14: etc, Ed EAR Ü DET 4- etc. — —— T u 1——Uu vt pofito u— fit i—ilem-P-Q-R Jam ad valores litterarum P. et Q definiendos fumo aequationem fupra $. 6 datam A x^ 4- Bat -- Cx -- D'x' 4- etc. Li*-ircot X vnde per integrationem fit EUSAX EB -LICi l.eté pac jm x fu 1A iBatq-iCa$4- etc — :— x d x eof, x finis d Hinc pofito primo x—^4 tum vero pL deduci- mus pzi- ro fmmaduefwu.ai i uducof.mu FK EE Jage NT Tuc Jem ob 4— 1r X 3 ai 466 DE SVMMIS SERIER. NVMEROS: n^ mmuducof.;mu , 4,4uducof.; TU Qu AT MAT Mose 4fin lcu fin.ictu et ob fin.nu—2fin. imucof. zuet cof. mu cof, z^ - fin.; my fiet | udu'eoC Vm -cof Vm fn mw) E udu fin. imu P-Q-7 dissi MONDENSÉ. cw finimucof;mu 2 cof.imu PUR 291-7; yr- ita vt fit 1—ll2m- ri uà - Ll cof. imu I'— i -inudufio.mtu cof; Tu fiquidem integratione abfoluta ponatur g — rz. feu ]a3-/— —pIX o pulcotzmufdulcof.zmu . 36. Statuamts nunc angulum im4—(p, feu go vt integrale a termino (— o vsque ad — "— g^ ex'endi oporteat, ac' praecedens bcd tio abibit in-hanc (formam ' lag zi: -1cof. D — 2 fd QD Icof. p. fiue. ob $5 lomliem— Io cef icot o & vbi LS cáfu: 7.abit. in jp ita "vt fit i^m x12: f[dObbébtiptea faqpi cori em Quod fi ergo demonftrari poffet formulae in- -tegralis fdDico(.Q alorem a termino (p.—- 0 ad Dc oo*—7 -extenfüm reuera - quaütitati — 7^ aequa- ri , omnino per aliam viam id affequeremur quod ante :per-ambages circa vaiorem litterae Oz /om conclufmus. 'Quoniam vero iunc de 'hoc valore fumus BERNOVLLIAN. INVOLVENTIVM. 165 fumus certi, infigne confecuti fümus hoc theorema quod fit integrali a valore (D—o vsque ad (2 og extenfum f/2(D/ cof. p— — 2: vel fi ponamus cof. (D—«, ha termini integrationis fint v — 1 et v — o oftenlendum eft fore / TA Lu. mi (umm) e EET vade ix dpHecrpe in Wine s aet erit Tl voL Te z quae "ks Mun MR anUR "d NU Ang. fin. » ponendo poft integrationem s— r: haec vero porro pofito s — fin. D ad hanc - [219919 itn. (-facb1&n. (G— 725, feu fdp/fin.(p—- T Jt. ' quae cum füperiori congruit. 86. Quod autem fit /440/fin. p — — 8 hoc modo demon(tratur. Cum fit $5 — 2 fin. 2 D-- 2 fin. 4D -i- 2 fin. 6 D -- 2 fin. 8 etc. erit /fin. (p— - cof. a(b- 1 cof: 4(D- 1 cof: 60D - 1 cof. 8(petc. -72 ergo /ZDlfin.-- (Is -:6n. 2 p- n. 40-7. fin 6-—- fin. 8D etc, iam fato D-7ft/ddtn. D— 7/2. A ———— — — — DE 168 aso ( [9] ) Soc 2 DE | PARTITIONE NVMERORVM IN PARTES TAM NVMERO QVAM SPECIE DATAS. Auctore L EF LEIZR'O, X. C. olim tractauiffem problema de partitione numerorum, quo quaerebatur, quot varus mo- dis datus numerus in duas, vel tres, vcl quituor vel generatim in tot partes , quot quis wolurit, difcerpi poffit, id potíffimum curaui, vt in eius folutione nihil quicquam indu&ioni, cuius vfus ple- rumque in huiusmodi problematibus foluendis folet effe frequentiffüimus , tribuerem. —— Atque methodus , qua fum víus, ita vicetur comparata , vt etiam. ad alia problemata aequo fucceffu adh bri poffit, id quod vulganifümo illo. problemate, quo quaeri folet, quot modis datus numerus dato :eflerarum numero proici poft, eo quidem amplifüme extenfo hic oftendere conf(titui. ^. Quando autem quaeritur, quot modis da- tus numerus INN datum teflerarum numerum 7 pro- jiciondo cadere pofüt, quaeftio huc rezit , quot va- riis DE PARTIT. NVMEROR.IN PARTES. 1:69 riis modis datus numerus NN in 7 partes refolui poft, quarum fingulae fint vel rz, vel 2, vel 3, vel 4, vel 5, vel 6, fiquidem facies tefferarum . his numeris fint. infügnitae, Ex quo naícitur haec quae- ftio latius patens, quot variis modis datus numerus NN diuidi poffit in 7 partes, quarum fingulae fint vel a, vel $, vel sy, vel à etc. quorüm numero- rum «, 6, y, 9 etc. multitudo fit pariter data pu- ta — m; ita vt partes , in quas datus numerus fit refoluendus tam numero quam fpecie dentur. 3. Concipiantur fcilicet eiusmodi tefferae, quae non vt vulgo fex , fed ; habeant facies feu hedras, ita vt in fingulis hae facies notatae fint numeris €, 6, *y, Ó etc. atque iam quaeritur, fi habeantur 52 huiusmodi tefferae , quot modis iis proiiciendis datus. numerus NN produci poffit. ^ Poffent etiam tefferae inter (e difpares affumi , ita vt fingulae pe- culiarem haberent hedrarum numerum , quae etiam iu fingulis peculiaribus numeris fint inícriptae ; ve- rum ex iis quae de téfleris vulgaribus fum. allatu- rus , etiam folutio huius quaeftionis latifüme paten- tis haud difficulter colligetur. 4. Numéros autem , quibus facies tefferarum fünt notatae , tanquam exponentes quantitatis cuius- dam x confidero, ita vt pro tefferà vulgari hanc habeamus cxprefhonem x' -1- 4^ —- x? 4- x* 4-7 x? 4-25, etc. vbi cuique poteflati wnitatem pro co&ffücknte tribuo, quandoquidem, quilibet numerus exponente defiznatus -. Tom, XIV, Nou.Comm., Y aeque 170 DE PARTITIONE aeque facile cadere poteft. . Quodfi iam huias 'ex- prefhonis quadratum fumatur, quaeuis poteftas ipfius X tantum récipiet coefficientem , qui indicet quot modis ea poteftas ex multiplicatione binorum termi- norüm iftius expreflionis refültare , hoc eít , quot 1uodis eius exponens ex additione binorum numero- rum eX ordine x, 2, 3, 4, 5, 6 produci pofht. Euoluto ergo noftrae expreffüonis quadrato , íi in eo occurrat terminus Mx", inde colligitur. nume- rum IN binis tefferis iaciendis tot modis prodire, quot coeíficiens M. contineat vnitates. 5. Simili modo euidens eft, fi iftius expreffio- nis fumdtur cubus (x--x --x -4-x-x-ua»y, in eius euolutione quamuis poteítatem x" toties Occurrere , quot miodis eius exponens N oriri poteft addendis tribus numeris ex Ofdine 1,2,3,4,5,6 vnde (fi huius poteflatis coef&ciens fit M, totusque terminus M x", ex éo concludimus numerum IN tribus tefferis iaciendis tot modis produci poffe, "quot coéfficiens M. contineat vnitates. — Generatim ergo fi fümatur exponentis n" dignitas noftrae ex- preffionis ( x-- x. 4- a? 2p a* 2 3^ 4-7 X)", ea. euoluta fecundum poteftates ipfius x, quilibet terminus Mx docebit , fi numerus tefferarum fuerit — 7, iis jaciendis numerum IN tot modis cadere pofle , quot coefficiens M contineat vnitates. 6. Si ergo tefferarum numerus fuerit — f, quaeraturque quot modis datus numerus N is proii- NVMERORVM IN PARTES. | iz proiiciendis cadere pofht, quaeftio refoluetur - per euolutionem huius formulae (x4-x Fx --x-Ex-rx y cuius cum primus terminus futurus fit x", vltimus vero 4^", prodibit huiusmodi terminorum progreffio: X-RÀAY'UC-By3eCant. p MaNu..btt cuius quilibet terminus M x" oftendet numerum N exponenti aequalem tot modis cadere poffe,, quot coefüciens M. contineat vnitates: ex quo ftatim elucet , quaeflionem locum habere non poffe, nifi numerus propofitus IN contineatur intra limites £7 et 69. "Totum ergo negotium huc redit, vt ifta progreffio feu fingulorum terminorum coefhcientes affiguentur. .. Ad hos igitur inueniendos ponatur formu- la euoluenda hoc modo repraefentata M (xc x2 x Hex ea ex y V tum vero pro eiusdem euolutione flatuatur Vm" rtAx44Ba LC€x LDa-BREaMLFa * ete. ) Ac pofito Y-Zz erit ex priori differentiale loga- po " rithmicum : | xdZ.—nx--:nx?-sng--anx*-4-5ng ZI em dq3- X-E x4 x3 Xx) Eiusdem autem valor ex pofteriori prodit xdz Ago Ba? «1€ x5 -- 4 Dat e sEx5 4-6 Pa etc. Zdw 14-AX-EBA SEOXS Data Ex E PIITUN Y 2 quae :3 |. DE PARTITIONE quae duae expreffiones inter fe debent effe aequales, vnde coefficientium valores determinabuntur 8. Conftituta autem harum duarum SM num aequalitate oritur ifta dpi des nx--nAx --nBx --nCa^- Dx" -eg2Ex A-nFX --nGx. etc. 4-2 8-4-280 &--22B4-25C--22 D--2n E-- 20F --3--35A--30B-4-32C 4-320 D4-55E 44 FARÀ 2-42 B --42C24-44D 4-54 -2-5nA-4-52B4-52C —Ax-»Bx -5C€x--4Dax" -5Ex 6FX -7Ga 4- 8Hx* 4-À c2Bor5C FL4D p E £6F 47G -- A -2B-35€ À-4D F5 E *6F T OA-Cc2DB L5C 4D p5E^€ CTOA cF2BG45C C—D OA cr2D 63€ quae binae expreífüiones, cum fecundum fingulos terminos inter fe debeant effe aequales , valores fin- gulorum cocfficientium | fuppeditabunt. 9. Hinc autem SEQUeReS determinationes. im- petrantur , A-n | 2 B-(n -X)A4- 2n * 3C-(n-2)B-H(22—1)A4- 3n | pars 3)C-r(221—2) B-H( 321) 44- 4n E-(n-4)D-4H21—3)C4 (2-2, B--(44—1)A4- 52. d (n- 5)E-- 22— 4 D-4r- 32—3)C--(42— 2)B4-(52— 1) A. gG-zn-6,F-- en—5)E-r- 31--4)D-H(42—3) CH( 51—2^ B. 8H—(-7)G-Tr(22—6)F 1 (31—5)E--(4n—4)D-4(52—3)C etc. Quili- NVMERORVM IN PARTES. 175 Quilibet ergo cocfficiens determinatür per quinos praecedentium , quibus inuentis erit VZza"pAx-rBatt-pRCXV-Da"**r Ex") ete. ficque problema de 7 tefferis in genere eft folutum. 10. Si. a qualibet fuperiorum — aequationum praecedens fübtrahatur, obtincbuntur fcquentes deter- minationes multo fimpliciores : TU 2B--nA-r-n 5C —a2B--"nA--n 4D-aC--2 B--2A-- sE-—nulD--2C--2B--7A--n 6F-—nE--2D--2C--85B--2A—5n zG-nF-r-1E-L-2D-4-2 C--2B—(55—1)A $8H—nG-r-52F-r-2E-4-2D--2C—(52—2)B etc, | Si denuo differentiae caperentur, relationes iftae ad- huc fimpliciores cffent proditurae , hoc modo 2B—' n4 1)A ; 3C-(m-2)B; 4D-(14-3)C ;'6E-(nd-4)D; 6F-(n--5)E—61; 7G—(n4-6)F—(62—1)A4-5n 8H-(n--7)G-(6n —2)B-4-( 52— 1)A. 9 I-(--8)H-(6n—3)C--(51—2)B zoK-(74-9)1—(02—4)D4-(51— 3)C "2H etc. Y 3g XX. 174. DE PARTITIONE. 1r. Hinc prout tefferarum numerus fuerit vel 2, vel 3 vel 4 lex progrefüonis coefficientium erit vt fequitur : pro duabus pro tribus pro quatuor AN 2 5 4- opB- 5X 4AÀ 5A 50- 49 | 5b 6B 41): 58 6C ;C sSE- 6D 1 4;D 8D 6F- T7E-12 8E-18 9E-—24 4G-2 8F-rirA-cF-10 | gF—17 A-F 15 |r10F —253A 4-20 8H-— oG-10B4 9A10G-16B--14 A r1G—22 B--19 A. 9IzjoH- 9C $Bxr1 H- 15 C4- 13 B [12 H—er C-- 18 B ioK-iil- $SD4 Cue I-14D-4- 12C[15 1 — 50 D--17C i1iL-:i2K- 7E-Xc 6Dr53K—-33 Et 11Di4K — 19 E-- 16D. 15M-:i3L- 6F-4 sEx4L-i2F4-10 Ej5L —a38F 4 15 E etc. quilibet ergo coefficieps per tres praecedentes de- terminatur vbi hoc imprimis cft notatu dignum, quod tandem in nihilum abeant, et poftremi pri- mis euadaat pares, id quod ex hac lege minus per- fpicere licet. 12. Quo autem hanc legem clarius intelliga- (u) mus denotet haec formula (IN) numerum cafuum quibus numerus N per z tefferas produci poteft, ita (n) (n) (n) Wet (s) 2m (nr 1) —ÀAS0b-1-2 EE (11-3) NVMERORVM IN PARTES. 175 (n) "o(n) mn d ULend, cci e (1-3-9) —1 et (n -- 10) dE Hinc yx fiet (n) / (1) zn m -InrgYnlo). P ATEA) H52-3)- 3) vnde concluditur fore in genere: (n) (1) (n) A(n--A) —(u4--^—1iX-^—i) —(654-6-XY13-A-6) (n) --(s"--r-X)YKm pA). Ponamus iam 545--A-—N vt fit A—N —7, eritque (Nyu— DE -NIN-ye (n) , vbi notandum eft femper fore (P) —o0o, fi fuerit P s. 15. Facilius autem ^hi 'coefficientés "definiri poffunt pro quouis tefferarum numero, íi iidem pro fefferarum numéro vnitate minore iam fuerint reperti. Si enim fit (x cl ap atate xp aT! —áa" HE A att 4- B tme -p-C TES LS D)auneec. etc ponaturque | [aci x He A HI yeast a eA nme Bam: -- Ca 7t: r7 D x" -1- etc. erit, 176 DE PARTITIONE erit , "e haec Bii illi per x-1-x*-ra4* Hr -4-35-r-a5 multiplicatae eft aequalis hinc AA Ur differentiis fumendis B/—B-1-A-Tt-1 D —A'--B C/—C-4-B--A-1: Cs B^--C D'/—D-4-C4-B--A-1-1 |D'—C'4-D E/—E-2-D-3-C4-B--A-1- 1| E/— D'-4-E Ek F--E--D--C 4-B4-A | F/—E'--F-r Par G-L- F--E-L-D-I-C4-B| G/—F/-4- G—A etc. etc. 14. Quare fi modo denotandi ante introducto vtamur, ex aequatione G'— F/---G—4A naícitur haec : (14-1) 4-1) (1) (n) (024-8) —(n-—7 —4-G2-37) —("r 2) quae in genere ita repraefentabitur : (n--1) 00 (nee) e (n) o 0Qq (n4-14-X) — (nA) A-GHEN). —(n2-4—6). Quod fi iam pro 7-i-^ fícribatur NN erit 1) (4 (n--1) i (n) (n) (N-2-13 .:-(N) -E(N)-(N-6) vbi Wr de eft quamdiu füerit N—6 «n fore (N-6) 9M Hinc fimul patet omnes hós nume- ros fore integros, quod ex priori lege minus ap- paret. - ! Tabula N pu-aihn—onosu—ancsn LR | M OO o» -I OU. 6 D M D og JD oM MR ok okFoR zB OQ HOO o0-ougoe5W 23 24. 25 o oO 'B-od$o 0^0 OLOÓ O o Q:O O''$Q OIO M m H'HcmHw NVMERORVM IN PARTES. Tabula oftendens quot modis quilibet numerus NN per 7 tefferas cadere poffit o b-oí9504075 O'O OiO O O H^b c. wi Oo vo b wO OO0Oo0000 nc i9) Tom. XIV. Nou. Comm. ti [9) o5 5 B oo-ImM OoOooOooOooO0o0n0 |, 7353890612117 6514221]15267 540433218527 420422120993 | 3951390622967 205343124017 177 no ceou"oooooooQ 10480 16808 25488 56688 50288 65808 82384. 98813 126:285624017|113688 Z N 178 DE PARTITIONE N n-zxu"—2n-Bncua m3 u—6 nc3128 26 [e [e] [s] o 70|224-7122967|1255 88 97|1: 0 Oo o o 5511666|20993|133288 28 [o [e [o] le) I5|I161|1832 71135954. 29 [o] le [c] [o] 5| 75615267|1353288 sol*wg GN qi I| 456|12117|:25588 31 [e ON o [o] O| 25Z| 9142|113688 2 [e] Oo [e] [e] O| 126| 6538| 98813 53 o lo o o O| 56| 4417| 82384 $34| O o o (e) O| 2r1| 2807| 65808 $35 [e| Oo [e] [e] fe] 6| x667| 50288 36.|] 9.12203]... o Oo I| 9r17| 36688 15. In his ergo feriebus etiam proprietas $. 15 inuenta locum habet; ita fi füerit »— 46 erit: (Ny9 — (N-3XN- 0) -(4s-NXN-6 H4 a-NXN-7)^) p .N—6 vnde fi exempli gratia N —25 erit aant is 5) (256 — 24. (24) ^—23.(19)? -1- 18.(18) 19 at eft (24)7— 3431; (19/7— 8906; (18)?—3481 ideoque s -25.3906 : (oi SEMESTER none H0. 40644 . 19 19 vti tabula habet. Similiter fi fit .N — 29 erit (zojo 258—931 quj hinc NVMERORVM IN PARTES. 179 hinc ob (28)?— rx61; (23)? 3906 et (22) — 425 x erit (290—32598—74214-.-59094 — 17588 23 uin ou 16. Verum euolutio formulae V ($. 7) alio modo inflitui poteft, vt quilibet terminus abfolute affisnetur , neque ad hoc praecedentibus fit opus, Cum enim fit PCIe ext pate paghi yo ti esum ED —x5) LE (1 Mh Tas 1—/ nx sep ne Ao) t Jp nte. n(ne-yn-zy -2Xn-3) 4 ete, 1» 2» 3» 4 j erit V — ; atque euolutione facta ob x" nd-to L0) aq" -2 n(n-r-:(n- 2) 4n--2 [i-a — Y 5 " r "tis i. 2* 3 a fin 30-2) -4- 3) m H-6 -- Aeon Q4 d. vnde colligitur fore: (uo — x. (n2- 1)» —? (n M c | (n 2 TE gi noe n cen) (n -J-9)"» — MYIT terere m n(n-G-tYn-gea) Ye 1224 73 (n-1- ó)m—t.. "T Mure ? x (1-4 py m nsn -— ei Lee. n on(n-de) i. 2 (24 gnis iE E piger Ub n Oc enXnen (n) — mn... (n4) ()— Tees hes(niió) mo n(n-ger noo (ns X44) (n-31- 5"? — ies» * $5 | (f--11) Á vo. 11 No 1e food $« 4^ 7 EIC Z2 (mr4-12) 180 DE PARTITIONE (1-1 129 — 02510 0, «5e 0-e 2 Lp a) i RurPaevcl. unt d rna s Tu I etc. vnde in genere concluditur : (1t) — Tee sense EN tes lp -À—7) n(n—31) Hes. I-A mt) (u--) scm B cp |i EET race Tl. «oss npa) nettes) Tes enr A22), 1« 2» $ ' lee (A18) 19 PENES a. pusyp out etc. 17. Hinc folutio ad tefferas quocunque alio facierum numero praeditas accommodari poteft. Sit: enim zz numerus facierura in fingulis tefferis , quae notatae fint numeris rz, 2, 3 .....7/2 talium autem: tefferarum numerus fit —7, quibus proiectis quae- ritur, quot modis datus numerus NN cadere poffit. Seu quod eodem redit, quaeritur quot modis nu- merus N in z' partes refolui pofht, quae fingulae in hoc ordine numerorum rz, 2....5 fiat conten- tae; vbi quidem notandum eft non folum diuerfàs partitiones , fed etiam diuerfos ordines earundem partium numerari, vti in tefferis fieri folet, vbi exempli gratia iactus 3, 4 et 4, 3 pro duobus di-. verfis cafibus habentur. 18. Quodfi ergo haec fcriptio (N) denotet cafuum numerum, quibus numerus NN proiiciendis 7 tefferis, quarum fingulae habeant zs ficies numeris eX, 2; 9e...(4 notatas, produci poffit; primo no- tandum NVMERORVM IN PARTES. 181 tandum eft fore (/?—:, etfi N Zn effe (NJ?—o Deinde fi N--:ms et quoque (mz/"—r, et fi NzÉmsendt(N)"—o. Denique fiue tt N—--A fiuu N—85—, numerus. cafüuum eít idem feu GL -Aj"—(mn-—AY". | Poftrema autem formula praebet : (0-4 NOE eed ns x Tl. c MEN Tees TL—4-À—271—1) —————— ——————4 Mu. .(A—m) Ia. (A—z2m) n(n—: SET T. epe melts etc — M ——À CUADRO EL LI 19. Facillime autem hi numeri cum cx prae- cedentibus tum ex cafibus, vbi tefferarum | numerus eft vnitate minor, determinabuntur, Erit enim generaliter, fi fingularum tefferarum numerus facie- rum füerit — // , eaeque numeris 1,2....:7 fint infignitae : (N-4p- 1)" )—(Ny*9--(N)? -£(N—my9 feu (N-- x 9 2 (N)?--(NyJ^-9 —(N—m)"—. Hinc fi pro IN-1- 1. fcribatur z—- A habebitur (14-2) — (n 4- * -1)-- (n4 X -1-— (n X — m -1 fe? Denique pro eodem tefferarum numero 7 ifti numeri ita a praecedentibus pendent, vt fit At-4-N) (1-71 Ytt-A-A— x »— (mti-—» (23-9 -r (nnn 9] —»)Xm3--—1 y Ceterum notum eft. fiummam omnium horum nume- rorum efle — m". 20. Simili modo haec quaeftio refolui poteft, 1 non omnes tefierae pari hedrarum numero fuerint Z.3 prae- 182 DE PARTITIONE praeditae. ^ Ponamus tres dari tefferas , primam hexaedram numeros 1,2,53,4,5,6 Ííccundam octae- dram numeros 1 2,5...8 et tertiam dodecaedram numeros 1,29,53.....12 gerentem : quod fi iam quaeratur , quot modis datus numerus IN cadere pofüt euoluatur hoc productum (rx p uua yea e Lat y epa ph. x )— V et coefficiens poteftatis x" v. cafüum numerum. Cum iam fit N LL X5(x— x9)(1— x9*)(r— x!2) ^o— LATA MES MRMIES erit numeratorem euoluendo V — Ari x5 —— x9— xYllo x!5.1 x!7 -E x27. 4. X23 —— $29 dosage : »1. Hic numerator multiplicetur per v feu hanc fcriem e I--34-F6X -4- 30 x -- 15 x^ -2'1 x28 x -F 36 3 4- etc. cuius coeffcientes funt numeri trigonales, vnde cum numcri 7 trigonalis *(*-—1?, quiuis huius feriei terminus erit Tm 31) xt-! feu (n—)(n—:) qns 2 2 "Dzjé Iam per numeratorem multiplicando , poteftatis 4" coefficiens reperitur :- (n-:)(n-2) (n-7) (uo:). (notre ro), (nz syn) 2 2 2 2 e Qi ms) cr G0 2) | orm u—32),. (n—327)(—25) 2 quae NVMERORVM IN PARTES. 185 quae expreffio autem quouis cafu non vlterius con- tinuari debet , quam donec ad factores negatiuos perueniatur. 22. Reli&o autem denominatore (x—x) -1— 8X -F3x —2x [tries quaefita erit recurrens ex ícala rela- tionis 3,— 3,-1- 1 nata, dumrnodo terminorum numcratoris ratio habeatur. Hinc pro quouis exponente íequentes coefficientes inueniuntur Exp. |Coeff. | | Exp. | Coeff 3 I 15 T 4 3 16 | 45 5 6 |, 17 | 42 6 IO 18 58 j S AN RETE: 19.|..53 3 2I 20 2*7 9 2s 2I 2I 10 35 22 | r5 II 38 23 IO 12 4.2 24.| 6 18 45 25 | 3 I4 | 47 26 | r1 Numeri hic maiores quam 26 produci nequeunt- cum fit 26—6-1-8-1-12, et omnium cafüum fumma eft 576—6.8. 12. E 20. Cum hoc modo refolutio numerorum in partes numero et fpecie datas fine inductionis fufidio abfolui poffüt, in mentem mihi incidunt, quae- 184. DE PARTITIONE- $ quaedam Fermatii elegantia "Theoremata , quae cum nondum fint demonftrata, fortaffe haec methodus ad demonítrationes eorum perductura videtur. Cum enim Fermatius affeueraffet omnes numeros vel effe trigonales , vel duorum vel trium trigonalium aggregata; quia cyphra ctiam in ordine trigona- lium reperitur , theorema ita enunciari poteft, wt vt omnes numeri in tres trigonales refolubiles dican- tur. Quare fi numeris trigonalibus pro exponentibus fumtis formetur haec feries: I-J-X 4x -rat-pax-p[Eaj-pExux'--LeteL—. demonfirari oportet , fi huius feriei cubus euoluatur tum omnes plane poteflates ipfius x effe occurfuras, nullamque omiffüm iri quod fi demonttari poffet, haberetur demonftratio iftius Theorematis Fermatiani. 24. Simili modo fi huius feriei 16 36 I--X --r--x--x -x --x -Lretce zz$ fuüumatur poteftas quarta , oflendique. queat, in ca omnes plane poteflates ipfius x reperiri, habebitur demonftratio huius Theorematis Fermatiani , quo omnes numeri ex additione quaternorum quadratorum refültare ftatuuntur. In genere autem fi ponatur a2 m sms 6m-—s8 107-15 157Ti—-24 211-35 CG-ITX-RX xoc o "La x etc, huiusque feriei fümstur poteflas exponentis m, demonftrandum eft in ea omnes | poteflates ipfius x effe prodituras, ita vt omnis numerus fit agrega- tum NVMERORVM IN PARTES. 185 tum 7; numerorum polygonalium laterum numero exiflente — 7 vel pauciorum. 25. EX iisdem principiis alia fe offert via ad has demonftrationes inuefligandas, quae a praecedente hoc differt, quod vtiibi non folum diuerfitas partium fed etiam ordo fpectatur, hic ordinis ratio omittitur Pro refolutione ícilicet in triapgulares numeros con- fütuatur haec formula ———— DÀ E MÀ MÀ M M — M M ÀÀÓ——À — quae euoluta hanc praebeat feriem : I--Pz-- Qz -- Rz' 4-Sz/ -1- T z' -1- etc. ita vt P, Q, R, S, etc. fint funciones ipfius x tantum Manifftum autem eft fore: P-—rI-Lr-Exr xxx -x'-- etc. at Q praeterea eas poteflates ipfius x continebit , quarum exponentes fünt aggregata duorum trigona- lium. JDemonftrari ergo debet , in fünctione R omne$ plane poteftates ipfius x effe occurfuras. 26. Simili modo pro refolutione numerorum in quaterna quadrata euoluatur haec fractio Y (1—2)0—xz)1-—x*z)(i—x9z)1—x6z;(i—xx? sz)ete quae fi abeat in hanc formam .: I-- Pz--Qz' --Rz' --$2*-1- etc. Tom, XIV. Nou. Comm, Aa demon- 186 DE PARTITIONE demonftrandum eft functionem S omnes poteftates ipfius x complecti. Nam P aequatur feriei 1--x--x* -- 33 4- x" -- etc. et Q praeterea eas continet pote- flates ipfius vy, quatum exponentes fíünt aggregata duorum quidratorum , in qua ergo fede multae adhuc poteftates defunt. Ian R autem in(uper eae poteftates , quarum exponentes funt aggregata terno- rum quadratorum , aderunt; atque in S quoque eae; quarum exponentes fuut füummae guarernorum ita vt in S omnes numeri in exponentibus occurrere debeant. 27. Ex hoc principio defiairi poteft, quot folutiones problemata, quae ab arithmeticis ad regu- lam Virginum referri folent , admittat. Huiusmodi problemata huc redeunt, vt inueniri debeant numeri f$,4,*, 5,1 etc. ita vt his duabus conditionibus fatisfiat : ap-r-bqgq-r-er--dsetc. — n et e p--84--'yr--Dsetc. —v et iam. quaefto eft, quot folutiones in nwfmeris integris pofitiuis locum fint habiturae: vbi quidem tenendum eft numeros a, 5,c,d etc. n et a, 6, y, 0, etc.» effe integros , quia ni(i tales effent , facile eo reducerentur. Statim quidem apparet, fi duo tantum numeri inueniendi f et 4 proponantur, plus vua folutione non dari, quae adeo, nifi pro f et gnu- meri integri pofitiui prodeant, pro nulla haberi folet. 28. NVMERORV M. IN PARTES. 187 28. lam ad numerum omnium folutionum quouis cafü defiaiendum, ne inductioni feu tentatio- ni quicquam tribuatur, confideretur haec. expreffio M —— MÀ ——— M M— — a ——— P M MÀ — M À——— € € (1—2a*y*)(x —a5y5)( x —a*y *)( x — x35? ) etc. eaque euoluatur ; vnde prodibit huiusmodi feries I-J-Ax':y'--Bx'y'--Cxoy etc in qua fi occurrat terminus NN "y", coefficiens IN numerum íolutionum. indicabit : ac fi eueniat, wt hic termiaus non occurrat, id indicio erit nullam dari iolutionem. Totum ergo negotium in hoc verfatur , vt coefficiens huius termini x"y" inuefti- getur. 188 «235 ( o ) $t2e« DE INVENTIONE QVOTCVNQVE MEDIARVM PROPOR- TIONALIVM CITRA RADICVM EXTRACTIONEM. Auctore L EVLERO. Propofitio I. i. S. numeri a, b, e, d etc. fint continue proportio- nales, etiam differentiae b—a, c—b, d—c etc. erunt in proportione geometrica continua eiusdem exponentis; ac fi prior feries a proportione geome- trica aberret , pofterior multo magis aberrabit. Demonftratio. Prior propofitionis pars in elementis.eft demon- firata; pro altera autem parte ponamus exponen- tem rationis geometricae —r vt fecundum propor- tionem geometricam foret b—ar, c—ar', d—at? etc. Sit autem P—'ar-|-z manente c-—arr, ita vt z fit error termini 0 a proportione geometrica, erunt- DE INVENT. MEDIARVM PROPORT. 189 eruntque differentiae iiec oso MMC et Eire -(r2a-0* . cuius aberratio ab Sepoledus r wti- a(r—i)-A-z? : que maior eft, quam rationis —-—r-1-—. | Vnde etiam facile intelligitur , fi feriei a, &, e, d etc. plures termini a ratione geometrica r:f aberrent, in ferie differentiarum maiores errores ineffe debere. Corollarium. 2. Viciffm ergo quantumuis feries differen- tiarum a proportione geometrica aberrauerit , feries terminorum ipía propius ad hanc proportionem accedet. Propofitio — II. 5. Inter duos numeros datam rationem 1r:*rm tenentes medium proportionalem inuenire fine ex- tractione radicis. Solutio. Sint numeri propofii A et Ar, mediusque proportionalis prope faltem verus — B; vt hi tres numeri À, B, Ar progreffionem a geometrica pa- rum aberrantem conflituant. Statuantur autem dif- ferentiae pro lubitu: B—A-—a et Ar—B—2, hincque colligitur A(r-1)—a--b et B(r-x)-ar-4-b, àta vt fit AL cup Ber nn py-—i1 T——t Aa3 nihil :90 DE INVENTIONE MEDIARVM sihil autem impedit quominus numeri A et D. in ratione x :r—1 augeantur , vt in integris babcamus: A-za--6 et B—ar-JA-5b vnde fumtis pro lubitu binis numeris a et 5, hi tres numeri a-d- b; ar-- b; ar-r-br quorum primus eft ad tertium in ratione data r:f eo propius ad progrefhonem geometricam accedent , quo minus numerorum affumtorum q et b xatio a ritione 1: Y r aberrauerit ; feu fractio ond pro- pius ad. valorem y accedet , quam fra&io À. Quo igitur valorem medii proportionalis Y r inter. zr. et r accuratius obtineamus , flatuamus a -4- P — a^. et ar--b—b ; atque fractio DET adhuc propius va- lorem Yr exhibebit fimili ergo modo fi: porro fia- tuamus. a/--b —24" ; a A-b/ — a^^; af A "al etc. ar A-b/—b" ; a" r--b/ —b/" ^5. a/" r-A-b/" — b," "4 etc. : Ed ^ 44 H4 . E fra&iones 74 77; 57, ete, contipuo. accuratius va- lorem medii :proportionalis. Y'r- expriment: Gor odd -1. 4. Cum igitur quaeftio fit de, medio. propor- tionali inter numeros r:7 fumtis pro lubitu duoz bus numeris a et b formentur inde duae, feries / à; 4; PROPORTIONALIV M. I91 a, d, a ie a" etc. BW FA EU, WU. etc. hac legc vt fit a/— 4-1-b; a! —— Pu a" — a" A-b/^5 a" —a'" -- b/" b/—ar-4-b; b/^—a'r-- ; b/" —a" r--b/^; b/^ "—ua'"^r--b/* : "7 d et fraciones 5, E, 57, 97, 57^ etc, continuo pro- gg mp one? a" pus valorem quaefitum V r exhibcbunt. Ob5POTD* co 5. Vel fi conftituatur progreflio a ratione geo- metrica continua quantumuis aberrans , cuius termi- ni alterni fint in ratione r:fr Eb adi, DIANUE- Dia Gfisa Uii nfi eic: hinc binis terminis coniunzendis noua formetur progreffio : 4--b, b-4-4r, arA-br, br-- ar^, arA- br^, br^-- ar*, etc. haecque magis ad progreffionem geometricam accedet. IÉOTOTIT. 1. 6. Si hic denuo biai termini coniungantur , prodibit haec feries : 4(ro-1)4-25; 2ar--b(ra- x) ar(ra- 1) 725r; 227€ -r- br (r-A- 1) etc. hincque porro fimili modo i(tze a(3r-131)--br4-3); ar(ra-3)4-b(374-1); ar(3r4-1) -brí(r-- 3) etc. a(rr | 192 DE INVENTIONE MEDIARVM a(rr-A-6r--xjA-D(4r--4)5. at(412-4)4-0 rr--614-1); ar (rrA-6rA- x)9-br(4r4-4-) etc. &(5rr--xor--x)M- l(rr23-1074-5); ar(rr2- 3014-5) --é(srr--10r--1); etc. quae continuo propius ad progreflüonem geometri- cam conuergunt. Scholion. 7. Totum ergo negotium huc redit, vt bi- nac feries a, 8^, a^, at tc; bsb(; b^, 0/"^, b bte. formentur quippe quarum termini bomologi conti- nuo propius rationem 1:YVr exhibebunt. Cum au- tem finguli termini poft primos vtramque litteram & ct b inuoluant ita vt quilibet terminus vtrius- que hanc habiturus fit formam Ma-- Nb, primum obíeruo pofteriorem íeriem ex priori oriri, íi loco litterarum 42 et b fcribantur P. et ar. Quare fi prioris feriei terminus indici 7 refpondens fuerit «"—Ma--N, poflerioris feriei terminus eidem indici s» refpondens erit 0'—M b-- Nar, ita vt fractio NT eo exactius valorem Y r fit expref- fura, quo maior fuerit exponens £, atque adeo fum- to z— «e verus valor Yr prodire debeat. lta fi exempli gratia capiatur r-—2 feries illae binae ita fe habebunt : "UE RAE 2a-1- - Sih7a--12b41a-1- 29b b 2a-- L- bsa4- ab[roa4- L jbz4a-17D5584-41-41b 24-|-2 - eL|6 a-4- 4 U144 -4- xo bg 44-1- 24 [|824-1- 58b cui PROPORTIONALIVM. - 93 cui tertiam fübfcripfi primae duplam, quippe cuius ope continuatio facillime inftituitur. — Quicunque ergo numeri hic pro a at D accipiantur, feries me- dia continebit fatis prope media proportionalia in- ter primam et tertiam , vti facile perfpicitur. Si- mili modo fumto r-— 5, hae feries ita fe habebunt a| a-- b| 4a--2b|10a-1- 62|28a-1- 3x60| 76a-1-. 445 bisa-4- b| 6a-- 4P|18a-- 16248a-1-2820313224-3- 765 3| 34-- 32|12a-1- 6 £|30a-1- 185|84.a-1- 48/|228 a-1- 1325 eritque ergo ex vltimis 1777-775 —— 1315-19? eg exacius —Y 3 , quo propius ratio * eo accedat, ita fumto P—2 et a—1 fit admodum exacte Y 3-7: et nunc füumto —"7r et a-—41 exactífime erit —ins— jw -Y 3 errore ne millionefimam quidem partem vnitatis attingente, Propoíitio III. $. Inueftigare legem progreffionis binarum illarum ferierum a, 2^, a^, a^^ etc. etb, b^, D", D" etc. quarum termini homologi continuo propius ratio- nem 1: Yr exprimunt. Solutio. Quoniam nouimus omnes terminos binas lit- teras a et b ita complecti, vt in forma Ma--Né contineantur , ac fi pro priori ftatuatur in genere a0 —M a-- Nb tum pro pofteriori fore. 1 -—— M£ Tom. X1V.Nou. Conm. Bb Nar 4*4 DE INVENTIÓNE MEDIARVM --Nér, hinc lex progreffionis fuppeditat terimimos fequentes : a" 0—(M4-NrT)a--( M N)5 et Qc 0—UMENr)b HOM £-N)ra ex quo in legem progreíhonis vtriusque ferci in- quirti oportet. Quo igitur fcrutemur ,. quemadmo- dum primae feriei quilibet terminus definiatür , Confideremus hanc íeriem fub ifta forma generalioti . a-a x -- a^ x. -- a/" x. -- a" x* -4- cuius in infinitum continuatae fümma fingatur Pa-r-Qb et quoniam altera ex hac nafttur, dum loco a et b fcribitur b et ra erit bU xx ub" x Tx 4 etc. — P£--Q ra Addantur hae feries inuicem , et quia eft à-1- b —4a!; a'-- l/ — a" 1a" -4- b/^ — a" etc. erit a' 4-a/ x 4- a" x A-a" " x etc, —(P--Qr)a--(P--Q)5 multiplicemus hanc feriem per x «et a prima fübtrahamus prodibitque a—Pa--QU—-(P-- Qr)ax -(P-3- Q)bx Quoniam vero quantitates P et Q a litteris a. et b mon pendent, hinc duae refultant aequationes I--P—Pa—Qrx et ocQ-Px-Qx vnde deducimus has determinationes P-— TEE RN I— X (i—x)y—rxzx-— 1i-—zx-—(r—i)xs wee popu x UU a4 a—aXW-—(rei)kx ^ ct Quo- PROPORTIONALIV M. 195 Quocirca prior feries 4-r-a/x-4-2/7 x 4-2" x' 4- etc. pafitur ex euolutione huius fractionis 7C —77-72 , poflerior. vero b 4- £^ x -4- b^ nci b^ X bs. etc. ex euolutione huius errans ita vt vtraque fit feries recurrens fecundi ordinis , fcala relationis exi^ ftente 2, (r— 1), hincque pro ferie priori a,a/,0 Eg. et. fit primo .a/--a--b, tum vcro Eutr 1); a/" 2a A-(r- Ja^ ;a" "ad" Fa x )a Z etc. ex hac. vero nafcitur altera ponendo a-bet b—ra. Hinc adeo huius feriei terminum generalem definire licet ad quod valores quantitatum P et Q in fra&tio- nes fimplices refolui oportet. Cum igitur denomi- natoris communis factor fit 1- x- x Y r- 1 x(1 4-Y r), pro quantitate. P. flatuatur fractio fimplex inde nata LEUTE e , ac demonftraui fore 9( — ERSEEL pofito r—x—xYr, vnde fit 9(—:, pro altero autem factore tantum Y r negatiue A opus eft, ita vt fit — Y 1 » 1 ——— af 71d 1—x(-Lyr) 2* a—x(1—Vwyr) Simili modo proQ fi fractio partialis ex denomina- toris factore E ree) nata ponatur — 7 — m zm 3( — —— —ZLE cer pofito .1—x-xYr indeque 3 — - uut binos valores tribuendo fit Ern PUsTyuU nnC ERIS ficque fumrna ees fetiei a4-a^x4-a" X a" x tete. erit EM ayv*--b ayr—b LH "yt ica py 2yTr' 1—x(1-yr) ba - cum 96 DE INVENTIONE MEDIARVM cum nunc ex vtraque parte progreífio nafcatur geometrica prodit noftrae feriei terminus generalis rey r)atENTIÁ(i-Yrntx ia vt fit indefinite. anzctyr (r4 Yry4-*9—(s—Yry et pro altera ferie UO — PETI YryaiI(i—-Yry Coroll. 9. Ex hoc termino generali buy Eins conuincimur, fore fumto exponente z infinito P rt cum enim tum poteftas (1-Y'r)' prae priori (z--Y rr) euanefcat , erit vtique pn —bXr-2- ar. —Y fr. qe RW ripu lm e Vnde fimul patet quo maior capiatur exponens 5, €0 propius ad veritatem accedi. Scholion. ro. Eadem quidem veritas etiam hac ratione oftendi poteft, Pofito generatim 2/?— M a4-N 2, erit Q?0—Mb-4-Nar , et termini fequentes : g-—(M-ENr)acT (Ma N)P et 5^7? —(M4-N r)6 T(M-4-N)ar Iam , PROPORTIONALIVM. 197 Jam cafü s—ce , nullum dubium füpereff? poteft , (n1) . pm quia fit EU ud vnde neceffe e(t fit : C Eae Nr)b-- UC 2-NDar Lo Mb a- Nor (MA-Nr)a —-(M--N)5 — "Ma--NÓ Statuatur hic valor — v , et quia tum fit M bv--arga4.M arU-Lbm—br—ar N^ b-—a«v eti — b-tar—iv—buv feu "M ya a(m'—r)-—(a--b)(vv—r) N —— 05, — d 9427 5-490 -(Qa-D)v vnde manifelo fequitur vv —7r--o et €-—Y r. Simul vero etiam quantitatum M et N haec relatio perfpicitur , quod fumto n—cew fiat gy — v—Y r. Propofitio IV. II. Inter duos numeros datam rationem r:r tenentes duos medios proportionales in rationalibus proxime exhibere. , Solutio. Sumantur bini numeri quicunque a et ar in ratione data inter eosque capiantur duo medii. qui- cunque b et c atque quantumuis relatio 2: 5:c: afr a ratione geometrica di(ícrepet , inde alias propius €o accedentes hoc modo eliciemus. Quaerantur alii fimiles quaterni numeri A: B: C: Ar quorum illi fint differentiae , ita vt fit DB—A--a;C—D-—b et Ar—C-ce, hixcque B—A-r-2; C— A-r-42-£; et dica. [c A ees Bosse Q— err Db 3 qui 198 DE INVENTIONE MEDIARVM qui per r—1 multiplicati praebebunt hos quaternos numeros a/—4-b-4r-c 5 b/ ZzbA-e-kar e ze arp br ;a/ rar brA-er qui iam multo propius ad proportionem geometri- cam continuam accedent. Simili ergo modo binc ali noui a'^, D^, c", a"^"r deriuabuntur fumendo: a Zz a A- b A e 5 b — b^ e^ afr; e" e --a^r A- [^r hincque denuo alii , qui continuo propius propofito fatishcient. Totum ergo negotium reducitur ad formationem trium progreffionum : I. 4, a, a^^, a^", (10A MP QU? IE SE MLOUA P 4^ e. LP EPIDENEL LUE 7A ro (m quarum lex eft fatis fimplex quae quo vlterius continuentur , eo propius quaterni numeri qp oO ; y Qu proportionem | geometricam continuam exhibebunt , etiam(ü initio affümti a,2,c, ra plurimum . aberra- verint, - COTLOXB t. 12. De his tribus ícriebus primum obíeruo fingulos earum terminos buiusmodi formam La4;M$ -ENe effe habituros , ita. vt. quantitates L, M,N . litteras pro arbitrio affümtas 2, 2, c non inuoluant, fed. a fola ratione propofita 1:r pendeant. Coroll. PROPORTIONALIV M. 199 (D39 r«so d; 110. 13. Deinde fi primae feriei terminus quicun- que füerit a4" —La--FMb-INce, euidens eft pro ferie fecunda fore 0?--L5--Me--Nra, et pro íerie tertia. c«"?—Lc--Mra-pNrb, Wude fufficit harum trium ferierum primae indolem explorauiffe, Scholion. r4. Harum obferuationum ope inuentio «dua- rum mediarum proportiondium , quae quidem in rationalibus proxime fatisfaciat , expedite inftituitur. Sint enim exempli cauía inter duos numeros ratio- nem duplam teneates duo medii proportionales inuefligandi, €t operatio numerica fümendis. pro litteris 2, b, c numeris z, z, x ob r—a ita fe habebit 681 4. 119 Ur:2]' 46 [ E77 2620| r1c080 b..1:|4|1:5| 58.225| 858|5350: 12700. £..1|5| I9 73,281|108r1|4r159| 16o0r 20..2416|24| 92|354 1362 5240| 20160 2b... 3 801 1164 446| 1716416602! 25400 Hic quatuor poftremi numeri 10080 : 1270^2 : 1600I : 20160 tam parum 4 proportione geometrica recedunt, Vt fi inter extremos per extractionem radicis cubicae :duo medii proportionales quaerantur , ii ne parte quidem 200 DE INVENTIONE MEDIARVM quidem decies millefima a veritate aberrent ; eft enim : 3 3 12700 ... j]/ 2048:83000 T— V (2 2024 ) ——— —— ——— —— — 10080 ^7 . 1024192512 ^ 1024192512 2024 -i ideoque — Y 2— , vnde cum fiat 12700 3. 1024192512 V * 3 — 10080 Y 2—.7- error infra particulam decies milleimam — vnitatis fubfiflit , ipfa autem fractio 579 tantum particula ——'—.— — —'.. hoc eft mi- 10080 100s60. 23906 24097248 nore quam vicies millionefima vnitatis a vero va- 3 lore Y 2 deficit , tantam autem praecifionem ope logarithmorum attingere non licet. "Vnde intelligi- tur, quantum vfum haec methodus praeftare queat in radicibus cuiusuis dignitatis proxime exprimendis. Propofitio V. 15. Inucftigare legem harum trium progres- fionum : &y 4/5 a^. etci sob b b 6, etc: ioc F5 ef". ete quarum termini homologi a"?: p^; continuo 3 kl propius proportionem 1 : Yr: Y r* exprimunt. Solutio. Cum omnes termini ex ternis primo affumtis a,b ct c ita componantur, vt fit à? —La--Mb4- Ne, erit PROPORTIONALIVM. 26x erit ex earum. indole /?—L b-41- Mc-t- Nra et c" —Le-M-Mra-- Nrb at pe progrefhonis prae. bet fequentes terminos: MS — — La Mr Nro La M-e Nn PE-c (L4 M4- Nye 2 e-)—(LMrENr)P a (La M-EN?) er (L4-M4-N)ra EE oo o E IRL LMERUN. Hinc fi generalius flatuamus : ' a-- 4 x -- a! x* -- a/ "x? «etes zz Da4-QD-L- Re erit | b A- b/ x -- b^ x* A7- D" x? -Eetc. — Pb - Qe Rr €A- c x A- c" x? 4-7 c" "5 -- etc, zz Pe-EQra--R rb. Addantur hae feries inuicem , et quia eft a-1-b--c—a/, a'--b/--e—a", a" p b/ 4 - e" —a""^ erit 4 -3- a^ x4-a/ "^ X" -4- tc wies RE --Rr)e--(P4-Q--R r)b -j- (P 43- Q4- R)e quae per x multiplicata et a prima fubtra&ta dat ec fa-vi Ar ERE —(P--Qr-2- R 7r)a x —(P--Q-2- Rr) x —(P-4- Q4-7)cx. Quia autem quantitates P, Q, R litteras 2, 5, c non inuoluunt, hinc nafcuntur tres aequationes ; I. 1icP—Px—Qra-Rrx 1—P-Q-Q (r-1)x lI. ozQ—Px-Q x - Rrx hincque oZQ-R-R(r-1)x IIE ozZR-Px—-Qx -Rx o IzP-R-(QAMR)Yr-1i)x. Pro faciliori refolutione fiatuamus 1-—x-1-rx—& et fequens combinatio praebebit 1 T Tom. XIV. Nou. Comm. Cc I-II 202 DE INVENTIONE MEDIARVM l-—IL aizcP-Qz hiaoc QR i II-III o—Q-Rz Pclri-4-Rzz vnde fit TT. o:R(ür-x)-Px-Qx—R(r-x-x2-x22)-x I 1 mrs x AREE 2 ideoque Rh £2 SAU Ee) atat auc qi Sese I — € —tI Y Ergo gs c tERNEIE Z——. ficque prodit T-—225. gin n de te e BITE , Q-— r—Z n v E aus quarum formarum cum denominator fit rf—1—8(r—1)x— 3(r—axy x' —(r—1y'a? feu (r—1)(1--3x—3(r—1)a^—(rm--xy a") perfpicuum eft noflras. tres progrefüones effe recur- rentes fcala relationis exiftente 3, 3(r— 1), (r— 1), ita vt fit QU? -— 5 QUEE 5 (r— 1)27—2.1-(,— I Jat Nunc pro terminis generalibus: harum — progreffio- num fraciones P, Q, R in fimplices refolui opor- tet: quoniam autem denominatoris factor fimplex 3 eft Y r—z fimul vicem binorum reliquorum gerens, ; E fiquidem Y r tres inuoluit valores diuerfos, fufficit hunc vnicum factorem confideraffe. ^ Sit ergo ex fracione R fractio fimplex oriunda — —'— , et nu- yr—Z mnéra- LI PROPORTIONALIV M. ' $98 meràtor erit À — Em pofito 2—Yr, vi- Y6tu- adiri 3 de fit A — **—7 , idepque syTT u yrt I ELA M yr-r po——.T—SYT ete. Q— —— etc. RI-—. etc. 3y rp vr—z NS Yr—zZz: lj yr Yyr-z Refituatur pro z valor 1 4-(r—1)x, fitque. 7—: —5, y rT-—i ac fiet 12 a. I SPAN. - ien. iLl;£etc. Q- S MM us Vr gi Hinc cum fit a-1-a/-1-a^ x* -4- etc. -Pa--QP Rc fequitur fore aie "(ad — rigrh) "lieta! antt: d Yr yrr vbi duo membra omiffa. ex primo ita formantur. vt loco Yr fcribatur —BRy y-iyy. id quod etiam dé $ C. eft intelligendum. Deinde vero pro bi- Yr—1i nis reliquis. feriebus' habebitur : po: y "(a r-Ai- b4- -- ny mene sh Yr (—: P(aY Pa bY rae)a [$n ul. CoTOl rr 16. Si n fit numerus pracgrandis, bina mem- bra omiífa prae primis hic appofitis euanefcunt ; ex Cc 2 quo .s04 - DE INVENTIONE poe quo perípicuum eft tum fore a? ; fig? xi Yr: Yr in quo ipío tota vis methodi hic tradi- tae confiftit, jus iuo doe all. -5 17. Natura harum ferierum récurrentium ter- tii ordinis ideo imprimis. notari meretur ; quod fra- €tiones: principales P, Q, R tam concinne in fra- &iones fimplices sefolucie licuit , atque ex terminis generalibus inde deriuatis natura. harum | ferierum facile. perfpicitur. Scholion. aie, 15. Hinc ratio iftam methodum ad plures medias proportionales exténdendi ita iam eft mani- feftà', vt fuperfluum foret omnia rátiocinia, quibus operationes vfurpatae, innituntur, repetere, . Quam. ob rem inuentionem plurium mediarum. proportio- nilium inter duos numeros datam rationem r:f tenentes , nunc quidem fatis fuccincte exponere at- que ied binas propofitiones cuique cafui tribuendas commode in vnam contrahere poterimus. Propofitio VI. $9. inter duos numeros rationem datam r:7- tenentes, tres medias continue proportionales in ra- tionalibüus proxime exhibere. Solutio. PROPORTIONALIV M. 205 Solutio. Sumtis in ratione data duobus numeris a et v à inter €os pro- lubitu tres medii conftituantur b, c, d, vt habeantur hi qifieque numeri quantum- vis a fcopo aberrantes : EP Er uii il A Hinc formentur alii hac lege. vt fit a/— a-- b-i- c4-d b,—b--c-A- d-r-ra c-—c-- d-Lra-4-rb d'—d--ra--rb-r-rec qui conftituent progreffionem iam- multo propius ad ícopum attingentem hanc: QUOD HM oh oue eur r €x quibus porro eidem lege alii noui quaerantur , indeque denuo alii, quo pacto continuo propius ad proportionem geometricam continuam accedetur, ita vt aberratio tandem omni affignabili minor cuadat. Singulae porro harum ferierum à, d, a^, T n at^ etc. o, iti b, yr, b^ etc. 6, s pe. o AE. c" l l etc. d,U, d HEMAHUF etc. fant recurrentes quarti ordinis fecundum fcalam re- lationiss — 4,6(r—1), 4(r—1y, (r—2)- Cc 3 Deni- 206 DE INVENTIONE MEDIARVM Denique harum ferierum termini generales, pofito breuitatis gratia o MppyYrgyrn -FEYs&-; 4r —: erunt k4 2 gà — tx ria 4-byr r'-pcyr-Ed m -|-etc. 4 y v3 - 4 4 4 Ui eek Sada cia dosi olus, seguiti 4 Ayr? 3 2 zU — ayr3-- by r direred ga -1- etc. T $4: * 4 à T sje du duum SLE LEs HCCMY dap etc quarum exprefhonum prima.tantum membra appo- fui, dum ex his reliqua facile formantur, loco , . * LS Y. r. eius. ternos. reliquos valores fubftituendo. Ceterum fi. flatuatur & - a/ X -1- a", X* "p a" x 4-2" "xt --ete. — Pa-- Q5 j -d-Re-- 54 ac breuitatis gratia fiat pic e reperitur vt- ante : pte. Q- z3-—3?. R— 2 D—-. S —£r-—t! T- a) PIE Errem T—* vnde fimul reliquarum fimilium ferierum a litteris b, c, d incipientium fümmae exhibentur. Exem- PROPORTIONALIV M. 209 Exemplum. 20.. Inter duos numeros rationem duplam tenentes , tres medii proportionales fequenti modo rcperiuntur : a...x4lz2|tx6 6r3|3240|t7124| 90504. b. . 1/5/26 158 7295853|20364/107628 SE S. .LCEIOTST 164 867|4582|24217|1127992 d...1737 195 1031/544928799|152209 2d . -«2Baalaaopa .615480/34248/181008 vbi vltimi numeri tam prope progrefhonem geome- t tricam in ratione r : Y 2 procedentem 'conftituunt , quam fieri poteft, numeris non maioribus adhiben- 4 dis. lta fatis exacte erit 77 — Y 2 fcu per re LÀ rcducendo 722; — Y 2 cuius error longe infra partem millioneüimam vnitatis fubfiftit. "Scholion r. 21. In Muficis fimilis quaeftio de vndecim mediis proportiohalibus inter rationem duplam in- veniendis tractari ífolet, vt hinc omnia femitonia vnius O(fause inter fe aequalia reddantur; quod temperamentum etfi principiis harmoniae aduerfatur, tamen non abs re fore arbitror eius folutionem ex lisdem principiis petitam hic apponere: A 4x »0$ DE INVENTIONE MEDIARVM 12/210]35532 15/222|574.2 14.235|3964 I5/249|4199 1626414448 17,:280|4712 15027,4993 [9,3155289 . 1203345604 . 121354159538 59379| 998592 62911/105797I 666531120882 406171187535| 748161258152 792641332968 8397611412232 889681496208 9425711585176 998611679433 .122]5756292|105799|1 779294 1133976667|1 1209111885093 .. 224420 1064]118758|1997184 vltima columna tam parum a progreffione geome- trica recedit , vt error ne ad millionefimam partem aflurgere fit cenfendus. CQozxzce» [m e$ . » . . * [^ M E E NE EE E idee S c Scholion. 22. Quae hactenus fünt tradita facile ad quot- cunque medios proportionales inueniendos in geuere accommodari poffunt , in quo negotio hoc impri- mis notari meretur , quod feries numerorum , qui- bus folutio continetur non folum fint recurrentes , fed. etiam denominator fra&dionum , ex quibus na- Ófcuntur femper in factores refolui queat, ad quem- cunque ctiam gradum afcendat: vnde egregia exem- pla aequationum altioris gradus folutionem admit- tentium colliguntur, quibus coniectura mea circa formam PROPORTIONALIVM.. ^ :209 formam radicüm cuiusoue gradus olim prolata- pul- cherrime confirmatur. | Verum - methodus hic expo- fita multo latius extendi poteft, quemadrnodum in fequente propofitione fum. oftenfurus; ita vt inde adhuc maiora fubfidia in Analyfin redundatura vi- deantur, — . Propofitio VII 25. Methodum multo latius patentem exhi- bere, cuius ope inter düos numeros datam rationem r: f tenentes quotcunque medii proportionales in, rationalibus proxime inueniri queant. Solutio. Inter duos numeros-2 et ar datam rationem - tenentes. vt ante totidem medii pro lubitu accipian- tur, quot. medios proportionales afignari oportet. Ponamus autem quatuor medios inueniri. debere ,.: quoniam hinc vis methodi clarius perípicietur, quam fi rem generaliter tra&are. velimus. - Conflituta ergo. pro hoc cafu ad lubitum tali progreffione a:bieid:esaribr:er:drserysar etc. fumantur pro arbitrio quinque indices | &, 6, »y, ,c per quos inde noua fimilis progrefüio formetur ; d: b acts Is bri cT: dag: T1 0 f. 6l hac leze vt fit Tom. XIV, Nou. Comm. Dd atc sr. DE INVENTIONE MEDIARVM a/—2a-- &b --y e 4-9 d --te b—ab-- $c -A-y do-9 e -4-car c/—ac-- 8d --ye-r-9aer--cbr d'—ad--S$e-r-yaer--Sbr--ccer e"—ae--Gar--— ybr-A-3cr-- dr Tum vero per eosdem indices ex hac progre(hore denuo alia formetur noua, atque ita porro, vt hac ratione fequentes feries obtineanfur asea! x4-a! ^x "à" x 4-etce, Pa QU--Re-|-Sd--Te pb x x b" "x" ete. ZPbz-Qc 4 R4-- Se 4- Tar € 6 xke" X e" X 4- etc. ZPe4- Qd --Re-4-Sar --Tbr d--d'/x--d'^ x --d/ x 4& etc. —Bd4-Qe--RarA-Sbr-A- Ter exe x40. x 4- € ^ x 4- etc.—Pe-t-QarA-Rbr-r-Serzir- Tdr vnde ex lege praeferipta valores litterárum! P,Q4 Ry S, T' quae a litteris. atbitrariis 2,5,c, d, e. funt immunes , et tantum- ab indicibus a, 6, y, 0, & vna: cum: quantitate: x: et ratione propofita 1$ 4 pendent ,. ita. determipantur. vt. fit : P—'aP--8Tr-LySra-ORr4-: Qr. —aQ-J-5P -- YT r4-95 r--:Rr —a«R-r-9Q ty E -A-OTrA-6Sr T ACER -FYQ. -k P -r-eTr. —aT--6$ J-YR 4-2Q --6P E p slo d ex - PROPOR TIONALIVM. Bii ex quibus aequalitatibus quidem valores harum lit- terarum admodum . perplexi. eliciuntur, ita vt deno- minator communis huiusmodi formami fit habiturus ; I—-Ax—Bx' —Cx'—Dax-Ex indicium praebeus feries illas effe recurrentes ex eadem fcala relationis oriundas. — Verum quod hic potiffimum eft notandum , hunc denominatorem femper in factores fimplices refoluere licet, qui. inter 35 fe ita erunt fimiles , vt ex quinis ipfius Y r. valo ribus fimili modo formentur. $cilicet fi breuitatis gratia ponatur CELA s s 5 a-- SYr4-y Yr --3Yr --cYr's vbi etiam 5 quinos valores diueríos fortitur: erit x— 5X facor fimplex illius denominatoris, fimul omnes quinque in íe inuoluens. Hinc ergo fingulas fractiones, quibus litterae illae PQ.R,S, T exprimun- tur in quinqué íractiónes fimplices refoluere licebit quae ita concinne Suppe ÉCRITE de cogn zal e Pr SL. Q-—: | si €— R-— --L.. : Ol. Sire vu sr —sxyy r2 Me. 5 beds peer. s us cbe T1— dL. WENN 1 Dd 2s Xbi 2:12. DE INVENTIONE MEDIARVM vbi quaterna membra. punctis. indicata. ex primis, ipfi Yr quatuor reliquos valores tribuendo , funt fupplenda. . Hinc iam quinque ferierum 3 numeris arbitra- ris a,b,c,d,e incipientium termini gencrales for- - mari poffunt, qui etiam ponendo breuitatis gratia aY r! A-bY r -3-eY r 2- dY r-4-e —k ( vbi quoque quantitas 'k quinque valores inuoluere eft exiftimanda ) - fequenti ^ modo C expri- muntur : big qu Eye, LM syr*t | gn eique. is dieses yhp. oap gpes- pr Cup syrt ems EI Y. T e»— Porae.ldee.dedte vbi quaterna membra omiffa fimili modo vt füpra ex primis conflitui oportet. Ta aga uS do T rt E 5A Hinc iam id in quo cardo rei ver(atur , intel- ligitur fcilicet fi feries illae in infinitum Pape 50 tur, vt exponens 4 in infinitum p: oai , tum "n eius membri , in | quo ipfi Yr valor realis pofi- ^PROPORTIONALIVM. . e:5 pofitiuus tribuitur, reliqua euauefcere , ficque. ma- -nifetlo numeros q?: 0/0); (0; 409; f" : ,« progreffio- nem geometricam confütuere.. Verum hic probe cft notandum, illam euanefcentiam locum non habere nifi; indices à, 6, /, 9€ fint, pofitiui , quemadmo- dum hinc etiam cafus füpra tractus . refültat ,. fi hi indices vnitati aequales. ftatuantur. Uc e Scholion. j 24. Circa hanc folutionem gencralem obfer- vari conuenit, quod fi valores litterarum P, Q,R, S.T ex formulis inuentis euoluantur, earumque denominator communis ad nihilum redigatur, vt pofito x— huiusmodi prodeat aequatio quinti gradus.: z—AÀs'—Bzs5—-Cz-—Dz-E-—oO tum huius aequationis radicem fore rmm $ CLA 5 5 zzza--6Yr--yYr-4-9Yr--cYr in qua forma fimul omnes quinque radices contine- $5 antur fi modo .pro Y r eius quinque valores fuccefiiue fubftituantur. Cum igitur hae radices eam ipíam habeant formam, quam olim coniectura eram affecu- tus, hinc multo confidentius affirmare poterimus, omnium aequationum cuiuscunque gradus radices eo modo exprimi, quem coniectura mea indicat. Quodfi cie Dd 3 indices V MS i «14. DE INVENT. MEDIAR. PROPORT. indices a, 6, y, 6, e vwnitati 2equentur aequatio quinti gradus fit ex fuperioribus : 25—5z'—1o(r—1)g —1o(r—1yz'—5(r—1)z -(r—1)'—o s E] $5 5 : cuius radix erit zzz i-p-Yr-r-Yyr-r-YD-vr. Seu pofito z--y-|-1 erit huius aequationis J/—10ty-r- 1or(r4- 15 r(rrb-rr-1)yr(n rp) radix y— Y r-4- Y r --Y f --Y v. eBs(o)$6 215 DE INTEGRATIONE AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS: " (0) a" d'y-b: a" 7 d 7 ydy--c. a d" yd? 4... y ryd" —Xdx'- Auctore AND. IOH. LEXELL. I. ''!x oceafione aequationis differentialis a*d*y -yda*—o, »JE-4 cuius integrali inueniendo nuper. eram inten- tüs, incidi in methodum eam integrandi, haud inelegantem , quippe quae non folum eo nomine fe commendabat, quod pro. fpeciali ifto exemplo videbatur effe facillima; fed etiam quia optimo cum fücceffü applicari poffet, ad perficiendam integra- tionem aequationis differentialis füpra propofitae , - quae formae. eft generalis et innumerás fub fe complectitur; einceps vero cum perfpicerem , a fummis. Mathematicis, inprimis ab llluftr. Ewero in Tom. VII. Mifcelan. Berolin. et. Tom. III. Nov. Comment. Acad. Imper. Petropol aütea ^ iam traditas fuiffe, hanc aequationem integrandi Metho- dos , merito' dubius haefi, vtrum quae ad hanc materiem illuftrandam. meditatus erimi, publicae lu- Ci committerem , an non fatius forct ,. eadem peni- tus ^10 DE INTEGRATIONE tus füpprimcre ? Verum enim vero, quum Metho- cus a me adhibita, baud parum differat; ;ab .iHisg quae in hoc negotio huc. vsque allatae fünt, net fuis plane deftituatur commodis, e re effe duxi, eandem. Iudicio Illuflriffimae Academiae Scient. Im- perialis fubmittere., 2. In aequatione diffrentiali propofita , quam maioris facilitatis gratia , poft hac per (1) defignabo, fünt x et y quantitates variabiles earume- que fluxiones dx,dy quarum dx affumitur conftans, a Vero b, c, * denotant conftantes et cognitas quan- titates, 7 numerum integrum quemcunque et X functionem quamlibet ipfius x. ^ Huius aequationis integrale , vt iam inueftigari poffit, ponatur idem fequentis effe formae : a^ q—7y-A-a.0"— d"—ydxA- g. dM iios ane JeAayda— —adytor. cuius aequationis indoles facile patebit , modo valo- res conftantium fed incognitarum quantitatum aq, Q...X atque variabilis quantitatis z erunt determi- nati. Quo autem facilius, ipfius z genuinus dete- gatur valor, primum confiderandum venit ,. vtrum haec quantitas, vnice fit functio ipfius x, an vero fimul contineat y, aut quandam. eius fluxionem vt d?y ? Ponamus ideoque z continere y fitque 2z z-Q4y--ds, vbi Qdy defignat differentiale ipfius $, quod prouenit, dum fola y vt variabilis tracta- tur, AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS. r7 tur, ds autem fluxionem eius, quae oritur , dum y pro conftanti habetur. Quoniam autem differentian- do aequationem (II), prodire debeat aequatio (I); hinc omnino neceffüm eft, vt Q fit quantitas con- flans, nam aliter fieri nequit, vt in aequatione (I) inueniatur terminus, qui refpondeat huic Qd4y4a". Sin vero Q füerit quantitas conftans , erit inftituta integratione et pofito f conftante , z—Q y-1- s--f, €x qua aequatione patet , quod * non contineat y, nam íi fecus effet , etiam 45 contineret dy, vnde et colligitur, füb hac füppofitione, differentiale ae- quationis (II) non fuppeditare terminum refponden- tem ipfi rydx" in aequatione (I) , adeoque liquet z non effe functionem ipfius y. Quum autem eadem plane ratione demonftrari poíhit, quod z non con- tineat 7^y, in procliui eft, vt concludamus eam quantitatem vnice effe functionem ipfius x. 3. Ponatur iam z-—u(f/*3*0-v), wbi « et v denotant quantitates, quae vnicam variabilem x continent. | Quod vero z eiusmodi formam habere debeat, id exinde liquet, quia differentiale aequa- tionis (IT) omuivo conuenire debet cum aequatione differentiali propofita (I), quae continet terminum Xdx", Valorem itaque allatum pro z fubfítituendo et ditferentiando aequationem (11), fequens emergit aequatio differentialis : a" d"y-1-a. a" d" ydx-A-. a" d"-tydx?A- .. ..-Nadydx? —dudga"—( fX v) NET Uer CAO Tom. XIV. Nou. Comm. Ee quae 218 DE INTEGRATIONE quae iteram in hane transformari poteft: a" d'y-1-a. a" d"7'ydx4- Q. a^ 7d" 7" ydx*4-....-1Aadydx"^ —£* (a d" — y -1- a. a^ — d y 47 B- q^ q'7 y 4-.... Aayda" 7) ir) Xda-r-ude.dx"--*. Si iam fingulos huius aequationis terminos , confe- ramus cum terminis homogeneis aequationis (I), facile deprehendetur effe Zv--0 adeoque fore v quantitatem conftantem, — A, deinceps per(picere quoque licet , quod fit adx—22* — bdx vcl pofi- to m-a-—b,72£—47*, vnde infüituta integratio- Th X ne eruitur 4 — N^. , pofito nimirum , quod N fit numerus, cuius logarithmus hyperbolicus — ex m m ni x 27x quo demum fequitur effe z —N « (£N * "Xdx-A). Hoc autem inuento , non amplius reftat ,, quam. vt inueniatur valor iplius z7z7—a — 5, quocirca dum ae- quationem (III) iterum comparamus cum aequatio- ne (I), obferuamus effe « —-- 5, 8—«e-4-a(a-L) Lm --mb--c atque A—:m"—'-pb.m 40. m" -....-EU-4-4,et quoniam denique r-1-2 (a - 5) Lü24A—oO, ert: m" -- b. m" A- cw t n uus. NES. ex qua aequatione valores omnes et finguli ipfi fW refpondentes determinantur, ex quibus deinceps ipío- rum a, Q... aeftimationes facile elici poffunt. 4. Acquatio in $6 antecedenti tradita. (IV), cuius ope 77 iuuenitur, perfpicue indicat , quod nu- merus AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS. 2:9 merus valorum ipfius z; per numerum 7/7 exprima- tur. In eo igitur cafu, quo omnes hi valores in- ter fe funt inaequales , reduci poteft aequatio diffe- rentialis propofita, dum fecundum methodum alla- tam integratur, ad tot diuerías aequationes differen- tiales gradus — x , quot numerus 7 continet vni- tates, quam ob rem etiam in ifto cafü , per debi- tam harum aequationum comparationem valor ipfius y, facillime inuenitur. —Vt vero eo euidentius per- fpicere liceat , quomodo haec comparatio fit infti- tuenda et qualem y;hinc nancifcatur formam , po- namus aequationem differentialem propofitam effe quarti gradus, quae enim füb ifta conditione valent, illa rite adplicari poffunt ad aequationes differentia- les altiorum graduum. — Quum itaque z fuppona- tur, quatuor "valoribus inter íe diuerfis gaudere , fint iidem , e f, g, z ponatur ;prieterea maioris Eocumodis iua N*A--(N E 3:75 eii Ns *(Ba-e/NT a dopo ;R, Ns "(C--/ N^ 1 Xdx-S et N* HD-ARf/N s « .Xdx)— T, inuenientur hinc iuxta praecepta $. 5. fequentes quatuor aequationes differentiales tertii gradus : a*d:y—( f-g3-i)a ddyda A-C fa4-f7-41-1 a^ dydx^ —fgiayda*— Q. dx* a*d:y— (e-1-g--i)a' ddydx-A-(eg-A-ei^-g1) a^ dydx* —egiaydx" — R. da* a*d*y—(e-A-f-1-1)a' ddydx -A- (e fA-ei-1-f 1) a^ dydx*—ef iaydX — S. dx? a'd;y— (e-A-fA-g)a ddydx--(e fA-eg-fe) a dydx*—efgay dx —T dx. Ee2 Si 220 DE INTEGRATIONE Si iam ex prima harum , fucceffiue fübtrahantur fe- cunda , tertia et quarta , emergent fequentes aequa- tiones fecundi gradus: addy — (g 4- i)a* dydx A-giaydx? zc &i3. Ae T7 f je à ddy —(f-i- i)e dydx --fiayd? zc £955 -- I a ddy —(f3-8)e dy dx -- fgayd e — 9555 -- $52 et dum eadem operatio cum his inf'ituitur, repe- rietur : à dy —iay dx — MEL LANE -- uA MENT sdx — f)(e— g) —e6)(f— g) £— e(£—f) 2 d pud NDERIT ddy—gaydx—c—PAecna t qg-agos * uceéU-m ex quarum comparatione denique inuenitur : EET T ius — (gz—e)(g —J)(g — ?) T "t G-S-x—d qii cime wy ev is s. Huic autem rationi inueniendi y, aliam quoque addam quae non minus fua elegantia fefe commendat. Etenim dum attente. confideramus methodum in 6. 4 traditam, inuenimus quod eadem ad huiusmodi perducat aequationem: ay— A^Q--D/R -- C/S-r-D'T in qua A' D/ C/ D/ quantitates con- ftantes defigaant, adeoque fimul patet, quod cognitis his coefficientibus , ipfüm y» eodem negotio inuenia- tur. $Si igitur y fuccefiue differentietur , emergent inde fequentes aequationes differentiales : rydx "^ J— AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS. 22: rydx*zzcE C A'QO-t-- B/R4-/C'S4- DT) qadydx? —""*'(e A^Q--f B/R-rg C'S-Hi DT) ca^ ddyd?——*" (e? A^/Q--fP"B/RAg^C'S--P D/T) ba*d'ydx —2* (e A^QA-f*B/R--g'C/S-H^ D/T) a d'y —ÉP(C*A'QfPB/RAag'C'S-- D'T)-Xdx*(e A^ BfÁB^g C PRI) Quamuis enim differentiando ay inueniatur a^ dy —dx(eA'Q--fB/R-A-g C'S-2-iD'T)H-aXdx(A' 4- B^ --C'-4- D') facile tamen colligi poteft, quod Xx non ingrediatur dy, fic enim valorem ipfius 4^ dy ingrediretur ZX 4x , quod. quum non contingat fla- tuendum eft, quod fit A^/-- B'-4- C'-- D'-o. Similem ob rationem Xx, neque ingredietur valorem ipfius d'y, nec ipfius d'y , in. differentiali vero d*y ueceffum eft vt X4x reperiatur, alioquin enim non fieret a*d*y--badydx-r-ecadddydx* --q4dydx'--rydx* c Xdx*. Seor(im itaque con- fiderando terminos, quos fub determinatione differen- tialum 4Zy,d:y,d'y inuenimus — o et terminum , qui determinando 4'y prouenit — r , fequentes habebimus aequationes , inueniendis A^, B/, C^; D' in- feruientes nimirum : Ac MBA C'-L- Dto e A^4-f B/--g C'24-i D'—o €A'--f'D'--gC--r£D -o €A'/-- fF P/-4r-gC--bD'—r. Ee 3 Dum 4 222 DE INTEGRATIONE , Dum vero has aequationes fic tractamus , vt fingu- las tres priores per e multiplicatas a proxime in- fequentibus fübtrahamus , detegimus : (f—-e)B/-- (g—e)C^4- (i—e)D'—o f (f-«)P/-r-g (g—e)C€ 2-i (i-e)D'—o fF (f—e)B'--g(g—e)C'--r(i—e)D'— x atque poft fimilem cum his inflitutam operationem (g-fY(g-e)C'a- G—f)G-e)Drzo 2(8—f (g—e)C ac i(i- f Xi e)D'a, vnde denique oritur D'/(—g)(i—f)(i—e)-t vel D/———-—— — —,, et hinc reliquorum coeffi- ppt; So asc Durc-ep- : cieptium A^, B^, C^ ratio facile liquet. 6. Ex iis, quae in $. 4 monuimus, con- flat methodum ibidem traditam, eruendi incognitam A, non in alis cafibus adhiberi poffe , quam cum omnes valores ipfius :7 inter íe funt inaequales. Nam fi bini eorundem , nimirum g, i in $. 4 ponantur effe aequales, vnde ct functiones S, T £oincidere oportet ; per integrationem — aequationis differentialis quarti gradus , non prouenient plures, quam tres aequationes differentiales tertii gradus, - per quarum debitam tra&ationem peruenire quidem licet ad aequationem differentialem primi gradus, non autem ad aequationem finitam determinando inferuientem. Haec: quidem aequatio primi gradus , quia formae eft Bernoulanae facile integratur , vnde ct AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS 225 et y haud diffüculter inuenitur , fequenti tamen ratione idem multo facilius perfici poteft. Dum ad acoguationes in $. 4 adductus regredimur, inuenimus d'ddy—(g ti) dydx--giayda? —9d5. í R47 e—j'f-e a ddy —(f--i)a dydx A-fiayd a^ —$25 255. Aequationum differentialium — tertii gradus ibidem allatarum integrctur ea, quae ordine tertia eft atque ponatur 7—i,. eruetur inde a'Zdy—(e--f)ddydx -efaydxt ME , qualem vero formam quantitas V habeat, infra oftendani, Iam collatis inter fe hifce ae- quationibus obtinemus : » iT. dx ..Qdx Rdx 1)9 doe, co a dy —iayd (ese gi Ue E Ge —71 PSP c exeo) eds dem Op pIv dur LERRA (arr OE T HET atque ex his demum Board (E abso ah GJ — ecmy 5 GDOGERA V Gne.) WE- tue Nunc itaque reftat, vt quantitas V inueftigetur, quoniam autem per hypothefin fit g — 7, erit JN * Sd f d( CA NS Xdx)- x(CAf/ N 9. X du). —[N^ Xzdx adeoqe V—N-"(D--/N*Sdx) N«(Dia(C4/N'e Xdz)-fN « xXdx). Eadem 254. DE INTEGRATIONE Eadem plane ratione , fi occurrat aequatio differen- tialis quinti gradus , in qua aequatio ( IV ). quinque habet. factores , tH —e c o, m--fzco,m-—g-zz9; m —1--oym--ki.-o atque fit —— k , inuenietur eiusdem aequationis fequens effe integrale : a Paca" ques ROB Le 5b OAM J (e-j)te -8)(e- i g-eyg- FU UNE SAT EON i —. T(G 2 e) G-f) A- Ci - e) E -g) A- (E20 1-DG - 8)... QG-—ey i—jy ü- BY Jed Vis co n i -a(2-e)( -))(£-g) kx -kx vbi obferuandum eft, quod fit V-N *(E4fN * Tx), quae fünctio , vt fupra oftendi, in commodiorem mutari poteft formam. 7. Quo magis de veritate eorum , quae in praecedenti 6$. adduximus ,. conuincamur , fecundum methodum ia $. 5 exhibitam examinabimus , quem valorem accipiat y dum integranda occurrit aequa- tio differentialis quarti gradus, in qua duo valores ipfius 9» ponuntur aequales — Sit itaque a y — A'Q--B/R--C'/5--D'V, in qua aequatione coefficientes A^, B^, C^, D^ feueuti ratione indagan- tur. ^ Dum y fuese differentiatur , íequentes inde oriuntur aequationes differentiales : rydxt —( A'Q-4- P'ReEEC' Sr DV) gadyda* — (e A/Q-t-f B/R-(g C^- a D^Srg D'V) ca ddyda? — 9*4 A/Q-C f B/R4(à C^ 2ag DS g'D'V) beasdydx— bien A/Q-I-f£ B/R4 (e C^r-3ag D^)S4-g D/V) a^ d:y — 32 (0 A/Q--fB/RA G C^ 4ag D^S4-g D'V) --Xda*(C A Xf'B'-gC'-r-sagD'. Nam AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS. 225 Nam ex iis, quae in $. 5 iam propofuimus, liquet differentialia dy,d'y,d'y non continere X4x, fed folummodo 4*y, atque hinc etiam. fequentes aequatío- nes pro determinandis coefficientibus derimantur : A'-- PBP/'-- C'—o e A'--f B&/'--g C'-- aD'—o EN L fsBb/-r-o 44-292 D'-—o € A^--f B/--g'C'--5«g'D'—r, quae fi fecundum modum in $. 5. praefcriptum tractentur , dant: (f—e)B/4- (g—e)C"--aD'—o f (f—e)B^--2(g—&) €^ a- (2E —e)aD/—o F(f—-oB 4g'(g—e)C 4(3g—2e)ag D'— x ex quibus inuenitur : (g—f)Y(g —e)C^A-(2g—e—f)aDY —o e(g—f Xg—e)C' 3- (88 — 2eg8—28f t ef)aD'—1 vnde demum fit (g*—eg (f -- ef)a Dészi, vel TY — "De atque. C^ — Pi z2£. Cum vero hi valores pro C^ et D furrogantur , A^ et B/ facile determinari poffunt. Sin vero iam proponatur aequatio diffe- rentialis ífexti gradus, in qua fa&ores aequationis (1V) funt fequentes. cT m-—fí—o,m-g-:o, m—i-o,m-—k-o,m-k-o, erit huiwe aequa- tionis m UTE ay -— A'Q 4- B/^R-r-CS-r-D'T 'Tom. XIV. Nou.Comm. Ff 4- E 46 *DE INTEGRATIONE- --E/ U-rF' V, vbi Q, R, 5, T retinent easderti figni- loe ficationes ac in$, 4, Uautem eft - N * (/N. "ed .Xdz.-E) kx Re et V— N^* (F--f/N'* .Udx), coefücientes. ve- ro fecundum $ PEN Hic definiuhtur , vt fit A" (e—f (e—gXe—iYe—k) — B/(f—eX f-) X f-— C/(g—eXg—f Xg—iXg—k) —3 D'ü—e)ü-f yi—) (i—k) —x - E/(k—e)(&—f Jk) — (2) t-g) (t —f)4 (e) 6-gyh-e) -(c-2 (7f) (6) (4-8) E-R-P aF^(k—e)(k—f)k—g)(k—i)-— zx. Ex allatis itaque exemplis colligi facile poteft, qua- lis forma fit. tribuenda aequationi' integrali | quaefi- tie, cum differentialis . fuerit altioris cuiuscunque gradus, atque bini tantummodo factores aequatio- nis (IV) fuerint inter fe aequales ' :8. Si plures quam bini fa&ores di&ae ae- quationis fiat aequales; quemadmodum fi quaeratur integrale. aequationis differentialis quarti gradus, in qua 1 praeter vnum valorem —-e, tres quoque in- ter fe aequales — f habeat, fequentem in modum erit procedendum , vt inueniatur aequatio finita de- terminando y inferuiens ^ In $. 6. iam oftenfum €f; quod fit a ddy | AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS. 227 v ddy — (gi) dydx-t giayda? —8397 A-RIE et & ddy—(e-4-g)a* dydx-i-egay dx? zz X42. , vnde .fi pofterior harum aequationum a priori füb- trahatur, fit f —eXxe—f) a(f —e)? a 'dy—faydx-— 2 yn pofito nimirum f—g-— i, deinceps integrando pofte- riorem hanc aequationem , fecundum praecepta in $. 3. tradita , oritur dx a dy —eay dx — : ex qua collata cum kid juil: , EE em pn g—e "m ser T mg a1(j. qu -— Quantitas vcro gESSE V^ hac ratione indagatur: quia iud $6. /N^«- - E —fdax(C--x(B AINT X43)- ads Pg 4 LO DER IUe We ro S B REOR UNA P OT REINO M07 t fx erit V —N. a WD-bN 9 «Madancs Nec -fz —ATIN 26. xX dx)d.a* C(BAf/N* Xd N a uA | 2 Bbroncfta iam aequatione differentiali quinti | gradus, in. qua :4 quinque valoribus e, f, g, j, k gaudet, "a EFf2 quorum 258 DE INTEGRATIONEÉ quorüm g-i-k, fit ipfius integrale fécundum praefentem —$ fequens: — g. uM R ((g—e)* 4 g-eyg —f--(«—fY')s € -—c—que-msuddxs5B 0 6- EIU ED (e--f —'g Vv CE k—ecE-IU (pe gzao- Si denique proponatur aequatio differentialis fexti gradus, in qua tres fictores aequationis (IV) fiunt dequales et pér s -—i-—o exprimantur , ie au- tem fint 44—6éz20., wm—fzzo et m-—g--o, "tum pro integranda hat: aequatione reperietur 4y— A/Q --B/R--C'/S--D/T--E/V4-F'/V/, vbi fignifica- tus litterarum Q, R, S, T, V et V^ ex $$. 4. 6. et praefenti ;fatis perfpicitur., coefficientes autem A^,: B^ C^, D etc. ita determinantur , vt fit A (e—F)(e—B(e- à) zm B'Cf eX F- 9f —2) —& C'(g—eyg—fXg —i) —3 | D'G-e) G-f ) ü-2) —G-e) G-f Y Fel G-f 6-8) 7e) Gg) co oeG-ea-f f Ge -9d-T Jo 6-1 G-8) —Ra E/(i-e) ü-f J Ye) — (i-eXi-f ) -- G-2Xi-8)2-G-f i-g) a F'(i—e)ü —fY(i—8)— x. 3. Haec itaque exempla offendunt, qua ra- . tione, ihtegrationem "cuiuscunque asqusítiorits 'diffe- "rentialis formae prapofitae , in qua valorum ipfius :; quidam funt aequales , reliqui vero inaequales , "perficere liceat. Etenim eo totum redit negotium, i"^ yt coeffcientes A^, D^, C^ etc. determinentur , quorunr AEQVATIONIS DIFFERENTIALTIS. 229 quorum ratio ad $6 praecedentes attendenti obfcura effe nequit, 27 autem , vt inuenta functione qua- ix -—.)4 28 dam T — N* (D2-/N * .X4»x) rcliquae infequea- tes V. V^, V^" etc. detegantur, | Gaudent vero hae functionés ea proprietate , quod vnaquaeque carum , ab antecedente fimili modo determinetur, ac V de- i pendet a T , adeo wt REO A LPGUNR frei! Vic Ne" (EX/N T 42), étiam enit V.2N e(EX/N « VdX) €t fic in caeteris. Vt tamen generalem expreffio- nem , pro his fun&ionibus V, V^ eruamus, fit Z inter easdem ordine £a , qude per numerum 7 indi- Catur, eer —ix IC ! ! S NQC Xd um Ny NIS x X dx m N* Ps —— BIA CO siet e add I.2.9. c d arzt -u mx arocey Ne xg, XO C ERENGA rXdmo Eeo-35-05i— 2. L9 1.2. 3-..1— 3. X22. "s n od FRONS aA" Xdx : 9m --Bat-—'-L....Fx-r-G) ER x04. circa quam E obferüandum eft , quod —1x [N* x'Xdx figno -j- afficiatur quoties r fit nu- merus par, contra vero fi idem fit impar. ^ Eui- denter quóque hinc perfpicitur , ex aequatiene diffe- rentiali gradus r -j- 1, in qua omncs valores ipfius 44 fiunt aequales , inueniri ay Z. B3 10. 250 DAE INTEGRAETIONÉ 1o. Poftquam itaque indicauimus, quomodo aequatio differentialis formae propofitae fit integran- da, quando valores ipfius z vel omnes funt aequales vel omnes inaequales vel etiam. noüinulli aequales rcliquis inter fe inaequalibus; füpereft adhuc vt inquiramus, quomodo haec integratio debeat inftitui eo in cafu, quo : habet valores aequales , qui non vnius eius-. demque funt generis, exempli cauffa fi proponatur aequatio differentialis quinti gradus , in qua ipfim hi valores refpondent e, f; g, i, k quorum fit f—g at- que i—k. Defignatis iam per Q, R, S, T iisdem quantitatibus ac in $. 4, iuxta methodum in illa $ nec non $ 6 exhibitam , inuénientur hae aequatio- nes differentiales tertii gradus ; a^ diy—(g-1-iA-k) ad ydx-A- (gi-- gkA-ik)a" dydx— gikayda* | — Qdx , Rdz e—5f j—e at [5—(f4-g- Dad ydx-E( fgtflergba' dydx—fgkaydx* —u ( dac? T dx* T e —i HE j—e a' d y — (e-t-i4-) à d ydx 4- (ei ek-ik) a*dydx —eikaydx* LIS — a'd:y — (e--1--g)a d ydx-A-(ef-t-fa-reg)a' dydx—efaaydx* 3 " cu IS bi a joan ier t. E NzN*(CJ4-/N * .Rdx) et Y - N * (EAJ/N 9.TZx) Subtractis ex prima earum, fecunda et tertia, atque eX fecunda, quarta emergent fequentes aequationes a ddy AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS. 23: d'ddy— (god dydy-ceaydi - di (z 9. Ro eius y a'ddy—( -b)a dydx- vi kayde—d (79 Rose "wg I9) vid Ciprepdni fud is (ep Y TV aum e) ) et fi baec operatio vlterius continuetur, inuenictur denique s (03 Le (f-—2e—i)R Y dien eppUrISE T ARLOEUDE TT. qu Ite up —(:i—.:e—f) x : i (G—eY(i—j/» ' aüi—e)yi—jy ? ratio autem inueniendi V et Y , patet ex $. $. 6 et 9. Similiter fi propofita fit P aeg differentia- lis fexti gradus , in qua ipfi z hi valores compe- tunt , LOST k et affümtum fit [-8, 7 —k nec non -0X NIE R(F-/N Xdx)erit huius aequationis in- n: completum Il SGMER UMPMIM (Q2. RC —— -6 Cf -e f-D4- Uf -e)(f-2) 4) — ceo Y e. ecoecfyGay -cy U-e Eu Eum. UT purunec Ü-E e) Tag -a- e)y(g -iy (i—cy (ie —) bip. "rai —s)—ey-—JP "Denique fi aequatio differentialis cuius quaeritur integrale , fit fexti gradus eiusque indolis , vt valo- res ipfim z fint iidem ac in cafu proxime praece- denti , eo tantum cum difcrimine, quod iam pona- tur /—k-—c , obtinebitur per integrationem | a. — A/Q--b/R4-C'T-4-D'V--BE/Y-4-F/Y/ in qua aequa- 334 ODE VNTEGRAATIONE aequatione functiones Q, R, T, V, Y, Y^ per $. prae- fentem et $ $. 4. 9 innotefcunt , cocfficientes autem fecundum $. 8 determinantur , quod hoc paco. fit. Ad inueftigandum coeficientem D, confiderare de- bemus , qualis effet coefficiens iM eionis R, fi folummodo bini valores ipfius z; nimirum f et g effent aequales reliqui autem quatuor inaequales, in quo coeficiente deinceps ponendo i—k — «c , orie- tur verus coefficens D^, qui pro hoc cafu obtinet. Similiter vt inueniatur C/^, primum quaerendus eft coefüciens quantitatis T pro aequatione fexti gradus in qua tres valores ipfius 5, nimirum 7, kK,c ponun- tur aequales, in quo coefficiente deinceps ponendo f—g, habebimus quaefitum C^, quae Methodus aequali cum fucceffü ad reliquos coefficientes inue- niendos adhiberi poteft. Dabit vero eadem in cafu aMato hos coefficjentium valores : A/e—fy(e—ip— coOB-OU-D)-f-3e—i -oOC(i-eyü—fycaG-eyvau—eyi—fHQ-fy. La D'Cf—2e) (f —-iy—a —a E/(i—ey (i—fyzcgi—2e—f «a F/(i—e) G—-fy — r. 11. Cafus in $ praecedenti commemorati , fatis illuftrare videntur , qualis forma fit tribuenda quantitati y , pro quacunque aequatiope differentiali, in qua valores ipfius 4 aequaks non vnius funt generis , AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS. 233 generis, adeoque eo magis füperuacaneum duco hi(ce diutius immorari, quod generales formulae pro illis cafibus, non videntur tradi poffe fatis expeditae. Itaque iam difpiciendum venit, quam variationem y fübeat, ea ex ratione, quod aliqui aut omnes valores ipfius zz fint imaginarii. —Quo- niam vero in hoc cafü, fit g-e-cm--pY-—r conf 6. 4 adeoque e — p Y — 1 et praeterea fit xy —1: cognitum , quod N gie eof. px py — x. fin. £* —pPxy—: nec non N^ s cof f— y — x. Sin. ?* , erit ex pxYy—1i pro N' fubftituendo FRU ipfus, N' * ^ et pro -e2xXx —bDxy-—: E N'« eum, quem proN ^ ^ affignauimus , in $. 4, Q—( cof.£2 - Y — x. Sin. )( A 2-/X dx( cof; £* —Y —1.fin. 7), ex quo omnino perfpicitur, quod funcio Q , etiamfi z ponatur imaginarium , realis fit, quod quum fimili ex ratione. de R,S, T in 8.4, nec non de V;V; Y,Y^ in $$6.7..8. 9. xo valere cenfendum fit, patet vtique imaginarios quan- titatis ;; valores non impedire, quo minus y per quantitates reales exprimatur. 12. Denique et illi cafus aliquam | merentur -attentionem , vbi vnus vel plures valores ipfius 75 euanefcunt. Ponatur itaque primo in aequatione (IV.) r— o, vnde et fequitur effe z—0 , fit ero-ifte. valor ipfius s idem, quem ia $. 4 Tom. XIV. Nou. Comm. Gg-' pet :34 DE INTEGRATIONE per e indigitauimus, erit proinde in eadem $, Q-A -FfXdx,et aequatio integralis ibidem tradita, in hanc transformatur ro MIU KEEN En &y ——rgu CRISIS ij Iu. T 8(8-J WEBS 1—J)0—g8" Vlterius fi in aequatione (IV.) non folum r , fed etiam 4 — o atque in $.6 fit m—g-—-i—o muta- bitur aequatio integralis, quae in eadem $ occurrit in hanc: 4) — y EgGIST ID izp vbi SZC-AfXdx et V—x(C-4-/Xdx)-2- D—/xXdx. Ex $$ autem 8 et- 1o liquet, quomodo inueniatur y, dum 'aüt plures quam bini valores ipfius m — o , et reliqui funt inter Ííec, inaequales , aut praeter quosdam valores ipfius ;z euanefcentes , quidam eorum funt finiti et aequales , ponatur exempli cauffa, quod in $ 10, vbi zz his quantitatibus c,2,f, 2,7, k. expri- mitur, fit 2—K—o praetereaque g—f , crit quae- fita aequatio integralis haec: uc unBb» ni darc obs ROO eC op iid UJ — see V e-ECEY J*U-co)g-—ey 7 7 i v ERM. T(2ce-A-f (c4 €)) mn -i af4j-eug-e)' — c? e?j3 -L cej? ) in qua aequatione P,Q,R,V omnino retinent fuos valores in. $ 1o traditos, at T fit — D-rfXdx et Yza(Dd4/Xdx)-J-E—fX xdx. Denique obferuo;, quod fi omnes et finguli ipfius » valores euanefcant feu fi. integranda fit aequatio a" 7^ y —X da^ , effe fecundum $9 ipfius integrale. hoc ; ri eem AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS. 25; X Eas act (nXdaes; c acte Xd 1.2,3../-I. 1.2.9..8]—2 $.2.9.5.1:753.1,2 gc fr x gy 4 fa"-Xdx [ it d —74-AÀ xt-— 1.2.9../—4.1,2.53 pigrum ag uy, zSpgAsR:ALQXt9E,S LA DBra:G 4y— pt V M € HH ac—— / 13. Quo magis illuftretur methodus haec integrandi, cuius praecepta in antecedentibus expofui, aliquot proponam exempla , quae eius víüm et ad- plicationem pguppoutgre valebunt. Exempl: z.Sit aequatio differentialis, cuius in- tegrale quaeritur 4ddy--ydx'—0, erit vi $3 45— -- Y —r et iuxta formulam in $4 traditam : A.NTY- BONcÉY-S Gy LER. Sin $4 475 Cof. 3 iu ptam vim st iy-r conf 6 1r, vnde pofitis etC et sucD, fiet 4 y zz C. fin. £ 4- D. cof. 7. 2; Sit. iterum "propofita. aequatio differentialis ed'y—ydx'zzOo, in qua m*zcrz atque m--i vel. — -4- Y — r, vnde per $4. obtinetur | K.NT IB.NZ C.N£X- D. N—8S— 4 Mai * 1 d DC. y p—c — quae aequatio ponendo ——F et —L-—-— E, migrat. in- hanc. ayc— -— r Gg gy- — »56 DE INTEGRATIONE — 4. . 3. Aequatio differentialis 2dy-- o^ ydx — Xd», quae eft illa, ad cuius íolutionem , notifimum problema trium corporum reducitur, dum propo- nitur integranda , fict id fecundum praecepta tradita fequenti ratione: quoniam a—ri et m^'--r--m- --a'-—co etit g—-1-a Y —1, ex quo deducitur axy-r -XXy-r -QXYy-i N (AXfN — .Xdx)-N ay — — A.NF—B.N* — E.cof £.—F. fin, 2, -- DrREMAT c &xy-r (B--/N . Xdx) ji : , c (A ESEET p(AX-B). Sin. ax4- 2 Sin. ax/Xdx.Cof ax —2Cof.axf Xdx.Sin.ax): 2a inde autem, pofito A--B— 2C, 4—P — 2D, eruitur ay—Sin.ax(C--/ Xdx.Cof.ax)—Cof.ax(D4-fX dx.Sin.ax). . 4. Aequatio differentialis 2*d*y—a" d'ydx—adydx* -Fydx'—Xdx* ad praefcriptum $. 6, hac ratione intezratur. Quoniam bini factores aequationis z7*- a —14i-j-1-:o dent m-—r, et reliquus 5—— rz, erit fubftituendo in $. citata loco e,—1, k«xo f,o, et ponendo g—-—r, quaefita aequatio integralis haec: —— C x : x —2X N'* (A -/N*.Xdx)—3N*(C--/N *. X d z) 4y— ^ N*(D-3-z(C--/N *.Xdx)—/N « xXd2). p 24 5. Sit | AEQVATIONIS DIFFERENTIALIS. 237 5. Sit iterum propofita aequatio differentialis : a dy—osadydx—2a d ydx --4a d ydx --adydx* —aydx — Xdx , perficietur eius integratio fecun- dum $ ro, quum enim z; quinque babeat valores , quorum duo —r vnus — 2 et duo reliqui —-—r, fi loco citato, pro e fübftituatur 2, et ponatur f-g-x nec non i-—k-c-— r1, deriuetur inde-hoc Be : NS N*(A S/N X Xd) N* (CXa(B-HfN 9 .Xdx) - /N-2 3X ds) EM 9 551 rua N *(E-4-(4-4- 3 9(D-I-/ N* . X 43) -f N9 x X d 3). ipte cm dá iue 6. Si denique quaeratur integrale huius -aequa- tionis a'd'y-i-a d'ydx — Xdx', in qua ex quatuor valoribus ipfi zz refpondentibus, duo euanefcunt, re- liquorum autem vnus fit Y -: alterque Z-Y -1,. habebit id fecundum $$. 8 et x2 huiusmodi for- mam ; Xy-1 1 RR di CU ES a RECON Ns a (BuN "Xd rd | sica wer . p SE-eD2 c p—/sXds — Cof * (Ef X dx Sin.2-) —Sin.£ (F -- Xx. Co 2)--2€-&/xe2. | p—f2xas, pofito nimirum quod A-1-B—2E et 2—5 —2F. Gg 3 wr ME- 238 $$ (o) $99 ,METHODVS INTEGRANDI, NONNVLLIS AEQVATIONVM DIFFEREN- TIALIVM EXEMPLIS ILLVSTRATA. Auctore AUN OD OPIEBXWXLDE S Spi. . LJ . L ( 'onftat iam inter omnes fere, qui ad calculum integraiem excolendum , animum adplicuere , quod vnaquaeque aequatio differentialis reducatur per integrationem ad tot aequationes differentials gra- dus proxime inferioris , quot vuitates continet ifle numerus, quo exprimitur, cuius fit gradus aequa- tio illa propofita. | Dum igitur talis adhibetur. in- tegrandi methodus, quae ad fingulas haíce aequa- tiones differentiales inueniendas, fimul et vno. ne- gotio perducit, haud mediocre inde oritur fubfidium ad detegendam aequationem: fimmitam , qua comple- tum integrale aequationis differentias primum al- latae abfoluitur. ^ Quoties nimirum omnes hae quaefitae aequationes inter- fe differunt, toties per earundem comparationem , vltimum iftud integrale flaiim inuenitur; fin vero aliquot earum inter fe plane congruant, tum non vnica quidem operatio- ne, totam integrationem perficere licet , id tamen lucri accipitur, vt aequatio differentialis , ad aliam, quae METHOD. INTEGR. EXEMPL. ILLVST. »39 quae iuferioris eft gradus deprimi queat. Haec omnia, quae ex differtatione , quam cum Illuftris- fima Academia nuper communicaui , egregie com- probantur , praefenti occafione , nonnullis aequatio- nibus dii&rentialibus in exemplum vocatis, vlterius confirmare conftitui. $. 2. Proponatur itaque ad integrandum , pri- mum haec aequatio differentiatis fecundi gradus: a'yddy--ba dy —y'dx'. — Huius vero integrale vt inueniri poffüt, ponatur idem fequentis effe formae: m x ayMdy--ny dx—A.N*dx, in qua aequatione D, r,7 denotant conftantes fed incognitas quanti- tates, quibus detectis , tota. deterininatur aequatio. Diferentietur igitur affümtum hoc integrale , atque éruetür pu : eid Te LU RI -pary' — dydx — tt Nm dim mydyda 4-25 y "dx', proinde fi tota" haec aequatio, ducatur in a y' 7? , transmuta- bitur in iftam: e&yddyA-pa dy --nray -?dydx —amydydx -mnuy -P'dy',qua demum cum aequatione dif- ferentiali propofita , collata, inuenitur p—^5, r—fp --ri-cb--1,mr-m et mm-x vwnde deducitur 4m^zb- x atque m—-1- Y (b4-1), nec non n— EE 0 Dum itaque bini hi valores ipforum : et 2» adhi- bentur, emergent duae teo: differentiales pri- mi gradus, fcilicet. a^ dy MS ie t dx A. poss " id TN cds etghdy-ptoy m MN quam 240 METHODVS INTEGRANDI quam ob rem , fübtraca hac ab illi habe- COEM — xy ai) tur jh oL XHE(ASN -- B. N a xv! DE -xy(b-2-:) i vel 5*9 —C. N —D.N ^s ,fiin locum quantitatum ien et 2YO**) (ubftituantur C et D. Quando £P negatiuum accipit valorem , adeoque fit —-—(c--1) tum erit quaefitum integrale hoc —*zcC(Cof. Y * 4- Y - 1. Sin. £**) -D(Cot *Y*—-Y - 1. Sin.2*5), adcoque pofitis C— D— E et (C-2-D).Y -1 —F,Jj-'-—E. Cof £*-L-F. Sin.£Y*. Solutio ae- quationis iam propofitae vtut generalis videtur, vni- cam tamen admittit RR IEPCIOnEEA pro ifto nimirum cafü, quo 2—-— 1 adeoque XPrjg- 99, cum vero hoc accidit, erit "e - En (ds , fignificante e con- flantem arant atque hinc iterum integrando e T fel detegitur cy — N^ ** , fi videlicet N fit nume- rus cuius logarithmus hyperbolicus — z. - 6.5. Egregium deinceps vfum, praeftrat metho- dus baec commemorata ad integrandam — aequa- tionem : yx ddy--bx'dy A-cyxdxdy—ay dx, cuius cafüm particularem confiderauit Cel. Prof. Krafft in ' Tom. V. Nou. Comment. Acad. Huius vero integrale ,. fi affumatur effe y?2y - n 9 x* dx — Az'dx, idem facili negotio determinabitur, in- ventis valoribus incognitarum |, 9, q, r, f. — Hae itaque EXEMPLIS ILLVSTRATA. 244 itaque quantitates vt indagentur , capiendum cft differentiale affumtae aequationis , quo fiet : Jy*ddy A-py* — dy'-A- nq yi ^ x dydx- nrytar —! dat UE A atii m5 A — -Ln592x'7 dx, atque ducta hac aequatione. in y' ^ ?x' 7^ et ordina- tis terminis reperietur : yx —'ddy-- px — dy.-- nq yi ?xdydx —syx^" dydx —(s—71.1—?-'dx. Si jam vltima haec aequatio , conferatur cum ifla, cuius integrale quaerimus , determinantur incognitae hunc in modum, vt fit r——1, p—5,q—p—a vel 4q—b-rzi, EIE. et z(b4- 1)—ce-1- 5, ett vero quoque n(s—r)—ns--n—a , proinde (s-1- x). (s-1- c)—a. (b-- 1) ex quo eruitur ;—- €£2 4- Y (E2* e i3 b 4-4. (b4- 1)) et n mu uri dun vel 2(b-i) o fi ponatur f— 2 Y (E— 4- a, (b -- 1)), erit z2— €52—4 et n—t f Subftitutis itaque pro f, 7, d, 7, * ipforum valoribus , deprehenduntur binae acquatio- nes primi gradus , fcilicet , C—1 --f b —iG4-1)--f : J'ai mur rata ACX sud diiet —-(c4i3—foc P TEE Amr 2 MS ; I ideoque dum fübtrahatur pofterior a priori ;7—5— Tom. XIV. Nou. Comm. Hh zr 242 METHODVS INTEGRANDI - (e 4-1) f. Ie? (c-:Y* | -x PI Bis) vae (cs es tae) ps Ca e 1)) NT : pofito nempe quod CQ—75-2 et D—E- ^4? E y — f . - . In eo cafü , quo f euanefit, feu (c—1) 2-44. (b--1), fiant hae aequationes primi gradus coinci- dentes, quapropter tum denuo uer e(t inte- gratio , per quam obtinetur yea : — (ex) HB vel yemas : (Cx--B), fi in locum quantitatis (b--1)A fufficiatur C. — Quod fi vero contingat , vt f fit quantitas imaginaria et —5Y —r1, fequenti ratione procedendum cít, ad detegendam genuinam integralis formam. . Ponatur x— N* defigoante vt antea IN numerum cuius logarithmus naturalis —z; 1—C bzqy-—ai —hbzY4—: erit itique j^ *—x * (CN —D.N ; quae aequatio in hanc mutatur yx zC(Cofbs ) -- Y — 1. Sin.bz)—D(Cof bz — V — 1 Sin.P z), vnde pofito C- D—E et (C4- D). Y— 1 —F, fit Etras —E.Cof.bz-4-F.Sin.bz — E. Cof. b Lx -4- F.Sin.À. Lx denotante L logarithmum. 6..4. Sit iam aequatio cuius detegenda eft inte- gratio, haec: 2dy—4*24X —y X'dx', in qua dx po- nitur conflans et X funcio quaecunque ipfius x. Huius aequationis quaefita integralis affumatur ; dy A-nX? ydx — A X3. N/ X42 gu, | vt EXEMPLIS ILLVSTRATA. 243 vt itaque incognitae quantitates 7, f, 4, 17 inuenian- tur differentietur vlüma haec aequatio, vnde orie- tur : ddy--nXtdydx-npX?—ydXdx — A (q Xt7N?/X2* 4X dx; quXCO., NTÍXIonqys —02X17 C nx t7tyaXdx-mXdxdy -- unXt ydx* , vel ddy--nX?dydx—mXdxdyA-n(p—4) P—'ydXdx—25*2— un XPc yda, atque quum baec aequatio, congruere debeat cum illa, quae ad integrandum proponitur, fiet per ter- minorum homologorum 'comparationem , —4-—1t n-—m etmn-i,atque ideo z;— -- x. Hinc duae proueniunt aequationes diffrentiales primi gradus, nimirum : diy Xdx — AX. N/*^*4xy et dy-yXdx-BX. N^ JX4*4x quo ipío habetur 2y— A. N/Xé* —p. N-4X4x Continetur aequatio differentialis in hac $ propofi- tà, fub ifla generaliori ddy -i- *42?* —y X ax, cuius integratio , fi in poteftate effet, generaliter quoque intesrari poffet haec aequatio primi . gradus dz--z'dx-—X'dx. $. s. Vt vero methodi noftrae vfus et applica- tio, ad perficiendam integrationem aequationum al- tiorum , co magis confleft, adferre etiam placet exemplum aequationis tertii.gradus , ope illius fo- lutae, Sit ifta aequàtio Hh 2» d'y 244. METHODVS INTEGRANDI diy--adyddy-—bdy. | Iam more confueto, ponatur eius integrale effe fe- quens : N"?(ddy A-qdy*) — Adx* atque füumatur huius differentiale , .quo fa&o poft- quam omnes termini per N"" diuifi fuerint, oritur; d:y A- (2 q1-1:)dy ddy A-mqdy* — 0, vnde debita inftituta comparatione huiufce aequatio- nis cum primum propofita, fiet a4—24-1- m et —Hmg-—b,ideoque m?^—ma-—»b, ex quo iterum deducitur m—2-EY&^**P — ?-*, fi breuitatis cauffa loco Y(a*4- 85) E £ jer q—*-**. Hifce determinatis , inueniuntur iE acquationes dif&ren- tales fecundi gradus; x ddj-- tidy —A.N 3 J dx» et -(c-r e) ddy--—*dy BN s: da vnde per fübtractionem poflerioris a priori deducitur EAS El toy YN: dX.(A.N 3 —B.N *), quae ad aequa- tionem primi gradus facile deprimitur. ^ Si fuerit €——0 , quod accidit cum a*—— 85 ex. gr. fia—4 et b— —2 , tum denuo integranda eít alterutra aequationum fecundi gradus, multiplicetur igitur ay €a per 24y , eritque N:(24yddy--$dy )2 2A dy do^, cuius EXEMPLIS ILLVSTRATA. e45 ay cuius integrale et N ? Zj* -—(2Ay-1-B)2x'*.. Deni- que dum c in imaginariam tranfit quantitatem , haec obferuanda veniunt. Ponatur c — Y — 1 , fiet pes hoc valore pro e, z—— dx m» fis my N m — AY - CA (co. 2 - Y — x. fin. 72) —B(cof. Z2— Y — 1. (in. 9) 42a (E. cof. *2-- F. (in. 72), affumtis fcilicet EUM Set FlILGU-e» $. 6. Eg, quae in praecedenti $ allata funt valent quoque circa integrationem huius aequationis * J^ diy -A-aydyddy —bdy. | Si enim fümatur y — N*, erit dy — N^ dz, ddy —N^(ddz-i-dz), d'y - N*(d'z E dadds t. de ), quibus valoribus in aequatione allata fubftitutis , omnibusque terminis aequationis emergentis per N* diuifis, oritur: d'z-pL-(a43)42ddz-—(b5—a—1)dz', cuius aequa- tionis integrale in $ antecedenti exhibuimus. $. 7. Denique et haec methodus cum vfu adhiberi poteft, ad detegendas conditiones fub quibus aequa- tiones differentiales altiorum graduum faltem vna vice intezrabiles euadant ;, quod vnico exemplo comprobaffe fuffhiciat. Sit snc propofita haec aequatio : d*y 4- ad y dy A- b. dy dabo cen b quaeritur conditio , qua pofita integrationera admit- tat. Ponatur itaque eius integrale fore: N"?(d'y A-pdyddy--qdy' )- Ad, | Hh 3 quod e46 METHOD. INTEGR. EXEMPL. ILLVSTR. quod perfe&e cognofcetur, inuentis valoribus incogri- tarum 775,4. Sumto igitur differentiali affumti buius integralis, et diuifis omoibus terminis per N"» "eruitur : : dy A-(m-- pM y dy -pddy'-(mpA- s dy ddy--mady-. Quae aequatio collata, cum ipía cuius integrale quaeritur dabit a-——m--p, b-—p,ce-—839--mp et e——iq, vnde duae deducuntur aequationcs, ipfi 7; inueniendo iníeruientes, fcilicet 4 — a — b et m'b-—mc-r- 8e, adeoque fiet (a— by. bx a—P).c-- 8e. Sub hac itaque conditione liquet aequationem fore integrabilem et reduci poffe , ad aequationem hanc tertii gradus ; N75» (q'y A- b dyddy -A- —— dy!) — A da. b —.a Conüderata aequatione (z—£) &—(a—P)e4-3e, patet quod datis tribus coefficientium a,2,c,e, reliquus ficile determinetur , et quidem c vnica ratione, ^fi dati füerint 4,5,e, itemque e vnico modo datis 4,D,Cc, à vero duplici ratione, datis b,c,e et b triplici datis a, c, e. PHYSICO- : X PHYSICO.- MATHEMATICA. n v- * Ter we3$ (0) $$" 249 COMMENTATIONES PHYSICO-MECHANICAE DE FRICTIONIBVS VARIIS ILLVSTRATAE EXEMPLIS. Auctore DANIELE BERNOVLLI. 6$. m1. on raro accidit , cum 'nouas de argumento nondum fatis explorato disquifitiones aggre- dimur , vt ea quae facillima videbantur in ipfo limine aliquam haud expectatam difficultatem maniféflent. Id nuper mihi euenit cum ad leues aliquas quacftiunculas mechanicas de frictionibus de- ducerer nimium vt videbatur fimplices , quam quae vllo modo folutionem morari poflent; motum co- gitabam virgae plano afpero incumbentis, cuius ex- tremitati potentia oblique effet applicata , quae vir- gam lentiffu-no motu protraheret ; huiusmodi Pro- blematibus incertitudo directionis , fub qua frictiones partium translationi refiftunt , inopinata füperaddit impedimenta. Conftitui itaque id argumenti aliqui- bus explanare praeceptis atque exemplis. Tom. XIV. Nou. Comm. li $. s. 250 COMMENT. PHYSICO- MECHANICA $. 2. Quum de folis fuperandis frictionibus fermo eít , potentiae haud. maiores. ftatuendae. fuot, quam quae ad hunc finem requiruntur, ne fimul inertiae ratio fit habeada Hinc eft quod motum in fingulis partibus lentiffime fieri fuppono: nec loquor de corpore fimplici , cuius fingula elementa communi quafi motu. protracta ceníeri folent, fed de fyftemate plurium huiusmodi corporum fimpli- cium nexu aliquo inter fe co^haerentium. — In iis quae pertractabo exemplis a fimplici potentia ple- rumque. duplex oritur motus , 'alter progre(fiuus al- ter rotatorius circa ceatrum aliquod peculiari modo determinandum ; nec tamen licet principio alias fo- lenni ,, compofitionis et refolutionis ortus indiscri- minatim vti; compofitio autem et refolutio forem- tiarum hic eodem modo adhiberi poterit ficuti in mechauica , quae dicitur pura; adhibendae cautelae ex Íequentibus eluceícent. . & s. Fingamus füper plano horizontali cor- pus, quod voco fimplex, cuius frictio fit — f'; cor- pori applicetur potentia, qua vniformiter lentoque motu moueatur íub directione conítanter eadem ;. erit vtique ifta potentia — f; fi minor fit , corpus non mouebitur, íi maior, motus fiet acceleratus , quod vtrumque ab hypothe(i noftra recedit: haec dum. ita fiunt, füperuenire putetur noua potentia Q, cuius dire&io fit ad alteram perpendicularis; fi minor füerit potentia (Q quam altera f, erunt E taffe DE FRICTIONIBVS . es: taffe qui duübitent , an aon emnia fint in flatu pri- fino perman(ura, ideo quod nouus motus ad prio- rem perpeudicularis videatur fieri non pofíe, quin de nouo fri&dio f fuperetur. ^ Verum quaeftione paullo accuratius perpen(ía perípicitur , vtcunque paruula fit potentia (D, motum oriturum inter vtramque directionem medium ; id cura paradoxum videretur amico cuidam , cui quaeftionem propofue- ram , rerum phy(íicarum probe gnaro, vt omnem ipü fcrapulum eximerem , in mentem venit facilli- mum experimentum ; praefto erat tabuía ardeacea (d' ardoife) cui nummum imponcbamus; huic pauxil- lo cerae tenue agglutinabamus filum ; deinde tabu- lam tantillum inclinabamus ac denique filum len- tiffüime trahebamus fub dire&ione quae conftanter et exacte effet parallela cum interfectione tabulae et plani horizontalis ; vidimus autem nummum con- tinue propius ad banc interfectionem accedere , fe- mitamque a directione fili declinare , tantoque ma- gis declinare , quanto magis tabula inclinarctur. Erzo potentia (D, quae .in hoc exemplo ab ipía corporis grauitate oritur , füum habet effetum, vtcunque fuerit exigua etiamfi ad alteram poten- tiam fuerit perpendicularis , et fi fola agat omni effectu careat. Notandum porro potentiam priorem, quauta ad mouendum corpus requiritur , diminui ftatim ac altera fuperueniat ; fit iffa potentia dimi- nuta -—— F atque angulus interceptus inter directio- nem. potentiae F et directionem motus orituri —z alos CC habe- (Tab. IV. 234 COMMENT. PHYSICO-MECHANICA habebitur pro motu fuper plano horizontali V(FF --QQ,—f; fimulque tangens z—- quia potentia fimplex ex duabus potentiis compofita íemocr effe debet — f fimulque directio potentiae fimplicis coin- cidere cum directione motus. (gitur inter quanti- tates arbitrarias F, (D et z, fi vnica proponatur ceu data , ambae reliquae inde fimul determinabuntur. $. 4. Sit nunc (fig. xz.) planum inclinatum FH .L G denotetque F G interfectionem huius plani cum borizoute ; fit porro horizontalis F M ad F G perpendicularis, ita vt angulus M F H indicet in- clinationem | plani atque huic plano fuperincumbat corpus fimplex A; quaeritur diredio A C fub. qua corpus Aprotrahendum fit, vt fua fponte moueatur fub directione A D ipfi F G parallela «et quanta fu- tura fit iíta potentia. Sit pondus corporis — P, frictio fuper plano pro fitu eius horizontali — f et angulus inclinatio- uis plani iue MH F — A; confiderabimus hic alium infuper angulum quem vocabo C et qui indicat maximam plani inclinationem , füb qua pondus fola fua grauitate füper plano defluere incipit: notum autem eft fic ficri Pfin. C —fcof. C, vnde. f — P tang.C. Exprimat nunc linea A C potentiam quaé- fitam eiusque directionem fiatque parallelogram- inum recangulum A DC E, cuius latus AD fit parallelum cum horizontali F G. atque latus A E ad A D perpendiculare ; fit angulus CAD-—3, at- que DE FRICTIONIBVS esg que potentia A C — 7; denique ducatur A B quae exprimat conatum corporis fuper plano defluendi ab actione grauitatis oriundum ; patet fore potentiam AB p:rpendiculitem ad A D et — Pin. A; iam vero fi potentia A C refoluatur in A E et AD, erit potentia A E — c fin. et potentia AD — cof 2; oportet autem vt fit AE — A B fiue m fin. z—Píin.A et v» cof z —fcof. A; pofterior haec aequatio ex eo petitur quod fri&io, dum planum inclinatur , diminuatur ia ratione cofinus inclinatio- nis, quia nimirum in hac ratione appreffio corpo- ris contra planum diminuitur. Ex iftis duabus ae- quationibus deducitur 72 — FA^ fiue tang.z tang. A — tang. A x cotang, C, determinato angulo z, Obtinetur ipía potentia mine fiue etiam m—/775 ; quod fi vero omnia per quantitates immediate da- tas determinare velimus habebimus 7 — f cof. A x Y (x -- (tang. A cotang.CJ) fiue etiam m —«co( AxYV (ff -PPOtang. A); huiusmodi exempla fàtis indicant cautelas, quibus pro corporibus fimplicibus vtendum fit; iam igitur ad alia progredior. $. s. Sint duo corpora fimplicia A et B (82. 2.) in plano horizontali pofita et filo tenui àtque extenfo aut virgula intermedia ponderis ex- perte connexa; putetur porro corpori anteriori D "l'ab. IV, potentiam B E ad datum angulum applicari , quae - praecife tanta fit, wt corpus D vel ambo corpora A et D mouere poffit; quaeritur relatio inter .fri-- li 3 iones. 254 COMMENT. PHYSICO-MECHANICA étiones et petentiam .mouentem. Refoluatur poten- t£ia B E in B.C fecundum directionem. A B et in bD perpendicularem ; fitque. frictio corporis . B-af alteriusque corporis A — (p; potentia. B E — vw et angulus EB D — A; vt nunc relatio inter praefa- 135 obtineatur quantitates , duo erunt ab inuicem cafus diflinguendi ; vel enim corpus B folum mo- vebitur motu circulari circa alterum | corpus A quiefcens ,, el mouebuntur ambo corpora pro ma- &£nitudine anguli A vel intenfitate fri&ionis «corpo- ris A. - Cafus primus contingit, cum potentia BD eft sequalis frictioni f, dum altera potentia BC corpus A de loco mouere non valet, ita vt plane fiat in- utilis; eft autem potentia B D — «v cof. A vnde ha- betur 7 cof. A— f. vel 7 — 2543 Cafus fecundus oritur, cum aucto angulo A potentia B C fen m fin. A ita increfcit , vt fuperet fridionem corporis A indicatam litera (p; limes autem eít inter vtrumque cafum T fit m fin. A zz ve f£ c 2 c vel tang. A — 2; füperato hoc limite protinus incerta fit directio nnd quam corpus B moueri incipiat , ipfaque potentia mouens B E alium valorem , quam qui aequatione T— DA antea expreffus fuerat , fumit: cum etiam alterum corpus motum obtinet, qui infüper erit determi- nandus. ^ Haec fingula fequentem in modum erunt definienda. 6. 6. DE FRICTIONIBVS. es$j4 6. 6. Retentis denominationibus quibus vfi fü- mus, ponamus (fig. 3.) tangentem anguli D:B E Teb.1V. maiorem. quam 2 tunc calculus ita erit. ponendus, Diuidatur potentia lateralis D.C in duas partes B.E et FC, fitque F C — (p adeoque. BF— (n. A— (D; inferniet autem potentia F C ad fuperandam frictio- net corporis À, cuius motus neceffario habebit di- re&ionem .A B; hoc. modo duae vires BF et BD vnice impenduntur in mouendum corpus D: com- pleatur re&angulum B F G D ducaturque | diagonalis B G; fic perípicuum fit corpus. motum iri fecun- dum direcionem B G, atque fore fingulis momen- tis (fi. modo angulus .A conftanter ióem retineatur) motum corporis Á ad motum corporis B. vt BF ad B G; ipfa denique diagonalis B G' vsque facienda eft aequalis friioni f. ^ His praemiffis, quae reli- qua funt, nullam facient haefitationem , quandoqui- dem nihil aliud. porro requiritur quam vt determi- netur potentia B E íeu 7 talis, vt praefatis faàtis- fiat conditionibus. ^ Eft autem BD-— «cof. A et vi conftru&ionis BF—7 fin. A-(; hinc BG-Y((vcof.A)* -FOrfin.A —ODy)— f. vnde deducitur | «— fin. A --V(ff—GQd4co«o£ A) ; vt nunc etiam. determine- mus dire&ionem, B G. fecundum | quam corpus B mouebitur , ponemus angulum | quaefitum. DBG-z atque fic facile ex praemiffis deducitur fore P9 fiue DE. fang. Z — dang. 7 C1 fm-A 47 fin-A V (ff — 0 GL co- AY $. 4. «$6 COMMENT. PHYSICO-MECHANICA . 6. 3. Liceat nunc aliqua ex praemiífa theoria deducere corollaria. (a) Si ponatur z—o, habetur iterum limes , ine ter motum corporis À eiusque quietem ; tunc au- tem íi debitae fiant fubflitutiones , prodit tang. A — et m -c i, plane vt in quinto paragrapho inuenimus. Si angulus A minor acciperetur , pro- tinus falíae forent aequationes praecedentis paragra- phi, quamuis quantitas radicalis nondum fit imagi- naria; tranfitus fit a vero ad fülfum , non ab reali ad imaginarium , nec enim ambo cafus vlla lege continuitatis inter fe cohaerent. (b) Si fuerit /— (D id eft, fi fri&tiones amborum corporum fuerit inter fe aequales, fit m—2 f fin.A et füng. 2 ——- REETET T lang. A Zac a: (c) Si. -—o prodit 1— f atque tang. »—tang.A, quod ipfa rei natura per fe indicat, verum fi e contrario ponatur f — o oportebit vtique vt fimul ponatur cof. A — o, me in quantitatem imaginariam incidamus; ficque prodibit - — (D atque tang. z -——ox*e ratio huius ambiguitatis iterum per fe eft manifefta. (d) Si pro quibuscunque fricionibus ponatur cóf. A-o, fiet femper -—(D--f et tang. 2— 5— tang. A — co, quod rurfüs per fe manifeftum erat. ; 6. 8. Quae dica funt multis aliis problema- tibus anfam darent ; fi ad fyftlemata multifila pro- ; gredi DE FRICTIONIDVS. $57 gredi vellemus ; expofitis autem principiis noftris phyfico- mechanicis quod reliquum eft, id fere omne ad Geometriam puram pertinet , nimiumque nos ab iuflituto deduceret. ^ Ad alia propero ícopo nofiro minus.aliena ; dicam primo de centro rota- tionis fpontaneae quod friciioni conueniat. ^ Ante hos triginta et quod excurrit annos argumentum iftud tunc temporis nouum examini fübieci , quate- nus folam materiae inertiam refpicit et ab eo tem- pore haec theoria eximio vfíui efle coepit; prima eius elementa ftabiliui et expofui in differtatione de perculfione excentrica commentariis noflris Academi- cis eius temporis inferta ; demonftraui autem , cen- trum rotationis fpontaneae inertiae debitum politum effe in ipfo centro ofcillationis, fi punctum cui potentia applicatur pro puncto füufpenfionis accipiatur. 6. 9. Sit nunc AB (fig. 4.) linea vniformi- ter grauis plano horizontali incumbens eidemque in fingulis punctis vniformiter apprefía; putetur porro ve&is B C grauitatis expets, ad A B in dire&um pofitus eidemque firmiter applicatus, cuius extre- mitati C potentia C E perpendiculariter adhaereat , quanta requiritur vt rotatio fiat circa punctum D pofitione datum et axiculo firmatum ; tum quaeri- tur relatio inter omnes has quantitates huc fàcien- tes, quod quidem ex primis elementis mechanicis de vecte et ex indole fricionum, quatenus hae ab velocitatibus independentes ponantur, deducitur , fed Tom. XIV. Nou. Comm. Kk quod Tab. IV. 258 COMMENT. PHYSICO-MECHANICA quod hic ob nexum, quem habebit cum fequenti- bus, indicandum ceníui; fit nempe AB —/, BC—2; DC-—25; intelligatur per f frictio directa totius li- neae A B; fi ab axiculo libera fecundum longitudi- nem fuam protrahatur; fit denique potentia CE— 7; erit fümma omnium momentorum , quae a frictio- ne partis D B. formantur — (A—ay x, fimilisque fumma pro altera peu A D codem fenfu accipien- da —(/--a—2Y x 5: ambae hae quantitates. fimul íumtae erunt aequales momento potentiae 7r pro codem rotationis centro in D fiue aequalis quanti- iti Ac. Exinde deducitur s 229—232 SA EHOEETE Sd SEA gi notetur autem numeratorem nihil aliud effe quam aggregatum ex quadrato A D et quadrato D B id eft, ex partium quadratis. Sic igitur erit alio mo- 1 — AD? -L-DE* I; do r SU EBADQA $. xo. Nunc vero lineam A B ab axe fuo liberari ponamus , atque potentiam in C applica- tam Ííenfim intendi , donec motus oriatur; fic ma- nifeftum eft, etiamnum motum rotatorium oritu- rum effe circa pun&um aliquod quod rurfus in D pofitum putetur; huiuszüodi pun&um centrum fo- zationis fpontaneae nunc vocari folet , idque fic de- terminabitur fit BD—»x; AD-—/—»x atque CDzA —a-1-x; his acceptis denominationibus fit 7 LIEBE, quia vero potentia 7 miünima ponitur, quae virgam fiue lineam A B quocunque modo DE FRICTIONIBVS zsg inodo mouere poffit, oportet vt punctum D ita fit locatum , vt quantitas LL—7272-—:** fit minima vnde fequitur fore x— —4a-1- Y C2 2-82 55) (tunc- que erit potentia , ad rotationem virgae liberae re- quifita, aequalis Y6152-*273-«99-—:*— f, 6. rr... Nouum cum fit iftud de centro gyra- tionis fpontaneae argumentum, quamuis triuiali cal- culo exploratum , non detrectabo generaliorem eius commentationem phyficam: Si fuerit B C vel 2 veluti infinita, poterit pro quantitate radicali Y C7 2—**9 fimpliciter poni 2-1-i/ adeoque x—7/; ergo tunc punctum D cadit in medium lineae A B; quod fi deinceps di- minui ponatur diftrantia 4, accedet centrum conuer- fionis feu punctum D ad extremitatem A; tum fi potentia in ipfo punc&o B fit applicata, fiec B D ícu x—41 Yi deinde íi potentia citra punc&um B ipfi lineae A B applicata fuerit , etiam tunc pun- €um conuerfionis ad. extremitatem A magis acce- det , donec potentia pofita fuerit in medio lineae A D; tunc autem erit. a— —;/ et x—4, fic vt linea A D circa ipfam. extremitatem A rotetur Para- doxa admodum videtur haec poftrema | proprietas ; quis euim dubitet virgam vniformem A D, cuius puncto medio potentia applicata fuerit, dum mo- vetur , arallelismum conflanter effe feruaturam 2 En igitur quod res eft. — Si potentia omni accura- | Kk 2 tione 260 COMMENT. PHYSICO-MECHANICA tione mathematica virgam bifecet , in duas partes aequales, mouebitur virga motu paralelo, at fi, vel infinite parum , punc&um cui potentia applica- tur, diftet a medio, protinus eueniet vt gyratio fiat vel circa extremitatem A vel circa alteram B; circa priorem fi paullo propior fit extremitati B, circa pofleriorem fi propior füerit extremitati A. Id ipfum indicat theoria ; quod vt tanto clarius fiat, notabimus quantitatem. radicalem Y L3-5572-:42) vi noftrae figurae ab initio pofitiue effe accipien- dam; variante autem diflantia a, eandem quantita- tem radicalem negatiue fümendam effe, fi C pro. pius ad A quam ad B fitum fit; in ipfiffilmo au- tem medio, cum ambiguum fit fignum , habebitür X—ilL-Ei1j; ego BD'et vel — D'vel— ó'atque -fic centrum rotationis fpontaneae D cadet vel in pun&um A, fi: punctum C nondum accurate atti- gerit medium lineae A B, vel in punctum B, fi tantilfum füerit transgreffüum , atque in bifectionis puncto, motus virgae ad vtrumque flatum aequa- liter inclinabit, quod fit cum fibimet parallelus eft; fic igitur centrum rotationis a puncto 4A fubito tranfilit in pun&um B et nunquam extra lineam propofitam A B cadit. — Denique fi potentia ad al- teram virgae medietatem transpofita putetur, omni& inuerfo ordine recurrent. Poft determinatum centrum rotationis fponta- neae , indicat formula in fine paragraphi ro"* ex- pofita DE FRICTIONIBV S. 261 pofita ipfam potentiam requifitam ad rotandam vit- gam, Sic fi potentia applicatur extremitati D, erit haec potentia — f(Y 2— 1) feu propemodum —:f; fi ipfi medio. inferatur, pofito a— —;i/, fiet -—f vel potius 7—-1-f, quia nimirum paullo poft hanc infertionem potentia protinus ad oppofitam partem agere debet, vt rotatio ad eandem qua coepit pla- gam pergat. —— — $& xz. Quamuis centrum liberae rotationis nunquam vltra extremitates A et D euagetur , ni- hil tamen obítat, quo minus ponatur , rotationem coactu fieri circa punctum extra virgam ABD at- fümtum ; hoc pofito potentia ^ directe foret ex principiis mechanicis determinanda ; fi fcilicet pun- &um conuerfionis D' ad alteram partem extremita- tis A putetur atque diflantia inter vtrumque pun- &um vocetur D, reperitur , retentis caeteris fingu- l LIS rr pem Pan ui isis . b-rTi-4-a P3 valor minime cohaeret cum eo, quem in fine pa- ragraphi noni expofuimus , nifi cum fit 5—0; ra- tio huius rei eft, quod ambo cafus lege continui- tatis non cohaereant ; idem dicendum de cafu , quo puncum coquerfionis D ad alteram partem . extre- mitatis B. pofitum affumitur. AUT iine fifiuem— f5;ifle autem $. x3. His praemiffis praeliminaribus aggredior denique quaeftionem cuius (atim ab initio in para- &rapho i? mentionem feci , non fine peculiari cire TORNA Kk.3 cim- 262 COMMENT. PHYSICO-MECHANICA - cumfpectione pertractandam ; fcilicet nunc inquiram, quid futurum fit, fi potentia puncto C applicata, ob- liqua fuerit ad vec&tem. BC fub angulo ACE con- ftanter eodem. — Erunt fortaffe qui putent, potenti- am Oobliquam fimpliciter in duas laterales effe re- foluendam , alteram perpendicularem ad BC, alteram in dire&um pofitam cum BC, tuncque fore prio- rem, vi paragraphi ro" — 0H 391-8402) — 29 — Ig atque alteram. potentiam — f. Legitima haec foret Problematis folutio, fi in aeftimanda fri&tione liceret principio compofitionis et refolutionis motus vti, id autem cum minime liceat, dico ante omnia pro fingulis virgae AB elementis motum definiendum effe abfolutum "eiusque dire&ionem , inde enim ha- bebitur directio, fecundum quam elementum pro- pofitum fricionem patitur; erit vtique illa directio alia pro fingulis elementis. Sic pro quouis ele- mento innoteícit fricionis potentiola elemento ap- plicata ; Haec demum potentiola erit refoluenda in- duas laterales , alteram in ipfa directione A B alte- ram ad AD perpendicularem ; fumma primae clas- fis indicabit potentiam quae in directione AB agit et fumma omnium momentorum fecundae clafis, fi referantur ad punctum D erit aequalis. momento potentiae quae perpendiculariter ad AC cagit; Hae- que tandum duae aequationes indicabunt relationem omnium quantitatum quaeftionem noftram determi- nantium, fi modo punc&um conuerfionis D legitime ücfinitum fuerit, Patet DE FRICTIONIBEVS. 265 Patet iam ex ifta folutionis adumbratione, pro- blema noftrum , plura quam quae a geometria communi expectari poffint, requirere fubfidia, quam- vis inter fimplicifüma numerandum fiatim vidcatur ;. Igitur operae pretium me facturum puto, fi folu- tionem accuratius exponam praefertim cum inta- &um adhuc fit hoc argumenti genus, plurimisque amplificari poft modis, qui Geometrarum vel ma- xime exercitatorum contemplationem allicere queant. $. x4. Fuerit AB (fig. 5) virga vel veluti linea grauis , vniformiter ad planum , cui incumbit appreffa; huic in directum affixus putetur vectis BC omnis quafi expers grauitatis , extremitati C applicata nunc fit potentia CE füb angulo per- manente GCE vel gce , quae lentifmo motu vir- gam protrahat; tum quaeritur huius motus plena determinatio vna cum potentiae magnitudine. ^ Sit fitus proximus fyflematis abc , ponaturque centrum rotationis fpontaneae virge ia D idque mox transla- tum in 7; centro D ducantur arculi circulares infi- nite parui BL, NO, Ma, vna cum lineolis Bz£, Na, Aa, eft autem locus puncti N vel 7» indeter- minatus et vbiuis fumendus: in figura ad vtramque conuerfionis partem fiftitur. Solutionis cardo in hoc potiffimum vertitur , vt proportio confideretur inter L5 et DBL quae relationem indicant inter motum progreffiuum fiue longitudinalem et motum rotatorium fit igitur Loc Tab. IV. 264 COMMENT. PHYSICO- MECHANICA Ló—a, BL—$,B5—Y(aa-4-66); patet motum loncitüditalem in fingulis virgae punctis effe eun- dem , dum rotatorius tanto minor eít, quantum vicinior pun&o D; Ex vtroque motu componitur motus abíolutus N z pro quouis pun&o INN; ergo dire&io motus fit fecundum N7z7 atque fccundum eandem directionem in contrarium agit refiftentia fri&ioni debita ; refiflentia haec conftanter quidem pro quouis elemento manet eadem , directionem autem fuam , variato puncto IN , variat; Retentis denominationibus in $. 9? adhibitis , ponemus D N vel dns, eiusque elementum iia vel nn/—ds, erit fricio huius elementi AE 7 : Quod fi nunc praefatam. fridionem — vel Kt neatiin exprimamus per ipfam lineolam Ns licebit | refpe&u — potentiae principio decompofitionis vti, quod noa licebat cum N^ motum abfolutum puncti N exprimeret; igitur jam. potentiolam zN refoluemus. in longitudinalem 2sO eidemque perpendicularem O N ; fic duas obti- nebimus potentiolarum claffes, quarum prior tota ad motum longitudinalem pofíterior ad motum ro- tatorium pertinet ; Vtramque partem feorfim ex- ponam. Pars prima pov Ponatur DB-A ; fic erit NO-— r$; Qna; Nn — Y (aa-1- £6); poten- tiola nO a fridione elementi N N^ Liebe — i d$ y 1: t xAdras — fidit ; Ponatur - Y(aa4-iL 6i x1 1 - HIY(a i--iesy eem DE FRICTIONIBDVS. 265 AUR mutabitur poftrema ifta quantitas in adi cuius integralis eft us log. 2, quae fi valor jép. C q I s reflituatur , dat 27 log. "HESS. Déc enim YQ Y (--382)- & À vlla requirebatur conftans addenda, quandoquidem euanefcente y , tota fimul quantitas euanefcit: Haec poftrema formula integram | exprimit potentiam a frictione virgae oriundam , longitudinalem , quae partem. virgae DN vel Zn retrahit, atque fi pona- tur ;— DB—A obtinebitur haec potentia pro in- tegra longitudine DB vel 4b, quae proin erit —^ og. YE Similiter potentia pro parte altera virgae DA vel da, habebitur , fi fim- pliciter ponatur /—A loco longitudinis A: tum fi priori addatur, obtinebitur potentia longitudinalis frictioni ont , pro integra virga , quae fic fit 7* log. Y Yo us T Hinc potentiae vel refiften- tiae opponitur potentia CG, poftquam potentia CE refoluta fuit in CG in dire&um pofitam cum vecte BC et in CF perpendicularem ; hinc fi ponatur potentia incognita CE—- et angulus GCE— Q, erit potentia CG— c cof. Q vnde: SEDIS deducitur aequatio " t. neofin Qo ? log .——— YG if5- FR ALLE * og (Y(1-F$$4-$ «) Tom. XIV. Nou. Comm. Li Pars e66 COMMENT. PHYSICO-MECHANICA Pars fecunda folutiomis; Ex. iis quae modo di&a funt patet potentiolam a frictione elementi N N^ oriun- dam , perpendiculariter ad virgam fumtam effe — LP LDMNUNL-T JP LT Au uu SESS S SU: AY ( aa4- S 6) per DN fiue per s dat momentum potentiolae pro puncto rotationis D: Erit gap momentum iftud , quae multiplicata —IAV(aa p i fiuc.zr CIYAVN. (12r EK UN y cuius integratio pafüim apud authores reperitur : eft "m 6ssdr Frase n eoa t log Qi] fiai nunc s—4A , vt fic habeatur fümma mo- mentorum pro integra D B , atque habebitur fg 5&y (x -4- £) -4- 7225* og. ( Y -- 5-8); huic frictión m momento addatur momentum pro altera parte DA , rurfüs affrmatiue fumendum , quoi reperitur, fi in praecedente formula loco quantitatis A fumatur quantitas |—A: fic erit momentum in- tegrum pro ambabus partibus XUI 2A AA) (£s Y( 85258) 4- enm log. ( y (t5 $)—$ AE Poftremum iftud momentum erit aequale momento Potentiae CF in ve&em CD fiue aequale producto ex m fin. Q ct 2-- A ; inde obtinetur altera cue ll-2 AI -2A AJ(5, v (E559)4- IE log. (Y iR -E 8 )-(a4-A) * fin. Q fiue. 1I. DE FRICTIONIDVS. 267 ILnfin QE Aest(4 y Gun89 47s log, (Vt8355- 8). 4-- À 2196 $. 15. DDinidatür nunc aequatio fecunda prae- cedentis parágraphi per aequationem primam , «t Tabebitur Tang. Q 1241-72 AÀ fece ua cen e yy. EUTHESCILA) rv nor log. (v 250595 —E)s $8)5.8 £- log (Y Ef.) Docet haec aequatio relationem | inter directionem potentiae 'C E 'et dire&ionem viae D£'quam extremi- tas virgae defcribit ; apparet autem quanto .compen- diofius fit priorem definire ex pofteriori quam vicifim pofteriorem €x priori ; prius folo tabularum w(u conficitur , alterum .taediofam approximatio- num methodum poftulat E Determinato angulo Q , dabit aequatio prima potentiam CG, aequatio fecunda potentiam CF, indeque cognofcitur potentia abfoluta C E. Necdum problema noítrum confectum -erit, nifi; punctum con- verfionis.D probe fuerit. determinatum ; Id equidem fecimus in fine .$ 10"', vbi demonftrauimus effe BD fiue nunc .A—— a-- V L3-:0-:99,. An. vero idem valor ad noftrum *praefentem cafum applicari potes rit?*'Id nondum liquet; etenim longe aliter fri&tio- nes in elementa virgae hic di(tribuuntur, quam antea in 6:10", vbi- fingula -elementa aequalem frictionem jpatiebantur. -Hoc dubium : foluemus , fi: confideremus gotantiam 'GG plane. nihil conferre ad -rotationem $21 Ll12 virgae 268 COMMENT. PHYSICO-MECHANICA virgae , alteram vero CF totam nice in illam impendi; E(t vero potentia CF — m fin. Q, atque pun&um «conuerfionis D íua fponte fe ita locabit, vt potentia haec in rotationem requifita minima fiat erit itaque valor quantitatis 7r fin. Q. in fine praec: 6. expofitus inter omnes minimus , qui diuerfis longitudinibus B D refpondeant. ^ Licebit autem directionem B, ab qua ratio inter a et $ vnice pendet, pro data accipere , quaecunque fuerit pofi- tio puncii D; hoc modo quantitas € pro conftanti erit accipienda , dum quantitates A , c et Q fimul variantur, et quia 7c fin. Q xoinima effe debet, erit quoque quantitás 7:5 37** minima affümen- da vnde A — Lag yibksibeeet quem valorera pro diftantia DD etiam fupra $ zio"^ innenimus. Caeterum vbique logarithmi bypetbolici erunt ac- cipiendi. 6. 16. Fuerit Lb—az4; LB-$-3; BC-a-6; fiet angulus CB^. fre 37?. dum angulus GCE tantillo maior inuenitur kits ergo paruula obliqui- tas potentiae notabilem in motu puncti B obliqui- tatem producit; ipfa vero potentia CE feu 7 ab iffa obliquitate non multum admodum decrefcit , eft enim paululum .. maior quam ;55/; Prouidebam equidem haud difficulter aliquid emolumenti hac in re ab obliquitate potentiae , fi modo in dextram modo in finiflram partem detorqueretur , fperari pofle, atque vt verum fatear , potifüma baec fuit ratio , DE FRICTIONIBVS. 26g ratio , quae me ad iftas di(quifitiones fufcipieudas: impulit ; nunc autem - video, exiguam: effe potentiae motricis diminutionem , nec ad iítiusmodi obliquita- tem. recurrendum effe , nifi cum parduli requirun- tur otus, /et vires vix fufüciuut ad rcfi(tentiam E fuperandam : facpe autem obíeruaui equos aliquo inftin&u , ad momentum temporis oppor- tunum , fibimet hoc modo auxiliari, cum longis aligati trabibus viam offenderent difficiliorem. P" SECTIO "ab. V. Fig. 22. 270 ef2 (o) $98 SECTIO SECVNDA DE . PRINCIPIIS MOTVS FLVIDORVM. CONSIDERATIO MOTVS FLVIDORVM IN GENERE. Problema ir. ei maffa fluida in motu quocunque verfetur, ele- menta exponere , ex quibus eius ftatum et mo- tum ad quoduis tempus commodiflime cognoícere et ad calculum reuocare liceat. Solutio. Referantur fingula fluidi elementa ad ternos axes fixos inter fe normales O A, OB et OC, ita QOUTAdc L1 vt DE PRINCIPIS MOTVS ELVIDORVM. 254 wt cuiusque elementi in Z. fii locus per. ternas coordinatas illis axibus parallelas determinetur, quae fint OX—x, XY-y et YZ—z: et cum fluidum in motu fit conftitutum , id elementum confidere- mus, quod nunc, poítjuam datum tempus —:/ a certa epocha efflluxcerit , in puncto Z verfetur , quandoquidem labente tempore alia atque alia flui- di elementa per idem pun&um Z tranfeunt. am ad flatum fluidi praefentem cogrofcendum , íi eius denfitas variationis fit capax , primo denfitas fluidi in pun&o Z eft definienda , quam littera 4 defi- gnemus, quae cum non folum pro diuerfo fitu pun&i Z, fed etiam pro diuerfo tempore , diuerfa effe pofüt, hanc quantitatem 4 tanquam functionem quatuor variabilium x, y, z et 7 fÍpecari oportet , in qua fi pro £ tempus propofitum fcribatur, loco x,y et X veroeae tres coordinatae OX, X Y, YZ, quae puncto Z conueniunt, ipía denfitas fluidi im Z ad tempus propofitum obtinetur. ^ Sin antem denfitas fluidi vbique et perpetuo fit eadem , litte- 1a 4 denotabit quantitatem conftantem, Secündo loco etíam preffionem in foco Z cae £uitam effe oportet, quae exprimatur altitudine —f, . quae fcilicet tribui debet columnae ex materia ho- mogenea, cuius denfitas ——*. conftanti, vt eius pondus preflioni aequali bafi innitenti fiat aequale , ac pro ratione huius denfitatis. vnitate expreffae per petuo illa denfitas q fit mgenfurandg — Cum, igiter ct 272 DE PRINCIPIIS et haec altitudo pro varietate loci ac temporis di- veríà efle poffit, etiam $ vt functio quatuor va- riabiliun x, y, z et f tractari debet. Tertio fi fluidum actioni virium veluti gra- vitatis aliarumque fimilium, fit fübiectum , eas fem- p:r iu ternas fecundum directiones coordinatarum refoluere licet. ^ Sint ergo hae vires acceleratrices elementum in Z fitum follicitantes, íec. dir. Zx — P. fec. dir. Zy —Q et fec. dir. Za—R, pofita vi gra- vitatis naturalis — x. "Hae vires fi fint variabiles tantum ab loco puncdi Z non vero a tempore £ pendere folent, Quarto pro motus cognitione imprimis neceffe €ft motum cuiusque elementi ad quodvis tempus noffe, qui motus conuenientifme fecundum directio- nes trium: axium refoluitur. Sit ergo pro tempore —: elementi in Z. verfantis. celeritas fecundum: di- reCcionem Z x— 4, fecundum directionem Zy —« et fecundum ZZ z-—«, quae ergo ternae celeritates tan- quam fünctiones quatuor variabilium x, y , z et £ fpectari debent. Vbi facile patet calculum ita inflrui poffe, vt tempus £ in minutis fecundis , celeritates autem 4, v, w per fpatia vno minuto fecundo per- currenda exprimantur. | Coroll. t. 2. Cognitio ergo perfecta [latus et motus fluidorum his quatuor capitibus , quae expofuimus , sontinetur, denfitate fcilicet preffone, viribus follici- tantis MOTVS FLVIDORVM. 273 tantibus et ternis cuiusque clementi celeritatüibus quae fi ad quoduis tempus aflignare valeamus , perfectam totius motus cognitionem habebimus. Coroll. 2a. 3. Vires quidem , quibus fluidum follicita- tur femper vltro dantur, neque ipíaé a motu pen- dent: ita etiamfi motus fit incognitus vires P, Q,, R quibus fingula elementa incitantur ; inter quanti- tates cognitas funt referendae , atque €x iis potiffi- mum rcliqua capita determinationem nancifcuntur, CmIulb Quando fluidum efl homogeneum, eius- que denfitas nulli variationi obnoxia, etiam quanti- tis q erit data, fin autem fit fiue heterogeneum , fiue quaelibet particula denfitatem habeat variabilem, omnino neceffarium eft, vt durante motu pro quo- vis pun&o Z particulae. ibi veríantis denfitas in- vefligetur. | Coroll 4. 5. Tota ergo theoria motus fluidorum huc redit, vt pro data fluidi natura et viribus follici- tantibus , quantitates g, 5, w, v, «v definiantur, ac per quatuor variabiles x, y, z et £ ita exprimantur vt earum valores tim pro quouis puncto Z dra quouis tempore 7 afügnari quearit. - "Tom. XV. Nou. Comm. Mm Scho- 274 DE PRINCIPIIS Scholion r. 6. Cum hae quantitit:s 42, p, s, v, ww. vt functiones harum quatuor variabilium x, y, z et Z tractari debeant, cuiusque differentiale ia gencre fumtum ita exprimetur : dq —dx($2-2- dy $2) A- dz (5:3) di (5) €uius formae tres partes priores incrementum den- fitatis , quae Bunc in Z (latuitur — 4, exhibeat , dum manente tempore 7 eodem ad aliud pun&um Ípfi Z proximum tranfimus, cuius locus his ternis coordinatis x --dx, y-4- dy, z--dzg determinatur , ficque intelligitur quomodo tempore £ conftanti as- fumto pro quouis infanti per totam fluidi maffam in fingulis punctis denfitas fe fit habitura , quod fi- Xnili modo de prefhone et ternis ccleritatibus fin- gulorum elementorum eít intelligendum , atque hoc quidem ex natura differentialium per fe eft mani- feftum. f At. fi manentibus coordinatis x, y et z iisdem. tempus 7 differentiali fuo 7 augetur, denfi- tas iam fiet 4-47 (53 7) quae autem neutiquam eius elementi fluidi, up in Z haeferat denfitatem tempufculo 2: variatam praebet, quemadmodum non fatis attendenti videri poffet, fed ea formula potius alius elementi quod demum elapfo tempus- culo 4; per pun&um Z tranübit denfitatem decla- Fabit. Quando autem eiusdem elementi fluidi quod iu Z verfabatur et cuius denfitas erat — 4 denfita- tem tempusculo 44 variatam definire velimus ante oninia MOTVS FLVIDORVM. 27$ omnia ad locum vbi hoc elementum ' poft tempus- culum 47; haerebit refpicere debemus, qui fi his coordinatis variatis x 4-2 x, y -J-dy, z-r-d in- dicetur , verum denfitatis incrementum etit dx(1) A- dy (1)-4-42 (1.3) 4 d1 (£3). Haecque eadem cautio adhibenda eft, fi eiusdem fluiài elementi quod nunc in Z verfatur , elapío tempuículo Z7 fiue preíhonem fiue motum ternis celeritatibus z, v, vv determinatum aílignare debe- mnus. Quae cautio co magis eft neceffaria et omni cura inculcanda, quod ea ob attentionis defectum negleda in grauiffümos errores incidere poílemus. Scholion 2. 7. Ad. mótum porro fluidi cognofcendum omnino neceffe eft cius elementorum motus noffe, minimeque fufficit, vti in corporibus folidis víü ve- nire folet, aliquot tantum pun&orum motum in- veftigatle, In motu fcilicet. corporum | folidorum rigióórum , [ftatim ac trium punétorüm non in diretum fitorum motus innotüerit, inde fimul omnium reliquorum pun&orum totiüs corporis mo- - tus definitur, ac fi corpus flexuris fit praeditum plurium quidem punctorum motis ad. totius corporis motum definiendum requiritur , eorüm t£imem nu- merus femper eft finitus. In flaidis autem fingula elementa motu peculiari ferri poffünt, ici vt etiam- fi millé particularum motum exploratütm haberemus, Mm 2 totus 236 DE PRINCIPIIS totus tamen motus iis nondum fit determinatus. Ne- que tamen omnium e'ementorum motus ideo neuti- quam a íe mutuo pendere funt ceníendi , quodfi enim denfitas fluidi nullam mutationem . patiatur, euidens eft fingulas particulas non ita temere . pro- fluere poffe, vt vel in maius fpatium difpergantur , vel in minus. compellantur , vnde certa quaedam «onditio inter fingularum particularum motus fta- bilitur. At etiamfi fluidum condeníationis et rare- facionis fit capax , tamen talis mutatio non fine refpectu ad preffionem habito euenire nequit, ex quo ob preffionem omnes omnium ' particularum motus certa quadam lege imitantur. ^ Haec autem ipfa limitatio in theoria motus fluidorum praecipuum caput conftituit quod eo reduci facile perfpicitur, vt motu omnium elementorum , vt cognito. fpecta- to, variatio cum denfitatis tum motus cuiusque. punci inveftigetur. Scholion 5. 8. Quatuor illa capita quibus perfectam notitiam motus fluidorum «contineri diximus, for- taffe huic fcopo nondum fufficere videbuntur, quo- niam plerumque ad plures alias. circumftantias at- tendi neceffe eft, veluti fi fluidum vafi fit inclu- füm , per quod vel transfluat , vel ex quo effluat ad quoduis tempus quoque noffe oportet , quousque fluidum in vafe porrigatur , fimulque vafis figuram probe perfpectam effe oportet: tum íi qua in parte | fluidum MOTVS FLVIDORVM. 2737 fluidum fit apertam , vbi fcilicét preffüo fuerit nul- ]a , etiam haec .circumítantia ad motum vlteriorem determinandum omnino. neceffaria videtur. | Verum hic in genere tantum eft tenendum , quatuor expo- fita capita omnino fufüicere ad motum aequationi- bus diffrentialibus includendum , in quo principio- rum motus vis potiffüe]um confifit. — His autem aequationibus inuentis, quando eas integrari opor- tet , tum demum omnes illae circumfílantiae in computum ingrediuntur ,' atque analyfis femper ita ad omnes cafüs accommodata deprehendetur , vt omnibus illis cond'tionibus, quascunque circumftan- tiae , praefcribunt, femper perfe&e íatisferi poffit. Problema 1$. o. Datis celeritatibus, 4, v et uw quibus fingula fluidi elementa mouentur , inueftigare trans- dationem cuiuscunque molecule fluidi tempusculo infinite paruo , d; facam. Solutio. Moleculae , cuius translationem — quaerimus , tribuamus figuram pyramidis triangularis Z L M N, pro cuius quatuor angulis fint ternae coordinatae. PrqZ,! 09d No XY-—y, NZ-cE Pro L, OR—x--dw RP-—», Bal ssi ProM, OX —x, XQ-—r--4dy, QM —z PEroN,OX-Is, 1 XY-—» YN-2s34s. Mi Cum 278 DE PRINCIPIIS Cum nunc pro pun&o Z fint celeritates fecundum directiones ternis axibus parallelas z, v, *, functio- nes quatuor variabilium x, y, z et 7 hinc pro fin- gulis angulis hae celeritates ita fe habebunt : celeritas celeritas celeritas Pro Z fecundum OA —z, fec. OB—,fec. OC — v Pro L fc. OA—u-- dx(25, fec. OB—- v4-2x(23 ) fec OC—w-i- dx (22 ) Pro M fec. OA-—u-r- dy(25, Ic. OB-—«-4-djt5 fec. OCcw-r-dy(5) Pro N fec. OA —a-t- da (19), fec. OB—v-4-d2 (52) fec. OC— w-4- dz (1). His ergo celeritatibus. tempufculo 47 haec quatuor puncda Z, L, M, N traunsfrentur in z, 7, 7, n quae fequentibus ternis coordinatis determinabuntur : Ovzxrkhau X93 -r-vdt yz zz--wdt Or--x-r-dx--udt-- dtdx (123) , 'b—Jy-- vdi-- dt d x( v ) ! pl—a-rwatA-dtda(5 7 ) Oszx-ir-udi--dtdy( do ), sqm dy vdia didy 87 ) qm —ez-4wdi--atdy "E ) Or—3-i-udi A-didz (32), 102—y-4-vd t 4- dtd z (2. | 0n —z-r da watt (5 )- Fluidi MOTVS FLVIDORVM. zyg Flaidi erzo materia ia pyramide Z L M N conten- ti ita mouctur vt elapío tempuículo d£ pyrami- dem z/mz7 occupet ét. impleat. — Quoniam enim pyramis Z L M N eft infinite parua. vtcunque mo- tus fuerit irregularis , omnia punc&a in fingulis he- dris pyramidis Z L M N contenta ita moueri ne- ceffe eft, vt perpetuo fecundum hedras planas ma- neant difpofita, ficque hedra ZL M in z/7 per- wenire eft cenfenda , fimilique modo de reliquis. Coroll-r. ro. E3amíi ergo forte figura" moleculae py- xamidis Z L M.IN mutatur, tamen figuram pyra- midis triangularis retinet, vüude cum quaelibet mo- lecula in. huiusmedi pyramides refolui queat, eius quoque figura, quae ipfi ob motum inducitur, hinc «olligi poterit. Coxolt 3. Ir. Cum latera pyramidis ZL MN. princi . palia fint Z L —4x,.2: M —d yet ZZ N——da quae inter fe fünt normalia, reliqua erunt LM—Y (dx 4- dy ^), LN-—YV(dx-r-dz£) et MN-——V(4y -i-dz) atque foliditas iftius pyramidis erit —i4x4ydz, cum ba- fis ZL M area fit —idxdy et altitudo. Z Nz4z. Scholion Tr. 1*. Nunc ergo quoque fingula latera pyra- mitis translatae z/mn definire poterimus. Primo euim ob Or-— 280 DE PRINCIPIIS Or-Ox-dx--dida( 13), rp-xy-dtdx(À7), p1-yu— dt da( 7) erit z/-V(da?- 2 dida? (2)) — d x--dtdx( 2), quia particulas poft fignum radicale , vbi differentialia ad quatuor dimenfiones affurgunt , reiicere Licet, fimili modo. erit zm —dy--didy(s) et 2n— dz dtdz(77) deinde pro latere /;z;7 ob OF taGre UR DATE) sq—rpdy- dtdx( 5 )-didy (57 ji ied sias qa ej quie - fiet Im— Y dx 4-dy-- 2dtda*(£2)—2dtdxdy 22)— hund -r- a didp (f 25 ) did C didxdy( di —didxd dxdy C7 dt dtd Cy GS RHE Y(dx-rdy) —— Hinc autem commodius angulus /g;m definitur, cum enim fit cof. 7:4 — 215-27 — 7" reperitur 2dtdxdy( RH adxdy (cu 7m — Y (d x*4- dy) 4- cof.]zqg— —Zdi(2)tdt(£2) qui ergo angulus infinite parum a recto difcrepat, fimili autem modo inuenitur cof. ]zn—d1(22)-- dt (Z2?) et cof. fuz n— di) di (n) vnde patet finus horum angulorum tam prope ad finum totum accedere, vt defectus formulis differen- tialibus fecundi gradus exprimatur. Scho- MOTNS FLVIDORVM. z8i Scholion 2. .13. Si quaeftio effet de motu corporum foli- dorum , quorum elementa ita funt comparata, wt neque in quantitate fua neque in figura vllam mus tationem admittant , pyramis z/z&? omnino fimilis et aequalis efle deberet pyramidi ZLMN, vnde literum. principalium aequalitas has fuppeditaret ae- quationes , d c I — (12:005 G5) e (2)-0 reliquorum vero laterum aequalitas has (452 C205 GE )mei (Me Quocirca pro corporibus folidis hae tres celeritates &4,V,'w cuiusque purci neceffrio tales functiones quatuor variabilium x,y,z et ; effe debent, vt fex iftae conditiones locum babeant. Ex ternis prioribns quidem fequitur , celcritatem 4 ab x pendere non poffe. , ncque 9 ab y, neque zaz. lLeinde cum fit Cox jz— ( $2 2.) hinc fequitur formulam sdx-vdy integrabil em cde debere , fiquidem folie xy et. y vt variabiles fpeCtentur , tum vero. eodem modo has formulas differentiales udx —wdz et vdy —wdaz integrabiles effe oportebit , ex quibus conditionibus motus corporum folidorum eodem modo determinari reperitur, quo is ex aliis. principiis determinart . folet Ex hoc autem cafu intelligitur etiam pro fluidis has ternas celeritates certis conditionibus cir- i Tom. XIV. Nou. Comm. Nn cum- "Tab. V. Fig. 23. 282 DE PRINCIPIIS cumífcribi debere , fi énimm fluidum fit eius indolis , vt eius denfitas nullam mutationem admittat , tum omüino neceffo eft, vt pyramidis z/mm volumen aequale fit volumini pyramidis ZLMN, ac fi denfitas variationem patiatur, ex ipfa hac variatione volumen pyramidis z/mn determinatur , vici(fim autem ex hoc volumine vàriatio denfitatis colligi poterit, vnde fequens problema nafcitur. Problema rg. 14. Datis ternis celeritatibus u, v, ww quibus fin- gula fluidi elementa mouentur, inueftigare varia- tio em denfitatis, quam fingula elementa dum tem- pufculo infinite paruo 4; proferuntur , — accipiunt. Solutio. Confideretur vt ante fluidi elementum ZLM N cuius figura fit pyramidalis, et denfitas in hoc flatu — 4: cum igitur volumen huius pyramidis , pofitis ternis coordinatis OX — x, XY —y et Y Z-z fit —idxdydz, maffa huius elementi erit —qdxdydz quae étiam in motu eadem perpetuo manet, quo- modocunque interea volumen fiue augeatur fiue minuatur. Ob motum autem , quem huic elemento tribuimus , id tempusculo 4 ; promouetur in &lmn, cuius figura itidem pyramidalis, vidimusque eius latera principalia effe. Al-dx-4-didx (£5 zin-dy 4-dt o GS an-dz- di dz(7) angu- MOTVS FLVIDORVM., 283 angulos autem ad z ita effe comparatos, vt fit cof, izm— dij 2)-r- 4i(E M) » cof. Ian—dt($* 2)-- di($** ), cof. manc di (5 4-di (55 vnde volumen huius pyramidis definiri oportet. Quod fi autem breuitatis gratia ponamus cof. /211 — yv , cof. /zn — y, et cof. zzn— A . eX geometria volumen iftius pyramidis ita reperitur expreffum —izh zm.znY (x —AX—p py —vy-- 25g. v) Quoniam vero A, 4,» funt differentialia primi or- dinis eorum quadrata ad ordinem fíecundum aícen- dunt , vnde fine «errore hoc volumen flatuitur -s2bam.zn ficque erit zd x dy dz (x - dz 27") G4) (x4-4:(27)) et faa euolutione eec m dific- rentialibus altioribus prodit pyramidis z/mt deer —idxdydz(x-di (32) 77 4 155)-4- d : (£2) flatuatur iam denfitas iftius pyramidis — 4/, quae cum per volumeneius multiplicata maffam pyramidie ZLMN producere debeat , habebimus hanc aequa- tionem per ;dxdydz vtrinque diuidendo : q—4 4 d (e) G5) 9-221) Incrementum ergo denfitatis 4^—4 ita .exprimitur , wt fit $125 r0 d u EI ei Pen at — j— | —— Nn2 Coroll. ig "DE PRINÓÉrIPIISOE (Ore rs 15. Si ergo fingula fluidi elementa nullam muti- tionem in denfitate fua durante, mo:u patiuntur , ternae celeritates 4, v et «. eiu$modi xhhenn efie d«v functiones ipfarum x,y,z et $, vt fit Lu ge. (0 ra. i9. hd 16. Viciffim igitur etiam quoties fuerit (£5) d v 4j PU 2013 2x "i ($5) st Ee per. motum. fingulorum. cle- mentorum fluidi denfitas non mutatur. Hoc ergo inter alios innumeros cafus euenit , fi neque 4 ab x, neque v ab y neque v a z pendeat. b OACCOTOID 17. Quoties autem in motu denfitas particu- farum fluidi mutatur e eius variàtio ex valore for- mulae (72)-1-(22)2- (22) cognoféitur, qui vbi fuerit pofitiuus , denfitas decreféit , vbi autem negatiuus ibi denfitas augetur. Scholion. 15. Methodus hic adhibita volumen pyra- nidis z/mm inueftigandi , multo eft concinnior ac facilior ea, qua olim fum víüs in Vol. XI. Mem. Acad. Reg. Boruff: vbi per multas demum amba- ges eandem formulam pro .ifto volumine. elicui , dum cius inuentionem ad .prismata triangularia : reduxi. MOTVS FLVIDORVM. 285 reduxi;. Compendium autem . calculi hic inde eft ortum , quod tres anguli /zm , /zn , men inünite parum ab angulo recto difcrepent ac difcrimen. adeo per quadrata differentialium exprimatur quod nifi com- mode vfu veniffet altera methodus anteferenda fuiffet .Cum fcilicet. pyramis z/mz; aequetur füummae ho- zum trium prismatum ypozin-J-ygozmmn--pogqlmn demto quarto ypqzím , erit. ea Z3 Aypo(ya--plH-on)-1 Ayqo( ye--qmm-a-on) 4-5 poq( pia-quiA ou) —sAypq(ya--pld- qu) quae reducitur ad hanc formam s(Aypod- Ay qot Apog)( ya--pld-qm--on) —sAJyp0. qiu —^yqo.pl—i^poq.yz —s^ypq(yz-F-pl4-qm-ron)--iAypq.on vnde ob Aypq-—aAypo-L- Aygo-i- ^poq fit pyramis ulmu-;om Aypq—iqm.Aypo—ipl.ayqo—iy z.^ pog. lam haec triangula porro ita repraefentantur : Aypq —sxs(xy--5q)t-ser(rp- ng) xr(xy4-vp) — au s-ers (ym rp-rq)-ix 5. rb-ser. xy -ier( Xy--rpJ-5q) Mir. 04 ideoque Ay pqccixr.sq—ixr.rb—isr.xy et fimili modo Aypo—ixr.t0—;XI.rp—;lr. xy AJq0—iXl. $q—iX f$. 10—; 51. Xy Apoq-ciri. $Q—i si. Tb—isi. 10 ex quibus tandem coiligitur Nn3 ózimun Tab. V. Fig. 24. 286 4DE PRINCIPIIS 6zlmn-—on xr.sq—on. x s. Tp—0n. sv. Xy —qm.xr.io4 qm xt. vp qm. iv. Xy —plxi.sqeoplxs tow plst.xy —yz. ri. sqA- y S. Sb. rp-r y S. $T. 5 0. Quoniam nunc omnes hae lineae fupra fuit defini- tae, hinc volumen iftius pyramidis rationalter ex- primetur , fada autem fubflitutione haec forma in expreflionem fuccindam modo ipueutam contrahitur. Problema 20. 18. Datis ternis celeritatibus w, v et v qui- bus fingula fluidi elementa mouentur , inueftigare accelerationem quam. quocuis elementum tempufculo infinite pàruo 2/7 capit. Solutio. Concipiamus fluidi elementum iam tranfiens per punctum Z coordinatis OX — x, X Y — et Y Z-— z determinatum , quod celeritatibus w, € et w latum elapfo tempore 27 in puncum 2z perue- niat. Hoc ergo pun&um iftis tribus coordinatis Ozxcx--udt,uxy-y-r- dti, et y m--uwdide- terminabitur. His pofitis quaeritur , quantum ter" pae celeritates , quas iam elementum in Z habebit , et quae fint z/, v/, w/ fint fuperaturae, illas ternas celeritates ug, v, quas in Z habuerat? quando- quidem ex his incrementis acceleratio eft. aeftiman- da. MOTVS FLVIDORVHM. 287. da. | Cum iam u, v et « fint functiones quatuor variabilium xw, y, z et t celeritates quaefitae in z elapfo tempufculo 77 hinc colligentur , (i. variabiles X, y, et £ his incrementis udt, vdt, «dt et dt augeantur: quamobrem colligemus a cu udt( 3) vdi (35) A-w dt (52) A- 4: (5) v/—29--udi d? 2)--vdt (i2 D)-rwdarc 2)--d:(83) a —w--udi(F-t -dt(1 2) wdt(17 jirdt (12). Quia igitur id motus inuefligatione celeritatis in- crementum per tempuículum diuifüm dat accelera- tionem , ternae accelerationes quaefitae ita íe ha- bebunt : We I 20. Eaedem ergo accelerationes refültare de- bent ex viribus, quibus idem fluidi elementum fol- licitatur, vbi quidem opus eft, vt vires follicitan- tes fecundum easdem ternas directiones reíoluantur. ÜPorolL. 2. 21. Singularum ergo celeritatum | incrementa etiam a binis reliquis celeritatibus pendent; neque hic 288 DE PRINCIPIIS hic vulgari regula in mechanicis vfitata vti licet ij qua celcritatis 4 acceleratio pcr - exprimi folet. Scholion. 22. Rátio quod hic ab ifla regula vulgari re- cedere cogimur , ex praccedentibus , vbi fignificatio- nem celeritatum 4, v, t» expofuimus fatis cit Zpet- fpicua, Hae enim celeritates. nou ita funt compara- tie, vt perpetuo ad i.em fluidi elementum refe- rantur, quemadmodum in motu folidorum — fieri folet, fed eae hic potius ad idem fpatii punctum referuntur , ita wt manentibus coordinatis X, y, 2, fi tolum tempus 7 variabile ftlatuatur eae fint prae- biturae motum eius elementi , quod elapío tem:pus- culo d; per pur&um Z tranfit. — Quare cum hic accelerationes eiusdem elementi, quod nunc in Z, poft tempusculum d; vero in £ reperitur, cefide- rentur, functiones illas w, v, et w, non folum per tempusculum d7, íed euam a pun&o Z in pun- &um z transferri dcbent,. quarum tum exceffus fu- per illas incrementa celeritatum ^ eiusdem. elementi fluidi. indicabt. ^ In errorem ergo inügnem .fuiffe- mus prolapfi , fi regula illa vulgar decepti has ac- celerationes fimpliciter formulis (£2), Gn [r9 expreffiffemus , quae vt nunc videmus tantum par- tem 2liquam verarum accelerationum confütuunt. Problema 2r. 25. Si praeter ternas celeritatts w, v, w quae fingulis fpatii punétis , per quod fluidum mouetur : conue- MOTVS FLVIDORV M. 289 conueniunt, etiam denfitas 4 in quolibet puncto da- tur, relationem quae inter celeritates et denfitatem intercedit , inueftigare. Solutio. In probl r9. inuenimus, fi fluidi particula his celeritatibus u, v, a» ex Z in 2 tempufculo d& proferatur , eiusque denfitas in Z/ ponatur — 4, in Z vero — 4^ tum fore reae a «0 19. Nunc autem quia denfitas 4. vt functio data quatuor variabilium x, y, z et Z fpectatur, et nunc quidem particulae in puncto Z verfantis denfitatem denotat, ex ca colligetur denfitas 4 fi elapfo tempufculo d£ in punctum z transferatur, ficque quatuor variabi- libus x, y, z et ; haec incrementa z t, v d?, wdt et d? tribui oportet. Quocirca haec denfitas 4^ ei- dem particulae ex Z in z translatae conueniens ita exprimetur : q —q-4- udi (24 22) -41- vdt ($5- 2)4-w dit ($27 2)4-di (15- ) vnde fit D cua v0i -wt)4-(4) dt qui valor fi in fuperiori aequatione fuübftituatur, re- latio quaefita inter celeritates et denfitatem hac ae- EU continebitur d «ww 41:3 3-4665)2- 4G 2) 41) 6 tu) 4- v (74 3)--vdz 2 s Tom. XIV. Nou. Comm. Oo quae 490 DE PRINCIPIIS quae cum fit 2 (25) 2a- « (14) — (522) in hanc con- — 22.) 4- (6522) 4- (& 22) -- C577 2)- 0 hic dut in differentiatione ipfius 4 4 fola x, ipfius qv íola y et ipfius qw fola z vt variabilis tractari debet. | Coroll. r. 28. Si ergo u, v et «v fuerint functiones qua- tuor variabilium x, y, z et £ datae , aequatio in- venta indolem func&tionis 4 indicabit ; quae autem quemadmodum inde definiri debeat , haud patet. Coroll. 2. 24. Sin autem detur denfitas 4 cum duabus celeritatibus 4 et v, quantitas (5,.)-1- (522 a euyer- (St) vtpote certa functio ipfirum x, y, z et 7 erit cogni- tj, qua pofita — Q erit (5727) -- Q — o. Spe&tetur fola quantitas z variabilis , ac prodibit integrando qu --[Qd4z— Conft. ergo gy — e Ios, Scholion r. 25. Cum refolutio aequationis inuentae : ($4) 4- (£ 21) -1- (G2? 25) -- (327 29yenipiq fit maximi momenti, obícruo primo ei fatisferi , fi fit qz: MOTVS FLVIDORV M. 291 U—FI: 05035 0 &-6:(8,09512)3 4" — X - (r, , 25 qw 2M: (5, v, y) tum enim fingula membra feorfim euaneícuat, quae eft folutio iam latiffime patens , cum quatuor ha- beantur fünctiones arbitrariae trium —variabilium. Adhuc autem generalior folutio exhiberi pote(t ope fünctionis cuiuscunque omnium quatuor variabilium X, J, £ €t 7; fit enim T huiusmodi functio pro lu- bitu affümta, praebeatque differentiata: . dT -—Faáx-r-Gdy--Hdàz--I4t quoniam nunc nouimus ex natura differentialium effe : (507 63)— 063 9-7 (6D —6s 09-7 1)— 9 d t dz d F id GNE ul dim d E cNgdc Ee 45)—123)—9; E oun ($2)—(65)—9 introducendis fex conftantibus a, $, y, 9, e, Z etiam fequentes valores fatisfacere deprehenduntur: qu —-al—9G—cH-r 4: (, y, 2)] qv —-6I-49F—óH 4-2: (, x, z) qwc-yldacF-4ZG-r-H: (n2) neque tamen affeuerare licet , hanc folutionem — ita effe generalem, vt omnes cafus poílibiles in ea con- tineantur. Oo 2» Scho- e DE PRINCIPIIS Scholion 2 e£. Si fluidum ita fit homogeneum , vt eius denfitas fit femper et vbique cadem , relatio inter ternas celeritates 4, v et «v ita determinatur vt efle debeat : (2 -- GI -02)-—e cui ftatim fatisfaciunt hi quoque valores : ESAE, 2)5 0 22 : [E 2s EU — M (S A. Deinde vero etiam generalius introducta funcione T vt fit dT—F4x-r-Gdy-34-H4z--14*, cerit g-——àG—ceH-rA:0,5,2) v —-LOF—GH--X:(, x, z) jg --reF--ZG --H:G, X,J) in fuperiori fcilicet folutione ponendo a—o, $—0o (/—0. Hic autem obferuo non opus effe, vt quan- titates à, e et £ fint conftantes , fed etiam variabi« es fumi poffe, dum fit (25.)— -(iiy- c $)-- ($220 et (25 15)-r-( (i)—o, d eft Hu haec formula 4 dx—«d y--8dz fit integrabiliss — Hinc praeter fun&ionem arbitrariam. T adhuc aliam introducere licet, V vt fit gV—KZx--Ldy3-Mz-J-Ndt:, atque fatisfacient hi valores multo generaliores: u —HL—GM-r-a:(t, y, z) v —FM-HK-r-ZX:(, x, 2) w—GK-FL-A-H:(t, x, )) i Scho- MOTVS FLVIDORV M. 295 Scholion 5. 27. Eodem modo etiam in genere pro denfi- tate variabili g folutionem magis vniuetfalem redde- re licet , introducendis duabus functionibus arbitra- ris T et V quatuor variabilium x, y, z et /. Po- fitis enim earum differentialibus : dT-—F4x-rTGdy-r-Hdz--I4t et dN —Kdx-A-Ldy-- Mdz--Ndt .€onditioni requifitae fequentes íatisfacient valores: q—(G4-H,K 4-(H—F) L—(F-1-G)M -4-T :(x, y, z) qu—(H-4-I)L4- (1 -G)]M-(G-i-H) N 4- ^ :(7, y, z) g v—(I2-F)M--(F-H) N-(H4- I) K 4- Z::(t, x, z) qu—(F4A-G)N4-(G- I) K— (I-1- F) L-2- Hi : (7, x, 7). (Yum vero etiam duae pluresue huiusmodi formae inuicem coniungi poffünt , at hoc modo folutio non generalior fieri eft ceníenda ; quia fi alia functio pro T fumta veluti T^ cum eadem V coniungatut, ct valores inde oriundi ad hos refpe&iue addantur , cadem prodit folutio , ac fi ítatim pro T íumta fuiffet fun&io T-j- T^, quod idem de altera V eft intelligendum , quoniam commutationem admittunt. Oo 3 CAPVT Tab. V. Fig. 25. 294. DE PRIENTCITPTFIS CAPV'T II. PRINCIPIA MOTVS FLVIDORVM AVIRIBVS QVIBVSCVNQVE SOLLICITATORV M. Problema o2. 28. Si fluidum a viribus quibuscunque folli- citetur, et preffo in fingulis punctis vt cognita fpectetur , inueftigare vires acceleratrices , quibus fingula elementa ad motum impelluntur. Solutio. Pofitis pro puncto Z coordinatis orthogonali- bus OX—»x, XY—y, XZ--z elemento fluidi iam circa Z verfanti tribuatur figura parallelepi- pedi re&anguli ZLM N z/mn differentialibus coor- dinatarum ZL-—4x, ZM-4y et Zz-—dz contenti cuius ergo volumen erit —4xdydz, ac fi q deno- tet denfitatem in Z,, eius mafía fit —44xdydz. Nunc primo confideremus vires grauitati fimiles in punctum Z agentes, quas cum femper fecundum directiones axium OA, OB, OC refoluere liceat, fint iftae vires acceleratrices fec OA feu ZL — P, fec. OB feu ZM—Q , fec. OC feu Zz—R a qui- bus ergo elemento fluidi accelerationes fecundum easdem directiones inducentur, ad quod quidem non erat MOTVS FLVIDORVM. 29$ erat neceffe elemento certam figuram tribuiffe. Vc- rum haec figura maxime e(t idonea ad vires acce- leratrices ex preffionibus natas eliciendas. Sit igitur pro hoc tempore altitudo preffioni in Z debita — 5 quae vt fun&io quatuor variabilium x, y, ett fpe&ari debet: ex cuius indole preíhones in fingulis angulis parallelepipedi definiri poterunt vt fequitur In puncto, preffio In puncto| preffio E p & cisdpssd edi) L |px4x(i5 Do |ordx(tdz(ih M pra) mo bd )rdadt) N dpeeCIMAQIE oa dprdvityes( eds?) quae preffüones in fingulas hedras normaliter agunt. Con(fideremus binas hedras oppofitas Z Mz et LN/n2 atque manifeftum cft prefiones, quas hedra LN/z in fingulis punctis (üftinet , fuperare preffio- nes hedrae Z M z z in puráis oppofitis eadem preffione clementari 4x(2?), qui exceffus (olus in computum venit. Suftinet ergo hedra LN/a prefhonem altitudini 2x(4?) debitam; vnde cum huius hedrae area fit — yz , tota preffio aequa- tur ponderi voluminis —dxdydz($.2), fi fcilicet materia homogenea , cuius denfitas — 1 , repletum concipiatur : et huius vis directio, quia in hedram eft normalis, erit parallela axi AO. Quare noftrum parallelepipedum cuius maffa -—qdxdydzm vwrgetur fecundum dire&ionem AO vi motrice —dxdyda(;2), quae 296 DE PRINCIPIIS quae ergo per maffam diui(à praebet vim accelera- wcem —;(2^), fimili ratiocinio colligetur vis ac- celeratrix , qua noftrum parallelepipedum fecundum diretionem , BO vrgetur —;(77), et fecundum dire&ionem CO-—;($2). Cum igitur hae vires fiot contrariae iis, quibus fluidum follicitari affum- fimus, elementum fluidi in Z verfans fequentes tres fuflinet vires acceleratrices fecundum directionem OA— Pp—:i(c2 23 fecundum directionem 0 B—Q-—1(27) fecundum dire&ionem OC— R—iG- P) In quibus vtique omnes vires, quibus fluidi elemen- ta vrgeri poffunt, coinpreiehdus iur; Etiamfi enim vsquam fluidum extrinfecus ope piftilli trudatur , hinc alia vis in elementa non propagatur nifi per prefüonem $, cuius hic iam rationem habuimus. CorólVLk 3: 29. Quarumcunque ergo virium actioni flui- dum fuerit expo(itum , fi modo preífo in fingulis. eius elementis vt cognita fpectetur facile hinc vires acceleratrices, quas fingula fluidi elementa fuftinent, afhgnantur. Coroll. 2». 3o. Altitudo autem 5 prefífionem indicans ita in caleulum ingreditur , quatenus eít fünctio terna- rum MÓTVS FLVIDORVM. 297 rum coordinatarum x, y et z: fiquidem in hac virium determinatione tempus z conftans affumitur. Coroll 5. 59. In viribus acceleratricibus ex preffione natis etiam :den(itas elementi fluidi 4 in computum ducitur , cuius, in follicitatienibus P, Q, R nulla habetur ratio. quia hae vires elementa fiue denfio- ra fiuc rariora perinde accelerant. Scholion r. 31. Quia vidimus hedram LIN/7 in fingulis. pun&is eandem preffüonem 4x(72) fuftinere om- nium harum virium. media dire&cio per centrum: inertiae parallelepipedi tranfibit, propterea quod eius maffa vtpote infinit parua tanquim homogenea fpectari poteft. Quod cum ctiam de binis reliquis prefüonibus fit intelligendum , et vires P, Q, R grauitati fimiles per íe centro inertiae applicatae funt cenfendae ab his viribus iunctim fumtis paralle- lipipedo nullus motus gyratorius imprimetur, inte- rim tamen quia ob fluiditatem eius figura eft muta- bilis, fieri poteft vt in motu eius dimenfiones va- rientur , quemadmodum. etiam eius volumen , nifi denfitas füerit inuariabilis , mutationi eft obnoxium. Neque tamen omnis motus gyratorius hinc penitus excluditur : eatenus enim tantum. -omnes preffiones dx(25), quas hedra L Ns füftinet , fant. aequales ^ Tom. XIV, Nou. Comm. Pp qua-. o08 . | BE-PRLIN;bCLDPILS quatenus variationes differentiales fecuadi ordinis .hic negligimus quippe.a quibus vtique taudem quaedam conuerfio parallelepipedi oriri poteft. Colligere hoc licet ex eo, vbi fupra translationem clementi pyra- midalis ZLMNN (fig. 23. ) definiuimus: quod cum tempusculo infinite paruo 2; in fitum z/mm profe- ratur, tam in quantitate quam fitu laterum quaedam mutatio eft facta , quae tempore finito'etiam finita eua- dere poteft. ^ Verum quicunque hic fit motus, eius natura per principia hic ftabilienda determinabitur , ne- que verendum eft hic vllam circum(tantiam effe prae- termiffim , qua motus affici queat. Scholion 2. 32. Mirum quoque videri poteft, quod -hic fluidi elemento figuram parallelepipedi | re&anguli tribuimus; cum fi alia figura fuiffet affumta , cal- culus multo difficilior extitiffet , «hincque dubitare liceat, an ex ;preffionibus eaedem vires acceleratrices erutae fuiffent ?*.— Verum fupra iam oftendimus effduum preffüionis non a figura corporis, quod eam fuftinet , pendere fed a folo eius volumine: fiquidem corpus aquae fubmeríum ab eius prefhone femper pro ratione voluminis furfum vrgetur, quae- cunque fuerit eius figura. Obiicdi quidem poteft hoc phaenomenon ideo euenire , quod tam aquae deufitas quam grauitas vbique fit eadem; dum :con- tra vbi denfitas cum viribus follicitantibus -füuerit wariabilis , vtique figura corporis fübmerfi.in com- | putum MOTVS FLVIDORVM. ig putum .eft ducenda. Hoc autem dubium prorfus euanefcit, fiatim ac volumen preffiones íuftinens infinite paruum concipitur , vti hic fecimus quoni- am in fpatiolo infinite paruo omnis diuerfitas tam in denfitate quam viribus follicitantibus. excluditur. Quam ob caufam iam tuto affirmare licet, quamcun- que fluidi elementum in Z confideratum — habuerit figuram inde pullum difcrimen in vires accelera- trices , quas fuftinet , influere ; ideoque eas, quas ex figura parallelepipedi elicuimus rccte fe habere , fimulque ad omnes alias figuras aeque pertinere: ideo autem hac figura füm víüs , quia ea ad cal- culum expediendum maxime eft — accommodata. Quin etiam ratio figurae ex conclufionibus inde de- ductis prorfus exceflit. manifefto documento eas a figura nequaquam pendere. Problema 2; 33. Si fluidum cuiuscunque naturae a viribusTab. V. quibuscunque follicitetur, principia fldbilire, ex qui- P8 22. bus eius motum determinare liceat. Solutio. Confideremus ftatum fluidi, in quo tempore quocunque — :; «elapío vwerfabitur , €t conftitutis ternis axibus fixis OA, OB, OC inter fe normali- bus, contemplemur fluidi particulam quamcunque in puncto Z cuius fitus ternis coordinatis (X — x, XY-—y,YZr-cz determipatur: et. quae | follicitetur LU b a Vvi- 4o ^. DE PRINCIPIIS. a viribus acceleratricibus P; Q, R fecundum die rediones Zu; Zy, Zz axibus illis et. coordinatis paralelas. — lam ad motum fluidi inueftigandum. ftatuatur primo denfitas particulae nunc in Z.. ver- fantis, ——4 , quae ergo fípecanda eft vt functio quatuor variabilium x, y, $ et f. Deinde fit nunc preflio in Z debita alitudini ——p, quae perpetuo ad materiam vniformem grauem cuius denfitas —r eft referenda erit ergo quoque fp func&io quatuor yvariabium x, y,z et 4. "Tertio quocunque motu nunc particula in Z weríans feratur , is refoluatur fecundum easdem ternas directiones Zx , Zy , Za, fitque celeritas fecundum Zx—u; Zy-v et Zg-— quas celeritates fpatiis vno minuto fecundo percur- rendis exhibeamus , dum etiam tempus 7. in mi- nutis fecundis exprimatur. His pofitis iam vidimus inter has celeritates et denfitatem 4 hanc rclationem determinari vt fit: - : &2)-- (t5) -: 9 p 05) — o. Deinde in praecedente problemate inuenimus ele- omentum fluidi in Z nunc his viribus accceleratrici- bus vrgeri fec. ZX-posg 5 co iac (tc. Zà— R- id 2. Ex ipío autem motu huic elemento tributo in pro- blemat. 2o eius accelerationes fecundum easdem | di- xectiones ita inuenimus expreffas: íecun- MOTV$ FLYIDORVMHM. go fecundum .Zx—«(i 3x) 9 uw GE L9) p (6) fecundum Zy—ud z)-- M Apu fecundum Z x—«(27) 4- v Q 2) 47 w G2) 2- GEp- sspe Quodfi iam altitudinem , per quam corpus graue vno minuto fecundo delabitur , poonamns --g, wt tempus et celeritates fecundum ^ prae(triptam" men- füram exprimantur, quaelibet^acceleratio vi accele- ratrici iu' 2$- ductae eft aéquanda vnde nancifcimur . tres "ogg ires & | 2gP—:5 ($2 )—u 4-957) --w 18-1 2gQ—:£ (17 Te ic) 2-97 )4-w(z)2- G3) sgR-*t EE 2) -t- (12) A-w2)2- G2 quae - um illa ex confideratione. denfitatis nata | con- iuncae vniuerfam miotus determinationem continent; Koprolhs i1 34. Totum ergo negotium luc rédit. v£ ^ pro quantitatibus 5, 2, 4, V, «y eiusmodi fuuctiones qua- tuor variabilium. x, y, £ et 7 inueniautur , quae his quatuor aequationibus fatisfaciant ,. quod. infinitis modis feri;poffe cum per fe eít peripcuum, tum natura rei maxime . poftulat. | Coroll 25. 535. Cum autem^denütas 4 fit vel conftans , vd a prefüone $ fola vel infuper, a calore pendeat , PpsS hinc $o2 DE PRINCIPIIS hinc noua oritur conditio aequatioribus inuentis ad- iungenda; eaque propterea quaefüo magis reftrin- gitur. GCorollan.4 56. Cum igitur denfitas 4 aliunde detur pro quatuor reliquis incognitis p, 4, v, v quatuor adepti fumus acquationes , ex quo manifeflum eft. folutio- nem hic datam effe completam , nullamque condi- tionem effe praetermiffim , cuius infuper ratio foret habenda, Scholion. 57. In his ergo aequationibus inuentis vni- verfa "Theoria motus fluidorum ita continetur, wt non folum ad omnis generis fluida íed «ctiam ad omnes prorfus vires, quibus fluida follicitari poffunt, extendatur. ^ Verum tota haec Theoria ad calculi genus plane nouum , ct adhuc vix libatum deuol- vitur, cum per integrationem |. functiones. quatuor variabilium. v, y, z et 7 a fe inuicem non penden- tium erui oporteat Cuiusmodi-calculus , quanto- pere fit inufitatus et abfconditus hinc colligere li- cet, quod vniuerfüs calculus integralis ; quatenus adhuc eft excultus ,: tantum functionum | vnicae va» riabilis inueftigatione confümmatur; parumque etiam- nunc €a eius pars, quae circa functiones duarum variabilium verfatur, fit elaborata , quorfum eft re- ferendum problema: de cordis vibrantibus maximis diffi- MOTYS FLVIDORVM, 80g difficultatibus inuolutum. | Cum igitur ,hic adeo fün- C&iones.quatuor variabilium debeant indagari, facile perfpicitur , ,quanta adhuc calculi fubfidia in hoc negotio defiderentur. Imprimis ergo in id eft iu- cumbendum , ;vt aequationes inuent:s fiue ad maio- rem fimnplicitatem , (iue ad minorem: numerum re- digamus , quo.deinceps earum euolutio facilius fuíci- pi queat. | Ac ternae quidem pofítremae aequationes ita funt compáratae, ; vt in vnam compingi queant, quae autem vim .fiogularum in fe complectatur, quemadmodum in fequenti problemate explicabimus, hc d Problema. 24. En ap. Si praeter vires follicitantes P, 9$ R etiam ternae cuiusque pun&i celeritates w, € etj cum denfitates 4. v€ datae | fpe&tentur , prefüonem p per vnicam aequationem determinare. 1d | jd Solutio. Trium aequationum , quas in praecedente pro- blemate elicuimus, prima exhibet valorem ipfius ($9), fecunda ipfius (25-2) et tertia ipfius (2? ). Cum. igitur. 5 fit functio. quatuor variabilium x, y, £ et 7, fi tempus 7 pro conftante habeamus $ erit vtique : dp—dz (1204-45 $2) -- dx (12) vnde 404 ^ VE "PRITNCIPIFS- vnde totum rem ad differentiale abfolutum 5 per- ducere poterimüs. ^ In hunc finem ítatuamus breui- tatis gratia u 13) 2- v (5) 4- m (a2) Qr) — U «125 4» v (53: 2) -p- qv ($12 2-25 — zu a8» vim aw: anie -— MG vt tres aequationes ante inuentae ad 1025524 P-B; e£ (££)— 2gQ-V; *& (72 CJCogR-W quarum fi prima in d fecunda in dy, c tertia in dz ducatur, ob dx(? 1) Pd (22-42 (1*)— dp, denotante d differentiali preffionis p dum tempus ; conftans habetur , Obtiatbinus eas addendo hanc ae- quationem ; £48 1, (PI E Q4) A Rd2)— Uda - Vdy- Wdz eX qua nunc per integrationem inueftigari oportet preffionem $.. Obíerüandum autem eft hanc íolam acquationem aeque late patere , ac tres praecedentes junctim. fümta$, easque finguüles ita iu fe comple&i, vt ea fine vlla cuiusquam "déterminationis. practer- mifione in locuni trium illarum aequationum fub- fitui poffit... Quodfi enim in genere füerit m d -- Med y -— NZz haec fola aequatio iftas tres im^ 8" compleditur (£2) —L , (25 — M, et (£2) IN neque his Ms aequationibus 'plüs determinatur , quam illa vnica. j | Coroll.. MOTVS FLVIDORVHM. 39; Coroll r. 59. Nunc igitur vniuerfa motus fiuidorum "Theoria in his duabus aequationibus continetur : L (9)--629)-4- 625 -- (529) — o dt II. :£4?—eg(Pdx-1-Qdy-i-Rdz)-Udx—Vdy- Wdz - quibus autem infuper relatio inter denfitatem 4 et prefionem $, quam natura fluidi poftulat adiungi debet, Gorolb^ s 4o. In pofteriori harum aequationum tempus ? conftans affümitur, vnde abíoluta integratione in valorem ipfius p loco conftantis ingredietur fünctio quaecunque arbitraria temporis 7: quemadmodum rei natura poftulat, quia per vires externas pro lubitu quouis momento preífiones internae p mutari pos- funt. ; Coroll. 5. 41. Si in polteriori aequatione . quantitates U, V et W vt functiones datae ipfarum x, y et z fpectentur , eas ita comparatas effe oportet, wt ae- quatio integrationem admittat; nifi enim hoc eue- niat , eiusmodi motus plane pro impoffibili eft habendus. | Scholion r. 42. lam faepius obferuauimus vires accelera- trices P, Q, R, quae quidem in mundo reperiun- Tom. XIV. Nou. Comm. Qq tur, 806 DE PRINCIFPIIS tur, femper ita cffe édrtiga fata vt formula diffe- rentidis PZx4-Q4y-i- Rdz | intzgrationem | admit- tit; cuius integrale eft id ; quod actionis quantita- tem vocare licet. | Quodfi ergo haec actio littera S indicetur , fécurda aequátió Hadc inddet fotmám: da c 3228 Udx - V dy— Ws. M fi ct forma UZx--VX 4j 4- W dz admittat iotegrationem eiusque integrale votetür T, vt fit 2809 —— oedS —d Y q' Quee E Vbi iam conáitiones integrabilitatis fitis funt mani- feflae, Scilicet fi q fit quantitas vel con(tads vel à fola preffione $ penderis integrale eft 2g f -Pc:rgs pd pL, ;,tüm veto fi 4 füetit quantitas. a: p et (se S— T) vicddique pehdens aequatio paritér pró poffibili eft habendi, "vtpote duas tantum variabiles p et 2gS— T inuoluens; inde vero tam f$ quam 4 feorfim certis functionibus quantitatis. 22 S— T ae- quabuntur in quas quidem 7 inflar conftantis vtcun- que ingredi potefl. Atque ex hoc cafu facile intel- ligitur , ad id, vt noflra fecunda aequatio intcgra- tionem admittat, abfolute requiri, vt eam ope füb- fiitutionis cuiuscunque in formam binas tantum va- riabiles inuoluentem transmutare liceat. Quaccunque enim aequationes differentiales inter tres pluresue variabiles funt poffibiles , quod quibus cafibus vfu. veniat , certà criteria in Analyfi tradi folent , haec criteria femper eo redeunt , vt ope certae fubftitü- tionis MOTVS FLYIDORVM. 307 tionis eae aequationes ad duas tantum variabiles re- duci queant ;' quemadmodum in cafu ante enoluto fieri videmus. e 3 Scholion x 43. Hac ede hypothefi , qua formulam UZx-1-Vdy-I- W dz integrabilem affümfimus for- mulae noftrae. generali infignem | reflri&ionem ^ attu- limus. Videtur quidem adeo triplex determinatio hac conditione inuehi, cum ea requisagur vt fit; 8-45 09-65«4D- 5 fed obíeruandumm eft, dum binis harum trium for- fntlitan fucrit fitisitüm" , €0 ipfo etiam tertiae fütiéeri, Ponamus éniti relationem inter U', V , ct W ita efle limitatam, vt binae priores fórmilae impleantur; ex iisque/ vlteriori ' difftrentiatione eli- cietur : d5- - 05» Cum igitur hinc fit diy (L5), haec aequatio vtique iam tertiam illam: formulam (EX)cz[r - in fe comple&itur. Ex quo faltem noftram: acquationem generalem. duplici: determinatione reflrinximus. Tum vero ctiam perpendendum eft has quantitates U, V, ét "W' ob primam dequationem generalem guam ; a denfitate iei pendere , I ità vt oa non |o libé- dn 4i X Ht 13 "1 we eed Du H7 "ditur, 398 DE PRINCIPIIS ditur. Interim tamen hoc certum eít , quoscunque valores pro quantitatibus 5,4,4,v, Fxcogitare licuerit quibus vtrique aequationi generali fatisfiat , iis motum quendam pofílbilem exhiberi , fi modo eiusmodi fluidum exifítat , cuius denfitas ratione prefüonis fictioni illi conueniat. Primam autem ae- quationem generalem, in quam neque vires P, Q, R ingrediuntur neque preflio, fine re(pectu ad alteram tractare licet : eius autem integrationem adeo :com- pletam reperire contigit , quam in fequenti proble- mate füm expofiturus. Problema »3s. 44. Aequationis primae pro motu fluidorum. inuentae : e) ac (82) c (5*9) -- (1). integrale completum inueftigare. Solutio. Quaeftio ergo huc redit, vt huiusmodi aequa- tio Seneoriiiie refoluatur. (12)22-($2) 4- G2 2- (H1) 0 i feu vt pro Mel Sud illos P, 0, R,S in ge- nere eiusmodi fünctiones quatuor variabilium zx,.y,z et 7 afügnentur, quae non folum huic aequationi fatisfaciant , fed etiam omnes omnino folutiones in fc comple&antur. Quem fcopum quo tutius ac certius MOTVS FLVIDORVM. 309 certius attingamus a cafibus fimplicioribus incipien- do fucceffiue ad hunc propofitum | afcendamus. ^| Ac- primo quidem fi vnica habeatur variabilis x, et aequatio. vnico. conftet. termino riis o integrale completum vtique eft P— Conft. Nunc duae admittantur variabiles v et y, et integranda fit haec aequatio (25 )- C) en (o Hoc ingenere praeftabitur: fümendo pro arb trio fun- &ionem quamcunque binarum variabilium X et y, quae fit O, qua diffzrentiata fiat 40 —Kax-- Ldy : ac manifeftum eft illam aequationem complete in- tegrari his functionibus: .. P—L-r-F:y et Qz—K--A:x. Statuantur tertio tres e 3». I» 2, vt idees ri debeat haec aequatio. (£5) -1- (9 9.) (4 ijo: ac fupra : (6.55) Ps "ad UE ibiasnadaum pro lubitu duas functiones trium variabilium | x, y et z affumi poffe , quae fi fuerit O et o, ex carumque differentiatione prodeat. dO-KZx4-L4y--Mdaset do—kdz--idy A- mds folutio generalis erit : P—Ls—-MIH3MWE:((, g) Q—MkE- Km rA: (x, z) Quae folutio cum praeter functiones duas O et o pro THDIR affumtas, infuper tres complectatur fun- Qq 3 ciones et R-K/J—Lk-4-Z:(x, y) $10 DE PRINCIPIIS étiones arbitrarias binarum variabilium , vtique pro completa eft habenda. Hinc igitur ratio refoluendi ipfam aequationem propofitam concdudiítur , in qua quatuor variabiles continentur : ds GEz)-G2)2-G2)2- (212 6. Hic fcilicet um odas pro lubitu quatuor va- riabilium affümantur, O, o, o, quarum differeme tialia fint: dO —K dx-- L dy Máz--N4r do —kdx-r-ldy--m dz-r-n dt duo —x dx--*dy--y. dz-r-y di atque hinc funé&iones quaefitae P, Q, R,S ita defi- - niantur vt fit P—--Lms)»-tM5A-LNI&—-Lg5k—M/y —NauA oc P i(y,2,1) Q—-—Msr4—Nky-—Kmy4Mky Num --K ny. "d AG; zt) R—4NE&AX-KZy EcL tx —N Ix — Kn A -L & y | cA: 4) S——K!gk-L nx -—MkA4K mA Lkgar Mx B :(x 3.52) qui valores cum fatisfaciant , ac praeterea -fecundum progrefüonis legem tres functiones arbitrarias qua- tuor variabilium vna cum quatugr functionibus ter- | narum MOTVS$ FLVIDORVM. sri narum variabibüm ibidem pro arbitrio accipiendas intoluant , fine dübio integrationem completam con- ftituere funt cenfendae. Coroall r. . Ne mültitudo litterarum mentem obruat, loco A OMIM QO,0,0 fcribamus litteras F, G, H, €t ex harum formulis differentialibus folutio ida miatis Boflri ita fe habebit: qu Xs Vae e 2 G5 22) 7 5 (6a ) (598) — 5S t SET: Q5 2, 1) i -tn9eb- i? eus GS cs Nar Gas Van 4- (E5888) p (Pede yir) A c (xs m, 1) 2 (89.854 Ede yd i rao ya -dnyseygs ; B 2)- - GEAR ur G. y, t) $-— - XX zi meh E oye - ey (22)-( asas s (59d cr as a5 aa) M: n ,J, 8) Goroll s». 46. Hic non obflante terminorum multitudine facile eft legem obferuare , qua pro fingulis valori- bus partes combinantur, in prima nempe expreffione nusquam occurrit elementum 4x in fecunda omitti- tur dy in tertia Zz et in quarta 47. Tum vero f in prima loco 4y fcribitur dx , figuaque muten- tur 512 DE PRINCIPIIS tur oritur fecunda , fin vero in prima loco 4z fcribatur dx oritur tertia: ficque ex quauis data re- liquas elicere licet. € orriod. 5. 47. Tum vero etiam in qualibet expreffione ea tria membra eodem figno funt affecta, quae nullum habent facorem communem quae autem fa&orem habent communem diuerfis fignis afficiuntur. Denique in diuerfis expreffhonibus , quae membra nullum factorem habent communem , ea diuerfis fiznis; quae vnicum. factorem habent communem, codem figno, et quae duos factores habent com- munes iterum diuerfis fignis funt affecta. Scholion rr. 48. Cuiuis autem membro cuiusque expreffio- pis in reliquis expréflhonibus nonnifi vnicum re- fpo:det , quod cum eo duos fa&ores datos habct communes, quod cum imprimis notari mereatur, quoniam ei tota demonftratio iftius folutionis inniti- tur, id fequenti modo o(tenditur. Sumatur ex for- : d F yd Gyd B : ma qu membrum (7X 0— 417), pro quo in re- liquis quaeri debeat "membrum ; ; quod cum eo hos duos factores CS) habeat communes, —Euidens autem eft tale membrum ncque in forma 4v, (quia hic 47y excluditur), neque in forma qw (quia hic dz excluditur ) occurrere poffe : in forma autem q certe reperiri debet, idque vnicum figno contra- MOTVS FLVIDORVM,; 51g contrario affe&um fcilicet — (iriane X23), quod fi- mul de quibusuis aliis Voetabtis cft tenendum, Hoc iam eui&o demonfítratio. noflráe folutionis ita fe habet: confiderentur tantam duo huiusmodi mem- bra binos factores datos communes habentia, quae pro facoribus communibus (Z*)79) in his formis dy reperiuntur ; eer z) dGCyadW qu— (S TXe 255 H- ete. q—— (25 X2) ete: Ynde pro aequatione propofita ceu; zh 6122-625 2-522) 4- G1)— elicimus folos factores diuerfos* differentiando : d. 1i d ik 6d k mb » s) aras "uy y c : d Gyqd] du vbi haec duo va fe mutuo tollunt. Ex quo intelligitur fi pro q4, qv, qw, et q totae expreffio- nes inuentae fubftituantur , et fingula membra debi- te differentientur , quo paco fingula membra in tres partes euoluuntur ; omnes has partes fe mutuo defiruere debere. Siquidem dum fingula membra differentiartur, inde pro ternis fadóribus in differen tialibus terna noua membra refültant , in quibus vhicus tantum fa&or differentiatur binis reliquis ma- nentibus vnde died hic de deftru&ione membri dif- ferentiati GG CE. "Y eft oftenfum idem. de oimn- üt dx. nibus plàné valere eft iüdicandum, Tom.X1V. Nou. Comm. Rr Scho- 314. DE PRINCIPIIS s BSoeholren. 2. 49. Ex folutione probiematis, dum per gra- dus ad aequationem ,propofitam fumus .progreffi , cafum , quo fluidi denfitas q^ eft confians, et prima bon ita fe habet iz)-4- i -4- es dins: sibi dius Ri eo magis eft notandum , quoa huius folutionem ex generali , quam uodiütins, deriuare non licet, | Quamquam autem hic tres tantum variabiles v,y et z confiderantur tamen ni- ' hil impedit , quominus ín folutione ibi data, etiam quartum £ introducamus , eam. quafi conítantem Ípectando, Sumtis ergo pro lubitu duabus functio- nibus F, G quatuor variabibum x, y, z et z, ex iis tcernae celeritatts z, v, et zv ita determina- buntur vt fit f usto X 3 Z)-rT: (5, , t) e appa —($z Y39--A: (a, z, t) wishes zem ira i2)--Z: (x, y, t) vbi totum momentum itirum in eo eft fitum , quod cuiuis membro cuiusque formae in reliquis refpondeat aliquod quod cum «co datum factorem habeat communem , et figno contrario fit affzctum. Totus autem hic cafus, quo denfitas fluidi eft quan- titis conítans , meretur vt feorfim diligentius euol- watur, cui negotio ícqueus caput eft deftinatum. Cete- MOTVS FLVIDORVM. arz$5 Ceterum in vfum analyfeos hic notaffe iuuabit, hac methodo etiam fimiles aequationes , vbi plures variabiles quam quatuor occurrerent , generaliter refolui poffs ; membrorum autem numerus ita in- crefcit, vt nimis prolixum foret faltem cafum quin- que variabilium euoluere. CAPVT III APPLICATIO HORVM PRINCIPIORVM AD FLVIDA EIVSDEM VBIQVE DENSITATIS. Problem a.26. 5o. Si fluidi .denfitas vbique et femper fit eadem idque a viribus quibuscunque follicitetur , eius motum per formulas aralyticas determinare. Solutio. Quae in capite praecedente de motu fluidorum cuiuscunque indolis funt tradita, ea ad hunc cafum ref.rentur , denfitatem , quae ibi vtcunque variabilis erat pofita , conílantem ponendo, quae fit. — P, ita vt habeamus q—4. Hinc prima ftatim aequatio in hanc formam contrahitur (3) GIL)24-(E2)zo RR quam 316 DE PRINCIPIIS quim fümendis duabus functionibus quibuscunque F et G , quatuor. variabillium x, y, z et r£, ita complete integrari vidimus , vt fit u —GLXI-GIXIDE (rtp) g —(25(2)—(25)($8)2- A: (s, s, t). (Bie) (4? y29)4-3. (x, y, £) dy vbi FT: A: Zi eiusmodi denotant ncipuese vt fit (S 9e (12)—o; et. (22)—0 Pro altera aequatione ponamus primo breuitatis gratia. u(12)-2-v(32)-I-w (2209-57) —U (pip - 15 )--w($z)-2- GT )— V 229 )--v(T2 »)-Ew(12)-r- - :)—W et ifla gon hanc habebit formam : LEP—c2g(Pdx--Q dy--Rdz)-Uda- Vdy-W dz vbi cum formula. PZx--Qdy--R 22 femper per ' fe fit integrabilis , eius integrali pofito — S, erit :E30— 2gdS —Udx — Vdy — W dz in qua aequatione differentiali notetur tempus 7 conftans effe affüumtum. Cum igitur ex priori aequatione celeritates 4, v, iam per quatuor . variabiles fint expreffae x, y, z et z, ex hac quo- que preffio p per easdem variabiles exhibetur , dum haec MOTVS FLVIDORVM. 317 haec aequatio füerit poflibilis, quod fieri nequit niü formula UZx-1- V dy-1- W dz per fe integratio- nem admittat , qua coaditione integratio prioris acquationis. non. mediocriter reftringitur. Pofito au- tem- ifto iotegrali —T erit £EBSgS—T--f:t loco conftantis fun&ionem quamcunque ipfius f£ adiicicudo. Coroll r. r. Ex generaliffuüma igitur prioris aequationis iuntegratione ii tantum cafus; funt admittendi, quibus fimul formula Udx-- V Zy 4- W dz integrabilis red- ditur: quae conditio cum. duas determinationes poftu- let fun&iones illae generales F, G et D, A, Z du- plicem reftrictionem. exigunt, Coroll. 2». 52. Pro celeritatibus ergo ternis 4, 9, 4 eiusmodi funciones quatuor variabilium x, y, z ct £ du d v inuefligari oportet, vt primo fit GS 1) iz-9, tum vero infüper his formulis eft Ecc dU pd VLOLUY-do WA ue (dV XL dw (1525225 (22) 052. 6t (222—(2) quarum quidem trium pofteriorum bids T in íe inuoluunt, ita vt omnino tres conditioncs Lha- beantur. j Rr5 : Scho- 318 DE PRIWXCIPIIS Scholion. 553. Prior ergo integratio etfi in genere füuc- .cefit vix tamen quicquam affert fubfidii ad proble- ma propofitum refoluendum quoniam determinatio earum functionum , quas pro ternis ccleritatibus 4, etx inuenimus, vt formula: Ugx4 V dy--W dz integrabilis euadat , ne minimum quidem fübleuatur. Ac temerarium certe foret, in tam ardua invefli- gatione facilem refolutionem fperare , cum adeo determinatio motus corporum fíolidorum maximis fit difficultatibus. fubiea. Etfi enim pro his cor- poribus euolutis cafus, quo nullae adfünt "vires fol- licitantes , tandem feliciter eft effe&a, tamen nullum plane eft dubium , quin motus fluidorum multo ma- gis fit abfconditus. Ex quo inueftigationes eo dirigi conueniet , vt faltem in plures cafus particulares inquiramus , quibus motus fluidorum definire liceat. Ac primo quidem motus ille fibi parallelus fe" offert quo fluidum perinde ac corpus folidum progeditur quem idcirco accuratius perpendiffe, et ex noftris formulis derinaffe haud parum iuuabit : Totum vero negotium baud mediocriter iluftrabitur , fi ante cafum quo ternae ccleritates plaine euanefcunt , exa- mini fübiiciamus, ctf enimk fic omnis motus tolli- tur ct rcs ad acquilibrium perducitur , tamen quo- niam preffio variabilis effe potet, nonnulla hic ob- feruanda occurrent, quae in fequentibus vtilitate non carebuat., z Proble- MOTVS FLVIDORVM. 819 Eroblém3tis. | 54. Si cuiusque fluidi elementi ternas celeritates u, v, ty euaneícant vires autem quaecunque fluidum fol- licitent litteris P, Q, R indicatae, quoniam fluidum in quiete permanere fumitur, prefüonem fluidi tam in fingulis elementis, quam ad quoduis tempus £ defiuire, Solutio. Statim. apparet hanc hypothefin u—0,v—0,2—0 : " SINT e d d v du Yo : prunae, aequationi (75 )--(77)--(77)— 0 fatis- facere. Tum vero ob U—o, V-:-o, W —o altera aequatio hanc induit formam: 7? —Pdx-a-Qdy--Rdz cx qua perfpicuum eft hypothefin quietis ne locum quidem babere poffe, nifi vires P, Q, R ita fint comparatae , vt formula PZx-1-Q4dy-j-RZz iate- grationem admittat. Si ergo eius integrle — S, vt fit dp—b4S, et quia tempus / conflans eft affum- tum , integrale completum erit ?»—5S-j-T:: loco fcilicet conflantis functionem quamcunque temporis ; adiiciendo. Pro eodem ergo momento preffio per totam fluidi maffam vnice pendet a quantitate S, iti vt in flratis aequilibratis , per quae S eundem wbique habet valorem , preffio fit aequalis, quemad- modum in prima fe&io»e de aequilibrio eft often- fum. Nunc autem infüper patct, quod ibi non eft anno- 820 DE PRINCIPIIS annotatum , fieri poffe, vt in eodem pun&o Z fuc- ceffu temporis preffio: quomodocunque varietur. Quod eriam cum natura quaeftionis mirifice confentit: vafi enim fluidum iuclufum effe concipiatur, in quo ope emboli vi quacunque vrgeatur, ficqgQe dum nullam compreffionem patitur, fine dubio erit in aequilibrio. Verum hic flatus aequilbrii non tur- babitur , etiamfi vis embolum adigens continuo im- mutetur fiue lege quacunque fiue etiam fine vl'a lege, at hinc preífo in fluido continuo quoque im- mutabitur. Quare cum noftra folutio omnes cafus pofübiles quietis in fe comple&i debeat, ratio eft maniféfla , cur in cexprefüonem pro fp inuentam functio quaecunque temporis fit ingrefla. Coroll-.r 55. Iíla igitur fun&io temporis 7 quouis cafu - ex variatione virium , quibus embolus impellitur, determinari debet: quae fi füerit arbitraria nullique legi adftrida, haec fünctio quoque ad genus earum quas difcontinuas vocaui, eft refcrenda: vnde necefh-. tas huiusmodi füpctionum in Analyfi multo clarius elucet. Core 25. 56. Quod fi ergo. ad datum tempus preffio in. puncto quocunque füerit cogniia, pro eodem momento in omnibus alis punc&is preffo affignari poterit, quippe quae a fola quantitate 5 pencebit. Ab MOTVS FLVIDORVM. gaz Ab his autem preffionibus neque praecedentes neque fequentes vllo modo pendent. Scholion, 57. Dum hic fluidum vafi inclufüm et ope emboli vi quacunque vrgeri concipitur , per fe in- telligitur , nifi vas in fuo loco fit afüxum , id quouis momento talibus viribus fuftineri debere, quae ei in quiete continendo fufficiant; alioquin cafus cum hypothefi affümta non conueniret, At Vires iflae externae aeque parum atque ea qua embolus adigitur , in formulas noftras differen- tiales ingrediuntur , quoniam directe motum par- ticularum fluidi non afficiunt, dum fingulae tantum a viribus naturalibus P, Q, R et preffione folicitantur: verum integratione demum peracta functiones illae arbitrariae per integrationes in calcu- lum introductae ad illas vires externas, omnesque alias circumíltantias accommodari debent. Vires externae autem duplicis funt generis quarum alterae folum vas, tanquam corpus folidum vrgent neque ipfum fluidum afficiunt : alterae vero quafi embolo applicatae fimul fluidum premunt, et vas ipfum perinde atque illae follicitant. Praeterea vero etiam vas ipfum a viribus P, Q, R eandem fuftinet vim ac fi cum fluido vnum corpus folidum conftitueret, earumque actioni effet expofitum ; ex quo facile intelligere licet quantis viribus opus fit ad vas in quiete Tom. XIV. Nou.Comm, . Ss con? $22 D'E^MRENCIPITS continendum ne cum vafe etiam fluidum de ftatu quietis deturbetur. Problema 2$. 58. Si cuiusque fluidi puncti Z ternae celeri- tates 4, v, z fucrit conflantes, ita vt fingula elementa motu vniformi fecundum eandem dire&io- nem ferantur, dum a viribus acceleratricibus quibus- cunque follicitantur , preffiones fluidi vbique et pro Omni tempore inueftigare. Solutio. "Tota ergo fluidi maffa perinde mouetur ac corpus folidum , fi ergo vafi concipiatur inclufum , hoc :vas «cum fluido vniformiter in .diré&um :moue- bitur ,:cuiusmodi motus vtique obtineri ;poteft,, .non obflantibus sviribus P, Q,.R 'fluidum vrgentibus , dum eiusmodi vires vafi extrinfecus applicantur , quae quouis momento cum illis in aequilibrio con- fituantur. Tum vero fi inter has vires quaepiam ope piftlli in ipfum fluidum agat, quoniam ea pro lubitu variari poteft, etiam quouis momento preffhones in fluido ad arbitrium — mutari poterunt, id quod calculus ex folutione deductus declarare debet. | Nam ob celeritates ternas confítantes pona- tur u—2a, v9—5, w-—'y, ac primae quidem aequa- tioni fponte fatisit. Tum vero fiet U—o, V —o, -"W-o, ex quo ob PZx--Qdy-4-R4z—4S erit "t ante dp--bdS et p—bS-L-f:i: Quouis ergo momen- MOTVS FLVIDORVM. . a23 momento per totum vas preffüo erit 5—055-1-C, ficque ab actione virium S eodem modo pendet, quo in cafu quictis , diucrfis autem temporibus haec preffío pro lubitu variari poteft, prorfus vti natura quaeflionis poftulat, Scholion. 59. Hic cafüs ex praecedente, quo tota flui- di mafíi in quiete perfeuerabat , deduci potuiffet fe- cundum principium in Mechanica receptum , quod in motu corporum omnia manent eadem, fi totum eorum fyftema infuper vniformiter in directum pro- ferri concipiatur. | Verum hic ob vires follicitantes P, Q, R aliquod difcrimen accedit ; in quiete enim quodlibet fluidi elementum perpetuo eandem follici- tationem fuftinet , dum autem fluidi maffa progre- ditur, et idem elementum alía atque alia loca percur- rit euenire vtique poteft, vt fucceffiue ab aliis at- que aliis viribus follicitetur , fiquidem hae vires a loco pendent , vt plerumque fieri folet. Cum igi- tur pro eodem fluidi elemento hic quantitas S fit variabilis, quae in cafü quietis manebat conftans pe- culiari folutione erat opus. Probe autem tenendum eft, nifi vires follicitantes ita fint comparatae, wt formula P4x-L-Qd4y--Rdz integrationem admit- tat, tum talem motum aeque parum locum habere pofí ac quietem , quomodocunque etiam vires ex- trinfecus agentes attemperentur. Si fcilicet eiusmo- di cafus exifleret , etiamfi initio motus vniformis S552 in 524 DE PRINCIPIIS in dire&um fluido fuiffet impreffus, is tamen nullo modo coníeruari poffet , fed aequabilitas perpetuo turbaretur ; hocque adeo cafu hypothe(üis celeritatum conftantium contradictionem | implicare eft cenfenda. Denique hinc etiam clarius intelligitur , omnes cir- cumítantias externas veluti vafis et virium fiue vas folum , fiue etiam fluidum piftillorum ope vrgen- tium in aequationes canonicas motum fluidorum ex- primentes non ingredi , fed demum integratione peracta , functiones arbitraris in calculum inuectas ad eas accommodari oportere , quae functiones etiam femper ita funt comparatae , vt omnes plane cir- cumílantias externas in fe complectantur. Problema 29. 60. Si ternae cuiusque pundi celeritates z, v, ev per functiones folius temporis 7 exprimantur, explorare vtrum talis motus exiftere queat et fub quibus conditionibus , dum fluidi fingulae particulae a viribus quibuscunque follicitantur, tum vero pres- fionem per totam fluidi maffam inueftigare. Solutio. Eodem ergo temporis inftanti omnia fluidi elementa pari motu in eandem directionem ferun- tur, et tempore fluente omnibus aequalis mutatio cum celeritatis tum directionis ratione induci flatui- tur; vnde cum fingula fluidi elementa easdem per- petuo MOTYS FLVIDORVM. 8:5 petuo inter fe diflantias feruent, tota maffa inflar corporis folidi promouebitur , et quia iisdem fem- per terminis circurmnfcribitur , vafi inclufa vna cum vafe motu progrefhuo proferetur , omni fcilicet mo- tu gyratorio exclufo. ^ Cum igitur g, o et c fint functiones Eopons 7! tantum , primae flatim ae- quationi (75) -- (22 5)-- ($2) — 0 ion e d z deinde pro dltóra aequatione ob Ut. NX T W —(7) ideoque ct has quantitates Tum "gt lius ;, habebimus ge sed dx (17) rg) ds (12) in qua tempus 7 conftans affumitur. ^ Quare dum fit formula 2S-—Pax--Qdy--R4z integrabilis , etiam haec aequatio integrationem admittet, motus- que affumtus fubfiftere poterit : fietque LER sgS- (15-2) (99) a fir. Dummodo ergo vires extrinfecus tam vas quam fiuidum follicitantes ita fuerint comparatae , vt ta- lem motum in corpore íolido producant etiam flui- dum eundem motum recipiet ; et quoniam illud in- finitis modis fieri poteft, fiquidem illis viribus fem- per binas fibi aequales et contrarias infuper adiun- gere licet ; fi earum altera fimul in fluidum ope piftilli agat , quouis momento prefio in fluido pro arbitrio immutari poteft, quae mutatio in fünctio- ne illa arbitraria f:7 continetur. | Ex quo manife- flum eft euenire vtique poffe vt maffa fluida motu 953 prae- 326 DE PRINCIPIIS praefcripto feratür , et quomodocunque vires exter nae ad hoc requifitae fe habeant , ad quoduis tem- pus preffionem per totam maffam afflignare licet , quae hoc cafu non folum ab a€tione S íed etiam a coordinatis x, y, £z. pendcebit. (git o Lb im 61. Si igitur fluidum vafi, inclufum conci- piatur, vt vas eo motu progrcífiuo feratur , quem ccleritates 4, v, ww defignant , fluidum refpectu vafis quiefcet, et cum eo quafi corpus folidum confti- tuere poterit fpectari, Coroll. 2a. 62. Hoc tamen non obftante preffiones ín fluido vtcunque poterunt effe variabiles , dum pri- mum ab actione virium $, quae vtique a loco pen- det, tum vero etiam a ternis variabilibus x, y, 2; quae ctiam pro eodem fluidi elemento iugiter mu- tantur, pendent; haecque poftrema mutatio a de- fecu vniformitatis motus oriri eft ceníenda. C onelk..;. 65. Praeter has autem mutationes, quae tam ab actione virium quam motus inaequalitate proue- niunt, pref variationi cuicunque temporis fucceffu obnoxia effe poteft. ^ Iaterim tamen pro quouis tempore , fi in vno loco prefho conflet , in omni- bus rcliquis affignari poterit. Scho- MOTVS FLVIDORVM. 327 Scholion. 64, Dum ergo vires follicitantes P, Q, R ita fint comparatae , vt formula Pdx-1- Qdy -- R42 integrationem admittat , maffa fluida omnes motus progre(fiuos recipere poteft, qui in «corpora folida cadunt; íi modo denfitas fluidi fuerit conftans , nullamque mutationem a viribus follicitantibus pa- tiatur. Vtrum vero etiam motu gyratorio perinde 4c corpus folidum ferri poíüt? hinc nondum patet; hancque inueftigationem in caput fequens referua- mus, vbi quidem hoc argumeutum gencralius per- tra&cabimus , cum enim in corpore folido circa axem fixum gyrante celeritates fint ipfis diftantiis ab axe proportionales in fluido aliae quoque proportiones locum habere poffunt, quia hic nulla neceffitas 'vr- get, vt fingula elementa eodem tempore fuas 'reuo- lutiones abfoluant. In hoc autem capite reftant eius- modi cafüs perpendendi , quibus inter ternas celeri- tates ratio quaedam conftans praefcribitur, dum earum quaelibet vtcunque variabilis affümitur cuiusmodi motus, quoniam a motu folidorum maxime abhorret noftro inftituto imprimis dilucidando inferuiet. Problema 5o. 65. Si ternae cuiusque puncti celeritates 4, v, w vbique et femper con(ítantem inter íe ferueat rationem , conditiones fcrutari , füb quibus talis motus exiftere queat , dum interea fingula fluidi «elemen- $28 DE PRINCIPIIS elementa a viribus quibuscunque P, Q, R follici- tantur. : Solutio. Quoniam ternae celeritates 4, v, ww conftantem inter fe tenent rationem , fingula fluidi elementa fecundum eandem direcionem rmouebuntur , celeri- tate vtcunque variabili ; qui motus vtrum et füb- quibus conditionibus locum habere poffet, inueftigari oportet. Introducta ergo noua variabili s. quae fit fünctio quaecunque quatuor quantitatum 4, z ct i flatuamus u-cag,g--6wu et u-'tys vt &, 5, *y fint quantitates conftantes, atque vt primae aequationi fatisfiat , oportet fit a(22)2-8(22)9- Y ($7) —0 Uum autem fit ds — da *)-2- dy 27- 2)4-da(P- 2. erit adu —— eds (12) yd (02)-- ad OS reda aS) feu ads (ady—8dx)(52 )d3-(adz—y dx) Q7.) cui aequationi fatisfieri intelligitur fi modo sw fit funcio binarum quantitatum variabilium (ay — Sx) et (az—'y x) vel harum (2— 2) et(2—75), quibus etiam tertia i adiungi poteft. Sit enim s functio quaecunque harum trium variabilium $3 1. 9 Y, z GC cese). ct * [4 quae MOTVS FLVIDORVM, 329 quae differentata praebeat: ds —L(2— 2 )-- M(£2—72)-- N dt eritque ix)—ab4iM;G)——DLet(15)— -1M (3 ^vnde vtique fit a a()-- E(25- )2- y (i2 —o, Tali ergo fun&ione pro s (abilita colligetur : U-aas(25)--a&s( 27 )-.- asy v, 29 )-2-a(24 2 quae ob a(5)-2- 8( 23 )29- Y (22 2)-0 abit in U-a(i*), fimilique modo erit V - 6(29) et W —y (s Quocirca altera aequatio pro motu fluidorum in- venta ita íe habebit confiderando tempus 7 conftans 2E ?2—2gdS—(adx-A-6dy-i1- y dz (22) quae fi formula 4S —Pax--Q--4y Réz fit. integra- bilis abfolute poflulat vt etiam altera pars (adx4-6dy cy dz)(7) integrationem admittat; quod fieri ne- quit nifi (£*) fit fun&io harum duarum quantitatum ax-4-$y--'yz et £, dus cum füperiori conditio- ne fubfiftere nequit nifi (e -) fit fun&io folius tem- poris /. |. Quamobrem quinis s ita efle debet comparata vt fit s— fünct: (($—2).et (7-z-]) - T :f vt fiat (22)—T':: tum autem reperietur : "EP agS-(ax--8y4-'y 2) E^: 1-4- Act exiftente I^: i24 Tf Tom. XIV. Nou. Comm. Tt Coroll 330 D'E-"PRENCITPILILS Coroll r. 66. Elementum ergo fluidi in Z mouetur celeritate , quae eft — s Y (aa-1-88-1- y y), eius- que directio ad amem OA incinata eft angulo cuius cofinus ———7.—5.-—r p ad axem OB angulo cuius cofinus -— et ad axem OC angulo à — y(xa4-684- Y Y) cuius cofinus — Y v (a 4-664-YYY Coroll 2. 67. Cum igitur motus dire&io vbique et femper fit eadem omnia fluidi elementa fecundum lineas rectas inter íe parallelas proferuntur. Celeritas autem tam ratione loci quam temporis maxime variabilis effe poterit dummodo u fit eiusmodi fun&ia qualem defcripfimus. Coroll 5. 68. Summa autem varietas hic locum in- venire poteft cum pro s fün&ionem quamcunque anti x U'et-t.— * ace harum duarum quantitatum 7 —2 et 7 — 5 accipere licet, eique infuper functionem temporis quam- cunque adiicere. C oroll :a4. 69. Ex füperioribus patet litteras U, V, W exprimere accelerationes motus fecundum directiones coordinatarum 3, | z, vnde fi fuerit D:7—0, ideoque MOTVS FLVIDORVM. 35: ideoque (££)— 0o , bae accelerationes euanefcent , et quoduis elementum vniformiter in directum pro- gredietur. ND Scholion. 30. Hic motus fatis fimilis deprehenditur ei, quo flumina progrediuntur ; fi enim grauitas fola in fluidum agat deorfüm fecundum Z Y erit P—o, Q—o0 et R—— 1, ideoque S—-—z ac fi porro fun&io a tempore pendens euanefcat, vt fit s— fun& : (E£—2) et (2-3)) et [—b(a—2), ficque pretio in plano horizontali ad altitudinem z —a evanefcit. Neque vero neceffe eft, vt fluidi directio fit horizontalis fed motus fübfiftere poteft etiamfi fluidum fiue (ürfüm fiue deorfum feratur , fiue vtcunque obliquum teneat curfüm quod quidem difficulter concipi poteft, quia fluidum per fuper- ficiem fummam tranfire deberet. Verum hic aliud incommodum occurrit , quod in fluido vltra altitu- dinem 4 verfante preífio euaderet negatiua , ideoque fluidi continuitas diffolueretur, idque quafi in guttas difpergeretur. Initio autem iam monui haec prin- cipia, quae ílabilini ita continuitati fluidi effe in- nixa, vt vbi ea ceffauerit illa non amplius locum habere poffe: ex quo eiusmodi cafüs, vbi fluidum continuum cohaerere defierit , hinc funt excludendi., De cetero quando hic motum vt pofübilem praedica- mus, id femper ita eft intelligendum , eiusmodi vires externas dari poffe, quarum actione ille motus | Tta ^" obtineri 334 DE PRINCIPIIS obtineri queat. Verum problema hic tractatum generalius fequenti modo proponi ac refíolui poteft. Problema 75r. 71. Si ternae cuiusque fluidi elementi celeri- tates 4, v, ita fint comparatae , vt fit u-as-L-T::£;v—6s--A:1 et q—'ysg4-X:t denotaote s füncionem quamcunque conditiones fcrutari fub quibus talis motus fübf(iftere poteft, dum fingula fluidi elementa a viribus quibuscunque P, Q, R follicitantur. Solutio. Hic perinde atque in praecedente problemate , Prima aequatio generalis poftular , vt s fit fun&io harum duarum quantitatum (—7 et (2—22, ne- que iam opus eft ad eam quampiam functionem temporis f adiici, «cum in hypothefi iam tales functiones indefinitae ternis celeritatibus fint adiunctae. Cum igitur hinc fiat a(55)4- 8(55) 27 y (12) — 0 obtinebitur U-(-D-I*: PV- AI MESE ideoque pofita virium actione /(Pdx4-QZy-- R42)—S aequatio ftatum preffionis declarans erit EP 2gS—xY^t—yA':t—22/: P--M:£ P orolLL:x *32. Hoc problema multo latius patet quam praecedens quod non íolum labente tempore in eodem MOTVS FLVIDORVM 333 €olem puné&o directio motus vehementer variari poffit fed etiam eodem tempore in diuerfis fluidi ele- mentis diuería ineffe poffit motus dire&io. QorcdocLLb :. 73. Eodem autem tempore, quo functiones p:f, A:r, 2: t£. per totam. fluidi maffam, eosdem va- lores fortiuntur , quoniam s pendet a loco Z in di- werfis pun&is nou íolum celeritas fed etiam directio motus maxime diícrepans effe poterit: vbique tamen xg €. Cosdem obtinebunt valores. Scholion. 74. Multum autem hic motus adhuc differt a curíu fluminum ; fi enim formulas inuentas huc accommodare vellemus , primo vt motus in eodem pun&o perpetuo prodeat idem , functiones temporis U:7, A:t, X:t quantitates conflantes denotare debe- rent tum autem ob S—-—z oriretur p—^(a—2), ficque prefüones in plano quodam horizontali eua- nefcerent. Nullus ergo motus verticalis fluidi par- ticulis tribui poffet, quia alioquin fluidum fupra fuperficiem fummam effet admittendum , foret. ergo 3)—0 , ideoque et *y—o et 2: 7— 0 vnde finzula fluidi elementa in planis horizontalibus mouerentur neque propterea vlla hic decliuitas locum — inuenitret quae tamen flumicum proprietas effentialiss Ex quo inueftigatio motus fluuiorum eft res: multo altioris | Ttf indagiuis [- 394. - DE PRINCIPIIS indaginis iudicanda. Interim tamen hic exemplum eiusmodi fluuii cernimus, cuius fingulae particulae motu bhorizontali proferuntur, quarum autem directio aeque ac celeritas vtcunque fint variabiles. Hoc tamen non obflante prcffüo vbique a fíola pendebit profunditate eodem plane modo, ac fi fluidum ftagnaret.. Cum autem hoc cafu fit y —o fiet w functio quaecunque harum duarum quantitatum (£—2) et z, ficque in eodem plano horizontali quocunque eadem reperietur in omnibus punctis vbi L—z eiusdem erit valoris, hoc eft in. omnibus lincis rec's ad axem. OA inclinatis angulo cuius tangens -— $- quae ergo inter fe erunt parallelae: et omnes fluidi particulae in tali recta fitae pari motu ferentur: neque vero fecundum hanc ipfam rectam progredientur, cum pofito T': ;—m et A:z—a eius celeritates fint futurae y—asS-4-z et v—6u v vnde quidem celeritates erunt aequales, fed directio- nes ab illa reéta vtcunque declinabunt, nifi fit m:n— a:6. Dum igitur hoc modo ab ifla recta in aliam fibi parallelam transferantur , vbi àlia dabitur tam celeritas quam directio , euidens eft fieri poffe, wt fingula fluidi elementa in lineis curuis motu maxi- me inaequabili deferantur. | Vnde fi via cuiusque particulae in plano horizontali fit definienda ope aequationis inter binas coordinatas x ct y , ob dx — dt(us-1-m)et dy— di(69 4- n) eliminando Zr fit s(6dx—ady)--ndx—mdy— o. Quia vero hic pro- funditas z eadem manet erit s functio ipfius Z—2- feu MOTVS FLVIDORVM. 555 feu Gx—ay, pro qua ftribendo O^ (6x —ay) fit nx—my--O(B8x—ay)— Conf. Fun&áio ergo O ita accipi poteft, vt data curua prodeat, quae ad externas particulas in hoc plano relatas fieuram ripae flumen terminantis repraefentabit ficque ad fingulas profunditates ad arbitrium figura ripae ideo- que totius aluei cauitas formari poterit. CAXATPYMXT: TV: DE FLVIDORVM HOMOGENEORVM NVLLIVS COMPRESSIONIS CAPACIVM MOTV GYRATORIO. Problema 22. 35. Si fluidum ita circa axem fixum OC gyretur , vt fingulorum elementorum motus fit vniformis, celeritas vero functioni cuicunque diftan- tiae ab doen axe proportionalis , VERUS vtrum talis motus fubfiftere poffit ? | Solutio. Confideretur fluidi elementum in Z, coordi- mais OX —x, X Y —y et Y Z —z definitum , cu- ius ergo ab axe OC diftantia eft Z V z- Y (xx-15), | quae —— Tab. V. Fig. 26. 556 DE PRINCIPIIS quae ergo in motu non mutatur Quoniam ergo elementum Z in plano ad axem A C normali gy- ratur circa punctum V, eius celeritas w euanefcet , celeritates vero 4 et v ita funt comparatae, vt dum coordinatae x et y tempuículo d; incrementa ca- piunt ud; et vd: diflantia V(xx-i-yy) non varie- tur ex quo colligitur fore 4x-1- vy — o. Statuatur ergo d 175 t v-c—'Tx, erit tota celeritas —TY(xx-1-yy), iceoque per hypothen T functio ipfius Y (xx--yy); quare. ponamus T—0:*5327 vt fit (£T)—a IT^; £432 et (T) jy 0^22497 tum vero ipe O. Gt (12)— o. His circa mo- tum flabiltis videndum eft, num is cum principiis motus fluidorum confiflere poffit. ^ Ac prima qui- dem aequatio ob w—co poftulat vt fit ($2)-1-(15)—05 quod egregie euenit , cum fit d uy —,, (d TA — / . XX-—-yy d vi. A/d TY—. Z,*Xx4y (- (mgr P ea Qo G)-oTu P Porro autem pro altera aequatione habebimus pro [/;£-—22 breuitatis gratia ícribmndo L wt fit dT-—Lxdx--Lydy fit ERE (25 —T-4-Lyr (9)—-T-Lax; (£0--lay vnde concludimus: U-TyLzy-Tx.(T-2-Ly)—-— TTx VI-—T»(T--Lxx)--Tx.Lxy—-—TTy et W--o. Quare cum formula Udx-- V dy ——TT(xdx-ydy) vtique integrationem admittat, quia MOTYS FLVIDORYM. s37 quia T eít funcio ipfius xx-i-yy altera aequatio pro motu inuenta integrabilis euadit , quemadmo- dum motus poflibilitas poflulat, et pofita virium a&ione / (PZx -I- QZy -1- R42)—5 prelio ita defini- tur vt fit LEP— 2gS-r-/TT(xdx--ydy)--f::. Omnino ergo motus defcriptus in fluido ineffe pot- eft: quem ergo accuratius fcrutari optrae erit pre- tium. . Sit diflantia ab axe Z V —Y (Xx--yy)—5, ac ponatur integrale f/ T T (xdx4-ydy) Zf/ Y T sd s—T s eritque T T— 77, vnde celeritas qua elementum Z indiflantia Z V — s circa axem OC gyratur erit -—Ts-—Y;IT^:s, et preíffio ibidem inuenitur ? —6$ HDi ÓEfu. Cor od Eo 26. Si ergo elementi Z, cuius diftantia ab. axe gyrationis eft Z V — 5, celeritas ponatur —A:s fiet hinc 7:;—(^7^** atque preffio reperitur p- £S -- EE: (&:sjy-Lf:t Quare fi illa celeritas fit 1 aab" saa s^ dit Menus cuu --f:?; wbi notandum cafü ccleritatis conflantis —«& ob no fieri p— 58 - bs | $ fit. Coroll 2. 7*7. Funcio temporis indefinita ideo in pres- fionem f ingreditur quoniam per vires externas -- Tom. XIV. Nou, Comm. Vx quo- 335 DE TRVUNCI?PIIS quouis tempore preffo pro lubitu vel augeri vef diminui poteft. Quicquid autem per vires externas effici poteft , neceffe eft, vt id in folutiorie generali contineatur. Si ergo talis mutatio in viribus ex- ternis non admittatur, eam temporis functionem omitti oportet. (C oTOWL m 78. Quicunque autem fingatur huiusmedi xnotus vorticofus, vires follicitantes P, Q , R, quo 3Tmodocunque etiam fint comparatae , neutiquam im- pediunt , quo minus is fubfiflere queat, dummodo formula P4x-1- Qd y -j- Rdz—4S integrationem ad- mittat, femper fcilicet viribus externis im fubfidium ocandis talis motus obtineri poterit, | Coroll 4. "9. (Quoniam tota fluidi maffa circa axem fixum OC gyratur, a quo fingula elementa ean- dem coníeruant diftantiam , tota maíía vafi rotundo feu tornato inclufa concipi poteft cuius axis fit CO, Ad motum autem nihil refert, qualis figura ipfi tribuatur, dummodo omnes eius fectiones ij axem oC Dormales fuerint circuli. Scholion r. 80. Quo haec clarius exponamus, fluidum foli grauitati fübiectum ftatuamus , cuius directio ft CO, fu potius axis gyrationis OC ponatur norma- MOTVS FLVIDORVM. 339 normalis, vt fit S—-—2; vnde pro preffione habe- bimus p—b—2)-- 2. f/*? (^:5) -4-f:t, exiftente celeritate ad diftantiam —— 5 ab axe — A:*s, —Su- mamus porro in viribus externis nullam euenire mutationem, vt f:7 in nihilum abeat. —Reprae(entet "Tab. VI. ergo figura EE FF fecionem verticalem vafis per Fig. 27. axem O C fa&am, in qua fit GHG fuperficies fluidi füprema , per quam preffio «euanefcat, vnde fumta diftantia ab axe OP—;, erit altitudo PM-P^ -Gn/É GA, qua aequatione figura fuprema fuperficiei G H G exprimitur. Sumta ergo celerita- te gyrationis pro diflantia ; — a5", fiet PM —7 M53 gs $^", vnde fuperficies G H G circa medium H erit excauata ibique minima altitulo OH — ^» fi quidem ? fit numerus pofitiuus. — At vero fi 7 fit numerus negatiuus in medio H adeo in infini- tum deprimetur et cauitatem circa axem relinquet. Cafu quidem quo z— r, et totum fluidum eodem tempore reuoluitur, haec curua erit parabola circa axem H C deícripta, cuius parameter eft — 75 : ac fi tempus vnius reuolutionis , quod eft £7 min. fec. ponatur — (^^ erit parameter — -5- 00, et preífio in Z-—b(b—2)-- 5. 2, vnde fimul preffo in latera vafis innotefcit , quae ita fe habet, vt quo id fuerit amplius, eo fütura fit maior pro eadem altitudine. Quod fi vero fit z— o vel adeo nume- rus ne2atiuus , id incommodum nafcitur , quod ele- menta axi proxima reuolutiones fuas tempore infi- M^ wr nite 'Tab. VI. Fig. 28. "lab. V. 340 DE PRINCIPIIS nite paruo conficerent ; verum hoc incommodum fponte tollitur, cum fluidum fpatium vacuum circa axem relinquat cuiusmodi mtotum vt repracfente- mus fit 2?— —:, wt in diflantia ab axe -——s fit celeritas — 7. et preffio nb (bp) - 52 quie pro quauis altitudine z euanefcit in diflantiz £—— zum 2 Spatium ergo circa axem OH-—P vacuum relictum FFGGII hyperbolis terminatur , exiftente HP. PM-—, ficque voraginem exhibet, ita vt per GI prefio wbique fit nulla: Extra hanc voraginem in Z vbi fluidum reperitur in Z, erit preffio p— 6 HP—£*5 feu erri da is EA Huius- modi- ergo voragines feu euripi oriuntur, quoties celeritas gyratoria circa axem vel eft conis , vel in maioribus diüantiis decrefcit , huicque — caufae fine dubio curipi in mari funt adícribendi. Scholion a. 8r. Manente fluido foli grauitati expofito , Tig. 26 confideremus axem , circa quem fluidum gyratur , effe horizoritalem , et grauitatem dirigi fecundum rectam OA, vt fit Pax, Q-o et Ro, ideo- que S—x. Sit porro in diflantia — n axe cele- ritas — A: 5, ac preffio fiet p—bx-r- LRCA: Diu omittendo f: dum a viribus externis omnem Ya- "Tab. VL riationem remouemus. Contemplemur primo cafum Tig 29.quo- A:—— as et propterea $—b(x— b)J- 5 rg. qui ftatus in fig. 29 repraefentetur, vbi vafis EF uG MOTVS FLVIDORVM. $4z 'GH axis OC intelligendus eft horizontalis, recta vero OÀ verticaliss Sumatur in ea OH - HT et pro pun&o N in plino verticali AO C, cuius diftantia ab axe PN —* erit pre(ho - ASPN -QN), pro puncto autem M, quo illad IN Hol femireuo- lutionem defertur erit. 5 —b5(*PM'—QM) ficque durante motu idem elementum. diuerfas preffiones patitur quae ne vnquam fiant negatiuae , conftans OA -— b negatiue accipi poffet. — Cafu autem in figura repraefentato, ne vsquam preflüo euadat nega- tiua: in vas inferi oportet Por del folidum cuius femiliameter —k tantus fit, vt fiat A&—b —&—o ita vt extra hunc cylindrum dts vbique fiat -pefitiua et fluidum circa hunc cylindrum reuoluatur. Pro cafü autem nzc—;, fit p—b(x— b)-., vbi ergo 5 negatiuum capi conuenit, vt recta OA furfum vergere o RE tum ETRO erit prelífio $5 4 Wird conne .in NzA(Q (QM Zu ex quo E nae tam TIRE i oportet , vt eius femidiametro pofito —k fiat b—k—*2-—0 feu bk—** —kk, hinc k—ib—YG bb-£5), vnde patet 5b maius effe debere quam 775, Deiode vero -quia in nimis magna diflantia.ab axe preffio iterum fieret negatiua , etiam íemidiameter vafis ; excedere non debet hunc valorem sb EY bb —27). Ceterum smotandum éft, dum huiusmodi motus femel ince- jperit,-eum deinceps fübfiftere poffe , ac ne ob at- VW Y ritum 542 DE PRINCIPIIS tritum vafis debilitetur , ipfum vas pari motu circa axem reuoluatur. Scholion. 5. 2. Si fluidum a nullis plane viribus follici- tetur , vt fit S— o, tum pofita in diflantia ab axe —; celeritate — A: 5, erit preffio in eadem diftan- tia p--bb-- 7 f*CA: 5), füblata omni variatione in viribus externis. Hinc pofita celeritate A 5-5", prodit p—b(b-r r4 ).cet cafu — DIRE p—b(b4- 5r) At fi A gei? erit 5— (b - ——— $777) Qui cafus fcorfüm euolui merentur. en I. Si A:s—a:s", tum 5 effe poteft vel 2o, vel—o, vel Zo. Ac primo fi P0, preflio vbique erit pofitiua , et minima quidem in ipfo axe, a quo recedendo continuo crefcit; ficque integer fluidi cylindrus hoc modo gyrari poterit. Idem deinde euenit etiam. fi b-—o;, hoc taotum difcrimine quod. in. ipfo axe preffio RUSSIE — Tertio fumto P negatiuo fit p—b(272557—b) vnde cum preffio prodeat negatiua quamdiu 5" -2:8515 hoc fpatium circa axem vacuum relinquetur et fluidum circa hunc cylindrum cauum gyrabitur. His cafibus corpufculum. minimum flui- do immerfum axem veríüs vrgebitur. vi bg tate IL Si ATHE — b(b-1-. 57 Pr), preffio circa —2gb-. axem eft negatiua vsque ad diftantiam. y—e «** — , vbi MOTVS FLVIDORVM. 545 vbi euanefit tam amplus ergo cylindrus circa axem vacuus relinquetur circa quem fluidum gyrabitur. II. Si-A;s—as ^ et p—b(b—-— 7), patet conftantem 5 neceffario pofitiuam fumi debere, et cyliadrum circa axem vacuum relitum iri, cuius 2T radius — tum vero in fluido extra hunc axem preffionem crefcere continuo , at in diftantia infinita demum fieri — ^. Corpusculum huic flui- do in diítantia ab axe —*s immeríum ad axem pel- leur vi —**2,—:7-—', quae quadrato diftantiae ab axe reciproce fit proportionalis fi sm —-1-i, et cele- ritas —-"— feu reciproce in fübduplicata ratione diftantiae. Problems-*-. $3. Si fluidum gyretur circa axem quemcun- que feu ternae cuiusque puncti celeritates 4, v, tv proportionales fint his formulis ay —6z , yyz—ax, $x—'yy , conditiones explorare quibus talis motus in fluido exiflere queat, dum fluidum a viribus quibuscunque P, Q, K follicitatur. Solutio. Ponamus. ergo: 4— T(ay—82); vV— T(yz —2x); w— T(8x—yy) et 344 DE PRINCIPIIS et formulae differentiales hinc natae erunt: 9n (ey - 82)(8). |)e- Tae )| E) E T-HE y) (£)-T-K(a-82)(5) - Uy 2- ax)Gm) Cc Y TA (82 yr (&--6T4 (82 (£) (e v T-Hye-ex) iS9-(8x- (8) (&-(ay-$a)09) lG)sCvas-e 2 — Dm C7 Yo) 2 Hinc prima aequatio (7—])4- irHG ")Lo induit hanc formam : (ay —€z)(12) (y 8—ax)( 12) Cx 7 y); ) Cui aeqvationi fatisfit fi. T fuerit functio quaecun- que harum duarum quantitatum yy x-1-5y-j-a €t Xx--5*y-1-s2 nam fi ponamus 4T —M(ydx-- &dy-I-adz) A-N(xdx-1-yd ds) erit. (L5) My-t Na; C52 M8 Ny et $T)-Mad-Nz. Ad alteram ergo aequationem puis di ME ac primo formulam 4(£*)-1- v i22 7) -1- vv (£2- ju) euol- vamus, quae factis fübflitutior ibus abit in T T(a y z-i- 8, y — ea. x — 6$ x). Quare cum T non inuoluat tempus 7; ob D -— [9] erit etiam (74) — o, vnde fit U- TT(ayz--8yy—aax—S$ 62x) V —CET(B y x-4- a€z— y yy—a a y) : [— T T(aey--ayx—8$62z—y'y) MOTVS FLVIDORVM. 345 ac propterea UZx4-V dy-- W dz— T T4. (ay x24 ^y xy--ay z-(aa4-88)xx —iy yea) -i(88-r- y 222) —-—iTT4(ay—82)-Feyz—ax) A-(6x- y) Quae expreffio cum debeat effe integrabilis , neceffe eft vt TT ideoque et T fit functio buius quanti- tatis (ay — 62) -.- Cy g—ax) Ac (Sx— y) quae quia reducitur ad hanc: (aa -4- 8 6 —L- y *y) Gc x o7 4 2 2) — (oy x - 8y Fam) vtique in forma generali primae conditioni fatisfa- ciente continetur. Quare ponendo (ay— 82) - (ny s—ax) 4- (Ex—^yy) zz (aa--881- yy) es dummodo pro T fümatur füundio quaecunque ipfius 5, altera aequatio hanc pro preíhone 5 fuppeditat 2equationem y M$Eh— 2gS-r- (aa-t- 86 4- y) TT ed p f: t exiflente S. actione virium. f/ (Pàx -41- Qdy -- R dz). Coroli., $4. Celeritas vero cuiusque particulae in Z eft. —Y (uu-4- vv--2w)— T *Y(aa-- 68-1 y y) , vnde cum TT fit. fun&io ipfius 5, erit etiam fünctio ipfius celeritatis verae. — Notandum autem eft: hanc quantitatem. 5 defignare diflantiam puncti Z ab axe .Circa quem fit gyratio. Tom. XIV. Nou.Comm. Kx Coroll, 346 DE PRINCIPIIS Corotlt.-o». $5. Dummodo ergo fingulae fluidi particulae vniformiter circa axem quemcunque reuoluantur , ita vt cuiusque celeritas fit functioni diflantiae pro- portionalis, huiusmodi motus in fluido locum ha- bere poteft. C oral $6. Ad motus realitatem autem porro requi- ritur, vt preffio p valorem obtineat pofitiuum ; ac fi eueniat, vt eius valor vsquam fit negatiuus, ibi fpatium a fluido vacuum eít ftatuendum , quod fit corpus folidum in eum locum collocando. .Scholion. $7. Problema quidem hoc non latius patet quam praecedens cum et hic motus fiat circa axem. fixum , perindeque fit qualis fitus ipfi tribuatur ; verumtamer quia formae pro celeritatibus v, v, «» affumtae fpeciem faltera. mentiuntur generaliorem , earum euolutio non parum adiumenti ad Mhuius- modi inueftigationes alias fufcipiendas afferre videtur. Quandoquidem nunc vniuería motus fiuidorum Theo- ria ad refolutionem huiusmodi aequationum eft perducta , totumque negotium huc redit, vt pro 4, 0, ty eiusmodi formae excogitentur , "quibus pri- mo formula (£5) -- (E) -- (£7) euanefaat, tum Yero haec UZz-1- V dy -- Wdz integrabilis euadat- Hacte- MOTVS FLVIDORVM. 3437 Hactenus autem hoc opus ita füm aggreffus, vt primum conditioni priori fatisfecerim, quod adeo ge- neralifme praeflare licuit, tum vero hinc eiusmodi cafus elicere oportebat , quibus ctiam polteriori conditioni fatisfieret , quae inuefligatio cafibus euo- lutis non mediocriter illuftrari et adiuuari - videtur, Quodfi inuerío ordine a conditione pofteriori exor- diri velimus, opus multo magis difficile et arduum videatur ; ita vt hic folutionem generalem vix ex- pectare liceat. — Cafüm tamen vehementer late pa- tentem obferuaui , quo pofterior conditio impletur ; quod fcilicet fit fi formula udx -4- vy -1- wdz füe- rit integrabilis , vbi imprimis notandum eft hunc cafüm in motu fluidorum per tubos, in quo fere folo definiendo Theoria adhuc fuit occupata locum habere ; Vnde operae pretium effe arbitror ifti cafui euoluendo fequens Caput deftinare, idque €o magis quod eum ad omnis generis fluida extendere licet. XX2 CAPVT 348 DE PRINCIPIIS CAPYE y: DE MOTV FLVIDORVM EO CASV QVO INTEGRABILIS EST HAEC FORMA. udx-r-vody--wds. Problema 54. $8. Si cuiusque fluidi elementi ternae celeri- tates y, v, w ita fint comparatae , vt formula ud x -- vdy-r-swdz integrationem admittat, aequátio- nem , qua preffio fluidi exprimitur euoluere. Solutio. Cum 25;, v, fint functiones quatuor va- riablium x,y,z et 7, quoniam formula udx--vody -uwdz integrabilis ponitur , id intelligendum eft , dum tempus 7; conftans affumitur. Sit ergo I eius integrale completum , quod etiam tempore ; pro variabili habito differentiatum praebeat ; dl-—udx-rvody-r-wdz-r-QOdt. Hinc igitur , vt diy accelerationem t U—a2)d- v (13) 4 v (1) -- elicia- MOTVS FLVIDORVM. 5349 eliciamus , ad noftrum inftitutum plurimum con- ducet has formulas differentiales ad folum 'elemen- tum d. reuocare quod facile fit; dum ex illius formae integrabilitate eft e) — x) G2 — 3) et GP — 23) vnde confequimur : —u(t)r-egd ahi 2)--(29) fimilique modo V —u(it- )bed2) c Gy) uds). v($ 2? )4-w(? 29) (I. Cum iam pofita virium aceleratricium P, Q, R actione : f(P4x--Qdy-A-R22)—S et in fluidi elemento , quod confideramus preffione —f et denfitate mi hanc inuenerimus aequa- tionem : —ECP— 2gdS—Udx—Vdy—W dz in qua tempus 7 conftans affumitur, quoniam in hac hypothefi eft: dx(19)-- dy 17) 4-42 (22) — 4p erit hac reductione in reliquis membris obferuata Udz--Vdy-4-W dz-—udu--vdv--wdw--ddy quae forma cum fit inte2rabilis habebimus : a2g[* P —2gS$—iuu-- 9o wo)--O--fir Ax3 quae & & 350 DE PRINCIPIIS quae aequatio locum habet quoties 4 fuerit functio folius prefüonis p; fin autem infuper ab alia caufa pendeat, quo haec aequatio locum habere poffit, neceffa e(t vt 4 fit functio cum ipfius 5 tum huius quantitatis 2gS—1(uu-r-vv-1-ww)--O alioquin haec hypothefis eft excludenda. GC.oroabls:. $9. Cum vera elementi fluidi celeritas fit — Y (uu--vv---ww) patet in.hac hypothefi pres- fionem iti ab hac celeritate pendere, vt quo cele- rius fluidum mouetur, eo preífio magis diminuatur, idque in ratione duplicata celeritatis. CotoTlI 90. Quantitas (D eatenus in hanc aequationem ingreditur, quatenus ternae celeritates 4, v, a» etiam a tempore pendent, ita vt in eodem fpatii loco motus fluidi cum tempore varietur, | Coroll 5. or. Funcio autem temporis infuper accedens 3 fola variatione virium externarum , quibus tota fluidi maffa follicitatur , prouenit , quae cum fit arbitraria , etiam hanc functionem ad circumftantias accommodari oportet. — In ipío autem motu ea ni- hil turbat, Scholion, MOTVS FLVIDORVM. ssi Scholion. 92. Hypothefis haec tam late patet, vt fcre omnes fluidorum motus, in quibus definiendis Au- £tores adhuc fuerunt occupati, in fe complectatur ; €x quo videri poflet eam ad motum fluidorum prorfus effe neceffariam , nifi iam ca(us in praece- dente capite occurriffent , in quibus haec proprietas non deprehenditur. — In probl 32 enim vidimus motum fubfiftere poffe exiftente 4 — Ty, v——Tx et vy —0o, dummodo T fuerit functio ipfius xx--yy ; neque vero hic conditio noftrae hypotheíeos , qua udx--vdy— T(ydx—xdy) locum habet nifi folo cafu T—.——- , quo fit celeritas vera Y (uud-v«) — 1ux-r55) «cum tamen reliquis cafibus motus aeque fubfiftere poífit. ^ Deinde fi denfitas vtcunque a loco pendeat, íeu calor fuerit maxime diuerfus in variis regionibus, «eius varietas fine dubio tam €fífe poterit irregularis , vt nullo modo tanquam fundio quantitatis 2g S —i(uu-d-ov--ww)-- dq fpectari queat, neque propterea noflra aequatio in- tegrationem admittat , quod tamen ad motus reali- tatem omnino eft neceffarium. | Neque hic vt füpra de aequilibrio regerere licet, motum huiusmodi cafibus dari non poffe, cum potius ob id ipfum quod aequilibeium fit impoffibile , neceffario motus €xiftere debeat ; motus igitur omnino alius ac fe- cundum hanc hypothefin eueniat neceffe e(t, ex quo ca nonnifi ad certas motus ípecies patere eft ceníea- 352 DE PRINCIPIIS cenfenda. — Tum vero quia eam ad primam condi- tionem nondum acecommodauimus , ea adhuc noua limitatione indiget , quam in fequente problemate inueftigabimus. Problema 35. 05. Si motus fluidorum ita fit comparatus , vt formula udx-j-vdy--wdz integrabilis exiftit, eos cafus determinare quibus fimul prima conditio ad motum requiüta adimpletur. Solutio. Cum denotante 4 denfitatem fluidi in eo 1o- co , vbi ternae celeritates funt 4, v, zv prima mo- tus conditio , quam denfitatis ratio füppeditauerat , poftulat vt fit d. d. EC (522) 4- (5529) 4- (527) 2- (25) — 6 Sit nunc vt ante I ca functio ipfarum x, y, z et 7, ex qua fiat dI—udx-r-vdy--wdx-- Qt, et quia hinc eft CORR MET ze dod £C NH uc) gp nx Mee s aequatio illa euoluta perducetur ad hanc: «(G5 4- (652) 4 G2) 9 (68 (E) MES d yz d-x 4- 1) 5p (2 Funcionem ergo I neceffrio ita affümi oportet , yt huic acquationi fatis&at , quod co difficilius prae- ftatur , MOTVS FLVIDORV M. 353 fatur, fi denfitas 7 a preffüone p pendeat, quia haec demum per alteram aequationem d —egdS—udu—vdvo—sdw-—dd definiri debet ; quo ergo cafü illa aequatio difficilli- me refoluetur. Interim quocunque modo has duas aequationes fimul expedire licuerit , femper inde eiusmodi motus obtinetur , qui in fluido eius ratio- ne denfitatis indolis, quae fuerit affümta locum habere poterit. Hanc ergo hypothefin vix vnquam ad víum reuocare licebit , nifi denfitas fluidi vbique et femper fuerit couftans feu q— 5 , pro quo cafu aequationes noftrae euadent : (55 2-152) -- ($23) — 0. et egp-zc2gbS—ib(uu-ci- vor ww-—20Q)--f:r. Coroll. r. 94. Pofita ergo. denfitate conflante 4— ad folutionem requiritur inueftigatio eiusmodi fünctio- num I, vt fit 82 -- din 4) — e tali autem ANN inuenta tum demum celeritates innotefent 4— ($2; v—(7. 225 v—(£. Coroll. 95. Si ponamus I- T :(a x -- 8y -- y 2), ybi quidem tempus ;. vtcunque immiíceri poteft , Tom. XIV.iNou.Comm. y haec 354 D'E/^PRENCITPIIS haec relatio inter a, 6, y oritur , vt effe debeat &4--86-L-*y*y —0; quod nifi vna imaginaria ad- mittatur fieri nequit. Coroll. 5. 96. Huic autem incommodo ratione fünctio- nis occurri poteft, veluti fi ponatur I—**-- $ (A fin. V(a.a-4-88)-- Bcof z V (224-68) vel I— 22 «4--89(A fin. (a x 47 8y) 4- Bcof. (ax-4- $y)) "bi conftantes A et B tempus vtcunque inuoluere poffunt. Scholion 1. 97. Euidens e(t hos valores pro I datos maxime. effe fpeciales completus enim valor complecti debe- ret duas fünctiones arbitrarias , vtramque duarum quantitatum variabilium , dum valor coroll. 2. .da- tus eft vnica functio vnicae variabilis. — Interim litterae a, 8 pro lubitu accipi poffunt, vnde facile innumerabiles valores pro I exhibere licet. ^ Quot- -«unque autem valores fuerint inuenti, ii inuicem additi idoneum femper valorem pro I praebent. In- finiti autem alii valorés huiusmodi fpeciales inue- niri poffunt, fumendo fünctionem quamcunque quan- titatis a x-i- 5y-]-'y z exiftente aa-1- $6-L- y y —0, nullo refpe&u ad imiaginaria habito , et cum tales functiones femper in-forma M-- NY —r continean- tur, MOTVS.FLVIDORVM. 355 tur, inde femper infinitos valores pro I fatisfacien- tes formare licet, cuiusmodi funt: Ang. tang. 3- ; €- "(A co. N 4- Bfin.N); e-- (Acof.M -- B fin. M). Quoniam ergo pro M et N facile infiniti valores affignari poffunt , hinc infinities infinitos valores reales pro I colligere licebit; quae multitudo infu- per mutando pro lubitu quantitates a, 6, «y, qua- rum íemper binae reales accipi poflunt , in immen- fum multiplicabitur. Piurimum autem abeft , quo- minus fumma omnium huiusmodi valorum , pro valore generali ipfius I haberi queat. Scholron 5. 98. Huiusmodi autem motus plerumque eius- modi incommoda implicant, vt eorum fimilitudo in mundo vix locum inueniat, propterea quod flui- dum continuo in loca fertur, vbi prefho fit nega- tiua, ideoque continuitas tollitur, tum vero vas ad id continendum adhiberi nequit , nifi non tan- tum fimul moueatur, fed etiam eius figura conti- nuo mutetur Quod vnico exemplo oftendiffe fuffi- BEL SIE Eo. capiturque [I A«c^"fih.as vt cut u—mBNUe flD.as,Uv-O eL t— qe" cof. a 2 hincque uu--vv-r-uww-AAaacg**, — Vrgeatur fluidum a íola grauitate in directione Z Y , eritque S—b-—2z, €x quo pro prefione prodit ogp—2g6b (b—2)—iA Aaabe'**, fiquidem eundem motus fla- tum perpetuo durare ponamus, Sit breuitatis gratia Yyza Aa-— Tab. VI. Fig. 30. 556 DE PRINCIPIIS Aa-2Vgb et preffio euanefcet vbi z—b(r-e**) Sumta ergo OX reca horizontali , in qua fit OX--x, et verticalis deorfum vergens X Z—-—z, linea curuà OZ in qua preífüo euanefcit erit loga- rithmica, et infra eam preífones fequentur ratio- nem profunditatum , fupra eam vero erunt negati- vae, ibique ergo fluidi continuitas tollitur. ^ Inte- rim. tanen«in, O. ybi "x-—0o et! Z—0o ,. fit; ——o et w-——2Vgb; ita vt hic fluidum furfum moueatur. In linea porro verticali OF ad profunditatemOB — 7- motus fiet deorfum pari celeritate 2Yg5; in D vero fumta ODC—*7 iterum aeque celeriter furfum mouebitur. Tum vero fumta profunditate O A — — ob az-—i;--— 90^, folo motu horizontali —Y 2g fecundum Ag feretur, in C vero füumto OC-30A fecundum Cc, in E vero iterum fecundum Ee. Simili modo res fe habebit in reliquis rectis ver- ticalibus verfus X fumtis nifi quod celeritates con- tinuo fiunt maiores — Ex quo intelligitur eiusmodi motum in nullo vafe concipi poffe, praeterquam quod fluidi continuitas in afcenfü vltra curuam OZ foluitur, tum vero infuper paffim fluidum folutum íe iterum continuo admiícet , vbi fcilicet infra curuam OZ defcendit. Scholion 5. 99. Vehementer autem difficile eft huiusmo- di motus, qui re ipía exiftere nequeunt, dignofce- Ic MOTVS FLVIDORVM. 357 re et ab aequationibus noflris generatim — feparare. Cuius incommodi cauía praecipue 1n eo pofita. vide- tur, quod cceleritates , quibus fisgula fluidi elemen- ti mouentur, ad ípatii puncta refirioximus, quando- quidem quantitates 4, v, et t perpetuo ad idem puuctusi Z referuntur , et quouis tempore eius particulae , quae in Z verfatur, motum declarant » in quo negotio ad vlteriorem progreíffum eiusdem particulae non amplius refpicimus, Cum igitur in pluribus quaeftionibus neceffe fit cuiusque particulae motum continuo profequi , veluti fi motus vndula- torius et quafi vibratorius eft inueftigandus , eadem motus principia ad hoc inftitutam | accommodare conabor. Quo pacto id commodi affequemur, vt litterae peculiares celeritatibus defignandis inferuien- tes ex calculo elidantur earum vero loco aliae varia- biles erunt introducendae, quae fluidi ftatum ad cer- tum tempus iníe complecantur. In fequente itaque capite hanc inucítigationem fum fufcepturus. Yy3 CAPVT 358 DE PRINGCIPIIS CAPV'I VI. DE MOTV FLVIDORVM EX STATV INITIALI DEFINIENDO. Problema 56. IOo. Dato fluidi flatu initiali quantitates va- . riabiles defcribere , ex quibus deinceps eiusdem fluidi ' Tab. VI. Fig. 51. ftatum elapío tempore quocunque definire oportet. Solutio. In ftatu 3nitiali pro quo fumimus tempus i-o confideremus fluidi elementum — quodcunque , quod fit in puncto Z per ternas coordinatas OX-X, X Y Y et YZ-—Z determipato quae ergo quam diu idem elementum in motu proíequimur, manent conflantes ; fin autem ad alia fluidi elementa refpi- cimus, vt quantitates variabiles erunt fpectandae. ]am elapfo tempore 7 translatum fit iftud elementum ex Z in z, pro quo loco vocemus coordinatas Ox—z, Xy—y,J2—X, quae ergo pro fünctionibus quatuor quantitatum X, Y, Z et temporis 7 funt babendae ; Hinc iftae coordinatae x, y, z fi feruatis X, Y, Z iisdem folum tempus 7 varietur , totam viam ab elemento, quod initio erat in Z fücceffiue percuríam indicabunt. Ex quo fi eius motus, dum per z tranfit, MOTVS FLVIDORV M. 359 tranfit , fecundum coordinatas refoluatur , erunt celcritates : fecundum Ox (7 2); fecundum xy- (2; fec. y& — (£5) , atque hinc porro accelerationes fecundum easdem directiones habebuntur quae erunt: féc.(0 3: (772), fec. ay c (539); fec. y s — E22) Praeterea etiam perfpicuum eft illas functiones x, y, £ hac praeditas effe debere proprietate, vt euane(cen- ic tempora D Bat X— X, y— Y et 2— 2, 2c facto i-o, íormulae modo exhibitae dabunt celeritates et accelerationes initiales eiusdem elementi dum ad- hHc erat in Z. Denotet porro 4 denfititem , quam noftrum elementum elapfo tempore —7 in z habebit, erit- que etiam 4 fünctio quatuor variabilium X, Y, Z et 7 , vnde ad quoduis tempus cuiusque elementi denfitatem definire licebit. Sit denique $ preffüo conueniens elemento in £ veríanti elapfo tempore 7 atque etiam haec quanti- tas erit functio quatuor variabilium X, Y, Z et f. His pofitis tota motus determinatio huc redit, vt quales fint functiones iftae quinque quantitates X, 7, 2, Q €t 5 quatuor variabilium X, Y, Z et : inuefligetur. Corol!. 360 DE PRINCIPIIS Coro 101. Cum x fit fundio ouatuor variabilium X,Y,Zet t erit eius diffrentiale completum feu ex variatione omnium natum dx—dX (53)--4Y (32) 2-4Z G2) A- 4t(25 quod idem fimili mcdo de reliquis functionibus y, z,p et q eft tenendum. CpoTaTi e 162. Quod fi idem elementum tempusculo di cx z in 2/ peruenire ponamus ob X, Y, Z pro confantibus habendas «erunt coordinatae hunc locum 2^ determinantes : Ox x--di(l5: a y zc yx dt(2): y/ a! dt (75) tum vero denfitas in 4/——4-1- 4:02), et preílio ibdem —-r4:(5. Corolk:s2 103. Sin autem quaeratur vbi poft idem tempus 7 aliud elementum, quod initio erat in Z/ loco ipfi Z proximo dipxeicadatur , ac pro Z/ coordinatae fint X--4X, Y-r-4Y «et Z--4Z fi locus quaefitus ftatuatur in 2^ erit pro eo Ox x--dX (1)-1- 2Y (2)--4Z (22) YEA mud etiam tum de binis reliquis coordinatis x^ y^ et d a^ fuam pro denfitate et preffione eit intelligendum. Scholion. MOTVS FLVIDORVM. 36: Scholion. 104. Vt nunc tam denfitatis quam — preffionis variationem dum idem elementum fluidi tempus- culo 7; vlterius progreditur , definire, queamus, neceffe eft. vt fimul in flatu initiali duo «elementa proxima in Z et Z/ contemplemur eorumque fitum mutuum poft tempus 7 inueftigemus. Hac enim ratione diiudicare licebit, quanto deinceps tempuscu- lo.4: vel propius ad íe inuicem accedant, vel lon- gius recedant quia illo cafu denfitas crefcit, hoc vero decrefcit. Verum hic ipfe binorum elementorum acceffus vel receffus plurimum ab eorum fitu mutuo pendent , fierique adeo poteft, vt in «eadem fluidi mafífa infinite parua bina ad fe inuicem accedant, dum alia recedant. Quamobrem hoc iudicium eodem modo eft inftituendum, vti füpra fecimus dum translatio cuiusdam maffae infinite paruae confideratur, in quo negotio tamen bina elementa proximafimul perpendi debent quod idem quoque ad preffionis inueftigationem requiritur quem in finem fequens problema propono. Probrénia'7. 105. Elapío tempore 7 fi detur denfitas q et prefio p elementi in z verfantis, quod initio füerat in Z , pro eodem tempore inuenire denfitatem et prefhonem alius elementi ipfi proximi in 2^. Solutio. Proloco elementi propofiti in z fint coordinatae Ox-», xy-y, yz—2; pro elemento autem ipfi proximo in Tom. X1V. Nou. Comm, Z a Tab. VI. Fig. 31. 86a DE PRINCIPIIS &/ fiot Oa zc x--a , x, y/ zz y -- 8; y'2/—£z4-y , exiftentibus. particulis a, 6, ^/ infinite paruis. ]am pro loco Z wbi elementum z initio fuerat pofitis coordinatis OX X, XY —Y.et YZ-—Z;, tz locus vbi alterum elementum z/ initio haeferat, , pro eoque coordinatàe OX/-X--4X, X'Y'/—Y-r4Y'; Y/Z/—Z--4Z quae differentialia iam. 2X,4Y, dZ per.illas particulas datas «, 8, y definiri oportet. Vicifim autem ex 104 habemus: a zdX(i5)--4Y ($5--4Z (2) e —dX(L23)-2-4Y $2)-- 4Z (£2) (inm Qx-C4Y G--4Z(72 Hinc ergo fit 2(12)—6(12)—4X (0:952) 22 (8) edY(is 9 2)- G^ rz) 62 — Y (12) —4X(62962)— (82) àz à Z/ à X^d T4Y(LXLZ)- G3X229 Vnde fi breuitatis gratia ponamus: -- (13 520) — (655221 "i-is s ESI] hs zx -- (E528 5) — (£5) "m j colli- MOTVS FLVIDORVM. 363 colligitur fore d ra ME dX —k4- 8E ZG Zt | --ytési- (in [ Sore G2) - 2021 T 4X x—i n een| LY Sx 2-626221 j'en X83) - (22X zl dZ-:i4-* CET 9) 7 3l E | vU Sia) -(025X151 Inuentis nunc i AMerckoa/m pro loco z^ habe- bimus denfitatem. —4--2X(12)-4- 4Y( (42) p az 21) et prefonem. —-1-2X (£7)4- 4 Y (22)-1- 4Z (225. Coroll. r. 1o6. Quantitas illa K quae in his formulis de- nominatorem conftituit facta euoluttone ita expri- mitur : Re XXI JEN 3 ex- 202) 4- FE 2 EP DEI DBEHMB quae expreffio iam immunis eft ab Puce coordina- tarum. Zu Coroll. 564 DE PRINCIPIIS Coroll 2. 1097. Si ad calculum contrahendum ponamus: QX3—A: G2—D; (12)-G Q)IB;(7—E;()-—H epe abr icem magis perfpicua euadet haec forma: K—ABC--DEF--GHI—-AEI-BFG -CDH. Coroll. 35. 108. His porro iisdem adhibendis figwis ob- tinebimus La! BC— EI) -6(CI— CDJ--'n DE— BC) dX LL RILULETUTUE mM dY —EF—CH-ES*( AC—PFGC)-E'Y(GH —AE) | LLa(HI—BF)--6(DF—AI)-4- Y(48 — DH) 4Z— re ee CTAUNDUNTC SIRE EST Coroll. 4. 10g. Quo hae formulae magis contrahantur , quandoquidem earum amplifümus erit vfus ponamus porro : BC-EI —9(; GI -CD—S$S; DE-BG—6 AC-FG—2$5;GH—-AE-—C;EF-—CH-—^ AB—DH-C;Hl-BE-$;DF—AIC-S$ vt MOTVS FLVIDORVM. 365 vt habeamus dX —53:2-£9 2- Yo. dY —25--95--vy6. dZ-5$--63-v€ irt K Hs K TI K Problema 28. rro. Elapfo tempore r£, fi elementum in 4 ipfi elemento in z proximum concipiatur, huius elementi 2^ motum per ternas celeritates fecundum coordinatarum Ox, xy et yz directiones exhibere. Solutio. Sint elementi in z ternae celeritates vt füpra 4, V, w, AC vidimus ex receptis hic denominatio- nibus fore dx dx EN ) dt eruntque hae celeritates pariter tanquam functiones quatuor variablium X, Y, Z ct t£ fpectandae. Maneant iam vt ante puncti 2^ coordinatae x -j- «, J-i-b, z--'y, fitque Z^ eius locusin principio, et pro eo differentialia ZX, 4Y , 4Z ex datis «, 5,'y per problema praecedens determinentur : quo fa&o erunt pun&i proximi z^ celeritates | fec. Ox/—u dX (5)4-d Y C 4Z $2) fec. x/5' zv dX (02)4-4Y (15)--4Z 27) fec. a/—w--X(x d Y (3-422 d X Zz3 atque estem. gre, w-—( (Tab. V. Fig. 23 466 DE PRINCIPIIS atque elifis litteris u, v, w eae ita fe habebunt tc. Ox^— (2) 4 4X 153) 4Y 3 2)--4Z (E 2) fec; wAyé t $2)-2X(53 : 2)-4Y (62:3) -4Z(752 fec. y deem ee. :H-4X(E à 3) -pdY (L53-H4Z(ESS vbi loco 2X, 4Y, 4Z valores ante inuentos per 4, 9, Y fcribi oportct. Scholion. rrr. Transferamus haec ad figuram 23, vbi Z itid pun&um quod modo in z (fig. 31 ) con- fiderauimus , cuius D ternae celeritates funt u— (27), v—( T), w-—(*), loco pun&i autem z^ ili proximi fucceffiue confideremus tria puncta L, M, N pro quibus fit ZL— «a, ZM-—S, ZN-—w Pi pun&o ergo L in valoribus fupra pro differen- tialibus 7X, 4Y , dZ inuentis poni debet $—o,^y-o pro pundo M, «—o,y-—o et pro puncto N; Q-—0, e—o. Quare puncti L ternae celeritátés erunt fupra erat fee. OX — e NECEM Vedi x aran u--dx( (t) e X Y- (pecie dae Sep ecd fec. Y Z- (£5) 4-989 2) aa RE EA wr dax(f2) Pundi MOTVS FLVIDORV M. 567 -Puncti autem M celeritates erunt c OX-ODHEOU LEE E E az vedi ec XY-QD400 £1) 090/145 01 et fec, YZ (5) eL) H- A izuzl vt d(S ac denique puncti N celeritates &c OX-C) 6 42460 226 62) cdd c X Y-OD FIO S Gero Cep oido fcc. Y Z-(S LEE HE rz 1| pde 2 His autem formulis notatis fequens problema haud difficulter foluetur fi problema r9 in fubfidium vo- cemus Problema 59. Qir2. Pofitis quae hadenus fünt explicata, elementi fluidi figuram pyramidalem habentis ZL MM N translationem tempufculo £ fa&am inuefti- gare et denfitatis incrementum definire, Solutio. Problema hoc prorfus conuenit cum —füperiori (12), vnde eandem quoque folutionem habebit, fi modo quae hic in defignatione funt mutata probe obferuentur. Primo fcilicet pyramidis latera , quae ibi erant 2x, dy, dz hic funt a, 6, y; deinde ce- leritates s, v, 1v. hic e pec (55, ($2, 3, et formulae dif&rentiales (75, (2, $2) ex $. praec. facile 'Tab. V. Fig. 2 3 e $68 DE PRINCIPIIS facile decerpuntur. Hinc cum ifüius pyramidis vo. lumen in Z effet — ;& 6 yy, poft translationem eius volumen erit 4:9(2224- 6122 87 aL ME, EN LOG TOTEQLTA€ e(2251 áráx draX dtàz Dum autem haec pes erat in Z/, cius denfitas erat — q, poít tempufculum autem 47 eiusdem particulae denfitas per Mhypothefes hic factas eft q-- dt ($2 Quare cum vtrumque volumen per fuam denfitatem multiplicatum eandem maffam prae- bere debeat, fequens hinc nafcitur aequatio denfita- tis rationem determinans : dione p hes t5. amd icm tor S4 me TOC) EG EQUS vbi litterarum maiuscularum hic occurrentium | va- lores ex $$. 107 et 109 defümi debent, Cum igi- tur inde fit tig-dbidAp-dbsip-d9 ee fi loco litterarum germanicarum valores ex $ 109 fÍcribantur , erit -(BC—EDGCAH(EF- CH ^ 4(HI- ud EH (GI-CDXZS S) AC-FGYC! 5(DF- -ADG? I-o HDE-BG) 3 -(GH- —AEXZ a) (A .B-DH)ZS x quae Pd sa 6 ry -- , 2522 l ( | i* | MOTVS FLVIDORVM. 369 quae expreffio fi comparetur cum din litterae K qui eft. K—ABC-4-DEF--GHI—-AEI—-BFG-CDH facile enpicitnE illius membrum pofterius reduci ad (L5), ita vt iam folutio problematis perducatur ad hanc fimplicem aequationem E £3) 4- (£5) 2 o feu K(73) 4- 4 (5) — o E vel ad hanc concinniorem (5*7) — o. Ex quo in- telligimus K q eiusmodi effe functionem , cujus dif- ferentiale ex Ííola variabilitate temporis ; ortum euanefícat, fcu quae omni tempore maneat eadem. Manifftum ergo eft hoc fieri non poffe, nifi K4 fit functio tantum harum trium variabilium X, Y, Z tempore exclufo, vnde problematis folutio con- tinebitur hac formula da SOLY dk Coroll. r. 113. Quantitas K determicatur per conditio- nes quibus coordinatae X,J, 8 poft tempus ; a principalibus X, Y, Z in flatu initiali pendent, quemadmodum eius forma $. 1o6 exhibita declarat. Cum igitur quantitates x,.y, $ neceffrio tempus £ inuoluant , id ita fieri neceffó eft vt ex forma K 4 temporis ratio penitus egrediatur. - Tom. XIV, Nou. Comm. Aaa Coroll. qyo |. DEOPRINCIPRIISO:: Coroll 2. 114. Quod íi ergo denfitas fluidi 4 fuerit Qquantifas conftans tum. ipfa forma K a tempore de- bet effe immunis. Sin autem denfíitas 4 fuerit , va- riabilis eius quantitas ad quoduis tempus 7 aflignari poterit, cum fit g — 95 Y» 2» Coroll 24 1rs. Hic autem imprimis, notari. oportet, quantitatem 4 dum coordinatae principales X, Y, Z manent eaedem , perpetuo eiusdem. fluidi elementi denfitatem exprimere ;. quod ergo elementum fi nul- lum mutationem in denfitate patiatur, manebit 4 quantitas conflans; etiamfi reliquae fluidi partes di- verfis habeant denfitates. - Corolk "x. 116. Si ergo fluidum- fit heterogeneum feu ex fluidis pluribus diuerfae naturae mixtum, haec ratio motum defrriendi- plárimum: praeftat praeceden- ti; quoniam. ibi, quantitas 4: non ad. eandem fluidi particulam , fed. ad eundem locum refertur, ita. vt omnium fparticularum:, quae fuccefüue. per. idem pun&um tranfeunt;, denfitates. exprimat. Scholion Tr. ii7. In folutione- huius problematis: merito defideratur, quod demum per plures ambages ad | J b nA )d ? 4 pottre- MOTVS FLVIDORVM. 37r pofiremam fimplicitatem fit perducta; et quia tan« dem quafi 'cafü ad aequationem - differentialem . inte- grabilem eft peruentum ; nullum eft dubium , quiu alia detur via quae immediate ad. iftam formulam integralem perducat. — lu ambages autem illas ideo incidi, quod folutionem eodem modo, quo . fupra fum vfus adítruere volui, cum tamen ratio qua hic motum intuemur, aliam 'viam commonftret ad folutionem. perueniendi.. Confideretur. enim, ftatim in flatu initiali molecula fluidi fub figura pyrami- dli ZL.MN , et quaeratur eius translatio tem po- re finito — 7; fa&a. Tum igitur perueniat in fi- tum zlmn, quae figura erit pariter pyramis vt- cunque irregularis, íi enim quis dubitet, an poft tempus fiuitum. —7 hedrae huius pyramidis etiam- nunc pro planis tuto haberi queant? is priorem pyramidem. Z L M N adhuc infinities. minorem , ac- cipiat ,'et quantumuis ante hedrae fuerint conuexae féu concauae , nunc agnofcere debebit , | eas infinite propius, ad, planitiem. reduci, 3 atque €— pro planis haberi oportere. Yeu igitur ftàtim pyrámideni principalem Z L'M N infinite. paruam affumimus , rede quoque in ftatu translato figuram £ /mm pró vero pyramide. habebimus. .; lfüius ergo | pyramidis zlmn inueftigetur volumen , quod: cum: eius. den- fitas iam n. z.elapfootempore — 7. ftatwatur. — 4, fi per q multipli cett Á prodiit. maffi iftius mole- culae , quae. quia. perpetuo manet eadem , eiusmodi fit fünctio neceffe eft; quae a tempore plane non 01 Aaa! pendeat; Tab. V. Fig. 23. 372 DECPRIENRECEPITS pendeat; feu ifta maffa erit füun&io trium quantita- tum: X, Y, Z tantum exclufo tempore 7. — Quare cum folutio praecedens tandem dederit K 45/: (X, Y ,Z), perípicuum e(t, fi methodo hic indicata vtamur, volumen illius molcculae ipfi quantitati K propor- tionale inueniri debere. S chodlq nus. x18. Haec confideratio omnino eft digna, quam diligentius profequamur. ^ Poíto ergo pro pyramide principdli OX —X, XY —Y, YZ-—Z, tum vero ZL— 4X, ZM-4Y et ZN—4Z, wt eius volumen fit —;2X42Y4Z; int pro pun&o z in pyramide translata coordinatae Ox — x, xy—y et 9zt-8 INünc confideretur , fi pudedin in fta- tu initiali, his coordinatis X 4-2 X, Y -- 4Y, Z--4Z definiatur, id tempore 7£ translatum iri in pun&um his coordinatis x-4-a, J-4- $, z-Y definitum , dum fit: a AdXDIYA GAZ; 6—H4X--BZY--EZ2Z; y —F2X-4-1dY--CZZ. Hinc iam ex quaternis punctis pyramidis principá- lis, quaterna pun&a translatae definiantur , — cobidilistae ita fe habebunt: [Ux —x [Orcx-rA4X) po z J xy—y,p; pro /4 rp—y--H4X Lyzz-3) Lpl—z-r-F4X pro MOTVS FLVIDORVM. 373 — forcx-4-Da4Y?) (Or—x4- Ga Z) pro 44 5q—y-4- BdY prozd to—y-- EdZV Lam z4a-14Y|V L ons Caz) Ex his iam colliguntur latera pyramidis translatae: z '—(AA--HH--FF)2X' zm-(BB--II--DD)4Y zn-—(CC4-GG--EE)4Z lm —(AdX—Da4Yy-(H4X—-BaY) KF4X—14Yy 10 —(AdX—GdZ)(H4X—EdZ) «(FA4X—C4Z) mt —(D4 Y—G4Z) --(BaY —EaZ) 4(12Y-CaZ). Hinc porro fecundum praecepta $. x» definiantur angulorum ad z cofinus: cof./zm- MeL pud cof. /za— Ae EEHOECR dX4Z l. zu CU msg Kk-cDOPEBER CUI E. E TN zu Quibus valoribus fubflitutis / volumen pyramidis zlmmn deducitur — (4(A A-HCHE--FF) (BB--1TH-DD)(CC-GGIEEE) | - (AD4-BH4- FI) '(CC--GG4-EE) idXdYdZy4-(AGA4--H--CF)(BB4-11 4-DD) | -:DG4-B E4-C I) (AA4-HH FF) L1 2(AD--BHA-F D (AG--EH4-CF) (DG4-BE4-CI) quae forma poft fignum radicale fi euoluatur, prae. cife quadrato quaattatis K aequalis. deprehenditur : ita vt hoc volumen fit —;K4X4Ya4Z ciusque Aaa 3 propte- (Tab. V. Fig. 25. * $474 DE PRINCIPIIS propterea maffa —:;K44X4Y4Z, vnde quantitas K42 tempore 1 neutiquam pendere debet. Problema. 4o. Iro. Si fluidum a viribus quibuscunque acce- leratricibus P, Q, R fecundum directiones ternarum coordinatarum follicitetur , aequationem inucfligzre, qua preífo in fingulis fluidi elementis determi- natur. [ Solutio. Elapfo. tempore 7 confideretur molecula flui- di quaecunque -in Z,-cui calculi gratia figura. pa- ralepipedi ZL M N z/z 5 tribuatur, .ac pro pun- é&to Z pofitis coordinatis OX —a; XY —y, YZ—*2 fint latera huius parallepipedi ZL—a , ZM—S, et Zz—'y, vt eius volumen fit des et maffa —qauS5'y. lam pofita prefhone in.z— p, quae, eft fundio quantitttum X, Y, Z et temporis L, vbi X, Y, Z, tünt Blordinsei / eis puncti, EI mentum , quod iam eft in Z initio erat fitum. Quo igitur hinc prefio in L definitur / cuius ele- menti coordinatae funt x ——- a, y, z, videndum eft, vbi hoc elementum initio fuerat, et ex pra&cedéàc:t tibus eius loci coordinatae erant X -28€— zi plium p toon gei dona vnde cordi prefhonem in L fore: o E i d X^ jug C &8À cuius MOTVS FLVIDORVM. 375 cuius exceffü fupra preffionem f in Z tota hedra L N/5 fecundum dire&ionem A O vrgetur. (tius autem. hedrae. füperficies cft — 6 y, per quam ille exceffüs multiplicatus dat, vim motricem , haec que per maíffam qa $'y diuifa: vim | acceleratricem. Quare. cum. noftra molecula in- dire&ione O A folli- citetür vi acceleratrice P, fi ab hac illa auferatur remauebit. vera vis acceleratrix. fecundum — directio- nem A. Q. Cum ergo acceleratrio. fit. — (247), hae bebitur haec aequatio ddxzi, o D. 3g C —ED (d: P )-z 2H EF—CH), d f sB(HL BE) b T rSEL Ki ax K 4 Gs Y ry sc AR (2) fimilique: modo pro Pere reliquis: directionibus reperitur : dud dd». dercon d cda! (DF—AI ( 22) og Q- 6109 (1 5— GS (Ez) ddz i i Tel Pina AE) pet SEO) d p (is)-agR- S059) f b- Een AP (o : GO Introducendis ergo breuitatis- ergo litteris germanicis eX 6$. xoo adipifimur has tres aequationes pro AR c p definienda : 9((2.5 4- $9(27 ))--$05-—KgP— E. (622) 15 d t? Sx a 862--302) —KqQ.— E3 (2225. 6(27)-1-€$75)-4-€(775) —K eR zen (E, . á t? Vt hinc formníim eds Ba d , multiplicemus primam per 25€ —€5—AK fecundam per € $ —€j5-—HE, ct tertiam. pr $53—3598-—EK ob | k A X 976 DE PRINCIPIIS A3X-r-H39--FG— -K reperietur per KK diui- dendo : (25) (AP4HQ-EFR)- 2 (A(E59)-- H 22) - F (22) d i? d t? fimilique modo elicitur : D (15)4-B(27)4- 1025) ( 42)— 4(DP4-BQ-HIR)- (15) (GP-EQCR) — 2G) HE CQ. Multiplicetur . porro tus per d X, fecunda per d Y , tertia per dZ; vt obtineatur differentiale preffionis f, fi tempus 7 conftans flatuatur , et cum in eadem hypothef fit: AdX-4-DéY--GaZ—dx; HdX--B4Y--EdZ—A4y et F4X4-14Y 4-CGZ — dz nofirae tres aequationes in hanc vnam coalefcent : dp— q (Pdx Qdy--Rdz) — 2 (dx(257) 4- dy (357) -- dz (842) at? dit? 3 (D 2E ct in cuius ceno ne tempus 7 pro confiante eíl habendum. f QorpAlscts: 190. Cum x, y, 2 f[int functiones ipfarum X, Y, Z et i, fi ponamus differeatiale completum dx-— AdX--D4dY-1-GdZ-ir-Ldt | erit (45) —— L ideoque (223) — (2), loco d x autem in hac ae- quatione fcribi oportet AZX -- Da Y --G4Z quia in ea tempus conftans affümitur. Coroll. MOTVS FLVIDORVM. 371 Coroll 2. I2I. Ante autem vidimus, quomodocunque denfitas 4 fit variabilis quantitatem K 4 tempus £ non inuoluere, Cum autem actio S a loco in ov^ elementum fluidi poft tempus £ rerce-«r , pendeat, ea vtique tempus i» & includet, Scholion. 122. Quoniam ctiam in hac folutione ad ae- quationem multo fimpliciorem pertigimus, quam per calculi ambages expectare licebat, nullum eft dubium quin etiam via faciliori et concinniori ad eandem íolutionem pertingere liceat. ^ Neque. vero facile patet, quomodo ratiocinium eo perducens , dirigi conueniat , id quidem perfpicuum eft formu- lam P4x-r-Q44y-r-Rd4z exprimere differentiale actionis virium in elementum , cuius motum confi- deramus , prorfus vti in methodo füperiori. ^ Ve- rum differentiale Z5 hic prorfus diuerfam habet fi- gnificationem , dum 5 hic eft functio variabilium X, Y, Z et 7, hincque fumendo : conftans compu- tatur, dum ante p fuerat functio quantitatum zx, y, z et /, eX cuius differentiatione fumto quidem £ item conílante, differentiale d capiebatur , quia vero hic ipíae coordinatae. y, y, $ iam tempus £ inuoluunt, hoc differentiale ab illo prorfus difcre- pet neceffe eft. Tum vero etfi (22), (22) , ($7) celeritates quas fupra 4, v, w vocauimus , expri- 'Tom. XIV, Nou, Comm. Bbb munt, "Tab. V1. " Fig. 31. 378 DE PRINCIPIIS munt, tamen hae formulie (525), ($77), ($25), plurimum difcrepant ab ($5), (27); (225: deno- tánt enim ipfas accelerationes , quas fupra litteris "V. V et W defigaauimus. Ratio autem difcropan- tiae mamitee i. aa eft fita, quod hic vniueríum calculum ad longe alias quatersas wariabiles referi- nius, atque ante fecimus. . Vnde quidem) fiatim hoc commodi füumüs ndcti, wt prior aequatio pro denfitate inuenta integrationem admilíerit , coutra ve- to altera pro preífione magis complicata videtur. EIDODIPIY Xr £25. Dato fluidi cuiuscunque ftatu 'initiali et vitibis , quatüm actionem fuftinet, inueítigare mo- tum quo deinceps feretur, eiusque flatum ad quod- vis temps. Solutio. ib In ftátu initiali confderemus fluidi partieu- lam quanmicunque in Z, cuius locus definiatüur ter- nis'coordinàtis OX — X5 XY —Y-"cet YZ—X- tuni vero eiusdém particulae fit denfitas — Q pres- fio vero — P, Praeteréa autém eius motus ita fit comparatus, Yt refolutüs praebeat celeritates fecun- dum dire&ions OX-—U, XY-—V et YZ—W Cum igitur ftatus initialis fit cognitus, erunt Q, P, U, V, W füodiones datae ternàrum variabilium X, Y, Z. Elapío iam tempore — 7, eadem parti- cula, MOTVS FLVIDORVM. 379 cula , quae initio erat in Z, peruenerit in & cuius locus fimilibus coordinatis Ox —x, xy—y etyz- definiatur, quae' ergo fpectandae funt vt fünctiones quatuor variabilum X, Y, Z et 7, ita comparatae, vt pofito tempore 7 — o, abeant in coordinatas ini- tiales X, Y et Z, ex quo fequitur eodem cafu $ — o fore: o rr EN ET 21)—05 Cx: x)— o d x 2 Uu 1 3-9 E Tnt. E o dxY.—g. (dy Deinde vero eiusdem rra , dum poft tempus f per punctum z tranfit, eius ternae celeritates erunt fecundum Ox-(É 31 )-u5 fec. H-(2 2); fec. yac(to - ew vnde euanefcente tempore 7 fiat neceffe eft (1.7)-U; 22:) —V et ($2) W Statuatur porro particulae iam per z anfcuntis denüitas — 4 et preffio — p, quae duae quantitates itidem erunt fun&iones quatuor variabilium X,Y,Z et /, ita comparatae vt pofito 7 — o fiat q— Q et p — P. ! Vires denique acceleratrices , quibus ;particula. in £ vrgetur reducantur ad has. fecundum. Ox-95; fecundum xy—£; fecund. ygrigy | Bbbe- Quibus 380 [DE PRINCIPIIS Quibus pofitis euidens eft cognitionem motus eo redire, vtquaks hae quinque quantitates x, y, z, q et f fint fun&iones quatuor variabilium X, Y, Z et : definia- tur, haecque determinatio ex fequentibus duabus aequationibus eft petenda. Pro priori quaeratur ex variabilibus x, y, x haec quantitas : H d zv, d y yd zyà d zyá x LEGGE EZ H- ro rv aa) d x (d zd y d d y yd x yd - C x v az ax a x ac (a x a ua vnde ex ante notatis conflat pofito £ — o, fore K — zr. Cum igitur viderimus in probl 39. du- rante motu pro eadem particula quantitatem K 4 perpetuo eundem valorem conferuare eius valor vti- que illi aequalis effe debet, quem habebat initio pofito 7 — o, tum autem fit K-—1 et q— Q. Quocirca prior aequatio motus determinationem con- tinens erit K4—0Q, ideoque 7 — 2-. E Alteram aequationem in probl. praec. elicuimus , vbi introducitur litera g altitudinem lapíus grauium tempore vnius minuti fecundi defignans, eum in finem vt tempus 7 in minutis fecundis et celerita- tes per fpatia vno minuto fecundo percurfa exprimi queant. — Hinc igitur altera aequatio motus deter- minationem continens erit: 422—À)pdi Qd 9) ded d42)- da (235) in MOTVS FLVIDORVM." 3a8z in qua aequatione differentiali probe obferuandum eft, tempus f£ conftans affumi folasque coordinatas initialee X, Y, Z vt variabiles tra&ari. «— Quare cum x, y, z infuper tempus 7 inuoluant, carum differentialiaa dx, dy, dz huic conditioni conformi- ter fünt capienda. Cum autem integrale füerit in- ventum , loco conflantis ei -quamcunque temporis functionem adiici conueniet Coroll. r. r24. Quemadmodum pofterior aequatio ex tri- bus eft nata, ita etiam tres continet determinatio- nes, quibus efficiendum eft vt ea integrabilis eua- dat. | Adiunca ergo priori, infüperque ex natura fluidi relatione inter denfitatem et prefhonem, omni- no quinque habentur determinationes , ideoque tot , quot opus eft ad quinque funciones quaefitas x, y, &, q, p definiendas. COLOLL 5. 125. Integrali autem pofterioris | aequationis inuento, fi tum coordinatae X, Y, Z vt conítan- tes fpe&entur, et folum tempus 7 variabile ac- cipiatur, habebitur totus motus eius particulae flui- di, quae initio erat in Z; indeque ad quoduis tem- pus tam eius locus, et motus, quam deníitas et preífio affignari poterit. Coroll 35. 126. Si ifla particula, quae initio erat in Z nullam denfitatis mutationem admittat, perpetuo bbb 3 erit 382 DE PRINCIPIIS erit q— Q ideoque ex aequatione priori K — 1. Hinc ergo loco ipfius K valorem fupra afügnatum fubítituendo certa relatio fun&ionum x, y, z defini- tur, quemadmodum a a coordinatis principali- bus X, Y, Z pendere debent. Scholion r. I27. Si alteram aequationem attentius con- templemur, ex eius forma coniicere licet quomodo ea ex theoria virium follicitantium fit deducenda. In fiatu enim initiali confiderentur duo puncta fibi proxima Z et Z/, quorum illud coordinatis X, Y, Z hoc vero iftis X-I- 2X, Y -- 4Y, Z-r-4Z de- terminetur. — lam elapío tempore — 7 haec duo punda transferantur in z. et 2^, illius coordinatis exiftlentibus x, y, z huius vero x-r-dx, y --dy, z-- uz vbi probe notetur, haec incrementa dx, dy, dz ex differentiatione fündionum X, »,.2, dum tempus 7 conftans affümitur, «effe capienda, ita vt ex fola variabilitate coordinatarum — principalium X, Y, Z refültent. — Vocetur nunc interuallum dk —i3 per quod extenía concipiatur molecula fluida figutám habens prifmaticam feu cylindricam , cuius bafis fit .—0 0 , eritque eius volumen —óó4; et maffa —góóds. Quoniam igitur preffo in ponitur —fp erit preffo in 2^--p-1-4p , deuotante 45 id differentiale fun&tionis f, quod ex variabilitate fola- rum coordinatarum X , Y , Z maícitur tempore 7 conítante affümto. Haec ergo molecula z2^ ab. ex- | ceffu MOTVS FLVIDORVM, 585 ceffu preffionis iu bafi z^ fupra bafin z iü directione 2/z vrgetur vi motrice — 03 75, quae per maffim qóÀd; diui(a dat vim acceleratricem EUM fecundum eandem dire&ionem z/z. Cum vero adüsnt vires acceleratrices 9p , €. , 3€ fecundum directiones Ox , X9, 72 ex his colligatur vis fecundum directionem 48i quac repcritnr 42-5 057--9 77 , iga, yt. iam tota vis acceleratrix fecundum directionem zs^ fit EBD Hac inuenta con(íiderentur accelerationes motus, quas fecundum directiones Ov, xy, y& vidimus effe (15.2), (172) , (£75) , ex iis- que- colligatur acceleratio fecundum directionem z3/ quae prodit : * EE z(d4.2)-- 22 (£2.2)-4- 72 : (59.8) ils: ex motus principiis hanc. accelerationem — ae- qualem effe oportet vi acceleratrici illi per 2g multiplicatae ; hincque per Z5. multiplicando | ipía 4equatio altéra motus naturam continens oritur; quam ergo flatim f(íine tantis ambagibus inuenire licuiffet. In hoc autem fere inufitato calculi gene- re maximi certe eft momenti eandem aequationem plus vno modo elicuifíe , cum hinc. natura iftius. nouae analyfeos non mediocriter illuftretur. Scholion. 2. | 128. Quia hic motus tantum principia tftade- re conítitii, breuibus faltem v(um barum formula- rum oftendam. Primo igitur pro motu iyggrefuno feu parallelo fingularum particularum ponamus: A1 584 DE PRINCIPIIS xr—X-rL;y—Y-r-M;sz-—Z--N exiftentibus L, M, N eiusmodi functionibus ipfius temporis 7 tantum , quae- facto ;z—o euanefcant, Cum igitur fit $5)— 1; (20a; (£2); reli- quae vero formulae differentiales omncs euanefcant erit K— 1 , et q— Q, vnde denfitas cuiusque ele- menti manet eadem ; feu haec hypothefis ad fluidum pertinet nullius compreffionis capax: interim tamen fi ex materiis heterogeneis conftet, in flatu initiali Q fpedari poterit vt functio iparum X,.Y et Z. Agat fola grauitas fecundum directionem z y, vt fit 9—0o, £-—oet99—-—r, eritque altera aequatio : E MdiPlcgdZ—dXT5b—qY.53M-qZz934N, Q. d 1? d 1? quae aequatio vt pofft integrari denfitas Q vbique debet effe eadem ideoque Q— P, atque integrale erit : HS /^owddi wddM, *7dàN . tEp— 2g(b— Z) X. Y. d$ —Z. t z--f:u nifi ergo motus fit vniformis , fuprema fuperficies horizontalis non erit. j| Deinde cafum perpendamus quo fingula elementa circa axem verticalem in planis horizonti parallelis reuoluuntur, In hunc finem fit angulus 0 functio quaecunque temporis, 7, et ftatuatur: x — X cof. 0— Y fin. 6; yZ Y co. 6-i- X fin. 0; z-Z hinc ob (130— cof, 0 ($30 fin. 0 (x cof. 0; (x fin. 6; ep colli- ;,,MOTVS FLVIDORVM, 595 eolligitur K — cof. 0*-- fin. (^—1. Quare vt ante den. fitas, ftatuatur conftans 4—Qc— f. Deinde. reperitur: ($5) CX fin. 04-Y cof. $5.5; (£4 5— CX fin. 04- Y cof. 622 ^ai? Vaf? c -H( Y fin. 6— X cof. 055 (22)—- (Y fin. 1X eof 255 (55-2)7-(Y. fin. 0-X cof: 022 — (X fin. 0-4- Y cof, 0 1. vnde (cta fubflitutione- fit. altera aequatio EP —— 28dZA(YdX--XdY)5 5 (X4X4- YaY 45 d t* vbi cum 7 et 0 pro conftantibus fint habenda pro- dit integrando t og(b—Z)- XY ,23 XX EY Y)E fi e ds? Cum hic pro 6 fun&ionem quamcunque temporis accipere liceat hic motus multo latius patet eo, quem fupra priorem methodum fecuti euoluimus ex quo haec altera methodus infigni víu praedita eft cenícnda. Scholion 5. 129. Cafus hic allatos fufius non profequor , cum hic ideam tantum circa applicationem. huius poflerioris methodi exhibere fit propofitum, praeter- quam quod vberior euolutto tam. iflius quam prae- cedentis. methodi infignem analyfeos promotionem exigit, antequam quicquam cum fucceffu fperare liceat. Cum enim haec vniucría analyfis circa functiones quatuor variabilium veríetur, dum ea pars quae in functionibus duarum tantum variabilium Tom. XIV. Nou, Comm. Ccc con- 886 DE PRINCIPIIS MOTVS FLVIDORVM. confiftit; vix adhuc excoli eft coepta: temere certe tam arduum negotium fubito fuíciperetur. ^ Quod igitur quafi per gradüs afcendendo 2d hanc motus fluidorum inueftigationem in genere tendamus, a cafibus facilioribus , vbi pauciores "variabiles occur- runt inchoandum videtur. Atque hic ad geornetriae fimilitudinem "Theoriam motus fluidorum in tres. par- tes /inearem, planam et folidam commodiffime partimur; quarum "binae priores, étfi per dbftra&ionem in fubfidium tertiae funt formatae, tamen proprio vfu neutiquam deftituuntur. Pleraque enim quae adhuc de motu fluidorum funt explorata ad fluxum per canales fen tubos referuntur, qui etfi non anguftiffimi uffümi folent, tamen fluidum non aliter per eos amoueri concipitur ac fi tales :e(fent, fiquidem in $fiogulis fe&ionibus tranfuerfis nulla motus inaequali- tis admittitur. Ita; merito motum fluidi per huius modi tubos motum linearem appellare licet. Secun- da pars eit plana vel potius fuperficialis, qua fluido moto quafi duae tantum dimenfiones tribuuntur , qum fcilicet tertia dimenfio nulli motus inaequalita- cti obnox'a confiderstur. His ergo duabus demum partibus accuratius euolutis tractationem plenam per "Omnes "ttes. dimenfiones aiaiori fiducia adgredi po- &erimus. PHYSICA. PHYSICA. "y n 4 RU : Pim «dde. Lio edel 389 MVS SVSLICA. | Auctore 4. I. GVELDENSTAEDT. nter notifümas Maris generis fpecies, Marmotam loquor et Cricetum , quae in campis defertis (akaicenfibus frequenti(fime habitant, animal eius- dem geueris minus coguitum veríatur, quod putaui dignifluimum ,. cui determinando temporis aliquantu- lum et laboris impendatur. |. lacolae harum regio- num appellant idem) Suslik, (Cycau&b) quod, no- 45 vr, 4nine triuiale exinde formato, nobis audit: Mus $Suslica. Animalculo, quod. fecundum Ill. LINNAEI placita, genuina JMuris fpecies eft, multa cum Criceio alia plura cum Marmora communia fünt ; quod ceterum nec moribus, nec vitie genere ab iftis valde alienum , attamen ita differens , vt fpe- ciem diuerfiflimam conftituat. Differentiam enunciet, DESCRIPTIO. CAPVT obouatum , fronte et vertice depreffo, plano; buccis fubgibbis ; ro/ro obtufiufculo , craffo , rotundato , fübnddo ; /abiuw) fuperius bipartitum , in- Jerius fuperiore breuius; vtraque craffa; oris aper- Jura parua , triangularis , nec cauitas oris ampla, Med buccae faecatae 5. linoua carnofa , obtufa, papillis. Metofis obóta; palatum xago(um, Ccea Deii- 590 MVS SVSLICA. Dentes incifui quatuor, in vtraque maxilla duo; íuperiores plani, approximati ; inferiores du- plo longiores , fübulati , anterius conuexi , pofterius plani, leuiffme incurui, dilatabiles : camimi nulli : molares ab incifiuis remoti 18. fuperius vtrinque s. inferius 4. difco rugofo , faleato , margine convexo buccas et cruribus diuergentibus palatum refpicientes in maxilia fuperiore ; in inferiore vice vería; radi- ee quàdrifida ,, diuergente in alueolis. Myflaces per quinque. ordines inter nares et oculos difpofitae; in r. ordine 35; in 2^ 4; in 93* 5, omnium longiffimae ; in 4^? 4; in 5'^ tantum 3. fetae fupra cantum anteriorem oculi 4. vel 5. inter oculum et aurem plures detritae. — JVarium apertu- rae fat magnae, femilunatae , «culos veríus recur- vae , nudae. ' Oruf/ magni, prominentes, nigri ; palpebris ciliatis ;— ciis inferiormus duplo longiori- bus. Auriculae fübrotundae , parum e vellere pro- minentes fübpilofae. COLLVM breue, capitis craffitudine. TRVNCVS oblongus , .cylindticus. PEDES breues, fere inter fe aequales; me- titarfis incedentes; palmae nüdae , werruco(ae ;.te- tradactylae ; / 4igi;o fecundo longiffiio , 'extimo: bre- vifümo , primo -et tertio longitudine intermedia , 1equali; quibüs accedit ernpaiculus dollicaris. latus , obtufüs,.breuis, a terra 'eleuatus: lemrae pentadacty- lae; digito intermedio maximo ; primo €t quinto 292. mini- MVS SVSLICA. 391 "minimis , aequalibus; fecundo ét quarto intermediis, pariter aequalibus; v5]pyes digitorum omnium. longi, acuti , fübincurui, fubtus carinati. CAVDA pedum longitudine , pilofa, deprefía , . vt fere fecundae fpeciem referat. ; PILI corporis rari, absque vellere , regidius- culi in abdomine et cauda aliquantum longiores ac in dorfo; in pectore conuniuentes in futuram pecto- ralem; ferinaeum pilofum ; amis nuda , rugofa. MAMMAE vtrinque fex, duae íc. pectorales, duae abdominales ,.totidemque inguinales; area | fa- fillae nudiufcula. "GENITALIA : 7abia'vaginae , ano proxima, longitudinalia , laxa, absque clitoride; fraepuiium in mare ftriétum ,; ViX pendulum , nec ^idiicuti ap- parentes, COLOR: Nigra fant omyftaces, oculi, vn- gues; albicaniia xo(trum , oculorum regio, gula pedes anteriores in latere pofteriori ad ipfam axil- lamjet caudae apex ; einereo - flaue[centia truncus. fub- jtus jet pedes ; cimere) - fufca totum corpus Y us .|cum cauda, ita vt caput ct cauda immaculata , reliqua autem — muaculis rotundatis .albicantibus picta ifint. STATVRA fere muris -criceti , cui magnitu- | |dine cedit, -muftela erminea aliquantum — maior, DIMEN- 492 MYVS.SVSLICA DIMENSIONES partium ad londinen-| poll, fia. | fes longitudo ab extremo roftri ad cau.ae finem 9. | 8. -—— a rofiro ad brachium - - - - |2. |6. ——— a brachio ad.femur .-. 2: -4.- [4 ]6. -—— 32 femore ad caudae radicem - -| — |ro. —— audae - - -'- - -^- -[|r. [ro ——— a labio inferiore ad clauiculam 2.[— ——- a clauicula àd proceffum xyphoidem| r. | 6. -—— 4 proceffu xyphoideo ad praeputium| 3. | 2. -—— 4 praeputio ad anum .- - - aum ——— crütis - - - - - - - - BETA —— antibiachii - - - - - - I. | 4. ——— plantaea calcaneo ad radic. digitorum] — rr. —— palmae - - - - - - - miu ——— digiti medii plantae SAM S — |5. —-— -— — fecundi et quarti —- - - [.— |4 —— ——— primi et quinti - - - — | 3. -—— ——— palmae íecuüdi - - - mid s^ ——— ——— ——— primi et tertii - - | — | 4 — —— —-— qarü - - - -[— [5. —— vnguis digitorum longiffimorum —Trm. —— -— — polliaris palmae - ^ - [— |r. diameter ritus oris - - - - - -]— [8- —— diffepimenti narium - - - - — quu ——- inter nares. et "oculos - - 7 —[ —— inter oculos - - - - - - — rr. ——— inter oculos et aures - - - — |6. -——— inter aufs .- - - - - - "e pu MVS SVSLICA. 292 | poll. lin. diameter oculnuum - - - - - - [— |5. ec—AaUlPüm,. e * "-"w e» €. oap8. —— humeri s» 9 - - - - - 1. |6. -——- lumborum - « «- - - t. |6 Peripheria abdominis - - - - - 145. |-— Defcriptioni externarum partium fübiungam. ANATOMIAM Cuiis totius corporis tenui muftulo fübcuta- Xeo cina, Tunica interna oris inter maxillas et dentes molares reuoluitur retrorfüm in faccuíum laxiffmum , ad latera colli ; vsque ad clauiculam decurrentem interne rugo(um , albidum,. papillis ex- afperatum , exterius, praefertim ad fundum, cinctum Jibris fortiffimis mufcularibur , quae in. vnum. corpus collectae proceffui coracoideo ícapulae: inferuntur. Cute foluta apparent ad latera colli proxime ad flerno - cleido - maftoideum mufculum — g/andulae magnae collares , adipe inuolutae, inde collum. cras fum ; glandulae fubaxillares latae planae glandulae mammarum omne corpus. inferius a clauiculis, víque ad os pubis continua ferie obducentes ; ingninales , ob nimiam adipem , qua püdendorum reaio.fcatet , vix confípicuae , quod «etiam de tefticulis valet , quanquam extremitate tuberculofa extra foramen b- dominis oualé promineant, "Tom. XIV.Nou. Comm. Ddd THORA- 294 MYS SVSLICA. THORACIS cauitas pleura tenui obduc&a et mediaflino tranfparente,. ad marginem fterni dextrum adhaerente , in duas cameras feparata. Omne fpa- tium a clauiculis, vsque ad. cordis bafin replet zbymus etiam in adultis fat magna, biloba glandula. Pa/mones parui rubicundiliuidi ; dexzer trilobus , lobo infimo maiore , medio minimo ; f//fer bilobus; inter cor et diaphragma ante oefophagum adhuc duo lobuli pulmonales accefforii. | 4 Cor pulmonibus interpofitum , apice interfti-. tium 5 et 6 coftae refpiciens ; Pericardium laxiffimum pellucidum , margine dextro He/mowü pecu ad- haerens. | Ventriculus cordis. fimifler. pro exitu aortae ; paruus , fed parietibus et diffepimento denfiffimis ; fere totum cordis corpus conftituit ; ventriculus dex-- &er pro exitu arteriae pulmonalis, laxus, tenuiffi- mus et fere pellucidus , dextro quafi appendiculatus, auricula dextra duplo amplior finiftra. Ex arcu aortae tria vaía prodeunt, arteria nimirum axil- laris dextra , carotis dextra et inominata, ceu trun- cus communis caro&dis et axillaris finiftrae, ^ Poft arcum aortae zracbea.annulata ; ad marginem fini- ftrum tracheae oefopbagus , vertebris dorfi incumbens. ABDOMEN mufculis oblique defcendente , -adfcendente , transuerfo et recto, vt in homine cingitur. Diapbragma latum in ambitu coftis fpuriis adhaerenti mufculofüm, appendicibus ad lum- | borum MV$ $VSLICA. bos "borum vertebras decurrens ; in difco tendineum, Peritoneum tenue, leuiffüunnum. — Omentum | magnum ab hepatis füperficie inferiore et a ventriculi arcu maiori per totum abdomen deícendens , laxifimum , quam maxime adipofum , pariter ac "wfenterium et miefocolom , quod ad latera vtrinque latiffimmos appen- dice$ duplicatas, organa genitalia vtriusque fexus inuoluentes demittit. Hepar magaum , hypochondria et epigaftrium 'ccupans , quadrilobum , lobi duo dextri, duo fi- nitri, Jobus dexter anterior omnium maximus , hypochondrium dextrum replens, fuperficie conuexa diaphragmati contiguus , ipfiquae ligamento lato adnexus , füperficie inferiore inteftinis et margine finitro lobo finiftro anteriori incumbens, margine anteriore bifidus , acutus , pofteriore obtufüs , inte- gerrimus ; Jobur dexter. poflerior bipartitus , lobulo inferiori reni dextro incumbens et concauitate - fua dimidium renem obtezens , cum quo per ligamen- tum bLepatico - renale connexus ; lobus finiffer anterior dextro anteriore minor , in hypochondrio finiftro et epigaftrio fitus inter diaphragma et. ventriculum , margine pofteriore obtufiffimo diaphragmati alligatus; inter hunc lobum et dextrum pofteriorem tranfit vena caua , lobus finifler poflerior omnium | minimus , bifidus, minorem ventriculi arcum concauum replens inter hunc et fini(trum anteriorem foffà pro erae portarum infertione ; cy/fis felleg inter fiffüram « mar- Ddd 2 ginis 396 MVS SVSLICA. ginis anterioris lobi dextri «anterioris fita , fundo marginem coftaé feptimae reípiciens , ceruice in dutíum cboledocbum deünens, qui proxime ad pylo- rum inteftinum tenue petit , ar/eria PLepatica. | lobo dextro anteriori in füperficie inferiore inferitur , proxime ad exitum dufus: cyflici. Lien oblongus , anguftus , per laxam et adipe tepletam omenti continuationem margini conuexo ventriculi in hypochondrio finifiro alligatur. Pancreas / vix adeft; nif $elandulas minores plures poft ventriculum fitas pro eo habeàs, Veurriculus bicruralis; carZi? extremitati fi- niflrae proxima, vt fündus tantummodo quafi digiti «pex promineat; a cardia abit arcus concauus mi- nor ad 9ylorum, fphin&ere ligamentofo prominentem; arcus inferior conuexus, duplo maur; corpus ventri- «uli oblongum , dilatatum , extremitatibus vtrinque aequaliter coarctatis. Iutefüinum ienue aequale vbique, colo fere triplo longius , 50: pollices adaequans , mefenterio laxo, adipofo annexum, regionem vmbilicalem , ven- triculum et coecum inter, occupans , deünit latera- liter in coecum lumine transueríaliter bilabiato , in coeci cauitatem peadulo, valuulam conftituente , quae vtrinque crura emittit in parte valuulae op- pofita concurrentia et annulum fphinctericum intus pro- MAS JISSVSLLEICA. 897 prominentem , teretem ,' mufculofo - lizamentofum , cüi colon per füturam extus confpicuam adhaeret , finulantia. A tenuis infertione deícendit coecum quam maxime dilatatum , et ventriculo duplo am- plius ad os iliacum dextrum, fundo fuo totum hypo- gaftrium ad os iliacum finifirum vsque replens. Ad alterum latus inícrtionis tenuis proxime ad veficulam felleam , in fitu naturali oritur. colon , deícendens per regionem iliacam dextram ad os ilii, abhinc curuatura fimpliciffima et parti deícendenti arcti(lime alligatum redeuns ad pylorum , dein inter fuperfi- ciem ventriculi pofteriorem et fpinam dorfi regionem iliacam íiniftram ductu ferpentino petens et tandem S. romano laxo , in ofífs ili finiftri fuperficie for- mato, in rectum definens; interne coecum rugofiffi- imum pariter ac colon in ipío initio ,' quod poftea et interne et externe laeue. Poft fphin&erem reci datur azus accefforius , ventricofus, tribus finubus mu- €ofis, apice fubcartilagineo , perforato, prominulo terminatis flipata; quos finus animal vexatum pro- trudit, vt aperzura ani tricufpidata appareat. Remes duo; vtrinque vnus, inter fecundam et tertiam lumborum vertebram fitus , integer, ouatus, auellanae magnitudinis, cum /uccenturiatis extremitati fuperiori incumbentibus; finifter a ven- triculo depreffus dextro profündior; «rezeres e pcl- i renali ad vertebrarum latera defcendentes petunt efiam wvringriam , ouatam , vtrinque liberam et peritonaeo obductam, : | Ddd 3 Geniia- due MV$ $V$LICA Genitalia in femina ita: vaginae labia rugofa , laxa ; clitoris nulla , fed ad ipfüm pronaum, peri- naeum veríüs, finus magnus, coecus, mucofus, cui apertura vreibrae glandofa oppofita eít; wagima vitri longitudinaliter rugofa , laxa , terminata orifz- cio wvteri lacero , vix filo temuiffimo permeabili ; eeruix vieri breuiftumus bifürcatus in cormu dextrum et finifirum tenue , cylindricum , laxum membrana- ceumn , minime rugofüm, tuberculofum hinc inde in femina quae ante menfem peperit (forte a pla- centarum veftigiis) alias laeue, inter laxiffáímam capfülam adipofam ad renes vsque adícendens ac in ipía extremitate ouariis paruis, vix milii femen exfuperantibus , granulofis auctum. Genitalia wiafvculina: penis cum. tefticulorum ex-- tremitatibus extra abdomen , fed omnia tarta adipis copia obtecta, vt per cutem communem nil appa- reat. —Fibrae oblique defcendentis mufculi abdomi- nalis continuant in facculum , fine caeco tendineo extremitati inferiori tefliculi et epidydymidis adhae- rentem ; unica propria tefticuli tendinofo - menbra- nacea , definit in latam duplicaturam ad marginem interiorem et epidydymidem tefticulo adnectit. | Epi- dydymis in extremitate fuperiore tefticuli incipit bulbo(a , fed ftatim anguftata defcendit libere ad al- teram tefticuli extremitatem , cui iterum arcte ad- haeret dilatata et tandem du&u retrogrado definit in vas deferens anguítifünum , wbique aequale , ve- ficulas MVS $SVSLICA. "M Jiculas. fbermaticas minutas et. vix confpicuas petens, quibuscum apertura communi hiat vtrinque ad late- ra capitis gallinaginis in vrethram. | Pretbra eius- dem cum corporibus cauernofis longitudinis et dia- metri, muículofi, ante veficularum fpermaticarum lumina duobus finubus a pro//atis bilobis, inter re&um et vrethram fitis, prouenientibus perforata et abeuns infra oflium pubis angulum in corpus cauernofum vreibrae , quod in initio bulbofüm, dein angufta- tum et foramine lacero terminatum , ad latera au- tem in glzudem penis caudam veríüs recuruam , et ofüculum cylindricum , capitulo cartilaginco verfus vrethram nutante auctum , continentem de(inens. Corpora cauernofa penis duo , longitudinis fefquipol- licis , mufculis füis ere&oribus et radicibus ipfis os- fium pubis cruribus adhaerentia ; diffepimento liga- mentofo feparata ; intus celluloa. | PHY SIOLOGI- CIS nonnullis , quae mihi de S'u;lc2 innotuerunt, "uc&tiorem reddam hiftoriam huius animalculi. — V;- Citat Suslira vegetabilibus , foliis praefertim et fe- minibus; dele&atur foliis iunioribus millefolii ; col- ligit grana cerealia in facco buccali eaque in cauer- na pullis praebet ; pedibus poflerioribus infiflens íae- pius anterioribus cibum ori admouet; fieces excer- nit fub forma fcybalorum per anum acccflorium fÉormatorum, Coitum celebrant vnica vice per annum pri- mo vere ad finem Martii poft fomnum | brumslem.. Prae- 400 MVS. SVSLIC2Z. Praeterlapfis fex a conceptione feptimanis parit f&« mina quatuor, vel fex, vel oco pullos, pilis et oculis apertis gaudentes. Insveffüf tardus , ita vt in planitie effugiens facile ab homine capi poflit. Sub terra fodit ce- lerrime cauernam , corporis diametro proportiona- lem , per argyam vnam oblique dcfcendentem , apertura nunc duplici , nunc fimplici. X Ante cauer- nae aperturam faepius ere&a ftat, murmura e lon- ginquo percipiens circumfpicit et fonum fflularem edit. — Autumno appropinquante caucrnas petunt gregatim , iisque obturatis alto fomno fepultae per quinque menfes hybernant ; circulatione et fecretio- nibus tunc tardiffimis et fere füpprefhs vitam vi- vunt minimam. Feces in coeco colliguntur , quod ipfis hanc ob caufam , adeo amplüm contigit , val- vula coeci, feu fi mauis, coli ante defcripta regref- fum fecum in inteftinum tenue impediente ; quo magis enim rper fecum collectionem coecumr exten- ditur, eo auguílior redditur valuulae rima , cuius labia eo ipfo coeci parieti apprimuntur et regreffum impoffbilem reddunt. Praedaiur. Suslica a. falconibus , . praefertim, a miluo; rarius ab herminibus propter pellem, minus nobilem , ideoque fat vili pretio venalem, Habita? animal frequenter in campis vaftifii- mis tanaicenfibus , praecipue vrbes JPorouefcb et Tan- bov inter , (imul cum Marmora. et Criceto. Qui« —MVS SVSLIC A. 401 Quibus cum animalibus .S$;/ca quod reuera in multis conueniat ,. vt iam indicaui , patebit cou- ferenti haecce animalia inter fe fecundum defcriptio- nem nunc traditam. Marmota tamen multo magis affinis eft Sur/icae ac Cricetur. — In Marmota enim roftrum , labia, lingua, dentes, palatum nares , oculi ; aures , mammae , pedes , cauda ct anus omnino ita ac .S'us/icae ; nec pili , nec color pilo- rum valde differunt , nifi in eo, quod dorfum $ui- Jicae albido maculatum fit. Differt autem Marmo- fa buccis a crafffümo maffetere protuberantibus , plane non faccatis; trunco laxiffimo , ventricofo , imaculato, magnitudine vel decies maiori. In tanta animalium horum affinitate , | infüf- ficiens eft ad diftin&tionem nomen fpecificum — Mar- motae: Mus cauda abbreuiata fubpilofa , auriculis rotundatis , buccis gibbis : ab I/. IuyNNAEO in $y/. Nat. 127^ Edit. p. 81. fancitum , quia pariter Su;- licae refpondet. | Nomine fpecifico: MV'S corpore fufco - flauefcenti , dorfo iaculis: vo- Iundis albidis variegato ; cauda pedum longita- dine , deprefja , pilofas palmis. tetradacfylis ; J plantis. pentadactylis : diftinguimus nos Sus/icam et a congeneribus reliquis, et a Marmoia , quae nobis audit: MVS corpore fufco - flaue[centà immaéulato ;. cauda pedum longitudime , depreffa , pilofa ; palmis 1e- iradaciylis ; plantis. peutadactylis. Tom. XIV. Nou. Comm. Eee Inter 402 MVS SVSLICA [nter vifcera Susl;ae et Marmotae maior adhuc ana- logia; in thorace nulla differentia; et abdomihis viícera perfecte conformia , excepto hepate ac colo. Hepar enim in Marmota differt in eo, quod lobi dextri et anterior et poflerior integti fint; céterum Juslrae hepati fimillimum ; in cob tandem loco vnicae curuaturde et dupliciturae ,, duae adfunt in Marmota, quarum altera regionem iliacam finiftraim Occupat. — Reliqua omnia , genitalia interna et Ex- terna in vtroque fexu , ani finus etc. ddéo 'cofor- mia, wt plane non , mif magnitudine differant. Monita omüia de vitae genere et moribus Juslicae , fi granorum collectionem excipis , valent etiam de Marmota. Iuter Cricetum et Suslicasm Yninor. ef affinitàás. Conueniunt -aliquomodo - quoad.. ftaturam |, : perfecte pedibus ; Tüinus.íacco buccali.. Mufculüs enim facci buccális Cice alio'loco ac in SusJica inferitur; ad- haeret nempe proceffibus fpinofis. 5. 6 et '7.: verte- brae dori, inter trapezium. mufculum. et latiffimum dorf, Differt praeterea dentibus molaribus et cau- .da rotundata; abrupta , breuiffima pilofa , mammis, ' quarum liberas modo .duas inguinales habet, et praefertim |. genitalibus maículinis , quorum adeo fin- gularis eft conftru&io, .vt propriam anatomicam expofitionem , quàm proxime dabo , expoftulent. | Süthetagt haec de MVRE Satis, cujus fla- turam icon, quam fieri curaui, (it accurate ex- primit. "ANAS n6 (9)88e 408 ANAS NYROC A. Auctore 4 LV GFELDENSTAEDT. E nümerofifüimno anatum genere migratorio plu- rimas fpecies regiones tànaicenfés vidi falutan- tes. Habitant enim hic locorüm per :aeftatem ' fre- quentiffime ANATES; quae I. LINNAEO in S$y- Jlematis. Naturae. x2"*- «editione audiunt : clypeata , ftre- pera , elangula., penelpe., acuta , ferina , querquedala , erecca , bofcbas , fuligula. . Quibus exceptis Occurrit anatis fpecies non infrequens , quam vix ab orni- thologis determinatam eee : certe nullibi fat diftin&e ,""vt' dignofti pofüt. ^ Mearum igitur par- tium - effe duxi, fuccincam huiüs anatis tradere de(criptionem. Ruffis audit Nyroc (Hiipoxb) exinde nomen triuiale d duxit. .DESCRIPTIO MARIS. ROSTRVM depreffum | i conuexum , Obtufüm, laeue , liuido - nigrum , capitis longitudine , | lstitudiue vbique.aequale ; mandibula fuperior inferiori longior et latior, vnguiculo obtufo, fubincuruo terminata ; , mandibula inferior ve- &; vtraque vtrinque dentibus paleaceis ri- gidis, breuibus armata. Eeea LIN- &8à ANXAS NYROC A. LINGVA carnofà , dupliciter. vtrinque. ciliata , apice lamellofo , coarctato.. NARES ouatae , femite&ae , peruiae. OCVLL parui , vertici. propiores ; iride: albicante ;; pupilla nigra. | CAPVT compreffum , bafi latiori ,, vertice fornix cato, obícure caftaneum , nitens. COLLVM,, quod attenuatum ,, PECTVS et HY- FOCHONDRIA, capiti concolores.. CERVIX et DORSVM. atro- eliuacea, quo co- lore et coli. intermedia. attenuata pars. iu ceruicem definens tincta eft. ' VROPYGIVM atrum. ABDOMEN, fericeo - albidum-, ab.apice plüma- rum albo, quae bafia verfus ex fufco. et albiolo. variegate funt; ami. regio fufca; cris- fum. niueum; ALAE paruae,: ad digiti latitudinem — cauda: breuiores , dorfo concolores ; remiges. quo ex- teriores , eo- longiores, quarum 1i. 2. et. 3. totum latus exterius et apex; 4. 5. et 6. TMargo tantum exterior cum apice;, 7 - 20. ' apex tumrmodo oliuaceo - niger.,. reliqua. omnia alba; 21-24. totae pariter ac remigum et axillae zed£rices atro - oliuaceae ;. Jpeculum: alarum. album , antice pofliceque oliuaceo- nigrum.;, ;argo. axillarum ct alae fubtus. albae:. CAVDA. ANAS, NYROCA. 405. .CAVDA breuis , fübcuneata ;. re&fricibus x4. acu- | minatis-, atro - füfcis. PEDES natatorii, nigro - plumbei, cauda lon- giores , bai nimirum phalangis fecundae di- giti medii caudae. extremum — attingentes ; digili quatuor, vnus pofticus, tres antici membrana nigricante connexi ; «mpues digi- torum breues , rectiusculi , diui" nigri. BIMENSIONES' partium. ad pedem | voll. londinenfem ita: longitudo abapicc]. roftri ad caudae extremum 16. ——— a vertice ad axillam. alarum - - | 6. ——— ab axillà alarum ad earum extre- mum 7 ——-— ab extremitate alarum. ad. caudae| apicem Aeg ——— femoris - - - - - - -' -][ S. —— Ccrüris - - - —- - - - I. ——- digiti medi - - - - - - 2. —— —— eXxteriois - - - - - 2. EXE: interioris - - - - - |.t. —— —— pofii - - - - - - -—- —-— vnguis digiti medii -. - - - - reliquorum. vngues in eadem. ratione. cum digitis decreícunt. diameter roftri longitudinalís ab angulo oris|. 2; -—— —— a bafi frontis. - - r. |—— ——— perpendicularis ad bafin - : Eece3 diame-- 406 ANAS NYROCA. —-— diameter ad nares « - - ——— ——- ad apiem - - - inter apicem roftri et marginem anteriorem nairum - - - - marium longitudindlis - - - inter marginem pofteriorem narium et cantum anteriorem oculi - -- I0 EN. TuS c v HEN m ——— «apitis transuer(alis ad orbitas - - |I 11 loge gdobaffa icrauu £69 o6 —— perpendicularis. a vertice ad bafin^ — s-U94- 49 o8 5 —-.— jongitutinalis a nucha ad fron- E e e... i—— corporis transuer(ülis - - 7 7 iced GECR GerpendicMWaris | - 2 DeLOB L— dinum expsenidtuBe -— om oos DESCRIPTIO FEMINAE. Femina magis decolor; ea, quae in mare cafanea in femina fordide ferruginea funt; abdomen nébulofo - albicans ; ami regio dilutior fuíca ac án mate et dorum ruffefcens , reliqua omnia vt in ma- re. Quoad totam corporis longitudinem 8. lin ma- re brenior et pro hac ratione etiam in reliquis di- menfionibus vna alteraue linea deficit. Ex 'deferi- piüonibus nunc de vtroque fexu traditis conficio no- men fpecificum —Vyrocae : | | ANAS ANAS NYROCA. 403 ANAS ruffo - nigricans , abdomine , fpeculo alarum , eriffque - albis. STATVRA Z4natis Nyrocae perfe&e cum. 4dna- te Fuligula I.:NNAEI conuenit , adeo vt icon Fui- gulae etiam Nyrocam exprimat. Proximae certe fibi hae fpecies funt, quae etiam in ipíà partium tinctu- ra multa communia habent; color enim caudae, alarum , alarumque fpeculi , 'toftri , pedumque in vtraque idem : diuerías attamen et conftantes, 'vt ex multifaria obferuatione didici, fpecies. conftituent. Differt enim Fuliguia ma$ a Myroca mare x. capite criflato ; 2. capite et pectore atris non caftaneis ; 3. oculorum iride lutea, non alba; 4. plumis ab- dominis totis albis, non bafi variegatis; 5. hypochon- driis abdomini albo , non pecori concoloribus; 6. ani regione alba , non fufca; *. criffo nigro, non "niueo. Feminarum Fuligulae et Nyrocae fimilitudo maior adhuc ac marium et vix habeo quo diftinguam, cum crifta valde detrita ct vix confpicua in Fuligula emina, cuius capitis et pectoris tin&ura fere eadem ac Nyrocae , quo accedit, quod hypochondria pectori fufco - ferrugineo. concolores- et criffum. ex-fuliginofo- et albicanti variegatum fit. Rudimento criftae nuchalis, iridibus luteis et criffo nigricante attamen Fuligulam fiminam a Nyroca femina attentus ac intelligens, feparat. - IA Anas 40$ ANAS NYROCA. Anas Nyroca migratoria auis aduenit medio Aprilis in hifce regionibus Tanaicenfibus inter gra- dum 54 et 55 latitudinis borealis fitis: Mas in "onogatia wivit , nec feminam deferit , fed ea in- cubante excubias agit. Femina omit? oua 6 - 8, al- bida, immaculata in foffuüla excauata loci eleuati inundatorum, iisque per Maium /neubat íola, ma- rem arcens, ne oua diffringat et comedat, vt folet. Vidlitant wegetabilibus et praefertim feminibus, vix pifcibus. Caro fapida , fat tenera. Haec funt, quae habui de Hiftoria 4mazir Nyrocae monenda, SPALAX 35 ( O7) GiS«« 405 SPALA XN, NOVVM GLIRIVM GENVS Auctore 4. LI. GVELDENSTAEDT. "Exhibit d. ar. Sept. 1769. LIRES., zoologorum recentifmorum facile omnium confenfu ,. falutantur quadrupeda digi- iata , dentibus primoribus geminis , approximatis , ma- gnis, vix labiis zegendir gaudentia, camimis omnimo ca- rentia et molaribus, truncatis a primoribus remotis in— Jirucia. Pro diuería dentium primorum figura, du- ce illiviffimo Equite Aurató a LaNNE , in varia ge- nera diuiduntur numerofíae huius ordinis . quadrupe- idum naturalis fpecies, quas omnes fat diftin&te no- tas comprchendünt genera Limmeaga 5. Hyflvix fcil. Cajflor , Lepus, Sciurur , mus , quibus nuperrime acce(fit. VocZilit, quem attamen ad wefpertilionem , pà- «e VIRI SVMMI, dblegare forte praeftaret , ob palmas alatas , «ceu ccriterium euidentifmum gene- ris huius maturalifümi , cuius multo maior eft vis ac dentium , qui et numero et figura et fitu. mire variant apud vefpertiliones, | Nullum horum generum intrare potuit -ani- malculnm in itinere per Ruffíiam nobis obuium , ad sGlires omnino pertinens,. vt .ex fubfequente .den- -g Tom.XIV.Nou.Comm. | Fff tium 410 SPALAX NOVVM tium deícriptione fatis füperque patebit: ab Hyfirice et Caflore autem diuerfifüünum , cum. nec fpinis nec cauda applanata fquamoía inftrüctum fit; a Le- fore pariter alienum , cum nec dentes fuperiores duplicati , nec in reliquo auricularum et artuum habitu vlla conuenientia adfit; a Séuro tandem re- motifimum per dentes huius primores compreffos , per caudam laxám villofim , ornemque vitae mo- rumque rationem. Ad uris genus, praefertim íen- fu latifümo , "vt 3/4 a luNNE placuit , famtum proxime equidem accedit animalculum , fed dentes , primores inferiores wmünime fubulati. ^ Medium quoad dentes ,, videtur inter Cauam KLErNIr, (ad.quod genus optimum Mures Porcells, Aeuti et Paca LaNNAEI pertinent) et inter reliquas fpecies Liguea- na; Muris , genus proprium: conftituere ,, quod. no— bis audit : | SPALAX, cuius fit character : GLIS denzbur primoribus in «iraque maxilla cuneiformibus , planis ;, offro probofcoideo ;, pedibus: pen- tadaciylis ; auriculis caudaque mullis. Effentia' characteris. huius generici , ^ fpeciebus ,, im poflerum: forte detegendis accommodandi ,' poni- tür in dentium primorum figura. Veterum Tafpae fynonymon magi vó omàv , quod terram affidue- vellicet' animalculum , generi huic nouo impofüimus ,' vt ipfo nomine et mores et affünitas cum Tz/p4' indicentur. Spalax certe: oculo- GLIRIVM (GENVS. an eculorum minutie , auricularum. defe&tu , pellis ro- flrique. ftructura ,. corporis ftatura ac moribus Ta/pae adeo fimilis eft , vt haud mirer , quod a SEDBA, ab habitu feducto et dentes minus curante , Talpa dictus fit; nam , ni fallor ,. .Spa/ax nofter idem animalcu- lum. eft, quod SEBAE Talpa. .Sibirica. verficolor , et il a LuNNE, nomini et iconi SEBAE. freto Talpa. ecaudata. palmis: tridaciylis audit, Nil autem. certo de fynonymia determinare audemus, cum obícura tantum idea reflet iconis ante aliquot annos in SERAE operibus perluftratae, quae nunc in peregrinatione déficiunt , quo minus$- dubia remouere poffemus.: Quidquid fit ; animalcu- ]um zoologis:adeo obícure et falfo. nomine, notum eft; wt pro nouo haberi poffit, et adcuratiori de». terminatione quam maxime: indigeat ,' quam. dabie mus, defcriptionem: concinnando ,. qua. fimul: eluce- bit, quod non. folum ab. omni G/irium: huc vsque noto genere differat ,. fed. etiam. a. Talpa; Eutopaea: IiNNAEI et dentibus et. canalis «cibarii genitalium- que ftrü&ura j et diaeta j vt reliqua: taceamus ,'. dis ver(iffimum:- fit-. Ob: eximiam oculorum: minutiem, quorum plane ii in facie: apparent | veftigia ,. fit ipfi nomen triuiale :. Micropbibaluus, 'SPALAX MICROPHTHALMVS.. DESCRIPTIO: ;Caput | .depreffo: - rotundatum , * patelliforme ,. ipfo. trunco fere latius; roflrum car- inti Fífa ^ — tila- yo "SPALAX NOVVM: tilagineum , productum , rotundatum , fuperne pla- num , inferne decliue , et naribus. rotundis anguftis perforatum , ad ipfos dentium primorum: radices: terminatum , eorumque. gingiuam- confítituens:;, ]lae- ve, nudum , nigrum. Ad latera cardilaginis: roítrt vtrinque excurrit, aures fere vsque, /imea eluata tictu-craffima , (quae mufculus roftrum. expandens)- fetis. breujbus, rigidis horizontaliter patentibus obfi-. ta, qua pars capitis füperior ab inferiore feparatur ;. et füpra ct infra. hanc lineam yfíaces plurimae ,. quae inferius ad. ri&um oris longiores et: numero: plures , fparfae. amnes.. Riifus. oris: paruus, vix. digiti minimi apicem: recipiens ,. longitudinalis. magis ac transuerfalis 5. Labium. enim fuperius ad roftri latera et. dentium. margines: defcendit et retrogreditur ad labium. infe-- rius, et definit in iftud vix angulum oris. effor-- mans , vtrinque. prominulum , fed ftrictum ,. inter-. ftitio lacunofo. nudo ,. dentium. primorum. fuperficici. poftleriori et palato interpofito. ^ Labium. isferius: laxum,. dentium. primorum inferiorum ,, gingiuam. profunde. vaginans.,. ipfos: dentes. denudatos. relin-- quens.;. vtrumque. fubpilofum. [ | Lingua: carnofá ,. craffa ,. plana',. obtufá , laeuis:..- Dentes -primores. in: vtraque maxilla duo; fu-- periores ftatim ad roftrum , nudi , approximati ;. fir-- mi , anteriüs: plini , poftetius bali verfus - füb - com- preffi. , apicem: verfus. in aciem: cuneiformem. atte-: nuati ,. GLIRIVM GENVS. 43. miati ,. lati , recti ;; inferiores figura: füperioribus fi- millimi, et latitudine ,, quae in toto dentis decurfu eadem , ipfis aequales, fed. quadruplo- fere longio- res, leuiffuome in arcum antrorfum protenfi , dilata- biles : Caaini nulli: moleres. a. primoribus remoti ,. vtrinque füpra. infraque tres, truncati, fübcylindri- ci, minimi ,. vix e. gingiuis prominentes. " Oculi plane nulli per cutem- apparent, nec vllum foraminis veftigium in cute caput obtegente detegendum , quod forte adeo anguftum , vt omnem: vifus. aciem: effugiat. Aüriculae pariter nullae ; aperturae aurium. fimplices, ad latera capitis in eadem cum roftro: linea, pilis vndique tectae, et vix ac ne vix' appa- rentes , annulo cartilagineo., interne cute pilofa ve- fito, cin&ae.. etae ífüpra et ante aurium aperturam vtrine que. duae. ,. detritae. T Gollum. breuiffimum ,, ac: vix. vllum, nec. trun- co. anguftius., cylindricum.. Truncus cylindricus., elongatus., laxus, rectus; elunibus obtufiffimis ,. parum decliuibus, ecauda- tis. terminatus.. TRU T . Pedes: breues; pofteriores- vix anterioribus lon- giores ;: debiles , pilofr, calcaneis incidentes ,. penta- da&yli ; digitis fiffis; bafi- fübpalmatis, humano: more. inter. fe- proportionatis ,. pollice tantum: minus: *lüo. i E ff. 3: remoto,. AI£4 SPALAX NOVVM remoto, in palma longioribus fuperne fubnudis, in planta breuioribus pilofis; palma plantaque inferne nudae , fubtuberculofae , anguítae ; vngues rcétiuícu- li, obtufi , fubtus concaui, in plantis longiores. Cauda omnino. nula; fupra ani aperturam pipila nudiufcula , vix aciculae capitulum ex(íupe- raus, OS coccygis terminans. Zur rugofus, pilofus; perinaeum. breuiffimum , pubefcens; praeputium pro- minulum ftri&um , includens g/audem penis, rubi eundam , anterius fübconuexam , integram , pofte- rius papillis duabus antrorfum recuruis obfitam, in- ter quas orezbrae apertura ; famae in mare nul- lae; in femina vtrinque duae , inguinales. Pellis delicatula , pilis longiufculis, vbique: fere aequalibus , roftro proximis breuioribus , mol- liffmis , confertis, decumbentibus , retroríum (pectan- tibus, fed in gula in vorticem , et in pectore in futuram conniuentibus. Coler fetarum et myftacum niueus: caput an- terius et totum animal inferius grifeum , murini coloris ; fuperne totum grifeo - ruffum feu lutefcen- ti - rubicundum , bafi pilorum griíca, apice autem ruffeícente ; digiti albido - incarnati, Dimenfones fecundum pedem londinenfem: [poll|in] . Longitudo animalis ab apice roítri ad cor- poris extremum —- - - - $. |;6. ——- a maxilla inferiore ad proceffüum xy] | | phoideum ..—u ^ binemwema Ld Df GLIRIVM GENVS. Longitudo a proceffü xyphoideo ad praepu- tium — - - — —- c ——— 3 praeputio ad aui aperturam - — —- —— pedum anteriorum a capite offis bra-| chii ad digiti medii apiem — — — -| »—— pedum pofteriorum a capite offis fe. moris ad apicem digiti medii -— -| ——- palmae a carpo ad apicem digiti medii —— plantae a calcaneo ad apicem digiti| ined dio imus omite stie —— digiti medii palme — -— -— - ——— vnguis digiti medii palmae -— — -| ——- vnguis digiti medii plantie — —-4 Diameter transuerülis roftri. — | — — -| ——— ]longitudinalis roftri verticem: verfus -| —— capitis transuerflis — — — -| ——— inter aures — E AM TEM ZEE inter humero? — — —-— -— -[r nr mugs" "ast nur UL ——— perpendicularis capitis 2 vertice adj maxillam inferiorem — | -— 4 ——— perpendicularis thoracis Bunnies ade peripheria abdominis — -— .-— -— - latitudo dentium. primorum - - -— -j longitudo primorum fuperionrum — - -j wee e oexvb wirpexiorum: ANATOMIA. S5alacis, Micropbibalni. 3. de offibur. Cum 416 SPALAX NOVVM Cum offa praefertim ea capitis valde .anomala fint, wberiorem horum .deícriptionem tradere conftitui- mus. Os nofi vnicum planum , apice latiori et pro- ductiori , bafi anguftiori fubbifida , offibus roftri per harmoniam interpofitum , et cum offe frontis per futuram connexum ; interne in medio fpina longi- tudinali vomeri refpondenti, ad latera proceflibus conchoideis extrorfüm curuatis, «onchilis inferiori- bus nafi incumibentibus auctum. Olla rofíiri appellamus offa duo incuruato -tu- bulofa, vtrinque ad marginem offis nafi pofita ,^ ac longitudinis eiusdem , füperne cum offe frontis , la- teraliter cum margine interiore (íoraminis magni offis maxillaris fuperioris, inferne cum corpore eius- dem offis cohaerentia , alueolos dentium primorum fuperiorum conftituentia. — In fpatio, ofíh nafi et xoftri offibus interpofito , narium cauitates fitae funt. Ojja frontalia duo in partem horizontalem .et lateralem diuidenda: pars horizontalis vtriusque os- fis, per harmoniam ab ipfa futura fagittali conti- nuatam cohaerens , triangulum conflituit , cujus ba- fis os nafi et offa roflri , apex autem futuram fà- gittalem .offium .parietalium refpicit; pars Jateralis oblique in foffam zygomaticam defcendens , inaequa- liter quadrata , concaua , antice cum margine füpe- riore foraminis magni offis maxiilaris et cum offe vwnguiculari , inferne cum apophyfi alueolari ofíts maxil- GLIRIVM GENVS. 417 maxillaris et cum apice alae magnae offis fphaenoi- dei , tandemque poftice infcrius cum parte fquamofa offis temporalis et fuperius cum margine anteriore offis parietalis cohaerens. O//z parietaia omnium ofhum cranii proprio- rum minima , quadrata, plana, angulo acuto in vertice conniuentia , ita vt margo interior multo al- tior fit exteriori; hinc vertex linearis, futura íà- gittali , vtraque offa parietalia combinante , exara- tus; margo antcrior cohaeret cum parte defcendente oíffis temporalis , et pofterior per futuram lamdoi- deam cum offe occipitali. Os ocvipitale offüiuum capitis omnium maxi- mum, in angulo femirecto a plano horizontali ba- Íeos cranii ad verticem adícendens , planum , ad trianguli fphaerici figuram accedens, bafi verticem verfus fpectaus , et ad angulos in fpinam producta, fub qua futura qua cum offe temporali conne&i- tur; apex truncatus , marginem füperiorem forami- nis magni occipitalis conflituens. Foramen magnum occipitale ,. tranfitui medullae fpinalis arteriarumque ceruicalium inferuiens, ad planum bafeos capitis perpendiculare. Apophyfis bafilaris cuneiformis, ho- rizontalis, antice cum offe fphaenoideo concreta , poftice condylis, cartilagine obductis, verticaliter fitis , et concauitati atlantis refpondentibus termina- ta; ad latera condylorum apophyfes ftyloideae bre- yes, obtufae; ante condylos inferne foramina. con- dyloidea pro tranfitu neruorum lingualium.. "Tom. XIV. Nou. Comm. Gegg Or |W18 SPALAX NOVVM- Or remporale in duas portiones, in petrofam et fquamofam. diuidendum :. pars petroía, qmae or- £ani auditorii receptaculum , inferior et pofterior fitu, facie fuperiore plana, per futuram cum offe occipitali cohaerente , nuchae complementum vtrin- que conftituit ; facies inferior partis petrofae con- vexa, füubglobofa , libere apophyfi bafilari offis oc- cipitalis et alae magnae offis fphaenoidei interpofi- ti, [fed cum parte pofleriore eminentiae articularis et cum foffa articulari offis temporalis in pullis per futuram conaexa , in adultis plane concreta ; apo- phyfis in parte petrofa vnica maftoidea; obtufiffima, tuberculofi in ipfo angulo nuchae ; foramina in par- te petrofa tria, primum ftylo - maftoideum , proxi- me ante apophyfin mafítoideam , quod aptrtura ex- terior aquae ductus füllopii, pro tranfitu nerui acu- fici duri; fecundum proxime fupra proceffum ma- ftoideum , quod foramen auditorium externum, pro infertione meatus auditorii cartilaginei; tertium in extremitate interiore petrae , ^quod orificium — tubae Euflachbiamae ; accedunt foramina duo interiora in cauitatem cerebri hiantia, quorum vnum fimplex , aperturam interiorem aquaeductus fàllopii confti- tuens; alterum amplius coecum ,' in fündo multi- porofüm , pro traufitu "om d nerui acu- ftici. In partis petrofae offis temporalis cauitate or- ganum auditus abíconditum. eft, Lamina inferiore ofíea proxime ad foramen auditorium externum , fuübla- GLIRIVM GENVS 41p dublata, in confpectum venit meatus auditorius offeus, foramini auditorio externo et .membranae tympanui interiectus , a foramine ' angu(tiffimo mox in cauitatem amplam , rotundatam dilatatus. Mem- brana tympani margini circulari , in fündo meatus auditorii offei prominenti adhaeret pellucida , pla- ni, centro in foflulam retraco , ab extremitate manubrii mallei fuperficiei interiori membranae tym- pani adglutinata ; proxime ad marginem fuperiorem prominet membrana tympani in tuberculum ab apophyfi breui mallei. Membrana tympani et La- mina offea inferiore conuexa petrae fublatis, patet capía tympani ampla , irregulariter ouata , ofíficula auditus quatuor , vulgo fic dicta , cum concha et canalibus femicircularibus fimul continens; Coucha in ipfo medio capíae horizontaliter fita, et mem- branae tympani parallela , apice antrorfüm , bafi retrorfum fpectans; e fpiris quatuor, quaram pri- ma reliquis dupio amplior, conflata ; apice obtuío vix anguítato ; apertura dilatata repanda, membrana obducta, | quae feénefira rotunda fürfüum ípecans, apertura altera fcalarum conchae deorfum in vefti- bulum hiat; ftru&ura interna cum concha humana perfe&e conuenit, Supra concham et retrorfum, .apophyfin maftoedeam verfus , canales femicirculares duo; vnus verficaiis, fuperior minor ; alter. hori- -zontalis , | conchae. parallelus ,' retrorfüm arcuatus .duplo maior; vtrinque circulum fere integrum confti- tuentes, tripus orificiis in veftibulum hiantes. Vefti- Ggzga bulum, 420 SPALAX NOVVM bulum , cauitas canalibus femicircularibus et conchae interpofita , angufta , irregularis ; introrfum forami- nulis perforata , pro tranfitu portionis mollis nerui acuftici; antice foramine íeu feneftra ouali terminata. Feneftram oualem obturat bafis flapedis, cuius. crura horizontala , infra íemicircularem horizontalem et - fupra feneftram rotundam conchse, in linea his parallela extrorfüum procedunt et coeunt in caput rotuüdatum , quod in vertice concauum , pro ar- ticulatione cum offe lenticulari. 4Alterüm offis len- ticularis hemifphaerium articulatum cum concauitate laterali apicis cruris longi, verticaliter defcendentis, incudis. Crus breue incudis horizontale , angulo reco a corpore incudis bafi latiori retrorfum ^ pro- cedit , et apice eminentiae pyramidalis concauae capíae tympani per mufculum tenuiffimum adhaeret; corpore autem furfum fpectante fubcylindrico , per fuperficiem cruri breui oppofitam, inaequalem refpon- denti capitis mallei fuperfidei , per gynglimum , adne&itur. Caput mallei compreffum , inaequaliter planum, füperficie vna | pofteriore cum. - incudis corpore articulata , altera anteriore , libera; collum vix vllum ; manubrium fubcylindricum , cruri. lon- go incudis parallelum , ad. centrum membranae tym- p ni defcendens, eamque introrfüm trahens; apo- phyfes.mallei duae , ad manubrii ortum fitae , vna exterior membranam tympani in. tuberculum pro- trudens, altera anterior pariter breuis, margini circulari offo membranae tympani per mufculum | 3u tenuem GLIRIVM GENVS. 42r tenuem adnexa; vtraque obtufiufcula , longitudinis aequalis. Inter angulum coniunc&ionis canalium fe- micircularium et inter feneftram | oualem tranfuería- liter procedit , aquae - ductus Fallopii, furfum leuis- fime arcuatus , extremitate interna in cranii cauita- tem , externa in foramen ftylomaftoideum bians, tranfitui nerui duri et chordae tympani inferuiens. Ia regione , apici conchae oppofita, orificium tu- bae Euflacbiaenae in capfam tympani patet. Pars quamofa offis temporalis ( quae improprie ita in hoc animale appellatur , cum per fimplicem tantummodo futuram cum reliquis oflibus cohaereat itcrum in duas portiones fubdiuidenda , quarum vna fuperior verticalis , plana, mufículi crotaphytis in- fertioni inferuiens ; altera horizontalis inaequalis , nam in ea antice eminentia articularis, leuiílime deorfum arcuata , transuerfaliter concaua, cartilagine obducta, longitudinaliter a roftro occiput verfus extenfa , proceffü condyloideo maxillae inferioris duplo. longior; poft eminentiam foffa articularis , profunda , proceffüi condiloideo amplitudine refpon- dens , nuda. Ad angulum pofticum , in eodem cum eminentia articulari planc, oritur extrorfüum ac antrorfüum | procedens apophyfíis zygomatica at- tenuato - acuminata , cui inferne ad haeret 0s zygo- auaticum , quod lineare, fimplicifmum , fubarcuatum vtrinque attenuatum , antice incumbens apophyfi Zygomaticae ollis maxillaris. | GEB Off 422 - SPALAX. NOVVM Offà maxillaria fuperiora : parte. inferiore hori- zontali, offibus roflri et palati interpofita, plana intet fe cochaerent et foramine incifiuo antice relicto palatum offeum fundumque cauitatis narium - pofticae conftituunt , et dentes molares tres recipiunt. A .radice alueolorum dentium | molarium — adícendit aphophyfis alueolaris , quae | perpendicularis, lata, cauitatem narium pofticm vtrinque lateraliter .obte- gens. In extremitate antica corporis ofls maxillaris Ooriuutur. apophyfíes duae; anterior nafalis perpendi- culariter ad bafin offium roflri vsque, ad os frontale Sdícendens; pofterior zygomatica, extrorfum- horizon- taliter procedens, quae margine inferiore foraminis ampliffimi, quod foramen magnum maxillare appel- lamus, formata , mox bifurcatur in partem perpen- diculariter adícendentem introrfüum arcuatam ac in amplexus cum apophyfi nafali ruentem, ad perficien- dum forumen magnum ; pars altera bifürcationis, hori- zontalis continuatio apophyfcos, extrorfüm arcuata et os zygomaticum petens, ac complementum totius arcus zygomatici fiftens. Os vnuguiculare planum , lineare, fubincuruum, ad marginem pofteriorem cruris exterioris foraminis magni maxillaris fitum , angulum a receffione partis defcendentis offis frontalis repleus. Olla palati portione palatina horizontali palati partem pofteriorem a dente molari medio ad vltimum vsque conficiunt, et in interftitio alàrum apophyfeos ptery- GLIRIVM GENVS 423 pterygoideae offis fphaenoidei perpendiculariter adícen- dunt portione pterygoidea quae tandem dilatata antroríum procedit , definens in portionem nafalem quae parti defendenti offis frontalis , alae. magnae offis fphaenoidei et apophyfi alueolari offis maxillaris interpofita partem füpremam parietis lateralis cauitatis narium pofticae et fimul imum fundum fofíae zygo- maticae conftituit. Os [pbaenoideum corpore oblongo , folido, apo- phyfi bafilari offis occipiralis. et offi ethoideo inter- pofito , fündum cauitatis cranii internae planum. et omnino aequalem fitit ; ad latera corporis fecedunt alae magnae, horizoatales in. eodem cum corpore plano, interne pariter aequales, retrorfüm a. corpore diuerzeutes , et interftitium | maguum — oblongum reliquentes , quod extrorfum duplici apertura hiat, apertura pofterior maior formatur per alam externam et internam apophyfíeos pterygoideae offis fphaenoi- dalis, quarum interftitium pro foffa venae iugularis inferuit; apertura altera anterior alae externae apo- phyíeos pterygoideae et apophyfi nafali ofüis palati interiacet , pro tranfitu nerui fympathici mtdii. Inter radices alae magnae et alae externae apophyfeos pterygoideae. fitus eft. canalis obliquus, tranfitum carotidi concedens. ; Os ethmoideum totum quantum abfconditum , inter offa frontalia , Df, roftrique et fphaenoidale Y ficum 424 SPALAX NOVVM. fitum ; lamina cribrofa, e qua crifta galli vix pro- minet, parietem anteriorem perpendicularem caui- tatis. cranii fiftit ;; lamina longitudinaliter perpen- dicularis antrorfüm procedit , coniunctionem cum vomere init et cauitatem narium poftice in duas partes aequales diuidit; ^ huic vtrinque parallela oíficula conchoidea quatuor radiculis tenuiffimis lami- nae cribrofae ad haerentia: lamina tenuifhma «x- terius inter fe coadunata. Concbylia .inferióra mafi in marium cauitate vtraque per totam offum roftri longitudinem hori- zontaliter decurrunt , his adhaerentia, extroríum reflexa , introrfum plana , vomeri parallela, proces- fibus conchoideis offis nafi füccumbentia iisque fi- millima. Vomer , partem inferiorem fepti narium conftí- tuens, extremitate poftica cum lamina longitudi- nali perpendiculari offis ethmoidei et margine in- feriore cum harmonia offum roftri cohaeret ; mar- gine fuperiore fuleato furfum fpinam longitudinalem offis nafi verfus fpectat ac cum ea fíepto narium cartilagineo iungitur. Maxilla inferior bicruralis , ramis in mento per fynchondrofin connexis; corpus rami finguli totum quauütum alueolum dentis inferioris incifiui couftituit definens in extremitatem vltra apophyfin condyloideam elongatam , cylindricam, obtufiffimam Cconcauam, quam proceffum odontoideum appellamus quia GLIRIVM GENVS. 425 quia receptioni radicis dentis inferuit. In eadem cum proceffü hoc et cum apice dentis incifiui linea fita eft apophyfis coronoidea, plana, acuminata, iufertioni ftrati interioris crotaphytis inferuiens ; apophyf(is con- dyloidea angulo femire&to € procefífu odontoideo in- trorfüm prodeuns, radice compreffa, extremitate con- vexa, cartilagine obducta, longitudinaliter nec trans- verfum fita; in facie exteriore in regione apophyfi condyloideae oppofita confpicitur fpina offea, obtufi- vícula , angulo acutiffümo fürfüm a ftrato exteriore crotaphytis producta. In medio fere maxillae intror- fum adeft apophyfis alueolaris , dentes tres moe lares recipiens. In medio apophyfiu condiloideam et alueolarem inter, apertura interior canalis maxil- laris, qui in fàcie exteriore maxillae infra den- tem molarem primum extrorfum hiat, tranfitui nerui et vaforum dentium molarium propriorum inferulens. Nerui et vaía denti incifiuo deftinata petunt foraminula in interftitio proceffus | odontoidei et apophyfeos condyloideae obuia. Pro tranfitu vafo- rum , os ipfum nutrientium foraminula plurima in omni fuperficie interiori adfünt. De fitu maxillae inferioris animaduertendum , quod dentibus primori- bus diductis apophyfis condyloidea in extremitate anteriore, iisdem | autem acie fibi incumbentibus eadem in extremitate pofteriori eminentiae articula- ris offis temporalis collocata fit; fi tandem dentes molares inferiores füperioribus refpondent, apophyfis condyloidea vt in foffa articulari fita fit neceffe eft. Tom. XIV. Nou.Comm.- Hhh A pex ^. 436 SPALAX NOVVM- ApeX obtufüs proceffus odontoidei in diductione maxillae inferioris füuperficiem inferiorem apophyfeos Zygomaticae offis temporalis ; hanc ob caufam [e- viflime excauatam , refpicit, quo mechanismio et mobilitati confulitur et luxationi práecaüctur. Deniium primorum inferiorum corpus cuneifor- fe , fcindens; radix prismatici, concáua , corpore duplo longior arcuata: dentes primores fíuperiores inferioribus fimiles , corpore breuiori, radice femi- lunari concaua. — Dentium. molarium corona: cylin- drica ; truncata plana; radix fubbifida , exterior breuior, interior longior maior, vtraque obtuía. Vertebrae coli feptem , dorfi quatuordecim ; lumborum quinque, offis facri quinque fpuriie; os coxygis fubcartilagineum , breue , obtufiufculum ; coniunctio offium pubis fynchondrica ,. dilatabilis. Clauicula tenuis, linearis ; cofta autem prima latis- fima , a fcalenis fortiffirsis diducta; cof/ae rcliquae , quarum in vniuerfum quatuordecim funt, lineares, cartilaginibus longiffimis auctae , quarum octo fipe- riores fepáratim offi fternt ; quatuor fübíequentes ve- rO cartilagine communi fterno adhaerent; decima tertia et decima quarta libere inter mufculos abdo- minales fluctuant. | Os flermi lineare ; cartilagine la- to, rotundato , lamellofo terminatum. ^ Extremita- tum offa vix ac ne vix diffcrunt ic: vulgari ftru- étura. Partes quaedam. capitis molles , propter fingu- ory E conformationem füccin&iori defcriptio- ne GLIRIVM GENVS. Ac ne digniffumae. . Ro/frum cartilagineum apici offis nafi et margini fuperiori , offüum roftri adhaeret , Áepto mobili craffiffimo , bipartito. ^ Sub cute capi- tis mufculus fat fortis /ubcutameus , omnem capitis cutem veftiens , fuperficiei fuperiori ofhum roftri, nafi, frontalis, et futurae fagittali offium parieta- lium , nec non proceffüi zygomatico offis maxilla ris adhaerens. — Cute capitis fublata in conípectum venit auufculus .crafhiffimus oblongus , probofcidem. ex- pandens lateraliter marginibus offium roftri et pofti- «e amibitui foraminis magni offhs maxillaris fuüpe- rioris infertus ;. buccimator et eleuatores labiorum te- aues, margini inferiori proceffus -zygomatici offis umaxillaris et fuperficiei inferiori .offium roflri ad- daerentes , a[Jeter . omnium - fortifümus , omnem 1imarginem inferiorem arcus zygomatici et totam fuperficiem externam maxillae inferioris obtegens ; erotapbytes latifümus ambitui foffae zygomaticae .a proceffu zygomatico offis temporalis ad os vnguicu- lare vsque adhaerens, et totam foffam zygomati- xam occupans , obtegendo partem deícendentem offis frontalis ac fuperfidiem totam et offis parietalis et partis fquamofae .ofüs temporalis: ftratum | eius exterius procedit fupra arcum .zygomaticum , et inferitur fpinae füperficiei exterioris maxillae in- ferioris ; ftratum internum poít arcum zygomaticum áncifuram :femilunarem maxillae inferioris petit , qariterque ei ac apophyfi .coronoideae adhaeret. : ; * ) 0 | Hhh 5 Ca Spa- S 428 SPALAX NOVVM ^ * Spatium inter apophyfin zygomaticam offis. maxillaris et inter mufculum crotaphytem | replet conglomeratum - glandulofum , liquidum fpiffiiu(culum , puri laudabili fimillimum , in cellulis. continens ; centro huius conglomérati per cellulofam adhaeret oculus corpaículum nigricans, globofum , vix femi- ne papauerino maius, antice fubpellucidum , niti- dum referens , in quo ob minutiem nec pupilla nec liquores difcerni queunt. Ad hoc oculi rudimentum accedunt filamenta neruea , capillaria, per foramen anguftiffüinum , in linea coniunctionis proceffus na- falis ofhs palati cum ala magna offis fphaenoidei obuium, e bafi cerebri prodeuntia et ad pollicis fere longitudinem per foffam zygomaticam inter mufículaum crotaphytem et conglomeratum iflud glandulofuüm percurrentia , filamentis aliis in ocu- lum, aliis in glandulam de(inentibus. Apertura pro oculo cutanea nec in cute detracta detegenda , quae potius in eo ipfo loco oculis refpondente mu- ículo fübcutaneo veftita eft; mufculi pariter nulli ad oculum hunc anomalum accedunt ; hinc nec tot neruorum paria ac alias folent, fed [íex tantum, nafale fcilicet, ophthalmicum , fympathicum |. me- dium , alias par quintum dictum , acufticum , va- gum alias par octauum , et linguale. Ad latera nuchae a proceffü zygomatico offis temporalis ad. foramen auditorium externum proce- dit zeatus auditorius cartilagineus , conicus , externe : goduH dila- GLIRIVM GENVS. iio dilatatus , introrfüm anguílatus, e duabus cartilagini- bus compofitus, quarum exterior integra , interior bipartiti; in vtraque margines fibi incumbunt, hinc ambitus exterior inaequalis , ad quem infuper fibrillae mufculares a crotaphyte. accedunt ; ambitus vero interior aequalis tunica fubpilofa, a cute exter- na continuata , veítitus. — Superficies tota offis occi- pitalis mufculis ceruicalibus infolenter craffis obdu- citür. ^ Haec füfficiant de capite , in quo tcu minus fingularia funt. — Ad latera colli fub cute g/andulae confpiciun- tur iuzulares , craffae, latae , in. nucham vsque ex- tenífae; anterius glamdula zbyreoidea duplex, obouata. Tborax e€longatus , conuexus ; pulmo dexter trilobus, lobulo infimo diaphragmati incumbenti ma- ximo , reliquis fuperioribus dimidio minoribus , itn- ter fe aequalibus ; $ul/mo finiler integer ; lobulur ac- cefDrius , paruus, triangularis, inter pulmonem dex- trum , ventriculum cordis dextrum et diaphragma pofitus, Cor ouatum longitudinaliter fitum , api- ce interftitium 6 et 7. coflae finiftrae refpiciens. Supra cordis bafin ad apicem thoracis vsque glan- dula zbymus ampla, lata, albida, fub qua.£racbez procedit vniformis , ex annulis viginti cartilagineis remotis, poftice truncatis compofita, fpinae incum- bens; ad marginem huius finiftrum odopbagus mu- Ículofüus. Hhh3g Abdsa- 4309 SPALAX NOVVM Abdomen laxiufculum breue. —Hefar quadrilo» bum; lobi duo anteriores , duo pofteriores ; anterior dexter omnium. maximus , Mhypochondrium | dex- trum et epigaftrium occupans, ligamento lato per fuperficiem fuperiorem accurrente diaphragmati an- nexus , bifidus, inter fiffüram cefculam felleam , py- rifornem paruam , profünde ad dorfi fpinam fitam, ductu choledocho proxime. poft pylorum in intefti- num hiantem recipiens ; .znmierior fimifler dextro alie quantum minor, integer , hypochondrium finiftrum replens, ventriculi fünde incumbens ; foflerior dex- Ter bipartitus ,' "lobulis paruis rotundato - angulatis , inferiore concauo et renis :dextri «extremitati füpe- riori incumbente ac ligamento hepatico - renali :an- nexo ; foflerior fimifler iterum bipartitus , lobulis omnium minimis , ventriculi arcui minori concauo adhaerentibus. ^ Lien arcui maiori ventriculi per omentum adhaerens , linearis fere et tenuiffimus , longitudinis r;. poll coloris rubicündi. ^ Pamereas, inter fpinam dorfi et ventriculi fuperficiem — pofte- riorem, cylindricum fere , inteftinulnm referens , transuerfiliter ad inteftinum proxime ad pylorum decurrens, pollicem longum. ^ Omentum ab hepate et liene ad fuperficiem pofteriorem ventriculi pro- veniens, arcui maiori conuexo ventriculi adhaerens, conuolutum , breue nec inteftina obtegens , vix ali- quid adipis continens. —Ventriculus ouato-incuruus , membranaceus , cardia angufíla definens finiftrorfum in fundum obtufüum ad diaphragma et bypochon- drium GLIRIVM GENVS. 431 drium finiftrum verfus incuruum ; ex quo defcen- dit. extrorfüum et deorfüm arcus ma/or vsque ad pylorum , qui laxus, amplus et cardiae proximus , arcu parüd concauo ab ea feparatus; corpus ven- triculi albicans, tunica communi veftitum , füb qua ftratum mufculare tenue, varium; ad fuperficiem pofteriorem ventriculi fundum verfus, macula ro- tunda , glabra, rubicunda, extra reliquam ventri- culi fübftantiam aliquantum prominula; eadem ma- cula 3 füperficie interna ventriculi glabra , rubra, finum quafi formans, margiue prominulo annulari, quo ipfa villofa ventriculi tunica terminatur, cincta; reliqua fuperficies interna omnis albicans ,. rugofa , rugis praefertim ad. pylorum .eminentioribus et val- vulofis a tunicae villofae .duplicaturis, quae fimul cum neruea ad ipfum pylorum terminatur margine promyónulo, annulári , rugofo, crenato, adeo vt tunica ventriculi externa communi et mufculari fo- luta, et cellulofa remota uullus amplius nexus fit ventriculi cum tractu inteflinali, .— Inteffinum | tenue ad pylorum valde amplum , capacitate 5. linearum, poftea fenfim fenfimque coarcatum in diametrum 2. linearum , in initio rubicundum , poft albicans flexuofum , mefenterio laxiuículoe adnexum , in re- gione vmbilicali inter ventriculum et coecum fi- tum , ipfo animali quintuplo longius , 44. pollices a pyloro ad coecum percurrens, definens transuer- faliter in coecum , lumine claufo valuulà magna, ümplici , femilunari , colon verfus nutante. —Coecum per 432 SPALAX NOVVM «er hypogaflrium , regionem iliacam finiftram ver- fus extenfum , cylindricum, vix anfractuofum , fün- do attenuato terminatum, longitudine 41. poll. dia- metro maximo 8 linearum , externe fubgyrofum , interne valuulis aliquot laxiffüimis veftitum. — Co- [o , recta continuatio coeci,^ adícendit in regione iliaca finiflra ad ventriculi fuperficiem pofteriorem , abit abhinc a coeco tecum ad regionem iliacam dextram ; hic recuruatur et parti defcendenti arcte aunexum petit priftinam altütudinem , tandemque ad marginem finiftrum fpinae dorfi defcendit ductu recto ad peluim et definit in re&um ; in toto hoc decurfü x8. pollices emetiens , diametro 2. linea- rum , externe vbique fere laeue, extremitatem ver- fus hinc inde contra&tum , ad fcybalorum formatio- nem. . Reus muículofüm definit in «um cuius apertura cincta eft conglomerato parenchymatofo , ex innumeris inteflinulis quafi conuoluto , liquidum aperturam lubricans , fed inodorum íecernens. ^ Re- "és duo integri, ouati , auellanae magnitudinis , fuccenturiatis aucti ;. vreteres recta ad fpinam dorfi vtrinque decurrentes in veficam rotundam , amplam, vtrinque tunica cummuni veftitam , anterius ad fymphyfin offium pubis ligamento lato annexam, Genitalia in mare: teftculi extremitate vna €xtra abdomen prominentes , rotundi , magnitudine pifi ; Epidydymis ad latus internum tefticulo ar&te . adhaerens , vermiculofus, definens in vas deferens, quod GLIRIVM GENVS. 433 quod in pelui vtrinque angulo acutifümo termina- tur in veficulas fpermaticas, paruas, vix duarum linearum latitudine ,' multigyrofas, inter veficam vrinariam et rectum , ad veficae vrinariae ceruicem- fitas , hiantes in vrethram apertura prominula " fübcartilaginea, proxime ante veficae vrinariae aper- turam. —Freibra mufculofa, vix 6. lineas longitu- dine, nec vnam diametro excedens , continuatur in corpus cauernofüm vrethrae, longitudine 6. linea- rum, terminatum glande penis 3. lineas longa, ofüculum lineare continente , quod bafi dilatatiori per ligamentum forte ipfi corporum caucrnoforum penis extremitati ad ligamentum , exterius autem duabus lateraliter adhaerentibus papillis acuminatis , vrethrae aperturam obtegentibus, ornatum. Corfora cauernofa penis duo , diflepimento feparata, bafi fym- phyfi.pubis adhaerentia. ^ Longitudo igitur totius penis a veficae vrinariae ceruice ad glandis extre- mum 1. poll. 3. lin. proprie vero penis a corpo- rum cauernoforum bafi ad glandis extremitatem vs- que 9. lineas longus, diametro vix linea craffior. Genitalia feminea : labia vaginae ftrictiufcula , in papillulam prominentia a clitoride , quam obte- gunt; vrethrae apertura in pronao prominula, nym- phis obuallata ; vagina vteri membranacea , vix ru- gofa , pollice breuior ; os vteri papillofüum ; ceruix vteri anguftus, vix ftylum tenuiffimum recipiens , mox bifürcandus in cornu dextrum finittrumque - Tom. XIV. Nou. Comm. lii du&u 434 SPALAX NOVVM ductu reco , ad renes.fere adícendens vtrinque vI- tra duorum pollicum longitudinem , uario multi- gyroío, veficulofo terminatum. PHYSIOLOGIA. Vifü plane carere videtur .Spalax moffer; ea enim , quae absque rumore accedunt, quamuis ca- piti proxima fint, omnino non percipit ; leuiffimo autem Ííono edito caput erigit , et aurium apertu- ram , quantumcunque fieri poteft, dilatat; hinc auditu forte pollet, vt animalibus cafu coecis folem- ne. lniurias metuens ricum diflendit , fono ftri- dulo difficili humanae refpiratiooi non abfimili fre- mitat, ac dentes incifiuos ad pugnam parat, iisque iratus oblata mordiens prehendit ; dolens praefer- tim fub terra pipiendo , rattorum more, clamitat mifere. p Proxime fub terra fodit canales horizontales , ro- ftro terram foluens dentibus primoribus radiccs obuias abícindens ; hioc mufculi. maflcationis negotio in- feruientes fortiffimi ; terram folutam pedibus anteriori- bus verfus pofleriores pellit, eorumque ope tandem hanc ad canalis foramen in cumulum proiicit, idemque in cauitatis vberiori continuatione , talparum. more iteratis vicibus peragit , in vna linea plures, duos trefue paífus inter fe diftantes.cumulos erigens: hyeme appropinquante profundius fodit ; cauernam oblique defcendentem fibi conficiens , in que hybernare di- citur. GLIRIVM GENVS& 435 «itur. Inceffu füpra terram ob pedes breues tardis- fimus. | Diaeta mere vegetabilis ; : radicibus praefertim aromaticis vmbelliferarum , in hortis et apricis xampis obuiarum victitat , quarum fibrillis. albican- tibus bene comminutis ventriculus femper repletus. Feces in fcybala redactae ; hybernationis tempore pulpofae in coeco ampliffimo colliguntur. ^ Vrina turbida , fabulofa. Coeunt aeftate ; gregatim tunc in terrae fuper- ficie apparentes , fexum olfa&u, quo excellunt , diftinguentes ; femina parit pullos duos ad quatuor de tempore durationis grauiditatis nil nobis conftat. Pulicibus, non pediculis , obnoxium animalculum. Spalax micropbtbalimus a nobis et. hiftorice et a2natomice , et phyfiologice deícriptus habitat fre- quentifüme iu campis 'apricis vafliffimis defertis tanaicenfibus ac in vicis hortisque vicinis. Explicatio figurarum ; et ítaturam fpalacis microphthalmi , et varias eiusdem capitis partes naturali magnitudine reprae- - fentantium.. . Fig. 1. Offa capitis a latere dextro absque ma- Tab. VIII: xilla inferiore. a. Os nafi. b. offa rofiri. €. offa frontalia. lii 2 4j. pars 'Tab. VIII. 436 SPALAX NOVVM d. pars defcendens offis frontalis. €. offa parietalia. f. os occipitale. £. facies fuperior partis petrofae offis temporalis. b. pars fquamofa offis temporalis. i. apophyfis zigomatica oflis temporalis. k. os zygomaticum. ]. apophyfis zygomatica offis maxillaris fuperioris. 7:. apophyfis nafalis offis maxillaris. 4. foramen magnum oflis maxillaris fuperioris, 0. offa vnguicularia. — P- foramen magnum occipitale. g. apophyfis condyloideae offis. occipitalis. r. apophyfes ftyloideae oífis occipitalis. f. apophyfis mafítoidea offis temporalis. 4. foramen auditorium externum. 4. dentes tres molares. X. foffa zygomatica, J. foramina ad finus ethmoideos ducentia. z. foraminis optici regio , quod autem magis retrorfüm ideoque haud conípicuum. Fig. 2. Báfis offium cranii. a. margo terminalis offis nafi, b. feptum narium cartilagineum. €. aperturae narium anteriores. d, offa roftri. &. al- GLIRIVM GENVS. €. alueoli dentium incifiuorum füperiorum. f. corpus offi maxillaris. fuperioris. £. foramen incifiuum winflouii. b. offa palatini. i. apertura pofterior narium. - k. apophyfes pterygoideae offis fphaenoidei. l alae magnae offis fphaenoidei. 7 corpus offis fphaenoidei cohaerens cum phyfi bafilari offis. occipitalis. 437 apo- ?. apophyfis bafilaris offis occipitalis, foramine magno et apophyfibus condyloideis vtrinque terminata. 0. facies inferior conueXa partis petrofae temporalis. D. foffa articularis offis temporalis. q. eminentia articularis offis temporalis. r. apophyfis zygomatica offis. temporalis. f. os zygomaticum. 1. apophyfis zygomatica offis maxillaris. J. foramina condiloidea offis occipitalis. z. dpophyfis ftyloidea offis occipitalis &. foramen auditorium externum. 6. foramen ftylo - maítoideum. 'y- apophyfis maftoidea. 9. cartilago meatus auditorii interior bifidus. e. cartilago exterior integer. offis 3. margo annularis, cui membrana tympani adhaeret. ^. feneftra rotunda conchae. lii 3 op f- "Tab. VIII. "T'ab. VIIT. 435 SPALAX NOVVM p. feneftra oualis veflibuli , flapedis bafi obturata quae in icone remota fimul cum reliquis auditus officulis. Xp. apertura tubae Euflacbianae. | c. extremitas cerebralis aquae ductus fallopii. T. extremitas altera eiusdem ductus foramen fiylo- maftoideum - verfus. 7. canalis femicircularis verticalis. canalis femicircularis horizontalis o. eminentia pyramidalis infertioni cruris breuis incudis inferuiens. 0. foffa venae iugularis. £. canalis caroticus. pe Fig. 3. Ramus dexter maxillae inferioris a facie interna. & apophyfis coronoidea. b. apophyfis condiloidea. c. proceffus 'odontoideus, d. fpina mufcularis fuperficiel - externae. €. apertura interna magni canalis maxillaris. f. foraminula varia, pro tranfitu vaforum nu- trientium. | g. apophyfis alueolaris, b. tres dentes. molares. . 4. facies interna fynchondrofeos ramorum. k. dens incifiuus inferior. Fig. 4. Dens incifiuus inferior extra alueolum. 4. corpus cuneiforme fcindens. b. lo- -— 0, futura coronalis. GLIRIVM GENVS ' 489 b. locus in quo attenuatio corporis incipit. c. radix prifmatica concaua. Fig. 5. Dens incifiuus fuperior extra alueolum. Tab. VIIT. a. corpus cuneiforme fcindens. b. locus in quo attenuatio corporis incipit. c. radix prismatica cocaua. Fig. 6. Dens molaris. a. corona cylindrica truncata. b. radix exterior breuis. c. radix interior longior, craffor. Fig. 7. Caput a latere finiftro cum maxilla in- Tab. VIII . feriori a cute denudatum, a. cartilago roftri. ó. mufculus roftrum expandens. é. mufculus crotaphytes. d. adhaefio ftrati exterioris crotaphytis in fpinam mufcularem maxillae inferioris, e. conglomeratum glandulofum. f. oculus, £g. imeatus auditorius cartilagineus, b. mafleter. j. apex linguae. k. interftitium. vacuum mufculis labiorum et buc- cinatore remotis. À dentes incifiui inferiores et füperiores. 2n. Offa roftri. 72. OS naàf. 440. SPALAX NOVVM GLIRIVM GENVS. p. os fronta!e. q. apophyfis zygomatica offis maxillaris fuperioris. f. os vnguiculare. f. os zygomaticum., ji. futura fagittalis offium | parietalium. 4. futura lamdoidea. X. fpina offis cccipitalis. Tab. IX. — Fig. 8 Spalax microphthalmus incedens. Tab. IX. — Fig. 9. Spalax micropthalmus dorío incumbens mas, vt roftri, dentium, oris rictus et fetarum capitis ftructura fimul cum vortice gulari et futura fternea eo diftinctius pateat. PERE- e$ (0) $s3e 441 PEREGVSNA, NOVA MVSTELAE SPECIES. Auctore A. Il. GVELDENSTAEDT. "Trad. d. 21. Ian. 1770. NS regni animalis ciuem , campos Taraiceu- fes waftifümos inhabitantem , Mu/ielarum geneti adícribendum proponimus. : Omnis corporis habitus et pártium ftru&ura vitaeque genus indicant affini- tatem animalculi , quod Ruffr et nobis triuialiter audit Peregusna , cum congeneribus purorio fcilicet , marie , ermineo , et muflela vulgari , campis: iisdem pariter indigenis. Vt pateat in quo conueniat, ite- rumque in quo differat , fubiungitur. | DESCRIPTIO PEREGVSNAE. CAPVT triangulare , depreffum 5; rorum. vl- tra labium prominens, acuminatum , nudum, ni- grum medio carinatum , 7aribus amplis recuruis p:rfortum. Oris. apertura fat ampla ,. triangularis , infra oculos vsque extenía; Jabiwm íuperius. integrum, laxum , craffüum , pilofum , pendulum , dentes de- nudatos relinquens. — Lingua lita , vix ex ore pro- ducenda , carnofa apice rotundato, fübmembranas ceo , fuperne papillis retrorfum acuminatis | confer-, tifüme obíita et albicans; inferne rubra , glabra; Tom. XIV. Nou. Comm. Kkk frenu- 0442 PEREGVSNA NOVA frenulo laxiffimo , muículofo adligata. Paletum vn- dulatum. i DENTES ;n maxilla fuperiore : incifiui fcx iu vna linea recta difpofiti , teretes, acuminati , fibi- met proximi, fingulo vtrinque extimo reliquis in- termediis crafliore et tantillum longiore: Caninmi duo vtrinque vnus, ab incifiuis parum remotus, mola- ribus proximus, incifiuis quadruplo maior, coni- cus, leuifüme incuruus, exterius obíolete flriatus: Molares vtrinque quatuor, quorum primus mini- mus, vix extra gingiuas prominens , obtufus; fe- cundus aliquantum maior, exterius acuminatus; ter- tius omnium maximus, longitudinaliter extenífus , bicufpidatus ; quartus transuerfaliter extenfus , breuis, rugofus Dentes in maxilla inferiore 5. incifiui íex, breuifümi , quorum quatuor maiores, obtufi, fub- tuberculofi , intermediis duobus tantillum interius fitis; duo minores, imo minimi, granula referentes ante interflitium dentium duorum maiorum inter- mediorum fiti : Camimi duo vtrinque vnus, tantillum et vix ab incifiuis remotus, figura et magnitudine füperiorum: molares vtrinque quinque caninis proximi, quorum primus, obtufüs, fecundus et tertius maiores acuminati ; quartus omniusa maximus, tricufpidatus, denticulo intermedio productiore ; quintus primo fimilis. Dentes igitur in vniuerfum 34. in maxilla fuperiore 16. in inferiore 18. omnes eburnei. Ore claufo dentes incifiui indermedii quatuor füperiores inferioribus maioribus ar&e incumbunt; laterales au- tem MVSTELAE SPECIES. 445 tem maiores interllitium, incifiuos et caninos inferiores inter, intrant ; canini füperiores extra labium inferius prominent , inferiores vero interítitium incifiuis et caninis fuperioribus interpofitum occupant; molares alternatim interftitiis ipfis interfitis refpondent, MYSTACES quinque ordinum , in labio fuperiore fitae ; crdinis fuperioris fetae a reliquis remotiores , in eadem cum oculis linea, furfum fpectantes , breues; reliquae deorfum flexae, inaequa- les, longiffimis aures attingentibus. .Sefae füpra oculum ad cantum anteriorem fere 10. quarum duae longiores ; infra oculum pone cantum pofterio- rem duae, fuperioribus aliquantum longiores; pone finum oris duae, longae deorfum declinatae ; in mento plures detritae. OCVLI in medio lineae a naribus ad aures ductae pofiti, laterales , parui , profundi , ellyptici ; canto vno anteriori acutiffümo , altero pofteriori ; margine palpebrarum nudo; membrana nyctitante ad cantum anteriorem obíoleta , albicante , iride et pupilla nigra. | AVRICVLAE laterales , erectae , rotundae »- amplae , breues, pilo(ae. í COLLVM breue, vix capite anguftius. TRVNCVS MEDEpus , cylindricus, vix collo craffior. PEDFS trunco fre triplo breuiores ,; fübae- quus , pofterioribus aliquantum longioribus ; f/antae: Kkk 2 et 4.44- PEREGVSNA NOVA et palmae calcaneis incedentes, pilofae, fubtus verrucis quatuor nudis infignitae, pentadactylae ; digifj omnea fif, in. palais longiores ; primus interior íeu pol- lex fecundo dimidio breuior ; íecundus ; tertius et quartus fere aequales , intermedio aliquantum pro- minente ; quintus iterum breuior, longitudine media inter primum et íecundum ; Pzgues compreffi, vncinati, acuminati, flauicantes, in palmis longiores ac in plantis; fed vnguis digiti, primi plantarum , latior , obtufior , breuior reliquis. CAVDA longa, truncum fére longitudine adaequans , rotunda , pilofa , pilis bafin verfus lon- gioribus , apicem verfus breuioribus , vt inde cauda attenuato - acuminata, PILI vbique confertiffimi ;; decumbentes , re- trorfüm fpectantes , absque futuris et lanugine rigi- diufculi ,. vix: femipollice longiores, wbique. in cor- pore et pedibus. aequales ,' in capite breuiores, in cauda longiores , pollicem ad. bafin.. excedentes: COLOR :. Caput nigrum ;. omni oris circum- ferentia, fafcia frontali intra aures extenía, auricu- larumque ambitu et vertice medio albis; Z£rumcus fupra et ad latera brunco luteoque varius; regione interícapulari fere tota brunnez ; macuke-lutcfcentes, hyeme pallidiores euadunt et albeícunt ; truncus fubtus et. pedes toti aterrimi:;: cgudgé pili elongati bafi. cinerafcentes:, medio: nigri , extremitate! albidi ;. : & 122 pili MVSTELAE SPECIES 445 pili breuiores apicis caudae bafi cinerei, extremitate nigri; pili omnes nitentes. Vinbilicus nullus ; qmamtnae vtrinque fex, abdo- minales et inguinales , papillis minimis, vix con- fpicuis. ^ Vaginae labia in papillam rugofam pilis obfitam prominentia; fpraeputiwm penis ftri&tum , pilofum; zefficulj non apparentes; perinaeum fat latum 5 anus rugofus , nudiufculus , rubicundus, empyreuma- tice foctens. | STATVRA proxime accedit ad purorium aucic- Tum , quo aliquantum minor ; in- dmenfiones dd dum. /ondinenfem peli : i Longitudo ab Rpie roftri ad. caudae extre: mum |- - - c o-o- o ---50.50€- ——- a roftro ad nuchaim - - - - ——- a nucha ad caudae bafin .- - - ——— «audae 4 - - - o. o 75. "i —— — 8 labio iuftriore ad fterni, caput ——— -capite fterni ad proceffum: xy phoideün ite ——- 4 procéffü xyphoideo ad'-praegutiuv -— 8 praeputio ad anum. ^ - .- .- - ——— a vagiuae apertura ad anum - - pedum anteriórum 2 capite offi$ bri-| ' chii.ad apicem: digiti medii - ^- [ pedum pofteriorum a capite offis fe-| ^ moris ad apicem digiti medii - palmae: a: carpo ad apicem/digiti mediil r. |6.| Kkk 3 Longitudo | | 446 PEREGVSNA NOVA poll.|lin Longitudo plantae a tarfo ad apicem digio EüCdii m mil m iim E m. s MLRETREN digiti medii palmae - - - - |-—|Jro. —---- GIEIti* IDCOIL. Plantae * defi eic oma rir 48 ——— vnguis digiti medii palmae - - —|6. —-— vnguis digiti medii plantae - - |-1si Diameter inter roftri apicem et oris angulum ba ——— tranfuerfalis rictus oris - - - [|r.|— ——— inter narium aperturás - - - |-—|» —-—- inter nares etoculi cantum anteriorem| — | 8 -—— inter oculi cantum pofteriorem et aurcs| — | 8. —— inter oculos - - - - - - [|—][8. -——— inter aures .- ^- - - - - |r.6. —— oculorum .- - - - - - - |-fpi -—- aurüm. -.-.-.-- - - -.- I.|— ——— «capitis perpendicularis inter aures ti L5- ——— capitis transuerfalis in eodem loco | rz.|«s. peripheria trunci maxima ante lumbos 5. |6. ANATOMIA PEREGVSNAE. THORACIS cauitas anguftifima , fed lon- giffüume extenfa , füperne acute coaice terminata. Cor in medio cauitatis fitum dextrorfum magis ac finiftrorfüm , auricula dextra, et magine corporis dextro ipfam coftarum lateris dextri curuaturam attiagens , ouatum , oui columbini magnitudine, Pulmo et dexter et finifler trilobus; lobo fuperiore longifümo , valde attenuato , imum thoracis apicem petente 5. MVSTELAE SPECIES. 447 petente ; inferior latiore et craflore , diaphragmati incumbente ; medio minimo, in dextro pulmone maiore ac in finiftro ; accedit lobulus, cordis apicem et oefophagum . inter füpra diaphragma, ad atus dextrum mediafüini fitus , triangularis. Tracbea pro- funde in Thoracis cauitatem defcendens , pollicibus tribus longior, ex annulis quinquaginta poftice planis conflata. Oefopbagus lixus ad marginem finiftrum tracheae. Ducus tboracicus tenuiflhimus, venam cauam fuperiorem pedeus. "7bymus oblonga, lata, tracheae et auriculae dextrae cordis incumbens. ABDOMINIS cauitas angufla, breuis, Diapbrag- zia litum , mufculofüm , fpeculo Pe/montii anguflo. Hepar magnum , quadrilobum ; lobi duo dextri, duo finiri * Jobus dexter anterior et fuperior diaphrag- mati refpondens, omnium maximus, trifidus, lobulo exteriore hypochondrium dextrum occupante, maxi- mo, duobus interioribus minoribus, in ipía cardiaca regione fitis, et ligamento lato diaphragmati adnexis; lbus dexter potterior bipartitus, lobulo inferiore minore reni dexsro concauitate fua incumbente , et ligamento hepatico renali adhaerente ; /pbus finifler an- ierior et fuperior diaphragma refpiciens et ipfi per liga- mentum coronarium , a margine pofleriore procedente, alligatus, hypochondrium finiftrum replens; integer ; lobus finiffer pofierior in. arcu. ventriculi concauo inter cardiam et pylorum fitus et omento minori connexus inter lobi dextri anterioris lobulum exteriorem et ; ad à; proxi- 448 PEREGVSNA NOVA j proximum | minorem foffa pro wvefia felea , quae magna, pyriformis, fundo ad proc-flum xyphoideum .- prominens, du&u bepatico, ex lobo dextro prodeunte replenda et cDoledocbo, proxime poft pylorum in in- teítinum hiante, fefe exonerans; inter lobi dextri anterioris lobulos interiores minor foffa pro vena quubilicali ; inter lobi dextri anterioris lobulum inü- mum et lobum finiffrum anteriorem anterius foffa pro arteria bepatica et wena portarum , potterior foffa pro vena caua per hepatis fübftanuam tranfeunte. Lien oblongus, tenuis, ad omnem arcum conuüexum ventriculi extenfus , et vafis breuibus omentoque ventriculo adnexus. Pamereas longi(fimum, eiusdem fere cum liene latitudinis , quo attamen tenuius , rubicundum, ab ipfo hilo lienali, pone ventriculum laxa omenti duplicatura inuolutum , ad. pylorum procedens , et inte(tino , in quod pone ductum choledochum | duZus panereaticus hiat , ad pollicis longitudinem alligatum, extremitate recurua termina- tum. Omentum parum adipofüm, a ventriculi arcü maiore defcendens ad peluim fere vsque et inteftina obtegens. Veniriculus | membranaceus , | oblongo- incuruatus absque fundo ; arcus enim maior conuexus flatim a cardie ad pylrum defcendit, hypochondrium finiftrum verfüs fpectans ; arcus fuperior concauus , breuis; fphinéter pylori modice conftritus. — Tractus inleflinalis et externe et interne laeuis et continuus , ftructura vbique eminenter muículofi, longitudtne 82. pollices. loudinenfes a pyloro ad anum adaequante, hinc MV$TELAE SPECIES 44g hiac triplo truncum excedente, diametro vbique aequali vix 3. Zmeis ampliore ; mefenterium firi&um plane non adipofum. zu; rugofüs , prominens, vtrinque.füb cute ftipatus folcub rotundo, cauo, interne albo et laxiffime rugofo; rugis autem ita arce inuolutis, vt externe glandulam folidam referat; his apertis, ceu ex famdorae pyxide faetor fuffocans, empyreumaticus , accerrimus, oculos et nares feriens exit, nec liquidum , nec ductum inueni. Renes ouati, auellanae magnitudine integri, dexter fuperior finiftro, tunica adipofa vix vlla; vrezeres membranacei fimplices, conuergendo peluim petentes; vefica wrinaria Oouata, rene quadruplo minor, fubligamentofa, vtrin- que peritonaeo ve(tita, anterius ligamento lato fym- phyü pubis adhaerens , extra peluim fita. | GENITALIA .femindge ita: wieri ceruix tres leas longus, cylindricus, veficae vrinariae et recto interpofitus , bifurcatus in ecorzua duo , vnum dex- trum , alterum finifrrum , eiusdem cum ceruice diametri, íerpentino ductu ad renes vsque adícen- dentia, extremitatem verfus attenuata , et ouario multoties gyrato et granulofo aucta, ligamento la- xifümo , adipe repleto , lumbis adnexa; ocium vieri papillofe in vaginam prominens, rugofum , ceruicis et cornuum cauitate apguflius, vix ftylo capillaceo permeabile.; vagina vieri conftipata, mem- branacea , orificum vteri verfus transuerfaliter pro- naum verfus longitudinaliter rugofa, ruga interme- Tom. XIV.Nou.Comm. L1i dia 4o — ;PEREGVSNAÀ' NOVA dia pubis arcum verfus fpe&ante emirnentiori et an- terius db vrethra perforata; v/forjs magna , tuber- culofo -papillofa, cruribus. vtrinque pubis offibus adhaerens; mympbas wix vidi, nifi labia vaginae , duae rugofiflüuma , fed arcte conniuentia , pro iis hàbeas. : "GENITALIA "aris ita: corpus cauernofum fe- fis fimplex , cylindricum ; breué , fimphyfi offium pubis poftice , et officulo glandis penis antice ad- haerens ; officulum glandis lineari - angulatum , bafi fubtüberculofa corpori cauernofo fenis, quo triplo longiüs., áünexum , apicem verfüs et ipfo apice, qüi retrorfüm feu ábdotmen verfus hamaátus, fulca- tum, fere omhino nudüm., et non nifi tunica te- nuiffma, pellucida, ab vrethra continuata obdu- &um; «vreibra enim infra offium pubis fymphyfin - fat longe decurrens, corpori cauernofo penis inferne adglutinata ; ad. officulum glandis abit, iftud obducit "Ybique tenuiffüima , absque corpore cauernofo, et tan- dem tantillum ante apicem officuli hiat; longitudo Corporis cauernofi penis femipollicaris , officuli glan- dis -fesquipollicaris , hinc totius penis bipollicaris. Teiculi globofi , folliculis ani incumbentes, extra abdomen equidem prominentes , íed adipe adeo in- volüti, vt vix ac né vix per cutem appareant; epidydymis tefticulo er&e adnexa; fümiculus fpermiati- cus longus, vrethrdám profünde in'pelui fitam pe- — vefirulis fpermaticir minutiffimis et vix vllis aucus, MV$TELAE $PECIES 4s auctus, fed fere immediate vafis deferentibus in yre- thram vtrinque patens. OSSA capitis et extremitatum vix differunt a congeneribus putorio íc, et uarie, ex aureis Bvr- FONIANIS fcriptis fatis fuperque notis; fed haec pau- ca de trunci offibus feregufmae monenda funt; cla- viculae nullae; os /ferui lineare , ex , vndecim officu- lis longitudinalitcr adpofítis conflatum ; coflae x7. quarum decem primae feparatim flefno infertae , fed vudecima , duodecima et decima tertia cartila- gine communi proceffui xy phoideo adhaerentes , I€- liquae tres fpuriae funt, libere inter mufculos ab- dominales fluctuantes ; vertebrae colli: TA dorfi 1T. luaboram 6. PHYSIOLOGIA PEREGVSNAE. Peregusna animal carniuorum eft, vt omnes «ongeneres , muribus praefertim victitans, in cam- pis iisdem zanaicesfibur , quos iuhabitat, frequentiffi- Qmis , marmota ícilicet , ericeto , fuslica , iaculo et anufculos et inermem /fpa/acem noftratem ipfius ^prae- dam euadere, vix dubito. Saepius dum animalcu- lum examini anatomico fubieci , pilos borum ani- 4malium in ventriculo inueni. ^ JMiratus fum poli- tiam ,naturae in his campis vafliffimis flabilitam , on arte humana turbatam ; e numerofiffima plan- tarum ,cohorte, campos hofíce obfidente affignatae fnnt aliae infe&torum laruis, aliae auibys .graniuo- L112 ris, &$5 - PEREGVSNA - NOVA ris, aliae quadrupedibus phytophagis nunc denomi- natis, vt aequilibrium inter plantas ferüetur , ne vna fpecie nimis multiplicata altera fuffocetur et pereat. Sed iterum cauendum fuit, ne horum ani- malium numero nimis aucto nimia plantarum copia comedatur, et hac via plantae pereant; hinc fapien- tifümus rerum conditor quam plurimas auium in- fe&iuorarum ípecies e. Mufcicaparum Motacillarum | et Hirundinum familia , haud paucos aues ornithopha- gós e Falonum Strygumque gente et varia quadru- peda carniuora , quadrupedibus phytophagis infefta , quae praefertim e Muflelarum tribu funt , eosdem campos inhabitare iuffit. Sic tandem proportio fer- watur, et optime obtinetur vltimus politiae naturae finis, eo vnice tendens, vt maximus, qui poffibi- lis eft , corporum organicorum viuorumque nume- rus in globo noflro terraqueo adfit et laete adfit. Sed vela a via propofita abducentia retraham, in pofterum in politiam maturae, in campis zamaicemfi- $us a me, ciue eorum per luftrum integrum ad- fcripto ct incola circumuagante , fedulo obferuatam vlterius commentaturus , fi perfpexero , haec pauca arrififfR. Redeamus igitur ad feregusmam noftratem, de cuius diaeta adhuc aliqua dicenda íünt. ^ Vora- cifümum eft animalculum , et vix. Gu/o vworacior ex naturali tractus inteflinalis ftructura; cum enim hic valde breuis, corpote vix triplo longior, nec interne valuulofüs fit, citiffupe vt tranfeant cibi per anum et animalculum de nouo vt appetat me- | ceffe MVSTELAE SPECIES 453 ceffe eft. Haec communis fere omnium animalium mere carniuorarum conditio , e£ omnium maxime neceffaria; nam fi his tractus inteflinalis adeo longus corporis longitudinem decies faepe excedens, et val- vulofüs coecoque auctus contigiffet , vt phytophagis contigit, caro comeía , ad putrefa&ionem valde in- clinans, certe ob remoram nimis diuturnam putrida euaderet in primis viis, et fanguinem acrimonia nociua imbueret. Phytophagis autem iíla ftructura Optime conuenit, quia plantae nec fàcile putrefcunt, nec ficile a partibus nutritiis priuantur, hinc eo diutius retinendae funt, vt omnia corpori animali vtilia extrahantur, et humoribus animalium affimilen- Xur; hanc ob caufam iis valuulae inteflinales et coecum maxime conducunt. Ita omnia íapientiffime funt adornata. Peregufüae expofui olera et panem fed inta&a reliquit; nec. maíticationis organa ad vegetabilia comedenda apta funt, haec enim. motu mnaxillae inferioris laterali conterenda et comminuenda funt; proceffus autem condyloideus maxillae inferioris peregufnae adeo ar&e refpondet foffae articulari offis temporum , vt nullus motus lateralis poffibilis ; nec fuperficies articularis: ante foffam adeít, hinc nec valde diduci poffunt maxillae ; dentes praeterea omnes*ad plantarum partes conterendas ineptiffimt , fed ad carnem dilacerandam et praedam necandam aptifimi. ^ Gallinam viuam oblatam mox pedibus prehendit, dentes femoribus gallinae infigens et fan- guinem auide fugens; cibum nunquam palmis ori : L115 adrage 434 PEREGVSNA NOVA admouens: oua et mel intacta reliquit, nec competi ab incolis, quod. vnquam apiariis noxium fuerit , vt fpecies quaedam congeneres folent ; carnem oui- nam et anferinam affatam comedebat, Noctu prae- fertim venatur ; interdiu latitans in cauernis ab aliis animalibus effoffis; attamen nec plane ignorat artem fodiendi ; vidi enim animalculum füni alligatum fat cito canalem oblique deícendentem pedibus anteriori- bus in folo duro fodire. Corpore flexiliffimo abrupte faliendo , dorfo furfum curuato et cauda Mhorizontaliter extenfa , currit et difficilius accipitur ; arbores vix fcandit, fed in campis degit, Animal agiliffíimum oculis fulgentibus, vix vnquam dormiens et omni anni tempore apparens; iracundum et iratum acute fre- mitans, alias vix fonum edens, caudam furfum et dorfum verfüs pilis erectis fle&ens , magis ac antea foetens, caput erigens et dentibus oblata mordicus prehendens; vix cicur euadens. Initio veris coitum celebrare , mares propter feminas rixas mouere, feminas poft fpatium bimeftre catulos quatuor vel octo, validos et oculatos parere perhibent incolae ; .penes .quos -fit in his fides, vsque dum propria experientia doctus certiora communicare ,potero. | HABITAT in campis apricis defertis Tanaicetfi- -bus, nondum alibi in Ruffía obferuatum animalculum nec adeo frequens; pellis ob : pilorum :breuitatem non MVWSTELAE SPECIES 455 non aeftimatur; in animalculo habitat PEDICVLVS peregufüae latus, rotundatus, antennis pediformibus , pedibus breuibus, tardigradis. ICON ftaturam corporis fperegufuae iratae , partium externarum firu&duram et magnitudinem naturalem optime exprimit; quam a congeneribus diftinguo nomine hoc fpecifico: MVSTELA 5pedibus fiffis , capite et corpore Jubtus atterrimis ; corpore [upra brunneo luteoque vario; ore fafcia frontali , auriculisque. albis. : nu OVVM 'Tab. X. 456 e$ (0) $ed OVVM SIMPLEX GEMELLIFER V M. Auctore C. F. WOoOuuWrFrE Exhibit. d. 22. Febr. 1770. De ovis nnus elapfus cft inde, quod ouum oftenderim pd Academiae Illuftriffimae , fimplici vno vitello rum, quae €t. duobus embryonibus inftructum , íex dies incuba- propie tum. Eius nunc deícriptionem trado. Inter rario- oua $9" ra equicem phaenomena illud referendum -:effe cen- HE íj0, quum , quantum fcio, a nemine hactenus hu- iusmodi ouum obíeruatum fit. — Agit quidem Har- vaeu;s de ouis gemellifiis et Fabricius ab Aqua pendente, ipfeque .rifloteles f(imilium ouorum men- tionem faciunt, fed intelligunt hi omnes per oua gemellifica non oua fimplicia, id eft vno fimplici vitello inflructa duobus embryonibus praegnante ; fed talia , quibus duplex vitellus infit, quorum v- terque füo proprio embryone gaudeat. Gemel//ficd inquit Haruaeus cum Ariffotelae (Exercitatio XXIV. de ouis gemellificis) oua funt e quibus gemelli pro- deuni puli; eaque Limis wiiellis praedita funt ; qui in aliquibus tamen | albuminis diffpimento feparantur ,. quo münus inter fe confufi fint 5. in alüs mullum eft, fed fe. Wuiuo comiingunt. ^ lpfe aliquoties eiusmodi oua du- plicia vidi; neque enim adeo rara efle videntur. Plerum- OVVM SIMPLEX GEMELLIFERVM. 453 Plerumque folitis maiora funt, vt ex fingulari fua magnitudine , qua anferinis ouis fere acquipollent , füfpicari pofüis , duplicem iu iis contineri vitellum. Tamen etiam vidi, quae nihil folitam | magnitudi- nem excedebant , quamuis duplici vitello inftructa fuerint; et alia porro, quae notabili magnitudine fe commendabant et nonnifü vnicum tantummodo vitellum continebant. ^ Haec oua tanquam duplicia confideranda effe exiftimo , et vocari potius debere gemella oua , quam gemellifica vel gemellifera ; fi- quidem vitellus proprie ouum conftituit, qui folus in ouario exiftit et in vtero denique albumine cin- gitur, cruftaque fua teftacea obducitur. Quodfi igi- tur duo vitelli his ouis infunt; oua duplicia vel gemella; haud vero gemellifica re&e vocari viden- tur; quum quilibet horum vitellorum nonnifi vnum tantummodo fetum producit. ; Clariora haec omnia euadent, fi. ad ortum Ouorum horum ouorum refpicias , qui haud difficilis ' intel- gemello- lecu , nec vllo modo dubius effe- videtur. Conflat 7,5 nimirum experientia, mnaíci haec oua plerumque a licis diffe- gallinis maxime fecundis, acetate iunioribus et las- rentia. ciuis. | Quum albumina et teftae ouorum in. vtero demum vitellis addantur, vitellique in ouario et in toto ouiducu nunquam, nifi nudi, inueniantur ; ne- ceífle eft, dum oua gemella producuntur , vt. bini eorum vitelli in ouario quidem atque in ouiduc&u perfe&e adhucdum feparati a fe inuicem exfliterint, Tom. X]V. Nou. Comm. Mmm duoque 45$ OVVM SIMPLEX duoque diuerfa oua repraefentauerint ; (nihil enim eft in his locis, quo in vnum ouum coniungeren- tur) in Vtero vero oportet, vt primum cConiunc&io fadt fit, cum commune albumen , vel tefta com- munis illis circamduceretur. Porro vero neceffe eít quoque, vt bini, eorum ouorum vitelli fimul in vtero contigerint (alioquin enim haud potuiffent vna communi tefta. obduci ;) cum ordinarie noanifi fucceffiue et folitarii vitelli in eundem deueniant ;. folitariaque oua nafcantur. — Íta enim -vterus com- paratus eft, vt vnum tantum ouum commode ca- pere poffit , nec alterum ficile recipiat ,' nifi priori . ante expulfo. ^ Patet igitur ex his omnibus, oua gemella oriri, dum in gallina nimium fecunda duo praeter naturam vitelli fimul in vterum ingerun- tur. — Dum enim hoc fit; vitelli comprimuntur ; albumina eorum confünduntur; vel fi di(tincta con- feruentur, compinguntur tamen in vnam molem globofim , quae , dum materia nunc teftacea , ab vtero füppeditata , obducitur , nonnifi vni communi teftae formandae anfam praebere poteft. ^ Harzuaeus l. c. monet fe oua vidiffe quorum bini vitelli com- preíffi vno communi albumine cinci fuerint; fed iterum alia quoque , quorum vterque vitellus pro- prio füo et diftinco albumine gauderet , vbi fola tefta communis effet. In quo cafu pofleriori nemo dubitabit, quin ex duobus compactis haec oua nata fint Verum etiam dum vnum albumen vtrumque vitellum cingere videtuf ; credo tamen , duo effe, | adeo GEMELLIFERVM 4539 9sdeo comprefa, vt diffücilius diflinguantur , quae- vero diftinda fuüiffent, íi accuratius et curiofius examinata füiffent. Quicquid fit, hoc facile patet, nihil aliud haec oua .gemella proprie effe, quam duo diuería oua , in vtero in vnum compacta, tefta communi obducta. . Sed aliter. longe comparatum eft cum praefenti ouo gemellifro , quod fimplici vitello , fimplici albumine conflans, vero fenfu fim- pkx eft, omnique tempore et a prima conforma- tione fimplex fuit, quod nunquam compofitum : ex duobus aliis eft, ct tamen duplicem embryenem producit; quod igitur, fi fimilem alium |. vitellum intra eandem teftam fecum inclufum haberet quem- admodum contingit in ouis gemellis, non duos, fed quatuor , in hoc ouo fpc&ares foetus, Pauca adhuc verba addere liceat de his ouisDe foeni gemellis prius quam ad noftrum tranfeam gemellife- ouorum rum. Quamuis non adeo rarum fit offendere | haec pr^ oua gemella, neque Haruaeus tamen neque Fabricius — ' ab 4quapendente neque quisquam alius, quod fcio, eadem incubata, eorumque foetus vidit. Neque hoc mirum eft. Non omnia enim oua fecunda funt; non omnia incubationi exponuntur, non omnia; quae incubationi ífubieca funt, aperiuntur. et. ad examen vocantur. — Quando vero pulli naturaliter. exclufi funt , tum haud porro fcire licet cuiusmodi Quum fucrit, ex quo pulli prodierunt. Inde factum eft, vt Fabricius et Haruaeus diffentiant refpec&u. Mmm 2s foe- 460 OVVM SIMPLEX foetuum , quos oua gemella producerent. —Monftrá putat Fabricius; nempe pullos, abdomine, pectore vel alia corporis parte conuatos. Hargaeus gemellos potius credit inde prouenturos effe liberos, nullibi concretos , fiquidemr vitelli feparati a fe inuicem, propriisque fuis albuminibus cincti fuerint. Si vero contingat, vt vitelli, communi albumine inclufi , adeo fint pofiti iuxta fe inuicem , vt cicatriculae eorum (:malculac ) dum fimul aperiuntur, vnum eculum (areolam: pellucidam putat) conflituant , tum equidem fieri poffe, concedit Fabricio, vt mon- firum eiusmodi bicorporeum inde oriatur, 4ri//o- tele nonnifi gemellos ex his ouis fperauerat. Mihi quidem ipfa noflri fubie&i conditio et phaenomena, quae in eo apparent, ita fuadere videntur, vt dicas, tota via erraíle Fabricium ab Aquapendentes Haruaeum. propius ad veritatem acceffüffe ; acu. rem tetigiffe Ariflotelem. ^ Si enim feparati manere potuerunt embryones in ouo praefenti qui ex vno codemque vitello pullularunt; quantum cogentur minus vt coeant in vnum corpus monftrofum illi, qui ex duobus diftin&is vitellis oriuntur. Sed neque contiguitatem macularum neque ipforum embryonum, fiue in vno eodemque , fiue in diflin&is vicinis vitcllis, producere poffe eiusmodi monftrofam concretionem, idem noftrum fübie&um demonílrat; fiquidem em- bryones in eo adeo fibi propinqui in fitu fio naturali füerint, vt fefe contigerint inuicem , adeoque pro- piores fibi nullo modo cífe potuerint ^ Quin ipfa haec GEMELLIFERVM 461 haec conditio, quam Haruaeus ad. productionem monftrorum requirit , vt vui nempe oculo gemelli embryones inclufi fiut, obtinuit in ouo noftro, quemadmodum in fübfequentibus ( coroll. IT. ) patcb:t. Videntur ergo monítra caufam longe aliam habere; de qua re in proprio corollario ( coroll. IV. ) quae- dam adhuc addam, Sex dies ouum noftrum incubatum eft, quoOui, VI. tempore fcilicet oua in eo, quem breuibus Yerüig sies inc defcribam , ftatu inueniuntur, iisque phaenomenis liter con- füipantur , quae continuo dicam. v S UM JtiO. Albumen , a vitello retra&um , verticem oui Albumen. acutum occupat, mole imminutum eft, fpiffiori confiflentia gaudet, maffamque re'ert cohaerentem et tremulam , cum ante incubationem tenuius facile difüueret totumque vitellum . ambiret. Vitellus alteram oui partem , obtufam , tenet. Vitellus. Mole auctus potius, quam imminutus eft, quamuis inde embryo mnutriatur; nam plus continuo ab albumine recipit , quam embryoni tradit. Tunicae eius eaedem fünt, quae primo incubationis tempore; exterior nempe tenuis pellucida , vafis omnino deftituta; interior craflior mollior, in qua area vafculofa exaratur. Area vaículo(a, licet dimidiam vitelli füperficiem Are, vafa. Occupat, rarioribus tamen vaforum fürculis ornata lofa, eft, minusque zubct quam die quinto, quo temi- Mmm 3g pore Areola pel- lucida. 462 OVVM SIMPLEX- d pore maxime. floret. Adeoque in ftatu. decrementi nunc iam eft Quo enim veficula vmbilicalis ,, inter tunicam vitelli exteriorem et interiorem con- tenta , quae primordium nouae tunicae vmbilicalis e(t, magis magique — increfcit., fuperque globum vitelli extenditur ; quo magis eius vaía inflantur, et fanguine turgent; eo magis fenfim decreícit area, vafculofa ; vaía fanguine fenfim deplentur et euaneícunt. Caeterum eadem — femper — vaforum diftributio in area vafculofa eft. ^Praecipui trunci lateraliter de embryone egrediuntur , vterque eorum. in ramum füperiorem et inferiorem diuiditur. Inter inferiores ramos media decurrit vera deícendens, nifi iam euanuerit. Adícendens, quae inter ramos fuperiores adícendit , hoc tempore raro fupereft. Denique terminalis, quae peripheriam areae defcribit licet tenuior et debilior fit, tamen fufficit , vt. area. vaículofa euidenter a reliqua vitelli fuperficie per eam diftinguatur. Areola pellucida, quae interiorem areae vafcu- ofae partem "efficit , in qua embryo fitüs eft, die fexto iam prorfus euanuit. Producitur enim a menibrana vitelli interiori, quae prope embryonem ab exteriori tenui pellucida foluta eft, fluidumque pellucidum cum ea comprehendit; remotius, vero ab embryone, vbi proprie area vaículofa incipit, fuperiori membranae ope materiae opacae albae adhaeret, in qua ramificationes vaforum diftribuuntur. Inde efficitur vt GEMELLIFERVM. 463 vt ífpatium areae vafculofae interius diftinctum ab exteriori et pellucidum appareat; cum exterius, quod proprie aream vafculofam conftitait , album fic, et multis vaforum ramificationibus ornatum. Illud igitur interius fpatium areola pellucida voca- tur, ( vid. horum Comment. Tom. XII. Diff de formatione Inteftinorum, '$&. 22. fig. )J. Quodfi nunc die quinto et fexto contingit ; vt membrana vitelli iüterior per totum vitellum a füperiori foluatur; areola pellucida a vaículofa diftincta efle ceffat, adeoque euanefcit. Eandem ob caufim amnium fpurium quoque Amnium hoc tempore nullum inuenitur. Hoc cnim fimiliter fpurium. a membrana vitelli interiori formatur , quae, con- tinuata ex inteftinis embryonis , prius quam extror- fum ducatur ad effidiendam areolam pellucidam, immediate circa embryonem reflectitur , bullamque producit , amnium verum vna cum embryone includentem, quae amnium fpurium vocatur ( vid. Dif. de form. Int. $. 36.). Hac bulla formata, membrana interior extrorfum tendit ad producendam areolam pellucidam. Dum igitur membrana haec interior ab exteriori, qua hactenus fuílenta fuit, foluitur ; -:collabafcit et bulla deftruitur. ^ Solae Tugae quaedem irregulares in. hac membrana relaxata, . reliquiae priftini amnii fpurii, hoc tempore in eo loco reftant. Adco- Amnium 464. OVVM SIMPLEX / Adeoque exterius et vnicum embryonis inuolu- verumeiuscrum proprium amnium verum eft, quod continua. que et em- bryonis fi- tus. Veficula umbiliealis. tum ex orificio vmbilicali abdominis et reflexum circa embryonem , . veficulam refert , fabae fere magnitudine hoc tempore et figura, tenuem pel- lucidam, fluido repletam. Hoc amnium cum embryone fuo inter vtrasque vitelli membranas haeret adeo, vt interiori incumbat , foueamque in ea producat, magnitudini et figurae amnii et veficulae vmbilicalis, quae embryoni adnexa eft, refpondentem , fatis profundam ; dum exterior tenuis vitelli membrana reca et tenfa füper amnium. tranfit; idemque in fua fuperficie füperiori tangit. In hoc fuo fitu amnium cum embryone detinetur partim membrana vitelli exteriori , quae, licet amnio non adhaereat. tenfa tamen illud in fuam foueam deprimit, partim interiori , quae ex inteflinis embryonis continuatur, Cum exter'or membrana vitelli perfe&e pel'ucida fit, amnium in vitllo, Lcet integro, quai nudum fed fixum in fuo fitu. apparet. Vbi ea membrana remouetur , amnium mobile redditur , vt hinc inde volui poffit, licet iateriori membranae annexum fit. Veficula denique vmbilicalis vna. cum amnio inter vtrasque membrapas vitelli continetur ; in eademque cum illo fouea fita eft. Exterior mem. brana füperfidei eius fuperiori adhaeret. Ab interiori autem et ab amnio prorfus libera eft, folique em- bryoni adne&itur, dum eius productio quaedam et G BM ELLIEERSYIM. a5 et quafi collum in orificium abdominis, quod idem fimul amnii apertura eft, ingreditur. Magnitudine paululum füperat amoium. Hic igitur ftatus naturalis eft oui fex dies in Defcriptio cubati. Videamus nunc, quaenam fiogularia occur- oui gemel- NT. s , liferi rant in ouo gemellifro refpecu horum phaenome- (Tab. XL) norum. Solitae magnitudinis ouum noftrum erat. iC j ; , : vnum, vtrí- Albumen ( Tab. XI. fig. rx. 4. 4.) vnicum fimplex : : abr" que. em- folitum .in eo locum occupabat , folita magnitudine bryoni et confiftentia gaudebat. commune. (fig. 1. a.a.) Vitellus ipfe .( fig. r. 5b. b. 5.) fimplex ,vitellus nihil habet , quod praeter naturam aut confuetudi- vnus com- nem (it. Situs magnitudo figura confi(lentia EU que et ftru&ura perfe&e conueniunt cum flatu na- ^ — ^ turali. Exterior tunica tenuis pellucida , interior, wt effe folet , mollior, craffor eft. Prima pars (fi ab exterioribus ad interiora et Area vafev verfus embryonem progrediaris) area vaículofa eft ,!ofa Y ed (fig. x. e.) in qua. fingularia quaedam M UP quae prima duplicis embryonis indicia referunt, vel tanquam eius effectus confiderari poffunt. Area qui- dem ipfa vnica.et fimplex eft omnino , vti vitel- lus; fiquidem vnica fimplici vena terminali (fig. rz. £. c.) nusquam interrupta, tanquam periphaeria cir- cumícribitur , nec vlla ratione in duas quafi areas diuifa inuenitur. Sed vafa, iu hac area exarata, du- . Tom. XIV. Nou. Comm. Nnn plex 466 OVVM SIMPLEX plex fyftema ramificationis efficiunt, quamuis vtrum- que non fit plane perfectum ; quod igitur primum - quafi duplicis embryonis vefligium eft. — Quilibze enim. embryonum binos fuos, vt folitum eft ,. trun- cos laterals emittit; vnde- quatuor igitur, loco duorum , in. area trunci refültant. Embryo fcilicet fuperior (fig. x. f.) trunco laterali finiftro (fig. 1. f. fig. 2. i.) et dextro (fig. 2.. 5.) gaudet. — Embryo. inferior (fig. r. g.) trunco dextro (fig. zr. w. fig. 2. g.) et finiflro (fig. x. t. fig. 2. r.) inftru&us eft. Tum porro vterque truncus embryonis fuperioris ,. prout naturaliter fieri folet , in duos ramos , füpe- riorem (fig. r. 4 et r.) et inferiorem. (fig. rz. s et fige. 2». L) diuiditur. ^ Inferioris autem embryonis trunci haud porro.in fuperiores et inferiores. ramos diuiduntur , fed toti. potius deorfum decurrunt ra-. inosque inferiores referunt ipfi; fuperioribus plane deficientibus, — Cuius rei caufa vicinitas alteriüs em bryonis effe videtur , qui ramificationibus fuis infe- rioribus illud fpatium in area occupat, in quo hi: rami füperiores fefe difpergere debuiffent. ^ Denique vena defcendens embryoni inferiori eft fatisfpectabilis (g. 1, wv. fig. 2». s.) cum. fuperiore embryo. ob nimiam- vicinitatem infrioris adeftituatur. Vena terminalis caeterum , cuius pars tantum in hoc fitu. vitelli apparet (fig. x. c. c.) vnica fimplex eft, vnam. aream includens , in. qua defcriptae vaforum rami. ficationes diftribuuntur. : His. GEMELLIFERYVM. 467 His igitur confideratis in vnica area vaículo- Óía duplex vaforum fyftema exaratum effe videtur , quamuis non plane perfectum , fiquidem inferioti fyflemati rami fuperiores deficiunt, — Verum enim haec bina fyftemata adeo tamen ergo íe inuicem pofita funt, vt fimul fümta haud obfcure vnum maius et commune referant. Trunci enim embryo- nis fuperioris ramos füperiores exhibent fyttematis huius communis ; dum. rami eorum inferiores tau- quam füubdiuifiones vel rami fécundarii ramorum füperiorum confiderantur. Trunci embryonis infe- rioris eo mazis fimplices ramos inferiores maioris fyllematis ref&runt, cum nullos fíuperiores ramos emittant, qui tamen ex veris truncis lateralibus oriri debent. ^ Denique vnica, quae exílait, vena defcendens fitu et magnitudine perfe&e refpondet maiori fyítemati , idemque adeo fupplet. — Nulla igitur non modo pars eft, quae deficeret communi huic fyftemati , fed nulla quoque arteria in, area vafculofa datur , quae non aliquam huius fyftematis partem effentialem referret, velad illud recenferi non poffet. Solum hoc praeter naturam habet hoc fyflema, vt rami füperiores et inferiores, qui naturaliter ex vuo trunco laterali vtrinque oriuntur, immediate ex ipío embryone, et fuperiores quidem ex embryone fuperiori, infriores ex inferiori prodeant. Si igitur hac ratione confideratur haec vaforum diítributio; non proprium cuique embryoni fyflema ert , fed vnum wtriqué commune , adeo partitum , vt fuperior em Nnn 2 bryo 468 OVVM SIMPLEX bryo partem eius füperiorem , feu ramos fuperiores, qui loco truncorum ei funt, cum vena adfícendente, vbi ea adhuc exiftit ; inferior autem partem fyfte- matis inferiorem , ramos nempe inferiores cum ve- na deícendente teneat. — Omnibus igitur comparatis diflributio vaforum in area vafculofa aequiuoca eft adeo, vt dubium fit, vtrum vnum vaforum fyfte- ma, vtrique embryoni commune , an duo propria pro duobus fint cenfenda, ^ Similem conditionem areae vaículofae reperi quoque in ouo quodam [II dies incubato , quod moobflrum bicorporeum gerebat, vbi accuratius etiam duo fyftemata vaforum expri- mebantur , quae fimul fumta egregie vnum refere- bant fyflema commune. Amnium Sed magis fingularia , et quae minus a du- embryoni- plicitate pendere videntur , fünt, quae circa fitüm et ionemedi innolücra embryonum in noftro ouo occurrunt, vitello in- Quum naturaliter embryo , amnio fuo inc'ufus in- cumbunt. ter vtrasque membranas vitelli contincatur, adeo, vt exterior recta füpcer amnium tranfeat , idemque igi- tur vna cum foetu intra vitellum includat ; embryó- - mnes, noftri non modo amnio plane carent, fed ex- tra membrabam quoque vitelli exteriorem fiti funt, adeo , vt vitello incumbant , opeque folorum vmbi- licorum laxe €t mobiles exteriori eius fuperficiei adhaereant , (vid. fig. r.) quod fane non minus mi- hi mirum videtur, ac fi femina in planta extía pericarpium prouenire , eiusque fuperficiei externáe - peaun- : aL GEMELLIFERVHM. 469 pedunculi ope adhaerere videres. — Viuebat vterque embryo, cum ouum aperirem , et corda non modo eorum. íatis vehementer palpitabant , fed motus quo- que exercebantur voluntarii , quamuis non diu hi pofteriores . continuarentur. Inexfpectatum | igitur phaenomenon erat duos embryones inuenire disi i mobiles , nüdos, incumbere vitello. Membrana amnii naturaliter ex orificio abdo- Cuts ab- minis, feu vmbilico , oritur et continuatio cutis ab- dominis dominis ef, Inde continuo circa embryonem refle- Kc ad &itur ad formandum amnium. Funiculus enim vm- joa viel bilicalis in auibus nullus exiftit. — Iam non facile membra- exemplum inuenitur in corporibus animalibus mem. 22m eonti- branae , vel tunicae , quae fine , quafi abfiiffo ter- ip s minetur; íed continuant membranae omnes in alias membranas, vel redeuut in fe ipías; vti cutis per os in villofam tubi cibarii, et villofa rurfum in cutemr per anum continuat, vti cutis palpebrae íu- perioris in adnatamv et porro in cutem palpebrae anferioris tranfit. ^ Quodfi igitur in. noftris embryos nibus amnium: deficit, cutis abdominis per vmbili- cum contiouat in membrauam vitelli exteriorem , quae tenuitate pelluciditate , totaque natura perfecte fimilis eft; membranae amnii. Haec ergo vt amnium alias folet ,' cuti embryonis fundamentum | fuppeditat, lex quo deducatur. Quumque naturaliter embryo vno fimplici Inde dupli pedunculo vitello adhaereat canali ^ nempe breui £^" Pe dunculi Nnn 3 COITl- Griuntur 470 OVVM SIMPLEX quibus *"-commun'catorio., qui productus ex inte(linis in in- ET. teriorcrm membranam vitelli contiouatur ; dum neQuntur. membrana vitelli exterior , vt facpius dixi, recta fuper amnium tranfit, in nullamque vel amnii vel embryon/is partem continuatur ; embryones noftri pedunculis gaudent duplici membrana conftantibus , vel potius duplicibus , quorum alteri interiores fo- lito modo ex inteflinis in interiorem vitelli mem- branam continuantur , alteri «exteriorcs , vaginas laxas prioribus fuppeditant, qwae ortae ex cute ab- dominis ad vmbilicum , in exteriorem membrauam vitelli tranfeunt, fpeciemque breuiffimi funiculi vm- bilicalis efficiunt , qui naturaliter in auibus proríus non datur. Situs em- Embryones adeo fibi inuicem propinqui fiti bryonum. funt, vt tertius inter éos locum inuenire non pos- fit, praecipue ob capita, quae fe mutuo tangunt. Alter corum füperior eft, alter inferior. (Area enim vaículofa et vaforum diítributio regiones in vitello determinant) Quum ouum aperirem , embryones paulo aliter, quam nunc funt, fiti erant. — Qui enim transuerfales nunc vitello incumbunt, magis obliqui et fere perpendiculares fecundum aream fiti erant, magisque fibi vicini, adeo, vt inferior ca- pite füo regionem pubis füperioris occuparet, pe- demque dextrum tegeret. — Adeo caeterum pofiti funt embryones , vt fücie corporis anteriori verfus íe inuicem refpiciant. Inde fit, wt fuperior qui- dem | GEMELDYFERVNM zs: dem folito modo in litus finiftrum , inferior autem praeter naturam in dextrum. latus. decumbat. Hac ratione fitis embryonibus: cutis abdomi- Plicae- in- nis ad locum vmbilici primo conftringitur , deinde i io continuo laxatur et in füperficiem vitelli, in tuni- cun cam eius exteriorem expanditur , rugasque produ- vitelli, cit. nonnullas , breues, in vitellum. difperfas. Inter Fig. x. /. has vna praecipue notabilis eff, quae ex vmbilico"^ ^- ^ alterius embryonis reca in vmbilicum alterius trau- fit et lizamentum .quafi effidit, quo vtrique em- bryones inter fe coniunguntur (vid. fig. x. s). Alia eiusmodi plica (fig. x. o.) priori parallela ad regio- nem pectoris embryonum pofita eft. Spatium inter has plicas bullulis a. membrana vitelli exteriori fa- €is repletur. . Vefica vmbil'calis, cuique : embryoni propria, Vefica vm fólito modo inter tunicam vitelli exteriorem et. in-blicals.- teriorem collocata eft. — Apparetque. in vitello inte- j 5j. P 8ro, dum per tunicam eius exteriorem ,. vt fieri folet, transparet. ^ Vbi exterior haec; tunica. in cu- tem abdominis tranfit ;: ibidem vefica quoque collo fuo in cauitatem abdominms intrat. ^ Caeterum mi-: nori copia fluidi repleta eft, quam .effe folet, vn- de plan:or.apparet. ^ Magisque et firmius, quam. naturaliter fieri folet, adnata-eft-tunicae: vitelli ex- teriori fibi incumbenti. Diffedo vitello in eius fuperfidie- interna Orificia in-- (quae. fcilicet membranae vitelli interioris fuperficies teftinorum | inter- in vitellum-- hiantia Fig. 2. Ornificium vinbilicale pig. ^ Ó* 472 (0 QV VIM SUTMPLE:XM interna eft) ad eum locum vwbi exterius embryones vmbilicis fuis vitello adhaerent folito modo apertura reperitur , quae ad inteftina ducit, quae fcilicet apertura illius ductus eft, quo mediante membrana interna vitelli in membranam inteftinorum continuat. Cum hac membrana vaía fimul ex abdomine pro- deunt, quae per aream vafculofam difperguntur , quaeque in fuperioribus defcripfi. Eorum igitur ortus, quemadmodum fig. 2 docet, hic maxime apparet. —Cacterum caedem plicae, quas vidimus efle in membrana exteriori vitelli inter vtrumque embryonem, in hac interiori membrana obferuantur, illisque perfecte refpondent , adeo , vt non fola exterior, fed vtraque vitelli membrana fimul fumta ilas plicas producat. Solui quoque membranam hanc interiorem ab exteriori, praecipue idco , vt orificium. abdominis , ex quo illa continuatur, in fuperficie interiori mem- branac exterioris appareat. Fere eodem mmodo hoc fe habet, vt naturaliter fieri folet, dum loco mem- branae vitelli amnii membrana ex abdomine conti- nuatur. Figura (3. füperficiem membranae exterio- ris internam vna cum orificio abdominis demonf(trat, In embryonibus ipfis nihil infolità reperi. Habitus externus aeque ac ftru&ura vifcerum. peni- tus fecundum leges et ordinem naturalem fe habet. -. COROL- GEMELLIFER V M. 475 COROLLARIA QVAEDAM. Nulla caufa eft, cur putemus nullo omniocorof, I. fpurio, quod exiflere poteft, licet verum intra illud De ftatu. non exiftat, embryones noftros fuo tempore indatoshuius eni fuifle. ^ Duplicitas enim embryonum non magis P fpecie - quam amnii veri defectus prohibet , quominus pro-de amnio prium fuum cuique embryoai amnium fpurium ex[purio, et iftat. Sed plicae quoque et rugae et laxitas, ed inter vtrumque embryonem in membrana xitelh Se is nio interiori aeque ac exteriori obtinere vidimus , quas- que vefligia effe monui amnii fpurii refoluti , fatis indicant , hoc fuo tempore , die tertio nempe et quarto medioque quinto non defuiffe. Iam vero ex fitu embryonis refpectu membranae vitelli exterioris et interioris facile intelligitur , amnium fpurium, feu bulam ex membrana interiori circa embryonem aliter formari non poffe , nifi vt fimilis bulla ex membrana exteriori fimul formetur , quae ab illa priori includatar. Dum enim interior, quae ex inteftinis oritur, inde circa embryonem reflec&i- tur , vt bullam producat, fieri non poteft, quin exterior , quae ex cute abdominis oritur inde- que continuo interiori incumbit , aut impediat huius reflexionem circa foetum aut cedat eidem, adeoque eius ducum fequatur, fimilemque bullam interiorem producat ; qua fa&a haee membrana, contiouo interiori parallela et conformis cum eadem porro per areolam pellucidam, a qué vafculofam 'tom. XIV. Nou. Comm. pe Coroll. 1I. de areola pellucida, 474 OVVM SIMPLEX tranfibit in tunicam vitelli, Porro plicae in mem- brana vitelli exteriori inter embryones et bullae fi- miles et conformes illis, quas in interiori membrana in eodem loco notauimus, fatis euidenter demonftrant hanc membranam aeque ac interiorem in bullam extenfam fuiffe, quae quippe nunc refoluta illam membranae laxitatem | reliquerit. | Hac ratione igitur de ftatu praeterito huius oui tertii nempe et quarti diei conílat, qui, tion minus quam praefens, fingularis fuit. Quilibet embryo pro- prio fuo amnio fpurio, praetereaque alio- interiori indutus fuit , quod neque verum proprie neque fpurium cenferi poteft; íed medium quafi locum inter vtrumque tenet, et tameu vicem veri hoc tempore praeftat. Refpe&u figurae et compofitionis fimile illud eft amnio fpurio, fiquidem non integram veficam refert, fed in parte fuperiori apertum eft. Refpectu naturae membranae, qua conftat, et refpe&tü ortus ex cute abdominis amnio vero fimile eft. Quod areolam pellucidam attinet ,. nullum dubium eft, eam, vti vafculofam, vnicam fimplicem fuiffe vtrique embryoni communem. Licet enim diebus praecedentibus, quo tempore illa floret, pars membranarum vitelli rugofa embryonibus intcrmedia non confumta fuiffet in formandis amniis: tamen hoc fpatium intermedium nimis longe auguítum effet , vt duplicis areolae diftinctae partes dimidiae in €o repraefentari poíünt. Quodíi vero fupponas, ex GEMMELLIEERSY"M. 475 ex membranis vitelli amnia formata fuiffe priori illo tempore ;; quemadmodum corollario praecedenti fü&um effe vidimus; tota haec pars membranarum intermedia , in formandis his amniis, quibus vix fufficit, confumta erit: amnia vtriusque embryonis vbique contingent fípatium nullum intermedium reflabit, adeoque omnino impoffibile erit, vt diftincta in hoc loco areola pellucida formetur. Caeterum magnitudine et figura tamen ita comparatam fuifle exifimo vnicam hanc areolam communem , wt duplicem in vnam confluentum , duplici embryoni communem , facile referat. Quum figura areolae , quae femper embryonis peripheriae conformis eft, oblonga inde effe íoleat, fine fuperiori obtufo, inferiori acuto terminata ; haec, nifi quadrilatera , vix effe potuit. Eoque magis de hac re perfuafüs fum, cum fimilem conditionem in embryone bicorporeo , cuius in fuperioribus mentionem fci, iam viderim. Sic vnum in hoc ouo albumen commune, vnus vitellus communis, vna area vafculofa com- munis, quae tandem iam incipit aliquas duplicitatis notas in diftributione vaforum oftendere ; vna porro Íuo tempore, fed maior, et quafi ex duabus confluens areola pellucida; denique amnium fpurium, et quod- loco veri eft, duplex, fed tamen, vt puto, ob anguíliam fpatiij adhuc cohaerens. Embryo tandem perfecte duplex , perfecte feparatus, Ooo 2 Die Coroll. III. De ftatu huius oui futuro. 476 OVVM SIMPLEX Die primo et fere fecundo incubationis vafa in area vafculofa nondum formata funt. Areae ipfius primordium maculae inftar, pifi maguitudine, albae in vitelli fuperficie apparet , quod maculam vocant autores, feu cicatriculam. In hac macula areoia quoque pellucida coníuetae figurae oblongae fatis euidenter confpicitur , quam oculum Harueeus ap- pellat. Primo igitur incubationis tempore wna macula in vitello fuit. In ea vnus oculus, fed folito latior et figura quadrilatera ; in hoc duo feparati embryones iuxta fe inuicem collocati fuerunt. Ante incubationem, vbi fola macula in vitello, fine arcola pellucida fine embryone apparet , nihil infoliti iu hoc ouo íe confpiciendum praebuiffct. Veficula vmbilicalis, quae vna cum amnic inter tunicam vitelli exteriorem et interiorem natüraliter fita eft, poft diem decimum continuo in- creícendo fuper amnium in quo fetus continetur , indeque porro füper totum vitellum — voluitur. JD«nique ad locum. vbi albumen , quod mole neunc mulum imminutum eft, vitello adhaeret , qui locus fedi embryonis fere oppofitus eft, veíica haec parietibus collapfis fua circumferentia attingir, fuper- que ipfüm albumen fefe extendit, membranam vitelli exteriorem , qua includitur, fecum ferendo. Hinc alia oui inuolucra nafcuntnr. Duplex enim veficae collapfae paries duplex toti ouo inuolucrum füp- pedita. Sed membrana vitelli exterior; quae vna cum GEMELLIFERVM. 471 cum vitello amnium quoque omini tempore includit et nunc fuper aloumen quoque producta eft, exteriori. parieti veficae adeo firmiter adhaeret , vt ab eadeni feparari non poflit, adeoque nonuifi vnicarü cum hac, membranam efficiat, quam — Majlpigbius chorion Hallerus membranam vinbilicalem appellat. Interior aütem veficae paries foli amaio ad nata eíl, a vitello libera manet. Sic duplex insolucrum , idemque commune oritur , quod amnium , vitellum et albu- men iucludit. Vitellus autem, qui hactenus duplici membrana , fibi propria, gaudebat, nunc vna tan- tum gaudet; ca nempe , quae interior erat; cum exterior a chorio nuper nato , fuper albumen pro- tracta eít, adeoque ad confítituendum commune hoc oui inuolucrum concurrit. Nunc facile intelligitur, in ouo noftro; cum embryones, amnio proríus deftituti , extra vitelli membranam exteriorem fiti fint ; veficae , autem vinbilicales folito loco intra eam contineantur; dum hae fuper totum vitellum et albumen extendüntur, vitellique membrsnam externam , fibi aanatam, fecum ducunt; inuolucrum fore vt inde oriatur, vt naturaliter fieri folet, quod vitellum et albumen includat, choriumque — Malpisbii conftituat, embryo- nes autem nullo modo ab hoc chorio fore inclufos ; quin potius eidem, vti nunc vitcHo nudi incumbent, Adeoque immediste fub tefta iacebunt. — Idemque Eus vsque dum prodeunt palli in lucem, manebit. Ooco 53 Videntur. Coroll. IV. A78 OVVM SIMPLEX Videntur autem partui vix fuperuiuere poffe Num viue-eiusmodi foetus. Vitellus enim qui naturaliter ex re poffint huiusmodi faetus. Coroll. V. Num mon- fta fiant inteftinis continuat, dum increfcente foetu fenfim imminuitur , tanquam appendix inteftinorum | confi- derandus eft; tandemque intra abdomen retrahitur; ab- domen clauditur et vitellus magis magisque conftrictus in partem inteftini abit, quae a reliquo inteftino tum porro diftingui non poteft Quod fi igitur vtraque horum foetuum inteftina in vnum eundem- que vitellum inferuntur; vterque foetus hunc vitel- lum retrahere intra abdomen füum conabitur. Nul- lus dubito , fi alter horum foetuum perfectus et maturus, alter paruulus embryo íuerit ; quin ille hunc totum vna cum vitello abforberet. ^ Quum vero magnitudine non minus quam acetate aequales fint; hoc nunquam contingere poterit. — Quilibet fuam vitelli partem , quatenus poteft, retrahet ; donec ad vmbilicos contingant. Tum aut connafcentur vmbilicis fuis, fpeciemque partus exhibcbunt, quam potius tamen foetus-gemellos connatos, quam mon- Óítrum vocarem , qui quippe foetus totis corporibus fuis feparati , folaque breuis funiculi fpecie connexi fünt inter fe ; aut, quod magis verifimile. videtur, rumpet diflira&tus —vitellus , ^ excutietur partim foras partim intra abdomen materia vitelli et intefti- norum , qui cafus pullis lethalis effe videtur. Non probabile eft, fieri monftra ex gemellis compreíhs et concrefcentibus, — Requirebat Fabricius ab GEMELLIFERVYHM. 475 ab Aquapendente ad productionem monfítrorum vtex gemel. duplex embryo in vno ouo naícatur ; licet ex diuerfislis conere- vitellis originem petat. Quamuis fieri poffet, 52 ust eiusmodi embryones dum ex diuerfis vitellis oriun- tur, fatisa fe inuicem remoti fint; tamen períuafus erat, coalituros eífe eos in vnum corpus. Videmus in exemplo praefenti , non modo in vno ouo ftd ex vno quoque eodemque vitello prodiiffe duos embryones, eosque vna area vaículofa inclufos, adeo- que propinquos vt propiores fibi vix efle potuerint, timen perfe&e feparatos. Haruazeus aliud — praeterea defiderabat, vt oculi, quibus primo tempore embryo- nes infünt, ob vicinitatem confluerent in vnum oculum. Vidimus hos embryones adeo fibi efle vici- nos, vt non modo neceífario oculi confluere debuif- fent, fi quidem. vnquam diflinéti exítitiffent ,— fed vt fieri non poffit, vt vnquam diftin&i exítiterint; quin potius a primo principio nouaifi vni oculo vtrique embryones inclufi effe potuerint. Et tamen embryon:s feparati ad diem fextum peractum vsque manferunt. . Quae ergo tandem füfficiens concretio- nis caufa effe poterit * Si dicas, fieri concretionem tempore feriori; dum embryones magis increfcunt , adeoque magis ia ouo cómprimuntur; confideran- dum .e(ít, .pattes adeo iam effe formatas omues hoc tempore , die fexto, vt , fi deftruerentur , qnemad- molum ad formationem eiusmodi monfítrorum ro- quireretur , nec partes denuo porro reílitui, nec vita embryonüm , durante hac corporum metamor- phofi 480 | — OVVM SIMPLEX | phofi conferuari poffit. Nec verum eft, comprimi embryones in ouo eo magis , quo magis increícunt. Quo enim magis embryones increfícunt , eo quoque magis reliquae partes , albumen cet vitellus; immi-- nuuntur, adeo, vt eadem femper materiae quanti- tas in ouo conferuetur. | Sed maius argumentum offert ouum illud , cuius in fuperioribus mentionem feci, monílro perfecto bicorporeo inftru&cum , quod nonnifi tres dies incubatum fuit. Hoc illud faltim demonftrat, ad productionem monílrorum non re- quiri eiusmodi foetuum compreffionem , quae con- tingeret poft. diem ífextum ob incrementum foc- tuum. Explieatio "Tabulae. Fig. r. Ouum eft tefta exemtum. a.a. Albumen. b. b. b. Vitellus. c. c. pars venae terminalis. d.d. Pars vitelli extra aream , vafis priuata. e. Area vafculofa. f. Embryo fuperior. g. Inferior. b. Pars veficae vmbilicalis embryonis fuperioris. i. Fouca in vitello , a. vefica eidem impreffa. k, Vefica vmbilicalis embryonis inferioris. l Vmbilicus embryonis inferioris. 3. V mbili- GEMELLIFER UM. Af: ». Vmbilicus embryonis fuperioris. 4". Plica membranae vitelli , ex eius laxitate or- ta, inferior. o Altera eiusmodi plica fuperior. p. Embryonis füperioris truncus lateralis fini(ler. q. Huius trunci ramus füperior. T. Trunci lateralis dextri ramus füperior. f. Ramus inferior lateris finiflri. :. Embryonis inferioris truncus lateralis fini(ler. s. Truncus lateralis dexter. v. Vena deícendens. Fig. 2. Pars membranarum vitelli ; cui embryones adhaerent, exíciffa et inuerfía. 4. Pars membranarum exfciffa. b. Embryo fuperior. c. Inferior. d. Plica in membrana hac vitelli interiori ; illi — (fig. 1. 6.) in exteriori membrana refpondens. e. Plica altera inferior, refpondens illi in mem- brana exteriori (fig. x. 7.). f. Orificium ductus inteftinalis, ex quo cum membrana trunci vaforum egrediuntur, £g. Limbus orificii vmbilicalis abdominis . per membranam interiorem vitelli ,' illud tegen- tem transparens. (vid fig. 3.) b. Truncus lateralis dexter embryonis füperioris. i. Truncus eiusdem lateralis finifter (fig. r. 5.). k. Ramus dexter fuperior. 4 Ramus dexter inferior. Tom. XIV. Nou. Comm. Ppq.- ". 485 QVVM SIMPLEX $i. Ramus finifter fuperior. 4. Ramus finifler inferior. 0. Orifcium ductus inteftinalis alterius embryo« nis cum egredientibus vafis. f. Transparentis orificii vmbilicalis limbus. q. Truncus lateralis dexter huius embryonis. (fig. xs q). ; r. Truncus finifter eiusdem. (fig. r. 7.). $. Vena defcendens. (fig. rx. v.). Fig. s. Membrana vitelli interior ab exteriori fo- luta et reflexa, quo intérna fuperficies mem- branae exterioris et partes inter viramque membranam contentae appareant, 4,4, Membrana vitelli exterior eiusque füperf- cies quidem interior. b; Embryo füperior. c. luferior. d. Particula membranae interioris , qua haec in inteftina embryonis fuperioris continuabat , .. relicta, deorfum reflexa. /g. Particula eiusdem membranae , qua eadem in inferioris embryonis inteftina continuauit. f. Veficula vmbilicalis embryonis fuperioris. £. Veficula vmbilicalis embryonis inferioris. Hae veficulae iater vtramque membranam vitelli continebantur. Apparebant in füperficie vitelli (t externa (fig. zx. 5. k.) dum per tenuem pel- lucidam membranam exteriorem transpare- bant. | Nunc feparatis membranis dips apparent. b. Orificium GEMELLIFÉRVHM. A4àio b. Orificium | abdominis vmbilicale , per quod membrana interior vitelli, ex inteftinis coa- . tinuata , vna cum vafis egreditur. i. Idem in embryone inferiori. .k, Trunci vaforum areae ex cauitate abdominis prodeuntes, partemque inteftini inter fe con- tinentes , quae arcum producit, ex quo du- &us inteflinalis in membranam interiorem vitelli continuat. L Plica' (fig. x. o.) t1. Plica (8g. 1. 2). Ppp2 DER- Tab. XII. / 484 wieso) DESCRIPTIO PISCIS, E GADORVM GENERE, RVSSIS NAWAGA DICTI, HISTORICO - ANATOMICA. Auctore T. Tr. KOBREILRDBETT.ER Exhibit. d. 22. Febr. 177c. (e antica pars, fc. ab oris extremo ad oculorum marginem pofticum , plagioplatea eft, pofterior vero cathetoplatea , vti ex dimenfione inferius ex- ponenda patebit. Ceterum refpecu trunci magnum eft caput , et quod formam cum Gadi Lo/ae capite plurimum conuenit, Dorfüm ab initio conuexum , ad primam et fecundam ipfius pinnam parum contragum, intcr iccundam et tertiam vero planiufículum , leuiterque carinatum. Color in antica capitis parte, fc. ab oris ex- tremo ad nares vsque füícus ac immaculatus, potior vero capitis pars, dorfi fummum, eiusdemque latera, ad apophyíes transuer(as vsque , digiti tactu facile percipiendas, lituris cinereis fuicisque variegata, quarum eae DESCR, PISCIS E GAD. GENERE. 485 £ae, quie circa primam dorfi pinnam , lineaeque longitudinalis arcum apparent , viuidiores reliquis funt, dMutatur color mox infra dicus apophyíes, et per vtrumque abdominis latus fubargenteum induit fplendorem, pallide coerulefcenti teftaceoque permix- tum , puné&isque innumeris, nigris, confluentibus adfperíum. Ambitus maxillae inferioris fordide albet. "Tota pectoris abdominisque inferior facies caudicat. Pianae doríiles , vna cum caudae prima verfus ambitum fufcae, -bafin verfus pallidiores ;. margo tamen huius extremus flauefcit. ^ Pinnae pectorales e fuíco flaue(centes. Pinnae ventrales fordide albent, inque flauum aliquantum vergunt. ^ Pinnae duae ani flauefcentes , praeprimis pofterior Regio circa anum fubfufca. Mandibula füperior r;/^^ inferiore longior , hinc claufo ore nonnullae dentium feries ad iflam prominent, quae ;hac mou .conteguntur. Narium vtriusque lateris diameter longitudinalis 3^, transuería 2/^/^ exaequat; ambitus autem ipíe Ooualis eft. Foramen earandem anterius paruum membranula coar&atur , poftico ipfius margini adnata; pofterius patulum , ac velamento carens, Oculi magni, circa marginem Orbitae füperiorem ac pofticum membrana ni&itante, femilunarb, puncisque nigricantibus con- $perfa , muniti. Iridis colorem defignare vetat mutatio, quam oculorum humores iterata congelatione ac regelatione paffi funt. — Membrana branchioftega Ppp3 feptem. - 486 DESCRIPTIO PISCIS, feptem officulis vtrinque inftruc&ta eft, quorum ope pectoris regionem verfus late extenditur. Dentes vtraque maxilla continet , — fuperior tamen plures ac fortiores, quam inferior. ln ifla feries eorum circiter tres quatuorue , in hac duas numeraui, hinc inde interruptas. Omnes hi dentes acuti, ac retrorfum leuiter incuruati, a prima feu extima ferie ad intimam ex ordine, quo íe inuicem excipiunt , magnitudine decrefcentes. Praeter hos ad diftantiam 2 ;/^a primo maxillae füperioris dentium ordine area occurrit, duplici dentium ferie compofita, duoque trianguli obtufanguli latera referens, cuius pefticum ab iisdem inane relictum eft. Hi ipfi vero dentes a reliquis figura et directione haud diffimiles. Praeterea quoque palati offücula duo, fubrotunda ac afpera rotunda funt, ciborum contritioni fine dubio inferüientia. Diftlantia vnius lineae ab extremitate anguli maxillae inftrioris barbula dependet fuübulata, flaueícens 2/^ ]onga. Linea longitudinalis, ab initio latior, leuiffimo fub arcu pinnae dorü primae principium verfus fletitur , dorfi fummo propior facta, quam abdo- minis imo ; abhinc vero breui (patio oblique deorfum ac retrorfum flexa, rectilineo dein fub curfu, mediumque fere trunci tenens, ad caudae extremita- tem vsque procedit. . Pinnae GADORVM GENERE, 487 Pinnae pectorales radiorum 2r, (4) ad bafin 4;/^, expanfae vero 1/^, 5/// latae , ab antica facie pallidiores , quam a poftica. Primus radius fimplex, ceteri omnes ramofi , quatuor vltimis exceptis , qui pariter , ac ifte, (mplices ac indiuifi funt. Radii r et 2 tribus fubfequentibus vix vel parum breuiores, 3. 4, 5 omnium longifimi, reliqui ex ordine iterum longitudine decrefcentes. Pinnae ventrales radiorum 6; primo, fecundo ac fexto , fimplicibus , ceteris ramofis. Horum pri- mus paullo breuior, fecundo omnium longiífimo ; fequentes ex ordine breuiores. Pinna dorfi prima fub erectione triangularis , radiorum 15; quorum primus fortis, fecundo , qui omnium longifümus eft, ac pollicis longitudinem aequat, parum breuior, eidemque proxime iunctus; fequentes ad vltimum vsque ex ordine breuiores. Rad. zr, 2, 11, :2 et r3 fimplices, reliquorum extremitates ramofae. Pinna dorf fecunda radiorum 20; primus, fecundus et ex vltimis duo vel tres, fimplices, ceterorum extremitates diuifae. Primus 8//", fecun- dus —— 4) In aliis indiuiduis radiorüm numerus fequens AR q &. peesn pifo.| 9^, 4", Pin. P. 21. V. 6. D. 14. 20. 22. Á. 24. 24. e "^, g^. — P. 19 V. 6. D. 13. 20. 25. À. 24. 23. — Qg",g", — P. 2o. V. 6. D. 13. 16 22. À. 21. 23. mili (cu — P.2o V. 6. D. 13. 19. 20. A. 22. 23: — 10", 3", — p. 19. V. 6. D. 12. 20. 24. A. 22. 23- * t9 09 E111 488 DESCRIPTIO PISCIS, dus r0//", tertius et quartus ri^" longi; fequentes ad vltimum vsque, cuius longitudo 177^ eft, ex ordine breuiores. Principium huius pinnae, fi ex eo linea perpendiculatis deorfum ducatur, aliquan- tum ab ani regione recedit. Pinva dorfi tertia radiorum 25; increfcunt hi longitudine a primo ad feptimum ; hic ipíe, octauus et nonus omnium longiffmi , reliqui vero ad vltimum vsque iterum decrefcunt. — Simplices efle. videntur r, 9, 3, 4, 22, $53, 24, €t 25, CEtcHE in extremitatibus ramofi. Pinnae ani prima radiorum 253; fimplices horum funt acindiuifi i, 2, 3, 4, 19, 20, 21, 22 et 25; reliqui omnes bipartiti. Increfcunt longitu- dine a primo ad fextum , abhinc iterum decrefcunt ad vltimum vsque. " Pinna ani fecunda radiorum 25, quorum r, », 9, 4, 5, 22, 253, 24 €t 25 fimplices effe videü- tur, ceterorum omnium extremitates vero ramofae. Longitudo eorum, a primo ad ftptimum, omnium longifümum , increfcit, ab hoc vero ad vltimum vsque decrefícit. Pinna caudae radiorum circiter 40 - 44, ad extremi marginis medium leui exícifa finu ,. quem Tadii ipfius intermedii proximis lateralibus aliquan- tum brcuiores efformant. Ani oftium fiylum te- nuiorem facile admittebat, orificiumque ouiductuum com- E GADORVM GENERE. 489 . commune adeo amplum erat, vt pennae anferinae extremitatem facile reciperet. ANATOME Ventriculus , in abdominis medio fitus, ma- xima füi parte pylori appendicibus obtegebatur, ex imo hypochondrii dextri prouenientibus , ac füper eius füperficiem late diítributis. | Ex eiusdem bypo- chondrii imo prodibat infra appendices infimas et iuxta ventriculi funduz pars inteftini recti oblique deor(um duca, quae, fimul ac abdominis medium attigit, rectilineo dein curfü anum petebat. Hepar in duas partes erat diuifüm , quarum "vna , in dex- tro fita hypochondrio , breuior ac minor mole mi- hi vifa eft altera , in finiftro colocata. Huius ex- tremitas inferior, ouario eiusdem lateris contigua , in duos iterum fíübdiuifa erat lobos, transuerfim ad abdominis anteriora inflexos, quorum füperior, in- feriore longe breuior, finiftrum ventriculi latus le- viter tantum lambit , inferior autem ipfam huius faciem pofticam ac infimam fübiit, ^ Subrubelli *ad- huc erant hi lobi, firmaeque fatis fubftantiae , cum. rdiquum huiüs vifceris iam exalbidi coloris füerit , "9c liquationi pütridae proximum. Margo lobi lon- gioris inferior a diaphragmate r^, ri/^, ab ani ori- ficio ro//^ diftabat. ^ Media , eaque anterior hepatis portio, ventriculi fürmimitati , füuperioribusque, apo- phyfibus transuerfis füperflygta , a füummo ad imum 7^" longa. . Poftica hepatis portio magno ac pro- "Tom. XIV.Nou. Comm. Qqq fundo r 490 DESCRIPTIO :PISCIS, fundo finui ad vtrumque. oefophagi latus confpicien- do, immería, nec, nifi prius vafa fanguinea , quo- rum ope hoc viícus diaphragmati cohaeret , diffecta fuerint, e cauitate füa facile. extrahenda. ^ Veficula- fellis pallide viridis fub dextrae ac pofíticae portio- nis imo delitefcebat , et cum eadem connexaá erat. . 4 Duodenum ab initio flatim leuiori fub arcu diaphragma verfüs affürgens , mox defle&ebatur ,. ac peritonaeum inter dextrumque ouarium decurrebat , colorem huc vsque feruans e rubicundo teflaceum , hinc vero fub forma coli, mutato priftino . colore in nigricantem , in diflantia 6^" ab ano reflexum , interiora verfus adícendebat, cumque priori tractu 4 latere interno contiguitatem feruabat. ad arcus duodeni concauitatem vsque, fub qua rei fub facie denuo inflexum , introrfum deoríumque defcendebat, tandemque recta via inter vtrumque ouarium iter fuum ad anum, vsque profequebatur. Ductus chole- dochus fatis breuior , circa pofticam principii duo- deni faciem , 1i;/" infra appendices eidem inteftino inferitur, Oefophagus 4/^ circiter longus, toti- demque in medio, vbi anguflüior erat, latus, in ventriculum definebat ab. initio. ftatim ampliatum , circa medium fpatiofiorem , ad fundum vero deruo angufliorem. Longitudo ventriculi 1//, 8^", maxi- ma ipfius latitudo 10/7. . Ex huius fundi dextra parte. pylorus oritur , dextror(um ac. oblique fur« fum .flexus, a bafi fua , ad quam maximam habet ampli- E GADORVM CENERE. 49: *mplitudinem , ad ipfius finem magis magisque con- tra&us. .» Longitudo pylori */ circiter, latitudo ad bafin 4/^, eademque ad finem circa appendicum exortum ,. 2/"^.. Appendicum pylori , pancreatis vi- ces expleotium , Aumerus quadraginta : feptem (5) erat. Phinae. vtplurimum | ad bafin fibi connexae ; rarius vna vel altera ad iníertionem vsque diuifa, Dimidia. earum circiter pars pofteriora ventriculi verfus reflexa.» Longitudo maiorum 9", . Oefo- phago , wentriculo et pyloro diffe&is, in oculos ftatim incurrit maffa informis fufca , totum ventri- culum replens , quae exemta et aqua abluta nil aliud effe vifa eft, quaf maximus vermis, fine dubio marinus, cuius cuticula albida , concoctionis iam perpeffae figno , corporis nexu foluta, hinc et inde fluctuabat. — In alius indiuidui ventriculo fpinam dorfi clupeae integram , eiusdemque pifcis íquamas nonnullas veficamque natatoriam , nec non Entomi pyramidalis K/eim. dub. 38. f. 1. 2. pedem reperi ;. ex quo efcam Gadi noflri facile harioleris, Jnterior oefophagi füperficies ab ifla ventriculi non tantum colore albicante , fed et rugis pluribus lon- gitudinalibus , obfoletioribusque erat diftin&a ,' cum in huius. inferiore potifümum parte fex tantum, easdemque profundius exaratas, numerauerim ; py- lori vero fps rócidà laeuis omnino apparuit, rugis- Qqq2a que ^(f) In alio indiuiduo 4r. numeraui; it. 42. in alio. 49* DESCRIPTIO PISCIS, qué pline carens. — Ad initium pylori iugum emi nentius transuer(im protendebatur, pro ipía huius valuuld habendum. ^ Principium duodeni praeter appendicum ofcula et proxime infra haec ductus €holidochi oftium obfoletum , fetamque facile ad- mitténs , memoratu dignum nihil habebat. —Liquor duodeni crafhor quidem , non tamen tenax , partie €ulis tetreis , albentibus mixtus. Colon et rectum recremento nigricante referta. Sphin&er ani ex fi- bris tàm longitudinalibus, quam transuerfis ,. rüben- tibus, facile cognofícendus. Lien e fpadiceo rubens, figurae valde oblongae ad pofticam dextramque ven- triculi faciem , proxime füb pyloro fitus. ^ Ouaria Quo, longa, valde turgida , diftincta , fupra orifi- cium vtriqué commune ad 2/^, iufra idem ad 6'/4 vsque, in vnum corpus coalita , extremitatibus ve« to a fe inuicem denuo feiuncta. Horum dextrum, finitro paullo maius. Singulum quoque a fummo ad imum propria cauitate donatum , et ad concre- tionis locum fepto intus interpofito vnum ab altero erat diuifüm. ^ Quodlibet etiam proprio orificio ia ouiductum vtrique communem proxime patebat. Lacs marium lobatae. Peritonaeum album, punctis nigris vndique adfperfüm, plurimis quidem ad latera et iuxta apo- phyfes transuerfas, rarioribus vero , immo rariffimis 4d mediam ac anteriorem abdominis partem. Mem- brana haec, totam huius füperficiem circumdans , fuper veficam.aeream quoque expandebatur , eidem- | - "que E GADORVM GENERE. 498 que arce faepius adhaerebat, ||| Cauum | abdominis circa anum haud terminatur, | fed ad 1/7, 3//, pro vefica vrinaria ouariorumque extremitatibus reci- piéndis , vlterius. (e extendit. * : Vefica. aerea. fimplex ,.. fubflantiae, albicantis ,. mollis ac iu pultem facile conterendae, figurae valde oblongae et ad fümmitatem bicornis, füb peritonaeo ad dorfum, quam longum.efl, excurrebat, apophyfibus transuerfis firmiffimo ac indiffolubili ncxu. vtrinque iun&a. Modo dictarum autem fpinae dorfi apopayfium fabrica omnium maxime fingularis eft: conos enim fingulae excauatos. et ad bafin oblique exíciíos referunt quorum cuncta lumina veficae cauitati dire&te re- fpondent. Cornicula veficae fupra memorata tubulofa, fubftantiaeque huic confimilis, duplici inflexione duo ifla palati officula veríus exporrecta funt, ac apicibus fuis vix. duarum triumue linearum interuallo . ab iisdem diftant, altera parte , eademque angufliore , penitus occlufa , ampliore altera in veficae. cauum patentia. Ductus aerei ne veftigium quidem. aderat. Renes;, coloris e «cinereo - nigricantis , per ipfum veficae natatoriae diffectae latus poftücum transluce- bant, a capite ad huius extremitatem vsque extenfi, et in vnum corpus coaliti./ Ex horum fine, inter apophyfium transuerfarum dextri lateris decimam fextam ac decimàm- feptimam — vreter. proueniebat fimplex , verfus vweficae vrinariae fundum oblique excurrens. Maec ipía vero pinnae ani primae parti E Qq q 3 antée 494 DESCRIPTIO PISCIS; anteriori e diametro oppofita, ouariorum coniunctioni ita refpondet, vt collo fuo oftium horum commune, fundo vero abdominis finem refpiciat, Flatu diftenta eadem , in fubcylindricam | formam fé: mutauerat, Vrethra breuifüma , orificio fuo nonnihil producto, ' circa marginem oftii ouiductus communis -dextrum ac pofticam, ex aduerío papillae alicuius rubicundae, prominebat. Coflae vtrinque $4 circiter numero, fübteretes , leuiter arcuatae , àc cartilaginum' ope partim ipfis vertebris primoribus iunctae, partim apophyfium —transuerfarum faciei pofticae leuiter adnatae. Apophyfes transuerfae in dextro latere 20, in finiftro 19; -prima illarum e quinta , harum prima e fexta demum vertebra €xorta. ^^ Vertebrae in vniuerfüm 58 circiter, | Pifces hi pelagici Ianuario menfe Petropolin aduehuntur congelati , et a multis in deliciis haben- tur. Quod reliquum , Gadum hunc noftrum., non obítante radiorum numero: aliquatenus diuerfo, quem in vnius eiusdemque fpeciei indiuiduis faepius variare quotidiana me docit experientia, eundem efle , nullus dubito, qui a Cel. Limmaeo in fyft. Nat. ed. 10. p. 252, n. 2. vocatur : Gadus ( Ca/lariaàs) tripterygius cirratus varius, cauda integra, maxilla füperiore longiore. In. Suec. 293. ; Gadus dorfo tripterygio , ore cirrato , colore. va- rio, maxilla fuperiore longiore , cauda ae- quali, Art. gen, 16. fyn. 35. fp. 63.- Gadus E 'GADORVM GENERE. 495 Gadus balthicus Torsk. Liuz It. vel p. 87. Gadus callarias balthicus. Eiusd. It. (can. p. 220. Menfura. Poll. Lin. paris. Longitudo tota, fc. ab. oris extremo ad lon- uU] ! « |giorum. pinaae caudae radiorum , apices 10 5. — - ab oris extremo ad extremitatem cor- pois. fguamo(am., «as muum RA Ss] 72 AA mandibulae fuperioris extremo .ad oculi | s medium '*s€:- 5 x 095 - 0: 0|— XIR R.- -|ad principium pinn. pe&oralium ; 2. | 4. [ -o- 2 o2 2/2 pinn. ventralium | 2. : - i- -— - pinn. dorü primae | 3.| 4. pM ^-—-.- "s faecundae | 4.| 8. Fr b Es LU - . tertiae | 6. | 9;. F - 5. - - pinn. ani primae | 4.|5;. - pgs fecundae | 6.| 8. Longitudo pian. M pacc T7 2 - zop04e B pinn. yentrab j.55 5.7 - 3:6 Eis] pian; doríüi primae, ad bafin - | r.| zt. t o - Lb-2o45. fecundae, ad ban. - |r.|ro. Loi] e.o- feriae ad bafi - | r.| 7. - - 2:54. pinn. ani primae, ad bafin 2. [ - |* . "eni, fseundae, ad bafin r. p - 7055474 pinnae caudae, in medio — |8;. : fc. .4 primis radiis marginalibus, fcu ab eius pricigig adlongiorum radiorum. apices 1. | 7; voe 496 DESCRIPTIO PISCIS, Poll. Lin. | r | - paris. Longitudo a mandibulae füperioris extremo ad narium foramen aunticüum — - - $ 5 - - - - pofticun - - "-" - ^. 2d marginem oculi anticum - - - - ad angulum operc. branch. fTOCMIDPEHI m T Y M TT CNRC S »- -, - - da4doperculi branch. exrremum àc pofticum marginem offeum - - |: Lo2 207 d Hüeaet Tongitudinalis prin Bru rc cem HN teme j ep CQISTPHNMER ay DHpe dere - - - - ad ofium ouiducuum com-[ mune - - TU Tue e Diàmeter oculi orbitie ^- — - - Diftantia inter primi pinh. pect. primiquc h*-enn. vente, Pil, e ce cons - — vltimi pinu. dors. primae primique pinn. dors. fccundae radii bafin vltimi pinn. dors. fecundae, "primi- que pinn. dors. tertiae radii bafin - - vltimi pian. dors. tertiae, primique| pinn. caudae radii bafin —-'. - - - wltüimi pinn. ani primae , primiqne pinn. ani fecundae radii bafin - - - - vltimi piun. ani fecundae, primiqüe pina. caudde radi bain - - - pP principium. pinn. "ventral «et anum[2: E GADORVM GENERE. 493 Poll. Lin. paris. Latitudo horizontalis per nares - | - ]—J|rrz - - ^ - per oculorum axes I. - ^ - - per pinnarum pecora lium principum | - .- - - | 6. - - - - . per principium pinnae dorü prime .- .- - * 9. -— mu mo ow ien omis Yfecundae | *eimatmie eom cem tertiae 6. ale cep ME. e - - caudae 3t Latitudo perpendicularis per nares - - | 8. - - - - pe ocui medium — |—j|rr. 2 - - - pet principium pinn. pec, er - - - - - - dorf primae 8. 2 —- -. - -* - - fecundae 8. 2 0 o -7- - - tertiae | I1. H -Shicigentnniasd. buo. cafes - caudae d 19s Interuallum, quo primi pinnarum ventralium| — | radii a fe inuicem diftant. - - - J. Tom. XIV. Nou. Comm. Rrr DE- "rab. XIII. Fig. r. 498 -—6$(o)z23- DESCRIPTIO QVORVNDAM ANIMALIVM. Auctore nid. 2o ol HON ED OV. d Exhibit. d. o NES. CONG REMEM Brass) Parus dorfo dilute caeruleo inferne albus capite albo taenia ad oculos et medio abdomine macula oblonga ex atrocacruleis fafcia alarum media alba. Craffitie parum maiorem. adaequat. Longitudo ab apice roftri ad extremum cau- dae 5. poll et 7. lin. Longitudo caudae 2. poll. 5. lin. Longitudo roftri 4. lin. Tibiae pennis deaudatae 6;. lin. digitorum medius cum vngue 6. lia. late- rales paulo funt breuiores, At pofterior digitus va- lidior et vnguis longior. Alae explicatae 7. poll. et 4. lin. complicatae modo ad 3 caudae extenduntur. Roftrum breue, lateraliter. compreffum , ex caeruleo nigricans, marginibus mandibvlarum fordi- de albis Nares exiguae, rotundae, tectae pennis antrorfüm procumbentibus , rizidiu/culis, breuibus, albis: frons, vertex , genae, gula , cclluii , pectus, atque DESCRIPTIO QVORVND. ANIMAL. 499 atque abdomen alba funt; excepta macula irregulari oblonga , caerulea , quae a pectore ad medium pro- tenditur abdomen; a regione narium per oculos du- citur taenia fat euidens caerulea ad concolorem nu- chae fafciam latiorem ;^ infra quam alia fafcia albi- dior confpicitur. —Dorfum atque vropygium: dilute caeruleum , te&rices caudae fuperiores intenfe caeru- lede, apicibus albis, inferiores albae ; tegetes alarum fcapulatés , quae itidem caeruleae , fecundum earum ordinem conf(tituunt pennulae longiores fere: ex toto albae , vnde fafcia alba in alis a paret. Remiges 18 albo plumbeo et caeruleo variae. Caeruleus co- lor confpicitur in vexillo externo, a principio ad medium ; reliquam partem albus occupat color , ita vt numerando a prima remige caeruleus color in- crefcat , albus vero decrefcat , et in reliquis in mo- dum maculae albae terminalis appareat. — Plumbeus color vexillum internum occupat excepto margine albo, qui eadem lege vt caeruleus increícit , et in remigibus pofterioribus cum macula terminali con- funditur, —Vltima remigum . penitus alba. | Caudam r2 rectrices conílituunt , quarum duae mediae fere ex toto caeruleae ; et modo apice vexilli externi 3lbent.. Reliquarum et longitudo et caeruleus color fenfim. decrefcunt. ^ Albus vero augetur ita. vt ve- xillum .extimarum. album fit omnino ; pedes cum vnguibus nigri. Habitat in virgultis. circa Syohirsk , fed... co- piofiffie in. montibus. hyperboreis. .. Cantillat in Rrr2 modum "Tab. XIII. Fig. 2. $0o6 DESCRIPTIO modum pafferis domeftici , fed voce tenuiori et fua- viori. An parus indicus Aldrov. louft Willigh. Rai ? No. 2. Sterna Tíchegraua. uerpama. Sterna fuperne ex albo cana , inferne niuea, capillitio. nigro albedine irrorato , roítro coccinea pedibus nigris. Longitudo totius r. ped. ro;. poll. pars cru- rum pennis denudata 6. lin. reliquus pes cum digito: et vngue r. poll. et rr. ln. membrana palmarum longior, quae medium eum extimo iungit. — Ala- rum extremitates 3. pedum et 2. poilicum inte- rim albo difant. Re&ricum longiffimae 5. poll. et 6. lin. adaequant. Roftrum coccineum , nares nudae , lineares , fulcatae , oculi nigri iride obfcura , frons, capilli- tium , et occiput, intenfe nigra funt hinc inde albedine irrorata. Oculorum ambitum itidem nigre- do. amplectitur , excepta parua lunula albicante in palpebra inferiore: ^ Genae , collum lateraliter,. vro- pygium vtrinque atque tota. auis fübtus niuea ; fu- perne vero ex cinereo cana. X Remiges 6. primores faturate cinereae marginibus apicibusque vndique ni- gricantibus Reliqua remigum: cohors dorfo: conco- lor eft. Caudà forcipata 1i2. rectricibus. niueis. eon- flat. QVORVNDAM ANIMALIVM. so: flat. Pedes omnino: nigri. Ad mare cafpium frequen- tiffima ; voce rifum aemulatur. No 3. Fringa inferne alba , fupra nigra lituris lon- Tab. XIII. gitudinalibus flauefcentibus , fafcia alarum alba , pe- P? 3 dibus lobatis. Longitudo 6. poll. et rr. roftrumr ro^. pars crurum. pennis denucata 6. lin. digitorum. medius. cum vngne 9. lin. laterales. paulo funt breuiores, pofticus brcuiffimus. Extrema alarum aue volante. xl. poll. cum. interuallo diftant. Alae complicatae paululum. vltra caudae extremum. protenduntur.. DESCRIPTIO. | Roftrum nigrum. gracile apice incuruum, na- res pro more gentis , oblongae lineares. Frons al- bet capilliium nigrum eft. A quo. protenditur tae- nia eiusdem. coloris per nucham atque collum fu- perius vsque. ad regionem ícapularem. Retro' can- thum oculi pofteriorem confpicitur macula oblonga. itidem. nigra, per lineam. albamr a fronte ad occi- put ducam , capillitio: diftincta ;; fpatium. genarum , colli lateraliter et fubtus , pectus atque abdomen: al- ba funt; doríüm vt et tegetes alarum ex fufco ni- grae lituris flauicantibus oblongis adornatae , vltimus tectricum. ordo apicibus omnino albet, vnde quafi fafcia alba media in ala confpicitur. Remiges. 4. Rrr3g pri- 'Tab. XIV. Fig. 1i. 502 Di E $;CR E P:T/ZbO primores nigri ,. rachi alba ,. pofteriores per vexil- lum internum atque apicem albo marginatae. Cau- da i2. confítat re&ricibus nigris rufo fimbriatis, aft duae exteriores fere. penitus albae. Pedes fordide flauicantes ,, et ad fecundum articulum digitorum integre palmati a fecundo articulo ad infertionem vuguium membrana dupliciter lobata inftructi. | Ha- bitat ad lacus íalíos. Circa mare cafpium grega- tim volitat, ^. No. 4. (Ardea capite et collo flauicante cafta- Ardea pumila4neo alboque variis, dorfo caftanco, in- Lferne albicans , rectricibus '"niueis. Longitudo totius ab apice roftri.ad caudae extremum - - - - r I—7— 6. roflrumuui:soi 3s - E T - —-5—— pars crurum pennis denudata " : TO: digitorum medius cum vngue - - —2— 6. extrema alarum diftant - - - complicatae alae caudae extremum attingunt. Mandibula fuperior fordide | nigra. marginibus flauefcentibus , interior modo bafi nigricat, reliqua parte ex flauo alba. Spatium inter roftrum et ocu- los nudum ochreaceum , oculi. parui iride. flaua. Caput et collum. fuperius et ad latera veftiunt pen- nae medietate ab. vtroque capi latere fimul cum Ícapo nunc albae, nunc ex rufo albae , marginibus obfcu- TUM QVORVNDAM ANIMALIVM. $03 obfcure caftaneis albo terminatis. ^ Gula alba a qua per collum anteiius protenditur fafcia longitudinalis eiusdem coloris vsque ad pectus, quod cum imo ventre album eft, transparente hinc inde flauedine , alae 'fübtus fere totie miueo infigniuntur "colore, eXceptis remigibus po(lerioribus cinerafcentibus.' Ex- tus idem praedom'inatur color, nam modo vexillum externum primarum duarum remigum , reliqua- rum vero apices cinere: ,' albo rüfoque vix confpi- ciendo adumbrati., iater ícapulas , dorfüm , tegé- tesque alarum fuperiores coloris cáftanei; reliquam tectricum | cohortem | albus lcuiterque — flauefcens ornant colores. Vropigium ^et r2. - rectrices vtrinque niuede fuut , "pedes vero fordidi D ian nigricantes. Habitat ad mare cafpium. | No ^5 CAPRA a Motacilla. plefchanka ( nxenranna ). Motacilla "Tab. XIV. . dorfo pectoreque nigris, capillitio abdomineque albis, — Fig. 2. Craffitie phaenicurum paululum antecellit. Longitudo: EN duni 3 ipgpage sciri roftrum ab angulo oris ad. apicem. —- | .—. | -—6. Digitorum medius cum vngue, 7.7. (76. Laterales breuiores., At pofticus medium Ad-,. qu sequat. Alarum explicatarum diftantia,. Ew ag Alae complicatae mediam caudam attingunt, | ..Cauda aequa, (- |. -0 0554-7574 2-2: FYtda n "Tab. XV. Fig. 1r. $04. DESCRIPTIO Alba funt, capillitium , occiput, nucha, imum abdomen, vwropigium vtrinque , atque maiori «ex parte cauda. — Nigra funr genae, vibriffae , collum anterius et lateraliter , pectus; dorfum , alae cum fuis fegetibus extus, intus enim ex nigro cine- raícunt et remiges minores taenia angufíla alba ad apices notantur. Cauda ex 12. conftat rectricibus, quarum duae intermediae fere penirus nigrae , late- rales vero albae, faícia lata nigra terminatae. | Ro- flrum pedesque fordidi, xngues nigri. ^ Habitat in foffis praeruptis, circa Saratow et alibi ad Volgam ; vbi ia modum hirundinis ripariae efíodit cauernas , horizontales , profundas, aliquando «auitates mero- pis apiaflri occupat. | Nidus fimplex, ftamineus. In quo 1o. pullos inueni, No. 6. ; Mus oculis minutifimis, auriculis caudaque nullis, corpore rufo cinereo (cAenpunoxb). Caput habet producum , quafi pyramidale, verfüs anteriora attenuatum , a maribus vsque ad meatum auditorium. Lateribus vtrinque linea pro- minente duriori pilis rigidis fetaceis obfita , inflru- cum, a qua regiones laterales duplici modo verfus interiora atque inferiora procedunt. . Apex nafi fat latus, durior, cute nuda tectus. Labium fuperius oblique verfus interiora atque poflcriora defcendit ; labium inferius multo breuius eft. Oculi valde par- vi QVORVNDAM ANIMALIVM. sos wi, vix granum papaueris aequantes nigri . et non nifi detracta cute detegendi. ^ Auriculae nul- lae, fed meatus auditorius nudus , modo pilis te- &us , anguítus ; frons decliuis. ^ Collum breue vt fere diftingui non pofüt. ^ Truncus corpo- ris ratione longitudinis fat craffus , dorfüm aliquo- modo gibbum ; cauda nulla eft, modo tuberculum paruum regionem caudae notat. Pedes breues, pal- mae pentada&ylae fiffi€ , plantae itidem | quinque digitis inftru&tae femipalmatae. ^ Nafüs cute nigra tectus, apice albicans, taenia fupra nafum per fron- .tem ad 6. lin. excurrens, macula íat magna in iu- gulo, atque ante pedes pofteriores in abdomine cru- ciformis, trabe transuerífa vsque ad lumbos excur- rens, vt et vibriffae albae funt; reliquae corporis partes teguntur pilis ad inftar ferici mollibus, bafi ex nigro cinereis, apice ruféfcentibus. ^ Incola eft regionum volgae. adiacentium , a Sysran vsque ad Zaryzyn. Habitat füb terra , quam ad inflar talpae rofiro fuo verfus omnes plagas.du&u obliquo .effo- dit; reliquens. in medio nidum, vbi lecum ex graminibus facit , quibus etiam pafcitur. Ad nullos adhibetur víus. Longitudo corporis totius ab apice rofri, ad anum menfurata. - - — - S c Longitudo capitis ab apice roftri ad occiput — 2— 2. Circumferentia roftri , circulo ductu etiam. per radices dentium inciforum inferiorum — 1— 6. Tom. XIV. Nou.Camm. $5ss Cix- "$06 D£E£$CRIÍIPTIO Circumferentia capitis ad finem marginum prominentium ad latera ER 5.0703 "OP CENE Rictus oris fecundum labium fuperius men- furatus - - - - - I-— 7. eve Ue wore abr infCEHS - - Diflantia inter narem vtrumque - - 1-— $. Diftantia inter aperturam narium et api- cem roftri - - - - - r-— 6. Diftantia inter meatus auditorio —- - 2-2. Circumferentia capitis duca circulo per meatus auditorios - - - - 44—.. PEUUSRDO LN mU RUTP m — $5. Circumferentia colli - «Ui NUS UTD GUN. Circumferentia trunci corporis retro pedes adterigés ^-^ ——-—. 7-9 c RIT RS ERN. Circümferentia trunci maxima - - - 6— 4. Circumftrentia ante pedes pofleriores - ^6 — "Longitudo a cubito ad metacarpum. —- - — 7 Latitudo pedis anterioris. — — —- - 4-5. Circumferentia metacarpi. - - c — 2. Circumfrentia palmarum ad exortüm di- gitorüm - - - - X— 25. Longitudo palmarum ad extremum vn£guis digiti medii ^ — -— - — 1 9302 Digitus medius cum vhgue — —- - — 6. Iudex - - - - - - -— $. Annulxris — - - - 2-0 - 2 — & Auricularis. - - - - —. 0 0- 5. PE nec E TS QVORVNDAM ANIMALIVM - $07 Digiti medii vnguis reliqui paulo minores ^ — r. Longitudo cruris ad talum. ies raro Latitudo cruris ad genu. - : - Ea E Latitudo ad talum. - —- - - -— 4t. Circumferentia metatarfi. - - - ES ON Circumferentia plantarum ad exortum di- gitorum. - - - z bre quo Maxima longitudo membranae digitos vnientis x - - — - — 2i. Longitudo plantarum a talo ad apicem vnguis digiti medii. - - — I-— 2. Digitus medius cum vngue, - - -— 5. Halluci proximus medio aequalis Ha!lux -— -— - - x zh Aib, qd Minimus - - - * pH UM Huic proximus —- 0 - c - —A. Vnguium maximus —- (-—- |- - —mx& Omentum arcui magno ventriculi adhaerens «. XV. extenditur vsque ad medium abdomen , ventriculus Fig. o, z. poll. et 10. lin. longus, rz.lin. latus regionem occupat abdominis finiftram et longitudinaliter fitus eft. Finis caecus ipfius (A) fub lobis. hepatis finifIris, fundus ( B) in regione íni(lra vmbilicali ad dimidium eiusdem lateris protenditur. ^ Figura ipfius ouata ; latior nimirum ad interiora, anguftior ad fuperiora , medio vbi faccus iucipit caecus quafi .inciía gula (C) tenuior et zi lin. in diametro per diaphragmatis foramen egrediens, et ad finifteriora 55s2 fe 508 DESCRIPTIO fe inclinans, inferitur ventriculo ad inmcifüuram ipfius antea. nominatam ( D) pylorus ( E ) fub fine hypochondrii finiftri furfüm paululum affurgens facit exiguam gibbofitatem et deorfum fe inclinaus occur- rit inteftino duodeno ( F) quod in initio 3. Lin. in diametro aequans, fub ventriculum fe recipit , et inde emergens transuerfo atque inclinato ductu per regionem epigaftricam ad hypochondrium dex- trum, et quidem ad marginem renis dextri füperio- rem , properat, et vndique hepati per ligamenta, adhaerens accurrit ieiuno , quod paulo tenuius duo- Tab. XV. Fig. 3. deno »i lin. in diametro, a dextris verfüs regionem vmbilicalem inclinatur , et in ea gyros fuos per- ficit, vltimoque gyro furfum afcendens confluit cum ileo, quod eiusdem fére diametri cum ieiuno ; multis nec fat enarrandis gyris implet reliquas partes pofleriores regionum vmbilicalium. Inteftinum cae- cum cum fuo appendice , quod a vermibus nomen habet, a finiftro latere verfus dextrum | expanditur ;. et fere folum omne occupat fpatium regionum hypogaftricae atque iliacarum. Proceffus vermiformis p. g. £g. triplici gyro intortus 2. poll et 5. lim. longus maxima in diametro x pollicem latus. Cornu amalthaeae , vti a pictoribus fingi folet , referens , ex quindecim quafi fegmentis interflin&tis per fpiras conflat quarum prius angufítius eft, fecundum latiffi- mum reliqui gradatim decrefcunt, et vltimum apicé anguftato terminatum. — Ex fingula fpira interne propendet valuula membranacea cameras appendicis diftin- QVORVNDAM ANIMAL!VM. 509 difliaguens ; quae non facile excrementa elabi finunt. lpfum inteftinum caecum (H) multo anguftius eft füo appendice et 6. lin. latum 1. poll. et 6. lin, longum ex duobus lobis itidem valuula interftinctis conflatum ; prope collum poflerioris intrat ileum (I); cum anteriori colon iungitur. In qua vnione caecum et colon valde firma funt. Colon (K) ab initio facis quinque gyris intortis firmiter inter íe per cellulofam cohaerentibus affurgit in regionem epigaftricam, dein verfus dexteriora inclinatum prope ieiunum defcendit ad ilea. Inde iterum furfüam flexum in hypochondrio finiftro füb duodeno cum quo arce cohaeret transuerfam legit viam , et. ad fundum ventriculi perueniens abícondit fe fub illo, inde emergens facit plicam et deorfum in latere defcendit, iateftinoque recto ad vertebras lum- bales occurrit. Diameter coli maxima 5. linearum, redi vero dimidii poilicis eft. Hepar r. poll. et 2. lin. longum vnum poll. et 9. lin, latum 6. lin. craffum, totam diaphragma- tis conuexitatem implebat, et maius occu pabat fpatium in hypochondrio finitlro , quam dextro, 4. conftans lobis quorum prior in hypochondrio dextro ex ouato oblongus , reliquis eft minor, et ad inferiora lobulo minimo auctus: fecundus erat omnium maximus ; vltimus multum fecundo magnitudine cedebat. Tertius medium habebat volumen inter lobum pri- xum et vltimum. Ligamentum fufpenforium hepatis 595 5 inaàximo $10 D'E S,CRTP'TIO maximo lobo inhaerebat. Veficula fellea pyriformis iuucturae loborum. Lies 5. gran. pendens 1. poll. et 5. lin. longus, fine fuperiore 3. lin. latus. Cur- vaturae ventriculi minori vicinu$ erat. Pancreas árcum ventriculi maiorem exprimens latior ad regio- nem duodeni quam in reliquo tra&u. Renes 2. lin. longi 4.lati erant, quorum finifler profundius defcen- debat dextro fere ad ; longitudinis fuae: calyx pro mole renum fat amplus, vnica papilla inftructus, fubflantia corticali atque tubulofa fat confpicua, Cen- trum diaphragmatis tendinofum fübrotundum. — In diametro longitudinali ab introitu venae cauae 6. lin. aequabat. Diameter vero transueríalis 8. lin. longa erat; pars carnofa fuperior a «entro nmetuofo ad cartilaginem xiphoideam íex lineas lateralium vnaquaeque ro lineas. Cor non ita pendulum fed verfus latus finiftrum inclinatum, maxima ipfius circumferentia ad bafin erat 1j poll. longitudo ab auriculis ad aprcem 10. lin. pulmo dexter 6 lobis conftabat, quorum inferior omnium erat maximus fecundus huic magnitudine cedebat, inter primum et fecundum locatus fuit tertius in fouea a fecundo lobo impreffi, quartus fuperius atque pofterius fitus tertio fubaequalis , vltimus, oblongus, anguftus, parti pofteriori loborum conuexae fuperincumbens. Pulmo finifter duos prae- bebat lobos , alterum maiorem , minorem alterum. Minor propior parieti pulmonum intergerrimo, atque per QVORVNDAM ANIMALIVM. ^ sx: per fcíffuram in duos lobulos quafi diuifus , tuftire- batcor, pofterior quadruplo maior ictezer, profuodius in thorace defcendebat , quam lobi lateris dextri. Maxillarum fingula inftru&ta anterioribus duobus dentibus quos incifores vocant, (at validis, fed [u- periores inferioribus triplo longiores 6. lin. aequantes. ' Canini nulli molares tantam modo (ex in vnaquaquc maxilla; lingua craffa. j12 eS Co) £e DE CAP R A«S4A LGuM ET ERINACEO AVRITO. Auctore SAMVEL GOTTLIEB GMELI MN. DISSERTATIO "Trad. d. 2g. Mart. 1776. CA PR SAÀI-6-A Aes propono haud nouum , fed in itinere £- birico ab. PaTRvO iam iam obferuatum , et ab ipfo in Commentariis noftris T. V. p. 345. et VII. p. 39. füb denominatione : ibex imberbis defcri- ptum , vnde deia idem Cl. ÁLLAMANT editioni a- vium DRISSONIANARVM Leydenfi p. 4. n. 4. im- mifcuit, et Perill. a LiNN. in nouifhimo naturae fyftemate p. 97. n. rr. fub nomine cara cornubus re&liuculis. teretibus. perfetle annulatis , apice | diapba- mis, gula imberbi, exhibuit ^ At haec omnia adeo manca deprehendo, vt operae pretium fit Capram hanc fylueftrem denuo fub incudem reuocare. 1 Magnitudine illa ,.(marem nunc dico) hircam communem fíuüperat; ca enim fedibus quatuor cum dimi- CAPRA SAIGA ET ERINAC. AVRITO. 513 dimidio exacte refpondet, relatumque habeo, gran- 'diores non infrequentes effe. Sed. proprietatibus ali- is ,. adhuc euidentioribus diftinguitur ;; quas pro- lixius recenfere animus -eft. Longitudo- capitis infra menfürata a fine p. | p. iliius vsque ad bain oris - - -o| 7| ,Longitudo capitis fupra -menfurata a fine | | Occipitis. vsque ad. extremum nafum TET Diftantia angulorum maxillae inferioris | o4 r. Diftantia nafi extremi ab oculis - - -| o| 8.1o; Diftantia angulorum oris ab oculis - -| o.| 5. Diftantia inter oculos - - ^- - -o.|4|rr Diftantia oculorum ab auriculils - -:. 4 0.|2 Diameter oculorum longitudinalis : -:.| -| o.] rx. Diameter oculorum latitudinalis ^- - O.| I. Diftantia narium — —- . — («i09 c:xpr9410. Loogitudo auricularum - .- - /-: -|0j 3. Latitudo auricularum maxima -. - -|o|2 Diameter inter auriculas | - - —- «4045 Longitudo cornuum -- |- - - -j[ 1o. Diftantia inter ca« - | - .- - .-0..2. Diftantia. inter ea «et oculos zransuer/. muemfüm--e---c-co oet Grut». Diftant'a: inter ea et Meu Mp "metfür; - - 90-9 i09 e153!sp osi Di(tantia- inter angulum- debitus éxter-. f num et mandibulae inferioris internum : 0o: 5; Longitudo coli. .|- /.- .- ./.- -.-0 o. 6. Tom. XIV. Nou.Comm. A. tt Lon- 514 CAPRA SAIGA Longitudo a bafi cornuum ad exortum| p. |p. | I | pedum anterioum — - - 4 c Circumferentia coli - - - - «4 Circumferentia eorporis pone pedes ante- riots meniuraa | - - - - «- Circumferentia corporis craffiffi«di ^ - ——- Circumferentia. corporis ante pedes pofte- riores - 4523: 209p e aio nc fel Longitudo caudae - .- .- - o1 Longitudo humeri - - - - o.l Latitudo. humeri ad fcapdlam - - -j[o| Lat tudo. humeri ad flexuram - - c Circumfíerentias fümma - - - o. Longitudo cubiti ad exortum vngularum | o. Latitudo cubiti fub. flexum. - .- - o. Latitudo. cubiti ante vngulas - - 6. Circumferentia fümma - .- - Ne Longitudo femoris ad genu - - o; Latitudo. femoris media - .- - en Circumferentia fümma femoris - - o Longitudo tibhe ad cakar .- .- - o. Circumferentia füumnma - - -» - Longitudo calcarum - - - Latitudo calearum -- -- -- - Diftantia inter ea JE Diftantia calcarum ab vngula - - Longitudo vngule vmus - - - Latitudo vngulae vmi - - - 134 Q^ 9 ^n9w^29909nP 9 c - -r S - m La ST wn 9. *p. e we B- re LC - Co ^ O-wo''X0o00 COE - C G5 | Cafut ET ERINACEO AVRITO. 5I5 Capur habet oblongum valde informe, pofte- rius latius, gibbumque , anterius elongatum , emi- meus et anguítius, JVa/us ad bafin frontis amplifh- inus, lunae dimidiatac figura , fulco a cartilagine relicto , medio notatus, vltra maudibulam inferio- rem pcr bipollicare fpatium fere protenfüs, «et ex- tremo 7Züribus amplis, orbicularibus, intus nudis, margine circumcirca gryíeis, íepto intermedio di- flinctis, perforatus terminatusque labio fuperiore in- aequaliter. quadrato , verrucis pallidir et oblongis ob- fito, medio lacuna exarato. Labium inferius füb capite, rotundiufculum , lateribus verrucis cuneatis obfitum , "ento prominulo, zmberbi. | Oculi ad la- tera írontis, diftlantes , magni , palpebris principio cilitais, extremo nudis, iride niuea , pupilla cae- rulea, fplendente membrana nictitans, valida, ampla, vafis fanguineis multum referta , inferne fita fu- pra oculos pollicis vnius linearumque duarum in- teruallo, «orm. wtrinque vnicum , adulto animale plusquam pedale , aliquo vsque in capite abícondi- tum , incuruatim furfum protenfum ,. fummo apice lateraliter inclinatum , concauum , íemidiaphanum , anmnuls 16 el x7. vlümis obliteratis, circumda- tum, ap:ce laeue, per totam, fui longitudinem Jiriis copiofis , longitudinalibus exaratum , initio ob» (cure viridiuftnlum , medio et finem verfus in fla- vefcentem et oliuaceum colorem "vergens. ^ 4ures extrcmum occiput vtrinque occupantes , tripollicares €t vltra, pilofifmae, erectae, femicirculares, obtufae. T't.8 2 Dentes 516 CICAPRA'-SAIGA | Dentes incifores in maxilla fuperiore nulli, in inferiori o&o fibi inuicem vicini , a molaribus remoti(fimi, erecti, paralleli , duabus. vtrinque ex- timis reliquis breuioribus , anguflioribusque. ^ Cawini in vtraque mandibula nulli. ^ Mo/ares in maxilla fuperiore et inferiore nouem , lati, lobati, Zngua carnoía , oblonga , latiufcula , fupra lateribus ,. infra omni füperficie papilofa, medio fulcata , extremo obtufa , frenulo palato cohaerens. | Ricur oris ma- gnus, quadratus. - : Collum. craffüm , longiufculum. — Trumcus ob- longus, craffüs , gibbofus. —lIuguima nuda, mammae ad. eas vtrinque vna Z/ier inguina , penis admodum lengus, cui übfünt tefticuli duo ampli, longi. Cauda tenuis , fere quinque pollicaris. ^ Praeputium pilofum. Pedes anteriores pofterioribus vna quarta par- te breuiores, extremitate bifülcae, calcaribusque duo- bus, rhomboidalibus , externo latere retrorfüm ver- fis, pofterius linearum tredecim fpatio, ante ful- cum munitae. — A fulco inter eos et cutem finus fat profundus continuatus. Pilrum íequens ratio eft. .— In genere omnino valet, caprae domefticae illis multo breuiores effe, atque adeo pilis ceruinis multum refpondere. —.Sed infignis tamen in diuerfis corporis partibus diffiren- i; tia ET .ERINACEO AVRITO. Me tia datur. Breuifümi illi fumt 4. denfiffme | incumben- ze; , mollesque , qui zafum obtegunt, albi, et ad latera tantum fümmoque apice cinereo colore can- dicantes. . Longiores fronti , vertici et occipiti ad- pofiti ,. plusquam | bipollicares , bafi. nigricantes , . vel. fufci , medio et apice. plerisque albis, nonnullis flauefcentibus. .. Auriculae pilofiffimae 5 pilis. mollitfi- mis, aut niueis, aut apice flauis. Izfra oculos pro- ducta fetofa''verruca-; fetis. longiflimis ,. candicantibus, vel fufco ferrugineis ,. pofterioribus extremum . verfus. aurantiis. . Mentum e füíco colore niuet. ^ Pi/i .dorfi, capitis. pofterioris. illis longitudine analogi , vel ali- quantum €a, maiores, perfece quidem candidi vifi , fed initio füíco flaue(centes ,. et. finem. verfus tantum. albi: ex eo.autem.;, quod valde denfi fint , et obli- que incumbant , primo. adfpecu niuei comparent. Prope caudam. medio: plumbeo colore füfcefcunt ,. et lateraliter. ad. innominata. óffa obíolete.. caftaneo co- lore imbuuntur.. Cauda pilis dorfalibus | refpondenti- bus componitur. Longiffimi omnium fill funt , ro- "ut" corpus veftientes, barbam. aliquo modo mentien- tes; ii quidem ad collum inferius ,; mediumque. abdo- sen flaui, boc et penem inter medio faícia fufco fla- veícente ; lateribus niueis; regione genita: iterum flau cante ,. pene 1efficulisque albis , ano niueo. .— Pedes auteriores..e-candicante, colore flaui, ita. vt parte earum: inmieriore candicans. dominetur. |. Pedes. .pofte- iijores albi ,. et exterius. interiusque apice tantum caftanei. | Pj/j ad. vtrosque principio longiufculi, po- TT Ttt 3 ftea 5198 CAPRA SAIGA ftea breuiores. Pngulae fuünrmae , nigrae, wel e. nigro liaidae. | Quare hoc animal ad pecora dentibus, et ad €apras cornubus omnino referri, fed monftrofo. nafo, ore infero , barbae defe&u, coloris piloraumque. di- werfitate tanquam diftinda fpecies recenferi debet. Afiae propria eft haec capra, ad Tamain, Pol- gamque , et im Sibiriae feptentrionalbus plagis fre- queutiffima , vafta amans deferta , vicditans iumen- torum adiauftar vegetabilibus , velociter cutrens , et agitata frequenter in altum faliens. ^ Planis in locis difficulter a venatoribus exploditur , in montofis faltu breui defatigatur fuo , et certi praeda euadit. Sub autumnum et aeflatis iniio femina vnum vel duos in lucem edit pullos ^ Haud incedunt grega- tim, fed ad fummum quatuor fimul confpiciuntur.: Autumno valde pingues, femina mare multüm pin- güior. Venti feptentrionales valde ipfis infefti , in primis niue iuncti, vnde contingit, wt e defertis Kirgificis hyeme tantum , füb ea aeris conditione iu regione A/lracbanemfi confpiciantur, vbi tum infre- quens non eft, coafpicere illas in ipfam vrbem pe- netranfcs. ^ Caro fipida, inprimis feminina. Inter Tataros Mahumedanos fabula eft, ad grauidam pii Abrabami concubinam , Haar , a. coniuge ipfius Sara , exalatum , mififfe Angelum Gabrielem, cum in deferto Ismaelem | pareret, capram noftram .Saiga, fuis ET ERINACEO AVRITO. $19 fuis vt vberibus et matremi et infantem aleret; inde ab his infidelibus maguo in cultu habetur. Praeter carnem cutis quoque in vfum venit, ex qua vilio- ris notae homines veftes fibi hyemales conficiunt ; fed cum pili laxi admodum , et facillime decidui fint,' pellibus ouinis omnium minimum pretiofis inferiores adhuc íolent effe. ERINACEVS AVRITVS. Multum ' inter auctores de Erinaceis difputatum Tab, XVT, füit, an vnica illorum exiftat fpecies, vel an plures reuera habeantur ? Primaria quidem diuifio ea eft, qua in Erinaceos roftro fuillo praeditos, et in alios rofiro canino donatos, partiti fuerunt. Lis nondum compofita eft, fed, cum hactenus obferuati Eripacei europaei omnes rofítrum oftenderint , neque fuillo neque canino fimile , veritas ab eorum potius parte flare videtur , qui genuinam vnicam tantum Eri- naceorumr , hactenus cognitorum, fpeciem frequenti- bus obferuationibus commoti , agnouerunt,. Reliqui ab auctoribus exciteti Erinacei aut ad vulgarem pertinent, aut ad alia animalium genera. Quibus tamen. non obflantibus nouam ego certifhme propono fpeciem , in regione Z/fracbanenfi./ frequentifhmam , diftinctam magnitudine ,, qua. vulgari. multoties cedit auribusque ,, admodum: extantibus infignem. Id qnod. nunc. pluribus. exponam. Corpus $20 CAPRA SAIGA Corpus füperne a bafi capitis vsque ad. caudam pungentibus aculeis obfitum firmiffime cuti adnexis; confertiffimis , furfum [pectantibus , bafi. candicanti- bus, medio cuifalete nigris, apice ex flauo colore albis infra. incraffatis , exacte teretibus, fupra 'atte- nuatis acutifimis, longitudine linearum | feptem. Ia- ferior corporis fuperficies .pilofa',' pilir anterius. ad mentum , pecus et ventrem albis pauco rubicundo paffim intermixto , poflerius ante caudam fordi- de flauis, : Tt Caput anterius: pilir; veftitum , ex albido co- lore caítaneis, —Oculr minutis, quorum palpebrae fufcae fnt, ride pallide caerulea, papilla nigra. Genae colore capitis anterioris, proxime tamen fra et fupra oculos paucos minutosque pilos obferuo nigros. Tempora cafíianea. | Hoc autem caput terminatur rofiro , Erinacei vulgaris fimillimo , mobili , nudo obtufo ,. nigro, medio fulcato, ./u/o inferne cui- dentiore. Nares Blfemó roftro , cui adnectuntur , criffiores , diftantes , oris reuolutis , dentatis , neque et noftra in [ont mandibula Yuperior — nafüm protenditur, imferiorqgue ab eo 'fere quatuor lineas diflat, vt adeo et nunc pateat, diuifionem Erinaáceo- rum in fuillos et caninos, lubrico fündamento niti. Auriculae infignes triangulum — fere inaequilaterum repraeíentantes , obtufie , ad fitum: quidem eundem ac in vulgari ordinatae, fed pro mole corporis quam mox ET ERINACEO AVRITO. 521 mox dico, longiffimae, pollicem quippe cum lineis quatuor , et fere dimidia longae, inferne octo liueas latae , medio lineis íex refpondentes, extremitate fuperiore vix duabus aequales , bafi fua pilis. denfis eX albo flaus, tanquam lanae fpecie | obducuntur , vierque corum /atus anterius intus ad fiuem proceffu cartilagineo auctum. . Margo reuolutus /uperficies füpina bafi nudiufcula «picem verfus et marginibus filis mollifümis , albide - gryfeis , incumbentibus teda , inferior bafi medioque omnino nuda, fed extremitatem verfus et ad apicem fimilibus , quos continuo enarraui , pilis munita My//aces | capiti vtrinque adpofitae, molles, ex albo nigrae, pofteriori- bus longioribus inflexae , numero inconftantes. Den- iium eft fequens ratio ; incjfores in. vtraque. maxilla duo , reliquis longiores, cuneati; iis in fuperiore ad- modum diftantibus , dextro fini(tro longiore , iis in inferiore vicinioribus dextro iterum longiore , fibi vero non refpondent, fed iucifores fuperioribus. fub alterni funt. | Lasjarii in maxilla füperiori vtrinque .5. primo omnium minimo , arcte cum fecundo , qui antrorfüm decumbit adnato , a reliquis diftante , tertio et quarto erectis et vicinis, quinto rur(us minore, remoto et interius pofito ; in maxilla in- feriore vtrinque tres antrorfum decumbentes, | vicini, medio lateralibus longiore. Molares in vtraque man- |dibula vtrinque 4. vicini(hmi, e quibus primus maxi- mus vltimusque minimus eft JF:;raeque. maxillae ^Karneo margine nudae. Pa/mae et pedes pentada&ili, Tom. X]V. Nou. Comm. Vvvx corpo- 22 CAPRA SAIGA corporis inferioris ad inflar colorati ; in his tamen plus flauidioris admifcetur. Pnguicul rubicundi. Cauda breuiffima , ex albido fordide ^f/Jlaua, apice nigra. Longitudo totius animalis ab extremo roftro "G e. — 5 ad initium caudae - - - - - - |4.|3.| Longitudo caudae - - - - - - - |0.,5. ——- à roftro ad occiput - - - - 9Q.1 7: Diameter latitudinalis vroffri anterior - - | Oo.]$.| —— ——— ——— ———— poftrior - - | o.|4 Difntia narium ab oculis - - -' - [| 90.19. —— abauricuis - - - - - - |r.|s] ——- oculorum inter fe - - .- - |o.[8: Diameter longitudinalis oculorum - - | o.lo: "Diameter latitudinalis eorumdem - - |o. [S] uc s Circumferentia corporis inter angulum f. Canthum oculorum internum et angulum auricularum extremmm - - - - Diftantia apicis mandibulae inferioris ab ex- tremo nafo. - - - - - - - Diftantia auricularuum - - - - - Longitudo colli - - - - - - - Latitudo coli - - - - -.- - - Circumferentia corporis inferioris ante palmas Diflantia palmarum - - - - - - Circumferentia corporis inter palmas et pedes Longitudo caudae - - - - - - Palmarum vsque ad carpum - - ET ERINACEO. AVRITO. |... 523 poll.lin. Circumferentia metacarp - - - - |o.|4 Longitudo digiti extimi in palmis cum vngue| — |5;. —— intimi - - - - - - - - |—]|5i —— medi - - - - - - - - —| s. Digitorum latraium - - - - - - |— Refpondent magnitudine digiti pedum, fed fingulare hoc eft, quod digitus infimus pofte- rius locetur , vltra 3. pollices a vicino remotus. Id quoque adhuc habeo addendum , quod pili, brachia, et metacarpum , tibias et metatarfüm tegentes ex lucido colore canefcant, quodque cor- pus et tarfus nudi, inferius fordide fufci obfer- ventur. Atque haec quidem magnitudo conftans eft , et conftans aurium conformatio, ne forte putes enar- ratum animal varietatem erinacei Europaei effe, Quin quod hic, in reliqua Ruffia fat copiofus , et a me quoque per omne adhuc Jforonecenfe gubernium obferuatus, hic Afiracbaniae et Zarigymo abhinc plane exulet. Sed noftro animali iidem tamen mores folemnes funt, qui vulgati. — In eundem fe irri- tatum globum torquet, ita íe defendere tentans , hoc in ftatu penitus immobile. ^ Incedere cupiens, elongatur pariter corpus, pedibus infiftit, currit- que aequa velocitate fi non maiore; eodem deni- que victu gaudet, eadem ipfi oeconomia folemnis , Vvvo hyeme £54. CAPRA SAIGA ET ERINAC. AVRITO. hyeme in, fouea aliquot pollices profunda , absque vi&u vitam occultam degit. Affracbauenfibus | pariter domefticum animal eft, felium vices fuftentus, et ab ipfis lacte, quod anhelat, potifümum fu(lenta- tur. Icon ad naturalem màgnuitudinem ftaturam-. que facta eft. LYCH- -—$[(o)$5$- 525 LYCHNANTHOS VOLVPILIS ET LIMNANTHEMVM PELTATVM NOVA PLANTARYM GENERA. Auctore . SAMVEL GOTTLIEB GMELIN. Exhibit. d. 28. Mart. 177. [un mihi bene perfuafum fit, genera planta- | rum, quae ftabiliunt , neque naturae infltituto, neque ipfius inniti legibus, ea tamen perquam ne- ceffaria arbitror , quod fubleuent cognitionem vege- tabilium, immenfam eorum molem in compendium, airo víu, redigentia. ta olim in pracloquio ad Hiftoriam fücorum fcripfi. Hac mente bigam plan- tarum , in itinere orientali , quod me occupat, Obícruatarum nunc propono. LYCHNANTHOS VOLVBILIS. CHARACTER GENERIS. CAL. Per. monophyllum, quinquefidum , perfiftens. Tab.XVIL, COR. Petala quinque, bifida, fauce dentibus coronata. ; $TAM. Filauenia decem , alterna. —4miberae fim- plices. Vvv3 PIST. 526 LYCHNANTHOS VOLVPILIS PIST. Ouarium globofüm. Szyli tres ,. fubulati Szig- ?Haia contra folem verfía. PER. Bacca globofa, vnilocularis , apice dehifcens. SEM. plura, reniformia. | DESCRIPTIO. Planta herbacea , ícandens, inter frutices et arbores naícens , humi proftrata, ramisque eorum conuoluuli cynanchi cet. adiaftar mire circumuoluta. Radix geniculata, gemmafcens. — Cauís volubilis , teres , viridis , obfolete pubefcens , mox a principio fuo ramofíüus, ramis cauli fimilibus, tenuioribus ; iterum diuifis. — Folia? coniugata , ouato - oblonga , feffilia , fubfinuata , acutiufcula , fubtus et margine obfolete pubefcentia, fupra laete viridia, glaberrima, Pedunculi e foliorum axillis folitarii , fparfi et op- pofiti , filiformes , duobus tribusque foliolorum de- fcriptorum, fed minimorum paribus veftiti, extremo florem vnicum gerentes. Ca/ix ventricofüs, inflatus, pallide viridis , pubefcens , perfiflens, vltra fui me- dium diuifus in lacinias quinque , fubcordatas, latas, integerrimas, margine exflante albido cinctas, matu- ro fructu reflexas — Petala quinque, vnguiculata ; vusuibus oblongis, anguftis, calyce breuioribus , fta- miniferis ; //zm£o collo fuo dentibus duobus latiufculis coronato , plano, vltra medium bifido. - Filamenta decem, alterna, quinque nimirum medietati vnguium et quinque vngues inter et ouarium infertz» breuis- fima, ET LIMNANTHEMVM PELTATVM. $24 fima, fübulata. 4fm;berae oblongae, fimplices. Oua- vis in centro floris pofitum. Styli tres , filiformes, incurui , longitudine fere limbi. S'rigmata fimplicia contra folem flexa. Bacca wnilocularis ,, apice de- hifcens, maturitate nigerrima, calyce circumuallata , fucculenta , femina continens plurima ad triginta zeniformia , nigro - purpurea. Eo, quo dixi, modo crefcit in locis vmbrolis et montofis circa radices arborum; primo mihi ob- feruata ad oftium fluuii Cim/ze in Tanaim íe exo- nerantis, loco ab vrbe T/cberkask duo centum leucas diftante. Aut ergo Lychnanthos nofter Silene erit, aut Cucubalus , aut demum Saponaria. Sed fi tria haec genera bene diftincta funt , neutrum recte ingreditur. Faux coronata a cucubalo eundem feparat. Ab. eodem et filene Bacca globoía, vnilocularis. Atque a fapo- naria ítylo trifido recedit, fumme videtur conuenire cum cucubalo baccifro , fed cum «eum nunquam vidiffe meminerim , nil determino. LIMNANTHEMVM PELTATVM. CHARACTER |. GENERIS. CAL. Per. pentaphyllum, Jaciniis lanceolato oblongis, Tab. XVII. diftantibus, Fig. 2. COR. Pci. quinque , vnguiculata ; enguibus pilofis STAM. $28 LYCHNANTHOS VOLVPILIS STAM. Fil quinque, bafi petalorum inferta , in- curuata. 4miberae longiffimae , arcuatae, lateri filamentorum infertae. PIST. Ouarium fphaerico - cylindricum. — Szy/us nul- jus. .Stygma quadrifidum. PER. Caffula cordato - oblonga , acuminata , bilocu- laris, SEM. plura, longitudinaliter adfixa , ciliata. Nouo huic generi nomeu impono a b. STELLERO Claytoniae Sibiricae deítinatum, noftram in plantam apprime quadrans. quod non nifi in aquis pigris, paludibus ftaguisque creícat. Nymphaeam autem foliis , crefcendi modo, florumque colore e longinquo ita refert , vt putares vnam et eandem plantam effe. ^ At propius infpi- cienti fingularis planta ftatim manifefltatur. Super aquas ergo Limnanthemum natat, caue donatum, quemadmodum fere folet in plantis aqua- ticis effe. , proftrato , tereti , fordide viridi , punctis creberrimis ex purpureo - nigris maculato , fimplici, nudo; fupra enim tantum contingit, vt ex hoc caule duo ex aduerfo rami egrediantur , cauli fi- miles, ni(i quod fübinde ba& fua alati videantur , proprie petiolorum vices füftentantes , quique vnum extremo gerunt folium reniforme , carnofum , mar- ginibus integerrimum , glaberrimum , fupina parte laete viride, prona, qua aquam -attingit , rubicun- j dum b. ET LIMNANTHEMVM PELTATVM. 529 dum vel fufcum. Pezio/ur autem difco folii immitti- tur, vnde peltatnm dixi. Variat autem foliorum magnitudo, cum in quibusdam fpeciminibus INNym- pheae illis grandioribus non inferiora, et in aliis ambitu minora multo et minima viderim. Superiora plerumque magnitudine reliquis cedunt, neque etiam dubito , quin varia plantae aetas fymbolon hic tri- buat ífüum. Ex medietate foliorum in extremo caulis eleuantur pedunculi , vel diftin&tius loquendo, emiffis in latera foliis continuatur caulis, per vnciale plus minus interuallum progreditur, bigam foliorum denuo in latera mittit, atque intra illam corymbus erigitur , pedunculis circiter fex conftans , vno poft alterum increfcente , quouis flore! terminato. ' Aut et frequenter contingit, vt petioli laterales, continuo defcripti , fua poftquam emiferunt folia , receptum intra illa corymbum erigant, a caulino principe plane non diftin&um. — Ca/jyv pentaphyllus, Jacimüs lanceolato - oblongis , intus concauis et viridibus, apice obtufiufculis , extus e viridi et rubro variis, corolla dimidio breuioribus. ^ Coro/la pentapctala , infündibuliformis in iuniore plantae aetate , at in prouectiore patens , roíacea , colore. croceo imma- culato: füperbiens, amplifüma. et: minor. -. Petalz ipfa vnguiculata, «nuguibus breuibus , -latiufculis, fafciculo pilorum €oronatis mire inter fe . complica-: torum tenerrimorum , flauefcentium , madentium fucco, tactu-obíeruando. | Neque. tamen . glandulofae wel alius fecretoriae -fabricae inuenio aliquid , vt - "Tom. X1V.Nou. Comm. Xxx aufc- $50. LYCHN. VOL. ET LIMNANTH. PELT. auferim pilos hofce necaria dicere .Limbus petalo- rum planus, lanceolato - latus , membrana exftante vtrinque alatus, «4/4 plicatili , reuoluta , margini- bus vndique fimbriata atque ciliata. — Filamenta quinque , bafi petalorum inferta , breuia, fubulata, luteícentia , apice füo incuruata. 4miberae longiffi- mae, arcuatae, lateri inferiori filamentorum ad- fixac , medio canaliculatae , apertura canalis bafi ampliata, ouali, Filamenta autem petalis ita im- mittuntur, vt infertio eorundem fiat inter vtrum- que petalum proximum ; quare fuo filamentum in- termedio corpore cohaerere nonnunquam facit duo diftincta petalorum corpora, vt imponat , monope- talam corollam effe, fed infra filamentum rurfus vtique recedunt , vt natura polypetala euidenter dignofcatur. Ozuarium fuperum , fphaerico - cylindri- cum, füpraattenuatum. — $7y/us nullus. Sigma qua- drifdum. . Pericarpium formatur capfula cordato - ob- longa, acuminata, biloculari, continente femina longi- tudinaliter adf&xa, itidem cordata, margine ciliata. Ad vrbem Tícherkask prope Cafiellum olim celebre, et a diua 4"z: nomen na&um frequentiffi- me füb finem Iulii florebat. A Tícherkask redux, in itinere Zarizin veríüs conftitutus inueni quoque in aquis pigris ad pagum cofacorum Kriuye Cbutory dicum. Variat nonnunquam calyce, corolla, fta- minibus fex. ; Obs, CLYTONIAE maxime adfine genus. OBSER- ee (o) $5 $3: OBSERVATIONES ET DESCRIPTIONES DOTANICA E. : Auctore Il. GAERTNER O, Exhibit. d. ra. April r77e.- & tirpium aliquot ruthenicarum heic vobis exhibeo defcriptiones , Academici Ill. quarum vel nulla prorfus, vel minus füfficiens hactenus fada fuit mentio. Primo loco prodeat noua Veronicae fpecies, triuiali nomine grand/flera , dicenda, fpecifica autem denomimatione appellanda : I. Veronica racemis lateralibus laxis; foliis oppofi- tis, crenatis, hirfütis; caule adícendente , flolonifero. | Defcr. Radices plurimae ex fingulis caulis ge- niculis , qua párte per terram repit fafciculatim oriundae et in fibras capillares longiffimas diuifae. Caulis plerumque fimpliciffmus , filiformis difüte geniculatus, ex reptante adícendens; inferius Xxx nudus $32 OBSERVATIONES nudus et gracilis ; füperius parce foliofüs , craffefc&ns, villisque cinerafcentibus obtectus. Stolones alterno ordine e geniculis caulis in- ferioribus enati , filiformes , aphylli, radicautes et late per terram fparfi. Folia oppofita, inaequalia ; zzferioribur mini- mis rotundatis, mediis ouatis maximis, pollicem circiter longis , fumus iterum minoribus, ouato lanceolatis: omnibus vero vtrinque villofis, per am- bitum leuiter crenatis, atque bafi fua in petiolum breuem a folio ipfo vix diflincum excurrentibus. Flofum racemi ex alterutro tantummodo cau- lis latere atque e foliorum. inferiorum et mediorum axillis oriundi; pauci, duobus fcil. vix plures, ere- &i, longifümi, villofi, bracteis linearibus ad pedun- culorum infertionem. ftipati. Pedunculi alterni , calyce triplo longiores ; ere&o patentes hirfuti. Corollae caeruleae omnium | maximae, venis longitudinalibus albicantibus ftriatae ; laciniae rotun- datae patentes , füperiore reliquis maiore. Capfula laeuis, femina continens rotunda , an- Aulo membranaceo cincta. Variat haec planta foliis, magis, minusue crenatis et hirfutis , variat quoque racemis longio- ribus, breuioribusue; in omnibus tamen, folia fu- prema ET DESCRIPTIONES BOTANICAE. 555 prema hirfuta atque crenata, et facemi, parte caulis erecta , longiores | funt. Kamtfthátkam pro patria fua agnofcit haec veronicae fpecies et in pratis alpinis illius regionis , referente STELLERO , copiofe nafcitur. ^ Differt a veronica ajpina europaea ro.caule ftolonifero 2o. foliis et floribus multo maioribns 30. racemis lateralibus , iisque longiffimis ; denique 4^. feminibus annulo Inembranaceo cinctis. IT. Eiusdem cum priori familiae , fed diuerfi ge- neris eft, quae fequitur LAGOTIS , nouo nomine mihi di&a , non quidem prorfus noua , íed minus rite hactenus definita planta. | Nominis- ratio ex ca- lycis figura, generis character ex "A gentpus pa- tebit : LAGOTIDIS CHARACTER NATVRALIS. CALYX monoph yllus , ouatus, compreffus; mar- gine anteriore longitudinaliter fiflo , po/terio- 4e integro , arcüato, carinato , apice inae- qualiter tridentato , "dentibus duobus laterali- bus fetaceis longioribus. COROLLA. monopetala, ringens. Tubo longitu- dine calycis leuiter arcuato. Labio fuperiore breui , reflexo , emarginato. Labio inferiore propendente , biüdo aut trifido , laciniis ob- longis acutiufculis. | Fawee laeui, patula. XXXg STAMI- 534. OBSERVATIONES STAMINA. Filamenta duo breuiffima , fauci co- rolae ad bafin labii füperioris inferta. —4z- tberae cordato - globofae , latere dehifcentes, PISTILLVM. Germen ouato acuminatum. — $Szy- lis filiformis , longitudine ftaminum , infle- xus. Sigma capitatum. PERICARP. Caffula ouato - acuminata , bilocula- ris , apice dehifcens. SEMEN in fingulo loculamento vnicum, ouatum. RECEPTACVLI margo germinis bafin cingens ; glandulofus, ne&ariferus, Facile ex his colligitur , effentiam huius ge- neris in calyce altero latere fiffo cum flore diandra confiftere , cui quidem fimilis ftructura, in tota re- liqua clafífe didynamiarum angiofpermiarum , alia nulla datur. Species Lagotidis unica tantum mihi hactenus cognita eft, fcilicet : LAGOT'S (gua) folis radicalibus petiolatis , caulinis et fpica terminali feffilibus. VERONICA foliis 1nferioribus ouatis, crenatis ; fuperioribus rotundis mucronatis, caule fpi- ca terminato. Flor. Sibir. Tom. 3. p. 219. Defcr. Radix perennis fimplex craffiufcula , fi- bris lateralibus filiformibus longiffumis füipata. Ca- piti ET DESCRIPTIONES BOTANICAE. 555 piti conflauter duae ífquamae emarcidae infident , quae bafin caulis vaginae ad inftar cingunt et origi- nem fuam a petiolis foliorum praeteritorum tra- hunt; cuiusmodi vaginae etiam in faxifraga era///fo- lia aliisque occurrunt, Intra hancce vaginam inferta funt folia radi- calia, plerumque bina, longitudinis dimidii circiter caulis, ouata , glabra, cofta media infigniore fubtus protuberante notata et per marginem dentibus obtufe rotundatis circumíerrata. — Altera foliorum extremi- tas obtufiufcula eft, altera vero cum coíta media in petiolum anguftata excurrit. Petioli dimidio folio faepe longiores , fubtus conuexi , füpra profundo fülco exarati et prope ba- fin fuam in alam membranaceam , caulem ex parte cingentem €t cum oppofita vaginam circa eum effi- cientem , eXtenuati. Caulis fimpliciffimus , fücculentus , glaber , a dodrantali ad pedalem nonnunquam longitudinem «dícendens. ^E radice gracilis oritur et ad mediam - vsque partem fuae longitudinis foliis. deflitutus eft. Folia caulina quataor vel quinque parium; inferioribus oppofitis, reliquis alternis, atque ma- gnitudine fenfimn decrefcentibus , magisque fibi ap- proximatis, quo propius a fpica florali diftant. Cae- terum feffülia funt haec folia atque mox ab infer- tione fua ia laminam ex rotundato acuminatam, fuccu- 556 OBSERVATIONES fücculentam , neruis e bafi radiatim | excurrentibus ftriatam et in margine acutis dentibus ferratam am- pliantur. Summo cauli fpica foliis fuffulta infidet, pol- licaris vel bipollicaris longitudinis ; figurae nunc ex ouato acuminatae , nunc cylindricae ex floribus et bra&eis denfe congeftis formatae. Bracteae calycibus anterius et paulo laterali- ter accumbunt ,: eosque longitudine fua paulo fupe- rant; inferiores proríüs foliaccae et caulinis foliis fimiles fünt, fuperiores autem. fenfim minores et praecipue verfus marginem acutis dentibus ferratam, miembrapaceae fiunt. Calyx pariter membranaceus , . fübdiaphanus , cofta viridi in dentem íetaceum excurrente , vtrin- que notatus. Corollae et Antherae caeruleae. . Labium in- ferius in pauciflüumis fimplex, apice tantum inci- fum, in multis bifidum , in plurimis vero trifi- dum eft; laciniis oblongis , acuminatis: aequalibus , fi bifdum, inaequalibus dutem atque media reliquis anguíliore , fi trifidum fit labium. Singularis varietas huius plantae in: Heibaió STELLERIANO occurrit, foliis fcij. radicalibus. ter- natis longo petiolo iden rilfos , inflar foliorum Menyanthis trifoliatae ; foliola partialia autem cre- nita fünt prorfus vt in praecedenti fpecie, cui et- iam ET DESCRIPTIONES BOTANICAE. 537 iam in omnibus reliquis partibus atque tota facie externa ita fimilis eft, vt potius pro varietate eius, locis paludofis forte nata; quam pro diuerfa fpecie habenda effe videatur. Habitat in Kamtíchatka. 1il. E graminibus, quorum plusculas nouas fpe- cies habeo , duo ad praefentem fcopum faciunt, heic itaque proponenda. Primum eorum mihi dicitur: BROMVS (ouatus) panicula ouata, faíciculata , erecta ; fpiculis oblongis: intermediis primo- ribus breuius pedunculatis; fecundariis feffi- libus. Defcr. Gramen eft annuum pedalis circiter lon- gitudinis , gaudens radice fafciculata , ex fibris cras- fiufculis breuibus, parum ramofis compofita. Culmi fpithamales , ftricti , tribus plerumque geniculis laeuibus diftin&i; intermedio fupremo lon- gifimo feminudo. | Folia fex pollices longa , duas lineas lata atque fubtilifüimo tomento albicante vtrinque ob- ducta. Vaginae ítriatae glabrae, annulo membra- .naceo lacero terminatae. Panicula bi - vel triuncialis, erecta ouato ob- longa ex tribus fpicularum faíciculis , alterno ordi- ne culmo affüixis , compofita, Singuli fafciculi fiunt ex nouem ad duodecim pedunculis prima- Tom. XIV. Nou. Comm. Yyy riis, | 538 OBSERVATIONES riis , quorum, vnus medius, atque. duo, extremi reliquis longiores funt et paniculas fecundarias , paruas firidtas efficiunt ; reliqui autem , intermedii terni , quaterniue numéro, prioribus. multo bre- viores , fimplices , et vnica tantum vel duabus fpiculis inftructi funt Spiculae. oblongae compreffae , poliicares, fub- fexfiorae , ariflatae ; ariítis diuergentibus. Calycis valuula fuperior linearis , acuminata ; comprefí , longitudinis dimidiae. Mpiculae; Auferior priori fimilis, anguftior tamen atque breuior ; vtra- que vero villis minimis confperíi et margine mem- branaceo albicante cincta. Corollae tereti compreffae ; gluma exteriore vncia dimidia paulo longiore , ftriata , pubefcente , in mucronem membranaceum , album , diaphanumr terminata , infra quem ariíta femipollicatis , reca , dorfo huius. glumae inferitur. Interior gluma minor , oblonga , plana , membranacea et dia- phana eft. Nectarii (quamulae minimae, obouatae, ciliatae. Semina, teretiufcula rufefcentia. Sponte. prouenit hoc gramen ad maris cafpii littora , vnde femina Aftrachania miffa accepi Ad bromum fícoparium prope.accedere videtur, differt tamen ab eo: fpiculis villofis,. atque glumis fupra atiftae, infertionem in, longum. et acutum mucronem produ&is , denique etiam habitu externo. IV. ET DESCRIFTIONES| EOTANICAE. 539 » 1:52 Alterum 'ad | quod' tranfeo gramen , proprii. omnino atque inter Bromum- vet ^"Triticum. medii generis eft, cum hoc enim 'calycis fitümr, cum. illo locufiarum | quodammodo. ftru&uram | communem habet, fed ab vtroque facie externa et propriis no- tis a calyce praefertim 'petitis'; ita recedit, vt, ad facilitandam ,- per fe iam fatis difficilem | .graminum cognitionem , nouum ex illo genus, füb. quo. etiam Bromus criftatus comprehendendus erit, iure confici poffe cenfeam. | Nouo generi nomen AGROPYRI facio eiusque characterem | naturalem | hic. | fübiungo. CALYX. gluma quadriflora ; ^ biualuis :^ Valuulis nduicularibüs , mucronatis ;- PAR elei » lateralibus. À COROLLA. biglumis: gluma exrzeriore lanceolata, concaua , apice in ariftam. breuem excur- rente. | Gl. interiore lineari , membranacea , breui. I3: o3saontd STAM. Filamenta tria capillaria. dnt berae lineares. PISTILL. Gersen ouato oblongum. — Szyli duo j filiformes , hirfüti. .Svigmata fimplicia. PERICARPIVM et nectarium aulam ; Corolla femina inuoluens. | SEMEN vnicum oblongum , hinc conuexum inde fulco tenui exaratum, Y 9 2 Duas $40 OBSERVATIONES Duas ad hoc genus refero ípecies, quorum altera fpecifico nomine dici poterit : Agropyron Ceriflatum ) fpica compofita , flofculis hirfutis. Haec ab Ill. LINNAEO , bromus fpiculis diftiche imbrica- tis, feffilibus , deprefs, di&a , a beat (GMELINO autem fíüb denominatione ; Feítucae culmo fpicato , fpiculis multifloris , in Flora fibirica defcripta et delineata fuit. Altera wero , noua fpecies , erit: AGROPYRON (rriticeum ) fpica fimplici, flofcu- lis. laeuibus.. Defcriptio. Radix annua , fibrofa , -capillaris. Culmi ex ea plures, femipedales, adícendentes, fim- plices , ex quatuor vel quinque internodiis inaequa- libus. conflati.. Folia plana , acuminata , nuda , firiata : vagi- nis. inferioribus. cylindricis , flriatis , arctis ; fuprema autem laxa , ventricofa , magis firiata atque annulo membranaceo ,, lacero., tenui, terminata. Spica ouata, fimplex, comprefífa, facta ex fpiculis. decem. ad. quindecim , diftiche imbricatis , alternis , depreffis.,, feflilibus ,, adfcendentibus. glaber- rimis. Calycis. glumae ex: triquetro: nauiculares, dorfo infigniter carinato, planam. fpicae partem. zreípiciente apice autem in mucronem. fubulatum , furfum in- curuatum , extenuato , ita, vt bafis atque dorfum valuu- ET DESCRIPTIONES BOTANICAÉ. 54r: valuularum , latera fpicae plana , mucrones autem ariflati , aciem eius efficiant. Corollae teretiufculae acuminatae ,, mucronibus in roftrum conuergentibus, quod extra calycem, leuiter adícendendo , producitur. Ad laicum fluuium locis editis et fterilibus elegans hoc grameu le&um fuit. Ne Graminibus his fubiungo Rubiam: cordifoliam transbaicalenfibus Sibiriae ciuuem ,. a Cl. D. Prof FALKE mecum bencuole communefactam. | Similis eft ili, quam lll. lurNNAEVS , fub. denomioatione Rubiae foliis quaternis cordatis,. in. fyftem.. Nat.. Ap- pend. pag. 229. recenfuit, nec dubium, quin fpecie quoque inter íe conueniant ; quum. vero: defcriptio DIiNNAEANA fru&ificationis partes et florendi' mo- dum írieat j- ita. vt vel de: ipfo. genere adhuc dubitari poffit; noftrae plantae ,. quae: praeterita aefta- te laete in. horto: academico: floruit ,, breuem heic addidiffe. delineationem.,. non. fuperfluum videbitur. Sunt autem Rubiae: cordifoliae: radices: perennes fibrofae. ramofi(fimae :: ramis. fuperioribus. lateralibus , repentibus., geniculatis. , ^ turioniferis. Color iu Iccenti aurantius, in. exficcati ruber, íed nimis pallidus.,, quam. qui .vfüi. tia&orio. inferuire. queat. Caules e radicibus. plures , quaquauerfum. dif- fufi, cubitales , brachiati , tetragoni , angulis. acutis Y yy retror- $42 OBSERVATIONES retrorfüm fcabris. Rami fimjles cauli ,, longioribus tamen internodiis diftincti , praefertim verfus extre- mitatem. Folia vt in congeneribus verticillata , inferius fena , in medio caulis et ramorum quaterna, in extimis ramis tantum bina, Figurae funt ex corda- to lanceolatae , pagina fuperiore fcabriufcula , faturate viridi et fere verticaliter patente ; imferiore luteola, glabra ; vtraque neruis quinque arcuatis ftriata, Margo integerrimus , reflexus , retrorfüm . fcaber. Petioli pariter fcabri , in fpontanea planta, folio longiores. | Flores racemofi, pedunculis communibus binis vel quaternis ad latera petiolorum infertis. Calyx minimus , denticulis quinque vix. con- fpicuis germen E Corolla monopetala cyathi- formis; limbo patente, in quinque lacinias trian- gulares fiffo; coloris pallide .lutefcentis. . Stamina. confianter quinque, corolla breuiora. Germen fübro- tundum glabrum. |Corollae itaque ftructura -genus abunde declarat. Floret apud nos per omnem aeftatem , fed fruc&us raro- perficit. NI. Ad Anemornes nouam fpeciem quae inter va- rias huius generis fibiriae proprias ftirpes non infi- mum locum tenet, progredior ^ Denominatione fpecifica dici illa poterit. ANE- ET DESCRIPTIONES BOTANICAE. 543 ANEMONE ( puflla ) flore calyculato; fcapo aphyllo pubefcente ; foliis radicalibus terna- tis, incifis. Def;r. Pufilla planta eft, vix duos pollices longitudine fua attingens ; inftructi radice perenni, fimpliciffima , paucis lateralibus fibris ftipata , atque fuperius denfo foliorum fafciculo coronata. Folia radicalia plerumque ternata ; compofita, ex foliolo medio, reliquis longiore (in aliis an- gufíto et lineari , in aliis latiufculo et fere cuneifor- mi, ia omnibus vero vtrinque profünde incifo ) et foliolis duobus lateralibus priori fimilibus, fed mino- ribus et exteriore tantummodo latere inciüis His quandoque alia foliola vario numero, eiusdem ta- men cum praecedentibus figurae accedunt, vt folium ex ternato fiat digitatum, imo pinnatum; fed rarius id nec nifi in quibusdam foliis aeftiualibus euenire video. Omnibus iftis foliolis , quae laete viridia et glaberrima funt, communis fubeft petiolus, lon— gus, teres, lieuis, folium in fitu ere&o fuflinens et prope baün íuam in vaginam, caput radicis cingentem ampliatus. Scapus vnico flore terminatus e centro fafci- culi foliorum radicalium oritur , aphyllus eft et foliis paulo longior, atque totus ferrugineo tomen- to obtegitur. | Inuolucrum calycem mentiens, monophyllum proxime fub corolla pofitum , in oco vel decem lacinias $ 44. OBSERVATIONES lacinias diuifüm , quarum alternae latiores, ouátae concauae , alternae lanceolatae, planae , omnes vero extus virides , intus fericea lanugine fplendentes. Corolla pentapetala patens ; petalis fubrotun- dis, concauis , fítriatis , flauefcentibus , inuolucro paulo longioribus. Stamina numerofiffima , breuia. Germina in globum conuergentia , teretiufcula, alba lanugine obducta. Stigmata fimpliciffima acuminata. VII. .. Wltimo denique loco addo Digitalem g/utino- fam plantam flore quidem congenerum fatis fimili, ícd crefcendi modo ab iis non parum diueríam. Gaudét enim rádice repenté tortuoía , perenni, raris fibris lateralibus aucta. Ex hac variis locis caules enafcuntur dodrantales vel paulo longiores , prope bafin foliis veftiti, in medio plerumque nudi, ver- füs extremitatem fuüperiorem autem floribus atque foliis in fpicam depreffam collectis onufti : Simplices caeterüm funt ifti caules , herbacei , teretes et qua parte foliis deftituuntur , ferruginea hirfutie fca- tent. Folia radicalia alterna, approximata, ouata, obtufe dentata et vtrinque villofa. Petioli dimidio folio breuiores, fulcati, caulem ex parte amplexantes. Folia ET DESCRIPTIONES BOTANICAE. 545 Folia caulina. raro alia , quam quae. floribus Yubiacent, adeoque tantummodo floralia ; ad fingu- lum florem fingula , fefflia, lanceolata , dentata , vtrinque villofa et floribus duplo breuiora. Flores in capitulum fpicatum congefti, breui- busque pedunculis. hirfutis affixi. - Calyx monophillus , hirfutiffmus , venis reti- culatus , laxus, in quinque lacinias aequales minus profunde incifus.' " Corolla^ calyce triplo longior, pilofa, purpurafcens ; 54fi anguflata ;^ tubi venire deorfüm gibbo:; dorfo leuiter furfum incuruo ; Jimbo quinquefido: laciniis rotundatis , duabus fupetioribus ere&is , nonnihil replicatis, mediis patentibus, infima reliquis maiore antrorfüm producta. Stamina. quatuor , fine Aelliatul quinti 5 fila- menta flexuofa tubo 'corollae' breuiorà. ^ Antherae bipartitae ,: lobulis: lanceolatis, Germen, ouato. acu- minatum, bafi oblique. truncatum et margine re» ceptaculi ne&arifero cinctum ftylus filiformis ftamini- bus paulo longior. Stigma bipártitum - lànceolatum., Capfüla bilocularis , — biualuis. Semina numero fifftima , füblotutida i. receptaculo diffe pimenti carnofo affixa. Quum itaque fructu, antheris, et corolla cum digitali conueniat , ad. hoc quoque genus re- ferendam effe cenfeo plantam noftram atque dicen- dam: Digitalem foliis radicalibus ouatis petiolatis , Fori. XIV. Nou. Comm. E Ar flora- $46 OBSERVATIONES. /floralibus: lanceolatis feffilibus ; caule fübnudo , "m 4o. mede. verfus chinam. Explicatio "Tabularum. Tab. XVIIL Fig. r. Veronica grándiflorá. - Tab. XVII. Fig. 2. Lagotis glauca, ^" ^ s &. Calyx cum bractea florali. bp: vil b. Idem. labiis .didu&is, ^^^ e."Corolla labio inferiore tripartito. M d. Piftillum cum receptaculó nectarifere. ' &. Sc&io transuer(alis capfülae, ; j^ Semina EM magnitudine, F. eadem diti. Tab. XIX. "Big ri. Bromus ouatus. 5 a. Spicula naturali magnitudine paulo maior. b. Eadem flofculis diductis. . .&.. Corolla cum germine et fiylis. Tab. XIX. Fig. 2. Anemone pufilla foliis anguftio- ribus cum floris parte. fuperiore. Fig. 3. Eadem folis làtioribus et parte floris inferiore. "Tab. ET DESCRIPTIONES BOTANICAE. $43 "Tab. XIX. Fig. 4. Agropyron triticeum : naturali minus. 5. Spica et. pars culmi , magnitu- dine naturali; a. Calycis valuulae. £. Corollae glumae. Tab. XX. Digitalis glutinofa. h . 4, 4. Radix. b. Caulis. c. Calyx. 4 Corolla cum ftaminibus. e. Piftillum. .f. Seco ger- minis tranfuerf(alis. TYT£ Zzz2 ow DE- $48 sowe35 (0) tt - .DESCRIPTIONES. QVADRVPEDVM ET AVIVM ANNO 1769. OBSERVATARV M. Auctore P $. PALLA S. Exhibit. d. 16. Apr. 177o. crgo in defcribendis nouis animalibus Imperii Rutheno- Afiaticij quorum annus proxime elap- fius, (MDCCLXIX.) largam meffem obtulit, et forte largiorem dabunt fequentes. — Plura omnino quam íperaueram in Zoologicis noua occurrerunt, imo plura quam Commentarii Academici limites capiunt. Ideoque felecta tantum praemitto ex qua- drupedibus et auibus eaque breuiter deícripta, mul- taque ex omni Zoologise parte collecta in aduería- riis relinquens, Faunae olim Rutbeno- Afiaticae, quam, poft exantlatos , fi fortuna dederit, labores , copio- fiiam praeffare animus ,eít, non exiguo orna- mento futura, Praemitto haec autem , vt fentiant hiftoriae naturalis cultores, quantum profperet fcien- tia PROPITIO füb NVMINE, quod vniuerfüum orbem litterarium radiis fuis illuftrat , et fub mo- deramine Patroni fcientiarüm , quious augendis na- tus videtur, amore flagrantiffimi , Midi in oimi- DESCRIPT. QVADRVP. ET AVIVM. 549 Comite! VLADIMIRVM. ORLOF , vt gaudeant, in- quam , Phyfiophili tanto fücceffü , fub Aufpiciis tantis, rem fuam agi, notioremque CATHARINA Ruffis .Imperante futuram , quam | inquilina ipfius Europae paffüum eft, in remotis Orientis plagis Naturam. | IL MFS CITILLFS. Ciülus, quem. poft. AGRICOLAM Zoologi nominarant omnes, at memo illorum oculis vidc- rat, in campeftribus Ruíüae et Sibiriae auflralioris copiofius eft animal, quam in fyluis íciuri , imo fere quam ratti iu vrbibus et pagis lam ad Pianam et Suram fluuios paffim occurrit, , fed rarius; inde vero quo magis verfus meridiem et verfus orien- tem procedas, copofius. Tandemque in defertis trans Volgam campis adeo numérofum habitat, vt facile vna die centeni intra paucorum ftadiorum fpatium capi pofünt. NNotiffimus ille vbique eft ruflico no- miue Su;/ik (cycxmKb ) quod mire cum. Germano- Slauonico, ab AGRICOLA adhibito Zi/f2z/, et cum Polonico apud, Raacs/nskium expofito Sufel conuenit. Contra Tataris appellatur Gymgron (*), quod a Mor- duanis in SZmral et. Imral corrumpitur , aput Cal» muccos vero in Zurria defle&itar. ^ Accepi in Sibi- Zo ria Tab. XXI. Fig. 1 et 3. - (*) Confonantem tataricae linguae proprium non potui aliter exprimere, quam .pér Graecorum, quod moderni Graeci fbllo pronunciant, vti Angli Z4 et Hifpani .g fua in lingua vtuntur. $50 DESCRIPTIONES ria nomen lemuranka ilis appropriari , et in Pro« vincia líctenfi , a rudi aliqua fimilitudine ,— Feles campeflres (cmennmpra Komku) ab incolis | appellari ; imo quibusdam locis fub nomine 4vrafcbka veniunt, Non vti Criceti, qui in campis hiíce defertis et graminofis paffim , íed rarius multo , "habitant, campeftrium plantarum femina "varia legit citillus , fed teneriores plantulas , et fücculentiora atque infi- pida vegetabilia depafcitur. | Sicubi forte in vicini- tate fatorum , hortorumque quibus Citrulli colun- tur, (6axum Ruffi vocant) latitet, ibi fegetem quo- que teneram et Citrullorum fructus maturos depo- pulari dicitur. . Cultioribus tamen in locis in gene- re rarius habitat, neque fyluas et montanos tractus colt, fed campis elatis, apricis , aridiufculis maxi- me abundat, contra atque, fatorum hoftis et per- nicies cricetus. Cum ob hanc caufam , tum quia parco victu et ipfis praefertim. herbis. victitat, neque. ad -hye. mem granaria replet; multo minus, imo vix quid- quam noxa? Agricolis citilli- inferunt , vnde nec à ruflicis incuriofis infeftantur , neque ab iis qui. vé- nationi et capturae ferarum indulgent requiruntur, cum pelles illorum., quamuis elegantes , in. veftibus adhibere , ob pili raritatem, nondum in Ruffia re- ceptum fit... Adeoque folos humano. e genere-ho- fles habent. calmuccos ,- quibus eorundem in. deliciis caro eft, et puerulos, qui otiofi in campis infuía ; . antris QVADRVPEDVM ET AVIVM. $51 antris aqua expellunt , vel pofitis in aditu laqueis decipiunt. illos, funiculisque laneis , quos non facile corrodunt, adligatos varios in lu(us captiuant. Cer- te ob lepiditatem , morumque: innocentiam et mi- tem indolem vtique meretur animalculum, vt par- ceatur illi ,, quamquam pelles , fi magis innotefce- rent , apud. exteros elegantia fefe fitis commenda- turae forent; caro autem iü cibum ab expertis lau- data mihi füerit, gliresque Romanorum in meufis cum' laude füpplere poffe videatur , autumuo prae- fertim , quum funt pinguiffimi Citilli. Tutus à maiore parte hominum Citillus noa aeque tutus eft a. minoribus , no&urnis, campeftria habitantibus feris , mufítelino e genere; Putorio fpe- ciatim Ermineoque, quorum aeítate facilis et folem» - nis eft praeda, — Neque antra, quae fibi fodit, fe- curum illum praeftant , quia vnico gaudent aditu, eoque , ob molem corporis, praefertim — maículis , fatis capaci, vt Putorii maiores quoque fübire pos- fint; quos animalculum , incondito moríü non bene oppugnare valet , timidum praefertim , et ineptum quando terrore percellitur. | Extra antrum , dum interdiü vagatur, non raro etiam Falconibus variis obuolitantibus in praedam facillimam cedit, Ad antra fodienda praefertim eligit campos, vt iam monui, altiores, vel plana et decliuia col- lium apricorum ,. vbi folum arenofüm vel pauco limo mixtum et firmatum eít; et herbae nonnimis ! luxu- 552 DESCRIPTIONES luxuriant. Seniores; vel qui feniorum defertos cu- niculos occuparunt, facile produnt foramina. duo vcl tria ampliora , modo aliquot paílis ;, modo -pa- rum ab inuicem remota , |fpitbamae plus minus in profunditatem peruia, quorum vnum praeterito au- tumno occlufüm indicat egefla ibi terra. ^ Nouus , quo eo anno vtitur animal, canalis anguftior . eft reliquis, et. exact animalis magnitudini folet effe proportionatus ; nullam ibi terram egeítam videas, fed nihil praeter foramen rotundum , in terram directione perpeudiculo plerumque proxima defcen- dens, et herbis faepe ita tecum , vt lynceo vix oculo detegas. Maris antrum denotat apertura ,.per quam iunctos transucrfim tres digitos facile inferas , minutum vixque duos digitos ddmittens feminas. Canalis obliquata parum directione in terram pene- tràt, ad duum, trium , quatuorue pedum profun- ditatem ea lege vt multo profundior femper fit fe- minae cuniculus, quam maris. X Vlterior cunicult pars dein obliquius pergit, poftque varios anfractus dilatatur in cameram oblongam vel fubrotundam, fubpedalis vel minoris diametri , deprefüufculam , culmis ficcis comminuti graminis molliter ftratam , vndique praeter aditum claufam. luniora animalia, vcl, quod faepe fit, quae nouum fibi fabricant cu- niculum , praeter folitum aditum , nihil nifi cae- cum , aliqua ab. iflo diftantia, cum egeftla terra, foramen indicat, Nempe per obliquum. cuniculum plerumque terram fubit animal, terram continuo retto QVADRVPEDVM ET AVIVM. — $58 rétro proiiciens , totamque e camera quam parat et canali quem pro exitu habet, partim per obliquum priorem canalem euerrit , ^ partim huic ingerit , eumque obturat firmiffime. | Appropinquante hye- me, nouum fibi incipit parare canalem animal, quem ad caefpitem vsque perducit, omnemque ex ill terram víitato prius canali intrudit , quo fimul ile ad hyemem clauditur , nunquam tamen ita ple- niter , vt non fequenti vere coecum eius, vt dixi, veftigium appareat. Quem vero ad caefpitem per- duxit nouum cxitum , primo vere, quamprimum defluxere niues, et extima terrae crufta refoluta eft, ex hyberno torpore excitatus pertundit , inque lucem exit Citillus. Exitus ergo antri conftanter eft vnicus, et quoties nouum fodit animal obturat antiquum, tran- feuntis forte aéris impatiens, quem contra Cricetus, duplici apertura conciliare fibi ftudet. ^ Ea vero firu&ura tunc fit perniciofi Citillo, quando a rapa- cibus Muftelis in antro oppugnatur, vel aqua in- funditur; cuius tamen faepe quinque vel plures am- phorae , praefertim pro antris feminarum , requi- runtur, ad exturbandum animal, quod fenfim altius et altius adfícendit , donec repleto cuniculo madidum exeat tandem , frigiditate aquae ita perculfuüm , . vt 2d fugiendum vires fere defint. ^ Alias curfu quo pollet fatis expedito , fubfultante , faepius effugeret. In hifce füis cuniculis, folitarii viuunt Citil- li, nec nifi tempore veneris, maris feminae in cu- - Tom. XIV.Nou. Comm. Aaaa niculo / 554 DESCRIPTIONES niculo fubinde deprehenduntur; .mas vero mordacis feminae anguftum cuniculum fubire ipfe nequit, Primo mane, et oriente fere íole aatris exeunt, totaque die, fi ferena fuerit, interpofita fubinde quiete , vsque ad quintam et íextam horam , et folis fere occafum , vagantur, pabulantur, infolan- tur, colludunt mares cum feminis. . Feminarum tunc in campis fiftulatus crebro exaudiuntur. | Ma- res magis taciturni ambulant. Si hominem viderint flatim ad antra refugiunt. — Videas etiam paffim prope antra excubantes , inque talos erectos circum- Ípicientes ; et quantocyus inimicum viderint , edi- to confueto fiftulante fono, in cuniculos ruentes; quod marmotis etiam ruthenicis folemne eft. Vix vidi animal, quod facilius cicurari poffit Citillo. Mares omnes, etiam feniores, vnam fere intra diem , iuniores aliquot horis, non folum ca- tenulae adfuefiunt, fed et ita manfuefcunt, vt co- ram hominibus ambulare , pabulari, lauare, ludere non pertimefcant, imo poft aliquot dies, domeftico- rum inftar animalium ad hominem fponte accedant, feque manibus demulceri atque tractari patiantur, vel e digitis cibum legant. Feminae tamen, prae- fertim feniores, vti natura fünt mordaciffimae atque fübdolae , ita nunquam feritatem , plane deponunt. Contra marmotae noftrates , etiam feminae et adul- P , intra aliquot dies domi manfuetifümae fieri olent. Multos OVADRVPEDVM ET AVIVM — 555 Multos domi alui Citillos, moresque animalis fimpliciffimos et innocuos otiofe contemplatus füm. Noctem femper totam fopiti quiefcunt , a prima iam vefpera torpeduli. Saepe et interdiu , pluuia maxime et procellofa tempeftate , plenoque "ventre fopiuntur. — Dormiunt autem clunibus infidentes , conglobato corpore , palmis et capite inter proiecta femora reconditis , more prorfus marmotae, cum qua fummam ftructurae et indolis habent fimilitu- dinem ; paulo agiliores tamen , minusque ftupidae mihi vifae, | Somno plerumque adeo profündo tor- pent, vt aegre excitentur, dormientes fubinde in Jatus prouoluantur , imo ex altiore loco decidant , jaceantque mortuorum fere fimiles, per minutum et quod excedit. Ambulant, faltabundi currunt, in clunes vel talos varie eriguntur circumfpicientes , corpore ex- tenfo €t diuaricatis cruribus , anguftias perrepere poffunt, cibum minutum et herbas ore e terra le- gunt, maiora vero fruftula, dentibus prehenfa in palmas accipiunt et confümunt fedentes, ommia «vti Marmotae. — Lepidiffümum eft videre , poft paftum vel quandocunque roflrum vel pedes inquinarunt , qua diligentia non folum os et faciem , fed totum quoque caput palmis lingua humefactis fciuri inftar permulceant aut lauent, pofticis pedibus fcabendo excutiant puluerem , linguaque et palmis latera et Nentrem pectant. In genere etiam fcabi, et mani- Aaaa2 bus 556 DESCRIPTIONES bus foueri atque demulceri amant. Inter fcabendum pigrefcunt, et ofiitabundi pandiculantur , praefertim pott fomnum , quod et in Marmotis cicuratis ob- feruatur. Qui in hypocaufto aliquam latebram fübire poterant, minus cicurabantur , qua in aprico de- tenti. Vinculis liberati eleca quacunque latebra , praefertim feminae grauidae , congerebant lanam, pilos, foeni et herbarum quidquid conquirere pote- rant, et fi haec deeffent, ligna et limum forna- cum rodebant, chartasque cominucbant , vt nidum fibi pararent. Cicurati mares raro, nifi perterriti aut irri- tati , fiftulatum penctrantifümum fuum, hiante ore, edunt. Feminae multo clamofiores funt, vocemque paulo productiorem et debiliorem , magisque que- yulam faepe iterant iracundae , ipn.patientes , aliterue turbatae. Praeterea iracundi grunniunt, quod Mar- motae potius blandientis eft , et feminae flertunt, fere vt felis , quando deprchaniga commordent. Fa- mnelici et irritati, aliterue ad acuendos deutss, colli- fis iisdem et contritis flrident, quafi Gry/wz ffridu- jum dicum , volantem audires. — Pugnantes | feminae flatim in latus et dorfum fefe proiiciunt dentes vnguesque hoftibus opponentes, felium inftar. Mares tantum dente et palmis fe defendunt, Cicures mares; qui primo vere capti efánt , adlatas e campo feminas auide excip: ebant , demul- cebant, QVADRVPEDVMZET)AVIVM. — $57 cebant , totoque corpore velut digaolagitui ; Cos tinuo fiftuladte et quafi lediter gepugnante sdfemtna quam taudem reluctantem palmis medidm At&itlime complexus ^mas', fccum in. latus; proiiciebat , et cute ceruicis mordicus adprehenía. poílicis pedibus circa femora faeminae adfixus , fübigebat, inquietam et fübinde pafferum | fimili voce üridulam , donec poft vnum alterumue minutum perageretur opus. Poft congreffum piger. mas, eandem vix vltra cura- bit feminam , raroque in nouam eadem die vene- rem íüfücere videbatur, Praegnantes feminas odore detegebat , et cito relinquere. folebat. intactas. Habui mares, quos e magnitudine anniculos effe coauftabat , qui àd venerem inepti fuerunt; fed an hoc lege na- turae , non dixero. Pepererunt feminae omnes intra vizefimum quintum vel trige(imum ab inito con- greffü diem , quod in initium Maii menfis circiter incidit. - Pariunt nudos et caecos , informes , mole fatis infignes pullos, trinos, quaternos, interdum fenos. Hi tunc tanta celeritate adolefícunt, vt in- eunte Iunio captos parum iam a magnitudine ma- tris abfuiffe viderim. Noa tamen prius, quam fub autumnum matris cuniculum deferunt , fibique ipfis proprium fodiunt, puto illos: tertio demum / aano generare ; certo tameu affirmare non aufim.. Vitae interim breuitatem ex tempore geílationis atque adolefcentiae exiguo bhariolari licet.. Pabülum cicuratis meis vfitatiflimum fuit tri- ees et fecale, auena , panis, —Herbas infipidas P a Aaaag s AMUSC [o 558 DESCRIPTIONES et teneriores omnes depafcebantur ; praefertim tetra- dynamas, polygonum auiculare , trifolia , cytifos , robiniam fruteícentem , betulam, cet. Raro fitie- bant , fique recufaretur potus, vrinam propriam lambebant ; nunquam vero íi aqua praefto effet, Dibunt lambendo et parcifüme , vti feles. — Niuem non comedebant ad reftinguendam fitim , vt hyeme Íciuri auidiffüe folent. ^ Contra perdite amarunt lacticinia , Marmotis pariter expetita , iisque vltra modum ventrem replebant, ita vt faepe inde aegros et diarrhoea laborantes, imo pereuntes viderim. Neque aquam curabant laci adfueti , et recentes capti oblatum lac , ftatim ac deguftauerant, lubenter hauriebant, indeque maxime cicurabantur. Praeterea faepe panem butyro illitum , placentulas butyratas, carnes coctas et affitas, imo lardum falfum come- derunt cicurati et in genere pinguia impenfe amare vifi funt. JFamelici vero nihil fere, nif( maxime contraria , refpuebant , imo propria excrementa , quae Rattorum fere fimilia fünt , faepe deuo- rarunt. Cum Marmotis, in co maxime conuenit Citil- lo, quod tota hyeme fine alimento in antris (uis torpeat. — Primis plerumque feptembris diebus , quo fere tempore frigora, faltem nocturna primulum incidunt , exitum antri fui aeftiuum claudit citillus, terri, quam vt dixi e nouo canali euerrit, quem ad caefpitem, vsque, pro futuri veris exitu , parare | inftin- QVADRVPEDVM ET AVIVM. 539 inftiau quodam folet. Eo tempore pinguifümi funt totique adipofo cortice. quafi incruflati ,' coque iam pigri atque tardi, quippe naturaliter fomnolen- tae indolis. Accedens frigus adhuc pigriores reddit, in cuniculis coercet, et ad fomnum diíponit fenfim, tandem , poflquam propter frigus cuniculum obtura- vit animal, inclufüs acr prioribus caufis iunctus, plane torpidos et iminobiles reddit. . Minuitur in hifce animalibus ab externo írigore fanguinis calor, vnde lentior circulatio et forte "primaria caufa fopo- ris et fine alimento vitae. ^ Minuitur, inquam, fed non eo gradu, quo DvrrFONIvs in mure auellanario decedere calorem obíeruauit, quemque ipfe in Sciuro Glire LiuNaEI et Erinaceo, hyeme quafi mortuis animalibus certis et repetitis experimentis atque thermometro íenfiliffimo et. exactifhmo | obferuaui. Scilicet in Citillo fummus fanguinis calor aeftate conftans folet effe 9r? fcalae De / Fslanae. | Sed quando infüfa aqua ex cuniculis proturbatos, indeque quafi torpentes examinaui, faepe non vltra 106, imo nonnullis vix ad rro? adícendiffe Mercurium vidi, In cella glaciali aliquot diebus detentis tan- dem , et dormitabundis factis , gradum caloris r30*. -Circiter perfütiffe expertus fum, Primo ftatim. vere , fecundum rufticorum cal- culum feflo circiter annunciationis , fecundum Ruffi- cum nempe calendarium , ( April 5. Styl. nou. ) yel paulo poft, plerumque certe ipfo Aprilis initio vel, 560 DESCRIPTIONES vel, qui tardiffüime, ante eiusdem medium ( fec. Styl nou.), ex antris paulatim pertufo caefpite exeünt Citilli ; in altioribus auftroque obuerfis colli- bus, vbi cito pereunt niues, citius, in frigidiori et inundato a niualibus vndis campo tardius. Maci- lentifümi tunc funt,.tantum in ilis, axillis et omentis relida pinguedine, quam autumno adeo copiofe collegerant. Ventriculum et inteftina tunc inuenias vacua , et vsque adeo contracta , vt etiam vehementi füffüatione vix ad dimidium folitae ca- pacitatis diflendi queant; etiam coecum , quamuis hoc, füb finem quoque hyemis, femper fufcae fa- burrae aliquantum contineat. — Primis temporibus ob hanc ipfam caufam Citilli nonnifi parcifhme cibum .capiunt, cauente Natura; vt lente a diutur- no ieiunio defuefcamt. Nihilo tamen: fecius, hyberno fomno et diaeta quafi praeparati, ftatim atque exeunt tumidis teftibus mares atque florido vtero feminae in venerem ruunt. Videas tunc in campis vbique per paria ambulantes. ^ Quamuis eo tempore. vix pullulare. incipiat herba tamen cito admodum pinguefcunt. In ventri- culis , verno tempore diffe&orum , adhuc non bene diftentis , plerumque ril nifi gramen et fruticum cortices commanducatos inueni contentaque ventricu- li in puriffimo hocce animalculo non íolum naufeofi nihil olent , quod plerisque tamem animalibus folem- ne eft, fcd gratifümum etiam et quafi, e concifis : "3 DBetu- XE QVADRVPEDVM ET AVIVM. . só: ' Betularum virgis odorem fpirant, quod in Tetraone Tetrice quoque obíeruari fzlet. Ipfum tamen ani- mal, Marmotae ad inflar, ex ore ferinum quid- dam redolet, toto ceteroquin corpore omnis foetoris expers, nec nifi eo turpe, quod aeflate adulta pe- diculis peculiaribus , cimicum minutae proli fimil- limis, ícatere foleat. Haec omnia generatim propofüi; quia omni- varietates, bus Citillis conueniunt. Notabile autem eft duas dari varietates diftinctiffimas, quarum ortus eo diffi- cilior explicatu erit quia in finitimis admodum ter- ris, nunquam tamen mixtim, habitant A quin- quagefimo fexto vel feptimo ícilicet latitudinis bo- realis gradu in deíertis fecundum Volgam et vsque ad Tanaim fitis, ad gradum quinquagefimum ter- tium fere vsque minores occurrunt Citilli , vellere pulcherrime maculofo vel guttato, proceribus etiam expetito , nobiles , cauda vero breuiffima tereti; ne- que lanata inftructi , qualem Tabula XXI. fig. 2.Fig. 2: fifi Quamprimum vero Volgam trunfeas, vel à montano tra&u inter Suram 'et Volgam a Syftanienfi regione extenfo, ad auftrum procedas, vbique copio- íos quidem citillos , fed longe maiores , vellere ftictico, e cano fuüfcoque mixto , fuübflauefcentes in- | confpicuos ; cauda vero paulo longiore et iciuri ad inftar , longioribus villis crifiata infignes. Et tales per vniuerfüm defertum inter Volgam , Samaram , laicum fluuios et Cafpium lacum inclufum , perque :. Tom.XIV.Nou,.Comm. | Bbbb vaftis- 862 DESCRIPTIONES vaftiffimos Nomadum campos ab orientali parte Iaici . latiffime patentes, imo in Sibiriam trans lrtin vs- que fluuium abundant Citilli, vix vlla mutatione notabili, praeterquam quod ad Irtim fluuium, vnde adlatas pelles vidi, paulo obfcuriore doríi, et mae. gis ad rufüm inclinante proni corporis colore de- prehendantur. Certe fi vllam in proportione parti- um, in vifceribus , moribusue animalis differentiam Obferuare potuiffem , pro diuerfa fpecie vtramque varietatem tradere nullus dubitaffem. Sed multo magis inter fe conueniunt, quam marmota alpium helueticarum , cum marmota ruthenica , in cuius vellere et palmis pollice inflructis , ( mores vt file- am diuerfos) aliquam fpecificam differentiam quili- bet facile notabit, licet minimam. Hoc [folum difcrimen in moribus inuenire potui , quod Ciill , cis - Volgenfes , vtpote minores, multo exiliorem cuniculum minusque profundum, quam aera varietas , fodiant. Explicent ergo alii, admirandum hunc Naturae effectum , cuius ego caufas neque in pabulo, neque in climate affequi poffüm, contentus vtriusque defcriptionem adieciffe , ct quidem primo copiofioris maiorisque varietatis. Deferiptio. Mafculi huius varietatis mole fciurum füpe- Tab. XXI rant, et ieiuni atque macilenti vere, plerumque Fig. 1. libram vnam et aliquot vncias medicas pondere fuperant; imo feniores habui, quorum pondus librae «um nouem vnciis aequale fuit. Anniculi vero et eus bicnnes QVADRVPEDVM ET AVIVM. 563 5ienmts minores et leuiores omnes fünt; et feminae ctiam his minores, quippe quae nouem vel decem vnciarum pondus excedere nunquam , nifi grauidae folent. Caput minus depreffüm , quam in marmota, rofirum magis conicum , parotides minus gibbae et collum tenuius. Nafus nigricans , conuexus , pube- Ícens; nudus tantum circa mares lunulatas, fepto canaliculato diremtas, ^ Labium fíüperius vsque ad nafüm bipartitum, Buccae fubfinuatae — auellanae maxime in femina capaces. JDemres primores fupe- riores conuexi , parum lutefcentes ( vix in feminis) truncati inferiores albi, apice adtenuato - rotundati. Myftaces nigri capite breuiores , minus ordi- nati , quinque fere ordinibus , per latera roftri con: vexa fparfi, füpra oculum anterius fctae nigrae, 4, Íerie transuería ; fetae paroticae itidem transuer- Ío ordine 4, vt in marmotis. Sub gula verrucula fetis tribus tenellis , albis. 'Seta longa folitaria, in medio antibrachii , exterius. Oculi magni , prominuli; Irides brunneo- fufcae ; pupilla maiufcula , etiam ad lucem longitu- dinaliter. oualis. Periopbtalnii loco , .caruncula canthi vnguiformis, fufca. Auriculae nulae. ^ Meatus auditorii nudi , an- fra&uofi , pofterius margine craffo , pilofo cincti ; : quale refectae auriculae , cicatrice obductum — vefti- un in canibus fricatoribus effe folet, . Bbbb2 Corpus 564 DESCRIPTIONES Corpus reptabundum , depreffum , minus! ven-- tricofüm , quam marmotis, flexile et per angufta fpatia facile penetrans. ^ Pe//s tenuis, laxa , praefer- tim ad armos atque femora. Arius tenuiores, quam in marmota; palmae tetradactylae ; vnguiculo pollicari conico , infigniter prominulo, magis quam in marmota ruthena. P/an- 14e pentadactylae tribus mediis fübaequalibus. euer nigri ; compreffi , acuti, palmis longiores. Cauda pofticis artubus breuior , linearis , füb- annulata (murino more), íed pilofifüma , villisque longis in latum fparfis íciureae aemula, maxime quum iracundum expandit illam animal. Vellus breue , laxum , fatis molle; vertex pi- lis fufcis, extus albicantibus canefcit ; fed nafus, la- tera roflri, tractus füpra ciliares et oculorum cum genis, auriumque ambitns luteo ferruginefcunt ; in- tenfius nafüs , füpercilia , et macula füb oculo. Corpus fupra totum pilis extremo albidis, an- nulo füfco notatis, imo gryfíeis mixtipile, cane- fcens , aliqua flauedine. ^ Subtus corpus e flauefcen- te album , rudiori vellere veftitum ; fed collum an- te armos, et pedes quatuor lutei. Caudae villi cor- pori concolores , vnde ex luteo extus albicat , fufco immixto. Feminae in dorfo paulo magis lutefcunt , et caudam habent villofiorem. — Papiae a finu axillari ad QVADRVPEDVM ET AVIVM. 565 ad inguina vtrinque. oco, aequidiftantes , praeter inguinales viciniores. — G/andulae diflin&tae lactiferae ad finguiam papillam. — Seroiums wmafculis nudiufcu- lum, füícum. . Z4azus citillis, vti marmotae , fub compreffionem ventris tribus papillis conicis extror- fum riget, quae in ftatu contractionis totidem finus febaceos intra ipfüm marginem orificii conftituunt. Longitudo maícualorum maiorum, ab apice na- fi ad ortum caudae , folet effe ro pollicum ; in fe- minis 9g pollicum et aliquot linearum, etenim mi- nores quamuis hae , longitudine tamen corporis vix cedunt mafculis. Cauda huic fpeciei & poll. zo lin. in maribus pariter atque feminis; fed villus extre- mitatem adhuc pollice et vltra exfuperat. Panniculus. mufcularis in. dorfo iafignis, vti marmotis et dorfum antumno totum fub panniculo pinguedinofuüm. ^ G/zndulae thymo analogae ad col- lum , fub muículis pectoralibus, et thymus maxi- ma, vt in iisdem. — Foeor aperti abdominis , item vt in marmotis, infignis. —Omenta , vt in illis, lumbaria pinguiffima , a latere vifcera obuoluentia ; Omentum ventriculi vero circa ipfum ventriculum conuolutum. Hepar tripartitum ; Cyf/is maiufcula, globofo- adtenuata; bile faturatiffima turgens. ^ Liem medio- cris , triquetro- depreffus. Veiriculus , coecum , et. co- * conduplicatio , vt in marmotis. Temus inieffini Bbbb 3 Longi- Defiriptio. Fig. 2« 566 DESCRIPTIONES longitudo circiter tripedalis; Colom a coeco vsque ad anum 20 pollicum. In genitalibus ma(culis maxime notabiles g/a- dulae duae globofae vtrinque ad caudam fub pelle haerentes, durílimae , in aqua ruptae eructantes ge- latinam hyalinam,, tenaciffüimam. — Hae ampliffimo canale effunduntur in vrethrae portionem dilatatam, intus lacertulis quafi pinnatam. | G/ans acuminata, margine agariciformi cincta, apice rigido , continens. ofüculum incuruum , extremo ípatulato atque denti- culato extra cutem prominulum, vix longitudine ; liueae. — l'eficulae. feminales. fimplices, triquetra portione terminali replicata fupra inferiorem. — T2/fes maximi. Fu/ua feminae fimplex , clitoride papillari , terminata officulo vnguiformi , denticulato ; minu- tifimo, vti mafculae glandis. ^^ Veri cornua per omeutum lumbare decurrentia ; foetuum — inaequali plerumque numero grauida. —P/aeemtae craffae , fim- plices, orbiculatae. — Sed longum foret omnia proa- fequi, in animalculi curiofifümi ftructura. Ad minorem accedo Varietatem guttatam. — Pon- dus his etiam autumno , cum funt pinguifhmi, viX vltra decem vncias; et pinguedo omnis deglupta in talibus ponder:bat vncias duas et aliquot drach- Jas, praeter omenta, larga quidem et albiffima , fed lenifüma pinguedine farc , quorum pondus fuit drachrrarum tantum quatuor cum femiffe. — Animal, nifi magnitudine et colore, plane non a priori di- verfum, QVADRVPEDVM ET AVIVM. 5367 verfum, Col capitis et dorfi magis ad gryfeum fufcumque declinans ; in capite fticticus , vti maiore varietate ; fed in dorío albedo fere omnis collecta in maculas diftinctas , orbiculares , quae pellem elegan- tifüme guttatam reddunt. Praeterea ambitus oculo- rum albefcit, naíus pallide lutefcit, vix ferrugi- nefcunt fupercilia ; fed litura infra oculum lunata intenfe ferruginea, Latera colli et pedes, maxime antici lutei, non vt in altero, rufefícunt ; contra vero prona corporis facies non albicat, fed tota Obíolete lutefcit; tantum gula late alba. Cauda wti iam monui, longe breuior, et pilofiffdIma quidem , fed pilis ftrictis atque breuibus teres, nec lanata. Et hic coloris et corporis habitus plusquam in du- centis fpeciminibus a me examinatis aeque conftans fuit, quam füpra defcriptus maioris varictatis , cu- ius pariter aliquot centenos mihi ceperunt ruftici , in loco a priorum patria non multo plus quam centenis fladiis Ruflicis (milliariabus germ. ferme r5.) diftante. Neque vnquam in eodem loco varieta- tem vtramque obtinere potui. Longitudo mino- yum fíümma fíolet effe nouem circiter pollicum ; fed multo minores nafcuntur feminae. — Caufa in maximis tantum linearum | quatuordecim — polli- cis. Interraneorum conflitutio ita per omnia fi- milis, vt iterare femel iam dicta fuperuacaneum foret. II. Fig. 3. 568 DESCRIPTIONES IL. MES TALPINFS. Datur animal in regionibus auftralioribus Ruf- fiae , ad occidentem Volgae fitis , mole fere Citilli vel Sciuri, quod füb terra continuis cuniculis ince- dit, et magnos cumulos egerit ; coecum , auribus deftitutum , natura tamen et characteribus omnibus a murino genere haud abludens,. Mihi quidem ad- mirandum hocce animalculum fübterraneum ,:quod- que Zoologos hucusque omnes latuit , non occurre- bat, nec nifi pauca eius exempla a Socio itineris Academiae | Imperialis. Adiuncio et Med. Doitore Dn. LEPECHIN circa Saratouam le&i vidi; fed aliud defcribam ifli, praeter magnitudinem fimillimum ; et adeo analogum , vti citillns marmotae, a qua pari etiam gradu magnitulinis differt. — Mirum eft, vulgatifümum hocce animalculum , quod etiam Ger- maniae quibusdam regionibus inquilinum eífe cio , a nemine hucusque Zoologorum indicatum fuiffe. In campeítribus auftralioris Ruílae et, quantum exquirere potui , Sibiriae nusquam mon datur, et arida quoque deferta. non: reformidat, quamuis in herbidis , fübtumidis et iis praefertim locis maxime abundet, vbi Phlomis tuberofa vel Lathyrus tube- rofus copiofe crefcunt ; quorum in radice tuberculis maxime delectatur , vario ceteroquin radicum gene- re vicitans. ^ His vt potiatur , fub ipfo caefpite et füuperficie terrae cauos canales per longos tractus fodit, íesquiorgyae vel maiori minoriue interuallo pertundens caefpitem et terrae cumulum talpino fi- | milem QVADRVPEDVM ET AVIVM. — s6g Thlem , fed longe minorem , et fpithamalem vix diametrum -fuperantem egeftans, ^ Hoc labore prae- fertim vefperi et füb auroram "occupatus. obferuatur Mus talpinus, et totam forte noctem in eo coníu- mit. No&u etiam cuniculo relicto migrat, alio- que denuo loco propter quaerendum pabulum et latebras , fefe füffodit. —Interdiu vero nusquam ap- paret ; ceterumque folitariam femper vitam agit. Nidum aeflate certum vix nifi femina babet, et de huius quidem nido et partu mihi non conftat. .Ac-: cepi et verofimile eft, vere adulto parere et nidum e molli gramine fubterraneum: parare pro pullis. Hoc certe noui , ad- hyemem ' vel fub foeni aceruis in campo hybernaculum quaerere , murem talpinum, vbi faepius verno tempore vidi , ablato foeno innu-: meris canalibus quaquauerfüm fulcatum ' et — perfof- füm caefpitem , .comeftasque radices;. vel fi huius- modi defit auxilium pro hybernaculo fibi fodit loco aliquo depreffo cuniculum , ad vlnae vel fesquiulnae: faepe profunditatem , quem egeftae terrae' vndique! infigniores cumuli produnt, et in quo: effoffürum. etiam radicum fibi paenum , peculiari cauerpula ef- foffa, colligere certo fcio. Facile capitur animaleulum ;,' fi fit patientia. In locis vbi recentes cumuli terrae apparent vefperi vel primo mane vigilandum eft, et leni greffu ac- cedendum ad locum vbi tunc plerumque animalcu- lum ofítio in caefpite faco terram fumma agilitate * Tom. X1V. Nou. Comm. C ctc egerere 570 DESCRIPTIONES'. egerere videas; Dum in hoc eft, canalis fübterra- neus, cuius directio fücile ex prioris diei cumulis cognofícitur , infixa fpatha intercludendus , et manu cito inde ab oftio auferendus caefpes; fic animalcu- lum quod in füo canali vsque. ad fpatham . receíüit , viuum capietur. — mo digitis in ipfo oftio captum fuifle fcio ; namque oculis minutis adítantem homi- nem. non videt; auditu folo pollet — Captum vo- cem. edit nullam ,. .neque maximis fuis dentibus. ad. defenfionem vtitur ,, breuique et lcuiffima e caufa: moritur. XRufticis vbique notum. eft fub nomine vago Slepufcbt[cbonka ,.. quod coecam fignificat ,. vel magis fpeciei appropriata denominatione .Semljaroika, quod terrae fofforem denotat, Ianocuum hucusque eft, defertis et vaftis praefertim | campis . addictum ;. fed. horticulturae infeftiffimum . effe animal, quod. plantarum culinarium, radices corrumpit, et multo. maius damnum infert, quam talpa, quae in pro-. fündiori terra. lumbricos quaerit, Germanorum hor- ti fatis experiuntur , vbi füb nomine RáZrmauf pas- fim notum ,. fed a nullo tamen Zoologo vifum et defcriptum fuit. Deftriptio Magnitudo muris talpini fere quae Muris am- Kg. 3. pbibii, quem: etiam facie et forma aliquantum refert mutatis fcilicet, quae. propter fubterraneam vitam. mutanda fapiens Natura coaptauit. Poszus drachmas decem 1arius, nec vnquam vndenas excedit. Cap QVADRVPEDVM ET AVIVM. — s7« Caput grande, fübrotundum ; roftrum breuifüi- mum, craffum retufum , lateribus hirfutiffimum. Nafus ;plane non prddiétuá truncatus ,' didymus , fufcus, nudus, fares conniuentes , diftantes. Labium fuperius vsque ad nares late biparti- tum , hians, dentesque fuperiores vsque ad ba- fin detegens , ab vtroque latere vero tumidulum, pubefcens, intraque os conniuens et co&uns, palato pone dentes primores deficiente. I»ferius labium crafum , dentes vaginans , "vt in congeneribus omnibus. | ! Denies primores fuperiores denudati, quafi ex- tra os porreci , magni , interius plani, làtaque acie terminali rotundata. — Mo/ares. Myflaces nigri, breues, deorfüm vergentes , per hir(uta roftri latera fparfi , 5 fere ordinibus, Pun&um fupraoculare tripile , paroticum | et. gulare vnipiles ; pili fparfi per inferioris labii ambitum. Oculi vertici , et. nafo propiores , minutiffimi , vellere ferme latentes, nigri. 4urium apertura me- diocris , vellere obumbrata ; / poliseius margine prog- eee marginata. Corpus breue ventricofüm ; arius breues, roe buftifümi. Pedes nudiufculi, albidi, omnes penta- dactyli , digitis fubsquamatis. Palmae maiores , latae fofforiae, digitis interioribus fenfim longioribus, Ee pollicem breuiorem, Palmae plantaeque ex- Céécis terius Zootomi- 40. 572 DESCRIPTIONES terius ad digitum vsque pis rigidis , deflexis , crc- bris ciliatae. Cauda bteuifhma , teres , truncata, vix alte vellere .clunium | eminens. 7 ells murinum ,. te- nerum , molle , circa clunes et caput denfiffimum , fub armis et in ventre rariufculum aeftate, hyeme vero vbique largum. — Cobr capiti , praefertim circa roftrum fubater , mentum albet; reliquum corpus fupra fufco gryfeoque mixtum murinum , verfus latera, magisque fübtus et in artubus caneícens. Varietatem | coloris ,| eodem anni tempore , notaui; quidam magis gryfíco mixti et murini pla- "ne coloris funt, alii nigriores, imo dantur carbonis "nflar toti atri. -Hanc coloris naturalis in nigrum tendentiam in animalibus fübterraneis variis Natura .prodit. In mure terreftri BvFFONIVS obferuauit , .et ego Cricetos toto vellere , praeter album os et .pedes, aterrimos fimulque nitidiffinos , in quibus- dam auftralioris Ruflae regionibus, v. gr. circa oppidum Simbirsk ,; copiofiores fere effe vulgaribus luteis , pallido maculatis, admiratus füm. Cum his tamen mifcentur, vnoque faepe partu nafcuntur neque diftin&am conftituunt fpeciem. Longitudo integri animalis, quod defcribo, 3 pollices et 9. lin. non excedit ; capitis menfura. x^. 29-75 audae Vti facie externa, fic et interaneis mus- tal- pinus, cum mure amphibio magnam affinitatem habe t. QVADRVPEDVM ET AVIVM. 575 habet. | Corpus macilentum ,. pinguedine. parca ad armos et inguina colle&a. | Ceruix muículofifima , glaudulisque; collo. circumpofitis | aucta. — Izguinales glandulae ,, quae vniuerfo murino generi , huic ge- minae , altera minuta. Omentum exile , pinguedine fere deftitutumi. Veniriculus cylindraceus , fündo maxime productus, antro pylori ad ipfum oefophagum recuruato. Ir ieflinum tenue, a pyloro ad coecum ampliufculum , 1r pollices aequat Coecuz maximum iun fpiram contortum, obtufüm ; Co/i initium oblique ftriatum , in flexus figmoideos contortuplicatum , excrementi- tius denique canalis 3/. 8/^ et calami fcriptorii amplitudine. | Hepar multilobum et cyítis omnino nulla bilaria. Gezii2Za exilia; autumno. teíles ma- ribus vix lini femen aequantes, in finu annulorum abdominis litentes, In J/ce/ero. cranium. maximum , coftae tantummedo duodenae. IIl. ERINACEFS$ AFRITPFS. Eelegantifmam et minime notam Erinacei fpeciem ad inferiorem Iaikum aliquoties inueneram a4 Falconibus*femidilaniatam , et tandem viuam ob- tinui in nemorofa ripa inter excubias Kofchacharof et Budarin , Septembfis 5, 1769, In genere autem in auftralioris deferti fruticetis , a. quinquagefimo circiter fecundo gradu latitudinis , abundare dicitur, et in vulgaris Erinacei, qui rarior ibidem occur- Cces.d rit, $74 DESCRIPTIONES'" rit, locum fuüccedere videtur. Similitudo cum vul- gari fümma eft , ita tamen diftinguunt Auriculae fregrandes nouam noftram fpeciem, vtalio charactere vix opus fit. Accedit quod femper paulo minor reperiatur , et puritate atque mollitie vrbana velle- ris inferiorem corporis faciem obuefüentis, rufticum . Erinacei vulgaris habitum antecellat. Defcriptio. Pondus decem vnciarum | non excedit haec Fig. 4. fpecies , omnibusque partibus, wt dixi , minor eft Erinacco . vulgari. — Roffrum paulo produc&ius et argutius, quam in illo, füpra conuexum, fübtus bicanaliculatum apice nudum. afus apice profün- de didymus, niger; nares lunulatae, loogitudinales , margine exteriore reflexo prominulo , crenulato. Maxilla inferior multo breuior, triangularis. Labia nudiufcula , carneola ; rictus ad oculos vsque refciffus. Dentes primores maiores vtrinque duo, diftantes , füperiores quidem magis, inferiores ta- men non adeo vicini vt in Erinaceo vulgari, Cami- "i infra continui vtrinque tres, medio maiore. Supra maior cum minuto vtrinque , et remoti ab inciforibus et molaribus, Mojlgsres inferne vtrinque 4, quorum primus et poftremus fidi, reliqui amuliicufbides 5 fupra tres maiores, et feriem vtrin- que claudentes minores duo; praeter accefforium anterius conicum , caninis maiorem et fimilem. Myflaces quatuor ordinum longitudinalium füfci pili infriorum ordinum poftici vltra aures - pro- ducti. QVADRVPEDVM ET AVIVM. 55$ duci. In labio inferiore vtrinque pili tres, longio-. res, albidi, ferie difpofiti. — Verruwa gulae bipilis , fupraciliaris bipilis , et pone oris angulos vniíeta. .. Oculi paulo maiores , quam Erinacei vulgaris, Palpebrarum ambitus, nudiufculus, fufcus; margines extus nigri. lrides füfco lutefcentes. ^ Periopbtal müust ad medias fere corneas extenfile. Auriculae maximae , . patentifümae , — ouales , flaccidae nudiufculae , ambitu füfcae , interius pilis albidis teneris pubefcentes. Margo auricularum in- terior fubreflexus ; 4/riuz auditorium extus pilis obuallatum , füperius terminatum /gze/l* auriculae interius transuería , medio productiore rotundata. Arius paulo longiores et graciliores , quam in Erinaceo vulgari , extremo | nudiufculi , fubsqua- mati atque fufci. Peder omnes pentadactyli ; volae pulpofae ad digitos , ipfisque digitis. tumidulac. Cauda breuior , quam Erinacei vulgaris, fufca nudiufcula murinae inftar fubannulata, bafi craffiufcu- la, apicem in acutum adtenuata. Tejfiudo fpinifera conuexa , ouata , in verticem vsque productae /pimae teretes, bafi tenui recuruatae ceteroquin recae; fufcae annulo ad apicem et verfüs bafin albicante ; vnde color fere qualis ia Erina- ceo vulgari. Capu; pilis rigidioribus, gryíco-fordidis, in rofiro et circa oculos fubfuície. Subtus vero corpus n Zootomi- eg. 876 DESCRIPTIONES corpus totum cum artubus, et aliquousque füprd: caudam , vellere albo, molli veftitum. Longitudine animal totum aequat 6. poll, et fcre 9 vncias meníurae parifinae ; caput cum roftro 1^. r15;//, aequat, auriculae longitudine 1//, 47 latitudine 1^. 1/^, cauda non plus, quam *7'/7. Omentum ad hypogaftrium | defcendit; /obulus pinguedinofus cardiacus diftin&us , didymus, epi- gaflrium obtegit. —Fentriculus fere globofüs , füpra bicornis oeícphago in medium inferto , et duodeno dexteriore. Inzeflinum. a pyloro ad anum fub aequa- bile, laxum , longitudine 2. ped. ro. pollicum. Hepar mediocre , tripartito - fubfeptem - lobatum Cyflis iufignis, ouata in finu loborum femirecondita. Renes fitu füboppofiti , dexter tamen paulo altior ad fpinam. C/zorif feminae fungiformis intra aper- turam vaginae prominula , plicaque lunata cucullata Pulmones | magufculi. fecandum. amplitudinem | infi- gnem thoracis; finifter indiuifus, dexter maior trilobus. Cof/ae in fceleto 14. caudae articuli cir- citer 12. Corpus pinguiffüinum. Totius animalculi dor- falis pinguedo quintam partem totius ponderis ex- aequabat. ( Vnc. r. drachm. 6.). Praeterea nota- bilis eft, in noilro pariter et vulgari Erinaceo, apparatus fingularis g/andularum , quas mutritorias forfan appellare poffis: Omnia fcilicet animalia , iim hyeme torpent, vti Marmotae, Citillus, vefper- tiliones, QVADRVPEDVM ET AVIVM. 577 tiliones, Glis, Erinacei ; fub. armis et ad collum latiffima habent glandulofa corpora , acinofa, facie et fubflantia Thymo: eorundem animalium fimillima et 3 pinguedine diftin&iflima. Solent duo füb gula, duo alia paulo inferius ad collum , prope fíternum duae item pe&oralibus mufculis vtrinque fübftratae , et ad axillas dorfümque exteníae, imo faepe adhuc aliae vtrinque inter fcapulam et ceruicem adeffe, Cum aliis animalibns , hyeme pariter atque aeftate vigentibus et cibum capientibus hae glandulae de- fint, vero fimillimum eft, illas ad nutriendum , et fuftinendum , durante fopore hyberno, corpus et fubigendos forte fuccos deftinatas effe. |^ Imo forte víus CThymi in foetubus inde fàcilius explicabitur. Aderant in noftro Erinaceo omnes iftae glandulae et fimul füumtae pondus circiter 89 granorum exple- bant, Hyeme ergo Erimaceus uritur pariter ac pulsaris fopitur , admiranda naturae lege; quam aeftate quoque in minoribus animalibus, Citillo , Glire , Erinaceo , Vefpertilionibus , artificiali frigore in cellis glacialibus, imitari didici, ^ Animalcula enim ifta viuidiffima , fi per nocem in eiusmodi cellam inclufa reliqueris , fequente die iam torpent, €t luce tertia plane ítupent, ita vt fenfü, etiam ad vulnera, fere careant. Obferuaui tunc calorem fanguinis in Erinaceis praefertim vsque ad. 145*. fcalae De 7 lslamae deícendiffe ; dum a&ris externi temperies erat ad minimum 125^. Imo aeftate -etiam naturali in flatu vix 28 gradibus atmoíphaera Tom. XIV. Nou. Comm. Dddd calidio- $48 DESGRIPTIONE$S calidiores effe folent Glis et Erioaceus, omnesque ilius mutationes calore fuo fequuntur. Fateri tamcn debeo, in marmotis cicuratis praedictum experimen- tum inutiliter me tentaffe. Imo praeterita hyeme (1768.) rigidifimo gelu expofita marmota, per duos et quod excurrit menfes, neque cibo abítinuit, neque torpida eít facta, et calorem fanguinis ferua- vit paulo füpra 935?. íed ferae marmotae, quas captas habui; ad leuiffürnum frigus torpidulae et fomnolentae fieri folent ; et Citillus , marmotis maxime confanguineus , qui aeftate fupra 92^. cale- re folet, fi tantum aqua frigida perfündatur, fit flupidiffimus , et vsque ad rrs5?^. vel rro?. frigefcit inque glaciali cella depofitus certifüme —obdor- mefcit. Praeterea hoc in Erinaceo noftro, aeque ac in vulgari , obferaabile eft, quod cum praecipuus eorüm , praeter cadauera victus con(üítat in infectis e Gryllorum et Coleopterorum genere , a natura, cautum fit, vt ea quoque infecta , quae fale acerri- mo , veficatorio et paene caufítico fcateant, ab his animalculis , fine noxa, copiofe ingurgitari poffint, imo gratiffmam ipfis efcam praebeant. Vidi enim (et quilibet experiri poteft in fpecie vulgari ) can- tharides, quibus medici vtüntur ( Meloidesué fica» gorias) wltra centum imo pafta ingerentes nec quid- piam inde mali paffos Erinaceos , quum tamen cas nés et feles horrendis tormentis afficere , umo in- terfi- QVADRVPEDVM ET AVIVM. — 579 terficere multo minori numero haec infe&a foleant. Vnde nouum elucefcit Naturae omnia profpicientis et ad fines inftruentis mirifice varios argumentum. IF. AN AS RF TILA. Pulchritudine coloris et elegantia formae in T»b.XXIL fuo genere illuftriffi0ma auis, quam mazem rurilam Pe tr dixi , apud auctores non occurrit ( * ), in auftra- lioribus tamen vniuerfae Ruffiae atque Sibiriae co- piofa eít. Dicitur ad Tanaim occurrere et peculiari nomine illic appellari; Volgam inferiorem copiofe ànhabitat, ibique, vt et ad Iaikum Rufficis nomini- bus Krasnaia Vika (Anas rubra) et Karagaika om. nibus nota eft. In Sibiria vero Turpan vel Norowoi Gus et Tataris quibusdam arb. vocitatur, finitimas- que auflrro regiones ibi quoque íeruat , vix vnquam in latitudine boresliori quam 55 graduum obferuata et quo propius auflro defcendas , eo copiofior. Eft enim earum e numero auium, quae hyemem in 'calidis .Perfiae et Indiae regionibus tranfigunt , et "vere ad nos commigrant prolis fub temperatiore coelo generandae caufa. Pro nido tunc quaerit vel praeruptarum rupium Volgenfem paffim ripam ex- 'afperantium cauernas et fiffüras , vel antra, in col- 'liculofis defertis a msrmotis olim effofa, imo ipía Dddd2 quo- .(*) Poffet confundi cum anfere aegyptiaca Zriffui, quem adeo citare volui, Omithol Edit. Belg. Pol. 1. pag. 89 | 580 DESCRIPTIONES quoque more Tadornae fubinde cuniculum fibi fodere dicitur, Vifa etiam eft in cauo arboris trunco nmi. dum propriis plumis ftrauiffe. Monogama , vt con» generes omnes, viuit et aquas propter vicum al- tcrnatim frequentant mas et femina. ^ Oua ponit nouena circiter , alba, anatinis maiora, polita ; Pullosque exclufos roftro ex ala fublatos ad aquas rapere fertur, Ad Volgam. a curiofis conquiri folent oua, et domefílicae anati excludenda fíubponi vnde domeftica facta proles in vrbibus paífim occurrit, nunquam tamen mole et pulchritudine fpontaneae par, nunquam feritatem deponens, et plerumque quando adulta eft, nifi diligenter alas refeces, liber- tati fefe reddens. — Neque fi captim retineatur fpeci- em multiplcat , fed oua in abditifümos quosuis an- $ulos abiicit et fpargit. Volatus propter alarum magnitudinem leuis et fine flrepitu. Inceffus elegans etexpeditus. .Ma- xime fingularis autem eft vox huius auis, quem excitata inter volandum continuo iterat, cornuum muficorum (C/arinettes) , fere aemulum. — Alia vox in cicuratis mafículis vefperi et mane exaudiri fo- let, pauoninae fübfimilis. ^ Alio tempore rariorem edunt , quafi galli breuiter cucurientis fonum. . In genere minus timida eft auis, neque hominem con- Ípectum ftatim reformidat. ^ Occifo mare, vidi fe- minam diu circa venatorem , continuo clamore ob- volitantem , nec nifi tertia fclopi explofione regione / A * 1 in QVADRVPEDVM ET AVIVM. 581 in qua nidus erat, plane depulfam. Inter fapidiíh- mas ceteroquin ex anatino genere meofarum deli- cias laudanda eft, nec minimum fpiículenta , quam- vis pifciculis faepius paícatur. Magnitudo fpontaneae auis fupra domefticam Defrriptio. anatem , et mofchatae fere par; maior autem vi- Tab.XXIL detur ob proceritatem. pedum et alarum magnitudi- Fig. r. nem. Rofirum anguftius , femicylindricum nigrum , maxillis laxe coeuntibus. — Irides oculorum e . fufco vix luteícentes. — Periepbtalmü et palpebrarum mar- gines nigricantes, Caput cum initio ceruicis albet, fronte et ge- nis gulaque vix lutefcentibus. Collum inferius fer- ruginefcit et in maribus torque cingitur infigni atra, ad ceruicem paululum defcendente , interdum fübre- ticulata , quae dee(t feminis. : Iugulum et criffum intenfiffime rufa, venter obfcurus , pecus atque la- tera dilutius rutila; dorfum inter fcapulas ct alae ípuriae adhuc dilutiora. — Poftica dorfi cano füfcoque obfoletifüige vndulata ; vropygium vero atrum et cum cauda leuiter rotundata , quatuordecim reéctri- tibus compofita , fplendore viridefcente nitidum. AMlarum remiges primariae atrae , fecundaríae (x1. 22.) exterius viridi fericeae , violaceo varian- tes, interius extremitate nigrae ; vweríüs bafin ali- quae albae , fübpulueratae. —Iurimae (23-27.) extus Ddddsg . | ferru- Tab. XXII. Fig. 2. 582 DESCRIPTIONES ferrugineae , fenfim dilutiores , interius canae ; fed 25 fufca. Tectrices fecundariae, cum tota bafi ala- rum albae; folie incumbentes apice luteícunt. —.S'ub- ius tectrices primariae , albae , apice nigro, fecun- dariae albae ; fed aliquot intimae , clongatae fufcae. Pedes longiufculi nigri. Longitudo extenífae auis a roftro ad vropygium eft vnius pedis, quinque pollicum cum dimidio ; caudae 4/^/^. 9^". | Expaníae alae tres cum dimidio pedes excedunt , et compofitarum , caudam exae- quantium , vlna 1^. 1^. 4^", explet. Labyrintbus tracheae in mafculo vix pifo ma- ior Inteflinum decem e dale , /coecis inftru&tum fe- mipedalibus ; reliqua haud infolita. F. STERNA CASPIA. Iure Cafpiam Sternam appellari puto , quam nullibi praeterquàm — verfus ipfum mare cafpium et circa oftium Iaici obferuaui , vbi apud Ruffos inco- las nomen T/ebagraua , (warpasa) obtinuit. Pifca- tur et in mari et in fluuio, lari atricillae fere more, in aére füfpenfa et teli inftar fubinde deuo- Jans, vcl et hirundineo volatu vndas ftringens. La- ris immixta , ripis et infulis copiofe infidet , et in- ter alias aquatiles aues in nudo defertarum — iníüula- rum íolo ouz ponit maiufcula , füfco maculata. Ce- terum oribus, ftoliditate , facie et colorum. com- pofitio- QVADRVPEDVM ET AVIAM. 585 pofitione cum plerisque fternis. noftratibus conuenit , fed maguitudo ea eíl, vt etiam neglectis. reliquis characteribus ad di(tinguendam fpeciem fufficiat. Mole larum atricillam excedit ; pedibus fere , Epio. vt ille, procerioribus ingreditur. | Rof/ri forma qe Fig. rnm nas exprimit , íed magnitudine vincit; compref- fum illud eft, conuexum , carina tamen fub- angulatum , integerrimum et faturate rubrum JVa- fe$ a ba( roflri remotae , oblongae , totae peruiae €t nudae, quamuis a fronte plumae rofítri bafin ali- quousque obueftiant. Oculorum irides obícuxae. Caput fupra totum vltra lora et oculos et VSque in ceruicem nigrum ; attamen plumarum api- Cibus albicantibus , maxime in iuniori aue adíper- fum ; in biennibus magis nigret vertex et apicibus M osa: canefcentibus fpargitur. Tempora pone eculos in omnibus late nigra immaculata. Auis fubtus tota niuea eft. Dorfum vero leu- tophaeum , colore magis exíoleto , quam in fterna hirundine et laro atricilla, et in adultis quidem immaculatum. — Azmiculis vero , qualem icon noftra exhibet , contermina ceruicis pars, liturio fuícis ad- fperíia, alae fpuriae vero moris fagittatis , nigricanti- bus diftinguuntur. Alze longiffimae anguftae , caudam longe ex- cedunt, Remex prima, minutifüma, füíca, apice alba. Tab.XXII. Fig. 3- $$4 DESCRIPTIONES alba. Reliquae primariae 9 cum tectricibus fufcae et niueo quafi rore candicantes, a longiffima fecun- da cito decrefcentes, Secundariae 15 breues , adhuc magis canefcentes, et albo terminatae. Cauda Vreuiufcula , profünde forcipata ; reri- ces füíceftenti canae , interiore latere albae ; mediae latiufculae , extimae elongatae , anguítae. - Pedes longiufculi , fübrubicundi , fufci. Digi- tus interior Dreuior, breuiffimus pofticus ; Vvngues nigri. Longitudo auis a fümmo roftro ad vropy- gium tredecim pollices , roftrum ad angulos oris vsque tres fere pollices, cauda extimis pennis quin- que circiter pollices , fed alarum vlna quatuordecim, €t quod excedit pollices aequare folet. FI MOTACILLA LEFCOMELZA. Motavillam — leucomelam | montofi praeruptique tractus propriam fibi vindicant, qui Volgae infe- rioris dextram ripam maxime conílituunt, | Copio- fam fatis praeterito vere obíeruaui in rupeftribus inter Samaram et Sysranum vrbes, neque poflea vípiam vifi. fuit, ^ Elegantifüma auicula mas eft, et feminae iti diffümilis, vt nifi e cauda haec, vix dignofceretur. Circa ripas veríari ct vermiculas le- gere folet; ad pagos etiam accedit, truncis arborum et faxis paffim infidens et hirundineo ferme . garritu cantillans. Vti pleraeque motacillae, hominem pro- xime QVADRVPEDVM ET AVIVM. 585 xime admittit, et minime timida eft, íed excitata íemel inquietior vagatur , confidensque alas crebro, et fübinde caüdam motitat. — Inter volaadum vero pipitus idem , qui ab hirundine exauditur. — Vidula- iur, praefertim in rupium praeruptarum cauernis , rimisque , et inter confragofa faxa, rubetrae ad in- flar; verum circa pagos quoque imo ecclefiarum füb tecto nidum infltruxiffe obferuata eft. Magtütudine conuenit cum motacilla flaua. Defrriptio. Roffrum nigrum , bafi latiufculum , apice vtrinque T2b- XXII. fübemarginatum. — Faux lutefcens. Fibrifae finus oris Bg. 3. bifetae. Nares denudatae , ouali oblongae , patulae, exiguo lumine peruiae. Lingua membranacea , fufca anguíla, extremitate lineari bifida. — Pa/pebrae nigrae. Periopbtaluium albefcens. Irides obfcurae, Vertex albidus , plumarum extremis plus mi- nus fuliginofo inquinatis; ceruix candidior. ^ Reli- quum caput et collum fübtus vltra medium ater- rima, in genis tamen et gula limbis plumarum albicantibus. — Subzur a iugulo auicula tota, item- . que poftica dorfi , candore intemerato niuent. Inter alas dorfum et bafes alarum atra, plumarum lim- bis gryfeo-albicantibus. Remiges x9. te&ricesque , fufco - nigricantes , exteriore margine obfoletae , interiore verfus bafin Tom. X]V. Nou. Comm. Eecee albi- 586 DESCRITIONES albicante. Subtus brachia alba , antico margine fü- fco - fubíquamata. - Cauda longiufcula , aequalis , recrices duae mediae füíco -nigricantes , teca bafi albae , latera- les omnes niueae , extremo abrupto atrae, €t ni- gredine exterius altius adícendente, praefertim in extima. Pedes longiufculi , tibiae tantum inferius ali- quot loricis annulatae, caeterum laeues, vt in mo- tacillis effe folent. ^ Auricula in longitudinem a fummo roftro ad vropygium menfürata 5 poll et 1o linearum. deprehenía eft. Cauda o/^. 4^". Expan- fae alae 9/7. x17. Alarum compofitarum vlna di- midiam caudam vix aequans 5^. 5/^".. Pondus aui- culae , plusquam femunciale effe folet. ; Femita colore diuerfifüna eft a mare. —Su- pra nempe tota furua , (eu fufco - cinerea , capite et ceruice paulo dilutioribus; fubtus cineraícens , iugulo colloque ex gryfíeo cinereis. — Duc&us füpra- ocularis a roftro albicans Cauda fola vt in mafcu- lis — ratome nihil] notatu digni babet: contenta ventriculi Coleoptera varia minuta ct maiorum fragmenta efle folent. | VII. QVADRVPEDVM ET AVIVM. 5837 FIL. LOXIA ERFY THEINA. In filuis et arbuítis denfiffimis habitat loxiae Tab.XXIH fpecies , quam ego primum ad Volgam, MrssEn- F3 : SCHMIDIVS olim in Sibiria circa Tomum fluuium patlhm obferuauit , et füb Pafferis Erytbraei nomine in Ormiibolgio manufcripto recenfuit. Ad Volgam et Samaram vulgatiffima eft, ct fub nomine Paffe- ris rubri (Krasmoj Verobei) vel knticulariae ( TJcbe- Ifcbewiza ) notifüima. ^ Mas incondito et breui car- mine cantillat , et ftultitia compar eft Emperizis. Femina pulcritudinis mafculae expers nidum inter arborum ramos foenilem ftruit. Hyeme cum Em- berizis niualibus circumuolare vifa eft haec auis, verum rarior tunc occurrit. In genere autem fe- minibus plantarum pafcitur , vti Fringillae. Magnitudo Chloridis , fed caput minus gran- Defriptio: de. Rofirum fufco - corneolum , trochiforme - conoi- 145 XXIII deum , breue , craffüum , maxilla fuperiore fubarcua- aiu: tà, inferiore ventricofa. — JVares dépreffae bafilares , fetulis nigris , bafi gryfeis, a fronte procumbenti- bus tectae. Pili aliquot teneri füpra oris angulos, Maribur lora gryíeo - cinerafcunt, fed cepur reliquum , cum «o//o et iugulo , extremis plumarum dete&is intenfiffüme cinnabarinis , tota rubent; bafis autem plumarum in capite füfca, in collo fubtus albida. Ceruix et dorfum cinerea , rubore obfoletio- : Eee rc ($8 | DESCRIPTIONES re obducta , veftitrices alarum cum tectricibus remi- gibusque íecundarüs füícae , margine exteriore ex albido rubefcente feu carneo. Remiges r8 primariae cum tectricibus fufcae , margine luteícentes. ^ ropy- gium intenfius cinnabarinum. ^ Tegeres caudae cine- reae , extremitate ruffulae,. —Subius auis alba , pe- - é&tus et latera leui rubore perfüfa. ^ Cauda fubforci- - pata, rectricibus fubacutis fufcis, rhachi et margiue lutefcentibus. Pedes corneo-fuícidi. Femina fupra tota cinereo flauefcit, vertice fubliturato vropygio et pennarum alae marginibus flauefcentibus ; latera capitis albidiora. ^ Gu/a alba; per collum liturae exiguae fparíae Oobfolete füfcae , verfus iugulum euanidae. —Rerices obfoletius fufcae, margine gryíeae, Solo roftro et habitu corporis ad marem refrenda, colore maxime diffimilis. Pondus suis vix drachmas quinque excedere folet. Longitudo a roftro ad vropygium aequat 3 poll. 9 lin. Cauda 1^/.2/". Alae expanfae 8^. 9/7. VWlnae alarum 2^". 11/7. ]n fcmina alae pau- io maiores effe folent. . FII PARFP$ CFYANPFS. "Tab. XXIII - Praeter Paros Europaeos notos omnes, qui Fig. a. per Ruflie atque Sibiriae fyluas etiam feptentriona- ; les QVADRVPEDVM ET AVIVM. 589 les (5 abundant, elegantiffima inde a Volgenfibus re- gionibus datur auicula, cuius patria, qua laiüiffime ad orientem patet Sibiria exteuditür, vbi ab accuratis- fimo quondam MESSERSCHMIDIO paffüm obferuata, et pro Paro caeruleo (quem forte non viderat, quia rarior reliquis omnibus in hifce terris apparet), defcripta fuit. Non folum tameu a Pero caeruleo vulgari toto coelo differt, fed et pro noua et inco- gnita inter Zoologos fpecie habenda eft; licet vero: fimile videatur eandem effe, cuius 4/4rouandus fub nomine Pari izdici breuiter mentionem fecit , et de qua dubitat Raus annon ex icone fola apud A4/dro- vandum vata ([) fuerit. Etiam in Feu LiNNAEI Succica proftat quidem icon, quae Parm. Cyanumn apprime refrt; adeo tamen imperfeca et incerta mentio huius auiculae ibidem facta eft, vt inde pro confirmata et agnita fpecie nemo adfümere illam velit, et ipfe quoque I//jfris l.1NNAEVS non ad- fumferit. Potuit noftra tamen e€ boreali Afia in Sueciam vsque transuolaffe , et forfitan ia Ameri- cam borealem . vsque reperietur , quemadmodum Emberiza niualis , Loxia enucleator , Picus tridaclylus, "UReee 3 et (&) Solis fcilicet exceptis , Paro Pendu/imo et Biarmico , qui tantum in auftralibus laici et Volgae, inter riparum fa- liceta et arundines verfantur. (1) Rai. Jun. QU. £, 74. n. 7. $90 DESCRIPTIONES et viridis minor (*), "Tetrao Lagopur atque: Bonofía, aliaeque terreftres aues vniuerío orbi arctico com- muncs funt. Plumae in toto corpore Pari cyani laxse, mollifímae et texturae rarae, prout in coruo glan- dario atque mimo obferuantur. Sedens auicula faepe tota, praeter caudem quafi glomus horrentium plu- marum effe videtur, praefertim cum dormitat , ca- pite fub alis condito. Semper etiam plumas molli- ter tumefacit et capitis plumas fubinde arrigit in formam criftae, minus tamen infigniter , quam Pa- rus coeruleus folet. 224 Defcriptio. Pondere et magnitudine eundem parum coeru- Tab.XXlll]eum füperat .paulo; plerumque drachmis tribus FP. 7. ponderofior . Ro/frum breuius et crafius quam in Paris omnibus etiam paro caudato, cui tamen cras- füm prae ceteris roftellum. — Accedit forma roftri ad tanagras fere, quamuis non graniuora auicula. Lingua cartilaginea , plana, extroríum vix anguflata, biloba , lobo fingulo 3 vel 5 fetis ciliato. — Caput circa bafim rofíri plumofifhmum , fere vt in. ftrygi- bus; quod cum paro caudato commune nofter ha- bet.. Oculi e fufco — obícuri. Vertex (*) Briffon. ornithol. ed. citat. Vol. 1I. p. 46. m. 4. Picus viridis Noruegicus, diftin&tifima certe fpecies et nomie- ne Pj Septentrionalis infignienda. QVADRVPEDVM ET AVIVM. — 591 Vertex e canefcente niueus et ceruix alba; Àra anguflia , nigra, vltra oculos continuata in taeniolam coeruleo nigricantem ; vtriuque defícen- dentem víque ad faciam ceruicis latam, tranfuerfam nigro - coeruleam quae in medio non, vti paro caeruleo , verfus nucham angulo adícendit , fcd ibi anguítior eft, neque ad gulam coit. Dorfum palide coerulefcens , non virefcens wti paro caeruleo ; vropygium e cano albidum. Auicula fübius tota niue candidior , neque in toto corpore fliuedinis veftigium — vllum. In fterno saecula fufco nigricans , longitudinalis. Tedrices, caudae obícurius coeruleae , apice albae. Cauda longiufcula , minus tamen quam in paro caudato, et rotundata. Rerices mediae nigro coeruleae apice exterius albae , vt tandem extimae vix bafi interius nigreícant.. Alae elegantifümae, ^ Humeri e fufco cyanei. Tecrices et alula nigricant, extus cyaneo perfufa, extremitate alba. — Remüges 18. primariae füícae, interiore margine albae , extus cyaneo perfüfae , fed veríüs extremitatem Vaid , externae fenfim vl- terius. Serundariae apice albae. Pedes $92. DESCRIPT. QVADRVP. ET AVIVM. Pedes e nigro coerulefcunt obíoletius ; genua cinero annulato, Longiiudo auiculae , ab apice roftri ad vropygium , folet effe 2^. 4/^", Corpus deplu- matum vix, extremum pollicem aequat, minime pingue. Cy/is in hepate non confpicua ; Coeca nulla, Inueni in ventriculo et intefüinis plurimo- rum vermiculs minutos , integerrimos qui intra auiculam vixiffe videbantur. ^ Pedieuío praeterea in- feftatnr minutifümo , vix arenulae magnitudine , quem tamen rigidiffüimo frigore in mortua quoque auicula vixiffe vidi. ez5[e)285- $95 NOVAE INSECTORVM SPECIES. Auctore E LAX MAN N. Li Ruffica, Academici lluftr. illa funt, quse in actis noítris adhuc intacta inuenimus. "Rerum naturalium fcrütatores exteri, qui epregiis labori- bus noftrorum phyficorum multum debent, nihil tam auide defiderant quam etiam aliquid de Infectis nofirarum regionum legere. lta hac de re llluftr. a Lime in litteris ad me datis: **Infecta ex omnibus fere orbis terrarum partibus accepi et nuperrime etiam magnam :colle&ionem illorum | quae. Caput bonae fpei alit, de Ruflcis autem et Sibiricis Infe&is Ento- mologis nihil conftat. Maximopere vellam vt nonnul- . Ja eorum mitteres! ,, Vt itaque. defiderio magni Viri aliorumque de Zoologia bene meritorum aliquo modo fatisacerem , Tníecta haec Rufüca rariora cum natu- rae curiofis communicare volui, Primum illorum efto: SCARABAEVS Aimaculatus fcütellatus , mu- T- XXIV. ticus, nitidus , elytris rubris, maculis duabus nigris. xd E Habitat in Ruffia auftrali, Longitudo 4 Latit. fere 2 lin. Lond. E grege illorum. eft, quibus in fimo et cloa- cis apta domicilia parauit natura. i Tom. XIV. Nou. Comm. F fff De- T. XXIV. Fig. 2. $94 NOVAE INSECTORVM SPECIES. . Deftriptio. Facies fcarabaei fimetarii fed fere duplo maior. Caput nigrum , .fcutellatum , fübro- tundum, glaberrimüm. ^ Antennae et palpi rufi. Thorax niger nitidus, marginatus, lateribus cinna- barinis — Elytra cinnabarina glaberrima ; macula magna nigra, rotunda, verfüs apicem. —— Abdomen medio nigrum , latera vero et pedes bruunea. 2. LVCANVS apterus ater, thorace fcutellato: elytris coanatis , gibbis, antennis clauatis,. claua folidiufcula. Habitat in Ruffae auftralis apricis fub terra. Longitudo maris pollicaris, latit. lin. 5. foe- mina paulo minor. Defcriptio. . Animalculum hoc. fingulare , me- dium inter Scarabaeos et Lucanos genus conflituens; ad hos, ob maxillas furcatas, dentatas, magnas maris, tuli. Caput antice trilobum, | Oculi In.lo- bis lateralibus parui. Labium apice medii. lobi pro- funde emarginatum rnaxillaeforme. — Maxillae e fi- nubus loborum lunatae , dentatae , denticulis cum ipfo apice vndecim ,. in mare. furcatae , furca e medio inferioris lateris incurua, glaberrima, maxilla duplo longiore. In foemina maxillae tantum den- tatae. Antennae claüatae , articulis nouem , primo longiffimo duabus fpinis terminato, intermediis fep- tem: auatis , aequalibus, extremo, qui clauam con- ftituit , craflifmo ,. truncato , folido, vngulam equi- - eC 1 Er nam -NOVAE INSECTORVM SPECIES. | 595 nam referente. . Palpi fex , quorum par exterius tribus, et medium duobus articulis , interius autem vno tantum articulo, cuius interius latus fpinis armatum validis, — Thorax laeuis , lateribus margi- natis pundisque minutis. vt. fcutellum . excauatis. Elytra connata gibbà. "Pedum fémora glabra, tibiae fpinofae, plantae duobus vnguibus terminatae. E ATTELABVS dauricus vertice , elytris medioque abdominis atrocoeruleis ; thorace , pedibus lateribusque abdominis luteis. Habitat in Sibiria transbaicalenü. ^ Ad ftlen- T. XXIV. gam in Vlmo pumila legi.: Fig. 3. Longitudo 3. Ladtt. £1-lin* Deícriptio. Facies Attelabi 'coryli. Caput fupra nigrum , infra luteum... Os et palpi | lutei. Antennae brunneae , clauatae. Thorax luteus. Scu- tellum et elytra atrococrulea , nitida pun&is minu- tiffimis: excauata.-.. Abdomen. medio atrocoeruleum lateribus luteis. Pedes lutei; 4- ATTELABVS darcutenfis totus atrocoeru- Fig. 4. leus villofüs ,'elytris fafciis duabus coccineis. Habitat ad Baicalem in Polygono Flor. Sib. bn 3. pag 56. Tab. X. J Long. 9: Latit, 1 lin. Deferiptio. Facies Attelabi apiarii fcd paulo minor. "Totus. atrocoeruleus , hirfutie — veftitus. -Qj Ffff2 An- 596. NOVAE.INSECTORVM SPECIES. T. XXIV. Fig. 5. T. XXIV, Fig. 6. Antennae clauatae vt in congeneribus. Elytra fafciis duabus, in medio et verfüs apicem., coccineis. Pe- des ob. hirfutiem. grifei.. s. CERAMBYX .equeffis: thorace. fplaofo ater apterus , elytris connatis, margine , cruce in fütura. dorfali et. duabus lineis ad baíin. longitudinalibus.;, albis. Habitat in apricis Ruffiae auftralis; - Longitudo fere pollicaris , latit. fere 4 lim. - .. Defcriptio. Antennae mediocres, craffae , fufcae. Corpus quafi. holofericum atrum.. Thorax fpinofus-, marginibus vbi cum. capite et trunco necitur albi- cantibus. Elytra connata , abdomine paulo breuio- ra , cruce in futura dorfali, margine et [lineis dua- bus ad bafin longitudinalibus punctalis , albis; Alae nullae. Pedes validi, brunnei. DOT ^ 6. LEPTVRA: vcranica! nigra, antermis pedi- busque rufis:, thorace fafcia et duabus maculis, ely- tris tribus et totidem fafciis flauis. Habitat. in. Ruffiae auftralis vmbellatis.: Longitudo. 7. latit; 2. lin. Defcriptio. — Caput vbi cum. thorace nectitur fafcia flaua , quae vsque ad ateriorem angulum ocu- lorum extenditur. | Frons fiue regio- inter antennas et labium flaua. — Antennae rufae , corpore . paulo | breuio- NOVAE INSECTORVM SPECIES 597 breuiores. ^ Thorax fübrotundus, fafcia flaua verfus caput et maculis duabus. oblongis «transuerfaliter fitis verfus elytra, Scutellum. flasum.. — Elytra punctis ad bafin duobus oblongis vnoque communi ver(üs medium , tribus fafciis curuatis transueríalibus et li- neis dubus ad: angulum exteriorem» bafeos longitudi- nalibus flauis, Pedes rufi exceptis quatuor femori- bus anterioribus: nigris. jj. LEPTVRA. altajesfis atra ,. elytris: coccineis T. XXIV. medio atris. | | Fig. 7. Habitat in vmbrofis ad radices alpium: altijen- fum in. vrbellatis.. "Longitudo 6: latit. 4 lin. Defcriptio; Tota atra. holoferica; ^ Antennae longitudine. corporis. "Thorax fubrotundus. Elytra €occinea. macula. maxima. in medio atra , ad. apicem. rotundata ,. lata; | | 8$. GRYLLVS dauricus apterus ,. teftaceus- ni- gro luridoque nebulofus, therace fcutellato , fcuto quadrato, rugofo, antice bituberculato poflice fpinis dentato ;. abdomine lineis quinque albicantibus , lon- gitudinalibus obfoletis:. Habitat in campis apricis glareofis Sibiriae transbaiicalenfis - ? . Longitudo cumr enfe 22 poll..latit. 6: lin. Ffffg D:- Tab.XXV. Fig. 8. $98 NOVAE INSECTORVM SPECIES. Defcriptio. Corpus teftaceum nigro luridoque nebulofüm. ^ Antennae fétaceae longitudine fere cor- poris. Thorax futellatus ,. fcutum. planum , rugo- fum , fouea. transueríali . in. duas- partes diuifum quarum anterior fingulo latere tuberculo. fpinofo terminatur; pofterior pars quadrata , rugofa , medio excauata , lineis lateralibus. eleuatis inftar duarum carinarum tuberculis fpinofis ;; angulis vero : vti -:et antico et poftico latere rotundatis. ^ Alae nullae. -Abdomen' lineis. quinque longitudinalibus obfoletis, Femina cauda enfifera. Quoad pedes cum Gryllo pupo' aethiopico conuenit. ^ Mordaciffimus in pro- priam fpeciem faeuit. NB. Gryllus nofter dauricus Chinenübus efcu- lentus er in deliciis eft. Ruífis autem transbaicalen- fibus. abominabilis ; ^ morbo enim ' in Ruffia noto "Wolofetz (Boxocerb) infici credunt, fi contigerit edére aut bibere e vafe, in quod haéc beftiola cafu cecidit. de 9. GRYLLVS Sibiricus. locüfta thorace. fübca- rinato , antennis clauatis , tibiis anticis ouato claua- tis crafhis, Habitat iode ee in | campis pai Iroatiag autem, et in Sibiria, transbaicalenfi copiofiffime. "Longitudo 8. "f. 9. latit. 1: lin. Defcriptio.' Corpus grifeum nigro nebulofum. Antennae thorace duplo longiores , clauatae , gri- i. feae NOVAE INSECTORVM SPECIES. . 599 feae articulis quatuordecim , claua nigra ouata arti- culis quinque, . Thorax viridiufculus ftria. longitu- dinali eleuata reca carioam conftituente et duabus lateralibus obliquis ,' arcubus carinae .approximatis. -Alae fuperiores grifeae nigro nebuloíae , inferiores plicatae hyalinae. Pedes. grifeae , tribus vnguibus, Imnedio craífiori obtufiufculo ; | tibide anticae clauatae craffie; femora poftica Thea grifea nigro. maculata fubtus flaua. : | NB. Illuftr. a Lizgze huius mentionem fccit fyft. nat. ed. XII"^ Tom. IL. pag. 70r. n. 5r. rco. MYRMBLEON. Kolywanenfe .antennis Tab. XXV. clauatis longitudine corporis; oculis oblongis ;' ma- Fig. s. gnis, linea obliqua, pilofifhma ,' in duas partes ae- quales diuifis; thorace nigro, punécis et lineolis plurimis flauis; alis flauo , nigro et hyalino variis. Habitat in Alpibus. Maloi Altai, Sinie Sopka et ad argentifodinam Tfíchagirenfem rarius, victi- tans muícis et culicibus. Longitudo- pollicaris et minor, latit. 1; lin. Defcriptio. Caput pilofifümum, pilis in ocu- lis et in fronte fiue iuterflitio oculorum nigris, in flauo autemi,occipite et tractu iuter os ct oculos, albis; Oculi magni hemifphacerici , in quatuor par- tes lineis eleuatis , pilofifhmis diuifi; /uperior pars nigra, nitida, lunulata; medie , feu. ipfe oculus compofitus , oblonga ,. re&angularis , inea obliqua; eleuata 'Tab.XXV. Fig. 10. 600 NOVAE INSECTORVM SPECIES: eleuata pilofiffma , cuins .arcus thoracem weríus, 4i duas partes aequales diniía; zmferior pars flaua, ni- tidà, lunulata, ^| Antennae figrae clauatae longitu- dine corporis, Stemmata nulla. . Os maxillofum. Thorax niger, pilofus, ptnéctis et lincolis plurimis flauis.. Adae quatuor coloratae , reticulatae , infl-xae, abiomine longiores; yuperiores ad. bau mgrae, a bafi ad medium flame , | a3 medio ad apicem hyak- nae, reticulatae, duabus maculis nigricantibus qna- guis; inferiores a bafi ad medium nigrae , medio fafáia Jatfüma, et in nigro apice macula magna Orbiculata, ocellum referente , flaua, Pedes bre- viufículi , femora. a bafi vsque :ad medium nigra , a medio ad apicem flaua ; tibiae flauae ; taríi , qui duobus vnguibus validiffimis terminantur, nigri Abdomen atrum fimplex. ii. ICHNEVMON Gigas antennis rufis , fcutello flauo , corpore rufo brunneo et flauo vario, alis fuícis. Habitat PDarnauliae et Kolywani in filuis rarius. Maximus in fuo genere: "losgiaide corporis cum aculeo 4: poll. corporis 1; poll. àculei 3 poll. antennarum $8 lin. Jatitudo thoracis ri lin. Defcriptio. Caput flauum , oculis, ftemmati- bus, interftitio oculorum et maxillis nigris. . Án-' fennae rufae, corpore paulo breuiores. Thorax ru- NOVAE INSECTORVM SPECIES. 6o: füs, antice, ad. latera et radices alarum flauus, qui color a rufo interiacentibus lineolis fufcis dis- cernitur. Scutellum flauum , linea longitudinali ni- gricante. Alae fubfufcae longitudine antennarum. Abdomen fuübpetiolatum fegmentis feptem rufis; pri- 7:0 ad bafin tenuiffimo verfus apicem dilatato fafcia flaua in apice; fecundo macula magna flaua , lateri- bus füfcis, quae in medio macula triloba rufa picta eft; rertio, quarto , quinto et fexto aequalibus, reli- quis maioribus, maculis duabus , ocellatis , ouatis , flauis, nigredine inftar iridis , cinctis ; v/zima rufo et fufco vario. ^ Aculeus penultimo fegmento affixus, longiffimus , niger , vagina fufca. Pedes flauefcentes. 12.. CONOPS fetiolata | antennis .clauatis ni- gris, claua rubra, capite flauo , abdomine pctiolato. IHuftr, m Loue. fyft. .nat..ed.i XII. Tom. L pag. ICOS. n. 9. Habitat Barnauliae poft QE aeftiuum in floribus , rarius. Longitudo. 4. latit. x lim. Defcriptio. Antennae bafi geniculatae. — Ro- firum nigrum. "Thorax niger, macula in angulis anticis tuberculata albo rufefcente.... Abdomen apice rotundatum. nigricans marginibüs fegmentorum albi- cantibus, primo fÍegmento: tenuiffimo , longi(fimo verfus apicem dilatato ,. fafcia in medio flauefcente. Alae fufcae , margine tenuiore apiceque hyalino pedes rufefcentes. —. Halterum. clauae flauae. Tom.XIV.Nou.Comm. | Gggg NB. Tab. XXV, Fig. 12. 602 NOVAE INSECTORVM SPECIES. - NB. Varietas maculis thoracis tuberculatis quas oculos primo intuitu putares, nigris. r3. ARANEA J/imgorienfis teftacea. nigro ne- balofa , pilofa , abdomine fafciis quatuor trausuerfa- libus albidis , geniculis et apicibus offium fubtus nigris. Habitat in Singoria fub terra in modum Sca- rabaei ftercorarii cauernas fodiens. ^ Ad Argendifodi- ram cui a ferpentibus nomen paffim Occurrit , ad Irtim autem circa oftium Vlbae fluuii et in vallo terreo arcis Vftkamenogorsk copiofiffime inueni. Inter maximas fui generis fpecies numeranuda. Longitudo thoracis cum abdomine zr; poll. Latit. thoracis 5 abdominis 6 lin. Longitudo pedum bre- viorum pollicaris , longiorum 1; poll. Defcriptio. Tota teftacea nigro nebulofa, pi- lofaü Oculi o&o nitidi quorum duo verí(us tergum, magnitudinis mediae , brunnei, duo in fronte ma- gnitudine prima nigri ,,Quatuor verfus os transuerío ordine minores nigri. "Thorax ouatus antico latere eleuatus , Obtufüs. Palpi quatuor articulis , rufefcen- tes , apicibus nigris. Retinacula valida vngue nigro nitido terminata. Pedes validi, craffi, articulis fex, fri- $70 fübtusnigro ; fecundo íiue femore grifeo; zerrio fiue geniculo nigro ; quarto fiue offe grifeo apice nigro ; quinto fiue pede duorum anteriorum parium toto , pofteriorum vero apice nigto; dm nigro mutico. Supra NOVAE INSECTORVM SPECIES. 60$ Supra omnes pedes grifei nigro maculati. Abdomen ouatum füpra teftaceum fàfciis quatuor albicantibus , fubtus nigrum. holofericum. Obferu.. Nutricatio pullorum folis foeminis relicta. Oua fubrotunda , grifea , íeminibus Drafh- cae fatiuae paulo maiora circiter ducenta ponit , te- laque in globulum ,. maguitudine maioris nucis Co- ryli auellanae inuoluit. ^. Hunc globulum nocte in fündo cauernae feruat die autem imprimis fereno et calido in oftio aprico circumuertit, | Pulli exclufi aliquot dies corpori matris infident vnde haec du- plo maior et horridula euadit; validiores ficti dis- perguntur imitando vitam et mores maiorum. EXPLICATIO "TABVLARVM. Tab. XXIV. Fig. rx. a. Scarabaeus bimaculatus. b. infera pars huius infecti. Fig. 2. a. Lucanus apterus mas. b. - - - -- - foemina. (. infera pars maris. d. infera pars foeminae. . maxilla maris magnitudine aucta. f. maxilla foeminae magnitu- . dine aucta. . palpi maris. . palpi foeminae. 8882 , Tab. "s (C 8903 604 | NOVAE INSECTORVM SPECIES, Tab. XXIV. Fig. 3. a. Attelabus dauricus. b. infera pars huius infecti. Fig. 4. a. Attelabus ircut nfis. b. infra pars huius infecti. Fig. 5. a. Cerambyx equefiris. : b. infera pars huius infecti. Fig. 6. a. Leptura vcranica. b. infera pars huius iufe&i. Fig. 7. a. Leptura altaienfis. b. infera pars huius infecti. Tab XXV. Fig. 8. a. Gryllus Sibiricus. . b. pes anticus clauatus huius grylli per Microfcopium de- lineatus, Fig. 9. a. Myrmellon Kolywanenfe. b. idem animalculum alis ex- panfis. Fig. 1o. Ichneumon gigas naturali ma- | gnitudine paululum minor. Fig. 11. Conops petiolata. Fig. 12. a. Aranea fingorienfis magni- tudine naturali paululum minor, b. infera pars huius infecti. AVov. Comment. Acad. St. Jàtrop. Tom. XIV. jah ] B Ac ec. Potrap Hom. XIV. Tab JL. mur. E £O "NOS. Y ; j SS N A V N Y N i NS N Y i N V et : 1 CERA " AS N 4 Y N / SA Sd à ! / v S : ess] NS N PENC M S 3 m Es 2 M | i V i NE b EXT AM , gir-— E 1 UL 1 1 )H D A 1 A [ | 3 " | - A ise raf zal ^ i DD | nm. * | N N lo ei eer E eed] « METUS Nov. Comment. Acad. Sc. Petrop. Torn. XIV. Ta Ill. [E M , | Nov. Comment; Acad Stc. J'etrop. Tom. XIT-Ta IY; Aov . Conwnent . Acad. iSc. Pelropot . Tom.. XIV , Tab . Y. -—" Nov » ConvmenL . Acad.. iSc. Pelropol . Torn. XIV. Tub.v. p fy.25. i [U QUILT ex 2€ omn T I Nov. Comment. cad. Sc. Pitrop. Tom. XIF. Tub VT. * JVov. Cor. 4cad,. Imp. iSc. Jerop. Jom, MTIE. Ta6 FJ. | zu. * Jom. ME. Ta4. Zetrop. 4cad. mp, «Sc. m. à t Vau. JVoo. Cozn. Ace. my. oo. Fetrop An XIV. Za6. VIT. 9 Pru R gd os ^ hy e Woo. Com. Ace Fngo. yc. Petro Mun XIV. a5. VIT. i$ prgnegyzm ue e JVov. Cbm. cad, imp. .5 "rop, Jom. AZZA Wov, Com. ou, Imp, v, Pürep. Tom. ATI! Tad, 4X. | Jov . Conv. Acad. Inip Ts etrop .Zobn XIV. Tub .X X) Nov . Com. Acad . Tip . Fe Fetrep. , "Torn. XIV Tub X & | Wez. Com. tray. up. Jo. I brvop. Mm. XE A. Mov. Gom. eaa. rp. Jo. Jibvp. Mom. MEE. Pub. | Uu. vea. Zmp de Jr Zom.JXZE Tu& AZ Avon, CUm, rac. mp, v. ZUrop Zom.X/A Tuó. XH. Mov. Cm. Ahrad. Amp. do. Fetrap. fom. WIE. Fh. XUL / NSNSS 3 ASNeSE * LI T ANov. bm. Arad. Amp. Se. Petrop Tom Ie Paé um * . Fetrop . Torn, XIV, Tab -XF. Acad. Imp. B : 8 E 72d QU. Dm» ova Zn. c. JF crop. Pn. EAM . A Mou. Gor. ead Amp. Jc. JFeatrap. Ze. xm fad ty Vou. Corn. Acact; Imp, yo Petrop, Don XI 204 NUI- -Vov. Corn. Ara Mp. Ade. ectap fbr XE Ja24. ZZ. NS NN N NAR: S NSNSNSSN SSSNRSSN NSNNSSSNSSSNN SNSSSMS OSNNSSSSSSSS QU NY NS NN N NS NSSNNN NN RW SEEN NN NS NN NSNNN, N NNNSN SSNNNSNSNS À ENS SNNNNSS SSSSSSNS "M, ^ Com. oa "m gp. v, 29 77 'ebrop. um ^ b UE a4. T n EZ p Mon Gm. -oad. Zmp. DA Zeovp. Zónu XIM^ 924 Mead. Jrnp. Se. Fetrop, Torn - ^ E SS NS NN SS mt t : Com. Acad Ip, deo, Por; Up. Tom, XIV. 7a6, XX, 1) US. MU /) S M hup b 7// I iM MI 1/4 M n NT JVov . Com . cad Imp . Jt. Petrop . Tim . AYF 125 "Bu Nov . Com. Acad . Imp . «Fe . Petrop . Tom XIV, Tub XXI. np... Jitrop .Jozn. XIV. Tub : X XII. d . cad. xj Con. — —————— Nov - Com, Acad., Ip . c - Barop Tr. XIV. Tab XXII. DIA Jab. X XZZ 7L. X4) UJ "zz e. Zttrop, AVoo. Co. Acaa. np. à A 77 7 Vau. Com.Acact. /mp. «c. Fetrop. Vom. XIV. ab. X AZ Mov. Com. ud. np. "771 rop. Jom. XIZ- TLÁ D ZLL o 20 MN dire rs 4 MAT Jv, Cory, fed, up Je ZMeap dm. XIH- Zu Xr Ji. 2. & oo, Corn. ea. mg, Zt vp. Jom. XI Ta&, XXZ ^ nu AVav, Cor. ead, Imp r] 7g M m v * A mm Tom. XH^ Jab, XXNze. * ( [3 * E: T d wc 4 " ou (A9. -— Bev nine rene, Vamie -HHTET: Mert Meer it arp TE " "ule -» Mei mn T "rererutes n VOR Oha DD CHHHE Er MSIE M. pos : LH Hm unum anite mmu Mtm Ü ERHHIDED! 2 rore 2 eer MILL EM HARD